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Full text of "Lehrbuch der reinen und angewandten Krystallographie"

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Dr.  Carl  Friedrich  Naumann*» 

Lehrbnch 

der  reinoi  und  angewandten 

Krystallographief 


ZweiterBand. 


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Lehrbuch 

der 

reinen  nnd  angewandten 

Ejrystallographie 

Ton 

Dr.   Carl  Friedrich  Naumann, 

Pttiemm  aa  der  Bercakadonde  so  FMbog. 


In    zwei  Bänden. 

Zweiter  Band. 

Mit  17  Kapf ertafelos 


Leipzig: 
F.  A.  Brockhaus. 

1830. 


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»^ 


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Vorwort, 

Bei  der  gegenwärtigen  ErscheinuDg  des  sffwel- 
ten  Bandes  meiner  Krystallographie  kann  idi 
nidit  umhin,  es  besonders  zu  erwähnen,  qa9S 
idi  för  die  Beschreibung  der  meisten  Zwillings- 
faTStafle  die  treflBichen  Abhandlungen  und  Zeich- 
nungen von  Haidinger  im  Edinburgh  Journal 
of  Mciencej  so  wie  manche  Zeichnungen  und 
Besdireibungen  von  Mobs,  Rose,  Weiss  u«  a, 
jf&r  die  Lehre  von  der  Krystallmessung  Kupf- 
fera  gekrönte  Prdsschrift,  und  für  die  Lehre 
von  dem  diklinoedrischen  Systeme  die  bekannte 
Abhandlung  Blitscherlidis  benutzt  habe.  Auch 
kam  mir  Burh^mes  wichtige  Arbeit  über  die 
Zwillingskrystalle  noch  zeitig  genug  in  die 
Hände,  um  dieselbe  wenigstens  nachträglich 
berücksichtigen  zu  können.  Dass  ich  in  der 
Lehre  von  der  Zeichnung  Neumanns  graphische 
Methode  nidit  erwähnte,    war  natürlich,  weil 


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VI  Vorwort. 

selbige, keine  Bilder  der  Krystaliformra,  son- 
dern nur  Uebersichten  der  Zonenverhältnisse 
gewährt^  und  also,  ungeachtet  ihrer  theoreti- 
schen Bedeutsamkeit,  auf  diesen  Theil  der  an- 
gewandten  KvystaUographie  ohne  besondern  Ein- 
fiüss  ist 

Für  dieBealität  der,  von  mir  vielleicht  et- 
was zu  kategorisch  eingeführten  schiefwinkli- 
gen Axensysteme  werden  sehr  genaue  Messun- 
gen, besondei«  ^er -eia  tieferes  Studium  deir 
ZwilUo^krystalle  den  ssttverlässigjsten  Prüfstein 
Jiefemj  die  vpn  mir  in  §.  449  angeiuhrtea 
Gründe  «oUfsn  die  Fr^ge  keinesweges  .erschö- 
pfen, wemi  sie  gleich  sehr  erhebljcbe  Zweifel 
^egen  die  Naturgemä^sheit  orthome^inch^r  Axen 
für  die  fraglichen  Kryeitallreihen  veranlassen 
müssen. 

Die  Materialien  ssur  i^nge^jandten  Krystal- 
lograpbie  sind,  obwohl  ich  Vieles  zurückbehal- 
,ten,  demii^h  so  bedeutend  angewachsen,  dass^ 
ich  meinen  jinfanglichen  Wijnsch  anheben  muss- 
te^  das  Werk  Ihit  <)iner  Upbersicht  der  Litera- 
tur der  WissensdiaH;  zu  beschliessen,  weil  ich 
damit  nicht  ein  blosses  Verzeichniss  von  Bü- 
chertiteln beabsichtigen  konnte,  und  daher  den 
zweiten  Band  wenigstens  noch  um  8  —  JO  Bo- 
gen hätte  vermehren  müssen.    Yieüei<?ht  ist  es   | 


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Vorwort.,^  VII 

mir  yergoimty  später  emmal  eine  ausflihrlidiere 
Arbeit  über  die  Literargeschichte  der  Krystal- 
lographie  zu  liefern. 

Möge  sich  übrigens  gegenwärtiger  Vosuch, 
die  reine  und  angewandte  Krystallographie  in 
einar  systematischen  Form  mit  einiger  VoUstän- 
digkdt  darzustellen^  einer  nadisichtsvollen  Auf-  . 
nähme  zu  erfreuen  haben. 

Carl  Naumann. 


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Vierter  Abschnitt. 
V^m  rhombüchen  Sy$tem€, 


Erstes    Capitel. 

Von   den   einzelen  Gestalten  des   rkombi- 
sehen  Systemes. 

8.    408. 
Haitptaxe,  Stellung,  einfache  Gestalten. 

J^as  rhombische  System*)  ist  nach  §.  43  der  Inbe- 
griff aller  deijenigen  Gestalten ,  deren  geometrischer 
Gmnddiarakter  durch  drei,  auf  einander  rechtwink- 
lige^  aber  durchgängig  ungleiche  Axen  ausgesprochen 
ist.  Der  von  Breithaupt  vorgeschlagene  Name  besieht 
sich  auf  die  Figur  der  Mittelquerschnitte  sämmtlicher 
Gestalten  dieses  Systemes,  indem  dieselben  entweder 
Bhomben,  oder  doch  solche  Figuren  sind,  in  oder  um 
welche  sich  Rhomben  beschreiben  lassen.  DieHaupt- 
axe  ist  relativ  ($.41  und  42);  auch  lassen  sich  bis 
jetzt  vom  blos  krystallographischen  Gesichtspuncte 
ans  keine  allgemeinen  Kriterien  für  die  Wahl  dersel- 
leB  entdecken,  weshalb  sie  nach  anderen,  in  den 
physischen  Eigenschaften  begründeten  Verhältnissen 
zu.  bestimmen  ist.     Die  Krystallographie    kann  nur 


'   *)  Prismatiiches  Sygtem  naeh  Mob«,  swei -und «zwei- gliedii- 
ges  S^rstem  nach  Wcisa,  Inmetdscltes  SysC6ffl  nach  Hausmann. 

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2  JReiM  KrystaUographie. 

etwa  die  Regel  aa&tellen,  dass  für  jede  rhombische 
Krystallreihe  diejenige  Axe  zur  Hanptaxe  erwähk 
werden  mugs,  nach  welcher  die  CombiBationen  der- 
sellien  in  den  einfachsten  und  gefälligsten  Verhältnis- 
sen erscheinen.  Uebrigens  versteht  sich  von  selbst, 
dass  die  einmal  gewählte  Hanptaxe  für  «ine  ui|d  die- 
selbe Krystallreihe  conseqnent  beizubehalten  ist  ($.  42). 

Nachdem  die  Hanptaxe  gewählt  worden,  bestim- 
men sich  die  beiden  andern  Axen  als  zwei  ungleich» 
werthige  Nebenaxen,  und  die  durch  sie  gehende  Coor- 
dinatebene  als  rhombische  Basis. 

Von  einfachen  geschlossenen  Gestalten  hat  die- 
ses System  nur  zweierlei,  nämlich  rhombische  Pyra- 
miden und  rhombische  Sphenoide,  aufzuweisen,  yon 
welchen  jedoch  zumal  die  ersteren  in  grosser  Man- 
nichfaltigkeit  und  wesentlich  verschiedenen  Stellungs^ 
Verhältnissen  vorkommen.  Von  offenen,  oder  unend- 
lichen Gestalten  erscheinen  verticale  und  zweierlei 
verschiedene  horizontale  Prismetf,  sowie  die  drei,  den 
Coordinatebenen  des  Axensystemes  entsprechenden 
Flächenpaare.  Da  aber  alle  diese  offenen  Gestalten 
nur  als  die  Ctränzgestalten  der  Pyramiden  oder  Sphe» 
noide  gelten,  so  können  sie  auch  erst  im  zweiten 
Capitel  in  Betrachtung  kommen. 

|.    409 

Rhombische  Pyrtnuden. 

Bffm.  Üiigleidisdicnklige  yfeneitige  Pyramide«,  Mobi;  swel-nd- 
iwU-glledri^e  OktaCder,  Weist;  RliombeBoktaMer,  Ben- 
bardi,  Weist,  Hantmiea. 

Die  rhombischen  Pyramiden^  Flg.  471  n.  472,  sind 
von  acht  ungleichseitigen  Dreiecken  umschlossene  Ge* 
stalten,  deren  Mittelkanten  in  einer  Ebene  liegen;  sie 
kaben  12  Kanten  und  6  Ecke. 

Die  Kanten  sind  symmetrisch  und  dreierlei:  4  kür- 
zere, stumpfere  Polkanten  im  Hanptschnitte  durch  die 
kleinere  Nebenaxe;   4  längere,  schärfere  Polkanten 


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Systemlehre^  Bhombi8che$  Syrern.  Cap.  I.    3 

n  Uanptscluiitte  darcl|  die  grödsere  Mebenaxe^  and 
4  Mittelkanten  in  der  Ebene  der  Basis. 

Die  Ecke  9ind  rhombisch  nnd  gleicfaüaUs  dreier- 
lei: 2  Polecke  an  den  Endpuncten  der  Qanptaxe; 
2  stumpfere  MUtelecke  an  den  Endpnncten  der  klei- 
aeren  Blebenaxe,  nnd  2  spitzere  Mittelecke  an  den 
Endpuncten  der  grosseren  Nebenaxe. 

[Me  Qnerschnitt^  sind  Rhomben. 

f    410. 

Rhombiflnhft  Sphenoide. 
a§m,   Rkonbitche  SphenoMer,  Braitliaapt. 

Die  rhombischen  Sphenoide  Fig.  473  o.  474  sind 
Ten  Tier  ungleichseitigen  Dreiecken  umschlossene  Ge- 
stalten, deren  Mittelkanten  nicht  in  einer  Ebene  lie- 
gen, sondern  im  Zickzack  auf-  und  absteigen;  sie 
haben  6  Kadten  und  4  Ecke. 

Die  Kanten  sind  unregelmässig  und  dreierlei: 
2  borixontale  Pol-  oder  Endkanten;  2  kürzere  schär- 
fere, und  2  längere  stumpfere  Mittel  -  oder  Seiten- 
kanten. 

Die  Ecke  sind  nuc-  einerlei ,  unregelmässig  drei- 
liehig. 

Die  Pole  der  Hauptaxe  faUen  in  die  Mitte  der 
horizontalen  Endkanten ;  die  Nebenaxen  Terbinden  die 
Mittelpuncte  je  zweier  gegenüberliegender  fieiten- 
kanten. 

Die  Querschnitte  sind  Rhomboide,  der  RCttelquer- 
sdudu  jedoch  ein  Bhombus. 

|.    411. 

Holoedrisch  und  hemiedrisclie  GMtalteo. 

Ve^leicht  man  die  SymmetrieTerhältnisse  der  bei^ 

den  Arten  tjou  geschlossenen  Gestalten,  so  fällt  es  in 

die  Angen,    dass  die  rhombischen  Pjrramiden  einen 

weit  höheren  Grad  von  Symmetrie  zeigen,    als  djie 

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4  Reine  Krystatlographie. 

rhombischen  Sphenoide,  und  dass  die  letxteren,  schöfl 
wegen  des  mangelnden  FtftcheQparallelismns,  nieht  als 
holoedrische,  sondehi  als  geneigtfl&chig-hemi^drische 
Gestalten  bettachtet  werden  kdnnen.  Es  giebt  dahelr 
in  diesem  Systeme  nur  ^ine  geschlossene  holoedri- 
sche, und  ebenso  not  eine  geschlossene  hemiSdri*« 
sehe  Gestalt;  indess  wird  diese  scheinbare  Armnth 
an  Arten  geschlossener  Gestalten  durch  eine  grossere 
Mannichfaltigkeit  wesentlich  verschiedener  "Varietäten 
aufgewogen,  welchen  ebenso  viele  wesentlich  ver- 
■chiedene  offene  Gränzgestahen  entsprechen. 


Hifteitet    Cäpiteh 

Von  der  Ableitung  der  rhombisgchen  Gc 

stalten. 

A,     AiUitung  der  kohidrisdhin  OeüalNn^ 

f    412. 

Gnindgcttalt»  Diagonalen«  ZuHidienaxien. 
Da  alle  rhombische  Pyramiden  ein  dem  geome» 
irischen  Grundcharakter  des  Systemes  angemessenes 
Verhältniss  der  Parameter  haben,  weil  dieses  Yer- 
hftltniss  jedenfalls  mit  dem  Verhältnisse  der  Axen 
identisch  ist,  so  kann  auch  jede  dergleichen  Pyramide 
ans  einer  gegebenen  Kin^stallreihe  zur  Grundgestal« 
gewählt  werden.  Wie  dso  bereits  die  Bestimmung 
der  Hauptaxe,  so  ist  noch  weit  mehr  die  Bestimmung 
der  Grundgestalt  der  Willkür  unterworfen;  auch  kann 
die  Krystallographie,  zur  Beschränkung  dieser  Will» 
kür,  für  die  Wahl  der  Grundgestalt  einer  gegebenen 
Erystallreihe  nur  eine  ähnliche  relative  Regel  auf- 
stellen» wie  für  die  Wahl  der  Hauptaxe,  dass  näm- 
lich diejenige  Pyramide  zur  Gmndgestalt  erwählt  wer- 


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Systemlehre.  BhomhUches  Syeiem.  Cap.IL   5 

4ai  mfisse,  welche  die  einfieicliste  BeseidmoDg  der 
■brigen  Glestalten  und  die  leichteste  Entwickliing  ih- 
ler  Combinatiönen  gewährt.  In  gegenwärtiger)  lülge* 
seiner  Darstellung  des  Systemes  denken  wir  daher 
irgend  eine  rhombische  Pyramide  als  Grundgettalt| 
beiseichnen  sie  mit  P,  und  setzen  das  Verhältniss  ,ih- 
rer  Hanptaxe  zur  grosseren  und  kleineren  Nebenaxe 
:=im:i:cj  ron  weichen  Grossen  im  praxi  Jedenfalls 
eine  =  i  genommen  werden  kann. 

Um  sich  jedoch  in  den,  nach  verschiedenen  Rich- 
tongen  za  Terfolgenden  Ableitungen  gehörig  sn  orien- 
liren,  daxu  wird  die  Feststellung  einiger  Ausdrücke 
Bothig,  welche  der  Nomenclatur  der  abzuleitenden 
Gestalten  zu  Grunde  liegen.  Für  die  Grundgestalt  P 
öner  jeden  rhombischen  KrystaHreihe  brauchen  wir 
künftig  statt  der  Ausdrücke  kürzere  und  längere  Ne^ 
benaxe  die  Worte  Brachydiagonale  und  Makro* 
diagonale*),  wie  denn  auch  diese  Linien  in  der 
Tbat  die  Diagonalen  der  riiombischen  Basis  von  P 
bilden.  Die  beiden,  in.  der  Ebene  der  Basis  durch 
den  Mittelpunct  und  die  Balbirungspuncte  der  Mittel 
kanten  Ton  P  gehenden  Linien  nennen  wir  die  Zwi- 
sehenaxen;  die  Ebene  durch  die  Haüptaxe  und 
Makrodiagonaleden  makrodiagonalen,  die  Ebene 
durch  die  Haüptaxe  und  Brachydiagonale  den  bra- 
cbydiagonalen  Hauptschnitft^  Dieso  Begriffe 
des  makro-  und  brachydiagonalen  Hauptschnittes  wer- 
den unTerändert  auf  alle  möglichen  abzuleitenden  Ge« 
stalten  übergetrilgeni^  auch  unterscheiden  wir  die  bei- 


^  Eis  kt,  tun  Terwimmgen  su  ▼ermeiden»  ganz  besonden 
darauf  za  achteo,  daw  dies«  beiden  Worte  jederzeit  nor  Ton  den 
Biagonalen  der  Grandgestalt  za  rerstehen  sind)  daher  ist  es 
sehr  honfig  der  Fall«  dass  die  längere  Nebenaxe^  einer  abgeleiteten 
Pyramide  Ja  die  Brachy^Oagonale,,  nnd  ihre  kürsere  Nebenaxe  in 
«e  MakrediagDosk  out. 


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6  Heine  Krystatlographie. 

derlei  Polkanten  s&inmtlichi^r  Pjramiden  als  makro- 
diagonale and  brachydiagonale  Polkanten, 
je  nachdem  sie  in  den  einen  oder  den  andern  Hanpt* 
schnitt  fallen,  so  dass  sich  diese  Benennungen  nicht 
auf  die  Gr&sse  der  Nebenaxen  oder  Diagonalen  in 
den  abgeleiteten  Gestalten  selbst,  sondern  anf  die 
Lage  derselben  in  den,  nach  den  Diagonalen  der 
Grandgestalt  benannten,  Hauptschnitten  beziehen. 

t.    413. 

Hauptreihe  der  rhombischen  Pyratnideo. 

Aas  der  Grandgestalt  P  lässt  sich  eine  Reihe 
rhombischer  Pyramiden  Ton  derselben  Basis  und  Stel- 
lang ableiten. 

Man  Tervielfache,  |)ei  constanten  Diagonalen,  die 
Haaptaxe  von  P  nach  einem  rationalen  CoSfficienten 
01 ,  welcher  theils  ^1,  theils  <^  1,  and  lege  für  je- 
den besonderen  Werth  von  m  in  jede  Mittelkante 
ton  P  zWei  Ebenen,  toH  welchen  die  eine  den  obe- 
ren, die  andere  den  unteren  Endponct  der  so  verlän- 
gerten oder  verkürzten  Haaptaxe  trifft,  so  resultirt 
jedenfalls  eine  andere  rhombische  Pyramide  mP,  weL 
che  entweder  spitzer  oder  flacher  als  P  seyn,  aber 
dieselbe  Basis  and  Flächenstellang  haben  wird.  Da 
nun  m  einerseits  bis  <x>  zunehmen,  anderseits  bis  o 
abnehmen  kann,  so  erhält  man  folgenden,  nach  den 
successiv  zunehmenden  Werthen  von  m  in  das  Schema 
einer  Reihe  geordneten  Inbegriff  von  Pyramiden: 
«•<!  m>i 
oP mP P mP odP 

Diese  Reihe,  deren  Glieder  durch  Identität  der 
Basis  und  Flächenstellung  mit  einander  und  mit  der 
Grundgestalt  verbunden  sind,  nennen  wir  die  Haupt- 
reihe des  Systemes;  die  Glieder  linker  Hand  von  P 
sind  lauter  flachere,  die  Glieder  rechter  Hand  lauter 
spitzere  Pyramiden  als  die  Grundgestalt;   die  Gränz- 


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Systemlehre.  ShombUchee  Stetem.  Cap.  IL   Y 

f^er  sind  einerseits  oP,  d.  h.  die  Basis,  oder  jede 
ikr  parallele  Fläche  (yergl.  f.  205 ),  anderseits  ooP, 
oder  ein  rerticales,  rhombisches  Prisma  von  indefi- 
siter  Länge.  Beide  Gränsgestalten  können  natfirlieh 
udit  fSr  sich,  sondern  nur  'in  Coinbination  mit  ein- 
ander oder  mit  anderen  Gestalten  erscheinen. 

Anmerkung.  Ein  für  die  folgenden  Ableitnn- 
gen  besonders  wichtiger  Umstand  ist  es,  dass  in  al- 
len Cfestalten  der  Hauptreihe  die  Makrodiagonale  und 
Brachydiagonale  ihre  ursprünglichen  Werthe  unyer- 
ändert  beibehalten. 

i    414. 

Regel  f&r  die  weitere  AblMtvos- 

Weil  die  Diagonalen  der  Grundgestalt  ungleich- 
werthig  sind,  so  sind  sie  auch  yöllig  unabhängig  von 
einnder,  und,  als  veränderliche  Grossen  gedacht, 
eine  jede  für  sich  veränderlich.  Dieser  Umstand  fuhrt 
bei  den  ferneren  Ableitungen  im  Gebiete  des  rhom- 
bischen Systemes  anf  Resultate,  welche  dessen  Ver- 
schiedenheit vom  tetragonalen  Systeme  gans  beson- 
ders auffallend  machen.  Wir  werden  nämlich  diese 
AUeitongen  nur  dann  dem  Charakter  des  Systemes 
gemäss  vornehmen,  wenn  wir  in  den  Gliedern  der 
Hauptreihe  nicht  beide  Diagonalen  zugleich^  sondern 
nur  je  eine  derselben  nach  einem  rationalen  Co^flfi- 
cienten  n  vergrössern,  so  dass  wir  aus  jedem  mP  auf 
xwei  Inbegriffe  von  Gestalten  gelangen,  von  welchen 
der  eine  durch  Vergrösserung  der  Makrodiagonale  bei 
constanter  Brachydiagonale,  der  andere  durch  Yer- 
grosserung  der  Brachydiagonale  bei  constanter  Makro* 
diagonale  erhalten  wird.  Wir  nennen  jene  Gestalten 
makrodiagonale,  diese  brachydiagonale  Ge- 
stalten, indem  sie  den  Namen  deijeaigen  Diagonale 
fuhren,  durch  deren  Vergrösserung  sie  abgeleitet  wur- 
den.   WeU  aber  diese  Zweierleiheit  der  aus  siP  ab- 


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6  Reine  KtystdUographie. 

geleiteten  Gestalten  auch  in  der  Bezeichnung  henrer-* 
gehoben  werden  muss,  so  unterscheiden  wir  die  Zei- 
chen der  makrodiägonalen  und  brachydiagonalen  Ge- 
stalten dadurch,  dass  wir  über  das  Symbol  P  der 
Grundgestalt  für  jene  das  prosodische  Zeichen  der 
Länge  —  ,,fiir  diese  dagegen  das  prosodische  Zeichen 
der  Kürze  v  setzen,  ohne  jedoch  sonst  etwas  an  der 
bereits  im  Tetragonalsysteme  gebrauchten  Bezeich- 
nung zu  ändern. 

♦.    415. 

Reihen  der  makrodiagonalea  und  brachydiagonalen  Gestalten. 

Aus  jedem  Gliede  mV  der  Hauptreihe  lassen  sich 
zwei  verschiedene  Reihen  von  Pyramiden  ableiten,  in 
welchen  einerseits  die  Brachydiagonale,  anderseits  die 
Makrodiagonale  der  Grundgestalt  noch  unverändert 
enthalten  ist. 

Man  vervielfache  zuvorderst  die  Makrodiagonale 
von  j9»P  nach  einem  rationalen  Coäfficienten  n,  der 
>^  1,  und  verbinde  die  Endpuncte  der  so  verlänger- 
ten Makrodiagonale  mit  den  Endpuncten  der  unver- 
ändert gebliebenen  Brachydiagonale  durch  gerade  Li- 
nien, so  wird  jedenfalls  ein  Rhombus  construirt,  des- 
sen eine  Diagonale  mit  der  Brachydiagonale  der 
Grundgestalt  identisch  ist.  In  jede  Seite  dieses  Rhom- 
bus, als  der  Basis  der  abzuleitenden  Gestalt,  lege 
man  nun  zwei  Ebenen,  von  welchen  |die  eine  durch 
den  oberen,  die  andere  durch  den  unteren  Pol  von 
«nP  geht,  so  resultirt  eine  rhombische  Pyramide,  de- 
ren brachydiagonaler  Hauptschnitt  identisch  mit  dem 
gleichnamigen  Hauptschnitte  von  «nP,  während  der 
andere  Hauptschnitt  und  die  Basis  zwar  noch  rhom- 
bif:che,  aber  von  den  gleichnamigen  Schnitten  in  mJf 
ganz  verschiedene  Figuren  geworden  sind^).   Das  all- 


*)  Man  kann  dieselben  Gestalten,  ohne  zniror  die  neue  rbonw 


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Systemlehre.  KhombUchee  System.  Cap.tl.    0 

lemeine  Zeichen  der  so  abgeleiteten  Pyramiden  wird 
«Pii,  und  da  n  aller  mogliehen  rationalen  Werthe 
Ton  1  bis  cx>  fähig  ist,  so  lassen  sich  die  sämmtli- 
chen,  ans  einem  nnd  demselben  mV  abzuleitenden 
makrodiagonalen  Gestalten  unter  dem  Schema  folgen- 
der Reihe  darstellen: 

0lP.^ fliPn fliPoo 

Da  sich  nun  für  ii=:ao  der,  als  Basis  der  Ge- 
stak mPai  zu  constmirende  Rhombus  in  zwei,  der  Ma- 
krodiagonale parallele  Linien  verwandelt,  so  fallen 
nothwendig  je  zwei  Flächen  Ton  mPoo  in  eine  ein- 
sige, der  Makrodiagonale  parallele  Ebene,  und 
die  abgeleitete  Gestalt  selbst  wird  ein  Inbegriff  von 
ykr  gleichwerthigen ,  der  Makrodiagonale  parallelen 
Flächen,  d.  h,  ein  horizontales  Prisma  (§.  56.), 
dessen  Querschnitt  mit  dem  brachydiagonalen  Haupt- 
schmtte  von  mP  identisch  ist. 

Ebenso  ergiebt  sich,  indem  man  bei  constanter 
Uakrodiagonale  die  Brachydiagonale  von  mP  nach  ei- 
nem CoSfficienten  n  vervielfacht,  durch  Anwendung 
derselben  Construction  eine  Reihe  brachydiagonaler 
Gestalten 

«P mPi» mVoo 

deren  Glieder  insgesammt  den  makrodiagonalen  Haupt- 
schnitt mit  f»P  gemein  haben,  während  der  brachy- 
diagonale  Hauptschnitt  sowohl  als  die  Basis  zwar 
noch  rhombische,  aber  von  den  gleichnamigen  Schnit- 
ten in  mV  ganz  verschiedene  Figuren  geworden  sind. 
Das  Gränzglied  mVoo  ist  wiederum  ein  horizontales, 
aber  der  Brachydiagonale  paralleles  Prisma,  dessen 


bliche  Badi  zu  coDstiuireii,  aocb  go  ableiten,  dast  man  In  jede 
brachydiagonale  Polkante  tod  SiP  zwei  Ebenen  legt,  Ton  welehen 
£e  eiDd  den  einen,  die  andre  den  andern  Sndpiwct  der  Terlänger- 
ten  Biakro^Kagonale  trifft. 


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10  Reine  KrystaUographie. 

Querschnitt  identisch  ndt  dem  makrodiagönalen  Haupt* 
schnitte  von  mP. 

%.    416. 

Fortsetznng. 
Wie  aus  jedem  mP,  so  werden  sich  auch  aus 
dem  Prisma  ocP  durch  Veränderung  entweder  der 
Makrodiagonale  oder  der  Brachydiagonale  zwei  Rei- 
hen verticaler  Prismen  ableiten  lassen,  von  welchen 
die  eine 

öoP äofn .(Xpoo 

lauter  makrodiagonale,  die  andere 

ooP ocPn ooPoo 

lauter  brachydiagonale  Prismen  enthält.  Das  Gränz- 
glied  jeder  dieser  Reihen  ist  ein  verticales  Flächen- 
(aar,  und  zwar  ocPoo  das  makrodiagonale  Flä- 
ch enp  aar,  welches  dem  makrodiagoaalen  Haupt- 
schnitte, ooPcx)  das  brachydiagonale  Flächen- 
paar,  welches  dem  brachy diagonalen  Hauptschnitte 
parallel  läuft ,  weil  für  jenes  die  Axe  und  Makrodia- 
gonale, fiir  dieses  die  Axe  und  Brachydiagonale  der 
Grundgestalt  unendlich  gross  geworden  sind.  Die 
Combination  ooPoo.ocPoc.oP  stellt  daher  ein  recht- 
winkliges Parallelepipedon  dar,  welches  sowohl  vom 
Hexaeder  ocOoo,  als  auch  von  der  tetragonalen  Com- 
bination ooP.oP  wesentlich  verschieden  ist,  da  seine 
Flächen  nicht  nur  dreifach  verschiedene  krystallogra- 
phische  Bedeutung,  sondern  auch  in  der  Natur  selbst 
eine  dreifach  verschiedene  physische  Beschaffenheit 
haben. 

S.    417. 

Schema  des  rhombischeo  Systemes. 
Durch  die  Ableitungen  der  vorhergehenden  §§.  ist 
der  Inbegriff  aller,    aus  einer  rhombischen  Pyramide 
abzuleitenden  Gestalten  so  vollständig  erschöpft,  dasa 


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Systemlehre,  Ehombtsches  Sjystem.  Cap.IL  11 

keine  Gestalt  irgend  einer  rhombischen  Krystallreihe 
nachgewiesen  werden  kann,  welche  nicht  ein  Glied 
einer  oder  der  anderen  der  gefundenen  Reihen  wäre. 
Ans  dbr  Zusammenstellung  dieser  Reihen  sn  einem 
Ganzen  ergiebt  sich  folgendes  Schema,  welches  nns 
mit  einem  Blicke  nicht  nur  den  Gestaltenreichthnm 
des  rhombischen  Systemes  überhaupt,  sondern  auch 
die  mannichfaltigen  Beziehungen  und  Verknüpfungen 
der  einzelen  Gestalten  insbesondere  übersehen  lässt: 

o?ao mPoo. ^.Poo. fliPoo..^„.ooPoo 


•P».< 


.mm. 


ofn m^n.. 


.Jff. 

i 


.M9n. 


.•ooP» 


ooP 

i 

..fliPj|....-....öoP» 


©Poo mPoo Poo....^,.mP<x> ocPoo 

Zu  diesem  Schema  ergeben  sich  unmittelbar  aus 
seinem  Anblicke  folgende  Erläuterungen: 

1)  Die  mittelste  horizontale  Reihe,  oder  di^Haupt«^ 
reihe  des  Systemes  enthält  lauter  Pyramiden  so- 
wie das  yerticale  Prisma  von  gleichen  und  älin- 
liehen  Mittelquerscbnitten  mit  der  Grundgestalt  P, 
welche  den  Mittelponct  des  ganzen  Schemas  ein» 
nimmt» 

2)  Das  ganze  Schema  wird  durch  die  Hauptreihe  in 
xwei  Hälften  getheilt,  von  welchen  wir  die  eine 
die  makrodiagonale,  die  andere  die  brachydiago« 
naie  Hälfte  nennen;  die  Hauptreihe  selbst  lässt 
sich  eben  sowohl  zu  der  einen,  wie  zu  der  an* 
dem  Hälfte  rechnen;  sie  bildet  die  Anfangsreihe 


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12  Reine  Krystallographie* 

für  beide  Hälften,  und  hat  insofern  einen  neatm« 
len  oder  aniphoteren  Charakter. 

3)  Die  oberste  horizontale  Reihe,  welche  wir  die 
makrodiagonale  Nebenreihe  nennen5  ent- 
hält alle  diejenigen  horizontalen  Prismen  sowie 
dasjenige  verticale  Flächenpaar,  deren  Flächen 
der  Makrodiagonale  der  Grundgestalt  parallel 
sind;  oder  die  makrodiagonalen  horizontalen  Pris* 
men  und  das  makrodiagonale  Flächenpaar. 

4)  Die  unterste  horizontale  Reihe,  welche  wir  die 
brachydiagonale  Nebenreihe  nennen,  ent- 
hält alle  diejenigen  horizontalen  Prismen,  sowie 
dasjenige  ^yerticale  Flächenpaar  ^  deren  Flächen 
der  Brachydiagonale  der  Grundgestalt  parallel 
sind;  oder  die  brachydiagonalen  horizontalen  Pris- 
men und  das  brachydiagonale  Flächenpaar. 

5)  Die  mittleren  horizontalen  Reihen  der  oberen 
Hälfte  des  Schemas,  welche  wir  die  makrodia- 
gonalen Zwischenreihen  nennen,  enthalten 
alle  makrodiagonalcn  Pyramiden  und  die  gleich- 
namigen Terticalen  Prism^en. 

6)  Die  mittleren  horizontalen  Reihen  der  unteren 
Hälfte  des  Schemas,  welche  wir  die  brachydia- 
gonalen Zwischenreihen  nennen,  enthalten 
alle  brachydiagonalen  Pyramiden,  und  die  gleieb- 
namigen  verticalen  Prismen. 

7)  Jede  einzele  horizontale  Reihe  entRält  lauter  Ge- 
stalten Ton  ähnlichen  Querschnitten. 

8)  Jede  einzele  verticale  Reihe  endlich  enthält  lau- 
ter Gestalten  von  gleicher  Axenlänge,  und  zer- 
fällt, wie  das  ganze  Schema,  in  eine  makrodiago- 
nale und  eine  brachydiagonale  Hälfte;  jene  ent- 
hält lauter  Gestalten,  in  welchen  der  brachydia-^ 
gonale^  diese  lauter  Gestalten,  in  welchen  der 
malarodiagonale  Hauptschoitt  des.  entsprechenden 
Gliedes  der  Hauptreibe  noch  vorhanden  ist*  Die 


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Systemlehte.  Khomhisches  System.  Cap.IL    13 

Sosserste  vertieale  Reihe  rechter  Hand  enthält  die 
•luimtlichen  verticalen  Prismen. 

B,     Ahleiiung  der  kemüdriechen  GeetüUm^ 

i    418. 

Abkitang  der  rhombischen  Sphenolde. 

Die  rhombischen  Sphenoide  sind  die  hemi^dri- 
lehen  Gestalten  der  rhombischen  Pyramiden  nach  den 
abwechselnden  einzelen  Flächen. 

Es  verhaUen  sich  die  rhombischen  Pyramiden  rück« 
sichtlich  ihrer  Fähigkeit  zur  Hemi^drie  gänzlich  so 
wie  das  Okta§der  und  die  tetragonalen  Pyramiden; 
man  kann  daher  auch  schon  erwarten,  dass  die  aus 
ihnen  abzuleitende  hemiädrische  Gestalt  einen  te- 
traSder  -  ähnlichen  Habitus  besitzen  werde.  Und  so 
ist  es  auch  in  der  That;  denn  da  jede  bleibende  Flä- 
che mit  ihren  drei  Nachbarflächen  zum  Durchschnitte 
kommt 9  so  wird  sie  wiederum  ein  Dreieck,  und  da* 
her  die  neue  Gestalt  von  vier  Dreiecken  umschlossen 
seyn.  Diese  Dreiecke  müssen  aber  den  dreiseitigen 
üächen  der  Muttergestalt  ähnlich  seyn,  wiewohl  sie. 
ein^  ukngekehrte  Stellung  annehmen,  weil  die  an  der 
Stelle  jedes  Eckes  einer  bleibenden  Fläche  entste- 
hende neue  Kante  der,  demselben  Ecke  gegenüberlie- 
genden, ursprünglichen  Kante  dieser  Fläche  parallel 
wird.  Daher  bilden  sich  auch ,  neben  vier  geneigten 
Mittelkanten,  zwei  horizontale  Polkanten  aus,  und 
die  hemiSdrisehe  Gestalt  wird  eine  von  vier  ungleich 
teitigen  Dreiecken  umschlossene  Gestalt^  deren  Mit- 
telkanten nicht  in  einer  Ebene  liegen,  d.  h.  ein  rhom- 
bisches Sphenoid  {%,  410). 

Jede  rhombische  Pyramide  ist  der  Hemißdrie 
fllbig,  und  giebt  daher  zwei,  in  verwendeter  Stel- 
lung befindliche  Sphenoide,  deren  Zeichen  allgemein 

+  -—  und  -^  -^. 


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14  Iiein0  Krystaüographie. 

Für  M  ess  oo  oder  n  =  oo  yerwandeln  sieb  die  Sph^ 
noide  in  verticale  oder  horizontale  Prismen,  welche 
mit  allen  vier  Flächen  erscheinen,  von  denen  jedoch 
die  abwechselnden  eine  versefaiedene  Bedeutung  ha- 
ben. So  sind  z.  B.  in  den  verticalen  Prismen  die  ab- 
wechselnden Flächen  auf  die  obere  oder  untere  Ge* 
Stalthälfte  zu  beziehen,  was  in  dem  Falle,  da  eine 
rhombische  Krystallreihe  zugleich  der  Hemißdrie  und 
dem  Hemimorphismus  unterworfen  wäre,  zur  Folge 
haben  würde,  dass  diese  verticalen  Prismen  nur  mit 
Je  zwei  gegenüberliegenden  Flächen,  als  parallele 
Flächenpaare  aufträten. 


Drittes    CapiteL 

Von  der  Berechnung  der  rhombischen  Ge- 
stalten. 

§.  419. 
Zwischenaxen. 
Wiewohl  in  der  Erscheinung  der  rhombischen 
Gestalten  keine  Zwischenaxen  indicirt  sind,  so  ist  es 
doch  für  ihre  Berechnung  und  Zeichnung  vortheilhaft^ 
dergleichen  einzufuhren.  Wir  wählen  dazu  nach  §.  412 
diejenigen  Linien,  welche  sich  in  der  Ebene  der  Basis 
durch  den  Mittelpunct  den  Mittelkanten  der  Grundge- 
stalt parallel  ziehen  lassen;  ihre  Gleichungen  sind 
daher 

-f-  — =  0,^  =  0 
o  c  ' 

und  -f-  +  —  =  0,   ÄTacO 

Für  jede  mPn  ist  die  Gleichung  der,  in  den  Octan- 
ten  der  positiven  Halbaxen  fallenden,  Fläche: 

^  +  y  +  ±  « 1 

ma       nb        e 


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Systemlehre.  Shomhi&ihe$  System.  Cap.IIL  15 
wmI  für  Jede  mPj»  die  Gleichung   derielben  fläche: 

ma        b         nc 

Die  Intersectionen  dieser  Flftchen  mit  der  Basis 

kommen  mit  der  ersten  Zwischenaxe  snm  Durchschnitte^ 

und  die  Coordinaten  des  Durchschnittspunctes  oder  des 

Endpunctes  dieser  Zwischenaxe  bestimmen  sich  also: 

^  ~  «+!'  *  '^  n+i 
daher  die  Centraldistanz  dieses  Punctes,  oder  die'LSi^ 
ge  der  Zwischenaxe: 

In  der  Grundgestalt  selbst  ist  Äs=9  4./ä«+c*;  be- 
trachtet man  diesen  Werth  als  den  Grundwerth,  so 
wird  der  Coäf&cient  der  Zwischenaxe  für  jede  andre 

Gestalt  mPn 

2n 

wie  in  den  bisherigeü  KrystaUsystemen. 

§.    420. 

FlächeimoTinaleL 

AOe  ferneren  Berechnungen  lassen  sich,  der  AU« 
gemeinheit  unbeschadet,  und  zur  grossen  Erleichte- 
rung der  Uebersicht,  auf  die  Grundgestalt  allein  be^ 
schränken,  weil  alle  übrigen  Gestalten  der  Art  jaach 
mit  der  Grundgestalt  identisch  sind. 

Die  Gleidiung  der  in  den  Octanten  der  positiven 
Halbaxen  fallenden  Fläehe  F  von  P  |st: 

a     *     b     *     e 
Die  Gleiehungen  dem  flächennermale  sind  daher 

ö  a  ob 

Sucht  man  hieraus  die  Coordinaten  deu  Durchschnitts- 


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16  Heine  KrystaUographie. 

pnnctes,  so.  findet  sich  endlieh  die  Liänge  der  nicheii^ 
nonoale 

gana  wl^  »^  *•  21. 

f.    421. 

Kantenümen. 
Bezeichnen  wir  in  der  Pyramide  P 
die  makrodiagonalen  Polkanten  mit  X 
die  brachydiagonalen  Polkanten  mit   Y 

die  Mittelkanten  mit ,     Z 

so  folgt  daraus,  dass 

X  die  Hypotenuse  der  Katheten  a  und  e 
K-        -.-        -'--.a  und  b 
2r*        •••        ..-.J  und  c 
die  Jimge  der  Kantenlinien 

§.    422. 

Volumen  und  Oberfläche. 

Der  Flächeninhalt  der  Basis  von  P  ist  =  22c; 
die  Höhe  einer  jeden  der  beiden  einfachen  Pyrami- 
den, ans  welchen  man  sich  P  zusammengesetzt  den- 
ken kann,  se  a,  und  folglich  das  Volumen  der  ganzen 
Pyramide:  r=4aÄc 

Da  nun  das  Volumen  auch  eine  bekannte  Function 
der  Flächennormale  N  und  der  Oberfläche  S,  so  wird 

oder,  nach  Snbstitntion  der  Werthe  ron  N  and  Vy 

S  =  4»^a»i*  +  c«a«  +  i'c»  =  4Jf 

nnd  daher  der  Inhalt  jeder  einzelen  Pyramidenflfiche 

A  «s  iS  =  *if 


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Sysiemiehre.  Bhombisches  System.  Cap.III.  17 

i.  423. 
FlächenwiukeL 
Wir  bezeichnen  die  Flächenwinkel  Ton  P  analog 
den  ihnen  gegenüberliegenden  Kantenlinien  mit  £,  v 
«nd  ^.  Die  Gleichongen  dieser  drei  Kantenlinien  lind 
für  die  Fläche  F  identi&ch  mit  den  Gleichungen  der 
Interseetionen  dieser  Fläche ^  also: 


T+i 


1  and  z  SS  0 


-|-+^trslimd3r=»0 

^  +  —  =a  1  und  a:  =t  0 
o  c 

Durch  snccessive  Combination  der  Gleichungen 
je  mreier  dieser  Kantenlinien  gelangt  man  auf  die 
Cosinus  der  ebeneh  Winkel;  die  Sinus  finden  sich 
nach  der  bekannten  Regel,  dass  der  Sinus  jedes  Drei- 
eckwjnkels  gleich  dem  doppelten  Flächeninhalte,  divi- 
dirt  durch  das  Product  der  diesen  Winkel  einschlies- 
senden  Seiten;  so  gelangt  man  endlich  auf  folgende 
Werthe  der  Tangenten: 

M 


tangi^ 

tangv  = 

M 

tans^=' 

M 

ans  welchen  die  Proportion  folgt: 

cü/S :  cotv :  cof  C  =  c*  :  6* :  a* 

§.    424. 
Kantenwinkel. 

Setzen  wir  wie  bisher  die  Gleichung  der  Fläche  F 

'        T  +  i  +  f-=» 


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18  Reine  Xrystallographie^ 

80  «ind  die  Gleichungen  der  drei  Flächen  JT,  J^  nnd 
JF^j  welche  mit  F  die  Kanten  X,  Y  und  Z  bilden 

ab         c 

mTF-... .^--1  +  ^  =  1 

a   ^      Q  c 

a  o  c 

Die  successive  Combination  der  Parameter  der 
Gleichungen  von  F  und  F^,  F  und  F^,  F  und  F^ 
nach  der  bekannten  Fonnel  £ur  coiW  in  f.  22.  giebt 
sogleich: 

CO#JC  SÄ 

coiY^ 

^^^     ~  a^b^  +  c^a^  +  Ä'7* 
also        C09X+  coi  K+  co^2r=  — 1 
Ebenso  finden  sich  sehr  leicht: 

COi^Z   =    -Jgr 

woraus  die  Proportionen  folgen: 

cog^X: coi\Y tsz  bie 

cos  ^Z :  cog^X  =r  c :  a 

cog^Y:  cötiZ  =»  a :  Ä 
endlich  jßndet  sich: 

^       ,  xr       c/«2  +  Ä^ 


o'i» 

—  ««ö» 

—  i*c* 

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Systenüehr^*  BhombißchesHy^tem*  Cap.III.  19 

tangiZ^  ^ — 

Der  Winkel  |e  zvfetet  gegenuberii^geiHler  Fla- 
den eines  Eckes  ist  gleich  dem  Supplemente  derje- 
nigen Kante,  welche  nicht  za  demselben  Ecke  gehört; 
abo  der  Winkel  zweier  gegenüberliegender  Flächen 

dm  Polecke ;  .  e=a  180**  —  Z 

dm  makrod.  Mittelecke  s=2  180^  ----  F 
am  brachyd.  Mittelecke  =x  180^  ^X 

|.    42». 
AQgendne  Branchbarkeit  der  gefundenen  Resultate. 

Die  in  den  ff.  420—424  zunächst  für  die  Grund- 
gestalt  berechneten  Formeln  sind  aber  allgemein  gül- 
tig, sobald  man  auf  die  Veränderungen  Rucksicht 
lummt,  welchen  man  das  der  Grundgestalt  entspre- 
eieode  Verhältniss  aibic  unterwerfen  muss,  Um  auf 
irgend  eine  andre  Gestalt  nnsers  Schemas  zu  gelan- 
gen. Man  hat  nämlich 
1}  für  jede  andre  Gestalt  der  Hauptreihe  ma  statt  a, 
i)  fnr  jede  Gestalt  der  makrodiagonalen  Hälfte  des 

Schemas  ma  statt  a,  und  nb  statt  by 
3)  für  jede  Gestalt  der  brachydiagonalen  Hälfte  des 
Schemas  ma  statt  a,  und  nc  statt  c 
fit  letsen,  um  dieselben  Formeln  für  irgend  ein  siP, 
«Ps  oder  mPn  geltend  zu  machen.  Weil  die  Resul- 
tate dieser  einfachen  Substitutionen  jedenfalls  ßus  den 
^  P  berechneten  Formeln  mit  Leichtigkeit  abzule- 
sen sind ,  so  ist  die  besondere  Darstellung  derselben 
^  überflüssig  zu  erachten ;  daher  folgen  im  nächsten 
i  nur  noch  die  zur  Berechnung  der  Prismen  dienli- 
cher Formeln,  welche  besonders  häufig  in  Anwendung 
kommen. 


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20  JReine  Krystalhgraphie. 

f.    426. 

Berecbnang  der  Terticalen  and  horizontalen  Priimen. 

Setzt  man  in  den  ff.  420  und  424  a  =  oo,    so 
folgt  für  das  verticale  Prisma  ooP: 


coi  y  =  —  cosX 
coiZ  =5—1 

tangiX  =  -jy  tangiY  =  — 

Setzt  man  ebendaselbst  c  =  oo,  so  folgt  für  das 
horizontale  Prisma  Poo: 

cotX  =  —    1 

co*Z  =3  —  cosY 
fangiY  =  — ,  fawy^^Z  =  ~ 

Setzt  man  endlich  d=t=oo,  so  folgt  für  das  hori- 
zontale Prisma  Poo: 

ac 


a^  —  c^ 


a*  +  c* 
co*y=—    1 
cosZ  =  —  co«X 

Für  jedes  andre  horizontale  Priwna  «Px)  oder 
mPoo  setzt  man  nnr  ma  statt  a;  für  jedes  brachydia-- 


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Sysiemlehre.  Bhombisches  System.  Cap.IIL  21 

gonal^  rerticale  Prisma  ooPm  nc  statt  e,  und  für  je- 
des makrodiagonale  verticale  Prisma  odPn  nb  statt  i. 

S.    427. 
Berechnong  der  Dlsiensioiien  einer  rhombisolien  Pyramide. 
Da  jede  rhombische  Pyramide  durch  das  Verhält- 
niss  a'\V\€f  ihrer  Dimensionen  bestimmt  wird,  und 
eine  dieser  Grössen  entweder  gleich  der  Einheit,  oder 
doch  als  bekannt  anzunehmen  ist,    so  setzt  auch  die 
Bestimmung  jeder  Pyramide   (und  folglich  jeder  Kry- 
stallreihe)  dieses  Systemes  zwei,  von  einander  unab- 
hängige Beobachtungselemente  voraus.    Wie  nun  übri- 
gens diese  Elemente  besphaffen  seyn  mögen,  so  kommt 
es  zunächst  immer  darauf  an,  aus  ihnen  die  ebenen 
Winkel  zweier  Hauptschnitte  der  Pyramide  zu  finden. 
Nennen  wir  nämlich 
a  die  Neigung  der  makrod.  Polk.  Zur  Axe 
/J    -         -    -        -    brachyd.     .         -       - 
/     -         -    -     der  Mittelkante  zur  Makrodiagonale 
oder  2a  die  Polkante    des  brachyd.  horiz.  Prismas, 
^ß  die  Polkante  des  makrod.  horiz.  Prismas,  und  2/ 
die  makrod.  Seitenkante  des  verticalen  Prismas  der 
Pyramide,  so  bestimmt  sich  das  Verhältniss  a'iVic* 
derselben  jedenfalls    durch  je    zwei  dieser  Winkel, 
wie  folgt: 

1)  aus  a  und  ß 

af  :V  :c'  =  1 :  tanga :  iangß 

2)  aus  a  und  / 

a'\V  \c'  =  cotn. :  1 :  tangy 

3)  aus  ß  und  y 

a^\V\c'  =  cotß :  coty :  1 
Abstrahiren  wir  nun  von  den  Combinationskan* 
ten,  so  werden  von  den  sechs  Winkeln  JT,  Y,  Z,  er, 
/? und  y  jedenfalls  zwei  gegeben  seyn  müssen,  unudie 
Pyramide  zu  bestimmen;  dies  giebt  im  Allgemeinen 
folgende  vier  Fälle:  es  sind  gegeben 


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22  Reine  Kry^tallographie. 

A.  zwei  der  Winkel  X,  F,  Z, 

B.  zwei  4er  Winkel  et,  ß  und  y, 

C.  einer  der  Winkel  JT,   y  und  Zj   und  der  dazu 
gehörige  von  den  Winkeln  a,  /?  und  y, 

D.  einer  der  Winkel  X,   Y  und  Z,  und  einer  der 
nicht  dazu  gehö|rigen  von  den  Winkeln  o,  ß  und  y. 

Im  Falle  A  findet  sich: 
au«  X  und  F, 

coga  =     .   ,  ^,  coifß  =  -T-Tv 

aus  X  und  Z, 

cotlZ  coi^X 

aus  Y  und  Z, 

Der  Fall  B  ist  unmittelbar  durch   die  9ub  i,  2 
und  3  stehenden  Proportionen  erledigt. 

Im  Falle  C  findet  sich: 
aus  X  und  a, 

i€mgß  =  tangiX  sina 
aus  F  und  /?, 

/niig-a  =r  tangiY  sinß 
aus  Z  und  y, 

co/a  =3  tafig  iZ  iiny 

Endlich  Im  Falle  D  findet  man : 
aus  X  und  ß  oder  y, 

iina  =s  cot^Xtangß 

coia  =3  cot^Xiangy 
aus  F  und  a  oder  y, 

«•»/?  =r  ear^-F^nn^a 

coi/J  =3  cot^YcQiy 
aus  Z  und  a  oder  /?, 

^tfiy  c=  cotiZeota 

cQ$y  =K  cot -^X  cot ß 


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Systendehre.  Rhombisdies  ^fstem.  Cap.  III.  23 
f.    428. 

Beredurang  Ton  m  and  n  aas  dem  Verh&ltiibae  a^  :  b*  :  c\ 
Die  im  vorigen  §  stehenden  Formeln  dienen  zu- 
nächst zur  Berechnung  des  Dimensionsverhältnisses 
^\V \c'  irgend  einer  Pyramide  aus  einer  gegebenen 
rhombischen  Krystallreihe;  nun  steht  aber  jede  abge- 
leitete Pyramide  zu  der  durch  die  Dimensionen  a,  h 
and  c  bestimmten  Grundgestalt  in  dem  Verhältnisse, 
lass 

a^ \V \e'  =5  ma\nh\  c 
oder  -    -    -    s=s  «la  :  &  :  HC 

Man  wird  also  mittels  des  gefundenen  Verbält- 
bisses  cf  \V  \c'  sehr  leicht  zur  Auffindung  der  CoSf- 
fidenten  m  und  n  gelangen,  indem  für  jede  makro- 
fiagonale  Gestalt  mPi» 

cV         .  ca' 

n  =  -T-7  und  m  =  — ? 

fir  jede  brachydiagonale  Gestalt  mVn 

be        ,  ha' 

ii=^^^undm  =  ^ 

wird. 

In  manchen  rhombischen  Krystallreihen  führt  die 
Beobachtung  auf  ein  merkwürdiges  Verhältniss  der 
gegenseitigen  Abhängigkeit  der  Dimensionen  der  Grund- 
gestalt.   So  findet  z.  B.  für  den  Topas  die  Gleichung 

Ä  =  a  -|-  c 
^t  Cölestin,  Baryt  und  Bleisulphat  die  Gleichung 

2*  =  a  +  2c     > 
fnrArragpnit,  Strontianit,  Bleicarbonat  u.a.  die  Glei- 


4J  =  3(a-f-c) 
Statt.    Abgesehen  von   der  theoretischen  BedeutSfitfUr 
keit  dieser   Gleichungen  gewähren   solche   auch  den 
praktischen  Yortheil,    dass   die  genaue  Bestimmung 
4er  Dimensionen  einer  solchen  Krystallreihe^  sobald 


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24  Reine  Krystalhgraphie. 

man  das  Gesetz  ihrer  gegenseitigen  Abhängigkeit  ap- 
proximativ, gefunden,  nur  von  einer  einzigen  Mes- 
sung abhängig  gemacht,  und  in  den  Rechnungen  man- 
che Abkürzung  gewonnen  wird 

§.    429. 
Berechnung  der  CoSfficienten  roo  mP,  Pit  und  mPm. 
Weil  die  Pyramiden  mP  der  Hauptreihe,  die  zur 
Grundgestalt  gehörigen  Pyramiden  Pn  und  Pi»  der  Zwi- 
schenreihen ,  und  ausserdem  noch  die  Pyramiden  von 

der  Form  mPm  besonders  häufig  vorzukommen  pfle- 
gen, so  ist  es  bequem,  die  zur  Berechnung  ihrer  Ab- 
leitungscoSfilicienten  dienlichen  Formeln  zur  Hand  zu 
haben.  Diese  Berechnung,  welche  jedenfalls  nur  ei- 
nen Winkel  der  unbekannten  Gestalt  erfordert,  wird 
am  leichtesten  geführt,  wenn  man  dabei  die  bekann- 
ten Winkel  J,  F,  Z,  a,  /?  und  y  der  Grundgestalt 
P  zu  Hülfe  nimmt,  weshalb  wir  die  analogen  Win« 
kel  der  unbekannten  Gestalt  zur  Unterscheidung  mit 
accentuirten  Buchstaben  bezeichnen  wollen*). 

A.  Berechnung  von  m  in  der  Pyramide  «iP,  für  weU 
che  /  =  y;  man  findet: 

aus  X\  , . ,  cosa^  =  cot^X  tangy 

und  m  =  cota'  tanga 
aus  Y' co$ß^  =  cot^Y  coty 

und  m  =  cotß^  tangß 
aus  Ä'....        «•  =  tang\Z^  cot^Z 

B.  Berechnung  von  n  in  den  Pyramiden  Pn  und  P/t; 
man  findet: 

1)  für  P»,  in  welchen  a'  =  a. 


*)  Bf  würde  wegen  dieser  und  andrer  BereduiBogen  sehr  ror« 
theilhaft  aeyn,  bei  der  speciellen  Darstellong  jeder  rhombischen 
Krystallreihe  aosaer  dem  Verhältnisse  a:b:e  nnd  den  Kantenwin- 
kehl  X^  Y  «nd  %  auch  die  Winkel  a,  /9  und  y  mitnitbeUen. 


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Systemlehre.  Bhombisches  System.  Cap.  IIL  25 

ans  X\. ..        »  =5  tangiX^  cof^X 

aus  y Hmß'  =5  coti^V  tanga 

und     n  =  tangß^  cotß 
ans  Z\...  •in/  =  cotiZ^  eota 
und     n  =  tang/  ^^^Y 
2)  ffir  Pä,  In  welchen  ß"  ^=^  ß 

ans  JC' . . . .  Hiio'=  cof^^X^  /onj^/J 

nnd     n  =  tanga'  cota 
ans  Y\...       n  ==  /af^^^F'  cotiY 
ans  Z'. . . .  co#/  =  cofiJC'  cotß 
nnd     II  s=:  CO//  tangy 
C,  Bereehnnng  von  m  in   den  Pyramiden  siPsi  nnd 
fliPfli;  man  findet: 

1)  für  siPsi,  in  welchen  a'=  a' 

ans  X',^..      m  =s  cotiX'  tang\X 
ans  y',.,.*t»/?'3=  cot^Y  tanga 

nnd    01=:  cofj^  /aMj'/^ 
ans  Z' ....  iin/  =  cot^Z'  cota 

nnd    si=  CO//  faizj^y 

2)  für  siPfli,  in  welchen  ß"  s=s  ß^ 

aus  X\..,stna'  =  cof^-ST'  /anf/^ 

nnd    i»=  co/a^  tanga 

ans  y m=t  cot^Y'  tang^Y 

ans  Z' ....  CO*/ =  cofiZ'  co//? 

nnd    m=s  tang/  coty 

Dass  man  statt  der  Tangenten  und  Cotangenten 

...  h      c      c 

der  Winkel  o,  /?  und  y  auch  die  Grössen  — ^  — ,  -^ 

and  deren  inverse  Werthe  einfuhren  kann,  Tersteht 
sish  von  selbst. 


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26  Reine  Krysiallographie. 

Viertes    C  ap  it  e  l. 

Von    den   Coinbinationen    des   rhombtschen 
Systeme«. 

A,     CombinoHonilehrt. 

fi.  430. 
Uebersicht  der  Gestalten  einer  Combination. 
%  Die  Zähligkeit  einer  jeden  rhombischen  Combi- 
nation bestimmt  sich  nach  der  einfachen  Regel  in 
§.  66.  Auch  die  übrigen  Bestimmungen  der  allgemei- 
nen Entwicklnng  haben  keine  Schwierigkeit,  sobald 
nur  erst  die  Grundgestalt  und  deren  aufrechte  Stel- 
lung gewählt  worden,  wofür  die  in  den  §§.  408  und 412 
angedeuteten  Regeln  nachzusehen  sind.  Ueberhaupt 
aber  lassen  sich  in  jeder  holoedrischen  rhombischen 
Combination*)  folgende  drei,  ihrer  geometrischen  Be- 
schaffenheit nach  wesentlich  verschiedene  Gestalten 
unterscheiden: 

1)  Achtflächige  Gestalten,  deren  Flächen  kei- 
ner der  Axen  parallel,  sondern  gegen  alle  ge- 
neigt sind;  Pyramiden. 

2)  Vierflächige  Gestalten,  deren  Flächen  je 
einer  der  Axen  parallel  sind;  Prismen. 

3)  Zweiflächige  Gestalten;  die  drei  Flächen- 
paare des  Systemes. 

Ueber  die  krystallographische  Bedeutung  der  Py- 
ramiden kann  niemals  ein  Zweifel  obwalten,  da  je- 
der achtzählige  Flächeninbegriff  nur  als  eine  Pyra- 
mide zu  deuten  ist    Auch  die  Prismen  sind  im  AU- 


*)  Die  seltenen  henuedrischen  Comblnationen,  in  welchen  man- 
che Pyramiden  als  Sphenoide  auftreten,  sind  eben  daran  zu  erken- 
nen, dass  gewisse  vierzählige  Fiächeninbegriife  ihrer  Lage  nach 
dorchans  nicht  einem  Prisma  gehören  können,  sondern  yon  einer 
Pyramide  herstammen  müssen. 


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Systemlehre.  Bhomhisches  System.  Cap.IV.  27 

gemeinen  an  der  Zahl  ihrer  Flächen  su  erkennen; 
welche  aber  als  verticale  oder  als  horizontale  Pris- 
neu  gedeutet  werden,  und  welche  von  diesen  letzte- 
ren wiederom  als  makrodiagonale  oder  als  bracfaydia- 
gonale  Prismen  gelten  sollen,  das  hftngt  einestheils 
Ton  der  Walil  der  aufrechten  Stellung,  andemtheils 
TOD  der  WaU  der  Grundgestalt  ab.  Eben  so  kann 
ein  jedes  der  drei  Flächenpaare  als  Basis,  und,  nach- 
dem diese  gewählt  worden^  von  den  übrigen  beiden 
ein  jedes  als  makrodiagonales  oder  als  brachydiago- 
nales  fifichenpaar  bestimmt  werden,  indem  diese  Be- 
stimmungen von  denselben  beiden  willkürlichen  Ele- 
nenten  abhängen.  Grundgestalt  und  aufrechte 
Stellung  sind  also  die  Elemente,  deren  Bestimmung 
selbst  der  allgemeinen  Entwicklung  der  Combination 
Torausgehen  muss ,  weil  durch  sie  erst  den  combinir- 
ten  Gestalten  ihre  Stellen  in  den  verschiedenen  Rei- 
hen unsers  Schemas,  und  somit  ihre  krystallog^aplii- 
scben  Werthe  angewiesen  werden, 

i   431. 

Wabl  der  Qnmdgestalt  und  aufredit«!  SteUung. 

Sollte  in  einer  rhombischen  Combination  keine, 
oder  doch  keine  sisur  Grundgestalt  geeignete  Pyramide 
enthalten  seyn,  so  befolgt  man  die  in  gleichen  Fäl- 
len für  die  tetragonalen  und  hexagonalen  Combina- 
donen  angegebenen  Regeln;  d.  h.  man  schliesst  aus 
den  Verhältnissen  der  vorhandetien  Gestalten  auf  die- 
jenige Grundgestalt,  welche  die  leichteste  Entwicklung 
gewähren  würde,  oder  lässt  auch  die  Grundgestalt 
ganz  unbestimmt.  Sind  z.  B.  von  einer  Krystallreihe 
nur- Combinationen  von  Prismen  bekannt,  so  bezieht 
man  irgend  zwei,  zu  verschiedenen  Axen  gehörige 
Prismen  auf  die  Grundgestalt,  berechnet  aus  ihren 
Winkeln  das  Verhältniss  a:ft:c,  und  bestimmt  dann 
die  übrigen  Gestslten  nach  ihren  resp.  Verhältnissen. 


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28  Reine  Krystallographie. 

Besteht  die Coinbination  nur  aus  gleichnamigen,  d.b. 
zu  einer  Axe  gehörigen  Prismen,  welche  durch  das 
auf  ihrer  Axe  senkrechte  Flächenpaar  terminirt  sind,, 
so  lassen  sich  nur  %  zwei  Glieder  des  Verhältnisses 
a:b:c  bestimmen.  Die  Combination  der  drei  Flä- 
chenpaare endlich  lässt  die  Grundgestalt  gänzlich  un- 
bestimmt. 

Die  aufrechte  Stellung  wählt  man  wohl  gern  nach 
der  vorherrschenden  Längenrichtang  der  Krystalle, 
wenn  eine  solche  für  die  Krystallreihe  gegeben  ist 
(z.  B.  Topas,  Lievrit,  Manganerz);  in  den  übrigen 
Fällen  dürfte  diejenige  Stellung  den  Vorzug  verdie- 
nen, bei  welcher  möglichst  viele  Pyramiden  als  Glie- 
der der  Hauptreihe  und  möglichst  viele  Prismen  als 
verticale  Prismen  erscheinen,  weil  dadurch  die  Ent- 
wicklung bedeutend  erleichtert  wird. 

§.    432. 

Allgemeine  Entwicklmig. 

Nachdem  die  Grundgestalt  uud  aufrechte  Stellung 
gewählt  worden,  ergeben  sich,  unmittelbar  aus  der 
Beschaffenheit  und  den  durch  die  Ableitung  bestimm- 
ten gegenseitigen  Verhältnissen  der  Gestalten  die  Be- 
stimmungen, 

1)  welche  Gestalten  in  die  Hauptreihe, 

2)  welche  in  die  makrodiagonale  oder  brachydiago- 
nale  Nebenreihe,  und 

3)  welche  in  die  gleichnamigen  Zwischenreihen  des 
Systemes  gehören. 

Auch  lassen  sich  noch  folgende,  unmittelbar  aus 
den  Regeln  der  Ableitung  hervorgehende  Bei^timmun- 
gen  in  Anwendung  bringen: 

Je  zwei  Gestalten,  welche  mit  einander  horizon- 
tale CK.  hervorbringen,  sind  nicht  nur  gleichnamig 
(d.  h.  entweder  makrodiagonal  oder  brachydiagonal). 


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&ystemlehre.  BhombUches  System.  Cap.IV.  20 

solidem  gehören  auch  in  eine  nnd  dieselbe  horizon- 
tale Reihe  des  Schemas,  nnd  haben  daher  denselben 
Werth  von  n. 

Je  zwei  gleichnamige  Gestalten,  mPn nnd »i^Pa^, 
welche  mit  einander  geneigte  CK.  hervorbringen,  die 
dem  nngleichnamigen  Hauptschnitte  parallel  laufen, 
gehören  in  eine  und  dieselbe  verticale  Reihe  des  Sehe« 
ms,  oder  haben  wf  ^=zm. 

%.    433. 

Theorie  der  binäreo  CombinatiooeiL 

Die  besondere  Entwicklung  der  rhombischen  Com- 
binationen  überhaupt  beruht  auf  der  Theorie  der  bi- 
niren  Combinationen  dieses  Systemes.  Wir  setzen 
zu  dem  Ende  irgend  zwei  Gestalten,  ohne  vorläufig 
azf  ihre  Stellen  in  den  verschiedenen  Reihen  unseres 
Schemas  Rücksicht  zu  nehmen,  beseichnen  sie  mit 
Q  und  Cr',  und  das  Yerhältniss  ihrer  beiderseitigen 
Axen  mit  a\h\e  und  a' \V \ (f.  Die  möglichen  Com- 
binationsverhältnisse  und  die  denselben  entsprechen- 
den Bedingungen  sind  nun  folgende:  es  bildet  G\  als 
untergeordnete  Gestalt,  an  Cr,  als  vorherrschender 
Gestalt: 

L   Zaschirftingen  der  Kanten,  und  zwar 

1)  der  makrod.  Polk.,  wenn%7=-j-u.-^— ;Fig.476. 

2)  derbrachyd.Polk.,  wenn^5;=^u.^^;Fig,476. 

c      c       o      o 

3)  der  Mittelkanten,  wenn  ->=— u.  a^a ;Fig.477. 

c      c 


IL   VierfL  Zusp.    der  Polecke,   wenn  ir^i'T 

und  -7<-7->    ™* 

c  c 

mttelkanten  von  Q 


und  — r<— ,    und  zwar  sind  die  CK.  mit  den 
c         c 


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30  Reine  KryssaUographie^ 


5)  convgt  n.  d.  makrod.  Polk.,    -  -    -  <  -  ;  Fig.479. 

6)  -    •     -   -  brachyd.    -         --    •>.;Fig.480. 

_/       ^ 
in.  Vierfl.  Zasp.  der  makrod«  Mitfelecke)  Wenn  Tr>"jr 

und  -7<C — y  und  swwr  sind  die  CK«  mit  den  bra- 
c        c 

chyd.  Polk  von  O 

7)  parallel, venn  -^ä  — ;  Hg.  481, 

8)  convgt.  n.  d.  Poleck      -  -     •  <  .  ;  Fig.  482. 

9)  *    .      *    .  Mittelk.     -  -     -  >  -  ;  Fig.  483. 
TV.  Vierfl.   Znsp.    der    braehyd.    Sfittelecke,     wenn 

-7> —  und  -r^ — •  nnd  stwat  sind  die  CK.  mit 

den  makrod«  Polk.  von  O 

10)  parallel, wenn  T7==-t-;  Fig. 48*. 

11)  convgt.  n.  d.  Poleck      -  *      -  <  •  ;  Fig  485. 

12)  •    -       -    *    Mittelk.    .  -      •  >  -  ;  Fig.486. 
In  diesen  sewolf  Fällen  sind  alle  möglichen  Yer«* 

hältnisse  der  binären  rhombischen  Combinationen  ent-* 
halten,  nnd  es  ist  nnr  noch  zu  zeigen,  wie  von  die- 
sen allgemeinen  Regeln  für  die  Combinationen  je  zweier 
Gestalten  Gebrauch  zu  machen. 

|.    434. 

Combiil&üoii  zweier  gleichnnmiger  Gestalten» 

Bei  dem  Gebrauche  der  im  vorigen  §.  gefundenen 
Regeln  ist  zunächst  der  Unterschied  zu  beachten,  ob 
die  beiden  conübinirten  Gestalten  gleichnamig  oder 
tmgleichnamig  sind;  ein  Unterschied,  welcher,  weil 
die  Gestalten  der  llauptreihe  eben  i^o  wohl  für  ma« 
krodiagonalo  als  für  brachydiagonale  Gestalten  gelten 
können  (§.  417.),  idlgemein  durch  die  Combinations« 


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Systemlehre.  Rkombisckes  System.  Cktp.IF.  31 

zeichen  ni^n.v/Pn*  und  mVn.m'Vn'  dargestellt  Werden 
kann.  Femer  wird  es  für  den  Gebrauch  unsrer  Re- 
geln  nothigy    die  in  ihnen  auftretenden  Quotienten 

•^y  —  und  —  als  Functionen  der  Äbleitungszahled 

m  nnd  n  auszudrücken,  weil  sie  nur  dadurch  unsem 
krystallographischen  Zeichen  angepasst  werden. 

Wir  wollen  nun   zuerst  den  Fall  betrachten^  du 
beide  Crestalten  gleichnamig  sind ;  dann  sind  sie  ent- 
weder makrodiagonal  oder  brach jrdiagonal. 
a)   Beide  Crestalten  sind  makrodiagonal,   also  «iPn 

und  m^Pn^;   weil  die  Axen  der  Grundgestalt  Oy 
b  nnd  c,  so  haben  wir 
für  mVn  statt  a  \b  i  c  das  Verhältniss  ma  \nbi\^ 
•^  mTn'    -     ct\V\t'    •      -     -     -     m'a\n'h\c 
einzuführen;  es  wird  daher 

-p>=<-j-w.nn^>=»<- 

c*  '   '   '^   c 
V  h 

-7-- -4       »'.--H 

c  e 

nnd  es  bildet  nfVn^  an  mVn 
L   Znsch«  der  Kanten,  und  zwar 

1)  der  makrod.  Polk.,  Wönn  ^=r—  undM^<m 

2)  der  brachyd.  Polk.      --«'  =  ■»      -    «'>» 

3)  der  Mttelkanten         ••     «'  =  »      -  m'>m 

01^      in 
n.  Vierfl,  Zusp.  der  Poleeke,    wenn  -7<  — 

nnd  zi^<0i,  und  zwar  sind  die  CK.  mit  den  Mit- 
telkanten von  mSm 

4)  parallel,  •  .• wenn  n'  =  » 

6)  convgt.  n.  d.  makrod.  Polk.    -  -     -  <  - 
6)    -    -       -    -  brachyd.      -        -  -     -  >- 


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32  Rein^  KrystaUographie, 

HL  Vierfl.  Zusp.  der  rnakrod.  Mitteleeke, 
wenn  ->^ — ,  nnd  ii^<ii9   and  zwar  sind  die 

CK.  mit  den  brachyd.  Polk«  Ton  mPh 

7)  parallel,  ..*....  wenn  m^  =  M 

8)  convgt,  n.  d,  Poleck    -  -     -  <C  • 

9)  -    -      .    -  Mittelk.   -  -     -  >  - 

rV.  Vierfl.  Zusp.  der  brachyd.  Mittelecke, 
wenn  m^>m  und  »^>ii,  und  swar  sind  die  CK« 
mit  den  makrod.  Polk.  von  mPn 

10)  parallel, wenn  — 7  =  — 

11  n 

11)  convgt.  n.  d.  Poleck    -  -     -   <  - 

12)  .    .      .    -  Mittelk.   •  -     -   >  - 

b)  Beide  Gestalten   sind  brachydiagonal,   also  mPm 
nnd  mTn^;  wir  haben  folglich 

für  mPii  statt  aibic  das Yerhältniss  maxlinc 
-  «W  .  a^iV.c'  ....  m'aib.n'c 
einzufahren;  es  wird  daher 

y  >=<-|^  wenn  «i'>=<  m 

a^  a  m'  m 

V  -  -T   "    •<=>* 

und  es  bildet  m'l^n'  an  otPh 
L  Zusch.  der  Kanten,  nnd  ztfkr 

1)  der  rnakrod.  Polk.,  wenn  m^  ==  m,    und  ii'>ii 

2)  der  brachyd.  Polk.     -.2^=^       .«'<«• 

n        n 

3)  der  Mittelkanten        --     ii'=ii        -    «'>!» 
n.   YierfiL  Zusp.  der  Polecke^    wenn  m'  ^m  und 

-7<  — ;  und  zwar  sind  die  CK.  mit  den  Mittel. 

kanten  von  mPn 


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SfOemle^e.  Bhombisches  System.  Cap.IK  33 

4}  parallel,    , weKn  n'  =  n 

6)  coaTgt  n.  d.  makrod.  Polk.    -  «      -"  ^* 

6)  -    •.     .    -  brachyd.      -        •  •      -  <- 

m  Yierfl.  Ziisp.  der  makrod.  Mittelecke,  wenn«i^>«i 
und  n^^n\  und  zwar  sind  die  CK.  mit  den  bra- 
chyd. Polt  von  mVn 

wf       m 

7)  parallel,   .......  wena  -7==  — 

8)  convgt.  Q.  d.  Poleck    -  -      -  <  ^ 

9)  .    .      •    -  Mittelk.   .  -     .  >  . 

IV,  Vierfl.  Zusp.  der  brachyd.  Mittelecke,  wenn  -7>— 

n  ^    n 

und  iC<^n%  und  swar  flind  die  CK,  mit  den  ma- 
krod. Polk.  von  mPn 

10)  parallel,     wenn  w^  =  » 

11)  convgt.  n.  d.  Poleck      -  •     -  <  - 

12)  .    •      -    •  Mittelk.     -  •     •  >  - 

|.    435. 
Combiiiation  zwd«r  OBgleichoamig^r  Gestalten. 

Sind  die  Gestalten  ungleichnamig,  also  wifn  nnd 
ü'Pji',  80  ist  die  vorherrschende  entweder  makrodia- 
gonal  oder  brachydiagonal;  im  ersteren  Falle  wird 

^>==<-j- wenn  •.'>=<^ 

c'  C  «' 

i'  *  1 

Da  non  nber  n  sowoh*  als  n'  ti^i^  >  1,  so  mnss  — ; 

stets  <«,  und  mithin  auch  -7  stets  < —  seyn;  dies 

tebänkt  die  möglichen  CV.  auf  Nr.  1,  5,  7,   8  und 
9  ein. 
0.  3 


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34  Reine  KrystaUographie. 

Im  swellen  Falle  wird 

^>=<-j-  weiin^>=<i» 

c  e  n 

und  folgt  aas  der  letzteren  Bedmgaioig,  weil  %'  stets 

> — ,  dass  -7  stets  > — ,   und  daher  nur  Nr.  2,  6, 
II  c  c 

10,  11  und  12  die  möglichen  CV.  sind. 

Hieraus  ergeben  sich  überhaupt  f&r  die  Combi- 
nationen  zweier  ungleichnamiger  Gestalten  folgende 
Regeln. 

Die  Flächen  der  untergeordneten  Gestalt  erschei- 
nen jedenfalls  paarweis  an  deigenigen  Polkanten  der 
vorherrschenden  Gestalt,  welche  mit  derselben  gleich- 
namig (oder  mit  der  untergeordneten  Gestalt  ungleich- 
namig) sind,  und  bilden: 

I.  ZoschSrC  dieser  Polk.,  wenn  Wsrs  — 

n.  Vierfl.  Zusp.  d.  Polecke  *  -     -  <  - 
m.  Vierfl.  Zusp.  d.  Mitteleke  -  -     -  >^  -     und   zwar 
sind  die  CK.  mit  den  andern  Polk. 

a)  parallel, wenn  ^=» 

ß)  convgt.  n.  d.  Poleck    -  -      •  <  - 
y)    .    .       .    -Mitteleck-  -      -  >  - 

5.  436. 
Combinationsgl^cliiingen. 
Um  für  jede  binäre  Combination  das  Verhältniss 
der  Ableitungszahlen  derjenigen  dritten  Gestalt  aus- 
zumitteln,  deren  Flächen  die  CK.  der  beiden  gegebe- 
nen Gestalten  abstumpfen,  dazu  gelangt  man  sehr 
leicht  mittels  der  allgemeinen  CG.  in  §.  68;   wobei 


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Systemlehre.  Rhombisehes  Sjysiem.  Cap.IF,  35 

Jedoch  auf  die  verachiedene  Besehaffenheit  der  Ge- 
stalten Rüdcsickt  sm  nehmea  igt. 

A.  Sind  die  beiden  gegebenen  Gestalten  gleiohnanug, 

miPn  und  mVn\  so  muss  auch  die  dritte  Gestalt 
mit  beiden  gleichnamig,  und  folglich  ein  m^Pn* 
sejn.    Man  hat  daher  in  der  angef&hrten  Combi-  ' 
nationsgleichung 

a)  für  makrodiagonale  Crestalten  r=r'=r'=:l  zu 
setzen, 

b)  lur  brachydiagonale  Gestalten  n^=n^  =  n*'  =  i 
m  setzen ,  und  die  Buchstaben  r  mit  n  zu  ver- 
tauschen und  erhält  in  beiden  Fällen  dieselbe  CG. 

•V(«'j» — «mO  +  m\m —m')nn'  +  n''(n'—n)mm'=0 

B.  Sind  die  gegebenen  Gestüten  ungleichnamig,  also 

mVm  und  m'Pn'j  so  hat  man  entweder 
n=^r^s=ziy  und  statt  r  den  Buchstaben  » 

oder 
r=ii^=l,  und  statt  1/  den  Bnchstaben  nf 

zu  schreiben,    ohne  auf  den  Namen  der  dritten 

CSestalt  Rücksicht  zu  nehmen,    und  findet  so  die 

beiden  Fällen  entsprechende  CG. 

Ist  nun  die  dritte  Gestalt  makrodiagonal,  so  wird 
blos  r^=l,  ist  sie  dagegen  brachydiagonal ,  so 
wird  iir=i  gesetzt,  und  der  Buchstabe  r^  mit  n" 
▼ertauseht. 

f.    437. 
Conbinationen  dner  Pyramide  aus  der  Havptrelhe. 

In  jden  vorhergehenden  §§.  ist  die  Theorie  der  bi- 
■Iren  Combinationen  enthalten,  und  es  scheint  bei 
ier  grossen  Einfachheit  derselben  überflüssig,  die  ein- 
seien  Combinationen  noch  besonders  durchzugehen, 
wie  solches  in  den  übrigen  Krystallsystemen  gesche- 
hen ist.     Um  jedoch  einiges  Anhalten  für  die  specielle 


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36  Reine  KrystcUlographie: 

Anwendung  m  geben,  so  sollen  in  diesem  nnd  dem 
folgenden  §.  die  Combinationen  einer  Pyramide  mP, 
des  Prismas  ooP  nnd  der  drei  Flächenpaare  als  vor- 
herrschender Gestalten  betrachtet  werden,  weil  Com- 
binationen dieser  Art  besonders  häufig  vorkommen. 
Es  bildet  an  mP 

1)  «T«'  oder  m'Pj»' 

a)  Znsch.  der  makrod.  oder 

brachyd.  Polk., wenn  m*=smi  Fig.  476. 

b)  Vierfl.  Zusp.  d.  Polecke    -  -     -  <  -    Fig.  479. 

c)  VierfiL  Zusp.  d.  gleichna- 
migen Mittelecke,    ....--     -  >  -  nnd  zwar 
sind  die  GK.  mit  den  brachyd.  oder  makrod.  Pol-^ 
kanten  von  mV: 

«)  parallel,  . wenn  ^=M;  Fig. 481. 

ß)  conygt.  n.  d.  Poleck  -  -     -    <  -    Fig.  482. 

y)    -    -      -  -Mitteleck       -.     -    >-     Fig.48S, 

2)  mT,  mit  horizontalen  CK.: 

a)  vierfl.  Äusp.  d.  Polecke,  wenn  «i'<a;  Fig. 478- 

b)  Zusch.  d.  MitCelkanten,    -  •-     -  >  -    Kg.  477. 

3)  ooPii'  oder  ooPnf: 

Zusch.  der  makrod.  oder  brachyd.  Mittelecke,  Fig. 
488  oder  Fig.  489;  sind  die  Prismen  vorherrschend, 
so  erscheint  die  Comb,  wie  Fig.  501  oder  Fig.  502. 
CG.    mV— wV  +  ii^C«'— 1)«==0 

4)  ocP,  Abst.  der  Mittelkanten,  Fig.^. 

5)  m'Poo  oder  mToo,  deren  Flächen  auf  die  makrod. 
oder  brachyd.  Polk.  gesetzt  sind, 

a)  Abst.  dieser  Polk,  wenn  «i^=fli;Fig.490u.494. 

b)  Zusch.  der  Polecke    -  -     ,  <-  Fig. 492 n. 493» 
e)  Zusch.  der  Mittelecke  -  -     -  >  -  Fig.  491  u.  495. 

CG.    m''(m^m')  +  n\m'^m'^m=0 


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Systemlehre.  Khombischea  System.  Cap.IV.  37 

6)  ocPao,  Abst  der  makrod.  IMUttelecke,  Fig.  497. 
ooPoo       -        .    brachyd     -    -    -       Fig.  498. 

CG.    wi'— m'^sO      > 

7)  oP,  Ab«t.  der  Polecke,  Fig. 496. 

f.    438. 

ComUnatlonen  des  Pruma«  opP. 

E9  bilden  am  Prisma  ocP: 

1)  m^P,  beiderseits  vieifl.  Zusp.,  die  Zospfl.  auf  die 
Flächen  gerad  aofgesetzt ;  Fig.  500. 

2)  m^n^  oder  mfVn'  ^  dergL  Zosp ,  je  zwei  Zospfl.  auf 
die  scharfen  oder  stumpfen  Seitenkanten  gesetzt; 
Fig.  501  oder  502. 

CG.     «!>-'— I)ii'-«V-.1X=0 

3)  mf^oo  oder  mToo,  Zosch  beider  Enden,  die  Zoschfl. 
auf  die  scharfen  oder  stumpfen  Seitenkanten  ge- 
setzt; flg.  504  oder  503. 

CG.    »'(«•  — l)—j»V=0 

4)  oP,  die  gerad  angesetzte  Endfläche;  Fig.  505. 

5)  ooPis'  oder  ocP/»^,  Znsch.  der  scharfen  oder  stum-* 
pfen  Seitenkanten;  Fig.  506  oder  507. 

6)  coPoo  oder  ooPoo,  Abst.  der  scharfen  oder  stum- 
pfen Seitenkanten;  Fig.  508  oder  509. 

Ist  die  Basis  oP  mit  vorhanden,  so  erscheinen  die 
Combinationen  #»&  1,  2  und  3  wie  Fig.  510,  Fig. 
511,  512  und  Fig.  513. 

f.    439. 

Combinatioiien  der  drei  FlächeDpaai«. 

Jedes  der  drei  Flächenpaare  oP,  ocPoo  und  <x>P(X? 
kann  eine  Tafel  bilden,  welche  horizontal  ffir  oP, 
vertical  für  die  beiden  andern  Flächenpaare  erscheint. 


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38  Beine  KrystaUographie. 

Nach  Maassgabe  der  diese  Flftchenpaare  begränzenden 
Gestalten  erscheint  die  Tafel: 

1)  rhombisch,   mit  zweireihig  schief  ange- 
setzten Randflächen;  die  begränzende  Gestalt  ist^ 
irgend  eine  Pyramide;  Fig.  514. 

2)  rhombisch,  mit  gerad  angesetzten  Randflä- 
chen ;  Fig.  515 ;  so 

oP  mit  irgend  einem  verticalen  Prisma 

ooFoo  mit  irgend  einem  brachyd.  horiz.  Prisma 

ooPoo    -      -    -        -  -    makrod.     -  -      -    - 

3)  rectangniSr,  mit  zweireihig  schief   an- 
gesetzten Randflächen,  Fig.  516;  so 

oP  mit  irgend  zwei  ungleichnamigen  horiz.  Pris- 

__men, 
ocPoo  mit  einem  verticalen  und  einem  makrod. 

^  horiz.  Prisma, 
ocPoo  mit  einem  verticalen  und  einem  brachyd. 
horiz.  Prisma. 

4)  rectangulär  mit  gerad  angesetzten  Randflä- 
chen, Fig.  517,  die  Combination  eines  vorherr- 
schenden Flächenpaaies  mit  den  beiden  andern. 

{.    440. 
l^chtigste  Combintttioniregebu 

Da  von  den  bisher  au%efundenen  Regeln  der  bi- 
nären Combinationen  und  den  sie  betreffenden  For- 
men der  Conriiinationsgleidiung  einige  besonders  häufig 
in  Anwendung  kommen,  weil  sich  die  ihnen  entspre- 
chenden Fälle  in  der  Natur  sehr  oft  verwirklicht  fin- 
den, so  ist  es  vortheilhaft,  sie  als  Specialregela  aus- 
zuheben, und  dem  Gedächtnisse  einzuprägen,  indem 
man  dadurch  in  Stand  gesetzt  wird,  die  gewöhnlich 
vorkommenden  Combinationen  aus  dem  Stegreife  za 
entwickeln« 

Nächst  den  in  den  ff*  430  und  432  stehenden  all- 
gemeinen Regeln  sind  besonders  folgende  Specialre- 
geln zu  berücksichtigen: 


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Systemlehre:  Bhombi$ches  System.  Cap.IF.  39 

1)  Daqenige  horisontale  Prisma,  welches  die  ma- 
krod.  Polk.  von  mP»  oder  die  brachyd.  Polk. 
¥on  mPn  abstumpft,  uC  mPoo  oder  mPoo;  das- 
jenige aber,  welches  die  brachyd.  Polk.  von  mVn 
oder  die  makrod  Polk.  von  mP»  abstompft,  ist 

— Poo  oder  —Poo. 

n  n 

2)  Die  makrod.  Polk.  von  mP  werden  also  durch 
fliPoo,  die  brachyd.  Polk  durch  mPoo  abgestampft, 
dieselben  Polkanten  durch  mJ^»  oder  m9n  zuge- 
schärft. 

3)  Dasjenige  horizontale  Prisma,   welches  die  ma- 

krod.  oder  brachyd.  Combinationsecke  der  beiden 

Pyramiden  siP  «ndsiT  so  abstumpft,  dass  seine 

2sisi^  ^ 
Flächen  als  Rhomben  erscheinen ,  ist  — - — -.Poo 

2mm'  - 
oder  — z — jPoo. 

4)  Dasjenige  horizontale  Prisma  also,  welches  die 
makrod.  oder  brachyd.  Combinationsecke  zwischen 
«P  und  oqP  auf  dieselbe  Weise  abstumpft,  ist 
2mPoo  oder  2m'Poo. 

5)  Diejenige  Pyramide,  welche  die  CK.  zwischen 
siP  und  ocPoo  abstumpft,  ist  eine  si;iPi». 

6)  Diejenige  Pyramide,    welche  die  CK.  zwischen 

w  —     im' 

ooP  und  mPoo  abstumpft,  ist  eine  suT   , . 

7)  Dasjenigie  horizontale  Prisma,  welches  die  Com- 
binationsecke zwischen  ooPn  und  siPoo  so  ab- 
stumpft, dass  seine  Flächen  als  Rhomben  er- 
seheinen, ist  ffinPoo. 

8)  Diejenigen  horizontalen  Prismen,  welche  die 
Combinationsecke  zwischen  siP  und  ocP;i  so  ab- 


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40  R^ine  Krystaihgraphie. 

stampfen,   dass   ihre  Flächen  aki  Rhomben  er« 

.scheinen,  sind  m(ii'+l)Poo  nnd  m- — -V-^Poo;  je- 

ft 

nes  stumpft  die  höheren,  dieses  die  tieferen  CE.  ab« 
Man  könnte  diese  Specialregeln  leicht  um  einige 
vermehren ;  da  jedoch  die  vorstehenden  znr  Entwiclk- 
lung  der  am  häufigsten  vorkommenden  Combinationen 
ausreichend  sind,  so  würde  die  Hinzufugung  noch 
mehrer  Regeln  eine  wenig  nütasliche  Yervielfältigang 
derselben  seyn. 

{.    441. 

Berechnung  der  Combinatioaikante* 
Die  Berechnung  der  Combinationskanten  ist  för 
dieses  System  eine  sehr  einfache  Aufgabe.  Da  wir 
uns  nämlich  bei  der  Seltenheit  der  hemiCdrischen 
Combinationen  auf  die  Berechnung  der  Combinations« 
kanten  holoedrischer  Gestalten  beschränken  können, 
so  haben  wir  es  auch  nur  mit  heteropolaren  CK.  zu 
thun.  Nennen  wir  sie  IT,  i^  gilt  für  die  beiden  Ge- 
stalten G  und  G'  in  f ,  433  unmlUelbar  die  Gleichung 
aus  §.  22. 

Sind  nun   beide  Gestalten   gleichnamig,    so  hat 
man  für  mPa  und  i»TV 

a  ==  muj   b  =  nby   c  =  e 

a'  =  fli'a,   4'  =  »'Ä,   c'=^  c 
oder  für  niSfn  und  m'9n' 

a  3=   SM,  i  S=S  £,   tf  =3  ik? 

zu  setzen,  Sind  dagegen  beide  Gestalten  ungleich- 
namig, so  ist,  wenn  die  makrodiagonale  Gestalt  die 
accentttirten  Buchstaben  erhält, 

a  a=s  ma^  b  sss  b^    c  =s  nc 


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Systemlehre.  Rhombisches  System.  Cap.IF.  41 

s«  setzen,  wobei  anler  a>  h  nnd  c  darchgSngig  die 
Halbaxen  der  Grondgestalt  su  verstehen  sind. 

Wenn  jedoch  die  CK.,  wie  dies  sehr  hfiofig  der 
Fall,  einem  der  drei  Hanptschnitte  parallel  ist,  so 
würde  die  Anwendung  dieser  Formeln  weniger  sehneil 
zum  Ziele  fuhren«  Yortheilhafter  ist  es  dann,  die 
Neigungswinkel  beiaer  Flächen  zu  diesem  Haupt- 
schnitte  zn  berechnen,  wenn  solche  nicht  schon  be- 
kannt sind;  das  Supplement  ihrer  Differenz  ist  die 
gezahlte  Combinationskante,  ako: 

11=  180^-^  {X—X) 
oder    JI  =  IW  -.  (F—  F) 
9der  auch    JI  =  180*  —  (Z—  Z') 
je  nachdem  die  CK.  dem  makrodiagonalen,  brachydia- 
gonalen  oder  basischem  Hauptschnitte  parallel  ist 

Auch  kann  man  sich  für  solche  CK.,  welche  kei- 
nem der  Hauptschnitte  parallel  sind,  einer  anderen 
Berechnung  bedienen,  indem  man  für  beide  Flächen  ^ 
die  resp.  Neigungswinkel  zu  einem  und  demsel- 
ben Hauptschnitte  (abo  X  nnd  JT,  oder  Y  und  Y\ 
oder  auch  Z  und  Z^),  ausserdem  aber  auch  noch  die 
Neigungswinkel  ihrer  gleichnamigen  Intersectionen  ge- 
gen eine  und  dieselbe  Axe  dieses  Hanptschnittes  be- 
rechnet. Nennt  man  hierauf  das  Supplement  der  Dif-  . 
ferenz  der  beiden  letzten  Winkel  J?,  so  sind  in  dem 
sdiiefwinkligen  Tri^der  der  ebene  Winkel  'S  nebst 
(Si  n  anliegenden  Kantenwinkeln  bekannt,  woraus  dann 
die  CK«  JT  als  dritter  Kantenwinkel  entweder  nach 
der  bekannten  Formel,  oder  auch  mittels  der  Neper- 
schen  Analogien  zu  berechnen  ist 

B.    Bmspiele. 

«.    442. 

Combinatum  de«  AnragOBites. 
Die  in  Fig.  518  dargestellte  Combination  des  Ar- 
ragonitez  ist  eine  achtzihlige,  holoedrische  Combina- 


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42  Reine  KrystaUographie. 

tion,  für  welche  es  am  vortheilhaftesten  scheint,  4ie 
mit  P  bezeichnete  Pyramide  zur  Grandgestalt  zu  wäh- 
len; dadurch  bestimmt  sich 

a:4:c  =  0,7205:   1    :0,6215 
oder    -    -   .=   1,16   :1,61:    i 
Die  Zei<^nang  ist  so  entworfen,  dass  die  Brachydia- 
gonale  auf  den  Beobachter  zoläoft;  daher  ordnen  sich 
die  Gestalten,  wie  folgt;  es  gehören 

1)  in  die  Hanp treibe,  P  nnd  Mj 

2)  in  die  brachyd.  Nebenreihe,  ;r,  ky  i  und  A, 

3)  in  brachyd.  Zwischenreihen,  n  und  $, 

Durch  ihre  Verhältnisse  zur  Grundgestalt  bestim- 
men sich  unmittelbar 

Jlf  =ooP  (§.437,  4) 
h  =  ooPoo 
A  =Poo  (§.440,  2) 
Da  die  flächen  n  die  makrodiagonalen  Polkanten 
von  P  zuschärfen  würden,  so  ist 

n  =  P» 

und,  wegen  der  horizontalen  CK.  zwischen  n  und  t^ 

t  =  fkPn 
Nun  stumpfen  die  Flächen  g  nicht  nur  die  CK. 
zwischen  P  und  ooPoo ,  sondern  auch  jene  zwischen 
ooP  und  Poo  ab,  folglich  ist 

9  sr  nPn  (§.  440,  5) 

auch     .  =  «P;^^  (§.440,  6) 

daher    -  =  2?2 
und    «  =  P2 
Da  nun   das   horizontale   Prisma  $   die  makrod. 
Polk  der  Pyramide  j2P2  abstimipft,  so  ist 
$  =  2Poo 
Die  Bestimmung  des  horizontalen  Prismas  :r  for- 
dert eine  Messung;   misst  man  seine  Polkante,   so 


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Systemlehre.  Rhombisches  System.  Cap.If^.  43 

findet  man  140''  23';  da  nun  die  Polk.  von  Poo  s 
108^  2r,  und  coaOflUy  =  2cer54M3,5%  lo  folgt, 
dass 

Die  Combination  ist  non  vollständig  entwickelt, 
und  ihr  Zeichen: 

<X)P.ooPoo.foo.P.2p2.f2.2Poo.iPoo. 

i.    443. 
Coiiibiiiati4NieB  des  TopuM. 
Flg.  519  ist  eine  achtxfihlige  Combination  des  Bra- 
silianischen Topases;  wählen  wir  die  mit  0  bezeich- 
nete Pyramide  zur  Grandgestalt,  so  wird 
«:i:c  =»0,8985:1,893:1 
oder  sehr  nahe        =    0,9     :    1,9   :1 
Da  nan  in  der  Zeichnung  die  Brachydiagonale 
wiederum  die  Richtung  auf  den  Beobachter  hat  *),  so 
oidnai  sich  die  Gestalten,  wie  folgt;  es  gehören 

1)  in  die  Hauptreihe,  c,  Sf  o  und  Jf, 

2)  in  die  brachyd.  Nebenreihe,  n  und  y, 

3)  in  die  makrod.  Nebenreihe,  si, 

4)  in  eine  brachyd.  Zwischenreihe,  /. 

Um  die  Pyramide  s  zu  bestimmen,  messe  man 
die  CK.  $:M;  man  findet  124''  9^,  und,  nach  Abzug 
von  90°,  für  die  halbe  Mittelicante  der  Pyramide  34"^ 
9^;  da  nun  dieselbe  Kante  in  der  Grundgestalt  45^ 
27,5^  misst,  und  die  Tangente  jenes  Winkels  =  i 
der  Tangente  dieses  Winkels,  so  folgt 

Das  horizontale  Prisma  m   stumpft  die  brachy- 
diagonalen  Polk.  von  |P  ab,  und  ist  daher 
m  =  iVoo  (§.  440,  2) 
Weil  nun  dasselbe  horizontale  Prisma  die  Com- 


')  Dies  gilt  «och  für  die  folgenden  Figuren. 


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44  Reine  Krystaüographiei 

binationsecke  zwischen  c  und  o  so  abstumpft,  dass 
seine  Flächen  als  Rhomben  erscheinen  würden,  wenn 
sie  nicht  zugleich  die  Durchschnitte  mit  $  erlitten,  so 
wird  für  die  Pyramide  c  =  fliP 

i  =  i^(«.440,  3)      ! 

und  daher  c  =  4^? 

Das  verticale  Prisma  /  bestimmt  sich  aus  einer 
Messung  seiner  makrod.  Seitenkante,    welche  93"^  8' 
giebt,   durch  Yergleichung  dieses  Werthes  mit  dem 
Werthci  55"*  41^  derselben  Kante  io  oqP  ;  nämlich 
/  =  ooP2 

Da  nun  das  horizontale  Prisma  %  die  hoherea 
Combinationsecke  zwischen  ool^2  und  \V  so  abstumpft, 
dass  seine  Flächen  als  Rhomben  erscheinen  würden^ 
so  wird 

n  =  2Pcx)  (§.  440,  8) 

Die  Bestimmung  des  horizontalen  Prismas  y  end^ 
lieh  ist  nur  mittels  einer  Messung  möglich;  misstman. 
die  CEL,  y'n^  so  findet  man  161^  T\  da  nun  die  halbe 
Polk.  von  2Poo  =  46''  30",  so  findet  sich  nach  der 
Formel 

jr=  180'  ~  {x—x") 

in  §.  441,  die  halbe  Polk.  von  y  =n  27"  37^  und  au« 
dem  Verhältnisse  der  beiderseitigen  Cotangenten 
y  z=z  4Poo 
Die  Combination  ist  nun  entwickelt,  und  ihr  Zei* 
chen : 

ooP.ooP2,P.iP.4P4Poo.2foo.4P<x?. 

{.    444. 
Fortsetsang. 
Fig.  520  stellt  eine  neunzähl  ige  Combination  dea 
Schneckensteiner  Topases  dar,  in  welcher  die  Pyra- 
mide o,  durch  eine  Messung  der  CK.  oiM^  als  die* 
selbe  Grundgestait  erkannt  wird,  welche  wir  in  Fig^« 


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Systemlehre.  JRhombisches  SyMtem.  CapilK.  45 

519  annahmen.  Für  die  Gestalten  Sj  M^  l^  n^  y  gelten 
«Beselben  Schlüsse  wie  im  vorigen  f . ;  es  ist  daher 
wiederom 

Jf=ooP 

I  =4P 
/   =  00P2 
n  =  2P00 

y  =  4l^oo 
Da  «ich  nnn  ^üch  P  anmittelbar  als  oP  bestimmt^ 
to  bleibt  nns  nur  noch  die  Bestimmung  der  brachy- 
diagonalen  Pyramide  x»  so  wie  des  brachjd»  vertica* 
lea  Prismds  u  übrig. 

Da  X  mit  /  horizontale  CK.  bildet»  so  ist 
j;  =  «P2 
md  da  sie  auch  die  CK.  zwischen  P  und  ^00  ab- 
stuapfiy  so  wird 

^  =  4i^2  (§.437,  5,  CG.) 
Das  Prisma  u  bestimmt  sich  dur^h  eine  Messung,  eben 
w  wie  im  vorigen  §•  das  Prisma  /,    als  ocP3.    Die 
Combinatioa  ist  somit  vollständig  entwickelt,  und  ihr 
Zeichen : 

ooP.(xf 2.oc?3  oP.P.4P.2poQ.4Poo.}p2. 

f.    445. 

Combination  dM  Chryiotitb«. 
!rig.ö21  Stellt  eine    el&ählige   Combination   des 
Chrysolithes  aus  dem  Meteoreisen  von  Krasnqjarsk 
dar.     Wählen  wir  die  mit  e  beseichnete  Pyramide 
zur  Grandgestalt,  so  wird 

aih.c=z  1,2626:2,153:1 
und  e«  ordnen  sich  die  Gestalten,  wie  folgt;   es  ge- 
boren 

1)  in  die  Hauptreihe,  P^  e,  und  n, 

2)  in  die  brachyd.  Nebenrethe,  A,  $,  7,  * 

3)  in  die  makrod.  Nebenreihe,  dj 

4)  in  brachyd.  Zwischenreiheu  ,>,/,#  und  r. 


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46  Reine  Krystallographie. 

Unmittelbar  bestimmen  sich  sogleich: 
P=  oP 
T=  ocPoo 
«  =  ooP 
d  =  Poo 
Pa  die  CK.  /:  e  nnd  / :  e  nicht  nur  einander,  son- 
dern auch  der  brachyd.  Polkante  von  P  parallel  sind, 
so  haben  die  Pyramiden  f  und  /  resp.  gleiche  Ablei- 
tnngszahlen,  und  sind  daher  von  der  Form  miPm  und 
m^Pm^;   da  nun  s  mit  /  und  r  mit  /  horizontale  CK. 
bildet,  so  ist  ^  =  ooPsi  und  r=sooPfl|^ 

Misst  man  die  CK.  T:  r  und  T:  $,  so  findet  man, 
nach  Abzug  von  90%  die  halbe  makrod.  Seitenkante 
im  Prisma  r  =  54^20^  im  Prisma  *  =  42*'54';  da  nun 
dieselbe  Kante  im  Prisma  ocP  24^  55^  misst,  und  sich 
die  Tangenten  dieser  Winkel  verhalten  wie  1:2:3, 

so  wird:  w 

r  =  <x)P3 

#  =  0Qp2 
und  folglich  auch 

;==  3P3 
/=2P2 
Die  Bestimmung  der  beiden  horizontalen  Prismen 
k  nnd  $  erfordert  für  jedes  eine  ^Messung ;  misst  man 
CK.  Pik  und  Piij  und  vergleicht  man  die  Tangen* 
ten  ihrer  Supplemente  mit  der  Tangente  der  halben 
Mittelkante  von  Poo,  so  findet  man 
k  =  2Pcx) 
f  =  4Pco 
Das  Zeichen   der   nun  vollständig   entwickelten 
Combination  wird: 

oP.(X)Pcx).(»P.ooP2.ocP3.P.2P2.3P3.P(X).2Poo.4P(X). 

I  i    446. 

CombiDation  de«  Barytes. 
Fig.  522  stellt  eine  zehnzäUige,  tafelartige  Com- 


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Systemlehre,  JShombisches  System*  Cap.If^.  47 

binadon  des  Barytes  vor^  für  welche  sich  die  %ra- 
midez  als  die  bequemste  Gnindgestalt  darbietet;  dann 

uibie^z  1,6113 : 1,2275 :  l 
md  die   verschiedenen  Gestalten   ordnen    sich,   wie 
folgt;  es  gekoren 

1)  in  die  Hasptreihe,  P,  t  nnd  Jf, 

2)  in  die  brachyd  Nebenreihe,  o  und  ^ 

3)  iu  die  makrod.  Nebenreihe,  d  und  #, 

4)  in  eine  brachyd.  Zwischenreihe,  y  und  ^, 

5)  in  eine  makrod.  Zwischenreihe,  t. 

Von  diesen  Gestalten  bestimmen  sich  zuvorderst 
unoittelbar : 

P=  oP 
t  =  csoPoo 

k  =s  OoJPoO 

J!f==ocP 
o  =  I^oo 

Misst  man  die  CK.  kiq^  m  findet  man  148''  27', 
und,  nach  Aboug  von  90%  öS""  27'  für  die  halbe  ma- 
krod. Seitenkante  des  Prismas  q\    da  nun  derselbe 
Winkel  im  Prisma  ooP  3^  10"  misst,  so  folgt 
q  =  ooP2 
Die  Pyramide  y  ist,  wegen  ihrer  horizontalen  CK. 
zu  9,  eine  w$2j   und  wegen  ihrer  Verhältnisse  zur 
Grandgestalt,  eipe  P»;  folglich: 
y  =  P2 
Das  horizontale  Prisma  d  stumpft  die  brachyd. 
Polk.  der  Pyramide  P2  ab;  folglich  wird 
d  =  +Poo  (5.  440,  1) 
Endlich   bestimmt  sich  durch  Messung  der  CK. 
t.$,  welche  XbV  SC 

Das  Zeichen   der   nun   vollständig  entwickelten 
Combination^  ist :         ^ 

aP.iPoc)jPoo.ooPoo.ocPoo.ooP.P.P2.ooP2. 


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48  Reine  KrystcJlographie* 

.      #   -  1-447. 

.  ComUiiatioina  de»  Kttemlxes. 
Die  in  Fig.  523  und  524  dargestellten  ComUna^ 
tionen  des  Bittersalzes  sind  durch  ihren  hemiCdrischen 
Charakter  sehr  ausgezeichnet   Wählen  wir  das  Sphe- 
noid  /  zur  Grundgestalt,  so  wird 

a:b:e  =  0,577:1,011:1 
und  wir  erhalten  unmittelbar  för  F%.  523  das  Zeichen : 

--.cx)P.ooPoo. 

In  Fig.  524  erscheinen  beide  complementSre  Sphe- 

P  P 

noide  ?=  -5-  ^">d  ''  =  — -5-»  ausserdem 

Jlf=ooP 

O    =s  OoPcX) 

p  =  ooPoo 
n  =Poo 
«»  =  Poo 

welche  Gestalten  insgesammt  durch  die  HemiSdrie 
mcht  afiKcirt  werden.  Dagegen  erscheinen  die  Flä- 
chen i  und  ty  Ton  welchen  jene  einer  makrödiagona-« 
len,  diese  einer  brachydiagonalen  Pyramide  angehe 
ren,  nur  zu  je  vier,  mithin  als  Sphenoide;  da  sie  die 
CK.  zwischen  P  und  ooPoo  einerseits,  ocPoo  ander- 
seits, no  wie  die  CK.  zwischen  ocP  und  Poo  einer« 
seits,  Pco  anderseits  abstumpfen,  so  folgt,  dass 

2P2 

^        2P2 

Nun  sind  die  CK.  zwischen  g  und  $  dem  brachy* 
diagonalen,  die  CK.  zwischen  r  und  /  dem  makrodia- 
gonalen Hauptschnitte  parallel;  folglich  ist 
q  =  2P00 

r  «  2P00 


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Systemlehre.  MoiioUinoedr.  System.  C<j^.L   40 

Diese,  wegen  ihrer  sphenoidlichen  HeflüMrie  sehr 
serinrardige  Combinalion  ist  mm  gleichfalls,  und 
swwimaUifti^  von  allen  MesMngen  entwickelt,  und 
ik  Tollstftiidiges  Zeichens 


Fünfter  Absdimtt 
Vom  monoklinoidrüciem  Sjfsieme. 


Erstes    Capitel. 

Von   den   Axen  nnd  einzelen  Gestalten  des 

monoklinoCdrischen  Systemes. 

f.    448. 
Axm  und  Haoptscbnitte. 

Das monoklinoMrische  System*)  ist  nach  f.  45  der  In- 
htgnS  aller  derjenigen  Krystallformen,  deren  geome- 
trischer Cirnadcharakter  dorch  drei  Coordinatebenen 
bestimmt  wird,  Ton  welchen  sich  xwei  unter  einem 
sdirfea  Winkel  C  schneiden,  während  die  dritte  auf 
ihnen  rechtwinklig  ist  Die  drei  Axen,  welche  sich 
als  die  Durchschnittslinien  dieser  Ebenen  ergeben, 
scheinen  jedenfalls  in  dem  Verhältnisse  der  Ungleich- 
heit KU  stehen,  also  durch  a  :  b  :  c  repräsentirt  wer- 
den XH  müssen,  obgleich  die  Verhältnisse  der  Gleich- 
heit zweier  gegen,  eine  ungleiche,  und  selbst  der 
durchgängigen  Gleichheit  aller  drei  Axen  dem  we- 


*)  HeBiprumatbchet  System,  Mobs;  zwei  -  and  -  dngliedrigef, 
m  wie  eb-and-zweigliedriget  S.,  Weist;  hemirhoiibisches  8., 
Bneitkaspt;  kliaorlisfflbiichet  B.  nsch  meiiier  firaheren  Benenouog. 

a  4 


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50  Reine  Ktystaüographie^ 

sendichen  Charakter  de»  Systemes  nicht  widerstrei- 
ten würden*).  Zwischen  den  drei  A:x:en  finden  die- 
selben Neigungsveriilknigse  StatI,  wie  zwischen  den 
drei  Coordinatebenen ,  d.h.. zwei  derselben  schneiden 
sich  unter  einem  schiefen  Winkel  y  =  C,  während 
die  dritte  auf  ihnen  beiden  rechtwinklig  ist.  Diq  eine 
Coordinatebene,  welche  im  Vergleiche  zu  den  beiden 
andern  einen  eminenten  Charakter  besitzt,  und  den 
ganzen  Inbegriff  von  Ebenen  und  Linien  in  zwei  con- 
gruente  Hälften  theilt,  bestimmt  auch  die  normale 
Stellung  des  Systemes,  welches  dem  Beobachter  nur 
dann  in  der  grossten  Synunetrie  erscheint,  wenn  jene 
Ebene  vertical  steht  und  auf  ihn  zuläuft.  Da  nun  in 
derselben  Ebene  die  beiden  schiefwinkligen  Axen  ent- 
halten sind,  so  wird  auch  nur  eine  dieser  Axen  zur 
Hauptaxe  erwählt,  und  hur  nach  einer  von  ihnen 
die  aufrechte  Stellung  bestimmt  werden  können.  Die 
beiden  andern  Axen  erhalten  dann  die  Bedeutung  von 
Nebenaxen,  welche  durch  ihre  Lage  wesentlich 
verschieden  sind,  indem  die  eine  rechtwinklig,  die 
andere  schiefwinklig  gegen  die  Hauptaxe,  und  daher 
bei  aufrechter  Stellung  jene  horizontal ,  diese  geneijgt 
ist.  Da  sie  nun  zugleich  die  Diagonalen  der  durch 
sie  gehenden,  geneigten  rhombischen  Basis  des  Syste- 
mes  bilden,  so  unterscheiden  wir  sie  ein  für  alle  Mal 
aU  Orthodiagonale  und  Klinodiagonale,  und 
benennen  auf  gleiche  Weise  die  Coordinatebene  durch 
die  Hauptaxe  und  geneigte  Nebenaxe  den  klinodia- 
gonalen  Hauptschnitt,  die  Coordinatebene  durch 
d^e  Hauptaxe  und  horizontale  Nebenaxe  den  ort  ho-. 


*)  Auf  der  andern  Seite  würden  aber  auch  diese  Verhältn'sse 
für  die  Erscheinungsweise  der  Gestalten  keine  grossere  Symmetrie 
zur  Folge  haben  ,  indem  mit  diesem  NeigungsverliältnUse  der  Axea 
ein,  durch  kein  Grdssenverbältniss  auszugleichender  Charakter  der 
Unsymmetrie  eintiitt. 


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Sfystemlehre.  Monoklino'edr.  System.  Cap,  L  51 

diagonalen  Hanptschnitt.  Die  schiefe  Lage  der 
YliombiBchea  Basis  ist  ein  besonders  hervorstechendes 
Merkmal  der  KrysCaUformea  dieses  Systemes. 

§.    449. 
Rechttet^oDg  dea  geometritchea  Grundckarakters« 

Maji  hat  dieses  System  als  eine  blosse  hemiSdri- 
•ehe  Modification  des  rhombischen  Systemes  aa  deu- 
ten, und  somit  die  Selbständigkeit  nnd  Eigentbümllch- 
keit  desselben  sweifelfaaft  zu  machen  gesacht.  Da 
diese  Yorstellnngsweise  Ton  der  hier  befolgten  we- 
sentlich abweicht,  so  erlanbe  ich  mir  snr  Rechtferti- 
giuig  der  von  mir  adoptirten,  nnd  hier  xaGmnde  ge- 
legten Ansicht  folgende  Bemerkungen. 

Nicht  zu  läugnen  ist  es,  dads  die  Zuruckf&hning 
der  monoUinoSdrischen  Krystallformen  auf  das  rhom- 
bische System  fiir  die  Berechnung  grosse  Yortheile 
gewährt,  weil  d^  schiefe  Neigungswinkel  ein  den 
Calcül  nicht  wenig  erschwerendes  Element  ist.  Allein 
hierin,  und  allenfalls  in  dem  Zusammenhange,  wel- 
eker  dadurch  fSr  einigermaassen  verwandte  Formen 
gewannen  witd,  scheint  mir  der  einzige  erbebliche 
Vortheil  dieser  Ansicht  zu  liegen  Die  Symmetrie 
der  Combinationen,  die  Einfachheit  der  Bezeichnung 
«nd  die  Leichtigkeit  der  Uebersicht  müssen  mehr  oder 
weniger  aufgeopfert  werden,  um  jene  Vereinfachung 
des  Calcüls  zu  gewinnen.  Ausserdem  scheinen  aber 
noch  folgende  Umstände  der  Deutung  des  monokli- 
noidriachen,  als  eines  blos  hemirhombischen  Syste- 
entgegen  zu  stehen. 
1)  Die  Art  der  HemiSdrie,  wie  solche  für  die  Ab- 
leitung der  monoklino^drischen  Formen  ans  dem 
rhombischen  Systeme  gefordert  wird,  findet  kein 
Analogen,  weder  im  tetragonalen,  noch  im  hexa- 
gonalen  oder  tesseralen  , Systeme;  ihr  Gesetz  ist 
eben  so  abweichend,  als  ihre  Resultate  fremd- 

4* 


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52  Reine  KrystaUographie. 

artig  sind,  so  dass  eher  von  einer  unsymmetri- 
schen Halbirang  als  von  einer  Hemiidrie  die 
Rede  seyn  kann  (vergL  %.  451). 

2)  Die  Erscheinung  der  Gegenkörper  oder  comple- 
mentären  hemiSdrischen  Formen,  welche  in  al- 
len übrigen,  der  Hemi^drie  fähigen  Systemen 
hSulSg  beobachtet  wird,  ist  kaum  für  eine  dei* 
monoklinoSdrischen  Krystallreihen  mit  hinläng- 
licher Evidenz  dargethan. 

3)  In  den  bekannten  rhombischen  Krystallreihen 
sind  die  gegenseitigen  Verhältnisse  der  einzelen 
Gestalten  und  diö  ihnen  entsprechenden  Ablei- 
tungszahlen sehr  einfach ;  diese  Einfachheit  geht 
für  die  monoklino^drischen  Krystallreihen  gros- 
sentheils  verloren,  wenn  man  solche  als  hemi- 
rhombische  betrachtet;  und  man  begreift  nicht, 
warum  die  angebliche  HemiSdrie  nur  in  diesem 
Systeme  solche  Störungen  veranlassen  soll,  von 
welchen  sich  in  den  übrigen  Systemen  keine 
Spur  findet,  indem  in  ihrer  hemiedrischen  Er- 
scheinungsweise dieselben  einfachen  Verhält- 
nisse obwalten  wie  in  ihrer  holo§drischen  Aus- 

-     bildüng. 

4)  In  den  bekannten  rhombischen  Krystallreihen 
ist  die  Erscheinung  der  drei,  auf  einander  recht«- 
winkligen  Flächenpaare  etwas  ganz  Gewöhnli- 
ches. Da  nun  die  ai^ebliche  Hemißdrie  diese 
Flächenpaare  nicht  verdrängen  kann,  so  ist  es 
sehr  zu  verwundern,  dass  bis  jetzt  das  gleich- 
zeitige Vorkommen  derselben  kaum  für  eine  ein- 
zige monoklinoMrische  Krystallreihe  bestimmt 
nachgewiesen  werden  konnte. 

5)  In  den  entwickelteren  rhombischen  Krystallrei- 
hen erseheinen  neben  den  verticalen  auch  beide 
Arten  von  horizontalen  Prismen ;  während  gerade 
in  den  entwickeltsten  monoklinoßdrischen  Kry- 


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^siemlehre.  MonolHnoSdr.  System.  Cap.I.    53 

stallreihen  nie  drei  auf  einander  rechtwinklige 
Prismen  oder  Hemiprisraen  xn  beobachten  sind. 
Ausser  diesen  Gründen,  welche  für  die  folgenden 
beiden,  als  tetarto6drisohe  Modificationen  de«  rfaom* 
bischen  Systenes  gedeuteten  Krystallsysteme  auf  ihn« 
liehe  Weise  galten,  lassen  sich  noch  andre  ans  den 
physischeii  Verhältnissen  der  monoklinofidrischen  Kry«* 
stallreihen  ableiten,  welche  für  die  Annahme  schief- 
winkliger Axen  sprechen,  so  dass  ich  mich  nnbe* 
dingt  zur  Beibehaltung  derselben  entschlossen  habe, 
xomal  da  sich  neuerdings  sehr  competente  Anctoritii« 
ten  für  dieselben  ausgesprochen  haben*), 

f.    450. 
CooitrscÜoa  ciiier  moBokünoSdrisdien  Gestalt 

Wenn  wir  uni  ein  monoklinoedrisches  Axensj« 


^ 


*)  Man  kann  besondert  den  Wolfram  nndPjroxen  als  ein  paar 
wvMtge  Instanzen  gegen  die  Annahme  eines  monokÜno^drischea» 
wmä  für  die  Realität  eines  eigentbünilichen  hemirbombisdien  Hy-r 
steows  anfuhren  I  da  die  Zwillingsbildung  Ar  beide  Spedes  auf 
eine  Ton  Messungen  ganz  unabhängige  Art  den  orthometrischeQ 
Charakter  darthut  (vergL  §•  657  und  660)u  Allein  abgesehen  da^ 
Ton,  dass  ne  yielleicht  die  einzigen  Species  sind,  för  welche  dies 
als  erwiesen  betrachtet  werden  kann  (während  die  Dimensionen  der 
übrigen  monokUnoSdrischen  Krystallreihea,  und  selbst  jene  des  Or- 
fhoklaaes,  mit  der  Annahme  rechtwinkliger  Axen  nicht  wohl  yer-r 
cinbar  sind),  so  scheint  auch  der  Habitus  und  die  ganze  Entwick- 
lung ihrer  Krystallformen  weit  mehr  f&r  ihre  Einordnung  in  das 
monokünoedrische  System  zu  sprechen,  in  welchem  man  also,  wie 
dies  schon  von  Mobs  geschehen  ist,  einige  KrystalLreihen  anzuneh- 
men haben  würde,  in  denen  die  Abweichung  der  Klinodiagonale 
▼on  der  horhontakn  Lage  sss  0,  oder  der  Winkel  C  sss  90^  ist. 
Wenn  abo  durch  solche  Krystallrmhen  eine  Art  tod  Verknüpfung 
zwisdien  dem  monokUooedrischen  und  rhombischen.  Systeme  indi-  ' 
eilt  zu  sejn  scheint,  so  ist  doch  die  wesentUcbe  Verschiedenhei|^ 
ihrer  beiderseitigen  Gestaltungsgesetze  qualitaÜT  zu  scharf  ausge* 
sprochen,  und  in  den  meisten  uionoklinoedrischen  Krystallreihen 
quantitatiY  zu  fest  begründet,  um  die  Deutung  aHer  dieser  letzte- 
ren als  blosser  heairhombischer  Krystallreihen  zu  gestattsu. 


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54  Reine  Krystallographie. 

Stern ,  in  Uebereinstiniinung  mit  dem  in  §.  46  aufge- 
0ielkeii  Begriffe  von  Gestalt,  für  das  Yerhältniss 
dreier  ungleicher  Parameter  a,  h  und  c  den  vollstän- 
digen Inbegriff  aller  möglichen  isoparametrischen  Hä-» 
eben  construiren,  so  finden  wir  die  Zahl  derselben 
Jedenfalls  auf  acht  beschränkt,  und  zugleich  das  merk- 
würdige, aber  sehr  begreifliche  Resultat,  dass  diese, 
sich  gegenseitig  cu  Dreiecken  begränzenden  acht  Flä- 
chen zweierlei  veirschiedenen  Werthes  sind,  indem 
die,  in  dem  spitzen  Winkelraume  des  basischen  und 
orthodiagonalen  Haoptscbnittes  gelegenen  vier  Drei- 
ecke von  den,  in  4®m  stumpfen  Winkelraume  dersel- 
ben Hauptschnitte  gelegenen  vier  Dreiecken  wie  durch 
ihre  Lage,  so  durch  ihre  Figur  abweichen.  Die  bei- 
derlei Dreiecke  haben  nämlich  zwei  Seiten  gleich, 
aber  die  dritte  Seite  ungleich,  und  zwar  die  über  dem 
spitzen  Winkel  C  gelegenen  die  kleinere,  die  andern 
die  grössere  dritte  Seite.  Da  nun  jede  einfache  Ge- 
stalt nicht  nur  von  isoparametrischen,  sondern  auch 
von  gleichen  und  ähnlichen  Flächen  umschlossen  seyn 
muss  (§46),  so  kann  die  so  construirte  monoklinoS- 
drische  Gestalt  auch  keine  einfache,  sondern  nur  eine 
zusammengesetzte,  und  zwar  eine  dimerische  oder 
aus  zwei  Theilgestalten  zusammengesetzte  Ge- 
stalt seyn. 

§.    451. 
Selbständigkeit  der  TheilgestalteB. 

In  dem  zusammengesetzten  Charakter  seiner  Ge- 
stalten liegt  der  Grund  der  so  eigenthümlichen  Er- 
scheinungsweise dieses  Systemes,  welche  es  auf  den 
ersten  Blick  vom  rhombischen  Systeme  unterscheiden 
lässt,  selbst  wenn  der  Winkel  C  einem  rechten  sehr 
nahe  kommen,  und  daher  die  schiefe  Lage  der  Basis 
der  unmittelbaren  Beobachtung  entgehen  sollte.  Es 
besteht  nämlich  zwischen  den  beiden  Theilgestalten 


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Systemlehre.  MonohUno'edr.  Sy$ie/n.  Cap.  L   55 

einer  jeden  monoklinoSdrischen  Gestalt  eine  so  vol- 
lige Unabhängigkeit  ibres  Auftretens,  das»  nichts  we- 
niger als  ein  nothwendiges  Zusammenvorkommen  oder 
eine  gleichzeitige  und  gleichmässige  Ausbildung  der- 
selben gefordert  wird,  vielmehr  die  eine  ganx  un- 
abhängig von  der  andern  in  die  Combinationen 
eingeht;  weshalb  denn  auch  von  vielen  Gestalten  der 
bekannten  monoklinogdrischen  Krystallreihen  bis  jetzt 
nur  einzele  Theilgestalten  beobachtet  sind,  und  die- 
jenigen Fälle,  da  beide  Theilgestalten  zugleich  und  im 
Gleichgewichte  vorkommen,  zu  den  seltneren  gehören. 
Diese  Zerfällbarkeit  der  Gestalti^n  in  zwei  we- 
sentlich verschiedene ,  und  von  einander  unabhängige 
Elemente  ist  also  eine  dem  gegenwärtigen  Krystall- 
systeme  ganz  eigenthiimliche  Art  der  Hemi^drie,  wel- 
che mit  dem  gleichnamigen  Verhältnisse  in  den  bis- 
her betrachteten  Krystalisystemen  nicht  wohl  als  iden- 
tisch betrachtet  werden  kann, 

1)  weil  in  der  verschiedenen  Lage  und  Figur  der 
beiderlei  Flächen  eine  Disposition,  icb  möchte 
zagen  eine  innere  Nothwendigkeit,  zu  jener  Zer- 
iallung  gegeben  ist,  von  welcher  in  den  holoe- 
drischen Gestalten  der  übrigen  Krystallsysteme 
keine  Andeutung  zu  finden; 

2)  weil  die  Theilgestalten  offene,  oder  den  Raum 
nicht  umschliessende  Gestalten  sind,  während  die 
hemiedrischen  Gestalten  der  bisherigen  Krystall- 
systeme eben  so  wohl,  als  ihre  respectiven  Mut- 
tergestalten geschlossene  Gestalten  waren; 

3)  weil  die  beiden  Theilgestalten  einer  und  dersel- 
ben Stammform  keine  gleichwerthigen  Gestalten 
sind,  da  doch  je  zwei  aus  einer  und  derselben 
Muttergestalt  abzuleitende  hemi^drische  Gegen- 
körper als  zwei,  nur  durch  ihre  Stellung  oder 
die  Verknüpfung  ihrer  Begränzungselemente  ver- 
schiedene Ebenbilder  befunden  wurden. 


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5$  Rein0  KrystaUogrcq^hie. 

§.    452. 

Etnzelo  Gestalten  dea  %iteBiM. 

Die  verschiedenen  Gestalten  dieses  Systemes  sind 

1)  Monoklino€drische,  in  xwei  Theilgestalten  zer- 
fallende (dimerische)  Pyramiden. 

Die  in  $.  450  censtruirte  monoklinoMrische  Ge- 
stalt wird  nämlich  im  Allgemeinen  als  eine  Pyramide 
xn  bezeichnen  seyn^  da  sie  eine  von  acht  Dreiecken 
umschlossene  Gestalt  ist,  leren  Mittelkanten  in  einer 
Ebene  liegen.  Obgleich  nun  diese  monoklino^drischen 
Pyramiden  selten  vollständig,  sondern  gewöhnlich  nur 
zur  Hälfte,  mit  einer  ihrer  Theilgestalten  ausgebildet 
sind,  so  müssen  wir  doch  sowohl  für  die  Betrachtung 
der  einzelen  Gestalten,  als  auch  ganz  besonders  für 
die  Lehren  der  Ableitung  eine  vollständige  Erschei- 
nungsweise derselben  voraussetzen,  weil  es  ausser- 
dem nicht  wohl  möglich  seyn  würde,  eine  geordnete 
Uebersicht  der  verschiedenen  Gestalten  dieses  Syste- 
mes und  der  sie  verknüpfenden  Verhältnisse  zu  ge- 
winnen. 

2)  Prismen,  weldie,  je  nachdem  sie  derHauptaxe, 
der  Klinodiagonale  oder  Orthodiagonale  parallel 
sind,  als  verticale,  geneigte  und  horizontale 
Prismen  erscheinen ;  diese  letzteren  zerfallen  in 
zwei,  von  einand^  unabhängige  Hemiprisihen. 

2)  Die  drei  Coordinatebenen  des  Systemes,  als  ba- 
sisches, orthodiagonales  und  klinodiagonales  Flä- 
chenpaar« 

f.    453. 
Monoklhioedrisdie  Pyramiden. 

Die  vollständig  erscheinenden  monoIflinoSdrisehen 
Pyramiden,  Fig.  590,  sind  von  acht,  zweierlei  ungleich«» 
seitigen  Dreiecken  ums<$hlossene  Gestalten,  deren  Mit- 
telkanten in  einer  Ebene  liegen,  und  haben  12  Kan-* 
teu^  6  Ecke. 


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Syßtemlehre.  MmolUnoedr.  System.  Cap.  L     57 

Die  Flächen  gnippireii  sich  in  vier  Fläcbenpaare, 
indem  immer  je'xwei  gleiche  and  ähnliche  Flächen 
ein  Flächenpaar  bilden,  nnd  je  awei  gleiehwerthige 
Paare  för  einander  als  Gegenflächenpaare  erscheinen. 
Die  ganze  Pyramide  xerfftUt  also  in  xwei  Hemipy- 
ranpiden»  oad  jfide  Henupyramide  wiederum  in  swei 
rännder  gegenüberliegende  Glieder.  Wir  nennen  die- 
jenige Tbeilgestalt,  ikren  Flächen  über  dem  spitzen 
Winkel  C  liegen,  die  pesitiye,  die  andre  die  ne- 
gative Bemipyramide,  nnd  anterscheiden  sie  in 
der  Bezeichnnng  durch  Yorselznng  der  Hülfselenente 
+  und  — . 

Die  Kanten  sind  viererlei:  2  symmetrische,  län- 
gere, ztnmpfere  Pelkanten  der  negativen;  2  derglei- 
chen, kürzere,  schärfere  Pelkanten  der  positiven  He- 
mipyramide;  4  unregelmässige,  viÜH  beiden  Hemipy- 
ramiden  gebildete  Polkanten,  und  4  eben  dergleichen 
Mittelkanten.  Von  diesen  Kanten  sind  die  beiden  erst 
genannten  Polkanten  von  besonderer  Wichtigkeit 

Die  Ecke  sind  unregelmässig,  vierflächig  nnd 
dreierlei:  2  dreierleikantige  Polecke,  2  dergleichen 
Mittelecke,  an  den  Endpuneten  der  Klinodiagonale, 
und  2  zweierleikantiige  Mittelecke  an  den  Endpuneten 
der  Qrtbediagonale. 

Der  basische  undiOrthodiagonaleHanptschnittsind 
Rhenüben»  der .  klinodiagonale  fiauptschnitt  ist  ein 
UiembouL 

f.    454. 

HeoiipyTaniideii. 

Jede  Hemipyramide  stellt  für  sich  allein  einen  In- 
b^^ff  von  vier,  ihren  Polkanten  parallelen  Flächen^ 
also  eigentlich  eine  offene,  prismen- ähnliche  Gestalt 
dar,  welche  sich  jedodi  von  den  eigentlichen  Prismen 
dadurch  unterscheidet,  dass  ihre  Flächen  keiner  der 
krystallographischen  Axen  parallel  sind  ($.  56).    Sie 


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58  Reine  Krystallograpkie. 

kann  übrigens  eben  so  wenig,  als  irgend  ein  Prisma, 
selbständig,  sondern  nur  in  Combination  mit  andern, 
ihre  indefinite  Ausdehnung  begränzenden  Gestalten 
auftreten.  Weil  aber  je  zwei  zusammengehörige  oder 
coordinirte  Hemipyramiden  nur  selten  zugleich,  und 
noch  seltner  im  Verhältnisse  des  Gleichgewichtes  in 
einer  und  derselben  Combination  aufzutreten  pflegen, 
so  wird  die  Bestimmung  ihrer  selbständigen  Erschei- 
nungsweise von  noch  grösserer  Wichtigkeit,  als  die 
Bestimmung  ihres  gemeinschaftlichen  Vorkommens  in 
der  vollständigen  monoklinoSdrischen  Pyramide. 

Die  Hemipyramiden  zerfallen  in  ein  oberes  und  ein 
unteres  Glied  oder  Flächenpaar,  und  haben  4  Kanten. 
Ihre  Kanten  sind  einander  parallel,    aber  zweier- 
lei: zwei,  im  klinodiagonalen  Hauptschnitte  liegende 
Polkanten,  und  z#ei  Mittelkanten. 

Jede  Fläche  einer  Hemipyramide  kommt  mit  den 
drei  Hanptschnitten  zum  Durchschnitte,  und  bildet 
daher  eine  basische,  orthodiagonale  und  klinodiago- 
nale  Intersection,  welche  Intersectionen  nur  dann  als 
vrirklicke  Kanten  erscheinen,  wenn  das,  dein  resp. 
Hadptschnitte  entsprechende  Flächenpaar  mit  der  He- 
mipyramide wirklich  combinirt  ist. 

Die  Neigungswinkel  jeder  Pyramidenfläche  gegen 
die  drei  Coordinatebenen  werden  gleichfalls  nach  den 
Namen  dieser  Ebenen  als  die  basische,  ortho- 
diagonale und  klinodiagonale  Kante  der  He- 
mipyramide unterschieden. 

Von  den  übrigen  Gestalten  des  Systemes  kann 
erst  im  folgenden  Capitel  die  Rede  seyn,  weil  solche 
nur  als  die  Gränzgestalten  der  Pyramiden  zu  betrach- 
ten sind. 


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Systemlehre.  Monoilinoedn  System.  Cap.  iL    50 

Zweites    Capiteh 

Von  der  Ableitung  der  inopoklinoiSdritehen 
Gestalten. 

f.    455. 

Gnindgettah. 

Für  die  Ableitnngen  in  diesem  Systeme  wählen 
wir  irgend  eine  vollständige  monoklino^drische  Pyra- 
■ide  als  Grandgestalt,  beieichnen  sie  mit  +P,  indem 
wir  die  Zeichen  ihrer  Theilgestalten  zusammenziehen, 
und  setzen  das  Yerhältniss  ihrer  Hauptaxe,  Klino- 
fiagonale  und  Orthodiagonale  =5  a  :  i  :  c,  den  Nei- 
gugiwinkel  der  schiefen  Axen  =  y. 

Ans  dieser  vollständigen  Pyramide  leiten  wir  die 
ibrigen  Gestalten  gerade  so  ab,  als  ob  auch  sie  je» 
leofalls  vollständig  und  in  derjenigen  Regelmässigkeit 
ettduenen,  welche  ein  vollkommenes  Gleichgewicht 
11  der  Ausbildung  ihrer  resp.  Theilgestalten  voraus- 
tetsen  würde.  Obgleich  nun  die  Wirklichkeit  dieser 
Voraossetsung  nur  selten,  und  auch  dann  nur  annä- 
henuigsweise  entspricht,  so  müssen  wir  sie  doch  als 
Httlbvorstellung  gelten  lassen,  um  zu  einer  leichten 
Uebersicht  sämmtlicher  Gestalten,  und  zu  einer  be- 
itimmten  Eanaicht  in  ihren  gegenseitigen  Zusammen- 
buk zu  gelangen. 

8.    456. 
Hanptreihe  monoklmoödrischer  Pyramideo. 

Aus  der  Grundgestalt  +P  lässt  sich  eine  RMbe 
moBoklinoSdrischer  Pyramiden  von  gleicher  Basis  und 
RSehenstellung  ableiten. 

Man  multiplicire  die  Hauptaxe  der  Grundgestalt 
nit  einem  Coäfficienten  m,  der  >  oder  <  1,  und 
lege  für  jeden  Werth  von  m  Ebenen  durch  die  Mit- 
telkanten und  die  Endpuncte  der  verlängerten  oder 


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60         ,        Reine  Krystallographie. 

verkürzten  Hauptaxe,  90  wird  jedenfalls  über  dersel- 
ben Basis  eine  monoklino^drische  Pyramide  von  »fa- 
chcrAxe  construirt,  deten  Zeichen  =+mP.  Da  nun 
m  alle  rationalen  Werthe  zwischen  0  und  00,  auch 
diese  Gränz werthe  selbst  annehmen  kann,  so  erhal- 
'  ten  wir  einen  zahllosen  Inbegriff  von  dergleichen  Py- 
ramiden, der  sich  unter  dem  Schema  der  Reihe 

oP ±mV +P +i»P ooP 

darstellen  lässt,  in  welcher  die  Glieder  linker  Hand 
von  P  lauter  flachere^  die  Glieder  rechter  Hand  aber 
lauter  spitzere  Pyramiden  sind,  als  +P. 

Diese  Reihe  heisst  >vieder  die  Haup  treibe,  ist 
aber  eigentlich  eine  Doppelreihe,  indem  die  positi- 
ven und  negativen  Hemipyramiden  in  gegenseitiger 
Unabhängigkeit  neben  einander  fortlaufen,  und  jedes 
+ifiP  keinesweges  an  sein  —mP  so  gebunden  ist,  dass 
beide  zugleich  auftreten  mßssten.  Nur  in  den  Gränz- 
gliedern  verschwindet  diese  Zweideutigkeit,  indem  oP 
die  schiefe  Basis  oder  jede  ihr  parallele  Fläche,  und 
cxP  ein  verttcales  Prisma  von  rhoinbischem  Quer- 
schnitte bedeutet,  welches  immer  auf  dieselbe  Weise 
erscheint,  man  mag  es  als  -|-ooP  oder  als  — ocP  be- 
trachten, wiewohl  seine  Flächen  eine  verschiedene 
Bedeutung  haben,  indem  zwei  auf  die  obere,  und 
swei  auf  die  untere  Hälfte  der  Uauptaxe  zu  beziehen 
sind.  Die  Combination  cx)P.oP  stellt  daher  ein  ver- 
ticales  rhombisches  Prisma  mit  schief  angesetzter  End- 
fläche (ein  Hendyoöder)  dar. 

§.    467. 
Rdhen  der  orihodiagonalen  und  kilttodiagonalen  Gestaltco. 

Aus  jedem  Gliede  der  Hauptreihe  lassen  sich  zwei 
Reihen  von  Gestalten  ableiten,  in  welchen  einerseits 
die  Klinodiagonale,  anderseits  die  Orthodiagonale  der 
Grundgestalt  noch  unverändert  enthalten  ist. 


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Systemlehre.  Monohünoedr.  System.  Cap.  IL  Öl 

Da  w^en 'des  verscfaiedenen  Werthes  der  beiden 
Nebenaxen  für  dieses  und  die  folgenden  Kristallsy- 
steme die  für  das  rbombische  System  in  $.  414  anf- 
^stellte  Regd  xn  beriicksicbtigen,  und  daber  für  die 
ferneren  Ableitangen  jede  Diagonsde  besonders  in  An- 
sprach xn  nehmen  ist,  so  werden  sich  aach  aas  je- 
dem Gliede  +«1?  der  Hauptreihe  zwei  verschiedene 
Inbegriffe  von  Gestalten  ableiten  lassen«  Wir  wer- 
den diese  Gestalten  nach  dem  Namen  deijenigen  Dia- 
gonale,  dnrch  deren  Veränderung  sie  erhalten  wer- 
den, als  orthodiagonale  und  kliuodiagonale 
Gestalten,  und  die  Zeichen  der  letzteren  von  den  Zei- 
chen der  ersteren  dadurch  unterscheiden,  dass  wir 
selbige  in  Klammem  schliessen. 

Man  vervielfache  also  in  irgend  einem  +isP  zu- 
vorderst die  Orthodiagonale  nach  einem  rationalen 
Co§fficienten  n,  dessen  Gränzwerthe  1  und  oo,  und 
verbinde  die  Endpuncte  der  Klinodiagonale  mit  den 
Endponcten  der  so  verlängerten  Orthodiagonale,  so 
wird  jedenfalls  in  der  Ebene  der  Basis  ein  Rhombus 
von  den  Diagonalen  2b  und  2nc  construirt.  Legt  man 
nun  Ebenen  durch  die  Seiten  dieses  Rhombus  und 
durch  die  Pole  der  Hauptaxe  von  +i7iP,  so  wird  eine 
Bonoklino^drische  Pyramide,  zwar  von  gleicher  Haupt- 
axe und  Klinodiagonale  mit  +f»P,  aber  von  grösse- 
rer Orthodiagonale,  daher  auch  von  verschiedener 
Basis  und  Flächenstellung  zum  Vorscheine  kommen, 
deren  Zeichen  =  +i»Pii. 

Da  nun  n  alle  rationalen  Werthe  von  1  bis  oo 
annehmen  kann,  so  folgt  aus  jedem  Gliede  der  Haupt- 
reihe eine  Reihe  orthodiagonaler  Gestalten: 

.      +«»P ±m?n ±mVx> 

welche  gleichfalls  eigentlich  eine  Doppelreihe  ist, 
weil  jede  ihrer  Gestalten  in  zwei,  von  einander  un- 
abhängige Theilgestalten  zerfällt.  Ihre  Gränzglieder 
sind  einerseits  +  «»P)  oder  das  der  Ableitung  zu  Grunde 


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62  Reine  Krystallographie. 

gelegte  Glied  der  Hau|>treihe)  anderseits +i»Pao,  oder 
ein  horizontales  Prisma  von  rhomboidischem  Quer- 
schnitte, welches  wegen  der  verschiedenen  Lage  and 
Ausdehnung  seinerFlächen  in  zwei,  von  einander  un^ 
abhängige  Hemiprismen  zerfällt. 

Ganz  auf  ähnliche  Art  gelangt  man  aus  jedem 
'  +  ffiP,  indem  man,  bei  constanter  Orthodiagonale,  den 
CoSfßcienten  n  anf  die  Klinodiagonale  besieht,  auf 
eine  Reihe  von  klinodiagonalen  Gestalten 

+jwP ±(«P«) («Poe) 

welche  wiederum,  mit  Ausnahme  des  letzten  Gliedes, 
eine  Doppelreihe  ist.  Dieses,  von  dem  Gränzgliede 
der  vorigen  Reihe  wesentlich  verschiedene  letzte  Glied 
ist  nämlich  ein  geneigtes  Prisma  oder  Klinoprisma 
von  rhombischen  Querschnitten,  und  eine  einfache 
Gestalt,  deren  vier  Flächen  jederzeit  vollständig  er- 
scheinen. 

§.    458. 
'     Reihen  der  orthodlagonalen  und  künodiagonalen  Prismen. 

Machen  wir  die  Ableitungen  des  vorhergehenden 
f.  auf  ooP,  oder  das  verticale  Prisma  der  Hauptreihe 
geltend,  so  erhalten  wir  zwei  verschiedene  Reihen 
verticaler  Prismen.  Die  erste  dieser  Reihen,  oder  die 
Reihe  der  orthodiagonalen  Prismen  hat  die  Form 

ooP ooPä ooPoo 

ihre  mittleren  Glieder  bilden  Zuschärfungen,  ihr  letz- 
tes Glied  Abstumpfungen  der  klinodiagonalen  Seiten- 
kanten von  ccP,  indem  dieses  letzte  Glied  ein,  dem 
orthodiagonalen  Hauptschnitte  paralleles  Flächenpaar 
darstellt,  und  daher  den  Namen  des  orthodiago- 
nalen Flächenpaares  fährt 

Die  zweite  Reihe,  oder  die  Reihe  der  klinodta* 
gonalen  Prismen  hat  die  Form 

C»P (OoPä) ((X)P(X>) 

ihre  mittleren  Glieder  bilden  Zuschärfungen,  ihr  letz- 


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Sysiemlehre.  Monohlinoedr.  System.  Cap^II.    63 

tes  Glied  Abstampfangen  der  orthodiagonaien  Seiten- 
kantea  von  ooP,  indem  dieses  letste  Glied  ein,  dem 
klinodiaganalen  Hauptschnitle  paralleles  Flächenpaar 
darstellt,  und  daher  den  Namen  des  kl ino diagona- 
len Flächenpaares  führt. 

Anmerkung.  Um  die  verschiedenen  Prismen, 
welche  in  diesem  Systeme  vorkommen ,  knn  nnd  he- 
xeichnend  unterscheiden  zu  können,  wollen  wir  uns 
küirftig  für  verticale  Prismen  des  Wortes  Prisma 
schlechthin;  für  horizontale  Prismen,  weil  solche  nar 
kl  ihren  Theilgestalten  erscheinen,  des  Wortes  He- 
miprisma,  und  für  geneigte  Prismen  des  Wortes 
Klinoprisma  bedienen. 

f.  459. 
Schema  des  Hionokliiioedriscben  Systemea. 
In  den  Resultaten  der  vorhergehenden  §{.  ist  die 
Au^be  der  Ableitung  vollständig  gelöst ;  eine  Zusam- 
menstellung jener  Resultate  Jässt  uns  zu  folgender 
schematiachen  Uebersicht  der  sämmtlichen  Gestalten 
des  Systenles  gelangen: 

oPoo +»Poo +P(X) ±«iPao...^....cxPoo 


oP«. ..+mPn +Pn +  mPn ocP 


oP 


•••••••»•• 


,+«ip. +p +«p.. 


,.ocP 


(ofa).....±(m¥n) +(P«) ±{mVn) (ocPä) 


(•Pc3o)...„..(»iPco) (Poo) («Poo) .  ...(ocPcc) 

Der  blosse  Anblick  dieses  Schemas  lehrt  ans  fol- 
gende Verhältnisse  der  in  ihm  enthaltenen  Gestal- 
ten kennen: 


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64  Beine  Krystaüographie. 

1)  Die  mittelste  horizontale  Reihe,  oder  die  Haupt« 
reihe  des  Systemes  enthält  alle  Pyramiden,  so 
wie  das  Prisma  tob  gleicher  Basis  und  Hieben- 
Stellung  mit  der  Grundgestalt;  die  sämmtlichen 
Pyramiden  erscheinen  als  Hemipyramiden. 

2)  Das  ganze  Schema  wird  durch  die  Hauptreihe 
in  zwei  Hälften  getheilt,  von  welchen  die  obere 
die  orthodiagonale,  die  untere  jdie  klino- 
diagonale  Hälfte  genannt  wird;  die  Haupte 
reihe  selbst  hat  einen  neutralen  Charakter,  und 
ihre  Gestalten  lassen  sich  eben  so  gut  der  ei- 
nen wie  der  andern  Hälfte  beirechnen« 

3)  Die  oberste  horizontale  Reihe,  welche  wir  die 
orthodiagonale  Nebenreihe  nennen,  ent- 
hält die  sämmtlichen  Hemiprismen,  so  wie  das 
orthodiagonale  Flächenpaar. 

4)  Die  unterste  horizontale  Reihe,  welche  wir  die 
klinodiagonale  Nebenreihe  nennen,  ent- 
hält die  sämmtlichen  Klinoprismen,  so  wie  das 
klinodiagonale  Flächenpaar;  keine  der  in  ihr 
enthaltenen  Gestalten  zerfällt  in  Theilgestalten. 

5)  Die  mittleren  horizontalen  Reihen  der  oberen 
Hälfte  des  Schemas,  oder  die  orthodiagona- 
len  Zwischen  reihen  enthalten  alle  ortho- 
diagonalen  Pyramiden  und  Prismen;  jede  Pyra* 
mide  zerfällt  in  zwei  Hemipyramiden. 

6)  Die  mittleren  horizontalen  Reihen  der  unteren 
Hälfte  des  Schemas,  oder  die  klinodiagona- 
len  Zwischenreihen  enthalten  sämmtliche' 
klinodiagonale  Pyramiden  und  Prismen ;  jede  Py- 
ramide zerfallt  in  zwei  Ilemipyramiden. 

7)  Jede  Terticale  Reihe  enthält  Gestalten  von  glei- 
cher Länge  der  Hauptaxe  (daher  die  äusserste 
Reihe  rechter  Hand  sämmtliche  Prismen),  zer- 
fällt aber,  wie  das  ganze  Schema,  in  eine  or- 
thodiagonale  und   eine  klinodiagonale  Hälfte; 


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Systefniehre.  Mmoklinoedr.  System.  CapJU.  C& 

Jene  kq;teift  lauter  Gestalten  ^  in  wdichen  4er 
kliaodiagoaale  Haaptschnitt,  diese  lauter  6e8tal<» 
ten,  in  weichen  der  ortiiodiagonale  Hanptschnitt 
des  Gliedes  der  Hanptreihe  neeh  unverändert 
enthalten  ist«. 


Drittei    Capitel 

Von  der  Berechnung  der  monoklinoSdri« 
sehen  Gestalten« 

i  460. 
Vorberettuiig« 

Wegen  des  isolirten  Auftretens  ihrer  Theilgestal«* 
tea  ist  die  Berechnung  der  voUständigen  monoldinoö^ 
drisdien  Pyramiden  TOtt  weit  geringerer  Wichtigkeit^ 
ab  die  Berechnung  der  Hemipyramiden.  Weil  aber 
diese  letzteren  keine  geschlossene  Gestalten  sind,  sa 
Bissen  wir  ihrer  Ausdehnung  dieselben  Gränzen  setzen, 
irelche  ihr  in  der  vollständigen  Pyramide  zukommen, 
mdem  wir  für  jedes  Glied  einer  Ilemipyramide,  nächst 
sanein  zwei  eigenthumlichen  Flächen,  den  basischen 
«id  oithodiagonalen  Hauptschnitt  als  Begränzungsflä- 
dien  eetsen.  Um  nun  die  Berechnung  in  der  gross- 
tan  Allgeraeinheit  zu  jfähren,  haben  wir  selbige  auf 
die  Hendpyraniide  +P  oder  ^^P,  von  dem  Verhält«! 
Bisse  a:6:c  und  dem  Neigungswinkel  Cs=  y  zu  grün« 
den«    Wir  bezeichnen  in  P 

die  klinodiagonale  Kante  mit  X 

-    orthodiagonale      -         •     F 

«    basische  "         *    Z 

die  ebenen  Winkel  jeder  Fläche,  analog  den  ihnen 

gegenüberliegenden  Kanten,  mit  $,  v  und  ^,  und  die" 

tdben  Kanten  und  Winkel  in  der  negativen  Hemipy« 

ü.  5 


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66  Reine  Kry^allographie. 

ramide  —  P  mit  den  ^M^centoirteti  Bach8tab«ii  X,  Vy  Z\ 
^y  v'  und  C. 

EndBch  besieiclinen  wir  in  P  den  Neigungswinkel 
d.  kBnod.  Polk.  ig^;en  die  Hanptaxe  mit  ft 

-  -    -         -        -    -     -  Klinodiagonale  mit  v 

-  orthod.  Kante   •    -     •  Axe  mit  n 

-  basischen  Kante     -     -  Klinodiagonale  mit  er 
und  die  beiden  ersteren  Wiiikel  |n  der  negativen  He- 
mipyramide  mit  f/  und  v^ 

«.    461. 

Fliehen -Konaale» 

Die  Gleichungen  der  Flächen-tNormale  für  die  po- 
sitive Hemipyramide  P  sind  die  in  §.  28  stehenden 
Gleichungen  (25),  (26)  und  (27),  wenn  man  in  ihnen 
y  statt  ^  schreibt,  also 

^ y       ^  0 

5"— ocöjry        a  —  bcoi'y 

Z  X 


\$in'^y  c(b — aeoty) 


=  0 


c(a — bcofy)  mbtin^y 

setzt  man  eety  negativ,  so  gelten  dieselben  Gleichun- 
gen fQr  die  Häehen -Normale  der  negativen  Hemipy^ 
ramide. 

Durch  Combination  der  orthometrischen  Gleicbmi«!» 
gen  der  Flächen -Normale  (22),  (23)  und  (24)  m 
§.  28  mit  der  gleichfalls  orthometrischen  Gleicfaimg 
der  Fläche  F  erhält  man  die  orthometrischen  Coordi-« 
naten  Xi^  yi  und  z  ihres  Durchscfanittspunctes;  addirt 
man  die  Quadrate  derselben,  und  zieht  aus  der  Summe 
^e  Quadratwurzel,  so  eriiält  man  die  Länge  der  Flä- 
chennormale 

j^  _  ^  «Äcföiy 


in  welchem  Ausdrucke  die  oberen  Zeichen  für  die  po« 


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Syatemiehre.  MomokUii^Mt.Syatiii^  Cap.IIl  07 

lidfre,  41»  «nteMii  far  4ie  Mgaftfre  fi«B^«ainiM» 
gelten.  Setzt  man  4ea  Mendw  3=  Jf  «dlw  s«  Jf,  j« 
•aehdem  «•#}'  poüliT  «tief  negatiT  ürt^  10  wird 

KT  —  «^c^r 

«.  46?. 
Kantenlinico  oder  Intenecttonea. 

Die  klinodiagondie  KanftenUnie  ist  in  der  poiiti- 
rea  Hemipyramide  kleiner  all  in  der  negatiTen,  weil 
•ie  für  jene  den  spiUen ,  für  diese  den  stumpfen^  swi- 
schen  den  Seiten  a  mid  b  eingeschlossenen  Winkel  y 
scUiesst;  es  wird  daher 

Xaa  ^4t*+t^'^2mb€09r 

J7=r  Va^+b^+2mbea»y 
Die  orthodiagonale  und  basische  Kantenlinie  Y 
Bod  Z  haben  dagegen  für  beide  Hemipjramiden  die- 
selben WerthC)  n&mlich 

f.    463. 
T0I1BMD  und  OberlUdie. 

Das  Volomen  v  Jeder  Hemipyraniide  Ist  gleich 
den  doppelten  Yolomen  9  eines  ihrer  Glieder.  Be- 
traditet  man  die  halbe  Basis  =3  ic  als  Chrnndliehe 
dnes  solehen  Gliedes,  so  wird  aHny  die  Höhe  des- 
selben,  und  daher 

v  =5  29  =s  iabeiifiY 
md  endlich  das  Volnmen  der  vollständigen  Pjrmnide 
F  ae  Ai;  csB  49  =?  ^obtsiny 
Dividirt  Mm  9v  dweh  die  Fltehennomale  N  oder 

6* 


t 


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68  Reine  KrystdllograpTiie. 

Ifj  80  folgt  för  die  Oberfläche  «  oder  s^  der  positiv 
▼en  oder  negadren  Hemipyramide 

und  der  FUcheninhaU  einer  Pyramidenfläche 

1    464. 
FlächenwinkeL 

Die  Sinns  der  Flächenwinkel  finden  sich  nnmi(- 

telbar  aus  den  bekannten  Flächeninhalten  F  nnd  F% 

nnd  den  gleichfalls  bekannten  Seiten  X,  JT,  Y  und 

Z,  nach  den  Formeln 

.  ^        2F       .  ^,       21^ 
itni  Ä  y^,   ifuS'  =  Y^  n.  M.  w. 

Die  Cosinus  derselben  Winkel  erhält  man  mit* 
tels  der  Formeln  in  $.  30,  oder  auch  nach  bekannten 
Formeln  der  Trißdrometrie 

iS  ^^  c^+abco9y 

?~         V^a^+c^Vb^  +  c^ 

iV  ^ b{b  +  aco9Y) ^ 

V  ~  ^a^+b^+2abcosy  Vb^+c^ 
iJ a(a'^bco9y)  


coi 


€09 


€09 


C       Va^  +  b^+2abco9yi^a^  +  c^ 
Kennt  man  erst  M  nnd  JUT^  so  werden  diese  Win- 
kel am  leichtesten  durch  ihre  Tangenten  bestimmt, 
wie  folgt: 


a(a  —  bco9yy       ^  a(a  +  b  co9y) 

Es  ist  in  praxi  sehr  wichtig,  diese  Winkel,  so« 

mal  aber  v  und  ^,   als  Functionen  der  Kantenwin* 

kel  Xj  Y  nnd  Z  und  der  Uauptschnittwinkel  /ci,  y,  tt 


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Sysiemlehre.  Monolünoedr.  System.  Cap.IIL  69 

und  ff  zu  kennen;  diese  Aasdrücke  sind  nach  bekann- 
ten Regeln 


coiv  =  eoiXcoiZ 

COtvf  =r  COtXcOtZi 

=  co$yco$a 

=  coii/coia 

tangv 
^^-    CO.X 

tangis 
~     coiZ 

fange 

eoil  =  cot  X  cot  Y 

cQit^  =  0otTc9iY^ 

=  coificosn 

=3s  COM  f/ com 

'^c=  '^ 

•^f-^ 

tangn 

~       C9$Y 

tangn 

i    465. 
Winkel  der  Haoptsduiitta. 

Die  Winkel  der  Hanptschnitte  fi^  ft'  Vy  v^y  ^rnndor 
qdelea  eine  so  wichtige  Rolle  bei  den  Berecluuingen 
«Gebiete  dieses  Systemen ,  dann  es  qothig  ist,  sie 
ik  Fonctionen  sowohl  der  Axen  ids  auch  der  Kan- 
tenwinkel zu  kennen. 

Man  findet  zuvörderst 

^  t^'        u  +  bcoiy 


aitny 


acouy 


tangn  saa       — 

41 


l^migfff  = 


Da  die  vorstehenden  Ausdrucke  für  tangfi  und 
f^v  sehr  oft  in  Rechnung  kommen,  so  wird  es  vor- 
tkeilhaft  seyn,  sie  etwas  bequemer  einzurichten,  in- 
^a  man  sie  zunächst  auf  die  Form 


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70  BeÜM  KrytUMogrcqthie, 


±+—co$Y  l  +  y«o#y 

bringly  und  dam  *^9imy  ses  p^  -^any  sss  jr,  "T^Y 

=  p\  und  -^c^iy^sq^  setst.    Man  hat  dann  fSrjede 

KjryHallreihe  nnt  dn  ffir  alle  Mal  dto  Werthe  von 
J'y  ?>  j'^  UBtd  }^  in  der  Gnindgestalt  zu  berechnen,  um 
dann  mit  Leichtigkeit  tmngfi  und  ^aiif  y  für  alle  abge- 
leiteten Gestalten  sn  finden« 

Als  Functionen  der  Kantenwinkel  finden  sich: 

COM  Y  ,  COiV 

C09  Z  ,         cos  Z^ 

COSP   =s 
CtßiM  SS 

cosX 


§.    466. 
Kautenwkikel« 

Aus  der  in  §.  29  stehenden  Formel  für  comW  fin- 
den sich  unmittelbar  die  Cosinus  der  Winkel  X,  K» 
Z,  JT,  y  und  Z^,  indem  man  successiv  den  Para- 
meter c^,  V  und  o'  s=  0  setzt;  man  erhält  so,  nach 
Yertauschun^  des  Buchstaben  p  mit  y, 

^  abiiny  ^,  aiiiny 

eofX  =      — -j—      ,  coiX^  =  ^^  ■• 

«-        c(i  —  ae0«y)  _.        e(i+acety) 

coit  =  ri — __ IZ,  cotT  =    ^  ^;     '^^ 

Jede  Fliehe  v«n  ±P  UMe«  lait  fcm  klinodk^io- 


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tai^ 


Systemlehre.  Mcmkünoüdr.  System.  Cap.IIL  71 

aalen  und  orthodiagonalttn,  so  wie  mit  dem  klinodia- 
gonalen  und  ba«iscfaen  Hauptschnitte  ein  rechtwinkli- 
ges TiiCder,  aus  welchem  sich  sehr  leicht  nach  den 
bekannten  Regeln  die  Tangenten  für  JT^  Y  n.  i.  w. 
finden  lassen;  nämlich 

Jr  ~  mb»my 

^^\Z-  **         cib^acoiy) 

Als*  Functionen    der  Hanptschnittwlnkel   ausge- 
druckt, werden  dieselben  Tangenten: 


^  itnn 

^^  Mino 

^  iina 

Uebrigens  ist  su  bemerken ,  dass  y  +  fissz  180^ — y, 
und  y  —  f/sss¥^y  daher  auch  rinv  statt  ft»(y+/<)  und 
mi/  statt  $m(y  —  ^^  geschrieben  werden  kann. 

i    467. 
ADgenidner  Gebrauch  der  «rlialtenen  Reiuttate« 

Die  in  rorstehenden  §§.  berechneten  Formeln, 
welche  sich  sunächst  auf  die  Orundgestalt  besiehen, 
sind  dessenungeachtet  allgemein  brauchbar  für  alle  übri- 
gen Gestalten  des  Systemes,  wenn  man  nur  die  ih- 


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72  Reine  KrystaSographU. 

neu  entsprechenden  CoSfficienlen  m  and  n  den  resp. 
Buchstaben  a^  b  und  c  als  Factdren  vorsetzt.  Man 
hat  also 

1)  ma  statt  a, 

2)  flsa  statt  a,  und  ne  statt  c, 

3)  flia  statt  a,  und  jii  statt  & 

^iniufuhren,  um  dieselben  Formeln  för  irgendein  mP, 
mPil  oder  (mPn)  geltend  m  machen. 

Bei  der  grossen  Einfachheit  dieser  Substitutionen 
würde  die  besondere  Darstellung  ihrer  Resultate  über- 
flüssig seyn;  wir  wollen  daher  nur  noch  die  Formeln 
jfur  die  Kantenwinkel  der  dreierlei  Prismen  hersetzen, 
weil  von  selbigen  besonders  häufig  Gebrauch  gemaebt 
wird. 
1}  Setzt  man  a  ss  oo,  so  folgt  fiir  ocP  oder  das  Pris^ 
ma  der  Hauptreihe 

^  bnny  ^ 

b^  nn  ^y  +  c* 
welche  Formeln  für  alle  verticalen  Prismen  ocP» 
oder  (ooP»)  gelten,   wenn  man  c  oder  b  mit  n 
multiplicirt. 
2)  Setzt  man  0=00,  so  folgt  für  die  horizontalen 
Hemiprismen  Poo  und  —  Poo 

welche  Formeln  für  alle  übrigen  Hemiprismen 
+iiiP(X>  gelten,  wenn  man  in  ihnen  ma  statt  a 
setzt,  oder  auch 


^  _   «p' 


'*^{z'  =  iT 


«If' 


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Sysiend^re.  MonoiUnoedr.  System.  Cap.  III.  73 

scfareibt;  die  Grtasen  pj  q^  jf  und  ^  sind  fBr 
Jede  Krjrstallreihe  besonders  su  berechnen,  abelr 
för  eine  nnd  dieselbe  Krystallreihe  constant 
Uebrigens  ist  K«=|m,  Z  =  y  u.s.  w.,  daher 

y  +  Z  =  180*  — y 

r  +  Z'  =    y 
3)  Setst  man  2  =  00,  so  erh&lt  man  für  dasKlino- 
prisma  (Poo) 

tangX  =  tangX^  =  — r— 
a#tiiy 

/iiHf  Z  =  taneV  =  ^^^  =  CO/ J 

c 

welche  Formeln  für  alle  KUnoprismen  (»Poe)  gel- 
ten,  wenn  man  ma  statt  a  schreibt. 

§.    468. 
Berecfamiiig  der  Axen  aus  den  genettenen  Winkeln. 

Jede  monoklino^drische  Pyramide  wird  durch  die 
anmerische  Angabe  des  Verhältnisses  aihic  und  des 
Winkels  y  Tollstftndig  bestimmt,  indem  f3r  jedes  der- 
^eichen  Yerhftltniss  nur  eine  Pyramide  construirt 
werden  kann.  Weil  es  aber  auch  nur  auf  das  Yer- 
kältniss  und  nicht  auf  die  absolute  Grösse  der  Axen 
ankommt,  und  daher  eine  derselben  der  Einheit  gleich 
genommeonrerden  kann;  so  setit  die  vollständige  Be- 
ttimmong  einer  Jeden  monoklinoSdrischen  Pyramide, 
imd  folglieh  auch  einer  jeden  Krystallreihe  dieses  Sy« 
steaiea  nicht  mehr  und  nicht  weniger  als  drei,  von 
einander  unabhängige  Beobachtungselemente  voraus. 
Diese  Elemente  sind  jedenfalls  Kantenwinkel,  ans  de- 
nen man  zunächst  den  Winkel  7^,  und  zwei  ebene 
Winkel  aus  zwei  verschiedenen  Hauptschnitten 
zu  bestinmen  sucht.  Wie  also  auch  die  Beobach- 
tungselemente Jbeschaifen  seyn  mögen,    so  setze  ich 


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74  Beine  KryetaUograjAie. 

voraus,  dasi  entweder  y  danrater  befindlich  ist,  oder 
««qäckst  aufgesucht  wird,  bevor  man  lu  andern  Be- 
stimmungen übergeht.  Hierbei  kommt  AUes  auf  eine 
geschickte  Benutzimg  der  bekannten  trigonometrischen 
und  goniometnschen Formeln  an;  wer  also  im  Besitze 
dieser  ist,  der  wird  ohne  Schwierigkeit  aus  den  ge- 
gebenen Elementen  die  gewünschten  Besidtate  abani- 
leiten  vermögen. 

Zur  Bestiäunung  von  y  dienen  sehr  häufig  die 
Formeln 

weil  man  sehr  oft  die  Neigung  iweier  coordinirter 
Hemiprismen  gegen  den  basischen  oder  orthodiagona- 
len  Hauptschnitt  messen  kann.  Sind  beide  Haopt- 
schnitte  in  den  gleichnamigen  Fläohenpaaren  ausge- 
bildet, so  ist  der  Winkel  y  unmittelbar  zu  messen. 

Ist  y  bekannt,  so  findet  man  aus  je  zwei  der  an- 
dern Hauptschiiittwinkel  das  Yerhältniss  aibic  wie 
folgt: 

1)  aus  fi  und  n 

a:b:e  es  i:    .  ?^^    N'toy^ 

2)  aus  ftf  und  n 

a:6:c  9SS  i:   .  ^^ — jiitmgn 

3)  aus  V  und  a 

itttfi  ^ 

4)  aus  /  und  a 


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&fsUmlehre.  M^motBnoSdr.  fy$tmn.  Cap.IV.  75 

Viertes    C  ap  it  e  L 

Von    den   Combinationen    dei   monoklinoS- 
drischen  Systemes. 

A,     ComHnmtiotui$hr0, 

§.    469. 
Endidiioiigiweiae  der  Terschiedenea  Gestalten. 

Werfea  wilr  nochmals  einen  lih/^)L  auf  den  Inbe- 
gcMT  der  inoneklinoSdriachen  Gestalten  ^  indem  wir 
a^gleidi  dae  Gesell  des  selbständigen  Anftretens  al- 
ler Theilgestalten  vor  Angen  behalten,  so  ergiebt  sich 
das  Resultat,  dass  die  sämmtlichen  cembinationsffthi- 
gen  Gestallen  entweder  vie^zäblige  oder  sweisäh- 
Bge  flfteheninbegcüfe,  nnd,  ihrer  geometrischen  Er- 
Sfheimings weise  nach,  nur  sweierlei  wesentlich  ver- 
scbiedeiie  Formen,  nämlich  indefinite  rhombische  Pris- 
men und  indefinite  parallele  Flächenpaare  sind.  Es 
^xacheinen  nämlich 

A.  als  yierzählige  Flächeninbegrifie  oder   als  inde- 
finite rhombische  Prismen 

1)  die  Hemipyramiden, 

2)  die  verticalen  Prismen, 

5)  die  Klinoprismen; 

B.  als  swetsäblige  Flächeninbegrifie  oder  als  inde- 
finite parallele  Flächenpaare» 

4)  die  sämmtlichen  Hemiprismen 

6)  die  Parallelflächen  der  drei  HaaptschniUe» 
Die  relative  Lage  der  klinodiagonalen  Intersection 

aber  dieser  Gestalten  gegen  die  Haaptaxe  und  Klino- 
diagoDide  bestimmt  die  krjstallographische  Bedeutung 
derselben,  nnd,  was  geometrisch  nnr  als  ein  indefi- 
nites rhombisches  Prisma  an  definiren  war,  wird  kry- 
at^dlographisch  ein  verticales  Prisma,  ein  Klinoprisnia 
oder  eine  Hemipjraroide,  je  nachdem  die  kiinodiago- 
,Bale  Inieraeetion  entweder  der  gewählten  Hauptaxe, 
• 


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7§  Reine  Krystallographie. 

oder  der  Klinodiagonale  parallel,  oder  gegen  beide 
Linien  geneigt  ist.  Hieraus  ersieht  man  die  wichtige 
Kolle,  welche  der  klinodiagonale  Hauptschnitt  und 
das  ihn  repräsentirende  Fläcbenpaar  in  diesem  Systeme 
spielt;  er  ist  die  einzige  absolut  bestimmte,  und  kei- 
ner willkürlichen  Deutung  unterworfene  Fläche;  er 
bildet  gleichsam  den  Aequator  des  ganzcy  Systeme« 
ni^ch  rechts  und  links  und^  den  eigentlichen  Modera- 
tor seiner  Symmetrieverhältnisse.  D^her  lässt  sich 
auch  an  die  Orientirung  einer  monoklinoedrisohea 
Combination  nicht  wohl  denken,  bevor  die  Lage  de« 
klinodiagonalen  Hauptschnittes  ausgemittelt  worden; 
glücklicherweise  aber  ist  diese  Ausmittelung  auf  den 
ersten  Blick  möglich,  weil  eine  Ebene  von  so  emi- 
nenter Lage,  selbst  wenn  sie  nicht  in  dem  ihr  ent- 
sprechenden Flächenpaare  ausgebildet  seyn  sollte,  doch 
niemals  übersehen  oder  mit  andern  verwechselt  wer* 
den  kann. 

§.    470.^  • 

BasU  und  aufirechte  Stellung. 

Die  im  vorigen  f.  erwähnte  allgemeine  Orienti- 
rung einer  Combination ,  oder  die  krystallographische 
Deutung  der  verschiedenen  in  ihr  enthaltenen  Flächen, 
setzt  aber  auch  die  Lage  der  Hauptaxe  und  Klino- 
diagonale, oder,  was  dasselbe,  die  Lage  des  basi- 
schen und  des  orthodiagonalen  Flächenpaares  als  be- 
kannt voraus.  Während  nun  im  rhombischen  Systeme 
alle  drei  Coordinatebenen,  und  somit  alle  drei  Axen 
ihrer  Lage  nach  vollkommen  bestimmt  wa- 
ren, so  dass  an  eine  willkürliche  Bestimmung  der- 
selben nicht  gedacht  werden  konnte,  finden  wir  hier 
nur  eine  der  Coordinatebenen,  nämlich  den  klinodia- 
gonalen Hauptschnitt  absolut  bestimmt,  die  übrigen 
beiden  Coordinatebenen  dagegen  unserer  willkürlichen 
Bestiuua^uig  mehr  oder  weniger  überlassen,    indeui 


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Systemlehre.  MonokUnoedr.  System.  Cap.  IV.  Tl 

wir  jedes  auf  dem  klinodiagonalen  Hauptschnitte  recht- 
winklige Flächenpaar  als  den  Repräsentanten  der  Ba- 
sis oP  oder  auch  des  orthodiagonalen  Flächenpaares 
ooFoo  betrachten  k$nnen.  Indessen  wird,  wenigstens 
in  den  meisten  Fällen,  die  Beschaffenheit  der  Com- 
binatioii  ein  sicheres  Anhalten  nicht  nur  für  die  WaM 
der  Basis ,  sondern  auch  ffir  jene  der  aufrechten  Stel- 
img,  oder,  was  dasselbe,  fGr  die  Bestimmung  der 
Lage  der  Hauptaxe  und  Klinodiagonale  an  die  Hand 
geben.  Man  hat  dabei  ganz  vorzuglich  auf  den  Pa- 
rallelismns  der  Combinationskanten ,  auf  die  beson- 
ders vorherrschenden  Gestalten,  bisweilen  auch  auf 
die  Torherrschenden  Dimensionen  des  Krystalles  u.  a. 
Verhältnisse  Rucksicht  zu  nehmen,  jedenfalU  aber 
einen  sa  spitzen  Werth  des  Winkels  C  oder  y  zu  ver- 
meiden. —  Uebrigens  werden  alle  diese  Bestimmun- 
gen gewohnlich  um  so  leichter,  je  zusammengesetz- 
ter die  Combination  ist,  und  einige  Uebung  so  wie 
ein  gewisses  Gefühl  fiir  Symmetrie  lassen  bal4  dahin 
gelangen,  in  jedem  Falle  das  Zweckmässigste  zu  er- 
greifen. 

§.    471. 

Gnindgestalt. 

Nachdem  die  Basis  und  aufrechte  Stellung  gewählt 
md,  sondern  sich,  nach  der  Lage  ihrer  klinodiago- 
aalen  Intersection,  die  verschiedenen  vierflächigen 
Ciestalten  in  verticale  Prismen,  Klinoprismen  und  lle- 
mipyTamiden ,  und  die  noch  übrigen  zweiflächigen  Ge- 
stalten erhalten  die  Bedeutung  von  llemiprismen.  Aus 
den  vorhandenen  Hemipyramiden  wählt  inan  hierauf 
diejenige  als  Grundgestalt,  deren  Verhältnisse  zu  den 
übrigen  Gestalten  die  leichteste  Entwicklung  der  Com- 
bination gestatten.  Dadurch  wird  auch  das  Yerhält- 
niss  der  Lineardimensionen  a:b:c  der  Krystallreihe 
vollständig  bestimmt.    Weil  nämlich  beide  Theilge- 


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78  Reine  Kry^cUhgraphie. 

stalten  einer  jeden  monoklinoMrischen  Pyramide,  ohn« 
in  einer  sonstigen  Abhängigkeit  von  einander  sn  ste^ 
lien ,  durch  die  Identität  ihrer  Parameter  so  nnmittel- 
här  mit  einander  verbunden  sind,  dass  mit  einer 
derselben  zugleich  die  ändert  bekannt  ist,  so  bedarf 
es  auch  nur  des  Auftretens  einer  der  TfaeUgestahea 
der  Grundgestalt,  um  diese,  und  daher  die  Krystall- 
reihe  selbst  nach  ihren  Lineardimensionen  xu  best»- 
men.  Sind  keine,  oder  keine  zur  Crrundgestalt  geeig«^ 
neten  Hemipyramiden  vorhanden,  so  schliesst  mmm 
aus  den  Verhältnissen  der  übrigen  Gestalten  auf  das* 
jenige  Diniensionsverhältniss,  welches  am  Tortheilfaaf* 
testen  zu  Grunde  zu  legen;  oder  bestimmt  doch  die- 
jenigen Glieder  desselben,  welche  sich  aus  den  vor^ 
handenen  Gestalten  ableiten  lassen.  Die  Combina«» 
tion  oP.acP(X>.((x>Poc)  lässt  jedoch  die  Lineardimeasio- 
nen  gänzlich  unbestimmt,  und  gestattet  Mos  die  Be- 
stimmung der  Angulardimension  C 

Die  Zähligkeit  der  Combinationen  bestimmt  sich 
hier  wie  in  den  bisherigen  Systemen;  nar  darf  man 
nicht  vergessen,  dass  die  einzelen  Theilgestaltea  ge- 
sälüt  werden  müssen. 

§.    #72. 
AllgenMÄne  Regeln  der  BotwicUuns. 

Wie  durch  die  Wahl  der  Basis  und  aufrecbtea 
Stellung  die  verschiedenen  FlächeninbegriffB  im  All- 
gemeinen als  Hemipyramiden,  Prismen,  Klinoprismen 
und  Hemiprismen  unterschieden  werden,  so  bestin»* 
men  sich  durch  die  Wahl  der  Grundgestalt  die  ver- 
schiedenen Unterarten  der  Hemipyramiden  und  Pris- 
men nach  ihrem  krystdlographischen  Standpuncte  in 
den  verschiedenen  Abtheilungen  nnsers  Schemas  in 
(.  459.  Femer  ergeben  sich  unmiuelbar  aus  den  Re- 
sultaten der  Ableitung  folgende  R^;eln: 
1)  Je  iwei  Gestalten,  deren  heteropolare  Combina-»' 


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S^stemlehre.  MonokUnoedr.  Sy^tmn.  Cap.IF.  Tft 

tiotuikraten  divn  basischen  ÜMptseltaitCe  parallel 
Isafen,  haben  dasselbe  Verhältnis«  der  Klinodia- 
gonale  and  Orthodiagonale;  sie  sind  also  gleich-^ 
nainig,  nnd  haben  ii^s=ii« 

2)  Je  zwei  Gestalten,  deren  beteropolare  CK.  dem 
ertfaodiagonfdea  Hanptschnitte  parallel  laufen,  ha- 
ben dasselbe  Verhältniss  dar  Hauptaxe  und  Or^  ^ 
thodiagonale;  sind  sie  also 

a)  gl^dmamig,  nnd  zwar 

M^        m 
ff)  orthodiagonal,  so  ist  -;  =  — , 

ß)  klinodiagonal^  so  ist  m^  x:«  m, 

b)  ungleichnamig,  so  ist  -7  =  «i,  wenn  sich  die 

accentnirten  Buchstaben  auf  die  orthodiagonale 
Gestalt  bezieben. 

3)  Je  zwei  Gestalten,  deren  heteropolare  CK.  dem 
kfinodiagdHalen  Hauptsebnitte  parallel  laulra,  be- 
llen dasselbe  Yerhftltniss  der  Hauptnie  und  KU- 
Bodiagonale ;  sind  sie  also  ^ 

a)  gleichnamig,  und  zwar 

<x)  orthodiagonal,  so  ist  m^  sb  m, 

0)  klinodiagonal ,  so  ist  -7  s=a  — , 

b)  ungleichnamig,  so  ist  m'  t=3  — ,   wenn  der  ac«» 

*  / 

eentuirte  Buchstabe  auf  die  orthodiagonale  Ge- 
stalt bezogen  wird. 

§.    473. 

Combiiiati«iiggleichtBig. 

Es  liezse  sich  auch  für  dieses  und  4ie  folgenden 
Sjsteme  eme  Theorie  der  binären  Combinationen  a«£- 
steBen;  wegen  der  Zerfftllung  aller  Gestalten  in  zwei 
Theflgestalten  wGrde  jedoch  diese  Theorie  nur  die 
Combteation  zweier  Prismen  in  aUen  m8f  liehsn  I«a- 


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M  Reine  KrystaUograpMe^ 

gen  snuu  Gegenstände  haben,  tut  welche  sie  did  vei^ 
schiedene  L&ge  der  Combinationskanten  und  die  die- 
ser Lage  entsprechenden  Verhältnisse  der  Ableitnngs* 
sahlen  anzugeben  hätte^  Ihre  Resultate  würden  da«* 
her  im  Ganzen  wenig  fmchtbar  ausfallen,  um  so  we-> 
niger,  da  die  binären  Combinationen  vermöge  der  Na- 
tur dieses  Systemes  selten  vorkommen,  nnd  fiir  jede 
unbekannte  Gestalt,  wenn  solche  nicht  durch  zwei 
verschiedene  Combinationskanten  von  eminenter  Lage 
begränzt  ist,  Messungen  erfordert  werden. 

Um  so  wichtiger  wird  in  diesem  und  den  folgen- 
den Systemen  der  Gebrauch  der  allgemeinen  Combi- 
nttdonsgleichung  in  f .  68 ;  bei  deren  Anwendung  man 
nur  die,  dem  Namen  der  Gestalten  entsprechenden 
Verhältnisse 

m  :  »  :  i 
oder  m  :  i  :  n 
statt  der  Verhältiiisse  m  :n  :  r  u.  s.  w.  einznfiihren, 
oder,  mit  andern  Worten,  die  Grösse  r  oder  die 
Grosse  n  der  Einheit  gleich  zu  setzen  und,  im,  letz- 
teren Falle ,  r  mit  n  zu  vertauschen,  dabei  die  nöthi- 
gen  Vorzeichen  der  Pariimeter  genau  zu  berüdcsich- 
^en  braucht. 

Uebrigens  sind  jedenfalls  zweierlei,  nämlich  he- 
teropolare und  amphipolare  Combinationskanten  zu 
berücksichtigen, 

§.    474. 

Wichtigste  Ck>mbinatioosregeInv 

Einige  der  wichtigsten  Specialregeln,  welche  sich 
fheils  aus  der  Ableitung,  theils  aus  der  Combinations- 
gleichong  ergeben,  und  zur  Entwicklung  der  gewöhn- 
lichsten Combinationen  hinreichen,  sind  folgende: 
1)  Diejenige  Gestalt,   welche  die  klinodiagonalen 
Polkanten  der  Hemipyranride  ±  «iPn  abstumpft 


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Systemlehrt,  JUonoUinoedr.  System.  Cap.IV,  81 

oder  suschärft,  ist  das  Hemipriima  jh  «Pao  oder 
die  Hemipyramide  +  mPn^,  wo  %'^n, 

2)  Diejenige  Gestalt ,  welche  die  klinodiagonalen 
Polkanten  der  Hemipyramide  +(mPii)  abstumpft 

oder  soschärft)  ist  das  Hemiprisma  +—Pcc  oder 
die  Hemipyramide  + — Pn^;  doch  kana  die  Za« 

schärfimg  aacl(  durch  eine  Hemipyramide  +(— Pii'l 

hervorgebracht  werden,  für  welche  dann  m'^ii. 

3)  Dasjenige  horizontale  Prisma,  welches  die  kli- 
nodiagonalen Combinationsecke  von  +siP  und 
ocP  so  abstumpft,  dass  seine  Flächen  als  Rhom- 
ben erscheinen,  ist  +2«iPoo. 

4)  Dasjenige  Klinoprisma,  welches  die  amphipola- 
ren  Combinationskanten  zwischen  mP  oder  — «iP 
und  ooP  abstumpft,  ist  (2mPoo). 

5)  Diejenige  Hemipyramide,  welche  >die  Combina* 
tionskanten  zwischen  der  Hemipyramide  +iiiP 
und  dem  Flächenpaare  ooPoo  oder  (ocPoo)  ab- 
stumpft, ist  +  mnSfn  oder  +  (smiPä). 

6)  Diejenige  Hemipyramide,  welche  die  Combina- 
tionskanten zwischen  +«iPoo  oder  (mPoo)  und 

ooP  abstumpft,  ist+«T-^Ii —  oder(«'P-^Y 

""^  ÄI  —"#1  \         ZI  — Ä/ 

7)  Diejenige  Pyramide  derHanptreihe,  welche  die 
Combinationskanten  des  Hemiprismas  HhüPoc  und 

des  Klinoprismas  (siToo)  abstumj^t,  ist    ^^   fi. 

ZI  -|-  m 

Bfan  k5nnte  aus  der  Combinationsgleichung  noch 
Tiele  ähnliche  Specialregeln  ableiten;  doch  würde  eine 
solche  Vervielfältigung  derselben  ihrem  Zwecke  we- 
nig entsprechen,  welcher  kein  anderer  seyn  kann,  als 
der,  einen  Inbegriff  von  Regeln  zu  haben,   welche 

n.  6 


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82  Reine  KrystaUographie. 

den  in  praxi  am  häufigsten  vorkommenden  Fällen  ent- 
spr^hen,  und  leicht  im  Gedächtnisse  zu  behalten  sind. 

$.    475. 
Berecfamiig  der  Combinationskanteii« 

Die  Berechnung  der  Combinationskanten  kann 
zwar  in  diesem  Systeme  nach  der  Formel  für  cot  W 
'  in  f.  29  ausgeführt  werden ,  ist  aber  dann  oft  unbe- 
quem und  weitläufig.  Bequemer  wird  man  in  den 
meisten  Fällen  durch  Hülfe  der  Tri€drometrie  zum 
Ziele  gelangen.  Dabei  sind  folgende  zwei  Fälle  za 
unterscheiden. 

A.  Die  Combinationskante  ist    einem  der  Haupt- 
schnitte paralleL 

Dann  berechnet  man  nach  §.  466  die  Neigungs- 
winkel beider  Flächen  gegen  denselben  Haupt- 
schnitt; das  Supplement  der  Differenz,  oder,  wenn 
beide  Flächen  zu  verschiedenen  Seiten  des  Haupt- 
schnittes liegen,  die  Summe  dieser  Winkel  ist  die 
gesuchte  Combinationskante. 

B.  Die  Combinationskante  ist  keinem  der  Haupt- 
schnitte parallel. 

Dann  berechnet  man  zuvorderst  die  Neigungswin- 
kel beider  Flächen  gegen  einen  und  denselben  (und 
zwar  am  besten  gegen  den  orthodiagonalen  oder  ba- 
sischen) Hauptschnitt,  zugleich  aber  auch  den  Nei- 
gungswinkel S  ihrer  beiden  Intersectionen  in  diesem 
Hauptschnitte.  Dadurch  findet  man  zwei  Kantenwin- 
kel nebst  dem  eingeschlossenen  Flächenwinkel  eines 
schiefwinkligen  Triäders,  in  welchem  die  dem  letz« 
teren  Winkel  gegenüberliegende  Kante,  welches  die 
gesuchte  Combinationskante  ist,  mittels  der  Neper- 
schen  Analogien  oder  auch  durch  Einführung  eines 
Hulfswinkels  leicht  berechnet  werden  kann. 


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Systemlehre.  MonikUnoSdr.  System.  Cap.IV.  83 
B.    MtisfMs, 

§.    476. 
Combination  des  Glanbenalzet. 

Es  Stellt  Fig.  525  in  perspectiTischer  und  horl- 
lontaler  Projection  *)  eine  zwolfzählige  Combination 
des  Glaubersalzes  dar,  für  welche  sich  sogleich  die 
mit  P  bezeichneten  Flächen  als  das  klinodiagonale 
FUchenpaar  (ooPoc)  bestimmen.    Setzen  wir  non 

r=  oP 

Jlf  =  ooPoo 
und  »  =  P 
to  wird  es  nns  leicht  gelingen,  die  Combination,  ohne 
Beibnlfe  irgend  einer  Messung,  dnrdi  alleinige  An- 
wesAntg  der  Combinationsregeln  und  Combinations- 
■  gleichnng  voUständig  zu  entwickeln.  Zuvörderst  ist 
klar,  dass  sich  die  übrigen  in  ihr  enthaltenen  Gestal- 
ten ordnen,  wie  folgt;  es  gehören: 

1)  in  die  Hauptreihe  die  Flächen  y,  o  und  d\ 

2)  in  die  orthodiag<maIe  Nebenreihe  d.  F.  #,  r  und  %o\ 

3)  in  die  klinodiagonale  Nebenreihe  d.  F.  z  und  v. 
Von  diesen  Gestalten  bestimmt  sich  sogleich 

0  =  ooP 
md  das  die  Polkanten  von  P  abstumpfende  Hemiprisma 

r  =  Poo 
Da  nun  die  CK.  von  %  und  »  in  eine  Parallelebene 
des  orthodiagonalen  Hauptschnittes  fallen,  so  ist  das 
Klinoprisma 

Z  =  (Poo) 


*)  Da  die  Combinatioiien  der  kliooSdiischen  Krystallflysteme 
geringeren  Grad  von  Regelmässigkeit  besitzen  als  die  Com* 
bnatiOBen  der  vorhergehenden  Systeme^  so  wird  es  zur  richtigen  Auf- 
fiusimg  ihrer  VerhäHniiae  nloht  nnr  nötbig,  die  hinteren  Kanten 
■dt  zu  zeichnen,  sondern  auch  yortheilhalt,  der  perspecti vischen 
Zcidinang  eine  orthographische  Projection  der  Crestalten  e«tned«r 
auf  die  Horizontalcbene  oder  auf  den  klinodlagonalen  Hauptschaitt 
beiznlügeo* 

6* 


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84  Reine  Krystaüographie. 

und  wegen  desselben  Parallelismns  der  CK.  zwischen 
z  und  d  die  Hemipyramide 

d  =  -P 
Nun  erscheint  die  Hemipyramide  y  mit  paralle« 
len  CK«  swischen  2:=B(Pao)  und  r=Pao,  also  ist 

y  =  iP 
und  daher  auch  das  Hemiprisma 

t  =  ^Poo 

Das  Klinoprisma  t;  stumpft  die  amphlpolaren  CK. 
zwischen  ii=:P  und  o  =  o69  ab,  und  ist  daher 

V  =  (2Poo) 

Was  endlich  das  Hemiprisma  v>  betriffi,  so  er- 
scheint es  mit  parallelen  CK.  zwischen  einer  linken 
Fläche  d  und  einer  rechten  Fläche  z»  oder  es  stumpft 
das  Combinattonseck  dieser  beiden  Gestalten  in  der 
Art  ab,  dass  die  Abstfl.  als  ein  Rhombus  erscheint; 
daraus  folgt,  dass 

tt  =  — fPoo  . 
Soniit  ist  die  gegebene  Combinatlon   vollständig 
entwickelt,  und  das  krystallographische  Zeichen  der- 
selben etwa  folgender  Weise  zu  schreiben: 

ooP.ooPoo.P,Poo.—P.(P<x)).iP,— iPoc.iPoo.0P.(2Poo). 
(ooPoo). 

§.    477. 
Fortsetsung. 

Zur  Berechnung  der  Dimensionen  des  GlaubersaU 
zes  mögen  uns  folgende  Beobaditungselemente  gege- 
ben seyn: 

0:0=    86**  31' 
t  :  J!f =Ä  104*^  41' 
w  tif=  132**  ,4' 
Es  ist  also  für  das  Prisma  ossooP: 
Winkel  JC  =  43^  16,5' 
far  d«s  Hemiprisma  t  =  iPoo: 

Winkel  Y  =  75*  19'  =  f4 


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Syttenilehre.  MonoklinoSdr.  System.  Cap.IF.  8S 

für  das  Hemiprisma  t9  = — |Poo: 

Winkel  Y  =  AV  66'  =  ^' 
Da  nun  /  und  w  coordinirte  Uemipriinien  aind« 
so  folgt  nach  f.  468 

and  daher 

y  sa  C  =  72^  15' 
Setzen  wir  nan  die  Klinodiagonale  =s  1,  ao  folgt 
nach  f.  467  aus  den  bekannten  Winkeln  X  und  / 
c  =  tangXsinY  =  0,8962 
In  dem  Hemiprüima  ^Voo  war  der  eine  Haupt- 
Khiiittwinkel 

fi  »  75^  ly 
danuis  folgt  der  sweite  Winkel 

y  =  180P  —  (M  +  y)  =  32*26' 
and  endlich 

4«  =s  -: — 

oder    fl  SS  ?i^  »  1,109 

Die  Krystallreihe   des  Glaubersalses  wird   also 
durch  fönende  Dimensionen  bestimmt; 
C  =  y  =  72*  15' 
a:b:e=i  1,109:1:0,8962 
and  es  ittt  xn  bemerken,  dass  sehr  nahe 

Shzsza  +  c 
ist  Nachdem  solchergestalt  die  Dimensionen  gefun-» 
den,  ist  es  leicht,  die  Winkel  irgend  einer  beliebi- 
gen Gestalt  oder  auch  die  CK.  irgend  zweier  beliebi- 
ger Grestalten  zu  berechnen.  Will  man  z.  B.  die  Win^ 
kd  X  und  Z  der  Hemipyramlde  P  berechnen,  so  sucht 
man  zuvörderst  die  resp.  Hauptschnittwinkel  t  und  er; 
es  ist  aber 

a  +  b :  a  — i==^fl«^4(180*  —  y) :  lai^s 
and  der  Winkel 

ya=    (180P-y)  +  *  =  67*65,5' 


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86  Reine  KryataUographie. 

ferner  ist 

ianga  =  -j- 

daher  der  Winkel 

a  =  4r  52' 
und  endlich)  weil 

tangX  =.  ?^^  ta»sZ  =  ?^* 

X  =  46^  36^,        Si  =  67^  18' 
Will  man  nun  z.  B.  die  CK.  n :  o  wissen ,  so  be- 
rechnet man  für  ooP  den  Winkel  Z\  nach  der  Formel 

tangZ'  =*  *-^^ 

und  findet  die  CK. 

Z  +  Z'  =  145°  14,5' 
Anf  diese  und  ähnliche  Art  lassen  sich  alle  übri- 
gen Winkel  berechnen. 

$.    478. 
Combination  des  Pyroxenea* 

Die  Fig.  526  stellt  in  perspectivischer  und  hon- 
sontaler  Projection  eine  siebenzählige  Combination 
des  Pyroxenes  dar.  Stellen  wir  dieselbe  nach  dem 
Prisma  M  aufrecht,  so  erhalten  wir  für  die  Basis 
^  =  OP  zwei  positive  Hemipyramiden  s  und  o,  von 
welchen  wir  die  erstere  zur  GrundgesUdt  wählen.  Die 
Flächen  z  bilden  ein  Klinoprisma ,  die  Flächen  P  eia 
positives  Hemiprisma.  Es  bestimmen  «ich  sogleich 

P  =  Poo 

Jlf  =  ooP 

r  =5  ooPoo 
und  bleibt  daher  nur  noch  die  Bestimmung  der  Flä- 
chen z  und  0  übrig.   Da  nun  z  die  amphipolaren  CK. 
der  Hemipyramide  P  und  des  Prismas  ooP  «bstumpfit, 
so  folgt 

z  «  (2Poo) 

und  da  die  Flächen  o  mit  paraUden  CK.  swischen 


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Systemlehre.  Monohttnoedr.  System.  Cap.IV.  87 

r  nnd  z  einerseits,  zwischen  t  und  M  anderseits  er- 
scheinen, and  foigUch  dfe  erstere  CK.  dem  orthodia- 
gonalen,  die  zweite  CK«  dem  basischen  Hauptschnitt« 
parallel  läuft,  so  folgt,  dass 
0  =  2P 

Die  Combination  ist  nun  roUständig  entwickelt 
und  ihr  Zeichen: 

ooP.2P.P.0P.ooPoo.(2Poo).P(x>. 

Zur  Berechnung  der  Dimensionen  der  Krystall* 
reihe  mögen  folgende  Elemente  gegeben  seyn: 

r  :  f   =  106°  Sy 
s  :  $   =  120**  39' 
oder  auch  der  Winkel 

C  =  y  =  74M' 
im  Prisma  ocP 

der  Winkel  X  =  43**  33' 
und  in  der  Uemipyramide  P 

der  Winkel  X'=  60°  19,5' 
Nun  ist  nach  f.  466 

also  wird  für  P 

<r  =  42*  25,5' 
und,  wenn  die  Klinodiagonale  £  =  i, 
c  =i:  tangü  =  0,9139 
Cemer  wird  für  P 

$^r  =  tangacoiX 
daher      v  =5  31°  23' 

fe  =  180°  — (y  +  y)  =  74°36' 
und  endlich  die  Hai)ptaxe 

a=:?^  =  0,540i 

Die  Krystallreihe  des  Pyroxenes  wird  also  durch 
folgende  Dimensionen  bestimmt: 


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88  Reine  KrystcUlograpfUe. 

aibie  =s  0,5401 : 1 : 0,9139 
vnd  es  ist  bemerkenswerth,  dass  sehr  nahe 
2a=^2J  — c 

|.    479. 
CJombioation  des  OrthokIa«M« 

Die  Fig.  528  stellt  in  perspectivischer  und  hori- 
zontaler Projection  eine  neunzählige  Combination  des 
Orthoklases  dar,  deren  Flächen ,  wenn  wir  P  als  Ba- 
sis, T  als  das  Prisma  ocP,  nnd  o  als  die  positive 
Hemipyramide  P  betrachten,  sich  folgenderweise  ord- 
nen; es  geboren: 

1)  in  die  Hanptreihe,  P,  o  nnd  T; 

2)  in  die  orthodiagonale  Nebenreihe,  q,  x  nnd  y\ 

3)  in  die.klinodiagonale  Nebenreihe,  n  nnd  M\ 

4)  in  eine  klinodiagonale  Zwischenreihe,  z. 
Zuvorderst  bestimmt  sich  das  Flächenpaar 

M  =  (ooPoo) 
nnd  das,  die  Polkante  von  P  abstumpfende  Hemiprisma 
X  =s  Poo 
Da  nun  das  Klinoprisma  n  die  amphipolaren  CK. 
zwischen  ossP  und  T=:c>oP  abstumpft,  so  ist 

n  =  (2Pcx)) 
nnd  da  das  positive  Hemiprisma  y  zwischen  einem 
vorderen  o  und  hinterem  Tmit  parallelen  CK.  erscheint, 
oder  das  Combinationseck  zwischen  P  und  ooP  so  ab- 
stumpft, dass  seine  Flächen  durch  diese  Gestalten  al- 
lein als  Rhomben  begränzt  erscheinen  würden,  so  ist 
y  =  2Poo 
Das  klinodiagonale  Prisma  z:±=(ocPii'^  erscheiht 
mit  parallelen  CK.  zwischen  einem  oberen  o  und  ei- 
nem unteren, »;  setzt  man  also  in  der  Combinations- 
gleichung  des  $.  68 


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Systemlehre.  MonoJblmoüdr.  System.  Cap.IV.  89 

»Sä     n  =  r  5=  1, 

»'  =  —  2,     n'  =  oo,  r'  s=2  1 

»•=     OO,       H*  =  »%  f'  SBS  1 

SO  folgt  »'  s=  3,  und  daher 

z  =  (<x)P3) 
Das  posiÜTe  Hemiprisma  q  s=  mTPoo  erscheint 
swischen  einem  hinteren  o  und  vorderen  n  mit  pa» 
rallelen  CK. ;  setst  man  also  in  der  CG.  a.  a.  O. 
«f  =  n  =  r  =  1 
»'=2,     I»'  =5  OO,  r'rs  —  1 
»•=  »•%    »*  =s  1,    f^  s=s  OO 

SO  folgt  M*  =a  4 ,  und  daher 

q  =  4Poo 
Die  Combination  ist  nun  ToUständig  entwiekelt, 
■nd  ihr  Zeichen: 

ooP.(ocPoo).(ooP3).OP.2Poo.Poo.|Poo.P.2P(X). 
Der  Berechnung  der  Dimensionen  wollen  wir  fol- 
gende Beobachtungen  Kupffers  zu  Grunde  legen: 
C  =  y  =  63^  53^ 
Winkel  F  in  Poo  =  65^  47,3'  ==  fi  in  9 
Winkel  JT  in  ooP  =  59°  24,3' 
Aus  den  bekannten  Winkeln  fi  und  y  folgt  für 
üe  Grandgestalt 

v  =  bOP  19,7' 
und  daher,  wenn  die  Klinodiagonale  ft  =s  1,  die  Hauptaxe 

a=  ^=0,84396 

Der  Winkel  a  des  basischen  Hauptschnittes  fin- 
det sich  iiach  der  Formel 

tanga  =  tangXiiny  zss  c  sss  1,5185 
also  der  Winkel  a  =  5^"  38' 

Die  Krystallreihe  des  Orthoklases  wird  also  durch 
folgende  Dimensionen  bestimmt: 
C  =  63°  63' 
a  '^:c;s  0,8439:1:1,5185 


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00  Reine  J&'ystaßographie. 

f.    480. 

Combinalion  des  Amphibols.' 
Die  Fig.  527  stellt  in  perspectivischer  und  hori- 
zontaler Projection  eine  achtzählige  Combination  der 
basaltischen  Hornblende  dar,  in  welcher  sich  die  Flä- 
dien  SP  sogleich  als  die  Repräsentanten  des  klinodia- 
gonalen  Hauptschnittes  zu  erkennen  geben.  Wählen 
.wir  nun  die  Fläche  p  ziur  B&siis  für  die  Flächen  r  als 
die  positive  Hemipyramide  P^  so  ordnen  sich  die  ujbri- 
gen  Gestalten  wie  folgt: 

1)  in  die  Hauptreihe,  ^; 

2)  in  die  klinodiagonale  NebenreUie,  t; 

S)  in  klinodiagonale  Zwisehenreihen,  c  und  t. 
Weilpss«P  und  r»P,  so  ist 
üf  =  ooP 
und  weil  dfeis  Klinoprisma  z  die  amphipolarea  CK. 
zwischen  r  und  M  abstumpft,  so  ist 

z  Ä  (2Poo) 
folglich  auch 

g  =  -P  ' 
weil  die  Flächen  desselben  Klinoprismas  die  amphi- 
polare  CK.  zwischen  q  und  M  abstumpfen.  Da  fer- 
ner die  kKnodiagonalen  Hemipyramiden  c  und  t  die 
CK.  zwischen  dem  Klinoprisma  z  und  dem  Prisma  Jif 
abstumpfen,  so  sind  beide  von. der  Form 

m  —  2 
und  da  ihre  CK.  mit  P  und  — P  dem  Idinodiagonalen 
Hanptschnitte  parallel  laufen,  so  sind  sie  auch  von 
der  Form 

mVm 
folglich  wird 

m  —  z 
and  daher 

e  =  (3P3) 
*=  — (3P3) 


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Systemlehre.  Monohlinoedr.  System.  Cap.IV.  91 

Die  CombiBatioH  ist  nnn  TdUständig  entwickelt, 
■BJ  ikr  Zeichen  foIgeiMles: 

ooP.(ooP<x)).OP.P.  — P.(2P<X)).(3P3).  — (3P3). 
Zar  Berechnung  der  Dimensionen  seyen  uns  fol- 
gende Beobachtongselemente  gegeben: 
Winkel  J  in  ooP  =  62My 
Winkel  X  in    P    =  74*  15' =  JP 
CK.  OP :  obP  =  103^  r  =  IT 
Mao  erh&lt  sogleich  ffir  P  oder  ooP 
eonX  coill 

ffuJI'        '        $%nX 
■Bi  dsker 

a  =  er  27' 

Femor  wird  für  P 

$%nv  =  tangaeotX^ 
also    y  ==  31^  13' 
und    f«  =:  73°  32' 
Setsen  wir  also  die  Klinodiagonale  iasl,  ao  ist 
die  Orthodiagonale 

c  SS  taf^e  3s  1,838 
mid  die  Hanptaxe 

a  =  ^  =  0,5405 

Die  Krystallreihe  des  Amphibols  wird  also  durch 
folgende  Elemente  bestimmt: 

C  =  y  =^  75°  15' 
aih.e  =s  0,5405:1:1,838 
wobei  sa  bemerken,  dass 

4a  +  c  »  4& 

i    481. 
ComkiiHill0n  des  B|^t«k 

Die  flg.  529  stellt  in  perspectivischer  nnd  klino« 
diagonaler  Projeotion  eine  Ewölfzfthlige  Combination 
des  Epidotes  dar,  in  welcher  das  klinodiagonde  Flft- 


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92  Reine  Krystalhgraphie. 

chenpaar  zwar  nicht  ansg^ebildet  ist,  aber  sogleidt 
seiner  Lage  nach  als  dasjenige  erkannt  wird,  wel» 
ches  auf  den  Flächen  M  und  /  rechtwinklig  seyn 
würde«    Wir  setzen 

/  =  0P 
M  =  ooPoo 
Der  Neigungswinkel  beider  Fliehen  ist  nnr  we- 
nig von  90°  verschieden ;  der  stompfere  Winkel  wird 
darch  die  Flächen  r,  der  spitzere  darch  die  Flächen 
T  abgestumpft.  Wollen  wir  daher  die  Flächen  »  als 
eine  Ilemipyramide  der  Grundgestalt  betrachten,  so 
kann  dies  nnr  die  negative  Hemipyramide  seyn;  da-^ 
her  ist 

»=-P 

Die  übrigen  Gestalten  ordnen  sich  nun  auf  fol- 
gende Weise;  es  gehören 

1)  in  die  Haaptreihe,  z\ 

2)  in  die  orthodiagonale  Nebenreihe,  r  rnid  T; 

3)  in  die  klinodiagonale  Nebenreihe,  y  und  q\       ! 

4)  in  orthodiagonale  Zwischenreihen,  Xy  o,  d  und  u. 
Da  die  CK,  der  Flächen  q  und  n  in  eine  Paral- 
lelebene des  orthodiagonalen  Hauptschnittes  fällt,  so 
ist  das  Klinoprisma 

q  =  (Poo) 
und  aus  demselben  Grunde  die  Hemipyramide 
z  =  P 
Das  Hemiprisma  r  stumpft  die  Polkante  von  — ^P, 
das  Hemiprisma  T  die  Polkante  von  P  ab;  folglich  wird 
r=  — Poo 
T=      Pcx> 
Die  Hemipyramiden  x  und  d  stumpfen  die  hete- 
ropolaren CK.  von  — P  und  P  mit  ooPoo  ab,  und  ha- 
ben daher   gleiche  Ableitungszahlen,    oder  allgemein 
das  Zeichen  «tTm*;  sie  erscheinen  aber  auch  eben  so 
wie  die  Flächen  des  Prismas  o  mii  parallelen  CK,  zwi- 


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Systemlehre.  ^onolÜnoedr.  System.  Cap.  IV.  93 

icbeii  den  Flächen  der  Hemipyramide  n  und  des  He- 

niprinaas  T  einerseits ,  der  Hemipyramide  z  and  des 

Hemiprismas  r  anderseits. 

Setzt  man  also  in  der  allgemeinen  Combination»- 

glddrang 

«1  =  1,  m'zss.  —  1,  ml^^s  —  wT 
»  =  1,  «'=      1,  %''=      1 
r  =  l,  r'=    oc,   r*=      »* 

M  folgt  fnr  die  drei  Gestalten  Xj  d  nnd  o  die  gemein- 

sdiaftliGlie  Bedingang: 

ml'  —  1 

§.    482. 
Fortsetzung. 

Da  nnn  o  ein  verticales  Prisma,  so  wird  für  sei« 
biges  m"  =  oOj  folglich  i»*  =  2,  und 
o  =38  ocP2* 

Da  femer  die  Hemipyramiden  ä:  und  d^  vermdge 
ihrer  Verhältnisse  zn  n,  z  und  M  gleiche  Ablei- 
tongszahlen  haben ,  oder  Ton  der  Form  m^Pm"  sind, 
so  wird  für  sie 

ud  daher 

s  =  — 3P3 

d  =  3P3 
Das  Klinoprisma  y  und  die  Hemipyramide  u,  weU 
ehe  wegen  ihrer  .Verhältnisse  zu  z  ein  Pn  seyn  muss, 
bestimmen  sich  gegenseitig ,  weil  ihre  CK.  in  eine 
Parallelebene  des  orthodiagonalen  Hauptschnittes  ftllt; 
ist  alzo  «  =s  Pig,  so  wird,  weil  beide  Gestalten  nn- 
g^eichnamig  sind, 

y  s=  (i-Poo)  (§.  474) 
Oas  KlinopriBma  y  aber  ist  darch  seine  Verhftlt- 


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94  ilüne  Krystallographie. 

nisse  zu  n  and  o  ToIIkommen  bestimmt,  indem  die 
Fläche  n  mit .  parallelen  CK.  zwischen  o  und  jf  auf- 
tritt; setzt  man  also  in  der  CG. 

n=  1,  »'  =  oo,  »•=  1 
r=  2j  f=  1,  1^=^  1 
so  findet  sich 

y  =  (iPoo) 

und  folglich 

«  =  P2 

Die  Combination  ist  nun  vollständig  entwickelt, 
und  ihr  Zeichen  etwa  auf  folgende  Art  zu  schreiben: 

cx>Poo.OP.1Poo.— Poo.— P.P.(Poo),(iPoo),ooP2.3P3.— 3P3. 
P2. 

§.    483. 
Fortsetzung. 

Was  die  Berechnung  der  Dimensionen  betriff^ 
so  mögen  uns  als  Beobachtungselemente  folgende  Win- 
kel gegeben  seyn: 

Winkel  Y  oder  /i  in  Poo  =  64^  S6' 
Winkel  Foder  ^'in— Poo  =  63»  43' 
Winkel  JC     in  — P      =  35^  16,5' 

Da  die  beiden  ersteren  Winkel  coordinirten  He- 
miprismen  angehören,  oder  die  Winkel  fi  und  fi  der 
Grundgestalt  sind;  so  folgt  nach  der  Formel 

2$inn9i»(/ 

C  =  y  =  89"  27' 
nnd  sogleich 

•  =  y  —  ^'  =  25'  44' 
daher,  wenn  die  Klinodiagonale  2  =  1,  dieBoaptaxe 

«  =  ^  =  0,48425 
tmpe 


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Systemlehre.  DikUnoSdr.  System*  Cap.  I.    95 

Feinier  eigiebt  sich 

timgfs  =  iftngXtiw/ 

ako      a  zi^  IT  V 
und    c  =  tangc  =  0,30713 
Die  Krystallf eike  des  Epidetes  wird  daher  durch 
(elgeode  Dimensionen  bestinunt: 

C  =  y  =  89^  27' 
a  :&:  c  =r  0,48425 : 1 : 0,30713 
Diese  Beispiele  werden  hinreichen,  nm  die  Me- 
thode der  Entwicklung  und  Berechnung  monokIino6- 
drischer  Combinationen  zu  erläutern,  und  zur  Ent- 
wicklung schwierigerer  Fälle  die  nöthige  Anleitung 
IB  geben. 


Sechster  Abachnitt 
Vom  diklmoSdriicien  Sj/iteme. 


Erstes    Capitel. 

VoB  deü  Axen  und  einzelen  Gestalten  de« 
Systemes. 

§.    484. 

Onrndcharakter,  Axen,  SteQiuig. 

Das  lüklinolSdrische  System  ist  nach  §.  43  der  Inbe- 
griff aller  derjenigen  Krystallformen ,  deren  wesentli- 
dkcT  geometrischer  Grandcharakter  durch  drei  Coor- 
tbiatebeneB  bestimmt  wird,  von  welchen  sich  swei 
toter  einem  rechten  Winkel  schneiden,  während  die 
iritta  auf  beiden  schiefwinklig  ist.    Die  Axen,    als 


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96  Meine  KrystaUographie. 

die  Darchschnittslinien  dieser  Ebenen,  scheinen  anch 
hier  unter  dem  Verhältnisse  der  durchgängigen  Un« 
gleichheit  zu  stehen.  Weil  aber  diejenige  Axe,  wel- 
che die  Intersection  der  beiden  rechtwinkligen  Coor« 
dinatebenen  ist,  vermöge  dieser  Lage  einen  eminen- 
ten Werth  erhält,  so  wird  sie  die  natürliche  Haupt« 
axe,  und  daher  die  aufrechte  Stellung  des  Systemes 
nach  ihr  zu  bestimmen  seyn.  Die  beiden  andern  Axen 
erhalten  dadurch  die  Bedeutung  von  Nebenaxen,  fiir 
welche  freilich  nur  die  verschiedene  Grösse  einen  Un- 
terscheidungsgrund darbietet.  Alle  acht  Raumoctan* 
ten  bilden  noch  immer  rechtwinklige  Tri^der,  oder 
ihre  Intersectionen  mit  einer,  um  den  Mittelpunct  des 
Axensystemes  construirten  Kugeloberfläche,  rechtwink* 
lige  sphärische  Dreiecke.  Die  Neigungswinkel  der 
Axen  aber  sind  durchgängig  schiefe. 

§.    485. 
Diklinoedriflcbe  Gestalteiu 

Construirt  man  um  ein  diklino^drisches  Axen- 
system  fiir  ein  gegebenes  endliches  Yerhältniss  dreier 
Parameter  a :  ft  :  c,  den  Inbegriff  aUer  möglichen  iso- 
parametrischen  Flächen,  so  gelangt  man  auf  eine  von 
acht  Dreiecken  umschlossene  Gestalt,  deren  Flächen 
jedoch  viererlei  verschiedenen  Werthes  sind.  Dies 
Resultat  ist  eine  nothwendige  Folge  der  verschiede* 
nen  Neigungswinkel  je  zweier  Axen,  und  so  unab- 
hängig von  dem  Grössenverhältnisse  der  Parameter, 
dasi^  es  für  Verhältnisse  wie  a:b:b  oder  aiaia  ganz 
auf  gleiche  Weise  Statt  finden  würde.  Die  construirte 
Gestalt  ist  also  jedenfalls  eine  tetramerische,  aus  vier 
Theilgestalten  zusammengesetzte  Gestalt.  Ihren  all- 
gemeinen Eigenschaften  nach  wird  sie  als  eine  di- 
klinoSdrische  Pyramide,  und  daher  jede  ihrer 
Theilgestalten  als  eine  Yiertelpyramide  oder  Te- 
tartopyramide  zu  bezeichnen  seyn.  Wie  die  zwei 


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Sysiemlehre.  DikUno^dr.  System.  Cup.  IL    07 

Theilgestalten  einer  monoklino^dHschen,  so  sind  auch 
iie  Tier  Theilgestalten  einer  diklinoSdrischen  Pyra- 
■lide  in  ihrer  Erscheinung  ron  einander  TöIIig  unab- 
biagig,  weshalb  wir  erwarten  können,  den  Tollstän- 
4igen  diklinoSdrischen  Pyramiden  in  der  Natur  eben 
so  selten  zu  begegnen,  als  den  vollständigen  mono- 
kÜBoSdrischen  Pyramiden. 

Nächst  den  Pyramiden  giebt  es  noch  in  diesem 
Systeme  verticalePrismen  von  rhombischen  Quer- 
schnitten, welche  einfache  Gestalten  sind,  xweier« 
lei  geneigte  Prismen  von  rhomboidischen  Quer- 
sdmitten,  welche  dimerisohe,  aus  zwei  Hemiprismen 
süsammengesetste  Gestalten  sind,  und  endlich  die 
d  r  e  19  den  Coordinatebenen  entsprechenden  Flächen« 
paare  des  Systemes. 


Zweites   Capitel. 

Von  der  Ableitung  der   diklinoedrischen 
Gestalten. 

§.    486. 
Gnmdgestalt. 

Dieselben  Grfinde,  welche  uns  im  monoklino^dri- 
ftehen  Systeme  bestimmten,  den  Ableitungen  eine  toII- 
stindige  iikotioklino^dlrische  Pyramide  zu  Grunde  zu 
legen ,  nothigen  uns,  auch  für  diö  Ableitungen  dieses 
Systemes  eine  vollständige,  mit  allen  vier,  im  Gleich- 
gewichte ausgebildeten  Theilgestalten  erscheinende  Py- 
ramide als  Gmndgestalt  anzunehmen.  Wir  setzen  also 
irgend  eine  dergleichen  Pyramide  voh  dem  Verhält- 
nisse der  HauptaxÄ  zur  grösseren  und  kleineren  Ne- 
benaxe  =  a'.bic^  und  den  schiefen  Neigungswinkeln 
B  nnd  C,  nnd  bezeichnen  sie  mit  f\.  Da  nämlich  in 
dem  Zeichen  der  Grundgestalt  die  Zeichen  aller  vier 

a  7 


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98  Reine  KrystaOographie^ 

TheUgestalten  enthalteii  sejn  müssen,  so  scheint  es 
Tortheilhaft,  die  einseien  Viertelpyramiden  nach  der, 
bei  aufrechter  und  normaler  Stellang  der  Gestalt  Statt 
findenden  9  Lage  ihrer  Glieder  in  der  vorderen  Pyra-* 
midenhälfite  zn  bezeichnen,  wie  folgt: 
flie  Viertelpyramide,  deren  vordere  Flftche 
oben  rechts  erscheint,  mit  P 
Oben  links        <»     «         -    T 
unten  rechts     •     -  -    P/ 

unten  Hnks  -  *  -  ,P  . 
nur  auf  diese  oder  eine  ähnliche  Art  ist  es  mSglich, 
ein  Gesammtzeichen  für  die  vollständige  Grandgestalt 
za  geben,  weil  sich  diese  vier  Zeichen  in  das  ein« 
zige  Zeichen  ^^  zusammenziehen  lassen.  Die  oberen 
und  unteren  Theilgestalten  werden  also  jederzeit  durch 
den  oben  oder  unten,  die  rechten  und  linken  Theil- 
gestalten durch  den  rechts  oder  links  stehenden  Ac- 
Cent  unterschieden^. 


*)  Für  die  IBezeichnmig  der  Gestalten  dieses  und  des  folgen- 
den Systemes  lassen  sich  mancherlei  Methoden  in  Vorschlag  brin^ 
gen.  Käme  es  blos  darauf  an,  die  einzelen  Flächen,  und  nicht  die 
Theilgestalten  als  solche  zu  bezeichnen,  so  würde  der  Weissischen 
Bezeichnung  vor  allen  übrigen  der  Vorzug  gebühren,  weil  selbige 
b  der  That  nur  dne  ^enthümliche  Schrdbart  der  Flächengld^ 
chnngen  ist  Will  man  sich  aber  allgteeia  für  jede  Thdlgestait  des 
Symbotes  P  bedienen,  so  könnte  man  die  renschiedenen  Theilgestal- 
ten nach  der  Lage  ihrer  Glieder  in  der  Torderen  Gestalthfilfte  durch 
Vorsetzung  der  Budistabenbinionen  »r  (oben  rechts),  ol  (oben  links), 
«r  (unten  rechts)  und  fi/  (unten  Hnks)  unterscheiden,  wie  dies  neu'^ 
fich  in  ähnlicher  Art  für  die  Unterscheidung  der  einzden  Flächen 
der  tesseralen  Gestalten  Ton  Sttinghansen  vorgeschlagen  worden. 
Mir  scheint  jedoch  die  Aeeentuirung  sa  diesem  Behufe  noch  tot« 
theilhafter,  nicht  nur,  weil  sie  kürser  und  repräsentaüver ist,  soiH- 
dem  auch,  weil  sie  den  Vortheil  gewahrt,  dass  sich  beliebig  die 
Zeichen  je  zweier,  Areier  oder  auch  aller  tier  Theilgestalten  in  ela 
dnziges  Zeichen  zusammenziehen  lassen.  Früher  bediente  ich  mich 
zur  Untersdieidung  der  oberen  und  unteren  Theilgestalten  auch  in 


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Systendehre.  DihHnoedr.  System,  Cap.II.    90 

Die  Nebenaxea  4er  Gnuldfestale  fShreiiy  wie  um 
rhonibiselien  Systeme^  die  Namea  der  Mulorodiegoiiale 
Braobydiagoiiale. 


i    487. 
Haaptreihe« 

Am  der  Gnmdlgeilak  leiten  irlf  fiiTSrdenit  gans 
imd  gar  nach  der  in  den  übrigen  KryitaUsjratemen  be- 
folgten Methode  9  daroh  Vervielfidtigttng  der  Hanpt- 
axe  nach  einem  CofifElcienteft  Mf  eine  llwiptf eihe  von 
folgender  Form  ab: 

•i<l  m>i 

Diese  Reihe  iMt  eigentlich  eine  Tierfache  Reihe, 
indem  ihre  sämmtlichen  Glieder,  mit  Ansnahme  der 
beiden  dtissersten,  in  vier  Theilgestalten  zerfallen. 
Jedes  Glied  mit  endlichem  Werthe  von  m  ist  nämlich 
eine  tetramerische  Pyramide,  von  gleicher  Basis  nnd 
JPlächemrtelloiig  mit  ?',  deren  Viertelpyramiden  in 
völliger  Unabhftn^gkeit  auftreten.  Das  eine  Gräns- 
glied  OP  bedeutet  hier,  wie  überall,  die  Basis  oder 
Jede  ihr  parallele  Fläche;  das  andre  GränzgUed  ooP 
dagegen  ein  vertieales  Prisma  von  rhombischem  Quer« 
schnitte  und  vier  gleichwerthigen  Fläbhen,  welches 
daher  nicht  in  zwei  BFemiprismen  serfSUt,  sondern 
Jedenfidlt^  vollständig  erscheint. 

i    488. 

MskwlUgoiislft  und  brsdiydiafOBfle  GsdlaltflS. 

Ans  jedem  (vollständig  gedachten)  Gliede  der  Raupt- 
fnSke  lassen  sich  mm  einerseits  durch  VergrSsserung 


Mmtm  und  Am  fblfSB^tn KryttidbiTSltM  d^Zti«lKft  4»  stid  — ) 
sBein  wie  iMitiaynit  nnd  bMekhpind^isaelbm,  wegse  ilurer  Btiie* 
jMDig  auf  dfsn  Coninis  de»  Neigingiwiiikjeb  Cf  im  niöiiokliiw^dri- 
•dien  Syfteae,  so  iiid)eatiiiimt  und  nichta  eagend  werdes  aio  id 
den  diklinoedriadien  und  txiUlnoedriachen  Systeme. 

7* 


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100  Reine  KrystaUographie. 

der  Makrodiagonald  bei  constanter  Brachydiagonale, 
anderseits  durch  Vergrossening  der  Brachydisigonale 
bei  constanter  Makrodiagonale  zwei  Inbegriffe  Ter^ 
schiedener  Gestalten  ableiten,  welche  wir  nach  dem 
Namen  deqenigen  Diagonale,  durch  deren  Vergrosse- 
rung  sie  erhalten  wurden,  als  makrodiagonale  und 
brachydiagonäle  Gestalten  unterscheiden.  Setzen  wir 
den  VörgrösserüngscoSfficienten  wie  bisher  =  »,  so 
erhalten  wir,  weil  n  alle  Werthe  von  1  bis  co  an- 
nehmen kann,  aus  jedem  m.K  eine  Reihe  makrodia^ 
gonaler  Gestalten 

nCP', mfi'^ «'P'tX) 

und  eine  Reih^  brachydiagonaler  Gestalten 

«•'JP' m^M mPloo 

Die  Gränzglieder  dieser  Reihen  sind  einerseits 
mPoOj  oder  ein  makrodiagonales  Klinoprisma,  ander- 
seits mPoOf  oder  ein  brachy diagonales  Klinoprisma, 
beide  von  rhomboidischen  Querschnitten,  daher  beide 
dimertsch,  und  aus  zwei  Hemiprismen  zusammenge- 
setzt. AUp  mittleren  Glieder  sind  tetramerische  Py- 
ramiden von  verschiedener  Basis,  aber  gleicher  Axe 
mit  demGliede  der  Hanptreäe,  mit  welchem  sie  ent- 
weder den  brachydiagonalen  oder  den  makrodiagona- 
len Hauptschnitt  gemein  Jiaben. :  s 

JDie  Bezeichnung  der  b^M^i^  Theilgestaken  jedes 
Klinoprismas  bestimmt  sich  nach  Maassgabe  der  nor-^ 
malen  Stellung  der  KrystaUreihe ;  ist  der  makrodia« 
gonale  Hadptschnitt  auf  den  Beobachter  gerichtet,  so 
sind  die  beiden  makrodiagoiiälen  Heihiprisriien  mit 
mjf'oo  und  «iT^oo,  die  beiden  brachydiagonalen  He<* 
miprismen  mit  mT'oo  und  jm^P^oo  zu  bezeichen;  be- 
stimmt der  brachydiagonale  HaAptftchnitt  die  normale 
Stellung,  so  vertauschen  beiderlei  Prismen  ihre  Ac- 
cente.  Allgemein  ist  für  die  Theilgestalten  derjeni- 
gen Elinoprismen,  deren  Axe  auf  den  Beobachter  zu- 


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Sysiemlehre.  Diklinoedr.  System.  Cap.  IL    101 

läuft,  der  Unterschied  Ton  rechts  und  links,  und  für 
die  Theilgestalten  der  andern  der  Unterschied  von 
pken  und  unten  geltend  zu  machen. 

i    489. 
Verticftle  Pnamen. 

Ans  dem  Prisma  ooP  lassen  sich  nach  demselben 
Verfaliren  zwei  Inbegriffe  Terticaler  Prismen  ableiten, 
welche  jedenfalls,  gleichwie  ooP  selbst,  riiombische 
Querschnitte  haben,  und  daher  als  einfache  Gestalten 
auch  jedenfalls  ToUständig,  mit  allen  vier  Flächen  er- 
seheinen; eine  Erscheinungsweise,  in  welcher  sich 
die  Verschiedenheit  zwischen  diesem  und  dem  folgen- 
den Krystallsysteme  besonders  auffallend  zu  erken- 
nen giebt.  Die  Gränzglieder  dieser  beiden  Reihen 
Ton  Terticalen  Prismen,  cx)Poo  und  ocPoo,  sind  das 
makrodiagonale  und  brachydiagonale  Flächenpaar,  de- 
ren gegenseitige  Rechtwinkligkeit  das  zweite  ausge- 
zeichnete Merkmal  des  Systemes  bildet 

Die  wesentliche  Eigenthümlichkeit  des  diklinoä- 
drischen  Kjrystallsystemes  offenbart  sich  also  überhaupt 
nur  in  der  Erscheinungsweise  der  verticalen  Gestal- 
ten, welche  durch  nichts  von  jener  der  verticalen  Ge- 
stalten des  monoklinoSdrischen  Systemes  verschieden 
ist,  während  die  Erscheinungsweise  aller  übrigen 
Gestalten  mit  jener  der  Gestalten  des  triklinoßdri- 
schen  Systemes  vollkommen  übereinstimmt.  Man  kann 
daher  mit  allem  Rechte  von  diesem  Krystallsysteme 
sagen,  dass  es  als  ein  neutrales  oder  vielmehr  zwit- 
terartiges zwischen  dem  monoklinoädrischen  und  tri- 
klino^drischen  Systeme  mitten  inue  steht. 

Anmerkung.  Die  Resultate  der  Ableitung  las- 
sen sich  auch  hier  leicht  in  ein  Schema  zusammen- 
fassen; bei  der  noch  sehr  untergeordneten  Wichtig- 
keit dieses  Systemes  glaubte  ich  mich  jedoch  in  der 


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102  Beine  J^stallographie. 

Darstellung  seiner  YeibäUnisse  mftgliohst  knn  fassen 
m  müssen;  daher  ist  das  Schema  hier  weggeblieben, 
welches  übrigens  mit  dem  in  §.  508  stehenden  Schema 
des  triklinoädrischen  Systemes  gänzlich  übereinstimmt, 
nur  dass  in  der  äussersten  verticalen  Reihe  rechter 
Hand  die  Accente  weggelassen  werden  müssen« 


Drittes   Capiteh 
Berechnung  des  dikUno6drischen  Systemes, 

f.    490. 
CHwaHmscn  oor  n&cMiL 

In  der  Gmndgestalt  ii^ar  das  Verhältniss  der  Haupt- 
axe,  Makrodiagonale  und Brachydiagonale  ^=:iaxb\ci 
ferner  der  Neigungswinkel 

des  basischen  u.  makrod.  Uauptscfanitts  ==  B 
•       -      r      *  brachyd.       .*       ^        =»  C 
beider  Diagonalen  xn  einander   .,.,.;=  a 
der  Hauptaxe  zur  Brachydiagonal^  .  .  .  zs^  ß 
-        V      1^       •  Makrodiagonale    .  ,  .  =  y 
Da  jeder  Raumoctant  ein  rechtwinkliges  TriSder 
ist,  SQ  findet  sich  nach  bekannten  Regeln: 
co$a  s=s  coißcoiy  =;?  eotBcotC 
^  cosB 

'^  »mC 

eoiC 

Die  ferneren  Rechnungen  kBnnen  wir  thells  nach 
der  Methode  der  analytischen  Geometrie^  theib  nach 
den  Regeln  der  Trigonometrie  fahren. 

Wollen  wir  analytisch  verfahren ,  so  haben  wir 
^ySrderst  4ie  diklino^drische  FlächengMchung 


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Systemlehre.  DiiUno'edr.  System.  Cap.  IIL  103 

in  weleher  x^  y  and  z  die  schiefwinkligen,  den  drei 
Axen  parallelen  Coordinaten,  nnd  o»  (,  e  die  in  diese 
Axen  üedlenden  Parameter  bedeuten ,  orthometrich  zu 
machen  (§.  12).  Piese  Transformation  ist  leicht,  weil 
zwei  der  Coordinatebenen  noch  rechtwinklig  sind. 

In  der  Coordinatebene  (ory)  haben  wir  den  schie- 
fen Winkel  y  zwischen  den  Parametern  a  und  i,  in 
der  Coordinatebene  (orz)  den  schiefen  Winkel  ß  zwi- 
schen den  Parametern  a  and  c.  Man  mache  nan  die 
gegebene  Gleichang  zavörderst  orthometrisch  in  Be- 
zog auf  X  und  y,  d.  h«  man  setze 

statt  X  die  Grosse  Xg  —  Ifi— r-^ 

-  »  -  •  •  "1^ 

so  wird  sie 

'  a  abiimy  c 

xml  bezieht  sich  In  dieser  Form  auf  ein  monoklinoS- 
drisches  Axensystem,  in  welohem  die  Axen  der  Xt 
and  jfg  sowohl,  als  auch  die  Axen  der  yi  und  z  anf 
einander  rechtwinklig  sind,  während  noch  die  Axe 
der  Xt  gegen  die  Axe  der  z  tinter  dem  schiefen  Win- 
kel ß  geneigt  ist. 

Blan  mache  nun  diese  Gleichung  orthometrisoh 
in  Bezog  anf  x%  und  r,  d.  b.  man  setze 

,,    ^  .  cosfi 

statt  Xi  die  Grösse  Xa  —  ^i~t-~3 

#111 /j 

so  utrd  sie  endlich 

£n  ,  Xa— ftco#y)yi  ,  (g— cco#/?)g,  ^  ^ 

welches  die  orthometrische  Form  der  nrsprangUchen 
dik]ino€drisehen  CSeichnng 


ist. 


T+i+f=' 


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104  Beine  KrystaÜographie.    < 

f    491. 

Crleichangen  der  Flfichennormaleo. 
Die  Gleichungen  der  Flächennormale  N  lassen 
sich  nun  unmittelbar  aus  der  gefundenen  orthometri- 
schen  Gleichung  der  Fläche  fiblesen,  wie  in  §.  21 ;  sie 
werden  nämlich 

{a  —  bco8y)Xt^   _       ÜL    _  o 
abiiny  a 

{a'-CC09ß)Xn    _  £i      ^  Q 

acfinß  a 

ia--cco9ß)yi     ^  {a—bcoiy)Zi  _  ^ 

acsinß  ab  sin  y 

Diese  Gleichungen  beziehen  sich  natürlich  auf  das 
rechtwinklige  Axensystem^  und  sind  daher  für  die 
ferneren  Berechnungen  am  bequemsten.  Will  man  sio 
für  das  gegebene  schiefwinklige  Axensystem  transfor- 
iniren,  so  hat  man  nur  Xu^  fft  und  Zi  als  Functionen 
von  ^,  y  und  z  auszudrücken,  und  die  erhaltenen 
Ausdrücke  in  yprstehende  Gleichungen  zu  substitui- 
ren;  es  ist  aber 

Xa  ^=^  ^i  +  ZCOiß 

=?3  ar  +  ycoiy  +  zeosß 

ifi  =  Ifiiny 

Zi  =  ziinß 
welche  Werthe   in   obige   drei   Gleichungen  gesetzt 
werden  müssen,  um  solche  nöthigenfalls  als  Functio- 
nen der  schiefwinkligen  Coordinaten  or,  y  und  z  aus- 
zudrücken. 

§.    492, 
Grdsse  der  Flächennormale. 

Durch  die  im  vorigen  §.  gefundenen  ordiometri-^ 
sehen  Gleichungen  wird  die  Lage  der  Flächennormale 
bestimmt;  ihre  Länge  aber  findet  sich,  indem  man  Ja 
zwei  dieser  Gleichungen  mit  der  orthometrischen  Glei- 
chung der  Fläche  in  §.  490  eombiiort,   dadurch  die 


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Systemlehre.  DUlinoedr.  System.  Cap.JIJ.  105 

Coordinatea  ihres  gegenseidgen  Durchschnittsputictes 
bestimmt,  «nd  aus  der  Samme  ihrer  Quadrate  die 
Wurzel  auszieht 

Aus  den  beiden  ersten  Gleichungen  in  f.  401  folgt 
g  —  bcoiy 
*'  "^      bnny     •^" 
a^^ccoiß 

Zi  — ^  . Xu, 

cnny 
snbstitoirl  man  diese  Werthe   In   die   ra  Ende   des 
§.  490  stehende  Gleichung,  so  erh&lt  man  die  Coordi- 
nate  x^m.  des  flndpuiictes  der  Flächennormale,  und  dar- 
aus jfi  wid  Ziy  wie  folgt: 

abc$inßiiny         ,     .   ^   . 
^n  =  -jjji ^  X  bc$%nß$my 

Jfi  = -^ ^  X  c$inß(a—bcoiy) 

wenn  nämlich 

Da  nun 

N^  Vxl,  +  yi+zi 
so  folgt 

X       abcsimßsiny 
^  ™  M 

Man  darf  jedoch  nicht  vergessen,  dass  es,  weil 
die  Winkel  y  und  ß  entweder  beide  spitz,  oder  beide 
stumpf  sind,  oder  der  eine  spitz,  der  andre  stumpf 
ist,  für  Jfy  und  folglich  auch  für  N  vier  yerschie- 
dene  Werthe  giebt,  welche  den  vier  verschiedenen 
Yiertelpyramiden  P',  'P,  P,  und  ^P  entsprechen.  Da- 
her ist  jedesmal  sehr  darauf  zu  achten ,  von  welcher 
Beschaffenheit  die  Winkel  ß  nnd  y  in  demjenigen 
Raiimoctanten  sind,  in  welchem  die  Fläche  liegt,  de- 
ren Normale  gesucht  wird.  Dies  gilt  eben  so  für  die 
oben  mitgetheilten  Gleichungen,  welche  zunächst  fSr 


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106  Reine  KrystaUographie. 

den  Fall  berechnet  wurden  9  da  sowohl  ß  bI»  y  spitie 
Winkel  sind. 

f.    493. 
Kaotenlinieii. 

Die  anfgefiindenen  Gleichungen  bilden  die  Grund-» 
läge  für  alle  ferneren  Berechnungen  des  Systemes  nach 
der  analytisch -geometrischen  Methode;  doch  scheint 
es  Tortheilhafter,  sich  für  die  folgenden  Probleme  der 
trigonometrischen  Berechnung  zu  bedienen. 

Wir  bezeichnen  in  jeder  Viertelpyramide  allge- 
mein 

die  makrodiagonale  Kante  mit  X 
die  brachydiagonale  Kante  mit  Y 
die  basische  Kante  mit  .  .  .  .  Z 
die  diesen  Kanten  gegenüberliegenden  ebenen  Win- 
kel jeder  Fläche  mit  ^^  v  und  ^;   ferner  die  Haupt- 
Schnittwinkel  wie  folgt;  den  Neigungswinkel 
YOQ  X  zur  Axe  mit  ,  .  .  .  fjt 

*  •  «f  Makrodiagonale  9 
-  y  -  Axe  mit  .  .  .  .  ä 
-*    «     «  Brachydiagonale  f 

•  Z  •  Makrodiagonale  p 
«    -     •  Brachydiagonale   ^ 

Die  Eantenlinie  X  bildet  als  Gegenseite  des  Win-, 
kels  y  mit  den  Seiten  a  und  &,  die  Kantenlinie  Y  als 
Gegenseite  des  Winkels  ß  mit  a  und  c,  die  Linie  Z 
als  Gegenseite  des  Winkels  a  mit  6  und  c  eta  Drei- 
eck, folglich  wird 

X=s  |/a*4-Ä«— 2aÄco*y 

K=Ä  Va^  +c^—2accosß 

2f  tt=  Vi^  +  c^'^2bccosa 
je  nachdem  die  Kante  ober  dem  spitzen  oder  stam- 
pfen Winkel  o,  ß  oder  y  liegt,  ist  der  entsprechende 
Cosinos  positiv  oder  negativ  zu  nehmen« 


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Sysiemlehre.  Däsünoedr^  Sy$tem.  Cap.IJJ.  107 

§.494. 

YoluMii  and  Ob«rflftdi«. 

Der  Inhalt  des  Ton  den  Seiten  a  und  b  Im  ma- 
krodiagonalen Hauptschnitte  gebildeten  Dreieckes  ist 
iabiiny 

Betrachtet  man  dieses  Drei^k  als  di^  Grondflä- 
die  der  Ton  einer  Pyramidenfläche  und  den  drei  Haupte 
idmitten  eingeschlossenen  dreiseitigen  Pyramide ,  so 
wild  esüiß  die  H5he  derselben,  und  daher 

qt  ;=  \abc$iHßsiny 
hsVoIomen  eines  Gliedef  der  Viertelpyramide;  folg- 
Hch 

F5=5  89  =»  iabcti^ßsinY 
das  Volumen  der  vollständigen  diklinoSdrlschen  Py- 
ramide. 

Dividirt  man  89)  durch  Ny  SQ  folgt  der  Inhalt  ei- 
ner Pyramid^njSäqhe 

f.    495. 
FUdMOwlnkel  Tmd  Winkel  der  Haoptschnftte^ 

Die  Cosinus  der  Flächenwinkel  $,  v  und  ^  bestim- 
men sich  nach  bekannten  Regeln  als  Functionen  der 
Kanten  Winkel: 

COiC  +  co$YeoiZ 


C0#§  s=i 


CßiV 


iinYsinZ 

coiB  +  cosXcoiZ 


iüfJSmnZ 

COf  ^  ca     COtXcot  Y 

fiesdbeo  Cosinu«  als  Fanotionep  4er  Hanptsehnttt- 
winkel 

wenn    tamg^  =es  iangxeotC 

ee$(f      , 

cQ$v  ISS coth-^m 

eoiif      ^       ^ 


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108  Meine  Krystallographie. 

wenn    tang^  =  t€mgcco$B 

C0$^  s=  C0SflC09n 

Die  Cosinus  4er  Hauptschnittwlnkel  bestimmen 
sich  als  Functionen  der  Eantenwinkel,  wie  folgt: 

C09Y 

^^'^  =        7^^ 

coiZ  +  eosXco$B 

^^''^  =  nnXünB 

coiX 

eo$Z+  eotYcosC 
**"9  = nnYrinC 

CO9X  +  €09  Z  CO9B 

9tnZ9mB 

eo9  y  +  CÖ9ZC09C 
9tnZ9mC 

Die  Tangenten  derselben  Winkel  als  Functionen 

der  Axen: 

h9iny 

a9iny 
tangy  «  ^— ^ 


iangn  t=5 
tangf  =Ä 


a  —  cco9ß 
a9inß 

c  —  aco9ß 
C9ina 


b  —  cco9a 

—      ^^^^ 
"    "^  c — bco9a 

Uebrigens  ist  zu  beachten  ^  dass 
a  +  c  +  if  =  180* 
/»  +  «  +  (,«  180* 
y  +  f*  +  ^  «  18(f 


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Sysiemüehre.  DiilinoSdr.  System,  Cap.  IIL  100 
i    496. 

KanteawiiikeL 

Zwar  lasten  sich  die  Kantenwinkel  ttnmittelbar 
als  Functionen  der  Axen  aasdrücken;  doch  sind  diese 
Ausdrücke,  wenigstens  jfür  die  Pyramiden,  ^  praxi 
licht  bequem,  weshalb  es  vortheilhafter  scheint,  sie 
Dnr  mittelbar  auf  die  Axen  zu  beziehen,  indem  man 
lie  zunächst  als  Functionen  der  Hauptschnittwinkel 
nd  der  beiden  Winkel  B  und  C  ausdruckt.  Es  ist 
fSr  jede  Viertelpyramide  P 

.   ^        fimXitnv        iinYsing 

nnZ  =  : •  s=  ^ 

ttna  itnr 

Diese  Formeln  sind  für  den  Gebrauch  die  bequem- 
sten, wiewohl  die  Kenntniss  des  Winkels  Z  von  X 
oder  Y  abhängig  gemacht  wird.  Will  man  dies  ver- 
■eiden,  so  kann  man  auch  Z  mitteilt  eines  Hülfswin* 
kels  als  Function  von  B^  v  und  c,  oder  C,  (f  und  t 
bestimmen, 

catZ  =  — : — 9in(<r — v) 

wenn    iangx//  3=  tangvcosB 

,  ^        ^otC 

oder  eotZ  t=s  -; — smOr—'W) 

•    wenn    tangrp  =  iangQcowC 
Durch  Anwendung  der  Neperschen  Analogien  laä(- 
len  sich  auch  X  und  Z  oder  Y  und  Z  zugleich  als 
Functionen  von  jB,  y  und  a  oder  C,  q  und  r  finden; 
üfimlich 


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110  Reine  $ay$tallographie. 

nnd  eben  so 

«.    497. 
Kantenwiakd  der  cor  Cnmd^estalt  gehdrigen  Prismen. 

Die  Winkel  fij  9  sind  in  den  brachydiagonalen 
Hemiprismen  Pcx),  die  Wiidcel  ^  ^  in  den  makrodia«^ 
gbnalen  Hemiprismen  Poo,  und  die  Winkel  er,  r  ia 
dem  rerticalen  Prisma  ooP  identisch  mit  denen  der 
Grnndgestalt  Die  Kantenwinkel  der  erwähnten  He-* 
miprismen  werden  aber  nur  von  je  einem  dieser 
Winkel  abhängig  seyn,  und  eignen  sich  daher  ganz 
besonders  zu  Beobachtungselementen ,  um  aus  ihnen 
jene  Hauptschnittwinkel  abzuleiten.  Es  wird  nämlich : 

li)  in  jedem  Hemiprisma  Poo 

und      JS«180*-^(K+C) 
b)  in  jedem  Hemiprisma  Poö 

tangX  ±^  t^^ 

nun 
und      Z  ^ISff'  —  iJt+B) 
In  dem  verticalen  Prisma  ooP  dagegta  Ist  sarSr« 
derst  jederzeit 

und  femer 

sinZiiüty  =±  tinXtiina 
»iHß  SfftsZ  =  sinr  oinY 


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SystemJehre.  Diilinoedr.  System.  Cap.IIL  111 
und  folglich,  weü  *'**' 


endlich 

Hna  nnv 

f.    498. 
Berechnung  der  Dimensionen  der  Gmndgestatt. 

Zur  Bestimmung  einer  jeden  diklino€dnschen 
Krystallreihe  wird  die  Kenntniss  der  beiden  Winkel 
B  und  C  und  des  Verhältnisses  a  :  b  :  e  erfordert. 
Diese  Bestinunung  setit  also  jedenfalls  vier,  von  ein-« 
ander  unabhängige  Beobachtungselemente  voraus,  nn- 
t&  welche,  wenn  anders  die  Beschaffenheit  der  Kry* 
stalle  es  gestattet,  wo  möglich  die  Winkel  B  und  C 
selbst  aafkuDehmen  sind.  Dann  findet  man  sogleich 
c,  ß  und  Yj  oder  die  Mittelpunctswinkel  der  Haupt- 
schnitte, und  die  fernere  Aufgabe  reducirt  sich  dar^ 
anf ,  noch  irgend  iWei  Winkel  aus  iwei  Hauptschnit- 
ten  xa  berechnen,  weil  mit  ihnen  das  Yerhältniss 
u:b:c  gegeben  ist  Kennt  man  nämlich  ausser  a,  ß 
md  y  noch  zwei  Hanptschnittwinkel ,  so  kennt  man 
aach  die  drittta  Winkel  derselben  Hauptdchnitte,  weil 

lanner 

a  +  e  +  t  ^  iSOr 

ß  +  n  +  Q  ==:  180* 

y  +  fi  +  V  =±  180** 

imd  gelangt  dann  leicht  mittels  zweiei^  der  Pröpor* 

tionen 

9tnf4, : iinv  ss±  b:a  ^ 

Hnaiiinr  s=s  c  :i 
nr  Beitimmung  des  Verhältnisses  aibie. 


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112  Reine  Krysiallographie. 

ftfan  hat  daher  überhaupt  ausser  B  und  C  noch 
zwei  Kanten  zu  messen,  und  diese  Kanten  wo  mög- 
lich so  zu  wählen,  dass  sich  ans  ihnen  mit  Leichtig- 
keit zwei  verschiedene  Hauptschnittwinkel  berechnen 
lassen.  Am  vortheilhaftesten  ist  es  z.  B.,  die  Nei- 
^ngswinkel  einer  und  derselben  Yiertelpyramide  der 
Grundgestalt  gegen  den  makrodiagonalen  und  brachy- 
diagonalen  Hauptschnitt,  öder  auch  die  Neigungswin- 
kel zweier  ungleichnamiger  Hemiprismen  gegen  die- 
selben beiden  Hauptschnitte  zu  messen,  weil  man 
4ann  sehr  leicht  zur  Bestimmung  der  Winkel  ^  und 
n  gelangt. 

f.    499. 
Allgemeine  Gültigkeit  der  vorhergehenden  Beredmangen. 

Dass  die  bisher  geführten  Berechnungen  allgemein 
gültig  für  jede  abgeleitete  Gestalt  sind,  obwohl  sie 
sich  zunächst  nur  auf  die  Grundgestalt  und  die  zu  ihr 
gehörigen  Prismen  bezogen,  ist  einleuchtend.  Maa 
darf  nämlich  nur  statt  a,  &  und  c  die  der  abgeleite-* 
ten  Gestalt  entsprechenden  Multipla  derselben  nach 
m  und  n  einfuhren,  um  dieselben  Resultate  für  irgend 
eine  andre  Gestalt  brauchbar  zu  machen.  Da  übri- 
gens die  Hauptschnittwinkel  /ti,  r,  tt,  (>,  a  und  t  eine 
sehr  wichtige  Rolle  in  allen  Berechnungen  spielen, 
und  selbige  sowohl  bei  Berechnung  der  Axen  aus  den 
gegebenen  Kantenwinkeln,  als  auch  bei  Berechnung; 
dieser  ans  jenen  unentbehrlich  sind,  so  hat  man  je-' 
denfalls  «eine  Aufmerksamkeit  zunächst  auf  sie  za 
richten. 


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SywUmJehr^.  DHüaoedr.  System.  Cap.IF.  113 

Viertes   Capitet. 

Von   den  Combinationen   des    diklinofidri* 
sehen  Systeme«. 

f   doa 

UeberUick  d«r  Gestalten  und  Orientimiig  der  Combinatioo. 

Eingedenk  der  Resultate  der  Ableitung  können 
wir  in  einer  diklino€drischen  Combination  überhaupt 
anr  zweierlei,  ihrer  geometrischen  Erscheinungsweise 
aaeh  verschiedene  Gestalten  erwarten  ^   nämlich 

1)  vier  flächige  Gestalten,  wohin  ausschliesslich 
die  verticalen  Prismen,  und 

2)  xweiflächige  Gestalteui  wohin  alle  übr%en 
Gestalten  gehören. 

Weil  die  aufrechte  Stellung  absolut  ist)  und  so- 
wohl dnrch  die  rhombischen  Prismen,  als  auch  durch 
die  beiden,  auf  einander  rechtwinkligen  Hauptschnitte 
indicirt  wird,  so  kommt  Alles  auf  die  zweckmässige 
Wahl  der  Basis  und  Grundgestalt  an,  wobei  denn 
wiederom,  wie  in  den  vorhergehenden  Systemen,  auf 
den  Parallelismus  der  Kanten  möglichst  Rücksicht  ge« 
oommen  werden  muss.  Nachdem  diese  Wahl  getrof- 
fen, bestimmen  sich  sogleich  die  Stellen  der  einzelen 
Theilgestalten  in  den  verschiedenen  Reihen,  auf  wel- 
che die  Ableitung  gelangen  liess,  und  die  weitere 
Entwicklung  der  Combination  geschieht  dann  nach 
denselben  Regeln,  wie  im  rhombischen,  monoklino(l- 
drischen  und  dem  folgenden  triklinoSdrischen  Systeme, 
Da  bis  jetzt  nur  eine  einzige  diklinoädrisohe  Krystall- 
reihe  ,  nämlich  die  des  unterschwefelsauren  Kalkes 
g^iaa  bekannt  ist,  so  wird  es  auch  hinreichend  seyn, 
die  von  Mitscherlich  gezeichneten  Combinationen  die- 
ses Salzes  zum  Gegenstande  unsrer  Betrachtungen  zu 
machen,  um  die  Methode  der  Berechnung  und  Ent* 
widdang  diklinoädrischer  Combinationen  zu  erläutern. 

a  8 


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114  Reine  Krystallographie. 

f.    601, 

Combinaüonen  d«8  untersdiwefdsaiiren  Kalkes. 

Die  Figg.  53i  bis  533  stelleü  drei  verschiedene. 
Combinationen  des  anterschwefelsauren  Kalkes,  und 
zwar  die  beiden  ersteren  in  perspectivischer,  die  letz- 
tere in  horizontaler  Projection  dar.  Die  Flächen  a 
und  b  sind  auf  einander  rechtwinklig,  und  die  vier 
gleichwerthigen  Flächen  M  bilden  ein  rhombisches 
Prisma,  dessen  scharfe  Seitenkanten  dem  Beobachter 
zugekehrt  sind.  Setzen  wir  also  dieses  Prisma  s=:  ocP, 
so  wird  ^ 

ü  =s  ocP<»  und  b  =  ooPoo 

Die  Fläche  P  bietet  sich  von  selbst  als  Basis 
dar,  und  nun  bestimmen  sich  die  übrigen  Gestalten, 
wie  folgt:  es  gehören 

1)  in  die  Hauptreihe,  die  Yiertelpyramiden  A,  m,  n 
und  /, 

2)  in  die  brachydiagonale  Nebenreihe,   die  Hemi- 
prismen  c,  if,  e  und^ 

3)  in  die  makrodiagonale  Nebenreihe,  die  Hemipris* 
men  ^  g  und  h. 

Die  Yiertelpyramiden  A,  n  und  /  sind  offenbar 
isoparametrisch,  weil  die  CK.  zwiscihen  n  und  k  dem 
brachydiagonalen,  die  CK.  zwischen  n  und  /  dem  ma- 
krodiagonalen Hauptschnitte  parallel  läuft;  ietzen 
wir  daher 

*  =  !• 
so  ist  nothwendig 

«  =  P,  und  /  =  ^ 

Aus  denselben  Grrunden  bestimmen  sich  die  He- 
miprismen 

4  «  ,P^oo,  g  =  %oo 
Da  die  Viertelpyramide  m  die  CK.  zwischen  den 
Hemiprismen  y*  und  g  abstumpft,  so  ist 


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Systemiehre.  DikUnoHdr.  S^^t^m.  Cap.IV^  11$ 

nad  dann  wiedemm  wegen  deg  Parallelismiui  der  bei- 
derseitigen CK.  mit  dem  makrodiagonalen  und  bra^ 
chydiagonalen  Haaptachnitte 

Die  einzige,  unmittelbar  nickt  tu  bestimmende 
Gestalt  ist  daher  das  brachydiagonale  Hemiprisma  d^ 
welches  sich  jedoch  durch  Messung  der  CK.  if :  P  als 
iT^oo  bestimmt. 

Man  wird  nun  leicht  die  Zeichen  der  Tier  Com* 
Innationen  zusammenstellen  können» 

f.    Ö02. 
Berechmiiig  der  Dimeiulonen  des  untenchwefelaanren  Kalken 

Nach  Mitscherlichs  Messungen  ist 
Winkel  F\a  =  lOT  2^  ==  C 
-    -    P:4  =  98**2r  =  B 
wdAe  beide  Winkel  in  den  oben  rechts  gelegenen 
Octanten  fallen;  daher  wird  für  denselben  Octanten: 
a==  87**  26',  und  das  Supplement  o'  =  9y35' 
/?=  98^44'      .      •         •      -       iff'  =  8ri6' 
yt=107M3i'    •      •         -      -       /=72*46i' 
Femer  maass  Mitscherlich  den  Winkel 
P:/oder  oP:,P,oo  =  69^2'  ==>  V 
iannn  F  =  ISO*  — (Z'  +  CO 

•0  wird  für/    r  =  38*0' 

4aherßr/  ft' =  37*40^' 

•  c=;  180«— (^  +  /j')  =ai  69^32r 
md  endlich 

d:a  »  iiHi/iiinv^  —  0|6112 : 0,9370 

ader,  iur  i  =  1,  ^ 

a  =s  1,533  =  }^ 
Mitscherlich  fond  femer  die  makrodiagonale  Sei- 
tenkante des  Prismas  ocP 

Ifrüf  =s78*  10'=:2J!r 

8* 


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116  Beine  Kryatäüographie. 

,  c         iangXiinC 

da  mm  -.-  =s  — ■  .   p — 

•o  wird,  wiederum  £Hr  i==l,     ^_^ 

c  =  0,7849  =  >^0,616 
folglich  das  Yerhältniss  der  Dimensionen 

a:6:e  =1,633:1:0^7849 
und  sehr  nahe 

a:==:^c  +  ib  =  1,5349 
Nun  ist  es  auch  leicht,  die  Ableitungszahl  m  des 
Hemiprismas  d  zu  finden;  es  ist  nämlich 

d:P=  ar  ly 

also  für  rf,  ^  =  30**  41' 

und  F  =  180*  —  (Z+  C>  =  42'  17' 

da  null  tangfA  =  fang  Ysinß 

10  wird  M  =  41'*  57' 

y  =  180r  —  (^  +  y)  =  30^  SO' 

und  M  =  — : —  =  i 

Die  Berechnung  der  Kantenwinkel  der  übrigen, 
krjrstallographisch  bestimmten  Gestalten  gegen  die 
drei  Hauptschnitte  ist  gleichfalls  ein  leichtes  GeschftfiL 
Will  man  z.  B.  die  Kantenwinkel  irgend  eines  Hemi- 
prismas n$oo  haben,  so  berechnet  man,  entweder  un- 
mittelbar nach  der  Formel 

^•^        ma  —  cQ$y 
den  Winkel  /tt  allein,  oder  auch  nach  der  bekannten 
Begel  der  Trigonometrie,  durch  die  Proportion 

ma  +  iima  —  1  =  ^ng^  +  v)  \  iang^fi  — v) 
die  beiden  Winkel  (a  und  v  zugleich,  und  gelangt  damt 
leicht  auf  die  Winkel  X,  Y  und  Z. 

Eben  so  gelangt  man  für  ein  Hemiprisma  «iFoc, 
entweder  durch  die  Formel 

,  ctinß 

iangn  =s — ^ 

^  ma  —  c  co$ß 


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Systendehr^.  TriiÜnoedr.  System.  Cap.  I.     117 

oder  durch  die  Proportion 

w$a  +  e:ma  —  c  =  fangi(n  + q):  fangen -^q) 
auf  den  Winkel  n^  nnd  mittels  dieses  Winkels  auf 
JT,   Y  nnd  Z.     Die  Supplemente  von  X,   Y  nnd  Z 
wind  die  Neigungen  der  Hemipnsmen  gegen  ooPoo^ 
ooPoo  und  OP. 


Siebenter  Abschnitt 
Vom  triUino^driichen  Sj/iteme. 


Erstes    Capitel. 

Von   den  Axen  nnd  Gestalten  des  Syslemes. 

|,    603. 
Gronddutrakter  det  Bystemet» 

Das  triklinoSdrische  System*)  ist  nach  f.  43  der  In- 
begriff aller  deqeaigen  Krystallformen^  deren  geome- 
trischer Gmndcharakter  durch  drei,  aufeinander  schief- 
winklige Coordinatebenen  bestimmt  wird.  In  dieser 
dnrdigfingigen  Schiefwinkligkeit  der  Coordinatebenen 
liegt  die  wesentliche  Eigenthümlichkeit  des  Systemes, 
Inr  dessen  drei  Axen  sich,  seinem  Charakter  nnbe-^ 
schadet,  eben  so  wohl  das  Yerhältniss  der  durchgän- 
gigen Gleichheit,  oder  der  Gleichheit  zweier  gegen 
eine  ungleiche,  als  das  Yerhältniss  der  durchgängi- 
gen IJi^eiehheit  denken  lässt  Betrachten  wir  die- 
ses letztere,  weil  es  nicht  nur  bis  ^tst  das  allein 
beobaditete,  sondern  auch  das  dem  Neigungsverhält^ 


*)  Tetartoprimitisdiei  System  nacli  Mohi,  da  - i9iid  -  eingKo- 
dr%es  8yitea  nach  Wom»  tetartorhombischef  Syitem  nach  Breit- 
saupc* 


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118  Reifte  KrystaUographie. 

lüsse  der  Coordinatebenen  allein  entspredliende  kl^ 
als  das  naturgesetzliche  Verhältniss,  so  finden  wir  in 
gegenwärtigem  Systeme  eine  absolute  Ungleichheit 
der  Angular  -  nnd  Lineardimensionen,  und  die  grosste 
Abweichung  von  der  Regelmässigkeit  des  Tesseral- 
systemes.  Wie  also  für  dieses  letztere  System  in  der 
durchgängigen  Rechtwinkligkeit  der  Coordinatebenen 
und  Gleichlieit  der  Axen  die  Bedingungen  für  ^as 
Maximum  der  Regelmässigkeit,  so  sind  für  das  tri- 
klinoädrische  System  in  der  durchgängigen  Schief- 
winkligkeit der  Coordinatebenen  und  Ungleichheit  der 
Axen  die  Bedingungen  für  das  Maximum  der  Unregel- 
mässigkeit gegeben^  welche  überhaupt  unter  Voraus- 
setzui^  einesr  trimetrischen  Axensystemes  realisirt 
werden  konnte. 

Ben  drei  schiefen  Neigungswinkeln  A^  B  und  C 
der  Coordinatebenen  entsprechen  die  drei  Neigungs- 
winkel ce,  ß  und  y  der  Axen,  welche  in  der  Regel 
gleichfalls  alle  schief  sind,  wiewohl  auch  einer  der- 
selben ein  rechter  seyn  kann. 

Da  weder  {8r  die  aufrechte,  noch  für  die  normale 
Stellung  bestimmte  Indicationen  vorhanden  sind,  so 
haben  wir  willkürlich  die  erstere  nach  einer  der  Axen 
als  Hauptaxe,  und  die  andere  riach  einer  der  durch 
die  Hauptaxe  gehenden  Coordinatebenen  au  bestim* 
men,  welche  die  Richtung  auf  den  Beobachter  erhält« 

i    504. 
Trikliaoedrladie  Pyramiden  und  PrismeiL 

Constmireft  wir  um  ein  triklinottdrisehe»  Axmh 
System  für  irgend  ein  endliches  Verhältnis  dier  Panh» 
meter  aihic  den  vollsttedigen  Inbegriff  der  isopank« 
metrischen  Flächen,  so  erhalten  wir  ein  Resultat^ 
welches  seiner  allgemeinen  Beschaffenheit  nach  mit 
dem  im  vorhergehenden  Systeme  gefundenen  Resul- 
tate übereinstimmt  Es  ist  nämlich  die  so  construirte 


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Systemlehre.  TnkUnoSdr.  ^stem.  Cap.I.     110 

Ciestalt  wiederum  eine  von  acht  viererlei  (in  der  Re- 
gel) nagleichseitigen  Dreiecken  umschlossene  Gestalt, 
dei^B  ABttelkanten  in  einer  Ebene  liegen,  und  wel- 
die  daher  den  Namen  einer  IriklinoSdrischen  Pyra- 
mide üfart 

Von  den  Flächen  dieser  Pyramide  sind  Je  iwei 
Gegenfiftchen  gleich  und  ähnlich,  weshalb  es  über- 
baupt  viererlei  Flächen,  und  daher  auch  vier  Theil- 
gestalten  giebt,  deren  jede  einzele  nur  ein  paral- 
leles Flächenpaar  darstellt. 

« 

Die  Kanten  zerfallen  in  sechs,  durch  ihre  Länge 

wie  dorch  ihr  Winkelmaass  verschiedene  Kantenpaare, 
von  denen  immer  ein  längeres  und  ein  kürzeres  in 
einen  der  drei  Hauptschnitte  fallen. 

Die  Ecke  sind  insgesammt  viererleikantig  und 
dreierlei,  nämlich  zwei  Polecke,  zwei  spitzere  Mit^ 
lelecke  an  den  Endpuncten  der  längeren,  und  zwei 
stumpfere  Mittelecke  an  den  Endpuncten  der  kürze- 
ren Mebenaxe. 

Die  Hauptschnitte  und  alle  ihnen  parallele  Schnitte 
und  Rhomboide. 

Die  triklinoSdrischen  Pyramiden  erscheinen  jedocb 
flie  8»  vollständig  mit  allen  vier,  im  Gleichgewichte 
ausgebildeten  Theilgestalten,  wie  solches  die  voaste« 
heiide  Beschreibung  derselben  voraussetzt;  vielmehr 
sind  diese  Theilgestalten  von  einander  gänzlich  unaln 
hingig,  und  daher  die  Pyramiden  selbst  gewöhnlich 
nur  in  Mnzelen  Viertelpyramiden  ausgebildet. 

Awter  den  Pyramiden  finden  wir  noch  dreier-^  ; 
lei,  Bämlick  verticale  und  zwei  Arten  geneigte  Pris- 
men, welche  insgesammt  rhomboidische  Querschnitte 
haben,  und  daher  in  zwei  Hemiprismen  zerfallen, 
so  wie  endlich  die  drei,  den  Coordinatebenen  ent- 
sprechenden Flächeppaare  des  Systemes. 


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120  JReine  Kry9taUogr<qphie. 

%.    fi05. 
SymiietdeTerii2ltiiifl0e  des  Sjntoses. 

Weil  die  Pyramiden  dieses  Systemes  in  viek^  nnd 
^ie  Terschiedenen  Prismen  desselben  in  zwei  Theil- 
gestalten  zerfallen,  so  begegnen  wir  in  selbigem  über- 
haupt nur  solchen  Gestalten ,  welehe  ans  lauter  im- 
gleichwerthigen  Flächenpaaren  zusammengesetzt  sind, 
indem  fiir  jede  Fläche  einzig  nnd  allein  in  ihrer  Ge« 
genfläche  eine  gleichwerthige  vorhanden  ist  Diese 
Vereinzelung  aller  Flächen  hat  in  vielen  Fällen  für 
die  Erscheinungsweise  der  triklino^drischen  Krystall- 
formen  einen  Mangel  an  Symmetrie  zur  Folge,  durch 
welchen  sie  sich  auffallend  von  den  Krystallformen 
aller  bisherigen  Systeme  unterscheiden*),  während 
sich  dagegen  in  andern  Fällen  durch  gleichzeitige  Aus- 
bildung der  coordinirten  Theilgestalten  eine  Annähe- 
rung an  die  Symmetrie  des  monoklinoSdrischen  Syste- 
mes zu  erkennen  giebt^). 

Wie  dem  aber  auch  sey,  so  müssen  wir  doch, 
sowohl  bei  gegenwärtiger  allgemeiner  Darstellung  des 
Bystemes,  als  auch  bei  der  besondem  Betrachtung 
einer  jeden  triklinoSdrischen  Krystallreihe,  die,  nur 
in  ihrer  Zerstückelung  erscheinenden  Gestalten  in  Ge- 
danken ergänzen,  indem  wir  die  einzelen  Theilgestal« 
ten,  als  die  diijecta  membra  derselben,  immer  mit 
ihren  respectiven  Complementen  in  Beziehung  setzen, 
nnd  so  die,  nur  theilweis  ausgebildeten  Fonnen  ia 
nnsrer  Vorstellung  TerroUständigen.  *  Ohne  dieses 
Hüjfsmittel  würde  keine  klare  Uebersicht  in  einem 
Systeme  möglich  seyn,  dessen  Krystallformen  nur 
Aggregate  von  Flächenpaaren,  und  dessen  Symmetrie- 
'Verhältnisse  oft  so  versteckt  sind,  dass  man  an  dem 
Vorhandenseyp  derselben  zweifdb  modite. 


*)  Z.  B.  Axiiiit  und  Kupfervitriol. 
^  Z.  B.  Tetartia,  Anorthit 


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Systemlehre.  Trikündedr.  System.  Cap.  IL   121 

Zfceites   CapiteL 

Von   der   Ableitung    der    triklinoCdrischen 

Geitalten. 

f.    506. 
Gnmdgestalt  $  Hanptreihe. 

Indem  wir  die  sa  Ende  des  vorigen  f.  er- 
wähnte Hülfsvorstellong  zu  Gmnde  legen,  wählen  wir 
iigend  eine  ToUständige  triklinoSdriache  Pyramide  lor 
Gmndgestalt,  bezeichnen  sie  mit  IP/,  und  bestimmen 
ihre  aufrechte  Stellung.  Femer  bezeichnen  wir  die 
iMlbe  Hauptaxe  mit  a,  die  halbe  längere  Nebenaxe 
mit  iy  die  halbe  kürzere  Nebenaxe  mit  c;  die  drei 
Neigungswinkel  der  Coordinatebenen,  wie  solche  an 
Uy  b  und  c  anliegen,  mit  A^  B  und  C,  und  die  ilmen 
g^enüberliegenden  Neigungswinkel  der  Axen  mit  o, 
ß  und  y.  Auch  unterscheiden  wir  hier,  wie  im  rhom- 
bischen und  diklino^drischen  Systeme  zum  Behufe  der 
Nomenclatur  der  abgeleiteten  Gestalten  die  beiden  Ne- 
benaxen  der  Grundgestalt  darch  die  Namen  der  Ma- 
krodiagonale und  Brachydiagonale  (f. 412). 

Aus  der  Grundgestalt  wird  zunächst  folgende  Haupt- 
reihe  tiiklinoädrischer  Pyramiden  abgeleitet: 
«<1  «>1 

V*  ••••.♦. .fli/* /„,.,, ,,/Jr /•»•.. ••.J(l/Jr/.««.»«»«00/l;/ 

in  welcher^  wie  immer,  die  Glieder  rechter  Hand 
spitzer,  die  Glieder  linker  Hand  flacher  sind  als  HP«. 
Sie  ist  eigentlich  eine  vierfache  Reihe,  indem 
jedes  ihrer  Glieder,  mit  Ausnahme  der  beiden  äusser- 
sten,  in  vier  Yiertelpyramiden  siP^,  «i^P,  mP,  und  mjf 
zerfällt,  welche  von  einander  gänzlich  unabhängig 
sind.  Das  eine  Gränzglied  OP  ist,  wie  immer,  das 
basische  Flächenpaar;  das  andre  Gränzglied  oojf',  ein 
Prisma  von  rhomboidischem  Querschnitte,  welches  da- 
her in  die  zwei  Hemiprismen  ooP)  und  cc)P  zerfällt 


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122  RAfi^  KrystaUographie. 

Auf  diesen  hemiprismatischen  Charakter  der  ver- 
ticalen  Prismen  einerseits,  so  wie  auf  die  Schiefwink- 
ligkeit der  beiden  verticalen  Hanptschnitte  anderseits 
beschränkt  sich  die  ganze  \^erschiedenheit  in  der  Er- 
scheinungsweise dieses  und  des  yorhergehenden  Kry- 
stallsystemes. 

f.    607- 
Makro&gonale  und  brachy diagonale  Gestalten. 

Ans  jedem  Gliede  mjf\  der  Hanptreibe  lassen  sich 
swei  Reihen  Pyramiden  ableiten,  in  welchen  einer- 
seits die  Brachydiagonale,  anderseits  die  Makrpdia- 
gonale  der  Gmndgestalt*  noch  unTerändert  enthalten  ist. 

Man  Terfafare  mit  m9\  auf  ähnliche  Art  wie  in 
den  vorhergehenden  Systemen,  d.  h.  man  vergtdssere 
einmal  die  Brachydiagonale  bei  constanter  Makrodia* 
gonale,  das  andre  Mal  die  Makrodiagonale  bei  con- 
stanter Brachydiagonale  nach  einem  CoSfficienten  n, 
so  erhält  man  mittels  der  bekannten  Constmction  für 
jeden  besondern  Werth  von  n  in  jenem  Falle  eine 
brachydiagonale  Pyramide  mit  unveränderter  Makro- 
diagonale,  in  diesem  Falle  eine  makrodiagonale  Py- 
ramide mit  unveränderter  Brachydiagonale  der  Grund- 
gestalt. Bezeichnen  wir  allgemein  jene  mit  «i'P>^ 
diese  mit  «n'P'n,  so  lässt  sich  der  Inbegriff  aller  mög- 
lichen Gestalten  beider  ^  Arten  in  folgende  zwei  Rei- 
hen zusammenfassen 

M^l^...»,..SIfP#ll Ä/P/OO 

«•3»; mf'jn «i:?;» 

Die  Gränzen  dieser  Reihen  sind  geneigte  Prismen 
mit  rhomboidischen  Qnerschnitten,  welche  daher  je- 
denfalls in  zwei  Hemiprismen  zerfallen.  Je  nachdem 
nun  der  makrodiagenale  oder .  der  brachydiagonale 
Hauptschnitt  die  Normalstellung  bestimmt,  werden 
die  halben  brachydiagonalen  Klinoprismen  mitsi'Pcc, 
m^fOo  und  die  halben  makrodtagonalen  KUneprismen 


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Systemlehre.  TrihUnoedr.  System.  Cap.  IL    123 

n{£  m^V^oCy  m'P/X)  bexeichnet,  oder  umgekehrt,  weil 
die  Stellang  der  Accente  der  Lage  entsprechen  nrasg, 
in  welcher  sich  die  Flächen  dieser  Hemiprismen  dem 
Beobachter  prftsentiren. 

Wird  dieselbe  Ableitung  auf  odlf,  angewandt,  so 
gelangt  man  auf  folgende  sweiReihenTerticalerPdsmen 

oc'P^ oo^P^i ooPoo 

ooP: co'J^M ooPoo 

Wir  nennen  die  erstere  die  Reihe  der  makro- 
diagonalen,  die  xweite  die  Reihe  der  brachydia* 
gonaien  vertiealen  Prismen,  und  erkennen  in 
iken  Gr&usgliedern  das  makrodiagonale  und  brachy- 
diagonale  Flächenpaar,  während  die  übrigea  Glieder 
Prismea  von  riiomboidisehen  Querschnitten,  und  folg- 
lich aus  xwei  Hemiprismen  zusanunengesetat  sind,  die 
als  rechte  und  Unke  unterschieden  werden. 

f.    503. 

Schema  des  trikLinoSdrischea  Syatemei. 

Yeirein^en  wir  die  Resultate  der  AUeitni^,  so 
erhalten  wir  folgendes  übersichtliche  Schema  des  tri*- 
klinoSdrischen  Systemes: 

m<i  «•>! 

oP..«.....,..si^P^oo.„..M*.»./P^.....»..si,r^ao.,«,«,,ooPaQ 

\         i  :  I  !     • 


:  X 


OJt ,,,,,., ,,«.aiA*/,»,.,^, ,.,»,, »l:/,,,,,,^,,^JB|/lr/««»«M»«««»^^»** 


»/•M«' 


l  •  •  z  i 

«P m^M. :?ji-— .^#J» oolPii 

!  ;  I 


Dm  Ten«hiedeneB  GeMaltes  de«  Syttonei  gnip- 


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124  Jlteine  Krystallographie. 

piren  dch  in  die  rerschiedenen  Reihen  dieses  Sche- 
mas, wie  folgt: 

1)  Die  mittelste  horisontale  Reihe,  oder  die  Haupt- 
reihe,  begreift  alle  Pyramiden  so  wie  das  ver- 
ticale  Prisma  von  gleicher  und  ähnlicher  Basis 
mit  der  Grundgestalt ;  sie  theilt  das  ganze  Schema 
in  zwei  ungleichartige  Hälften,  und  ihre  Gestal- 
ten lassen  sich  eben  so  wohl  zu  der  einen  wie 
zu  der  andern  Hälfte  zählen. 

2)  Die  oberste  horizontale  Reihe,  oder  die  makro- 
diagonaleNebenreihe,  enthält  die  sämmtli^ 
eben  makrodiagonalen  Klinoprismen,  so  wie  das 
gleichnamige  Flächenpaar. 

3)  Die  unterste  horizontale  Reihe,  oder  die  bra^ 
chydiagonale  Nebenreihe,  enthält  die 
sämmtlichen  brachydiagonalen  Klinoprismen,  so 

.  wie  das  gleichnamige  Flächenpaar. 

4)  Die  mittleren  horizontalen  Reihen  der  oberen 
Hälfte  des  Schemas,  oder  die  makrodiago- 
nalen Zwischenreihen,  begreifen  alle  ma- 
krodiagonalen Pyramiden  und  die  gleichnamigen 
Terticalen  Prismen. 

5)  Die  mittleren  horizontalen  Reihen  der  unteren 
Hälfte  des  Schemas,  oder  die  brachydiago- 
nalen Zwischenreihen,  begreifen  alle  bra- 
chydiagonalen Pyramiden,  so  wie  die  gleichna- 
migen Terticalen  Prismen  des  Systemes. 


Drittes    Capitel 

Von  der  Berechnung  der  triklinoBdrischen 
Gestalten. 

§.    609. 
Berednumg  dar  MittelpnnctswinkeL 

Für  jede  Viertelpyramide  der  Grundgestalt  be- 


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Systendehre.  Trütlinoedr.  System.  Cap^IIL  125 

ceiefaneten  wir  das  Verfaftltniss  der  Axen  oder  Li« 
Beardimenflionea  mit 

a  :  i  :  e 
die  drei,  an  den  Axen  anliegenden  Neignngswinlcel 
der  Coordinatebenen  mit  Ay  B  und  C,  und  die  drei, 
fiesen  Winkeln  gegenüberliegenden  Neigungswinkel 
der  Axen  mit  a,  ß  and  y.  Wir  bezeichnen  noch  aus- 
serdon,  ganz  wie  im  vorigen  Systeme,  dieNeignngs- 
winket  der  Pyramidenfläche  gegen  den  makrodiagbna- 
len,  brachydiagonalen  and  basischen  Hanptschnitt  mit 
X,  Y  nnd  Z,  and  endlich  die  Haaptschnittwinkel 
selbst  mit  fi  and  v^  n  and  p,  a  nnd  t. 

Zuvorderst  bestimmen  sich  die  Winkel  o,  ß  nnd  y 
ans  den  Winkeln  A^  B  und  C  nach  bekannten  Regeln, 
wie  folgt: 

coiA+  coiB  coiC 


CQia  = 


iinBiinC 


eoiC+  cofAcofB 
ea$y  = .    .    .  p 

bei  welcher  Bestimmung  man  sich  auch  der  bekann- 
ten Formeln  für  Mnia,  sin  iß  unAHuiy  bedienen  kann. 
Für  die  ferneren  Berechnungen  ist  darauf  za  ach* 
ten,  dass 

fi  +  v  +  y=:  iSOf" 

jr  +  p  +  /?=  180*^ 

or  +  T+a  =  180** 

Da  man  bisweilen  zwei  coordinirte  (d.  h«  zu  iso- 
yarametrischen  Theilgestalten  gehörige)  Hauptschnitt- 
jnnkel  fi  und  ^%  v  und  v^  u.  s.  w.  kennt,  so  kann 
man  die  Mittelpunctswinkel  o,  /?  und  y  nach  folgen* 
den  Formeln  bestimmen: 

^sinaHnt/  2sinTiinr^ 


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120  Beine  Kryeiallographie. 

iangß  —    ^j^^„_^^y  =   ^n{g—^') 

8.  5ia 

Gleichung  einer  Fläche. 

Will  man  die  dieses  Krjrstallgystem  betreffenden 
Probleme  nach  analytisch -geometrischer  Methode  lö- 
sen, so  mache  man  znerst  die  triklinoSdrische  Glei- 
chung 

orthometrisch  in  Bezug  auf  die  Winkel  ß  und  y;  sie 
verwandelt  sich  dann  in 

Xn        {a—6coiy)jfi        {a—cco9ß)Zi  _^  ^ 
a  absmy  aainß  ,. 

oder,  wenn  man ,    ^     s±  p  und ^  =  q 

a — öcosy       ^         a — ceoiß       ^ 

setKty  in 

f^  ju  Sl  ju  fL—  1 
^         P         9 
Die  Coordinaten  jfi  und  Zt  schneiden  sich  noch 
unter  dem  schiefen  Winkel  Ay  und  die  Gleichung  ist, 
wie  sie  hier  steht,  eigentlich  eine  mcmoklinoSdiische 
Gleichung;  setzt  man  daher 

coiA 


'rimA 

so  wird  «ie 

^  +  ?IL  +  (p--qco9A)Zu^  j 
«         p  pqiinA 

tmd  ist  in  dieser  orthometrischen  Form  zur  analyti- 
schen Auflösung  aller  Probleme  geeignet,  welche  sich, 
auf  die  Lage  der  Flächen  und  ihrer  Durchschnitts- 
linien beziehen;  eine  Auflösung,  welche  freilich  mehre 


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Systemlehre.  Trihünoedr.  System.  Cap.111.  127 

Forbereitende  Rechnangeo  erfordert^  um  die  GrSssev 
p  und  gy  80  wie  den  Factor  von  Zn  sü  finden.  Wenn 
man  jedoch  bedenkt,  dass  die  inversen  Grössen  der 

Ausdrucke  —  und  -^  auch  in  allen  übriiren  Bereeb- 
a  a  ^ 

■nngen  eine  wichtige  Rolle  spielen,  und  daher  in  den 
meisten  Fällen  berechnet  werden  müssen,  so  über^ 
sengt  man  sich ,  dass  die  Darstellung  der  orthometri* 
sdien  Form  einer  triklinoßdrischen  Gleichung  nicht 
so  weitläufig  ist,  als  es  den  Anschein  hat.  Weil  aber, 
Mit  Ansndime  des  die  Lage  der  Flächennormale  be- 
treffenden Problemes,  die  meisten  im  praxi  nöthigen 
Rechnungen  sehr  leicht  mittels  der  Tri^drometrie  ans«» 
zufuhren  sind,  so  wollen  wir  uns  auch  vorsugsweisO 
dieser  Methode  be^benen. 

f.    611. 

Hanptaduttttwinkel. 

Die  Tangenten  der  Hauptschnittwinkel  bestim* 
men  sich  hier  gans  so  wie  im  dikUnoSdrischen  87- 
Sterne^  nämlich: 


a  —  beoty 

atiny 

-^acoi 

ciinß 

a  —  ccQ$ß 
e$iȧ 

a  —  e^oiß 


tangt  sa  ^— 1 — 


tangn 
tengf 


.  cnna 


tBMgr 


cco$a 
hiina 


c  —  bcota 

Bei  dem  Gebrauche  dieser  Formeln  hat  man  sorg- 
Bitig  darauf  zu  achten,  welche  von  den  Winkeln  o^ 
ß  and  y  spits  oder  stumpf  sind,  weil  im  letzteren 
Falle  die  Cosinus  negativ  genommen  werden  müssen. 


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128  Seine  KryataÜographie. 

Als  Functionen  der  Kantenwinkel  X^   Y  und  Z 
findet  man 

C09  Y  +  co$  Xcoi  A 

«'«"'  =         ,inX,iHA 

cot  Z  +  C09  Xcos  B 


COiV 

coin 

COiQ   CS 
COiO   = 

eoi%  SS 


tinXiinB 

cot  Jr+  COM  YcoiA 
sin  YiifiA 

COM  Z  +  cof  Yeo$  C 
nnYtmC 

cot  JC+  cosZeonB 
tinZsinB 

eoiY-^-  COM  Z  cos  C 


sinZsmC 

wofSr  inan  6ich  auch  der  Formeln 

^  sin  X  sin  A 

n.  8.  w.  iur  die  übrigen  Winkel  bedienen  kann,  in- 
dem S  =  ^{Y+  X  +  A)  u.  s.  w.;  da  man  aber  der 
Logarithmen  für  cosY^  cosXy  cosA  anch  ausserdem 
bedarf,  so  sind  die  ersteren  Formdp  in  vielen  Fällen 
doch  noch  bequemer,  obgleich  man  bei  ihrem  Ge- 
brauche genöthigt  ist,  von  Logarithmen  auf  Zahlen, 
und  von  diesen  auf  Logarithmen  zurück  zu.  gehen; 
denn  die  Bestimmung  der  Differenzen  jS  —  Xy  S  —  A 
n.  8.  w.  erfordert  fast  eben  so  viel  Zeit,  als  jene 
Uebersetzung  der  Logarithmen  zur  Bildung  der  Summe 
cos  Y+  cosXcosA, 

Uebrigens  bedarf  man  dieser  Formeln  nur  zur 
Auffindung  je  eines  Hauptschnittwinkels,  da  zwischea 
den  Kanten-  und  Hauptschnittwinkeln  folgende  Rela- 
tionen Statt  finden: 

sinXisinY  =  sinnisin^ 

sin  Y: sin Z  =:  sinxisinQ 

sin Z :  sinX  =  sinv  :  sina 


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&f8temlehre.  Trihünoedr.  System.  Cap.IIL  129 

daher  auch 

sinfiiinQiinü  =  9iHv$tmniiHT 
Hat  man  also  x.  B.  /u  nach  der  Formel 
co$Y+  coiXeofA 
itnXitnA 
berechnet,  so  findet  man  sogleich  n  durch 

sinfiiinX 
itnV 

§.    612. 
Kaiitenwinkel  einer  ViertelpyTaiiilde. 
Die  Kantenwinkel  lassen  sich  am  bequemsten  als 
Functionen  der  Hanptschnittwinkel  mittels  4cr  \eper* 
sehen  Analogien  auffinden,  wie  folgt: 

1)  X  und  Y  aus  Ay  fi  und  n: 

2)  X  und  Z  aus  B^  v  and  <;: 

^^  co#f((r+v) 

3)  K  und  Z  aus  C,  ^  und  t: 

Will  man  also  die  drei  Kantenwinkel  einer,  durch 
ihr  krystallographisches  Zeichen  gegebenen  Viertel- 
Pyramide  berechnen,  so  be^echaet  man  zuvörderst 
«w  den  Axen  und  den  bekannten  Winkeln  o,  ß  und 
y  nach  den  Regeln  der  Trigonometrie  die  Winkel 
zweier  Hauptschnitte,  z.B.  ^  und  xr,  darauf  aus  die- 
sen Winkeln  und  A  mittels  der  Neperschen  Analo- 
ML  9 


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130  Reine  Krystallographie. 

gien  die  Winkel  X  und  F,  nnd  endlich,    wdl  mit  [jl 
und  n  auch  v  und  q  bekannt  sind, 

—        co$B    .  ,•„        V 

oder      coiZ  ^=  —. — tinlY — V') 

wo  der  Hiilfswinkel  %p  durch 

co/i//  t=  cosvtangB 
oder      co^V  ==  coiQtaugC 
bestinunt  %vird. 

Doch  kann  man  auch  zur  Bestimmung  von  Z  un- 
mittelbar aus  den  Axen  die  Winkel  des  basischen 
Hauptschnittes  berechnen,  und  dann  mittels  derselben 
Analogie,  durch  welche  X  und  Y  gefunden  worden, 
entweder  Xund  Z  oder  Y  und  Z  finden;  ein  Yer^ 
fahren,  welchSs  den  Yortheil  gewährt,  dass  sich  die 
Rechnungen  controliren,  weil  jedesmal  einer  der  ge- 
suchten Winkel  aus  Terschiedenen  Elementen  zwei- 
mal gefunden,  und  durch  die  Gleichheit  der  ».bei- 
den Fällen  erhaltenen  Resultate  die  Richtigkeit  der 
Rechnung  verbürgt  wird« 

f.    513. 

Kautenwinkel  der  Hemipriamen. 

Will  man  die  Winkel  Xj  Y  und  Z  eines,  durch 
sein  krystallographisches  ,Zeichen  gegebenen  Hemi- 
prismas  berechnen,  so  berechnet  man  zuerst  aus  den 
Axen  und  dem  eingeschlossenen  Winkel  a,  ß  oder  y 
die  ebenen  Winkel  desjenigen  Hauptscfanittes,  wel- 
cher die  Axe  des  Prismas  schneidet,  gelang  darauf 
mittels  der  Neperschen  Analogien  auf  die  Bestimmung 
zweier  Winkel,  und  durch  die  Relationen,  welche 
zwischen  den  Längenkanten  jedes  Hemiprismas  und. 
einem  der  Winkel  Ay  B  und  C  Statt  findet,  auf  den 
dritten  Winkel. 


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Systemlehre.  Triilinoedr.  System.  Cap.III.  131 

1)  Für  vertlcale  Hemiprismen. 

Man  berechnet  aas  by  e  und  a  die  Winkel  a  und 
Ty  dann  mittels  der  Neperschen  Analogien 

aus  er,  y  und  B  die  Winkel  X  und  Z,  oder 
aus  T,  ß  und  C  die  Winkel  Y  und  Z, 
und  endlich  in*  jenem  Falle  Yy  in  diesem  Falle  X  ans 
der  Gleichung 

2)  Für geneigtemakrodiagonaleHemipris- 
men. 

Man  berechnet  aas  n,  e  und  ß  die  Winkel  ts  und 
fy  dann  mittels  der  Neperschen  Analogien 

aus  Tty  y  und  A  die  Winkel  JT  und  F,  oder 

aus  (>,  a  und  C  die  Winkel  Z  und  F, 
ond  endlich  in  jenem  Falle  Z,  in  diesem  Falle  X  ans 
der  Gleichung 

B  +  X+Z=:  ISff" 
3) Für  geneigte  brachydiagonalellemipris- 

men. 

Man  berechnet  ans  2,  a  und  /  die  Winkel  /t  und 
y,  dann  mittels  der  Neperschen  Analogien 

aiM  /i,  ß  und  ^  die  Winkel  X  und  F,  oder  . 

aus  fy  a  und  B  die  Winkel  X  und  Z, 
and  endlich  in  Jenem  Falle  Z,  in  diesem  Falle  F  aus 
dier  Gleichung 

C+Y+Z=^SSO'' 

f.    514. 

Bereduraiig  der  Lineardiiiienrionen. 

Beror  man  ffir  eine  durch  ihre  Kantenwinkei  be^^ 
stimmte  Gestalt  ziar  Berechnung  der  Lineardimensio- 
nen schreiten  kann,  müssen  die  Angulardimensionen 
Ay  B  und  Cy  oder  auch  die  ihnen  entsprechenden 
ilittelpunctswinkel  a,  ß  und  y  bekannt  seyn,  daher 
man  auch  die  ersteren  Winkel  wo  möglich  unter  die 
unmittelbaren  Beobachtungselemente  aufzunehmen  hat. 
Nachdem  o,  ß  und  y  gefunden  sind,  lässt  sich  Tür  jede 

9* 


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132  Reine  Krystallographie. 

yiertelpyramide  ans  je  zweien  ihrer  Winkel  Xj  Y 
and  Z  dda  Verhälcniss  ihrer  Lineardimensionen  be- 
rechnen, wobei  alles  auf  die  Berechnung  zweier  un- 
gleichnamiger Haaptschnittwinkel  ankommt    Denn  da 

fi  +  v  +  Y  =  180° 

n  +  Q  +  ßz=:  180° 

a  +  T  +  a  =  180° 
die  Winkel  ay  ß  und  y  aber  als  bekannt  vorausgesetzt 
werden,  so  ist  mit  je  einem  Hauptschnittwinkel  auch 
der  andere  desselben  Hauptschnittes  (z.  B.  mit  ft 
auch  v)  gegeben.  Kennt  man  also  zwei  ungleichna- 
mige Hauptschnittwinkel,  so  gelangt  man'  sehr  leicht 
durch  je  zwei  der  Proportionen 

iin^isinv  =  b:a 

iinnisinQ  =  c:a 

iinaiiinj  =  c:ft 
auf  die  Bestimmung  des  Verhältnisses  der  Lineardi- 
mensionen aibic. 

Wie  man  aber  aus  den  Kantenwinkeln  die  Haupt- 
schnittwinkel findet,  dies  lehrt  §.  ^511. 

Für  die  Prismen  wird  die  Berechnung  weit  ein- 
facher, zumal  wenn  man  eine  von  denjenigen  Kan- 
ten gemessen  hat,  welche  der  Axe  des  Prismas  paral- 
lel sind,  weshalb  wir  auch  diesen  Fall  zuerst  betrach- 
ten wollen. 

1)  Für  verticale  Hemiprismfenfindetmanaus 
einer  der  Kanten  X  oder  Y  die  andre,   weil 

Jr+ y+il  ==  180° 
und  dann  aus  X  und  T  das  Yerhältniss 
b:c  =:  $in Yiinß : HnXnny 

2)  Für  makrodiagonale  geneigteHemipris- 
men  findet  man  aus  einer  der  Kanten  X  oder 
Z  die  andre,  weil 

J+Z-l-Ä  s=  180° 
und  dann  aus  X  und  Z  das  Verhältniss 
a:c  ^=ss  iinZHMa : nnX^iny 


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Sysiemlehre.  TrUUnoedr.  System.  Cap.  II J.  133 

3)  Für  brachydiagonale  geneigte  Hemi- 
prismen  endlich  findet  man  ans  einer  der 
Kanten   Y  oder  Z  die  andre,  weil 

Y+Z+C=  180° 
und  dann  aas  Y  nnd  Z  das  Verhältniss 

aib  z=s  $mZ$ina:iiMYiiȧ  ,    ' 

f.    915. 
Fortsetznng. 

Kann  man  dagegen  nur  diejenige  Kante  messen, 
welche  der  Axe  des Hemiprismas  nicht  parallel  ist, 
so  mnss  man  die  ebenen  Winkel  der  prismatischen 
Flächen  zn  Hülfe  nehmen,  wie  folgt. 

1)  Für  verticale  Hemiprismen  findet  sich  aus  Z 

itmv  =3   — .   ^  ^,  oder  «»g  =  — t—tt- 
tmZ    '  .         nnZ 

und  dann  mittels  der  Neperschen  Analogien, 

oder    tangir  =  tangi(i-ß)^^'^- 

2)  Für  geneigte  makrodiagonale  Hemipriimen  fin- 
det si<^h  au9  Y 

«»?=  -^,  oder  mS  =  -j^^ 

und  dann 

oder    fajyH>  =^g«gT(g~«)^^T(c_  y) 

3)  Für  geneigte  brachydiagonale  Hemiprismen  end^ 
lieh  findet  sich  aus  X 

mi;  »  -jg^^ ,  oder  mv  =  -^^^^^p- 


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134  Beine  KrystaUographie. 

and  dann 

Ans  allen  diesen  Berechnungen  folgt  die  Regel, 
dass  man,  nm  die  kürzeste  und  leichteste  Berechnung 
der  Lineardimensionen  zu  erhalten,  zu  den  unmittel- 
baren Beobachtungselementen  wo  möglich  nur  die 
Längenkanten  der  Hemiprismen  wählen,  und 
auch  die  Bestimmung  der  Dimensionen  von  Pyrami- 
den wo  möglich  von  Jener  der  coordinirten  Prismen 
abhängig  machen  muss. 


Viertes    Capitel. 

Von    den  Combinationen   des   triklino^dri- 
schen  Syst-emes. 

A,    Regeln  xur  Emtwicklung  der  ComSinationen, 

§.    516, 
Wahl  der  Coordinatebeneo  mä  6nuid|;e«tBlt. 

Da  eine  jede  Theilgestalt,  welchen  Namen  sie 
auch  fuhren  mag,  nur  durch  ein  Flächenpaar  darge- 
stellt wird,  so  werden  jedenfalls  wenigstens  drei 
Theilgestalten  mit  einander  combinirt^  und  überhaupt 
in  einer  jeden  triklino^drischen  Combination  eben  so 
viele  TheUgestalten  enthalten  seyn,  als  es  verschie« 
dene  Flächen  giebt.  Wiewohl  daher  die  Combinatio» 
nen  dieses  SyHtemes  nur  PolySder  aus  lauter  ungleich* 
werthigen  und  oft  ganz  beziehungslos  erscfaeinendeia 
Flächenpaaren  darstellen,  und  wiewohl  sie  bisweilen, 
durch  das  isolirte  Auftreten  einzeler,  oder  auch  durclm 
die    sehr    ungleichmässige  Ausdehnung    coordinirter 


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Sysiemlehre.  Triklinoedr.  System.  Cup.  IK   135 

Theilgestalten  eiaen  solchen  Schein  von  UnregeU 
raässigkeit  annehmen,  dass  man  anf  den  ersten  An- 
blick an  der  Anflindang  irgend  ejines  Sjrmmetriege- 
setzes  verzweifeln  möchte,  so  werden  doch  diese 
Schwierigkeiten  grosstentheils  gehoben,  wenn  man 
sich  die  Resultate  der  Ableitung  und  die  derselben  zu 
Grunde  liegende  Hülfsvorstellung  vergegenwärtigt. 

Die  wichtigste  Frage,  welche  man  sich  vor  der 
Entwidmung  einer  Combination  zu  beantworten  hat, 
ist,  welche  von  den  vorhandenen  (oder  doch  indictr- 
ten)  Flächenpaaren  den  drei  Hauptschnitten  entspre- 
dieoy  und  demzufolge  mit  OP,  ocFoo  und  ocPoo  be- 
zeichnet werden  sollen;  denn  von  der  mehr  oder  we- 
niger glückliehen  Wahl  dieser  Coordinatebenen  hängt 
die  mehr  oder  weniger  symmetrische  Ansicht  der  gan- 
zen Combination  ab,  und  vor  jener  Wahl  ist  an  eine 
Orientirung  derselben  überhaupt  nicht  wolil  zu  den- 
ken« Die  Lage  der  Combinationskanten  muss  bei  die- 
ser Wahl  vorzüglich  zur  Richtschnur  dienen,  indem 
mall  wo  möglich  diejenigen,  entweder  wirklich  aus- 
gebildeten, oder  durch  die  Verhältnisse  der  übrigen 
Gestalten  angedeuteten  Flächen  zu  den  Repräsentan- 
ten der  Coordinatebenen  wählt,  welchen  die  meisten 
CouADinationskanten  parallel  laufen. 

Die  zweite  wichtige  Frage  nach  der  Gmndge- 
stalt  ist  zunächst  nur  für  irgend  eine  Yiertelpyra- 
mide  so^beantworten,  und  daher  irgend  eines  der  vor- 
handenen Flächenpaare  mit  P^,  T,  P,  oder  ,P  zu  be- 
zeichnen« Man  hat  dabei  wiederun^  auf  den  Paralle- 
lismuz  der  Kanten  und  anf  die  allgemeine  Regel 
(f.  412)  zudachten,  nach  welcher  sich  diejenige  Ge- 
stalt vorzugsweise  als  Grundgestalt  empfiehlt,  welche 
die  leichteste  Entwicklung  und  einfachste  Bezeich- 
nung der  Combination  gewährt.  Hieraus  ergiebt  sich 
von  selbst  die  besondere  Regel,  die  Wahl  der  Grund- 
gestalt  wo  möglich  so  zu  treffen,  dass  sich  für  eine 


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136  Reine  Krystaüographie. 

Viertelpyramide  andere  Flächenpaare  als  die  coordi- 
nirten  Yiertelpyramiden  bestimmen.  Ueberhaupt  aber 
erfordern  alle  diese  Bestimmnngen  desto  mehr  Um- 
sicht und  Anfmerksamfi:eit,  je  \¥eniger  ein  Anhalten 
dafar  iü  den  Verhältnissen  der  Combination^n  selbst 
gegeben  zu  sejn  pflegt. 

§.    517. 
Allgemeine  Regeln  der  Entwicklang. 

Nach  Bestimmung  der  Coordinatebenen  and  der 
Gmndgestalt  lassen  sich  sogleich  folgende  allgemeine 
Regeln  in  Anwendung  bringen,  indem  wir  wie  bisher 
unter  a,  b  und  c,  ct^  V  und  c^  diejenigen  Dimensio- 
nen irgend  zweier  Gestalten  verstehen,  welche  in  die 
Hauptaxe,  Makrodiagonale  und  Brachydiagonale  der 
Gmndgestalt  fallen. 

1)  Für  je  zwei  Flächen,  deren  CK.  dem  basischen 
Hauptschnitte  parallel  läuft,  ist  4^c  =  Ä' :c'. 

2)  Für  je  zwei  Flächen ,  deren  CK.  dem  makrodia- 
gonalen Uauptschnitte  parallel  läuft,  ist  ax  b 
=  a'xb\ 

3)  Für  je  zwei  Flächen,  deren  CK.  dem  brachydia- 
gonalen  Hauptschnitte  parallel  läuft,   ist  aio 

'  Die  allgemeine  Orientirung  der  Gestalten  wird 
durch  eine  Yergleichung  der  Lage  ihrer  Flächen  mit 
der  Lage  der  Flächen  der  Grundgestalt  gewonnen,  wo- 
bei zumal  für  die  Unterscheidung  der  Viertelpyrami- 
den und  Hemiprismen  darauf  zu  achten  ist,  dass  je- 
des verticale  Prisma  in  die  Zone  der  Flächen  ocPoo 
und  ocPoo,  jedes  makrodiagonale  KlinopAsma  in  die 
Zone  der  Flächen  ocPoo  und  OP,  und  jedes^  brachy- 
diagonale Klinoprisma  in  die  Zone  der  Flächen  ooPoo 
und  OP  fällt  (§.  68). 

Für  alle  weiteren  Entwicklungen  gelten  nicht  nur 
die  im  rhombischen  und  monoklinoSdrischen  Systeme 


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Systemlehre.  TrtkUnoedr.  System.  Cap.IF.  137 

aofgesteUten  allgemeinen,  sondern  auch  die  in  §.440 
enthaltenen  besondem  Regeln,  welche  freilich  snvör- 
derst  in  die,  der  Zerstückelung  der  Gestalten  ange- 
messene Sprache  und  Bezeichnung  übersetxt  werden 
müssen,  und  wegen  dieser  Parcellirung  nicht  selten 
ihre  Anwendbarkeit  verlieren.  So  muss  x.  B.  die  Re- 
gel Nr.  4  aus  §.  440  für  gegenwärtiges  System  so  aus- 
gesprochen werden:  dasjenige  halbe  Klinoprisma,  des- 
sen Flächen  die  Combinationsecke  swischen  mlf\.  mT, 
g69\  und  oo^P  so  abstumpft,  dass  die  Abstfl.  als  Paral- 
lelogramme erscheinen,  ist  allgemein  2siPoo;  n.  s.  w. 

§.    618. 
Gebrauch  der  Combinationsgleichaiig. 

Um  so  wichtiger  wird  der  Gebrauch  der  Combi- 
nationsgleichung  in  §.  68,  welche  für  dieses  System 
ganz  in  derselben  Art  wie  far  das  rhombische  Sy- 
stem ihre  Anwendung  findet.  Nur  sind  die  schon  frü- 
her erwähnten  Vorsichtsregeln  gani  besonders  zu  be- 
rücksichtigen, iiidem  man  jedenfalls  die  Lage  der  bei- 
den bekannten  Flächen  und  die  dieser  Lage  entspre- 
chenden positiven  oder  negativen  Werthe  ihrer  Pa- 
rameter genau  bestimmen  muss ,  bevor  man  die  Coäf- 
ficieoten  dieser  Parameter  in  die  Combinationsglei- 
chung  einfuhrt.  Bei  gehöriger  Berücksichtigung  der 
Lage  der  Flächen  in  diesem  oder  jenem  Octanten  wird 
die  CG.  jedenfalls  schnell  und  sicher  zur  Auffindung 
der  Relation  gelangen  lassen,  welche  zwischen  den 
Ableitungszahlen  irgtad  einer  unbekannten  Fläche 
Statt  findet,  die  in  die  Zone  zweier  bekannter  Flä- 
chen fällt. 

§.    519. 
Berecbnong  der  Comlnnatioiiskanteiu 
Die  Berechnung  der  Combinationskante  geschieht 
hier,  wie  in  den  vorhergehenden  Systemen,  auf  ver- 
schiedene Art,  je  nach  der  verschiedenen  Lage  der  CK. 


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138  Reine  KrystaUographies 

A.  Ist  nKiülich  die  CK.  aniveier  Flächen  einem  der 
Hauptschnitte  parallel,  so  berechnet  man  die  resp^ 
Neigungswinkel  beider  Flächen  gegen  denselben 
Hauptschnitt,  also  X  und  X\  wenn  die  CK.  paral-* 
lel  ooPoo ;  Y  und,  Y\  wenn  sie  parallel  ooPoo; 
Z  und  Z\  wenn  sie  parallel  OP.  Das  Supplement 
der  Differenz,  oder^  wenn  die  Flächen  zu  beiden 
Seiten  des  Hauptschnittes  liegen,  die  Summe  bei- 
der Winkel  ist  die  gesuchte  CK. 

B.  Ist  die  CK.  keinem  der  Hauptschnitte  parallel,  so 
jberechnet  man  wiederum  für  beide  Flächen  ihre 
resp.  Neigungswinkel  gegen  einen  beliebigen  deir 
drei  Hauptschnitte  (z.  B.  die  Winkel  X  und  Xf)j 
zugleich  aber  auch  die  gleichnamigen  resp.  Haupt- 
schnittwinkel beider  Flächen  (z.  B.  ^  und  ^'). 
Diese  Flächen  bilden  nämlich  mit  dem  gewählten 
Hauptschnitte  ein  Tri^der,  in  welchem  zwei  Kan- 
tenwinkel nebst  dem  eingeschlossenen  Flächenwin- 
kel (nämlich  JT  und  X%  nebst  dem  Winkel  180'' 
—  Ott  —  (t*)  =  2)  bekannt  sind;  man  findet  also 
den  dritten  Kantenwinkel,  welcher  die  gesuchte 
CK.  IT  ist,  nach  der  bekannten  Formel 

eo$n  =i  coiSiinXiiHX' — coiXcoiX' 

B,    Beispiele  der  Entwicklung  und  Berechnung, 

§.    520. 

Combination  des  Anordutes. 

Als  Beispiel  der  EntwickJhng  und  Berechnung 
wähle  ich  zuvörderst  die  in  Fig.  S34  dargestellte  Com- 
bination des  Anorthites,  weil  sich  solche  in  ihren 
Symmetrieverhältnissen  einer  monoklinoSdriscben  Com- 
bination nähert,  und  daher  ziemlich  den  höchsten 
Grad  der  Symmetrie  zeigte  welcher  in  diesem  Systeme 
Statt  ^den  kann«  ^ 

Sie  ist  eine  zwölfzählige  Combination,  in  welcher 


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Systenüehre.  Triklinoedr.  System.  Cap.IV.  1S9 

wir  P  =  OP,  T  =  ocP'  und  /  =  ooDP  setxen,  wo- 
durch sich  die  Lage  der  , beiden  verticalen  Hanpt- 
schnitte  bestimmt  y  obwohl  solche  nickt  ausgebildet 
erscheinen.    Yon  den  übrigen  Flächen  gehören  nun 

1)  in  die  Haupireihe  si,  o,  p  und  tr, 

2)  in  die  makrod.  Nebenreihe  f,  y  und  x^ 

3)  in  die  brachyd.  Nebenreihe  »  und  ^. 

Die  Viertelpyramide  m  sey  uns.  ein  Glied  der 
Gmndgestalt^  also 

t»  =  T 
so  folgt  für  ty  weil  sie  die  CK,  zwischen  m  und  T 
abstumpft, 

fSr  e,  weU  sie  die  CK.  zwischen  m  und  der  hinteren 
nache  T  abstumpft, 

e  =  2']P,oo 
Nun  wird  aber  durch  dieselbe  FlBche  t  die  CK. 
zwischen  l  und  der  oberen  Gegenfläche  von  f  abge- 
stumpft, also  ist 

Weil  femer  die  CK.  ron  o  und  p,  welche  durch 
X  abgestumpft  wird ,  dem  brachydiagonalen  Haupt- 
schnitte parallel  ist,  so  folgt  nicht  nur,  dass 

a  =  ,P 
sondern  auch,  dass 

w  =  ,P/30 

Aus  den  bereits  für  andere  Gestalten  angdShrten 
Gründen  ergiebt  sich  endlich,  dass 

u  ==  2^ 
n  =  2^oo 
Die  Entwicklung  dieser  Combination  ist  also  un- 
abhängig von  allen  Messungen. 

§.    621. 

Fortseisoif  $  Berechoung. 
Da  Ton  den  drei  Coordinatebenen  nur  die  eine 


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140  Reine  Krystallographie. 

OP  in  der  Combination  erscheint,  so  lassen  sich  die 
drei  Winel  Aj  B  and  C  nicht  unmittelbar  beobach-  , 
ten,  und  müssen  also  aus  andern  Winkeln  abgeleitet 
werden.  Gustav  Rose  beobachtete  jedoch  andre  Kry- 
stalle,  an  welchen  die  scharfen  Seitenkanten  des  Pris- 
mas o^',  durch  das  brachydiagonale  Flächenpaar  M 
=  ooPao  abgestumpft  sind,  und  fand  folgende  Winkel : 

P:j|f  (rechts)  =    85^  48' 

T:M  =lir28' 

T:  l  =  12Q^  3Q' 

P:  »  =  133^  iy 

P:T  =lt0^57' 

Das  Supplement  62°  32^  des  Winkels  T:  M  ist 
der  Winkel  K  für  ooP^;  subtrahiren  wir  diesen  Win- 
kel von  T:lj  so  erhalten  wir  den  Winkel  Y  für  oo!P 

=  5r  58'=  r. 

Das  Supplement  von  P :  T  oder,  69''  3'  ist  der 
Winkel  Z  in  ocP;. 

Der  Winkel  P:  jlf  ist  ==  OP :  ooPoo,  also 

C  =  85°  48' 

und  endlich  das  Supplement  des  Winkels  P :  n  =  46"* 

47'  der  Winkel  Z  in  2,P'oo  =  Z".     Aus  den  Win- 

kein  Zj    Y  und  C  findet  sich  der  Mittelpunctswinkel 

/y  =  63°  45' 

und,  weil    $i»t  =ss r-^^ 

für  ooK  der  Hauptschnittwinkel 
T  =  58°  26' 
Aus  /?,  V  und  180°  — C  findet  sich  der  gleich- 
namige  Hauptschnittwinkel  t'  für  oq«P 
t'  =  56°  35' 
Da  nun  t  und  t'  swei  coordinirten  Hemiprismen 
angehören^  so  wird  nach  der  Formel 

2mT#My 

^  fl|l(T— O 


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Sysi'endehre.  Triilinoedr.  System.  Cap.IV.  141 

der  Mittelpunctswinkel 

a  =  88*42' 
imd  xwar  gehSrt  dieser  Winkel  in  ooP,','  sein  Sup- 
plement zn  oo?,  weshalb  für  das  erstere  Hemiprisma, 
oder  für  die  Fläche  T 

cT  =  18(f— (a  +  T)  ='32*  Sr 
Da  nun 

so  wird,  wenn  wir  die  halbe  Brachydiagonale  c  =  l 
setien, 

*  =  1,570 

Ffir  das  brachydiagonale  geneigte  Hemiprisma  n 
fanden  wir  Z'  =  46**  47";  also  wird  für  selbiges 

T  =3  180^  — (Z'  +  C)  =  47*  25' 
da  nnn       tinZ'iina : ttn  VHnß  =  2a:b 
so  wird,  für  vorstehende  Werthe  von  b  nnd  e^ 
a  =  0,866 
Was  die  noch  fibrigen  Angolardimensionen  A^  B 
vid  Y  betrifft,  so  sind  selbige  leicht  aus  den  bekann- 
ten Winkeln  C,  a  und  ß  zn  berechnen;   man  findet 
mittels  der  Nepersi^hen  Analogien  zuvörderst  A  und 
Bj  welche  im  Octanten  der  Fläche  P'  mit  folgenden 
Werthen  erscheinen 

^  =    87^    O'     . 
B  =  116^  23' 
md  endlich  den  Winkel 

y  =  86^  48,5' 
Die  Krystallreihe  des  Anorthites  wird  also  durch 
die  Lineardimensionen 

aibic  =  0,866 : 1,570: 1 
und  durch  die  Angulardimensionen 

^=87*^0'  oder  a=    88^2^ 
B  =  116«  23'     -     /?  =  116^  15' 
C  =    85^  48'     -     y  =    86^  48,5' 
cbarakterisirt. 


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142  '  Beine  KrystaUographie'. 

*.    Ö22. 

Combinationen  des  KapfervitrioU. 

Als  Eweites  Beispiel  wähle  ich  die  Krystallfor- 
men  des  Kupfervitrioles,  weil  solche  den  höchsten 
Grad  der  Unsymmetrie  zeigen ,  welcher  in  diesem 
Systeme  Statt  finden  kann. 

Setzen  wir  in  Fig.  535  bis  537 
die  Flächen  o   =  OP 

-  -      11=  ooPoo 

-  •      r  s=t  ooPoo 
-        .    .     T  =  ooP: 

.        .    -    J!f  =  oc:P 
so  ordnen  sich  die  übrigen  Flächen,  wie  folgt: 

1)  in  die  Hauptreihe,  P, 

2)  in  die  brachyd.  Nebenreihe,  p^  q,  v  nnd  u^ 

3)  in  brachyd.  Zwischenreihen,  ij  9^  x  nnd  m. 
Einige  dieser  Theilgestalten  sind  unmittelbar  zu 

bestimmen.  Da  nämlich  die  CK«  von  p  und  P  dem 
makrodiagonalen  Hauptschnitte  parallel  ist,  so  wird, 
wenn  P  =  P 

nnd  da  v  die  CK.  zwischen  P  und  der  hinteren  Fläche 
M  abstumpft,  so  ist 

V  —  2,lPoo 
Für  ^mdere  der  unbekannten  Gestalten  lässt  sidb 
wenigstens  eine  Relation  nachweisen,  durch  welche 
ihre  Bestimmung  nur  von  einer  Messung  abhängig 
gemacht  wird.  Weil  z.  B.  die  CK.  von  P  und  t ,  P 
und  #,  P  und  x  dem  brachydiagonalen  Hauptschnitte 
parallel  laufen,  äo  sind  die  beiden  Ableitungszahlen 
jeder  dieser  Gestalten  einander,  gleich,  und  es  ist  daher 
t  =  «'P« 

X  =5  wt-P'm^ 
Da  endlich  die  CK«  von  •  und  ic  in  eine^  Paral- 


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Systemlehre.  Tritlinoedn  System.  Cap.lV.  143 

lelebene  des  makrodiagonalen ,  und  die  CK.  von  $ 
md  m  in  eine  Parallelebene  des  basischen  Haaptschnit- 
tes  fällt)  so  sind  diese  beiden  Hemiprismen  durch  die 
^eitaumten  Viertelpyramiden  bestimmt,  und  eil  wird 

Ausser  den  drei  Viertelpyramiden  ij  $  nnd  x  er- 
fordert daher  nur  noch  das  geneigte  Hemiprisma  q 
eine  Messung  zu  seiner  Bestimmung.  Bevor  Jedoch 
diese  Bestimmung  möglich  ist,  müssen  die  Dimensio- 
nen der  Grundgestalt  bekannt  seyn,  zu  deren  Berech- 
nung wir  also  zunächst  übergehen. 

§.    623. 

Fortsetsang. 

KupfTer  hat  am  Kupfervitriol  mehre  Winkel  ge- 
sessen, von  welchen  wir  folgende  fünf  unsem  Be- 
rechnungen zu  Grunde  legen: 

n :r  =  100**  41'^  also         A         =    W  19^ 
Tir  =  110^  lO',  also  Y  in  ooK  =    69*  60' 
P:r  =  löy  27',  also  Y  in    P'   =    76^  33' 
p  :»'=  109**  38',  also  X  in  ,F<X)  =  109*  38' 
P:  T=  12r  40' 
Der  Gang  der  Rechnung  ist  nun  folgender. 
In  dem  von  den  flächen  P,  Tund  dem  brachy- 
diagonalen  Hauptschnitte  gebildeten  TriSder  sind  alle 
drei  Kantenwinkel  bekannt,    man  findet  also  leicht 
den  Gegenwinkel  der  Kante  P:  T,  welcher  das  Sup- 
plement des  Hauptschnittwinkels  tt  für  P'  ist,    und 
daher: 

w  =  64^  26,5' 

so  wie  den  Gegenwinkel  der  Kante  Tir^  oder  den 
ebenen  Winkel  auf  P: 

g  =  74^  44' 
In  dem  TriSder,   welches  die  Fläche  P  mit  den 
beiden  verticalen  Hauptschnitten  bildet,  sind  bekannt 


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144  Reine  KrystaUographie. 

der  Winkel  A  =  79My 

der  Winkel       F  in  P'      =  76^  ^ 
der  rwischenl.  ebene  Winkel  n  =  54**  26,5' 
man  erhält  daher  für  P  den  Hauptschnittwinkel 
^  =  67^  9' 
In  dem  TriMer,  welches  die  Fläche  p  mit  den 
beiden  verticalen  Hanptschnitten  bildet,  sind  bekannt 
der  Winkel      A      =    79*^  19' 
der  Winkel  X  in  p  =  109^  38' 
der  Winkel       ^       =    6r    9' 
man  erhält  also  den  der  Kante  X  gegenüberliegenden 
ebenen  Winkel,  welcher  das  Supplement  zu  dem  Mitp- . 
telpunctwinkel  ß  ist,  und  folglich 

/J  =  73^  10,5' 
und,  da  180*  =  /?  +  tt  +  p 

q  =zbr  23' 
In  dem  Triäder,  welches  von  der  Fläche  P,  dent 
brachydiagonalen  und  basischen  Hauptschnitte  gebil- 
det wird,  sind  nun  bekannt 

der  Flächenwinkel         q  =  52*  23' 
der  Flächenwinkel       ^  =74''  44' 
der  SEwischenl.  Kantenwinkel  Y  =  76''  33' 
man  findet  also  mittels  der  Neperschen  Analogien  die 
beiden  andern  Kanten,  Ton  welchen  die  kleinere  die 
Mittelkante  Z  in  P',  die  grossere  der  Neigungswin- 
kel C  des  brachydiagonalen  und  basischenHauptschnit- 
tes  ist;  nämlich 

^  =  64''  58' 
.  C  =  85"  38' 
In  dem  von  den  drei  Hauptschnitten  gebildeten 
TriSder  sind  nun  bekannt: 

der  Kantenwinkel   A  =  79"  19' 
der  Kantenwinkel    C,  =  85*  38' 
der  Flächenwinkel  ß  =  73"  10,5' 
man  findet  also   zuvorderst   mittels  der  Neperschen 
Analogien  die  beiden  andern  Flächen winkel: 


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Systemiehr€.  TnklinoUdr.  Sy$Um.  Cap.  IK  145 

a^TT"  37,5' 
y  =  82^  21,5' 
und  darauf  den  dritten  Kantenwinkel 

womit  detin  die  Bestimmung  der  Angolardimeni ioiiea 
dca  KapfervitrioLi  vallendet  ist. 

Di«  lineardimensionen  finden  sieh  leieht  ans  den 
fibr  di*  Yiertelpjrraraide  P  bekannten  Hauptschnitt^ 
wöikeln  n^  ^,  fi  und  v*)\  ist  nämlich  die  Hauptaxe ' 
a  =  1)  so  wird 

die  Makrodiagonale   h  =  —t^z=z  1,810 

die  Brachvdiagonale  t  =  ??^  =  1,027 

«nd  wir  erhalten  daher  folgende  Uebersicht  der  Di- 
mensionen des  Kupfervitriols^): 

aibie  z=z  1:1,816:1,027 
A  =s  79**  ly  oder  «  ä  TT  37,5^ 
B  =  74*  22^     ^     /J  =±  73^  10,5' 
C  =  85*38'      •     y  =  82' 21,5' 

f.    524. 
Forttetsnn^. 

Nachdem  die  Dimensionen  der  Krystallrethe  ge^ 
fimden  sind,  ist  es  leicht,  die  noch  unbekannten  Ge- 
stalten aus  den  Erforderlichen  Beobachtungselementeii 
ka  bestimmen. 

Es  ist  nftmlioh  nath  approximativen  BtessungM 
der  NeigüngsWitikel 


•)  Es  itt  iitolldiy=i80*  -  (^  4  y)  =S0«SI9,S'. 
**)  Diese  DimensioiMB  stimmen  fast  gant  mH  den  aof  8.  257  in 
Lelirbuche  der  Mineralogie  (  nur  sind  daselbst  die  Winkel 
in  mner  andern  Folge  ndt  .^,  ^,  C,  a,  ß  ilnd  y  bezeichnet.  Die 
IMaen  Difterentai  in  den  mimerischen  Werthen  rühren  daher,  dass 
kh  beide  Male  nicht  gans  Ten  denselben  Beobachtüngsdementen 
«Bsgegangea  bio« 

a  10      , 


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148  Reine  KrystaUographie* 

von  r :  t  =s  139** 

.    r:#a8  125^ 

.  r:4?=  139**^ 
Man  berechnet  nun  zuvörderst  aus  einem  jeden 
dieser  I  Winkel,  anif  dem,  bekannten  Winkel  A  (w«t 
eher  für  •  stumpf,  für  $  und  ^  spits  zu  nehmen)  so 
wie  aus  dem  ebenen  zwischengelegenen  Winkel  n  (wel- 
cher =  54""  26,5^)  die  Werthe  des  Winkels  /t  fSr  die 
drei  ViertelpTramiden,  sucht  hier-auf  zu  jedem  Win* 
kel  fi  den  zugehörigen  Winkel  v  nach  der  Foimel 

und  berechnet  dann,  mittels  der  Praportion 

iiniiiiinv  ssz  b',a 
die  Axenlängen  a  dieser  Pyramiden ;  es  ergeben  sich 
auf  diesem  Wcfge  die  approximativen  Resultate ,  dass 

>  =  2P'2 

X  =  3?'3 

f-  =  2'P2 
und  folglich  auch,  dass 

w  =  2^,oo 

m  ==  ooPä 

Berechnet  man  rückwärts  aus  diesen  Zeichen  die 
Winkel,  so  findet  man 

Winkel  /ti  für  #  =  45^  40,26' 
.    ^     .    .    4?  =  33^    1,26' 
-    .     .    -     f-  =  38"  45,75' 
femer  die  Combinationskanten 

r:  f  =  138°  46'  und  P:  •'  =  117°  47' 
r  :#  =  124°  58'     -    P:  #  =  158°  29' 
r:4r=139°2(y     -    P:^  =  144°    7' 
Endlich  giebt  die  Beobachtung 
r :  y  =  121°4 
woraus  auf  ihnliche  Weise  berechnet  wird,  dass 
q  ==  'i?,oo 
Berechnet  man  rückwärts  aus  diesem  Zeichen,  «o 


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Anhang.  147 

wie  ans  den' Zeichen  der  Hemipriimen  v  und  w  ihre 
GK.  xn  r  und  it,  so  folgt: 

r !  y  =  121**  41'  und  n :  ;  =»  81*  41' 
r :  f^  =  135*  10'     -»:»==  70^  38' 
riw  =  139*  12'     .    urte^  =  87*  24' 
woraus  sich  ergiebt,   dass  die  von  mir  mit  v  nnd  w 
bezeichneten  Flächen  identisch  mit  den  Flächen  sind, 
welche  KnpfTer  mit  u  und  #  bezeichnete ;  so  wie  seine 
flächen  k  nnsre  Flächen^  sind. 


A  n  h  an  g. 

Darstellung  der   tesseralen  Oestalten   als 

tetragonaler   und  rhomboädrischer  Combi- 

nationen« 

Die  Gestalten  des  Tesseralsystemes  lassen  sich  als 
tetragonale,  rhomboSdrische  oder  rhombische  Combi- 
natioDen  darstellen,  wenn  man  eine  ihrer  Hanptaxen, 
ihrer  trigonalen  oder  rhombischen  Zwischenaxen  als 
eminente  Haaptaxe,  und  demgemäss  das  Oktaeder 
als  eine  tetragonale  Pyramide  P,  das  Hexaeder  als 
ein  Rhomboäder  R ,  oder  acht  Flächen  des  Rhomben- 
dodekaSders  als  eine  rhombische  Pyramide  P  betrach- 
tet Da  besonders  die  Deutung  der  tesseralen  Gestal- 
ten als  tetragonaler  und  rhombo^drischer  Combina- 
tionen  einiges  Interesse  hat,  nicht  nur  weil  für  sie 
bei  unregelmässiger  Aasbildung  der  Schein  6iner  sol- 
dien  Combination  nicht  selten  sehr  täuschend  hervor- 
gerufen wird,  sondern  auch,  weil  neuerdings  wieder 
gewisse  Ansichten  über  -den  Zusammenhang  des  tetra- 
gonalen  und  hexagonalen  Systemes  mit  dem  tessera- 
len Systeme  geltend  gemacht  worden  sind^  so  dürfte 
folgende  allgemeine  Auflösung  des  Problemes,  die  tes- 
seralen Gestalten  als  tetragonale  oder  rhomboädrischd 

10* 


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148  ^   Meine  KryetaUographie. 

Combinationen  darzustellen,  einen  passenden  Anhang 
zn  den  Lehren  der  reinen  Krystallographie  bilden. 

Stellt  man  das  OktaSder  nach  einer  seiner  Haupt- 
axen  aufrecht,  und  betrachtet  diese  als  eine  Axe  von 
eminentem  Werthe,  so  erhält  das  Oktaeder  die  Be- 
deutung einer  tetragonalen  Pyramide,  für  welche  alz 
Grundgestalt  a  =  l  ist. 

Jedes  Hexakisokta^der  mOj»  wird  dann  als  eine 
Combination  dreier  ditetragonaler  Pyramiden  zu  be- 
trachten seyn,  welche  sich  bestimmen,  wie  folgt: 

a)  die  flachste  Pyramide  wird  von  den  beiden  acht- 
zähligen  Flächensystemen  an  den  Polen  der  rer- 
ticalen  Axe  gebildet;  ihr  Zeichen  ist 

JLpüL 

n    % 

b)  die  nächst  spitzere  Pyramide  wird  von  den  Ne- 
benflächen der  ersteren  gebildet,  und  hat  das 
Zeichen: 

hPm 

c)  die  dritte  und  jipitzeste  Pyramide  endlich  wird 
▼on  den  Nachbarflächen  der  ersteren  Flächen  ge- 
bildet, und  behält  das  dem  HexakisoktaSder 
analoge  Zeichen 

mPn 
Setzt  man  in  diesen  Zeichen  statt  m  und  n  die 
ihnen  für  die  übrigen  tesseralen  Gestalten  zukom- 
menden Werthe,  so  erhält  man  folgende  Uebersicht 
der  sieben  Arten  von  holoSdriscben  Gestalten  des  Tes- 
seralsystemes  als  tetragonaler  Combinationen: 

Es  ist 

i    « 

n    n 

mO«  sä    siP«.— P 

m 

mO     ^    mP.Vm 

oqOh    =5    ooPii.iiPoo.— PöO 

n 


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Anhang.  140 

ooO      =a    ooP  Joo 
ooOoo  SS    ooPoo.OP 
O      =    P 

Stellt  Man  du  HexaSder  nacb  einet  seiner  trigo- 
mden  Zwiachenaxen  aufrecht,  so  erscheint  es  als  ein 
RbofliboSder  mit  der  Polkante  90^  In  derselben  anf- 
rechten  Stellnng  erscheinen  alle  übrigen  tesseralen 
Gestjdten  als  Combinationen  einer  rhomboCdrischen 
KrTStallreihe,  for  welche,  wenn  man  sie  anf  das 
Hexaeder  als  Grandgestalt  bezieht,  a  =  ^4  wird. 

Um  die  Zeichen  dieser  Combinationen,  snnächst 
aber  mm  das  Zeichen  degenigen  Combination  zn  fin- 
den, welche  dem  HexakisoktaSder  mOn  entspricht, 
betrachte  man  diejenige  trigonale  Zwischenaxe, 
welche  die  Rolle  der  Hanptaxe  spielt  and  in  den 
Octanten  der  positiven  Halbaxen  der  jr,  y  and  z  fal- 
len soll,  als  Axe  der  jr%  and  zwei  von  den  horizon« 
talen  rhombischen  Zwischenaxen  als  Axen  der  y^ 
and  z',  so  stellen  diese  drei  Axen  der  x\  y^  and  z^ 
in  4er  That  das  dreizählige,  calcalative  Axensystem 
einer  hexagonalen  KrystaHreihe  dar.  Jedes  Hexakis- 
oktaSder  mO%  nun  erscheint,  auf  dieses  Axensystem 
bezogen,  als  eine  vierzählige,  aus  vier  SkalenoSdern, 
oder  auch  aus  SkalenoCdern  und  hexagonalen  Pyra- 
miden bestehende  rhomboSdrisfche  Combination,  deren 
Flachen  sich  gruppiren,  wie  folgt. 

Das  flachste  SkalenoMer,  Nr.  I,  wird  von  deiye- 
nigen  12  Flächen  gebildet,  welche  an  den  Polen  der 
Terticalen  Axe  gelegen  sind. 

Das- nächst  spiuere  Skaleno^der,  Nr.  II,  wird 
von  den  ersten,  das  darauf  folgende  Skalenoäder, 
Nr.  m,  von  den  zweiten,  und  das  letzte,  spitzeste 
SkalenoSder,  Nr.  IV,  von  den  dritten  Nebenfläcken 
der  Flächen  des  SkalenoMers  I  gebildet  (f.  35). 

Da  die  oberen  Flächen  des  Skaleno^ders  I  in  den 


i 


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150  Reine  KrystaUographie. 

Octanten  der  pogitlven  Halbaxen  der  4r,  y  und  z  fal* 
len,  so  wird  die  Gleichung  einer  dieser  Flächen: 

dann  die  Gleichong  ihrer  ersten  Nebenflädie  im  Ska<» 
leijio^der  II : 

^±  +  l.  +  ^:=l 

femer  die  Gleichung  ihrer  zweiten  Nebenfläche  im 
Skaleno§der  III: 

^fL  +  JL  +  z=^i 
n  ^  m    * 

und  endlich  die  Gleichung  ihrer  dritten  Nebenfläche 

im  Skaleno^der  lY: 

n         m 
Es  sind  aber  die  Gleichungen 
der  Axe  der  o?':, 

ar— y  =  0,  z  —  4r  =  0 
der  Axe  der  y' : 

der  Axe  der  z': 

^  =  0,  y+  z  =  0 
Die  Parameter  d^r  vorstehenden  vier  Flächen, 
wie  sich  solche  in  den  Axen  der  a/j  y^  und  2'  erge- 
ben, bestimmen  sich  nun  leicht  durch  Combinatioa 
der  Gleichungen  jener  Flächen  mit  denen  dieser  Axen; 
bezeichnen  wir  sie  mit  p^i^  q  und  #,  so  wird 
för  die  Gestalt  I: 

mn  m  n 

piqit  = ; z — : 7: T 

^   ^  mn  +  m  +  n  m  —  1  n  —  1 

für  die  Gestalt  U: 

«1»       *       «I  n 


p:q:i  = 


P^  die  Gestalt  III: 

mn  n  m 

piqti  s=» ; —  :  — r^  : r 

^   r  mn  —  m  +  n  «  +  1   m  —  1 


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Anhang.  151 

für  die  Gestalt  IV: 


mn  —  m  —  n  w  +  l  «  +  1 
Um  niin  ami  diesen  Verhältnissen  auf  die  Ablei« 
tang»«ahlen  za  gelangen,  müssen  wir,  weil  immer 
einer  der  beiden  anf  die  Nebenaxen  besoglichen  Pa- 
rameter sofolge  der  Ableitung  =  1  «gefordert  wird, 
mit  der  kleinsten  der  beiden  Grössen  q  and  $  die  bei- 
den andern  dividiren ;  es  ist  aber  allgemein  q  die  klei- 
nere Grosse,  weil  immer  si  >  n  Torausgesetzt  wird, 
so  lange  die  Gestalt  noch  wirklich  ein  Hexakisok- 
ta€der  ist.  Wir  erhalten  daher  folgende  Ableitungs- 
zahlen  w^  nnd  j»': 
Für  die  Gestalt  I: 


(si  —  i>       ^,  _  {m  —  t)n 
H  +  M  +  n^  (m  —  l)m 


MH  +  m 
Die  Zahl  n'  ist  <  =  >  2,  je  nachdem  n  >  = 

2m 
*<  — -7--r ;  im  ersten  Falle  ist  sie  unmittelbar  die  ger 

suchte  Ableitungszahl,  und  die  Gestalt  I  ein  Skale- 
no€der  Ton  gleicher  Stellung  mit  ü;  im  zweiten  Falle 
ist  die  Gestalt  die  hex  agonale  Pyramide  siT2;  im  drit- 
ten Falle  dagegen  ein  Skalenoäder  ron  verwendeter 

Stellung,  für  welches  statt  n^  die  Grösse  —7 — r-  als 

Ableitungszahl  einzoflhren«  Folglich  wird  die  Ge* 
stalt  I: 

das  SkalenoSder      — ;r— ,  wenn  n  > 


m+i 
die  hex.  Pyramide 


das  Skaleno^et  •     — 
Für  die  Gestalt  ü: 


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* 

152  Heine  KrystaUographie. 

die  Zahl  n'  ist  <=>  2,  je  nachdem  n  >=<    ^  , 

«nd  im  letzteren  Falle  mit  -7^  m  vertauschen;  folg- 
lich wird  die  Gestalt  H: 

das  Skalenoeder      ~!^,  wenn  n>    ^ 

"    »  ■  •1—1 

die  hex.  Pyramide    «i'P2 ,       --  =  .,, 

«l'P  «' 
das  SkalenoSder ^3,  -     -  <  .  .  , 

Für  die  Gestalt  III: 

»'  _.     («  +  1)«         ,  __  («  +  l)i»t 
«»  —  «  +  «>  («~1> 

die  ZaU  »«  i«t  <  =  >2,  je  nachdem ii>=<-^^ 

nnd  im  letzteren  Falle  mit  -7^  savert^oschen;  folg- 
lich wird  die  Gestalt  Ol: 
das  SkalenoCder      2!^,  wenn  11  > -^ 

die  he»,  Pyramide    «'P2,       -      .»»., 

«fP  "' 
das  Skalenofider ^,    -     ,<-  .  , 

Für  die  Gestalt  IV: 

«'  =-.     («+^)»       -/  _  («»  +  t>t 

die  Zahl  «'  ist  imm^r  <2,  und  daher  jedenfalls  nn- 
mittelb^r  die  gesuchte  Ableitungsxahl;  allein  die  Zahl 
**  "*  +»  «>  oder  — ,  je  nachdem «m >  =  <«!-{-»; 
folglich  wird  die  Gestalt  IV; 

das  Skalenoeder      ^^,  wenn  «wi>«i  +  « 

das  Prisma  ....    ooP»',      -      ..-»... 

das  Skalenoeder -?ü|2^,      .      ..< 


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Anhang.  153 

In  der  Anwenduig.  ist  et  meist  vortheilhafter, 
statt  der  primitiven  die  secnndären  Zeichen  derSka- 
lenoSder  einzuführen;  die  Verwandlung  Jener  in  diese 
ist  sehr  leicht  su  bewerkstellige^  weU  nach  {.  304 
allgemein: 

Setst  man  in  deri  vorstehenden  Resultaten  n  s:  si, 
so  erhfilt  man  fiir  die  IkositetraSder  mOm  als  rhom- 
bo^drische  Combinationen  folgende  Resultate,  in  wei- 
den die  Skaleno^der  schon  auf  ihre  secnndären  Zei- 
chen reducirt  sind: 

Jedes  IkositetraSder  mOm  stellt  die  Combination 
der  beiden  Rhombo€der 

•*-*Bund??±|Ä 


«  +  2  ta  — 2 

mit  dem  Skaleno^er 

m  — 3-,-L±4 
m 
dar,  welches  letztere  jedoch  für  m  ss  3  in  die  hexa- 
gonale  Pyramide  4P2  übergeht;    für  «i<^  3  befindet 
sich  das  Skalenofider,   und  für  fli<^  2  das  spitzere 
Rhombo^der  in  verwendeter  S}tellung  zu  R. 

Setzt  man  in  den  Resultaten  für«iOii,  11  =  1,  so 
erhftlt  man  für  die  TriakisoktaSder  mO  folgende  Be- 
stimmungen: 

Jedes  mO  stellt  die  Combination  der  beiden  Rhom- 
boCder 

••~^Äund-;?^Ä 


2«i  +  l  2«  — 1 

mit  dem  SkalenoCder 

—  2Ä« 
dar. 

Setzt  man  dagegen  in  den  Resultaten  für  siOa 

si  £=  oo,    so  ergeben  sich  für  die  TetrakishexaSder 

ooOa  folgende  Bestimmungen: 


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154  Reine  Kry$taUographie. 

Jedes  ooOi»  stellt  i^e  Combinatlonen  des  Skale- 
no^ders 

mit  dem  SkalenoSdA 

dar;  dag  erstere  Skaleno6der  verwandelt  sich  Jedoch 
tat  ü  =S5  2  in  die  hexagonale  Pyramide  -IPS,  und  befin- 
det sich  in  verwendeter  Stellung  SU  JR,  wenn  ii<[2i8t. 

Das  Rhombendodeka§der  stellt  die  Combination 
— 4il.ooP2,  und  endlich  das  Oktaeder  die  Combina-» 
tion  OA.— 2il  dar. 

Zum  Schlüsse  mag  noch  nachstehende  Uebersicht 
der  bekanntesten  Gestalten  des  Tesseralsystemes  ia 
ihrer  Deutung  als  rhembo6drischer  Combinationem 
folgen. 

Wenn  das  nach  einer  trigonalen  Zwischenaxe  auf- 
recht gestellte  Hexaeder  ooOoo=il  gesetzt  wird,  so  ist: 
304  =  \^2.—iR^.—\RKodf{. 
402  =  ^RK—\RK2JfUR^. 
bOi  =5  4P2.— fÄ^|P2.4Ä^ 

J04  —  ^R.—R^.—bR. 
202  =  iH.— JÄ\ooÄ. 
303  =  |ll.|P2.4Ä. 
606  =  iR.^R^.iR. 

|0    s=  ~|il._|Jl.-21ll 
20    «=  — Jß.— 11.-2B*. 

ooOi  =5  —\R\R\ 

0002  =  4P2;Ä\ 

0003  s=r  iRKR^. 

ooO    cB  — |il.ooP3. 
O    :=zOR.^2R. 


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Zweiter  Theil, 

Angewandte  Krystallographie« 


Ifie  reine  Kryttallographie  setit  inaofeni  eine  ideal« 
B^elmäMigkeit  der  Krysullfonnen  Torans,  inwiefern 
fie  dnrchgfingig  die  beiden  Postolate  der  absolut  glei- 
chen Centraidistans  gieichwerthiger Flächen  nnd 
der  absoluten  Ebenheit  aller  Flächen  überhaupt 
geltend  macht,  weil  eine  Darstellung  der  wahren  Ge- 
setunässigkeit  der  Krystallformen  nur  dann  möglich' 
ist,  wenn  man  dabei  von  allen  Perturbationen  und 
Hemmungen  der  Krystallbildung  abatrahirt,  durch 
welche  jenen  beiden  Postulaten  in  de^  Wirklichkeit 
derogirt  wird.  Die  Beobachtung  hat  mit  Hülfe  der 
Geometrie  der  Natur  gleichsam  die  Ideale  abgelauscht^ 
auf  deren  Realisirung  sie  im  Krystallisationsprocesse 
hinarbeitet,  und  die  reine  Krystallograpkie  giebt  die 
Resultate  dieser  Beobachtung  unter  der  Voraussetzung 
der  höchsten  geometrischen  Vollendung,  welcher  die 
Producte  Jenes  Processes  ihrer  Idee  nach  f&hig  sind, 
ohne  sie  Tielleicht  jemals  su  erreichen. 

Weil  nämlich  der  Krystallisationsprocess  in  der 
Wirklichkeit  vielfältigen  Störungen  unterworfen  ist, 
so  entfernen  sieh  die  Krystallformen  sowohl  hinsicht- 
tich  ihrer  allgemeinen  Configuration ,  als  auch  hin* 
sichtlich  der  Beschaffenheit  ihrer  Flächen  gar  sehr 
▼on  jener  idealen  Regelmässigkeit;  weshalb  denn  die 


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156        Angewcmdte  Krystallographie. 

ai^wandte  Krystallographie  savörderat  voa  den  Un- 
Tollkommenheiten  in  der  Aosbildong  der  einzeltfi  Kry- 
stallformen  tu  handeln  hat. 

In  der  reinen  Krystallographie  waren  et  ferner 
nur  immer  die  Formen  einzeler  Individuen,  welche 
den  Gegenstand  der  Betrachtung  bilden,  während  doch 
bereits  in  der  .Einleitung  die  Aggregation  der  Indivi- 
duen aU  ein  herrschendes  Naturgesetz  der  anorgani- 
Hchen  Welt  bezeichnet  worden  ist,  kraft  dessen  die 
meisten  Krystalle  nicht  isolirt,  .sondern  in  verschie- 
denen, mehr  oder  weniger  gesetzmässigen  Aggrega- 
tionsformen auftreten.  Die  angewandte  Krystallogra- 
phie hat  daher  wenigstens  von  denjenigen  Aggrega- 
tionsforraen  der  Individuen  Rechenschaft  zu  geben, 
welche  mit  mathematischer  Gesetzmässigkeit  Statt  fin- 
den , ,  und  unter  den  Namen  der  Zwillingskrystdle, 
Drillingskrystalle  ,u.  s,  w.  bekannt  sind. 

So  entstehen  uns  also  in  den  Lehren  von  dea 
UnVollkommenheiten  der  Krystallformen  und  von  den 
Zwillingskrystallen  zwei  sehr  wichtige  Abschnitte  der 
angewandten  Krystallographie,  welche  gewissermaas- 
ien  den  physikalischen  Th^ü  derselben  aus- 
machen. 

Ein  zweiter,  nicht  minder  wichtiger  Theil  der- 
selben ist  deijenige,  welcher  die  zur  wissenschaft- 
lichen Erforschung  der  Krystallformen  und  die  zur 
Erleichterung  ihres  Studiums  unentbehrlichen  Hülfis- 
mittel  zum  Gegenstande  hat,  und  daher  auch  als  der 
technische  Theil  der  angewandten  Krystallogra- 
phie bezeichnet  werden  kann.'  Zu  diesen  Hül&mit- 
teln  gehören  einerseits  Messungen  der  Kanten win« 
kel,  welche  für  die  wahre,  Kenntniss  der  Krystall- 
formen unentbehrlich  sind,  weil  nur  durch  sie  die 
zur  Berechnung  erforderlichen  Elemente  mit  hinrei- 
ehender  Crenauigkeit  gewonnen  werden  können;  an- 
derseiu  Zeichnungen. und  Modelle  der  Kryytall- 


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UninMommmh.  der  KryftaUformen.    15f 

fermen,  welche  snr  Erleiehtemng  und  FSrdening  des 
krystallographischen  Stadiums  Oberhaupt,  to  wie  rar 
Verbreitung  und  Sicherung  unserer  bereits  gewonne- 
nen Kenntnisse  der  Krystallformen  ausserordentlich 
▼iel  beitragen. 

Büemach  serfidk  die    angewandte  Krystallogra- 
phie  überhaupt  in  folgende  fünf  Abschnitte: 
.    1)  Von  den  Unvollkommenheiten  der  Krystallfor« 
mep. 

2)  Von  den  ZwillingskrystaUen. 

3)  Von  der  Messung  der  Krystalle. 

4)  Von  der  Zeichnung  der  Krystallformen. 

5)  Ven  der  Modellirung  der  Krystallformen, 


Erster  Abschnitt 
Tmi  dem  Umv^iiA^mmenietien  der  Krjfiialfformen. 

{.    625. 
Versdiiedeiie  Artea  der  UoTollkioimeBheiteii. 

Die  Betrachtungen  der  reinen  Krystallographie  beru- 
hen auf  einigen  Voraussetsungen,  welchen,  wie  noth-« 
wendig  sie  auch  seyn  mögen^  in  der  Wirklichkeit 
doch  niHT  selten,  Ja  zum  Theil  vielleicht  niemals  voll- 
kommen entsprochenwird.  Diese  Voraussetxungen  wa- 
ren besonders  folgende: 

1)  Ebenheit  der  Krystallflftchen ; 

2)  Congruenx   aller  FIftchen    einer  und   derselben 
Gestalt  oder  Theilgestalt; 

3)  Ringsum  rollendete  Ausbildung  der  Bjrystallform. 
Was  nun  suvörderst  die  ebene  Beschaffenheit  der 

FlSchen  betrifft,  so  ist  ansunehmen,  dass  die  Natur 
swar  in  einer  Jeden  Krystallfläche  auf  die  Darstellung 
einer  ebenen  Fläche  hinarbeite^  wie  dies  besonders 


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158        AngeunmäU  KrystaUographie. 

aas  dem  so  höchst  eminentenTharakter  der  den  Spal- 
tnngsflächen  entsprechenden  Minima  der  Cohärena 
hervonragehen  scheint;  dass  jedoch  diese  plastische 
Tendenz  theils  durch  periodische  Intermittensen  des 
Krystallisationsprocesses,  theils  durch  störende  Ein* 
wkknngen  der  die  krystallisirende  Sabstanx  nmgeben-» 
den  Matrix  oder  Flüssigkeit  auf  vielfältige  Weise 
modificirt  und  gehemmt  werden  müsse.  Wiewohl  also 
die  Krystallflächen  ihrer  Jdee  nach  als  ebene  Flächen 
%a  betrachten  sind,  so  dürfen  wir  doch  nicht  erwar* 
ten,  sie  in  der  Natur  jedenfalls  als  solche  ausge* 
prägt  zu  finden )  noch  unsjwundern,  wenn  wir  Kry- 
stallflächen treflfen,  welche  sich  von  jener  idealen  Re- 
gelmässigkeit der  Ausdehnung  auf  eine  oder  andere 
Art  entfernen. 

Aber  auch  die  allgemeine  Configuration  der  Kry-» 
stallformen  ist  keines weges  so  regelmässig,  wie  sol* 
che  in  der  reinen  Krystallographie  angenommen  wer- 
den musste.  So  haben  die  gleichwerthigen  Flächen 
einer  und  derselben  Gestalt  oder  Theilgestalt  nicht 
immer  absolut  gleiche  Centraldistanzen,  folglich  auch 
nicht  immer  die  für  sie  in  |.  4ß  geforderte  Gleich- 
heit und  Aehnlichkeit,  weil  sie  bei  ungleicher  Cen- 
traldistanz  wie  ihrer  Ausdehnung  nach  ungleich,  so 
ihrer  Figur  nach  unähnlich  werden  müssen. 

Ausser  dieser  Abnormität  treten  noch  viele  an- 
dere umstände  ein,  welche  theilweise  Veranstaltung 
oder  gänzliche  Yerstümmelnng  der  Krystallformen  her- 
beifuhren, so  dass  man  ohne  Uebertreibung  behaupten 
kann,  dass  es  wohl  keinen  Krystall  gebe,  welcher 
genau  in  deijenigen  Regelmässigkeit  ausgebildet  sey, 
wie  solche  in  der  reinen  Krystallographie  vorausge- 
setzt wurde.  Um  so  nothwendjger  wird  es  aber  auch, 
die  versdiiedenen  Abnormitäten  in  der  Ausbildung  der 
Krystallformen  kennen  zu  lernen ,  weil  man  nnr 
durch  ihre  sorgfältige  Berucksiehtiguiig  viefen  Fehl- 


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UnifMt.  der  Kry^tallförmen.  O^  I.     150 

schlBSsen  bei  der  Benrtheilang  der  KrystaHe  €Mgt^ 
ben  kann. 


Erstes    CapiteL 

Ton  den  Unvollkommenheiten  derKrystall- 
flächen. 

|.    526. 
OacillatoriAche  Combtnadoii. 

VoUkommene  Krystallflächen  sind  solche^  Welche 
■icbt  nur  in  ihrer  allgemeinen  Ausdehnung,  sonclem 
aach  in  der  Beschaflfenheit  ihrer  Oberfläche  dem  Ge- 
setze der  Ebene  entsprechen,  daher  nicht  nur  eben, 
sondern  auch  glatt  sind,  und  das  Licht  nach  dem  Ge- 
setze der  Planspiegel  vollkommen  reflectiren. 

TJnTollkommene  Krystallflächen  dagegen  sind  sol- 
che,  welche  entweder  im  Allgemeinen  uneben,  ge- 
kr&ramt  und  gebogen,  öder  in  ihrer  Ansdehnmig  un- 
terbrochen, zerfressen,  gehackt,  löcherig,  oder 
mit  partiellen  Unebenheiten^  mit  abwechseln- 
den Erhöhungen  und  Vertiefungen  besetzt,  also  ge- 
reift, drüsig,  rauh  sind. 

Die  wichtigste  von  diesen  Abnormitäten  ist-  die 
Reifung  und  Streifung  der  Krystallflächen.  Um 
dieses  Yerhältniss  gleich  anfangs  vom  richtigen  Ge- 
sichtspuncte  aufzufassen ,  müssen  wir  den  Begriff  der 
•scillatorischen  Combination  zu  Hülfe  neh- 
men. Wenn  nämlich  die  Flächen  zweier  verschiede- 
ner Gestalten  zu  einer  Combination  verbunden  sind, 
10  findet  diese  Combination  entweder  stetig  oder 
unterbrochen  Statt,  d.  h.  entweder  treten  die 
Flächen  der  Gestalt  B  in  stetiger,  ununterbi^chener 
Ausdehnung  zwischen  den  gleichfalls  stetig  ausge- 
dehnten Flächen  der  Gestalt  A  auf,  oder  es  exschei- 


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160         J!ngeiPand(0  Kry^taüograpM^. 

nen  nur  Bchmale  Streifen  d^  Flächen  von  B  abweeh« 
telnd  zwischen  schmalen  Streifen  der  Flächen  von^ls 
in  welchem  letzteren  Falle  di^  Länffendiniension  der 
Streifen  unmittelbar  durch  die  Lage  der  Combinations« 
kante  beider  Flächen  bestimmt  wird.  Die  so  häufige 
Combination  P.ocP  des  Quarzes  mag  als  ein  in  die- 
ser Hinsicht  besonders  lehrreiches  Beispiel  dienen. 
Es  giebt  Varietäten  dieser  Combination  (z.  B.  die  be- 
kannte von  Compostella) ,  in  welchen  die  Flächen  de^ 
Pyramide  P  vollständig  und  ungeth^ilt  an  beiden  En- 
den des  Prismas  od9  eine  sechsflächige  Zuspitzung 
bilden,  ohne  dass  längs  des  Prismas  Andeutungen  der 
Pyramidenflächen  wahrzunehmen  wären.  Häufiger  je- 
doch trifft  man  Varietäten,  in  welchen  sich  bereits 
auf.  den  Flächen  des  Prismas  schmale  Streifen  d^ 
Pyramidenfiächen,  gleichsam  wie  Budimente  oder  Vor- 
boten der  endlich  eintretenden  Zuspitzung  vorfinden, 
Fig.  538  und  639.  Diese  Streifen  der  Pyramidenflä- 
chen wechseln  stufenartig  mit  Streifen  der  Prisma- 
flachen,  so  dass  eine  oscillatorische  Combination  der 
beiderlei  Fläehenelemente  zum  Vorscheine  kommt, 
gleichsam  als  hauen  die  auf  die  Bildung  der  Flächea 
von  ooP  und  P  gerichteten  Kräfte  abwechselnd  die 
eine  über  die  andere  das  üebergewicht  erhalten,  \Aa 
endlich  die  letztere  den  Sieg  davon  getragen. 

§.    627. 
Reiftmg  und  Streifung  der  Fl&chea. 

Dass  nun  diese  oscillatorische  Combination,  wenn 
solche  in  kleinem  Maassstabe  Statt  findet,  d.  h.  wenn 
die  abwechselnden  Flächenelemente  eine  sehr  geringe 
Breite  haben,  die  Erscheinung  der  Flächenreifung  und 
Flächenstreifiing  zur  Folge  haben  müsse,  ist  einleuch- 
tend. So  lange  nämlich  die  Flächenelemente  eine 
mit  dem  blossen  Auge  sehr  leicht  erkennbare  Breite 
liaben,   werden  sie    eine   stufenartige  Abwechselung; 


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UnvoJO:.  der  KrystcJlformm.  Cap.  L    161 

Ton  Forchen  und  Leisten  darstellen,  welche  sich  mit 
dem  Namen  der  Flächen reifung  bezeichnen,  und 
▼on  jedem  Beobachter  als  das  Resultat  einer  oscilla-* 
torischen  Combination  erkennen  lässt.  So  findet  sich 
unter  andern  diese  Reifung  sehr  ausgezeichnet  auf 
den  prismatischen  Flächen  vieler  Quarzkrystalle,  wo 
sie  durch  Combination  Ton  ocP  und  P,  auf  den  Sei- 
tenflächen der  Säulen  des  Turmalines,  wo  sie  durch 
Combination  von  ooP2  und  ooil,  auf  den  Flächen  der 
Hexaeder  des  Eisenkieses,  wo  sie  durch  Combina- 
tion von  ooOoo  und  — -—  hervorgebracht  wird. 

Wenn  aber  die  abwechselnden  Flächenelemente 
sehr  schmal  werden,  so  dass  das  blosse  Auge  die  ein- 
seien nicht  mehr  als  solche  zu  erkennen  vermag,  so 
wird  sich  natürlich  dasselbe  Yerhältniss,  welches  vor- 
her als  eine'  mehr  oder  weniger  grobe  Reifung  er- 
schien, nur  noch  als  eine  mehr  oder  weniger  feine 
Streifung  der  Krystallflächen  zu  erkennen  geben. « 
Die  Flächenstreifung  ist  also  jedenfalls  nur  das  Phä- 
nomen einer  in  sehr  kleinem  Maassstabe  ausgebilde- 
ten oMullatOrischen  Combination  der  Flächen  zweier 
verschiedener  Gestalten;  weshalb  denn  auch  die  Strei- 
fen selbst  der  Combinationskante  beider  Flächen  par- 
allel laufen. 

Anmerkung.  Bisweilen  findet  die  Reifung  in 
der  Art  Statt,  dass  die  Flächenelemente  nicht  zweier 
verschiedener,  sondern  einer  und  derselben  Ge- 
stalt mit  einander  in  oscillatorischer  Combination  ver- 
bunden sind,  wie  z.  B.  die  Elemente  der  Flächen  des 
Oktaeders  in  Fig.  540,  welche  in  ihrer  treppenartigen 
Verbindung  die  Flächen  des  Rhombendodekaäders  dar- 
stellen* 

{.   528. 
fiiaCftche  StreiAmg. 

Nach  der  Zahl  der  einzelen  Systeme  von  paral- 
IL  11 


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tat        Angewandte  KrystaUographie. 

lelen  Streifen ,  die  sich  auf  einer  Fläche  wahrnehmen 
lassen,  unterscheidet  man  einfache,  federartige,  trian* 
gnlftre  Streifnng  n.  s«  w« 

Die  Streifnng  heisst  einfach,  wenn  nur  ein 
System  von  parallelen  Streifen  vorhanden  ist.  Sie 
kommt  besonders  häufig  in  den  einaxigen  Krystallsy- 
stemen  Tor,  wenn  snvei  oder  mehre,  zu  derselben  Axe 
gehörige  Prismen  oder  Hemiprismen,  oder  auch  ein 
Prisma  und  eines  der  Flächenpaare  Wt  einander  in 
Combination  treten.  Auf  diese  Weise  entstehen  die 
verticalen  Streifen  an  den  bereits  erwähnten  Säulen 
des  Turmalines  so  wie  an  den  gleichfalls  säulenför- 
migen KrystaRen  des  Berylles,  Topases,  Gypses,  Dio- 
psides,  Lievrites,  Graumanganerxes ,  Apatites,  Wol- 
frams XL  a.  Mineralien,  die  horizontalen  Streifen  an 
den  Krystallen  des  Bleicarbonates ,  der  Kupferlasur, 
des  Epidotes,  'Miargyrites.  Aber  auch  Pyramidenflft- 
eben  erscheinen  häufig  theils  durch  Flächen  andrer 
Pyramiden,  theils  durch  Flächen  yon  Prismen  oder 
durch  die  den  Hauptschnitten  entsprechenden  Flächen- 
paare einfach  gestreift;  so  z.  B.  die  Pyramiden  des 
Anatases',  Uranites,  die  Hemipyramiden  des  Glaube- 
rites,  Gypses,  Diopsides,  der  rothen  Arsenikblende^ 
des  Miargyrites  u.  a. 

Die  Flächen  der  Rhombo^der  sind  oh  Suren  ge- 
neigten Diagonalen  parallel  gestreift,  wie  z.  B.  be- 
sonders häufig  das  Bhomboäder  — ^R  des  Kalkspathes. 
Eben  so  häufig  zeigen  die  Flächen  der  Skalenoider 
eine  ihren  Mittelkanten  oder  ihren  Polkanten  paral- 
lele Streifung;  besonders  am  Kalkspathe  und  der  rhonv- 
boSdrischen  Silberblende  ist  die  erstere  Streifnng  an 
den  Skalenoädern  Ton  der  Form  R^  (die  Gränzgestalt 
jR^   oder  ocP2  nicht  ausgenommen),  die  zweite  Strei- 

2 
fung  an  den  SkalenoSdem  von  der  Form  r B^ 


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UnviM.  der  Krystaüfiamen.  Cap.  /.     103 

2 
onA  :; — r-iü"  f^^  Immtr  xa  finden,  indem  die  Strei- 

fea  den  fttittel «  oder  PoUcanten  der  Gmndgegtalt  par- 
idlel  laufen. 

Einige  der    merkwürdigsten  Beispiele    einfacher 
Streifiing  ans  dem  Tesseralsysteme  sind  folgende: 

1)  Die  Streifiing  der  Flächen  von  ooO ;  ist  sie  par- 
.allel  der  Brachy diagonale,  so  deutet  sie  auf  die 
Combination  Ton  ooOn  oder  ooOoo;  ist  sie  da* 
gegen  parallel  der  Makrodiagonale,  so  deutet 
sie  auf  die  Flächen  von  mO  oder  O. 

2)  Die  Streifung  der  Flächen  von  «lOsi  parallel  ih- 
ren symmetrischen  Diagonalen;  sie  deutet  theils 
auf  ooO,  theils  auf  jw'O  oder  m'On'\  so  rührt 
s.  B.  diese  Streuung  an  dem  Ikositetraeder 
202  ües  Granates  von  den  Flächen  ooO  oder 
3049  <ui  ^^^  Ikositetraeder  303  des  Bleiglan- 
xes  von    den  Flächen    eines  Hexakisoktaßders 

3si 
von  der  Form  mO- 5  her. 

3)  Die  Streifiing  der  Flächen  von  öcOoo  am  hexaS- 
drischen  Eisenkiese,  welche  auf  je  zwei  Gegen- 

'  flächen  nach  einer  andern  Richtung  Statt  findet, 
so  dass  die  Streifen  je  zweier  Nebenflächen  auf 
einander  rechtwinklig  sind,  und  die  Richtung 
der  verschiedenen  Streifensysteme  überhaupt  der 
Lage  der  ^Aarakteristischen  Kanten  der  Penta- 
gondodekaeder entspricht;  Fig.  541.  Die  Ursa- 
che dieser  Streifung,  welche  nicht  selten  in  eine 
grobe  Reifiing  übergeht,  ist  sehr  deutlich  in  der 
oscillatorischen  Combination  des  Pentagondode^ 

kagders  —^  zu  erkennen. 

3)  Die  Streifiing  der  Flächen  des  PentagondodekaS- 

ders      ^     narallel  ihren  Höhenlinien,   und  der 

11' 


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164         Angewandte  KrystaUognsphiei 

Flächen  des  DyakisdodekaMdert  |-^l  parallel 

ihren  gleichschenkligen  Diagonalen,   von  wel« 

t4021 
— ^  |,  diese 

durch  Combination  von  O  öder  -^r—  veranlasst 
Wird. 
5)  Die  Streifangen  der  TriakisoktaSder  parallel  den 
Okta^derkanten,  der  Tetrakishexa^der  parallel 
denHexaSderkanten,  der  Trigondodekaßder  par- 
allel den  TetraSderkanten. 

§.    629. 
Mehrfoche  Strdfting. 

Die  Stteifong  heisst  fed  er  artig,  wenn  anf  ei- 
ner idid  derselben  Fläche  zwei  verschiedene  Systeme 
von  parallelen  Streifen  erscheinen,  die  sich  jedoch 
nicht  durchkreuzen,  sondern  in  einer  Linie  anf  ähn- 
liche Art  znsammenstossen,  wie  die  beiden  Flügel  ei- 
nes Federbartes  am  Kiele  der  Feder.  Sie  deutet  auf 
die  gleichzeitige  osciUatorische  Combination  zweier 
Flächen  einer  andern  Gestalt,  nnd  ist  z.  B.  an  den 
Rhombo§dern  des  Chabasites  nnd  der  Silberblende  za 
beobachten,  deren  Flächen  ihren  Polkanten  parallel 
gestreift  sind,  wie  in  Fig.  542. 

Trigonale  Streifiing  findet  sich  sehr  ausgezeich- 
net anf  der  basischen  Fläche  mehrer  rhomboSdrischer 
Krystalle,  zumal  bei  dünn  tafelartiger  Ausbildung, 
wie  z.  B.  auf  dün  Titeln  des  Eisenglanzes  und  Poly- 
basit^s ;  auch  ist  sie  auf  den  Flächen  der  Tetraeder 
und  OktaSdet  zn  beobachten. 

Rhombische  Streifnng  kommt  bisweilen  im 
rhombischen  Systeme  auf  den  Flächen  OP,  oojPoo  oder 
ooPoo  tor,  und  ist  aus  der  oscillatorischen  Combina* 
tion  von  Pyramidenflächen  zu  erklären.  Eines  der 
bekanntesten  Beispiele  bietet  der  Harmotom  dar,  des- 


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UTWoUk.  der  KrystaUfbrnun.  Cap.  I.      165 

ten  Flächen  ocPoo  durch  Combination  mit  P  oder  mPm 
gewöhnlich  rhombisch  gestreift  erscheinen;  die  Strei- 
fen durchkreuzen  sich  nicht,  sondern  umschliessen 
Ineist  in  der  Mitte  der  Fläche  einen  kleinen  glatten 
Rhombus;  Fig.  543, 

Quadratische  Streifiing  findet  sich  bisweilen 
auf  den  basischen  Flächen  tetragonaler  Combinatio- 
nen^  so  wie  auf  den  Flächen  des  Hexaeders  parallel 
ihren  Kanten  oder  Diagonalen.  Diese  letztere  Art 
der  quadratischen  Streifung  kommt  zumal  an  denHexaä- 
dem  des  Bleiglanzes,  jedoch  so  vor,  dass  meist  nur 
in  der  Mitte  jeder  Hexaäderfläche  ein  abgesondertes 
Feld  gestreift  ist;  sie  ist  in  diesem  Falle  aus  der  os- 
cillatoriscl^en  Combination  eines  IkositetraSders  zu 
erklärep;  rig.544. 

|.    630. 
V(«th«le  der  Strdfim^. 

Die  Streifnng  der  flächen  ist  in  mehrfischer  Hin- 
geht eine  sehr  wichtige  und  dem  Krystallographen 
nicht  unWillkcHnmene  Erscheinung,  wenn  sie  gleick 
in  andrer  Hinsicht  seinen  Forschungen  störend  entge- 
gentritt. 

Es  ist  nämlich  eiq  fast  durchgängig  bestätigtes 
Gesetz,  dass  die  Streifung,  wenn  sie  einmal  vorhan* 
den,  auf  allen  Flächen  derselben  Gestalt  oder  Theil- 
gestalt  zugleich  und  in  gleicher  Weise  Statt  findet 
Dadurch  wird  sie  in  der  That  ein  Merkmal,  an  wel- 
chem  man  in  vielen  Fällen  die  zusammengehörigen 
oder  gleichwerthigen  Flächen  erkennen  kann,  und 
folglich  ein  wichtiges  HüUsmittel  für  die  Orientirung 
der  Combinationen. 

Da  sich  ferner  in  jeder  Streifung  die  Tendenz 
zur  Ausbildung  irgend  einer  Gestalt  offenbart,  deren 
Flächen  mit  den  Flächen  der  gestreiften  Gestalt  in 
Combinationskanten    zusammentreffen,     welche    den 


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166        AngeuKindte  Krystallographie* 

Streifen  parallel  sind^  90  l-ässt  sich  aas  jeder  Strel- 
fung  auf  das  Yorhandenseyn  einer  Gestalt  schliessen, 
Tvelche,  wenn  sie  auch  noch  an  keiner  Varietät  der 
Krystallreihe  in  stetiger  Flädienansdefanong  beobach-* 
tet  seyn  sollte,  dennoch  als  ein  Glied  dieser  Krystall- 
reihe betrachtet  werden  inuss.  Die  Streifung  kann 
daher  in  vielen  Fällen  dazu  dienen,  unsre  Kenntnis« 
Ton  den  Gestalten  einer  Krystallreihe  ±u,  vervpllstän- 
digen  und  zu  bereichern,  weil  sie  uns  jtedenfalls  we- 
nigstens ein  Element  zur  Bestimmung  derjenigen  Ge- 
stalt an  die  Hand  giebt,  durch  deren  oscillatorische 
Combination  sie  selbst  hervorgerufen  wurde. 

Endlich  leistet  die  Streifung  in  manchen  Fällen 
grosse  Dienste  bei  der  Entscheidung,  ob  man  es  mit 
einfachen  oder  mit  Zwillingskrystallen  zu  thun  hat:, 
indem  sich  nicht  selten  an  den  Linien  oder  Näthen, 
in  welchen  zwei  Systeme  von  Streifen  zusammen- 
stossen,  die  Demarcationslinien  der  zu  einem  Zwilling 
verbundenen  Individuen  erkennen  lassen,  wie  dies 
z.  B.  an  den  Zwillingen  des  Kalkscheelats,  des  Wol- 
frams, des  rhombischen  Eisenkieses  u«  a.  M^eraliei^ 
der  Fall  ist. 

i    531. 

Nachthetle  der  Streifung. 

Auf  der  andern  Seite  ist' nicht  zu  Ittugnen,  ismw^ 
die  Streifong  auch  einige  störende  Verhältnisse  zur 
Folge  hat.  Denn  nicht  nur,  dass  sie  die  Messui^em 
der  Krystalle  unsicher  macht,  veranlasst  sie  auch  häufig 
bedeutende  Abnormitäten  in  der  Flächenansbildung, 
zu  welchen  wir  vorzüglich  die  scheinbare  Flä- 
chenkrümmung und  die  Entstehung  scheinbar 
selbständiger  Krystallflächen  zu  rechnen 
haben. 

Es  ist  nämlich  einleuchtend,  dass  die  treppenar- 
tige Combination  von  schmalen  Flächenelementen,  wie 


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UnvoUk.  der  KrystaUformm.  Cap.I.      167 

solche  in  der  Streifimg  vorhanden  Ist,  in  ihrem  all- 
gemeinen Yerlanfe  nur  dann  mit  einer  der  Flächen 
abereinstimmen  wird,  wenn  sich  die  eingeschalteten 
Flächenstreifen  der  einen  Gestalt  Ton  beiden  Seiten 
her  in  entgegengesetzter  I^age,  aber  mit  gleicher  Breite 
zwischen  die  Flächenstreifen  der  andern  Gestalt  ein- 
setzen, wie  dies  z.  B.  in  Fig.  538  Statt  findet,  wo  der 
Verlaof  der  oscillatorischen  Combin&tion  mit  der  Lage 
der  Flächen  von  ooP  fibereinstimmt.  In  allen  übri- 
gen Fällen  wird  dieser  allgemeine  Verlan!  entweder 
einer  ebenen  oder  einer  krummen  Fläche  entsprechen, 
Je  nachdem  die  abwechselnden  Flächenstreifen  eine 
durchgängig  constante  oder  eine  variable  Breite  be- 
sitzen.  Es  können  daher  im  ersteren  Falle,  zumal 
wenn  die  Streifung  in  sehr  kleinem  Maassstabe  Statt 
&idet,>  scheinbar  selbständige  Flächen  zum  Vorscheine 
kommen,  wie  z.  B.  in  Fig.  539,  wo  das  System  der 
comUnirten  Flächenelemente  in  seinem  Verlaufe  die 
fläche  einer  spitzen  hexagonalen  Pyramide  darstellt, 
weil  die  Flächenelemente  von  ocP  einerseits,  und  die 
Flächenelemente  von  P  anderseits  jede  in  ihrer  Art 
eine  constante  Breite  haben.  Wenn  dagegen  die  bei- 
derlei combinirten  Flächenelemente,  oder  auch  nur 
die  eitte  Art  derselben  eine  variable  Breite  besitzen, 
so  wird  sich  der  Verlauf  des  ganzen  Systemes  noth- 
wendig  krummfiächig,  und  zwar  nach  dem  Gesetze  ei- 
ner CyUnderfläche  ausbilden,  deren  Krümmungslinie 
die  Streifen  rechtwinklig  durchschneidet  Je  regel- 
mässiger das  Gesetz  der  Ab-  oder  Zunahme  der  Breite 
de#Flächenelemente,  um  so  regelmässiger  wird  auch 
der  krummflächige  Verlauf  der  oscillatorischen  Com- 
bination  werden,  und  so  sind  z.  B.  die  schilfartigen 
Säulen  des  Tremolithes,  die  fast  eylindrischen  Säu- 
len des  Berylles,  die  dreiseitig  eylindrischen  (aus  drei 
Cylindertegmenten  bestehenden)  Säulen  des  Tnrmali- 


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166         Angewandte  KrystaUographie. 

ne«  und  viele  andere ,  scheinbar  kriunmflachige  Kry* 
stallformen  zu  erklären. 

|.    532. 

Drnsige  Flächen. 

Eine  in  gewisser  Hinsicht  mif  der  Streifung  ver- 
wandte Erscheinung  ist  die  Drusigkeit  der  Kry- 
stallflächeii.  Welin  nämlich  über  die  Flächen  einer 
Gestalt  sehr  kleine  Ecke  einer  andern  Gestalt  dicht 
an  einander  gedrängt  hervorragen,  so  sagt  man,  die 
Fläche  sey  drusig,  wie  sie  denn  auch  in  der  That 
eine  Druse  en  miniature  von  Krystallrudimenten  der 
zweiten  Gestalt  darstellt..  So  erscheinen  oft  die  Ok- 
taeder des  Flussspathes  sehr  regelmässig  dmsig  durch 
die  trigonalen  Ecke  des  Hexaeders  oder  Rhombendo- 
de]^a6ders,  und  behaupten  diese  drusige  Oberfläche 
auch  in  ihren  Combinationen  mit  andern  Gestalten; 
wie  z.  B.  in  den  Combinationen  ocOoo.O  oder  ooO.O 
die  Flächen  des  Hexaeders  und  Bhombendodeka^ 
ders  nicht  selten  glatt,  die  Flächen  des  Oktaeders 
aber  drusig  sind.  Doch  erscheinen  auch  die  Flächen 
des  Rhombendodekaeders  so  wie  jene  des  Tetrakis- 
hexa^ders  an  manchen  Krystallen  des  Flussspathes 
drusig;  indess  pflegt  dann  das  Yerhältniss  in  sehr 
kleinem  Maassstabe  Statt  zu  finden,  so  dass  die  Flas- 
chen mehr  rauh  als  drusig  aussehen.  Ist  näjQiIich 
die  Drusigkeit  so  fein,  dass  man  die  einzelen  Kry- 
stallecken  nicht  mehr  gut  unterscheiden  kann,  so 
nennt  man  die  Fläche  rauh. 

Am  Kalkspathe  erscheint  zumal  die  basische  üä- 
che  OB  sehr  oft  schuppig -drusig  durch  die  Poleoke 
•ehr  flacher  Rhombo^der;  es  giebt  aber  auch  Kry^ 
Stalle,  deren  ganze  Oberfläche  grobdrusig  ist  (wie 
z  B.  die  rauchgrauen  von  Kamsdorf),  wenn  nicht  in 
diesem  Falle  das  scheinbare  Individuum  als  ein  wirk- 
liches Aggregat  vieler  kleiner  Individuen  zu  deuten 


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UnvaUk.  der  Kry$taUformen.    Cap.  L    169 

kt;  wie 'durch  dergleichen  Zasammeasetsangeii  s.  B. 
die  sehr  stark  drasigen  Endflächen  in  den  Prismen 
des  Manganerses  entstehen ,  und  überhaupt  in  allen 
polysynthetischen  Individuen  die  Bedingungen  sur  Ent* 
stehnng  drusiger  Flächen  vorhanden  sind*). 

Anmerkung.  Es  versteht  sich^  dass  die  Dm?- 
Bigkeit  der  Krystallflächen  nicht  mit  den  drusigen 
Ueber2Eugen  und  Anflügen  fremdartiger  Substanzen  sa 
verwechseln  ist,  dergleichen  oft  die  Oberfläche  eines 
Krystalles  sehr  regelmässig  umhüllen.  Die  kleinen 
Krystallecken  einer  drusigen  Fläche  gehören  dersel- 
ben Substanx  an  wie  der  ganse  Krysti^. 

f.    633. 

ZsrfireMene,  4prchlScherte,  eln^edrilckte  Kryttallfl&chaik 

Ausser  der  Streifung  und  Drusigkeit  giebt  es 
noch  andre  Abnormitäten ,  durch  welche  die  stetige 
Ausdehnung  der  Krystallflächen  unterbrochen  wird. 
So  sind  manche  Flächen  von  kleinen  Poren  und  Aus- 
hdhlangen  erföllt,  die  ihnen  das  Ansehen  geben,  als 
wären  sie  durch  Einwirkung  eines  chemischen  Rea- 
gens xerfressen  worden.  Bisweilen  werden  diese  Aus- 
fadhloogen  so  gross,  dass  die  Fläche  wie  durchldchert, 
und  der  Krystall  selbst  wie  ausgehöhlt  erscheint.  Aehn- 
üche  Vertiefungen  rühren  nicht  selten  von  KrystaUen 
andrer  Substansen  her,  welche  von  der  Masse  des 
durchlöcherten  Krystalles  ursprünglich  umschlossen, 
durch  die  Einwirkung  eines  später  hinzutretenden  Zer- 
stömngsmittels   aber  vernichtet  wurden,   und  daher 


*;  S«  ist  ia  der  That  oft  sekr  sdiwierig,  wo  nicht  «sss  wi- 
»Aglich,  die  Gr&nae  swiadien  Individaum  und  Aggregfit  simige- 
bea,  sobald  sidi  die  aggregirten  Individuen  in  paralleler  Stellung 
befinden.  Eine  ähnliche  Unbestimmtheit  kommt  auch  auf  den  tie- 
fen Stufen  der  Thier-  und  Pflanzenwelt  vor,  wo  die  Individuen 
oft  so  verBcbmolzen  find,  dass  man  sie  kamn  in  der  Vontellung 
n  isolinn  wciaa. 


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170        Angewandte  KrystdUographie^ 

BndrOeka  ihrer  eigenen  Form  als  Monumente  llures 
ehemaligen  Daseyns  in  äer  Oberfläche  d^  sie  um* 
sehliessenden  Trftgers  surückliessen.  So  sind  zumal 
di^  gebaekten  und  eingesebnittenen  Flächen  lu  den* 
ten,  durch  welche  sich  manche  Quarakrystalle  auf 
eine  so  aa£Esllende  Art  amseichnen. 

§.    534. 
f    KHUnmoiig  der  Fliehen. 

Ausser  der  in  {.  531  erwähnten  scheinbaren  Flä- 
chenkrümmung, welche  nur  den  krummlinigen  Verlauf 
der  oscillatorischen  Combination  beieichnet,  kommt 
zuweilen  eine  Ejrümmung  der  Flächen  Tor,  welche 
weit  vollkommener,  und  wenigstens  nicht  aus  einer 
Combination  Ton  ebenen  Flächenelemfenten  zu  erklä- 
ren ist.  So  sind  besonders  die  sehr  polyCdrischen 
Krystallformen  des  Diamantes,  wie  s.  B.  die  Hexa- 
kisoktaider,  HexakistetraSder,  TriakisokCaäder,  auch 
die  Rkom^ndodekaäder  desselben,  fast  immer  der« 
maassen  kmmmflächig,  dass  in  ihnen,  zumal  aber  in 
den  Ilexaktsoktfi§dem  eine  auffallende  Annäherung 
»  die  iCugelform  Statt  findet;  Fig.  545,  546  länd  547. 
Eben  so  bekannt  sind  die  sattelförmig  gebogenen  Rhonw 
bolSder  des  Braunspathes  und  Eisenspathes,  deren  Ex- 
trem nach  Mobs  in  Fig.  548  dargestellt  ist.  Auch  er- 
scheint der  Raulenspath  zuweilen  in  kuglig  an%e- 
blähten  Rfaomboädem. 

Die  linsenförmigen  und  kegelförmigen  Gestaltea 
des  Gypses,  die  S-förmig  gebogenen  Flächen  des  Pris- 
mas ooP  am  rhombischen  Eisenkies,  Fig.  549,  die  ke- 
gelförmigen Krystalle  der  braunen  Zinkblende,  die 
convexen  Hexaäder  des  Kobaltkieses,  der  krummflft- 
chige  Uebergang,  welcher  oft  am  Kalkspathe  zwischen 
den  Flächen  der  Rhomboeder  und  des  Prismas  ooR 
Statt  findet,  Fig.  550,  und  zahllose  ähnliche  Erschei- 
mmgen  beweisen  die  Möglichkeit   einer  mehr  oder 


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UnpoUk.  der  KrydtaüfofTMn.  Cap.L    171 

wenigef  TollkdmitteBe«  kmnmiflftcUgeii  B^grinrang 
der  KrystaUfonnen,  welche  nicht  aas  einer  oceillato* 
riechen  Cembination  n  erklären  iit. 

Aoch  gehören  hierher  die  partiellen  Znmndnngen 
der  Kanten  nnd  Ecke,  welche  besonders  in  Coabina- 
tMNien  da  Tonakommen  j^kgen,  wo  die  Flächen  meh- 
rer  nntergeordneter  Gestalten  nnter  sehr  stampfen 
Winkeln  cnsammenstossen,  nnd  gleichsam  in  eine 
einzige,  oft  sehr  lebhaft  glänsende  kranne  flächo 
▼erffiessen;  eine  Erscheinliag^  welche  sich  an  den 
Conbittationen  des  Gypses,  Kidkspathes,  Barytes,  Ei- 
senkieses n«  a.  Mineralien  gar>  nicht  seilen  findet 

I-    535. 
FortaetKunf. 

WiewoU  in  einigen  der  vorerwähnten  krommflä«- 
cUgen  Gestalten,  besonders  aber  in  den  sphäroidi- 
schen  Formen  desDiamantes  und  den  sattelförmig  ge- 
bogenen Linsen  des  Braunspathes  eine  so  stetige  und 
gesetzmässige  Krnmmni^  Statt  zn  finden  scheint,  dass 
man  zn  ihrer  Erklärung  eher  einen  auf  krumme  Flä-- 
dbenbildnng  gerichteten  Plasticismns,  als  eineZusam-- 
mensetzung  von  ebenen  Flächenelementen  ansnneh- 
iMn  berechtigt  ist,  so  würde  sich  doch  für  andre  je- 
ner kranunflächigen  Foimen  eine  deigleichen  Erklä- 
mngeart  rersuchen  lassen.  Besonders  dürfte  dies 
mit  dhn  (nicht  sattelförmig)  gebogenen  Rbomboädera 
des  Eisenspathes  nnd  Branaspatbes  det  FäU  s^yn» 
weldie  oft  sicfatlieh  ans  vielen,  unter  sehr  stumpfen 
Winkeln  ausammensto^isettden  kleinen  Rbomboädem 
■nenrnmengesetst  sind.  Es  giebt  grössere  Rhombotf« 
der  der  Art,  welche  schon  i»ine  recht  deudiche  Ank- 
lage zu  doppdter  Zusmnmensetzung  ans  krummsctha«» 
l%en  nnd  stänglichea  Elementen  veivathen,  wie  sol* 
ches  in  Fig.  bbZ  angedeutet  ist,  indem  man  auf  dem 
Q^efb^ldhn  der  grftsseren  Rhombeäder  fticbl  inr  die 


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172         jifngewandt^  Krjrstaüographie. 

der  ertteren  ZnsammengeUiiiig  entsprechenden  krumm* 
linigen  Streifen  cm,  ibj  ce^  sondern  auch  die  der  zwei- 
ten Zosammensetsong  entsprechenden  radialen  Strei* 
fen  abcj  ra  anterscheiden  vermag.  Hier  seheint  sich 
also  schon  ein  Uebergang  in  die  so  ausgezeichnet 
sphllroidischen  Aggregate  des  Sphftrosiderites  rorzo- 
bereiten;  aber  immer  bleibt  es  in  diesen  und  ähnli- 
chen F&llen  unerklärlich,  durch  welchen.  Umstand  je 
srwei  neben  einander  liegende  Elementarindiiriduen  ei- 
nes solchen  polysynthetischen  Krystalles  aus  der  par- 
allelen Stellung  y errückt  worden  sind;  ein  Umstand, 
der  stetig  und  nach  einem  sehr  bestimmten  Gesetze 
gewirkt  haben  muss. 

Aehnliche  Erscheinungen  finden  sich  an  vielen 
andern  Mineralspecies ,  welche  gleichfalls  dui^ch  in- 
tiige  Aggregation  vieler  Individuen  sehr  glatte  und 
regelmässig  krummflächige  Formen  liefern;  so  nntier 
andern  besonders  ausgezeichnet  der  Prehnit^  das 
Strahlerz  9  der  Desmin. 

f.    536. 
Krtomiuig  der  Prismen. 

Häufig  findet  sich  die  Krümmung  der  Flächei» 
auf  ^ne  eigenthümliche ,  und  die  ganze  Gestalt  ver- 
zerrende 'Weise  an  den  prismatischen  Gestalten  der 
einaxigen  Krystallsysteme  verwirklicht ^  zumal,  wenn 
diese  Gestalten  si^  lang  säulenförmig  ausgebüdee 
sind.  Die  langgestreckten  Prismen  des  Aktinotes, 
Tremolithes^  Antimonglanzes,  Turmalinez,  mehrer 
Eeolithe,  n.  a.  M.  erscheinen,  wenn  sie  einzeln  din» 
gewachsen,  besonders  aber  wenn  sie  strahlig  zusanK 
mengesetzt  sind,  einfiach  oder  wellenförmig  gebogen^ 
ja  selbst  kniefdrmig  gekrümmt.  Seltener  findet  sick 
dieselbe  Erscheinung  an  den  weniger  lang  gestreck* 
ten  Säulen  des  Quarzes,  Kalkspathes  u.  a.  Substaa« 
Ben.    Doch  giebl  es  Quarzkrystalle  aus  Graubundten 


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UnvoUk.  der  Krystallfcrmen.  Cap.  J.    173 

Ton  sehr  bisEarrer  Krummaiig,  wie  s.  B.  Fig.  553,  ftaeh 
rieht  man  zuweilen  gebc^ene  Kalkspathprismen,  an 
weldien  die  Krümmfing  theils  nach  der  Hanptaxe, 
theils  nach  einer  Nebenaxe  Statt  findet,  wie  in  Fig. 
551,  in  welchem  letzteren  Falle  die  Erscheinung  mit 
einer  Yerlftngerang  des  Krystdlez  nach  derselben 
Nebenaxe  verbanden  ist. 

f.    637. 
Geflossene  und  verdrückte  KrystalUUchen« 

Eine  ganz  regellose  Pertnrbation  der  FlSchenbil- 
dong,  welche  zu  den  Monstrositäten  im  eigentlichen 
Sinne  zu  rechnen  seyn  dürfte^  ist  diejenige  Kram- 
Mang,  die  zuweilen  an  aufgewachsen  gebildeten  Kry- 
stallen  vorkommt,  und  unter  dem  Namen  des  Ge« 
flossenen  bekannt  ist,  weil  dergleichen  Krystalle 
in  der  That  gerade  so  aussehen,  als  hätten  ihre  Theile 
in  Folge  einer  angebenden  Schmelzung  so  eben  aus 
einander  fliessen  wollen.  Die  Erscheinung  findet  sieh 
besonders  ausgezeichnet  am  Bleiglanze,  wie  denn 
überhaupt  die  Oberfläche  der  grösseren  Bleiglanzkry- 
stalle  durch  regellose  Vertiefungen  und  Erhöhungen 
nicht  selten  im  hohen  Grade  defigurirt  ist. 

Etwas  Aehnlicfaes  zeigen  die  eingewachsen  vor- 
kommenden Krystalle  mancher  Varietäten  des  Gra- 
nates (Kolophonit),  Pyroxenes  (Kokkolith  und  körni- 
ger Augit),  Amphiboles  (basaltische  Hornblende),  Apa- 
tites (Moroxit)  u.  a.  M.,  deren  Kanten  und  Ecke  oft 
anf  eine  Art  zugerundet  sind,  welche  unwillkürlich 
die  Vorstellung  einer  begonnenen  Schmelzung  herbei- 
fökrt.  Ueberhaupt  unterliegt  die  Oberfläche  der  ein- 
gewachsenen Krystalle,  wie  vollkommen  solche  auch 
in  vielen  Fällen  ausgebildet  seyn  mag,  in  andern  Fäl- 
len häufigen  Verunstaltungen,  Abrundungen,  Ein- 
drücken u.  dgl  ;  was  ja  wohl  von  Krystallen  zu  er- 
warten ist  9  welche  sich  mitten  in  einer  sie  umgeben- 


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174        'AngewanäU  KryHäüograpIde^ 

den,  foA  alio  auch  ihre  freie  Ansbildiuig  mehr  oder 
weniger  hindernden  Matrix  gebildet  haben.  Daher 
denn  aneh  dergleichen  Krjstalle  nieht  selten  ihre  r^ 
gelmfttsige  Form  in  dem  Grade  einbüss^n,  das«  lie' 
nur  all  unbestimmt  eckige  oder  randÜdie  K5mer  er« 
scheinen;  %.  B.  Granat,  Pjrrop,  Kokkolith,  Chondro» 
dit,  Olirin,  Magneteisenerz  xl  a. 


Zweiten   CapiteU 

Von  den  UnvoUkommenheiten  in  der  Con^ 
fignration  der  Krystallformen« 

f.    538. 
Axt«a  dimsr  UoT«lfto8UMQlMit«i. 

Zu  den  UnroUkommenheiten  in  der  allgemeinen 
Configuration  oder  in  der  Ausbildung  der  ganzen  Kry« 
stallform  überhaupt  sind  vorzüglich  folgende  Erschei- 
nungen zu  rechnen: 

1)  Die  ungleiche  Ausdehnung  ursprunglich  gleich- 
werthiger  Flächen. 

2)  Die  UnTollzihligkeit  der  Flächen  einzeler  Ge- 
stalten in  den  Combinationen. 

3)  Die  UnTollständi^eit  der  äusseren  Umrisse  fiber- 
haupt. 

4)  Die  uuTollstättdige  Erfüllung  des  durch  die  äusze- 
reu  Umrisse  bezeichneten  Raumes  durch  die  Mtt- 
terie  des  Krystalles. 

Endlich  ist  noch  hierher,  wo  nicht  als  eine  Un- 
Vollkommenheit, so  doch  als  eine  Abweichung  Ton 
den  gewöhnlichen  Gesetzen  der  Symmetrie  die  merk- 
würdige Erscheinung  des  Hemimorphismus  zu  rechnen. 


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UnpoOL  der  KrystäUformM.  Cap.  IL    175 

f.    539. 
Wicbtii^mt  diesM  VerhaltniMes  im  TMseralsjfteme. 

Die  jhireh  migleiclie  Cenfxaldittaiis  gleichwerthi- 
ger  Flftchen  herbeigeführte  nngleiohfemiige  Ansileh» 
Mmg  derselben,  durch  welche  sie  nicht  nur  der  Grisse 
Bftch  ungleich,  sondern  anch  der  Fig^r  nach  oaihn* 
lidi  werden,  ist  besonders  im  Gebiete  des  Tesseral- 
sjstesies  sehr  genau  in  Betrachtang  su  sieben,  weil 
die  Cieatalten  and  Combinalionen  dieses  Sjstemes  da- 
durch nicht  selten  bis  zur  Täuschung  den  Habitus 
▼<Mi  Combinationen  andrer  Krystallsyateme,  xumal  des 
tecragonalen,  hexagonalen  und  rhombischen  Sjptemes 
annehmen  (vergl.  S.  146). 

Meist  findet  die  Erscheinung  in  der  Art  Statte 
dass  diejenigen  Flächen  oder  Fläcfaensysteme,  welche 
sich  aof  eine  der  Haupt-  od^r  Zwischenaxen  bezie- 
hen lassen,  eine  «auffallende  Vergrössermng  oderVer- 
Ueinerung  erfahren,  so  dass  der  ganze  Krystall  das 
Ansehen  gewinnt,  als  sey  er  nach  dieser  Axe  einsei- 
tig verlängert  oder  verkürzt  worden.  Dadurch  bilden 
sich  eigenthümlicfae  'Verzerrungsformen  dieser  Gestal- 
ten ans,  Ton  welchen  vnt  die  wichtigsten  der  Reihe 
nach  betrachten  wollen. 

i    Ö4a 

y«aemingen  des  Okta£d«n. 

Das  OktaSdM  ist  besonders  häufig  nach  einer 
seiner  trigonalen  Zwischenaxen  mehr  o^r  weniger 
stark  verkürzt;  dadurch  sondern  sich  seine  Flächen 
in  zwei  sdieinbar  verschiedene  Inbegriffe,  von  denen 
der  eine  ein  Rhomboeder,  der  andere  die  sugehSrige 
hasische  Flädhe  OR  darstellt.  Das  Oktaäder  erscheint 
daher  im  AUgMieinen  wie  eine  rhomboädrische  Com- 
famation  ORJl.  ^er  wie  ein  tafelartiges  Segment  von 


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176         Angeif>andi€  KryHaUographU. 

rieh  selbst,  und  ar^ar  entweder  wie  ein  mittleres  8eg<» 
ment,  als  sechsseitige  Tafel  mit  abwechselnd  schief 
angesetzten  Randflächen,  Fig.  555,  oder  wie  ein  äus- 
seres Segment,  als  eine  drei-  nnd  sechsseitige  Tafel, 
Fig.  554.  Weniger  häa%  findet  nach  einer  der  tri- 
gonalen  Zwischenaxen  eine  Verlängerung  Statt,  in- 
dem sich  sechs  Flächen  su  einem  spitzen  RbomboSder 
ausdehnen,  dessen  Pole  durch  die  beiden  übrigen  F1&- 
ehen  mehr  oder  weniger  stark  abgestumpft  sind;  Fig. 
556  und  557.  Der  Spinell,  Bleiglanz,  das  Magnetei- 
senerz, Rothkupfererz,  der  Alaun  u.  a.  Mineralien 
zeigen  entweder  alle  oder  doch  einige  dieser  Modi- 
ficationen. 

Das  Oktaeder  erscheint  auch  bisweilen  nach  ei- 
ner seiner  rhombischen  Zwiscfaenaxen  verlängert,  wo- 
durch sich  die  Flächen  in  zwei  scheinbar  rerschiedene 
Inbegriffe  sondern,  deren  jeder  ein  rhombisches  Prisma 
darstellt;  das  Oktaeder  erhält  so  das  Ansehen  der 
rhombischen  Combination  ooP.Poo,  oder  Poo.Pcx),  d.  h. 
eines  rhombischen  Prismas,  dessen  Enden  durch  ein 
zweites  Prisma  zugeschärft  werden;  Fig.  558.  Rotfa- 
kupfererz,  Spinell,  Magneteisenerz,  Bleiglanz. 

f.    541. 

Venemmgen  dei  Hexa^ers, 

Das  Hexaeder  ist  nur  solchen  Verzerrungen  un- 
terworfen, welche  sich  auf  eine  Ungleichheit  seiner 
Hauptaxen  zarückföhren  lassen.  Ist  es  nach  einer 
Hauptaxe  verlängert  oder  verkürzt,  so  sondern  sich 
seine  Flächen  in  zwei,  scheinbar  verschiedene  Inbe- 
griffe, welche  den  tetragonalen  Gestalten  ocP  und  OP 
entsprechen;  das  Hexaeder  erscheint  im  Falle  der 
Verlängerung  als  tetragonale  Säule,  Fig.  559;  im  Falle 
der  Verkürzung  als  tetragonale  Tafel,  Fig.  560. 

I^d  alle  drei  Axen  ungleich »  so  erscheint  auch 


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VnvoUk.  der  KrystaUformm.  Cap.II.     177 

ins  Hexaeder  diesem  YerkSltiiisse  der  Axen  gemSis 
als  die  rhombische  Combinatioii  (^.ooJ^oo.ooPöo. 

Der  hexaßdrische  Eisenkies,  der  Silberglans,  der 
Fhssspath,  das  Steinsalz  liefern  znmTheil  sehr  anf^ 
fallende  Beispiele  dieser  Verzernuigen, 

f.    542. 
yersemmgoi  des  Rhombendodekaeders. 

Das  RhombendodekaMer  ist  sowohl  nach  den 
Haupt  -  als  nach  den  beiderlei  Zwisehenaxen  der  Yer- 
zermi^  naten^orfen.  Verlängert  oder  yerkont  sich 
dasselbe  nach  einer  der  Hauptaxen,  so  sondern  sich 
seine  Flächen  in  swei  scheinbar  verschiedene  Inbe- 
griffe, Ton  welchen  der  eine  eine  tetragonale  Pyra^ 
Bdde,  der  andere  ein  dergleichen  Prisma  von  diagona- 
1er  Fläcfaenstellang  darstellt.  Das  Dodekaeder  er- 
scheint daher  als  die  tetragonale  Combination  P.ocPao, 
and  zwar  im  Fcdle  der  Verlängerung  säulenförmig 
mit  Torherrschendem  Prisma ,  Fig.  561 ,  im  Falle  der 
Verkürzung  pyramidenförmig  mit  Torfaerrschender 
Pyramide,  Fig.  562;  Granat. 

Verlängert  oder  rerkürzt  sich  das  Rhombendode- 
ImSder  nach  einer  der  trigonalen  Zwisehenaxen,  so 
sondern  sich  seine  Flächen  in  zwei  Inbegriffe,  Ton 
welchen  der  eine  ein  flaches  Rhombo^der,  der  andre 
m  hexagonales  Prisma  von  diagonaler  Flächenstel- 
hng  darstellt.  Das  Dodekaeder  erscheint  als  die  rhom- 
beSdrische  Combination  il.ooP2,  und  zwar  im  F<dle 
der  Verlängerung  säulenartig  mit  yorherrschendem 
Prisma,  Fig.  563,  im  Falle  der  Verkürzung  mit  Tor- 
heirscbendem  Rhombo^der,  Fig.  564;  Granat,  Södalit. 

Verlängert  oder  verkürzt  sich  das  Rhombendode- 
kaäder  nach  einer  der  rhombischen  Zwisehenaxen,  so 
sondern  sich  seine  Flächen  in  drei,  scheinbar  ver- 
schiedene Inbegriffe,  indem  8  Flächen  als  eine  rhom- 
Irisehe  Pyranude,  die  übrigen  4  Flächen  als  zwei  der 
n.  12 


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178         Angewandte  KrystaMographie. 

Flftcfaenpaare  des  rhombischen  Systemes  auftreten. 
Das  Dodekaeder  erscheint  daher  als  die  rhombisdie 
Combination  P.ocPoo.ooPcx),  und  zwar  im  Falle  der 
Verlängerung  pyramidal  mit  vorherrschendem  P,  Fig. 
565,  im  Falle  der  Verkürzung  tafelartig  mit  yorherr^ 
sehendem  Flächenpaare,  Fig. ^66;  Granat. 

f.    543. 
VerzerniBgen  der  Ikositetraeder  und  Tetrakishexaed^. 

Das  IkositetraSder  202  findet  sich  häufig  nach 
einer  seiner  Hauptaxen  rerllUigert,  und  erscheint  als 
eine  ditetragonale  Pyramide,  welche  an  beiden  Enden 
mit  vier,  auf  die  stun^feren  Polkanten  aufgesetzten 
Flächen  flach  zugespitzt  ist;  Fig.  567.  Diese  Zu- 
spitzungsflächen werden  bisweilen  sehr  klein,  Fig.  56S, 
ja  sie  verschmnden  wohl  endlich  ganz,, und  derKry- 
stall  erscheint  als  eine  vollständige  ditetragonale  Py* 
ramide,  Fig.  596.  Der  Granat,  der  Analcim,  der  hexa^-> 
drische  Silberglanz ,  das  Silber,  und,  nach  Marx^  das 
Salmiak  zeigen  diese  Verlängerung  auf  eine  mehr 
oder  weniger  aufÜEdlende  Art.  Seltener  kommt  die 
Verkürzung  nach  einer  Hauptaxe  vor. 

Nach  einer  der  trigonalen  Zwischenaxen  finden 
sich  sowohl  Verlängerungen  als  Verkürzungen,  je- 
doch die  letzteren  häufiger  als  die  ersteren.  Der 
Erystall  erhält  in  beiden  Fällen  das  Ansehen  einer 
rhombo€drischen,  aus  einem  spitzen  Skalenoäder  und 
stumpfen  Rfaomboä^der  bestehenden  Combination,  und, 
im  Falle  der  Verlängerung  (den  Marx  sehr  schön  naa 
Salmiak  beobachtete)  eine  täuschende  Aebnliclikeit 
mit  der  bekannten  Combination  R^.--r^R.ooR  des  Kalk- 
spathes,  Fig.  570  und  571. 

An  gewissen  Varietäten  des  Flnssspathes  (x.  B. 
Ton  Zschopau  in  Sachsen  und  einigen  aus  England) 
kommt  das  Tetrakishexa^der  oo03  anfeine  sehr  merk* 
würdige  Weise  nach   einer  trigonalen  JEwisohenaxa 


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Unvollk.  der  KrystaUformen.  GgK  IL    179 

TeflSegeit  vor,  wie  ftolches  ia  Fig.  572  dargestellt  ist. 
Die  Gestalt  erhält  dadurch  das  Aasehea  eines  aas 
desA  Hexaeder  als  rhomboddrischer  Gmodgestalt  n^oh 
dem  Ce^fficieoten  2  abgeleiteten  Skalenoiders;  doch 
Ulden  die  übrigen  12  Flfichen  meist  eine  nndentliche 
kmnunflächige  Zuspitzong  dieses  Skalenoäders,  Fig. 
573,  wie  denn  überhaupt  mit  dieser  Abnormität  der 
Cenfigaration  eine  sehr  unregelniä,ssige  Krümmung 
der  Flächen  verbunden  zu  seyn  pflegt.  Neulich  sind 
jedoch  zu  Zschopau  sehr  ausgezeichnete  Exemplare 
Tttrgekommen,  welche  das  spitzere  Skaleno^der  fast 
ToUstäBdig  ausgebildet,  und  ausserdem  noch  Abs tum- 
^iBgen  der  stumpferen  Polkanten  desselben  durch 
üt  Flächen  606  zeigen. 

8.    544. 

Yerzemingea  der  tesseralen  Comblnationen. 

Die  durch  die  ungleichförmige  Flächenausdehnung 
veranlassten  Deformitäten  treffen  natürlich  nicht  nur 
tie  einfachen  Gestalten,  sondern  auch  die  Combina-« 
tionen  derselben.  Da  es  jedoch  nicht  wohl  möglich 
ist,  die  einzelen  binären  Comblnationen  in  dieser 
Hinsicht  besonders  durchzugehen,  und  da  die  Defor- 
wtäten ,  welche  eine  Gestalt  in  ihren  Combinationea 
isit  andern  Gestalten  erfährt,  denjenigen  analog  zu 
seyn  pflegen,  welchen  sie  in  ihrer  isolirten  Erschei- 
Bong  unterworfen  ist,  so  will  ich  an  gegenwärtigem 
Orte  nur  einige  Beispiele  anfuhren. 

Die  Combination  ocOoc.O  des  Bleiglanzes  und 
SHberglapzes  erscheint  zuweilen  nach  einer  Haupt* 
axe  verlängert,  als  die  tetragonale  Combination  ocPoo. 
P.OP,  indem  die  Flächen  des  Oktaeders  eine  Pyra* 
mide,  die  des  Hexaeders  ein  Prisma  so  wie  die'Ab- 
atum^fungsflächen  der  Polecke  der  Pyramide  bilden; 
Flg.  574. 

Die  bekannte  Varietät  des  Granates  vom  Monso- 

12* 


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180         Angewandte  KrystaUographie. 

niberge,  welche  von  Diopsid  begleitet  ist,  zeigt  ge- 
wöhnlich die  Combinatioii  202.ooO  wie  in  Fig.  78; 
zuweilen  jedoch  ist  diese  Combination  nach  einer 
Hanptaxe  verlängert,  wobei  die  vier  oberen  und  Tier 
unteren  Flftchen  des  RhombendodekaSders  gänzlich 
verschwinden',  and  der  ganze  Krystall  grosse  Aehn- 
lichkeit  mit  gewissen  Combinationen  des  Zinnerzes 
erhält;  ganze  Drasen  zeigen  nämlich  Ejrystalle  von 
der  Form  wie  Fig.  575. 

In  der  Sammlung  des  Herrn  Geh.  Cabinetsradi 
Heyer  befindet  sich  ein  Granatkrystall  der  Combina* 
tion  2O2.00O,  welcher  in  der  Richtung  einer  rhom- 
bischen Zwischenaxe  stark  verkürzt,  und  zugleich  so 
unregelmässig  ausgebUdet  ist,  dass  die  zu  dem  einen 
Ende  dieser  Zwischenaxe  gehörige  Hälfte  nur  vier 
Flächen  von  202  (e),  die  andre  Hälfte  nur  fünf  Flä- 
chen von  ooO  (t)  zeigt,  Fig.  576*). 

Die  unter  4^"^  Namen  Strahlkies  von  Almerode 
bekannten  Varietäten  des  hexaSdrischen  Eisenkieses 
zeigen  Deformitäten,  welche  deshalb  besonders  wich- 
tig werden,  weil  sie  eine  häufige  Afissdeutung  des 
wahren  krystallographischen  Charakters  dieser  Sub- 
stanz veranlasst  haben;  doch  gehören  sie  mehr  zu  ei- 
ner andern  Art  von  Unvoll^ommenheiten  der  Confi- 
guration,  von  der  weiter  unten  die  Rede  seyn  wird. 

f.    545. 
Ungleidie  FUcbensiiBdahniiiig  ia  den  dnaxigan  KryitaUea. 

In  den  einaxigenKrystallsystemen  spielt  die  un- 
gleichförmige Ausdehnung  gleichwerthiger  Flächen  im 
Allgemeinen  eine  um  so  grössere  Rolle,  je  unsymme- 
trischer der  Charakter  des  Systemes  ist,   daher  sie 


*)  Die  mit  «  bezeicliiieteii  Flächen  sind  sehr  unrollkommen, 
und  scheinen  dem  HexaMer  oder  einem  ooOs  Ton  sdir  grouer  Ab- 
Mt^Pgssahl  SU  fdidren. 


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UnvoUk.  der  Krystaüformen.  Cc^.  IL     181 

besonders  in  einigen  Krystallreihen  des  triklino§dri- 
scken  Systemes  einen  sehr  hohen  Grad  erreieht,  nnd 
s.  B.  Krystalle  des  Knpfenritrioles  yorlconimen,  an  wel- 
ken fir  Tiele  Flächen  keine  Gegenflächen  vorhanden 
lind.  Aber  anch  in  den  übrigen  Systemen  nuicht  sich 
^ttselbe  Verhälcniss  auf  eine  sehr  anffallende  Weise 
gdtend;  nnr  lässt  es  sich  iBr  selUge  nicht  nnter  so 
bestiannte  Regeln  bringen,  wie  dies  für  das  Tesse- 
Tslsystefli  möglich  war.  Daher  mag  es  auch  hinrei- 
ßend seyn,  einige  Beispiele  sn  erwähnen;  nm  so 
mehr,  weil  fast  jede  einaxige  Krystallreihe  eigen- 
tbinlichen,  and  meist  sehr  nnbestimmten  Abnormitä- 
toi  oBterworfen  sn  seyn  pflegt. 

So  giebt  es  z.  B.  Anataskrystalle,  in  welchen  die 
an  xwei  gegenüberliegenden  Polkanten  gelegenen  Flä- 
cbenpaare  sehr  vorherrschend  gegen  die  übrigen  ans- 
gebildet  sind,  so  dass  die  ganse  Gestalt  nach  dem 
Gesetze  einer  monoklino€drischen  Pyramide  scheinbar 
MS  zwei  verschiedenen  Hemipyramiden  snsammenge- 
setzt  ist,  Fig.  577;  andre  Krystalle  sind  nach  der 
Riditnng  einer  Zwischenaxe  verlängert,  und  erschei- 
nen daher  wie  die  rhombische  Combination  zweier 
horizontaler  Prismen,  Fig.  578.  Ganz  ähnliche  Ab- 
normitäten zeigen  die  pyramidalen  Krystalle  der  rhom- 
bischen Krystallreihe  des  Schwefels.  Die  Topaskry- 
stalle  aus  Brasilien  erscheinen  gar  nicht  selten,  zwar 
mit  vollständigem  Prisma  ocP,  aber  nur  mit  der  hal- 
ben Anzahl  der  Flächen  der  Pyramide  P,  wie  in  Fig. 
582^  so  dass  man  die  ganze  Form  anf  den  ersten 
Bück  gleichfalls  für  monoklinoädrisch  halten  möchte. 
Aefanliche  Erscheinungen  finden  sich  an  den  Krystal- 
len  des  lievrites  n.  a.  rhombischen  Mineralien.  In 
den  hexagonalen  Prismen  des  Kalkspathes,  des  Be- 
rylles,  Qaarzes  o.  a.  Mineralien  sind  oft  zwei  Gegen- 
flächen sehr  breit,  zwei  andere  sehr  schmal,  so  dass 
die  Prismen  wie  rhombfasche  Prismen  von  120%  mit 


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182         Angewandte  Krystattographie* 

iJl>gestampften  sch&rferen  Seitenkanten  erscheinen;  ja, 
es  Terschwinden  bisweilen  zwei  Gegenflächen  gänz- 
lich, und  das  Prisma  erscheint  völlig  als  rhombisches 
Prisma;  anch  dehnen  sich  wohl  drei  abwechselnde 
oder  zwei  gegenüberliegende  Flächen  sehr  ans  auf 
Unkosten  der  ihrigen  n.  dgl.  m.  Die  SkalenoSder 
des  Kalkspathes  unterliegen  gleichfalls  sehr  bizarren 
Yerzerrnngen,  Ton  denen  zumal  diejenigen  häufig 
sind,  da  dieKrystalle  in  der  Richtung  zweier  Mittel- 
kanten Terlängert  sind,  so  dass  an  der  Stelle  des 
Poleckes  eine  schiefe  Kante  entsteht,  Fig.  579.  Das- 
selbe findet  sich  an  den  Rhombo^dern,  welche  dann 
als  rhombische  Prismen  mit  schief  angesetzten  End- 
flächen erscheinen,  Fig.  580  und  581. 

f.    546. 

FortsetKung. 

Eine  durch  ihre  Deformitäten  ganz  besonders  aus- 
gezeichnete Species  ist  der  Quarz,  an  welchem  man 
eine  unerschöpfliche  Manüichfaltigkeit  der  bizarresten 
Verzerrungen   beobachten  kann^     Dabei  ist   der  von 
Haüy  erwähnte  Umstand  sehr  merkwürdig,   dass  die 
Regelmässigkeit  der  Fotm  mit  der  Reinheit  des  Stof- 
fes im  umgekehrten  Verhältnisse  zu  stehen  i^cheiat, 
indem  es  gerade  die  reinsten,   wasserhellen  Varietä- 
ten  sind,    welche    die    aufCallendlsten  Monstrositäten 
zeigen,  während  die  trüben,  sehr  verunreinigten  Va- 
rietäten die  grosste  Regelmässigkeit  offenbaren;  gleich- 
sam als  habe  sie  die  Natur  durch   die  yollkommnere 
Form  für  die  unreinere  Masse   entschädigen  wollen. 
Mehre  dieser  Deformitäten  sind  von  Rom6  de  Tlsle, 
Scopol!  und  Hauy  beschrieben  und   abgebildet  wor- 
den, und  wir  können  an  gegenwärtigem  Orte  nnr  ei- 
nige der  wichtigsten  ausheben,  welche  an  der  Com- 
bination  ocP.P,   als  der  herrschenden   und  in  ihrer 


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Unvoük.  der  Kry^üMSarmm.  Cap.  IL    183 

RegelmSssigkeit  in  Fig.  583  dargestellten  Krystallfom 
des  Qoarzes,  zu  beobachten  sind. 

Fig«  584  stellt  Haüy's  Var.  comprimee  vor ,  welche 
se  erscheint,  als  ob  der  Krystall  nach  einer  der  Ne- 
benaxen  in  die  Länge  gezogen  worden  sey. 

Fig.  585  ist  dieselbe  Varietät,  in  welcher  die 
breiten  Seitenflächen  des  Prismas  noch  vorherrschen- 
der geworden  sind. 

Fig.  586,  Haüys  Var.  tpkalhidey  entsteht,  wenn 
die  Combination  P.ooP  nach  einer  Polkante  der  Py- 
ramide sehr  verlängert  ist ;  die  an  dieser  und  der  ge- 
genüberliegenden Polkante  gelegenen  beiden  Flächen- 
paare der  Pyramide  bilden  zugleich  mit  zwei  Flächen 
des  Prismas  ein  unregelmässig  sechsseitiges  Prisma, 
gleichsam  die  Combination  ocP.ocPoc,  in  welcher  der 
stumpfe  Winkel  von  ocP  =  133''  44'  beträgt. 

Fig.  588,  Haüy*s  Var.basoidej  kommt  seht  häufig 
zu  Oisans  vor,  und  entsteht,  wenn  eine  der  Pyrami- 
denflächen  sehr  vorherrschend  wird,  so  dass  sie  gleich- 
sam eine  schiefe  Basis  des  Prismas  bildet,  deren 
Combinationskanten  mit  dem  Prisma  durch  die  übri- 
gen Pyramidenflächen  abgestumpft  sind. 

Fig.  587  und  ähnliche  finden  sich  häufig  an  den 
kleinen  wasserhellen  BergkrystaUen  von  Marmarosch. 

Fig.  589  ist  eine  Defiguration,  welche  mit  der 
Vimr.  cotmprtmie  eisige  AehnUcIikeit  hat,  nur  ist  die 
Pyramide  i^efar  vorherrschend,  auch  erscheinen  zwei 
gegenüberliegende  Flächen  des  Prismas  und  die  dazu 
gehörigen  Pyramidenflächen  sehr  untergeordnet,  und 
4«r  ganze  Krystall  erhält  das  Ansehen  einer  mono- 
klino^driscken  Combination. 

Die  horizontalen  Streifungen  der  Flächen  von  ooP 
leisten  grosse  Dienste  bei  der  Orientirung  von  die- 
sen und  andern  defigurirten  Krystallen  des  Q;pai«es. 


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184         Angewandte  KrystaUographie. 
§.    517. 

Ui^eadmmte  AuBdehnuiig  der  Prismea. 

Als  ein  die  ungleiche  oder  yielmehr  unbestimmte 
FlächenaosdehnuDg  betreflfender  Gegenstand  mag  hier 
noch  die  verschiedene  Erscheinungsweise  der  Pris- 
men und  Flächenpaare  in  den  einaxigen  Krystallsy- 
Sternen  erwähnt  werden.  Wie  in  der  Definition  der 
Prismen,  so  ist  auch  in  ihren  kiystallographischen 
Zeichen  ocP,  ocil,  l^oo  u.  s.  w.  durchalut  nichts 
über 'ihre  Ausdehnung  in  der  Richtung  der  Axe  aus- 
gesagt ;  vielmehr  sind  jene  Definitionen  wie  diese  Zei- 
chen dem  indefiniten  Charakter  der  Prismen  völ- 
lig angemessen,  und  müssen  dies  auch  seyn,  wenn 
sie  nicht  der  Natur  widerstreiten  sollen.  Denn  die 
Flächen  eines  und  desselben  Prismas  erscheinen  bald 
als  die  Seitenflächen  einer  langgestreckten,  die  ganze 
Ausdehnung  des  Krystalles  beherrschenden  Säule,  bald 
als  die  schmalen,  kaum  bemerkbaren  Randflächen  ei- 
ner Tafel,  und  es  ist  eine  der  Natur  durchaus  vnder- 
streitende  Fiction,  wenn  man  den  Prismen  irgend  eine 
bestimmte  Länge  in  der  Richtung  ihrer  Axe,  oder 
überhaupt  irgend  bestimmte  Dimensionen  nach  Länge 
und  Breite  zuschreibt.  Ein  Prisma  ist  und  bleibt 
nichts  Anderes,  als  ein  Inbegriff  von  Flächen,  wel- 
che einer  und  derselben  Axe  parallel  laufen;  seine 
Begränzung  in  der  Richtung  dieser  Axe  hängt  davon 
ab,  in  welcher  Centri^ldistanz  andere,  gegen  dieselbe 
Axe  geneigte  Flächen  ausgebildet  sind;  je \ geringer 
diese  Centraldistanz  im  Verhältniss  zu  jener  der  Piis- 
maflächen  selbst,  um  so  kürzer,  je  bedeutender  die- 
selbe, um  so  länger  wird  das  Prisma  erscheinen.  la 
den  haarfeinen  Krystallen  des  Sagenites  und  Amian- 
thes  erscheinen  z.B.  dieselben  Prismen  ausserordent« 
lieh  langgestreckt,  welche  in  andern  Krystallen  des 
Rutiles  und  Amphiboles  sehr  kurz  sind ;  und  auf  ahn- 


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ImnOt.  d€r  KrytUJ^cnmem.   Cap.  IL     185 

Bcke,  voA  «Kk  ucfat  gcnift  m  airfEdkal«  Weis« 
wkth  4ie  Pwinafm  Ibefka^pt,  wie  dies  twi 
GcstakcB  X«  enrutea  ist,  derea  AadMunug 
■kiit  Jndi  skk  selbst,  sondern  dnick  andere  CiestdU 
tn  iestiM^  wird. 

Was  kier  too  dea  PrisMea  gesagt  wordea  ist, 
iam  gik  anek,  sMteÜr  swtaMfiir,  tob  den  die  Coordi- 
satebewea  rcfriseatirendea  Fläcbeapaaren  der  eiaaxi- 
gen  SgFStcase,  welche  bald  als  kamM  bemerkbare  Ab- 
itaaiyfiiagilllt  Im  ii  der  P^nanidenecke  oder  Prisa^a- 
kaatea,  bald  als  Seiteafllchen  von  Tafeln  aoftreten, 
oad  int  letxteren  Falle  eben  so  vorherrschend  die  To- 
tdfbnB  der  CoBbination  bestinunea,  als  sie  anf  sei- 
Uge  im  enteren  Falle  ohne  allen  Eiafloss  sind. 

2.  VMVoBzmUt^cmi  imr  Ftmekem  m  im  CüwMuOmmm. 

f.     548. 
Eegdkdi^eit  «fieser  Encheiiniiig. 

£ine  sehr  gewöhnliche  Abweichung  ron  der  in 
4er  reinen  Krystallographie  voraosgesetsten  Regel« 
Bissi^eit  ist  die  UnvollsShligkeit  der  Flftchen  der» 
jeugen  Gestalten,  welche  nntergeordnet  in  den  Com- 
Unaftion^  erscheinen.  Da  dieses  Verhältniss  ausser- 
•identlich  häufig  rorkommt,  so  wurde  es  ohne  Nntsen 
seyn ,  mehr  darüber  su  sagen,  als  dass  es  fast  jeden* 
Mb  ebne  alle  Regel  Statt  findet,  und  dass  man  sich 
daher  hüten  muss,  die  gesetsmässige  Unrollafthligkeit 
der  Flächen,  wie  solche  durch  dieHemiSdrie  herbei- 
geführt wird,  mit  dieser  regellosen  UnToUsähligkeit 
m  Terweckseln.  So  sieht  man  s.  B.  HexaMer  des 
Bleiglanses,  Eisenkieses  u.  a.  Snbstansen,  an  wel« 
ch«i  nur  xwei  oder  drei  Ecke  abgestumpft  sind,  da 
es  doch  eigentlich  alle  acht  seyn  müssten;  so  finden 
sieb  RhombendodekaSder  des  Granates,  an  welchen 
nar  einige  Kanten  abgestumpft  oder  sugeschärft  sind. 


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186        AngBwcmdtB  KrystaUographie. 

XL  dgL  BL  Wie  im  Testeralsysteme,  so  findet  sidi 
diesdbe  Abnormität  xum  Theii  noch  weit  anffallen- 
4er  in  den  einaxigen  Systemen« 

§.    549. 

Merkwürdige  Abnormität  am  BiseDkiese. 

Die  Krystalle  des  hexa€drischen  Eisenkieses  sei* 
gen  die  Unvollsähligkeit  der  Flächen  nicht  selten  nät 
einer  gewissen  Begebnässigkeit;  so  besonders  die  Va- 
rietäten des  Strahlkieses  ron  Almerode,  dessen  Ok* 
taäder  nnr  mit  den  oberen  Enden  aus  den  strsdiUgen 
Aggregaten  henrorragen,  nnd  den,  schon  in  dieser 
Art  der  Zusammensetzung  geoffenbarten,  vorherrschen^ 
den  Einfluss  einer  der  Hauptaxen  auch  dadurch  beur- 
kunden, dass  sich  dieselbe  Hauptaxe  frei  von  denje- 
nigen Modificationen  hält,  welche  in  Bezug  auf  die 
andern  beiden  Hauptaxen  durch  das  Eintreten  der  Flä- 
chen von  ocOoo  oder  — -—  Statt  finden.  Daher  er- 
scheint nach  Kdhler  z.  B.  die  Combination  O.ooOoo 
nicht  wie  in  Fig.  123,  sondern  wie  in  Fig.  596,  die 

Combination  O.— ^  nicht  wie  in  Fig.  230,  sondern 

wie  in  Fig.  596. 

Eine  noch  weit  auffallendere  Erscheinung  bieten 
gewiitee  Eisenkieskrystalle  aus  England  dar,  welche 
nach  Böse  in  Fig.  594  dargestellt  sind;  sie  zeigen  die 
Combination 

oc02  r4021     ^     ^ 

sind  aber  nach  einer  Hauptaxe  rerlängert,  und  zu- 
gleich in  Bezug  auf  diese  Axe  auf  eine  so  symmetri- 
sche Art  unregelmässig,  dass  man  sich  nur  durch 
Messungen  von  ihrem  wahren  krystallographiscfaeit 
Charakter  überzeugen  kann,  der  hier  gänzlich  hinter 
dem  Scheine  einer  rhomUschen  ComUnation  versteckt 


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nwoBL  Ar  EJyatvttfrrmm.  Cap.IL    187 


Fläckn  4«8  FffiymirfBkBrtwi  (e) 

(*'i  ein«  ihoaÜHgclie  9jtwmäil»  biMe^ 
^ I' I»  iiiaagwreis*  TwktincKcail  4im 
ie  der  C«Mfcin«tioD 


Z.  LmmUmmmÜgteit  dtr  UmHam  itr  KryatmlU. 


§.    550. 

KAg«w;icJks«a«  und  !os«  Ki^  stalle. 

Die  riagsiiB  ToUstandig  ausgebildeten  Krrstalle 
gekoren  im  Allgenieiiieii  xa  deo  seltneren  Vorkomm- 
tuBMem  der  anorganischen  Individoen;  denn,  wiewohl 
c»ige  Species  (x.  B.  Lencit,  Boracit,  Spinell,  Dia- 
mamtj  Mellit  n.  a,)  bis  jetxt  fast  ausschUessend,  aQ» 
dere  Species  aber  (z.  B.  Granat,  Quar»,  Zirkoa, 
Pjioxen,  Anphibol,  Rothkupferen,  Magneteiseners, 
Idokras,  Gjp*  o.  a.)  in  vielen  Varietäten  als  ringsam 
aasgebildete  Krjstalle  bekannt  sind,  so  ist  doch  bei 
veiteoa  der  grosste  Theil  der  anorganischen  Indivi« 
dsea  in  seinen  Umrissen  entweder  gar  nicht,  oder 
Bar  sehr  onToIIständig  ausgebildet  Dies  ist  eine 
anmittelbare  Folge  des  in  der  Einleitung  S.  6  und 
S.  15  erwäiinten  Gesetses  der  Aggregation,  welches 
die  freie  Ansbildong  4ler  einzelen  Individuen  auf  viel- 
£dtige  Weise  bescbräakt,  ja,  für  die  meisten  Indi- 
Tidsea  die  AnsbiMug  ihrec  krystaliinischen  Formen 
ganz  «nmdglich  macht,  wenn  gleich  die  daau  erfor- 
derlichen inneren  Bedingungen  vollständig  vorban- 
den sind. 

VeUkommene  laolirung  des  sidi  bUdend»  ladi- 
vidmmis  imerhalb  einer,  seine  plastische  Tendenz 
dorchanz  nicht  bescfarAnkenden  Älasse  ist  ftfoilich 
4ie  nothwendige  Bedingung  zur  allseitigen  AusbiMting 
seiner  Form.  Diese  Bedingimg  kann  aber  oflfenbar 
nur  dann  Tollztan^  erfüllt  aeyn,  wenn  «ich  in  einer 


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188        Angeivanäie  KrystaUographie. 

fifissigen  oder  halbflüsaigen  Masse  (wie  s.  B.  in  der 
Luft,  in  einer  Salzaofiosang,  in  einem  schlanimarti« 
gen  Sedimente,  in  einem  noch  nicht  erstarrten  Lava- 
oder  Basaltstcome)  krystallisirbare  ^nbstansen  ans- 
sondern,  nnd  ^eichaam  nach  einz'elen  Pnncten  hin 
concentriren,  so  dass  sich  viele  Mittelpnncte  derMo- 
lecularanziehnng  ausbilden,  nm  deren  jeden  einselen 
die  plastischen  Kräfte  ihr  Spiel  beginnen  und  voll» 
enden,  bevor  noch  die  umgebende  Masse  alle  Ter* 
schiebbarkeit  und  Nachgiebigkeit  verloren  hat. 

Auf  diese  Weise  bilden  sich  noch  immer  die  fei-> 
nen  Eisnadeln  in  der  Atmosphäre,  die  sich  präcipiti- 
renden  Krystalle  in  den  Salzauflösungen,  die  Krystalle 
des  Alaunes,  Steinsalzes  u.  s.  w.  in  Thon  -  und  Lehm- 
lagern u.  dgl.  m.  Aber  auf  ähnliche  Weise  sifid  auch 
die  in  Gebirgs  -  und  Lagergesteinen  eingewachsenen, 
ringsum  ausgebildeten  Krystalle  entstanden,  welche 
das  anorganische  Individuum  räumlich  isolirt,  im  Zu* 
Stande  seiner  höchsten  Vollendung  repräsentiren,  nnd, 
wenn  die  sie  ursprunglich  umschliessende  Matrix  zer- 
stört worden,  als  lose  Krystalle  erscheinen. 

§.    551. 
Aufgewachsene  Kryfttalle. 

Nächst  den  einzeln  eingewachsenen  Krystallen 
sind  es  die  einzeln  aufgewachsenen  Krystalle,  in 
welchen  die  anorganischen  Individuen  am  wenigstoa 
verstümmelt  erscheinen.  Wenn  sich  nämlich  an  ein- 
Helen  Puncten  einer  vorhandenen  Unterlage  (z.  B.  der 
Wände  einer  Gangspalte,  eines  Drusenraumes,  eines 
Blasenranmes)  ans  einer  Auflösung  oder  aus  subli- 
mirtea  Dämpfen  eine  krystalliairbare  Substanz  nieder- 
schlägt, so  kann  dieser  Niederschlag  in  solcher  Re* 
gelmässigkeit  erfolgen,  dass  sich  um  jeden  dieser 
Puncto  nur  ein  Krystall  bUdet,  welcher  bisweilen 
üast  vollstäadig,  gewöhnlich  dber  durch  die  seine  Ana- 


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Cap.n.  im 


ohse  Back 
gestirt  woidea  sm 
UBtcflage  wie  abgcsdniiiea 
[  M%ew»chia«f  nfcystalle  sw4&Im 
Qtwkt»  TW  V^DkoMmeiilieit  fiUg, 
vie  fag  XL  B.  Tide  KiTstaHe  de«  Flmssspatkes,  Apa- 
tiles,  Kaifcifiihfi,  MeisslphalM,  Topases,  Aximhes» 
I,    Tkawtes,   Asatases  «.  a.  MiaenKea  mt 


i    552. 
liyirtillerippe  ssd  DraMu 

WcMi  sich  m  ein  bereits  gebildetes  eingewaeb- 
aadere  ladividaea  nach  Tencfaie- 
aasetseo,  so  dasa  jedes  aacbfbl- 
gcade  bs^ividaaM  in  eiaem  oder  aMbreii  der  ▼orfaer 
pUdetes  eise  Sütae  oder  Unterlage  taaAj  so  eat- 
Mebea  die  freien  Kryatallgrnppeo,  in  welcbem 
IV  fie  IvBseisten  ladi^idiaen  mit  ibnb  aaob  Anssea 
gcvcadeten  Scben  ToUkosmen  aasgebildety  die  i»- 
KKa  ladiTidaen  aber  aiebr  oder  weniger  Terwach- 
Ka  sind,  bis  xom  gänslichen  Verschwinden  ihrer 
^TBtaDmisdieB  Forat 

Baden  sidi  Ton  einem  goaeinsdiafilichen  Mittel- 
fincte  innerhalb  einer  nachgiebigen  Matrix  nach  al- 
kt  BM^togen  Individnen,  so  dass  selbige  wie  die 
btica  oner  Kagel  dirergiren,  so  erhalten  diese  Krj- 
«lAsntppea  eine  mehr  oder  weniger  regdmfissige 
^terische  oder  sphftroidische  Gestalt. 

Wenn  sich  dagegen  nm  einen  bereits  gebildeten 
angewachsenen  KrystaU,  oder  auch  gleichseitig  von 
^cn  and  demselben  Pnncte  der  Unterlage  ans  nach 
^^  Bidtfnngen  andere  Krystalle  ansetsen,  so  ent- 
^**ht  eine  mehr  oder  weniger  regelmisaige  anfgo- 
^teksene  Krystallgruppe,  an  welcher  sich  dm 


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ISO         Angewandte  Krystattograpbie. 

ftnsaereB  LidiFidaeii  wie  aii%ewacli8eae  Krystalle  Ter- 
lullten,  wäkrend  die  inneren  IndiTidaen  meist  derge- 
stalt mit  nnd  durch  einander  verwachsen  sind,  dass 
ihre  gegenseitigen  Granaien  nnr  dnrch  zufällige  Znsani* 
measetsnngsflftchen  bestimmt,  ihre  wahren  Formen 
aber  gänzlich  obiiterirt  werden. 

Wenn  endlich  auf  der  Unterlage  viele  Mittel- 
pancte  der  Molecularanziehnng  sehr  nahe  beisammen 
liegen,  so  müssen  sich  bei  fortgesetztem  Wachsthnme 
die  einzelen  Individuen  endlich  in  ihren  seitlichen 
Theilen  berühren,  und,  wie  früher  das  einzele  Indi- 
viduum nnr  in  seiner  Unterlage ,  so  findet  es  jetzt  in 
jedem  seiner  Nachbarn  ein  Hindemiss  der  Entwick- 
lung. Die  Individnen  verwachsen  also  nach  den  seit- 
lichen Richtungen  mit  ^nander  in  eine  mehr  oder 
weniger  zusammenhängende  Masse,  ans  welcher  sie 
nur  mit  den  oberen  Enden  als  Krystalle  in  den  freiea 
Raum  hinausragen.  Dergleichen  Aggregate  sind  es, 
welche  den  Namen  der  Drusen  fuhren,  wiewohl  mait 
auch  unter  diesem  Worte  jeden  Inbegriff  vieler,  anf 
einer  gemeinschafUichen  Unterlage  neben  einander 
anfgewachsener  Krystalle  versteht,  wenn  sich  soldhe 
audi  nicht  berühren. 

Auf  die  Grosse  der  Individnen  kommt  es  nainr- 
licfa  bei  allen  diesen  Bestimmungen  nicht  an;  und  die 
kleinsten  kugligen  Agirregate  der  Kobaltbütfae,  die 
feinsten  Drasenhänte  des  Kupferkieses  sind  eben  so- 
wohl Krystallgrappen  und  Drusen,  als  die  sphiroidi- 
sehen  Gruppen  des  Eisenkieses  oder  die  kcJessaleit 
Drusen  des  Bergkrystmlles. 

§.    553. 
Röfoife,  itnkfigt)  £uedge  v.  a.  Afisiegmt«. 

Die  meisten  Individuen  des  Mineralreiekes  aber 
sind  das  Resultat  eines  Entamngs-  oder  KrTStnlU- 
welcher   sncccsadv    oder 


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UnwUL  der  Krystdllformen.  Cap.II.     191 

ganxe  Massen  aBorganiseher  Sabstanx  ergriff,  to  daM 
Ton  zahllosen  Mittelpuncten  am  der  Proce««  nadi 
allen  Riditangen  sich  fortsetzte,  und  um  jedes  be* 
reits  gebildete  Individuum  nnmittelb^  andere  zum  Da** 
seyn  gelangten,  bis  die  ganze  Masse  in  eine  Unzahl 
indiTidnalisirter  Elemente  gesondert  war,  welche  sich 
zwar  nicht  durch  äussere  Krystallförm ,  wohl  abez 
durch  die,  einer  solchen  Form  genau  entsprechenden, 
Verhältnisse  der  Spaltbarkeit  als  verdrückte  und  ver- 
krüppelte  Individuen  zu  erkennen  geben.  So  mögen 
die  Granite,  Syenite,  körnigen  Kalksteine  und  an- 
dere krystalliniscfae  Gesteine  der  Ur-  und  Uebergangs- 
gebirge  enstanden  seyn,  welche  oft  in  himmelhohen 
Massen  aufgethörmt  sind,  und  deren  Individuen  nur 
in  Drusenräume  oder  Gangklüfte  mit  ihren  frei  ge- 
bildlBten  Enden  hinausragen,  während  sich  an  den 
&br%en,  nach  allen  Richtungen  an  und  durch  einan- 
der verwachsenen  Individuen  keine  regelmässig  aus- 
geprägte Krystallgestalt  erwarten  lässt.  Wie  daher 
die  einzeln  eingewachsenen  Krystalle  die  voUkom-* 
menste,  so  bilden  diese  körnigen  Elemente  eines  kry- 
stallinischen  Aggregates  die  unvollkommenste  Darstel- 
lung der  anorganischen  Individuen.  Dass  übrigenz 
durch  die  Dimensionen  der  einzelen  Individuen  diese 
Unvollkommenheit  relativ  för  den  Beobachter  mehr 
oder  weniger  gesteigert  werden  wird,  versteht  sich 
von  selbst;  denn  wenn  die  Individuen  eines  derglei- 
dien  kömigen  Aggregates  noch  zollgross  sind^  wird 
die  Anerkennung  derselben  weit  leichter  Statt  finden, 
als  wenn  sie  bis  zu  mikroskopischer  Kleinheit  herab- 
gesunken sind,  wie  dies  freilich  sehr  häufig  der  Fall 
SU  seyn  i^egt. 

Was  von  den  kömigen  Aggregaten  gesagt  wurde, 
das  gilt  in  ähnlicher  Weise  von  den  flaserigen,  schie- 
ferigen, und  andren  krystallinischen  Aggregaten,  bei 
deren  Bildung  gewisse  Umstände  Statt  gefunden,  wet 


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192         Angewandte  KrystaUographie. 

ehe,  wiewohl  noch  grosetentheils  unbekannt,  doch  ei- 
nen bestimmten  Einfluss  auf  das  Fortschreiten  des  Er- 
starrungsprocesses  ausgeübt  haben  müssen,  kraft  des- 
'  sen  jene  schon  mehr  regdmässigen  Aggregationsfor- 
men entstanden  sind.  Die  meisten  der  so  gebildeten 
Individuen  aber  sind  deshalb  kein  Otgect  der  Kry- 
stallographie,  weil  ihre  äusseren  Formen  in  dem  Ge- 
dränge der  Aggregation  gänzlich  verloren  gegangen 
sind,  die  Krystallographie  aber  nur  diese  äusseren 
Formen  zum  Gegenstande  hat. 

4.    Unterbrochene  Raumerßälung.. 

§.    654. 
TrichteiioriDige  Aushohlmig  d^  Fläeheo. 

Nicht  selten  triffit  maA  Krystalle,  deren  durch  die 
Conture  des  Kantennetzes  bestimmter  Raum  von  der 
Substanz  nicht  stetig  erfüllt  wird,  indem  meist  nur 
die  unmittelbar  an  den  Kanten  anliegenden  Theile 
der  Flächen  ausgebildet  sind.  Diese  Unvollkommen- 
heit,  welche  an  künstlichen  Salzen  und  durch  Su- 
blimation gebildeten  Krystallen  besonders  häufig  vor- 
kommt, ertheilt  den  Krystallen  ;das  Ansehen,  als 
seyen  ihre  Flächen  Aach  dem  Mittelpuncte  hin  trich- 
terförmig ausgehöhlt,  und  als  habe  sich  alle  Substanz 
nur  an  denjenigen  Ebenen  concentrirt,  welche  aus  dem 
Mittelpnncte  durch  die  Kanten  gehen*  Betrachtet  man 
die  Aushöhlungen  genauer,  so  findet  man,  dass  ihre 
Wände  in  treppenartiger  Ausbildui^  von  dem  Mittel- 
pnncte nach  den  Kanten  hin  aufsteigen,  und  eine  der 
Flächenreifnng  ganz  ähnliche  Erscheinung  zeigen.  Dis 
abwechselnden  Flächenelemente  gehören  jedoch  nicht 
verschiedenen  Gestalten ,  sondern  derselben  einfachen 
Gestalt  an,  welche  der  ganze  Krystall  darstellt. 

So  finden  sich  häufig  die  Hexaeder  des  in  den 
Salinen  dargestellten  Kochsalzes,  die  durch  Soblima- 


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UmoUk.  der  KrystaUformen.  Cap.  IL     193 

tum  in  R5st-  and  SchmelsBfen  entstandenen  Hexa^-r 
der  des  Bleiglanzes,  zuweilen  auch  natürliche  Blei- 
^anzkrystalle  anf  ähnliche  Art  wie  in  Fig.  i90  und 
591  ausgebildet.  Ebenso  erscheinen  die  Oktaeder  des 
Alaunes,  der  arsenigen  Säure  wie  in  Fig.  592.  Auch 
der  Quarz  konunt  zuweilen  in  seinen  reineren  Yarie« 
täten  mit  ausgehöhlten  Flächen  vor.  Aehnliche  Aus- 
höhlungen finden  sich  an  den  basischen  Flächen  der 
hexagonalen  Prismen  des  Berylles  und  Pyromorphites, 
an  den  Krystallen  des  Eisenvitrioles ,  Glaubersalzes, 
Kupfervitrioles  u.  a.  Substanzen.  Nur  muss  man  sich 
die  Erscheinung  an  den  Hexaedern  und  Oktaedern 
nicht  ganz  so  regelmässig  vorstellen,  wie  sie  die  Fig. 
591  und  592  zeigen,  indem  zugleich  die  auffallend- 
sten Verzerrungen  und  Verstümmelungen  der  Form 
Statt  zu  finden  pflegen,  so  dass  z.  B.  die  Bleiglanz- 
hexaSder  ans  den  Röstöfen  in  den  monströsesten  Kan- 
tengerippen  und  die  Kochsalzhexa^er  aus  den  Sod- 
Joannen  gewöhnlich  nur  vom  Mittelpuncte  aus  nach 
vier  Kanten  als  hohle  vierseitige  Pyramiden  ausge- 
bildet sind. 

f.    555. 
Merkwürdige  Eracheinang  am  Eisenkiese. 

Eine  hierher  gehörige,  schon  von  Hausmann  er- 
wähnte, und  neulich  von  Köhler  beschriebene  sehr 
merkwürdige  Erscheinung  findet  sich  am  (hexaSdri- 
seben)  Strablkiese  von  Almerode,  dessen  säulenför- 
mig verlängerten  und  unsymmetrisch  gebildeten  Kry- 
stalle  der  Combination  ooOoo.O  parallel  den  vier,  als 
tetragonales  Prisma  erscheinenden  Flächen  des  Hexaä- 
lers  dergestalt  ausgeschnitten  sind,  Fig.  593,  dass  man 
einen  Zwillingskrystall  zu  sehen  glaubt;  um  so  mehr, 
weil  am  Eisenkiese  wirklich  Durchkreuzungszwillinge 
Torkonmien,  welche  nach  einem  der  Erscheinungs- 
weise dieser  ansgehöhken  Krystalle  entsprechenden 
n.  12 


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194         AngeuHindte  Krystallographie. 

Gesetze  gebildet  sind.  Die  Lage  der  StreiTen  auf  den 
Hexaäderflächen  widerlegt  jedoch  diese  Vermuthan^, 
weil  si^  nur  einem  einzigen Individaum  entspricht;  denn 
wären  diese  kreuzförmigen  Krjrstalle  wirkliche  Zwil- 
linge, so  konnten  die  einander  parallelen  Hexaßder- 
fläohen  der  beiden  sich  durchkreuzenden  Theile  nicht 
parallel  gestreift  seyn,  wie  dies  doch  wirklich  der 
FaU  ist. 

5.    Hemimorphismus 

§.     556. 
Begriff  des  Hemimorphismus. 

Zwar  eine  Abweichung  von  den  herrschenden  Syst- 
metriegesetzen,  aber  eine  sehr  gesetzmässige,  und 
durch  ihre  physikalische  Bedeutsamkeit  im  hohen  Grade 
merkwürdige  Abweichung  ist  die  Erscheinung  des  He- 
mimorphismus in  den  einaxigen  Krystallsystemen.  Man 
nennt  nämlich  einen  einaxigen  Krystall  hemimor- 
phisch,  wenn  er  an  beiden  Enden  der  Hauptaxe  ge- 
setzmässig  von  den  Flächen  verschiedener  Gestalten 
begränzt  wird,  gleichsam  als  gehöre  das  obere  Ende 
einem  anderen  Individuum,  als  das  untere  Ende.  Diese 
Entzweiung  des  ganzen  Krystalles  in  der  Richtung 
seiner  Hauptaxe,  oder  diese  morphologische  Polari- 
tät desselben  gewinnt  noch  deshalb  ein  besonderes 
Interesse,  weil  sie  mit  einer  physischen  Polarität  in- 
nig verknüpft  ist,  indem  die  hemimorphischen  Kry- 
stalle  durch  Erwärmung  polar  elektrisch,  werden, 
d.  h.  an  den  entgegengesetzten,  und  durch  die  ver- 
schiedene Gestalt  diarakterisirten  Polen  ihrer  Hauptr 
axe  die  entgegei^esetzten  Elektricitäten  manifestiren« 
Der  Hemimorphismus  findet  »ich  besonders  am  Tur- 
maline,  dessen Krystalle  z.B.  an  einem  Ende  durch 
die  Flächen  eines  oder  mehrer  Rhombo^der  begräast 
sind,  während  das!  andre  Ende  nur  die  basisohe  Flä- 
che zeigt,  wie  in  Fig.  597;  oder  es  erscheinen  wohl 


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Unvoük.  der  Krystallformen.  Cap.  IL     105 

aach  an  den  beiden  finden  die  Flächen  dergell>en  Ge- 
stalten, allein  noch  aOMerdem  am  einen  Ende  fl&chen, 
wekhe  am  ändern  Ende  fehlen,  Mie  in  Fig.  598.  Ueber- 
hanpt  sind  Ton  18  Tenchiedenen,  in  dem  Atlas  zu 
Hany's  Mineralogie  abgebildeten  Combinationen  deg 
Tnrmalines  16  vollständig  beobachtete  hemimorphisch; 
es  lässt  sich  daher  die  gleiche  Beschaffenheit  Ton  den 
obrigen  Toranssetzen,  nnd  der  Hemimorphismns  als  ein 
allgemeines  Bi^^ungsges^ts  des  Tarmalines  betrachten. 

§.    557. 
Trigonales  Prisma  aU  Resultat  des  Hendmorphismas. 

Ein  Beweis,  dass  der  Hemimorphismns  ein  für 
die  Krystallreihe  des  Tormalines  allgemein  gültiges 
Bildangsgesetz  ist,  scheint  in  dem  so  häufigen  Vor- 
kommen des  trigonalen  Prismas  xu  liegen,  welches 
eine  nothwendige  Folge  des  Hemimorphismns  ist,  und 
das  Yorhandenseyn  desselben  selbst  für  solche  Kry- 
stalle  bestätigt,  in  welchen  entweder  gar  keines,  oder 
doch  nur  eines  der  beiden  Enden  vorhanden,  und 
daheir  die  Yerschiedenheit  der  terminalen  Flächen  nicht 

s 

mehr  zu  beobachten  ist. 

Da  nämlich  das  Prisma  ooR  nur  als  die  Gränz- 
gestalt  der  RhomboSder  zu  deuten  ist,  so  müssen  die 
drei  abwechselnden  Flächen  auf  die  obere,  die  drei 
zwischeüli^fenden  Flächen  auf  die  untere  Hälfte  der 
Hauptaxe  bezogen  werden  (§.  299).  Weil  nun  aber 
das  Wes^n  des  Hemimorphismus  eben  darin  besteht, 
dass  von  allen  oder  gewissen,  in  der  Combination 
enthaltenen  Gestalten  nur  entweder  die  obere,  oder 
die  untere  Hälfte,  Ah.  nur  entweder  der  zur  oberen, 
oder  der  zur  unteren  Halbaxe  gehörige  Plächeninbe- 
griff  erscheint,  so  kann  in  einer,  dem  Hemimorphis- 
mus unterworfenen  rhomboädrischen  Krystallreibe  das 
PrimnftODlt  nur  mit  drei  abwechsdnden  Flächen,  d.  h, 
ab  tr%enales  Prisma  auftreten.     Wenn  daher  eine, 

13* 


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196         eingewandte  Krystallographie. 

darck  die  Erscheinungsweke  ihrer  übrigen  Gestalten 
als  rhomboSdrisch  charakterisirte  Krystallreihe  das 
Prisma  ooJR  nur  als  trigonales  Prisma  erscheinen  lässt, 
so  kann  man  mit  Recht  den  Schloss  ziehen,  dass. 
diese  Krystallreihe  dem  Hemimorphismus  unterwor- 
fen seyn  müsse,  auch  wenn  man  sich  nie  durch  Beob- 
achtung eines  mit  beiden  Enden  ausgebildeten  Indivi- 
duums von  der  verschiedenen  Endkrystallisation  über- 
zeugen kann,  oder  wenn  auch  die  n^  ausgebildeten 
Individuen  an  beiden  Enden  häufig  dieselben  Gestal- 
ten zeigen  sollten. 

Aus  demselben  Grunde,  aus  welchem  das  hexa- 
gonale  Prisma  ooB  nur  als  trigonales,  muss  auch 
jedes  dihexagonale  Prisma  oolt"  als  ditrigonales  Pris- 
ma erscheinen,  sobald  eine  rhomboSdrische  Krystall- 
reihe unter  dem  Gesetze  des  Henumorphismus  steht 
(§.  298). 

§.    558. 
^     Andere  kemiinorphUche  Krystallreihen. 

Wie  derTurmalin,  so  konunt  auch  die  rhomboS- 
drische  Silberblende  in  hemimorphischen  Krystallen 

vor;  besonders  ist  das  trigonale  Prisma  -^  (k)  eine 

sehr  gewohnliche  Gestalt  dieser  Krystallreihe;  Fig. 
699.  Im  Gebiete  des  Tetragonalsystemes  ist  noch 
keine  hemimorphische  Krystallreihe  bekannt.  Dage- 
gen hat  man  in  den  beiden  rhombischen  Krystallrei- 
hen des  Topases  und  Zinksilicates  hemimorphische 
Krystalle  beobachtet. ,  Haüy  hat  unter  andern  folgende 
zwei  Combinationen  des  Topases  als  wirklich  hemi- 
morphisch  dargestellt: 

ooP3.<x>Poo2Pcx)Joo;  Fig.  600. 

00P.00P2.P.2P00.4P2;  Fig.  601. 
in  der  ersteren  kommt  das  horizontale  Prisma  Poo, 
in  der  zweiten  die  Pyramide  ^2  hemimorphisoh  vor; 


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Unvoüh.  der  Krystaüformen.   Cap.  IL     197 

die  meisten  fibrigen  Combinationen  sind  von  ihm  nur 
mit  dem  oberen  Ende  abgebildet  worden,  xum  Be- 
weise, dass  er  das  untere  Ende  nicht  übereinstim- 
mend Toranssetzen  sn  dürfen  glanbte. 

Dnrch  Mobs  sind  wir  endlich  mit  der  in  Fig.  602 
dargestellten  Combination  des  Zinksilicates  bekannt 
worden,  welche  ausgezeichnet  hemimorphisch  ist,  in- 
dem solche  am  oberen  Ende  durch  die  Flächen  der 
Yier  horizontalen  Prismen  2?oo,  Poo,  4P00  und  iPoo, 
am  unteren  Ende  dagegen  durch  die  Flächen  der 
Grundgestalt  P  begränzt  wird. 

6.    SehhnMhtmwkung. 

f.    569. 
Befllliidigk«il  4«r  Kairteiiidiikd. 

Aus  den  vorhergehenden  Darstellungen  der  Un- 
vollkommenheiten  der  Krystalle  geht  hervor,  wie  sehr 
sich  dieselben  in  der  Wirklichkeit  von  jener  Regel- 
mässigkeit entfernen,  welche  in  der  reinen  Krystallo- 
graphie  vorausgesetzt  wurde,  und  wie  nothig  es  war, 
ihre  Gestalten  zuvorderst  so  darzustellen,  wie  sie  un- 
ter jener  Voraussetzung  erscheinen  müssen.  Denn 
die  wahren  Syrametriegesetze  der  Krystallformen  wer- 
den durch  jene  Abnormitäten  dermaassen  entstellt  und 
maskirt,  dass  man  diese  letzteren  nur  durch  sorgfäl- 
tige Yergleichung  vieler  Individuen  als  zufällige  Stö- 
rungen erkennen,  und  nach  ihrer  Abstraction  zu  der 
Aufißndung  der  ersteren  gelangen  konnte.  Durch  sol- 
che Yergleichungen  und  Abstractionen  ist  die  Lehre 
von  den  Krjstallsystemen,  dieser  unentbehrliche  Leit- 
faden durch  das  Labyrinth  der  Formen,  gewonnen 
worden ,  wie  sie  denn  auch  fast  jedesmal  in  Anwen- 
dung kommen,  wenn  man  gegebene  Krystalle  bestim- 
men soll. 

Bei  aHer  Unbestimmtheit  in  der  Erscheinungs- 


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'198         Angewandte  Kry^taUögraphie. 

weise  der  Krystallformen,  bei  allen  Ahnonnitäten, 
welchen  ihre  Configuration  anheimfäUt,  1^4;  4oeh  ein 
Verhaltniss  sehr  constant,  daher  anch  wohl  das  we- 
sentliche and  für  die  Wissenschaft  besonders  wichtige. 
Dies  ist  die  relative  Lage  der  Flädien,  ^nd  die 
davon  abhängige  Grösse  der  Kanten«  nnd  Flä- 
chenwinkel. Zwar  werden,  nach  Mitscheiüchs  schö- 
ner Entdecknng,  in  den  einaxigen  Krystallformen  durch 
Temperatorverändernngen  kleine  YerfiUideningen  in 
der  gegenseitigen  Lage  der  Flächen  herbeifiihrt,  in- 
dem sich  dieKrystalle  dieser  Art  nach  verschiedenen 
Richtungen  ungleichmässig  ausdehnen;  allein  bei  ei- 
ner nnd  derselben  Temperatur  zeigt  ein  und  derselbe 
einaxige  Krystall  dieselbe  Grösse  der  Winkel  aller 
gleichwerthigen Kanten,  und  die  vielaxigen  Krystalle 
sind  gar  keiner  Yeränderlii^hkeit  unterworfen,  da  sie 
bei  jeder  Temperatur  di^selben  Kantenwinkel  beob- 
achten lassen.  Daher  sind  es  auch  besonders  die  Kan- 
tenwinkel,  auf  welchä  man  in  zweifelhaften  Fällen 
zu  achf;en  hat,  und  durch  derepi  Messung  man  in  den 
defigurirtesten  Krystallen  den  wahren  Charakter  und 
das  eigentliche  Symmetriegesetz  zu  entdecken  ven4ag. 
Uebrigeiüi  ist  es  eine  ziemlich  allgemein  bestä- 
tigte, und  für  die  angewandte  KrystaHographie  sehr 
wichtige  Erfahrung,  dass  die  kleineren  Krjstalle  ei- 
ner Spesies  immer  eine .  regelmAssigere  Gestalt  und 
glattere  Oberfläche  b^h^jsn,  als  die  gfi&ss^r^n  Kry- 
stalle;  daher  sie  sich  auch  vorzugsweise  zu  den  Mes- 
sungen eignen,  durch  welohe  die.  zur  Bestimmung  nnd 
Beredhniing  der  Krystallformen.  erforderB^sben  Ele- 
mente gewonnen  werden. 


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ZwUüngskrystaUe.    Cap.  1.  100 

Zweiter  Abschnitt 
Foj»  den  Zwillingikryitallen. 


Erstes    Capitel. 
Allgemeine  Bestimmungen. 

§.    560. 

Aggregate  der  Indiyidaen. 

Wie  sttweilen  swei  oder  mehre  Individnen  einer  und 
dergelben  Thierspecies  nach  einer  bestimmten  Regel 
an  oder  durch  einander  gewachsen  sind,  nnd  in  die- 
ser   Yert¥acbs«iig   gleichsam    ein   Doppelindividaum 
oder  eine  mehrgliedrige  Corporation  von  Individuen 
darstellen,   so  kommen  sehr  häufig  zwei  oder  mehre 
Individuen  einer  vtcA  derselben  anorganischen  Species 
nach  einem  bestimmten  Gesetze  an  und  durch  einan- 
der verwachsen  vor.    Die  aus  solcher  Verwachsung 
hervorgehenden  Aggregate  zerfallen  nach  der  gegen- 
seitigen Stellung  der  verbundenen  Individuen  in  fol- 
gende zwei  wesentlich  verschiedene  Arten: 
I.    Aggregate   von   Individuen   mit    durch- 
gängigem Parallelismus   der  Axen    so- 
wohl als  der  Flächen; 
IL  Aggregate    ohne    durchgängigen    Paral- 
Lelismus  d^r  Axen  oder  der  Flächen. 
EKe  Aggregation  der  ersten  Art  kommt  in  der  Na- 
tur sehr  häufig  vor,  und  hat  unter  andern  interessan- 
ten Erscheimmgen^)  besonders  die  vielfach  zusammen- 
gesetzten oder  polysynthetischenKrystallezur 
Folge,  welche  durch  die  Gruppirung  sehr  vieler,  in 


*)  Wohin  z.  B.  die  baumförmigen,  gestrickteo  a.  a»  nachah- 
meode  Gestalten  gehören,  die  jedoch  mehr  mineralogischea  als  kry- 
lUäogi&phiKhes  Int^ease  haben. 


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200         Angewandte  Krystallographie. 

paralleler  Stellung  befindlicher  Individuen  entstehen, 
die  sich  gleichsam  mit  Aufopferung  ihrer  singulären 
Selbständigkeit  zu  einem  individualisirten  Ganzen  ver- 
einigten. Diese  polysynthetischen  Krystalle  lassen 
sich,  in  gewisser  Hinsicht  den  nach  bestimmten  Re- 
geln zusammengesetzten  Polypen  und  Ascidien  ver- 
gleichen, in  welchen  gleichfalls  die  Individualität  je- 
des einzelen  Gliedes  durch  die  innige  Verschmelzung 
zu  einem  grösseren  Ganzen  mehr  oder  weniger  ver- 
loren geht. 

Weit  wichtiger  in  krystallographischer  Hinsicht 
ist  die  zweite  Art  von  Aggregaten,  welche  wiederum 
in  folgende  zwei  Unterabtheilungeii  zerföUt: 

1)  Aggregate,  deren  Individuen  nach  einem  kry- 
stallographisch  genau  bestimmbaren  Gesetze  ver- 
bunden sind: 

2)  Aggregatß,  deren  Individuen  zwar  nach  einer  ge- 
wissen Regel,  aber  doch  nach  keinem  krystal* 
lographisch  genau  bestimmbaren  Gesetze  verbun- 
den sind. 

Die  Aggregate  der  ersten  Abtheilung  sind  es, 
welche,  je  nachdem  sie  aus  zwei,  drei  oder  mehren 
Individuen  bestehen,  den  Namen  der  Zwillings-,  Dril- 
lingskrystalle  u.  s.  w.  fuhren,  und  wegen  ihrer  ma- 
thematischen Gesetzmässigkeit  die  Aufinerksamkeit  der 
Krystallographen  ganz  besonders  in  Anspruch  genom- 
men haben.  Sie  sind  es  auch,  welche  den  eigentli- 
chen Gegenstand  dieses  Abschnittes  bilden.  Die  Ag^ 
gregate  der  zweiten  Abtheilung,  zu  welchen  z.  B.  die 
fächerförmigen,  garbenformigen,  kanmiformigen,  wulst- 
formigen  und  andere  Zusammensetzungen  gehören, 
bilden  keinen  Gegenstand  der  Krystallographie. 

f.    561. 

Stellungigesetz  der  Zwillingskrystalle. 

Ein  Zwillingskrystall  ist  ein  Aggregat  zweier  In- 


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ZwiUmgshrystaUe.    Cap.L  201 

dividuen  einer  und  derselben  Species ,  welche  keinen 
durchgängigen  ParaUelismas  der  Axen  nnd  Flächen 
besitzen,  aber  nach  einem  genau  bestimmbaren  Ge- 
setze verwachsen  sind.  -^  Beide  Indiyidnen  sind  in 
der  Regel  krystallographisch  identisch,  d.h.  das  eine 
hat  absolut  dieselbe  Krjrstallform  wie  das  andere; 
jedoch  finden  sich  zuweilen  Ausnahmen  von  dieser 
Regel. 

Bei  der  Bestimmung  eines  Zwillingskrystalles  kom- 
men folgende  zwei  Verhältnisse  in  Betracht: 

1)  das   StellungsgesetlE    der  Individuen,   oder 
die  relative  Lage  derselben; 

2)  das  Yerbindungsgesetz  der  Individuen,  oder 
die  Art  und  Weise  ihrer  Verwachsung. 

Was  das  erste  Yerhftltniss  betrifft,  so  geht  man 
bei  seiner  Bestinunung  von  der  parallelen  Stellung 
beider  Individnen  aus,  und  giebt  die  Regel  an,  nach 
welcher  das  eine  Individuum  gegen  das  andere  ver- 
dreht werden  muss,  damit  die  Zwillingsstellung  ver- 
wirklicht werde.  Man  sieht,  dass  es  bei  dieser  Be- 
stimmung ganz  gleichgültig  ist,  ob  man  die  Mittel- 
pimcte  beider  Individuen  zusammenfallend  oder  in  be- 
liebiger Elntfernung  und  Richtung  ausserhalb  einan- 
der denken  will,  dass  also  auch  die  Art  und  Weise 
der  Verwachsung  beider  Individuen  auf  die  Bestim-' 
mnng  ihrer  Stellung  ohne  allen  Einfluss  ist 

Wenn  aber  überhaupt  das  eine  Individuum  gegen 
das  andere  verdreht  werden  muss,  um  aus  der  paral- 
lelen Stellung  in  die  erforderliche  Zwillingsstellung 
zu  gelangen,  so  sind  die  zunächst  zu  beantwortenden 
Fragen  folgende : 

1)  welche  Linie  im  KrystaUe  ist  als  die  Umdre- 
faungslinie  zu  betrachten, 

2)  wie  gross  ist  derUmdrehungswinkel  anzuneh- 
men. 

Die  Antworten  auf  beide  Fragen  können  nur  aus 


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202         Angewandte  KryatdUographie.   ' 

den  Reaaltaten  der  Beobachtung  aller  bis  jetzt  be- 
kannten Zwillingskrystalle  entnommen  werden,  nnd 
bestimmen  sich  wie  folgt: 

1)  DieUmdrehungslinie  ist  allgemein  eine 
krystallographisch  reelle  Linie,  also 
entweder  erine  der  Axen  der  Krystall- 
reihe,  oder  eine  Kante,  oder  eine  Flä- 
chennormale irgend  einer  ihrerGestal* 
ten. 

2)  Der  Umdrehungswinkel  beträgt  allge- 
mein 160°,  obgleich  auch  in  manchen  Fällen 
ein  Winkel  von  .60°  der  Constmction  des  Zwil- 

'  linges  Genüge  leistet. 

Da  also  genav  «ine:  halbe  Wendung. des  einen 
Individuums  gegen  das  andere  um  die  Umdrehungs- 
linie gefordert  wird,  jm>  macht  sich  dieselbe  als  eine 
-beiden  Individuen  gemeinschaftliche  Axe  gehend,  ia 
BesBug  aufweiche  eine  symmetrische  Lage  ihrer  Theile 
und  ein  gewisses  Gleichgewicht  ihrer  Ausbildung  Btatt 
findet.  Wir  ertheilen  ihr  daher  mit  allem  Rechte  den 
Namen  der  Zwillingsax^e,  und  werden  das  Stel- 
lungsgesetz der  Individuen  irgend  eines  ZwiUings  durch 
blosse  Angabe  dieser  Zwillingsaxe  hinreichend  bestam- 
men, wenn  wir  ein  für  alle  Mal  die  Umdrehung  des 
einen  Individuums  durch  180*^  voraussetzen.  Weil 
übrigens,  .zum  wenigsten  in  allen  orthobasischen  Kry- 
Stallsystemen,  jede  Axe  und  jede  Kante  die  Normale 
einer  möglichen  Fläche  ist,  so  werden  wir  auch  in 
nnsern  ferneren  Beträchtüngeji  die  i^willingsaxe  fast 
immer  jbAb  eine  Flächennormale  einfuhren,  um 
den  Zwillingsgesetzen  eine  gewisse  Gleichförmigkeit 
des  Ausdruckes  zu  verschaffen. 

Das  bisher  erläuterte  Stellungsgeselai  leistet  je- 
doch, nicht  allen  Erscheinungen  der  Zwülingsbildung 
'allein  Genüge;  sondern  ist  vielmehr  für  einige  Zwil- 
linge ganz  unzureichend,  weil  beide  Individuen  wie 


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ZwilUngskrystalle.  Cap.I.  203 

rechts  und  links  verschieden  sind,  nnd  durch  kein^ 
Umdrehung  in  die  gehörige  Lage  gebracht  iverden 
können.  Sie  fordern  daher  ein  ganz  andres  Gesetz, 
welches  sich  auch  für  viele  ancfre  Zwillinge  mit  *glei* 
chem  Rechte  geltend  machen  lässt,  wenn  gleich  für 
sie  sein  Resultat  von  dem  Resultate  eines  Gesetzes 
der  ersten  Art  gewdhnlich  nicht  verschieden  zu  seyn 
pflegt. 

Diese  Zwillinge,  welche  also  ein  eigenth^nUches 
Gesetz  theils  fordern,  theils  gestatten,  sind  im  Allge* 
meinen  gewisse  Zwillinge  solcher  Individuen  mit  par- 
allelen Axen,  deren  Formen  jedoch  hemi^risch  oder 
tetfortoMrich  sind;  das  erwähnte  Gesetz  aber  ist  fol- 
gendes : 
Die  Axen  beider  Individuen  liegen  sich 
parallel,  die  hemiCdrischen  Gestalten 
des  einen  Individuums  aber  sind,   ih- 
rer Flftohenstellung  nach,  die  comple- 
mentftren  Gestalten  der  gleichnamigen 
kemi^drischeü    Gestalten    des    andern 
Individuums. 
Dieses  sehr  häufig  verwirklichte  Gesetz,  in  wel- 
chem  sich  gleichsam   ein  Versuch  zur  "Reproduction* 
ier  holoedrischen  Formen  offenbart,  lässt  sich,  wie 
gesagt,    zwar  in  ^ vielen,    aber  nicht  in' allen  Fällen 
auf  das  erste  Gesetz  zurückfahren;    daher   wir  ihm 
auch,    wo  es  gestattet  ist,    eine  mit  dem  ersten  Ge- 
setze übereinstimmende  Formel   substituiren  werden. 
Uebrigens  konnte  man  nach  diesen  beiden  allgemei- 
nen Gesetzen    die    geflammten  Zwillihgskrystsdle   in 
zwei  Classen  bringen: 

1)  Zwillinge    mit   parallelen  Axensyste- 
men. 

2)  Zwillinge  mit    nicht   parallelen  Axen- 
systehien. 

Die  Zwillinge  der  ersten  Classe  würden  nach  dem 


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204    ,     Angewandte  KrystaUographie. 

xweiten,  die  der  zweiten  Classe  nacb  dem  ersten  all- 
gemeinen Gesetze  zu  erklären  i^eyn. 

•  §•    562. 
Aequiyaleate  ZwilUngsaxeii. 

In  rieten,  nach  dem  ersten  Gesetze  zu  erklären- 
den Zwillingen  lässt  sich  die  angegebene  Zwillings- 
axe  mit  einer  ändern  Linie  vertauschen,  ohne   das« 
dadurch  eine  wesentliche  Veränderung  in  dem  Resul- 
tate der  Construction    herbeigefihrt    würde.     Durch 
Calcül  oder  geometrische  Betrachtung  gelangt  man  in 
dieser  Einsieht  zu  folgenden  Bestimmungen: 
1)  Wenn  zwei  gleichwerthige(recht-oderschief- 
winklige)krystallographischeAxen  vorhan- 
den, und  nicht  nur  die  Zwillingsaxe,  sondern 
audi  die  dritte  krystallographische  Axe 
gegen  jene  beiden  gleich  geneigt 'sind,  so  lässt 
sich  die  Zwillingsaxe  mit  derjenigen  ihrer  Nor- 
malen vertauschen,    welche   in  der  Ebene 
durch  sie  selbst  und  die  dritte  Axe  liegt 
Diese  Bestimmung  findet  ihre  Anwendung: 

a)  im  Tesseralsysteme,  wenn  die  Zwillingsaxe  die 
Normale  einer  Fläche  von  «lO,  oder  mOüi;  die 
äquivalente  Zwillingsaxe  ist  fSr  «lO  die  Nor- 
male einer  Fläche  von  2si02«i,    fSr  mOm  die 

Normale  einer  Fläche  von  -ö"0,  wenn  «•>2, 

2     2 
von  — O— ,  wenn  «••<2; 

M      ffl 

b)  im  Tetragonalsysteme ,  wenn  die  Zwillingsaxe 
die  Normale  einer  Fläche  von  «iP ;  die  äquiva- 
lente Zwillingsaxe  ist  die  Normale  einer  Fläche 

von  f- — rP; 

c)  im  Hexagonalsysteme ,  wenn  die  Zwillingsaxe 
die  Normale  einer  Fläche  von  «iP;  die  äquiva- 


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ZmlUngskryttalle,  Cap.  1.  205 

feste  Zwillingsaxe  iat  dieNoimale  einer  Flidie 

2)  Wenn  die  Zwillingsaxe  in  die  Ebene  zweier 
(recht-  oder  schiefwinkliger,  gleich-  oder  un- 
gleich werthiger)Axen  fällt,  und  die  dritteAxe 
auf  dieser  Ebene  rechtwinklig  ist,  oder 
auch  (wie  im  Hexagonalsysteme)  die  dritte  und 
vierte  Axe  gegen  diese  Ebene  gleich  geneigt  und 
g^eichwerthig  sind,  so  lässt  sich  die  Zwillingsaxe 
Biit  ihrer  in  derselben  Ebene  liegenden 
Normale  vertauschen. 
Diese  Bestimmung  findet  ihre  Anwendung: 

a)  im  Tesseralsysteme,  wenn  die  Zwillingsaxe  die 
Normale  einer  Fläche  von  ocO»;  die  äquiva- 
lente Zwillingsaxe  ist  die  Normale  einer  andern 
Fläche  von  ooO»; 

b)  im  Tetragonalsysteme,  wenn  die  Zwillingsaxe 
eine  Normale  von  «iPoo  oder  odPn ;  die  äquiva^ 
lente  Zwillingsaxe  ist  im  ersteren  .Falle  die  Nor-» 

male  einer  Fläche  von  — rPoo,  im  zweiten  Falle 

wiederum  die  Normale  einer  andern  Fläche  von 
ooP»; 
e)  im  Hexagonalsysteme,  wenn  die  Zwillingsaxe 
eine  Normale  von  «iP2;    die   äquivalente  Zwil- 
lingsaxe Ist  die  Normale  einer  Fläche  von  — rP2. 

d)  Im  rhombischen  Systeme,  wenn  die  Zwillinjs- 
axe  die  Nonnale  eines  verticalen  Prismas  ooPm, 
oder  eines  der  horizontalen  Prismen  mPco,  und 
«iPoo ;  die  äquivalente  Zwillingsaxe  ist  eine  der 
Mittelkanten  von  F»,  die  makrodiagonale  Pol- 
kante von  0iP,  und  die  brachydiagonale  Pol- 
kante von  mP; 

e)  im  monoklinoädrischen  Systeme,  wenn  die  Zwil- 


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200         Angewandte  KryataUographie. 

lingsaxe  die  Normale  irgend  eines  horisontaien 
Hemiprismas +«iPoo;  die  äquivalente  Zwillings- 
axe  ist  die  klinodiagonale  Polkante  der  Hemi- 
pyramide  +«tP.  , 

Wiewohl  die  Wahl  unter  zwei  äquivalenten  Zwil- 
lingsaxen  im  Allgemeinen  willkürlich  ist,  lio  entspricht 
doch  oft  die  eine  mehr  als  die  andre  dem  Habitus  der 
ZwillingskrystaUe;  auch  ist  xu' bemerken,  dass  diese 
Willkur,  so  wie  der  äquivalente  Charakter  beider 
Axen  selbst  jedenfalls  aufhört,  wenn  nicht  eine  ab- 
solute Gleichwerthigkeit  der  beiden  Hälften  einer  je- 
den krystallographischen  Axe  Statt  findet,  weil  durch 
die  Yertausdiung  der  Zwillingsaxe  alle  Mal  ejne  Aen- 
derung  in  der  Lage  jener  Axen  herbeigeführt  wird, 
indem  entweder  je  zwei  derselben  ihre  SleUe  gänz- 
lich vertauschen,  oder  doch  die  einzelen  die  Lage  ih- 
rer Pole  umkehren.  Diese  Umkehrung  der  Pole  hat 
zumal  für  die  Zwillinge  gewisser  hemiSdrischer  Formen 
die  Folge,  dass  sich  nur  eine  von  den  beiden,  für  ho- 
loedrische Formen  äquivalenten  Linien  als  ihre  Zwil- 
lingsaxe betrachten  lässt,  weil  die  andre  nicht  mehr 
genau  dasselbe  Resultat  liefern  würde. 

§.    563. 
Verbiodongsgesetz  der  ZwUIingskrystalle. 

Die  Eigenthümlichkeit  eines  Zwillingskrystalles 
wird  jedoch  mit  der  Angabe  des  Stellungsgesetzes  al- 
lein keinesweges  erschöpft;  vielmehr  wird  dazu  noch 
die  Angabe  des  Verbindungsgesetzes  erfordert.  Die 
Individuen  eines  Zwillinges  sind  nämlich  mit  einan- 
ander  entweder  durch  Juxtaposition  oder  durch 
Penetration  verbunden,  d.  h.  sie  sind  entweder 
nur  an  einander  oder  durch  einander  gewachst. 
Die  regelmässigste  Erscheinungsweise  der  Zwillinge 
pflegt  diejenige  zu  seyn,  da  beide  Individuen  (bei  übri- 
gens gleichen  Gestalten  und  Dimensionen)  entweder 


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Zuniüngsirystalle.    Cap.  L  207 

durch  yollkommene  Juxtapositionoder  durch  Tollkom- 
mene  Penetration  verbunden  sind.  Int  ersteren  Falle 
berühren  sie  sich  entweder  in  derjenigen  Krystall* 
fläche,  welche  auf  der  Zwillingsaxe  normal  ist,  oder 
in  einer  von  denjenigen  KrystaUflächen ,  welche  der- 
selben Axe  parallel  sind;  im  letzteren  Falle  sind  beide 
Individuen  um  einen  gemeinschaftlichen  MittelpuncI 
ausgebildet;  sie  durchdringen  sich  gegenseitig  nach 
allen  Richtungen  und  stellen  eine  förmliche  Decus- 
sation  oder  regelmässige  Durchkreuzung  dar.  Wie- 
wohl nun  beide  Fälle  in  der  Natur  sehr  häufig  vor- 
kommen, so  finden  sich  doch  nichr  minder  häufig 
andre  YorkomuUlisse,  welche  weder  dem  einen,  noch 
dem  andern  Falle  entsprechen,  und  daher  unter  den 
besondemFall  einer  partiellen  Penetration  ge- 
hören, indem  die  Individuen  in  der  Richtung  der  Zwil- 
lingsaxe oder  einer  ihrer  Normalen  nur  mehr  oder 
weniger  in  einander  geschoben  sind,  so  dass  ein  theil- 
weises  Eingreifen  und  eine  theil weise  Absonderung 
zugleich  Statt  findet. 

Für  den  FaU  einer  vollkommenen  Juxtaposition 
lassen  sich  übrigens  die  Zwillinge  sehr  anschaulich 
nach  der  Mohs'schen  Formel  beschreiben,  indem  man 
diejenige  Fläche,  in  welcher  sich  beide  Individuen  be- 
rühren, als  die  Zusammensetzungsfläche^  und 
diejenige  Linie,  um  welche  das  eine  Individuum  ge- 
gen das  andere  verdreht  ist,  als  die  Umdrehungs- 
axe  bez^hnet. 

§.    563  a. 
Verkürzung  der  IndiTidaen. 

Eine  sehr  häufig  vorkommende  Ersdieinung  in 
den  ZwiUingskrystallen  ist  es,  dass  die  einzelen  In- 
dividuen in  der  Richtung  der  ZwiUingsaxe  bedeutend 
verkürzt,  oder  viel  weniger  aut^edehnt  sind,  als  nach 
andern  Richtungen«     Diese  Verkürzung  geht  oft  so 


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208         Angewandte  Krystallographie. 

weit,  dass  x.  B.  die  vielaxigei)  Krystalle,  welche  doch 
eigentlich  nach^allen  Richtungen  ziemlich  gleiche,  oder 
die  einaxigen  Krystalle,  welche  nach  einer  Richtung 
sehr  Torherrschende  Ausdehnung  haben,'  oft  nur  ta- 
felartig erscheinen,  indem  die  beiden,  auf  der  Zwil- 
lingsaxe  senkrechten  Flächen  oder  Flächensysteme 
sehr  Torherrschend,  die  übrigen  Fläckcän  aber  sehr 
untergeordnet  ausgebildet  sind. 

Hierher  gehört  auch  der  häufig  vorkommende 
Fall,  dass  beide  Indltidueii-^ie  symmetrischen  Hälf- 
ten eines  einzigen  IndiVidtJums  darstellen,  indem  die 
Yerkfirzung  in  d^r  Art  Statt  fand,  dass  die  einander 
zugekehrten  Hälften  der  Individuen  verdrängt  wurden* 
Die  Zwillinge  erhalten  dadurch  ganz  das  Ansehen,  alii 
ob  ein  einziges  Individuum  der  Znsammensetzungsfläche 
parallel  in  zwei  Hälften  zerschnitten,  und  die  eine 
Hälfte  gegen  die  andere  um  180*^  verdreht  worden 
wäre.  Diesen  Zwillingen  insbesondere  entsprechen 
die  Hauyschen  Ausdrücke  Hemitropie  und  Trans- 
position. 

f.    564. 

,,  Wiederholte  Zwillingsbildiuig. 

Die  Zwillingsbildung  kann  entweder  ohne  oder 
mit  Wiederholung  Statt  finden,  in  welchen  letzteren 
Falle  die  Drillings-,  Yierlingiikrystalle  u.  s.  w.  ent- 
stehen. Diese  Wiederholung  liefert  jedoch  sehr  ver- 
schiedene Resultate,  je  nachdem  sie  mit  durchgän- 
gig parallelen  oder  mit  geneigten  Zusammen- 
setznngsflächen  eintritt.  •Es.sey  z.  B.  ABCDj  Fig. 
603,  der  Querschnitt  eines  rhombischen  Prismas  ocP, 
mit  welchem  ein  zweites  Prisma  durch  Juxtapositioa 
nach  dem  Gesetze  verbunden  ist,  dass  die  Zwillings- 
axe  normal,  die  Zusammensetzungsfläche  parallel  ei- 
ner Fläche  von  ooP\  ist  nun  mit  diesem  zweiten  In- 
dividuum ein  drittes  Individuum  dergestalt  verbunden. 


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ZwüUngOirystalle.    Cap.  I.  209 

Atts  die  Znaammensetrangsfiftche  toh  II  und  m  der 
ZnsaninieiisetiQngsfläche  Ton  I  und  II  parallel  ist,  so 
findet  die  Wiederfaolang  mit  durchgängig  parallelen 
Znsammenietsungsflächen  Statt,  und  es  könnte  sich 
auf  ähnliche  Weise  ein  viertes,  fünftes^  sechstes  In- 
diTiduum  anschliessen,  weil  die  Wiederholung  in  die* 
sem  Falle  ohne  Gränzen  Statt  finden  kann.  Ist 
dagegen  das  Individuum  III  mit  dem  Individuo  II  so 
Terbunden  wie  in  Fig.  604  oder  Fig.  605,'  so  ist.  zwar 
in  dem  Stellungsgesetze  je  zweier  Individuen  nichts 
geändert,  allein  die  successiven  Zusammensetzung^* 
flächen  sind  nicht  parallel,  sondern  geneigt;  auch 
könnte  sich  in  Fig.  604  noch  ein  viertes  und  fünftes 
Individuum  zu  den  bereits  vorhandenen  gesellen,  aber 
man  sieht  leicht,  dass  diese  Art  der  Wiederholung 
ihre  nothwendige  Gränze  erreicht,  sobald  eine 
gewisse  Anzahl  von  Individuen  beisammen  ist.  Es 
entstehen  nämlich,  bei  fortgesetzter  Wiederholung, 
in  sich  selbst  zurücklaufende  Gruppen  von  Individuen^ 
and   die  Zahl   der  möglichen  ganzen  Individuen  ist 

,    wenn  U)  der  an  der  Gruppirungsaxe  in  A  lie- 

gende  Kantenwinkel  der  Prismen  ist.  Wird  diese 
Zahl  erfällt,  so  bleibt  entweder  ein  leerer  Zwischen- 
raum zwischen  dem  ersten  und  letzten  Individuum, 
welcher  dann  gewöhnlich  durch  die  fortsetzende  Masse 
derselben  ausgefüllt  wird;  oder  das  überzählig  hinzu- 
tretende Individuum  ist  nur  unvollständig  ausgebildet, 
ond  durchkreuzt  oder  umschliesst  zum  Theil  das  er- 
ste Individuum. 

§.    665. 
Fortsetzung. 
Die  Wiederholung  mit  geneigten  Zasanmiensetzungs- 
flächen  und  diejenige  mit  parallelen  Zusammensetzungs- 

n.  14 


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210         Angewandte  KryataUographie. 

flächen  finden  bisweflen  sugleiek  Statt.  Gilt  s.  B.  fSr 
das  Prisma  ABCD^  Fig.  606,  dasselbe  Gesetz  der  Zwil- 
lingsbildang  wie  im  Torhergehenden  §.,  so  kann  sieh 
an  jede  der  Tier  Flächen  des  Prismas  ein  anderes  an- 
legen, so  dass  ABCD  gleichsam  den  Trager  oder  das 
centrale  Individnum  der  ganzen  Gruppe  bitdet,  welche 
einen  sehr  symmetrischen  Fünflingskrystall  darstellt, 
in  dem  alle  drei,  in  den  Figg.  603,  601  und  605  ab- 
gebildeten Yerbindungsarten  zugleich  Torhanden  sind. 
Noch  anfEallender  wird  diese  Art  der  Wiederholung, 
wenn  die  Zwillingsaxe  nicht  die  Noimale  eines  Pris- 
mas, sondern  die  einer  geschlossenen  Gestalt,  wie 
z.  B.  einer  Pyramide  oder  eines  RhomboSders  iit. 

Ueberhanpt  also  sind  folgende  Arten  der  Wie- 
derholung zu  unterscheiden:  sie  findet  Statt 

a)  mit  durchgängig  parallelen  Zusammensetzungs- 
flächen;  reihenartige  Bildung; 

b)  mit  durchgängig   geneigten  Zusammensetrangs- 
flächen;  kreisartige  Bildung; 

c)  mit  parallelen  und  geneigten  Zusammensetzungs- 
flächen;  symmetrische  Bildung. 

Uebrigens  versteht  es  sich  von  selbst,  dass  die 
Wiederholung  mit  geneigten  Znsammensetzungsfiächea 
nur  dann  möglich  ist,  wenn  die  Zwillingsaxe  einer 
solchen  Gestalt  oder  Theilgestalt  entspricht,  welche 
mehr  als  ein  Flächenpaar  besitzt.  Aus  diesem  Grunde 
ist  sie  auch  z.  B.  in  den  Krystallreihen  des  triklitto€- 
drischen  Systemes  ganz  unmöglich.  Endlich  ist  sa 
bemerken,  dass  die  in  $.  563  erwähnte  YerkürzttBg 
der  Individuen  bei  der  Wiederholung  mit  parallelen 
Zusammensetzungsflächen  besonders  auffallend  zu  seyn 
pflegt,  Indem  zumal  die  mittleren  Individuen  oft  nur 
als  mehr  oder  weniger  dünne  Lamellen  erscheinen, 
welche  zwischM  die  äusseren  Individuen  eingescho- 
ben sind.    . 


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Zmllingatrystalle.  Cap.  If.  211 

i    Öß6. 

TenniA^lo^  der  ZwUtmge. 

Wir  nennen  die  Kapt^n  and  Ecke,  in  welchen 
sich  die  Flächen  der  beiden  IndiTidoen  eines  Zwil- 
linges  schneiden,  Zwillingskanten  und  Zwil- 
lingsecke. Bisweilen  fallen  zwei  gleichnamige  Flä- 
chen beider  Individuen  so  genau  in  eine  Ebene,  dass 
man  durchaus  keine  Absonderung  wahrziinehmen  ver- 
mag, wenn  nicht  Streifungen  pder  sonstige  Verhält« 
nisse  ein  Anhalten  geben ;  di^  Linie,  in  welcher  beide 
Individuen  ßneinan^^ratossen ,  und  welche  eine  solphe 
fläche  in  zwei  Hälften  theilt,  von  welchen  die  eine 
dem  einen,  die  andre  dem  andern  Individuo  angehört, 
nennen  wir  dieDemarcationslinie  der  Individuen. 
Die  Gränze  der  beiden  Individuen  eines  Zwillinges 
kann  daher  auf  der  Oberfläche  des  Krystalles  ent- 
weder durch  Zwillingskanten  oder  durch  Demarca- 
tionslinien,  oder  durch  beide  zugleich  bezeichnet  seyn. 
Die  Zwillingkanten  sind  theils  ausspringend,  theils 
einspringend  (§.  3^),  und  einspringende  Kanten  über- 
haupt ein  Merkmal  der  Zusammensetzung,  weil  der- 
gleichen an  den  Gestalten  der  Individuen  nicht  vor- 
kommen kpiuien. 


Zweites    Capitel. 
Zwillinge  des  Tesseralsystemes. 

A.     Theorie. 

§.    667. 
Oooqi^^iycbe  B«sieiifl96«ii  zwisdi^n  den  H^vptamP  M4<^  \^, 

Wettn  wirklich  das  in  f.  561  nusgMprochmi^  €faBr 
setz  der  Zwilliagabildung  überhaupt  zum  Gnuide  liegt, 

14* 


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212         Angeivandie  KrystaUographie. 

so  werden  wir,  um  die  Theorie  der  Zwillingsbildang 
für  das  Tesseralsystem  insbesondere  in  ihrer  grossten 
AUgemeinheit  zn  ejitwickeln ,  von  der  Voraussetzung 
ausgehen  müssen,  die  Zwillingsaxe  sey  die  Flächen- 
normale irgend  eines  He^akisoktaSders  mOn.  Wir 
denken  beide  Individuen  um  einen  gemeinschaftlichen 
Mittelpunct,  von  gleichen  Hauptaxen,  und  das  eine 
gegen  das  andere  um  die  Zwillingsaxe  durch  180^ 
verdreht.  Das  nächste  und  wichtigste  Problem  ist 
nun,  die  Hauptaxen  des  einen  Individuums  11  in  Be- 
zug auf  die  Hauptaxen  des  andern  Individuums  I  aus- 
zudrücken, oder  dieselben  als  Linien  darzustellen, 
welche  uns  in  dem  Axensysteme  des  Individuums  I 
gegeben  sind. 

Die  Zwillingsaxe  falle  in  den  Octanten  der  po- 
sitiven Halbaxen  von  t,  und  sey  die  Normale  der 
Fläche 

^  +  iL  +  ,  =  i 
m         n 

so  werden  ihre  Gleichungen: 

n      m         '  m  ^       n 

und  ihre  Neigungswinkel  JT,  Y  und  Z  zu  den  Axen 
der  or,  y  und  z  bestimmen  sich  durch  folgende  Cosinus 

co,X=^,  eo#F=^,  *o#^=^ 

wenn 

Da  die  Drehung  des  Individuums  11  genau  durch 
180^  Statt  fand,  so  liegt  noch  jede  Hauptaxe  von  11 
in  der  Ebene  durch  die  gleichnamige  Hauptaxe  von  I 
und  durch  die  Zwillingsaxe;  hieraus  folgt,  dass  für 
jede  der  Axen  von  II  eine  der  Projectionsgleichungen 
der  Zwillingsaxe  gilt;  bezeichnen  wir  sie  daher  als 
die  Axen  der  x^^  y'  und  z\  so  wird  zuvörderst 


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Zufillingsirystalle.   Cap.IL  213 

für  Axe  der  ^ y =0 

•    -/■  ^ ;i^-*  =  « 

.       .      .     z' ^_X=0 

II  M 

Ferner  bildet  jede  der  Hanptaxen  von  11  mit  der 
Zwillingsaxe  denselben  Winkel  wie  die  gleichnamige 
Haaptaxe  von  I;  fuhrt  man  also  for  jede  derselben 
eine  zweite  Gleichung  mit  den  hypothetischen  Para- 
metern a  xmAß  ein,  so  findet  man  nach  bekannten  Re- 
geln die  Werthe  Ton  com  27,  cot  V  und  co$  Z\  wie  «.B. 

C9$X  =  ^^     -1— : n.  s.  w. 

and  erhält  ans  den  Bedingungsgleichnngen 

conX'  =  dof  JT 

CM  y  =  co#  F 

cotZ'  =  coiZ 
das  Yerhältniss  der  Grossen  a  nnd  /?.    Anf  diese  Art 
gelangt   man  endlich  auf  folgende   Gleichungen  der 
Axen  des  Individuums  II  in  Bezug  auf  die  Axen  des 
Individuums  I: 

Gleichungen  der  Axe  der  a/y 

^ +  ^  =  0 


m'^n^  +m^—n*    '    2«iii 

y-    ±   =0 
Gleichungen  der  Axe  der  y^, 

1-    —    X     =0 

«I 


Gkichnngen  der  Axe  der  z\ 

£.     _   iL 
n  «1 


=  0 


.        ^ ^  =  0 


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214         Angeipandte  KryMtdllographie. 

Man  darf  nur  in  diesen  Gleichungen  für  m  und  n 
die,  irgend  einem  besondem  Falle  entsprechenden,  na- 
merischen  Werthe  snbstitoiren,  um  sie  diesem  Falle 
XU  accomodiren. 

S.    568. 
En4es  ZwiltinfesgesetB. 

Bis  jetzt  sind  im  Tesseralsysteme  nur  folgende 

zwei  Stellungsgesett«  bestimmt  nachgewiesen  Worden  x 

i)  Die  ZwiUingsnxe  ist  eine  der  trigonalen  Zwi- 

«ohenaxen. 
2)  IKe  ZwillingHäxe  ist  eine  det  rhombischen  Zwi* 
schenaxen. 
Wir  wollen  nun  luvSrderst  das  erste  Gesetz  ge- 
nauer in  Betrachtung  ziehen. 

Da  die  trigonalen  Zwischenaxen  die  Flächennor- 
malen des  Okta6deri  sind^  dessen  eine  Fläche  durch 
die  Gleichung 

^  +  y  +  z  i=  1 
repräsentirt  wird,  so  setzen  wir  in  unsern  Gleichun- 
gen für  die  Axen  des  Individuums  II 

m  =  n  =  1 
und  erhalten  dann  folgende  Gleichungen  für  diese  Axen: 

für  die  Axe  der  ar' w  +  -|-=0,  y  —  z  ==0  (1) 

-  -      .       .    jr....|-+y  =0,^-2^=0(2) 

-  -      -       -     a:'....  ir —  ^  «0,  «  +  -J  äO  (3) 

Diese  drei  Systeme  von  Gleichungen  entsprechen 
aber  den  Normalen  der  flScheti 

^  +  3.-1=1 


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Zmamg9hry»talle.  Cap.II.  215 

weleke  drei  flächen  dei  TriakiioktaSders  20  sind; 
folglich  fallen  bei  diesem  Zwillingsgesetze 
dieHauptaxen  des  einen  IndiTiduums  in  die 
Normalen  dreier  Flächen  Ton20  des  andern 
Individunms  nnd  x^ice  vena;  oder  die  HexaSderflä- 
dien  des  einen  Individuums  sind  dreien  Flächen  von 
20  -am  andern  Individno  parallel. 

8.    669. 
TraiiafNnnaüoB  der  Coordinaten  des  Indiyidaimu  II. 

Wir  wollen  mm  anoh  die  Zwischenaxen  des  In- 
diridnoms  II  in  Bezug  auf  das  Axensystem  des  Indi- 
vidmims  I  fixiren.  Dazu  gelangen  wir  am  leichtesten 
mittels  der  bekannten  ISätze  über  die  Transformation 
der  Coordinaten.   Die  analytische  Geometrie  lehrt  näm- 
Heh,  dass,    wenn  wir  eine  m  Bezug  auf  das  Axen- 
system U  gegebene  Gleichung  so  darstellen  wollen, 
wie  sie  sich  auf  das  Axensystem  I  bezieht,^  für  die 
Coordinaten  07%  y^  und  z^  in  der  gegebenen  Gleichung 
folgende  Werthe  substitnirt  werden  müssen: 
^a^^xeoi(X'X)  +  yco$(X'Y)  +  zc9t{XZ) 
y'=  ^cof(r  X)  +  y  cof(y'F)  +  2:co#(F'Z) 
7f  =  xcoi{Z'X)  +ycot(Z'Y)  +zcoi{Z'Z) 
wenn  (JPJT),  {X'Y),  (X'Z)  die  Neigungswinkel  der 
Axe  der  x^  gegen  die  Axen  der  x^  der  y,  der  z  u.  s.  w. 
Da  nun  allgemein  für  eine  durch  die  Gleichungen 

aß  Y         0 

b«8tiBimte  Linie  die  Cosinni  der  Neigungawink^  X,  . 
Y  und  Z  gegen  die  Axen  folgende  sind, 

—        aS  ^        ßS  „        va 

so  werden  in  anserm  Falle 

eot{XrX)  =  -  -J- ,  cotiX  F)  =  I ,  eot{X'Z)  =  i 
co$(Y'X)=  ^,  co«(rF)  =  — f,  eoi(rZ)^  i 
eosiZ'X)»z>     \,cQt{Z'Y)=     ^,eoi(Z'Z)^-\ 


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216         Angewandte  KrystaUograp/üe. 

und  daher  die  zu  sobstitoirenden  Werthe  der  C!oordi- 
naten  js'y  y'  und  z'. folgende: 

x'  =  i{—  x  +  2s  +  2z) 

y  =  i(2a  —i/+2z) 

z'  =  i(2j;  +2^-  z) 

8.    570. 
Gleichungen  der  rhombischen  Zwischenaxen  des  Indiyidaams  IL 

Nachdem  wir  die  Transformation  der  Coordina- 
ten  des  Individuums  II  kennen  gelernt,  ist  es  ein 
sehr  leichtes  Geschäft,  die  Gleichungen  aller  möglichen 
Linien  und  Flächen  dieses  Individuums  auf  das  Axen* 
System  des  Individuums  I  zu  beziehen.  Was  nun  zu- 
vörderst die  rhombischen  Zwischenaxen  desselben  be- 
trifft, so  werden  solche,  auf  sein  eigenes  Axensystem 
bezogen,  durch  folgende  Gleichungen  repräsentirt: 
Axen  in  der  Ebene  jV,  .... 07^  =  0,  y'i2;'  =  0 

zV,  ....^^=0,  z'+ar'=0 

j//j z'=0,  4r'  +  y'  =  0 

Substituirt  man  fiir  a?^  y^  und  3/  ihre  aus  dem 
vorhergehenden  §.  bekannten  Werthe,  so  erhält  man 
folgende  transformirte,  d.  h.  auf  das  Axensystem  des 
Individuums  I  bezogene  Gleichungen  dieser  Zwischen- 
axen  * 

lx=  0  »  y+  z=0(4) 
AxeninderEbene/z'....    |__^^jj^  z-J=0  (5) 

jy=  0  ,  z+ar==0(6) 
^^-||-_Z=0.;r-f=0(7) 

Jz=  0  ,  «r+y=0(8) 
*y      •}|-^0,5f-i=0(9) 

Die  Gleichungen  (4) ,  (6)  und  (8)  sind  keine  an- 
deren, als  die  Gleichungen  dreier  rhombischer  Zwi- 
schenaxen  des  Individuums  I;  folglich  müssen  drei 


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Zwülingskrystalle.  Cap.  IL  217 

dieser  Zwischenaxen  des  einen  mit  dreien  des  an- 
dern IndiTiduoms,  oder  die  sechs  der  Zwilliagsaxe  par- 
allden  Flächen  des  Rhombendodekaeders  in  beiden 
Individuen  coincidiren. 

Die  Gleichungen  (5),  (7)  und  (9)  sind  keine  an- 
deren, ats  di«  Gleichungen  dreier  Flächennormalea 
der  Gestalt  404 ;  folglich  werden  die  sechs  gegen  die 
Zwiüingsaxß  geneigten  Flächen  des  Bhombendodeka^- 
ders  im  einen  Individuo  den  sechs,  an  den  Polen  der- 
selben Zwillingsaxe  gelegenen  Flächen  des  JDcosite- 
tra6ders  404  im  andern  Indiyiduo  parallel,  und  vice 
versa. 

§.    571. 

I  GleichoDgen  der  trigonalen  Zivischenazen  des  IndiTidaimis  IL 

I  Die  Gleichungen  der  trigonalen  Zwischenaxen  des 

Individuums  U  sind,  auf  sein  eigenes  Ax^nsystem  be- 
zogen, folgende: 

a/  —  y'  =  Oj  2^  — ;i/  =  0,  y'  —  z'  =  0 
a/—y'=zO,  z'  +  a;'  =  Oy  y'-|-z'  =  0 
aZ  +  ff'z^Oj  z'  — ^'  =  0,Y  +  ^  =  0 
a/  +  f  =  Oy  z'  +  j/  =  Oy  y'  —  z'^O 
Sabstituirt  man  für  w\  rf  und  z'  ihre  Werthe  aus 
§.  569,  so  erhält  man  folgende  transformirte,  d.  h.  auf 
das  Axensystem  des  Individuums  I   bezogene   Glei- 
chungen dieser  Zwischenaxen : 

X  —  y  =0,  z—  X  =0,     y  —  z  =0  (10) 

a;-y  =0,  4;-|.y  =  0,  y4.-|-  =  0(ll) 
4r-|.|.=0,  2:-^=0,  1-4-  2?  =0(12) 
:J-|.y=0,  z  +  ^  =  0,     y-z=0(13) 

Die  Gleichungen  (10)  sind  keine  anderen,  als  die- 
jenigen der  in  den  Octanten  der  positiven  Halbaxen 
fallenden  trigonalen  Zwischenaxe  des  Individuums  I ; 


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218         Angewuhdte  KrysiallograpMe. 

eine  UigMiale  Zwischenaxe  des  einen  coincidirt  also 
nit  einer  trigonalen  Zwischenaxe  des  andern  Indivi- 
duans,  wie  dies  schon  darch  das  Zwillingsgesetz  selbst 
ausgesprochen  ist,  da  ja  die  Zwillingsaxe  eine  der 
trigonaleki  Zwischenaxen  ist. 

Die  Glmehangen  (11),  12)  und  (13)  dagegen  ent- 
sprechen den  Flächenttormden  dreier  Flächen  des  Iko- 
sitetral^ders  505,  woraus  denn  folgt ,  dass  sechs  Ok- 
taederflächen an  dem  einen  Ladividuo  sechs  Flächen 
von  505  an  dem  andern  Individno  parallel  «And. 

8,    672. 
Gleichling  irgend  einer  Fläche  des  IndiyidunmB  IL 

Die  in  den  beiden  vorhergehenden  §$.  gelösten 
Probleme  lassen  sich  von  einem  allgemeineren  Ge- 
sichtsptmcte  anflEassen.  Weil  nämlich  die  Hanptaxen 
nnd  Zwischenaxen  nichts  anderes  sind  als  die  Nor- 
malen der  Flächen  von  <x>Ox>,  ocO  tmdO,  nnd  weil 
diede  Flächen  in  jedem,  nach  dem  ersten  Gesetze  ge- 
bildeten ZwHlinge  gewissen  Flächen  anderer,  reel-. 
1er,  und  nicht  blos  imaginärer*)  Gestalten  parallel 
werden,  so  wäre  es  woU  möglich,  dass  in  diesen 
Zwilfogen  die  Flächen  einer  jeden  Gestalt  siO»  des 
-einen  Indiridwuns  überhaupt  den  Flächen  irgend  an- 
derer Gestalten  des  zweiten  Individuums  parallel  wür- 
den. Hierüber  lässt  sich  leidit  entscheiden.  Es  sey 
nämlich  am  ]bdividuo  11  irgend  eine  Fläche  in  Bezug 
auf  sein  eigenes  Axensystem  durch  die  Gleichung 

m         n 
gegeben.    Man  substituire  nun  für  o;^,  jf^  und  z^  ihre 
Werthe  aus  §.  569,  so  erhält  man  die  transformirte. 


*)  imaginär  lind  aoldhe  Gestaken,  deren  AbkitongsnUeB  ir- 
mtioma  find. 


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Zi0Ülmg8kry8Udle.  Cap.II.  219 

d.  1l  in  Bezug  auf  das  Axensystem  I  ausgedruckte, 
Gleichung  derselben  Fläche,  wie  folgt: 

JEr(2Mit+2M--]t)4-y(2ifiJi4-2»— »»)+<2«»+2ii~ms>».8«iji 
welche  jedenfalls  einer  reellen  Fläche  entspricht,  wie 
auch  die  Vorzeichen  von  m  und  n  gewählt,  und  wie 
auch  die  Co^fßcienten  von  or,  y  und  7i  vertauscht  wer- 
den mögen,  d.  h.  mit  andern  Worten:  welches  Ton 
den  24  Gegenfläohenpaaren  der  Gestalt  mOn  am  In* 
diTiduo  n  auf  das  Axensystem  des  IndiTidnums  I  be- 
zogen werden  mag. 

Es  ist  daher  ein  allgemeines  Gesetz  dieser  Zwil- 
linge, dass  jede  Krystallfläche  des  einen  Individuums 
einer  reellen  (ob  ausgebildet  oder  nicht,  ist  gleich- 
gültig) Fläche  des  zweiten  Individuums  parallel  ist, 
und  vice  versa*). 


*)  ^  «fl  f&r  die  AnijrMidiiBg  4Set6r  Reraltate  bei  der  Barech- 
■mag  der  Zwifiinfilcsflten  -■•  dgi.  leltf  wichtig  iit,  mdit  nur  die 
Grösse,  sondern  anch  die  Lage  der  Parameter  za  kernen,  wel- 
die  die  Paralielflache  irgend  einer  gegebenen  Fläche  des  Indivi- 
dmuis  n  bestimmen;  so  seheint  es  zweckmässiger,  die  gegebene 
Gleichzog  allgemeiner,  etwa  in  der  Form 

fl  +  ^+Ü^i 

a         b  e 

ZQ  Grande  zu  legen,  worauf  sidi  in  der  Gleichung  der  Paralld- 
fläche 

P        q        9 
die  Parameter  p,  q  und  s  bestimmen«  wie  folgt: 

8abe 
^  "*■  2a6  H-  2ca  —  be 

8abc 
^  "^  2^c  +  206  —  ca 

8abe 


""  tea'+Ue-^mb 

Snbstitidrt  man  fOr  «,   &  und  e  ae,  dner  gegebenei  Fläche 

des  ladiyiduttits  H  entsprechenden  Parameter,  mit  gehöriger  Be- 

rü^uidrtigang  der  Vorzeichen ,  so  erhält  m&n  die  Werthe  Ton  p, 

q  mid  $  mit  unzweideutiger  Bestimmung  ihrer  Lage  In  den  positi- 


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220         Angewandte  Krystallographie. 

8.    573. 
Parallelfladieii  yon  mO». 

Führt  man  die  im  vorigen  §.  angedeutete  Yer- 
tauschung  der  Zeichen  durch,  so  erhidt  man  folgen- 
des Resultat: 

Die  Flächen  irgend  eines  Hexakisoktae- 

ders  mOn  am  einen  Individuo  sind  zu  je 

sechs  deuFlächen  vierer Hexakisokta6- 

der  am  andern  Individuo  parallel. 

Diese  vier  sechszähligen  Flächeninbegriffe  vonmOit, 

und  die  ihnen  im    andern  Individuo  entsprechenden 

vier  HexakisoktaSder    bestinmien  sich   auf  folgende 

Weise*): 

'  a)  Der  erste  Flächeninbegriff  ist  dasjenige  sechs- 
zählige  Flächensystem,  welches  mit  der  Zwil- 
lingsaxe  unmittelbar  zum  Durchschnitte  kommt, 
oder  in  dem  Octanten  der  positiven  Halbaxen 
liegt;  seinen  Flächen  sind  sechs  Flächen  des 
HexakisoktaSders 


Iren  oder  negativen  Halbaxen  der  x,  y  und  z.  Für  den  Octanten 
der  Zwillingsaxe  z.  B.  sind  a,  b  nnd  c  jedenfalls  positiv ,  und  ihre 
den  sechs  verschiedenen  Flächen  dieses  Octanten  entspredienden 
Wecthe  folgende: 


a 

b 

c 

Iste  Flache 

m 

n 

1 

2tc       -    - 

m 

l 

» 

Ste       -    - 

n 

m 

1 

4t6        -     - 

n 

1 

m 

6to       .    - 

1 

m 

^  n 

6te       -    - 

1 

n 

m 

Für  den  einen  Nebenoctanteu  ist  «»  für  den  sw^ten  b',  und 
für  den  dritten  c  nega^v  zu  nehmen. 

*)  Die  vier  Flädieninbegrifie  entsprechen  den  vier  Skalenoe- 
don,  als  deren  Combination  das  Hexakisoktaeder  erscheint,  vrenn 
es  nach  der  ZvrilHngsaxe  aufrecht  gestellt  vnrd^  vergl.  den  Anhang 
zur  reinen  Krystallographie. 


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Zmllingskrystalle.  Cap.II.  221 

2mm  +  2m  —  ii^2aim  +  2m  —  n 
2m  +  2n  —  «n   2mn  +  2»  —  m 
im  andera  Indiyiduo  parallel. 

b)  Der  zweite  FlächeiiinbegrijBr  begreift  diejenigen 
sechs  Flächen  aus  den  drei  Nebenoctanten,  wel- 
che mit  dem  ersten  FlächeninbegriSe  znm  Durch- 
schnitte kommen,  oder  die  ersten  Nebenflächen 
der  Flächen  tub  a;  seinen  Flächen  sind  sechs 
Flächen  des  Hexakisokta^ers 

2mn  +  2m  +  n^2mn  +  2m  +  n 
2Mn  —  2»  —  m    mn  +  2n  —  2m 
im  andern  IndiTiduo  paralleL 

c)  Der  dritte  FlächeninbegrijBf  begreift  die  Neben- 
flächen der  Flächen  tub  b,  oder  die  zweiten 
Nebenflächen  der  Flächen  $ub  a;  seinen  Flächen 
sind  sechs  Flächen  des  Hexi^kisokta6ders 

2mn  +  2»  -h  m^2mn  +  2n  +  m 
2mn  —  2m  —  n   mm  +  2m  —  2n 
im  andern  Individuo  parallel. 

d)  Der  vierte  FlächeninbegrüBT  endlich  begreift  die 
noch  jibrigen  Flächen  aus  den  N^benoctanten 
des  ersten,  oder  die  dritten  Nebenflächen  der 
Flächen  tub  a;  seinen  Flächen  sind  sechs  Flä- 
chen des  Hexakisoktaäders 

mn  +  2m  +  2n^mn  +  2m  4-  2n 
2mn  +  n  —  2m   2mn  +  m  —  2» 
im  andern  Individuo  parallel. 

§.    674. 
Parallelflächen  von  siOsi. 

Setzt  man  n  =  mj  so  verwandelt  sich  das  Hexa- 

kisokta^der  in  ein  Ikositetraßder,  und  die  vier  Flä- 

cheninbegrifie  des  vorigen  §.  modificiren  sich  wie  folgt: 

1)  Der  erste  Flächeninbegriff  wird  dreizählig,  und 


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222         Angewcaidte  Krystaüograpfüe. 

jede  seiner  Fläcben  einer  Fläclie  des  Triakis- 

okta^d^rs 

2m±i 

im  andern  Individfio  parallel;  ist  daher  «  =  4, 
so  werden  die  drei  um  die  ZwiUingsaxe  gelege- 
nen Flächen  ¥on404  des  einen  Individuoms  den 
drei  analog  liegenden  Flächen  von  oqO  des  an- 
dern parallel;  ist  «i^4,  so  werden  die  drei 
an  der  ZwiUingsaxe  gelegenen  Fläphen  von  mOm 
denjenigen  Flächen  des  TriakisoktaSders  paral- 
lel, welche  ihrer  Lage  nach  dem  zweiten  Inbe- 
griffe des  vorigen  §.  entsprechen. 

2)  Der  zweite  und  dritte  Flächeninbegriff  fallen  zu- 
sammen, nnd  bilden  den  sechszähligen  Inbegriff 
der  Nebenflächen  der  drei  vorhergehenden;  die- 
sen Flächen  sind  im  Allgemeinen  sechs  Flächen 
des  Hexakisokta^ders 

2m  +  3q2i» -h  3 

2m  —  3  m 
parallel,  in  dessen  Zeichen  jedoch  die  CoSffi- 
cienten  zu  vertimschen  sind,  wenn  «i^S;  ist 
«I  SS  3,  oder  »Oft  ac=  303,  so  wird  auch  die 
xweitid  Gestalt  sss  303;  ein  Resultat,  welches 
mit  der  in  §.  136  erwiluttea  Eigensehafi;  des  Tri- 

gondodekaSders  — ^  zusammenhängt,  dass  seine 

sechsflächigen  Ecke  faexagonal  sind. 

3)  Der  vierte  Flächeninbegriff  des  vorigen  9«  wird 
wiederum  dreizählig,  und  besteht  aus  den  drei 
Nebenflächen  des  vorhergehenden  sechszähligen 
Inbegriffs ;  seine  Flächen  werden  parallel  dreien 
Flächen 

des  IkositetraSders  ^    ■     ^O^         .^  wenn  m^  5 
2m  —  1   2«»  — 1 


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ZudUingatrystalle.  Cap.  IL  223 

des  Oktaeders O,  wenn  «  =  6 

des  TriakisoktaSders T-:rO*     -  -    tn>5 

«•  +  4     '  ^ 

*.    575. 
Parallelflächen  von  mO. 

Setzt  man  i»  =r  1 ,  so  verwandelt  sich  das  Hexa- 
kisoktaeder  in  ein  Triakisokta^der,  und  die  vierFlä- 
cbenimbegriffe  der  ersteren  Gestalt  modificiren  sich, 
wie  folgt: 

1)  Der  erste  Inbegriff  wird  dreizählig,  and  seine 
Flächen  entsprechen  dreien  Flächen  des  Ikosi- 
tetra^ders 

m+2^m+2 
im  andern  Individao. 

2)  Der  zweite  Flächeninbegriff  von  mOn  wird  eben- 
falls dreizäblig,  nnd  begreift  die  drei  Nebenflä- 
chen der  Torhergehenden ;  diese  werclen  dreien 
Flächen  des  Ikositetraßders 

4«t  +  1^4^  +  1 

«  —  2     «1  —  2 
im  ^andern  Individuo  parallel;   ist  also  m=2j 
so  entsprechen    die    erwähnten  Flächen  von  I 
dreien  HexaSderflächen  von  II,  und  vice  versa. 

3)  Der  dritte  und  vierte  Inbegriff  des  Hexakisok- 
taSders  bilden  gemeinschaftlich  einen  einzigen 
sechszähligen  Flächeninbegriff  des  TriakisoktaS- 
ders,  nämlich  denjenigen,  dessen  Flächen  die 
Nebenflächen  der  drei  vorhergehenden  sind^  ih- 
nen werden  sechs  Flächen  des  HexakisoktaSders 

im  andern  Individuo  parallel. 


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224         Angcivandte  KrystaUographie. 
i    576. 

Parallelfläch«o  Ton  ooOn. 

Wird  «I  =  oo,  so  verwandelt  sich  das  Hexakis- 
oktaSder  in  das  Tetrakishexaeder  ,.nnd  die  vier  Flä- 
cheninbegriffe der  erstem  Gestalt  modLGciren  sich,  wie 
folgt: 

1)  Der  erste  nnd  zweite  Inbegriff  von  mOn  fallen 
znsauimen,  nnd  bilden  den  an  der  Zwillingsaxe 
gelegenen  sechszähligen  Flächeninbegriff  von 
ooOn;  seinen  Flächen  sind  sechs  Flächen  des 
HexakisoktaSders 

2(n+t)o?(«+l) 
"»  —  2       211  —  1 

parallel^  welches  für  i»  =  2  wiedemm  in  das 
TetrakishexaSder  oo02  übergeht;  dieses  Resul- 
tat hängt  mit  der  bekannten  Eigenschaft  dieser 
Gestalt  znsammen,  dass  ihre  Kanten  gleiches 
Winkelmaass  haben,  nnd  folglich  ihre  sechsflä- 
chigen Ecke  hexagonal  sind. 

2)  Der  dritte  Flächeninbegriff  von  mOn  entspricht 
einem  einzigen  sechszähligen  Inbegriffe  von 
ooOji,  nämlich  demjenigen,  dessen  Flächen  die 
Nebenflächen  der  vorhergehenden  sind;  ihnen 
werden  sechs  Flächen  des  Hexakisoktaöders 

2i»-hl^j2ii-hl 


2{n  —  i)^n  +  2 
parallel,  dessen  Coßfficienten  für  ii>>4  vertauscht 
werden  müssen,    während   es  für  »  =  4  in  das 
Ikositetraäder 

übergeht. 

Der  vierte  Flächeninbegriff  von  mOn  entspricht 
in  ocO»  den  Parallelflächen  des  dritten  Inbe- 
griffes, und  giebt  daher  kein  besonderes  Resultat. 


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ZwUlingsirysialle.  Cap.  IL  225 

8.    577. 

Bereohntmg  der  ZwilHngduuiten. 
Dia  ZwilUngskaDten  lassen  sich  mm  sowohl  ihrer 
Lage  als  ihrem  Winkelmäasse  nach  leicht  bestimmen, 
da  wir  wissen,  dass  es  für  jede  Fläche  am  einen  In- 
dividuo  irgend  eine  reelle  Fläche  am  anderen  Indivi- 
dno  gieht,  welche  ihr  parallel  ist  Soll  nämlich  ir- 
gend eine  Zwillingskante  berechnet  werden,  so  be- 
stimmt man  zuvörderst  die  Gleichung  der  einen  Flä- 
che (des  IndiTidnnms  I)  unmittelbar  aus  ihrem  kry- 
stallographischen  Zeichen;  die  Gleichung  der  «weiten 
Fläche  (des  IndiTiduums  II)  bestimmt  man  vorläufig 
g^eichfiBUs  aus  ihrem  krystallographischen  Zeichen  in 
Bezug  auf  das  Axensystem  II,  transformirt  sie  aber 
hierauf  und  reducirt  sie  dadurch  auf  dasAxensysteml. 
Nun  lassen  sich  die  Gleichungen  beider  Flächen  nach 
den  bekannten  Regeln  der  analytischen  Geometrie 
eombiniren,  und  sowohl  die  Lage  der  Zwillingskante 
als  auch  ihre  Länge,  ihr  Winkelmaass  und  alles 
Uebrige  berechnen,  was  man  elewa  zu  wissen  wünscht*)« 

§.    678. 
Zweites  Zwillingsgesetz. 

Das  zweite  Zwillingsgesetz  (§.  568)  setzt  voraus,  dass 
die  Zwillingsaxe  eine  der  rhombischen  Zwischenaxen, 
oder  eine  Flächennormale  von  ooO  ist;  setzt  man  in 
den  Gleichungen  der  Axen  der  a;\  ff^  und  z^  des  §.  567 

m  =  oo  und  n  =  t 
so  erhalten  sie  folgende  Werthe: 

Axe  der  or',  . .  • .  y  =  0,  2:  =  0 

-  -     jf',  ....4r=±  0,  y2=  0 

-  -     z% AT  =  0,  z  =  0 


*)  Welchen  Vortli^  die  Resultate  der  Theorie  f&r  die  Zeich- 
aasg  der  Zwflüagskrjstalle  gew&hren«  sowohl  in  diesem  als  aach 
bcsonderi  in  den  ikbrigen  Krystallsystemen ,  wird  Jedem  einleocb- 
t«B,  der  neb  mit  Z^dimmgen  der  Art  beschäftigt  hat 

a  15 


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226^       Angewandte  lüystaUographie. 

Folglich  Goincidiren  die  Hanptaxen  beider  Individuell, 
jedoch  80,  dass  die  eine  ihre  Pole,  und  die  andern 
beiden  ihre  Lage  Tertamcht  haben»  Für  holo^driHche 
Gestalten  nnd  CombinatioDen ,  in  welchen  um  jede 
einzde  Hanptaxe  eine  voUkonunene  Symmetrie  nach 
der  Richtong  beider  andern  Hanptaxen  Statt  findet, 
giebt  daher  dieses  Stellnngsgesets  gar  kein  Resultat^ 
weil  das  eine  Individnnm  mit  dem  andern  in  allen 
seinen  Theilen  coincidiren,  und  folglich  ein  durchgän- 
giger Parallelismus  der  Axen  sowohl  als  der  Flächen 
Statt  finden  würde,  wodurch  der  Begriff  des  Zwillings-* 
krystalles  au%ehoben  ist.  Um  so  wichtiger  wird  die- 
ses Gesetz  für  die  semitesseralen  Formen,  deren  Zwil- 
linge grosstentheils  nach  ihm  gebildet  sind,  und  das 
Resultat  geben,  dass  sich  beide  Individuen  genau  in 
degenigen  Stellung  befinden,  in  welcher -sie  als  he- 
mi^drische  Complemente  oder  Gegenkörper  aus  einer 
und  derselben  holoedrischen  Crestalt  abzuleiten  sind, 
daher  man  denn  auch  das  aweite  allgemeine  Gesetz 
in  §.  661  geltend  machen  kann. 

Wie  dieHauptaxen  so  coincidiren  natürlich. auch 
4ie  beiderlei  Zwischenaxen,  wiewohl  auch  sie  ihre 
Lage  oder  doch  die  Lage  ihrer  Pole  yertauschen.  Das- 
selbe gilt  Ton  den  Flächennormalen  aller  möglichen 
Gestalten;  nur  werden  in  den  Zwillingen  parallelfla- 
chig-semitesseraler  Formen  die  flächentragenden*  Nor- 
malen des  einen  Individuums  mit  den  nicht  fiächen- 
tragenden  Normalen  des  andern,  in  den  Zwillingen 
geneigtflächig -semitesseraler  Formen  dagegen  die  fiä- 
chentragenden  Hälften  der  Normalen  des  einen  In- 
dividuums mit  den  nicht  flächentragenden  Hälften 
der  Normalen  des  andern  coincidiren,  und  vice  versa. 

Bei  dem  gewöhnlich  Statt  findenden  Falle  einer 
vollkommenen  Durchkreuzung  sind  die  Zwillingskaii-. 
ten  in  den  geneigtflächig  -  semitesseralen  ZwUlingeA 
ihrer  Lage  und  Grösse  nach  identisch,    ihrem  Win« 


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ZisdUmgskrystalle.   Cap.  IL  227 

kelmaasse  naeh  rappUmentttr  mit  danjeiiigen  Kanten 
der  resp.  holoidrifcben  Gestalt  oder  Combination, 
welche  in  die  normalen  Haaptichnitte  fallen;  in  den 
parallelflächig -semiteaseralen  ZwiUingen  dagegen  ih- 
rer Lage  und  Grdiie  nach  identiich,  ihrem  Winkel- 
maasse  nach  supplementär  mit  demjenigen  Kanten  der 
resp.  holoedrischen  Gestalt  oder  Combination,  welche 
in  die  diagonalen  Hauptschnitte  fallen  (§.71).  Das 
Netz  der  Zwillingskanten  ist  also  allgemein  in  dem 

mOift 
Zwillinge  2--^  identisch  mit   dem  Netze  der  Kan- 
ten By  in  dem  Zwillinge  SJ— 77-  1  dagegen  identisch 
aut  dem  Netze  der  Kanten  A  und  C  in  mOu. 

8.    578  a. 
Andere  Zwillingsgeaetze. 

Ganz  kürzlich  hat  Burhenne  auf  das  Daseyn  vie- 
ler anderer  Zwillingsgesetze  aufinerksam  gemacht, 
welche  sich  im  Gebiete  des  Tesseralsystemes  verwirk- 
licht finden  sollen ;  zugleich  hat  derselbe  die  Erschei- 
nung der  Zwillingsbildung  überhaupt  auf  gewisse  kry- 
stallonomische  Principien  zurück^fuhren  gesucht,  und 
dadurch  die  Bahn  zu  sehr  fruchtbaren  Untersuchun- 
gen über  diesen  Gegenstand  gebrochen^).  So  stellt 
er  z.  B.  unter  andern  Gesetzen  auch  folgendes  auf; 

Die  Zwillingsbildung  ist  allemal  möglich,  sobald 
die  Hauptaxen  des  einen  Individuums  den  Normalen 
dreier  isoparametrischer  flächen  des  andern  Indivi- 
duums parallel  sind. 

Machen  wir  diese  Bedingung  für  die  in  f.  667  ge- 
fondenen  Gleichungen  der  Hauptaxen  geltend,  so  fin- 


*)  Man  wird  daher  aoner  ansflilirlicheren  Arbeit  hierftber  oiit 
«Bi  ao  gröflserem  Interesse  entgegen  sehen,  da  eine  solche  jeden- 
Ms  mehr  Klarheit  In  der  Barstellung  gestatten  wird,  als  die  ger- 
dviagte  8kisze  in  Poggendorfißi  AnnaleD. 

15* 


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228         Angewandte  Krystailographie. 

den  wir  in  Uebereinstimmung  mit  Barbenne,  data 
solche  nicht  nur  in  den  beiden  bekannten  Fällen,  son- 
dern auch  jedenfalls  erfüllt  ist,   wenn  die  Zwillings- 

ax.e  der  Fläche  eines  HexakisoktaCders  von  der  Form 

I 

siO  ■ ^  entspricht,    oder  wenn  sm  =  si  +  ^  dann 

werden  nämlich  in  der  That  die  Gleichungen  der  drei 
Hauptaxen  isoparametrisch,  und  folglich  auch  Ihre 
Normalflächen  drei  Flächen  einer  und  derselben  Ge- 
stalt, allgemein  der  Gestalt  «Om  —  1. 

Ausser  diesen  Gesetzen  sollen  Jedoch  auch  noch 
die  vorkommen,  da  di^  Hauptaxen  des  einen  Indivi- 
duums in  drei  Linien  des  andern  Individuums  fallen, 
welche  die  Normalen  der  Flächen  swfrier,  ja  sogar 
dreier  verschiedener  Gestalten  sind,  wenn  sie  nur 
gleiche  Länge  haben.  Das  allgemeine  Gesetz  aller 
ZwOlingsbildungen  im  Tesseralsysteme  wäre  daher, 
dass  die  Hauptaxen  des  einen  Individuums  in  drei 
gleiohmaassige  Normalen  irgend  reeller 
Flächen  des  andern  Individuums  fallen,  und  vice  verta. 

B,    Beuchreibung  der  gewöhnUchetem  Zwiüinge, 

|.    679. 
Zwillinge  nach  dem  ersten  Gesetze. 

Wenn  die  nach  dem  ersten  Gesetze  verwachse- 
nen Individuen  durch  Juxtaposition  verbunden  sind, 
so  drückt  die  Mohs^sche  Formel:  Umdrehungsaxe  nor- 
mal, Zusammensetzungsfläcbe  parallel  einer  Fläche 
von  O,  den  Habitus  der  Zwillinge  so  vollkommen  aus, 
dass  es  zu  ihrer  richtigen  Vorstellung  keiner  weite- 
ren Bestimmung  bedarf.  Auf  diese  Weise  finden  sich 
z.  B.  sehr  häufig  die  Oktaeder  des  Alauns,  Spinells, 
Magneteisenerzes,  Automolithes,  Silbers,  Kupfers,  der 
Zinkblende;  Fig.  608.  Die  Individuen  sind  jedoch  fast 
immer  verkürzt,  erscheinen  daher  als  tafelartige  Seg- 
mente des  Oktaeders,  und  die  Zwillinge  selbst  wie 


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Zwillingskrystalle.    Cap.IL  229 

Fig.  609  und  610.  Dieser  Erscheinungsifeiae  ent- 
spricht  auch  die  Haüjsche  Consfriiction,  zufolge  weU 
eher' Juan  ein  Oktaeder  durch  einen  seiner  Fläche 
parallelen  Schnitt  halbiren,  und  die  eine  Hälfte  ge-  ' 
gen  die  lindere  durch  180^  oder  60^  verdrehen  soll, 
ohne  die  gegenseitige  Berührung Jn  der  Schnittfläche, 
aufzuheben.  Wenn  die  Kanten  des  Oktaeders  durch 
die  Flächen  des  Rhombendodeka^ders  abgestumpft 
sind ,  so  fallen  die  zwölf,  der  Zwiliingsaxe  parallelen 
Abstumpfnngsfläcfaen  beider  Individuen  paarweis  in 
eine  Ebene.  Zuweilen  wiederholt  sich  die  Zusam- 
mensetzung sowohl  mit  geneigten  Zusammensetzungt- 
flächen,  wie  in  Fig.  611,  als  auch  mit  parallelen  Zu- 
sammensetzungsfiächen.  Die  Zwillingskanten  messen 
141*  3'  28*^  und  218^  66'  ^2*. 

Die  Hexakisokta^der  des  Diamantes  kommen 
gleichfalls  nach  diesem  Gesetze  verwat^sen  vor,  und 
unterliegen  dabei  einer  so  starken  Verkürzung,  dass 
nicht  selten  von  jedem  Individuo  nur  eines  der  secbs- 
zähligen  Flächensysteme  zu  sehen  ist,  und  der  ganze 
Krjstall  das  Ansehen  einer  flachen  ditrigonalen  Py- 
ramide gewinnt,  welche,  wenn  ihre  Pole  durch  die 
Flächen  des  Oktaeders  abgestumpft  sind,  wie  Fig.  607 
erscheint.  Doch  sind  gewöhnlich  noch  die  zunächst 
anliegenden  Flächen  der  Neben  -  und  Nachbarflächen- 
gysteme  vorhanden,  wodurch  sich  einspringende  ZwU- 
lingskanten  ausbUden. 

§.  580. 
Fortsetzung. 
Auch  das  am  gediegenen  Kupfer  vorkommende, 
and  in  Flg.  612  abgebildete  TetrakishexaSder  cx^02  ist 
der  Znsammensetzung  nach  dem  ersten  Gesetze  un- 
terworfen; beide  Individuen  sind  durch  Juxtaposition 
verbunden  und  dergestalt  verkürzt,  dass  gewöhnlich 
nur  ihre  gegenüberliegenden  sechszähligen  Flächensy- 
iteme  wahrzunehmen  sind;  Fig.  613.     Der  Zwilling 


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230         jingewandte  KrystaUogruphie. 

erhält  das  Ansehen  einer  hexagonalen  Pyramide,  de- 
ren Polkante  143^  7' 48%  weil  die  sechsflächigen  Ecke 
Von  oc02  hexagonal  sind  (§.  123).  Zuweilen  kommen 
jedoch  auch  einspringende  Winkel  vor,  wodurch  diese 
Deutung  der  am  gediegenen  Kupfer  vorkommenden 
hexagonalen  Pjiramiden  gerechtfertigt  wird,  da  sie 
sich  ausserdem  auch  durch  eine  ^osse  Verkürzung 
eines  einzelen  Individuums  in  der  Richtung  einer  tri- 
gonalen  Zwischenaxe  erklären  lassen  würden. 

Die  Zinkblende  zeigt  diese  Zusammensetzung 
nicht  nur  in  den  Krystallea  mit  zwei  vorherrschen* 
den,  und  im  Gleichgewichte  ausgebildeten  Tetraedern 

f  ^  .—- ^  und  dann  häufig  mit  Wiederholung),  sondern 

auch  in  den  «Krystallen  mit  vorherrsdiendem  Rhom- 
bendodekaßder,  ja  sogar  in  derben  Massen,  aus  de- 
nen sich  dann,  wegen  der  nach  ooO  Statt  findenden 
Spaltbarkeit,  ZwilUngsformen  wie  Fig.  615  heraus- 
schlagen lassen.  Dieselbe  Form  findet  sich  auch  an 
den  Rhombendodeka^dem  des  Diamantes,  welche  oft 
so  stark  verkürzt  sind,  dass  die  sechs  der  Zwillings- 
axe  parallelen  Flächen  beider  Individuen  verschwin- 
den, und  der  Zwilling  als  eine  stumpfe  trigonale  Py- 
ramide erscheint. 

303 
Die  Combination  ocO.-^ ,  welche  zumal  an  der 

braunen  Zinkblende  nicht  selten  vorkommt,  ist  fast 
immer  zwillingsartig  ausgebildet,  so  dass  sie  nicht 
wie  in  Fig.  616,  sondern  wie  in  Fig.  617  erscheint, 
indem  zwei  Individuen  nach  dem  ersten  Gesetze  durch 
Jlixtaposition  verbunden  sind.  In  der  Regel  erscheint 
dieser  Zwilling  bOj  wie  ihn  Fig.  617  darstellt,  als 
scheinbar  einfacher  Krystall,  indem  das  eine  Indivi- 
duum um  ij  das  andere  um  ^  verkürzt  ist,  daher 
man  sich  ihn  am  deutlichsten  nadi  Haüys  Wei^e  con- 
struiren  kann,  indem  man.  das  in  Fig.  616  abgebildete 


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Zwilüngsirystalle.   Cap.II.  231 

ladividaiim  mich  der  Bioktung  des  in  einer  Ebene  lie* 
genden*)  Kantennetoes  «&?<ii^  sertchneidet,  und  dag 
eine  Segment  gegen  das  andere  um  180"*  oder  60^ 
verdreht 

Die  IkositetraSder  303  des  gediegenen  Goldes 
kommen  anf  ähnliche  Art  verwachsen ,  nnd  in  ihrer 
Verwachsung  verkürzt  vor,  so  dass  man  sich  vorstel« 
len  kann,  ein  und  dasselbe  Individuum  sey  parallel 
einer 'Fläche  von  O  halbirt,  und  die  eine  Hälfte  ge- 
gen die  andere  um  180^  oder  60^  verdreht  worden; 
Fig.  614«  Die  kleineren  Flächensegmente  e  beider  In- 
dividuen bilden  einspringende,  die  grösseren  Flächen« 
Segmente  a  aussp ringende  Winkel  von  löQ""  57^ 

f.    581 

Fortietzang. 

Die  nach  dem  ersten  Gesetze  gebildeten  Durch- 
kxeuzungszwillinge  lassen  sich  am  anschaulichsten 
nach  folgender  Formel  beschreiben:  Beide  Individuen 
haben  eine  trigonale  Zwisehenaxe  gemeinschaftlich, 
das  eine  ist  gegen  das  andere  um  diese  Axe  durch 
S8(f  oder  &(f  verdreht  Auf  diese  Art  kommen.  Je- 
doch selten,    die  Oktaäder  des  Magneteisenerzes  so 

wie  die  oktaSderfthnlichen  Individuen  -^^ — r-  der 
Zinkblende  vor;  Fig.  618. 

Die  Combination  O.ooOoo  des  Bleiglanzes  findet 
sich  nicht  selten  in  Zwillingen  dieser  Art,  und  zwar 
pflegt  dann  Jedenfalls  eine  starke  Verkürzung  der  In- 
dividuen in  der  Richtung  der  Zwillingsaxe  Statt  zu 
finden;  Ftg.  U9. 

Die  ELeiiaäder  des  Flussspathes,  Blei^anzes,  Eisen- 
kieses und  Buntkupferkieses  kommen  gleichfalls  nach 


*)  Die  CoBbinatiomkanten  beider  GettaHen  ftind  nämBch  recht- 
ivisUig  auf  ^ea  Kaptea  4lea  Rhombeiidoilekaeders. 


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232         Angewandte  KrystaUograp}ue* 

diesem  Gesetze  Terwachsen  Tor{  doch  tritt  4ie  Regel- 
mässigkeit  dieser  ZnsammeiiSetzaiig,  xamal  bei  an- 
gleichmässiger  Ausbildung  beider  Individuen^  nidit 
immer  sehr  auffallend  hervor;  Fig.  620;  stellt  man  den 
Krystall  nach  der  Zwillingsaxe  aufrecht,  so  lassen 
sich  die  einspringenden  Zwillingskanten  als  geneigte 
nnd  horizontale  unterscheiden;  jene  messen  228^  lif 
23^,  diese  250^  31'  W. 

Um  so  regelmässiger  sind  die  Zwillinge  der  Rhom- 
bendodekaöder  des  Sodalites  vomLaacher  See  gebil* 
det,  welche  sich  im  Zustande  einer  so  voUkommeneo 
Durchkreuzung  finden ,  dass  sie  der  2«eichttang  in 
Fig.  621  an  Regebn&ssigkeit  wenig  nadistehen.  Dte 
der  Zwillingsaxe  parallelen  Flächen  beider  Individuen 
fallen  paarweis  genau  in  eine  Ebene,  ohne  alle  An- 
deutung einer  Demarcationslinie  ,*  während  die  gegen 
dieselbe  Axe  geneigten  Flächen  einspringende  Zwil* 
lingskanten  bilden;  gewöhnlich  ist  der  Ejrystall  in  der 
Richtung  der  Zwillingsaxe  säulenartig  veHängert. 

EndUch  kommen  auch  die  Krystalle  des  Fahler- 
kes  oder  tetraSdrischen  Kupferglanzes  nach  dem  «er- 
sten Gesetze  in  gegenseitiger  Durchwachsnng  vor. 
Die  einfachste  Form  einer  solchen  Durchwachsung 
zweier  Tetraeder  ist  in  Fig.  623  dargestellt,  während 
Fig.  622  einen  derartigen  Zwilliog  der  Combination 

O     ^202  .. 

-^-.ooO.-^  vorstellt. 

§.    582. 
Zwillinge  nach  dem  «weiten  Gesetae. 

Nach  dem  zweiten  Gesetze,  welches,  wie  bereits 
erwähnt  wurde,  nur  für  die  semitesseralen  Gestidten 
oder  Combinationen  zu  einem  Resultate  fuhren  kann, 
sind  die  schönen,  zuerst  von  Rom6  de  Tlsle  erwähnten 
Zwillinge  des  hexaSdriscben  Eisenkieses  gebildet^  in 
welchen  sich  gewöhnlich  zwei  Exemplare  des  Penta- 


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ZwüüngshryataUe.    Cap.  IL  233 

oo02 
gondodekaSders  — ^,   oder  aach  der  Coiabinationea 

— -*.ocOoo  oder  .  so  Tollkommea  darcb- 

Ireusen,  daM  sie  in  der  Ersdieinong  oft  nur  wenig 
▼on  der  Regelmässigkeit  des  Bildes  in  Flg.  627  ab« 
weichen.    Anf  der  Insel  Elba   findet  sich  anch  die 

Combination  — ^.O.— ;r —  nach  demselben  Gesetze  der 
-^  2 

krenxweisoi  Verwachsung  sehr  schön  in  beiden  6e- 
genkltepem  ausgebildet;  wären  die  Individuen  von  ab- 
solut gleichen  Dimensionen,  und  Ton  vollkommener 
Regelmässigkeit,  so  würde  dieser  Zwilling  wie  Fig. 
628  erscheinen,  in  welcher  jedoch  die  Flächen  des 
Pentagondodekaäders  weggelassen,  und,  zur  deutli- 
cheren Unterscheidung  beider  Individuen,  nur  die  dem 

einen  Individuo  angehSrigen  Flächen  von  ——  mit 
einer  ihrer  Streifung  entsprechenden  Schraffirung  ver- 
sehen sind.    Werden  in  der  Combination  — ^.ocOoo 

die  Flächen  des  Hexaeders  mehr  vorherrschend,  so 
erscheint  der  Zwilling  wie  in  Fig.  630  mit  der,  durch 
die  Schraffirung  angedeuteten  Streifung  der  HexaS- 
derflftchen.  Diese  letzteren  Flächen  könhen  endlich 
so  vorherrschend  werden,   dass  sie  die  Flächen  von 

-^  fast  ganz  verdrängen,  und  der  Zwilling  in  ein 

Hexaäder  übergeht,  an  welchem  nur  noch  die,  den 
Diagonalen  der  Flächen  entsprechenden  Suturen  der 
Streijfung  die  zwillingsartige  Zusammensetzung  beur- 
kunden würden;  Fig. 631. 

Die  geneigtflächig -semitesseralen  Formen  desDia- 
mantes,     welche   unter  andern  als   die  Combination 

2-.— 5"  oder  — ^. —  s-  erscheinen,  finden  sich  in  voll- 


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234         [Angewandte  KrystaUographie. 

kommenen  Diirchkrraziuigszwilliiigeii ,  wie  Fig.  625 
und  626,  deren  einfachste  Fonn  ein  Aggregat  zweier 
sich  rechtwinklig  kreuzender  Tetraeder  ist;  wie  sol* 
ches  in  Fig.  624  dargestellt  und  am  Fahlerze  und  Dia* 
mante  wirklich  beobachtet  worden  tf  t. 

f.    583. 
fiigenth&mliche  ZwiUingtbildimg  tm  Granate. 

Breithaupt  hat  neulich  einen  Zwilling  am  Granate 
beobachtet,  welcher  das  sehr  merkwürdige  Gesetz  zu 
zeigen  scheint  ^  dass  eine  trigonale  Zwischenaije  des 
einen  IndiTidaums  einer  Hauptaxe  des  zweiten  Indi- 
viduums parallel  ist,  und  vice  veria\  Fig.  629»  Lei* 
der  sind  jedoch  die  vorhandenen  Krystalle  zu  Mes- 
sungen mit  dem  Reflexionsgoniometer  nicht  geeignet; 
daher  man  wohl  auch  dieses  Gesetz  vor  der  Hand 
nur  als  eine  wahrscheinliche  Hypothese  zu  betrach- 
ten hat;  um  so  mehr,  weil  es  mit  dem  in  |.  561  auf- 
gestellten Gesetze  in  Widerspruche  ist 

Es  mfisste  nämlich  eine  der  durch  ihre  Gleichun- 
gen in  §.  567  bestimmten  Axen  der  ar%  jf^  oder  7f  des 
Indiriduums  H  mit  einer   der    trigonalen  Zwischen* 
axen  des  Individuums  I  coincidiren,  deren  Gleiehungea 
0?  — jr  =  0,  z~4r  =  0,  jf  — ar=0 

Nun  wefden  die  Gleichungen  der  Axe  der  m*  durch 
die  Voraussetzungen 

»  =  1 
und  2m^  —  1  s  3«! 
diezer  Forderung  Genüge  leisten;  aber  dann  wird 
M  =  4(1  +  ^).  Da  nun  für  «  =:=:  1  das  Hexakiz- 
Oktaeder  mO»  in  ein  TriakisoktaSder  mO  übergehe 
so  würde  die  hypothetische  ZwilUngsaxe  der  Flächen- 
normalö  eines  TriakisoktaSders  von  irrationaler 
Ableitungszahl  entsprechen. 

Aus  den  Gleichungen  der.  Axe  der  y^  folgt  ganz 
dasselbe  Resultat. 


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ZiviUingskrystalle.  Cap.  IIL  235 

In  den  Gleichungen  der  Axe  der  z'  endlich  tnrd 
obige  Forderung  dnrch  die  Voraussetzungen 
n  =i  m 
und    «1^— 2  =  2m 
erf&llt;  nber  dann  wird  m  =  1  +  ^.    Da  nun  für 
n=:m  das  Hexakisokta^der  mOn  in  ein  IkositetraS* 
der  lüOsi  übergeht,  so  würde  die  hypothetische  Zwil-' 
Bngsaxe  auch  die  Flächennormale  eines  IkositetraS- 
ders  Ton  irrationaler  Ableitungssahl  seyn  können. 

Da  i  und  ^  Nähemngswerthe  Ton  i  +  ys  sin^ 
so  entspricht  Tielleicht  die  Zwilüngsaxe  der  Flädten^- 
normale  von  40  oder  40|^,  ^O  oder  ^O^;  im  er* 
sten  Falle  beträgt  dar  Neigungswinkel  der  fast  par^ 
allel  erscheinenden  Hauptaxe  des  einen  und  der  tri- 
gonalen  Zwischenaxe  des  andern  IndiTidumns  1^  8'4, 
im  xwriten  Falle  (f  18^ 


Dritte»    Capitel 
Zwillinge  des  rhombischen  Systemes*). 

A.     Theorie. 

f.    684. 
BuitiiiiMinf  der  Axtn. 

Bei  der  Entwicklung  der  Theorie  der  Zwillings« 
krystalle  im  rhembisehen  Systeme  haben  wir  von  der 
Annahme  aoszugehen,  dass  die  Flächennormale  irgend 
einer  rhombischen  Pyrnnide  von  dem  Y erbäkmsse  der 
Dimensionen  aibie  als  Zwillingsaxe  auftrete. 


*)  Da  die  Theorie  der  ZwiÜinge  des  rhombischen  Systemea  ^ 
die  Theorie  aller  triAetrisehen  orthometriichen  Systeme  begreift, 
•0  hielt  ich  es  für  zweckmässige  das  rhosibische  System  dem  te- 
tragonalea  Systesie  ▼oraqgehc»  zu  lassen. 


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236         Angewandte  KrystaUographie. 

Es  BQj  nun  die  Gleichung  einer  fläche  dieser  Py- 
ramide : 

a         0    *     c 
so  sind  die  Gleichungen  der  Zwillingsaxe  N: 

-—-  — •  -*—  «,_  ^jj  — -  — «.  -i*^  ^a  \j^  — —  •— —  •— —  «^  \ß 
0  a  a  c  c  » 

Die  Neigangswinkel  JT,  Y  and  Z  der  Zwillings- 
axe  gegen  die  Axen  der  x^  g  und  r,  von  welchen  die 
erstere  immer  als  Hanptaxe  gelten  soll,   bestimmen 

sich 

^      bc  ^^      ca  n      ob 

coiX  =  jgj  eoiY=-jf^  co#Z  =  ^ 

wa  

Das  aweite  Individuum,  dessen  Axen  wir  als  Axen 
äer  x^i  y*  und  z'  bezeichnen  wollen,  coincidirt  vor 
der  Drehung  mit  dem  ersteren,  da  beide  um  densel- 
ben Mittelpunct  in  paralleler  Stellung  vorausgesetzt 
wurden.  Nach  der  Drehung  fällt  jede  seiner  Axen 
noch  in  die  Ebene  durch  die  Zwillingsaxe  und  die 
mit  ihr  gleichnamige  Axe  des  Individuums  I,  also  die 
Axe  der  x^  in  die  Ebene  Nx,  die  Axe  der  y^  in  die 
Ebene  Ny,  die  Axe  der  z'  in  die  Ebene  Nz.  Ferner 
bildet  jede  dieser  Axen  mit  der  Zwillingsaxe  densel- 
ben Winkel,  wie  die  gleichnamige  Axe  des  Indivi- 
duums L  Aus  diesen  Bedingungen  ergeben  sich  fol- 
gende Gleichungen  der  Axen  des  Individumns  O  iii 
Bezug  auf  das  Axensystem  des  Individuums  I: 

Axe  der  x% 

»  «         n 


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Zwilling$kry stalle.    Cap.  111.  23T 

Axe  der  y', 


Axe  der  2^, 


,m        e 


&        a 


^      ^  +  _iL.  =  0 

welche  Gleichungen  also  dem  allgemeinsten  Gesetze 
entsprechen,  da  die  Zwillingsaxe  die  Nonpale  irgend 
einer  Pyramidenfläche  ist. 

f.    585^ 

Transformation  der  Coordinaten. 

Da  dieses  allgemeinste  Gesetz  in  der  Natur  un« 
ter  andern  für  gewisse  Zwillinge  des  Staurolithes  und 
Kupferglanzes  Terwirklicht  ist,  so  müssen  wir  die 
ihm  entsprechenden  Transformationen  der  Coordina- 
teo  bestimmen.  Dazu  brauchen  wir  die  Cosinus  der 
Neigungswinkel  der  Axen  der  or',  ff  und  z'  de»  Indi- 
Tiduums  II9  gegen  die  Axen  der  Xy  y  und  z  des  Indi- 
viduums!, welche  wir  mit  (XJf),  (XF),  (JT^Z),  (rJT) 
o.  8.  w.  bezeichnen  wollen.    Diese  Cosinus  sind  fol« 


gende: 


a«&^  +  c»g»-&^c« 
co${XX)  = jgi- 

,«.«^  2<iJc* 

eoi{rY)  =:         --gr- 
coiirZ)  =  --gr- 


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239         jingewcmdte  KrystaUographie. 
eo${TZ)  ^  -^5- 

co.iZ'Y)  =  H^ 

co${Z'Z)  =s ^ ^1^ 

wenn  oänlich 

a»i»  +  c*a«  +  i*c*  s=  J!/» 

Mittels  dieser  Cosinos  lassen  sich  leicht  die  Sab- 
stitaenden  der  s'y  y*  and  z'  bestimmen,  welche  in  ir- 
gend eine  Function  tfis^^if)  gesetzt  werden  müssen, 
um  selbige  als  ^{xyz)  danostellen;  es  wird  nämlich 

«'= j^[— (o*  J*  +  c*a*— i,»c»)a; + 2«ic*  y + 2<ih^ci\ 

^=^[2aic»*— (a»«*+Ä*c»— c*a*)y+2«»icz] 

z'=^[2ai»c;F+2a**cy— (c«a* +  Ä»c»  — a»4»)r] 
Ist  daher  im  IndiTiduom  11  irgend  eine  Fläche 

o'  +  4'  +  c'  —  * 
gegeben,   so  bestimmen  sich  in  ihrer  anf  das  Axen- 
system  des  Individuums  I  bezogenen  Gleichung 

die  Parameter  f,  q  und  «,  wie  folgt: 

a'ye'M* 

P—  2abc(bb'  +  ec')a'^{aH*  +  c»«*  —  4»c')4V 

'  °°  2aic(cc'  +  iwiO*'  —  («***  +  **«*  ~ c'«*)c'o' 

g^&VilP 

*  —  2abc(fiar  +  U')<f  —  (Ca*  +  4»c*  —  a*«»)a'*' 


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'  Zwülingskrysialle.    Cap.IIL  230 

f.    586. 

Weil  aber  vermöge  der  krjstallographischen  Ab- 
leitang  alle  Grestalten  einer  Krystallreihe  aus  der  resp. 
Gmndgestalt  abzuleiten  sind,  so  ist  allgemein,  wenn 
ü\h\c  das  Yerhältniss  der  Dimensionen  der  Gmndge- 
stalt)  in  den  Resultaten  der  beiden  Torhergehenden  ||, 
ma^  nh  und  rc  statt  a^  h  und  c 
wfa^  Wh  und  t*c  statt  a\  1/  und  c^ 
Bu  setzen,  um  dieselben  Resultate  auf  eine  unsrer 
krystallographischen  Bezeichnung  unmittelbar  entspre- 
chende Art  darstellen  zu  können. 

Wenn  nämlich  in  irgend  einer  rhombischen  Kry- 
stallreihe von  den  Dimensionen  a\h\c  die  Normale 
der  Fläche  irgend  einer  Pyramide  mFh,  aUgemein  also 
der  Fläche 

iL  +  X  +  £  =  i 

mm        nh        rc 
als  ZwiUingsaxe  auftritt,    so  werden  die  Axen  de» 
einen  Individuums  in  Bezug  auf  die  Axen  des  andern 
durch  folgende  Gleichungen  repräsentirt: 
Axe  der  j/: 


s 

+ 

y 

= 

0 

A' 

2Mft 

r»o*c* 

iL 
re 

— 

z 

=  0 

Axe  d^r  y': 

s 

+  f 

= 

0 

Umnr^abc* 

«# 

% 
ma 

— 

£   — 

rc 

:0 

Axe  der  z': 

X 

— 

JL: 

BtO 

z 

+ 

X 

- 

0 

2m«i 

«rai*c 

V 

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240         jingeipandte  KrystcUlographie. 
wo  nftmlich 

Die  Sabstttaenden  der  Coordinatea  in  den  Glei- 
chungen irgend  gegebener  Puncte,  Linien  oder-Flächen 
des  einen  Individuums,  um  solche  auf  das  Axenay- 
Stern  des  andern  Individuums  zu  beziehen,  werden: 

Of'  =r  ^[—  A^a;  +  2mnrabc(ref/  +  «iz)] 
/ä  ^[—  B*y  +  2mni^abe{maz  +  rex)} 

^  =  -gzl—  C*^  +  ^immahc{nbx  +  «uiy)] 

in  Welchen  Ausdrücken  A^^  B^  und  C^  ihre  vorher* 
gehenden  Werthe  haben,  während 

Endlich  bestimmen  sich  für  irgend  eine  Fläche 

— -    4-   jL   -4-   —  =r  1 

des  einen  Individuums,  in  ihrer  auf  das  andere  Indi- 
viduum bezogenen  Gleichung 

X    ,     a         z 

—  +  —  +  —  =  1 

pa  ^  qb  ^  $c 

die  Coäfficienten  />,  q  und  t,  wie  folgt:    - 

'mVr^ilf^ 

P  ~  2««r(iMi'Ä*  +  rr'c^)m'a^  ~  »V;.!» 

stVr^Jf' 

^        2mnr(rr'c^  +  mm'a^)n'b^  —  Ksi'Ä* 

^^ m'nVM'^ 

Diese  Werthe  beziehen  sich  zunächst  auf  die 
Fläche  im  Octanten  der  Zwillingsaxe;  setzt  man  sno- 
eessiv  m\  %'  und  r^  negativ,  so  eriiält  man  die  Wer^ 
the  von  /»,  q  und  t  für  die  drei  Flächen  in  den  Ne- 
benoctanten«  Da  übrigens  vermöge  unsrer  Ableitungs- 


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ZwUlingstrystalle.    Cap.IIL  241 

metbede  immer  einer  der  beiden  CoiSfficienten  q  oder 
#  aich  =  1  und  keiner  <C  1  bestimmen, moss,  so  ist 
jedenfalk  p  und  der  grossere  der  beiden  andern  CoS& 
ficienten  durch  den  kleineren,  und  dieser  durch  sich 

selbst  zu  dividiren;  die  Quotienten  -^und-*,  oder  ^ 

$  #'  q 

Hud  —  sind  unmittelbar  die  Ableitungszahlen  derjeni- 
gen Gestalten  des  Individuums  I,  welchen  die  Paral- 
lelflächen der  im  Individuo  II  gegebenen  Flächen  an-iH 
geboren.  Ist  t  <«^  g,  so  wird  diese  Gestalt  eine  ma-* 
krodiagonale,  ist  «>>  jr,  so  wird  sie  eine  brachydia- 
gonale  Gestalt. 

§.    587. 
GewöhnKchstes  Zwillingflgesetz  Zwillüigsaxe  Normale  TonooP. 

Wiewohl  Fälle ,  da  die  ZwiUingsaxe  einer  Pyra- 
midenfläch^  entspricht,  Torkonimen,  so  sind  doch  die 
meisten  Zwillinge  dieses  Systemes  nach  einem  von 
folgenden  drei  Gesetzen  gebildet: 

Die  Zwillingsaxe  ist 

1)  die  Normale  einer   Fläche  des  verticalen  Pris- 
mas ooP, 

2)  die  Normale  einer  Fläche  des  horizontalen  Pris«^ 
mas  Poe,  / 

3)  die  Normale  einer  Flasche  des  horizontalen  Pris- 
mas Poo. 

Da  die  aufrechte  Stellung  der  rhombischen  Ge« 
stalten  willkürlich  nach  jeder  der  drei  Axen  gewählt 
werden  kann,  so  Hessen  sich  eigentlich  diese  drei 
Gesetze  auf  ein  einziges  zurückführen;  jedoch  scheint 
es  wegen  solcher  KrystaUreihen,  in  welchen  zwei 
dieser  Gesetze  zugleich  verwirklicht  sind,  vortheil- 
kafiter,  sie  als  besondere  Gesetze  darzustellen. 

W>as  nun  das. erste  und  häufigste  Gesetz  betrifft, 
da  iie  Zwillingfiaxe .  die  Normale  einer  Fläche  des 
n.  16 


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242        Angewandte  KrysiaUographie. 

rar  GruAdgestait  gehörigen  verticalea  Prismas  (X>P 
ist,  so  haben  wir  zur  Auffindung  der  dasselbe  betref- 
fenden Resultate  in  den  Ausdrücken  des  {.  586 

M  =s  OQ  und  n  =  r  =  1 
XU  setzen,  und  erhalten  dadurch  folgende  Bestinimnn-. 

gen: 

Gleichungen  der  Axen  des  einen  IndiFiduums 

in  Bezug  auf  das  andere: 

Axe  der  ^, . . . .  jf  =0,    z  ==  0 

*      Axedery',....a?  =  0,  j^+   -^    =:=  0 

Axederz';...-4r==0,    ^^-   -—l-^  =  0 

Substituenden  derCoor^aten  x\  ^  und  z'i 
X'  Ä  —X 

Co^fficienten  p^  q  und  t  in  der  transformir- 
ten  Gleichung 

-  +  ■^  +  -  =  1 
pa      qb^  sc 

einer  fliehe,  welche  in  dem  andern  hdividno  durch 

die  Gleichung 

ma     1^      re 
gegeben  ist : 

*  ""2»*»— r(4»— e*) 

_       «ir(*'+c») 
'  ~  2rc«  +  «(4»—«») 
Sind  alfo  a*,  b*  und  c*  rationale  GtSuen,  ivie 
dies  immer  der  Fall  iat,  wenn  %.  B.  Of  6  und  c  Qua- 
dratwundn,  so  sind  die  CoSffieienten  Pf  q  und  « 


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ZmUinsskryMtaäe.   Cap.IIL  243 

^^ebfalls  ntienal,  itiid  fo^lieh  die  durch  de  beatiolia« 
ten  Flächen  reelle  oder  doch  mSgliche  flächen. 

f    688. 
Fortfetsvng. 

Weil  das  im  yerigen  |.  entwickelte  Gesetz  das 
herrschende  ist,  so  wird  es  gat  seyn,  seine  Resultate 
für  die  drei  Fälle  besonders  darzustellen,  da  die  in 
dem  einen  Individuo  gegebene  Gestalt  eine  Gestalt 
ans  der  Hauptreihe,  oder  aus  der  makrodiagonalen, 
oder  endlich  aus  der  braohydikgonalen  Hälfte  des 
Schemas  ist 

L  Für  eine  Pyramide  der  Hauptreihe,  mP,  ist  n  ss 
r  =  1,  und  wir  erhalten  daher  folgende  Verhält* 
nisse  der  Ableitungszahlea  für  die  entsprechenden 
Parallelflächen: 

1)  Für  die  Fläche  im  Octanten  der  Zwillii^[saxe, 
mit  positivem  m,  n  und  r,  und  dereii  Nebeafläche 
an  der  Mittelkante  ^  mit  negativem  si: 
p:q:s  =s  7*^*1*1 
2}  Für  die  Nebenflächen  an  den  Polkanten,  mit  ne- 
gativem n  oder  r: 

piqii  =  Ts»:  +  5j^,  -Tg^a 

Daher  sind  die  Gestalten,   denen  die  Flächen 
von  siP  entsprechen, 

die  Gestalten,  denen  die  Flächen  von  ooP  ent- 
sprechen: 

n.  Für  eine  Gestalt  aus  der  makrodia^nalen  Hälfte 
des  Schemas,  also  allgemein  für  siP«  ist  r  =  1, 
und  wir  eriialten  daher  folgende  Verhältnisse  der 
Ableitungssahlen  f&r  die  resp.  Parallelfiächen; 

16* 


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244        Ahgewandie  Krystalhgräphie. 

1)  Für  die  üftche  im  Ootanten  der  Zwillingsäxe 
und  ihre  Nebenflftch*  an  der  Mittelkante: 

2)  Für  die  NebenÜchen  an  den  Polkanten: 

-       .      n(bj+e*)     ,-     n(6^+e*) 

Daher  für  das  horizontale  Prisma  aiFoo: 
b»+e*    b*+e* 

ond  für  das  makrodiagonale  Flächenpaar  ocPoo: 

QL  Für  eine  Gestalt  atis  der  brachydiagonalen  Hälfte 
des  Sehemas,  also  allgemein  für  mPh  ist  h  =  1 
und  r  =  I»  am  setzen,  nnd  wir  erhalten  daher  fol- 
gende Verhältnisse  der  AUeitongszahlen  für  die 
resp.  Parallelflächen: 

1)  Für  die  Fläche  im  Octanten  der  J^willingsaxe, 
und  ihre  Nebenfläche  an  der  Mittelkante; 

■-    -  ll(Ä«+C*)  «(*^+C*) 

2)  Für  ^e  beiden  Nebenflächen  an  den  Polkanten: 

daher  fUr  das  horixontale  Prisma  w^oo: 

P'i''*='*''b^*"2^ 
und  endlich  für  das  brachydiagonale  Flächenpaar: 
**+c*    i«+c» 

f.    689. 
ZwiUingsaxe  eine  Nonnale  tob  Poe* 

Ist  die  ZwilHngMxe  die  Nonnale  einer  Hftche 


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ZudlüngshystaUe.^  Cap.  IIL  245 

Jes  xoT  Cinuidgestalt  gehSrigen  horizontalen  Prismas 
Poo,  so  ist  in  den  Ausdrücken  des  §.586 

»==  oo,  und  si  SS  r  3=r  1 
sa  setxen^  woranf  sie^  denn  folgende  Resultate  ergeben : 
Gleichungen  der  Axen  des  einen  Individuums 
in  Besug  auf  das  andere: 

Axe  der  jf*, . , . .  ar  =  0,  «  =:  0 

Axe  d^r  ^',....  jr  ^  0,  JTZ;;-^  =  0 

Sabstitnenden  der  Coordinaten  s*,  y'  und  z': 

CoSfficienten  p^  q  and  $  in  der  auf  daslndi- 
Tidnun  I  belogenen  Gleichung 

pä       qb  "^  $c'~. 
einer  Fläche,  welche  in  dem  Individno  11  durch  die 
Oeiehong 


g^ben  ist: 


—  +  T  +  —  =a  i 

f  SS  —  « 


t  sst 


2re*  +  mia*—e*y 

§.    590. 
ZwiUiiigHae  ein«  Normale  Toa  Poo. 
lat  endlidi  die  ZwUlingsaxe  die  Normale  einer 


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246         Angewandte  KrystaUographie. 

fliehe  des   zur  Grondgestait  gehörigen  horixontalen 
Prismas  Poo,  so  kt  in  den  Ausdrücken  des  f.  586 

r  =  oo   nnd  m  =  n  =  1 
KüL  setzen,  wodurch  sich  denn  folgende  Resultate  er* 
geben: 

Gleichungen  der  Axen  des  Individuums  II  in 
Bezug  auf  das  Individuum  I: 

Axeder;p',.-..^j^+    ^     =0,  z=0 

Axeder  /,..••    ^   -^^  «  0,  r  =0 
Axe  der  z'» . . .  •  ;ir  =  0,  ^  s=s  0 
Substituenden  der Coordinaten  x^j  y^  und  2^: 

■   «'«.  — a 
CoSfficienten  ]>,  q  and  t  in  der  auf  das  Indi- 
vidunm  I  bezogenen  Gleichung 

einer  Fläche,   welche  in  dem  Individuo  11  durch  dra 
Gleichung 

£!  +  <  +  £  =  » 

ma       nb        re 
gegeben  iit: 


'  "~2»Ä«+ia(a»--«*) 


0 
1  -SS  —  r 

Ist  die  ZwiUingsaxe  die  Fl&bhennormale  irgend 
eines  andern  brachydiagonalen  horizontalen  Prismas 
w/PoOj  80  wird: 


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ZwiUingslrystaUe.  Cap.IlI.  247 

J?.     Be$ckreihung  der  wiehiigBien  Zwillinge, 

f.     591. 
ZwiDingskrystalle  des  Arragonites. 

Eine  darch  ihre  Zwillingsbildung  besonders  merk- 
würdige Species  ist  der  Arragonit,  welcher  nur  sel- 
ten in  einlachen )   meist  in  zusammengesetzten  Kry- 
stallen  vorkommt.    Kupffers  Messungen  geben 
für  ooP  den  Winkel  116^  16'  24» 
-    Poo    ^        -    -     106*  27'  2(r 
woraus  das  VerhSltniss 

a:b:e  =  0,7205:1:0,6215 
folgen  wurde.  Mitseherlich  dagegen  fand  bei  14^/t. 
för  ooP  den  Winkel  Itö""  11'  4r,  und  zugleich  das 
sehr  wichtige  Resultat,  dass  dieser  Winkel  in  höhe- 
ren Temperaturen  immer  stumpfer  wird,  indem  er  für 
SO^jR.  um  2'  46'^  zunimmt.  Da  nun  die  meisten  Ar- 
ragonite  unter  Yerh&ltnissen  vorkommen,  welche  f&r 
ihre  Bildung  auf  trocknem  Wege  sprechen,  so  durfte 
die  Temperatur  des  Bildungsactes  wohl  wenigstens 
so  hoch  zu  setzen  seyn,  dass  der  entsprechende  Win- 
kel von  ooP  nahe  llO^'j^  beträgt.  Weil  aber  der  kry- 
stallonomische  Zusammenbang  der  Flächen  bfdider  In- 
dividuen eines  Zwillings  doch  nur  für  dasjenige  Yer- 
hältniss  der  Diipiensionen  Statt  finden  kann,  welches 
der  Temperatur  des  Bildungsactes  entspricht,  so  wer- 
den wir  jedenfalls  das  Yerhältniss  von  b  :  c  etwas 
grosser  als  1:0,6215  annehmen  müssen. 

Gesetzt,  der  dem  Bildungsacte  entsprechende  Win- 
kel  von  ocP  sey  116"^  24',  so  wird 
b:c  =  |/13:/4 


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248         jirigeu^afidte  KrystaUographie. 

und  der  erwähnte  Zusammenhatig  der  Flächen  beider 
Individuen  durch  sehr  einfache  Zahlenwerthe  ausge- 
drückt *). 

Es  sind  nämlich  die  gewohnlichsten  Gestalten  des 
Arragoniteik  folgende: 

1)  aus  der  Hauptreihe:  OP,  P  und  ooP; 

2)  aus  der  brachydiagonalen  Nebenreihe :  |]^oo,  f  cx), 
2Poo,  ooPoo; 

3)  aus  einer  brachyd.  Zwischenreihe:  P2  und  2P2. 
Unter  Voraussetzung  des  Verhältnisses  J  :  c  = 

^13 :  ]/b  ergeben  sich  nun  aus  f.  587  für  diese  in  dem 
einen  Individuo  ausgebildeten  Gestalten  folgende  Par- 
allelflächen in  dem  andern  Individuo: 

Die  Parallelflächen  für  i»P  sind  zwei  von  mP  und 
zw^ei  von  -—«»Piy,  also  die  Parallelflächen^ 

für  P,  zwei  FI.  von  P,  zwei  von  -^Pl7 

-yOoP,  eine  Fl,  von  ooP,  eine  von  ooPlT 

Die  Parallelflächen  für  irgend  eine  Gestalt  der 

brachydiagonalen    Nebenreihe    mPoo    sind    allgemein 

zwei  Flächen  von  imP|^,  also  die  Parallelflächen 

für    iPoo,   zwei  FL  von  t^H 

.    PCX),    .    ^    .    m 

.      2Poo        .       .       ^     ^P4 
-    cx)Poo,    eine  Fl.  von  od9i 
Die  Parallelflächen  für  irgend  eine  Pyramide  «iP2 
sind  allgemein  zwei  Flächen  von  In^^  und  zwei  Flä* 
chen  von  in$i^  also  die  Parallelflächen 

für    P2,  zwei  FL  von   ^P^,  zwei  von  ^Pf 
.    2P2       -       .      .    ^P^        .       -    iPi 


*)  Die  Polkante  Ton  Poo  wird  nach  Mitscherlich  in  höheren 
Temperaturen  immer  schärfer,  und  zwar  für  80®/l.  um  6'  29^^  da 
eine  gleichförmige  Abnahme  für  aehr  hohe  Temperaturen  kaum  an- 
zunehmen ist,  ao  därfte  leicht  der  dem  Bildttngsacto  entoprecheiide 
Werth  von  a  sss  /7  m  setzen  seyn. 


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ZwiUingslrystaUe.    Cap.  IIJ.  249 

MpLttels  dieser Resaltate  ist  es  leicht,  jede  belie- 
bige Zwillingskante  xu  berechnen. 

§.    592. 
^  Fortfetsvog, 

Die  Zwillingabildang  findet  f3r  den  Anragonit  theils 
mit  Darchkreoznng,  theils  mit  Jaxtaposition  Statt. 

So  kommt  die  Combinatioih  2p!X>,odP  in  sehr  ans- 
gezeichneten  Dorchkreiiznngszwillingen  to^  wie  Fig. 
632;  auf  gleiche  Weise  die  Combination  oqPco«OP.ooP, 
Fig.  633;  die  brachydiagonalen  Flächen  beider  Indi- 
▼idnen  bilden  bei  gewöhnlicher  Temperatur  Winkel 
von  116^  12"  und  BS"^  48^    Findet  Wiederholung  der 
Zwillij^bildung  mit  geneigten  Znsammensetsungsflft- 
chen  Statt,   so   entstehen  sechsstrahlig  sternförmige 
]>rillinge,  ganz  ähnlich  denen  des  Bleicarboiiates  in 
Hg.  644.   Von  diesen  beiden  Zusammensetzungen  sind 
in  Fig.  634  und  635  die  Horizontalprojectionen  dar- 
gestellt,   aus  welchen  man  ersieht,    dass,    wenn  die 
IttdiTiduen  des  Zwillings  Fig.  633  in  der  Richtung  der 
Makrodiagonale  bis  zur  gegenseitigen  Berührung  (in 
den  Demarcationslinien  Ca  und  Cß)  ausgedehnt  sind, 
der  Zwilling  das  Ansehen  einer  unregelmässigen  sechs- 
seitigen Säule  gewinnt,  in  welcher  die  vier  Seiten- 
kanten A  116^  12",  die  zwei  Seitenkanten  a  dagegen 
127^  36"  messen.    In  den  Drillingen  sind  die  Indivi- 
duen gleichfalls  sehr  oft  bis  zur  gegenseitigen  Bernh«^ 
mng^  ausgedehnt,   so  dfeiss  die  sechs   einspringenden 
verticalen  Zwillingskanten  %rschwinden,  und  die  ih- 
nen entsprechenden  Winkelräume  ausgefüllt  sind;  es 
entstehen  dann  scheinbar  sechsseitige  Säulen  von  den 
Seitenkanten  116^  12",   welche  aber  eigentlich  acht- 
seitige Säulen  sind,  indem  die  beiden  den  Linien  h 
entsprechenden  Seitenflächen  in  a   durch   eine   sehr 
stmnpfe  einspringende  Kante  gebrochen  sind,  die  bei 
gewöhnlicher  Temperatür  168''  36"  misst. 


f.- 


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250         Angewandte  Krystallographie. 

§•    593. 
Fortfetsnng. 

Sehr  häafig  findet  die  ZwilUngsbildung  des  Ar- 
ragonites  mit  Juxtagosition  Statt.  Die  Individaen  der 
Combination  ooP.ooPoo.Poo  (zuweilen  mit  il^oo,  2lPao, 
P2,  2P2  u.  a.  untergeordneten  Gestalten)  kommen  fast 
immer  zwillingsartig  verwachsen  vor,  wie  Fig.  636) 
deren  Horizontalprqjection  in  Fig.  636  a  dargestellt  ist. 
Diese  Modalität  der  ZwillingsbUdung  wird  sehr  tref- 
fend durch  die  Mohs'sche  Formel:  Züsammensetzungs« 
fläche  parallel,  Umdrehungsaxe  normal  einer  Fläche, 
von  ooP  ausgedrfickt  Sind  beide  Individuen  so  aus- 
gedehnt, dass  sie  den  Winkelraum  der  verticalen  ein^ 
springenden  Zwillingskante  ausfüllen,  und  die  beider- 
seitigen Flächen  J!f  in  a '(Fig.  636  a)  zusammenstossen^ 
sa  entstehen  sechsseitige  Prismen  von  dreierlei  ver- 
schiedenen Seitenkanten,  indem  die  drei  abwechseln- 
den Winkel  in  A  116''  12",  die  beiden  Winkel  in  B 
121^64%  und  der  Winkel  in  a  12r  36'  messen.  Ein 
solcher  Krystall  der  Combination  ooP.Poo.iPoo.2P2  ist 
nach  Mohs  in  Fig.  641  und  641  a  dargestellt  Die  Zn- 
sammensetzung wiederholt  sich  zumal  häufig  mit  durch«- 
gängig  parallelen  Zusammensetzungsflächen,  wodurch 
reihenformige  Aggregate  entstehen,  wie  Fig.  639;  ge- 
wöhnlich sind  jedoch  die  mittleren  Individuen  der- 
maassen  zusammengedruckt,  dass  sie  nur  als  mehr 
oder  weniger  dünne,  in  die  Substanz  eines  grosseren 
Krystalles  eingeschobene  Lamellen  erscheinen,  wel- 
cher Krystall  selbst  wi^emm  aus  zwei  Individuen 
besteht.  Dann  sieht  man  auf  den  tlächen  Poo  und 
ooPoo  dieses  scheinbar  einfachen  Krystalles  schmale 
Furchen  und  Leisten  oder  Streifen  wie  in  Fig.  640,  wel- 
che der  CK.  mit  dem  Prisma  ooP  parallel,  und  nichts 
anderes  als  die  Ausgehenden  der  schmalen  lamell»- 
ren  Individuen  sind,  welche  die  beiden  äusseren  In- 
dividuen zwischen  sich  ^inschliessea. 


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ZwUUngakrystalle.    Cap.JIL  251 

Aach  wiederholt  sich  diese  Zwillingsbildaiig  mk 
geneigten  Znsammensetzongtflftch^n,  und  swar  auf 
swei  verschiedene  Arten,  entweder  so,  dass  die  Gmp* 
pinmgsaxe  der  scharfen,  oder  so,  dass  sie  der 
stumpfen  Seitenkante  des  Prismas  coP  entspricht; 
in  beiden  Fällen  entstehen  kreisförmig  in  sich  selbst 
xorncklanfende  Aggregate.  Die  Zahl  der  möglichen 
voUstftndigen  Individuen  ist  jedoch  im  ersten  Falle 
auf  5,  im  sweiten  auf  3  beschränkt;  das  sechste  In* 
dividunm  ist  in  jenem,  das  vierte  in  diesem  Falle, 
oder  9  wenn  sich  der  Kreis  von  iwei  Seiten  schliesst, 
das  fünfte  und  sechste  Individuum  in  jenem»  das  dritte 
und  vierte  Individuum  in  diesem  Falle  nur  unvollstän- 
dig ausgebildet  So  erscheint  die  Combination  ooP. 
ooPoo.Poo  in  sehr  schönen  Drillingen,  Fig.  637  (davon 
der  Gmndriss  in  Fig.  637  a)  und  Vierlingen  (Grund- 
risa  in  Fig.  638)  der  ersten  Art;  die  Combination  ocP. 
2^00  aus  Spanien  in  Vierlingen  der  zweiten  Art, 
Fig.  642  und  642  a,  in  welchen  die  Individuen  UI  und 
rV  nur  unvollständig  ausgebildet  sind,  und  nicht  im» 
mer  die  rinnenförmige  verticale  Kante  der  beiden 
schmalen  Flächenstreifen  von  ooP  wahrnehmen  lassen» 
wie  in  Fig.  642  *) ;  vielmehr  fehlt  diese  einspringende 
Kante  oft,  und  der  Vierling  erscheint  als  eine  unre- 
gelmässig sechsseitige  Säule  mit  zwei  Winkeln  A  von 
116''  12^  drei  Winkeln  a  von  127''  36%  ,und  einem 
Winkel  von  KH'»  48'. 

f.    694. 
ZinFÜHiige  des  Bldcarbonatet. 

Die  Zwillingskrystalle  des  Bleicarbonates  sind  de- 
nen des  Arragonites  sehr  ähnlich,  wie  denn  überhaupt 
zwischen  den  Krystallreihen  beider  Sabstanzen  viele 


0  Die  Ötreüdag  der  FI&cImb  2P<x>  iit  nur  dne  svr  Verdeot- 
fidnuif  des  Bildes  dieneade  S^bisffinmg. 


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252         Angewandte  KrystaUographie. 

merkwftrdige  U.ebereinstimmuiigeii  Statt  finden.  Da- 
her scheint  auch  die  Analogie  erlaubt^  dast  dieErj- 
atalle  beider  Speciet  durch  Temperaturerhöhung  ahn« 
liehe  Verändemngen  erleiden  ^  und  folglich  auch  das 
Prisma  cx)P  des  Bleicarhonates,  welches  Kupffers  Mes- 
nngen  bei  gewöhnlicher  Temperatur  zu  ilT  14'  be- 
stimmen, etwas  stumpfer  angenommen  werden  muss; 
nehmen  wir  demgemfiss  an,  der  dem  Bildungsacte 
enUprechende  Winkel  sey  117^  26'*),  so  wird 
i :  c  =  1^19 :  j/7 
Nun  sind  die  gewöhnlichsten  Gestalten  des  Blei- 
earbonates  folgende: 

1)  aus  der  Hauptr^e,  OP,  P,  und  coP;  ^ 

2)  aus  der  brachydiagonalen  Nebenr^e,  il^oOj  P0O, 
2P00,  3Pcx),  4Poo  und  ooPc»; 

d)  aus  einer  brachyd.  Zwischenreihe,  ooP3; 
4)  aus  der  makrodiagonalen  Nebenreihe,  ^tPcound. 
ooPoo. 
Für  jedes  siP  im  einen  IndiTiduo  sind  die  Paral- 
lelflächen im  andern  Individuo  zwei  Flächen  von  siP 
und  zwei  Flächen  von  Ww$2b\  also  die  Parallelflä- 
chen »  ^ 
für    P  zwei  Fl.  von    P  und  zwei  von  4^^4P25 
-  ooP  eine  FL     -  ooP    -     eine     -     ooP25 
Für  jedes  w^oo  sind  die  Parallelflächen  ^et  Fla- 
uten von  T^siP^j^  also  die  Parallelflächen 
für  ^foo  zwei  Fl.  von  tVPJ 
.     ?oo      .       .      ,    ^p^ 

-  2Poo      -       .      -     ^4PJ 

-  3Poo      -       -      -     44Pf 

-  4Poo      -       -      -     {MfJ 

-  oo?cx>  eine  FL  von  ooP^ 


*)  Sollten  die  Beobachtongea  ^ne  Abnahme  des  Wiskek  in 
hSberco  Teaperaturen  khren ,  ao  Uetet  «di  ala  n&dtfiaa  Veriiäit- 
niM  von  6 :  c  das  von  |/8 :  y^  dar. 


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ZwiärngskrystaUe.  Cap.  IIL  253 

Für  jedes  mPoo  sind  die  ParallelflSchen  zwei  FIS« 
chen  von  i^mP^j  also  die  Parallelllächen 
fSr  4P00  zwei  FI.  von  i^P^ 
.  ooPc»  eine  Fl.     -    ocP^ 
FSr  das  Prisma  ocPS  endlich  werden  die  ParaHel- 
flächen  eine  FL  von  ocP27  und  eine  Fl.  von  oof^. 

f.    595. 
Forttetzang. 

•Die  Zwillingsbildnng  findet  am  Bleicarbonate  theils 
mit  Durchkreamng,  theils  mit  Jnxtaposition  Statt. 
So  stellt  Fig.  645  einen  Zwilling  der  ersten  Art  von 
Johanngeoi^enstadt  vor,  dessen  Individuen  die  Com- 
bination  2Pab.}Poo.(xi^oo.P.ocP  zeigen;  die  sftramtli-i 
chen  Flächen  der  brachydiagonalen  Nebenreihe  sind 
dorch  eine  unn^^gelmässige  horizontale  Streifung  aus« 
gezeichnet,  welche  zur  Verdeutlichung  des  Bildes  auf 
der  Fläche  /  durch  eine  analoge  Schraffirung  angedeu- 
tet ist;  Fig.  634  kann  als  Grnndriss  zur  Erläuterung 
dieses  Zwillingskrystalles  dienen.  Dieselbe  Combina* 
tion  findet  sich  in  Drillingskrystallen ,  wie  solche 
Fig.  644  in  der  Horizontalprojection  darstellt,  für  de« 
ren  Erläuterung  auch  Fig.  635  zu  Hülfe  genommen 
werden  kann,  um  den  Parallelismus  der  Flächen  JU 
hervorzuheben,  wo  solcher  wirklich  Statt  findet. 

Sehr  schöne  Durchkreuzungszwillinge  der  in  Fig. 
648  dargestellten  Combination  aoPoc.P.oc]ß3.(xP  kom- 
men unter  andern  zu  Miess  vor,  Fig.  649;  die  Flächen 
/  sind  zur  Verdeutlichung  des  Bildes  horizontal  schraf- 
firt,  während  sie  in  der  Wirklichkeit  vertical  gestreift 
zu  seyn  pflegen,  wie  in  Fig.  648.  Die  Flächen  T  und 
f  fallen  meist  in  eine  Ebene,  auch  gesellt  sith  wohl 
noch  ein  drittes  Individuum  hinzu,  wodurch  ganz  ähn- 
liche Drillinge  entstehen,  wie  in  Fig.  644. 

Der  Winkel,  unter  welchen  sich  die  Individuen 
dieser  'Zwillinge  kreuzen,  beträgt  b^i  der  gew5hnlt- 


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254         Angewandte  KrystaUographie. 

chen  Temperatur  62^  46"  oder  117"  14^;  in  den  Drfl- 
lingen  schneiden  sich  swei  Paar  der  Individuen  unter 
demselben  Winkel;  das  dritte  Paar  unter  dem  Win- 
kel von  54""  28^  oder  126''  32^.  Man  kann  dasjenige 
Individuum,  gegen  welches  die  beiden  andern  gleich 
geneigt  sind  (I  in  Fig.  635  und  644),  als  den  Trfiger 
der  ganzen  Gruppe  betrachten;  ist  derselbe  sehr  klein, 
so  glaubt  man  auf  den  ersten  Anblick  einen  Zwilling 
vor  sich  zu  haben,  dessen  Individuen  sich  unter  54^ 
28'  schneiden,  und  dessen  Zwillingsaxe  die  Normale 
einer  Fläche  von  ccPj^  seyn  wurde. 

Wenn  sich  die  Individuen  der  Zwillinge  in  Fig. 
649  oder  die  analog  gebildeten  Drillinge  so  weit  über 
die  Flächen  /  ausdehnen,  dass  die  einspringenden 
Wiakelräume  der  verticalen  Zwillingskanten  ausge« 
füllt  werden,  so  entstehen  scheinbar  einfache  sechs* 
leitige  Pyramiden,  welche  Jedoch  in  beiden  Fällen 
verschiedene  Polkanten  haben,  wie  solches  aus  den 
Grundrissen  in  Fig«  634  und  635  zu  ersehen  ist,  wo 
von  den  Puncten  A  andere  Polkanten  auslaufen,  als 
von  den  Puncten  a,  denen  in  den  DriUingspyramiden 
eine  sehr  stampfe  einspringende  Kante  entspricht 

Findet  die  Zwillingsbildung  mit  Juxtaposition 
Statt,  so  ergeben  sich  für  vertical  säulenartige  Kry« 
stalle  ganz  ähnliche  Zwillinge,  wie  solche  am  Arra* 
gonit  in  f.  A93  beschrieben  wurden.  Dagegen  stellt 
Fig.  647  einen  dergleichen  Zwilling  der  in  Fig.  646  ab* 
gebildeten  pyramidalen  Combination  PJ2Poo.qoPoo  dar. 

f.    596. 
Zwillinge  des  Bpiftilbitet. 

Nach  demselben  Gesetze,  wie  die  bisher  betrach* 
teten  Zwillinge  des  Arragonites  und  Bleicarbonates 
sind  auch  die  Zwillinge  des  Kalisalpeters,  Strontia- 
nites,  Witherites,  Epistilbites,  Harmotomes,  Bour- 
Bonites,  rhombischen  Silberglanzes,  so  wie  gewisse 


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ZmOingstrystaile.   Cap.  III.  255 

ZwilBnge  des  rhorabischeRKnpferglanzes,  des  rhom- 
bischen Eisenkieses  nnd  Arsenikkieses  gebildet,  von 
welchen  wir  nur  einige  etwas  näher  betrachten  wollen. 
Der  Epistilbit,  eine  dem  Desmin  sehr  ähnliche  Spe* 
eies*)  (daher  richtiger  Epidesmin),  krystallisirt  in  rhom- 
bischen Prismen  ocP  ==  JK*  von  135**  !(/,  welche  an 
den  Enden  darch  die  horizontalen  Prismen  ^oo  (t  =s 
147*  4O0  und  foo  (/=  109**  460  begränzt,  und  durch 
das  brachydiagonale  Flächenpaar  oc^oo  =  r  in  den 
scharfen  Seitenkanten  abgestumpft  sind.  Einfache  Kry- 
stalle  sind  jedoch  selten;  gewöhnlich  finden  sich  Zwil- 
lingskrystalle  nach  dem  iSesetze:  Zwillingsaxe  nor- 
mal, Zusammensetzangsfläche  parallel  einer  Fläche 
Ton  ocP.  Die  Individuen  sind  durch  Ju^taposition 
verbunden,  Fig.  643  und  643a,  und  bilden  ganz  ähn- 
liche Zwillinge ,  wie  solche  in  Fig.  64l  vom  Arrago- 
nit  dargestellt  worden,  und  aucli  an  den  vertical-sän- 
lenförmigen  Krystallen  des  Bleicarbonates  häufig  2x1 
beobachten  sind.  Die  Winkel  des  von  den  beider- 
seitigen Flächen  M  und  r  gebildeten  sechsseitigen 
Prismas  sind  folgende : . 


*)  Ich  eriaii1>e  mir  hierbei  eine  Bemerkung  fkber  die  Namen 
9t9M  wbA  DeaBH.  Bekaamüdi  conftuidliie  Hoüy  ^e  von  Werner 
arterMddedenöi  Arten  te  Bl&t4er- mnd  StrsUkeoHtbee  yut^ 
neiBflchaftlichen  Naisen  Stäbit,  welcher  och  auf  den  anafosdcb- 
seieii  Perloratterglanz  der  yorhemchenden  Kry^tall  -  und  Spaltunga* 
Hiebe  bezieht  Als  man  die  Nothwendigkeit  einer  Trennung  ein- 
sah, behldt  man  den  Namen  Stilbit  für  den  Strahlzeolith  bei,  ob- 
l^di  der  OUns  am  Blftt&rzeoUdi  noch  ausgezeichneter  ist,  Ja 
snweiiea  selbst  balbmetalBsch  wird,  lud  gab  dem  Bl&ttearzeolith 
d«  Nmmb  Henlaadit,  «m  sogleidi  dae  Artigkeit  mi  eagen.  Wemf 
sich  NäflMB  asf  besonder»  hervorstecheade  Eifonsdiaften  beiie* 
hen  kdnnen,  mnd  sie  wohl  immer  Ton  ihnen  zu  entlehnen,  und 
dah^'  scheint  mir  für  den  Blätterzeoüth  der  Name  Stilbit  eben 
so  passend,  als  für  den  Strahlzeolith  der  von  Breithaupt  Torge- 
scUageae  Name  Desmin. 


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25d         Angewandte  Krystallogräphie. 


drei 

c= 

136»  10' 

xwei 

as 

112° 

25' 

einer 

= 

89° 

40' 

f 

597. 

Der  Harmotom  oder  Kreuzstein  ^  der  diesen  letz- 
teren Namen  einer  sehr  regelmässigen  Zasammen- 
Setzung  verdankt,  kraft  welcher  er  fast  immer,  in 
kreuzförmigen  Zwillingen  erscheint,  wird  Ton  eini- 
gen Mineralogen  als  rhombisch,  von  andern  als  te- 
tragonal  angesehen.  Die  durch  ihre  Streifung  sehr 
unvollkommene  Beschaffenheit  der  Oberfläche  hat  bis 
jetzt  die  Entscheidung  erschwert ,  da  die  Messungen 
jedenfalls  nur  auf  kjieine  Abweichungen  vom  tetrago- 
halen  Charakter  fuhren  können.  Die  physischen,  so 
wie  einige  morphologische  Eigenschaften  scheinen  je- 
doch für  die  Annahme  einer  rhombischen  Eaystall« 
reihe  zu  sprechen,  in  welcher  die  Dimensionen  b  und  e 
sehr  nahe  gleich  sind,  und  folglich  das  Prisma  ooP 
sehr  nahe  rechtwinklig  ist. 

Die  gewöhnlichste  Combination  des  Harmotomes 
ist  <X)Poo.cx)Poo.P.Poo,  Fig.  543;  zwei  dergleichen  Kiy- 
stalle  durchkreuzen  sich  anscheinend  genau  unter  rech- 
ten Winkeln,  so  dass  man  unter  Yoranssetzung  bei- 
nahe glttcher  Nebenaxen  das  Gesetz  der  Zwillings- 
bildang  so  aussprechen  kann :  Zwillingsäxe  die  Nor- 
male einer  Fläche  Von  ooP.  Die  Flächen  ocPoo  bil- 
den  verticale,  einspringende  Zwillingskanten  von  90% 
je  zwei  Flächen  von  P  fallen  beinahe  in  eine  Ebene, 
oder  sind  doch  beinahe  parallel;  Fig.  658.  Zuweilen 
werden  die  Krystalle  mehr  tafelartig,  die  einspringen- 
den Winkelräume  bedeutender,  und  die  Flächen  P 
durch  die  einspringenden  Zwillingskanten  der  beider- 
seitigen horizontalen  Prismen  Poe  abgesondert;  auch 
tritt  wohl  noch  das  Prisma  4Poo  in  die  Combination, 


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ZuHUingskrystaUe.   Cap.  IIL  257 

und  es  entstehen  ZiiHUinge  wie  Fig.  667.  Selten  feli- 
len  die  Pyramiclenflächen  ^äaxlich,  so  dass  nnr  ^ie 
Combination  ooPoo.ocPoo.Poo  übrig  bleibt,  deren  In- 
dividnen  bisweilen  so  gebildet  sind,  dass  die  verti- 
calen  einspringenden  Kanten  verschwinden,  indem  die 
beiderseitigen  makrodiagonalen  Flächenpaare  ein  recht- 
winklig vierseitiges  Prisma  bilden;  Fig.  659. 

§.    598. 
ZwilHoge  des  rbombischea  Eifenki«aes. 

Der  rhombische  Eisenkies,  dessen,  Varietäten  un- 
ter den  Namen  Speerkies,  Kammkies,  Strahlkies  be- 
kannt sind,  9eigt  nebr  häufig  Zwillinge  nach  dem  Ge- 
setze: ZwiUingsaxe  die  Normale,  Zusaramensetcungs- 
fläche  eine  Fläche  von  ooP.    Die  Dimensionen  der 
Grandgestalt  haben  sehr  nahe  das  Verhältniss 
a:b:e  =  /i0:/7:/4 
Die  Krystallreihe  selbst  ist  nur  wenig  entwickelt, 
und  zeigt  gewöhnlich  nur  folgende  Gestalten: 
aus  der  Hauptreihe,  OP,  P,  coP, 
aus  der  braclyrd.  Nebenreihe,  iPoc,  Poo,  und 
aus  der  makrod.  Nebenreihe,  I^oo. 
Die  Winkel  des  Prismas  ocP  sind  nach  obigem 
Verhältnisse  106*^60'  und  74^  ICK  (nach  PhiUips  106^  2^), 
die  Polkante  von  Poo  79''  50'  (nach  Phillips  80**  0'), 
die  Polkante  von  Poo  64**  38'.     In  den  Zwillingen 
werdea  die  Parallelflächen  _ 

für    P,  zwei  Flächen  von  P,  zwei  von  ^^P^ 

-  ooP,  eine  Fläche  von  ooP,  eine  von  ooP^- 

-  Poo,  zwei  Flächen  von  ^^1^ 
-4Poo,    ....     ^SPJ 

-Poo,      .        .    .        -     HP^ 

Die  Zwillii^bildung  findet  fast  immer  mit  Juxta- 

poaition   Statt,   und    die  Streifung   der  Flächen  OP, 

4P00  und  Voo  lässt  die  Demarcationen  der  Individuen 

sehjr  leicht  erkennen,  wie  dies  aus  Fig.  6ö3  zu  erse- 

U.  17 


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258         Angewandte  KrystaUografihie. 

hatk  ist,  welche  im  Gfundrisse  einen  ZwiUii^  4er 
Combinalion  OP.ocP  daist^lk.  Meist  wiederholt  sieh 
die  Zusammensetzung  mit  geneigten  Znsammenseafr- 
xungsflächen,  und  dann  entstehen  kreisüSmug  in  sidh 
suräcklanfende  Gruppen  von  drei  und  mehr  Indivi- 
duen, wie  Fig.  654,  welche  denen  des  Arragonites  in 
Fig.  638  ganz  analog  gebildet,  und  hän%  am  umge- 
nannten Speerkiese  zu  beobachten  sind.  Sciiliesst  sich 
der  Kreis  voUsttndig  durch  ein  funfites  Individnum, 
so  entstehen  Fünflingskrystalle  wie  Hg.  655. 

Amser  diesen  Z?nllingen  kommen  am  rhombischen 
Eisenkiese  noch  and^e  Tor,  deren  Gesetz:  Zwillingz- 
axe  die  Nonnale  einer  fläche  von  Foo.  Zwei  ein- 
zele  Individuen  der  Combinatiea  oGff.«fPoQ  wfirden,  sich 
nach  diesem  Gesetze  durehkreuzeaul,  ungefilhr  wie 
Fig.  650  erscheinen;  allein  gewöhnlich  sind  es  «eben 
zwei  nach  dem  ersterenJ9esetza  gebildete  Zwillinge 
der  Combination  OP.PooJPao.oQP,  von  denen  zwei  In- 
dividuen nach  diesen  zweiten  Gesetze  Terbund^i  smd, 
so  dass  Vierlingskrystalle  wie  Fig.  656  zum  Vorschein 
kommen^  in  welchen  beide  Gesetze  zugleich  verwirk- 
licht sind.  Die  Fiftehe  OP  des  einen  Paares  entspricht 
der  Fläche  •}Poq  des  andern  Paares  von  Individuen, 
und  der  Winkel  der  beiderseitigen  basisehen  Flächen 
beträgt  115*  2af. 

%.    599. 
ZwiUiiige  des  riiooibisGlieii  AneoUüdeict. 

Im  Bh«Mnbi8ehen  Araemkldeae  macht  sidi  die  Zwil- 
lingsbildung nach  denselkea  beiden  Gesetzen  geltend 
wie  im  rhombischen  Eisenkiese. 

Die  Dimensionen  der  Species  werden  nidie. durch 
das  VerhältnuM 

mihie  »  1^16:^11;  |/5 
ansgedcädct;   die  gewShnlichsien  Gestalten  sind  OP, 
ooP  (112**  O'),  iPoo,  Poo  (7Ö^  2Df)  und  Pog  (58**  250. 


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Zudärngstrystalle.   Cap.  IIL  IM 

Hteraiu  feigen  fir  Am  GeMts;  ZwSUHigtaM  die 
«ttnude  MMT  Fläohe  tw  ooP,  iIm  PanlleUUclmi 
fkt  cdP^  eine  Fl.  von  <xf^,  mm  v«ii  ocP7 

-  iPoo,  iweiH.  Yon  ^P| 

-  P(X),      ^     .      ^      4P* 

-  Poo,      .     .      .     V^Jji 

oid-  f3r  das  Geseis:  KwiKngnoLe  die  Nomude  einer 
FIScbe  von  Poo,  die  ParaUelfl&diMi 
fb  ^  ^ine  Fttehe  mn  ^m 

•  Poo    •       ^    .       .    P»,  «ine  wn  ^» 

-  <xP  Ewdi  flftefaen  von  ^P^ 

.|P«  .       •  -      •  4iPtfr 

•  i^  •      -  -      -    H% 

Die  ZwUlingabiUnng  4er  enten  Art  &idel  nomd 
für  die  fast  ta£elartige  Combination  ooP.j^Poo.OP  theils 
mit  Jnxtaporition  Statt,  wie  in  Fig.  653;  theila  mit 
Dnri^kreuxnng,  wie  in  Fig.  651 ;  auch  wiederholt  sich 
telhige  sowohl  mit  pnndkSen  als  geneigten  Ziisam- 
meneetsnngsflSohett.  Die  StiFelfong  Ifest  jedenfalh  die 
Senärondonender  Individuen  eebr  wollt  «rkennen. 

Die  Zwälinge  der  sweiten  Art  sind  fittt  immer 
DttrrilkyeulHigeftwIHlBge,  nnd  ftnden  (rieh  «o  heson«^ 
den  hi^  im  der  Combination  ooP.^PooXNP»  F^.OSa 

8.    600. 
Zwillinge  d«t  Chrytoberjlka  und  Maaganerzes. 

.  Am  Chrysoberylle,  fir  welchen  sehr  nahe 
aibie  jrst  f)9:3:|/!2 
tritt  nieht  selten  eine  Zwillingsbildang  naeh  dem  üe- 
selse  ein:  Zwillingsaxe  die  Normale  einer  Fläche  von 
P(x>,  oder  auch  einer  Flftche  von  3P<x>.  Da  die  Pol- 
kante von  PoQ  sehr  nahe  120^,  oder  jene  von  3Poo 
sdir  nahe  60^  misst,  so  folgt,  dass  sich  die  Hanpt- 
axen  beider  Individuen  sehr  nahe  unter  60''  schnei- 
den^ und  dass  eine  Fläche  von  Poo  des  einen  Indi- 
viduums der  Fliehe  oqPoq  des  andern  beinahe  pwal- 

17* 


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260         Angewandte  KrystaUogtaphie. 

lel  wird,  und  iftce  ^er$a;  Fig.6d2.  Die ZwflUngsbil- 
dang  wiederholt  sich  zuweilen  mit  geneigten  Znsam- 
mensetiranggflächen,  und  dann  entstehen  sternförmige 
Driliingsk^stalle.  Wiewohl  die  Flächen  ooPoo  bei- 
der Individuen  gewöhnlich  in  eine  Ebene  fiedlen,  so 
giebt  sich  doch  ihre  Demarcationslinie  durch  die  Sutnr 
2u  erkennen,  is  welcher  die  verticalen  Streifen  jener 
Flächen  susammenstossen. 

Nach  demselben  Gesetse  sind  audi  die  Zwillinge 
des  Glansmanganeraes  oder  Marganites  gebildet  *),  in- 
dem gleichfalls  dje  Zwillingsaxe  einer  Fläche  des  Pris- 
mas Poo  entspricht,  dessea  Polkante  jedoch  122'^  50^ 
Diisst,  daher  dies  auch  der  Neigungswinkel  der  Haupt- 
axen  beider  IndiTiduen  wird;  Fig660. 

8.    601. 
ZwUlinge  des  Staurollthea. 

Der  Stourolith  ist  eine  d^f e}i  ihre  kreuzförmi- 
gen ZwUlingskrystalle  sehr  merkwürdige  Species,  ob- 
gleich die  Krystallreihe  seiht  sehr  wenig  entwifkejt 
ist,  indem  dte  IndiTidoen  gewohnUch  die :g3äul#n{or- 
mige  CombinatiMi  ooP.ocPoo.OP  dar$iellen,  welche.mur 
suweUen  durch  die  Flächen  des  honzontalen  Pr LmMS 
Poo  etwas  modificirt  wird. 

Phillips  giebt  an  dieser  Krystallform  die  Winkel  an : 

ocP :  ooPoo  =  115**  18' 

ooP:  Poo    =r  IST^'öS' 
ich  fand  durch  neuerdings  wiederholte  Messungen  an 
einem  ueq^h  gut  spiegelnden  Krystalle  Tom  Gott* 
hardt  . 


*)  Aa  dieser  Species  findet  aicli  noch  ein  zweites  Geseti  Ter- 
wirklkhty  welches  jedoch  nur  sofern  wirkliche  Zwillinge  liefert, 
wiefern  die  Krystallreihe  durch  das  Auftreten  rhomhiacher  Sphe- 
noiUe  cfaarHkterbirt  ist;  dies  Gesetz  lautet  nämlich:  ZwilUngsax« 
die  Normile  nm  ooPoo. 


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ZmllmgälrystaUe.   Cap.IJL  201 

ooProoPoo  =  115^  20" 
ooP:  Poo   =  138*  r 
daraus  folgt 

far  coP  die  stampfe  Kaate  129''  20^ 
.   Foo  die  Polkante  69""  16' 
und 

a:l:e  =  1,«7:2412»:1 
Hafiy  nahm  die  approximatilren  Winkel  ooP  = 
IZQ""  31'  und  Pco  =  70""  dl'i  oder  die  DimeBsionen 

a :  i :  i:  :=»  2 : 3 :  ^2 
an.  Wegen  det  eben  so  inerkwUrdigen  ds  einfachen 
Verhältnisse,  dio  steh  ans  dieser  Annahme  für  die 
Zwillingskrjstdle  ergeben ,.  dürfte  es  nidit  onwahr- 
scbcanlich  seyn,  dass  das  Hanysche  Verhältniss  der 
Dimensionen  der  Tempesator  des  Bildongsactes  ent« 
spredie,  und  fiol|B^oh  dasjenige  sey,  welchem  allein 
physische  Bedeutsamkeit,  für  die  Specie»  znerkaaAt 
werde»  kann.  . 

Es  sited  nSmlieh  die  Zwillinge  des  Suorolithes 
nach  folgenden  beiden  Ciesetzen  gebildet: 

1)  ZwiUingsaxe  die  Normale  einer  Fläche  des  ho- 
vizontalea  Prismas-  |Poo;  Fig.  661. 

2)  ZwjlUngsaxe  die  NcMtmale  einer  Fläche  der  Py- 
ramide #4;  Fig.  662. 

In  beiden  Fällen  findet  eine  vollkommene  Durch- 
kreuzung  der  Individuen  ^tatt,  weshalb  sie  immer 
ungefälHr  so  erscheinen,  wie  es  die  Figg.  661  und  662 
darsteuen. 

Ist  nun  wirklich  a:h  s=s  2:3,  so  werden  die  nach 
dem  ersten  Gesetze  gebildeten  Zwillinge  die  merk- 
würdige Eigenschaft  besitzen,  dass  beide  Individuen 
genan  rechtwinklig,  und  die  Flächen  OP  des  einen 
den  Flächen  ooPco  des  andern  genau  parallel  sind; 
eine  Eigenschaft,  welche  verschwindet,  wenn  die  aus 
PhOlips's  und  meinen  Messungen  folgenden  Dimen- 
sionen die  wahren,   d.  h.  die  dem  Bildungsacte  ent- 


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262         Angewandte  Krystallographie. 

spreohenden  DimensioDen  sind,  weil  sicli  dann  beide 
IndiTiduen  unter  einem  Winkel  von  88^  ^  kreuzen 
würden. 

Ist  femer  wiriklieh  aih^ie  s»  ix^i^^  so  folgt 
für  die  nach  dem  xweitea  Qesetse  gebildeten  Zwil- 
linge, 

a)  dass  sich  die  Havptaxen  beider  Individaen  un- 
ter 60^  schneiden; 

b)  das«  sich  auch  die  Flächen  ool^  beider  Indi- 
vidaen unter  W  schneiden; 

0)  dass  das  eine  Sjvtem  der  SwflUiigakanten  ein 
r^elmAssiges  Beicagott  darsteBt 

Diese  und  andere,  im  nichsteu  f.  a^egebene  R^ 
lalionen  vensK^wniden  dagegen,  wenn  daa  Haiysdie 
Veiiiältaisa  der  Dimensionen  nicht  das  wahre  int 

Es  wire  daher  wohl  derMÖhe  werffa,  die  Verte- 
derangen  su  untersuehen,  welchen  die  Winkel  des 
Staurolithes  in  höheren  Temperaturen  unterwerfiao 
sind,  da  die  geegnoitischen  VerhSltnine  dieses  Mi- 
nerales  darauf  hindeuten,  dass  er  afuff  einem  feurig 
flüssigen  Zustande  aur  Erstarrung  gekommen,  und 
folglich  in  einer  weit  hSb^en  Ten^eratur  gebildet 
sey,  als  diejenige  kt,  bei  welcher  die  |ewShiJichen 
Messungen  angestellt  werden. 

f*    601. 
Fortsetsan^ 

Unter  Voraussetsung  der  von  Hauy  ang^ebettea 
Dimensionen  erhalten  wir  fo%ende  Belationen  zwi- 
sehen  den  Fitehen  beidbtf  hidividiien. 

1)  In  den  rechtwkiUigen  ZwUlingen  sind  die  Par- 
ailetflädten 

iur  OP    die  Flächen  ooPoc 

-  ooP»  .        -    .      («P 

-  3oP      -        .    -      4P00 
-      P»  ^         .     -      00?^ 


• 


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ZunUmgMkrystaUe.  Cap.  UI.  2fi3 

Die  Gf ftnM  Uidejr  fadiTidnen  wird  bei  ifdllkom- 
mML  HjimmtfiachOT  AuebUdniig  von  swölf  ein- 
sfriogendea  ZwUliagskuieii  gebildet,  die  lu 
eecbi  iD  einer  Ebene  Uege%  nnd  in  lelbiger  ein 
ejiMaetriftcbee  Hexegon  mit  swei  Winkeln  von 
14»"  8"  «ttd  vier  Winkeln  von  108''  26'  bUden. 
2)  In  den  eehiefWinkligen  ZwiUingen  &iden  eich 
die  Pandielfläelien  ans  f*ö86,  iadenir  man 
«  »  2,  »  »  3,   e  M  1^ 

M  as  r  ao  f  y    Wld  «  as  1 

•eM,  wie  fe%t: 
fttF  QP    eine  flttohe  von  4P|, 
-dePob  ^     -    .      •   f^f 
-  ocP      .      •  ..      •  4P3,  und  eine  von  3P6 
.     PoK>  .     .    .     .  ^ffj,    •      .       .    ^P4 

Die  Oefinie  beider  Individnen  wird  bei  vollkem> 
■wn  ityiinietffiicber  Ansbildong  von  swölf  ein* 
springenden  Zwilliagskanten  gebildet,  die  an 
aech«  in  einer  Ebene  liegen;  das  eine  System 
bildet  ein  gleichwinkliges  Hexagon,  das  andere 
ein  nnregelmässiges  Hexagon  mit  :iswei  rechten 
Winkeln. 

f.  602. 
Zwillinge  d«t  rhomlnscben  Kspfeglsnzes. 
Wie  am  Staorolith  das  Geseta  verwirklicht  ist^ 
dass  die  Zwillingsaxe  die  Normale  einer  Fläche  der 
Pyramide  4P|,  so  findet  sich  am  rliombischen  Kupfer- 
glanae  das  Gesetz,  dass  die  Zwillingsaxe  die  Nor- 
male einer  Fluche  der  Pyramide  ^P.  Ans  den  von 
Mohs  mitgetheilten  Messungen 

ooP  =r  119'  35' 
Mittelkante  von  iP  =    65^  28' 
folgt  für  die  Dimensionen  der  Krystallreibe 

aibic  =  0,9703  : 1 : 0,5822 
oder  ziemlich  nahe 

aih'.c  =  ^^47:|^:/17 


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264         Angewandte  KrystaUographie. 

Die  Combinatien  OP.iP.I^Poo,  welche  bis  zar  Täa- 
schling  einer  hexagonalen  Tafel  mit  zweireihig  ange- 
setzten Randflächen  fthnelt,  obgleich  die  Mittelkanten 
der  scheinbar  hexagonalen  Pyramide  i^weierlei  Werth 
(65''  28'  lind  65''  450  haben,  kommt  nach  dem  erwfihnten 
Gesetze  zusammengesetzt  vor,  Fig.  663.  Die  Axen 
beider  Individuen,  und  folglich  auch  die  basischen 
Flächen  derselben  bilden  einen  Winkel  von  88^  und 
sind  daher  auf  einander  beinahe  rechtwinklig. 

Häofiger  finden  sich  jedoch  Zwillinge  nach  dem  Ge- 
setze: Zwillingsaxe  die  Normale,  Znsammensetzungg- 
fläche  eine  Fläche  von  ooP;  die  Zusammensetzung 
wiederholt  sich  sowohl  mit  parallelen-  als  auch  mit 
geneigten  Zusammensetzungsflächen,  und  bildet  daher 
ähnliche  Drillinge,  wie  solche  amAxragonit  undBlei- 
carbonat  beschrieben  worden,  und  auch  ganz  auf  die- 
selbe Art  am  Bonmonit  und  am  rhombischen  Silber- 
glanze vorkommen. 


Viertes    Capitel. 
Zwillinge  des  tetragonalen  Systemes. 

A.     Th$ori§. 

8.    603. 
AUgemdiistes  Zwillingflgesetz. 

Die  Theorie  der  Zwillinge  des  tetragonalen  Sy- 
stemes wird  dem  in  §.  561  aufgestellten  Gesetze  zu- 
folge davon  ausgehen  müssen,  dass  sich  für  zwei  In- 
dividuen einer  und  derselben  tetragonalen  Krystall- 
reihe  die  Flächennormale  irgend  einer  ditetragonalen 
Pyramide  mPn  als  Zwillingsaxe  geltend  macht.  Da 
nun  der  geometrische  Grundcharakter  des  tetragona- 
len von  jenem  des  rhombischen  Systemes  nur  darin 


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^iPÜlingakrystalle.  Cap.lK  26& 

abwcgbeht,  dass  die  beiden  Nebenaxea  b  und  e  einan- 
der  gleich  sind,  so  werden  wir  die  Theorie  der  Zwil- 
linge tetragonaler  Krystallreihen  onAiittelbar  aas  den 
Resultaten  des  §.  586  ableiten  können,  indem  wir  in 
selbigen 

&  sc:  c  =3  r  =  1 
setsen;  denn 

;£  +  i  +  '  =  * 

suK        n 
ist  allgemein  die  Gleichong  einer  Fläche  der  ditetra- 
gonalen  Pyramide  «iPii.  . 

Wir  erhalten  also,  für  das  Gesets,  da  die  Zwil- 
lingsaxe  die  Normale  einer  Fläche  vonsiPii, 
folgende  Resultate. 

Gleichungen  der  Axen  des  einen  Individuums 
in  Berag  auf  die  Axen  des  andern : 

Axe  der  x': 


X 


s»«ii^a*  +  rn^a^  —n^^    2mna 


J^-  =  o 


Axe  der  y^: 


-? x  —  ^ 

ma 

Axe  der  z': 

Substituenden  der  Coordinaten  x%  / 
und  zf  in  irgend  einer  für  das  Axensystem  des  einen 
Individuums  gegebenen  Gleichung,  um  selbige  auf  das 
Axensystem  des  andern  Individuums  zu  beziehen: 


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266        AngewcaidtB  Ktyttaüographie. 
x'  =  ]^[2«M»(y  +  uz)a  —  A*x\ 

2*  sss  ■^l2mn(nx+maj/)a—C*z] 

wenn  nSmlieh 

»»«•a*  +  «»««  +  «*  sa  Jf» 
m*u*a*  +  m*a*  —u*  =*  A* 
■!•«•«•  — «i*a«  +  »»  «s  0* 
—  m*H*a*  +  m*a*  +  i^  =  C* 
be  enAieh  fir  i^Mid  «ine  Fliehe 

den  «teil  IndivUhiwB«  die  GlekAoag  de*  PanlMflä- 
ehe  im  andern  ladi^idiio 

£.  +  i  +  JL«i 

80  lind  die  Werthe  der  CoSffieienten  py  q  und  $  fol- 
gende : 

m'nYJU^ 

'  ~  2mn(nn'  +  r^)mW  —  nVA* 
m'nVßP 

f.    604. 
Bntei  ZwilBiigigeMti. 

Das  gevShnlichste  Qeseui  der  Zwillingebildiing 
im  tetragonalen  Systeme  ist  non  folgendes: 

Zi^illingaxe  die  Normale  einer  Fläche 
von  Poo,  odor:  Umdreiiangsaxe  normal,  Zasaauiien- 
«etmngsfläehe  parallel  einer  Fiäoho  derjenigen  Pyra- 
mide, welche  die  fii^lkanten  der  Grandgestalt  regeU 
massig  abslittipft. 


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ZmUingskrystaUe.  Cap.JF.  287- 

Um  die  Fcmaeln  det  vorl)fei^lMiidia  |^  diesem 
Getetse  anxnpaBseii,  habe«  wir  in  ilknen 

«i=s  li  md  ft  3SS  oo 
SB  setsen,  und  erhalten  so  folgende  Resultate: 

Gleichungen  der  Axen  des  einen IndiTidnums 
in  Bezug  auf  die  Axen  des  andern: 

Axe  der  x^i 

Axe  d»  ^: 

jf  SM  Oy  und  r  CBS  0 
Axe  der  z': 

Substituenden  der  Coordinaten  jr^,  y^  und  z^: 

2'  =  53qrit2iur  +  z(a»-l)l 
CoSffieienten  j>,  ;  and  i  in  der  CSeichung 

welche  die  Pardlelfliche  dner  durch  £e  Gleicfanng*) 

-L  +  C  +  ^^t 

ma        H         r 
gegebeaea  Fteche  des  ^neo  rnfiTidmimv  bestimmt: 
_        mria»  + 1) 

Bir(g«  + 1) 


*)  Die  Accente  der  Bnchataben  m',  n'  und  r'  können,  jetzt 
wegUdben,  da  ihre  Unteischadang  Ton  andern  m,  n  und  r  un- 
nStkig  «rfid. 


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288         Angewandte  KrystnUographie. 

Da  «,  »  and  r  rationale  Zahlen,  so  wird  die 
ParaUelfiäcbe  jedenfalls  eine  ^reelle  seyn,  wenn  a  ra- 
tional oder  eine  Quadratwurzel  ist. 

f.    605." 
Fortsetzung;  Parallelfiächen  der  Pyramide  mPit. 

Die  zu  Ende  des  vorhergehenden  §.  stehenden 
Werthe  von  p^  q  und  $  gelten  allgemein  für  die  Par- 
allelflächen irgend  einer  ditetragonalen  Pyramide  «iPif, 
beziehen  sich  jedoch  zunächst  nur  auf  das  Flächen- 
paar im  Octanten  der  positiven  Halba^en ;  nimmt  man 
m  negativ,  so  erhält  man  die  Parallelflächen  des  in 
dem  Nebenoctanten  der  anderen  Pyramidenhälfte  ge- 
legenen Flächenpaares.  Um  dann  fiir  die  einzelen 
Flächen  jedes  Paares  die  entsprechend^  Parallelflä- 
cben  zu  bestimmen,  braucht  man  nur  ein  Mal  r  =  l, 
das  andere  Mal  »  =  <,  und  r  =  ii  zu  setzen.  So  er- 
hält map  vier  Verhältnisse  von  Parametern  fiir  die 
vier  Parallelflächen  eitles  Gliedes  der  ditetragonaleik 
Pyramide;  sie  verwandeln  sich  in  die  vier  Verhält- 
nisse, welche  den  Parallelflächen  des  Nebengliedes 
entsprechen,  wenn  man  den  in  die  Axe  der  y  fallen- 
den Parameter  negativ  nimmt.  Daduirch  wird  jedoch 
in  den  krystallographischen  Zeichen  der  respectiven 
Gestalten,  welchen  diese  Parallelfl&chen  angehören, 
nichts  geändert,  und  wir  gelangen  daher  zu  demRe- 
aultate,  dass  die  Flächen  einer  jeden  ditetra^ 
gonalen  Pyramide  «tPn  des  einen  Indivi- 
duums paarweis  denFlächen  vierer  Gestal- 
ten in  dem  andern  Individua  entsprechen, 
und  vice  versa. 

Diese  Flächenpaare,  und  die  Verhältnisse  der  ih- 
nen entsprechenden  Parallelflächen  bestimmen  sidi^ 
wie  folgt: 

a)  Das  erste  Flächenpaar  von  »iPn  ist  dasjenige, 
welches  mit  der  Zwillingsaxe  unmittelbar  zum 


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.  Zu>mngskrystall0.    Cap.IF.  200 

Dnrchtcfanitte  kommt;    g«faie  ParäiMflachsn  im 
QBibni  IndiTidtto  ha{>6ii  4b8  VerhältDiss' der  Ab- 
leitttngisahleii  *) : 
"^w(a^H-l)       .    .  i>»  + 1) 

2ma^—a^  +  l  *  ^'*  •  2 +  «(«»—!) 
b).  Das  sw«ite  Flächenpaar  von  «»IVi  wird  yon 
denjenigen  beiden  NebeniAeheB  itt  veilierge- 
benden  gebildet,  welche  mit  ihnen  in  den  dia^ 
gonalen  Polkanten  zuMmmentrefien;  Beine  Par^ 
allelflächen  haben  das  Yerh&ltniss; 


2ma^—»{a^~i)  '  -     '  2»  +  »(a^  — 1)    . 

c)  Das  dritte  Flächenpaar  von,  «iP«  wird  von 
denjenigen  beiden  Nebenflächen  des  ersten  Paa- 
res gebildet,  wd<Ax^  Init  ihm  die  Mittelkanten 
gemeinschaftlich  haben;  seinen  Parallelflächen 
entspricht  das  Yerhtltniss: 

^^^  +  1)    ■  .  .  .«"  .  _      M^'  +  i) 
2ma^  +  a^  —  i'-^'        m(a^—i)  —  '4 

d)  Das  vierte  Flächenpaar  vonjnPii  endlich  wird 
*    von  denjenigen  Nacbbarflächen  des  ersten  Paa« 

res  gebildet,  welche  zugleich  die  Nebenflächen 
der  beiden  andern  Paare  .sind;  seine  Parallel« 
flächen  habeh  das  Yerhältniss;       ,        '    ' 

|.  6oe. 

Wfit^fn^xtulgt  Pai|aielftlU:h9n. dw  PyranWa  inF;  •. 

Setit  man' in  den  Besnltateh  ilei  ve^ht^tg^^entiea 
§.  iis=^l,  so  erhält  mm  fSl^  di6  FlScheA  dbr  t^ärago- 
nalen'Pyyamtde  tnP  des»  einen  Individuums'  die  ParaL- 
lelflächen  imHEtndera  Individuo.    Dabei  i»t  klar,  dass 

j_  .    *    '     *  1    ,    •  * 

*)  hl  diesen'  und  alleÄ  fblgenden  Verh&ttniABen  bezieht  iich 
dts  ente  €SJM  üif  die  Hanptaxe. 


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270        JlngeuHindie  Krystaüagraphie» 

4as  Mite  uad  JEweite,  no  wie  das  drkte  xaA  vierte 
üäclie&paar  von  mlfn  n«r  Je  einem  FläcI^fipMure  von 
mV  entsprechen  ^  daher  auch  fSr  jedes  üiP  in  dem  ei- 
nen Individno  nur  zwei  verschiedene  Gestalten  im  an- 
dern Individae  gefordert  werden. 

Es  bestimmen  sich  nindieh  fSr  die  beiden,  mit 
der  ZwiUingeaxe  «joinittelbar  jnaa  JOureiisduiitte  Icom- 
menden  flächen  ve«  mP  dia  Paralleifläehen  im  an- 
dern Individao  durch  das  Verh&ltniss: 

2ma*— («*—!)     -^  *  2  +  si(«*~l) 
nnd  für  die  beiden  fibrigen  Flächen  von  mP  die  Par- 
allelflächen  im  andern  Individao  durch  das  Verfaältnisst 

2»a»  +  (a»  — 1)  •^^  •       m(a^  —  l)  —  2 

§.    607. 

t^>rt8etzllng;   ParaUeliUchea  der  Pyramide  mPoo. 

Setzt  man  in  den  Resultaten  des  $.  605  n  =  oc, 
so  erhält  man  für  die  Flächen  der  tetragonalen  Pyra- 
^mide  «tPoo  des  einen  Individuums  die  Parallelflächen 
im  andern  Individao.  Dabei  ist  klar,  dass  die  dem 
ersten  und  dritten  Flächenpaare  von  «iP»  in  §.  605 
entsprechenden  Flächen  zwei  verschiedene  Gestalten 
im  andern  Individao  :fordem ,  während  für  die,  dem 
zweiten  und  vierten  Flächenpaare  entsprechenden  Flä- 
chen eine  und  dieselbe  Gestidt  gilt. 

Degeidgen  tläch«  voaffiPoo^  wcIcIm  mitderZwil- 
U0gß9Ms  unmittelbar  zum  Durehschnitt^  Jkonimt,  ent- 
zprioht  näomeh  im  andi^r«  IMAvidl9o.!di^Fjläcke  einer 
PyramidB  der  NebenreÜM  von  dem  Vefhüliaisse.: 

2«a«  — a*  +  1  2  +  m(a^  —  1) 

Diejenigen  beiden  Flächen  von  «tPoo,  welche  die 
Nebenflächen  der  vorhergehenden  an  den  Polkantea 


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ZwiÜmgdryataik.  Cap.  /AI  371 

flisd,  haben  lu  ParalleMftchea :  die  FÜehefti  dber  di- 
tetragoaalen  Pyramide  von  dem  VerhUlfniege^ 

u^—1     •-*  •  2 

Die  dritte  Nebenfiäche  endlich ,  weldie  mit  der 
erateren  eine  Mittelkante  bildet,  bat  snr  Parallelflä- 
che  wiedemm  die  Fläche  einer  Pyramide  ans  derNe« 
benreihe  von  dem  Verhältnisse; 

2sia«  +  a*— 1  •        •        «(«t_.i)_2 

fi.    608. 
¥iaUfikvm%\  Parallemäcben  der  PrloMO  nnd  di^trfi         ^ 

£etst  man  in  den  Besnltaften  des  |.  605  m^=s^oo^ 
nm  erhält  man  für  das  ditotragonale  Prisma  ooPa  fol» 
gande  Bestinmiangen: 

Dasjenige  Flächenpaar  des  Prismas,  nsidfifaes  mit  der 
Zwillingsaxe  unmittelbar  zam  Durchschnitte  Jixmmit, 
hat  zwei  Parallelflächen  von  dem  Verhältnisse: 

Die  Nebenflächen  des  vorhergehenden  Paares  ha- 
ben dagegen  die  Parallelflächen: 

n{a^  +  l)  ,  n(a»+l) 

Setzt  man  in  diesen  Verhältnissen  a  =  1,  so  er- 
hält man  for  die  Flächen  des  Prismas  ooP  das  Ver- 
hähniss  seiner  Parallelfl&chen; 

Setzt  man  daffegen  n^=soOj  so  erhält  man  für  die 
Parallelflächen  des  Prismas  ooPoo  die  Verhältnisse: 

2a»      •  "^   •  a»-l 
und 

00  :  1  :  CO 


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272         Angewandte  Krystallographie. 

Endlidi  entipiicht  der  Fliehe  OP  des  emeii  IimU- 
vidnoms  im  andern  IndiTidaa  die  Fläche: 

-: r  :  oo  :  1 


f    609. 
Zwdtes  ZYnlliogsgeBetz. 

Ein  zweite!^  Jedoch  weit  seltneres  Zwillingsgesetz 
im  Tetragpnalsysteme  ist: 

Zwillingaxe  die  Normale  einer  Fläche 
▼on  P,  oder:  Umdrehnngsaxe  normal,  Znsammen- 
setznngifllche  parallel  einer  Fläche  der  Gmndgestalt. 

Um  die  diesem  Gesetze  entsprechenden  Resultate 
der  Theorie  zu  finden,  haben  wir  in  den  Formeln  des 
f.  603  m^=n^^l  zu  setzen,  und  erhalten  so  fiolgende 
Bestimmungen: 

Gleichungen  der  Axen  des  einen  Individuums 
in  Bezug  auf  die  Axen  des  andern: 
Axe  der  j/i 

2ra  +  £  =  ®'    '-'  =-« 
Axe  der  y': 

Axe  der  2': 

'  +  £  =  «'^-1  =  0 

Sabstitnenden  der  Coordinaten  a^y  ^  and  z': 


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ZwUüngahryUalle.  Cap.IF.  273 

CoCfficieoten  j>,  q  and  $  in  der  Gkichang 

wdehe  die  Parallelfliehe  einer  dorcb  die  Gleichung 

wm       m        r 
g^[ebenen  fliehe  das  einen  Individuums  bestisinit: 

siMr(2a»  + 1) 

'  ""  2»Ki*(ii  +  r)  — iM<2a«  —  J) 


r(?a«  +  l) 
^  2ii(sia*+r)  — ft» 

_  st»r(2a»  + 1) 

2r(sia*  +  «)  — SMi 
Da  M,  n  und  r  rationale  Zahlen  sind,  so  wird  die 
Parallelflftche  jedenfalls    eine   reelle  FlSche   seyn, 
wenn  a  rational  oder  eine  Quadratwurzel  ist. 

fi.    610. 
Poctaetzinig;  PandlelflächeB  der  Pyramide  siPs. 

Die  ra  Ende  des  vorhergehenden  f.  stehenden 
Werthe  von  p^  q  und  $  bestimmen  im  Allgemeinen 
fir  irgend  eine  Fläche  von  siPn  in  dem  einen  Individuo 
die  im  andern  Individuo  vorhandene  Parallelfläche, 
und  es  k<Nnmt  nur  noch  darauf  an,  diese  allgemeine 
Bestimmung  in  einer  unserer  krystallographischen  Be- 
seiehnung  mehr  entsprechenden  Form  darsustellen. 

Die  Werthe  von  p^  g  und  $  beliehen  sich  zu- 
alefast  nur  auf  dai^nige  Hächenpaar  von  siPn,  wel- 
dies  in  den  Octanten  der  Zwillingsaxe,  oder  in  den 
Octanten  der  positiven  Halbaxen  ftUt.  Setzt  man 
suceessiv  «,  n  und  r  negativ^,  so  erhalt  man  diejeni- 
gen Werdie  derselben,  welche  sich  auf  die  Flftchen- 
paare  in  den  drei  Nebenoctanten  beziehen.  Um  end- 
lieh  die  einzelenFl&chen  jedes  Paares  zu  fixiren,  hat 
man  nur  ein  Mal  r  =  1^  und  das  andere  Mal  ft=sl, 
und  r  s=  ft  zu  setzen. 
VL  18 


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274         Jlngewandi4t  KrystaBographie. 

Anf  diese  Art  erh&k  man  durch  ZergUedemng  des 
allgemeinen  Resnltates  folgende  besondere  Resultate 
für  die  vier  rerschiedenen  Flächenpaare  der  ditetra- 
gonalen  Pyramide  mVm 

a)  Das  erste  Flächenpaar  von  siPn  ist  dasjenige, 
welches  in  den  Octanten  der  Zwillingsaxe  ftllt ; 
seinen  Parallelflftchen  im  andern  Individno  ent- 
sprechen die  Flächen  einer  ditetragonalen  Pyra- 
mide von  dem  Verhältnisse  der  Parameter: 

1 1  1 

2sJH«+l)-«(ts'-l)  '  fbiimm-^iy-'m  *  2(sni +«)-«» 

b)  Das  zweite  Flächenpaar  vonmPfi  ist  dasjenige 
Nebenpaar  des  ersteren,  welches  in  der  entge- 
gengesetzten Hälfte  der  Gestalt  liegt;  seinen 
ParaHelflächen  entspricht  das  Verhältniss: 

1 1  1 

c)  Das  dritte  Flächenpaar  TonmPii  ist  dasjenige, 
welches  von  den  beiden  Nebenflächen  des  er- 
sten Paares  in  derselben  Gestalthälfte  gebildet 
wird;  seine  Parallelflächen  bestimmen  sich  durch 
das  Yerhältniss: 

1      ^  .  --1  ,  1 

d)  Das  vierte  Flächenpaar  endlich  wird  von  den- 
jenigen beiden  Flächen  gebildet,  welche  an  den 
Polkanten  des  «weiten  Paares  liegen;  seinen 
Parallelflächen  entspricht  das  Verfaältntss: 

-1  1  -1 

—  t- 


§.     611. 

Fortsetzung  $  ParaUelfl&chea  Ton  siP. 

Setit  man  in  den  Veriiältnissen  des  vorbeigehen- 
den |.  n  3B  1,  so  erhält  man  die  ParallelflSchen  der 
tetragonalen  Fjrramide  siP,  wie  folgt: 


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ZwiNmg^lrystalU.   Cap.IF.  275 

a)  Deijenigen  Ftädie  von  mP,  welohe  in  dem  Octan- 
ten  iffi  ZwillingMoe  liegt  ^  enttpridit  die  Par- 
allelfläohe 

2«*(2ii  — 1)-H  V*  •  * 

b)  Diejenige  fläche  Ton  eiP,  weldie  mit  der  vor« 
liergehenden  eine  Mttelkante  bildet »  hat  die 
Parallellläche: 

2a«(2ei  +  iy^=l  •  *  •  * 

c)  Den  beiden  andern  Flächen  Ton  mV  entsprechen 
endlich  die  Flächen  dner  ditetragoq^en  Pyra- 
mide von  dem  YerhältniMo: 

ii(2a^+l)  +  2  .  ii(2a»  +  l)  +  2  . 
2«*  — 1        •  »(2«»  +  l)  — 2  •  * 

§.    612. 
"      FortMtsaog;  ParalleUUchea  tob  »Pco. 

Setzt  man  in  den  Verhältnissen  des  |.  610  11=00, 
so  erhält  man  f3r  die  Flächen  der  tetragonalen  Pyra- 
mide mPoo  folgende  Parallelflächen: 

a)  Ffir  die  beiden  an  der  Zwillingsaxe  liegenden 
Flächen  swei  Flächen  einer  ditetragonalen  Py- 
ramide von  dem  Verhältnisse  der  Ableitnngs- 
zahlen: 

*        .       .  1.1 

2a«(»— 1)  +  1  '  2(swi«  -h  1)  •  2  —  m 
Ist  also  die  Pyramide  2Poo,    so  werden  diese 
Paxallelflächen  wieder  swei  Flächen  von  2Pao, 
und  ist  sie  Poo,   so  werden  es  swei  Flächen 
von2(ii*  +  l)P2(«*+l). 

b)  Vax  die  beiden  andern  Fliehen  von  «Poo  wer« 
den  die  PftralieUttriien  einer  ditetragonalen  Py-« 
nunide  von  dem  Verbiltnisse  der  Ableilnag»- 
sahlen: 


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276         AngewandU  KrystaUograplUe. 
1  1—1 


2a'{m^i)  —  %  '  2(«a«~l)  *  2  +  « 
angehören. 

§.    613. 
Fortietiang}  ParalleUl&chea  der  Priuiea  und  der  BatU. 

Setzt  man  in  den  Verhältniisen  des  |.  610  wi=x;^ 
go  erhält  man  die  Parallelflächen  des  ditetragonalen 
Prismas  ooPm,  nämlich 

a)  fär  die  beiden  Flächen  im  Octanten  der  Zwil- 
lingsaxe: 

ina^  —  l    .  .  .  2na^  —  ± 
2a«(»  +  l)  *      *  "2ä*— n 

b)  für  die  beiden  Nebenflächen  der  ersteren: 

1  —11 


2a\n  —  t)  •  2a»+»  '  2iki»  + 1 

Hieraus  folgen  die  Verhältnisse  der  Parallelflä- 

eben: 

für  das  Prisma  ooP: 

2a^  — 1 

.  ^      :     1    :  1 

4a* 

nnd                       oo       :  —  l  ;  1 

f&r  das  Prisma  ooPoo: 

1  :  1  :  2a* 

EndUch  findet  sich  för  die  Basis  OP  die  ParaUel- 

iläche 

\     11 

l_ia«  •*•  * 

i    614. 
IlrHim  ZwUliag^teMis. 

Ausser  den  beiden  ZwilUngsgesetseni  derMi  Theo- 
rie im  Voiheigehenden  ansf&hrlicher  entwickelt  wor- 
den, kommen  im  Gebiete  des  TetragonalsystwieSy  je- 
doch sehen  5  noch  einige  andere  Ciesetse  ror,  von 
welchen  wir  nur  dasjenige  erwähnen  wollen»  welches 


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.  ZwUUngshryaiaUe.   Cap.  JF.  277 

sich  f&r  die  hemi^rischen  Combinationen  des  Scheel- 
kalkes und  tetragonalen  Kupferkieses  verwirklicht 
findet,  and  auch  nur  für  dergleichen  Combinationen 
wirkliche  ZwillingskrystaUe  zur  Folge  haben  kann, 
weil  es  dem  in  §.  578  angegebenen  zweiten  Gesetze  des 
Tesseralsystemes  ganz  analog  ist.   Es  lautet  nämlich : 

Zwillingsaxe  die  Normale  einer  Fläche 
▼on  QoP,  oder:  Umdrehungsaxe  normal,  Zusammen- 
setzungsfläche paraUel  einer  Fläche  des  Prismas  der 
Hauptreihe. 

Die  Theorie  dieses  Gesetzes,  ist  sehr  einfach^  in- 
dem es  auf  £e  boloädrischen  Gestalten  ohne  allen 
Einfluss  ist,  fBr  die  hemi§drischen  Gestalten  aber  nur 
eine  Reproduction  der  holoädriscfaen  Muttergestalten 
rar  Folge  hat  Es  erhält  nämlich  durch  Verwirkli- 
chung dieses  Gesetzes  eine  jede  hemiädrische  Gestalt 
des  einen  Individuums  zu  der  gleichnamigen  hemiSdri- 
schen  Gestalt  des  andern  Individuums  genau  diejenige 
Stellung,  in  welcher  beide  als  eomplementare  Gegen- 
körper aus  einer  und  derselben  Muttergestalt  abzu- 
leiten sind.  Die  Theorie  hat  daher  für  die  Zwillinge 
dieser  Art  gar  keine  besondere  Aufgabe  zu  tosen, 
weil  die  gegenseitigen  Verhältnisse  der  flädhen  bei- 
der Individuen  ein  für  alle  Mal  bestimmt  sind. 

B.     BnohfMumg  i$r  wichiig$ieß  ZwUUnge, 

§.   615. 
SSwiUinge  det  ZinnerzM. 

Dai  Zinnerz  ist  eine  von  deigenigen  Mioeralspe- 
cües,  wdche  weit  häufiger  in  ZwilUngskrystallea,  als 
in  einfachen  Krystallen  vorkommen.  Für  seine  Grund- 
gestalt bestimmt  sich  die  Axe: 

und  als  die  gewShnlichsten  Gestalten  seiner  Krystall- 
reihe  erscheinen 


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278         Angewandte  KrystaUographie. 

ÖP 
P     s=s  t»    Polk   12r  36%  Mittelk.  «T  IST 

Poo»p,    .-    133^27%    .  .    er  bsr 

ooPi  =  r,.Seiteiik.liy  38%    und      tiT  22^ 
ooP    ^  y 

0CP<X)  SS   / 

IMe  Zwillinge  sind  nach  dem  ersten  Gesetze  ge- 
bildet, idso  die  Zwillingsaxe  eine  Nonnale  derPyra*- 
■udePoo;  kiemacli  werden,  «nter  YoraossetzoBg  des 
obigen  Werthes  von  a,  die  Parallelflächen 
.     für  OP,    eine  Fläche  ton  V'oo, 

-  P,    swei  FL  von  P,  swei  von  7PJ, 

-  Poo,  eineFI.  Poo,  sweiFL  von^^,  eine  TPoo, 

-  00P4,  swei  FL  von  ^P^,  swei  von  ^P4, 
-odP,    swei  FL  Von  |P^ 

-  ooPdb^  eiM  Fl.  von  iPoo,  eine  von  oofoo. 

§.    616. 
Forttetsang. 

Die  Zwillingsbildnng  findet  am  Zinnerse  gewöhn**' 
lieh  nur  mit  Juxtaposition  Statt ;  so  stdlt  Fig.  664  ei* 
nen  Zwilling  der  Combination  P.ooP,  Fig.  665  einen 
Zwilling  der  Combination  P.oop.ooPoo,  und  Fig.  666 
einen  Zwilling  derselben  Combination  dar,  in  wel- 
cher jedoch  die  Prismen  statt  der  Pyramide  vorherr- 
schen. Der  Neigungswinkel  der  HaUptaxen  betragt 
in  diesen  Zwillingen  112^  3f;  der  visirartig  einsprm- 
gende  Winkel,  welchen  die  beiderseitigen  Polkanten 
o;  der  Grandgestalt,  oder  die  sehr  hänfigen,  nnd  an 
ihrer  Streifong  kenndichen  Abstampfnngsfl&chen  die- 
ser Polkanten  bilden,  135^  56^;  der  ein-  oder  ras- 
springende Widtel  der  beiderseitige  Fläch«i  ooP  (g) 
129**  2^.  '  ^ 

In  der  Regel  wiederholt  sich  die  Zwillingsbildnag, 
entweder  mit  parallelen  Zttsammensetxnngsflächen,  wie 
in  Fig.  667,  in  welchem  Falle  oft  viele  lamdUare  In- 


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ZfMlmgüsrystaUe.   Cap.JF.  27a 

£vidiien  lehlchtenweis  mit  einander  abweehseln,  oder 
noch  häufiger  mit  gene]|;ten  Zusammensetznngsflächen, 
in  welchem  Falle  DrilUngskryftalie  wie  Fig.  669,  oder 
anch  analoge  Yierlingt-,  Fänflingskryatalle  jl  s.  w. 
entstehen.  Diese  letztere  Art  des  Vorkommens  ist 
die  gewöhnlichere  der  Varietäten  aus  dem  Erxgebirge^ 
deren  Drillinge  und  Vierlinge  meist  so  auf  der  Un- 
terlage aui^e wachsen  sind,  dass  die  Enden  der  bei- 
den äussersten  Individuen  nach  unten,  und  die  mitt- 
leren Individuen  (also  z.  B.  in  dem  Drillinge  Fig.  669 
das  Individuum  II)  nach  oben  gewendet  ^  sind.  Die 
Combinationskanten  t  der  nach  aussen  gewendeten 
Flächen  /  sind  oft  durch  schmale  Spuren  der  Flächen 
Poo  etwas  eingekerbt 

Diese  Drillings-,  Vierlingskrystalle  u.  s.  w.  stel- 
len in  sich  selbst  zurücklaufende  Systeme  von  Indi- 
viduen dar;  das  Maximum  der  Anzahl  vollständiger 
Individuen  ist  fSnf,  so  dass  ein  sechstes,  den  Kreis 
schliessendes  Individuum  nur  unvollständig  ausgebil- 
det seyn  kann.  Zuweilen  fidden  sich  dergleichen 
Sechslingskrystalle,  von  welchen  einer  der  Combinar 
tion  opP.acPaQ.ooP4  in  Fig.  668  abgebildet  ist. 

Endlich  wiederholt  sieh  auch  die  Zusammen^ 
setsung  symmetrisch  an  mehren  Polkanten  der  Grund- 
gMtalt  zugleich;  ja,  tean  findet  Individuen,  welche 
an  jeder  Polkante  von  P  das  Rudiment  eines  andern 
Indiridwwis  zeigen,  so  dass  Neunlingskrystalle  zum 
Yotsdieine  kommen,  die  bei  vollkommen  symmetri- 
scher Ausbildong  wie  Fig.  670  erscheinen. 

f.    617. 
ZwUlisge  des  Rutiles. 

Die  Zwillingskrystalle  des  Rntiles  haben  sehr  viel 
Aehnlichkeit  mit  denen  des  Zinnerzes,  wiewohl  sie 
nidit  in  so  mannichfaltigen  Verwachsungsarten  beob- 
achtet sind. 


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280         Angewandte  KrysiaUographie. 

Nach  Breithaopts  Messungen  des  Neigungswin- 
kels der  HaupUxen  in  den  Zwiilii^krystaUen  be- 
trägt derselbe  etwas  über  lld"";  vielleicht  entspricht 
daher  der  Grundgestalt  die  Axe 

^  —  Vi 
wonach  dieser  Winkel  115''  22'  betragen  würde.   Die 
gewöhnlichsten  Gestalten  sind:       , 

P,     Polt     123*  44',  MiUelk.  83*  38' 
Poo,    .  .        135*^34%      .    -    Jß4*38' 
ooP3,  Seitenk.  143*»    y,    uncf    126*52' 
ooP  und  ooPoo. 

Die  ZwUUnge  sind  nach  demselben  Gesetze  gebil- 
det wie  jene  des  Zinnerzes;    daher  werden,  unter 
Voraussetiung  des  Werthes  von  a  ss  f/f,  die  Paral- 
lelflächen 
für  P,    zwei  R  von  P,  zwei  von  13P^, 

-    Poo,  eine  FL  Poo,  zwei  FL  ^P~,  eine  13Poo, 

-ocP3,  zwei  FL  4P^,  zwei  FL  ^97^ 

-ooP,    zweiR^P^, 

-ooPoo,  eine  R  ooPoo,  eine  R  iV(X>. 

Die  ZwiUingsbildung  findet  gewöhnlich  mit  Juxta- 
Position  Statt,  und  lirfert  bei  der  säulenförmigen' 
Form  der  Individuen  die  bekannten  knieförmigen  Zwil- 
linge, dergleichen  einer  der  Combination  ooP3.P  in 
Flg.  671  dargestellt  ist  Der  Neigungswinkel  der  Haupt-^ 
axen  beider  Individuen  betrügt  115"*  22'  (nach  Breit- 
haupt jedoch  nur  115°  2')«  Die  Zusammensetzung 
wiederholt  sich  nicht  selten,  und  bringt  Drillingskry- 
stalle  hervor  wie  Fig.  672.  Sind  die  Individuen  sehr 
dünn,  nadeiförmig,  und  findet  die  Zusammensetzung 
für  viele  derselben  zugleich  nach  mehren  Richtungen 
Statt,  so  entstehen  theils  sparrige,  theils  netzartige 
Krystidlgmppen ,  welche  letzteit»  bei  zunehmender 
Feinheit  der  Individuen  endlich  in  filzartige  Gewebe 
haarieiner  Krystalle  übergehen. 


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ZwUUngstrystalle.   Cap.  IK  281 

§.    61& 

ZwtUinge  des  SdiwtrxBaiigUMraet, 

Die  Krystallreihe  des  echwarien  Manganerses  hat 
'  sur  Grandgestalt  eine  tetragonale  Pyramide,  für  welche 
a  =  j/-^,  oder  vielleicht  =  j^ 
Bis  jetzt  sind  nur  die  Gestalten 

P,    Polk.  105*  28',  Mittelk.  117*  49^ 
Poo,    .  •    114*  54',     .    .        99*    6' 
4P,      .  -    140**    O',     .    .        67*  62' 
beobachtet  worden;  gewöhnlich  ist  nur  die  Grundge- 
stalt ausgebildet.    Die  Zwülingsbildung  findet  nach 
dem  ersten  Gesetze  Statt,  und  es  werden  daher,  Wenn 
«  s=  1^9  ^®  Parallelflächen 

für  P,  zwei  Fl.  P,  zwei  FL  4P4 
.4P,  .  .4P4,  -  .  4Pi 
-  Poo,  .  -  6P|,  eine  FL  Poo,  eineFL  ^Poo. 
Die  Individuen  sind  d'^rch  Juxtapositipn  oder  theit 
weise  Penetration  verbunden,  Fig.  673;  der  einsprin- 
gende Winkel  der  Polkanten  x  betragt  161''  50'  (oder 
160^  48',  wenn  a  =  ^\  Die  Zusammensetzung  wie- 
derholt sich  zuweilen  an  allen  vier  Polkanten  der  ei- 
nen Pyraraidenhftifte  eines  mittleren  Individuums,  wo- 
durch sehr  symmetrische  Fünflingskrystalle  entstehen, 
Fig.  674.  Jedoch  pflegt  dann  das  centrale  Individuum, 
welches  gleichsam  den  Träger  der  ganzen  Gruppe  bil- 
det, die  übrigen  dermaassen  an  Grösse  zu  übertref- 
fen, dass  diese  letzteren  nur  wie  Rudimente  Ton  In- 
ffividnen  erscheinen,  die  aus  dem  grösseren  Individuo 
heronsragen ;  man  sieht  dann  an  jeder  Polkante  die- 
ses letzteren  wohl  zwei  und  mehre  der  ersteren,  wie 
Flg.  675  zeigt 

f.    619. 
Zwillinge  des  tetragonalen  KopferkieM». 

Der  teteagonale  Knpferides  ist  eine  durch  den  he- 
mißdriadien  Charakter  ihrer  Combinationen;  eben  so 


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282         Angewandte  KryitaUogrciphie. 

wie  durch  die  Häufigkeit  und  Maimichfaltigkeit  Hirer 
Zwillingsbildong  selur  merkwürdige  Species,  deren 
Krystallformen  aber  auch  durch  diese  beideu  Yer- 
hältnlise  den  bizarreaten  YerunstaltUBgen  unterwor- 
fen zu  aeyn  pflegen,  so  dass  man  oft  an  dem  Yor- 
handenseyn  irgend  eines  Symmetriegesetzes  zweifeln, 
und  nichts  weniger  als  die  einfache  Regelmassigkeit 
des  tetragonalen  Systemes  erwarten  möchte. 

Die  Krystallreihe  des  Kupferkieses  ist  nämlich 
der  sphenoidiscben  Hemiädrie  unterworfen ;  es  erschei* 
neu  daher  häufig  die  Pyramiden  der  Hauptreihe  ala 
tetragonale  Sphenoide,  die  Pyramiden  der  Zwischen- 
reihen als  tetragonale  SkalenoSdei^,  und  nur  die  Py- 
-ramiden  der  Nebenreihe  so  wie  die  Prismen  jeden- 
falls mit  ihrer  yoUen  FlächenzahL 

Für  die  Grundgestalt  bestimmt  sich  nach  Haidin- 
gers  Messungen 

.«  =  V^ 
Die  gewöhnlichsten  Gestalten  sind: 
OP     =  a 

iP     =  li.  Polt  132^  19',  Mittelk.  69*»  W 
P     =  P,     -  .     1()9*  53',      .    .    108^  W 
^P     =  r ,     -  .     100^  44',      .    .    128**  52' 
Poo=4,     .-120^30',      -    -      89^    9' 
iPooss  0,     .  .     108^  18',      .    .    111°  50' 
2Poo=3  c,     -  .     lor  49^,      .    -    126°  11' 
ooP     ==  M,    und  ooPoo  :=  l 
ausser  ihnen  kommen  noch  mehre  Skdenoäder  und 
.flache  Sphenoide  vor,  deren  Bestimmung  zum  Theil 
noch  nicht  möglich  war. 

Es  sind  besonders  folgende  drei  Zwillingsgesetse^ 
welche  sich  am  tetragonalen  Kupferkiese  verwirk«- 
lieht  finden: 

1)  ZwiUingsaxe  die  Normale  einer  Fläche  Poo, 

2)  Zwillingsaxe  die  Normale  einer  Fläche  P, 

3)  ZwilUnssaxe  die  Normale  eiMr  Rädm  ooP. 


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ZwüüngskrystaUe.    Cap.  ir.  283 

Wir  wollen  nun  die  wiehligiten  der  nach  diesen 
Gesets^i  gebildeten  Zwillingsformen  näher  in  Betrach** 
tnng  ziehen. 

i    620. 
Forttetsanjg. 

Die  ZwiUingsbildong  nach  dem  ersten  Gesetse  fin« 
det  meist  mit  Joxtaposition  Statt;  se  steUt  s.  B.  Fig. 
676  einen  Zwilling  der  Combination  P.0P.2Poo.Poo 
dar  9  deren  Physignomie  jedoch  nicht  selten  dadorch  ' 
Terfindert  wird,  dass  die  Pyramide  P  in  swei  Sphe* 
Boide  von  rerschiedener  Ausdehnung  zerfUlt«  Die 
beiderseitigen  Flftohen  b  bilden  ein-  und  aussprin* 
gende  Winkel  von  178°  18%  die  Flächen  c  einsprin« 
gendo  Winkel  von  144''  50%  die  beiderseitigen  Basen  • 
einen  Winkel  von  89°  9^.  Wiederiiolt  sich  die  Zu* 
sammensetarang  an  aUen  Tier  oberen  oder  unteren 
Polkanten  von  P,  so  entstehen  symmetrische  Fünf* 
lingskrystalle,  wie  Flg.  677,  in  welchen  das  mittlere 
Individuum,  als  Träger  der  ganzen  Gruppe,  mit  sei- 
nem oberen  und  unteren  Ende  frei  ausgebildet  ist^ 
während  seine  Seiten  durch  die  vier  andern  Indivi- 
doed  v^deckt  sind. 

Auf  den  ersten  Anblick  hat  dieser  Fünflingakry«^ 
stall  (den  man  auch  als  einen  Sechslingskrystall  deu- 
ten kann)  grosse  Aehnlichkeit  mit  der  tesseralen  Com* 
bination  O.ooO.dtOoo,  zumal,  wenn  di6  einspringen« 
den  Zwillingskanten  der  Flächen  c  sehr  klein  oder 
gar  nicht  vorhanden  sind.  Allein  selbsf  dann,  wenn 
die^  diesen  Zwillihgskanten  entsprechenden  Einker- 
bungen auf  den  Kanten  des '  scheinbaren  Oktaeders 
feUen,  wird  man  durch  die  ihren  HShenlinien  paral- 
lele Streifung  der  Flächen  von  P  auf  die  Anerken- 
nung der  Zusammensetzung  geleitet,  weil  je  drei  die- 
ser Flächen  zu  einer  Fläche  des  Pseudooktaäders  oon- 
tribuiren,   und  daher  ihre  resp.  Streifimgen  in  drei 


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284        Angewanäie  Krystailographie. 

Satoren  ziuiaiBineBstosseiL  Auch  £edl6n  je  drei  die* 
ser  Flächen  nicht  in  eine  Ebene,  sondern  bilden  sehr 
stampfe  theils  ans  -  theils  einspringende  Winkel  (von 
178'"  36'),  daher  denn  auch  eigentlich  ein  Oktaeder 
mit  getheilten  Flächen  die  vorherrschende  G^estalt  die- 
ser psendotesseralen  Combination  bildet  Dass  die 
Flächen  des  scheinbaren  Rhombendodeka^ers  gleich- 
falls gebrochen  sind,  versteht  sich  von  selbst*). 

Wenn  Combinationen  mit  vorherrschenden  Sphenoi- 
den  oder  SkalenoSdem  »ach  demselben  Gesetze  swil- 
lingsartig  verbunden  sind,  so  entstehen  bei  wieder- 
holter Zwillingsbildung  gleichfalls  Aggregate,  welche 
an  die  Formen  des  Tesseralsystemes  erinnern;  so 
stellt  s.  B.  Fig.  678  einen  Ffinflings  -  oder  Sechslings- 
krystall  vor,  dessen  einiele  Individuen  die  Combina- 
tion eines  vorherrschenden  Skaleno€ders  (#)  mit  ei- 
nem die  kürzere  Polkanta  abstumpfenden  Sphenoide, 
der  Basis  (11)9  und  dem  sehr  untergeoidneten  Sphe- 

P 

noide  — ~  zeigen.    Die  ganze  Gruppe  erscheint,  bei 

symmetrischer  Ausbildung,  wie  ein  Hexakistetra§der, 
dessen  mittlere  Kanten  durch  ein  in  verwendeter 
Stellung  befiniHicheB  Trigondodekaäder,  und  dessen 
rhombische  Ecke  durch  das  Hexa($der  abgestumpft  sind. 
Ein  nach  demselben  Gesetze  gebildeter  Zwilling 
der  Combination  ^P.4Poo.OP.P.^P  ist  in  Fig.  679  ab- 
gebildet. 

5.    621. 
Forttetsang. 

Häufiger  als  die  im  vorigen  $.  beschriebenen  Zwil- 
linge kommen  am  Kupferkiese  diejenigen  vor,  welche 
nach  dem  zweiten  Gesetze  gebildet  sind,  oder  deren 


*y  Die  meisten  Fliehen  P  entsprechen  dem  TkoBitetraederf^O^^, 
imd.die  mutten  Fliehen  b  dea  Tetrskidiexft(kler  aoO||. 


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ZunUingsirysial/e.    Cap.lF.  285 

ZwUKngtaxe  die  Normale  einer  FIftche  der  Gmndge- 
italt  ist.    So  siebt  man  selir  oft  iwei  Individuen  der 

P     P 

Combination  ^« — ^  nacli  diesem  Gesetze  durcli  Juxta« 

]NMition  tXL  Zwillingen  verwachsen,  welche  die  grSssfe 
Aehnliclikeit  mit  den  im  Tesseralsysteme  beschriebe* 
Ben  Zwillii^n  des  OktaSders  haben;  Flg.  680.  Die 
Indiridaea  sind  meist  in  der  Richtung  der  Zwillings- 
axe  terkdrzt,  iind  bilden,  bei  der  sehr  hftnfig  Statt 
iftdenden  Wiederholung  mit  pairallelen  Zusammen- 
setaungsfläcfaen,  schichtenweise  Aggregate  wie  Fig.  681. 

Einen  nach  demselben  Gesetze  gebildeten  Zwilling 
der  Combination  P.?Poo.Poo.OP  stellt  Fig.  682  dar. 

Wenn  der  sphenoidische  Habitus  sehr  hervortritf, 
wie  z  B.  in  dem  Krystalle  Fig.  683,  and  zugleich  eine 
tkeilweise  Penetration  der  Individuen  Statt  findet,  so 
Erhalten  die  nach  demselben  Gesetze  gebildeten  Zwil- 
linge nicht  selten  ein  ganz  eigenthomlic^es,  an  die  in 
Fig.  622  abgebildeten  Zwillinge  des  Fahlerzes  erin- 
nerndes Ansehen;  Fig.  684. 

Dieselbe  Zwillingsbildung  wiederholt  sich  ai|ch  oft 
mkt  geneigten  Zusammensetzungsflächen;  macht  sich 
dann^  zugleich  mit  der  sphenoidischen  Hemiedrie,  auch 
die  ungleichfSrmige  Ausdehnung  der  Flächen  geltend, 
so  erhalten  die  DriUinge  u.  s.  w.  meist  ein  so  unre- 
gdmässiges  Ansehen,  dass  man  die  Form  der  elnze- 
len  Individuen  nur  durch  eine  sorgfältige  Untersu- 
shnng  herausfinden  kann.    So  stellt  Fig.  685   einen 

P 

dergleichen  Drillingskrystall  der  Combination  -^Tfoo. 

oc9  dar,  in  welchem  die  wahre  Symmetrie  der  For- 
men dermaassen  entstellt  ist,  dass  man  eher  eine  un- 
regelmässige Combination  des  triklinoädrischen,  als 
eine  Combination  des  tetragonalen  Systemes  zu  sehen 
^anbt 

Die  nadi  dem  drittm  Gesetze  gebildeten  Zwillinge 


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/28d         Angewandte  Krystallographie. 

Skid  die  seltensten;  sie  können  nur  an  Kiystallen  Toa 
sphenoidischem  Habitus  Torkommen,   und  sind  x.  B. 

P      P 

von  der  Combination  '^•^--'j  ^  wahre  Durchkren- 

lungszwfllinge  auf  der  Grube  Kurprfas  bei  Freiberg 
gefonden  worden ,  Fig.  686. 

Uebrigens  findet  man  nicht  selten  luswi mei^[esbt»te 
Krystalle  des  KupferkieseHy  an  weldien  mehr  als  ein 
Gesetx  der  Zwüliagsbiidung  yerwirklibht  ist;  se  wie 
denn  auch  noch  andere  Gesetie  vorsukommen  «ehttnen. 

f.    622. 
ZwilUnge  des  Kallucfaieelates. 

Der  durch  seine  tigenthumliche  HemiSdrie  so  aus- 
gezeichnete Seheelkalk  kommt  zuweilen  inVerwaeb* 
sungen  nach  dem  dritten  Gesetze  vor,   welche  nw 
kraft  jener JSemiädrie  auf  das  Prädicat  von  Zwillifigfl# 
kiystidlen  Anspruch  haben. 

Die  Krystalle  ton  Schlackenwalde  ^  in  welch^i 
nach  Breithaupt  0=1/7  zeigen  bisweilen  die  dmt^ 

bination  V.QVoo.i^.y^  Fig.  687,  an  welcher  die 
r    2    /    2       ° 

ditetragonalen  Pyramiden  als  tetragonale  Pyramiden 

Ton    abnormer  FUchenstellung   erscheinen.     Dureh-« 

setzen  sich  zwei   dergleichen  IndiTiduen  nach  deni 

Gesetze:  Zwillingsaxe  die  Normale  ein^  Fläche  tob 

acP;   so  bilden  sie  Zwillingikrystalle  wie  Fig.  686, 

welche  man  fSr  einfeiehe  I^rystalle  hallen  koapte,  weaii 

nicht  einerseits  die  abnorme  Vertheilung  der  Flächen  n 

und  g^  anderseits  die  Verhältnisse  der  Streifung  auf 

die  Anerkennung  einer  Zosamm^isetznng  Ahrten»  !»• 

dem  die  den  Combinatioaskantea  mit  4P2  parallelem  ' 

Streifnngea  der  ilSohen  von  P  in  einer  Sotnr  zusam» 

menslo«s^9,  welche  den  HShenlinien  der  Fliehen  dw 

scheinbar  ein&chen  Pyramide  P  parallel  ist. 


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Zwimng$krystۊie.  Cap.  V.  287 

Fünft€$   Capitel. 
Zwillinge  des  hexagonaleo  Systemei. 

A.     JTuarU. 

§.    623. 
Bntwmrf  dff  ThMcki 

Der  eigenlhümliehe  Charakter  des  Hexagonalsy- 
stemes,  welcher  sehoa  aiif  die  Berechnung  seiner  Ge- 
stalten Einflnss  hatte ,  nmcht  sich  auch  bei  der  Ent- 
wicklung der  Theorie  seiner  Zwillingskrystalle  gel- 
teiid.  Der  Gang,  welchen  diese  Entwicklung  sn  neh- 
men hat,  ist  nngef&hr  folgender. 

Man  geht  von  der  Annahme  ans,  dass  die  Nor- 
male einer  Fläche  jR  irgend  einer  dihexagonalen  Py- 

siPiiX 
ramide  miPn  (oder  eines  Skalenoßders  — ^)  die  Zwil- 

Kngsaxesey,  und  sucht  surörderst  die  orthometri- 
sehen  Gleichungen  dieser  Zwillingsaxe  im 
IndiTiduo  I,  indem  man  die,  ursprunglich  für  das 
schiefwinklige  Axensystem  (der  sich  unter  60^  schnei- 
denden Axen  der  y  und  z),  gegebene  Gleichung  der 
Fläche  F 

ma       n     * 
orthometrisch  macht,  und  aus  ihr  die  Gleichungen  der 
Normale  als  Functionen  der  orthometrischen  Coordi- 
naten  :ri ,  yi  und  Zi  ableitet. 

Das  Individuum  n  stellt  man  sich  aus  der  paral- 
lelen Stellung  gegen  das  Individuum  I,  wie  gewöhn* 
lieh,  um  die  Zwillingsaxe  durch  180''  verdreht  vor, 
and  sucht  nun  die  orthometrischen  Gleichun- 
gen seiner  schiefwinkligen  Axen,  die  wir  als  Axen 
der  ^,  jf^  und  zf  einfiihren  wollen.  Man  erhält  also 
die  Gleichungen  dieser  Axen  gleiehüedls  als  Functio- 
nen der  Coordinaten  ^i,  gi  und  Zi, 


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288         Angewandte  Krysicdlographie. 

Hierauf  geht  man  zur  Transformation  der  Coordi- 
naten  fiber,  indem  man  die  Cosinus  der  Neigungs- 
winkel der  schiefvrinkligen  Axen  der  x^^  ^  und  z' 
des  Individuums  II  gegen  die  rechtwinkligen  Axen  der 
^19  Jfi  und'  tx  des  Individuums  I  aufsucht,  und  erhält 
so  die  Substituenden  der  Coordinaten  jti,  jfi  und  Zi^ 
um  irgend  eine  in  dem  Individuo  I  gegebene  Linie 
oder  Flftche  auf  das  schiefwinldige  Axensystepi  des 
Individuums  II  beliehen  zu  können. 

Damit  hat  denn  die  Theorie  ihre  Au%abe  erfinll^ 
indem  nun  die  Bestimmung  deijenigen  Flftche,  welche 
im  Individuo  II  irgend  einer  im  Individuo  I  gegebe* 
nen  Flftche  entspricht,  sehr  leicht  dadurch  gewonnen 
wird,  dass  man  die,  aus  dem  krystallographischen  Zei- 
chen folgende,  Gleichung  der  gegebenen  Flftche  ortho- 
metrisch  macht,  und  endlich  für  die  orthometrischm 
Coordinaten  oti,  yi  und  Zx  ihre  Werthe  als  Functio- 
nen der  schiefwinkligen  Coordinaten  x^^  ^  und  zf 
substkuirt. 

f.    624. 
GkIdimigQB  der  Azes  des  Individiramt  IL 

Es  sey  also 

iL  +  JL  +  ,»l 

die,   auf  das  schiefwinklige  Ai^ensystem  des  Indivi- 
duum I  bezogene,  Gleichung  deijenigen  Flftche   von 
mP»,  deren  Normale  als  Zwillingsaxe   auftritt,   so 
wird  dieselbe  Gleichung,  indem  man 
^  =  ^i 

setit)  orthometrisch  augMir&ckt 

£i  ,,(2— «»)y.  1  _  _  - 


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ZwUUßgskrystalle,    Cap.  V.  289 

Hieraas  folgen  fSr  die  Nonnale  aus  dem  Mittel- 
pnncte,  oder  für  die  Zwillingsaxe'  die  orthometrischen 
Gleichungen : 

-£: y^ 0 

«j/3        «0(2—«)  ~~ 

-^    -        X,        =0 
ma 

"         =  0 


2  —  »  i»/3 

die  Länge  dieser  Normale 

j^ «»g«/3 «gm/3 

und  endKch  die  Neigungswinkel  (iVJT),  (iVF)  und 
(iV^)  der  Zwillingsaxe  gegen  die  schiefwinkligen 
Axen  der  x^  y  und  z 

m(iVF)  =  ^i 

Nach  erfolgter  Drehung  des  Individuums  11  um  die 
Zwillingsaxe  ergeben  sich  folgende  Bestimmungen  für 
die  Lage  seiner  schiefwinkligen  Axen,  d.  h.  der  Axen 
der  a/^  ^  und  z'\ 

1)  jede  dieser  Axen  liegt  in  der  Ebene   durch  N 
und  die  gleichnamige  Axe  des  Individuums  I; 

2)  jede  derselben  bildet  mit  N  denselben  Winkel 
wie  die  gleichnamige  Axe  des  Individuums  I.       ^ 

Für  die  Axe  der  xf  gilt  alsq  zuvörderst  die  ortho- 
metrische  Gleichung: 

-Jt ?L_«o 

2  —  «        fi/3 

Man  Hetze,  ihre  zweite  Gleichung  tey: 
n.  19 

* 

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290         Angewandte  KrystaUographie. 

10  bestimmt  sich  ihr  Neigungswinkel  (iV7)  snrZwil- 
lingsaxe  nach  der  dritten  Formel  für  coi  Cf  in  §.  23 

^        '        MV^»^  ~  »  +  i)ß*  +  (2— J»)»o» 
Da  nun 

00$  (NT)  =  eos(N2r), 
•o  bestimmt  sich  das  Yerhältniss  von  o  und  /9,  und 
wir  erhalten  daher  folgende  orthometrische  Gleichun- 
gen für  die  Axe  der  or': 

4«i»o»(»*--«»+l)— 3»'  ^  2»a«(2— f»)|/3  "" 

*»_+ £« =0 


2  — J»        «/3        " 
Die  Axe  der  x'  hat  zuTörderst  dt«  orthometrische 
Gleichung: 

j?L y£ =  0 

«|/3        «11(2  —  11) 
eine  zweite  Gleichung  findet  man  am  leichtesten  ans 
der  Bedingung,  dass  die  Axe  der  2f  auf  der  Axe  der 
o;^  rechtwinklig  ist,   und  erhält  daher  überhaupt  fol- 
gende orthometrische  Gleichungen  für  die  Axe  der  z^: 

ii|/3        «a(2— j»)  "  " 


=  0 

=0 


2«i'a'(ji*+2ii— 2)-3ii»        6skm« 

yi g, 

2«i'aH2— 1»)«|/3  2»i»a*(j»*+2ii— 2)— 3ä 

Die  Axe  der  y^  endlich  fällt  in  die  Ebene  dnnA 
N  und  die  Axe  der  y,  welche  letztere  durch  die  Gleir 
chungen 

^1  =3  0  und  ^  —  2^1  a«  0 

bestimmt  wird;  die  Gleichung  dieser  Ebene  ist  daher 

£i    .  yi ^ r. 

Zn  ■*'2ski(2«  — 1)|/3       2sM<2»  — 1)~ 


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ZwilUngskrystaUe.    Cap.  F.  291 

Setzt  maa  non,   die  Glekhiuigen  der  Axe  der  jf 


geyen : 


?+f=^-*f+?  =  o 


so  folgt  ans  ihrer  Lage  in  der  Ebene  NYi 

o  »1/3         "*"     S 

nnd  ans  ihrer  Rechtwinidigkeit  anf  der  Axe  der  x^: 

y_ 4m^a^(4n  —  n^  —  i)—3n^ 

nnd  daher 

^  _  4yi^a^(;i^  — l)  +  3ii^ 

Die  orthometriscfaen  Gleichungen  Ür  die  Axe  der 
ff'  werden  also  folgende: 

£l +    Sl _  0 


4ji'a'(4Ä— n^— 1)— 3«*        Vlman 


=  0 


4«*a»(ii^— i)j/3+3ii  ya"*"  4«i'a^(4»— n'— 1)— 3»*™^ 

f.    626. 

Gleichiuigcn  dar  Axen;  wenn  die  ZwiUiogsaxe  eine  Normale 
von  mP. 

In  allen  bis  jetzt  bekannten  Zwillingen  des  Hexa- 
gonalsystemes  ist  es  wohl  die  Fläche  irgend  einer  Ge- 
stalt der  HanptreUie ,  deren  Normale  die  Rolle  der 
Zwillingsaxe  spielt;  wie  denn  am  häufigsten  die  Haupt- 
axe  selbst,  oder  4ie  Normale  von  OP  als  Zwillings- 
axe anfhritt.  Wir  können  daher  nnsre  ferneren  Rech- 
nongen  bedeutend  vereinfachen,  wenn  wir,  den  all- 
gemeinsten Gesichtspunct  verlassend,,  nnsre  Untersu- 
ohnngen  zunächst  auf  den  Fall  beschränken,  da  die 

19» 


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292         Angewandte  KrystaUographie. 

Flächennormale  irgend  einer  Gestalt  der  Hanptreilie, 
also  irgend  eines  «T,  die  Zwillingsaxe  ist*). 

Zu  dem  Ende  haben  wir  in  den  orthometrischen 
Gleichungen  der  Axen  des  Individuums  II  n  =  1  zu 
setzen;  sie  erhalten  dann  folgende  Form: 
Gleichungei%der  Axe  der  x'i 


+  ±i =  0 


-    ^    =• 


€leichiing«ii  der  Axe  der  y^: 


*•-         -L  -^t  =0 


4«'a        "^         73 


*«  -      ^'^       =0 


3/3        ^  8»i'»a*  —  3 
Gleichnngea  der  Axe  der  z': 

£l        _        yj-       =0 

|/3  «'a 

^- J^        =0 

2«i'»a»— 3  6«»'a 

__!« ^'  ^0 

a«"aV3         2»'»a»— 3 

5.    626. 
Tnuufomatioa  der  Cooi^aten. 

Beieichnen  wir   die  Neigongswinkel  der  reclrt- 


*)  Da  weiter  Uten  toi  Bkuhitabea  ai,  »  «nd  r  varicioatBea» 
welche  accentiütt  werden  mfiwten,  «n  ale  van  dem  m  sa  witer- 
•dieiden,  welches  (in  den  GlMchongen  der  ZwilHngMze  auftritt, 
•o  schien  es  mir  heqoemer,  den  Accent  anf  dieses  a»  fiT>ergehen 
za  lassen,  am  iS»  folgenden  Fortadn  nur  mit  dnem,  ttait  ait  drei 
Mcentditen  Buchstaben  sdurdbea  n  kSnoea. 


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Zwillingshrystalle.    Cap.  V.  293 

winkligen  Axen  der  ^„  jfi  und  Zi  gegen  die  schief- 
winkligen Axen  der  x\  y'  und  7/  mit  (-XiJT),  (JTiF^, 
(JTiZO)  (I^i^O  ^'  ^*  ^9  B^  erhalten  "wir  für  die  Cosi- 
niui  dieser  Winkel  folgende  Werthe: 

«,(j.r)  — ,.>...  ^.  3 


«»#(F,r) « 


4»'»o»  +  3 

2m'at^3 

4m"a*  +  3 

3t/3 


coi{Z,Y')  = 
eo«(ZiZO  = 


8«"a'  +  6 

4»»'»a»+3 
ftw^^a'— 3 
8ii»"o»  +  6 
2«"o«— 3 


4»'«o»  +  3 
Da  nan  nach  bekannten  Regeln: 
St  =  x'co${X^X')  +  y'eo»{X,Y^  +  2'co»(X.Z0 

z,=  d/<;fl#(Z,J')  +  y'co»  (Z,yO  +  z'eo${ZiZ') 
■e  weiden  die  Subatitaenden  der  Coordinaten  Xi,  jh 
imd  Zi,  am  irgend  eine  für  das,  Indiriduam  I  gege- 
bene orthometrische  Gleichung  anf  das  schiefwinklige 
Axenaystera  des  Individaums n  sa  beliehen,  folgende: 

2.  =  ^jj7;^7:p[6"»'«*'-H(8«"«*-%'+(2«»"«'— S)»'l 


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294         eingewandte  Krystcdtogtapfüe. 

§.    627. 

Parameter  der  ParallelMche  dner  Fl&dM  des  IndiTidmuns  L 

Ist  ans  nun  im  Individuo  I  eine  Fl&che  gegeben, 

80  ist  sie   es  ursprünglich   durch  die,    ans   dem  krj- 

stallographischen  Zeichen    ihrer   respectiven  Gestalt 

mPn  abxulesende,  Gleichong 

ma        n         r 
welche  sich  anf  das  schiefwinklige  Axensygtem  be- 
sieht ;  diese  Gleichung  wird  orthometrisch  ausgedruckt : 

ma  "*■     «rj/3      "^    r   ~ 
Dieselbe  Fläche  erhält  aber,  wemi  man  sie  auf 
das   schiefwinklige   Axensystem    des   Individuums  II 
besieht,  eine  Gleichung  von  der  Form 

P^        9  « 

in  welcher  sich  die  Grössen  j»,  q  und  i  bestinmien, 

wie  folgt: 

__  mnfi*M'^a^  +  3) 


?  = 


4mm\n+r)a^  —  jir(4i»'*a*  —3) 

mnr(*m'^a^  +  3) 

*m'^a^mn  +  3r(2m'n  —  m) 

mnr(4m'^a*  +  3) 


im'^a^mr  +  3n(2m'r—m) 
Diese  Werthe  gelten  zunächst  für  die  beiden,  in 
dem  Sextanten  der  positiven  Nebenaxen  gelegenen 
Flächen  der  oberen  Hälfte  des  Individuums  I,  nnd 
zwar  hat  man  für  die  eine  dieser  Flächen  r  ss  1^ 
fBr  die  andere  »  c=  1  und  r  =  n  su  setzen. 

Für  die  beiden  Nebenflächen  in  derselben  Pjra- 
midenhälfte  ist 

r  «e  1,  und  II  r=  - 

oder  «  =  1,  und  r  =r      ^  . 


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ZwiUmgsirystaUe.  Cap.  F.  205 

und  f8r  die  beiden  Nachbarflächen  in  derselbenPy- 
ramidenhälfte 

n  =  %  und  r  = -z 

oder      r  =  II,  und  n  = r 

SU  setzen.  Auf  diese  Weise  werden  die  Parallelflächen 
Ton  sechs  Flächen  oder  von  drei  Flächenpaaren  der 
gegebenen  Gestalt  mPh  bestimmt;  die  sechs  übrigen 
Flächen,  oder  drei  übrigen  Flächenpaare  bestimmen  sich 
sogleich  aus  den  vorigen,  indem  man  m  negativ  nimmt 

i    628. 
Parallel^acheD  ^er  dihexagonalen  Pyramide  siPii. 

Fuhrt  man  die  im  vorigen  §.  angedeuteten  Sub- 
stitutionen der  Werthe  von  n  und  r  aus,  so  erhält 
man  folgende  Resultate: 

Den  Flächen  einer  dihexagonalen  Pyramide  tsPn 
in  dem  einen  Individuo  sind  paarweis   die  Flächen 
sechs  verschiedener  dihexagonaler  Pyramiden  in  dem 
andern  Individuo  parallel;    und  zwar  bestimmen  sich 
diese  Flächenpaare  und  die  ihnen  entsprechenden  Par- 
allelflächen, wie  folgt: 
1)  Dem  ersten,  im  Sextanten  der  ZwilUngsaxe  ge- 
legenen Flächenpaare  entspricht  im  andern  In- 
dividuo ein  Filichenpaar  von  den  Coäfficienten  *) : 

_  1       

^  ""  Amm\n+  i)a^—n(im'^a^—3) 
_  .      1 

*)  Da  aie  Gitae  siii(4si''s;,^-f  9)  dbi  gem^iiM^ftficher  Zah- 
ler für  alle  Wertlie  tod  p  ^  q  und  $  ist,  und  doch  jedeofalis  die 

Qnotieoieft  -^  und  -^  eder  ^  wd  *^  c d^det  werden  müssen,  es 

•Im  nvr  auf  das  Verfafiltnlss  der  Grossen  p,  q  und  s  ankommt»  so 
kt  jenw  geawJassJMiftMrhftFajBtor  im  Folgenden  weggelassen  wocdea« 


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296         Angewandte  KrystaUographie. 

^    '  1 

2)  Das  zweite  Flächenpaar  wird  von  den  beiden, 
in  derselben  Pyramidenhälfte  gelegenen  Neben- 
flächen  des  ersteren  gebildet;  ihm  entsprechen 
in  dem  andern  Individno  zwei  Flächen  von  den 
CoSfficienten : 

1 

^  ~  4mm\2n—l)a^—n(4m'^a^—3) 

_    1 

^  4m'^a^mn  +  S{2m'n—mn+m) 

^    1 

'         ^''a^m(n~i)  +  3n{2m'—m) 

3)  Das  dritte  Flächenpaar  wird  von  den  beiden  in 
derselben  Pyramidenhälfte  gelegenen  Nachbar- 
flächen  des  ersten  Paares  gebildet;  ihm  entspre- 
chen in  dem  andern  Individao  zwei  Flächen  von 
den  Co^fficienten: 

^ 1 

^  ^      n(im'^a^  —3)  —  4fliw'(2— «)a* 

1 ^ 

*  *m''a\n—i)m—3(2m'n—m) 

4. 


Für  die  drei  anliegenden  Flächenpaare  in  der  ent- 
gegengesetzten Pyramidenhälfte  bestimmen  sich  die 
Co^fficienten  der  Parallelflächen  ^  wenn  man  in  vor- 
stehenden Werthen  von  p,  q  und  t  die  anf  die  Haapt- 
axe  bezügliche  Ableitangszahl  m  negativ  einfühlt. 

f.    629. 

Regel  ba  der  Anwendung  der  gefundenen  Resultate. 

Die  Resultate    des    vorhergehenden  f.   beziehen 

sich   auf  das  subsidiarische  dreizählige  AxMsystem 

des  Individuums  II,  in  welchem  sich  die  Axen   der 

y'  und  z'  unter  60""  schneiden,  währeüd  die  Axe  der 


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Zwiüingshrysialle.  Cap.  V.  297 

af  anf  beiden  rechtwinklig  ist.  Sie  sind  daher  noch 
nicht  in  derjenigen  Form  ausgedrückt,  in  welcher  sie 
sich  unmittelbar  an  nnsre  krystallographische  Ablei- 
tung nnd  Bezeichnung  anschliessend  weil  4iese  auf 
dem  in  der  Erscheinung  gegebenen  vierzähligen  Axen- 
sf  Sterne  der  Axen  der  af^  j^,  if  und  «^  beruhen.  Um 
nun  die  Parallelflächen  auf  eine  mit  dieser  Ableitung 
nnd  Bezeichnung  übereinstimmende  Weise  darzustel- 
len, dazu  wird  folgende  Behandlung  der  gefundenen 
Grössen  jp,  q  und  t  erfordert. 

Man  diridire  jedenfalls  durch  die  IfJeinere  der 
beiden  Grossen  q  und  t  die  beiden  andern,  verwandle 
also  das  gefundene  Verhältniss  piqis  in 

£-:!:-?- 

«j      •       *  9  9 

oder  in 

^  .  .?.  .  1 

'  •    "  •     Jt 

$  9 

Nun  ist  der  Quotient  3^  oder  —  entweder  >  oder 

=  oder  <C  2;  ist  er  =  oder  <  2,  so  bezieht  sich 
die  gesuchte  Parallelfläche  auf  die  Nebenaxen  der  t^ 

und  z\  und  -^  oder  —  wird  der  auf  eine  dieser  Ne- 
'  9 

benaxen,  ^  oder  -^  der  auf  die  Hauptaxe  bezügli- 
che AbleltungseoSfficient  der  gesuchten  Fläche. 

Ist  dagegen  der  Quotient  -^  oder  —  >  2,  so  föUt 

die   gesuchte  Parallelfläche  in  einen   der ,   durch  die 
Axe  der  •  bestimmten  Sextanten ,   und  ist  danni  je- 
denfalls statt  ^-  die  Grosse  —2—,  statt  —  die  Grösse 
$  q—9^  q 

■_^     als  der  auf  die  Nebenaxe  bezügliche  Ableitungs- 
coSfficient  einzuführen.     Zugleich  ist  in  diesem  Falle 


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298         Angewandte  KryUcJiographie. 

ganx  besonders  darauf  zn  achten,  ob  der  Quotient  ^ 

oder  —  positiy  oder  negativ  ist,  weil  sich  danach  die 

Lage  der  Fläche  in  diesem  oder  jenem  der  von  der 
Ax^  der  u'  abhängigen  Sextanten  bestimmt. 

Es  f^Ut  nämlich  zuvörderst  die  gesuchte  Fläche 
in  den  Sextanten  der  z'  und  ti^,  oder  in  den  Sextan«* 

ten  der  y'  und  — n',  je  nachdem  -2.  oder  —  der  ge- 
fundene Quotient,  oder,  mit  andern  Worten,  je  nach- 
dem f  <C?9  od®'  9  "^C  '  i^^*  Dc^  Parameter  1  liegt 
aber  im  ersten  Falle  in  der  Axe  der  z^  oder  in  der 

Axe  der  tf^,  je  ^nachdem  -^,  i|n  zweiten  Falle  in  der 

Axe  der  ^  oder  in  der  Axe  der  u\  je  nachdem  — 
positiv  oder  negativ  ist. 

§.    630. 

Parallelflächen  der  bexagonalen  Pyramide  «tP. 

Setzt  man  in  den  Resultaten  des  §.  628  »  =  1, 
und  bringt  hierauf  fTir  selbige  die  Regeln  des  f.  629 
in  Anwendung,  so  erhält  man  für  die  hexagondle  Py- 
ramide mP  des  einen  Individuums  folgende  Parallel- 
flächen im  andern  Individuo. 

1)  Der  mit  der  Zwillingsaxe  unmittelbar  zum  Durch- 
schnitte kommenden  Fläche  von  mV  entspricht 
eine  Fläche  der  hexagonalen  Pyramide  pP,  für 
welche 

2)  Derjenigen  Fläche  von  «P,  welche  mit  der  er- 
steren  eine  MitteLkante  bildet,  entspricht  im 
zweiten  Individuo  die  Fläche  einer  Pyramide /)P, 
für  welche 


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ZmlUngsiryatalle.  Cap.  V.  299 

_    ftw^  — «t(4t"»a»— 3) 
^  "  8««'«»  +  (4i»'>a»  —  3) 
3)  Denjenigen  beiden  Flächen  von  mP,  trelcbe  niit 
der  enteren  Fläohe  Polkanten  bilden,  entspre- 
chen zwei  Flächen  von  den  Cofifficienten: 

1 

^  "~  4««'a'  —  (4»"a*  —  3) 


9  — 


1 


3(2»'  —  «) 

4)  Denjenigen  beiden  flächen  endlich,  welche  mit 
der  «weiten  Fläche  Polkanten  bilden,  entspre- 
chen zwei  Flächen  von  d^m  Verhältnisse: 

_      1 ^ 

'  "~      4si*i'a»  +  (4«'»a»  —3) 


jr=  — 


1 


3(2»'  +  «) 

f.    631. 
ParalleliUcIiea  der  hexagonalen  Pyramide  mVi. 

Die  Flächen  einer  jeden  Pyramide  der  Nebenreihe 
sind  den  Flächen  dreier  verschiedener  Gestalten  in 
dem  andern  Individao  paralleL 

1)  Demjenigen  Flächei^aare^  welches  mit  der  Zwil- 
lingsaxe  unmittelbar  znm  Durchschnitte  kommt, 
entsprechen  zwei  Flächen  von  dem  Verhältnisse : 

1 

'  ^  Gmm'a^  —  (4»'*«»  —  3) 

2 

*  "  Sm'^a'm  +  3(4»'  —  ») 

1 

'  ~  2«"a»»  +  3(2»'  —  «) 

2)  Denjenigen  beiden  Flädien ,  welche  an  den  Mit- 


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300         Angewandte  KrystaUographie. 

telkanten  der  beiden  enteren  anliegen,  entspre- 
chen zwei  FUchen  von  dem  Yerhiltnicse: 

1 

f~  4«'»«»— 3 

2 


4«»'*o*«  — 3(4«'-») 
3 


9  = 


4m'*a'M  +  3(4»'  +  ») 
3)  Denjenigen  beiden  Flächen  endlich,   welche  an 
den  Polkanten  der  ersteren  anliegen,  entspre- 
chen swei  Fiicfaen  von  dem  Verhältnisse: 

1 

'  ~  6MM'a*  +  (4»'««»  —3) 


S»'*«"«— 3(4»'  +  «) 

1 

2M'>a'»  — 3(2»'  +  ») 


S.    632. 
PanUdfl&diM  dar  Priamea  md  der  BatU. 

Die  Flächen  eines  jeden  dihexagonalen  Prismas 
ooP»  sind  paarweis  den  Flächen  dreier  dihexagonaler 
Pyramiden  parallel;  es  entsprechen  nämlich 

1)  dem  ersten  Flächenpaare  swei  Flächen  von  dem 
Verhältnisse: 

_  1 

^        4»'(»  +  l)o» 

—  1 

^  "■  4«'»o*i»  — 3 

1 

*~4»'*a»— 3j» 

2)  dem  sweiten  Flächenpaare  swei  Flächen  von  dem 
Verhältnisse : 

—  i 

^~      4»'(2»i  — l)a* 


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ZwiUingalrystalle,  Cap.T.  301 

_  1 

*  ~  4«»'»o»ji  — 3(»i  — 1) 

1 

*  "'4«"o»(»  — 0— 3« 

3)  dem  dritten  Flächenpaaie  xwei  Flächen  von  dem 
Yerh&ltnisse: 

—  1 

'~       4a»'(2  — «)o» 

1 
f  = 


4«'*a*(«  — 1)+3 
.1 


^  4«'»o*  +  3(«  — 1) 

Den  Flächen  des  Prismas  ooP  entsprechen  eine 
Fläche  einer  hexagonalen,  nnd  zwei  Flächen  einer  di- 
hexagonalen  Pyramide,  nämlich 

1)  der  ersten  Fläche  eine  Fläche 

2)  den  beiden  andern  Flächen  zwei  Flächen  von  dem 
Verhältnisse 

1  1  1 

Den  Flächen  des  Prismas  aoP2  entsprechen  zwei 
Flächen  einer  Pyramide,  und  eine  Fläche  von  (X>P2, 
nämlich 

1)  den  beiden  nut  der  Zwillingsaxe  zum  Dorch- 
schnitte  kommenden  Flächen  zwei  Flächen  von. 
dem  Verhältnisse: 

1_  2  1 

'•*•*""  5iV  •  Ssi'^o»— 3     ^ai"«»— 3 

2)  der  mit  der  Zwillingsaxe  parallelen  Fläche  ei(> 
ne  Fläche  ^p2 

Endlich  entspricht  der  basischen  Fläche  OP  jeden- 
falls eine  Tltcfae  von 

^'       p 
4«»'»o»— 3 


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302         jingewandte  KrystaUographie. 

%.    633. 
AUgemeine  Bravchbark^  der  gefundenen  Resultate. 

Die  meisten  Zwillinge  des  hexagonalen  Systemes 
sind  bis  jetzt  im  Gebiete  seiner  hemiedrischen  Kry- 
stallreihen  beobachtet  worden.  Wiewohl  sich  nun 
die  vorstehenden  Resultate  zunächst  auf  die  holoedri- 
schen Gestalten  beziehen,  so  sind  sie  doch  anf  die 
Zwillinge  der  hemiSdrischen  und  tetartoSdrischen  Ge- 
stalten anwendbar,  sobald  man  nur  für  selbige  die 
primitive  Ableitung  und  Bezeichnung  zu  Grunde  legt, 
was  überhaupt  bei  allen  theoretischen  Untersuchun- 
gen im  Gebiete  dieses  Systemes  anzuempfehlen  ist* 
Was  die  Zwillinge  der  rhomboSdrischen  Formen  ins- 
besondere betrifil,  so  sind  für  jedes  SkalenoSder  von 
seiner  respectiven  Muttergestalt  mPh  nur  entweder 
die  Flächenpaare  Nr.  I,  V  und  VI,  oder  die  Flächen- 
paare Nr.  U,  ni  und  IV,  für  jedes  RhomboSder  eben 
so  nur  die  diesen  drei  Flächenpaaren  entsprechenden 
abwechselnden  Flächen  in  Betrachtung  zu  ziehen,  zu 
welchem  Ende  die  secundären  Zeichen  mR^  der  Ska- 
lenodder  auf  ihre  primitiven  Zeichen 

mnr — r-r 

reducirt  werden  müssen. 

f.    634* 
Häufigstes  Zwillingsgesets. 

Das  allergewohnlichste  Gesetz,  welches  jedoch  nur 
für  hemilldrische  Formen  wirkliche  Zwillinge  zur  Folge- 
liat,  ist: 

Zwillingsaxe  dieHauptaxe,  oder  di^Nor- 
male  von  OP. 

Dieses  Gesetz  giebt  für  die  Individuen  rbombo^ 
drischer  Combinationen  dM  sehr  einfache  Resultat, 
dass  die  beiderseitigen  ^miidrischen  Gestalten  ihre 


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ZwilUngslrystalle.    Cap.  F.  303 

iiPi 

2 


mPii 

resp.  Mattergestalt  reprodaciren^    indem  Jedes  — ^ 


mpn 
des   einen  IndiTidaoms  die  Stelläng  Ton —  des 

andern  Indiridanms  erhält,  und  f)iee  ver$a;  weshalb 
beide  zugleich  den  vollständigen  Fiächeninbegriff  der 
holoedrischen  Gestalt  siPii  darstellien. 

Wenn  diese  Art  der  Zusammensetzung  mit  Jnxta* 
Position  Statt  findet,  so  ist  die  Zusammen'setzungs« , 
fläche  entweder  die  Basis  OA,  in  welchem  Falle  die 
Zwillinge  oft  sehr  regelmässig  erscheinen,  indem  je- 
des Individuum  fast  genau  die  Hälfte  eines  einzigen 
Individuums  darstellt;  oder  die  Zusammensetzungsflä- 
che  ist  eine  Fläche  von  ooA,  in  welchem  Falle  die 
Zwillinge  zuweilen  noch  sehr  symmetrisch  gebildet  sind« 

Wenn  endlich  Durchkreuzung  dw  Individuen  Statt 
findet  9  so  erscheinen  die  Zwillinge  gleichfalls  ntdit 
selten  sehr  symmetrisch  mit  gegenseitig  über  einan- 
der hervorspringenden  Theilen. 

Die  Berechnung  der  gewöhnlichsten  Zwillingskan- 
ten ist  in  allen  diesen  Fällen  ein  sehr  einfaches  Pro- 
blem, indem  man,  wenn  Juxtaposition  Statt  findet, 
nur  den  Neigungswinkel  einer  jeden  Fläche  jP  des  ei- 
nen Individuums  gegen  die  Zusammensetzungsfläche 
zu  verdoppeln  braucht,  um  ihre  respective  Zwillings- 
kante mit  der  analogen  Fläche  JF^  des  andern  Indivi- 
^unms  zn  finden;  wogegen,  wenn  Durchkreuzung 
Statt  findet,  die  Zwillingskanten  je  zweier  Skaleno^ 
der  die  Supplemente  der  normsden  Polkante  nnd  der 
Mittelkante  der  entsprechenden  dihexagonalen  Pyra- 
mide, die  Zwillingskanten  je  zweier  RhomboSder  die 
Supplemente  der  Polkante  umP  der  Mittelkante  der 
entsprechenden  hexagonalen  Pyramide  sind. 


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304         jängewandte  Krystallographie. 

B,     Beichreüung  der  wichtigtien  Zwiüiuge. 

f.    635. 
Zwillinge  des  Kalkspathet. 

Der  Kalkspatb,  dieier  Proteus  des  Mineralreiches, 
welcher  an  Mannichfaltigkeit  seiner  einfachen  Gestal- 
ten sowohl  als  seiner  Combinationen  alle  bekannten 
Mineralspecies  übertrifft,  nnd  üast  von  jedem  beson- 
deren Fundorte  in  eigenthiimlichen  Formen  bekannt 
ist,  wird  auch  durch  seine  Zwillingsbildung  beson- 
ders merkwürdig,  indem  er  unter  allen  hexagonalen 
Mineralspecies  die  mannichfaltigsten  Zwillingskrystalle 
«eigt. 

Die  Dimensionen  der  Grundgestalt  des  Kalkspa- 
tbes  sind  nach  Breithaupts  sehr  interessanten  Beob- 
achtungen in  verschiedenen  Varietäten  etwas  Terschie- 
den,  wie  sich  auch  von  einer  Species  erwarten  liess, 
deren  Substanz  zwar  in  der  reinsten  Form  kohlen- 
saurer Kalk,  aber  gewohnlich  durch  grössere  oder 
kleinere  Antheile  der  mit  Kalk  isomorphen  Basen  ver- 
unreinigt ist.  Die  durch  Mannichfaltigkeit  der  Ge» 
stalten  und  häufiges  Vorkommen  vorzuglich  ausge- 
zeichneten Varietäten  (Breithaupts  polymorpher  Car- 
bonspath)  besitzen  den  Polkantenwinkel  der  Grund- 
gestalt 

105^  8' 

während  derselbe  Winkel  in  den  übrigen  Varietäten 
zwischen  105''  (K  und  105^  17^  schwankt,  und  in  der 
gewöhnlich  gemessenen  Varietät  des  Isländischen  Kalk- 
spathes  lOö*"  ö^  beträgt. 

Es  scheint  hiemach  erlaubt,  anzunehmen,  dass  der 
Werth  der  Axe        • 

die  Species  im  Allgemeinen  charakterisire ,  weil  der 
daraus  folgende  Winkel 

105*  y  41* 


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ZufiUingskrystalle.    Cap.  V.  305 

ungefähr  der  mittlere  zwischen  den  beobachteten  Ex- 
tremen und  fast  genau  derjenige  ist,  welchen  die  po- 
lymorphen Varietäten  zeigen*). 

Die  wichtigsten  der  am  Kalkspathe  beobachteten 
Zwillingsgesetze  sind**): 

1)  Zwillingsaxe  die  Normale  Ton      O/l; 

2) \R\ 

3)  -----    -         -         Ä; 

4)  - --2Ä. 

§.  636. 
FoTtaetzung ;  Zwillinge  nach  dem  ersten  Getetze. 
Die  nach  dem  ersten  Gesetze  gebildeten  Zwillinge 
des  Kalkspathes  sind  jedenfalls  leicht  zu  erkennen, 
wiewohl  sie  nicht  selten ,  bei  Jaxtaposition  der  Indi- 
▼idnen  in  der  Fläche  Oü  so  symmetrisch  gebildet  sind, 
dass  sie  scheinbar  ein  einziges  Individuam  darstellen. 
So  findet  sich  häufig  die  Combination  oc/l. — 4-ü,  Fig. 
689,  in  Zwillingen  wie  Fig.  690,  deren  Form  sich  ain 
richtigstell  darstellen  lässt,  wenn  man  sie  mit  Haüy 
als  Hemitropieen  beschreibt,  indem  man  voraussetzt, 
das  Individuum  Fig.  689  sey  durch  einen  Parallelschnitt 
der  Basis  halbirt,  und  die  eine  Hälfte  gegen  die  an- 
dere durch  180^  verdreht  worden.    Dasselbe  gilt  von 


*)  Will  man  Cur  a  eine  rationale  Zahl  haben ,  so  bietet  sich 
am  nächsten  f  ^r,  was  die  Polkante  104^  56^  giebt,  daher  man 
diesen  Werth  wemgstens  f&r  Zeichnungen  und  Modelle  ohne  Feh- 
ler zu  Grande  legen  kann. 

*^)  Das  Gesetz,  ZwilHngsaxe  die  Normale  von  ocil,  lässt  sich 
für  den  Kalkspath,  in  welchem  kein  Unterschied  zwischen  dem  obe- 
ren und  unteren  Ende  der  Crestalten  besteht,  auf  das  erste  Gesetz 
nr&ckf&hren.  FAr  hemimorphisehe  KrystaUreihen  wäre  dies  jedoch 
nicht  gestattet  Das  von  Mobs  angeführte  Gesetz,  Zwillingsaxe 
die  Polkante  von  22,  lässt  sich  auf  das  zweite  Gesetz  zurückführeny 
welches  für  manche  Zwillinge  auch  so  ausgesprochen  werden  kann : 
Zwillingsaxe  die  Normale  von  ^R^  weil  dieses  letztere  Rhombo6- 
der  das  iaverse  Ton  B  ist  ($.  849).    Vei^  S-  ^^ 

n.  20 


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306         Angewandte  KrystaUographie. 

den  in  Fig.  694  abgebildeten  Zwillingen  der  Combina- 
tion  — 1/1.0/1./1,  Fig.  693. 

Besonders  häofig  Ifonml  das  anter  dem  Namen 
der  metastatisohen  Varietät  bekannte  Skal^aoSder  JR' 
nach  diesem  Gesetze  als  Zwillingskrystall  Tor,  4hi- 
wohl  in  seiner  selbständigen  Aosbildong  als  aach  in 
seinen  Combinationen  mit  andern  Gestalten.  Wenn 
die  Individuen,  wie  gewöhnlich,  durch  Jnxtaposition 
in  der  Fläche  OA  verbunden  sind,,  so  erscheinen  die 
Zwillingskrystalle  als  sehr  regelmässige  Hemitropieen; 
so  stellt  Fig.  697  eine  Hemitropie  des  vollständ^  ans^ 
gebildeten  Si^alenoäders  il%  Fig.  699  eine  Hemitropie 
der  Combination  ü^.j-il^,  und  Fig.  703  eine  Hemitro- 
pie der  in  Fig.  702  abgebildeten  Combination /l'. — ^R. 
ooR  vor.  Alle  diese  Zwillinge  scheinen  gewöhnlich 
auch  in  der  Natur  selbst  so  regelmässig  aus  swel 
Hälften  eines  Individuums  zusammengesetzt  zu  seyn, 
dass  ihnen  die  Haüysche  Construction  vollkommen 
entspricht.  In  Fig.  697  und  699  betragen  die  aus- 
und  einspringenden  horizontalen  Zwillingskanten  ISS"* 
0^;  diese  Winkel  verschwinden  dagegen,  wenn  die 
Flächen  des  Prismas  ooR  vorhanden  sind,  wie  in 
Fig.  703,  welche  Flächen  dann  im  Zwillinge  nicht  mehr 
als  sjrmmetrische  Trapezoide  (wie  im  einfachen  K17- 
stall,  Fig.  702),  sondern  als  zweierlei  verschiedene 
Rhomben  erscheinen,  deren  horizontale  Diagonalen 
nicht  selten  durch  eine  schwache  Einkerbung  die  Zu- 
sammensetzung verrathen. 

§.    637. 
Festi^tEQag. 

Findet  dieselbe  Zusammensetzung  mit  Penetration 
der  Individuen  Statt,  so  entstehen  Zwillinge,  vrie  sol- 
che z.  B.  fdr  die  Combination  —\R.ooR  in  Fig.  695, 
fiir  das  Skalenoeder  R^  in  Fig.  700  und  701  abgebil- 
det sind,   wel^ie  letztere  beiden  Figuren  diese  Art 


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Zunllingskrystalle.    Cap.F.  307 

der  Ziuainmensetsiiiig  mit  Wiederholung  darstellen, 
indem  ans  einem  grösseren  Individuo  mehre  kleinere 
bdividnen  heransragen ;  ein  Verhältniss,  welches, 
wenn  aneh  nicht  in  der  idealen  Regelmissigkeit,  wie 
es  dieflgnren  xeigen,  so  doch  nicht  selten  ra  beob* 
achten  ist.  Dabei  Ifissl  sieh  in  der  Lage  der  kleine* 
ren  Individnen  gegen  das  grössere  noch  der  Unter- 
schied geltend  machen,  dass  die  Ihidimente  der  erste- 
ren  entweder  ans  denP^  stumpferen  od«r  ans  den  schär- 
feren Polkanten  des  letzteren  henrorragen;  ein  Un- 
terschied, welcher  dareh  die  Fignren  700  und  701  veran- 
schaulicht wird.  Uehrigens  ist  in  Fig.  700  auch  der  mitt- 
lere Krystall  als  Träger  der  ganzen  Gruppe  schon  ein 
durch  Juxtaposition  gebildeter  Zwilling,  wie  Flg.  697. 

Einen  mericwürdigen  Fall  Ton  sich  umschliessenden 
Individuen  der  Gestalt  — ^R  bat  Haidinger  beobachtet; 
das  eine  grössere  Individuum  ist  auf  eine  eigenthümli- 
^e  Art  seinen  eigenen  Flächen  parallel  ausgehöhlt,  und 
bildet  gleichsam  ein  flaches  Becken,  in  dessen  Boden 
das  zweite  Individuum  eingesenkt  ist;  flg.  696. 

Nicht  selten  findet  die  Zwillingsbildung  nach  dem 
ersten  Gesetze  in  der  Art  Statt,  dass  eine  Fläche  von 
oo^  als  Zusammensetznngsfläche  auftritt.  So  finden 
sich  z.  B.  Individuen  der  Combination  ocil. — ^/l,  des 
SkalenoMers  R^  und  andrer  Gestalten,  auch  das  pri- 
autive  Rhomboöder  jR  selbst,  inKrystallen  nndSpal- 
tongsstäcken  (jedc^  häufiger  noch  in  der  Species  des 
Paratomspathes  als  in  der  des  Kalkspathes)  wie  Fig. 
692,  das  fthombo«d«r  ^2R  wie  flg.  691  zusammen- 
gesetzt. 

f.    638. 
Fortaetsnog;  Znvilliiige  nach  den  sw^len  Gresetze. 

Die  Zwillingsbildung  nach  dem  zweiten  Gesetze, 
da  nämlich  die  Normale  einer  Fläche  des  IHumboö- 
ders  — \R  die  ZwiHingsaxe  ist,  kommt  mit  Juxtapo- 

20* 


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308         Angewandte  Krystallographie. 

silion  anier  andern  sehr  häufig  an  den  Spaltangs*- 
stücken  mancher  derber  Varietäten  und  zumal  des 
Isländischen  Doppelspathes  vor.  Da  dasRhombo^er 
— 4-^  <11®  Polkanten  des  Rhombo§ders  R  regelmässig 
abstumpft,  so  entspricht  die  Zusammensetznngsfläclie 
jedenfalls  einer  solchen  Abstumpfungsfläche,  und  man 
erhält  daher  die  Stellung  beider  Individuen,  wenn 
man  ein  Rhomboäder  R  nach  einem  durch  zwei  par- 
allele Mittelkanten  gehenden  Sdlknitte  halbirt,  und  die 
eine  Hälfte  gegen  die  andre  um  ISO"*  verdreht  denkt; 
Fig.  704.  Die  Zusammensetzung  wiederholt  sich  ge- 
wohnlich, indem  mehre  lamellare  Individuen  in  bei- 
derlei Stellung  mit  einander  abwechseln;  Fig.  705« 
Oft  sind  mehre  dergleichen  Lamellen  von  sehr  gerin- 
ger Dicke  in  ein  Rhombo^der  eingeschlossen,  und 
dann  offenbart  sich  die  Zusammensetzung  nur  durch 
schmale  Furchen  oder  Streifungen,  welche  auf  zwei 
Gegenflächen  des  Rhombo^ders  ihren  längeren  Diago- 
nalen parallel  laufen,  und  nichts  anders  als  die  Aus« 
gehenden  der  eingeschlossenen  Individuen  sind;  Fig, 
706.  Dieses  Verhältniss  findet  sehr  häufig  in  den 
wasserhellen  Spaltungsstücken  des  Isländischen  Dop- 
pelspathes Statt,  und  hat  nicht  nur  mancherlei  (nur 
aus  dieser  Zusammensetzung  erklärliche)  optische  Phä- 
nomene, sondern  auch  die  Entstehung  von  sehr  voll- 
kommenen Absonderungsflächen  zur  Folge,  welche 
nicht  selten  für  Spaltungsflächen  gehalten  worden  siftd. 

Auch  wirkliche  Krystalle,  wie  z.  B.  Combinationen 
des  Prismas  oojR  mit  andern  Gestalten  sind  dieser  Zu- 
sammensetzung unterworfen,  welche  sich  jedenfalls 
daran  erkennen  lässt,  dass  die  Hauptaxen  beider  In- 
dividuen einen  Winkel  von  127°  34'  bilden;  Fig.  707. 

Setzt  man  a  =  ^-^^  so  werden  die  Parallelflächen : 
für  die  Fläche  OjR  eine  Fl.  von  44/t 

fiir  die  erste  Fläche  oo/l     -      -       -    \^R 

Ä    -     .      .   VViJ 


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• 


ZwiUingsirysialle.   Cap.  y.  309 

wofür  man  jedoch,  Behufs  der  Zeichnung  der  Zwil- 
lingskrystalle,  ohne  Fehler  die  ans  dem  Werthe  i^  =5  |/f 
folgenden  Flächen  4^^)  ^R  iHid  \R  setxen  kann. 

§.    639. 
Forttetzuog;   ZwUlioge  nach  den  dritten  Gesetze. 

Die  nach  dem  Gesetze :  Zwillingsaxe  Normale  von 
H,  gebildeten  Zwillinge  zeichnen  sich  dadurch  sehr 
ans,  dass  dieHauptaxen  ihrer  beiden  Individuen  fast 
rechtwinklig  sind,  indem  der  Neigungswinkel  dersel- 
ben 89^  8^  beträgt.  In  säulenförmigen  oder  andern 
Krystallen  von  etwas  langgestreckter  Form  sind  sie 
daher  sehr  leicht  zu  erkennen.  Sie  finden  sich  z.  0. 
nicht  selten  an  der  Combination  ocil.OJR,  Fig.  708, 
und  unter  andern  sehr  schön  zu  Gersdorf  an  der 
Combination  ocJR. —  ^ü.  Auch  gehören  hierher  die 
von  Haüy  beschriebenen  herzförmigen  Zwillingskry- 
stalle  der  Variete  analogique^  oder  der  in  Fig.  702 
dargestellten  Combination  R^.^^R.ooRj  deren  Zwil- 
linge bisweilen  aus  zwei  ziemlich  symmetrischen  Hälf- 
ten bestehen,  so  dass  sie  sich  aus  einem  Krystall 
wie  Fig.  702  construiren  lassen ,  wenn  man  annimmt, 
derselbe  sey  nach  einer  fläche  des  primitiven  Rhom- 
boSders  (also  nach  einer  Spaltungsfläche)  halbirt,  und 
die  eine  Hälfte  gegen  die  andre  durch  ISO''  verdreht 
worden.  Die  achtseitige  Iigur  alcdadcb  stellt  sehr 
nahe  die  Conture  eines  solchen  Schnittes,  und  Fig- 
709  das  Resultat  der  Hemitropie  selbst  in  einer  sol- 
chen Stellung  dar,  dass  die  Zusammensetzungsfläche 
vertical  und  auf  den  Reobachter  gerichtet  ist,  weil 
die  Zwillinge  in  dieser  Stellung  aufgewachsen  zu  seyn 
pflegen. 

f.    640. 
Fortaetzaqf ;  Zwiliinge  nach  dem  vierten  Gesetze. 

Nach  dem  vierten  Gesetze,   welchem  zufolge  die 


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310         Angewandte  Krystallographie. 

Normale  einer  Fläche  ron  — iB  ab  Zwillingsaxe  auf* 
tritt,  koimneii  anter  andern  die  SkalenoMer  jR^  und 
solche  Combinationen,  in  welchen  R^  die  vorherr- 
schende Gestalt  bildet,  verwachsen  vor;  Fig.  710.  Der 
Neigongswinlcel  derHauptaxen  beider  Individuen  be- 
tragt 53^  6(/y  und  der  einspringende  Neigungswinkel 
der  einander  sngekehrten  stonlpferen  Polkantea  der 
beiden  Skalenofider  JR'  dS"  2\ 

Was  die  znr  Constmction  der  Axen  des  sweiten 
Individnnms  erforderlichen  Elemente  betrifft,  so  kann 
'man  ohne  Fehler  die  Haüysche  Annahme  a  =  |4  za 
Grande  legen,  nach  wdlcher  sich  bestimmt  dKe  Par- 
idlelflftche 

der  Fläche  OA  eine  ilEehe  von  iR 

der  ersten  Fläche  ocbB    •        •    -       -    iit 

.....       B    .       .    .       -    4i 


4Ä 


|.    641. 

ZwilÜDfe  der  riiomboSdrbehen  SUberUende. 

Die  rhombo^drische  Silberblende  oder  das  Roth- 
gütigere  kommt  in  verschiedenartigen  Zwillingskry* 
stallen  vor.  Nicht  selten  findet  man  Krjstalle  nach 
dem  Gesetze:  ZwiUingsaxe  die  Haoptaxe,  verwach- 
sen, in  welchem  Falle  theils  die  Basis,  d^ils  auch 
eine  Fläche  von  ooH  als  Zosammensetsniq^sfläche  aof- 
tritt.  So  hat  Haidinger  sehr  schone,  darch  Jaxtapo- 
sition  gebildete  Zwillinge  der  in  Fig.  711  perspectiv 
visch,  Fig.  712  im  Grundrisse  dargestellten  Combi* 
nation 

beobachtet,  deren  Zosammensetzangsfläche  eine  Fläche 
von  oojR,  and  welche  bei  gehörig  symmetrischer  Aas- 
bildung scheinbar  einen  einzigen.  Krystall  darstellen, 
indem  sich  die  Individuen  wie  die  beiden  Hälften 
zweier  Individuen  verhaken;   Grandtiss  in  Fig.  713. 


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ZunttingsirysiaUe.    Cap.  F.  311 

In  andern  Zwillingen  derselben  Combinalion  fand  eine 
▼oUkoinmene  Durefalorenznng  der  Individnen  Statt,  so 
^uis  sie  im  Grandirisse  wie  Fig.  714 .  erseheinen ,  in- 
dem die  beiderseitigen  SkalenoSder  ihre  resp.  dibexa- 
gonalen  Pyramiden  reproduciren. 

Der  Hemimorphismns,  welcher  sich  an  vielen  Com- 
binationen  dieser  Species  anf  eine  sehr  bestimmte 
Weise  vorfindet^  und  schon  dorcSi  das  so  häufige  Anf- 

OCÄ 

treten  des  trigonalen  Prismas  ——-  als  ein  gesetzli* 

ehe«  Yerhältnlss  dieser  Krystallreihe  tu  erlcennen 
giebt,  hat  bisweilen  gans  eigenthfimliche  swillingsar- 
tige  Znsamlnensetstiiigen  snrFolg^,  indem  swei  sfin* 
lenartige  Individiien  in  einer  Parallelflllcfae  von  OK 
dergestalt  an  einander  stossen^  dass  alle  Flächen  des 
einen  den  Flächen  des  andern  parallel  sind,  mit  al- 
leiniger Aasnähme  der  dem  trigonalen  Prisma  entspre- 
^enden  Flächen,  welche  für  beide  Individuen  wider- 
sinnig liegen.  Figr721  stellt  eine  dergteicfaen  zwil- 
lingsartige Yerwaohsung  der  Combination 

dar,  deren  Bild  das  Original  wenig  an  Regelmässig- 
keit abertriflBt. 

!•    642. 

Forttei^Hiiig. 

Nicht  selten  finden  si^h  die  Ifidividiien  der  rhom- 
boädrischen  Silberblende  nach  dem  Gesetze  verwach- 
sen: Zwillingsaxe  tiomial,  Zttsinmienietzangsflä^he 
parallel  einer  fläche  ton  \Rj  dder  anch:  Zwillii^- 
axe  eine  Polkante  von  — 4*^,  Zusammensetsangsflä'- 
cbe  die  Normalfläche  dieser  Kante.  So  entspricht 
z.  B.  der  in  Fig.  719  dargestellte  Zwilling  der  Com- 
bination ooP2. —  ^R  der  zweiten  Formel,  während  er 
hingegen  richtiger  nach  der  ersten  Formel  beschrie- 


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312         At^ewandte  KrystaUographie. 

ben  werden  würde,  wean  das  eine  Individnum  nur 
nach  oben,  das  andere  nur  nach  unten  hin  ausgebil- 
det wäre,  in  welchem  Falle  ein.  kniefSmuger  Zwilling 
som  Vorschein  kommen  würde.  Der  Neigungswin- 
kel der  beiderseitigen  Hauptaxen  beträgt  26°  C  Diese 
Zwillingsbildung  wiederholt  sich  gewöhnlich  mehrfach 
nach  verschiedenen  Richtungen,  so  dass  immer  ein 
IndiTiduum  an  das  andere  anschliesst,  und  bouquet- 
artige  Gruppen  von  vielen,  nach  oben  divergirenden 
Individnep  entstehen ;  Fig.  720  stellt  einen  nach  die- 
sem Gesetze  gebildeten  Vierlingskrystall  dar;  meist 
ist  jedoch  das  centrale  Individuum,  gleichsam  der 
Träger  der  ganzen  Gruppe,  grösser  als  die  übrigen; 
ja  es  kommen  dergleichen  Gruppen  vor,  in  welchen 
das  mittlere  Individuum  eine  ganz  andere  Combina- 
tion  zeigt,  als  die  übrigen. 

Ueberhaupt  aber  sind  die  nach  diesem  Gesetze 
gebildeten  Zwillinge  der  Silberblende  gar  nichts  Sel- 
tenes, und  finden  sich  vielmehr  für  die  verschieden- 
artigsten Formen  verwirklicht.  So  giebt  es  z.  B.  von 
Andreasbetg  sehr  schöne  Zwillinge  der  Combination 

ooP2.-3/l^.iÄ* 
in  welcher  auch  untergeordnet  das  trigonale  Prisma 

—7p  und,   wie  es  scheint,   die  hexagonale  Pyramide 

4P2  auftritt.  Einen  Zwilling  der  Art  zeigt  die  Fig. 
718;  die  Kantenwinkel  der  beiden  Skalenoßder  sind 
folgende : 

für  3Ä^,  J=s86^36%  Y^ibT  6%  Z==  135^44' 
für  |ÄS  -  -146^4',  •  .  157^42',    •  -     69*»2(y 

die  Combinationskante  von  SÄ"**  zu  ocP2  beträgt  ihT 
52^  Ausser  diesen  Gestalten  zeigen  diese  Zwillinge 
noch  ein  merkwürdiges  Verhältniss,  indem  die  Pol- 
kante Y  des  einen  Individuums  mit  der  Polkante  Y^ 


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ZwiUingsirysialle.    Cap.  V.  313 

des  andern  Individuums  coincidirt,  weshalb  diese  Pol- 
kante selbst  die  Zwilliogsaxe ,  und  folglich  auch  die 
Normale  einer  Fläche  des  RhomboSders  |/l  repr&ien- 
tirt.   Weil  nun  aber  die  längeren  Polkanten  des  Ska- 

lenoCders  — 3/t^  der  Lage  nach  mit  den  Polkanten 
des  Rhombo§ders  ^H  übereinstimmen  (§.  307),  so  müs- 
sen die  RhomboSder 

\R  und  ^Ä 
inverse  RfaomboSder  seyn  (f.  349),  woraus  sich 

und  a*  =  0,64  =  ff 

als  der  Werth  der  Hauptaxe  in  dieser  Varietät  der 
rhombol^drischen  Silberblende  ergiebt.  Nach  diesem 
Werthe  sind  auch  die  vorstehenden  Winkel  der  Ska- 
lenoSdcr  berechnet* worden,  deren  Restimmung  auf 
folgenden  Messungen  beruhte: 

in  3/1^,  Polk.  JC=    86H 

CK.  xu  (X)P2  =  158*^ 
in  +jBS  Polk.  X  =  146^ 
Polk   Y  z=:  158^ 
Uebrigens  kommen  an  der  Silberblende  auch  ähn- 
liche Zwillinge  vor  wie  Fig.  708 ,  in  welchen  jedoch 
die  Hauptaxen  beider  Individuen  um  einige  Grad  von 
der  Rechtwinkligkeit   abweichen;    an   den  Krystallen 
der  Combination  ocP2.— ^  j^ü  von  Joachimsthal  und  an- 
dern Varietäten  findet  sich  diese  Zwillingsbildung  gar 
nicht  selten.    Die  Zwillingsaxe  entspricht  einer  Nor- 
male des  Rhombo^ders  /l,  oder  auch  einer  Polkante 
des  Rhomboeders  — 2i{,  und  der  Neigungswinkel  der 
Hauptaxen  beträgt  Sb""  ^8^ 

f.    643. 
Zwillinge  des  Chabarites,  LeTynes  und  Zinnobers. 

Der  Chabasit  findet  sich  oft  in  Durchkreuzungs- 


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314        Angewandte  KrystaUographie. 

swilfingen  nach  dem  Gesetze :  ZwilUngsaxe  die  Hanpt- 
axe.  Die  Indiridaen  zeigen  dbeils  das  Rliombo^er  /t, 
dessen  Polk.  angefftfar'9ö^  messen  ^  theils  die  Combi- 
nadon  A. — \R. — 2Rj  an  welcher  wohl  aaoh  das  Prisma 
ooP2  Theil  nimmt  Unter  Yoranssetzong  einer  völlig 
symmetrischen  Ausbildnng  ersclieinen  die  Zwillinge 
der  Gmndgestalt  selbst,  wie  Fig,  716;  gewohnlich 
aber  ist  ein  Individnom  das  Torherrschende,  so  dass 
mir  Rudimente  des  zweiten  Individuums  aber  seinen 
Flächen  hervorragen.  Dasselbe  ist  auch  in  den  Zwil* 
fingen  der  erwähnten  Combination  der  Fall,  obwohl 
Exemplare  vorkommen,  in  denen  die  Regelmässigkeit 
der  Fig.  716  beinahe  realisirt  ist,  und  die  beidersei- 
tigen Flächen  oqP2  wirklich  coincidiren,  so  dass  die 
den  Mittenkanten  von  R  parallelen  Streifiingen  der* 
selben  sich  kreuzen« 

DerLevyn,  eine  demChabasit  sehr  ähnliche  Spe* 
eies,  findet  sich  auch  in  ganz  älmlichen  Durchkreu* 
zungszwillingen  der  Combination  OR.R. — 4-jR,  Fig.  717; 
indess  messen  die  Polkanten  des  Rhomboäders  R  nicht 
95%  sondern  79*^  3(y. 

Endlich  kommt  auch  der  Zinnober  oder  die  rhom- 
boSdrische  Mercurblende  in  ganz  analog  gebildeten 
Zwillingskrystallen  vor,  sowohl  mit  Juxtaposition  als 
auch  mit  Durchkreuzung  der  Individuen,  wie  solches 
die  Figuren  722  und  723  darstellen,  welche  sich  beide 
auf  die  Combination  jR.OA  beziehen;  die  Polkanten 
des  Rhomboäders  R  messen  ungefthr  72^. 

f.    644. 
Zwillinge  dM  BiMoglaaset. 

Der  Eisenglanz  oder  das  rhomboädrische  Eiseners 
kommt  in  Zwillingen  vor,  welche  gleichfalls  nach  dem 
herrschenden  Gesetze  gebildet  sind,  dass  die  Haupt- 
axe  als  Zwillingsaxe  auftritt.  So  finden  sich  zu  Al- 
tenberg  sehr   regelmässige  Durchkreuzungszwillinge 


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ZmUingshrystaUe.  Cap.  K  315 

der  Cambination  \92.R.QR,  Flg.  724,  welche  dadurch 
«osgeseichnet  sind,  dass  von  den  beiderseitigen  !!§• 
ehen  der  Pyramide  4^2  je  swei  in  eine  Ebene  fid- 
len, während  die  Flächen  der  Rhomboäder  R  einsprin* 
gende  Winkel  bilden. 

Dagegen  sind  die  titfelartigen  Krystdie  des  vnl* 
canischen  Eisenglanzes  von  Stromboli  swar  nach  dem- 
selben  SteUnngsgesetse,  aber  nach  einer  andern  Mo- 
dalität ^%t  Verwachsung  snsaniniengesetst,  indem  s.  BJ 
swei  IndiTiduen  der  Combination  Oil.il.ocP2)  Fig.  725, 
durch  Jnxtaposition  in  einer  Fläche  des  Prisnuui  ooil 
▼erbnnden,  nnd  meist  so  syittmetrisch  geUldet  und  in 
einander  geschoben  sind,  dase  sie  die  Hälften  eines 
einzigen  Indiridnums  darstellen,  nnd  zwei  Flächen 
▼en  ooP2  beiderseits  in  eine  Ebene  fallen;  Fig. 726. 
Da  die  Flächen  OR  zuweilen  triangolär  gestreift  sind, 
■o  kann  die  verwendete  Lage  der  Streifen  anf  der 
einen  EUlfte  dieser  Flächen  als  ein  Merkmal  der  Zu^ 
aammeasetznng  dienen,  welche  sich  übrigens  durch 
die  Lage  der  beiderseitigen  Rhombo^derflächen  sehr 
bestimmt  zu  erkennen  giebt. 

f.    646. 
ZwiliiBge  des  Titandieiierzes. 

Die  am  Titaneisen  von  Gastein  StaU  findende 
rhombo§drische  Tetartoädrie,  kraft  welcher  die  hexa- 
gonalen  Pyramiden  der  Nebenreihe  als  Rhomboädev 
auftreten,  hat  eine  eig^nthümliche  von  Mobs  entdeckte 
Zwillingsbildnng  zur  Folge,  in  welcher  sich  gleich- 
sam die  Tendenz  zur  Reproduction  hemiädrischer  For- 
äsen  offenbart  Nach  den  Messungen  toh  Mobs  be- 
trl^  der  PdUtanlenwinkel  des  RhooboCders  R  UM 
genau  86'';  denken  wir  uns  nun  die,  gewöhnlich  ta- 
felart^e,  Combination  01i.4P2Jl  erst  als  eine  rhonH 
boMrische  Combination,  so  wird  sie  etwa  so  evschet- 
wie  Fig.  72».    WeU  aber  vermöge  der  Tetasto«- 


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316         Ang€i4Hindte  Kryaiallographie. 

drie  der  Krystallreihe  die  Pyramide  |P2  in  zwei  Rhom^ 
bo6der  von  diagonaler  Flächenstellang  zerfällt,  so 
werden  wir  diese  hemiSdrische  Combination  in  zwei 
tetartolgdrische  Combinationen  zerlegüi  können,  von 
welchen  die  eine  wie  Fig.  727,  die  andere  wie  Fig.  728 
erscheinen  wird,  indem  beide  Figuren  so  gezeichnet 
sind,  dass  die  beiderseitigen  Flächen  von  JR  einander 
parallel  liegeoi  Dies  ist  aber  eben  die  St#llang,  wel- 
che die  Zwillingsbildnng  fordert,  indem Individnen, 
4eren  Krystallformen  sich  wie  die  beiden  tetarto^dri« 
scbeq  Complemente  oder  Gegenkörper  Fig.  727  nnd 

728  verhalten,  mit  einander  verwai^hsen  sind,  wobei 
gewöhnlich  die  Basis  als  Znsammensetzungsfläche  dient 
Meist  iSndet  jedoch  eine  theilweise,  mehr  oder  weni- 
ger regelmässige  Penetration  der  Individuen  Statte 
welche,  wenn  sie  als  eine  vollkommene  Dutcfakren« 
sang  zweier  absolnt  symmetrischer  Individuen  gedacht 
wird,  einen  scheinbar  einfachen  Krystall  der  iliom- 
bo^drischen  Combination  0jB.4P2.il  liefern  wurde,  wie 
solchen,  mit  Andeutung  seiner  Zusammensetzung,  Fig. 

729  in  schiefer,  und  Fig.  730  in  horizontaler  Projection 
zeigt.  Das  Gesetz  dieser  ZwUlingsbildung  kann  man  ' 
daher  auch  so  aussprechen:  ZwiUingsaxe  eine  Nor- 
male von  <X)P2,  weil  nach  diesem  Gesetze  die  Stellung 
der  Rhombo^der  der  Hauptreihe  unverändert  bleibt, 
während  jedes  Rhombo^der  der  Nebenreihe  in  ver- 
wendete Stellung  gelangt. 

f.    646. 
Zwillinge  des  Quarzes. 

Während  sich  die  Krystallreihe  des  Kalkspathes 
durch  die  grosse  Mannichfaltigkeit  ihrer  Gestalten 
und  Combinationen  als  die  reichhaltigste  Krystall- 
reihe des  ganzen  Mineralreiches  auszeichnet,  würde 
jene  des  Quarzes,  bei  der  auffallenden  Einförmigkeit 
ihrer  meisten  Gestalten  und  Combinationen  nur  eim 


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Zwillingskrystalle.    Cap.  f^.  317 

geriiigeTes  krystallographigches  Interegfe  gewibreii, 
wenn  nicht  diese  Einförmigkeit  darch  die  ganz  eigen- 
thümliche  Erscheinungsweise  ihrer  Gestalten,  welche 
wir  oben  als  das  Resultat  der  trapexoCdrisohen  Te« 
tarto^drte  xn  deuten  versachten,  hinreichend  au%e- 
wogen,  und  durch  dieselbe  Erscheinungsweise  die 
Krystallreihe  des  Qnarses  zu  einer  der  merkwür« 
digsten  des  ganzen  Mineralreiches  erhoben  wurde. 
Die  eigenthümliche  Tetarto^drie  bedingt  auch  die 
Möglichkeit  Ton  Zwfllingskrystallen  mit  parallelen 
Hauptaxen  der  Individuen,  wie  sie  bei  holoedrischer 
Ausbildung  der  Krystallreihe  nicht  Statt  finden  könn- 
ten.   Da  nfimlich  jede  Pyramide  mP  der  Hauptreihe 

4llP  .MiP 

in  zwei  Rhombo§der  +r-j-  und  +/-V-  zerfällt,  z\*'i- 

sehen  welchen,  obwohl  sie  hftufig  ins  Gleichgewicht 
treten,  doch  eben  sowohl  eine  krystallographische 
und  physische  Differenz  obwaltet,  als  z.  B.  zwischen 

den  beiden  Tetraedern  -zr  und der  Zinkblende 

2  2 

oder  des  Helvines*),  so  werden  je  zwei  Individuen 
des  Quarzes  in  der  That  einen  Zwilling  liefern,  so- 
bald das  eine  gegen  das  andere  in  einer  um  die 
Hauptaxe  durch  180''  verdrehten  Stellung  gebildet  ist, 

P 

gesetzt  auch,  die  beiden  RhomboSder,   wie  z.  B.  r^ 

p 

und  l-^i  seyen  in  völligem  Gleichgewichte.  Zwillinge 


*)  Nach  Prof.  BreithanpU  Beobachtungon  ist  die  krystallo^a- 
pbisdie  Verichiedeoheit  sogar  in  den  Dimensionen  der  beiden  Rhom- 
boeder  ausgesprochen,  welche  man  gewöhnlich  als  hemiSdrische 
Compleroente  zu  betrachten  pflegte  j    die  verschiedenen  Cohärenz- 

P  P 

Verhältnisse  nach  -L  und  iL  sind  neulich  durch  Sayarts  akustische 
4  4 

Uotersuchangen  bestätigt  worden. 


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318         jingewandie  Krystaliographie. 

der  Ajrt  finden  sieh  gat  nicht  sehen  m  der  Condl>ia«- 

tion  ooP.rj.^;  lie  sind^   bei  ungleicher  Ausdeh- 

nvng  der  beiden  Rhomboßder,  sehr  leicht  sn  erkra- 
neU)  hingegen  auch  leicht  sa  verkennen ,  sobald  P 
als  hexagonale  Pyrandde  anfitritt  Sind  die  Indiri- 
dnen  durch  Jnxtaposition  verbunden  ^  so  ist  gewöhn» 
lieh  eine  Fläche  vonooP  die  Zosammensetsnngsflftche, 
und  die  Zwillinge  erscheinen  wie  Fig.  732  oder  733; 
findet  eine  voUkonunene  Durchkreuzung  Statt,  so  ent- 
stehen, wenn  nur  eines  der  Rhombo§der  von  P  aus- 
gebildet ist,  die  von  Weiss  beschriebenen,  sehr  sym- 
metrischen Zwillinge,  in  welchen,  wie  dies  Fig.  731 
xeigt,  immer  das  eine  Individuum  vorherrschend  auf- 
zutreten^ und  gleichsam  den  Träger  für  die  Rudimente 
des  andern  Individuums  zu  bilden  pflegt 

Aehnliche  Zwillinge  mit  gegenseitiger  Penetration 
der  Individuen  kommen  auch  nicht  selten  an  solchen 
Varietäten  des  Bergkrystalls  vor,  in  welchen  beide 
Rbomboßder  von  P  nahe  im  Gleichgewichte  sind.  Die 
gegenseitige  Umschliessung,  und  das  Eingreifen  der 
Masse  des  einen  Individuums  in  die  des  andern  fin- 
det dann  meist  auf  eine  so  unregelmässige  Weise 
Statt,  dass  es  unmöglich  seyn  wurde,  irgend  eine  Zu- 
sammensetzungsfläche anzugeben.  Die  Demarcationen 
beider  Individuen,  deren  respective  Flächen  grössten- 
theils  coincidiren,  lassen  sich  nur  an  hier  und  da  her- 
vorspringenden Flächenelementen,  an  leichten  Einfur- 
chungen  oder  Einschnitten,  an  der  Discontinuität  der 
Streifung,  des  Glanzes  oder  der  sonstigen  Beschaf- 
fenheit der  Oberfläche  erkennen,  und  es  erfordert 
oft  eine  genaue  Untersuchung;  um  sich  von  dem  wirk- 
lichen Daseyn  einer  Zusammensetzung  zu  überzeugen, 
und  nicht  ein  einzeles  Individuum  vorauszusetzen,  wo 
man  es  mit  einem  Zwillinge  zu  thun  hat. 


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ZwUlingstrystalle.    Cap.  F.  319 

f.    647. 

Forttetmng. 

Wenn  ansger  den  Flächen  von  coP  nnd  P  noch 
trigonale  TrapezoSder  ausgebildet  lind,  lo  bat  die 
ZwilUngsbildang  nicht  selten  eine  eigenthümliche  Ver- 
theihing  dieser  Flächen  rar  Folge.  Die  Fig.  734  stellt 
s.  B.  einen  einfachen  Krystall  der  Combination  ooP, 

P./^j^  dar,  von  welchem  in  Fig.  735  ein  vollkomme- 
ner Dnrchkrenznngsiwilling  abgebildet  ist,  derglei- 
chen freilich  in  der  Wirklichkeit  nicht  so  symmetrisch 
aasgebildet  sind,  wie  sie  dieses  ideale  Bild  zeigt.  Ei- 
nen durch  Jaxtaposition  gebildeten  Zwilling  der  Com- 
bination acP.P  mit  zwei,  sich  zu  einem  Skaleno^der 
ergänzenden^  jedoch  wegen  der  &ammang  ihrer  Flä- 

mPn 
eben  nicht  bestimmbaren  Trapezofidem  4"  ^^4^  ^^^ 

+  f^  sieht  man  in  Fig.  733. 

Da  auch  die  Fläche  OP  als  Zosammensetznngs- 
fläche  auftreten  kann,  so  entstehen  Krystalle,  deren 
obere  und  untere  Hälften  verschiedenen  Individuen 
angehören;  und  ans  einer  derartigen  Zusammensetzung 
durften  wenigstens  viele  Fälle  zu  erklären  seyn,  in 
welchen  die  Trapezflächen  und  die  rhombischen  Flä- 
chen der  Gestalt  2P2  nicht  so  vertheilt  erscheinen, 
wie  es  das  Gesetz  der  trapezoSdrischen  TetartoSdrie 
fordert.  Wenn  z.  B.  zwei  Individuen  der  in  Fig.  736 
al^bildeten  Combination 

6P|2P2 
oor.r.  ^     ^ 

so  mit  einander  verwachsen  sind,  dass  sie  in  der 
Fläche  OP  zusammenstossen,  und  das  eine  gegen  das 
andere  um  180^  verdreht  ist,  so  werden  sie  bei  gleich- 
massiger  Ausbildung  des  Prismas  ooP  einen  scheinbar 
einfachen  Krystall  darstellen,  in  welchem  die  Flächen 


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320         Angewandte  KrystäUographiem 

$  nicht  mehr  einer  trigonalen  Pyramide,  sondern  ei* 
nem  RhomboSder  von  diagonaler  Flächenstellong  an- 
zugehören, die  Flächen  u  aber  anf  eine  solche  Weise 
yertheilt  scheinen,  als  ob  die  abwechselnden  Glieder 
ihrer  resp.  Mnttergestalt  gänzlich  verschwunden,  und 
von  den  drei  übrigen  je  zwei  und  zwei  Flächen  zu- 
rückgeblieben wären,  wie  dies  Fig. 737  zeigt*). 

Der  Unterschied  der  Unken  und  rechten  Trape- 
zoSder  befähigt  übrigens  den  Quarz  zu  einer  ganz 
eigenthümlichen  Zwillingsbildnng,  deren  Resultat  nie- 
mals durch  eine  blosse  Umdrehung  des  einen  Indivi- 
duums gegen  das  andere  construirt  werden  kann. 
Denn  es  können  sich  zwei  Individuen  in  völlig  par- 
alleler Stellung  befinden^  was  die  Flächen  von  P,  2P2 
u.  a.  Gestalten  betrifft,  und  dennoch  einen  ZMrilling 
bilden,  wenn  z.  B.  an  dem  einen  Individno  ein  rech- 
tes, an  dem  andern  ein  linkes  Trapezo§der  ausgebil- 
det ist.  Solche  Fälle  scheinen  unsre  Ansicht  von  die- 
ser Tetartoödrie  erst  recht  zu  bestätigen,    weil   ei- 

p 
gentlich  auch  die  Flächen  der  Rhombo^der  +  r-j-  oder 

p 

+  /-J-  als  die  von  rechts  oder  von  links  her  gewach- 
senen Hälften  der  Flächen  von  P  gedeutet  werden 
müssen. 


^)  El  liesaen  sich  selbit  manche  tob  denjenigen  Fällen,  da 
ein  Krystall  an  jedem  finde  sechs  Flachen  «,  oder  sechs  Tra- 
pezflachen zeigt,  auf  Zwilüngsbüdongen  zurQckf5hren ;  in  der  Re- 
gel sind  jedoch  solche  Krystalle  durch  eine  gleidneitige  Aosbil- 
dang  complementarer  tetartoödrischer  Formen  an  erklären. 


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ZwUIingshrystaUe.   Cap.  FI.  321 

Sechsteg   Capiteh 

Zwillinge    des  monoklinoädriichen  Sjste- 

mes. 

A.     Theorie*). 

|.    648. 

GleichungeD  der  Azen  des  Indmduiiffls  11  in  Bezog  auf  das  Indi« 

vidutim  I. 

Wiewohl  es  noch  zweifelhaft  ist,  ob  für  dia  kli- 
noSdrischen  Krystallsysteme  überhaupt  der  Begriff  der 
Zwillingsaxe  als  der  einer  Flächennormale 
irgend  einer  Gestalt  aufgefasst  werden  darf,  so  wol» 
len  wir  doch  unsre  Untersuchung,  wenigstens  far  das 
monoklinoSdrische  System,  auf  diese  Ansicht  grün- 
den, weil  sie  für  die  meisten  Zwillinge  dieses  Syste- 
mes  vollkommen  gestattet  ist,  sobald  es,  sich  nur  um 
die  geometrische  Construction  derselben  handelt« 


*)  IXe  Theorie  der  ZwilUnge  dieses  Systemes  ist  nicht  in  der 
Ansföhrlichlcdt  entwickelt  worden,  wie  jene  der  rorhergehenden 
Si7stall83wtenie,  besonders  ans  dem  Grunde,  wdl  Ton  einer  ge- 
Bauen  Untersuchnng  der  Zwillinge  monokliuoedrischer  Krystallfor- 
nen  die  Beantwortung  der  Frage  über  die  Zulässigkeit  schiefwink- 
liger Axensysteme  überhaupt  ndt  abhängt»  und  daher y  im  Failö 
«ner  negativen  Entscheidung,  die  Theorie  der  Zwillinge  dieses 
Systemes  keine  andere  ist,  als  die  der  Zwillinge  des  rhombischen 
8ystemes.  Bevor  jedoch  diese  Entscheidung  möglich  ist,  müssen 
£e  Messungen  im  Gebiete  dieses  Systemes  mit  grosser  Genauig-^ 
keit  wiederholt,  und  zugleidi  Beobachtungen  über  das  Verhalten 
der  Krystallwinkel  in  höheren  Temperaturen  angestellt  werden,  da 
sich  viele  KrystaUe  offenbar  in  grosser  Hitze  gebildet  haben ,  die 
Gesetze  der  Zwillingsbildung  aber  nur  insofism  richtig  anfgefasst 
vferden  können,  invriefem  man  die  dem  BUdungsacte  entsprechen- 
den Dimensionen  zu  Grunde  legt  Für  den  Wolfram  scheint  der 
orthometrische  Charakter  durch  die  Zwillingsbildung  auf  eine  von 
aller  Messung  unabhängige  Art  erwiesen  zu  seyn»  obwohl  seine 
Formen  nach  den  Gesetnen  des  monoklinoödrisdien  Systemes  ge- 
bildet sind;  dasselbe  gilt  vom  Pyroxen. 

n.  21 


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322         Angewandte  Krystallographie* 

Es  aey  also  in  dem  Indiiidao  I  eine  fläche  gege- 
ben, welche  die  Axen  der  or,  y  und  z  in  den  Cen- 
traldistanzen  o,  b  oild  e  schneidet,  so  ist 

f  +  -^  +  T  =  ' 

ihre  klinometrische  Gleichong,  and  die  Gleichnngen 
ihrer  Normale  iV,  als  der  vorausgesetzten  Zwillings- 
axe,  werden: 

^       _   y =0 

b  —  acoiC  a  —  beosC 

^ ? =  0 

absinke  e(b  —  aco$C) 

' — ?—       =0 


c(a  —  bco$C)  abtm^C 

Die  Axen  des  zweiten  Individnoms,  welche  wir 
als  Axen  der  ^%  y^  und  z^  einfahren  wollen,  sind 
durch  folgende  Verhältnisse  bestimmt: 

1)  jede  Axe  fällt  in  die  Ebene  durch  N  und  die 
gleichnamige  Axe  des  Individuums  I; 

2)  jede  Axe-  bildet  mit  der  N  denselben  Winkel, 
wie  die  gleichnamige  Axe  des  Individuums  I. 

Aus  der  ersten  Bedingung  folgt,  dass  jfur  jede  der 
Axen  der  ^%  y^  und  z^  eine,  und  zwar  diejenige  Glei- 
chung der  N  gilt,  in  jwelcher  die  mit  ilir  gleichna- 
mige Coordinate  nicht  auftritt  Die  zweite  Bedin- 
gung lässt  auf  eine  zweite  Gleichung  gelangen,  indem 
man  z.  B.  for  die  Axe  der  z^  eine  fingirte  Gleichung 
von  der  Form 

—  +  4  =  0    oderi^+4r=0 

einführt,  den  Cosinus  des  Neigungswinkels  (NX*)  ge- 
gen A  berechnet,  und  aus  der  Gleichung 

€08  (NT)  =5  cos  (NX) 
das  Yerhältniss  y :  i  oder  i :  C  ableitet. 

Führt  man  die  hier  angedeuteten  Rechnungen  durch, 
so  erhält  man  fQr  die  Axe  der  z'  folgende  Gleichungen: 


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ZunUingahrygtaUe.   Cap.  FL  323 

b  —  aco$C  a  —  icQiC 


c^ia^'+b^—'Jabcosq—a^bUm^C^Sakeii—acoiC) 

Die  zweiten  Gleichungen  der  beiSen  andern  Axen 
lassen  sich   nun   leichter  aas  der  Bedingung  finden, 
dass  sie  beide  auf  der  Axe  der  z^  rechtwinklig  sind ; 
man  erhält  auf  diese  Art 
für  die  Axe  der  y': 


a;  ,  y 


2ac''(b  —  acoiC)  ^  b^c^ +a''bUtn^C—c^a^ 

z  X 

=  0 


=  0 


abiin^C  c(b  —  acosC) 

und  für  die  Axe  der  a;^:  # 

X y 

Ä^c«— a^c«— a'Ä'nit'C  2bc^(a—bco8C)       ~  ® 

0 


Öäb^csi^       b'^c'^—a'^c^—a^bUin^C ' 

§.    649. 
Gewdhnlicbste  Gesetze  der  Zwillingsbildang. 

Die  gewöhnlichsten  Zwillingsgesetze,  welche  bis 
jetzt  im  Gebiete  des  monoklino^drischen  Krystallsy- 
stemes  beobachtet  wurden^  sind  folgende: 

1)  Zwillingsaxe  die  Normale  Ton  ocPcx);  oder,  Um- 
drehungsaxe  normal,  Zusammensetzungsfläche 
parallel  dem  orthodiagonalen  Hauptschnitte; 
Gfps^  Amphibol,  Pyroxen,  Wolfram. 

2)  Zwillingsaxe  die  Normale  von  OP;  oder,  Um- 
drehungsaxe  normal^  Zusammensetzungsfläcbe 
parallel  der  Basis;  Titanit,  Orthoklas. 

3)  Zwillingsaxe  die  Normale  von  +  »iP^o;  oder, 
Umdrehungsaxe  normal,  Zusammensetznngsfläche 
parallel  dem  horizontalen  Hemiprisma  +mPoc; 
Epidot. 

21* 


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324         Angei4Hmdte  KrystaUograpHie. 

4)  Zwillingsaxe  die  Normale  von  (mPoo) ;  oder,  Um- 
drehongsaxe   normal,    Zusammensetzongsfläche 
parallel  einer  Fläche  des  Klinoprismag  (mPoö); 
Orthoklas,  Ryakolith. 
Die  drei  ersten  Gesetze  lassen  sich  jedoch,   vor- 
aosgesetzt,    dass  für  die  Krystalle  kein  Unterschied 
von  links  und  rechts,  von  oben  nnd  unten  Statt  fin- 
det, nach  §.  562  auch  so  aussprechen: 

1)  Zwillingsaxe  die  Hauptaxe; 

2)  Zwillingsaxe  die  Klinodiagonale ; 

3)  Zwillingsaxe  die    klinodiagonale  Polkante    von 
+  mP. 

Wo  jedoch,  nicht  durch  geometrische,  aber  durch 
physische  Verhältnisse ,  wie  z.  B.  durch  verschiedene 
Spaltbarkeit  nach  den  beiden  Flächen  des  Prismas 
ocP,  ein  Unterschied  von  rechts  und  links, 
und  daher  auch  Ton  oben  und  unten  gegeben  ist,  da 
kann  m^n  nicht  beliebig  die  Stellungsgesetze  nach 
der  einen  oder  andern  Art  aussprechen;  Vielmehr  wird 
die  Beobachtung,  wie  die  als  links  und  rechts  ver- 
schiedenen Flächen  in  den  Zwillingen  vertheilt  sind, 
auf  die  ausschliessliche  Anerkennung  des  einen  oder 
des  andern  Gesetzes  fuhren.  Der  Orthoklas  ist  die 
einzige  monoklinoSdrische  Species,  in  welcher  be- 
stimmt eine  solche  Verschiedenheit  von  rechts  und 
links  Statt  findet,  und  daher  wohl  auch  die  einzige 
Species,  für  welche  nach  folgendem  Gesetze  eine  Art 
von  Zwillingskrystall  anzuerkennen  wäre: 

Zwillingsaxe  die  Orthodiagonale ;  oder,  Umdre- 
hungsaxe  normal,  Zusammensetzungsflftche  parallel 
dem  klinodiagonalen  Hauptsohnitte  *). 

*)  Ob  derGyps  ein  &hiilichet  VeriiältniM  zeigt,  wage  ich  nicht 
zu  entscheiden ;  merkwürdig  aind  jedoch  wegen  ihrer  Regelmässig- 
keit  die  zwillingsartigen  Zasamroensetznngen ,  welche  in  meinem 
Lehrbuche  der  IMUneralogie  erwähnt  md  daselbst  in  Flg.  440  ab- 
geUidet  sind. 


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ZwUüngslrystalle.    Cap.  FL  325 

i    660. 

Gleichmigen  der  Axcin,  warn  jie  ZwilUn^xe  die  Normale  iroa 
ffiPoo,  OP  oder  ooPao. 

Für  den  Fall,  da  die  Zwillingsaxe  die  Normale  des 
Hemiprismas  mPoo,  haben  wir,  unter  der  Voraus- 
Setzung,  dass  aib'.c  das  Verhältniss  der  Lineardi- 
mensionen  der  Grundgestalt  ist,  in  den  Gleichungen 
des  §.  648  ma  statt  a,  und  oo  statt  c  zu  setzen ,  und 
erhalten  so  die  Gleichungen: 
der  Axe  der  a'i 


X 


■V-7r.=0 


4«  _ ai«a2        2Ä(si«  —  hco9C) 
«    =    0 
der  Axe  der  y^: 

2ma(b  —  macQsC)  "^  ft*— «»a*  ^  ® 
2:    =    0 
der  Axe  der  z^: 

^  =  0,   Jf  =:=  0 
Ist  dagegen  die  Zwillingsaxe  die  Normale  Ton  OP, 
so  werden  die  Gleichungen: 
der  Axe  der  x^:  , 

X  +  ^  ^  ^=  0,   2  =  0 
2co8C 

der  Axe  der  jf': 

4;  =r  0,  z  =  0 
der  Axe  der  z': 

<Är  =  0,   f  =  0 
Ist  endlich  die  Zwillingsaxe  die  Normide  vonocPoo, 
80  werden  die  Gleichungen: 
der  Axe  der  x': 

y  =  0,   z  =  0 
der  Axe  der  y^i 

— f—  +  «  =  0,    z  =  0 

der  Axe  der  z^: 

o;  =  0,  3  =  0 


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326         Angewandte  KrystaÜographie, 

§.    65t. 
Transformation  der  Coordinaten ,   weno  die  ZwilBngsaxe  die  Nor- 
male TOD  OP  oder  ooPoo« 

Da  die  beiden  Gesetze: 

A.  Zwillingsaxe  die  Hanptaxe  oder  die 
Normale  von  ooPoo,  und 

B.  Zwillingsaxe  die  Klinodiagonale  oder 
die  Normale  von  OP 

diejenigen  sind,  welche  sich  am  häufigsten  verwirk- 
licht finden,  so  wollen  wir  die  ihnen  entsprechenden 
Transformationen  der  Coordinaten  vornehmen.  Die 
Coordinate  z'  ist  in  beiden  Fällen  ganz  unabhängig 
von  der  Zwillingsbildung,  da  die  Axe  der  z'  mit  der 
Axe  der  z  coincidirt;  wir  haben  also  nur  die  Substi- 
tnenden  der  Coordinaten  x'  und  y'  aufzusuchen« 

A.  Wenn  die  Zwillingsaxe  die  Hauptaxe  ist,  so 
werden  die  Substituenden  der  Coordinaten  des 
zweiten  Individuums  folgende: 

;i:'  =      a;  —  2yco9C 

2'  =  —  Z 

und  daher  die  Gleichung  einer  im  Individno  II  durch 
die  Gleichung 

—  +K  +—  =1 
ma       nb        rc 

bestimmten  Fläche,  im  Individuo  I  folgende: 

X         (2i»&^cQ#C — gm)y z^  ^^. 

ma  mifab  rc 

Soll  nun  diese  Gleichung  einer  reellen  Fläche 

,  entsprechen,  so  muss 

—  coiC 
a 

eine  rationale  Zahl  seyn. 

B.  Wenn  die  Zwillingsaxe  die  Normale  von  OP  ist, 
so  werden  die  Substituenden  der  Coordinaten: 


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ZwmingshryHtalle.  Cap.ri.  327 

/  =  +  y  —  2scoiC 

und  daher  die  Gleichung  degenigen  Fläche,  welofae 
im  Individuo  11  durch  die  Gleichung 

bestimmt  wird,  im  Individuo  I  folgende: 

(nb  —  2ma  cos  C)x y  z  

,        mnab  üb        7c 

welche   nur   dann  einer  reellen   Fläche   entsprechen 
kann,  wenn 

eine  rationale  Zahl  ist. 

§.    662. 

Gleidrangen  der  Axen,    weon  die  ZwilKngme  eine  Nonnale  Ton 

(wPoo). 

Wenn  die  Zwillingsaxe  die  Normale  einer  Fläche 
des  Klinoprismas  (mPoo)  ist,  so  haben  wir,  unter  der 
Voraussetzung,  dass  aibie  das  Yerhältniss  der  Li- 
neardimensionen  der  Grundgestalt,  in  den  Gleichun- 
gen des  §.648 

ma  statt  a,  und 
oo  statt  b 
einzuführen,    und    erhalten  so  die   Gleichungen  der 
Axen  des  zweiten  Individuums,  nämlich: 
der  Axe  der  a': 


c»— »»«»•«»«  C 

+ 

2eU»tC 

— 

0 

z 

X 

= 

0 

imae$*it^C 

c« 

—  m'«*«ni 

'C 

der  Axe  der  /: 

*  = 

=  0» 

«  =  0 

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328         Angewandte  KrysiaUographie. 
der  Axe  der  z'i 


.  Die  wichtigsten  der  bis  jetzt  beobachteten  Fälle 
dieser  Art  sind  die  bekannten  Zwillinge  des  Ortho- 
klases von  BavenOy  deren  Zwillingsaxe  eine  Normale 
Ton  (2Poc),  und  die  knieformigen  Zwillinge  des  Wolf- 
rames,  deren  ZwiUingsaxe  eine  Normale  von  (|Pcx)). 
Für  beide  Fälle  vereinfacht  sich  der  fernere  Calcül 
bedeutend,  weil  im  Orthoklas  das  Prisma  (2Poc)  recht- 
winklig, im  Wolfram  aber  der  Winkel  C  ein  rech- 
ter ist.  Sollte  sich  auch  far  den  Pyroxen  die  bishe- 
rige Annahme  bestätigen,  dass  C  =  90%  so  wurden 
gewisse  seiner  Zwillinge  gleichfalls  nach  diesem  Ge- 
setze gebildet  seyn« 

B,     Beschreibung  der  wichtigeten  Zwllinge. 

§.   653. 
Zwillinge  des  Tinkals. 

Der  Tinkal  so  wie  der  gereinigte  Borax  findet  sich 
nicht  selten  in  Zwillingen  nach  dem  Gesetze: 
Zwillingsaxe  die  Normale  von  ocPoo,  oder: 
Zwillingsaxe  die  Hanptaxe,  Zusammensetzungsflä- 

che  der  orthodiagonale  Hauptschnitt. 
Für  die  Dimensionen  des  Tinkals  fand  ich  appro- 
ximativ 

C  =  73°  25' 
a.bic  =s  0,512:1:0,9094 
Eine  nicht  seltene  Krystallform  ist  die  Combination 
<xP.ooPoo((X)P(X)).0P.P.2P,  Fig.  738, 
von  welcher  zwei  Individuen  nach  dem  angegebenen 
Gesetze  durch  Juxtaposition   verbunden  einen  Zwil- 
ling wie  Fig.  739  darstellen;  die  beiderseitigen  selue- 
fen  Basen  (P)  bilden  in  dem  einen  Ende  einsprin- 


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ZiPiUingskrystalle.   Ciqf.  VI.  529 

gende,    an   dem  andern  Ende  ausspringende  Winkd 
von  ungefähr  146''  iOT. 

Genauere  Messungen  wurden  irielleicht  auf  ein  sol- 
ches Verhältniss  der  Dimensionen  fuhren,  dasa  die 
fläche  OP  des  einen  Individuums  der  Fläche  fPoo  des 
andern  Individuums  parallel  wurde. 

8.    654. 
Zwillinge  des  Gypses. 

Der  Gyps  erscheint  häufig  in  Zwillingskrystallen 
nach  zwei  verschiedenen  Gesetzen. 

Für  die  Dimensionen  der  Krystallreihe  fand  ich 
approximativ : 

C  =  8r  26'  (ob  C0tC  =  A?) 
a:h:c=  0,597d  :  1 : 1,445 

oder  sehr  nahe  a:b  =  3:5«  und  — cosC  =  4*. 

a 

Eine  der  gewöhnlichsten  Combinationen  ist 
((X)Poo).ooP.— P.    Fig.  740 
und  gerade  diese  Combination  findet  sich  besonders 
häufig  in  Zwillingen  nach  dem  Gesetze: 
Zwülingsaxe  die  Hauptaxe;  oder: 
Zwillingsaxe  die  Normale  von  ocPoo, 

Die  Individuen  sind  meist  durch  Juxtaposition  in 
dem  orthodiagonalen  Hauptschnitte  verbunden,  und 
dabei  so  symmetrisch  gebildet,  dass  die  Krystallflä- 
<^n  (ooPoo)  beiderseits  in  eine  Ebene  fallen,  wes- 
halb Fig.  741  den  gewöhnlichen  Habitus  dieser  Zwil- 
linge naturgetreu  darstellt.  Die  Polkanten  der  He- 
mipyramiden  — P  bilden  ein  -  und  ausspringende  Win- 
kel von  105''  Sr. 

Zuweilen  ist  auch  die  Znsammensetzungsfläche  eine 
Fläche  von  (ooPoo),  in  welchem  Falle  die  Individuen 
wohl  auch  etwas  in  einander  geschoben  sind.  Bei 
dieser  Yerwachsungsart  ist  der  Unterschied  zu  bemer- 
ken, ob  die  Individuen  mit  ihren  linken  oder  mit  ih- 


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330        Angewandte  KrystaUographie. 

reu  rechten  Fläclien  (ocPoo)  zasammengewacbseii  jsmd ; 
ein  Unterschied,  welcher  sswei  verschiedene  Resultate 
bedingt,  indem  Zwillinge  mit  rechts  verwachsenen 
Individuen  und  Zwillinge  mit  links  verwachsenen  In- 
dividuen auf  keine  Weise  in  parallele  Stellung  ge- 
bracht werden  können.  Der  Unterschied  verschwin- 
det nur  im  Falle  einer  vollkommenen  Durchkreuzung;, 
also  bei  Coincidenz  der  beiderseitigen  klinodiagona- 
len  Flädienpaare,  oder  auch,  im  Falle  das  eine  Indi- 
viduum von  dem  andern  in  der  Richtung  der  Ortho- 
diagonale  gänzlich  umschlossen  wird. 

8.    656. 
Fortsetzang. 

Ein  zweites  am  Gypse  vorkonmiendes  Gesetz  der 
Zwillingsbildung  ist: 

Zwillingsaxe  die  Normale  von  — Poo,  oder: 

ZwiUingsaxe  die  Polkante  von  •;— P. 
Die  nach  diesem  Gesetze  gebildeten  Zwillinge  wer- 
den meist  von  linsenartigen  Individuen  gebildet,  de- 
ren unregelmässiger  Form  etwa  die  Combination  — P. 
P.iPoo.cx>P.(ooPoo)  zu  Grunde  {liegt,  wie  solche  die  Fi- 
gur 742  in  klinodiagonaler  Projection  zeigt.  Denkt 
man  sich  nämlich  in  dieser  Combination  das  Prisma 
oqP  noch  kürzer,  so  rücken  endlich  dieFlädien  bei- 
der Hemipyramiden,  deren  Polkanten  und  Combinm- 
tionskanten  zu  iPoo  zugerandet  sind,  zusammen,  und 
es  entsteht  eine  krummflächige  Form,  welche  durch 
andere,  sehr  unregelmässig  zwischen  — P  and  -ilfoo 
ausgebildete  Flächen  noch  mehr  entstellt  wird,  und 
gewöhnlich  die  Gestalt  einer  langgezogenen  Linse  hat. 
Zwei  dergleichen  linBenförmige  Individuen  sind  nun 
nach  depi  angegebenen  Gesetze  theils  durch  Juxtapo- 
sition,  theils  durch  Penetration  verbanden.  Den  er- 
steren  Fall  stellt  Fig.  743  dar,  in  welcher  die  Indi- 
viduen absichtlich  so  gezeichnet  sind,  wie  sie  nur  sei- 


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ZimUingshrystalle.   Cap.  VL  331 

ften  aaigebildet  ZQ  seyn  pflegen;  denn  gewöhnlich  iit 
die  wahre  Form  durch  die  linsenartige  Missbildang  in 
dem  Grade  entstellt,  dass  die  Individuen  dieser  Zwil- 
linge kaiim  Sporen  einer  ebenflächigen  Gestalt  wahr« 
nehmen  lassen. 

Zar  ferneren  Erl&uteming  dieser  Zwillinge  mag  die 
Fig.  744  dienen ,  welche  den  klinodiagonalen  Hanpt^ 
schnitt  zweier,  nach  diesem  Gesetze  verbundener  In- 
dividuen der  Combination  ocP. — ^P.P.(ocPoo)  darstellt 
Denkt  man  sich  ausser  der  Hemipyramide  — ^P  (Q  noch 
die  Fläche  des  Uemiprismas  — I^Poo  {AB)  und  der  Ba- 
sis OP  (BC)  vorherrschend  ausgebildet,  so  begreift 
man,  nicht  nur,  wie  sich  ungefähr  eine  linsenförmige 
Krümmui^  im  Profile  ausbilden  muss,  sondern  auch, 
wie  bei  alleinigem  Vorherrschen  der  Flächen  — ^Poo 
nnd  Poo  die  Zwillinge  selbst  eine  pfeilspitzenartige 
Form  ADA'E  erhalten  müssen,  in  welcher  der  von 
den  beiderseitigen  — 4^Poo  gebildete  ansspnngende 
Winkel  ADA  ungefähr  25%  und  der  von  den  beider- 
seitigen Pcx^  gebildete  einspringende  Winkel  AEA! 
ungefähr  123^  misst.  Dergleichen  pfeilspitzenartige 
Zwillinge,  die  jedoch  auch  in  andern  Dimensionen 
von  and^n  Flächen  gebildet  werden  können,  finden 
sich  nicht  selten  in  sehr  grossen  Fxemplaren  mitten 
in  dem  körnigen  oder  dichten  Gypse  der  jüngeren 
Formatianen. 

§.    656. 
Zwitfinge  des  PyrlRknes. 
An  der  Species  des  Pyroxenes  kommen,  unter  Vor- 
aussetzung klino€drischer  Dimensionen,  folgende  Ge- 
setze der  ZwillingsbiMung  vor: 

1)  Zwillingsaxe  die  Hauptaxe,  oder  die  Normale 
des  orthodiagonalen  Flächenpaares. 

2)  Z>villingsaxe    eine  Normale    der  Hemipyramide 
(P2). 

3)  Zwillingsaxe  die  Normale  des  Hemiprismas  Poo. 


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332         Angewandte  Krystallographie. 

Diese  Gesetze  gelten  in  der  angegebenen  Form 
für  das  aus  den  KnpfTersohen  Messangen  folgende  T'er* 
hältniss  der  Dimensionen 

C  —  74^  1' 
a:b:c  =  0,5399:1:0,9136 
welches  freilich  zunächst  nur  für  den  Diopsid  gilt, 
während  sich  in  andern  Varietäten,  bei  der  grossen 
Rolle,  welche  die  isomorphen  Elemente  von  Ksdk  und 
Magnesia  in  dieser  Species  spielen,  etwas  verschie- 
dene Dimensionen  erwarten  lassen*). 

Eine  der  gewdhnlichsten  Krystallformen  des  vul- 
canischen  Pyroxenes  oder  Augites  ist: 
ocP.ooP3o.((X)P<x)).P.    Fig.  745. 

Sind  zwei  Individuen  der  Art  nach  dem  ersten  Ge- 
setze durch  Jnxtaposition  in  dem  orthodiagonalen 
Hauptschnitte  verbunden,  so  entsteht  ein  Zwilling 
wie  Fig.  746,  in  welchem  die  Flächen  der  beiden  He- 
mipyramiden  P  ein-  und  ausspringende  Winkel  von 
153"^  21^  die  Polkanten  derselben  eben  dergleichen 
Winkel  von  149^  14'  bilden.  Meist  sind  beide  Indi- 
viduen so  symmetrisch  ausgebildet,  und  so  regelmäs- 
sig verwachsen,  dass  die  Flächen  (ooPoo)  beiderseits 
in  eine  Ebene  fallen ,  und  gar  keine  Deraarcation  der 
Individuen  bemerken  lassen.  Diese  Zwillingsbildung 
findet  sich  auch  häufig  an  andern  Combinationen  des 
Augites  sowohl  als  auch  des  Diopsides;  an  letzterem 
auch  in  derben  Massen,  meist  mit  häufiger  Wieder- 
holung, in  den  bek|||nten  schaligen  Aggregaten. 

Die  Hemipyramide  P  des  einen  Individuumz  ent- 
spricht sehr  nahe  dem  Klinoprisma  (Poe)  des  andern^ 
und  vice  vena^  weil,  wie  sich  auch  aus  obigen  Di* 
roensionen  ergiebt,  Poo  sehr  nahe  dieselbe  Neigung 
zur  Axe  hat  wie  OP. 


*)  Et  ist  sehr  nahe  « :  ^  sss  7 :  15,  und  eoiC  sss  ^,  wenn 
C  s  74*  il'. 


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ZwilKngstryetalle.  Cap.  VL  333 

Auch  der  Fassait  kommt  in  Zwillingen  nach  dem 
ersten  Gesetze  vor;  zuweilen  sind  beide  Individuen 
in  der  Richtung  der  Hauptaxe  in  einander  geschoben, 
so  dass  die  beiderseitigen  Prismen  ooP  und  die  übri- 
gen Terticalen  Flächen  coincidiren  *).  Wollte  man  für 
diese  Modalität  der  Verwachsung  eine  Zusammen-* 
Setzungsfläche  angeben,  so  würde  dies  nur  eine  auf 
derHauptaxe  genau  rechtwinklige  Fläche  seyn  kön- 
nen. An  den  Tyroler  Augiten  so  wie  an  manchen 
Diopsiden  ist  auch  nicht  selten  eine  Fläche  ausgebil- 
det, welche  horizontal  zu  seyn  scheint,  und,  unter 
Voraussetzung  einer  orthometrischenKrystallreihe,  mit 
OP  zu  bezeichnen  seyn  würde,  während  sie  obigen 
klino§drischen  Dimensionen  zufolge  sehr  nahe  durch 
•i^Poo  dargestellt  wird. 

§.    657. 
Fortsetzung. 

Der  Augit  (wie  z.  B.  die  in  Fig.  745  abgebildete 
Varietät)  kommt  zuweilen  in  Zwillingen  mit  geneig- 
ten Hauptaxen  vor,  deren  Zwillingsaxe  noth wendig 
der  Ebene  des  orthodiagonalen  Hauptschnittes  paral- 
lel seyn  muss,  weil  die  Flächen  ocPoo  beider  Indi- 
viduen einander  in  der  That  parallel  zu  seyn  schei- 
nen ^  während  sich  die  Hauptaxen  nahe  unter  120^ 
sehneiden  **).    Die  Fig.  747  zeigt  den  Habitus  dieser 


*)  Die  hiesige  akademische  Sammlung  besitzt  sehr  schSne  Zwil- 
Hngskrystalle  dieser  Art 

^)  Haüy  hat  gleichfalls  Zwillinge  des  Augites  von  Stromboli 
besdirieben  und  abgebUdet,  in  welchen  die  beidersdtigen  ocPoo 
in  eine  Ebene  follen,  während  die  Hauptaxen  einen  Wiid^el  Yon 
Sl^  bilden.  Ja»  unter  den  bekannten  Durchkreuzungen  der  Com- 
bination  ooP.acPoo.(ooP(X>).P.4P(X>  aus  dem  Fassathale  giebt  es 
welche»  in  denen  beide  Individuen  genau  rechtwinklig  auf  einan- 
der sind ,  so  dass  die,  mdst  etwas  gekrümmten  Flächen  ^oo  des 
iBdiTiduums  in  die  Flächen  (ooPoo)  des  andern  faUea« 


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334         Angewandte  Kryatallographie. 

Zwillinge,  wie  sie  Breithanpt  von  Schima  im  bdh- 
mischen  IMDlUelgebirge  milgebracht. 

Setzen  wir  das  Yerhältniss  a  :  ft  =  7  :  13  und 
C  c=s  14?  21^,  oder  irgend  ein  anderes  Verh&Itniss, 
for  welches 

als  das  eigenthumliche  der  Species  Yorans,  so  werden 
die  Flächen  der  Hemipyramide  (P2)  rechtwinklig  auf 
der  Ebene  des  orthodiagonalen  Haaptschnittes,  nnd 
folglich  die  Normalen  derselben  der  Ebene  desselben 
Hauptschnittes  parallel,  wodurch  die  eine  Bedingung 
dieser  Zwillinge  erfüllt  ist. 

Berechnen  wir  ferner  die  Polkante  der  Hemipyra- 
mide (P2),  so  finden  wir  solche  sehr  nahe  =:  120% 
daher  denn  auch  die  zweite  Bedingung  der  Zwillinge, 
dass  sich  die  Hauptaxen  nahe  unter  120°  schneiden, 
durch  die  Annahme:  Zwillingsaxe ' eine  Normale  Ton 
(P2),  erfüllt  würde. 

Auf  der  andern  Seite  ist  nicht  zu  läugnen,  dass 
diese,  so  wie  die  in  der  Anmerkung  erwähnten  Zwil- 
linge Yon  Stromboli  und  aus  dem  Fassathale  sehr 
viel  für  die  Annahme  orthometrischer  Dimensionen 
sprechen. 

An  manchen  derben  Varietäten  des  Pyroxenes,  zu- 
mal amMalakolith  und  Salit,  kommt  häufig  eine  Zu- 
sammensetzung vor,  deren  Gesetz  sich  am  richtigsten 
so  aussprechen  lässt:  Zusammensetzungsfläche  paral- 
lel, Umdrehungsaxe  normal  einer  Fläche  des  Hemi- 
prismas  Poe.  Diese  Zusammensetzung  wiederholt  sich 
Tielfach,  und  veranlasst  schalige  Aggregate,  deren 
abwechselnde  Individuen  sich  in  paralleler  Stellung 
befinden. 

Endlich  finden  sich  an  den  erwähnten  Augiten  aus 
Tyrol  schiefwinklige  Durchkreuzungen,  deren  Gesetz 


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ZwiUingskryetaUe.   Cap.VI.  335 

Hoch  nicht  amgeidittelt  ist,  wenn  lie  Sberfaanpt  nach 
einem  bestimmten  Gesetse  gebildet  sind« 

§.    658. 
Zwillinge  des  Epidotes. 

Der  Epidot  findet  sich  in  Zwillingskrystallen  nach« 
dem  Gesetze: 

Zwillingsaxe  die  Nonnale  yon  Poo,  oder:  9 

Zasunmenselznngsfläche  parallel,   Umdrehangsaxe 
normal  der  Fläche  des  Hemiprismas  Poo. 
Die  Elemente  der  Krystallreihe  sind  nämlich  zu- 
folge den  Messungen  von  Haidinger: 
C  =  89°  27' 
a:b:c  =  0,4843:1:0,3072 
Die  Krystalle  haben  bekanntlich  das  Eigenthüm- 
liehe  (was  sich  jedoch  auch  an  dem  Glaubersalz,  der 
Kupferlasar  u.  a.  Substanzen  findet),   dass  sie  nach 
der  Orthodiagonale  säulenartig  in  die  Länge  gestreckt 
sind.     So  finden  sich  z.  B.  zu  Floss  in  der  Oberpfalz 
Kryst^le  der  Combination 

ooPoo— 3Poo.Poo.ooP2,  Fig. 751, 
in  welchen  o:o  =  116°  62',  M:T=  115°  24',  M:i 
=  145°  39',  T:»  =  98°  67';  zwei  Individuen  der  Art 
sind  nicht  selten  zu  Zwillingen  nach  dem  angegebe- 
ne&  Gesetze  Terbunden,  wie  Fig.  752,  in  welchen  der 
Winkel  M:M'  129°  12',  der  Winkel  iii"  162°  misst, 
und  die  im  Bilde  links  liegenden  Flächen  o  einen  aus- 
springenden, die  rechts  liegenden  Flächen  o  einen 
einspringenden  Winkel  von  164°  3'  bilden. 

Zu  Arendal  findet  sich  unter  andern  die  Combination 
ooPooPoo.— Poo.— P.P2,  Fig*766, 
in  welcher  der  Winkel  einer  yorderen  oberen  gegen 
eine  hintere  untere  Fläche  Ton  — P  (»  :  n)  109°  27', 
der  Winkel  einer  vorderen  unteren  gegen  eine  hin- 
tere obere  Fläehe  von  P2  (tf:v>70°56',  und  folglich 


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336         Angewandte  Krystallographie. 

der  Winkel  m  :  T  144^  32^,  endUch  der  Winkel  von 
ooPoo  *u  Poo  (M:  T)  115^  24'  beträgt 

Die  Fig.  757  stellt  einen  nach  dem  angegebenen 
Gesetze  gebildeten  Zwilling  dieser  Combination  in 
schiefer,  Fig.  758  denselben  in  klinodiagonaler  Pro- 
tection dar;  seine  wichtigsten  Winkel  sind 

M:  M'  =  129^  rr 
*  M:  T  oder  M:T  =  115*  24' 

T:  r  oder  T :  r^  =  128*  IQ' 
r  ;r'  =  103*  22' 

§.    659. 

Zwillinge  des  Ainphlbolea» 

Der  Amphibol  ist,  zumal  in  den  nnter  dem  Na- 
men basaltische  Hornblende  bekannten  Varietäten,  ei- 
ner sehr  regelmässigen  Zwillingsbildang  nach  dem 
Gesetze : 

Zwillingsaxe  die  Haoptaxe,  oder: 
'  Zwillingsaxe  normal,  Zusammensetznngsfläche  par- 
allel  dem  orthodiagonalen  Hauptschnitte, 
unterworfen. 

Eine  der  gewolmlicheren  Combinationen  ist  in  Fig. 
748  dargestellt;  ihr  Zeichen  wird  &lt  p  als  Basis  und 
3f  als  Prisma  der  Hauptreihe: 

ooP.(ooPoo).0P.R(3P3)  (2P(X)). 
Die  Dimensionen  der  Krystallreihe  sind  noch  nicht 
mit  hinlänglicher  Genauigkeit   ausgemittelt;   einigen 
approximativen  Messungen  zufolge  wäre: 
C  =  75*  10' 
MiM=  124*30' 
r.r=^  148*  30' 
ziz  =  120*  26^ 
Zwei  Individuen  dieser  Art,  nach  dem  angegebe- 
nen Gesetze  verwachsen,   bilden  Zwillinge  wie  Fig. 
749,  welche  gewohnlich  ein  sehr  symmetrisches  An- 
sehen haben  und  s^^inbar  einen  einzigen  Kryvtall 


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ZipUüngshrystaUe.   Cap.  FL  337 

darstellen,  weil  beide  Individuen  nach  gleichen  Di- 
mensionen aasgebildet  and  so  regelmässig  verwach- 
sen sind,  dass  ihre  beiderseitigen  Flächen  (ocPoc) 
rechts  und  Unjcs  in  eine  Ebene  fallen,  and  Jceine 
einspringenden  Winkel  yorkommen.  Beide  Enden  des 
Zwillings  sind  verschieden  gebildet,  indem  einerseits 
eine  vierflächige,  durch  die  Flächen  von  P  gebildete 
Zuspitzung,  anderseits  eine  durch  die  Flächen  OP  ge- 
bildete Zuschärfung  vorherrschend  ist.  Sehr  selten 
treten  beide  Individuen  so  weit  aus  einander,  dass  ein- 
springende Kanten  zum  Vorscheine  kommen,  wie  in 
Fig.  750.  J^edenfalls  lassen  sich  daher  diese  Zwillinge 
am  anschaulichsten  nach  Haüy's  Weise  construiren, 
indem  man  sich  ein  Individuum  nach  seinem  ortho- 
diagonalen  Hauptschnitte  halbirt,  und  die  eine  Hälfte 
gegen  die  andere  um  die,  auf  der  Schnittebene  nor- 
male Umdrehungsaxe  durch  180^  verdreht  denkt. 

§.    66a 

Zwillinge  des  Wolframs. 

Am  Wolfram  sind  bis  jetzt  folgende  zwei  Gesetze 
der  Zwillingsbildung  beobachtet  worden: 
1)  Zwillingsaxe  die  Hauptaxe ,  Zusammensetzungs- 
fläche der  orthodiagonale  Hauptschnitt. 
.  2)  Zwillingsaxe  eine  Normale,  Zusammensetzungs- 
fläche eine  Fläche  des  Prismas  (iPoc). 
Die  Messungen  fahren  ungefähr  auf  das  V erhältniss : 
a\b.c  =  0,851:1:0,823 
and  auf  das   sehr   merkwürdige  Resultat,    dass   der 
Winkel  C  ein  rechter  Winkel  ist,  welches  auch  die 
nach  beiden,  zumal  aber  die  nach  dem  ersten  Gesetze 
gebildeten  Zwillinge  vollkommen  bestätigen. 

Eine  der  gewöhnlichsten  Combinationen  des  Wolf- 
rams von  Zinnwald  ist: 

ooP.ocPc3c.i^Poo.— iPoo.(Poo).  Flg.  753,  in  welcher 
der  Winkel  von  ooP  =  r  :  r  =  lOl**    ö' 
a  22 


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338         Angewandte  KrystaUographie. 
der  Winkel  von  (Poo)  =  n:  »  =    99^  12^ 

Fig.  754  gtellt  einen  nach  dem  ersten  Gesetze  gebil- 
deten Zwilling  dar,  welche  überhaupt  häufiger  sind 
als  die  andern;  die  beiderseitigen  Flächen  4^Pco  bil« 
den  ein-  und  ausspringende  Winkel  Tön  125''  2(K; 
die  beiderseitigen  Flächen  (Poo)  aber  fallen,  wenn 
sie  ausgebildet  sind,  je  swei  genau  in  eine  Ebene, 
zum  vollständigen  Beweise,  dass  dieses  sdieinbare 
Klinoprisma  wirklich  ein  horizontales  Prisma,  und  da- 
her der  Winkel  C  wirklich  ein  rechter  ist.  *) 

Ein  nach  dem  zweiten  Gesetze  gebildeter  Zwilling 
ist  in  Fig.  755  abgebildet;  der  Neigungswinkel  der 
beiden  Hauptaxen  beträgt  120^  52^,  der  einspringende 
Winkel  der  Flächen  »  und  n'  139^  56%  während  die 
beiderseitigen  Flächen  ooPoo,  so  weit  die  Beschaf- 
fenheit der  Krystalle  die  Beobachtung  gestattet,  in 
eine  Ebene  fallen.  Die  sehr  starke  verticale  Strei- 
fung dieser  Flächen  lässt  die  Demarcatiön  beider  In- 
dividuen sehr  deutlich  hervortreten. 

f.    661. 
Zwillinge  des  Orthoklaiet. 

Der  Orthoklas  oder  gemeine  Feldspath,  eine  der 
wichtigsten  und  interessantesten  Species  des  Mineral- 
reiches, wird  auch  durch  die  mancherlei  Zwillingsge- 
setze merkwürdig,  welche  an  ihm  verwirklicht  sind. 

Die  neuesten  Messungen  von  Kupffer  fuhren  auf 
das  Yerhältniss  der  Dimensionen 

aihic  =5  0,8438:1:1,5185 
C  =  63^  53' 

Da  aber  diese  Dimensionen,    wie  schon  6.  Rose   . 
bemerkt,   mit  der  unläugbaren  Rechtwinkligkeit  des 
Klinoprismas  (2Poo)  nicht  fibereinstimmen,   auch  der 

*)  Der  Wolfram  ist  daher  qualitativ  monoklinoediisch, 
quantitativ  rhombisch. 


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ZmUmgahrystaUe.    Cap.VL  339 

Orthoklas  sich  wohl  jedenfalls  in  einer  weit  höheren 
Temperatur  gebüdet  hat,  als  diejenige  ist,  bei  wel- 
cher gegenwärtig  die  Messungen  angestellt  werden, 
so  darfte  ein  anderes,  mit  der  Rechtwinkligkeit  des 
Prismas  (2Poo)  übereinstimmendes  Verhältniss  statt 
des  erwähnten  ansunehmen  seyn.  Sehr  am  beachten  ist 
es  aber,  dass  durch  Kupffer's  Messungen  die  frühere 
Deutung  der  Krystallreihe  des  Orthoklases  als  einer  or- 
thometrischen  sehr  unwahrscheinlich  gemad^nrorden, 
weil  sie  die  vorausgesetste  Gleichheit  derVVs^^ff'* 
Winkel  von  OP  und  Poo  gegen  die  Axe  widerlegen. 

Elines  der  gewohnlichsten  Gesetse  der  Zwillings- 
bildnng  ist  folgendes : 
Zwillingsaxe  die  Hanptaxe.  . 

Die  Individuen  sind  entweder  nur  durch  Jnxtapo- 
sition  in  einer  der  Flächen  von  (ccPoc)  oder  durch 
gänzliche  oder  tbeilweise  Penetration  verbunden«  Mit 
Ausnahme  des  Falles  einer  gänzlichen  Durchdringung 
ist  dann  immer  der  Unterschied  zu  berücksichtigen, 
ob  die  Individuen  mit  ihren  linken  oder  rechten 
Seiten  verwachsen,  oder  auch  in  einander  geschoben 
sind;  ein  Unterschied,  welcher  für  diese  Species  um 
so  wichtiger  wird,  weil  die  linke  Fläche  des  Prismas 
ooP  durch  eine  deutlichere  Spaltbarkeit  bezeichnet 
ist  als  die  rechte  Fläche.  Diese  Verschiedenheit  der 
Spaltbarkeit  giebt  dem  Links  und  Rechts  einc^  abso- 
lute Bedeutung,  und  verbietet  es  auch,  dasStellungs- 
gesetE  der  Zwillinge  durch  die  Formel:  Zwillingsaxe 
die  Normale  von  ocPoo  auszusprechen,  weil  in  den 
Zwillingen  die  vollkommneren  prismatischen  Spal- 
tungsflächen beider  Individuen  einander  parallel  sind, 
und  daher  nur  die  Hauptaxe  als  Zwillingsaxe  gel- 
ten kann.  ^ 

Fig.  759  zeigt  einen  einfachen  Krystall  der  Com- 
bination 

<xP.(oqPoo).0P.2Px> 

22* 


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340         Angewandte  KrystaUographie. 

von  welcher  in  flg.  760  ein  nach  diesem  Gesetze  ge- 
bildeter Zwilling  dargestellt  ist;  die  nach  Mehs  hin- 
zugefügten Figg.  761  nnd  762  dienen  daza,  den  Un- 
terschied der  Zwillinge  mit  rechts  nnd  links  ver- 
wachsenen Individuen  zu  yeranschaulichen.  Denkt 
man  sich  in  dem  Bilde  des  rechts  verwachsenen  Zwil- 
lings das  rechts  liegende  Individuum  nach  links,  und 
das  links  liegende  Individuum  nach  rechts  gedrängt^ 
so  wer^f  beide  durch  den  Zustand  einer  voUkom- 
menen^Hrchkreuznng  hindurchgehen,  dann  in  die 
entgegengesetzte  Lage  rücken,  und  einen  Zwilling 
mit  links  verwachsenen  Individuen  bilden. 

§.    66Z 
Fortietian^ 

Ein  zweites  Zwillingsgesetz  ist: 

Zwillingsaxe  eine  Normale,  Zusammensetzungsflä- 
che eine  Fläche  von  (2Pao). 

.  Nach  diesem  Gesetze  sind  unter  andern  die  be- 
kannten Zwillingskrystalle  von  Baveno  zusammenge- 
setzt. Da  das  Klinoprisma  (2Pao)  rechtwinklig,  und 
folglich  die  Zusammensetzungsfläche  gegen  OP  und 
(ooPoo)  gleich  geneigt  ist,  so  folgt,  dass  in  den  Zwil- 
lingen die  Flächen  OP  des  einen  Individuums  den  Flä- 
chen (ogPoo)  des  andern  parallel  sind,  und  vice  versa^ 
so  wi^  dass  die  beiderseitigen  OP  und  auch  die  bei- 
derseitigen (ccPoo)  auf  einander  rechtwinklig  sind. 
In  der  Regel  sind  beide  Individuen  so  gleichmässig 
ausgebildet,  dass  jedes  die. Hälfte  eines  einzigen  In-- 
dividuums  darstellt,  welches  parallel  einer  Fläche  von 
(2Poo)  halbirt  worden,  daher  auch  gewohnlich  nur  die 
Rechtwinkligkeit  von  OP  und  OP^  von  (ooPoo)  und 
(ocPoo)  zu  beobachten  is^ 

In  den  Krystallen  von  BaVeno  liegt  diesen  Zwil- 
lingen eine  rechwinklig  säulenförmige  Combination 
mit  vorherrschenden  OP  und  (oePoo),  wie  z^  B.  £e  in 


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ZudÜingsirystcUle.  Cap.  VI-  341 

Hg.  763  abgebildete  Combination  OP.(ooP<X)).ooP.2P(X>. 
(2Poc).P  zu  Grande,  in  welcher  jedoch  die  Flächen 
Ton  (2Poo)  nicht  za  erscheinen  pflegen,  die  nnr  des« 
halb  mit  gezeichnet  worden  sind,  am  die  Lage  der 
Zusammensetzungsflftche  anzadeuten.  Denkt  man  sich 
einen  solchen  Krystall  durch  einen  Schnitt  halbirt, 
welcher  einer  (z.  B.  der  oberen  vorderen)  Fläche  n 
parallel  geht,  and  hierauf  die  eine  Hälfte  gegen  die 
andere  um  eine  auf  der  Schnittfläche  rechtwinklige 
Linie  durch  180^  verdreht,  so  erhält  man  eine  ziem« 
lieh  richtige  Vorstellnng  dieser  Zwillinge,  dergleichen 
einer  der  Combination  0P.(ooP(X)).ocP.2P<x>.P<x).P  in 
Fig.  764  (za  deren  Erläuterang  die  in  Flg.  765  gege« 
bene  orthographische  Projection  auf  eine  Normalflä* 
che  der  Klinodiagonale  dienen  katin),  so  wie  ein  an- 
derer der  Combination  0P.(ocPoo).2P.ocP.P.Poo.2P(X) 
in  aufrechter  Stellung  nach  der  Klinodiagonale  in 
Fig.  769  dargestellt  ist. 

Der  Adiilar  kommt  gleichfalls  sehr  schon  nach 
demselben  Gesetze  verwachsen  vor,  und  liefert  dann  bei 
einer  gewissen  Beschaffenheit  seiner  Combinationen  den 
evidenten  Beweis  für  die  Richtigkeit  des  angegebenen 
Zwillingsgesetzes.  So  finden  sich  z.  R  zu  Rodi  am 
Gotthardt  s^hr  schöne  und  grosse  Adularzwillinge  (ahn* 
lieh  wie  Fig.  764,  nur  weniger  verlängert  nach  der 
Klinodiagonale),  welche  nicht  nur  durch  die  symme- 
trische Lage  der  vollkommneren  und  unvollkommne* 
ren  Spa1twig|flächen  dea  Prismas  ooP  (der  Flächen  T 
und  /)  die  Annahme  y  dass  die  Zwillingsaxe  eine  Nor- 
male von  (2Poo)  ist  *),  sondern  auch  die  Rechtwink- 
ligkeit dieses  Klinoprismas  bestätigen,  indem  gewöhn- 
lich Theile  der  Fläche  (ooPoo)  des  einen  Individuums 
am  Bande  der  Fläche  OP  des  andern  Individuums  zu 


*)  Denn  Tom    blos  krystallographischen  Gesichtfpuncte   aza 
Heise  sich  aach  dne  andere  Linie  als  Zwillingsaxe  anneboien« 


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342         Angewandte  Krystallqgraphie. 

beobachten  sind,  welche  so  vollkommen  mit  OP  coin- 
cidiren,  dass  beide  nur  eine  einzige  spiegelnde  Flä- 
che bilden. 

Nicht  selten  wiederholt  sich  die  Zosammensetzongy 
in  welchem  Falle  Drillings  -  und  Vierlingskrystalle 
von  sehr  merkwürdiger  Beschaffenheit  entstehen.  Legt 
sich  z.  B.  an  das  hintere  Individuum  in  Fig.  769  ein 
drittes  nach  vorn  an,  so  resultirt  ein  Drilling,  wie 
Fig.  770,  in  welchem  die  Individuen  I  und  Ul  eine 
solche  Stellung  zu  einander  haben,  dass  man  für  sie 
das  besondere  Gesetz:  Zwillingsaxe  die  Klinodiago- 
nale,  Znsammensetznngsfläche  die  Basis,  geltend  ma- 
chen könnte*). 

Bildete  sich  endlich  zwischen  dem  ersten  und  drit-» 
ten  Individuo  noch  ein  viertes  Individuum,  so  ent- 
steht ein  sehr  symmetrischer  Vierlingskrystall ,  der- 
gleichen bisweilen  am  Adular  vorkommen,  theils  so, 
wie  es  die  Fig.  771  zeigt,  theils  sehr  verkürzt,  wenn 
die  Individuen  nur  die  Combination  ooP.OP.Poo  dar- 
stellen, in  welchem  Falle  man  sich  das  Bild  des  Yier- 
lings  construiren  kann,  wenn  man  sich  zwei  Zwil- 
linge wie  Fig.  767  erst  in  paralleler  Stellung  in  ein- 
ander geschachtelt,  und  darauf  den  einen  gegen  den 
andern  um  die  Linie  aa'  durch  90^  verdreht  denkt. 

§.    663. 
Portsetzung. 

Ein  drittes  Gesetz  der  ZwillingsbiW^l^  des  Or- 
thoklases, welches  besonders  an  solchen  KrystaÜen 
vorzukommen  pflegt,  in  denen  OP  und  (ooPoo)  als 
vorherrschende  Gestalten  ein  rechtwinklig  vierseiti- 
ges Prisma  bilden,  ist: 


*)  Nicht  aber  daa  geometriAcfa  gleich  geltende  Gesetz:  Zwil- 
lingsaice  die  Normale  yon  OP,  welches  eine  ganz  andere  Lage  der 
beidersehlgeo  rechten  und  linken  Flachen  von  ocP  fordert 


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ZwWingshrystdUe,  Cap.FL  343 

Zwillingsaxe  die  Normale,  Ziuanimensetsitngsfläche 

eine  Fläche  von  OP. 
Die  IndiTidaen  sind  gewöhnlich  dnrch  Jnxtaposi- 
tion  Terbunden,  wie  in  Fig.  768,  welche  einen  solchen 
Zwilling  der  Combination  OP.(ooPoo).ooP.Poo.((X)P3) 
in  der  aufrechten  Stellung  nach  der  Klinodiagonale 
darstellt;  doch  kommen  auch  Exemplare  vor,  an  wel- 
chen die  IndiTiduen  mehr  oder  weniger  in  einander 
geschoben  sind,  bis  zur  fast  ToUkommenen  Durch- 
kreuzung. Auch  der  Adular  bildet  zuweilen  in  sei- 
ner gewohnlichen  Combination  ooP.OP.Poo  Zwillinge 
dieser  Art,  wie  Fig.  767.  Doch  ist  es  keiuesweges 
ganz  ausgemacht,  ob  das  Gesetz  nicht  so  ausgespro- 
chen werden  muss: 

Zwillingsaxe  die  Klinodiagonale,  Zusammensez- 
zungsfläche  die  Basis; 
indem  es  von  einer  genauen  Untersuchung  der  Lage 
der  beiderseitigen  voUkommneren  Spaltungsflächen 
Ton  ooP  abhängt,  ob  die  eine  oder  die  andere  For- 
mel gültig  ist;  liegen  die  Flächen  T  des  einen  Indivi- 
duums an  den  Flächen  Tdes  andern,  so  gilt  die  erste 
Formel;  liegen  dagegen  die  Flächen  T  des  einen  an 
den  Flächen  /  des  andern ,  so  gilt  die  zweite  Fonnel. 
Endlich  will  ich  noch  erwähnen,  dass  ich  einen 
Zwilling  des  Orthoklases  aus  dem  Granit  des  Fich- 
telgebirges besitze,  welcher,  soweit  die  Beschaffen- 
heit der  Oberfläche  die  Beobachtung  unterstätzt,  nach 
dem  Gesetze: 

Zwillingsaxe  eine  Normale,  Zusammensetzungsflä- 
che eine  Fläche  von  ooP3;  Fig.  766, . 
gebildet  ist. 

Die  Fläche  (ooPoo)  oder  M  des  einen  Individuums 
scheint  der  Fläche  ooP  rechts,  also  T,  des  andern 
parallel  zu  seyn,  und  vice  versa  *).  Die  beiderseitigen 


*)  In  der  Figur  479  meines  Lehrbuches   der  Mhieralogie  ist 


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344         Angetpandte  KrystaUographie. 

Flächen  OP  bildeo  ein-  and  aiuspringende  Winkel 
von  155''  2%  die  beiderseitigen  Flächen  2Pcx>  Win- 
kel von  133''  ff. 

§.    664. 

ZwilKnge  des  Ryakolithes. 

Der  Ryakolith  oder  glasige  Feldspath  (Nose's  Sa- 
nidin),  dessen  Krystalle  so  häufig  in  den  Trachyten 
und  andern  vnlcanischen  Gesteinen  auftreten,  und 
den  erst  kürzlich  Gustav  Rose  als  eigenthümiiche 
Species  fixirte,  zeigt  ganz  ähnliche  Zwillingskrystalle 
wie  der  Orthoklas.  Rose's  Messungen  führen  auf  die 
Dimensionen 

^  C  =  63°  54' 
a:b:€  =  0,8468 : 1 : 1,535 
Die  Krystalle  sind  theils  tafelartig  durch  Vorherr- 
schen von  (ooPoo),  theils  rechtwinklig  säulenartig, 
durch  gleichzeitiges  Vorherrschen  von  (ooPoo)  und 
OP,  zeigen  aber  sonst  viel  Aehnlichkeit  mit  denen 
des  Orthoklases.  Die  gewöhnlichsten  Zwillinge  sind 
nach  dem  Gesetze: 

Zwillingsaxe  die  Hauptaxe,  Zusammensetzungsflä- 
che eine  Fläche  von  (ocPoo) 
gebildet,  und  daher  gleichfalls  als  Zwillinge  mit 
rechts  und  mit  links  verwachsenen  Individuen  zu 
unterscheiden,  wie  die  ähnlichen  des  Orthoklases. 
Die  Figur  772  stellt  einen  dergleichen  Zwilling  der 
tafelartigen  Combination  (ocPoo).ocP.OP.P  vor;  beide 
Individuen  stellen  die  Hälften  eines  einzigen,  nach 
seinem  klinodiagonalen  Hauptschnitte  halbirten  Indi- 
viduums dar,  und  das  Vorspringen  der  Flächen  o 
über  die  Flächen  P  zeigt  augenscheinlich,  dass  die 
Polkante  der  Hemipyramide  P  und  die  Klinodiago^ 


die  nach  Toni  gekehrte  Fläche  ocP  des  luiitereii  IndiTidiiiims  nit 
l  statt  mi^  T  zo  bezddmen. 


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ZwitHngahrystaUe.   Cap.  yi  345 

naie  eine  verschiedene  Neigung  gegen  die  Hanptaxe 
haben. 

Ausser  diesen  kommen  noch  andere  Zwillinge  Tor, 
deren  Zwillingsaxe  eine  Normale,  Zasammensetsongs- 
fläche  eine  Fläche  des  Klinoprismas  (2P9o)  ist,  und 
die  also  den  Bayenoer  Orthoklaszwillingen  in  Fig. 
764  und  765  ganz  analog  gebildet  sind.  Da  aber  die- 
ses Prisma  nicht  wie  im  Orthoklas  rechtwinklig  ist, 
sondern  an  der  Polkante  90^  32^  misst,  so  sind  auch 
die  Flächen  OP  oder  (ooPoc)  der  beiden  Indiyidnen 
nicht  rechtwinklig  auf  einander,  sondern  bilden  ei- 
nen Winkel  von  89^  4»  wovon  sich  Rose  durch  Mes- 
sungen überzeugt  hat. 

§.  666. 
Zwilliiige  de«  Titanites. 

Der  Titanit  ist  gleichfalls  eine  durch  ihre  häufige 
Zwillingsbildung  sehr  ausgezeichnete  Species ;  das  Ge- 
setz seiner  Zwillinge  ist: 
Zwillingsaxe  die  Normale  von  OP»  oder 
Zwillingsaxe  die  Klinodiagonale. 
Rese*s  Messungen  fuhren,  wenn  wir  in  denFigg. 
773,  777  und  778  P  =  OP,  /  =  ooP,  und  y  =  Poo 
setzen,  auf  die  Dimensionen 
C  =  85^  6' 
aih.c  =  1,537:  1:2,342 
und   auf  folgende  Zeichen   der  erwähnten  Combina- 
tionen: 

1)  00P.4P00.OPJP00,  tafelartig,  Fig.  773; 

2)  dieselbe  Combination  mit  (ocPoo),   säulenartig, 
Fig.  777; 

3)  ocP.((X)P3).4Poo.Pcso.0P.(4P4).— (2P2).(4P2).   Fig. 
77a 

Die  grünen ,  tafelförmigen  oder  kurz  säulenförmi- 
gen, meist  mit  Chlorit  imprägnirten  Krystalle  finden 
sich  zuweilen  durch  Juxtaposition  in  der  Fläche  OP 


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346         Angcipandte  KrystaUographie. 

Terbanden  wie  in  Fig.  774  und  776.  Die  Flächen  / 
beider  Individuen  bilden  ein  -  und  ausgpringende  Zwil- 
lingskanten von  170^  44^,  die  beiderseitigen  Hemipris- 
men  7P00  =  a  eine  ausspringende  horizontale  Zwil« 
lingskante  Ton  85''  6^;  sind,  wie  gewöhnlich,  auch 
die  beideliBeitigen  Hemiprismen  Poo  r=r  y  vorhanden, 
80  bilden  selbige  an  der  Seite  der  ausspringenden 
Winkel  von  l  eine  einspringende  horizontale  Zwil- 
lingskante von  120''  54^ 

Häufiger  finden  sich  jedoch  die  Individuen  durch 
Penetration  zu  vollkommenen  Durchkreuzungszwillin- 
gen verbunden,  in  welchen  die  einspringenden  Zwit 
lingskanten  der  Flächen  /  fehlen,  weil  die  vordere 
Seite  eines  solchen  Zwillings  dasselbe  Ansehen  hat 
wie  die  hintere  Seite  eines  Zwillings  wie  Fig.  774 
^oder  776,  daher  man  vorn  und  hinten  die  Flächen  l 
mit  ausspringenden  Winkeln  von  170''  44^,  die  flä- 
chen y  mit  einspringenden  Winkeln  von  120'*  54^  beob- 
achtet. Die  beiderseitigen  Flächen  OP  bilden  aber 
keine  ununterbrochene  Fläche,  sondern  erscheinen 
längs  der  Orthodiagonale  durch  eine  von  den  Flächen 
a;  gebildete  einspringende  Zwillingskante  von  94**  54^ 
in  zwei  Felder  abgetheilt;  Fig.  775  und  779. 

Sind  also  beide  Individuen  gleichraässig  ausgebil- 
det, so  erscheinen  die  Zwillinge  der  sehr  niedrigen 
tafelartigen  Krystalle  mit  vorherrschenden  Poo  als 
längliche  sechsseitige  Tafeln,  an  welchen  zwei  ge- 
genüberliegende längere  Randflächen  einspringend  un- 
ter 120'^  54%  die  äbrigen  vier  Handflächen  aussprin- 
gend unter  170''  44'  zugeschärfi,  die  Seitenflächen 
aber  längs  der  Makrodiagonale  mit  einem  furchen- 
artigen Einschnitte  von  94^  54'  versehen  sind ;  Fig.  775. 
Dagegen  erscheinen  die  Zwillinge  der  dick  tafelför- 
migen oder  kurz  säulenförmigen  Krystalle  mit  unter- 
geordneten Poo  wie  dicke  rhombische  Tafeln,  an  wel- 
chen die  Bandflächen  unter  170°  44'  zugesehärft,  die 


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Zwillingshrystalle.  Cap.  FL  347 

Seitenflächen  aber  mit  einem  ähnlichen  Einschnitte 
versehen ,  und  ausser  dem  die  stumpfen  Randkanten 
durch  die  Flächen  y  eingekerbt  sind ;  Fig.  779. 

f.    666. 
Fortietzung. 

Nächst  den  im  Torhergehenden  $.  beschriebenen 
Zwillingen  sind  noch  besonders  diejenigen  Durchkreu* 
Zungszwillinge  des  Titanites  xu  berücksichtigen,  de- 
ren Individuen  durch  die  vorherrschende  Hemipyra- 
mide  (4P4)  =s  $  und  das  llemiprisma  Poo  =  y  als 
breite,  kurze ^  sechsseitige,  an  den  Enden  durch  die 
Flächen  OP  =  P  und  iPoo  =s  x  begränzte  Säulen,  oder 
auch  längliche  rectanguläre  Tafeln  erscheinen.  Diese 
Krystalle  zeigen  fast  immer  das  Eigenthämliche,  dass 
sie  in  der  Mitte  grün,  an  den  Enden  aber  braun  bis 
hyacinthroth  gefärbt  sind.  Durchkreuzen  sich  zwei 
derselben  nach  dem  angegebenen  Gesetze,  so  bilden 
isie  Zwillinge  wie  Fig.  780,  in  welchen  die  Flächen  f 
nach  aussen  vier  einspringende  Winkel  von  148''  24% 
aber  auch  nach  innen,  an  den  Enden  der  durch  die 
Flächen  x  gebildeten  tiefen  Einfurchung  der  Basis  je- 
derseits  einspringende  Winkel  von  55^  24'  hervor- 
bringen. 

Dies  ist  jedoch  nur  eine  der  einfachsten  f*or- 
men  der  Individuen;  häufig  finden  sich  auch  die  Flä- 
chen des  Prismas  ooP  und  andere  untergeordnete  Ge- 
stalten in  der  Combination,  zumal  wenn  die  Krystalle 
nach  den  .Flächen  $  etwas  länger  säulenförmig  gebil- 
det sind;  Fig.  781.  Dagegen  kommen  auch  andere, 
nach  der  Orthodiagonale  sehr  langgestreckte,  dünn- 
tafelartige  Krystalle  vor,  in  welchen  man  ÜEist  nur. 
die  vorherrschenden  Flächen  y  so  wie  die  Flächen  P 
und  ^.erkennt,  indem  sie  nach  der,  Richtung  der  Flä- 
chen 9  hin  sehr  unvollkommen  ausgebildet  isu  seyn 
pflegen. 


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348         Angewandte  Krystallograpfüe. 

Siebentes   Capitel. 

Zwillinge  des  triklinoSdriichen  Systetnes. 

§.    667. 
Andentmigeii  zur  Theorie  dieser  Zwillinge. 

Die  allgemeine  Tlieorie  der  Zwillinge  dieses  Sy- 
stemes  erfordert,  wegen  der  drei  schiefen  Neigungs* 
Winkel,  einige  weitläufige  Rechnungen,  welche  sich  je* 
doch  sehoArereinfachen,  sobald  man  nur  auf  die  bis 
jetzt  in  der  Natur  beobachteten  Gesetze  Rucksicht 
nimmt.  Wir  wollen  uns  daher  auch  damit  begnügen, 
den  Gang  der  Rechnung  anzudeuten,  und  die  ersten 
Vorbereitungen  zu  ihrer  Ausfuhrung  mitzntheilen. 

Man  föhrt  zuvörderst,  statt  des  gegebenen  schief- 
winkligen Axensystemes,  ein  subsidiarisches  Ortho« 
metrisches  Axensystem  ein ,  und  yerfährt  ^abei  wie 
folgt. 

Es  sey  die  Hauptaxe  die  Axe  der  x^  die  Makro- 
diagonale die  Axe  der  y,  die  Brachydiagonale  die 
Axe  der  2,  und 

der  Neigungswinkel  der  ^  zu  y  =  y 
•    x  va  z  ^=i  ß 
-      -      -     der  Ebene  {xy)  zur  Ebene  (ßz)=A 
Statt  dieses  triklinometriscfaen  Axensystemes  sol- 
len nun  drei  rechtwinklige  Axen  der^i,  jfi  und  Zi 
eingeführt  werden.   Zu  dem  Ende  wählt  man  die  Axe 
der^^  zur  Axe  der  Xi^  nimmt  in  der  Ebene  {xz)  oder 
ocPoc  eine  auf  der  Hauptaxe  rechtwinklige  Axe  der 
Ziy  und  endlich  eine  auf  derselben  Ebene  rechtwink- 
lige Axe  der  yi.     Bezeichnet  man  die  Neigungswin- 
kel der  neuen  orthometrischen  gegen  die  alten  klino- 
•  metrischen  Axen  mit  (JTiX),  (XiF),  (Jr,Z),  u.  s.  w^ 
so  bestimmen  sich  folgende  Cosinus  dieser  Winkel: 
cot(jr,JC)  =  l,  eo${XiY)  =  eo»yy  cos(XiZ)^=coiß 
cot(F,jr)  =  0,  c0s(YtY)=nnA$inYjC0ff(YtZ)=O 
cot (ZiX)  =»0,  cet(ZiY)=co9AtwyjC0$(ZiZ)=nnß 


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ZudlUngsirystaUe.  Cap.  FII.  349 

Die  reehtwinkligen  Coordinaten^   als  Fanctionen 
der  schiefwinkligen  Coordinaten,  werden  daher: 
jTi  =s  or  +  ycoiy  +  zcQ9ß 

Zi  =s    ycoiAiiny  +  Ziinß 

und  di#  schiefwinkligen  Coordinaten ,  als  Functionen 

der  rechtwinkligen: 

sinßcoiy —  coiAeotßtiny  ^^ 

wenn     — ^ ^  .    .  . — '  =  cotC 

mnAnhy 

yicotC       Zicotß 

nnß  tmß 


»i»A$mY 
«.    ^1     _    SiCOiA 
9üiß        HnAiinß 

Es  ist  aber  C  der  Neigungswinkel  der  Ebene  (sz) 
gegen  die  Ebene  (yz),  oder  des  Hauptschnittes  ocPoo 
gegen  den  Hanptschnitt  OP. 

Man  bestimmt  nun  die  klinometrischen  Gleichun- 
gen der  Zwillingsaxe  iV,  wie  solche  das  gegebene 
Zwillingsgesetx  fordert,  macht  diese  Gleichungen  or« 
thometrisch,  und  berechnet  die  Cosinus  der  Neigungs- 
winkel der  N  gegen  die  Axen  der  ^,  y  und  z  des  In- 
dividuums I.  Bezeichnet  man  die  schiefwinkligen  Axen 
des  Individuums  11  als  die  Axen  der  j/j  ^  und  z^, 
so  finden  sich  die  orthometrischen  Gleichungen  der- 
selben aus  den  Bedingungen  ihrer  Lage, 

1)  dass  jede  Axe  des  Individuums  II  in  die  Ebene 
durch  N  und  die  gleichnamige  klinometrische 
Axe  des  Individuums  I  föllt,  und 

2)  dass  jede  Axe  des  Individuums  II  mit  der  N 
denselben  Winkel  bildet  wie  die  gleichnamige 
Axe  des  Individuums  L 

Mittels  der  gefundenen  Gleichungen  bestimmen  sich 
mm  leicht  die  Cosinus  der  Neigungsvnnkel  der  Axen 
der  JT^,  y'  und  z^  gegen  die  Axen  der  jTi,  yi  und  Xi, 


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350         Angeipandte  KrystaUographie. 

und  mittek  dieser  wiedenm  die  Substitaeoden  der 
Coordinaten  Xi^  jfg  und  Zty  um  irgend  eine  Linie  oder 
Fläche  des  IndiTidnnms  I  auf  das  schiefwinklige  Axen- 
system  des  IndiTidanms  H  beziehen  za  können« 

Die  Beziehnng  g^ebenerBegränznngselemente  des 
einen  Indiiridniuns  auf  das  andere  fordert  da^er  nur 
noch 9  dass  man  die,  ans  dem  krystallographischen 
Zeichen  abzuleitenden  klinometrischen  Gleichungen 
derselben  orthometrisch  ausdrückt,  und  in  den  gefun- 
denen Ausdrücken  für  die  Coordinaten  oti,  tfi  und  Zi 
deren  Werthe  als  Functionen  von  x\  jf  und  zf  sub- 
stituirt. 

Die  wichtigsten  der  bis  jetzt  beobachteten  Gesetze 
sind  nun  folgende: 

1)  Zwillingsaxe  die  Kormale  von  ooPoo; 

2)  Zwillingsaxe  die  Makrodiagonale,  oder  dieAxe 
der  y; 

3)  Zwillingsaxe  die  Hauptaxe,  oder  die  Axe  der  x. 
Dies  sind  nämlich  die  drei  Gesetze,   welche  sich 

an  den  verschiedenen  triklinoidrischen  Feldspathen, 
dem  Periklin,  Tetartin,  Labrador  und  AnortUt,  als 
den  wichtigsten  Species  aus  dem  Gebiete  dieses  Kry* 
stallsystemes,  verwirklicht  finden. 

Ein  für  alle  Mal  bestimmen  sich  die  orthometri* 
sehen  Gleichungen  der  krystallographischen  Axen  des 
Individuums  I  wie  folgt: 

Gleichungen  der  Hauptaxe: 

yi  =  0,   Zi  =  0 

Gleichungen  der  Makrodiagonale : 

^-  »'         zzr  0     -^ ?L>=o 

co%y       iinAitny  ^  tinA       co$A 

Gleichungen  der  Brachydiagonale : 

OXi  Z\  ^^ 

Findet  nun  das  erste  Gesetz  Statt,  so  ist  die  Zwil- 


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SiwiBmgskrystalle.  Cap.  FIL  331 

lingsaxe  identiseh  mit  der  Axe  der  yi;  ihre  orthome- 
frischen  Gleichungen  werden  ako 
OTi  s=  0,    Zi  =  0 
Für  das  zweite  Gesetz  sind  die  klinometrischen 
Gleichungen  der  Zwillingsaxe 

^  =r  0,   2?  =  0 
and  folglich  ihre  orthometrischen  Gleichungen: 

co9y        itnAimy 

coiA  nnA 

Für  das  dritte  Gesetz  endlich  sind  die  Gleichun- 
gen der  Zwillingsaxe 

yi  =  0,   r,  =  0 
Der  weitere  Verfolg  der  Rechnung  hat  nun  keine 
Schwierigkeiten,   da  man  sie  nach  denselben  einfa- 
chen Regeln  zu  fahren  hat,  wie  im  rhombischen  Sy- 
steme, 

§.668. 
Zwillinge  d«  Tetartines. 

Am  Tetartin  oder  Albit,  fEür  welchen  nach  G.Ro- 
se'a  Messungen 

A  =  ooPoo  :  ooPoo  =  88*  39' 
JB  =    OP     :  ooPoo  =  63**  34' 
C  s=    OP     :  ooPoo  =  86**  24' 
mibic  =  0,887:1,627:1 
o  fi=  4 :  c  =  86^  45' 
/?  =  a :  c  =  63**  25' 
y  =  a:Ä  =  85**  20' 
finden  sich  das  erste  und  dritte  der  im  vorigen  §.  an- 
gegebenen Gesetze  verwirklicht. 

Eine  der  gewohnlichsten  Combinationen  ist 

öoP'.oo'P.ooPoo.OP.'P'oo.P.    Fig.  782. 
Denkt  man  sich  zwei  ladividuen  von  dieser  Form 
nach  dem  Gesetze:    Zwillingsaxe  die  Normade,   Zu- 


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352         Angewandte  KrystaUographie. 

sammensetsnngsfläehe  eine  Fläche  von  ooP^c,  verbun- 
den, 80  bilden  sie  einen  ZwiUing,  wie  ihn  Fig.  783 
in  schiefer^  Fig.  784  in  horizontaler  Protection  dar- 
stellt Die  beiderseitigen  Flächen  OP  (P)  bilden  ein- 
und  aasspringende  Winkel  von  172''  48^,  an  welchen 
man  nicht  nar  die  Zwillinge ,  sondern  auch  die  Spe- 
cies  selbst  sehr  leicht  eirkennt,  welche  wegen  ihrer 
grossen  Aehnlichkeit  mit  Orthoklas  früher  mit  die- 
sem verwechselt  worden. 

Gewöhnlich  findet  diese  Zwillingsbildung  mit  Wie- 
derholung Statt,  indem  viele  Individuen  an  einander 
gewachsen  sind,  von  denen  zomal  die  inneren  in  der 
Richtung  der  Zwillingsaxe  sehr  verkürzt  zu  seyn  pfle- 
gen, daher  die  ganze  Gruppe  oft  nur  ein  schichten- 
artiges Aggregat  lamellarer  Individuen,  oder  auch 
wohl  einen  scheinbar  einfachen  Krystall  darstellt, 
welcher  von  mehren  dünnen  Lamellen  durchsetzt  wird. 

Zuweilen  treten  die  mittleren  Individuen  über  das 
sie  einschliessende  Individuum  hervor,  seltner  zeigen 
sie  sogar  verschiedene  Formen;  so  habe  ich  kleine, 
von  Prehnit  begleitete  Krystalle  aus  Tyrol  gesehen, 
wie  Fig.  785,  in  welchen  dünn  tafelartige  Individuen 
der  Combination  Fig.  782  von  einem  Individuum  der 
Combination  in  Fig.  767  dergestalt  umschlossen  wer- 
den, dass  die  ersteren  nach  allen  Seiten  aus  dem 
letzteren  hervorspringen;  in  den  meisten  KrystaUen 
bestand  jedoch  das  äussere  Individuum  aus  mehren, 
in  paralleler  Stellung  verwachsenen  Rudimenten,  da- 
her die  Zusammensetzung,  von  oben  betrachtet,  vrie 
die  Horizontalprojection  in  Fig.  786  erschien. 

Ausser  diesem  herrschenden  Gesetze  findet  steh 
am  Tetartin  auch  das  Gesetz :  Zwillingsaxe  die  Haupt- 
axe,  in  ähnlicher  Weise  verwirklicht  wie  am  Ortho- 
klas; indess  sind  die  nach  diesem  Gesetze  verwach- 
senen Krystalle  in  der  Regel  schon  nach  dem  ersten 


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Zwülingskrystalle.  Cap.  FII.  353 

Geietxe  xasammengeseizt,  so  daas  ein  Zwilling  ^ie 
Fig.  783  mit  einem  zweiten  Zwillinge  der  Art  ver- 
banden ist 

9.    669. 
Zwillinge  des  Pefiklinet. 

Am  Periklin  (bekanntlich  eine  von  Breithaapt 
fixirte  Species  der  Feldspathfamilie)  kommen  Zwil- 
linge nach  dem  ersten  und  zweiten  der  in  f.  667  er- 
wähnten Gesetze  vor. 

Die  gewöhnlichsten  Krystalle  sind  der  in  Fig.  782 
abgebildeten  Combination  des  Tetartines  sehr  ähnlich ; 
denkt  man  sich  dazu  noch  das  Prisma  ooP'3  (z),  so 
erscheinen  die  nach  dem  ersten  Gesetze:  Zwillings«- 
axe  die  Normale  Ton  ocPoc,  gebildeten  Zwillinge  wie 
Fig. 787;  die  Flächen  P  und  1^  bilden  aas-  and  ein- 
springende Winkel  von  173''  22^. 

Die  nach  dem  zweiten  Gesetze:  Zwillingsaxe  die 
Makrodiagonale,  Zasammensetzungsfläcbe  die  Basis, 
gebildeten  Zwillinge,  Fig.  788,  sind  sehr  aasgezeich- 
net; beide  Individuen  erscheinen  nämlich  mit  ihren 
oberen  Flächen  P  verwachsen,  während  die  hinteren 
Flächen  T  und  /  des  einen  Individaams  mit  den  vor- 
de^n  Flächen  /  and  T  des  anderen  zusammenstossen, 
die  brachydiagonalen  Flächen  M  aber  auf  der  einen 
Seite  einen  einspringenden,  auf  der  andern  Seite  ei- 
nen aasspringenden  Winkel  von  173''  22'  hervorbrin- 
gen, wodurch  diese  Zwillinge  ganz  besonders  auffal- 
lend werden. 

Am  Labrador  finden  sich  dieselben  beiden  Gesetze 
verwirklicht;  seine  derben  blätterigen  Massen  sind  ge- 
wöhnlich aus  lauter  dünnen,  lamellaren  Indiyiduea 
zusammengesetzt,  deren  Flächen  OP  oder  ooPoo  aus- 
ond  einspringende  Winkel  von  171^  hervorbringen. 


n.  23 

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354         jingewandte  Krystallographie. 

Dritter  Abschnitt. 

Vom  der  Messung  der  KrystalbDinkei. 


Ersten    Capitel. 
Carangeaas    Goniometer. 

f.  670. 
Venchiedene  Arten  der  Goniometer, 
Ans  den,  im  ersten  Abschnitte  der  angewandten  Kri- 
stallographie dargestellten  Unregelmässigkeiten  in  der 
Ansbildang  der  Krystalle,  und  ans  der  in  §.559  her- 
Torgehobenen  Thatsache,  dass  die  Kanten-  and  Flä- 
chenwinkel die  einzigen  in.  der  Erscheinung  constan* 
ten  Begränznngselemente  sind,  ergiebt  sich  von  selbst 
die  Regel,  dass  nur  in  diesen  Winkeln  die  Beobach- 
tnngselemente  gesacht  werden  dürfen,  auf  welche  die 
Berechnung  der  Krystallformen  zu  gründen  ist  Weil 
aber  die  Messung  der  ebenen  Winkel,  theils  wegen 
der  Kleinheit  der  Flächen,  theils  wegen  der  oft  sehr 
unvollkommenen  Ausbildung  der  Kantenlinien,  theils 
auch  wegen  der  schwierigen  Application  eines  dazu 
geeigneten  Instrumentes,  nur  sehr  unzuverlässige  Re- 
sultate liefern  würde,  so  bilden  die  Kantenwinkel  den 
eigentlichen  Gegenstand  unsrer  Messungen.  Die  Me- 
thoden, nach  welchen,  und  die  goniometrischen  In- 
strumente, mittels  welcher  diese  Messungen  auszu- 
führen, sind  jedoch  verschieden,  je  nachdem  eine 
grössere  oder  geringere  Genauigkeit  gefordert  wird, 
und  die  Beschaffenheit  des  Krystalls  mehr  oder  we- 
niger vollkommeii  ist.  Sind  nämlich  die  Krystalle 
klein  und  ihre  Flächen  eben  und  stark  glänzend,  so 
bedient  man  sich  der  Reflexionsgoniometer;  im  Ge- 
gentheile  der  Contactgoniometer;  wiewohl  auch  im 
letzteren  Falle  die  ersten  Goniometer  anwendbar  wer- 


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KrystcMmessung.   Cap.  I.  355 

den,  wenn  nur  die  Krystalle  nicht  gar  in  grofts  und 
die  Flächen  wenigstens  stellenweis  eben  sind,  weil 
man  dem  Mangel  des  spiegelnden  Glanxes  dadurch 
abhelfen  kann,  dass  man  kleine  Lamellen  ans  Spie- 
gelglas mit  etwas  Terpentin  auf  den  Krystallfläehen 
befestigt  Da  man  sowohl  für  die  Contact-  als  Re- 
fiexionsgoniometer  verschiedene  Constmotionen  in 
Vorschlag  nnd  Ansfiihrang  gebracht  hat,  so  werden 
wir  nor  die  beiden  gebräuchlichsten  und  den  Bedürf- 
nissen der  Mineralogie  angemessensten  Instrumente 
der  Art,  nämlich  das  Carangeau'sche  Contactgonio- 
meter  nnd  das  WoUastonsche  Refiexionsgoniometer 
I        in  Betrachtung  sieben*). 

f.    671. 
Caraog«au'a  Goniometer. 

Denken  wir  uns  zwei  Lineale  um  eine  auf  ihren 
beiderseitigen  Ebenen  rechtwinklige  Axe  so  verbun- 
den, dass  sie  sich  um  diese  Axe  drehen  können,  so 
werden  wir  mittels  dieses  einfachen  Apparates  den 
Neigungswinkel  je  zweier  hinlänglich  ebener  und  aus- 
gedehnter Erystallflächen  abnehmen  können,  indem 
wir  das  eine  Lineal  mit  seiner  hohen  Kante  oder 
Randfläche  auf  eine  der  Krystallflächen  dergestalt  auf- 
setzen ,  dass  sich  beide  Flächen  möglichst  genau 
decken,  während  seine  Seitenfläche  rechtwinklig  auf 
der  Kantenlinie  ist;    und   hierauf  bei  unveränderter 


*y  Ueber  Adelipaiis  Contactgoitf ometer,  ttber  Bamngmrtiien  Gonio- 
»etor,  welches  halb  ein  Reflexioni-,  halb  tarn  Contaet^onloiDeter  ist, 
über  Stoders,  Breithaopta,  Monkea,  Radberga  u.  a.  Goniometer 
▼ergL  man  Gilberts  und  Poggendorflii  Annalen,  so  i/vie  Schweig* 
gen  Jahrbücher.  Ganz  neulich  hat  y.  Riese  ein  Goniometer  vorge- 
schlagen,  welches  wegen  seiner  höchst  zusammengesetzten  Con- 
stmctlott  wohl  nor  zu  solchen  Messungen  zu  empfehlen  seyn  dürfte, 
dl»  fir  8«liT  feine  pfajsikaUsche  Untersuchungen  dienen  soUeai 

23* 


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356  Angewandte  Krysiallographie. 

Stellung  des  ersten  Lineales  das  zweite  Lineal  um 
seine  Axe  drehen,  bis  sich  seine  hohe  Kante  onA 
die  andere  Krystallfläche  gleichfalls  decken.  Die  ein- 
ander zugewendeten  Seitenflächen  der  Lineale  reprS- 
sentiren  nämlich  bei  dieser  Lage  die  Normalebene 
der  Kante  (§.  33)  und  die  hohen  Kanten  oder  Hand- 
flächen der  Lineale  die  Dorchschnittolinien  dieser  Ebene 
mit  den  Krystallflächen,  folglich  der  Neigungswinkel 

,  beider  Lineale  den  Neigungswinkel  der  Kante  selbst. 
Entfernt  man  daher  beide  Lineale,  ohne  ihre  Neigung 
zu   ändern,    und  legt  sie    auf  ein  Papier,    so  kann 

^  man  den  abgenommenen  Winkel  unmittelbar  auf  die- 
ses Papier  transportiren,  und  dann  mittels  eines  ge^ 
theilten  Halbkreises  messen. 

f.    672.        ^ 
Portsetzang. 

Es  lässt  sich  jedoch,  zur  grosseren  Bequemlich- 
keit und  zur  Abkürzung  der  Operation,  der  zur  Mes- 
sung des  transportirten  Winkels  dienende  Halbkreis 
mit  den  Linealen  selbst  in  eine  unmittelbare  und  blei- 
bende Verbindung  bringen;  eine  Verbindung,  welche 
in  dem  Cbntactgoniometer  von  Carangeau  Terwirk- 
licht  ist.  Man  denke  sich  nämlich  mit  dem  einen  Li- 
neale AB  Fig.  789  einen  getheilten  Halbkreis  ABD 
nnverriickbar  verbunden,  dessen  Mittelpnnct  in  C  und 
dessen  Durchmesser  eine  mit  den  Kanten  des  Linea- 
les parallele  Linie  aCby  so  dass  die  Puncto  0^  und 
180''  in  diese  Linie  fallen;  hierauf  das  zweite  Lineal 
EF  (die  bewegliche  Alhidade)  in  denjenigen  Theile, 
welcher  auf  dem  Limbus  des  Kreises  anfliegt,  nack 
einer  durch  den  Pnnct  C  seinen  Kanten  parallel  ge- 
sogenen Linie  ausgeschnitten,  und  zu  einem  dSnnem 
Rande  zugeschärft;  so  wird  dieser  Rand  den  jedes- 
maligen Neigungswinkel  beider  Lineale  auf  dem  Lim- 
bus des  Halbkreises  unmitt^bar  abschneiden.     IKes 


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KryataUniessung,    Cup.  L  357 

ist  die  wesentliche  EinrlchtuAg   des  Caiangcau'boiicu 
üoiiiometers. 

f.    673. 
Fortsetzung. 

Weil  jedoch  die  zu  messenden  Krystalle  oft  klein 
und  angewachsen  sind,  in  diesem  Falle  aber  die  xur 
Anlegung  anf  die  Krystallflächen  dienenden  Schenkel 
CA   und    CP  beider  Lineale   bei   unveränderter 
Länge  die  Abnahme  des  Winkels  nnmöglich  machen 
wurden,  so  ist  es  nöthig,  diese  Schenkel  beliebig  ver- 
kürzen zu  können.   Zu  diesem  Zwecke  ist  der  Halb- 
kreis zunächst  nur  mit  einer  bis  etwas  über  den  Mit- 
telpunct  reichenden  Metallplatte  J/C,  Fig.  790,  (dem 
Alhidadenträger)  verbunden,    welche   in  C  die  Dre- 
hufigsaxe  und  in  ^M  einen   dieser  Axe  vollkommen 
gleichen,  und  genau  in  der  Linie  0*^  —  180''  stehen- 
den Zapfen,   ausserdem  auch  noch  die  Spreize  CN 
trttgt,  welche  zur  Unterstützung  des  frei  auslaufenden 
Halbkreises  dient.  Die  eineAlhidade  ist  nun  in  dem- 
jenigen Schenkel,    welcher  mit  der  Kry stallfläche  in 
Contact  gebracht  wird,  die  andere  Alhidade  in  beiden 
Sehenkeln   ihrer  Mittellinie    parallel  ausgeschnitten, 
so  dass  sie  sich  an  dem  Zapfenr  der  Drehungsaxe  mit 
Widerstand  hin  und  her  schieben  lassen.     Die  eine 
Alhidade  wird  nur  durch  den  Zapfen  in  C  fixirt;  sie 
Iftsst  sich  daher  drehen  und  zugleich  in  ihrem  einen 
Schenkel  bis  auf  FG  verkürzen ;  die  andere  Alhidade 
wird  durch  beide  Zapfen  in  C und ilf  fixirt;  sie  ist  da- 
her nur  in  der  Richtung  der  Linie  0**  —  180'  verschieb- 
bar,   kann  aber  durch   diese  Verschiebung  in  ihrem 
einen  Schenkel  bis  auf  AH  verkürzt  werden. 

Wenn  der  zu  messende  Krystall  auf  einer  Druse  ^ 
att%ewach8en  ist,-  so  verhindert  oft  das  frei  vorste- 
hende Ende  des  Halbkreises  die  Annäherung  der  Al- 
hidaden;  um  diesem  Uebelstande  abzuhelfen,  ist  die 


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3ä8         Angewandte  Krystaüographie. 

Spreize  CN  gleichfalls  um  die  Axe  beweglich,  so  dass 
sie  von  dem  Halbkreise  losgeschraubt  und  auf  die 
Seite  geschlagen  werden  kann;  der  Halbkreis  selbst 
aber  im  Theilpuncte  90°  zerschnitten,  und  der  zweite 
Quadrant  an  den  ersten  mittels  eines  Charniers  be* 
festigt,  so  dass  auch  er  zurückgelegt  werden  kann. 
Durch  diese  Einrichtung  wird  die  Anlegung  der  bei^ 
den  Messufigsschenkel  in  vielen  FWen  möglich^  in 
Welchen  sie  ohne  selbige  nicht  Statt  finden  könnte. 

§.    674. 
Regeln  bd  dem  Gebrauche  des  Carangeau^achen  Goniometers. 

Bei  dem  Gebrauche  des  Carangeau'schen  Goniome* 
ters  müssen  folgende  Bedingungen  erfüllt  seyn,  wenn 
die  Resultate  Einigen  Werth  haben  sollen: 

1)  Die  Krystallilfichen  müssen  eben  im  Grossen 
(wenn  auch  nicht  glatt)  und  von  einiger  Aus- 
dehnung seyn;  das  Letztere  ist  um  so  nöthi- 
ger,  wenn  beide  Flächen  nicht  unmittelbar  zu* 
sammen treffen,  sondern  durch  zwischenliegende 
Flächen  getrennt  sind,  wie  solches  häufig  in 
Combinationen  Statt  findet. 

2)  Die  Ebene  des  Instrumentes  muss  genau  reeht- 
winklig  auf  der  Kantenlinie  oder  auf  bei- 
den Kantenflächen  stehen ;  daher  ist  es  sehr  gut, 
wenn  die  Kantenlinie  wirklich  ausgebildet  ist, 
weil  nach  ihr  die  Lage  des  Instrumentes  am 
sichersten  beurtheilt  werden  kann. 

3)  Die  Alhidaden  müssen  mit  ihren  Randfiächen  ge- 
nau auf  den  Krystallflächen  anli^^en,  und  die- 
selben in  möglichst  vielen  Poncten  berühren. 
Dies  erreicht  man  am  besten,  indem  man  das 
Instrument  und  den  Krystall  gegen  das  Licht 
hält,  und  es  dahin  bringt,  dass  gar  kein  oder 
mdglicbst  wenig  Licht  zwisdien  den  Alhidaden 
und  den  Krystallflächen  durchgeht. 


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KrystaUmessung.   Cap.  IL  359 

Weil  ii^gens  der  Genanigkeit  der  OjperatioB 
nnd  der  Richtigkeit  des  Instrumentes  ungeachtet  die 
nüttels  desselben  erhaltenen  Resultate  nur  auf  + 1  Grad 
sa verlässig  sind,  so  dürfte  eine  weitere  £intheilung 
des  Halbkreises  als  in  halbe  Grade  kaum  einigen 
Nutzen  gewähren,  indem  mim  dann  ^  oder  -|V  eines 
Grades  ziemlich  sicher  schätzen,  und  sich  durch  öf- 
tere Wiederholung  der  Messung  ein  der  Wahiheit 
genähertes  Mittel  veriehaffen  kann. 


Zweites    CapiteL 
Wollastons    Goniometer. 

•  §.    676. 

Beilürfnisa  eines  genaueren  Instrumcnied. 

Weit  Toraüglicher  als  die  Contactgoniometer  sind 
die  Reflexionsgoniometer  wegen  der  grosseren  Ge- 
nauigkeit ihrer  Resultate  sowohl  als  auch  wegen  ihr 
rer  allgemeineren  Brauchbarkeit.  Für  sehr  kleine 
Krystalle,  welche  doch  nach  |.  559  die  regelmässige 
sten  und  daher  zu  den  Messungen  geeignetsten  sind, 
flK>  wie  für  solche  Kanten,  deren  Flächen  klein  und 
durch  mehre  zwischenliegende  Flächen  abgesondert 
sind,  verliert  nämlich  das  Carangeau^sche  Goniometer 
seine  Brauchbarkeit,  weil  in  beiden  Fällen  durch  die 
Unsidierheit  seiner  Manipulation  sekr  fehlerhafte  Re- 
sultate herbeigeführt  werden  können.  Ueberhaupt 
aber  lässt  steh  mit  ihm  selbst  bei  günstiger  Beschaf- 
fenheit des  Krystalls  kaum  eine  grössere  Genauigkeit 
als  bis  auf  \  Grad  erreichen,  so  dass  man  auf  die 
mit  selbigem  erhaltenen  Resultate  die  Berechnung  der 
Grunddimension^i  einer  Krystallreihe  nicht  w  ohl  grün- 
den kann.  Die  Herstellung  eines  andern,  zu  genaue- 
ren Messungen  geeigneten  Instrumentes  war  daher  in 


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360         jingetvandte  Krystaäograpkie. 

nehrfacber  Hinsicbt  eis  grosses  BedGrfniss  der  Wis- 
senschaft, und  diesem  Bedärfnisse  ist  durch  Wolla- 
stons  Reflexionsgoniometer  Tollkommea  abgeholfen 
worden. 

f.    676. 
GrandUfe  der  Mesraogen  mittels  Refliexioo  «des  Lichtes. 

Um  den  Gebrauch  dieses  vortreffichen  Instromen* 
tes  in  seiner  ganzen  Einfachheit  aufzufassen,  wollen 
wir  sogleich  die  vollkommene  Erfüllung  derjenigen 
Bedingungen  voraussetzen,  auf  welche  es  dabei  an- 
kommt, und  welche  freilich  in  praxi  zum  Theil  nnr 
näherungsweise  zu  erfüllen  sind,  ab^  aach  nur  n^ 
herungsweise  erfüllt  zu  seyn  brauchen. 

Es  sey  MNRj  Fig.  791,  die  Eben^  nnd  C  der  Mit- 
telpunct  eines  in  zweimal  180*  eingetheilten ,  mit 
einem  Nonius  versehenen ,  nnd  um  seine  Axe  dreh- 
baren Kreises.  Die  zu  messende  Kante  werde  von 
zwei  ebenen  nnd  gut  spiegelnden  Flächen  gebildet, 
nnd  der  Ivrystall  selbst  sey  dergestalt  entweder  auf 
dem  Kreise  unmittelbar,  oder  auf  einem  an  dessen 
verlängerter  Axe  angebrachten  Krystallträger  befestigt, 
dass  die  Kantenlinie  mit  der  geometrischen  Axe  dea 
Kreises  zusammenfallt.  Diese  letztere  Bedingung  lässt 
sich  in  die  zwei  auflösen,  dass  die  Kantenlinie 

1)  normal  auf  der  Ebene  des  Kreises,  oder  jn^ 
stirt,  nnd 

2)  centrischin  Bezug  auf  die  Peripherie  des  Krei- . 
ses,  oder  centrirt 

sey.  Sind  beide  Bedingungen  erfüllt,  so  werden  die 
Projectionen  beider  Flächen  ^uf  die  Ebene  des  Krei- 
ses durch  zwei  Linien  wie  CD  und  CE  dargestellt. 

Von  irgend  einem  in  der  verlängerten  Ebene  des 
Kreises  befindlichen,  aber  sehr  entfernten  Objecte 
A  sollen  Lichtstrahlen  auf  die  Krystallfläche  CD  fal- 
len ;  der  auf  das  äusserste  Element  dieser  Fläche  in  C 


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KrystaUmesstmg.  Cap.  IL  361 

aaflMIemle  Strahl  wird  nach  bekannten  Gesetsen  re- 
ilectirt,  und  verschafft  dem  in  0  befindlichen  Auge 
die  Wahmehmang  des  Spiegelbildes  ron  A  nach  der 
Richtung  CB.  Man  lasse  nun  das  Auge  in  der  Ricli- 
tnng  des  reflectirten  Strahles,  und  drehe  den  Kreis 
nach  der  Richtung  MN^  bis  die  zweite  Krystallfläche 
CE  genau  iii  dieselbe  Lage  kommt,  welche  die  erste 
Hache  CD  vorher  hatte.  Sobald  sie  in  diese  Lage 
gekommen,  wird  die  Reflexion  des  Strahles  AC  von 
ihrem  äalmersten  Elemente  in  C  offenbar  eben  so  er- 
folgen ,  wie  vorher  von  dem  fiussersten  iUemente  der 
ersten  Fläche;  d.  h.  das  in  0  befindliche  Auge  wird 
wiederum  das  Spiegelbild  von  ^""in  der  Richtung  CB 
erblicken;  und  umgekehrt,  sobald  das  in  der  Rich- 
tung des  ersten  reflectirten  Strahles  verharrende  Auge 
auf  dem,  zunflchst  an  der  Kantenlinie  anliegenden, 
Elemente  der  zweiten  Flfiche  das  Bild  des  Objectes  A 
erblickt,  wird  diese  zweite  Fläche  genau  in  die  vor- 
herige Lage  der  ersten  Fläche  gelangt  seyn.  Der 
hierzu  erforderliche  Drehungswinkel  aber  wird  notb- 
wendig  das  Supplement  des  Neigungswinkels  beider 
Flächen  seyn  müssen. 

Hat  man  also  vor  dem  Anfange  der  Operation  ei- 
nen der  beiden  Nullpuncte  des  Kreises  auf  den  Null- 
punct  des  Nonius  eingestdlt,  und  sind  die  Grade  in 
derselben  Richtung  numerirt,  nach  wricher  die  Dre- 
hung Statt  fand,  so  wird  naeh  erfolgter  Drehung  der 
Nonius  auf  dem  Limbus  unmittelbar  den  Neigungs- 
winkel beider  Flächen  anzeigen. 

§.    677. 
Fortsetzung. 

Die  im  vorigen  §.  erörterte  Messungsmethode  be- 
ruht vorzug^ch  auf  folgenden  Bedingungen : 

1)  dass  die  Kantenlinie  jnstirt  ist; 

2)  dass  sie  centrirt  ist; 


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362         Angewandte  Krystaüographie. 

3)  das»  der  refleetirte  Stnid  bei  beiden  Beebwli. 
twigen  genan  dieselbe  Lage  hat; 

4)  dau  das  Object  uad  der  Krjstall  in  einer  nnd 
derselben  Parallelebene  des  Kreises  liegen; 

6)  dasn  die  Reflexion  beide  fifale  dicht  an  der  Kan* 
tenlinie  Statt  findet. 

Die  erste  Bedingung  ist  fedenfalls  nnerlfisslicb, 
und  dareh  einen  einfachen  Stellongsi^parat  mit  hin- 
reichender Genauigkeit  an  er&llen. 

Die  siweite  Bedingung  muss  um  so  genauer  erfüllt 
werden,  Je  geringer  die  Entfernung  des  Objectes  ist, 
während  bei  sehr  grosser  Entfernung  desselben  eine 
ziemliche  EiLcentricit&t  der  Kantenlinic^  keinen  erheb- 
lichen Fehler  aur  Folge  hat  Dies  ist  ein  sehr  vor- 
theilhafter  Umstand,  weil  eine  gans  genaue  Centri* 
mng  der  Kantenlinie  nur  durch  susammei^setste 
Apparate  erreicht  werden  kann^  und  in  manchen  Fäl- 
len fast  unmdglich  ist. 

Die  dritte  Bedingung  kann  auf  zwei  Terschiedene 
Arten  erfüllt  werden: 

a)  indem  man  das  refleetirte  Bild  durch  ein  Fem- 
rohr beobachtet,  dessen  Axe  der  Ebene  des  Kreir 
ses  parallel  ist; 

b)  indem  man  ein  jenseits  des  Krystalles  in  der 
Richtung  des  ersten  reflectirten  Strahles  befind- 
liches fernes  Object  B  fixirt,  so  dass  bei  bei- 
den Beobaditnngen  das  refleetirte  BiM  des  Ob- 

.  jectes  A  mit  dem  direct  gesehenen  Objecto  JB 
coincidirt. 

Die  vierte  und  fünfte  Bedingung  brauchen  nicht 
alle  Mal  erfüllt  su  seyn,  indem  die  Lage  und  Entfer- 
nung der  Objecte  A  und  B  in  Bezug  auf  die  Ebene 
des  Kreises  und  den  Krystall  so  gewählt  werden  kön- 
nen, dass  sich  die  eine  dieser  Bedingungen  modiftci- 
ren,  und  die  andere  gänslich  aufheben  lässt. 

Die  Reflexionsgoniometer  von  Malus  und  Wollas- 


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'KryHallmessung.  C^p.  //.  303 

ton  sind  wesfendich  nur  dadnreb  «AtervebieddB,  d«Ni 
die  Lage  des  reflectirten  Strahles  in  ersterem  dnrch 
ein  Fernrohr,  iti  letxterem  durch  die  Coincidenz  des 
gespiegelten  Bildes  mit  eioeim  direct  gesehenen  Ob- 
jecte  fixirt  wird.  Da  aber  die  aUgeme&ie'  Theorie 
beider  Instrnmente  dieselbe  ist,  so  wollen  wir  bdi 
ihrer  Entwickbing  snnftchst  anf  das  Wollastonsche 
Goniometer  Rücksicht  nehmen,  nnd  dabei  den  Toa 
Knpffer  in  seiner  gekr&tten  Preisaehrift  eiogesdila- 
genen  Weg  Terlolgen« 

f.    67a 

flattfiirf  4er  Tbeori«  das  fWflexIo^wtfometeri. 

Man  setze^  dieDrehungaaxe  des  Instrumentes  sey 

die  Axe  der  Zj  und  die  Ebene  des  Kreises  die  Coor- 

dinatebene  (a:ff). '      *  ' 

Es  seyen  ferner 

:tj  ff  und  z  die  Coordinaten  des  reflectirenden  Pnnc- 

tes  P  auf  der  ersten  Kry stalLBäche ;  ,  -       ^ 

j/^  y^  und  xf  die  Coordinaten  des  durch  jEleflexion 

gesehenen  Objectes  P'; 
4r%  y"  nnd  z"  die  Coordinaten  des  direct  gesehenen 
Objectes  P''. 

Da  der  einfallende  Lichtstrahl  durch  die  Pancit^ 
P  und  P^,  der  reflectirte  Strahl  durch  die  Puncto  P*^ 
und  P  geht,  so  erhält  man  leicht  die  sie  bestimmen- 
den Gleichungen. 

Da  ferner  die  erste  Erystallfldehe  in  ihr^r  ersten 
Lage  nicht  nur  rechtwii&lig  auf  der  Ebene  beiden 
Strahlen  PP'  und  PP^,  sondern  ameh  gegen  beide 
gleich  geneigt  ist,  oder,  mit  andern  Worten,  da  die 
erste  Krystallfläche  diejenige  Ebene  durch  den  Punct 
P  ist,  in  welcher  alle  durch  denselben  Punct  gehende 
Linien  von  gleicher  Neigung  gegen  PP'  und  PP"  lie- 


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364         Angewcmdte  Krystallographie. 

geO)  80  erhält  man  aach  {3r  die  erste  Krystallfläcke 
in  ihrer  ersten  Lage  eine  Gleichung 

AX  +  BY  +  CZ=  D 

Diese  Fläche  kommt  durch  die  Drehung^  des  Krei- 
ses dnrch  den  Winkel  W  in  ihre  xweite  Lage,  für 
welche  sich  eine  Gleichung 

A'X  +  WY  +  CZ^^D' 
bestimmt. 

Was  die  zweite  Fläche  betrilBft,  so  wird  ihre  Glei- 
diang,  unter  Voraussetzung  einer  so  bedeutenden  £nt* 
fernung  der  Objecte,  dass  die  Dimensionen  und  die 
Excentricität  des  Krystidles  dagegen  sehr  klein  sind, 
identisch  mit  der  Gleichung  der  ersten  Krystallfläche 
in  der  ersten  Lage,  also  wieder 

AX  +  BY  +  CZ^  D 

Man  findet  nun  leicht  den  Cosinus  des  Neigungs- 
winkels V  beider  Krystallflächen,  und  endlich  ans 
der  Gleichung 

COi  V  :=s:  COiW 

die  Bedingungen,  welche  erfüllt  seyn  müssen,  damit 
der  Drehungswinkel  des  Instrumentes  dem  wirklichen 
Winkel  der  Krystallflächen  gleich  sey. 

Dies  ist  der  allgemeine  Weg,  welchen  Kupffer 
bei  der  Entwicklung  der  Theorie  des  Wollastonschen 
Beflexionsgoniometers  rerfolgt  hat. 

f.    679. 
Ausführung  der  Theorie. 

Wir  wollen  nun  den  im  vorigen  §.  ang^ebenen 
Gang  der  Theorie  specieller  verfolgen. 

Da  der  Lichtstrahl  PP^  durch  die  Puncte  P  und  P^ 

geht,  so  werden  seine  Gleichungen: 

_  X         F_  M 

a   '*'   b   —  ab 

^  _  ^^  N 

c         a         ac 


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KrysiaUmessung.    Cap.  IL  365 

wenn        M  =  arjf'  —  ^r'jf,  N  =  xz^  —  x^z 
und        a  =  :r  —  x%  b  =a  y — y',  c  =  r  —  z' 
Da   der  Lichtstrahl  PP'  durch  die  Ptincte  P  und 
P'^  geht,  80  werden  seine  Gleichungen 

X      Y      jtr 

~  7  ■*"  V  ==  a'b' 
Z  _X  _N^ 
V        a'  ~  a'c' 
wenn       Jlf  =  ory*  —  w^i/j  iV  5=  xz^  —  x^z 
und     a^  =  ^  —  or*,  Ä'  =  y  —  y*,  tf  -ssi  z  —  2:* 

Man  setze  nun,  irgend  eine  durch  den  Punct  P 
gehende  Linie,  welche  zugleich  gegen  beide  Licht- 
strahlen gleich  geneigt  ist,  habe  die  Gleichungen: 

X    ^Y  ,  A^    ^^  A 

-  +  -=^l,und-  +  -^-  =  l 
so  wird,  weil  sie  durch  P  geht, 

A  _  _  ^— y   x  -.  _  ^— g 

a  AT — ;ir'     J  X — X 

Sind  nnn  K  und  f  ihre  Neigungswinkel  gegen 
PP  und  PP%  so  wird,  wenn 

•«^^  +  y^  +  ^^  =  D' 
und     y/l  +  g  +  jj  =  ^   ist, 

a  —  ^-4^ — 5-c 

TT  a  ö 


F8r  jede  sdche  Linie  wird  aber  gefordert,  dass: 
coiK  =  co$K' 

Sabstituirt  man  also  für  —  und  -—-  ihre  vorher  ire- 

a  d  ® 

fimdenen  Werthe,   so  erhält  man  für  alle  mögliche 


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366         Angewandte  Krystailographie. 

Linien  4er  Art,  oder^-  was  dasselbe  ist,  far  die  er- 
ste Krystallfläche  in  ihrer  ersten  Lage,  als 
diejenige  Ebene,  in  welcher  alle  jene  Linien  enthal- 
ten sind,  folgende  Gleichung: 

AX+BY+CZ  :=t:  Ap  +  By  +  Cz 
wenn  nämlich 

A  =  Da'  —  D'a 

B  =  DV  —  B'b 

wobei  2u  bemerken,  dass,  nach  §.  14,  D  die  Entfer- 
nung des  reilectirten ,  nnd  D*  die  Entfernung  des 
direct  gesehenen  Objectes  von  der  Axe  des  Krei- 
ses ist. 

§.    6S0. 
Fortsetzung. 

Wftren  nun  Aj  B,  C,  x^  y  und  z  absolut  con* 
stante  Grössen,  so  wurde  die  Lage  der  Krystall- 
fläche durch  die  Bedingungen  der  Reflexion  roll- 
1^ tändig  bestimmt  seyn,  weil  dann  die  gefundene 
Gleichung  nur  eine  Ebene  im  Räume  fixiren  konnte. 
Allein  streng  genommen,  lässt  sich  jener  constante 
Charakter  Ton  if,  B  und  C,  ^,  y  und  z  nicht  allge- 
mein aussagen,  da  die  Ausdehnung  der  reflectirendea 
Krystallfläche  die  Reflexion  in  verschiedenen  ihrer 
Puncto  gestattet,  und  folglich  die  Coordinaten  ;r,  y 
und  z,  mithin  auch  die  Grossen  Ay  B  und  C,  als 
Functionen  dieser  Coordinaten,  veränderliche  Grossen 
sind.  Indess  wird  ihre  Veränderlichkeit  in  sehr  eng» 
Gränzen  eingescliränkt,  sobald  der  Krystall  und 
also  auch  die  Krystallfläche,  als  der  Spielraum  der 
Reflexiptt,  sehr  klein  in  Verhältniss  la  den  Ent- 
fernungen der  Objecto  sind;  weshalb  sich  auch  ans 
diesem  Grunde  kleine  Krystalle  vorzugsweise  zu  den 
Messungen  eignen. 

Ist  also  dieKrystaUfläche  im  Verbiltmsse  m  doi 


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Kfystalimessung.    Cap.  IL  367 

übrigen  die  Reflexion  bedingenden  Elementen  so  klein, 
das«  die  durch  Yerrackiing  des  Anges  herbeigeführ- 
ten Variationen  der  Coordinaten  :r,  y  nnd  z  ohne  Feh- 
ler  vernachlässigt  werden  können,  so  wird  die  Glei- 
chung der  ersten  Krystallfläche  in  ihrer  ersten 
Lage 

{Da'—iyti)X+  {IDV—D'b)  Y+  {Dif~D'c)Z=:C0ntt 
oder  auch 

AX+  BY+  CZ  =  Con$i. 

%.    6Si. 
Fartietsiin^. 

Wir  haben  nnn  die  Gleichung  der  ersten  Krjstall- 
fläche  in  ihrer  zweiten  Lage,  also  nach  der  Dre- 
hung des  Kreises  zu  bestimmen.  Es  sey  der  amLim- 
bus  abgelesene  Drehungswinkel  =  IF,  so  wird  die 
Gleichung  der  Intersection  der  ersten  Krystallfläche 
mit  der  Coordinatebene  {xy)^  welche  vor  der  Drehung 

AX+BY=  Conti. 
war,  nach  der  Drehung 

[AcoiW—BnnW)X+{AiinW+Bco$W)Y=Const. 
und  daher,  wenn  wir 

AcoiW^BiinW^  A' 
AsinW+BcoiW—  R 
setzen 

AX+B^Y^  CZ  =  CoMt 
die  Gleichung  der  ersten  Krystallfläche  in  ihrer  zwei- 
ten Lage. 

Die  Gleichung  der  zweiten  Krystallffilche  ist  unter 
den  Voraussetzungen, 

1)  dass  die  Coordinaten  x^  ffi  und  Zi  ihres  reflecti- 
renden  Punctes  durch  die  Verrucknng  des  Au- 
ges nur  sehr  kleine  und  ohne  Fehler  zu  ver- 
nachlässigende Veränderungen  erleiden; 

2)  dass  dieselben  Coordinaten  mit  den  Coordinaten 
Sy  y  und  z  ohne  Fehler  vertauscht  werden  kön- 


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368  Angewandte  Krystallographie^ 

nen,  oder  das»  die  Excentrieitfit  der  gemessenen 
Kante  eine  sehr  kleine  und  gegen  die  Entfernun- 
gen D  und  /)'  zu  vernachlässigende  Grdsse  ist, 
identisch  mit  der  Gleichung  der  ersten  KrystalUIftche 
in  ihrer  ersten  Lage,  also 

AX+BY+CZ  =  Conti. 
Da  nun  allgemein  der  Cosinus   des  Neigungswin- 
kels V  zweier  durch  die  Gleichungen 
AX  +  BY  +  CZ  =  0 
A'X+  B'Y+  CZ  =  0 
gegebener  Flächen  nach  bekannten  Regeln  (indem  man 

in  der  Formel  des  §.  22  ^,    B  und  C  statt  — ,    -j- 

und  —  setzt)  den  Werth 

..  AA'  +  BB'  +  C 

eoiV  — 


VA^  +  B^  +  C^  iA'^  +  Jff'^  +C* 
bat,  so  erhalten  wir,    wenn  wir  fiir  A'  und  V  ihre 
Werthe  als  Functionen  von  A  und  B  substituirea, 

(^^+gOcof?r+c 

Es  ist  aber  W  der  am  Limbus  des  Kreises  abge- 
lesene Drehungswinkel,  V  der  wahre  Neigungswin- 
kel beider  Krystallflächen;  soll  also  die  Messung  den 
wahren  Winkel  angeben^  so  wird,  ausser  den  schon 
gemachten  Voraussetzungen  der  geringen  Excentrici- 
tät  der  Kante,  der  geringen  Ausdehnung  der  Krystall*« 
flächen,  und  der  grossen  Entfernung  der  Objecto,  noch 
die  Bc^lingung 

C=  0 
edullt  werden  mfissen,  weil  nur  dann 

r=  w 

seyn  kann. 

§.    682. 
BedUigiuigeii  (ür  die  Richtigkeit  der  Messung.  . 

Wir  lassen  es  noch  dahingestellt,  wie  CssO  wer- 


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KrysiaUineasung.    Qap.ll.  3Ö0 

lleiAcattn,  und  begnfigen  uns  einstweilen  mit  dem 
Begultate,  dass  es  =  0  werden  muss.  Ans  den  Gleir 
chitngen  der  Krystallflächen  verschwindet  dorch  diese 
Forderung  das  mit  Z  behaftete  Glied;  sie  werden  also 
Ton  der  Axe  der  z  unabhängig,  und  die  ihnen  ent- 
sprechenden Krystallflächen  selbst  der  Drehungnaxe 
des  Instrumentes  parallel  oder  rechtwinklig  auf 
der  Ebene  des  Kreises.  Welche  Folgernngen 
sich  also  noch  ans  der  Bedingung  C  ==  0  Cur  die  ge* 
genseitige  Lage  der  Ofajecte  und  des  Krystalles  erge- 
ben mdgen,  so  wird  doch  jedenCEdls  für  die  zu  mes« 
sende  Kante  gefordert,  dass  selbige  genau  ju- 
stirt  sey;  f.  676. 

Was  aber  die  Lage  der  Objecte  betrifft,  so  wer- 
den wir  die  für  sie  gültigen  Bestimmungen  gleiebfalU 
ans  der  Bedingung  C  ==  0  ableiten  können ,  wenn 
wir  statt  C  seinen  Werth  setzen,  wodurch  dieselbe 
Bedingung  die  Form 

B(t  —  z')—'D\z  —  €)  =  0 
gewinnt     Diese  Gleichung  wird  realisirt: 

1)  wenn  zsz^sz";  d.  h.  wenn  der  Krystall  und 
die  beiden  Objecto  in  einer  Parallejebene  des 
Kreises  liegen,  weil  die  Ebene  desselben  als  die 
Coordlnatebene (ory)  angenommen  wurde;  §.678; 

2)  wenn  D=±  D%  und  zugleich  %'  ^=^z*'\  d.  h.  wenn 
beide  Objecte  nicht  nur  vom  Krystall,  sondern 
auch  von  der  Ebene  des  Kreises  gleich  weit 
entfernt  sind ;  denn  z^  und  z^  sind  ihre  Abstünde 
von  der  Ebene  des  Kreises,  D  und  /)'  ihre 
Entfernungen   von  dem  Mittelpuncte  desselben, 

'  wofür  man  den  .Ort  des  Krystalles  setzen  kann. 

Die  Bedingung  ZÄz'rsrrz"  wird   nicht  immer  zu 

e.rfuUen  seyn,    da  sie   zum  Theil  von  Localverbält- 

nissen  abhängig  ist;    für  das  Malus*sehe  Goniometer 

findet  ^e  jedenfalls  Statt, 

Die  Bedingungen  D  =0  D'   und  z'  =  €  dagegen 
II.  24 


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370         Ange^pondu  MryMUMSagrasj^üe. 

tval  imuek  eia  «liifadMt  HüHmdtia  ftimtdaßmiit 
UnreielMHider  GeiuH^;kell  %m  erffllea,  nni  hhoi  nirl 
sieh  ddi«r  mft  so  m^bt  minexm  hahea  iiabn^  weS 
imrth  dD«  GlekUieit  4er  Etttfeniittgra  J9  iitt4  !>'  s«* 
g^ewh  eitt  aaderet  «ebr  wichtigtet  VMrtheil  fewoiiAMi 
wifd.  Wir  werden  ntaduA  weiter  imteii  sehea^  4«n 
ier  a«i  dem  Spielmame  der  Reflexion  entq^ting^nde 
FeUer  (f.  680)  Tenchwtedet,  wenn  beide  Objede 
gleieh  weU  eirtfemt  «fnd.  Man  kann  tta»^  aobaid 
diese  Bedfa^gang  erf&Ht ist,  grosieKryatalle  eben 
ao  wofal  aU  kleine  Kryatalle  der  Meaanng 
unterwerfen,  Tonmageaetst^  dasa  die  Evcentricn« 
tat  der  Kante  ao  klein  gemacht  wird,  wia  ea  die  #bai* 
gen  Bedingungen  fordern. 

Das  einfache  Mittel  rar  ReaKidrnng  der  BteAn- 
gnngen  D  =  D'  «nd  z't^z"  best^  wie  Knpffer  ge^» 
seigt  bat,  in  der  Anwendung  eines  kl#&en  t^Miseii-. 
talea  Planspiegels,  in  welchem  man  suglelch  dna 
reflectirte  Bild  ^s  Objectes  P  beobachtet,  während 
man  dasselbe  Object  durch  Reflexion  von  der  Kry- 
stallfltehe  Wfdunittimt.  Dieses  in  dem  Spiegel  re- 
flectirte Bild  des  ersten  Olgectes  vertritt  also  die 
Stelle  i^u  sweiten  Oljectes-,  und  4>eide  Ofa|eete  sind 
nnn  rom  Kfyatalle  gfoich  entfernt  «u  achten,  wenn 
nur  das  cfrate  Object  nn  und  ftr  sich  sehr  entfeint, 
und  der  Spiegel  mSgHcbat  nt^e  am  Krjrstalle  ist. 

§.    683. 
Forts^tzQDg. 

Fassen  wir  die  in  den  Torhergehenden  |{*  l^nn- 

denen  Resultate  nochaatals  suaammen,  so  «rimlten  wir 

folgende  Regeln  för   den  Crebrauch   des  WoUaaton- 

sehen  Gbniometers; 

1)  Die  Kantenlinie  der  au  messehden  Kante  muss 

genau  justirt,   oder  der  Axe  des  Insfrumen- 

tes  parallel  gemacht  werden. 


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KrystaUmeMsimg.  Cap.  U.  371 

2)  I>i#  IbntMiBiiU  darf  ntcliC  zn  excentriseh 
»eyn,  «iwl  mass  daher  wenigsteiu  af  proximattr, 
ittd  swar  um  aa  genauer  ceatrürt  werden,  je  ge- 
ringer die  Entfemiuig  der  Ob^ete  iat.  Sind 
beide  Objecte,  oder  ist  andi  n«r  eines  sehr  nahe, 
ao  kmm  aehou  eine  geringe  Ex^^entrieiCät  bedeu- 
tende Fehler  <nr  Felge  haken  *). 

3)  Die  Objecte  müssen  Tom  Krytrtalle  ziemlich 
weit,  und,  wo  möglich,  beide  gleich  weit 
entfernt  seyn;  denn  darcfa  grosse  Entfernung' 
wird  der  ans  der  Excentricitftt  der  Kantenlinie, 
dnreh  gleiche  Entfernung  der  aus  dem  Spiel- 
räume der  Reflexion  entstehende  Fehler  ver- 
nichtet. 

4)  Die  Objecte  müssen  entweder  mit  dem  Krystalle 
in  einer  und  derselben  Parallelebene  des 
Kreises  liegen,  oder  sie  müssen  beide  von  der 
Ebene  des  Kreises  gleich  weit  abstehen. 

5)  Lässt  sich  die  Gleichheit  der  Entfernungen  bei- 
der Objecte  vom  Krystalle  nicht  realisiren,  so 
muss  derKrystall  klein  seyn,  und  die  Reflexion 
nahe  an  der  Kantenlinie  Statt  finden. 

%.    684. 
BMchrcSbmif  «las  Wotlastonidkea  Gonioiiieten. 

Das  Wollaston^sche  Reflexionsgoniometer  besteht 


*)  Bs  scbeiat  bierMch  UDvortheilhaft ,  ^ie  oft  geichieht,  zn 
d«z  dlrect  gMehenen  Objecte  eine  auf  dem  Tische  oder  auf  der 
Fossplstte  des  GoniooieCeN  gezogene  Linie  zu  iivaiilen,  weU  dam 
jMi  nur  «ine  Ukbst  ^«Aftiie  Geatrirang  gefordert  wkiL,  was  ün- 
ner  schwierig  ist,  sondern  ancli  die  Kefleiioa  dicht  an  der  Kai»- 
tenlinie  erfolgen  muss ,  waft  in  rielen  Fällen  ^anz  uumögUcb ,  je- 
denfialls  aber  wegen  der  Beugung  des  lilcbtes  nachtbeiiig  seyn 
n^lrd,  wenn  die  vom  zweiten  Objecte  kommenden  Lichtstrahlen 
4lelii  fiber  der  Kante  beobachtet  werden. 

24- 


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372         Angewandte  Kryataüogrciphie. 

wesentlkh  atis  zwei  yerschiedenen  Theilen,  dem  ein^ 
getheilten  Kreise,  tuid  dem  Krjstallträger. 

Der  Kreis  mm  ist,  zur  bequemeren  Ablesubg,  nicht 
^uf  seiner  Fläche,  sondern  auf  seiner  hohen  Kante 
getheilt,  wie  dies  F%.  792  zeigt;  die  Theilung  geht 
gewöhnlich  bis  auf  halbe  Gt^le,  indem  ein  Nonius 
die  einzelen  Minuten  •  bestimmt  Die  Axe  ,  des  Krei- 
ses ruht  auf  dem  Rueken  eines  messingenen  Bockes, 
dessen  Füsse  in  eine  hölzerne  oder  messiogene  Fnss- 
platte  dergestalt  eingelassen  sind,  dass  die  Axe  selbst 
der  Ebene  der  Fussplatte  genau  parallel  wird.  Diese 
Fussplatte  ruht  auf  drei  Stellschrauben,  und  trägt 
eine  Libelle,  mittels  welcher  sie  selbst  horizontal, 
und  folglich  der  Kreis  vertical  gestellt  werden  kann. 
Auf  der  Rückseite  des  Kreises  endet  die  Axe  in  eine 
zur  leichteren  Drehung  dienende  Scheibe  it. 

An  den  einen  Fuss  des  Bockes  ist  der^onius  M, 
an  den  andern  eine  Feder  angeschraubt,  deren  umge- 
bogenes Ende  k  sich  an  den  ersten  Fuss  anlegt,  und 
den  Kreis  bei  seiner  Drehung  nach  der  einen  Rich- 
tung arretirt,  4iobald  die  Poncte  0°  oder  180**  der  Thei- 
lung mit  dem  NuUpuncte  des  Nonius  zusammenfallen; 
während  es  dagegen  nachgiebt  und  überspringt,  wenn 
der  Kreis  nach  der  andern  Richtung  gedreht  wird, 
und  jene  Puncte  den  NuUpunct  des  Nonius  passiren. 
Das  beim  Ueberspringen  der  Feder  erregte  Geräusch 
«^eigt  in  letzterem  Falle  dem  Beobachter  den  lieber- 
gang  aus  einem  Halbkreise  in  den  andern  an. 

«.    685.  , 

Fortsetxang. 

Die  Axe  des  Kreises  ist  ihrer  Länge  nach  durch-- 
bohrt,  um  die  Axe  aa  des  Krystallträgers  anfzuneh- 
meil,  welche  sich  in  ihr  mit  Widerstand  drehen  lässt, 
so  dass  bei  ihrer  Drehung  der  Kreis  unTerrückt  bleibt, 
während  sie   dagegen  allen  Drehungen   des  Kreises 


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KrystaUmessung.    Cap.  IL  373 

mit  unterworfen  ist.  Sie  trägt  an  ihrem  einen  Ende 
die  arar  leichteren  Drehung  dienende  Scheibe  s$j  am 
andern  Ende  den  Bogen  bcy  welcher  an  seinem  Ende 
so  durchbohrt  ist,  dass  die  Axe  des  Bohrloches  auf 
der  Axe  des  Krystaliträgers  rechtwinklig  ist.  Die 
Durchbohrung  dient  zur  Aufnahme  der  Axe  d  eines 
zweiten  Bogens  de^  welcher  an  seinem  anderen  Ende 
die  cylindrische  Hülse  e  trägt,  deren  Axe  gleichfalls 
Techtwinklig  auf  der  Axe  de  und  zugleich  so  gestellt 
ist,  dass  sie  mit  der  Axe  des  Kreises  ungef&hr  zu- 
Bammenfiillt,  wenn  der  Bogen  de  in  die  Ebene  des 
Bogens  ie  gestellt  wird.  Diese  Hülse  endlich  nimmt 
den  Stift  /g  auf,  der  sich  mit  Widerstand  in  ihr  dre- 
hen, auch  hin  und  her  schieben  lässt,  und  an  seinem 
Ende  in  g  gespalten  ist^  um  eine  kleine  Platte  von 
Messingblech  einklemmen  zu  können. 

Dies  ist  die  sinnreiche  Einrichtung  des  Reflexions- 
goniometers,  wie  solche  von  dem  genialen  Erfinder 
dieses  Instrumentes  angegeben  wurde.  Mau  hat  man« 
.cherlei  Veränderungen  in  der  Einrichtung  des  Kry- 
staliträgers vorgeschlagen,  welche  besonders  die  Cea- 
trimng  der  Kante  zum  Zwecke  haben,  aber  das  an 
sich  so  einfache  Instrument  mehr  ffder  weniger  zu- 
sammengesetzt machen,  ohne  doch  für  seinen  gewöhn- 
lichen Gebrauch  besondere  Vortheile  zu  gewähren^ 
weil  bei  gehöriger  Entfernung  der  Objecte  eine  ge- 
ringe Excentricität  keine  Fehler  zur  Folge  hat,  und 
eine  ungefähre  Centrirung  immer  aus  freier  Hand 
ohne  besondere  Apparate  zu  erreichen  ist. 

§w    686. 
Gebrauch  des  Wollastonschen  Goniometers. 

Will  man  eine  Messung  mit  Wollastons  Goniome- 
ter vornehmen,  so  stellt  man  selbiges  auf  einen  festen 
Tisch,  einem  Fenster  gegenüber,  durch  welches  man 
entfernte  Gegenstände  (z.  B.  eine  Thurmspitze ,  einen 


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374         Angewandte  KryttaOographie. 

Schornstein  oder  den  Qiebel  eines  Haoses)  beobaeb** 
ten  kann,  und  bringt  den  Kreis  in  eine  solche  Lage, 
dass  er  möglichst  genaa  vertical  nnd  nngefiUir  recht- 
winklig auf  der  Ebene  des  Fensters  ist.  Anf  dto 
Platte  f  des  Krystallträgers  klebt  man  den  Krystall 
mit  etwas  Wachs  fest,  so  dass  die  Kantenlioie  der 
sü  messenden  Kante  der  Axe  /g  nngefthr  paralM 
wird,  und  dreht  hierauf  die  Axe  des  Krystalltrigen 
so  lange,  bis  das  nahe  an  den  Krystall  gehaltene 
Ange  auf  der  einen  Flftche  das  reiectirte  Bild  des 
Fensters  erblickt.  Darch  zweckmässige  BeWegangen 
des  Metallstiftes  fy  und  des  Bogens  ed  snclit  man  es 
nnn  dahin  m  bringen,  dass  die  verticaleli  Leisten  de« 
Fensterkrenzes  im  Bilde  gleichfalls  vertical,  oder  die 
horizontalen  Leisten  horizontal  erscheinen,  woTon 
man  überzeugt  ist,  wenn  man  die  reflectirten  Bilder 
mit  den  direct  gesehenen  Leisten  zur  Coincktenz  brin- 
gen kann.  Findet  diese  Coincidenz  Statt,  so  iat  die 
erste  Krystallfläche  jnstirt  Man  sucht  mm  anok  die 
zweite  Krystallflftche  nach  derselben  Methode  b«  Ja« 
stiren,  was  freilich  oft  einige  Biegungen  desKryatol* 
les  auf  seiner  Wachsnnterlage  erfordert,  wodurch  die 
Lage  der  ersten  Fläche  gewöhnlich  gestört,  und  eine 
a&ermalige  Bestimmung  derselben  nöthig  gemadit  wird. 
Sind  endlich  nach  einigen  Versuchen  beide  flächen 
jnstirt  worden,  so  ist  ihre  Kantenliaie  der  Axe  dea 
Instrumentes  parallel  und  die  wichtigste  Bedingung 
der  Messung  in  Erflillung  gebracht. 

t.    687. 
FortsetKuag. 

Man  öffnet  nun  das  Fenster,  um  die  von  dem  ent- 
fernten Objecte  kommenden  Lichtstrahlen  ungehin- 
dert auf  die  Krystallfläche  fallen  su  lassen,  bringt 
vor  dem  Goniometer  einen  künstlichen  Horizont  so 
an,  dass  in  selbigem  das  BiU  des  Ofajectes  von  dem 


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Kry9taUm0Bmng*    C^p.  Ih  375 

diahft  kuilei  deoi  Krjfttall  b^lbdUcbe»  A«ce  gfsebea 
wer dea  kana»  «teilt  den  Kf eit  auf  0**  ^ia  (ww  die  in 
f.  684  erwfthnle  Arretirimg  lekr  leicht  macht),  und 
dreht  am»  die  Axe  des  Krystalltrfigert  sa  lange,  bi« 
las^  w>n  der  ejrsten  Kiystallfläcbe  reflectirte  Bild  de» 
Oiyecfe«  mit  seinem  von  dem  Spiegel  reflectirten  Bilde 
«uammenfilllt.  Hierauf  dreht  man  die  Axe  des  Krei« 
•e»  (und  mit  ihr  logleicb  jene  des  KrystaUtiägers) 
bia  dieselbe  Coincidena  der  Bilder  hei  der  ReiBexion 
Toa  der  «weiten  Krystallfläehe  Statt  findet.  DerWin- 
\uAj  wehchen  der  Nonios  aaf  dem  limbus  des  Krei- 
ses anaeigt,  ist  der  gefachte  Neigungswinkel  beider 
KrystalUM^n. 

Ist  die  L^idität  des  Zimmers  von  def  Art,  dass 
man  eia  Gebäude  mit  mehren  Fensteireihen  zum  vm 
k  «ff  hat,  ae  kann  man  das  Bild  der  Kante  eines 
Fenstersimses  aus  dem  oh^ea  Stockwerke  mit  der 
direet  gesehenen  Kante  des  Simses  eines  Parterre* 
Seastera,  ader  das  Bild  ii^end  einer  oberen  horison- 
lalea  linie  mit  einer  unteren  horizcintalen  Linie  des 
Gebäudes  rar  Coincidena  bringen,  und  dann  den  $pie^ 
gd  andbehrmt,  weil  eine  hinreidiende  Gleichheit  der 
Eatfenmngen  beider  Otgeete  Statt  findet 

Ist  endlieh  die  Kante  ziemlich  genau  centrirt,  so 
kann  man  auch,  wenn  das  Goniometer  in  20  und  mehr 
Fuss  Entfernung  vom  Fenster  steht,  das  Bild  einer 
oberen  horizontalen  Fensterleiste  mit  einer  tieferen 
horizontalea  Linie,  z.  B.  mit  dem  Streifen  der  Lam- 
perie  an  der  Fenslerbrfisinqg,  in  Contaet  bringen. 

%.    688. 
Meflsungen  mit  Repetition. 

Weil  durch  das  in  den  vorhergehenden  |§.  abge- 
gebene Verfahren  alle  in  §.  683  aufgezählten  Bedin- 
gungen erfüllt  werden,  so  miigs  auch  die  Messung 
sehr  nidieein  richt^s  (t^ujtat  geben,  vorausgesetzt, 


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376         Angeufandte  KryataUographie. 

dass  das  Instrument  genau  gearbeitet,  die  Operatio- 
nen der  Messung  sorgfältig  vollzogen  worden,  und  ik^ 
Krystallfiächen  gut  spiegelnd  sind.  Weil  jedooh,  theib 
aus  den  UnToUkommenheiten  des  Instrumentes  hin- 
i^ichtlich  der  Theilung,  Centrirung  u.  s.  w.,  theill 
aus  der  Unvollkommenheit  der  Sinnesorgane,  der  mehr 
oder  weniger  günstigen  Stimmung  .des  Beobachters 
u  s.  w.,  eine  Menge  kleiner  Fehler  entiipringen,  de- 
ren Gewicht  nur  durch  öftere  Vervielfältigung  der 
Beobachtung  vermindert  werden  kann;  so  ist  es  gut^ 
die  Messung  zu  repetiren,  und  statt  des  Resultates 
einer  Beobachtung  das  Mittel  aus  einer  gan- 
zen Reihe  von  Beobachtungen  zu  wählen*). 

Zu  einer  solchen  Kepetition  der  Messungen  ist  nun 
das  Goniometer  von  der  oben  angegebenen  Eiarich- 
tnng  sehr  wohl  geeignet.  Nachdem  nämlich  der  erste 
Winkel  Wt  abgelesen  und  aufgezeichnet  worden,  dreht 
man  die  Axe  des  Krystallträgers  (ohne  jene  des  Krei» 
ses  zu  bewegen)  rückwärts,  bis  die  Coincidenz  der 
Bilder  wieder  für  die  erste  Krystallfläche  Statt  findet; 
dann  dreht  man  den  Kreis  selbst  in  derselben  Rich- 
tung wie  das  erste  Mal,  bis  dieselbe  CoimMena 
auch  für  die  zweite  Fläche  eintritt,  und  liest  einea 
zweiten  Winkel  W^x  ab.  Dasselbe  Verfohren  wie- 
derholt man,  so  oft  man  will,  und  erhält  dadurch  eine 

Reihe  abgelesener  Winkel  KP^,,    IPi,,   ff^n  . etc* 

Jeden  Winkel  in  dieser  Reihe,  vor  dessen  Ablesung 
das  Ueberspringen  der  den  Kreis  arretirenden  Feder 
erfolgt,  unterstreicht  man,  weil  seine  Ablesung  in  ei-r 
ncn  ncHien  Halbkreis  fällt,  was  bei  der  Summirun^ 
4er  Winket  berücksichtigt  werden  muss. 


*)  Wie  man  auf  dergleichen  Reihen  von  Beobachtungen  die 
Methofie  der  kleinsten  Quadrate  und  andere  Ennstgrifife  des  Proba- 
bi litätäcalcnls  anwenden  kann,  zeigte  Gilbert  In  seinen  Annalen 
1828,  IX,  und  Kupffer  in  seiner  gekr§nten  PreiMohrift. 


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Krystallmessung.    Cap.IL  377 

Geseilt,  der  beobachtete  Winkel  sey  nahe  s=  130% 
man  habe  folgende  Reihe  von  Winkeln  abgelesen, 

Wta    fvi      W^ 
nnd  wolle  sich  mit  diesen  nenn  Beobachtungen  b^ 
gniigen,  so  bildet  man  zunächst  folgende  Winkel: 

180-—  IT,  =  r, 
Wut  +  180»-  >r^=  r„ 


nm  sich  durch  die  nahe  Uebereinstimmung  der  Wer« 
tfae  Ff,  Vu  u.  s.  w.  davon  zu  überzeugen,  dass  kein 
grober  Beobachtungsfehler,  eine  falsche  Ablesung, 
oder  wohl  gar  eine  Yerrückung  der  unrechten  Axe 
Statt  gefunden  habe.  Die  einfache  Kegel  zur  Be- 
atinimung  der  Winkel  F,,  Vn  u.  s.  w.  ist,  dass  für 
je  zwei  Ablesungen,  zwischen  welchen  der  Ueber* 
gang  aus  einem  Halbkreise  in  den  andern  Statt  fin- 
det, der  Winkel  der  ersten  Ablesung  ^u  dem  Supple- 
mente der  zweiten  Ablesang  addirt  werden  muss,  wäh- 
rend für  alle  in  einen  und  denselben  Halbkreis  fal- 
lende Ablesungen  die  Differenzen  je  zweier  auf  ein- 
ander folgender  Winkel  zu  nehmen  sind« 

Um  nun  endlich  das  gewünschte  Mittelresultat  V 
zu   erhalten,    würde  man  eigentlich  die  Winkel  Fi, 
V,t zu  addiren ,  und  ihre  Summe  durch  ihre  An- 
zahl zu  dividiren  haben ;  allein  man  sieht  leicht,  dass, 
'^eieh  wie  in  unserm  besonderen  Falle 

F,+  F„  + F„  »  3.180^-  IF„ 

uo  auch  allgemein 

r,  +  F„  + F.  =  ei.lSO^-  Wn 


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S78         Ax^gimmwAU  Kry$kUhgrapkie. 

wird,  wauit  4ieAimU  4tr Bad^hAwgWy  W^O» 
letste  Aer  Abkrangen,  und  m  die  ABnU  d«r  Veber- 
gftDge  aus  dem  einen  Halbkreise  in  den « andern  ist. 
Es  wird  daher  auch  das  Mittel  ans  den  Winkeln  Vn 
Vn  u.  s.  w.  allgCTietn; 


iatf~ir. 


oder,  mit  Worten  ansgedrSckt:  das  Miltelresnltat  ist 
der  ganze  bei  den  snccessiven  Drehnngen  des  Krei- 
ses durchlaufene  Bogen ,  diTidirt  durch  die  Zahl  der 
Beobachtungen.  Nun  ist  V  das  Suppl^ne«^  der  ge- 
messenen Kante y  also  diese  selbst; 
W=  18(f  —  F 


Apparst  zur  Jmüniqg  der  Kaste» 

Da  auf  die  Jnstiruag  der  Kante  Alles  aakonmtt^ 
der  gewöhnliche  WoUastonsehe  SteUnngsapparat  des 
Krystalles  aber  ein  Hin-  ttnd  Herprobiren  ttdth% 
nuu^ht^  so  scheint  mir  ein  Apparat  sehr  wüasckans- 
werth,  welcher  die  Justirung  der  Kante  durch  drei 
auccessive,  nach  bestimfnte^^  Regeln  vonm* 
nehmende  Bewegungen  des  Krystallfs  leicht  und 
sicher  erreichen  lässt,  und  die  Operation  Toa  alleas 
Probiren  unabhfti^^  macht;  was  dann  um  so  üAAit> 
ger  wird,  wenn  die  Kantenlinie,  welche  gewIihnUck 
beim  Aufkleben  des  Ki^stalles  sor  Richtschnur  dient, 
gar  nicht  vorhanden  ist,  und  beide  flächen  durch 
mehre  swischenliegende  Fliehen  getrennt  sind.  Ein 
solcher  Apparat  erfordert  nur  die  Ifinsufilgnng  eines 
einaigea  kleinen  Maschinentheiles  su  dem  WoUaston- 
sehen  Stelluagsapparate. 

Statt  des  l^gen,  in  einer  Hülse  dreh-  und  ver- 
schiebbaren Stiftes>^  nämlich  lasse  man  in  der  Durch- 
bohrung e  des  Bogens  de  Fig.  793  eine  nicht  v«r^ 
schieb  -,  sondern  nur  drehbare  Axe  gehen,  welche  ia 


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Kr^aBm$Mwng.   Cap^JL  9TB 

UiTM^  Veffasfe  Bweuul  kokflunig  febog«i,  md  im 
g-  so  durchbohrt  ist,  das«,  wenn  der  Bogen  «f  in  die 
£bene  des  Bogens  ed  eingestellt  wird,  das  Bohrloch  g 
in  die  Yerlängerung  des  Bohrloches  e  fidlt.  Das  Bohr« 
loch  f  nimmt  eine  kleine  Axe  pq  auf,  welche  unten 
«it' einer  kleinen  Drehscheibe ,  oben  mit  einer  sum 
Tnqptn  des  Krystalls  bestinunften  Scheibe,  oder  ben* 
nev  mit  einer  kleinen  Zange  yersehen  ist. 

Nachdem  nun  das  Instrument  wie  in  f.  686  gestellt 
worden,  befestigt  m^den  Krystall  auf  der  kleinen 
Scheibe  q  mit  etwas  W  achs  (oder  Idenunt  ihn  in  dio 
kleine  Zange),  so  dass  die  su  messende  Kante  nack 
oben  SU  liegen  kommt,  und  macht  darauf  die  Axe  /o 
der  Drehungsaxe  des  Kreises  parallel  Hierauf  dreht 
man  die  kleine  Axe  j^  so  lange,  bis  die  erste  Kry« 
stallfläche  das  Bild  einer  verticalen  Fensterleiste  TOTi- 
tical  (oder  einer  horizontalen  horizontal)  lerscheinen 
UUst;  eine  Bedingung,  die  jedenfalls  sn  erfüllen  ist, 
nnd  die  Fläche  der  Axe  des  Kreises  parallel  macht 
Dann  dreht  man  den  Bogen  ed  nm  einen  etwas  grossen 
Winkel,  etwa  ton  60"^  oder  9(f ,  und  darauf  die  Axo 
y^  so  lange,  biir  dieselbe  Krystallfläche  das  Bild  der* 
selben  Fensterleiste  wiederum  Tertical  (oder  boriion* 
tnl)  erscheinen  lässt  Dadurch  wird  diese  erste  Flä- 
che nicht  nur  parallel  mit  der  Axe  des  Kreises,  son- 
dern auch  rechtwinklig  auf  der  Axe  de^  wes* 
halb  sie  bei  allen  ferneren  Drehungen  des  Bogou 
ed  mm  diese  seine  Axe  ihre  Lage  mnyerändert 
beibehält.  Man  dreht  nun  diesen  Bogen  (und  m^ 
gleich  die  Axe  des  Krystallträgers)  so  lange,  bis  die 
s^eite  Krystallfläche  das  Bild  der  Fensterleiste  gleich- 
fklls  Tertical  (oder  horizontal)  erscheinen  lässt;  dann 
ist  auch  diese  Fläche  der  Axe  des  Kreises  parallel 
gemacht,  ohne  dass  die  erste  Fläche  ihre  Lage  irer* 
änderte.    Die  ftantenlinie  wird  also  durdi  drei  suo* 


Digi 


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380         Angewandte  Krystallograpfii-e. 

eessir^,  nach  bestiiiiiiiten  Regeln  Tonranehmende  Be^ 
wegnngen  leicht  und  sicher  jostirt  seyn. 

i    690. 
U«ber  dea  Fehler  der  Bxcentricitatk 

Da  die  Betrachtungen  des  §.  670  die  Kante  so  we^ 
nig  excentrisch  voraussetzten,  dass  die  Coordinaten  x 
und  y  des  reflectirenden  Elementes  der  Krystallfläche 
für  beide  Reflexionen  gleich  angenommen  werden  konn- 
ten, so  belehrten  sie  uns  aucL  nicht  über  die  Grosse 
des  Fehlers ,  welcher  durch  ^e  Excentricität  der 
Kante  herbeigeführt  wird;  weshalb  wir  noch  hierüber 
eine  Untersuchung  anzustellen  haben. 

Es  sey  der  Punct  Jf,  Fig.  794,  die  Projection  der 
mathematischen  Axe  des  Kreises,  E  die  Projection 
der  zu  messenden  Kante,  EF  die  Projection  der  er^ 
sten  Krystallfläche  vor,  E^F^  die  der  zweiten  Kry- 
stallfläbhe  nach  der  Drehung  des  Kreises.  Die  Ob- 
jecto A  und  B  sollen  mit  dem  Krystalle  in  einer  und 
derselben  Parallelebene  des  Kreises  liegen,  l^ld  die 
Reflexionen  dicht  an  der  Kantenlinie  Statt  finden.  Da, 
wegen  der  verschiedenen  Excentricität,  die  zweite  Kry- 
stallfläche, wenn  auf  ihr  die  Coincidenz  des  Bildes 
von  A  mit  B  beobachtet  wird,  nicht  genau  dieselbe 
Lage  haben  kann,  wie  die  erste  Krystallfläche,  als 
die  Coincidenz  auf  ihr  beobachtet  wurde,  so  werden 
jiich  die  Projectionen  EF  und  BTF*^  beider  Krystall- 
flächen  gehörig  verlängert  in  einem  Puncto  K  scfanet** 
den.    Es  sey  f  nun 

die  Entfernung  des  Otgectes  Aj  MA  :=  n, 
B,  MB  =  b, 

die  Excentricität  ,*  oder  der  Radius  der  Kantenlinie, 
3IE  =  e, 

der  Winkel,   welchen  die   Radien  beider  Objeete 
Bilden,  oder  AMB  =  (>, 


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Kry^tallmessuHg.*    Cap^Jl.  381 

Aex  Winkel,  welchen  die  Projeetionen  der  ersten  nnd 
zweiten  Krystallfläche  bilden,  odef  E^KE  =  «fj 
die  Winkel,  welchen  die  Krystallflftchen  mit  dem  Ra- 
dios der  Kantenlinie  bilden,  (p  und  f'j  nftmlieh: 
Winkel   FEM  =  9) 
Winkel  F'E'M^  9' 
die  Winkel  der  von  A  ausgehenden  und  auf  beiden 
Krystallflächen  dicht  an  E  reflectirten  Strahlen, 
X  und  X%  nämlich : 

Winkel  AEK  =  X 
Winkel  AE^K^  X' 
die  Wiiikel  der  beiden  einfallenden  und  der  beiden 
reflectirten  Strahlen  gegen  einander,   «  und  ßj 
nämlich : 

Winkel  EAE^  =  a 
Winkel  EB&  =  ß 
endlich  der  Drehungswinkel  des  Kreises,  oder  der 
Ton  dem  Radius  der  Kantenlinie  beschriebene 
Winkel 

EMET  =±  W 

i    691. 

BeweU,  dass  der  Fehler  der  Ezcentridt&t  ss  \{a  -^  ß)  At/L 

Der  aus  der  Excentricitftt  der  Kantenii- 
nie  entspringende  Fehler  ist  gleich  dem 
Winkel  Sj  wie  sich  leicht  beweisen  lOsst. 

De^r  wahre  Winkel  V  beider  Krystallflächien  ist 
nämlich : 

V^if  +  if' 
der  abgelesene  Winkel  dagegen  =r  W.    Man  Terlän'- 
gere  die  Protection  EF^  bis  solche  den  Radius  ME^ 
der  Kantenlinie  in  der  «weiten  Stellung,  in  B  schnei- 
det; nun  ist 

MRE  =  ME'K+  ETKB 
=  9^  +  4 


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tBH        AngBiMndte  Kry^taBographie. 

JfltjB,  9  und  IT  aber  «ind  die  imerea  Wüdiei  des 
Omecket  MBEj  also  ist 

w+^  +  if'+i  ^iast 

W+i  ==t  18(r— F   , 
Da  nnn,  wofern  dieMessong  riehtig,  oder  dieEx- 
eentricität  ss  0  wSre,  der  Winkel  W  genaa  das  iSvp- 
pletneat  von  V  seyn  müsste,  so  ist  ofeabar  der  Feh- 
ler der  Excentritftt  s=:  S, 

Es  ist  aber  der  Wf&kel  t  gleich  der  hal- 
ben Differenz  der  Winkel  a  mnd  ß. 

Um  dies  zu  beweiaen,  nenne  man  S  den  Dunch* 
ychtiittspanct  des  von  A  auf  die  erste  Fläche  ein£Ed- 
ienden  Strahles  AE  mit  der  verlängerten  Projeetion 
KB^  der  zweiten  Fläche,  and  T  den  Durchschnitts- 
pnnct  des  yon  B  auf  die  zweite  fläche  foUenden  Strah- 
les BEf  mit  der  yerläqgerten  Prqjection  KE  der  er- 
sten Fläche.    Nun  ist 

E:SE  =  AEK  +  WKE  =  i  +d 
^  AE^S  +  &AV  =  r  +  a 
nnd  folglich 

X  +  Js^r+'a 
Eben  so  ist 

ETTR  Ä  KETT^  ETKE  =«  V ^i 
=  JKEB^EBT  ^  1— /? 
nnd  daher  aach 

Addirt  man  beide  Gleichungen,  so  folgt 
2J=«:a— ^ 
««  4fiMreiseii  war^ 


|,    692. 
BeatiniBMuig  dM  Fehlen  S  alt  einer  Fnnctioii  ton  ■^,  t  nad  e. 

In  den  Dreiecken  AEM  nad  ^^JU  bestimmen  sich 
nach  bekannten  Regeln : 


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KrysuUbMMung^   Cap.  iL  S6S 

^nE'AM^  t^füi±n^  ^^BM^  V^lki^ 

Nun  ist  eigentlich 

$^a  =  iini^AM—EAM) 
Hnß  —  $in{EBM—ErBM) 

Weil  aber  alle  Mesgungen  mit  dem  Reflexionsgo- 
niometer  eine  bedeutende  Entfernung  der  Gegenstände, 
und  eine  gerüige  E:Koeiitricitit  der  Kaatenlinie  vor- 
amsetzen,  so  werden  die  Winkel  EAMy  EBMj  B^AM 
und  jE^fiJlf  jedenfalls  so  Uein,  dass  wir  ohne  Fehler 
statt  der  Sinus  ihrer  Differenzen  die  Differenzen  ih- 
rer resp.  Sinus  einfuhren  können*);  es  wird  daher 

Nun  war  2i  =  a  —  ßi  folglich,  weil  auch  a  und 
ß  sehr  klein,  und  daher  ihre  Cosinus  ohne  Fehler 
=  1  SU  setzen  sind:  ' 

ftn  j  =  Hiina  —  iinß) 

Bedenkt  man  nun  femer,  dass  die  Winkel  X  und 
X'  von  einander  sehr  wenig  verschieilen,  und  dem  Win- 
kel \f  sehr  nahe  gleich  sind,  so  erhält  man  durch 
Entwickelung  der  Wertfae  von  tin{(p  +^),  #^(9) — X) 
u.  s.  w.,  indem  man  zugleich  l=s:V  =  i^  setzt, 

TOB  welchem  Ausdrucke  zu  bemerken  ist,  dass  er  zwar 
ein  bedeutendes  Verhältniss  der  Entfernungen  a  und  b 
zu  der  Excentricitit  e  v^uraussetzt,  jedoch  -schon  Gül- 


*)  Die  Entfernung  der  Objecto  darf  nur  etwa  100  maJ  so  gron 
aeyii  ak  die  BicesCrlcitat«  «a  -dieee  Atmahse  im  geatnit«. 


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384         Angewandte  Krystaüogrojphie. 

tigk^  hat,  wenn  jene  Entfenmiigeti  etwa  100  mal  so 
grois  sind  als  e.    Nimmt  man  a^=bj  so  wird 

i    693. 
Fo1g;eniiigen  aus  dem  Werthe  Ton  nn  d. 

Aus  dem,  unter  Voraussetzung  gleicher  Entfernun- 
gen beider  Ohjecte,  folgenden  Werthe 

ergeben  sich  nachstehende  Resultate: 

1)  Der  Fehler  i  wird  positiv  oder  negativ  (additiv 
oder  subtractiv),  je  nachdem  q>  -<  oder  >>  (ff; 
er  wird  =  0,  wenn  9  =  (p^.  Das  Verhältniss 
der  Winkel  (p  und  q)'  bestimmt  sich  aber  nach 
dem  Abstände  beider  Krystallflächen  von  der 
mathematischen  Axe  des  Instrumentes ,  oder 
nach  der  Excentricität  jeder  einzelen 
Krystall fläche;  nennen  wir  diese  Excentri- 
citäten  der  ersten  und  zweiten  Fläche  €  und  i% 
so  ist      t 

(p'^  =  <C,g>\  wenn  £>  =  <£' 
Der  Fehler  der  Excentricitfit  der  Kante  ver- 
schwindet also,  wenn  beide  Flächen  gleich 
excentrisch  sind;  leider  scheint  sich  aber 
die  Erf&llung  dieser  Bedingung  in  praxi  nicht 
wohl  erreichen  zu  lassen. 

2)  Wenn  \q  =  90^,  so  wird  J  =r0;  wieWohl  nun 
die  Erfüllung  dieser  Bedingung  nicht  möglich 
ist,  so  lehrt  sie  uns  doch,  dass  d  um  so  klei- 
ner wird,  je  mehr  sich  \q  einem  rechten  Win- 
kel nähert;  woraus  sich  die  Regel  ergi6bt,  dass 
die  Gegenstände  nicht  zu  nahe  am  Ho- 
rizonte gewählt  werden  dürfen. 

3)  Da  der  Factor  {$i»q}'  —  9inif)eoeiqj^    selbst  im 


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Krystallmessung.   Cap.  IL  385 

nngunstigsten  Falle,  immer  noch  <^  1  itt,  lo  lasse 
sich  der  ans  der  Excentricität  entspringende 
Fehler  Jedenfiidls  beliebig  verringern,  indem  man 
a  sehr  gross  gegen  e  nimmt  Beobachtet  man 
z.  B.  das  Sonnenbild,  so  kann  man  den  Kry* 
stall  anf  den  Limbns  des  Kreises  setsen,  ohne 
den  geringsten  Felder  sn  befürchten.  Da  sieh 
aber  die  Excentricität  aus  freier  Hand  wohl  im* 
mer  bis  anf  2  Linien  vermindern  lässt,  so  reicht 
eine  Entfernung  der  Gegenstände  von'  60  —  80 
Fnss  hin,  um  den  Fehler  des  Resultates  ancfa 
im  ungünstigsten  Falle  bis  unter  eineSlinute  su 
bringen. 
4)  Geht  die  eine  Krystallfläche  durch  die  mathe- 
matische Axe  des  Instrumentes,  so  wird  einer 
der  Winkel  tp  oder  9'  =s  0,  und  der  andere 
=  F,  folgUch 

ftll  J  =  — CMJftlllF, 

wofür  man  auch 

iinS  =5=  —eoiiq9inW 

setzen  kann«  Der  Fehler  erreicht  dann  swar 
sein  Maximum,  ist  aber  leicht  xu  berechnen, 
wenn  «,  a  und  ^  bekannt  sind. 

f.    694. 
Ueber  deo  Fehler  wegen  des  Spielraumes  der  Reflexion. 

Der  ans  der  Grösse  der  Krystallflächen  und  der 
dadurch  herbeigeführten  Veränderlichkeit  des  reflecti- 
renden Elementes,  oder,  der  aus  dem  Spielräume  der 
Reflexion  entspringende  Fehler  lässt  sich  unter  der 
Voraussetzung,  dass  der  Fehler  der  Excentricität  be- 
seitigt und  folglich  die  Kantenlinie  als  centrisch  zu 
betrachten  ist,  in  folgender  Weise  bestimmen. 

Es  sey  Jlf,  Fig.  796,  die  Projection  d^r  centrischen 

a  25 


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380         Angewandte  KrystaUographU. 

Kantenliaie,    also  anch  der  geometrischen  Axe   des 
Instrumentes,  MF  die  Projection  der  ersten  Krystall- 
fläcfae  in  der  ersten,    MF^  die  der  zweiten  Krystall- 
fläche  in  der  zweiten  Lage,  A  das  eine,  und  B  das 
andere,  mit  demKrystalle  in  derselben  Paralldebene 
des  Kreises  befindliche  Object.     Die  Reflexion  müsste 
nun  eigentlich  beide  Male  dicht  an  M  beobachtet 
werden,    so  dass  AM  und  BM  die  normalen  Licht- 
strahlen seyn  wurden.    Statt  dessen  wollen  wir  aber 
annehmen,  sie  geschehe  auf  der  ersten  Fläche  in  R^ 
auf  der  zweiten  Fläche  in  R\  so  dass  BO  und  BfV 
die   reflectirten  Strahlen  sind,    in  welchen  sich  das 
Auge  des  Beobachters  befinden  muss. 
Es  seyen  nun  ferner: 
r  und  r'  die  Abstände  der  reflectirenden  Flächen- 
elemente jR  und  B'  von  der  Kantenlinie  Mi 
a  und  b  die  Entfernungen  der  Objecto  il  und  B  von  Jf; 
X  der  Neigungswinkel  des  Strahles  AR  gegen  die 
erste,   V  der  Neigungswinkel  des  Strahles  AJ^ 
gegen  die  zweite  Fläche; 
a  und  a'  die  Neigungswinkel  der  Strahlen  AR  und 
AR'  gegen  den  Normalstrahl  AMj  ß  und  ß^  die 
Neigungswinkel  der  Strahlen  BB  und  BR'  gegen 
den  Normalstrahl  BM\ 
q  der  Neigun^winkel  AJiB  beider  Normalstrahlen, 

und  endlich 
d-  der  Winker  Äifcrar,  um  welchen  die  zweite  Kry- 
stallfläche  bei  der  zweiten  Beobachtung  von  der 
Lage   der   ersten   Krystallfläche  bei   der   ersten 
Beobachtung  abweicht; 
so  ist  &  der  durch  den  Spielraum  der  Reflexion  her- 
beigeführte Fehler. 

|.    696. 
Fortsetzung. 
Es  kommt  nun  zuvörderst  darauf  an,  den  Winkel 


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KrystaUmessung.   Cap.IL  387 

&  mU  eine  Fancdon  anderer  Grössen  angzadrficken; 
M  krt  aber 

AWB'  =«  B'MA  +  MABT 
BB  HMA  +  »  +  €f 

und  eben  so 

BWR'  =  BTME  +  JlfBÄ' 
=»  Jffifll  —*  +  /?' 

Da  nnii  auch 

so  folgt 

Es  ist  aber 

Weil  nun  jedenfalls  a  und  5  so  gross,  r  und  r^ 
so  klein  Torausmsetzen  sind,  dass  jene  diese  wenig- 
slens  100  Mal  übertreffen,  so  kann  man  ohne  Fehler 

$m(a  +  ar)  a=s  Hna  +  Hnaf 

9ü$(ß+ß')  =  $inß  +  $inß' 
und  folglich  auch 

#^^  =  Kf^/y  +  Hk/f'  — föio  — ftnaO 
annehmen;  ans  demselben  Grunde  sind  aber  die  Win* 
kel  X  und  V  nicht  nur  einander,    sondern  auch  dem 
Winkel  4^  sehr  nahe  gleich;  es  wird  daher 

Dieser  Werth  wird  nuO,  wenn  a^sb;  ausserdem 
aber  um  so  kleiner,  je  näher  sich  die  Werthe  yon  a 
nnd  b  kommen,  und  je  grösser  beide  überhaupt  und 
besonders  im  Vergleich  zu  r  und  r^  sind. 

Man  sieht  also  hieraus,  wie  sehr  Tortheilhaft  es 
ist,  beide  Objecto  gleich,    oder  doch  beinahe 

25* 


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388         Angewandte  Krystallographie. 

gleich  entfernt  sra  wählen,  weil  dadurch  nicht  nnr 
der  aus  dem  Spielräume  der  Reflexion  entspringende 
Fehler  gftnzlich  vernichtet,  sondern  auch  der  aus  der 
Excentricität  der  Kante  entspringende  Fehler  durch 
einen  sehr  einfieichen  Ausdruck  dargestellt  wird*). 

|.    696. 
firfüllung  der  Bediagmig  a  s=  6. 

Ein  kleiner  Planspiegel  von  geschwärztem  Glase, 
der  an  einer,  der  Axe  des  Kreises  parallelen,  Axe 
auf  der  Fussplatte  des  Goniometers  befestigt  wäre» 
würde  einestheils  die  Bedingung  der  gleichen  Entfer- 
nungen beider  Objecte  bequem  und  hinreichend  er- 
füllen, andemtheils  auch  den  Vortheil  gewähren,  dass 
man  den  Winkel  -Jf  immer  etwas  gross  wählen  kann; 
während  ein  kunstlicher  Horizont,  bei  der  geringen 
Elevation  der  meisten  Objecte,  diesen  Winkel  ge- 
wöhnlich sehr  spitz  bestimmen  würde. 

Die  gehörige  Justirung  der  Kantenlinie  ist,  zumal 
mittels  des  in  §.  689  beschriebenen  Apparates,  jeden- 
falls zu  erreichen;  die  Excentricität  derselben  und 
der  Spielraum  der  Reflexion  bleiben  also  diejenigen 
objectiven  Fehlerquellen,  welche  vorgüglich  berück- 
sichtigt werden  müssen.  Wenn  nun  beide  Fehler 
durch  das  einfache  Mittel  einer  zweckmässigen  Wahl 
der  Objecte  vernichtet  werden  können,  so  scheint  es 
für  den  gewöhnlichen  Gebranch  des  Goniometers  weit 
vortheilhafter,  jenes  Mittel  in  Anwendung  zu  bringen. 


*)  Die  Gleichheit  der  Bntfenrangen  gewährt  auch  nocfa  den 
Vortheil,  dast  die  Coinddeni  teharf  bepbachtet  yrerägm  Juam^ 
weil  da«  Ajige  beide  Bilder  gleich  weit  erblickt;  «nd  dagegea  die 
EatfemuDgen  sehr  uogleich,  so  moss  das  Bild  einet  entfero^en 
But  dea  Bilde  einea  nahen  Gegenstandes  yergUchen  werden,  was 
nie  mit  gehöriger  Scharfe  möglich  ist,  wdl  jedenfalls,  während 
das  eine  Bild  v«m  Auge  fixirt  wird,  das  andere  ondeiitlieh  ge- 
sehen wird,  lUhd  umgekehrt 


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Krystallmissung.   Cap.  IL  380 

als  das  lastrament  durch  zusammengesetite  «nd  in 
vielen  Fällen  doch  nicht  ausreichende  Centrirnngsap- 
parate  zu  vertbeuern,  und  weniger  beinern  m  machen. 
Denn  die  Einfachheit  seiner  Constmction  und  die 
Bequemlichkeit  seines  Gehrauches  sind  es  gerade, 
was  nächst  der  Genauigkeit  seiner  Resultate  dem> 
WoUastonschen  Goniometer  einen  so  entschiedenen 
Vorzug  ertheilt,  dass  es,  wenigstens  för  4on  minera- 
logischen Gebranch,  nicht  so  leicht  durch  andere  rer- 
drängt  werden  wird. 

f.    697. 
Malni's  Goniometer. 

Das  Reflexioiisgoniometer  von  Mahi»  besteht  aus 
einem  horizontalen  Kreise ,  in  dessen  Alittelpuncte  der 
Krjstall  so  befestigt  wird,  dass  .  die  zu  messende 
Kante  vertical  steht.  Die  von  einem  entfernten  ver- 
ticalen  Objecte,  z,  B.  der  Kante  eines  Hauses,  der 
Spitze  eines  Blitzableiters,  kommenden  und  von  den 
Krystallflächen  reflectlrten  Strahlen  werden  durch  ein 
Fernrohr  aufgefangen,  dessen  Axe  der  Ebene  des 
Kreises  parallel^  und  genau  auf  den  Mittelpunct  des- 
selben gerichtet  isl,  und  dessen  verticaler  Faden  mit 
dem  Bilde  des  Objectes  zur  Coincidenz  gebracht  wird. 
Der  Winkel,  durch  welchen  die  den  Krystall  tragende 
Alhidade  gedreht  werden  muss,  damit  die  Coincidenz 
auch  bei  der  Reflexion  von  der  zweiten  Krystallflächo 
Statt  findet,  ist  das  Supplement  des  gesuchten  Win- 
kels. 

Dieses  Goniometer  hat  die  Vortheile, 

1)  dass  das  Object  sehr  weit  gewählt  werden  kann, 
was  bei  dem  Gebrauche  des  WoUastonschen 
Goniometers  für  Beobachter  von  kurzsichtigem 
Au^^e  nicht  wohl  angeht. 

2)  Uüji»  die  Xiage  des  reflectlrten  Strahles  durch 
das  Fernrohr  sicherer  fixirt  wird  als  durch  die 


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390         jingen»amlte  KryUaüographie. 

Caineideiis  des  reflectirten  Bildes  mk  einem  di- 

reet  gegebenen  Objecte. 
Dagegen  ist  die  Anwendung  des  Malas'schen  Go- 
niometers wegen  des  horisontalen  Kreises,  in  dessen 
Ebene  sieb  der  Gegenstand  befinden  moss,  ron  der 
gSnstigen  Bescbaffenheit  der  LooaUtftten  nocb  abkftn- 
giger  als  jene  des  Wollastonschen.  Dem  ist  jedocb 
abxubelfen,  weil  sieb  nach  Knpffers  Vorsoblag  der 
wesentliche  Vortfaeil  des  Malns*schen  mit  dem  Ge* 
brauche  des  WoUastonschen  Goniometers  rereinigen 
Iftsst,  indem  man  vor  selbiges  ein,  nach  Art  eines 
Passageinstnunentes,  in  der  Verticalel»ene  anf  und 
ab  bewegliches  Femrohr  so  stellt,  dass  seine  Axe, 
der  Krystall  und  das  Object  in  eine  Parallelebene 
des  Kreises  fallen ;  worauf  denn  die  Reflexion  durch 
das  Fernrohr  statt  mit  freiem  Auge  beobachtet  wird. 


Vierter  Abschnitt 

Von  der  Zeichnung  der  KryttaUfarmen. 


Erstes    Capitel. 
Allgemeine  Bestimmungen« 

f.    698. 
Nutien  der  KrysttUbilder. 

Weil  die  krystallisirten  Varietäten  als  die  eigentli- 
chen Repräsentanten  einer  jeden  Mineralspecies  be- 
trachtet  werden  müssen,  durch  deren  Kenntniss  sie 
erst  ein  Gegenstand  fiir  die  Physiologie  des  Mineral- 
reiches wird,  und  weil  demnach  die  Gestalten  der 
mineralogischen  Individuen  far  die  wissenschaftliche 
Mineralogie  eben  so  wolil  ein  Merkmal  des  ersten 


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Zeichnung  der  Kryutcdlformen.  Cap.  L    391 

Ranges  bilden,  als  die  Gestalten  der  Thiere  und 
Pflanzen  für  die  Zoologie  ond  Botanik;  so  wird  die 
Mldliche  Darstellung  dieser  Gestalten  eines  der  wicli- 
tigsten  Hül&mittel  der  Wissenschaft,  und  folglich  die 
Lehre  von  der  richtigen  Eiitwerfong  der  Krystallbil- 
der  eine  der  wesentlichsten  Aufgaben  der  angewand- 
ten Krystallographie.  Man  ist  daher  auch  immer 
darauf  bedacht  gewesen,  dieses  Hülünnittel  aof  eine 
mehr  oder  weniger  angemessene  Art  in  Anwendung 
Bu  bringen,  und  die  so  wichtigen  morphologischen 
Merkmale  der  Mineralspecies  darch  die,  den  Beschrei- 
bungen beigefagtea  Zeichnungen  zu  veranschaulichen; 
wozu  man  sich  uni  so  mehr  aufgefordert  fShlen  musste^ 
seitdem  man  zu  der  Ueberzeugung  gelangt  war,  dass 
die  Krystallformen,  der  scheinbaren  Unbeständigkeit 
ihres  Habitus  ungeachtet,  doch  nach  sehr  bestimmten 
und  einfachen  stereometrischen  Gesetzen  gebildet  sind. 
Diese  Bestimmtheit  und  Einfachheit  der  plastischen 
Gesetze  sind  es  auch,  kraft  welcher  sich  die  Minera- 
logie im  Vergleiche  zur  Zoologie  und  Botanik  des 
ganz  besondern  Vorzuges  zu  erfreuen  hat,  dass  jeder 
mit  den  Regeln  der  Projectionslehre  vertraute  Zeich- 
Ber  nach  dem  kurzen  krystallographischen  Zeichen 
«tner  Krystallform  das  Bild  derselben  mit  grosser  Ge- 
nauigkeit darzustellen  vermag,  während  selbst  die 
ausführlichste  Beschreibung  einer  Thier-  oder  Pflan- 
zenform noch  nicht  hinreichend  ist,  um  danach  das 
BÜd  derselben  richtig  zu  entwerfen. 

|.    699. 
Eigenschaften,  welche  die  Krystallbilder  besitzen  müssen. 

Sollen  die  Krystallbilder  ihrem  Zwecke  hinreichend 
entsprechen,  so  müssen  sie  besonders  folgende  drei 
Eigenschaften  besitzen: 

1)  Mathematische  Bichtig^keif, 


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i 

l 


390         AngewMdie  KryUaUographie.  i 

ß 
Coineideiis  des  reflectirteii  Bildes  m    ^ 

reet  gesehenen  Objecte.  '  |P    g^ 

Dagegen  ist  üe  Anwendung  des^'  f-  f  % 

niometers  wegen  des  horisontalen/ f  9'  r-    ^ 

Ebene  sich  der  Gegenstand  be^^i  ^  |     f 

gnnstigen  Beschaffenheit  der  I^  ^  I  f  T  '      r 

giger  als  jene  des  Wollastof 

abxuhelfen,  weil  sich  nac^ 

wesentliche   Vortfaeil  def^^ 

brauche  des  Wollaston^f /^  f  *   ?  *    ^ 

l&sst,    indem  man  vo:  /  /  ^  J  :    r  '^ 

Passageinstnunentesy /"A  ff 

ab  bewegliches  Fe '/#  |  ' 

der  Krystall  ttn^//*  ,.ai»toi«cliet 

des  Kreises  fal'/ *  .i«ehiedenen,  m- 

das  Fernrohr  /  aelismns  der  Kanten  be- 

aer  Gestalten  im  Bilde  herrof«- 

aadorch  Genüge  geleistet^  dass  laan 

anendlicher  Entfemomg  vom  Krystaile 

a  dann  alle  Gesichtsstrahlen  einander  par- 

^rden,   und  der  an  der  KrystalUorm  in  der 

Aiichkeit  Statt   findende   Parallelismus  der  £an- 

^^ch  auf  ihr  Bild  übergehen  mnss.    Hiemit  wird 

Cf  der  Gebranch   der  eigentlich  so  genannten  P#c<r 

^ctive  ausgesciüossen,  und  nur  die  Projectionslehre 

^  descriptiTen  Geometrie  für  die  krystallographische 

^chenkunst  in  Anspruch  genommen. 

Was  endlich  die  dritte,  ästhetische  Forderung  be- 
trifft, so  bieten  sich  xu  ilirer  Erfüllung  vorsüglich 
folgende  Mittel  dar: 

a)  Vortheilhafte  Wahl  der  gegenseitigen  Lage 
des  Auges,  der  Krystallform  und  der  Projections* 
fläche. 

b)  Darstellung  der  hinteren,  von  dem  Beobachter 
abgewendeten  Seite  der  Krystallform  zugleich 
mit  der  vorderen  Seite;  transparente  Zeich- 


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Zeichnung  der  KrystaUformen.   Cap.I.     393 

nnng;  odeir  auch  Schattirung  der  Krystall- 
form  unter  Voranssetznng  einer  günstigen  Be- 
leucbtnng;  schattirte  Zeichnung*), 
c)  Gleiehzeitige  Darstellung  derselben  Krystallform 
von  verfchiedenen  Seiten  und  bei  verschiedener 
Lage  der  Prcjectionsfläche  nun  Krystalle. 

|.    700. 
Verschiedene  Arten  der  Projection. 

Da  wir  das  Auge  in  unendBcher  Entfernung  vom 
Krystalle,  oder  da  wir  einen  dnrdigängigen  Paralle- 
Usmus  der  Gesichtsstrahlen  voraussetzen,  so  ist  es 
auch  ganz  gleichgültig,  in  welcher  Entfernung  vom 
Krystalle  die  Projectionsfiäche  angenommen  wird;  denn 
die  Erscheinungsweise  des  Bildes  ist  nur  noch  voll 
folgenden  zwei  Elementen  abhängig: 

t)  Von  der  Stellung  des  Auges  gegen  denKrystall 

und  die  Projectionsfiäche,    oder  Von  der  Bich« 

tnng    des    Normalgesichtssfrahles    gegen    diese 

Fläche; 

2)  Von  der  Lage  der  ProjectionslBäche  gegen  ien 

Krystall. 

Wir  nennen  nämlich«  die  von  dem  Auge  naeh  dem 

Mittelpunkte  des  Krystalles  gehende  Linie  den  Nor- 

malgesichtsstrahl,  weil  ihr  alle  Gesichtsstrahlen, 

oder,  mit  andern  Worten,  weil  ihr  die  sämmtlichen 

projicirenden  Linien  und  Ebenen  parallel  sind.    Nach 

Aet  vprsohiedenen  Bichtung  des  Normalgesichtsstrah- 


*)  FAr  die  sehr  regelmäs^en  Formen  des  teeseralen  ,^  tetra- 
gonalen  und  hexagonalen  S^ttemea  ist  die  Anwendung  de«  tub  b 
erwähnten  Mittel«  nicht  unumgänglich  nothwendig,  wenn  es  nur 
auf  die  Erläuterung  gewisser  Combinationseracheinungen  u.  dgl,  an- 
kommt; daher  ich  mir  auch  zur  Erleichterung  der  mühsamen  und 
zeitraubenden  Arbeit  erlaubt  habe,  die  meisten  auf  die  Combina- 
tionslehre  bezüglichen  Figuren  nur  mit  ihren  rorderen  Kanten  dar- 
auBtoUes. 


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394         Angewandte  Kryatallographie* 

les  g^en  die  Projectionsfläche  unterscheidet  man  nim 
savörderst  die  orthographische  und  klinogra- 
phische  Protection  p  bei  der  ersteren  siiid  die  Ge- 
üchtsstrahlen  rechtwinklig,  bei  der  anderen  schief- 
winklig auf  der  Projectionsfläche. 

Wir  denken  ferner  die  Projectionsflftche  jedenfedls 
durch  den  Mittelpunct  des  Krystalles,  und  unter- 
scheiden nach  ihrer  Lage  gegen  die  Hauptaxe  die  ho- 
rizontale, yerticale  und  schiefe  Projection« 
Bei  der  ersteren  ist  <Be  Projectionsfläche  horisontal, 
oder  rechtwinklig  auf  der  Hauptaxe,  bei  der  zweitea 
geht  sie  durch  die  Hauptaxe,  und  l>ei  der  dritten 
schneidet  sie  dieselbe  unter  einem  schiefen  WinkeL 

Die  Horizontalprojectionen,  deren  man  sich  be« 
dient,  sind  jedenfalls  orthographisch;  die  Yertical- 
und  schiefen  Projectionen  theils  orthographisch,  theils 
klinographisch.  Ob^eich  nun  die  verticale  Projections- 
fläche unendlich  viele  Stellnngen  gegen  das  Axensy- 
stem  haben  kann,  so  sind  doch  besonders  folgende 
zwei  Stellungen  zu  unterscheiden: 

a)  wenn  die  Projectionsfläche  ein  Hauptschnitt 
ist;  die,  gewöhnlich  orthographische  Projection 
wird  dann  nach  deH\|enigen  Hauptschnitte  be- 
nannt, mit  welchem  die  Projectionsfläche  zusam- 
menfällt. Hierher  gehören  besonders  die  im  mo- 
noklinoädrischen  Systeme  sehr  nützlichen  Kli- 
nodiagonalprojectionen,  bei  welchen  die 
Ebene  des  klinodiagonalen  Hauptschnittes  als 
Projectionsfläche  dient,  während  die  Gesichta- 
strahlen  der  Orthodii^onale  parallel  sind, 

b)  wenn  die  Projectionsfläche  kein  Hauptschnitt 
ist,  und  folglich  eine  intermediäre  Lage  zwi- 
schen zweien  Hauptschnitten  hat;  dies  ist  die 
gewöhnliche  Stellung,  welche  wir  in  den  Kry- 
stallbildern  Toraussetzen,  indem  wir  zugleich 
eine  klinographische  Projection  geltend  machen. 


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Zeichnung  der .  Krysiallfürmen.   Cap.  I.     395 

S^u  den  Boiiiefen  Projeetionen  gehören  die  meinten 
und  besten  der  bis  jetzt  bekannt  gewordenen  Zeich- 
nungen, indem  sie  eine  sdiiefeLage  der  Projections- 
fläefae  gegen  die  Hanptaxe  nnd  eine  orthographische 
Projection  voranssetzen.  Es  scheint  jedoch  rordieil- 
hafter,  die  Projectionsfliche  yertical,  nnd  die  Ge- 
sichtsstrahlen anf  selbiger  schief  tu  denken,  weil 
dann  bei  aofreehter  Stelhmg  den  Papieres  die  abge- 
bildete Gestalt  gleichfalls  aufrecht  erscheint,  nnd 
weder  ihre  Hanptaxe  noch  ihre  yerticalen  Kanten  ei« 
ner  Verkürzung  im  Bilde  unterworfen  sind.  Nur  darf 
der  Neigungswinkel  der  Gesiehtsstrablen  gegen  die 
Projectionsflftcbe  nicht  mehr  als  etwa  10  — 12**  von  90'' 
abweichen,  weil  sonst  die  Bilder  unverhältnissmftssig 
Terlängert  werden. 

«,    701. 
BigentHche  Aufgabe  der  krystallographlschen  Zeichenkmiit. 

Das  Kantennetz  der  Krjstallform  ist  in  der  trans- 
parenten Zeichnung  der  eigentliche  Gegenstand  der 
Darstellung;  auch  bildet  es  die  Grundlage  der  schat- 
tirten  Zeichnungen,  in  welchen  die  Illusion  des  kör- 
perlichen Hervortretens  durch  Schattirung  der  Flä- 
chen, statt  durch  Einzeichnung  der  hinteren  Kanten, 
erreicht  wird,  und  dergleichen  zumal  in  älteren  Wer- 
ken Torkommen,  wie  sie  denn  auch  namentlich  f&r 
solche  Darstellungen  wenigstens  der  einfachen  Gestal- 
ten zu  empfehlen  sind,  welche  in  sehr  grossem  Maass- 
stabe ausgeführt  werden,  um  zu  Demonstrationen  bei 
Vorträgen  zu  dienen  *).    Da  also  das  Kantennetz  je- 


*)  Bendant  soll  nch  in  seinen  Yorlesongen  bei  Erläatenmg 
der  Combinationsgesetze  grosser  colorirter  Zeichnungen  bedienen, 
in  welchen  alle  au  einer  und  derselben  Gestalt  gehörige  Flächen 
eine  und  dieselbe  Farbe  tragen,  was  allerdings  f&r  Demonstratio- 
ner Tom  Katheder  ksrab  aehr  zwecksi&Btig,  and  auch  tdioii  fru- 


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300         Angewandte  Krystallographie. 

denfallf  die  wesentliche  Grandlage  alier  Zeichnungen 
bildet,  eine  jede  Kante  aber  wiederum  dorch  die  bei- 
den sie  begränzenden  Eclcpnncte  bestimmt  wird,  so 
'sieht  man,  dass  die  eigentliche  Aufgabe  der  Icrystal- 
lographischen  Zeicfaenkunst  darin  besteht,  das  Sy- 
stem derEckpuncte  einer  Gestalt  oder  Co ci- 
bination  für  eine  gegebene  Stellung  des  Auges,  des 
Krystalles  und  der  Projectionsfltche  zu  pntfieiren. 

J.    702. 
Gang  der  Zeichnung. 

Soll  irgend  eine  KryslalUbrm  nach  einer  verlang- 
ten Projectionsart  dargestellt  werden,  so  fiLngt  man 
damit  an,  das  Axensystem  der  entsprechenden  Gntnd- 
gestalt  zu  projiciren,  weil  man  in  ihm  gleichsam  das 
Gerüste  erhält,  an  welchem  die  sämmtlichen  Flächen 
der  Krystallreihe  leicht  und  sicher  angelegt  werden 
können. 

Nachdem  das  Axensystem  der  Grundgestalt  ent- 
worfen worden,  lässt  sich  jede  einzele  Gestalt  der 
Krystallreihe  theils  durch  unmittelbare  Ausführung 
der  Ableitungsconstruction,  theils  auch  durch  Bemiz- 
zung  der  Co§fficienten  der  Zwiscbenaxen  oder  ande- 
rer, aus  der  Berechnung  der  Gestalten  folgender  Ele- 
mente erhalten;  daher  es  auch  vortheilbafit  ist,  in 
denjenigen  Systemen,  wo  die  Zwiscbenaxen  einige 
Bedeutung  haben,  dieselben  gleich  mit  in  das  Bild 
der  Grundgestalt  einzutragen. 

Bei  der  Darstellung  von  Combinationen  ist  be- 
sonders auf  die  in  der  reinen  Krystallographie  mit- 
getheilten  Resultate  der  Combinationslehre  zu  ach- 
ten, welche  im  Allgemeinen  die  Erscheinungsweise  je 
zweier  Gestalten  bestimmen.   Ist  die  Combination  bi- 


ber  znr  Veranschaulicht] n^  der  Uebergänf^e  tesseraler  and  anderer 
Combinationen  von  Jassoy  rersucht  worden  Ut 


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Zeichfiung  der  Krystallformen.   Cap.L     S97 

när  und  regelmässig,  d.  h.  bilden  die  Flächen  der  ei- 
nen Gestalt  Abstumpftingen  oder  Zusehärftingen  ge- 
wisser Kanten  der  andern  Gestalt,  oder  sind  die  Com- 
binationskanten  gewissen  Kanten  der  einen  Gestalt 
parallel,  so  ist  die  AusfBhning  der  Zeichnung  >ohne 
Schwierigkeiten,  wie  denn  auch  überhaupt  die  in  den 
mehrzähligen  Combinationen  so  gewohnliche  Erschei- 
nung, dass  die  Flächen  der  untergeordneten  Gestal« 
ten  mit  parallelen  Combinationskanten  zwischen  den 
Flächen  der  Torherrschenden  G}estalten  erscheinen, 
eine  grosse  Erleichterung  bei  den  Darstellungen  der 
Krystallbilder  gewährt. 

§.  703. 
Bihzeichntuig  der  Combinatioii6kanten. 

Findet  kein  Parallelismus  der  Combinationskan- 
ten mit  andern  schon  projicirten  Kanten  Statt,  so 
mnss  die  richtige  Lage  derselben  ausgemittelt  werden. 
Dies  geschieht  am  einfachsten  durch  ein  allgemeines 
graphisches  Verfahren  in  folgender  Weise.  Man  con- 
stmirt  die  beiden  Flächen,  deren  Combinationskante 
gesucht  wird,  um  das  Axensystem  in  einer  solchen 
Lage ,  wie  es  die  Grösse  und  Richtung  ihrer  Parame- 
ter fordert,  und  erhält  dadurch  die  Intersectionen  bei- 
der Flächen  in  den  drei  Coordtuatebenen.  Kommen 
nun  zwei  Paar  ihrer  gleichnamigen  Intersectio- 
nen schon  unmittelbar  durch  diese  Construction  zum 
Durchschnitte,  so  braucht  man  nur  die  beiden  Durchr 
sehnittspuncte  durch  eine  gerade  Linie  zu  Terbinden^ 
weldie  die  gesuchte  Combinationskante  ist;  schneiden 
sich  aber  die  Intersectionen  beider  Flächen  nicht  un- 
mittelbar, so  verlängert  man  zwei  gleichnamige  Paare 
so  weit,  bis  sie  die  Durchschnitte  hervorbringen,  und 
erhält  so  die  beiden  Puncte,  welche  die  Lage  der 
Combinationskante  bestimmen. 

Dieses  Verfahren  empfiehlt  sich  zwar  'vi^gen  sei- 


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306         jingewandle  KryttaUagraphie. 

■erAIIgvMeiiiheit  «od  Etnfiaelilieit,  bat  jeih>dim  mam- 
eWn  FiUca  dai  UnbeqmeMe,  das«  die  Interiectio— 
sehr  weit  Aber  den  Baim  des  e^eitdichea  Bildes  bin« 
siurTeriäagert  werden  missen,  am  die  nStfaigenDatdi* 
schnitte  zn  geben,  nnd  dass  diese  Darcbscbnittspnnete 
selbst  nicht  mit  der  gehörigen  Genaaigkeit  eibaltmi 
werden,  wenn  sieh  die  beiden  glekhnamigen  Infe»- 
sectionen  im  Bilde  unter  sehr  spitzen  Wmkeln  sdum- 
dea.  Wir  werden  daher  für  die  einaelen  KrystidlsjH- 
steme  noch  eine  andere  Methode  angeben,  durch  wel- 
che die  Einseichnung  der  Combinationskanten  nnmit-* 
telbar  von  depi  Verhältnissen  der  Kantensegmente  der 
einen  Gestalt  abhängig  gemacht  wird,  und  welche 
schon  deshalb  eine  nähere  Untersuchung  verdient, 
weil  sie,  wenn  auch  nicht  f3r  die  Zeichnung,  so  dodi 
fSr  die  Modellirung  der  Combinaäoaen  unentbehr- 
lich Ut. 

f.    704. 
AnaliÜiniiig  dor  Zeidmimg. 

Was  endlich  die  technischen  Regeln  bei  der  Ans- 
fulirung  der  Krystallbilder  betrifiß,  so  entwirft  man 
▼orlänfig  die  ganse,  zur  Auffindung  der  ndthigen  Eck- 
puncte  erforderliche  Construciion  auf  einem  etwas 
starken  und  glatten  Zeichenpapiere,  indem  man  alle 
Linien  nur  mit  der  Cirkelspitze  zieht,  um  die  Durch» 
schnitte  möglichst  genau  zu  erhalten.  Ist  auf  diese 
Weise  der  ganze  Inbegriff  von  Puncten  aufgefandea, 
welcher  das  Kantennetz  der  verlangten  Gestalt  ^der 
Combination  bestimmt,  so  trägt  man  dieselben  durdi 
feine  Nadelstiche  auf  das  zur  Darstellung  der  Zeich- 
nung bestimmte  Papier  über,  und  verbindet  hierauf 
die  durchstochenen  Puncte  zuvörderst  aus  freier  Hand 
durch  schwache  Bleistiftlinien,  so  wie  es  der  Ver- 
lauf des  Kantennetzes  erfordert,  um  nicht  bei  der 
nachherigen   Ausziehung   mit  der  Reissfeder  irriger 


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Zeichnung  der  Krystallformen.   Cap.  L     399 

Weise  Puncte  zosammenzuziehen,  welche  keine  KaQte 
zwischen  sich  haben. 

Da  bpi  den  geipohnlichen  transparenten  Zeichnun- 
gen nnr  die  vorderen  Kanten  darch  aasgezogene, 
die  hidteren  Kanten  dagegen  durch  punctirte  Linien 
dargestellt  werden,  so  ist  es,  wenigstens  bei  rer-* 
wickeiteren  Combinatipnen,  rathsam,  erst  die  vorde- 
ren Kanten  mit  der  Reissfeder  zu  vollenden,  bevor 
man  die  hinteren  Kanten  zieht,  und  demgemftss  auch 
die  Bleistiftlinien  für  beide  besonders  einzutragen^ 
nicht  nur,  um  das  sehr  leicht  eintretende  Verseheil 
zu  vermeiden,  dass  man  eine  Linie  auszieht,  die  nur 
punctirt  werden  sollte,  sondern  auch,  weil  man  ge- 
wöhnlich die  Reissfeder  för  die  punctirten  Linien  en- 
ger spannen  muss  als  für  die  ausgezogenen  Linien, 
welche  letztere  überhaupt,  besonders  aber  im  Yer-» 
gleiche  zu  den  ersteren  etwas  stark  gehalten  wer- 
den müssen,  wenn  sicli  das  Bild  gut  ausnehmen  und 
die  Illusion  des  körperlichen  Hervortretens  recht  ge« 
steigert  werden  soll. 

Nächst  den  ausgezogenen  und  punctirten  Linien, 
welche  immer  Kanten  vorstellen,  bedient  man  sich 
auch  in  den  krystallographischen  Zeichnungen,  nach 
HaBys  Vorgänge,  der  gestrichelten  Linien  zur 
Andeutung  solcher  Linien,  welche  in  KrystalUIächen 
liegen,  ohne  doch  Kantenlinien  zu  seyn,  und  der  ge- 
strichelt-punctirten  Linien  zur  Andeutung  sol- 
cher Onien,  welche,  wie  z.  B.  die  Axen,  innerhalb 
der  Krystallform  enthalten  sind. 


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400         Angewandte  Krystallographie. 

Zweites    CaptteL 

Von  der  Zeichnung  der  tesseralen   Ge- 
stalten.     '  ♦ 

A.     Axen  und  einfache  Crettalten. 

§.    705. 
Projection  der  Axen. 

Die  tesseralen  Gestalten  werden  im  Allgemeinen 
am  Tortheilhaftesten  durch  eine  klinographische  Ver- 
ticalprojection  mit  intermediärer  Lage  der  Projections- 
fläche  dargestellt  Horizontalprojectionen  kommen  sel- 
ten, häufiger  noch  eine  andere  Art  der  orthographi- 
schen Projection  in  Anwendung ,  bei  welcher  die  Ge- 
sichtsstrahlen einer  der  trigonalen  Zwischenaxen  par- 
allel laufen.  Die  ausgezeichnete  Symmetrie  der  tes- 
seralen Gestalten  macht  gewöhnlich  jede  andere  als 
die  zuerst  erwähnte  Projection  überflüssig,  und  nur 
die  yerwickelteren  Combinationen  möchten  bisweUen, 
zur  leichteren  Auffassung  ihrer  Verhältnisse^  der  Hin* 
zufngung  einer  andern  Projection  bedürfen. 

Bevor  wir  zur  Darstellung  der  verschiedenen  ein* 
fachen  Gestalten  übergehen,  haben  wir  die  Construction 
des  Axensystemes  aufzusuchen,  wie  solches  in  dem 
Oktaeder  als  der  Gnmdgestalt  erscheint  Was  nun 
zuvörderst  dieHauptaxen  betrifft,  so  besteht  die  Auf- 
gabe ihrer  Projection  darin,  das  Bild  dreier,  auf  ein- 
ander rechtwinkliger,  gleich  grosser  Linien ,  für  eine 
gegebene  Stellung  des  Auges  und  der  Projectionsflä- 
che  zu  einander  und  zu  den  Linien  selbst,  zu  entwerfen. 

Man  stelle  das  Axensystem  nach  einer  seiner 
Hauptaxen  aufrecht,  und  lege  durch  diese  verticale 
Axe  und  das  in  unendlicher  Ferne  befindliche  Auge 
eine  Ebene  als  Gesichts  ebene.  Eine  zweite,  gleich- 
falls durch  die  verticale  Axe  gehende  und  auf  der 
Gesiehtsebene  rechtwinklige  Ebene  soll  uns  zur 


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^    Zeichnung  der  Kry$taUfarmen.  Cap.  IL    401 

Projectionsflftche  dienen;  die  Ebene  durch  ü» 
beiden  horixontalen  Hauptaxen  endlich  heisse  die  Ho- 
risontalebene  schlechthin,  nnd  eben  so  ihr  Dnrch-' 
schnitt  mit  der  Projectionsfläche  die  Horizontal- 
linie. 

f.    706. 
Porttetzaaf. 

ZnrSrderst  gebe  man  nxok  dem  «m  seine  verticale 
Axe  beweglichen  Axensysteme  eine  solche  Lage,  dass 
eine  der  horisontalen  Hanptaxen  in  die  Cresichtsebena 
fiUlt,  und  rersetie  das  in  derselben  Ebene  anf-  und 
abwärts  bewegliche  Auge  in  die  Horisontalebene. 
Dann  sind  es  folgende  swei,  willkfirlich  bestimmbare 
Elemente,  ron  welchen  die  mehr  oder  weniger  vor» 
theilhafte  Darstellung  des  Bildes  abhängen  wird. 

1)  Die  GrSsse  des  Drehungswinkels,  oder,  die  De« 
clination  i  des  Axensystemes  ans  der  Nor* 
malstellung. 

2)  Die  Grosse  des  Erfaebungswinkels ,  oder  die 
Elevation  €  des  Auges  über  die  Horisontal- 
ebene. 

Beide  Winkel  müssen  jedoch  der  Be^emlichkeit 
und  Genauigkeit  wegen  so  gewählt  werden,  dass  die 
durch  sie  bedingte  Protection  keiner  unmittelbareft 
Winkelconstructionen  bedarf;  und  dasu  bietet  sich 
folgende  Methode  dar. 

1)  Man  lasse  das  Auge  in  der  Horisontalebene, 
und  drehe  das  Axensystem  so  lange  Ton  der  Rechten 
nach  der  Linken,  bUi  die  Ptojodion  der  vorderen  hori* 
sontalen  Halbaxe  gfeich  eiaeoi  willknrlichea  dUquoten 


Theile  =  —  der  Projection  der  seitlichen  horizonta- 
len Halbaxe  erscheiAt,  und  «etae  den  dadurch  bestimm- 
ten Dedinationswinkel  sa  i.    Ans  der  Bedingung 
coti  SSI  rriui 

n.  26 


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402         Angewandte  KrystdUographie. 

folgt  sogleidi 

eotS  =  r 

2)  Hieraiif  erhebe  man  das,  beständig  in  der  Ge* 
sicbtsebene  verharrende  Auge  über  die  Uorixontal- 
ebene;  sogleich  werden  die,  bis  jetzt  in  der  Horison- 
tallinie  gelegenen  Endpnncte  der  horizontalen  Axen 
im  Bilde  eine  Abweichung  unter  oder  über  dieselbe 
erCeJiren.  Die  Grössen  dieser  Abweichung  müssen, 
für  jede  Erhebung  des  Auges,  den  wirklichen  Ab- 
ständen derselben  Endpuncte  von  der  ProjectionsiBäche 
proportional  seyn;  ihre  absoluten  Werthe  sind  daher 
als  Functionen  des  noch  unbestinuntenffVinkels  c  aus- 
gedrückt: 

für  die  vordere  Halbaxe  =3  cot  Stange 
für  die  seitliche  Halbaxe  =s  nndtimgl 

In  dem  Momente  nun,  da  die  Abweichung  des  End- 
punctes  der  vorderen  Halbaxe  genau   gleich   einem 

willkürlichen  aliquoten  Theile,  =  —  ihrer  eigenen  er- 
sten Protection,  fixire  man  das  Augej  aus  der  Be- 
dingung : 

coiitangi  =  —  imi  ^ 

folgt  sogleich 

eote  =  r# 
für  den  entsprechenden  Elevationswinkel  des  Auges. 

f.    707. 
FortsetsuDg, 

Auf  die  geschickte  Wahl  von  r  und  $  kommt  nun 
AUes  an;  wie  aber  auch  die  Werthe  derselben  ge- 
wählt werden  mügen,  immer  bleibt,  sobald  nur  r  eine 
ganze  Zahl  ist,  die  allgemeine  Regel  zur  Ausfuhrung 
der  Projection  folgende: 

*  Aufgabe.  Das  tesserale Axensystem  für  die  ge- 
gebene Breite  2b  des  Bildes,  und  für  gegebene  Wer- 
die  von  r  und  $  zu  construiren. 


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Zeichnung  der  KrystdUformen.   Cap.  IL    A03 

A  n  f  1 5  s  n  n  g.  Ziehe  swei  sieb  rechtwinklig  schnei- 
dende Linien,  und  trage  in  die  eine  als  Horizontal- 
linie beiders^ts  Tom  Dnrcbschnittsponcte  ilf  die  Länge 
b  =  MH=MZ,  Fig.  796,  theile  hierauf  die  HZ  in 
2r  gleiche  Theile,  lege  durch  ihre  End-  und  beiden 
mittelsten  Theilpuncte  Hülfsverticalen  und  trage  in 
die  äüsserste  \erticale  linker  Hand  abwärts  von  H 

die  liänge  — ft,   wodurch  sich  ein  Punct  A  bestimmt 

Ziehe  nun  die  JRJf  und  verlängere  sie  jenseits  3/,  so 
ist  ihr  zwischen  den  beiden  mittleren  Verticalen  ent- 
haltener Theil  BB^  die  Projection  der  einen  (vorde- 
ren) horizontalen  Axe.  —  Ziehe  hierauf  durch  B  die 
Horizontale  JBS,  und  dann  die  Süf ,  so  bestimmt  sich 
der  Punct  T  in  der  einen  Verticale;  durch  ihn  ziehe 
wieder  die  Horizontale  TC,  aus  C  die  CM,  und  ver- 
längere solche  jenseits  üf,  so  ist  ihr  zwischen  den 
beiden  äussersten  Verticalen  enthaltener  Theil  CC^ 
die  Projection  der  'andern  (seitlichen)  horizontalen 
Hauptaxe.  —  Endlich  trage  man  in  die  äüsserste  Ver- 
ticale rechter  Hand  von  Z  aus  ab  -  oder  aufwärts  ei- 
nen der  sechs  Theile,  in  welche  die  HZ  getheilt  wor- 
den, verbinde  den  dadurch  bestimmten  Punct  Q  mit 
jjf,  nimmt  MA  =  MA'=sM(ty  so  ist  AA^  die  rich- 
tige Länge  der  verticalen  Hauptaxe. 

Die  auf  Taf.  HI  n.  s.  w.  abgebildeten  Gestalten 
und  Combinationen  sind  unter  der  Voraussetzung  ge- 
zeichnet, dass  r  =  «  =  3,  oder  dass 

i  =  18^  26%   e  =  6^  2(r 

Für  r  scheint  der  Werth  3  jedenfalls  sehr  vor- 
theilhaft;  für  #  möchte  jedoch  im  Allgemeinen  der 
Werth  2  vorzuziehen  seyn,  weil  die  horizontale  Flä- 
che dann  weniger  verkürzt  erscheint,  indem  e  =  9^  28^ 
wird  *).     Dagegen  dürften   alle  Werthe  von  «,   die 


*)  Will  man  dioM  kUiiogrspliiKbe  Proj«€tioii  ohne  viole  M&he 

26* 


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404         Angewandte  KrystmÜographie^ 

<4  sind,   aas  dem  xa  Ende  de«  %.  700  angegebenen 
Grande  sn  Tenneiden  seyn. 

§.    708. 
Z^chmnig  dat  OkUeden  und  der  Zwischenaxen. 

Hat  man  nach  der  Regel  des  vorhergehenden  §. 
für  gegebene  Werthe  Ton  hy  r  und  #  die  drei  Hanpt- 
axen  des  Okta§ders  entworfen,  so  ist  tiichts  leichter 
als  das  OktaMer  selbst  darzustellen^  indem  man  nur 
die  sechs  Pole  A^  A\  B^  B%  C  und  C  der  Hanpt- 
axen  durch  gerade  Linien  zu  verbinden  braucht,  tv^ie 
es  das  Kantennetz  der  Gestalt  vorschreibt;  Fig.  797. 

Eben  so  leicht  ist  aber  auch  die  Einzpichnung  der 
beiderlei  Zwischenaxen  in  das  OktaSder.  Die  rhom- 
bischen Zwischenaxen  verbinden  nämlich  die  Mittel« 
puncto  je  zweier  Gegenkanten  des  Oktaßders;  man 
sucht  also  diese  Mittelpuncte  jR  in  sechs  der  vorderen 
Kanten  des  Bildes,  verbindet  sie  mit  dem  Mittelpuncte 
M  der  Gestalt  durch  gerade  Linien,  und  verlängert 
diese  Linien  jenseits  M  bis  zu  ihren  Durchschnitts- 
puncten  R^  mit  den  Gegenkanten,  so  sind  die  sechs 
rhombischen  Zwischenaxen  des  Oktaeders  construirt; 
BR'  in  Flg.  797. 

Die  trigonalen  Zwischenaxen  verbinden  die  Mittel- 
puncte je  zweier  Gegenflächen  des  Oktaeders;  man 
sucht  also  die  Mittelpuncte  T  der  vier  vorderen  Flä- 


in  eine  orthographitche  Terwandeb,  so  darf  man  our  dnen  etwaa 

andern  Eleratioiuwiiikel  c'  yoraiutetieii,  f&r  welcken  $in$^  9cm  — 

und  dann  die  Jetsi  gefundene  terticale  Hanptaze  naeh  Aem  Coef- 
fidenten  CMt^  Terkleiaern.  So  wArde  i.  B.  f&v  rmsgsstS,  <'sas 
6<^  tS\  und  die  acbelBbare  L&nge  der  verticalen  Havptaxe  mat 
BS  0,9988  X  AÄ'i  fOr  r  =8  und  i==:2,  €^  3=s  9^  86'  oad  ^ 
Unge  der  verticalen  Axe  =s  0^86  x  AA\  Der  Winkdi  e'  lat 
sogleich  der  Neignngiwinkel  der  Projectionefliche  gegen  die  Ter- 
ticale  Axe,  und  das  Bild  kann  also  bei  Terücaler  Lage  des  Pa- 
piera  eigentlich  idcht  sehr  asfinocbt  enchoinen. 


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Zeichnung  der  Kry^taUformen.    Cap.  IL    405 

chen  des  Bildes  (wobei  man  sich  der  bereits  gefun- 
denen Mittelpuncte  ihrer  Kanten  bedient),  verbindet 
■ie  mit  dem  Mittelpuncte  M  der  Gestalt  durch  gerade 
Linien,  verlängert  diese  letsteren,  und  macht  ihre 
Veriängerungen  ihnen  selbst  gleich,  so  sind  die  vier 
trigonalen  Zwischenaxen  des  Oktaiders  censtruirt; 
TT' in  Flg.  797. 

%.    709. 
Zachoiing  des  HeiakisoktaSden  mOn, 

Die  dreierlei  Eckpuncte  des  Hexakisokta^ders  siOji 
liegen  in  den  dreierlei  Axen  des  OktaSders,  und  zwar 
die  achtflächigen  Eckpuncte  in  den  Polen  der  Haupt* 
axen,  daher  sie  bereits  in  der  Construction  dieser 
letiteren  enthalten  sind. 

Die  sechsflächigen  Eckpuncte  begränxen  die  trigo- 
nalen Zwischenaxen;  allein,  während  im  Okta§der 
die  Endpuncte  dieser  Zwischenaxen  in  der  Central- 
distanz  |/4  liegen,  so  fallen  sie  im  HexakitoIc;taäder 
mOn  in  die  Entfernung 

f^.     Xi4;(Hl4) 

•Ml  +  Äl  +  Il'^^'  ' 

Man  setse  also  jede  der  trigonalen  Halbaxen  M% 
wie  solche  imBilde  desOktaäders  erscheint 
SS  1,  veriängere  sie  über  T,  und  mache  ihre  Yer« 
IftBgerung 

2mn  —  {m  +  n) 
mn+{m  +  n) 
ymt  ihr  selbst,  so  bestimmt  sich  in  ihr  ein  neuer  End- 
punct,  welches  der  gesuchte  sechsflächige  Eckpunct 
von  mOn  ist. 

Die  vierflächigen  oder  rhombischen  Eckpuncte  be- 
gränxen die  rhombischen  Zwischenaxen;  allein,  wäh- 
rend im  Oktaeder  die  Endpuncte  dieser  Zwischenaxen 
in  der  Centraldistanz  ^4  liegen,  so  fallen  sie  im 
Hexakisoktaeder  mQ/i  in  die  Entfernung 


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406        Angewandte  Krystallographie. 
^X|4;(§.il4) 

Man  setxe  also  jede  der  rhombischen  Halbaxen 
JüfR,  wie  solche  iili  Bilde  des  OktaSders  er- 
scheint, =  1,  verlängere  sie,  and  mache  ihre  Ver- 
längerung 

n  — 1 

von  ihr  selbst,  so  bestimmt  sich  in  ihr  ein  nener  End- 
punct,  welcher  der  gesuchte  rhombische  Eckpunct 
von  mO»  ist. 

Nachdem  auf  diese  Art  die  26  Eckpunde  des  Hexa- 
kisoktaSders  projicirt  sind,  darf  man  nur  diese  Puncte 
nach  demselben  Gesetze  durch  gerade  Linien  verbin- 
den, nach  welchem  die  ihnen  entsprechenden  Ecke 
in  der  Wirklichkeit  durch  die  Kanten  verbunden  sind, 
um  die  Projection  der  Gestalt  selbst  zu  vollenden. 

§.    710. 

Zeichnung  der  übrigen  holoedrischen  Gestalten. 

Der  vorhergehende  §.  enthält  die  allgemeine  Re- 
gel für  die  Projection  aller  möglicher  holoädrischer 
Gestalten  des  Tesseralsystemes ,  weil  man  ja  nur  für 
jw  und  n  die  ihnen  entsprechenden  numerischen  Wer- 
the  substituiren  darf,  um  diese  Regel  fQr  irgend  ei- 
nen besonderen  Fall  in  Anwendung  zu  bringen.  Wäh- 
rend es  daher  ganz  überflüssig  seyn  würde,  diese  An- 
wendung durch  Reispieje  zu  erläutern,  so  glaube  ich 
doch  für  diejenigen,  welche  .sich  mit  dieser  Anwen- 
dung beschäftigen  wollen,  auf  folgende  Erleichterung 
aufmerksam  machen  zu  müssen. 

Weil  alle  Formen  einer  und  derselben  Krystall- 
reihe  auf  eine  gewisse  Einheit  der  Dimensionen  re- 
ducirt  werden  müssen,  wenn  sie  mit  einander  ver- 
gleichbar seyn  sollen,  so  scheint  es  vortheilhaft,  alle 
Gestalten  des  Tesseralsystemes  von  gleicher  Lange 


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Zeichnung  der  KrystaBformmu   Cap.IL    407 

der  Hanptaxen  darzustellen,  sobald  ihrer  mehre  su- 
gielch  abgebildet  werden  sollen.  Unter  dieser  Yor- 
anssetznng  kann  man  sich  ein  fnr  alle  Mal  die  den 
gewöhnlichsten  Gestalten  entsprechenden  Eckpuncte 
auf  eine  Platte  von  Messingblech  auftragen,  selbige 
genau  durchbohren  lassen,  und  dann  durch  feine  Na- 
delstiche auf  das  zur  Darstellung  des  Bildes  bestimmte 
Papier  übertragen.  Man  wählt  den  Maassstab  von  ei- 
ner für  die  gewöhnlichen  Bilder  passenden  Grösse, 
etwa  2  Zoll  für  die  Breite  des  Bildes,  entwirft  das 
System  der  13  Axen  im  Oktaeder,  und  trägt  darauf 
in  jede  der  trigonalen  und  rhombischen  Zwischen- 
nxen  beiderseits  die  den  gewöhnlichsten  Gestalten 
entsprechenden  Verlängerungen  ein.  Diese  Gestalten 
und  die  ihnen  entsprechenden  Verlängerungsco^fficien» 
tent  sind  etwa  folgende: 


Gestalt 

Yerlängeroji 
trigonalen  Z.  A. 

gseo§fficient  der 
rhombischen  Z.  A. 

20 

0 

-ooO 

0 

304 
402 
604 

00O4 
00O2 
oo03 

202 
303 

ooOoo 

2 

1 

Für  die  rhombischen  Zwischenaxen  dieser  gewöhn- 
lichen Gestalten  kommen  daher  nur  Jie  Verlängerun- 
genr  i^  \,  \  und  i,  für  die  trigonalen  Zwischenaxen 
die  Verlängerungen  i,  t,  f>  4-j  |j  I)  i  »»d  2  in  An- 


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408        Jli9g0wamdtit  Kry^taUograpbie. 

w^adang,  welche  Zahlen  man  nehen  die  dorchbohr* 
ten  Puicte  schreibt,  wn  jeder  Verwechselang  bei  ih- 
rer UebertragnUg  venrnbeugen;  Fig.  798. 

Endlidi  ist  noch  %n.  erwähnen,  dass  bei  der  Zeick- 
nong  Ton  mO,  ooO  und  ooOii  die  rhombischen  Zwi- 
schenaxen  ganz  ausser  ^cht  gelassen  werden,  weil 
die  Pole  derselben  keinen  fickpuncten  dieser  Crestal* 
ten  entsprechen. 

f.    711. 
Z^duMuig  des  HaakutetnMen  ü^. 

In  den  gendgtfltdiig*semitesseralen  Gestdten^ 

welche   allgemein   durch  das  Hexakistetra^der  — ^— 

reprasentirt  werden,  sind  die  Pole  der  riiondbischea 
Zwischenaxen  durch  keine  Eckpnncte  beseiclmet,  wes- 
halb diese  Axen  gänzlich  vernachlässigt  werden  kön- 
nen. Dagegen  lerfällt  jede  trigonale  Zwischenaxe  19 
zwei  ungleichwerthige  Hälften,  die  holoedrische  und 
hemi^drische  Halbaxe  ($.  130),  von  welchen  die  erstere 
in  dem  stumpferen,  die  andere  in  dem  spitzeren  sechs- 
flächigen Eckpuncte  endigt.  Ausser  diesen  beiderlei 
sechsflächigen  Eckpuncten  giebt  es  nur  noch  sechs 
rhombische,  den  Polen  der  Hanptaxen  entsprechende 
Eckpuncte,  Die  einfache  Regel  zur  Construction  ei- 
nes Hexakistetraäders  wird  hiemach  folgende. 

Man  entwerfe  die  drei  Hauptaxen,  so  wie  die  vier 
trigonalen  Zwischenaxen  des  Oktaäders,  Terläagere 
diese  letzteren  nach  beiden  Seiten,  und  nehme  in  je- 
der die  der  holofidrischen  Halbaxe  entsprechende  Ver- 
längerung 

äen  — (si  +  ») 
M»  -)-  (m  +  n) 
nnd  die  der   hrauädriachen   Halbax«  entsprechende 
Verlängerung 


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Z€khnmg)ier  KryHaüfonMn.  Cap.II.    409 

2mn  — >  (i  — '  n) 

Mm  +  (m  —  j») 

so  sind  alle  Pancte  gefunden,  welche  zur  Conatnietion 

der  beiden  HexakistetraCder  —5—  und —  gefor- 
dert werden.  Denn  die  Pole  der  Hauptaxen  lind  die 
uhchM  rhonbischen  Eckpunete,  die  über  den  abwech- 
selnden Oktaßderflächen  gelegenen  Endpuncte  der  Ikh 
loMrischen  trigonalen  Halbaxen  die  itumpferen,  und 
die  über  den  vier  übrigen  OktaMerflächen  gelegenen 
Eckpuncte  der  hemilSdrischen  trigonalen  Halbaxen  die 
spitseren  sechsfiächigen  Eckpuncte  der  verlangten  Ge- 
stalt. Je  nachdem  man  dieselbe  in  der  einen  oder  in 
der  andern  Stellung  construiren  will,  wählt  man  die 
Endpuncte  der  beiderlei  trigonalen  Halbaxen  über 
dem  einen  oder  andern  viersäUigen  Flacheninbegriffe 
des  Oktaeders. 

I-    712. 
ZeicbiMiiig  der  übrigen  geneigtflichig-seiiiiteaeeraleD  Gestalten. 

Der  Torhergehende  |.  enthält  die  Regel  för  die 
Projection  sämmtlicher  geneigtflächig  -  semitegseraler 
Gestalten,  weil  man  nur  för  m  und  n  die  ihnen  in 
irgend  einer  Gestalt  zukommenden  numerischen  Wer- 
the  SU  snbstituiren  braucht,  um  dieselbe  Regel  für 
diese  Gestalt  in  Anwendung  su  bringen,  weshalb  andi 
jede  Erläuterung  derselben  durch  Beispiele  überflüs- 
sig SU  seyn  scheint. 

Dagegen  kann  man  sich,  wie  fSr  die  Construction 
der  holo^^drischen,  so  auch  für  jene  der  geneigtflä- 
chige semitesseralen  Gestalten  ein  Schema  auf  Mes- 
singblech entwerfen,  in  welchem  die  den  gewöhnli- 
ehm  Gestalten  entsprechenden  Eckponcte  ein  für  alle 
Mal  eingetragen  und  durchbohrt  sind,  und  nur  durch 
ferne  Nadelsticbe  auf  das  Papier  übertragen  werden. 
Die  gewöhnlichen  Gestalten,  and  die  Ihnen  enupre^ 


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410        Angea^andte  KrystaUograpJue. 

chenden    VerlängemngseoSfiScientea    der    trigonalen 
Halbaxeii  sind  etwa  folgende  (§.  139): 


Gestalt 

Yerlängerai 
derholoedr.H.A. 

igscoCfficient 
der  hemiSdr.  H  A. 

O 

2 

0 

2- 

202 

2 

2 

303 

2 

2 

40 

2 

20 
2 

30  f 

2 

402 

2 

60i 
2 

El  bedarf  übrigens  kanm  einer  Erwähnung,   das« 

O  mOm 

es  für  —  und  alle  — —  unnothig  ist,   die  Pole  der 

Hauptaxen  mit  überzutragen. 

|.    713. 
Zeidmoog  de.  Dyakudodekaeder.  [?^]. 

In  den  DyakisdodekaSdem  1— o~|  kommen  ausser 

den  sechs  rhombischen  Eckpuncten  noch  acht  trigo- 
nale  und  awälf  unregelmässige  Eckpuncte  vor«  Die 
ersteren  sind  die  Pole  der  Hauptaxen,  die  anderen 
die  Pole  der  trigonalen  Zwischenaxen  der  resp.  ho* 
loädrischen  Slhttergestalt,  und  daher  bereits  nach  f. 


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2^ichnung  der  Krystallforrnen.   Cap.  IL     411 

709  bestimmt.  Was  aber  die  onregelmlssigen  Eck^ 
piincte  betrifft,  so  fallen  sie  ,zwar  in  die  Ebenen  der 
Hanptscbnitte,  aber  nicht  in  die  rhombischen  Zwi- 
schenaxen,  weshalb  sie  in  |.  141  durch  ihre  Coordi- 
naten  besonders  bestimint  werden  mnssten ;  diese  Coor- 
dlnaten  waren 

die  kleinere  =  — ^ r^ 

mn  —  1 

j.        ^  n(m  —  1) 

die  ffrSssere  =  -^^ -r- 

®  mn  —  1 

Die  Regel  für  die  Zeichnung  dieser  Gestalten  wird 
daher  folgende. 

Man  entwerfe   die  drei  Hauptaxeh  AA  und  vier 
Crigonalen  Zwischenaxen  BB  Fig.  799  des  Oktaeders 
nach  der  Regel  in  §.  708 ,  bestimme  auch  die  Verlän- 
gerung der  letzteren  nach  dem  CoSfficienten 
2mn  —  (m  +  n) 
mn  +  (m  +  n) 
Mde  in  f.  709.    Hierauf  nehme  man   in  jeder  Haupte 
a-xe  beiderseits  vom  Mittelpuncte  aus  die  Längen 

«(»LZI)  und  "<"-*> 
mn  —  1  Mit  —  1 

indem  man  eine  jede  halbe  Hauptaxe,  so  wie  sie 
im  Rilde  erscheint,  in  ihrer  Art  =s  1  setzt;  da- 
durch bestimmen  sich  in  jeder  Hauptaxe  zwei  Puncte 
a  und  zwei  Puncte  b.  Durch  jeden  dieser  Puncte  in 
einer  jeden  Hauptaxe  lege  man  zwei,  mit  den  bei- 
den andern  Hauptaxen  parallele  Linien,  so  bestim- 
men sich  in  der  Ebene  jedes  Hauptschnittes  acht 
Puncte  c,  welche  die  gesuchten  unregelmässigen  Eck- 
puncte  sind. 

Nun  sind  alle  zur  Constmction  des  verlangten 
Dyakisdodekaßders  in  beiden  Stellungen  erforderli- 
chen Puncte  gefailden.  Für  den  einen  Gegenk5rper 
nämlich  wählt  man  die  zwölf  Puncte  c ,  für  den  an- 
dern die  zwölf  Puncte  c^- verbindet  sie  mit  den  sechs 


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412         Angewandte  Kry$tallographie. 

Polen  der  Haeptaxen  and  den  acht  Polen  der  irigo- 
aalen  Zwiaehenaxen,  wie  es  der  Verlauf  des  Kanten- 
aetxea  vorschreibt,  so  ist  die  verlcuigte  Gestalt  in  der 

einen  oder  andern  Stellung  als  j  —^  j  pder  —  j  — —  1 
construirt. 

f.    714. 

Zdchmuig  der  PentagondodekaSder. 

Für  die  Pentagondodeka§der  fidlen  die  Puncto  b 
der  vorhergehenden  Coastruction  in  die  Pole  der  Hanpt- 
axen;  die  Constmction  vereinfacht  sich  also  dahin^ 
dass  man,  nachdem  die  trigonalen  Eekpuncte  gefun- 
den sind,  durch  die  Pole  einer  jeden  Hauptaxe  awei, 
mit  den  andern  beiden  Hauptaxen  parallele  Linien 
legt,  hierauf  in  jeder  Hauptaxe  vom  fifittelpuncte  ans 
nach  beiden  Seiten  die  Grosse 
n  — 1 
n 
nimmt,  indem  man  jede  halbe  Hauptaxe,  wie 
solche  im  Bilde  orscheint,  in  ihrer  Art  s=r  1 
setzt,  und  durch  die  so  bestimmten  Puncto  «  Paral- 
lelen mit  den  Axen  legt.  Diese  letzteren  Parallelen 
kommen  mit  den  ersteren  in  den  Puncten  e  zum  Durch- 
schnitte, welche  die  gesuchten  unregelmässigen  Eek- 
puncte sind;  Fig.  800. 

Je  nachdem  man  nun  das  PentagondodekaSder  in 

der  einen  oder  in  der  andern  Stellung,  als  -"-^  oder 

als ^—  zeichnen  will,  legt  man  entweder  die  mit 

c  oder  die  mit  cf  bezeichneten  Puncto  der  Zeiehnung 
zu  Grunde. 

Man  kann  sich  übrigens  auch  filr  die  gewöhnlich- 
sten parallelflädiig-*semitesseraleii  Gfestalten  ein  Sche- 
ma entwerfen,  in  welchem  die  zu  ihrer  Projection  er* 


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Zeichnung  der  Krystallformen.  Cap.JI.    413 

forderlichen  Pancte  ein  fiur  alle  Mal  «Btlialten  lind. 
Diese  gewöhnlichsten  Gestalten  and  die  ihnen  entspre- 
chenden Yeriftngeningen  der  trigonalen  Zwisehenaxen 
«nd  Coordinaten  der  unregehaftssigen  Eckpimcte  Sind 
etwa  folgende  (f.  149). 

Yerlängemngs- 
Gestalt    eo§fficient  der 
trig.  Z.A. 


Coordinaten  der  un- 
regelm.  Eckponcte 


B.     ComUnatianen. 

f.    715, 
Binär«  Combiiiatiooeii. 

Wenn  eine  binftre  tesserale  Combination  geseich- 
■et  werden  soll,  so  hat  man  vor  aMn  Dingen  nach 
4ba  in  der  reinen  Krystallographie  gegebenen  Regeln 
1er  CombinationBlehre,  mit  Zuziehung  der  Combina- 
tionsgleichung  zu  untersuchen ,  welche  Modificationen 
die  eine  Gestalt  durch  die  Flächen  der  andern  erfährt. 
Diese  Untersuchung  wird  im  Allgemeinen  lehren,  ob 
die  eine  Gestalt  an  der  andern  eine  Abstumpfong, 
eine  Znschärfong  oder  eine  Zuspitzung  gewisser  Ecken 
•d^  KantM  hervorbringt,  und  ob  die  Lage  der  CK, 
durch  gewisse  Kanten  öder  andere  singulare  linien 


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414         Angewandte  KrystaUographie. 

in  den  Flächen  der  einen  Gestalt  bestimmt  i¥ird,  oder 
nicht.  Ergiebt  sich  für  die  CK.  eine  bestimmte  re- 
gelmässige Lfi^e  zu  gewissen  Kanten  oder  Linien  der 
einfen  Gestalt,  so  ist  iie  Zeichnung  der  Combination 
ohne  Weiteres  mit  grosser  Leichtigkeit  zu  bewerk- 
stelligen. 

Dabei  werden   besonders  folgende  Regeln  zu  be- 
rücksichtigen seyn. 

1)  Wenn  alle  oder  viele  Kanten  der  einen  €restalt 
durch  die  Flächen  der  andern  Crestalt  regelmäs- 
sig zngeschärft  oder  abgestumpft  werden,  so  ist 
es  besser,  die  zuschärfende  oder  abstum- 
pfende Gestalt  zuerst  zu  zeichnen,  weil 
dann  die  Einzeichnnng  der  andern  Gestalt  sehr 
leicht  ist,  und  die  kleinen  Kanten,  in  welchen 
je  drei  oder  mehre  Zuschärfungs  -  oder  Abstum- 
pfungsflächen zusammenstossen,  im  Bilde  sehr 
genau  ausfallen.  —  SoU^lnan  z.  B.  die  Combi- 
nation 00O.2O2  zeichnen,  so  construirt  man 
zuerst  das  Ucositetraäder  202,  und  trägt  dann 
die  Flächen  des  RhombendodekaSders  ein;    ans 

demselben  Grunde  wird  man  bei  der  Comb.  -rr-. 

2 

ocOoo  nicht  mit  dem  Tetraäder,  sondern  mit  dem 

Hexaeder,   bei  der  Comb.  oo02.404  nicht  mit 

dem  Tetrakishexa6der,  sondern  mit  dem  Ikosi- 

tetra^der,  4>ei  der  Comb.  oo0.30{-  nicht  mit  dem 

BhombendodekaSder,  sondern  mit  dem  Hexakis« 

oktaäder  den  Anfang  machen.   Dagegen  wird  in 

der  Comb.  — —.ooOoo  erst  das  Pentagondode- 

kaSder,  in  der  Comb.  |^-^|. — k"  erst  das  Dya- 

kisdodekaßder  zu  zeichnen  seyn. 

2)  Wenn  die  vorherrschende  Gestalt  eine  Zuschir- 
fung  oder  Zuspitzung  gewisser  Ecke  zeigt,  und 


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Zeichnung  der  Krystallformen.    Cap.  IL    415 

zugleich  die  CK.  gewissen  ihrer  Kanten  oder  sin- 

gulären  Linien  parallel  sind,  dann  f&ngt  man  ge« 

w5hnlich  mit  der  yorherrschenden  Gestalt  an. 

•      202 
So  zeichnet  man  z.  B.  in  der  Comb.  — ^.ooO 

erst  das  Trigondodeka^der,  in  der  Comb.  O. — — 

erst  das  Oktaeder*,  in  der  Comb.  oc02.202  erst 
das  TetrakishexaSder;  indess  kann  diese  Regel 
-eine  Ausnahme  erleiden,  wenn  die  Zuspitzung 
sehr  vielflächig,  z.  B.  sechs  -  oder  achtfiächig, 
und  die  Torherrschende  Gestalt  sehr  wenigfld- 
chig,  z.  B.  O,  ooOoo  oder  auch  ocO  ist,  weil 
es  dann  oft  bequemer  ist,  mit  derjenigen  Gestalt 
anzufangen,  welche  die  Zuspitzung  hervorbringt. 
3)  Ist  die  Zuspitzung  von  der  Art,  dass  zwar  die 
CK  keiner  Kante  oder  singulären  Linie  der  vor* 
herrschenden  Gestalt  parallel  laufen,  allein  die 
Zuspitzungsflächen  als  Rhomben  erscheinen,  so 
ist  es  gewohnlich  vortheilhaft,  die  untergeord* 
nete  Gestalt  zuerst  zu  zeichnen. 

|.    716. 
Portsetzaog. 

Um  die  richtige  Einzeichnung  der  Kanten  der  zwei- 
ten Gestalt  in  vorstehenden  Fällen  vollziehen  zu  kön- 
nen, dazu  dient  die  Bestimmung  der  Lage  der  dreier- 
lei Kanten  A^  B  und  C  in  den  holoädrischen,  der 
Kanten  A%  B^  und  <7  in  den  geneigtflächig  hemißdri- 
•chen,  und  der  Kanten  A%  B"  und  C  in  den  paral- 
lelflächig hemiedrischen  Gestalten,  wie  solche  durch 
die  Co^fflcienten  derZwischenaxen,  so  wie  durch  die 
Coordinaten  der  unregelmässigen  Eckpuncte  in  der 
reinen  Krystallographie  gefunden  wurde.  Dass  man 
übrigens  nicht  alle  erforderlichen  Puncto  mittels  die- 
ser Coäfficienten  zu  bestimmen  braucht,  ist  einleuch- 


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416         Angewandte  KrystaUographie. 

teiuL  Fallen  z.  B.  4ie  Ecke  einer  Ziupitznng  in  die 
Hanptaxen,  nnd  liat  man  die  CK.  eingetragen,  so 
gncht  man  mitteli  der  bekannten  Coßf&cienten  der 
Zwischenaxen  die  Lage  einer  der  Zuspitxongskanten 
an  einem  der  Ecke,  und  erhält  in  dem  Dorchschnitts* 
pnncte  dieser  Kante  mit  der  Haaptaxe  das  gesuchte 
Znspitzungseck;  legt  man  durch  diesen  Pnnct  Paral- 
lelen mit  den  vier  Kanten  des  Oktaßders,  welche  in . 
derselben  Hauptaxe  snsammenlaufen,  so  erhält  man 
sogleich  in  den  Durchschnittspnncten  dies;er  Paralle- 
len mit  den  beiden  andern  Hauptaxen  die  richtigen 
Projectionen  von  vier  andern  Znspitiungsecken.  — 
Eben  so  ist  bei  solchen  Zuspitzungen,  deren  Ecke  in 
die  trigonalen  oder  rhmnbischen  Zwischenaxen  fal» 
len,  zu  berücksichtigen,  dass  durch  je  zwei  einan- 
der zunächst  liegende  trigonale  Eckpuncte,  so  wie 
durch  je  zwei  in  einem  und  demselben  Hauptschnitte 
einander  zunächst  liegende  rhombische  Eckpuncte  eine 
Parallele  mit  einer  der  Hauptaxen  gezogen  werden 
kann.  —  Durch  die  Berücksichtigung  dieser  und  an- 
derer Verhältnisse,  wie  z.  B.  des  ParaUelismus  je 
zweier  Gegenkanten,  der  gleichen  Grösse  beider  Half» 
ten  einer  und  derselben  Axe,  u.  s.  w.,  kann  man  sich 
die  Auffindung  vieler  Pnncte  sehr  erleichtem,  und  zu- 
gleich eine  grossere  Genauigkeit  des  Bildes  erreichen. 

f.    717. 
Bei timaung  der  CK.  durch  das  Verbältnits  der  Kanteasei^meiite. 

Wenn  aber  die  CK.  nicht  durch  ihren  Parallelis- 
mus mit  gewissen  Kanten  oder  singulären  Linien  der 
einen  Gestalt  bestimmt  ist,  so  muss  man  untersuchen, 
in  welchem  Verhältnisse  die  Kanten  der  einen  Ge- 
stalt durch  die  Flächen  der  andern  geschnitten  wer- 
den, oder  wie  sich  die  Lage  der  Combinationskante 
bestimmt,  weil  geritde  davon  die  richtige  Darstellung 
des  Bildes  abhängig  ist.   Nun  liesse  sich  zwar  jeden- 


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Zeichnung  der  KrystaBformen.   Cap.  IL     417 

üedls^  diese  Bestimmung  mittels  der  graphischen  Me- 
thode des  1.703  erreichen;  allein,  wie  einfach  und 
sicher  auch  diese  Methode  in  ihrem  Wesen,  so  un- 
bequem und  ungenau  ist  sie  oft  in  ihrer  Anwendung, 
vfenn  die  Ableitungscoßfficienten  etwas  gross  werden, 
und  die  beiderlei  Intersectionen,  auf  deren  Durch- 
Bchnittspunct  es  ankommt,  sich  unter  selir  spitzen 
Winkeln  schneiden.  Könnte  man  also  nach  irgend 
einer  andern  Methode,  ohne  Hülfisconstructionen  und 
unmittelbar  zur  richtigen  Einzeichnung  der  Combina- 
tionskante  gelangen,  so  wäre  dies  allerdings  ein 
grosser  Vortheil.  Eine  solche  Methode  nun  gründet 
sich  auf  den  Satz,  dass  die  Kanten  einer  jeden 
Gestalt  Ton  den  Flächen  jeder  andern  Ge- 
stalt derselben  Krystallreihe  jedenfalls  in 
rationalen  Verhältnissen  geschnitten  wer- 
den; ein  Satz,  welcher  sich  leicht  in  der  grössten 
Allgemeinheit  erweisen  lässt,  und  welchen  wir  in 
seiner  Anwendung  f3r  die  Tersohiedenen  Krystallsy- 
Bteme  im  Laufe  dieses  Abschnittes  besonders  kennen 
lernen  werden.  Die  hierher  schlagenden  Untersu- 
chungen sind  allerdings  für  die  holoedrischen  und  he-^ 
miedriscben  Combinationen  besonders  vorzunehmen, 
weil  <ße  geschnittenen  Kanten  sowohl  als  die  schnei- 
denden Flächen  in  den  beiderlei  Gestalten  nach  Lage 
und  A^^dehnung  yerschieden  sind.  Um  jedoch  den 
Umfang  des  gegenwärtigen  Abschnittes  nicht  zu  sehr 
SU  Tergrossem,  können  wir  diese  Untersuchungen  nur 
auf  die  wichtigsten^  und  daher,  mit  Ausnahme  der 
rhomboödrischen,  nur  auf  die  holoedrischen  Comjbi- 
nationen  der  Terschiedenen  Krystallsysteme  ausdeh- 
nen, weshalb  wir  denn  auch  für  das  Tesseralsystem 
insbesondere  unsre  Aufgabe  dahin  einschränken,  die 
Yerhältnisse  der  Kantensegmente  in  der  Combination 
zweier  holoedrischer  tesseraler  Gestalten'  zu  bestim- 
men. 

n.  27 


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41S         Angtivandte  Krystaäographie. 

|.    718. 

lUnteDsegaente  in  der  CgiabiiiBtioa  mOn.ai'Oii'. 

Aus  der  Conibinalion  dar  GleieliHAg 

»11 

mit  den  in  f.  120  siebenden  Gleichungen  der  Flächen  F'j 
F'  und  F^  erhält  man  die  Gleichungen  der  dr^  Kan- 
tenUnien  i4,  JB  und  C  der  Fläche  F  in  mOn  wie  folgt: 
Gleichungen  der  Kante  A 

.-y  =  0,     (^l^  +  z^i 
Gleichungen  der  Kante  It 

ar=:0,     -^  +  2  =  1 
Gleichui^en  der  Kante  C 

j,_z=0,    ^  +  (!Ltl)?  =  i 

Die  Gleichung  der  mit  F  analog  liegenden  Fläche 
Fl  In  der  zweiten  Gestalt  m^Owf  ist 

m  fi 

indem  wir  rechter  Hand  vom  GleichheitsieidMii  ir^ 
gend  eine  andere  Constante  statt  der  Einheit  einlBh- 
ren  mfisfen,  weil  die  Möglichkeit  einer  Con^MnaAion 
im  Allgemeinen  mit  der  Annahme  gleicher  Hanptaxen 
unverträglich  ist. 

ComMnirt  man  die  Gleichung  von  Ft  mit  den  GSei* 
chungen  ron  A,  B  und  C,  so  erhält  man  die  Coordi- 
naten   ihrer  resp.  Durohschnittspuncte ,    welche  ich 
mit  (a),  (b)  und  (c)  bezeichnen  will,  nämlidi: 
f&r  den  Durchschnittspunct  (a)  in  A 

—  mmm'nJA  —  i) 

^  mn(m'  +  «0  —  m'n\m  +  «) 

y    =    AT 


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Zeichnung  der  XjrystaÜf armen.  Cap.II.    410 

für  den  DarefaftehnitUpimct  {h)  in  B 
^  =tt  0 

y  =  — ^ — 7^ 

^  n  —  n' 

1 

fiir  den  Dorchschnittspanct  (c)  in  C 

__  fHm\n{n'  +  \\-  n\n  +  l)/t] 
"^  —     m\n'  +  1>  —  m{n  +  1)»' 

^  ~  »+1l  ~  —«(»  +  1)'^ 

^        » + 1  ~       «(»  +  !)* 

f.    719. 
Fortsetzung. 

MKtteUi  der  gefdndenen  Coordinaten  der  Pancte  («r)^ 
(i)  nnd  (c)  und  mittels  der  ans  1. 116  bekannten  Co- 
ordinaten der  drei  Eckpuncte  der  Fläche  F  lassen 
sich  nun  die  Segmente  der  Kanten  j4;  B  und  C  leicht 
berechnen,  wie  folgt. 
L     Segmente  der  Kante  A. 

Wir  wollen  diese  Segmente  mit  1{A)  bezeich- 
nen; das  eine  Segment  wird  begränzt  von  dem  okta6- 
drischen  Eckpuncte,  dessen  Coordinaten 
o;'  =  0,  /  =  0,  z"  =  1 
nnd  Ton  dem  Durchsehnittspuncte  (a),  dessen  Coor- 
dinaten wir  mit  Xy  y  und  z  bezeichnen  wollen;  es  ist 
daher 

SiA)  =s  ^^+y^+(g=ri)^" 
_  xV2m^n^  +  («»  +  nY 


^  ^V(|  _  1)  K2««ii>  +  (»»  +  ny 
mn{m'  +  ^  —  mfn'{m  -|-  ») 
27» 


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420         AngeitKindte  Krystallographie. 

Nun  ist  aber  nach  §.  116  die  Kante 
yat^n^  +  (m  +  it)» 

folglich  das  am  oktaSdrischen  Eckpnncte  gelegene  Seg- 
ment: 

_  «»V(«»  +  <»  +  n){k  •—  1)  - 

"'^'^^  ~  «111(111' +  «0  — «•'»'(«•  +  «) 
und  das  am  sechsflächigen  Eckpnncte  gelegene  Seg- 
ment: 

x./  4N  _  ««»(»»V+»»^+»0— »»'»'(*»»+*>+»)*  ^  A 

II.    Segmente  der  Kante  B. 

Wir  bezeichnen  diese  Segmente  mit  ^{B)\  das 
eine,  am  oktaSdrischen  Eckpnncte  gelegene  Segment 
wird  begränzt  von  diesem  Puncte,  dessen  Coordinaten 

x'  =  0,  y'  =  0,   2'  =  1 
und  von  dem  Puncto  (&),  dessen  Coordinaten  wir  mit 
x^  y  und  z  bezeichnen  wollen;  es  ist  also 
2{B)  =  Vy^  +  (z-±y 

n 
nun  ist  aber  nach  1. 116  die  Kante 

folglich   das   am   oktaSdrischen  Eckpnncte  gelegene 
Segment: 

n  —  n* 
und  das  am  rhombischen  Eckpnncte  gelegene  Segment: 
2(B)  =  «K+l)-n^(i»  +  l)A  ^  ^ 

nJ.    Segmente  der  Kante  C. 
Wir  bezeichnen  diese  Segmente  mit  S(C)\   daa 
eine,    am  rhombischen  Eckpnncte  gelegene  Segment 


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Zeichnung  der  KrystaUformen.   Cap^  IL    421 

wird  begränzt  ^om  rhombischen  Eckpancte,   dessen 
Coordinaten 

und  von  dem  Darchschnittspiincte  (c),   dessen  Coor- 
dkiaten  wir  s«  or,  y  und  z  setzen  wollen ;  es  ist  also 

*^^^  -  siCu  +  i) 

Nun  ist  aber  nach  |  116  die  Kante 

^^  (mn  +  si  +  i»X«  +  1) 
.  folglich  wird  das  am  rhombischen  Eekpuncte  gelegene 
Segment 
^rr\  _  <»(^^  +  l)-«>  +  l)A](^ii  +  «i  +  n)_^ 
-^^  -  iitsiXii^+l)ii-si(ii+l)«1         ^^ 

and  das  am  sechsflächigen  Eckpnncte  gelegene  Seg- 
ment 

"^^^^  ii[si'C«'+l)ii— is(»  +  lX]  ^^      . 

Da  man  nun  A  jedaifaUs  rational  annehmen  kann, 
so  folgt, 
dass  die   Segmente   der  Kantenlinien  des 
Hexakisokta^ders  mOn  Jedenfalls  ratio- 
nale   Mnltipla    oder    Submnltipla    der 
Kajitenlinien  selbst  sind. 

§.    720. 
Fortaeixung. 

Vergleichen  wir  diejenigen  Kantensegmente,  wel- 
che Ton  einem  und  demselben  Eekpuncte  auslaufen, 
mit  einander,  so  erhalten  wir  folgende  Resultate: 

Die  am  Pole  der  Hauptaxe  gelegenen  Segmente 
der  Kanten  A  und  JB  verhalten  sich: 


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422         Angewandte  Kry^cMographie* 

T/>i^.  5/R^  _        m\mn+m+n)A        .  0^  +  i)B 

Die  am  Pole  der  trigonalen  Zwischenaxe  gelege- 
nen Segmente  der  Kanten  A  und  C  yerhalten  sich: 

^(Ay^(r\^ — .        (ii+i)C 

Die  am  Pole  der  rhombischen  Zwischenaxe  gele- 
genen Segmente  der  Kanten  B  und  C  veihalten  sich : 

Mittels  dieser  Proportionen  wird  man  leicht  zu  der 
richtigen  Einzeichnung  der  Combinationskante  gelan- 
gen,  welche  untergeordnete  Gestalt  aach  mit  dem  He'xa- 
kisoktaäder  mOn  combinirt  seyn  mag. 

1)  Combination  mOn.m^On^;  dann  ist 

bei  achtflächiger  Zuspitzung  der  ditetragonalen  Ecke 

das  Yerhältniss  2{A)  :  S{B)y 
bei  sechsflächiger  Zuspitzung  der  ditrigonalen  Ecke 

das  Verhältniss  S(A)  :  ^(C), 
bei  Tierflächiger  Zuspitzung  der  rhombischen  Ecke 

das  Yerhältniss  S{B)  :  S{C) 
zu  berücksichtigen. 

2)  Combination  mOn.m^On/; 

bei  vierflächiger  Zuspitzung  der  ditetragonal«!  Ecke: 
2tÄ\  •  ^rn\  =    (mn  +  m  +  n)A   .  (n  +  i)B 

bei  dreifl.  Zusp.  der  ditrig.  Ecke: 

3)  Combination  mOn.m'O; 

bei  dreifl.  Zusp.  der  ditrig«  Ecke: 

bei  Zusch.  der  rhombischen  Ecke : 
^tn^ .  ^fr\         ^^    .  •»'(*»»  +  «» +»)^ 


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Zeichnung  der  Kry$taUf  armen.   Cap.IL     423 

4)  Combination  mOm.ooOm'; 

bei  vierfl.  Z«sp.  der  ditetr.  Ecke : 

bei  Zmifh.  der  rlKMibisclieii  Ecke: 

5)  Combination  mOn^ocO;  . 

Ä—  1  2ä 

6)  Combiaation  mOm.O; 

7)  Combination  mOn.ooOoo; 

2(A):S{B)  =r  (••ii  +  m+ii)i4  :  {m  +  n)(n  +  i)B 
Man  kann  mittels  dieser  für  das  HexakisoktaSder 
gefundenen  Resultate  die  Combinationskante  auch  in 
alle  öbrigen  Gestalten,  richtig  eintragen,  wenn  man 
dieselben  in  ihrer  hildlicben  Darstellung  dadurch  auf 
ein  Hexakisoktaßder  xurückfiahren  will,  das«  man  in 
ihren  Flächen  alle  diejenigen  Linien  zieht,  welche 
den  Kanten  eines  HexakisoktaSders  entsprechen.  Al- 
lein abgesehen  davon,  dass  man  dadurch  gendthigt 
wäre,  eine  Menge  Hnlfslinien  zu  ziehen,  von  denen 
weiter  kein  Gebrauch  gemacht  wird^  ist  es  noch  in 
anderer  Hinsicht  viel  vortheilhafiter,  die  Lage  der  CK. 
auch  in  den  übrigen  Gestalten  nur  von  den  Segmen- 
ten ihrer  wirklichen  Kantenlinien  abhängig  zu  ma- 
chen. Wir  haben  daher  unsere  Untersuchungen  über 
die  Verhältnisse  der  Kantensegmente  für  Jede  der  fibri-  ^ 
gen  Gestalten  besonders  gehend  zu  machen. 

f.    721. 

Kaatensegmeiite  des  Ikotttetraeder«  imOib. 

In  dem  Ikositetraeder  verschwindet  die  Kante  Ay 
und  jede  Fläche  wird  ausser  von  den  Kanten  B  und  C 


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424         Angewandte  KrystaUographiel 

Qoch  von  den  beiden  gleichwerthigen  Kanten  Bf  und  C 
begränzt,  Fig.  801.  Denken  wir  nun  ein  Hexakisok- 
ta^der  m'On'  als  untergeordnete  Gestalt  in  Combina- 
tion  mit  mOm,  so  wird  für  den  Fall  einer  vierfl.  Zusp. 
der  rhomb.  Ecke  das  bereits  gefundene  Ye9*liältni8S 
von  S(B):S(C)  su  benutzen  seyn,  während  für  die 
beiden  Fälle  einer  achtfl.  Zusp.  der  tetragonalen  und 
einer  sechsfl.  Zusp.  der  trigonalen  Ecke  die  Verhält«* 
nisse  von  S{B)  :  :S(ÄO,  »nd  2(C) :  S(C)  berechnet  wer- 
den müssen ,  um  die  Lage  der  CK.  anfznfinden. 

Die  Methode  dieser  Berechnung  ist  ganz  dieselbe, 
welche  bisher  befolgt  wurde ;  ihre  Ausfuhrung  verein- 
facht sich  aber  etwas  wegen  der  Gleichheit  der  Cotf- 
ficienten  in  dem  Zeichen  mOm.  Man  aucht  nänlidi 
die  Gleichungen  der  beiden  Kanten  B*  und  C^  auB 
der  Gleichung  der  Fläche  F 

mm 
combinirt  die  gefundenen  Gleichungen  mit  der  Glei- 
chung  der  Fläche  Fi  von  m'Om' 

5  +  ^  +  r  =  A 

m         H 

und  erhält  so  die  Coordinaten  der  beiden  Darchschnitts* 
puncte  (b')  und  (eQ,  mittels  welcher  sich  dann  leicht 
die  Kantensegmente  von  B'  und  C^  berechnen  lassen. 
Führt  man  diese  Rechnungen  durch,  so  gelangt  man 
endlich  auf  folgende  Resultate : 

1)  Combination  mOm.m'On^; 
bei  achtflächiger  Zuspitzung  der  tetragonalen  Ecke 
verhalten  sich  die  Segmente 

fi  —  m     f»  — •  f» 
bei  sechsflächiger  Zuspitzung  der  trigonalen  Ecke  ist 

S{C)iSiC')=n\m'+iy^Xm+l):mXn'+iy^'(m+i) 


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Zeichnung  der  KrysiaUformen.   Cap.  IL    42$ 

bei  vieriichiger  Znspitnmg  der  rhomhisdiMi  Ecke 
endlich  ist 

2)  Combination  mOm.m'0; 

es  Terhaheii  sich  die  Kantensegmente 
bei  Zoschärfong  der  rhombischen  Ecke: 

bei  dreifL  Zasp.  der  trigonalen  £ck6: 
S(C):S(C)  =  («•«•'-1)C:  (m+l  —  2m')C 

3)  Combination  fliOi».ooOii^; 

es  verhalten  sich  die  Kantensegmente 
bei  TierfL  Znsp.  der  tetr.  Ecke: 

2(B):SiB)  =  n'B  :  (n'  —  m)B 
bei  Zosch«  der  rhomb.  Ecke: 

4)  Combination  mOm.ocO; 

S(B):S(C)  =  £^:  Hm  +  i)C 

Far  alle  m^O$Hf  und  daher  auch  für  O  and  coOoo 
ifit  Jedenfalls  die  CK.  parallel  der  gleichschenkligen 
Diagonale  der  Flftchen  von  mOm, 

f.    722. 
Kantenftegmente  de»  Triakboktaeders  siO. 

Fir  das  TriakisoktaSder  kommt  statt  der  Kante  C, 
welche  durch  die  Höhenlinie  jeder  Fläche  repräsen- 
tirt  wird,  die  Kante  A'  in  Racksicht,  Fig.  802;  auch 
ist  die  Kante  B  zu  verdoppeln ,  weil  je  zwei  Kanten 
£eser  Art  eine  der  regelmässigen  Kanten  von  siO 
bilden.  Man  suche  daher  die  Gleichungen  der  Kante 
A\  welche 

s-z  =  0,  und  iüLtDE+y^i 


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420         Angeanmäte  Kry$iaUograptüe. 
•faid,  und  comUiiire  lue  mit  der  Glttchiuig 

"^z  +  -T  +  2:  =  * 

so  erhält  man  die  Coordinaten  eines  Durchschnitts- 
punctes  (aO?  luid  mittels  selbiger  die  Segmente  der 
Kante  A\  FSlurt  man  die  hier  nur  angedeuteten  Rech- 
nungen durchs  so  gdangt  man  endlich  »af  falgende 
Resultate : 

1)  Combination  mOm'Offf^ 

es  verhalten  sich  die  Kantensegmente 
bei  achtfl.  Zusp.  der  ditetr.  Ecke: 

bei  secfasfl.  Zusp.  der  trig.  Ecke: 
5(il)::?(ilO==«(«'H-iiO— «VCin+l^wCsi'+lK— «•'(••+1) 

2)  Combination  mOM^Om'\ 

Es  verhalten  sich  die  Kantensegmente 
bei  vierfl.  Zusp.  der  ditetr.  Ecke: 

S{A)iS(ß)  =  (2«i  +  lXm'—l)  :«'(«•  +  !) —5m 
bei  dreÜL  Zusp.  der  trig.  Ecke: 

2{A) :  S{Ar)  =  Qm—m\m  + 1) :  «i»'—  1 

3)  Combination  mO.ocOü^; 

es  verhsdten  sich  die  Kantensegmente: 
2{A)i2(B)  =  (2m  +  l)(«'-l):»'(«  +  l)— » 

4)  Combination  mO.ocOoo; 

SiA)i2iB)  =  {2m+±)A\{m  +  i)B 
Für  die  Combinationen   mit  «i^O,   ocO  und  O  ist 
jedenfalls  2{A)  =  S{A'),   oder  die  CK.  der  Kante  B 
parallel. 

f.    723. 
Ki^Oteiitegmeate  des  ToUrakishexaSden  ooOii. 

Für  dasTeCrakishexaMerooOit  ist  statt  der  Kante 
ßj  welche  nur  durch  die  Höhenlinien  der^Flächen  re- 
präsentirt  wird,  die  Kante  A^  zu  berücksichtigeUi  Fig. 
803;    auch  ist  die  Kante  C  xu  verdoppeln,    da  je 


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vmrni  4iMtar  Kwitm  eine  der  regetlnaMigw  Kaateo 
von  ooOn  bilden. 

Die  Gleiebnngen  der  Kante  A'  sind: 

4?  +  y=0,  und  —  — +  r=»l 

Durch  Combinaüon  dieser  Gleiebnngen   mit  der 
Gleichung 

finden  sich  die  Coordinaten  des  Darchschnittaponctes 
(o^,  und  mittels  desselben  die  Segmente  der  Kante 
A\  Führt  man  diese  Rechnungen  durch»  so  gelangt 
man  endlich  auf  folgende  Resultate : 

1)  Combination  oQOn,m'On'\ 

es  verhalten  sich  die  Kantensegmente 
bei  achtfl.  Zusp.  der  tetr.  Ecke: 

2(4) :  SiÄ")  =  »V— (•!'— »> :  mV—  (•i'+n> 
bei  sechsfl.  Zusp.  der  ditrig.  Ecke: 

S(A) :  S(C)  =  2nn'A :  [«(«•'  +  »0  —mW]C 

2)  Combination  ooOn.mfOm^; 
bei  vierfiL  Zusp.  der  tetr.  Ecke: 

S{A):S(A')  =  «•'  :  «•'  — 2» 
bei  dreifl«  Zusp.  der  ditrig.  Ecke: 
S(A):S(C)  =  211.4  :  (2»  — «0^ 

3)  Combination  ooOji.m'0; 

S(A}<  I(C)  =  2nA :  [ii(ai'+  1)  -  «i'JC 

4)  Combination  acOii.O; 

S{A):S(C)  =  2nA:(2n--'i)C 
Für  die  Combinationen  mit  ocOii^,  ooO  und  ooO(3o 
ist  stets  S{A)  =  2{A')y  oder  die  CK.   der  Kante  C 
parallel. 

$.    724. 
Kantensegneiite  in  ooO,  O  and  ocOoo. . 

Man  seUe  in  den  Verhältnissen   der  Kantenseg- 
uiettte  von  A  und  Af  für  ocOii  und  mO    11  =  1  und 


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428         jingeu^andtB  KryatcMograpiMi 

0=00,  80  folgen  för  die  Combinationeii  des  Rhonii 
bendodekaßders  die  nachstehenden  Resultirte: 

1)  Combination  co0.siO«; 

bei  achtfl.  Znsp.  der  tetr.  Ecke: 
S(A)iS(Ar)  =  mn — m  +  n  :  mm — «•  — » 

bei  sechsfl.  Znsp.  der  trig.  Ecke: 
S(A) :  S^A")  5=  «  +  «—««  :  mn—m  +  n 

2)  Combination  oo0.mOm\ 

bei  TieiA.  Zusp.  der  tetr.  Ecke: 

5(i4):5(i40  =  «  ••  «  —  2 
bei  dreifl.  Zusp.  der  trig.  Ecke: 
2{A)i2{A')  =  2  — «•  :  m 
Setxt  man  in  den  für  mOm  berechneten  Verhält* 
nissen  der  Kantensegmente  2(B)  und  S^B*)  «1  =  1, 
so  folgt  für  das  Oktaeder: 

1)  Combination  O.mOn, 

2)  Combination  O.ooOny 

2(B):5(ir)  =  nB  :  (n  —  i)B 
Setzt  man  endlich  in  den  für  mOm  berechnete» 
Verhältnissen  der  Kantensegmente   S{C)  und  S^Cy 
m^=iOOy  so  folgt  für  das  Hexaeder: 

1)  Combination  ooOooMOfij 

2(C):2(C0  =  siC:  «C 

2)  Combination  ooOoo.mO, 

J(C):J(CO  =±mCi  C 

f.    725. 

Mehrzählige  Combinationeit. 

Für  die  drei  •  und  mehrzähligen  Combinationen  bat 
man  besonders  darauf  zu  achten,  welche  Gestalt  oder 
welche  Gestalten  eine  vorherrschende  Bestimmung  auf 
die  Verhältnisse  der  übrigen  Gestalten  ausüben,  in- 
dem die  letzteren    leicht  in  das  Bild  eingezeichnet 


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Zeichnung  der  KrysiaUfarmen.   Cap.  IL    429 

werdlen  kSniien,  sobald  nur  die  ersteren  gexeichnet 
sind.  Soll  X.  B.  die  bekannte  Combination  des  Blei- 
glanzes O.oo0ac.oo0.20  gezeichnet  werden,  so  macht 
man  nicht  mit  O  oder  ooOoo,  sondern  mit  20  den 
Anfang,  zeichnet  darauf  die  FlAchen  von  ooOoo,  und 
trägt  nun  mit  I^ichtigkeit  die  Flächen  der  vorherr- 
schendsten Gfestalt  O  und  der  untergeordneten  Gestalt 
ooO  ein.    Soll  dagegen  die  Combination  des  teträä- 

drischen  Kupferglanzes  — ^.ocO.~.-^  gezeichnet  wer- 
den,  so  fängt  man  mit  der  vorherrschenden  Gestalt 

202 

— ^—  an,  und  zeichnet  die  übrigen  Gestalten  nach  der 

Reihe  ein,  wie  ihre  Zeichen  auf  einander  folgen.  Wäre 

aber  in  derselben  Combination  das  Tetraßder -^  nicht 

entlmlten,  so  wird  die  Zeichnung  schneller  und  rich- 

tiger  gefertigt  werden,  wenn  man  mit  -^  den  Anfang 

macht,  weil  die  Flächen  der  übrigen  Gestalten  eben 
80  leicht  nachzutragen  sind  wie  vorher^  die  kleineii 
Kanten  aber,  welche  in  den  stumpferen  trigonalea 
Ecken  des  Deltoiddodekaäders  zusammenlaufen,  da- 
durch am  leichtesten  und  sichersten  construirt  wer- 
den, dass  man  diese  Gestalt  zuerst  zeichnet.  Ueber- 
hanpt  hat  der  Umstand,  ob  und  welche  eigenthfimli- 
che  Kanten  der  untergeordneten  Gestalten  vorhanden 
sind,  einen  grossen  Einfluss  auf  die  Wahl  derjenigen 
Gestalten,  die  zuerst  gezeichnet  werden  soUea. 


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430      .  AngeuHzndie  KrystaßograpJde. 

Drittes    Capitel. 

Von  der  Zeichnung  der  tetragonalen  Ge- 
stalten. 

A,     Asten  wnd  einfache  Gtsi4ii^n. 

$.    726. 
AxeavfMtfim  der  Gniodgeatalt. 

Da  die  Hanptaxe  und  die  beiden  Nebenaxen  deg 
Tetragonalsystemes  eben  so  wie  die  drei  Hauptaxen 
äei  Tesseralsysteinss  auf  einander  rechtwinklig  sind^ 
so  kann  man  Ton  der  Prcgectionsmethode  der  Uanpt- 
axen  des  Oktaeders,  Ja^  mit  Beibehaltung  ^derselben 
Wertbe  der  Winkid  i  und  c,  unmittdbar  vm  der  in 
Fig.  790  gefundenen  Projection  dieser  Axen  Gebrauch 
machen,  um  die  Axen  einer  jeden  tetragonalen  Kry- 
staDreihe  ihrer  Lage  nach  richtig  darzustellen.  Weil 
aber  die  Häuptaxe  der  tetragonalen  Grundgestalt  P 
einen  von  den  NTebenaxen  verschiedepen  Werth  hat. 
Während  in  dem  Bilde  der  Hauptaxen  des  OktalSdera 
ÜB  4rei  Linien  AA\  ME'  und  CC'  nur  unter  Voraus« 
fte«2«ing  ihrer  in  der  Wirklichkeit  Statt  findenden 
Gleichheit  richtig  sind)  so  müssen  wir,  wenn  B& 
und  CÜ^  unterändert  als  die  Nebencocen  der  Grund« 
gestak  P  beibehalten  werden  sollen,  dfo  verticale 
Hanptaxe  AA''  angemmsen  Terändern,  «m  das  fibr 
dieve  Ctrandgestlilt  gSltige  Yerbfthniss  der  Hanptaxe 
Mr  Nebenaxe  :=  a  :  l  iMtvostellen.  Bfan  Mchi  sn 
dem  Ettde  in  der  Proportion 

1  :  a  =  MA  :  x 
das  vierte  Glied  ^,  trägt  diese  Linie  von  M  aus  bei- 
derseits in  die  nöthigenfalls  verlängerte  Linie  AA' 
ein,  und  erhält  so  zwei  Puncto,  welche  die  Pole  der 
gesuchten  Häuptaxe  sind.  Hierauf  braucht  man  nur 
die  Endpuncte  der  drei  Axen  durch  gerade  Linien  xu 
verbinden,  um  die  Grundgestalt  P  selbst  darsustellen. 


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Zeichnimg  der  KryBiall^ormen.  Cap.IIL    431 

Da  bei  der  Zeichnnng  der  ditetragonalea  PyraaB- 
ietk  und  anderer  Gestalten  dieses  Systemes  die  Zwi« 
schenaxen  zu  berücksichtigen  sind,  so  ziehe  maa  dorch 
den  Mittelpnnct  M  zwei  Parallelen  mit  den  Mittelkan- 
ten der  Gmndgestalt,  welche  mit  denselben  zum  Darch* 
schnitte  kemmen,  nad  in  dieser  ihrer  Lage  und  Be- 
gränznng  dieZwischenaxen  der  Gnindgestalt  darstellen. 

§.    727. 
Zfl&obmHig  d&t  GMtslten  mlP^  stPa  und  m¥oo. 

Soll  iiigend  eine  Pyramide  «P  der  Hanptreihe 
gezeichnet  werden,  so  vervieK&ltigt  man  die  Haupt- 
axe  der  Gmndgestalt  nach  dem  CoSfficienten  «,  und 
erh&lt  dadurch  die  Pole  der  Hauptaxe  von  «P,  wel- 
che man  nur  noch  mit  den  Eckpuncten  der  Basis  zu 
verbinden  hat,  um  die  verlangte  Gestalt  selbst  dar- 
zustellen. 

Soll  eine  ditetragonale  Pyramide  mVn  gezeichnet 
werden,  so  verlängert  man  die  Zwischenaxen  der 
Grundgestalt  beiderseits,  macht  die  YerlängeFung  Je- 

der  Halbaxe  =  — —7  von  ihr  selbst,    verbindet  die 

dadurch  bestimmten  Endpnncte  derselben  mit  denEnd- 
poncten  der  Nebenaxen,  und  erhält  so  die  Basis  al- 
ler Glieder  der  nach  dem  CoSfificienten  »  abgeleite- 
tem Zwischenreihe.  Hierauf  bestimmt  maa  die  Pole 
der  Hauptaxe  «mi,  und  verbindet  dieselben  mit  den 
Eckpancten  der  Basis,  wodurch  die  Cons^mction  des 
verlangten  Gestalt  miPn  vollendet  vrird. 

Soll  endlich  eine  tetragonale  Pyramide  taPoo  an« 
der  Nebenreihe  gezeichnet  werden,  so  1^  man  durch 
die  Endpnncte  der  Nebenaxen  der  Grundgestalt  Par- 
allelen mit  ihnen  selbst,  oder  macht  auch  die  Verlän- 
gerung der  halben  Zwischenaxen  ihnen  selbst  gleich 

(dann  ^~l  =B  1)  und  erhält  so  die  Basis  aller  Py- 

00-1-1  ^  ^ 


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432         'Angewandte  KrystaUograpfue. 

rfuniden  der  Nebenreihe:  IBenraf  bestinmit  man  die 
Pole  der  Haapiaxe  und  vollendet  die  ConstmctioB 
wie  vorher. 

f.    728, 

Zeichnung  der  Sphenoide  und  Skaleno^er. 

mP 
Soll  das  tetragonale  Sphenoid  —  oder  mS  gexeich- 

net  werden,  so  bestimmt  man  zuvörderst  in  der  Pro- 
jection  des  Axensystemes  die  Länge  der  Hauptaxe 
AA  von  mPy  Fig.  804,  legt  hierauf  durch  die  Pole 
derselben  Parallelen  mit  den  Zwisehenaxen  der  Grund- 
gestalt, und  trägt  diese  Zwisehenaxen  in  ihre  resp. 
Parallelen  von  den  Polen  der  Hauptaxe  aus  nach  bei- 
den Richtungen  einmal  ein.  Man  erhält  so  in  jeder 
der  Parallelen,  als  den  horizontalen  Polkanten  des 
zu  construirenden  Sphenoldes,  zwei  Puncto  C  als  die 
Eckpuncte  desselben.  Je  nachdem  man  nun  die  vier 
Puncte  C  oder  die,  vier  Puncto  C^  durch  gerade  Li- 
nien verbindet,  erhält  man  das  verlangte  Sphenoid 
in  der  einen  oder  andern  Stellung. 

Die  Zeichnung  der  tetragonalen  SkalenoSder  grün- 
det sich  unmittelbar  auf  die  der  Sphenoide,  indem 
man  die  secundäre  Ableitung  derselben  zu  Hülfe  nimmt 

mP« 
Man  reduoirt  daher  jedeafslls  das  Zeichen  -^  anf 

am 

das  Zeichen  — 8*,  und  zeichnet  zuerst  das  eingesohrie- 

bene  Sphenoid  — S  nach  der  so  eben  angegebenen  Re- 
gel, wodurch  die  Mittelpuncte  des  verlangten  Skale- 
noSders  in  beiden  Stellungen  gefunden  werden.  Hier- 
auf verlängert  man  die  Hauptaxe  des  Sphenoides  bei- 
derseits nach  dem  Co^fficienten  m,  erhält  so  die  Pol- 
eckpuncte  des  SkalenoSders,  welche  man  nur  mit  den 


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Zekhnung  der  Krystattformm  Qgp.III.    433 

giefbiidenen  BfittelpiuicteB  zu  verbinden  braucht,  um 
die  Constmction  lu  vollenden. 

f.    729. 
Zeiohnimg  tetragonaler  Pyramideii  der  driUen  Art 

Um  eine  tetragonale  Pyramide  von  abnormer  Flä- 
chenstellung   —  oder  -j-TT"  2u«eichnen,  entwirft 

man  zuvörderst  nach  der  in  $.  727  angegebenen  Regel 
die  ditetragonale  Basis  der  Pyramide  in9n,  verlängert 
hierauf  die  abwechselnden  Seiten  derselben  bis  zu  ih- 
ren gegenseitigen  Durchschnitten,  und  erhält  so  die 
tetragonale  Basis  der  verlangten  Gestalt.  Endlich  be- 
stimmt man  die  Pole  der  Hauptaxe,  verbindet  selbige 
mit  den  Eckpuncten  der  Basis,  und  die  Constmction 
ist  vollendet. 

§.    730. 
Zeichnung  der  tetrdgonalen  Trapezoeder. 
Da  die  Polkanten  der  oberen  oder  unteren  Hälfte 

der  tetragonalen  Trapezoeder  t-^-^t-  oder  i-~-    die- 

selbe  Lage  haben  wie  jene  der  gleichnamigen  Hälfte 

der   tetragonalen  Pyramiden  der   dritten  Art    -     ^ 

/  4llp41 

oder —j  so  beginnt  man  ihre  Constmction  damit, 

die  obere  Hälfte  einer  von  diesen  Pyramiden  nach  der 
Begel  des  vorhergehenden  }.  zu  entwerfen,  indem 
man  sich  zugleich  diejenigen  Puncto  B  ihrer  Mittel- 
kanten notirt,  in  welchen  dieselben  von  den  Neben- 
axen  geschnitten  werden,  Fig.  805.    Da  nun  der  Ab- 

Stand  der  Mittelecke  des  Trapezoßders  rf—^  von  der 

Ebene  der  Basis  nach  f.  240 

ma{n  —  1) 

IL  28 


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434         Angewandte  KrystaUographie. 

so  nehme  man  in  der  oberen  Hälfte  ma  der  Haupt- 
kxe  vom  Mittelpuncte  M  aas  den  aliquoten  Theil 
n  — 1 
»(«  +  !) 
wodurch  sich  in  ihr  der  Panct  D  bestimmt.  Dnrch 
diesen  Panct  lege  man  zwei,  mit  den  Diagonalen  der 
tetragonalen  Basis  parallele  Linien,  welche  mit  den 
Polkanten  der  Pyramide  zum  Durchschnitte  kommen^ 
und  die  vier  oberen  Mitteleckpuncte  JS  bestimmeou 
Jeden  dieser  Puncto  E  verbindet  man  nun  durch  eine 
gerade  Linie  mit  dem  zunächst  gelegenen  Puncto  £, 
verlängert  dieselbe  über  B,  und  macht  die  Verlän- 
gerung BE^  =  BEj  so  bestimmen  sich  die  vier  un- 
teren Mitteleckpuncte  J^,  worauf  denn  leicht  die  noch 
fehlenden  diagonalen  Mittelkanten  und  die  Polkanten 
der  unteren  Hälfte  des  TrapezoSders  gezeichnet  wer- 
den können. 

B.     Combinationefi. 

§.    731. 
Kantenaegmenta  der  Pyramide  «iPfi  in  ihrer  Comb,  mit  m'Pji'. 

Für  die  Ausführung  der  Zeichnung  binärer  und 
mehrzähliger  tetragonaler  Combinationen  sind  die  im 
ersten  Oapitel  angegebenen  allgemeinen  Regeln  zu 
berücksichtigen ;  was  aber  die  Lage  der  Combinations- 
kante  betrifft,  so  haben  wir,  wenn  solche  nicht  gra- 
phisch nach  der  Vorschrift  des  §.  703  gefunden  wer^ 
den  soll,  ihre  Bestimmung  von  den  Verhältnissen  der 
Segmente  abhängig  zu  machen,  in  welche  die  Kan- 
ten der  einen  Gestalt  von  den  Flächen  der  andern 
geschnitten  werden. 

Es  sey  also  die  Combination  einer  ditetragonalen 
Pyramide  mPn  mit  einer  zweiten  dergleichen  Pyra- 
mide m'Pn^  gegeben ,  so  wird  jede  Fläche  JP*  der  er- 
steren  von  einer  Fläche  Ft  der  zweiten  geschnitten. 


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Zeichnung  der  Kry^tallf armen  Cap.IÜ.    435 

1)  in  den  Kanten  X  und  F,  bei  achtfl.  Zusp.  der 
Polecke ; 

2)  in  den  Kanten  X  nnd  Zy  bei  vierfl.  Zusp.  der 
normalen  Mittelecke; 

3)  in  den  Kanten  Y  nnd  Z»  bei  vierfl.  Zusp.  der 
diagonalen  Mittelecke. 

Wir  haben  nun  die,  diesen  drei  Combinationser- 
sch^inungen  entsprechenden  Verhältnisse  der  Kanten* 
Segmente  für  mPn  zu  berechnen» 

Wenn  die  Gleichung  der  Fläche  F 

ma        n     ^ 
ist,  so  sind  die  Gleichungen 


!  mit      ' 


der  Kante  X  Ima 

I  y  =  o  , 

der  Kante  F  <«ia    '         n 
{  y  —  z  =  0 

ix  =  0 

Nun  sey  die  Gleichung  der  mit  der  F  analo"^  lie- 
genden Fläche  Fl  in  m'Vn' 

-^  ^  y  -  +  r  =  Ä 

so  werden  die  Coordinaten  ihrer  Durchschnittspuncte 

(^),  (y)  und  (z)  mit  den  drei  Kanten  X,    Y  und  Z' 

folgende : 

Für  den  Durchschnittspunct  (;r): 

mm'a(k  —  1)       , 
X  = :-^ — '-T-^j  oder  x  —  »ia  =  —  muz 

m  —  «'Ä    ■                 .             X 
z  = 7- ,  oder  z  —  1  == 

2^^ 


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436        Angewandte  KrystaUographie. 

Für  den  Durchschnittspimct  (y): 

mm'a\n'(n^  i)k  —  n(n'  + 1)] 
^  ~      «•(»  +  IK  —  m'(»'  + 1> 

oder  x  —  ma  = ^ ^ 

» 

z  —y 
Fiir  den  Durch schnittspnnct  (z): 
:r  =  0 

«i»-(A-l) 

Durch  Combination  der  Coordinaten  der  Puncte  (:r) 
und  (ji)  mit  den  Coordinaten 

x'  =  mtty  /  =  0,  z'  =s  0 
des  Poleckpunctes  finden  sich  die  am  Pole  gelegenen 
Segmente  der  Kanten  X  und  Y  wie  folgt: 
S{X)  =  ^(x  —  maY^z^ 

n 
=  ^«F,  (I.22S) 

Durch  Combination  der  Coordinaten  der  Puncte  ^4r) 
und  (z)  mit  den  Coordinaten 

4r'  =  0,   /  =  0,    z'  =  1 
des  normalen  Mitteleckpunctes  der  Fläche  F  finden 
sich  die  an  diesem  Mitteleeke  gelegenen  Segmente  der 
Kanten  X  und  Z,  wie  folgt: 


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Zeichnung  der  Krystallfornien.  Cap.III.     437 

s(X)  =  ^s'  +  iz  —  iy 

^(/t-l/^rj^^^Z.  (8.223) 

Da  nun  die  am  diagonalen  Mitteleckpuncte  gele- 
genen Segmente  von  Y  und  Z 
Y-S{Y) 
und    Z—2(ß) 
seyn  müssen,  so  findet  sich  fSr  die  an  diesem  Mittel- 
eckpuncte gelegenen  Segmente  der  Kanten  Y  und  Z 

-y'''—     «'(«'  +  D» — m{n  -H  1)»' 
-5(Z)  -  ^^3^, 

|.    73?. 

Kauteosegmente  von  «P»  in  ihren  Combinaüonen  mit  den  Abrigen 

Gestalten. 

Aas  den  Resultaten  des  vorhergeKenden  §.  lassen 
sich  für  die  Combinationen  einer  ditetragonalen  Py- 
ramide mP»  mit  den  verschiedenen  Gestalten  dersel- 
ben Krystallreihe  folgende  Verhältnisse  der  Kanten- 
segmente ableiten. 

1)  Combination  mVn,m'Vn' \ 
bei  achtfl.  Zusp.  der  Polecke: 

bei  vierfl.  Zusp.  der  norm.  Mittelecke: 

2(  JT) :  S{Z)  =  m\n'-n)X :  (m'-m){n  +  IK^ 
bei  vierflL  Zusp^  der  diag.  Mittelecke: 

2)  Combination  «iPä.iwT; 
bei  vierfl.  Zusp.  der  Polecke : 


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438         Angewandte  Kryställographie. 
bei  Ziisch.  der  diag.  Mittelecke : 

3)  Combination  mPn.mfVoo; 
bei  vierfl.  Zusp.  der  Polecke: 

SiX}:2(Y)  =  M(n+l)—m'n:(m—myn  +  i} 
bei  Zusch.  der  norm.  Mittelecke: 
SiX) :  S(Z)  =  «' :  (m'—m)(n  + 1) 

4)  Combination  «iP/i.ocP»'; 

bei  Zasch.  der  norm.  Mittelecke: 

S(X) :  2(Z)  =  n'—n :  (»+ 1)»' 
bei  Zoach.  der  diag.  Mittelecke: 

S(Y):2(Z)  =  n—n':(n'+i)H 

5)  Combination  mPA.ocP; 

-r(F):2'(Z)  =  11—1:2» 
f>)  Combinatioh  mPü.ocPoo; 
2(X):S(Z)  =  i:n+i 

§.   733. 
KAnteDsegmente  in  den  tetragonalen  Pynumden  mP  und  siPoo. 

Die  Kantenlinicn  F  versch\<^inden  als  solche  in 
den  tetragonalen  Pyramiden  mP,  ni|d  erscheinen  niir 
noch  als  die  Höhenlinien  ihrer  Flächen ;  dasselbe  gilt 
für  die  Kantenlinien  X  in  den  Pyramiden  siPoo.  Wir 
würden  also  die  im  vorhergehenden  §.  gefdndenen  Re- 
sultate auch  für  die  binären  Combinationen  dieser 
Pyramiden  benutzen  können,  indem  wir  für  |ede  Comb. 
wP.ffi'Pyi'  statt  der  Segmente  .von  F,  und  für  jede  Comb. 
ffiPoomT»'  statt  der  Segmente  von  X  die  Segmente 
der  resp.  Höhenlinien  berücksichtigten.  Allein  es  ist 
jedenfalls  vortheilhafter,  die  Lage  der  CK.  auch  für 
diese  Gestalten  unmittelbar  durch  die  Kantensegmente 
zu  bestimmen,  weil  man  dadurch  der  Einzeichnung 
jen^r  Höhenlinien,  als  acht  ganz  überflüssiger HüUs- 
linien,  überhoben  wird. 

Für  diejenigen  Fälle  jedoch,  da  die  untergeordnete 
Gestalt  mT«^  eine  vierfl.  Zusp.  der  Mittelecke  de^  te- 


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Zeichnurtg  der  Krystallformen.  Cap.III.    439 

tragonalen  Pyramide  bildet,  dienen  uns  unmittelbar 
die  för  die  Comb.  mPH.m'Pn'  gefundenen  Verhältnisse, 
indem  wir  nur  statt  Z  überall  2Z  zu  schreiben  ha- 
ben ,  weil  je  zwei  Mittelkanten  von  mlfn  eine  Mittel- 
kante von  mP  oder  m¥oo  bilden..  Es  sind  daher  nur 
für  den  Fall  einer  achtflächigen  Zusp.  der  Polecke 
die  Segmente  der  Polkanten  von  mP  und^Mpoo  zu 
berechnen. 

^     Es  sind  in  «fP  die  Gleichungen  der  Polkahle  X\ 
Fig.  806, 

—  -1-^  =  1,   und  z  =  0 

in  «fPoo  die  Gleichungen  der  Polkante  Y\  Fig«  807^ 

jf  =3  1,   und  y  +  z  =  0, 

Combinirt  man  diese  Gleichungen  mit  der  Glei- 
chung der  Fläche  ^i  von  «iTj»^ 

^  +  v  +  '  =  ' 

so  erhält  man  für  den  Durchschnittspunct  (jc^)  ^ie 
Coordinaten : 

ma  —  X  =s  may 

^  (m  —  m'ky 

2:  =    0 
und  for  den  Durchschnittspunct  (y^)  die  Coordinaten 
ma  —  a;  =  — may 

—     (^— »>'*K 
'  ~  [m'—m)n'—m' 

z  =  -y 
Da  nun  die  Coordinaten  des  Poleckpunetes  von  mPm 
x'  =s  •!«,  /  =  0,  z'  =  0, 
so  wird   .  , 


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440         Angewandte  KrystaUographie. 
and  S(r)  =  »^(fl»«— d7)*  +  2y»  =  yK«»*a»  +  2 

§.    734. 

KanCemegmeiite  von  mP  io  ihren  Coonbb.  mit  den  Abrigen  €ie- 

ttfldten. 

Aus  den  Resultaten  des  vorhergehenden  §.  und  des 
9. 731  erhalten  wir  nun  folgende  Verhältnisse  für  die ' 
Kantensegmente   der  Pyramide  «iP  in  ihren  Combb. 
mit  den  übrigen  Gestalten: 

1)  Combination  i»P.fli'Pii'; 
bei  achtfl.  Znsp.  der  Polecke : 

S(X) :  2'(X0  =  mn'  —m' :  («— «>i' 
bei  Tierfl.  Zusp.  der  Mittelecke: 
.    S(X) :  I(2Z)  =  m\n'—i)  :  («•'—«> 

2)  Combination  mPjt^'Poo; 
bei  vierfL  Zusp.  der  Polecke: 

2(jr):r(Jr)  =  mim-^m' 
bei  Zusch.  der  Mittelecke: 
S(X) :  2(2Z)  =  m'  :  m'—m 

3)  Combination  tsP.ocP//; 

S{X)i:S(2Z)  =  n'^iin' 

§.    736. 
KantenMgtaente  von  mPoo  in  ihren  Combb.  siit  den  Abrigen  Ge- 
stalten. 

Eben  so  ergeben  sich  aus  den  Resultaten  der  {f. 
733  und  731  folgende  Verhältnisse   für   die  Kanten- 
segmente der  Pyramide  mPoo  in  ihren  Combb.  mit  den 
übrigen  Gestalten : 
1)  Combination  «i P^o.si'Pii' ; 
bei  achtfl.  Zusp.  der  Polecke: 

S^Y):  -5(y0  =  (ji,_«,>'— «' :  («»_«>'  +  «' 
bei  vierfl.  Zusp.  der  Mittelecke: 
S(Y):S(2Z)  =  2m':(m'—mX  +  m' 


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Zeichnung  dtr  KrystaUformen.  Cap.  JJL    441 

2)  Combination  «iPoc.mT; 
bei  vierfl.  Zu^sp.  der  Polecke: 

bei  Zufiich.  der  Mittelecke: 
S(Y) :  S{2>Z)  =  2m' :  2m'~m 

3)  Combination  0iPcx>.(X)Pj»^; 

S(Y):S(2Z)  =  2:»'  +  l 

§.    736. 
Kantenaegmente  der  durch  DP  begräosten  Prinaeo. 

Wollen  wir  auf  gleiche  Weise  die  Kantenaegmente 
der  Prismen  ooPn,  ocP  and  ooPoo  bestimmen »  nm 
jede  mit  ihnen  combinirte  Pyramide  leicht  einzeich- 
nen zu  können,  so  müssen  wir  diese  Prismen  durch 
die  basische  Fläche  terminirt  voraussetzen. 

FürooPii.OP  findet  man  die  Lage  der  CK.  mitmTn'^ 
anmittelbar  ans  den  Coordinaten  x  der  Durchschnitts- 
puncte  (jr)  und  (jr)  der  Combination  mPm.m'Pn\  indem 
man  eine  dieser  Coordinaten  =  0  setzt.  Sind  näm- 
lich je  zwei  Flächen  von  m'Pn'^  auf  eine  normale  Sei- 
tenkante von  ooPii  aufgesetzt,  so  ist  n'  >  n;  setzt 
man  nun  für  den  Punct  (a;) 
^  =  0, 
so  folgt  ü  =  1 

nnd  die  Coordinate  a;  des  Durchschnittspunctes  in  der 
Kante  Y  erhält  den  Werth 

Sind  dagegen  je  zwei  Flächen  von  m^Pn^  auf  eine 
diagonale  Seitenkante  von  ooPn  gesetzt,  so  wird  it^  <  it ; 
setzt  man  nun  für  den  Punct  (jf) 
^  =  0 

so  folgt  k  ==  ^^^^^ 

und  setzt  man  diesen  Werth  von  k  in  die  Coordinate 


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442         Aiigeu>andte  KrystaUographie. 

s  des  Panctes  (^),   so  erhält  diese  Coprdinale   den 
Aosdruck 

Hieraus  ergeben  sich,  unter'  der  Voraussetzung, 
dass  man  die  horizontalen  Endkanten  der  Prismen 
(die  Seiten  ihres  Querschnittes  oder  der  Basis  OP) 
Jedenfalls  ganz  nimmt,  für  die  abwärts  zu  nehmen- 
den Segmente  in  den  Seitenkanten  X  oder  Y  folgende 
Grossen. 

Combinationen  des  Priilmas  ooPm; 

1)  Combination  ooPä,OP.«'Pii'; 

wenn  die  Flächen  der  Pyramide  auf  dto  normalen 
Seitenkanten  angesetzt  sind,  oder  wenn  n^'^»: 

^W  -  T'Cn  +  l)" 
wenn  die  Flächen  der  Pyramide  auf  die  diagonalen 
Seitenkanten  angesetzt  sind,  oder  wenn  n^^ni 

2)  Combination  (X>P»OP.«i'P; 

5-/  TTN m*a{n  —  1) 

^^~       »+1 

3)  Combination  ooPA.OP.mToo. 


^(X)  = 


n+l 

Combinationen  des  Prismas  ooP;    hierbei 
ist  zu  berücksichtigen,  dass  die  Endkante  =  2Z; 
1)  Combination  ooP.OP.mPii, 

3)  Combination  ooP.OP.mPcx), 

^{X)  =r  ma 

Combinationen    des   Prismas    ooPoo;     die 
Cndkante  ist  gleichfalls  =  27; 


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Zeichrmng  der  Krystaüformen.  Cap.IV,    443 
i)  Combination  ccPao.OP.i»Pji| 

j(r)=r  ^ 

2)  Combination  ocPoo.OP.mP, . 
^(F)  =  2ma 
Mittels  dieser  Resultate  wird  es  jedenfalls  leicht 
seyn,  die  Combinationskanten  irgend  einer  binären 
holoedrischen  Combination  richtig  einzutragen,  sobald 
wir  eine  der  beiden  Gestalten  projicirt  ist. 


Vierfes   Capitel. 

Von  der  Zeichnung  der  hexagonalen  Ge* 

stalten. 

A,     Axen  und  ei^fmche  G0$talimt. 
1)  Holoedrische  Geitalten. 

§.    737. 
Projecüon  des  Axensysteoies. 

Man  konnte  zwar  die  Projection  der  Axen  einer 
hexagonalen  Krystallreihe  auf  ^e  Projection  d^r  Axen 
desOktaäderft  gründen;  allein  es  scheint  vortheilhaf- 
ter^  eine  unabhängige  Projectionsmethode  zu  besitzen, 
in  welcher  sich  die  etwa  nöthigen  Veränderungen  der 
Elemente  unmittelbar  vornehmen  lassen,  ohne  erst 
auf  die  Projection  eines  andern  Axensystemes  Rück- 
sicht nehmen  zu  müssen.  Dazu  gelangt  man  leicht 
auf  folgende  Weise. 

Man  denke  zuvörderst  das  Axensystem  in  auf- 
rechter Stellung,  und  nenne  wie  bisher  die  Ebene 
durch  die  Hauptaxe  und  das  (unendlidi  entfernte) 
Auge  die  Gesichtsebene,  die  auf  der  Gesichtsebene 
rechtwinklige  Ebene  durch  die  Hauptaxe  die  Pro- 
jectionsebene,  und  die  durch  die  drei  Nebenaxen 


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444         Angewandte  KrystaUographie. 

gehende  Ebene  die  Horizontalebene.  Bringt  miui 
nun  das  Axensystem  in  die  Nprmalstellang,  und  das 
Ange  in  die  Horizontalebene,  so  kann  bei  dieser 
Wahl  der  Elemente  das  Bild  des  Axensystemes  nur 
sehr  ungünstig  ausfaUeUi  weil  die  Projectionen  zweier 
Nebenaxen  zusammenfallen,  während  die  Projection 
der  dritten  Nebenaxe  als  ein  Punct  erscheint.  Wir 
haben  daher  zuvörderst  durch  eine  Drehung  des  Axen- 
systemes ans  der  Normalstellung  eine  Absonderung 
der  Endpuncte  der  N^ebenaxen,  und  dann  durch 
eine  Elevation  des  Auges  über  die  Horizontalebene 
eine  Absonderung  der  Nebenaxen  selbst  im  Bilde 
zu  ])ewerkstelligen. 

ich  will  die  auf  den  Beobachter  zulanfende  Neben- 
axe mit  I,  die  links  gelegene  mit  H,  und  die  rechts 
gelegene  mit  III  bezeichnen.  Man  drehe  nun  das 
Axensystem  um  seine  Hauptaxe  so  lange  von  der  lin- 
ken nach  der  rechten,  bis  dem  in  der  Horizontalebene 
befindlichen  Auge  die  Projectionen  der  Axe  I  und  der 
Axe  n  in  dem  Verhältnisse  von  1  za  2  erscheinen. 
Dann  wird  auch  die  Projection  der  Axe  III  ==:  3,  und 
folglich  das  Verhältniss  der  Projectionen 
I:II:in  =  1:2:3 

Es  ist  nämlich  für  jeden  Declinationswinkel  8 
die  Projection  der  Axe  1  z=i  iini 
n  =  tin((Xf—8) 

m^$%H(w+s) 

Da  nun  allgemein 

#•»(60^  +  *)  =  iin{(^  —  *)  +  $in  S 
so  wird,  wenn  wir  S  so  gross  wählen,  dass  genau 

$in{W  —  i)  =  2smd 
nothwendig  aach 

tin(iSff  +  d)  ==  3tiHif 
Ans  diesen  Voraussetzungen  folgt  übrigens 
cotif  =  öj/J-,  and  $iHd  =&  |/y*g 
also    .      J  =r  19^  6'  24* 


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Zeichnung  der  Krystattß^men.  Ctsp.IV.    445 

Ifierdnrch  ist  die  Slellang  des  Axensjstemes  ge* 
gen  die  Projecü'onsebene  bestimmt. 

Wiewohl  aber  jetxt  im  Bilde  ^iö  sechs  Endponcte 
der  Nebenaxen  gesondert  hervortreten,  so  erscheinen 
doch  diese  Axen  selbst  noch  immer  in  der  Horizon- 
tallinie,  so  lange  das  Auge  in  der  Horizontalebene 
Terharrt.  Wir  müssen  daher,  nm  anch  die  Axen  im 
Bilde  gesondert  zu  erhalten  ^  dem  Auge  eine  Eleva- 
tion  ober  jener  Ebene  geben,  wodurch  dieEndpuncte 
der  Nebenaxen  eine  Abweichung  über  oder  nikter 
dm  Horizontallinie  erhalten.  Wie  gross  oder  wie 
klein  aber  auch  der  Elevationswinkel  e  des  Augea 
gewählt  werden  mag,  so  werden  sich  die  respectiven 
Abweichungen  der  Endpuncte  der  Nebenaxen  im  Bild^ 
jedenfalls  verhalten  wie  ihre  wirklichen  Abstände 
Ton  der  Projectionsebene;  es  sind  aber  diese  Abstände 
für  die  Nebenaxe    I  =  eo$S 

.    .     .    .     n  =  co9im'—s) 

.      .'       .      .     111  =  cM(60°  +  tf) 
Da  nun  auch  eo$i  =  F^l  —  tin^S    =  5/jV 
eo<60^  — J)  =  Vi  —  iiin^i=^  ^A 

cqmOqQP  +  S)  =  H—^iiH^i  =    ^4w 
so  erhält  man  das  Resultat,   dass  sich  im  Bilde  die 
Abweichungen  der  Endpuncte  der  Nebenaxen  unter, 
oder  über  die  Horizontdlinie  bei  jeder  Elevation  des 
Auges  verhalten 

Abw.I  :  Abw.n  :  Abw.ni  =  6:4:1 
Man  gebe  nun  dem  Auge  eine  solche  Elevation, 

dass  die  Abweichung  der  Halbaxe  I  =  —  ihrer  er- 
sten Projection/oder  dass 

eott  =  siangi  =s  5#/i 
Es   scheint  im  Allgemeinen  am  vortheilhaftesten, 
#  =s  2  zu  wählen,  wodurch  sich 


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446         jingewandte  KrystallograpTde. 

bestimint;  lüiiuiit  man  dagegen  t  =  |^,  so  wird 
€  =  ir  18,5' 

8.    738. 
Fortfetsung. 

Ajig  den  Bestmimangen  des  Torhergehenden  ).  er- 
giebt  sich  nnn  folgende  Regd  ffir  die  Projecdon  des 
hexagonaien  Axensystemes. 

Aufgabe.  Das  hexagonale  Axensjstem  fnr  die 
gegebene  Breite  2b  des  Bildes  and  anter  der  Yoraos« 
setzang  gleicher  Länge  der  Haaptaxe  mit  den  Neben- 
ax^n  zu  constrairen. 

A  n  f  1  o  8  u  n g.  Ziehe  zwei  sich  rechtwinklig  schnei- 
dende Linien  Fig.  808,  nnd  trage  in  die  eine,  als  Ho- 
rizontallinie, beiderseits  vom  Mittelponcte  M  aus  die 
Länge  MH  =  MR  =  b.  Theile  hierauf  die  HR  in 
sechs  gleiche  Theile,  und  lege  durch  ihreTheil-  und 
Endpuncte  die  Hülfsverticalen  1,  2,  3,  4,  5,  6.  In 
der  äassersten  Yerticale  rechter  Hand  nimm  abwärts 

von  R  die  Länge  i{iS  =  — &,  ziehe  die  SJU  und  ver- 
längere solche  über  JÜf,  so  ist  ihr  zwischen  den  bei- 
den Verticalen  3.  und  4  enthaltener  Theil  YV  die 
Projection  der  Nebenaxe  I. 

Durch  Y  ziehe  eine  Horizontale,  welche  die  Yer- 
ticale 1  in  T  schneidet;  diesen Punct  T  verbinde  mit 
dem  fünften  Theilpuncte  Q  der  Horizontale  durch  die 
TQy  welche  die  Yerticale  2  in  dem  Puncto  Z,  die 
Yerticale  4  in  dem  Puncto  P  schneidet.  Ziehe  die 
ZM  und  verlängere  sie  über  Mj  so  ist  ihr  zwischen 
den  beiden  Yerticalen  2  und  5  enthaltener  Theil  ZZ^ 
die  Projection  der  Nebenaxe  II. 

Durch  P  lege  eine  Horizontale,  welche  die  Yerti- 
cale 6  in  (7  schneidet,  ziehe  die  UM  und  verlängere 
sie  über  3/,  so  ist  ihr  zwischen  den  beiden  Yertica- 


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Zeichnung  der  KryBtaUf armen.  Cap.IV.   441 

len  1  und  6  enthaltener  Theil    XJV  die  Projection 
der  Nebenaxe  III. 

Um  endlich  die  Hanptaxe,  unter  der  Yorans- 
setxung  gleicher  Grösse  mit  jeder  der  Nebenaxen^  zu 
oonstmiren,  bedenke  man,  dass 

J!f27=  coKSCr  —  J)  oder  =  #101(60**  +  S) 
Konnte  man  also  in  der  Yerticale  1   von  fl  ans 
eine  Linie  WY  constmiren ,  so  dass  . 

JTF  =  «»(30**  —  S)  oder  =  coi(60**  +  S) 
so  wäre  MV  die  gesuchte  Länge  der  halben  Hanpt- 
axe.   Nan  ist  aber  ^ 

tiniSXf  +  S)  :  co^ÖO*^  +  <J)  =  3|/3  : 1 

=  3 :  tangW 

Man  constniire  also  über  der  oberen  Hälfte  der 
Verticale  2  von  N  aus  mit  einer  beliebigen  Länge 
Nh  ein  gleichseitiges  Dreieck,  dessen  eine  von  N 
auslaufende  Seite  die  Yerticale  1  in  dem  Puncto  F 
schneidet,  so  ist  HF  der  gesuchte  Sinus;  denn  für 
HiV  =  1  ist  ISLIf  =  3,  und  HV  =  j4  =  tang3(f. 
Macht  man  also  MX  =  MX'  =  ÜÜF,  so  istXi:'  die 
Projection  der  Hauptaxe. 

Anmerkung.  Wählt  man  $  =  f/S,  so  verein- 
facht sich  die  Construction ,  und  die  Basis  YZU  er- 
scheint etwas  V(reniger  verkürzt.  Nachdem  .nämlich 
die  HB  in  sechs  Theile  getheilt,  und  die  Hülfsverti- 
calen  gezogen  worden,  beschreibt  man  über  der  un- 
teren Hälfte  der  mittelsten  Yerticale  von  M  aus  mit 
einer  beliebigen  Länge  ein  gleichseitiges  Dreieck, 
dessen  eine  von  M  auslaufende  Seite  die  Yerticale 
4  schneidet,  und  so  den  Ponct  Y  der  Nebenaxe  I 
bestimmt.  Die  Construction  der  beiden  andern  Ne- 
benaxen  geschieht  wie  vorher;  der  zur  Bestimmung 
der  Hauptaxe  erforderliche  Punct  V  aber  findet  sich, 
indem  man  durch  jPf  eine  Parallele  dec  FF"  legt. 


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448         'Angeutandte  KryftaUograpMe. 

«.  739. 
Zdchnukig  der  Grandgestalt  P  einer  hexagonalea  KrystaUreibe. 
So  wie  jetzt  koiinen  die  vier  Axen  XJCj  YV^ 
XZ'  und  UV'  nur  dann  im  Bilde  Erscheinen,  wens 
sie  in  der  Wirklichkeit  einander  alle  gleich  sind;  da 
nnn  aber  diese  Gleichheit  nur  für  die  drei  Nebenaxen 
gilt,  w&hrend  ü^  Hanptoxe  einer  gegebenen  Grand- 
gestalt P  zu  den  Nebenaxen  derselben  in  dem  Ver- 
hältnisse =  11:1  steht,  so  darf  man  nnr  den  Neben- 
axen ihre  im  Bilde  erscheinende  Grosse  lassen,  der 
halbej^  Hanptaxe  dagegen  die  Grösse  3tA  ertheilen, 
wie  solche  durch  die  Proportion 

l:a  =  MXiMA 
bestimmt  wird,  um  in  der  Linie  AA^  die  wirkliehe 
Länge  der  Hauptaxe  der  verlangten  Grandgestalt  P 
darzustellen. 

Hierauf  verbindet  man  die  Endpuncte  der  Neben- 
axen mit  einander,  so  wie  mit  den  Polen  der  Haupt- 
axe durch  gerade  Linien,  und  die  Projection  der 
Grundgestalt  P  ist  vollendet. 

Da  man  für  die  Construction  der  dihexagonalen 
und  anderer  Gestalten  die  Zwischenaxen  der  Grund- 
gestalt n5thig  hat,  so  sind  dieselben  in  die  Basis 
einzuzeichnen.  Zu  dem  Ende  lege  man  durch  Jf  drei 
Parallelen  mit  den  Linien  durch  Y  und  U^  ll  und  Z\ 
Z*  und  y,  welche  ihrer  Lage  nach  die  Zwischenaxen 
allgemein,  und,  ihrer  Grösse  nach,  wie  sich  solche 
durch  die  Durchschnittspuncte  mit  den^Seiten  der  Ba- 
sis bestimmt,  die  Zwischenaxen  von  P  insbesondere 
darstellen. 

§.    740. 
ZelcknuDg  der  Pyramiden  »iP,  st?»  und-mP^. 

Nachdem  die  Grundgestalt  gezeichnet  worden,  ist  die 
Construction  irgend  einer  andern  holoedrischen  Gestalt 
derselben  Krystallreihe  eine  sehr  einfädle  Aufgabe. 


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Zeichnung  der  Krystallformen.  Cap.IF.    449 

Für  eine  Pyramide  «fP  der  Hanptreilie  vervielföl« 
tigt  man  die  HaopCaxe  Ton  P  nach  dem  Co^flicien- 
ten  jw,  und  erhält  so  swei  neue  Endponcte  derselben, 
welche  ndt  den  Eckpancten  der  Basis  von  P  verbun- 
den werden  müssen,  um  das  Bild  von  mP  zu  erhalten.' 

Soll  eine  dihexagonale  Pyramide  mPn  construirt 
werden,  so  hat  man  zuvörderst  jede  halbe  Zwischen- 
axe  der  Grandgestalt,  so  wie  sie  im  Bilde  erscheint, 

um     ~^   ihrer  selbst  zu  verlängern,   wodurch  die 

»  + 1  o       ^  , 

diagonalen  Mitteleckpuncte  von  «Pn  bestimmt  werden. 
Diese  Puncto  verbindet  man  mit  den  Endputicten  der 
NebenaXen ,  und  erhält  so  die  Projection  der  dihexa- 
gonalen  Basis  aller  nach  dem  CoSfißcienten  n  abge- 
leiteten Gestalten.  Endlich  bestimmt  man  die  Länge 
der  Hauptaxe,  wie  vorher,  und  vollendet  die  Con« 
stmction  der  Gestalt. 

Für  «tP2  verlängert  man  jede  halbe  Zwischenaxe 
um  k  ihrer  selbst  (oder  legt  auch  durch  die  Endpuncte 
jeder  Nebenaxe  zwei  Parallelen  mit  derjenigen  Zwi« 
sckenaxe,  welche  auf  ihr  rechtwinklig  ist)  und  er« 
hält  so  die*  Basifi  aller  Gestalten  der  Nebenreihe,  be-» 
stimmt  hierauf  die  Hauptaxe,  und  vollendet  die  Con« 
strttction. 

2.    Hemiedrisclie  Crettaltem 

i    741* 

2eiciindtig  ^er  fthombo^ejf^  etsUs  Ver&hi^fi. 

6ei  der  Construction  der  Rhomboäder  und  Skale-* 

ttoSder  als  hemi^drischer   Gestalten    kann  man  von 

Kwei  verschiedenen  Gesichtspüncten   ausgehen;    ent-^ 

Weder  will  man  diese  Gestalten  iii  ihtem  Wahren  Stel-* 

längs  -  und  Gifdssenverhältnisse  zd  den  resp.  Mutter- 

gestalteu)  oder  man  will  sie  ausser  Beziehung  zu  die-' 

seil  letzteren  darstellen.   Im  ersteren  Falle  muss  die-^ 

selbe  Projection  des  Axensystemes  zu  Grunde  gelegt 

IL  29 


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450         Angewandte  Kry^tallogrc^hie. 

werden,  wie  far  die  holoedrischen  Gestalten;  ha  zwei- 
ten Falle  kann  man  sich  einer  etwas  corapendidsefOB 
Methode  bedienen,  welche  znmal  unter  einer  gewis- 
sen Yoraassetznng  sehr  schnell  sam  Ziele  gelange« 
iässt.  Da  es  Tortheilhaft  ist,  das  in  beiden  Fällen 
Bdthige  Verfahren  zn  kennen,  so  wollen  wir  uns  zu- 
nächst mit  demjenigen  Verfahren  beschäftigen,  wel- 
ches befolgt  werden  muss,  wenn  die  RhomboSder  und 
SkalenoSder  in  ihrem  richtigen  Verhältnisse  zn  ibren 
resp.  Muttergestalten  (z.  B«  auf  derselben  Tafel  ne- 
ben denselben)  dargestellt  werden  sollen. 

siP 

Aufgabe.    Das  BhomboSder -^  oder  «tu  zu  con- 

struiren. 

Man  beschreibe  nach  der  zu  Ende  des  yorherge- 
faenden  §.  angegebenen  Regel  .die  Basis  der  Crestalten 
der  Nebenreihe ;  es  sey  dies  E.  ,.Ey  Fig.  809.  Duroh 
die  sechs  Eckpuncte  JS  derselben  lege  man  Vertica- 
len  (Parallelen  der  Hauptaxe) ,  nehme  hierauf  in  der 
Hanptaxe  beiderseits  von  M  aus  die  Länge  ma  =s 
3iÄ  3s  MA\  in  jeder  der  Verticalen  aber  beiderseit» 
Ten  E  aus  die  Länge  ^ma  =  EF=  EF'y  so  sind  die 
mr  Construction  des  RhomboMei*8  mR  erford^rlichei^ 
Puncte  gefunden.  Je  nachdem  das  Bhomboedet  in  der 
einen  oder  in  der  andern  Stellung,  als  mR  oder  als 
—  mR  gezeichnet  werden  soU,  verbindet  man  entwe- 
der die  sechs  Puncte  F,  oder  die  sechs  Puncte  F^  un- 
ter einander  und  mit  den  Pnncten  A  und  A^  durch 
gerade  Linien^  und  erhält  dadurch  das  verlangte  Bild. 

8-    742. 

Zeichnung  der  Rhomboßder;   zweites  VeiiiJireo. 

Will  man  die  Bhoraboäder  und  SkalenoCdcfr  aus*, 
s  e  r  ihrem  Verhältnisse  zu  den  holoedrischen  Gestal- 
ten darstellen,  wie  dies  bei  den  gewöhnlichen  Zeich« 
nungen  der  Krjstallformen  einer  rhombo^drischen  Krj* 


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Zeichnung  der  krystallforinen.  Cap.  IV.    451 

stallreihe  gestattet  ist,  so  kann  man  kürzer  zum  Ziele 
gelangen,  indem  man  die  Linien  Fy,  ZZ\  UV  in 
Fig.  808  ak  die  Zwischenax^n  der  Pyramiden  der  Xe- 
benrejhe,  nhd  daher  die  Figur  YZUTPU'  als  die 
hexagonale  Basii^  dieser  Pyramiden  beürachtet.  Diese* 
Ansicht  setzt  freilieh  einen  andera  Declinationswin- 
kel  des  Axensystemes  und  ein  anderes  YerhältniSi^ 
der  Dimensionen  voraus,  erleichtert  aber  die  Con- 
struction  bedeutend.  Der  Declinaüonswinkel  wird 
nämlich 

i  =  10*  53'  36^ 

und  setzt  eine  Drehung  von  rechts  nach  links  vor- 
aus, d.  h.  die  der  Gesichtsebene  am  nllchsteh  liegende 
Nebenaxe  befindet  sich'  jetzt  linkei^  Hand,  während  sie 
sich  der  Constrticf ion  des  §.  738  zufolge  rechter  Hart(f 
Tou  der  Gesichtsebene  befand.  Ferner  sind  die  Li* 
nien  MT^  JftZ,  JUU  jettt  nicht  mehr  =  1,  sondern 
=  )/49  und  folglich  die  halbe  Haup^ax^  ßlX  ebenfalls 
s=  |/4.  Da '  wir  liun  die  /halbe  Hä^^taxe  für  un^rö 
Constructioneh  in  derjenigen  Grösse  zu  Grunde  legen 
ifaQssen,  welche  der  Einheit  entspricht,  üo  haben  wif 
sie  auf  diesen  Werth  zu  rednciren;  dieif  geschieht 
leicht,  indeni  man  Ober  der  MX  ein  gleicfiseiti^es 
Dreieck  beschreibt,  und  in  selbigem  die  Höhenlhile 
aus  M  zieht;  sie  sey  MG,  so  ist  MG  die  auf  den 
Werth  =  1  redncirte  halbe  Hauptaxe,  welche  den 
ferneren  Constructionen  zu  Grunde  liegt 

Soll  nun  ein  llhombo^der  mR  constriiirt   werden, 
so  sucht  man  in  der  Proportion 

iima  =  iMGiMA 
die  vierte  Pro|roitionale,  trägt  selbfgtf  hl  die  MX  bei«^ 
derseits  von  M  aus  ein,  nimmt  darauf  in  jedei^  der 
Verticalen  1,  2,  3,  4,  5  und  6  die  Länge  \MA  von 
den  Puncten  K,  21  und  U  aus  auf-  und  abwäWi^V  ^^^ 
erhält  auf  diese  Art  alle  zu¥  Constitactlon'  des  Rhon^« 
bMd^rs  Mit  IH  beideii  SfeUfingen  erföl'derÜlchdii  j^diicte. 

29* 


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452         Angewandte  Krystallographie. 
§.    743. 

Zeichnong  der  Rhomboeder;  drittes  Verfifthren. 

Weil  die  Mittelkanten  der  RhomboSder  und  Ska- 
leno§der  nicht  in  die  Ebene  der  Basis  von  P  fallen, 
und  folglich  im  Bilde  abgesondert  hervortreten,  wenn 
sich  auch  das  Auge  in  dieser  Ebene  befii^et,  oder 
wenn  €  =  0,  so  lässt  sich  die  Construction  des  ror- 
h^rgehenden  §.  unter  dieser  Voraussetsnng  bedeutend 
.vereinfachen,  wie  folgt.' 

Aufgabe.  Das  RhomboSder  mR  für  €  =  0,  d  = 
lO""  53'  36"  und  die  gegebene  Breite  2b  des  Bildes  su 
constniiren. 

Man  ziehe  eine  Horizontallinie  HB,  Fig.  810,  ma- 
che sie  =2&,  und  theile  sie  in  sechs  gleiche  Theile; 
durch  die  Theil  •-  und  Endpuncte  lege  man  Verticalen, 
und  beschreibe  aus  dem  Th^ilpuncte  P  mit  PH  einen 
Bogen,  welcher  die  zweite  Verticale  in  Q  schneidet. 
Man  nehme  nun  in  der  mittelsten  Verticale  MX  = 
MX'  =  MQy  so  ist  JTJT  die  Hauptaxe  fBr  a  =  1. 

Dies  ist  laicht  zu  beweisen.  Die  Linie  MH  ist 
nämlich  die  orthographische  Projection  einer  halben 
Zwischenaxe  der  Basis  der  Nebenreihe,  welche  ge- 
gen die  Projectionsfläche  unter  10^  53^ 36' geneigt  ist; 
also 

MB  =  ytyn  =  sy^  =  st 

daher  auch 

'      JSTT  =  |/f ,  J!fT  =  |4 
und,  wegen  des  aus  P  mit  PH  =s  PS  beschriebenen 
Bogens, 

QT  =  ^HTxST  =  |/f 
Da  nun 

UMQ  =  UMT  +  nQT 
so  ist 

jf a  =  1 

Diese  einfache  Construction  ist  nun  die  Grundlage 
Cor  alle  ferneren  Zeichnungen. 

Soll  nämlich  ein  Rhomboi^det  siiB  gezeichnet  wer- 


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Zeichnung  der  Krystallformen.  Caf.IV.,  453 

den,  so  ist  dessen  halbe  Haaptaxe  =i»a;  man  mache 
also  MA  =  maXMX^=^MA^y  so  sind  A  und  A^  die 
Poleckpnncte  von  mR.  Weil  nnn  die  Mittelecke  um 
\ma  fiber  oder  unter  der  Ebene  der  Bksis  liegen,  so 
nehme  man  in  Fig.  812  MN  =  MIT  =  iMA^  und 
siehe  darchiV  nndiV  zweiHorisontalen;  ihreDurch- 
schnittspuncte  E  mit  den  sechs  äusseren  Yerticalen 
werden  die  Mitteleckpuncte  von  m/t.  Je  nachdem  man 
nun  das  Rhombo^der  in  der  einen  oder  andern  Stel- 
lungy  als  mB  oder  als  —  mR  darstellen  will,  Terbin- 
det  man  die  sechs  Puncto  E  oder  die  sechs  Puncto 
E^  mit  einander  und  mit  den  Pnncten  A  und  A^  durc^ 
gerade  Linien,  wie  es  der  Verlauf  des  Kantennetzes 
vorschreibt,  und  die  Construction  von  mR  ist  vollendet. 
Anmerkung.  Man  kann  sich  auch  bei  der  Con- 
struction der  Rhomboßder  nach  der  Regel  des  vor« 
hergehenden  §.  derselben  Methode  sur  Auffindung  der 
Hauptaxe  a  =?  1  bedienen  wie  in  gegenwärtigem  § , 
und  braucht  dann  nicht  erst  den  Punct  V  su  bestimmen. 

|.    744. 

Zrichming  der  Skaloosider  mlP*. 

Die  Construction  der  Skaleno^der   ist  Jedenfalls 
auf  ihre  secundäre  Bezeichnung  zu  gründen,   daher 

man    die  etwa  gegebenen  primitiven  Zeichen  — - — 

zuvörderst  auf  ihre  secundären  Zeichen  nach  der 
Gleichung 

2  n 

zu  reduciren  hat.  Die  Construction  selbst  ist  dann 
sehr  leicht  zu  bewerkstelligen.  Man  bestimmt  näm« 
lieh  die  Eckpnncte  des  eingeschriebenen  RhomboSders 
mR  nach  einer  der  drei  angegebenen  Regeln  (je  nach- 
dem die  eine  oder  die  andere  der,  diese  Regeln  bedin-- 


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454         Angewandte  KrystaUographie. 

g^ndj^n  YpraassetzaBgea  gehen  ifoll),  vervielfacht  di^ 
PfiapUxe  des  Rbombo§ders  nach  dem  CoSfficienten  «, 
god  f^rbilt  po  die  Poleckponcte  des  Sk^lenoSders,  yrfA- 
^\ie  ndit  den  Mitf eleckpuncten  des  flhomboMers,  §o  ^i^ 
4iepe  letzteren  mit  einander  durch  gerade  Linien  ver- 
hupd^n  werden  fnussen,  um  das  verlangte  Bild  von 
ip/i"  darzustellen. 

f.    745. 
Zeichiran^  der  hexa^nalen  Pyramiden  der  dritten  Art. 

U|u  eine  hexagonale  Pyramide  von  abnormer  Flä- 
chenstellung, — '-—  oder  y-:7-?  «^  xeichnen,  ent- 
wirft man  zuvörderst  nach  der  in  §•  '740  angegebenen 
Regel  die  dihexagonale  Basis  der  Pyramide  mPii,  ver- 
längert hierauf  die  abwechselnden  Seiten  derselben 
bis  zu  ihren  gegenseitigen  Durchschnitten,  und  er- 
hielt so  die  hexagonale  Basis  der  verlangten  Pyramide. 
Endlich  bestimint  mau  die  Pole  der  Hauptaxe,  ver^ 
bindet  selbige  mit  den  Eckpuncten  der  Basis,  und  die 
Construction  ist  vollendet. 

Zeichnung  der  hexagonalen  Trapczoeder. 
Da  die  Polkanten  der  oberen  oder  unteren  Hälfte 

der  hexagonalen  Trapezoßder  r-^  oder  ^^  ^i®" 
selbe  Lage  haben ,  wie  d^e  Polkanten  der  gleichnami- 
gen Hälfte  der  hexagonalen  Pyramiden  -j  —^  oder 

— ,  so  beginnt  man  die  Construction  der  Trape- 

fcoader  damit,  di^  obere  Hälfte  einer  von  diesen  Py- 
ramiden nach  der  so  eben  angegebenen  Begel  zu 
entwerfen,  indem  man  sich  zugleich  diejenigen  Puncle 
B  ^hreir  Mittelkanten  bemerkt,  in  welchen  die3elhen 
von  den  Nebeoaxen  geschnitten  werden ;  Fig.  811. 


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Zekhmng  d0r  KrystaUfonnen.  Cap.IK   45^ 

Da  mm  der  Abstand  der  Mittelecke  de«  Trapeset^ 
4er8  voD  der  Ebene  der  Basis  nach  |.  352 

«11(11  ~i)C>-») 

so  nehme  man  in  der  oberen  Hälfte  MA  der  Hgnptp 
axe  vom  Mittelpuncte  M  aus 

n{n  +  1) 
und  lege  durch  den  Punct  D  drei,  mit  den  Diagona« 
len  der  Basis  parallele  Linien,  welche  mit  den  Pol* 
kanten  der  Pyramide  zom  Darchsohniete  kommen,  nnd 
so  die  sechs  oberen  Mitteleekpnncte  E  des  Trapezo€» 
ders  bestimmen.  Jeden  dieser  Pancte  E  verbindet 
man  nun  durch  eine  gerade  Linie  mit  dem  zunächst 
liegenden  Puncto  J3,  verlängert  selbige  über  B^  und 
nacht  die  Verlängerung  BhV  =  BE^  so  bestimmen 
sich  die  sechs  unteren  Mitteleekpuncte  E'^  worauf 
denn  leicht  die  noch  fehlenden  diagonalen  Mittelkan<p 
ten ,  so  wie  die  unteren  Polkanten  des  Trapesoßdeni 
gezeichnet  werden  können. 

B)   TeturtoSdriscbe  Gestalten. 

f.     747. 
Zeichniui((  der  Rhomboeder  ron  abnonner  Fläcbenstellung. 

Um  ein  tetartoSdrisches  Rhombo^der  — -—  zu  zeich« 

nen ,  construirt  man  zuvörderst  die  Basis  der  diiiexa- 
gonalen  Pyrajnide  mVn  nach  der  Regel  des  §.  740,  ver- 
längert drei  abwechselnde  Seiten  derselben,  bis  sie 
zum  Durchschnitte  kommen ,  und  verbindet  die  drei 
Dnrchschnittspuncte  mit  dem  oberen  Pole  der  Haupt- 
axe  von  mP.  Die  Verbindungslinien  sind  der  Lage 
nach  die  oberen  Polkanten  des  verlangten. Rhombo€- 
ders*  Um  dieselben  auch  ihrer  Grösse  nach  zu  be- 
stimmen ,  braucht  man  nur  jede  Verbindungslinie  in 
drei  gleiche  Theile  zu  tbeilen;    der  unterste  Theil- 


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456         jingeuHindie  KrystaOographie. 

pnnet  einer  jeden  bt  einer  der  Mitteleekpnnete  des 
RhomboMers,  dessen  Constraction  dadnreh  ToUendet 
wird  9  dass  man  dorch  jeden  der  gefdndenen  Mittel- 
eckponcte  und  doreh  den  unteren  Pol  von  siP  Pand* 
lelen  mit  sweien  der  obereren  Polkanten  legf. 

i    748, 
ZdchDimf  der  RlKMBbo€4er  ▼oa  diagonaler  FttcbeaaCeliiiiig. 

siP2 
Um  ein  RhomboSder  —jr-  su  constmiren,  xeiclinet 

man  erst  die  Basis  der  Gestalten  der  Nebenreihe,  ver- 
Iftngert  ihre  abwecliselnden  Seiten  bis  za  ihren  ge^ 
genseitigenDorcliscIinitten,  und  verbindet  dieDdrcb-' 
schnittspunote  mit  dem  oberen  Pole  der  Hauptaxe 
2muy  so  sind  die  oberen  Polkanten  des  verlangten 
RhomboSders  ihrer  Lage  nach  gefanden.  Die  Be-i 
Stimmung  ihrer  Grösse,  so  wie  die  weitere  Ausfuhrt 
mng  der  Constructioni  ist  ganz  dieselbe  wie  im  vor<i 
hergehenden  f. 

f.    749. 

^Ichnang  der  trigonalen  Pynuniden, 

siP2 
Die  Construction  einer  trigonalen  Pyramide  -^ 

Ist  tehr  leicht;  man  seichnet  nämlich  die  hexagonale 
Basis  der  Nebenreihe,  verlängert  die  nbwechselnden 
Seiten  derselben  bis  zu  ihren  gegenseitigen  Durch- 
schnitten, und  verbindet  die  Durchschbittspunete  mit 
4en  Polen  der  Hauptaxe. 

f.    750, 
SeicIuiQBg  der  trigonalen  Trapeioöder. 

Die  Projection  der  trigonalen  Trapespßder  r— r- 

jnPn 

oder  I    .-  lässt  sich  auf  verschiedene  Art  ansfubreii. 
4 

1)  Man  kann  dabei  die,  für  die  Rhombo6der  von 

nbnormer  Flächenstellung  gebrauchte  Construction  su 


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Zeichnung  der  Krystattjormen.  Cap.  IV.    457 

Grunde  legen,  indem  man,  nachdem  die  oberen  Pol- 
kanten derselben  ihrer  Lage  nach  bestiiqjnt  worden, 
in  der  oberen  Hälfte  der  Hanptaxe  vom  Mittelpnncte 
ans  den  aliquoten  Theil 

(2i>-i)(2-ii) 
SU 
nimmt  ({.  360)  nnd  durch  den  so  bestimmten  Punct 
der  Hauptiixe  Parallelen  mit  den  Höhenlinien  der  tri- 
gonalen  Basis  legt,  welche  mit  jenen  Polkantenlinien 
xmn  Durchschnitte  kommen,  und  die  drei  oberen  Mittel- 
eckpuncte  des  TrapezoSders  bestimmen.  Von  jedem 
dieser  drei  PuQcte  zieht  man  eilie  Iiini^  nach  'dem 
zunächst  gelegenen  von  denjenigen  drei  Endpuncten 
der  Nebenaxen,  welche  in  den  Seiten  der  trigonalen 
Basis  liegen,*  verlängert  die  gezogenen  Linien,  und 
^macht  ihre  resp.  Verlängerungen  ihnen  selbst  gleich, 
so  bestimmen  sich  die  drei  unteren  Mitteleckpuncte 
des  TrapesoSders,  worauf  die  Construction  leicht  zu 
vollenden  ist 

2)  Hat  man  schon  vorher  das  entsprechende  hexi^- 

gonale  T^apezoSder  r— ^  oder  ^^-~  gezeichnet,   so 

Icann  man  dessen  Bild  benutzen,  iim  das  Bild  des  .tri- 
gonalen Trapezoäders  zu  finden.  Vergleicht  man  näm- 
lich die  in  §.  353  und  §.  361  gefundenen  Werthe  der 
normalen  Mittelkanten  beider  Gestalten,  so  findet 
man ,  dai^s  die  Mittelkanten  der  trigonalen  ein  Multi- 
ploni  der  Mittelkanten  der  hexagonalen  TrapezoSder 
naqh  dem  Co^fficienten 

(2i»-1)(i»4-l) 

3(11-1) 

sind.     Man   hat  daher  nur  jede   der   abwechselnden 

normalen  Mittelkanten  des  hexagonalen  Trapezo^ders 

zu  verlängern,  die  Verlängerung  beiderseits 


^«+»-^J 


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458        Angewandt^  AryataUographi^ 

jhrfr  telbsl  xa  macbeiif  so  sind  die  Mitteleckpniictt 

.4m  Tfftlp^oi^ders  gefundeo. 

3)  Endlich  kann  man  anch  die  Conitmctien  anf  dk 

mPa 
der  hexagonalen  SkalenoSder  -^  gründen,    da  die 

ittPii 
Mittelkante  Z  jedes  trigonalen  Trapezo§der8  -^  ein 

mPa 
Mnltiplum  der  Mittelkante  des  SkalenoSders  —^  nach 

dem  Coäf&cienten  2h  —  1  ist »  wie  sich  aas  der  Yer- 
gleichmig  ihrer  in  {.  33S  und  §.  361  stebendeii  Werthe 

«iPjh 
ergiebt.  Hat  man  also  das  SkalenoSder  -^  gezeich- 
net, so  darf  man  nnr  seine  drei  abwechselnden  Mit- 
pikanten  beiderseits  verlängern,  und  jede  ihrer  resp. 
Verlängerungen  =  »  —  i  von  ihnen  selbst  machen, 
so  sind  die  MitteleckpuQcte  des  Trapezoäders,  und 
folglich  alle  Puncte  gefanden,  die  zur  Construction 
der  Gestalt  erfordert  werden. 

Diese  letztere  Methode  wird  in  den  meisten  Fäl- 
len den  andern  vorzuziehen  seyn,  weil  sie  eine  leichte 
und  sehr  genaue  Losung  der  Aufgabe  gewährt. 

B,     Comhinationen. 
1)  Ksat^nt0f«0ats  der  holaddrischen  Gtstaltea. 

f.    751. 

Kantensegmente  der  hexagoualea  Pyramide  stP. 

Da  die  dihexagonalen  Pyramiden  jedenfalls  als  un- 
tergeordnete Gestalten  in  den  Combinationen  auftre- 
ten, so  wollen  wir  die  Verhältnisse  der  Kantenseg- 
mente nur  für  die  Gestalten  der  Haupt-  und  Neben- 
reihe aufsuchen.     Wenn 

^  +  y  +   Z  =  l 

ma        ^ 


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Zeichnurfg  4er  Krys(ql{fQrßfyfn*  Cqp,  IV.    4^ 

die  Gleichung  einer  Fläche  F  der  h^xagena)ea  P|nra- 
mide  mP,  so  sind 

^  +  z  =  1,   und  y  =  0 
ffla 

U  «  =  1 ,   und  z  =5=  0 

die  Gleichungen  ihrer  Polkanten  X  und  X%  und 

^  =  0,   y  +  z  =  1 
die  Gleichungen  ihrer  Mittelkante  Z. 
Es  sejr  nun 

4-  +  y,  +  ^  =  * 

die  Gleichung  der  Fläche  irgend  einer  mit  ftP  cmIt 
binirten  Gestalt  m'9n\  Coinbinirt  niaii  diese  Glei- 
chnng  mit  denen  von  JT,  X^  und  ^,  jpa  findet  man 
die  Coordinaten  der  Durchschnittspuncte  (or),  (^0  ^^^ 
(z),  und  aus  diesen  mitteis  der  bekannten  Cooirdina- 
ten  des  PoleckpuQPtes  upd  der  iMUtteiepkpuDcte  von  F 
die  Segmente  ihrer  drei  Kanten.  Vergleicht  man  end- 
lich je  zwei  an  demselben  Ecikpuncte  gelegenen  Seg- 
jpeQte  wil  einander,  so  erh^t  m^m  für  die  rersobie«- 
denen  Combinationen  der  Gestalt  isiP,  wenp  jihrf 
halbe  Mittelkante  ==  Z  ^es^txt  wird,  fol- 
gende Resultate. 

1)  Comblnation  i»P.«^T»'; 
bei  Bwdlfii.  Zusp.  der  Poleoke : 

-5(jr):  J(jr)  =  (mi^ —vr^X\n\m—m')X 
bei  Tinrfi.  Zusp.  der  Mittelecke: 

J(  JT) :  ^{Z)  =  m\n'  —  \)X :  2ii'(fli'— «i)Z 

2)  Combination  i»P.mT2; 

bei  sechsfl.  Zusp.  der  Polecke: 

:^(X)\2{X')  =  {:im—m')Xv2{m—m')X 

bei  Zusch.  der  Mittelecke: 

^{X) :  2{Z)  =  w'^:  ^{m'—m)Z 

3)  Combination  imP.cxPä'; 

iCX ) :  J(Z)  =  (i|'  ~  X\X :  2»'Z. 


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460        Angewandte  KryttaUografhie, 
4)  Combiaation  mP.9oP2; 

i    752. 
¥airfiiMff  <■>»  der  iMzagoMka  Pyiaaide  mP2. 

Wenn  di«  Gleicbong  einer  Fliehe  F  der  Pjra- 
■ide  aiPa 

—  +  4  +  «  =  1 
aia   '    2    ' 

isty  so  folgen  nu  der  Combination  dieser  Gleichung 

mit  den  Gleichungen  der  beiden  diagonalen  Hanpt« 

schnitte  (f.  319)  die  Gleichungen  ihrer  Polkanten  Y 

and  Vi 

£  +  1^1,   5r-z^0 

während  die  GlMchnngen  der  Mhtelkante 

sind.    Mit  dieeen  Gleichungen  der  drei  Kantenlinien 
iftt  nnn  die  Gleiohnng 

der  FlSche  Ft  sa  eombuüren,  nm  die  Coordinaten  der 
Dnrchschnittfpnncte  nnd,  ndttels  dieser  letzteren,  die 
Kantentegmente  Ton  mP2  in  seinen  Combinatienen  mit 
mTh^  xn  bestimmen.  Führt  man  diese  Rechnungen 
durch,  und  vergleicht  dann  je  zwei  an  demselben  Eck- 
puncte  gelegene  Segmente  mit  einander,  so  erhält 
man,  wenn  die  halbe  Mittekante  =  Z,  folgende 
Verhältnisse  der  Kantensegmente  von  siP2  in  Seinen 
verschiedenen  Combinati<men : 
1)  Combination  «iP2.«iTji^ 

bei  zwöUH.  Zusp.  der  Polecke: 

S{  Y) :  2{  T)  =s  3sw»'— 2si'(2»'— J) :  3»»'— 2si'(ii'+l) 


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Zeichnung  der  KryataUformen.  Cap.IF.    401 

bei  vierfl.  Zusp.  der  Mittelecke: 
2(F) :  2{Z)  =  «•'(2— »0 :  2m\n'+  i)—^m^ 

2)  Combioation  «iP2.«i'P; 

bei  sechsfL  Zusp.  der  Polecke: 
S{Y)i2{V)  =  3«i— 2«i':3«i— 4m' 

bei  Zosch.  der  Mittelecke: 
2{Y) :  2{X)  =  «•' :  im'—^m 

3)  CombinatioD  mP2.ooPi»^ 

S{Y)i2{Z)  =  2— ii':2(ii'+l) 

4)  Combination  MP2.acP; 

:f(F):2(Z)  =  1:4 

f.    7ö3, 
Kaotemegmente  der  Prisnea  ooPit,  ooP  und  ocPi. 

Wir  denken  diese  Prismen  dorch  die  basische  Flä- 
che terminirt,  und  setsen  in  dem  Prisma  ocPn  die 
Mittelkante  =  Z,  so  werden  die  in  den  Kanten  Y 
oder  X  von  der  Basis  abwärts  zu  nehmenden  Seg- 
mente folgende: 

1)  Combination  ooPii.«iTi»' 

wenn  die  Flächen  Ton  m'Vn'  auf  die  diagonalen  Sei- 
tenkanten gesetzt  sind,  ode^  wenn  n^ <C.n\ 

wenn  die  Flächen  von  mTh'  anf  die  normalen  Sei- 
tenkanten gesetzt  sind 9  oder  wenn  ft'^n; 

2)  Combination  ocPn.üT 

2(F):J(Z)  =  '^!ZI^:Z 

3)  Combination  ooPii.m'P2 

3(JD:J(Z)  =  ^^=^:Z 
Setzen  wir  in  den  Prismen  ooP  «nd  ocP2  die  halbe 


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462^         Angeivandt^  Krysiallographie. 

Seite  ihrer  Basis  =  ^,  so  erhalten  wir  folgende  i(e- 
snltate  für  ocP: 

1)  Combination  ooP.mPii, 

2)  Combination  ooP.mP2, 

2{X) :  ^Z)  :=imäiZ 
und  endlich  für  die  Cbmbinationen  von  (>^P2: 
i)  Combinatioh  otV2.m1fn, 

S{Y):S(Z)  =  "^^l^"^^  :  z 

2)  Combination  ocP2.mP, 

S(Y):2(Z)  =  ima:Z 

2)  Kantensegroente  der  Skalenoeder  und  Rhomboeder. 

f.     754. 
Kantentfegmente  des  SkalenoSders  ?^. 

Weil  in  den  rhomboSdrischen,  wie  in  den  meisten 
hemigdrischen  Combinationen  nicht  nur  heteropolare, 
sondern  auch  ainphipolare  Combinationskanten  Tor- 
kommen,  so  würden  wir  eigentlich  auf  beide  Arten 
derselben  Kücksicht  nehmen  müssen,  wenn  nicht  die 
Lage  der  amphipoiaren  CK.  jedenfalls  leicht  durch 
Construetion  zu  finden  wäre,  sobald  nur  erst  die  he- 
teropolaren CK.  bestimmt  sind.  Wir  können  uns  da- 
her auch  an  gegenwärtigem  Orte  mit  der  Bestimmung 
dieser  letzteren  begnügen. 

Wenn 

ma        n 
die  Gleichung  einer  Fläche  F  des  Skaleno^ers  — -- 

ist,  so  sind  die  Gleichungen  der  drei  Kantenlinien 
dieser  Fläche  die  in  §.  332  stehenden  Gleichungen  far 
JF,  V  und  Z^  und  die!  Cooi^inaten  ihrer  Eckpum^te 


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Zeichntmg  der  Kryatallformen.  Cap.IF.    463 

difif  ebendaselbut  gtefaend^n  Coordinaten  des  Pdleck- 
punctes  and  der  Mitteleckpnnete/  an  X  und  T.  End- 
lich ist  die  Gleichung  der  mit  F  analog  liegenden^ 

Fläche  Ft    eines   zweiten    Skaleno^ders   — - — ^    bei 

gleicher  Stellung  beider  Gestalten: 

^  +  1^  +  '  =  * 

tn  a        n 
Wir  haben   nun  zuvorderst  die  Coordinaten  der 
Dnrchschnittspuncte  dieser  Fläche  mit  den  Kanten  X, 
Y  und  Zj  oder  der  Puncto  {x) ,  (y)  und  {t)  zu  Be« 
stimmen. 

Da  wir  in  der  Gleichung  von  Fi  rechter  Hand  vom 
Gleicliheitszeichen  die  Einheit  eingeführt  haben,  so 
folgt  für  (z) 

4?  =  0,  y  =a  0,   z  =  4 
und  allgemein  für  das  Segment  in  Z 
2(Z)  =  iZ 
Fiir  die  Puncto  (x)  und  (y)  erhalten  wir  die  resp. 
Coordinaten  durch  Combination  der  Gleichungen  von 
X  und  Y  mit  jener  von  Fi  wie  folgt: 
für  (x): 

z  z=z  —  2y 
SSat  (y): 

ma(n  + 1)       ' 

n       ^ 


9  = 


m'(n' + l)H—m(n  +  i)n' 

Combinirt  man  die  Coordinaten  der  Puntte  (x) 
und  (y)  mit  jenen  de»  Poleckpunctes ,  welche 
JP  =s  Ma,   jf  SS  0»    Z  SS  0 


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464         Angewandte  KrystaUographie* 

naeh  der  Fonnel  für  R  in  f.  318 »  so  erhält  man  die 
am  Pole  gelegenen  Segmente  der  Kanten  X  und  Yf 
nämlich 

^/yx 3nnXm'  —  m) - 

-2(^  )  —  2[»'(2ii'  —  1)»  —  «1(211  —  1)»']  ^  ^ 

^^^ ^  ~  2[iii'(i»'  +  1)»  —  «•(II  +  IK] 
und  daher  die  an  der  Mittelkante  gelegenen  Seg- 
mente 

^fY\ mX2-n')n^m(2  —  ny         ^ 

^{^)  —        2lm\2n'  -  i)n  -  m{2n  -r  l)»!  ^ 

H^;  —  2[«i'(»'  +  1)»  —  «(«  +  IK]  ^ 

Da  nan  das  Kantensegment  in  Z  jedenfalls  =7  2^ 

so  erhalten  wir  folgende  Verhältnisse  der  Kantenseg- 

mP» 
mente  in  der  Combination  des  SkalenoSders  -^  mit 

dem  SkalenoMer  — ^ —  von  gleicher  Stella[ng; 

1)  bei  sechsfl.  Zosp.  der  Polecke: 

X  Y 

2)  bei  Zosch.  der  Mittelecke  ^  die  Züschfl.  auf  die 
schärferen  Pol-  nnd  die  Mittelkanten  gesetzt: 

-i^JL; .  -sci^;  _  2^^/(2»'  - 1)11  -  mi2n  -  l)ii']  '  ^* 

3)  bei  Zosch.  der  Mittelecke ,  die  Zuschfl.  anf  die 
stumpferen  Pol-  und  die  Bifittelkanten  gesetst: 

Setit  man   in    diesen  Verhältnissen   statt   n'   die 

Gr3sse  -> — 7,    so   erhält  man    die  Verhältnisse    der 

«iPn 
Kantensegmente  von  — *  in  seiner  Combination  nüt 


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Zeichnung  der  Krystallformen.   Cap.IF^    465 

dem  Skalenoßdeir  -^  — ^ — von  verwendeter  Stel- 
lung; nämlich: 
4)  bei  sei^hsfl.  Zasp»  der  Polecket 

6)  bei  Zosch.  der  Mittdeeke^ 

i  755v 
feanteni^jnwnte  des  SkaleoDSders  mÄ*. 

Die  Resultate  des  vorhergehenden  §.  grnndeh  sich 
Ätif  die  primitive  Ableitung  ni|d  Bezeichnung»  und  sind 
daher  allgemein  gültig,  welche  zwei  Gestalten  auch 
tnit  einander  combinirt  seih  mögen.  Weil  iedoch  ge- 
wöhnlich die  rhomboßdrishen  Combinationen  durdi  die 
secundären  Zeichen  gegeben  werden,  so  ist  es  sehr 
beqtiem,  jene  Resultate  in  einer  diesen  Zeichen  ^inge- 
messenen  Form  au  besitzen.    Zu  dem  Ende  haben  wit 

fer  jedes  SkalenoMer  — 

statt  m  die  Grösse  mn 

einzufahren,  Wodurch  unsere  Formeln  so  ttingestaltet 
Werden,  dass  sie  sich  auf  die  Combination  des  Ska* 

lenoSdehi  «iäP-^  ==  siB«  beziehen» 

Nimmt  man  diese  Substitutionen  vor,  so  erhält 
man  fBr  die  Combinationen  des  Skalenoeders  «B»  mit 
den  übrigen  Gestalten  folgende  Verhältnisse  der  Kan* 
tensegmente: 

1)  Combination  mī. m'ī* ; 
A)  die  Gestalten  befinden  sich  in  gleicher  Stel- 
lung; dann  wird 

".  30 


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406  jingeivandte  KryatallogräphU* 

bei  fiechsfiL  Zasp.  der  Polecke: 

X  Y 

bei  Znsch.  der  Mittelecke,  die  Siuscfafi.  auf  die 
schärferen  Polk.  und  Mittelk.  gesetzt: 

bei  Zusch.  der  Mittelecke,  die  Zuschfi.  auf  die 
stumpferen  Polk.  und  Mittelk.  gesetit: 

2(y) ,  lim = .-(3„y.rA^.+t) '  *' 

B)   die  Gestalten  befinden  sich  in  rerwendeter 
Stdlang;  dann  wird 
bei  sechsfi.  Zosp.  der  Polecke: 

bei  Zasdi.  der  Mittelecke: 

2)  Combination  mR\m'R 

A)  die  Gestalten  befinden  sich  in  gleicher  Stel- 
lung; dann  wird 

bei  dreifl.  Zosp.  der  Polecke: 

S{X) :  2(F)  =  ^^^gj—  ij3:2i»'  =  «n3ii+l>  — 4«' 
bei  Abst.  der  Afittelecke: 

B)  die  Gestalten  befinden  sich  in  verwendeter 
Stellung;  ^ann  wird 

bei  dreifi.  Zusp.  der  Polecke: 

S(X)'S(Y) ^ • lü 

bei  Abst.  der  Mittelecke: 


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Zeichnung  der  Krystali/ormen.   Cap.IF.    467 

3)  Combination  mR\m'92i  es  ist 
bei  sechsfl.  Zosp.  der  Polecke: 

bei  Zaseh.  der  Mittelecke: 

4)  Combination  «jB«ooÄ«' 

5(r)::saz)  =  ^X_:^^ 

.S(lQ:5(^Z)«3^:iZ 
6)  Combination  mR^.ooR 

6)  Combination  mR\OB 

f  766. 
KanteiMegniente  de«  RhomboM^n  mtt. 

Die  Resultate  des  rorhergehenden  f.  lassen  sieh 
unmittelbar  für  die  Combinationen  des  IUiombo6ders 
mR  in  Anwendung  bringen,  indem  man  #  =  1  setzt, 
tind  in  dem  gezeichneten  Bhomboßder  die  geneig- 
ten Diagonalen  seiner  Flächen  conStruirt,  wekhe 
die  Kante  Y  repräsentiren ;  nnter  2{Y)  sind  also  die 
Segmente  dieser  Diagonalen  zu  Tersteben. 
1)  Combination  mR.m'R"^  i 

A)  die  Gestalten  befinden  sich' in  gleicher  Stellung; 
dann  ist 
bei  seebsfl.  Zusp.  der  Polecke: 

2{X) :  S{Y)  =  2«-«'(3«'— 1)  *  4«-m'(3ii'+ 1) 
bei  Zttsch.  der  Mittelecke,  die  Zuschfl.  paarweis 
auf  die  Polk.  gesetzt: 

30»      ' 


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468,        Angewandte  KrysttiUogtaphie. 

bei  Znsch.  der  Mittelecke ,  die  Zuschfl.  paarweüif 
auf  die  Flächen  gesetzt: 

B)  die  Gestalten  befinden  sieh  in  yerwendeter  Stel^ 
Inng;  dann  ist 
bei  sechsfl.  Zasp.  der  Polecke: 

X  Y 

^  S(X) :  ^(  J^)  =  2m-m'(3«'+l) '  im^m'(ßn'-±) 
bei  Znsch.  der  Mittelecke: 

2)  Combination  mR.  —  «i^Jt 
bei  dreifl.  Znsp.  der  Polecke: 

S(X):S(Y)  =       ^^  .:^    ^     y 

bei  Abst.  der  Mittelecke: 

3)  Combination  mB.m'P2; 
bei  sechsfl.  Zasp.  der  Polecke: 

bei  Znsch.  der  Mittelecke: 

4)  Combination  «lil.ooÄ»' ; 

Was  diejenigen  binären  rhomboSdrischen  Combi- 
nationen  betriffi,  in  welchen  eine  Pyramide  fliP2  odor 
eines  der  Prismen  die  vorherrschende  Gestalt  ist,  so 
gelten  für  sie  die  in  den  §{.  752  nnd  753  angegebe- 
nen Verhältnisse  der  Kantensegmente,  nnd  es  ist  nnr 


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Zeichnung  der  Kryställformen.  Cap.f^.    469 

dUraiif  SEU  achten ,  dass  maa  die  nach  dem  Gesetze  der 
ihomboSdrischen  Hemi^drie  bestimmte  Hälfte  der 
Flächen  der  daselbst  angegebenen  m'Vn'  und  m'9  ein« 
zeichnet. 


Fünftes    CapiteL 

Von  der  Zeichnung  der  r|iombischen  Gestal« 

tei^  und  Combinationen. 

f.  7&7. 
94ch|iaiig  der  Qnmdgeitalt  einer  zhambiacbeii  KrystaUreilie. 

Da  die  drei  Axen  einer  rhombischen  Krystallreihe 
auf  einander  noch  rechtwinklig  sind,  so  kann  man  bei 
der  Construction  ihrer  Grundgestalt  von  der  Projection 
der  Axen  des  Oktaeders  in  Fig.  796  ausgehen,  weU 
diese  das  richtige  Bild  dreier,  auf  einander  senkrech- 
ter Linien  für  den  Dedinationswinkel  d  =s  18''  26%  und 
einen  gegebenen  Elevationswinkel  €  darstellen.  Wäh«« 
rend  aber  die  Axen  des  Oktaeders  in  dem  VerhältT 
nisse  der  durchgängigen  Gleichheit  stehen,  findet  zwi- 
schen den  Axen  der  rhombischen  Grundgestalt  P  das 

a      h 
Verhältniss  aihic.  oder  -^  :  —  :  1  Statt.    Man  lasfse 

c     c 

also  diejenigen  der  horizontalen  Axen  in  Fig.  796, 
welche  die  Brachydiagonale  der  Gmndgestalt  Torstel- 
len  soll,  unverändert,  verrieUältige  dagegen  die  an- 
dere horizontale  Axe  nach  den  Co^£^cienten  — ,  und 

die  verticaie  Axe  nach   den  CoefRcienten  —,  so  sind 

c 

die  Axen  der  verlangten  Gijundgestalt  gefunden,  de- 
ren Bild  nun  leicht  zu  vollenden  ist..  —  Wasi  die 
Wahl  der  Brachydiagonale  betrifft ,  so  scheint  es  im 
Allgemeinen  rathsam,  die  auf  den  Beobachter  zulau- 


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470  Angewandte  JCrystallographie, 

fcnde  borizoalale  Axe  BB'  alt  solche  la  bettiuiiiieay 
wail  dann  die  Makiodiagonale  aiiok  ihrer  leheinbaren 
Länge  nach  im  Bilde  jedenfallft  die  gröBsere  Linie  itt, 
während  nioht  gehen  das  Gegentheil  eintreten  würde, 
wenn  CC^  die  Brachydiagonale  vorstellen  soll. 

Die  Sphenoide  dieses  Systemes  werden  ganz  nach 
denselben  Regeln  gezeichnet  wie  die  Sphenoide  des 
Tetragonalsystemes. 

f.  768, 
Zttcluiang  der  abgdeiteten  Gestalten. 
Nachdem  die  Grandgestalt  einer  rhombischen  Kry« 
stallreihe  gezeichnet  worden  9  ist  die  Zeichnung  aller 
übrigen  Gestalten  eine  sehr  einfaehe  Aufgabe ,  indem 
man  nor  die  Constmetionen  der  Ableitung  geum  so 
um  da«  Bild  der  Gmndgestalt  auszufahren  hat,  wie 
solehe  um  die  wirkliche  Grundgestalt  im  zweiten 
Capitel  des  vierten  Absclinittes  der  reinen  Krystallo- 
graphie  vollzogen  worden  sind.  Man  Icaan  dabei  für 
jedes  «Pn  uad  itiPn  entweder  unmittelbar  die  Verw 
hiltnisse 

mm  iniio 

maibime 

oder  auch,  zumal  wenn  n  sehr  gross  ist,  die  Ver« 

hältnisse 

m      .     1 
— a ;  0  2  — c 

n  n 

— a: — 6:e 
n       n 

einflihren,  mittels  welcher  man  die  richtige  Lage  der 

Kanten  der  Gestalten  siP«  und  mP»  erhält,  und  dar« 

auf  diese  Kanten  selbst  leicht  da  eintragen  kann,  wo 

sie  in  der  Comblnation  erseheinett  sollen. 

Ist  einer  der  Ableitungseeöftcienten  =»00,  so  sei<^ 

net  man  nur  den  Querschnitt  des  Prismas  in  der  resp. 

Coordinatebene ,    steht    durch    die    Eckpunote   dieses 


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Zeichnung  der  KrystaUformen.  Cqp.  K.    471 

Qnenchpittes  Parallelen   mit    der  Axe   des  Prismas, 
und  die  Construction  ist  Tollendet. 

f.  759. 
Kantenaegmente  ia  4ea  CombioatioiieD  rhomblfcher  Gestalten. 

Was  die  Zeichnaiig  der,  diombis^faen  Combiaatio* 
nen  betrifft,  so  ist  es  gewöhnlich  am  einfachsten,  die 
Itage  der  Combinationskanteii  ^aphisch  za  bestimmen; 
will  man  sie  jedoch  auch  hier  von  den  Verhältnissen 
der  Kantensegmente  abhängig  machen,  so  dienen  da« 
für  folgende  Bestimmungen. 

Es  sey  gegeben  eine  Gestalt  P  durch  das  Yer- 
hältniss  der  Dimensionen  a :  &  :  c,  und  eine  Gestalt  V 
durch  das  Verhältniss  der  Dimensionen  ot \V \c\  so 
sind  fiir  die  in  den  Octanten  der  positiTon  Halbaxen 
fallende  Fläche  von  P  die  Gleichungen 

der  Kante  X  .  . 
-      -    -    F. . 


X 

a 

+ 

b 

= 

If 

und 

z 

= 

0 

z 

+ 

X 

— , 

1, 

^ 

y 

-- 

0 

c 

a 

f 

+ 

z 
c 

=£ 

ll 

- 

X 

= 

0 

und  für  die  analog  liegende  Fläche  Ton  P  die  Glei-p 
chungen  derselbeii  Kanten  identisch  mit  den  vor- 
stehenden, wenn  a,  h  und  c  mit  Accenten  verse- 
hen werden. 

Die  Kanten  Xund  JP,  Fund  F%  Zund  ZT  schnei- 
den  einander,  und  bilden   so  die  DurchschnitUpuncte 
(•^)»  (y)  und  (s),  deren  Coordinaten  folgende  sind: 
fBr  den  Punct  (^), 

a^x  =  ^jy,  !(  =  ~j.zv*'^  =  ** 
für  den  Punot  (y), 

c       "^  ac  — a  c 


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472         Angewandte  Kryt^aUogra^iie, 
für  den  Paac^  (2), 

Man  findet  nun  leicht  die  Kantensegmente ,  und 
hieir^uf  durch  Vergleichuoj;  je  zweier,  an  einem  und 
demselben  Eekpnnctei  gelegener  Segmente  folgende 
Verhältnisse  derselben: 

%^   verhalten   sich  a^  P,    bei  vierfl.  Zusjp.  sei|ie£ 

Poleoke: 

^i  vierfl.  Zosp.  der  makrod.  Aütteleeke: 


M  ner4.  Zosp.  der  brachyd.  Mittelecke^ 

:S(K):l(Z)  =  -:^:     *:^ 
cn'—c'a   cV—c'h, 

f.  760, 
FoTtfetsung. 

Wir  haben  nnn  die  Resnltate  des  vorigen  |.  afa( 
Functionen  der  Ableitnngsoo€fficienten  ansKudrficken, 
und  von  den  |](in^ensioiien  der  Gnindg^stalt  i|:4;<: 
uQabhäi^g  zu  machen. 

A)  die  Gestehen  sind  gleichnamig,  pnd  i?war: 
')  J"akrodiagonal,    also    die  Combinatio«  ^pÄ, 
m^n\  dann  ist 
das  Verhältniss  a\h\c     mit  «k»  :  n* :  c 

ini  vertauschen;  und  es  wird  für  mPn 

1)  bei  vierfl.  Zusp.  der  Pplecke: 

mn — mTn   m — m' 

2)  bei  vierfl.  Zusp.  der  makrod.  Mitteleoke: 

^(Jr):-f(Ä)  =  _^:£_:_?^ 
mn—mn'  i|— »' 


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Zteichmng  der  XrysfiiUfbrmen.  Cap.  V.    47S 
3)  bei  TierflL  Zasp.'  der  bracfiyd.  Mittelecke: 
2(r):J(Z)=  ?^:i^ 

n)  biachydiagonal,   alio  dio  Combination  wSfn^ 
wTSfn'^  dann  ist 

das  Verhältniss  a\h\c     mit  «la :  A :  no 

%vl  yertauschen,  i]^nd  et  wird  für  v$n 

1)  bei  vierfl.  Zosp.  der  Polecke: 

^(J)::F(F)=--i-,:--^Z_ 

2)  bei  Vierfl.  Zotp.  der  makrod.  Bütteleeke^ 

»•  — m   Hr — n 
.8)  bei  Tierfl'  Zosp.  der  bracbyd.  l\Ii(tele<&e : 

M  n — «in    »—1»^ 
B)   die   Gestalten   sind   nngleichnanig, .  nnd 
«war  die  Yocherrschende  Gestalt:  _ 

I)  makrodiagonal,   also  die  Combination  mPh. 
.  «l'Pll^  dann  ist 

das  Verfaältniss  a\h\c     väi  ma\nb\c 
-    -    r      a'ib'xif    •    m'aibm'a 
au  Tertanschen,  und  es  wird  für  »ifti 
%)  bei  vierfl.  Zasp.  der  Polecke: 

2'(X)::f(F)  =  — :^:-^^ 

2)  bei  vierfl.  Zusp.  der  makrod.  Mittelecke: 

2(X)::f(Z)=»-^;-^ 
91  »-r-m   nn  -^  1 

n)_brachydiagonal,  also  die  Combination  ts^n. 
•   w^Vn\  dann  ist 

das  Verbältniss  a\h\c     mit  ma :  & :  ac 
-        •    -.    -      a^\V\c'    '    m'a\n*h\c 
zu  vertauschen,  und  es  wird  fiir  mPi» 


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474         Angewandte  KrystaUograpMe. 
1)  bei  vierfl.  Ziosf.  4er  Foled^e; 


2)  bei  yie^  Za«p.  dcv  braohyd.  Mitieleokei 


j(y):jr(Z) 


m^n — m  * «»'— 1 


i  761, 
Kantensegmente  ii|  P  und  opP* 

Da  in  den  gewöhnlichsten  Combinationen  entweder 
die  Grandgestalt,  oder  das  Prisma  der  Haaptreihe  die 
vorherrsohende  Gestalt  zu  seyn  pflegt,  so  ist  es  be- 
quem, die  den  Gestaltea  P  und  ooP  entsprechenden 
Verhältnisse  der  Eantensegmente  besonders  %nx  Hand 
ya  haben, 

I)  Combinationen  der  Grondgestalt. 

1)  Comb.  VjnPn; 

bei  vierfl.  Znsp.  der  Polecke  ist  ^ 

'^(Y)"'(X)-'i-«\Y'n-m\x 
bei  yierfl.  Zusp.  der  makrod.  oder  brachyd.  MU- 
telecke ; 

Die  oberen  Buchstaben  gehen  IBr  mPn^  die  untwen 
für  mfn.  ^ 

2)  Comb.  P.mfoo; 

bei  Zusch.  der  Poleoke  ist 

(Y)"'(X)—  \¥'^     **  |X 

bd  Ziuch.   der    makrod.   oder   hraol^.   Afittel- 
ecke: 


^^]..^z,=\f,^z 


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Zeichrmng  der  Krystalljormen.  Cap.  FL    41$ 

3)  Comb.  P.(»P» 

bei  Zosch.  der  makrod.  oder  braobyd.  Mitteleeke; 

n)  Combinationen  des  Prismas  ooP;  denken  wir  das 
Prisma  durch  die  Fläche  OP  begrenzt,  und  setzen 
seine  Endkante  =Z,  so  wird  für  I(Z)  =  Z  das  in 
der  makrodiagonalen  oder  bracbydiagonalen  Seiten- 
kante abwfirts  zu  nehmende  Segment 
für  die  Combination  OQp.mPi» 

.  fiir  di«i  Cambination  opP.miPoq 


^yx=«a 


• 


Sechstes    Capitel. 

Von  der  Zeichnung  der    klino^drischei^ 
Gestalten. 

f.  762. 
Allgemeine  Bemerkung, 

Bei  der  Zeiobaung  des  KrystaUfonaen  der  drei  kli. 
BoMrtsofaen  KryslaUsysteme  i^d  im  AUgemeiftta  das 
Axensjr^tem  des  Oktaeders  zu  Grunde  gelegt,  mit  des-« 
•eo  Prc^ectioii  daher  folgende  zwei  wesentliche»  Yer- 
ftiiderangen  yorgenommea  werden  müssen; 

1)  die  EiniBMchnuDg  der  schiefen  Neigungswinkel  der 
Axen; 

2)  die  Reduction  der  Axen  auf  das  Verhält&isg  aibic 
der  gegebenen  Grandgestalt. 

NaehAem  diese  beiden  Fundamentakonstnietionen 
ToUeadel  sind,  ist  die  Zeichnung  aller  mdgUchen  Cre- 


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476         Angeu^andie  KrysicUlographie. 

stalten  oder  Theilgestalten  einer  klinoSdrisohen  Krjt 
gt|dlr«|ie  init  Leipl|tigkei(  zu  iroll;[äehw9  weshalb  die 
Angabe  besonderer  Beji^eln  ganz  überflüssig  seyn 
würde.  AUes,  was  in  f.  758.  für  das  rhombisefae  %- 
stein  gesagt  worden,  gilt  unverändert  anch  für  dift 
Constructionen  in  den  drei  klinoSdrischen  Systemen, 
weil  die  dabei  zu  berü<dau[chtigenden  Veriiältnuuie  von 
dei^  scbiefen  Neigungswinkeln  de^  Axen  gänzlich  un<r 
abhängig  sind.  W^il  man  es  jedoch  zunächst  immeic 
nur  mit  einzelnen  Theilgestalten  zu  thun  hat,  so 
kommt  auch  auf  die  Zeichnung  der  vollständigen  Py- 
ramiden weniger  an,  und  die  Lehre  von  der  Zeich« 
Unng  der  kIino§drischei|  Krystallformen  wfbrde  sidi 
fast  nur  auf  die  Regel  beschränken,  nach  weldier  jene 
beiden  Fundaraentalconstructionen  in  der  gegebenen 
Projection  des  Oktaeders  vorzunehmen  sind,  wenn 
nicht  noch  die  in  diesem  Systeme  fast  unentbehrlkh^i 
orthographischen  Horizontal-  und  Klinodiagonalpro- 
jectionen  einer  kurzen  i^rwähnung  bedürfiten. 

§.'763. 
Zeichnong  der  Axen  einer  Bkoiiokliao^drisclien  Grondgestalt. 

Die  monoklinoSdrischen  Gestalten  lassen  sich  auf 
zwei  verschiedene  Arten  ins  Auge  fassen,  welche  man 
als  die  Ansichten  en  face  und  im  Profil  unterscheiden 
kann.  Wehn  nämlich  die  Gestalt  so  gestellt  wird, 
dass  der  kHnodiagonale  Hauptschnitt  auf  den  Beob* 
a^ter  gerichtet  ist,  so  vrird  sie  sich  gleichsam  en 
fyce  präsentiren,  während  sie  dagegen  mdir  im  Profil 
erscheiut,  wenn  der  orthodiagonale  Hauptschnitt  die 
Richtung  auf  den  Beobachter  hat.  Diese  Verschieden- 
heit der  Ansicht  wird  in  die  Zeichnungen  der  Gestal* 
ten  dadurch  fibergetragen,  dass  man  in  der  Projection 
der  OktaSderaxen  Fig.  796  entweder  den  Hauptschnitt 
AB  AB  oder  den  Hauptschnitt  ACA€  zum  klinodiago« 
naien  Hboptscfanitte  bestimmt.    Da  nun  die  Hauptaxe 


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Zeichnung  der  Krysiallformen.   Capi  VL    47t 

jedenfalls  im  Bflde  Tertical  erscheinen  mnss,  so  wird 
bei  der  Darstellung  eu  face  die  Axe  BW ,  und  bei 
der  Darstellung  im  Profil  die  Axe  (Xi  des  Oktae- 
ders eine  angemessene  YerlLndertlilg  ihrer  Lage  er- 
fahren müssen,  damit  sie  im  fiilde  genau  so  gegen^ 
die  Hauptaxe  geneigt  erscheint ,  wie  es  der,  in  der 
Wirklichkeit  Statt  findende  Neigungswinkel  der  Klino- 
diagonale  gegen  die  Axe  fordert 

A)  Darstellung  des  durch  den  Winkel  y  und  das  Ver« 
hSltniss  der  Lineardimensionen  1:1:1  bestimmten 
Axensystemes  enface. 

Man  nehme  in  der  yerticalen  Axe  AA  des  Okta« 
Widers,  Fig.  813,  aufwärts  Tön  M  aus  die  Qrösse 

MA  =  MAXeoiy 
und  in  der  horizontalen  Axe  BB  rückwärts  oder  Tor* 
wärts  Ton  M  aus,  je  nachdem  im  Bilde  die  schiefe 
Basis  nach  dem  Beobachter  zu,  oder  von  ihm  weg 
fallen  soll,  die  Grösse 

MB'^MB'p^iitiy 
Hierauf  vollende   man    das   Parallelogramin   über 
MA'  und  MB\  ziehfe  dessen  Diagonale  MD^  yerlän^ 
gere  solche  über  Jf,  und  mache  die  Verlängerung  ihr 
selbst  g^eidi,  so  ist 

^4  die  Hauptaxe  I 
DD  die  Klinodiagonalei 
^  CC  die  Orthodiagonale 
einer  monoklinoSdrischen  Pyramide,  für  den  NeigungS*» 
Winkel  OP.ooPoo=i}^j   und   für    das  Yerhältniss    der 
durchgängigen  Gleichheit  der  Lineardimensionen. 

Im  Allgemeinen  ist  es  Tortheilhaft,  die  schiefe  Ba« 
sis  nach  Tom  einfallen  zu  lassen. 

B)  Darstellung  des  durch  den  Winkel  y  und  das  Yer- 
hältniss der  Lineardimensionen  1:1:1  bestimmten 
Axensystemes  im  PrdU. 

Man  ndime  wiederum  in  der  yerticalen  Axe  AA  des  - 
Oktaeders,  Fig.  813,  aufwärts  Ton  if  aus  die  Grösse 


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478         Ang6i4><mdte  Krystaltographie. 

tiiid  in  der  horisoiitalftQ  Axe  CC  nach  linki  xin  M 
Ml  die  Grösse 

vollende  das  Parallelogrmmm  Ober  MA"  und  JUC^ 
stehe  dessen  Diagonale  EM^  veilingere  solche  über 
Jf)  and  mache  ihre  Verlängening  ihr  seibat  ^Biob» 
so  ist  für  das  Verhftltniss  1 : 1 1 1 

AA  die  Hauptaxe, 

BB  die  Orthodiagonale, 

EE  die  Klinodiagonale 
des  rerlangten  Axensystemes« 

Hiermit  wftre  fSr  beide  Darstellnngtarten  die  e^> 
forderliche  Winkelconstruction  rollendet.  Was  nun 
aber  das  wahre  Grossenverbältniss  der  Lineaidimai- 
aionen  einer  bestimmten  monoklinoedriscfaen  Krystall* 
reihe  betriflft^  so  ist  solches  allgemein  dnrdi  axbie 
gegeben,  wo  h  die  Klinodiagonale  bedentet;  man  ver- 
wandle dieses  Yerhältniss  in 

-T^^i^T  oder  —  :  —  :! 
b         h  e     c 

lasse  entweder  die  Klinodiagonale  oder  die  Orlhodia* 

gonale  nnverindert,   so  wie   sie  jetst   im  Bilde  er* 

scheint,  während  man  die  Hanptaxe  nach  demCoSffi* 

cienten  -s-  oder  — •  die  andere  Nebenaxe  nach  dem  Co- 
*  c 

e  b 

«efficienten  -?-  oder—  Tervielföltigt,  so  ist  das  richtige 

Verhaltnisa  der  Liaeardimensionen  der  gegebenen 
Gmndgeslall  im  Bilde  dargestellt. 

1.764. 
ZMchnnag  dtr  Axeo  einer  diklino^drisclMn  GnmdgeiteH. 

In  jeder  diUinoSdrischenKrystallreilie  sind  ^  bel- 
aden yerticalen  HanpcschtiitteL  smf  einander  rechtwink- 
Kg,  während  sie  Mde  von  dem  basisehm  Hanpt* 


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Zeichnmig  der  KtyBtaUformeru  Cap.Ft    479 

•chnitte,  und  folglich  auch  die  Hanptaxe  von  den 
beiden  Nebenaxen  unter  achiefeli  Winkeln  geschnit- 
ten werden.  Die  Flächen  ABAB  nnd  ACAC  im 
Bilde  der  OktaSderaxen  können  daher  wohl  nodi 
die  beiden  verticalen  Hanptschnitte,  aber  die  Ltulen 
BB  und  CC  nicht  mehr  die  beiden  Nebenaxen  reprft«- 
sentiren.  Um  nun  diese  Nebenaxen  ihrer  Lage  nach 
richtig  einzutragen,  so  bestimme  man  ihre  Neigungs« 
Winkel  ß  und  y  gegen  die  Hauptaxe  (welche  jedoch 
meist  schon  gegeben  sind),  tind  nehme  hierauf  In  der 
▼erticalen  Axe  AA  des  Oktaddeni  Fig.  813  aufwärts 
Ton  Jf  die  beiden  Längen 

MA'  =  MAXcoiß 

MA^^=MAXco9Y 
Was  nun  die  Lage  der  Makrodiagonale  betrifft, 
so  scheint  es  im  Allgemeinen  vortheilhaft,  die  Ebene 
ACAC  als  makrodiagonalen  tiauptschnitt  zu  bestim- 
men, weil  dann  das  scheinbare  Grössenverhältniss  ih- 
rem wirklichen  Verhältnisse  angemessen  bleibt.  Man 
ndime  also  in  der  horizontalen  Axe  CC  von  M  aus 
nach  links  die  Grosse 

MC  =  MCX9iny 
und  in  der  horizontalen  Axe  BB  von  JU  aus  nach 
hinten  die  Grosse 

MB'^MB>C9üiß 
Tollende    die  Parallelogramme    über  MA  Und  MB'y 
über  MA^  und  MC^  ziehe  deren  Diagonalen  DM  und 
BMy  verlängere  beide,  und  maclie  ihre  Verläogetua- 
gen  ihnen  selbst  gleich,  so  ist  für  das  Verhältaiss  1:1:1 

AA  die  Hanptaxe, 

DD  die  Brachydiagonsde, 

EE  die  Makrodiagonale. 
Um  nun  aber  diese  Linien  in  ihrem  wahren  Gr5s- 
senverhältnisse  axhic  darzustellen,  lässt  man  z.  B. 
die  Z)I>'miTerändett,  und  verrielfättigt  die  AA  nach 


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480         jingeufondte  KrystaUographie* 

dem  CoSfficienteu  — ,  die  EE  nach  dem  Co^fficienteii 
c 

— ,  so  ist  das  Axeils;st^m  iet  Verlangten  diklin^Cdri^ 

«dien  Grondgestah  mtworfen; 

i  765. 
Zftj^Hmmg  der  Axen  dner  tdklinoedcisdiea  Gnndg<»tait. . 

In  einer  jeden  trildino§drisdien  Sryfttallreilte  bil-^ 
den  diu  beidien  verticalen  Hanptschnitte  mit  einander 
den  Winkd  A;  weil  nun  in  der  Prqjection  der  Okta- 
ederaxen  die  Ebenen  ACAC  and  AB  AB  rechtwinklig 
sind,  so  fragt  es  sich  zuvörderst^  welche  derselben 
ihre  nrsprüngli^^he  Lage  behaupten  ^  und  welche  sie 
verlassen  soll,  lün  den  Neigungswinkel  ^  herzostelleni 
Im  Allgemeinen  scheint  es  vortheilhaflter,  den  aof  den 
Beobachter  zulaufenden  (brachydiagonalen)  Haüpt« 
schnitt  ABABy  Fig.  814,  in  unveränderter  Lag^  zu 
lassen,  und  den  Hauptschnitt  ^CilC  so  weit  zu  dre* 
hen,  als  erforderlich  ist,  damit  seine  neue  Projection 
dem  wirklichen  Neigungswinkel  A  entspreche.  Zu 
dem  Ende  nehme  man  in  der  BB  Von  M  ans  vor- 
wärts die  Grösse 

MB'±=^ifB><cosA 
und  in  der   CC  von  M  aus  nach   rechts  oder  nach 
links  (je  nachdem  der  spitze  Winlcel  A  rechts  oder 
links  erseheint)  die  Grösse 

MC:==MCXi{nA 
vollende  das  Parallelogramm  über  Mß^  nnd  MC^  nnd 
ziehe  dessen  Diagonale  JlfD,  so  ist  die  Ebene  ADA 
die  richtige  Projection  des  makrodiagonalen  Haupt- 
schnittes, und  die  Linie  üfD  eine  horizontale,  der 
MB  nnd  MA  gleiche  Linie. 

So  wie  jetzt  diese  Linien  im  Bilde  erscheinen^  ist 
also  die  MA  auf  der  MD  sowohl  als  auf  der  MB 
noch  rechtwinklig,  während  sie  doch  in  der  Wirk- 


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Zeichnung  der  Kry^icLÜformen.  Cap.  VI.   481 

lichkeit  mit  jener  den  Winkel  y,  mit  dieser  den  Win- 
kel ß  bildet.  Man  nehme  ^o  in  der  ÄA  von  M  ans 
aufwärts  die  Grössen 

MA  =  MAX  coiß 

MA"  =  MAX  eo$y 
ferner  in  der  BB  von  M  aus  vorwärts  oder  rfickwärts 
0e  nachdem  der  spitze  Winkel  ß  vorn  oder  hinten 
liegt)  die  Grösse 

MB'  z^MBXiinß 
und  endlich  in  der  DD  von  M  ans  nach  liiiks  oder 
nach  rechts  (je  nachdem  der  spitse  Winkel  y  links 
oder  rechts  erscheint)  die  Grösse 

MD'  ^  MD  X  finy 
vollende  die  Parallelogramme  fiber  MA'  itnd  MB% 
über  MA"  und  MD%  aiiehe  deren  Diagonalen  EM  und 
JFMj  verlängere  solche  übereil/,  und  mache  ihre  Ter« 
längerungen  ihnen  selbst  gleich,  so  ist  für  das.Ver« 
hältaiss  1:1:1    . 

AA  die  Hauptaxe 

FF  die  Makrodiagonale 

EE  die  Brachydiagonale 
der  Krystallreihe.    Um  nun  diese  drei  Linien  in  ih^ 
rem  wahren  Grössenverhältnisse  aibic  darzustellen» 
lässt  man  die  eine,  z.  B.  die  EEj  unverändert,  und 

vervielfacht  die  AA  nach  dem  CoSfficienten  ^,  die 

c 

i^nach  dem  Coäficienten — ,  so  ist  das  Axensystem 

c 

der  verlangten  triklinoMrischen  Grundgestalt  ent-* 
werfen. 

f.    766. 
Combioationen  der  klinoSdrischeo  KrystallfyiteiBe. 

In  den  klinoädrischen  Krystallsystemen  fuhrt  die 
graphische  Bestimmung  der  Combinationskante  meist 
eben  so  sclinell  zum  Ziele  als  die  Bestimmung  der« 
n.  31 


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482         jtngpiJtxmdte  Krystaüographie. 

selben  durch  die  Kantensegmente,  unter  welchen  hier 
die  Segmente  der  Intersectipnen  der  einaelen  Tfaeit 
gestältten  zu  verstehen  sind.  Will  man  jedoch  dabei 
die  Verhältnisse  der  Kantensegmente  zu  Grunde  le- 
gen, so  hat  man  sich  unmittelbar  an  die  für  das  rhom- 
bische System  gegebenen  Resultate  zu  haken,  wel- 
che in  allen  schiefwinkligen  trimetrischen  Axeosyste- 
men  unverändert  gelten.  Uebrigens  ist  es  bei  der 
Zeichnung  klino^drischer  Combinationen  rathsam,  zu- 
erst den  Inbegriff  der  vorherrschendsten  Tfaeilgestal- 
ten  zu  zeichnen,  und  dann  die  untergeordneteren  Theit- 
gestalten  einzutragen,  deren  Lage  sich  meist  durch 
den  Parallelismus  ihrer  Combinationskanten  zu  den 
Kanten  der  vorherrschenden  Gestalten  bestimmt. 

f.    767. 

Horizontal-  und  KlinodiagOBalprojectibiieii. 

Das  richtige  Yerständniss  des  ^Ides  einer  jeden 
mono-,  di-  und  tri-klino^drischent^ombination  wird 
durch  Hinzufugung  einer  orthographischen  Horizon- 
tal- oder  Klinodiagonalprojection  bedeutend  erleich- 
tert, -weshalb  dergleichen  Projectionen,  wenigstens 
für  die  verwickeiteren  Combinationen  dieser  Systeme 
sehr  zu  empfehlen  sind. 

Bei  der  Horizontalprojection,  welche  auch 
für  die  verwickeiteren  rhombischen  Combinationen 
sehr  nützlich  ist,  dient  die  Horizontalebene  als  Pro- 
jectionsfläche  und  die  Hauptaxe  bestunmt  die  Rich- 
tung des  Gesichtsstrahles  Sie  ist  daher  von  der 
Hauptaxe  gänzlich  unabhängig,  und  reducirt  sich  auf 
die  Protection  der  beiden  Nebenaxen  in  der  Horizon- 
talebene. Zu  dem  Ende  zieht  man^  zwei  sich  unter 
dem  Winkel  .4  (welcher  für  das  mono-  und  diklino^ 
(irische  System  =  90"^)  schneidende  Linien ,  macht 
die  eine  derselben  =  bnnyy  die  andere  ^=  csmßy  so 
ist  die  Horizontalprojection  der  Dimensionen  der  Grnnd- 


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Modellirung  der  KrystaUformen*  Cap.  L    483 

gestalt  Tollendet,  worauf  die  Projection  jeder  andern 
Gestalt  nar  von  den  AbleitnngscofifiScienten  der  Ne- 
benaxen  abhängig,  und  sehr  leicht  auszoführen  ist. 

Fir  die  monoklinoSdrischen  Combinationen  insbe« 
sondere  ist  nicht  selten  statt  der  Horizontal-  eine 
Klinodiagonalprojection  sn  empfehlen,  bei  wel« 
eher  die  Ebene  des  klinodiagonalen  Hanptschnittes 
als  Projectionsfläche  dient,  während  die  Gesichtsstrah- 
len der  Orthodiagonale  parallel  sind.  Diese  Projection 
ist  daher  Ton  der  OrthcNÜagonale  gänzlich  unabhän- 
gig, und  sehr  leicht  anszofuhren,  weil  man  nur  den 
schiefen  Neigungswinkel  y  auf  das  Papier  zu  tragen, 
und  seine  Schenkel  in  dem  Verhältnisse  von  aih  t^ 
nehmen  hat,  um  die  Elemente  für  das  Bild  der  Grund- 
gestalt zu  erhalten,  worauf  sich  die  Elemente  für  die 
Prc^ectionen  aller  übrigen  Gestalten  unmittelbar  durch 
deren  auf  die  Hauptaxe  und  Klino4iagonale  bezügli- 
chen Ableitungszahlen  ergeben. 


Fimfter  Abschnitt. 
Von  der  Modellirung  der  KryttaJUformen. 


Erstes    Capitel. 
Von  den  Holzmodellen. 

f.    JUgememe  Bemerkungen  über  die  HohmodelUrung. 

|.    768. 
Netzen  der  KrystallmodeUe  und  yenduedene  Arten  derselben. 

Ein  noch  wichtigeres  Hül&mittel  als  die  Zeichnun- 
gen bilden  bei  dem  Studium  der  Erystallographie  die 
Modelle  der  Kry stallformen.  Denn^  wie  genau  auch 
die  Zeichnung  einer  Krystallform  ausgeföhrt,  und  wie 

31' 


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484         Angewandte  Krystallographie» 

■ehr  die  Illusion  des  körperlichen  Hervortreteng  durch 
Darstellung,  der  hinteren  Kanten ,  oder  durch  richtige 
Schattirung  der  Flächen  gesteigert  werden  mag,  so 
wird  doch  immer  ein  gutes  Modell  noch  weit  mehr 
dazu  geeignet  seyn,  uns  eine  richtige  und  deutliche 
Vorstellung  der  Krystallform  zu  verschaffen.  Ja,  weil 
es  der  Krystallographie  nur  auf  die  Form,  und  gar 
nicht  auf  den  materiellen  Inhalt  derselben  ankommt, . 
so  werden  Modelle,  es  mögen  solche  aus  Pappe,  Holz, 
Gyps,  Thon  oder  irgend  einem  andern  Materiale  be- 
stehen, dem  Bedurfnisse  des  Studirenden  nicht  nur 
eben  so  wohl  Genüge  leisten,  als  die.  von ^ der  Natur 
ausgebildeten  Kry stalle  selbst,  sondern  sie  ^^rden 
auch  wegen  ihrer  regelmässigen,  ringsum  vollende- 
ten Ausbildung  und  ihres  beliebig  zu  vergrössernden 
Maassstabes  für  den  Anfänger  des  krystallographi« 
sehen  Studiums  den  wirklichen  Krystallen  sogar  vor- 
zuziehen seyn. 

Die  Krystalliiiodelle  sind  entweder  hohl  oder  mas- 
siv, und  lassen  sich  ausserdem  in  technischer  Hin- 
sicht theils  nach  dem  Material,  aus  welchem  sie  be- 
stehen, theils  nach  den  Operationen,  durch  welche 
sie  dargestellt  werden,  eintheilen.  An  gegenwärtigem 
Orte,  wo  es  uns  nicht  sowohl  um  eine  vollständige 
Anleitung  zur  Krystalltechnik  als  um  die  theoretische 
Grundlage  derselben  zu  thun  ist,  werden  wir.  uns  auf 
die,  durch  das  verschiedene  Material  bedingten,  Ver- 
schiedenheiten der  technischen  Operationen  nicht  wei- 
ter einlassen,  sondern  nur  die  Darstellung  der  HoUe- 
und  Pappmodelle  berücksichtigen,  weil  die  ersteren 
den  meisten  übrigen  Modellen  zu  Grunde  liegen  *),  und 


*)  Die  ans  Gypa«  TKon,  ßiscnit  gefo)*mttti^  sa  wie  die  aus 
Metallen  oder  metallischen  Coinposiüonen  ge^ssenen  Modelle  setKen 
nämlich  Formen,  und  diese  wiedernm  genau  gearbeitet« 
Holzmodelle  roraat >  die  am  Speckstein  nnd  andern  schnadba- 


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Modellirung  der  Krystallformen.  Cap.L    485 

die  letzteren  nächst  Jenen  noch  am  häufigsten  ausge- 
führt zu  werden  pflegen.  ' 

f.    769. 
Regeln  bei  Fertigung  der  Holzmodeile^   Material  und  Werkzeuge. 

Die  allgemeinen  Regeln   bei  der  Anfertigung  Ton 
Holzmodellen  sind  besonders  folgende: 

1)  Jede  Krystallform  setzt  einen  Modellklotz  Tor- 
ans,  dessen  Gestalt  eine  ihrer  umschriebenen 
Formen,  und  zwar  gewöhnlich  die  äusserste  die- 
ser Folmen,  d.  h.  der  Inbegriff  der  den  Coordi* 
natebenen  entsprechenden  Flächenpaare  ist.  Zu- 
weilen lässt  sich  der,  Modeljklotz  so  wählen^ 
dass  einige  seiner  Flächen  unmittelbar  für  die  zu 
modellirende  Gestalt  benutzt  werden  können. 

2)  Jeder  Schnitt  durch  den  Klotz  muss  eine  Kry- 
•tallfläche  geben,  und  daher  jeder  andere  Schnitt, 
der  solches  nieht  leistet^  9X%  unnutz  vermieden 
werden. . 

3)  Die  Neigungswinkel  der  Schnittflächen  müssen 
den  Neigungswinkeln  der  entsprechenden  Kry- 
■tallflächen  so  nahe  kommen  als  möglich;  die- 
ser Forderung  wird,  bei  der  Schwierigkeit  de^ 
Ausfuhrung,  hinreichend  entsprochen,  wenn  die 
Winkel  nur  bis  auf  4^  oder  1°  genau  sind. 

4)  Jedem  Schnitte  muss  seine  Richtung  durch  vor- 
gezeichnete Linien  auf  den  Flächen  des  Klotzes 
bestimmt  werden.  Die  Linie  oder  der  Punct, 
in  welchen  die  Säge  zuerst  in  den  Klotz  ein- 
schneidet, kann  man  die  Ansat^linie  oder  den 


rea  Sub«tansien  gefertigten  Modelle  aber  werden  nach  denselben 
Kegeln  geschnitten  wie  die  Holzmodelle.  Die  trefflichsten  Holzmo- 
delle, die  ich  kenne,  fertigt  der  hiesige  Mechanlkns  Beschomer; 
sie  find  mit  einer  Genauigkeit  und  Sdiarfe  ausgef&hrt|  die  nicht« 
zn  wünschen  übrig  laaseo. 


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486        Angewandte  Kryst/allographie. 

Antatzpunct,   aad  die   Ton  den  Endpuncten 
der  Ansatzlinie  oder  vojm  AnsaUtpaacte  auf  den 
andern  Flächen  des  Klotzes  auslaufenden  Linien 
die  Bahnlinien  des  Schnittes'  nennen,    weil 
sie  die  weitere  Richtung  oder  eigentliche  Bahn 
desselben,  bestimmen. 
5)  Soll  eine  Combination  modellirt  werden,  so  wer- 
den in  der  Regel  die  vorherrschenden  Gestalten 
zuerst  dargestellt;  doch  leidet  diese  Regel  man- 
che  Ausnahmen. 
Die  zur  Darstellung  der  Krystfdbnodelle  brauch- 
barsten Hölzer  sind  solche,  welche  weder  zu  weich 
noch  zu  hart  sind,  und  nicht  leioht  spdten  oder  split- 
tern, daher  besonders  Birnbaum  -  und  Apfelbaumholz. 
Was  die  Werkzeuge  betrifft,  so  gehören  dahin 

a)  Sägen,  deren  Blätter  stark  genug  seyn  müssen, 
um  sich  nicht  bei  einer  schiefen  Lage  zu  bie- 
gen; auch  dürfen  die  Zähne  nicht  zn  sehr  ge- 
schränkt seyn,  damit  eine  zn^  grosse  Rauhigkeit 
der  Schnittflächen,  und  das  Zersplittern  der  Kan- 
ten bei  dem  Ein-  und  Austritte  der  Sl^e  ver- 
mieden wird. 

b)  Schnitzer,  zur  Darstellung  Meiner  Abstum- 
pfiings  -  und  Zuspitzungsflächen  in  den  Combi- 
nationen,  so  wie  zur  Sohärfimg  der  Kanten. 

e)  Raspeln  und  Feilen  von  verschiedenen  Gra- 
den der  Feinheit,    zur  Schärfung  der  Kanten, 
zum  Abglätten  der  Flächen,  und  selbst  zur  Dar^ 
Stellung  kleiner  Flächen  in  den  Combinationen. 
Bei  dem  Schneiden  mit  der  Säge  wird  der  Modell- 
klotz  entweder  uomittelbar,    oder^    wenn  dies  nicht 
ohne  Verletzung  der  schon  fertigen  Kanten  und  Ecke 
angeht,  zwischen  Korkscheiben  in  einen  Schrauben- 
stock eingespannt.    Muss  man,  wie  dies  oft  der  Fall, 
das  Modell  mit  der  Hand  halten,    so  kann  man  es 
zur  Versicherung  seiner  Lage  ebenfalls  gegen  ein« 


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Modellirung  der  KrystaUformm.  Cap.  L    487 

Unterlage  von  Kork  stemmen,  nm  nicht  die  schon 
fertigen  und  nach  unten  gelegenen  Kanten  und  Ecke 
SU  beschädigen.  Weil  man  aber  den  Modellklotz  um 
so  besser  einspannen  oder  auch  mit  freier  Hand  hal- 
ten, und  folglich  die  Schnitte  um  so  sicherer  und  rich- 
tiger führen  kann^  je  weniger  Kanten  und  Ecke  der 
darzustellenden  Gestalt  biosgelegt  sind,  so  hat  man 
Jede  Torzeitige  Zerstückelung  des  Klotzes  zu  vermei- 
den. Hieraus  scheint  die  für  die  Holzmodellirung  sehr 
wichtige  Regel  zu  folgen,  dass  die  einzelen  Schnitte 
in  vielen  Fällen  nicht  sogleich  durchgeführt,  sondern 
nur  vorläufig  angelegt,  und  erst  nach  beendigter 
Anlage  aller  erforderlichen  Schnitte  vollendet,  werden 
dürfen.  Denn^  ein  unter  günstigen  Bedingungen  der 
Lage  und  Festhaltung  angelegter  Schnitt  lässt  sich 
auch  unter  weniger  günstigen  Bedingungen  zwar  eben 
so  richtig  fortsetzen,  aber  nicht  so  richtig  anlegen. 

i    770. 

Yorachlag  zu  einer  ModelüningiiDas^hüie. 

Will  man  die  Krystallmodetle  mit  m5glichst  gros- 
ser Leichtigkeit  und  Genauigkeit  ausführen,  so  wird 
dies  nur  mittels  einer  Maschine  gelingen,  in  welchejr 
,  sowohl  der  Modellklotz  in  seiner  erforderlichen  Lage 
fixirt,  als  auch  die  Säge  in  der  Ebene  des  verlang- 
ten Schnittes  erhalten  werden  kann.  Wenn  man  be- 
denkt, dass  nach  der  gewöhnlichen  Modellirungsme-» . 
thode  aus  freier  Hand 

1)  eine  oft  sehr  verwickelte  und  zeitraubende  Con- 
struction  der  Schnitte  durch  Yorzeichnung  der 

'    nöthigen  Ansatz-  und  Bahnlinien  erfordert  wird; 

2)  die  einzelen  Schnitte,  wegen  der  freien  Führung 
der  Säge,  weder  ganz  genau,  noch  alle  gleich- 
namigen Schnitte  ganz  übereinstimmend  geführt 
werden  können,  und 

3)  die  Schnittflächen   durch   den   ungleichförmigen 


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488         Angewandte  Krystallographie* 

Gang,  und  durch  die  nicht  ganz  zu  vermeiden- 
den Biegungen  und  Schwankungen  der  Säge  oft 
so  striemig  und  gereift  werden,  dass  sie  eine 
bedeutende  Nachhülfe  durch  die  Feile  erfordern; 
so  wird  man  die  Vorzüge  einer  Krystallmodellirung»- 
maschine  nicht  verkennen,  mittels  welcher 

1)  alle  Constructionen  oder  Verzeichnungen  der 
Schnitte  entbehrlich  gemacht, 

2)  die  einzelen  Schnitte  genau,  und  alle  gleichna- 
migen Schnitte  völlig  übereinstimmend  gefuhrt, 
und 

3)  die  Schnittflächen  selbst  so  eben' werden,  dass 
es  einer  Nachhülfe  durch  die  Feile  nur  noch  al- 
lenfalls zur  letzten  Abglättung  derselben  bedarf. 

Ohne  daher  den  Mechanikern  vorgreifen  zu  wol- 
len, welche,  bei  gehöriger  Kenntniss  der  eigentlich 
zu  lösenden  Aufgabe ,  weit  zweckmässigere  Ideen  zur 
Ausführung  einer  Modellirungsmaschine  anzugeben 
wissei^  werden,  erlaube  ich  mir  im  Folgenden  einen 
Vorschlag  mitzutheilen,  wie  etwa  eine  dergleichen 
Maschine  herzustellen  seyn  dürfte*). 

f.    771, 
Forttetsong. 
Eine  solche  Krystallmodellirungsmaschine   wurde 
sich  etwa  auf  folgende  Art  ausführen  lassen. 

In  dem  Rahmen  ABCD^  Fig.  815,  lässt  sich  mit- 
tels einer  starken  Schraube  Eß"  das  Bret  aicd  hin 
und  her  schieben,  welches  in  zwei  Fugen  der  Rah- 
menstiicke  AC  und  BD  genau  eingelassen,    und   in 


*)  Eine  nur  aus  Holz  und  aehr  rob  gearbeitete  BfaBchine  die- 
•er  Art  gab  mir  Resultate ,  welcbe  befriedigend  genug  waren,  um 
von  einer  genau  und  aua  Bisen  gearbeiteten  Maachine  Alles  su  er- 
warten, was  sich  verlangen  UUst 


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Modelliriing  der  Krystallformen.  Cap.I.    489 

seiner  Mitte  e  cylindrisch  durchbohrt  ist,  um  den 
Zapfen  des  Modellträgers  aufnehmen  zu  können. 

Dieser  Modellträger,  welchen  ich  jetzt  nur  in  sei- 
ner einfachsten  Form  beschreiben  will,  wie  er  zur 
Darstellung  der  gewöhnlichsten  Gestalten  des  tesser»- 
len  und  tetragonalen  Systemes  erfordert  wird,  besteht 
jedenfalls  aus  einer  runden  Scheibe  aßj  Fig.  816,  mit 
angedrehtem  Zapfen  7,  welcher  sich  in  der  Oeffhung 
€  mit  einigem  Widerstände  drehen  lässt.  An  einer 
beliebigen  Stelle  der  Peripherie  dieser  Scheibe  ist  die 
Zunge  S  angesetzt,  welche  gleichsam  den  Index  bei 
den  Drehungen  der  Scheibe  bildet,  und  zur  Aufnahme 
eines  eisernen  Stellstiftes  durchbohrt  ist. 

Auf  der  oberen  Fläche  der  Scheibe  ist  ein  fester, 
etwa  4-  bis  4-  Zoll  tiefer  Rahmen  angebracht,  wel- 
cher für  tesserale  und  tetragonale  Gestalten  quadra- 
tisch., für  hexagonale  Gestalten  hexagonal,  für  rhom- 
bische, monoklinoSdrische  und  diklinoSdrische  Gestal- 
ten rhombisch  oder  rectangulär,  für  triklino^drische 
Gestalten  endlich  rhomboidisch,  jedenfalls  aber  in  Be- 
zug auf  die  mathematische  Axe  des  Zapfens  /  mög- 
lichst genau  centrirt,  und  fär  die  erstem  drei  Krystall- 
systeme  so  gestellt  seyn  muss,  dass  der  Radius  de» 
Durchbohrungspunctes  des  Index  S  mit  einer  seiner 
Seiten  genau  parallel  ist.  Die  Grösse  dieses  Rah- 
mens hängt  übrigens  von  der  Grösse  ab,  in  welcher 
das  Modell  dargestellt  werden  soll. 

Auf  dem  Brete  aicd  ziehe  man  nun  genau  durch 
den  Mittelpunct  zuvörderst  zwei,  'seinen  Seiten  par- 
allele Linien,  te^ff^  und,  gleichfalls  durch  den  Mit- 
telpunct, die  Diagonalen  ad^  be  der  beiden  ersteren 
Linien,  welche  also  gegen  jede  derselben  unter  46^ 
geneigt  sind;  die  ersteren  LinieYi  bezeichne  man  mit 
cx),  die  anderen  mit  1.  Endlich  ziehe  man  noch  mehre 
andere  Linien,  welche  mit  ee  und  jQ^  beiderseits  die 
Winkel  oi  bilden,  wie  solche  durch  die  Werthe  tango» 


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490         jtngei4Hmdte  Krystaüograptde. 

3=4-,  =T>  =1»  =4>  oder  allgemein  = —  bestimmt 

werden,  und  bezeichne  diese  Linien  mit  3,  2,  4,  4 . 
n.  g.  w.*) 

Hierauf  stelle  man  den  Krystallträger  anfdasBret, 
und  führe  eine  in  den  Mittelponct  der  Dorchbohrnng 
des  Index  angebrachte  Metailspitze  rings  auf  dem 
Brete  hemm,  so  wird  ein  Kreis  beschrieben,  welcher 
alle  vorher  gezogenen  Linien  schneidet,  und  folglich 
in  jeder  derselben  zwei  Puncto  bestimmt.  In  diesen 
Puncten  wird  nun  das  Bret  mit  demselben  Bohrer 
4urchbohrt,  mit  welchem  das  Loch  ii^  Index  gebohrt 
wurde,,  so  dass  der  Index  durch  den  eisernen  Stell-« 
Stift  an  jedem  Puacte  unverrücklich  befestigt  wer- 
den kaun. 

f.    772. 
Fortsetzang. 

Im  vorhergehenden  %.  ist  der  zur  Stellung  des  Mo* 
dellklotzes  erforderliche  Apparat  beschrieben  worden; 
wir  gehen  nun  zu  dei^jenigen  Maschinentheile  über, 
welcher  die  richtige  Stellung  der  Säge  bezweckt 

Die  Säge  muss  entweder  in  einem  Bahmen,  oder 
noch  besser,  nach  Art  eines  Pendels  an  einer  Ai^e 
gehen,  welche  ihre  Bewegung  in  ei^er  Ebene  hinrei- 
chend sichert.  Einstweilen  habe  ich  nur  die  erstere 
Vorrichtung  ausführen  lassen,  welche  zwar  einfacher, 
aber  mit  manchen  Unvollkonpimenheiten  behaftet  ist. 
Auf  dem  grossen  Bahmen  ABCDj  Fig.  815,  sind  in. 
G  und  G  zwei  Klotzer  beCpstigt,  welche  in  einer  mit 
AB  parallelen  Bichtung  durchbohrt  und  als  die  Zapfea* 


*)  Diese  Bintheiltmg  bezieht  sich  zonachtt  nur  auf  tesserale 
und  tetragonale  Gestalten.  Im  Allgemeinen  wäre  es  daher  vorzu« 
ziehen,  wenn  die  Peripherie  in  360°  getheilt,  nnd  eine  Vorrid^ 
tiing  zur  Arretimng  «des  Krystalitr&gers  an  jedem  beliebigen  Pnncto 
derselben  vorbanden  wäre. 


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Modellirung  der  Krystallformen.  Cap.L    4dl 

lager  des  Sägerahmens  sa  betrachten  «ind.  Dieser 
S%eraluaen  selbst  ist  ein  etwas  starker,  redlangulä^ 
rer  Rahmen  KKMM^  Fig.  818,  dessen  eine  kürzere 
Seite  jedach  fehlt,  and  nur  in  ihren  Enden  dorch  die 
fwei  Zapfen  M  und  M  repräsentirt  wird;  anf  den 
län^esren  Seiten  KM  und  KM  sind  die  Leitschienea 
mm  so  befes<jigt,^  dass  ihr  Abstand  von  der  Fläche  des 
Rahmens  nur  um  sehr  wenig  grosser  ist  als  die  Dicke 
des  Sägegestelles.  Liegt  dieser  Sägerahpaen  in  sei^ 
nen  Zapfenlagern,  so  kann  man  ihm  jede  beliebige 
Neigung  gegep  die  Ebene  des  Rahmens  ABCD  ge- 
ben ,  und  es  mnss  daher  nicht  nur  ein  Gradbogen  zur 
SteUung,  sondern  auch  eine  Vorrichtung  zur  sicheren 
Arretimng  des  Sägerahmens  angebracht  werden. 

Die  Säge  selbst  endlich  hat  ungefähr  die  Form 
wie  Fig..819;  das  Blatt  muss  kurz,  gut  gehärtet  und 
scharf  eingespannt  seyn,  um  nicht  bei  schiefer  Lage 
durch  das  Gewicht  der  Säge  und  den  Widerstand  des 
Modellklotzes  einer  Biegung  ausgesetzt  zu  seyn.  Die 
.  eiserne  Fassung  oder  das  Gestelle  der  Säge  muss  durch- 
gängig von  gleicher  Dicke ,  und  das  Blatt  gelbst  den  Sei- 
tenflächen des  Gestelles  genau  parallel  eingespannt  seyn. 

f.    773. 
Fortsetzung. 

Die  Modellirungsmaschine,  wie  solche  hier  beschrie- 
ben worden^  ist  nur  ein  roher  Entwurf  von  dem,  was 
aus  ihr  werden  kann,  wenn  sie  in  Metall  und  mit  den 
gehörigen' Verbesserungen  ausgeführt  wird;  bei  die- 
sen Verbesserungen  möchten  vielleicht  folgende  zwei 
Vorschläge  zu  berücksichtigen  seyn. 

1)  Der  Modellträger  kann,  statt  des  oben  beschrie- 
benen festen  Rahmens,  mit  einem  aus  zwei  bewegli- 
chen Winkelstücken  bestehenden  Rahmen  versehen 
werden,  dessen  beide  Theile  sich  durch  ein  rechts 
und  links  gehendes,  etwas  stark  gearbeitetes Schrau- 


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492         Angewandte  Kry^tallographie. 

bengewinde  einander  beliebig  nähern  lassen,  um  Mo- 
dellklötze von  beliebigen  Dimensionen  beqoem  and 
sicher  einspannen  zu  können.  Für  die  Modelle  tes- 
seraler  nnd  tetragonaler  Gestalten  würden  die  Schen- 
kel dieser  Rahmenstucke  den  Winkel  von  90%  für 
die  Modelle  hexagonaler  Gestalten,  den  Winkel  Ton 
120^  bilden  müssen;  f&r  die  Modelle  der  übrigen  Sy- 
steme könnte  man  sich  besonderer  Hülfswinkelstücke 
bedienen,  die  in  den  rechtwinkligen  Rahmen  einge- 
setzt würden.  Die  Hauptsache  ist  nur,  dass  der  Mit- 
telpunct  des  so  zusammengesetzten  Rahmens  bei  je- 
der Stellung  der  Rahmenstücke  unverändert  in  der 
mathematischen  Axe  des  Krystallträgers  liegt,  was 
durch  möglichst  genaue  Arbeit  des  Schraubengewindes 
erreicht  wird. 

2)  Die  Säge  kann,  statt  in  einem  Rahmen  hin 
und  her  zu  laufen,  um  eine  Axe  oscilliren.  Freilich 
müssten  dann  die,  das  bogenförmige  Sägeblatt  tragen- 
den Pendelstangen  und  besonders  die  Zapfen  dersel- 
ben, so  wie  der  Rahmen  selbst  etwas  stark  gearbei- 
tet werden,  um  allen  Nutationen  vorzubeugen.  Auch 
müsste  das  Zapfenlager  des  Pendels  in  einem  schwal- 
benschwanzförmigen  Metallstücke  angebracht  seyn, 
welches  in  einem  gleichgeformten  Falze  des  oberen 
Rahmenstückes  auf-  und  abgleitet,  damit  die  Säge, 
so  wie  sie  in  den  Modellklotz  einschneidet,  ungehin- 
dert nachrücken  kann. 

Uebrigens  muss  ich  es  den  Mechanikern  überlas- 
sen, diese  Vorschläge  nach  ihrer  Brauchbarkeit  za 
prüfen,  und  durch  zweckmässigere  zu  ersetzen. 

]>^achdem  wir  uns  nun  im  Allgemeinen  mit  den 
Ilülfsmitteln  der  Holzmodellirung  bekannt  gemacht  ha- 
ben, schreiten  wir  zur  Betrachtung  der  besondern  Re- 
geln, welche  bei  der  Modellirung  der  Gestalten  aus 
den  verschiedenen  Krystallsystemen  zu  befolgen  sind» 


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Modellirung  der  Krystallformen.   Cap.  I.    493 

wobei  wir  uns  jedoch  nur  auf  die  einfachsten  Formen 
einlassen  können. 

//.    Modellirung  der  teaseralen  Gestalten. 

|.  774.  . 
Elenente  znr  Bettiminaiig  der  Lage  der  Schnitte. 
Der  Gmndkdrper,  von  welchem  man  bei  der  Model« 
Umng  der  tesseralen  Gestalten  am  vortheilhaftesten 
ausgeht,  und  welcher  daher  gewöhnlich  als  Modell- 
klotz  dient,  ist  das  Hexaeder,  dessen  Flächenmittel- 
puncte  die  Pole  der  Hauptaxen  aller  zu  modelliren- 
den  Gestalten  werden  müssen.  Um  nun  die  zur  Be« 
Stimmung  der  Schnitte  erforderlicheh  Ansatz  -  und 
Bahnlinien  in  der  grössten  Allgemeinheit  zu  finden, 
wollen  wir  dieselben  sogleich  für  das  HexakisoktaC- 
der  mOn  aufsuchen. 

Man  denke  also  das  HexaMer  ooOoc  mit  dem  ein- 
geschriebenen mOn  in  normaler  Stellung  vor  sich,  und 
bezeichne  sein  oberes,  vorderes,  rechtes  Eck  mit  E^ 
Fig.  820,  seinen  Mittelpunct  mit  ilf ,  wähle  die  MOj 
MB  und  MV  als  die  positiven  Halbaxen  der  Xj  y 
und  z,  so  sind  die  Coordinaten  des  Punetes  E 

^=1,  y=l,   z  =  l 
imd  41®  Gleichungen  der  drei  von  diesem  Puncto  aus- 
laufenden HexaSderkanten  folgende: 

der  ^L X  =  iy   z  =  1 

dei  EH ^  =r  1,  y  =  1 

ier  EU y  ==  1,   2:  =  1 

Nun  ist  die  Gleichung  einer  von  den  beiden,  am 
Puncto  V  oben  rechts  liegenden  Flächen  des  Hexa- 
kisoktaßders 

£.  +  iL  +  ^  =  i       ■ 

also  werden  die  Coordinaten  ihres  Durchs^Anittspunctes 
mit  EL ;r  =  1,  y  =  —  — ,  z  =  1 


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484         Angewandte  KrystaUographie. 

ndt  EH ^=    1,    y  =  l,  z  =  l,— ^!^ 

mit  EU s  = ,  y=s  1,  ic  =  1 

Nimmt  man  die  Coordinaten  y  in  ELj  z  in  EH 
und  jx;  in  JS(7  mit  entgegengesetzten  Vorzeichen,  und 
addirt  zu  jeder  die  Länge  1  der  halben  HexaSder- 
kuite,  8o  erhält  man  die  Segmente  der  drei  E^ten 
ELy  BHj  EU  von.  £  aus  gerechnet,  wie  folgt 

5CÄ£) '='*  +  * 


2(EH)  = 
S(EU)  = 


m 


mn 

m  +  n 

n 

und   es   verhalten   sich  daher   diese   drei   Segmente 
aas  ii:l:fl>. 

Es  ist  aber  besser,  zur  Bequemlichkeit  des  Kunst- 
lers die  ganze  HexaSderkaate  =3  1  zu  setzen;  wo- 
durch die  entsprechenden  Kantensegmente  folgende 
Werthe  erhalten 

S(EL)  s=  51.±^ 
SiEH)  = 

ACt  diesen  drei  Ausdrücken  ist  Alles  gefunden, 
was  von  Seiten  der  Theorie  %ur  Modellbung  der  tes- 
seralen  Gestalten  erfordert 'wird ;  denn  alles  Uebrige 
ist  ein  InbegriiSf  prt^ktischer  Regeln,  bei  deren  Dar- 
stellung wir  vom  Leichteren  zum  Schwereren  über* 
gehen  wollen« 

f.    775. 

Das  Oktaeder  O  aus  dem  Hexaeder  su  modeüiren. 
Für  das  Okta§der  O  ist  m  ==:  n  =  1,  also 


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ModelUrung  der  Kryatallformen.  Cap.  /.     495 

S(EL)  =  2(EH)  =  2{EU)  =  1 
woraus  sich  folgende  ConstFuction  ergiebt. 

Man  ziehe  die  Diagonalen  auf  alten  sechs  Hexa6^ 
derfiiächert,  Fig.  821,  wähle  zwei  Gegenflächen  dessel- 
ben (z.B.  die  obere  nnd  untere  in  der  Figur)  zvlAa* 
satzfl&ehen ,  ihre  Diagonalen  zu  Ansatzlinien,  und  die 
auf  den  Nebenflächen  gezogenen  Diagonalen  zu  Bahn« 
linien  *).  Hierauf  führe  man  von  jeder  Ansatzlinie 
zwei  Schnitte  (wie  z.  B.  von  bi  die  zwei  Schnitte  bbb% 
lege  jedoch  diese  Schnitte  auf  der  ersten  Fläche  nur 
an,  indem  man  sie  nicht  ganz  bis  zu  den  Durchschnitts^ 
puncten  c  der  Bahnlinien  fortsetzt,  uin  eine  vorzei^ 
tige  Zerstückelung  des  Klotzes  zu*  verhindern,  fahre 
sie  dagegen  auf  der  zweiten  Fläche  gleich  etwas  über 
die  Pnncte  c  hinaus,  und  vollende  darauf  die  zuerst 
angelegten  Schnitte,  so  resuhirt  das  Oktaeder.' 

Zusatz.  Modellirung  in  der  Maschine.  Man  spanne 
das  Hexaeder  in  den  tetragonalen  Rahmen,  gebe  der 
Säge  die  Neigung  von  54**  44',  centrire  sie  auf  der 
oberen  Hexaßderfläche  **),  stelle  hierauf  den  Index  des 
Modellträgers  successiv  auf  die  vier  Puncto  1,  und 
lege  die  vier  oberen  Schnitte  an,  Wie  vorher;  kehre 
darauf  das  Hexaeder  um,  fahre  die  vier  folgenden 
Schnitte  in  der  Maschine  sogleich  durch,  und  vollende 
darauf  die  vier  ersteren  Schnitte  aus  freier  Hand. 

f.    776. 
Das  OktaSder  aus  dein  tetragonalen  Prisma  zn^tclmeiden. 

Das  Oktaeder  kann  man  als  eine  tetragonale  Py- 


*)  Zar  besseren  Unterscheidung  sind  die  Ansatzlinien  ausgezo- 
gen, die  Bahnlinien  dagegen  nur  punctirt  dargestellt. 

*♦)  Die  bereits  in  die  richtige  Neigung  gestellte  Säge  centri- 
ren,  heisst,  sie  so  stellen,  dass  ihre  Schneide,  oder  vielmehr  die 
untere  Seitenfläche  des  Blattes  durch  den  Mittelpunct  der  oberen 
Flache  des  Modellklotzes  geht;  dazu  dient,  wie  man  leicht  sieht, 
^e  Schraube  EF,  mjittels  welcher  der  Modellträger  so  lange  unter 
der  Säge  verschoben  werden  kann»  bis  dieselbe  centrirt  ist. 


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496         Angewandte  Krysiallographie. 

ramide  betrachten,  deren  Mittelkante  sich  zur  ganzen 
Hauptaxe  verhält,  wie  1 :  ^2.  Man  schneide  also  ein 
tetragonales  Prisma,  dessen  Höhe  =  der  Diagonale 
seiner  Grundfläche,  bestimme  die  Mittelponcte  sei- 
ner sämmtlichen  Kanten,  Terbinde  auf  den  Endflächen 
die  Mittelpuncte  je  zweier  Gegetikanten,  auf  den  Sei- 
tenflächen die  Mittelpuncte  je  zweier  Nebenkanten 
durch  gerade  Linien,  und  wähle  die  ersteren  Linien 
SU  Ansatzlinien,  die  anderen  zu  Bahnlinien.  Hierauf 
lege  man  die  Schnitte  auf  der  ersteten  Endfläche  nuf 
bis  etwa  durch  4  der  Bahnlinien  an,  führe  die  Schnitte 
auf  der  zweiten  Endfläche  sogleich  durch,  und  voll- 
ende nachher  die  vier  ersten  Schnitte. 

Zusatz.  Modellirung  in  der  Maschine.  Man 
spanne  das  Prisma  in  den  tetragonalen  Rahmen,  gebe 
d^r  Säge  die  Neigung  von  54^  44^  centrire  sie  auf 
der  oberen  Endfläche  des  Prismas,  stelle  den  Index 
successiv  auf  die  vier  Puncto  oc,  und  verfahre  wie 
vorher. 

§.    777. 

Das  Oktaeder  ans  dem  hexagoaalen  Prisma  zu  schneldeo. 

Stellt  man  das  Oktaeder  nach  einer  seiner  trigo« 
nalen  Z wisch  enaxen  aufrecht,  so  erscheint  es  als  die 
Combination  JR.Oil,  oder  als  das  Mittelstuck  eines 
RhomboSders,  dessen  Polkante  =  70''32'44''.  Denkt 
man  sich  durch  die  Mittel  kanten  dieser  Combination 
Flächen  gelegt,  welche  _ auf  OJR  rechtwinklig  sind,  so 
erhält  man  ein  durch  OR  begränztes  hex^onales  Pris- 
ma, dessen  Endkante  sich  zur  Seitenkante  verhält 
wie  1 :  |/i2. 

Man  schneide  also  ein  hexagonales  Prisma,  Fig. 
823,  nehme  in  einer  seiner  Seitenkanten  ac  =  a&y 
so  ist  bc  die  erforderliche  Höhe  desselben.  Auf  sei- 
nen Endflächen  verbinde  man  die  abwechselnden  (und 
zwar  auf  der  oberen  und  unteren  Endfläche  die  wi- 


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Modettiritng  der  KtystcdlformeTU  Cap.  L     497 

dersinnig  gelegenen)  Eckpnncte,  auf  den  Seitenflächen 
dieselben  Eckponcte  durch  gerade  Linien,  wähle  die 
enteren  za  Ansatz -,  die  anderen  zu  Bahnlinien,  und 
führe  die  Schnitte ,  indem  man  »ie  von  der  einen  End- 
fläche nur  vorläufig  anlegt,  von  der  andern  aber  gleich 
vollendet 

|.  778. 

Das  Tetraeder  •--  zu  modellirdn. 
2 

Man  vollende  nur  die  halbe  Construction  des  $.775, 
d.  h.  man  ziehe  nur  die  abwechselnden  Diagonalen 
auf  den  Flächen  des  Hexaeders,  fQhre  auch  nur  die 
durch  sie  bestimmten  Schnitte,  indem  man  wiederum 
die  von  der  ersten  Fläche  geführten  Schnitte  vorläufig 
bis  etwa  zu  den  Puncten  c  anlegt,  und  sie  nach 
Durchführung  der  beiden  andern  Schritte  nachträglich 
vollendet. 

i  779. 
t>ai  RhombendodekaSder  ooO  aus  dem  Hexaeder  zo  modeUiren* 

für  das  Rhombendodeka^der  ocO  ist  ff}  =  cx>,  und 
11  =  1,  also 

woraus  sich  folgende  Construction  ergiebt. 

Man  suche  die  Mittelpuncte  a  der  Kanten  des 
Hexal^ders,  Fig.  822;  und  verbinde  auf  seinen  einzel-» 
nen  Flächen  zwei  gegenüberliegende  Theilpuncte  durch 
gerade  Linien  in  der  Weise,  dass  die  beiden  Linien 
Je  zweier  Gegenflächen  parallel,  je  zweier  Nebenflä* 
chen  rechtwinklig  mit  einander  sind  (oc^r  eine  den 
charakteristischen  Kanten  der  Pentagondodeka^der 
analoge  Lage  haben),  verbinde  auch  je  zwei  neben 
•inander  liegende  Theilpuncte  durch  gerade  Linien  i 
II.  32 


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498         Angeipandte  Krystallographie. 

und  wäMe  die  ersteren  LiiiieB  sa  Ansats  -,  die  kt»» 
teren  zu  Bahnlinien. 

Von  jeder  Antatdfnie  aus  führe  man  nun  iwei 
Schnitte  nach  den  durch  die,  von  ihr  anslaufenden 
Bahnlinien  bestimmten  RichtQngen,  lege  diese  Schnitte 
auf  den  ersten  fünf  Flächen  des  HexaSders  nur  etwa 
bis  auf  ^  der  Bahnlinien  an,  führe  sie  aaf  der  letz- 
ten Fläche  sogleich  durch,  nnd  vollende  dann  die 
vorher  angelegten  Schnitte. 

Znsatz.  Modellirung  in  der  Maschine.  Man  be- 
merke sich  auf  djem  Hexaeder  mit  Bleistifte  die  unge- 
fähre Lage  der  Ansatzlinien,  um  falsche  Schnitte  zu 
vermeiden,  spanne  es  dann  in  den  tetragonalen  Bah«^ 
man,  gebe  der  Säge  die  Neigung  von  45%  stelle  den 
Index  für  jede  Fläche  successiv  auf  zwei  gegenüber^ 
liegende  Puncto  oo,  nn^i  führe  die  Schnitte  wie  vorher. 

$.780. 
DasRhombendodeka^er  aus  dem  tetra^nalen  Friama  zu  modellireo. 

Das  Rhombendodekagder  ocO  lässt  sich  auch  aus 
einem  tetragonalen  Prisma  schneiden,  dessen Endkan- 
ten  sich  zu  den  Seitenkanten  verhalten  wie  1  r  ^. 
Man  schneide  also  zuvörderst  ein  dergleichen  Prisma, 
dessen  Höhe  =  der  Diagonale  seiner  Endfläche,  ziehe 
auf  beiden  Endflächen  die  Diagonalen,  verbinde  anch 
die  Mittelpuncte  der  Seitenkanten  mit  den  Eckpuncten 
durch  gerade  Linien,  und  wähle  die  ersteren  Liniea 
jtu  Ansatz-,  die  letzteren  zu  Bahnlinien.  Hterauf 
föhre  man  die  Schnitte,  und  zwar  die  vier  von  der 
.ersten  Endfläche  vorläufig  nur  bis  auf  etwa  j-  der 
Bahnlinien,  die  vief  von  der  zweiten  Endfläche  ab^ 
sogleich  durch,  worauf  man  die  ersteren  Sohnitte  vol-. 
lends  beendigt. 

Zusatz.  Modellimng  in  der  Maschine.  Man 
spanne  das  Prisma  in  den  tetragonalen  Rahmen,  gebe 
der  Säge  die  Ne%UBg  von  45"",  oentrire  «ie  auf  der 


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ModelUrung  der  KrystallfcrmeTu  Cctp.!.    4W 

oberen  Endfläche  des  Primas,  stelle  den  Index  snc*  ^ 
cessiv  anf  die  vier  Pancte  1^  «nd  f&hre  die  Schnitte 
wie  vorher. 

§.781. 
Das  Rhombendodekaedor  ans  dem  hexagonalen  Prisma  zu  schneideo. 

Stellt  man  das  Rhombendodeka^der  ocO  nach  ei- 
ner trigonalen  Zwischenaxe  aufrecht,  so  erscheint  es 
nis  die  rfaombo^drische  Combinatton  acP2.jR ;  nnd  legt 
Bian  durch  die  Pole  des  RhomboSders  die  basischen 
Flächen  O/l,  so  bilden  diese  mit  den  Flächen  von 
ooP2  ein  hexagonales  Prisma,  dessen  Endkante  sidi 
SU  seinen  Seitenkanten  verhält  ,==  )/!2:3. 

Man  schneide  also  ein  hexagonales  Prisma,  und 
mache  seine  Länge  =  4/2  mal  der  Seite  seiner 
Grundfläche,  also  =»  4X2<7  in  Fig.  823. 

Auf  beiden  Endflächen  dieses  Prismas,  Fig.  824^ 
ziehe  man  nun  die  Seitendurchmesser  na,  nehme  in 
den  abwechselnden  Seitenkanten,  obei^  und  unten Avi- 
dersinnig,  ^  ihrer  selbst,  wodurch  sich  die  Punctp  h 
bestimmen,  ziehe  die  Linien  ahy  nnd  wähle  die  Li- 
nien aa  zu  Ansatz  - ,  die  ab  zu  Bahnlinien.  Hierauf 
I^ge  man  die  drei  Schnitte  auf  der  einen  Endfläche 
bis  zu  den  Puncten  b  hin  an ,  führe  die  drei  Schnitte 
auf  der  anderen  Endfläche  gleich  ans,  und  vollende 
dann  die  zuerst  angelegten  Schnitte. 

Znsatsfi.  Modellirung  in  der  Maschine.  Man 
spanne  das  Pk*isma  in  den  bexagonalen  Rahmen ,  gebe 
der  Säge  die  Neigung  von  36^  16^,  centrire  sie,  stelle 
den  Index  suceessiv  auf  die  Puncto  3(r,  160°  und  27(f 
der  Peripherie,  und  fShre  die  Schnitte  vrie  vorher. 

f.  782. 

Das  Tetrakiih^aSder  ooO»  zu  siodelHreii. 

Für  das  Tetrakishexa§der  ocO»  ist  «i  =  oc,  nnd 
daher 

32» 


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500         Angewandte  Krystallographie. 

S(EU)  —  oo 
woraus  sich  folgende  Construction  ergiebt. 

Man  suche  in  sämintlichen  Kanten  des  Hexaeders, 
Fig.  825,  die  Mittelpuncte  a  und  die  EnJpttnCte  c  det 

von  den  Eckpuncten  aus  genommenen  Segmente  j-, 

verbinde  in  den  einzelen  Flächen  jeden  Punct  a  mit 
dem  diametral  gegenüber  liegenden  Puncte  a  durch 
eine  ausgezogene  Linie,  und  mit  den  zunächst  gele- 
genen beiden  Puncten  c  dur^h  punctirte  Linien,  wähle 
die  aa  zu  Ansatz«,  die  ac  zu  Bahnlinien,  führe  dem 
gemäss  von  jeder  HexaSderfläche  vier  Schnitte,  lege 
jedoch  selbige  auf  den  fünf  ersten  Flächen  vorläufig 
nur  an  bis  etwa  durch  4  der  Länge  ac  der  einzelen 
Bahnlinien,  führe  sie  auf  der  sechsten  Fläche  sogleich 
durch,  und  vollende  endlich  die  vorher  angelegten 
Schnitte. 

Zusatz.  Modellirung  in  der  Maschine.  Man 
spanne  das  Hexaeder  in  den  tetragonalen  Rahmen, 
gebe    der    Säge    die    Neigung    w^    bestimmt    durch 

1 

1ang(a=:~   (also  z.  B.  die  Neigung  33"*^,  26''4^  und 

18*^1  far  die  drei  Varietäten  ooOJ,  öo02  und  oc03), 
centrire  die  Säge,  stelle  de)i  linder  successiv  auf  die 
vier  Puncte  oo,  und  führe  bei  jeder  Stellung  einen 
Schnitt.  Wiederholt  man  dasselbe  Verfahren  für  die 
übrigen  fünf  Flächen  deis  Hexaeders ,  jedoch  mit  der 
Vorsicht,  die  Schnitte  auf  den  ersten  fünf  Flädien 
nur  anzulegen,  so  erhält  man  alle  nothigen  Schnitte 
zur  Darstellung  der  verlangten  Gestalt. 


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Mo^elUrung  d^r  KryßtaUformen.  Cap.L     501 

§•  783,  ' 

'  ooOn 
JHm  PeDtagondodekaeder  — —  eh  modeUiren« 

Man  fuhrt  mir  die  Hälfte  der  im  vorigen  $.  ange- 
gebenen Construction  aus,  sucht  also  wiederum  die 
Puncte  a  und  e,  zieht  aber  ^uf  jeder  Fläche  des 
Hexaeders  nur  eine  der  Linien  aa,  Fig.  826,  und 
nur  vier  der  Linien  ac,  indem  man  für  die  Lage 
der  ersteren  Linien  die  Regel  beobachtet,  da^s  die  je 
sayeier  Gegenüächen  parallel,  die  je  zweier  Nebenflä- 
chen rechtwinklig  mit  einander  seyn  müssen.  |Iier- 
auf  wählt  man  wie  vorher  die  Linien  aa  zu  Ansatz-, 
die  Linien  ac  zu  Bahnlinien,  legt  auf  den  ersten  fünf 
Flächen  die  Schnitte  nur  an,  führt  sie  auf  der  letzten 
gleich  durch,  und  vollendet  dann  die  blos  angelegten 
Schnitte.  % 

Das  Verfahren  in  des  Masehine  ist  für  tich  hii|* 
Umglich  einleuchtend. 

$.  784. 

Das  Ikoflitetra^er  mOm  za  modelliren. 

Für  das  Ikositetra^der  mOm  wird  fi  =s  «,  und 
folglich 

Jü 

woraus  sich  folgende  Regel  ergiebt. 

Man  nehme  in  allen  Kanten  des  Hexaeders  voll 

ihren  Eckpuncten    aus   beiderseits  die  Segmente  — , 

so   bestimmen    sich   allgemein   in  jeder  Kante   zwei 
Puncto*),  welche 'ich,  obgleich  sie  gleichwerthig  suid^ 


0  Für  202  fallen  dieaa  Puncte  zosaminen  in  den  Mittelpiuict 
der  Kante. 


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502         Angewandte  Krystalhgraphie. 

doch  nach  ihrer  Vertheilang  an  den  abwechselnden 
Ecken  des  Hexaeders  mit  den  zwei  Buchstaben  a  und 
e  bezeichnen  will,  Fig.  827.  Hierauf  ziehe  man  in 
jeder  Hexaederfläche  die  DiagoofJen  EEy  verbinde 
auch  jeden  Eckpunct  E  mit  den  beiden  zunächst  ge« 
legenen  Puncten  a  oder  c,  u^d  wähle  die  ersterenLi* 
nien  zu  Ansatz-.»  die  letzteren  Liniea  zu  Bahnlinien. 
Auf  jeder  Hexaederfläche  fuhrt  man  nun  yier  Schnitte, 
legt  solche  jedoch  auf  den  ersten  fünf  Flächen  nur 
bis  in  die  Nähe  der  Kreuzungspuncte  der  resp.  Bahn^ 
linien  an,  fuhrt  sie  auf  der  sechsten  Fläche  sogleich 
durch,  und  vollendet  dann  die  vorlier  nur  angelegten 
Schnitte. 

Zusatz.  ModeUining  in  der  Maschine.  Msm 
spanne  das  Hexaeder  in  den  tetragonalen  Rahmea, 
gebe    der    Säge    die    Neigung    Wy    bestimmt    durch 

fang(o  =  ^  (also  z.  B.  35*^  16'  und  25^  14'  fBr  202 

und  303),  centrire  sie,  stelle  den  Index  successiv 
auf  die  vier  Puncto  1,  und  fälure  die  Schnitte  wie 
vorher. 

$.  785. 

0iOsi' 
Das  Tri^B4»dekafider  ■■■  ■■,    tu.  BodeUireo. 

Man  fährt  die  Constroction  des  vorhergehenden  §. 
nur  zur  Hälfte  aus,  besümmt  aho  nur  die  an  de« 
vier  abwechselnden  Ecken   des  Hexaeders  gelegenen 

Kantensegmente  — ,  zieh^  nur  die  von  de»  äbrigea  vier 

Eckpuncten  auslaufenden  Diagonalen  und  AaliiriiBien, 
und  fährt  nur  diejenigen  zwölf  Schnitte,  welche  durch 
die  so  construirten  Ansatz  -  und  Bahnlinien  bestimmt 
werden. 


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Modeüirung  der  Krystallformtn.  Cap.L     503 

*      §.  786. 
Dat  TriakkoktaSdos  mO  zu  modeHiren. 


fSr  das  Triakisoktagder  mO  ist  n=:l,  und  folglich 
»•+1 


2(ÄZ,)  =  -S(Äff)=:^* 


SkEU)^'  ^ 

woraus  sich  folgende  Constraction  ergiebt. 

Man  nehme  in  aUen  Kanten  des  Hexaeders  yon 

ihren  Ecken    aus    beiderseits  das  Segment  — — ,  so 

bestimmen  sich  in  jeder  Kante  zwei  Puncto,  welche 
ich,  obgleich  sie  gleich werthig  sind,  doch  nach  ihrer 
Lage  an  den  abwechselnden  Ecken  des  Hexaeders  mit 
den  zweierlei  Buchstaben  a  und  c  bezeichnen  will; 
Fig.  828.  Hierauf  verbinde  man  auf  jeder  einzelen 
Fläche  des  Hexaeders  zwei  PaeMr  diametral  gegenüber 
liegende  Puncto  durch  die  ausgezogenen  Linien  aa 
und  c^;,  in  der  Weise,  dass  diese  schiefen  Linien- 
kreuze nur  auf  je  zwei  Gegenflächen  gleichsinnig,  auf' 
je  zwei  Nebenflächen  aber  widersinnig  liegen  (analog 
den  charakteristischen  Kanten  der  Pentagondodeka- 
§der);  auch  verbinde  man  noch  auf  jeder  einzelen 
Fläche  des  Hexaeders  je  zwei  diagonal  gegenüberlie- 
gende Puncto  durch  die  punctirten  Linien  aa  und  cc. 

Man  wähle  nun  die  ausgezogenen  Linien  zu  An- 
satz-, die  punctirten  Linien  zu  Bahnlinien,  und  lege 
auf  jeder  Hexa^derfläche  vier  Schnitte  an,  wie:  solche 
durch  die  von  den  Enden  der  Ansatzlinien  auslaufen- 
den Bahnlinien  bestimmt  werden;  auf  der  letzteii 
Fläche  führt  man  jedoch  diese  Schnitte  sogleich 
durch,  und  vollendet  nachher  die  früher  nur  angeleg- 
ten Schnitte. 

Zusatz.  ModelUrung  in  der  Maschine.  Mai| 
spanne  das  Hexaeder   in  den    tetragonalen  Bahiaen, 


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504         Angewandte  Krystallographie. 

gebe    der   Säge    die    Neigung   o}j    bestimmt    durch 

iangw  =  y^^-^  (also  z.  B.  die  Neigung  48**  11'  und 

46^  30'  für  20  und  30),  centrire  die  Säge,  stelle  den 
Index  successiv  auf  vier  paarweis  einander  gegenüber^ 
liegende  Puncto  m,  und  lege  die  Schnitte  auf  der  er- 
sten Fläche  an ;  wiederhole  dieselbe  Operation  für  die 
übrigen  fünf  Flächen,  führe  jedoch  auf  der  leisten 
Fläche  die  Schnitte  sogleich  durch ,  und  vollende  dann 
die  blos  angelegten  aus  freier  Hand. 

$.  787. 

siO 

Das  DeltoiddodekaSd^r  ---  zu  modellireiL 

Man  bestimme,  nach  der  Angabe  des  vorhergehen« 
den  $.,  entweder  nur  die  12  Puncto  a,  oder  die  12 
Puncto  c,  vollende  überhaupt  die  Construction  in 
Fig.  828  nur  aur  Hälfte,  und  führe  auch  nur  die  ent- 
weder durch  die  Linien  ira,  oder  die  durch  die  Li- 
nien cc  bestimmten  12  Schnitte  aus,  so  resultirt  das 

mO 

verlaAgte  Deltoid-Dodekaöder  —. 

$.  788. 
Das  Hexakisoktaeder  mOn  su  modellireii. 

Wir  fanden  oben  in  f.  774  für  das  Hexakitokta« 
«der  mOm 

S(EL)  x^  ?^* 

SiEU)  =  ^ 

woraus  sich  folgende  Construction  ergiebt. 

Man  nehme  in  allen  Kanten  des  Hexaäders  bei- 
derseits   von    ihren   Eckpuiicten    aus    die    Segmente 


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Modeüirung  der  Krystallformen.  Cap.I.     505 

?^  =  Eof  Fig.  829,  und  ^±?  =  J?c,  so  bestim- 

men  sich  in  jeder  Kante  zwei  Puncto  a  und  zwei 
Puncte  c.  In  den  einzelen  Tlächen  verbinde  man 
nun  jeden  Punet  a  mit  dem  diametral  gegenüberlie* 
genden  Puncte  a  durch  eine  ausgezogene^ Linie  aa^ 
und  mit  dem  zunächst  jenisfeits  seines  Nebenpunctes 
a  gelegenen  Puncte  c  durch  eine  punctirte  Linie  acj 
so  ergeben  sich  in  jeder  Fläche  überhaupt  Tier  Li* 
nien  aa  und  acht  Linien  ac.*)  Man  wälile  nun  die 
Linien  aa  zu  Ansatz -,  und  die  von  ihren  Endpuncten 
auslaufenden  ac  zu  Bahnlinien,  führe  auf  der  ersten 
Fläche  acht,  durch  diese  Linien  bestimmte  Schnitte, 
lege  sie  jedoch  vorläufig  nur  bis  zu  den  Kr^uzungs«* 
puncten  der  Bahnlinien  an,  wiederhole  dasselbe  Ver* 
fahren  für  die  übrigen  Flächen  des  Hexaeders,  voll- 
ende dann  die  sämmtlichen  Schnitte,  so  resultirt  das 
verlangte  HexakisoktaSder  mOn. 

Zusatz.  Modellirung  in  der  Maschine.  Man 
spanne  das  Hexaeder  in  den  tetragonalen  Rahmen, 
gebe    der    Säge    die    Neigung    cu,    bestimmt    durch 

/gfigft>=    ■    ^'^    (z.  B.  36^  42'  für  30|,   28^  2f  für 

402,  und  32""  19^  für  öO|),  centrire  die  SSge  auf  der 
oberen  Fläche  des  Hexaeders,  stelle  den  Index  suo- 

cessiv  auf  die  acht  Puncte  — ,    und   führe  bei  jeder 

Stellung  einen  Schnitt;  wiederholt  man  dasselbe  Ver- 
fahren für  die  anderen  fünf ''Hexaederflächen,  so  er- 
hält man  sämmtliche  zur  Darstellung  von  mQn  erfor« 
derliche  Schnitte. 


*)  Die  Figur  S^  bezieht  aicd  auf  die  Varietät  402,  fiir  wel- 
che die  Linien  ac  den  Limeu  aa  parallel  werden;  in  den  Varietä- 
ten 304  ^^^  ^^T  f&Hen  je  zwei  Puncte  c  zosammen  in  den  Mit- 
telpunct  der  Hexaederkante. 


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^OQ         Angewandte  KrysUdhgraphU. 

i  789. 

mOit 
Das*  Hexaidstetraeder  — r^  zu  modeUirea. 

% 

Man  bestiiiinfo  die  Poncte  a  mir  yon  vier  obweeln 
selnden  Ecken,  und  die  Pnnete  c  von  den  übrigen 
vier  Eeke»  des  Hexaeders  ans,  Tollende  nberhanpt 
die  Construction  des  vorhergehenden  §.  nnr  sor  Hälfte , 
80  wie  in  Fig.  830,  führe  die  24  Schnitte,  welche 
dorok  diese  Constraction  bestimmt  werden,  indem  man 
deren  auf  jeder  Fläche  dee  Hexaeders  vier  anlegt,  so 
r^snkirt  nach  Y^endnag  dar  Operation  das  Hexakia« 

tetra^der  —5—. 

$.  790. 

— -  I  so  modeUireik 

Man  bestimme  zwar  die  sämmtlichen  Pnnete  a  und 
c,  wie  in  §.788,  ziehe  aber  nur  die  Hälfte  der  durch 
sie  bestimmten  Ansatz-  und  Bahnlinien,  Fig.  831, 
indem  man  auf  jeder  Fläche  nur  zwei  Paar  der  dia- 
metral gegenüberliegenden  Puncto  a  durch  die  ausge- 
sogenen Linien  ma  mit  einander,  nnd  die  übrigen 
vier  Pnnete  a  durch  die  punctirten  Linien  ac  mit  den 
zwischen  den  ersteren  Puncten  gdegenen  vier  Punc- 
ten  c  verbindet,  dabei  zugleich  darauf  achtet,  dass 
die  Linienpaare  ma  nur  auf  je  zwei  Gegen  Sachen 
eine  gleichsinnige,  auf  je  zwei  Neben  flächen  hinge- 
gen eine  widersinnige  (den  charakteristischen  Kanten 
der  Pentagondodekaeder  analoge)  Lage  haben  dür- 
fen, so  ist  die  nöthige  Construction  vollendet.  Fuhrt 
man  hierauf  die  24,  durch  diese  Construction  vorge- 
zeichneten SchniUe,  indem  man  deren  auf  jeder  Hexa-> 
ederfläche  vier  anlegt,  so  resultirt  nach  Vollendung 

—5— f. 


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Modelärung  der  Krystallformen.  Cup.  L    507 
JJ/)  MoMfiru9$g  der  fetrugonaUn  Ge$taUen. 

$.  79t 

Elemente  zot  Bestimmoag  der  Ltg«  der  MioiMe. 

Bei  der  Modellirnng  der  tedragoiial«a  Gestalten 
geht  man  Toa  einem  tetragonalea  PritMa  aus,  dessen 
End«  und  Seitenkanten  in  einem  aoleben  YerblÜtmsse 
stehen  müssen >  dass  es  genau  die,  nm  die  zu  modelli- 
nnde  Gestalt  unscbriebene  €omUnation  odPoo.OF  dar- 
stelk.  Sollen  die  verschiedenen  Gestagen  einet  nnd 
4ers«lben  tetragonalen  Krystidtreibe  unter  Yorans-* 
nHznng  gieicber  Nebenaxen  medellirt  werden,  so  hat 
man  die  sänuntliehen  Modellldölze  aus  einem  und 
demselben  tetragonalen  Stabe  su  whaeiden.  Setzen 
wir  die  Brrite  der  Seitenflächen*  dieses  Stabes  s=  i, 
ao  wird  for  irgend  eine  Gestalt  mJfn  (sofern  solche 
kein  Prisma  ist)  die  erforderliehe  Länge  des  Modell* 
klotzes  =3  ma;  oder  die  Seitenkanten  und  Endkan* 
len  jedes  Modellklotzea  missen  in  dem  Verhältnisse 
ma :  1  stehen. 

Sucht  man  die  Segmente  der  Kanten  ELj  EH 
und  EUj  Flg.  820,  welche  sich  durch  die  oben  rechts 
an  dem  Puncto  V  liegende  Fläche  der  ditetragona« 
len  Pyramide  hiPm  bestimmen,  ao  findet  man>  wenn 
EL  =  EH=i9  und  EU=zma^ 

S{EL)^'^XEL 
SiEH)  =  ^XEa 

2(EU)^^XEU 

Für  das  Prisma  odPn  wwden  diese  Scigmente 

2iEL)=^iXEl4 

2{EH)^^XEB 

S{EU)^oo 


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508         Angewandte  Kryställographie^ 
i  792. 

Die  tetimgoiiale  Pyrainide  mP  za  modeUinai 
Far  mP  wird  fi3=:l,  also 

S(EU)=r^EU 

Man  schneide  also  einen  Modellklotz,  in  wekhem 
Seitenkante :  Endkante  =  ma:i 
ziehe  die  Diagonalen  auf  den  Endflächen  spwoU  als 
auf  den  Seitenflächen  (iUinl.  Fig.  821),  w&hle  die  er- 
steren  zu  Ansatz«,  die  anderen  zu  Bahnlinien,  führe 
Ton  jeder  Endfläche  vier  Schnitte,  welche  von  der 
ersten  Endfläche  aus  nur  angelegt,  und  also  nicht 
ganz  bis  zu  den  Kreuzungspnncten  der  Bahnlinien 
durchgeführt  werden  dürfen,  während  sie  von  der 
zweiten  Endfläche  aus  gleich  et^as  über  diese  Kreu- 
zungspuncte  fortzusetzen  sind,  vollende  hierauf  die 
engelegten  Schnitte,  so  resultirt  die  Pyramide  «iP* 

Zusatz.  Modellirung  in  der  Maschine,  Man 
spanne  das  Prisma  in  den  tetragonalen  Rahmen ,  gebe 
der  Säge  die  Neigung  o;,  bestimmt  durch  tangw=z 
ma^2y  centrire  sie  auf  der  oberen  Endfläche  des  Mo- 
dellklotzes, stelle  den  Index  successiv  auf  die  Tier 
Puncte  1,  und  führe  die  Schnitte  wie  vorher. 

f.  793. 

stP 
Das  tatragonale  Sphenoid  —  cu  nodellirea. 

Man  führe  die  Construction  des  vorhergehenden  §. 
nur  zur  Hälfte  aus,  ziehe  also  die  Diagonalen  entwe- 
der nur  für  die  Puncte  a,  oder  nur  für  die  Puncte  Ä, 
Fig.  821,  führe  auch  nur  die  so  bestimmten  vier 
Schnitte  aus,  indem  man  wiederum  die  Schnitte  von 
der  einen  Endfläche  aus  nur  anlegt,  von  der  an- 
dern   sogleich   durchHihrt,   so  resultirt  das  verlangte 


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ModelUnmg  der  JSJrystaliformen.  Cap.L    509 
§.  794. 

I>i0  tetragonale  Pyramide  mPco  ztt  modelRren, 
Fir  mPoo  ist  11=^00,  daher 

2(EL):=zöO 

2(EH)  =  ^X.EB 

2(EU)=^iXEU' 

Man  Bchileide  also  einen  ModeIIkIot2^  in  wekhem 
Seitenkante :  Endkante  =  ma :  1 
bestimme  die  Mittelpnncte  seiner  sammtlichen  Kanten , 
Fig.  832 9  Terbinde  in  den  Endflächen  die  Mittelpnncte 
je  zweier  Gegenseiten  durch  die  Linien  aa,  in  den 
Seitenflächen  die  Mittelpnncte  je  zweier  Nebenseiten 
dnrch  die  Linien  ac^  und  wähle  die  ersteren  zu  An- 
satz-, die  anderen  zu  Bahnlinien.  Hierauf  lege  man 
die  vier  Schnitte  von  der  einen  Endfläche  bis  etwa  4- 
oder  4  der  Bahnlinien  an ,  führe  die  vier  Schnitte  von 
der  zweiten  Endfläche  aber  sogleich  dArch ,  und  voll- 
ende endlich  die  vier  ersteren.  Schnitte  ^  so  resokirt 
die  verlangte  Pyramide,    , 

Zusatz.  Modellirung  in  der  Maschine.  M^n 
spanne  den  Modellklotz  in  den  tetragonalen  Rah- 
men, gebe  der  Säge  die  Neigung  o>,  bestimmt  durch 
1ang(oz=smay  centrire  sie  auf  der  oberen  Fläche  des 
Modellklotzes,  stelle  den  Index  snccessiv  auf  die  vier 
Pnncte  00,  und  führe  die  Schnitte  wie  vorher. 

§.  795, 
Die  ditetragonal^  Pyramide  mPn  zn  modelliren. 

Aus  den  in  $.  791  fiir  die  ditetragonale  Pyramide 
mPn  gefundenen  Elementen  ergiebt  sich  folgende 
Construction.  Man  schneide  einen  Modellklotz,  in 
welchem 

Seitenkante :  Endkante  =zma:l 
nehme '  in  den  Endkanten  sowohl  als  in  den  Seiten- 
kanten beiderseits  von  den  Eckpuncten  ans  die  Seg- 


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510         Angewandte  Krystallograpkie. 

fi— 1 
mente         ■,   so   bestimmen   sich  in  jeder  EndkanCe 

zwei  Pnncte  a,  in  jeder  Seitenkaiite  «wet  Punct«  c, 
Fig.  833.  Hierauf  verbinde  man  auf  den  Endflächen 
je  z>Yei  diametral  gegenäb^liegende  Puncte  a  durch 
die  Linien  aa,  auf  den  Seitenflächen  je  zwei  diagonal 
gegeottberliegende  Puncte  a  und  e  durch'  die  Linien 
aCi  wähle  die  ersteren  zu  Anaatz-,  die  anderen  zu 
Bahnlinien,  und  führe  von  jeder  Endfläche  aus  acht 
Schnitte  9  so  resultirt  nach  Vollendung  der  Operation 
die  verlangte  ditetragonale  Pyramide  mPu. " 

Zusatz.  Modellirung  in  der  Maschine^  Man 
spanne  das  Prisma  in  den  tetragonalen  Ralunen,  gebe 
der  Säge  die  Neigung  Wj  bestimmt  durch 

tafig  (a  = 

da  »3zfi{^Z  in  $.  228,  eentrire  rie  anf  der  «beren 
Endfläche  des  Prismas,  stelle  den  Index  suoeeteiv  auf 
die  acht  Puncte  ji,  und  führe  bei  jeder  Stellung  ei* 
tten  Schmitt. 

$.  796. 
Das  tdtragonale  Skalem^eder zu  modelßren. 

Man  vollende  nut  dib  Hälfte  der  Constraetion  des 
vorhergehenden  §. ,  d.  h.  man  bestimme  nur  die  an 
den  abwechselnden  Ecken  des  Prismas  gelegenen 
Puncte  a  und  c,  ziehe  die  dadurch  bestimmten  An- 
satz- und  Bahnlinien,  wie  in  Fig.  834,*  und  föhre 
von  jeder  Endfläche  die  durch  diese  Linien  bestimm« 
ten  vier  Schnitte ,  so  nssaltirt  nach  beendigter  Opera- 

fMpit 

tionidas  tetragonale  SkalenoMer  -^"9  dessen  Mittel- 
eckpuncte  die  Puncte  e  werden. 


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ModeUirüng  der  Kryatattfofmen.  Cap.L    511 

f  797. 

mPü 
Dm  tetragonde  TrapezoSder  — —  zo  moMUnii. 

Man  bestimme  in  den  Endkanten  nnr  die  abwecb«^ 
Belnden,  and  swar  oben  und  unten  die  widersinnig 
gelegenen  Puncte  a,  Fig.  83b  j  in  den  Seitenkanten 
dagegen  die  säraratlichen  Pnncte  c;  ziebe  auf  jeder 
Endfläcbe  die  beiden  Ansatzlinien  aa^  und  auf  den 
Seitenflächen  die  zugehörigen  Bahnlinien  ac,  fShre 
Ton  jeder  Endfläche  die  vier  so  bestimmen  Schnitte» 
80  erhält  man  nach  vollendeter  Operation  das  *  eine 
der  tetragonalen  TrapezoSder.  Um  das  zweite,  eom- 
plementäre  Trapezo^der  darzustellen,  muss  man  auf 
einem  andern  Modellklotze  der  Construction  dlq'eni- 
gen  acht  Puncte  a  zu  Grunde  legeik,  welche  in  Fig. 
835  übergangen  worden,  ohne  sonst  etwas  in  der  Aus- 
fahrung zu  indem. 

i  798. 
Daa  ditfitragonale  Piisma  CcPn  zu  modellirez. 

Je  nachdem  die  Combination  ocPn.OP  säulen*  oder 
tafelartig  erscheinen  soll ,  nimmt  man  ein  langes  oder 
kurzes  Stück  des  tetragonalen  Modellstabes,  Fig.  836, 
bestimmt  in  seinen  oberen  Endkanten  die  Mittelpuncte 
u  und  die  Endpuncte  c  ihrer  von  den  Ecken  aus  ge- 
nommenen Segmente  — ,  zieht  die  Linien  ac  und  auf 

den  Seitenflächen  parallel  mit  den  Seitenkanten  die 
Linien  aa,  wählt  die  ersteren  zu  Ansatz-,  die  ande- 
ren zu  Bahnlinien,  und  führt  die  so  bestimmten  acht 
Schnitte. 

Zusatz.  Modellirung  in  der  Maschine.  Man 
spanne  den  Modellklotz  in  den  tetragonalen  Rahmen, 
gebe  der  Säge  die  verticate  Lage,  stelle  den  Index 
auf  einen  der  Puncte  ji,  und  centrire  die  Säge  in  Be- 


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512         Angewandte  Krystallographie. 

eng  auf  eine  der  Endkanten  des  Modellklotzes;  hier» 
anf  führe  man  den  ersten  Schnitt,  stelle  nachher  deu 
Index  successiv  auf  die  übrigen  sieben  Punote  ji,  and 
führe  bei  jeder  Stellang  einen  Schnitt  \¥ie  Torher. 

IV)  ModMirung  der  kexagonalen  Geitaiien. 

$.  799. 
Fig;ar  und  Dimensionea  des  Modellklotzes. 

Fiirdie  holoedrischen  und  hemiedrischen  Gestalten 
des  Hex  ago|^alsy Sternes  geht  man  Ton  einem  hexago-^ 
naleil  Prisma  aus,  dessen  End-  und  Seitenkanten  in 
einem  solchen  Verhältnisse  stehen,  wie  es  dem  um 
die  verlangte  Gestalt  umschriebenen  Prisma  der  Ne- 
benreihe zukommt,  indem  der  Modellklotz  einer  je* 
den  Gestalt  die  um  selbige  umschriebene  C«mbination 
00P2.OP  ist.  Sollen  daher  die  verschiedenen  GestaU 
ten  einer  und  derselben  holoedrischen  oder  hemiedri'* 
sehen  Krystallreihe  unter  Voraussetzung  gleicher  Ne« 
benaxen  modellirt  werden,  so  hat  man  die  sämmtli- 
chen  Modellklotze  aus  einem  und  demselben  hexago* 
nalen  Stabe  zu  schneiden ,  an  welchem  wir  die  Breite 
der  Seitenflächen  =:1  setzen  wollen.  Dagegen  sind 
die  tetarto6drischen  Gestalten,  sofern  solche  mit  der- 
selben Grösse  der  Nebenaxen  wie  ihre  resp.  Mutter-> 
gestalten  dargestellt  werden  sollen,  aus  einem  trigo- 
nalen  Prisma  zu  schneiden,  an  welchem  die  Breite 
der  Seitenflächen  dreimal  so  gross,  also  :^3  ist. 

Für  jede  Gestalt  mPn,  sie  mag  nun  holoedrisch  ^ 
hemiedrisch  oder  tetartoSdrisch  darzji^stellen  seyn,  ist 
die  erforderliche  Länge  des  Modeliklotzes  =  «ia^9 
wenn  die  Breite  der  Seitenfläche  des^  hexagonalen 
Modellklotzes  =^  1 ,  des  trigonalen  Modellklotzes  :=s  3 
gesetzt  wird.  Die  Seilenkanten  des  Modellklotzes 
müssen  also  zu  den  Elndkanten  desselben  für  holoe- 
drische und  hemiedrische  Gestalten  in  dem  Verhalt* 


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ModelUttmg  der  Kry^allfbrmen.  Cap.L    513 

niise  0iiif/3:l,  für  tetartoSdrische  Gestalten  in  dem 
Verhältnisse  MEa^:3  stehen. 

§.    800. 

Blemente  für  die  yerschiedenen  Gestalten. 

£s  8eyTig.837  der  Modellklotz  zu  einer  dihexa- 
gonaleii  Pyramide  mPh,  also 

EG  ==  EF=  Fa=  eJRT  =  1 
nnd    EU  =  FÜ=  QU  =  ma^ 
femer  JfX,  MY  und  jtfZ  das  System  der  drei  Axen, 
«o  ist 

die  Gleichung  der  am  Pnncte  Z  oben  rechts  liegen- 
den Fläche  der  Pyramide,  welche  die  Kanten  des  Mo- 
dellklotzes in  den  Puncten  L  und  J  schneidet;  und 
es  kommt  Alles  darauf  an,  die  Grosse  der  Segmente 
KLj  Ol,  El  nnd  FI  zu  bestimmen. 
Nun  sind  die  Gleichungen 

der  Linie  KG^  ^  =  «ia,  jf +  2:==! 
-     .  -    EU,  y  =  i,   2?  =  f 
.     .  .    FU,y  =  ^,   %^-\ 
...     Gft;,y  =  -~4,  z=\ 
Combinirt  man  diese  Gleichungen  mit  jener  der 
Pyramidenfläche,   so  erhält  man  die  Coordinaten  der 
resp.  Purchschnittspuncte  h  und  J.   Da  nun  die  Coor. 
dinaten  derPuncte'jK,  6,  £  und /^gleichfalls  bekannt 
sind,   so  ergeben  sich  folgende  Werthe  für  die  Seg- 
mente der  End.  uhd  Seitenkanten: 

KL  =  '^^^  xKG^FL 
Gl  =t=  ?!^  X  GU 
Fl  = 
EI  =  ^^4^  X  EU 

n.  33 


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&14  AngeuHindUe  Krystaäogrcqplhie* 

Di68e  Ekmente,  van  wekhen  man  jedoch  bei 
der  Auiäfuhrnng  nnr  KL  und  QI  vol  beracksiebtigeit 
braucht,  bUden  die  Grundlage  für  die  Modellimng  der 
holoedrischen  und  hemiedrischen  C^estalten. 

Für  die  tetarto^drischen  Gestalten  dagegen ,  deren 
Modellirung  ein  trigonales  Prisma  von  dem  Verhältnisse 

Endkante  :  Seitenkante  =c  3  :  ma^ 
cn  Grunde  liegt,  Fig.  844,  wird  die  Lage  der  Fläche, 
welche  die  Axen  der  Xy  y  und  z  in  den  Parametera 
ma,  n  und  1  schneidet,  durch  die  Dorchschnittspuncte 
L  und  I  bestimmt,  daher  die  Segmente  JSX,  FLy  KI 
und  Ft  berechnet  werden  müssen ;  man  findet 

KI  =  ^^:=^  XKU 

n 

FI  r==    —    XFU 

n         ' 

§.    801, 
IKe  hexagonale  Pyramide  mP  so  modeUireu. 

Für  mP  ist  •  =x  1,  also 

Klj=hX  KG 
GI^^XGU^  FI 

woraus  sich  folgende  Constrnction  ergiebt« 

Man  schneide  ein  hei^agoimlieg  Prisma  ton  den 
Dimensionen 

Endkante  :  Seitenfiante  =  1  :  sia)/9 
theile  die  Endkanten  in  zwei,  ^e  Seitenkanten  in  drei 
gleiche  Theile,  Fig. 838,  so  bestimmen  sich  in  jenen 
die  Puncto  a,  in  diesen  die  Puncte  c;  hierauf  veri 
binde  man  jeden  Punct  0  auf  den  Endflächen  mit  dem 
diametral  gegenüberliegenden  Poncte  ä  durch  die  Li- 
nie aoy  auf  den  Seitenflächen  mit  den  beiden  sun&ckst 


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ModelÜrimg  der  Krystallformen.  Cäp.I.    615 

gelegenen  Pancten  c  durch  die  Linien  oc,  wftlil^  jen^ 
SU  Ansats-,  diese  zu  Bahnlinien,  lege  die  sech« 
Sohnitte  Ton  der  ersten  Endfläche  bis  etwb  über  di<^ 
Ponete  er  ^,  fähre  die  sechs  Schnitte  Ton  der  «wei«' 
ten  Endfläche  sogleich  durch,  und  Tollende  dann  di^ 
ersteren  Schnitte,  so  resultirt  die  verlangte  hexago^ 
nale  Pyramide. 

Zusatz.  Hat  man  einen  faexagonalen  Rahmeh 
auf  dem  Modellträger  der  Maschine,  nebst  der  zuge- 
hörigen Theilung  zur  Steihtng  des  Index,  so  lassen 
sich  diese  und  alle  folgende  Gestalten  ohne  Construction 
sehr  leicht  in  der  Maschine  modeltiren. 

§.    802, 
Das  HfN>i»boSaer  —  od«r  Mit  tu  meaelliiräo. 

Man  schneide  wiederum  ein  hexagonales  Priifmik 
von  dem  Verhältnisse 

Endkante  :  Seitenkante  =  1  :  ma^i 
bestimme  die  Mittelpuncte  n  der  Enilkanten,  Fig.  839^ 
und  nehme  in  den  Seitenkanten  abwechselnd  oben 
und  unten  ^  ihrer  selbst,  so  ergeben  sich  die  sech« 
Puncte  c.  Hierauf  verbinde  man  jeden  Punct  a  imt 
dem  in  derselben  Endfläche  diametral  gegenüberlie^ 
gßnden  Puncte  a  durch  die  Linie  aa^  mit  dem  zunächst 
gelegenen  Puncte  c  durch  die  Linie  acj  wähle  die  er* 
steren  zu  Ansatz-,  die  anderen  zu  Bahnlinien^  uiid 
führe  die  so  bestimmten  sechs  Schnitte,  so  resultirt 

das  verfangte  RhomboCder  ~-  oder  mK 

{.    803. 
Die  hexagonale  Pyramide  mVt  zu  modeDireik 

Man  schneide  ein  hexagonales  Prisma  von  den  Di« 
mensionen 

Endkante  :  Seitenkante  ss  I  :  mm^ 
ziehe  a«f  beiden  EadflHchen  die  Diagonalen  M,  Flg. 

33* 


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;^16         AngeuHoidte  Krystaüographie. 

8^,  und  verbinde  aaf  den  Seitenflächen  die  Mittel-» 
pnncte  c  der  Seitenkanten  mit  den  Eckpuncten  durch 
die  Linien  acj  wähle  die  ersteren  eu  Ansatz-,  die 
anderen  zn  Bahnlinien,  führe  die  so  bestimmten  Schnitte 
dnrch,  mit  Berücksichtigung  der  gewöhnlichen  Regel, 
dass  die  sechs  ersten  Schnitte  anfangs  nur  angelegt 
werden  dürfen,  so  resultirt  nach  Vollendung  der  Ope« 
ration  die  hexagonale  Pyramide  mff2* 

i    80*. 
Die  diheugonale  Pyramide  mVn  zu  modelBreiL 

/Man  schneide  ein  hexagonales  Prisma  von  den  Di- 
mensionen 

Endkante  :  Seitenkante  =  1  :  ma^i 
nehme  von  allen  Eckpuncten  aus  In  den  Endkantea 

2 n 

die  Segmente  ■   •.  ^,   in  den  Seitenkanten  die  Seg- 

,  2» 1 

mente  — ^~ — ,  so  bestimmen  sich  in  jed^r  der  erste- 

ren  zweiPuncte  a,  in  jeder  der  anderen  zwei  Puncto 
c,  Fig.  841.  Hierauf  verbinde  man  jeden  Ponct  a  auf 
den  Endflächen  mit  dem  diametral  gegenüberliegenden 
Puncto  a  durch  die  Linie  aa,  auf  den  Seitenflächen 
mit  dem,  jenseits  seinem  Nebenpuncte  a  zunächst  ge^ 
legenen  Puncte  c  durch  die  Linie  ac^  wähle  die  er- 
steren Linien  zu  Ansatz-,  die  anderen  zu  Bahnlinien, 
und  führe  von  jeder  Endfläche  aus  zwölf  Schnitte  mit 
Berücksichtigung  der  gewohnlichen  Vorsichtsregel,  go 
resultirt  nach  vollendeter  Operation  die  verkoigte  di* 
hexagonale  Pyramide  mlfn*). 


*)  Man  konnte  audi  noch  in  den  Seitenkanten  die  Segmente 
.^^t  besümmen,  nm  für  jeden  Schnitt  zwei  BahnHnien  xn  eihsi- 

ten,  doch  adieint  die»  nicht  noihwendig,  weil  zwei  Linien  die 
Richtung  der  Sftge  hinreichend  beatammen. 


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ModelUntng  der  Krystallfbrmen.  Cap.I.     517 
f.    805. 

Dm  hex^igonale  Skaienoeder  ^~-  oder  mR    za  modeUireii. 

Man  schneide  ein  hexagoncjes  Prisma  von  ^en  Di- 

mensionep 

ilndkanCe  :  Seitenkante  =x  i  ;  ma^ 

Qehme  in  allen  Cndkanten  beiderseits  von  ihren  Eck-s 

2 n 

pnncten  ans  die  Segmen^  ,  nnd  in  den  Seiten- 

kanten  abwechselnd  von  oben   nnd  nnten   die  Seg« 

2n 1  / 

inenle  — =— - ,  so  bestimmen  sich  in  jeder  Endkante 

swei  Pnncte  a^  nnd  in  jeder  Seitenkante  ein  Punct  c, 
Fig.  842.  Auf  den  Endflächen  verbind^  man  nun  je 
«wei  einander  gegenüberliegende  Punate  a  darcl|  die 
Linien  aa,  auf  den  Seitenflächen  jeden  Punct  a  mit 
dem,  jenseits  s^es  Nebenpni^ctes  a  gelegenen  Pnncte 
€  durch  die  Linien  oc,  wfthi^  die  ersteren  zu  Ansatz-^ 
die  anderen  zu  Bahnlinien,  und  führe  von  jeder  End- 
fläche die  119  bestimmten  sechs  Schnitte  ^  so  restiltirl 

mPh 

das  verlangte  Skaienoeder  — ^ 

I«t  das  SkalenoMer  durch  sein  secandäres  Zeitihen 

gegeben,  so  kann  man  entweder  dasselbe  in  das  iqui^ 

valente  primitive  Zeichen  übersetzen  (f.  304),  um  die 

Segmente  der  End-  und  Seitenkanten  des  Modeliklotzes 

zu  finden,   oder  sich  auch  der,  dem  secundären  Zei-^ 

chea  iviJS*  unmittelbar  entsprechenden  Werthe 

2 

^  für  das  Segment  der  Endkante 

— ^^  für  das  Segment  der  l^itenkante 
bedienen. 


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520         Angei4fandt€  Kry^taUographie. 

2»  — 1 
and  zwar  von  jedem  Ecke  ans  nar  f e  eines  dieser 
Segmente,  oben  und  unten  widersinnig,  so  dass  eipem 
oberen  Segmente  Em  ein  unteres  Segment  Ee  ent* 
sfiricht,  Figk  846;  femer  b^timme  man  Foa  den  lEcken 
ans  in  den  Soitedkanten  die  Segmente 

verbinde  blerauf  jeden  Pnnct  a  in  den  Endflächen  mit 
dent  diametral  gegenüberliegenden  Puncte  e  durch  die 
oe,  in  den  Seitenflächen  ndt  dem  mmltcluit  liegendea 
Puncte  c  durch  die  ac^  auch  jeden  Punct  e  In  den 
Seitenflächen  nüt  dem  entfernteren  Puncte  c  der  nach-« 
sten  Seitenkante  durch  die  eoy  wähle  die  me  zu  An-* 
satz-,  die  ac  und  ec  zu  Balmlinien,  und  f&hre  die 
so  bestimmten  sedis  Sehnitte,  so  rebnltlrt  das  rer« 
langte  TrapezoMer. 

Will  man  zu  einem  dieser  TrapesoSder  das  eom-^ 
plementare,  wie  reichte  oder  link»  yerschiedea»  mo^ 
delliren,  so  bat  man  nur  in  einem  zweiten  Modell- 
klotze die  Segmente  Ee  und  Eä  nadi  entgtogenge^ 
setzten  Richtungen  zu  nehmen. 

V,    ModeUirung  einer  rhombischen  und  monokUnoedriechet^ 

Gegtalt. 

§.     810. 

Eine  rhombische  Pyramide  vm  nodeUlren. 

Soll  irgend  eine  rhombische  Pyramide  von  den  Di« 
mensionen  a:b:e  modelllrt  werden,  so  schneidet  man 
zuvörderst  ein  rechtwinkliges  Parallelepipedoo,  des* 
sen  dreierlei  Kanten  in  dem  Verhältnisse  aibie  ste- 
hen, und  welches  daher  die,  um  die  verlangte  Pyra*^ 
mide  umschriebene  Combination  QP.ooPoo.ocP(X>  ist, 
Fig.  847.  Hierauf  zieht  man  die  Diagonalen  aller  Flä- 
chen, wählt  die  auf  den  beiden  Flächen  OP  gesoge- 


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ModelUrmtg  der  Kty$tattformeTi.  Cap.L    521 

neu  DiagonaScn  m  Ansatac-,  die  übrigen  Diagpialen 
SU  'Babnliniea^  und  fuhrt  die  so  bestinuateiv  acht 
8cli|iitte  aus.  ^  ■  ' 

Man  kann  jedooh  auch  von  einem  der,  xu  d«*  ver«* 
langten  Pyramide  gehörigen  Prismen  ausgehen,  indem 
man  z.  B.  die  Combination  ocP.OP  in  einer  solchen 
Länge  schneidet,  wie  es  die  Hauptaxe  der  Pyramide 
fordert,  darauf  die  Mittelpnncte  aller  Kanten  bestimmt 
und  ^e  Medeliirung  auf  ähnliche  Weise  voUf&hrt, 
wie  jene  der  tetragonalen  Pyramide  mPoo  in  f.  794. 

Soll  das  «US  der  Pyramide  abgeleitete  Sphenoid 
dargestellt  wenfen,  so  legt  man  das  rechtwinklige 
Parallelepipedon  m  Grande,  führt  aber  von  jeder 
seiner  Endflächen  nur  zwei  Schnitte. 

i    811. 

Eine  monokUnoSdriflche  Pyramide  zu  siodeUirwi. 

Soll  eine  voIlstfUidige  monoklinoädiische  PyraAud^ 
von  dem  Verhältnisse  der  Dimensionen  a  :  b  :  c  und 
dem  Neigungswinkel  OP  :  cx^Poo  =i=  C  modellirt  wer«* 
den,  so  schneidet  man  erst  ein  rectangnläres Prisma, 
dessen  dreierlei  Kanten  das  Verhältniss 

a  +  bcoiC  :  bsinC  :  c 
haben,  und  von  welchen  das  eine  Flächenpaar  =cxPao, 
das  andere  =7((X)Poq),  Fig.  848.  Hierauf  nimmt  man 
in  denjenigen  Kanten,  welche  den  Combinationskan- 
ten  dieser  beiden  Flächenpaare  entsprechen,  tou  den 
Ecken  aus  die  Länge 

£^  s  beoiC 
und  zwar  in  je  zimen  Kanten  in  entgegengesetzter 
Richtung,  zieht  die  Ansatzlinien  AB  und  die  Bahn*» 
Unien  AA,  und  fährt  die  so  bestinunten  zwei  Schnitte, 
so  resnltirt  das  schiefe  Prisma  AB  AB  als  die,  um  die 
verlangte  Pyramide  umschriebene  Combination  OP. 
<x>Poo.(ooPoo).  Auf  den  Flächen  dreses  Prismas  zieht 
man  endlioh  die  Diagonalen  aller  Flächen,  wählt  die 


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524         jing€Uf€Mite  KrystaUographie. 

I,    GeiHUten  de$  Tesserahyatemea. 
A.    ^oloed^ia<:h«  Geatalteq^ 

i  813, 
Nets  dea  Hexa^Sdan  ooOoo. 

Da  daa  HexaMer  von  6-  Qaadraten  amseh tonen 
wird,  8<y  Ist  die  eiafaciitfte  Constmetioa  seines  Netzes 
folgende.  ' 

lieber  d^  Linie  3  (iahio  tfber  der  gasMen  Teriangs 
tenHdhe  des  Hexaeders)  zeiehne  ein  Quadrat  a,  Fig. 
849,  über  4ett  Tier  Seiten  desselben  die  vier  Quadrate 
hj  und  endticb  über  der  von  a  abgewandten  Seite  ei« 
nes  der  Quadrate  b  das  seoliste  Quadrat  <i. 

Oder:  ziehe  zwei  neb  reehtwinklig  schneidende 
Linien^  frage  von  ihrem  Durchscbnittspuncte  A  aus 
a»  L&nge  2  in  die  erste  Linie  nach  einer  Ricbtimg 
ein,  nach  der  andern  drei  Mal,  in  die  zweite  Linie 
nach  <^ep Richtung  ein,  nach  der  andern  zweiMal, 
so  bestimmen  sich  die  Pancte  B,  B^  B*,  B^  und  €^ 
C,  C\  Durch  die  Puncte  C  lege  Parallelen  mit  AB^ 
durch  die  Puncto  B 'Parallele  nüt^tf^so  ist  das  Ter- 
langte  Netz  entworfen.  r^i  ' 

§.    814. 
Nets  des  Oktaeders  O, 

Da  das  Oktaeder  Ton  8  gleichseitigen  Dreiecicen 
umschlossen  wird,  so  ist.4ie  ein&^hste  Construction 
seines  Netzes  folgende.  t 

Um  zuvörderst  die  Seite  der  OktaSderilächen  zu 
finden,  construire  man  über  dfer  Länge  lz=sACj  Fig. 
862,  als  Kathete  ein  gleichschenklig  rechtwinkliges 
Dreieck  ACB;  die*  Hypotenuse  AB  desselben  ist  die 
gesuchte  Seite.  ■'  ' 

Man  ziehe  nun  eine  Linie','  trage  die  gefundene 
Seite  dreimal  in  dieselbe,  so  dass  AB  =rBC^sCD 
~  1^2,  Fig.  6Ö0,  beschreibe  über  AC  aafw&rts  un4 


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ModelUrung  der  Kry$taUfotmen.  Cap.H.    6815 

Sber  BB  abwärts  die  gleichsdtigen  Dreiecke  ACE 
imd  BI>F,  Terlängere  die  jPB  bis  €f ,  die  EC  bl«  H^ 
siebe  diurch  G  und  H  Parallelen  der  AD^  dnreb  B 
nnd  C  Parallelen  der  AE^  so  ist  das  verlangte  Nefs 
entworfen«  . 

Man  kann  dubei  auch  so  Terfahren..  Ueber  der 
gefondenen  Flächenseife  beschreibe  man  die  beiden 
gleichseiligeR  Dreiecke  ABCj  ABDy  Fig.  851^  hier- 
afif  nm  CnndZ)  mit  dem  Halbmesser  d  swepiE^eise, 
nnd  trage  die  CA  in  jeden  dieser  Kreise  von  A  ans 
drei  Mal  als  Chorde  ein,  ziehe  die  Halbmesser  nach 
den  Endpunoten  dieser  Chorden,  so  ist  das  Nets  ent-* 
werfen. 

$.    815. 

Nets  des  Rhcmbendodeka^ert  doO. 

Constrnctian  einer  Fläche.    Nteh  f.  124  ist 
fSr  die  Fläche  des  Rhombendodekaäders 
die  Brachydiagonale  =s  1 
die  Makrodiagonale  »r  )/2 
.     die  Seite     ...      «=  |/|^ 
Hierans  ergeben  sich   swei  Methoden  2ar  Con-* 
^tniction  einer  Fläche  des  Dodekaäders. 

1)  Constmire  über  der  halben  Lineareinheit  AC 
als  Kathete  ein  gleichsehenklig  rechtwinkliges  Dreieck,t 
ABCj  Fig.  853,  ziehe  durch  A  eine  Parallele  der  CjB, 
nnd  mache  AD  =«=  AB;  verlängere  die  J^  und  AD^ 
nnd  mache  die- VerlängeniBgen  AC  nnd  AD'  ihnen 
selbst  gleich,  verbinde  die  Poncte  C,  D^  C^  und  D< 
durch  gerade  Linien,  so  ist  CDC'D'  der  verlangte 
Rhombus. 

2)  Constmire  über  der  ganzen  Lineareinheit  CC 
zwei  gleichseitige  Dreiecke  CC'jBund  CC'E\  Fig.  854, 
siehe  die  EE'  und  beschreibe  mit  der.  halben' ££' 
oder  mit  der  £jPzu  beiden  Seiten  der  CC^  die  gleich« 
aehenkligen  Dreiecke  CC'D  und  CC'D\  M  ist  wie- 
An^fBL.CDCD'  der  verlangte  Rhombus.  . 


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526         Angcipandie  Kryttallographie. 

Conitruction  des  Netze».  Amr  dete  Pimct# 
Cy  Rg.  8S5;  der  gefondenen  Fläche  begehreibe  mit  CD 
einen  Kreit,  trage  in  in  selbigen  die  Makro^Agenml« 
DB^  jenseits  ly  sweimd  als  Cborde  ein ,  se  b^sditi- 
men  sich  die  Pnncte  D"  nnd  jy;  über  der  D^iy  und 
,  jyiy  beschreibe  mm  mit  der  Seite  des  Rhombus 
gleichschenklige  Dreiecke,  so  bestimmen  sieh  di# 
Pnncte  C  «nd  C*,  nnd  die  Rhomben  T  tind  3  sind 
eonstmirt.  Wiederhole  dieselbe  Constroetion  votil 
Rhombas  2  aasgehend,  so  finden  sich  die  Rhoiid>en  4 
nnd  5$  anf  gleiche  Welse  dtirch  snccessive  Wieder^ 
hotnng  desselben  Verfahrens  von  den  FMcbea  4,  9 
nnd  8  ans  die  übrigen  Flächen  bis  11;  trage  e^lifA 
die  einzele  Fliehe  12  nach,  so  ist  das  verlangte  Netz 
entworfen. 

Ein  anderes  Verfahteh  ist  felgemdesr.  Ans 
den  Pnncten  D  nnd  jy  des  zuerst  eonstmirten  Rliom- 
bus,  Fig.  856,  beschreibe  loit  seiner  Seite  zwei  Kreise; 
trage  die  Brachydiagenale  CC^  in  beide  Kreise  über 
C^  dreimal  als  Chorde  ein,  beschreibe  über  den  sechs 
Chotim  C'Ei  EF  und  FG  mit  CZ>  die  sechs  gleich- 
Schenkligen  Dreiecke  C'EBy  EPH  nnd  FOK^  so  sind 
sieben  Flächen  eonstmirt.  Wiederhole  dieselbe  Con- 
stroetion dnrch  Beschreibnng  zweier  Kreise  nm  die 
beiden  Pnncte  H  als  Mittelponcte ,  trage  Jedoch  i« 
den  einen  diei^r  Kreise  die  Chorde  £/^zn  jeder  Seite 
nur  einmal  ein,  Terfakve  fiktigens  wie  irorhei^,  no 
werdenr  die  äbrigen  täfd  FMohen  cönstniirt,  nnd  das 
Netz  ist  Totttadet. 

f.    816. 
Nets  des  TriakitokUMen  mO. 

Consti^uction  einer  FlSche.  Man  Zeidme 
über  der  Lineareinheit  PQ  (Fig.  865)  alr:Kathete  ein 
gleichschenklig  rechtwinklig^  Dreieck,  P^B\  ziebe 
dessen  HöhenMnie  PV^  nnd  dorch  P  eine  Auzdlel# 


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ModeltirMMg  der  Krysiaüformen.  Cap.IL    627 

der  HRj  imth  V  eine  Paraltele  der  PH;  maelM  FM 
to  M,  FAT  k=  VW^  siehe  die  PJC^  «n4  endtich  die 
VM,  eo  ist 

^K  die  Grandlinie 
FT  die  Hdhenlinie 
riner  Flftche  Ton  mO. 

Der  Beweis  ist  leicht  s^d  fahren,   da  die  Linien 
PAf,  PX  nnd  PV  keine  anderen  sind  als  die  Häuft* 
^axe,   die  tdgonale  nnd  die  rhombische  Zwischenaxe 
eines  ifiagonalen  Hauptschnittes  von  s»0. 

Constrnetion  des  Netzes.  Zeichne  eine  FlS^ 
che  ABC  'nach  der  so  ehen  gegebenen  Regel,  Fig. 
857,  beschreibe  aus  A  mit  AB  einen  Kreie,  trage  in 
selbigen  die  Grundlinie  BC  von  B  und  C  aus  als 
Chorde  ein,  und  siehe  die  Halbmesser  nach  den  so 
bestimmten  Puncten  D  und  E  der  Peripherie,  so  ist 
das  Flächensystera  I  construirt.  (Jeher  jeder  der  Grund- 
linien BC,  BD  und  CE  bescfhreibe  mit  demSchehkel 
AB  ein  gleichschenkliges  Dreieck,  und  sogleich  aus 
dem  Scheitel  eines  jeden  dieser  Dreiecke  mit  AB  als 
Halbmesser  einen.  Kreis.  Trt^e  die  ^rtmdlinie  BC 
Ton  B  und  C,  von  B  und  D,  von  C  und  E  aus  in 
diese  drei  Kreise  als  Chorde  ein,  und  ziehe  die  Halb- 
messer nac%  den  so  bestimmten  Puncten  ihrer  Peri* 
pherien,  so  sind  die  Flächensysteme  11^  IH  und  I¥ 
construirt.  '^ 

Unterhalb  der  Grundlinie  EF  des  Dreieckes  12 
eonstruire  ein  congruentes  Dreieck,  beschreibe  aus 
seinem  Schehel  Gr  einen  Kreis,  und  trage  in  selbigen 
die  EF  von  E  und  F  aus  ein,  setze  dieselbe  Con- 
struction  Air  die  Kreise  uttd  reiq>.  Flfichenisysteme  VI, 
VlI  und  Vin  ibrt,  so  ist  das  Netz  das  Triakisokta«- 
dort  siO  entworfen. 

Ein  anderes  Verfahren  ist  folgendes,  lieber 
der  Fläche  ABC^  Fig  858^,  construtre  das  erste  FM- 
diensjstem,  wie  vorher,  verlängere  die  Grundlinien 


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528         Attgewandte  Krysiallograpbie. 

BD  wki  CE  bis  sa  ihrem  DnrdMcknitte  in  ~M^  be- 
sdireibe  au*  M  mit  MC  eines  K^eui,-  hierauf  über 
BC  mit  derselben  MC  ein  gleichschenkliges  Dreieck^ 
und  ans  dessen  Scheitel  M^  einoi  «weiten  Kreis,  end- 
lich mit  der  Linie  MB  aas  M  and  M^  siwei  kleinere 
Kreise.  In  jeden  der  grossem  Kreise  tri^  von  C 
aas  die  BC  dreinml  als  Chorde  ein,  siehe  die  Radita 
nach  den  so  bestimmten  Pancten  beider  Peripherien, 
beschreibe  aber  jeder  der  Chorden  mit  AB  ein  gleich* 
schenkliges  Dreieck,  and  siehe  Linien  ¥on  den  Schei- 
teln derselben  nach  den  Darchsobnittspuncten  je  zweier 
Badien  mit  den  kleineren  Kreisen^  so  ist  das  fot- 
langte  Nets  entworfen. 

i    817. 
Metz  des  TetrakiBhexiÄden  ocOii. 

Ci>nstraetion  einer  Fläche,  lieber  der  Li- 
neareinbeit  PQ,  als  Kathete,  Fig.  960»  beschreibe  das 
gleichschenklig  rechtwinklige  Dreieck  Q,PR,  verlfin- 
gere  die  eine  Seite  PQ,  and  mache  PN  =^  %\  ziehe 
lUe  Hdhenlinie  PV  and  die  RN,  so  ist 

RS  die  Höhenlinie 
der  gesnchten  Fläche.    Mache   nnn  wiederum  VX  = 
VW  sr  4PQ,  ziehe  die  PX,  and  durch  S  eine  Par- 
allele der  R^^  so  ist 

ST  die  halbe  Grandlinie 
der  gesuchtem  Fläche« 

Cp.nstrpction  desNetzes.  iCoAs^rnire  aas  dea 
gefundenen  Elemente^  eine  der  Flächen  ABC^  Fig. 
869,  ao,d  über  ihrer  Grundlinie  die  zweite  Fläche  BCD^ 
beschreibe  aus  A  and  D  mit  AB  zwei. Kreise,  trage 
in  jeden  derselben  die  BC  nach  einer  Richtung  ein 
Mal,  nach  der  andern  Richtung  zwei  Mal  alsChorde 
ein,  und  ziehe  di«  Radien  nach  den  Endpuncten  der 
Chorden,  so  sind  die  Flächensjsteme  .1  and  II  con'> 
struirt.   Ueber  den  beiden  letzten  Chorden  jedes  Krei- 


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JtlodeUhrung  der  KrystcMformen.  Cap.II.    52ft 

Mt  (also  über  der  4  und  5,7  und  8)  beschreibe  mit 
AB  die  gleichscheiikligeii  Dreiecke  9,  10,  11  und  12, 
BBd  sogleich  aus  dem  Scheitel  jedes  dieser  Dreiecke 
mit  demselbea  Halbmesser  einen  Kreis;  trage  die 
GmndHnie  BC  in  jeden  dieser  Kreise  nach  derselben 
Riehtnng  drei  Mal  als  Chorde  ein,  ziehe  endlich  dl» 
Radien  nach  den  so  bestiltaniten  Pnncten  ihrer  Peri- 
pherien! s^  ^^  ^  Nets  des  Tetrakishexal»ders  toQ- 
endet 

f.  818. 
Netz  dfis  IkomtetraSdert  mOm^ 

Constrnetion  einer  Fläche.  Man  kann  diese 
Constmction  auf  den  Satz  gründen,  dass  die  symme* 
frische  Diagonale  jeder  Fläche  des  IkositetraSders  von 
der  gleichschenkligen  Diagonale  in  rationalen  Verhält- 
nissen gesdinitten  wird.  Wir  fanden  nämlich  oben 
in  i  121  nr&  m  nnd  IV, 

symmetr.  Diag.  J=lffl^^±i 
gleichsch.  Diag.  D'  =  -^ 

Nennen  wir  min  das  kleinere  Segment  der  sjrmme- 
trischen  Diagonale  S^  das  grössere  ^,  so  ist 

folglich  anch 

-'-2(si+ir 

nnd 

Kennt   man   also   die  gkidhscheilklige  Dii^onale 
nnd  längere  Seite  der  Deltoidfläehe,   so  ist  sokhe 
II.  34 


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530        jingewandte  Krystailograpkk. 

iBUtht  n  Mastmirdni  es  fin4ea  «ich  ab#r  hmtU  Li» 
niea  l^ick«  vi  Ngwde  Art.  In  der  Linie  BC,  Fig. 
866»  oÜPHi  4i?3=3l»  ^C»9i»  errijohte  in  ^  em% 
Normale,  und  n^ache  ^0  =  ^4«  =  1»  nebe  c^  CD 
und  D^,  und  diacU  A  ihre  PanHeleu  A(^  wmA  AE^ 

AE  die  gteiehflcIimJUige  Qiagenale» 
AF  die  längere  Seit% 
det  geiuohten  Deltoides;  denn 

CBiBD=CAiAE 

wdchet  der  Werth  der  Diagonale, 

CBi         CD^ABiAF 

welches  nach  (.  121  der  'Werth  der  längexen  Seite. 

Man  beschreibe  nun  über  AE  als  Grundlinie  mit 
AF  ein  gleichschenkliges  Dreieck  AEF^^  Fig.  S63, 
liehe  dessen  Höhenlinie  FGy  verlängere  solche,  und 

mache  ihre  Yedängemng  GJr=— ^— xi^»  «i«he 

die  AB[  und  EHj  so  ist  das  Deltoid  constrnirt. 

Anderes  Verfahren,  lieber  der  Lineareinheit 
PQ  alu  KalheCe  beschreibe  das  gleichschenklig  recht- 
winklige Dreieck  PflRy  Fig.  859,  siehe  dessen  Hö- 
henlinie PVj  und  wiederum  die  PX  nach  derselben 
Regel  wie  in  den  §§.  816  und  817.  Verlängere  die 
PQj  und  ziehe  durch  P  eine  Parallele  der  QJR^  mache 
PM=PN—my  PU^U  wehe  nun  die  BN,  ufelcbe 
die  Pr  in  S,  femer  die  Süf,  welche  die  PX  in  T 
schneidet*),  und  endlich  die  T(/,  so  ist 


^  IMe  Flgsr  htoMki  sich  auf  die  VsrieUit  t02,  in  wdcbar 
4MiJpa»c(t  X  ned  ^  saauSMafiAea. 


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ModelUrung  der  Krystallformeru  Cäp.  II.     531 

RS  die  längere  Sehe, 
8T  cKe  kürzere  Seite, 
TU  die  symmetrische  Diagohafe 
der  Fläche  von  mOm,  aas  welchen  Elementen  diese 
Fläche  mit  Leichtigkeit  construirt  werden  kann. 

f.  81». 
Fortsetzvng. 

Constrnction  des  Netzes.  Zeichnei  nath  der 
Regel  des  vorhergehenden  §.  eine  Fläche,  2.  B.  die 
ARCDj  Fig.  862^  beschreibe  mit  ihrer  längeren  Seite 
ausweinen  Kreis,  trage  in  selbigen  die  gleichschenk- 
fige  Diagonale  BD  drei  Mal  äh  Chorde  ein,  «nd 
ziehe  die  Radien  der  dadurch  bestimmten  Poncte  £, 
Fnni  G  der  Feriphetie.  Ueber  DEj  JEfF  und  FO 
bestimme  nnn  die  Fnncte  C*^,  C  nnd  C  eben  so, 
wie  der  Panct  C  über  BD  bestimmt  wnrde,  so  sind 
dfe  Deltoide  1,  2,  3  nnd  4  construirt. 

Beschreibe  nun  aus  C,  C^,  C^  und  C  mit  der  kür- 
zeren Seite  BC  Bogen,  welche  die  in  Gedanken  ver-^ 
längerten-  symmetrischen  Diagonalen  dier  Flächen  1, 
2,  3  und  4  schneiden;  hierauf  ans  B  und  i>,  D  nnd 
JS  u.  s.  w.  mit  BD  Bogen,  die  jene  ersteren  Bogen 
-schneiden ,  so  bestimmen  sich  die  Puncte  H  und  K^ 
W  nnd  K*  n.  s.  w.  Beschreibe  endlich  über  BH  und 
DKj  über  DW  und  EK'  u.  s.  w.  mit  AB  gleich- 
schenklige Dreiecke,  so  sind  die  Flächen  5  bi»  12, 
oder  die  Flächensysteme  t  bis  IV,  construirt. 

An  die  Fläche  9  tege  nun:  die  Fläche  13,  an  diese 
die  Fläche  14,  beschreibe  aus  dem  Puncte  A  der  letz- 
teren mit  AB  einen  Kreis,  und'  vollende  die  CoH- 
iftmction  für  die  Flächensysteme  Y  bis  Ylir  ganz  stf 
wie  vorher  für  die  Fläcbensysteme  1  bis  IT,  so'  ise 
das  Netz  des  Ikositetra^ders  entworfen. 

Anmerkung.  Man  kann  auch  nach  der  Fläche 
1   sogleich  die  Fläohe  6  zeichnen,  nnd  aus  jf  in  i 

34  • 


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1 


532        AngeuHindte  jQ'yslaUographde. 

und  14  statt  des  einen  Kreises  mit  AB  sogleick  noch 
Ewe!  concentrische  Kreise  mit  AI  und  AH  beschreib 
ben,  wodurch  die  Construction  sehr  abgekürzt  wird. 

i  820. 
Nets  des  HexakUokta^den  mOlL 

Je  swei  in  einer  längsten  Kante  Ton  mO»  susam^* 
menstossende  Flächen  bilden,  wenn  man  sie  in  eine 
Ebene  ausbreitet,  oder  ihren  Neigungswinkel  bis  za 
180^  vergrossert,  ein  Deltoid.  ^  Kann  man  also  für 
mOn  eines  dieser  Deltoide  construiren,  so  hat  man 
nur  24  derselben  nach  der  im  vorigen  §.  angegebenen 
R^el  zu  einem  Netze  zu  vereinigen,  um  die  Aufgabe 
SU  lösen.  Das  Deltoid  ist  aber  gefunden,  sobald  man 
eines  seiner  Dreiecke,  oder  eine  der  Flächen  von 
mOn  zu  construiren  weiss,  welche  daher  zuerst  ge- 
funden werden  muss. 

Construction  einer  Fläche.  Bei  £eser  Con* 
Btruction  wird  die  der  Fig.  859  ganz  ähnliche  Fig.  864 
zu  Grunde  gelegt,  indem  der  wesentliche  Unterschied 
nur  darin  besteht,  dass  zwar  PMsssm^  allein  PiV=ir 
genommen  wird.  Im  Uebrigen  verfiUirt  man  ganz  sa 
wie  in  §.  818,  und  findet 

RS,  die  mittlere  Seite, 
ST,  die  kürzeste  Seite,*) 
TU,  die  längste  Seite 
der  gesuchten  Fläche  von  siOii. 

Nachdem  so  eine  Flädie  AJPS,  Fig.  863,  gefun- 
den ist,  construirt  man  über  ihrer  längsten  Seite  FH 
in  symmetrischer  Lage  eine  zweite  Fläche  EFB^und 
erhält  dadurch  das  Deltoid  AFEH,  als  das  Element 
des  verlangten  Netzes,  welches  aus  diesem  Elemente 
ganz  nach  derselben  Regel  entworfen  wird,  wie  das 


*)  Da  rieh  die  Figur  auf  ^e  VarieiAt  S0|  berieht»  ao  Men 
die  Pallete  X  and  T  wiederum 


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Mod^l^ung  der  KrysiaMfbrmei^  Cap.IL    533 

Net2  des  IkositolraSden.  Ist  das  Nets  der  24  Del« 
toide  vollendet,  so  sieht  man  die  sjrmmetriscben  Dia^ 
gonalen  der  sämmtHdien  Fliehen,  und  geku^  so  auf 
das  verlangte  Nets  des  HexakisoktaSders  siOhü. 

|i)  6eneigtfl&€hig-«emiteiier%le  Gettali^n, 

f.  821. 

)leb(  dw  Telraftd«  ^ 

Da  die  Eantenlinie  des  Tetraeders  ==  2^2  f  alsa 
zweimal  so  lang  als  jene  des  Oktaeders,  so  nehme 
man  die  doppelte  Seite  der  Okta^derfläche  in  f.  814, 
ffage ' seihige  s^ein^d  m  eine  gerade  Linie  ein,  so 
^ass  AB=BC=2^^  Fig.  861,  beschreibe  über  i4C 
das  gleichseitige  Preieck  ACD^  ziehe  dor^h  B  mit 
AD  und  DC  die  Parallelen  BD'  und  BC^  und  endlich 
die  CD\  so  ist  das  Netz  des  Tetr^ders  entworfen. 

Anmerkung.  Eis  wird  hier' und  im  Folgeaden 
dorchgtngig  vorausgesetzt,  dass  man  die  hejnißdri« 
sehen  Gestalten  von  denselben  Qimensionep  darstellen 
villi  wie  ihiro  resp.  Mnttergestalteo. 

§.  822. 

Nets  des  Ti^gondodeka^dert  ~^. 

MuQ  eonstruire  die  Fläche  des  IkositetraSders  siOis, 
errichte  in  demjenigen  Endpuncte  der  symmetrischen 
Diagonale,  in  welchem  die  längeren  Seiten  zusammen- 
tr^i^n,  eine  indefinite  Normale,  und  verlängere  die 
kürzeren  Seiten,  Ms  solche  dies^  Normale  schneiden , 
so  ist  die  Fläche  des  Trigondodekaäders  construirt. 

Das  Netz  wird  nun  ganz  nach  denselben  Regeln 
entworfen  wie  das  hi^he  Net«  d^  Tfiakjisqkta^deni 
in  Fig.  857.     Ans  dem  Scheitelpuncte  A  der  ersten 


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534         Angewandte  Krystaüagraphi^.  . 

gefun^enea  Elgche  ABC^  Fig.  873,  besakreibt  maa 
nämlich  mit  CA  eioen  Kreis«  trSgt  in  selbigen  die  BC 
sweimal  ein,  erhält  so  die  Fläche  2  nnd  3,  und  «etst 
die  Constraotioa  fori,  wie  in  |«  816}  bis  »Ue  vior 
Flächensysteme  entworfen  sind. 

$.  823. 

Neto  des  DeltoiddodekaSders  --—. 

2 

Construction  einer  Fläche«  Die  Höhenlinie 
U  einer  Jeden  Fiäche  des  Triakisokta^ders  mO  ist 
«ach  f.  122 

^  K^MI^  +  1 

*"='(2«  +  l)^ 
Diese  linie  verlängert  sich  durch  die  Hemiidrie 
SU  der  symmetrischen  Diagonale  D  der  Delloide   des 
Dodeka^ers;  es  ist  aber  nach.f,  137 

^      2»if^4fft^  +  i 
^=*     4»»  — 1 

2»t)/2|/ggt^  + 1 
~(2si  +  l)(2«i  — 1) 
folglich  auch 

2«  —  !^ 
Bezeichnen  wir  also  mit  3  das  kleinere,  mit  2^ 
das  grössere  der  Segmente,  in  welche  die  symmetri-» 
sehe  Diagonale  durch  die  gleichschenklige  Diagonale 
getheilt  wird,  so  ist 

S:S'  =  2m  —  i:2m  +  i 
Man  construire  also  die  Fläche  des  Triakisokta^ 
ders  AEH  nach  der  Regel  des  §.  816,  Fig.  870,  siehe 
die  Höhenlinie  HGj  verlängere  selbige  übeir  die  Grund« 

linie,  mache  ihre  Verlängerung  GF=^^^XBGj 


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Moäelürung  ^  KryetMformen.  Cap-IL    53S 

und  siehe  endlioh  die  AF  und  EFf  so  iMtAFBH  daa 
verlangte  Deltoid. 

Cokiatruction  des  Netzet.  Zeichne  die FIftcbe 
ABCD  nUch  der  so  ebea  angegebenen  Regele  Fig.  868| 
besehreihe  ans  A  mit  der  längeren  Seite  AB  einen 
Kreis  I  trage  in  selbigen  die  gleichschenklige  IMago« 
nale  BD  yon  B  und  D  ans  als  Chorden  ein,  ziehe 
^e  dadurch  bestimmten  Radien,  und  beschreibe  über 
jeder  Chorde  mit  der  kürzeren  Seite  BC  ein  gleich- 
schenkliges Dreieck,  so  wie  zugleich  aus  dem  Schei« 
tel.  jedes  dieser  Dreiecke,  und  aiA  dem  Puncto  C 
selbst  einen  Bogen,  welchen  die  in  Gedanken  yerläiv* 
gerten  symmetrischen  Diagonalen  der  Flächen  1,  2 
und  3  schneiden.  Vollende  die  Construction  der  Flä- 
cheAsysteme  I,  II  und  III,  lege  endlich  an  das  Flä- 
ehensystem  I  das  System  IV,  und  das  ¥erlangte  Nets 
ist  entworfen. 

f.  824. 

Netz  des  HezakiBtetraSders . 

Construction  einer  Fläche.  Die  kürzeste 
Kante  C  des  HexakisoktaSders  mOn  wird  durch  die 
Hemi^drie  zur  längsten  Kante  C  des  Hexakistetrae- 
ders.    Nun  ist  nach  §.  116 

^'^(m»  +  m  +  n)(n  +  i) 
und  nach  $.  131  • 

^  __  2mnVm^(H  +  iy+2p 
(mn  +  my  —  »* 
also  auch 

Ci^    2m(n  +  i)    p 
miß  +  1)  —  n 
und  die  erforderliche  Verlängerung  JT  von  C,  damit 
aus  ihm  C  werde : 


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536        Angewandte  KrystaUograp^. 

m{n  +  1)  —  II 
Hierans  M^ebt  sieh  folgende  C^onstnictkMi  derllft* 
che  des  Hexakistetraßders.  Man  seichne  die  Fläche 
ABC  des  Hexaldsoktaeder«  mO»,  Fig.  867,  reriängero 
die  Icüraeste  Seite  BC  übw  die  mitdera  S^to  hinaoa, 
mache  die  Yerlingerong 

lind  liehe  die  AD,  so  ist  ABD  die  yerlangte  Flftche. 
Construct^on  des  Netse^*  Nachdem  die  Flft^ 
che  gefanden,  wird  das  Net«  des  HexalristetraSdera 
nach  derselben  Regel  entworfen  wie  das  Neti(  de^ 
Dettolddodekaeders.  Ma^  cpi^bjnirt  nämlich  sw^  der 
Ifefundenen  Dreiecke  zu  einem  Deltoide,  entwirft  da« 
Netz  von  12  dergleichen  Deltoiden,  wie  isß  rorherge-» 
henden  f  ,  nnd  zieht  endlich  die  symmetrischen  Diar 
gonalen  derselben,  so  ist  das  Netz  des  HexakistejüriH 
Oders  entworfen. 

b)  Psr4llelfHcl|i(<^ieniiteiteraIe  Oeatf^Usa. 

f.  825. 

N«ts  dm  P«ntiigondodektMert  ^^. 

Constrncti^^n  einer  Fläche.  Die  Höhenlinie 
B  der  Flächen  des  Tetirakishexaäders  verlängert  sich 
durch  die  HemiCdrie  zn  den  Höhenlinie  BT  der  Flft^ 
eben  des  Penlagendodekaäders;  neu  ist  nach  |.  123 

und  nach  §.  148 
«Iso  aaoh 


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ModelUrung  d^^  KrystaUforme^.  Cßp^IL    537 

jr= 

and  die  erforderliche  Yerlängenmg  T  ¥on  Bf  damit 
MA  ihr  B^  werde: 

Die  Constmetlon  des  verlangten  Pentagenea  hat 
niin  keine  Schwierigkeit.  Man  seidine  nämlich  eine 
Flftche  ABC  des  Tetrakiahexaeden  cx>Oii,  Fig.  871, 
siehe  die  Höhenlinie  AD^  vedängere  sie  Ifter  die 
Grundlinie  hinan«,  nnd  ncJime  die  Ved&ngemng  DB 

=s  —  ^^ADf  10  ist  Afi  die  Höhenlinie  des  gesuchten 

Pentagones.  Da  nun  die  Pnnote  B  und  C  den  trigo* 
Baien  Eckpnncten  in  der  hemicdrischen  eben  sowelü, 
wie  in  der  holoedrischen  Gestalt, entsprechen,  so  sind* 
die  Linien  BE  und  CE  xwei  der  gleiclien  Seiten  des 
Pentagones.  Durch  A  lege  man  nun  eine  Parallele 
der  BCy  und  mache  JBjPst  £jB,  CG  =  CEy  so  ist  i^ 
die  Grandliaie  des  Pentagones. 

Construction  des  Netaes.  Zeidme  die  erste 
Flftohe  ABCDEy  Fig.  874,  beschreibe  aus  ^  mit  AB 
einen  Kreis,  nnd  trage  in  selbigen  die  BE  von  B 
ans  zwei  Mal  als  Chorde  ein,  so  bestimmen  sich  die 
Puncto  B"  und  E\  Von  B^  und  JB"  ans  beschreibe 
aogleich  mit  dem  Halbmesser  BE  die  Bogen  E^  und 
B'b\  und  von  E  und  B^  aus  mit  dem  Hdlbmessor  BC 
die  Bogen  b"  und  e'^,  so  bestimmen  sich  die  Puncto 
jr  und  ^.  lieber  fifB'  und  E'E'  beschreibe  endUch 
mit  AB  zwei  gleichschenklige  Dreiedse,  so  bestimmen 
iuch  die  Puncto  A^  und  A%  und  die  Pentagone  2  und 
3  shid  gefunden.  Man  verfahre  nun  mit  der  Fläche 
2  wie  vorher  mit  der  FlSche  1,  so  finden  sich  die 
Flächen  4  und  5,  hierauf  mit  der  Fläche  4,  und  suc«* 
qessiv  mit  allen  geradzahligen  Flächen  nach  derselben 
Begel,  so  bleibt  endlich,  nachdem  mittds  der  funflen 


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^38         Angeivandte  KrysfaUographie. 

Repetition  nnsers  Yerfahreni  aus  der  8  die  10  und 
11  gefiinden  sind,  nnr  noch  die  Fläche  12 übrig,  wel^ 
fdw  ttadi  dcnelben  Regel  naebgetragen  wird, 

f.  826. 
Netz  des  DyakisdodekaSden  1  — —  1. 

Censtraotion  einer  Flftche.  Die  Kante  B 
jeder  bleibenden  Fläche  des  Hexakisokta^ers  mOm 
verlängert  ikh  darch  die  HemiSdrie  ober  die  C  himnui 
sa  der  längsten  Kante  S*'  des  Dyakisdodekaßders ;  dia 
Kanten  A  and  C  verschwinden  swar,  nicht  aber  ihr 
Durchschnittspunct  c,  welcher  unverändert  der  End* 
panct  der  trigenalen  Kwischenaxe,  und  der  Durchi* 
sohnittspunct  der  beiden  aeuen  Kanten  C  and  C* 
bleibt;  ausserdem  tritt  noch  die  neue  Kante  A"  ein« 

Wenn  uns  IT  und  A"  gegeben  sind,  so  ist  ea 
sehr  leicht,  aus  der  Fläche  dea  HexakisoktaSdera  auf 
die  Flftche  des  DyaldsdodekaSders  au  gelangen ;  denn 
wir  dürfen  nur  die  Seite  B  verlängern,  Fig.  872^  big 
sie  =sir,  daranf  ihren  neuen  Endpunct  b  mit  dem 
Pancte  c  verbinden,  so  ist  ic=C^,  enäick  iber  A 
mit  der  gegebenen  A!'  und  der  geftmdenen  C  ein 
Dreieck  beaehreiben^  so  ist  das  gleichachenkl^  Tra* 
pezoid  eonstmirt.*) 

Die  B^  und  A"  ergeben  sich  sehr  leicht  durdi  M* 
gende   Construction,     Verlängere  in  Fig,   864,   wo 


*)  Vergleicht  man  den  Werth  yon  B'   in  g:  142  oiit  }ei^em 
Ton  B  im  $.  116 f  to  fiadet  man,  da«s 

st»  —  1 
und  folglich,  dass  die  Yerlangeniog  der  Kante  B,  damit  ale  vblB^ 
werde,  oder  dass 

'^        mä^l 
fvodurcfa  naa  auf  dfs  BestismaDg  eines  Punotes  gelangen  ksna.. 


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Modellirung  der  Kryst€$iiß)rmen.  Qtp.IL    539 

PN^Uy  die  PRj  mache  PL^PM^m^  «tid  nebe 
die  QXiy  welche  die  BN  in  eiaem  Pancte  Y  Mhn^U 
det,  «o  ist  «BttiUelbar 

iir=ir 

iiAd  somit  Alles  gefandea,  wag  gor  CeMtHtetioa  dea 
Trapezoides  gefordert  wird. : 

CoDstruction  des. Netzes.  DasNot^  des  Dia* 
Idsdodekaßders  wird  aif  fUmliefae  Art  entwerfe«,  wie 
das  Net«,  des  PentagoAdodekaSders.  .  Man  zeichnet 
Bämlich  BUTÖrderst  ..niwei,  üi  ihren  längsten  Seiten 
imsainnienstossende  Flächein  des  Dyakisdpdekaäderst 
welche  sonach  ein  anregelmässiges  Sechseck  ABCfkBM 
darstellen,  Fig.  872,  «ieht  die  Linie  AEy  und  erhält 
so  ein  symmetrisches  Pentagon  ABCDE  üher  der  AE 
als  Grundlinie.  Aus  diesem  Pentagone  bildet  man  nun, 
gaoz.naeh  denselben  Regeln  wie  im  vorhevgfheadea  §., 
das^et«  eines  Pentagondodekaäders,  beschreibt  MchT 
her  Ober  jeder  Seite  AE  mit  AJf  ein  gleichscheidi:liges 
Dreieck  AFEy  und  zieht  die  Linien  jPT,  so  ist  das 
ved^u^fte  Netz  des  Dj^akisdodekaäders  e^twofffe^. 

H)   Gestalten  des.Tetragonalsysteoies. 

jf)  Holoidrinehe  GMaUtn. 

§.  827. 
Netze  der  tetragonalen  Pyramiden  mP  und  mPoo* 

Consiruction  einer  Fläche  von  aP*.  Ueb« 
der  Lineareinheit  (d.  h.  über  der  halbto  Nebeaaxe) 
ids  Kathete  beschreibe  ein  gleicfaschenkligrechtwiakli« 
ges  Dreieck  MBCy  Fig.  875 ;  seine  Hypotenuse  ist  di^ 
Grundlinie  der  Fläche  ron  siP.  Verlängere  die  CM 
über  J/,  mache  MA^=^may  und  ziehe  die  BAy  so  ist 
BA  der  Schenkel  des  gesuchten  Dreieckes. 

Construction  einer  Fläche  von  siPoo.  Ver- 
längere in  der  vorigen  Figur  die  BM  über  M^  ^^d 


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540         Angewcmdie  KrystcMogrofhiei 

mache  MfDssMBi  Eiehe  die  DCj  veilängere  ide  ibet 
<7,  maehe  CB=^ma^  luid  riehe  die  BE^  so  ist  BD 
die  Gnmdliiiie  and  BE  eiiieir  dop  Sdmdcel  der  HS- 
cken  Ton  mPoo. 

Conatmction  des  Netzes.  Zu  beiden  Seiten 
der  gefondenen  GnandBnie  besclireibe  mit  dem  gelan-* 
denen  fidienkd  die  zwei  Dreiedce  ABC  vnd  A^BC^ 
Fig.  876  9  nnd  sogleieli  ans  A  nnd  A'  als  Blittelpnno- 
ten  mit  AB  als  Halbmesser  zwei  Kreise;  in  jeden 
dieser  Kreise  trage  die  B  irii  Mal  uh  Cherde  ein, 
vnd  siehe  die  Radien  nach  den  Endpnneten  diesor 
Chorden,  so  ist  4aa  Nats  der  PyrasudesiP  oderipPop 
fntworfei^ 

I.  829. 
Nets  der  dUetn^nekn  P^ynaiAe  s^s. 

CTonstrnetion  einer  Fläche.  Beschreibe  das 
gleichschenkligrechtwinklige  Drrieck  3fBC  wie  Vor- 
her, Figb877,  siehe  dessen  HdhenUnie^  verlSngeFe  die 
eine  Kathete  MB  fiber  A,  mache  MN=^»^  MB^=n mal 
lege  dnrch  M  eine  Parallele  der  BC^  nnd  madie  andi 
JC4s;ssHi;  inehe  die  CNi  welche  die  Höhenlinie  in 
einem  Puncto  J}  schneidet^  hierauf  die  DA  nad  die 
CEt  ao  ist  ^ 

CD  die  MittelkMte  Z^ 
DA  die  diagonale  Polkalte  F, 
CE  die  normale  Polkante  X 
der  Pyramide  mPh,  nnd  folglich  Alles  gefiandenj  waa 
gur  Construotion  einer  ihrer  fliehen  erfordert  wird. 

Construction  des  Netxes.  Je  swel  in  einer 
der  längeren  Polkanten^  susammenstossende  Flächen 
von  mPi»  bilden  I  wenq  man  sie  in  einer  Ebene  aus^ 


*)  Au4  S.  223  lit  bekamie,  dase  ^  die  Ifingere  PoUciurte  Ist, 
wenn  s<S,4i4...,  hingegen  Y  die  längere  Pc^kanU,  wenn  »]> 
ab  dieser  Wertli» 


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ModeWrung  der  Kryi*aüfafmen.  Cop.tl.    541 

bieitet,  od«r  ihren  Neigangtwinkel  bis  auf  180^  Ter- 
grossert,  ein  Deltoid.  Man  bilde  also  xavdrdent  ans 
Mweien  der  gefiindenen  Flidien  eineg  dieier  Deltoide 
ACDEj  Fig.  878,  nnd  lege  an  eine  der  kürzeren  Sei« 
ten  desselben  sogleich  ein  «weites  Oelloid  ACDE 
in  symmetrischer  Lage;  beschreibe  hieranf  ans  A  nnd 
A^  mit  der  längeren  Seite  AC  xwei  Kreise,  trage  in 
selbige  die  gleichschenklige  Diagonale  CR  dreimal 
als  Chorde  ein,  siehe  die  Radien  nach  den  Endpanc- 
teti  dieser  Chorden,  nnd  beschreibe  endlich  Aber  jeder 
Chorde  mit  CD  ein  gleichschenkliges  Dreieck,  so 
sind  8  Deltoide,  nnd,  nachdem  man  ihre  symmetä« 
neben  Diagonalen  gezogen  hat,  die  8  Flächenpaare 
constmirt,  und  somit  das  yerlangte  Netz  der  Pyramide 
mPh  entworfen. 

B)  HmUiritche  GeMiaUmt. 

|.  829. 

siP 
Nets  des  tetragonalen  Sphenoldet  — . 

Zeichne  eine  Fläche  der  tetragonalen  Pyranude  mP 
nach  der  Regel  in  f.  827,  nnd  lege  dorch  ihre  Win« 
kelpnncte  Parallelen  der  gegennberliegenden  Seiten; 
80  ist  eine  Fläche  ABC  des  Sphenoides  constrairt» 
Das  Netz  kann  man  nun  entweder  so  entwerfen,  dass 
man  wiederum  durch  jeden  Winkelpunct  des  Drei- 
edceSiUlC  Parallelen  der  Seiten  legt,  wie  in^Fig.  879» 
oder  dass  man  durch  A  eine  Parallele  der  BC  legt, 
dte  BC  selbst  verlängert,  und  dann 

durch  C  eine  ParaHde  der  ABj 

m       m     J}        m  «««  •        AC  ^ 

-•JB«     •••     •   AB$ 
legt,  wie  in  Fig.  880. 


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542         Angeupandte  krystaÜograpJue. 
§.  830. 

M«ts  des  toIngoMleli  SMleMdte»  ±  — !^ 

Constmction  einer  Fläobe.  Die  diagonale 
Polkante  Y  der  ditctcagonalen  Pyramide  mPn  Verlan* 
gert  sich  dnrcb  die  Hemiedrie  sur  längeren  Polkanle 
F"  des  Skaleno^derSx  ^vährend  ihr  normaler  Mittel- 
puDCt  der  Halbirungspnnet  für  die  Mittelkante  de« 
Skaleno^dem  wird.  Es  kommt  also  nur  darauf  an^ 
die  Verlängerung  ron  Y  zu  kennen,  am  aus  der  Flä- 
che der  ditetragonalen  Pyramide  auf  die  Fläche  .de« 
Skalenoöders  au  gelangen«  Nun  ist  nach  §»  223  in 
der  Pyramide 

n  +  1 
und  in  dem  SkalenoSder,  nach  §.  235 , 

n 
also  auch 


und  die  erfeirderlicbe  Verlängerung  von  Yj  damit  ami 
9im  y  werde, 

II 

HeMMW  ergiebt  sich  folgende  Confltruction  det  Sin* 
l»no€derfläche.  Man  zeichne  eine  Fläche  ABC  der 
ditetragonalen  FyvaHiide  «iPn,  Fig.  8&1,  i^erlängere 
die  der  diagonalen  Folkanie  enteprechende  Seite  JJt^ 
und  mache  die  Verlängerung 

n 
ziehe  hierauf  die  DC^  Terlängere  solchie  Sber  C,  und 
mache  C§s=CD^  ziehe  endlich  die  AEy  ao  h^ADJS 
die  verlangte  Fläche  des  SkalenoSders. 


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Modeltirung  d^  Krystcßlfotmen.  Cap.  IL     543 

Co^nstruction  d»9  Netze».  Je  zwei  Flächen 
eines  FläclieBpaaves.  des  Skaleno^ers  bilden,  wenn 
man  sie  in  ein^  Ebene  ausbreitet,  oder  ihren  Nei« 
gu^swinkel  bis  auf  180^  Tergrdssert,  ein  Deltoid. 
Man  aeicbae  nmn  aii¥ÖTdeist  ein  dergktcben  Deltekl 
ABCDf  Fig.  882,  ziehe  *t»%em  gleichschenklige  Dia* 
gMisde  BCy  yerifogeffe  solcke  nach  einet  Seite ,  luid 
lege  durch  D  eine  Parallele  derselben,  hierauf 
durch  C  eine  Parallele  der  BD, 
durch  B  und  E  Parallelen  der  CD, 
so  bestimmen  sich  die  gleichschenkligen  Diagonalen 
PMy  DM'  md  CE"  der  drei  andern  Deltoide;  be^ 
schreibe  hierauf  über  jeder  dieser  Diagonalen  mit  AB 
ein  gleichschenkliges  Dreieck,  ziehe  endlich  die  sjm" 
netrischea  O&agonalen  der  Deltoide,  sa  ist  das  ret" 
langte  Netz  des  SkalenoSders  entworfen.*) 

§•  83i. 
FlUcbe  des  Skalenoeders  aus  dem  eingeschriebenen  Sphenoide. 

Man  kann  maA  die  Fläche  ded  Skalenoeders  ans 
den  durch  sein  .setnadätes  Zeiehe«  mS*  gegebenen 
Elementen  finden,  wie  folgt.  2uerjrt  entwirft  mmm 
eine   Fläche  ABCy   Fig.  883,   des   eingeschrielMneit 

mP 

Sphenoides  —   oder  mS  nach  der  Regel  des  §.  829; 

zieht  hierauf  die  Höhenlinie' 1^:^,  macht  DE=2mai  ^^^ 

DF=i(n-±)XDE, 
legt  durch  E  eine  Paridleb  der  BCy  und  macht  M&=si 
DCy  zieht  endlicb  die  FB  und  FGy  so  sind  die  drei 
Kantenlinien  des  Skalenotfdars  gefunden,  denn  es  ist 


*)  Diese  Constrnction  des  Netzes  gilt  zonädist  für  diejenigen 
Skalenoede»,  deren  MitteUuinten  länger  sind  als  die  küczoren  Pol- 
kanten;   für  solche  tetragonale  SkalenoSder,    deren  Mittelkanten 
'  kürzer  sindf  ab  diese  Polkanten,  ist  das  Netz  nach  einer  ähnli- 
chen Regel  zu  entwerfen,  wie  das  der  hexagonalea  Skaleno^der. 


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544        angewandte  KrystaUagraphie^ 

AB  die  Mittelkante  Z 
BF  die  kuriere  Polkante  X 
FG  die  längere  Polkante  Y, 
Wenn  n  nicht  sehr  gross  ist,  kann  man  noch  kur«» 
ter  auf  die  längere  Polkante  gelangen,   indem  man 
sogleich  auch  EH sb  DF  macht,   und  die  BH  zieht^ 
welches  diese  Polkante  ist   Man  erspart  so  dieCoift- 
atrnction  der  £6* 

i    832. 
K«ts  des  tdrsfMidea  Trapezoeden  r^!^  «id  1^^ 

Constrnction  einer  Fläche.     Die  normalen 
Mittelkanten  Z  des  tetragonalen  TapezoSders  ri^-^ 

sind  der  Lage  nach  identisch  mit  den  Iffittelkanten  Z^ 

aiPm 
des  tetragonalen  SkalenoSders  ±-«7-9  wie  dies  nicht 

nnr  unmittelbar  aus  der  Ableitung  folgt,  sondern  auch 
aus  der  Identität  der  Gleichungen  von  Z  in  §.  234 
und  §.240  SU  ersehen  ist.  Ständen  nun  die  Linear« 
werthe  beider  Kanten  zu  einander  in  einem  rationa- 
len Verhältnisse,  so  wäre  die  Constmetion  der  Flä- 
che des  Trapezoäders  sehr  leicht  aus  jener  der  Ska- 
lenoäderfläche  zu  erhalten.  Es  ist  aber  im  SkalenoS- 
der  nach  f.  235 

II 
und  im  Trapezoäder  nach  f « 241 

also  auch 

n+  1 
und  folglich  die  normale  Mittelkante  des  TrapezoS- 
ders  wirklich  ein  rationales  Submidtiplum  der  Mittel- 
kante des  Skalenoäders. 


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Modellirung  der  Krystcdlfornien.  Cap.IL     545 

Um  daher  die  Fläche  des  Trapezodders  zu  finden, 
constmirt  man  xnvojrderst  die  Fläch^  .4FC,  Fig,  884, 
der  ditetragonalen  Pyramide  mVn  nach  der  Regel  in 
§.828,  verlängert  ihre  diagonale  Kantenlinie,  ^^JE^und 
macht  die  Verlängerung 

ÄZ>  =  —  X  ^Jff, 
n    , 

rieht  die  CJ>,>^iind  nimmt  iron  C  ans  die 

»  -|-  1 
macht  CF  =  €£,  zieht  die  EB  und  AF,  beschreibt 
aus  A  mit  AF  einen  Bogen,  welcher,  die  gehörig  ver- 
längerte EB  in  G  schneidet,  so  wird,  wenn  dieCon- 
struction  mit  gehöriger  Genauigkeit  erfolgte,  BG  =s 
BE^  und  AFEG  die  verlangte  Fläche  des  Trapezo^ders 
seyn. 

Construction  des  Netzes.  Man  construire  d« 
nes  derTrapezoidei^ßCi),  Fig.  885,  und  lege  an  seine 
längere  Mittelkante  CD  sogleich  ein  zweites  Trape- 
seid  A'B'CD  in  entgegengesetzter  Lage,  beschreibe 
ans  A  und  A^  mit  AB  zwei  Kreise,  trage  in  selbige 
die  gleichschenklige  Diagonale  BD  drei  Mal  als  Chorde 
ein,  ziehe  die  Radien  nach  den  dadurch  bestimmten 
Puncten ,  und  beschreibe  endlich  über  jeder  Chorde 
mit  den  Seiten  BC  und  CD  ein  ungleichseitiges  Drei- 
eck, so  ist  das  Netit  des  Trapezo6ders  entworfen. 

Anmerkung.  Will  man,  wie  dies  jedenfalls  zu 
empfehlen,  das  linke  und  rechte  Trapezo^der  zugleich 
darstellen,  so  entwerfe  man  dasselbe  Netz  zwei  Mal, 
schneide  beide  Netze  aus ,  mache  jedoch  ihre  entge- 
gengesetzten Oberflächen  zu  den  Aussenflächen  vder 
Trapezoöder,    so  erhält  man  aus  dem  einen  Netze 

r— ^,  aus  dem  andern  P—-*    Doch  kann  man  auch 

die  Netze  beider  GegenkSrper  unmittelbar  conettruiren, 
indem  man  das  erste  Trapezoid  den  einen  Netzes  in 
n.  35 


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546         Angewandte  Krystallographie* 

der  Lage  wie  AFEG,  Fig.  884,  das  des  andern  Netxes 
in  der  Lage  wie  AFEG^  Fig.  886,  zeichnet. 

tIL     Gestalten  (fe«  Hsxagonalsysteme». 
A.    Holoödriaelie  Gestalttik 

§.    833. 
Netze  der  heza^onalen  Pyramiden  mV  und  «iPS. 

Construction  einer  Fläche  von  ff|P.  Man 
seichne  einen  rechten  Winkel,  Fig.  887,  mache  den 
einen  Schenkel  AB  =:  1,  d.  h.  =  der  Lineareinheif, 
den  andern  Schenkel  AC^^ma^  ziehe  diefiC,  so  ist 

AB  die  Grundlinie 

BC  der  Schenkel 
vder  verlangten  Fläche. 

Construction  einer  Fläche  von  mP2.  lieber 
der  Lineareinheit  .^IB,  Fig.  888,  beschreibe  ein  gleich- 
seitiges Dreieck  ABD,  ziehe  dessen  Höhenlinie  aus 
Af  verlängere  selbige,  so  wie  die  AB,  und  mache 
BF  =  ABy  ziehe  die  DjP,  welche  ^e  Höhenlinie  in 
einem  Puncto  E  schneidet;  lege  hierauf  durch  A  eine 
Parallele  der  DB,  mache  AC  =  sia,  und  ziehe  CJS^ 
so  ist 

AE  die  Grundlinie 

EC  der  Schenkel 
der  verlangten  Fläche. 

Construction  des  Netzes.  Ueber  der  gefun- 
denen Grundlinie  BCy  Fig.  889,  beschreibe  man  za 
beiden  Seiten  eines  der  Dreiecke,  hierauf  aus  dem 
Scheitel  jedes  Dreieckes  mit  AB  einen  Kreis,  trage 
in  beide  Kreise  die  BC  als  Chorde  über  C  zwei  Mal, 
über  B  drei  Mal  ein,  und  ziehe  die  Radien  nach  den 
Endpuncten  dieser  Chorden,  so  ist  das  Netz  der  hexa- 
gonalen  Pyramide^  entworfen. 

§.    834. 
Netz  der  dihexagonalen  Pyramide  mPn. 

Construction  einer  Fläche.    Ueber  der  Li- 


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ModeUirung  der  Krystailfornu^  Cap^IL    $47 

neareinheh  AB^  Fig.  890.3^  beschreibe,  ein  gleichseiti- 
ges Dreie^  ABDy  ziehe  dessen.  Höhenlinie  aus  A^ 
▼erlängere  selbige  so  wie  die  AB^  and  mache 

BF^(n^i)X  AB\ 
sdehe  die  J)Fj  wdche  die  Höhenlinie  in  einem  Pnncte 
J5  schneidet.    Durch  A  lege  eine  Parallele  der  DB 
und  eine  Nonnale  der  ADj  mache  AC  =  AQ  =3  «me, 
fiehe  die  DG  und  EC^  so  ist 

DE  die  Mittelkante  Z 
lf:G  die  normale  Polkante  X 
EC  die  diagonale  Polkante  Y 
^r  Pyramide  mPh,  nnd  folglich  die  y^dangte  FiSche 
gefunden. 

Coi^struetion  des  Netzes«  Je  zwei  in  einer 
längeren  Polkante*)  zusammenstossepde  Flächen  von 
miPn  bilden,  virenp  man  sie  in  ein^r  E.bene  ausbreitet 
oder  ihj^en  J^eigungswinkel  bis  auf  180°  vergrö^ser^ 
€in  symmetrisches  Trape^pid  oderDeltoid.  Man  zeichne 
nun  zuvörderst  zwei  dergleichen  Deltoide,  in  der  Lage 
wie  4CDE  und  A'CpW  in  Fig.  878,  beschreibe  aus  A 
und  A'  mit  AC  zwei  Kreise,  trage  in  selbige  die  g^eicl^- 
schenklige  Diilgonale  der  Deltoide  fünf  Mal  al^  Chorde 
ein,  siehe  die  Radien  nach  den  Endpuncten  diesem 
Chorden,  beschreibe  üb^r  ihnen  mit  der  CD  gleich-, 
•chenklige  Dreiecke,  und  ziehe  endlich  die  symmetri- 
schen Diagonalen  der  sämmtlichen  Deltoide,  so  ist 
4aft  verlangte  Netz  entworfen« 

B.    Hemiedrische  Gestaltea^ 

§.    835. 

Nets  de*  Rbomluoeden  --1  oder  mtt. 

2 

Construction  einei:  Fläche.  Man  zeichne  zn^ 

vörderst  eine  Fläche  ABC^  Fig.  892,  der  Pyri^nide  «iP, 

—^— —«.———  * 

*)  Aus  S-  821  ist  bekan^,  dass  die  npimale  Polkante  >=< 
als  ^e  diagonale  Polkante»  je  nachdem  n  <:c:sssi'>  1,366...  ist,  . 

35» 


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548         Angennrndte  Krystallographie. 

nach  der  Regel  des  §.833,  ziehe  die  IföhMdinie  AIM^ 
verlängere  solche  über  die  Grandlinie,  «nd  mache 
ihre  YerIängening/>£  =  4^.40;  ziehe  die  EB  und  EC^ 
und  darch  A  ihre  Parallelen  i4F  und  i4G,  so  iBtÄFEG 
die  verlangte  Fläche  des  Rhomboöders  mR. 

Construction  des  Netzes.  Man  zeichne  eine 
der  Flächen  ABCD^  Fig.  891,  nach  der  so  eben  ange« 
gebenen  Regel,  und  lege  an  sie  eine  zweite  n&che 
BCEFj  indem  man  die  AB  und  DC  verlängert,  und 
ihre  Verlängerungen  ihnen  selbst  gleich  macht.  Je 
nachdem  nun  das  RhomboSder  ein  spitzes  oder  stmiH 
pfes,  beschreibe  man  aus  den  beiden  einander  diago- 
nal gegenüberliegenden  spitzen,  oder  aus  den  bei- 
den analog  gelegenen  stumpfen  Winkelpuncten  A  und 
E  mit  der  Seite  des  Rhombus  zwei  Kreise,  Flg  891 
und  893,  trage  in  jeden  derselben  Hb  nraobydiago- 
nale  oder  Makrodiagonale  beiderseits  als  Chorde  ein, 
ziehe  die  Radien  nach  den  so  bestimmten  Puncten  der 
Peripherien,  und  lege  durch  dieselben  Puncte  Paral- 
lelen der  gezogenen  Radien,  so  ist  das  verlangte  Net« 
entworfen. 

'  §.    836. 
Neu  des  hexagonalea  Skaleno^ora  ±^^. 

Die  diagonale  Polkante  Y  der  dihexagonalen  Py- 
ramide mPn  verlängert  sieh  doich  die  H#miikkrie  au 
der  stumpferen  Polkante  Fi  des  Skaleno^ders,  Wäh- 
rend ihr  normaler  Mitteleckpunct  der  Halbirangspunct 
der  Mittelkante  desselben  wird.  Kennt  man*  also  die 
Verlängerung  von  V,  so  lässt  sieh  die  Fläche  des 
Skaleno^ders  sehr  leicht  aus  der  Fläche  seiner  Mut- 
tergestalt finden.  Nun  ist  in,  der  dihexagonalen  Py- 
ramide nach  f.  32JL 


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Modellirung  der  KrystaUformen.  Cap.  IL   549 
Bnd  im  Skaleno^der,  nach  §.  333, 


ako  auch 


^•-  3« 


2(it  +  l) 


oad  mithiB  die  Verlängerung  S  von  F,  damit  ans  ihr 
Kl  werde, 

3j» 
Hieraag  ergiebt  «ich  folgende  Methode  zur  Gon« 
struction  der  Fläche  des  Skaleno^ders.  Man  zeichne 
eine  Fläche  ABC  der  dihexagonalen  Pyramide  mPn, 
Flg.  895,  verläogere  die  der  diagonalen  Polkante  ent* 
apreohende  Seite  AB^  mache  die  Verlängerung 

BD  =  ?^  X  AB 

3» 

dehe  die  DC,  verlängere  selbige ,  nnd  mache  CE  ss 
DC^  ziehe  endlich  die  AE^  so  ist  ADE  die  verlangte 

Fläche  des  SkalenoSders  -^, 

Constrnction  des  Netzes.  Je  zwei  in  einer 
längeren  Kante  znsammenstossende  Flächen  des  Ska«, 
lenoMers  bilden,  wenn  man  sie  in  einer  Ebene  ans- 
breitet,  oder  ihren  Neigungswinkel  bis  auf  160^  ver- 
grdssert,  ein  Deltoid.  Man  zeichne  nun  zuvorderst 
ein  dergleichen  Deltoid  AB  CD,  Fig.  896,  und  an  eine 
seiner  kürzeren  Seiten  CD  sogleich  ein  zweites  A'B^CD^ 
beschreibe  aus  A  und  A^  mit  AB  zwei  Kreise  ^  trage 
in  selbige  die  gleichschenklige  Diagonale  BD  nach 
beiden  Seiten  ein  Mal  als  Chorde^in;  ziehe  hierauf 
die  Radien  nach  ihren  Endpuncten,  beschreibe  über 
jeder  Chorde  mit  der  kürzeren  Seite  BC  ein  gleich- 
schenkliges Dreieck,  und  ziehe  endlich  die  symmetri« 
sehen  Diagonalen  der  Deltoide,  so  ist  das  Netz  des 
Skaleno^ers  entworfen« 


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550         Jtngewandte  Kry^aUo^taphiA, 
§.    »37. 

Flädie  des  Skitaoeder»  inJS"  am  Minm  dogoschrlebeaMi  RHohit 

bodder. 

Man  kann  auch  die  Fläche  des  SkalenoSders  au« 
den  Elementen  seines  secnndären  Zeichens  »A*  finden« 

Zu  dem  Ende  beschreibt  man  erst  den  diagonalen 
Hauptflchnil^i  des  eingeschriebenen  Rhombo€ders  mR^ 
wie  folgt.  Ziehe  eine  verticale  Linie,  Fig.  901,  nimm 
Ton  einem  ihrer  Punote  ,if  aus  MA=BLfz=^maj  MC 
=  iffkf,  MB  =  MB"  =  1,  beschreibe  über  BB"  ein 
gleichseitiges  Dreieck  BB^Dj  und  ziehe  dessen  Ho* 
henlinie  MD.  Durch  C  lege  eine  Parallele  der  MB^ 
und  ziehe  die  A^D^  welche  diese  Parallele  in  einem 
Puncte  E  schneidet;  ziehe  hierauf  die  AE  und  durch 
^  ihre  Parallele,  so  wie  durch  A  eine  Parallele  der 
AfEj.  so  ist  AEA'^Ef  der  diagonsje  I^auptschnitt  de« 
eingeschriebenen  Rhomboßders  mit,  und  AE  4i^Kan- 
teplinie  desselben. 

Mache  nun  AF=^{n,  —  l)x3fi#,  »iejie  die  #^  und 
FEf^  so  sind  die  drei  Seiten  der  Fläche  des  Slyale- 
naä4^rs  gefunden,  denn  es  ist 

AE  die  Mittelkante  Z 

FE  die  kürzere  Polkante  X 

FE^  die  längere  Polkante  Y 

Die  Construction  des  Netzes  wird  nun  nach  der 
R^gel  4es  Yorher^ebenden  §.  vollzogen^ 

f.    838, 
Nets  des  hezagonalen  Trapezoedera  i*'--^« 

Construction   einer  Fläche.      Die  normale 

jrP» 
Mittelkante  Zi  des  hexagonalen  Trapezoäders  ri^-^ 

ist  der  Lage  nach  identisch  mit   der  Mittelkante  Z 

mP« 

des  SkalenoSders  +— j-,  wie  dies  nicht  nur  aus  den  in 


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Modeüimng  der  KryatallfotTnen.  Cap.IL    551 

den  {f.  296  und  310  anfgestellten  Regeln  der  Ableitung, 
gondern  ancb  ans  der  Identität  der  Gleichungen  Ton 
Z  in  §.332  und  §.352  ^rhelh.  Es  ist  aber  auch  die- 
selbe Kante  des  TrapezoSders  ein  rationales  SubmnI* 
tiplum  der  Kante  des  Skalenoßders,  und  darauf^grün« 
det  sich  eine  sehr  einfache  Constructionsmethode  der 
Fläche  des  Trapezoäders.  Vfix  fanden  nämlich  in 
f.  333  für  das  Skalefto^der: 

^=  ^ 

und  in  §.353  für  das  TrapezoSder: 

^         2(»— l)r^g^(2— ii)»  +  3ji« 
aKo  ist  auch 

Hieraus  ergiebt  sich  folgende  Regel  für  die  Con« 
struction  einer  Fläche  des  Trapezo^ders.  Man  zeichne 
eine  Fläche  ABC  der  dihexagonalen  Pyramide  siPii, 
Fig.  894^  verlängere  ihre,  der  diagonalen  Polkante 
entsprechende  Seite  AB^  mache  die  Verlängerung 

BD  =  ?^  X  AB 

und  ziehe  dief  DC\  mache  nun 

n-hl 
siehe  die  EB^  verlängere  si^  uo  wie  die  EC  über  B 
und  C,  mache 

CF  =  CE 

BG:=  BE 
und  ziehe  die  AF  und  AG,  so  int  AFEG  die  verlangte 
Fläche  des  Trapezoäders. 

Construction  des  Netzes.  Man  Zeichne  erst 
ein  Trapezoid  ^I^CA,  Fig.  898,  und  lege  sogleich  an 
dessen  längere  Mittelkante  ein  zweites  AfB^CD  an, 
beschreibe  hierauf  aus  A  und  A^  mit  AB  zwei  Kreise, 


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552        Angeumndte  Krystaüographie. 

trage  in  selbige  die  gleicbeehenklige  DiagoBale  dier 
Trapesoide  f&nf  Mal  ids  Chorde  eiir,  ziehe  die  Halb- 
megirer  nach  den  Endpimcteii  dieser  Cherd^n,  und  be- 
tehreibe  endlich  ober  jedeir  derselben  mit  den  beiden 
kürzeren  Seiten  BC  und  DC  ein  nngleicbseitiges.  Diet^ 
eck,  so  ist  das  verlangte  Netz  «itworfen^ 

'C.    Tetartoedrische  Gestalteik 

f.     839. 
Netz  der  trigooalen  Pyramide  —^ 

Man  construirt  eine  Fläche  ABC  der  hexagonalen 
Pyramide  i»P2  nach  der  Regel  des  |.  833,  T\^,  897, 
verlängert  ihre  Grundlinie  BO  nach  beiden  Seiten, 
macht  BD=:CE  =  BC,  und  zieht  AD,  AE,  so  ist  ADE 
die  ^Fläche  der  trigonalen  Pyramide. 

Man  zeichne  nun  über  der  Grundlinie  AIS  sogleich 
eine  zweite  Fläche  A^DE,  beschreibe  aus  A  und  A^ 
mit  AD  zwei  Kreise,  trage  in  selbige  die  DE  zwei 
Mal  als  Chorde  ein,  und  ziehe  die  Radien  nach  den 
Endpuncten  def  Chorden,  so  ist  das  Neti  der  trigo- 
nalen Pyramide  entworfen. 

§.    840. 

Netz  des  trigonalen  Tcapezoeders  W^^ü 

Die  längere  Mittelkante  Zt  des  trigonalen  Trape- 
zoSders  —^  ist  der  Lage  nach  identisch  mit  der  Mit- 

telkante  Z  des  SkalenoSders  — — ,  wie  sich  aus  der 

Ableitung  beider  Gestalten,  und  aus  der  Identität  der 
Gleichungen  von  Z  m  %,  332  und  §.  360  ergiebt  Die- 
selbe Kante  des  Trapezoäders  ist  aber  auch  ein  ra- 
tionales Multiplnm  der  Kante  des  Skaleno^ers;  es 
ist  nämlich  nach  |.  333  im  Skalenoöder 


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Modellintng  der  KryatallfoTßMn.  Cap.II.   553 

Z  = 3j 

und  nach  §.361  im  trigonaleii  TrapezoSder 

^  _  2(2»  —  i)t^m^u\(2  —  ny  +3n* 

abe  anch  ' 

Z,  =a  (2»  -  1)Z 

und  die  erforderliche  Verlängferang  S  von  Z^  damit 
es  in  Zi  übergehe, 

S=2(n  —  i)Z 

Anf  diesem  Verhältnisse  beider  Kantenlinien  be- 
ruht einerseits  die  Constmction  der  TrapezoSderfläche; 
anderseits  daranf,  dass  die  kürzeren  Mittelkanten  des 
TrapezoSders  die  Nebenaxen  in  der  Centraldistanz  n 
schneiden. 

Wir  erhalten  daher  folgende  Regel  für  die  Con- 
stmction der  verlangten  Fläche.  Man  zeichne  nach 
der  Regel  des  §«  834  eine  Fläche  ABC  der  dihexago- 
nalen  Pyramide  «tPn,  Fig.  900,  verlängere  die  der  dia- 
gonalen Polkante  entsprechende  Linie  AB^  pnd  mache 

ziehe  die  DCy  verlängere  sie,  mache  ihre  Verlängerung 

DE  =  2(ii  — 1)  X  DC 
und  sogleich  CH  ^s  CEi  verlängere  nun  die  CB^  und 
mache 

BF  =  nXBC 

ziehe  die  £F,  mache  ihre  Verlängerung  FO  ihr  selbst 
gleich,  und  siehe  endlich  die  AH  und  AO^  so  iit  AOEH 
die  verlangte  Fläche  des  Trapezoi^ders. 

Constmction  des  Netzes.  Man verfthrt gantf 
anf  dieselbe  Art  wie  bei  der  Constmction  des  Netses 
des  hexagonalen  Trapezoäders ,  und  erliält  $o  das 
verlangte  Nets  tig.  899. 

n.  36 


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554         Angewandte  KrystöUografhieu. 

IV.    Ge$taÜ€m  de»  rhomBiicken  S^itemei. 

A.  Holoedrische  Gettalteiu 

§.    841» 

Netz  einer  rhombischen  Pyramide. 

Die  Fläche  einer  rhombischen  Pyramide,  deren 
Axen  das  Yerhältniss  a:b:c  haben,  ist  leicht  g'efiin* 
den.  Man  ziehe  zwei  sich  rechtwinklig  schneidende 
Linien,  Fig.  902,  mache 

MA  ==  a,    MB  =±  i,   MC  :ss  c 
ziehe  die  AB^  BC  tind  AC^  so  sind  diese  laniea  die 
drei  Seiten  der  verlangten  Fläche« 

Um  das  Netz  zu  erhalten,  zeichne  man  zuTorderst 
zwei  in  symmetrischer  Lage  an  einander  stossende 
Flächen,  ABC  und  A'BC,  Fig.  903,  beschreibe  ans  ih* 
ren  gegei\überlif genden  Winkelpnncten  A  und  A'  mit 
der  kürzeren  Seite  AC  zwei  Kreise,  welche  die  län- 
geren Seiten  in  den  Puncten  Z>  nnd  ly  schneiden, 
trage  in  diese  Kreise  die  DC  drei  Mal  als  Chorda 
ein,  ziehe  die  Radien  nach  den  dadurch  bestimmten 
Puncten  £,  E  und  /*,  verlängere  die  AF  und  mache 
AG  =  ABy  ziehe  endlich  die  BE^  EG  und  GCj  so 
isf  das  verlangte  Netz  entworfen. 

B.  Hemiedrische  GettalteD. 

i    842. 
Nets  des  rhomhisobea  SphoDoides. 

Soll  man  das  Netz  des  aus  einer  rhombischen  Py- 
ramide abgeleiteten  Sphenoides  entwerfen,  so  zeich- 
net man  erst  eine  Fläche  dieser  Pyramide  nach  deir 
Regel  des  vorhergehenden  §.,  legt  durch  die  drei  Win- 
kelpuncte  derselben  Parallelen  mit  den  gegenüberlie- 
genden Seiten,  so  ist  4ie  Fläche  des  Sphenoides  ge- 
funden. 

Das  Netz  entwirft  man  entweder  durch  Wiederho- 
lung derselben  Construction,    in   welchem  Falle  es 


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Modellitung  der  Kryatallformen.  Cäp.II.   555 

tciaiigiilär,  oder  durch  Anwendung  der  analogen  Con- 
stmction  wie  in  $.  821,  in  welchem  Falle  es  rhom** 
boidisch  wird. 

V,     GestaliBn  Jet  mcnoklinoSdriichen  Sy$teme$* 

§.    843. 
Nets  tmtt  Tolktäiidigen  monoldiiioedrisdien  Pyrttinida. 

Die  Elemente  der  gegebenen  Pyramide  sind 
das  Yerhältniss  aiiic^  und 
der  Winkel  C  oder  y 
Man  ziehe  zwei  sich  unter  dem  Winkel  /  8chnei«> 
dende  Linien,  Fig.  904^  errichte  aus  dem  Puncte  M 
wtf  jeder  Unie  eine  Normale,  und  mache  nun 
XLA^a 
MB=z  MB"  ^  i 
MC:=:t  MC    ^  c 

siehe  hierauf  die  AB^  AB'j  AC  und  ßC^  so  ist 
AB  die  klinod.  Polk.  von  +  P 
AB"  -^       *    -        -         -    — P 
AC  die  orthod.  Polkante 
BC  die  Mittelkante 
Man  beschreibe  also  über  BC  als  Grundlinie  ein« 
mal  mit  AB  und  AC^  und  darauf  mit  AB'  und  AC  ein 
Dreieck,  so  sind  die  Flächen  der  beiden  Theilgestal- 
ten  der  Pyramide  gefunden. 

Bei  der  Entwerfiing  des  Netzes  hat  man  nur  dar- 
auf zu  sehen,  dass  die  einzelen  Glieder  der  Theilge-^ 
stalten  gehörig  vertheilt  werden,  indem  sie  einander 
diagonal  gegenüberliegen  müssen. 

VL    Ge9iaU0H  ie%  dÜ^  und  trädmoidrücheu  SjfStmei. 

i    844. 
Nets  einer  ToUft&ndq^  di-  oder  triklinoedrifchen  Pyramide. 
Die  Elemente  der  gegebenen  Pyramide  sind 
das  Yerhältniss  uibic  und 
die  Winkel  a,  ß  und  y 


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556         AngeiPandie  KrystaUographie. 

Man  «eichn«  mui  erst  zwei,  sich  unter  dem  Witt* 
kel  y  sehneidende  Linien,  Fig. 905,  «nd  lege  dnrcli 
ihren  Darchschnittspunct  eine  dritte  Linie,  welclie 
die  MA  unter  dem  Winkel  ß  schneidet,  mache  hier- 
auf Jlf^  =  a,  MB  =  Mß'=by  MC  =  MC'  =  €,  ziehe 
die  AB,  AB'  und  ACj  Äff,  so  sind  diese  die  Tier  Pol- 
kantenlinien  der  verlangten  Pyramide.  Nnn  lege  man 
durch  M  eine  vierte  Linie  JH9, ,  welche  die  BB^  unter 
dem  Winkel  a  schneidet,  mache  MDz^MC  =  ej  ziehe 
die  BD  und  B^D^  so  sind  diese  die  beiden  Mittelkan- 
tenlinien. 

Nachdem  so  die  sechs  verschiedenen  KantenHnieii 
gefunden  sind,  hat  man  bei  der  YerBeichnnng  der 
Flächen  der  vier  Theilgestalten  sorgfältig  darauf  Acht 
zu  geben,  wie  diese  Flachen  in  Bezug  auf  die  spitzen 
oder  stumpfen  Werthe  der  Winkel  a,  ß  und  y  aus  je 
dreien  jener  Linien  zu  construiren  sind.  Jede  der  driei 
Seiten  einer  Fläche  überspannt  einen  jener  Winkel; 
man  hat  aber  bei  der  Constmction  jeder  Fläche  dar- 
auf zu  sehen,  ob  ihre  respective  makrodiagonale,  bra- 
chydiagonale  und  basische  Kantenlinie  den  stumpfen 
oder  den  spitzen  Winkel  /?,  y  und  o  fiberspannt,  und 
demgemäss  die  längere  oder  k&rzere  der  Seiten  AB'f 
AC  und  BD  zu  nehmen. 


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