(navigation image)
Home American Libraries | Canadian Libraries | Universal Library | Community Texts | Project Gutenberg | Children's Library | Biodiversity Heritage Library | Additional Collections
Search: Advanced Search
Anonymous User (login or join us)
Upload
See other formats

Full text of "Leibnizens mathematische Schriften"

Google 



This is a digital copy of a book that was prcscrvod for gcncrations on library shclvcs bcforc it was carcfully scannod by Google as pari of a projcct 

to make the world's books discoverablc online. 

It has survived long enough for the Copyright to expire and the book to enter the public domain. A public domain book is one that was never subject 

to Copyright or whose legal Copyright term has expired. Whether a book is in the public domain may vary country to country. Public domain books 

are our gateways to the past, representing a wealth of history, cultuie and knowledge that's often difficult to discover. 

Marks, notations and other maiginalia present in the original volume will appear in this flle - a reminder of this book's long journcy from the 

publisher to a library and finally to you. 

Usage guidelines 

Google is proud to partner with libraries to digitize public domain materials and make them widely accessible. Public domain books belong to the 
public and we are merely their custodians. Nevertheless, this work is expensive, so in order to keep providing this resource, we have taken Steps to 
prcvcnt abuse by commercial parties, including placing lechnical restrictions on automated querying. 
We also ask that you: 

+ Make non-commercial use ofthefiles We designed Google Book Search for use by individuals, and we request that you use these files for 
personal, non-commercial purposes. 

+ Refrain fivm automated querying Do not send automated queries of any sort to Google's System: If you are conducting research on machinc 
translation, optical character recognition or other areas where access to a laige amount of text is helpful, please contact us. We encouragc the 
use of public domain materials for these purposes and may be able to help. 

+ Maintain attributionTht GoogXt "watermark" you see on each flle is essential for informingpcoplcabout this projcct and hclping them lind 
additional materials through Google Book Search. Please do not remove it. 

+ Keep it legal Whatever your use, remember that you are lesponsible for ensuring that what you are doing is legal. Do not assume that just 
because we believe a book is in the public domain for users in the United States, that the work is also in the public domain for users in other 
countries. Whether a book is still in Copyright varies from country to country, and we can'l offer guidance on whether any speciflc use of 
any speciflc book is allowed. Please do not assume that a book's appearance in Google Book Search mcans it can bc used in any manner 
anywhere in the world. Copyright infringement liabili^ can be quite severe. 

Äbout Google Book Search 

Google's mission is to organizc the world's Information and to make it univcrsally accessible and uscful. Google Book Search hclps rcadcrs 
discover the world's books while hclping authors and publishers rcach ncw audicnccs. You can search through the füll icxi of ihis book on the web 

at |http: //books. google .com/l 



Google 



IJber dieses Buch 

Dies ist ein digitales Exemplar eines Buches, das seit Generationen in den Realen der Bibliotheken aufbewahrt wurde, bevor es von Google im 
Rahmen eines Projekts, mit dem die Bücher dieser Welt online verfugbar gemacht werden sollen, sorgfältig gescannt wurde. 
Das Buch hat das Uiheberrecht überdauert und kann nun öffentlich zugänglich gemacht werden. Ein öffentlich zugängliches Buch ist ein Buch, 
das niemals Urheberrechten unterlag oder bei dem die Schutzfrist des Urheberrechts abgelaufen ist. Ob ein Buch öffentlich zugänglich ist, kann 
von Land zu Land unterschiedlich sein. Öffentlich zugängliche Bücher sind unser Tor zur Vergangenheit und stellen ein geschichtliches, kulturelles 
und wissenschaftliches Vermögen dar, das häufig nur schwierig zu entdecken ist. 

Gebrauchsspuren, Anmerkungen und andere Randbemerkungen, die im Originalband enthalten sind, finden sich auch in dieser Datei - eine Erin- 
nerung an die lange Reise, die das Buch vom Verleger zu einer Bibliothek und weiter zu Ihnen hinter sich gebracht hat. 

Nu tzungsrichtlinien 

Google ist stolz, mit Bibliotheken in Partnerschaft lieber Zusammenarbeit öffentlich zugängliches Material zu digitalisieren und einer breiten Masse 
zugänglich zu machen. Öffentlich zugängliche Bücher gehören der Öffentlichkeit, und wir sind nur ihre Hüter. Nie htsdesto trotz ist diese 
Arbeit kostspielig. Um diese Ressource weiterhin zur Verfügung stellen zu können, haben wir Schritte unternommen, um den Missbrauch durch 
kommerzielle Parteien zu veihindem. Dazu gehören technische Einschränkungen für automatisierte Abfragen. 
Wir bitten Sie um Einhaltung folgender Richtlinien: 

+ Nutzung der Dateien zu nichtkommerziellen Zwecken Wir haben Google Buchsuche Tür Endanwender konzipiert und möchten, dass Sie diese 
Dateien nur für persönliche, nichtkommerzielle Zwecke verwenden. 

+ Keine automatisierten Abfragen Senden Sie keine automatisierten Abfragen irgendwelcher Art an das Google-System. Wenn Sie Recherchen 
über maschinelle Übersetzung, optische Zeichenerkennung oder andere Bereiche durchführen, in denen der Zugang zu Text in großen Mengen 
nützlich ist, wenden Sie sich bitte an uns. Wir fördern die Nutzung des öffentlich zugänglichen Materials fürdieseZwecke und können Ihnen 
unter Umständen helfen. 

+ Beibehaltung von Google-MarkenelementenDas "Wasserzeichen" von Google, das Sie in jeder Datei finden, ist wichtig zur Information über 
dieses Projekt und hilft den Anwendern weiteres Material über Google Buchsuche zu finden. Bitte entfernen Sie das Wasserzeichen nicht. 

+ Bewegen Sie sich innerhalb der Legalität Unabhängig von Ihrem Verwendungszweck müssen Sie sich Ihrer Verantwortung bewusst sein, 
sicherzustellen, dass Ihre Nutzung legal ist. Gehen Sie nicht davon aus, dass ein Buch, das nach unserem Dafürhalten für Nutzer in den USA 
öffentlich zugänglich ist, auch für Nutzer in anderen Ländern öffentlich zugänglich ist. Ob ein Buch noch dem Urheberrecht unterliegt, ist 
von Land zu Land verschieden. Wir können keine Beratung leisten, ob eine bestimmte Nutzung eines bestimmten Buches gesetzlich zulässig 
ist. Gehen Sie nicht davon aus, dass das Erscheinen eines Buchs in Google Buchsuche bedeutet, dass es in jeder Form und überall auf der 
Welt verwendet werden kann. Eine Urheberrechtsverletzung kann schwerwiegende Folgen haben. 

Über Google Buchsuche 

Das Ziel von Google besteht darin, die weltweiten Informationen zu organisieren und allgemein nutzbar und zugänglich zu machen. Google 
Buchsuche hilft Lesern dabei, die Bücher dieser We lt zu entdecken, und unterstützt Au toren und Verleger dabei, neue Zielgruppcn zu erreichen. 
Den gesamten Buchtext können Sie im Internet unter |http: //books . google .coiril durchsuchen. 



^iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiniiiiiiiiiiiiiiuF«^ fL->>> 




^iimtitiitt tiltilklibk itlWIiniiinli <«li<iiiiiiiliiilliillhi<lllldlr|tltO«ll«tlllnitl 




^ 



/ 



^ 



\ 



5 



Leibiiizeus 



gesammelte Werke 



aus den Handschriften 



der Königlichen Bibliothek zn Hannover 



herausgegeben 



von 



Georg Heinrich Pertz. 



Dritte Folge 

Mathematik. 

Fünfter Band. 



Druck und Verlag von H. W. Schmidt. 

1858. 



Leibnizens 
mathematische Schriften 






herausgegeben 



▼on 



Ct L Gerhardt. 



Zweite Abtheilnng. 

Die mathematischen Abhandlungen Leibnizens enthaltend. 

Band I» 



Druck und Verlag von H. W. Schmidt 

1858. 



Mit dem vorliegenden Bande beginnt die zweite 
Abtheilung der mathematischen Schriften Leibnizens; 
sie enthält die mathematischen Abhandlungen, die 
gedruckten sowohl, als von den bisher ungedruckten 
diejenigen, welche entweder von Leibniz selbst zur 
Veröffentlichung bestimmt waren oder durch eine 
sorgfältigere Behandlung des Gegendtandes als zum 
Druck geeignet unter seinen Manuscripten auf der 
Königlichen Bibliothek zu Hannover sich vorfinden. 

Was die Aufeinanderfolge der Abhandlungen 
betrifft, so hat der Herausgeber es vorgezogen, der 
bessern Uebersicht wegen die dem Inhalte nach zu- 
sammengehörenden in Gruppen zu vereinigen, in den 
einzelnen Gruppen aber die Abhandlungen nach der 
Zeit ihrer Abfassung, so weit dieselbe sich ermitteln 
liess, an einander zu reihen. 



« ' 



' I 



\f 



Inhalt. 



JDissertatio de Arte Combinatoria. 

Seite 
Dissertatio de Arte Combinatoria, in qua ex Arithmeticae fundamenlis Gompli- 

catioQum ac Transpositionum Doclrina novis praeceptis exslruilur, et usus 

ambariim per uniTersum scieatiarum orbem ostenditur^ nova etiam Artis 

Meditandi seil Logicae Inventionis semioa sparguntur. Praefixa est Synopsis 

totiüs Tractatus, et additamenti locö Demonstratio Existentiae Dei ad Mathe- 

maticam certitudinem exacta. Autore Gottfredo Guiiielmo Leibnäzio Lip- 

sieusi. Lipsiafe a. MDCLXVI 7 

De Quadratura Arithmetica Circuli, Ellipseos et Hyperbolae. 

I. Ein Brief — wie es scheint, an den Heransgeber des Journal des Sga- 
Tans gerichtet — <■ über die Erfindung der Reihe für die Quadratur des Krei- 
ses (Aus d. Manuscript. der Königl. Biblioth. zu Hannover) .... 88 

N. Praefatio Opusculi de Quadratura Circuli Arithmetica (Aus d. Manuscripl. 
der Königi. Biblioth. zu Hannover} 93 

HI. Compendium Qaadraturae Arithmeticae (Aus d. Manuscript. der Königi. 

Biblioth. zu Hannover) 99 

IV. Aus einem Schreiben Leibnizens — wahrscheinlich an den Freiherrn 
von ßodenhausen in Florenz gerichtet — aber Quadraturen nach der Me- 
thode der Alten und mit Hülfe der Analysis des Unendlichen (Aus d. 

Manuscript, der Königi. Biblioth. zu Hannover) 113 

V. Extrait d^une lettre de M. Leibniz ^crite d'Hanovre ä Tauteur du Journal 
touchant la quadrature d'une portion de la roulette (Journ. des S^avans 
de l'an. 1678, nach d. Manuscript. der Königi. Biblioth. zu Hannover be- 
richtigt) 116 

VI. De Vera proportione Circuli ad Quadratum circumscriptum in Numeris 
rationalibus expressa (Act. Erudit. Lips. an. 1682) 118 

VII. De dimBnsionibus Figurarum inveniendis (Act Erudit. Lips. an. 1684) . 123 
Vni. Quadratura Arithmetica communis Sectionnm Conicarum, quae centrum 

habent, indeque ducta Trigonometria Canonica ad quantamcunque in Nu- 
meris exactitudinem a Tabularnm necessitudine liberata, cum usu spe- 
ciaii ad lineam Rbomboram nauticam, aptatumque illi Plänispbaerium 
(Act. Ertidit. Lips. an. 1691) 128 



VI 



Characteristica Geometrica. Analysis Geometrica propria. 

Calculus Situs. 

Seite 

I. Characteristica Geometrica (Aas d. Manuscript. der Königl. Biblioth. 

zu Hannover) 141 

Beilage: Data basi, altitudine et angnlo ad yerticem, invenire 
triangalnm 168 

II. Die Analysis Geometrica propria und den Calculus situs betreffend 
(Aus d, Manuscript. der K6ni|I. B|biif|h. zu Hannover) .... 172 

III. De Analysi situs (Ans d. Manuscript. der Königl. Biblioth. zu Han- 
nover) 178 

IV. In Euclidis HPSITA (Aus d. Manuscript. der Königl. Biblioth. zu 
Hannover) » 183 

Analysis Infinitorum. 

I. Nova Methodns pro Maximis et Mioimis, itemque Tangentibus, quae 
nee fractas nee irrationales quantitates moratur, et singulare pro ilUs 
calculi geous (Act. Erudit. Lips. an. 1684) 220 

U. De Geometria recondita et Analysi Indivisibiiium atque infinitorum (Act. 
Crud. Lip9. an. 1686) 9^^ 

III. De Linea isochrona, in qua grave sine acceleratione descendit, et de 
controversia cum Dn. Abbate de Conti (Act. Erudit. Lips. an. 1689) 234 
Beilage: Solution du Probleme propos^ par M. L. dans les Nou- 

vellei de la Bepuhlique des Lettres du mols de Septembre 1667 
(Article VI des Nouvelles de la Bepublique des Lettres du ^Bois 
d'Octohre 1687) 237 

Addition de M.L. ä Ip Solution 4e son probieme donnde par 
M.H.D.Z. arücle VI du »ois d'oclobre 1687 (Aus d. Mwwscr^ 
der Königl. Biblioth. zu Hannover) . 238 

Analysis d^s Probl^oKs der iisochirpniscbeQ Cur?« (Aitö 4- 
Manuscript. der Königl. Biblioth. zu Hannov^) 241 

IV. JDe Une^i, in quam flexjle se pondere proprio curva^, ^usqwe usu in- 
B\gjfk\ ad inxeniendas quotcQpque mt^m proportional^, et Loi^ithmos 

(Act. Erudit. Lips. an. 1691) ^^ 

Beilage: Solutio Problematis Funicularist exbibita ^ Johanne Ber- 

no^Ul, Basil. Wed. Caod. (Act. Erudit- Lips. aw. 169i) ... 2^8 
Cbrisüftni ßv^eqii, Dypa^tße in ?eelhe% «olqüo ^«sd^ 

pfQblemi|tis . ^^ 

Additamentum ad Problema Funicularium von Jacob ^ernonUi 252 
V. JQe s^^utiofljbtt* Pii^tiilsitDatis Calenarü vel Ful»ic^la^is in Actis Juft»i 
An. 1691, alilsq^e a Dp. J»c Bernoullio proposilis (Act. Erudit. 

Wpfi. ap. m2i) • • ** 

VL JD(e la Qi?in<^^, Q^ sqIuMoü d'up probl^ii^e XaDM»x, prppo** par Ga- 
lilei, pour servir d'8(i#ai d'uoo qoiivelle Aaaly»e ^e» Iböw», avec WP 
nsage pour 1^» Loi^ritiwe», et une application k l'avancement de la 

oavigation (Journ. des S^avans de Tan. 1692) • 258 

VU. Solutio iUustris problematis a Galilaeo primum proppsiti 4e F^(pK^ 



Seite 
ciM»dM am oateiiae e dnobns mBtremis pend^Dtif, pre tf^aamt nor 
vm AnaljseQs cänui inAnkiMi (Oiditial. d«^ Lettenfti dflli' an. 1«9S) . 263 

VUL Da ÜMi «8 lioeis itiNDero infinitis oidinatim dactfe intor «e cdncnr- 
Ptiitibiu larmata eM^e 4«Qa6t timg^Bte, «o de nova in aa m Aaaly- 
saos InftaUoram usu (Aet. £rodit. Ups. an. 1<092) ,...*• 266 
IX^ Äaoigma Arohttactomca^^eoiiMlricuni F4<NreiilMi tranftmisiom ad 6* G. L« 
iftqne ab bac com »alatiMie remiasaa» ad Magnutn Princq^em Hatra- 
ciae. A. MDCXCII (Na«h dem auf dar Kdoigi. Biblioth. 2a Ha&oover 

be&DdiidNH ^dmckten fixemptar) 270 

X, KoaiFeMeB Retnarqoes touohaat TAMtjfae des Transcendanles, diff^en- 
4es de celtea ^ ia 'G^omltitie de M. iDeeeaPles (Jooim. de» ^^avans de 

iUn. 1692) 278 

XI* Generalia de natdra lioeannn, aagatoqne coataetas et eacati, pva^ola-» 
tionibus, aliisque cdgnatia, et eonim asibua noavailis (Act fitndit. 
Lips. an. 1696) 119 

XO. Sapplementam Geometriae practitae aese ad probiamata tramoeodeDtia 
extendens, ope novaa Methoü geaaraliemuae per saries ibflnitas (Act^ 
Erudit. Lips. an, 1693) 285 

XIll. Ad Probleme in Actis EraditCHina an. 1693 mense Maja propa^itiun 

(Act. Eradit. Lips. an. 1693) , ... 288 

XIII.*) Supplementum Geometriae dimensoriae, sen feneralksuDa omniagi Ten 
tfagoaismoram effeelio per Metnm: shniliterqae maltiplei congUuctio 
lineae ex daU Tangentium coaditioiie (Act. Em^. Lips. an. 1693) . 294 

Xt¥. Nofa Galeoli diffnviitiatis appiicatio et usos ad muHipKcem liiiaariim 
oonstmctioaem ex data Tangentium conditioae (Act. Erodii. Lips. 

an. 1694) 301 

XF. Consideralioos sur la difffrence qu^l y a enüre l^Anolyae ardinaire et 

k Boaacau Cakid des Transoeodanles (Joaro. des S^vans de Tan. 1(394) 306 

XVL Constructio propria Problematis de Gonra iBOohEona pameeiitrica, ubi 
et genaraiiora quaedam de natom et oaiculo differeiitiflili «quianuti, at 
de coDStractione lioeamm tsanacendentiaa^ ana maxime i^oBM^ica, 
altera mechanica qaidem, sed generalissidoa» Accassit mediie redflendi 
inveationee Trawseendanlroln LiB«aniiB «niversaUs, ut <)aemTts «asuha 
comprebendaol, et transeant per .punctum datnai (Aol^ Esndit. Lips. 
an. 1694) , . 309 

XVD. NoIalkinoBla ad aonstnwtioDes litiae, ia ^a Saaoma^ aequilibrium cum 
pondere meto faciens, incedere debet^ mease Mit. an. 1695 in Actis 
datas, et qaaedam da Qaadrataris (Act. Eradü. Lips. an* 1096) • • 318 
XVIIL Raopaasio ad nnnoallas difi^ullatas a Dn. Baraardo l^eMrtiit airca 
Metbodam .differentialem seu inftniteiiaal«» motas ^Aet £rtidii. Lips. 
an. 1695) 320 

XIX. G. G. Leibnitii notatiuncula ad Acta Decembr. 1695, pag. 537 et sqq. 

(Act Erudit. Lips. an. 1696) 329 



*) In Folge eines Versehens findet sich I^um. Xlll iweimal. 



tID 

Seite 
XX. GominuBicayo su«ö pariteir duarumque fediänarum ad edendum sibi pri- 
iBHm aDo. Jöh. Bernoallio, deinde a.Dn. llarchioneHospitalio comoinDi- 
catanim solutioDum Probiemalis Curvae celenimi deacensus ■ Da. Joh^ ' 
BeroouUio Geometria pnblice propositi, nna tum solotiooe aoa Proble- 
. maus alterin s. ab eodem postea propoaiti (Act Erndit. Lips« an. 1697) 831 

XXI. Animadversio ad Davidis Gregorii Scfaediasma de Catenaria, quod ha« 
betur. iä Aetis Eruditorüm an. 1698. Excerpta ex Epistola G. G. Leib> 
nilii ad •♦♦ (Act. Erudit. Lips. ao. 1699) 336 

XXII. G. G. Leibnitii Respoosio ad Dn. Nie. Fatii Daiiierii impataliones. Ac- 
cesttt nova Artis Analyticae promotio specimiDe iudicata, dum designa- 
üone per nnmeros asaiuntitios ioco literanim, AJgebra ex Combioatoria 
Arte lacem capit (Act. Erudit. Lips. an.. 1700) 340 

XXIII. Memoire de Bfr. G. G. Leibniz touchaot soo sentiment snr ie Caicul 
diff^entiel (Journ. de Trevoux de l'ao. 1701) 350 

XXIV. Specimen noyum Äoalyseos pro Scientia ioßniti circa Summas et Qua- 
draioras (Act. Erndit. Lips. an. 1702) 350 

XXV. Continaatio Analyseos Quadraturarum Rationali um (Act. Erudit Lips. 

an. 1703) .361 

XXVt Quadraturae Irrationalium simpUcinm (Aus d. Manuscript der Königl« 

Bibiioth. zu Hannover) 366 

XXVIL Symbolismus memorabilis Caiculi Aigebraici et Infinitesimalis in com- 
paratione potentiarum et differenliarum, et de Lege Homogeneorum 

Transcendentali (Misceiian. ßerolinens.) . 377 

XXVIII. Epistola ad V. Ci. Cbristianum Woliium, Professorem Matbeseos Ha- 
ienseim,, circa Scientiam iniiniti (Act. Erudit Lips. Suppiem. Tom. V. 

ad an.. 1713) 382 

XXXIX. Observatio quod rationes sive proportiones non habeant locum circa 
quantitates nihilo minores, et de vero sensu Methodi infioitesiroalis 

(Act. Erudit Lips. an. 1712) 387 

XXX. Remarques de Mr. Leibniz sur l*Art. V. des Nouvelles de la Röpubli- 
que des letlres du mois de Furier 1706 (Nouveli. de ia R^pnbliq. 

des lettiias de l'an. 1706) 38^ 

XXXIi Historia et origo Calcali diffecentiaiis (Aus d. Manuscript. der Königi. 

fiiblioth* zu 'Hannover) » ♦,♦... 392 

t* BellageL Fiiegendes.Biatt,.dat 29 Jul. 1713 . 411 

I Zwei Eatgegnttogen Leibaizens in Bezug auf deo Streil 

mit N«wtoo. 
' ' I. Remarque sur la conlroverse entre M. de Leibniz et M. Newton . . . 414 
II Eine zvveke Entgegnung in deutscher Sprache (beide aus d. Manuscript 
der Königi. Bibliölh. zu Hannover) *lö 



Im.»' ■ -A ii 



DISSERTATIO 



DE 



ARTE COMBINATORIA. 



V. 



Leibniz wurde durch logische Untarsucbungeo :^ttm Studium 
der Mathematik geführt Er selbst hat es öfters ausgesprochen *), 
dass er fast noch ein Knabe auf den Gedanken gekommen, ob es 
nicht möglich sei, ebenso wie es Prädicamente d, h. Klasaen der 
einfachen Begrifife (termini simplices) gebe, eine neue Art von 
Prädicamenten aufzustellen, worin die zusammengesetzten Aus- 
drücke (termini complexi, propositiones) in naturgemässer An- 
ordnung classificirt würden; er wusste nämlich damals noch nicht, 
dass man dergleichen Anordnung in den Beweisen der mathema- 
tischen Lehrsätze schon immer befolgt hatte. Anhaltendes Nach- 
denken führte ihn noch einen Schritt weiter, und er gelangte zu 
der Ueberzeugung, dass „per Artem Combinatoriam alle Notiones 
Compositae der ganzen Welt in wenig Simplices als deren Alpha- 
bet redudrt, und aus solches alphabets Combination wiederumb 
alle Dinge, samt ihren theorematibus , und was nur von ihnen ^u 
inventiren müglich» ordinata methodo mit der Zeit zu finden, ein 
weg gebahnet wird. Welche invention «— fahrt Leibniz fort — 
dafern sie wils gott zu werck gerichtet , als mater aller inventionen 
von mir vor das importanteste gehalten wird, ob sie gleich das 
ansehen noch zur Zeit nicht haben mag. Ich habe dadurch alles, 
was erzehlet werden soll ,. gefunden , und hoffe noch ein mebreres 
zu wege zu bringen ". **) 



*) Am ausführlichsten verbreitet sich Leibniz über seine jogend- 
licben Studien in dem AufsaU: Histori« et commendatio linguae cha- 
racieristieae universalis, q«ae simul sit ars inveniendi el jadicandi. 
Sieb. Leib. op. philos. omn. ed. Erdmann, pag. 162 sqq. 

**) Aus dem Briefe Leibnizens an den Herzog Johann Friedrich von 
Hannover, höcbst wahrscheinlich im September 1671 geschrieben. 
Sieh. Leibniz- Album, herausgegeben von Dr. Grotefend, Hannover 1846, 
S. 14 if. 

i* 



So kam es, dass Leibnizens Aufmerksamkeit zunächst auf 
die Combinatorik gelenkt wurde, eine Disciplin, die bisher noch 
wenig bearbeitet war. Nachdem er ein Bruchstück seiner Studien 
zum Behuf einer Disputation im März des Jahres 1666 unter dem 
Titel : Disputatio arithmetica de complexionibus, yeröffentlicht hatte, 
erschien |in demselben Jahre seine erste Schrift mathematischen 
Inhalts: Dissertatio de Arte Combinatoria. 

Man hat nicht selten Gelegenheit zu bemerken , dass bereits 
in den Erstlingsschriften wahrhaft ausgezeichneter Männer die Keime 
zu den grossen Ideen sich finden, durch deren weiteren Ausbau 
in den reiferen Mannesjahren sie den Kranz der Unsterblichkeit 
errangen. Etwas dem Aehnliches gilt von der genannten Schrift 
Leibnizens. Sie enthält die ersten Grundlinien zu dem riesigen 
Unternehmen der Scientia generalis oder der Allgemeinen Charak- 
teristik, woran sich als eine nothwendige Forderung die Idee 
einer Scriptura universalis reihte *). Es ist hier nicht der Ort, 
über die Ausführbarkeit dieses kolossalen Unternehmens eine um- 
ständliche Untersuchung anzustellen; nur das kann nicht uner- 
wähnt bleiben, dass die Sache selbst keineswegs als ein blosses 
Hirngespinnst des grossen Mannes betrachtet werden darf, dass 
es vielmehr ein wohlbegründeter, lebensfähiger Gedanke war, des- 
sen Realisirung in seinem ganzen Umfange nur an der Grossartig- 
keit des Unternehmens, an den äussern Schwierigkeiten scheiterte. 
Die Idee, dass sich alle Begriffe in eine kleine Anzahl einfache, 
widerspruchslose Elemente zerlegen lassen und dass, wenn es ge- 
länge, für diese letzteren passende Charaktere aufzufinden, die 
Möglichkeit gegeben wäre, durch Combination dieser Charaktere 
nicht allein alle bereits bekannten Wahrheiten sofort für jeden ver- 
ständlich auszudrücken, sondern auch neue Wahrheiten zu ent- 
decken -— diese Idee verfolgte Leibniz unablässig sein ganzes 
Leben hindurch mit aller Energie seines grossen Geistes. Einzelne 
Fragmeute, die in neuerer Zeit aus seinem Nachlass veröffentlicht 
worden sind, legen hinreichendes Zeugniss davon ab, dass er wie- 
derholte Versuche zur Ausführung dieses seines Lieblingsplanes 
gemacht hat. Wenn nun aber auch Leibniz den grossartigen Ge- 
danken in seiner ganzen Allgemeinheit nicht ins Werk gesetzt hat, 



*) Sieh, lieber Leibuizens Entwurf einer allgemeinen Charakteri- 
stik» Von k. Trendelenburg. Berlin 1866, 



5 

80 hat ihm doch di^ Erkenntniss, me unendlich viel für die Ver- 
Tollkommnung und Erweiterung einer jeden Wissenschaft von einer 
passend gewählten Zeichensprache stets zu erwarten steht, auf dem 
Gebiet der mathematischen Wissenschaften die schönsten Früchte 
gebracht. Man hat noch viel zu wenig erkannt, dass der von 
ihm so glucklich gewählte Algorithmus für die höhere Analysis 
lediglich als ein Ergehniss dieser Bemühungen zu betrachten ist; 
er ist ursprünglich nichts anderes — und Leibniz selbst bezeich- 
net ihn so — als eine Charakteristik, als ein Operationscalcul. 
Hierher gehören auch Leibnizens Versuche, die übliche Zeichen- 
sprache der Arithmetik und Algebra dahin zu yervoUkommen» 
dass , falls den allgemeinen Zeichen geometrische Bedeutung bei- 
gelegt würde, die algebraischen Formeln sofort auch die Eigen- 
schaften der dadurch ausgedrückten geometrischen Gebilde erken- 
nen Hessen (Charakteristica geometrica). — Als ein Zweites ist 
hier hervorzuheben, dass in der gedachten Abhandlung De Arte 
Combinatoria bereits die ersten Andeutungen der Logica inventiva 
oder der „Erfindungskunst'' (ars inveniendi et dijudicandi) gefun- 
den werden, durch die Leibniz die wahrhafte Begriindung und Er- 
weiterung der Wissenschaften zu ermöglichen glaubte. Sie fussi 
auf denselben Voraussetzungen, wie die Scientia generalis, auf der 
Zurückführung der zusammengesezten Begriffe auf wenige einfache, 
die aus ihrer Ordnungslosigkeit in eine bestimmte Ordnung ge- 
bracht und nach den Regeln der Combinatorik verbunden, alle 
möglichen Wahrheiten zu Tage fördern würden *). Die Logica 
inventiva ist demnach die „methodus ordinata'' oder der „filus 
meditandi'S wodurch einem jeden Menschen die Möglichkeit ge- 
boten vrirdy zur Erktnntniss der Wahrheit zu gelangen. Auf dem 
Gebiet der mathematischen Wissenschaften, wo ledigUch die Form 
des Gegebenen zur Betrachtung kommt und deshalb das Aufstei- 
gen von den einfachen Fällen zu den zusammengesetzteren mit 
nicht so vielen Schwierigkeiten verknüpft ist , wusste Leibniz diese 
„Erfindungskunst'' mit bewundrungswürdiger Meisterschaft zu hand- 
haben und gelangte dadurch zu den schönsten Erfolgen. Alle seine 
Lösungen der grossen Probleme aus dem Bereich der höheren 
Analysis liefern dazu die Beweise. 



*) Sieh. Leibnizens Logik. Nach den Quellen dargestellt von Dr« 
ILvet. Prag 1867. S. 48 ff. 



Leibniz hat zuerst, me bereits erwähnt worden, die Combi« 
natorik als eine sdbstständige Disciplin behandelt. Er sah Bich 
zu d^m Ende genöthigt, eine neue Terminologie einzuführen^ 
worüber die vorausgeschickten Definitionen handein; er nennt 
,,conTplexiones'\ was gegenwärtig allgemein durch Combinationen 
bezdcfanet wird, und „exponens^S wofür man jetzt Union, Knion, 
Ternion, überhaupt Classen sagt; unter „Yariationes ordinis'* ver-* 
steht er die Permutationen« Hierauf werden in 12 Problemen die 
elementarsten Regeln über Combinationen und PermutationeQ ga« 
geben; in einer vorausgeschickten Bemerkung bezeichnet Leibniz 
ausdrücklich, dass er den zweiten Theii des ersten Problems i so 
vrie das zweite und vierte anderen verdanke, alles übrige habe er 
selbst geAinden. — Was die mathematische Behandlung des Ge- 
genstandes betrifift, so ist in der ganzen Abhandlung ein Erst- 
lingsversuch nicht zu verkennen; sie ist nach Art der mathema- 
tischen Schriften, wie sie im sechzehnten und zu Anfang des sid)- 
zehnten Jahrhunderts in Deutschland erschienen, abgefasst. Offen- 
bar ist Leibniz vorzüglich darum zu thun, die ausserordentliche 
Fruchtbarkeit des Gebrauchs der combinatorischen Regehi in der 
Logik, Jurisprudaiz und in vielfacher anderer Hinsicht zu zeigen« 
Ein ähnliches Uriheil, wie das eben vorhergehende, hat Leib- 
niz selbst über die in Rede stehende Abhandlung gefallt, als ohne 
sein Wissen im Jahre 1690 zu Frankfurt am Main ein unverän- 
derter Abdruck von derselben erschien % Er hebt namentlich 
hervor, dass die Lösungen und Beweise der darin behandelten 
Probleme mangelhaft seien, da er zur Zeit ihrer Abfassung mit 
der höheren Analysis gänzlich unbekannt gewesen, auch nicht hin- 
länglich gewusst habe, was von anderen über den fraglichen Ge- 
genstand geleistet worden sei. 



*) Act. Erudit. Lips. an. 1691 mens. Febr. 



DISSERTATIO 

DE 

ARTE COMBINATORIA, 

in qua 

ex Arithmeticae fuiidamentis Complicationum ac Transpositionum 
Doctrina novis praeceptis exstniitur, et usus ambarum per Uni- 
versum scienüarum orbem ostenditur, nova etiam 

Artis Meditandi 

sen 

Logicae Inventionis semina 

spärgantnr. 

Pr^xa est Synopsis totius Tractatus, et additamenti loco 

Demonstratio 

EXISTENTIAE DEI, 

ad Matbematicam certitudinem exacta. 

Antore 

Gottfredo Gnilielmo Leibnttzio Lipsiensi, 

Phil. Magist. et J. U. Baccal. 



LIPSIAE, 

apud Job. Simon. Fickium et Job. Polycarp. Seuboldum 

in Platea Nicoiaea, 

literis Spörelia nis. 
A. M. DC. LXVI. 



' • ; 



• i . 'I 



•i- 



«Vi" •. 



.' .! 



• ' I 4 t 



Synopsis. 

Qedes doctrinae istios Arithmetica. Hujus origo. Complexioses 
autem sunt Aritbmetieae parae, situs figuratae. Definiüones novo- 
rum terminorum. Quid aiüs debeamus. Problema I : Dato numero 
et expooente Cornplexiones et in specie Combinationes invenire. 
Problema II: Dato numero complexiones simpliciter invenire. Horum 
usus 1) in divisionis inveniendis speciebus, v. g. inandati, Elemen- 
tonun, Numeri, Registrorum Organi Husici, Modorum Syllogismi 
categorici, qui in Universum sunt 512 juxta Hospinianum, utiles 
88 juxta nos. Novi Modi figurarum ex Hospiniano : Barbari, Celaro, 
Cesaro, Camestros, et nostri ligurae IVtae Galenicae: Fresismo, 
Ditabia, Celanto, Colanto. Sturmii modi novi ex terminis infinitia, 
Darppti. Demonstratio Conversionum. De Complicatiouibus Figu- 
rarum in Geometria, congruis, biantibus, texturis. Ars casus for- 
mandi in Jurisprudentia. Theologia autem quasi spedes est Juris^ 
pmdentiae, de Jure nempe Publice in republicaDEI super homines; 
2) in inveniendis di^rum specierum generibus subalternis, de modo 
probandi i»u£(ioientiam datae divisionis. 3) Usus in inveniendis 
proposiiionibus et ai^mentis. De arte combinaUnria Lullii, Ätba-- 
safiii Kirchen, nostra, de qua sequentia: Duae sunt copulae in 
propositionibus : Revera et Non, seu + ^t — . De formaudis prae- 
dicamentis artis com2natoriae. Invenire, dato definito vel termino, 
definitiones vel terminos aequipoUentes ; dato subjecto, praedicata 
in propositione UA, item PA , it,em N ; Numerum Classium , Nu- 
merum Terminorum in Classibus; dato capite, complexiones; dato 
praedicato, subjecta in propositione UA, PA et N; datis duobus 
tenninis. in propositione necessaria UA et UN argumenta seu me- 
di9s terminos ia?enire« De Locis Topicis, seu modo efficiendi et 
probandi propositiones contingentes. Specimen mirabile praiedica^ 



10 

mentorum artis com 2 natoriae ex Geometria. Porisma de Scrip- 
tura universali cuicunque legenti cujuscunque linguae perito intelli- 
gibili. Dni. de Breissac specimen artis coin2natoriae seu meditandi 
in re bellica, ^jus beneficio omnia consideratione digna Imperatori 
in mentem veniant. De Usu rotarum conceDtricarum chartacearum 
in arte hac. Serae hac arte constractae sine clavibus aperiendae, 
Mahl-Schlösser, Mixturae Colorum. Probl. HI: Dato numero clas- 
sium et rerum in singulis, complexiones classium invenire. Divi* 
sionem in divisionem ducere« de talgari Conscientiae divisione. 
Numerus sectarum de summo Bono e Yarrone apud Augustinum. 
Ejus examen. In dato gradu consanguinitatis numerus 1) cogna- 
tionum juxta 1. 1 et 8 D. de Grad, et Äff. ; 2) personanim juxta 
1. 10. D. eod. singulari artificio inventus;. Probl. IV: Dato numena 
rerum variationes ordinis inrenire. Uli hospitum in meiisa ( 
Drexelio, 7 Harsdörffero, 12 Henischio. Versus Protei, ?. g. Bau^ 
bttsii, Lansii, Ebelii, Riccioli, Harsdörfferi. Variationes literarum 
Alphabeti, comparatarum atomis; Tesserae Grammaticae. Probl« V: 
Dato numero renim variationem vicinitatis invenire. Locus hono*- 
ratissimus in rotundo. Circulus Syllogisticus. Probl. VI: Dato 
numero rerum variandarum ,« quarum aliqua vel aliquae repetuntur, 
Tariationem ordinis invenire. Hexametrorum species 76; Hexa- 
metri 26, quorum sequens antecedentem litera exoedit Pttblii Polv 
pbyrii Optatiani : quis ille» Dipbtongi ae scriptura. ¥tM. VII : Re^ 
perire dato capite variationes. Probl. VIII: Variatmies alten dato 
capiti communes. Probl. IX: Capita variationes oommones habetilia. 
Probl. X: Capita variationum utilium et inutiüum. Probl. XI: Va^ 
riationes inutilee. Probl. Xlf: Utiles. Optatiam Proteos versus, I. 
€. Sealigeri (Virgilii Casualis), Bauhnsii (Ovidii Casualis), Klefi^iaü 
(praxis computandi Variationes inutiles et utäes), Caroli a Goidatrin, 
Reimeri. CL Daumii 4, quorum Ultimi duo plusquam Protei. Ad*- 
ditamentum t Demonstratio Existentiae DEI. 

DEMONSTRATIO 

EXISTENTIAE DEL 

Plraecognita: 

1. Definitio 1. Dens est Substantia ineorporea infinilae virtulia. 

2. Def. 2. Substantiam autein voco, qiioqwd aaovet aut 
uiOTetior» 



3. Def. 3. Yirtus infinita est Potentia principalis movendi 
infinitum. Yirtus- enim idem est quod potentia principalis; hinc 
didmus Causas secundas operari in virtute primae. 

4. Postulatum. Lteeat quotennque res simul sumere, et tan- 
ftuim nmim totum supponere. Si quis praefractus hoc neget, ostendo. 
Conoepttis partium est, ut mi Entia plura , de quibus omfiibus «i 
quid intelligi potest, quoniam semper omnes noimnare vel incom- 
fidodum ?el impossibile est, ezcogitatur uDum nomeo, quod in ratio- 
€inalionem pro omoibus partibus adhibitmn cooipendü sermoBift 
causa, appellatur forum. Cumque datis quotcunque rebus etiam 
iafinitis, intelligi possit, qucnl de omnibus verum est, quia omnes 
particulatim enunierajf'e infioito demum tempore possibile est, lioebit 
uaum nomen in rationes ponere loco omnium, quod ipsum erb 
Totutn. 

6, Äxioma 1. Si quid movetur, datur aliud movens. 

6. Ax. 2. Omne corpus movens movetur. 

7. Ax. 3. Motis omnibus partibus movetur totum. 

8. Ax. 4. Cujuscunque corporis infinitae sunt partes, seu 
ut vulgo loquuntur, Conünum est divisibile in infinitum. 

9. Observatio. Aliquod corpus movetur, 

1) Corpus A movetur per praecog. 9. 2) ergo datur aliud mo- 
TCfis per 5, 3) et vel incorporeum, 4) quod infinitae virtutis est 
,(per 3. 5, quia A ab eo motum habet infinitas partes per 8,) 
6) et Substantia per 2. 7) ergo Dens per 1, q. e. d* 8) vel Cor- 
pus, 9) quod dicamus B; 10) id ipsum et moyetur per 6. 11) ei 
recurret, quod de corpore A d^uonstravirnus , atque ita vel alt« 
quando dabit«ur incorporeum movens , 12) nempe ut in A osten* 
diinas ab hc^^ 1 ad 7. Dens q. e. d. 13) vel in omne infinitum 
existent corpora continue se moventia, 14) ea omnia simul, velut 
unum totum, liceat apellare C per 4. 15) Cumque hujus omaes 
partes moveantur per ixd: 13. 16) movebitur ipsum per 6. 17) 
ab alio per 5. 18) incorporeo, quia (omnia corpora in infinitum 
retro, jam comprfehendimus in C per Äf*.l4, nos autem requi« 
rimus aliud a C per ^x^.l7.) 19) infinitae virtutis (per 3, qnia 
quod ab eo movetur, nempe C, est infinitum per ^.13+14.) 
20) Substantia per 2. 21) ergo DEO per 1. Datur igitur D^is. 
Q. E. D. 



IS 



Proffimiunit 

Cum Deo! 

1 Metapbysica, ut altissime ordiar, 'agit tum de Ente, tum 

de Entis affectionibus ; ut autem corporis naturalis affectiones 
non sunt corpora, ita Entis affectiones non sunt Entia. Est 

"2 autem Entis affectio (seu modus) alia absoluta, quae dicitur 
Qualitasj alia respectiya, eaque vel rei ad partem suam, si 
habet, Quantita$y Tel rei ad aliam rem, Rdatio, etsi accuratius 
loquendo , supponendo partem quasi a toto diversam, etiam quan- 

dtitas rei ad partem relatio est. Manifestum igitur, neque Qua- 
litatem, neque Quantitatem, neque Relationem Entia esse, ea- 
rum vero tractationem in actu signato ad Metaphysicam pertinere. 

4Porro omnis Relatio aut est Unio aut Convenientia. In uni- 
one autem Res, inter quas haec relatio est, dicuntur partes, 
sumtae cum unione, Totum. Hoc contingit, quoties plura simul 
tanquam Unum supponimus. Unum autem esse intelligitur, quic- 
quid uno actu intellectus seu simul cogitamus, v. g. quemadmodum 
numerum aliquem quantumlibet magnura saepe Caeca quadam 
cogitatione simul apprehendimus, cyphras nempe in Charta legendo, 
cui explicate intuendo ne Mathusalae quidem aetas suffectura sit. 

SAbstractum autem ab uno est ünitas, ipsumque totum abstractum 
ex unitatibus seu totalitas dicitur Numerus. Quantitas igitur est 
Numerus partium. Hinc manifestum, in re ipsa Quantitatem et. 
Numerum coincidere, illam tamen interdum quasi extrinsece, rela- 
ttone seu Ratione ad aliud, in subsidium nempe quamdiu numerus 
partium cognitus non est, exponi. Et haec origo est ingeniosae 

6Analyticae Speciosae, quam excoluit inprimis CartesiuSy postea in 
praecepta collegere Franc. SchoUeniuSy et Erasmius Bartholinus^ 
hie dementis Matheseos universalis, ut vocat. Est igitur Änalysis 
doctrina de Rationibus et Proportionibus , seu Quantitate non ex- 
posita; Ärithmetica de Quantitate exposita seu Numeris; falso 
autem Scholastici credidere, Numerum ex sola divisione continui 
oriri nee ad incorporea applicari posse. Est enim numerus quasi 
iigura quaedam incorporea, orta ex Unione Entium quorumcunqüe, 

7 V. g. DEl, Angeli , Hominis, Motus, qui simul sunt quatuor. Cum 
igitur Numerus sit quiddam Universalissimum , merito ad Metaphy- 
sicam pertinet, si Metaphysicam accipias pro doctrina eorum, quäe 



18 

omni entium generi sunt communia. Mathesis enim (ut nunc 
Dornen illud accipitur) accurate loquendo non est una disciplina, 
sed ex variis disciplinis decerptae particulae quantitatem subjecti 
in unaquaque tractantes, quae in unum propter cognationem merito 
coaluerunt. Nam uti Arithmetica atque Analysis agunt de Quanti- 
täte Entium, ita Geometria de Quantitate corporum, aut spatii quod 
corporibus eoextensum est. Poüticam vero disciplinarum in pro- 
fessiones divisionem, quae commoditatem docendi potius, quam 
ordinem naturae secuta est, absit ut convellamus. Caeterum Totum 8 
ipsum (et ita Numerus vel Totalitas) discerpi in partes tanquam 
minora tota potest, id fundamentum est Complexionum^ dummodo 
intelligas dari in ipsis diversis minoribus totis partes communes, 
Y, g. Totum sit A B C , erunt minora tota, partes illius, AB, BC, 
AC: et ipsa minimarum partium, seu pro minimis suppositarum 
(nempe Unitatum) dispositio inter se et cum toto, quae appellatur 
Situs, potest variari. Ita oriuntur duo Variationum genera , Com- 
plexionis et Situs, Et tum Complexio, tum Situs ad Metaphysicam 9 
pertinet, nempe ad doctrinam de Toto et partibus, si in se specten- 
tur; si vero intueamur Variahilitatem^ id est Quantitatem Tariationis, 
ad numeros et Arithmeticam deveniendum est. Complexionis autem 
doctrinam magis ad Arithmeticam puram, situs ad figuratam per- 
tinere crediderim, sie enim unitates lineam efficere intelliguntur. 
Quamquam hie obiter notare volo, unitates vel per modum lineae 
rectae vel circuli aut alterius lineae linearumve in se redeuntium 
aut figuram claudentium disponi posse, priori modo in situ absoluto 
seu partium cum toto, Ordine; posteriori in situ relato seu partium 
ad partes, Vicinitate, quae quomodo differant infra dicemus def. 
4 et 5. Haec prooemii loco sufliciant, ut qua in disciplina materiae 
hujus sedes sit, flat manifestum. 

DefiDitioDes. 

. 1. Variatio h. 1. est mutatio relationis. Hutatio enim alia 
Bubstantiae est, alia quantitatis, alia qualitatis; alia nihil in re 
mutat, sed solum respectum, situm, conjunctionem cum aiio aliquo. 
2. Yariabilitas est ipsa quantitas omnium Variationum. 
Termini enim potentiarum in abstracto sumli quantitatem earum 
denotant, ita enim in Mecbanicis frequenter loquuntur, potentias 
m a cbin a n un duanim duplas esse invicem. 



14 

8. Situs est localitas partium. 

4. Situs est vel absolutus vel relatus: flle partiam cum 
toto, bic partium ad partes. In illo spectatur numerus locorum 
et distantia ab initio et fiue, in hoc neque inittum neque finis 
intelligitur, sed spectatur tantum distantia partis a data parte. Hinc 
iHe exprimitur linea aut lineis flguram non claudentibus neque in 
se redeuntibus, et optime linea recta; bic linea aut lineis figuram 
claudentibus, et optime circulo. In illo prioritatis et posterioritatis 
ratio babetur maxima, in hoc nuUa. lUum igitur optime Ordinem 
dixeris; 

5. Hunc mcinitatem^ illum dispositionem, hune compositionem. 
Igitur ratione ordinis differunt situs sequentes: abcd, bcda, cdab, 
dabc. At in vicinitate nulla variatio, sed unus situs esse intelli- 

b 
gitur, bic nempe: a c. Unde festivissimus Taubmannus, cum De- 

d 
canus Facultatis philosophicae esset , dicitur Witebergae in publioo 
programmate seriem candidatorum Magisterii circulari dispositione 
complexus, ne ayidi lectores intelligerent, quis suillum locum teueret. 

6. Variabilitatem ordinis intelligemus fere , quando ponemus 
Vartationes xccr i^o%riv ▼. g. Res 4 possunt transponi modis 24, 

7. Variabilitatem complexionis dicimus Complexiones , v. g. 
Res 4 modis diversis 15 invicem conjungi possunt 

8. Numerum rerum yariandarum dicemus simpliciter N%me- 
mm, V. g. 4 in casu proposito. 

9. Complexio est Unio minoris Totius in majori, uti in 
prooemio declarayimus« 

10. Ut aulem certa Complexio determinelur, majus totum 
dividendum est in partes aequales suppositas ut minimas (id est 
quae nunc quidem non ulterius dividantur) , «ex quibus componitur 
et quarum variatione variatur Complexio seu Totum minus; quia 
igitur totum ipsum minus, majus minusve est, prout plures partes 
una vice ingrediuntur, numerum simul ac semel conjungendarum 
partium seu unitatum dicemus Exponmtemj exemplo progressionis 
geometricae. Y. g. sit totum ABCD. Si tota minora constare de- 
bent ex 2 partibus , v. g. AB, AC, AD, BC, BD, CD, expooens erit 
2; sin ex tribus, v. g, ABC, ABD, ACD, fiCD, exponens arit 3. 

IL Dato exponente cooqplexiofies ita BcribeimiB : si «xpoMBS 



15 

Mt 2, Ccm^MümMm (combinatioBem) ; ai S, Ctmin^tiimim 
(conleniilioiieiD) ; si 4, ConAnationtm elc 

12. Compkxiones Mimplicüer sunt omnes compieüonefl om- 
niitm ezpoaenUam computaiae, v. g, 15 (de 4 Numero) quae com- 
pomintur ex 4 (Ueione), 6 (Goiii2naüone), 4 (con3naiioue), 1 
(Gon4natione). 

13. Variatio utilis (inutilis) est. quae propter materiam 
subjectam locum habere non potest, v. g. 4 Elementa coin2nari 
possunt 6ma^(; sed duae coiii2natioaes sunt inuüles, nempe qui- 
bus contrariae Ignis, aqua; aer, terra com2naiitur. 

14. Classis verum est totum minus, constans ex rebus 
GODTenientibus ineerlo tertio, tanquam partibus, sie tarnen ut reli- 
qoae dasses contineant res contradistinctas, v. g. infra probl. S, 
ubi de dassibus opiniooum circa summum Bonum ex B. Augustino 
agemus. 

15. Cafut Variationis est positio certarum partium; Forma 
9äriat<oniSj omnium, quae in pluribus yariationibus obtinet, v. in- 
fra probl. 7« 

16. VariiUiones communes sunt, in quibus plura capita con- 
cumintf Y. iitfra probl 8 et 9. 

17. Re$ hinnogenea est quae est aeque dato loco ponibilis 
aalro eapite, M&nodica autem quae non habet homogeneam, v. probl. 7. 

18. Caput mtUtiplicabile dicitur, cujus partes possunt fariari. 

19. Re» repitita est quae in eadem variatione saepius poni-* 
lor, ▼. proU. 6. 

20. Signo 4* designamus additionem, — subtractionem, 
^~> nKihiplicationem, ^ di?isionem, f. facit seu summam, »^ aequ»* 
HUtem. In prioribus duobua et ultimo comenimus cum Cartesio, 
Algebraislia, aliisqve; alia «Igna habet Isaacus Barrowius in sua 
editime Eodidis, Cantabrig. 8vo, anno 1655. 

Problemata« 

Tria sunt quae apectari debent: Problmata, nearemata, 

Mim; in nngvlia problematis nsum adjecimns, sicubi operae pre^ 

^ tnim vidcfrator, el theoremata. Problematum autem quibusdam 

rationem aohitionia addidimua. Ex iis partem posteriorem primi, 

secondum «t quarlum aliis debemus, reliqua ipsi erftimus. Quis 

ptinuis detexerit, ignoramua.. Sebwenterus Delic. 1. 1. sect 1. 



n 

prop. 32^ apud Hieronymum Cardanom, Jobaiiiiem Bateonetn et 
Nicolaum Tartaleam extare dicit In Cardani tarnen Practica Arilh- 
meüca, quae prodiit Mediolant anno 1539, nihil reperiiniig. Inpri- 
mis dilueide, quicquid dudum habetur, proposuit Christoph. Cla- 
tIus in Com. supra Job. de Sacro Boseo Sphaer. edit. Romae forma 
4ta anuo 1585 p. 33 seqq. 



ProbL L 
DATO NUMERO ET EXPONENTE COMPLEXIONES INVENIRE. 

1 Solutionis duo sunt modi , unus de . omnibus complexiones^ 
alter de coni2nationibus solum: ille quidem est generalior, hie 
?ero pauciora requirit data, nempe numerum solum et exponentem, 
cum ille etiam praesupponat inventas complexiones antecedentes« 

2 Generaliorem moduiu nos deteximus, specialis est vulgatus. Solutio 
illius talis est: „Addanlur complexiones exponentis antecedentis et 
„dati de numero antecedenti, productum erunt complexiones quaesi- 
,>tae" ; v. g. esto numerus datus 4, exponeus datus 3, ^ddantur de 
numero autecedente 3 com2natione8 3 et con3natio 1 (3-f 1 C4)f 

SjNToductum 4 erit quaesitum. Sed cum praerequirantur com- 
plexiones numeri antecedentis, construenda est tabula liH, in qua 
linea suprema a sinistra dextrorsum continet Numeros a usque 
ad 12 utrimque inclusive, satis enim esse duximus, huc usque pro- 
gredi, quam facile est continuare; linea extrema sinistra a summo 
deorsum continet Exponmtes a ad 12, linea iofima a sinistra 

4 dextrorsum continet Complexiones simpltciter. Reliquae inter has 
Uoeae continent complexiones dato numero qui sibi in vertioe dir 
r^e respondet, et exponente qui e regione sinistra. Batio s^tuümie, 
et fundamentum Tabulae patebit,, si demonstraverimus^ Cipoqrfea^ibo-r 
nes dati numeri et exponentis oriri ex summa complexionum de 
numero praecedenti exponentis et praecedentis et dati. Sil enim 
numerus datus 5, exponens datus 3, erit numerus antecedens 4; 
is habet con3nationes 4 p^ Tabulam ^(, com2nationes & Jam 
numerus 5 habet omnes eom3naüones quas praeoedens (in toto 
enim et pars continetur) nempe i, et praeterea tot quot praecedens 
habet com2nationes, no?a enim res qua numerus 5 excedit.4, ad-* 
dita singulis com2nationibus hujus, facit totidem novas conSna* 
lipQes, nempe 6+4 f. 10. Ergo Complexiones dati numeri ttc Q«£.I)i 



1» 















Tabula X. 


• 











1 



1 


1 


1 


1 


1 1 


1 


1 


1 


1 


1 


1 


1 


T 


2 


T" 


4 


5 6 


71 


1 8 


u 9in 


10 ( 


i llr 


12 i 


2 








1 


3 


6 10 15 


21 


28 


36 


45 


55 


66 


3 











1 


4 10 20 


35 


56 


84 


120 


165 


220 


4 














1 


5 15 


35 


70 


126 


2i0 


330 


495 


«9 

















1 6 


21 


56 


126 


252 


462 


792 



















1 


7 


28 


84 


210 


462 


924 


S 7 

CD • 














b 





1 


8 


36 


120 


330 


"792 

























1 


9 


45 


165 


495 


" 9 


























1 


10 


55 


220 


10 





0. 























1 


11 


66 


11 
































1 


12 


12 


Q 
































1 



1 3 7 15 31 63 127 255 511 1023 2047 4095 



o 
S 

S" 

O 

s 

A 
OB 



l{2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 

Complexiones simpliciter * (seu summa Complexionum dato expo- 
nente) addita unitate, quae coiacidunt cum termiiiis progressionis 
geometricae duplae f. 

Majoris lucis causa apponimus Tabulam D , ubi lineis trans- 5 
versis distinximus Con 3 nationem de 3 et de 4 et de 5, sie tarnen 
ut con3nationes priores sint sequenti communes, et per consequens 
tota tabula sit con3Dationum numeri 5, utque manifestum esset, 
quae con3nationes numeri sequentis excom2nationibus antecedens 
tis addito singulis novo hospite orirentur, iinea deorsum tendente 
combinationes a novo hospite distinximus. 



a 

e 
o 

a 
eo 

s 



CO 

s 

a 



Tab. 

1 ab 

2 ab 
«"^ ac 

4 bc 

5 ab 

6 ac 

7 ad 

8 bc 

9 bd 
10 cd 



c 3 Adjiciemus hie Theoremata quorum to ort ex ipsa 6 
— tabula X manifestum est, t6 övotv ex tabulae funda- 
^ P mento : 1) si exponens est major Numero, Complexio 
j ^ est 0. 2) Si aequalis, ea est 1. 3) Si exponens est 

4 Numero unitate minor, Complexio etNiimerus sunt 

e g idem. 4) Generaliter : Exponentes duo, in quos nu- 
merus bisecari potest, seu qui sibi invicem comple- 
mento sunt ad-numerum, easdem de illo numero 
habent complexiones. Nam cum in minimis expo* 
neotibns 1 et 2, in quos bisecatur numerus 3, id ve* 



e 
e 
e 
e 
e 






19 

rum sit quasi casu, per tab. X, et yero cftöteri ex eorum additione ori- 
antur |»er solut. probl. 1, si aequalibu3 (3 et 3) addas aeqvaiis^ (^up^- 
rius 1 et inferius 1), producta erunt aequalia (3+ 1 f. ^=4),' et idem 
eveniet in oaeteris necessitate. 5) Si numerus est impar, dantur in 
medio duae complexiones sibi proximae aequales; sin par, id non 
evenit. Nam numerus impar bisecari potest in duos exponentes 
proximos unitate distantes, v. g. l-f-2 f. 3; par vero non poiest, 
sed proximi, in quos bisecari par potest, sunt iidem. Quia igitur 
in duos exponentes impar numerus bisecari potest, hinc duas babet 
Complexiones aequales per tfa. 4, quia Uli unitate distant, praxi- 
mos, 6) Complexiones crescunt usque ad exponentem numero ipsi 
d^nidium aut duos dimidio proximos, inde itenim decrescunt. 7) 
Omnes numeri primi metiuntur suas complexiones parftcii^ares (seu 
dato exponente). 8) Omnes complexiones simplidter sunt numeri 
impares *). 



*) Hier endigte das Brachstück, das Leibniz unter dem Titel: 
Disputatio aritbmetica de eomplexionibus, quam in itlustri Academia 
Lipsiensi indultu amplissima^ facultalis phiiosophiciae pro iQCp in qa 
obtiaendo prima vice habebit M. Gottfredus Guilielmus Leibnuzius 
Ltpsiensis, J. U. Baccal. d. 7. Mart. 1666. H. L. Q. C. — veröffeat- 
lichte. Der akademischen Silte gemäss hatte er zum Behuf der Dis- 
putatiqp die folgenden Goroll^rjen binzugefQgt; 

C^oüßria,, 
I. Logica, 1. Duae sunt propositiones pripi^ie^ una, priD£i|»ii;^n^ 
omnium theorematum seu propositionum necessarium : Quod est (tale)> 
id est seu non est (tale), vel contra; altera, omnium observationilm 
sea pfopositionum conkingentium : Aliqqid existit. 2. Dantur demon* 
stra^Qoes peivfectae in ornqibiMa diaelplüiis. 3» Si di8(upittias in se 
spectemus, omnes sunt theorelicae*^ si MfUm, ojp^^eß j^rakC^^Q, fii^ 
tarnen, ex quibus usus magis immediate fluit, merito practica^e kot 
e^oxqv dicuntur. 4. Methodus etsi in 0(uni discipUpa omnis adhiberi 
potest, ttl vel vestigia inquisitionis nostrae vel producentis natufae 
in tradendo sequamur, tarnen in praeticis fit, nt ceincidat et naturae 
et eogqiUoiiia ordp, quia in iis ipsa rei natura a eogitatione et pro- 
ductione nostra oritur. Ifam fiais e( no£[ ^lovjei ad |u§dia produ^eod^i 
et ducit ad cogqoscenda, qijod in ijs, qua»e cpgnoscere tantum, non 
etiam efiicere possumus, secu$ est. Praetejrea etsi omuis methodus^ 
licita est, non tarnen omnis expedit. 5. Syllogismus non est finis 
Logi^e, sed contemplatio simples; propositio vero est medium ad 
haQC) Syllogismus ad propositionem. 

IL Me{9$h^$Ua. 1. Infinitum ali^ alio majus est, Qßr^n^ 
hxi\)m»U Pract. ^c-i 66. b. 165 e( 2^0^ DinfieAtir^ «Uciltur 5^<itua 



I _. 



R«stat hüjcii Pt'oUeinaii& atteca para quasi specUlfe: f^Dato 7 
„Nanaro <^) CMn^iiatnaes (ß). iav^eoire. Solutio. D«ioatsia bu- 
naePtt» ia pirojBmie raipopem^ fiaiati dimidium erit quae&itum, 



■'!»' ■ !> ' 



Wot^m ^ ifrillimi^Ui^ uifiiuioraii). ^. D^us, es^ subs(anUa^ Cieatura 
aQci4€i^« 3» lüe.cesse est dar! disciplinam de creatura in genere, sed 
ea fere; hodie in Metaphysica comprehendilur. 4. Vii est probabile, 
terminum causae univocum conceptum dicere ad eincientem, maleria- 
lem, formalem, finalem. Nam t^x rnftuins ittdem quid nisi vox est? 
111. P%8ica. Cum abservaflcton s^i, akia mundi corpoira »9^ 
vcri qirc^ proj^rium a^ieni, id«fp d^ terra fbsia^dum nein e^l,, qu^n\'; 
adwodum nee contrarium. 2. Cum corporuqpi aumjna difterentja 
Sit densum et raruin, nianiCeslum ei»t quatuor primas qualilales ita 
illuslrari posse : Humfdum est rarum , Siccum est densum , GaH-. 
dum est rarefacttvum , Siccnm eondensativum. Ofliiie aotem vavwn 
fMile alienis termrnis continetur> diffioiüter auia; demwni qoq^ji«. 
&i ovvnQ r^efaciena c^piam facit in rarp b^niogaoeia ad s^^ in^^ic^e^L 
properandi» et be^erogeaeis se separandi, quiUus in d^nso yia int,er* 
(;lusa est, Unde definitionum Aristotelicarum ratio reddilur. Neque 
ignis, qui rarus esse videtur, cum tarnen siccus esse dcbeat, obstat. 
Nam respondeo: Atmd dicendura de igne per se, aliud de ignt: alii 
corpori iahawenle, nana ejus naturam sequilur. Ua palet» flamioain,> 
quae nihil aliud est quam aer ignitus, fiuidam e^ debere, quemado^odum 
et a€r ipse; contra ignem in ferro ignilo consislentero, quemadmodum 
et ferum ipsum. 3. Vim Magnetis ab Adamante sisli fictum est. 

IV. Practica. 1. Justitia (p^rticularis) est virlus servans 
medioeritatem circa affectus hominis erga hominem juvandi et nucendi, 
seu fviqr^v^ ^t p4ium, rogula ipediooritatf^ e«t, licere eo usque alte- 
nim (me) juvare, quo usque (alteri) tertio non nocetur« Hoc obser- 
Y.lffe. l^eftüA^ est, \^\ tueaipu^ 4^isMeierß contra ca,villum Groi^i, qui 
dj& J, B* et P. Prolegom. ** ^ fac. a. ila dicit: ,^Non rerte auteni, 
^universaliter positum hoc fundamentum (quod virlus posita sit in 
,,mediocritate) vel ex justitia apparer, cui opposilum nimium et parom 
cum in affectilus et sequentibus eas actfonrbu» invenire non {>09set 
(Api8t»lfke8>, in »ehos ipsis, cttca qnas jualUta veiaftvr» qua^s^ivjl^ 
HfV^d ipsum piriiftM ^^\ de^Uire de genere in genusi alterum, f^md 
14 a)ü^ in^rU<^ culipat.'* YuU nempe Qroii%Ls incopgrue in speciebus 
divisionis alicujus aliquam interseri, quae ex alio prorsus dividendt 
fundamento derivetur (quod voeet minus Phifosophice fterccßaivet^ 
elg aXXo yivog), et certe aliud prorsus est medioiffttas aftectuum, 
aliad repum. Virüitea qupquQ qon revum, sed aqimoj-um habitu^ si^fit« 
Quar« oatendimus,. jystitifip) et ipsam ip a^I^ectuum moderalione es2$Q 
positam« 2. Naa inepte d^cit J'kroj^machus apud Plaloneva de Be- 
pahl. üb. 1. foK 379: JqstuK^ e^^^e potentiori uti^e^ Nau) Deus prgi- 
prte et gimplicUf^r esi, qaet^fis potep^or (bomo enini l^omine absolut^ 
potentior non esti cum fieri peaait, ui quaqtituicqnque robustus ab 






A^A — 1„^2 = B. Esto V. g. Numerus 6, Ö'^S f. 30,^2 
f. 15'' Ratio solutionis : Esto Tab. 3, in qua enumerantor 6 reram abedef 
Tab. 3 com2nationes possibiies ; prima autem res a doeta 

ab ac ad ae af per caeteras facit com2nationes 5, nempe ipso 
bc bd be bf numero unitate minores; seeunda b per caeteras 
cd ce cf ducta tantum 4, non enim in antecedentem a 
de df duci potest, rediret enim prior com 2 iiatio ba yel 
ef ab (faaec enim in negotio combinationis nibii dif- 
ferrunt), ergo solum in sequentes quae sunt 4; simililer tertia c 
in sequentes ducta facit 3 ; quarta d facit 2 ; quinta e cum ultima 
f facit 1. Sunt igitur com2nationes 5. 4. 3. 2. 1. +. f. 15. Ita 
patet, numerum com2nationum componi ex terminis progressionis 
arithmeticae, cujus differentia 1 , numeratis ab 1 ad numerum nu- 
mero rerum proximum inclusive, sive ex omnibus numeris Numero 
rerum minoribus simul additis. Sed quia, uti vulgo docent Arith- 
metici, tales numeri boc compendio adduntur, ut maximns nume- 
rus ducatur in proxime majorem, facti dimidius sit quaesitus, et 
Tero proxime major h. 1. est ipse Numerus rerum , igitur perinde 
est ac si dicas, Numerum rerum ducendum in proxime minorem, 
facti dimidium fore quaesitum. 



Probl. IL 
DATO NUMERO COMPLEXIONES SIMPLICITER INVENIRE. 

8 Datus Numerus quaeratur inter Exponentes progressionis 

Geometricae duplae, numerus seu terminus progressionis ei e re- 
gione respondens, demta Unitate, erit quaesitum. Rationem 
seu To diovi difBcile est vel concipere, vel si coneeperis expJicare ; 
to ort ex tabula M manifestum est. Semper enim complexiones 

" particulares simul additae, addita unitate, terminum progressionis 
geometricae duplae constituent, cujus exponeus sit numerus datus. 
Ratio tamen, siquis curiosius investiget, petenda erit ex discerptione 

4» 

infirmo occidatur). Gaeterum Dei utllitas non in lucro, sed bonore 
consistit. Igitur Gloriam Dei mensaram omnis juris esse manifestum 
ejst. Et qui Theoiogos, Moralistas et casuum conscientiae Scriptores 
Gonsalet, videbit eo plerumque discursus suos in hac fundare. Gon* 
stituto igitur certo principio, doctrioa de justo scientifice conscribi 
poterit, quod hacteuus factum non est. 



ai 

in Practica Italica usitata, ))om Qtxfiüm. Quae talis esse debet, ut9 
daius terminus progressionis geometricae discerpatur in una plures 
partes, quam sunt unitates exponentis sui, id est numeri rerum, 
quarum semper aequalis sit prima ultimae, secunda penuitimae, 
tertia antepenultimae etc., donec vel, si in parem discerptus est 
numerum partium, exponente sen Numero rerum impari existente, in 
medio duae correspondeant partes per probl. 1 th. 5 (v. g. 128 de 7 
discerpantur in partes 8 juxta tabulam M : 1, 7, 21, 35, 21, 7, 1), vel si 
in imparem, exponente pari existente, in medio relinquatur unus null! 
Gorrespondens (v. g. 256 de 8 discerpantur inpartes 9 juxta Tab. M : 1, 
8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1). Putet igitur aliquis, ex eo manifestum 
esse novum modum eumque absolutum solvendi probl. 1, seu dato 
exponente inyeniendi Numerum complexionum, si nimirum ope Al- 
gebrae inveniatur discerptlo Complexionum simpliciter seu termini 
progr. geom. duplae juxta modum datum; verum non sunt data 
sufBcientia, et idem numerus in alias atque alias partes, eadem 
tarnen forma, discerpi potest. 

Usus Probl. I et 11. 

Cum omnia quae suntaut cogitari possunt, fere componantur 10 
ex partibus aut realibus aut saltem conceptualibus, necesse est, 
quae specie differunt aut eo differre, quod alias partes habent, et 
hie Complexionum usus, vel quod alio situ, hie Dispositionum, 
illic materiae, hie formae diversitate censentur. Imo Complexio- 
num ope non solum species rerum, sed et attributa inveniuntur, ut ita 
tota propemodum Logicae pars inventiva illic circa terminos simplices, 
hie circa complexos fundetur in complexionibus, uno verbo et doc- 
trina divisionum et doctrina propositionum. Ut taceam, quantopere 
partem logices Analyticam seu judicii diligenti de modis syllo- 
gisticis scrutatione exemplo 6. illustrare speremus. In divisionibus 
triplex usus est complexionum: 1, dato fundamento unius divisionisll 
inveniendi species ejus; 2, datis pluribus divisionibus de eodem 
Genere, inveniendi species ex diversis divisionibus mixtas, quod 
tarnen servabimus problemati 3. ; 3, datis speciebus inveniendi genera 
sttbalterna. Exempla per totam pbilosophiam diffusa sunt, imo nee 
Jttrisprudentiae deesse ostendemus, apud Medicos vero omnis varietas 
medicamentorum compositorum et q>aQfxaxonoir]Tix:^ ex variorum 
ingredientium mixtione oritur, at in eligendis mixtionibus utilibus 
summo opus judicio est. Primum igitur exempla dabimus specie-* 



Idniiin im nati^ne iovcttieodariHD : I. apud ICtofi l 2. D* UMiatf, 
fr. J, de Mandato ihaec diykiio f^roponiUir: Mandatim coBtrablMir 
$ 100^1$; mandmijtis gr^itia, maqdaalk ^et maoidatiirii, tertii, «hmü^ 
dantjis et tertii, raandatarii i^ itc^tii. £uffioieatiam diwioni» h^fuf 
fiic j^ieDalMpur : FtUndainenUim eju6 .est finiB .<^ seu persoBa «cipju^ 
igratia contrabiAur, ea «isit U^plei:; iKMuidpDs, mandatarius ^ ierlipg. 
Jlenu«! autom trium am^pkxiomi» 3U|it 7: Union^s in^: cum 
goliüs 1) mmdanti$, 2) mmdatarü, 3) tertii gratis conlnibituc. 
CoiD2n9aioae8 4otideni: 4) Mandantis ^ Uandatariiy 5) i/ßn- 
dantis et Tertii, 6) tfand^arii et Tertii gratia. Con3iiatia uM) 
neiippe 7) et mandanti» let mandßtßrii et tertii simul gratia. Hie 
ICti jU^ioDeiii illam, in qua contrabitur grßtja ma^liarii fioliUBi, 
Jiegicwit v^eiat inutileip, quia sit ooBsilium potüis qua» raaDdatum^ 
remaQeal igitur speicies ß« /sed cur 9 reliquei^kit, Mcnissa c^ftS* 

ISjiatione, neacio. |f(. f^em/eutoit^im nun^erum, »&a corpords sini|»licis 
t«|iuta^ilia Sjpecies Aris(^t|$jes M^r. ^2. de Ce^. cum Ocello Lupa^io 
Pythagorico deducit ex numero QuaIit$^|Uw piioaruip, ^ma« 4 >^^^ 
supponit, tanquam fundamento, his tarnen legibus, ut 1) quodiibet 
componatur ex duabus quaUitatibHs «t iieque pluribus neque pau- 
pioribju^; biiuc roiani&Hvi? ^^i l]i#09iepi, conSnaüoi^es ^t con4- 
iip^iooem esse idpjicieo4^, soif^f jcofp^nationes retineadasi qua^ 
fifint 6; 2) ut ni^nquam in ^nam icom^Datiooem Teniant quali- 
t^s eoAtr.ariae, hiuc iterum dus^ cofuSuationes fiunt invtiles, 
4ui3 inter prijoaas ha,s quaUtates daDt^r <d^^ ponfrarietates, igitur 

14fen9anent ccKo^^natipnes 4, ^ui est uumerus Pfemeotomin. Ap- 
pAs^^^^us Schema (yide pagin^io tiJl^Q ^ract^ius praximain), ^uo 
oritp Eleiiiieato^lim e^ primis Quali4,ati^s lucuieu/ij^ depuopstraMir^ 
Bp^r^ uti ex bis illa Aristoteles, ita ex iUis 4 J^e^ypueraoi^o^a iG^- 
l^MSi, borumque varias mixtiones medici post^eiriprie^ elic^e^^, ^uibH^ 
p^p^jlbjus jam superiori seculo se opi^o^uM Claud, Camp«ns]U9LS 
Aoiw4v^rs. natural, in A^^iät. et Galen. ßd^U ad Com. ^j. i^ Apbf 

15j9ippp^cr. ed. 6. Logduoi anno 1576. III. Kumerus col^mt^^(ßr 
ab Aritbmeticis 4istinguitur in Numerum sfjcifile 4ic^^m ut 3, frofi^ 
(^n^ Mt Va« Surdum ut Bad 3, id est pgjn^mn qui m ^ duiotu^ 
i^cif. 3, fUjalis in rerum natura non es^ s^ed ^^alogia intelligitars 
^^ de^qmiwU^iLri^, quem alii vocant figuraX^m, v, g. quadratuxn, <?ur 
f^ici^^, prnnicui». Ex borum commi^ooe i^Ilßpit gier. Car^anwi 
P^^c^. Arith. c. ^. Species )UiixJ;as IL %nJt ,ui^^ar in upiyer;i^U)ii 
CQmpJ^xioj9;93 15, neo^pe UI^poles 4 ^^fs d^j^nv^s^ .Cpi^j^patipp^tf; 



ÜWH^ruß et Praems ?. g. V2 9Mi l'/s; Nwi$eru$ tt Swdus y. g. 
7i^ R. 3; Numerus ei Denominatus v. g. 3 + cub. de A; fra^ 
tue et Surdus Vi + R. 3; Früctu$ et Denominatue ¥. g. % ^ 
eub. de A ; Surdus et De$Kmifi€Ltu$ y. g. cub. de 7 ; Gon3natio- 
nes 4 : Numerus et Fra^us et Surdus, Numerus et Fracius et 
Denominatus, Numeru» et Surdus et Penominatus, Fractus et 
Surdus et Denomit^atus ; Gon4natio 1 : Numerus et Fractus et 
Surdus et Ikn^min^^» Jioco Tods: NuDaerus, conunodüu» sub- 
84iUietiir vox: Integer* Jam 4. 6. 4. 1+f. 15. IV. Registrum, Ger- 16 . 
manice rin 3^g« dicitur ip Organis Pneumaticis ansula quaedam, 
oi^us apertpra yariatur aonua, non quidem in se melodiae aut 
eleyatioms indiitu, aed ratione canalia, ut modo tremebundus, modo 
aibilaos etc. efficiat^r, Talia recentiorum iodustria detecta sunt 
ultra 36. SuQto igitur in organo aliquo tantum 12 simplicia, ajo 
fore ia UDi?er^uai quaai 4095; tot enim sunt 12 rerum Compler 
ixowA aimpttciter per tab. K, grandis organktis, duua modo plitra, 
modo pAiuJora, modo baeo, 9iodo illa «imul aperit, yariandi mer 
tarki. V. Tb, Hobbea Element de Corpore p. I. c. ö Res, qu»- 
nun daiatur tennini in propositionem ingredientes, aeu auo atyla, 
Nominata, Quorum dantiur »omina, dividit in Corpora (id est &ub<- 
atantias, ipsi enim ompis substantia corpus) Äccidentiaf Pbantasmatß 
al Nomina^ et aic oomina esse yel Corporum y. g. bomo, yel Auidm^ 
dum y.g. pmniaabstracta« ratiopalitas, motus, yel Phantasmatwm» quo 
refert apatimn, tempus, omnes qualitates senaibiles etc., yel Nominum^ 
4|«o referisecundas intentionea. Haec cum inter seaexies com2nentur, 
totidett oriuntur g^era propositiooum, et additis iis, ubi termini 
boM^genei 6oin2aanUir (corposque atitribuitur corpori, accidens 
accidenti, Phantasma phantasmati, nodo secunda notioni secundae), 
nemi^ 4, «i;su]ngaBt 10. £x iis solos (enmaos bomogeneos utiliter 
fCpmbinaii arhitraiur Hobbes, Quod, si ita est, uti certe et comr 
minus philosophia profitetur, abstractum et concretum, accidens et 
fivbstantiam, notionem prjmam et se^undam male inyicem praedi«- 
esuri, erit boc utile ad artßm inyentiyam propositionum, seu eleo- 
tionem com2Dationttm utilium ex innumerabili rerum farragine, 
obserrare; de qua infra. VI. Venjo ad ei^emplum complexionum 17 
haiidi pauIo inplieattus: determinationem numeri Modorum Syü^ 
fijtm Categorieu Qua in re noyas ratiooes ioiit Job. HospiniaiHis 
'Steinanus, Prof. Orgaoi fiaaileensis, yir coiitemplationum mininiB 
vBlgarium, libeUo paueis notD, edüo ia 8. Basileae an. 1560 boc 



•4 

titulo: Non esse tantum 36 bonos matosqne eakg^riei sffO^gismi 
fnodos, ut Äristot cum interpretihus iocuisse vUetur, sei H2, 
IS quorum quidem prohentur 36, reliqui omnes rejieu$fUur, locidi 
postea in controversias dialecticas ejusdem, editas post obitum autoris 
Basileae 8. anno 1576, ubi quae in Erotematis Dialecücis libelloqae 
de Modis singularia statuerat, velut quadam Apologia, ex 23 pro- 
blematibus constante, tuetur; promitit ibi et libellum de inveniendi 
judicandique facultatlbus, et Lectiones suas in unifersuia Organon 
cum latina versione, quas ineditas arbitror fortaase ab autore con* 
ceptas potius, quam perfectas. Etsi autem yariationem ordiois 
adhibere necesse est, quae spectat ad probl. 4, quia tarnen potis- 
simae partes complexionibus debentur, buc referemus. Cum libri 
hujus de Modis Utulus primum se obtulit, antequam introspeximus, 
ex nostris traditis cakulum subduximus hoc modo: Modus est 
dispositio seu forma syilogismi ratione quantitatis et qualitatis si- 
mul : Quantitate autem propositio est vel Universalis rel Particularis 
vei Indefinita vei Singularis; nos brevitatis causa utemur literis 
initiaiibus: U, P, I, S; Qualitate vei AfBrmatiya vel Negativa, A, N« 
Sunt autem in Syllogismo tres propositiones, igitur ratione quan- 
titatis Syllogismus vel est aequalis vel inaequalis: aequaUs, seu 
habens propositiones ejusdem quantitatis 4 modis: 1) Syllogismus 
talis est : U, U, U. 2, P, P, P. 3, I, 1, L 4, S, S, S, ex quibus 

19 sunt utiles: 2) 1 mus et 4tus; inaequalis vel ex parte vel in 
totum : ex parte, quando duae quaecunque propositiones sunt ejus* 
dem quantitatis, tertia diversae. Et in tali casu duo genera quan- 
titatis sunt in eodem Syllogismo, etsi unum bis repetitur : id toties 
diversimode contingit, quoties res 4 id est genera baec quantitalum 
U, P, I, S diversimode sunt com2nabilia, 6ma^(, et in siugulis 
2 sunt casus, quia jam boc bis repetitur, jam illud, altero simplid 
existente; ergo 6 "^2 f. 12. Atque ita rursus in singulis, ratione 
ordinis, sunt variationes 3, nam v. g. hoc U, U, P, vd ponitur uti 
jam, vel sie: P, ü, U, vel sie: U, P, ü; ergo 12^3 f. 36. Ex 
quibus utiles 18: 2 U(S)U(S)S(U), 2 U(S)S(Ü)U(S), 2S(U)Ü(S) 
Ü(S), 4 Ü(S)U(S)P vel I, 4 UI(P)I(P) vel loco U, S, 4 I(P)UI(P) 

20 et S loco U. In totum inaequalis, quando nuUa cum altera est 
ejusdem magnitudinis, et ita quemlibet Syllogismum ingrediuntur 
genera 3, toties alia quoties 4 res possunt con4nari, nempe 
4ma^I. Tria autem ratione ordinis variantur 6mal^I, v. g. U, P* 
I; U, I, P; P, U, I;P, I, ü; I, U, P; I, P, U; ergo 4^6 f. 24* 



96 

Ex qaaiQir ntiles 12: 2 DP(DI(P), 2 I(P)UP(I); totideni « 

pro U pooas S, 4+4 f. 8; 2U(S)S(U)P; totidem si pro P po- 
nas I, 2+2 f. 4. Addamus jam: 4+36+24 f. 64. Hae sunt variaüo- 
ses Quantitatis solios. Ex quibos sunt utiies : 2+ 18+ 1 2 f. 32. Caeteri 
cadoDt per Reg. 1, Ex paris particalaribtis nihil sequitur; 2, Con- 
dusio nullam ex praemissis quantitate Tincit ; eisi fortasse interdum 
ab utraque vincatur, oti in Barbari. Porro cum Qualitatis duae21 
solam sint diversitates A et N, propositiones vero 3, hinc repeti* 
tione opus est, et Tel Modus est stmtto, id est ejusdem qualitatis, 
Tel dissimilis: hujus nulla ulterius est Taiiatio, quia nunquarn ex 
toto, sed semper ex parte est dissimilis, nunquam enim orones 
propositiones sunt dissimiles, quia solum 2 sunt di?ersitates. Si- 
miiis species sunt 2: A, A, A; N, N, N; dissimilis 2: A, A, N» 
Tel N, N, A; dissimilis singulae Tariantur ratione ordinis 3ma^(, 
T. g. A, A, N; N, A, A; A, N, A. Ergo 2'^3 f. 6+2 f. 8. ToUes 
Tariatur Qualitas. Ex quibus utiies Variationes sunt 3: A A A; 
N A N; ANN, per reg. 1, Ex puris negatiTis nihil sequilur; 
2) Condusio sequitur partem in qualitate deteriorem. Sed quia 
modus est Tariatio Qualitatis et Quantitatis simul, et ita singulae 
Tariationes Quantitatis redpiunt singolas Qualitatis, binc 64^8 
f. dl2, numerum omnium Modorum utilium et inutilium. Ei 22 
quibus utiies sie repereris: duc Tariationes utiies quantitatis in^ 
qualitatis, 32^3 f. 96; de producto subtrahe omnes modos, qui 
continentur in Frisesmo, id est qui ratione Qualitatis quidem sunt 
ANN, ratione quantitatis Tero Major prop. est I Tel P, Minor 
antem V Tel S, et condusio I Tel P, quales sunt 8. Frisesmo 
enim elsi modus est per se quodammodo subsi.^tens, tarnen est in 
nulla figura, t. infra, jam 96—8 f. 88, numerum utilium Modo- 
rum. Hospiniano, cui nostra methodus ignota, aliter, sed per am- 
bages procedendum erat. Primnm igitur cap. 2. 3. Aristotelicos 
modos 36 in?estigat ex complicatione UPI omisso S et conclu- 
sione; ex quibus utiies sunt 8: UA, UA in Barbara Tel Darapti, 
UA, PA in Darii et Datisi, PA, UA in Disamis, UA, UN in Camestres, 
UN, UA in Ceiarent, Cesare, Felapton, UA, IN in Baroco, UN, lA 
in Ferio, Festino, Ferison, I N, UA in Bocardo. Quibus addil cap. 4. 
siogttlares simües aequales SA, SA, SN, SN, 2 inaequales 3ium 
generum singulis iuTersis, et quibuslibet Tel A vel Neg. 3 "^2 ^^2 
f. 12+2 f. 14. Ex quibus Hospiniamis solum admittit UA, PA, 
et ponit in Darü, quia singulares ait particularibug aequipoUere 



eaM Minmiuli LoficöfUm «chola, qaod Umttn lüox Mb«d etiii ottcn»- 
deiDQs. G. 5 addit «iigulares dmsiinilas totidiäD, Bempe 14, ex qü- 
bu6 UoBp. 8olttm admittit SN, UA io Booardo; item UN» SA in 
Ferio. C. 6 addita conclusione qaasi denuo iocipiens eBum«^ i|K>dQ6 
shnfleg aequiiles 4 '^ 2 T. 8, ex qaibus uliles iolttm UA, UA, IIA. in 
Barbara. Juxta Hospin. similte inaequaiea a«nt vel csx tolo ioae^ 
quales, de qaibus infra, Tel ex parte, de quibue nunc, ubi duae 
prop«8itione8 Bunt ejuadem quantitatis, tertia quaecunque diversae; 
et tliDc modo duae sunt universales, una indefinäta, quo casu awit 
modi 6 (nam una vel initio vel inedio vel fine ponitur S, semper^ 
que aut ouines sunt A aut N. 3 "^2 fac. 6) vel coolra etiara 6 per 
oap. 7. fac. 12. Ex solis prioribtts 6 utilis est UA, lA, lA ia Dani 
et Datisi ; item f A, UA, IA in Disamis ; item UA, UA, IA in Darapfi, 
«t, ut Hospinianus non inepte, in Barbari. Gerte cum ex propo^ 
sitione UA sequantur duae PU, una conversa, binc oritur modue 
ittdireotus Baralip; alterna subalterna 1, v. g. Omne animal est 
substantia. Omnis homo est animal. £rgo quidam homo est sutn 
stantia. Hinc eritor iste: Bariari. Totidem, nempe 12, sunt modi 
per Caput 8, si duae U et una P jungaiitur, vel contra; et iidem 
sunt modi titiks, qui in proxima mixtione, si pro i substituas P. 
Toüdem, nempe 12, sunt modi per c. 8, si jungantor duae U et 
una S per c« 9, et quia Hospin. habet S pro P, putat solum mo^ 
dum utilem esse in Darii UA, SA, SA; v. infira. Item 12 IIP vel 
PPI; omnes inutiies per c. 10. Item 12 IIS vel Släl, omnes, 
vt ille putatur, inutiies per c. 11. Item 12 PPS vel SSP, omnes, 
ut ille putatur, inutiies per c. 12. Jam 6^12 f. 72+8 fac. 8A, 
numerum modorum similium additis variationibus Gonckisioois. 
Dissimiles modi sunt vel aequales vel inaequales. Aequales sunt 
ex meris vel U vel P vel I vel S, 4 genera quue singula variajMtup 
ratione qualitatis sie: NNA, ANN etc. 6ma^l, uti supradixinHis 
n. 20; jam 6^4 f. 24, v. cap. IS. Utilis est: UA, UN, UN in 
23 Came^es. Dissimiles inaequales sunt v^l ex to(o inaequales, ut nnlla 
propositio aheri sit aequaiis, de quibus infra, vel ex parte, lit duae 
sint aequalesv una kiaequaliS) d^ quibue Bimc. Et redeunt omnes 
variationes quantitatis, de quibus in sinnlibuB ex e. 7. 8. 9. 16. 
11. 12. in singulis de binis contrariis diximus; modi autem bic 
fiunt plures quam ilMc, ob variationem qualitatis aeoedentem. Erat 
igitur in c. 7. UUI vel contra IIU. Ordp quantitatis variatur 
8«M^, qma v* g. I modo initio, modo medio^ niodo liae poiii^ur,> 



.QiuiKtaii& tiua eo^leifn^ iwiatur 2m<i|ll, NMA vA AAN« tum wd9 
^a% lUi supca dtctuB), pweiido A vel N aniti» nut medio ai|t 
jSne, eijgo 3'^2'^3 f. 18 de IJÜl -ei wntoa otium dS ile IUI 
f. 36, per c 1^. la pdoribus 18 utiles sunt modi: UA, UN, IN.; 
^yel loco IN, PN Ipiut SN, ei 8unt in modo £<ime$l.ro£^ lUi supra 
Baa*,hari,; UN« IIA, I(P$)N siimliler 4n modo Celano el Cesaro et 
Felaptoo; UA, MPS)N, I(ES)N in Baroco; UN, |(PS)A» I(PS)M 
in Ferio, FesUno ei Ferison, qui uliimus taraeu in .S io" 
am non haltet; I(PS)N, UA, I(PS^N in Bocardo. Smiliter 
miP .vel PPU .36 jtDodos babent. Uiiles de&^gnavjmus proxime p^ 
P in ( ). Sioiiliter UUS vel SSU fa^iirai üam\ modos ^6 .per q, 
iß. .Slodojs uiiles proxime ^^gn^^imus per S. JJP vel PPj fociunt 
similMier 36 per c. 16; modi oinne$ suoi in utiles. 11$ et SSI H 
PPS el ,88 P feciunt modos 2 "^ 36=7^ per c. 17, qoi omneB 
sujst ]j(mMM€;s. Huc usque distuümus inaeqjuiales ex ioi^ uJm aulHi 
proipqsiiio in eod^xn syllogjsmo e<st •eji&sdem quaAiitatis, s^t autom 
irel iiiegle^, v^l dissimiles ; inaequales ex to.io simi^as mniL^ 
1}JP^ qjUße for^a habet modqs 12, nam J res varidHt ordifliw 
6mÄj^l, qw^tas auiem variatur «mai^; ergo 6 "^2 f. f»2 per 4^ JS, 
ubi ^nt inutiles: ÜA, I(PS)A, P(I8)A, UA, P(K)A« i(pS)A in 
Pafii 45t Datisi; I(PS;A, UA, P{IS)A, P(IS^, UA, KPS)A in 
PißaKois, nisi fuod S non ingreditur Minorem i^ Figura Tertia.; 
UPS et UlS^ quae Jiabeot modos 24 f^r c. 10. Uiiles ^igpa^nmus 
jiroxjme per S^ JPS, qnae babet raodps IS^er c. 20; omnes 
autem sunt inntUes juxta Hosp. Dissjp^les omnino inaequales stt]|t24 
eodem modpi, uü isioiUes : (IIP qu^ variant oa dinem 6100^. 43«a- 
Utas aute^i vajrialur ßwii^I; ergo 6 '^ 6 f. 36 per c. 21. Modi utiles 
sunt: UA, liPS)N, PiIS)N in Baroco; UN, I(PS)A, PilS)N 
to Feurio, F?st^o et Feriso», I(PS)N, UA, P(IS)N in Bowd«^. 
ÜIS ej UPS, 3^ ^ 2 f. T4 per c. 22. Modos uiil^ sig^avimu^ 
proxime per S .^t P. et I in ( ). IPS bsbei modos 36 per ic. 2A, 
P0U9es iouüles juxta hypotbesiii JIosp. Addemus jam omnes i»o^ 
jdos 9 ,cap. 6 incl ad c. 23 computatos <nam anteriores in bis 
rediere) + 80. 2/L 36. 36. 36. 36. 72. 12. 24. 12. 36. 72. 3j6|. 
sßu 80 rf- 1^1^36, f. 512. In bis Hospiniani speculationibus 
qnaedam landamna, quaedam desider^mus. Lau4ami|s invei^ti<M»eJ9iP 
noYorum modoriNun: fiarbari, £amesM*os, Celaro, Cesaro; landamus 
quad r^cte obs^rravit, modos, qui vglgo nome,n iwvenere, v. g. 
Etj^ji jBtfi. labere j^ß, ^ va^^oß a 3e e^iwenaA9^ v,^ gemA «4 



S9 

tpeeiem; sub Darii enim hi noTem continentur ex cfiis hypotbesi: 
UA, lA, U; UA, SA, SA; UA, PA, PA; UA, U, SA; UA, SA, U; 
UA, U, PA; UA, PA, lA; CA, SA, PA; UA, PA, SA. Sed non 
aeque probare possumus, quod Singulares aequa^it particularibus, 
qaae res omnes ejus rationes contarbavit, effedtque ei modos 
utiles JQSto paaciores, ut mox apparebit. Hinc ipse in conlroyersiis 
dialect c. 22. p. 430 erasse se fatetur et admittit modos utiles 38. 
nempe 2 praeter priores 36, ], in Darapti, cum ex meris UA 
concluditur SA, quoniam Christus ita concluserit Luc. XXIII. r. 37. 
38; 2, in Felapton, cum ex UN et UA concluditur, SN quia ita 
concluserit Paulus Rom. IX. y, 13. Nos etsi scimus ita Yulgo sen- 
tiri, arbitramur tarnen alia omnia yeriora. Nam haec: Socrates 
est Sophronisci filius, si resolvatur fere juxta modum Job. Rauen, 
ita habelHt : Quicunque est Socrates, est Sophronisci filius. Neque 
male didtur: Omnis Socrates est Sophi^onisd filius, etsi unicus sit, 
(neque enim de nomine, sed de illo homine loquimur) perinde ac 
si dicam : Titio omnes vestes quas haben, do lego, quis dubitet, etsi 
unicam babeam, ei deberi? Imo secundum ICtos unirersitas quan- 
doque in uno substitit I. municipium 7. D. quod cujusque unirers. 
nom. Magnif. Carpzov. p. 11. c VI. def. 17. Vox enim: omnis, 
non infert multitudinem, sed singuiorum comprehensionem. Imo 
supposito quod Socrates non habuerit fratrem, etiam ita recte lo- 
quor: Omnis Sophronisci filius est Socrates. Quid de hac propo- 
sitione dicemus: Hie homo est doctus? Ex qua recte concludemus: 
Petrus est hie homo, ergo Petrus est doctus. Vox autem: Hie, 
est Signum singulare. Generaliter igitur pronunciare audemus: om- 
nis Propositio singularis ratione modi in syllogismo habenda est 
pro universal!, uti omnis indefinita pro particuiari. Hinc etsi Modos 
utiles solum 36 numerat, sunt tamen 88, de quo supra, omissa 
nihilominus variatione, quae oritur ex figuris. Nam modi diversa- 
rum figurarum €orrespondentes, id est quantitate et qualitate con- 
▼enientes, sunt unus simpiex v. g. Darii et Datisi. Simplices autem 
modos voco, non computata figurarum varietate, Figuratos contra 
tales sunt modi figurarum^ quos vuJgo recensent. Age igitur, ne 
quid mancum sit, et ad hoc descendamus, dum servet impetus. Ad 
figuram requiruntur termini tres : Major, quem signabimus graece ^ ; 
minor quem latine M; medium quem germanice SR, et singuli bis. 
Ex bis Sunt com2nationes 3, quae bic dicuntur propositiones, 
quarum ultima conclusio est, priores praemissae. Regulae com2-^ 



nandi generales dkiqiie figiarae sunt: 1, nunqu^m com2pentttr 
duo termini iidieii}, niilla enim propositio est: HM seu minor mi- 
nor. 2, M et 9K solum com2nentur in Conciusione, ita ut sem- 
per praeponatur M hoc modo: Mä)?. 3) in praemissarum Ima com- 
2nentur 9R et M, in secunda H et f/. Neque enim pro variatione 
figurae habeo, quando aliqui praemissas transponunt, et loco hujus : 
B est C, A est fi, ergo A est C, ponunt sie: A est B, B est C, 
lergo A est C, nti coUocant P. Ramus, P. Gassendus, nescio quis 
I. C. E. libelio pecuiiari edito, et jam oiim Aicinous üb. 1. Doct. 
Plat. qui semper Majorem prop. postponunt, Minorem prop. prae- 
ponunt. Sed id non variat figuram, alioqui tot essent figurae, quot 
yariationes numerant Rhetores, dum in vita communi conclusionem 
nunc initio, nunc medio, nunc fine quam observant. Manifestum 25 
igitur, figurarum varietatem oriri ex ordine medii in praemissis, 
dum modo in majore praeponitur, in minore postponitur, quae est 
Aristoteiica I, modo in majore et minore postponitur, quae est 
Arist. li, modo utrobique praeponitur, quae est III, modo in Ma- 
Jore postponitur, in Minore praeponitur quae est IV Galeni (firustra 
ab Hospiniano contr. Dial. Profoi. 19. tributa Scoto, cum ejus me- 
minerit Aben Rois) quam approbat Tb. Hobbes Elem. de Corp. P. 
I. c. 4, art. 11. Designabuntursic: I. Wtfi, MSDt, Mju, II. f<M, M9)?, 
Mfi. ni. 3Riu, WAy M^. IV. fj,m, mm, M/i. IVtae figurae hostibus nnum 
hoc Interim oppono : Quarta figura aeque bona est ac ipsa prima ; imo si 
modo, non praedicationis, ut vulgo soient, sed subjectionis, ut Aristote- 
es, eam enunciemus, ex IV fiet I, et contra. Nam Arist. ita solet hanc 
T. g. propositionem : omne a est ß, enunciare: ß inest omini a. TVtae 
igitur figurae designatio orietur talis: Wt inest r^ f-t, M, inest t^^, 
ergo M est ju ; vei ut conclusio etiam sie enuncietur, trausponendae 
praemissae, et conclusio erit: Ergo /j, inest t(^ M. Idem in aliis 
fieri figuris potest, quod reducendi artifidum nemo observavit hac- 
tenus. Caeterum secunda oritur ex prima, transposita propositione na 
majore; $tia, tiransposita minore; 4ta, transposita conclusione, sed 
hie alius efficitur Syllogismus, quia alia conclusio. Unde modi 
hujus 4täe sunt designandi modis indirectis primae figurae ut vulgo 
vocant, dummodo praeponas majorem propositionem minori, non 
contra, ut vulgo contra morem omnium figurarum hanc unicam ob 
causam, ut vitaretur quarta Galeni, factum est, t. g. sit Syllogismus 
in Baralip: onme animal est substantia, omnis homo est animal, 
ergo quaedam substantia est homo. Gerte substantia est minor 



lermiiilis, i^itttp ]^»eiiiis6a ia qua ponüais est ninop; et pep conM*« 
qatm proposHio baee: Omne anomal est MibstaitttiBK) non eeff po«* 
nenda primo secundo loce, tum prodiblt ipsisaiina lYta igurs. 
27Pi^pter hanc transpositionem prepositjonäm, quos m]go SyliogVB- 
iiios in Ceiontes penunt, sunt in Fapesmo, Ie«o Frisesmo dkea^ 
dum Presistno^ loeo DabMis Pii&lns; Baraiq) manei. Hi »unt modi 
figurae FTta», quibus addo Cdemto eXColanto^. Epimt siraulSModi: 
Imae sunt 6: Barbttra, Cetareni, BarH, FeHo, Bariari, Celaro; 
Modi Hdae 6: Cesairey Camesires, Festino, Ban)ca, Clwaro, Ca* 
me9(ro9\ Modi llltiae etiam 6: Barapti, Fektpton, Di^amt)^, Da^^ 
Bmardo, Eerison. Ita ignota hactenas figararum hermonia deCe^ 
gitur, singulae enim modis sunt aequales; l) Imae allein et 2clae 
figurae semper Major propositio est ü ; 2) Imae el illliae^ semper 
Minder A; 3) in Ilda semper conclusio N; 4) in IIKia CoiM^sio 
semper est P; in IVta condusio nunqaam est UA, Major nunqvara 
PN, etsi minor N, major UA. Proptep lias regulas fil, ut nen 
qfuilibet 88 modornm utilium in qualibet figura habeat loeom; 
alioqui ess^ütModi utites: 4^^M f. 948. Modi autem fgivrati ia 
Universum utiles et inutiles 512^^4 f. 2084. Qui autem ifi qua 
flgura sint utiles, praesens Schema docebü: 



8 ÜA, UA, ÜA. 

» UN, ÜA, ÜN. 



SA, SA, SA. 

SN, SA, SN. 



8 ÜA, UN, ÜN. SA, SN, SN. 



ÜA, ÜA, SA. 
ÜN, ÜA, SN. 

ÜA,ÜN,SW. 



ÜA,SA,ÜA. 

ÜN, SA, ÜN. 



SA, ÜA, ÜA. 

SN, ÜA. ÜN. 



ÜA,SN,ÜN.SA,ÜN,ÜN- 



8 ÜA, UA, PA. ÜA, ÜA, IA. SA, I^A, PA. SA, SA, IA. HA, SA, IA. 

8 ÜN, UA,PN.ÜN,ÜA, IN. SN, SA, PN, SIS, SA, IN.ÜN.SA, IN. 
8 UA, UN, PN . ÜA, UN, IN. SA, SN, PN. SA» SN, IN.UA, SN, IN. 

8 UA, IA, IA. UA, PA, PA. ÜA, PA, IA, UA, IA, PA, SA, IA, IA. 

8 ÜN, IA, IN. UN, PA, PN. UN, PA, IN. UN, IA, PN. SN, IA, IN. 
8 ÜA, IN, IN. ÜA.PN, PN. ÜA, PN, IN. ÜA, IN, PN. SA, IN, IN. 

8 IA, DA, IA. PA, ÜA, PA. IA, UA, PA, PA. PA, ÜA. IA, SA, IA. 

-8 IN, UA, IN. PN, ÜA, P«. IN, UA, PN. PW, PA, UN'. IN, SA, IN. 

Restat. 
8 IA, ÜN, IN. PA, ÜN, PN. IA, ÜN, PN. PA, ÜN^ IN. IA, SN, IN. 



«I 



a 



SA, SA, ÜA. SA, UA, SA. UA, SA, SA.l • . ^ ' - " Barbara. 
SN, SA, BN.|SN, ÜA, SN. UN, SA, SR2 .-..-- ^ Cesare, Celitrent. 

SA, SN, ÜN.'SA, l]N, SN* ÜA, SN, SN.3 ... "^ -^ Ca«i^#f. — 

lüA, SA, PA. SA, UA, IA.SA,ÜA, PA.4>.. BamUp. üarapä. ^ B«rft«W. 
VN, SA, PN. SN, UA, IA,SN,ÜA, PN.5.^. Cetß^^o. fe^pt, Cwro, CeUro. 

fUA, SN, .PN. SA, IJN, IN. SA, UN, PN.6 .. • . Fapemo, -^ Cam<5<m. - 
SA, PA, PA. SA, PA, IA,SA, lÄ, PA.7.. s - Oatisi. - Darü. 
SN, PA, PN. SN, PA, IN. SN, lA, PN.8 • . • Fresimo. Feristm. Fetiino. Ferio. 

SA, PN, PN. SA, PN, IN. SA, IN, PN.9 - . • - - Baroco. - 

PA, SA, PA. lA, SA, PA. PA, SA, lA.lO .- i^itabU. Disamis. - - 

PN, SA, PN. IN, SA, PN. PN, SA, IN.li . . Oalerent. Cämestre$.^ - 

•Restat. 
*PA, SN, PN. U, SN, PN. PA, SN, IN.I2. .. Frmsmo, -, - - 

la quo descrlpti sunt oinpe$ lioodi utile&t eoi quibus ^cto soinr 
per conaUtuuot modum fi^mratum gmeralmi t^üles aiUeQi yqc» IUd» 
TlUgP 9ppeilatos, in quibus U et S, item I e^ P babentor pro 
iisdem. Ipsae lioeae modormn qqnst^nt ex qi^atMor Uigis, ia qm^ 
übet Uneae quantitate cooveniunt, differunt pro tribua iltiä utUib«9 
qualitatis differeutiis. Ipi^ae autem tr^ae i^ter »e diffePiint quaie 
Utate, posiUe eo ordine quo supra yariatipnes cyu& iaveBunua, in 
quarum quatiior reducuntur ooines sjupra iaveatae^ quia bk ü Qt St 
item I et P reducautur a4 ean^dem. Cuilibet lioeae ad margioem 
po^imud iaQ4p3 figurat,Q# generale», in qi;ioa quUibet ^us wodiw 
specialis eadit. In sumnuQ aignayimos aumeris figuram. Ex eodem 2d 
autem manifeßtum est, moc(osfiguratpsgenerales^s9e vetMonadicQ», 
Tel correspondeotes, et bos vei 2 vejl i vel 4, prout plurea. f a|i-r 
ciore^i^e uni liaeae sl^l( appofiiii Singular porro lineae babaol. 
uniw QioduiD gimpUpem geueralem, quem explicare poaaiwaua 
amMia vocalU^iia«. uti vulgo, ut A sit UA (vel SA), E 'ait UN {yA 
$^), ( sU P (vei 1) A, ait P(I)N (ita oniiUendae aufti 4 praer 
ter^ VQ<2alea V pro IA; 1^ prq IPI; OY aeu ov pro SA; o) pro 
SN) qim«^ s|d ^eclaranibun Hotpiniaaun posuit Job. Regiua, quem 
yidp lUsp. I^ogr übt, 4 probL d, et üa modua Mneae 1. eat AAA, 
Z. EAJB, 5^ AEE» 4, AAt öu RAO, (L AEO, 7. Ali 8. BIO, 9. AOO, 
IQ. lAI, U« A£E«. ISi (EO, ai^ectis nerape consonantibua ei lo^ 
dbm Tulg^ribnf , m quibu« Scjiolaatici per can^Mias figoran» per 
Tc^e^ iiio4o^ aimplioea deciignarimt. Ultimas i^ero modus: IBO, 
qucMP djiiliaitua Fri^eaiavy et ooUoc»mDii8 in flgnra nuUa, propterea^ 



efet intttilis, quia major est P (hinc lecum non habet in 1 et 2), 
minor vero N (hinc locum non hahet in 1 et 3), etsi ex regulis 
modorum non sit inutilis. Quod vero in 4 locum non haheat, 
exemplo ostendo: Quoddam Ena e$t homo, nuUus homo est bru- 

29 tum, ergo quoddam brutum non est Ena. Atque hie obiter con* 
silium suppeditabo utile, quod vel ipso exemplo hoc comprobatur, 
in quo consistit proba, ut sie dicam, seu ars examinandi modum 
propositum, et sicubi non formae, sed materiae vi concludit, 
celeriter instantiam reperiendi, qualem apud Logicos hactenus legere 
me non memini. Breviter: Pro UA sumatur propositio, quam 

. materia non patitur converti simpliciter, y. g. sumatur baec po- 
tius: Omnis homo est animal, quam: Omnis homo est animal 
rationale, et quo remotius genus sumitur, hoc habebis accuratios« 
Pro UN eligatur talis, qua negentur de se invicem species quam 
maxime invicem vicinae sub eodem genere proximo, v. g. homo 
est brutum, et quae non sit conrertibilis per contrapositionem in 
UA seu cujus neque subjectum neque praedicatum sit terminus 
infinitus. Pro P(I)A sumatur semper talis, quae non sit subal- 
terna alicujus UA, sed in qua de genere quam maxime generali 
dicatur species particulariter. Pro (I)PN sumatur, quae non sit 
sttbaltema alicujus UN, et cujus neuter terminus sit infinitus, et 
in qua negetur de genere maxime remoto species. Quod diximus 

30 de terminis infinitis vitandis, ejus ratio nunc patebjt. Prodiit cu- 
jusdam Job. Christoph. Sturmii Compendium Universalium seu 
Metaphisicae Euclideae ed. 8. Hagae anno 1660 apud Adrian. Vlacq. 
Cui annexuit novos quosdam modos syllogisticos a se demonstratos, 
qui omnes vldentur juxta communem sententiam inpingere in alte- 
ram yel utramque harum duarum regularum qualitatis: Ex puris 
negativis nihil sequitur; et: Conclusio sequitur qualitatem debilioris 
ex praemissis. Ut tamen rede procedat argumentum, vel assumit 
propositionem affirmativam infiniti subjecti, quae stet pro negativa 
finiti, aut contra, v. g, aequipollent: Quidam non lapis est homo, 
et: quidam lapis non est homo (verum annoto, non procedere 
in universali contra, v. g« omnis lapis non est homo, ergo omnis 
non lapis est homo); vel assumat negativam infiniti praedicati pro 
affirmativa finiti, vel contra, v. g. aequipollent: omnis philosopbus 
non est non homo, et: est homo; vel 3 assumat loco datae ton*-' 
versara ejus per contrapositionem. Jam UA convertitur per con- 
trap. in UN^ U et PNinPA> ita facile iili est elicere ex puris neg; 



d3 

affirmantem, si negatiyae ejus tales sunt, ut stent pro affirmativis; 
item ex A et N elicere affirmantem, si ista stet pro negativa. Ita 
patet, omnes illas 8 variationes qualitatis fore utiles, et per con- 
sequens modos utiles fore 82^8 f. 256 juxta nostrum calculum. 
Similis fere ratio est syUogismi ejus, de quo Logici disputant: Qui- 
cuiique non credunt, damnantur, Judaei non credunt, ergo dam- 
nantur. Sed ejus expeditissima solutio est, minorem esse affirmantem, 
quia medius terminus affirmatur de minore. Medius terminus autem 
non est: credere, sed: non credere, id enim praeexstitit in majori 
prop. Non possum hie praeterire modum Daropti ex ingenioso 
invento CI. Thomasii nostri. Is observavit ex Ramo Schol. Dialect 
lib. 7. c. 6. pag. m. 214, Conversionem posse demonstrari per 
syllogismum adjiciendo propositionem identicam, y. g. UA in PA 
sie: omne a est y, omne a est a (si in Btiae modo Darapti velis, 
Tel omne y est y, si in 4tae modo Baralip), ergo quoddam y est a. 
Item PA in PA sie: Quoddam a est y, omne a est a (si in 3tiae 
modo Disamis velis, ?el omne y est y, si in 4tae modo Ditabis), 
ergo quoddam y est er. Item UN in UN (in Cesare 2dae) sie: 
Nullum a est ;/, omne y est y, ergo nullum y est a. Item PN 
vel in Baroco Stiae sie : omne a est a, quoddam a non est y^ 
ergo quoddam y non est a (vel in Colanto 4tae: Quoddam a non 
est /, omne y est y, ergo quoddam y non est a). Idem igitur 
ipse in Conversione per Contrapositionem tentavit, v. g. hujusPN: 
Quidam homo non est doctus, in haue PA infiniti subjecti : quod- 
dam non doctum est homo. Syllogismus in Daropti erit talis: 
Omnis homo est homo, quidam homo non est doctus, ergo quod- 
dam quod non est doctum est homo. Observari tamen hie duo 
debent, Minorem juxta Sturmianam doctrinam videri quasi pro alia 
positam: Quidam homo est non doctus; deinde omnium optime 
sie diel : propositionis hujus : Quidam homo non est doctus, con- 
versam per contrapositionem proprie haue esse etiam negativam: 
Quoddam doctum non est non non homo, et in conversione per 
contrapositibne identicam ipsam debere esse contrapositam, id osten- 
dit Syllogismus jam non amplius in Daropti, sed Baroco: Omnis 
homo est non non homo (id est, omnis homo est homo), quidam 
homo non est doctus, ergo quoddam doctum non est non non homo 
(id est, quoddam non doctum est homo). Caeterum Sturmianos33 
illos modos arbitror non formae, sed materiae ratione concludere, 
quia quod termini vel finiti vel infiniti sint, non ad formam pro- 

3 






a4 

positionis seu copulam aut signum pertinet, sed ad tenninos. De- 
sinemus tandem aliquando modorum, nam etsi minime pervulgata 
attulisse speramus, habet tarnen et noTitas taedium in per se tae- 
diosis. Ab instituto autem abiisse nemo non dicet, qui omnia ex 
intima variationum doctrina erui ^iderit, quae sola prope per omne 
infinitum obsequentem sibi ducit animum, et harmoniam mundi et 
intimas constructiones rerum seriemque formarum una complectitur, 
cujus incredibilis utilitas perfecta demum pbilosophia, aut prope 

34 perfecta recte aestimabitur. Nam Vllmus est in complicandis 
figuris geometricis usus, qua in re glaciem fregit Joh. Keplerus 
lib. 2. HarmoniccJi'. Istis complicationibns non solum iofinitis novis 
tibeorematibus locupletari geometria potest, nova enim complicatio 
noTam figuram compositam efficit, cujus jam contemplando pro- 
imetates, nova theoremata, novas demonstrationes fabricamus, sed et 
(si quidem verum est, grandia ex parvis, sive haec atomos sive mo- 
loculas voces, componi) unica ista via est in arcana naturae penetrandi, 
quando eo quisque perfectius rem cognoscere dicitur» quo magis 
rei partes et partium partes, earumque figuras positusque per- 
cepit. Haec figurarum ratio primum abstracte in geometria ac 
Stereometria pervestiganda : inde ubi ad historiam naturalem existen- 
tiamque, seu id quod revera invenitur in corporibus, accesseris, 
patebit Physicae porta ingens, et elementorum facies, et qualitatum 
origo et mixtura, et mixturae origo et mixtura mixturarum, et 

35quicquid hactenus in natura stupebamus. Caeterum brevem gustum 
dabimus, quo magis intelligamur : Figura omnis simplex aut recti- 
linea aut curvilinea est. Rectilineae omnes symmetrae, commune 
enim omnium principium: Triangulüs. Ex cujus variis complica- 
tionibns congruis omnes Figurae rectilineae coeuntes (id est non 
hiantes) oriuntur. Verum curvilinearum neque circulus in ovalem etc. 
neque contra reduci potest, neque ad atiquid commune. Neutra 
vero triangulo et triangulatis symmetros. Porro quilibet circulus 
cuicunque circulo est symmetros, nam quilibet cuilibet aut copcen- 
tricus est aut esse intelligitur ; Ovalis vero vel Elliptica ea tantum 
symmetros quae concentrica intelligitur; ita neque omnis ovalis ovali 
symmetros est etc. Haec de simplicibus; jam ad complicationes. 

36 Complicatio est aut congrua aut hians : congrua tum, cum figurae 
compositae-lineae extremae seu circumferentiales nunquam fadunt 
angulum extrorsum, sed semper introrsum. Bxtrormm autem fit 
angulus, cum portio circuli inter lineas angulum fa<^^ntes descripta 



ex punoto ootearsus Ufiqaafld ceotro, cadil extra figuranif ad ei^UB . 

circiunrerentiam lineaa angulum facientea pertioent: tn/faraum, 

cum iotra. Hians est complicatio, cum aliquis angulus fit eitror^ 

suai. SteUa autem est complicatio hians, cujus omnes raiii (id 

est lineae stellae circumferentiales angulum extrorsum jEadentes) 

sunt aequale», ita ut si circulo inscribatur, ubique eum radiia tan*- 

gat. Caeterum hiaotes figurarum complicationea teasturas toco, 

eongruas proprie figuras. Sunt tarnen et quaedam T^xinrae figUr . 

ratae, quaa et fyuras hianUs ad oppositionem eoeuntium vecd. 

hm sunt theoremata: 1) Si duae figurae asymmetra* suat contir-37 

guae (complicatio enim vel immediata est 0Qntiguita$^ Tel mediata, 

inter tertium et primum, quoties tertium contiguum eat secundo, 

et secundumvel mediate yel immediate primoX complicatio fit hiani. 

2) Curvilinearum inter se omnis contiguitas est hians, nisi altan 

circumdetur Zona alterius symmetri dato concentrici. 3) Cunriitiacae 

cum rectilinea omnis contiguitas est hians, nisi in medio Zonae 

pooatur rectilinea. Zonam autem voco residuum in figura curvi- 

liaea majori, exempta coucentrica minori. In contigoilate rectili- 

nearum autem aut angulus angulo, aut angulus Uneae, aut linea 

lineae imponitar. 4) Si angulus angulo imponitur aut lineae, con«- 

tiguitas est in puncto. 5) Omnis curvilinearum inter se contiguitas 

hians est in puncto. 6) Omnis earum cum reclis contiguiCa» etiadoi 

non hians» itidem. 7) Linea lineae nonnisi ejusdem geueris ün" 

popi potest, V. g. recta rectae, curvilinea ejusdem generis et see^ 

iionis. 8) Si linea lineae aequali imponatur, contiguitas est congma, 

si inaequalj, hians. Observandum autem est plures figuras ad unum 38 

punctum suis angulis componi posse, quae est textura onmium 

mai^iim hians. Sed et hoc fieri potest, ut duae Tel plure& oooti- 

guae sint hiantes, accedat vero tertia vel plures, et efficiatur una 

figura, seu complicatio congrua. Unde nova contemplatio oritur, quae 

figura Tel textura quihas addiia faciat ex textura figuram, quod nosee 

magni momenti est ad rernm hiatus explendos. Restat ut computatio-i 

nem ex nostria praeceptis instituamus, ad quam requiritur ut dtlenai- 

netur numerus figurarum ad conficiendam texturam^ et det^miiientur 

figurae complicandae ; uirumque enim alias infinitum ^st* Sed hocfacile 

euilibet juxta enumeratos casus et theoremata praestare; nohia ad 

alia properantibus satis est prima lineamenta dnxisse tractatioiüs de 

Texturis hacteiMia fere neglectae« Decebat SMrtasse dioctrtnam b^nc 

illustrare schematibus, sed intelligentes oon indigebimt; imperiti, 

3' 



39uti fieri solet, nee iatelligere tanti aeslimabunt YIHvus Usus est 
in casibus apud Jureconsultos formandis. Neque enim semper ex- 
spectandum est praecipue legislatori, dum casus emergat, et ma- 
Joris est prudentiae leges quam maxime initio sine vitiis ponere, 
quam restrictiouem ac correctionem fortunae committere. Ut 
taceam, rem judicariam in qualibet republica hoc constitutam esse 
melius, quo minus est in arbitrio judicis. Plato lib. 9. de Leg. 

40Arist. 1. Rhet. Menoch. Arbitr. Jud. lib. 1. prooem. n. i. Porro 
Ars casuum formandorum fundatur in doctrina nostra de Compie* 
xionibus. Jurisprudentia enim cum in aliis geometriae similis est, 
tum in hoc quod utraque habet Elementa, utraque casus. Elementa 
sunt simplicia, in geometria figurae: triangulus, circulus etc. in 
Jurisprudentia: actus, promissum, alienatio etc. Casus: complexio- 
nes horum, qui utrobique yariabiles sunt infinities. Elementa Geo- 
metriae composuit Euciides, Elements juris in ejus Corpore conti- 
nentur, utrobique tarnen admiscentur Casus insigniores. Terminos 
autem in jure simplices, quorum mixtione caeteri oriuntur, et quasi 
Locos communes, summaque genera coliigere instituit Bernhardus 
Lavintheta, Monachus ordinis Minorum, Com. in Lullii Artem mag- 

41nam, quem vide. Nobis sie visum: Termini quorum complicatione 
oritur in Jure diversitas casuum, sunt: Personae, Res, Actus, Jura. 
Personarum genera sunt tum naturaiia, ut: mas, foemina, herma- 
phroditüs, monstrum, surdus, mutus, caecus, aeger, embryo, puer, 
juvenis, adolescens^ vir, senex, atque aliae differentiae ex physicis 
petendae, quae in jure effectum habent specialem; tum artificialia, 
nimirum genera vitae, corpora seu coUegia et similia. Nomina offi- 
dorum huc non pertinent, quia complicantur ex potestate et obli- 

42gatione; sed ad jura. RES sunt mobiles, immobiles, dividuae (ho- 
mogeneae), individuae, corporales, incorporales, et speciatim: Homo, 
animal deur, ferura, rabiosum, noxium; Equus, aqua, fundus, mare 
etc., et omnes omnino res, de quibus peculiare est jus. Hae dif- 

48ferentiae petendae ex physicis. ACTUS (aut non actus seu Status) 
considerandi qua naturales: ita dividui, individui, relinquut antni- 
XaapLa Tel sunt facti transeuntis ; detentio quae est materiale pos- 
sessionis, traditio, efiractio, vis, caedes, vulnus; noxa, huc tem^ 
poris et loci circumstantia, hae differentiae itidem petendae ex 
physicis; qua morales: ita sunt actus spontanei, coacti, necessarii, 
mixti, significantes, non significantes ; inter significantes verba, con- 
silia, mandata, praecepta, pollicitationes, acceptationes, conditiones. 



99 

Haec omnis yerborum varietas et interpretatio ex Grammaticis. Deni*- 
que actus sunt ?e] juris effectum habentes, vel non habentes, et iUi qui- 
dem pertinent ad catalogum jurium quae efficiunt, hi ex politicis 
etbicisque uberius enumerandi. JURIUM itidem enumerandae vel spe-44 
des vet differentiae. Et bae quidem sunt v. g. realia, personalia ; pura, 
dilata, suspensa; mobilia vel personae aut rei afßxa etc. Species 
y. g. dominium, directum« utile; servitus, realis, personalis; usus"- 
fructus, usus, proprietas, jus possidendi, usucapiendi conditio; 
Potestas, obligatio (active sumta) ; Potestas administratoria, rectona, 
coercitoria. Tum actus judiciales sumti pro jure id agendi tales 
sunt: postulatio, seu jus exponendi desiderium in judicio, cujus 
species pro ratione ordinis: actio, exceptio, replica etc. nempe in 
termino; tum in scriptis aut alias extra terminum; supplicatio pro 
impetranda dtatione pro monitofio etc. Jurium autem catalogus 
ex sola Jurisprudentia sumitur. Nos bic festini quicquid in men-45 
tem yenit attulimus, sattem ut mens nostra perspiceretur ; alii 
termini simplices privata cujusque industria suppleri possunt, sed 
ita ut eos tantum ponat terminos, qui reyera sunt simplices, id est 
quorum conceptus ex aliis homogeneis non componitur, quanquam 
in locis communibus, quorum disponendorum artilicium potissimum 
huc redit, Jicebit terminos complexos simplicibus yalde yicinos etiam 
tamquam peculiarem titulum collocare, y. g. compensationem, quae 
componitur ex obltgatione Titii Cajo, et ejusdem Caji Titio in 
rem dividuamy homogeneam seu commensurabilem^ quae utraque 
dissolvitur in summam eoncurrentem. Ex borum terminorum46 
simpiicium, tum cum se ipsis aliquoties repetitis, tum cum aliis 
com2natione, conSnatione etc. et in eadem complexione« variatione 
Situs prodire casus prope infinitos quis non yidet? Imo qui accu- 
ratius haec scrutabitur, inyeniet regulas eruendi casus singulario- 
res etc., nos talia quaedam concepimus, sed adhuc impolitiora, quam 
ut afTerre audeamus. Par in Tbeologia terminorum ratio est, quae 47 
est quasi Jurisprudentia quaedam specialis, sed eadem fundamen- 
talis ratione caeterarum. Est enim yelut doctrina quaedam de Jure 
publico, quod obtinet in Republiea DEI in bomines, ubi Infideles 
quasi rebelles sunt, Beclesia yelut subditi boni, personae Ecclesia- 
stieaey imo et Magistratus Politicus yelut Magistratus subordinati, 
Bxcommuntcatio yelut Bannus, Doctrina de Scriptura sacra et verbo 
DEI yelut de ligibus et earum interpretatione ; de Canone, quae 
leges autbenticae, de Srroribus fundamentalibus quasi de delictis 



lUipitalibuB, die Judieio extrtmo et noviasima die Teint de Procesta 
ludidario at Termiuo praestituto, de Remüsiane Ptceatorwn velut 
de jure aggratiandi, de Dumntttionß aetema velut de poena capi- 
4BtaU etc. Uactenus de usu complexiosttm in speciebua divisionum 
inveoiendis ; sequitur DLmus usu»: Datis spedebus dinsionis, praedivi- 
sioaes seu genera et species sobalternas inveniendi. Ac siquidem 
divUio, cujus apecie$ datae sunt, est Six(nofiiaj locum prablema 
non habet, neque enim ea est ulterius reducibilis ; sin noktreofiia, 

49 <»mnino, Esto enim %qi%<no^loL inier noXyroptiag minima, 86u 
dati generis species .3: a, b» c; canSnatio igitur earnm tantum 1 
est in dato geuere summo; Uniones ^ero 3; illic ipsum predit 
genus summum, bic ipsa^ species infimae, iiiter conSnationem au* 
tem et Unionem sola restat com2natio. Trium autem rerum com* 
2nationes sunt 3, hinc oriuutur 3 genera intermedia, nempe ab- 
stractum seu genus proximum twv ab, itemTcSi»' bc, item rcJyac. 
Ad g^nus autem requiritur tum ui singulis competati tum ut cum 

50 Omnibus disjunctive sumtis sit eonvertibile. Exemplo res fiet iltustrior. 
Genus datum sit respuhlica, species erunt 3, loco A Jlfonarc&ia, 
loco B Oligarchia Polywchica seu optimatum, loco C PanareAui ; 
bis enim terminis utemur commodissirae, ut apparebit, et voce 
Panarchiae, etsi »lia sensu« usus est Fr. Patritius Tomo inter sua 
«peira peculiari ita inscripto, quo Hierarchias coelestes expJicuit. 
Polyarchiate voce (anquam communi oligarchiae et panarcbiae usu« 
est Boxbornii/s lib. 2. o, 5* Inst. Polit. Igitur 1) Genus subalter- 
warn TfrTy AB seu Monarcbiae et regiminis Oplimatum erit Oli- 
garchie; imperant enim vel non omnes: Oligarchia, sed vd unus: 
Monar^ia, velplures: Oligarchiae Polyarchia; vel emnes: Panar- 

51 «Aia. 2) Genus subalteruum twv BC erit Polyarchia> imperat 
enioQi vel unus: Momkrchia, ve] plures: Polyarchia, (in qua iterum 
vel non omnes: Polyarchia Oligarehiea, vel omnes: Panarchia). 

{12 ä) Ge«us subalternum tcui^ A C est Respublica extrema. Nam 
s|^ies reipublicae alia intermedia est optimatum (bino et iK)meQ 
duplex: OUgarehia polyarchica), alia Etctrema. Extremae autem 
suat, in quibus io^erat tCnus, item in quibus omnes, Ita iu mi- 
nima tkiv noXvzoiimv^ %Qi,x<yvo^L(f, usum complexionum mani- 
festum feeimus, quantae, amabo, in divisiooe virtutum in 1 1 species, 
simüibusque aliis erunt varietates? ubi non solum singulae com- 
änatioiiest sed et con3nationes etc. usque ad conlOnationes, erant- 
^pie computato geaere summo et speciehiis infinus in wuversun 



complicatioiies seu genera Apeoies^ue possibiles 2047. Nam pro^SS 
fecto tarn est in abstrahendo foecundus animus noster, ul datid 
qootcunque rebus, genus earum, id est conceptum singulis com-^ 
tnimein et extra ipsas nulli, invenire possit. Imo etsi non Inve^ 
oiat, sdetDeus, inveDientangeli; igitur praeexistet omnium ejüBOiodi 
abstractionum fundamentum. Haec tanta tarietas generum &abal^54 
teroorum faeit^ ut in praedifisionibos seu tabellis construendi», 
invemenda etiam datae alicujus in species infimas divisionis 8uf8- 
dentia> diversas tiag ineant autores, et omnes nibilominus ad easdem 
lofimas species perveniant. Deprehendet boc, qui consulet Scho^ 
lasticos numerum praadicamentorum, virtutum candinalium, virtutum 
ab Aristotele enumeratarum, affectuam etc. investigantes. X. ASS 
divisionibus ad propositiones tempus est ut veniamus, alterani par* 
tem Logicae tnventionis. Propositio componitur eit subjecto et 
, praedicato, omnes igitur propositiones sunt coni2nationes. Logicae 
igitttr iarentivae propositionum est boc problema sohere: 1) dat6 
sobjecio praedicata; 2) dato praedicato subjecta invenire, utraqoe 
tum affirmative, tum negative. Vidit boc Raym. Lullius KabbalaeM 
Tr. I. c. fig. 1. p.46, et ubi priora repetit pag. 239 Artismagnae. 
h ut ostendat, quot propositiones ex novem Ulis suis terminis 
universalissimis : Bonitas, magnitudo, duratio etc. quas singülas de 
singttlis praedicari posse dicit, oriantur, describit ciroulum, ei in^ 
ambit hvBAymvov figuram regulärem, cuilibet angulo ascrrbit ter* 
miDum, et a quolibet angulo ad quemlibet ducit lineam reetam. 
Tales lineae sunt 36, tot nempe quot cdm2nationes 11 rerum» 
Cumque variari situs in qualibet Gom2natione possit bis« seu pro- 
positio quaelibet converti simpiiciter, prodibil 36 '^ 2 f. 72, qui 
est numerus propositionum Lullianarum. Imo talibus complexio- 
oibüs omne artificium Lollii absolvitur, vide ejusdem operum Ar- 
ge«itorati \tk 8. anno 1598 editorum pag. 49. 53. 68. 135, quae 
repetuntor p. 240. 244. 245. Idem tabulam construxit ex 84 
eolumnis constantem, quarum singulae continent 20 complexioneSy 
quibuB enumerat c(HQi4iiationed suarum regularum literis alphabeticitf 
denominatarum; ea tabula occupat pag. 260. 261. 262. 263. 264. 265. 
26t. ConSsationum vero labuiam babes apud Henr. Corn. Agrip^ 
pam Com. in artem brevem LuUii, quae occupat 9 pagtnas, a pag. 
863 usque 871 inclusive. Eadem ex Luilio pleraque exequitur, 
sed brevitis Job. Heinr. Alstedius in Arcbitectura Artis Lullianaei 
iMerta Thasauro ejus Anis M«nibrativae pag. 47 et seqq. 9ant57 



40 

autem termini simplices hi: I. Ättributa ah$oluta: Bonkas, Magni- 
tudo, Duraüo, Potestas, Sapientia, Voluntas, Virtus, Veritas, Gloria; 
n. Relata: Differenlia, Concordantia, Conlrarietas, Principium, Me- 
dium, Finis, Majoritas, Aequalitas, Minoritas; III. Quaestiones: 
Utrum, Quid, de Quo, Quare, Quantum, Quale, Quando, Ubi, 
Quomodo (cum Quo) ; IV. Subjecta : Deus, Angelus, Coelum, Homo, 
Imaginatio , Sensiti va , Vegetativa, Elementativa , Instrumentativa ; 
y. Ytrtutes: Justitia, Prudentia, Fortiludo, Temperantia, Fides, 
Spes, Charitas, Palienlia, Pietas; VI. Yitia: Avaritia, Gula, Luxuria, 
Superbia, Acedia, lovidia, Ira, Mendacium, Inconstantia. Etsi Jan. 
Caecilius Frey Via ad Scient. et art. part. XI. c. 1. classem 3tiam 

58 et 6tam omittat. Cum igitur in singulis ciassibus sint 9 res, et 
9 rerum sint complexiones simpliciter 511, totidemin singulis da»-, 
sibus complexiones erunt, porro ducendo classem in classem per 
prob. 3. 511. 511. 511. 511. 511.-^511. f. 17804320388674561,^ 
Zensicub. de 511, ut omittam omnes illas variationes, quibus idem 
terminus repetitur, item quibus una classis repetitur, seu ex una 

SOclasse termini pouuntur plures. Et hae solum sunt complexiones, 
quid dicam de Variationibus Situs, si in complexiones ducantur. 
Atque hie explicabo obiter problema hoc: „Variationes situs sea 
„dispositiones ducere in complexiones, seu datis certis rebus om- 
„nes variationes tarn complexionis seu materiae, quam situs seu 
„formae reperire. Sumantur omnes complexiones particulares dati 
„numeri (v. g. de numero 4: uniones 4, com2nationes 6, con3na- 
„tiones 4, con4natio 1) quaeratur variatio dispositionis singulorum 
„exponentium per probl. 4. infra (y. g. 1 dat 1, 2 dat 2, 3 dat 
„6, 4 dat 24), ea multiplicetur per complexionem suam particu- 
„larem, seu de dato exponente (v. g. 1 '^ 4 f. 4, 2 ^ 6 f. 12, 
„4 '^6 f. 24, l'^24 f. 24). Aggregatum omnium factorum erit 
„factus ex ductu dispositionum in complexiones, id est quaesituni 
„(v. g. 4. 12. 24. 24.+f. 64)." Verum in terminis Lullianis multa 

60desidero. Nam tota ejus methodus dirigitur ad artem potius ex 
tempore disserendi, quam plenam de re data scientiam consequendi, 
si non ex ipsius Lullii, certe LuUistarum intentione. Numerum 
Terminorum determinavit pro arbitrio, hinc in singulis ciassibus 
sunt novem. Cur praedicatis absolutis, quae abstractissima esse 
debenl, commiscuit Voluntatem, Veritatem, Sapienliam, Virtutem« 
Gloriam, cur Pulchritudinem omisit, seu Figuram, cur Numerum? 
Praedicatis relatis debebat accensere multo plura, ?. g. Causam, 



41 

totum, partem,. requisitum etc. Praeterea Majoritas, Aequalitas, 
Minoriias est nihil aliud, quam concordautia et differentia magui- 
tttdinis. Quaestionum tota dassis ad praedicata perünet: Utrum 
Sit, est existentiae, quae durationem ad se trahit; Quid, esseiitiae; 
Quare, caussae; de Quo, objecti; Quantum, magnitudinis; Quäle, 
qualitatis, quae est genus praedicatorum absolutorum ; Quando, tem- 
poris; Ubi, loci; Quommodo, fonnae; Cum Quo, adjuncti: omnes 
terminorum sunt, qui aut relati sunt inter praedicata, aut referendi, 
E^t cur Quamdiu omisi't, anne durationi coincideret? cur igitur alia 
aeque coincidentia admiscet; denique Quomodo et cum Quo male 
confuduntur. Classes vero ultimae Vitiorum et Virtulum suntpror-"! 
sus ad scienliam hanc lam generalem aTtgoadiowaoi. Ipsa quoque 
eanim recensio quam partim manca, partim superllua! Virtutum 
recensuit priores 4 cardinales, mox 3 theologicas, cur igitur addita 
Patientia, quae in fortitudine dicitur contineri; cur Pietatem, id est 
amorem DEI, quae inCharitate? scilicet ut novenarii hiatus exp^^r 
retur. Ipsa quoque Vitia cur non Virtutibus opposita recensuit? 
An ut iotelligeremus in ^irtute vitia opposita, et in vitio virtutem? 
at ita vitia 27 prodibunt. Subjectorum census placet maxime. Sunt 
enim bi inprimis Entium gradus: DEUS, Angelus, Coelum (ex 
doctrina peripatetica Ens incorruptibile), Homo, Brutum perfectius 
(seu habens imaginationem), imperfectius (seu sensum solum, qualia 
de ^(aoipvTOis narrant), Planta. Forma communis corporum (qualis 
ontur £x commixtione Elementorum, quo pertinent omnia inanima). 
Artificalia (quae nominat instrumental Haec sunt quorum complexu 
LuUius utitur, de quo Judicium, maturum uüque, gravis viri Petri 
Gassendi Logicae suae Epicureae T. I . operum capite peculiari. Quare 
artem Lullii dudum com2natorium appellavit Jordan. Brunus No- 
lanus Scrutin. praefat. p. m. 684. Atque hinc esse judico, quod62 
immortalis Kircherus suam illam diu promissam artem magnam 
sdendi, seu novam portam scientiarum, qua de omnibus rebus in- 
finitis rationibus disputari, cunctorumque summaria cognitio haberi 
possit (quo eodem'fere modo suam Syntaxin artismirabiKsinscrlpsit 
Pelr, Gregor. Tholosanus) Com2natoriae titulo ostentaverit. Unum 
hoc opto, ut ingenio vir vastissimo altius quam vel Luliius vei 
Tholosanus penetret in intima rerum, ac quae nos praeconcepimus, 
quorum liueamenta duximus, quae inter desiderata ponimus, ex- 
pleat, quod de fatali ejus in illustrandis scientiis felidlate despe- 
randum non est. Ac nos profecto haec non tam Arithmeticae 



4t 

«ugendae, et si et hoc ieoimiM, quam Logicae inteptirde Tedaden* 
dis foDtibus destinavimus, fagieotes praeconis munere, et qäod io 
catalogo desideralorum suis augmenti« Sdentiarum Verulamius f^cit, 
satis habituri, si suspicionem tantae artis hominibui faciaunis, quam 

63 com incredibiii fructu generis humani alias producat« Quare age 
tandem artis complicatoriae (sie eDim malumus, neque eiüm omnia 
complexus coiD2natio est) uti ndbh con^tuenda videator, Itnea^ 
menta prima ducemus. Profundissimus prtnctpioruin in omnibus 
rebus scrutator Tb, Hobbes merito posuit omne opus mentis uostrae 
esse comptUcttionem, sed bac vel, summam addeodo vel sabtrabeodo 
diiferenttam coUigi; E\em. de Corp. p. 1* c< 1. arL 2. Quemad- 
modum igitur duo sunt Algebraistarum et Analyticorum primaria 
Signa + et — , ita duae quasi copolae est et non-est: illic compontt 
mens, hie dividit. In tali igitur sensu to Est non est proprie co- 
pula, sed pars praedicati ; duae autem sunt copulae, una nominata, 
tu^, altera innominata, sed includitur in t^ est^ quoties ipsi non 
additum : non, quod ipsum fecit, ut td Est habitum sit pro copula. 
Possemus adhibere in subsidium vocem : revera, t. g. Homo revera 

64 est animal. Homo non est lapis. Sed haec obiter. Porro ut con- 
stet ex quibus omnia conficiantur> ad constitoenda bujus aitis prae- 
dicamenta et velut materiam analysis adhibenda est. Analysis haec 
est: 1) Datua quicunque terminus resoWatur iti partes formales, 
Ben ponatur ejus definitio; partes autem hae fterum in partes^ seu 
terminorum definitionis definitio^ usque ad partes simplices seu 
terminos indefinibiles. Nam ov dal navtoq oqov ^i^€!v; et Ultimi 
Uli termini non jain amplius definitione, sed analogia intelligantur. 

652) Inventi omnes termini primi ponantur in una classe, et desi^ 

66nentur notis quibusdam; commodissimum erit numerari. S) Itit^r 
terminos primos ponantur non solum res, sed et modi sive respeo- 

67tüs. 4) Cum omnes termini orti varient distantia a primis, protit 
ex pluribus terminis primis componuntur, seu prout est exponens 
Compiesionia, binc tot classes faciendae, quot exponentes sunt, et 
in eandera classem conjiciendi termini, qui ex lodern numero pri- 

68morum componuntur. 5) Termini orti per com2nationem scribi 
aliter non poterunt, quam scribendo terminos primos, ex quibus 
componuntur, et quia termini primi signati sunt nuraeris, scribantur 

69 duo numeri duos terminos signdntes. 6) At termini orti per eon^ 
Snationem aut alias majoris etiam exponentis Complexiones, seu 
tennini qui sunt in classe 3tia et sequentS)uS) singuli toties varie 



4S 

scribi posaunt, qoot bab^ complexiones simplicil^ exponens ipso* 
nun, spectatus non jam amplins ot «xponens, sed ut numeri» 
remm. Habet boc suum fnndamentum rn Usu IX, v. g. santo 
termini priiei bis numeris signaii i, 6, 7, 9 ; sitque terminus ortus 
in dasse tertia, seu per conSnationem compositas, nempe ex 3bus 
simplidbus 3, 6, 9, et sint in classe 2da combinationes hae: (1)3. 
6, (2) 3. 7, (3) 3, 9, (4) 6. 7, (ft) 6. 9, (6) 7. 9; ajo lermi- 
Dum illuDi datum classis 3tiae scribi posse vel sie: 3. 6. 9, ex^ 
primendo omnes sitnpUces; vel exprimendo unum simplicem, et 
k>co caeterorum duorum simplicium scnbendo coDi2Dationeni, v. g. 
sie: Vz- d« ^^^ ^U' 6' ^^1 ^^- %' ^' Hae quasi^fractiones quid 
BignificeiU, mox dicetur. Quo autem classis a pri»a remolior, boc 
yariatio major. Semper enim termini dassis aotecedentis sunt 
quasi genera subalterna ad terminos quosda« variaiionis seqiif ntis. 
7) Quoties terminus ortus citatur extra suam dasseni, scribalittr per 70 
modttdi fraetionis, ut numerus superior seu niimeratori t^k numefus 
lod in dasse; inferior seu nominator, Rumeifus dessis. b) CoHiBMdius 
est, in terüBinisortisexponendis nou omnea terminos priinosraedinter'- 
laedios scribere.ob multitudinem, et ex üs eos qui maxime eogitenti de 
re occurrunt. Verum omnes primos scribere est fundamentalius. 9) His 71 
ita constittttis possunt omnia subjecta et praedißala invenirt, tarn affit*»- 
mativa quam negativa, tarn universalia quam partieularia. Dati entm 
sttbjecti i>raedi€ata sunt omnes termini primi ejus; üem onftnes orti 
primis propiores, quorum omnes termini primi sunt in dato. Si igitur 
terminus datust qui subjectum esse debet, scriptus est tenmois 
primis, fädle est eos primos, qui de ipi«o praediemitur, invenire^ 
ortos vero etiam invenire dabitur, ai in eomplexionibus dtsponendis 
ordo servetur. Sin terminus datus seriptus est ortis, ailt partoi 
ortis, partim simplidbus, quicquid praedteabitur de orto ejtiS) de 
dato praedicabitur. £t baac quidem omnia praedieata sunt latioris 
de angustiori, praedieatio vero aequalis de aequali est, quando defi* 
nitio de termino, id est vel omnes termini primi «jus simiil, vei 
orti, aut orti et simplices, in quibüs omnes ilü primi oottlinentur, 
praedicantur de dato. , £ae sunt tot, quot modis miperriaie dixih 
mus, unum Terminum ecribi posse. Ex bis jam fodle erit, na~72 
meris investigare omnia praedicata, quae de omni dato SHbiceto 
praedicari possunt, seu omnes UA, Proposiiionet de Mt9 sabjeeto, 
nimirum singularum dassium a prima usque ad dassem dati iadu>* 
sivo^; numeri ipsas denominantes seu exponetites ponantw ardine 



44 

V. g. 1. (de classe prima) 2, (de 2da) 3. 4. etc. Unicuiqne tarn- 
quam non jam amplius exponenti, sed numero assignetur sua 
complexio simpliciter, v. g. i. 3. 7. 15; quaerantur complexiones 
particulares numeri classis ultimae seu de qua est tenninus datus, 
V. g. de 4, cujus complexio simpHciter 1 5, unioues 4, com2nationes 6, 
con3natione8 4, con4natio 1; singulae complexiones simpliciter 
classium multiplicentur per complexionem particularem classis ulti« 
mae, quae habeat exponentem enndem cum numero suae classis, 
V. g. 1^4 f. 4, 3 '^ 6 f. 18, 4"^7 f. 28, IS'^l f. 15; aggregatum 
omnium factorum erit numerus omnium praedicatorum de dato 
subjecto, ita ut propositio sit UA, y. g. 4. 18. 28. 15. + f* 65. 

73Praedicata per propositionem PA seu numerus proposilionum par- 
ticularium affirmativarum ita investigabitur: inveniantur praedicata 
UA dati termini, uti nuper dictum est, et subjecta UA, uti mox 
dicetur; addatur numerus uterque, quia ex UA propositione oritur 
PA, tum per conversionem simpliciter, tum per subalternationem ; 

74productum erit quaesitum. Subjecta in propositione UA dati ter^ 
mini sunt tum omnes termini orti, in quibus terminus datus totus 
continetur, quales sunt solnm in classibus sequentibus, et binc oritur 
subjectum angustius, tum omnes termini orti qui eosdem cum dato 
babent terminos simplices, uno verbo ejusdem termini definitiones, 
860 variationes eum scribendi invicem sunt sibi subjecta aequalia. 

75 Numemm subjectorum sie computabimus : inventatur numerus om^ 
nium classium. £ae autem sunt tot, quot termini sunt primi in 
prima classe, t. g. sunt termini in prima classe tantum 5, erunt 
classes in Universum 5, nempe in Ima uniones, in 2da com2na- 
tiones, in 3lia con3nationes, in 4ta con4nationes, in 5ta conSna- 
tiones. Ita erit inventus etiam numerus omnium classium sequen- 
tmm, subtrabendo nnmerum classis termini dati, y. g. 2 de numero 
classium in Universum 5 remanebit 3. Numerum auiem classium 
seu terminorum primorum supponamus pro numero rerum, nume- 
rum classis pro exponente, erit numerus terminorum in classe idem 
cum complexionibus particularibus dato numero et exponente, v. g. 
de 5 rebus uniones sunt 5, com2.3nationes 10, con4nationes 5, 
con5natio 1; tot igitur erunt in singulis classibus iexponenti cor- 
respondentibus termini, supposito quod termini primi sint 5. Prae- 
terea Terminus datus, cujus subjecta quaeruntur, respondebit capiti 
complexionnm; Subjecta angustiora ipsis complexionibus quarum 
datum est caput. Igitur dati termini subjecta angustiora invenie- 






»» 

»» 






4S 

mtts, si problema hoc sohere poterimus : „Dato capite complexioned7g 
„itivenire, partim simpliciter (ita ifiyesieinus subjecta angustiora 
„omnia) partim partieulares, seu dato exponente (ita inveniemus 
„ea tantum quae sunt in data classe). Problema hoc statim im- 
praesentiarum solvemus, ubi manifestus ejus usus est, ne ubi 
seorsim posuerimus, novis exemplis indigeamus. Solutio igitur 
haec est: Subtrahatur de numero rerum, ?. g. 5: a. b. c. d. e. 
,,exponens capitis dati, ?. g. a. b, 2 — 5 f. 3 aut a, 1—5 f. 4. 
Sive supponamus datum caput unionem sive com2nationem esse; 
complexio enim ut sit necesse est. Propositio item exponente 
„subtrahatur, de eo itidem exponeiis capitis dati. Igitur si datiis 
„sit quicunque exponens, in cujus complexionibus quoties datum 
caput reperiatur invenire sit propositum, quaeratur complexio ex- 
ponentis tanto minoris dato, quantus est exponens capitis dati« 
„in numero rerum, qui sit itidem tanto minor dato, quantus est 
„exponens capitis dati per tabella N probl. 1, inventum erit quod 
„quaerebatur. At si Complexiones simpliciter capitis dati in om- 
„nibus complexionibus dati numeri quocuoque exponente, quaerere 
„propositum sit, complexio numeri rerum, numero dato tanto mi" 
„noris, quantus est exponens capitis dati, erit quaesilum." £. g*77 
in 5 rerum a. b. c. d. e. unionibus datum caput a reperilur 1 
vice (quae est nuUio, seu Ollio de 4)} datum caput a. b. 011a vice 
(quae est superOllio, ut ita dicam, de 8) ; in com2nationibus earun- 
dem illud reperitur vicibus 4 (quae sunt uniunes de 4) hoc 1 (quae 
est Ollio de 8), in con8nationibus illud 6 (com2natio de 4) hoc 8, 
(unio de 8), in conlnationibus illud 4 (con3natio de 4) hoc 8 
<com2natio de 8), in conSnationibus utrobique 1 vice^ (illic con4* 
natio, hie conSnatio de 8). Hae complexiones sunt dato exponente, 
ex quarum aggregatione oriuntur complexiones simpliciter, sed et 
sie: in 5* rerum complexionibus simpliciter (quae sunt 81) a repe- 
ritur vicibus 15 (complexio simpliciter de 4), ab 7 (complexio 7g 
simpliciter de 8) vicibus. Hae complexiones sunt numerus sub- 
jectorum angustiorum dati termini. Subjecta aequalia, quando de- 
finitiones definitionibus subjiciuntur, eadem methodo inveniuntur 
qua supra praedicata aequalia. Termini enim aequales sunt servata 
quantitate et quahtate convertibiles, igitur ex praedicatis fiunt sub- 
jecta et contra, praedicata autem tot sunt, quot dati termini (cujus 
subjecta quaemntur) termini primi habent complexiones simpliciter, 
T. g. + a 1, ab 2. Additis jam subjectis aequalibus ad angustiora 



1+1$ f' lOf 24*7 f« 9, prodibit aiuMroa subj^oloniia omokm 
7d(|ati Uriuinit qu^m erat propositum invcnire. Subjecia hacleoua 
uoiveraaliai restant parUcularta, ea tot siuit quot praedicata parti- 
CMlaria, Praedicata et subjecta negativa aic iovenientur: compu- 
tentur ex datis certis termioia priniis tanquam noniero renim omues 
tennini tarn primi quam orti, tanquam oomplexionea simpiiciUNr, 
V« g. 91 terotini primi sint S» erunt 3 1 ; de prodocto detrahantwr 
omoia praedicata afBrmativa aniversalia et subjecta aogustiora afBr- 
matifa uuiv^salia: reeiduum erunl omnia praedicata negativa. De 
aubjeclia contra. Particuiaria negativa ex unirersaUbus oomputen- 
tur, uü supra PA ex UA computavimua. Omisimva vero propo- 
Niiones identicaa UA, quarum sunt tot quot complexiwes sim- 
pliciter Terminorum primorum, seu quot sunt omnino termini et 
primi et orti, quia quilibet terminua vel primus vel ortus de se 
dicitur. Caeterum inter complexiones illaa omisimus, in quibus 
idem terminus repetitur, quae repetitio in oonnullis producit va- 
80 riationem in infinitum, ut in numeris et figurii geometriae. Metbodns 
porro argumenta inveniendi baec est: Este datus qnicunque termi- 
nua lanquam subjectum A et alius quicunque tanquam praedica- 
tum B, quaeratur medium: Medium erit praedicatum subjeeti et 
subjectum praedicati, id est terminua quicunque continena A et 
contentus a B. Conlinere autem terminus terminum dicitur, ai 
omnea ejus termini primi sunt in illo. Fundamentalia autem de* 
monstratio est» si uterque terminus resolvatur in primoa, manifes4um 
erit alterum alterius aut partem esse» aut partium earundem. M^ 
diorum auiem numerum sie inveniemus: Subjectum et praedicatum 
vel sunt in eadem classe, vel diversa. Si in eadem, necesse est 
ulrumque terminum esse ortum, et variationem scriplionia saltem 
seu definitionis ^usdem termini, poterunt igitur duae definitionea 
eiusdem termini non nisi per tertiam de se iavicem probm. Igitur 
de numero definitionum ejusdem termini orti, quem inveatigavimtta 
supra n. 69 aubtrabatur 2, residuum erit numerus mediorum pos* 
Slaibilium inter terminos aequales. Sin non sunt in eadem clasaei 
erit praedicatum in classe minoria exponentis, subjectum in chasis 
majoris. Jam aupponatur Praedicatum vclut caput eomplexionis, 
exponena clasais subjeeti supponatur pro munero rerum» Inveaiantiir 
omnes complexiones dati cs^itia partioulares per singuba ctasaea a 
clasae praedicati ad classem süibjecti inotiMtve; i« aingulia dasaibua 
complexiones dati capitis particulares dueantur in complexiones 



41 

siinpliciter exponentis ipsius classis pro numero rerum »opjj^ositi. 
Aggregatum oinnium factonim, subtracto 2, erit quae»ituin. Prae« 82 
dicatum autem de subjecto negari faclle inveniemus, si utroque 
termino in primos resoluto-manifestum «st neutrum altero contineri, 
Probari tarnen negativa sie potent: inveniantur omnia praedicata 
subjecü, cum de omnibus negetur praedicatum, totidem erunt me- 
dia probandi negativam. Inveniantur omnia subjecta praedicati, 
cum omnia negentur de subjecto, etiam erunt totidem media pro- 
bandi negativam. Utrisque igitur computatia numerum mediorum 
probandi negativam habebimus. Admovendum denique est, totamgg 
hanc artem complicatoriam directam esse ad tbeoremata, seu pro- 
positiones quae sunt aeternae veritatis, seu non arbitrio DEI, sed 
sua natura constant. Omnes vero propositiones singulares quasi 
historicae, v. g. Augustus fuit Romanorum Imperator, aut observa-- 
tiones, id est propositiones universales, sed quarum veritas non in 
essentia, sed existentia fundata est, quaeque verae sunt quasi casu, 
id est I)EI arbitrio, v. g. omnes homines adulti in Europa habent 
cognitionem DEL Talium non datur demonstratio, sed indu£tio, 
nisi quod interdum observatio per observationem interventu Tbeo- 
rematis demonstrari potest. Ad tales observationes pertinent omnes 54 
propositiones particulares, quae non sunt conversae vei subalternae 
universalis. Hinc igitur manifestum est, quo sensu dicatur singu- 
larium non esse demonstrationem, et cur profundissimus Aristoteles 
locos argumentorum posuerit in Topicis, ubi et propositiones sunt 
contingentes et argumenta probabilia, Demonstrationum autem uous 
locus est: definitio. Verum cum de re dicenda sunt ea qu^e non 
ex ipsius visceribus desumuntur, v. g. Christum natum esse Bethleemi, 
nemo huc definitionibus deveniet, sed bistoriae matejfiam, loci re- 
miniscentiam suppeditabunt. Haec jam locorum Tapicorum origq, 
et in singulis maximarum, quibus omnibus qui sint Fontes, osten*^ 
deremus itidem, nisi timeremus ne in progressu sermoois cupi^ 
ditate declarandi omnia abriperemur. Uno saltam verbo iadigitar §5 
bimus, omnia ex doctrina metapbysica relationum Entis ad Ens 
repetenda esse, sie ut ex geueribus quidem relationum. Loci, ei 
theorematis autem singulorum maxtmae efformentur. Hoo vidisse 
arbitror, praeter morem compendj^graphorum sobdissimum Jok 
Henr, Bisterfeld in Phosphoro Catholico seu Epitome artis medi- 
tandi ed. Lugd. Bat. anno 1657, quae tota fundatur in immeatione 
ei neQi](pQija€it ut vocat, universali omn^m in omnibus, siaulitu- 



'V- 



49 

dine item et dissimilitudine omnium cum omnibus, quarum principia : 
Relationes. Eum libellum qui legerit, usum artis complicatoriae 

86magis magisque perspiciet. Ingeniosus ille, quem saepe nominavi- 
mus, Job. HospiniaDus, libellum promisit de inveniendi et judicandi 
facultaübus, iu quo emendationem doctrinae Topicae paraverat, lo- 
cosque recensuerat 180, maximas 2796, vide controvers. dial. p. 442. 
Hunc ego insigni rei logicae damno nunquam editum arbitror. 
Abibimus binc, cum primum yavfxa quoddam praxeos artis com2- 

87 natoriae dederimus. Commodissima Mathesis extemporaneo cona- 
tui Visa est: binc non a primis simpliciter terminis orsi sumus, 
sed a primis in matbesi; neque omnes posuimus, sed quos ad 
producendos complicatione sua terminos ortos propositos suf- 
ficere judicabamus. Potuissemus eadem metbodo omnes definitio- 
nes ex Elementis Euclidis exponere, si tempus supeifuisset. 
Quoniam autem nou a primis simpliciter terminis orti sumus, binc 
necessarium erat signa adbibere, quibus casus vocabulorum alia- 
que ad sermonem complendum necessaria intelligentur. Nam si- 
quidem a primis simpliciter terminis incepissimus, pro ipsis casuum 
variationibus , quorum ex relationibus et metapbysica originem ex- 
posuit Jul. Caesar Scaliger lib. de Caus. 1. 1, terminos posuissemus. 
Adbibuimus autem articulos graecos. Numerum pluralem signavi- 

88 mus adscripto in (), 15 si quidem indefinitus, 2, 3 etc. si deter- 
minatus. Esto igitur Classis I, in qua termini primi: I. punctum, 
2. spatium, 3. intersitum, 4. adsitum seu contiguum, 5. dissitum 
seu distans, 6. terminus seu quae distant, 7. insitum, 8. inclusum 
(v. g. centrum est insitum circulo, inclusum peripberiae) , 9. pars, 
10. totum, II. idem, 12. diversum, 13. unum, 14. numerus, 15. 
plura, V. g. 1. 2. 3. 4. 5 etc., 16. distantia, 17. possibile, 18. 
omne, 19. datum, 20. Fit, 21. regio, 22. dimensio, 23. longum, 
24. latum, 25. profundum, 26. commune, 27. progressio seu con- 
tinuatum. Classis II. 1, Quantitas est 14 tcSv 9 (15), 2, Inclu- 
dens est 6. 10. III. 1, Intervallum est 2. 3. 10. 2, Aequale 
A Tfjg 11. 4. 3, Conttnuum est A ad B, si tov A ^ 9 est 4 et 
7 T<^ B. IV. 1, Majus est A babens trjv 9. f t(^ B. 2, Minusy 
B I T^ 9 Tov A. 3, Linea y ^ tcSv 1 (2). 4, Parallelum, | 
iv T^ 16. 5, Figur a, 24. 8, ab 18. 21. V. 1, Crescensy quod 20. 
f. 2, Decrescens, 20. f. 3, Implexum est } in t^ II. 22. 4, 
Secans, f in r^ 12. 22; VI. 1, Convergens, f ivt^ 16. 2, Di- 
vergenSi \ iv rfl 16. VII. 1, Superficies, J tcSv |. 2, Infinitum, 



40 

^ quam 18. 19. 17. 3, Perifheria, f. 13. |. 4, A dicitur Mm- 
8ura seu metitur B si 10 ex A (15) f est | t<^ B. VIII. 1, JKfa- 
a;miim e9t \ non |. 2, Minimum, \ non {• 3, itecta, |. i* '^«^ 
16. T^Iy 6 (2). 4, quae non talis, Curva. 5, Ircu«, 9 rjj^g nf. IX. 
1, Ämbitus est 4- • !• X. 1, Commensurabilia sunt, quorum -f. 26 
est et 1 et 2. XI. 1, Ängulus est quem faciunt | (2). 4, |. XII. 
i, Planum est ^. f. t^ J6 t(^v 6. XIII. 1, Gibbus ^ { . J. r^^ 
16 T(^v 6. XI Y. 1, Rectüineum est | cujus § est z(^v ^ (15). 2, 
quae dicuntur Latera. 3, si | (3), Triangulum. 4, Si | (4), Qua- 
drangulüm etc. XV. I, Lunula est ^ tcJi' | (2), non |- 4 (2). 
[subintelligo autem tarn lunulam gibbosam« qua arcus arcui con- 
cavitatem obvertit, quam falcatam qua interior alterius concavilati 
suam conveiitatem] XVI. 1, Ängulus rectus est j\. |. in t<^ 18. 
21. 2, Segmentum est 3 töv | et |. 7 zjj |. XVII. 1, Aequi- 
kUerum est \ cujus ^ est 8 tc^v f (15). 2, Triangulum aequi- 
crurum est -| cujus | est t(^v | (3) f (2 . 3, Scalenum est | 
cujus I est Tc5)/ I (3) non | (3). XVIII. 1, Angulus contactus est 
quem faciunt | (2 . 4 | non ^. 27. modo 17. XIX. 1, Inscrip- 
tum est {. 7 cujus ^V (^^) ^^^^ 4 t^ i. 2, Circumscripta vero 
est ea figura cui inscripta est. XX. 1, Angulus obtusus est ^ quam 
^. 2, Ici^ms, i quam y^^. XXI. 1, Diameter est f. ^. 7. li} 
I . XXII. 1, Circulus est {V* 8. ab 18. 21. habens tijv 16. | 
700 19 alicujus 1 (quod dicilur 2 centrum circuli} ab 18. 6. 2» 
Triangulum rectangulum est f cujus |^| (3) sunt omnes, sed 13, 
est f in T<^ 18. 21. XXIII. 1, Centrum Figur ae est 1. 26 Tolg 
7*1- (15 . XXIV. 1, Semifigura data v. g. semicirculus etc. est 3^ 
Tov ^7 et (dimidium cov) |. Hinc facile erit definitiones conficere, 
si observetur, quod n. 70 diximus in iis notis, quae per fractiones 
scriptae sunt: nominatorem designare numerum classis, numera- 
torem, numerum termini in classe, v. g. centrum est 1. (pupctum) 
26 (commune) Toig 7^^ (diametris) 15 pluribus. Diameter est f 
(recta) ^ (maxima) 7 (insita) t^ | (figurae). Ex bis, quae de 89 
Arte complicatoria Scientiarum, seu Logica inventiva disseruimus, 
cujus quasi praedicamenta ejusmodi Terminorum tabula absolveren- 
tur, fluit velut Porisma seu usus XI: Scriptura Universalis, id est 
cuicunque legenti, cujuscunque linguae perito intelligibilis, qualem 
hodie complures viri eruditi tentarunt, quorum diligentissimus Cas- 
par Schottus hos recenset lib. 7. Techn. Curios., primo Hispanum 
quendam, cujus meminerit Kenelm. Digbaeus tr. de Nat. Gbrp. c« 
V. 4 



6Ö 

28. n. 8. quiqae fuerit Romae aono 1653, ejus methodud haec ex 
fpsa natara rerum satis ingeniöse petita: <1istribuefoat res in varias 
classes, in quaKbet classe erat certus numerus rerum. IIa mens 
numeris scribebat, citando numerum classis et rei in classe, ad- 
hibitis tarnen notis quibnsdam fleiionum grammaficarum et ortho- 
graphicarum. Idem fieret per classes a nobis praescriptas fun- 
damentalias, quia in iis fundamentalior digestio est. Deinde Atba- 
nasium Kircherum, qui Polygraphiam suam novam et anifersa- 
lern dudum promisit, denique Job. Joachimnm Becherum, Arcbla- 
triim Mognutinum, opusculo primum Francofurti latine edito, de- 
inde germanice anno 1661; is requirit, ut construaiur Lexicon 
Latinum, tanquam fnndamentum, et in eo disponantnr voces ordine 
pure alphabetico et numerentnr; fiant deinde Lexica, ubi voces in 
singulis unguis dispositae non alphabetice, sed quo ordine Latinae 
dispositae sunt ipsis respondentes. Scribantur igitur quae ab Om- 
nibus intelligi debent, numeris, et qui legere vult, is evolvat'in 
lexico suo vernaculo vocem dato numero signatam, et tta interpre- 
tabitur. Ita satis erit legentem vernacuiam intelligere et ejus Le- 
xicon evolvere, scribentem necesse est (nisi habeat unum adhnc 
Lexicoii suae linguae alphabeticum ad numeros se referens) et 
vernacuiam et latinam teuere, et utriusque lexieon evolvere. Verum 
et Hispani illius et Becheri artificium et obvium et impracticabile 
est ob Synonyma, ob vocum ambiguitatem, ob evolvendi perpetuum 
taedium (quia numeros nemo unquam memoriae' mandabit), ob 
QQereQoyiveiav phrasium in unguis. Verum constitutis Tabulis vel 
praedicamentis artis nostrae complicatoriae majora emergent. Nam 
termini primi, ex quorum complexu omnes alii constituuntur, sig- 
nentur nolis, hae notae erunt quasi alphabetum. Commodum autem 
erit nolas quam maxime fieri naturales, v. g. pro uno punctum, 
pro numeris puncta, pro relationibus Entis ad Ens lineas, pro varia- 
tione angulorum aut terminorum in lineis genera relationum. Ea 
si recte constituta fuerint et ingeniöse, scriptura haec universalis 
aeque erit facilis quam communis, et quae possit sine omni letico 
legi, simulque imbibetur omnium rerum f\indamentalis cogmtro. 
Fiet igitur omnis talis scriptura quasi figuris geometricis, et vehjt 
piciuris, uti olim Aegyptii, hodie Sinenses, verum eorum picturae 
non reducuntnr ad certum Alphabetum seu Hteras, quo fit ut in- 
credil^ili memoriae affl1ctiö)1e opus sit, quod bic tohtt^L e^. Hie 
igitur est Usus XI complexiönüm , in cönstuenda nempe polygra- 



fkSk lurifarsfili. Mino teiso €<>iMtiUiemus juciuidio qUasdaifl partim Ol 

eMil6inpilitiou684 pertUD praxea eix Sehweuteri Deliciis Mathematicis 

H aupflemenUB GL P» Handörfferi, quem librum publice interest 

fiooliiittah, hatt6ta0. P. L secl. I. prop. 32 reperitur numerus com- 

fkiiiötium simpüciter, quem faciuni rea 23, v. g. üterae Alpbabeli, 

neoipa 8386607. P. 2 seot. 4. pr<^. 7 docet dato textu melodiaa 

iATenire, de quo noa infira pi'obl. 6. Haradörfferus parte ead. s.0ct.O2 

10. prop. 25 refert ingeniosum repertum Dni. de Bfelssacv qua nibil 

iHiteat arti aeientiarum complieatoriae aoaommodaiHia re^r^i. la, 

^uaeeunque in ra beiUca attetidere bonos Imperator M^t, i(a colfi- 

pkxua est: faoit clasiea novem, in Ima quaeationea el cirouoialaft- 

ttoa» in Dda atttua« in III. peraonas, in IV. aetiia , in V« finea ^ in 

¥1. inatnunenta eaemiae actiouia, seu quibus uti in noaira potasUte 

ealy fiacere autem ea> non est; VII« instrumenta qua^ 0t fatoioNIs 

et adbibemua; VIII. instrumenta quorum usus conaumtio est; JJji, 

actus iuales seu proiimoa executioni, v. g. 

i. Ab« Cum quo. Ubi. Quando. Quomodo. QuantVBi, 

iL Bellum. Paat. Induciae« CoUoquium. Foedus. Tranaaetio 

8J^atriotae. Subditi* FoederatL Clientes. Neutrales. Hostea. 

4^ Mauere. Cedere. Pugnare. Proficisci. Expeditio. Hyberna. 

6« D^cua. Lttcrum. Obedientia. Honestas. Necessitas. Commoditaa. 

0. SoL Aqua. Ventus, Itinera. Angustiae. Oocasio. 

7.QHraiis« Scalae« Pontes. Ligones. Palae Navea. 

(©^Äuffeln.) 

SPecuaia. ConHneatU8.Pulvi8Torm.GlobiTorffl. EquL Medicamenta. 

9kExoubiaa.Ordo^ Imprassio. Securitas. Agr^sio. Consüia. 

Fiant neyem rotae ex papyro, omues cencentricae et se invi-03 

aam circaittdantas , ita ut q«aelibet reüquis immotis rotari posaii. 

Ita promoia le?iter quaeunque rota nova quaast^, nova complaxio 

prodibit. Verum cum bic inter res ejusdem classis non detur 

aomplexio atque ita accurate loquendo non sit complexio termi- 

nemm cum terminisi sed dassium cum classiUüa, pertinebit 

coDiputatio yariationia ad probl. 3. Quoniam tarnen comptexio 

etian, foae bujus h»ci est, potest repraesentari rotis» ut max di- 

cerous, fecit cognatio, ut praaoccuparemus. Sic igitur inveniemus: 

■uütiplieatur 6 in se novies: 6. 6. 6. 6. 6. 6. 6. 6. ^6. seu 

quaeratur pivgressio geometria aextupla, ci^jus expouens 9, aut cu- 

biaubtta da 6. f. 10077608; tantum superest, ut aint solum 216 

fuaaationeai quod putat Harsdörfferus, Gaeterum quoties in com- 94 

#4* 



plexionibus gingali termini in singuios dncuntur, ibi necesse est 
tot fieri rotas, quot unitates continet numerus rerum : deinde ne- 
cesse est singulis rötis insciibi omnes res. Ita variis rotarum con- 
versionibus complexiones innumerabiles gignentur, eruntque omnes 
compleiiones quasi jam scriptae seorsim, quibus revera scribendis 

95¥ix grandes iibri sufficient. Sic ipsemet doclissimus Harsdörff. P. 
- 13. sect. 4. prop. 5. machinam 5 rotarum concentricarum construxit, 
quam vocat Sünffad^en Denfring bet teutfd^en Sifxa^t, ubi in 
rota intima sunt 48 SSotf^Iben^ in penintima 60 S(nfangd^ unb 
äieimtud^^aben; in media 12 3fiitUU^n<f)^ahtn, vocales nempe vel 
dipbtbongi, in penextima 120 @nb^93ud^{laben, in extima 24 ^a^ 
f)^tben. In has omnes voces germanicas resolvi contendit. Cum 
hie similiter classes sint in classes ducendae, multiplicemus: 48. 
60. 12. 120. 24, factus ex prioribus per sequentem f. 97209600, 
qui est numerus vocum germanicarum hinc orientium utilium seu 

96 significantium et inutilium. Gonstruxit et rotas Raym. Lullius , et 
in Thesauro artis memorativac Job. Henr. Alstedius, cujus rotis, in 
quibus res et quaestiones, adjecta est norma mobilis, in qua loci 
Topici, secundum quos de rebus disseratur, quaestiones proben tur; 
et fraternitas Roseae Crucis in fama sua promittit grandem librum 
titulo Rotae Mundi, in quo omne scibile contineatur. Orbitam 
quandam pietatis, [ut vocat, adjecit suo Yeridico Christiano Job. 
Davidius Sog. J. Ex eodem principio complicationum est Rhabdo- 
logia Neperi, et pensiles illae Serae, bie fBcxkQ^®i}lbf\tt, quae sine 
clave mirabili arte aperiuntur, vocant 3Ra\)U&i)lbjjJitt, nempe super- 
ficies serae armillis tecta est, quasi annulis gyrabilibus, singulis 
annulis literae alphabeti inscriptae sunt. Porro serae certum no- 
men impositum est, v. g. Ursula, Catharina, ad quod nisi casu qui 
nomen ignorat, annulorum gyrator pervenire non potest. At qui 
novit nomen, ita gyrat annulos invicem, ut tandem nomen prodeat, 
seu literae alphabeti datum nomen conficientes sint ex diversis an- 
nulis in eadem* linea, justa serie. Tum demum ubi in tali statu 
annuU erunt, poterit fadllime sera aperiri. Vide de his Seris armil- 
laribus Weckerum in Secretis, Ulustrissimum GdstaYum Selenum in 
Gryptographia fol. 449, Schwenterum in Deliciis sect. 15. prop. 
25. Desinemus Usus problematis 1 et 2 enumerare , cum coroni- 

97dis loco de colorlbus disseruerimus. Harsdörfferus P. 3. Sect. 3. 
prop. 16 ponit colores primos hos 5: Albus, flavus, rubeus, cae- 
ruleus, niger. Eos complicat ita tamen ut extremi : albus et mger, 



nunquam simul coSant Oritur igitur ex AF subalmas, AR earneus 
AG cinereas; FR aureus, FC viridis, FN fuscus; RCparpureus, RN 
subrubeus ; CN subcaeruleus. Sunt igitur 9, quot nempe sunt com2- 
nitiones 5 rerum, demta una, extremorum. Quid vero si tertii ordi* 
nis colores addantur, seu eonSnationes primorum et coni2natioDe8 
secundorum, et ita porro, quanta multitudo exsurget ? Hoc tarnen 
admoneo, ipsos tanquaoi primos suppositos non esse primos, sed 
omnes ex albi et nigri, seu lucis et umbrae mixtione oriri. Ac98 
reoordor legere me, etsi non succurrit autur, nobilem acupictorem 
neseio quem 80 colores contexuisse, vicinosque semper vicinis 
junxisse, ex filis tamen non nisi nigerrimis ac non nisi aibissimis, 
porro varias allernationes alborum nigronimque filonim, etimme*- 
diationes modo plurium alborum, modo plurium nigrorum, varie- 
tatem colorum progenuisse; fila vero singula per se inermi oculo 
invi»büia paene fuisse. Si ita est, fuisset hoc solum experimentum 
satis ad colorum naturam ab ipsis incunabulis repetendam. 

ProbL in. 
DATO NUMERO CLASSRJM ET RERUM IN CLASSIRUS , COM- 

PLEXIONES CLASSIUM INVENIRE. 

,,Complexiones autem classium sunt, quamm exponens cum 1 
numero classium idem est; et qualibet complexione ex qualibet 
„classe res una. Ducatur numerus rerum unius classis in numerum 
„rerum alterius, et si plures sunt, numerus tertiae in factum ex 
„bis, seu semper numerus sequentis in factum ex antecedentibus ; 
„factns ex omnibus continue, erit quaesitum." U$us«hujus proble- 2 
matis fuit tam in usu 6. probl. 1 et 2, ubi modos syllogisticos 
investigabamus, tum in usu 12, ubi et exempla prostant. Hie aliis 
utemnr. Diximus supra, Complexionum doctrinam versari in divi- 
sionem generibus subalternis inveniendis, inveniendis item specie- 
bus unius divisionis , et denique plurium in se invicem ductarum. 
Idque postremum huic Ipco servavimus. Divisionem autem in- 3 
divisionem ducere est unius (divisionis membra alterius membris 
subdividere, quod interdum procedit vice versa, interdum non. 
Interdum omnia membra unius divisionis omnibus alterius subdividi 
possunt, interdum quaedam tantum, aut quibusdam tantum. Si 



vice versa , ita signabimn« A L ^ ; si quaedam tantum, ita : 






M 

f Ö 

. la /d; m quaedMü <|ttibusdani tanCum, ita: A la ? d. Ad no^ 

fb le )b .. e 

stram vero computationfini primiis »altem modus pertinet, in qmo 
exemplum suppetit ex Politieia agregiim. A asto Reapoblica, a 
recUiy b aberrans, qoae est divisio moralis; Honarchia, d Aristo* 
crafia, a Dewoeratia , qua« e$t divisio numerjca: doda difisioBO 
numerica in morakm, orieatuF species mixtae 2 "7 3 f* 6« ac. ad« 

4 ae. bo. bd. be. Hinc origo forraulae hojas : di?isionem in difisio« 
ii«m ducere, manifesta est, ducendus enim numerus speciemm 
uaius in numerum speciemm alterius. Namerum autcm in nume»« 
run duoere est numerum numero multiplieare, et toties ponero 
daium, quot alter habet unitates. Origo est ex geometria, nbi ü 
linea aliam extremitate eontingens ab initio ad finem ipskis mtkr^ 
twr, si cut eam radat, spatium omne, quod oecupabit linea mota, 
constituet figuram quadpangolarem, si ad angulos rectos allepam 
contingit, heQoiurixsg aut quadratum: sin aliter, rhombum aut 
rhomboeides ; si alten aequaüs, quadratum aut rhombum ; sin aliter, 
hnjfofitjmg aut rhomboeides. Hinc et spatium ipaum quAdraogV-* 

Slare facto ex multiplicatione lineae per lineam aequale est. Caete- 
r^m ejusmodi di^i^onibus complicabilüiMs pl^ni sunt Uhri tabularum, 
oriunturque nonmmquam coafusiones ex Qoipmixtione diversanim 
divisionum in unum, quod dividentibus conscientiam in rectam, 
erro^eam» probabilein, scrupujosam, dubiam, factum videtur. INam 
ratione veritatis in rectam et erroaeaip dispescitur, ratione firmita* 
tis in apprehendendo incertam, probabilem» dubiam; quid autem 

6 aliud dubia, quam scrupulosa? Hujus problematis ßtiam proprio 
iQVf stig9tio Varrqnis apud B. Augustinus IIb. i9 de Civ. Dot oap. l, 
nuix^ri sectaruip* circa summum bonum possibilium. Primum igitur 
calculum ejus sqquemur, deinde ad exactius Judicium revQcabimaa. 

TDivisiones sunt VI, Ima quadrimembris, J^da et 6ta trimembris, r^ 
liqi^ae bimembres. VSummum Bonum esse potest vel ValupttUt tqI 
Ir^ißkriQ, vel utraque, vel prifna naturaet 4* D. boruro (j^uodlibot v^l 
pvQpter virtutem expetitur, vqI virtus pvQfter ipsum^ vel et ipp$m 
er virm prapter «c, 4 '^ 3. t 1 S. III. S. ß. aliquis vel tn w qnde- 
rit, v^t in societate 18^?. f. ?4. IV. Opwp apt/pm de S. B. con- 
stat vel appre^^nsione certa, vel probdbili Academiea^ 24 ^^2 f. 
V, 48.Vit9e item genus cymcum fei ctrfhim, 48^2 f. 9%. \L 
Ottosum, negotiosum vel temperatufn^ 96 "^3 f. 288. Haec apud 



55 

B. Augustiaun Varro cap. 1; at c. 2 accuratiorem retro cenaum 
instituit. Divisionem ait 3, 5 et 6 facere ad modam prosequendi, 
4 ad modum apprehendendi S. B. ; corruunt igitur divisiones ultimae 
et varietatea ^76, remaoent 12. Porro capite 3. voluptatem» mdo- 
loriam et utramqua ait contineri in Primis naturae. Remaneat 
igHor 3 (corruunt 9): Prima naturae propter se, virtus propter 
ae, utraque propter se. Postremam autem sententiam et quasi 9 
eribraliione facta in fundo remaneutem amplectitur Varro. Ego in 
bis Dotd, Varrqnein aon tam possibiles sententias colligere voluisse, 
quam eotohraias, hinc axioma ejus : qiii circa summum bonum dif- 
forraut, saota differre ; et contra. Interim dum divisionem instituit, 
non poUiit» quin quasdam aieano^ovq admisceret. Alioqui cur 
diiisiones attulit, quas postea summi boni varietatem non facere 
agnoacit; an ut numero imperitis admirationem' incuteret? Prae- 
tfurea si genera vitae admiscere voluit, cur non plura? nonne alii 
scieBiias aectantur, alii minime; aivi professionem faciunt ex sapi- 
aiiiia, creduntque hac imprimia summum Bonum obtiaeri? Etiam 
boc ad S. B. magni momenti est, in qua quis republica yivat : aKi 
vitooi rusticam urbanae praetulere, suntque genera variatiopum 
inftnita fere, in quibus singulis aliqui fuere, qui bac sola via crs- 
dereoi ad S. B. iri posse. Porro quando prima divisio ducitur in 10 
IiBiutt memybrum secundae, facit 4 species: 1. voluptas« 2. indo^ 
loria, 3, utraque, 4. prima naturae, propter virtutem, cum tarnen 
in Omnibus sit unum summum Bonum, Virtus ; qui prima naturae, 
18 et caetera ; qui voluptatem, is et indoloriam ad virtutem referet. 
Adde quod erat in potestate Varronis, non solum Sidam et 6tam, 
8c4 et 3 et 4 et 5 trimembrem facere, addendo 3tiam speciem, 
samper uixtam ex duabus; ?. g. in se vei in sodetate, vel utraque; 
apfirebeiisiofle certa, probahili, dubia; cynicum, cultum, temperatmai. 
f)mit et sententia, quae negaret dari S. B. coustans, sed faciendumll 
qued cuique veniret in maatem, ad quod ferretur motu puro animi 
et ivn^aetQ. Huc fere Academia nova, et hodiernus Anabaptista- 
tnm EQiiritua inciinabat. Ubi vero illi qui negant in hac yita cul- 
men hoc aecendi posse? quod Solon propter incertitudinem pro- 
BoneiMidi dixit, Ghristiani pUlosopbi ipsa rei natura moü. Valea- 
tuitts Veto Weigeliud nimis enth^siastice , beatitudinam hominis 
mm Deifioationen. Apud illos quoque, quibus ooUocatur beatitudo 12 
ia aetarna Tita, aKi asaerunt, alii negant Visionem substanliae Bei 
beatificiim« Hoc rdamatoa recor4or la««re, et exatat da hoc ari 



06 

• 

gamento dissertatio inter Gisb. Voetii selectas; illud nostros^ ac 
pro hac sententia scripsit Matth. Hoe ab Hoenegg pecaltarem li- 

13 bellum contra Dnom. Budowiz a Büdowa. In hac quoque yita 
omnes illos omisit Varro, qui bonum aliquod externnm, eorum 
quae fortunae esse dicunt, summiim esse supponunt, qnales faisse, 
ipsa Aristotelis recensio indicio est. Corporis bona sane pertinent 
ad prima naturae, sed fieri potest ut aliquis hoc potissimam genas 
▼oluptatis sequatur, aiius aliud. Et bonum animi jam aut habhus 
aut actio est, illud Stoicis, hoc Aristoteli visum. Stoids hodie se 
applicuit accuratus sane vir, Eckardus Leichnerus, Medicus Er- 
phordieusis, tr. de apodictica scholarum reformatione et alfti. 

14 Quin et voluptatem animi pro S. B. habendam censet Laurentius 
Valla in Hb. de Vero Bono, et ejus Apologia ad Eugenium IV, Pon- 
tificem Maximum ; ac P. Gassendus in Ethica Epicuri , idque et 
Aristoteli excidisse Yil. Nic>omach. 12 et 18 observavit Cl. Tboma- 
sius Tab. Phil Pract. XXX. lin. 58. Ad voluptatem animi gloriam, 
id est triumphum animi internum, sua laude sibi placentis^ redudt 
Th. Hobbes initio iibrorum de dve. Fuere qui contemplationem 
actione praeferrent, alii contra, alii utramque aequali loco posuere. 
Breviter qüotquot bonorum imae sunt spedes, quotquot exdUis 
eomplexiones, tot sunt summi boni possibiles sectae numerandae. 

15 Ex hoc ipso problemate origo est numeri personarum in singulis 
gradibus Arboris Consanguinitatis , eum nos, ne nimium a studio- 
rum nostrorum summa divertisse videamur, eruemus. Computio- 

16nemautem, canonica neglecta, civilem sequemur. Duplex persona- 
rum in singulis gradibus enumeratio est, una generalis, altera spe- 
Cialis. In illa sunt tot personae quot diversi flexus cognationis, 
eadem tarnen distantia. Flexus autem cognationis voco ipsa ve- 
lut itinera in arbore consanguinitatis, lineas angulosqne, dumtnodo 
sursum deorsumve, modo in latus itur. In hac non solum flexus 
cognationis varietatem facif, sed et sexus tum intermediarum^ tum 
personae, cujus distantia quaeritur a data. In illa enumeratione 
Patruus, Amita^ id est Patris frater sororve ; Avunculus, Matertera, 
id est Matris frater sororque, habentur pro eadem persona, et 
convenientissime intelliguntur in voce Patrui, quia masculinus dig- 
nior foemininum comprehendit ; sed in enumeratione speciali ha- 
bentur pro 4 diversis personis. Igitur illic cognationes , bic per- 
sonae numerantur (sie tamen ut plures fratres vel plures sorores, 
quia ne sexu quidem variant , pro una utrobique persona habean- 



«i 



tu)*), lila generalis computatio est Caji in 1. 1 et S (qoanquaiA 
specialis nonnunquam mixta est), haec specialis Pauli in grandi 
illa 1. 10. D. de Grad, et Äffinibus. Etsi autem prior fundata est 
in prob. 1 et 2, quia tarnen posterioris fandamentum est, quae 
huc pertinet, praemittemus. Cognatio est formae linea vel linea- 
rum a cognata persona ad datam ductarum, ratione rectitudinis et 
inflexiottis, et harum altemationis. Persona h. 1. est persona datae 
cognationis et dati grados, sexusque tum sui^ tum i9^ermedi(xrutn, 
inter cognatam scilicet et datam. Datum autem voco personam, 
eum eamve, de cujus cognatione quaeritur nt appeliant JCti veteres ; 
Job. Andreae Petrucium nomine sui Bidelli fertur nominasse Fr. 
llottomannus lib. de Gradib. Cognationum, vtzoS'Bxitcov , latine 
ttOfo$itam, Terminus est persona vel cognatio, quae est de con- '^ 
ceptu compiexae, ▼. g. frater est patris fiJiu^. Igitur PaXris et 
Filius sunt termini, ex quibus conceptus Fratris componitur. Ter-- 
inini autem sunt vel primi, tales accurate loquendo sunt hisolum: 
Pater et filius, nos tarnen commodioris computationis causa omnes 
personas lineae rectae vel supra vel infra supponemus pro primis, 
▼el orti: accnrate loquendo omnes qni plus uno gradu remoti 
sunt a dato, laxius tamen, omnes transversales tantum. Omnes 
autem transversales componuntur ex duobus terminis lineae rec^ 
tae; hinc et facillimum prodit artificium data quacunque cognata 
nnmernm gradus complecti, v. g. in simplicissima transversalium 
persona, Fratre seu Patris fiiio, quia pater est in 1, filius etiam 
in gradu 1 + 1 f. 2, in quo est Frater. Caeterum Schemate opus^^ 
est. £sto igitur hoc: 



Gr. Cognationes 


Datus 


Personae Gr. 


1. Patris 2 


Patris FR Filius 


4 Füins 1 


y 


AT 
ER 




2. Afi 3 


1.1. 
Pa- Pa- 
tru- tru- 
us elis 


12 nepos 2 


3- Proavi 4 


2.1. 1.2. 
Patru- Con- Patru*- 
US Mag- sobri- elis 
nus nus parvus 


32pronepos 3 



Qt. Cognatiabe» DaUis Peiwfiaß üif. 

4. Ahaiii 5 3.1. 2.2. 1.3. SftAbofiHH» 4 

Pro- Sufapa- Sulw Pro** 
pa* truus oont^ patriH 
trutts Magnus kinua eUs 

5. Atavi 6 4.1. 3« SL 2.3. 1.4. ISaAtnapoa i 

Ab*- Sub- Prosub* Proaub* Ab«- 
pa<- propa- patmius cobsot patru* 
truus truus Magnus brinua elia 

6. TritaTi 7 5. 1. 4. 2. 3.3. 2.4. 1. i. 44aTrioApaa 6 

*) * Consobnnos seouudus. 

SO Sunt in hoc seheomte infinita propemedom digna «bsierm- 

tione. Nos pauca i^tringemus. Personae eo loco iBtoUigwitur , ubi 
puncta sunt. Numeri puaeta includentea designaot tarminea aaa 
gradus lineae rectae (anteeedena asneudentia, sequcos deaeendeolia) 
ex quibus datus gradus tranayersalis compoaitur. In eadem Uaefi 
transversa directa sunt ejusdem gradus cognationes : oblifiije a auwno 
ad imum dextrorsum ordinem genorationis , at öniflUxM'suoi coHi-. 
plectuntur cognationes homogeneas gradu diffierentea. Linea per* 
pandicuiaris unica a vertice ad basin, triangulum divideoa, contiael 
cognationes, quarum lerminus el ascendens et descendona s^lnt 
ejusdem gradus; tales voco aequäibres, et dantur aolum in gradi*- 

21 bus p^ri numero signatis , in uno non nisi unus. iiam si Utea 
esse fingatur, cujus Irutina sit finea gradus primi» braobia yoro 
sint, dextrum quidem, linea perpendicularis a suAima perstoaia des* 
ceiidentittm; sinislrum vero, pßrpendicularis a smmaa. aacenden^ 
tjum ducta. ad' terminum vel ascendentem vel descendentem da- 
tam cognationem componmitem ; tum braokiis aequalibus, si utrin- 
que 3. 3. aut 2. 2. etc. cognatio erit aequilibris et ponenda in 
medio trianguli ; in inaequalibus» cognatio talis ponenda in eo latere 
quod liußae rectae yel ascendenti vel descendenti, ex qua braclüaai 

221ongius sumtum est, est vicinnin. Hie jam complexionum vis aper- 
tissime relucet. Componuntuv enim omnes personae transversae ex 
2 terminis', una cognatione racta ascendenti, allera descendenti, 
semper aitt^m sie , ut ascendens in casu oblique , detcemkns in 
casu recto conjungantuv, v, g. fpste^, id est patris fUius. At si 
contra, redibit persona data, nam qui patran filii sui nominat, se 
nominat, quia unus pater plures ittos habere potest, non contra. 






Ifai 'bis jaa dfitura pmfo$iio ^^eunqm gradu Mgt»f$kmum, tum 
fmm$rum, tim 9pßiie$ reperire; numerus trans^rsaUin» t«ipp6F 
mü uoilate minor grada (nnmenKi omniiiiii semper unitaU major, 
quia addl debtnt duao eoigDationos iineae reiAae, una sursura, al** 
t«ra deMTsuia) oigus ratio ex lATentiooe speeierwm patebit ^fNam 
„oon2iiatioBes partipin, ebet B^Bn^fl^^ i^ S^^ 3^i(; dati no*- 
y^mtri oujuscuiiqu« spnt tot, qnot unitates babet naoien dati patis 
ryiUmklium, imparit demta unitate dimidium, v. g. 6 babet bas: 
5, ); 4) 2; 3, 9; ejusque rai ratio manifesta est, quia sem^ 
pw Bvmerus anleoedeBft proximua dato cum remotisaiino, poeoe 
„proximus mm paane remotissimo oomplicatur etc." ged cum 
hto noft solum eompt^ioni^, sed et situs babenda ratio f;it, v. g. 
alia eognatio est i, }, nempe Abpatroi, quam i, b, nempe Abp»^ 
tmelis, Udo com 2 res situm rarient 2 ^dlnis, ergo dupKcenlnr 
diseerptiones, redftft qumerss datus si par fuerat; aed cum in eiii& 
discerptionibus detor una homegeoea, y. g. B, 3, in qaa sthü diar 
poiitio mqtat, btne subtrabatpr de namero dato, sea d«iplo diacerp- 
tioimm, iterum 1; si vem Dumems datus fnerat imfiar, redibit 
Muraems umtäte w^m»r. Ex boc maBifcstum est ^eaenaliter: (I) 
Sobtrabatur dß imraero gradus anitas, prodttctum erit numerus oogr 24 
nai^oaom traiiSYersallaiii ; (2) duo numert, qui sihi sunt comple-r 
mmite ad di^um , ^u quorum onus tantum distal ab 1 , quaoium 
altop a dato, complieati dabunt Sfpciem cognationis, ai foidbia 
praeeedens inlelHgaUir significare ascendentem, sequeos descendmUf«) 
fm gradus. Hao oecasione obiter explicandum est, qnne sini daii25 
nnmeri diseerpliones, Qn^jiStm^n, possibiles. Nam omiiefl quidevk 
disosrptiones sunt complexiones , sed oomplexioiwm eae tantojn 
cKscerptiottes sunt, quae sünq} toü sunt aequ^Iea. Iiistigari simi-' 
Uter possunt tum com2Bationes, feum conäDationes, tum disoerptior« 
■es skoplidter, tum dato exponente. Quot factere$ Tel divisores 
ebactos numerus altquis dalus bab^t, seio »olutum. Tulgo. El 
kinoest qued Plato numerum dvium yoluit esse 5(MA^ quia bio 
mm^ua phirimas recipit dlvisiones civium pro offidorum gonrn-i 
bus, nempe 60, lib. 5. de 'Legib. fol. 845. Et boc quidem in 
mttltiplicatione et divisione, ae4 qui ad^tione datum numerum pro- 
docendi ?arietates, et subtractione discerpendi collegerit, quod utrum- 
que eodem recidit, mihi notüs non est. Viam autem collfgendi 
eom2iMitiMies disoaiyticnum MtendnaMS proiume, M ubi plures ^ 
pavtBS adaittantnr, ingttn» pandilur al^asus dis^erptiamni, in qoM, 



Tidemur nobis aliquod fundamentem eonpatandi a^osoere, natt 
semper disoerptiones in 3 partes orittoUir ei dkoerptionilma 10 2, 
praeposita una; exsequi vero hujns lari foiiasae, lemporia autem 

27 noQ est, Caet^um antequam in Ariiore oostra a computatiooe ge- 
nerali ad specialem veniamus, unum hoc admouendum est, Defi- 
nitiones cognationum a nobts assignatas in popolari usu non esse. 
Nam Y. g. Patnium nemo definit avi filium, sed potius patris firatrea. 
Quicunque igitur has definitiones ad populärem efformare morem 
velit, si quidem persona transTersalis ascendit, in termino descen- 
denti loco filii substituat fratrem; nq)otis patnium etc. locoDeseen^ 

27dentem pönal uno gradu minorem; sin desoendit, contra. Nunc 
igitur cum ostendimus cognationes in quolibet gradu, gradus nu- 
mero unitate majores esse, age et personas cognationum numere- 
mus, quae est Speeiäli$ Enumeratio. Diximus autem in eadeiu 
cognatione diversitatem facere tum sexum cognatae, tum interme- 
diarum inter cognatam et datam personarum. Sexus autem duplex 
est. Igitur semper continue numerus personarum est duplicandus, 
T. g. non solum et pater et mater sexu variant, 2, sed iterum 
pater habet patrem vel matrem. Et mater quoque; hinc 4. Avus 
quoque a patre habet patrem vel matrem, et avia a patre, et avus 
a matre aviaque similiter; hinc 8 etc. Igitur regulam colligo: 
„2 ducatur toties in se, quotus est gradus cujus personae quae- 
„runtur, vel quod idem est, quaeratur numerus progressionis geo* 
„metricae duplae, cujus exponens sit numerus gradus. Is ducatur 
„in numerum cognationum dati gradus; productum erit numerus 

28 personarum dati gradus." Et hac methodo eundem numerum perso- 
narum erui, quem Paulus JCtus in d. 1. 10. excepto gradu 5. Gr» I. 
2-^2 f. 4. consentit Paulus d. 1. 10. $. 12. Gr. IL 2'^'2 f.4'^3 f. 12, 
§. 13. Gr. m. 2. 2.2^ f. 8'^4 f. 32, $. 14. Gr. IV. 2. 2. 2. 2 ^ t 
16^ 5 f. 80, $.15, Gr. V. 2. 2. 2. 2. 2^ f. 32"^6 f. 192, dissentit 
Paulus §. 16. et ponit: 184, cujus tamen calculo errorem inesse ne- 
cesse est. Gr. VI. 2. 2. 2. 2. 2. 2 '^ f. 64""7 f. 447 , consentit 
Paulus §. 17. Gr. VII. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2'^f. 128^8 f. 1024, §. fin. la 

Probl. IV. ' 
DATO NUMERO RERÜM, VARIATIONES ORDINIS INVENIRE. 

1 ^,Solutio: Ponantur omnes numeri ab unitate usque ad Nu-> 

„m^iim rerum inclusive in serie naturali, factus ex onmibBs coo* 



tiaae «lit fuMsitum ;" ut esto tabula n > quam ad 24 usque con- 
tiBttarimns. Latus dextruiq habet exponentes, seu numefos rerum, 
<iui hie concidunt; 

Tab. n- 

1 

2 

6 

24 

120 

720 

5040 

40320 

362880 

3628800 

39916800 

. 479001600 

6227020800 

87178291200 

1307874368000 

20922789888000 

355687428096000 

6402373705728000 

121645100408832000 

2432902008176640000 

51090942171709440000 

1 124000727777607680000 

25852016738884976640000 

620448401 733239439360000 

in medio sunt ipsae Variationes. Ad sinistrum posita est differentia 
Tariationnm duarum proximarum , inter quas est posita. Quemad- 
modum exponens in latere dextro, est ratio variationis datae ad 
antecedentem. Ratio solutionis erit manifesta, si demonstraverimus 
Exponmtit dati variationem esse factum ex duetu ipsius in Varia- 
tionen exponentis antecedentis, quod est fundamentura Tabulae n* 



1 
2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 



1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

20 

21 

22 

23 

24 



Ttb. V Ia bttM floem e«to aliud Sdiema ^^ ii to 4 raraift 



A 

• 


b 

• 




c 

• 




d 


B 


• 1 CO 




• 

r 




c 

• 




m 


C 


b 

• 


• 


a 


• 


• 


• 


d 


• 

D 


• 

b 




• 



cd A6CD 24 T«riatioiieB ord|nis ocularilN* expreath 
^^ Puncta significant rem praecedentis Mmm direotte J»- 



pra positam. Metbodom dispoDendi aecuti sumns» ut 
primum quam minimum Tariaretur, doncc paulatim 
omnia. Caeterum quasi limitibus disUnximus Tariatio- 
bc nes «xpMientis anlecedentia ab iis quas superaddit 
sequi&ns. Breviter igitur: Quotiescunque Tarientur 
res datae, ? . g. tres 6 ma^( ; addita uoa praeterea poni 
poteWt servatis Tariationibus prioris numeri jam iniUo, 
jam 2do, jam 3tio, jam ultimo seu 4to loco, seu totiea 
poterit prioribns varie adjungi, quot habet unitates: 
et qUotieaciUMiüe prioribus adjnngetur, priores Taria- 
tiones onines ponet; vel sie: quaelibet res aliqnem 
locum tenebit semel, cum interim reliquae babent va- 
riationem aotecedentem inter se, conf. problem. 7. 
Patet igitur variatiolies priores in exponentem sequen- 
tem ducendas essi.. Theoremata bic observo sequentia : 
(1) omnes numeri variationum sunt pares; (2) om- 
nes VBro quorum exponens est supra 5, in cyphram 
desitiunt, imo in tot cypbras, quoties exponens 5narium 
continet; (9) omnes aummae variationum (id est ag- 
gregata variationum ab 1 aliquousque) sunt impares et 
desitiunt in 3 ab exponente 4 in infinitum; (4) quae- 
cunque variatio antecedens, ut et exponens ejus, omnes 
sequentes variationes metitur; (5) Numeri variationum 
conducunt ad conversionem progressionis aritbmeticae 
in harmonicam. Esto enim progressio arithmetica 1. 
2. 3. 4. 5 convertenda in harmoaicam. Maximi nu- 
meri h. 1. 5 quaeratur variatio: 120; ea dividatur per 
singulos, prodibunt: 120. 60. 40. 30. 24, tennini 
barmonicae progressionis. Per quos si dividatur idem nuiiMrus 
120, numeri progressionis iUius aritbmeticae redibunL (6) Si 
data quaecunque variatio duplicetur , a producto »ubtrahatur factus 
ex ductu proxime antecedentis in suum exponentem, residuum erit 
summa utriusque variationis, v. g. 24'^2 f. 48-^ 6*^3, 18 f. 30 = 
64-24 f. 30. (7) Variatio data ducatur in se, factus dividatur per 
antecedentem, prodibit differentia inter datam et sequentem, v. g. 
6^6 f. 36. _ 2 f. 18 »24— 6 f. 18. Inprimis autem duo baec 



bd 
db 



cb 

cd 
de 

ad 
da 

ac 
ca 

ad 
da 

bd 
db 

ba 
ba 

ca 
ac 

ba 
ab 

bc 
cb 



imtreilia 4b«or«ii)«Ca hob fädle abvia credid^rini. UiHi etsi nwl- 
tiplex est, nobis tarnen danda opera, ne caeteris pn^lematUnis om* 
ma {>ra«i^ipia]BUS. Coin<|ue serias-inprimU applicationes €i>inpleiio- 
Dum doctrinae miscuerimus (saepe enim necesse erat ordinis Ya- 
rieMeft in Complexianes duci), erunt hie pleraque megis jucuodl, 
quam ntilia. igtlar quaerunt, qiioties datae quotcunque personae 5 
ttfit iD6DBae alio »tque alio ordise accumbere possint. Drexelias 
in {%«ithoDte orbis se« de ritii« liaguae p. 8. c 1, uJn de liiigua 
otMsa, ita fobuiam oarrai : Paterfamilias nescio quis 6 ad coeoam 
hosfites invita^naU Hos cum aecuinbeikli tempus esset, ngosi^Utv 
sibi iRtituo deferenies, ita inciepat: quid ? an Stentes cibnm capie^ 
tnos? imo n« sie quidem, quia et stantium necessarius ordo est. 
Nisi desiiHtis,, tum vero ego ?os, ne conqueri possitis, tolies ad 
eoenem Tocabo, quoties variari ordo Tester polest. Hie antequam 
lequeretur, ad calcuios profecto non sederat, ita enim comperisset 
ad 720 vurktio&es (tot enim sünt^^e 6 exponeate^, uti Drcxelius 
illic 12 paginis, et in qualibet pagina 3 columnis et ia «piaUiilt 
colufiina 20 variationibus oculariter monstravit) totidekn coenis 
opus esse; quae etsi coutiauarentur, 720 dies, id est 10 supra 
bieniiiuiti absümenU Harsdörfferus Dalic. Matth. p. 2. sect. 1. prop. 6 
32 hospites ponit 7; ita Y«*iationes, coenae, dies erunt 5040, id 
6S€ ant» 14 sepiimanae 10. At Georg. Heoischius, Medicus Augu- 
gwstattus, Arithmetioae perfectae üb. 7. pag. 399 hospkes vei 
ooAviotores ponit 12; variatiooes, coenae, dies prodeunt 479001600; 
it« abgumentur anni 1312333 et dies 5. Imo si quis in boc et- 
ponente teoCare vellet, quod Drexelius in dimidio ejus effecit, nempe 
Tariatiooes ooikriter experin, annos insumeret 110, deoHo qua- 
drante, et si singulis diebus 12 horis laboraret et liara qualibet 
IdOO yarialiones effisgeret. Pretium operae si Diis placet! Alii, 7 
«t eruditatem ntidae conteroplattanis quasi condireat, .versus ela- 
borarnnl, qui salvo et sensu et metro et rerbis varüs modis ordi* 
Bari posaunt. Tales primus Jul. €aes. Scali^ear lib. 2. Poeticas 
Proteos appellat. Herum alii minus artis habent, plus variataoais, 
M neimpe quo!Mim omnis est a nonosyliabis variatio; alii contra, 
ii> qaibtts temperMara est monosyllaborum caeterorumque. Et 
qaoniam in kk plurimae esse soletit Buitiles Variationen» deqttibus 
proMemate 11 et 12 erit conlemplaiidi locus , de iUis solis nui|c 
dioamtts. Bernbardus Bauhusius, Sodetatis Jesu, Epigrammatnm g 



iosignig artifex, Uli Hexametro Salvatoris nottri ?elul tituloa /40- 
voavkkdßovg complexus est: 

Rex, Dux, Sol, Lex, Lux, Fods, Spes, Pax, Mona, Petra 

CHRISTUS. 
Hunc Eryo. Puleanus Thaumat. Pietät. Y. pag. 107, alüque.ajont 
valiari posse vicibus 362880, sciücet monosyllabas tantum respi- 
cientes, quae 9 ; ego numerum prope decies majoreiD esse arbitror, 
nempe hunc 3628800. Nam accedens decima vox CHRISTUS 
etiam ubique potest poni, dummodo Petra maneat immota, et post 
petram Tel vox Christus vel 2 monosyllaba ponantur. Erunt igitur 
variationes inutiles, quibus post Petram ponitur 1 monosyllaba 
proxime antecedente Petram Christo; id contingit quoties caeterae 
8 monosyllabae sunt variabiles, nempe 40320 mal^t, cum ultima 
possit esse quaecunque ex Ulis, 9. 40320^9 f. 362880 — 3628800 
f. 3265920, qui est numerus utilium versus hujus Bauhusiani ya- 
nriationum. Thomas Lansius ^ero amplius progressus praefatione 
Consultationum tale quid molitus est: 

Lex, Rex, Grex, Res, Spes, Jus, Thua, Sal, Sol (bona), 

Lux, Laus. 
Mars, Mors, Sors, Lis, Vis, Styx, Pus, Nox, Fex (mala)^ 

Crux, Fraus. 
_Hic singuli yersus, quia 11 monosyllabis constant, variari pos- 
sunt Ticibus 39916800. Horum exemplo Job. PLilippus Ebelius 
Giessensis, Scholae Ulmensis quondam Rector, primum hexametrum, 
deinde elegiacum distichon commentus est. lile exstat praefat 
n. 8; hoc, quia et retrocurrit, in ipso opere pag. 2 Versuum Pa- 
lindromoruni, quos in unum fasciculum coUectos Ulmae anno 1623 
in 12mo edidit. Hexameter ita habet: 

DIs, Vis, LIs, LaUs, fraUs, stirps, frons, Mars, regnat In orbe. 
Ubi eadem opera annus quo et composilus est, et verissimus 
erat, a Christo nato 1620fflus, exprimitur. Cujus cum monosyllabae 
sint 8, 40320 variationes necesse est nasci. At Distichon ad Sal- 
▼atorem tale est: 

Dux mihi tu, mihi lu Lux, tu Lex, Jesule, tu Rex: 
Jesule tu Pax, tu Fax mihi, tu mihi Vox. 
Variationes ita computabimus : tituli Salvatoris fiovoavXlaßoL sunt 
7; hi inter se variantur 5040 vicibus. Cumque singulis adjecta 
Sit vox Tu, quae cum titulo suo variatur 2 vicibus, quia jam ante, 
jam post poni potest, idque. contingat vicibus Septem, ducatur 



65 

2 nartus septies m se, 2. 2. 2. 2. 2. 2^2 |f. 128 seu Bissur- 
desolidum de 2, factus ducatur in 5040^^128 f. 645120; pro- 
ductüm erit Quaesitum. Hos inter Domen suum voluit et Job. 
Bapt Ricciolas legi , ut alieniori in opere Poetica facultas profes- 
fioris quondam sui tanto clarius reluceret Symbola ejus Almagest. 12 
nov. P. 1. lib. 6. c. 6, Scholio 1, fol. 413 talis: 

Hoc metri tibi en me nunc hie, Thety, Protea sacro: 

Sum Stryx, Glis, Grus, Sphynx, Mus, Lynx, Sus, Bos, 

Caper et Hydrus. 
cujus 9 moDosyllabae variantur 362880 vicibus. Si loco postre- 
maram Tocum : et Hydrus , substituisset monosyllabas , v. g. Lar, 
Grex, ascendisset ad Lansianas varietates. Hie admonere cogor, 
ne me quoque contagio criminis corripiat, primam in Tbety correptam 
non legi. Et succurrit opportune Virgilianus ille, Georg, lib. 1. 
▼• 31 : 

Teque sibi generum Thetys emat omnibus undis. 
Nam alia Thetys, Oceani Regina, Nerei conjux; alia Thetys, nym- 
pha marina vilis, Peleo mortali nupta, Achillis parens, nee digna 
cui se Proteus sacret. Ea sane corripitur: 

Yecta est frenato caerula pisce Thetys. 
Caeterum Ricciolus Scaligerum imitari voluit, utriusque enim de 
Proteo Proteus est Hujus autem iste: 

Perfide sperasti divos te fallere Proteu. 
De cujus variationibus infra probl. fin. Nc; vero Germani inferiores 
▼iderentur, elaborandum sibi Harsdörfferus esse duxit, cujus Delic. 
Math. P. 3. sect. 1. prop. 14 distichon exstat: 

®^r, Äuttfi, ®cü, ®ut^, 8ob, SBeib unb Äinb 

SRan ^ot, fud^t, fel^ft, ^offt unb üerfd^winb. 

Cujus 11 monosyllaba habent variationes 39916800. Tantum de 
▼ersibus. Quanquam autem et Anagrammata huc pertinent, quae 
nihil sunt aliud, quam variationes utiles literarum datae orationis> 
nolamus tarnen vulgi scrinia compilare. Unum e literaria re Yell4 
dissensu computantium quaeri dignum est: quoties situs literarum 
in alphabeto sit variabilis. Clav. Com. in Sphaer. Job. de Sacro 
Bosco cap. 1. pag. 36. 23 literarum linguae latinae dicit variatio- 
nes esse 25852016738884976640000, cui nostra assentitur com- 
putatio; 24 literarum Germanicae linguae variationes Laurember- 
gius assignavit 620448397827051993, Erycius Puteamus dicto 
libeUo, 62044801733239439360000, at Henricus ab Elten: 
V, ö 



fia04^Si93438860613»60000,oiDnes justo pauciores. Miineni9T<«rui, 
ut in tabuh n» manifesfum, est hie: 620448401733239439360000. 
Qmne8 in eo coDveniunt, quod numeri initales sint 620448. Pute«* 
neae oomputatjouis error non mentis, sed calami vel typorom ess« 
yidetur, nihil aliud enim, quam loco Tino numerus 4 est omissus« 
15 (Aliud autem sunt variationes, aliud numerus vocum ex dati^ lit^9 
pomponibiliuro. Quae enim voj^ 23 literarum e^t? Imo quanta- 
cunque sit, inveniantur onines con^plexiones 23 rerun), in singulas 
ducantur variationes suae juxta probl. 2 num. 59, productum erit 
numerus omnium vocum nullam literam repetitam habentium. At 
babentes reperire docebit problema 6.) Porro tantu9 hie niiai«rii9 
est, ut, etsi totus globus terraqueus solidus circumquaque e«set, 
fit quilibel spatiolo homo insisteret, et quotannis, imo singulis boris 
morerentur omnes surrogatis novis, summa, omnium ab initio 
mundi ad finem usque multum abfutura sit, ut ait Harsdörff. d. .L 
16Hegiam Olyntbium Graecum dudum eensuisse. His contemplatio- 
nibus cum nuper amicus quidam objiceret, ita seqni, ut Über 0S9e 
possit, iß quo omnia scripta scribendaque inveniantur, tum ego: 
et fateor, inquam, sed legenü grandi omnino fulcro opus est, a€ 
vereor ne orbem terranvn opprimat. Pulpitum tarnen commodius 
aon inveneris cornibus anipaalis illius, quo Muhamed in co^um 
vectus arcana rerum exploravit, quorum magnitudinem et diatanr 
ITtiam Alcorani oracula dudum tradiderunt. Vocum oinnium ex 
paucis literis orientium exemplo ad declarandam originem rerusi 
ex atomis usus est ex doctrina Democriti ipse Aristot. 1. de (ieii. 
et Corr. text. 5. et illustrius lib. 1. Metaph. c. 4* ubi ait ex De- 
mocrito , Atoiaos differa oxi^f^ctvt^y id est figura, uti literas A et N ; 
'd'iaei, id est situ, uti literas N et Z, si enim a latere a^icias, altera 
IQ alteram commulabilur; Ta|£^, id est ordine, v. g. Syllabae hJS 
et NA. Lucret. quoque lib. 2 ita canit: 

Quin etiam refert nostris in versibus ipsia 

C^m quibus (complemanes) et qnaU sint ordinii (mriaiw 

$itU8) quaeque locata 
Namque eadem coelunx, mare, terras, flumina, Solem 
Signi&cant: eadem fruges, arbusta, animantes: 
§i non omnia sint, at multo maxima pars est 
C^n^^nilis ; verum po$itura discrepitant haec. 
SiQ ipsis^ in rebus item jam materiai 
Intorvallai viae» connexue, pondera, plagae, 



m 

GofacOrsofi, MotuS) orda^ poaitura figürä 

CuiB permaUntur, mütari r^s quoque debent. 
EtLacUnt. DiTia. Jnst lib. 3. c. 19. pag. tn. 163: Yar(o, inqw^ 
{EjfHUrus)y ätdi»€ at fOsHione cQiweniunt at^mi sicut iiterae, 
jMai cum sau fimcat^ värii tarnen coUoeatM innumerahilia •erftn 
eonficiunt Add. Pet. Gassend. Com. in lib. 10. Laertii dd. Lu^dsoi 
aoDO 1649 fol. 227, et Job. Cbrysost. Magnen. Democrit. redivivo 
Disp. 2 de Atomis c. 4. prop. 32. p. ä69. Denique ad banc Ute- 18 
nuram transpositionem pertinet ladierum illiHl docendi genus, cüjud 
mmninit Hieronymos ad Paulinatn tesserarum usu litef a^ #yilaba9que 
puarolis imprimeos. Id Harsdörilierus ita erdinat Driic« Mitb. F. 2* 
ac6t 13. prop. 3 : sunt 6 cubi , quiUbet cubus ate ktemim sdt, 
eraotqae inscribenda 36, baec nenipe : 1. (u e* i o« it* ff* Ui 6* 4* 

^ ff* ^ fd^* (ff* }* Alphabetum autem iusus unius t^sdrad, jfcyllabail 
(M Säd^j^abixm) duarom docebit: inde paulaütn Vo«es oi^kntnr. 

Protl. V. 
DATO NUMERO RERUM, VARUTIONEM SITUS MfiRE RELATI 

SEÜ VICINITATIS INVENIRE. 

,«Qiiaeraitur Variatio situs absolutio seu ordinis, de niunero 1 
0ffflnioi unitate miBori quam est datus, juxta probL 4^ quod in?«- 
^eiur in l>ab. t\ «rit quaeshuni.'' Ratio solutionis manifesta äsl ^ 
ei fiebfSBlite l? quo rationem fielutioAis prohlematis praeaed^ntis 
dabanit», t. g* in variationibus Ticinitatis, varistiones bae: Abed« 
B«da. Cdab. Dabo, babentür pro una, Yolut in eirculo scripta. £t 
ita siBiftiiteir de oaetfiris ; omnes igilvr ittaö 24 rariaiiottea divi*^ 
dsnda» gant pet ilun^rum rerüin, qm boo lo<to est 4, prodifait 
lariaüo ordiina de numero rerutii Antetedeoti^ neinpeö. Finge tibi 3 
kqrpooMBtBin rotiHidum in omnes 4 piagas januas habens, et in 
medio pösitam fflensani (quo caan qais sit locus iNHioratiasimtld 
ditywtat Sefa#enter, et piro janua orientem speotaule decidit, e ou^ , 
ja» rcgione «ollocandus sit konoratissiinii» baspea. Delic< Math, 
sect. VII. prop. 28.) atqse ita boapitum «tum variari oa^ prkn- 
ritalis posterioritatisque considacatione remota. Sic obiter aliquid 4 
de Circulo in demonalcatione petfecta dicemus. Ejua cum omnes 
Propositiones- aint convertibika ^ pvodibunt sjtUdgismi sex, circuli 
tres. Ut esto damofisftati«: L&s ratioMtk est dooile« 0. homo est 
rationalis. E. 0. >]iodu» est diaaili»^ li 0. bottio esl daeitis. 0. ra- 



rationale ^st homo. E. 0. rationale est docile. 2. III. 0. homo est 
rationalis. 0« docile est homo. E. 0. docile est rationale. IV. 0. 
docile est rationale. 0. homo est docilis. E. 0. homo est rationalis. 
3. V. 0. homo est docilis. 0. rationale est homo. E. 0. rationale 
* est docile. VI. 0. rationale est docile. 0. homo est rationalis. E. 0. 
homo est docilis. 

Probl. VI. 
DATO NUMERO RERÜM VARIANDARUM, QUARUM ALIQUA VEL 
ALIQUAE REPETUNTUR, VARIATIONEM ORDINFS INVENIRE. 

.^ 1 „Numerentur res simplices et ex iisdem repetitis semper una 

„tantum, et ducantur in variationem numeri numero variationam 

dato unitate minoris; productum erit quaesitum.'* Y. g. sint sex: 

a. b. G. G. d. e, sunt simplices 4 + 1 (duo illa c habentur pro 1) 

f. 5^120 (120 autem sunt variatio numeri 5 antecedentis da- 

2 tum 6) f. 600. Ratio manifesta est, si quis intueatur schema l; 

corruent enim omnes variationes, quibus data res pro se ipsa po- 

3nitur. Usum nunc monstrabimus. Esto propositum: dato textu 

omnes melodias possibiles invenire. Id Harsdöriferus quoque Delic. 

Math. sect. 4. prop. 7. tentavit. Sed ille in textu 5 syllabarum 

melodias possibiles non nisi 120 esse putat, solas i^ariationes or- 

dinis intuitus. At uobis necessarium videtur etiam complexiones 

4adhibere, ut nunc apparebit. Sed allius ordiemur: Textus est Tel 

Simplex, vel compositus. Compositum voco in lineas, 9ielm)eUen, 

distinctum. Et compositi textus variationem discemus melodiis sim- 

plicium in se continue ductis per probl. 3. Textus simplex vd 

excedit 6 syllabas, vel non excedit. Ea differentia propterea ne- 

cessaria est, quia 6 sunt voces : Ut, Re, Mi, Fa, Sol, La (ut omittam 

7 mam : Bi, quam addidit Eryc. Puteanus in Musathena). Si non 

5 excedit, aut sex syllabarum, aut minor est. Nos in exemplum de 

Textu hexasyllabico ratiocinabimur, poterit harum rerum intelligens 

, idem in quocunque praestare. Caeterum in omnibus plusquam 

hexasyllabicis necesse est vocum repetitionem esse. Porro in textu 

hexasyllabico capila variationum sunt haec: 

I. ut re mi fa sol la Variatio ordinis est ... . 720 

IL ut ut re mi fa sol Variatio ordinis est 

720—120 f. 600. Non solum autem ut, sed 

et quaelibet 6 vocum potest repeti 2 ma^(, 

ergo 6^^600 f. 3600 ; et reliquarum 5 vocum 



semper 5 ma\)l, aliae 4 possunt poDi post 
ut ut, nempe: re, mi, fa, sol. re, mi, fa, la, 
re, mi, sol, la. re, fa, sol, la. mi, fa, sol, la ; 

seu 5 reshabent 5 con4Dationes: S'^SßOO f. 18000 

III. ut ut re re mi fa, 480^15 f. 7200^6 t 43200 

IV. ut ut re re mi mi, 360^20 f. 7200 

V. ut ut ut re mi fa, 360^^6 f. 2160^20 f. 43200 
VI. ut ut ut re re mi, 360"^6^5'^4 f. .... 43200 
Vn. ut ut ut re re re, 240^^15 f. 3600 

Vni. ut ut ut ut re mi, 360^6^10 f ...:.. . 21600 

IX. ut ut ut ut re re, 240'^6^5 f. 7200 • 

Summa 187920 

Quid vero si septimam' vocem Puteani Si, si pausas, si inaequali- 6 
tatem celeritatis in notis, si alios characteres musicos adhibeamus 
computationi, si ad teitus plurium syllabarum quam 6, si ad com- 
positos progrediamur, quantum erit mare melodiarum, quarum 
pleraeque aliquo casu utiles esse possint? Admonet nos viünitas 7 
rerum, posse cujuslibet generis carminum possibiles species seu 
flexus, et quasi Melodias inveniri, quae nescio an cuiquam hacte- 
Dus vel tentare in mentem venerit. Age in 'Hexametro conemur 
Cum bexametro sex sint pedes, in caeteris quidem dactylus spon- 8 
daeusque promiscue babitare possunt, at penultimus non nisi dac- 
tylo, ultimus spondaeo aut trochaeo gaudet Quod igitur 4 priores 
attinet, erunt vel meri dactyli: 1, vel meri spondaei: 1, vel tres 
dactyli, unus spondaeus, vel contra: 2, vel 2 dactyli, 2 spondaei: 
1, et ubique variatio situs 12, 2+1 f. 3^12 f. 36 + 1 + 1 f. 38. 
In singulis autem bis generibus ultimus versus vel spondaeus 
vel trocbaeus est, 2^38 f. 76. Tot sunt genera hexametri, si 
tantum metrum spectes. Ut taceam varietates, quae ex vocibus g 
veniunt, v. g. quod vel ex monosyllabis vel dissyllabis etc. vel bis 
inter se mixtis constat; quod vox modo cum pede finitur, modo 
facit caesuram eamque varii generis; quod crebrae inlercedunt 
elisiones aut aliquae aut nuilae. Caeterum et multitudine literarum 10 
hexametri differunt, quam in rem exstat Carmen Publilii Porpbyrii 
Optatiani (quem male cum Porphyrie Graeco, philosopbo, Christia- 
norum boste, Caesar Baronius confudit) ad Constantinum Magnum, 
26 versibus heroicis constans, quorum primus est 25 literarum, 
caeteri continue una litera crescunt, usque ad 26tum qui babet 50 ; 



T* 



ita omnes orgMu Musid qp«dMi MprimunU MemiiMre Bieron. ad 
Paalinam, Fir«dciis in Myth., Rab. Maurus, Beda da re metrica. 
Edidit Velserus ex Bibliatbeea au» Augnstae tmm figuris An. 1591. 
Adda da eo Erya. Puteanum in Tkaom. Pietatis lit. N, qui ait hoc 
carmine revocajri ab exilio meruisse; Gerb. Job. Yoatium ayolag. 
de Pait. Latinis v. Optatianua; ita« de Hiatoricia Graecia , L 16. 
Caap. Bartbium CammentarioFo de Laiina Lingua, et Aug. Buch- 
nerum Notis in Hymnura VenantiT FortuMti (qni Tulgo Lactantio 
ascrikitur) de Re&urrect. ad ▼. 20. pag. 27, qui obaerfat Hatame- 
troa äfitttlis, ver&um per medium ductun: Angwto vktor4 etc« 
reguiae organi, jambos anacreonticoa dimetroa omnea ISliteraruaiy 
epitoniis respondere. Versus ipsos, quia ubique obvii non aunt, 
expressimus : 



OD 

s 



ä 



26 

27 

as 

29 
M 

ai 
aa 

33 
M 

35 

3« 

3i7 

38 

4» 
41 

42 
48 



45 
46 

47 



M 



si diviao Metiri Limite Clio 

Una Lege Sui Uno Manantia Fönte 

Aonia Varaua Heroi Jure Manente 

AusuTO Donet Matri FeMcia Text« 

Augen Longo Patiena Exordta Fia0 

Exigno Cttrsu Parvo Graacentia Motu 

Uitma Postremo Dooao Yeatigia Tota 

Asoenaua Jagi Cumulato Limite Chidat 

Uno Bit Spatio Versua Elemaot« Priairis 

Dinumeraoa Cogens Ae<|uati Leg« Retanta 

Parv^a Nimis Longia Et Visu Diisona MuUum 

Terapoire Sub Parili Metri Ratiooibus laden 

DimidiumNumeiroMusis Tarnen AequifHiranteni 

Haec Erit In Varioä Speeies Aptiasinai €antos 

Perque Modos Gradibua Surget Fecuoda Sonoris 

Aere Cairo Et Tereti Calamia Craae^tibns A«cUi 

Quia Bene Soppositis Qtiadratis Ordine Pieetria 

Artificis ManHs Jnnomepos Clauditque Aperitq^e 

Spirameßta Pirobana Placitis BenaConsoiia Rytbmiti 

Sub Quibus Unda Lalena Properantibus Indta Yentia 

Quaa Yictbaa CreJuris lui^num Labor Haud SiU Discora 

Hino Atque Hinc Auiiaaeque Agitast Augetqae Relnctana 

Compositum Ad Numeros Propriumque Ad Cairmina Praestat 

Quodque Queat Minimum Admotom fütremeföctaFrequentieF 

Pljectra Ada^ertai Secfiii Apit Piacitaa Rena* Gbmdere Gantus 

Jiimque Metoo Et^thmisi FraaatnngareQuioquid Ubiqua Eat 



VI 



M Post m^irticrs labores, 
4^ Et Cae$aratn parented 

27 Yirtutfbus, per orbenfi 

28 Tot laui^^d^ tkentes, 

29 Et Frincipis trophaea ; 
90 Felicibus trlomphis 
81 Exdoltat omnk aetas, 
^ Urbcteqne filore grato 

33 Et fr^mdibus deeoris 

34 TotT« tifent ptateis. 
^ ffiHG ofdo veste clara 
M lA purpuris bonorum 
87 Fau^o preeantur ore, 



38 Fetuntque donli laeti. 

39 Jam Roma calm^ oifbin 

49 Dat munera 6t Corona« 

41 Atiro fer6ns ccmi^as 

42 YktoriiFS triumpbiB« 

43 Yotaqu^ jam theatris 

44 Redduntur et Chor^». 

45 Me sors iniqua laetis 

46 Solemnibus remotmn 

47 Vix haec sonare siTit 

48 Tot Vota fronte Pboebi 
4t Yersnque comta sola, 

50 Angosta rite seclis. 



Et qtfi&As ttmUa circa scripturam Yeterum obserVari possunt, iB<^ 
prifil^is^ BipMhoBgam JE daabus literk exprimi solitam; qui taMeb 
mos Rott ^t, cuf rationem rincat, tmius enim soni trna litera esM 
Mk^t Seid de böc Optaftiano vel proptdrea fusius diximus; ut infiit 
dicenda pi'a^ccüparenlu«, Ubi terius Pröteos ab eo oompodtos afle^ 
gabimus. 

Probl. Vn. 
DATO CAPITE, VARIATIONES REPERIRE. 

Hoc in complexionibus solvimus supra. De situs variationibus 1 
nunc. Sunt autem diversi casus. Caput enim Yariationis hujus aut 
constat una re, aut pluribus : si una, ea vel monadica est, vel dantur 
inter Res (variandas) alia aut aliae ipsi bomogeneae. Sin pluribus 
constat, tum vel intra caput dantur invicem bomogeneae, vel non, item 
extriiisecae quaedam intrinsecis bomogeneae sunt, vel non. „Primum 2 
ril^r capite variationis fixo manente, numerentur res extrinsecae, 
^t quaeratur variatio earum inter se (et si sint discontiguae seu 
,^put infier eas ponatur) praeciso capite, per prob. 4, productum 
„vooeUur A. Si captH multiplicabile non est, seu neque pluribus 
„rebus constat, et una ejus res non babet bomogeneam, |7ro({tec^m 
„.4 erit quaesitum. Sin caput est multiplicabile, et constat 1 re 3 
„babente bomogeneam, productum A multiplicetur numero bomo- 
„genearum aeque in illo capite ponibilium, et f actus ertt quaesitum. 
„Si viero cäfput constat pluribus rebus , quaeratur variatio earum 4 
„mta(^ se (elsf sint discontiguae läeu res extriDsecae interponatitul')^ 



„per probl. 4« ea ducatur ia productum A, quodque ita producitiir, 
„dicemus B. Jam si res capitis nullam habet homogeneam extra 

5 „Caput, productum B erit quaesitum, Si res capitis habet homoge- 
„neam tantum extra caput, non vero intra, productum B multipli- 
„cetur numero rerum homogenearum, si saepius sunt homogeneae, 
„factus ex numero homogeuearum priorum multiplicetur numero 
„homogenearum posteriorum continue, et facttis erit quaesitum. 

6 „Sin res capitis habet homogeneam intra caput et extra, numeren- 
„tur primo res homogeneae intrinsecae et extrinsecae simul, et sup- 
„ponantur pro Numero complicando ; deinde res datae homogeneae 
„tantum intra caput supponantur pro exponente. Dato igitur nu- 
,,mero et exponente quaeratur complexio per probl. 1, et si sae- 
„pius contingat homogeneitas, ducantur complexiones in se invicem 
,,continue. Complexio vel factus ex complexionibus ducatur in pro- 

Tductum B, ei factus erit quaesitum*^ Hoc problema casuum mul- 
titudo operosissimum effecit, ejusque nobis solutio multo et labore 
et tempore constitit. Sed aiiter sequentia problemata ex artis 
principiis nemo sohet. In illis igitur usus hujus apparebit. 

Probl. vm. 

VARIATIONES ALTERI DATO CAPITI COMMUNES REPERIRE. 

8 „Utrumque caput ponatur in eandem variationem, quasi esset 
„unum caput compositum (etsi interdum res capitis compositi siiit 
„discontiguae) et indagentur variationes unius capitis compositi per 
„probl. 10) productum erit quaesitum/' 

Probl. IX. 
CAPITA VARIATIONES COMMUNES HABENTIA REPERIRE. 

9 „Si plura capita in variatioue ordinis in eundem locum inci- 
„dunt Tel ex toto vel ex parte, non habenf variationes communes. 2, 
„Si eadem res monadica in plura capita incidit, ea non habent va- 
„riationes communes. Caetera omnia habent variationes communes* 

Probl. X. 
CAPITA VAMATIONUM UTILIUM AÜT INUTILlüM REPERIRE. 

10 Capita in Universum reperire expeditum est. Nam quaelibet 

res per se, aut in quocunqae loco per se, aut cum quacunque' 



alia aliisve, quoounque item loco cum alia aliisve, breviter omnis 
complexjo aut variatio proposita minor et earundem renim, seu quae 
tota in altera continetur, est caput. Methodus autem in disponen- 
dis capitibus utilis, ut a minoribus ad majora progrediamur, quando 
V. g. propositum nobis est omnes variationes oculariter proponere, 
quod Drexelius loco citato, Puteanus et Kleppisius et Reinerus ci- 
tandis factitarunt. Caeterum ntCapita utilia vel inutüia reperian-^H 
twr, adhibenda disciplina est, ad quam res variandae, aut totum 
ex iis compositum pertinet. Regulae ejus inutiiia quidem elident^ 
ttUIia Yero relinquent Ibi videndum, quae cum quibus et quo loco 
conjüngi non possint, item quae simpliciter quo loco poni non possint 
?. g. primö, tertio etc. Inprimis autem primo et ultimo. Deinde 
videndum, quae res potissimum causa sit anomaliae (v. g. in ver« 
sibas hexametris proteis syllabae bre?es). Ea ducenda est per 
omnes caeteras, omnia item loca« si quando autem de pluribus 
idem Judicium est, satis erit in uno tentasse. 

ProbL XL 
VARIATIONES INUTILES REPERIRE. 

,J)uae sunt viae: (1) per prob). 12 hoc modo: Invental2 
„summa variationum utilium et inutilium per probl. 4, subtrahatur 
„summa utilium per probl. 12 viam secundam ; residuum erit quae- 
„situm; (2) absolute tioc modo: Inveniantur capita variationum 
„inutilittm per probl. 10, quaerantur singulorum capitum variatio- 
„nes per probl. 1, si qua capita communes habent variationes per 
„probl. 9, numerus earum inveniatur per probl. 8, et in uno so- 
„lum capitum variationes communes babentium relinquatur, de 
„caeterorum variationibus subtrahatur; aut si hunc laborem subtra- 
„hendi subterfugere velis, initio stalim capita quam maxime com- 
„posita pone, conf. probl. 8; Aggregatum omnium variationum de 
„Omnibus complexionibus, subtractis subtrahendis , erit quaesitum.*' 

ProbL Xn. 
VARIATIONES UTILES REPERIRE. 

Solutio est ut in proxime antecedenti, si haec saltem mutes, IS 
in via 1. loco problem. 12 pone 11 etc. et subtrahatur summa 
inutilium per probl. 11 viam secundam. In via 2. inveniantur 
capita variationum utilium. Caetera ut in probl. proximo. 



Umm PjfoUeiil. 7. 8. 9. 1#. IL 12. 

14 Si cui haec problenata aat ob via aiil inutifia ^cntur, oom 
ad praiiQ soperioram deacenderit, afiud dicet. Barissime enim tu 
natara rernm vel decus patitur, omnea yariatioii«» posattiifea utäes 
0886. Cujus speciiiKm in argumrato minus fortasie frnctuoio, im 

15 exeinplam tarnen maxime illaatri daluri smnus. Diximiia sspra 
Proteos vetms esse pure proteos, id «st in quibus pieraeque vaiia* 
tiones possibiles utiles sunt, ii nioiirum^ qni toti propemodvin 
monosyllabis eonstant; vek misMs , in quibus plurimae ineMum 

16inatiles, quales sunt qui polysyllaba, eaqua brevia eoatiuent. In 
hec g^ere inlet veterea» qui mihi notna ait, tenlafit tale quiddaitt 
idem ille, de quo probl. 6, Publilius Porphyrius Optatianusy est 
Erycins Puteanus Tbanmaie. Piet. lit. N. pag. 93 ex aiüa ejus de 
Constantino versibus hos refept: 

Quem diTUs genuit Constantius Induperator 
Aurea Romanis propagans seeula nato. 
Ex iUis primus est Torpalius, vocibus continue syllaba crescenti* 
bus constans, alter est Proteus seliforaois, si ita loqui fas est: 

Aurea Koiaania propagana deeula nato 

Aurea propagans Romanis seeula nato 

Seeula Romanis propägans aurea nato 

Propagans Romanis aurea seeula nato 

Romanis propagans aurea seeula nato. 
17 Verum plures habet primus ille Virgilianus : 

Tityre tu patulae recubans sub tegmine fägi, 
quem usus propemodum in joeum vertit. Ejus variationes sunt 
hae : pro tu, sub 2, pro putalae, recuhans 2, et Tityre jam initio, 
ut nune, jam tegtnine initio, jam Tityre tegmine Rite, jam tegmine 
Tityre fine, 4 '^ 2 '" 2 f. 16. Verum in Porphyrianaeis non sin- 
guli Protei, sed omnes, neque unus versus, sed earmen totum tau- 
bus plenum admirandum est. Ejusmodi versus eomposituro danda 
ISopera, ut voces eonsonis aut ineipiant aut finiant. Alter qui et 
nomen Protei indidit, est Jul. Gaes. Scaliger, vir si ingenii ferocia 
absit, plane ineomparahilis» Poet. lib. 2. c. . 3Q pag, 185. Is hunc 
composuit, formarum, ut ipse dicit, innumerabilium, ut nos, 64: 

Perfide sperasti divos te fällere Protea. 
Plures non esse faeile inveniet, qui vestigra btijus nostrae eomptr- 
tationis leget; Pro Perfide f allere 2, pro fVofH*», divos, S***^ 
f. 4. SpmtsH diot>8 te habet varisftioncs 6'^ 4t f. 2*. Bhai 



ft+9+3 f. 10^4 f. 404-24' f. 64. ObstrrQvimtts ex YirgiKo 
aeque, imo plus vartabiletn Äen. lib. 1. v. 282: Qum (pro Hi») 
ego nee metas f$rwm nee tempatä p0no. Na« perßdB ma v^x est ; 
quei$ ego in duas discerpi polest. Venio ad in|;eniosu» iiluml9 
Bernhardi Baubusii, Jesuitae Lovaniensis, qoi inter Epigraikiaiala «jus 
exstat^ utque superior, vM. probl. 4, de Christo, ita hie de Maria 
est: 

Tot tibi grnit detes virge, quot sidera coeio. 
Digoum baue pecuKwi opera es»e dwxlt vir dbetiMiiDW Eryciiis 
Fttteatttts fibello, qoem Tliamnü^M Pietatts inserip^it, edito Anlv«r« 
piae anno 1617, forma 4t», eJM>^e Tarialiones utileg oimves etran 
meM a pag. 3 neque »d 66 inctosire, quas autor, etsi lonigim 
porrtgaatar, intra caneelloe numeri 1022 continnit, tnm quod toli^ 
dtfiti wkgo Stellas üumeramt Astronomi, ipsius autem iüetituluin 
est ostemdere dotes no« eese pauciores qown steUae ennt; ttum 
qvod niiDia propenatem ciifa ooines illos evitavil, qm Sure vl^* 
dentnr, toi sidera coelos qiiol Mariae' dotes esse, nani Mwiae döted 
es«» nHilt0 pimres. Eas igftnr Tartetiones m assunisisset (v. g. Qircit 
tibi* sunt dotes virgo, tet sidera ooisii») totMem, »einpe 1622 alios 
versus pMtttfc m pro qnot, et conifa, emereuros fiiisse maoi'- 
fastafli est. Hoc vero etiam in praefetion« Puteanas annolatpag. 12; 
iolardiiai neu sidura tantum, sed et dotes coelo adkaerere, ot oee^ 
kstee esse inldligamfis, t. g. 

Tot tibi sunt coeio doles, quot sidera- rirgo. 
Praelerea ad varwläo»e«) rnuituiii' fe«it, qiiod ultimae in Vtrgo 
et IVftt anibigui quasi eensvef et corripi et produci palmnlurr qnod 
artificium quoque infhl in ftaumiaDe i]hi> slngtilari observabimus. 
Meminit poiro^ Thaumatunt svorun» et Protei BaiiHusiani aliquoties 20 
PoCeonus in apparatim Epistolaruni cent. I. ep. 49 et 57 ad Gis- 
bertam Baubusium, Beniardi Pimrem; add. el ep. ^K 52. 5^. M 
ibid. Editionen! autem barum epistekarw» liaiteo in 12. Amstdb- 
dami anno 1647; naln ki editioiie e|)istolarum itt 4tOy quia jan 
an*o 1612 prodiit, frustva qtiaeres. €a«ttenuii Job. Bapt. Ricciol. 21 
itteag. nov. P. L Fib. 6. c. 6. sehoh K C. 413^ peeeate ftvr^fiö- 
tUKip Versus Banbitsianf Poteanmir autorem praedicavit bi^ verbis : 
pukuiam f>0ra reftis et«^ opinia a Ptolemaeo ttsfue prepagata, Stel- 
las omn«9 esse ISBä, fir^ius Puteanus pietutis et ingenii sm md- 
Hktnentwm paMieri$ rdiquit, iüo artificiosissimo carmine, Tot tihu 



elc. qui tarnen non «utor, sed commentator commeDdatorque est 
22Denique similem prorsus versum in Ovidio, levissima mutatione, 
obgenravimuB hunc Hetam. XIL fab. 7. ▼• 594: 

Det mihi se, faxo triplid quid cuspide possim 
Sentiat etc. 
Ig talis fiet: 

Det mihi ge faxo trina quid cuspide possim. 
23 Nam etiam ultima in mihi et faxo ancepg egt. Exstat in eodem 
genere Georg. Kleppigii» nostratig Poetae laureati, versug hie: 

Dant tria jam Dregdae, ceu gol dat^ lumina locem, 
cujug variationeg peculiari libro enumeravit 1617 ; occasionem dedere 
treg goleg, qui anno 1617 in coelo fubere, quo tempore Dregdae 
convenerant treg goleg terrestres ex Augtriaca domo : Matthiag Impe- 
rator, Ferdinandug Rex Bohemiae, et Maximiiianus Archidux, supre* 
mug ordinig Teutonici Magister. Libellum iUig dedicatum titulo 
Protei Poetici eodem anno edidit, quem variationum numerus sig- 
24nat. Omnino vero plureg gunt variationeg quam 1617, quod ipse 
tacite confitetur autor, dum in fine inter Errata ita se praemunit: 
fieri potuigge, ut in tanta muititudine aliquem big posuerit, gap* 
plendis igitur lacunig novog aliquot ponit quog certug ait nondum 
habuisse. Nos ut aliquam praxin proximorum, problematum exhi- 
beamus, variationeg omnes utileg compulabimus. Id gic fiet, gi 
inveniemus omneg inutileg. Capita variationum expressimus nötig 
quantitatis, sie tarnen ut pro pluribus transpogitig unum agsumse- 

rimus, v. g. . — . — .v_^^_^. etiam continet hoc: — . . 

-^ '^^^^ etc. Punctis designamus et includiroug unam vocem. 
25 Summa omnium variationum utilium et inutilium . . 362880 

Catalogug Variationum Jnutilium : 
1. ww. y. g. tria dant jam Dregdae ceu sol dat lu- 
mina lucem 40320 

2. .ww. Dresdae tria dant jam ceu sol etc. 10080 

3. — . — .ww. dant Jam tria. 14400 

4. . — . — .ww. Dresdae dant jam tria. 28800 

5. . .ww. Dresdae lucem tria, 1440 

6. — . — . — . — . ^w. dant jam ceu sol tria, 2880 

7. . . — . — , vw>w. Dresdae lucem ceu sol tria. 28800 

8. . — . — . — . — .^w. Dresdae dant jam ceu sol tria 7200 

9. . , — . — . — . — .wv-/. Dresdae lucem dant 

jam ceu sol^ tria 7200 



ff 

10. ia fioe w w. V. g. tria 40320 
Summa variationum ob vocem Tria inutflium, quae 26 

eiacte cimstituit dimidium summae Variatio- 

nam possibilium 181440 

11. ab iniiio: — . — s^v^. dant lumina 1800 

12. — . . — vw' w . dant Dresdae lumina. 9600 

13. — . — , — . — wN-^. dant jam eeu lumina. 4320 

14. — . — . — . — . — . — w«^ . dant jam ceu sol dat lumina. 240 

15. — . . . — v«^w. dant Dresdae lucem lumina. 2 160 

16. — . — . — , . — ww dant jam ceu lucem lumina. 5760 

17. — . — . — . — . — . . — >^v^. dant ceu jam sol dat 

lucem lumina. 

18. — . — .— -. . . — >^^^, dant ceu jam Dres- 

dae lucem lumina. 1200 

19. — . — . — . — . — , . . — Nw'Nw/ . dant ceu jam 

sol dat lucem Dresdae lumina. 

20. fine — w w. V. g. lumina 11620 

Summa yariationum ob solam yocem 27 

Lumina inutilium 52000 



21. ubicunque: — ww.ww. lumina tria. 40320 

22. — -->w/. — <^^>^. lumina Dresdae tria. 14440 

23. — »^w. — . — .s^w. lumina ceu jam tria. 4800 

24. — ^ww. — . — . — . — .w^--'. lumina ceu jam sol 

dat tria 1440 

25. — _N-^. . .ww. lumina Dresdae lucem tria 480 

26. — WSW — . — . .>^s^. lumina ceu jam Dresdae 

tria 4800 

27. — ^^^. — . — . . .^^^. lumina ceu jam 

Dresdae lucem tria 4080 

23. — Nw'>^^. — . — . — . — . .^s^. lumina ceu jam 

dat sol lucem tria 532 

29. — ^^sw.. — . — . — . — . ,^^>^. lumina ceu jam 

dat sol lucem Dresdae tria. 2978 



Summa variationum inut. ob complicationem 28 

Lumina et Tria, iUo praeposito. . . . 59870 

30. — .WN^, — . — .ww. dant tria jam lumina. 2400 

31. — .ww.— . . — ww. dant tria jam Dresdae 

lumina. 8840 



33. — . N^^w/ .•*^.-— .— .^-'-^. — 'w'x^. datU tfiü jqm 

€0H ml Imam hmma 5760 
84« - — .V— ^s^.. — . — . — • — -.-* , «^^ — *- , — i«^**^ . düuttvin 

jam eeu $qI hmem Dresiae hmimä 936f 

Summa varrationum inot. ob complic. Tria 

et Lumina, )llo praeposito 22800 

59870 

52900 

181440 

Summa summarum Var. inut. . . . 317010 
subtrahatur de summa universali . . 362880 
remanet 
29 Summa utilium variationum versus Kleppisü 

admissis spondaicis . . . 45870 
Spondaicos reliquimus ne laborem compu- 
tandi augeremus, quot tamen iuter omoes 
variationes utiles et inuUles exislant spon- 
daici, sie invenio: 

1. si in üne ponitur — . — •— ^. v. g. dant lucem 100800 

2. '. . t. g. Dresdae hicem 1 0080 

3. — . — . — . y. g. dant seu sol 43200 

Summa omnium spondaicorum util. et inut. . . . 154080 
30Ex8tat praeterea versus nobilissimi bereis Caroli a Goldstein: 
Ars non est tales bene struetos scribere versus, 
in arte sibi neganda artificiosus, qui 1644 yariationes continere 
dicitur. Äemulatione herum, Kleppisü inprimis, prodiit Henr. R«i- 
merus Lüneburgensis, Scholae patriae ad D. Johannis Collega, 
Proteo instructus tali: 

Daple Chrlste Urbl bona paX sIt teMpore nostro. 
qui idem annum 1619, quo omnes ejus variationes uno libello in 12. 
31Hamburgieditoinclusi prodierunt, continet. Laboriosissimus quoque 
Daumius, vir in omni genere pöematum exercitatus, nee hoc qui- 
dem intentatun) yoluit a se relinqui. Nihil de ^jas copia dicam, 
qua idem termillies ^er carmine dixit (hit eiitm non alia verba, 
aed eorundem veKtwiim aHus ^rcte esse debet) qiied ia ha« san- 
tentia : fiaC jttstiU^ aut ffereal mundiis^ YertiuBno poetico Cygneae 
iBM 1646. 8. edito praeüStitit. Hoc saltem adverto, quod et aatori 



annotatum, in Millenario 1. num. 219 et 220 Tersus Proteos esse. 
Hi sunt igitur: 

V. 219. Aut absint vis, fraus, ac jus ades, aut cadat aether. 

V. 220. Vis, fraus, lis absint, aequum gerat, aut ruat orbis. 
Nacti vero nuper sumus, ipso communicante, alium ejus versum32 
inyento sane publice legi digno, quem merito plus quam Protea 
dicas, neque enim in idem tantum, sed alia plurima carminis ge- 
nera . convertitur. Verba enim baec: alme (sc. Deus) mactus Pe- 
trus (sponsus) Sit lucro duplo; varie transposita dant Alcaicos 8, 
Phaleucios 8, Sapphicos 14, Arcbilochios 42, in quibus omnibus 
intercedit elisio. At vero sine elisione facit pentametros 82, Jam- 
bicos senarios tantum 20, Scazontes tantum 22, Scazontes et Jam- 
bos simui 44 (et ita Jambos omnes 64, Scazontes omnes 66) ; si 
syllabam addas fit Hexameter, v. g. 

Fac duplo Petrus lucro sit mactus, o alme! 
variabilis versibus 480. Caeterum artificii magna pars in eo con-33 
sistit, quod plurimae syllabae, ut prima in duplo, Petrus, lucro, sunt 
ancipites. Elisio autem eflficit, ut eadem verba, diversa genera car- 
minis syllabis se excedentia efficiant. Alium jam ante anno 1655 
dederat, sed variationum partiorem, nempe Alcaicum hunc: 

Faustum alma sponsis da Trias o torum ! 
convertibilem in Phaleucios 4, Sapphicos 5, Pentametros 8, Ar- 
cbilochios 8, Jambicos senarios 14, Scazontes 16. 

Sed jam tempus equum spumantia solvere coUa : 34 

si quis tamen prolixitatem nostram damnat, is vereor, ne cum ad 
praxin ventum erit, idem versa fortuna de brevitate conqueratur. 



DE 



aUADRATURA ARITHAfETICA 



CmCDU. ELLIPSEOS ET HTPERBOLAE 



¥• 



imbiiiz hat zu jeder Zeit offen bekannt, dass er erst vrsbrend 
times Attfenthaltes in Paria in den Jahren 1672 bis 1676 die bö- 
here Mathematik, durch Hugens dazu ermuntert und angeleitet, zu 
stüdiren begonnen habe. Er vertiefte sich in die Cartesianisehe Geo* 
metrie, die er bisher nur sehr oberflächlich kannte; besonders aber 
erregte die Synopsis Geometrica des Honoratus Fabri, die Schriften 
des Gregorhis a S. Vincentio, die Briefe Pascai's über die Gycloide 
iteine Anfoierksanikeit : sie eröffneten ihm das bis dahin ganz un- 
Mianiite Gebiet der höheren Mathematik und machten ihn mit den 
damals üblichen Methoden der Quadraturen und Cubaturen zuerst 
bekannt, indess dem von Jugend auf gehuidigten Grundsatze getreu, . 
tagleich mit der Erweiterung des Umfanges seines Wissens immer 
SBch die Bereidierung der Wissenschaft anzustreben, versuchte 
Leibniz sofort auf neuen Wegen zu neuen Resultaten zu gelangen. 
Bishisr war man gewrohnl, zam Behuf der Quadraturen die krumm- 
üaig begrdimefi Ebenen durch parallele Ordinalen in Rechtecke zu 
theüen^ deren Summe die gesuchte Quadratur darstellte; Leibniz 
verM darauf; ^e krummlinig begränzte Ebene von einem Punkte 
aas in Dreiecke' zu theika, die auf irgend eine Weise mit einander 
varhiHideii, eine andere ebene Figur hervorbrachten, deren Inhalt der 
inftede stehendefi Figur gleich sein rausste. War nun das Yerhlltms 
eines solehen Dreiecke zur gegebenen krummlinig begranzten Ebene 
bekannt^ iMter waa dasselbe ist, war der Inhalt eines solchen Dreiecks 
durch die Coordinaten der Curve ausdrückt, so war auch der 
Inhalt der ans der Zusammensetzung der Dreiecke entstandenen Fi*- 
gur bestimmt. Dies Verfahren nannte Leibniz die Methode der 
Transformation. < 

Die erste Frucht dieser Studien war, dass es Leibniz gelang, 
den Inhalt des Kreises, dessen Durchmesser s=l, durch die unend- 
liche Reihe | — |+i — f etc. auszudrücken. Sie trägt noch gegeu* 

6» 



8A 

wärtig süineD Namen, wie Hugens, dem Leibniz die Entdeckung 
zuerst mitheilte, es ihm sofort voraussagte"'). 

Es konnte Leibniz nicht entgehen, dass dasselbe Princip auf 
die übrigen Kegelschnitte, so wie auch auf die Cycloide, mit Er- 
folg sich anwenden Hess, und in der That er fand, dass, wenn 
man von dem Scheitel eines Kegelschnitts aus einen beliebigen 
Curvenbogen abschneidet, die Endpunkte mit dem Mittelpunkt ver- 
bindet und durch dieselben Endpunkte Tangenten legt, der ent- 
standene Sector einem Rechtecke gleich ist, welches aus der halben 
grossen Äxe (semilatus transversum) und einer geraden, durch die 
unendliche Reihe t+4^t^ + ^t^ + 4^t^ etc. ausgedruckt, construin 
werden kann, wo t das Stück der Tangente des Scheitels bezeich- 
net, das zwischen dem Scheitel und dem Durchschnittspunkte der 
Tangente des andern Endpunkts des Curvenbogens liegt, und das 
Rechteck aus der halben grossen und halben kleinen Axe der Ein- 
heit gleich gesetzt ist. Durch die bedeutende Tragweite des in 
Rede stehenden Princips wurde Leibniz ohne Zweifei veranlasst, 
dieses ganze Gebiet, das für die damalige Zeit den grössten Theil 
der Lehre von der Quadratur der ebenen Curven enthielt, einer 
eingehenden und umfassenden Durcharbeitung zu unterwerfen und 
den Stoff mit Benutzung aller Hülfsmittel, welche die Analyse der 
damaligen Zeit darbot, zum Gegenstand einer selbstständigen Schrüt 
zu formen. 

Dies ist der Ursprung der Schrift über die arithmetische 
Quadratur des Kreises, deren Leibniz so oft in späterer Zeit ge- 
denkt. Ihr vollständiger Titel ist: De Quadratura Aritbmetica Cir- 
culi, Ellipseos et Hyperbolae, cujus coroUarium est Trlgonometria 
sine Tabulis. Autore G. G. L. L. Sie war vollendet und druck* 
fertig, als Leibniz im Jahre 1676 Paris verliess, um nach Deutsch- 
land zurückzukehren. Er übergab das Manuscript einem Agenten, 
welcher den Druck in Paris überwachen sollte. Der. sofortigen 
Ausführung traten indess, wie es scheint, Hindernisse entgegen, so 
dass der Beginn des Druckes sich verzögerte. Da nun auch der 
darin behandelte Gegenstand in Folge des von Leibniz entdeckten 



*) Siehe die Correspondenz zwischen Leibniz und Hugens (Leib- 
niz math. Schrirten, Theil 2. S. 16): vous ne laisserez pas, schreibt 
ilim Ilugens, (ravoir irouv^ une propriel^ du cerde (res remarquable, 
ce qui sera celebre ä jamais parmi les geometres. 



85 

Algorithmtis > der höhern Analysis von Tag zu Tag an Umfang zu- 
nahm, besonders aber weiJ die ursprüngliche Anlage der ganzen 
Schrift und die darin zu Grunde gelegte Behandlung sich noch auf 
die alten, durch die Entdeckung des Algorithmus der hohem Ana- 
lysis beseitigten Methoden stützte, so hielt Leibniz nach Verlauf 
weniger Jahre es nicht mehr an der Zeit, die in Rede stehende 
Abhandlung durch den Druck zu veröffentlichen*). Einen Augen- 
blick scheint er den Gedanken gehabt zu haben, die ganze Schrift 
in kürzerer Fassung, bloss die darin vorkommenden Lehrsätze zum 
Theil mit Benutzung der höhern Analysis als ein „Compendium 
Quadraturae Arithnieticae'^. bekannt zu machen ; indess auch dieser 
Plan blieb unausgeführt. Ais späterhin die Acta Eruditorum Lip- 
siensium zu erscheinen anfingen, hat er den wesentlichsten Inhalt 
in den Abhandlungen : De vera proporlione Circuli ad quadratum 
circumscriptum in numeris rationalibus, und: Quadratura Arithme- 
tica communis Sectionum Conicarum, quae centrum habent, indeque 
dttcta Trigonometria Canonica ad quantamcunque in numeris exac- 
titudinem a Tabularum necessitate liberata etc. veröffentlicht. 

Obwohl Leibnizens Entdeckung der Reihe fär die Quadratur 
des Kreises nur der erste Schritt auf der Bahn voll der glänzend- 
sten Triumphe war, und obwohl die dadurch veranlasste Abhand- 
lung nur als ein Erstlingsversuch zu betrachten ist, so bildet die 
letztere dennoch ein nicht unwichtiges Moment in dem mathemati- 
schen Entwickelungsgange ihres Verfassers. Vor allem ist zu be- 
merken, dass Lßibniz dadurch veranlasst wurde, die damals üblichen 
Methoden zur Quadratur der Curven nicht allein zu studiren, son- 
dern auch in Betreff ihrer Brauchbarkeit und ihres wissenschaftli- 
chen. Werthes mit einander zu vergleichen. Auf diese Weise wurde 
Leibniz mit den Lehren der höheren Mathematik aufs innigste 
vertraut, was bisher von allen denen viel zu wenig beachtet wor- 
den ist, die auf das hartnäckigste fortfahren, in Bezug auf die 



*) Jam anno 1675 compositum habebam Opuscuium Quadraturae 
Arilhmeticae ab amicis illo tempore lectum« sed qiiod materia sub 
manibus creseente limare ad editionem non vacavit, postquam aliae 
oceupaliones supervenere : praeserlim cum nunc prolixius exponere 
valgari more, quae Analysis noslra nova paucis exhibel^, non satts pre- 
tiam operae videatur. Leibniz zu Anrang der Abhandlung: Quadra- 
tora Arilhmetica communis Sectionum Conicarum eic, 



Eatdackung der höheren Inalysig in Leibnis nnr einen HagieriM 
EU sehen. Sie halten Leibniz, wie er so oft selbst Ton sich ersSfait, 
für etnen Neuling in der Wissenschaft, der wenige M<ena(e vor jener 
Entdeckung nodi ganz unwissend in der Mathematik war, ohne su 
bedenken, dass er eben durch diese Durehgangsperiode aof s gründ- 
lichste dazu Yorbereiiet wurde. 



Von den folgenden Nammem erscheinen die unter I bis IV 
hier zum ersten Mal gedruckt. Sie enthalten ausser der oben erwähnten 
grossem Abhandlung Leibnizens alles das, was über die arithmeti- 
sche Quadratur des Kreises unter den Leibnizischen Mannscripten 
auf der Königlichen Bibliothek zu Hannover als zum Druck geeignet 
sich vorfindet. 

Nr. I, ein Brief, höchst wahrscheinlich an den Herausgeber 
des Journal des Savans gerichtet, ist insofern von besonderem 
Interesse, als Leihniz sich dann über den Ursprung seiner Ent- 
deckung offen und ohne Rfickhalt ausspricht. 

In Nr. II folgt die Vorrede zu der grossem Abhandlung, die 
Leibniz während seines Aufenthaltes in Paris zum Druck vorbereitet 
hatte; es ist daraus zu ersehen, wie er über das Verhiltniss seiner 
Entdeckuug zu dem bisher Bekannten dachte, und welches die 
Tendenz der Abhandlung war. 

Nr. HI enthält unter der Aufschrift: Compendium Quadra- 
lurae Arithmettcae, den von Leibniz selbst verfiissteu Auszug aus 
der grössern Abhandlung. Es finden sich darin alle Lehrsätze der 
letztem wieder, nur einige wenige in anderer Fassung, wie es an 
den betreffenden Stellen bemerkt ist. Die Zeit der Abfassung dieses 
Auszuges ist nicht angegeben; sie fallt vielteicht in die Jahre l(t78 
oder 16T9, in welchen die Ausbildung des Algorithmus der höhe- 
ren Analysis bereits bedeutend vorgeschritten war. 

Nr. rV enthält eine Zuschrift an einen Leibniz eng befreun- 
deten Gelehrten und eifrigen Verehrer der mathematischen Wissen- 
schaften, der, obwohl sein Name nicht genannt wird, kein anderer 
sein kenn, als der Freiherr von Bodenhausen, den Leibniz während 
seines Aufenthaltes in Italien kennen gelernt hatte. Derselbe war 
deutscher Herkunft; er stammte aus einer hessischen Familie und 
lebt^, nachdem er Conveitit gewordent unter dem Namen eines 
Abbe Bodenus als Ersieher des Erbprineen von Toskana in f loreax. 



87 

Jedenfalls war in den Unterhaltungen zwischen ihm und Leibniz 
die Rede auf die höhere Analysis gekommen, und Leibniz yersucbt 
nun in dieser Zuschrift das Wesen derselben an einem Beispiel ihm 
klar zu machen. Er wählt hierzu die Quadratur eines cydoidischen 
Abschnitts, und indem er dieselbe an das Fundamentaitheorem an- 
lehnt, durch welches er die Quadratur des Kreises gefunden hatte, 
reproducirt er zunächst das Verfahren nach Art der Exhaustions- 
methode der alten Geometrie, mittelst dessen er in seiner grossem 
AWiiBdlung den Beweis jenes Theorems geführt hatte; alsdann folgt 
Aasaelbe mit Hülfe des Algorithmus der höheren Analysis. Leibniz 
bedient sich hieriwi ßehr bezeichnend des Aasdruckes „Charaoteristica 
mfia'-; «s Call! 4adi|r«h ein Streiflicht auf den Ursprung des Algo- 
riilMPUB der höheren Analysis. — ObwoU die Abfassung dieser 
Nummer offenbar ia ein späteres Jahr fällt, als die folgenden be- 
mis gedrseklen, so schien es doch angemessen, dieselbe an dieser 
Stelle einzureihen, insofern sie sich an das Vorausgegangene im- 
mitlelbar aosdiliesst. 

Die iiA%en4en Nummern V bn yin sind simmtlich bereits 
gedmokt. in Bezug auf das Bnichstüek V ist zu bemerken, dass 
dtr Schlues desselben, so wie er im Journal des Savans sich vor-* 
ladet, unTeratindiidi ist; er ist hier in der ursprünglichen Gestalt 
nach dem Onginalmanuscript abgedrudit. 






Monsieur 

La quadrature Aritbiuetique du Gerde et de «es segmeiits 
ou secteurs, que j*ay trouvee et communiquie k plu^ieura eicdiem 
Geometres II y a dejä quelques ann^ea, leur a parn aasez extraor- 
dinaire, et ils m'ont exborte d*eD faire part au public Mais comme 
je n'aime pas d*ecrire un volume farci d^un grand nombre de pro- 
positions repassees pour donner une seule qui soit nouTelle et 
considerable, j'ay recours i Vostre Journal qui nous donne le moyen « 
de publier un theoreine sans faire un livre« 

Quadrature Arithmetique est, qui exprime ia grandeur de la 
iigure proposee par un rang infini de nombres rationaiu ou coai- 
mensurables ä uae grandeur donnef, ce qui suWt pour rArithme- 
tique lorsqu'on ne le s^auroit faire par un nombre rationel fini, 
car Tarithmetique ne connoist les nombres irrationanx qu*autaal 
qu*elle les peut exprimer par les rationeis soit finis soit infinis. 
Et il n^est pas difßcile de donner m^me un rang infini de nombres 
rationaux egal a une racine sourde, ce que je croy d'avoir foit le 
Premier, en *) Ia division dans une extraction continuee. 

La quadrature Arithmetique du Gerde et de ses parties peut 

estre comprise dans ce theoreme: Le rayon du Cercle estant l'unite, 

et la tangente BG de la moitie BD d*un arc donne BDE estant 

b b* b» b^ b» b" 
appellee b, la grandeur de I arc sera: -j ö'+'T — "t'+'q TT 

etc. Or les arcs estant trouvez, il est ais^ de trouver les espaces, 
et le corollaire de ce theoreme est que le Diametre et son quarre 
estant 1, le Gerde est f— 4-+4 — f+1 — A etc. L'usage de cette 
quadrature est qu*outre la beaute d*un theoreme aussi simple et 
aussi surprenant que celuy-ci, vous avons un moyen de trouver les 
angles par les costez et ä rebours; item les espaces ou portions 
des Gercles, EUipses, Gones, Spberes, Spheroides et de leur sur- 



*) Gin unleserliches Wort. 



90 

faces, le tont par une simple addition de nombres rationaux ou 
grandeurs commensurables an defaot meme de tables toutes cal- 
cul^es, et saBs polygones, dont le caicul demande/ one extraction 
perpetuelle de racines, outre qu'ainsi on approchera bien viste; 
car si b par exemple ou BC estoil i\f du rayon, 6*' seroit 
Td'Oööo^öiiön ^^ P^^ consequent toutes les puissances plus hautes 
pourront negligies hardiment. Ce qui serviroit h continuer les 
tables, et k les rendre plus exactes sans beaucoup de peine. 

Or coiDine il n'y a rien de si important que de voir les ori- 
gines des inventions qui valent mieux k mon avis que les inventions 
mdmes, ä cause de leur fecondite et par ce qu'ejles contiennent 
en etles la source d'une infinite d'autres qu'on en pourra lirer 
par une certaine combinaison (comme j*ay coütume de Tappeiler) 
ou application a d'autres snjets lors qu'on s'avisera de la faire 
comme il faut; j'ay crü estre oblige de faire part au pubüc de 
r«rigine de celle-cy. J'ay douc corisidere, que les quadratures 
que nous avons trouvees jusqu'icy par Tanalyse ordinaire, depen- 
dent des regles Arithmetiques de trouver les son^mes des rangs 
regles, ou des progressions de nombres rationaux. Mais les or- 
donn^es du cercle estant irrationelles, j'ay lache de transformer le 
cercle en une autre figure, du nombre de Celles que j'appelle ra- 
lioneiles, c^est k dire dont les ordonnees sont commensurables ä 
lern*» abscisses. Pour cet effect j'ay fait le denombrement de quantite 
de Metamorphoses, et les ayant essayees par une combinaison tres 
aisee (car je pourrois par ce moyen ecrire en une heure de leiiips 
une liste de plus de 50 figures planes ou solides, differenles, et 
neantmoins dependentes de la circulaire) j'ay trouve bientosl le 
moyen que je m*en vays expliquer. J*ay crü cependant ä propos 
de remarquer cecy en passant pour justifier ce que j'avois dit au- 
tresfois de Ttttilite des combinaisons pour trouver des choses que 
Talgebre et si yous voulez, Taualyse meme teile que nous Tavons 
ne s^auroit donner. Or le moyen que les combinaisons m*ont 
offert sert k trouver un nombre infini de figures commensurables 
il une figure donn^e. Pour cet effect je me suis servi de ce lemme: 
Trois paralleles BC, GE, HF (fig. 1), passant par les trois angles 
d'an triangle BEF et un des costez EF estant prolonge jusqu'ä la 
reneontre d'une des paralleles en C, le rectangle sous Tintervalle 
BC entre le point de reneontre C et Tangle B, par lequel passe 
oelte parallele, et sous GH, la distance des deux autres paralleles 



GE, HF, c>st ä dire le recUogl« PGH (ea ^up^swt BOB iwr- 
male ä BC, et CP egale et parallele k BG) «am I0 do^bl« ^ 
Triaogle BEF. De m^rae, ju BQ eg^le 4 BM, k ipeetangle QWS 
sera egal au double Triangle BFL. £i $i cee bfise« £F» FL «^. 
ßont infiniineot petites, et conliou6e$ pour rempHr'*') tout l'SspABe 
EB((E))LFE ä la courbe EFL((E)), et de m^m si GH, BN etc 
»ont iofiniment petites afin que les rectaagle» BGH, QVH eU, wea^ 
plissent tout l'espace PG((G))((P))QP ä la courbe PQ((P))« Umi 
cet espace sera le double de Tautre espace. £t puüque FEC, LFM, 
((E))((C)) seront les toucbaotes de la premiere courbe, le tbe^iviiie 
se pourra enoncer generalement aiosi: Si d'uue ^sourbe E((E)) op 
mene k uu coste AB d'ua aogle droit ABC lee ord^iinaea KG, 
((E))((G)), ä Tautre coste BC les touchantes £C, aE)X(G»), al#i« 
la somme des inteixeptees BC, ((B))((C)) eatre le point de Tangle 
B et le point de la rencoutre des touchantes C ou ((C)) appliquees 
normalement ä Taxe AB ou GP, ((G))((P)), c*est i dire la figiine 
PG((G))((P))QP sera le double de Tespace EB((E))£ compris ealne 
une portion de la premiere courbe et les droites qui joiga^iii les 
extremites de cette portion au point B. 

Ce theoreme est un des plus consideraUes et des plus uoi^ 
verseis de la Geometrie. Et j'en ay tire quelques eonsequepoes 
qui meritent .d'estre touchees en passant,. Preiaiereinent par ce 
theoreme on peut demonstrer Geometriquemeot et sana iaduc^n 
de nombres (que Mons. Wallis a donnee daos son excelleot ourrage 
de rAritbmetique des infinis) toutes les quadratures parfaites que 
nous avons jusqu'icy. Car noas n'aTons que Celles des Paraboka, 
s^avoir de Celles dont les equations sont x^ a*' n y''^^ ^ osUea 
des Hyperboloeides dont les equations sont x' y** Fl a^+^ auppo^ 
sajat SP ei y ordonnee et abscisse, a grandeur constante, jn ti v 
exponents des puissanoes de ces graadeurs, car il est aise de faire 
voir par {es metbodes que nous avons dt ^^mwimu $t WHnimiß 0% 
40$ ioueha9U€$y qm dans touteß les Paraboles et Hfperbolea, ks 
ioteroeptees BC ou GP gardsot une raison oanatante ä leuons ord<tti^ 
nees GE (conune par exemple dans la parabole ordinaire GP est 
la moitii de GE) donc la figure B((G))((P))PB ou sa moilie, »ga- 
voir le segment B((E))EB aura une raision coonue k Fesyaae 
S((fi))((E))EB, c'est ä dire au Segment mtoie plus une psmimtr 



^) Es soheiot hier %n Miteat par Un Tfinglas MF) BfL ^Ig. 



•1 

connue, s^avoir le triaogle B((G))((E)), dooc ce segment sera connu 
aussi bien qu« cet espace. 

L'aittre Coroliaire que je dire du Theoreme general est la 
dimeDsioQ absolue d'uo certain segwent de la Cycloeide, sans siip- 
poaer la quadralure du cercle, [scavoir si une droite AV parallele 
au plan RT, sur lequel roule le cercle generateur R6ER, passe 
par le centre du cercle A, et coupe la cycloeide en V, joignant BV, 
le Segment cycloeidal BVB, dont la biise Joint le sommet de la 
cycloeide B et le point d'intersection V, sera egal ä la moitie du 
quarre du rayon du eercie ou au triangle BAE]. *) 

Le iroisieme Coroliaire est la quadrature Aritlmieliqae d« 

Cerele. Car la courbeE<E)((E))est«nt «n arc de cercle, la courbe 

4m iotercei^es, sfavoir BP(E)((P))9 se pourra rapporter a Tangle 

2az* 
droit RBC par cette equation— ^ , H x, appellant BG ou CP,x 

«t BC ou GP,z, c'eßt k dire RB sera ä BG en raison doublee de 
AC ä BG, Gomme il est aise de demonstrer. D'ou il s'ensuit pre- 
nuerement qua eeluy qui trouvera une regle de donner par abrege 
ia scmme d'uR tel rang, qiioyque fini, de nombres ruiionaux: 
2,1 2 2,4 8 2,9 18 2,16 32 ^ 



l + I 2 ' 1+4 5' 1+0 1©' 1 + 16 17 
«gtre obiige de las adjouter en<»emble Tiui apres Tautre, aura acheve 
ia quadrature du cercle, pareeque c*est la progression des ordoo- 
nees CP de Ia figure BGPB, dont la quadrature donneroit celle du 
Ctrcle, Um k present ce nest pao encor la quadrature Aritluii^* 
tique* Et pour y arriyer il faiit s« servir de la belle metbode de 

Nicolaus Mercator, selon laquelle, puisque a estant l'unite et ~ 

egal k , ^ 1 la meme x sera egale ä z* — z* + z* — z' etc. ä 

rinfini, et la aemme de toutes les x egale ä Ia somoie de toute« 

les z'— z^ etc. Or |a premiere de t4»ute^ les z estant infinimant 

yü<e, fi la demiere estant d*une «ertaine grandeur, comme BC 

b' 
que nous appellerons b, la somme de toutes les z' sera -» , et la 



*) Leibniz pflegle die Stellen, die in der Reinschrift seiner 
Briefe wegbleiben sollten, in Klammern einzuschliessen. 



somme de toutes z^ sera — etc. (par la quadrature des paraboles), 

donc la somme de toutes les x ou Tespace BCPB, ou la difference 

b' 

du rectangle CBG et du double segment du cercle BEB sera 

b* b^ b» 
— — ~ + -ZT — -r- etc. donc (par unesuite assez ais^e de la Geo- 
5 7 9 ^ 

j. . X .. ..^^ b b» b* b' . , 
meine ordmaire) 1 arc BDE sera , — -5- + "r j=" ®^^« 'c 

1 6 D i 

rayon estant 1 et BC, touchante de la moitie de Tarc, estant ap- 
peltee b. Ce qu*il falloit demonstrer. J'ayoue que cette demon- 
stration ne pourra pas estre entendue de tout le monde, parce- 
qu^elle suppose bien des choses qui ne sont connues qu'ä ceux qni 
sont versez dans les nouvelles decouverles et qui scavent roanier 
les characteres ou symboles. Mais 11 nV en a que trop pour 
ceux-cy: et il faudroit un volume pour salisfaire aux autres. On 
pourroit prouver aussi le rapport qu'il y a entre la figure des 
interceptees B((G))((P))PB et le cercle, en supposant la quadrature 
de la Gissoeide trouvee par Mons. Hugens, comme il m*a fait re- 
roarquer. Mais la demonstration que je viens de donner m'a servi 
de principe d'invention et est feconde en theoremes nouveaux. 
S'il y a Heu d'esperer qu*on pourra Jamals arriver ä une raison 
analytique, exprimee en termes finis, du Diametre k la circonference, 
Je croy que ce sera par cette voye, car quoyque les expressions 
soyent inflnies> nous ne laissons pas quelques fois d'en trouver les 
sommes : et pour cet elFect je donneray pour condnsion l'observa- 
tion suivante, qui me paroist tres curieuse: 
i i tV tc A A uV A irV rh ^tc dont la somme H J la progression 

estant conti- 
nuee ä Tinfini 

I . tV • tV • u^ • ^TT • elc n I 

.4 • 3^f • A • 7*0 • r^iFctc n| 

|. . . ,V • • • ?V • ^^^ ^ pendetexquad. 

circl. 

I . . . ^ . . . ri^etc n pendetexquad. 

hyperbol. 



II. 

PRAEFATIO OPUSCüLI DE QUADRATURA CIRCULI 

ARITHMEtICA. 

Quoniam Problema de Quadratura Circuli in oinnium ore ver- 
satur et ardentibas quaerentiutn studiis etiatn apad homines Geo- 
metriae prorsus expertes celebre redditum est, operae prettum erit 
natoram quaeslionis paucis exponere, ut appareat quid ab omni 
ae?o quaesitum sit, quid ante nos praestitum, quid a nobis adjec- 
tum quidque agendum supersit posteritati. 

Cum Pylhagoras ejusque discipuli Geometriae rectilinea Ele- 
menta absolvissent, quae postea ab Euclide in unum corpus redacla 
sunt, jamque id efiectum esset, ut cuilibet figurae rectilineae planae 
datae exhiberi posset quadralum aequale, quod scilicet omnium 
iigurarum rectiUnearum simplicissimum et quodammodo caeterorum 
mensura est; cogitari coepit an non posset circulo exhiberi aequalis 
figura rectilinea, adeoque et aequale quadratum. Et hoc est illud^ 
quod Circuli quadratura vulgo vocatur; nam si Triangulum quod* 
dam aut aliud Polygonum quodcunque Circulo aequale describi 
posset, utique et quadratum ei aequale esset in potestate. Et quo- 
niam Archimedes ostendit, Triangulum rectangulum, cujus altitudo 
Sit radius; ba'sis autem sit circumferentia in rectam extensa, fore 
circuli duplum, ideo si quis inveniet rectam quandam circumferentiae 
circuli aequalem, daret nobis quadraturam. 

Hie nonnullis, qui explicationem audiunt, mirari subit, an 
rem, ut ipsis videtur, facillimam tamdiu quaesierint Geometrae; 
quid enira facilius quam rectam circumferentiae aequalem invenire, 
circulo materiali filum circumligando idque postea in rectum exten- 
dendo ac mensurando. Eodem jure dicere possent, facile quadrari 
circulum, si cerea massa primum circularis, postea ad quadratam 
iiguram redigatur, aut si aqua ex cylindro cavo in trabem quadra- 
tam excavatam transfundatur, nam ex aquae altitudine apparebit, 
quomodo circulus, qui est basis cylindri, sit ad quadratum, quod 
est basis trabis sive prismatis excavati, et si eadem aqua duplo vel 
triplo altius assurgat in prismate quam in cylindro, erit quadratum 
circuli dimidium vel triens, adeoque aliud quadratum, quod hujus 
doplum triplumve sit, quäle per Geometriam nullo negotio invenitur, 
erit circulo aequale. Verum sdendum est, tale quiddam a Geo- 
melris non quaeri, sed viam ab iliis investigari, per quam sine 



94 

ullo circulo materiali ejugve transfonnatione aut ad planum appli- 
catione, certa arle ac regula instrumentove quod dirigere sit in 
potestate, qualia sunt, quibus Circulus aut Ellipsis aliave linea de- 
scribitur, inveniri ac designari possit recta drcumferentiae aequalis, 
vel etiam latus quadrati circulo aeqoalia. Itaque per filum in rec- 
tum extensum, aut etiam per rotam in piano provolutam aut re- 
gulam circumferentiae materialia partibus succeaMvo contactu ap- 
plicatam non quaeritur quadratura circuli. Hinc etiam quadralvra 
circttli per contactum Helicis ab Arcbimede exhibita non est illa 
quae quaeritur, neque pro tali eam venditavit Archimedes, Niott-' 
rum Helix est curva linea^ quae describitur a stylo, qui per radium 
circa centnim euntem a centro versus circumferentiani incedit et 
planum subjectum immobile apice suo attingit inqae eo vestigium 
motus sui, ex recto circularique compositi, relinquit; modo intelii- 
gatur motum radii circa centrum et styli in radio esse uniformeB 
aut proportionales. Talis autem linea non est in potestate, neque 
enim (sine circulo materiali) effici haclenus a nobis potesi, ut 
aequali aut proportionali velocitate moveantur semper radinB circa 
centrum et Stylus in radio. Deinde si descripta jam esset» deberei 
huic helici materialiter ex piano excisae regula quaedam tangeas 
applicari, cujus ope recta circulo aequalis determinaretur. 

Porro Problemati de Quadratura Circuli connexum est pro- 
blema de sectione Angulorum universal!, sive Trigonometria Geo- 
metrica, cujus ope scilicet Anguli Iractari possint instar lineanM 
rectarum, ui possit inveniri angulus, qui ad alium datum habeat 
rationem datam numeri ad numerum, vel, etiam rectae ad rectawi 
item ut ex datis lateribus Trianguli inveniri possit qnantitas anguli 
seu arcus eum subtendeotis ratio ad circumferentiam suam Uitm, 
et ut vicissim uno angulo et duobus lateribus, vel duobus angulis 
et uno latere dato, caetera in Triangulo geometrioe inveniantur. 
Haec autem omnia praestari sine Tabuli» possent, st plana CÜPCttK 
daretur Quadratura, plemh inquam, id est circuli et omnium ejus 
partium, segmentorum scilicet, ut C£FC (fig. 2), atque sectorutt ui 
ABDC, ita enim etiam cuiiibet circumferentiae porti«»» sive arcuiy 
ut BDC9 aequalis inveniri posset recta, quemadmodum ostendit Af^ 
cbimedes, ac proinde arcus (et qui Ulis req[)endent aaguli) instar 
linearum rectarum traclari possent, quod longe utilitts foret, mama 
ipsamet circuli quadratura sola« Hoc enim modo sine ullisSimuiim 
Tabulis omnia problemata Trigonometrica efficere possemus ; Trigo- 



Oft 

mlttWtrfae iutem ^ttntttd Sit hfl omni tt mathematica usus, uevAO 
igilorat. 

Poito plena pariter ae minas plena Circuli Quadratura vel 
eiApirica est tel rationidis: Empirica, quae flio extenso aKisqoe 
traOSfoniialionibus ac tentamenti3 fieret, et hanc jam rejecimus; 
HfttiotlBliS) quae arte quadam invenitur et secundum regulam et rei 
natura ^t%»m prooedit. RatioBolis aut^n est ^^ vel exacta vel appro- 
^iiqufins, utraque vel per calculum vel per ductum Linearum : per 
eal<AilUBi vel finitum vel infinitum, et vel per numeros rationales 
vel f»er irrationales. Omnis quadratura appropinquans appellatur 
Meckanica, sive Hat per ductum linearum, quales ingeniosissitnae 
Wi&ebrordi Snellti et imprinkis Christiani Hugenii aliaeque nonnullae, 
sive fiat per calculum, quemadmodum Archiroedes, Melius, LudoN 
pkäs a Colonia, Jac Gregorius Scotus, aliique fecere. Et Archi«^ 
roedes quidem vidit opePolygonorum inscriptorum et circumscrip-« 
tertttü) quantumvis äd circuli magnitudinem accedi posse. Si enim 
Pdygona duo siroilia, quaUa deüneare docet Euclides, ut Trigonuin, 
^xagoBum, aliave circulo inscribantur, poterunt angulis quos com- 
prekendunt biseetis (bisectio enim anguli per Elemente fieri polest) 
aKtt duo duplum laternm vel angulorum numerum habentia inseribi 
ae drcumscrtti, idque in infinitum continuari, circulo semper inter 
olliiiiuiB inscriptuni et circumscriptum cadente. Nempe si a tri" 
geno incipias, sequetnr hexagonum, dodecagonum, 24«od«iü^ l-ggoiim», 
Mioataa, inscriptum pariter et circumscriptum. Et hoc modo pro^ 
cedi ^test, qnousc^e voles, et quoniam cujuslibet polygoni geome«^ 
trioe per has bisectiones inventt area semper babert polest in nu-^' 
meyi» satis eji^aetis, ideo semper duae babebuntur areae, intra quasr 
difee/tets caAst, quae propius semper accedent, et ita fiert polest, 
trt error sit minor quovis dato, id est si quis a me postulet nu- 
memm, qui mlionem circumferentiae ad diametrum tarn prope 
etj^rftmit, ut nott differat a vero centesima miliesima, aiiave cmi- 
tatis parte, ti conttouatis bisectionibus efficere possum. Haue 
methodom Arctthnedes toepit, Metius longius, sed longissime om- 
fthim incredSbiK labore produxit Ludolphus a Colonia, qui si sci- 
visset compendta bodie nata, utique magna laboris parte fuisset 
tevatm. Ex ptoportionftus autem inventis ad usum in minimis 
SttfReit Archimedea, qtiod sciKcet drcumferentia sit ad diameirumf 
Qt SB ad 7, in medKs Metiana, quod sit ut 355 ad 113^ in magnts 
satit est adbiberi partem Ludolphinae, quod sit ut 



ad laveiita autem ratione diamelri «d drcom- 

ferenliam polest facile omois alius arcus quiiibet menaurari ope 
Tabulae SiDuum. Nam si quis ex tabulis excerpserit ainain dimidii 
miauti ac duplicaverit, habebit chordam minuti, aea ipaius arcua 
qui Sit 21600°ia pars circumferentiae, quae cborda, cum oiadiocris 
exactitudo desideratur, potest arcui suo aequalis poni, adeoqoe ad 
arcus exempli causa Septem graduum inveniendam loogiUidaiieBi, 
quoniam is 420 minuta cootinet, suffecerit chordae unius miottü 
longitudinem ex Tabulis inveotam per 420 mulüplicari. Si quis 
exactius adbuc procedere velit, sinu minuti secundi eodem modo 
uti potest. 

Et haec quidem Circuii ejusque partium quadratora» etsi Ra- 
tionalis sit, Mechanica tarnen appellatur. Exacta autem est, quae 
quaesitam Circuii aut arcus magnitudinem exacte exhibet, eaque aut 
Linearis aut Numerica est> scilicet vel ductu linearum, vel expres- 
sione valoris. Yalor exprimi potest exacte, vel per quanlitatem, 
vel per progressionem quantilatum, cujus natura et continuandi 
modus cognoscitur: per quantitatem, ut si quis numerum aliquem 
sive rationalem, sive irrationalem, sive etiam Algebraicum, aequa- 
tioni cuidam inclusum daret, quo valor arcus circuii exprimeretur; 
per progressionem, si quis ostendat progressionem quandam, cujus 
conlinuandae in infinitum regula datur, totam simul sumtam arcus 
vel circuii valorem exacte exprimere. Prior expressio a me vocatur 
Änalytica, posterior vero, cum progressio procedit in numeris n- 
tionalibus, jure Quadraturae Arithmeticae titulo ceuseri poase vi- 
detur, ut cum dico : Si quadratum diametri sit 1, drculum aequari 
toti progressioni fractionum sub unitate imparium alternia aiBrma- 
tarum et negatarum, nempe J — 1+| — {+^ — ^*f etc. in infinitiuD, 
ut in boc opusculo demonstrabitur, ubi negari non potest, ezactum 
quendam circuii valorem expressionemque magnitudinis ejus aliquam 
omnino veram esse repertam. Ipsa enim series herum numeronua 
tota utique non est nihil, potest enim augeri ac minui, posaunt 
multa de ea theoremata evinci. Et quomodo, obsecro, poasibile 
est, eam esse nihil, si valorem circuii exprimit, nisi hunc quoque 
nihil esse putemus. Quodsi ergo est aliquid, utique aliquem circuii 
valorem exactum deprehendimus. Et si quis aliquando reperiret 
progressionem characterom, qua semel cognita Ludolphi expressio 
sine novo calculo continuari posset in infinitum (qualem progres- 
sionem utique regula quadam certa constare necesse est) qood 



99 

foret pulcherrimum, is haberet quadraturam circuli Aritbmeticam 
in integris, quemadmodum nos dedimus in fractis. Sed hanc re- 
gulam et difficillimain fore arbitror, et valde compositam, et minus 
pulchrum theorema exbibituram, ac nostra, in qua mira quaedam 
naturae simplicitas elucet, uti iili ipsi numeri, qui sunt differentiae 
omnium ordine quadratorum, circuli ad quadratum a diametro ra- 
lionem exprimant, ut adeo vix ipsa analytica circuli expressio una 
quantitate facienda, si quando reperietur, pulcbrior futura videatur. 
Praeterquam quod eadem regula non circulus tantum, sed et quae- 
übet ejus portio, nee circumferentia tantum, sed et quilibet arcus 
inveniatur, quod expressione analytica aequabili fieri impossibile 
est Jlegula nostra generalis, adeoque Quadratura Arithmettca 
phna buc redit, ut Tangente, quae radio non major sit, posita b, 

. b b» 

radio Unitate, arcus ipse seil, quadrante non major sit ^ 

b« b^ b« b*' 
+ -r "t^'^'q" — TT ®'^* VnAe Trigonometrica problemata sine 

tabulis efficienda oriuutur. De quo postea. 

Supersunt adbuc Quadraturae exactae duae, altera Linearis 
M?e Geomelrica, altera Analytica. Equidem nee omne Analyticum 
Geometricum est; possunt enim exprimi magnitudines quaedam, 
quae per cognitas artes non possunt ductis lineis exbiberi, contra 
liaeae designari possunt instrumentis, quarum expressio nondum 
sit in potestate. Ostendam enim aliquando esse Lineas Geometricas, 
quae non minus facile ac Cartesianae molibus regularum certa 
quadam ratioue incedentium describantur et aeque geometricae sint 
ac parabolae et byperboiae, et ad certa quaedam problemata sol- 
veoda unice necessariae sint, calculo tamen ad aequationes quas- 
dam certasque dimensiones revocari nequeant. Perfecta autem 
quadratura illa erit, quae simul sit Analytica et linearis, sive quae 
lineis aequabilibus, ad certarum dimensionum aequationes revoca- 
bilibus, construatur. Hanc impossibilem esse asseruit ingeniosissi- 
mos Gregorius in libro de Vera Circuli Quadraturay sed demon- 
strationem tunc quidem, ni fallor, non absolvit. Ego nondum video, 
quid impediat circumferentiam ipsam aut aliquam determinatam 
ejus portionem mensurari, et cujusdam arcus rationem ad suum 
sinum, certae dimensionis aequatione exprimi. Sed rdationem ar- 
CHS ad sinum in Universum aequatione certae dimensionis explicari 
wifossibik est^ quemadmodum in ipso opusculo demonstrabo, uude 

V. 7 



et Corollarium hoc ducam: „Quadraturam plenam, diiai<yticai», 

„aequationd expressam, cujus terminorum dimensiones sint nu- 

„meri rationales, perfectiorem quam dedimus, cum arcum qaaArante 

b b» b» b^ b» b»* ^ 
„non majorem diximus esse -p — -^ + -^ — ir + "5" — TT ^^' 

„posita tangeiite ejus b et radio 1, reperiri non posse/^ Qindi»- 
conque enim dabitur, utique progredietur in infinitom, nam alioqui, 
ttt ostensum est, vel non erit piena sive non quemlibet arcum ex- 
hibebit, vel erit certae ad summum dimensionis, quod abdnrdom 
esse demonstravimus. Quodsi jam progredietur in infinitnm, hae 
utique, quam dedimus, perfectior non est. Commodiorem nostra 
ac simplidorem esse forte possibile est, sed id parum moramnr, 
praesertim cum ne verisimilq quidem fiat, simpliciorem atque na* 
turaliorem et quae mentem afficiat magis, salva generalitate, re- 
periri posse expressionem. Quod facile sie demonstratur. Esto 
aequalio illa inventa gradus cujuscunque certi, verbi gratia, cubica, 
quadrato-quadratica, surdesolida seu gradus quinti, gradus sexti, et 
ita porro, ita scilicet ut maxima aliqua sie aequationis inTentae 
dimensio, exponentem habens numerum finitum. Hoc posito, linea 
curva eJQsdem gradus delineari poterit, ita ut absci^sa exprim^nte 
Sintis, ordinata exprimat arcus, vel contra. Hujiis ergo Ikieae ope 
poterit arcus vel angulus in data ratione secari, sive arcns, qui 
ad datam rätionem habeat datam, inveniri sinus; ergo proUema 
sectionk anguli universalis certi erit gradus, solidüm scilicet, aut 
sursolidum, aut alterius gradus aitioris, quem scilicet natura vd 
aeqnatio hujus lineae dictae ostendet. Sed hoc absurdum est; 
constat enim tot esse varios gradus problematum, quot sunt nu- 
meri (saltem impares) sectionum: nam bisectio anguli est pro- 
blema planum, trisectio problema solidum sive conicum, quinque 
Sectio est problema surdesolidum, et ita porro in infinitun ; attius 
fit problema prout major est numerus pai^tium aequalium, in qita^ 
dividendus eit angulus, quod apud Analyticos in confesso est, et 
ftcile probari posset universaliter, si locus pateretur. ImpössSriie 
est ergo relationem arcus ad sinum, in Universum certa aequ^tione 
determinati gradus exprimi. Q. E. D. 



M» 



III. 

COMPENDIUM QUADRATURÄE ARITHMETICAE. 

Prof, \. *) Si per Trianguli (ABC) tres Angulos totidem 
trangi^eant rectae paraJlelae interminatae (AD, BE, CF), triangulum 
edl^ 4J(n)idiua]\ recta^^uli comprehensi sulp intervallo (GE) du^ruoi 
parallelarum et portione tertiae (AG) interce{>ia iut^r o^piQiirsua, 
^iis cum angula trianguli et latere opposita, ai opus, ßK9ducto 
(%. 3). 

Hoc facile demonstrabitur, posito ex hoc a^gulo (4^ jn li)|ua 
oppositum (BC) agi norn^epi (AH); ita triangula ^iqoilia (fHG, 
CEB) habentur. 

Prop. 2, S^ries diifereutiarum inter quantitat,es Qr<^jp^ per- 
turbs^to dispositas msgor egit serie differeptUruip inter qu^utit^tes 
^asdem ordin^ neural! aut ininu9 porturbato coUocatas. 
Sint tres quanlitates ordine natural! dispositae A, A + B, A+B -f- C 

differentiae B C 

^ununa diffqrentiarum est B-|*C; 
$int rursus eaedeqa perturbate dispositae A + B, A, A-f-^+(] 

differentiae B B + C 

fiet summa differentiarum 2B + C, quae major quam ante. Idejin- 
qufl |q Serie Iongipi*e ^a^pi^s pertqrbata ^^.lepiu^ flet. 

JPrpp. 3. In $erie quotcunque quantit^tum differentia e:ftr^- 
Qpiarum non potߧt e^se^ ipajor, quam summa differentiarum ouiniuin 
iojteirme^iarujD siye coptinuarifm : 

A E A B C D E 
m f g h 1 

^f> fß ifQ^ e^^e npfi^orem, qu^m f 4- g -f h + 1. Nam si ordine na- 
furajl ^int pp^itae, m ^st aecfpalis huic sunjimae, ut constat; sin 
oT^ff §it perturt)fitiis , major est suiKfuia differentiarum, quam diffi^- 
ri^nti^ mai^iipi et minimi, (loc es( prinjii et ultiipi in ordine na- 
luraJi, per praecefl^ prop.; ergo et major quam differentia i^fjßr 
eps, qqi noQ sunt fpa^in^us ^t ipinimus (quippe qi^orum diffe- 
reotia minor est quam maxiipi et minimi) quales ujtique in ordine 
perti^batp non suiit A et E. 



*) lio il/inttMrif»i fehlen bis fu Prop. 9 die Figuren; ich hab« 
•ie, so wie die betreffenden Buchstaben, in d^n .Lehrsätzen ergJUizt. 



lOO 

Prop. 4. Differentia duarum quantitatum non potest esse 
major, quam summa differentiarum tertiae a singulis: 

A E A C E C 
f b d 

A C £! 

ajo f non excedere b + d ; nam (per praeced.) ^i ^i^ i. ^ , 

non potest f esse major quam b + d. Idem tamen brevius et per 

se poterat demonstrari. 

Prop. 5. Differentia duarum quantitatum minor est, quam 

summa duarum aliarum, quarum una unius, altera alterius prio- 

rum differentiam a tertia excedit: 

Quantitates ACE, ergo ipsarum A E 

differentiae yerae b d differentia yera f 

minores quam g h minor quam g+h. 

Nam g e8t major quam b, et h quam d ex hypothesi; ergo g + h 

major quam b -|- d ; al f non est major, quam b + d per praeced. ; 

ergo f est minor quam g-^h. 

Prop. 6. In curvis puncta (|C, jC, ,C, 4C, 5C etc.) tam vi- 

cina assumi possunt, ut spatium rectiliueum gradiforme G^ i^^ s^^ 

4P 4N jP 3N 2P 2N iP iN) a spatio curva et rectis comprehenso 

(1D1B5B5D4D3D2D1D) differat quantitate minore quavis data 

(fig. 4). 

Hie obiter , quid sint puncta Rerversionum in curva, nempe 
in quibus coincidit ordinata et tangeus. Punctum flexus cofUrarii 
est, ubi curva ex concava fit convexa vel contra, adeoque non 
est tota ad easdem partes cava. Curva babet aut non babet pun- 
cta reversionum , prout ad diverses axes refertur, sed puncta flexus 
sunt absoluta. 

Prop. 7. Si a quolibet curvae puncto (C) ad unum anguli 
recti in eodem piano positi latus (AB) (quod vocabo directricem) 
ducantur ordinatae normales (CB), ad alterum (quod voce con- 
directricem) tangentes (CT) et ex punctis occursus (T) tangentium 
ducantur perpendiculares (TD) ad ordinatas, si opus, productas, 
et transeat curva nova (|D 2D etc.) per intersectiones perpendicu- 
larium et ordinatarum, erit Zona (1D1B4B4D3D2D1D) seu spa- 
tium inter axem, duas ordinatas extremas et cur?am novam com- 
prehensum, sectoris spatii GCA4C8CSC1C) inter curvam primam 
et rectas, ejus extrema cum anguli recti propositi centro jungen- 
tes, comprehensi dupium (fig. 4). 






•? » • • • 



101 

Hie obiier explico, abscissam esse intervallum ordinatae ab 
angulo recto, resectam esse intervallum taugentis ab eodem an- 
gulo, utrumque sumtum in latere anguli, cui occurrit abscissa in 
directrice, resecta in condirectrice. Curva nova est figura resecta- 
rum, quia ejus ordinatae sunt resectis aequales. 

DemomtraU Ponatur zona figurae resectarum non esse du- 
pla sectoris figurae prioris ; dupli sectoris zonäeque simplae diffe- 
rentia sit Z. Sectori circumscribantur polygona ope tangentium et 
chordarum, et ex occursu tangentium ad condirectricem ductae nor- 
males ad ordinatas dabunt spatium rectilineum gradiforme, idque 
continuetur (per prop. 7), donec polygonum a sectore^ et spatium 
gradiforme a zona minus difierat quantitate data, adeoque minus 
quam | Z. Spatium gradiforme autem est duplum polygoni (per 
prop. 1). Zona seu spatium quadrilineum vocetur Q, spatium gra- 
diforme seu duplum polygonum P, sector seu trilineum T. Jam 
diff. inter Q et P minor est quam \ Z, et diff. inter P et duplum T 
est minor quam f Z ; ergo ob Schema quantitatum Q P T, 

quarum dififerentiae minores quam \ Z f Z, 

erit per prop. 5 difif. inter Q et T minor quam \ Z, adeoque 
minor quam Z, adeoque minor data quacunque quantitate, adeoque 
nulla est haec differentia. 

Segmentum est spatium duabus lineis, una curva, altera re- 
cta, comprehensum ; sector est trilineum duabus rectis et una curva 
comprehensum. Si sectores sint circuli ex centro, figura resecta- 
rum eadem est cum figura angulorum. Parallelae condirectrici 
sunt ordinatae^ partes directricis^inde ab angulo communi sunt 
abseissae. Condirecticem voco et directricem conjugatam. Si an- 
gulus rectus, directrix dicitur axis, ordinatae ad condirectricem 
sunt ordinatae conjugatae. Spatium sub axe, ordinata et curva 
voco Trilineum orthogonium ; portio axis est altitudo, ordinata ter- 
minans dicitur basis; quod ad rectangulum circumscriptum triiineo 
orthogonio deest, vocatur ejus complementum, 

Prop. 8. Si coincidant initia curvarum, propositae et novae 
(prop. 7 explicatae) cum angulo recto, zona abit in trilineum or- 
thogonium, et sector in segmentum, manente eddem propor- 
tione dupla. 

Prop, 9. Si AD linea resectarum, erit retorta ADCKA 
= AGCKA (fig. 5). 



Nun AV€KA = ABI>A (per prop. 8); jam ABGKA— AVCA 
«= AfiCVA =i: A6CKA , et ABGKA — AfilVA = ADCKA ; ergo AD(XA 
t=AG€KA. 

•Prop. 10. AEIHiA=AECKA dapl. (flg. 5). 

Nam triang. AEC diniidium est rectanguli BE; jam BE — 
!4BDLA:^A1BDLA et AEC— ACKA (id est minus dhnid. ABDLA) 
ii: AECKA /ei^go AECKA= dimid. AEDLA. 

'Prop. 11. A figura curvilinea utculique eiigua portionem 
alscindere, cujus duplo exhibeatur aequalis figura longitudinis in- 
finitae, infinitis modis (fig. 6). 

'Semt)er enim äbscindi potest trilineum orthbgonium '/eifit, 
ciijüs axis Bfi sit hormalis ad tangentem A^u, et ex punctis cur- 
valB L ducehdo (angentes LT ad ipsam BC erit figura VesecCairtiiii 
(ipsis 'BT aequalium) inüiiita, nunquam occurrens ipsi l et tialn'to 
rion plus quam duplo niajor trilineo, per prop. S. 

Prop. 12. Retorta Cycloidis AßCA »(quae est trilineum 'bi- 
curvilineum, comprehensum arcu cycloidis AG, arcu circull genera- 
toris AB et BC ordinata cycloidis aid basin rotationis DE parallela) 
est duplum segmenti cycloidis (At)A) (flg. 7). 

Nam ducta tangente CT est AT aequ. BC, unde per prop. 8 
constat propositum. *) 

Prop. 13. Si BC, ordinata cycloidis, transeat per cen- 
trum circuli generatoris, segmentum ACA aequatur dimidio qua- 
drato radii. 

Nam aequatur retortae per praecedentem , sed constat ex 
aliorum inventis, retortam in hoc casu aequari quadrato radii. Sed 
(sine aliorum inventis) sie ratiocinari licet : ÄFCSA = triang. AFB + 
triang. ABC (seu 4- quadrant. AFBHA) 4- segm. ACSA; rursus 
AFCSA = quadrant. AFBHA + retort AHBCSA (seu + dupl. 
segm. ACSA, per prop. 12) ergo duos valores aequando fit triang. 
AFB = segm. ACSA. 



*) Leibniz hat bemerkt: Prop. 12 etiam demonstrari potest sine 
ope nostri iheorematis novi ex salis jam DOtis: AFCSA :b AFB + ABC 
+ 'ACSA=- AFBHA -l-AHBCäA (1) ex figura; ABC = AFBHA (2) ut con- 
stat (quia BC = AHB), AHBCSA == bis AFB (3), ergo in aequ. 1 ex- 
')pYt(>ikU pär^'ie'quatiohes 2 '^t 3 s^lBlatis^i'eqüälibds restät AGSTA -= AFB, 
q. e. d. 



106 

Prop. 14. Figuram Angulorum exhibere, cujus «ciUcet zo- 
pae BiDt ut anguli, modo portiones ab axje abscisiaae (quae latitu- 
diaem zonae faciimt) sint ut sinus (fig. 8). 

DE, AB (radius eirculi) et EF sint continue proportionales, 
^ (^AB etc. FG erit figara angulorum , et erunt zonae GAEFG ut 
arcus circulares CD seu ut anguli CAD. Sunt enim zonae GAEFG 
dbplae respondentium sectorum CADC, nam dueta tangente DT 
est AT = EF , nam ob triangula similia ADT et DEA est ED ad 
DA ut DA ad AT. 

Coroü, Hinc spatium 'infinitum figurae angulorum aequatur 
semicirculo. 

Haec figura Angulorum respondet Hyperbolae , quae est ligura 
Rationum. Ut enim secantibus compl. AL radio AB applicatis seu 
AL translatis in EH oritur Hyperbola, in qua zonae MBEHM sunt 
ut logarithmi rationum AB ad AE , sinus totius ad sinum ang. CAD, 
ita secantibus AT translatis in EF, zonae GAEFG sunt ut an- 
guli CAD. 

Curva Analytica est, cujus natura aequatione certi gradus 
exbiberi potest. Parameter est recta constans, aequationem In- 
grediens. Curva analytica simplex est, cujus relatio inter ordi- 
natam et abscissam explicari potest aequatione duorum tantum ter- 
minorum, ubi et ordinatae sunt in ratione abscissarum secundum 
certum numerum multiplicata aut sub-multiplicata , directa aut re- 
ciproca. Si directa, tunc curvae vocantur Paraboloeides^ sin re- 
ciproca, Hyperholoeides. Sit parameter a, abscissa x, ordinata y, 
erit aequatio generalis pro Paraboloeide a"*"~"x" = y'", eruntque y 
in ratione abscissarum x mplicata sub nplicata (ut si esset n = 2 
et m=33, forent y in ratione triplicato-subduplicata ipsarum x); 
at pro Hyperboloeide fiet a"' + ** = x'*y"*, ubi ipsae y erunt in 
ipsarum x ratione mplicata sub nplicata reciproca. Curva ra- 
tionälh est, cum ordinatae vaior in numeris haben potest ex data 
in numeris abscissa, posito parametros in numeris esse datas. 
Duae tantum dantur lineae rationales simplices, recta et Hyper- 
bola. ' Unde - Hyperbola est curvarum simplicissima quoad ex- 
pressionem analyticam, sed circulus quoad constructionem Geo- 
metricam. Logaritbmica quoque Transcendentium simplicissi- 
ma esse videtur q^oad anaLystn, cycloeidalis linea quoad con- 
slmetiOMm. 



104 

Prof. 15. In corva aiialytica simplice portio axis ioter oc- 
cursum tangentis et ordinatae est ad abscissam ut m, exponens 
dignifatis ab ordinatis, est ad n, exponentem dignitatis ab abscisM, 
in directis occursus tangentis Q ab occursu ordinatae B sumen- 
dus Tarsus verticem A, in reciprocis seu Hyperboloeidibus in par- 
tem contrariam (fig. 9). 

Prop, 16. Si figura generans sit Analytica simplex, etiam 
figura Resectarum est Analytica simpIex ejusdem speciei, ordinatas 
habens respondentibus ordinatis prioris proportionales ut exponen- 
tium potestates ordinatae et abscissae, summa in directis, diffe- 
rentia in reciprocis, est ad exponentem potestatis ordinatae. 

Cor oll Hinc et areae eodem modo. 

Prop, 17. Ergo in omni figura analytica simplice duplum 
sectoris 1CA9C1C est ad zonam iCißsBaC, ut in praecedente dixi- 
mus esse resectam ad ordinatam, per praecedentem juncta prop. 7 

(fig. 9). 

Prop. 18. In figura Analylica simplice zona iCiB^BsCiC 
est ad zonam conjugatam 1C1G2G2C1C, ut exponens dignitatum 
ab ordinatis est ad exponentem dignitatum (proportionalium) ab 
ordinatis conjugatis (fig. 9). 

Haec, ni fallor, nova et optima ad memoriam expressio est. 
Non difficulter demonstratur ex praecedente. Nam per praeceden- 
tem duplus sector est ad zonam, ut summa vel difTerentia inter m 
et n est ad m, et pari jure ad zonam conjugatam, ut eadem summa 
vel difTerentia est ad n ; ergo zonae sunt inter se, ut m ad n. 

Prop, 19. Sit Q ad rectangulorum 2l)iBiC et 1C2G1G 
summam in directis, differentiam in reciprocis, ut m ad m + n in 
directis, difT. m,n in reciprocis, erit Si aequalis zonae |C 1B2B 2C1C 

(fig. 9). 

Prop. 20. Si V + X ad V + Z rationem habeat inaequa- 
litatis finitam sintque X et Z finitae, erit et V finita ; quod si alter- 
utra ipsarum X et Z sit infinita, erit V infinita. 

Prop. 21. Rectangulum sub abscissa infinite parva et ordi- 
nata ad Hyperboloeidem infinita est infinitum, finitum ordinarium, 
infinite parvum, prout exponens ordinatai*um habet ad exponen- 
tem abscissarum rationem inaequalitatis, aequalitatis, majoritatis. 

Prop. 22. In qualibet Hyperboloeide praeter omnium pri- 
mam (seu praeter ipsam Hyperbolam Conicam) spatium infinite 



loDgum ad anam Asymptoton est area infinitum, ad alteram fini- 
tum, infinitum ad iilam, in quam demissae ordinatae exponentem 
habent absdssanim exponente minorem, fmitum, cum majorem 
(fig. 10). 

Hoc ita demonstro : o^oBiBi^oC 0^ ^^^ spatium longitu- 
dine infinitum oCP|CoC plus rectan. finit. P|C|BoB, seu V + X, 
posito spatio V, rectangulo X) est ad qC qG |G iC qC (id est qCP |C qC 
plus rectang. oGoCPiG allifudinis oGqG infinite parvae, baseos 
qGiG infinite longae, fseu ad V + Z) ut m ad n, quae est ra- 
tio inaequalitatis (nam Hyperbolam Conicam exclusimus) finita; 
ergo per 20. sit Z infinila, erit et V infinita. lam si V et Z finita 
vel infinita» etiara V + X, imo V + X + Z finita yel infinita erit, 
Nam X semper finita nil mutat, idem est si ad V + X 4- Z, id 
est ad oCPiCoC + P|C,BoB +0C0G1GP addatur rectangulum 
infinite parvum PiGAqB (quippe baseos ordinarie finitae, alti- 
tudinis infinite parvae) ut compleatur quinquelineum infinitum 
oCoGA|B|CoC. Sed cum minor est exponens ordinatarum, quam 
absdssanim, tunc Z est infinitum (per prop. 21); sin major, contra. 
Idem ergo de quinquelineo dicendum est. 

Schal, Per infinitam quantitatem intelligimus bic incompara- 
btliter magnam. 

Prop, 23. Quadratura figurarum analyticarum simplicium 
completarum generalis: Figura analytica siroplex completa est ad 
rectangulum sub ultima abscissa et ultima ordinata seu sub alti- 
tadine et basi, ut m ad m + n in Paraboloeidibus, seu ut m ad 
difierentiam inter m et n seu ut m ad m — n (quia*m major quam 
n, ut area sit finita) in Hyperboloeidibus. 

Figuram completam voco, quae incipit ab abscissa minima 
seu nulla ; oportet autem in Hyperboloeidibus ordinatas assurocre 
secundum eum axem, quo fit dignitas ordinatarum major, quam 
abscissarum, seu m major quam n, per praeced. 

Prop. 24. 25*). In Quadratura simplicium rationalium, spe- 
cialim in Paraboloeidibus^ posita abscissa x, ordinata y, pararoetro 
unitate et adeo exponente abscissae n, ordinatae 1, seu ita ut sit 



*) In dem ursprünglichen Tractat haben die Lehrsätze 24 und 
25 eine andere Passung, als Leibniz hier giebt. 



2^ 



y==:x", fiet area completa paraboloeidalis : x : n+1» 



sevL omnmoi 
summa 



j2 ,8 



2 3 4 



X* 

5 

I 
— f 



X 

6 



X' etc. 



etc. 



»— i 



in Hyperboloeidibus y=l: x , fiet area completa: —1: n — Ix 
seil X ' : 1 — n, 



seu omnium 



1 



1 



summa -^ ^, 

X 0' 



l 
1 1^ 



1 



1 



1 



1 



1 



|0» 



31« 0« 



4ä* 



etc. 



i»-K1 



•41 



Generaliter / x* dx=r 



diff. 



n + 1 



et in figura non caropkta 



/ X« dx= 



_ diff. (x) • , .x" 



nr^\ 



n + 1 



In Scholio annotatur oautto ueces^aria circa ratioeinationes 
de infinite; v. g. posset quis ita ratiocinari in ÄBliparatnola, ubi 
ordinatae BC sunt reciproce ut qiiadrata abscissarum AB, erit per 
prop. 18 zona quaevis 1C1B2B2C1C dimidia respondentis coo|u|p)tae 
zonae 1G1G262C1C, ergo spatiiim infinitum ^C^BA etc. .jCsG com- 
pletum ab omnibus zonis erit dimidium «spalii 2C2G etc. 1C2C com> 
pleti ab omnibus coojugaüs; ergo totum erit dimidium parti.s. In 
Hyperbola Conica, quia zona aequalis zonae conjugatae, fiet totum 
aequale parti. Unde patet rem reducendam ad demonstrationes 
apagogicas. 

iV^p. 26. Summa progressionis Geometricae in infinitam 
decrescentis est ad terminum primum, ut terminus primus addif- 
ferentiam primi a secundo. 

Prop- 27. Diameter circuli est ad sinum versum in dupli- 
cata ratione secantis arcus dimidii ad ejus tangentem. Est autem 
tangens arcus dimidii ipsa reisecta. Unde si sit HB diameter, BF 

n/^ ü* nr« H^ . BF^ HB . CB /« , , 

resecta, FG sibus versufi, fit '^^^ A^alppa = ~~aC' — ^^' ^* 



«Of 

BF* BF* BF* BF* 
Prof. 28. 4 FG=^,— ^,+-55;-^ etc. oportet au- 

lem AB hon esse mikiorekn BF. 

BC^ 
iVop. 29. Spat. BFGB dimid. seu spatium BCDB=^g — 

BC* BC 

+ ''tTd 5 ®*^- oportet autem AB nön esse minorem quam BC. 



6AB» ' 7AB5 

Prop. 30. Si a dimidio rectangulo CBE sub BE sinu verso 

arcus integri BOD et BC tangente semiarcus BO comprehenso, seu 

BC* BC^ 
61 a triangulo BCD auferdtur series -^7^ njßs ^^^'' restabit seg- 

mentum circuli DBOD arcu integro et ejus subtensa contenlum; 
oportet autem arcum BOD non esse quadrante majorem. 

Prop. 31. Si radius circuli sit 1, et arcus ipropositi semi- 
quadrante minoris BO tangens BC vel t, fiet arcus ipse t— ^t* 
+it*-|t^+ etc. 

Prop* 32. Circuks est ad quadratukn circumscriptum seu 
arcus quadrantis ad diametrum, ut 1 — f4+-J — ^^l + i— ^V ^^c. -ad 
unitatem. 

fVO|?. 33. Series fi^actionum, quarum numerator constans, 
nominatores vero progressionis 'arithmeticae, est progressionis har- 
'monicae. 

Pröp. 34i. Posito quadrato diametri 1, circulus est diffe- 
rentia duarumiserierum progressionis harmonicae^+-|^+^+x^ etc. 
^t Ht+tt+tV «tc. 

Prop. 35. ^Ciröulus e«t äd quÄdrftltim inscrlptum Mi . . 

Prop, 36. Summa seriei infinitae i + yS + A^"^ A etc.=f. 

Prop, 37. 38. Quadratutn circumscriptiim est ad cir^uhim, 
^i + iV + Ä^+ufj etc. est ad 4+'iV + Ä etc. 

Pr^p. 39. Summa seriei ififinitae f+i+1-PiV etc. ^2; 
nominatores sunt numeri triangühd'es. 



109 



1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 



Prop. 40. 
Triangulum Arithtneticum 

1 1 1 1 1 1 etc. 

2 3 4 5 6 etc. 3. 

3 6 10 15 etc. S 

4 10 20 etc. ?. I 

5 15 etc. S. I I' 

6 etc. 5 1 .2 >! 

2. ^ 



fi» 

I 



OB 



I 5- 



as 

s 



OD 



i i: 

o. a> 

2L S* 

2^ C© 

(D 0» 
OB 



9 

O 
I 

O 



O 

1 

s 

O 
D 

SL 

Od 



Triangulum Harroonicum 
t + t t t I «te. 
4 i i I 1 ctc 



cg 5 






O 



* ? 



£ «? i ^ 

•1 cg eu CPQ 

» o fi> o 

B tt s te srt 

s * S 5 



3 S 



o 



§. i. 



CS 

B 



summae 



f f I * * etc. 



Prop. 41. 
Summa 



Serierum infinitarum | 4 +7*1^ +1"^ etc. =:^ 

iVop. 42. Symbolismus quatlraturae Circuii et Hyperbloae. 
i+t+.V+iV+lV+A+A+Vj+iV+rWet«-^ ^f per prop. 41 

+A +h +A +Tiöetc-, 



I 



1 



I per prop. 36 
{ per prop. 41 

circalo p. prop.35 



i 



+ A 



+ Tloetc/-V?yperboli. I |^ 
k ic«e areae/ie 
I ICBMC. lo-^.-^ a I 



I* Igaritfamo 
fbiiurii 
Vunitatis... f? i o 



fbiiurii sils'C e 



S V 4> 

o 



Schol. In Hyperboia (fig. 12) sit AB, 1, BE, x, EH = 



i 



1— X' 

1 



fit CBEHC = f X + ^x* + ix"+ ^ X* etc. et si BM, x et ML = y-^ 

fit CBMLC« f X — ix' +4x«— tx*etc. Et quia zonaHyperbolica 
conjugata HQDCH aequalis zonae CBEHC, hinc ejusdem spatii 
Hyperbolici valor bis obtinetur, semel per signa «f et — alternantia, 
altero modo per sola affirmantia. Potest etiam pro AB seu AD 
seu 1 alia quaelibet assumi , ut AQ, ponendo AF :^ AQ + QF, erit 

FGäAB*:AQ+QF, et spatium Hyperbolicum HQFGH erit ad AB*, 
OF FO* QF' OF* 



lOO 

DF 

Hyperbolicum haben potest infinitis modiset est generaliler: -rjr^ — 

DF*^ DF« DF^ DQ+QF . DQ^— QF^ . DQHQF» 

2AD»"^3AD3 4AD*®^^"" 1 AQ 2AQ2 "^ 3iQ3 

DO*— OF* 
+ - AAn4 ®^^* P^^^'^ DF=DQ+OF et AQ = AD +DQ et puncto 

Q pro arBitrio sumto. Quae memorabilis est aequatio inter duas 
series infinitas. 

Prop. 43. Quadratura generalis sectionis Conicae centrum 
E assignabile habentis sive sectoris EAGC Circuli, Ellipseos aut 
Hyperbolae cujuscunque, cujus verlex A et axis AB (fig. IS). 
Regula autem haec est: Si AT (resecta ex AL tangente verticis 
per CT tangentem alterius puncti extremi C) vocetur t, reclan- 
gulum sub semilatere recto in semilatus U^ansversum (seu qua- 
dratum semiaxis conjugati) vocetur unitas, erit sector EAGC 
aequalis rectangulo sub EA semilatere transverso et recta, cujus 
longitudo sit|t±Jt« + |t*±|t^ etc. ubi ± valet + in Hyper- 
bola, — in Circulo vel Ellipsi. Nam in omni sectione est resecta 
AT ad latus rectum NP ut abscissa seu sagitta AB ad ordinatam 
seu chordam FC. Unde porro facile demonstratur esse AB seu x 
= 2AE.t2:l ± t^ ubi ± est + in Hyperbola et — in Ellipsi 
vel Circulo. Unde trilin. ATDA (figurae resectarum complementale) 
vel per prop. 10 trilin. CTAGC est i t* ± i t * + f tV± ^ t ^ etc. 
ductum in AE ; porro triang. EAL ± triang. CTL = trapez. EATC 
(quod sectori circumscriplum in Ellipsi, inscriptum in Hyperbola) 
= rectang. EAT, et AL in EA ad EA ^ : : BC : EB, ut patet. Jam 
est TL ad TD vel AB ut rq*) ad EB in BC (nam TL = AL~AT, 
et AL = EA . BC :EB et AT = r AB : CB, ergo TL = EA . BC^ — 



r 



rAB.AE±AB,:CB. AE±AB; jam BC2 = 2r.AE ± ~ Aß';ergo 

Aci 

fiet TL»EA.r.AB.:CB.EB seu TL:AB::r.EA (seurq): EßTlC, 

ut asserebatur). Est ergo rectang. EAL = AE ^ . BC : EB , et bis 

EA r AR* 
triang. CTL seu TL in AB = ^^ '^^ , etEBL ± 2CTL=BE2. 



BC* ± AE . r . AB», : CB .EB, seu fiet EAL ± 2CTL = AE, AE . 2r . AB 
+ 2r 7aB\ : CB . EB; ergo fit 2EAL ± 2CTL = 2AE. AT, seu tri- 



*) Aus einer Raudbemerkuog gebt hervor, dass Leibniz AG! = q, 
INP = r setzt. 



aog. EAL ± triang. CTL id est Trapez. EATC = AE ia AT seu AE . 4 

cui 81 addatur in Hyperbola, dematur in EUipsi trilineum CTA6C, 
fiet sector £AGC = rectangulo sub AE et recta } t.± 1^' + it^ 
± ft^ etc. Ita tandem generalis habetur quadratura Arithmeäea 
sectionis Coaicae centrum habentis, puldierrimaque Cireali EUip- 
seosve cum Hyperbola quacunque analogia. Nunc ad Logarithmos 
aliaque cognata progrediamur. 

Hie primum in antecessum explicantur Logaritkmi: Si si»t 
dtiae series sibi ordine respondentes fiantque numeri unius ex se 
invicem additione, ut numeri alterius multiplicatione, illa eritLoga* 
Fithmorum, haec Numerorum *). Curvam logaritkmicam ita eiplico : 
Si Sit curra RAK (fig. 14), axis CDAX, ordinatae RD, KX, ab- 
seissae CD, CX, sitque ratio CX ad CA multipUcata ralionis CD. 
ad CA (CA, CD, CX Numerorum) in ratione KX ad RD (Logarilb- 
morum) curva dicetur logarithmica. 

Prop. 44. -r :?r+:Tr5 — 70 etc. sunt ut loganlhmi ra- 

'^ 1 2b 3b* 4b* 

tionum b-}~n ad n. Et logarithmi rationum sunt summis huj«s- 
modi proportionales. Nam omnes logarithmi rationum sunt pro- 
portionales inter se, evanescente scilicet communi additamento per 
subtractionem logarithmi consequentis a logarithmo antecedentis. 
Prop. 45. Spatium Hyperbolae Conicae est inßnitum , seu { 

"t-4 + l + i+i+i ^^^' ^^^ quantitas infinita. 

Cum curvae logarithmicae ordinatae |XK sint proportioBales 
spatiis Hyperbolicis VAXyV, et ultima C etc. sit proporlionalis spatio 
Hyperbolico infinite longo VAC etc. V, sit autem Cetc. infinita, 
erit et spatium hoc Hyperbolicum infinitum. 

Prop. 46. Quadratura figurae logarithmicae. Respondeat ita 
Hyperbola Vy (cujus Asymptoti C etc. et GX) ut sit Xy in AV 
aequalis areae hyperbolicae VAYyV . CA = a = AV, AX = x, yX = 

-^^ A4— dx =y= KX, et dy = dx.a:ä±x, etady ± xdy 
a+x^ axx ^ ^ 

« adx, et ax — ay = ± / xdy = A^KA. Porra dy : dx : : a : 

a ± X : : nfy : yR ; jam g-R = a ± x , ergo nfy = a constans, 

estque aa potentia Hyperbolae, ciyus areae sunt proportionales lo- 

garithmis seu ordtnatis cunrae in a ductis, posito ipsius a logarithmo 



*) Haec defioitio uon placet, quia uon ostendit generationem 
nac possibiljtatem. Bemerkung von Leibniz. 



3s 0. EodcoiKpie 3' ^t iiiteF?«yAim tannentis «t OBdinatae» in. doam, 
et potest haec a dici numerus 'primarius. 

Prop. 47. Si sU XX *^x etXR = y etCA = a, etcomAX 
= CA^ tunc log » et a numerus primarius et y adßo logaritb- 
mus ipsius a + ^ ad a vel a ad a — x , rationis semper majoris ter- 

miüiadririhorera, fiett ==1 ± f^a+ri^^ 1.2.V.4a« '''* 
Sitax = 10 a +11 ay-f 12ay2 4. 13 ay3+ 14ay*etc. 
— ay = — ay 

^T/Tdy^ ± 1 10y±i.lly2^ :fti.»2y« ± j-lSy^elc. 

ergo fit 10 a =0 et 11 = 1 et 12 ::= ± r-^r* ^ 1*^ « r-TTVo 

1.2a 1.2.3a^ 

et 14 = ± j— 2 3:4aa ^^^* «^eoque x = ^ y ± y;^ >'* + 
11 * 1 

j-y-^y' ^ rT"ä''4 ^* ^^' P*^®^^^ ^ = *' ^^ i + x^ 1 +y> 

+ j— ä" y* + I Q !> y * ßtc. = num., posito y logarithmo rationU 

ipsius numeri ad unitatem cujus log. est 0. 

Prop. 48. Si arcus sit a, radius 1, sinus versus v, erit 
a* a* a« . 

1.2 1.2.S.4 ^ 1.2.9.4.5.6 



a' 



Coroü. 1. lisdem positis, sinus complementi c « l = r— ^ 

, a* a« ^ 

"*" 1.2.3.4 "^ r."2.8.4.5.6 ^^^'^^ 

Coroü. 2. et sinus rfectus ^^\- ^ + ^ ^ *3":4T5 '''' 

f 

a ^ 
CoroU. 8. et segmentwaa drcttiarf dupluH^ «= i jj ■ -- 

a^ a^ 

1.2.3.4.5 + 1.2.3.4.5.6.7 ^'^' 



y^'sda = r. 



2 a« 



Coroü. 4. A sda = J^ — j 2 3 ,4 ^1^- ^^^^ ^^^^ si- 



ä* a* 
♦) c = l —•+ — etc. satis apta ad praxin , quia error mi- 



a« 



ffor qtrakn — - , unde etiam^ cum arcus aequatur radio , error est mi< 
1VMP qiMm ^. B9as«fkiMi^ ton LetM«, 



na 

nuum reciorum ad arcum aequalis recUugulo aub sinu verso et radio. 

y^ a» a« 

vda = j 2 3 — 12 3 4 5 ®^^' *®" ^^®^ sinuum vcr- 

sorum ad arcum aequalis rectangulo sub radio et differentia inter 
arcum et sinum. 

De sinubus complementi non est opus dicere separatim, non 
enim dant aliam quam siuuum versorum figuram ; praestat autem 
adbibere sinus versos, quia crescunt cum arcu, secus sinus com- 
plementi. 

Prop. 49. Si quantitas a sit aequalis seriei infinitae b — c 

+ d — e + f — g etc. erit b, b — c + d, b — c + d — e + f etc 

major quam a, excessu existente minore quam c, e, g etc. ; b — c 

b — c + d — e, b — c-j-d — e-f-f — g etc. minor quam a, defeclu 

existente minore quam d, f, h etc. 

Prop. 50. Ex datis angulis latera, ex datis lateribus angulos, 
ex rationibus logarithmos, ex logarithmis rationes invenire. 

Prop. 51. Problemata prop. 50 quadraturaque generalis sec- 
tionum Conicarum centro praeditarum non possunt magis Geonie- 
trice inveniri. 



Aus so vielen Lehrsätzen besteht der ursprüngliche Tractat. 
Zu dem vorstehenden Compendium hat Leibniz noch Folgendes 
hinzugefügt : Supplendum adhuc foret, quomodo sinus et tangentes 
artifidales possint haberi ex arcubus, et contra arcus ex ipsis. Nach 
einer längeren Untersuchung giebt er folgendes Resultat : Sit ar- 
cus a, sinus rectus r, radius 1 , fiet a = r + | r' + ^^ r* + ^ f i ^^ 
AB C 

etc. seu a = r + ~^ rr A + tH rr B + "g^ ^^ C etc. Sit 

arcus a, sinus versus x, diameter 1, fiet a =x* **-f-^x*** + 
^qZ*'' etc. Si arcus capiendus in ratione data ad alium arcum, 
sit diameter 1, chorda arcus dati ^, et arcus quaesitus ad arcum 

A j_^^ B 
datum ut n adl, et erit arcus quaesiti chorda nfj -)- -~o~2~ ZT ^ 

C 

, 9 — nn , -. 25 — nn ,^ , ... 
-f- ^ ^ ö"^ B + -ß— „ — IS C etc. ubi SI n sit numerus 

impar, series desinit esse infinita, et prodit aequatio eadem, quae 



prodit per vulgarem Algebram. Sit radius 1, arcus a, tangeng ar^ 
tifidalis n, quadrantis arcus q et 2a — q==e, et fiet 

n = e + -^ e3 + 24 e^ + 5Ö40 «' + ^72576" ^ ^'^• 



riT. 

Ad profereudum aliquid plausibile specimen nostrorum inven- 
torum Geometricorum , quod ad captum sit eorum, qui veterum 
Hethodis unice assueli sunt , non inconiinodum erit theorema ge- 
nerale, cui Tetragonismum Circuli Arithmeticum inaedificavi, et ex 
quo statim sequuntur areae omnium Paraboloeidum et Hyperboloei- 
dum, cujus etiam ope segmentum quoddam Cycloeidis vestrae Flo<- 
rentinae (haec enim, ni fallor, ei patria est, si res aeterna patriam 
habere potest) absolute quadravi, non supposita circuli dimensione, 
aliaque multa praestare possum. 

Theorema ipsum ita se habet : 5t ex curvae cujmque puncto 
pMcunque in duas condirectrtces indefinitas dueantur rectae, or- 
imata ad unam^ langem ad aliam, et in ordinatis (si opm pro- 
ductis) sumantur inde ab axe partes aequales respondentibus re- 
sectis per tangentes ab altera indefinitarum, quae partes jam sint 
oriinatae ad curvam novam per earum terminos transeuntem^ 
tuam vocabimus curvam resectarum^ erit zona curvae novae 
uequalis duph respondenti sectori curvae prioris, comprekenso 
reetis ad extrema arcus in curva priore sumti ab intersectione 
condirectricium ductis ; seu ut ope figurae rem explicemus : Si ex 
cunrae CC (fig. 15) puncto C quocunque in duas condirectrices 
indefinitas ABB, AEE dueantur rectae CB , CE , ex quibus CB sint 
ordinatae et CE tangentes, et in ipsis CB (si opus productis) su- 
mantur inde ab axe AB ipsae BF aequales ipsis AE respondenti- 
bus resectis ab indefinita AEE per tangentes CE, et per puncta F 
transeat Unea nova FF, cujus ordinatae jam erunt BF , ajo zonam 
1F1B3B3F2F1F aequari duplo segmento 1CA3C2C etc. Hoc facile 
demonstrari potest per inscriptas et circumscriptas Methodo Arcbi- 
medea, accedente hoc lemmate (si jungas rectam iCjC), quod in 
omni triangulo AiC^C, per cujus tres angulos transeant tres rectae 
parallelaeAiEjE, iB|F|C, 262^2^9 rectangulum sub 1B2B et AiE 
seu sub intervallo duarum rectarum et portione tertiae inter angu« 
V. 8 



tl4 

li^n A, p^ quem transit^ et pro^uc^um UtWß op|iQ9i|ton^ iC^C in- 
terceptae compfebensum aequetur duplo tri^mgulg AiCtC. Biac 
enim propositum non difficulter demonstratur Methode Archimedea: 
Sumantur puu<;ta quotlibet in curva proposita (fig. 16), nempe 
iC, 2C, jC, 4C etc. iisque totidem respondentia iF»sF,sF,4F etc. in 
curva resectarum, et ipsae C£ tangant curvam propositam; jan- 
gatiir A|CoccuiTens ipsi jCsEiuiK; similiter jungatur A 2C occor- 
rens ipsi jCaE in jK, et ita porro; ducantur ex K ad axem ABB 
UQrmales tKiß, 2^2)^ etc. et ex 2^ ducatur parallela axi 2^1^' 
occttirens ipsi iBiC in iF, ipsi i/S|K in i9»> ip&i 262^ ift-iH; 
siijoUiter ducatur sEifF occurens ipsi 262^ fßji, s^s^ i^ sF, 2^1 
2H, et ita porro. Ex kmmate patet, triaDgulum AiKjG acquari 
dinidki r^ctangulo i^tß^ßt^ ^^ similiter triangulum A2K8C aequari 
dimidi rectangulo 29^2/^81)10) itaque et summa omnium l^ujasmodi 
triangulorum aequatur dimidiae summae omnium hujosmodi rectan- 
gulorum. Sed dißierentia summae triangulorum (AiK2^^^t^z^^ 
A3K4C + etc.) a sectore (1CA4C1C) est minor data, si satis viciiu^ sAi 
smMAtur puncta iC,2GiaCelc.; [diiferentia enim tiaec conaistit in 
e^ujis tri^ngulis simui sumtis |C|K2C4-2Ct^8C ^to* quorupi quodr 
]ib^if ut iCi^s^) ^ respondens triangulum A1C2C minorem data 
r^tioo^m accipere potest, ergo et summa omnium ülorum ad sum- 
wap horum]. Similiterque et differentia summae rectangulmmn 
(ig> %ßthiU+29iß z^f!^'^ ^to«) ^ 2ona 1F1B4B4F1F fiet minor data, 
[eonsisüt enim baec differentia in summa exiguorum reetangnhNnu« 
iFtB|/?^9?, iFzBi/^s?' ^^- ^^ ^^ summa exiguorum. trilindoram 
iFtH^FiF» 2F2H3F2F etc. quae summae etiam erunt nunores data 
quaptitate, respectu summae rectangulorum i9)|/?2^iH ^^- quuffl 
quodUbet exiguorum rectanguloram aut tritineorum ad tale respon- 
dens rectangulorum minorem data rationem acdpiat]. Itaqu« difie* 
r^tia dimidiae zonae sectorisque erit minor data, adeoque seotcNr 
ee4 diflBJdiae zonae aequalis. Q. E. D. 

Fateor autem me Tbeorematis hujusmodi opus non babM^, 
wm quicquid ex illis duci potest, jam in calculo meo oomprahen* 
4Jitur; libenter tameu iis utor, quia calculum imaginatic^i quodam* 
m>iQ conciliant. Hoc certe theorema quomodo ex mea Chmn^efe- 
mstiaa derivetur, annotar« placet. Compendä causa exhibeaiBus 
]?em nunc in casu« quo initium cury^e iC (fig. 17) iBciiiit inipsun 
punctum A, quo casu sector abit in segmentum, et zona in triii^ 
mm^ «deoqua trilineum A2B1F2FA aequatur duplo segm 



ii9 

AjCjCA. Jam AB seu EF sil x, BC, y, AE seu BP sit %, erit 
FC Ä y — 2, et ob tangentem EC est dx ad dy ut EP ad PC, seo 
dx:dy = x:y — z (1), ergo ydx — zdx = xdy (2) , Tel 2y dx — zdx 
= xdy + ydx (3). Jam Ady + /ydx vel /xdy + ydx = xy (4) 
(irt eonstat ex nostro calealo differentiali, qoia d, xy = xdy -|- ydx 
(*)) f «Fgo ex aeq. 3 ope aeq. 4 fit 2 /ydx — /zdx = xy (6) seu 
/ydx — ^ xy =5 ^ /zdx (7). Est autem |/zdx nihil aKud quam 
dimidiam trilinei A3BjF2FAetlxy est trianguhim A3B3C et /ydx 
est trilineum A3B3C2CA, nnde /ydx — i xy est segmentam A3C2CA, 
et proinde ex aeq. 7 fit dimid. Trilin. A3B3F2FA==:segm. A3C2CA 
(S), quod demonstrandum proponebatnr. 

Ex hii^ jam demonstratis in trilineo et segmentO/ sequitur 
idem in zona et sectore, si scilicet reseeemus minora aeqaalia, 
trilineum A2B2FA et segmentum A2CA, a majoribus aequalibn» 
AsBgFA et A3CA, remanent aequafia, nempe zona 2F2^3)^3P2'* ^^ 
seetor 3CAaC2C. 

Boc porro Theoremate demonstrato, sequuntur quadraturae 
ommum Par8dl>oloei4iim et Hyperboloeidum, seu omnlum ilgurarum, 
ul» reseetae AE (fig. 18) ad ordinatas BC habent rationem eandem 
constautem, quae in Parabola communi est ut 1 ad 2, in evbfeft 
Qt i ad 3, in quadratico-cubica ut 2 ad 3 seu ut 1 ad 3:2 etc. 
Sit scilicet figura talis quadranda, ubi ratio reseetae AE ad ordi- 
natam BC sit ut 1 ad r, ergo erit ABFA ad ABCA ut 1 ad r, seu 
ABCA = r . ABFA (1) ; rursus ABFA = bis segm. ACA (2), seu 
qiija si;^, ACA » ABCA ^^ triang. ABC (3) , ideo ex aeq. 2 per 
aeq. % Qet ABFA ^ bis ABCA — bis ABC (4) seu ABFA ^ bis 
ABCA — rect^ng. AB in BC (5), quo talore ipsius ABFA substituto 
in aeq. 1 fit A BCA = 2r. ABCA — r rectang. AB in BC (6). Ergo deni- 

que ABCA = r7&— 1 rectang. AB in BC (7), hoc est ABCA est 
ad rectangulum circumscriptum ut r ad 2r — 1. Idem looum suo 
modo habet non tantum in Paraboloeidibus« ubi potentiae ordinata- 
rum sunt ut quaedam potentiae abscissarnm, sed in Hyperboloeidibus» 
ubi potentiae ordinatarum sunt reciproce ut potentiae absciasar^m. 
IJnus tamen casus excipitur, ubi fit r — 1 = > quod contin(;it ia 
Hyperbola Conica, quae utique talem quadraturam non admittit. 
Nempe generaliter si y = x», fiet zona CB(B)(C)C (fig. 19) ad difil 
inter rectang. ABC et A(B)(C) ut 1 ad i^+n, at in Hyperbola 
Conica haec dilferentia =0, et quia n=3 — 1, fit 1+n etiam 
=? 0. Sed baec omnia^ ut verum fatear, noü sunt nki ad populum 



phalerae pro illis, qui analysin nostram non intelligunt, nam qua 
draturae talium figurarum ex nostro calciilo immediate deducantnr. 
Nunc subjiciam propositionem a me inventam drca Cycloei- 
dem, quae ex eodem theoremate statim deriyatur. Nempe seg- 
mentum cycloeidale ACcA (fig. 20), quod abscinditur recta AC dacta 
a vertice A ad punctum C, quo basi parallela BC ducta per B, 
circuli generatoris centrum, curvae occurrit, aequatur semiquadrato 
radii circuli generatoris seu triangulo ABN. Nam (per theorema 
nostrum) segmentum hocACcA aequatur dimidiae summae oninium 
A£ axi ordinatim applicatarum, id est (quia iu Cycloeide AE aequa- 
tur semper ipsi nc) dimidiae summae omnium nc axi ordinatim 
applicatarum, quae summa aequatur reiortae AnNCcA. Hinc jam 
ita ratiocinor: Triang. ABN+ triang. ANC+ segm. ACcA = trilin. 
cycloeidal. ABCcA = quadrant ABNnA + Retort. AnNCcA. Jam 
triang. ANC =: quadrant. ABNnA (quia trianguli ANC altitudo est 
radius AB, et basis NC aequalis quadrantis arcui AnN) et retorta 
AnNCcA = duplo segmento ACcA (per hie demonstrata). Ergo in 
duobus valoribus trilinei cycloeidalis, sublatis utrobique aequaiibus, 
fit segm. ACcA == triang. ABN; ergo segmentum ACcA aequatur 
semiquadrato radii. Q. E, D. 



V. 

EXTRAIT DUNE LETTRE DE M. LEIBNIZ ECRITE D'HANOVRE 

A L'AUTEÜR DU JOURNAL TOUCHANT LA QUADRATURE 

DUNE PORTION DE LA ROULETTE. *) 

II n'y a que deux portions purement eycloidales et simples, 
c'est ä dire segmens compris entre la courbe de la cycloide et une 
droite, dont on ait trouv^ jusqu'icy la quadrature absolue, sans sup- 
poser Celle du cercle. La premiere quadrature est de Finvention de 
Mons. Hugens, s^avoir que (fig. 21) la droite KGE (parallele au 
plan MI, sur lequel le cercle generateur ACHNA roule, et eioignee 
du sommet A de la distance AG, quatrieme partie du diametre AH) 
retranche de la cycloide MIEAK le segment horizontal KEAK egal 
ä AOPH, demyhexagone inscrit dans le cercle generateur. Lautre 



^) Journal des Sfavans de l'an 1678 p. 219 sq. 



117 

quadrature in*est veiiue dans Fesprit ä Toccasion d'un theoreme 
fort general que je donneray ailleurs. Je Tay communiquee ä plu- 
sieurs ä Paris: mais comme je puls juger de ce que Mons. de la 
Hire n'en fait point de mention, qu'elle n'est pas encor assez con- 
Due, je vous la donne icy enoncee et demonstree. 

Tbeorenie. 

AFEA Segment ineline de la cycloide, compris entre AEF 
portion de la courbe cycloidale et AF droite menee du sommet A 
au point F qui repond ä B, centre du cercle generateur ACHNA, 
est egal au Triangle rectangle ABC, c'est ä dire au deinyquarre 
du rayon. 

Pour en donner la demonstration, je suppose 

1) que le triangle ACF est egal au quadrant ABCDA, parce 
que la base de ce triangle CF est egale ä ADC aro du quadrant 
et sa hauteur est le rayon AB; 

2) que la Betorte ADCFEA est egale au quarre du rayon, 

ou au double triangle ABC, ce qui se trouve chez les Peres Fabry 

et LaJouere, chez Mons. Wallis, Mons. de la Hire et autres. 

Demonstration. 
AFEA egal ä + ACFEA .... — ACF par la figure 

Segment cycloidal triligne triangle 

+ ACFEA .... — ABCDA par la 1. supposit 

triligne quadrant 

+'aDCFEA.'.. +'aCDA. . — ABCDA par la figure 
retorte segment de cercle quadrant 

+ 2 ABC + ACDA . . — ABCDA par la 2. supposit. 

triangles segment de cercle quadrant 

+ ABC + ABC . . . + ACDA . . — ABCDA cela s entend 
triangle trian ^ segmen t de cercle quadrant 

+ABC + ABCDA . — ABCDA par la figure 

triangle qua drant quad rant 

donc AFEA egal ä ABC +_rien 

segment cycloidal triangle 

ce qu^il falloit demonstrer. 



116 
VI. 

DE VER4 PROPOBTIONE CIRCUU AD QDADRATUM CIRCUM- 
SCRIPTUM IN NUBfERIS RATIONALffiUS EXPftESSA. *) 

Proporliones curvilineoriun ad Rectilinea investigare Geo- 
metrae semper sunt conati, et tarnen nunc quoque, etiam posi 
Algebram adhibitam, nondum ea res satis in potestate est secun- 
dum wetbodos quidem bactenus publicatas: neque enim haec pro- 
bleiaata ad aequaiknieB Algebraieas revoeari posaunt» et usum ta- 
omi pukberrimum habeut, inprimis in Maobanica ad purae Geo- 
metriae terrsiiios reduceiida, qaod norunt« qui taba profundius in- 
spexere, pauci quidem, sed maxime eximii Matbematicorum. Prionis 
Arcbimedes, quantum constat, inveuit^ quae sit ratio iiiier conuni, 
spbaeram et cyliadrum «iusdem altitudinis et basis, nempe quatis 
#st numeroruia 1^ ^, 3, ita ut cylinder sit triplus coni et ae&qui- 
alter sphaerae; unde spbaeram et eylindrum etiam sepulcro suo 
iasculpi jussit: idem iuvenil quadraturaan Parabolae» Nostro secuio 
ra|)ertus est modus metiendi figwras curvjHneas innuxnerabilesy in- 
primis quando ordinatae BC (fig. 22) sunt in ratioue utcunque mul- 
tipbcata aut submultiplicata, direcU aiit reciproca abscissarum AB 
vel DG; erit enin figara ABCA ad r^ctaügulum circutasGriyttim 
ABCD, ut unilas ad mtmerum rationts mitltipIicatioDeHi exprimentem, 
unitate auctuvu ExempU gratia, c|uia id Parabola abscissis AB sive 
DG existenlibus ut humeris naturaltbus 1^ 2, 3 etc. ordinatae BG 
sunt ut earuro quadrata 1, 4, 9 etc. seu in dUplicata ratione nu- 
merorum, tunc numerus rationis multiplicationem exprimens erit 2; 
ergo erit figura ABCA ad rectangulum circumscriptum ABCD, ut 
1 ad 2 + 1 seu ut 1 ad 3, sive figura erit tertia pars rectanguli. 
Si AB vel CD maneant numeri naturales, et BG fianl cubi 1, 8, 
27 etc. (nempe in Paraboloide cubici), foret ratio ordinatarum tri- 
plicata rationis abscissarum; ergo figura ad rectanguluiti, ut i ad 
3 + 1 sive 4» seilt pars quarta. Sin DC sint quad^ala, BC cubi, 
sive ratio ipsamin BG rationis ipsarum DC tripiicaAit subduplicata, 
erit figura (Paraboloides cubico-subquadratica) ABCA ad rectangu- 
lum ABCD, ut 1 ad 4 + 1 seu duas quintas rectanguli constituet« 
In reciprocis numero rationis multiplicationem exprimenti praefigi- 
tur Signum — sive minus. 



^) Zuerst gedruckt in den Act. Erudit Lips. an. 1682. 



6bd oirculus ttoiidtttti baetenus 4^ogi potuit sub hujosModi 
te($es, quanlf is «ib omni retro memoria a C^ometris exercitus. Noii* 
dum eniffl inveniri potuit numerus exprimens rationem drculi A ad 
^adratum dreumscriptum BC (fig. 23), quod est quadratum diametri 
DE. Nee inveniri potuit ratio circumferentiae ad diametrum, quae est 
^adrapla rationis circuli ad quadratum. Archimedes quidem polygon^ 
dreulo insoribens et eireumscribens, quoniam major est inseriptis et 
itiinor drcumscriptiS) modum ostendit exbibendi limites, inter quos 
cii^cnltts cadat, sive exbibendi appropinquationes: esse scilicet ratio- 
nem circumferentiae ad diametrum majorem quam 3 ad 1 seu quaM 
81 ad 7, et minorem quam 22 ad 7. Hanc methodum alii sunt 
l^dtoeüti. Ptolemaeus, Yieta, Hetius, sed maxime Ludolphus Co- 
loniensis, qui ostendit esse circumferentiam ad diametrtim Ut 
3.14159265358979323846 etc. ad 1. 00000000000000000000. 

Verum hujusmodi appropinquationes, etsi in Geometria prac- 
tica utiles, nibil tarnen exhibent, quod menti satisfaciat avidae veri- 
tatis, ifiisi progressio talium numerorum in infinitum continuando- 
fum reperiatur. Multi quidem perfectum Tetragonismum professi 
^unt, ut Cardinalis Cusanus, Orontius Finaeus, Josephus Scaliger, 
tbomas Gepbyrander, Thomas Hobbes, sed omnes falso: calculis 
enim Archimedis ?el bodie Ludolpbi refellebantur. 

Sed quoniam video, multos non satis percepisse, quid desi« 
deretur, sdendum est, Tetragonismum sive conversionem circuli in 
aequale quadratum aiiamve rectilineam figuram (quae pendet a ra- 
tione circuli ad quadratum diametri, vel circumferentiae ad dia- 
metrum) posse intelligi quadruplicem, nempe vel per calculum, vel 
p«r construetionem linearem, utrumque vel accurate rel propemo^ 
dum. Quadraturam per calculum accuratum toco Analyticam ; eank 
vero qulie per eonstructionem accuratam fit, voco Geometrieam^ per 
caieulum prope Terum habetur appropinquatio, per construclion^m 
ppöpe veram M^chanisrnm. Appropinquationem longissime produxit 
L«dolphu6; Mechanismos egregios Vieta, Hugenius aliique deder^; 

Obtmructio Geometrica aceurat4 haben potest, qua non tan- 
tum drculum integrum, sed et quemlibet sectorem sive arcum 
titeüif Mceat motu exacto atque ordinato» sed qui ourvis transcen- 
dentikud competai, quae per errorem alioqui Mechanicae censentur^ 
etiBi tamen aeqne sint Geometricae ac vulgares, licet Algebraioa« 
tm eint nee ad ae()uationes Algebraicas seu certi gradus redüd 
quialit; attaa enm proprias, etsi iion*alg<^raieas, tamen aoal^eas 



1*0 

habent. Sed ista hie pro dignitate exponi non possunt Quadra- 
iura Analytica seu quae per calculum accuratura fit» iterum in tres 
polest dispesci: in Analyücam transcendentem, Algebraicam et 
Anthmeticam. Analytica tramcendens ioter alia habetur per aequa- 
tiones gradus indefiniti, bactenus a nemine consideratas, ut si sit 
x"^ +x aeq. 30, et quaeratur x, reperietur esse 3, quia 3' +3 est 
27 + 3 sive 30: quales aequationes pro circulo dabimus suo loco. 
Algebraica expressio fit per numeros, licet irrationales, vulgares 
seu per radices aequationum communium: quae quidem pro qua- 
dratura generali circuli sectorisque impossibilis est. Superest Qua- 
dratura Arühmetica, quae sattem per series fit, exhibendo valorem 
circuli exactum progressione terminorum, inprimis rationalittoi, 
qualem hoc loco proponam. 

Inveni igitur (fig. 23) 

Quadrate Diaroetri existente 1, 

Circuli aream fore } — ^ + 1— | + J^— tt + A—iV + iS — ti 
etc., nempe quadratum diametri integrum demta (ne nimius fiat valor) 
ejus tertia parte, addita rursus (quia nimium demsimus) quinta, 
demtaque iterum (quia nimium re-adjecimus) septima, et ita porro/ 
eritque 

valor justo major 1 errore tarnen existente infra j^ 
minor J— i ^ 

major | ~i+i " • • • 4" 

minor j — J+i—| | 

etc. etc. 

Tota ergo series continet omnes appropinquationes simul sive va- 
lores justo majores et justo minores : prout enim longe contiouata 
intelligitur, erit error minor fractione data, ac proinde et minor 
data quavis quantitate. Quare tota series exactum exprimit valo- 
rem. Et licet uno numero summa ejus seriei exprimi non possit« 
et series in infinitum producatur, quoniam tarnen una lege pro- 
gressionis constat, tota satis mente percipitur. Nam siquid^n cir- 
culus non est quadrato commensurabilis, non potest uno numero 
exprimi, sed in rationalibus necessario per seriem exhiberi debet, 
quemadmodum et diagonalis quadrati, et Sectio extrema et media 
ratione facta, quam aliqui divinam vocant, aliaeque multae quanti- 
tates, quae sunt irrationales. Et quidem si Ludolphus potuisset 
regulam dare, qua in infinitum contiouarentur numeri 3. 14159 etc. 



IM 

dedisset nobis quadrataram Arithmeticam exaciam in inl^ris, quam 
008 exhibemus in fractis. 

Ne quis autem in his panim versatus putet, seriem ex infi- 
nitis terminis constantem non posse aequari circulo, qui est quan- 
titas finita, sciendum est, multas series numero terminorum infi- 
nitas esse in summa quantitates finitas. Exempli facillimi loco sit 
series ab qnitate decrescens progressionis geometricae duplae ^ + 
i+i+iV+^7~l~irT ^^c* ^^ infinitnm, quae tarnen non facit plus 
quam 1. Nam in adjecta linea reeta AB (fig. 24) quae sit 1, erit 
AC \j et residuum (€B) bisecando in D, habebis CD \ ; et resi- 
duam (DB) bisecando in E, habebis DE i; et residuum (EB) bise- 
cando in F, habebis EF ^; et ita continuando sinefine, nunquam 
egredieris terminum B. Idem in fractionibus numerorum figura- 
torum seu triangulo Harmonico fieri a me alibi ostensum est. 

Multa notari possent circa banc Quadraturam, sed quae nunc 
persequi non vacat; hoc tarnen praeteriri non oportet, terminos 
seriei nostrae |, |, ^, if, | etc. esse progressionis harmonicae sive 
in continua proportione barmonica, ut experienti patebit; quin et 
per saltum |, ^, ^, ^, ^V ^^^* ^^^ etiam series progressionis har- 
monicae, et |, 4, yV« iV> tV ^^^- ^^^ itidem series harmonice 
proportionalium. Itaque cum circulus sit f + i + i + A + tV ®^c« 
— I — f — iV*"A — iV ^^^'' posteriorem seriem partialem a priori 
sobtrabendo, erit magnitudo circuli differentia duarum serierum 
progressionis harmonicae. Et quoniam quotcunque terminorum 
numero finitorum progressionis harmonicae summa compendio ali- 
quo iniri potest, hinc appropinqualiones compendiosae (si post 
Ludolphinam Ulis esset opus) duci possent. 

Si quis in serie nostra terminos signo — affectos tollere volet, 
is duos proximos +{ — ^, item +i — ^, item +^ — A, et H-^V 
— iV» ®^ +iV"~iV» ®^ i^ porro, in unum addendo, habebit seriem 
novam pro magnitudine circuli, nempe | (id est | — |) -f ^y (id 

est { — f) +A(»^est|— tV)> i^qwe 
QuadriUo inscripto existente f, 
erit Area Circuli i+'h+^+rls+^h «tc. 
Sunt autem numeri 3, 35, 99, 195, 323 etc. excerpti per saltum 
ex Serie numerorum quadratorum (4, 9, 16, 25 etc.) unitate mi- 
nutorum, unde fit series 3, 8, 15, 24, 35, 48, 63, 80, 99, 120, 
143, 168, 195, 224, 255, 288, 323, 360, 399 etc., ex cujus seriei 
namens quartus quisque post primum noster est. Inveni autem 



Itft 

+'^+7V cic. summam esse |; quin et stoplki «alt» eiMpeddi^ 
nttAp« i+'iV+A+uV+iAr ^t<^» ^J^^s seriei iulMtae suiaitta facit 
I seu |. Sed gi ex bac iterdtti simplici sdtii terttiinos excerpa- 
iniis, nempe f +7V+i)V ^^-f ^jus d^iei iDfinitlie domma erit Se^ 
miciretilus, posito qnadratum diaibetri esse 1. 

I ^ Lciroulo ABCD, cujas potentiaf 

E ^ HK «I* g ;ioscripte Hy-perbolae CBÄHC,) eil \ 

•^ jn)Bnb3B f ) cujus quadrttüiA AftCD \ 



es 

CS 



I c<nT ^ a. «^ i !§• i .§ :§ .1 

j <M «si M IN \« « -5 3 s *1 '^ S 



i. 2 f S HSHS • HE • I - § I -1. *« I^S 

00 






VII. 

D£ DIMENSIONIBÜS FIGURARUM INVENIENUS. *) 

Signum est perfectae Analyseod, quando aut solvi problema 
polest, dut ost6ndi ejus impessibilitas : quod cum nemo hactenus 
praestiteiit circa transmutationes tiurvilineorum in rectilinea, palet 
in hac parte impeKectio Geometriae, et ipsiüs Algebrae, quae uti 
hactenus tractata est, ad talia problemata non porrigitnr. £xcogi- 
tavi tarnen jam a multis annis subsidium Analyticum, et amicis 
ostendi, quod huc redit! notuijl est interioris Geometriae peritis, 
(flg. 26) data qüalibet curva APC (et illarum nunierö, quarum na- 
tura seu r^latio inter brdiDatam et absdssam per aequationem AI- 
gebraicam s^u certi gradus exprimi potest, quas Cartesius appellat 
Oeometrieas, ego 6b graves rationes potius Algebraicas äppellare 
soleo) pösse äliam inveniri cUfvam AÖD etiam Algebraicain, cujus 
figara op6 prioris possit quadrari; idquä fieri polest mullis modis« 
exempli caus^a data corra AFC, potent inveniri eurva AGD talis na- 
turae, ut rectangulum sub FE ordinata prioHä curvae et recta 
con^tante H semper aequetur trilitieo curvae posterioris seu figu- 
rae AEGA, v6l ut reet^ngulum sub FE ordlnata ourväe prioris et 
abseissa ejus AF aequetur eidem trilineo, vti alils modis infinitis. 
Prioreili cttrvam AFC toco Quadtätricefn, posteriorem AGD Ouä- 
Sttenddm. Bed boc opus, hie labor est, data Quadranda Figura, 
iatenir^ Quadratricem ejus äliquam, praesertim cum aliquaiido qua- 
dratricem itivenire (Algebraice qüidem exprimendatn) sit impössibil^. 
Ut ergo prae^tal'em, quicquid in hoc genere fierl polest, tateni nie- 
tbodam etcogitavi, antea quod sciam non usufpataitl, sed quäe 
maximum et in aiiis usum habere polest. Adhibeo aequationes 
Curtarun^ generales, quarum unaquaeque omnes curvas eju^dem 
grados eiprittriC^ Et talis cuHht generalis, consid^ratae taAquam 
quadratrfch, quaero quddrandam genehilem secundüm aliquem ^x 
modis dttpra di(5ti$, quem semper emiid^m sei'vo, quia demonsträfe 
ptM!sutti, si ttoil dflttfr t^adt'atrh secuMum dhum modum, tiec eam 
secündtitti dliüitt dari. Oblatae jäm quadk'andae specialis aequatiö 
compai^tida est cum aHqua ex formulis generalibns, ^uädrandärum 
nükiram ^xprim^ntibuii ; sed si nulli comparari possit, manifestum 



•> Zuerst Bf^o^^ ^^ *^ ^^^ Erudit^ i^s, aa. 1^^ 



M4 

est, eam sub ipsis non compreheDdi, adeoque nullam habere qaa- 
dratricem, scilicet Algebraicam. Eadem methodo invenire pos9iiin, 
quam habeat qaadratricem , si non Algebraicam, saltem transcen- 
dentem, hoc est Circuli aut Hyperbolae aut alterius figurae quadra- 
turam supponentem, ut scilicet saltem dimensiones reliquas ad 
has simpliciores reducamus. Multa higusniodi habeo, quibus Geo- 
metria in immensum ultra teitninos a Vieta et Cartesio positos 
promovetur. Nam Veteres nolebant uti lineis altiorum graduum, 
et solutiones, quae earum ope fiebant, Mechanicas. Cartesius id 
reprehendit et omnes curvas in Geometriam recipit, quarum na- 
tura aequatione aliqua Algebraica seu certi alicujus gradus exprimi 
possit. Rede quidem; sed in eo peccavit non minus quam Vete- 
res, quod alias infinitas, quae tamen etiam accurate describi pos- 
sunt, ex Geometria exclusil et Mechanicas vocavit, quia scilicet eas 
ad aequationes revocare et secuudum suas regulas tractare non 
poterat. Verum sciendum est, istas ipsas quoque, ut Cycloidem, 
Logarithmicam, aliasque id genus, quae maximos habent usus, posse 
calculo et aequationibus etiam linitis exprimi, at non Algebraicis 
seu certi gradus, sed gradus indefiniti si?e transcendentis, et ita 
eodem modo posse calculo subjici ac reliquas, licet ille calculus 
Sit alterius naturae, quam qui vulgo usurpatur. Hujusmodi cogi- 
tationum mearum, quas alibi non obserya?i, participem feci Ami- 
cum ingeniosissimum, qui etiam eas multis de suo inventis auxit 
et suo tempore praeclara dabit; idem calculum inveniendi quadra- 
trices algebraicas supra dicta methodo aggressus aliquot theore- 
mata dedit Unum tamen cogit me monere amor veritatis, haue 
ipsam methodum meam quaerendi quadratrices, insignes quidem 
usus habere, sed non sufficere ad inveniendas quadraturas quas- 
cunque, neque ex ea probari posse impossibilitatem Quadraturae 
Circuli aut Hyperbolae. Fieri enim potest, ut aliqua certa portio 
quadrautis circuli vel etiam totus quadrans ABDGA quadrari pos- 
sit, licet non detur quadratura indefinita et generalis cujuslibet por- 
tionis datae secundum unam aliquam legem communem seu cal- 
culum algebraicum generalem, qui exprimat relationem inter spa- 
tium AEGA et rectang. AEF ; unde nee dari poterit semper ae- 
quatio quaedam algebraica exprimens relationem inter AE et £F, 
abscissam et ordinatam quadratrices AFC; ac proinde quadratrix 
non erit Algebraica seu certi gradus, sed transcendens. Et qui- 
dem circulum esse incapacem quadraturae indefinitae fädle multis 



IM 

modis demoDstrari potest, sed nuUa hactenus extat demonstratio, 
a paralogismo libera, quae ostendat impossibilitatem specialis qua- 
draturae circuli totius. Placet autem ascribere exemplum figurae, 
ubi succedit quadratura specialis sine generali. Sit in quadrato 
AEfiZ (flg. 27) trilineum orthogonium AEJMMA; jam secentur latera 
qoadrati opposita AE, ZB in punctis G, R, curva vero in puncto 
H per rectas GR, reliquis quadrati lateribus AZ , ED parallelas. 
Abscissa ER appelletur v, et ordinata RM appelletur y, et latus 
quadrati h, et aequatio naturam curvae exprimens sit y* — 6hbyy + 
4yyw + h* = 0. GM appelletur x, et AG appelletur z, fiet y = h — x 
ety=h — z, quos valores substituendo in aequatione praecedenti 
6et: h*— 4h3x + öhhxx — 41ix» + x* — 6h*+ 12h»x — 6hhxx + 
4h* — Sh^z + 4hbzz— Sh'x + 16hhxz — 8hxzz + 4hbxx— 8hxxz + 
4xxzz + h* =: 0, seu destructis destruendis : 4hhzz — 8hxzz + 4xxzz 
— bhH + 16hhxz — 8hxxz + 4hhxx — 4hx* + x*= , quam ae- 
quationem dividendo per hb — 2hx + xx habebitur : 4zz — 5hz 

, 4hh — 4hx + XX multiplic. in XX n t. • u 

T , , ^ = 0. Itaque si figura nostra 

hh — ahx + xx ^ ° 

est quadrabilis methodo superdicta, deberet haec aequatio secundum 

libi proposita couferri posse cum ista^. 

ibzz + «iz + eaa ^^^ ccg+bff — cdf— 4beg mltpl. in aaxx 
0= +2dxz+2fax + — ^^^^^^^^^^^^^ ^ 

f + gxx — ^^^ — 2cdax— ddxx. 

Sed manifestum est, coUationem non procedere, si vel solus nu- 
merator fractionis utrobique existens comparetur, deberet enim 
4hh — 4bx + XX coincidere cum aa, in dde + ccg + bff — cdf — 4beg, 
indeterminatum cum determinato : ut taceam, ex reliquis compara- 
tionibus literas d, e, f, g fieri aequales nihilo: unde in aequatione 
quaesita ad curvam quadratricem, quae est 

byy +• cay + eaa i 

+ dxy + fax N =0 

restaret tantum byy + cay = 0, quae est aequivocatio non ad li- 
neam, sed ad punctum. Itaque linea curva Quadratrix haben hoc 
modo non potest. Et tamen aliunde scimus, trilineum propositum 
esse quadrabile: itaque ista methodus, licet maximi sit momenti, 
tarnen ad omnes quadraturas inveniendas non sufficit, sed opus est 



aüas Bikmt artes tihikm^ quag qtiidem aliM expooMn; res mäm 
onmino in potestate est. 

Additio 

ad Schedam de Dimensionibus Flgurarum mveniendis. "*") 

Cum exüniae eruditionb Matbematicus, Job. CbristopbqrDs 
StMrmius, in Actis nuperi mensis Martii publicaverit methodusii 
qua dimensiooes figurarum ab Euclide, Arcbimede aliisque datae 
direcUus et Qompendiosius, quam vulgo fieri solet, demonstraiitur, 
reduceudo scilicet ad series infinitas continua abscissantm seu par- 
tium axis bisectione et parallelogrammorum semper aliorum atque 
aliorum (pro altitudine partes axis, pro basi ordinatas b^ntiiw) 
circumscriptione, ac de ea re meam nominatim aliorum^ue Geo^- 
metrarum sententiam desideraverit ; officii mei putavi, quid senüam 
paucis expromerei etsi serius fortasse quam facturus eram, si illum 
Actorum locum maturius animadvertissem. Et quidem noo pos- 
Sttm BOU agnoseere methodum baue demonstrandi probam esse et 
laudandam. Sentio autem et baue et alias baclenus adbibitas omqes 
deduci posse ex generali quodam meo dimentiendorum cuiTilioeo* 
rum principio, quod figura curvüinea eensenda sit aequipoüere 
PQlygono inßnitorum laterum; unde sequitur, quicqnid de tali Po- 
lygono demonstrari potest, sive ita ut nullus babeatur ad nume- 
mm laterum respectus, sive ita ut tanto magis rerificetur, qaanto 
major sumitur laterum numerus, ita ut error tandem fiat quovis 
dato minor, id de curva posse pronuntiari. ünde duae oriuntur 
methodorum species, ex quibus meo judicio pendet, quicquid rel 
hactenus inventum est circa dimensionem curvifineorum, vel im- 
posterum potent inveniri. Idqne hactenus non satis consideratum 
reperio. Caeterum bortor Virum Clarissimum, ut tentet metbodum 
suam ad eas promovere figuras, quarnm dimensio nondum datur, 
ut scilicet non täntum ad demonstrand^uQ, s^d efiaiii ad invenien- 
dum serviet, quod variis modis praestwj posse Video. Licet au- 
tem generaliores metbodos dudum bal^aam, qualis illa est, quam 
in scbeda mensis Maji Actorum bujus anni pubUcavi, non tarnen 
tales contemno vias magis restrictas, quia saepe sqnt cpoipendio- 
siores in quibusdam casibus, et variare Metbodos ad perfectiooein 



•) auerst gNJmckL in dw AcU Eru4ü. Up». aih 1«M. 



IM 

scientiae pertinet, et aliae methodi aliis problematis sunt aptio- 
res ac qaasi a natura assigaat^, praesertim cum generalis illa 
B(eMl<¥li|» me^ conparata sit ad invenienda» quadratiira^ indei&iii- 
t^^ fei]| flg^rae toii pariter et partibus ejus quibuscunque coquhu* 
p^ prq definitis vero portionibus vel totia figuris solis noqdiw 
mim auffleere, sad alia plane adhibend^ es^e videatur. 

Qua tarnen occasione non dissimulabo, alium Vimm Exi- 
mium, qui in üsdem Actis mense Octobri anni praeteriti 1683 
etiam quadraturas definitas aut earum possibilitatem et specia- 
tim circa dimensionem totius circuli exhibere voluit (quod mihi 
ex üs, quae aifert, nondum sequi videbatur) nuper mihi signifi- 
casse, inventum se habere modum satisfaciendi huic difBcnltati. 
Id inventum si legitimum est, lubens, quae in Actis proximi men- 
sis Martii contra scripsi, retractabo et fatebor, eum aliquid magni 
momenti mihique secundum hanc investigandi rationen ignotum 
et insperatum praestitisse, magnumque illud Problema Tetrago- 
nismi Circularis quoad eum quadrandi modum, qui yulgo quaeri- 
tar, absoWisse demonstrata ejus impossibiUtate, quod hactenos 
publice fecit nemo. Ait enim, se posse demonstrare, quando- 
ennqne figurae alicujus lineä algebraica (ut ego loqui soleo) ter- 
rainatae non datur quadratura algebraica indefinita si?e generalis 
(sea quando ejus non datur quadratrix Algebraica), tunc nee posst 
dari alicujus portionis ejus quadrafuram algebraicam definitam 
sea specialem. (AHbi autem explicui me Algebraicam vocare quan- 
tilatem Tel lineam, cujus natura per aequationem certi gradus 
oprimi potest). Ego sane me fateor hactenus in alia fuisse sen-» 
tentia; quom'am tamen pomittentis amici ingenium maximi fado, 
Meo nondum desperare völo de successu, hortorque magnopere, 
W iHam demonstrationem edat, unde plurimum lucis accedet 
«ÜMaetriae. 

» 



;.» 



IIB 



VIII. 

QÜADRATÜRA ARITHHETICA COMMUNIS SECTIONÜM CONI- 
CARUM, QÜAE CENTRÜM HABENT, INDEQUE DÜCTA TRIGO- 
NOMETRIA CANONICA AD QUANTAMCÜNQUE IN NDMERIS 
EXACTITUDINEM A TABULARÜM NECESSITATE LIBERATA, 
CUM USU SPECIAL! AD LINEAM RHOMBORUM NAUTICAM, 
APTATUMQUE ILLI PLANISPHAERIUM*). 

Jam anno 1675 compositum habebam Opusculam Quadratu- 
rae Arithmeticae amicis ab illo tempore lectum, sed quod materia 
sub manibus crescente limare ad edititionem non vacai^it, postquam 
aliae occupationes superyenere, praesertim cum nunc prolixius ex- 
ponere vulgari more, quae Analysis nostra nova paucis exhibet, 
non salis pretium operae videatur. Interim insignes quidam Ma- 
tliematici, quibus veritas primariae nostrae propositionis dadum in 
bis Actis publicatae innotuit, pro humanitate sua nostri qualiscun- 
que inventi candide meminere. Quos inter Hl* Hugenius etiam 
analogum aliquid in Hyperbola eleganter adjedt, a nostri olim 
schediasmatis analogia diversum. Ut enim nos dederamus seriem 
{i — J t^ + i t* ®t^* P®** circulum, ita ipse 1 1+ ^ t* + J t* etc. 
per Hyperbolam primariam exhiberi notavit, de quo adde dicta ad 
Schediasma hie praecedens **). Et sane etiam in Opusculo nostro 
inedito, nee ipso viso, inter alias propositiones una continebaUir 
satis memorabilis ob generalitatem ambasque illas et plura com- 
plexa: Sectorem, curva conica a vertice incipiente et radns ex 
centro eductis comprehensum , arithmetice quadrare. AT (fig. 28) 
porlio rectae in vertice tangentis, comprehensa inter verticem A et 
T occursum tangentis alterius extremi» vocetur t, et CR semiaxis 
conjugatus (seu recta, quae potest rectangulum sub dimidiis late- 
ribus recto et transverso) sit unitas, erit sector CAFEC aequalis 
rectangulo comprehenso sub AC semilatere transverso et recta, 
cujus longitudo sit -}t i:^t^ +^t^±^t^ etc. Ita exprimitur non 
solum area sectoris circularis, aut sectoris Hyperbolae primariae 
aequilaterae, cum angulus Asymptotarum est rectus, sed et alterius 



*) Zuerst gedruckt in den Act. Erodit. Lips. an. 1691. 

^)« Es ist dies die in den Act. Erudit. vorhergehende Additio 
ad schediasma De Medii Resistentia. 



, «" * * 

• •! •! ••• • • 

• ! • • • • • 

• • • • • 



sedtorfi» Bi^tiM «iit %p(erbbfiei ocijQseati^ue* CMman ex sen 
Mnii^ ^ tue aläsq««, ut Meitalore, ^ewtona> OregKiriö exhilntiB 
se^uitur Trigonomet^iae Canonicae sine Tabulis praxis quantum 
licet etacta. Nequs ernin semp^r Tabulas per inai*ia et terras cir- 
«Hfttfefre in pütestMe est. Nempe sit radhis unitas, arcas o, tangfiie 
tt iriiiasreötUB f» sinus versud Vj logaritbm«« 2, mmetusl ^t 
Oogarithmo ipslttd umitMii <Aifil«ate 0) fiet 

(1) 
a = {.t— it» + it« — }0 + it» etc. 

(2) 

id M a ^ -1 a' 4* tf^ t^ eto. 

(») 



T Ä 



a* a* . a* a 



etc. 



1.» l.a.3.4^ 1.2.8.4.5.« 1.2.3.4.6.8.7.8 

(*) 
I *= fn — in* + ia» — ^B* -h |n» ötc. 

(9) 

° ^ r"*" rTa + 1-2.3 + 1.2.3<4 "•" 1.2.3.4.5 ^^^• 

ftiaipCBr auttni qüantitae, eiijus potentiae in serk infinita adbiben«- 
Mr, dejbet eis»e minor umtäte, nt in progreftsu fiant quimtiHlivis 
pirtw», iI«|Hsmodi serie^ Am possant plur^s, et «flfe^re etiam 
f9t Mife» ficet) ut ex df cu dcntdr siaus et tangeates arfsfieniies se« 
iogadtlttnloi (aen aoppositis aattralibas) et viciBsim arcus es ifils ; 
wd ylituit Ina tanttiidii adaeribere series, quae taib «mplicis sunt 
edttyoritioiili , ut fttcilümid memoria retineri et nbivis defeotom 
lürmmii ao tabali^rtfm sappler* possint. Ita^iie unam tantum db 
Mim sitaplicitatem dt quia hujus sehediaamatis occaaionem prae*- 
btaty addd « ii siia;is odloplementi äint c , logaritbmos sinuunl reo- 
toram tA potins (qned eodem redit) reciprocorum ab Iiis sidubii^, 

fotettfi nf^^ +10*4*^^ + 1^^^ ^^'t quemadmodüm seqaitur 
€Dt lai, qua* ianuimus in scbediasmate de Resisfeeniia Medii Aet 
teraötil I tSB pag* 4 nticw 5 pröp. 6 } üade rursus patat , etiam 
p aa deite a «piadrMiinr Hyporbolad. Noe ahhidant quae dederat Nid. 
HivcbtOrt adde ad maum Girciiii Tetragoniamum seoaüdo mcnae 

pffimi aiin banua Aatoruni editum duxaram Aaaiogfain eaailifpeN 

Y, 9 ^ : 



hM non inelegftntdni. Inveiierani seiliüet eircahiin esBe ad ^Mr 
drattim circumscriptuni ut f — i+i — 4^ etc. ad uoi^atem, mh 

circulum esse ad quadratum inscriptum ut -j— : + "^innll,i 

etc. ad |, ubi nuaieri 4, 36, 100 etc. sunt quadrati a.pad- 

<buB quatemario differeutibiia 2, 6, 10 ^c. Siwiliter ex aupra- 

dictis, cum Numerus, cujus logarithmus quaeritur, 1 + x est 2, 

tunc X est 1, adeoque f — ^ + f — i etc. est Logarithmus 

4 4 . 

Hyperbolicus binarii. Eadem series facit ^ . — {- r^- — r + 

4 4 4 

t ~ 121-^1 ^^^' ^^^ qH 1 ^** ^^^' i — 4> ^^ 49^1 ^^^ ®®^* * 

— \, et ita porro), ergo Logarithmus Hyperbolicus binarii est «d:iini- 
tatem, ut q^^H "^ ^q i etc. est ad |, ubi numeri 9, 49, 121 etc. 

sunt quadrati a 8, 7, 11 etc. qui sunt impares unitate excedentes 
supra dictos pares quaternario differentes; unde origo patet anilo- 
giae olim a nobis exhiUtae in bis Acti», ut dicflum est. Esge au- 
lern i cc + I c* + ^ c* etc. log. de 1:^1 — cc, sie demonstrator : 
log. „de l + C3= I c — 4 cc + i c* etc. et log. de 1 — c = — 
{c — j^ c c — 4 c^ etc. utrumque per aeq. 4; ergo log. 1 4- c + 
log;.l-*^c id est log. 1 — cc = — -|c c-^ |^c* — |c® etc*«t proifide 
■J log. 1 — cc id est log. Vi — cc=: — ^cc — ^c* — f c* ^. 
Sed quo magis herum usus appareat, ostendere operae pretnim 
erit, eundem calculum prodesse ad iineam Rhombicam in superficie 
sphaerica a navigantibus descrif^am recte aestimandaim atque in 
piano projiciendam, quae vulgo parum accuraie tractantur. Rem usu 
amplissimam paucis explicemus. Sit Polus P (fig. 29), Aequator 
Aqq, Meridiani PA, Pq etc., Linea Rhombica A1I2I3I etc. quae de- 
scribitur, quamdiu eadem plaga seu yenti rhombus tenetur. Per 
puBCta I, 1 ducantur paralleli HI, nempc ^H^l, sHi^^sI) sHsdgl etc. 
Quod si jam punctorum q, q intervalla sint incomparabiliter parva, 
portiones arcuum quippe inassignabiles erunt pro rectis, et trian- 
gula ilid2l, 2'2<la^ ®^c. erunt similia, ob ängulum lineae Mombieae 
semper eundem ad loci meridianum« Ergo |1|1 fnanütas Rhmnhh- 
:eae' pereursae seu itinerü in eodem rhan^(^ estadiB^Hy differ^ii'' 
tiam latitudinis extremorum, ut sinus Mm ad angiUi rhomUei 
sinuM. Itaque ex dato angulo rhombieo et differentia latitudinnm 
datur quantitas itioeris, vel oontra. Huc usque res pervuigata eat. 



*. .• ... ... . . 



8ed ttt ex iisdem differentia loDgitudinum caloulo aestioaeturi ii6go- 
tiuB esl GeoBietciae Iranscendenüft, quam pauci rede tracUTerunt 
Id ergo sapplere nosirae melhodi est Radius seu sinus totus sit 
aoita^, et tangens anguli rbooibici constantis sit 6, patet esse |dj|l 
ad |l|d seu ad iHjH vel ^dgl ad slsd seu ad sHaH, ut 6 ad 1. 
Sed sq^q «st ad «dal, ul AG (sinus totus seu spbaerae radius) a4 
sHM sinum anguli aHCP (fig. 30) cujus arcus aHP est latitudinis 
A|H complementum , seu 2q3q ad 2dal9 ut CaH ad aHH, seu ut 
CE secans auguli latitudinis ad AC siuum totum. Latitudo seu 
arctts meridiani AH sit A, et ^EgVi erit dh. Jam CE secans sit n, 
et jdal erit bdh, et 2^»^ ^^^^ budh, et portio tota aequatoris Agq 
erit byndh, et /ndh est area secantium arcui applicatorum. Jam 
iDgulo GEN recto edueta EN ipsi GA occurrat in N, sumtaque 
|HQ particula ipsius aHM et normaliter ex Q edueta ad circulum 
QF, ob triangula similia nempe ordinarium NEC et cbaracteristicum 
iaassignabile 3HQF erit rectaagulum CE in aHF seu ndh aequala 
rectangulo CN in QF. Si jam CM siuus latitudinis sit e , QF erit 
de» et CN vel MV (sumta in M ^11 continuata) reperietur esse 1:1 — ee, 
dnctaque linea per AVV, erit /ndh seu area ACMVA aeq. J] de : 

e— ee et b/, de: 1 — ee seu -y- + ~^r~ + -- r— etc. ent 

lud 

Aaq arcHS aequatoris inier A (initium lineae rbombicae Aal in 

aeqoatore) et meridianum Palaq, ad quem pervenit, interceptus: 

posito e esse siuum latitudinis extremi ai» et ( esse numerum qui sit 

adunitatem, ut tangens constantis anguli rhombici cum meridiano 

est ad sinum totum. Unde si quaeratur iqaq differentia longitudi- 

nis duorum rbombicae lineae lUlal punctorum |1 et al ex data 

iHaH differentia latitudinis eorundem, oportet tantum invenire A|q 

et Aaq, eritque differentia iq^q, adeoque si sinus latitudinis puncti 

e'~~*(e) e "^^ f e)' 
Jt sit e, et puncti jl sit (e), tantum opus — r — + — ~- + 

— —■ etc. multiplicare per 6 tangentem anguli rhombici ad me* 

ridianum, posito sinum totum esse unitatem, et productum erit 
differentia longitudinis quaesita. Denique ex superioribus re ad 
logarithmos redacta ad modum artic 5 prop. 4 nostri scbediasmatis 
De Resistentia Medii, erunt differe nt iae lon gitu dinum pu n ctorum a l 
et tl, ut logarithmi rationis 1 + e : e— e ad 1 +(e) : 1 — (e)^ 
posito radium spbaerae esse unitatem et sinus latitudiimm dictorum 

9* 



pHiMtoVttin Mftpeetive esM e et (4). Bi las jam oMMiies pmctkos 

fcrile dueel peritus, vehüi ^i data diffarentia kNigitadims ^UkA- 

tadiiiifl looariiiii quaoraa rbombum se» angulum rfaopibica« ÜDaae 

ab uno ad alium dttcenlis: Mm tangem tmguli, ftiaai fliangW 

qua$8Hus faeU od mtridianmm «t «<{ f mum t^lmm , til cravi di^- 

frretuiae hnffHuiinum ut ad logarithmmm kyp^rboUc^m dUUi 

, e— (a) «a— (e)« e«^(e)* ^ , 

f a(t«nM JMt« ffa —| + •-'— V g etc. Quod 

si maridiani in planiapbaario projioiantur roolis parallaUs, quod cau- 
tSonibas debitis adkibitis plerumque eommoda satte fleri palMt 
salva exaetitudine, tone etiam lineae Rhooibicae ermit ractae. Si 
jara gradus longitudinia herumqoe partes projiciaraua aeqiKiUbas 
intervaliis, oportet gradoa latitadiois aaeumi inaeqnalas , et sie qob- 
dem ad nappam Gaometriee coastruendam , nt ducta ad likltngi 
retta omnes meridlanes obliqae secante, latiUidina» ppneto mm ip- 
tersectionls habeant, ut ex diotis palet, numeros» qualM eal 1 «f « 
: f — -e, geometrica progressiene incedantes ; id esim si ima veeta 
praeslet, praestabiint omnes. Uiide eompavando ciu» nameris acalae 
latitudifiis fadHimom erit in ipsa mappa menaurave ex vera vootan 
q^^mi49 in ea ^ucibilem seu quantitatem Iihom})io^e. di^tae. Hjs 
mappis si aKas jungas, ubi spbaericae superiiciei partes projiciuntar 
ex eentro in plana tangentia, omnesque areus eirealarvm Hiagnonin 
adeoque i4ae brevissimae eahlbentur raclia, |riavaq«e in praii p|dM 
satis praestari possnnt. 



I . 



\ 



CHARACTERISTICA GEOMETRICA. 



ANALYSIS GEOMETRICA PROPRIA. 



CAI^CIJIiVS SITUS. 



Obwohl die von Vieta angebahnte, yon Descartes weiter 
ausgeführte grosse Revolation in der Behandlung geometrischer 
Probleme mittelst der Algebra vorerst das Mögliche leistete und 
vielseitig befriedigte, so verhehlten sich doch die einsichtigen Ma- 
thematiker des 17. Jahrhunderts keineswegs, dass die Darstellung 
der algebraisch gewonnenen 'Resultate durch Construction in Ver- 
gleich zu den durch Einfachheit und Eleganz mustergültigen Leistun- 
gen der Geometer des Alterthums noch weit zurückstand. Um in 
dieser Hinsicht der Analysis zu Hülfe zu kommen^ hatten Desar- 
gues und Pascal den Plan gefasst, ein bestimmt abgegränztes 
Gebiet der Geometrie, die Curven des zweiten Grades hinsichtlich 
ihrer allgemeineren Eigenschaften synthetisch zu durchforschen; sie 
hofften, dass sie dadurch wenigstens für die Lösungen derjenigen 
Probleme, welche von den genannten Linien abhängen, allgemeinere 
Gesichtspunkte würden aufstellen können. Indess der geometrische 
Weg, den sie hierbei einschlugen, und die rein synthetische Behand- 
lang boten zu viele Schwierigkeiten, so dass sie das vorgesteckte 
Ziel nicht erreichten. So fand Leibniz den Stand der Sache, als er 
in Paris mit allem Feuer jugendlicher Begeisterung dem Studium 
der Mathematik sich widmete. In Folge einer Unterredung mit 
Carcavi*) war seine Aufmerksamkeit auf diese Lücke gelenkt 
worden, und er erkannte sofort, dass hier ein Feld sich bot, auf 
dem Neues zu schaffen und Ruhm und Ehre zu ernten war. Leibniz 
fasste den Gegenstand, nicht wie seine oben genannten Vorgänger, 
von der entgegengesetzten Seite, er blieb im Bereich der Cartesia- 
nischen Geometrie und versuchte die Gleichungen zu verallgemeinem, 



*) Pierre de Carcavi (gest. 1661 zu Paris) war zuerst Parla- 
mentsrath in Toulouse, dann Conservator der Königlichen Bibliothek 
in Paris. £r gehörte zu den Stamm-Mitgliedern der Akademie und 
ftand mit Descartes, Fermat, Pascal in Briefwechsel, 



um eine Gleichung zu finden , die alle Corven des zweiten Grades 
repräsentirte. Die Hülfsmittel, deren er sich hierzu bediente, waren 
zunächst den Ideen entlehnt, mit denen er sich seit längerer Zeit 
in Betreff des grossen Problems der allgemeinen Charakteristik 
beschäftigte: neue Charaktere, die mehrere Operationszeidien zu- 
gleich ausdrückten und sogleich äusserlich erkennen Hessen, aus 
welchen Zeichen sie entstanden seien; ferner die Einführung der 
untheilbaren Grössen (indivisibilia) Cavaleri's, so wie des Unendlichen, 
Wk^^J^ PQScartßs k^ivm GebcaMoh g^ni^cbt hatte» Indess wwen die 
4^i/vs4rucke» die Leibniz aiuf diesem Wege erbie^t, zu weiüänfi^'und nicht 
i(H bciwält^n, li^aber begann er, bevor er den Anlauf Qocb einmal 
wißdefrboltf ^ mit einer genauen Zurechtiegung der Priaeipien und 
d^r Bauj)tgeai€bt»pupkte , wekbe das Fundament des Ganzen bilde- 
ten« Bei dieser speQuIativen Untersuohung kam Leibniz zu der Apr 
sif^bt» dßss obwobl die Geometrie dem algebraischen Calcul unter- 
geordnet sei, sie deniiocb ei^ ihr eigenthümliche Anal^sis habe, 
du;rgb welche ihre Theoreme dai^c^tbaA und. die Constructionen, nach- 
dein der Calciil so viel, ^Is mogfi&b veneinfacht und zustammeogp- 
a^Qgen, zulets^. miftelid iii^n bewirkt ivürden. Diese der Geometrie 
eigentbümUcbe A^l,ysi& besassen nach Leibnizeos Meinung die Geo- 
meter des Alterthuais^ w)4 er bemerm» das^s die Neueren mit Hülfe 
il^i^r Methoden dje Lehrsal^e KeJrg^Uch suchen würden» welche die 
Alten aufgestellt liaben. Leibniz giaiifat jedoch, dass er die Grund* 
zjQge dieser K^nst (prima lineamenta hnjus arti^) gefunden habe^ 
mit. Hülfe vQn passenden Symbolen und oa^di Feststellung einiger 
Grundsätze soll ailes Weitere nach Art dea. CaLculs geschehen, so 
dass die Yorstelluug der geometrischen GrAsise ganz bei Seitei ge- 
lten- werden bann« 

Das Vorsiehende bildet den wesei>tlic;hen Inhalt der. Einl^ 
tungen, 4ie Leibuiz zu den beiden Abhandlungen. „De GonstrucUnue!' 
Ul^di >9^^ ^ Methode de rUniversabte'' voraus6cbi4:kt. In. diesen 
Abhandlungen erläutert er, wie man mit. Hülfe mehrdeutiger Symbole 
(spig^a. ^mbigua« caracteres> ambigus) zwei, und mehrere Gleichni^giw 
in eip^. ^samrnenfai^en kann. 6r hebt zugleich hervor, dass diese 
Symbole keineswegs willkührJich, vielmehr dem, was sie ausdrücken 
sollen, möglichst entsprechend gewählt werden müssen, und er er- 
wähnt , dass er in seinem ersten Versuche , um die Richtung aus- 
zudrücken, die Buchstaben des griecbißc^u. Alphabets gebraucht 
habe, und zwar soy daes die eraiteniBuchetaban. das* -f^«. die IfjUteu 



dm -^ «^drftclUjeiu Soäien i. B« zwei Gteichnog^n von der F«fm 
a «s 4- b + c uod 9^ + b — c in eine siuiammeoge&ssti werden, 
90 (cbrieb er a^^ -(- b(a£a)c*). Eine solehe Gleichung nennt Leib* 
m ,ipreKniire ambigniU." Sind ferner zwei Gleichungen von der 
¥4kvm a^-frb — c, a^ — b + o in eine zusammenzuziebeii . so 
achreibi er 9L^(ß^}h{yfß)c\ dies ist die,,8econde ambiguiti.'* üiti 
allgemeine Gleichung aus drei Gleichungen von der Form a = + b 
+ o,> a«"— b + o, a=s: + b — c ist die folgende: a=(yyy)b 
(yyq>) c; sie bildet die „troisieme ambiguite" u. s. w. Später ver- 
tanschte Leibniz die griechischen Buchstaben mit Symbolen, die 
aus + und — vielfach zusammengesetzt waren ; er gab jedoch für 
sehr zusammengesetzte Zeichen den ersteren den Vorzug, da sie 
die Genesis bestimmter ausdrückten; waren die Zeichen wenig^i; 
zusammengesetzt, so behielt er die Bildung aus + und — bei. 

Leibniz überzeugte sich indess sehr bald, dass auf diese Weiae 
das gewünschte Ziel nicht zu erreichen war; die Constructionen, 
die er mittelst der algebraischen Behandlung der Probleme erhielt« 
waren in Vergleich zu denen, die sich auf unmittelbar geometrisdiem 
Wege ergaben^ wunderbar gescbroben und unbequem, wie er bei- 
spielsweise an der Aufgabe: Aus der Grundlinie, der Höhe und 
dem Winkel an der Spitze ein Dreieck zu construLrea, darthut. 
Die Behandlung dieser Au^abe bietet zugleich die Beläge für die 
im Vorhergehenden dargestellten Versuche rückäichüich der Ausfüh* 
nmg seiner Ideen. 

Durch dieße wenig günstigen Erfolge wurde Leibniz bewogen^ 
auf das Gebiet der Geometrie zurückzugehen. Er bemerkte, dass 
nicht allein die Quantität der Figur, sondern auch die Qualität d. ha 
die Form zu berücksichtigen sei ; denn das sei die wahre geome* 
trisohe Analysis , die nicht bloss die Gleichheit und ProportienalitäA 
m Betracht ziehe, sondern auch die Ähnlichkeit, die aus der Form 
dar Figur entspringt, und die Congruenz, die durch die Verbin- 
dung der Gleichheit und Ähnlichkeit hervorgeht. Da nun nach der 
allgjBm.^in angenommenen Sitte, die Eckpunkte der Figuren zu btf 
zeichnen, durch die dazu gebrauchten Buchstaben allein theilweis«; 
schon die Eigenschaften der Figuren ausgedruckt werden, so wurA» 



ß ^ ilPH»!« 



*) Leibniz schliesst die griechischen Buchstaben in Klannnem 
em« um sie dadurch von den andern,, welche Grasaea bei^chaen, zu 
anterscbeiden. 



Leibniz hierdurch veranlasst, darüber nachzudenken , "^ob nicht te^ 
diglich durch blosse Nebeneinanderstellung und Umstellung dieser 
Buchstaben alle Eigenschaften, der ganze Charakter der Figuren 
dargestellt werden könne; möglicherweise würde sich alsdann em 
Caicul ergeben, der mit und an den Buchstaben allein ausgef&fart, 
nicht nur die Definitionen in ihrer ganzen Eigenthflmlichkeit pro- 
duciren, sondern auch die Auflösungen der Probleme finden lassen 
würde, und zwar nicht nach der bisherigen Willkühr , sondern 
vielmehr nach einer bestimmten Methode. 

Da bisher Niemand dergleichen versucht hatte, so sah sich 
Leibniz genöthigt, den Gegenstand von den ersten Anlangen an zu 
erörtern. Er geht hierbei von dem absoluten Raum aus, betrachtet 
die Lage eines Punktes in demselben, und entwickelt, wie durch 
Bewegung aus dem Punkt die Linie, aus der Linie die Fläche, 
aus der Fläche der Körper entsteht. Da nun durch zwei Punkte 
die gerade Linie, sowohl ihrer Lage nach, als auch, falls jene zwei 
Punkte zugleich die Endpunkte sind, ihrer Grösse nach bestimmt 
ist d. h. alle Punkte der Linie lediglich durch diese beiden Punkte 
gegeben sind, so werden diese zwei Punkte den Charakter der Linie 
ausdrücken und demnach vollständig bestimmen; es reicht aus, an- 
statt der Linie die beiden bestimmenden Punkte in Betracht zu 
ziehen. Sind demnach zwei Punkte A, B zweien andern C, D con- 
gruent, so sind auch die dadurch bestimmten Linien congruent; 
und sind die drei Punkte A, B, C, die nicht in einer geraden Linie 
liegen, drei andern D, E, F congruent, so ist auch die durch die 
drei ersten Punkte bestimmte Kreisperipherie der durch die drei 
letzten bestimmten congruent. Allgemein drückt dies Leibniz so 
aus: Wenn das Bestimmende congruent ist, so wird es auch das 
dadurch Bestimmte sein, vorausgesetzt dass ein und derselbe Mo- 
dus des Bestimmens bleibt. 

Was nun die Charakteristik betrifft, deren Leibniz zur Verwirk- 
lichung seiner Ideen über die wahre geometrische Analysis sich 
bediente, oder um seinen eigenen Ausdruck zu gebrauchen, was 
den „calculus situs'^ anlangt, so hat er sich vorzugsweise' auf die 
Bestimmungsform derCongruenz beschränkt, indess wie es scheint, 
nur um mittelst dieses Begriffs zu zeigen *) , was sich dadurch für 



*) Nunc ^tem ad explicaiidam rem sitas non nisi congruentia 
atemur, sepositis in alium locum iimilUudine et motu. • 



Iftf» 

die in Rede stehende DiscipHn gewinnen lässt. Es ist bereits von 
einem competenten Mathematiker nachgewiesen *) , dass dieser Be- 
griff fdr die einfachsten fieiationen, namentlich wenn es sich nur 
um die' Bestimmung eines Punktes oder einer Ebene handelt, aus- 
reicht, dagegen für complicirtere Fälle zu eng ist. Leibniz hat dies 
selbst gefohlt, denn er wollte ausserdem noch die Aebnlichkeit und 
die Bewegung in Betracht ziehen. Besonders scheint er zuletzt 
ein Torzügliches Augenmerk auf den Begriff der Aebnlichkeit als 
den weitesten gehabt zu haben, wie aus der „Analysis situs" her- 
Torgeht. 

Demnach hat Leifaniz aber diese iwue geometrische Analysis 
nur Anfänge hinterlassen*; sie sind jedoch von der Art, dass sich 
daraus von Leibnizens Ideen eine vollkommene Vorstellung gewin- 
nen lässt. Uebrigens hat er. den Gedanken an die Möglichkeit einer 
vollständigen Ausfahrung derselben niemals aufgegeben, wenn 
auch das Urtheil von Hugens, das Leibniz nach der ersten Durch- 
arbeitung seiner Ideen einholte, ungünstig ausfiel.**) Wiederholt 
hat er in der spätem Zeit seines Lebens solche, die für die Matbe- 
thematik sich interessirten, für die Ausfuhrung seiner Ideen über 
die geometrische Analysis zu gewinnen gesucht, unter andern den 
Freiherrn von Bodenhausen und einen gewissen Overbeck, der Con- 
rector am Gymnasium zu Wolfenbüttel war. Vun der Hand des 
letztern ist unter den Leibnizischen Manuscripten eine kurze Ab- 
handlung: De calculo situum, vorhanden, die nach Leibnizens An- 
gaben gearbeitet ist. 



Von den folgenden Abhandlungen bildet die unter Nr. I we- 
niger ein abgerundetes Ganze, als vielmehr eine Zusammenstellung 
alles dessen, was Leibniz in Betreff der Analysis Geometrica und 
des Calculus situs bis zum Jahre 1679 gefunden hatte. Fragmente 
hiervon sind sowohl der „Essay'S welchen Leibniz unter dem 8. Sep- 
tember desselben Jahres an Hugens sandte, um dessen Urtheil über 



*) Geometrische Analyse« geknüpft an die von Leihniz erfun- 
dene geometrische Charakteristik, von H. Grassmann. Leipzig iS47. 

**) Leibniz. Gorrespondenz mit Hugens^ S. 19 ff. in Leibnizens 
math. Schriften, Th« 2. 



die neui» Ana^sis ^zu voroetaMin *> ^ ah das iiiilBrNr»H EatkalieBK« 
welebea Jedoch zugleicb «in in sieb aJbgßgrloiteft GaBpe is4«< Eiata 
vorbaAdenea Hoüat zvfelge wurd& Mr, ü yfpnhälmi im JlJiiellM 
entworfen, lun den Freiberrn ¥0b Bodcohaiiften über die Aittlyfii' 
Geometrica und den CalGulus siti» su infilFiMreo.* 

Nr. IV unter dem Titel : In Euclidie n^vivai ist hier ang^ 
reibt worden, insofern sowohl die darin endMheodn Erörtemugitf^ 
über die Priacipien dev Geometrie« als aueb die Anwendosfen de^ 
Caiculus Situs »I Nr. II in offenbarem ZiisamneohMige rtcben. 



^) h^\hm. ttaai^MfMtedhe ScIHIIeif^ 1%. 3< ä. tM ff. 



J 



CHARACTERISTICA GEOMETWCA, *) 

(1) Ckaracteres sunt res quaedam, quibus aliarum rerum 
inter se relationes exprimuntur, et quarum facilior est quam ilia- 
rum tractatio. Itaque omni Operation!, quae fit in cbaracteribu^, 
respondet enuntlatio quaedam in rebus: et possumus saepe ipsa- 
nim rerum considerationem differe usque ad exitum tractationis. 
Invenio enim quod quaeritur in characterlbus, facile idem invenietur 
in rebus per positum ab initio rerum characterumque consensum. 
Ita machinae exhiberi possunt moduiis, corpora soUda repraesen- 
tari possunt in plana tabula, ita ut nullum sit punctum corporis, 
coi non respondens aliud designari possit in tabula secundum leges 
perspectivae. Itaque si quam operationem geometricam scenogra- 
phfca ratione in tabula plana super imaglne rei peregerimus, pot- 
erit eventus ilHus operationis exhibere punctum aliquod in Tabula, 
eui facile sit invenire punctum respondens in re. Ac proinde 90- 
latio problematum stereometricorum in piano peragi poterlt. 

(2) Qnanto «utem characteres sunt exactiores, id est quo 
plures rerum relationes exhibent, eo majorem praestant utilitatem, 
et si quando exhibeant omnes rerum relationes inter se, quemad- 
modura faciunt characteres Arithmetici a me adhibiti^ nihil erit in 
re, quod non per characteres deprehendi possit : Characteres autem 
AlgelNraici tantum praestant quantum Arithmetici, qnia significapt 
numeros indefinitos. Et quia nihil est in Geometria, quod non 
postlt exprimi numeris, cum scala quaedam partium aequalium ex- 
petita est, hinc fit, ut quicquid Geometricae tractationis est, etiam 
calciilo snbjici possit. 

(S) Yenim sdendum est, easdem res dirersis modis in cha- 
racteres referri posse, et alios aiiis esse commodiores. Ita Tabula, 
in qua corpus arte perspectita delineatur, potest et ^ibba e$se, sed 
prAestat tarnen usus tabulae planae; et nemo non videt, charac- 



«) Das llan^«qrttl Ui Aatin: IQ. AiH|ii«a \%7^. 



149 

teres numerorum hodiernos, quos Arabicos rel Indicos focant, 
aptiofes esse ad calculandum, quam veteres Graecos et Romanost 
quanquam et his calculus peragi potuerit. Idem et in Geometria 
usu venit; nam characteres Algebraici neque omnia, qoae in spatio 
consideran debent, exprimunt (Eleinenta enim jam inventa et de- 
monstrata supponunt) neque situm ipsum panctorum directe signi- 
ficant, sed per magniludines multa ambage ioTestigant. Unde fit, 
nt difficile sit admodum, quae figura exhibentur exprimere calcolo; 
et adbuc difßcilius, caiculo inventa eßicere in figora : itaque et con- 
structiones, quas calculus exhibet, plerumque sunt ndre detortae 
et iucommodae; quemadmodum alibi ostendi exempla problematis 
hujus: Data basi, altitudine et angulo ad verticem in?enire Trian- 
gulum. *) 

(4) Equidem animadverto, Geometras »olere descriptiones 
quasdam figuris suis adjicere, quibus explicentur flgurae, ut quae 
ex figura ipsa satis cognosci nou possunt, ut linearum aequaUtates 
ac proportionalitales, saltem ex verbis adjeclis intelligantur: pler 
rumque et longius progrediuntur, et multa verbis exponunt, etiam 
quae ex figura ipsa sunt roanifesta^ tum ut ratiocinatio sit severior 
nihilque a sensu atque imaginatione pendeat, sed omnia rationibas 
trausigantur , tum ut figurae ex descriptione delineari aut, si forte 
amissae sint, restitui possint. Hoc autem quamvis non satis exacte 
observent, praebuere tarnen nobis Characteristicae Geometricae velut 
vestigia quaedam, ut cum Geometrae dicunt (iig. 31) rectang. ABC, 
intelligunt factum ex ductu AB super BC ad angulos rectos; cum 
dicunt AB aequ. BC aequ. AC, exprimunt Triangulum aequiiaterum; 
cum dicunt ex tribus AB, BC, AC duo quaedam aequari tertio, 
designant omnia tria A, B, C esse in eadem recta. 

(5) Ego vero cum animadverterem, hoc solo literaram puncia 
figurae designantium usu nonnullas figurae proprietaties posse de- 
signari, cogitare porro coepi, an non omn^es punctorum figorae 
cujusque relationes iisdem literis ita designari poasinjt, ^i tata figura 
cbaracteristice exhibeatur, et quae crebris linearum ductibuft vix 
ac ne vix quidem praestantur, sola harum literarum coUocatione 
ac transpositione inveniantur. Nam plerumque confusio orUur in 
figura ex multiplicibus linearum ductibus, praesertim cum adbuc 
tentandum est, cum contra tentamenta characteribus impuiie flaut 



*) Siehe die Beilage zu die;i<er Ahhandluog. 



148 

Sed subest .aUq^id. ^ajjus, nam potenmus characteribus istis veras 
definiliooes omnium exprimere, quae sunt Geometricae tractationis, 
et aoalysin ad principia usque, nempe axioniata et postulata, conti- 
Buare, cum Algebra sibi non sußiciat, sed proposilionibus perGeo- 
metriam inventis uti cogatur, et dum omnia ad duas illas propo- 
sitiones, quarum una duo quadrata in unum addit, altera vero 
triangula similia comparat, referre conatnr, pleraque a naturali or- 
dioe detDrquere cogatur. 

(6) ISo6 vero ubi semel Elementa cliaracteribus nostris de- 
moDstraverimus, facile poterimus modum deprehendere inveniendi 
problem^um solutiones, quae statim eadem opera exhibeant con- 
structiones et demonstrationes lineares, cum contra Algebraici, in- 
Teotis yaloribus incognitarum, de constructionibus adhuc soliciti 
Bftse debeant, et constructionibus repertis demonstrationes lineares 
quaerant. Itaque miror bomines non considerasse, si demonstra- 
tiones et constructiones esse possunt lineares, omni caiculo exutae, 
JBultoque breviores, profecto etiam inventionem dari debere linea- 
rem: nam in lineari non minus quam algebraica Synthesi regressum 
dari necesse est. Causa autem, cur analysis linearis nondum de- 
)U*ebei)sa fuerit, baud dubie nulla alia est, quam quod Characteres 
nondum inventi sunt, quibus ipse situs punctorum directe reprae- 
sentaretur, nam in magna rerum multitudine et confusione sine 
characteribus expedire sese difficile est. 

(7) Quod si jam semel liguras et corpora literis exacte re- 
praesentare poterimus, non tautum Geometriam mirifice promove- 
bimus, sed et opticen, et pboronomicam, et mechanicam, in Uni- 
versum quicquid imaginationi subjectum est, certa methodo et veluti 
analysi tractabimus, eificiemusque arte mirifica, ut machinarum 
inveatioues non sint futurae dilficiliores quam constructiones pro- 
bkmatum Geometricae. Ita etiam nuUo negotio sumtuque macbinae 
«tiaiQ valde compositae, imo et res naturales delineari poterunt 
•sine i|guri&i ita ut posteritati transmittantur, et quandocunque lu- 
bebit, figurae ex de^criptione summa cum exactitudine formari 
possint, cum nunc quidem ob delineandarum figurarum difficulta- 
tem ftivntusqae .multa pereant, bominesque a rerum sibi explura- 
laruni atque reipublicae . utilium descriptione deterreantur, verba 
etiam neque satis exacta neque satis apta bactenus a,d descriptiones 
condniiandas babeantur, quemadmodum vel ex botanicis et armo- 
nun ifti^igoiumque . explicatoribus patet. Poterunt enim caeterae 



quoque qualitates, quibus puncUi, quae in ^eometria Qt dinrifia 
cansiderantur, inter se differunt, facite sub (^haracter^s Yocari. At 
profecto tum demum aliqoando spes erit penetrandi in natura« 
arcana, cum id omue, quod alius vi iogenii et imagioaiionia «x 
datis extorquere potest^ nos ex iisdem datis certa arte K^curi et 
tranquilli educemus. 

(8) Cum vero niliil tale cuiquam homimmi, quod dclain, in 
meutern venerit, nee ulla uspiam praesidia apparerent, coaetus attm 
rem a primis initiis repetere, quod quam difficile ait nemo credit 
nisi expertus. Itaque diversis temporibus plus decies rem aggren- 
sus sum diversis modis, qui omnes erant tolerabiies et praestabaiit 
aliquid, sed scrupulositati meae non satisfaciebant. Tandem oraltis 
resectis ad simplicissima me pervenisse agnovl» cum nihil aliunda 
supponerem, sed ex propriis characteribus omnia ipse demonstnM 
possem. Diu autem haesi etiam reperta vera characteristieae hü- 
jus ratione, quia ab Elementis per ae facilibus atque aKunde ttetis 
incipiendum mihi videbam, quae tanta scrupulqsitflte ofdhiare fliH 
nime gratum esse poterat; perrexi tarnen et molestia hae aupeMa 
denique ad majora sum eluctatus. 

(9) Verum ut omnia ordine tractemus, seienchun est pfittMi 
esse considerationem ipsiüs Spatii, id est Extensi pari absetdti: 
puri, inquam, a materia et mutatione, absohtti autem, id est ilH- 
mitati atque omnem extensionem continentis. Itaque niMia pan«ta 
sunt in eodem spatio. et ad se invicem referri pvRSunL An autem 
spiatium hoc a materia distinctum res quaedam sit, an aoloni dp- 
paritio constans seu phaenomenon, nilnl refert hoc loco. 

(10) Proxima est consideralio Puncff, id est e^s qa^ iHMr 
omnia ad spatium sive extensionem pertinentia slmplicissimattt isfll; 
quemadmodum enim Spatium continet extensionem absolotam, Ma 
punctum exprimit id quod in extensione maiiiiite iimitivtiim «M, 
nempe simplicem situm. tJnde seqottur punctum esse itiininMitti 
et partibus carere, et omnia puncta congruere inter se (Aira eoin- 
cidere posse) adeoque et simiKa atque si iUi loqni Eoel, ae^oidia 

esse. 

(11) Si duo puncta simul existere sive percipl intldiigatltlir, 
eo ipsa consideranda ofTertur reiatio eorum ad se invicem, quae in 
aßis atque aliis binis punctis diverse est, nempe relfttio lo^ t*l 
silus quem duo puncta a* se iurvtcem habent, re qne inMH(;i«ttr 
eorum distantia. Est autetn digtantia duerum nihil dUu^ fmm 



1411 

quantitM «iaiaia «aius ad idteruH} viae, et si hina puueta A . B 
servato situ inUr se, binis aliis punctis C . D eüam sitiim inter se 
serfautibuB sinul oongraant aui succedere possint, utique situs 
me distanüa ]|ioruip duorum eadem erit, quae distantia illorum. 
Nam coBgrua sunt quorum unum alteri coincidere potest, nulla 
iaira aUerutrum mutatione facta* Coinddeotiuin autem A.B item- 
qoe CD eadem distantia esl, ergo et ooagruoruo), quippe qua« 
sm distantiae intra A . B vel intra C . D muiatione f^cta, possunt 
eainddentia raddi. 

(12) Via autem (qua et distantiam defloiviniua) nihil aliud 
Bflt quam locu3 conttnuus successivug. Et via puncti düeitur Lit^ea, 
Dade et inteUigi potest, extrema lineae esse puncta, et qufiniilibejt 
liaeae partem esae Uueam sive punctis terminari. Est aaten) via 
coQliaumn quoddam, quia quaelibet ejus pars extrema habet cum 
alia anteriori atqua posteriori parte communia. V^Aß consequitur, 
at hoc obiler addam, si linea quaedam in aliqua superfide ducatur, 
QOQ posae aliam lineam in eadem superficie continue progredien- 
tem inier duo prioris lineae extrema transire, quin priorem secet. 

(13) Via lineae ejusmodi^ ut puncta ejus non semper sibi 
HiFifiem auccedant, Superficies est; et via superficiei, ut puncta 
t^ noft seoQ^r aibi invieem auccedant, est Corpus. Corpus au* 
Um moveri non potest, quin omnja ejus puncta sibi succedant 
(qoeipadttodum dftnonstrandum est suo loco) et ideo novam di* 
W^WfflQ non prodttdt Hinc apparet nullam e^se partem cor- 
poriß, ougns ambitus non sit superficies, nuUamque esse partem 
imperflcißi* ciiiJDa ambüus nou sit linea. Patet etiam extremum 
sufßßriki^ pariter atque corporis in se redire sive esse ambitum 

(14) Assmntis jam duobus punctis, eo ipso determinata est 
tia ^mfti p^r iinum psiritar aique alterum simpiidssima posaibilis : 
a|l9qw f^um distantia non esset determinata, adeoque nee situs. 
fibec ant^u) A^nea quae a da^us soUs punctis, per quae transit, 
4atarii9NAata eat ita UtroiruiP, ut po^ito eam per duo data puncta 
traaair«, ipsa aola binc consideranda offeratur, ea inquam linea 
4idtar reefßt ^\ lipat «t^unque producatur, didtur una eademque 
W^. G^ qi^bpa siiquitiHr, npii pospe dUP eadem puncta duabus 
r^flüa wn^ißmtm ^f^, nlsi eae duae rectae quantum satis est pro- 
4lppta^ opin^idfipt : ac pi^oinde duas rectas non habere segmentum 
coa^mune (alioqui et duo segm^enti Jiujus extrema baberent com* 

V. 10 



14« 

munia) nee spatiain claudere sive componere anbitum in 8e rede- 
untern, alioqui recta una ab altera digressa ad ea rediret, adeoque 
in binis punctis ei occureret. Pars quoque rectae est recta, nanu 
et ipsa determinatur per duo illa puncta sola, per quae sola deter- 
minatur totum: determinatur, inquam, id est omnia ejus puneta 
cousideranda seu percurrenda ex sola duorum punctorum conside- 
ratione offeruntur. Ex bis patet, si A.B.G et A.B.D congma 
sint, et A.B. ein una recta esse dicantur, coincidere C et D. Seu 
si punctum tantum unicum sit, quod eam habeat ad duo puncta 
relationem, quam babet, erunt tria puncta in una recta. Contra 
si plura duobus sint puncta eodem modo se babentia ad tna vel 
piura puncta data, erunt baec quidem in eadem recta, illa extra 
eam, cujus rei ratio est, quod quae ad determinantia eodem modo 
se babent, eo ipso ad determinata eodem modo se babent, itaqoe 
tria plurave puncta in eadem recta haberi possunt pro duobus. 
Puncta autem eodem modo se babentia requiro plura duobus (oam 
si sint duo tantum, res procedit, modo tria, ad quae unumquod* 
que duorum eodem modo se babet, sint in eodem piano, licet non 
sint in eadem recta). 

Recta quoque uniformis est ob simplicitatem, seu partes habet 
toti similes. Et omnis recta rectae similis est, quia pars unius 
alteri congrua est; pars autem rectae toti similis. Et in recta 
distingui non polest concavum a convexo, sire recta non habet duo 
latera dissimilia, rel quod idem est, si duo puncta sumantur extra 
rectam, quae eodem modo se habeant ad extrema rectae vei ad 
duo quaelibet puncta in recta, ea sese etiam eodem modo habebuat 
ad totam rectam, seu ad quodlibet punctum in recta, a qaoonnque 
demum latere rectae illa duo extra rectam puncta sumantur. Cujus 
rei ratio est, quia quae ad puncta determinantia aliquod extensum 
eodem se babent modo, ea etiam ad totum extensum eodem modo 
se babere necesse est. Denique recta a puncto ad punctum mi- 
nima est, ac proinde distantia punctorum nihil aliud est quam 
quantitas rectae interceptae. Nam ria minima utique magnitudine 
determinata est a solis duobus punctis; sed et positione determi- 
nata est, neque enim in spatio absolute plures minimae a puncto 
ad punctum esse possunt (ut in spbaerica superficie plures sunt 
viae minimae a polo ad polum). Nam si minima est absolute, 
extrema non possunt diduci manente lineae quantitate, ergo nee 
Partium extrema (nam et partes inter sua* extrema minimas esse 



i4r 

necesse est) salva singularum partium quantitate, ergo nee saWa 
toftius quantitate. Jäm si lineae duo extrerua maneant immota et 
linea ipsa transformetur, necesse est puncta ejus aliqua a se in?i- 
cem diduci. Itaque extremis rectae immotis, saha quantitate mi- 
nima inter duö puncta, in aliam transformari non potest, itaque 
non dantur plures minimae incongruae dlssimiles inter duo puncta. 
Qoare si duae inter duo puncta essent minimae, essent congruae 
inter se. Jam una aliqua minima est recta (ut supra ostendimus), 
ergo et alia minima erit recta; at duae rectae inter duo puncta 
coincidunt; itaque minima inter duo puncta non nisi unica est. 

(15) Modus generandi lineam rectam simplicissimns hie est. 
Sit corpus allquod, cujus duo puncta sint immota et fixa, ipsum 
autem corpus nihilominus moveatur, tunc omnia puncta corporis 
quiescentia incident in rectam, quae per duo puncta fixa transit. 
Manifestum enim est, ea puncta eundem locum habere ex datis 
daobas punctis fixis determinatum, seu manentibus duobus punctis 
fixis et toto solido existente, moveri non posse, cum caetera extra 
rectam, eadem servata ad duo puncta fixa relatione, locum mutare 
possint. Unum hie incommodum est, quod ea recta hoc modo 
descripta non est permanens. Aliter generari potest linea recta, 
si qua detur linea flexi lis, sed quae in majorem iongitudinem ex- 
tendi non possit. Nam si extrema ejus diducantur quousque id fieri 
potest, linea flexilis in rectam erit transmutata. Eodem modo et 
plani ac Circuli et Trianguli proprietates ex constitutis definitioni- 
bud naturali quodam meditandi ordine duci possent. Nam de linea 
recta in specimeu tantum disseruimus. 

(16) Haec omnia animo con sequi non difficile est, etsi neque 
figorae nisi imaginatione delineentur, neque characteres adhibeantur 
aiii quam verba, sed quia in ratiocinationibus longe productis neque 
verba, ut hactenus concipi solent, satis exacta sunt, nee imaginatio 
satis promta, ideo figuras hactenus adhibuere Geometrae. Sed 
praeterquam quod saepe delineantur difSculter, et cum mora quae 
cogitationes optimas interea effluere sinit , nonnunquam et ob mul- 
titudinem punctorum ac linearum Schemata confunduntur, praeser- 
tim cum tentamus adhuc et inquirimus; ideo characteres sequenti 
modo cum fructu adhiberi posse putavi. 

(17) Spatium ipsum seu extensum (id est continnum cujus 
parteis' slmui existunt) non äliter tiic quidem designari commode 
pösse Video quam punctis. Quoniam figurarum delineationes exacte 

10* 



H9 

exacte exprimere propositum est, et in hia QQiuii3i funfifß et trtf^- 
tu$ quidam continui ab uno puncto ad aliud spectantur, in quibus 
pupcta infinita pro arbitrio sumi possunt, ideo puncta quidem certu 
exprimemus literis solis ut A» item B (fig. 32). 

(18) Tractus autem oontinuos eiprimemus per puncta qn^ie- 
dam incerta sive arbitraria, ordine quodam aasumta, ita i?unen ut 
appareat semper alia tum intra ipsa tum ultra citraqqe s^mper 
posse sumi. Ita sbfbgb (üg. 33) significabit nobis totum tractnro, 
cujus quodiibet punctum appellatur b, et in quo pro arbitrio as- 
sumsimus partes duas, unam cujus extrema sunt puncta ^\^^ Jb, 
alteram cujus extrema sunt puqcta ^b , »b. Unde patet illas duas 
partes continuas esse, cum habeant commune punctum «b, et di- 
visio earum sit facta pro arbitrio. Bic tractus, in ij^uo du^^n^ par- 
tium cominune extremum nullum aliud est quam punctupa, dicitur 
Linea et reprajssenlari etiam pptest motu punpti 6, quod ylaju 
qua,ndam percurrit, sive vestigia tot quot puncta diversa «b, fb, |b 
etc. relinqnere intelligitur. Hinc lin^a dici potest yi^ punctj. Via 
autem est lo^us puqcti continuus successiFus. Potest et per co.m- 
pendium (jesignari boc modo: Linea Jb^ de^ign^pdo perliteram7 
vel aliam numeros ordinales pro arbitrio supi^os po|]e^]tiY.e ; cum 
verp scribemus: yb s^ine nofa supra y, intelljg^mu^ quodcunque 
lineae Jb punctum distributive. 

Eodem modo tractus quidam fingi possunt, quoruin partes 
cohaerent lineis, vel qui describi inteUiguntur iQOtu linß^e ta}i m\ 
puncta ejus non succedant sibi, ^^d ad npva loca deve^iant. Ifio 
tractus sive via lineae dicitur superficies. PonamMs nimirum |(fig. 34) 
lineani supradictam s^ftb^b moveri, ejusque lo^ijim umm appellari 
33b 3^b 39b, locum alium sequentem fi^he^bf^h et rqrsiis aUmn se- 
quentem dgb 9^b 99b, Get superficies 83b 3«b 39b, 6|b 6«b g^I>i g^Sigb %bi 
quam et per compendium sie designabimus : zyb. 

(19) Ubi patet etiam, quemadmodum motu lineae ^fr secw- 
dum puncta z6 describitur superficies Zy6, ita vicisaim motu lineae 
76 secundum puncta "^b describi eandem superficiem yib* At zyb 
significabit unaquaeque loca puncti b non coUective, sed distributive» 
et Zyb significat unam aliquam lineam ^b in superficie ^6 sunat^un 
quamcunque etiam non coUßctive, sed disU'ibutive. 

(20) Neque refert, ciyus figurae slnt ipsae lineae ^^e mo- 
ventur, aut etiam secundum quas fit motus, sive quas unum ex 
lineae motae punctis describit*, inspiciatur fig. 35. Potest etiam 



149 

fierf, ut dürante motu ipsa linea tnota figurarii mutet, at linealb 
in dicta fig. 3d, quod clarius intelligi polest, si quis cogitet quam 
superficiem descripturus esset arcus, qui durante explosiohe ut> 
cunque moveretur totus, exempli causa ^i caderet in terram. Po- 
test etiam ]inea mota durante motu partes aliquas amittere^ qnae 
ab ea sive re sive animo separantur, ut patet ex fig. 36. Fieri etiam 
polest, ut puncitum unum plurave, exempli gratia 3b in linea mota 
durante tnötu quiescat, et loca ^jus expressa velut plura, exempli 
gratist $3 b, 6sb, Ogb, inter se coincidant, ut intelligitur inspecta 
%. 37. S^A ba6 varietates omnes multaeque aliae plures etiam 
cliat*acteribtts design^ri poternnt, quemadmodum suo loco patebit. 

(21) O^emädmodum autem lineae motu describitur Tractus 
Hie quem tocätit superficiem, ita superficiei motu (tali ut partes 
ejus vel puncta sibi non ubique succedant) describitur Tractus 
qa6m vocant Solidum sive corpus. Quod exemplo uno satis intel- 
ligi potent (fig. 38), ut si immota manente linea (recta) (nempe 
Sabesb^ab) in superficie (rectangulo) Zyb (nempe (dabe^bOab j 

Sabe^bOßb 
agböobgidb ) 

moreatur ha^c ipsa superficies, motu suo describet solidum 
i SSab 3a6b 3)gb, Beab 366b 369b, 39,b 396b 39^b 
I aSsb GSftb eg^b, edsb 666b 669b, 693b 6%h 699b 
( 93,b OSgb 939b, 96,b 98«b 969b, 99,b 996b 999b 
hbi (amen notandum, hoc loco ob rectam Tsb immotam puncta 
äsfab, 6Stb, 933b (ideoque loco omnium in figura reperitur solum 
^ih) coincidere, itenlque puncta 363b, 663b, 9ß3b, unde etiam figura 
ba/belCür tatitum 63b; ac denique cum eodem modo bic coincidant 
pwAciä 393b, 693b, 993b', tantum per 93b expressa sint. Hoc sdli- 
dtfto autem per eompetidium exprimemus boc modo : xzyb, et dfiquam 
ejtrs stlpcirficiem seu löcum aliquem ipsius zyb exprimemus boc 
modo ^b (ita exbibetur sectio cjlindrlcae portionis seu solidi fau- 
jnd facta pUno pei* ixefn): potest etiam aliqua ejus superficies as- 
siunr fadd modo ttib (ita exbibetur Sectio hujus portionis cylindricäe 
seiiühdluii basin seu piano basi parallelo) ; item hoc modo yxzb (ita 
ethibetdr sectio htijus cylindricae portionis per alium cylindrum 
ixem cum isto communem habentem). Aliae quoque sectiones 
ejusdem P?garae ißt^nigi po^sunt, quia infiniti etiam fingi possunt 
fnodi eaiti g^tieratidi per motum vel eti^m resolveiidi in partes 
sectrndum certam afiquäm legem. Cueterum omnes varietates, quas 



150 

in sup^ficiei productione vel resolutione paulo ante iodicavimiM, 
multo magis ia solido locum habere manifestum est. Denique di- 
meiisionem aliquam aitiorem solido seu tractum ipsius solidi motu 
tali descriptum, ut puncta ejus sibi ubique non succedant, reperiri 
non posse, suo loco demonstrandum est. 

(22) Porro tractus ipsi seu loca punctorum quorundam inde- 
finitorum determinantur punctis quibusdam certis, itemque Legibus 
quibnsdam, secundum quas ex paucis illis punctis certis caet»^ 
puncta indefinita ordine in considerationem venire, et tractus ipsi 
generari sive describi possint. Quod antequam exponamus, signa 
quaedam explicabimus, quibus in sequentibus utendum erit Primum 
itaque fieri potest, ut duo Tel plura nomina in speciem diversa 
non sint revera nisi unius rei sive loci, id est puncti vel lineae 
alteriusve tractus, atque ita eadem esse sive coincidere dicentur. 
Ita (fig. 39) si sint duae lineae AB et CD, sintque puncta A et C 
unum idemque , hoc ita designabimus : AxiCf id est A et C coin- 
cidunt. Hoc maxime usum babebit in designandis punctis aliisque 
extremis communibus diversorum Tractuum. Idem enim punctum 
sive extremum suas denominationes habebit, tam secundum unum 
tractum, quam secundum alterum. Quod si dicatur (fig. 40) 
Ä.BxtCDy sensus erit simul esse AxC et BxiD, idemque est in 
pluribus; ab utraque enim enunciationis parte idem ordo est ob- 
servandus. 

(23) Quodsi duo non quidem coincidant, id est non quidem 
simul eundem locum occupent, possint tarnen sibi applicari, et sine 
Ulla in ipsis per se spectatis mutatione facta alterum in alterius 
locum Substitut qiieat, tunc duo illa dicentur esse congrua, uiA.B 
et CD in fig. 39; itaque fiet: A.BHC.D; item A.B8C.D in 
fig. 40, id est servato situ inter A et B, item servato situ inter 
C et D, nihilominus CD applicari poterit ipsi A.B. id est simul 
applicari poterit C ipsi A et D ipsi B. 

(24) Si duo extensa non quidem congrua sint, possint tarnen 
congrua reddi sine uUa mutatione molis, sive quantitatis^ id est 
retentis omnibus iisdem punctis, facta tantum quadam si opus est 
transmutatione sive transpositione partium vel punctorum; tunc 
dicentur esse aequalia. Ita in fig. 41 Quadratum ABCD et Tri- 
angulum isosceles EFG basin habens EG lateri AB quadrati duplam, 
aequalia sunt : nam transferatur FHG in EGF , quia EGF 8 FHG, 
fiet EFG aequ. EHFG; jam EHFG 8 ABCD, ergo, EFG aequ. ABCD. 



151 

ffine generaliiis, si aab et bad, erit a + h c^ (sive aequ.) c+d; 
imo anaplius: si a8c, b8f, c8g, d8h, fiet a + b — c + d i— i 
e + f — g+h; sive si duae fiant summae ex quibasdam parti- 
bus UDO eodemque modo addendo vel subtrahendo, partesque unius 
sint congruae partibus alterius eodem modo ad totum constituen- 
dum Goucurrentibus, quaelibet unius summae uni alterius summae 
sibi ordioe respondenti ; tunc duae summae quae iude fient, non 
quidem semper congruae erunt, erunt tamen semper aequales. 
Atque ita argumentatio a congruis ad aequalia ipsa aequalium de- 
fiaitione constituitur; sunt quidem alias aequalia, quorum eadem 
est magnitudo. Verum ipsa partium coogruentium cuidam fei sive 
mensurae moltitudo est magnitudo, ut si sint in fig. 42 duo mag- 
nitudinem babentia a et b, et detur res tertia c, quae sit bis a 
-(- ter b, patet ejus magnitudinem multitudine partium tum ipsi 
a tum ipsi b congruentium exprimi , itaque quae congrua reddi 
possunt nuUo addito vel detracto, utique aequalia esse necesse est. 
(25) Verum ut rem istam altius repetamus, explicandum est, 
quid sit pars et totum, quid homogeneum, quid magnitudo, quid 
ratio. Pars nibil aliud est quam requisitum totius diversum (seu 
ita ut alterum de altero praedieari nequeat) immedlatum, in recto 
cum correquisitis. Ita AB (fig. 43) requisitum est ipsius AC, id 
est si non esset AB, neque foret AC ; diversum quoque est, neque 
enim AC est AB; alioqui enim rationalis est requisitum hominis, 
sed quia homo est rationalis, ideo rationalis (qui hominis requisi- 
tmn est) et homo idem est, etsi enim expressione differant, re 
tarnen conyeniunt. Pars immediatum est requisitum, neque enim 
connexio inter AB et BC pendet a quadam consequentia sive con* 
nexione eausarum, sed ipsa per se patet, ex hypothesi assumti 
totius. Est autem in recto cum correquisitis, semper enim icon- 
vmiire debent secuodum certum quendam considerandi modum, 
nam et quae ut Entia tantum, imo et ut cogitabilia spectamus, 
verbi gratia DECM, hominem, virtutem, possumus considerare velut 
partes unius totius ex ipsis compositi. Exciuduntur ergo requisita 
immediata quidem et diversa, ut rationalitas in abstracto, quae re- 
quisitum est hominis immediatum diversum; neque enim nee homo 
est n^ionalitas, attamen non hie spectatur ut conveniens cum ho- 
mine, sed ut attributum: alioqui sane negari non polest, etiam ex 
bis duobus: homo et rationalitas, fingi posse unum totum, cujus 
hae 'partes. At rationalitas hominis pars non erit, requiritur enim 



IM 

ad faomirtöm in obli<iuo, se(i non cötiveiiieaii quadam ralioK eoib 
aliis, quae ad hoinineni praeterea r^quiruntur. 8ed haec swft 
magis metaphj&Ra liec Aitfi in eorum gratiam adducimlur, qui iio* 
tionutn inlima intelligere d«9iderant. Simplicius iu definiemva: 
Partes sunt quae requiruntur ad uniim quatenus cam eo conveDiunt 

(26) Numetui est« «ujus ad uoitalem relatio est q«iae iater 
partem et totuiA vel idtum et parlem, quare fraetoa etiafli et sur- 
dos comprehendo. 

(27) Mügnüiido R^i distiiicUs cognita est nnmeraa (yd com- 
posltinn ex numeri^) partium rei cuidam oertae (qaae pro mensura 
assumilur) congruentiusa. Ut si sciain esse Uneam, quae bis aeque» 
tur lateri, ter aequetür diagoHali cujusdam qaadrati corti mihiqae 
satis cogniti, Ut ad ip$tim ctim lubet recurrere possim, ejus lineae 
maguiludo mihi cognita et^se dicetur, qoae erit binarius partiuio 
lateH congruentium, tdriiarius partium diagonal! congruentium. Di- 
versis autem licet as^umtis mensaris, quibus eadem res diversimode 
exprlmituf, tarnen »mtpet eadem prodit magnitudo, quia ipsis 
meiisuris iterum resoluUs ad ideM d4;iiique semper devenituri adeo- 
que mensurae diversae illtim ipsum fiamerum eundem re^lutione 
prodeuniem jani ifiirolvuni. Quemadmodom »nas idemque est nu- 
merus tres quartae H sex octavae, ai quarlam iterum in duas para- 
tes resolvas. Atque talis est M^nitudo distincte cognita. Alioquin 
Ma^nitudo est tUtril)uiam rei, per qaod cognosci potest, utnuB 
aiiqua res propösiia %\i illius par«, vel alittd boitiogetteum ad rem 
pertirienä et cjuidem tale ut maneat, H«et partium habitudo inler 
se mutelnr. Vd etiani Magnilüdo est attributum^ qaod üsdem 
manenlibiis bomogeiieis ad rem pertinentiMis aUl Substitut» eon* 
grois, maneC idetu. Homogenes autem ad ttm aliquam pertMenfia 
intelligo non partes soluni, sed et exlrema atque miniiRa si\re punola 
Nam puncli repetitione quadam continu« sive motu fit iinea« Saepo 
autem res ila traiismutantur, ut ne uniea qutdem pars figurae yo« 
slieriöris, priinris pani congruat. Aliter Magnitudinem inrra definia^ ui 
Sit fd» quo dude res srmiles diseerni posaunt^ sive quod in rcbvs 
sola comperceptioi»e discernitur. Sed omnia haec eodem t^eddut^ 

(28) Ratio ipsiui A äd B nihil aliud est quam ncHnenis, 
quo expriniitur magnitudo ip^us A, si magnitiidö ipsius B poneiur 
esse unitas. Unde patet, Magoitudinem a ratione differre ut nu~ 
merum concretum a numero abstracto; est enim magnitudo nume- 
rus rerum, nempe partium « ratio tero est numerus utiitiitiim. 



Palet etian rei magditudintom eandeni mMlere, qiiacunqbe ateümta 
nMOsura per qoan eam eiipriinere volumua; ratiooenl vero aliam 
alque aliaiD fieri pro aÜa atque alia metKura asaumta. Patet etiam 
(ex definitione dtvieioiita) si numerus magniftudineoi exprimens ip- 
siiia A et alias Bumerus magnitudfinem exprimeus ipaius B (modo 
Htrobique eadeoi menaura aeu unitas adhibita ail) dividatur, prove- 
Dire Biiniemin qui est i^aUo unlua ad alterani. 

(29) AequaUa aunt quemm eadem est magnitudo, seu quae 
irallo aaiisao vel accepto «oligraa reddi posaunt. Min«^ dicitnr 
quod allefius pani aeqiiale est, id vero quod partem habet allen 
aequalem, dicitur Ma§tt». Hino pars miitor toto, quia ))arti ipsius, 
neoape aibi, aequalia est Sigikift abtetn bis utemur: 

a n b a aequ. b 

a p b a maj. quam b 

a n l' * ™^^ quam b 

Si pars unius alten toti aequalis est, reiiquae partis in majerfe 
magnitudo dieitur diff^nreHiia. Magnitudo aut^m totius est itoHm« 
magniUidinum partiiim, vel attorum partibus ejus aequalium. 

(30) Si dtto siii4 honogenea (sive si in uno partes dssunri 
posaint utcunque partibus alterius äquales , et idem fieri semper 
poasit et in residnia) neque differentia ulla sit inter ipsa, id est si 
neque a sit majus quam b, neqüe b miqus quam a, necesse est 
esse aequalia. Transmutentur enini ut congruant quoad licet, ati- 
que aut in uno eorum supererit aliquid, aut congruent, adeoque 
enint aequalia. Itaque in bis consequentia haec valebit: 

a non {~^ b. a non n *• ^^QO a r-i 6» 

(31) Similia sunt quae stngula per se considerata disceriü 
non possunt, velut duo triangula aequilatera (in fig. 44), nullum 
enim attributum, nullam proprietatem in uno possumus invenire, 
quam non etiam possimus repefh*e in altero; et nnum ex ipsis 
appdlando a, alterum b, sftnttiludtnMi ita notabimus: ac^(. Si 
tarnen simul perdpiantur, statim discrirtien apparet, unum alio esse 
majus. Idem fieri potest, etsi noti i^idiirl p^rcipiantur, modoaliquod 
Telut medium assumatur sive mensdra ifüae primum applicetur uni, 
aut aliqoo in ipso, notdtoque quomodo prius vel pars ejus cum 
mensiim Vel €)Q8 ptarle congi^nat, postea eadem menstira etiam 
appHoeinr aMeri. Itaque dicere soleo, simitia non discerni niä 
|»er comperceplionem. At, inquies, ego etsi aucoessrve videam dtio 
Triangak aeqoihtfii^a inaequaiia, ea nihilomiiiuä prioft« diseertK^. 



15« 

Sed sciendum egV, me hoc loco loqui de iDtelHgentia, «t alniu^ii 
mens aiiquid notare possit in uno, quod non procedat in altera, 
non de sensu et imaginatione. Ratio autem, cur ocuii duas res 
similes, sed inaequales discernant, nianifesta est; nam siipersant 
nobis rerum prius perceptarum imagines, quae rei nove perceptae 
imaginibus applicatae discrimen ipsa oomperceptione harum doarum 
imaginum ostendunt. Et ipse fundus oculi, cujus paftem majorem 
minoreroqne occupat imago, mensnrae cujosdam oflficium facit. 
Denique alias res semper simul perripere solemus, quas etiam cum 
prioribus percepimus, unde rem nofissime perceptam ad eas refe- 
rendo, ut priorem ad easdem retulimus, discrimen non difficulter 
notamus. Si vero fingeremus, DEUM omnia in nobis ac circa nos 
in aliquo cubiculo apparentia proportione eadem servata minuere, 
omnia eodem modo apparerent neque a nobis prior Status a poste- 
riore posset discerni, nisi sphaera rerum proportionaliter imminu- 
tarum, cubiculo scilicet nostro egrdferemur; tunc enim comper- 
eeptione iila cum rebus non immlnutis oMata diserimen appareret. 
Hinc manifestum est etiam, M&gnitHiinem esse illud ipsum quod 
in rebus distingiii potest sola comperceptione , id est applicatione 
vel iminccliata, sive congruentia aotuali sive coincidentii, vel mediata, 
nempe interventu mensurae, quae nunc uni nunc aiteri applicatur, 
unde sufificit res esse congruas , id est actu congruere posse. 

(32) Ei bis aulem intelligi potest, similia et aequalia simul 
esse congrua. Et quia similitudinem hoc signo notare placet: <%> 
nempe ac^b, id est a est simile ipsi b, vid. fig. 44, hinc conse- 
quentia erit talis : 

a^b el a r"i 6, ergo a 8 6. 

(33) Sunt et aliae consequentiae : 

a 8 6 , ergo a rn 6 . 
a H bi ergo a e^b , 
a xt b, ergo a S b 

a m 6 

öec6. 

(34) Nam quae reapse ooincidunt, utique congrua sunt; 
quae congrua sunt, utique similia, item aequalia sunt. Hine vide* 
mus , tres esse modos ac ?elut gradus res extensione praeditas 
neque alias qualitatibus diversas discernendi. . Maximus ille est, ui 
sint dissimües; ita enim singuke per:se apeetatnoipsa proprieia«* 






tum quae. ia ipais observ^ntur diverskate faoile di^pernuntur: ila 
triangulum isosceles facile discernilur a scaleno, etsi non simul 
videantur. Si quis epim oxe jubeat videre, an txiangulum qMod 
offertur sit isosceles an scalenum, nihil forinsecus assumere necesse 
habeov. sed sola lateir^ eJ.U9 comparo inier se. At vero si jubear» 
ex duobus Triaiigulis aequitateris eligere majus, coilatione Trian- 
galprum pum aliis opus habeo, sive coroperceptionei ut explicui, 
neque potam aliqaam discriminis in singulis spectabilem assignare 
possuo). Si vero duae res. nop, tantum sint similes, sed et aequa- 
les , id est si sint congruae , «tiam siniul perceptas non discernere 
possum, nisi loco, id ^$t nisi adbuc aliud assumam extra ipsas, et 
observem ipsas diversum habere situm ad tertium assumtum, 
Deuique si ambo simul in eodem sint loco, jam. nihil habere me 
amplüis quo discrimin^ntur, Atque haec e§l vera cogitationum 
quam de bis rebus habemus Änalysis, cujus ignoratio fecit» ut cha- 
racteristica geometriae vera hactenus non sit constituta. Ex his 
denique intelligitur , ut roagnitudo aestinoatur, dum res congruere 
aut ad coogruitatem reduci posse intelliguntur , ita ration^m aesti* 
mari sioiiiitndine, seu dum res ad similitudinem reducuntur; tunc 
enim omgia fieri necesse est proporüonalia. 

(35) Ex his explicationibus coincidentium, congruorum, aequa- 
]ittm aQ simiUum eonsequentiae quaedam duci . possunt. Nempe 
quae sunt eidem aequaiia, simiUa, congrua, ooincidentia, sunt etiam 
inter se, ideoque 

a OD b et b X c, er|;o a ao c 

abb b«ca8c 

acc h bflcc a«^c 

a rib b rn c a nc 

Non tarnen consequentia haec valet: 

a nonx b et b nonx c^ ergo a non x c, 
prorsus ut in Logica e^ puris negativis nihil sequitur. 

(36) Si coincideotibus sive ii^dem ascribas coincidentia, prp- 
deunl coincidentia» ut 

ax c et b'j) dj ergo a . 6 x c . d. 
Sed in congruis hoc mm sequitqr, exempli causa si A.B. CD 
sint puncta, semper verum es( esse A8C, et B8D; quodhbet 
eBim punctum ; cuilibet congruum est, sed non ideo di<;i potest 
A.B 8 C . D, id est simul congruere posse A ipsi C et B ipsi D, 
senrjalp nimirom tpiin situ A. B> tum situ CD. Quanqiuxin vice- 



versa ex positis A . Ift 8 C . D sequatür A8CetBBfi^el' iigMÜ- 
catione cbaracterum nostrorutn, id((ue eti^m veranfi '^i, Kcet 
A.B. CD nön sint puncta, sed tiiagdttudltied. At si congffla dSbi 
ascribantür, inde oriuntur ae^tiäli», liä ! 

ö + 6 — ci^i d + e — f, posito iBse aS d, i^t b^ 4, et c 8 f, quid 
eongfua semper aequalia sunt 

(37) Yerütn si coiigrua congniid dimiRer ädldatitaf* idithan- 
turque, flent congrua. Cujus l*ei ratio est, quia si congrua con- 
gruis similiter addatttur, sitnilia similibüs similiter addentof (qui^ 
congrua sunt similia), ergo fient sio^ilia, tlünt aütem etia^ aequalia 
(nam congrua congrui^ addita fadutit aeqüaRa); jam similia et 
aequalia sunt congrua, ergo si congrua congruls similiter äddariiur, 
fient congrua. Idem est, si adidiantuf. 

(38) An autem similiter aliqua tracteuttrr, intdligi polest 
ex characteristicis nostris modoque uAumquodque describendi aut 
determinandi , in quo si sigillatim tmlliifn discrimen notari potest, 
utique semper ömnia sdmilia pi^odire Aecesse eist. lUud quoque 
liotandum est, st qua sint similia iHcünduni unum det^tmifiandi 
(distincte cognoscendi , deäcrtbeMi) fnödütn, eadem fote siiniliä, 
etiam secundum alium mödüm, Nam unüsqul^que determinandi 
modus totam rei natufam'itivölvit. 

(39) Axioinata autem lila, quibus Euclides utitui*, si aequa- 
libus addas aequalia, fient aequalia, aliaqüe id genus, fadl6 ex eo 
demonstrantur, quod aequalium eadem est magnitndo, Id e6t ^üöd 
substitui sibi possunt salva nlagtiitudlhe. Nilim sitat ar'\cetbnd, 
fiet a + b m c + d, nam si scrlbatuk^ a + 1) et in locum ipsorum 
a, b substituantur aequaÜä c, d, ea substitütid fiet salva magnitu- 
dine, ac proinde eortim qUae prödibuht 4- k -f d eadem erit mag- 
nitudo quae priorum + a + b. Sed haeb adl cdlt^ulüiii Algt^ttl'ailiüm 
potius pertinent, satisque explicala bäb^ntur, itaque )regulis mag- 
nitudinum ac rationum ätqUe proporiiönuiii ^dn liniiiolt^lbdfh'; i^A 
ea ihakime explicare hlt^t, quae situm iilVölvnnt. 

(40) Redeo nunc ad ea quae §. 22 int6rrti][ita ^Ülit, 'ei ^rt- 
mum de punctis, rnde de tVat!tibtis ag)iih. Omti6 punctum puncto 
congruum Ädeoque aequale (si itä loqiii ticet), 6t ^itiAU eät: 

A}i Bj Ä r^B , A 9^ B, 

(41) A.BHC.D significat , simul esse A 8 C öt B 8 Ö, 
martente situ A . B et CD (fig. 40): 

(42) A/B» B.A 6st ^r^optlisitio cUjüä i^st d^^üs, pö^itis 



dttobus puQCtis A . B ac situm eundem inter se retiuofitÜNM, posse 
loca eoryfin perH|ut|iri, aeu ppnj 4 in Ipcum B, et co9tr^ (%. 45). 
Quod ex eo manifestum est, quia relatio situs qu^m Jial^ent ad 
ambo eodem modo pertinet, nee nisi externis assumtis discrimen 
tt^um oo^ri ppf^^t la^ft periqutaUoBe. 

(44) ^1 AfBHD.ß, et B.CSJß.F, et A,CßD.F,erU 
A.B.C^D.E.F (Rg. 47). Nam nihil aliud significat A . B 8 D . E, 
q^ia^i ^o\ul esse A ß D et B 8 E, situ A . B et D . E servatp; eo- 
dem. m^do ex P . C 8 ß . F sequitur B 8 E et C 8 F, situ B . C et 
E . F servato; et ex A . C 8 D . E sequitur A 8 D et C 8 F, situ A. C 
et D . E servato. Habemus ergo simul A.B.C8D.E.F, servato 
sitH A . B et B . C et A . C , itemque servato situ D . E et E . F et 
D . F, cum alias ex solis A.B8D.EetB.G8E.F sequatür 
quidem simul A 8 D et B 8 E et C 8 F, sed servatis tantum sitil^u^ 
A.B et B.C, item D.E et E.F, non vero exprimetur servari' et 
Situs A. C et D . F, nisi addatur A . € 8 D . F. 

Hinc jam principinm habemus rätiocinationem ad plura etiam 
puneta producendi: 

(43) A . B 8 X. F est Prapositio signifieans, datis duobus 
puDGtis A et B posse reperiri alia duo X et Y, quae eundem inter 
se situm habeant quem illa duo, sive ut haec simul Ulis duobus 
servato silu utvobiqut congru^re possint. Quod ex eo demanstra- 
tur, quia L.M moveri possunt servato situ inter se, eaquerespoiH 
dere poterunt prioium ipsis A.B, deinde ipsis X.Y, nempe aL^sM 
^^L.^JAi 9it AgpgJi, 9x> |H, X^cL, Yqp^lf, fiel A .B 
y %,Y, M^l fltttP» jWOhibet p^ßie X 30 A; unde Oet A.MbA.V; 
pafae^t etim» e^^ie X od C da^ae, unde A , B 8 C . Y. . 

(45) Si Sit A.B HB.C 8 A.C, erit A.B.C 8 Ä.4*C, «el 
^0 ^vAix^ quQfouape ((^. 48). Nam si coogrußnlibu^ A.B et 
(6)^(4) ascribas copg^uentia C eKC) congvu^nti modo, qui^ A<.CI^ 
(^..(.q) et p.g8<A).(C), fißttt congruenUa A.B.ß « (B) (^).(C) 
sive A . P . C 8 9 • A , C p^r praec^deqjem 5 p^e^jAhep^s e^q) X^Vm 
cqnfifßlpQi^ .^^ ifepeti^^n^ vitfp^a^ qums^ a^crjpsi» lB[iuQ|)at^t, quid 
^t cqpgri^n^. inpdo .o^pribi , cvm /»cilicet ov^f)4^^ co^Ofbin^tippe^ <ib 
VM^ parf^ (^m^p^tia^o^iis svnt cppgrueuj^s wpibus ab aJi^e/rA }^r\^, 
Unde patet, $i A.BbB.CbA.C, fore A.B.Cifi^APrß^ ß fG^A 
bB.A.CHC.A.BHC.B.A. 

(46) ^t A.B.C 8 A.CB, sequitur (tantum) A.B H 4\(; 
(fig. 4tt) [sive tiüangulum esse isosceles], natu sequitur; 



15^ 



A.B.C, A.BÖA.C, B.C 8 C.B, A.C8A.B 
A.C.B 

ex quibus B.C 8 C.B per se patet; reliquB duo A.B. 8 A.C 
et A.C8 A.B eodem recidunt; hoc iinuin ergo inde duxioafus A.B 
8 A.C. 

(47) Si A.B.C S B.C. A, sequitur A.B S B.C S A.C, 
[seu triangulum esse aequilaterum]. Nam fit A.B 8 B.C, B. C 
8 CA. 

(48) Si A.B.C S A.C.B et B. C. A H B. A. C, fiet 
A.B S B.C S A.C. Nara ob A.B.C 8 A.C.B fit A.B 8 A.C, 
eodemque modo ob B.C.A 8 B.A.C fit B.C 8 B.A sive A.B 
8 B.C. 

[Itaque quandocunque m transposito puoctorum ordine unuoi 
ex tribus eundem iu utroque ordine locum seryat, sit^'^^^^^ poste- 
rior priori congruus est, inde tantum probari potest Trianguliim 
esse i^osceles, sed si nuUum c^x punctis servat locum, . et nihllo- 
Uliaus Situs posterior priori copgruit, Triangulum est aequila- 
terum]. 

(49) Si Sit A.B H B.C S CD S JD.Aei A.C ^ B.Dy 
erü A.B. CD 8 B.CD .AHC.D.A.BbD.A.B.C^D.C.B.A 
8 A.D. C.B 8 B.A.D.C H C.B.A.D (fig, 50). 

Hoc ex praecedeutibus facile demolistratur, multaque aiia 
hiijusmodi, quae sufficiet demonstrari, cum tpsis indigebimuSk Nunc 
satis habebimus principium dedisse inveniendi haec solo calculo, 
sine inspectione figurae. 

(50) Si tria puncta A.B.C (fig. 51) dicantur esse stlTa in 
directum, tunc posito A.B.C 8 A.B. Y, erit C x> Y. Haec Pro- 
positio est definitio punctornm, quae in dii*ectum sita dicuntnr. 
Nimirum inspiciatur fig. 51, ubi C aiiquem iiiVLm habet ad AetB; 
sumatur jam aliquod punctum Y eundem ad A .B situm habeos; 
id si diversum ab ipso C, assumi potest puncta A.B.C ndn sunt 
in directum sita, si vero necessariö cum ipso C coincidit; in di- 
rectum Sita dicentur. 

(51) Datis punctis duobus semper assumi potest tertium, 
quod cum iilis sit in directum, sive si A. ß.Y8A.B.X, erit 
Yx X. 



Nam datis puicÜB duobus A.B semper assumi pote$t |er- 
tium Y,. quod ser?ato ad ipsa situ moveri polest, ipsis icniDDtis. 
Sed via, quam motu süo describit, potest esse semper minor ac 
minor, prout aUter atque aliter assumitur punctum Y, adeoque 
tandem sumi poterit. tale, ut spatium motus evanescat, et tunc 
tria poDcta erunt in directum. HelHis forte sie enuntiabimus : 
A.B.gY 8 A.B.fY, erit 3Y oo ^Y, id est aliquod assignari posse 
Y, quod servato situ ad A.B moveri seu locum mntare nequeat» 
Aliter ista videor demonstrare posse hoc modo : Sit aliquod exten- 
sum, quod moveatur servato punctorum ejus situ inter se et duo- 
bu8 in eo sumtis punctis immotis. Nam si quis id neget moveri 
posse, eo ipso fatetur, puncta ejus servato ad puncta duo sunita 
situ moveri nequire, et adeo cum eo sita esse in directum per 
definitionem. Sed nulla ratio est, cur puncta illa A.B immota 
durante eodem motu sumi possint haec sola, et non alia etiam, 
sive nulla ratio est, cur puncta extensi, quod bis duobus immptis 
movetur, serveut situm ad haec duo solum immota, et non etiam 
ad alia, nam situs, quem ipsa A.B inter se obtinent, nihil ad rem 
facit; itaque potuisset sumi aliquod Y loco ipsius B alium Qbti* 
Dens sitvm ad A quam ipsum B obtinet. Verum quaecunque 
sumi possunt ut immota, ea manente eodem extensi motu sunt 
immota. Et quia sumtis duobus A.B immotis motus extensi est 
determinatus, seu determinalum est, quaeaam puncta ejus movean^ 
tur aut nw moreautur; hinc duobus punctis sumtis immotis« 
determinala sunt alia plura, quae servato ad ipsa situ moveri non 
possunt, seu quae cum ipsis jacent in directum. 

(52) 5t Sit E.A.B 8 F. A.B, et E.B.C ti F.B.C, erit 
E.A.C 8 F.A.C, vid. fig. 52. 

Nam per E.A.B 8 F. A.B erit E.A 8 F.A, 

et per E.B.C 8 F.B.C erit E.C 8 F.C. 

Jam si Sit E.A 8 F.A et E.C 8 F.C, erit 

E.A € 8 F « A '. C per prop. 44. (est enim 
E.A 8 F.A. et E.C 8 F.C et A.C 8 A.C); 

ergo si sit E.A.B 8 F. A.B et E.B.C 8 F.B.C, erit E.A.C 

8 F.A.C. Quod erat demon. 

(53) Hinc etiam erit E . A^.B . C 8 F . A . B . C, fotitd 
B.A.BH F. A . B et E.B.C 8 F.B.C. Nam etiam 
E.A.C 8 F.A.C per praeced.; habemus ergo: E.A.B 8 F. A.B 



et E.A.C 8 P.A.C H B.B.C H F.B.O ei A.9.C f^ A.B«C, id 
est habemus Dimiia, quae ex hec : E.A.B.CSF.A.B.C duei pos«» 
Stint; ergo kabeoius etiam E^.A.B.C 8 F.A.B. C [e^^t egregim 
modus regrediendi, nimiruni ex coDsequentibus omnibas tgtan imk 
taram antecedentis exhaurientibus ad anteeedens.] 

(54) Si Sit B.AS F.A, B.BÜP.B, B.C S F.C, 

erit fi.Ä.B.C ^ F.A.B. C; oam qua« auperaunt combioalioiiee 
ulrinque comparanda« A.B et B.C et A,C, utrabiqne com- 
eidunt. 

<55) A,B.X 8 A,B,Y seu datis duobua punotis A.B, in* 
veniri possunt duo alia X.Y, ita ut X et Y eodem modo se ba* 
beant ad A.B, vid. 6g. 53. Potest enim reperiri A.K 8 A.Y, 
et B.Z 8 B.y per prop. 43. Ponalur Z t» X (hoc enim fieri 
potest per prop. 43, seu Z potest esse data seu jam assumta X, 
quia A.B 8 A.V) itemque ponatur A.X 8 B.X. (nam et in 
A.X8A.Y potest X esse data, quia datur A.C8A.Y per 
prop. 43), erit V.B (8B.Z 8 B.X 8 A.X) 8 A.Y; ergo 
y.B.X 8 Y.A.X 8 X.B.y, in quo omnia hactenus deternHnata 
cootinentur. Ergo potest poui V x) Y, nihil enim in hadenus 4e- 
terminatis obstat, fiel 

Y.B.X 8 Y.A.X; ergo Y.B8Y.A, B.X8 A.X. 
Rursufl Y.B.X 8 X.B.Y, ergo Y.B 8 X.B. 
Ergo fit: Y.B8X.B8Y.A8A.X; ergo A.B.X 8A.B.Y. 

(56) Si tiia puncta E.F.G sumta distributive eodem modo 
se habeant ad tria puncta A.B.C sumta collective, erunt tria 
priora in eodem arcu circuli, tria posteriora in eadem recta seu 
jacebunt in directum. 

Hanc propositionem annotare placuit; rptip patebit ex se- 
quentibus. 

(57) Si Sit E. A.B.C 8 F.A.B. C 8 G. A.B.C, et sit E 
non X) F , E npM qo G , F non x) G, dicßuitff fußctq q^tcun- 
que A.B.C. sita es$e in cjfj'rec^uin seu esße in ea4em recta 
(ßg. 54). 

(58) Omisso licet puncto C, siaU: E.A.B 8F.A.B8G.A.B, 
^jrunt pufictfi E,F.^ ija efdep pfani^. 

(59) lisdi^m ppi^i^is erjint puncta E.FtG io eodem arcu 
ctro«/t. 



Ml 

(60) Inter duo quaevis congrua assumi possunt infinita alia 
congraa, nam unum in locum allerius servata forma sua transire 
noo posset, nisi per congrua. 

(61) Hinc a quolibet puncto ad quodlibet punctum duci 
potest linea. Nam punctum puncto congruum est. 

(62) Hinc et a quolibet puncto per quodlibet punctum duci 
potest linea. 

(63) Linea duci potest, quae transeat per puncta quotcun- 
que data. 

(64) Eodem modo ostendetur, per lineas quotcunque datas 
transire posse superficiem. Nam si congruae sunt, patet lineam 
generantem successive in omnibus esse posse. Si congruae non 
sunt, patet lineam generantem, durante motu, ita augeri, minui 
et transformari posse, ut dum iliuc venit, congrua fiat. 

(65) Unumquodque in spatio positum potest servata forma 
sua, seu cuilibet in spatio existenti infinita alia congrua assignari 
possunt 

(66) Unumquodque servata forma sua moveri potest infioi- 
tis modis. 

(67) Unumquodque ita moveri potest servata forma sua, 
ut incidat in punctum datum. Generalius: unumquodque servata 
forma sua ita moveri potest, ut incidat in aliud, cui congruum in 
ipso designari potest. Nam congruum unum transferri potest in 
locum alterius, nee quicquam probibet id, in quo congruum Ulud 
est quod transferri debet, simul cum ipso transferri, quia ratio 
separationis nuUa est: et quod uni congruorum aptari potest, pot- 
erit et alteri congruorum similiter aptari. 

(68) A b B, id est assumto puncto quodlibet aliud con- 
gruum est. 

(69) A.B 8B.A, ut supra. 

(70) A.BöX.Y; eodem modo A.B.CöX.Y.Z, et 
A.B.C.D 8 X.Y.Z.ß, et ita porro. Hoc enim nihil aliud est, 
quam quotcunque puncta posse moveri servato situ inter se; situm 
autem eoruin inter se servari intelligi potest, si ponatur esse ex- 
trema lineae cujusdam rigidae qnaliscunque. 

(71) A.B b C.X, A.B.C 8 D.X.Y etc. Hoc enim nihil 
aliud est, quam quotcunque puncta, ut A.B.C, posse moveri ser- 
vato situ inter se, ita ut unum ex ipsis A incidat in punctum 
V. 11 



aliquod detum D, reliquis duohus B.C in alia quMcimqiie X.T 
incidentibus. 

(72) Si A.B.C non 8 A.B.Y, nisi C x Y, limc puncU 
A.B.C dicuntur sita in directum (vid. fig. 51) seu C 0rit situm 
in directum cum ipsis A.B, si unicum sii quod eum situm ad 
A.B habeat. An autem talis punctorum situs reperiatur, postea 
inqulrendum erit. Linea autem, cujus omnia puncta sita sunt in 
directum, dicetur recta. Sit enim A.B.«Y 8 A.B.^X, atque 
ideo ,T X) ,X, erit TY (xTX) Linea recta, id est, si punctum 

Y ita moveatur, ut situm semper ad puncta A.B servet, qui ipsi 
uni competere possit, sive determinatum minimeque varium ac 
Tagum, describi ab eo lineam rectam. 

(73) Si A . B . C 8 A . B .D, erit ö A .B.J, vid. % 55. 
Kam erit C x> aY et D x «Y, nempe C et D erunt loca ipsius 

Y moti ita ut servet situm eundem ad A.B, inter quae necessa- 
rio erunt indeflnita, nempe designanda per «Y. Linea autem TY 
Töeetur cfTCuiktris. Notandum autem, hanc Lineae drcularis de- 
scriptionem ea priorem esse, quam dedit EucUdes; Euclid^a enim 
indiget reeta et piano. A nostra procedit, qualiscunque astmmatur 
rigida linea, modo in ea duo sumantur puncta, quibus immotis 
ipsa lifiea vel saltem aliquod ejus punctum moteatur; hoc enim 
punctum ad puncta duo assumta eundem serrabit situm, cum 
omnia sint in linea rigida. Id ergo punctum describet lineam ät- 
cularem per hanc definitionem nostram. Si quis vero neget, In 
Linea rigida tale punctum inveniri posse, quod datis dtiobus im- 
motis moveatur , necesse erit per definitionem pf aecedentem prop. 72. 
omnia Lineae rigidae puncta in directum esse sita, sive necesse 
erit dari Lineam rectam. Alterutrum ergo hoc modo admittere 
{j^eoesse es(, lineam rectam possibilem dsse, vel cn^cttlarem. Alter- 
utra autem admissa, alteram postea inde ducemus. Hie obüer iM- 
tandum, quia, ut suo loco patebit, p^r tria quaelibet data puncta 
transire potest arcus circularis, hinc tribus datas punctis inveniri 
unum posse, quod ad tria illa eodem se habeat modo, nempe 
X.CbX.DöX.E, idque saepius fieri poese seu divarsa reperiri 
posse X pro iisdem C.D.E, onmiaque X in unam rectam oadcre, 
quae transeat per circuli centrum, sitque ad planum c}iu ad an- 
gulos rectos. 

(74) Sit Linea quaelibet TY, vid. fig. 55, in ea pot- 
erunt sumi quotcunque puncta aY.fY.^Y^isY etc. ita ut ait 



|T.|Y S(¥.|Y b fY.|2V «tc. Nam generadker, si qua $k linea 

satis parva^ oopia unum axtremunj ait in alia linea, potmt prior 

»ta meveri, ^tremo ejus doabiis lineis c^romuni imnaoto, ut altero 

(pHifHf exlramo posleriori linea« oecurrat, itaque hoc motu par- 

Itm unam abseiadet, jainque novo puncto inveato knmoto manent« 

pmm aliam^ et ita porro. ^d jam observo, ne id quideea n&^ 

eesse esse, et sufficere Unam iineam eidem lin^ae sum exidremia 

appUcari saepiiis quomodoeunque, ita iil phires ejusdem liiieae 

partes dssignentur, quaitim extrema aliorum exU^mis sint con« 

gma, iit in fig. 56 hnea rigida LM suis extresös^ L et M ipsi 

Kacae TY aliquoti^s in lY.jY et 3Y.4Y et 5Y.9Y, quae cdind* 

dentipsie iL.iM ^ ih.^M et sL.gM, nam si semel L.Mipsi T¥ 

appiicari possit, infinitis modis applicari potest, si posteriopea ap*^ 

pticationibus quantumvis parutu distent. Jam ex L et M educan^ 

tor duae iineae congruae eodem modo se habentes, ea quae ex L 

«docitqr ad L, quo illa quae ex M educitur ad M, quae sU)i oocur-* 

UM in X, sitque ^LX |M b 2^^ 2^9 ^^ i^ porro, id est quae ex 

iL et |M educuntur, eousque producantur ut non ante sibi occur- 

ruitt quam übi ex 2U 2^ eodem modo eductae sibi occurrunt. 

Code patet, puncta X eodem modo se habere ad omnia Y assigna*- 

U, et si quidem linea talis est, ut ejusmodi punctum habeat, quod 

ad ««mia ejus pi^ncta eodem sit modo^ id hoc modo inveniri. Si 

aatem cicciilaris sit linea, ut hcM^ loco, sutfiott punctum aliquod ad 

tna Iineae cireularie puncta se eodem modo habens inveniri, id 

enim eodem modo se habebit ad alia omnia. Cujus rei ratio est, 

ipa ex Uibus pwjicUa diilis C.D*£, vid. jgg. Ö5, posito esse CD 

tt D.E, methodo paulo ante dicta ad fig* &fi, puactum ati<pAOd 

mimxk determii^avi, ac proinde aliis tribus punctis quibostibet in 

circulo assumtis, prioribus' tribus congruantibus, eodem nodo linear 

QQuqiiTentQS ^ogruas duicendo, nece^e esse deveniri semper ad 

idem X* Hinc cum fx triius datiB punctis D.C.E modo diverso 

ittvewti pesaint piutcA« X, proift ün^ae congruontes alker atque 

aliter ducuntur, seu cUius tardiusque conTQrgunt, patet etiam alia 

QUqne invcmri powe piw^cta, X» ^aque omnia in unam Iineam 

(7$) .3ed fl^m sin^ circ«lo iiiiapUcius eanaequi p^amaua. 
Siat im PWMU K.BX (fig. 57), ita ut sit A.B 8 B.C 8 A.C, 
ioDeiHmturqiie puncita ^ it^ ut sk i»X 8JB.X 8 C.X, id^u^ 

4iu#tm läMit, mß quoA M91P ^st, mexe^iur piuMUiia K^, ila «t 



quivis ejus locus, ut «X, eodem modo se habeat ad A.B. C, id est 
ut sit A.3X b B.3X 8 C.,X, tunc puncta ^^X erunt in directom 
posita, sive ^X erit linea recta. Atque ita apparet, quid vdit Eu- 
clides, cum ait, Lineam rectam ex aequo sua inteijacere puncta, 
id est non subsultare in utiam partem, seu non aliter ad punctum 
A quam B vel C durante motu se habere. Hinc aulem modus 
quoque habetur puncta X rectae zX in?eniendi. Nimirum si ei 
A linea educatur quaecunque eodem modo se habens ad B et G, 
itenque alia per B priori congruens et congruenter posita, id est, 
ut punctum hujus puncto illius respondens eodem modo se habeat 
ad B.A.C, ut punctum illius ad A.B.C, eaeque lineae produean- 
tur, donec sibi occurrant, occurrent sibi necessario in puncto X, quod 
se habet eodem modo ad A.B.C. Et si per punctum C etiam 
talis linea ducta fuisset congrua congruenterque prioribus, ea q>sis 
occurrisset in puncto eodem X. Hinc autem quotvis ejusmodi puncta 
inveniri possunt adeoque et Linea recta describi poterit per puncta. 

(76) Besumamus aliqua: A puncto quolibet ad quodlibet 
ducta intelligi potest linea, eaque rigida. 

(77) A.ß significat situm ipsorum A et B inter se, id est 
tractum aliquem rigidum per A et B, quem tractum nobis sufficit 
esse lineam. Ita A.B.C significat tractum alium rigidum per A.B.C. 

(78) Quicquid in spatio ponitur, id moveri potest, sive punc- 
tum sit sive Unea, sive alius tractus, sive cuilibet in extenso as- 
signari potest aliud congruum. Hinc AbX, A.B8X.Y, A.B.CÖX.Y.Z, 

vel A.B.C8coX,Y.Z. 

(79) Datis duobus diversis in extenso poni potest unum 
quiescere, alterum moveri. 

(80) Si aliquod eorum, quae sunt in tractu rigido, moventur, 
ipse tractus rigidus movetur. 

(81) Omnis tractus ita moveri potest, ut punctum e]us da- 
tum incidat in aliud datum, A.B.C 8 D . X . Y. 

(82) Omnis tractus moveri potest uno ejus puncto manente 
immoto, A.B.CbA.X.Y. 

(83) Recta est tractus qui moveri non potest, duobus ptinctis 
in eo quiescentibus, sive si quidam tractus moveatur duobus punctis 
manentibus immotis, si alia praeterea in eo puncta ponantur ma- 
uere quiescentia, omnia ea puncta dicentur in directum sita, sive 
cadere in tractum, qui dicitur recta, seu si A . B . C 8 A . B . Y (fig. 58), 
pecesse est' esse G x) Y, boc est si punctum aliquod reperiätür' C 



IM 

ftttum in.directttin cum punctis A.B, non polest tractus A.B.C 
(vel A.C.B) ita moveri maiientibus A.B immotis, ut C transfe- 
ratur ia Y, atque ita congruat tractus A . B . Y priori A.B.C, sive 
quod idem est, oon potest praeter punctum € aliud adhuc repe- 
riri Y, quod ad puucta fixa A.B eundem quem ipsum C situm 
habeat, sed necesse est, si tale quod Y assumatur, ipsum ipsi € 
ooincidere seu esse Y x> C. Unde dici potest, punctum C sui ad 
puncta A.B situs esse exemplum unicum. Et punctum, quod ita 
moTeatur^ ut ad duo puncta fixa situm ser?et in sua specie uni- 
cum, movebitar in recta. Nempe si sit A.B.Y 8 A.B.X, sitque idee 
Yx)X, erit TSX (x)13Y) linea recta. An autem dentur hujusmodi 
puncta in. directum sita, et an tractum componant, et utrum tractus 
ille linea sit, non sumendum, sed demonstrandum est. Via autem 
puncti ita moti utique linea recta erit, quae quidem si per omnia 
puncta hujusmodi transit, utique locus omnium punctorum duobus 
punctis in directum sumtorum, non alius tractus quam linea erit. 

(84) Si duobus in tractu A.C.B punctis A.B manentibus 
immotis moveatur ipse tractus, linea, quam punctum ejus motum 
C describet, dicetur circularis. An autem possit tractus aliqnis 
moveri duobus punctis manentibus immotis, etiam non sumendum, 
sed demonstratione definiendum est. A.C.B8A.Y.B (fig. d9), 
dicetur ToY linea ctVctitom, et si sint quotcunque puncta C.D.E.F, 
sitque A.B.CbA.B.D 8 A.B.E b A.B.F, dicentur esse in una 
cademque circuiari. Haec definitio lineae circularis non praesup- 
ponit dari rectam et planum, quod facit Euclidis definitio. 

(85) Locus omnium punctorum, quae eodem modo se habent 
ad A, quemadmodum ad B, appellabitur planum. Sive si sit 
A.Y 8 B.Y, erit y planum. 

(86) Hinc si sit A.C.B 8 A.Y.B, sitque A.C 8 C .B (adeoque 

et A.Y 8 B.Y), erit Linea ioY circularis in piano. An autem om- 
nis circularis sit in piano, postea definiendum est. 

(87) Si sint A.B 8 B.C 8 A.C, sitque A.Y8B.Y8C.Y, erit 

(a Y Linea recta. 

(88) Si sit A.Y 8 A.(Y), erit y superficies sphaertca, 

[8 significat congruitatem, x coincidentiam. Cum dico 
A . B 8 A.Y, possem quidem dicere distantiam AB aequari distan- 
tiae AY, sed quia postea cum tria vel plura adbibentur, ut 
A « B . C 8 A . B . Y, non hoc tantum volumus triangulum ABC trianr 



gul6 ABV te^uari, sed praet^re« simile tisse, id «fC oMgnMM, 
iie% signo 8 potiu8 uior.] 

(89) Si sii Y b (Y), erii hotm tmniufll Y sea 7 «steniMi 
absoliiium, sive Spätium. Nam locus omtiiani p«DctiiruBi intar se 
congruentiiiDi est ie«us omnium t)utiolorum in uni?ertiioi. Omn 
^mm piMicU coDgrua sitiiL 

(90) IckM est 61 Mt Y b A ; nam (ex charactenim mgni&sa«- 
üane) st Y 8 A, erit (Y) H A, «rgo Y 8 (Y). Nunirm latus oolMna 
punctorum Y dato punolo A cougradrutu uliqiie eat dtiaiii ^pt^Hum 
ipMm iaiermiiiatuin, omtiia enim puwcMi oailAel date ooagnwBi 

(91) Proximum est: A.Y 8 A.(Y), locus ottuünü Y seu 7 
dieatur Sphaericay quae est locus omnion fMinotonioi ejosdetn ad 
datiHD punctum sttus etialeBtiuni. Datutn autem puntstum didtur 

(92) Idemestsi sitA.B8 A.Y. Nam ideo eritet A.B 8 A.(¥) 
at prMude A.Y 8 A.Y, uiri nota, ipsum B esse ex oumeroitMi ¥ 
seU esse 4Y. Si enim Y x)ittniä puoola conpt^iiendH, quae eum 
habeai süuid ad A, quem B habdt, uüque ipsum B comprebeadtt, 
quod eu« «lique silum ad A habet ^(uem habet. Sphacriea elA 
locus omaium puiictoruiii dati ad punctum datum siUn (U est 
dati puncti sHui congrui ritus) «xistentinm. 

(9d) Si »It A.Y 8 B.Y, lodns ommsn Y seu v dicatui- pOi- 
mm, shre locus pnnctorufti Ut Y> quotufn unumqaodque ad «Mtt 
ex duobus dbtis pniietis A «odeni ttiMlo situm est, quemadiAddutt 
ad akerum B^ eist phnunH, NotandUm «feit, Lod expressioneM ia 
Idiatn conveiti non posse^ in ^ua siliiul Mttt Y «t (Yy. 

(94) Si Sit A.B8C.Y, eritT ^kaeficU. Natu erit A.ft8C.Y.80; 
Sit dY 30 D , fiet CD 8 C . Y , adeoque locus erit spfaaeHca p«r 
pfbp. 91. 

(95) Y et (Y) significant quodcunque ^uHatuift loci alicugus, 
et quodcun()ue aliud praeter prius ,Y signiioat quödlibet puuctiin 
Jod seu omnta loci puncta distributive. Idem etiaro significat Y 
absolute posiltim. ^Y significat unum aliquod peculiare punctwn 
loci. Y significat omnia puncta loci collective, seu tötüin locfUä). 

Si locus sit linea, hoc itasignifico cc^Y; d sit superfides, ita: (u^Y; 

si soÜfdam, tia: cc>^Y. 

(96) »i sitA.fi.C 8 A.B.Y (siv^aidt A.B.Y 8 A.B.(T)), 
4mo locus omnium Y 8«u ? dioMur c&Ofhtriii id ^^st si piurfum 



j 



pimcterttm Mein sit »itus (yel datus) ad duo data puneta, Locas 
eril etrmdaris. 

(97) Si Sit A. Y 8 B.T 8 C.Y, tunc Locus omnium ¥ seu 1 
dieelar rßcta. 

(98) Si Sit A.B. C.Y 8 A.B. D.Y, erit T Pfantim, seu siC.D 
duo puneta eodem modo sint ad tria A.B.Y, erunt haoc tria in 
eddem pl«io, et si duobus ex bis datis A.B quaeratur tertium Y, 
locus omnium Y erit planum. Ubi patet, ipsa A.B sub ¥ compre- 
beadL fienonatraiidiim est, hunc iocu» cum altere, qui est 
prap. 93, ooiiMidflre. fihc ita fiet: €.Y.8D.Y(i) locus est ad 
planum yer prop. 91. Sint^YcioAet ^YaoB, erit C.A8D.A(2)0t 
C.fi ^ l).fi(3) Ergo fiet A.B.C.Y8 A.B.D.Y.*) Nam 1 patet 
per «e, et 8 per (3), et 3 per (1), ei 4 per (2), et 5 per se, et 
6 per se. 

(99) Si Sit A.Y 8 B.Y« C.Y, locus T erit puneimmt sive Y 
satisfadens non erit nisi unicum, sive erit Y X) (Y). Haec propo- 
sitio demonstranda est. 

(100) Habemus ergo loca ad Punctum, ad Rectam, ad Cir- 
cularem, ad Planum, ad Spbaerieam, solis congruentiis mira sim- 
p&itate aipre^sa, sed baec partim yera, partim poesibüia esse, et 
cum aliis definitionibus coincidere nostras demonstrandum est. 

(101) Si tractus sive extensum quodcunque moyeatur uno 
pancto eristente immoto, aliud quodcunque ejus punctum move- 
Ulur in Spfaaerica. Pono autem ipsum extensum esse rigidvm, 
seu partes situm eundem servare. Habebimus ergo modum inve-^ 
oiMidiSphaeiiicae puneta quotcunque. Polest etiam A.B 8 A.Y esse 
data, si tractus transeat per duo puneta A.B. TracUun autem 
aliquem (sive linea sit sive superficies sive solidum) per duo data 
piiBi^ ducere, et tractum movere uno puncto immoto, utique in 
peUstate ^U 

(102) Si per 4ttP data puneta transeant duo tractus congrui 



*) Leihniz hat A und B, B und C, C und Y, ebenso A und Bj 
B miil Dy D und V durch Bpgen verbunden und bezeichnet die ersten 
Verbindungen durch {, die zweiten durch 2, die dritten durch 3. 
ferner hat .^r A und C> B und Y, ebenso A und D, B und Y durch 
Bogen verbtin(ien und bezeichnet die ersten Verbindungen durch 4, 
die letztern durch 5. Endlich hat er noch A und Y auf beiden Sei- 
len durch «inen Bofeo v^srbuuden, und neant die Verbindung 6. Auf 
auf diese Zahlen bezieht er sich im Folgenden. 



eongruewier^ id est ita ut puncU respoodentia in duobus tractibus 
Situs habeant ad duo puncta data, unamquodque ad suum, con- 
gruos, moveanturque aut etiam si opus sit crescant congruenter, 
donec sibi occurrant, loca, in quibus puncta eorum res))ondentia 
sibi occurrent, erunt puncta plani illius, quod ad duo puncta data 
eodem modo se in quolibet puncto suo habere definivinius. Posse 
autem congruenter moveri, posse congrue ac congruenter produci* 
donec occurrant, postulo. 

(i03) Si jam Sphaericam Sphaerica aut piano secemus, ha- 
bebimus drcularem; si planum piano, habebimus rectam; si rec- 
tam recta, punctum. Ostendendum autem est has sectiones fieh 
posse, et punctorum Sphaericae et Sphaericae, yel piano et piano, 
vel piano et Sphaericae communium esse tractum. Si sphaerica 
planum ?el sphaericam tangat, locus etiam est punctum, cum sei* 
licet circularis fit minima seu evanescit. 



Beilage. 

Data basi, altitudine et angulo ad verticem, inyenire 

triangulum. 

Hoc problema esse potest specimen discriminis inter coh- 
structiones per ßgurae considerationem et constructiones per AI* 
gebram inyentas. 

Sit data basis AB (fig. 60), altitudo CF aequalis datae BD, 
angulusque ad verlicem etiam magnitudine datus, nempe aequalis 
dato E. 

Problema per Algebram ita quaeremus: Ex puncto C quae- 
sito demissa intelligatur perpendicularis CF, ipsi AB basi produc- 
tae si opus, occurrens in F. Similiter ex aliquo extremo baseos A 
ducatur AG perpendicularis ad latus oppositum BC, si opus pro- 
ductum. 

Ipsas AB, BD seu C F, BC, AC, BG, CG, AG, BF 

vocabimus b d mnxzyy 

Denique quia ob angulum C datum ratio A C ad C G data est, 

n z 

hanc ponamus esse eandem quae q ad r; erit z aequ. — n(l) 



MMI 



I q 

eritque AC ad AG ut q ad yq^— r*, 8iveeritvaeq.j===| n (2). 
n V Vq r 

Porro ob triangula similia BFC, BGA erit AB ad AG ut CB ad CF, 

b y m d 

ergo erit v aequ. — (3) et daos valores aequando fiet m n aequ. 



Vq^--r^ 



m 

b d (3). 



q 

Porro X 4- z aequ. m (4), quanquam signa variari possint, 

prout G cadit intra B et C vel extra in alterutrum latus, quod 

tarnen, ut mox patebit, nullam producit in calculo varietatem. . Ob 

b' d2 b2 d' 

Triangula rectangula erit — ^ aequ. b* — x* (5) et — j- aequ. 

n* — z*(6); ergo aequando duos valores fiet b* — n^aequ. x^ — z^C^), 



b^— n2 



sivc per (4) fiet b* — n* aequ. x — z m (8), vel x — z aequ. (9). 

Unde aequationes (4) et (9) sibi invicem addendo^ et a se invicem 
subtrahendo fiet 

2x aequ. f m -|- — (iO) et 2z aequ. +m + ^^^^^ — ^t— (II). 

i]|2 — b^ + n^ 
sive z aequ. 5 — = — , quem valorem aequando valori ex aequ.(l) 

2r 
fiet m* 4-'n' — -mn aequ. b* (18), unde ob aequ. (3) fiet 

m» + n2— ?~mn + — mn + 2mnaequ. b^rr^rVq^ — r^ 

q q ~ q^ ^^ 

+ ivq — L-bd(14) 

— q 



sive m+n aequ. tJ b^ + ^TiL^JjJl^Jl* b d (15) 

et m-n aequ. ^/b» + ^^ ^^""^7 7(16) 

et quia nihil refert, quaepam sit longitudo ipsius q, modo ratio 
r »d q git data, faciamus q a eq. yb d (17) et fiet 

2 m aequ. T Vb»+2r+2qVq*— r' (t) Vb«+2r— 2qVq*— r« 

08) 

an aequ. t Vb«+2r+2q Vq*-^ (q^) V bH2r^ Vq"— «"* 

(W) 



et scribeüdo per compeiidiani 
m aeqn. T (T) 3) (20) et n aequ. ^ O (4-) 3) (21) 
faciendoque + <+ 3> «equ. $ (28) itemque -f — 3) i^qu. $i(23X 
patet fore 

vel m aequ. +0 et a aequ. + 3) 

vel m aequ. + }) et n aequ. + © 

vel m aequ. — © et n aequ. -— 3 

vel m aequ. — 1> et n aequ. — 

adeoque aequatio quatuor quidem habebit radices, sed tarnen iion 
ftisi unicum erit triangulum, quod satisfaciet quaestioni, permutatis 
tantum laterum significationibus itemque sumendo ab utraque ba- 
seos parte. Quatuor itaque Triaogula satisfadeBtia quaestioni super 
eadem basl positione data coUocari possuut, omnia congrua inter 
«^ Afi^C, ABsC AB3C, AB4C (fig. 61). Quod clarius patet rudi 
exemplo in numeris; mi h bmin aequ. 14, altiOudo d aeq«. ^ 

erit q seu Vbd aequ. weiter 9| ; et r «it 2^, fiet Vq*— r* aequ. 9, 

2r + 2q aequ. 23|, 2'r + 2qVq*— r* «i^ 213, V2r+2q Vq*— r" 
aequ. 14| seu^SIS, 2r— Sq aequ. — I3i, 2r— SqVq*— Jr* «tqn. 

— 123, V2r — 2qVq*— r* aequ. 1 1 seu ^123, J» + n seu 

4«+2r + 2q"Vq*— r* aequ. :f- 20^, 

m — n seu Vb*+2r — 2q^q* — r* aequ. (T) SJ. Hinc jam si 
=1" sit + et (T) Sit +, erit m aequ. 14^ n aequ. 6 
^ + (T) — m 6 n l^ 

1" — (pr) ~, m —l^ n — 6 

4- — (1-) +, m — 8 n —l^ 

Constructio ipsa ita absot^ur. fiasi Afi (^. 62) producta in D, ut 
Sit BD aequalis altitudini, descrrbatur semieiiHsulus cirea AM» cufas 
peripheriae ex B erecta ad angulos rectos BQ occurrat in Q, erit BQ, q 

aequ. Vbd. Ponatur jam anguio ad verticem datus esse «e^iualis JtQR» 
et ex B in QR demittatur perpendicularis BR, eritRQ, r. Sit recta (fig.63), 
in qua hoc ordine designetitur puncta P,H,y,f;,W, ÄqW VU 
aequ. HW aequ. q+r et HE aequ. q — r. Circa dniu^trum PE 
deacribatur semicircuatfereutia, cui ex H norinaliter erecta oocuiarat 

Ha, quae erit ^q^ — r* seu media proportionalis inter PH (seu 
q+r) et HE (seu q-*r). JPoiro recta WP pro4^catur uUra P 

ifsqae ad /}, ut fiat Pß aequ. Ha seu ^q^—T\ Et cum ex con- 



stractione sint PH aequ. q+r, et HE aequ. q— r, erit PE aequ. 
2q; unde detrahatur Ey aequ. 2r, restabit Py aequ. 2q — 2r. Jam 
rectis ßy ei ßVf velut diametris imponaiitur ad easdem partes 
»MtikihNiinicraitiae ßQf, ßdYf, quae sMtiiotit fMHam^ PGd 
H P normalüer «diietaBi in punctH 6 et 4, eril PO mtd. prop. 
'MST ßP s^a .^q«— t«, dt Py den 2q— 2r, id eat «rit P» aequ. 

\f|Sq -ir^^iZ?, et similiter erit PcJ media prop. inter ßV seu 

2q+2rVq*— r^ 
Jam ipsa P^ transferatur in Bit suBotam in BQ, si opus producta 

jtngaliirque AX, quae erit yV +2q + ar^q*— r* «eq«. m+n, tn- 
joi pu»€ttKii medium sit n. Rarsüs basi AB T«lut diamttro im* 
poiialnir Mttivdrcaitffefedtia AjtiB, et ejus arcui Aju sttbtendatur reda 

AjM äequalis ipsi PÖ; jungatur B^u, quae erit Vb*+2r — 2qvq* — r* 
äequ. m--n. Hijgus parti dimidiae sumantur in recta kl aequales 
7S(o versus A et tt^ vtersus X, eritque A^ aequ. m et Acn aequ. n, 
?el contra, habenturque latera Trianguli quaesita m seu ßC et n 
seu aC. Quod faciendum erat 

Atque haeic e^t constructio, qualem hie Algebra recte ordine 
träctata ofiert, satis adhuc commoda prae aliis, quae ex Algebra 
plefumque prodire solent. Sed ipsa Geometria, quae figuris con- 
templaiidis immoratur, primo intuitu exhibet constructionem, qua 
siinplicior he quidem aptari potest et cui prior comparari indigna 
est. Nimirum Angulo dato E {fig. 64) subtendatur basis data AB 
et f^r tarta pttbdta A, E, B deflcribatut* arcos cirCüli ; efx Ad edu- 
Mur ttormfldltfer Bt) ad partes E, quae sit altitudo f rianl^li quae- 
rill 4Ma, et pef Dducatutr pai^lela ipsiBAtooans ar<:;um in ptin(^is 
C et (€), eM^itiqiie Triatigula ACb, A(C)B quaesita. 

Faciie autem praevidere possumus, probleöfta, si i^er Afgebfism 
tractetur, necei^ario assurger« deber« ad gradum qaarium; sunt 
eiiiin qfmUm Triai^ula (etsi oania congrua inlier m)^ duo ab iino 
latere iieotaeAS totidenique ab attero, quae satis£aciunt« At «i 
fuis fpMisreret ipeam &(C), ei nasoeretur tantum aequatio qua- 
drati€a. Beqiquo si quis quaerai RC radium circuli, is cKfficulter 
quidem ad aequatioAam perveniet, s^d aequatio Qon nisi uaicafii 
habebit radicem pro omnibus quatuor Triangulis, adeoque hoc modo 
fiet omnium simplicissima, sed haec omnia tarnen ad constructio- 
fiem nöstram recta non ducunt. 



U9 



ir 



Analyiin Geometricam propriam eique connexum eakMlmm 
Situs, hie attentabimus nonnihü speciminis gratia, ne forte pereat 
cogitatio, quae aliis quod sciam in meDtem Don yenit, et usus longe 
alios ab iis dabit^ quos Algebra praestat. Sci^ndum enim est di- 
versae considerationis esse magnitudinem et situm. Hagnitudo datur 
etiam in illis qnae situm non habent, ut numerus, pröportio, tem- 
pus, velocitas, ubicunque sdiicet partes existunt, quarum numero 
seu repetitione aestimatio fieri potest. Itaque eadem est doetrina 
magnitudinis et numerorum, Algebraque ipsa Tel si mavis L(>gi8tica, 
tractans de magnitudine in Universum, revera agit de numero in- 
certo vel saltem innominato. Sed situs magnitudini yel partium 
multitudini formam quandam superaddit, ut in numeris figuratis. 
Hinc patet, Algebram continere Analysin proprie et per se ad 
Arithmeticam pertinentem, etsi ad Geometriam et situm transfera- 
tur, quatenus linearum et figurarum magnitudines tractantur. Sed 
tunc necesse est, Algebram multa supponere propria Geometriae 
vel Situs, quae et ipsa resoivi debebant. Analysis igitur nostra 
resolutinnem illam effectui dat nihil amplius assumens aut suppo- 
nens nee tarn magnitudini, quam ipsi per se situi aeeommodata. 
Nunc autem ad explicandam rem situs non nisi congruentia utemur, 
sepositis in alium locum similitudine et motu. 

(1) Congrua sunt quae sibi substitui possunt in eodem loco, 
ut ABC et CDA (fig. 65), quod sie designo ABQ^bCDA. Naui ^ 
mihi est Signum similitudinis, et == aequalitatis, unde eongmeotiae 
Signum eompono, quia quae simul et similia et aequalia sunt, ea 
congrua sunt. 

(2) Eodem modo se habere hie censentur vel congruenter, ea 
quae in congruis sibi respondent. Exempli causa AB^ABCt^^KüD.CDA, 
nempe AB est ad ABC, ut CD ad CDA; ita et AB.AC»CD.GA 
et A.BCAtC.DA, id est punctum A eodem modo se habet M 
rectam BC» ut punctum C ad DA: Neque enim hie tantum de 
ratione aut proportione agitur, sed de relatione quacunque. 

(3) Axioma : Si determinantia sint congrua, talia erunt etiam 
determinata, posilo sciiicet eodem determinandi modo. Exempli 
gratia si A.B.C&sD.E.F, etiam circumferentia cireuli per A.B.C 



iffü 

coDgruet circamferentiae drculi per D.E.F, qaia datis tribus 
punctis circumferentia cireuli est determinata. Et in Universum in 
calculo congruentiarum substitui possunt determinata pro determi- 
nantibus sufficientibus, prorsua ut in vulgari calculo aequalia aequa- 
libus substituuntur. Vid. infra § 26. § 30. § 32. 

(4) Ut autem calculus melius intelligatur^ notandum e»t, cum 
dicitur A.B.C^D.E.F, idem esse ac si simul diceretur A . B fii D . E 
et B.Cfi^E.F et A.C^sD.F, ita ut haec ex illo fieri possint dt- 
vettendOt et illud ex bis conjungendo. Vid. infra § 26. 27. § 29. 
§30. §31. §32. 

(5) Termtnm communis est locus qui inest duobus locid, 
ita ut pars eorum non sit. Sic punctum E est locus, qui inest 
rectis AE,CE, pars autem est neutrius. Itaque terminus earum 
communis esse dicetur. 

(6) Sectio est duarum partium totum constituentium nee par* 
lern communem habentium terminus communis tolus. Ita A€ est 
terminus communis totus triangulorum ABC, CDA constituentium 
totum ABCD nee habentium partem communem. 

(7) Hoc ita calculo exprimemus, per quem Geometria ad 
Logicam refertur. Punctum omne in proposilo loco existens com- 
muni nota vel litera designetur (exempli gratia) X, et ipse locus 
designetur per 7, lineam super litera ducendo. Si quaevis loci 
puncta sint Y et Z, loca erunt T vel z. Sit ergo totum x, partes 
coustituentes sint Y et z, et sectio sit 1, formari poterunt hae 
propositiones : Omne V est X, omne Z est X, quia y et Y insunt 
ipsi X. Sed et quod non est Y nee Z, id non est X, posito Y 
et 'z esse partes constituentes seu exhaurientes totum T. Porro 
omne V est Y, et omne V est Z, quia v est ipsis Y et z commune, 
seu utrique inest. Denique quod est Y et Z simul, id etiam est Y, 
quia V est sectio seu terminus communis totus, sdlicet qui continet 
quicquid utrique commune est, partem enim (seu aliquid praeter 
terminum) non habeut communem. Hinc omnes Logicae suballer - 
nationes, conversiones, oppositiones et consequentiae hie locum 
interdum cum fructu habent, cum alias a realibus proscriptae fue- 
rint visae^ hominum vitio, non propria culpa. 

(8) Coincident loca x et Y, si omne X sit Y, et omne Y 
sit X. Hoc ita designo: xl^Y. 

(9) Punctum est locus, in quo nuUus alias locus assumi 



poieat, itavie ü in puncti» Q assumaiwr locufl^)^OMiMSHl«t>ip9iiOi 
ei viciftsjm 81 J^ insit in Q et ex hQc %q\o ceocluduliir ooiofiiAirf 
et ), erU punctun. 

Spaiium obBohaum est eontramm puacto ; imm in spatio 
omnis alias locus assumi potest, ut in puncto nuUü», ut ita pmie- 
lam Sit simplicäBimum in eitu, et Telut nmimunl, spatium yero 
st diffuMMimum et velut maximHiD. 

(10) Corpus (mathematicum scilicet) seü sotidum est locus, 
in quo plus est quam terminus. Atque hoc scilicet Tolumus, cum 
solide tribuimus profunditatem. Contra quicquid in superficie aut 
linea est, terminus intelligi potest, et commune esse alicui cum alio 
p«rtem communem cum ipso non habente. Analogie hie etiam est 
ioter punetuffl et solidum, quod quicquid puncto inest, punjctam 
est; contra cui solidum inest, id solidum est. Item, punctum neu 
potest euiquam inesse ut pars; at solidum nuUi alitcr inesse potest 
quam ut pars. 

(11) Planum est Sectio solidi utrinque eodem modo se Ila- 
bens ad ea, quae solidi terminod non attingunt, äeu utrinque eodem 
modo se habens ad ea, quae fiunt in una parte ut in alia. Si 
pomum piano eecas, dnorum segmentonim extreme, quifaus cohae^ 
rebant, distingui invicem aon possunt. 

(12) Itaque si solidum interminatum sit, absobjte verum est, 
planum secans utrinque eodem se modo habere. Sin terminatum 
sit solidum, sufficit terminos in rationes non venire. Et utrinque 
eodem modo facta etiam ad sectionem se eodem modo habebunt. 

(13) Recia est Sectio plani utrinque e^em mqdo se babeii« 
ad ea, quae terminos plani non attingunt*) . , 

(14) Sit planum intei^mlnatum AA (fig. 66), ejusque sectk» 
BB utrinque se babeils eodem modo, erü BB recta interminata. 

(15) Sed et si planum sit terminatum CC (flg. 67), qua€- 
cunque ejus iigura sit, si tamen tegamus terminos ut noti appa- 
reant, vei rationem eorum nultam habeamus, reperiemus rectam 



*) Hierbei macht Leibniz die folgende Bemerkung: quid si quis 
dubitet an planum ita secari possit? an praestat ergo feclafn formaire 
^■clioBe diiorum planMtt»? 



Iff« 

secanteoi DD utrinque «se eodem modo habere, eaque erit ier- 
mioaUi. 

(16) Giir?a vero diverumode se habet uU-inque, onm ab uno 
Uiere sit concaya, ab alio oonvexa* 

Qiiae sequentur, nunc quidem omnia ia piano iotiettigaDtiir. *) 

(17) Si Sit recta (Og. 68), in qua puftcta A et B, et eitra 
•am pitiKlttm C ab «no latere, tane opo?tet dati posne atiud D ab 
altero latere, qnod eodem modo se habeat ad A et B, quo € de 
ad ea habet. Nam alioqni eum puncta haec sint in recta ex bf- 
pothesi, »num latus non ita ut alterum ad rectam se haberei, 
contra rectae deänitionem. Dato igitur C . A . B iflreniri potest D, 
ut Sit C.A.BoeD.A.B. 

(18) Itaque si detur punctum X suae ad duo puneta A.B 
relationis ximcum, id non poterit esse ab altenitro latere rectae 
per A.B; alioqui contra hTpothesin daretur aliud ei geminnm, per 
pracecedeotem. Hinc necesse est ut cadat in ipsam rectam, ubi 
getniiia alfti in unum coöunt, cum recta sit utrinsque lateris ter- 
minus communis. **) 

(19) Recta igitur (terminata scilicet) est locus omnium 
puDCtorum suae ad duo in ipsa puncta relationis unicorum. Sit 
X.A.Bs^Z.A.B, atque ideo X coincidat ipsi Z, erit x recta (in- 
terminata) per A.B.***) 



^im 



*) Necessarium videtur, plani proprietatem aliquam ratiocitiali'o* 
■em iitgredi> qoalis, qaod cong^uae sunt «luae figurae planae eorundem 
Ifraunonia»^ sev qood intus uAifonD«. Raadbemerkang von Leibnia. 

**) Leibntz hat bemerict : Dcmcmstranda adbue conv«rsa, aeinpe 
omse punctum in recta esse suae relationis ad duo in ea piineta 
uoicum» 

ftursus omne punctum in recta per A.B est suae ad duo illa 
^Acta rebiti<mis utricom. Id punctum sit X; si non est unicum, ergo 
AakitutSi ad A.B «l X ad A.B} quia X in reda per A.B ex kyp., 
•rgo ei fi; erit eige aliqiMa in reela linea ordo infter qaat«er puuda 
A.B.X.£t, ergo non oaA.B.X et A.B.fl. Supponitur looem ei^ae 
Uneam^ in (recta?) linea non est omnium punctorum ordo. Ergo 
dantur in ea duo puncta eodem modo se habentia ad duo puncta in 
ipsa, itaque locus ad duo determinatus est linea. 

***) Generaliter omne punctum in linea non in se redeunte est 
niiae ad duo in ea sumta punota relationis UAidim. Bemerkung ron 
Ltibflin. 



It6 

(20) Unde jam colligitur, duas rectas non posse aibi occur- 
rere nisi in uno puncto, seu duas rectas, quae habeaot duo puncta 
A et B communia, productas coincidere inter se, cum utraque sit 
locus omnium (atque adeo eorundem) punctorura suae ad puneta 
A etB rdationis unicorum. Atque ita datis duobus punctis deter- 
minata est recta, in quam caduot 

(21) Hinc porro duae rectae, quae scilicet productae non 
coinciduDt, non possunt habere segmentum commune. Nam si 
segmentum commune AB (fig. 69) habeant , duo etiam puncta mi- 
nimum habebunt communia A.B, ergo productae coincident 

(22) Simiüter duae rectae non possunt claudere spatiumt 
alioqui bis sibi occurrerent, adeoque duo puncta communia habe- 
rent (fig. 70). 

(23) Ita ex nostra rectae definitione demon^rantur Axioraata, 
quae Euclides sine demonstratione circa rectam assumsit. 

(24) Circulus fit rectae circa unum punctum quiesce^s motu 
in piano. Extremum quiescens erit centrum, linea ab altero extremo 
descripta erit circumferentia. 

(25) Itaque (fig. 71) omnia circumferentiae puncta, ut X, 
sese eodem modo habebunt ad centrum C, seu omnia X se habe- 
bunt ad C, ut A ad C. Quod ut calculo nostro exprimatur, si sit 
X . C a» A . C , erit x circMli circumfermtia. 

(26) Locus omnium punctorum eodem modo se ad duo 
puncta habentium est recta. Sint duo puncta C et D (fig. 72), 
sitque locus T, cujus quodlibet punctum X eodem modo se habeat 
ad C quo ad D; dico'x esse rectam. Quod ut demonstretur, in 
loco X sumantur duo puncta A et B, ducatur recta "z per A et B; 
ea determinata est ex ipsis A . B per $20. Jam A.B.C^A.B.D 
ex hypothesi, quia A et B cadunt in x; ergo (per äxioma $ 3) 
etiam recta per A.B seu z eodem modo se habebit ad C ut ad 
D, seu erit 1 . C ^ z .D; jam etiam X.C ^ X. D ex hypothesi, ergo 
conjungendo X.^.C aeX . z~. D. Ergo punctum X non potest esse 
ab uno latere rectae z , veluti (si placet) a latere D ; ita enim se 
aliter haberet ad rectam T et ad D, quam ad rectam z et ad C, 
Itaque necesse est X cadere in z* seu omne X erit Z, unde et T 
cadet in "z, quod erat demonstrandum. 

(27) Hie ergo specimen calculi habuimus non inelegans ad 
praescriptun^ I 4. Nempe quia X.z*«» X. z, quod est identicum, 
et X . C fii X . D ex hypothesi, et z . C z . D , quod probatum de- 



Iff 

dimus ex natura rectae, ex his binionibus omnibus singulatim re- 
spectiye congruentibus sequitur congruere et conflatas inde ternio- 
nes seu conjungendo esse X . z . C &£ X . z . D. 

(28) Hinc si X . C m» X . D , erit x recta , quae congruentia 
permagnae est utilitatis in calculo nostro. Et vicissim si x sit 
recta, oportet existere puncta qualia C et D, ut locum habeat con- 
gruentia. 

(29) Fieri nequit, ut recta eodem modo se habeat ad tria 
plani puncta seu ut sit X.Csss X .D «^ X.E (fig. 73). Nam si hoc 
esset , foret conjungendo X.C.E asX.D.E, ergo E non potest 
esse ab alterutro iatere. Sed idem E non potest esse in X, ita 
enim eüam C et D forent in x, et hoc amplius, coinciderent cum 
£, alioqui punctum aliquod rectae (nempe ipsum E) se aliter ha- 
beret ad C et ad D quam ad E, ergo punctum E praeter C et D 
nuspiam reperiri potest. 

(30) Circulus circulo non occurrit in pluribus quam duobus 
punctis. Sint duae circumferentiae circulares T et z* (fig. 74), 
dico eas non posse secare nisi in duobus punctis, velut L et M. 
Nempe ipsius "x centrum sit A, ipsius Y centrum sit B. Quia jam 
L est X et M est X, erit L . Ä 'sv M . A, et quia L est Z et M est 
Z, erit L . B s^^ M . B , utrumque ex natura circumferentiarum , qui- 
bus puncta sunt communia per § 25. Ergo conjungendo L . A . B 
fi^M.A.B. Sit Y recta per A.B, utique etiam L, Yae M.y per 
axiom. % 3; sed si daretur praeterea aliud duabus circumferentiis 
commune puuctum N, haberemus L . Y^ M. yssN.'y, seu recta 
T se eodem modo haberet ad tria puncta L, M, N, quod fieri ne- 
quit per praecedenlem. Hinc sequitur, tribus datis punctis circum- 
ferentiam, cui insint, esse determinatam, cum pluribus simul inesse 
non possint. 

(31) Si circulus circulum tangat (fig. 75), punctum contactus 
in eadem est recta cum centris. Gentra sunto A et B, et punctum 
contactus G, ubi scilicet duo puncta occursus coalescunt. Itaque 
(per praecedentem) circulus circulo praeterea non occurrit, alioqui 
forent puncta occursus tria. Punctum ergo contactus duobus cir- 
cuHs solum commune est. Ajo, id esse in recta per A.B. Quod 
patebit per $ 19 , si ostendatur , esse suae ad A . B relationis uni- 
cum. Esto aliud, si fieri potest, F et debet esse F.A.BsmC.A.B; 
ergo divellendo et F. Aas CA, itemque F.Bs^C.B; ergo F cadet 
V. 12 



in ambas drciimfereivtias , atque adeo vel coinoidet cum G, t<i C 
non erit solum commune, quod est absurdum. 

(32) Recta et circulus nou possunt sibi oocurrere in plus 
quam duobus punctis. Sint L et M (fig. 76) in recta 1, itemqoe 
in circumferentia 1 circa C, dico praeter L et M non posse dari 
punctum N. Sumatur D eodem modo se habens ad rectam Y, ut 
C ab altera parte per $ 17. Ob circulum est L.C fie M.C»N.C, 
ergo quia j^uncta L , H , N sunt in recta eodem modo se habente 
ad D, quo ad C, etiam erit L.DAsM.DfisN.D; ergo conjangenctp 
L.C.DfiftM.C.DftBN.C.D. Sit Y recta perC.D, ergo (peraxiom. 
§ 3.) fiet L.Tcfi M. Y<^N. Y, seu recta Tse eodem modo bab^i- 
bit ad tria puncta L, M, N, quod fieri nequit per S 29. 

Atque ita fandamentalia rectae et circuli exposuimus, quo- 
modo scilicet occurrere sibi possint haec loca : recta rectae, circulus 
circulo, recta circulo, quorum occursibus caetera determinantur. Unde 
consequens est, caetera quoque calculo nostro tractari posse. 



III. 

DE ANALYSI SITUS. 



Quae Tulgo celebratur Analysü Mathematica, est mdgHüudi- 
nis, non $itu8\ atque adeo directe quidem et immediate ad Arith- 
meticam pertinet, ad Geometriam autem per circuitum quendain 
applicatur. Unde fit, ut raulta ex consideratlone Situs fädle pa- 
teant, quae calculus Algebraicus aegfius ostendit. Problemata G«o- 
metrica ad Algebram , id est quae figuris determinantUr ad aequa- 
tiones revocare, res non raro satis prolixa est, et rursus alia 
prolixitate difficultateque opus est, ut ab aequatione ad coiistractio- 
nem, ab Algebra ad Geometriam redeatur, saepeque bac Yia non 
admodum aptae prodeunt constructiones , nisi feliciter in quasdam 
non praevisas suppositiones assumtionesve incidamus. Hoc ipse 
Cartesius tacite fassus est, cum üb. 3 Geometriae suae probleiHa 
quoddam Pappi resolvit. £t sane Algebra sive numerica siVe spe- 
ciosa addit, suhtrahit, multiplicat) dividit, radices extrahit, quod 
utique aritbmeticum est. Nam ipsa Logistica, seu scientia magni- 
tudiiiis proportionisve in univei*sum, nihil aliud tractat quam 
numerum generalem seu indeterminatum et has in ^o species 



IT» 

opMmHi, quotii^m M»gi94tudo revera determinatdniin partiuM mul- 
titttdiiie Mbtittiatur, qnae tarnen manente re variat, pr»ut alia aiH 
äüa mensitra vd tttiitae asgamitiir. Unde mirum non est, Scidnliam 
MagnittidiRis in uiiiverduni esBe Arithmeticae getius, cum agat 4e 
noiliero tn^erte. 

HabebaBt Veleres aliud Analyseos geoos, ab Algebra diversam^ 
<|tied magi» ad situs considerationem aecedit, traetada de BmtÜ 
et de Sädthts qnaeattorom seu L0€ü. ßl huc tesdrt Bi^is Übel« 
ktft de Datii^ m quetn Marini Commenttfrius extal. De Loois yero 
ptanie, solidie, litiearibus actom est cnm ab dliisy tutn ab^ Apaäclnio» 
Wfi» pro|)08itiones Pappus con^ervavit, unde reoentiereb Liiea fkaam 
solidacfiie restkuerunt, sed ila, «t Teribatem maj^s «pian iicitaiti 
daetrinae veteris oatendisse videantur. Hoc tarnen Analyseoa genn« 
Mque ad calculum rem revocat, neque etiain producitur uaipie ad 
fffima principia atque elementa sitns, qaod ad perfectam Analyaia 
Moeaae est. 

Vera igitur Situs Analysis adhuc supplenda est, idqve Tel ^i 
ee emiütat, qv^ omnes Analytici, »ive Algebtam exeroeant novo 
tnore, aive data et quaeaita ad veterem formam tractent, rtuita 
ffit Geometria eleinentari assumere debent, quae non ex magailii*- 
dinis, sed figurae oenaideratione dedueuntur neque determinadä 
qttadam via baetetius patent. Enclides ipse quaedam axiomata aatia 
ahttifra eine prol^tione aasvmere coactos est, tit caetera praeedd^ 
HifaL ' Et Theor^fmatüra demonstratio solotioque Problematmii i« 
tkimnü» magis atiqüando appäret läboria opus qsam metbadi et ar- 
Ik, qmmqtiaiti et ittterdnei artificium prooessus suppreaanm fidaatur. 

Ffgui'a in unifersfim praeter quantitateifi eontinet qualitatem 
ü^ forftiam'; cft quemadmodum aeqn^Hä sunt quorum eadem eM 
magßillfdo, ita simili» suvit qoorum eadem est forma. Et simili- 
MdinUni aeu termanim consideratio latiua patet quam math^sisf et 
et Metaf bysicä repetitur, sed tarnen in matfaesi quoqiie multiplieeiti 
aaiftn habet, inque ^o Caicuh) algebraico prodest, sed omniiim 
makitiye simllfCsdoi speetatfirr in silibus seu flguris Geometriaei ita^ 
^ Anelysia v^e geometrita non tantnm aequalitates speetat et 
pi^pdrtfonalitafees , quae re?era ad aequalitates reducuntur^ i^ed ai- 
aiüflodinea etlant, el ex. aequalitate ac aiinilitudine oonjunetia nataa 
ediigruentfaa adhibere debet. 

Causam tero cur similitudinis consideratiane non satia uai 
sunt Geometrae ^ hanc . esse arbitror , quod nullam eJKS notiomüi 



180 

geueralem haberent satis distinctam aut ad mathematicas disquisi- 
tiones accommodatam, vitio pliilosophorum, qui definitionibus vagis 
et definito obscuritale paribus, in prima praesertim philosophia 
content! esse solent, unde mirum non est sterilem esse solere doc- 
trinam illam et verbosam. Itaque non sufficit similia dicere, quo- 
rum eadem forma est, nisi formae rursus generalis notio habeatur. 
Comperi autem, instituta qualitatis vel formae explicatione, rem 
tandem eo^evenire, ut similia sint, quae singulatim observata dis- 
cerni non possunt. Quantitas enim sola rerum compraesentia seu 
applicatione actuali intei*veniente deprehendi potest, qualitas aJiquid 
menti objicit, quod in re separatim agnoscas et ad comparationem 
duarum rerum adhibere possis, actuali licet applicatione non inter- 
yeniente, qua res rei vel immediate vel mediate tertio tanquam 
mensura confertur. Fingamus duo templa vel aedificia exstructa 
esse haberi ea lege, ut nihil in uno deprehendi queat, quod noo 
et in alio observes: nempe materiam ubique eandem esse, marmor 
Parium candidum, si placet; parietum, columnarum^ caeterorumque , 
omnium easdem utrobique esse proportiones , angulos utrobique 
eosdem seu ejusdem rationis ad rectum; itaque qui in haec bina 
templa ducetur clausis oculis, sed post ingressum apertis, et nunc 
in uno, nunc in altero versabitur, nullum indicium ex ipsis inve- 
niet, unde alterum ab altero discernat. Et tarnen magnitadine 
differre possunt, atque adeo discerni poterunt, si simul spectentur 
ex loco eodem, vel etiam (licet remota sint invicem) si tertium ali- 
quod translatum nunc cum uno, nunc cum altero comparetur, ve- 
luti si mensura aliqua , qualis ulna aut pes aut aliud quiddam ad 
metiendum aptum , nunc uni nunc alteri accommodetur , nam tarn 
demum discernendi ratio dabitur inaequalitate deprehensa. Idem 
est, si ipsum spectatoris corpus aut membrum, quod utique cum 
ipso de loco in locum transit mensuraeque officium praestat, bis 
templis applicetur ; tunc enim magnitudo diversa , et per hanc dis- 
cernendi modus apparebit. Sed si spectatorem non nisi ut naen- 
tem oculatam consideres, tanquam in puncto constitutam, nee ullas 
secum magnitudines aut re aut imaginatione afferentem, eaque sola 
in rebus considerantem, quae intellectu consequi licet, velut nume- 
ros, proportiones , angulos, discrimen nullum occurret. Siooiilia 
igitur dicentur haec templa, quia non nisi hac coobservatione vel 
inter se, vel cum tertio, minime autem sigillatim et per se spectata 
discerni potuere. 



181 

Haec evidens et practica et generalis similitudinis descriptio 
nobis ad demonstrationes geometricas proderit, ut mox patebit. 
Nam duas figuras oblatas similes dicemus, si aliquid in una singu- 
latim spectata notari nequeat, quod in altera non aeque deprehen- 
datur. Itaque eandem utrobique ingredientium rationem sive pro- 
portionem esse debere consequitur, alioqui per se sigillatim seu 
nuUa licet amborum coobservatione instituta, discrimen apparebit. 
At Geometrae cum generali similitudinis notione carerent, figuras 
similes ex aequalibus respondentibus angulis defmierunt, quod spe- 
ciale est, non ipsam naturam similitudinis in Universum aperit. 
ItacfCie circuitu opus fuit, ut demonstrarentur , quae ex nostra no- 
tione primo intuitu patent. Sed ad exempla veniamus. 

Ostenditur in Elementis, triangula similia seu aequiangula 
latera habere proportionalia, et vicissim; sed hoc multis ambagibus 
Eaclides quinto demum libro conficit, cum primo statim ostendere 
potoisset £lemento, si nostram' notionem fuisset secutus. Demon- 
strabimus primum, triangula aequiangula esse similia, Esto tri* 
aogulum ABC (Hg. 77) et aliud rursus LMN, sintque anguii A, B, C 
ipsis L, M, N respective aequales, dico triangula esse similia. Utor 
autem hoc axiomate novo: Quae ex determinantihus (seu datis 
sufficientibus) discerni non possunt, ea omnino discerni non posse, 
cum ex determinantihus caetera omnia oriantur. Jam data basi 
BC datisque angulis B et C (adeoque et angulo A) datum est tri- 
aogulum ABC ; itemque data basi MN datisque angulis M, N (adeo- 
que et angulo L) datum est triangulum LMN. Sed ex bis datis 
sufficientibus singulatim discerni triangula non possunt. Nam in 
uno quoque data sunt basis et duo ad basin anguii; jam basis 
angulis conferri nequit ; nihil aliud ergo superest quod in triangulu 
altenilro ex determinantihus sigillatim spectato examinari possit, quam 
ratio anguii cujusque dati ad rectum vel duos rectos, id est anguii 
ipsius magnitudo. Quae ipsa cum utrobique eadem reperiantur, 
necesse est triangula sigillatim discerni non posse, adeoque similia 
esse. Nam ut in Scholii modum addam, etsi magnitudine triangula 
discerni possint, tamen magnitudo nisi per coobservationem vel 
triangulorum amborum simul, vel utriusque cum aliqua mensura 
agnosci non potest, sed ita jam non tantum spectarentur singulatim, 
quod postulatur. 

Vicissim manifestum est, triangula similia etiam aequiangula 
8se; alioqui si esset angulus ahquis ut A in triangulo ABC, cui 



MC 

ttiiUus i^mariretur aequdie angulus io IriaQgalo LMN, utiqiit daretnr 
»Hgulus ip ABC, Ii9b«n8 rationem ad duoa rectos (aeu ad omoiim 
triasguli aagidorum suraaiam), quam non habet uUus in LHN, 
quod sußicit ad triangulum ABC ß triangulo LBIN siDguIatim di- 
stingueDduin. Constat etiam tricmgula similia habere latera pr^ 
portienMa. Mam si dentur duo aliqua latera, velut AB, BC, ha- 
bentia rationem iater ae, quam nulla trianguli LHN latera inter ae 
baheapt, jam potent altarum triaBgulum ab altere singulatim diaoemi. 
Denique st laiers proporUonalia $intj triangvla similia ermu; 
^ooiam enim datis iateribus data sunt triangula, suQicit (per 
axioua nostrum) ex latenim ratione discrimen haberi Bon p^asA. 
ut ex nullo in trianguli3 bia singulatim apeetatis alio haberi poaae 
ju^i^ensus. Ex bis vero etiam patet, triangula aequianguh habere 
la(»rm proporitonalia, et vicissim. 

Eodem modo primo statim mentis obtutu ex noatra aimilitu- 
dioia niDtione directa oatenditur, circuloe esse ut quadrata dtafn- 
trarumt quod Eucltdes demum depimo iibro ostendit, et quidw 
PQr inseripta et circumaeripta , rem reducendo ad absurdum, cum 
tamien nullia ambagibus esset opg:^. Diametro AB (fig. 78) dasenp- 
lua Sit circulus, eique oirciimsisriptum diametri quadratiim CP; 
fo^emfii« modo diametro IM doscriptus alt circulus, eique oircum- 
«ariptum diametri quadratum NO. Determinatio utrobique asi si- 
milia« circulus circulo, quadratum quadrato, et accommodatio qua- 
drati ad circulum, itaque (per axioma supradictum) figurae ABCP 
«I LHND sunt siiniles. Ergo (per deGnitione» ^militudinia) erit 
circulus AB ad quadratum CD, ut circulus hU ad quadratiim NO; 
•Fgo etiam circulus AB ad circulum LM eat ut quadratum CD ad 
qupibatum NO, quod affirmabatur. Pari ratione sph§eva$ ostondon- 
tur aas« ut eubi dfiametrorum* Et in Universum in sinulibus lii)eaa, 
anperficias, splida bomologa erunt reapeclive ut longitudinea, qiMi- 
drato, eubi laterum homologorum, quod bactenus ganeraliter assttm- 
iauKk magis quam demonatratum est. 

I^orro haec conaideratio, quae lanlam praebet facilitatem dar 
monatitattdi veritates alia ratione • difficulter demopstrandas , etiam 
no¥um cakuli geaus nobia aperuit, a oalculo algebraico toto coelo 
divBir&iun, notisque pariter et u&u notarum operationibusve ncvurn. 
Itaque Analysin situs appellare placet, quod ea situm recta et im- 
mci^iala expUcat, ita ut figurae etiam non delinoatae per notas in 
animo depingtAtur, et quioquid ax figiliis imagiaatio inteUigit um- 



pifica, a ex notis ealcaliis certa dtmoiutratione demeti caeteraqiM 
etiam omnia consequatur, ad quae imaginandi vis pertingere non 
po(69t: imagioaüoiiis ergo supplementum, et ut ita dicam perfectio 
in hoc, quem proposui, calculo situs continetur^ neque tantum ad 
GtofiielFiam, sed etiam pid machinarum inventiones, ipsasque macbi- 
naram naturae descriptio»es osum hactenus incognitum habebit. 



IV. 

IN EUCLIDIS nPSiTA. 



Ad Libri pricoi Delinitiones. 

I. Pu/ncHm est cujus pars nuUa est. 

Addendum est, situm hahens. Alioqui et temporis iDstans, 
et AnimP punctum foret. Sit locus x ; si jam quicquid est in 1og8 
X, sit X, dicetur X esse punctum, quäle A. 

U. Linna est longitudo latitudinis expers. 

(1) Debebat definiri, quid longitudo latitudoque essQt, nß 
obacimim per aeqiie obscurum explicari videretur. Malim ergp sie 
definire : Linea est magnitudo, cujus Sectio non est Magnitudo. Et 
baec mtgnitudo diceiur latitudine carere, cum htitudo nihil aliud 
sit quam quantitas sectionis, longitudo autem ea secundum quam 
sact)p non fit. Sit magnitudo, cujus duae partes quaecunq ye sint 
1 et Y, Sectio autem eorum communis erit Z et Y. Si jam Z et Y 
se»per est punctum , magnitudo est linea. Voco autem 7 locum 
omnium punctorum Z, et T locum omnium punctorum Y, et Z et Y 
loeum eorum punctorum quae ^mul sunt Z et Y, seu quae simul 
sunt in z et in y. 

(2) Linea etiam per motum definiri potest, sed tunc^ adhi- 
bendum c^t tempus. Sit z ad t , et T tempus, erit z linea ; porro 
Z ad f ftignificat; puneta Z et instantia T coordinata esse sive 
cuivis Z proprium esse T (unde sequitur, et ob continuam muta- 
tionem cuivis T proprium esse Z) seu Z esse locum puncti lineam 
motu describentis. Nam si describatur superficies, plura puneta 
loci eodem instanti tempore describuntur. Quicquid autem eodem 
instaati describitur , commune est ei quod prius et quod posterius 
dascribitur, seu duabus deacripti partibus , atque adeo est sectio» 
de quo mox. Uaque si qnovis momenlo non nisi unum punctwil 



194 

dMoribitur, sectio magnitadine caret, ac proiode qaod produdCur 
linea est. 

Magnitudo ita definienda est, ut coinprehendat lineam. sup^- 
fidem et solidum, non tarnen angulum, quod ita nos coosequi 
posse arbitror : Magnitudo est contiDuum, quod habet sUum ; An- 
gulus autem coutinuum non est. Porro ad continuum duo reqai- 
runtur, unum ut duae quaevis ejus partes totum aequantes habeant 
aliquid commune, quod adeo pars non est; alteruoi ut in continuo 
ßint partes extra partes, ut vulgo ioquuntur, id est ut duae ejus 
partes assumi possint (sed non aequantes), quibus nihil insit com- 
mune, ne minimum quidem. Ita rectae AB (fig. 79) duae partes 
assumi possunt AC et BD , nihil plane quod ipsi rectae insit com- 
mune habenies, ne punctum quidem. Sed duae quaevis partes 
aequantes, ut AC et BC, commune habent, nempe C. At anguli 
AEB (fig. 80) tales partes sumi nequeunt, nam AEC et BED an- 
guli, qui sunt ejus partes, saltem habent punctum E commune; 
imo revera Anguli in ipso sunt puncto, vel saltem ad ipsum, cum 
idem sit angulus, quantulaecunque sint rectae, sitque adeo nihil aliud 
quam inclinatio exeuntium linearum, uti velocitas spectatur in statu 
mobilis loco suo exire jam tendentis, etsi nuUos adhuc fecerit pro- 
gressus. 

(3) Sed opus est, ul etiam expHcemus quid sit sectio. Eam 
ita definio: Sectio magniludinis est quidquid est commune duabus 
Hagnitudinis partibus partem communem non habentibus. Este 
Magnitudo AB (fig. 81), ejusque partes AD, BC, quibus communis 
reeta CD, quae est et in AD et in BC, etsi bae partes non habent 
partem communem. Nam CD non est pars ipsius AD nee ipsius 
BC. Hujus indicium est, quod AD -f BC + CD non est majus quam 
AD + BC, seu non habet ad ipsum rationem majoris ad minus, com 
AD etBC sint partes aequantes totum. Sed si partes partem com- 
munem haberent, uti ex. gr. AF et BC partes ipsius AB habent 
partem communem CF, tunc AF + CB majus foret quam AB (cum 
sint partes complentes quidem totum AB, ut faciunt AD et BC, sed 
non aequantes, ut etiam faciunt AD et BC), et tam.en AF (-h) CB 
seu AF et CB simul sumta, non sunt plus quam AB. Quod dis- 
crimen inter additionem quantitatum, et simul-sumtionem rerum 
probe notandum est. Et ut additio mentalis quantitatum designa- 
tur per +, ita additionem realem magnitudinum, seu ipsorum quan- 
torum designo per (+), donec aliquid commodius occurrat. 



1811 

in. Lineae Termini sunt puncta. 

(1) Haec positio non recte inter definitiones collocalnr, neque 
enim apparet definitum. Est potius conclusio, quae ex praeceden- 
tibiis duci potest. Terminus est quod commune est magnitudini 
cum alia, partem priori communera non habente. Itaque cadit in 
sectionem totius ex ambabus magnitudinibus compositi, adeoque 
Terminus vel ipsa erit Sectio (cum inteiligatur id omne quod com- 
mune est) ve] saltem sectioni inerit. Sed Sectio lineae non est 
magnitudo; itaque nee terminus magnitudo erit, et proinde, cum 
situm habeat, erit punctum. 

IV. Recta Linea est quae ex aequo sua interjacet puncta. 

(1) Haec definitio nullius momenti est, neque uspiam ab 
Euclide in demonstrando adhibetur, neque satis inteiligitur. Itaque 
Arcbimedes rectam definit, quae est minima inter duo puncta. Sed 
si haec mens fuisset etiam Euclidis, ut Clavius interpretatur, non 
fuisset aggressus demonstrare, in triangulo duo quaecunque iatera 
esse tertio majora; id enim ex tali definitione statim consequebatur. 

(2) Ego varias lineae rectae definitiones habeo: veiuti Recta 
est linea, cujus pars quaevis est similis toti, quanquam Recta non 
solum inter lineas,. sed etiam inter magnitudines bot* sola habeat. 
Sit locus X (flg. 82), et locus alius quicunque Y, qui int^it priori, 
seu cujusque punctum quodvis Y sit X ; si jaro Y est simile ipsi 
X , erit H, recta. Simul autem hinc patet, Y esse partem ipsius It, 
nam omne quod inest si simile sit, pars est. 

(3) Definio etiam rectam, locum omnium punctorum ad duo 
puncta sui situs unicorum. Et hinc si quaecunque magnitudo mo- 
veatur duobus punctis immotis, mota quidem puncta arcum circuli 
describent, quiescentia autem oronia cadent in rectam, in quam 
cadent omnium illorum Circulorum centra. Et haec recta eritAxis 
Motus. Ita generationem rectae et circuli una eademque construc* 
tione habemus. At punctum extra rectam positum, circumferentiam 
describens, infinita percurrit puncta, eodem modo sita ad duo illa 
puncta immota et ad rectam ])er ea transeuntem. Calculo situs rem 
ita exprimo: Si sit X. A.B unic, erit x recta, vel si sit X.A.B 
eo' (X) . A . B et ideo X s^ (X) , erit Y recta , ubi c^ mihi similitu- 
dinem significat, oo congruenüam , \9>o: coincidentiam. 

(4) Sed ad Eudideas demonstrationes perficiendas deprehendi 
hac opus esse definitione, ut recta sit Sectio plani utrinque se ha- 
bens eodem modo, ut latus A (fig. 83) et latus B, cum in eurva 



differat latus (A) a latere (B) , quorum ithid ^wvmmß appfHatur, 
hoc vero concavum^ in qnod cadit recta jungeos extr^ma- Sumator 
foUum chartae et secetur: si Sectio est linea recta, oovus torfnioos 
sectione factus in uno segoiento uon potest ab eo distiDgui« qui 
factus est in alio segmento ; si vero Sectio $it non recta, sed quapi 
curvarn vocsmt, terminus unius segmenti erit convexus, alter con- 
cavus. 

(5) Calcuio rem ita exprimimus. Sint plani segmenta % et 
Y, et Sit z Sectio communis, ita z est in x et in y, seu quod 
eodem redit, omne Z est X et omne Z est Y. Si jam 'z.^f» 
z .% erit ? recta. Itaque si A sit quoddam X, dabitur quoddam 
¥, quod vocabimus L (ita ut L sit quoddam Y) eodem modo se 
babens ad Z", ut A se habet ad z, ut adeo sit A. ZaiL.z, Se<l 
etsi sint quotcunque assumta X, quomodocunque se inter se ha- 
bentia et ad z, veluti A .B.C, dabuntur bis respondentia puncta Y, 
ita ut sit A.B.C . Zfts L.M.N. z. 

(6) Hinc sequitur, in quo piano sunt puncta rectae, in eo 
atiam esse rectam. Ac proinde si linaa aut lineae sint in uno ali- 
quo piano, rectas omnes, quae puncta lineae aut linearum juogunt, 
eSiSe in eodem piano et figuram oonstituere, quae sit pars plani, et 
non posäe partem rectae esse in piano partem in sublimi, qiiia 
pecta in pkno cui inest semper conlinuari potest, ergo non etiam 
extra planum, alioqui duae rectae habereut segmentum commune, 
quod de rectis, qiiales $ 4. definivimus, impossibile esse inh*a 
Qstendetur. Unde patet etiam coincidere duas figuras pipnas , qua- 
mm termini (in eodem piano scilicet positi) coincidunt, quia coioci- 
dunt rectae intra figuram cadentes ab uno puncto termini ad alind 
ductae, sive non nisi unica duci potest. Porro hae rectal fig«ir^m 
constitttunt, cum constituant omnia ejus puncta. Nam p«P quodvis 
punctum intra figuram recta ducta occurret figurae (planao scUioet) 
in duobus punetis, ut infra ostendemus definit. 17. $1. 8ed haec 
in Cireulo suo loco maxime patebunt. 

V. Sktperßciea est quae longitudinem latitudinemque t^um 
habet. 

(1) Uti dictum erat, lineam habere longitudinem sine latitu- 
dine, ita dicendum erat, superficiem habere loBgitudinem et latitii- 
dinein sine profunditate. 

(2) Sed definieudum erat quid sit profuiüditas, quod c^m 
facAuni aon sit, eum defectum supplebimus, uti ddäniviwus, quid 



«H (4Htiliido. Profwf(ium ^$ft illud ifiyaiup, ifi quo e&t qwi ^h 
niwno »ttisgi non polest; ita uullum quidem est circiiH punct«im, 
?el ^Iterius superfidei, quod non ab alio rninime licet in eaoi su- 
p<ir0oiem penetrante attingi possit. At vero profundum habet par- 
tes undique tecUs. Itaqu« profuniitatem habet Magnitudo, in qua 
aüqiiid sunu potest, quod non polest ei esse commune cum alio 
Tiisi pm^rante seu partem in eadem magnitudine habente. 

(3) Rinc sequitur, SoUdum seu profunditate praeditum non 
posse esse aectionem alterius sive sectionis partera, yel in seqtjono 
existeas, adeoque non posse esse Terminum. Nam quicquid Ter- 
minus est, ab eitranßo attingi totum potest. Uude intelligitur» 
solido altiorem dimensionem non dari. Nee solidufn ita moveri 
potest, quin vestigia ejus partem habeant communem» quod secus 
est in his , quae profunditate carent ; add. defin. 2. § 2. Patet 
etiam, superficiem, etsi a superficie secßvi possit ita ut scAtto Ion- 
g^udinem habeat, non posse tarnen a linea ita trajici, nt trajectio 
Iqngitiidinem habeat. At omnis soiidi trajectio magnitudiuQm habet. 
Net«ndum, differre sectionepn a trajeetione, quod illa non nisi bo-* 
mogeneis communis est, lineae et lineae, superficiei et superfieiei, 
9olido et solido; trajedtio autero etiam lineae et solido communis 
esse potest; quod secat, trajicit, non contra. Trajioit autem cujus 
aliquod medium est intra trajectum, caetera, inter quae medium, 
snqt ei^lra. 

(4) Ex bis, cum omnis in Hiagnitudinibus varietas oriatur a 
tormiais, manifestum est omne soUdum iotus uniforme esse, ut 
UBum pua^tum ab alio discerni non possit, nisi ad terminos refe- 
raBtur. 

($) Sed imperfecta est haec doctrina, antequam demonstrelur, 
tres tantnm esse dimensiones, seu id omne quod profunditate caret 
•t ktittidinem habet seu quod medium est inter lineam et solidum, 
e^se uniua isiusdemque dimensionis. Ostendendum igitur est, aec- 
tiQDf«! sqlidi esse sii)>erfiQiem, id est mitgpitudinem eujus secüo sit 
linea, vel quod eodem redit, motu superficiei describi solidtm. Caa- 
(«ium ^ rea demonstrata est, quantum memini, a Ptolemaeo de 
i^aksimale, ex eo quod tres tantum dautur rectae perpendiculare^ 
iater so ^A idem punetiim. 

(6) Ex bis etiam i^tet, su^^erficiom non esse sufficienter 4f^ 
ijaiUup, n^que enim coastat ut diii, an omne quod lalitudineüsi ba- 
Wtet pi^undi4aite car^i, ait ejnadem dimensionis. N«im si sufiM^- 



19S 

fieies descendendo definiatur, est Magnitudo cojds sectio seetionem 
non potest habere, quae rursus sit magnitado (quo posito onitHs 
superßciei sectio vel erit Hnea vel punctum). Quaeri poterit an as- 
cendendo possit dari dimensio media inter superficiem et solidum, 
cujus Sectio sit superficies, quae adeo dimensio summa non sit, 
sed possit rursus alterius constituere seetionem. Similiter si su- 
perfides definiatur ascendendo, quod sit sectio solidi, jam quaeri 
potest descendendo ^ an non detur medium inter talem superficiem 
et lineam; quod si demonstretur, ambas definitiones coincidere, 
seu quod est sectio solidi, id seetionem habere lineam, jam demon- 
stratum erit, non nisi tres esse dimen^^iones, sane ponendo planum 
esse seetionem solidi, et piani seetionem esse rectam, et ubi jam 
constittti rectam a recta non nisi in puncto secari posse, adeoque 
lectam esse lineam, res confecta erit. 

VI. Superficiei autem extrema sunt lineae. 

(1) Ad hunc articulum eadem notari possunt quae ad quar- 
tum, non esse definitionem, cum careat definito, et ex ipsa super- 
ficiei notione derivari, sed qualis a nobis correcla est, in articuli 
praecedentis $ 6. 

(2) Dicendum tarnen erat, superficiei extrema non tantum 
esse posse lineas, sed et puncta. 

VII. Plana est superficies, quae ex aequo suas interjidt lineas. 

(1) Haec quoque definitio nullius momenti est ob eas cau- 
sas, quas allegavimus ad definitionem lineae rectae. 

(2) Quidam planum definiunt superficiem minimam inter ea- 
dem extrema, quod verum est, sed non est commodum demonstra- 
tionibus. Nee male Heroni planum est superficies, cujus quibus- 
libet partibus recta accommodari potest, seu in qua duci potest 
Hnea recta a puncto quocunque versus partem seu plagam quam- 
cunque, quanquam in hac definitione videatur aliqua esse subreptio 
pleonastica , et dubitari posse , au talis superficies detur ; uti in 
definitione rectae ad planum perpendicularis apud Euclidem subrep- 
tio pleonastica est. 

(8) Ego quoque aliquas plani definitiones commentus sum. 
Una est, ut sit superficies, in qua pars similis toti, tunc cum ex* 
trema partis similia sunt extremis totius, ita cum circumferentia 
circuli sit alteri circumferentiae circuli similis , etiam circulus cir- 
culo similis erit, quia est in piano. In hoc ergo differt a recta, 
cujus absolute pars quaevis est similis toti. Atque ita etiam duo 



189 

diversa plana, quorum extrema sunt similia, erunt inter se similia. 
Nempe plana intus uniformia sunt, nee nisi exlremis distinguuntur. 
Ulud solius planae superficiei proprium non est, ut congrua sint, 
quorum extrema sunt congrua, nam et superficiei sphaericae et cy- 
lindricae partes congruis circumferenliis inclusae congruae sunt. 

(4) Atia plant definitio mihi est, ut sit locus omnium punc- 
torum sui ad tria puncta in eandem rectam non cadentia situs 
uiiicorum. Haec respondet paulo ante positae definitioni rectae. 
Et hinc statim colligitur, positis duabus rectis se secantibus omnes 
rectas, quae per duo quaevis unius et alterius puncta transeunt, 
esse in eodem piano. 

(5) Sit T planum , erit Y . A . B . C unic. Et baec puncta 
suDt ipsa in piano. Nam lUique A est quoddam Y, quia A ad 
A . B . C est unic. ; idemque est de B et C. Et idem quod de A . B . C, 
intelligi potest de tribus quibuscunque plani punctis, in eandem 
rectam uon cadentibus, ut caetera sint ad ipsa unica. Sit jam in 
rectal et puncta ejus duo L.M in piano, erit Z.L.M unic, sed 
L . A . B . C unic. et M . A . B . C unic. , ergo pro L et M substituendo 
ea, per quae determinantur, fiet Z ad A.B.C.A.B.C unic, id est 
Z ad A.B.C unic; nam hie nihil facit reduplicatio. Unde constat, 
rectam cujus duo puncta sunt in piano, cadere in planum. 

(6) Sed tandem superiori reclae definitioni ad Euclideas de* 
monstrationes aecommodatae, haec respondet nostra definitio plani, 
ut sit Sectio solidi utriqque habens se eodem modo ; ut si pomum 
secem in duo frnsta, ut extremum novum unius segmenti non possit 
distiitgui ab extremo novo alterius segmenti, Sectio erit planum. 
Sin distingui possint, tune unus terminus vocatur convexus seu 
gibbi^y alter, in quem planum cadit, concavus. 

(7) Habet et hie locum calculus. Esto solidum infinitum 
seu quantum satis productum, sectum in duo segmenta x et T, et 
secans sit "z, ita ut omne Z sit X, et omne Z sit Y; si jam Sectio 
sit planum, oportet esse x.Zse Y.Z. Et omnia locum habebunt in 
piano secante solidum, ut supra in recta secante planum. 

(8) Ex bis patet etiam, solidum, planum et rectam esse 
magnitudines intus uniformes, ita nt nulluni discrimen offeratur, 
cum termini non attinguntur. Cum enim solidum sit intus uniforme 
ex natura profunditatis et sectione ejus per planum nulla oriatur 
diversificatio , etiam planum erit intus uniforme* Eodem modo et 
plani Sectio, quae nullam diversificationem habet, nempe per rectam, 



iiitiM Urtifofini» erit, qunnqoani rectiie etiam tefmkii irallMi oife* 
riitä TdrietateiB, cum sint puncfca; und« fit etiam, ut partes rectae 
aint akkiiles inter se aut toti. At plani et solid! terfniiios fnultam 
varietatis habere posse patet, cum sit magnitudines ; vid. def. 9. 
§ I. et def. 4. § 1. Itaque etst uHiformia sint omnia, cum nnlia 
termtiiDrum ratio habetur, in piano tarnen fei solido partes inter 
se similes non sunt, nisi termini sint similes. Uiud auteln soHdi», 
pfatio, rectae commune est, ut congrua sint ommino, quoram ler-*- 
mini prorsus congrui sunt. 

VItl. Planus Angulus est duarum linearum in piano s^ 
mutuo tangentium et non in directum jacenttam alterius ad ^dte-< 
ram inclinatio. 

(1) Lineae inteltiguntur in piano ductae, sibique occnnrefifea. 
Nam bic tangentes idem significant qnod obtihgentef, non id qood 
appellare solemus contactum. Lineae in directum jacente» neu 
tantum possunt esse duae rectae unam oonstituentiss, sed tiimk 
doo arcus circuli aut alii, y. g. cum dno arcus cifculi euAdedi 
arcdm componunt seu cum constituunt unam circularem linearfi 
cotttinuatam. Porro eadem linea continuatur a daabus partibtis, 
cum utraque pars in puncto communi eandem habet reetan tan- 
gentem, eundem circulum osculantem, aliasque etiam eommanes 
lineas plus quam osculantes; de quo alibi. Sed tales esse intelligi 
potest ex aliqua proprietate vel generatione coirimnni qnae amM- 
gna sit, quae non det modum eandem lineam continuandi bid if^l 
saepius. 

(2) Quid sit inclinatio linearum in Angulo, jam noimihil 
attigimus ad def. 2. §2. Sed hoc loco conaiderandttm est, eutii 
Angulo quantitas tribuitur, opus esse aliqua ejusf mensura, qüae 
qnidem pro angulo piano rectilineo habetur in cii^cnli eircumfe- 
fentia, nempe Anguli (flg. 84) BA€, CAD, BAD sntit ut arcus ^- 
cumferentiae in eodem piano centro A desoriptae f ectas AB, AG, AD 
secantis, seu ut arcus BC, BD, CD. Cumque arctte sim ifitiSr se 
ut rectae iis- aequales seu in qiias elteiidi possunt, ^ttftt Aflgüli 
rectilinei inter se ut rectae. Sed in curvis inclinatio seu directio 
rectae, tangentts curram, habetur pro direetione cnrvae*^ et gr. 
arcud circuli ABC (fig. 85) in pnActo G habet dtrectionem, «^»fti 
i'ecta tangens DCE; quam in rem eurvam con<*ipimus ut poly^ 
num velut MLHCNO (fig. 86), cujus latera sunt portienes reotaHim 
taiigeAtium. Et. gt. CA erit portio tangcntis DE, sed cM» poitiih 



Ms ifi pfAjfMk v^is d^signabiies, in ipsa cürva una cum poly- 
9900 evanescunt in punctum tangenti cum curva commune. Atque 
h<ie BeUsu angnlas, quem Tocant semicirculi ABCR (ßg. 8&), seu 
aogulus arcus circuli ABC ad rectam CR curvae perpendicuiarem 
sen ad radimii, idem est cum angulo DCR aut £CR, quem facit 
rooia C£ ve) DC ad reetam RG; et sie angulus contactus DCBA 
qa«iititatem non habet, alioqui ejus quantitas foret differentia inteir 
qttüititales angulorum DCR et ABCR: quantitatem, inquam, non 
bidiet quae per mensuram arrgoli rectilinei aestimari possil. Si q»a 
tere est ratio aestimandi angnlos contactus comparandique inteir se, 
orrtur ex direrso plane principio et ad aliam plane mensuram re- 
iMiar» Bi qais ?ere es eo saltem angulum contactus contendat 
isse quantitatem, et quidem minorem quovis recttiineo ut FCD, 
qaia DGB eadit intra DGF, is crassius loquitur, et recurrit ad quan- 
titatis genas imperfectum, quod nuliam habet mensuram contifulam, 
ttbi Cftiam non habet kcum ratio vel proportionatitas. Neque enim 
aasignari recta potest, quae sit ad rectam, ut est angulus contift- 
gentiae DCB ad angulum oontingentiae DCG, quod in Angulis reolt- 
lineis fieri posse jam ostendimus. Porro Angulum contactus non 
habere quantitatem mediam inter angulutn reictilinenra nulium et 
aliquem ut FCD, ex eo patet, quod movendo rectam FC circa pun- 
ctum C, donec reeta FC incidat in rectam DC, seu angulus evauescat, 
patet per angutos omnes medios transiri inter Angulum nulium, 
tum FC ineidit in DC, et rectiltneum FCD, quoniam continum est 
^ansittts, ergo necesse est angulum contingentiae non esse medium 
fttsualitate inter anguhim nulhim et aliquem rectilineum. Ac pro- 
inde plane est divefsi generis, et respectu anguli rectilinei ne qui- 
i^m ut infinite partus considerari potest, qui utique inter imliiim 
et assignabilem CoUocatur. Itaque hac in re Pefetario contra Cla- 
vium assentior; et Euclides cum angulum contactus dixit mitim'ein 
quevis reotilineov locutus est paulo laxius, per minorem intelligens, 
cujtis initia iütra pHt>ris spatium cadunt. Non aütem ideo per- 
Mctain qtia&titdtem angulo contactus respectu rectilinei tribuisse 
eenseri debet. Atqtre haec est conciliatio Archimedis et Eu^lidi«, 
qwös sviünhM Vir, Pranersctts Yieta, sibi opposuisse visus est, et va4de 
peecatit Clarfus, cutn hoc Axioma negavk, quo affirmatur, qUdd 
transit ab uno extremo ad aliud et quidem per omnia intermedia, 
deb«r(B transife per aequale, eaque ratione Thoihae Hobbe^o occa- 
sionem dedit Geottietris insnltalidt. Itaque valde n^tattda ^i imc 



!•• 



distinctio inter quantitatem vel aestimationeni perfectam seu Ge«- 
metricam, et irnperfectam seu populärem, quam hoc loco secutus 
est £aclides, cum Angulum coDtactus quovis rectilineo minorem 
dixit. 

(3) Interim aliqua quantitas ascribi potest curvaturae, et lice- 
hit eam ae&timare ex ipsa magoitudine circumferentiarum, et qaod 
eodem redit radiorum circuli} sunt enim circumferentiae circulares 
radiis proportionales. Sint circuli aliquot ita coUocati ut minor 
majorem intus tangat, omnes in eodem puncto, cadantque adeo 
centra in eandem rectam ; si jam circuli sint descripti radiis (fig. 87) 
AD, BD, CD etc., dici potest curvaturas circulorum esse reciproce 
ut radios, seu curvatura circuli ex centro A erit ad curvaturam 
circuli ex centro B, ut 1 : AD ad 1 : BD seu ut BD ad AD. Inde 
cum recta EDF inünilies producta fmgi possit circumferentia infi* 
niti radii, erit ejus curvatura infinite parva, revera nulla. 

(4) Hinc tandem etiam nancisciraur mensuram ipsorum An- 
gulorum contingentiae, sed quos faciunt circuli inter se, nempe per 
differentias mensurarum, quas curvaturis assignavimus. 

Curvatura circuli 
descripti per D centro AB C 

mensuratur per radium AD BD CD 

Angulus Circulorum qualis GDH HDI GDI 

mensuratur ditferentia radiorum — AD+BD — BD + CD —AD + CD 
idque caiculo sie formatur: Angul. GDI = Aug. GDH -|- HDI, id 
vero succedit mensuris substitutis, nam est — AD-|-CD= — AD + BD 
— BD + CD, sed angulus contingentiae quem recta ED facit ad ali- 
quem circulorum, est infinitus, cum recta fingatur esse circulus 
descriptus radio iniinito, cujus curvatura sit infinite parva. Unde 
quod certa aliqua consideratione pro nihilo habetur, alia habetur 
pro infinito. 

(5) Hinc etiam habemus mensuras tum directionis, tum et 
curvaturae caeterarum linearuro. Nam curvae cujusque ea est di- 
rectio in puncto quocunque, quae rectae in eo puncto contingentis, 
habentque odeo eandem directionem lineae quae se contingunt. Sed 
Lineae curvatura aestimanda est circulo tangente non quovis (nam 
infiniti sunt Circuli tangentes Curvam in eodem puncto, recta vero 
non nisi unica), sed eo qui ex circulis maxime ad curvam accedit, 
et diutissime ei ut sie dicam abrepit, ita ut intra ipsum et curvam 
alius circulus tangens cadere non possit. Isque est Curvam intus 



tangeDtiain maximus, quem olim considerans appallafi osculantenit 
quia plus quam tangit. Isque hanc habet utilitatam matimam, ul 
6ttr?ae, quam oaculatur, tanquam succedatieum substiiui possil. 
Itaque hinc derivavi Focos speculorum aut vitrorum Sphaericorum 
in Catoptricis et Dioptricis, ut circulus scilicet eum focum habere 
intelligatur, quem Parabola, Hyperbola vel EUipsis, quam ille oscu- 
latur. Cui observationi postea David Gregorius opusculum synop- 
ticum hujus argumenti inaedificavit. Ac vel inde etiam Inerito ut 
recta ad determinandam curvae directionem, ita circulus ad deter- 
minandam ejus curvaturam adbibetur. Ut enim rectae cujuscunque 
ubique eadem est directio, ila drculi ejusdem ubique eadem est 
curvatura. Circulus autem circulum osculari non potest, semper- 
que inter circulos binos, quorum unus ab altero intus tangitur, 
velut HD potest sumi medius, quia centnim inier horum centra 
A et C medium sumi potest. Sed de Qrculis Osculantibus plura, 
<Keta sunt a nobis et amids, tum in Actis Eruditorum Lipsiensibus 
tum in variis scriptis Analyseos infinitesimalis. 

IX. Cum quae Angulum continent lineae Rectae fuerint, 
Rectilineu8 ille Ängulus appellatur. 

(1) Intelligit Rectilinenm planum; suo tamen loco demonstra- 
bitur, omnem angulum rectilineum esse planum. 

X. Cum linea, super rectam consistens lineam, eos qui sunt 
deinceps angulos aequales inter se fecerit, rectus est uterque aequa- 
linm angulorum. Et quae insistit recta Unea, Perpendicularis vo-- 
catur ejus cui insistit. 

(1) Explicandum erat, nnde Angulus alteri aequalis aut eo 
ma}or aut minor haberi debeat. Ea autem mens EucKdis esse vi- 
detnr, ut si angulus intra angulum cadit, ille minorj hie fnafCfr 
dicatur, aequalis vero, qui congruens est aut ex congruis componitnr, 
atque hoc quidem assumendo lineas angulum facientes quantum- 
libet parvas* Porro angntus intra angulum cadit, si recta, mino- 
rem factois an^um, cadat inter spatium interc^tum facteiitib«s 
majorem. Et componitur angulus major, quem fMiunt duae Uii«ae 
extremae, ex angulis duobus minoribus, quos facit intermedia cum 
duabus extremis. Sed ut jam notavi, haec definitio non sufficit ad 
quaDtitates perfectas aeu rationes sive proportioiiea detenninandas ; 
in angulo tamen rectilineo, ubi m^nsura certa aliunde haberi po- 
test, nihil incommodi ex ea nascitur. 

(2) Rectaa stbi mutuo ease perpendioulare», ex «^ patef, qlH^d 
V. 13 



1»4 

suo ; loGO ostendetur angulos oppositos sibi aequales esse, nam quia 
(fig. 88) ABC=3CBD ex def. anguli recti, et CBD^ABE, quia sunt 
oppositi, erunt et ABC et ABE aequales, qui cum sibi sint dein- 
ceps, erunt recti. 

XI. Obtusus Anguius est qui recto major est. 

Xn. Acutus vero qui minor est recto. 
Itaque Analysis adhibetur obtusi in rectum et acutum illum, 
quo rectum excedit. Hinc Tabulae Sinuum solos Angulos acutos 
exhibent. 

XIII. Terminus est quod alicujus extremum est. 

Haec quoque definitio Euclidis ingenio digua non est, cum 

nulla hie sit notionis Analysis, sed tantum synouymum defiuito 

substituatur. Definivimus autem Terminum supra Artic. 4, cum 
primum ejus mentio fieret. 

XIV. Figura est quae sub aliquo vel aliquibus terminis com- 
prehenditur. 

Animus Euclidi est. sub iiguris comprehendere superficies et 
Corpora, quae undique terminantur, Jineas vero non item. Sed 
definitio nonnihil habet difficultatis ; dicet enim aliquis, etiam lineam 
suis terminis, id est punctis, comprehendi. Responderi potest cum 
Clavio pro Euclide, includi quidem, sed non comprehendi, nam 
comprehensionis vocabnlo designari terminum ambientem sive in 
se redeuntem; sed hoc quoque non sufficit, an enim superficies 
conica truncata (fig. 89) non erit figura, licet termini ejus, nempe 
Circuli ABC et DEF, non cohaereant ? Itaque praestabit figuram 
definire magnitudinem terminatam, latitudine praeditam, postquam 
scilicet definivimus supra (defin. 2. § 1.) quid sit iatitudo; porro 
etiam soiida latitudinem habent, cum ipsa eorum sectio sit latitu- 
dine praedita. 

XV. Circulus est Figura plana, sub una linea comprehensa, 
quae Peripherta appellatur, ad quam ab uno puncto eorum, quae 
intra figuram sunt posita^ cadentes omnes rectae lineae inter se sunt 
aequales. 

XVI. Hoc vero punctum Centrum Circuli appellatur. 

(1) Poterat Euclides ut peripheriae, ita et Centri definitionem 
definitioni circuli inserere, > poteratque addi, rectas illas Radios dici. 

(2) Peripheriam esse unam Lineam, pleonasmus est in defi- 
niondo, sufficit enim radios omnes ad terminum figurae esse aequales. 



19S 

Terminam autem figurae circalaris unam esse lineam, consequitor 
ex uniformitate. 

(3) Poterat etiam Circulum definire ad eum modum, quo 
definit Sphaeram, ut recta in piano moveatur centro immoto, donec 
in priorem locum redeat, ita circulum describet» et altero extremo 
ejus peripheriam. 

(4) Sed si haec definitio per motum Euclidis adhibeatur, 
supponitur aliquid tacite, quod assumendum foret vei demonstran- 
dum expresse, Rectam ita moveri posse, ut semper maneat intra 
idem planum; itaque Euclides maluit definitioni circuli inserere, ut 
sit figura in piano descripta; in sphaera autem describenda haec 
difficultas aberat. Praeterea ad generationem hanc peripheriae yel 
opus est substerni radio planum, vel certe binas rectas aut plures 
auxiliares per centrum non transeuntes, quas recta centro affixa 
inter movendum radat, et sufficiunt binae rectae auxiliares inter 
se angulum facientes, modo radius utrinque sit productus quan- 
tum opus. 

(5) Datur autem alia generatio peripheriae, quae piano aut 
succedaneis loco plani rectis non indiget, quam attigimus supra ad 
definit. 4. § 3. Nempe si magnitudo quaevis moveatur duobus 
punctis immotis, punctum quodvis motum describet propriam pe- 
ripheriam. Oportet autem magnitudinem illam non esse rectam, 
nam recta duobus punctis quiescentibus moveri non potest. De 
caetero nil refert, sitne linea, superficies, an planum. Ita si linea 
ABCD (fig. 90), sive plana sive in unum planum non cadens, mo- 
veatur punctis A et D quiescentibus, punctum B describet peri- 
pheriam B(B)B, et punctum C peripheriam C(C)C, dum scilicet 
linea mobilis gyrando circa Axem AD transit ex ABCD in A(B)(C)D, 
atque inde continuato motu (non rediens per priora vestigia) resti- 
tuitur in ABCD. Itaque si sit Y.A.D constans, seu Y.A.Ds»E.A.D, 
erit Y peripheria, et recta per A, Daxis, et T. AD. constans. Hinc 
infra calculo ostendemus, quomodo hac tam Sphaeram quam Circu- 
lum exprimendi ratione ex ipso Calculo situs consequatur, duarum 
sphaericarum superficierum intersectionem esse Circulum. Intern 
$ecttonem appellamus mutuam sectionem. 

XVn. Diameter Circuli est recta per Centrum ducta et ex 

utraque parte in peripheriam terminata, quae circulum bifariam 

secat. 

(1) Rectam in piano circuli per centrum ductam utrinque in 

13* 



10# 

yi^riplieriaQi incidere, assumitur hoc loco. Et satis quidem roani* 
festum Yidetur; cum tarnen alia non minus manife^ta demoustrep- 
tur, intererit ad perfectionem Aqalyseos, boc quoque sine demon- 
stratipne oon rdinqui. Assumeodum autem erit, rectam quam^is 
prodiiQiposseutrinque; addo autem: in eodem piano, quod fortas$e 
ad postulatum Euclidis addi aut certe demonstrari debuisset, quia 
p^ssim ab eo tacite assumitur. Sequitur autem ex nostra rectae 
defloitione, defin. 4. §4^ cum ipsa recta nihil aliud sit, quam 
quaedam sectio plani indefiniti. Unde et patet, rectam produc 
pQsse ad distantiam quantamcqnque, seu ita ut magnitudo data quan- 
lacunque, unum ejus punctum attingens, aliquod ejus punctum at- 
tiDgere non possit. Et sequitur hoc facile ex nostris rectae defi- 
nitiQuibus quibualibet. Hinc cum circulus sit finitus, recta au^em 
produci possit ad distantiam quantamvis, utiqu^ partim intra par- 
tim extra circulum in piano cadet. Porro sequitur ex natura con- 
tinuitatisy omne continuum, quod est partim intra partim extra 
iiguram, cadere in ejus terminum. Nam continui duae partes quae^ 
▼is tptunn aequantes habent aliquid conmiune, etsi partam commu- 
nen) Qoii babeant. Sint ergo duae partes rectae, una intra circu- 
lum« altera extra circulupfi. Hae habent punctum commune. Id 
punctum etiam commune est tum circulo, quia est in parte intra 
circulum cadente, tum parti plani rectam continentis extra circu- 
lum iaceuti, quia est in parte extra circulum jacente. Quicquid auteoi 
duabus piaoi hujus partibus est commune, id in commuui eariun se- 
ctiope e^t, nempe in Peripheria. Ergo punctum rectae in unam partem 
productae cadit in peripheriam. Eadem ratiocinatio est, si ab altern 
parte producatiu*; itaquebis peripheriae occurrit. Neque enim duo 
oQQursu^ puncta coincidere possunt, alioqui recta utrinque producta 
s^ ipf am secarety cum tamen sectio plani uniformiter progrediatur ad 
distantiam quamcunque. Atque haec ratiocinatio locum habet Qon tan- 
tiim de recta per centrum, sed etiam de quavis recta intra drculum 
cadi^te, ut scilicet Reeta intra Circulum cadens, producta utrinque, 9i 
qgu^, circulo bis occurrat. Itaque locum etiam habebit de ea, quaa 
transit per centrum; atque adeo diameter circuli datur, Datur, 
inquam, in regione aeternarum veritatum seu possibilitatum, vel 
q\)od eodeiu redit, diametri notio vera est, Haec conclusio gene- 
ralis «i^uqtiari potest de quayis figura plana, in quam reot^ cadit, 
imo de omni piano vel solido terminato, seu de omni figura intra 
sibi siwili» nempe recta^ quae est intra planum terminatum vel 



iMta iotidUfh terminattm, utrin^ne produtta, dfHhiiHM ejus ik 
duobus punetis ieeat. Sed de quavis auperfici^ (ermiAata hoc ve- 
rum noA est. 

(2) Operae autem pretium erit, hanc demonstrationem Cd- 
eulo Situs nonnihil accommodare, ut ei paulatim assuescamus. Pla- 
num per peripheriam circuli dividitur in duas partes X et Y, uiiam 
X circulum, alteram Y intra circulum. Peripheria autem erit ietY 
seu locus omnium punctorum, quae simul sunt X et Y. Recta 
autem ab utio teritii no producta sit z, ejus una pars, quae intra, 
circulum, est Z et X, quae extra circulum, est Z et Y. Punctum 
ergo utrique commune (ob na turam continuitatis) est Z et X et Y; 
ergo est X et Y; ergo est in XetY seu in peripheria. Idem est 
de altera productione. 

(3) Sed alius est multo major in definitione Euclidaea de- 
fecius, et qui non tarn facile suppleri potest, Vitium nempe obre- 
piionis, seu pleonasmus obreptitius. Suffecerat ad definitioneiii 
diametri circuli, ut recta esse diceretur per centrum transiens« 
utrinqüe terminata in peripheriam; itaque pleonasmus est, quöd 
additar^ hanc rectam bisecare circulum in duas partes aequates« 
nam sequkur ex jam dicto. Inest etiam Vitium obreptionis, qaia 
hoc demonstrari merebatur, nee assumi debebat tanquam contentttm 
in deinitiMe. Atque hoc etiam agnovit Produs, et demonslratio- 
nem affert, sane non spemendam. Quae si Thaletis Melesä est, 
ut ipse afflrmat, oportet Geometriam (certe artem demonstrandi 
Geometricam) jam Thaletis aevo non medioeriter provectam faiss^. 
Sed ipsam demonstrationem magni ob ea quae discemus momenti 
cönsiderare e re erit. 

(4) Sit circuli centrum C (fig. 91), diameter AB, segment« 
circdli per diametrum ADBa, AEBA. Ponantur esse inae^ttfälia et 
äegtttenttitn quod dicetur minus, quäle ponatur esse ADBA, trans- 
feratur in plani partem, in qua est segmentum alterum, constituat- 
que A(ty)BA; id aateiA Concipi potest fieri, dum ADBA gyrstui^ 
cirea axem AB, dfonec cadat in alteram plani partem. Quodsi erg6 
A(D)BA congruat i^si AEBA, aequalia erunt segmenta, quod vold- 
mus. Sin ADBA, atque adeo et A(D)BA sit minus quam AEBA, 
opof tet aKquod arcus ADB punctum, ut (D), cädefe intra AEBA. 
IS^ si tota eadat extra A^A, ipsum AEBA cadet intra A(D)BA, et 
^Wk tötet maja^^ contfa hyp* Jüngatur C(D) et producta perte^ 



198 

niet ad punctum ipsius arcus AEB, per $. praeced. quod ponalor 
esse E. Est autem tarn CE quam CD radius seu recta ex centro 
ad peripheriaiD , ergo sunt aequales inter se, pars toti, quod est 
absurdum. 

(5) In hac demonstratione, pulchra sane, notandum est ali- 
quid desiderari. Nempe sciendum est, tacite supponi nostras rec- 
tae definitiones, vel proprietates reciprocas allatas ad defin. 4. § 3 
et 4, quae non subintelligi, sed diserte assumi debebant ad demon- 
strationis perfectionem. Nam ut constet quod gyrari possit ADBA 
circa immotani rectam AB, assumenda erat hnec definitio, vel de- 
monstranda baec proprietas rectae, quam dedimus § B, quod mota 
magnitudine ADBA, possit recta AB esse immota. Deinde assumi- 
tur (etiamsi omittatur gyratio) piano per rectam AB secto, ei quod 
est in uno segmento, ut ipsi ADBA, congruum et congruenter ad 
rectam positum A(D)BA posse constitui in altero segmento , quia 
recta ita secat planum, ut utrinque se habeat eodem modo, quae 
est definitio nostra exposita ad def. 4. § 4. Unde cum hinc pateat, 
gyratione careri posse, at segmentorum congruentia ad rectam per- 
ficiendam demonstratione assumti in bac definitione et passim de- 
inde ab Euclide adhibiti careri facile non posse ; itaque banc Rectae 
definitionem Euclidaeis demonstrationibus perficiendis accommoda- 
tissimam censeo. 

(5) Etiam calculi situs aliquid bic tentemus. Plani segmen- 
tum, in quo ADBA, sit Y, in quo AEBA , sit Y~, AB . X ee AB . Y . 
Hinc quia ADBA est in Y, ergo in "y poni potest A(D)BA qa ADBA 
(thesis a). Si jam A(D)BA H AEBA ; ergo quoddam (D) est in 
AEBA (ex natura minoris). Jungatur C(D) et (per $ 3 bic) 
producatur in CE , sed C(D) = CD per tbes. a , et CD = CE ob 
def. circuli ; ergo C(D) = CE, pars toti. Q. E. Abs. 

(6) Idem demonstrabitur paulo aliter et directius et paucio- 
ribus assurotis boc modo : lisdem quae ante positis , sit portio 
circuli ADBA, posito AB esse diametrum. Ea existat in x, parta 
segmento plani per rectam ; quia autem ex natura rectae AB . x ^ 
AB. Y, potest sumi in x AEBA ^ ADBA (thesis b). Jam CD est 
constans ex byp. et CE ^ CD per tbes. b ; ergo et CE est constans. 
Jam omne punctum ambilus totius ADB (+) AEB est D vel E ex 
construct. Ergo omnis recta ex C ad peripberiam est CD vel CE, 
ergo omnis recta a C ad peripberiam est constans. Itaque ADBA 
(4~) AEBA est circulus, qui cum secetur a recta AB in partes 



IM 

ADBA et AEBA, sequitur (per thes. b) a recta per centfum bn 
fariam secari Circukun. Q. E. D. 

(7) Caeterum in bis supponitur, duas figuras planas congru^re, 
quarum termini congruunt. Et congruentibus teruiinis totis seu 
ambitibus ADB (+) BA et AEB (+) BA, congruere ipsa plana ADBA 
et AEBA. idem verum est de solido quovis, et ut verbo dicam, 
de omni figura intus simili. Hae enim solis terminis distingui 
possunt. Tale autem esse planum , sequitur ex nostra definitione» 
uti jam supra notavimus def. 7. § 8. Cum enim solidum sit intus 
umforme, et planum sit Sectio utrinque se habeus eodem modo, 
nihil est in ejus natura, unde intus discrimen oriatur et unus locus 
ab alio discerni possit, quamdiu ut indefinitum consideratur. iLaque 
a solis terminis discrimen oriri potest. 

(8) Sunt et aliae superficies intus uniformes, nempe sphae- 
rica et cylindrica, et praeter rectam lineae circularis et helicalis 
cylindrica. Et a Gemino, antiquo Geometra, demonstratum fuisse 
legi, non dari plures. Porro hae Magnitudines solido demto id 
habent, ut pars vel parti congruum totum aut reliquas partes lam-- 
here, seu congruendo super üs moveri possit, quod et in recta et 
piano verum est. Sed tarnen in Ulis verum non est, quod in recta, 
solido et piano, ut partes similium terminorum sint inter se similes. 

XVIII. Semicirculm vero est figura , quae continetur sub 
diametro et sub ea linea, quae de drculi peripheria aufertur. 

Hie Clavius in annotationibus conversam propositionis defin. 
praeced. art. 3. seqq.* demonstratae demonstrare aggreditur. De- 
monstratum est illic, omnem rectam per centrum bisecare circuium. 
Hujus conversa est, omnem rectam, bisecantem circuium, transire 
per centrum seu solam rectam per centrum bisecare circuium, vel 
rectam non per centrum, quae circuium secat, secare circuium in 
partes inaequales, eamque esse majorem, in qua est centrum; Uti- 
tur autem eodem artificio, quo usum Thaletem ferunt, indigetque 
eodem supplemento ; sed ut demonstret , bina segmenta non esse 
aequalia, ostendit tantum, ea non esse congrua, quod non sufficit. 
Praeterea utitur perpendicularis ductu, ut verear ne circuium com- 
mittat. Nam infra utitur segmentorum circularium inaequalitate 
ad demonstrandum, duas rectas non comprehendere spatium, quo 
tarnen pronuntiato ad demonstranda, quae de perpendicularibui 
habet Euclides, eget. Sit DE (fig. 92) recta circuium secans, non 
transieiis per centrum C. Ex altenitro ejus extremo D ducatur 



p«r G 4iameier DB, secesse est puDctam E, cum non cadet io B 
(alioqui duae rectae DB et DE se bis aecarent) cadere alibi ia pe- 
riphenam, adeoque in alUrutram semiperipheriam» quaa sit DEB, 
et proinde rectam DE tdtam oadere in semicireuluin DEBD, 
§i partim in hono pariim io akerum aenucirculum caderet, 
munem eoroin terminum DB alicubi in circulo aecaret, atque ita 
üenim eandero rectam DB secaret recta DE bis. Itaque portio per 
DB abseissa [«"ED pars est semicircuii DEBD, quia DFE pars est 
sefluperipheriae DEB, et DE cadit in DEBD. Ergo totus anfaitua 
ejus DPED cadit in DEBD, non vieissim; itaque DEBD, et para 
ipsius DFED eundem ambitum habent, et phna eundem ambitum 
»ea eosdem terminos habeatia coincidunt. Itaque DFED pars est 
ipsius DEBD, adeoque minor. Posuimus autem in ipsa propositione 
reetam in circulum oadere, seu eam secare. Alioqui si posuisse- 
rnus solum, rectam penphcriae occurrere in duobus puoctis neo 
traasire per centnim, deraoastrandum prius fuisset , quod recta, 
fnae transit per duo punota peripheriae, cadat intra circulum, qujod 
Euclides demum demonstral lib. 3. prop. 2» quanquam hoc no& 
mdigeat, nisi superpositione et natura angulorum. 

XIX. RMütneae Hgurae sunt qvae sub rectis iineis oosti- 
BMitur. XX. Trilaterßi quae sub tribus (quae et Trianguiä appel-« 
baitur), XXI. Qnüdrtlatirw quae sub quatuer, XXII. muUäaterae 
quae sub pluribua. 

(l) Pianae intelliguatur, ut angulos rectilineos non nisi pla- 
ne» supra intellexit. Et hoc in libris priorijNts ubique Euclidas 
say p onit) cum in bbro undecirao demum demonstrare aggrediatur^ 
dw» rectas esse in eodem piano, item triaugulum esse in eodem piano. 

XXQL XXIV. XXV. XXVI. XXVH. XXVUL definiuntur 7rtiiii- 

0mt^onütm. 

XXIX. XXX. XXXI. XXXU. XXXIO. definiuntur figurae quadri- 
lalerae: Qnairßtum, H^iromecesy Bküwibus, Rhomboeidei, TrapsMiiim. 

His deflnitiombiis a 28 ad S3 aUquiii annotare operae pre- 
tiom non est. 

XXXiV. ParaUetM vmtrn^ lineae suat, quae cum in eodem 
sinl^ piano, ei utraque parte in infimtum productae in neutram sibi 
mutne iMident 

(1) Haee deinitio videtur paralleha mi^a ex proprielale 
ramolaerey quam natura apartiors deacriberet» et dubiAare peterit 



._j 



dMfuis an dentar, seu an non omnes rectae in eodam plane tasden 
eottfenianl. Demonstratio autem, quae ostendet tales rectas dari 
po8sa, natoram earom aperiet ex aiiquo priore, de eujns possibiti- 
täte dobitari non possit. 

(2) Euclidem haec definitio coegit assumere Axioma» quod 
m üam editione est ISmum, sed quod Veteres jam fassi sunt de- 
moostratione indigere, nee bene locum inter Axiomata tuen. 

(B) PaaraUdM possunt definiri rectae, quae se invicon ubique 
babent eodem modo. Tales notiones possibilitatem suam seomn 
faiiDt, nam cum spatium «t ubique uniforme, et recta non minus, 
manifestum est, punctum, quem situm ad rectam aliquam habet, 
eundam posse repetere, atque ita in motu eundem posse servare, 
atque eo vestigium motas seil lineam, quam describat, semper se 
eedem modo ad eandem rectam habere. Dupliciter autem punctum 
in motu existens situm ad rectam serrare potest, tum eundem ser- 
vet ad eadam puncta rectae , ut cum punctum circa axem gyratur, 
tum etiam cum variat situm ad puncta, sed eodem modo se habet 
ad nova, adeoque situm ad rectam servat, etsi ad puncta non senret. 

(4) Posset parallela ad datam sie determmari. Ex punctis 
A et B (fig. 93), in reeta sumtis, determinetur punctum C, et ex 
punctis L et H , eodem modo sitis inter se , (posita AB = LM) 
determinetur eodem modo punctum N, puncta C et N eodem modo 
se bd)ebunt ad rectam indefinitam per A, B; L, M. Cum ut A, B, 
ila sei babeant in recta et L, M, itaque C et N sunt in paral* 
tela ad rectam , et quidem erunt etiam in recta , quia recta detar* 
minata, transiens per C et N, eodem modo etiam se ad rectam 
iil»que babeat. Sed eodem modo determinata quaevis alia puncta, 
quotcunque aliis ut A, B vel L, M assumtis, dabunt puncta in pa- 
rallehm cadentia, quae quidem omnia cadere in rectam, etiam ex 
eo inUdfigi potest, quia ex C et N recta determinatur. 

(5) Modi determinandi varii intelligi possunt. Ex. gr. si plam 
oensiderationem seponamus, potest concipi circa puncta A et B 
deseribi spbaeras, quarum superficies sese secent. Sectio duarum 
superfiderum sphaericarum erit circulus. Hujus centrum potest 
esse punctum C. Sed si planum adhibeamus, possumus concipere 
in piano deseribi circa A et B circulos, quorum intersectio ab uno 
latere Feetae est in puncto C. Eodem modo L et M ab eodem latere 
dabuBt punctum N. 

(6i) Sed quia elegiiaus, rectam considerare ui ptaw sectionem 



•09 

ponamus in eodem piano moveri rectam mobilem , quae durante 
motu eundem semper situm servet ad rectam quiescentem, eundem 
nempe angulum, linea utique, quam describet, etiam ubique se eo- 
dem modo ad rectam habebit. Et commodissimum erit assumi 
angulum rectum. 

(7) Sed ostendendum foret, lineam quae describitur etiam 
esse rectam. CoUigemus autem ex eo, quia ad eam, quae ubique 
uniformis est, se habet ubique eodem modo et ipsam esse ubique 
uniformem. 

(8) Concipi etiam possunt parallelae sine ulla mentione recti, 
etsi e\ eo conceptu sequatur esse rectas. Ponatur duo puncta A 
et B moveri motu aequiveloce, ita ut vestigia eorum a se invicem 
discerni non possint, et eandem etiam semper habeant relationem 
interse, et has lineas vocari parallelas. Talis definitio non nisi 
parallelis rectis quadrat. Nam etsi puncta , circulos concentricos 
describentia eadem celeritate aequali, etiam eundem semper situm 
servent, una circumferentia ab alia discerni potest. 

(9) Possunt etiam parallelae definiri rectae aequidistantes, 
seu tales ut minima, ab una ad aliam ducta, sit ubique aequalis. 
Sed de mininiis a recta ad rectam nondum actum est. 

(10) An ergo parallelas definiemus commodius duas rectas 
ejusdem plani, quae ad eandem rectam faciunt angulum eundem, 
quod si eas ponamus hoc modo se habere ad quamcunque rectam. 
Hinc statim sequitur eas non posse concurrere. Concurrant enim 
AC et BC (flg. 94) in puncto, dico non esse parallelas, quia recta DC« 
quae iis occurrit in C, non potest angulum aequalem facere ad ambas. 
Nam si aequales essent anguli DCA et DGB, aequaretur pars toti. 

(11) Sed ostendere oportet, si una recta ad duas aequales 
angulos facit, quamvis ad eam angulos facere. Multa tentayi, et 
Video ne hoc quidem facile demonstrari posse, si ex recta AB (fig. 95) 
educantur perpendiculares aequales AC et BD, esse CD rectam 
aequalem ipsi AB, et angulos ad C et D esse rectos. Quemadmo- 
dum ponendo rectam ex C versus D angulo recto educi, non facile 
demonstrari potest incidere in D et angulo itidem recto. Euciides 
cum difficuhatem in proprietatibus parallelarum demonstrandis repe- 
riret, axioma assumsit 13, quod rectae ex recta eductae, angulis 
inaequalibus (eo enim res redit) concurrant adeoque non sint pa- 
rallelae, nam has definivit, quae in piano non concurrunt. Si ma- 
ttisset definire parallelas, (]|uae aequales angulos faciunt ad rectam, 



9oa 

assumendum fuisset ei axioma, quod tales non concurrant. Itaque 
res eo redit , ut counexio inter haec duo demonstretur , aequalem 
angulum facere ad rectam, et noa concurrere. Demonstravi paulo 
ante, si ponatur angulum aequalem fieri ad quamcunque rectam. 
Ergo hoc ostendendum erat. 

(12) Rem omnem consequi posse mihi videor ex altiore 
principio, nempe rationis determinantis. Ex A, B (fig. 96) angulo 
recto eductae AC, BD sunt determinatae. Assumantur AC, BD in- 
aequales. Utique ob determinata puncta C et D, determinata est 
recta DC , eritque angulus ad C aequalis angulo ad D, cum eodem 
modo determinentur. Quin eodem argumento sequitur, angulum ad 
D vel ad B esse rectum, quia ex determinatione nulla haberi potest 
ratio, cur CD se aliter habeat ad partes E quam ad partes D, vel 
cur AB se aliter habeat ad partes D quam ad partes F, nee ullum 
est principium determinandi anguli obliquitatem. Itaque anguli 
ABD et ABP sunt aequales, atque adeo AB est perpendicularis. 

(13) Ex his patet, congrua esse (fig. 97) LACN, MBDO et 
NAL, OBM, angulis A, B, C, D rectis, sive inverti posse posito 
LA == CN , et BM = DO , ergo congruent etiam rectae LM et NO. 
Sed LM recta ipsis AL , BM est in directum , ergo NO , aequalis 
ipsi LM, etiam est ipsis CN, DO, seu CNOD est recta. 

(14) Eodem modo ponendo AB (fig. 98) procedere super 
AG angulo recto servato in CD, nulla ratio esse potest cur angu- 
lus DBA et BDC non sint aequales, seu cur plus aut tanto plus 

'inclinetur in alteram partem. Unde patet etiam, si CD = AB et 
angulus ad A et C rectus, fore et ad B et D rectum. Unde simul 
probatur, et BD rectam esse, ea enim sola utrinque se habet eo- 
dem modo. 

(15) Caeterum ex hoc solo, quod demonstravimus $ 12 
eduetis angulo recto ad AB (fig. 99) rectis AC, BD aequalibus, an- 
gulos ad C et D rectos esse, sequitur rectas AC et BD non posse 
concurrere, quia Euclides ostendit propositione 28 primi, si anguli 
CAB et ABD sint aequales, rectas non posse concurrere. Idem 
ostendit prop. 27 ejusdem, si recta incidat eodem modo in duas 
parallelas seu angulos EAC, EBD (fig. 100) faciat aequales, rectas 
AC,6D concurrere non posse, seu ipsius definitione esse parallelas. 
Et haec pendent ex 16. primi Euclidis, quod in triangulo angulus 
externus sit interno opposito major, a ipsi ß vel y (fig. 101). 
No8 potuissemus aliter ita demonstrare; concipiendo LM (fig. 102) 



904 

rectam moveri ad AC angulo eodein quoconqiie , et eztremitate L 
ferri per AC, extremitate M per BD, tunc si ponamas, AC existenu 
recta, etiam BD esse rectam, sequitur eas non concurrere, nam si 
concurrerent, yehit in H, recta LM eo veniens suo situ A/u, faceret 
angulos AHA, AHB aequales, partem toti. Porro si una sit recta, 
etiam alteram esse rectam, ex eo sequitur, quod recta LM durante 
motu ad ambas, quas describit, se habet eodem modo. Itaque 
supererat solum demonstranda inversa, seu quod rectae non con- 
currentes inter se ab eadem recta ad eosdem angulos secentur, 
quae 29. primi; et reapse redit ad axioma 13. Ad hoc demon- 
strandum Proclus assumsit, duas rectas, quae a communi produ- 
cuntur, ad distantiam a se invicem venire quantamcunque; Clavius 
autem rem aiiter demonstrare conatur, assumens rectam, quae super 
alia recta, manente angulo, fertur, describere rectam ; id autem nos 
ex eo demonstramus in hac ipsa paragrapho, quod recta mobilis 
ad ambas, quas extremis percurrit, se habet eodem modo; ergo si 
una est recta, etiam altera talis erit. 

(16) Ut concludatur, possis parallelas definire vel cum Eu- 
clide rectas, quae in eodem piano non concurrunt, vel rectas, quae 
ad eandem rectam sunt perpendiculares. Ostendi enim potest, 
tum has non concurrere, tum non concurrentes esse ad eandem 
rectam perpendiculares. Ostendi etiam potest , rectas binas , quae 
ad unam aliquam rectam angulos aequales faciunt, ad quamlibet 
aliam cui occurrunt angulos aequales facere, quod paraÜelae sunt 
quae non concurrunt; etsi minus sit causalis, habet tarnen hoc 
quod nihil eligit. At quae definit paraUelas per eas, quae ad ean- 
dem rectam sunt normales , eligit angulum rectum ; quae vero vnlt 
generatum ut ad eandem rectam fadat eundem angulum, paradoxa 
est, seu essentiae dubitabills, quaeritur enim an aliam quetnyis alio 

angulo quo *) Si parallelas quis deflniat lineas, quae nee inter 

se discemi possunt nee in variis locis respondentibus invfcem pds- 
sint discemi, demonstrare debebit, tales esse rectas. 

XXXV. PuraUelogrammum est, cujus bina opposita latera 
sunt parallela seu aeque distantia. 

(I) Hie aequidistantia et parallela seu non concurrentia pro 
iisdem habentur, credo per anticipationem^ quia suo toco deufon- 
strabitur, hoe idem esse. 



*) Hier fehleo ciiitge Worte. 



908 

(2) fiina opposita, intellige bina quaevis oppoaita. 

(3) Parallelogrammum etiam definiri posset, cujus bina aliqua 
latera opposita sunt simul aequalia et parallela. Hinc eoim aequi- 
tur, etiam bina opposita reliqua esse et aequalia et parallel«. 

XXXVI. In hac deflnitione nihil est difBcultatis. 

Ad Libri primi Euclidis Postulata, 

Postulat. I. Postuletur ut a quocunque puncto ad quodcun- 
qae punctum rectam lineam ducere concedatur. 

(1) Haec recta habebitur, si magnitudo aliqua, in qua exi- 
stent haec duo puncta, ipsis immotis moveri intelligatur, omnia 
enim puncta magnitudinis durante hoc motu quiescentia cadent in 
rectam. item . . . 

(2) Potest spatium secari piano per dua data puncta trans- 
eiuite, cum et per tria data transire possit. Et planum rursus se- 
cari potest linea per duo puncta transeunte, utrinque se habente 
eodem modo. 

(3) Possunt et datis duobus punctis inveniri quotcunque 
pancta, quae in rectam inter ipsa cadant, si punctis tanquam radii$, 
quorum summa componat distantiam punctorum, in piano, in quo 
sunt duo puncta, duo describantur circuli> qui se tangent in pun- 
cto rectae. Et quot bini tales circuli assumentur, tot etiam puncta 
rectae habebumur. Hinc ut obiter dicam, si diversa plana assu- 
mantur, in quae cadant eadem puncta, recta tarnen prodibit eadem, 
plana autem sese in ea secabunt. Quodsi piano non utimur, pos- 
sumus adbibere sphaeras radiis iisdem descnptas, quae se in pun- 
cto rectae tangent; circuli autem supra dicti, qui idem punctum 
deferunt, etsi in diverais pianis descripti, omnes in eandem sphae- 
ram cadent. Quodsi rectae utcunque productae, per duo puncta 
transeuntis, puncta quaevis definire velimus, sufücit duas circum- 
ferentias vel duas superficies spbaericas circa duo data puncta de- 
scriptas se längere, et tunc cum distantia punctorum est summa 
radiorum, punctum cadit intra puncta data; sin vero distantia 
punctorum sit differentia radiorum, cadet extra, in rectam pro- 

ductam. 

Postulat. II. Rectam datam in continuum recta producere. 

(1) Hoc ex definitione illa statim sequitur, quae facit jrectam 
esse Uaeam, cujus pars similis toti. Nam quia pars producta to- 
Um fecit, etiam lotum poterit produci, ut sit pars majoris totius. 



206 

(2) Idem dant constnictiones postulat. praecedentis, quo ei- 
hibentur puncta non solum intra, sed et extra rectam duobus pun- 
ctis interceptam. 

Postulat. III. Quovis centro et intervallo circulum describere. 

(1) Id in piano eflicit motus radii uno puncto immoto. Posse 
autem moveri rectam uno puncto immoto ex eo coUigitur, quod 
spatium planumve uniforme est, et quod versus unam est plagam, 
potest etiam versus aliam sumi quamcunque. 

(2) Sed et extra planum res efficitur, si duobus punctis im- 
motis magnitudo moveatur, adeoque in ea punctum moveatur> cujus 
distantia ab axe quantacunque esse potest, quia augeri potest ut- 
cunque. Hujus autem puncti distantia ab axe radium dabit. 

Postulat. IV. Quavis magnitudine data sumi posse majorem 
vel minorem. 

(1) Quod major semper sumi possit, nemo facile dubitavit, 
sed quod semper minor, nonnullis non adeo manifestum videbitur; 
colligitur autem ex natura continui, de tali enim magnitudine vel 
huic proportionali (ut angulo) sermo est. Res autem ita darior 
reddi potest: Cum in recta pars sit similis toti, manifestum est, 
in ea partis rursus esse partem, adeoque recta quavis minorem 
rectam posse sumi, cum pars utique minor sit eaque rursus sit 
recta. Porro data quacunque Magnitudine, quae non sit recta, du- 
catur recta duo ejus puncta jungens; assumatur alia recta priore 
minor, poterit magnitudo iieri priori similis, ita ut recta minor sit 
majori homologa, seu eodem modo se habeat in magnitudine nova, 
ut major se habuit in vetere, quod obtineri potest, si rectis quot- 
cunque in vetere ductis novae similiter positae ducantur, quae sint 
ad rectam minorem, ut priores ad majorem. Ita etiam magnitudo 
priori similis erit, et tamen minor. 

Ad Libri primi Euclidis Axiomata. 

Axiom. I. Quae eidem aequalia, et inter se sunt aequalia. 
Et quod uno aequalium majus est aut minus, majus quoque est et 
minus altero aequalium. 

Ax. IL Et si aequalibus aequalia adjecta sint, tota sunt 
aequalia. 

Ax. III. IV. V. VI. VII. exscribantur. 

(1) Haec omnia demonstrari possunt et definitione aequalium, 
si scilicet aequalia sint, quorum unum alteri salva quantitate sab- 



90V 

sütui potest. SiQt aequaiia a et b, et sit c aequale ipsi a, dico c 
etiam fore aequale ipsi b. Sint enim a = c, quia as=b, hlnc b 
substitai potest ipsi a salva quantitate, et fiet b = c, quod erat 
demon. 

(2) ad Axiom. 2. Sit a=b et b=m, erit a + b=b + in. 
Nam a + b = a + b; pro a et b in alterutro latere substituitur 1 
et m, fiet a + b = 1 + m. 

(3) Similiter ax. 3. ex a — b = a — b fiet a — b = i — m. 
Eadem methodo facile erit probare Axiomata 4, 5, 6, 7. 

Ax. YIIL Quae congrua sunt, aequaiia sunt. 

(1) Cum enim unum ab altero discerni non possit, si sibi 
applicentur, etiam quantitate discerni non poterunt; quantitas enim 
manet, sive sibi applicentur, sive non; quin etiam forma seu qua- 
litate discerni non poterunt congrua, atque adeo etiam similia sunt. 
Sola autem possunt discerni positione, alioqui plane coinciderent. 

Ax. IX. Totum sua parte majus est. 

(1) Hoc quoque axioma demonstravi dudum ex definitione 
majoris et minoris. Nempe Minus est, quod alterius (nempe Ma- 
Joris) parli aequale est. Sed pars est aequalis parti totius, nempe 
sibi, ergo pars est minor, totum vero est majus. 

Ax. X. Duae rectae non possunt habere segmentum com- 
mune seu partem communem. 

(1) Hoc pronuntiatum Proclus pulchre demonstrat hoc modo: 
Habeant, si fien potest, duae rectae AB, AC (fig. 103) partem 
communem AD. Centro A, intervallo DA describatur circulus se- 
cans duas rectas propositas in punctis B et C; quia ergo tamAB, 
quam AC est diameter transiens per centrum D, erit tam arcus AB 
semicircumferentia, quam arcus ABC, sed semicircumferentiae ae- 
quantur. Ergo aequantur pars AB et totum ABC, quod est ab- 
surdum. 

(2) Ex hac demonstratione patet, quam necessarium fuerit, 
ut demonstraretur, quod Euclides definitione 17. subreptione qua- 
dam assumserat, rectam per centrum bifariam secare circulum. 

Ax. XI. Duae rectae in uno puncto concurrentes, si pro- 
ducantur ambae, necessario se mutuo in eo puncto secabunt. 

(1) Hoc etiam non dissimili modo demonstratur. Concurrant 
AB, CB (fig. 104) 'in B, producatur AB in D, dico CB productam 
cadere in E, et esse E ad partes alias ipsius AD, quam ad quas 
fuit C. Nam aUter CB producta vel cadet in ipsam^ sed ita duae 



•OS 

rectaa AB, CB haberent segmentum commune BD, vel producU 
CB caderet in F ad easdem partes, ad quas est d Centro B ra- 
dio quovis describator circulus occurrens ipsis BD et BF in D et F. 
Quia ergo utraque recta AD et CBF transit per centrum B, erit 
tarn arcus ACFD, quam arcus CF semicircumferentia. Ergo aequa- 
les sunt totum et pars, quod est absurdum. Ergo CB producta 
occurrit circulo ad alteras partes ipsius AD, secat in E, quod erat dem. 

Ax. XII. Anguli recti sunt aequales inter se. 

(1) Hoc quoque Axioma Proclus egregie demonstrat hoc modo: 
Sint duo anguli recti ABC, DEF (fig. 105), dico esse aequales. 
Sint enim inaequales, et sit ABC major. Applicetur E ipsi B, et 
DE ipsi AB. Si jam angulus DEF vel ABG ei aequalis est minor, 
quam ABC ex hyp., cadet BG inter AB et BC. Producatur CB in 
H, et GB producta cadet (per ax. praecedens) ad alteras partes 
ipsius CH in I; angulus ABH, cum sit aequalis ipsi ABC, erit ma* 
jor ipso ABG; ergo et major ipso IBA, qui ipsi ABG est aequalis. 
Ergo angulus ABH pars erit major angulo IBA toto, quod est ab- 
surdum. 

Ax. XIIL Si in duas rectas lineas altera recta incidens, in* 
ternos ad easdemque partes angulos duobus rectis minores fadat, 
duae illae rectae lineae in infinitum productae sibi mutuo incident 
ad eas partes, ubi sunt anguli duobus rectis minores. 

(1) Nempe si anguli BEF et DFE (fig. 106) simul sumti sint 
duobus rectis minores, concurreut rectae AEB, CFD yersus B sive D. 
Hoc pronunciatum potuisset enuntiari clarius hoc modo: Si duae 
rectae ad eandem non faciant angulos aequales, concurreut. Nam 
quod concurrant ab ea parte, ubi summa eoram angulorum inter- 
norum seu se respicientium est minor, seu ubi ad se inclinantur, 
facilius demonstrari poterat, nee credo axioma addi opus habebat 
Producatur EF ad G et FE ad H ; si jam anguli BEF, DFG sunt 
iaaequales, erunlBEF+DFE minores duobus rectis. SiBEF — ^DFG=:0, 
hinc cum sit DFG =2 rect. --DFE, fiet BEF— 2 rect. +DFEsrO ; ergo 
cum recta EF aequales fadt angulos ad easdem partes ad AB et CD, 
erunt BEF+DFE interni aequales duobus rectis; sin non facit ae- 
quales, etiam haec summa duobus rectis inaequalis erit, ab uaa 
parte minor, ab altera major, Elrgo si verum est in casu summae 
duobus rectis iaaequalis coneursum eiiam in casu rectae ad chios 
rectos angulos inaequales facientes, earum duarum rectaram coii- 
cursus erit. 



309 

(2) Hujiis axiomatis demonstrationem dedit Proclus, credo et 
ante ipsum GemiBUs; aliam Clavius tentayit. Sed de bis agemua, 
et breyiora etiam tentabimus suo loco. 

Ax. XIV. Duae rectae lioeae spatium uon compreheiidunt. 

(1) Hoc axioma Proclus etiam demonstrat hoc modo: Duae 
rectae ABC, ADC (fig. 107) daudant spatium, seu coßant in duobus 
puoctis A et C ; centro C, radio CA describatur circulus, et pro- 
dacantur rectae, ABC, ACD, donec circulo occurrant, iUa in E, haec 
io F. Et quia rectae ACE, ACF transeunt per centrum, erunt semi- 
circumferentiae AE, AEF faequales, pars toti, quod est absurdum. 
Haie demonstrationi objidt Clavius, ab adversario responderi posse, 
fortasse reclas ABC, ADC rursus concurrere in ipsa drcumferentia 
seu puncta F et E coinddere, atque ideo aliam comminisdtur de- 
monstrationem, in qua supponit, quod demonstrare voluit ad defin. 18, 
rectam, quae non transit per centrum, secare circulum in partes 
ioaequales, centrum autem esse in majore. Sed illa demonstratio 
babet aliquid difficultatis et circulum committere videtur. 

(2) Ego aliam excogitavi ex alio principio ductam, nempe ex 
nostra rectae definitione, quod secet planum bifariam, seu in se- 
gmenta, ita ut se habeat utrinque eodem modo. Sint ergo AB Tel 
ACE (fig. 108) et recta ADB bis concurrentes. Quia ergo poste- 
rior planum ita secat, ut utrinque se habeat eodem modo, necesse 
«st ut detur alia recta AKB ad partes K, quae ita se habeat ad 
ADB, ut ACB ad partes C se habet ad ADB, ita nempe, ut con- 
gnia sint ADBCA et ADBKA. Similiter AKB ut ab una parte habet 
ADB, ita ab altera habebit A<)B, ita ut congruant AKBDA et AKdBA. 
Et ita porro in infinitum. Sint C, D, K, d etc. puncta media re- 
ctarum ACB, ADB, AKB, kdB etc., cumque AC, AD, AK, Ad sint 
rectae, erunt DAC, KAD, dAK anguli rectitinei, et quidem aequales 
inter se, quia congruunt KAD et CAD, itemque DAK et dAK, et ita 
porro. Utcunque autem continuata sit rectarum repetitio usque 
ad A^^B, erit angulus q>AC minor recto EAB, cum recta ex A ad 
aogulos rectos educta non tendit ad B, quoniam utrinque se habet 
eodem modo. Et cum AE planum supra AB bifariam secet, et B 
«t intra unam ex hypothesi, non cadet in AE, cujus puncta sunt 
in Gonfinio utriusque partis. Porro angulus DAC est minor recto 
in ratione aliqua, ut L ad M; sumatur numerus, cujus major sit 
ratio ad unitatem, quam rectae M ad rectam L, et quia repetitio 
rectarum utcunque continuari potest, ponatur esse kfB recla quae 

V. 14 



nuikier« rvspo^eat exempL gr« c^tesima reota, si ratid M ad L 
fiil minor quam 100 ad L Itaque erit anguli <jpAC ad angoluin 
DAC ratio major, quam anguii reeti EAE- ratio eat ad DAC5 ergo 
erit anguluB f)AC major recto EAB, pars toto, quod ui absurdum. 
(3) £odeiii fere modo ostendi potest^ duas reetas DOn posse 
habere aegmentum commune. Sit recta AB (flg. 109), quae ppo- 
dvici possit in € et iu D; cum ergo ABD planum secet bifaria«, 
dabitur reota ABK eodem modo se habens ad ABU, nt ABC ee ha- 
bet ad ABD, eritque adeo aagulus KBD angttlo CBD aequalis. Eo- 
dem modo dabitur recta AB<^, quae sit ad ABK» ut ABD ad ABK. 
Et ita in infinitum. Porro anguius, uiounque contioBetur repetitio, 
semper e»t minor recto. Neque enim ABE bifariam secat planum, 
elim potius h^ius <|«aftam partem abiNindat« nempe dimidiam ejus 
quafll abbcittdit ABC, quae biftiriam secati qaia utrinque ad partes 
aufira ABC se häbeai eodem modo^ Et multo minus AfiF inler A 
et E reei-a esse potest, cum adhuc minus quam qoartam partem 
abscindat,. adeoque bifariam planum non secet Ergo post quet- 
eunque repetitiones, velut «äque ad g>B, erit ^BC minor recto. 
^d reotus SBC habet ad DBC raiionem finitam, ut M ad L, sed 
. ^BC ali^aiß repetiti6ne aa^atorum aequalium ütounque continnata, 
habebit majorem, erit ergo <yBC major ipso EBC, pars toto^ quod 
est absurdum. 

(4) Idem eliam ex eo patet, quod si AB secat planum tottwn 
bifariam, ABD bifariam non secabit, cum cadat supfa ABC; sed 
quae d« sectione plani dicimus, intelligi posaunt et de secUone ck- 
culi. Et ita haec demonstratio rev^a ooiacidet euperiork 

(5) Caeterum haec etiam ex principio rationis determinantis 
demonstrare licebit. Nam posito (flg. 110) GACB et HADB, 6A 
et HA rurstts concurrere in B, nou potest dari ratio definiens, quanta 
Sit distantia per puncta A etB. Dicat aliqnis eam crescere aogulo 
GAH vei DAC; sed oportet dari legem rda^ionis, utrüm nenpe 
crescat in ratione angulorum, an ut quadrata eorum vel cabi vel 
in alia relatione quacunque, seu quaenam sit linea, io qua anguii 
poni possunt ut abscissae, et ipsae distantiae ut ordinatae« Prae- 
terea si angulis variatis variaretur CB, non posset tertia recta AKB 
occurrere ipsi ACB in B, quia angulus KAC major est angulo DAC, 
et tarnen talis dari debet recta AKB, ut supra ostendimus, lumi 
ipsa ADB planum secat bifariam, itaque debet dari AKB, quae eo- 
dem modo se habeat ad ADB, ut AGB se ad ADB habet. Cum ergo 



j 



Ml 

distantia puncti B a puncto A ex angalo rectarum Ck et DA de- 
fioiri non possit, qui tarnen determinat rectarum CA et DA situm 
ad in?icem, atque adeo nulla est ratio determinandi distantiam pun- 
ctorum duplicis concursus. 

Ax. XV. XVI. XVU. XVni. XIX. XX. Haec ex superioribus 
definitionibus aequalis, majoris, per substitutionem facile derivantur, 
excepto Ax. 19, quod ait totum esse aequale omnibus suis par- 
tibos simul sumtis. Sed addenda est Hmitatio, ut sdlicet partes 
ipsae non habeant partem communem, alioqui computata partium 
quantitate ad habendam quantitatem totius, idem bis repetitur. De 
quo jam dictum est ad defin. 2. § 3. 



U 



* i. — 



t m 1*1 I 



■ t 






AIALYSIS 



INFINITORUM. 



?: 












j 



w OB den Mapusci^ten aua den Jabrea 1675 bis 1684, die als Be* 
läge diencii, dasa Leibnü den Aigoritbmus und die Rechnnngsre* 
geln der böhern Analysis selbststandig gefunden« kann keinea in 
der vorliegenden Sammlung einen Platss finden» inaofem m in ihrer 
ganzen Haltung zeigen, da93 aie nur Studien und erste Entwürfe 
sind ; ea fehlt ihnen offenbar die Dur(to*beitUQg und die Yoliendung, 
die den Charakter ^ner mathematischen Abhandlung ausmaobf«. 
Mei^würdigerweise hat eine Leibniz aebr missgünatige Critik an 
den aus dieser Zeit veroffentiichten Nanuscripten dies überaeben 
und in den darin vorkommenden leichten Verstössen und Fehlen 
einen Anhalt gesuefat, um, man möchte fast sagen» )«eibniz dei? 
Ignoranz zu zeihen und namentlich die alte Anklage d^s Plagial^ 
gegen ihn zu erneuern. Der Grund, WQ$balb dies mög)icb gew^ 
sen, liegt unsars EracMens kdigheh darin» dass Li^ibois die IG^- 
wohnlieii hatte, bei seinen mSithematiachen Studiea und Unleraa" 
chungen jedes Wert, das er dachte, hinzuschreiben ; sie erhalten 
dadurch fär den, der mit der Beschaffenheit der Leibni;iia€b^ MiH 
noficripte nicht vertraut ist, den Schein irgend welcher VpUendung. 
Dagegen wird eine kurze zusammenhängende Darstellung der 
Ergebnisse, die in Betreff der Entdeckung des Aigoritbmus der 
höhern Analysis aus [enen Manuscripten folgen, an dieser Stelle ge*- 
rechtfertigt erscheinen. Zuvörderst muss die Bemerkung voraus*- 
gesehiekt werden, dass Leibniz seit seinen frühesten wiasensehaft** 
liehen Stadien klar erkannt hatte, wie viel überall auf eine pas- 
send gewählte Zeichensprache ankommt, und dass nicht allein 
die richtige Darstellung des bereits Bekannten davon abhängt, son- 
dern dass auch die Auffindung neuer Wahrheiten, der Fortschritt 
der Wissenschaften überhaupt, dadurch bedingt wird. Diesen Ge- 
danken, der ihm unausgesetzt vorschwebte, hat er vielleicht am 
frißchesten und ursprünglichsten auf einem der vielen tausend Zettel, 
die zwischen seinen Manuscripten zerstreut sich finden und deren 
Studium hinsichtlich des Ursprungs seiner Ideen eine nicht unwich*^ 



•16 

tige Ausbeute ergeben möchte, ausgedruckt. Leibniz hat nämlich 
unter dem 26. März 1676, einige Monate also nach jener denk- 
würdigen Entdeckung, bemerkt : lUustribus exemplis quotidie disco, 
omnem solvendi pariter problemata et inreniendi theoremata artem, 
tunc cum res ipsa unaginationi non subjacet aut nimis vasta est, 
eo redire, ut characteribus sive compendiis imaginationi subjiciatur, 
atque quae pingi non possunt, qualia sunt intelligibilia, ea pingun- 
tur tarnen hieroglyphica quadam ratione, sed eadem et philosophica. 
Quod fit, si non ut pictores, mystae aut Sinenses similitudines 
quasdam sectemur, sed rei ipsius ideam sequamur. *) 

Nachdem Leibnizens Vorliebe för die Mathematik durch den 
Umgang mitHugens und durch dessen Aufmunterung während sei- 
nes Aufenthaltes zu Paris von neuem erwacht war, Tertiefte er 
sich mit dem ganzen Feuer jugendlicher Begeisterung in das Stu- 
dium der Cartesianischen Geometrie, welche er bis dahin nur ober- 
flächlich kannte. Es konnte nicht fehlen, dass die Probleme, welche 
Descartes als die Spitze aller mathematischen Speculation gepriesen 
hatte, das direkte und das umgekehrte Tangentenproblem, seine Auf- 
merksamkeit in hohem Grade reizten. Leibniz construirte bereits 
im Jahre 167S das von ihm sogenannte „triangulum characteristi- 
cum" und fand im Betreff desselben eine grosse Anzahl von Rela- 
tionen;*"^) im folgenden Jahre 1674 erkannte er, dass das umge- 
kehrte Taugentenproblem und die Quadratur derCurven im innig- 
sten Zusammenhange ständen. Es lag nun nahe, umgekehrt zu 
versuchen, ob nicht durch die Quadratur der Curven zur Lösung 
eben dieses Problems zu gelangen sei. Er unterwarf deshalb die 
desfallsigen Methoden einer eingehenden Prüfung, und hierbei ge- 
schah es, dass er am 29. October 1675 statt der bis dahin üblichen 
wörtlichen Bezeichnung das Summen- oder späterhin allgemein ge- 
nannte Integralzeichen einführte. Aus dem Manuscript von dem 
genannten Tage geht hervor, dass vorhandene Relationen sofort auf 



*) Fast 20 Jahre später äussert Leiboiz in einem Briefe an 
den Marquis de rHospital (2S. Avril 1693) denselben Gedanken : 
Une partie du secret de Tanalyse consiste dans Ja caracteristique, 
c'est ä dire dans l'art de bien employer les notes dont on se sert. 
Leibniz. mathematische Schriften, Bd. II. S. 240. 

**) Leibniz fand diese Sätze, ohne Barrow's Schriften zu kennen ; 
sie werden, zugleich mit andern Beweisstücken, in einem Supplement- 
bande erscheinen. 



M9 

mehrfache Integrale führten, so wie auch, dass Leibniz durch den 
Gegensatz auf die Differenz und auf das Differentialzeichen kam. 
Die bereits feststehenden Lehrsätze über Quadraturen, besonders 
über die Parabel, dienten, wie bisher, als Prufungsmittel für die 
Richtigkeit des neuen Calculs, und liessen ihn sogleich erkennen, dass 
das Summenzeidien die Dimensionen erhöht, das Differentialzeichen 
vermindert : die ersten Lehrsätze der Integral* und Differentialrech- 
nung waren gefunden und zwar lediglich durch die eingeführten 
neuen Operationszeichen. Mit Recht ruft Leibniz aus: Satis haec 
uova et notabilia» cum noYum genus calculi inducant! Der Algo- 
rithmus der höhern Analysis tritt demnach in seinem Entstehen 
als ein Operationscalcul auf, und dass er als solcher sogleich auch 
von Leibniz erkannt wird, das ist, was seinen Anspruch auf die 
selbstständige Entdeckung desselben unwiderleglich begründet — 
Hiermit in Uebereinstimmung sind denn auch die Versuche, die 
Leibniz in den folgenden Tagen machte, um die weitern Rech- 
nungsregeln des neuen Calculs zu finden. Insbesondere geht dies 
aus dem Manuscript vom IL November 1675 hervor« wo es heisst: 

j— dx dx 

Videndum an dxdy idem sit quod dxy et an ji idem quod -p . Er 

"J dy 

,_ dx 

überzeugt sich, dass dxdy etwas anderes ist als dxy und dass ^ 

• dx 
nicht mit -r=r gleiche Bedeutung hat. Zehn Tage später, in einem 

ay 

Manuscript vom 21. November 1675, erhält Leibniz den Ausdruck 

für d(xy) und bezeichnet ihn sogleich als ein für alle Curven gül- 
tiges Theorem. 

Mit diesen Bemühungen zur Aufstellung von Rechnungsregeln 
für den neuen Calcul gehen die Versuche Hand in Hand, die ge- 
wonnenen Resultate auch auf andere Weise zu erhärten, wie es 
bei jedem Operationscalcul immer der Fall sein muss. Welche Be- 
deutung den Zeichen dx, dy, dz u. s. w. beizulegen ist, wird von 
Leibniz auffallend selten berührt; es verdient hervorgehoben zu 
werden, dass Leibniz sich sträubte, sie als unendlich kleine Grös- 
sen aufisufassen. Unter andern findet sich auf einem Blatte, mit 
26. März 1676 bezeichnet, folgende Notiz: „Videndum an exacte 
demonstrari possit in quadraturis, quod differentia non tantum sit 
infinite panra, sed omnino nuUa, quod ostendetur, si constet eous- 
que inflecti semper posse polygonum, ut differentia assumta etiam 



infinite parv<i miOor m srnKr. Quo posita se^oitiir hob Unttt« 
erroreip noB 9«ae infinite parvum, aed onmino esae nnUam, qvippe 
cum miUqs «Murni posstt/' Spater indets änderte Leibniz seine 
Aoßicht ; je wehr er Ton der Zuyerlässigkeit seiner neuen Reohning 
überzeugt wurde, um so laier gewiisennaflsen und unbestimmter 
äu3ßerte er sich fUm die Bedeutung der Differentiale. 

Ueber die unendtietu» Tragweite seines gefundenen Sehatxes 
hatt^ l^eiboiz in der ersten Zeit der Entdeckung noch keine genü-* 
gende firkenntniss; nur das leuohtete ihm sehr bald ein, das» die 
beiden Probleme, Am direkte und umgekehrte TangentenprsUem^ 
dadurch altgemein geldst werden könnten. Das grösate Gewicht 
legte er auf das letztere, und der Sitte seiner Zeit folgend, eine 
neue Methode ao lange als möglich der Qeffentliohkeit vorzuenthal-r 
ten, vermied er sorgfültig den Algorithmus der Integrabrechnung 
bekannt worden zu hissen, mit dessen Hülfe er noch Bedeutenderes 
zu leisten gedachte. *) Daher kommt es denn auch, dass er zuerst 
nur den Algorithmus der Differentiabreohnung bekannt machte in 
der denkwürdigen Abhandlung: Nova methodus pro maiimis et 
minimis, itemque tangentibus, quae nee fractas nee irrationales 
quantitates moratar, et singulare pro illis calculi genus, die in den 
AiQtis Erudit. Lips. des Jahres 1684 erschien. 

In dieser Abhandlung befolgt Leibniz genau den Gang der 
Entdeckung des Algorithmus der höhern Analysis, und dies ist of- 
fenbar der Grund -^ denn er gab stets unter allen Darstellungen 
derjenigen d^n Vorzug, die sic^ an die Art und Weise des Ur- 
sprui^s 90 nahe als möglich anscUoss -^ weshalb er gerade auf 
diese in hohem Grade abstrakte Weise den Algorithmus der Biffe^ 
rentialrecbnuog verölfentlichte und ?wei andere Entwürfe, die sich 
unter ^ein^ Sfanuscripten noch vorfinden und die für ^eipe Zeitge* 
nps^fl mipder ^phwer ;zu verstehen gewesen wären, beiseitelegte»**) 



♦) A^f die^e Weise gesc)iab es, das« Leibnix nieht «wr jEPf 
seine Zeit^^aossen, sondern sogar bis a^uf pnsere Ta^^ der Ehre:i der 
Entdecker der Integralrechnung zu sein, verlustig gegangen ist, und 
d«S8 allgeSQein Johann Benioalli dafür gehalten wird. VergK Bd. llf. 
S. liftf. 

^) Der eine dieser Entw&rfe ist unter der Aufschrift: Glementa 
caleUli nevi pro differentiis et summis, tangentibus et qnadraturfs, 
naximisetittiaiMBi diOMnsionibas Uoeampi, snperfioievam, soiiderwOt 



•19 

Aach findet sich in dieser Abhandlung jene unvermittelte Lücke, 
auf die> bereits oben aufmerksam gemacht ist, wie nämlich die Dif- 
ferentiale in ihrem Yerhältniss zu den ursprünglich gegebenen Grössen 
aufzufassen sind. „Ex cognito, heisst es daselbst, hoc velut Algo- 
rithmo, ut ita dicam, calculi hujus, quem voco differentialem, omnes 
ahae aequationes differentiales inveniri possunt per calculum com- 
munem, maximaeque et minimae, itemque tangentes haben, ita ut 
opus non sit toUi fractas aut irrationales aut alia yincula, quod 
tarnen fiaciendum fiiit secundam Methodos hactenus editas. De- 
monstratio onmium facihs erit in his rebus versato, et hoc unum 
hactenus non satis expensum consideranti, ipsas dx, dy, dv, dw, dz 
ut ipsarum x, y, t, w, z (cujusque in sua serie) differentiis sive 
iü^femeniis vel d^cremeatis momentai)eis proportionales haberi 
pjosse/^ — Dagegen ist auf der andern Seite hervorzuheben, 4aßs 
Leihiiiz bereits in dieser erstem Abhandlung zeigt, wie vielseitig auf 
die verschiedensten Probleme die neue Redinung sich anwendet 
l^^t wi deren Schwierigkeiten auf leichte Weise überwindet. 



Im Folgenden finden sich alle Abhandlungen, die auf die Ana- 
lysis des Unendlichen sich beziehen, vereinigt. Sie sind nach der 
Zeit ihres Erscheinens geordnet, jedoch so, dass die, welche auf 
denselben Gegenstand Bezug haben, zusammengestellt sind. In Be- 
treff derjenigen, welche hier zum ersten Male abgedruckt si^d, is( 
das Nöthige bei jeder einzelnen Abhandlung angemerkt 



aliisque covmtunem calculum traq^ceodeDtibu«» im Anhang x« der 
Schrift: Histpria et origo calculi diifereotialis, a G. G. Leibnitio con-^ 
scripta, Hannov. 1846, abgedruckt. 



NOVA METflODüS PRO MAXIMIS ET MINIMIS, ITEMQÜE TAN- 

GENTIBÜS, QUAE NEC FRAGT AS NEC ffiRATIONALES 

QÜANTH ATES MORATÜR, ET SINGULARE PRO 

ILLIS CALCÜLI GENUS*). 

Sit (fig. 111) axis AX, et curvae plures, ut VV, WW, YY,ZZ, 
quanim ordinatae ad aiem normales, VX, WX, YX, ZX, quae vo- 
centur respective v, w, y, x, et ipsa AX, abscissa ab axe, vocetur x. 
Tangentes siDt YB, WC, YD, ZB, axi occurrentes respective in 
punctis B, C, D, E. Jam recta aliqua pro arbitrio assumta Tocetur 
dx, et recta, quae sit ad dx, ut v (vel w, vel y, Tel z) est ad XB 
(vel XC, vel XD, vel XE) vocetur dv (vel dw, vel dy, vel dz) sive 
differentia ipsarum v (vel ipsarum w, vel y, vel z). His positis, 
caicull regulae erunt tales. 

Sit a quantitas data constans, erit da aequalis 0, et dax erit 

aequalis adx. Si sit y aequ. v (seu ordinata quaevis curvae YY 

aequalis cuivis ordinatae respondenti curvae VV) erit dy aequ. dv. 

Jam Additio et Suhtr actio: si sit z — y + w + x aequ. v, erit 

dz — y+ w + X seu dv aequ. dz — dy + dw + dx. Multiplicatio : dxv 

aequ. xdv-f- vdx, seu posito y aequ. xv, üet dy aequ. xdv + vdx. 

In arbitrio enim est vel formulam, ut xv, vel compendio pro ea 

literam , ut y , adhibere. Notandum , et x et dx eodem niodo in 

hoc calculo tractari, ut y et dy, vel aliam literam indeterminatam 

cum sua differentiali. Notandum etiam, non dari semper regressum 

a differentiali Aequatione, nisi cum quadam cautione, de quo alibi. 

V vi vdv X vdv 
Porro Divüio: d— vel (posito z aequ. -) dz aequ. ^-^^ — . 

Quoad Signa hoc probe notandum, cum in calculo pro litera 
substituitur simpliciter ejus differentialis, servari quidem eadem 
Signa, et pro + z scribi + dz, pro — z scribi — dz, ut ex addi- 



^) Act. Erud. Lips« an. 1684. 



tione et subtractione paulo ante posita apparet; sed quando ad 
exegesin valorum venitur, seu cum consideratur ipsius z relatio ad 
X, tunc apparere^ an valor ipsius dz sit quantitas affirmatiFa, an 
nihilo minor seu negativa: quod posterius cum fit, tunc tangens 
IE dudtur a puncto Z non versus A, sed in partes contrarias seu 
infhi X, id est tunc cum ipsae ordinatae z decrescunt crescenti- 
bus X. Et quia ipsae ordinatae v modo erescunt, modo decres- 
cunt, erit dv modo affirmativa, modo negativa quantitas, et priore 
casu iViB tangens ducitur versa A, posteriore 2^2^ in partes 
aversas: neutrum autem fit in medio circa H, quo momento 
ipsae V neque erescunt neque decrescunt, sed in statu sunt, adeo- 
que fit dr aequ. 0, ubi nihil refert, quantitas siüne affirmativa an 
negativa, iiam -f aequ. — : eoque in loco ipsa v, nempe ordi- 
nataLH, estMaxiwM (vel si convexitatem Axi obverteret, Minima) 
et tangens curvae in H neque supra X ducitur ad partes A, ihique 
äxi propinquat, neque infra X ad partes contrarias, sed est axi 
parallela. Si dv sit infinita respectu ipsius dx, tunc tangens est 
ad axem reotsa, seu est ipsa ordinata. Si dv et dx aequaies, tan- 
gens facit angulum semirectum ad axem. Si crescentibus ordinatis 
Y, erescunt etiam ipsa earum incrementa vel differentiae dv (seu 
si positis dv affirmativis, etiam ddv, differentiae differentiarum, sunt 
afiOrmativae, vel negativis, negativae) curva axi obvertit eoncavitatem, 
alias c^nveosiMm*): nbi vero est maximum vel minimum incremen- 
tum, vel ubi incrementa ex decrescentibus fiunt cresceutia, aut 
contra, ibi est pundum flexus contrarii, et conoavitas atque con- 
vexitas inter se permutantur, modo non et ordinatae ibi ex cres- 
centibus fiant decrescentes, vel contra, tunc enim concavitas aut 
convexitas maueret: ut autem incrementa continuent crescere aut 
decrescere, ordinatae vero ex crescentibus fiant decrescentes, vel 
contra , fieri non potest. Itaque punctum flexus contrarii locum 
habet, quando neque v neque dv existente 0, tamen ddv est 0. 
Unde etiam problema flexus contrarii non duas , ut problrana ma- 
ximae, sed tnes habet radices aequaies. Atque haec omnia quidem 
peudent a recto usu signorum. 

Interdum lautem adhibenda sunt Signa ambigua, ut nuper in 
DMüone, antequam Bciücet constet quomodo explioari debeant. Et 



*) Offenbar findet hier eine Verwechselung der Worte yiConcä* 
viUüem" und „conve8Ditof«m'' statt. 



quidem si crescentibus x, credcunt (decrescunt) - , debent Signa 

y 

V i vdv tu vdv 
ambißua in d - seu in ^-^^^ — ita explicari , ul häec Fractio 

y yy t . . 

fiat quatttkas affirniatiya (negativa). Significat autem qroaotitaritm 
ipakiB ±) Qt fti hoc sit +^ iltud sit — , Ttl cootra.. Possimt «i in 
«ödem caloulo occurrerc plures ambiguitates, quas diatinguo pared- 

thesibus, exempli causa si esset - 4. =^ + — =w, foret =-^^^^ — 

^ Y ^ ^ yy • 

Wydzdrjjdy ^ ((±))idv((y))Tdx ^ ambiguiUtes 

ex diversig capitibus ortae eonfunderentiHr. Ubi notandoin, aigBum 
ambiguiun in se ipsum dare + , in suum contrarium iare — , id 
aUud ambigaum ionnare noTam ambiguitatem ck ambabus Aep&ar 
dentem. 

Potmttae: dx« = a . x«-! dx, exempli gratia dx^=?3x*dx . d— 

adx • •. 1 /! . j *dt 

= — — -r, ex. gr. si w Sit = -;, fiel dw = j-. 

Radices : d, ^1.^ = r- dx V^* " ^ . (*^inc d ^y = -~-, näm eo 

casa eal 1, et b «st 2; ergo j- V^»— ^ <est^ ^y -1 ; jaoiy^idem Wt 

1 5,1 

quod — , ex natura exponentiun progressieBis Cleoiiietrictte ,. 61^-^ 

j 
. 1 V , 1 — adx 

"57" ^ ^rr^ = •K*=». Süffedsset «uttnih jregttl* potentiae 

Vy V.xa bVna+b . 

integrae tam ad fr^ctas tarn ad radices xleteriWMBdas« polßotia 
efiim Sit fracta cum exponens est negativust et Vfiukatw in «adicein 
cum eyponens est firacUia.; sed malui eoQseqiteiMias .lAtAa ipsie 4e- 
ducere» quem aliis 4educendas reUnquere,. ^vm aint JMtaoodam 
g«»erales et crabro oecurrentesi et in i^ per hß. iiüpUdUa pvnopt^t 
facilitati consulere. , • , ' 

Sx cognito boc velut 4^v»rö^m0» Ut ita dicamt cakuV hujus, 

quem voco 4^4r0itiakm,..mmf^A aliae qequatJaf»eß dijBf^sratfMvs 
inveniri possunt per calculum communem, maximäeque et mininoae» 
itemque tangentes haberi, ita ut opus non sit toUi fractas aut ir- 
rationales aut alia vincula , quod famea fiioieadum fuit ae^UBdum 



Metb^o« ba<^etms editas. Detnonstriitid «mnitttn ^eilis erit ift bis 
rebus versato et hoc unum hactenus tion satis expensum conside- 
ratui, ipsias dx, dy, dv, dw, 4t, ut ipsartim x, y, ?, W; z <cujasque 
in 8u^ Serie) differentiis 6ive incrementis vel decremientis motneti- 
(aneid proportionüies haixiri po^s«. Udde fit, ut prttpo^sitd qtia- 
tniiHiae aequatton« scribi possit ejus aequatio differenfialB, <][uöd fit 
pr6 quM%M memdro (id est parte, quae do)a additiot)« vel i^ub- 
tructioD^ ad aeqiiati(^Mm Gonstilueiidain concurrit) substitnenda mn- 
plicitM* quaniitatefia tnembri differentiaiera , pro alia v^o quan^äte 
(quae Mn ipBft esl .metnbruin , sed ad niembruin fofmatidütn Con- 
currit) ejus qudulAtatein diffierentiälera ad formandam difterentialem 
quantitatet» ipsius tnenrt^ri adhibendo non quidem simplttiter^ sed 
seigundom Al^rttboifim baetefius praescriplum. Editae yero bacte- 
uns methodi talem transitum non habent, adhibent enim plerumque 
reelam ui DX, vel aliam hujusmodi, non vere rectam dy, qtiae ip- 
Bis DX^ DY, dx esl quarla proportioBalis, quod omnia intiM ; hinc 
praecapiunt, ut firactae et irrationales (quas indeterminatae ingre- 
diuntur) pritts tollantnr ; patet etiam metbodum nostraii» porrigi ad 
b»6«6 trauä*cendentes , quae ad ealouhiiB Algebraicum revocari non 
pofisunt^ s«u qttae nuiüns mni certi gradus, idqtre umversalissimo 
niodO) mttB uHis suppositionibus particuiaribus non semper suce;^- 
demibu^, mocb. letteatur vu %^n&te, tangentism invenire esse reetam 
^ncere, quao duo eurva« }^f&am distantiatn infinite parvdtn habentia 
jungst^ seu latOB fN*od!)ctum polygieni itifinitanguli , quod ilobis 
üWfvae a^ukal^t. Distantia aut^m illa infinite parva seYilper per 
aliquam dilferentinkm notatn^ ut dv, vel per relationem ad ipsatn 
«ij^irmi polest, hoc e^t per notdm quandam tangentem. Specibttni, 
si esset y quantil^ transcendenS) ^empii causa ^dinata eyclOMdts, 
eaque ^^alcukim ingredorelur, cujus ope ipsa t, «rdinafta alterkis 
om^vae^ i^Bsat deterndnata, et quaereretur de, «eu perieamtangens 
hujus curvae posterioris, utique determinanda esset &z per -dy, 
quid habetur taugend ^ydoeidis» Ipsa intern tawgens cydoeidis, si 
■mwiuM liabi»*i fingeratur^ similiter cakuio inv^ri posset ex 'data 
propttetate tbAgiintiuoi oirettti. 

Plaoeit autem ex^^p^M^ calieuli proponere, ubi notetur, ine 
diftftioQein faic degignaare hoc tiiodo:x:y» quod iihan est ac i divis. 

^"^ X « tut'. » f".L.">!'Jt^ 

per y seu — . Sit aequatio prima seu data x : y + a +bxc — xf.: 

fiudrat. ex +•• ftat *f* öx Vgg + yy + yy : ^hb + 1% *¥ tttx aeqö. 0, 



9*4 

exprimens relationem inter x et y seu inter AX et X¥, potito ip* 
sas a, b, c, e, f, g, h, 1, m esse datas ; quaeritur modus ex dato 
puncto ¥ educendi YD, quae curyam tangat, seu quaeritur ratio 
rectae DX ad rectam datam X¥. Compendii causa pro a 4- bx 
scribamus n; pro c — xx, p; pro ex-f- £kx, q; pro gg + yy» r; pro 

hh + k + mxx, s ; fiet x : y + np : qq + ax Vr+ yy : V* ^V^- ®» 
quae sit aequatio t ecunda. Jam ex calculo nostro constat d, x : y 
esse ± xdy y ydx ; yy ; et similiter d , np : qq esse (±) 2iipdq (:f ) 
qndp *f pdn, :q' et d,axVr esse -f axdr : 2^^ + dAx^r; et 
d, yy: Vs esse ((±)) yyds ((:f)) 4ysdy : 2sVs, quae omnes quantitates 
differentiales inde ab ipso d, x : y usque ad d, yy: V^ in unum ad- 
ditae facient 0, et dabunt boc modo aequationem tertiam , ita enim 
pro membris secundae aequationis substituuntur quantitates eorum 
differentiales. Jam dn est bdx, et dp est — 2xdx, et dq est edx 
+ 2&dx, et dr est 2ydy, et ds est Idx -f 2mxdx. Quibus valoribus 
in Aequatione tertia substitutis habebitur aequatio quarta, ubi quan- 
titates differentiales, quae solae supersunt, uempe dx, dy, semper 
reperiuntur extra nominatores et vincula, et unumquodque mem- 
brum afBcitur vd per dx, vel per dy, servata semper lege bomo- 
geneorum quoad has duas quantitates, quomodocunque implicatus 
sit calculus : unde semper haberi potest valor ipsius dx : dy seu ra- 
tionis dx ad dy, boc est DX quaesitae ad XY datam» quae ratio in 
boc nostro calculo (mutando aequationem quartam in Analogiam) 
erit ut y X : yy — axy : Vr ( (y)) 2y :^b est ad yl :y (±) 2 npe + 
2fx, : q» (:p) — 2nx + pb : qq + a ^r ((±)) yyl + 2mx ; 28^8. 
Dantur autem x et y ex dato puncto Y. Dantur et ?alores supra 
scripti literarum n, p, q, r, s per x et y. Habetur ergo quaesitum« 
Atque boc exemplum satis implicatum ideo tantum ascripsimus, ut 
modus superioribus regulis in calculo etiam difficiliore utendi ap- 
pareret. Nunc praestat usum in exemplis intellectui magis obviis 
ostendere. 

Data sint duo puncta C et E (fig. 112), et recta SS in eo- 
dem cum ipsis piano; quaeritur punctum F in SS ita sumendum, 
ut junctis CF, EF, sit aggregatum rectangulorum CF in datam b, 
et FE in datam r, omnium possibilium minimum, hoc est si SS 
sit mediorum separatrix, et h repraesentet densitatem medii ut 
aequae a parte C , et r densitatem medii ut aeris a parte E , quae- 
ritur punctum F tale, ut via a C ad E per F sit omnium possi- 
bilium facillima, Ponamus omnia ista rectangulorum aggregata 



!»»5 

possibilia, vel omnes viarum possibiliutn difficultates, repraesentari 

per ipsas RY, curvae VV ordinatas ad rectam GK normales, quas 

vocabimus ca, quaerique luinimam earum NM. Quia dantur puncta 

C et E, dabuntul* et perpendiculares ad SS , nempe CP (quam vo- 

cabimus c) et EQ (quam e) et praeterea PQ (quam p), ipsa autem 

QP, quae sit aequalis ipsi GN (v el AX), Toca bimus x, et CF, f, et 

EF, g; fiet FP, p — x, f. aequ. ^cc + pp — 2px + xx seu com- 

pendio ^\, et g aequ. yjee -f- xx seu compendio ^m. Habemus 

ergo w aequ. h V^ + r ^m, cujus aequationis aequatio differentialis 

(posito A(jo esse , in casu minimae) est aequ. + hdl : 2 Vi + 

rdm: 2 Vm per regulas calculi nostri traditas; jam dl est — 2€x p— x, 

et dm est 2xdx, ergo fit: h p — x : f aequ. rx : g. Quodsi 

jam haec accommodeiitur ad dioptricam, et ponantur f et g seu 

CF et EF aequales, quia eadem manet refracti o in p uncto F, quan- 

taciinque ponatur longitudo reclae CF, fiet hp — x aequ. rx, seu 

h : r : : X : p — x, seu h ad r ut QF ad FP, hoc est sinus angulo- 

nim incidentiae et refractionis FP et QF erunt reciproce ut r et h, 

densitates mediorum, in quibus fit incidentia et refractio. Quae 

densitas tamen non respectu nostri, sed respectu resistentiae quam 

radii lucis faciunt, intelligenda est. Et habetur ita demonstratio 

caicuii, alib) a nobis in bis ipsis Actis *) exhibiti , quando generale 

Opticae, Catoptricae et Dioptricae fundamentum exponebamus, cum 

alii doctissimi Viri multis ambagibus venati sint, quae hujus calculi 

peritus tribus liiieis imposterura praestabit. Quod alio adbuc exem- 

pio docebo. Sit curva 133 (fig. 113) talis naturae, ut a puncto 

ejus quocunque ut 3 du€tae ad sex puncta fixa in axe posita 

4, 5, 6, 7, 8, 9, sex rectae 34, 39, 36, 37, 38, 39 simul additae, 

sint rectae datae g aequales. Sit axis T 14526789 , et 12 sit ab- 

scigsa, 23 ordinata, quaeritur tangens 3 T ; dico fore T 2 ad 23 ut 

21 23 23 23 23 23 ^_24 25 26 27 28 29 

34+i5"*'36"^37"*"38"^39®®^^^ 34"~35 + 36"*" 37 ■*"38+§5* 

Eademque erit regula, continuatis tantum terminis, si non sex, sed 

decetn, yel plura puncta fixa suppoiierentur , qualia secundum me- 

thodoB tangentium editas calculo praestare sublatis irrationalibus, 

tiediosissimae et aliquando insuperabilis operae foret, ut si rectati- 

gula pkma vel solida secundum omnes biniones vel terniones pos- 

iibil«3 ex rectid Ulis composita datae quantitati aequari deberent, 



*) Act. Eradit. Lips. an. 1682. 

Y. 15 



996 

in quibus omnibus, et multo implicatioribus, metbodi nostrae eadem 
est opinione multo major rarissimique exempli facilitas. Et baec 
quidem initia sunt (antum Geometriae cujusdam multo sublimioris, 
ad difficillima et pulcherrima quaeque etiam mistae Matbeseos pro- 
blemata pertingentis, quae sine calcuio nostro diiTerentiali, aut simili^ 
non temere quisquam pari facilitale tractabit. Appendiois ioco 
placet adjicere solutionem Problematis, quod Cartesius a Beaunio 
sibi propositum Tom. 3. Epist. tentavit, sed non solvit: Lineam 
invenire WW talis naturae, ut ducta ad axem tangente WC, sit XC 
semper aequalis eidem rectae constanti a. Jam XW seu w ad XC 
seu a, ut dw ad dx ; ergo si dx (quae assumi potest pro arbitrio) 
assumatur constans sive semper eadem, nempe b, seu si ipsae x 

sive AX crescant uniformiter, fiet w aequ. T-dw, quae erunt ipsae 

w ordinatae ipsis dw, suis incrementis sive differentiis, proportio- 
nales, boc est si x sint progressionis aritbmeticae, erunt w progres- 
sionis Geometricae, seu si w sint numeri, x erunt logarithmi : Unea 
ergo WW logaritbmica est. 



II. 

DE GEOMETRIA RECONDITA ET ANALYSl INDIVISIBILIUM 

ATQUE INFINITORÜM. *) 

Cum intelligam nonnulla, quae in bis Actis ad Geometriae 
profectum publicavi, non mediocriter a Viris quibusdam doctis 
probari, quin et paulatim in usum transferri, quaedam tarnen sive 
scribentis vitio sive aliam ob causam ab aliquibus non satis fuisse 
percepta, ideo pretium operae putavi, boc Ioco adjicere, quae illu- 
strare priora possint. Accepi nimirum tractatum Dn. Cratgii De 
Dimensione figurarum , Londini anno superiore editum , ex quo 
sane apparet, autorem non contemnendos in Geometria interiore 
progressus fecisse. Is quidem valde approbat distinctionem a me 
aliquoties inculcatam inter dimensiones figuranim generales et spe- 
ciales, quam pag. 1 ait optime nuper a Geometris fuisse observatam, 
et neglectioni bujus distinctionis paralogismos complures tetrago- 
nismi impossibilitatem probare conantium recte tribuit. Mecum 

*) Ad. Erudit. Lips. an. 1696. 



etiam figuras, quas vulgo e Geoinetria rejiciunt, agnoscit esse 
Transcendentes pag. 26. Methodum quoque Tangentium a me in 
Actis Octobr. 1684 publicatam pro humanitate sua plurimum lau- 
dat pag. 27 et 29 tamquam praestantissimam , et cujus ope me- 
thodus dimensionum valde juvetur, optimo contra irrationalitates 
remedio suppeditato. Sunt tarnen nonnulla, de quibus monere eum 
aliosque nee inutile nee ipsi ingratum fore putavi. Nescio enim 
quomodo factum sit, ut crediderit, eum qui Schediasma Act. Maji 
1684 p. 2B3 scripsit, retractasse sententiam, et cum initio Act. 
Octobr. 1683 proposuisset omnimodam dare demonstrationem 
impossibilitatis tetragonismi circularis, postea agnovisse Majo anni 
sequentis, nondum satis demonstratam esse impossibilitatem te- 
tragonismi specialis. Cum tamen Scbediasma Octobr. 1683 sit 
aDn.D. T/), Schediasma vero Maji 1684 a me sit profectum, qui 
partim eandem methodum et mihi asserebam, ne aliqüando rei 
alienae usurpatae accusarer, partim ab usu, quem ei tribuebat 
Dn. D. T., amice dissentiebam. Nam putabat ille, ex indeiiniti te- 
tragonismi impossibilitate sequi et cujusque defmiti impossibilitatem : 
meum vero constans dogma fuerat (jam tum indicatum, cum 
tetragonismum arithmeticum ederem, mense secundo anni primi 
Actorum, nempe 1682)^ ab illa ad hanc non valere consequentiam. 
Quod ut probarem, instantiam cujusdam figurae attuli in Actis Maji 
1684, quae tetragonismum specialem recipit (quod possum demon- 
strare) , non vero generalem , ut ex ipsis Dn. D. T. theorematis ibi 
ostendere susceperam^ quamquam festinus et rei certus in modo 
probandi per calculum nonnihil aberraverim, quod postea explicabo 
et corrigam. Ad haec Dn. D. T. privatim respondit, se methodum 
istam non ex meis hausisse, sed in eam proprio Marte devenisse, 
et quod ad objectionem attineret, se consequentiam illam a tetra- 
gonismis indefinitis ad definitos posse demonstrare, inque eo po- 
tissimum methodum suam eminere; instantiam vero meam pravo 
caiculo niti. Ego vero lubens fassus sum (in Actis Decembr. 1684 
p. 587) si eam consequentiam demonstrare possit, facturum quod 
hactenus nemo ; semper tamen subdubitavi, et correcto caiculo postea 
instantiam meam roboravi, de quo mox. Quamquam autem ego 
hanc methodum jam habuerim ante decennium et amplius, cum 
una essemus Parisiis et de rebus Geometricis creberrime loquere- 



*) Tschirnhaus. 

15 



VW 

mur^ quo tempore ipse per alias plane vias incedebat, mihi vero 
jam tum familiarissimum erat aequationes generales adhibere pro 
exprimenda natura lineae quaesitae, progreasu calculi determinaD- 
das, in quo methodi nervus consistit, quäle quid alibi nuspiam 
animadverteram : attamen candori ejus pariter et ingenio tantum 
tribuo, ut facile credam, vel ipsum per se in haec iucidisse, vel 
»altem non amplius meminisse, qua olim occasione talium medita- 
tionum semina fuerint jacta, praesertim cum sciam, etiam diffici- 
liora ipsum per se praestitisse, et multa praeclara mazimi^e 
momenti ab ejus ingenio posse expectari. 

Quoniam vero in instantiae supradictae calculo erratum a 
me, ut dixi, admissum est, quod Dn. Craigius Dno. D. T. (cui id 
tribuerat) tanquam argumentum, opinor, ad hominem objecit, ut 
ipsam methodum indefinitam refutaret, ideo corrigere calcuhim de- 
beo. Inspiciatur Actorum anni 1684 pag. 239'*'), ubi aequatioaem 
4zz— "Shz etc. conferendo cum aequatione bzz-f-caz etc. debent 
in aequatione posteriore termini, ubi abest z, extra fractionem 
positi multiplicari per fractionis nominatorem, antequam comparatio 
instituatur, ut in utraque fractione omnes termini carentes litera z 
una fractione comprehendantur. Ponatur et b=3l, quod semper 
fieri potest, et quia in aequatione priore terminus xz plane abest, 
fiat in posteriore d =» , dividatur et aequatio prior seu data per 
i, et in posterioris seu supposititiae aequationis fractione tarn nu- 
merator, quam nominator dividatur per g: ita tam terminus zz 
utrobique, quam terminus zz in nominatore fractionis utrobique 
consentient. Caetera comparando, ob terminom z fiet casähca; 
ob X* fiet g = l:16 seu ^^5 ob x* fiet f=s — 1:6a; ob x in 
nominatore fiet f= — h:8a. Ergo fit h»8:6 seu f, quod absur- 
dum, nam h est quantitas data. Oriuntur et aliae ex oomparatione 
continuata absurditates, nam fit vel c vel fssO, contra jamconolusa. 

Caeterum placet hoc loco , ut magis profutura dieamus» fon- 
Um aperire Tramcendentium Quemtüatum, cur nimirum quaedam 
luroblema^ neque sint plana , neque solida , neque sursolida , aut 
ttllius certi gradus, sed omnem aequationem Algebraicam transcen- 
dant. Eademque opera modum ostendemus, quomodo sine calculo 
demonstrari possit, lineam quadratricem Algebraicam circuU et hy- 
perbolae esse impossibilem. Si enim ista ds^etur, sequeretur ejus 



^) Vergl. die Abhandlang De Dimensionibus Figararooi imFeniendis, 



9»9 

ope angalttm aut rationem sive logarithmum aeeari posa« in daU 
ratione rectae ad rectam, idqne una generali constructione, et pro- 
inde problema sectionis anguli vel inventionis quotcunque media- 
ram proportionalium foret certi gradus, cum tarnen pro alio nu»- 
mero partium anguli aut mediarum proportionalium alius atque 
alius gradus aequationis Algebraieae requiratur, et ideo problema 
intellectttm in genere de numero partium aut mediarum quocunqu« 
ait ^adus indefiniti et omnem Algebraicam aequationem tranacendat. 
Quoniam tamen nibilominus talia problemata reyera in Geometria 
proponi possunt, imo inter primaria haben debent, et determinata 
sunt; ideo necesse utique est, eas quoque lineas recipi in Geome* 
triam, per quales solas construi possnnt; et cum ea exacte oon* 
tinuoque motu describi possint, ut de Cydoide et similibus patel, 
revera censendas esse non Mechanicas, sed Geometricas, praesertim 
cum utilitate sua lineas communis Geometriae (si rectam circuium- 
qne exoeperis) multis parasangis post se relinquant et maximi mo- 
menti proprietates habeant, quae prorsus Geometricarum demoA- 
straiionum sunt capaces. Non minor ergo Cartesn Geomeirta eas 
exetudentis, quam Veterum lapsus /utV, qui loca solida aut liaearia 
tamquam minus Geometrica rcjiciebant. 

Quoniam etiam methodus investigandi Tetragonismo$ indefinitos 
aut eorum impossibilitates apud me casus tantum specialis est (et 
quidem faeilior) problematis multo majoris, quod appello Mtthodum 
Tangentium inversam^ in quo maxima pars totius Geometriae 
transoendentis continetur, et quod si Algebraice semper possit solvi, 
omnia reperta haberenlur, et vero nihil adhuc de eo extare vid^e 
setisfaciens ; ideo ostendam quomodo non minus absohi poasitf 
quam Tetragonismus ipse indefinitus. Cum igitur antea Algebraistae 
assumerent literas seu numeros generales pro quantitatibus quM^ 
aitis, «go in taUbus proMematibus transcendentibus assumsi ae^a^ 
tiones generales seu indefinitas pro lineis quaesitis, t. g. absdasa 
et ordinata existentibus x et y, aequatio pro linea quaesita mihi eat 
Q = a + bx + cy 4- exy + fxx + gyy etc. ; ope bujus aequationis 
indefinite propositae, revera finitae (semper enim determinari po- 
lest, ^ousque assurgi opus sit) quaero lineae tangefitem, et quod 
invenio, id cum proprietate tangentium data conferens, rqierio 
valorem Ikerarum assumtitiarum a, b, c etc. atque adeo aequatio* 
nem lineae quaesitae definio, ubi tamen interdum quaedam manent 
artritrariae; quo casu etiam innumerae lineae reperiri posaunt, 



ff 



SSO 

quaesito satisfacientes , quod in causa fuit, ut multi problema non 
satis definitum a posteriori videntes putarent, uec in potestate esse. 
Eadem per series quoque praestantur. Ad calculum autem contrahen- 
dum multa habeo, de quibus alias. Quodsi comparatio nou procedat, 
pronuntioUineam quaesitam non esse Algebraicam, sed transcendentem. 

Quo posito ut ipsam Transeendentiae spectem reperiam (aliae 
enim transcendentes pendent a sectione generali rationis seu a 
Logarithmis, aliae a sectione generali anguli seu ab arcubus circuli, 
aliae ab aliis indefinitis quaestionibus magis compositis), ideo prae- 
ter literas x et y assumo adhuc ter4iam ut v, quae transcendentem 
quantitatem significat, et ex bis tribus formo aequationem genera- 
lern ad lineam quaesitam, ex qua lineae tangentem quaero secun- 
dum meam methodum tangentium in Actis Octobr. 1684 pubiicatam, 
quae nee transcendentes moratur. Deinde id quod invenio com- 
parans cum data proprietate tangentium curvae, reperio non tantum 
literas assumtitias a, b, c etc., sed et specialem transcendentis na- 
turam. Quamquam autem aliquando fieri possit, ut plures adhiben- 
dae sint transcendentes, naturae quandoque inter se diversae, et 
dentur transcendentes transcendentium , et omnino talia procedant 
in infinitum, tarnen facilioribus et utilioribus contenti esse possumus ; 
et plerumque peculiaribus artificiis uti licet ad calculum contra- 
hendum, problemaque, quoad licet, ad terminos simplices revocan- 
dum, quae non sunt hujus loci. Hac autem methodo ad Tetragonis- 
mos applicata seu ad inventionem linearum quadratricium (in quibus 
utique semper tangentium proprietas data est) patet non tantum, 
quomodo inveniatur, an quadratura indefinita sit Algebraice impos- 
sibilis, sed et quomodo impossibilitate hac deprebensa reperiri 
possit quadratrix transcendens , quod hactenus traditum non fuit, 
adeo ut videar non vane asseruisse, Geometriam hac methodo ultra 
terminos a Vieta et Cartesio positos in immensum promoveri, 
cum hac ratione Analysis certa et generalis ad ea porrigatur pro- 
blemata, quae nullius sunt certi gradus, atque adeo Algebraicis 
aequationibus non comprehenduntur. 

Porro quoniam ad problemata transcendentia , ubicunque di- 
mensiones tangentesque occurrunt, calculo tractanda, vix qukquam 
utilius, brevius, universalius fingi potest Calculo meo differentiali 
seu Analyst mdivisibilmm atque infinitorum, cujus exiguum tantum 
Yelut specimen sive CoroUarium continetur in methodo illa mea 
Tangentium in Actis Octobr. 1684 edita, et Dn. Craigio tantopere 



981 

probata, et ipse Dn, Craigius suspicatus est aliquid altius in ea 
latere, ac proinde pag. 29 sui libelli inde derivare conatus est 
theorema Barrovianum (quod summa intervallorum inter ordinatas 
et curvae perpendiculares in axe sumtorum et ad axem applicato- 
rum aequetur semiquadrato ordinatae ultimae), in cujus executione 
tarnen nonnihii a scopo deflexit, quod in nova methodo non miror: 
ideo gratissimum ipsi aiiisque fore arbitror, si hoc loco additum rei, 
cujus tarn late patet utilitas , patefecero. Nam inde omnia hujus- 
modi theoremata ac problemata, quae admirationi merito fuere, ea 
faciiitate fluunt, ut jam non magis ea disci tenerique necesse sit, 
quam piurima vulgaris Geometriae theoremata illi ediscenda sunt, 
qui Speciosam tenet. Sic ergo in casu praedicto procedo. Sit 
ordinata x, abscissa y, intervallum inter perpendicularem et ordi- 
natam, quod dixi, sit p, patet statim methodo mea fore pdy«=xdx, 
quod et Dn, Craigius ex ea observavit; qua aequatione differentiali 
versa in summatricem, fitypdy =/xdx. Sed ex iis, quae in me- 
thodo tangentium exposui, patet esse d,'^xx=xdx; ergo contra 
Axx=/xdx (ut enim potestates et radices in vulgaribus calculis, 
sie nobis summae et differentiae seu /" et d reciprocae sunt). 
Habemus ergo/pdy = |xx, quod erat demonstrandum. Malo autem 
dx et similia adhibere, quam literas pro Ulis, quia istud dx est 
modificatio quaedam ipsiusx, et ita ope ejus fit, ut sola quandoid 
fieri opus est litera x cum suis scilicet potestatibus et differentialibus 
calculum ingrediatur, et relationes transcendentes inter x et aliud ex- 
primaiUur. Qua ratione etiam lineas transcendentes aeq uatione expli- 

care licet, verbi gr. sit arcus a, sinus versus x, fiet a =/<Ax :V 2x — xx , 

et si cycloidis ordinata sit y, fiet y = V2x — xx -fydx:V2x — xx, 
quae aequatio perfecte exprimit relationem inter ordinatam y et 
abscissam x, et ex ea omnes cycloidis proprietates demonstrari pos- 
sunt; promotusque est hoc modo calculus analyticus ad eas lineas, 
quae non aliam magis ob causam hactenus exclusae sunt, quam 
quod ejus incapaces crederentur; interpolationes quoque Wallisianae, 
et alia innumera hinc derivantur. 

Quod superest, ne nimium mihi adscribere aut detrahere 

aliis videar, pau^s dicam quid potissimum insignibus nostri saecuU 

Mathematicis in hoc Geometriae genere mea sententia debeatur. 

Primi Galilaeus et Cavallerius involutissimas Cononis et Archimedis 

artes detegere coeperunt. Sed Geometria indivisibilium Cavalleriaua, 



scientiae renascentis non nisi infantia fait. Majora subsidia attu- 
leruDt triumviri celebres, Fermatim in^enta methodo de maiimis 
et minimis, Cartesim osteasa ratione lineas Geometriae commmuft 
(transcendentes enim exclusit) e&primendi per aequationes, et P. 
Gregorius a S. Vincentto roultie praeclaris inventis, Quibus egre- 
giam Guldini regulam de motu centri gravitalis addo. Sed et hi 
intra certos limites consistere, quos transgressi sunt, no\ro aditu 
aperto, Hugenius et Waüt9ius, Geometrae inclyti. Satis enim pro- 
babile est, Hugeniana Heuratio^ Wallisiana Neilio et Wrennio, qui 
primi curvis aequales rectas demonstravere, pulcherrimorum imen- 
torum occasionem dedisse, quod tamen meritissimae laudi inven- 
tionum nil detrahit. Secuti hos sunt Jacohm Gregorius Scotus 
et haacus Barrovius Anglus, qui praeclaris in hoc genere theo- 
rematibus scientiam mire locupletarunt. Interea Nicolaus Mercator 
Holsatus, Mathematicus et ipse praestantissimus, primus, quod sciam, 
quadraturam aliquam dedit per seriem intinitam. At idem inventum 
non suo tantum Marte assecutus est, sed et universali quadam ra- 
tione absolvit profundissimi ingenii Geometra, haacus Newtonua^ 
qui si sua cogitata ederet, quae illum adhuc premere intelligo 
haud dubie nobis novos aditus ad magna scientiae incremeata 
compendiaque aperiret. 

Mihi Gontigit adhuc tironi in bis studiis, ut ex uno aspectu 
ciyusdam demonstrationis de magnitudine superficiei sphaericae 
subito magna lux oboriretur. Videbam enim generaliter figuram 
faetam ex perpendicularibus ad curvam, axi ordinatim applicatis (in 
circulo radiis) esse proportionalem superficiei ipsius solidi, rotatione 
figurae circa axem geniti. Quo primo theoremate (cum aliis tale 
quid innotuisse ignorarem) mirifice delectatus, statim conlminiscebar 
triaugulum, quod in omni curva vocabam characteristicum , cujus 
latera essent indivisibilia (vel accuratius loquendo infinite parva) 
seu quantitates difi'erentiales ; unde statim innumera theoremata 
nuUo negotio condebam, quorum partem postea apud Gregorios et 
Barrovium deprehendi. Nee dum vero Algebraico calculo utebar, 
quem cum adjecissem, mox quadraturam meam Arithmeticam aliaque 
multa inveni. S^ nescio quomodo non satisfaciehat mihi calculus 
Aligehraiotts in hoc negotio, multiique quae analysPvoluissem, prae- 
^FO adhuc €€»gebar figurarun ainb^gibus, donec tandem verum 
Alg^fft^ supplementum pro transcendeotiki^ inveni, sciücet meam 
<4ftk«|uiii indeSaite p^rv^ruiQii, quom et difffor^nUalem » aut auoKtt«- 



torium, aut tetragonisticum, et ni fallor, satis apte Analysin indi- 
mibiliumet infinitorum voco, quo semel detecto, jam ludus jocus- 
que Visum est quicquid in hoc genere ipse antea fueram admiratus. 
Unde non tantum insignia cotnpendia, sed et metliodum generalis- 
simam^ paulo ante expositam condere licuit, qua sive quadratrices 
sive aliae quaesitae lineae Algebraicae vel transcendentes , prout 
possibile est, determinanlur. Antequam finiam, illud adhuc admoneo, 
ne q uis in aequa tionibus differentialibus , qualis paulo ante erat 

as/dx:>/i — XX, ipsam dx temere negligat, quia in casu illo, 
quo ipsae x uniformiter crescentes assumuntur, negligi polest : nam 
io hoc ipso peccarunt plerique et sibi viam ad uUeriora praeclusere, 
quod indivisibilibus istiusmodi, velut dx, üniversalitatem suam (ut 
scilicet progre&sio ipsarum x assumi posset qualiscunque) non re- 
liquerunt, cum tarnen ex hoc uno innumerabiles figurarum Irans- 
figurationes et aequipotentiae oriantur. 

Scriptiuncula hac jam absoluta, venere in manus meas, quae 
Dd. D.T. in Martio hujus anni Actorum pag. 176 communicavit, 
ubi nonnullas quaestiones elegantes proposuit et solvi dignas*). 
Video autem lioeam ACI (fig. 114) esse quandam ex lineis sinuum, 
semperque rectangulum AH in 6D esse aequale spatio ABCA. Et 
in flg. 115, si quadratum BC in BD seu x semper aequale debeat 
esse dato cubo ab a, satisfacere paraboloeidem, cujus aequatio est 
4a*yy = 25x*. Similiter rem determinare licet pro aliis potentiis. 
Sin AD, DB, BC=cubo dato, res redit ad quadratricem figurae, 
cujus ordinatae valor est ax^ divis. per Va^ — x^; in genere autem 
data relatione quacunque inter rectas AB, BC, CD, AD, DB in dicta 
fig. 115 invenire lineam, problema est, quod coincidit cum invan- 
tione quadraturarum. Sed si in recta AC assumatur punctum fixum 
L, novae oriuntur alterius naturae relationes, ut si data sit relatio 
inter LC et CD , quod problema tarnen itidem solutionem recipit. 

*) Zum bessern Verständniss des Folgenden sollen hier die 
betreffenden Steilen aus dem Schreiben Tschirnhausens angeführt 
werden: Sit (fig. 114) carva ACi, el P6H quadrans cireuli; tat 
jam ut FGH ad arcuip GH, sie AB ad HB ; porro demissa perpendi» 
cQlari Gü fiat conlinue quadrans ED aequalis rectae BC, patebitque 
curvam ACI esse mechanicam. — Gurvam determinare, ubi (fig. 115) 
quadratum BC in lineam BD semper aequale sit cubo datae lineae. — 
Curvam invenire, ut produc<um ex tribus lineis AD, DB, BC (fig. 115) 
semper aequale sit cubo. 



934 



III. 

DE LINEA ISOCHRONA , IN QUA GRAVE SINE ACCELERATIONE 
DESCENDIT, ET DE CONTROVERSIA CUM DN. ADRATE DE 

CONTI. *) 

Cum a me in his Actis Martio 1686 editis publicata esset 
demonstratio contra Cartesianos, qua vera virium aestimatio tradi- 
tur, ostenditurque non quantitatem motus, sed potentiae, a quan- 
titate motus differentem servari, Vir quidam doctus in Gallia, Dn. 
Abbas De Conti, pro Cartesianis respoiidit, sed, ut post apparuit, 
vi mei argumenti non satis perspecta. Credidit enim, recepta 
quaedam alia principia a me impagnari, quae in Novellis Reip. Lit- 
terar, mens. Jun. 1687 p. 579 enumerat, et negat p. 519 seq. se 
agnoscere contradictionem, quam ego in iilis invenire mihi videar: 
cum tarnen nunquam mibi de illis dubitare in meutern venerit, 
quemadmodum ipsum admonui Novell. Reip. Lit. Septemb. 1687. 
Idem ut eluderet objectionem meani. conjecerat se in diverticulum 
temporis, quod eo modo, quo conceptus a me erat Status contro- 
versiae, plane est accidentale. Eadem enim manente altitudine, 
eadem vis acquiritur aut impenditur a gravibus quocunque tempore 
indulto, quod pro inclinatione descensus majore minoreve augetur 
aut minuitur. Ea occasione, quo magis appareret, tempus atque 
adeo distinctionem inter potentias isochronas vel anisocbronas hoc 
loco nihil ad rem facere, et ut ex disputatione nostra aliquid in- 
crementi scientia caperet, problema tale, a me inter scribendum 
solutum, et, ut videtur, non inelegans, ipsi proposui in dictis No- 
vellis Septembr. 1687: ,, Invenire lineam isochronam, in qua grave 
„descendat uniformiter, sive aequalibus temporibus aequaliter acce- 
„dat ad borizontem, atque adeo sine acceleratione et aequali seni- 
„per velocitate deorsum feratur.'' Sed Dn. Abbas De Conti nihil 
ultra reposuit, sive quod problema attingere nollet, sive quod agnita 
tandem mente mea, satisfactum sibi judicaret. Sed ejus loco pro- 
blema hoc sua opera dignum judicavit Vir celeberiimus Christta- 
nu8 Hugenius, cujus solutio mea prorsus consona extat in Novellis 
Reip. Lit. Octbr. 1687, sed suppressa demonstratione et explicatione 



*) Act. Erudil. Lips. an. 1689. 



•a5 

discriminis inter diversas lineas ejusdem, ut ait, generis, qua» sa- 
tisfacere notat. *) Haec igitur ego supplere hoc loco volui, factu- 
rus dtius, nisi aliquid hie a Dn. Abbaus industria exspectavissem. 

Problema» Invenire lineam planam, in qua grave sine acce- 
leratione descendit. 

Solutio. Sit (fig. 116) linea paraboloeides quadrato - cubica 

quaecunque ßTSe (nempe ubi solidum sub quadrato basis NM et 

parametro aP aequale est cubo altitudinis /SM) ita sita, ut vertids 

ß tangens ßM sit perpendicularis horizonti, in cujus lineae puncto 

quocunque N si ponatur grave ea descendendi ulterius celeritate 

praeditum, quam potuit acquirere descendendo ex horizonte Aa, 

4 
cujus elevatio aß supra verticem ß sit 3- parametri curvae, tunc 

idem grave descendet porro uniformiter per lineam Ne, utcunque 
continuatam, ut desiderabatur. 

Demonstratio. Recta NT curvam /^Ne tangat in N et ipsi 
ßm occurrat in T. Utique (ex nota proprietate tangentium hujus 
curvae) erit TM ad NM in subduplicata ratione a/S ad /SM. Ergo 
TM ad TN erit in subduplicata ratione aß ad aß+ßH seu ad aM. 
Jam ratio TM ad TN eadem est, quae velocitatis per curvam de- 
scendendi (seu horizonti porro in curva appropinquandi), quam 
grave habet positum in N ad velocitatem, qua idem ex N porro, 
non per curvam, sed libere descenderet, si posset (ut constat ex 
natura motus inclinati). Sed velocitas haec libera porro est ad 
constantem quandam in subduplicata ratione aM ada/S; sunt enim 
(ut ex motu gravium constat) velocitates liberae in altitudinum 



*) In der Beilage zu dieser Nummer folgt Hugeos' Lösung des 
in Rede stehenden Problems, auf die hier Leiboiz Bezug nimmt. Der- 
selbe hatte bereits seine grosse Reise nach Italien angetreten (Herbst 
16S7), als die Nummer der Novelles de la Republique des lettres, 
welche die Ldsung von Hugens enthält, zu seiner Kenntniss gelangte. 
Voll Freude, dass sein hochverehrter Lehrer und Freund das Problem 
der Beachtung ffir werth gehalten, entwarf Leibniz zu Pilsen in Böh- 
men Zusätze, die er nach dem Vermerk auf dem Manuscripte dem 
Herausgeber der Nouvelles de la Repuh. des lettres übersandte. Es 
lässt sich nicht ermitteln, ob die Absendung wirklich erfolgte; ich 
habe in dem auf der Königlichen Bibliothek zu Hannover befindlichen 
Exemplar des genannten Journals diese Zusätze Leibnizens vergeblich 
gesucht. 



(unde descendendo quaesitae sunt) aM subdaplicata ratione: ergo 
velockas descendendi per curTam Ne, quam grave habet in quo- 
cunque curvae puncto N positum, est ad velodtatem constantem in 
composita subdupüeata ratione a/9 ad aH et aM ad a/?, qnae est 
ratio aequalitatis. Ipsamet igitur velocitas illa per cnrvam descen- 
dendi est constans, seu ubique in curva Ne eadem. Quod prae- 
standum erat. 

Consectaria: 1) Grave celeritatem habens tamquam lapsum 
ab altiludine aliqua Aa, descendere potest ex eodem puncto N per 
curfas isochronas infinitas, sed ejusdem speciei, seu sola magnitu- 
dine parametri dififerentes, ut Ne, N(e), NE, quae omnes sunt pa* 
raboloeides quadrato-cubicae, adeoque similes inter se. Imo quae- 
libet hujusmodi paraboloeidum hie inservit, modo ita collocetur, 

ut a/9 Tel (a)(ß) distantia rerticis ab horizontali a(aX unde descen- 

4 

dere incepit grave, sit -^ parametri curvae ße vel (ß)(e) : nee refert, 

an grave isodirone descensurum in curva N(e) pervenerit ad N ex 
a(a) per viam (a)(/?)N, an per ahquam aliam, aut sine descensu 
ullo ob aliam causam eandem celeritatem atque directionem acqui- 
siverit. Ex infinitis tarnen istis lineis isochronis, in quibus grave 
ex N porro sine acceleratione descendere potest, ea celerrimum 
ipsi descensum praebet, cujus Vertex est ipsum punctum N, qualis 
est NE, quam recta AN horizonti perpendicularis tangit 

2) Tempus descensus per rectam aß est ad tempus descen- 
sus per curvam /?N, ut dimidia altitudo ßM ad ipsam aß: ac pro- 
inde si ßVl sit dupla a/?, aequalia erunt tempora descensuum per 
aß et per /?N. Quorum ratio manifesta est: nam tempora descen- 
sus uniformis sunt inter se ut altitudines, et ex demonstratis a 
Galilaeo, tempus quo mobile percurrit aititudinem aß motu acce- 
lerato, est duplum ejus, quo perrurrit aequaiem aititudinem ßHl 
(ut hoc loco fit, licet pei* curavm /SN) motu uniformi, qui celeri- 
tatem habet aequaiem ultimae per accelerationem aoquisitae in ß. 

Hoc autem problema fateor me non Geometris primariis pro- 
posuisse, qui interiorem quandam Analysin callent, sed bis potiuB, 
qui cum erudito illo Gallo sentiunt, quem mea de Cartesianis ple- 
risque hodiernis (Magistri paraphrastis potius, quam aemulatoribus) 
querela suboffiendisse videbatur. Tales enim cum alias receptis 
ioter Cartesianos dogmatibus, tum etiam analysi inter ipso» (»«r- 
vulgatae nimium tribuunt, adeo ut se ipsius ope quidvis in Mathesi 



Mff 

(si modo velint scilicet calcülaudi laborem sumere) praestare posse 
afbitrentur, non sine detrimento scientiarum, quae falsa jam in- 
Tentorum fiducia negligentius excoluutur. His materiain exercendae 
suae Aiialyseos praeb«re foJueram in hoc problemate, quod non 
prolixo calculo^ sed arte indiget. 

Si quis tarnen praereptam sibi jam solutionem queratur, po- 
terit aliüm isothronam huic viciDam quaerere, in qua non, ut hao 
tenus, grave uniforraiter recedat ab horizontal! (vel ad eani ac- 
cedat), sed a certo puncto« Uude problema erit tale, mvenire 
Umam, in qua descendem grave recedat uniformüer a pundo dato^ 
vd ai ipeam aecedat. 

Talis foret linea NQR, si ejus esset naturae, ut ex puncto 
dato seu fixo A, ductis rectis quibuscunque ad curvam ut AN, AQ, 
AR, esset excessus AR super AQ, ad excessum Aii super AN, ut 
tempus quo descenditur p«r arcum QR, ad tempus quo descendi- 
tur per arcum NQ. 



Beilage« 

Solution du Probleme propose par M.L. dans les Nou- 
velles de la Republique des Lettres du mois de 

Septerabre 1687.*) 

Tfouver une ligne de desoente dans laquelle ie corps pesant 
descende uniformement et approcbe egal^ment de Thorizon en temps 
egaux. 

Solution. 

Si Ton vouloit, que le corps pesant commen^ast k descendre 
dans cette ligne depuis le repos, eile seroit impossible. 

Mais si le corps est suppose avoir quelque moment, quet- 
que petit qu'il soit, comme par ex. celui qu'il aquiert en tombanl 
de la hauteur perpendiculaire AB (fig. 117), alors la ligne courbe BC 
qoi est teile que le cube de CD perpendiculaire sur AB prolonf^e, 



*) Article VI des NouTelles de la Republiqae des Lettres da 
mois d'Octobre 1687. 



9S8 

9 

soit egal au solide du quarre de BD et de la hauteur de ^ AB, 

satisfera au Probleme. 

Mais outre cette ligne BC il y en aura une infinite d'aatres 
du mörne genre et aisees ä trouver, qui feront le möme effet, 
c'est ä dire, que le corps pesant apres la chute par AB descen- 
dant par ces lignes, approchera encore egalement de Tborizon en 
temps egaux, mais plus lentement, que par BC. 

Que si BD est double de BA, le temps de la descente par 
la portion de courbe BC sera egal au temps de la chute par AB. 

H. D. Z. 



Addition de M. L. ä la Solution de son probleme don- 
nee par M. H. D. Z. article VI du mois d'octobre 1687.*) 

Je n'avois garde de proposer ce probleme ä des Geometres 
du premier rang, tels que Monsieur H. D. Z., ils doivent plustost 
juger des prix, ä peu pr6s comme les quarante Academiciens. Ce- 
pendant puisque M. H. a trouve ce probleme digne de le resoudre 
luy m^me, je tacheray d'adjouter quelque chose. 

On demande une ligne BD(D) trade sur quelque plan, dans 
laquelle un corps pesant puisse descendre unifortnement, et ap- 
procher egalement de thorison en temps egaux, c^est ä dire que 
les temps des descentes par BD, B(D) (fig. 1 18) soient comme les 
hauteurs perpendiculaires BC, (BC) et si les hauteurs C(C) et (C)[C] 
estoient egales, les temps des descentes par D(D) et par (D)[D] 
seroient aussi egales entre elles. 

Je dis que la Paraboloeide Quadrato-Cubique BD(D)[D] sa- 
tisfera d la question et sera la Ligne Isochrone demandSe dont 
le sommet sera B, et les quarres des ordonndes CD comme les cu- 
bes des abscisses (de la touchante du sommet) BC. Par exemple 
les abscisses BC, B(C) estant 1 et 4, les ordonnees CD, (C)(D) 

2 16 

pourront estre -5- et -^ , car les cubes de 1 et 4 sont 1 et 64, 

«5 o 



*) Scrips. 4 Januar. 16S8 Pilsnae in Bohemia. Haec missa 
autori Novellarum Reipublicae literariae. Bemerkung von Leibniz. 



38» 

a Iß 

et -^ estant ä -r- comme 1 ä 8, leurs quarres seront aussi comme 

1 ä 64. Cette ligne qu'on pourra maintenant appeller Isochrone 
(apres la decouverte de cette propriete) est assez connue d'ailleurs 
aux Geometres, et a este la premiere de toutes les lignes courbes 
de la Geometrie ordinaire, d qui on ait donne une droite exacte- 
ment egale, Or il est manifeste que le corps pesant ne scauroit 
descendre uniformement dans la ligne BD depuis le repos, car s'il 
commencoit par le repos, cette m^me uniformite le feroit continuer 
ce repos, c'est ä dire il n'y auroit point de mouvement. Mais 
avec quelque vistesse ou tardite qu'il tende de descendre, il y 
aura moyen de luy assigner une infinite de ces Paraboloeides 
Quadrato-Cubiques, l'une au sommet B, les autres dans quelque 
autre point, comme D, depuis lequel ce corps continuera de 
descendre et d'approcher de Thorison avec cette meme vistesse 

ou tardite. Si la descente uniforme doit commencer depuis le 

g 

sommet B, le parametre de nostre Paraboloeide isochrone sera - 

de la hauteur ou cheute perpendiculaire AB, qui a pu donner au 
Corps pesant la vistesse qu'il a au sommet B. 

Pour donner une regle de ce mouvement, supposons que le 
corps pesant ait acquis la vistesse qu'il a au ppint B en descen- 
dant par la perpendiculaire AB, et pour representer le temps de 
cette descente, menons ä discretion BE normale ä AB; puis tra- 
cons la parabole AEG dont Taxe soit ABC. De plus soit menee 
une droite FEH, qui touche la parabole en E et coupera Taxe en 
P; on scait que FB est double d'AB. Continuons CG jusqu'en H, 
et menons EL parallele ä BC, coupant CH en L, je dis que LH 
representera le temps de la descente par BD. On peut se passer 
de la parabole, si prenant FA egale ä AB, on mene FEH, mais la 
parabole sert ä rendre raison de cette Operation, car ses ordonnees 
representent les temps de la cheute droite AC. 

Voicy donc la regle: Le temps LH de la descente uniforme 
sur une portion BD de la ligne isochrone est au temps BE de la 
descente perpendiculaire AB, qui a pü donner la vistesse acquise 
au commencement B de la ligne isochrone qu'eüe touche, comme la 
hauteur BC de la descente isochrone au double de la hauteur AB 
de la descente perpendiculaire. Car ä cause des triangles sembla- 






MM 

bles ELH et FBE, il est visible que LH est k BE, oorome EL ou 
BC est ä FB double d'AB. 

Coroüain, Si ia hauteur BC de la descente uniforme est 
double de la hauteur AB de la descente perpendiculaire, les temps 
LH et BE seront ^gaux, ce qui convient avec la remarque de Mens. H. 
Mais si le temps de la dite descente perpendiculaire estoit double 
de celuy de la descente uniforme, lenrs hauteurs seroient egales. 
Et on peut resoudre de mSme tous les cas particuliers donnes. 

Mais si on ne demande pas que la descente uniforme com- 
mence au sommet, alors la vistesse du commencement, ou bien 
la hauteur de ia cheute de cette Tistesse aussi bien que ia para- 
boloeide isochrone estant donnees, il s'agit de tron?er le poii|t D 
oü le Corps pesant arrivant avec cette vistesse et continuant son 
mouvement dans la ligne D(D) descendra uniformement. 

En voicy Ia regle generale: „Lorsqne U Mrp$ pesant (ambe 
de quelque hauteur ou horisontale qui passe par Ä, sur quelque 

point D que et sott de la ligne isochrone BD qui est tauchee au 

4 
^ommet B par AB perpendiculaire d thorisontale et egale ä ^ du 

„parametre de la ligne isochrone; il commeneera de descendre um- 
y/ormement dans la diu ligne depuis ee point D." Ce qui suffit 
ä determiner ces questions et ä construire aussi les lignes mention*- 
nees dans la figure de Monsieur H., appliquant les points conve- 
uables des autres lignes isochrones comme ßBd du sommet B de 
ia principale BD, en sorte qu' A et a points pris au dessus des 
sommets B et /? et determinants la hauteur de la cheute tombent d«uAs 
une meme horisontale Aa. C'est pourquoy le poids iombant d' A sur 
B pourra depuis B descendre dans toutes les isochrones qui se cou- 
pent en B, dont les points a tombent dans Thorisontale Aa. Mais BD ä 
Tegard de la hauteur AB, est la principale des Isochrones, qui sert 
icy depuis le sommet et dans laquelle le poids arrivant de la hau- 
teur AB descendra uniformement avec ie plus de vistesse qu'il 
pourra, et la perpendiculaire AB elevee sur le point de rencontre 
du poids et de la ligne isochrone touche la principale BD au lieu 
qu^elle coupe les autres comme ßd. 

II est ais^ de donner la demonstration de toutes ces choses, 
lorsqu'elles sont deja trouvees, c*est pourquoy je ne veux pas 
m'arrester. 



!»41 



Analysis des Problems der isochronischen Curve. 

Quaeritur Linea descensoria isochrona YYEF (fig. 119), in qua 
grave inclinate descendens isochrone seu uniformiter piano hori- 
zontali appropinquet, ita nempe ut aequalibus temporibus, quibus 
percurrantur arcus BE, EF, aequales sint descensus BR, RS in 
perpendiculari sumti. 

Sit liuea quaesita YY, cujus recta Directrix, in qua ascensus 
perpendiculares metiemur, sit AXX; abscissa AX vocetur x, et or- 
dinata XY vocetur y, et 1X2X seu tYiD erit dx et 1D2Y vocetur dy, 

AX seu X est altitudo percursa seu descensus, dx est descen- 
sus incremenlum, tempus ab A usque ad X, quod insumeretur de- 

scensu libero, foret ut celeritas eousque acquisita seu ut yx» ergo 
incrementum hujus temporis (seu tempus quo Ubere percurritur 

incremenlum spatii) erit ut d^x seu dx*** seu ^-x"**** dx seu 

di:2^x. Jam tempus quo nunc revera percurritur altitudo jX^X 
in lineae inclinatae descensoriae elemento 1Y2Y, quod tempus voce- 
fflus dt, est ad tempus quo eadem altitudo percurreretur in de* 

scensu libero seu ad dx:2i5fx, ut 1Y2Y a d jXjX seu ut ^d?+dy* 
ad dx, seu fiet dt : dx : 2^x : : \dx* : dy2 : dx; cum enim celerita- 
tes sint aequales (non obstante inclinatione vel libertate), erunt lern- 

pora ut spalia; itaque erit dtdx=dx ydx* + dy2 : 2Vx. Quod ve- 
rum est in omni linea descensoria, cujuscunque sit naturae, verum in 
nostra, cum dt elementa temporis descensorii debeant esse ut dx 

seu proporlionalia descensibus fiet: dx = a Vdx*+dy' : 2Vax, as- 
sumta a pro unitate, seu fiet: 4dx2ax= aadx^ -|- aady2 g^y 

dy==dxv4ax — aa:a el^^JAxyJ^ax — aa:a. Quae summa 
u t invenia tur, ponemus z = 4x — a, fietque dx = dz:4, ergo y = 

J dz^ diZ'Aa = yJ nJ dz /7:4 a. Jam J Azz^'^ = z3**:JT2 = 
2z V z :3, ergo y = z ^az : 6a seu 36ayya=z3 seu faciendo b== 
B6a fiet byyaaz^ Ergo habemus Lineam descensoriam, quae est 
Paraboloeides quadrato-cubica, in qua quadrata ordinatarum yy sint 
ut cubi abscissarum z^; latus autem rectam b seu BR erit 36a et 
a = b:36. Ipsam autem AB sie inveniemus: in casu puncti B 
est z=sO, ergo = 4x — a seu x = a:4 seux = b: 144; estautem 
in hoc casu AB = x, ergo fiet AB = BR : 144. Itaque si linea pa^ 
Y. 16 



raboloeidis quadrato-cubicae BYY sie erecta sit, ut directrix, cujus 
porlion^ß abeeksae liabeanl cubos quadratis ordtnatanim proper- 
tionales, &it pcrpendicularis ad horizontem, et in Yerücem ejus B 
cadat grave ex altitudiiie AB. quae sit 144tA pars lateris recü, et 
deinde iu B pergnt descendere ia linea BTY, erunt descensus ejus 
isocbroni, seu grave decurrens iu linea BYEF aequali tempore per- 
veniet ex B in E, et ei E in F, posito altitudines BR et RS esse 
aequales. 

Atque haec est Analysis problematis; placet vero Sjntbesin 
quoque dare methodo, quae ad communem propius accedat, ana- 
lysin enim, qua hie usus sum, non nisi illi assequentur, qui prin- 
cipia a me tradita circa Aualysin infiDitorum intelligunt. 

Pralileiiia. 

Lineam Descensoriam isochronam invenire. 

Sit linea BYYEF (flg. 120) paraboliformis quadrato-cubica, 
Cujus Vertex B» axis BXXRS, uod« duc&ia ad eurvam ordinaii» nar- 
la^libus XY siot cubi abscisi^arum BX ut quadrata ordinatarum XY, 
dko eam es^e quaesitatn. Nemp« si lioea ita ^it^i »t, ut vertmi B 
sumrouo) obli^eat, aiisque BX sU perpeudiculariler erectus et in 
eo produeto supra B sumatur A sie, ut AB sit pars centesima qua- 
dragesima quarta lateris recti lineae, tunc grave cadens ex altitu- 
dine A (libere vel inclinate) in B, atque ex B porro descendens 
in linea BYY, descendet in hac linea isochrone sive aequabiliter, 
ita ut descensus secundum perpendlculum surati sint temporibus 
insumtis proportionales, et aequatibus temporibus aequaliter ap- 
propinquetur ad basin seu planum horizontale, nempe tenpufi quo 
grave ex B in linea BYY decurret ad E, erit ad tempus quo ex E 
decurret ad F, ut BR ad RS^ ae proinde si BR et RS sint aequa- 
les, etiam temporis intervalla, quibus ex B desceaditur in E et ex 
£ in F, erunt aequalia; atque ita lineae desoensoriae peculiarijs iiiv 
dinatio efficiet, ut grave moveatur sine ulk acceleratione deacoa- 
sionis in perpendiculo aestimat^e, et vicissim si grave in F piosi- 
ti^Oi sursum impellatur in linea FEB ea celeritate, quam acquirere 
potuisset labende ex A ad S> ascendet motu aequabiii a hm F8 
usque ad verticem lineae B, licet enim continue decrescat ejus ce- 
lerilas absoluta, ascensus tarnen in perpendiculo aestimati eruni 
temporibus insumtis proportionales« 



PemoDstratio. 

Sumantur diio Elementa altitudinis seu incrementa momen- 
tapea descensus 3XR et 4XS, quae ponantur inter se aequalia, eis- 
qoe sini respondenüa (licet inaequalia inter se) elementa lineae de- 
gceosoriae 3YE et 4YF, dico etiam elementa temporis elementis 
spatii respondenüa seu tempora, quibus elementa spatii transmit- 
tuotur^ fore aequalia inter se, seu tempus quo percurritur 3YE fore 
aequale tempori, quo percurritur 4YP, atque ita erunl incrementa 
temporum incrementis descensuum perpendicularium ubique pro* 
portionalia. 

Per A et B ducantur duae rectae horisonti parallalae A£M et 
BLP, et GL (producta) tangat curvam in E et MP in F. Ex na* 
tura motuum tempus, quo percurritur 3YE, est ad tempus, quo 4YF, 
in ratione composita, ex directa quidem rectae 3YE ad 4YF seu GL 
ad MP, reciproca vero ceJeritatis in RE ad celeritatem in SF, seu 
reeiproca snbdupHcatae altitudinum AR et AS. Jam vero (ex na- 
tura taugen tium hujos cunrae) reperietur GL ad MP esse in directa 
fatione subduplicata AS ad AR; est ergo ratio temporis, quo per- 
curritur 3YE, ad tempus, quo 4YF percurritur, composita ex ratione 
directa et reciproca eorundem terminorum, quae est ratio aequa- 
titatis; aequalia ergo sunt baec tempora seu descensus aequalibus 
temporibus aequaliter crescunt. Quod asserebatur. 



IV. 

»E LINEA, IN QUAM FLEXILE SE PONDERE PROPRIO CÜRVAT, 

EJUSeUE ÜSÜ INSIGNI AD INVEN1ENDA8 QÜOTCÜNQÜE MEDIA» 

PROPORTIONALES ET LOGARITHMOS. *) 

Problema Lineae Catenartae vei Funicularis duplicem usum 
hattet, unum ut augeatur ars inveniendi seu Aualysis, quae bacte- 
n»» ad talia noi) s^tjs pertingebat, alterum ut praxis constrüendi 
promoveatur. Reperi enim haue iineam ut facillimam factu, ita 
Itfijli3»imam effectu esse, i)jßc uUi Transcendentium secundam. Nam 
9iiapensioo.e fili vel potius catenulae (quae extensionem non mutat) 
AoUo neg9itiQ par^ri et describi potest physico quodam comtructio- 



■• I ■ • " • ' "I 



*) Act« Eradit. Lips, an. 1691. 

16 



«44 

nis genere. Et ope ejus ubi semel descripta est, exhiberi possunt 
quotcunque mediae proportionales, et Logarithmi, et Quadratura 
Hyperbolae. Primus Galilaeus de ea cogita?it, sed naturam ejus 
assecutus non est: neque enim Parabola est, ut ipse erat snspi- 
eatus. Joachimius Jungius, eximius nostri saeculi Philosophus et 
Mathematicus, qui multa ante Cartesium praeciara cogitata habuerat 
circa scientiarum emendationem, calculis initis et experimentis fa- 
ctis parabolam exclusit, veram lineam non substituit Ex eo tem* 
pore a multis tentata quaestio est, a nemine soluta, donec nuper 
mihi ab eruditissimo Mathematico praebita ejus tractandae occasio 
est. Nam Cl BernoiMiuSj cum meam quandam Analysin infinito- 
rum, calculo differentiali, me suadente, introducto expressam, fe- 
lidter applicuisset ad quaedam problemata, a me publice petivit 
Actorum anni superioris mense Majo p. 218 seq., ut tentarem, an 
nostrum calculi genus etiam ad hujusmodi problemata, quäle est 
lineae catenariae inventio, porrigeretur. Re in gratiam ejus tentata, 
non tautum successum habui, primusque, ni fallor, illustre hoc 
problema solvi, sed et lineam egregios usus habere deprehendi, 
quae res fecit, ut exemplo Blasii Paschalii aliorumque ad eandem 
inquisitionem invitaverim Mathematicos certo tempore praestituto, 
experiundarum Methodorum causa, ut appareret, quid Uli daturi 
essent, qui fortasse alias adhiberent ab ea, qixdi BernouUius mecum 
utitur. Tempore nondum elapso, duo tautum significarunt rem se 
consecutos, Christianus Hugenius^ cujus magna in rem literariam 
merita nemo ignorat, et ipse cum fratre ingenioso ju?ene et pere- 
rudito Bernouüius, qui bis, quae dedit, effecit, ut praedara quaeque 
porro ab iis speremus. Eum igitur reapse expertum puto quod 
significaveram, huc quoque porrigi nostram calculandi rationem, et 
quae antea difScillima habebantur jam aditum admittere. Sed placet 
exponere, quae a me sunt inventa; quid alii praestiterint, collatio 
ostendet. 

Linea sie construitur Geometrice, sine auxilio fili aut catenae, 
et sine suppositione quadraturarum, eo constructionis genere, quo 
pro Transcendentibus nullum perfectius et magis Analysi consea- 
taneum mea sententia haberi potest. Sint duae quaecunque lineae 
rectae, determinatam quandam et invariabilem inter se habentes 
rationem, eam scilicet quam D et K (fig. 121) hie expositae, qua 
ratione semel cognita caetera omnia per Geometriam ordinariam 
procedunt. Sit recta indefinita ON horizonti parallela, eique per* 



»45 

pendicularis OA, aequalis ipsi O^N, et super 3N verticalis sNa^, quae 
Sit ad OA, ut D ad K. Inter OA et sNs^ quaeratur media pro* 
portionalis iN|^; et inter jNj^ et gNa^, itemque inter jNj^ et OA 
quaeratur rursus media proportionalis, et ita porro quaerendo me- 
dias et inyentis tertias proportionales, describatur continueturque 
linea ^^A(^)(^), quae erit talis naturae, ut ipsis intervallis, verbi 
gr. iN|N, jNO, 0|(N), i(N)3(N) etc. sumtis aequalibus, sint ordina- 
tae aNs^, jNj^, OA, i(N)|(^), a(N)s(Ö in continua progressione 
Geometrica, qualem lineam Logarithmicam appellare soleo: Jam 
sumtis ON, 0(N) aequalibus, super N Tel (N) erigatur NC vel (N)(C) 
aequales dimidiae summae ipsarum N^, (N)(^, et C vel (C) erit 
punctum lineae catenariae FCA(C)L, cujus ita puncta quotcunque 
assignari Geometrice possunt. 

Contra si linea catenaria physice construatur ope fiii vel ca* 
tenae pendentis, ejus ope exhiberi possunt quotcunque mediae pro* 
portionales, et Logarithmi inveniri datorum numerorum vel numeri 
datorum Logarithmorum. Sic si quaeratur Logarithmus numeri Occi, 
posito ipsius OA (tanquam Unitatis, quam et parametrum vocabo) 
Logaritbmum esse nibilo aequalem ; seu, quod eodem redit, si quae* 
ratur Logarithmus rationis inter OA et Oco, sumatur ipsius Oca et 
OA tertia proportioiialis Otp, et ipsarum Ooi et Ot^ summae dl« 
midiae OB, tamquam abscissae, respondens Lineae Catenariae or- 
dinata BC vel ON erit Logarithmus quaesitus numeri dati- Contra, 
dato Logarithmo ON, inde ductae ad Curvam Catenariam verticaiis 
NC duplam oportet secare in duas partes tales, ut media propor- 
tionalis inter segmenta sit aequalis datae (unitati) OA (quod facilli- 
mum est) et duo segmenta erunt respondentes dato Logarithmi 
Numeri quaesiti, unus major, alter minor unitate. Aliter: Inventa, 
ut dictum est, NC seu OR (sumto ita puncto R in horizontali AR, 
ut habeamus OR aequalem OB vel NC) erunt summa ac differentia 
rectarum OR et AR duo respondentes Logarithmo dato Numeri, 
unus major, alter minor unitate. Nam differentia ipsarum OR et 
AR est N^, et summa earum est (N)(D; ut vicissim OR est se- 
misumma, et AR semidifferentia ipsarum (N)(^) et N^. 

Sequuntur solutiones Problematum primariorum, quae circa 
lineas proponi solent. Tangentem dueere ad punctum lineae dar 
tum C. In AR horizontali per verticem A sumatur R, ut fiat OR 
aequalis OB datae, et ipsi OR ducta antiparallela CT (occurrens 
aii AO iu T) erit tangens quaesita. AntiparaUelas compendii causa 



MM 

iic voco ipsas OR 6t TC, si ad parallelas AR et BC fadant Don 
quidem eosdem angulos, sed tarnen cotnplemento sibi existentes ad 
rectum, ARO et BCT. Et Triangula rectangula OAR et CBT sant 
similia.* 

Reetam invemre areui catenae aequakm. Centro O radio OB 
describendo Circulum, qui horizontalem per A secet in R, eritAR 
aequalis arcui dato AC. Patet etiam ex dictis fore 7p(o aequalem 
catenae CA(C). Si catena CA(C) aequalis esset duplae pärainetro, 
seu si AC vel AR aequalis OA, forftt catenae in C inciinatio ad 
horizontem sen angulus BCT 45 graduum, adeoque angulüs CT(C) 
rectus. 

Quadrare spatinm linea tatmaria et re^a vd tectis com* 
prehensum. Scilicet invento puncto R, ut ante, erit rectangulum 
OAR aequale Quadrilineo AONCA. Unde alias quasvis portiones 
quadrare in prociivi est. Patet etiam, arcus esse areis quadritifieis 
proportionales. 

Invenire centrum gravitatts catenae, aut partis eju» cujut^ 
cunfue, Arcui AC vel AR, ordinatae BC, parametro OA iaventa 
quarta proportionalis 0@ addatur absctssae OB, et summae dimidili 
OG dabit G centrum gravitatis catenae CA(C). Porro Tangeng CT 
secet horizontalem per A in E, compleatur rectangulum GAEP, erit 
P centrum gravitatis arcUs AC. Cujuscunque arcus alterius ut 
CiCdistantia cenlri gravitatis ab axe est AM, posito ttM esse perpeü- 
dicularem in horizontem verticis, demissam ex n consursu tangen- 
tium Ctc, fCTt, quanquam et centrum ejus ex centris arcuum A€, 
A^C facile habealur. Hinc et habetur BG, maximus descensus pos* 
sibiUs centri funiculi seu catenae aut lineae flexiiis non intendibiHs 
cujuscunque, duabus extremitatibus C et (C) susp^nsae, lotigitudi- 
nem babentis datam xlfco ; quamcunque enim figuram aliam assiilnat^ 
minus descendet centrum gravitatis quam si in nostram €A(C) 
curvrtur. 

Iiwenire centrum gravitatis- figurae, linea catenaria et reeta 
velrtetis comprehensae, Sumatur Oß dimidia ipsius OG, et com- 
pleatur rectangulum ßAEQ, erit Q centrum gravitatis quadriliüei 
AONCA. Unde et cujuscunque alterius spatii linea catenaria et 
recta vel rectis terminati centrum facile habetur. Hinc porro se- 
ftiftur illud meraorabile, non tantum quadriiinea iit AONCA arcu- 
bus AC proportionalia eSse, ut jam notavimus, sed et amborum 
eenti^rum gravitatis distontiaS ab horizontali per O, ne&ipe OG e4 



0/9, esse «proportionales, cum lUa sit semper hujus dupla} et di- 
stantias ab axe OB, nempe PG, Qß adeo esse proportionales, ut 
sint plane aequalee. 

Invenire contenta et superficies soUdorum, rotatione figura- 
mm linea catenaria et recta vel rectis eomprehensarum, circa 
redam immotam quamcunque genitorum. Habetur ex duobüs pro- 
bidinatä)ti6 praecedentibue, ut notum est. Sic si catena CA(C) 
rotetor ciixa axem Afi, generata superficies aequabitur cireulo, cu* 
}Hs radius pofitdt dupluoi rectangulum EAR. Nee minus aliae sq* 
pin*ficies vel etiam solida dicto modo genita mensurari possunt 

Hulia Theoremata ac Problemata praetereo, quae vel in bis 
cooltttentur, quae diximus, vel non magno negotio inde derivantur, 
cum lirevitati oo&scilere visum sit. Sic sumtis duobus catenae pun^ 
ctis, <ii C 6t ^C, quomm tangenies sibi occurrant in ^, ex puneiis 
fC, n, € in ipsam AEE horizontalem verticis demittantur perpendi- 
ciliares, iC^I, ttM, CI: fiet, |I in AC minus ^CC in JM aequale 
iBB in OA. 

Poasunt et series iufinitae utiliter adhiberi. Sic si paraineter 
OA 6it uliita8, et Arcus AC vel recta AR dicatur a, et ordiflataBC 

113 5 

vocelur y, fiet y=--a— ^ a^ + T/J a* — 777*^'^ ®^^'' ^^^^ series 

faciU jregula conlinuari potest. Datis quoque lineam determinanii«^ 
bas, baberi possiiint reliqua ex dictis. Sic dato vertice A, ei alio 
imncto €, et AR longitudine catenae interceptae AC, baberi polest 
lineae parameter AO vel punctum 0: quoniam enim datur et B, 
jungatur BR, et ex R educatur recta R^, ita ut angulus BR^ »it 
aequaiis angolo RBA, et ipsa R/t (producta) occurret Axi BA (prk)- 
ducto) in puncto quaesito. 

Atque bis quidem potissima contineri arbitror, uode caetera 
circa bane lineam, ubi opus, faeiie duci poterunt. DemotistratioHes 
adjicere süpersedeo, prolixitatis vitandae gratia, praesertim cum novae 
iiOBtrae Analyaeog calculos in bis Actis explicatos intelligenti spontp 
nascantur. 



M9 



Beilag^en. 

Solutio Problematis Funicularis, exhibita a Johanne 

Bernoulli, Basil. Med. Cand.*) 

Annus fere est, cum inter sermocioandum cum Cl. Fratre 
mentio forte incidisset de Natura Curvae, quam funis inter duo 
puncta fixa libere suspensus format. Mirabamur rem omnium oculis 
et manibus quotidie expositam nullius hucusque attentionem in 86 
coDcitasse. Problema videbatur eximium et utile, at tum ob prae- 
visam dilUcultatem .tangere noluimus ; statuimus itaque illud publice 
Eruditis proponere, visurinum qui vadum tentare auderent: nescie- 
barous enim, quod jam inde a Galilaei temporibus inter Geometras 
agitatum fuisset. Interea dignum censuit nodum hunc, cui solvendo 
se accingeret summus Geometra Leibnitius, signiücavitque non multo 
post**) se clave sua aditus problematis feliciter reserasse, can- 
cesso tarnen et aliis tempore, intra quod si nemo solveret, Ipse 
solutionem suam publicaturus esset. Id animum addidit, ut pro- 
blema denuo aggrederer, quod eo quidem cum successu factum, ut 
brevi et ante termini a Virb Cl. positi exitum ejus solutionem om- 
nimodam et plenariam, qualem antea ne sperare quidem ausus 
fuissem, invenerim. Reperi autem Curvam nostram Funiculariam 
non esse Geometricam, sed ex earum censu, quae Mechanicae di- 
cuntur, utpote cujus natura determinata aequatione Algebraica ex- 
primi nequit, nee nisi per relationem curvae ad rectam, vel spatii 
curvilinei ad rectilineum habetur, sie ut ad iilam describendam 
alterius curvae rectificatio vel curvilinei quadratura supponatur, ut 
ex sequentibus Conslructionibus liquet. 

Comtr, L Ductis normalibus CB, DE (flg. 122) sese secan- 
tibus in A, centroque C nbivis sumpto in axe CB, et vertice A de- 
scripta Hyperbola aequilatera AH, construatur curva LKF, quae 
talis sit, ut ubique CA sit media proportionalis inter BH et BK; 
fiat rectangulum CG aequale spatio EABKF, erit productis IG, HB 
punctum concursus M in Curva Funicularia MAN. 

Comtr, IL Descripta ut prius ad axem BH (fig. 123) Hy- 



*) Act. Erud. Lips. an. 1691. 
**) Vid. Act. Erudit. Lips. an. 1690, pag. 360. 



MO 

perbola aequilatera BG, construatur ad euadem axem Parabola BH, 
cujus latus rectum aequetur quadruple lateris recti vel transversi 
Hyperbolae, ordinatimque applicata HA producatur ad E, ita ut 
recta GE sit aequalis lineae Parabolicae BH; dico punctum E esse 
in Curva Funicularia EBF. 

Ex bis patet, Cunrae hujus EBF naturam per aequationem 
Geometricam haberi non posse, nisi simul rectificatio lineae Para* 
bolicae detur. Hujus autem et praecedentis Constructiouis demon- 
strationem lubens omitto, ne Celeberrimo Viro primae inventionis 
palmam vei praeripiam, vel inventa sua super bac materia plane 
suppriroendi ansam praebeam: sufficiet bic, si notabiliores hujus 
Curvae proprietates addidero: 

1 . Ducta tangente FD (fig. 122) , erit AF . AD : : BC . BP 
curvam. 

2. AE vel AF aequatur curvae ParaboÜcae BH, dempta re- 
cta AG. 

3. Curva BE vel BF aequalis est rectae AG, i. e. portiones 
curvae funiculariae ad axem applicatae conficiunt Hyperbolam ae- 
quilateram: insignis est hujus Curvae proprietas. 

4. Spatium Funicularium BAE vel BAF est aequale rectan- 
gulo sub BA et AF, diminuto rectangulo sub CB et FG. 

5. Curva MNO, ex cujus evolutione describitur Funicularia 
BE, est tertia proportioiialis ad CB et AG» 

6. Recta vero evolvens EO est tertia proportionalis ad CB 
et CA. 

7. Recta BM usque ad principium curvae MNO sumta ae* 
quatur ipsi CB. 

8. MP est dupla ipsius BA. 

9. Rectangulum sub CB et PO duplum est spatii byperbo«- 
lid ABG. 

10. Recta CP bisecta est in puncto A. 

11. Curva EB est ad curvam MNO, ut recta CB ad rectam ACk 

12. Si ad AG applicentur duo Rectangula AI, AK, quorum 
unum AI ei quod sub semilatere transverso CB et recta FG com- 
prehenditur rectangulo, alterum AK quod ipsi spatio Hyperbolico 
BGA aequatur, et differenüae latitudinum KI sumatur in axe a ver- 
tice B aequalis BL, erit punctum L centrum gravitatis curvae Fu- 
niculariae EBF. 

1 3. Si super EF infinitae intelligantur descripilae curvae ipsi 



Funicnliriae E8F a^fMites, illaeque in recUtt «xtendflüMr^ et k 
singülis singülae exteosae ponctia applicentur rectae rp^is re0p6«tife 
distantiis a linea EF aequates^ erit omniutn Bpdtiorum qttae eie 
efficiuntor ittud qood a Fuirieularia gignitur maxiitiuiii. 

Coepit Hon. Frat^r speculationem lianc etleDdere etiam wi 
fiines ifiaequaliler crassos, quorum crassitiea ad longitadiivein rela- 
iionem obtinet aequatiotie algebraica exprimibüein, notatque «iram 
casinn, quo problema per Carvam gimplicem Hechaiiicam solvi 
possit, nempe si supponatur Figura Gur?ilinea ABOBO (fig. 124), 
cujus applicatta 6E sit reciproce in dimidiata ratione abscissa« AG, 
eaque sit in omnibus suis applicatis fl^ills, hoc •cdt, si eonetpiaUir 
funis AG gravatus in singulis suis punctis respectifis rertis GE, 
td (quod tatituniem est) differenüis a|)plicartanitn -GH in Parabola 
AHi^ aut denique portiunculis curvae cycloidalis AHi (cujus Tefrlet 
A) isque sie gravatus suspen^i int^tigatury ile ot punctum A sit 
omnium infimum (quod fit, ubi connexum habuerit a parte A alium 
funem ejusdem lengiludinift et in a«(}udUbu8 a ^ncto A distantüs 
aequaliter gravatum) : tum Jub^t ad aitetn AG (fig. 126) construere 
Hyperbolam aequilaleram ABC cwjas i^tiet A, appllcalamque BD 
producere ad E, ita ut rect^mgulum sufe s^MffHater^ teoto ?el trans- 
yerso et linea DE fiit aeqiiale sp«th> Af)B, ^tenditque punctum E 
esse ad curvam quaesitam AEF, quam funis dfcta risitiofie gravatus 
format, ipsam vero curvam AE esse tertiam pfoportiMialem ad 
rectum vel transversum latus Hyperbokie et applicatan efis DB; 
tangentem EH haberi sumpta HI quarta proportional! ad semilatiis 
rectuia, abscissam AD et applieatam DB etc. fteperi omtem, quod 
memorabile est, curvam hanc AEF illam ipsam esse, et cujus evo- 
lutione altera BE, quam uniformis craftsiviei fliUis fbrUat, describi- 
(«ir, adeoqtie eandem ctttti cürva MNO. 

Notare convenit, quod si quis eiperimentis haec exBMintire 
instituat, catenulam prae ftftie seligere debeal, quem ob nimiam 
4rtMi levitatem tmn rigiditatem ad id inef^um depfdumdimus. Cae- 
lerum qui materiam hane pe^bere et M^are velet< poterit inve- 
sügare naturam curvae, quam tefm fuute in fayp^tlie^i a Terrae 
«etltro disttinliae finitae, vd si ^ppenatlir jfm^Xflef a proprio pon- 
dure «ttensibilis, am quoeauqueaKo modo graveftud: vel etiam viee 
YHrtsa qualiter illom gr«rare coiiv«niat, tit r«ferat linieam ParaboK- 
cam, Hyperbolicam, Circularem aliamve quamcunque ilalam«iit*HHii; 

imp Min JOHülHo iä ptMuatd Mt. 



Christiani Hugenii, Dynastae in Zeelhem, solutio 

ejusdem Problematis. 

Si Catena CVA (fig. 126) suspensa sit ex filis FC, EA utrin- 
que annexis ac gravitate carentibus, ita ut capita C et A sint pari 
altitudine, deturque angulus inclinationis filoruni productorum CGA 
et catenae totius positus, cujus vertex sit Y, axis YB, 

1. licebit hiüc iBvenire tangentem in dato quovis catenae 
puncto. Yelut si punctum datum mi L, unde ducta applicata LH 
dividat aequaliter axem BY. Jaoi si angulus CGA sit 60^ erit in- 
clinanda a puncto A ad axem recta AiY aequalis f AB, cui ducta 
parallela LR tsanget curvam in puncto L* Item si latera GB, BA, AG 
sint partium 3, 4, 5, erit AIY ponenda partium 4|. 

2. Invenltur porro et recta linea catenae aequalis, vel datae 
cuilibet ejus portioni. Semper enim dato angulo CGA, data erit 
ratio axis BY ad curvam YA. Yelut si latera GB, BA, AG sint ut 
3, 4, 5, erit curva YA tripla axis YB. 

3. Item definitur radius curvitatis in vertice Y, hoc est se- 
midiameter circuli maximi, qui per verticem hunc descriptüs totus 
intra curvam cadat. Nam si augulus CGA sit 60^ erit radius cur- 
vitatis ipsi axi BY aequalis. Si vero angulus CGA Sit reetuft, erit 
radius cuffilatis aequaFÜs curvae VA. 

4. PdM^it et circalus »etftialis Inveniri supeiHeiel canoidiii 
ex reToItttione catenae circa ;txem Buutn. Ita sä angufais CGA »160^, 
erit superficies conoidis ex catena CYA genita aequali« droulo, cu- 
jus radiviB possit dup^um tectangalmdn BYG. 

5. Inveniantur etiätn puncla quotlibet curvae KN, cujus eto^ 

lutione, una cum recta KY, radio curvitatis in vertice, curva YA 

de&cribitur, atqoe evolutae ipsitis KN longitudo. Yeluti si anguhis 

CGA fuerit 60^ erit KN tripla axis BV. Si vero latera GB, BA, AG 

g 
sint ot 3, 4, 5, erit illa -^ axis BY. 

6. Praeterea spatii NKYAN quadratura datur. Posito enim 
angulo CGA 60^, erit spatium illud aequale rectatrgulo ex axe fifV 
et ea quae potest triplum quadratum ejusdem BY. Si vero latera 
GB, BA, AG sint ut 3, 4, 5, erit idem spatium aeqnale septnplo qua- 
drato BV cum parte octava. 

?• Porro puncta quotlibet catenae inveniri poaBiuit» poj»tta 



S5S 

quadratura curvae alterius harum: xxyy=a* — aayy vcl xxyy = 
4a^ — xS vel etiam data distaotia centri gravitatis ab axe, in por- 
tionibus planis, quas abscindunt rectae axi parallelae in curva haram 
priore. Quadratura autem hujus curvae pendet a summis secan- 
tium arcuum per minima aequaliter crescentium, quae summa« ex 
Tabulis sinuum egregio quodam adhibito compendio inveniuntnr 
quamllbet proxime. Hinc ex. gr. inventum, quod si angulus GGA 
sit rectus, et ponatur axis BY partium 10000, erit BA 21279, non 
una minus. Curva autem VA per superius indicata cognoscitur hie 
esse partium 24142, non una minus. 

In bis Omnibus non nisi ad casus singulares solutiones pro- 
blematura dedi, vitandae prolixitatis studio, et quoniam non dubito 
quin regulas universales Viri docti affatim sint exbibituri. Quod 
si tarnen aliquae ex nostris requirentur, eas lubenter mittam. Ac 
jam pridem omnes apud Clarissimum Yirum G. G* Leihnüium in- 
volucro quodam oblectas deposui. 



Additamentum ad Problema Funicularium 
von Jacob Bernoullü*) 

Postquam Problemalis de Curva Funicularia solutionem du- 
perrime exbibuisset Frater, speculationem istam continuo promovi 
ulterius et ad alios quoque casus applicui, quo pacto praeter eai 
quorum tum mentio facta est, nonnulla sese obtulerunt, quae re- 
censere operae pretium existimo. 

1. Si crassities vel gravamina funis aut catenae inaequalia 
sint et sie attemperata, ut dum est in statu quietis, gravamen por- 
tionis HI (iig. 127) sit in ratione portionis rectae utcunque ductae 
LM iisdem perpendiculis HL, IM interceptae, curva AIHß, quam funis 
vel catena sie suspensa proprio pondere format, erit Parabolica. 
Sin gravamen portionis HI sit in ratione spatii LOTM iisdem per- 
pendiculis HL, IM intercepti, erit Funicularia AB curva Parabolae 
vel Cubicalis, vel Biquadraticae, vel Surdesolidalis etc., prout Fi- 
gura CLO est vel Triangulum, vel Complementum semiparabolae 



*) Bildet den Schluss von der Abhandlung: Specimen allerum 
Calculi diiTerentiatls in dimetienda Spirali Logarithmica, Loxodromiis 
Nautarum et Areis Thangulorum Sphaericorum elc. Sieh. Aci. Erudit. 
Lipsai), 1691. 



Mi 

communis, aut semiparabolae Cubicaüs etc. Quod si vero grava* 
men portionis Hl sit in ratione spatii QRST iisdem recüs horizon- 
talihus HQ, IR abscLssi, erit Funicularia IB curva aliqua ex genere 
Hyperboiicarum (recta AG existente una ex asymptotis), puta vel 
Apolloniana, vel Cubicalis, vel Biquadratica etc , prout videlicet Fi- 
gura AQT est vel Triangulum, vel Complementum semiparabolae 
communis aut cubicalis etc. 

2. Si funis sit uniformis crassitiei, at a pondere suo exten- 
sibilis, peculiari opus est artificio. Yocetur portio funis non ex- 
tensi, cujus ponderi aequipoJIet vis tendens unum funis punctum a, 
et excessus longitudinis, quo portio haec a dicta vi extensa non ex- 
tensam superat, 6, sumaturque in perpendiculo FA "= a, et in de- 
finita FC=rx: tum fiat curva DE ejus naturae, ut sit applicata 

CD = ^^ sive ai/ aa+bx+aV^^b"+2bx 

V2aa+2bx— 2aVaa+bb-f2bx V 2xx— 2aa 

perinde enim est ac spatio curvilineo ACDE constituatur aequale 

rectangulum FG, producanturque rectae KG, DC ad mutuum oc- 

cursum in B; sie erit punctum B ad requisitam funiculariam AB. 

Suppono autem, extensiones viribus tendentibus proportionales esse, 

tametsi dubium mihi sit, an cum ratione et experientia hypothesis 

illa satis congruat. Retinere autem istam nobis liceat, dum verio- 

rem ignoramus. 

3. Occasione Problematis funicularii mox in aliud non mi- 
nus illustre delapsi sumus, concernens flexiones seu curvaiuras 
trabium, arcuum tensorum aut elaterum quorumvis a propria gra- 
vitate vel appenso pondere aut alia quacunque vi comprimente 
factas ; quorsum etiam Celeberrimum Leibnüium in privatis, quibus 
sub idem me tempus honoravit, literis digitum opportune intendere 
Video. Videtur autem hoc Problema, cum ob hypotheseos incerti- 
tudinem, tum casuum muliiplicem varietatem, plus aliquanto dif- 
ficultatis involvere priori, quanquam hie non prolixo calculo, sed 
industria tantum opus est. Ego per solutionem casus simplicissimi 
(saitem in praememorata hypothesi extensionis) adyta Problematis 
feliciter reseravi; verum ut ad imitationem Viri Excellentissimi et 
aliis spatium concedam suam tentandi Analysin, premam pro nunc 
solutionem, eamque tantisper Logogripho occultabo, clavem cum 
demonstratione in nundinis autumnalibus communicaturus. Si lamina 
elastica gravitatis expers AB (fig. 128), uniformis ubique crassitiei 
et iatitudinis, inferiore extremitate A alicubi firmetur Qt superiori 



M4 

B ponclus appendatur, qoantam suffick ad laininam eouaque ioonr- 
vandnm, ut Knea directionis ponderis BC curfatae laminae in B sit 
perpendicularis, erit curvatura laminae sequentis nalurae: 

Qrzumu bapt dxqopddbbp poyl fy bbqnfqbfp Ity ge mutds 
odthh tubs tmixy yxdkadbxp gqarkfgudl bg ipqandtt tq>gkbp 
aqdbkzs. *) 

4. Istis vero omnibus multa sublimior est speculatio de f¥- 
gura veli vmto inflati, quanquam com Problematt Funiculario ea- 
tenus afBnitatem habet, quatenus venti continuo ad velom adiabodis 
impulsus ceu funis alicujus gi*avamina spectari posaunt Qui na- 
turam pressionis filuidorum intellexerit, band difficuher quidem ca- 
piet, quod portio veli BC (fig. 129;, quae sabtensam habet direc- 
tioni Tenti DE perpendicularem, curvari debeat in arcum circuli. 
At qaalem curvaturam induat reliqua portio AB, ut difficilis e^t 
perquisitio, sie in re nautica eximii prorsus usus futura est, ut 
praestantissimorum Geometrarum occupationem juxta cum subtili^ 
simis mereri yideatur. Caeterum in his Problematibos oamibus, 
quae quis nequicquam alia rentet methodo, calculi L$ibnüiant exi- 
mium et singularem plane usum esse comperi, ut ipsum propterea 
inter primaria seculi nostri inventa ceusendum esse aestimem. 
Quanquam enim, ut nuper innui, ansam huic dedisse credam cai- 
culum Barrovii, quaJem appello, qui ab bujus viri tempore passim 
fere apud Geometras praestantiores invaJuit, quemque etiamnum 
Nobilissimo Tschirnhansio solemnem esse video: hoc tarnen non 
eo intelligendum esl, quasi utilissimi inventi dignitatem ullateniis 
elevare aut Celeberrimi Viri laudi meritae quiequam detrahere et 
aliis ascribere cupiam; et si quae conferenti mihi utrumque inter- 
cedere inter ülos visa est affinitas, ea major non est^ quam quae 
faciat, ut uno intellecto ratio alterius facilius comprehendatur, dum 
unus superfluas et mox deiendas quantitates adhibet, quas aller 
compendio omittit: de caetero namque compendium isthoc tale est, 
quod naturam rei prorsus rautat, facitque ut infintta per hunc prae- 
stari possint, quae per alterum nequeunt: praeterquam etiam quod 
ipsum hoc compendium reperisse utique non erat cujusvis, «ed 
sublimis ingeiiii et quod Autorem quam maxime commendat. 



*) Dies bedeutet: Poruo axis applioatain inlfr et taogentem est 
ad ipaara tangenlein sicut quadraium applicaiae ad coD$tans quoddam 
apatiuou 



MM 



DE SOLUTIONIBUS PROBLEMATIS CATENARU VEL FÜNICÜ- 
LARK IN ACTIS JUNI! AN. 1Ö9I, ALIISQOE A DN. JAC. 

BERNOÜLLIO PROPOSmS.*) 

Valde deiectatU9 sin» lectis tiibus Problematis a Galilaeo 
praf>oBiti, a D. BemouUio renovati solutionibus unter se consentien- 
libuB, quod indiciuai est veiitatis, apud eos valiturum, qui talia 
accurale non examinant. Etsi autem omnia conferre non vacaverit, 
in BumiDa tameo rei maaifesta est coocordia. Legem tangentium, 
et exlensiooem curvae catenariae io reetam invenimus omnes, et 
cum canredinis mensuram olim in Actis Junii A. 1686 p. 489 (in- 
troducto novo contactus genere, quem osculum aj))>ellar6 placyit) 
explicuerim per radium circuli curvam osculantis, sea «x omnibus 
circulk taiigealibus maxime ad curvara aecedentis, eundetnque adeo 
quem ipsa cur?a ad roctam facienüs angulum contactus, plaeuit 
celeberrimo Hugenio (animadverlenti centra borum circulorum sem* 
per inddere in lineas a se primum invenlas, quarum evoluüone 
deacribuntur data«) specuiatiouem huc appUcare, et investigare ra* 
dium curvitatifi vel circuJum osculatorem curvae catenariae, ^ve 
ejus curvam evoiatiooe generantem, quam et dedit solulio Rernaul^ 
Ua»a- In Hnge»iana autem distantia quoque habetur ceutri gra* 
vjytatis catenariae ab axe, in BernouUiana et mea, ejusdem disiantia 
tarn ab axe quam et a basi aut alia recta, adeoque puncU deter* 
min^üo, item quadratura figurae catenariae. Quibus ego in mea 
c^ntfum gravitatis etiam hujus figurae seu areae adjeci. Construc* 
li<M[)em lineae Dn. Hn^mim exhibet ex supposita quadratura cur« 
vae, qualis est xxyys=:a* — aayy, Dn. Joh. Bernaulliu$ et ego re^ 
duximus ad quadraUiram hyperboiae, illo perbene adiübeute etiam 
«fttensMO^m curvae parabolicae in reetam, me denique rem omnem 
T^imenli» ad hiffirithmmt eaque ratione obtiaenta pe^ecttssumum 
m TrüfMße»deiHibM$ eaxprimendi parüer ei conalruendi genus. Sic 
enw uiMQIk i^antUD» aemel supposita vel habita ratione conslaate, 
de reliquQ infinita [^uncta v«ra exhiberi poissunt per commuoem 
Gaomi^triam sine interventu ulteriore quadraturarum aut extem^io* 
MUn in rectas. Lineae Catenariae mirum et elegantem cum Loga- 



*) AetU £rtt4ü. lip$. an. 1692. 



rithmis consensum, ex mea constructione animadTertere fortasse 
non injucundum videbitur. Caeterum a Dn, Hugenio (egregii ex 
Tab. Sinuum compendii nobis spem faciente) observatum est, rem 
etiam reduci ad summam secantium arcuum, per minima aequaliter 
crescentium. Idem et a me notatum fuerat, et cum in mentem 
venisset, ab iisdem pendere et lineae rhombicae seu loxodromi- 
cae determinationem in usum nautarum, quam jam multis abhinc 
annis etiam ex logarithmis definiisse recordabar, excussi vet^nes 
schedas, et in proxime praecedente Apriü p. 181 Actorum Erud. 
hujus anni rem tandem publice exhibui. Contigit autem, ut 
Clarissimus Basileensium Professor Dn, Jacob. BemauUiusj Proble- 
matis Catenarii renovator, fratemae solutioni in Junio nupero 
p. 282 subjiceret etiam loxodromiarum cohsiderationem, ubi multa 
detexit egregia; dedit eliam constructionem loxodromiae ex sop- 
posita quadratura lineae, cujus abscissa et ordinata sint z et x, 
aequatio vero differentialis ad calculi mei ritum sit dx ae trrdz 
:zVrr — zz. Ubi vero videbit, quomodo res a me reducta sit ad 
quadraturam hyperbolae aut logarithmos, agnoscet credo nunc co«- 
lophonem quodammodo impositum esse huic disquisitioni, tautum- 
que superesse, ut ad usum practicum captumque populärem 
magis adaptetur. Elegans est, quod Dn. Bertuhdlins habet, Ja- 
nuarii nuperi p. 16, de curvae partibos quibusdam dissimilaribus 
inter se aequalibus. Porro Junii p. 283 lineam finitae magnitodi- 
nis, infinitos licet gyros facientem, non puto esse interminatam, 
cum finitae sit aequalis, et motu aequabili finito tempore percurri 
possit. Haereo etiam circa id , quod ab eodem dictum est mense 
Januario proximo p. 21, nullius curvae Geometricae in se redeuntis 
rectificationem (generalem) esse possibiiem. Scio alium Yirnm 
Clarissimum simili argumento probare instituisse, nullius areae 
curvae Geometricae in se redeuntis quadraturam indefinitam esse 
possibiiem; visum tarnen est Dn. Hugenio non minus quam mihi, 
rem non esse confectam. Et, ni fallor, dantur instantiae, quibus 
tarnen hujusmodi argumenta applicari possunt. Haec veritatis amore, 
non contradicendi studio a me notata spero non displicitura, cum 
aliis egregie diclis nihil detrahant. Ego certe eo sum animo, ut 
vires (praeclare de literis meritos ac merituros lubentissime nee 
sine voluptate praedicem, faanc eorum laboribus honestissimam 
mercedem deberi judicans, quae et in futurum incitamento et ipsis 
et aliis esse potest. Negare non possum, mirifice mihi placuisse, 



95V 

qtiae Celeb. Bemouttius cum ingeniosissimo juvene fratre suo fon- 
damentis caiculi novi a me jactis inaedificavit , idque eo magis, 
quod excepto acutissimo Scoto Joh. Craigio nondum mihi occur- 
rerat, qui eo fuisset usus, ipsorum autem praeclaris inventis rem, 
quam summae utilitatis esse judico et ab ipsis agnosci video, 
spero latius propagatum in in usum rei literariae. Nee dubium 
est, quin ea ratione Analysis Mathematica perfectioni propius admo- 
Teatur, et Transcendentia haclenus exciusa ei subjiciantur. Egregie a 
At. BemanUio annofatum est, in omni puncto flexus contrarii ratio- 
nem inter t et y Tel dx et dy esse omnium possibilium maximam vel 
minimam. Et otnnino non dubito, ipsos aliqua detecturos, ad quae 
penrenire mihi ipsi difficile esset futurum : supersunt enim; in qui- 
bas nondum ipse optata brevitate rem conficere possum. Et quem- 
admodum mihi, qui in has meditationes occasione Pascälianorum 
et Hugenianorum scriptorum potissimum incidi, ad ea pervenire 
progrediendo licutt, quae ex illis non facile deducentur et quae 
antea vix sperabantur: ita credo, mea qualiacunque aliis adhuc ab- 
strusioribus occasionem praebitura. Et sane gratulor Qarissimo 
Bemoullio afiflnia problemati catenario danti et daturo, si nempe 
catena sit inaequalis crassitiei, si funis sit extendibilis, si pro fune 
gravi adhibeatur lamina elastica, ac denique de figura veli ; de qui- 
bas Tellern mihi cum eo conferre nunc liceret, sed diversissimi 
generis laboribus distractissimus aegre nuper a me obtinere potui, 
ut repertam jam ante annum solutionem propositi ab ipso Proble- 
matis tandem elaborarem et in ordinem redigerem, quae etiam 
morae causa fuit. Caeterum quia ipse p. 290 conjicere Toluit, qua 
occasione 'aut quorum ante me scriptorum auxiliis potissimum ad 
has meditationes dcTenerim, placet id quoque candide aperire. 
Eram ego hospes plane in interiore Geometria, cum Lutetiae Pari- 
siorum Anno 1672 Christian! Hugenii notitiam nactus sum, cui 
certe Tiro post Galilaeum et Cartesium et has literas publice et 
me in ipsis priTatim plurimum debere agnusco. Hujus cum lege- 
rem librum de Horologio Osciüatorio, adjungeremque Dettonvülaei 
(id est Pascfdii) Epistolas, et Gregorii a S. Vincentio opus, subito 
lacem hausi , et mihi et aliis quoque qui me in bis noTum norant 
inexpeetatam, quod mox speciminibus datis ostendi. Ita mihi sese 
apeniH ingens numerus tbeorematam, quae corollaria tantum erant 
methodi noTae, quorum partem deinde apud Jac. Gregorium et 

lioaeum Barrovium aliosque deprehendi. Sed animadverti, fontes 
V. 17 



nfin 8]|ti8 adl^iip pajtuissfi et restare 9nt(^1J|^8 «I^ui^i fu^ [Mfs % 

G^omf tri^e 9u|)liinior tandem aliquando ad Analy^in reyoi^ari ppsse, 

cujus antea incapax habebatu|r. Ejus eiementa aliqupt abhioc ao|^ 

publicavi, oppsuleus pQtiu$ utilitaü publicae, qiiam gloriae lueae, c^i 

fortasse magis veiificari potuissem methpdp sifppre^sa. Sed mibi 

ji^cuiiflfps 0st, e^ sparsis a me seminibus natos in aliorum qiioqu^ 

hortis fructu$ vifere, Nam pec iqihi ipsi integrum erat haec satis 

^xcolere, nee deerant alia, in quibus aditus novoi^ aperirein, quo^ 

e^Q Slipper palmarium judicayi, ac methodos potius, qi^am speci<|lia 

^p^t vulgo plausibiliora aesUmavi. Postremo unum adjipiam, et§i 

^ hoc locQ alienupi, optare me, ut Dn. BernouHins exp^ndere dig- 

netur^ quae cifca aestimationem virjum />ii. Pßpino allera vicß fe- 

pono, praesertim in fine, ubi de(e}(isse videor fontiem erroris popu* 

|aris. Optime urget Julio iiupero p. 321, qibil nfiwpx deperdi, 

qUQ4 no|i alicubi impend^tur; sed diff^runt vires et quanütas m9- 

tu9 : et pr^eterquaiq, quod qu^nto firmipr obex, eo n^iou^ potentiae 

in ipi^Q perditur, certissioiupfi e3t, obs^cula in d^ta qqavi^ ratiQne 

diIBin^i pos^, et obstacula attfitps seu ffictionis q.pn esae pro- 

pprtiqn^lia celerit^ti (qt mpn^i in Scheclia^mutß de resi$tenH^)^ pa§f 

^f^i^eiq re^istp^tjao) medii, $ed njbil projiibet (iiigi pspillatiope^. iif 

Ipco aere exI;au$tQ, aut medjp quaptfievi^ ^^puitati^; poßtremo a|)- 

s^'al^endps e^i aniwus a cjrcuiqstantiis, variabilibus ad ipsam p^ 

i^e rifi natprafp indagandam. 



VI. 

DE LA CHAINETTE, OU SOLUTION D'UN PROBLEME FAMEDX, 
PROPOSE PARIGALILEI, POIJR SERVffi D'ESSAI D'ÜNE NOtf- 
VELLE ANALYSE DES INFINIS, AVEC SON ÜSAGE POÜR LES 
LOGARITHMES, ET UNE APPLICATION A L'AVANCEMENT DE 

LA NAVIGATION*). 

L'Aoalyae ordinaire de FieTa et d^ IMoirfes Q^|i^Q( d§^ 
h r«duction des problemas h des equations tt. ä de» Jigiea d'yp 
i^vim degre , i^estrihdire, au plan $^U4e , »ursolide <^tfi« Mi^f Om- 

üwiesii pwir maintenir ruqiveiraalite et l» mi^s^^^ ^ ^ ni^ib^«« 

■ »1 . 1» >« ■ I 

«ii >i » \ ■ • ■ ' 

*) JJattrnii des S^av^na a». \99% 



i 



r 
I 



99v 

tMBfn k propofi <fidxoliire de h GiomAtrie loüs led problefnen et 

totttes les lignes qu*on ne pouvoit assajettir ä ee(te metbode, söus 

pretexte qiie tont eela n'iitit que mecaiiique. Mais comnie ces 

problcmes et oes Kgnes peuvent ^tre construites, oa imaginies par 

le moyen de eeilains mouTemens eiacts, qu'elies ont des proprietfe 

importantes et que la nature s'en sert soutent, on peut dire qu'Il 

fit en eela one faule semblable ä ceile qit'il aveit reprochfe a quel* 

ques aneiens, qoi s'^toient born^s aux constnictioiis , (rjt Ton ti'ä 

besoin qae de !a regle et du compas, comme si tout le i^este itelt 

micaBique. Mr. de Itibni» ayant remarqui qu'Il y a des proMA'* 

mes et des ligiies qui ne sont d^aucun degf^ deteilnin^, (fest k 

dire, qu*il y a des probl^mes dont le degr^ m^me ^st iäconntl öü 

demand^, et des lignes dont une seule passe continuellMn^nt d^ 

iegre en degre, cette euvertare le fit pensev k un calcal nouveau, 

qni paroit extraordinaire, mais que la nature a reserv^ pour ces 

sortes de probl6mes transcendans, qui surpassent l'Algebre ordinaire. 

C'est ce qu'ii appelle t Analyse des infinis, qui est enti^ement 

differente de la Geometrie des indivisibles de Cat^aleH, et de TAritfa-^ 

Bi^tlque des inflnis de Mr. WaUis. Car cette G^omitrie de Cava*^ 

kri, qui est tirds bom^e d'ailleurs , est attacb^e aux figures , oA 

eile eherche les sommes des ordonn^es ; et Mr. WaUts, pour tad^ 

mer eette recherebe, nous denne par induction les sommes de 

oeptains rangs de nombres: au Heu que l'analyse nouvelle des In^ 

finis ne regarde ni les Agares, ni les nombres, mais les grandeuri 

en gtoeral, comme foit la specieuse ordinaire. Elle montre un 

algoiilbme nouveau^ o'est ä dire, une noufelle fa^en d'ajouter, de 

sevstraire, de multipiiep, de diviser, d^extralre, prepre aux quantitiis 

ineoiiq>arabie8, o'est-ä-dtre k Celles qui sont infiniment grandes, en 

ittfiniment petites en comparaison des autres. Elle emptoye les 

^uatione tant finies qn'infinies, et dans les finies eile fait entrer 

les ineonmies dans Texposant des puissanees, ou bien du lien des 

puissances ou des racines, eile se sert d'une nouvelle affeclion des 

grandeurs variables) qui est la Variation meme, marquee par cer- 

teits e«raetöres, et qui consisie dan» les diMrenees, ou dans les 

üffev^ßces des difl)6ra»ces de plusieurs degres, auxquelies les sotth- 

me» sont rMpreqnes, comme k% raeines le sont aux puissanees. 

Une partie des* ^Kmeüs de ce ealcul , avee plusieurs eetm»- 

tiUona, a dt6 ptrbHee dan« la Journal de Leipsio» oö Fauteur l'a 

appUquee paräcuU^rement ä quqlques problöHieS' gAometriee-pbf- 

17 • 



siqpies, comme par eiemple ä la ligne isochrone, dans laquelle un 
Corps pesant approche uniformement de rhorizon en deacendant; 
k la lignej loxodromique, ou des rbumbs de vent, pour resoudre les 
plus utiles problemes geometriques de la navigatioii, oü Ton n'etoit 
arrive jusqu'ici qu'imparfaitemeat par certaines tables subsidiaires; 
ä la resistaoce des solides ou des liquides, pour avaocer la Heca- 
oique, et particulierement la Balistique; aux loix harmoniques des 
mouvemens planetaires, pour approcber de la perfection de l'Astro* 
Qomie; et ä d'autres usages de consequence. Cette metbode Cut 
applaudie et suivie d'abord par quelques personnes faabileg. Mr. 
Craige 8*en servit en Angleterre; et ensuite ilfr. fernotiUt Professeur 
de BUe, connu par plusieurs belies productions de Hathematique, 
layant etudiee et en ayant remarque Timportance, pria Tauteur pu- 
bliquement de Tappliquer ä la recberche de la ligne d'une chai- 
nette suspendue par les deux bouts, que Galilee ayoit proposee, 
mais qu'on n'avoit pas encore determinee jusqu'ici. 

L'Auteur de la metbode y reussit d'abord, et pour donnei* 
aux autres Toccasion d*exercer encore leur metbode, proposa pu- 
bliquement ce m^me probleme, leur donnant le terme d'un an. 
Le frere de Mr. BemouUi ayant appris que cette metbode y alloit, 
la medita de teile sorle , qu'il vint ä bout du probleme, et donna 
ä connoitre par lä ce qu'on doit attendre de iui. Mrs. BertumUi 
poussereut meme la recberche plus loin, et Tappliquerent ä d'autres 
problemes, qui ont de rafiinite avec celui-ci. 

De ceux qui ont employe d'autres methodes, on ne connoit 
que Mr, Hu^gens^ qui ait reussi. U est vrai, qu'il suppose la qua- 
drature d'une certaine figure. Du reste en ce qui etoit commun 
aux Solutions ou remarques sur cette ligne, il s'est trouve un par- 
fait accord, quoiqu'il n'y ait eu aucune communiqation entre les 
auteurs des solutions; ce qui est une marque de laverite, propre 
ä persuader ceux qui ne peuvent ou ne veulent pas examiner les 
choses ä fond. 

Par la metbode nouvelle le probleme a recu une parfaite So- 
lution. Mr, de Leibmz qui a ete le premier ä resoudre ce pro- 
bleme, l'ayant reduit a la quadrature de Thyperbole, ce que Mr. 
BernovMi a fait aussi ensuite; mais la construction de Mr. de 
Leihniz donne enfin le moyen de marquer autant de points qu'oa 
voudra de la ligne demandee, en supposant une seule proportion 
une fois pour toutes, et n'employant du reste aucune quadra- 



r 



•61 

ture ni extension de courbe, mais les'seutes moyennes, ou troi- 
siemes proportionelles. Et comme c'est tout ce qu'on peut son-' 
haiter pour les problemes transcen^ans, il sera bon de donner ici 
cette constructioD. 

So Jen t (fig. 121) menees les droites infinies NO(N) horizon- 
tale, et OAB verticale. Soient paralleles et continuellement pro- 
portionnelles autant qu'on voudra de droites, comme sNs^, iNil,- 
OA, i(N)i(^, ,(N)8(^ etc. dont les distänccs ,NiN, jNO, 0(N), 
i(N)3(N) etc. soient toujours egales, en sorte pourtant qae prenani 
3NO ou 03(N) egal k OA, soient jNs^ ä OA, ouOA ä aWad) en 
raison de D ä K, qu^on suppose connue une fois pour totttes, et 
tousjours la m^me. Ainsi appliquant autant de moyennes ou troi- 
Siemes proportfonnelles qu'on voudra, pourvu que tousjours les in- 
teryalles des proportionnelles soient egaux, on anra la ligne loga- 
rithmique ^A (^ passant par tous les f, oü OA etant prise poiir 
Tunite, et les N^ etant comme les nombres, les intenralles ON 
seront comme les logarithmes. Maintenant prenons dans la verti- 
cale OAB une moyenne arithmetique OB entre deux nombres N| 
et (N)(^), qui ont le m^me logarithme ON ou 0(N), c'est-ä-dire, 
dont la moyenne geometrique est Tunite OA: accomplissons les 
rectangles BONC, BO(N)(C), et C, (C) seront des points de la chai- 
nette demandee FCA(C)L, suspendue aux deux extremites F et L, 
dont le sommet renverse sera A , Taxe OAB , et le parametre sera 
OA, ou Tunite prise arbitrairement ; et OB ou NC sera la hauteur 
du point de la ehainette C au dessus de Thorizontale NC(N); et 
BC ou ON logarithme commun des deux nombres N^, (N)(^ sera 
la largeur de la ehainette k cette hauteur, ou la distance du point 
G de Taxe. 

Quant aux principaux problemes qu'on a coutume de chercfaer 
sur les lignes, scavoir les tangentes, dimension de la courbe, qua- 
dräture de son aire, centres de gravite tant de la ligne que de 
Taire, ou dimensions des surfaces et des contenus des solides for- 
raes par la rotation de la ligne autour de quelque droite qu'on 
voudra prendre pour Taxe; on trouvera tout cela renferm^ dans 
ce peu de paroles qu'on a mises ä la figure. *) 

*) OR = OB, OR— AR = N^, OR + AR =(N)(^), AR = AC, 
i^a>=:GA(G) »bis AG, rectangl. RAG = spat. AONGA, triangl. OAR 
et GBT sunt similia. Sint G, P, Q centra gravitatis ipsarum GA(G), 
AC, AONCA, fiet 0^ 4- OB s3 bis 06=3quater Oß, et A£:?sGPs=;/?Q. 



Mettonf Beulemeiit; iei Tusa^B prindpa) de eeHe l^lie^ M in«' 
80118 toir OMtmeni eile pourroit mrnv j^our les logaritbines , et 
töutea Bortes de p#optnrtidnnellej^y meyeane» ou extr^m^s« oiulttpfr- 
cation, division, regles de trois, ou extractions, pounrü qu'oo siq[K 
pose f tti ö^ttd ligiie puisse ^i^ Mcnl6 physiqaeüeßt par le iboyen 
d^niie chalne deliee^ qtie je pl'eftre ä u»^ corde« laqüelle se peüt 
eiendre et tt*est pas si fl^xibk. 

£t<filt doätie le nombre Om, soii ce Dombre, et k VütiM QA^ 
lä troisi^ine proportionneUe 0^/; et entre Ocu^ Oxp moyenne ariCk- 
OBÄüque OB, dtf B menoiüs ä la chaioetle fordoOD^e BC, et n^M 
aurona It logarithme demandä BC ou ON« 

Es Mbange ^U&t dornig le logaritbine ON, flftenods de N ii 
angle dreit sur ON^ la droite de NG^ reacontrant la ehakiette en C^ 
et da centre da rayon OB^ egal h NC, decrifons Tare de cercle 
qui ooupe AIV« hofi^ntale par le sommet A, au point R. A^rto 
qüd la diffet^ence et la soiome des droitee OR, AR serodt les deoii 
nöt]ri»res demand^ N$ et (N)(^)» Tune au dessus» Tautre au des<^ 
soös de ruttlte OA, dont le logarübme coramun etoit dotmä OR 
U r^eilke escor^ de ce6l et det decouvertes de Tauteur de eetta 
mitbode sur Ja loxodrömie, qu'il a reduite aux logarithmes , qu'oa 
pdotfToit rteoudre saue table» pa)r la ehairieite suspendue^ oomm« 
piir ks logaorithmt», le pkie imlf/wtiaat prebkme de la Geometrie 
de la nayigatioo, qui edi i Vmi^e de la Losßodromie, au le rhumiß 
dm ^ent cn^eo hquät Oft vä d'Un lim ä wv aiOre, Hont domM ausäi 
bkn qU4 M differmee des latitude^, trauter fo diff Irenes de» lot^ 
gitude^* 

Cela peut ^ervlr, paroe que dan« les grendä voyagies on pdut 
perdre la table des logarilhiues, ou la table logarithrniquenieiit g^a- 
diKl^ ^ Mr, d^ Leihnhi a propot>^e. Mais la obainette y pour- 
roit supi^tter eil cas de besdin. Poitr He rien dire ici de^^ avArea 
F^Ies qu'H ä pubUees pour se passer au beeoin des tabks tani dai 
siMB ob tangeiltes^ que de Icurs legarithiBei , saus rien perdre dii 
1« Inrocision , Txiici en peii de mots la r^gl«^ qu'il a doilnee pour 
les Hittuibs ov lo^odrümtes, qui poitrra Urel* les Hydrograplieä de 
Tembarras, oü ils tefmoignevA se trouTer sur ^e sujeu 

La difference des longitudes est au logarithme de la raison 

1+ e 1 +(e) 

qü*fl y a do nombre -r-»^^ Su botnbre ■ ■ ^ ' ^ i » c<mitm la tangeliti 

Jl C ^ V / 

dA Vaagid xpxt le rbumb ou ht lotodrtatie fait iu mdridien, est k 



SI0II 

un t^rtÄin nomltk cöAsiant et p^rpetu^l, qu^on peut märqaöi' tidd 
fois poiir töutes, suppos^ que le sinus total soit Funit^, et que ^ 
soit le sinus de la latitüde plus grande et (e) le sinus de la lati* 
tude plus peilte, tlt s'il y avoit une carte, oü les degres de lou- 
gitude fussent egaux, les m^ridiens paralleles et par cons^queht 

f , 

les loxodromies repräsent^es pai^ des dröites, il faudroit represeüt^i"' 

leg degres de latitüde dans les divisions du m^ridien en t^lld 

Sorte qu'une droite qui couperoit obliquemeut les meridi^nä eföi^- 

n^^ Fun de l^äutf'e plus prochain d*un m^me int6rvall<^, par exempU, 

d^ä iherldl^nä dt^)]io§^s de degr6s en dägr^ä, y rencontreroit AÜk 

iäiitnÄes, Abhi ki kinm ^taht 6 et U siuüs total 1, le^ n6Mr4i 

1 -^6 

^ . seroietrt en progression geomätrique. Ce qui suflit pour 

U cönstrüöiion d'irhe idrt£ graJu6e comme il faut pernio la MariirS. 
011 eri fi4\ii encöfe eöiidt^üirö d'aütfes sur 16 m^me fondeiÄent. 



SOLVTIO ILLUSTRIS PROBLEHATIS A GALILAEO PRIMUAi 
PROPOSITi DE FIGURA CHORDÄE AUT CATENAE E DUOBI» 
EXTREMIS PENDENTIS. PRO SPECIMINE NOVAE ANALTSEO» 

CIRCA INFINITÜM.*) 

GalUaeus inter caetera praeclara cogitata primus in catenae 
aut chordae e duobus extremis suspensae figuram inquisivit, etsi 
quod quäerebat non' sit assecutus ; nondum enim ejus tempori- 
ivia eo quo nunc profecerat Geometria, ut talia in potestate essent 
Sed nee ab eo tempore solutionem dedit quisquam, donec Cl. Vir 
(iodefridus Guilelmus Leibnitius ea quae sequitur occasione ad 
haue fneditatiönem fuit invitatus. Ediderat is Analysin quandam 
novam circa intinitum a Cavaleriana Geometria indivisibilium et 
Wallisiaiia Arithroetica infinitorum plane diversam, nee ut illa a 
lineis, necut haec a numerorum seriebus pendentem, sed generalem, 
adeoqäe speciosam seu Symbolicam, in qua loco vulgaris calculi 
analyCici per potentias et radices, adbibetur calculus per difTerentias 



^ Aus dem (liornale de' Letterati dell' an. 1692 pag. 12$— l3fä. 



»64 

et summas, eaque raliooe non tantum mira pro taogentibus inaxv- 
misque et minimis compendia prodeunt, sed et problemata, lineae- 
que Algebram transceodentes (qualia Carlesius a sua Geometria 
exciudere coactu$ fuerat, quod receptum calculum non paterentur) 
ita analysi subjiciuntur, ut lineae vulgo mechanicae appellatae (re- 
vera Geometricae transcendentes) aequationibus exprimi queant ad 
modum ordinarium, et sine imaginationis labore inveniantur in illis, 
quae alioqui vix multo circuitu patent, imo saepe aliter omnino 
non patent inquisitioni. Haec niethodus cum nonnuUis viris egre- 
güs etiam extra Germaniam , in Anglia primum deinde et in Italia, 
et alibi quoque placuisset, forte accidit ut doctissimus Basileensiam 
Professor Jacob. BernouUius, muliis jam egregiis alterius generis 
speculationibus mathematicis clarus, in eandem studiosius incum- 
beret, et ab Inventore publice peteret, annon ut per ipsum Auto- 
rem jam. ad nonnulla Problemata Geometrico-physica feliciter ap- 
plicata fuerat (velut ad lineam isochronam, in qua grave descendens 
uniformiter accedit horizonti, ad leges motus planetarum barmonicas, 
ad resistentijs solidorum et liquidorum aestimandas) , ita posset 
adhiberi ad Problema Catenarium Galilaei. Id vero uti expetebatur, 
ita mox factum est. Nam Leibnitius rem ejus aggressus, statim 
BUccessum habuit, et ut aliis quoque suarum Melhodorum exercen- 
darum occasioitem daret, publice pariter et literis extra intraque 
Germaniam Eruditos invitavit annuo spatio praestituto. Sed nemo 
sibi successisse inquisitionem signiticavit praeter Celeberrimum Hu- 
genium, et ipsius Glari Bernoullii Fratrem, accutjssimi, ut vel hinc 
apparet , ingenii juvenem . eo tarnen discrimine quod Leibniüana 
Methodo (qua et BernouUius uterque usus est, et collato studio ad 
alia porro cognata problemata egregie progressus) problema fuerit 
reductum ad verum suum gt^nus, scilicet simplicissimum quod ha- 
ben poterat, nempe ad quadraturam Hyperbolae. Hugeniana autem 
solutio etsi verissima, supponit tarnen quadraturam magis compo- 
sitam, cujus naturam et reductionem non dabat, ut proinde ex ea 
de problematis natura et gradu non constet. De caetero egregius 
ubique apparuit consensus, etsi nulla intercessisset communicatio, 
non mediocri veritatis indicio apud eos valituro, qui talia per se 
commode examinare non possunt. Leibnitii autem constructio 
maxime Geometrica est, nee alia melioris generis dari potest, nam 
certa quadam proportione semel in Universum assumpta, de caetero 
iuveniuntur innumera seu quot lubet puncta lineae quaesitae vera 



905 

per Geometriam ordinariam sine suppositione quadraturarum , quod 
in Algebram transcendentibus summum est. Hanc igitur placet 
paucis subjicere. 

Ad rectam infinitam NO(N) (fig, 121) ordinatim ängulis rectis 
applicentur rectae continue proportioDales N^, OA, (N) (^ aequa- 
libus iDtervallis NO, (N)0, atque ita quidem ut ratio N| ad OA sit 
guae rectarum D et K, quae certa est semperque eadem manen^ 
pro lineis catenariis quibuscunqtie, eaque semel habita cuncta de- 
inde per Geometriam communem procedunt. Quotcunque deinde 
tertiis vel medils ad has proportionalibus similiter applicatis (dis- 
sectis nempo intervallis, eove semper observato ut continue pro- 
portionales aequidistent , ita ut ex. gr. sit iN|f media proportio- 
nalis inter OA et N^ ut punctum |N medium est recta ON), habe* 
bitur linea logarithmica ^A (^ transiens per omnia puncta | et 
per A, ubi OA existente unitate, et quibuscunque applicatis N£ 
consideratis ut numeris, erunt abscissae seu intervalla ON ut loga- 
rilhmi. Jam in recta OAB quantum satis producta sumatur OB 
media arilhmetica inter dnos numeros N^, (N)(^) communi Loga- 
rithfflo praeditos seu mediam Geometricam habentes unitatem, et 
compleantur rectanguia BN et B(N), erunt Puncta C et (C) in linea 
catenae quaesita CAC, cujus Vertex (inversus) erit A, parameter AO, 
unitas scilicet pro arbitrio assumpta, et OB vel NC (media arilh- 
metica inter Numeros N^, (N)(^) Geometricam mediam habentes 
unitatem) erit puncli catenae C altitudo supra horizontalem ductam 
per ; at BC vel ON logarithmus numerorum erit catenae ibi lati- 
tudo seu a medio recessus puncti G. Tangentes autem et dimensio 
curvae et quadratura areae et centrum gravitatis tam lineae quam 
areae, adeoque superficies, et contentas solidofum rotatione genito- 
ram circa rectam quamcunque pro axe sumptam, habentur ex paucis 
adscriptis ad figuram. Caeterum catenula chordae praestat, quia 
pondere non ita facile extenditur, flectiturque facilius. 

Nunc usum subjicere placet, quomodo per lineam catenariam 
in piano ope catenulae suspensae physice descriptam possint in?e- 
niri Logarithmi, et quotcunque mediae proportionales adeoque 
multiplicatio, divisio, regula aurea, et quaecunque radicum extractio. 
Nempe dato numero Oo), sit ipsi et unitaü OA tertia proportionalis 
Otfßy et inter Oco^ 0}p sit media arithmetica OB, ex B ad catenariam. 
lineam ducatur ordinata BC, habebitnr Logarithmus BC vel ON. 
Kursus dato Logarithmo ON, ex N angulo ad ON recto usque ad 



iAmtutlm £A(^ dUbatfiu^ M, äüt ähitu(iinem iuM^üs Oft, eiqiie 
i^^tiäleitl Oft, hä ütR Sit iti hömöDtäli diicta per V^rticemA', quo 
facto differentia et summa rectarum OR et AR eruät Dühieri qiiäe- 
Ski (hid Hl Hl (N) (^, logaf ithfüdm hafi^nt^s 6^ dMum. 



6. G. LBiBkmi BOluti« prdblemitia A GalilJeof p^imtiffi pi^MUi 
d6 natura et UBtt Lifle«^, in quam Cat^ns» v«l Fiitiis («xt<^- 
8fon0fli i^oti mutant) se fröptw pf^ni^rt eorvat. 

Calenariae lineae FCA(C)L latitudo C(C) est Logarithmus 
ON duplus. Altitudo NC vel OB est media arithmetica inter duos 
ejusdem Logarithmi numeros N| et (N)(^), quorum scilicet media 
Geametrica est unitas OA, ita u( si O^^^Ok^ sit OA ad sNjS 
in ratione certa hie exposita D ad K. Hine ope catenae vel fuai- 
culi sine omni calculo licet invenire Logarithmos ex numeris, .et 
iHimeros ex logarilhmis. Praeterea pro tangentibus, dimen^ioDe 
lineae, spatii, et cenjris gravitatis utriusque inveniendis, sunt: 
OR=OB; OR — AR=N|; OR + AR=:(N)(D; Triangda OAÄ 
et CBT sunt similia, ARs^AC; ^eci = CA(C)=: bis AG} Reotang. 
RAO = spat. AONCA. Sint G, P, Q centra gravitatis CA(C)^ A€, 
AONCA, et eritO^+ OB = bis 0G= quater 0/?, et AE=sGP=/?Q» 



Vttl. 

Öfi llNEÄ Et mm ntm^Ö [NFINITIS ÖRDlNAf ilM DüCtiS 

rnffeit Sß CÖlVCÜMEPJtlBÜS FOliMAtÄ EASQÜ^ OMNfeS 

tA^GlÖlVtE, AC DE NOVÖ IN EÄ ftE ANÄtt^tS 

INFINITÖRÜIÜ ÜSU .♦) 

OVdmami äpplkum^ Yö&if^ söltni Geötnetrae' t'^as^ ^dötcun- 
qtf« Inter d6 pärallelas, (iwää ä (dbr^ä äd t^Üirat qlii^hdaiüf^ ((fit^tl'i'- 
Ciim) tf^qii^ duciiiitiir, qüäiA 6iitn M difet^tMcetiL t^Mf^ü^itt ^xeÜht) 
sM<t tföftti^r^^, söt^M tü^äH öMMätäe' yfd^ i§o)^i^\ Dh^Hpl^^ltxü 
mlä prbFac^i^t, et dbb tyrdihdtith ät)pMatis etläM dö^'i'^^kid^ Häii 
(Xfm^gmtts^ ad vUtuvA p«'ti(^tüm eoriimune, aiä ab bb äibtr^ttiM. 



^ -^ ' -• * ' ' i :..: ^ 



*y Acft. «tuAV. iips. in. 16»2, 



fit sane paraUdM «üb cioAf er|lntibiw aut 4iv«rgentibns coHipMkBndi 
poffiuflt, fingando puDotHm concursiis iBfioile ab hiiiö üstart . Ytrum 
quia mnltia aliis modis fieri p^teat, ut iilfiiiilaa dud Intelligantii^ 
lineae secunduBa legem fiiwlaiti oaniinufiaiiiy quae tamea non aiot 
paralielae, vel c^nverganlea ad panotum omnibua commune, aut a 
paocto (Nttmibua comiDuDi divefgeDtes, ideo »oft tiles lineas geile^ 
raliter ?ocabimus ordinaJtim ductoB vel ordiiiatim (poBitione) datas; 
Esimpli eaiisa, ai apeculam aliquod, vel potias aectio ejus a plauo 
per axem, (mjusounque figurae poritiöHe datae, radioa solares sive 
immediate üvb pOst aKaid quandam reflexionem aut refractionem 
adfenientes refleetat, isti radii reflexi erunt infinitae lineae rectaa 
ordinatim ductae, et dato quoyk puncto speculi (caeteris manentH 
ba») dabitur radhis reflezua ei respondens. Verum ego sub ordinatinl 
dilctis non tantum rectas, aed et curraa lineas qualescunque accipio« 
nodo hx habeatur, aecundum quam di^o lineae cujusdam datae 
(lamquam ordinatricis) puncto, respondens ei puncto linea düdi 
possit, quae una erit ex ordinatim duoendis seu ordinatim positione 
4atis. Ordkie enim percurreodd p«inota ordmatricis (terbi gratid 
lineae, oujua rotatione fit speeului» paulo ante dictum, seu seotionia 
ejus per axem), ordine prodibunt lineae älae ordinatim datae. Porro 
•tei eae non Goneurrant omnes ad ttmim punetum commune^ tamen 
regulariler duae quaevis tdes lineae prowisHtas (id est inänitisainid 
diSarentes» seu infinite painram hab^ntes distantiam) concurruni intav 
My puDctumque ooncnrsns est asaignabile^ dt hk concursiblia orda^ 
natim svmtia, nova prodit Un$a e^neursumm^ qmb est mnaium 
GancnrsHum int^r proximas locus communis, babetque boc eigregitimy 
fMd omnes ordinatiro duetas« quanun ccmcursu formatur» tangit^ 
^«n proprietatem cum meditantibus satis appareat, demoostrare 
Im aoii est opus* Taus est /mimp ev^lutione gmerahß , ea eaitt 
omnea teetas ad cur?ftm evolutione generatam perpendieularea Uoi«* 
ffiki ex HugtmoiM invento. Tales sunt bneae plures oolvobcftofMr 
IcnariiM^es, quas Dn. D. T. excogitavit^ et ^ait Foot ab codMb 
introducti« cum concursus radiorauu non fiuot in puncto, 8«dl in 
«JUS locnm Fo(jU$ est Imea^ri»^ concursu saltem duarum prosimaHim 
quarumonnque formatus. Sed cum haec non nisi ad redis per- 
tifieanti ficiendum est aliquid analogum et in curvis locum habtire^ 
Ita lineik reflectnns, quae radioß secandum quameunqne praescriptam 
legem a lucido vel speculo aut lente (una pluribusve) datarum 
figuramm Yenientea reddit iterum oonyergeDtea (dtvergenUA, aut 



paraHelas), tuju» constroctionem in his Actis dediams *) , formatur 
ex Goncursu infinitarcnn ellipsium (hyperbolarum , aut parabolanim). 
Et hinc qQoque metliodus haberi poterat, problema iliud prima 
fronte tarn difficile Bolrendi: nam infinitae illae ellipses sunt ordn 
natim piisilione datae, adeoque et linea eoncarsttum data est seu 
haberi polest. Et baec methodus ad multa alia praestanda aditom 
praebet, quae alias vix videbantnr esse in potestate. Quaeenim 
CMisa est, cur viatn hanq fiovai» Geometris aperire vokierini. Res 
atttem pend^t a nostra Antüysi indivisibilium , et calculos faujos 
roethodi tanlum applicatio est nöstri cakuli differentialis. Nempe 
constitiita semel aequatione * locali (seu ad curvam lineam , unam 
ex ordinatim datis) sed generali (legem omnibus communem exhi- 
bente), hujus aequationis jam quaeratur aequatio differentialis, modo 
raox dicendo, et ope barum aequationum habetur quaesitum. Et 
qoidem cum linea alicujus curvae ad punctum quodcunque in ea 
datum quaeritur tangeits, tunc etiam tantum opus est aequationem 
ejus cur?ae differtntiare , seu quaerere aequationem , quae sit dif- 
ferentialis ad aequationem currae Ioca)em , sed tunc parametri seu 
rectae magnitudine Constanzes, lineae constructionem vel aequationis 
pro ipsa calculum ingredientes; quae per a, h etc. designari solent, 
eensentur unicae seu indiffermiiaMles, quemadmodum et ipsa recta 
tangens vel äliae nonnuUae fmictiones ab ea pendentes, Terb. gr. 
perpendiculares ad tangentem ab axe ad curvam ductae. Verum 
tarn ordinatat quam abscma, quas ^er x ei y designari mos est 
(quas et eoordinatas appellare soleo, cum una sit ordinala ad unum, 
altera ad alterum latus anguli a duabus condirectricibus ' compre- 
hensi) est gemina seu differentiabilis. Hie yero in nostro cahniio 
praesenti cum non quaeritur tangens qnaecunque unius curvae in 
qirocunque ejus puncto, sed tangens utiica infinitarum curvarum 
ordinatim ductarum^ unicuique in suo puncto respond^nti occur- 
rens, adeoque cum quaeritur uni ex bis cnrvis assumptae respon- 
dens punctum contactus, tunc contrarium e?enit, et tam x quam y. 
(vel alia functio ad punctum illud determinandum aequivalens) est 
uniea; sed aliqua minimum parameter a vel b debet esse gemina 
seu differentiabilis« ea üimirum, qua variata etiam variantur curvae 
ordinatim datae. Et quidem, licet unius curvae plures possint esse 
rectae constantes seu parametri (exempli causa ellipsis omnis et 



ti I • ■ • ■ 



^) IHf. Lineis opticis et alia. Act. Erudit. Lips. atf, 1689. 



hyperbolae pleraeque habent duas^ cum parabola et circulus ha- 
beant tantum unicamX tarnen hie semper oportet ex datis eo rem 
tandem posse deduci, ut unica tantum supersit constans (in eadem 
curva), variabüts (pro diversis), alioqui modus ordinalim eas ducendi 
non satis est determinatus. Interim nihil impedit cum plures dan*^ 
tur aequationes determinantes, considerari plures parametros ut 
differentiabiles, cum etiam plures aequationes differentiales pro ipsis 
determinandis haberi possint. Et plerumque datur constantissima 
(una vel plures) seu parameter communis omnibus ordinatim du- 
cendis, adeoque litera eam designans in calculo differentiali etiam 
manet indiffarentiabilis. Hinc patet, eandem aequationem posse 
habere diversas aequationes differentiales, seu v^iis modis esse 
diiferentiabilem, prout postulat scopus inquisitionis. Imo fieri posse 
expertus sum, ut plures ppdi differentiandi eandem aequationein 
jungantur inier se. Haec omnia explicanda essent distinctius atque 
exemplis illustranda, si institutiones quasdam novae nostrae Analy- 
$eo& infinüorum tradere vellemus; sed ea res nee hujus est loci 
nee temporis nostri. Et qui priora nostra intellexerint , ac porro 
meditari volent, ad haec quoque non dUHculter pertingent, et eo 
quidem jucundius, quod in parlem inventionis venire sibi videbun- 
tur. Vocabulis utor subinde novis, sed quae ipse conlextus explicat^ 
neque ego in verbis facile novare soleo, nisi cuu^ evidens est fruc- 
tus, non tantum ad brachylogiam (alioqui enim vix licuisset haec 
sine multipUci calculo tradere)» sed et ad quandam, ut ita dicam, 
admonitionem atque excitationem mentis, atque universalia animo 
condpieoda. 



•M 



AENIGMA ARCHITECTONIQO -GEOMETRICÜM 
FI^QRENUA TRA^SJIISSVII AP G. G. l. ATQUE AB HQC O}» 

sfiUjTiom wmis$m ad »agnum prinopeai isTdvoiAjß. 

A. MPCXCU. 

serenissimo hetruriae 
magno principi. 

I 

Qaam dudam optavi occasionem testandae derotionis, eam 
Tuo beneficio nunc tandem, DOHINE, sum consecutus. Nam ex 
quo coram in Te venerari datum fuit excelsom animom, effusam 
bumanitatem, divinam in^enii aciem, et (ne cetera meas laudes su- 
pergressa verbis deteram) hereditariam ac jam coelo inscriptam 
a Galiiaeo inclytae Gentis Tuae, humanuni genus per scientianim 
incrementa demerendi gloriam qua magnum Patrem Avomque plvis 
quam aemularis; ab eo tempore semper ardebat animus publicare 
admirationem meam. Sed visum est,, quae nunquam satis laudan-* 
tur, tutius silentio coli; neque is mos est mihi, ut scriptis factle 
obstrepam, donec jussu (at apparet) Tuo ad me delata Quaestid 
Geometrica, jus eloquendi censa animi, ipsa loquendi necessitate 
fecit. 

Aenigma est perelegans, quod mitti curasti, et fructuosfiili ad 
augmenta scientiae; nam solutio ejus occasionem mihi dedit, iniiu-* 
merabiiibus modis superficiei sphaericae partes non in plana tan- 
tum, sed et in quadrata redigendi, et quod idem est, absoluta ra- 
tione mensurandi, quod nescio, an cuiquam obtigerit ante natam 
quaestionem, Tuis nunc auspiciis in medium propositam. Lunu- 
lam quandam suam quadravit Hippocrates Chius, jam Aristoteli ce- 
lebratam; sed illa plana est, nee cur?itatem nisi in peripheria 
habet: Lunulae vero Sphaericae (quas et Carbasa appellare placet) 
nuspiam recto applicari possunt, et tamen nunc in figuram rectili- 
neam con^ertuntur. Nee difficilis fuit Hippocratis indagatio: nostra 
est multo abstrusior, praesertim novas artes, quibus utimur, igno- 
ranti. Et credibile est, Hippocratem illum in suum inventum in- 
cidisse, antequam quaereret, quod magis Syntheseos est: Nos pro- 
positam aliunde quaestionem promte dissolvimus, quod Analytici 
oOBcium esse constat. Arctis etiam limitibus Hippocratis epicherema 



•fl 

Ci^tinftur; ^^m Hf)i|[ff( tfl^^^^ miii W« »iipplWssjp» BAT fel^t 
qfic yidetur f^l^c^^$, qiiod facile qui^^m, ged postro taqi^Qq f^Fp 
primuYp rep^rtwn (sst, datis duobus S^ctorii)]^ c^mmvu^eg^ K^^^qn^^ 
ha|)eDUbi)f ppsse qi^a^rarf Lupulaoi» modo angiili Seolpru^i ^n( jg 
ratioi^e diiplicata reqjprpca radjoruiQ. Nobis ita obsecuadayit ]m' 
teria, ttt a data j^^n^f^piie spbaerica, forpices datae i;9f98nitudjipji$ 
(ffxfj^^ cqrtam ^fpiea m^mi^üinem ponsisteotes) f^^ij^qre pp^^^-f 
Witt* qvod est, propqsi^iioj pro^)le^la consfr^€«•^ ißSfi^ü^ W<^»*- 

Si quid ^^i^^em p^^esUtipu^, primaa gratia3 Tibi, S£R£^Ii§- 
SfX^ PRJNQEPS, dpbßii cfii^eo. Nam Autor quaestipois a Tua 
prf|PQP$ip^($ ^d Boientiaa videtur anfo^ps sumsi^^e : Ego vero (^fa^ß- 
I^qr fiuim) ni^i Tua impulit^set aqtorita^, opfi facile ad haue ^' 
qufßjltion^m acce^sissepi, ()i^tracti$siipus per tot a)ia laborqm, qui ^ 
ip^ jp^^^w exiguniur, et m Geometricis nou tarn prQ):)lemata spi^r 
cif^f . Djsi siqgulari utilitate ppmmendentur, quam gepi^rajes m^^tiQr 
do$ ;|es(ifnare solitus. Secuqda« verp gratias ipsi Autorj qu^estipp^ 
cjeberi agnoscq; tertio loco ip^^ coptentua: n^m cuiq {^plverit qpr 
d^fp, pt, ipse pjrofitetur in programqiate, quod non utique pu$^M 
Cr^q^etraß ^$^e qenseo, qqipqpid i^tiuß modestia pfopte^tur, npp 
Uifltw» primitias sibi jqre vindicat, sef) etipm pccq}tata iic^t so)u- 
tfQ{)^, fecit t^mep ut ali| intelligerentt quid fißri qpeat in quv 
ip^goum Bi^t iny^eudi fipb^idipip, tßqaet«i pie quoque ^pcluii^ 
a^itpm ac| ista qpepdam An^Iyseps observa$$e recorder. $ed e^^- 
qpi^p4l Beqq^ o^jtipi, pequß ^deo volqpia» admip(}pm fuit, |n fai^l^a 
qmii^ eqrqro, quae 4pdqpi ip ppt^i^tat^ |^beo premoqme, §jye afi^i^f^^ 
\if, ftf^edi^, sivp i^pf^o taiitum 4asjgp^(a, neqpe upquap proditqr^ 
i^sii ^^ ^Ata ^NT^vit^e t^mpor^s ^t v^pupoL varietate) ai(f^apt ^m^r 
]^^ ip^ipw, f|ut pecuUaris ^jic^I^i cfipsa iUuc potissimqip w\H 
WfiPJeip. 

{u bis i^\ &eppietrica tautup) pupc piep^prei^) iliq^ p^ j^^r 
4WW ^rt (qwd coflÄtitui dqdpp), p?c pftfuip Jam ^diti# »f:?^PfipH§ 

hactenus haesit Geometria, etiam post publicatas Qartfftii If^ir 
Atque istis quidem speciminibus etiam baec soluüo poterit annu- 
merari. Mihi in votis est, nee conspirantibus aliis desperatum, per- 
fecta (si potissima spectemus) Analysi eo reductam videre Geo- 
metriam, ut absoiutum hac fdifficultate humanum genus, in ipsa 
natura concretisque corporibus majore fructu ac voluptate imposte- 



nim Mdthesin exerceat suam, agnoscat DiVinam. Qtiod si acies 
hominum, vera metbodo velut armata, eo sese convertet serio^ 
non dubito aiiquando magna et mira proditura ad superandos mor* 
bos, ad augendas vitae commoditates, ad cognoscenda DEI mira- 
cula, in natara edita, eaque in re Tel hnjus seculi, ac vestrae Domus 
praeclarissimo experimeoto animamur. Videturque nunc sese paul- 
latim aperire major quaedam in?eniendi Ars, ne suspidone quidem 
libata anterioribns, in tantum mentibus futura auxiiio, in quantum 
vestris illis Perspicillis ac Tubis vis oculorum adjuvatur. 

Equidem vereor, ne tantas res magis praeparemus posteris, 
quam ipsi gustemus. Sed boc culpa hominium praesentium fieri 
arbitror, tarn perfunctorie tractantium necessaria, tarn curiose agi- 
tantium ?ana, imo damnosa. Sane cum illa specto, quae jam tum, 
boc praesertim aevo, in potestate sunt mortalium ad augendam fe- 
licitatem suam muitaque mala depellenda, aegre seculo possum igno- 
scere, et voluntariam coecitatem velut gravissimam irati coeli poe- 
nam deploro. Nam si expergisceremur, possemus ipsi fructus la- 
borum perclpere, et paucorum annorum compendio aliquot Ventura 
saecula praevenire. Huic communi malo mederi, maxime Principum 
est, sed magnorum, sed Tui simiiium, quales utinam multos habe- 
ret Orbis! A Te certe quantum pollicear communi hominum utili- 
tati ac profectui, malo alii boc loco ex silentio meo intelligant, 
quam invitae aures Tuae ferant. Et cavendum jam est, ne Epistola 
ad Te mea fiat ipsa tractatione Tibi destinata prolixior, quamquam 
talia spatio verborum aestimari non debent, nee quicquam facilius 
est, quam in magnum volumen diffundere, quae paucis indicare 
contenti sumus. Vale, SERENISSIME PRINCEPS, cum magno 
Patre, et inclyto Fratre, summae ad omnia, «t ut verbo dicam, 
vestrae indolis Principe, et quod aliquoties etiam absenti, antea 
per Baronem Bodenhusium nostmm, bis ipsis studiis excetlentem, 
nuperrime etiam per illum totius Europae eruditae commercio cele- 
bratum Magliabecchium vestrum, insignes Viros et mihi amicos, 
nuntiari curasti, gratiam mihi Tuam s^rva. Dabam Hanpverae d. 
28 Maji A. 1602. 



2S3 

AENIGMA GEOiMETWCUM DE MIRO OPIFICIO 

Tesiodinis Quadrabilis Hemisphaericae 
A D. PIO LISCI PÜSILLO *) GEOMETRA propositum die 4. April. 

A. 1692. 

€uju8 diTinatJo a secretis artibus iilustrium Analystamm vigentis 

aeyi exspectatur, quod in Geometriae purae Hi&toria tantummodo 

versalas, ad tarn recondita videatur invalidus. 

Inter venerabilia eruditae olim Graeciae monumenta extat 
adhac, perpetuo equidem duraturum, Templum augustissimum 
ichnographia circulari, ALMAE GEOMETRIE] dicatum, quod Testu- 
dine intiis perfecle hemisphaerica operitur; sed in hac fenestra- 
rum quatuor aequales areae (circum ac supra basim hemisphaerae 
ipsius disposilarum) tali configuratione, amplitudine, tantaqae- in^ 
dustria ac ingenii acumine sunt extructae, ut bis detractis su^ 
perstes curVa Testudinis superficies, pretioso opere musivo ornata, 
Tetragonismi vere geomelrici sit capax. 

Quaeritur modo, quae sit, qua methodo quave arte pars ista 
hemisphaericae superficiei curvae quadrabilis, teusae ad instar car- 
basi, vel lurgidi veii nautici, ab Architecto illo Geometra fuerit 
obtenta? et cui demum piano geometrice quadrabili sit aequalis? 

Praesentis aenigmatis enodatio (quod spectat ad hujus admi^ 
rabflis Fornicis tum Constructionem expeditissimam, tum Quadra^ 
turam) Serenissimo FERDINANDO Magno Principi Etruriae^ seien- 
tianim et nobiliorum artium Cultort ac Patrono Generosissimo, ab 
eodem Aenigmatista oblata jam est; qui quidem simul non dubitat, 
quin hoc ipsum aenigma a singuHs literario in orbe degentibus ho- 
die praeclarissimis Analystis sit statim divinandum, proprias qua- 
draCiones impertiendo singularis Testudinis hujus tetrngonismicae 
ab hemisphaerica dissectae, et ipsorum per acutas indagines malti- 
plicesqoe industrias ad hoc unum idemque geometricum collimantes 
impatienter expectat, ut hinc, qui temere contumelias in Geome- 
triam jacere audent, silere discant, vel potius maxima cum voce 
exclament: unica verorum sciscitabilium Scientia a Divina in 
hbmhium mente infusa, ut haec imperviis, mutabilibus, fallacibusque 
cantemtis, aeterna ista, quae semper et unicuique sunt eadem, tan- 
tum appetat, nilque aliud unquam magis innocuum scire perquirat. 



•Am»' 



*) Die^fn Namen halte Viviani, der die Aufgabe vorlegte, an- 
geBOmnMn». 



ȴ4 

Aenigtna a G. G. L. solutum est 27. Maji stvii Boti 1692, ea 
scilicet die, qua ad eum pervenit, et proximo cikrsore, id est tertia 
abfinde die, cum hac solutione et Epistola ad Hagimm Principeifi 
Hetriiriae remissum. Solutio autem haec est. 

Superßoiem Sphaerae Archimedes demonstravit aeqiialem fsse 
circttlo, cujus diameler sit dupia dianetri Sfkbaerae. Idem Tiam 
osteudit, qua portio quaecunque Sphaerae, arcas drculi rotatione 
gfwUa adeoque vel uno circulo abscissa vel duobus compr^eiisa, ad 
ßirculos et circuli portiones reduci potest. Triangulum Sphaeriaiin 
tribus circulis wagnis contentum dudum dimeasi suut Geometrae. 
Nam quadrupla Triauguli area est ad superficiev Sphaerae, ut summ^ 
axigulorum, dudbus rectis minuta, est ad dui)s rectos. Hinc iam, 
cjupi deiitur et trianguia duobus circulis magois et uaa minore 
apibos normali comprehensa , facUe habeutur etiam illa , in quibu^ 
linguli sunt qualescunque ; i^2o in triangulo jaxn magnitudine dato, 
alium circulum ex aliquo ejus anguio ed^cendo, daü^ur et trianguia 
ppipprehe^sa uno o^agno et duobus nunoribus^ ac denique tribus 
cirpntis quibuscunque. Sed majus aliquid bic agitur« ut scilicet 
Ipaensurentur portiones superficiei spbaericae aliis quoqn^ lioeiß 
contentae, et quod potissiinum est, ut assignentur, quae sint absD- 
llitae quadrabiles. Videram dudum patere ad faaec adituni, aed non 
jom^ia vacat agiere ; itaque non atligi, donec nuper Revereiadissiaiu^ 
et Illustrissimu.s Abbas de Monte acnlo« Ms^ni Ducis Hjetruriae Ab*- 
Jjegatus ad aujUm Caesaream, jussii Serenissiini Domini sui hoc mä\i 
el^aaüssimum aenigpia Geometri^^pa typis editui^ afttentandvm imsit* 
Qnaeritur forma Templi Hemisphaericij sed quatuor aeqwUibuf ofi 
simütbuB similiterque positis fen^stris ita interfupti, ut iis deira^fiß 
reliquam hemisphaericae superficiei sit absolt^e qHadrahilß, Uuop 
nodufn aggressus ea ipsa, qua Uteras accepi^ diiß solvi, et quidem 
iofi^ljtis modis» neque enim determinatum proJ),leaia est» P^n tauten 
ideo facile putari debet, aut solutu indignuxn ; sed ri^m pauds exr 
po»ere operae pretium erit, additis etiam nonuuUis, qua^ loogissine 
idtra quaesitum extenduntur. 

(1) Si spbaerica superficies in Elenienta reaolvatiAr 4#clpB 
mericUanis et parallelis, sa*eolae Elementares inter diMs m^ridiaws 
duosqae paraUelos comprebens^e eruot in ratipnf .cosmyosita,/^!^ 
mentorum aequatoris inter meridianos et eiementorum aüds inter 
farajlelos» aeqiuaiesque productis ex bis elempoüs in se invicem 
respective ductis^ ita fig. 1 30 areola LN ad areolam NR ia faiMi^ 



^iMoppßUa {)KS^ a4 GQ et ST ad TV. Quod secundum meam Ana- 
^fsin infinüorum differentiaUm ita apparet^ si PK vel KH sit ra- 
di^a» r, et PL prcus sit a, et ejus sinus versus PS sit x, et sinus 
rectus LS sit y, et QH sit t, {iet LM, da, et ST, dx, et GH, dx, et 
NM, ydv'.r et dA^rdx:y. Jam areola LN est NM in LM, ergo 
est 4vdx. Haec prolixius non explico, quod mea principia tarn 
Geometriae inaomparabiUum, quam 4^n(d}f8eo$ infimtoruvn in AcMs 
Eruditoram jam prodiere. 

(2) lisdem positiv, trilineum elementare duobus m^ridianis et 
elemeDto paralleli comprebensum aequatur rectapgulo sub siuu verf o 
gradmim meridiani et elemento aequatoris inter ineri()i^nps inter- 
oepto. Nempe in eadem figura 130 PMNP aequ. PT ij» GH, i^eu 
superficiei cylindricae elementari GHAD. Nam quia LMN a^qu. . 
d?dx per praecedentem , ergo trilineum elementare ßpbaorijOQm 
PMNP, quod e$t summa omnium hiqusmpdi areolarum inter P ^t M 
(manente semper eadem dv) seu /äx dv erit xdv. 

(3) Trüipeum in superficie spbaerica duobus arcubus meri- 
dianorum (seu circulorum magnorum) et linea alia quacunqu^ sub- 
tendente opmprehensum aequatur porliopi superficiei cylindricae, 
cujus basis sit arcus aequatoris inter meridianos interceptus, ipsa 
fiuteoi superficies formetur, dum puncto, quo quisque meridianus 
sec^t aequatorem, normaliter ad planum aequatoris insistit repta, 
aequali^ sinuji verso graduum meridiani, inter polum et lineam sub- 
taodßotepi inte^i^^eptorum. Nempe in eadem fig. 130 dum rei^poictive 
aefnantur ^F, GPi QB ipsis PS, PT, PV, et ita in reliqpis punctis, 
.tuno portio ßuperficiei cylindricae HQBF (seu superficies nngulae) 
aequatur trilineo in superficie spbaerica descripto PMRP, nam qA^ia 
(per pr9ietce4entem) FHGO aequatur ipsi PMNP, et DGQB ipsi PXRP, 
et ita ifi paeteris quQtccmque, consequens est tota totis aequ£iri, 
PMRP ipsi HQBF. 

(4) Superficies cylindrica, quae fit^ dum sinus recti punctis 
re^ppndenljbus ^rcuß cirpuli normaliter ad planum circuK insi^tunt, 
aequatur rectangulo sub radio et portione axis inter sinus re^os 
dlitr^fPfi^s interc^pta, et proifide qwidr^ri absolute potest. Ita in 
fijg. m ßi jui^iqiie BC sit aequ. AB, superficies cylindrica B(B)«))C 
9^^u9})i.tur re<?tdngulo sub radio et A(A). Haec propositio etsi ex 
^ki^Q[ noi^ro paulQ ante pnsiU> Matim derivßri possit, quia Manien 
dn^ivn^ JnniQNt Göwpetri*» non .^st cur imworemur. Vidft^jntur 

: qui ^e.Mpeii ßinm^W. et (iycloide egere. 

18* 



(5) Quadratun Carbasi seu Lunulae sphaericae modis descrip- 
tae, Res nova. Sit in figura 132 hemispbaericae superficiei qua- 
drans PDQSAEP, unde abscindatur carbasus seu Lunula sphaerica 
PEALAP per litieam ALLP ita in sphaerica superficie ductam, ut dneto 
meridiano PLS per L , occurrente aequatori in S , sit FS yel F^, 
sinus rectus ipsius QS vel ipsius Q^ arcus aequatoris, aequalis ipsi 
PB, sind verso ipsius PNL arcus meridiani. Haec Carbasus inlegra 
PEAL^P aequatur ipsi pland Kt//, quod est quadratum radH spbaerae. 
Sed et portio ejus quaecunque habetur. Nam P^NjLaLP aequatur 
rectangulo iFaM comprehenso sub radio etiF^F, differentia sinuum 
versorum QiF, QjF, quos habent extremi arcus aequatoris QtS et 
Q3S. Haec ita demonstrantur: Rectae Sco aequales ipsis FS vel 
PB insistant arcui aequatoris QSA normaliter ad planum aequatoris 
KAQ; ita formabunt scutum ACcoQSA, quod est medietas super- 
ficiei cylindricae artic. pnyßcedenti descriptae. Jam quoniam Sco aequ. 
PB, ideo (per artic. 3) carbasi portio PiNjL^LP aequatur scuti 
portioniiSiCOsCOaSiS, sed haec aequatur rectangulo |FaM per act. 4. 
Similiter tota carbasus PEAL/P aequatur toti scuto ACcüQSA per (3); 
et hoc aequatur piano Kip, quod est quadratum radii per (4), ut 
proponebatur. 

(6) Garbasum sphaericam efficere, quae sit in data rattone 
ad quadratum radii spbaerae, ratione, inquam, minoris ad majus. 
Hoc fiet lineam PLLA ducendo sie, ut PB sinus versus ipsius ar- 
cus PNL (porlionis meridiani PLS) non sit aequalis ipsi FS sinui 
recto ipsius arcus QS (portionis aequatoris QSA) ut in praecedenti, 
sed in data ratione minor; unde manifestum est, in eadem ratione 
et carbasum quadrato radii minorem fore. 

(7) Testudinem bemispbaericam aequaliter quadrifenestratam 
efficere, ita ut hemisphaerii superficies demtis fenestris sit quadra- 
bilis, idque infinitis modis, adeo ut hemisphaerica haec superficies 
perforata sit in data ratione ad quadratum diametri, ratione, inquam, 
minoris ad majus, nempe si in Testudinis seu templi hemisphaerici 
quadrante quovis fiat, quod factum est in qnadrante PEASQDP 
fig. 132. Nam haec hemisphaerica testudo perforata constabit qua- 
tuor carbasis, ex quibus una sit P^LAEP, ex fenestris autem qua- 
tuor (seu foraminibus) erit una PALASQDP. Et per artic. 5 fomix 
seu testudo sie perforata tota aequabitur quadatro diametri (neiäpe 

' quadruplo quadrati a radio seu carbasi) aut (per 6) erit in data 
ratione minor, quod erat faciendum. Est autem QA portio basis 



2ff 

sea quadrans horizontis; P, Zenith; PA, PQ quadrantes azimu- 
thales. 

(8) Alias testudmes hemisphaericas perforatas quadrabiles 
efficere. ExempU causa invertatur figura, ut A fiat Zenith et PQ 
arcus Horizontis, tunc alius fiet quadrans testudinis ex carbaso et 
fenestra corniculata (ut prius) constans, sed inversis. Aliter inver- 
tatur figura, ut fiat Q Zenith, et AP arcus horizontis seu basis, 
habebitur quadrans testudinis, quae tota constabit ex quatuor muris 
seu fornicibus, unaque apertura a summo ad imum quadrifide se 
diffundente inter muros; sed tarnen iisdem positis horizonte et Ze- 
nith, testuiinem quoque quadrifenestratam quadrabilem sie efficie- 
mus : .Ponamus meridianum P 2N 2L 2S bisecare aequatoris quadran- 
lern QSA, quadrans igitur hemisphaericus PQSAP medietatem 
PJN2L2SAEP habebit constantem ex carbaso PEAgLjNP et aper- 
tura. A2S2LA. Quod si jam idem fiat in altera medietate quadran- 
tis, quae est P2N2L2SQDP, ducendo QH2L hneam aequalem et 
similem ac siniiliter positam ipsi A3L2L, constabit quadrans hemi- 
sphaericus carbaso quadrabiliPDQHjLsLAEP et apertura QH2L3LASQ 
siye fornice quadrabiii et fenestra ; et idem faciendo in caeteris qua- 
drantibus, componetur testudo quadrifenestrata, sive P sive Q sive A 
Sit Zenith, quae aequabitur facto ex radio sphaerae, ducto in dia- 
gonalem quadrati circulo magno circumscripti. 

(9) Haec omnia licebit aliter efficere infinitis adhuc modis. 
Hactenus feceramus, ut PB esset aequalis ipsi FS, aut in data ad 
eam ratione: sed innumeris modis haec variari possunt salva qua- 
drabiii täte, quot fere modis dantur figurae planae quadrabiles, imo 
secundum dalam quamvis quadraturam. Exempli causa, si punctum 
L sumatur ita, ut PB (sinus versus ipsius arcus PNL, qui est portio 
meridiani PLS) sit aequalis differentiae inter tangentem et sinum 
rectum ipsius arcus QS, carbasi portio P/2L2NP aequabitur spatio 
piano Hyperbolico, quod facile determinari potest ex notissimis. 
Nam haec dilferentia in elementum arcus est ut djfferenlia radii a 
secante ducta in elementum sinus versi, quatn ex Hyperbolae qua- 
dratura pendere constat. Sed et, si quaeratur constructto carhasi 
quadraturae datae, res praestari potest, exempli causa ut portio 
PA2L2NP aequetur dimidio quadrato QF. Quaeritur PB; fiet summ. 
PB in 1S2S aequ. dimidio quadr. QF; ergo PB in iSjS aequ. QF 
in dQF, adeoque PB ad QF (ut iSjS ad dQF seu ut 1S2S ad 
jFjF, hoc est) ut QR ad SF. Itaque si fiat PB ad QF ut QK 



9f9 

ad SF, dicta portio aequabitur dimidio quadrato Qzf^ et tota car- 
basus dimidio quadrato radii. Quin et si sit PB aequ. KF, aequa^ 
bitur iternm carbasus quadrato radii. Sed et portio ejus quaevis 
inter meridianos facillime quadratnr. 

Scholtum. Non inelegans nee inntile futurum eral, testudinnm 
formas delineationibus exprimere, sed temporis brevitas effedt, ut 
Geometricis oculis scribere contenti nunc essemus. Addi et hoc 
non inntile erit, posse etiam simili Methodo quaeri KB (pro PB) 
sie ut portiones potius versus aequatorem, quam versus polum 
quadrentur; posse etiam in unum addi areolas, non ut hactemis 
inter duos meridianos, sed inter duos parallelos comprehensas, et 
zonam elementarem spbaericam fore vdx, et inde quadrabilem ear^ 
basum orituram , prout arcus QS in rectam extensus et in B ipsi 
PK normaliter applieatus figaram quadrabilem praebet. Sed haec 
atque sitiiilia ex positis comminisci facile est; unde fieri potest, ut 
coiistructiones etiam elegantiores aliquando uostris nascantur. 



X. 

NOUVELLES BEMARQÜES TOÜCHANT L'ANALYSE DES TRANS- 
CENDANTES, DIFFERENTES DE CELLES DE LA GEOMETRIE 

DE M. DESCARTES.*) 

II n'est pas maUais^ ä ceux qui sotit versus dans TAlgebre 
ordinaire, de calculer par des exposans en lettres, tout comme en 
nombres, lorsque ces lettres ou ces nombres signifiient les grandeurs 
connues. Mais lorsqu*eIles äignißent les grandeurs m^tnes qu'on 
demaude, ou qui ne sont pas determinees, pet^sonne n'a encore 
montre la fa9on d'y calculer. Dans )e second mors de 1a premi^re 
anneB des Actes de Leipsic**), Je proposai cet exemple ais6, il 
y a dejä dix ans. Soit Tequalion x*= -j- x =t= 30, on demande la valeut 
du nombre x. II est visible que 3 y sälisfalt, car 3^ + 3 , c'est- 
ä-dire 27 + 3 fait 30. Mais comme il arrive souvent que la gran- 
deur demandee n est pas trouvable en nombres rationeis, comment 
faire? Je reponds qu'alors el!e n'est pas m^me trouvable en 



*) Journal des Schavans de fann^e 1692. 

**) Siehe die Abliandlung : De vef« prdportione cireuli ad qua« 
dr<ttu[& cireUitistriphirth in- numerk- raiioiialibu»* 



f 



grandenrs mi Doraibres irralionelst qui se puissent obtenir par In 
Geometrie erdinaire, ou par les methodes de la Geometrie de Mr. 
Dntartes^ Gar uoe teile equation n'est d'aucmi degre eonnu) et le 
Probleme ue scauroit etre plaii, ni solide, nl quarre-quarre, ni sur- 
solide etc. Ei par eonsequent pas uoe des lignes que Afn Dicartee 
^f«ut que noiis croyions seules geom^triques, ne le peut construire. 
Ainsi ii faitl recaurir aux lignes d'une nouvelle espece, que j'appelle 
traBseettiaotes, parce qu il n'y a point de degre qu'elles ne pessent«. 
i'ajoute^ai qu'encore les telragonismes (excepte certain cas) depeo^ 
deut de ces courbes et de ces equations transcendaotes. Et Mr. 
Decartes a eie oblige d'exclure toutes ces choses de sa Geometrie, 
pour maintenir ce qa'ii avoit avance, que tous les problemes geo- 
netriques se peuvent resoudre par sa methode , ce qui n'est poiDt. 
Je mettrai ict im exemple de ia Solution d'un tel probleme pdr les 
fegafitbmes^ Gomme il est aise, il servira ä me faire mieux entendre. 
S6it c^:sa, b-r-, on demande x. Je reponds que ce nom* 
bre S0im egal ä ce qui provient, lorsque le logarithme d'a moins 
ie laf. de b est diWse par ie 1^. de c moins le dit log. de i. £n 
vokjr le calcnl. En vertu de Tequation do nnee et par la natura 
^8 logarithmes il y a : x , log. c := log.a + x — 1 log. b. Donc 
x, J«g. c — X, lerg. b « log. a — log. b» et par consequent x est log. a 
**- log* b diris6 par log. c — log. b. On a renconlre de tels ex- 
«mplea,. en raisonnaBt aar Tinter^t. 



GENERALIA DE NATURA l.INEARUM, ANGÜLOQUE CONTACTüS 
ET OSCUU, PROVOLÜTIONIBÜS, ALIISQÜE COGNATIS, ET 

EORUM USIBUS NONNÜLUS. *) 

Cum nihil mihi sit gratius, quam qualiacunque tentamina lüea 
Viris egregiis digna videii quae perficiantur, perplacuere quae cl»- 
msimuB Baaileensium Professor Bernoullius de linearum oscuUs 
mipiero Martio in Actis Ef ud. pufolicavit. **) Cumque animadvertfr- 



*) Act. EruJft. Lips. an. 1692. 

**) Es ist dies die Abhandlung ven Jac. BernouMi: Additamentam 
td soTatioofein Garvae Gausticae Pratrts loannis Bernoulti, una cum 
Udilatiooe d« NtttttM fifolutaviftt et vafUs esculacioauii» gaaeribvs^ 



•60 

rem cogitationes quidem nostras in ftümma ipsi probari, noDDolla 
tarnen aliter constituenda judicari, quod adeo non aegre fero, ut 
quoties doceor, in lucro ponam ; meum esse pqtavi, rem denao 
examinare, paratissimo ad relractandum animo, si monitis contra- 
riis Doctissimi Viri locum dari posse deprehendissem. 

Statueram ego, contactum continere duas intersectiones ooia- 
cidentes; osculum continere plures contactus coincideotes, et oscii- 
lum quidem priroi gradns esse, quando coincidunt cfuntactus doo 
seu intersectiones quatuor; osculum secundi gradus, quando coinr 
cidunt intersectiones sex aut contactus tres etc., et cii*cu]um osca- 
lantem, sive maximum aut minimum tangentium intra vei extra in 
proposito puncto circulorum (qui scilicet omnium tangentium pro- 
xime ad curram accedit) esse curvedinis mensuram et definire 
quantitatem anguli contactus, ita ut angulus contactus duarum li- 
nearum se tangentium stt idem qui circuk)rum ibi eas osculantiunoL 
Et in lineis, quas circulus in pluribus punctis secare potest, altiora 
etiam oscula posse oriri, cum omnes intersectiones in unum ooa- 
lescunt, atque ita aliquando incasu maximae vel minimae curvedi- 
nis, seu transitus a curvedine crescente ad decrescentem, vel contra, 
coiucidere oscula duo seu contactus quatuor, intersectiones octo« 
Obseryavi etiam postea, centrum circuli curvam propofiitam osca- 
lantis semper cadere in lineam, quae evaiutione Itli propositam 
generare potest, et unicam (suae seriei) esse perpendicularem illam, 
quae ex centro osculantis circuli ad lineam duci possit, sive uni- 
cam esse unicam, hoc est unicam esse maximam vel minimam ex 
eodem puncto ad curvam educibilem, cum ex aliis punctis intra 
curvam plures, et duae saltem perpendiculares, id est in sua serie 
maximae vel minimae, seu duae suae seriei unicae ad curvam duci 
possint. Et cum constet, aliam atque aiiam lineam evolutioue de- 
scribi, prout filum producitur iongius, animadverterem olim (ut hoc 
obiter dicam) eas quas Dn. Bernouüius nuper vooavit condescriptas 
esse parallelas inter se, ita ut una sit ab alia ubique aequidistanä 
(seu aequalis ubique minimi intervalli, quod est recta minima ab 
una ad aliam ducenda) vel ut recta perpendicularis ad unam sit 
alteri quoque perpendicularis, quae dudum mihi fuit definitio pa- 
rallelismi in genere sumti. Hanc nostram curvedinis mensuram 
usumque Evolutarum etiam primo Evolutionum inventori ceieber- 
rimo Hugenio placuisse, ex solutione catenariae lineae animadverti. 
Porro cum tres intersectiones jcireuli et curvaa coincidunt» notavi 



flixum orisi oonlfariuin, id est coDtactum sumtuin cum ioterse* 
cUone, qaeioadmodum et coiacidentes intersectiones quinque dant 
«ootactttm cum flexu contrario coalescentem seu iolersectionem cum 
oseolo primi gradua, et intersectiones septem coincidentes dant fle-. 
xum Gontrarium cum simplici osculo seu osculum secundi gradus 
cum int^rsedione ci>al€seeBS. Unde inteliigitur, quotcunque inter* 
sectiones coiacidentes in contactus, oscuia aut flexus contrarios 
reaoivi posse. Et quideian in contactu vero atque osculo recta vel 
circulus Uneaitt ab utraque parte tangit extrorsum, Tel ab utra- 
que parte Inlrorsum; sed in flexu contrario unam partem tangit 
extrorsum, altera» introrsum, et ita compositum non tangit, sed 
secat 

Causaih queque, eur linea evolutione generans locus sit cen- 
trorum omnium drculorum lioeam propositam osculantium, ita 
•xpliciffe mihi yidebar: Sumaatur duo puncta curvae A et B, et 
dkiqantur re^tae ad eurvam perpendiculares in A et in B, earum 
int^rsectio communis C dalut ceotrum circuli, qui radio CA de;; 
Sicriptus taqget eurvam in A, radio vero CB descriptus tanget eam 
in fi, sed. si coinoidant A et B sive inassignabiiiter distent, hoc est, 
ubi duae perpeadiculares conc^rrunt, coincidunt dno contact^s, 
duoque cireuU tangentes abeuot in unum, qui eurvam osculabilur; 
sed per bupc ipsQm concursum perpendicularium inassignabilitei; 
differentium iaveiuentur et lineae evolutione generantes, ut ex Mu- 
gmiano de Pendulis opere patet. Porro drculus, cujus centruiq 
est in recta aiccui ad easdem partes cavo perpendiculariter occur- 
neote, per punctum occursus descriptus, arcum non secat, sed 
tangit. Itaque sicubi secat» nec^sse est ibi punctum, adesse llexus 
coDtrarii, seu non esse lineam ad easdem partes cavam. Recte 
aiHeni animadv^it Dn. BernovUm^ intersectione. simplici ad coa- 
tactiun simplicem, vel ad osculum seu contactum mu)tiplicem acr 
eedeote, contactum mutari in bectionem; sed binc manifestum est, 
cmn circulus eurvam osculatur, regulariler (id est excepto flexus 
contrarii puncto) coincidere quatuor intersectiones seu duos con-^ 
tactuai adeoque hanc ipsam esse naturam osculi primi gradus, 
qiiapdoquidem id osculum definimus ordinaria osculatione circulo- 
mal, quae in qu^cunque curvae puncto regulariter locum habere 
potestv seu drculo curvedinem mensurante^ qui scilicel proxime ad 
cunram accedit. 
. C;t iHjUKMvei'^uiii dici ftpt^^t intersectionum driCjuli cum alia 



linea miineruni regtiMriter egäe par^no. Itaque im» "rtdeb^ qm 
ptimi gradfis oaculom fribusr int^si^ombiii exyMcMri qiieafy iCa 
sdficet ut tale ostulum irhm radieum 9i>t nBgutare «I tola eUra» 
diffustitn, 8t oseulotn qaatoor radieum seo quatiior coifkiHenUini 
mfefrsecttonnHi pro secundo et Bingalari bab«at«r, imc nisi m pnn^ 
ctis currae determiBati^ eontingat. Conira emm ae >«» htfbett «t 
quatnor intereectiones ^u duo coittactus oacnld eutqM regttlarikr 
m^sunt; et in solo ca«u exfrremo, qai est ftexus contrarit, ia^oeBs, 
ut ita dicam, vel moriens oaeulatio Iribm iatersectiMibus eonlenla 
est* Unde nolui ex casu trimn interaeotionuiii peeilHarMii #sei!|i 
gradum faeere, cum praeseitim ex contacHii (cufM perfedUior spcK 
des osculum est) in interseclionem degeneraret. Eademque ralioise 
et in ahioribvs osculatk) stra natura parit est miwari ndieiiin, nee 
. nisi inflexus contrarii puncto in numeram imparem abit« Ei sane 
eom circulus post conlaetum in pudcto propoaito eurtwn adliac in 
dnobus praeterea prifietis secat, neeesse est: bas interseeliones pr»» 
moto circuli centro continue ad dktum eontactum af^^opittqaavies, 
landem arobas simul contactui coalescere, nam Ottin quanriifeet in 
ernn pervenire necesse sit, ideo ai aitorntra sola «d conftadtiim per« 
T^nieiTte, circulus fiat preximüs curv*R seu oaeoiarisi «equMur efm- 
babus intersectiombus sepalratim pepvementibus ad coolilioiieni.eiim 
6otUactu proposfto, duos dari circulos dtf^rsos ^eHe pr^xiniett Ma 
oiseniatTtes per idem ejus punctum proposilum transeilMt6s, quod 
äjtt iinpossibile, nisi scHicet liaea ibl secet semei fpsam, -qtto ««m 
dtiarüm vice fungitur, adeoqne cireoli illi Auo r<ivera tineas duas 
osculatttur, Hcet unius partes, de quo bie non agiltir. . Faolie •eüiaaoii 
hiüc intetligituf, si circcdius post contacttim intemuttf iSieöare at^w 
tarn rursns (otrinque) possit, tuftc in ca«u osculi (ubi duale siftdliich- 
nes contactui coalescunt) oirbuhim oscfriantem esse eiti*» eur^Mtf; 
et contra, et contactu etterno nio>i in casu cosdescendi eMa AitabM 
r^Kquis se^tionibos, fieri osculum intefnum, et ifa (randituin 'eiroiM, 
a contactu s«etionem adjtmctota habente ad oscuhhafi, ^eMo ll^tfMdt* 
tum in oppositam cartae pattem. 

-''" Sed et hoc notan<d>rrm e^t, minimmn 4urveä(nim ei tnaaiIMm 
abtusitatm esse inf pundto flexus eontf arii, et üecte dlxit Dn. B^r^ 
nüuUius, circulum osculantem^ eo casu degenerare in r^ctam v Pk* 
Wus enim esl inlinitusf sen centrum eadit in lin^to evolutae^ oMt 
cursum cum sua asymptoto. Quoniam antequam dwie proxima« ad 
ictktvätb pe^^diculares, särf oocurreMIed hadtcfMfif ä!4 ptUgMfti pro- 



•9« 

positanit flaut 0ibi occnrveDtes ad piagam ^positäin, sea ex coih 
vefgentibus diTcrgefitea, debent fieri para^eUre, quo casa earom 
coBOoraaa kiflinta ai«S86 debet Fieri tarnen ei aUonde petesl^ 
ul lioea« geii«riitae curvedo «t raMKa, sea maxina obtiisius^ non 
quidem abfohlte, scd in ftota aiiquo arca ad easdem paries cavoi, 
sea in certa progressione» Cum adlictt talis est natara canrae per 
stti evolutionem generaotlB, ut etoliitio continuari ultra eertom 
pnoctim, et fikm generäns tilDeriua extendi nequeat, vti Gonti&git 
can canra e^ebenda ex duaboa eonirexitates «bi ebvertentibus ac 
sese tangentibus composita est Eodaoi modo prodibit maxima- 
oorredo, seu miainKi ebtdsüa», ut iineae onnrede ex erescente rui^ 
908 ineipiat fieri decrescena; veluti %i eur? a generanda non intra 
daos arcas generantes conTaxitate obvonsa se tangentea, sed exira 
eaniiB angohifn cadat; Neiiln) tamea modo generata linea per cook 
tinuam fili efolotionera. produekio*, 

Haec aatem ut nodarcm, eo faciiiaa adduotoa sum, quod 
Imearaan naturanin tMÜTerawA iliustrant, mihiqne proferant ikhi 
tantam ad finiendam iliam ceiMrem de aoguio contactas oaütre^ 
versiam, atd et a vaga logomacbia ad usua aolidos ac profuturo» 
traoaferendam « et «ideo nuper i>9t. EUemchmid disseriatianenif 
aoam oamtra Bn. La^mm defeodentem ac de diametro tmibrae m 
eelipsi Luaae toquentem ex bypotlHMt Terrae oraüs adbibaiase dia« 
metram citGuKv qi» ovalem oaculator, aea com ea anguium esonH 
(aBgolonnn oastaolaa Miaiiniiiii) facit aftque ita quam praxlMe «4 
MfaMi accedit, eo cooailio, uies idiverais proporlienibu« diametrl- 
umbnie*ad dtaaMetrum itniae .defiidaiur Tera figufa globi ternii^; 
Qaed quantm prailBta^e poasit, iebaervatieaibas commiUo. 

Qum haao scitiptiisaam, .irenere in mants meas Acta mensia 
t, in qaüms«€nra qiiaedaaB BemmiUHma*) iegi« et Uneae iMufit, 
qua reetae oeavergentes ad datam puactum, eundem eonatan« 
teoa asguhim (sed obliquum) fadant, propriaUtem elegantiseimam 
ibi dtolecCaBi, non aaae vdluplate ohservavi» aliaque video notata» 
fuae ^nevalem curvarum iiatoram iliustrant. Plurtmwn igitur 
lioearum dootrinaim hodie promolam babemos tum expHcata fl9sm$ 



*) Lefbniz bezieht si'ch hier auf die Abhandlung Jac. Bernoul- 
0*8 : Linede Cycloeidales, evolutae, ant-evolutae, causticae, anti-cau- 
sttcae, peri^cattst^eae, earum miis et simplex relatro ad se invicea), 
Spira mirabilis, aliaqae* . ' • : . < ; 



•94 

nalara, tum adhibitk ad earum generatioiiMi proMlutiomTmt i>a<« 
riter atq«e evotuitonibui. Interiorem natoram fleams seu Gtirtitati& 
apeniisse fioQ nihil ?isu8 som detoctii mentnta tingM e9HUiieim8, 
ope scilicet circuli carram oscmhmtis seu maxime ad>eaRi accedeiH 
tis eundenique cutn ea in puncto osculi fiexum habentis, de quo 
tu« MiAaa, tum eCiam hoc loco dictum est« 

Quod ad provoiutionem attinet, Gakheui^ «t aribttror^primüs 
de lineis per eam generatis cogitaTit, et simplieistimam. ex «s Qf* 
doetdem, quam elayus rotae in pkino incedentis deaeoibet in a^e, 
considerare coepit, de qua mulla a viris doctia sunt'demonstrata. 
Rikmeru$ Danus, a«lrorum imprimis sdentia c]araa»> cum in ofeser^ 
Tatorio Regio Parisino versaretur, elegantes ut audivi proprietates 
detexit Cycloeidift altioris, cum rota scilicet slve riroiius iaoedit 
super circuio, de quo tarnen nihil ad me pervenit Nw>tonu9 nn- 
per de Cycioeidibus iisdem egregia et universalia dedit. 

E^lMtumem curvarum generatrie^os primus iliustrafit Huge- 
mim. Eam eogitatiouem promo¥it Tsehimkvsius, adhibitis (ot ego 
appeHare soleo) caevohtionfbta, animadrersoque quomodo tales 
Uneae coevolatue ut foci spectari possint, et radionim quoque con* 
cursu generentur, considerata inimmts caustica, quae formatur 
itfuAm p^ralleiis a epeculo reflexis. Ego inde longius progressns 
sum, usumque reperi ad solvenda probiemata (quorum in gratia 
polissiroum suscipitur speeulatio) ^ftteofqoe 0ftiea9 inTeniendas, 
^aniiD ope jradii redderentur ad datum punctum coavergentes vel 
divergentes, aut etiam inter se paralleli. Quod alia etiäm ratione 
prtestitere Newtonus in Principiis, Hugentus in iibm de. Lumine. 
Observavi quoque eadem opera dari figuras ÄeaMtf^as, qqaeet^i 
opacae et politae sint, radios tarnen no« reflectunt, et Äelastas, 
quae licet sint transparentes seu ex materia radios refringeote^. ti 
formae tarnen suae et positionk ad Solem radios sine refraetmie 
tran^mittuni. His Dune observationes singulares Bernouilius ad-' 
jecit. Caeterum ab Ati^emo. in traelatu de* Lumine, et Tsehirtüiusiiß 
in Actis notatum est, causticam iltam a specuio concavo spbaerico 
radios solares refleetente formatam simul esse cycloeidalem^ pro- 
volutione circuli super circuio generatam. Postremo a me nuper 
proposita est nova linearum formatio per concursum curvarum 
ordinatim datarum, cum antea tantum radiorura seu rectarum cjon- 
cursug adhiberentur, cujus formßtionis ad probiemata quaedam sol^ 
venda egregium usum comperi. 



985 

Eximia <|Qaedtiiil inesse videntur iliid, quae d« fi^ra veli a 
teoto lensi CL BtmouUms Duper dissm^uit, tametsi de to(a re (In 
qua non desunt scnipult) ob moieiB alioriim negotiorum non ex- 
pensa, pronunliare non ansim. £x reperia a me mensttratione 
hxodromiarum per logarithmos eqoidem no» paruin practici fru- 
ctus duci potest, diffidlem tarnen arbitror ctirsug aestimaiionem, 
qaae longitodioibus definiendis sufficiat. Cum de de?iatione natis 
Geometriea acribia agitur, non velorum tantum, sed et navis epep- 
taoda esset figura^ Deniqne qii4»d imiuit, se Fratremque in caicHlo 
meo plufimum • profeckse, id agnosco, gratulorque ni^n iliis magis, 
quam mihi. Yalde aut^m nosse yelim, an ultra «letas ilias sint 
provecti^ ad quais ego pervöiii ; id si ab^ ullis^ r«rte ab ipsomm 
ingenio aliquando expecto, et gaudebo plurimum, si intetJieKero, 
praesertim cum mihi ?ix ampiius in talibas ea qua prkis inten- 
tione animi versari liceat. Caeterum a me quoque non difficuiter 
solyitur iilud Problema« Invemre iineam, cujus arcu aequabiliter 
crescente eiementa elementorum, quae habent »bscissae, sint pro- 
portionalia cubis incrementorum vei elementorum, quae habent or- 
dinatae, quod in catenaria seu funiculari succedere veri^simum est. 
Sed quoniam id jam a BernouUiis est notatum, adjiciam, si pro 
cubis elementorum ordinatarum adhibeantur quadrata, quaesitam 
Iineam fore logarithmicam ; si vero ipsa simplicia ordinatarum eie- 
menta sint proportionalia elementis elementorum seu diCTereutiis 
seeundi» absdssarum, inteni Uneam quaesitam esse circuium ipsum« 



XII. 

SUPPLEMENTUM GEOMETRIAE PRACTICAE SBSE AD PROBLE- 

MATA TRANSGENDENTIA EXTENDEN8, OPE NOVAE METHOÖI 

GENERALISSIMAE PER SERIES INFINITAS. ♦) 

Cum antea Series infinitae fuerint quaesitae cum primo in- 
ventore Nicoiao Mercatore Holsato per divisiones, et cum supimo 
Geometra baaco Nmtom per extractiones, yisum mihi fuit, posse 
ad eas perveniri commodius et universalius per , suppositionem 



•*i 



^f AeC. firudil. Lipvi an. 1693. 



ipäiufs serni q«ae»itoe taoquwi inv/enUe« iU ut .(ermiMniVi coef- 
ftcieste» ex :»ucaf«8U defiiur^ntur» Atqu^ Ua 4«f9 ttp^f^ proprio 
-late non Umliiun in oalculo «pnununi, sed et ip ^lunmatorio vel 
differeotiftli aut.differentia^ifierenüaU Hc. ukunqUf impU^to ^ew- 
pcr ad seriem veniri pote»l, cujus ope qtt«e$i(ui») #i toiam ßeriepi 
Qonoipufl, e2;aote, ßi partem seriei «dbib^aa, quantumUbet «ippropio- 
quafido «ihibetur« Exemplo res patebit» bcili quMküi et dudum 
propoaUa, Md ad intfilUgemiain apW, qii»er«ftidQ $eiUcel vel Loga- 
iitbmuin «X Dumerd^ fei nuatertui «x Loi^ithiAt^. 

Sit Raiio vd numerus a*f x, : a, et . Lugaritbm«)» Mt yv^ 

y, adx : , a+x «b fuiadraiuram Hyperbelae; fiel ei^o dy^sr^d)^ : » a+x 

aeu.ady :dxH^Kdy :dx--a^Or Si jain dato nomero, quAer^Uir l^- 

garitJuttus, fiat yspbx4-cx^+e&^ + fx^ «tc^ et fiet 4y:(ii=?b+2<^x 

^i^x^^Mx^ etc., itaque 

/ ady : dx «: ab + 2a€x 4 Saex^ + 4aJ*? et(5.| 

0«:J+xdy:dx= + bx + 8cx' + 3ex? etc/=^0 

(— a -— a j 

in qua aequttlione expii^ta nee ^üam iodet^fuinata^a quam x cou- 

tinante, ut omaes iermini de/^tmantiir sen ut a4qmtio fiat id^ntWi 

,fiet ab— a=s:0 «eu b=5 l, et SacH- b=ft ^eu. c=*i— - 1 :2a» et 3ae 

+ ac:5?'0 seu.«« 1 :3a^ et 44if+3ek?:^0 wu f s:?--. 1 : ^a*, et ita 

X X Hl x^ 

porro. Ergo fiet y » j - ~ + ^^ — |jj3 etc. 

Gootri^.si datQ Logaritbma y quae^atur num^rui. a + i;>;a, 
adeoque si quaeratur x, scribatur x = ly + my* + ny^ + py* etc., 
fiet dx:dy=l + 2niy + 3My2 + 4py* etc. Est autem utique per 
priora a + X — adx : dy = 0, unde 
Q_j a + x CS a + ly + my2 + ny« + py* etcJ ^^ 

\ — adx : dy = — la — 2amy — Bany^ — 4apy* — 5aqy* etc. } 

qqae aequaAjo ulMfna ut destructii t^nqiuJa fiat idep^jcpi erit l^h 

:P«r(l;2?i9c=) 1:2a, »;=(m;»a^) 4;2*8a», p5R(p;4a'*) 

1:2.3.4a», fet ita porro, et fiet x =T + r^Q-+ , J a i 

• y^ ■ • • 

■*■ 1.2. 3.4a» ^^'^• 

Addamus aliud exemplum, prima fronte difficlKus, ' eum scfli- 
cet inreniendus est sinus reetus ex dato arcU et radio,. sen q«Mid 
eodem redit (ob peripheriam practice satis datam) ex da4o dkiu 
toto et angulo. Sit arcus cirpoli y et ßi^ rectuf ;(» radius vero 



^t a; coQstat ex npstra Melbodo differenliali, generalem relationem 
ifiter arcutn et slnura posse exprimi tiae aequätione a*Hy^=:a*^ (^x 
+ x^ cly\ Jam fiat x = by -|- cy' + ey* + fy'' etc., erit dx : dy = 
b + 3cy^ + 5ey* + 7fy* etc. El hos vak^jies ip?i»s ü et ip^iMSLdx; : 8y 
«ubaütneiido in Aequatioo« 4i09ienüali, ^xplicotomque a^qu^ti^m^i 
redikndo ideutieiiii Bei» tflrminos dß^truendo» inveoi/^atur valoros 
aftgumtHiaraoi b^ c, e» £ ^e, Sed idem muUo brevius cooAfMjM^ 
mup deßceodoodo ad diü^rentio-differeotiaM. JVaia aequalioueoi 
diffef€»lial0ai 0^dy^»=^aMx +xMy^ r«rsu8 .differfinliaiidio, pmta 
if cQinstaote, fiel 2^4x ddx + 2xdxclpj;pO seu a'ddx + xdy^.=ft; 
jaio ddx : dy* = 2 .4py + 4 . 5ey * + ß < 7fy * etß», ut p*let v«d<Nreii|i 
ipaius dx ; dy paulo ante habitun differentiando* Unile jam a«ii|Uiar 
tio differentiordiffereoiialis sie explH^ibiUir: 
^_( X = by + cy' + ey* + fy^ etc. 

■" fa'ddx : (Ij? = 2 . 3a2ey+4 . 5a^y3+6 . 7a*fy »+8 . Qa^gy ^ etc. ! 
et destruendo terminos aequationis explicatae assumalur b = 1 ; 
jam b + 2.3a*c = 0, ergo c=— 1 : 2.3a*, et c + 4.5a'e ^ seu 
e = (— c : 4.5a2=) l : 2.3.4.5a*, et »imiliter f = — 1 : 2.3.4.5.6.7a*, 

etc. posito a esse sinum totum seu radium, x sinum rectum et y 
wfiwi qoi iH pr9xi debeit es^e notabiliter mioor radio. 

E^to adbM<; alüid exemplura, io quo ex data Tangentiuin j^o- 
pcißt|4# quaeritur (iaea. f^imirmn $U ordinata y, abwm^ 2, s^l)- 
tja^^ntHÜiU (11t Hifge^tia^o verbp utar) seu portio axis ip^ef^p^a 
ioter iaßf^^nlL^m et <M:diaata,Bi sit /, quaeritur Qurva» in qua s\i, X ^ 
jj — zy« : a. Est au(e^i g^n/^raliter b^ legibus calcg^ diO^cuuM^M 
Uij^^di : fiy, ergo fit hoc Jo^io dz : dy ?=y — z, : a ^u adz + zdy 
p^ydy seu adz:dy -f z— y=*0. Sit z « by + cy^ + ey^ + fy* (#., 
fint dz; dy^h -f ^ + $#y* +4fy' etc.; itaque 

Iadz ; dy;?5ab 4- JJacy + 3aey* + 4Äfy* ^tq, J . 
+ z = + by + cy2 + ey» etc.(=0 
-y = -i.y \ 

et deslruen*! fiet bb « • adcoque b = 0, et 2ac + b — 1 = seu 
c=l:2a, et öfi=( — c:3a=) — 1:2.3a*, et fs»(— e:4a=:) 

1:2.3.4.«. et it. pörro, ««de ^^n^nÄ^+lT^.aW» 
— 12 3 4 5* ^^^* Caelerum colligitur , .ex ^flpr^ jnyeirti^, ^i 



y* y* 

a : , a— X Sit numerus et y sit logarithmus, fore x =4 — , \ 

I 1 • a a 

+ i.2^.aa» " n^TTTIiJ ®'^'' ^^^^ z = y — X. Itaque quaesitae 
lineae, cujus subtangentialis sit yy — zy, :a, haec est natura, ut 
posiUi y logarilhmo , fiat z differentia inter logaritbrnum y ei ejas 
subnumeralem. Voco autem subnumeralem x, poaito a:, a — x 
es$e numerum. Unde patet aiiquaudo per series infinitas comniode 
obtineri valorem finitunif etiam transcendentem ; aed hoc obiter no- 
bis hie suffecerity problemata etiam impeditissima quantalibet exae- 
titndine per hanc methodum in praxi solvi posse. Eadem metfaodo 
etiam atquationum utcunque assurgentium radiees obtineri posse, 
manifestius est, quam ut explicari hoc loco Bit opus. 



xiir. 

AD PROBLEMA IN ACTIS ERUDITORUH AN. 1693 HENSE MAJO 

PROPOSITÜM*). 

Perplacet Problema Bernoullianum nupero mense Hajo propo- 
sitnm de invenienda Hnea ABC (ßg. 133) ex data ratioue inter 
tangentem BO et resectam AD ex axe AE per tangentem, vel ideö, 
quod etiam illi, qui nostrae methodi differentiafis faciliora toient, 
non statim huc perventent. Nee motu tantufl), sed et caieülo ana- 
lytico exhiberi potpst, si detur ratio inter factum ex bis duabus 
rectis (tangente t, resecta r) vel earum potentiis, et inter chordae 
AB ipsis subtensae potentiam fisicto homogeneam, velntr inter tr et 
cc, yel trr et c^ alfterve. Itemque iocum habet in aliis innumeris, 
ut si detur ratio dictae resectae AD hji ordinatam BE^ 



*) Acti Erudit. Lips. 4n. 1693« Bie obige Befierkuag Leib- 
nizens bezieht. sicJi auf das folgende, von Joli. Beraouili vorgelegte 
Problem: Quaerilur, qualis sit (fig. 133) Cürva ABC, quae Iiänc Labet 
proprielatem , ut ducla ubicuniiue lan^^'^te BD tefi^inaU ab- aie AE, 
portio ejus abscissa AD dt a^ tangeDtem BD in ralinne constanle M 
ad N. — Jn der vorslchen.den Nummer ist alles, was dieses Problem 
betrilTt, zusammengestellt. ' . ^ 



Christ. Hagenii Z. de ProblemateBernouUiano, in Actis 
Lipsiensibus an. 1693 proposito, cum additione 

G. G. Leibnitii.*) 

Elegans imprimis esse hoc Probleme, cum ex iis quae cla- 
rissimus Inventor de eo prodidit, tum ex solutione et commentatione 
Fraterna**) manifestum est, A quo investigando cum propter in- 
signem difücultatem, quae statim sese offerebat, abstinere statuerim 
(neque enim omnibus perquirendis , quae a Yiris eruditis exercitii 
gratia proponuntur, incumbere necesse existimo, aut assequendis 
parem me profiteor), non desiit tamen quasi invitum compellere 
recurrens identidem quaesiti non vulgaris idea, donec tandem 
quod desiderabam obtinui, inventa nimirum aequatione differentiali, 
in qua ex altera parte erat elementum trapezii hyperbolici, ab asymp- 
toto perpendicularibus intercepti, ab altera elementum spatii curvi- 
linei, quod ilidem ad trapezium hyperbolicum reduci posset. Quod 
apertius exponerem, nisi relinquendam etiamnum aliis putarem 
inquirendi voluptatem. Inde eo rem deducebam, ut trapezium 
ejusmodi hyperbolicum secandum esset aut augendum secundum 
rationem datam. Quod cum per medias aut continue proportionales 
fieri posäit, ubi ratio tangentis ad abscissam est ea quae numeri 
ad numerum, hinc apparuit, curvam quaesitam tunc iis accensendam, 
quae geometricae vocantur, alias esse ex heterogeneis: ac tamen 
constructionem dari posita lineae logarithmicae descriptione , quam 
qoidem hie adducerem, nisi viderem haud difiiculter ex ipsa/aco6i 
Bemoullii doctissima simul brevissimaque solutione omnia erui posse, 
ut jam ab aliis occupatam dubitem. 

Colligitur vero ex bis illud animadversione dignum, nempe 
quandocunque in investigatione curVarum ex tangentibus aut sub- 
tangentibus ejus ad similes ei quam dixi aequationes perveniatur, 
aut in quibus habeatur utrinque elementum spatii ad trapezium 
hyperbolicum reductibilis ; tunc idem hoc, quod mirabile hie accidit, 
eventurum, ut curvae geometricae diversorum generum graduumque 
existant, si hyperbolarum ad quas devenitur rectangula quae in 
asymptotis, sint commensurabilia. Praeterea observanda venit in 
hoc problemate inusitata ac singularis analysis via, quae ad alia 



V\ 



*) Act. Erudit. Lips« an. 1693. 

^ Jac. BernouUii solulio Prolilematis Fraterni. Act. Erudit. 
Lipg* an. 1693. Jan. 

Y- 19 



multa ia bac Taogentium doctrina aditum aperit, ut egregie jam 
animadveriit Vir celeberrimus , calculi differmtialis iaveiitor, sine 
quo vix esset, ut ad hasce geometriae subtilitates admitteremur. 
Porro quod ad curvarum, de quibus agitur, designationem in piano 
attinet, possem, si operae pretium esset, alios modos ac fortasse 
commodiores indicare, quam qui a CL Bernoullio praescribitur, atque 
etiam docere, qua ratione optime peragatur descriptio nostrae quadra- 
tricis hyperbolae, quae inter Tractorias (ita enim vocaii possunt) sim- 
plicissima censenda est, cum ad eam Ulis nihil opus sit, sed bacillo 
tantum utrimque cuspidem lateri infixam habente, quo fit ut et 
regressu explorari possit quam recte exarata sit. Sed bis super- 
sedendum arbitror, donec insignis usus aliquis harum linearum in 
lucem proferatur. Interim aliam quandam utilissimam curvam nuper 
mibi reperlam Geometrae sciant, cujus opera horologiis aequalis 
motus conciliatur, atque ejusmodi ut maris agitatione nequaquam 
turbari aut imminui queat, quod in pendulis nostris bactenus usur- 
patis non satis caveri potuit, adeo ut nova ac certior spes nunc 
afTulgeat Iperficiendi longitudinum inventi. Curva baec formatur: 
aabbcdeeeeefiiiiilllmmmmnorrssttuux. 

Excerptum ex epistola G. G. Leibnitii. 

Mitto meditationem quae satis indicat autorem suum, tum 
magnitudine praeclarorum inventorum, tum ipsa magois viris sueta 
ingenuitate. Nam et meo qualicunque invenio debere aliquid yoluit, 
cum ipse pro sua in bis studiis autoritate et meritis, facile onmia 
a se petiisse videri possit. Caeterum video ipsum , qua est perepi- 
cacia, ubx primum animum ad nostrum calciUum difierentialem ap- 
pulit, statim animadvertisse, quid in eo sit Optimum, nempe quod 
ita solutiones generales babeantur, quae sua natura porriguntur ad 
quantitates transcendentes , in certis autem casibus, ut fieri potest, 
ad ordinarias ducunt. Mirarer, quod solas iilas, quae aequationibus 
certi gradus subjacent, Geometricas vocare adbuc videtur, nisi judi- 
carem, sequi magis vulgi morem ea in re, quam probare, dum de 
iis ait, quae Geemetricae vocantur. Ego putem, ut veteres quidam 
reote reprebensi sunt, quod Geometricum satis esse negarent, quic- 
quid circulo aut regula eflfici non posset; ita nee illorum hodie 
errori favendum esse, qui Geometriam solis aequationibus Algebrae 
gradariis metiuimtur, cum Geometricum potius sit, quicquid motu 
continuo exacle construi potest. Quod si ille non admittit, suis 



«01 

ijp9e pr^ißdaris inv^stU iiyuri^m facit, cum ipsen)6t iopriinis am^nt 

GfO0)etrica3.constructianes: uam eYoliLtionui]|in¥ei|taiD,quodjrtfgfenfo 

dßbeaius, quantivis pretii e$t, et Qunc tractoria^ constructiones pro- 

traxit in ptiblicum primus. Nam etsi 4;go prior jam a multis aaiiis 

idem tacjtus versaverim, ßX ut arbiiror loogiiis etiam provexerim, 

f^teor tarnen ideam primam hujus motu3 mihi a. PerraÜQ vepi^se, 

etßi «i xue profecta sit ^esolutio ejus seu (ippliqatio 9(i G^ometrjjEiip. 

At Hugmmm judico utrumqpe »M ipsi debere. Quod ve^o umc 

spem facit molus hujus tractorii redd/sndi quam aq^u^^ti^simi, ^i 

forte insiguts aliqui^ hiyqsmodi Jinearqm usus in luc^pi pr^^ratur» 

non duI)ito quin sit iibenüus iippleturus, yiso nup^o ^qhe^ißsm^e 

meo m^nsis Septembris, *) ubi ostensum est, oi9pQ^ qu^4ffaiturj|s 

tali motu, etsi compositiore, coflustrui posse. Ad Schadi^^^ia. dictum 

$(€yiGere placet, posse in fig. 141 totam tabulam BM cum app^4ii^- 

buß, «empe cylindris TG, FE et directrice rigide E]S, in eodßgi 

pjla^o yel aequivalente esse cum ipso piano Imeae describendae C(C) ; 

caeterum curvam direc^icem rigidam saepe commode vitari poss^, 

et adhibitis pro ea rectis materialibus, quibus pptest 4escril>i* 

Christ. Hu^e«ii Z. Constructio universalis Problematis 
a Gl. Viro Job. Berjsioiillio mense Majo anni 1693 in 
Actis Erud. propositi, cum additione G. G. Leibnitii/*) 

Cum in Actis Lipsieasibus Constructionem hanc me reperisae 
9i^aificstf*em meiise Ociobri an« 1693, edenda tamea ea supersedi, 
fiftod futurum putabam, ut vel ab Autore ipso, vd CiarissiBio Virio 
Fratre ejus, vel alio quopiftm non multum absimilis brevi in lucem 
mittereti^r; ac jsubverebar etiam, nt actum a^rem. Qaoniam vero 
««^quaiii ßdiboc comparoit, et est ioter eas quae dari possint quo- 
datainodo ^implicissima, non vid(^ur absque ea diutius reliquendum 
tarn eximium pr oblema. Est autem bujusmodi : In recta AB (ß%. 134) 
sit datum punctum A , et oporteat inveaire curvam AFC talem , ut 
Tangens ^juß quae^rvs CD «bscindat a recta AB partem AD, quae 
ad ip^am CD sku^beat ralionem datam lineae C ad L. 

Cimurmtio: Sicvt C ad L, ita quaelibet AD in i%cta i^ 
d^ftutmtti i9d EF ipsj perpendicularem, et per F punctum poilatar 
diictfi Logaritbmica qiaiecunqtte icujus asymptotos äit AB, ad <|ttam 



*) Eis ist jdies die in 4er folgejQ.4jieff Nui^i^^r enU^altene Abhandlung. 
**) Act. Erudit. Lips. an, 169 I. 



19* 



•09 

illa accedat versus A. Deinde ab A versus E aceepta distantia qua- 
Ifbet AD, Sit ut C ad L, sive ut AE ad EB, ita AB ad aliam DH, 
qua taraquam radio centroque D describatur Circnli circumferentia 
HC ; ac praeterea applicatur ad Logarithmicam recta IG asymptoto 
perpendicularis ipsique DH aequalis. Jam sicut L ad duplum C, 
ita fiat IE ad EK, sumendam in asymptoto in partem alterutram, 
nihil enim refert, et applicetur rursus ad Logarithnjicam recta KL. 
Ctque duae simul KL, £F ad earum difTerentiam, itß sit DH ad DB, 
quae sumenda versus A punctum, si AD major sit quam AE; at 
in contrariam, si minor. Denique erigatur ad asjmptoton perpen- 
dicularis BC; ea secabit circumferentiam HC in puntoC, quod erit 
in curva quaesita AFC. Tangit autem hanc recta EF in F. 

Porro animadversione dignnm est, non simplicem esse cur- 
vaturam lineae hujus, cum C major est quam L, sed ex duabus 
eam tunc componi, ex uno quodam puncto exeuntibus, ut CFA, CM, 
quarum haec in infinitum progreditur. In puncto autem extreme 
C recta ex A educta occurrit curvae ulrique ad angulos rectos, ac 
proportionales sunt DA, DC, DB. 

Excerpta ex epist(»la Chrigt. Hugeaii Z. ad 

G. G. LeibnitiuiB*). 

Principium quo usus est Clarissimus Matheseos Professor 
Bemonüius verum puto et bene adhibitum, quod radii, qui curve- 
dinem metiuntur, sint in ratione contraria virium rem elasticam 
flectenUum. Puto tarnen, non tantum superficiem externam extendi, 
sed et internam contrahi. Magnum admodum postulatum est, figu- 
rarum curvilinearum quadraturas tanquam datas assumere. Ego 
me nihil admodum egisse putarem, si problema aüquod hnc tantum 
reduxissem, excepta tamen Circuli et Hyperbolae Quadratura. Prae- 
' stat Linearum Curvarum Rectificationes tanquam semper in pote- 
state existentes assumere, quod etiam Tibi probari Video. 

De reliquo Clarissimus Bernoullius videtur mihi tantum 
(flg. 135) determinasse figuram , ubi tangentes extremitatum sunt 
parallelae, cum arcus Ela^tici A termini pfer chordam EF junguntur. 
Sed si arcus sit ut in B vel C vel D , aut extremitates non chorda 
sed recta rigida HI jungantur, figiirae determinandae supersunt. 



^) Siehe die Gorrespondenz zwischen Leibniz und Hugeiis* 
Leibnizens niath. Schriften, Bd. 2. S. 190 0*. 



aoa 

Subtile etiaro fatebor inventum consensus iqter figuram elasticam 
et lintei vel veli a liquoris pondere pressi, si modo demonstratum 
videam. Alioqui cogor suslinere assensum, quia et ipsum Autorem 
circa figuram veli sententiam mutasse video, et demonstrare possum, 
velum ex numero finito reetarum aeqaalium compositum (ut in 
fig. 136) aliam a vento, quam a pondere figuram accepturum, cum 
tamen Bernoulliana sententia sit, eandem esse velariam cum cate- 
naria : oporteret ergo discrimen evanescere in casu infiniti. Praestat 
baud dubie Isocbronam tuam Paracentricam construi, ut a Te fieri 
scribis, rectiiicatione lineae ordinariae, vel saJtem talis cujus puncta 
possint construi, quam per lineae Elasticae extensionem, quae ipsa- 
met nondum est constructa. 

Quod ait Clarissimus BernouUius, unicam tantum esse para- 
centricam ut XxwT] (üg. 137) respectu ejusdem puncti vel centri A 
post descensum ex TA, ejus contrarium manifeste video, Tibique 
assentior dari inönitas, ut A/?Z, A3y etc. easque sumo usque ad 
rectam kij inclusive. Quin imo supersunt adhuc aliae Curvae de- 
terminandae, si scilicet aequaliter accedendum sit ad punctum C 
(fig. 138), linea autem incipiat vel ab A, directe supra C, vel ad 
latus a D. Quo casu lineae ut ABC , AEC infinitos facient gyros 
circa C. 

G. G. Leibnitii Additio. 

Puto in flg. 135 ex Bernoulliana determinatione arcus A 
(fig. 134) etiam duci posse determinationem arcuum B, C, D, G, 
assumendo lineae partem aut eam producendo, sed hoc tamen di- 
stincte admoneri operae pretium fuit. Rationi consentaneum est 
principium determinandae iigurae Elasticae, quod vires flectentes 
sint curvedinibus proportionales, potestque ad Hypotheseos aptae 
modum assumi, tametsi non prorsus sit exploratum, quousque na- 
tura eo utatur, cum fingi possint constitutiones corporum, ubi res 
aliter procedat. Praeclara sunt monita de diversls Isochronarum 
paraoentricarum speciebus et constitutionibus ; omnes tamen mea 
constructione comprehenduntur. Et licet ipsam lineam rectam AD 
Visus sim exdudere, quia in ea nullus revera fit descensus vel as- 
census; quia tamen concipi potest in ea descensus vel ascensus ut 
infinite parvus seu evanescens, haberi potest pro limite seu ultima 
harum linearum. Problemata curvarum transcendentium ad qua- 
draturas reducere, magna quidem ad solutionem praeparatio est; 



904 

fifteor tarnen (sepösita mear gencfraü tJönätructiöne tractdria) prae^ 
fi^are rem reduci ad Knearum Jatn ^ött^tructarum reductiones, quod 
H ego qudties opus feci faciamque. 



XIII. 

SÜPPI^EMBNTÜM GEOMETRIAE DIMENSORIAE, SEÜ GENER4- 
USSIMA OMNIUM TETRA GONISMORÜM EFFECTIO PER MO- 
TÜM: SIMILITERQÜE MULTIPLEX CONSTRÜCTIO LINEÄE EX 

DATA TANGENTIUM CONDITIONE.*) 

Dimensiones lineartitn, superßciefrum et solidorum plerorum- 
qu6, ut et iüventiones centrorum gravitatis rediu^crntar ad tetrago- 
nismos figufai^in planarum, et hinc nasciiwr Geometria dimensoria, 
toto, Mt ^\t dicam, getiere diversa a determinatrice^ quam rectarum 
tantum magnitudines in^ediuntur atque hinc quaesita puncta ex 
punctis datis detf^rminantur. Et Geometria quidem determin^trix 
reduci polest reguläriter ad aequätiones Algebraicas, in qaibus sei- 
licet idcognita ad certum assurgit giadum. Sed dimensoria sua 
natura ab Algebra non pendet, etsi aliquando eveniat (in casu scOi- 
cet quadraturarum ordinariarum; ut ad AJgebraicas quantitates revo- 
cetur; uti Geometria determinatrix ab Arithmetica non pendet, etsi 
aliquando eveniat (in casu sciiicet coüimensnrabiliiatis) ut ad nume- 
ros seu rationales quantitates revocetur. Unde tripUces habemus 
quUntitatBs: rationales, Algehrüicas et transcendehtes. Est autetn 
fofis irrätionalium Algebraicarum ambiguitas problematis seu mul* 
tiplicitas) neque enim possibile foret, plures valores etdetn proWe- 
mati sattsfacientes eodem calculo exprimere, tusi per quantitates 
radicdles; eae vero non nisi in casibus specialibus ad rationalitates 
revocari possunt. Sed fons trätiscendent^in quantitatum e^t infi-^ 
n(tudö, ita ut GeometriäB tränsctndentiufn (cujuls pars dimensoria 
est) respbrtdeils Anulpsis sit ipsissima icientia iitfiniti. Portti 
(juemädtAodum ad rotistruendas quantitates Algebraicas certi adhi- 
hibeAtur motus, in quibus aut non intersunt curvae materiales, sed 
tantum regulae rectilitteaö, aüt, si curvaö^ rigidae interveniunt, non 
tarnen nisi tatione oc<iursu^nf) seu intersectiöfium usurpari debent: 



^) Aal. ßruidrt. Lip^. an. 1093. 



ita ad construendas quantitates transcendentes hacienus adbibita est 
applicatio seu admensuratio curyarum ad rectas^ uti fit in descrip- 
üone cycloeidis, aut evolutione fili vel foHi iineae vel superficiei 
circumligati. Quin et si quis spiralem Archimedis ant Quadratricem 
Veterum Geometrice (hoc est motu continuo exacto) describere relit, 
hoc facile praestabit quadam rectae ad curvam admensuratione , ut 
motus rectos cireulari attemperetur. Minime igitur haec exciudo ex 
Geometria, etsi id fecerit Cartesius, cum Iineae sie descriptae et 
exactae sint et utiii^simas habeant proprietates, et transcendentibus 
quantitatibus sint accommodatae. Sunt tamen et aUae construendi 
rationes, quae aliquid Physici Videntur habere admistum : ut si quis ' 
prohlemata Geometriae determinatricis eonstnieret per radios lucis 
(quod saepe cum fructu fieri posset) aut quemadmodum nos aream 
Hyperbolae quadravimus, vel logarithmos construximus motu com- 
posito ex aeqnabili et per frictiobem uniformem retardato, vel ope 
chordae sive catenae pondere praeditae lineam catenariam vel 
funicularem (la cbainette) constituentis. Et quidem si exacta sit 
construendi ratio, recipitur in Geometriae theoriam; si faciiis sit 
utiiisque, potest recipi in praxin. Nam et motus secundum certas 
hypotheses factus Geometricae est tractationis, exemplo centri gra- 
vitatis. Est autem novum quoddam motus genus, quem nos opinor 
primi ad construcliones Geometricas adhibuimus , occasione [ mox 
dicenda, cum prae caeteris videatur referri posse ad puram Geome- 
triam, aflinisque sit descriptioni linearum per fila ex umbilicis sive 
focis, quandoquidem in eo nihil aliud requiritur, quam ut punctum, 
lineam in piano describens, ad unam extremitatem fili in eodem 
piano (vel aequivalente) positi alligatum, moveatur altera extremitate 
fili mota, sed non nisi per tractionem, non vero per impulsum in 
transversum, qui nee a filo ob flexibilitatem debet expectari,; tiraha- 
tur autem in ipsius fili tensi seu trabentis directione^ qnod per se 
evenit, si nullum in itinere occurrat impedimentum. Quoniam tarnen 
filum materiale, cum nunquam habeat summam flexibilitatem, quam 
Geometria supponit, facile stylum seu punctum describens (quippe 
in piano libere positum) nonnihil in transversum agere posset, ita 
ut motus styli non esset nuda tractatio ; ideo impedimento materiali 
commode occurritur remedio materiali, ut scilicet causa sit, quae 
punctum describens nonnihil faciat yel apprimi, vel adhaerere looo 
plani cui inest, qualis causa esse potest pondus puncto describenti 
incumbens, seu conjundum, qtiö ipsum boc punctum apprimedtf 



piano horizontali, ia quo moveri lineamque describere debet. IIa si 
resistentia incumbentis , qua fit, ut non farillime loco moveatur, 
praevaleat omnino exiguae illi residuae in filo rigiditati, potius cedet 
filum atque intendetur; atque ita aget tractione, nonimpulsu, quod 
unum hoc loco requiritur respectu puncü describentis. Hinc autem 
fit, ut talis motus mire sit accommodatus ad Geometriam transcen- 
dentem, quia immediate refertur ad lineae tangentes, vel directioneSy 
adeoque ad quantitates elementares, numero quidem infinitas, mag- 
nitudine autem inassiguabiles seu infinite parvas. 

Hujus autem Constructionis excogitandae talis mihi olim oc- 
casio Lutetiae praebita est. Claudius Perraltus, Medicus Parisinus 
insignis, tum et Mechanicis atque Architectonicis studiis egregius 
et Vitruvü editione notus, idemque in Regia Scientiarum Societate 
Gallica, dum viveret, non postremus, mihi et aliis ante me multis 
proposuit hoc problema, cujus nondum sibi occurrisse solutionem 
ingenue fatebatur: invenire linearo BB (fig. 139), quam pondus fili 
vel catenulae AB extremitati B annexum, puncto B vel aequivalente 
describat in piano horizontali, dum alteraro fili AB extremitatem 
A ducendo per rectam immotam AA, eo ipso pondus B trabimus 
per directum planum horizontale, in quod vel aequivalens etiam 
recta AA et durante motu filum AB cadunt. Utebatur autem (in* 
telligentiae causa) horologio portatili suae thecae argenteae incluso B, 
quod catenulae AB ad thecaro alligatae principio A, secundum regu- 
lam AA ducto, per tabulam trahebat Ita imum thecae punctum 
(quod in fundi medio est) in tabula describebat tineam BB. Hanc 
Uneam ego attentius considerans (cum tunc maxime in tangentium 
contemplatione versarer) statim animadverti, quod res est, filum 
perpetuo ]ineam längere, seu rectam, ut sAjB, esse tangentem lineae 
BB in puncto sB. Quod et sie demonstratur: Centro |B et filo 
3A3B tanquam radio describatur arcus circuli utcunque parvus 
jAF^ inde filum ,BF, apprehensum in F, directe seu per sua pro- 
pria vestigia trahatur usque ad 4A, ita ut ex gBF transferatur in 
4B4A; itaque si ponatur sirailiter fuisse processum ad puncta iB, 2B, 
ut ad punctum 3B, utique punctum B descripsisset polygonum 
1B2B3B etc. cujus latera semper incident in filum, unde imminuto 
indefinite arcu, qualis erat 3AF, ac tandem evanef^cente , quod fit 
in motu tractionis continuae, qualis est nostrae descriptionis , ubi 
continua, sed semper inassignaJbilis fit circumactio fili, manifestum 
est, polygonum abire in curvam , cujus tangens est filum. Itaque 



90V 

videbam rem redire ad hoc problema conversae tangentium: inve-. 
nire iineam BB ejus naturae, utAB portio taDgeotis inter axem AA 
et curvam BB intercepta sit constanti datae aequalis. Nee difficile 
mihi fuit deprehendere, hujus lineae descriptionem ad quadraturam 
Hyperbolae revocari posse. Nimirum Centro C vel A (ubi fdum 
iA|B simul est ordioata et tangens curvae), radio vero AB descri- 
batur circulus iBFG, axi AE occurrens in G, et huic axi parallela 
sit I BK, cui ex C educta CF occurrat in K, erit iBK tangens arcus 
circularis ^BF. Jam per F ducatur FLB, parallela axi AE, occurrens 
ipsi iA|B in L, et curvae BB in B, in qua producta sumatur LH 
aequalis ipsi |BK, idemque ubique faciendo, prodibit linea tangentium 
iBHH, et rectangulum iB|AE reperietur aequari figurao tangentium, 
seu areae trilineae iBLü^B; verbi gratia iBjA in lAgE producet 
aequale trilineoiBgLsHiB. Cum igitur figurae tangentium area exhi- 
beri possit per quadraturam Hyperbolae vel Logarithmos, ut notum 
est, patet ejus ope etiam haberi 1A3E seu 3L3B, adeoque punctum 
curvae utaB. Vicissim hinc data descriptione lineae BB quadratura 
Hyperbolae vel Logarithmi construentur. Quibus ulterius explicandis 
non immoror, cum praesertim arbitrer idem optime praestitisse Chri- 
stianum Hugeniumy Virum celeberrimum, qui mihi non ita pridem 
per literas signißcaverat incidisse sibi singularem Hyperbolae qua- 
drandae rationem, quam etiam in Historia Operum Eruditorum publi- 
catam nuperrime, et hanc ipsam esse colügo ex iis, quae nuper a 
praestantissimis fratribus Bernouüns data exbibentur in Actis Eru- 
ditorum, ubi Hugenianorum istorum occasione, motum srmilem ap- 
paret pulchre transferri ad describendam Iineam, ubi portio tan- 
gentis intercepta inter curvam et axem est ad portionem axis inter 
punctum fixum et occursum tangentis, seu AB ad CA (in dg 139) ut, 
recta constans ad aliam rectam constantem. Quae me quoque 
vetenim in hoc genere meorum tandem edendorum admonuere« 

Pronum scilicet statim fuerat intelligere, percepta semel rela- 
lione motus ad tangentes, innuraeras alias Uneas, non ita facile ad 
Quadraturam revocabiles, hac eadem arte construi posse. Nam eU\ 
AA non recta esset, sed curva, non ideo minus filum ipsam BB 
tangeret Quin amplius, etsi filum AB inter trahendum cresceret 
aut decresceret, non ideo minus tangens maueret. Itaque si data 
utGuaque esset relatio inter CA et AB (verbi gratia ut AB existen- 
tibus sinubus, essent CA tangentes ejusdem anguli) varüs machina- 
tionibus oioderari motum iili liceret, ut data lege inter pontrahendum 



90» 

promoveretur. InAnitae etiam lineae eiiem problemati satisfadentes 
hac construendi ratione duci posstint, quaelibet per panctura, si lu- 
bet, datum. Qaodsi punctum describens a pluribus filis sinnil 
trabatnr, composita directio poterit adhiberi. Sed etsi aDum tan- 
tttm 6it fllam, poterit ejus longitudo variari, ipsi ponderi B annexa 
existente fota vel figura per modum describendae cydoeidis in 
piano voluta. Recta etiam rigida ad filum semper normalig, vel 
datum aut certa ]fege variabilem angulum habens, cum B fern po- 
test, in quo etiam inte^Kgi polest moveri punctum describens aliud. 
Possiint etiam duo pondera piano innitentia simul trahi, sive ean- 
dem semper distantiam servantia, sive etiam dnrante motu eam 
▼aiiantia. Possunt etiam duo plana int^liigi, unum in qua moTe- 
bitur punctum C eique firmiter innitelor, altenim in quo Stylus 
ex B cgrediens levissimo attactu < nihil adeo motnm ipsius B tar- 
baturo) describat lineam novam, et hoc planum säum babeat mo- 
tum proprium, eritque lineae novae tangens ipsa recta designans 
directionem motus compositi ex motu styli in piano immoto et 
motu plani alterius. Unde rursus tangentium lineae novae sie de- 
scriptae determinabnntur proprietates. Itaque cum hoc motuum 
genus latlssime diiHindatur et innumeras applicationes recipiat, multa 
olim chartae folia meditando in eam rem implevi, ac de cautioni- 
bus eliam practids cogitavi, praesertim quia usum tarn insignem 
ad tangentium conTersam et inprimis ad Tetragonismos videbam. 
Cum ergo constructionem repererim, generaliter sese extendentem 
ad omnes quadfaturas, qua nescio an alia amplior inde a nata Geo-- 
metria excogitata sit, eam publicare tandem constitui. Tametsi 
enini.ista hactenus in justi operis integraeque velut scientiae ma- 
teriam servaverim, tam multa tarnen alia alteriusve generis snbna- 
scuntur, ut veteribus quacunque occasione defungi tandem praestet, 
ne intercidant, et satis diu ista, ultra Horatiani limitis dtiplum 
pressa, Lncinam expectarunt. 

Ostendam antem» problema generale Quadraturamm reduei 
ad inventionem lineae datam hahentts legem declivitatum, sive üi 
qua latera trianguli characteristlci assigiiabilts datam inter se ha* 
beant relationem, deinde ostendam, hanc lineam per metum a no- 
bis excogitatum describi passe. Nimirum (fig. 140) in omni curVa 
C(C) intelligo rrtctn^Wiim charaeteristicum duplex: assignabile TBC, 
et inassignabile GLC, similia inter se. Et quidem inassignabile com-' 
prehenditnr i^sis 6L,LC, elementis coordinatarum CB,CF tanquam 



croribtt^, <^ GC, elemento ^tcns, taiKpiam baisi seu bypotemtsa. 
Sed Asdignabile TBC comprehenditfir inter ai«in» ordinatatn et tan^ 
g^ntem, eltprirnftqUe adeo angulam, quem direetio cui*vae (sea ejus 
tangens) ad axem vel basib fäcit^ boc est curvae decUvitatem in 
proposito ptmcto G. Sit jam ^ona quadranda F(H), comprebensa 
intör curvam H<H), duas fe^las parallelai FH et <F)(H) et axeid« 
F(F)', in böc axe sünrto puricto fixö A, per A ducatur ad AP nor- 
nialis AB tanquam axls conjngatus, et in quavisHF (producta prout 
opus) sumatur punctum C: seil flat bnea uova G(C), cujus baec 
Sit natura, ut ex puncto C ducta ad axem conjugatum AB (si opus 
producium) tarn ordinata conjogata CB (aequali AF) quam tangente 
CT, sit Portio hujus axis inter eas comprebensa TB ad BC, ut 
HP ad constantcim o, seu a in BT aequetur rectangnlo AFH (cir- 
cumscripto circa trilin^um APHA). His positis, ajo rectangnlum- 
sub a et snb E(C) (di^crimine inier FC et (F)(C) ordinatas cur- 
vae) aequdri zonae PffI); adeoque si linea H(H) producta incidat 
in A, trllineurti APHA figuräiB quadrandae aequari rectangulo sub ä 
constante et FC ordinata figurae quadratricis. Rem noster calculüd 
statim östendit. Sit enim AP,y; et FH,z; et BT,t; et PC,x; eril 
t**zy:a ex hypotbesi; rtirsus t=iydx:dy ex natura tangentium 
noströ calculo expressa*, ergo adx=2?dy, adeoque ax^^/MyrrAPHA.. 
Linea igitur C(€) est quadratix respectu iineae H(IQ, ectm ipritfs 
C(C) ordinata FC; dticta in ü cohstantem, fbciat rectangulttin Sie- 
quak areäe, seu summare ofdii^tftarnbi ipsins H(H) ad absicissaB 
debitas AF applicatarum. Hinc cum BT sit ad AF, ut PH ad a 
(ex bypothesi) detnrque relatio ipsdus PH ad AF (natur^^m eiM*- 
bens figurae quadrandae); dabitnr ergo et relatio BT ad PH ^eu ad 
BC, adeoque et relalio BT äd TC, id est relatio inter latera itiAth- 
guli T6C. Ilaque a& omnes quadratupas adeoque et ad ditnftfisio^i 
nes efficidndas tantum opus data reiatione latenim trianguli cba- 
facteri^tici a^signabilis TBC, seu idata lege declintätüm Gtfrrae,' 
possö describere cUrvam C(C), qnam ostensum est esse quadW* 
triceni; 

Ha^ des^iptio'ita fiel! In figuf. 141 sit angiilo^ reclus TAtf 
immotus et in ptano bori^ontali poMlus, in cujus crure AT pro* 
cedat cylinder cat us Terticttlis TG^ infra dfctiim piatoinn boHfcontale 
prominens, in quo sit sursum deorsuroquo mobilis cyßnder soHdus 
Ffi, in sumttiitate F alligatum babens fihim FTC, ita ut pars FT 
sit intiti '(^lindi^iitll .cattkm, • pa4*6 TC In 4f^b^ ptaiva» hfaruMiab;! 



Porro ad fili TC exlremitatem C sit punctuni pondere sibi iacuin- 
Dente eidem piano inniten^ atque in eo describess lineam C(C), 
iailium autem motus erit in cylindro cavoTG, qui dum ducitur per 
AT recedens ab A, attrahei C. Punctum vero describens seu Sty- 
lus C ante se protrudal HR, regulam in eodem piano horizontal! 
normaliter ad AH (alterum crus anguli recti inimobiiis TAH) ince- 
dentem versus A. quae protrusio nou impedit, quo minus protni- 
dens punctum C sola tractione fili moveatur adeoque ejus directio- 
nem in motu servet. Sit vero et tabula quaedam RLM, eodem sui 
puncto R normaliter Incedens ad regulam HR, caeterum propulsa 
continue a cylindro cavo, ita ut ATHR sit rectangulum* Denique 
in hac tabula sit descripta (per laminam extantem, si placet) linea 
rigida EE, quam cylinder solidus FE incisura, quam in extremitate 
£ habere intelligitur, semper mordeat, ita prout R accedet ad T, 
cylinder FE descendet. Cum igitur quantitas ET + TC sit data 
(nempe composita ex cylindro solido £F et toto filo FTC) sitque 
data relatio inter TC et TR vel RC (ex, lege declivitatum curvae 
data), habebitur et relatio inter ET et TR, ordinatam et abscissam 
curvae EE, cujus proinde natura et descriptio haberi potest in ta- 
bula LRM per geometriam ordinariam; habetur ergo etiam descri- 
ptio lineae C(C) per roacbinationem praesentem. Est autem TC 
semper tangens curvae C(C) ex natura nostri motus, itaque de- 
scripta est linea C(C), ubi lex declivitatum seu relatio laterum trian- 
guli characteristici assignabilis TRC vel TfiC est data. Quae linea 
cum sit quadratrix figurae datae quadrandae^ ut paulo ante osten- 
sum est, habebitur quadratura vel dimensio quaesita. 

Similia variis modis ad conversae tangentium metbodi pro- 
blemata accommodarl possunt, velut si punctum T fuisaet motum 
in curva TT (loco rectae AT), etiam HC eoordinata (seu abscissa 
AR) calcuium fiüsset ingressa. Et sane omne problema conversae 
tangentium re&ci potest ad relationem inter tres rectas, nempe 
duas coordinatas CR, CH et tangentem CT, aut alias functiones 
harum loco. Sed saepe res multo simpliciore motu confici potesU 
Velut si data fuisset relatio iofter AT et TC (quod est «irculis 
lineam ad angulos rectos secantibus, ordinatim positione da^is, in- 
venire lineam C(C)X suffecisset minor apparatus. Cessantibus enim 
iis quae incedunt in H et R, satis eritEE lineam rigidam directri- 
cem describere in piano verticali immobili transeunte per AT. Ita 
proiaoto in recta imm^ta AT puncto T ,seu cylindifo cavo TG, der 



SM 

sceodenteque cylindro solido TE, prout jubet Uaea data direclrix 
EE, quam cyiinder mordet, utique ob sumroam ET + 'f^ congtan- 
tem (ut ante) et relationem inter AT et TC datam facile ioveoie- 
tur rel;|iio debita inter AT et TC, seu natura lineae EE, cujas 
ope desoripta C(C) erit quaesita. 



XIV. 

NOVA CALCULI DIFFERENTIALIS APPUCATIO ET USUS AD 
MULTIPLICEM LINEARÜM CONSTRÜCTIONEM EX DATA TAN- 

GENTIUM CONDlTiONE. •) 

Memini jam a me insinuatum in bis Actis, ut rectarum or- 
dinatim sumtarum concursu hactenus noto, ita et concursu cur- 
varum lineas formari. Sed placet rem non parvi ad Geometriam 
augendam momenti exponere distinctius, nam ne in rectis quidem 
concurrentibus tota ejus vis fuit perspecta. In genere igitur boc 
problema ad communis Geometriae leges revocare hie docebo: Li- 
neis (rectis vel curvis) propositam tangentibus, positione ordinatim 
datis, invenire propositam, vel quod eodem redit : invenire lineam, 
quae tnfinitas lineas ordinatim positione datas tangit. Cujus usus 
cum latissime pateat, calculum in eam rem peculiarem jamdudum 
excogitavi, vel potius buc peculiari ratione applicui noslrum Dilfe- 
rentialem compendio non contemnendo. Scilicet quemadmodum 
Cartesius loca Veterum calculo exprimens aequationes adbibuit, 
quae cuivis curvae puncto conveniunt, ita nos aequationes bic ad- 
hibemus infinities ampiiores, quae cuilibet puncto cujuslibet curvae 
in seriei ordinatim sumtarum curvarum comprehensae accommo* 
dantur. Itaque x et y abscissa quidem et ordinata seu coordina- 
tae esse intelliguntur cujusvis ex dictis curvis, sed speciatim tamen 
accipiuntur de curva ex ipsarum concursu formata seu ipsas tan- 
gente, utili quodam aequivocationis characteristicae genere. Coeffi- 
eientes a, b, c, in aequatioue cum ipsis x et y usurpatae, signiOcant 
quantitates in eadem curva constantes, alias quidem insitas (nempe 
parametros)j aUas vero extraneas, quae situm curvae (adeoque ver- 



*) Act. G^radit. Lips. an. 1694« 



ikk aiiis«|ii0) deinunt. iSed eomparando currab seriei ioter 6e aeu 
-tt^anailuiii de:<ciir«^a.iii curvam coDaidcrando, aliae cciefficientes säst 
eoMstautüuimae set permanmies (quae maaeat noa tanUmt in una, 
sed in omaibiia seriei curvis), aliae suat variabilea. Et quidem ut 
seriei curvarum lex data sit, necesae eat unicam tantun ia eoef- 
ficientibus superesse variabililatem, adeoque si in primaria pro 
Omnibus curvis aequatione naluram earum communem explicante 
plures extent variabiles, necesse est dari alias aequationes accesso- 
riaSj coefficientium variabiiium döpendentiam inter se exprimentes, 
quarum ope orones variabiles ex aequatione primaria toUi possint 
praeter iinam. Caeterum pro concursu dnarum linearum proxi- 
maram, sua intersectione punctum curvae quae:3?tae (qu*am et län- 
gere inlelliguntur) determinantium, manifestum est, concurrentes 
quidem adeoque lineam ex concursu formatam tangentes esse ge- 
minas, intersectionis aulem seu concursus punctum esse unicum, 
adeoque et ordinatam ei respondenteiQ unicam esse, cum alioqui 
in investigatione solita ünearum propositam tangentium, rectarum 
vel curvarum (velut circulorum, parabolarum etc.) ex datae curvae 
ordinatis quaerendarum, ordinatae geminae, tangentes unicae con- 
cipiantur. Itaque quoad praesentem calculum, quo ipsae ex tan- 
gentibus rectis vel curvis positione datis investigantur ordinatae 
(contra quam in communi), manent coordinatae x et y in hoc 
transitu (a proximo ad proximum) invariatae, adeoque sunt indif- 
ferentiabiles ; at coefBcientes (quae in communi calculo indifferen- 
tiabiles censentur, quia constantes) quatenus hie variabiles sunt, 
diirerentiantur. Notabile est autem, si omnes insitae coefficientes 
sint permanmieSf curvaeque adeo ordinatim concurrentes sint coii- 
gruae inter se, perinde fore ac si intelligantur esse vestigia ejus- 
dem lineae motae, curvaque earum concursu formata lineam mo- 
tam perpetuo durante motu tanget.. linde in hoc casu oritur con- 
nexio quaedam cum generatione trochoeidum; nam tii basis, super 
qua volvitur generatrix trochoeidis, generatricem durante motu 
tangit. 

Caiculus autem ita instituetur: Assumatur ahquis angulus re- 
ctus iixus, cujus crura utcunque producta constituere intelligantur 
duos axes relationis curvarum^ seu axem cum axe conjngato, in 
quos demissae normales ex puncto curvae quocunque erunt ordi- 
nata x, et ordinata conjugata seu abscissa y, uno verbo: coordi- 
natae X et y, quarum relationom ex datin quaerendo (labebitur 



0O9 

• 

aeqmtto (1), quam paulp ante app^llavirnus früMrüm^ cum s^t 
cuiilbei cujuslibet curvarum ordinatim sumtaFum puncto oommunis. 
Qaodsi aequatiooi (1) insuQt plures coefficientes variabiles, ut i, c, 
dabiUir earum dependeotia per secuf^dariam aequatioo^m (2)» unam 
vel plures, atque ita ex aequ* (L) toUendo coefficientes variabiles 
praeter unam b, prodibit aequ. (3). Haue aequationem differen- 
tiando, ut prodeat aequ. (4), cum in ea sola affutura sit düfor^n- 
üalis ipsias h, evanescet differentialitaa, adeoque babemus aequ^(4) 
ordupariam, cujus ope ex aequ. (ä) loUendo vartabilem residuam b, 
babebitur aequatio (5)) in qua praeter x el y tantum supererunt 
coefficientes invariabiles (ut a), quae erit aequatio ad curvam quae- 
sitam concursu seriei linearum formataro, adeoque ad seriei linea- 
rum tangentem communem, Sed et aliter instiiui polest cdlculus, 
prout facilitas invitabit, non tollendo stalim variabiles, sed ser- 
vando. Nenipe datis aequ. (i) primaria et aequ. (2) secundaria 
(una vel pluribus pro expücanda dependentia coefficienlium varia- 
bilium inservituris), differentientur aequ. 1, ut prodeal (3), et 
aequ. 2, ut podeat (4) (una vel plures» si pro aequ. (2) affuerint 
plures). Ita habebimus plures quantitates differentiales, sed tarnen 
habebimus et aequationes sufficientes ad eas toUendas; et quidem 
modo tolli possint differentiales quantitates usque ad unam, etiam 
residaa ista evanescet per se, et sie prodibit aequ. (5) ordinaria, 
seu carens quantilate differentiali, quam conjugendo cum aequ. (l) 
et (2) tolli poterunt variabiles omnes, et prodibit aequ. (6) natu- 
ram exprimehs curvae quaesitae, linearum concursu formatae, quae 
erit eadem cum aequ. (5) calculi prioris. 

Hac jam metbodo solvi pqssunt iniumera problemaia subli- 
inkkris G^ometriae hactenus non habila in potestate, iMrtioentiaque 
ad tangentium oonveitsam, ex quibus nonnulla in specimen indic»ibo 
magnae utique generalitatis. Veluti: Data relatione (fig. 142) inter 
AT et Ä^, resegmenta axium per curvae tangentem CT facta, in- 
venire curvam CG; nam rectae curvam tangentes ordinatim posi- 
tione daolur, adeoque et curva quaesita, quippe quae eli'mli con- 
cursu forioatur. Yei ai, dato puncto axis T, detur iineae da^e 
KE punctum £> sie ut junota T£, si opus producta, quaesüa» «cur- 
vam GC tangat, patet ex dicti» curvam CC praescripta hio fueAhekdo 
baberi. Sioiiliter data relatione inter AP «ei A^, nesofmenia ajunm 
4«cU per curvae perpendioularem PC» licet invenice curvam CC: 
n^m ob l^as P^ w*diiiatim poskiene datas^ietiam detui* lioaaiFF 



S04 

formata per earum eoncursum, hujus vero evolutione describetar 
curra CC quaesita. Unde hie quidem infinitae carvae satisfacieDtes 
dari possant, oimnes scilicet parallelae inter se, quae ejusdem lineae 
evolutione condescribuntur ; et data relatione inter AP et Anr, dari 
polest curva quaesita non tantum satisfaciens, sed et transiens 
per functutn datum, Interim hoc casu curva CC non seniper est 
ordrnana, quoniam scilicet non ipsamet, sed ipsins per evolution^n 
generatrix rectarum positione datarum concursu formatur. Certe 
cum ipsa curva formatur concursu, habetur deierminata^ nee in 
arbitrio est punctum, per quod transeat, quae dtstlnctio utilis est 
in hac doctrina. 

Sed exemplum calculi dabimus in problemate itidem generali, 
ad aliquam tarnen specialem lineam applicato : data relatione per- 
pendicularis PC ad proprium ab axe resegmentum AP, invenire 
lineam CC, Patet eniin datis positione punctis C, nempe centris 
circulorum, et radiis PC datis magnitudine (ob datam relationem 
ad AP) dari ordinatim circulos lineam CC tangentes, adeoque 
lineam ipsam circulorum concursu formatam haberi posse, id quod 
jam verbulo indicaveranius olim in Actis 1686 mense Junio sub 
Schediasmatis finem. Itaque centro P, radio PC magnitudine dato, 
describatur circulus CF. Ut ergo methodum paulo ante positam 
huc applicemus, ex puncto circuli quocunque F agantur normales 
ad crura anguli recü PAH, seu coordinalae FG,y, et FH,x (quae 

in casu concursus duorum circulorum incidunt inCB, CL) sit AP,b, 

(1) 
et PC,c; fiet ex natura circuli, xx + yy -f bb=:2bx + cc, aequatio 

primaria omnibus nostris circuh's et cuiqne cujusque puncto com- 
munis. Quoniam autem datur relatio inter AP et PC, dabitur 
curva EE, cujus ordinata PE aequatur ipsi PC; haec curva ponatur 

(exempli gratia) esse parabola, cujus parameter a, et fiel ab «scc, 
quae aequatio secundaria exhibet relationem seu dependentiam inter 

(8) 

cetb. Hajus ope toUendoc, ex aequ. (l)^fietxx-f yy+bbs=2bx+ab; 
patet autem in aequ. (1) praeter coordinatas x et y adesse coeffi- 
cientes c, b^ a, ex qqibus c et b sunt in uno circulo eonstantes, 
et c quidem est circulo insila, cum ejus radium designet; b est 
exiranea, qnippe situm centri designans; aihbae variatis circulis 
sunt variabiles, sed a est constantissima sive permanens, cum non 
uniuB tantum circuli omnibus punctis, sed et pro omnibus ckculis 



d08 

nostris in aequatione maneat eadem. Reducta jam aequatio (3) ad 
uDam coefBcientem variabilem b, differeDtietur secundum b (solam 
in ea differentiabilem) et fiel 2bdb=2xdb + adb, seu (evanescente db) 

(4) 

fit b=x4~A ' 2 (qui calculus in casu unius differentiabilis in effectu 
coincidit cum methodo vetere de maximis et minimis a Fermatio 
proposita, ab Huddenio promota, sed quae tantum est coroUarium 
nostrae). Jam ope aequ. (4) tollendo residuam coefBcientem varia- 

(5) 

bilem b, ex aequ. (3) fiet ax-f- aa :4=yy, quae e^ aequatio ad 
curvam CC quaesitam. Idque indicio est eam esse parabolam, ipsi 
datae AE congruentem, sed paulo tantum aliter sitam; continuata 
enim CC yertice suo V incidet in axem AP, sed supra datae AE 
verticem A, ita ut distantia verticum AV sit communis lateris recti 
pars quarta. Si alteram calculandi rationem malis per plures dif- 
ferentiales, resumtae aequationes (l) et (2) differentientur, et ex 

(8) (4) 

(1) fiet bdb= + db + cdc, sed ex (2) fiet adb = 2cdc, quarum (3 

(5) 

et 4) ope tollendo de evanescet simul et db, et fiet b^x + a:2, 
ul pauio ante. Unde jam per (I), (2), (5) tollendo c et I) coef- 

ficientes variabiles, prodibit ax+aa:4=:yy pro aequatione lineae 
quaesitae, ut ante. 

Atque ita docuimus data relatione perpendicularis PC ad pro- 
prium ex axe resegmentum AP exhibere lineam CC, quia ordinatim 
dantur circuli lineam tangentes. Sed data relatione rectae tangen- 
tis TC ad proprium ex axe segmentum AT (seu circulis normali- 
bus ad lineam ordinatim datis) invenire lineam CC, alterius est 
methodi, et constructione tractoria talis linea haberi potest, a nobis 
in bis Actis Sept. anni superioris mense*) explicata. Hujus autem 
praesentis methodi nostrae maximus praeterea est usus ad com- 
plura alia problemata Geometriae superioris, aut etiam ad mecha- 
nica vel physica applicatae. Cum enim id agitur, ut figura for- 
metur, in quovis puncto dato suae lineae terminantis praestans ali- 
quid desideratum, persaepe consequimur quaesitam formando ipsam 
concursu linearumy^quarum quae?is in aliquo puncto satisfacit, ipso- 
inet sdlicet puncto concursus. Hac ratione jam olim in Schedias- 
mate de Lineis Opticis inveni modum lineas exhibendi, quae.cadios 



*) Siebe die vorhergehende Abhandlung. 

V. ao 



806 

ordinatim positione datos, seu a datae figurae speculo venientes, 
reddant convergentes , aut divergentes, aut parallelos. Formatur 
enim talis linea ellipsium concursu, si radii debeant fieri conyer- 
gentes; eademque niethodus valet, si reddendae sint parallelae aut 
divergentes. 

P. S. 
Solutionen! suam Problematis Bernouliiani mense nupero Majo 
una cum objectione Anonymi Actis Eruditorum insertam, Dn. Marchio 
Hospitalius Autor defendere non dislulit, ostenditque, ut intelleii, 
Anonymum, si calculum suum ad finem perduxisset, ipsummet solu- 
tionis datae successum fuisse deprehensurum. Caeterum Anonymus 
ille aliam solutionem non dedit, neque id secundum Analysin vul- 
garem facile praestari potest. Nostra autem nova, adeoque et Dn. 
Marchionis, ac Dominorum Bernoulliorum Methodus, non hoc tau- 
tum, sed et, quemadmodum jam mense Julio in Actis anni superioris 
est admonitum , innumera similia solvlt , sive absolute pro re nata, 
sive per quadraturas. Et generale Problema sie concipi potest: 
Data ratione inter duas Functiones invenire lineatn. Data ratio 
intelligitur, quae est inter duas datas, veluti m et n. Functtonem 
voco portionem rectae, quae ductis ope sola puncti fixi et puncti 
curvae cum curvedine sua dati rectis abscinditur. Tales sunt: 
Abscissa AB vel kß (Og. 144), ordinata BC vel ßC, tangens CT vel 
C^, perpendicularis CP vel Ctc, subtangentialis BT vel ß9; subper- 
pendicularis BP vel ßn^ per tangentem resecta AT vel A^, per 
perpendicularem resecta AP vel A;r, corresecta PT vel n-d', radius 
osculi seu curvedinis CP, et aliae innumerare. 



XV. 

CONSIDERATiONS SUR LA DIFFERENCE QülL Y A ENTRE 
L ANALYSE ORDINAIRE ET LE NOÜVEAU CALCÜL DES 

TRANSCENDANTES*;. 

La Solution d'un probleme de consequence proppse par M. 
Jean Bernoulli, que M. le Marquis de PHospital a donn^ dans les 
M^moires de TAcademie Royale des Sciences, et tout ce qu'oa a 

*) Journal des S^avans de l'ao. 1694. 



807 

eu la bont^ d'y dire en faveur de mon calcul^ qui sert k ces chosefi, 
.m'engage k en dire un mot, pour animer les G^om^tres ä le per- 
fectionner. U faut avouer, que TAnalyse ordinaire est encore assez 
ünparfaite : le public n'a pas encore le moyen de trouver les racines 
du cinqui^me degre et au dela, et 11 n'a pas encore de methode 
generale pour le calcul qui se fait ä la fa^on de Diophante pour 
r^soudre les questions en nombres. Ainsi il ne faut point s'etonner, 
si notre nou?eau calcul des differences et des sommes, qui en- 
veloppe la considiration de l'infini et s'eloigne par cons^quent de 
ce que rimagination peut atteindre, n^est pas venu d'abord ä sa 
perfection. Mais comme il est beaucoup plus utile que le calcul 
des equations du cinqui^me degre et au dela, ou que le calcul de 
Diophante, quoique j'aye trouv^ le moyen de les faire encore senrir 
au notre, il est important qu'on s'y applique. Messieurs BernouUi 
ont ete les premiers, qui ont timoigne publi<{uement avec un tres 
grand succös, combien ils l'avoient trouve propre pour resoudre 
des probldmes Physico-Mathematiques, dont la porte paroissoit fer- 
mee auparavant. M. le Marquis de l'Hospital y a pris goüt aussi, en 
ayant donne de beaui echantillons; et enfin M. Huygens lui-möme 
en a reconnu et approuve la consequence. II faut rendre cette 
justice ä M. Newton (k qui la Geometrie, l'Optique, et TAstronomie 
ont de graudes obligations) qu'encore en ceci il a eu quelque chose 
de semblable de son chef, suivant ce qu'on en a scu depuis. II est 
vrai qu'il se sert d'autres caracteres : mais comme la caracteristique 
m^poe est, pour ainsi dire, une graude part de l'act d'inventer, je 
crois que les notres donnent plus d'ou?erture. Pour ce qui est de 
ceux qui ne se servent que de i'Analyse ordinaire, et pensent peut- 
dtre qu'elle leur suffit, il sera bon de leur proposer des problömes 
semblables au dernier de M. Bemoulli. 

En voici un plus general, qui le compreud avec une inflniti 
d^autres. Soit donn6 la raison, comme man, entre deux fonctions 
quelconques de la ligne ACC, trouver la ligne. J'appelle fonctions 
toutes les portions des lignes droites, qu'on fait en menant des 
droites indefinies, qui repondent au point fixe et aux points de la 
Gourbe, comme sont (fig. L44) AB ou A^ abscisse, BC ou ßC or- 
donnie, AG corde, CT ou C^ tangente, CP ou Gtt perpendiculaire, 
BT ou ßd' sous-tangente, BP ou ß7c sous-perpendiculaire, AT ou 
Ad' resecta ou retranchee par la tangente, AP ou Att retranch^e 
par la perpendiculaire, T9 et Ptt sous-retranch^es, sulhresectae a 

20* 



SOS 

tanginte vd perfmdicülari, TP ou ^^ eorrtsettaej hi tmtia&xM 
d'antres d'one constniction plus composee, qu'on se peut figurer. 
Le Probleme se peut toujours resoudre, et ii y a moyen de 
construire la ligne, au moins par les qaadrartures, oa par ies reo- 
tificatioDs. Car oette methode, ou ce ealculus diffirmtifüis, sert 
Bon seuleiDent aux differences, mais eseore aux sommes, qui sont 
le r^dproque des differencea, ä jpevt pr^s comme le calcal ordinaire 
ne aert pas seulement aux puissances, mais encore aux rariues, 
qui sont le redproque des puissanoes. Et Tanalogie va plus loio 
qu^on ne pense. Dans Tanalyse ordinaire on peut toi^ours delivrer 
le calcul a vinculo et des racines par le moyen des puissMUces: 
mais le public n*a pas euo<»'e la methode de le delivrer des puis- 
sances impliquees par le moyen des radnes pures. De m^me datis 
notre Analyse des transcendanteä, an peut toujours delivrer le cal- 
cal a vinevio et des somtnes par le moyen des differences: mais 
le public n'a pas encore la m^tliode de le delivrer des differences 
-impliquees par le moyen des sommes pures oa quadratures: et 
comme il n'est pas toujours possible de tirer les racines effective- 
ment pour parvenir aux grandeurs rationnelies de TArithm^lique 
commune, il n'est pas toujours possible non plus de dpnner effec- 
tivement les sommes ou quadratures, pour parvenir aux grandeurs 
ordinaires ou algebriques de Tanalyse commune. Cependant par ie 
moyen des series inßnies on peut toujours exprimer des grandeurs 
rompues comme en entiers, et des incommensurables en rationelles, 
et des transcendantes en ordinaires. £t j'ai donn^ par Ik une voye 
generale, selon laquelie tous les probl^mes, non seulement des dif* 
^rences ou sommes, mais encore des differentio^diffi^renlieile« ou 
sommes des sorame» et au delä, se peurent -canstmire suffisam*- 
ment pour la practique : comme j'ai donn6 aussi une ccmstrudioo 
generale des quadratures par un mouvement continu et r^le. 

Enfin notre metbode etaot proprement cette partie de la Ma- 
thtoatique generale, qui traite de Tinfiiii, c'est ce qui jbit qu-on 
«n a fort besoin, en appliquanC les Math^matiques ä la Physique, 
paroe ^ue le caract^re de rAuteur infini entre ordinairement dam 
les Operations de k nature. 



309 



XVI. 

COiNSTRUCTIO PROPWA PROBLEMATIS DE CUR VA ISOCHRONA 
PARACENTRICA, UBI ET GENERALIORA QUAEDAM DE NATURA 
ET CALCULO DIFFERENCIAU OSCULORUM, ET DE CONSTRUC- 
TIONE LINEARUM TRANSCENDENTIUM, UNA MAXIME GEOME- 
TRICA, ALTERA MECHANICA QUIDEM, SED GENERALISSIMA. 
ACCESSIT MODUS REDDENDI INVENTIONES TRANSCENDENTIUM 
LINEARUM UNIVERSALES, UT QUEMVIS CASUM COMPREHEN- 
DANT, ET TRANSEANT PER PUNCTUM DATUM»). 

A eeleberrimo Viro Jac, Bernoullio , Matheseos apud Basite- 
enses Professore, in Actis mensis Junii nuperi velut invitatus, prae- 
sertim cirea problema a me olim, cum nondum nostra caIculaDdi 
methodus frequentari coepisset, propositum, responsionem defugere 
nolui, tametsi et valetudo vacUlans et aliae multiplices causae excu- 
sare me fortasse possent. Et quidem profundius ista meditari non 
licet aut demonstrationes introspicere, minime tarnen dubito, pro 
explorato acumine Viri, rera attulisse. Quo constituto libenter ag- 
Bosco, noa faoiie in specialium problematuro solutione apud Geo- 
Bietras pulchriora repertum iri. Quaedam tarnen annotabo, quae 
mihi priflQo aspectu sese obtulere, nee novo studio indigcbant. 
Theoremata pro inveniendis radiis circulorum osculantium elegantia 
et utiiia sunt, utorque similibus vel ex presse vel potius yirtualiter, 
ipsa calcoli nostri natura jubente, quoties generatricem evolutoriam 
?el oscula quaero lineae non nisi differentialiter seu per tangentium 
proprietatem datae ; tunc enim ut ex duabus incognitis generatricem 
determinantibus unius (altera sublata) valor per ipsas x, y, dx, dy 
lineae differentialiter datae generaliter habealur, utique veniendum 
est ad differentio-differentiales, quae (amen cessant in appficatione, 
quia dy:dx per ordinarias explicatur. Sed et pro centris non mi- 
nus ac radits circulorum osculantium theoremata generaliora formari 
possunt, quae certorum elementorum aequalitate non indigent. 
Tale hoc est (cujus coroUaria sunt, quae Vir Cl. attulit) radius 
osGuli est ad unitatem, ut elementum unius coordinatae est ad ele^ 
mentum rationis elementorum alterius coordinatae et curvae. Ra- 
tionem autem hie sumo pro re homogenea unitati yel numero, quae 

oritur ex dirisione antecedentis per consequens. Item: distanlia 

^-»^"^■^""" •^^•^^'^^ 

*) Act Erad. Lips. an. 1694. 






810 

centri osculantis circuli ab ordinata cunrae est ad unitatem, ut tertia 
proportionalis elementorum abscissae et curvae est ad elementum 
rationis elementorum abscissae et ordinatae, Et qnod notatu dig- 
num est, possunt haec indagari sine mediatione figurae, nempe ex 
calculo solo a nobis proposilo, quaerendo scilicet aequationem localem 
ad reclam curvae normalem, eamque differentiando secundum quan- 
titales in ea geminatas, methodo a me praescripta in bis Actis April. 
1692 et nuper*) illustrata. Nempe sit (fig. 145) abscissa AB,x, 
ordinata BC,y, Tel contra; et elementum curvae sit de. Et CP ad 
curvam perpendicularis axi oceurrat in P, sumaturque in ea punc- 
tum quodcunque G, unde ad axem normalis GF ducatur. Jam sit 
AF,f, et GF,g, fietque (cum Signa ita postulabunt) g+y adf— x 
ut dx ad dy seu fiet g + y = f ~ x , dx : dy, quae est aequatio localis 
ad rectam indefinite productam, curvae normalem. Verum quia jam 
duarum hujusmodi rectarum quaeritur intersectio, differentianda est 
haec aequatio, boc tantum observalo, ut g et f, ob commune punc- 
tum concursus, considerentur velul coinciden tes in ut raque recta, 
adeoque indifierentiabiles. Et fiet dy = f — x d,dx:dy — dxdx:dy; 
seu dcdc.'dy (tertia prop. ipsisdy,dc) est add,dx:dy (elementum 
rationis inter dx et dy) ut f— x ad unitatem, quod est posterius 
tbeorema ex iis, quae paulo ante adduxi. Quod si rationem inter 
dx et dy vocemus r , ßt dx ad rdr : , 1 + rr (elementum quoddam 
pro dicta ratione logarilhmicum) ut distantia a coordinata, nempe 
f — X, est ad unitatem. lisdem positis, radius osculi vocetur q, fiet 
qdy:dc = f — x; et differentiando fiet q d,dy:dc = — dx seu fiel 
q ad I , ut — dx ad d , dy : de, vel q ad 1 , ut dy ad d , dx : de, quod 
est tbeorema prius. Et omnino variari ista possunt infinitis modis, 
constituique pro usu problematura; potissima tarnen elegantioraqoe 
consignari prodest ad scientiae incrementum. Et latent sane in 
istis, quae egregios usus babere possunt. 

De Elastro in Universum quidem dici, opinor, potest: tensio- 
nem esse proportionalem vi tendenti. Sed cum in solidi contenti 
mutatione tensio consistat, non solet tota in longitudinem refundi, 
ut si fingamus piJas inflatas in lineam depositas esse vicinamque 
vicinae nodo quodam alligarit ac totum funem ex Ulis compositum 
intendi, manifestum est, funis extensionem in longitudinem non fore 



*) Siehe die Abhandlung: Nova Calculi Differentialis applicatio 
et usus etc. 



811 

proportionalem tensioni aeris inclusi in pilis seu vi tendenti. Quae 
causa etiam est, quod de lamina elastica non aeque ac de catena 
certi aliqnid constitui potest. Itaque recte Cl. Vir generalia dedit 
pro quacunque tensionis lege. 

Cum varios modos construendi transcendentes lineas exami- 
nassem olim, omnium absolutissimuro esse repereram, qui fieret 
inventione punctorum quotcunque per meras quantitales ordina- 
rias seu Älgebraicas, supposita tantum unica quantitate constante 
transcendente pro punctis omnibus, cum alias pei*petuo trans- 
cendentibus novis sit opus pro puncto quovis. Et hoc modo usus 
eram ad catenariae constructionem. Is igitur valde probatur Cele- 
berrimo Viro pag. 271 : dolendum tamen censet, quod non sit uni- 
versalis; etsi enim succedat in bis, quae pendent a logarithmis vel 
quadratura hyperbolae, non tamen adhiberi posse, ubi quadratura 
circuli vel altior alia requiritur. Cum vero mihi secus videatur, 
omninoque arbitrer pro circuli dimensione, imo et pro altioribus, 
simile aliquid ßeri posse, ad promotionem scientiae interest, ut res 
Donnihil declaretur. Nempe quod pro quadratura hyperbolae prae- 
stat Sectio ralionis seu inventio mediarum proportionalium , id pro 
circuiari praestat sectio anguli. Itaque loco logarithmicae adhiberi 
potest linea sinuum (nostro more explicata) vel linea tangentium, 
aliaque similis. Nempe sumatur (fig. 146) quadrans circuli ABCGA, 
cujus basis BC est sinus totus, altitudini autem BA utcunque pro- 
ductae in E, tamquam axi, ordinatim applicentur sinus recti hoc 
modo : Arcus quadrantis bisecetur in G, et segmenta AG, CG rur- 
sus bisecentur in H et K, et segmenta AH, HG, GK, KC denuo 
bisecentur, eodemque modo pergi intelligatur. Porro similiter 
altitudo EB bisecetur in (G); et E(G), B(G) in (H) et (K) atque 
ita porro: tum ipsae rectae a punctis sectionum ad axem ductae, 
ut GL, HM, KN seu sinus angulorum GBC, HBC, KBC (quos cum 
basi comprihendunt radii a punctis sectionum arcus ad centrum 
ducti) ordinaüm applicentur respondentibus punctis sectionum alti- 
tudinis, seu t:ansferantur in (G)(L), (H)(M), (K)(N), et sinus totus 
BC in B(C), et linea E(M)(L)(N)(C) erit linea sinuum, atque ita si 
ordinatae velui (M)(H) sint ut sinus angulorum (velut ABH), ab- 
scissae E(H) erint ut anguli seu ut arcus (velut AH). Et siquidem 
tota altitudo EB sit aequalis arcui quadrantis, abscissae erunt arcu- 
bus dicto modo respondentibus aequaies. Igitur linea haec sinuum 
per puncta descrbi potest non minus ac logaritbmica» Ipsa autem 



semel descripta, dataque una sola quanUtate constante» qiiae est 
ratio diametri ad circumferentiam, seu data ratione arcus quadrantis 
AGC ad radium BC, adeoque data ratione arcus AGC ad altitudinem 
BE (cujus ratio ad BC pro arbitrio sumta est), patet ope lineae 
sinuum descriptae arcum circuli quemvis dari, adeoque et segmenti 
cujusque circularis vel sectohs quadraturam. Quemadmodum aulem 
in logarithmica datur unica illa quantitas requisita, si detur figurae 
descriptae tangens, ita in linea siuuum idem est. Nam si ordinatae 
sint sinus, et abscissae siut proportionales arcubus, erunt elementa 
abscissarum proportionalia arcuum elementis. Jam elementum arcus 
est ad elementum sinus, ut radius ad sinum complementi. Ergo 
in figura sinuum dicta erit elementum abscissae ad elementum or- 
dinatae, id est, erit sublangentialis quaecunque T(G) ad ordinatam 
GI4 seu sinum in ratione composita radii AB ad arcum quadrantis 
AGC, et altitudinis BE ad BL sinum complementi; et ipse arcus 
quadrantis erit ad radium, ut BE altitudo lineae sinuum est ad T(G) 
subtangentialem 45 graduum sinui respondentem« Porro quemad- 
modum lineae transcendentes, id est aequation« algebraica seu certi 
gradus inej^plicabiles , nempe de gradu in gradum transeuntes, de- 
scribi possunt seclione rationis vel anguli: ita manifestum est, ia- 
numerabiles alias hujusmodi per puncta constructiones posse esco- 
gitari linearum transcendentium, quas ad alias quadraturas, itenque 
ad tangentium universam methodum seu differentialium primi gradus 
con&tructionem profuturas, ex dictis intelligi potest. Atque fta ad 
novum velut pelagus meditationum aditus patet, quod rite ingn^dienti 
praeclara dabit, cum in bis vera consistat connexio Analjsers alge- 
braicae atque transcendentis. Qua occasione noto obiter, quod Vir 
Clarissimus in mei gratiam Älgebraicas se imposterum y#caturum 
alt, quas ante Geometricas vocaverat, non ita a me accisi, quasi 
mihi nescio quam in bis affectationem imputet, sed quoi rationes 
meas non improbet, quibus inductus statuo, quicquid e^ctum est, 
Geometricum esse, Mechanicum vero quod fit appropinouando ; nee 
minu$ peccasse Cartmum haec Geometria exciudendo, quae ipsius 
Analy^ non subjiciebantur, quam Veteres Cartesio p^casse erant 
visi» qui lineas supra rectam et circulum ad mechani^as retulerant« 
Nota, quam Vir Clarissimus adbibet p. 271, nvie intelligatur» 
an quadratura figurae ordiuariae ope logarithmicae ahiberi possit, 
quod scilicet res tum demum succedat, cum ordinsta figurae qua- 
drandae est subtangentialis Aigebraicae, non yidetur/ uni^rsalis , nee 



aia 

11131 pro Ulis est, quae simpliciQre rs^ione per logarithmos constru- 
lustur. Nam eo casu, quo haec nota locusi habet, logarithmus or- 
dinatae ad a]teram illam curvam Algebraicam dicta subtangentiali 
praeditam erit aequalis rationi, quam ordinata quadratricis, seu 
summatricis habet ad constantem, scilicet in quadratrice sit ordinata y, 
in quadranda u iB altera algebraica v, abscissa utrobique sit x^ et 
in algebraica ad v sit subtangentialis 9, sitque ady=tdz, et t detur 
per X, et ob notam praescriptam sit q == aa : t« erit ex natura sub- 
tangentialis dx : q =: d? : V = t dx : aa «= dy : a. Ergo log. v g=y :a. 
Sit jam in exemplo ad instantiam aplo t == x + aa : x, fiet y == xx : 2a 
-|- a log. X. Ergo si nota dicta esset universalis , deberet dari 
quantitas algebraica v, cujus logaritbmus esset xx : 2aa 4~ l<)g* x* 
seu logarithnuis rationis inter quantitates algebraicas v ei x deberet 
esse quantitas algebraica xx : 2aa indefinite in quibuscunque v vel r, 
quod fieri nequit. Invenire auteni, utrum quadratura fieri possit 
per logarithmicam , vel etiam per dimensiones conicas, alteiius est 
analyseos, quam a methodo tangentium inversa distinguo. Et quod 
ad haue attinet, agnosco me proposuisse iuter alias viam per aequa- 
tionem generalem a + bx^-cy etc. ad curvam indefinitam, cujus 
usjum non oontemnendum puto, praxi ipsa et speciminibus edoctus. 
Sed contractionibus quibusdam, aliaque industria opus esl. 

Ad seriem, quam Professor Clarissimus exhibet p. 274 1 pro 
exprimenda quantirate y =/*, xx dx : V i — **, pervenire etiam potest 



simplici expressione potentiae brnomii. Nam 1^1 1 ^-b^rl+yb 

, e..e — 1., , e.e — I.e — *,- ^ j • -. • n r* 

-f 5—0— bb H i— 7r"Q b* etc., quod si sit ^ 1 : v 1 — x*, 

erit e Ä — 1:2 et b = — x*, unde explicando seriem 1 + -rb etc. 

ei proveniess imilliplicando per xxdx habebitur valor ipsiua dy, 

„^e fiety = 3^ x» + ^ {-y x' + ~^^x" + j^—j-^*' 

etc. Ego sane compendii causa utor hoc artificio post Newtonum 
eüam ad series meas, cum uniea irrationalis calculum ingreditur, 
quia sie sublatio ejus evitatur, quamquam et post exaltationes (pre- 
Iijüuft licet) ad idem perveniri possit, methodo generali a me prae- 
scripta^ 

Yenio jam ad problematis mei solutiouem « seu lineae (quam 
Tofip) hoahranae farucmtricae a mt ]frof08tita$ ^oiMmctiontm^ 



314 

occasione currae elasticae a Viro Clarissimo feliciter inventam et 
ipsa ejus evolutione exhibitam, qua me invitare ridetur, ut meam 
quoque solutionem prodaro. Fecissem multo ante, si satis vacare 
liceret bis laboribus. Jam enim ante complures annos babui, et 
quidem pauIo post Isocbronam simplicenfi inventam, quando et publice 
proposui quaerendam hanc paracentricam paulo diflicilioreoi. Sed 
plernmque viam reperisse contentus, prosecutione abstinere cogor, 
adeo ut ad ipsius Catenariae constructionem vix derouna, diu post 
repertam ejus analysin, me accinxerim, cum sciiicet amici urgerent. 
Apparebit autem, meum processum non tarn ab eo, quod feliciter 
extrinsecus oblatum est, quam ex ipsius rei natura statim per se 
provenisse. Et quamquam adeo non improbem constructionem da- 
tarn, ut laudem potius, quippe quae ad rem difficilem Autort aditum 
dedit, nee iis asseniiar, qui peccatum dicunt, composito magis 
modo praestari, quod potest simpliciore, neque enim peccatum est, 
quod perfectissimum non est: cum tarnen mihi sese obtulerit con- 
structio satis expedita per rectificationem curvae ordinarine, hanc 
?elut toto genere simpliciorem illa, quam Vir Cl. dedit, paucis de- 
signare volui. Nam ipse curvam quandam construit quadratura 
seu dimensione ejus figurae, cujus ordinata est axx:^a^ — x*, et 
hujus quadratricis transcendentis (quam ob usum Elasticam vocat) 
rursus dimensionem adhibet, ut solvatur problema quaesitum, atque 
ita curvam a me propositam efficit per solutionem transcenden- 
talem secundi generis. Sed cum curva sit ipsamet nonnisi generis 
primi, quia tantum ad eju s constru ctionem requiritur quadratura 
figurae, cujus ordinata est ya* — x*:a, ideo lineam quoque quae- 
sivi algebraicam, cujus rectificatione quaesitum commode praestaretur. 
Quomoüo autem hae duae quadraturae conicis dimensionibus respon- 
deant, alias ostendam. Adest enim peculiaris pro ta libus analysis. 
Sane, si quadrauda esset figura ordinatarum ^a* 4- x* (quae signo 
tantum a dicta differt), per extensionem curvae byperbohcaa res 
praestaretur. Sed nunc ad propriam constructionem problematis 
propositi progrediamur. 

Quaeritur, qualis sit (fig. 147) linea Isochrona paracentrica 
1C2C3C, in qua moto gravi, quod descendit ex al(itudine H, acces- 
sus et recessus respectu eentri cujusdam A seu puncti fixi sit 
aequabilis, adeoque elementa distantiarum ab A sint elementis 
temporum proportionalia. Distantiae AC repraesentent tempora t; 
ex |C agatur |C|^ normalis- ad X^C, erunt i^iC ut elementa tem- 



315 

ponim de Arcus curvae appellentur c, elementa eorum de tam- 
quam elementa spatiorum, quae grare percurrendo absolvit. Sunt 
autem (ex generalissima motus lege) elementa spatiorum in ratione 
composita velocitatum et tempöris elementorum. Yelocitas voce- 

tur V. Hinc de ut vdt. Distantia inter horizontes punctorum H 
et A seu HA vocetur a, Porro ex lege motus gravium, velocitates 
sunt in duplicata ratione altitudinum HB. Sit AB,x> et HB erit 
a + X (nam varietates signorum pro talibus in ipso literae valore 
comprehendo, nee in calculo moror, cum omnia eodem modo pro- 

yeniant), fiet yv ut a +x, et per (1) et (2) fit de ut dtya + x, 

(3) , 

seu ad implendam legem homogeneorum dc = dtvaa + ax : a. Jam 
centro A, radio si placet AH describatur circulus AKM, axem AB 
secans in K, et AG in M. Et Arcus KM (qui vocabitur m) reprae- 
sentet angulum conversionis reclae AMC circa A; itaque M2M seu 
dm erit ipsius arcus circuli sive motus angularis seu vertiginis ele- 
mentum. Itaque fit |C|d'«=tdm : a. Est autem quadr. 1C2C aequ. 

(4) (5) 

quadr. 2^1^ + quadr. i^iC; ergo dcdcsdtdt + ttdmdm : aa == (per 
aequ. 3) dtdt + xdtdt : a. Ergo dt : t=: dm : yax* Ex M ad axem 

(7) 

agatur normalis ML, et AL vocetur z, fiet ax = zt, nempe ob trian- 

, (8) 

gula similia ALM, ABC. Et per (6) et (7) fit dt : V at =«: dm : Vaz^ 

(9) , 

Jam ex proprietate tangentium circuli est dm ad dz ut a ad yaa — zz, 
id est, ut AM ad ML, radius ad sinum anguli KAM. Et ex (8) et 

.— (10) 

(9) fiet dt : V at = a dz : Va*z — az', unde summando 2 ^at = 
aa^jdz :Va*z — az* + b, ubi b est quantitas comtans pro arhitrio 
assumta. Id enim licet inter summandum, quoties non vetamur 
Problematis conditionibus. Quod cum non satis observari videam, 
monere hoc loco volui, quoniam interest ad solutionum generalita- 
tem. Nam |infinitae satisfaciunt curvae, iisdem manentibus punctis 
H et A, sed quae variari possunt pro variata reeta 6, adeo ut 
curva quaesita (quantum judico) reperiri possit, quae transeat per 
punctum datum. Nuncsuperest absolvenda quadratura/^dz : ^a^z — az', 
id est (si AN sit media proportionalis inter AL et AK), invenienda 
est area figurae, cujus ordinata sit ad AH ut quadratüm ab AH ad 
rectangulum sub AN et LM. 

' Hanc quadraturam ita efficiemus: In HK sumatur LW ae- 



IMfl 

qualis ifü EK dkgonali quadrati ak AiH val AE, ei juDOta MW«, 
siunatur Aß in AK, si 0]iU8 producta, quae sit ad AN in.' duplkatii 
ratioae MW ad WL eeu EK. Et ipsis kß ordioaliiu ad. aoguloa 
rectoi appltcentur ßy^ quae sint ad LM (respoAdentes) ui reetaie 
gulum NAL ad quadratum ab EK. Et per puncta y describatur 
linea Ay, cujus extensione in rectum babebitur quadratura paulo 
ante dicta. Nempe triplum rectanguli sub curva Ay et recta AH, 

deinto quintuplo dimidii rectanguli sub AN et LM (=|Va*z — az*) 
dabit figurae supradictae ab A incipiendo sumtae (cujus lordinatae 
sint reciproce proportionales dictis rectangulis sub AN et LM) aream, 
quam applicando ad a prodibit reeca BaJ*,At : Va^ — az^. Haeo 
recta sumatur cum recta coostante h (sigois tarnen, prout casus 

postulaiU, variatis), provenientis dimidium vocetur p. Ergo per 

— (11) 

aequ. 10 fit vat=p seu t = pp : a. Et cum p habeatur ex % et 

a, babebitur ex illis et t seu AC. Ergo et x seu AB per aequ. 7. 

Cum ergo ex assumta AL seu z quacunque habeatur AB magni- 

tudine, adeoque et positione, at AC magnitudine; babebitur AC 

etiam positione, seu dabitur punctum C. Nam centro A, radio AG 

magnitudine dato describatur circulus, cui ex B normaliter ad AB 

educta occnrret in puncto C, quod est in curva Isochrona para- 

centrica quaesita. Delineationes variabunt pro casibus, quam in 

rem et b assumta variari debet. Nam quod arbitratur Vir Claris- 

simus, non nisi unam lineam quaesitam dari ad idem punctum A 

et ad eandem aitttudinem H, id rogo, ut denuo expe^dat: mihi 

enim visum est infinitas haberi posse, ita ut assignari regulariter 

queat, quae per datum punctum transeat, exceptis punqtis hori- 

zontalis rectae transeuntis per A. Quin et supra A talis linea in- 

telligi potest. Tantum vero ipsius acumini et profundae harum 

rerum notitiae tribuo, ut quod re rite expensa meisque rationibi» 

consideratis, secunda meditatione statuet, plurimum af ud me poB- 

deris sit habiturum. 

Interim quemadmodum rationem universalem hie aperiii, j^ef 
quam solutiones Prohl$matum differentMium redduntur ^mertieBi 
quae neglecta» ni fallor, obstitit, quominus Vir C]aria9iaiiis hie 
omnes liiieas qnaesito satisfacientes compleeteri^tur: ila dabo mo^ 
dum MBf^cmiewm quidem> sed tamen ob universaUtatem et piweo». 
commoditatem non contemnendum, cujus. Qpe quaernnque ItfusoA 
quaesitM mutsoeidfeiirfs difftr$ntMüer iatat per pmctum datum 



(ipiondö ii fieri p$tmj duei pomint, idqne tameB mAt^ quam 
qais Toiet, Jicet non «t Geomeiricus sapra dedaratos («xemplo 
lindae sinuDin) per puncta vera, sed tantam per verts proxima in^ 
cedat. Habetque fannc usum, ut de lioearum possibHiUie, fornia 
et «atura iniilta etiam ante verani solatiooem cognoscere possitnus. 
Quin et ad differenlio-differentiaies cojuscuoque gradus applicari 
polest. Nempe in exemplo praesente datum sit punctum |C, pcfr 
quod ducenda linea Isochrona paracentrioa CC, in qua grave lat>sum 
ex altitadine H aequabilker recedat a centro A ; quaeritur punctum 
aliquod aliud proximum ^C, ita ut recta iC^C sit latus polygoni, 
curvae succedanei. Praeter rectam AiH, in quam (si opus pro* 
ductam) incidit tC, ducatur aiia, quantum satis vicina A2M (ad eas 
partes^ ad quas ducere volumus lineam CC) et ad A^M agatur ex 
iC perpendicttlaris iCi^. Et in Ai-S- (si opus producta) sumatur 
(ad eas partes, ad quas ducitur linea 1C2C) recta ipsi AH aeqoalis 
i^iP; unde perpendiculariter educatur ^PiQ (ad easdem quas dixi 
partes). Bisecta AB in w, centro cu, radio (oU descriptus cir^^uli 
arcus secet A£ si opus productam in R, seu brevius, quaeratur AR 
media proportionalis inter AH et HB. Denique centro iC radio 
aequäli ipsi AR descriptus arcus circuli secet iP^Q, in ^Q, et juncta 
^C|Q, secabit ipsam A2M si opus productam in puncto quaesito ^C. 
£odemque modo ex puncto 2C quaeretur 3C, et ita porro. Et sie 
babebitur polygonum iC2CaC etc. lineae quaesitae succedaneum, seu 
Imea Meckaniea Geometrica vicaria, simulque manifeste cognosc»- 
mus, possibilem esse Geometricam per datum punctum ^C transe- 
untem, cum sit limes, in quem tandem polygona continue adver- 
gentia evanescunt. Ita simul et seriem quantitatum ordinariarum 
habemus transcendenti quaesitae advergentem. 

Quae ad tangentium conversam de caetero meditati sumus, 
alio loco, Deo voiente, proferemus ; multa enim diversissima itinera 
Bon isine successu exploravimus, tametsi prosequi salis non vacet. 
Pro radicibus aequationum omnino dari puto methodum generalem, 
neque imaginarias maramur. Itaque quod inde colligit Vir Doclis- 
simus, hactenus probo, ne miremur, si in Transcendentibus intra 
paudssimos aimos nonomne pffaestitum est quod vellemus, quaudo 
4fi ipsB -Analysi ordinaria seu aigebl'aica cirCa radices aequationum 
seu Talores incognitarum analyticos nemo gradum quarto altior^n 
dkacriTit, nee Yieta Tel Cf^tt$i»s in eo negotio quicqufam majorum 
itnlßtftis )&dje(^itnit. 



9U 

Postreroo ne disceptatianculae prigtinae inter nos circa nu- 
merum radicum oBCulaüonis, monitoromque Viri Ciarissimi plane 
obliviftcar. Equidem quod initio scripseraiDi cum maieriam banc 
Geometris proponerem. adhuc mihi verum videtur, quando sei- 
licet circuliis lineam osculatur, duos contactus aeu quatuor inter- 
secüones in unum abire, adeoque adesse quatuor radices aequales. 
Interim verum quoque est» si quis modo circulum reperiat lineae in 
tribus punctis coeuntibus occurrentem, habere osculantem. Nam 
quartum punctum eo ipso adest, etai ejus non fiat mentio. Cujus rei 
ratio est, quod nunqoam circuius lineam ad easdem partes cavam 
secat in tribus punctis, quin simul secet in quarto. Si vero cir- 
cuius lineam secet in tribus tantum punctis, oportet in arcum 
lineae, in punctis interceplum, cadere punctum flexus contrarii. 
Et tamen nihiiominus in ipsomet puncto flexus possumus pro oscu- 
lante concipere quatuor inlersectionum coincidentiam, seu duos ab 
eodem latere ciirvae contactus circulares, unum ante, alterum post 
punctum flexus, seu unum in concava, alterum in convexa parte 
arcus ex duabus partibus hujusmodi compositi, qui contactus con- 
tinue convergentes tandem in ipso flexu coibunt Et revera flexus 
contrarius est punctum extremum commune, in quo duae lineae, 
una concava, altera convexa (nnam totam constituentes) se tangunt. 
Coincidunt ergo duo contactus seu quatuor intersectiones in omni 
osculo. Sed si de intersectiouibus rectae cum linea quaeratur, tria 
tantum puncta intersectionum coincidentia, vel conlactum cum in- 
tersectione coeuntem, nempe in ipso puncto flexus, non vero duos 
contactus, concipere licet. 



XTII. 

NOTATIUNCÜLA AD CONSTRUCTIONES LINEAE, IN QUA SA- 

COMA, AEQUIUBRIÜM CUM PONDERE MOTO FACIENS, INCE- 

DERE DEBET, MENSE FEBR. ANNI 1695 IN ACTIS DATAS, 

ET QÜAEDAM DE QUADRATÜRIS. *) 

Jucundissimum fuit solutionem Dn. Marcbionis Hospitalii egre- 
giam problematis elegantis et utilis, tum Additiones ingeniosissimi 



•' 



*) Act. Eradit. Lips. an. 1695. — Die vorstebeade Notiz besieht 
sich auf das voa dem Marquis de THospital im Jahre 1695 vorge-« 



sie 

Dn. Joh. Bernoullii videre, quibus solutionem umversaliorem et 
constructionem faciliorem reddit, meritoque rem notatu dignam cen- 
set, quod idem hie et )>er differeiitiales et per methodum Geome- 
triae communis obtinetur. Cujus rei complura exempla et mihi 
occurrerunt. Et sane in concreto saepe ostenduntur rerum ori- 
gines connexionesque, in abstractis terminis non aeque apparen- 
tes. Consideratio autem cenlri gravitatis jam ipsa per se com- 
pendium differeutialium seu summationem involvit, unde roirum 
non est, si per eam differentiales resuantur. Quod ut clarius ap- 
pareat, ostendam, quomodo brevissima illa constructio etiam ex dif- 
ferentialibus statim et recta via sine interventu centri gravitatis 
nascatur. Nempe ex natura aequilibrii, quod semper manere sup- 
ponitur, patet debere (6g. 149) pondus M ductum in elementum 
ipsius IP, aequari ponderi B ducto in elementum ipsius IH: ita 
enim non plus descendetur quam ascendetur/ seu eruut elementa 
descensuum vei ascensuum reciproce ut pondera. Quia ergo M 
in dlP aequal. B in dlH, erit summando M in IP aequ. B in IH, 
seu M ad B ut IH ad IP, prorsus ut Bernouliiaua construciio ha- 
bet. Si intelligatur ipsa trochiea C non fixa manere^ sed lineam 
duraute motu ponderum et sacomatum (nam vicissim sibi sunt 
pondus vel sacoma) describere, eadem tamen methodus locum ha- 
bebit, quemadmodum et in aliis simiiibus. l*ulcherrimum autem 
est, quod notat, lineam a Dn. Marchione Hospitalio praescriptam 
ex geuere Epicycloidum esse. 

Quod vero observat, summationem ordinatarum, quae sunt 
ut Va* + X*, pendere ex dimensione curvae parabolae cubicae, etiam 
Dn, Marchio me monuerat. Visus autem mihi sum, cum ista sub 
manibus haberem, coonexionem videre cum dimensione curvae Hy- 

legie und gelöste Problem: Sit (fig. 14S) pons sublicius AB conver- 
tibilis circa axem A, sitque trochleae G circumduetus Tunis BCM, cujus 
una extremitas »ustinet pontem, altera pondus vel äaconia M. Quae- 
rilur qualiü üebeat esse curva CMN aut LMN, sie ut ubicunque exi- 
steos pontus M lo curva, semper aequihbrium faciat cum punte AB. 
Dasselbe wurde von Johann und Jacob BernouUi ebenfalls gelöst, und 
s(war von dem ersteren in der folgenden allgemeineren Form : Data in 
piano verticali curva quavis AB (fig. 149), quaeritur in eodem piano 
altera curva LM, ita ut duo pondera dataB,M communi fuuiculo BCM, 
trochieam positione datam C ambienti, aliigata et curvis ubicunque 
imposita, semper sibi muluo aequilibrentur, vel quod tantnudem est, 
minima vi moveri possint. 



«so 

perf>olicae, sed talia nunc resumere non Kcet, quae aKqnando tti- 
ratius tractare spero. 

De caetcfro video doctissimum Dn, Joh. BemouUium non pro- 
bare, quod Dn. Cratgius tacite supposuit in tractatu de Quadra- 
iuris'*), quantitatem irrationalem habere summatricem etiam ir- 
rationalem similem. Et fateor hoc sine demonstratione illic fuisse 
positum, sed quoniam mihi methodo simili nounihil, universaliofe 
tarnen ni fallur et bre?iore, talia tractanti principivm innotuit^ non- 
dum quod sciam in hoc argumento consideratum, nnde demonstra- 
tio ad rem pertinens haberi potest, proponere hoc loco placet. 
Dico igitur termhium summandum et terminum summatorem, vel 
quod eodem redit, differentiam et terminum differentiandum (thu 
BernouUii integralem vocant) habere easdem ambiguitates seu ra- 
dicum varietates, cum quaevrs radix termfni det propriam serieiDy 
«uas quoque proprias differentias habentem. Et proinde si sit y 
differentia Tel summandus, et v summa vel differentiandus, seu si 
sit /ydx ^ V, seqnitur in aequatione, quae exprimit relationem in- 
ter y et x, et in aequatione quae exprimit eam inter v et t, ipsas 
y et V ascendere ad easdem dimensiones. Sequitur etiam irratio- 
nalitates se simili modo habere, quippe quibus itidem varietas radi- 
cum indicatur. Certe Cl. Cratgius non pauca attutit egregia, quae 
faciunt, ut incrementa adhuc majora bis scientiis ab eo dperem, 
multumque ejus ingenuitati debeo, quod meis meditalionibus aliquid 
debere voluit. Si consilium ejus scivissem, potuissem fortasse ali- 
qua ad methodi incrementum suppeditare. Utinam tantum Ulis ab- 
stmuisset, quae acerbe in Yirum excellentis ingenii et doctrinae dixit, 
cui, quae ipse innnit, imputare mihi nunquam in meutern vetilt. 



XTIII. 

RESPONSIO AD NONNÜLLAS DIFPICÜLTATES A DN. BERNARDO 
NIEWENTUT CIRCA METHODUH DIFFERENTULEM SEU INFI- 

NITESIHALEM MOTAS. *•) 

Egregii Geometrae Batavi, Domini Bimardi NiiweiUiit, ira- 
ctatus duos novas circa caiculum differentialem et Analysin infinite 



^) Tractatus Mathematicas de Figurarum curvilinearum quadra- 
tdris> et locts geotn^tricis. Aotore Joh. Craige. LondiDi 16i>3. 

**) Act. ErudiU Lips, an. 1695, 



a0i 

panris ulentem *% imper itissu alteriu^, ut ajpiparet, dociissuni (jdßo-> 
metrae Dn, J. Makreely autoris jussu acoepi. Itaque cum a me 
pluribus in Jocis difQcultatum quarundam solutio humaüissime pe- 
tatur, operam reipubJicae Jiterariae debitam defugere nolui, tametsi 
summa tantum capita attiDgere tot alils distractus nunc quidem 
possim. Ad tria potissimum res r<edit: mßthodum meam calculi 
differentialis et »ummatorii laborare mmmuni cum aliis üffi-- 
cuUate, quod scüicet quantitates infinite /parvae oJ^jiciantur^ fiuasi 
essent nihil; secundo, hane methodum non. passe applicam ^ad cur^ 
voß, in quarum aequatione indeterminata ingreditur ,exfonentem; 
terüo, tametsi mens calculue di/fermtialis primi gradus ,sustineri 
pa$sity differentias tarnen inferiores^ secundi, tertii et ßliorum 
j/raduum, ut ddx seu d^o?, dddx sive d^x, et ita porrOy non fosse 
condliari cum prmcipio darissimi Autoris, quo tarnen ßplo Qeo- 
metciam hanc statuminarl posse arbilratur. Specialia nonnulla, 
quae Hospitalianis, Bernoullianis et meis objecil, nunc non attingo, 
cum illustrissimus Marehio Hospitalius et ingeniosissimi Fratres 
Bemoullii tot praeclara inventa sua oplime tueri possint. 

Quod ad primam objectionem attinet, clarissimus Autor hanc 
in praefatione Considerationum ponit enunciationem, quam iiqui- 
dissimae veritalis es&e autumat: Solae eae quantitates aequales 
sunt, quarum differentia nuüa est seu nihilo aequalis. Et in Atia- 
lysi cuniiüneorum, sub initium axiom. 1 pag. 2: Quicquid toties sumi, 
hoc est per tantum numerum {etiam infinitum, sie enim intelligit) 
multiflicari non potest, ut datam uUam quantüatem, utut exiguam, 
mqgnitudine sua aeguare valeat, quantitas non est, sed in re Geo- 
metrica merum nihil. Hinc quia in aeguationibus pro tangentibus 
iuvestigaadis, Maximisque et Minimis (quam Dn. Autor Barrovio 
tribuit, primus tarnen, ni fallor, Fermalius usurpavit) remanent 
quantitates infinite parvae, abjiciuntur autem earum quadrata vel 
rectaqgula; hiyus fei rationem ex eo ducit, quod quantitates ipsae 
.infinite parvae seu infinitesimae sunt aliquid,., quoniam per nume- 
rum infinitum multij)licatae quantitatem datam (id est, ordinariam 
¥•1 assignabilem) efficiunt; secus autem se habere earum rectan- 
gula Tel quadrata, quae proinde ex axiomate praemisso sint me- 



*) CDnaideraliones oirea analyseos ^d quantitates infi^oite ipar- 

vas applicatae principia. Amstelod. 1694. 8. — Aoalysis infioitorotn. 
Amttelod. 1695.4. 

V. 21 



ft»» 

rum nihil. Ego quidem fateor magni ine eorum diligentiam facere, 
qui accurate omnia ad prima principia usque demonstrare conten- 
dunt et in talibus quoque Studium nou raro posuisse; non tamen 
suadere, ut nimia scrupulositate arti inveniendi obex poiiatur, aut 
tali praetextu optime inventa rejiciamus, nosque ipsos eorum fru- 
ctu privemus, quod et oiim Patri Gottignies et discipulis ejus circa 
Algebrae principia scrupulosis inculcavi. Caeterum aequalia esse 
puto, non tantum quorum differentia est omnino nuIJa, sed et quo- 
rum differentia est incomparabiliter parva ; et licet ea Nihil omnino 
dici non debeat, non tamen est quantitas comparabilis cum ipsis, 
quorum est differentia. Quemadmodum si lineae punctum alterius 
lineae addas, vel superficiei lineam, quantitatem non auges. Idem 
est, si lineam quidem lineae addas, sed incomparabiUter minorem. 
Nee uUa construcUone tale augmentum exhiberi potest. Sciiicet 
eas tantum homogeneas quantitates comparabiles esse, cum Euciide 
lib. 5 defin. 5 censeo, quarum una numero^ sed finito multiplicata, 
alteram superare potest. Et quae tali quantitate non differunt, 
aequalia esse statuo, quod etiam Archimedes sumsit, aliique post 
ipsum omnes. Et hoc ipsum est, quod dicitur differentiam esse 
data quavis minorem. Et Archimedeo quidem processu res sem- 
per deductione ad absurdum confirmari potest. Quoniam tamen 
methodus directa brevior est ad intelligendum et utilior ad inve- 
niendum, sufficit cognita semel reducendi via postea methodum ad- 
hiberi, in qua incomparabiliter minora negliguntur, quae sane et 
ipsa secum fert demonstrationem suam secundum lemmata a me 
Febr. 1689 communicata. Et si quis talem aequalitatis definitio- 
nem rejicit, de nomine disputat. Sufficit enim inteliigibilem esse 
et ad inveniendum utilem, cum ea, quae alia magis (in speciem) 
rigorosa methodo inveniri possunt, hac methodo semper non mi- 
nus accurate prodire sit necesse. Itaque non tantum lineas infi- 
nite parvas, ut dx^dy, pro quantitatibus veris in suo genere as- 
sumo, sed et earum quadrata vel rectangula dxdx , dydy , dxdy, 
idemqüe de cubis aliisque altioribus sentio, praesertim cum eas ad 
ratiocinandum inveniendumque utiles reperiam. Nee profecto video, 
quomodo doctissimus Autor in animum suum inducere potuerit, 
ut statueret, lineam seu latus dx esse quantitatem, at quadratum 
yel rectangulum talium linearum esse nihil. Licet enim hae quan- 
titates infinities infinite parvae, numero infinito primi gradus mnl- 
tiplicatae, non producant quantitatem datam seu ord'^ariam, faciunt 



d2ft 

tarnen hoc multiplicatae per nnmerum infiDities iniinitum, quetH 
rejicere par Don est, si numerum infinitum admittas; prodibit enim 
numero intinito primi gradus ducto in se. Quod autem in aequa- 
tionibtts Fermatianis abjiciantur termini, quoB ingrediuntur talia 
quadrata vel rectangula, non vero illi quos ingi*ediuntur simplices 
lineae infinitesimae, ejus ratio non est, quod hae siut aliquid, illae 
vero sint nihil, sed quod termini ordinarii per se destruuntur, hinc 
restant tum termini, quos ingrediuntur lineae simpliees infinite par- 
vae, tum quos ingrediuntur harum quadrata vel rectangula: cum 
vero hi termini sint Ulis incomparabiliter minores, abjiciuutur. 
Quod si termini ordinarii non evanuissent, etiam termini infinitesi- 
marum linearum non minus, quam ab his quadralorum abjici debuis- 
sent. Adjungi possunt Lemmata quaedam mea, calculi differentialis 
fundamentis inservientia, ex Actis Eruditorum Lipsiensibus Febr. 1689, 
quae Cl. Autor non nisi post editas Considerationes in praefalione Trac- 
tatus Analytici sibi occurrisse profitetur, ubi jara tum incomparabi- 
littm considerationem adhibui ad has dißicuitates praeveniendas. 

Quod ad secundum attinet, doctissimus Vir aequationes ex- 
ponentlales (ut a me appeliantur) sua methodo traclari posse pu- 
tat, mea non item. Idque tali ratione cap. 1 Analys. pag. 62 seqq. 
et cap. 8 pag. 280 per suam calculandi rationem ostendere conatur, 
quam tarnen usitatis mihi symbolis ratiociniisque sie exprimo. Sit 

aequatio (ad curvam transcendentem) y = z, unde alia pari iure 

fiet y + dy""^ — »2 + dz. Itaque differentiando aequationem (1), 
id est aequationem (1) ab aequ. (2) subtrahendo, ut dz seu diffe- 
rentia inter duorum z valores (ipsius nempe z et ipsius z + dz) 
babeatur (quod . calculi diiferentialis fundamentum est), utiqueex(2) 

x + dx (3) x4-dx(4) x + dx 

et (1) fiet y + dy — — y'«dz, sed y + dy— r-~ = y -• — + 

x + dx— 1 

X . y '■ dy (quia ut olim in his Actis a me generaliter nota- 



(5) ni m— 1 m.m — 1 m-2 

— »m ±. V — r — a l 



tatfim est m y + a = y^ + -ly ~~ a* H — ~ — y~~^a2 etc.; 

uode ex sententia Autoris, evanescente termino — ^ — ?r — — : — a^ 

1 .2. 

et sequentibus, quid a est infinities infinite parva, et pro a sub- 

stituendo dy, et pro litera m substituenda x + dx prodit aequ. (4). 

x+dx x + dx — 1 

Itaque ex aequ. (3) per aequ. (4» fit y — - — + xy : dy— 

(«) 
.y^Ksdz. ..Verum haec ratio exprimendi maximis laborat difBcultati- 



t|as, quia noli jservat leges homogeneorum caiculi diffepentiaUfi, «i 
quod Caput est, non ^hibet quaefiitiiin, nempe ratioaem dx ad dy 
«ea subtangentialis ad ordinatam, ia tertttnis ordinaitis e&presaaiD, 
neque adeo ductu linearuai aasignabitiimi eonscrui potegt Imo re- 
dit ad identicum. Naoa juieta principium oieuin avpra exposüum, 
qUanätas incoinparabiliter oiinor alteri majori fruafra additur, et, 
ei thaec non evaneacat (actu ?el virtualiterX iptsamet abjioi debet 

Itaque in aequ. (6) pro dy, dx, dz additis ad alia incomparabiliter 

x + x + 0— I (7) 

majora, scribendo 0, fiet y"-^^ + x.y ^ — — J?«=0, hoc est 

abjecto pariter, et termino per multiplicato, fiet y*-^y*«*^, 
qaae aequatio vera quidem, sed Mentica est, unde talis calcalus non 
t)rodest. Quak quid ego 'quoque expertus sum, ut si sit b^^^, 

. x-f-dx 

poBita 6 constante, tunc b"": — — b* erit =dy; et hanc dividendo 

dx 

per b« fit b"^ — l=5dy:b*, et pro dx et dy ponendo 0, fit b* 
'^ l=0:b^ sea b®— 1 = 0, seu b®=:l, ut constat, ergo fit 1— 
1 = 0. Sed talis identicismus in mee calculo differentiali evitotor. 
Interim non diffiteor obtulisse se mihi casus, ubi ista quoque cal- 
culandi ratio non prorsus neghgenda sit. Verum ut ?ideat G. 
Niewentiit meam metbodum differentialem ad aequatioaes quoque, 
ubi incognita vel indeterminata ingredkur exponentem, (et quidem 
•utiliter) porrigi, quas ego fortasse omnium pitimus eoosiderandas 
Geometris proposui, cum meum Tetragonismum CircuU Numericum 
dalfem in Actis Eruditorum anni 1682 mens. Febr., attingam hoc 
\bto paucis, quod jam a muhis annis halmi, H ad summum Geo- 
metram Ckrl^iiamm HugetHum dudum persdripsi, nempe aMUdm 
^ilTer^ntiandi aequationes exponebltiales, quem Algorithme meo oliilQ 
pub'Kcafto inder€fre 'non admodom neeesse ^rat ob taüüm exprisa- 
sionum raritatem^el insolentiam, quae, fateor, tanta est» ut ipse 
Hugenius eas aegre admiserit Nee quisquam mihi notus «iftt prae- 
ter ingeniosissimum Bernoulliumj qui proprio Marte, me non m'o- 
üfitite, et ipse in calculo differentiali huc :pen!>enerit litque ad 'baec 
penetrant, quae Hugenius per jocum hypertranscendentia appelia- 
tat. Nempe sit x^a=iy, fietv. log. x:*^ log. y; jato log. l«fc/Jdx:x 
et log. y =>Cdy : y. Ergo v.y^dx:x==/^dy:y, quam differentiando 
fit vdx : x+ dv log. x=dy :y. Porro v dehet dari ex x ot*,y, am- 
l)obub vel sin^lis, ergo scribi potest dy=mdx + ndy, et m pa- 
ritcfr atque n dabuntur ex 1 €t y tat ]pro8ibit: Ydx : x + tdg.t .taäx 
»dy:^— log.x.ndy, et Set ^ ad djr (seu siikang. ai ordn 



natam) ut y ad — hm log. y. Itaque habetur modus ducendi 

taogentem Ulis carvae ex supposita hyperbolae quadratura v^l Lo- 
garitkmis; pro generali autem differeDtiaiione exponentialium sufficii 

Algorithmo meo hunc canonem ascribi: d,x^ = x^ — dx + dv + 

X 

dv.log.x. linde si v $it constans numerus ut e, proditd,xo=:x«-dx, 

id est e . x^I^dx, quod est theorema nostri Algoritbmi pro differea* 
tiatione polentiarum vel radicum diidum traditum. 

Superest, ut tertiam Yiri Cl. difiicultatem paucist absol^am, 
ooDtra difliMrenliationes soilioet successivas seu quantitates differentio- 
diffisreotiales. Iloque ipsas ddx non putat admittendas, nee eftse 
qoamitates, quia per infinitom numerum multiplicatae non deoi 
qaantitatein ordinariam. Sed sciendum est oninino eam prodire, 
ut ad primsm di£Sciiitatem jam monui, ai numerus multiplicans ait 
iübiitvs altioris gradus. Et res saue etiam aliunde multis modis 
«onfioi potest. Nam quotiens termini non crescunt uniformiter, ne»- 
Gess« est incrementa eorum rursus differentias habere, quae suoit 
utique diflerentiae differentiarum. Deinde concedit Cl. Autor, dx 
esae quaittitatem; jam duabus quantitatibus tertia proportionalis 
utique est etiam quantitas ; talis autem , respeetu quantitatum x et 
dx, est quantitas ddx, quod sie ostendo. Sint x progressionis Geor 
metricae, et y arithmeticae, erit dx ad constantem dy, ut x ad eon<- 
stantem a^ seu dxc= xdy : a; ergo ddx = dxdy : a. Uiide toUendo 
dy : a per aequationem priorem fit xddx s= dxdx , unde patet esse 
x ad dl, ut dx ad ddx. Et oontinuata progressione Geometriea 
etiam reliquae diffeventiae ulteriores ordine prodeunt. Et generaliter 
in progressione G«ometrica non tantum series ^ifferentiarum ojusr 
dem gradus, sed et series transitus seu differentiationum, Geome«- 
trioae est progressionis. Sed et harum differentiationum successir 
varum veritas ususque rebus ipsis confirmatur. Nempe, ut jam alias 
notare memini, qnantitas ordinaria, quantitas infinitesima prima seu 
iN£tereRtialis, et quantitas differentio-differentialis Tel infinitesima aer 
Gunda, sese kabent nt motus et celeritas et soilicitatio, quae est elor 
mestam ceieritatis. Motu describitur linea, velocitate elementum linear, 
8oUicitatio0ie (ve)ut initio descensus a gravitate, yel motus a eonatu 
centrifugo) elementum elementi. %i in ipsa Geometna quantilates 
ordinariae sunt pro Tulgari Algebra, differentiales primi gradus refe- 



8*6 

runtur ad tangentes seu linearum directiones, sed diiTerentiales 
iilterioris gradus ad osciila seu linearum cuiTedines, quod etiam 
jam notare memini. Finiam, ubi hoc unum adjecero, mirari me, 
quomodo doctissimus Niewentiit credere potuerit, ex nostris |)riDci- 
piis sequi hoc absurdum, quod in omni curva subtaogentialis sit 
ordinatae aequalis, Consid. p. 19. Sit curvae elementum de, erit 
dxdx + dydy = dcdc, ut constat ; ergo diiferentiando dxddx + dyddy 
= dcddc. Si jam de constans fit ddc = 0, et fit dxddx -|- dyddy = 0, 
sed hac differentiaii in summatricem rursus versa ^ait prodire 
I dxdx = ^ dydy, adeoque dx = dy, quod utique absurdum est Si 
talibus uteremur calculis, quomodo eorum ope tot veritates detexis- 
semus? Sed respondeo summando seu versa diiferentiali in sum- 
matricem, proditurum J dxdx + ^ dydy — /Jdc= 0, seu constantem 
areolam esse subtrnhendam, alioqui fieret non qu idero dxdx = dydy, 
^ed potius — dxdx = dydy, seu dy = dx ^ — 1? quae est aequatio 
impossibilis, quod indicat /9 non debere esseO, sed habere signum — , 
et esse quantitatem constantem, quae non alia est, quam ^ de, quia 
ipsam de posuimus constantem. Unde redit aequatio initio posita 
dxdx + dydy = dcde, prout oportet. Et simili abusu calculi diife- 
rentialis laboratur Consid. p. 21; nee mirum est hoc modo 
calculura non esse tuium aut incidere in absurda. * Sic et in ipso 
Tractatu majore seu Analys. Inf. c. 8 p. 283 ponit triangula cha- 
racteristica ejusdcm curvae, modo numero sint finita et serie non 
interrupta sese consequantur, esse similia inter se; unde facile 
infert, positis elementis abscissarum aequalibus, etiam elementa ordi- 
natarum etc. fore aequalia. Sed cum ubique curva directionis suae 
inclinationem mutet (alioqui non curva, sed recta foret) etiam an- 
guli continue, licet insensibiliter seu per discrimina incomparabiiiter 
parva mutanlur. ,Qua de re me quoque olim ratiocinationes insti- 
tuere memini. Difiieultas quoque objecta Consid. p. 20 contra tri- 
angulum, cujus basis est altitudine incomparabiiiter minor, ejusdem 
est commatis: id enim pro isoscele habetur, quia difierentia inter 
altitudinem et hypotenusam incomparabiiiter parva es^t, perinde ac 
diiferentia inter radium et seoanlem anguli infinite parvi. Sed baec 
sufficere judico, et ipsi Cl. Niewentiit satisfactura spero, qui si 
Ingenium et doclrinam magis ad augenda, quam retractanda haec 
studia vertere volet, haud dubie praeclara dare poterit, quemadmo- 
dura ex bis ipsis spectminibus judicare licet. 



82V 

Additio ad hoc Schediasma. 
ÜDum adhuc addere placet, ut omnis de realitate differentia- 
ram cujuscunque gradus ^ toUatur disputatio , posse eas semper 
exprimi rectis ordinariis proportionalibus. Nempe sit liiiea quaecun- 
que, cujus ordinatae crescunt vel decrescunt, poterunt ad eundem 
axem in iisdem punctis applicari ordinatae secundae ad novam 
liaeam terminatae, proportionales differentiis primi gradus seu ele- 
mentis ordinatarum iineae primae. Quod si jam idem fiat pro 
secundis ordinatis, quod factum est pro primis, habebuntur ordi- 
natae ad liaeam tertiam, proportionales primarum ordinatarum dif- 
ferentio-differentialibus seu differentiis secundis, seu, quod idem est, 
secundarum ordinatarum differentiis primis. Et eodem modo etiam 
differentiae tertiae et aliae quaecunque per quantitates assignabiles 
exponi possunt. Modum autem differentiis primi gradus proportio- 
nales exhibendi rectas ordinarias jam tum explicui, cum primum 
hujus calculi elementa traderem in Actis Octobris 1684. Nempe 
inspiciatur ibi fig. 111, reperietur dx, elementum abscissae AX vel x, 
repraesentari per rectam assignabilem in figura separatim positam, 
et deinde dy, elementum ordinatae XY seu y, repraesentari per 
rectam quae sit ad dictam dx jam assignatam, ut XY ordinata est 
ad XD interceptam in axe inter tangentem et ordinatam. £t quo- 
niam eadem opera habetur modus exponendi differentias gradus 
secundi per proportionales Ulis differentias gradus primi, et in 
Universum posteriores per praecedentes proximas, patet nullum esse 
gradum differenüalium utcunque remotum, qui non per rectas assig- 
nabiles exhiberi tandem queat. Quod si solae darentur differentiae 
primae, sequeretur omnes ordinatas crescere uniformiter, seu om- 
nem lineam esse rectam. Interdum autem, continuando aliquousque 
differentiationes, tandem finiendum est, cum nimirum linea differen- 
tiarum repraesentatrix, secunda vel tertia vel alia ulterior, fit recta. 
Nempe si ordinatae primae sint ut abscissae, tunc Unea prima est 
recta et caret differentiis secundis. Si ordinatae primae sint ad 
parabolam (nempe quadraticam) seu si sint ut quadrata abscissarum, 
tunc linea secunda erit recta, et linea prima (parabola scilicet) ca- 
rebit differentiis tertiis. Si ordinatae primae sint ad paraboloeidem 
cubicam, seu sint ut cubi abscissarum, tunc linea tertia erit recta, 
et linea prima (paraboloeides scilicet cubica) carebit differentiis 
quartis, et ita porro. Idem est si ordinatae (primae scilicet) com- 
ponantur ex ordinatis paraboloeidum dictis, sive per additionem 



8M 

sive per subtractionem ; tunc enim finientnr tandem differentiae cum 
altissimae paraboloeidis ingredientibas ordinatis. Sed m caeteris 
lineis omnibus (nfferentiationes procedtint in infinitany, quoties sd- 
licet in valore ordinatae absclssa in nominatore vel vincuto reperitur. 
Ex bis jam intelligitup, cafctilum differentialem posse concipi tarn- 
quam si fieret non nisi in quantitatibus ordinarüs, tametsi origo ex 
inassignabiltbus petenda git, aC abjectionnm deu destructionum ratio 
reddatur. haqae si vel ipsa initia calculi a me publicata satis me- 
ditatus fuisset CI. Niewentnt, facile vidisset, non magis de ulterio- 
ribus quam de primfs differentiis dubitari posse, et vel ideo evitatam 
tunc a me fuisse mentionem inassignabilium, re ad ordinarias tra- 
ducta, ut tales scrupuli tolterentur; caeterum si quid notasset ani- 
madversiene dignum, sensisset me eo esse ingenio, ut libenter dem 
verttati manu^, qaemadmodum nunc re acccrratius considerat», ea 
quae Celeberrimus Jaeotus BemouUins de numero radicum oseulf 
monuerat probo, qufbtrs quo minus assentirer antea', non afra cacM 
fuity quam quod diversae occcrpationes cogriationesque eftcerant, ut 
tardius accederem ad rem de irrtegro' satl? considerandam. Eftmi 
haec scribo, (rrstem nuntrum mortis Virf incomparabilis, Christiani 
Hugenfi, accipio. M'on poters^nt m^ijorem jaeturam pati Jiterae illae 
sublimiores, quae humanae menti aditum faciunt in arcan^ natarae. 
Ego Bageninm solo tempore Galilae& et Cartesio postpMio. Cum 
maxima dederit, expectabantnr non mim>rä. Et spero inter sdiedas 
ejus thesam*um qnendam repertum iri, qui nos utcunque saletur. 
Eoque magis orandus est Frater ejus, vir meriiis in rempablieam 
illnstris, irt maturata edittone communi utiiital» pariter ae frateniae 
gbriae, imo suae corrsnlere velit. Obiitus eram eorsm qua^ Dn. 
Niewentiit contra notam concavitatis vel convexitatis a tite aHatam 
objicic, instantia parabelae producta. Sdl mirum est ipsam tum 
anmadvertisse, tantum- errore sive scribenti» si^ typotfaetae tranfl** 
posita esse verba, et pro conca vitale pon^ndam esse Convexitateoi, 
aC vice versa. Iiaque nön tarn uffwti debuerat instan(ia parabolae 
(quando in omnibus curvis contrarkim fit «jus* qood vefba insitiu^ 
bant) quam generaliter nolari invetisio. Adeoque» regala sie ^fif^renda 
est: si crescentibus ordin«itis crescant etiam ipsarum diflferentiae^ 
cnttA aiti obvertet conveistatem, alias concavitat^m, posito »eilicet 
aequries mter se esse diffbrenMti» abscissarifitti. 



8«e 



G. G. LEIBNITn NOTA.TIIJNCIJLA AD ACTA DECEMB. 1695, 

pag. 937 et seqq.*) 

IniquiB sim, si agooseam, exeeUeatis Mathemalici JbcoAt 
JBmimflü Basileensiuw Prifessom meditatioinibvs. ptnrimum debere> 
sdenüas. isla» profiindiores, et nie potis&imvin ipsi pffl*iter ac fratii 
ejus: ingenioeissliMNi, Johanni BernouiUo, dubg apud GrofiiiagaQo& 
Pcofessori cbDisqinw, obsImiDtum esse^ quadi qaaliaemiquo a. me^ 
jaeta Aealyscos. eofuste» superioris ffmcbneiita ad. varios usus ap** 
pUcuere «m&que m\9nlis mlrifice aux^re, et ut magift magisque inno*- 
tocseccali ac celebrarentiur effecere^ Yiram aul;ein celeberrimuDL 
JiMpAiim BemaulUunh cujus nupera me ad hoc Scbadiasütai ksnlMh 
iwne, parsuad^r» sibii nslini, bogistim» a me abes«& anioittm da 
maritiiseiuüs ejiia laudÜNis detrabeadi. Gloriam mentarum ügoant* 
mm ElaatioaruED («x faf polbest scilicat Yfddia verisiniili) ipai illibatam! 
retinqtto. Tbeoremst^a de radiis dr^uloruw osciilanAioar, oltii aubit 
0001 ignoia(» ne atiigiaseai c^uidem« oisj origiaem covum papileo m\ 
«miltuiQ; atii^nua ex siagulari quiedam differeotiaiia oalculi gener«: 
sÄmplMiisaHoam, espoi»endam occasione dala piita6a«KU Gt m in< 
Ela^tmi» %iiriB utet er> ia. caeatem ooo; üeoit, qu4)i4 JgwrtA iHia quae«^ 
i^Mdifl oonquam aniotum adjeeiaaeai» naa qEueid ra« noit sit puicbnii 
dt iiu}uisilu digna, sed qaod ia taiita agendaruiOf copia« quae ab: iUc 
TenBii0 a^ta pulavi, nalleiii deauo^ ^gere, aicerlats etiisna, a» pea^am 
ba^pie aoA est, euf iniput^t tbei»raa»atuiA de osoulis dafeniui». OHa> 
ip$a agDQ&oat;. «tiai» pubbeati« Ulk aoodwa. vel Buge»ium vel anf^ 
da» liuaj^ iUia; Klaatici^ aatis medüataa faiaaev Aq qi& iw«»«. quidejo}«, 
ai|^ta,An%9i Viri fgregii, a. Bna ioip^Urace; Roasum« ul tetaQ cajftr 
pwxk Ucel pul^eri>tioujtt jpg rediai^ oii^. ^ei: plures» hafac^ raAiaimi 
<ia4io> ««Henk, De oaetaro vidaai» eaiai. a maa de caeatrutotioBibaai 
afAteotia vU disaeiHiiTfi, oi^iaraaiqiia.ipauio, mi^inc^I» ifUeriaa aogtem 
4e> coa$Uia£ti;aii0> t.r!an$Q«^e»iiiaiQ per puocla Algj^braieai taiieatft: 






) Act. Kuato. Li|^, aa* ißW^ — H*^ vorstah^nda Kaii« Wiah^ 
«cb auf die Ahhandlung Jacob B.ernoulli'&: Jac« R. e^licaiianes^, aa? 
notationes et. additiones ad ea, quae ia Actis super, anni (1695) de 
Curva Elastica, fsochröna Faracentrica et Velaria binc inde menporata 
et partim eontroversa legnntur, ubi de Liaea mediarum directianuni, 
aüisqaa aoanw 



830 

id enim magis analyticum fuerit, etsi non aeque sit in potestate 
hactenus, ac reductio quadraturarum ad Euthynses. De numero 
radicum osculi cdDdide professus sum dudum, me re diligeDÜus 
excussa sententiam ipsius amplecti. Quod instantiam a me postuIat 
curvae ordinariae rectificabilis in se redeuntis, succurrit non Epicy- 
cloeidaliSy quam punctum describit fixum in circulo provoluto super 
alio circulo. Hanc rectificabilem esse, a celeberrimis Viris, Hngenio 
et Tschirnhausio est ostensum; esse autem in se redeuntem, haec 
constructio ipsa monstrat, cum circumferentiae sunt commensura- 
biles. Praeciare facient Bernouüii Fratres, si conjunctis vel etiam 
separatis studiis veiariae figurae contemplationem coeptam absolvant. 
Quod medias directiones attinet, de quibus ego in fiphemeridibus 
Gallicis Sept. 1693, cum tendentiae puncti mobilis sunt infinitae, 
puncta tendentiarum intervallulis aequalibus assumi arbitrarium pu- 
tem Diversis autem punctis tendentias exercentibus, ex punctorum 
progressibus habetur et progressus communis centri gra^itatis, 
nempe conferendo ejus situm ante progressum cum situ proximo 
post progressum punctorum elementarem. Quod si punctorum 
irapulsorum tendentias consideremus , quae saepe ab impellentium 
tendentia diversa est, tendentia media ab iis recepta eodem modo 
definietur. Eaque omnia pro re nata sunt yarianda, sed in bis 
promte eleganterque exhibendis a Yiro clarissimo non mlgaria ex- 
pecto, ac publico eum nomine rogandum censeo, ut sua de fluidorum 
motibus aliisque meletemata praeclara diutius non premat. Quod 
controyersias attinet inter D.D. Hugenium et Renaudum^ ingenia- 
lium rei apud Gallos marinae generalem, ipse Hugenius (cujus certe 
snmmi viri amissi et ipse desiderium tanto fero aegrius, quanto 
propius mihi cum eo commercium erat, notioresque maximae do- 
tes, in quibus vis animi candorque eertabant) me sententiam rogare 
dignatus est; sed tupc nondum erant ad manus utrinque agitata. 
De re ipsa alias. Recte notatur, eundem ventum magis impellere 
nayem quiescentem, quam procedentem, et discrimen aUquando non 
esse negligendum. Puto etiam, diversa venti vi, declinationem (la 
Derive) secus quam D. Renaudm supposuit, non esse aequalem, 
sed eo majorem quo major est venti violentia. Modum generalem 
construendi tangentium inversas, mense Augusto superioris anni 
p. 373, ipse non nisi pro Mecbanismo venditavi. Utilissima cogitatio 
est, de iisdem ad quadraturas redigendis separandisve ab.iniiicem 
indeterminatis. Problema de eo praestando circa aequaiionem dif-^ 



S91 

ferentialein adyaeypdx-hlyn. qdx solvere possum et'redaco ad aequa^ 
tionem, cojus forma egt . . . dv + ... vdz + . . . dz »= 0, ubi per punc- 
tata intelliguDtur quantitate^ utcunque datae per z. Talis aatem 
aequaüo generaliter per me reducta est ad quadraturas, ratione jam 
dudüm Amicis commanicata, quam hie eiponefe necessarium ndn 
puto, Gonienlus effecisse, iit acutissimus Autor problematis agnos-' 
cere possit methodum (ut opiaor) boq dissioiilein «uae. Neque 
enim dubito et hoc ipsi inuotuisse. Et sunt a me in istis multa 
olioi tentata, neu pauca etiam praestita, quae jacent dispersa in 
schedis, nee fftifai ipsi in numerato habentur, eopia inopi, ut siniiil 
habere videar «t nun habere. Haec tarnen fäcilius suppeditavit 
memoria^ ea ip$a di^ qua Lipsiensia Acta Decembris pruxinii sum 
naclus, id est hesterna, in ipsis sciUeet »undinis Brunsvicensibus, 
qIh haec inter distractiones utcunque in chartam conjeci. 






COMMUNICATIO SÜAE PARITER DUARUMQUE ALIENARUM AD 
EDENDUM SIBI PRIMUM A DN. JOH. BERNOULLIO, DEINDE A 
DN. MAllCHIONE HOSPITALIO COMMÜNICATARUM SOLUTIONUM 
PROBLEMATrS CURVäE CELERRIMI DESCENSÜS A DN. JOH. 
BERNOULLIO GEOMETRIS PUBLICE PROPOSITI. UNA CUM SO- 
LUTIONE SUA PROBLEMATIS ALTERIUS AB EODEM POSTEA 

PROPOSITI.*) 

Prbblemata proponere Geometris dudum usitatum et publice 
utäe est, cum non fit animo suos profectus jaetandi, sed a|ieno& 
^xcitandi, ut dum quisque methodos suas exercet, ars inveni^di 
augeatur. Saepe fil, ut viri eruditi quidem et in recepta Analysi 
versati, sed nihil altius agitantes, dum de iis quas didicere metho- 
dis nintium sifoi polli<rentur , vulgari doctrinae securi indormiant, 
magno sdentiae detrimenlo : nam qui sibi persuadent nihil super-: 
ßsse, quod, si modo aninium adhibere velint, non sit in pptestate,' 
nova non quaerunt, et suae simul desidiae et vanitati htant. Hi 
igitur non meliu« vetemo suo excutiuntur, quam si probleinata pro- 
pobantor, elegantia yel utilia, pi^esertim si magis sint artificidMb' 

*},Act. ErudiU Ups. ;»a. 1^97. 



I ' I I 



' • .» 



qoim bboriott^ Bt puto^ en r» m^nmß fectw» foisse, ut mettuiiiiis 
iBfiiiit«8tinalia dilfereBtiarum «t summarum (cujus calcuhiQi diüereii«- 
tiihvfi appellare. placuit) a nie pffoposita inciiahresoeret et a Tim 
egregiift in usain teansfarreUir^ quod appararet, problematibus insig^r 
näras advendis aptiasuguiiD esse. Cum enim forte Du. Abbati: 
Catelano» neaeio» quae contra Dynamica mea of^oenti et alioqui 
Cartesianift methodis niminiii tribaenti, iu Noveilis Re^uUica« Lite^ 
rairia«! respotnderem, ^enit in meBtemi ipai pariter aliisque eadem 
seDtdentibus proponere Prebtema (noa admodum quidem diffieUe) 
Liatae Isocbronae, in qua dea«endeiis grava unifonniter apprapia** 
quaret horiaonä. Sed illis sUenlibua, solutionam dedit Rh. Hugtr^ 
nttfs, quod elegaoa ipcd quaestio: videretur. Gumque alia conauitoi 
indicta reliquisset, baao ego suppleveram et demonatrationem adje« 
ceram in Aetis Eruditoram: idque nngis ieceram, ut problemati 
ultimam manum imponerem, quam ut aliquem magnopere fructum 
inde mihi poUicerer. Verum uti aKqua est rerum omnium conca- 
tenatio, fecit haec mea demonstratio, ut Dn. Jacohus Bemouüitu^ 
qui antea calculum difierentialejofi^ quem in Actis üsdem dudum 
<^mmunicaTeram , minore fructu^ ^spexerat, msyorem inde lucem 
subito bauriret,, et percepto metbodi ad quaestioi\es Physico-matbe- 
maticaa usu, problema Lineae Catenariae a Galilaeo fnistra lentatum 
mibi proponeret. Quod cum ego reperissem» et publicata solutiona 
possem quailiciinque illa laude solus frui, malui tarnen alios in par- 
tem. vemre« ut in ^xcolenda pulcherrima methodo adjutores mihi 
pararem« Certum enim est, egregia ingenia laude duci solere, et 
libentius ea tractare^ in quibus non omnia aliis, sed multum etiam 
sihi debent. Itaque sigriifioawi paUke, me sohitionem Galilaeo fru- 
ttbra qnaeflitam r^ierisse» cditionem autem in anaum difletre om** 
atituisse» ut aliis spatiun daretur \ml suas eicolendi methodosy Tel 
nostram mediftandi et rila adbibendi. Id Tero feliciter sueoeaMl. 
Nam Dn* Hufmma {qmm nuno ereptum nobis dolemiis) sua qua* 
dam mathoda ad soIutiaiieiD aliqaam, licet (ut ipse postea ingenua 
agno?tt) imperfectiorem pervenit. Sed Dn, Jo. Bemouttius^ 9ea 
caleulo proifiindiuft iaspecto, ejus ope optatam solutionem obtinuit» 
problemate, «piemadmodum et a me factum fuerat, ad Hyperbolae 
aream redado^ ea tantiim, tecrimine, quod ipse per Cumae- pum^ 
kalicae rectücatioiien, e^a per Logarithmos conatTMOtiooem i«hi<! 
hibuissem. Hie autem successus tam insignis Dominos Beniottllios 
fratres mirifice animavit ad praedara porro ope hujus calculi prae- 



'Siauads^ eSieienduuKpie, ut }am aon Ipsoram minus iptani tteus «Mae 
?idere(or, ipso mot HugeniOy cpii .adtea die eo teaoius senserat, 
iitilitateiH e}us et privatim expeviente et puJ^üoe praedicante, «iiüque, 
^ed inprimis Dn. Marcktme Ha9pitaUo Jn Galiia et D9tu Cräigio in 
AngHa exempla eoriira sequentibus. Et ^ae «aeteris Luiden e%m- 
gia faere, ^ae Z>«. Joe. Bismoulbut^ Proüessor Ba&ileensis, oir4» 
Liaeam Veli et ciroa Elastioam dedit. Sed D%, Marehio H^^üaiimt 
praecepta ipsa methodi justö opere nuper exposuit, multisqiie ei* 
quisitis specimtnibus mirum in modum iUusiravit. 

Tandem no?issime Z>». BemotdUus^ Professor Groninganus, 
aliud fMToblema nen^pe Lineae brervissimi descensus, itidem a Galilaeo 
frustra tentatum, prohiemale Gatenariae lineae ipulcbritudine usuque 
Hon ii^rius, examinandam sibi sümsit solv^Uque, et aiiis etiam sol* 
Keftdum commendavit. Ita duo problemata illustria a GaLiiaeo pd- 
dire quidem proposita, sed nequiequam ab ipso et male teutata, 
qpe calculi nostri solutionem accepere. Fuit sane Gaiilamts Vir 
ingenii judiciique masimi, sed quod ipsius tempore ;ars »anal^ica 
aondum satis proraota esset, pars autem ejus «uperior seu infini- 
tesimalfts adhuc in tenebris jaceret, solutitnies «hujusmodi «perare 
Bon •ddi>uit. Goujeoit quidem Catenariam esse Pavabolain <et Lineam 
brevissJmi deseensus esse Gireulum ; sed longissime abenravil, «cum 
Calenaria per Logarithmos seu per arcus parabolicös in i\eGtam ex- 
tiensos, at Linea brevissimi deseensus per arcus circulares rectificatos 
detcnrminetuir. Sed Bn, Joh, RernoMim melioribus rem auspiciis 
eggressusi ooa tantum primus reperit Lineam brevissimi deseensus 
Mse Cycloidem, sed et aliud mf sterium in linea haju«modi Bracby- 
stochrona latere reperit, radiorum luois sciiicet curvaturam in medio 
•GOtttinue difformi, quam ipse Bn. JBuge»ius in libro de Lumine 
coosideraverat quidem, sed determinare in se non suseepei^at. Hoc 
probtoma igilttr Dn* BemouUms in Actis Lipaiensibus intra sex 
menses «solvendum |kubiioe proposuit, ^ privatis literis a^me postu- 
lavit, ot «liquid tempoiüs m impenderem. Ego vero, velut «missione 
dudum ampetnaita, potuäföem >hoc labore supersedere, dum tot alia 
«Dgent, aisi piiiehpitudo problematis me velut invitum pellaci sua 
ti ad se traxisset. Gvenit autem, ut mox feliciter voti fierem com- 
pos. Sohitione igilur «lea Jkut<»ri pt)eJ)le«atis communieata agnito- 
l|ue cofisensu, statim ipse solutionem suam mihi transmisit, et suo 
leü^iore edendam a^widcme id^posuit. Gum autem sex menses pnie- 
«titMA lirissMftt ebipai «eque «Uus «qwsquifti «eitttionem a *ae De|^- 



»84 

tarn ftigmficatset, potuisset Dn. Joh, Bemonttius solutionem saam 
pablicare et gloriam inventi elegantissimi sibi pene soll viodicare, 
idque ego quoque ipsi suasissem, magis laudi nostrae privatae, qaam 
aülitaii publicae velificari YolaissemuB. Cum vero nobiscum expen- 
dereraus, praestare ad incrementum scientiae et rei meiDoriam, ut 
plores participes fiereot sucoessus, placuit ipsi pariter et mihi, ut 
termiuus ad sex alios meoses prorogi^etur, tametsi praevideremus 
facile cgoque ipsi in literis meis praedixissem, eos ipsos, quos nunc 
solutionem tandem assecutos videmns, praesertim anterioribus nu- 
stris in?entis communicatisque adjutos, ad eam esse perventuros, 
81 satis animum intenderent. Et sane notatu non indignum est, 
eos solos solvisse hoc problema, quos solvere posse conjeceram, 
nee vero nisi ilios, qüi in nostri calculi difterentialis mysteria satis 
penetravere. Cumque praeter Dn. Fratrem Autoris, tale quid de 
Dn, Marchione Hospüalio in Gallia fuisBem auguratus, adjeceram 
ex abundanti, me credere Dn. Hugenmm, si yiveret, Dn* Hudde- 
nium, nisi haec studia dudum seposuisset, Dn. Netotonum, si ope- 
ram hanc in se reciperet, quaesito pares fore, quod ideo repeto, 
ne excellentes viros contemnere videar, quibos nostra tractare aut 
non licet aut non vacat. Caeterum Dn. Job. Bemoullii solutio ad 
me fuit missa mense Augusto anni superioris; Dn. Jac. Bemoul- 
lius quid et quo tempore praesiiterit, docebunt ea, quae ipsemet 
recta transmisit ad Acta. Sed Dn. Marchionis Hospitalii solutio 
literis mense Martio hujus anni ad me datis fuit adjecta. Porro 
Dn. Job. Bernouilius praeter solutionem etiam metbodum quandam 
suam publicare voluit, qua ad solutionem perrenit, sed cum duas 
babumt, prodit hie indireeta tantum, ut sie dicam, etsi perelegans, 
Tiempe sumta ex consideratione dioptrica; sed habet adhuc aliam 
magis directam et magis ex ipsis visceribus sumtam, quam peten- 
tibus non denegabit. Est autem in hoc problematum genere drca 
maxima et minima tali modo proposita aliquid iiiusitatum et longe 
superans vulgares de maximis et minimis quaestiones, quiktis solis 
Fermatius (primus aliqualis circa ipsa Methodi Autor) Cartesiüs, 
HuddeniuSi SlnsiuSy aliique methodos suas (de quibus quidem con- 
»tat) aptavere. Nam in ipsorum quaestionibus res fere eo redit, 
ut quaeratur maxima vel mininoa ordinata aficujus curvae datae, 
quod non nisi coroliarium ebi Methodi tangentmm vulgaris seu di- 
rectae. Sed hoc loco curva ipsa aliquid aptvme praestans quaeritür, 
ctj^us saepe adeo reeondit« est natura» ut e& datifi condttionftua ne 



a3s 

tangentium quidem proprietas appareat, adeoque nee ad methodum 
tangentium altiorem sea inversam facile quaestio reduci possit. Et 
ipsum problema Curvae Catenariae talis naturae foret, nisi praepa- 
ratione facta ad methodum tangentium inversam reducatur. Quae- 
lilur enim ibi, quae sit forma curvae inter duo data puncta magni- 
tudine data sie interceptae, ut ipsius centrum gravitatis maxime 
descendat. Unde apparet, quam longe bactenus Aualysis a perfec- 
tione abfnerit, quicquid aliqui de Methodis suis jactarint. Caeterum 
ex solutione Du. Job. BernouUii hunc praeierea fructum insignem 
capimus, ut problemata duo dioptrica maximi momenti, quae Huge- 
nium aliosque omnes ipso difilcultatis aspectu a tentanda solutione 
absterruerre, soluta habeamus, et jam curvalaram continuam radiorum 
lucis pariterque inde radiationibus formatae iineam definire possimus. 
Caeterum meae solutioni exponendae nou est quod immorer, 
cum caeteris conseotiat, mihique quaesiti determinatioiie contento 
rem porro iilu&trare non vacaverit» nisi forte ubservari operae pre- 
tium videbitur, quod calculus mihi oblulil, liiieam quaesitam esse 
liguram segmeulorum circularium repraesentatricem. JNempe si 
liaea ABK talis sit naturae (fig. 150)) ut circnlo descripto, qui imo 
ejus puncto K occurrat et horizontalem per A tangat in G, ducfis- 
que axi verticali AC normaliter occurrentibus in C, et lineae in M, 
et circulo in L, et diametro ejus verticali GK in 0, sint ordinatae 
CM proportionales segmentis circularibus, rectangulumque sub se- 
miradio circuli et ipsa CM aequale segmento comprehenso sub arcu 
GL et Chorda GL; tunc AB, arcus lineae inter duo data puncta 
A et B interoeptus, erit linea, per quam grave vi descensus a puncto 
A ad punctum B quam citissime venire potest. Hanc autem figu- 
vam segmentonim esse Cycloidem vulgarem ita facillime ostendi 
potest, quia OC semiperipheriae GLK, et LM arcui KL, erit OL 
+ CM es arcui GL. Sumto cireuli centro N , jnngatur NL , paCet 
rectangulum sub semiradio et sub OL -|-CM aequari sectori GNLG: 
rectangulum autem mh semiradio et sab OL aequatur triangulo 
GNL, ergo rectangulum sub semiradio et sub GM aequatur segmento 
GLG,> residuae scilicet parti sectoris, detracto triangulo GNL. 

Quoniam autem Dn. Joh, Bernouttms aliud quoque magni 

momenti (HToblema nuper proposüit pure Geometricum: Invemre 

4m0tm, quam (reeta qüaevia per punctum fixjtim transiens ita secet 

in duobus punctiSj ut summa potestatum a segmentis, interceptis 

inter punctum fixum et aUerutrum punctum curvae^ aequefur quan- 



SM 

titati coMtanti^ ideo solutiooem ejus adscribere placet, quam didki 
«amdem prorsus esse cum ea, quae ipsi Autori probleroalis occur- 
rerat plaoueratque, etsi ipse iion minus quam ego rem aliis adhuc 
modis iDfinitis praestare possimus. Solutio autem nostra haec est : 
In fig. 15] quaeritur linea DEFD, quam recta quaecunque A£F per 
punctum fiium A trausiens ita secet in duobus punctis £ et F , ut 
Sit AEl- + AF^s constanti b. Jam AE (vel AF) vooetur x, et EK 
vocetury, assumtaque recta quadam in vicem unitatis, et constaate 
aliqua c, fiat cy = bx^^ — x^~t^ quae aequatio exhibebit naturam 
curvae quaesitae modumque puncta ejus determinandi, quod dies!- 
derabatur. 



ANOIADVERSIO AD DAVIDIS 6REG0RII SCBEDIA1SMA DE CA- 
TENARIA, OÜOD HABETUR L\ ACTIS ERUDIT(»IVM AN. 1«9Ö. 

Excerpta ex Epislola G. G. Leibnitii ad*^/*) 

Doctissimus Mathematious Da/md ßr^gortms recn ab alii« |atii 
ante septennium inventam et publice e^^sitam, jielDpe Catename 
naturam et primarias .proprieiales, suo quodam mod» (demonaUrare 
aggressus est ki Traasactis PbiiosQphicis Aoglicanis auiensiB Augusti 
1697 p. 6S3 , quae demonstratio inde translata est in JUta Ertid. 
Lipsiensia Julii 1698 p. 30d. Et üeret sane opetae iNretiujfii, isi 
rea, licet co^mta dudum, ex novo sed solide priocipio 4eri?areKur, 
quod ab aumine eü doclrina Autoris expectari potamt. Nesdo ^Uo- 
modo tamen factuoi, ut prindpiisab eo alklis laiiquid adaüiUditatein 
desit, quod veritatis amore annotare dignum vimm esi, «ut ficMue* 
triae sua sinceritas constet. Suffecerit aulem attente oonsiderane, 
quomodo demonstraverit Dn. Autor propositionem .primam et pri- 
mariam, cui reliquae superstruuatur, utemurque figura «et üteris 
Gregorianis ac verba ipsa fideliter fiequemur. 

Proponit «ibi (Jfig. 152) caienam FAD «ui^peiisam en duabtts 
extremis F et D, cujus imum seu yertex sit A. Deinde sumto «d 
puncto in curva ;proximo ipsi D, ductaque 4iMigent6 «TDd axi AB 
occurrente in T, et oidinatis BD, bd, et in bac laiunta dd 'differontia 
ordinatarum, et ducta Dd normali ad bd, seu j>araUela Ad <AB, 

*) Act. Erudit. Lipa« an. 1699. 



837 

differentia abscissarum, probandum suscipit, eam esse naturam curvae 
catenariae, ut sit dd ad dD, uti constans quaedam a ad arcum ca- 
tenae AD. Hoc ut demonstret, postquam quaedam ex Mechanicis 
constare dixit, quae distinctius enuntiare atque etiam applicare operae 
prelium fuisset, subjicit: Si Dd exponat gravüatem absolutam par- 
ticulae Dd, ut in catena aequaliter crassa rite fit (id est, si gra- 
vitates partium catenae sint ut ipsarum longitudines), dd repraesen- 
tabit gravitatis partem eam quae normaliter in Dd agit, quaque 
fitj ut dD, ob catenae flexilitatem circa d mobilis, in situm verticalem 
se compmere conetur. Haec vera sunt, si hunc habeant sensum: 
pondus n (vide figuram 153) esse ad poudus Dd ut recta dd ad 
rectam Dd seu vim, rectae Dd ubique aequaliter gravi ac mobili 
circa d Dormaliter applicandam in ejus medio, ut dictam rectam in 
hoc situ servet et versus situm verticalem tendere impediat, adeo- 
qne et aequalem ei vi vel ponderi n gravitationem ipsius rectae 
Dd, qua ad situm illum tendit, esse ad absolutam gravitatem ipsius 
Dd (qua scilicet perpendiculariter descenderet, si libera prorsus 
esset), quemadmodum id est ad ipsam Dd. Pergit Dn. Gregorius: 
Adecque si dd sive fluxio (vel incrementum aut elementum) ordi-- 
nataeBD cünstam sit (id est, si ordinata lineae catenariae ponatur 
crescere uniformiter)> gravitatis actio in partes correspondentes ca- 
tenae Dd normaliter, exercita, etiam constans erit seu ubique eadem^ 
id est, cujusque rectae Dd seu portionis elementaris in catena as- 
sumtae gravitatioy qua situm verticalem affectat circa punctum su- 
perius d, ex quo suspensa est (suppositum immotum) gyrare conando, 
erit ad gravitatem absolutam ejusdem portionis, ut constans quae- 
dam recta est ad illam ipsam portionem. 

Pergit : Exponatur haec (constans gravitationis quantitas) per 
rectam a. Sed hie apparet aliqua difficultas, nam haec Gravitationis, 
qua Dd situm verticalem affectat> expositio vel repraesentatio facta 
per rectam a, quae assignabilis assumitur vel ordinaria (quoniam 
infra dicitur, ipsam erga AD catenam (6g. 152) debere esse in ra- 
tione dd ad dD seu BD ad BT) concedi quidem posset, si id 
qnod assignabilem ad eandem gravitationem habet rationem, nempe 
gravitas absoluta ipsius Dd (quae dicta est esse ad gravitationem 
ut Dd ad dd, seu ut TD ad BD) etiam exponeretur per rectam 
assignabilem. Verum id non fit, paulo ante enim gravitas illa ab- 
soluta exposita est per ipsam Dd , rectam utique infinite parvam. 
Alterutra ergo expositio rejicienda est, nee simul stare possunt. 

V. 22 



838 

£t pr9«ter6«, si gmvitas absoluta ipsius Dd, portioais elenentaris 
cateQ^, eKpoaenda esset per rectam assignabilem, utique grayttas 
ipsius catenae ex iofinitis portionibus', qualis est Dd, coospositae, 
non posset exponi per lineam assignabilem (ul mox fieri videtur, 
dum ejus pondus ex^primitur per ipsam ejus eurvaai), sedexponeoda 
foret per liQeam infinitae magnitudinis* Et quid opus erat (nisi 
4id oGcasionem propriae deceptionis) exponere gravilationem iliam 
per reQtam constantem assignabilem a, cum exposita jam sit per 
iflas&ignabilem constantem dd, quippe quae gra^itatioqem ipsius 
Pd (semper eandem) repraesentat, uti Dd exponit vel repraesentat 
«bsolutam ejus gravitateqd semper pro magnitudine yariantem, et 
quemadmodum mox (licet non recte) dicetur, vim secundum dt- 
reetionem Dd exponi per ioassigjQbabilem Dd. 

Pergamus cum Do. Aulore: P$rro (ioquit) ex supr^ dtato 
Lemmate Mechanico, Dd sim ßuxio Äxeos AB expomt vim ßectm- 
duvf' diredionem ip$i»s dD^ quae priori eonatui lineas gravis iD 
ad comp^rnndum »e in $itum veriieahm aequ^olUat,, eumque im- 
peiire possit, JXon satis apparet ex yerhis Autoris yel s^nsuß ilU«s 
liemmatis mechanici, vel appUcad«, ut quod bip affirmainr, inde 
4uci possit. Sed aliunde satis apparet, aliquid erronei subfsse 
eportere. Nam quae bic affertur repraesentatio yel expositio, «ae- 
t^ris ppsitjis admitti npn potest. Quonia^i eni-m pondus ab^oiut&fn 
ipsiius rectae gravis Dd exponitur per tpsam rectam Dd, ut suftra 
fk Domino Autore est assumtum, atque adeo pondus i?r norm^tiier 
ad Dd appUcatum (quod aequat gravitatipn^m ipsi^ß Dd situw vser- 
U^fdem fiffectantis) expppitur per rectam d^, sei^ est ad grpviti^t^^n 
absolutam ipsius Dd ut dd ad Dd; icleo bis poi^itjs ajo popdnii Z 
sei^ viio, quae secuodum ipsius Dd direotionepai impediat gyratio- 
Dem ßeu affectationem situs verticalis, non ppsse n^raeßent^ri vel 
eicponi per rectam Dd; poadus enim Z debere es$e inflnituig, ei|m 
quaBtumcunque sit^ modo fiaitae sit magnitudini^» trabende in ^- 
pef:;tione ipsa Dd non possit retinere Dd in situ prapsenti» ul Jt^d 
ab aliis est ostensum. Nen^pe puncto D semper nonnilal desce«- 
4?Bte ßßi in D angulus aliquis ipsius dD cum fUo, per quod poii- 
4ms Z ^uani tractionem exercet, isque tanto magis obtusus seu ad 
rept^m accedens, quandq majus est pondus Z. 

Pergit: Haec vero vi$ oritur u limß gravi DA 9ecundim 
dire^ionem Dd trahetite. Hoc verübet e^, sed ptyectioo^m Qo$tram 
^onfirmat. Nam pondus lineae DA vel dA est iofinitum compara- 



sau 

tione ponderis ipsius rectae^Dd, quae non est nisi infinite parva 
portio ipsius dA. Cum ergo gravitas absoluta seu pondus ipsius 
elementaris rectae Dd exponatur per ipsam rectam Dd, pondus au- 
tem n sit ad ipsum pondus rectae Dd ut dd ad Dd, erit et ipsum 
pondus 7t infinite parvum. Sed pondus Z, cum ex Autoris sen- 
tentia oriatur ex ipsius catenae DA potidere, qnae inßnities conti- 
net Dd, utique infinitum erit respectu ipsorum ponderam Dd et ff, 
adeoque per Dd exponi nequit, seu non potest esse ad pondera 
Dd et TT, ut recta Dd ad rectas Dd et dd. 

Estque proinde (pergit) caeteris tnanentibus Uneae DA pro- 
f0rtionalis. Ne hoc quidem siquitur, si quidem «senans e«t, ponr 
dua Z, quod retinet rectam Dd in situ suo, directione hAy esse ad 
poodera Dd et ^ ut liaea catenae DA se habet ad ipsas tttteaa, 
pondera Dd et n exponentes vel repraesentantes. Ostea^eodum 
9CiIioet foret, gravi tatioaem catenae DA, qua traliit Dd in directione 
dD, absoluta« ^sius gravitati esse aequaiem, seu esse eandem, qua 
tr«beret, si suspensa esset in Z, quod non admittetur. 

Concludii (andern Dn. Autor bis verbis : Est igitur dd fluxio 
ordinatae ad öD flucHonem abscissaey sie ut constans recta a ad DA 
curvam. Vera est conclusio, sed nihil minus quam probata, et 
ttirum esty quam multis opus fuerit assumtis erroneis, ut tandem 
veritas prodiret. Nam, ut caetera taceam, nunc oportuit ponderis 
ii^ßii« paryi n rationem ad pondus infinite parvum Dd expoiü per 
rectae ordinariae a rationem ad rectam infinite parvam Dd; nunc 
contra oportuit ponderis ordinarii Z rationem ad pondus infinite 
farYwm Dd exponi per rationem rectae infinite parvae Dd ad re^ 
etam itidem infinite parvam Dd, ut tandem destruentibus sese erro- 
ribus perveniretur ad modum apparenter concludeodi, esse duas 
liaeas infinite parvas dd, dD ut duas lioeas ordinarias a et DA. 
Abusus expositionis inassignabilium per assignabilia (alias permis- 
996 et uttlis) itemque theorematis mechanici, ut alia taceam, sub 
Bp6^ sucoessus blandiente fefellerunt. Credibile est, ipsum Do- 
ctissimum Gregorium hoc posterioribus cogitationibus ingenue agni- 
turum, aut si adhuc dubitat^ consuito saltem Celeberrimo Newtono, 
cujus methodum sequi profitetur, esse crediturum. 



22 



840 



G. G. LEIBNITII RESPONSIO AD DN. NIC. FATU DUILLIEMI 
IMPUTATIONES. ACCESSIT NOVA ARTIS ANALYTICAE PROMO- 
TIO SPECIMINE INDICATA, DUM DESIGNATIONE PER NUME- 
ROS ASSÜMTITIOS LOGO LITERARÜM, ALGEBRA EX COMBI- 

NATORIA ARTE LUCEM CAPIT. *) 

Cum ad me pervenisset Tractatio Domini Nicolai Fatii Duilr 
lierii de Curva brevissimi descensus Solidoque minimam (in medio) 
resistentiam habente, nuper Londini edita**), miratus sum uon 
mediocriter, Virum a me nunquam laesum animi tarn male erga 
me affecli indicia dare. Dubitavi, an quicquam reponerem, cum 
semper fuerim a litibus literariis alienissimus, putahmque unum 
esse honestum certamen inter eruditos, imo inter probos, si con- 
tendant non verbis, sed rerum argumentis, uter melius possit me- 
reri de re publica. Veritus tarnen sum, ne silentium meum in con- 
temtum sui traheret Vir certe minime contemnendus ; deinde pu- 
blice interesse Judicavi, moderationis potius, quem animi exacerbati 
specimen dari. Occasione etiam oblata admonendos putavi viros 
doctos, ut pravus ilie mos sese invicem impetendi dictis mordaci- 
bus, qui literas literarumque cultores infamat^ paulatim antiquetur. 
Idque consilium meum Inclytae Societati Regiae Anglicanae, cujus 
se membrum in ipso libri titulo profitetur Dominus Duillerius, et 
in qua idem honor mihi tanto ante fuit delatus, placiturum cre- 
didi; (nulla enim bene constituta Societas prohat Socium, praeser- 
tim hiter seniores numeratum nee suo loco habitum indignum, ab 
alio Socio indigne haberi. Itaque quando factum fierl infectum 
nequit, speravi imposterum autoritatem Societatis laudatissimae, 
saltem inter suos, huic malo obicem ponere posse, et laudabile 
exemplum deinde etiam apud alios pro efficaci ad aequanimitatem 



♦) Act. Erud. Lips. an. 1700. 

**) Unter den Leibnizischen Manuscripten findet sieb ein Exem- 
plar dieser jetzt seltenen Schrift; ihr voliständiger Titel ist: Nicolai 
Fatii Duillerii R. S. S. Lineae Brevissimi Descensus invesligatio Geo- 
metrica duplex. Cui addita est Invesligatio Geometrica Solidi Botundi, 
in quod minima fiat Resistentia. Londini 1699. 4. 



841 

exhortatione futurum. Neque eam spem irritam esse, ex litefis 
Dn. Secretarii Societatis ad amicum scriptis intellexi. 

Fortasse erunt qui suspicabuntur, factum a me aliquid, quo 
jure irritaretur Dominus Duillierius. Equidem si quid tale per in- 
Gogitantiam excidisset, tantum.admonitioDe opus erat; eo enim 
animo sum, ul fuerlm emendaturus ultro. Sed ipsa Yiri verba 
ostendunt^ nihil aliud habere, quo se laesum putet, quam quod 
Don fuit nominatus inter eos, a quibus solutlo problematis de linea 
brevissimi descensus, a Domino Johanne Bernoullio propositi, data 
fuit, aut qui similis argumenta speciminibus effecerant, ut judicari 
posset, facile daturos fuisse, si animum illuc adjecissent. Sed qui 
potuit nominari, cum ipse scribere sustineat, se non fuisse digna- 
tum edere aliquid eorum, quae in hoc inquisitionis genere habebat. 
Ita enim loquitur p. 5 : Ejusmodi problemata, quamvis a me non 
semel soluta, verbi gratia circa catenariam, velariam, harumque 
linearum identitatem, curvam descensus aequdbilis etc, magnopere 
semper aversatus sum, neque solutiones meas puhlicis scriptis un- 
quam dignatus sum exponere, Nobis ergo ignoscenda fuit nostra 
de progressibus ejus ignorantia. 

Yidetur deinde publicam causam agere velle, accusatque (dicta 
pag. 5) nos affectali Principatus in Mathematicis, et tantum non 
Ostracismum nobis minatur. Sed hie profecto possem Apologia 
supersedere, et Judicium lectoribus committere, cum non unus ex 
viris praeclaris, nuperque Doctissimus Dominus Johannes Christo- 
phorus Sturmius, publice modestiam meam commendarit: tantum 
interest, quo res animo spectentur tranquillo, an fluctibüs quibus- 
dam agitato. Sed argumenta tamen videamus, quibus reus pera- 
gor. Duo affert: primum proponendorum problematum quam vocat 
luxuriem; deinde existimationis atque ordinis, velut ex solio Ma- 
thematico, singulis Geometris factam distributionem. Utrique satis- 
faciam, non tam mea causa, quam utilitatis publicae, ne mos pro- 
blemata pulchra vel utilia proponendi, et eos qui labores suos 
praeclaros impertiti sunt publice laudandi, sub odiosis nominibus 
traducatur. 

Itaque quod primum attinet, constat iis, quibus nota est Hi- 
storia nostri temporis literaria, magnam incrementorum scientiae 
partem problematum propositioni deberi, idemque in futurum licet 
augurari, si scilicet problemata nondum jsint in potestate receptae 
Analyseos. Ita enim discitur, quae desiderata ad perfectionem artis 



8«* 

supersiat, simulque ingenia ad angmenta scientiarum animaottir. 
Gerte ut olim Cycloidera, i(a nuper Cateoariam pluriiBum proftiisae 
constat. Neque ego Catenarkin ipse delegi, sec( ab alio mihi pro- 
positam et confestim sotvi et propoflui alüs porro. Nee Dn. Jo- 
hannes Bemoulliiis üi suo problea^te Lineae brevissimi descensus 
diu laboravit: oempe non oasui, sed »lelhodo successum debuimus. 
Alterum aceusditioflis eaput ni^n aliud habet fundatDeDtum, 
quam quod solitus susa. studdose commeniorare merita insignium 
virorum in eo argumento quod tracto. Hec Dominum DuilUerius 
TocaC ex solio HiatbemaUco existimationia atque ordinis diatributio- 
nem: sed qui amant Hiätoriani literariam, non aspernabuntur meam 
diligentiam »uum cuique tribuentis, et qui laude digna facere Stu- 
dent, probabunt meritis Jaudes rependi. Caeterum cum n«ta?i, non 
nisi ab iis datam solutionem Curvae brevissimi descensus, qui 
nostrum calculum aut ei similem tractare norunt, an quicquam 
dixi fakum? Interest scilieet eorum, qui ad scientiam non vulgär» 
rem aspirant, ut sciant, qua quid4|ue via pateat. Cumque addidi, 
quosdam egregios viros idera praestiluros fuisse, si huc animum 
adhibuissent, nunquam credidissem, mente mea in contrarium versa, 
quod aeqiiitatis erat, superbiae adscriptum iri. Nee tarnen omnes 
(fateor) nominavi, a quibus talia (praesertim post nestra tunc jaxn 
edita) expectare licuisset Poteffam .ex«mpii causa insignis rerum 
difficillimarum enodat'Oris WoMisiu ut alias, meiitionem facere, cui 
multum omnes debemus» Poteram et ab Hoohio et Halaeo (post 
visam unius Theoriam Elabticam, alterius Ratiocina tionem de atroo- 
sphaerae expansione), sed et a Dn. Craigio m bis non parum pro- 
gresso aliquid pulchrum sperare. Sed si quis hie se jure poss^ 
queri praeleritum, profecto esset non Duülierius^ sed Rümerus, 
Danicae in re Mathematica laudis conservator, cujusi pulchra inte- 
rioris Geometriae specimina tunc, cum ambo Parisiis versaremur, 
pene supra illius temporis captum erant, et quem ab eo tempore 
multa invenL^^se dignissima, credl par est. Hunc quis dubitet egre- 
gium aliquid fuisse praestiturum, si ad problemata nostra animum 
appulisset? Ut de Nobilissimo Dn. de Tschirnhaus nunc nihil di- 
CBtüy a quo maxima quaeque expectanda saepe sum professus, nee 
de Dn, La Bire, qui utUü^ id inter alia agit, ut sua alienaque 
per vias novas inventa. ad morem Veterum demonstret, nee de Dn. 
Vexignenio^ qui et ipse in bis non vuigaria praestitit. Sed nee 
omnes contemnuntur, a quibus ista noa expectantur, cum sint %ui 



MS 

ottum alia agunt mn minus ingeniosa et egregia, alia Umett. Cäe^ 
terum nuspiam dixi, solos poluisse problema solvere, quorum men-^ 
tio&em naminatim feci, sed tantum solos, quibus nostri calculi my- 
steria pataerint (quibus se computat Du. Duillierius), ex quibud 
quosdam prae caeteris Ironoriis causa et meritorum hujus generis 
eitantium noipinaTi. 

Interea vel nunc apparet, quam utile sit laudare bene meritost 
ut alii qooqne ad bene merendum invitentur, et Dominus Duillie- 
rius medias inter querelas Apologiam ipse meam non animadver- 
tens scribit, du» scilicet praeteritus hoc ipso se stimulo excita*" 
tum tandem fatetur: cum videamus (inquit ^ag.^) ^süentium no- 
strutn in nos verti (id est, sua publico impertiri nolentem ob 
ignota merita non laudari), quod hac in re praestitimus, expon&* 
mus. Recte, atque ordine. Si qua igitur in hoc genere praeclara 
producet, hanc ex aliqua parte mihi (qui silendo ne sileret admo- 
nui) debebit ipse gloriam, Respublica fructum. Vellem tarnen Ter- 
sari jam tum maluisset in re non praeoccupata, et perpendisset 
attentius edita oii^ca problemata brevissimi descensus. Ita enim 
neu babuisset, cur quereretur, ex Newtoniana constructiotie solidi 
minimum medio resistenlis nullam sibi lucem affulgere, sed viam 
vidtsset eodem peryeniendi, quemadmodum Dn. Marchio Hospita^ 
Uu$ et 2>i». Johannes Bernoullius praeclare ostenderunt, qui etiam 
optime anitnadverterunt, quod ipse Dn. Duillierius credit, proprien^ 
tatem Newtonianam esse perplexiorem, suam vero ex considera-^ 
tioiie osculi vel radii curvitatis simpliciorem, id contra esse, cum 
illa constructionem per quadraturam hyperbolae vel logarithmos 
facile praebeat, haec vero a diiferentio-differentialibus pendeat, quae 
sunt, ut DOS loquimur, transcendentia secundi gradus: quod per- 
inde est, ac si quis problema planum ad sectiones Conicas, hnmo 
altiores referat. Quod si det imposterum Dn. Duillierius, quae 
novam lucem praebeant, habebit nos candidos laudum suarum de* 
praedicatores. Interim mei mentionem faciens, aliisy inquit, dis- 
cipulis glorietur^ me certe non potest (pag. 18). Ex bis, qui me non 
aliunde noverit, hominem valde gloriosum et valde quidem inepte 
gloriosum putabit. Ego vero contrario ambitionis genere libenter 
ipeius me Domini Duillierii diseipulum gloriarer, id est, valde vel- 
lem aliquid praeclari ab eo doceri, quamvis iile se nihil a me didi^ 
cisse praedieet : quod vereor ne in nonnullis paulo sit verius, quam 
ipsit» iiilxNrfaisset, uti vel hie ipse libellus ejus ostendit. Nam nisi 



844 

nostra quaedam spreta praetenridisset, animadversioni praedictae non 
fuisset locus. 

Ait jam anno 1687 proprio se Marte invmisse fundamenta 
universa et plerasque regtUas calculi, quem nos differentidUm vo- 
eamus, Credamus ita esse (saltem pro parte, nam ne nunc qui- 
dem omnia hujus calculi fundamenta ipsi satis nota putem, etsi 
ea fiducia, tamquam cuncta jam effuderimus, promptior ad provo- 
candum factus fuisse videatur); jam manifestariam tenemus cau- 
sam animi a me alienioris, quam fortasse ipse non satis animad- 
vertit, uti in yersu est: non amo te, nee posmm dicere quare. 
Neque enim mirum est odisse pronam quam vocat (pag. 18) se- 
dulitatem meara, qua mea ejusdem calculi elementa triennio ante, 
quam ipsi succurrerent, edens, quas se meruisse putavit laudes, 
innocenter praeoccupavi, quemadmodum quidam Veterum dicebat: 
pereant qui ante nos nostra dixere. Ego nihil malignum ipsi imputo, 
sed ea tarnen est naturae humanae infirmitas, ut mirandum potius 
censerem, si juvenis tunc quidem et ad praeclara tendens gloriae- 
que cupidus bis stimuJis non cessisset. Pauci ad tantam virtutem 
perveniunt, ut noxiam sibi virtutem alterius amare possint; quanto 
minus, si (ut ipse de me) suspiciones sibi fingant (uti certe su- 
spicax est a versus animns) non recta via, sed obliquis artibus 
alium ad laudem esse grassatum? Libenter enim affectum, quo 
nudo nobis ipsi displiceremus, justitiae velo velamus. Ego vero, 
quanto magis intelligo hos animorum recessus, eo minus aliquid 
humani passo irascor. Interim minus (credo) festinationem meam 
culpabit, ubi intelliget, ex Horatii praecepto nonum in annum et 
amplius me meditata pressisse, nee cumaliqua edidi anno 1684, Tel 
gloriam vel invidiam expectasse, id fere tunc agentem, ut amicis 
meis Actorum Lipsiensium curatoribus satisfacerem, qui aliquid a 
me subinde postulabant; rei famam casus deinde potius dedit, 
quam ratio aut Studium meum. 

Hactenus Dn. Duillierius vel suam vel publicam, ut putabat, 
rem egit; nunc vero cum eminentis Geometrae Isaaci Newton!, 
aliorumque etiam causam tamquam contra me suscipit, ignoscet 
mihi, si non ad omnia respondeo, donec mandatum procuratorium 
tum a caeteris, tum maxime a Domino Newtono ostendat, cum 
quo nulla mihi simultas fuit. Certe Vir egregius aliquoties locu- 
tus amicis meis semper bene de me sentire visus est, neque 
unquam, quod sciam^ querelas jecit : publice autem ita mecumegit, 



845 

ut iniquus sim, si querar« Ego vero libenter ejus ingentia merita 
oblatis occasionibus praedicavi, et ipse seit udus omnium oplime, 
satisque indicayit publice, cum sua Malhematica Naturae Principia 
publicaret anno 1687, nova quaedam inventa Geometrica, quae 
ipsi communia mecum fuere, neutrum luci ab altero acceptae, sed 
medilationibus queroque suis debere, et a me jam decennio ante 
exposita fuisse. Certe cum Elementa calculi mea edidi anno 1684, 
ne constabat quidem mihi aliud de inventis ejus in hoc genere, 
quam quod ipse olim significaverat in literis, posse se tangentes 
invenire non sublatis irrationalibus, quod Hugenius quoque se posse 
mihi significavit postea, etsi caeterorum istius calculi adhuc expers: 
sed majora multo consecutum Newtonum, viso demum libro Prin- 
cipiorum ejus, satis intellexi. Calculum tarnen differentiali tarn si- 
milem ab eo exerceri, non ante didicimus, quam cum non ita pridem 
magni Geometrae Johannis Wallisii Operum volumina primum et se- 
cundum prodiere, Hugeniusque curiositati meae favens locum iude 
descnptum ad Newtonum pertinenteni mihi mature transmisit. Caete- 
rum elsi post tanta jam beneficia in publicum coUata iniquum sit ali- 
quid a Dn. Newtono exigere, quod novum quaerendi laborem po- 
stulet, non possum tarnen mihi temperare, quin hac oblata occa- 
sione maximi ingenii Mathematicum publice rogem, ut memor hu- 
manorum casuum et communis utilitatis diutius ne premat prae- 
daras reliquas ac jam paralas meditationes suas, quibus cum 
scieotias mathematicas, tum praesertim naturae arcana porro illu- 
strare [potest. Quodsi nulla movet tantarum gloria rerum (quam- 
quam vix quicquam ei, quam nactus est, addi possit), illud saltem 
cogitet, generosum animum nihil magis ad se pertinere putare, 
quam ut optime de hnmano genere mereatur. 

Unum tanUim superest, in quo video Apologia aliqua mihi 
esse opus. Cum Dn. Johannes Bernouüius programma, quo invi- 
tabantur Geometrae ad quaerendam Uneam brevissimi descensus, 
speciatim ad Dn. Newtonum misisset, sparsae sunt voces in Anglia, 
Newtonum a me fuisse provocatum, eaque sententia etiam Dn. Duil- 
lierii esse videtur, tamquam ego suasor mittendi atque impulsor 
fuerim. Sed inscio plane me factum, ipse Dn. Bernoullius testa- 
bitur. Quodsi Domino Duillierio credimus, aegre illud tulisse New- 
tonum (uti certe fatendum, immunitatem ei ab hoc laboris genere 
plenissimam deberi), saltem ut spero me non aegre nunc absolvet. 
Itaque nee ad me pertinet, quod queri videtur Dn. Duillierius^ in- 



fitationem mdlam td m pervenisse« ctm «it pag. 4, ^e qM^« c# 
q«a iQvitatione dignoB Visus foisiet Uteri», sua» düdum soliHione» 
foisse exhibitarum. Sed habet nunc quoque campum, in quo se 
exereeat, et tero si propriis nieditationibus tantuin se profeciss« 
persuasum ciipit OBmibus, problemata aggredi potest Do. Jobannis 
BernouUü, de quibus post editas jaio sokitiones r,ar?ae brevissimi 
descensus in Actis Eruditorum Diarioque Gallico (vid. Journal des 
S^avans an. 1697 pag. B95, edit. Paris.) facta mentio est» sed ila, 
qaemadmodum nonduin extant solutiones, ut scilicet pro Parabo- 
lis vel pro OHipsibus ordinatim datis, quarum mentio fit in Diario 
Gallico locodicto, intelligantor curvae quaecunque ordinatim datae^ 
etiam quae non sint skniies inter se, et solutio detur saltem ex 
suppositis quadraturis, cum in ista inquisitione sit adbuc aliquid, 
qaod nostra etiam edita tenentem morari possit. Quäle etiam est 
problema a Dn. Job. Bernoullio propositum in Actis Erudit. Lips. 
Maji 1697 pag. 211, invenire curvam, aut saltem proprietatem 
tangentium curvae, quae curvas etiam transcendentes ordinatim da- 
tas seeet ad angulos rectos. Nam si ea tantum producit, quornm 
jam datae sunt a nobis methodi, satis intelligit, quantum proprio 
Marte consequi potuerit, hinc non probari. Si quid in Physicia 
Tbeoriae Gravitatis Newtonianae adjecit, uti quidem pag. 18 insi- 
nnat, pariet hoo ipsi alterius generis laudem. 

Quod alios qnosdam attinet, de quibus me pariter ac de se 
non bene meritum ait Dn. Boillierius pag. 19, nihil adderem (cum 
neminem de me querentem norim) nisi speciatim de Theoremati- 
bus quibusdam Dn. Moyvraei circa series inflnitas mentionem iil^ 
jecisset. Equidem talia hnnc edidisse Theoremata ignorabam, do- 
nec nuper amicus ex AngHa redux secum attulit' volumen postre- 
mum Transactorum Philosophicorum. Memini cum alios^ tum Dn. 
Newtonum et me quoque in istis seriebus ante muitos annos ver- 
sari, ut in iis hospes Dn. Duillierio videri non debeam. Interim 
Dn. Moyvraeo gratias agendas, quod hunc laborem perut41em et 
valde ingeniosom velut pro derelicto habitum in se suscepit, rogan^ 
dumque etiam censeo, ut in eo genere pergak, ubi multa adbuc 
restant. Diu enim est, quod complura Theoremata ampla satis 
ipse tarn pro fimtis seu indefimtis*, quam pro infinitis formulis fa- 
bricans consideravt; si prosequerentur hoc Studium, qui possunt 
et intelligunt, habituros nos quasdam Canonum utilissimornm Telut 
tabtdoBj pratötituras in analyttds aliquid Ulis usibus simile, qad$ in 



84f 

Gdom^tria in*acti€a tabttlae Binwim alioifiiiiiive nuiner«i!iim praebent, 
scilicet ut caleuios semA &ct06 ueu semper repetere necessa ait« 
uti defecta Canonum quotidie facimus. Sic optarem haben genera* 
les Canones pro »iiblatieiie irrationatiuui, itemqiie pro inveDtione 
maxiai communia divi^oris, ac aublatione literaroiD^ redueiioneque 
aeqirationum plurium plures inoc^nitas habeotium ad pauciores in- 
Gognitarum panciorwati, ac. denique ad unam unius. 

Sed iiaeC iiibil habent cooimiine aut simile cum iltis Metbodis 
Dostris, quibu» probtemata Catenariae aut üneae brevisaimi desGeiv- 
aus, aliaque id geau9 ioteriüiria Geometriae solvinius, ut adeo noa 
poasim in antmom inducere uveum, ipai Du. Moyrraeo videri inju- 
riosum, quod nnUa Ipftios mdiitia facta est, cum de bujusniodi pro- 
blematibus ageretuir, qUed tarnen Dn. DuiUierius insinuat, qui cvm 
tue ignarum in illo soHo llfetheniatico collocasset, unde, si Diis 
placet, existimationem sitignils Geometris distribuo, faaec pag. 19 suJ»-* 
jicit: sed ignoseendum viro, si minus de me tdiisque, saltem de 
Matkematieis rebus ^pime merito: aliis dito, qua enim aequUeae^ 
ut caeteros taceam, lineae brevissimi deseensus in^enUo, s%Atilis 
fuidem iüa et egregia, oppanetur eximiis iUis Theorematis uaiut 
prersus inßniii, quae Dominus de Moyvre in Transaetionibus Phi*- 
Usophieis cornnminieavit? Equidem credo meaaini praeter Dn. Duil- 
lierlum in mentem Denisse, ut opponat inter se res toto adeo coek) 
diversas. Interim considerandum relinquo, qua ipsa aequilate dish 
sinmlet, aut qua anirai praerenttone obliviscatur, non bic de pro- 
blemate aliqiio particuiari lineae bretis^mi desceuaus, sed de Me- 
thodo summi momenti valdeque dilTusa circa maxima et mitNma 
iuisse actum, quam ante Dn. Newtonum et me nullus qudd sdam 
Geometra babuit, uti ante hunc masimi nominis Geometvam nemo 
specimine publice dato se habere probavit, ante Dominos Bernoul- 
lios et me nullus oomrounicavit, eum tarnen constet, esse Metbodi 
de maximis et minimis partem sublimiorem, et in applioatione 
Geometiiae ad Mecbanicen naturamque summe utilem, dim ex omr 
nibus figuria posaibilibus eligitur ad aliquid praestandum aptisaima. 
Magnum sane Geometram Huddenium de bis jam cogitasse apparet^ 
sed quid consecutus sit, non constat. Hugenius certe (quamvis ei 
ipse in Geometria ante detectum a me Calculum recepta summus), 
tarnen uarrante Domino Duillierio tale quid frustra tentavit, band 
dubio quod nondum tune satis usiua nostrarum artium perspexisset, 
quam ubi tandem agnovit, mire iUia et Meth^s et (qiiae Dn. DoU^ 



348 

lierius adeo aversatur) problematis est delectatus candideque fassus 
publice ac privatim, jam apertum ad illa aditum, quae alia ratione 
vix sperari posse videbantur. 

Postremo ne ?acua sit haec Apologia, occasione Theorematis 
Moyyreani nostrum infinities generalius subjicere placet, adhibendo 
novum designationis genus, cujus magnum in re Analytica et Com- 
binatoria usum reperimus, de quo alias fusius. Nempe modum 
damus extrahendi radicem, seu vaiorem quantitatis cujuscunque ut z 
ex aequatione generalissime determinante ipsam z per aliam quam- 
cunque y. Nenipe aequatio data generalissima relationis z ad y sie 
exprimetur = (Oly + 02y* + 03y* etc.) + (- 10 + lly + l2y« 
+ 13y« etc.)z* + (20 + 21y + 22y« + 23y«etc) z* + etc., ubi 
hoc Calcnli commoditatem, ut valores quaesitorum fiant affirmati^i, 
ideo ipsi 10 praefiximus Signum — . Quaeritur jam valor ipsius z, 
seu quaeritur in aequatione z= 101 y + 102y* + 103y* + 104y* 
+ 105y* + etc., qui sint valores numerorum quaesitorum assufn' 
titiorum 101, 102, 103 etc. (quos majusculos hie vocabimus) 
per numeros assumtitios aequationis dätae (quos vocabimus minus" 
culos) nempe per ipsos Ol, 02, 03 etc. 10, 11, 12 etc. 20, 21, 22 
etc. etc. Dicofore 101 = 01 : 10; et 102 = 02+ 11. 101 +20.101», 
:10; et 103 = 03 + 11.102+ 12. 101 + (2) 20 .101 .102 +-21 
.10P+30.103»,:10; et 104 = 04+ 11. 103 + 12.102+13 
. 101 + (2) 20.101 . 103+ (2)21 . 101 . 102+22 . 101* + (3) 30 
. 101«. 102 + 31.101» +40.101*,: 10. Eodemque modo habe- 
buntur 105, 106 etc. hac regula generali ut denominator cujusque 
valoris sit 10, numerator vero constet ex omnibus membris possi- 
bilibus in unum additis Lege eomhinationis sequenti formatis, et 
multiplicatis respective per numeros transpositionnm formae in 
membro ex majusculis conflatae convenientes, qui numeri sunt veri, 
parenthesibus inclusi. Porro in Minusculis ut Ol, 02, 03} 10, II, 
12; 20, 21, 22 etc. nota prior significat, ad quam potentiam ipsius z, 
nota posterior, ad quam potentiam ipsius y numerus minusculus 
pertineat in aequatione data. In Majusculis (ut 101, 102, 103 etc.) 
nota prima (hoc loco 1) nihil aliud est quam nota majusculi; nota 
vero ultima indicat, ad quam Majusculus pertineat potentiam ipsius y 
in aequatione quaesita seu valore ipsius z. Jam lex Comhinationis 
haec est: notae ultimae numerorum supposititiorum vel assumti- 
tiorum membri cujusque formanto eandem summam, aequalem notae 
ultimae majusculi, cujus membra ingrediuntur vaiorem, et in mem- 



349 

bro quolibet minusculus non esto nisi unicus, majusculi autem tot, 
quot nota prior in minusculo bebet unitates : ita simul omnia cu- 
jusque valoris membra possibüia determinantur. Ex hoc jam tbeo- 
remate babetur non tantum eztractio radicis definitae ex aequatione 
unius incognitae finita vel infinita, sed etiam valor indefinitus, qualis 
exempli gratia desideratur, cum quaeritur valor generalis ordinatae 
ad Curvam aliquam sive AJgebraicam sive transcendentem. Theorema 
yero Dni. Moyvraei bujus nostri est casus specialis, qui prodit, si 
omnes minusculi sint aequales nifailo, praeter solos primi ordinis 
01,02, Od etc. et 10, 20, 30 etc., ita ut soHs curvis applicari id 
possit, in quarum aequatione duae coordinatae in se invicem non 
dacantur. Non tarnen dubitem, et ad baec et ad alia abstrusiora 
eum pervenire potuisse aut posse, si ut jani rogavimus, pergere in 
tarn utili inquisitione velit. Videbunt aulem intelligentes novam 
Analyticae promotionem in hae nostra designatione per Numeros 
loeo literarum, qui adeo fictitii seu supposititii sunt, contineri. Nam 
cum mens nostra saepissime pro rebus cogitandis notas adhibere 
debeat, et Characteristica sit maximum meditandi subsidium, con- 
sequens est, tanto utiliores esse notas, quando magis exprimunt 
rerum relationes. linde porro sequitur, literas Algebraicas indis- 
crlminatim adhibitas non satis esse utiles, quia ob vagam genera- 
litatem suam non admonent meutern relationis, quam ex prima 
suppositione sua babent inter se invicem. Hinc ut nonnifail succur- 
ramus defectui, solemus interdum (inprimis cum multae adhibendae 
sunt) in ordine earum subsidium quaerere. Sed ubi magna est 
nee Simplex yarietas, utilissimum reperi ad numerus recurri, 
cum et ipsae literae apud multas gentes ordine suo numerus sig- 
nificent. Numeros autem intelligo fictitios, pro literis stantes, etsi 
interdum tali arte adhibere liceat, ut simul haberi pro veris, et 
examen calculi uovenarium, vel aliud subire possint. Haec autem 
designatio quantae utilitatis sit ad Canones novos, utiles et late 
fusos, cum ex praesenti theoremate judicari potest, tum progressu 
temporis, ubi eae quas opto Canotmm Änalyticarum Tabulae .con- 
dentur, magis apparebit. Atque ita demum per Characteristicam 
ex Combinatoria Arte, Algebra ei subordinata perßcitur. Combina- 
toriam autem (quam animo complexus sum) ex ea, quam pene puer 
conscripsi et anno 1666 edidi (me inconsulto ante ännos aliquot 
recusam) nolim aestimari, tametsi jam tum quasdam meditationes 
non poenitendas nee momenti nullius asp^rserim. 



aso 



XKIII. 

MifcMOffiE DE MR. G. G. LEIBNIZ TOUCHANT SON SENTIMENT 

SÜR LE CALCUL DIFFERENTIEL. *) 

Un des Journaux de Trevoux contieni quelque fflöüaode de 
Mr. Jacques fieraoulii, ei y naele des reflexions sur le calcal des 
differencesy oü j'ai tani de piart. L'AuUur de ces reflexions semUe 
ifouver le cheuiin par Titifini et rinfiai de lia&m pas «ssez sir et 
trop äloi^De de la methode des Aacieos. Mais il aura la boote de 
considerer que si les decouveries sont coosiderables, ia aouveaute 
de la inelhode en releve plutöt ia beaute. A Tegard de la surate 
du cbeiuin, le livre de Mr. le Marquiä de l'Hospilal kii pwin» 
donoer satisfaction. J'ajoüterai meoie ä ce que cet illustre Mathe- 
iDaticien en a dit, qu'oo n'a pas besoia de prendre rinfioi ici 4 Ja 
rigueur, mais semlemefit comme lorsqu'on dtt daDs Toptique, que 
ies rayoQs du Soleii viennent d'uu poiut iuiiniment eloigoe, et ai&si 
sont estJmes paralleles. Et quand 11 y a plusieurs degres d'infiai 
au infioiment petits, c'est comine le globe de la Terre est esUio^ 
un paint ä T^ai^d de la distance des fixes, et une bwde que noas 
manions est encore an point en comparaison du seaudianietre du 
globe de la Terre, de sorte que la distance des fixes est mn iufi- 
niment infini ou infini de Tinfim par rapport au diainetre de ia 
boule. Car au lieu de Tinfini ou de ilntiniment petit, on prend 
des quantites aussi grandes et aussi petites qu'il faut pour que 
Ferreur soit moindre que Terreur doaoee, de sorte qu on ne dif- 
före du Stile d'Arckimede que dans ks expressioißs, qui sont plus 
directes dans ndtre metbode et plus coaformes a Tart d'inveoter. 



SPECIMEN NOVUM ANALY8E0S PRO SCIENTIA flVFINfTI 
CIRCA SÜMMAS ET QÜADRATÜRAS. **) 

Ut in Algebra reciprocae sibi sunt Potentiae et Radi^e^y ita 
in calculo infinitesimaU Dijferentiae et Summte : et yti in Aigebra 

*) Journal de Trevoux an. 1701« 
**) Act. £rudit. Lips. an. 1703. 



SSI 

490U acientiia generali finiUe magnitudinis potissimiis scopifts est 
mtrahert raiices formularam , iia in scientia infijitti invenire sun^ 
mc^ &erieram, quae cum ex teitninis con&tant contioue seu elenienr 
tariter crescentibus nihil aliud sunt, quam quadralura^ vei areae 
figurarum. Et quemadmodum aliae radices purae sunt, cum valores 
^x solis cognitls babentur, aliae affectae, cum ipsaeearum potentiae 
Talorem ipsarum ingrediuntur : ita quae summanda sunt, aut pure 
et pifti^ sunt cognita, aut rursus impUcant summam quaesitam, ut 
si Sit dy = y&dx : , ax + yy, ubi y summa quaesita ingreditur ralorem 
^umsptaodi dy. Et utrobiqu« artis est (nondum absolutae, quantum 
quidem in publicum constet) reducere affectas expres$iones ad pu^ 
ras, quod in caiculo infiDitesimali est reducere aequationes differen- 
tiales cujuscunque gradus (nempe diSerentiales , differentio-dilferen- 
Ualea etc.) ad quadratnras^ atque adeo suppositis quadr^^uris es. 
data tangenttum aut asculationum cujuscunque gradus proprietate 
lineam invenire. In ipsis autem rursus quadraturts magiii res mo- 
menti foret, quod nunc agimus, reducere compositas ad simpliciores. 
Atque faaec est analysis Tetragonistica, in qua nonnulios a multis 
annis progressus feci. Nempe cum vix quadraturam meam Arith- 
meticam invenissem per reductionem tetragonismi circuiaris ad qua- 
draturam rationalem, comperto scilicet ydx:(l + xx) pendere ex 
quadratura circuli, mox animadverti, omnes quadraturas, quae re- 
4uctae sunt ad fsummaljonero formulae rationalis, eo \\no ad certa 
tandem capita simplicissimarum summationum revocari posse. Quod 
q^a ratipne fieri debeßt, ostendemus novo genere Resoiutionis, Pro- 
ducto scilicet eo? multiplicatione converso in Totum conflatum ex 
a4iitione, nempe transformatione fractionis denominatorem habenlis 
multiplicatione radicum suarum continua utcunque exaltatum in 
aggregatum ex fractionibus simplices tantum denominatores haben- 
tit^us. Rationalßm autem quantitatem vel formulam hie voco, cum 
indeierminata quantitas, velut hoc loco ic, non ingreditur vjnciftlum, 
nam constantes utrum rationales sint, an surdae, non cui^atur. 

Sit formula quaecunque finita rationalis ■= — ~ — ^ — ^ — /*"' 

^ + ita 4" äJtx +yrx* + ... 

Hanc demptis integris puris ajo posse ostendi aequalem aggregato 
fractionuAQ» quarum n^merator sit constans seu sine ;(, denominator 

a 
autem sit simpIex, ita ut quaevis harum fractionum sit qualis^ — 7-, 

xH»-» 
qmQd qui fl^ po^it, sie o^lbeQdo. PfiBpum ex Algebra j^ufifioiu) 



352 

divisores simplices cujusque formulae rationalis integrae atcunqne 

cognitos; sunt enim iidem cum radicibus aequationis, quae prodi- 

rent, si formula pro aequatione haberetur. £xempli gratia formula 

ax 
XX = -T- + 3^ habet divisores x — a et x •— b, et eadem si, esset 

D 

aequatio seu aequalis nihilo, haberet has ipsas radices nihilo aequa- 
les, ila ut x valeret a vel b. Itaqne ex suppositis resolutionibus 
aequationum Algebraicis habentur divisores formularum , et nostra 
haec Analysis infioitesimalis Analysio Algebraicam, ut superior iu- 
ferioreiu, supponit. Propositam nunc formulam denominatoris, 
nempe ttx^ + ^xn+ftJi + X vel aliam altiorem, dividendo per Tty si 

opus, faciemus x' H — xx + — x + -. Hujus divisores ponamus esse 

x + b, x-|-c, x-f-d etc. eosque per compendium vocemus I, m, n etc. 

- + — x+^xi -\ — x' 

Itaque proposita fractio -^ = divelli potent in 

' x»+ix + ^xx+- 

7t 7t 7t 

^ a : 7t . ßx: 7t . yxx : 7t . dx' :7t .. , . , 

sequentes 7 r -; f- *— + -^ . Aio jam, quam vis ha- 

Imn imn imn Imn 

(XlTt 

rum reduci posse ad talem, qualis est prima y-^ — . Igitur primum 

hanc resolvemus, deinde quomodo caeterae ad hanc revocentur, 
ostendemus. 

Neglecto igitur numeratore constante, qui nihil in summatio- 

nibus turbat, aggredimur resolutionem fractionum , — , ■; , -, 

im Imn Im np 

etc. vel generalius fractionis ■; ^ posito ut dixi esse 1 = x + b, 

Imnpq ' 

in=x+c, n = x + d, p = x + e, q = x + f, et ita porro. His 

positis reperi, quod quisque jam experiundo facile demonstrare po- 

terit, esse 



Im c — b, 1 b — c,m 

Imn c — b,d — b,l~b — c,d — c,in "^b — d,c — d,n 
l » 4. [ + l + 1 

I K_« ^_« «_« •« > K_ii -_J ^ A « » 



Unap c — b,d— b,e— b,l "^b— c,d— c,e— c,m ' b— d,c— d,e— d,n b-.e,c-.e,d-e,p 

et ita porro; nam ex aspectu patet progressus in infinitum unifor- 



353 

mis et regularis. Ut autem, qui volet, veritatem experiundo com- 

probare facile possit, sufficit praeiri exemplo casus primi: - _ , . 

, 1 bm — cm + cl — bl ^ • . , u *•. j 

+ , = -TTt rr^ ; — > Jana pro ipsis 1, m substituendo 

b— -c,m 2bc — bb — cc,lm '^ '^ 

in Dumeratore valores x + b, x + c , fiet bm — cm + cl — bl = bx 

+ bc — ex — cc + ex + cb — bx — bb = (destructis membris , in 

quibus est indeterminata x) 2bc — bb — cc ; ergo erit ^r; r-; r- 

^ abc—bb — cc. Im 

, prottt asserebatur. Jam omnes Frac- 



2bc — bb — cc,lm Im 

X XX X* 

tiones 5 , , , , , quarum numerator non est constans, 

Imn . . Imn . . Imn . . 

reducemus ad fractiones numeratoris , qualis est ; . Reperi 

^ Imn.. '^ 

igitur rurstts, quae sequuntur: 

Regulae universales pro Fractionibus Numeratoris in- 
determinati, non involventibus Integros indetermina- 
tos, resoivendis in Fractiones numeratoris constantis, 

l=BX-|-b, m = x + c, n=:x+d, p=x +e... 

1.."^.. 1.. 
XX 1 b + c , bb 



Im . . . . m . . Im . . 
X» l b + c+d bb + cc + bc b^ 

T 



Imn . • . . n . . mn . . Imn . . 

X* 1 b+c+d+e , bb+cc+dd+bc+bd+cd b'+c'+bbc+bcc , b* 

I ^ ^^_ -■ ■ ^ » "4« ■ ■ 11... a^ ■ I I I U li 

Imnp .... p . . np . . . mnp . . Ininp'. . 

Puncta ... hie significant literas supplendas, ut si opus hae pro Ulis 

X X X 1 

poni possint. Exempli causa, si pro — daretur . — , loco -: — 8= — 

b ,. ^ X 1 b 

— 7- prodiret - — = z — . 

1.. '^ Imn mn Imn 

Series exbibentes Regulas pro Fractionibus Numeratoris in- 

determinati involventibus Integros indeterminatos, resoivendis 

in suos Integros et in Fractiones numeratoris constantis. 

XX 1 . bb 

V. as 



394 

Im l" m Im 

iL— b+c+d l>b+cc.4-dd+bc^-bd+cd b»+c*+bcc b* 

lmn~ 1 Q mn Imo 

etc. 

X« b^ 

Y = xx — bx-i-bb — Y 

X* _ b+o bb + cc-t-bc b^+c^4-bbc +bcc b^ 

Im""^ 1 *"■■ l . m "~~"*"lm 

etc. 
Seriei cujusque, serierumque ipsarum inter se progprfssu^ in infi- 

nitum apparet ex aspectu, praeseptiin folun^rum. Iq meqpbro 

unoquoque numerator constans est Formula plena sui gradus, ex 

literis sibi competentibus formata, tarn simplex, i^\ nullis coefficien- 

tibus varieiur. Ita bb + cc + dd + bc + bd + cd est formula plena 

secundi gradu9 ex literis b, c, d formata, carens coafficientibus, 

adeoque constans ex aggregato quadi^oruBii et reQtapguliuiim. 

Quodsi qyii^ sublatis 1, m, q, p etc. restituere yelit valores 

ipsarum x + b, x + c, x -|- d, |t + e etc., Theoremata praeceden^ia 

i^tabunt, quemadmodum patet in e]i;empli9 hie subjectis : 

1 

X ♦ + bx ^ + bcxx + bcdx + bcde 

c bd bce 
d be bde 

e cd oi% 

ce 

de 
idem est quod 

1_ ^ L.^ , 1 

^rrHl),d-b,c--b,x+b b— c, d~c,i^-c,x+c b-4,c— d,e-d,;^+d 

l 



b — ei c — e, d — e, x + e* 
Et 



X» 



X * -4- ix * + bcxx 4- bcdx + bcd^ 
c bd bce 

d , be bde 
e cd ^d^ 

ce 
de 
idem est quod 



S55 

l b+c+d bb+cc+bc b' 

x+e~ xx-f-di+d^ xHax+cdx-i- cde x*+'>*'+'><^"-l-l>cd;t+bcd? 
e d ce c bd bce 

Q ^e d be bde 

e cd cde 
ee 
de 
Operaeque pretium foret, quamlibet fractionem valoris hujus, qualem 
iM exemplum posterius, resolvere rarsus te Talorem ex 'fhictiem^ 
bas simplicibus compositum, ad modum Talons, quem dat exem- 
l>}um priu9, eioq^e mp^o novam Tbeor^matai» semm dar^ pr«» 

1 X XX x^ 

valoribus ipsarum fractionum, ut ; , ita , , , — , r-~" — 

'^ Imup.. Imnp,. Imnp.. Imnp.. 

etc. exbibendis per aggregatum ex simplicibus fractiontbus cwfla- 

lum, st locus iste pateretur. 

£x bis ergo patet^ omnem Fractionem Rationalem reduci 

poese ad Fractiunes simplices rationales constantis numeratoria, 

rationales, inquam, quoad indeterminatam x, quae extra vinculum 

eßse dabet. Itaque si daretur fractio aliqua resolyenda, velut 2x% 

+xV^+ V5» : , XX + 2x + "^3, vel aliqua fractio simplex inter resol- 

veoduP ocfiurrens, ut fractio V^ : , x + V^, ea in hoc Analyseos gQ- 

mv^ babetiv* pro rationali, quia Analysin banc summationum tton 

naratiur irrationalitas , quae iiideterminatas non inFohit* In qiK> 

cpoinio4i<Mr bo€ l<Mf est reductio irrationaüaim ad ratioiiales, quam 

in. C3kul<^ IHunaerarum Figuratorum Diopkanteo. Hinc sequitur, 

etsi irrationales sint Radices, modo sint reales, non vero imagina- 

r»ae, in seriebus quidem Numerieis rationalibus summandis, quae 

sunt determinati gradus seu ubi indeterminata non ingreditur ex- 

ponentem, rem semper posse reduci ad summam numerorum pro- 

gressionis Harmonicae ai|t potentiarum ab ipsis, aut bis destructis 

^ quantStatem constanteqi seu summam absolutam, vel sattem ad 

seriem integrorum, quae in rationalibus tertii gradus semper sum- 

mari potest pro parte seriei finita; in seriebus vero Knearum 

iMrdinatarum rationalibus summandis seu in quadratqris Figurarum 

41gebraißaruiii rationaJiittm omnia semper, cum radices sunt reales, 

reduci ad Quadraturam Hyperbolae. Hinc (ut id prius explicem) 

in seriebus Numericis summandis res redü ad summandas omnes 

— vel omnes — vel omn^s —, etc. posito y «= x + e, vel x + ?, vel 

y yy y, r ^ 

23* 



38« 

X + ^3 aliterre, ut placet. Nam si x sit i vel 2 vd 3 etc. et e 
constans sit 2, senes numerorum seu - ent -,- 



i + e y ^'" 1+2' 2 + 2' 
etc. Sin x sit 1 vel 3 vel 5 vel 7 etc. et e constans 



3+2*4+2 

Sit V3, tunc series omnium i erit iq!yä'3"TV3' öTVä' 7+^VÄ 
etc. id est, si x aut y sint progressioDis Arithmeticae sive naturalis 
8i?e alterius cujuscunque, ipsae - erunt progressionis harmonicae, 

itaque I -^ erit in Numeris summa progressionis Harmonicae, et 

i/ y 

^, / ^ etc. erunt summae potentiarum a terminis progressionis 

nJ y* 

Harmonicae. Ad has ergo res redit, si series numericae rationales 
determinati gradus, finitae, vel cum id fieri potest,'infinitae summandae 
intelligantur et formula fractionis non habeat nisi radices reales. 
Et licet series Harmonica infinita numero termiuorum, etiam mag- 
nitudine sit infinita summarique adeo non possit (quod secus est 
in Seriebus potentiarum ab harmonicis terminis), differentia tamen 
inter duas series harmonicae progressionis licet infinitas, finitam 
magnitudinem constituere potest. Et, quod eximium censeo, cum 
absoluta habetur summatio, independens ab harmonicis terminis 
horumque potentiis summandis, hac analysi nostra destruuntur har- 
monicae, aliaeque series minus tractabiles, et sese sponte oslendit 



summa, Exempli gratia 4+4+iV + ^V+aV etc 



.seu fjL^ 

Jxx-1 



posito X esse 2 vel 3 vel 4 etc. est series quae tota in infinitum 
sumta summari potest, et dx quidem hoc loco est I. In uumericis 

enim differentiae sunt assignabiles. Et — — y per regulam nostram 

(ob valorem ipsius — , quia 1 hoc loco äx + I et x=m — 1, 

adeoque b est 1 et c est — 1) erit — r — -— ■ + seu «- 

•""«»X-hl 4,x — 1 Z 

1 1 

+ i /-^e8t = 4,|+i+i+l + i+etc. 



/.JüLeut = 4, 



35V 



J 1 1 I Mir 



ergo / crit = i, •|-+|««» = |. Tandemque erit | = J 

+ i + TV + YV + 3V+ ^^c- quam summationem jam olim cum Qua- 
dratura Arithmelica edere memini. Similique methodo caeterae 
summationes serierum ratioualium, determinati gradus realiter re- 
solubilium inveniuntur, aut ad harmonicas earumque potentias redi- 
guntur. De imagioaria resolutione, quae et ipsa prodest, mox 
dicetur Eademque subinde etiam pro seriebus rationalibus indeter- 
minati gradus servire possunt. 

Quodsi X vel y essent non termini discreti, sed continui, 
id est non numeri intervallo assignabili difierentes, sed lineae rectae 
abscissae^ continue sive elementariter hoc est per inassignabilia in- 
tervaila crescentes, ita ut series terminorum figuram constituat; 
patet eodem modo omnes summas fractionum rationalium gradus 
constantis, hoc est omnes Quadraturas figurarum rationalium Alge* 
braicarum, suppouendo Radices formulae denominatorem consti- 
tuentis esse reales, posse vel absolute inveniri, vel ad Quadraturam 
Hyperbolae reduci. Nam quia praeter integros summandos, utydx, 
ykdx, ykxdx etc., res reducitur ad summationes simplices, posito 

y c=r X + e, quales /£Z /£?, / -I etc., in quadraturis autem 

id est Hyperbolae Quadraturam. Verum enim vero tenacior est 
varietatis suae pulcherrimae Natura rerum, aeternarum varieta- 
tum parens, vel potius Divina Mens, quam ut omnia sub unum 
genus compingi patiatur. Itaque elegans et mirabile effugium re* 
perit in illo Analyseos miraculo, idealis mundi monstro, pene inter 
Ens et non-Ens Amphibio, quod radicem imaginariam appellamus. 
Hinc quoties denominator Fractionis Rationalis habet radices ima- 
ginarias, quod infinitis modis contingit, Hyperbola quoque, cujus 
opus esset Quadratura, fieret imaginaria construique nullo modo 
posset. Sed quia quaevis Radices imaginariae suas compares ha- 
bent, oriuntur enim extrahendo radicem quadraticam ex quantitate 
privativa, extraclio autem quadratica omnis duplex est, ut notae 
ejus V • • • praefigi possit + vel •— ; hinc ex radicum imaginariarum 



M8 



S OB iS 


OB 

•c 

o 




S o o 


^ 




^ a. e< 


CO 


■ ■M 


<o ^ o 


s 


c 


^ CS u 


a> 


S o & 




S fl 


o 


^% 


3 - s» 


a 


9 


§20 


0) 


•^ 


S •*!» 




^■H 


(si ad 
propoi 
quadra 


4-» 

CO 




«» « 


» 


sj 


»4 ^ s 




r— * 


s 


§ 2 !- 


J 









'h 


o 
u 






A 






0) 

CO 

4ll« 


0) 


S 


CO 


ci s 


«£: 




E o CO . 


'S 






*3 


O CO 


C6 


a 


? 




II § 


b 


g 


:i-8. 


>«■ 




m cf i^ 


s 


a 


.fr * o 
■^ c« 52 


1 












• 
CO 


.a 

CO 


ff'' 


1 


9 


g. J " 
«»'S 


CO 


I 


©OB 


1 ' 


1 


S §2 


2 


1 




1 


H 


V iS ^ 




1 


S ffl Ä 


CD 




2 'S 


-«3 


• 






+ 


«- '« cT 




^ 


B C9 S 

.t5 «b £• 


•T3 


*• 


5 '35 .§ 




H 


J»^ 


•>. 




O 

'S, 




> 1 -3 


a 

tm4 


S 


.e ^ ä 


CO 


V 


^ C TS 


CO 


CO a 


1^2 
■« 8 2 


«i 

e 




— ^^ 

.8 M 
■5 S) 
2 S 



II 



I 

I* 



+ 

+ 



+ 



7 



a 



+ - 



IT 
T 

H 

+ 

+ 
I 



+ 

+ 

d 



CO 



9 

CD 
QO 

O 

o 
o 
a 



a 

a 

o 

CD 



I 



8 



I 

7 






•8 



CO 

I * 



4^ 

a 

o 



I 

09 

o 



9 



h 

O) 



^11 



09 »PI« 

CO 



I 13 

17 -^ 



s 

fr« 









09 

CO 



09 
CO 



im 
09 

CO 

u 



09 



I 

o 

SU 

CO 

3 



6) 

CO 
09 

18 

CO 

a 

a 




CO 
OS 

a 

09 

'S 

► 

«5 






I 



09 



-r -ö 



+ 



CO 

9 

M 

09 



c a + "•* 

1 1 i"lX 



- + 



I -^ 



I 



+ 






Km 
CO 

s 

CO 

H 'S 

'^ CO 

a 



3 
I 



a 

09 

09 

O4 



T»7 






T 
+ 



0? 



(O 

'S 



+ 



Ni K a 

'C [T^ CO 
M 'S 



II 




•§ 






8 

CO 

09 

a 



09 

s 

o 



CO 

s 



o 



+ 



-ilj 



3^0 

"«""^ 2.^ - ä:ir+T '■«^*" lii' "i"*** "'" *^^ =1;;^ - 

-. — —7 —I IL' Q ■ , ' j . ünde patet pendere /-s — r vel etiam 




jOtiadi^Atüra H^t)erbdiae et Gir<iüli iamul. Narm 



Pix 




adeoque et /* ^ pendere ex Quadratura Hyp^r- 



/^dx 
xx+1 



böläe, düdutti (Joh^tabat; s^d / — -— - pendere ex Ouafdräturä 

Cireuli a ine primiim cum Quadratura mea Arithmetioa est inyen- 
tum, at(iue kine duxi, quod initio Actorum Lipsiensmin edidi Th^o^ 

rema , Quadrato diametri existente 1 , Aream Circuli edse -r- — 

•r- + -r- — 7=- ötc. V Ex Ws sequitur, omniüm Figurarum Algebräi- 

carum Ratbntiium, ubi denominator in valore ordinatae divisorea 
reales habet primi ^adus^ ut x + e, reduci poSse ad QuadratüSram 
Hyperbolae ; cum vero divisore» reaks habet planes seu secundi gra-- 
dus (qui sciiicat ipsimel nan babent radices reales, alioqui ducturi 
ad quadraturas abselutaa) ut xx + fx + ag vel (sublato secundo 
termino) ut xx + ae, ptodere ex Quadratura Hyperbolae, vel Cir- 
culi^ vel utriilsque. 

Hio jam ordo nos diicit ad muximi moteenti Quaestionem^ 
utrum omnes Quadratürae rationales ad Quadraturam Hyperbolae 
et Circuli reduci possint, quae huc redit in nostra hac Analy«si : 
utrum omniä Aequatio Algebraica seu formula realis integra quoad 
indeterminatam rationälis posäit resolvi in divisores reales simpli- 
ces aut planes. Verum oompcri, qui hoc statueret, eum natura« 
copias arctius contractupum quam par sit. Esto 1 : (xx-|-aaV — 1) 
duc^ndum in 1 J (xx— ä»V-^l), prodibit l:(x*+a*)j cujus deno- 
minator utique est formula realis, sed resolvendo banc formabim 
noB peryenilur ad d ivisores plaHo» reales, nam xt— aaV — 1 reeolv i 

pM«tl in x4«VV--l ^ X— äVV-^1, et xx+aaV^ in i+aVcW^) 



860 

et X— aV( — V— !)• Ita que fo rmula x* + a* prodit ducendo invi- 

cem x + aV^^, x— aVV^, x+aV(— V^)i x-aV(— V^)» sed 
quamcunque instituamus duarum ex his radicibus quatuor combi- 
nationem, nunquam consequemur, ut duae invicem ductae dent 

quantitatem realem, sed divisorem realem planum. Itaque fi\ : 
(x^+a^) neque ex Circuli lieque ex Hyperbolae Quadratura per 
Analysin hanc nostram reduci potest, sed novam sui generis fundat 

Et optarem (quod alias etiam me innuere memini), uty^x: (x+a) 
seu Quadraturam Hyperbolae constat dare Logarithmos seu Sectio- 
nem Rationis, et yclx : (xx+aa) Sectionem Angulh ita porro con- 
tinuari posse progressionem, constareque cuinam probiemati respon- 
deantyilx: (x* + a*), fAx : (x'+a*) etc. Caeterum, ut obiter addam, 

/x^dx : (x2«± a^«), verbi gratia /xdx : (x*± a*) et /xxdx : (x« ± a«) 
et yk^dx : (x'±a*), et ita porro, pendent ex Quadratura Circuli, si 
± significet +i «t ex Quadratura Hyperbolae, si significet — , uti 
fädle agnoscit peritus calculi differentialis, quamquam et ex prae- 
senti Analysi deduci posset. 

Unum jam potissimum superest quaerendum, utrum jam et 
quomodo Figurae, quae Ordinatas habent irrationales, ad alias Fi- 
guras rationales Homometras (id est ut data quadratura unius, 
absolute vel rationaliter detur quadratura alterius) reduci nostrae- 
que huic Analysi subjici possint. Quo in genere multa quidem 
tentavi, nee sine successu, nondum tamen quicquam satis univer- 
sale aut insigne ausim polliceri, et ut verum fatear, rem pro digni- 
täte tractare non vacavit. Itaque distuleram editionem Methodi, 
donec in reductione irrationalium summandarum ad summandas 
rationales majores progressus facere liceret, totamque hanc doctri- 
nam servabam Operi meo Seientiae infiniti, Sed cum viderem, 
hac mora differri progressum artis, neque dum satis de tempore 
meo statuere possem, malui publicae utilitati velificari, ea spe fre- 
tus, fore qui latius spargant semina novae doctrinae uberioresque 
fructus colligant, praesertim si incumbatur diiigentius quam factum 
est hactenus in amplificationem Algebrae Diophanteae, Cartesii dis- 
cipulis fere neglectae, quod usum in Geometria parum perspexis- 
sent. Ego vero aliquoties innuere memini (quod mirum videri 
poterat) progressum Analyseos nostrae infinitesimalis circa qua- 
draturas pendere bona ex parte ab incrementis ejus Arithmeticae, 
quam primus, qui nobis quidem notus sit, professa opera tractavit 



861 

Diophantus. Et spero, quae nunc damuB, facta oculata fide, efR- 
cacioris ad haec porro ezcolenda adbortamenti loco fore. 



CONTINÜATIO ANALYSEOS QUADRATURARUM RATIONAUÜM. •) 

Quam nuper edidi Analysin Summatoriam Rationaliuno sive 
in Numeris sive in Quadraturig, mirifice intelligentibus placere 
Video. Nam (ut de summis Nunierorum nunc taceam) Analysis 
transcendens linearum, ubicunque haec Methodus locum habet, de- 
ducitur ad suam perfectionem, quia tunc semper pro aequationibus 
differentialibus substitui possunt exponentiales. Sciendum enim, 
quod dudura notavi, expressionem lineae per Aequationem dilTeren- 
tialem hoc habere incommodi, quod non prodest pro aequatione 
locali, neque proprie ad uuum punclum refertur. l/nde fit, ut per 
eam intersectio curvae cum alia linea haben incognitave tolli non 
possit, atque adeo tunc demum in talibus aequatio differentialis 
prodesse potest, cum constat, duas lineas non tantum occurrere 
sibi, sed et se tangere. At aequatio curvae transcendens expo- 
nentialis omnes perfecte usus analyticos recipit, ejusque ope non 
tantum determinari concursus, sed et incognitae tolli possunt, si- 
mulque eadera opera apparet, quodnam problema deprimatur ex 
transcendenti ad commune, quoties nempe quantitates indetermi- 
natae exeunt de exponenfe aut plane evanescunt. Ex. gr. si pro- 

deat b — ~ = c*" , fiel xx -f-yy = aa (loc. c : log. b) , quae aequa- 
tio est ad Circulum, et si logarithmorum ipsius b et ipsius c ratio 
aliunde data sit, constructus erit circulus communi more; sin mi- 
nus, saltem obtentum est, quod debuit obtineri. Et vero sciendum 
est, quoties in solis constantibus haeret difficultas, ut Algebraice 
exprimi nequeant, tunc non amplius incertum esse gradum, neque 
adeo problema amplius esse transcendens. Ex. gr. sit ^2 quan- 

titas non ordinaria, veluti si e sit numerus irrationalis V^, tarnen 
nee transcendens a me dicetur, sed inlerscendens, nam cadit inter 
gradus usitatos. 



*) Act. Erudit. Lips. an. 1703. 



S(äd Meo 6h'Mt dictkl liiatito, Üt ^aestlEiiitiii büjus kMlfibHi 
melius intällig&tlit. FVactio quaecnnqu^ rationalh quoad ifidediii- 
tarn potest facta concipi hujus formae, posito t esse numerum in- 
tegrum rationalem, 

iL + A j 4. Xix +1 X» + etc. 

TT TT ^ TT Tt 



X + ^ T-- + ^ X— +— X— + etc. 

Hlnc primum deträhentür ihtegra pura, ut x^ xS x' etc. qnantum 
fieri potest, quod fit dividendo Numeratorem per Denominatorem, 
qnando nempe hie non est altior illo. Quo facto habebitur et quo- 
tieds integer et residua fractio, ubi Denominator est altior Nume- 
fatore, quae Jam rursüö tractända, ut niox dicetur. Nunc si po- 
namus, Denominatorem esse formulam, quae nullas habeat radices 
aequales, dico Fractionem, quae superest, divelli posse in tot fra- 
ctiones quot sunt radices, quarum fractionum quaelibet sit hujus 

formae ^, ita ut A et B sint quantitates constantes. Atque 

X -|- B 

adeo si detur figura, cujus abscis^a existente x, ordinata sit aequa- 
lis dictae fractioni, figurae quadratura habebitur per Logarithmos 
veros, cum radices denominatoris sunt reales, vel per accedentes 
Logarithmos imaginarios, cum qüaedam radices sunt imaginariae. 
Logarithmi autetii veri coincidunt cum quadratura Hyperbolae, Lo- 
garithmi imaginarii primi gradus coincidunt cum quadratura Circuli. 
Sed quia dantur Logarithmi iiliaginarii infinitorum graduum altiorum, 
ut in Schediasmati Maji superioris *) specimine dato ostendimus, hinc 
etiatti totidem dantur Quadraturarum gtadus, a quadraturis Circuli 
et Hyperbolae independentes, atque itä magna quai^ätio decisa est, 
quae hactenus in Analysi Transcendente negotium fac^ssivit. 

Ponamus denoniinatoHs radices eise x+b, x+c, x+d, x+e, 
t+f etc. totidem, qüot in t sunt unitdtes, quas radices per com- 
petidium vocabinius 1, m, n, p, q etc., patet 

1 



) Es ist die vorhergehende Abhafudlung. 



idfem föfe qaod j — ■ ; i*6p6rl aulefti pfef tt^guläAi getteraUtft 

Mtis pulcbre procedentem, fore ^ ' ' ' • idem quad est sequens dumida 



c — b , d-^b , e — b , 1 b — c , d — c, e— c , m b — d , c— 4 » « — d , n 

+ -r-" — --^ '- — , tdöttlque *St in allioribus, nam lex gene- 

D'^^e ) c^'^e ) Q~~~e ^ p 

ralis attendenti patet. Et ita generaliter fractio denominatoris com- 

positi divelii potest in fractiones denominatoris simplicis. 

Quodsi post divisionem initio factam in residuae fractionis 

numeratore mansisset indefinita, veluti si residua foret formula 

v_ ±x_^ divellatur in tot partes, quot sunt membra 

m numeratore, quae erunt , h-r^ — +•; -f-r^ — > ubi ut 

Imnp Imnp Imnp Imnp 

Dumeratores llberentur ab indefinito, reperiäius (omisrä dönstan"- 

tibus Q, t;, 9>) fore 

__x_ _Jl b_ 

Imnp "^ mnp Imnp 

XX 1 b+c bb 

mnp np mnp Imnp 

x^ 1_ b-fc+d bb-^^cc^fbc b* 

Imnp ~~ p np ' mnp Imnp' 

His addamus adhuc unum exemplum, ut melius appareat Lex: 

bb + cd + dd +b^c3 

X* 1 b+c+d + e , bc+bd+cd H-bbc+bcc . b* 

+ '^ ^ + 



Imnpq q pq npq n)npq Imnpq 

Equidem diversae prodire possunt expressiones, prout mutatur oTdo 
literarum I, in, n, p etc. aut constantium in ipsis quantitatum b, 
c, d, e etc. Sed si ipsae jam a numeratoribus indeGnitis liberatae 

fractiones, ut — , — , -^ etc. aliaeve fiujusmodi rursu^ reäol- 

pq npq mnpq 

tantar in fractiohes detiominatorem habenteä gittiplicem, m6r6 jam 

praescripto, diversae iliae viae taodem desinent in idemi potdrimtr 

que ita adhuc nova Theoremata perpulchra condi« Idem alitep die 

consequemur: Esto fractio haben» potentiam ipsius x in mimera- 

|ore, et denominatorem compositum, yehit r , i^esolvemu» primam 



804 

fractionem in firactiones denomioatoruni simplicium, modo jam 
praescripto, et ita res hoc loco redit ad quatuor fractiones, quales 

X* X* X* X* . 

-T) — « — ) — , omissis coefBcientibus constantibos. Jana quando 
1 m n p 

in numeratore est x vel ejus potentia quaevis, denomiuator autem 

est Simplex, potest res reduci ad integros pures aut fractiones nu- 

meratoris constantis simul simplicisque deuominaloris hoc modo: 

X _ - b 

1 "" r 

XX . . bb 



X* b' 

- - = XX — bx + bb j- 

x^ b^ 

y =x» — bxx + bbx — b»+Y. 

Nunc supplendi sunt casus, quos in praecedenti Schediasmate 
non attigimus, quando nempe radices aequales caeteris admiscen- 
tur; ibi enim regulae propositae non quadrant. Neque etiam soK 
Logarithmi aut quasi-Logarithmi occurrunt, sed interveniunt etiam 
Hyperboloidum quadraturae, quales sunt, quorum ordinatae sunt 

XX, — ^, -^ etc. Tales autem Hyperboloides omnes quadraturam 

ordinariam recipere constat. Sed ut hae quadraturae diversi ge- 
neris ex se invicem evolvantur, ponamus h = x + a, et sit fractio 

-rr. , haec per reguiam praescriptam resolvi potest in totidem 

h^lmnp 

tales rs , cT" > rr" » ri~ • Dico quamvis harum rursus resolvi 
n*i n*m n*n n'p 

tali modo, ut posito co=l — h, id est ct> = b — a constante (quo- 

niam h = x + a, et I = x + b, unde 1 — h = b — a), fiat 

j_ j L-4.-! L J^ 

hn^ wh* w(oh* ^ wV co*h + w*r 

1 

eodemque modo habebitur et r«— , tantum pro I ponendo m, et 

pro I — h=w^b — a constante, ponendo constantem m — ^h=c— a, 
idemque est in caeteris. 

Quid si diversae simui occurrant Radices aequales? Veluti 

si sit fractio ^413 , patet eam produci ex bis duabus r^r, et 



865 

1 



Dico priorem resoWi posse in fractiones constantes ex unius 
mnp '^ ' 

tantum speciei radicibus aequalibus, quae fractiones si singulae 

deinde multiplicentur per , habebimus totidem novas fractio- 

mnp 

nes similes huic j-^j , quas jam resolvere docuimus. Superest 

ergo, ut resoWamus fractionem, qualis 7^] dico, posito b — a=ctf 

et a— "bssi^, fore 

3 6 10 



_V*t* 



hV Sj. i. . 12. 

Sed operae pretium est adscribere Theorema generale, quia bic Lex 
non aeque facile ac in prioribus de exemplorum inspecüone fabri- 
cari potest. Nempe posito t et v esse numeros constantes ratio- 
nales integros, dico fore 

V v.v + 1 V.V.+1.V+2 



f • • • • 



-J 1 1.2 1.2.3 "- 

1 Wh' »4-1 ^/-i "^ »+?, 1-2 »+8 «-S +etc. usq.ad r-^ 

— = j iü~^\r^ w — h"^ w-^ h ^- — " 

^^ \ t t.l + 1 t.t+l.t+2 



.J 1 , 1.2 1.2.S H_L11. 

Hinc si verb. gr. y esset 1 seu F^l, retineretur solum terminus 

— -, sequentibus in quibus 1 alias occurreret omissis. Quodsi 

tres vel plures species radicum aequalium coneurrerent, nibilomi- 
nus patet ex praescripta jam methodo, omnia ad fractiones unius 
tantum literae indeterminatae, quae hoc loco sunt simplicissimae, 

redud posse. Esto enim rm—j» patet produci ex rra per— | 

Jam r8|4 resolvatur in fractiones simplices more praescripto. Ha* 

1 
rum quaelibet ducatur in — g , habebuntur totidem fractiones, quae 

non nisi binas babebunt species radicum; bas autem posse resohi 
in simplices, jam est ostensum. Redacuotur .ergo binae spepies ad 



860 

mm^ terpae «4 }>ipa«, quiit^rnae ad t^riu^, ^t it9i I^lTo, qaae 
hie persequi Don est necesse. Unde jam cuncta esse in potestate 
apparet, quauquam ea quoque Canonibus seu Theorematibus com- 
plecti conveniens foret. 

Postremo cum Mathematicus ingeniosissimus, si quisquam, 
Dn. Johannes Bemoullius, ostenderit, se quoque japi ab aliqu« 
tempore taii quadam Analysi uti, et ideo problema transmiserit 
^ctis in$erendum, v^rbis ^equentibus illud subjiciet.nr* (Jbi i^xnw 
ab eo dissentire cogor, quod omnia ad quadraturam CircuJi et Hy- 
perbolae (praeter ordiuarias quadraturas) hie reduci putat, cum in 
Speeimine supradicto, Actis Maji inserto, demonstratum a me sit, 
alias sine fine aliis altiores quadraturarum rationalium transcenden- 
tium species ordine dari, a se invicem iiidependentes, quadraturas- 
que Hyperbolae et Circuli ex Ulis omnibus primas et simplicissi- 
mas esse. 



QUADRATUHAE laRATlONALIÜÄf SIMPLICIUM. *) 

Cum quaeritur /2 'Jidx, posito 2) esse 10+'llx+12xx+ etc. 

et 2 esse 20-|-2U4"^2*^"l~ ®*'C-» J*^* quidem semper obtineri 
potest ponendo hanc 9ummationem e^$e aequalem huic quantitati 
©\f54-y^-\/3)dx, ut 4 Sit formula siffiplicior quam ?, quando id 
licet opusque est. Nee alia pote.$t haberi quadratgrae ip(}efipiia^ 
hie formula, quia oportet Quantiiatem et ejus Summatricem ej^s- 
dem §sse Ämbigutiatis aeu aequationem, ii| qua una earum sit im- 
cognita, habere tot radices, quot aequatio, in qua altera earum 
incognita est, et proinde ambae Quantitates irrationalitate JiQC prae- 
staute afficiuntur, et qi)antit,atis uno radicalj vinculo compr^hensae 
differentiale per illam ipsam irrationalem multiplicatur ; nam d^l> 
^st d^^^ : e}), si e sit coasi^ns, etiaip si 3) non fationafe. tantuiD, 
ut hie, sed utcunque irrationalis foret. Itaque ut toUamus ^enomi- 
nalorem, faci«inqs Q=*:e^et^&k d('e})S^3)=»e})d$+(e4-l)J^}),^>. 
Hoc jam differentiale oportet cum dato fllemento summationis $^})dx 



^T»TTT*r~ » ' J ' tl I I 



*) Leibniz hat bemerkt: Hoc est fusius,, ^U9m qupd ad Dn. 
Jac. Bernoulliam misi, et posset inseri Aftis. — Vergi. Leibnizens Brief 
«fli Jac iemottUi dat. April. 17M, 



8419 

cpmp^nrQ, vel ut ^p logui walo coin^iid^tiare 9M?cedepl^ ^lio ^ 
ppus sumniationis jBlemento consimili, sed simpliciore ^^Ddi;, 
formulis S et ^ ita assumtis, ut coefficientes potestatum 
^)sius X quantitates constantes $int arhttrariae determi^andoß 
ope aequatiQnum auxiUarium coincidentiantium ejusdem termipp^ 
ip^ius X, in oppositis lat^ribu$ aequationi^ (in eifectu identica^) 
e3)d§4:(e+l)S^3)+^dx=0dx occurrentes, vel destipantium coef- 
ficientem cujusque potentiae ipsius x in aequatione 

(e})dg + (e + l)5$d]), : dx) + 21- ~ ? = 0, 
ubi ponendo g«30 + 31x4-3'^xx+ etc. et exponentes graduum 
summorum ipsarum formularum }), g, S vocando respective a, /?, y, 
ideo cum utile i^it sumere $ quam plurioiorum licet terminpruip, 
quia in vinculo sunimatorio reperitur tantoque plures arl>i(rarias 
suppeditat, fiet y=ß+\ — a, eruntque ipsius g termini adeoque 
et arbitrariae ß-^2 — er; sed in uDiversum arbitrariis indigemus 
/5-j-^> tot enim prodeunt termini eoincidentiandi, ergo desiderantur 
adfauc arbitrariae a — 1 quas suppeditabit 4, adeoque erit ter^ino- 
rum <x— I. Itaque si sit 3) = 10 + llx+12xx-f ISx^+Ux*, erit 
a=4, et multitudo termiMorum ipsius 4 erit 3, nempe vel 40-}- 
4lx-|-42xx vel 4lx-f-42xx+43x3, vel 42xx+43x»+44x*, aliterve 
tres aut continuos sibi aut etiam distantes invicem termiuos con- 
jungendo, modo ne suinmus excedat gradum ipsius §; Sed dm- 
plicigsdma est ex bis prima, ut 4 sit 40-|-4Ix4*42xx, et ita d (ex- 
tmm^ gradusi ipsius 4) erit qi—%. 

Hoc modo igitur instituto Caiculo. potest generajis dari Car 
non> quo inveniantur quaesitae 30, 31, 32 etc. et 40, 41, 42 etc. 
Sed ut calculum adbuc magis contrahamus, suffecerit, loco ipsius 
formulae datae $, assumi unum ejus terminum, nempe suramum, 
verbi gratia, si sit 8=20+21x+22xx+23x3-H24x*, possunt 20, 
21, 22, 23 poni aequales nihilo, manente solum 24x^, ubi etiam 
24 pro unitate haberi potest, adeoque supererit x^ vel generali- 
ter x**. Singulis enim x''^})dx ad summationem deductis, utique 
etiam aggregata ex ipsis formula recipit summationem. Ponamus 
ergo in exemplum, quod sit Canonis vice, esse 
3) = 10 + llx+12xx + 13x3 + 14x* 

Q = 4« * « * * « .8 

g = 30+31x + 32xx + 33x3+34x*+35x» 
4 = 40 + 41x + 42xx 
et hoc sensu esse /x^v'D = eg})^}) +/^^dx atque adeo ejd^ + 



S68 

(e+l)^d3) — Udx— x*=0. Hinc instituta identificatiooe ad inTenien- 
das Quantitates arbitrarias, yalores invenientur aequationibus mox 
secuturis, quas ingrediuntur Numeri 194, 184 etc. 183, 173 etc. 
172, 162 etc., quorutn significatio apparet ex Tabula sequenti JK, 
ubi ex. gr. 173 significat 7e+3,I3; et 162 siguificat 6e-h2,12, 
ubi 0, 1, 2» 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sunt numeri veri, sed 10, 11, 12, 
13, 14, ut et 150, 161, 172 etc. sunt fictitii, ideo sie expressi 
loco literarum velut a, b, c etc., ut melius relationes atque coor- 
dinationes barum quantitatum ex ipsa designatione intelligerentur. 



9e + 4,14 
194 


f 

8e + 4,14 
184 


rabula M 

7e+4,14 
174 


6e + 4,14 
164 


5e + 4,14 
154 


8e + 3, 13 
183 


7e + 3,13 
173 


6e+3,13 
163 


5e + 3,i3 
153 


4e + 3,13 
143 


7e+2,12 
172 


6e + 2 , 12 
162 


5e4-2,12 
152 


4e + 2,l2 
142 


3e + 2,12 
132 


6e+ 1,11 
161 


5e+ 1,11 
151 


4e + l,ll 
141 


3e+ 1,11 
131 


2e + l,ll 
121 


5e + 0,10 
150 


4e+0,10 
140 


3e + 0.10 
130 


2e + 0,10 
120 


le + 0,10 
110 



Hinc jam prodeunt valores sequentes Quantitatum arbitrariaram 
assumtanim Tabula sequenti 3 



f 



'S 



9 5' 5: ^ 

i * " 3 

I p I ^ 

^ - OD 



»M S B II cn 



II 
I 

8 



So 

00 



OD 






S fS cn 

I ü I 

►-' e *^ 
od 00 •• 

«h C0 M 

i- •• s 

•4 ►- •* 

+ ?: 



?is 



+ 

J3 



n 

^ 



3 



s 






8S 









o3 fto N^ 




+ I 1 1 

5=555 

Od ftO (^ • 



« 

Hü' 
mm 




1^ 

u 



SS 



• 



: SS 3- S^S^ 

. . . «> • 6 «-• P 
. . • • • »i- 



SS 

• • 

S2 



V. 



M 



370 

Ubi inspecto processu calculi ipsisque valoribus prodit Regula 
talis valores continuandi , quautuscuuque sit Numerus hujus- 
modi quaesitorum. Denominatores quidem manifesü sunt 194, 
194.184, 194.184.174 etc.> ubi numerorum nota dextra est eadem, 
nempe a (hoc loco 4), notae yero sinistrae (omissis 1 initialibus 
semper occurrentibus) sunt y+a,y+a — l,y+a — 2 etc. (hoc 
loco 5 + 4,5+4 — 1,54-4— -2 etc.). Quoad Numeratores valorum, 
in primo valore, nempe ipsius 3y (seu 35 hoc loco) is Numera- 
tor est unitas. De caetero ex praecedentis valoris Numeratore sie 
eruitur via brevi et generali Numerator valoris sequentis. Sit prior 
Numerus 3k (velut 32), et in quovis membro numeratorem quem 
habet valor ipsius ingrediente numerus, cujus nota sinistra est in- 
ter caeteras minima quae vocetur h (et est semper a+k), minua- 
tur unitate, et tantundem minuatur ipsi adhaerens nota dextra (ita 
in valore ipsius 32 ex 61,62,63 fiet pro ipsius valore 50, 5(, 52), 
et quod provenit multiplicetur per numerum cujus nota sinistra 
sit h, dextra vero a (hoc loco per 64), deinde a producto aufera- 
tur aliud productum ex eodem valoris ipsius 3k numeratore toto 
qualis erat, multiplicato per Numerum, cujus nota sinistra sit h—1, 
nota vero dextra a— 1 (hoc loco per 53). Ita prodit Numerator 
novus pro valore ipsius numeri 4k (hoc loco 31). Quodsi contin- 
gat notam dextram debere ascendere infra 0, ad — 1 seu 1, mem- 
brum, quod prodire alias deberet, evanescit, ascripsi tamen in va- 
lore ipsius 30, harmoniae servandae causa, nam membrum primum 
valoris ipsius 31 est — 84.74.64.50, ibi Numerus 50 (nempe cujus 
nota sinistra est minima) utraque nota debet diminui unitate et 
quod provenit multiplicari per^ 54 ; et ita pro membro valoris 
ipsius 30 prodit — 84.74.64.54.41, quod membrum etsi evanescat 
seu abjiciendum sit, quia in tabula K non extat 41, ascriptum est 
tamen ut harmonia cum praecedentibus valoribus servetur. 

Et est alia via non multum diversa, sed qua uniuscujusque 
valoris numerator per se constitui potest independenter a valore 
praecedenti. Quaeratur Numerator in valore ipsius 3k (verb. gr. 31). 
Digero autem numeratorem in Terminos, eritque Terminus primus, 
secundus, tertius etc., qui multiplicatur respective per numerum, 
cujus nota sinistra semper est eadem a + k (hoc loco 5), nota 
vero dextra est respective quod relinquitur a sinistra auferendo 
y,y — l,y — 2 etc. Hi Numeri a+^^löf+k — y, vel a+-k|a+k — 
y+1, vel a+k | a+k— y+2, et ita porro (hoc loco in 31 ipsi 50i 



51, 52^ 58) usqüe ad ultimum cujus nota dextra semper est a — 1, 
seu qai est a+k, a-^1 (hocloco53), sunt multiplicatores unius- 
CQJusqae Termini. Porro primus terminus constat uno membro, 
quod praeter numerum dictum multiplicatorem a + kja + k — y 
(hoc loco 50) producitur ex numeris, quorum notae sinistrae fiunt 
hujus sinistram augendo p^r 1, 2, 3 etc. usque ad a + ß—l, 
notae vero dextrae sint semper a (in hoc casu 6, 7, 8, unde in 
valore ipsius Si id membrum est 84. 74. .64. 50). Et huic primo 
Termino praefigitur signum — (comprehendo autem etiam imagina- 
rios modo diclo, ut in 80), deinde Terminus omnis no?us ejusdem 
NumeraCoris producitur ex omnibus praecedentibus mutatis eorum 
signis et abjectis eorum multiplicatoribus jam praedictis^ p^oqujß üs 
Substitute muitiplicatore Termini novi, postremo numerum omnibus 
communem in termino qui a novo est retro-primus, retro-secundus, 
retro-tertius etc., minuendo unitate, binario, ternario etc. Et ha- 
mm duarum viarum coUatio ad calculi verificationem inservire potest. 
Exhiberi etiam valorum Regula potest Generali quadam Lege 
Comhinationis hoc modo. Nempe valoris cujusvis ut Bk (velut 81, 
si k Sit 1) numerator quivis (nam denominatores per se patent) est 
aggregatum omnium combinationum possibilium, quae fiunt si in se 
invicem ducantur tot numeri, quot in / — k sunt unitates, quorum 
Numerorum notae sinistrae sint a+y — l,a + y — 2,a + y — 3 etc.» 
quae vocentur q> (hoc loco 8, 1, 6, 5), dextrae vero notae fiant, 
si sinistris dicto ordine manentibus, instituantur omnes possibiles 
transpositiones totidem numerorum 1, 2, 3 etc., qui vocentur xp 
(hoc loco 1; 2, 3, 4), ita ut semper secundum eum qui prodit or- 
dinem prioribus applicentur (hoc loco 1, 2, 3, 4) cavendo tantum 
ne ad notam sinistram seu unum ex prioribus numeris q> aliquis 
ex 1// seu posterioribus applicetur, qui cum ipso faceret summam 
majorem quam ß+2 (hoc loco plus quam 10, unde non licet 4 
yel 3 applicare ad 8 nee 4 ad 7). Exce^sus autem ipsius ß + 2 
super summam detractus ab a dabit notam sinistram, quae erit 
q>+tf} + a — ß — 2 (verbi gratia si 3 applicetur ad 6, erit sinistra 
4_ (10 — 9) = 3= 6 + 3 + 4 — 8 — 2, numerusque erit 63). 
Itaque in exemplo valoris Numeri Bl omnia Numeratoris membra 
sequenti combinatione in Tabula j expressa prodibunt. Signorum 
quoque lex est memorabilis, ut in imparibus combinationibus mem- 
bra duo bina quaevis, quae numeros impari multitudine communes 

babent (v^uti unum, tres etc.), oppositis gaudeant signis; quae pari 

24* 



maltitudine gaudeant, iisdem; contrarium Toro fiat in ooifUnatloni* 
bu8 paribus. Ita ex unius membri signo signa caetererum omniim 
derivari possunt, et quidem si k sit impar, membrum, ia cpio oük- 
nes Qotae d^xtrae sunt, eodem affectum eat signo +; ain k sit par, 
afficietur signo — . Hinc valor ipsius 31 prodit lalis» qui ante, 
sed ad bujus combinationis Legem formatus: 

Tabub a 
+ I8i3. 17,3.16,8. I54S 

— 18,3 ,17t3. 1644.15,2 

— 18t 3. 17,4. 16,2.1648 

+ 18i3.17,4. I644. 15,1, 

):194.194.174.164 = 31, ubi 

— 18,4 . 17|2 . 16,3 . 1548 numeri sub Ilneis extante«, taai- 
+ 18,4 . 17i2 . I644 . 15,21 jyjjj ^^ forraandas notas numero- 



+ 18,4. 17,4. le^l . 1548 



ram sinistrasadhibiti, sunthabeodt 



- 18^4 . 17,4 . I644 . 15, / pj.^ „^^ »cripüs. 

Notatu autem digaum est, Numerum Transpositionum sie permissa- 
rum semper esse ex iis qui sunt progressionis Geometricae dilplae, 
si non omittantur membra quae evanescunt ob descensttm notae 
dextrae infra 0. Sed et ipso Numeratore ordinato secundum Mul- 
tiplicatores ejusdem notae dextrae minimae (velut in 30 secundiini 
141, 140, 141, 142, 143), Termini, demto primo« habe»t nume- 
rum membrorum progressione Geometrica crescentem. Nee inutile 
tarnen erit diversas ejusdem Numeratoris ordinationes conferre intar 
se; ita in 31 ordiuando secundum 150, 151> 152, 15ä, stainuoi»* 
rator ut scripsimus, ordinando vero secundum 161, L02 etc., ▼«! 
secundum 172, 173 etc., yel secundum 183, 184, fiet 






899 



^ 
t^ 



o .7^ <^> 

S 2 S 

s i % i 






O -^ CO 
«O lO «o 



2 ^ — eq 

CO ce ;o 9 



00 



CO 



J_ I T OD 00 OD OD 



— • » 

SCO *iltt 00 

00 OD OD 

+ + 



o d eo 

kfd ifd tfd 

^ «^ ^.4 00 

^ « 9 ^ 

2 <=^ S S 

i> t> t> i^ 






i 



00 
00 



I + 



CO 
00 



CO 



OD 

+ 






00 * 






S 25 

CO CO 

• a 

SS ^ 

OD OD 

I + 



«S CO 



^T CO 



SS 

+7 



I I ++ 1 



CO 
00 



-^ <N CO 

lO «o tfd 

• • • • 

^ 22! ö^ «*5 
^ cp ^ o 

• • • • 

1+77 + 



Ita valor ipsius 31 cniataor (jiversis modis ordinari polest, se- 
cundum 13., vel fiecuadum 16., velsecundum 17., vel secundum 
18. Sed subordiDatio semper fieri polest per 16., 17., 18.; vel 
per 15., 17., 18; vei per 15., 16., 18.; vel per 15., 16., 17. At 
ita ia vaiore ipaus äO, Numeratorem ordinando secundum 14. (seu 
secundum 141, 140, 141, 142, 143) stat qualem scripsimus, sed 
ordinando secundum 15. (seu secundum 150, 151, 152, 153, 154) 
vel secundum 16. (seu secundum 161, 162, 163, 164) vel secun- 
dum tr. (sea sftjcniiAum 172, 173, 174) vel secundum 18. seu 
secuAdu« 198, 184), prodibunt orditfationes quae siqauntur, dem 
minus quam prima certa le^ e procedentes, ut apparet ex Td)ula tl« 



874 



S 



1 + 



00 1^ 



s 

CO 

o 

I 

OD 
CO 



09 DO 1^ <^ CO to 1^ 1^ 

I— J^ *^ . ^-^ h-> N^ 

^ v«ai c;* ü» o» 



■1^ * 4^ 1^ t(^ 



OD 
CO 



+ 1 1 + 

OD Qp OD OD 

• • • • 

Hü' Hü' ■— ^-< 

9 Oft Od A 
C» «h ooi^ 

• • • • 

09 t^l^i»* 



TT ""^ ^~ 

• . • 

• . »^ 

i++r 

•^ ^-' »i-l tM 

Or OD ÖD OD 
ge cu e« oo 
• • • . 

00 1^ geH^ 



CJ^ tO «^ i|h 



•P> 1^ 43» 

c» ts^ 



»4 

00 



oeAO 

• 2 
+ 1 

OD OD 






00 1^ 



4^ 4^ 



Od 



I++I 

00 ur er OD 
00 1^ CO 1^ 



eiebdooDO 



c^ o< o« 



CO. bO 



Od 
Od 



+ 1 



CD OD 



00 »3 






CO 









I++I 






Od Od Od 

coto — 



CO 



CO 



+ 1 1 + 1 ++j^ + 1 1 + 1 ++ 1 + 1 1 + 1 ++2+^ I titti 
äSäS^SäS isisiä^is ssiSiis^ i^isssis 



COwSSoe^li^^ lO^S^i^S^SM^ SabsluSoobOi^ifh OOfedifklf^COltOJ^ll^ 






CO 



C3t Ot cji 

4^!^ 4^ 

. • u 

dlTis. |)er 1941184'. 
174.164. 154.;144. 

II 

CO 






CO 



Cjt Qjt C31 







• CO 



CT« Ol CT« 



lfh4^ 4i^ 

• . • 

• Od 



CA Od Od 



1^ 



• • • 

l(k 1^ 1^ 






V 



divis.perl94.184. dWis. per 194:184. dim. per 194. 184. 
174. 164. 154. 144 174. 164. 164. 144 174. 164. 154. 144 



l 



II 



iL 



875 

In Omnibus istis ordinationibus valoris ipsius 3k (nempe 31 
vel 30) Termini novi coefficiens fit ex omnium prlorum ejusdem 
valoris Terminorum coefficientibus, mutatis eorum signis et Numeri 
Omnibus communis notam dextram in termino retro-primo, retro- 
secundo, retrö-tertio etc. minuendo unitate^ binario, ternario etc. 
Quodsi praecedentes omnes coefficientes non habeant Numerum 
communem (quod contingit in quaerendo Termino ultimo ordinatio- 
nis primum terminum non habentis unimembrem), dividantur in 
duas partes, quarum una unum, altera alium habeat numerum 
communem et quidem notarum sinistrarum quantum licet depres- 
sarum, quorum prior 1 | or + 1 + k | a (hoc loco 154), 
posterior 1 | of + k | a — 1 (hoc loco 143) ; 
in parte quae priorem (posteriorem) numerum cuivis membro com 
munem habet, manentibus caeteris mutentur signa, et ubi nota sini- 
straesta + k (o + l+k), ei adhaerens dextra imminuatur lege jam 
dicta distantiae termini prioris retrorsum sumtae, nempe ut in Ter- 
mino retro-primo, retro-secundo, retro-tertio etc. dicta nota dextra 
minuatur respective unitate, binario, ternario etc. ; ita fit coefficiens 
Termini ultimi. Unimembris autem est primus Terminus ordina-- 
tionis secundum 1 I a | . ; sed ordinationis secundum 1 1 a + 1 1 • vel 
l|a + 2|. vel l|a+3|. etc. est respective unimembris vel bimem- 
bris vel quadrimembris vel octimembris etc. 

Primi autem Termini, cum ordinatio fit secundum notam 
sinistram 9), multiplicator est 1|9)|9) — y> Coefficiens quomodo 
formetur, dabit exemplum coefficientis ipsius 183 : 

) 163 . 173 — 

153 j 162. 174 + 
143^52.164.173 + 

151.164.174— 
iQQ u.a|154.163.17S — 
^®^ ^1*2^54. 162, 174 + 

141.154.164.173 + 

140.154.164.174 — 

ubi una medietas divisionis subdivisionisque semper habet ipsius 15 . 
vel 16. vel 17. notam dextram summam, hoc loco 4, reliqua me- 
dietas caeteras. 

Inventis jam valoribus ipsorum 30, 31, 32 etc. facile haben- 
tur valores ipsorum 40, 41, 42 etc. hoc modo: 

— 40=! 111. 30 + 110. 31 



8W 

^#It^ 122. 80 + 121 . 81 + WO . 89 

— 42 :«x 133.^0+192. 31 + 131.82 + 1?0.8S 

et ita porro, n apoa; uikI? ^i; ^uy^niis ipsis 30, 3), 9^ «te. ipsas 

40, 41, 42 etc. batari (»»t p^pq^fe^^ip. 

Caeterum cadem ferß Methoclns adhiberi poterit, $i Elemientum 

summationis pro x^ J^ dx sit — SfJ) dx. 

Ponamu8 5=?PlOjt^+Ux«^^ + l2i^"'"^ + etc. U85^e ad x« 
et 2t''= 40xf|— i + 41»«^2 ^t^^ U8que ad x— l 

.< «^ 31 82 83 ' 1 

et 5 = 30 + — + ?^+ !l- etc. usque ad -^; 

X XX 1* ^ xr— 1 

sit a = 4 et r «^^ 8, fiet 

})«10x*+llx' + ia»+l3x+H 
d^««.. 4.10x9^3. Iln4r2.12x+1. 13 

5= ...30+^-l+H 

dg= --zr* 

XX X» 

^"^ • • 7* 

lU^ e J d Sf + (e -.fc- ) JJ d ^ + 4 dx potest identifipari ipsi 9 dx , et tan- 
tum praesupponuntur qu^AraUxreiß fi^urarup, quarum ordinata^ con- 
st;^t soliß Tf rwiws, J^tf)i x^ yel x *, velx*, vel x^ ^tc. ducuntur w ^ > 
q^^ q^adraturas, Quantum in hac tr2)ctandi generalitate licet, jam 
dedimus, et praetctre^ praesupponitur quadrati^ra fi^urae, cuiu^ or- 

dinata est — ^}), ad quam reduci potest quadratura Figurae cu- 
jus ordinata est -—,-5}), poeito. ^weD.pfil*+ Uy-f- 12j7+etc. 
Nam tantum oportet facere y+b = x seu y =x x — b, et hunc valorem 

substituere in valore ipsius % ut ita tantupi quaeratur /z5 yj J)* 

Atque ita hac sola quadratura pro c^^tQralp^m figurarum, quales 

1 *i 
habent ordinatas — ^V' j^, quadraturis indigemus. 

\ , 
Hinc patet tandem, si proponatur quadranda figura cujus or- 
dinata Sit -^^ ^, posito % 9, d esse formulas rationales integras 
quoad abscissam x, omnem rem Fed^(fi a4 >quadf2ttur«V9. figurae. 



9f9r 

eajms onHnate «Bt est - ^ -]) ^\ -r-^ ^ ^» et pra^rea ad qua^ra- 

tura^ fig^raruxn aliquot, quan^m or^iaatae ^unt quales ^}) x^}), 

XX ^D eic, quanim niimerus unitate difffrai ab et, exponente gra- 
dus ipsitts % Ostendi enim, cum Quadraturarum raüonalium aiia- 

Jysin ecjerena, omnem formulam qualis i~ — ^ ^^^~-r r P^sse 

'' ^ b^ox+.cxx+fx* + etc- "^ 

fin AI ß2 

divelJi in partes, quale^50 + 51x+5lxx + etc. + — -1 — +"3+ etc. 

70 71 . 72 , 80 . 81 



x-i h ^ qu.(x+h,) (;»b.(x+h) ^ '^ x + k qu.(x+k) 

82 

r, aliasve hujusmodl plures. 



^ub. (x + k)' 



SYMBOLISMUS MEMQRABILIS CALCOLI AI4GEBRÄICI ET INFI- 

NITESIMALIS IN COMPARATiONE POTENTIARÜM ET DIFFE- 

ßENTIARPf, ET DE LEGE HOMOGENE0RUK 

TRÄNSCENDENTALl. 

Ut cujuslibet quantitatis faoile est invenire potentgiam, ita cu- 
juslibet certa lege variaptis possuinua ia^epi^e diOecentiam seu Ele- 
mei^tum. Sed regr^s^u^ ^ jpoU^ntia ^d radicem per extractionem» 
et regreaftUB a differentia ad terminum per summationem non semper 
in potestfite est. E( uti imp6s6ibiiitas extractionis in numeris ratio- 
nalibus quaesitae producit quantitates surdas, ita Unj^ossi^il^tas 
summationis in qoantitatibus Algebraicis quaesitae produdt quantitates 
traiis(^e^dent9i^ ^uaf upa c^x^f i4ßratiQneai in Analysin ]am olim. in- 
duxlmn^^ Sa^e^ qt ssL^ß quai^ti^tes rationales per modum radiois 
seu irratiQn^ijt,ei: ^KbAb^ntiir,, ets^ ad fgirmulam rationalem redud, 
possint, ita saepe quanüftatesj AIg«braij(^e seu Qrdinariae per ^lodum 
transcendeatimn exlybealur^ ^tsi ^as ad forxnulan^ prciinariam redu- 
cere liceat. Itaque multum interest inter qmfffitafßs et forviiulaßn 

Sed arcaniQr qua^dam subest inter Potemia? et DiQerentias 
Analogia, quam hoc loco exponere opera^ pretium erit. Et primum 
potentias Mnomii (seu suwnvae nomrnupn duorum) comparabimus 
Ci|Jm 4i^ei;^tM3 rectaqguli (neu ^ti ^ Fairtoriffpi hjijis), ^ #iiM}ft. 



3V8 

(cum analogia perpetua sit) breviter dabimus communem legem tarn 
poteotiae ex multinomio quocunque, quam differentiae facti ex fac- 
toribus quotcunque. Potentiae autem pariter ac differentiae habent 
snos exponentes, gradum poteotiae Tel differentiae indicantes. Itaque 
analogiae clarioris causa, ut dx, ddx, d^ significat differentiam 
primam, secundam, tertiam; ita x, xx, x' exprimemus hoc loco per 
p*x, p^x, pH, id est per potentiam primam, secundam, tertiam» 
nempe ipsius x. Et p<^ (x + y) significabit potentiam ipsius x + y 
secundum exponentem e, uti d^ (xy) differentiam ipsius xy significat 
itidem secundum exponentem e. 

Sit ergo Binomium x-)- y» ejus potentia prima, si sie loqui 
licet,, vel gradus si malis, seu quae exponentem habet 1, est ipsa 
quantitas seu radix seu ipsum Binomium x 4- y, atque adeo p^ «x-fy) 
= x-f y; sed potentia secunda seu quadratum ipsius x-f-y sive 
p2 (x ^ y) erit = 1 XX + 2 xy 4- 1 yy, et cubus seu potentia tertia ipsius 
X 4- y sive p* (x +. y) est = ]x*-f- 3xxy + 5xyy + ly* , et biquadratum 
seu potentia quarta ipsius x + y sive p* (x + y) est= lx*-|-4x*y 
+ 6xxyy-|-4xy^ + ly*. Et generaliter reperietur, potentiam quam- 

cunque ab x+y seu p« (x+y) esselx« + :j-x^**y + ' x*-'y* 

, e.e — l.e — 2 ^ , , e»e — 1 e — 2,e— 3 ^ . ^ 

+ 1.2.3 '^y' + — ro74 — ^""*y* «'«•' »»•• 

subtractione numerorum per unitates crescentium , veluti si e =^ 3 
seu e — 3=0, evanescit terminus, in quo est e — 3, et omneseum 

sequentes. Ita cum sit e= 3, fiet p» (x+p) == Ix« + r- x^ y + — '|-— xy* 

+ ^^^^=^~-y» seu Ix» + 3x«y + 3xy2+ly3=:,lp8xp0y 

+ 3p2xp'y + 3p*xp*y + lp®xp»y, ubi notandum, x® vel y^sive p*x, 
p^y, vel aliam cujusque quantitatis potentiam, cujus exponens eva- 
nescit seu fit 0, abire in unitatem. Nam si ordine ponamus 
Quantitates progressionis 1 1 1^ 1 

Geometricae x^' ix' \' y» x, xx,x3, 

Exponentes respondentes pro- 
gressionis Arithmeticae erunt — 3, — 2,— 1, 0, 1, 2, 3, 

unde p**xs= 1 et p"* x = — vel : x et p-'x = — vel 1 :xx. lU- 

X '^ XX 

que formula generalis pro potestate Binomii sie scribi potest: 



89ft 

p. (x + y) » ip.xp'y + j-p xp'y + ^ytJ- P xp«y+ 

e . e— 1 .e— 2 »-» . , e . e— 1 . e— 2 e— 3 •"*.., 
1.2.3 P "'y+ 1.2.3.4 — P ^P^+**'^. 

Veniamus jam ad differentiationes, idemque illic proveuire 
ostendamus, tantum pro x + y ponendo xy et pro p ponendo d. 
Pritnum ergo d(xy) = ydx -|- xdy, ut olim docuimus, cum primum 
multis abhinc anois caiculum differeotialem prupooerenius, ex quo 
uno fundamento totus reliquus differeDtiarum calculus demonstrari 
potest. Ipsum autem fundamentum hoc sie ostenditur: d(xy) est 
differentia inter (x+dx)(y+dy) et xy, sive inter rectangulum pro- 
ximum et propositum. Est Hutem (x + dx)(y+dy)=xy+ydx+xdy 
+dxdy, unde ?i auferas xy, fit ydx-j-xdy+dxdy; sed quia dx vel 
dy est incomparabiliter minus quam x vel y, etiam dxdy erit in- 
comparabHiter minor quam xdy et ydx, ideoque rejicitur, tandem- 
que fiet (x4-dx)(y + dy)— xy = ydx+xdy. Jam x==d^ et ys«d®y, 
nempe nbi differentia nulla est, et d*x est dx, et d'y = dy, ideo 
scribi poterit d*(xy)=d*xd*^+d*^xd*y. Caeterum, quae evenirepos- 
sent in signis variationes, cum crescente x decrescit y, aut cum 
aliqua ex differentiis, velut dx aut dy, fit quantitas negativa, nunc 
non explico, rem tractans generaliter, salva potestate cujusque signa 
in casibus specialibus, ubi opus est, immutandi. 

Pergamus ad differentiationessecundas: dd(xy)=d(ydx+xdy)= 
d(ydx)+d(xdy). Jam d(ydx)=-yddx + dxdy ex caiculo praecendente, 
nam pro dx scribamus z, erit ddx=dz et fiet d(ydx)=d(yz)= (per 
caiculum praecedentem) ydz + zdys=yddx+dxdy; et pari jure fiet 
d(xdy)=:dxdy+xddy. Itaque colligendo, fiet dd(xy)=yddx+2dxdy 
+xddy, prorsus ut quadratum ab x+y dat xx + 2xy + yy, seu 
d*(xy) = d*xd®y+2d'xd'y + d®xd*y prorsus ut p'(x + y)=p2xp^+ 
2p'xp*y+p^p^y. Quae analogia inter differentiationem et poten- 
tiationem servatur perpetuo, continuata potentiatione (seu Poten- 
tiae excitatione) et differentiatione. Nempe ut in nova potentia- 
tione Binomii totum praecedens multiplicatur tam per y quam per 
X, et priore casu p ipsius y, posteriore p ipsius x augetur unitale; 
ita in differentiando totum praecedens differentiatur tum secundum 
y quam secundum x, et priore casu d ipsius y, posteriore autem 
d ipsius X augetur unitate. 



ExempU gr,atia 
fti p'ip^l ipultipli€emu$ |p*Yp^| ^'^ ^^^^^ multipficenitts Ip'xp^ 

p®xp*y| per y, fit Ip^p'yJ per x, it fp4p*f 

et similiter 
si d'xd^l differentiemas (d'xd'ylsin iUiid differentiemus | d^x d^ 

d®xd'y ( secundum y, fit I d^d*y f secuadum x, fit I d*x d*y 
Ex quo sequitur porro, d^(xy) esse Id'xd^y + 3d*xd*y + Sd^xd^ 
+ld*^d*y, vel vulgari modo acribendi yd'x+äddxdy+Sdxddy+xd^. 
Et generaliter, ut pauIo ante potentiaodo literam p adhibuiiQus, 
ita nunc difierentiando adhibita litera d fore d^(xy)s=ld^d^ 

^jA xd^yrf ^ 2 xd«y+ i o ^ ^^"^ 

Quin imo etiano iQter potentias uMiltinonoü et diflerentias coaii)!' 
nationis seu facti ex pluribus factoribus eadem Analogia locuip ha* 
bebit, velut inter d^(xyz) differentiam terni^nis etp'(x-i-y+£) poteii- 
tiam trinomii, cum semper verum maneat, Exponentem tarn ipsius 
p, quam ipsius d in formuia ad attioreoi potentiam elevanda vel 
amplius difierentianda secundum quan^Iibet literam separatim augeri 
unitate et ex omnibu9 provenientibus colligi formulam novam. Porro 
generalis olim a me inventa est regula coefficientium, qua potentia 
polynomii cujusque exprimitur; eadem ergo regula etiam ad nume- 
ros coefficientes ejus formulae valebit, quae difierentiationem facti 
ex pluribus factoribus exprimit. 

Sunt autem numeri coefficientes in potentiis nihil aliud, quam 
numeri transpositionum, quas recipiunt literae in forma seu ter- 
mino, cui numerus praefigitur, veluti pro p'(x+y+z) s^u pro cuIki 
ab x-f-y+z prodit 

lx«+Bx^ +6xy? 

Iy3 3xy* 

Iz» 3x^z 

3xz2 

3y2z 

3yz* 

ibi coefficiens omnium, qualis x^f , est 3, quia pro xx;; si^rii^i p#4e$tr 
xxy, xyx, yxx; et C9.efiQcj«ap^ omnium, qvalis xys» esi % quia pro^ 
xyz scribi potest yxz, xyzi, x^ j, yzx, zxy, zyx ; sed coefficiens omwiinh 
qualis x^ est 1, quia in xxx transpositio nihil varJdt. Modiiwi «fu** 
tem inveniendi numerum transpositionum formae propositae, alibi, 
commoda satis ratione, exhibuimus. 



Ad analogi&m äutetn cum differentiis servandaüi cubus seu 
potentia tertia ab x-f-y4 2t ita äcribetur: 

ip^p«yp^4-3p*xp*yp®z+6p'xp*yp*y 

lpötp»yp«z 3p*xp^yp^2 
1 pöxp®yp% 3p^p*y p *z 

8p*xp®yp*2 ) aequale est 

8p^xp*yp^2 

3p<htp*yp*z / 

P»(x+y+2)=lx»+3xxy+exy2 

ly* 3xyy 
Iz' 3xxz 
3xzz 
3yyz 
3yzz 
ergo simiUler differentia tertia ab lyz talis prodibit 
ld»x d^ d^z + 3d*xd«ydOz + 6d»xd*yd h 
Id^xd^yd^z 3d«xdV^z 
Id^xd^yd^z Hd^zd^yd^z 

Sd^xd^d^E ) aequale e$t 

3döxd2yd*z 
Sd^xd^yd^z 
d^(xy2)=ld^.yz + 3ddxdy.z4-6dxdydz 
lld^y.ss 3dxddy.z 
Ixyd'z Bddx.ydz 
Sdx.yddz 
Sxddy dz 
äxdyddz 
ubi patet, novo sciibendi more apparere aiialogiam inter potentias 
et differentias, vulgato (nempe hie posterius posito) non apparere. 
Eaque analogia eousque porrigitur, ut tali seribendi more (quod 
mireris) etiam p^(x+y+z) et d^(xyz) sibi respoBdeant et yeritati, 
uam 

p*(x+y+z)=l =p<btp^®z 
et do(xyz) = xyz =d«xd<»yd^. 

Eadem etiam opera appareC, quaenam sit Lex homogeneorum trän- 
$eendentaliSi quam vulgari modo seribendi differentias non aeque 
agnos<^d. Exempli gratia, novo hOc Characteristicae genere adhi- 
bito, apparebit addx et dxdx non tantum Algebraice (dum utrobique 
binae quantitatc^s in aef infiocM dttdadlMr), iM dtiättl tl-ani^cenden- 



38S 

taliter homogeneas esse et coaiparabiles inter se, quoniam illud 
scribi potest d^ad^x, hoc d^xd'x, et utrobique exponentes differen- 
tiales conficiunt eandem summam, nain o +2=14-1. Caeterum 
lex homogeneorum transcendentalis vulgarem seu Algebraicam prae- 
supponit. Interim non omnes formae transcendentes, licet homo- 
geueae inter se, aeque per se aptae sunt summationi. Exempli 
causa adxddx absolute summabile est, sed dxdxdx seu p'(d'x), bo- 
mogeneum priori tarn Algebraice quam trauscendenlaliter, summa- 
bile non est, nisi quaedam suppositio accedaU 



.Ak.Ak W Jb. U. • 



EPISTOLA AD V. CL. CHRISTUNÜM WOLFIÜM, PROFESSOREM 
MATHESEOS HALENSEM, CIRCA SCIENTUM INFINITI. *) 

Quaeris a me, Vir Celeberrime, quid de Quaestione nuper a 
Guidone Grandio renovata sentiam, utrum 1 — 1+1 — 1 + 1 — 1 + 

etc. in infinitum sit -^ , et quomodo absurditas evitari possit, 

quae in tali enuntiatione se ostendere videtur. Naro cum inßni- 
ties occurrere videatur 1 — 1=0, non apparet quomodo ex veris 

nihilis infinities repetitis possit fieri ^. Intelligo, Dn. Grandium 

hanc vim infinito tribuere, ut ex nihilo faciat aliquid, et hinc non 
ineleganter illustrare velle Creationem rerum, quae ex nihilo fit 
per Divinam omnipotentiam. Sed Creatio non est simpIex repeti- 
tio Nihilorum, continetque realitalem novam et positivam superad- 
ditam. Audio etiam Cl, Marchettum, Professorem Matheseos Pi- 
sanum, Grandianae sententiae contradixisse, quanquam rationes ejus 
ad me non pervenerint. Sed rem, cum jucundae sit disquisitionis 
et imprimis ad Scimtiam infiniti (hactenus nondum pro dignitate 
tractatam) illustrandam faciat, paulo allius repetere et ad fontes 
suos revocare operae pretium erit, quod ipsi Cl. Grandio non in- 
gratum fore confido, cujus primariam hie conclusionem confirma-^ 
mus, etsi nonnullas ejus ratiocinationes et consequentias animad- 
versione indigere putemus, ne quid scientia detrimenti capiat. 



*) Act. Erttdit. Lips Supplem. Tom« V« ad an. 1713. 



383 

Ostensum est dudum ab iis, qui summam terminorum pro- 
gressionis Geometricae (post rnagni Archimedis exhibitum in qua- 
dratura Parabolae specimen) dederunt, sed inprimis a Gregorio a 

S. Yincentio, esse • = l+x+xx+x*+x* etc. in infinitum, si 

1-^x 

scilicet ponatur x esse quantitas minor unitate. Hoc Nicolaus Mer- 

cator Holsatas transtulit ad i =1 — x+xx-x*+x* — x*+ etc. 

1-j-x 

in infinitum, quod (una cum priore) ostendit ex continuata quad^m 

divisione, quauquam hoc etiam ex priore sequatur, pro — x po- 

nendo -f* x. Idem primus in edita a se Logarilhmotechnia docuit 

hoc applicare ad Quadraturam per seriem infinitam, atque hoc 

modo Quadraturam Hyperbolae Arithmeticam nobis dedit, eamque 

ad Logarithmos adhibuit. Ego exemplo ipsius excitatus feliciter 

inveni, non solum quadraturam Areae, cujus ordinata est . -- — , 

inservire ad Quadraturam Hyperbolae, sed etiam similiter Tetrago- 

nismo Aritbmetico Circuli inservire r~; — . Cum enim (loco x po- 

1+xx 

nendo xx) , sit l — xx + x* — x* + x®— x*® + elc. in infinit., 

^ 1+xx 

hinc sequebatur / . "^ (quae summa dat quadraturam sectoris 

/ 1+xx 

Circuli, ut singulari quadam methodo detexeram) fore fdx—fxxdx -|- 
yk^dx-yi^dx-h etc. seu (ex nota Quadratura Paraboloeidum) ^j — 

X» X* x^ 11 

^^«.__^. etc. Unde in eo casu, quo x = l, prodit-^ — -j- 

+ X — V + ®^^' ^^ infinit, quae series infinita egt ad unitatem, 

ut area Circuli ad Quadratum Diametri. Hoc multo ante repertum 
in primo anno Actorum Reipublicae Literariae Lipsiensium publica vi; 
postea autem in iisdem Actis generalem expressionem dedi, quae 
Quadraturam Sectoris Conicae cujuscunque centrum habentis uno 
tbeoremate complectitur. Atque haec CI. Grandius suo more ad 
captum eorum, qui minus in calculo generali versati sunt, per lineas 
demonstrare non spemendo consilio voluit, ut res magis imagina- 
tioni subjiciatur, quod ego ipse juvenis olim (sed cum multis alüs 



cogAatis inventis) cum Parisiis agereiti, in publiöuM däi'6 consti- 
tueram, simulque aperire originem inventionum, qufle fortasse tut 
nunc quidem satis patet. Sed ad afia postea Tocatus intennisl 
Sane facilins multo est inventionum dpre demonstrationem, quam 
originem, quae äuget ipsam inyeniendi artem. 

Nunc omissa quadratura redeamus ad seriein et terminis 
progressiottis Geometricae (qua sola ad seopam nostrum nunc in- 

digemus) qualis est — --=1 — x+ix — x*+etc, in infinit, Tel ri-r 

=1 — XX +x* — x'-f- etc. in infinit., consideremusque, ^uid fiaf, si 

sit X3sl: ibi yero prodit, non sine admiratione considerantis, r-7-r 

seu -g-csl— 1 + 1 — 1+etc. in infinit, idque oculis quodammodo 

admovet figura a Dn. Grandio adhibita. Sit enim (fig. 154) qua- 
dratum blAV, ducatur recta diagonalis Ab vel A^b, ducantur et infi- 
iritae parabolMi rel paraboloeides A^b, Aab, Afb, A»b etc., ita at 
latus quadrati appellando unitatem, et abscissam AG vocaudo x, et du- 
cendo rectam yG ad AG normalem, quae secet diagonalem et parabo- 
loeides in 1, 2, 3, 4, 5 etc.; tunc ordinataeGy, Gl, G2, G3, G4, G5 etc. 
respecüve futurae sint i,x, xx, x^x*, x*etc., et pi*oiüde rectae 
Gy, Gl, G2, G3, G4 etc. sint progressionis Geometricae. His positis, 
producatur bT usqiie in B, ita ut BV 8it=bV; et yG io D, ita 
ut GD sit aggregatum harum ordinatarum altemis per additionem et 
subtractionemf conjunctarum, seu ut GD sit Gy— ^G1+G2-^G3+ etc. 

vel quod (per supra ostensa) eodem redit, ut GD Sit =^- ■ ' * \^ 

1 , , "*" . 

= ■ . /^ , et completo quadfato AVAH describatur curva SDH, 

transiens per quaecunque puncta ut D, et occurrens ipsi AH in H, 
et ipsi BY in S: patet in casu, quo fit AG = VA=1, fore GD = 

j-T---==-2^=VS, seu GD=^BV, et proinde in eo casu, quippe 

quo G cadit in V, et D in S, fore VS= \ BV vel J- AV. Et quia 

in eo casu omnia puncta 1, 2, 3, 4, 5 etc. coincidunt in unum ideai- 
que punctum B, hinc Gl,G2,G3,G4eta fiuntGB vel BV, et postre- 
mo ex Gy— G1+G2— G8+ etc. fiet BV— BV + BV— BV + etc. = 

ißV. 



d85 

Atq^e hoc conseotaneum est legi Continuitatis, a me olim 
ip Novellis Literariis Baylianis primus proposiUe, et Legibus Mo-. 
.tli8 applicatae: uqde ßt, ut in continuis extremum exclusiv^m tra- 
ctari possit ut if^clnsivurng et ita ultimus casus, licet tota natura 
diversus, lateat in generali lege caeterorum, simulque paradoxa qua- 
dam ratione, et ut sit dicam, figura Philpsophico-rhetorica pun- 
ctum in line^, quies in motu, specialis casus in generali contra- 
distincto comprehensus intelligi possit, tanquam punctum sit linea 
infinite parva seu eyanescens, aut quies s\\ motu$ evanescens, alia- 
que id genus, (|}iae Joachimuß Jungiußj, Vir prpfundissimus, tole- 
ranter vera appellasset, et quae ins^rviunt pliirimum ad inveniendi 
artem, -etsi meo jiudicio aliquid fictionis ßt iniaginarii complectan- 
tur, quod tarnen reductione ad expreßsiones ordinarias ita facile 
rectificatur, ut error interveuire non pos^it: et alioqui Natura or- 
dinatim seoiper, qon pef saltus prpqedens, legem continuitatis vio- 
lare nequit. 

Verum enim Tero hie ostepdit se difficultas et a Te, Vir 
Clarissime, et a Cl. Marc^etto merito objecta. Cum enimBV — BY 
▼el 1—1 Sit 0, nonne sequitur BV -BV+BV— BV+BV— BV+ etc. 
in infinitum, vel 1 — 1+1^1 + 1—1+ etc. in inf. nihil aliud esse 

quam +0+04- etc.? quod quomodo facere possit -^^ non ap- 

paret. Cl. Gr^ndjus ^fQpnltj^tem siqiiji quodam ingeniöse tollere 

conatur. Fingi^ , duos fra^res in familia herciscünda occupatos in- 

y^nire |n patefjia b^preditate immensi pretii gemmam, eamque alie- 

|9^re t^stamentp pfohiberi; itaque ita convenire inter se, ut alter- 

piß aoQis in alterutrius Museo collocetur. Itaque si in aeternum 

haec {ex iater haeredes servari poqatur, alterutram fratrum lineam, 

ciii infinitie3 detur et infinities adimatur gemma, dimidium juris 

in ea recte babiiuram. 

Sed re accuratius considerata, similitudo bic nimis Claudicat, 

ßt primum ji^uidem quia in casu nostro (ipso sentiente Cl. Grandio) 

res pendet a privilegio infiniti, quod, secundum ipsum, repetitione 

ex Nihilo AUquid faciat. At in casu isto familiae herciscundae res 

aeque locum habet, licet finitus sit annorum numerus. Finge enim, 

d4iobus gemmam non ex haereditate paterna, sed legato amici ob- 

yenisse, nee proprietatem relictam in perpetuum, sed us\im tantum 

in centum annos ; patet eodeno modo jura eorum salva fore, si al- 

ternis eam annis posside^nt. At vero in casu nostro, si centies 
V, 25 



8S6 

ponantur unitates, alternis addendo et subtraheudo, seu si quin- 
genties ponatur 1 — I, imo quingeoties millies, semper prodibit 0. 

Et secundo ipsa ratio differeiitiae in eo consistit, quod in 
casu communis juris duorum, alternis possidentium, id quod da- 
tur et toUitur, non est totum jus in re, sed usus unius anni, et 
non nisi totius juris particula: et toto jure in annos distributo, 
usuque in centum annos concesso, patet usum unius anni non esse 
nisi centesimam partem juris integri; et ita cum unusqqisque hoc 
modo obtineat quinquaginta centesimas, patet unumquemque totius 
juris dimidium habere. Sed in casu nostro ipsa unitas, ipsum to- 
tum (non particula) nunc datur, nunc adimitur. Itaque similitudo 
illa, etsi speciosa, si accuratius intueare, nihil ad rem facit. 

Nunc ergo veram, et fortasse inexpectatam, certe singularem, 
aenigmatis solutionem, et paradoxi rationem afferamus, redeundo 
ad seriem finitam, et deinde transeundo ad infinitam. Consideran- 
dum est nempe, casus seriei inßnitae esse duos» inter se dislin- 
guendos, eosque in casu seriei infinitae mira quadam ratione con- 
fundi. Nempe series finita 1—1 + 1— 1-|- etc. dupliciter explicari 
potest, vel enim constat ex numero membrorum pari, et termina- 
tur per — , veiut 

1—1, aut 1—1 + 1—1, aut 1—1 + 1—1 + 1—1, 
aut quousque tandem progrediare, quibus casibus semper prodit 0; 
Tel numero membrorum impari, et terminatur per +, veluti 

1, aut 1—1 + 1, aut 1—1 + 1—1+1, 
aut quousque tandem progrediare, quibus casibus semper prodit 1. 
Ät cum Series est infinita, nempe 1 — 1 + 1 — 1 + 1 — 1+ etc. in 
infinitum, ita ut excedat numerum quemcunque, tunc evanescente 
natura numeri, evanescit etiam paris aut imparis assignabilitas : et 
cum ratio nuUa Sit pro paritate magis aut imparitate, adeoque pro 
prodeunte magis quam pro 1, fit admirabili naturae ingenio, ut 
transitu a finito ad infinitum simul fiat transitus a disjunctivo (jam 
cessante) ad unum (quod superest) positivum, inter disjunctiva 
medium. Et quoniam ab iis qui de aestimatione aleae scripsere, 
östensum est, cum medium inter duas quantitates pari ratione ni- 
tentes sumendum est, sumi debere medium arithmeticum, quod est 
dimidium summae, itaque natura rerum eandem hie obsenrat justi- 
tiae legem; et proindecum 1 — 1+1 — 1+1 — 1+ etc. in casu finito 
numeri membrorum paris sit 0, at hi casu finito numeri termino- 
rum imparis sit 1, sequitur evahescente utroque in casum membro- 



387 

rom multitudine infinitorum, ubi paris imparisque jura confundün- 

tur, et tantundem rationis pro utroque est, prodire ^ =-. Quod 

proponebatur. 

Porro hoc argumentandi genus, etsi Metaphysicum magis qaam 
Matheoiaticum videatur, tarnen firmum est: et alioqui Canonum 
Verae Metaphysicae (qiiae nltra Yocabulorum nomenclaturas proce- 
dit) major est usus in Mathesi, iu Analyst, in ipsa Geometria, quam 
vulgo putator. Hoc loco autem aliunda, ratione scilicet initio po- 

Sita (cum quaevis ordinata GD sit T~rr^ » adeoque cum AG fit AV 

1+Atir 

vel 1, fiat VS, T-ri)> scimus VSesse -BV; et posscmus etiam 
ostendere, sumendo G quantumlibet vicinum ipsi V, fore etiam GD 

qaantum4ibet vicinum ipsi -ä-BV, ita ut differentia reddi possit mi- 

nor data quavis quantitate ; unde Arcbimedeo inferendi more, etiam 

sequilur VS esse -^-BV. Interim ex ipsa serierum et infiniti na- 

tura idem colligi, non jucundum tantum, sed etiam ad accuratas de 
infinito ratiocinationes instituendas, recludendosque magis magis- 
que novae doctrinae fontes, utilissimum futurum est. Simul cave- 
bitur, ne scientia nova per paradoxa minime defendenda infametur. 
Itaque ad objectionem, quod ex nullitatibus quotcunque minime 
fieri ppssit aliquid, non respondendum erat distinguendo inter fiui- 
tum et.infinitum, quasi regula in infinito fallat; sed concessa ge- 
neraliter regula, ostendendum erat, uti nunc factum est, applica- 
tioDiem ejus hie cessare. 



OBSERVATIO QÜOD RATIONES SIVE PROPORTIONES NON HA- 

BE4NT LOCUH CIRCA QUANTITATES NIHILO MINORES, ET 

DE VERO SENSU METHODI INFINITESIMALE. *) 

Cum olim Parisiis Vir summus Antonius Arnaldus sua nova 
Geomeiriae Elementa mecum communicaret, atque in iisdem admi- 
rari se testatus fuisset, quomodo posset esse 1 ad — I, ut — 1 ad 1, 



*) Act. Bradit. Lips. an. 1712. 

8ö' 



888 

quae res probari videUir ex eo, quod productum est ideni sub ex*- 
tremis quod sub mediis, cum utroque prodeat +1; jam tum dixi 
tnihi videri, veras illas rationes non esse, in quibus quantitas ni- 
hilo minor est antecedens, vel consequens, etsi in calcuio haee, ut 
alia imagmttriaf tuto et utiüter adfaibeatar. Et saue identitatis 
rationum verarum fundameotooi est rerum simiirtudo, quae fiidt 
ex«inpli causa, ut segmentis similibus diversorum circulorum as- 
sumtis sit ubique eadem ratio chordae ad radium, seu ut diorda 
minoris se habeat ad radium minons, vel ut chorda tiaajoris ad ra^ 
dium majoris. Sed vero nnlla plane apparet similitudo in supra- 
dicta Analogia. Si enim — 1 est minus nihilo^ utique 1 ad — 1 
erit ratio majoris ad minus ; sed vero contra ratio — 1 ad 1 est 
ratio minoris ad majus; quomodo ergo utrobique eadem ratio 
erit? Sed rationes istas esse Smaginsrias, etiam alio certissimo 
argumento coinprobabo, scüicet a Logarithmis. Ncimpe. ratio, ciu 
DuUus datur respondens Logarithmus, ratio vera non est. Porro 
posito unitatis Logarithmum esse 0, rationis — 1 ^d 1 idem est 
Logarilbmus, qui ipsius — 1 ; at ipsius — 1 non datur Logarithmus. 
Non enim est positivus, nam talis omnis est Logarithmus numeri 
positivi unitate majoris. Sed tarnen etiäm notl est negativus, quia 
talis omnis est Logarithmus numeri positivi unitate minoris. Ergo 
Logarithmus ipsius — 1 cum nee positivus sit nee negativus, su- 
perest ut sit non vefus, sed imaginärius. Itaque et ratio, cui re- 
spoitdet, non vero, sed imaginaria erit. Idem etiam sie probo^ 
Si daretur verus Logarithmus ipsius — 1, seu rati onis — 1 ad 1, 
ejus logarilhmi dimidiutn foret Logarithmus ipsius V — 1» sed V— T 
est quantitais imaginaria. ftaque daretur Logarithmus verus ima- 
ginariae quantitatis, quod est absurdum. Et proinde nonniliQ 
humani passus est insignis in paucis Geometra Johannes WattisiuSy 
cum dixisset rationem 1 ad «*- l ease plus quam infinitam; et 
recte hoc (etsi aliis considerationibus) celeberimus Yarignonius 
rejicit Interim noiim eum ipso oegare, — 1 esse quantitatem 
milülo minorem, modo id sano sensu inteUigatur. Tales «Bun- 
tiationes sunt toleranter verae, ut ego eum summo Viro Joachi- 
mo Jungio loqui soleo; Galli appellarent passables» Rigorem qui- 
dem non sustinent, habent tamen usum magnuro in calculando« 
et ad artem inveniendi, universalesque conceptus valent. Talis fuit 
locutio Euclidis, cum Angulum contactus dixit esse rectilineo quo 
Tis minorem; tales sunt multae Geometrarum aliae, im quibus est 



figoratum guodammodo et crypticum dicendi genns. Snnt Urnen qid^ 
dem, ut sie dicam, tokrabilitatis. Forro, ut nego rationem, cujus 
terminus sit quaotitas nihilo minor, esse realem, ita etiam nego, 
proprie dari numerum infinitum vel infinite parvum, etsi Eudides 
saepe, sed sano sensu, de linea infintta loquatur. Infinitum con* 
tmuum vel diseretum proprie nee unum, iieo totum, nee quaptum 
est, et si analogia quaedam pro fali a nobis adhibeatur, ut Yerbo 
dicam, est modus loquendi; cum scilieet plura adsunt, quam uilo 
numero comprebendi possunt, numerum tarnen Ulis rebus attribue* 
mus aoalogice, quem infinitum appellamus. Itaque jam olim judi- 
caYi, cum iafimte parvum esse ^rorem dicimus, intelligi dato quovis 
minorem, r^vera nullum; et cum ordmarium, et infinitum, et infi* 
nitiss infinitum conferimus, perinde esse ae si conferremus aseen-^ 
dende diametrufn pulviscuii, diametrum terrae, et diametrum orbis 
fixarsm, aut bis quantumvis (per gradus) majora minoraque, eodem-» 
qiie sensu desoendendo diametrum orbis fixarum, diametrum' terrae, 
et diametrum pu)viscnli posse comparari ordinario, infinite parvo, et 
in|inities infinite {larvo, sed ita ut quodvis borum in suo genere 
quantumvis majus aut minus coneipi posse intelligatur. Cum vero 
saJtu ad nhimum facto ipsum infinituni aut infinite parvum dicimus, 
conQioditati expressionis seu breviloquio mentali inservimus, sed 
non nisi tokrunter vera loquimur, quae explieatione rigidaniur. 
Atque baec etiam mea eententia est de areis illis Hyperboliformium 
Asymptoticis, quae infinitae, infinitiesque infinitae esse dkuntur, id 
est talta rigorose loquendo vera non esse poss€, tarnen sano aliquo 
^isa tolerari. Atque baec tum ad terminandas virorum darissi*- 
morum Yarignonii et Grindii controversias , tum ad praecavendoj» 
cbimericos quosdam conceptus, tum denique ad elidendas opposi- 
tiones contra methodum infin^e similem prodesse possunt. 



REMARQUES DE MR. LEIBNIZ SÜR L'ART. V. DES NOUVELLES 
DE LA REPÜßLIQüE DES LETTRES DU MOIS DE FEVRIER 1706.*) 

On rapporte dans cet Articie des Nouvelles de la Republique 
des Lettres un cloge de feu Mr. Bernouüi (prononce ä FAcademie 



>■* I 



*) Kouviell. diB la ii^bliq. des lettres de Tas. 174^6. 



a90 

des Sciences de Paris), oü 11 y a des erreurs de fait qai me regsr- 
dent. Et, comme il Importe beaucoup pour ravancement mdme des 
Sciences, que les personnes appliquees aux medilatioiis profondes 
joignent les bonnes qualites du coeur ä Celles de 1 esprit, j'ai crü 
ä propos d'eclaircir et de rectifier quelques endroits de cet Arücle, 
qui pourroient faire tort ä Mrs. BernouUi et a raoi« Parmi les 
choses aTanti^euses qu on a la honte de dire de moi et qu'ou dit 
d*eux avec justice, on en ajoute, que des Juges severes auroient 
raison, k mon avis, de condamner. Car on instnue, qu'ayant laisse 
enfrevoir quelque chose de mon Systeme des Infinitesimales, Mrs. 
Bernoulii avoieift medite si profondement sur ces foiUes rayons, 
qui m^etoient echappes, qu'ayant resolu de m'endever la gloire de 
rinvention, ils y avoient reussi, et avoient mdme puUie mon 
Systeme avant moi. II semble que c'est me faire passer pour en- 
vieux, et eux pour injustes. L'un et Tautre est sans fondement. 
Voici le fait. Ayant trouye mon nouveau calcul des Tan 1674, je 
füs longtems sans en rien faire parottre, parce qu'etant retoume 
de France en Allemagne, j^eus des occupations et des emplois qui 
m'en detouruerent. Laffaire meritoit un Ouvrage expres, et je 
n'avois pas tout le loisir qu'il deroandoit, pour repondre ä mes 
vües et ä Tattente du Public, outre que yai toujours eu de la peine 
ä travailler sur ce que j'avois deja en mon pouvoir, aimant k pous- 
ser plusieurs autres vües d*une nature toute differente dont je 
pourrai peut-^tre quelque jour entretenir encore le Public, si 
Dieu me continue la vie et la sante. Cependant, quelqiies*uns 
de mes anciens amis, et particuli^rement Mrs. Menken et Pfaaz, 
ayant commence le Journal de Leipsic, je fus bien aise de leur 
communiquer quelques ecbantillons de mes meditations Geome- 
trlques, pour contribuer ä varier leurs coUections. L'approbation 
publique et leurs invitations m'engag^rent ä continuer de tems en 
tems. Entin, ne me voyant ni trop en etat, ni assez en humeur 
de traTailler ä TOuvrage de ma nouvelle Analyse, je pris la resriu- 
tion, de peur qu'elle ne se perdit, d'en publier des Elemens en 
abrege, o'est k dire, tAlgortthme de ce calcul, qui en contient 
Tapplic^tion ä Taddition et soustraction, ä la multiplication et divi- 
sion, et aux puissances et racines. Feu Mr. BernouUi Professeur 
de Basle m'ecrivit lä*dessus, et me demanda quelque eclairdsse- 
ment sur la r^sistance des solides, dont j'avais donne une deter- 
mination dans le Journal de Leipsic au-delä de celle de Galiläa. 



Cela. fit naitre quelque commerGe de lettres entre nous, que 
mon voyage dltalie interrompit. Cependant, je donnai un echan- 
tillon nouveau de mon calcul, en l'appliquant au mouvement jdes 
Planetes, et j'y ü& voir Tusage des Infinitesimales du second degre. 
Feu Mr. BernouUi y etoit attentif, mais il n*y trouva entree, que 
lorsqu'il Tit comment je m'y prenois pour appliquer ce calcul ä 
des Problemes Physico-Mathematiques. J'en avois propose un k 
Mr. TAbbe Catelaa» qui dans un petit dem^le que nous avioas 
Yantoit trop les methodes Cartesiennes comme süffisantes ä tout. 
Cet Abbe demeura court lä-dessus, et il n'y eut que Mr. Huygens, 
qui trouvant le Probleme digne de sa curiusile (c'etoit de trouver 
uoe courbe, dans laquelle le corps pesant descende egalement vers 
Thorizon ou sans acceleration) en douna la Solution, quoique par 
une melhode difierente de la mienne, mais sans en ajouter la de- 
monstration. Oonc pour depecher ce Probleme , j'en publiai une, 
laquelle marquoit les traces de mon Analyse. C'est ce qui acheva 
d'ouvjrir les yeux ä Mr. Bernoulli. II Tavoua lui meme, et voyant 
qu'un nouveau champ etoit ouvert, il me pria, ä la Suggestion de 
Mr. son Frere, qui entroit deja bleu avant dans ces matieres, de 
penser. si par la meme Analyse, on ne pourrait point arriver ä des 
Problemes plus difliciles, manies inutilement par d'autres, et par- 
ticuli^remeot ä la courbe, qu'une chaine doit former, suppose qu'elle 
soit parfaitement flexible par-tout, que Galilee avoit crüe ^tre la 
Parabole, quoiqu'ils ne s(ussent point alors qu il y avoit travaille, 
Fy pensai, et j'en ms d'abord ä bout ; mais au lieu de publier ma 
Solution, j'encourageai Mr. Bernoulli ä la chercher aussi. Mon suc- 
ces fut cause, sans doute, que les deux Freres s'y appliquerent 
fortement, et que le plus jeune, dont je viens de parier, depuis 
Professeur ä Groningue et maintenant ä Basle, eut Tavantage d^y 
reussir enti^rement. Pour y arriver par le moyen de ce que j*avais 
deja communique, il falloit une adresse extraordinaire et quelque 
ex^cice, que Tapplication et Tenvie de se signaler leur donna pour 
se bien servir de ce nouveau calcul. Apres cela ils furent en etat 
d'aller bien loin. Cependant, ils m'ont toujours fait k justice de 
m'attribuer l'invention de cetle Analyse, comme on le voit par plu- 
sieurs endroits de leurs ecrits dans les Actes de Leipsic et ailleurs, 
et par TOuvrage de Mr. le Marquis de THospital, ä qui Mr. Ber- 
aoulli le jeune en avoit communique les fondemens et la matiöre 
ä Paris: et moi, je leur ai rendu la pareiUe, en avouant qu^Us 



dfbient bi^äucotip de part k l'utilit^ que le Public eh sl tit-ee, et 
^ue t)ersOnT]e ti'avoil plus fait valoir cette invention qn'eüx, avec 
Hr. le Mafqais de THospital, ä qut cette science est aussi fort re- 
devable. Si j'avois publik d'abörc) moi meme la Solution du pro- 
hUtae de la Chaitiette, Barts donner ä Mrs. Bernoulii envie d^ tra^ 
vaiUer, ils en auröient eu moins de giolre, mais le Public en auroit 
XM möins d'utiKte ; car ils se seroient peut-^tre moins appliques 
k tuhiTer titie sdence, oü ils n^anroient pas eu assez de part, de 
sütih qüe je ne me repens point de ce que j'di feit, et je trouve, 
cbtoode c*est Tordinaire > que ce qui est arrivii a iti \e titeilleur. 
L'buvriage que Mr. le Marquis de THospital publia le preäiier sur 
ce Douveau Systeme, sbus le titre A*Analyse des infinment pettts^ 
ä idti publie de mm cönsetitemenl. U eut la deference ponr moi 
et Itvontl^et^ de me mander que, si je voulois me sefvir de mt)n 
droit dlhventeiir, pour püblier le premier un ouvrage d^iine juste 
ii^Mue sür 'cette bouvelle sciekice, il ne me voüloit point prevenir. 
Mdiä je ti'avois garde d^ priter le Pubirc d'un travail aussi utile 
que Je sieii, pöür me conserver un droit, dont je me pouvois pas- 
ser föcilettwtat, äyant toujoürs celui d*y supplieer, comme j'ai feit, 
eti pro^yosant de t^ms en tems quelques nouvelles ouvertures ponf 
pt)ttsste)r cette At^al^e. 

J'ai et6 d'antaiit ptus porte k tesabuser le Public stif ces 
feits mal nat*r^s, que Mr. BernouHi vient de le demander dans ttne 
de ses lettres de Basle du 22. de May, oü il les rejette et les des-^ 
äp))ronv^ hautement, comme ^loign^s de la v^rite. 



HISTORIA ET ÖRIGO CALCÜLI DIFfEllENTiALlS. 

UttHssimum est cognosci veras luventionvm memorabünHn 
<Ai{gij|fe^, praesertim 'eamm, quae non 'Oam, fted vi meditandi ifim»«- 
tuen^. Id eniln non eo Tantum prodest^ «rt Hisloria literaoia suom 
t^u^ tribuat et ^lii tid pares laudes invitenttir, sed etian ut «a* 
feMur ars inveniendi, cdgnita metbodd ülustribus e&empils. Inter 
iMAtliiü^a hujus temporis inve^ta habetfir növum Analyseos Malh^ 
iädtidM genus , Caiculi •^ifferentialts nomine notum , cujus ^tsi jam 
saillt e^^lkiata häbealiH* «(in^titatii<>> nondum tarnen oi^o et ittv«* 



Hieiidt r»lf6 {tuMite habietur* Eum ^tite StttMM» f^^re quadraginta 
itiv«nit Atttoi*, <^t kionum in annum presdum edidit ante anno6 fere 
triginta, ex qno celebratas est non elogiis tantum, sed et usu ipso, 
dttin mnita pfaeclafa ejos ope iuventa prostant, et praesertim id 
Actig EruditoTUm Ltpsiensibus, ac deinde in Academiae Scientiarum 
Regiae editis in - lucern Commentartis habentur, ut novam ex eo 
faci^^tti Ifatbesis nacta videatur. Nemo autem de vero inventore 
dabi'tavit) don^c nuper anno Domini 1712 quidam novi bomines, 
Bive ignoratione ret literariae superiorum temporum, aive invidia, 
sive inclarescendi per Ihes spe, siTe denique adulatione, aeroulum 
^ qnendani du^cftanifit, cujui laudibus ea re non panim detractum 
est, nam plus lidbüiMe tidebatur, quam re binc discussa coupertum 
est. In eo autem feee^ illi callide, quod litem movere distulerunt, 
donec obiere darum renim conscii, Hugentus, Wallisius, Tschirn- 
hosius, alliqoe, qnomm testimonio refeili potuissent. Nempe haec 
est inter alias ratio, cur praescriptiones temporales jure introductae 
Stttft, quöd mv. culpa sive dolo actoris possunt diff^rri petitiones, 
Aoiiec adversario pereant argumenta, quibtis se tueri possit. Muta- 
rMi <eliain dtatutii conltoversiae, nam in eorum scripto, quod nomine 
Commereii Epi^ioiiei Idhünnis CoUinsii 1712 edidere eo consilio, 
ul Leibnitio paimam dubiam ftioefent, de calculo differentiali vil 
qaicquam (iliYenilur) : ntfamque pagin^m facinnt series, quas vocant, 
imfinttae. Tales per divi^ionem inventas primus dedtt publice Ntto- 
UmB Mtrm^r Holsatus, sed rem generalem ^er extraetionem red- 
4idit haaem Newtonm. utile est inftentum, et appropinquationes 
AritiNneticas transfert ad calculilitt Analyticum, sed nibil ad calcu- 
lum differentialem. Ctuntur etiam htdü sophismate, ut quoties 
aemulos ilie aliqoam quadratumm iuäagat per additionem eorum, 
qnibus gradatim augetur figura, stUÜm clameni usum calculo diffe- 
renitiäli (verb.gj'.pag. löCornnvercii). Sed ita cahmlum differentialem 
daduih habuissent Keplerm (in Dolio AuBtrimo\ Cavallerins, Fer- 
mmliM, Hugmi^, WnUMn», et fai »on illa indivisibilia vel infinite 
parva tractantes. At HugeAius^, -qui certe istas fluxionum methodos 
oon ignorabat, quasounqiie isli ftoraät aut jactant, ea aequitate fuit, 
ut agnosceret n>evam ab boc calculo lucem Geometriae actiensam et 
pwmoeria ejus hroc mire profiM'ri. Et vero nemini ante Leibnitium 
in mentem veifit cemtitMre A%orithmum ^uendam calcuFi novi, per 
quem inaginatio a perpeftn«! ad figuras attenti6De Kberaretur, quod 
fiem et Oatmiui in Gumietri» cafmmmA seu Ap^Uaniafna f^cerantl 



MI4 

8ed altiora ad Geometriam Archimedeam perUneolia et Ikieas, qvas 
ideo mechanicas Yocabat, Cartesius diserte a calculo suo excluserat. 
At Tero jioTo Leibnitii calculo jam tota quanta est Geometria cal- 
culo Analytico subjecta e^t, lineaeque illae Cartesio-Mechanicae, ipsi 
Trandcendentes, eliam ad aeqoationes locales sunt revocatae coosi- 
derando diflerenüas dx» ddx etc. et reciprocas difTerentiis sununas 
ut fuDctiones quasdam ipsarum x et ita in calculuiu introducendo, 
cum antea non aliae fuerint adhibitae functiones quantitatum, quam 
X, XX, x' ^ etc. seu potentiae et radices. Uode iuteUigi potest, 
qui quantitates illas expresaere per 0, ut Fermatiua, Cartesius et 
ille ipse aeoiulus in suis Prindpiis 16... editis, longissime adhuc 
a calculo differentiali abfuisse, cum ita nee gradus differeniiarum 
nee diversarum quanlitiitum functiones differentiales discerni ppssint« 
Talia igitur a quoquam ante Leibniüum factitata, ne mtnimum qui- 
dem üspiam vestigium extat. Et quo jure adversarii nunc Newtono 
talia vindicant, posset aliquis Carlesii analysin etiam Apollonio vin-: 
dicare, qui rem calculi habebat, calculum ipsum non babebat. Unde 
etiam nova per calculum differentialem inventa discipulos Newton! 
latuerunt, nee aliquid ipsi alicujus momenti proferre nee .etian pa- 
ralogismos evitare potuerunt, donee calculum Leibnitianum didice- 
rant, ut in Davide Gregorio Catenariam affectante compertum est. 
Ausi autem sunt vitilitigatores illi, abuti nomine Societatis Regiae 
Anglicanae, quae postea siguificari curavit, nihil a se hac de re 
decretorie pronuntialum» quod etiam ejus aequitate dignum est, 
cum utraque pars audita non esset, et noster ipse ne sciviss^ 
quidem cognitionem rei aggressam Socielatem: alioqui oominuni' 
canda cum ipso fuissent nomina eorum, quibus relationem mauda- 
tura erat, ut vel recusari yel instrui possent. Atque ipse quidem 
miratus non argumentis, sed figmentis incessi fidem suam, tales 
responsione indignos duxit, pro certo habens coram expertibus. hsjus 
doctrinae (id est maxima lectorum parte) frustra litigan, idtelligen« 
tes autem re discussa iniquitatem imputationum facile agnituros. 
Accedebat quod erat absens domo, cum ista ab. adversariis.sparsa 
sunt, et redux post biennii intervallum, distractusque negotUs non 
reperire et consulere potuit reliquias antiqui sui commercii literarii, 
unde ipse se de rebus tarn longinquis, id est ante plus quam qua- 
draginta annos gestis instruere posset; nam literarum plerarumque 
a se olim scriptarum apographa non servarat, et quas Wallisius in 
Anglia inventas ip^o .consentiente in. Tomo Operum tertio edidit, 



ip&e plera^qiie non habelhät. Non «kfuere tcimen amici, quilms 
fmna ejus corae esset, et quidem Mathemattem nostri temporis 
primariuSy in hac doctrina frofundmimus, et neutri addictus*), 
CUJQ& benevoleDttam pars adversa per arles frustra captavcrat, can- 
didie pronuntiavit rationibHs judicii sui adjeetis, et puUice sein non 
aeque tulit, sibi yideri aemulum iüum non tantum non invenisse 
Calculum dififerentialem , sed etmm ne satis quidem intellexisse. 
Alius etiam amicus inv^ntoris haee aliaque brevi scheda in lucem 
misit, ut vanae jactationes retunderentur. Sed majiis operae pre- 
tium erat ^sam viilm ac rationem, qua ad noTum hoc cdlculi genas 
inventor pervenit, innotescere; ea enim hactenus {»ibiice ignoratur 
etiam iliis ipsis fortasse, qui'in partem inveiiti venire vellent, quam 
exponere ipse et progres^us studiorum suorum Analyticorum partim 
ex memoria- partim ex scriptis extanlibus et veterum schedarum 
qnalibuscimque reiiquiis 1 rädere, eaque ratione Historiam profun-» 
diorts Matheseos arlemque ipsam inveniendi justo libello illustrare 
decreverat. Sed cum id nunc per necessarias occupatienes fieri 
non posset, permisit ut hoc compendium partis dicendorum per 
amicum conscium in lucem Interim daretur et publicae curiositati 
iionnihil salisfieret! 

Autor hujns novae Analyseos in primo aetatis flore studiis 
bistoriarara f^ jurisprudentiae irniato quodani genio meditationes 
profundiores adjunxerat, ^t inter alta humerorum proprietatibus 
combinatioiiibuscpie deleeliAatfir et de Arte etiam Combinatofia 
A. D. 1666 libeUum ediderat, postea ipso inconsuito recusum, fit 
puer adhüc logieam versans animadverterat nltimam veritatum a ra- 
tione pendentium analysin abire in ^ec duo: deßnttiones» et^erttates 
identicas, sdas necessariarum vere primitsras indemonstrabiiesque; 
et cum objiceretur ipsi, veritates- identicas iiiutiles et nugatorias 
esse, q^se eontrarium etiam expehmenlis ostendebat, atqne inter 
aiia jam tum roofiBtrabat Axioma illud magnura., Totum esse majus 
parte, dentoBstrarl per syllogismum,! cujus major propositio esset 
dcfinitio, fttinor esset propositio identica. Nam si duorum unum 
Sit aequfeiie parti alterius, illnd minus^ hoc majus appelleri, quafc 
Bit deünilio. Uiiide, M definitioni isti axioma hoc identicum atque 
iademonstrabile adjungatur, quod omne magnitudine praeditum siM 
ipsi aequale est , seu A ^ A , Syllogismus talis nascatur : Quidquid 



^) Siehe die Beilage. 



i 






parti alteriiis aequale eat» id altero mioiig est (per definttiooenü) ; 
Par» parti toiius aequalis est (nempe sibi ipai, per veritatem id^i* 
ticam) ; ergo pars toto minor est Q. E. D. lade pergens obser* 
vabat ex hoc AssA vel A — A = Qtique ideatico ei ut prima 
fronte fideri possit prorsus spernendo, mri pulcherrimaffl quandam 
diffierentiarum proprietatem, nam 

A — AjM — Bj^^---C^D— D+E — E esse ^ 
+L +M -f-N +P 

Si jam ponantur A, B, C, D, E esse quantitates crescentes, et dif- 
ferentiae earum pro»mae B — A, C-~B, D — C, E — D vocentur 
L, M, N, P, hinc fieri 

A + L + M+N + P — E=:0 
vei L + M+N + PäE — A 
id esl^ siimmain diflerentiaruni proxiinaruni quoteunqne aequar^ 
differentiae inter terminos exiremos. Exempli causa loco A, B^ C, 
D, £, F sumantur numeri quadrati 0, 1, 4, 9, 16, 25, loco diffe* 
rentianim prodibunt numeri impares 1, ä, 5, 7, 9, 

1 4 9 16 25 
13 5 7 9 

ubi patet fore 1 + 3 +5 + 7 + 9 = 25 — = 25 et 3+5+7 + 9 
sss2i — 1£=£24, idemque locum habere, quantuscunque sit numerus 
lenuinorum differentiaromv« et «quicrnique assumantur termini ex- 
trem!. Atqtie hae ta« £icili jucundaqiie observatione deiectatus noster 
adoiesoens varias numericas series teiitdiat, ac progrediebafair etiam 
ad düfereniias secundas seu difimotias differentiarum, ^t ad diffe- 
rentias tertias seu differentias inter difiercntias differentaaram, atqae 
ka porro. Atque ila observabat, eYauescere differentias secundas 
nnmeronun naturattuoa seu ondine sumtomm inde a 0, evimescer« 
tertia» ab ipsis quadratomm, quartas euborum« quintas i^uadraCo-* 
rum» sexias surdesolidorum, et ita^orro ; et oonstantem esse diffe- 
rentiaiB prinam liaftiireliu» 1, sccundam quadratorum 1 i 2 s= 2, 

tertiam cuborum 1*2.3^6, quaitasn 
i i 1 111 biquadratonim 1.2 .3 ;4s^24, quintatn 

12 3 4 5 6 surdesolidorum 1.2.3.4.5 — 129, «t 

13 6 10 15 21 ita porro; qoae aliis licet dadum oIh 
1 4 10 20 35 56 servata , ipsi no?a eraut et faofü j«- 
1 5 15 35 lü 120 cunditate sua invitantia ad progressos. 
1 6 21 56 126 252 Sed combinatorios quos vocabat numeros 
1 7 28 84 210 462 inprimis meditabatur, quorum nota est 

etc. etc. haec Tabula, ubi praecedens series hori- 

zontalis vel verticalis semper continet 
differentias primas seriei sequentis primae, secundas seriei sequentis, 



30t 

et tertias tertiae etc., et quaeWs iseries horizontalis vel verticalid 
continet summ^ 'seriei praecedentis primae, summas summarum 
&e» sufnmas secundas seriei praecedentis seeundae, tertias tertiae. 
Sed etiam ut addamus aliquod nondum fortasse Tulgare, generalia 
quaedam de dififerentiis et suinmis theoremata eruebat, qualia sunt 
sequentia. Serie a, b, c, d, e etc. decrescente in infinttum, sunt 

Termini a b c d e etc. 

differentiae Imae f g h i k etc. 

2dae 1 m n o p etc. 

Stiae q r s t u etc. 

4tae ß y d a d^ etc. 

etc. X fi V Q a etc. 

po^ito Termine primo a, ultimo ct^, inveäi^bat 

a— w=:lf + Ig + lh + li + 1 k + etc. 
a— fti= ll+2m+8n + 4o + 5 p +etc. 
a— ito = lq + 3r + 6s + 10t + 15u + etc. 
a — w = l/?+4y+10(y+20€+35*+etc. 
etc. 

et rursus 

+ lf . * etc. "*• 
etc. 
etc. 

Uad« loqu«ndo stylo a ae postea hitrodncto «t temiimn seriei 

TOtaado y (qiM «am «titua «st a ac y), licebit differentiam primara 

vtMpre d}!, «ecaadumddy, tertian d*y, -quartan d'^y; et tenninum 

idterius sMTei' voeando k, licebit summaat honim mcan fi, et 

saumipm «ommanim mm summam «eeunda«^», el summam ier* 

$inm./% el Munsiatii qiiartam fhi. Bmc posk* 1^1 + 1 + 1 + 

•te* ejwe -sst Xy <$eti tl esse nu&ieros naturales, <ittorum 4k ^ i, 

ixmc 

1-f 2 + a+ 4 + * et©, fit t=/x 

«t t + ä+ ft + 10 + etc. fit öx jy% 

el 4*f 4+10 + Ä6+ «te. fli «ö/*x 
01 i4*&+I'i«fW^ «io* » /Hl 



9199 

et ita ppriro« Uj^ tandem fit: 

y — C4> =dy.x — 4dy.yx + A^j .Jfi — d^Y *f^x+ etc. 
quod est =: y, posito cootijiuari ia infioitum seu üepixa = 0. Unde 
etiam sequitur summaüo ipsius seriei, seu fit: 

/y :ä yx — dy ./x + ddy .Jfj. — d^y ./H +elc. 
Quae bifia theoremata id habeot egregium, ul aeque locum ha- 
beant in utroque Calculo difiereDtiali, tarn Numerico, quam Infini- 
tesimali, de quorum discrimine infra dicemus. 

Numericarum autem yeritatum ad Geometriam applicatio, et 

consideratio eliam serierum iiifinitarum nostro tunc adolescenti pror- 

sus ignota erat, satisque habebat talia in numerorum seriebus cum 

voluptate observasse. Nee praeter vulgatissima praecepta practica 

ipse tunc quicquam de Geometria tenebat, et Euclidem vix satis 

attente adspexerat, aiiis plane studiis intentiis. Forte tarnen incidit 

in Yinceniii Leptßudi Amomiorem CurvilineQrum^ Contemplationemj 

ubi autor ille varias tractabat Lunularuni Quadratiiras, et in Caval- 

lerii Geometriam Indivüibilium, quibus nonnihil inspectis facilitate 

methodorum delect4i)atur} ^ed nuUp tunc aniaio in Mathematica illa 

profundiora se imroergendi, tametsi Physicis et Mechanices practicae 

studiis subinde operam daret, ut ex edilo Hypotheseos physieae 

opusculo inteiligi potest. Erat tunc ascitus in Reyisionum Coosilium 

Eminentissimi Electoris Moguntini, et a gralio«issimo judlciosissi- 

moque Principe (qui transiturum el longiüs ilurum juvenem sibi 

vindicaverat) permissione continuandae peiregrinatiofiis impetrata, 

Lutetiam Parisiorum A. D. 1672 prafectus erat. Ibi in Summi Viri, 

Christiani Hugenii, notitiam venit, .cujus exemplo et consiliis se 

debere semper professus est aditum ad altiorem Mathesin. Is tunc 

forte suum de Pendulis opus edebat. . Cujus cum exemplum ju^em 

dono attulisset et inter colloquendum ammadvertisset, Gentri grayi««- 

tatis naturam huic non aatis cogniiam, quid hoc rei esset, et quo- 

modo indagari posset, paucis exposuit. Id nostrum a Tetemo exd- 

tavit, talia a se ignorari indignum putantem. Sed. tuac quidem 

vacare bis studiis non potuii, et mox sub exitum aani in AngUaia 

transfretavit in comltatu Legati Moguntini, ibique paucis septimanis 

cum Legate haesit et ab Henrico quidem Oldenburgio, Sodetatis 

Regiae Secretario tunc, in illustre CoUqgium introdfictus est, cum 

nemine autem de Gepinelria oontulit (in qua. ipse tunc erat plane 

proletarius), sed cum chymiam noQ negBgeret» aliquoties illustrem 

yirum Robertum Boylium ^diit, et cum ibi 4^e in P^ium incidiaset 



' 3119 

et Boas quasdstm observationes numericas ei narrasset, dixit Peliius 
haec non esse nova et Duper Nicolaum Mercatorem in sua Hyper- 
bolae Quadratura publice monstrasse, differentias potentiarum Nu- 
mericarnm continuatas tandem evanescere. Ea occasio nostro fuit 
quaerendi libellum N]<:;olai Mereatoris. CoUtnsinm tunc non notit, 
cum Oldenburgio tantum de rebus literariis, Physicis et Mechanicis 
coUocutus est, de Geometria autem profundiore atquejadeo deseriebus 
illis Newtoni ne yerbulum quidem commutavit, et plane in istis 
hospitem se fuisse nee nisi in numerorum proprietatibus et quidem 
mediocriter admodum versatum satis ostendit ipsis literis cum Olden- 
burgio commutatis, quae nuper sunt ab adversarüs productae, idem- 
que ex illis haud dubie patebit, quas adhuc in Anglia asservari 
scribunt, sed suppresserunt, credo forte quod ex ipsis satis appa- 
reret, nuUum adhuc de rebus Geometricis ei cum Oldenburgio com- 
mercium fuisse, cum ipsi tarnen credi velint (ne minimo quidem 
adducto indicio) jam tum ei ab Oldenburgio communicata fuisse, 
quaecunque inter Gollinsium, Gregonum, Newlonum acta is habebat. 
Sed reversus ex An^ia in Galliam A. D. 1673, fatis interim 
fottcto Eminentissimo Electore Moguntino, cujus gratia Moguntiae 
obhaeserat, jam liberior hortante Hugenio coepit tractare Analysin 
Cartesii (antea vix eminus salutatam), et ut in Geometriam Quadra- 
turarum introduceretur, Honorati Fahrt Synopsin Geometricam, 
Chregorium a S. Vmcmtio, ei Dettonvülaei (id est Pascalii) libellum 
consuluit. Porro ex uno quodam exemplo Dettonvillaei lux ei subito 
oborta est, quam ipse Pascalins (quod mireris) inde non hauserat. 
Näm dum ille demonstrat Theorema Archimedeum de superüde 
sphaerae aut ejus partium mensuranda, utitur methodo, qua omnis 
«roUdi rotatione circa axem aliquem descripti superficies ad propor- 
tionalem figuram planam revocari potest. Tale enim inde noster sibi 
paravit theorema generale: Rectae perpendicularis ad curvam por- 
liones interceptae inter axem et curvam, ordinatim et normaliter 
applieatae ad axem, dant figuram momento curvae ex axe propor- 
tionalem. Id cum monstrasset Hugenio, yalde is probavit, fassusque 
est, hujns ipsius theorematis ope se superficiem Conoidis Parabolici, 
aliarumque faüjusmodi superfiderum in opere de Horologio osciUor 
torio sine demonstralione positarum, ante multos annos repemse. 
flis noster iexcitatus, animadvers^a foecnnditate harum meditationum, 
«»ni prius' infinite parva tantum ut intervalla ordinatarum Cavalle«- 
tidAo more ooasiderasset^ odtam^tus- est Triaiigulum quod vocwfk 



4NIO 

clii^actftriBUcmii i¥D,¥ (fig, 155), p4uf l^^ra P|Xf J>%i 9eq«a)^ 
ijl^i» |X,2X, 1Z2Z e^eüi portiones coordio^tarmn aeu cof^b&cissarunpi 
AX, AZ, at terüuip kLus f¥2Y esset portio Uogeatis Tfi^ gi opqf 
producta«. Et huic Triangulo, licet ioaspigoabili (seu ioQoite parvo), 
vid^bat semper posse Trangula similU assigaabilia, 8i|Dto ewa 
AXX, \ZZ coodirigentes normales; c^abscissae AX^ AZ; QQoriimU^ 
YX, ¥Z; taugcBs T@¥; perp^ndicularis PYJl; subtangeptiales XT. 
Z@; subnormales XP, ZJI; deiuque ducatur flF p^r^U^ 9^ AX, 
eique taogens TY occurrat ia JQ, uode ad axem agatur fipnimUs 
jßH; Beot triangula siioilia ^YD^Y, TXY. YZ0, TA©, YXP, Jm. 
iZAP, TAQ, aliaque hujusmodi plura si lubet. Hinc verbi gr^iUa pk 
iriaogula similia ^YD^Y, »Y^XP fit P,Y. iYD^jY^X,^ J, id e4 
perp^ndicularis P^Y applicata ducta in |DY seu 1X2X elementiMO 
axis aequatur ipsi prdinatae sY^X düctae in 1Y2Y elementum cunrste, 
id est momen^o ^iei^enti curvae ex axe. Uode io{\m piomeniuip 
eurvae per summam perpejadiculariun« w applicatanim bat^eUir. 
Et ob trianguia «jmilia fYD^Y et Tflß Ot «Y^Y: ^YO =^TG; QU 
seuJQH^iYsY s^l'iJ.sYD, id est coustans I^U ducta in elementum 
<airvae lY^Y aequatur ipsi TiQ ductae in ^YD seu iZ^Z elepußutMm 
«oabsciiBsaer Et proiAde iSgura plapa ^rfa ex ipßis TQ (u^i^mtm 
normaliter applicatis ad AZ iu ZZ aeqiiatui* rectMOgulQ s^b CHryii 
in rectam exteosa et constaate HJQ. $io eti^m ob tfi^gvla süfoUi^ 
lYDiY et jYäXP fit ^YDiD^Y^aY^X : »XP, atftue iid^o ^^ , ^yp 
^ giY^X.DsY« seu subperpendiculßrei^ |.XP prdiAatpn ^fU^Mt^i^ 94 
axe«i ß4u a4 lYP vel iX^X ^quantor ordio^Ois %X^^ ii^ ^ua ^ 
«nenta PsY ordjiMXtiRi 4AH^is. &ed Bectfie i^ 4 ni^ilo i^rii^c^f^t^ 
in wa ekn^enta ductae c^nStiiwi triaj^gH^UflV . 6^0 ^mm. ^i/epp«r 
AZ i3^ ZL, üet triao^uluQi rectAngj^lu^l AZI4, qu94 »ßt dimidiufn qnur 
4rati AZ, ttatpiß figura ort« .^x s^bp^rpß94i^ribRs pr^lim^w H 
p^rpewtoilariter ^xi WßU^^^ ^mi^Pfr a^q^^tur fim^, ^^0^ 
piHMaa^. Et j^roM^, data ßgura qu94rand^ quaer^Mif . ^pr^ pu^ 
jus s«bperpeodicul9ir'es a^qv^nr ^dinati«f figur«^ 4a|t9ie, 1^ mi 
%uurae datae quadratnx. M^m it9 «^ b«P ^lüw fnefditatipo^ Im- 
J^eoMis .r.eiluetJi9Aein ,a4 qiiiadi*alui*as fimm s^nf^cjeriw ratstioM 
ge»iiaru9i, et e^tant vp(iWQ9li9m^ cm-varmn^ et ^mii ifm Mg^'- 
rmtm quadraturas xßducUpMs ßd pf\Q)>lQma ta^ig^tiiifiai imrersupu. 

Sk U« repertis, magniiw «np tbßprcpi^tiun {lex, qu^l^js muit« 
«rant iion ioelegAutJa) in <Ai^rM«» cimßU\ nnt^, dumn^a (d^sjim. 
Pttrs enim cMteflte frat ^uj^tiMJ|)U9 .^üsi^isit^itito» ^pociB . mpi 



CaTallerii tantatit et Fermatii et Honorati Fabrii, sed et Gregorii k 
S. Vineentiö, Ouldini et Dettonvillaei tractatis; pars vero pendebat 
ab inassignabilibns, multoque iongius Geometriam provehebat. Sed 
haec postea prosequi neglexit nuster, postquam animadvertit eandem 
Metbodum non tantam ab Hagenio, Wallisio, Wrenno et Heuratio 
et Neilio, sed etiam a Jacobo Gregorio et Barrovio usurpatam excul- 
tamque fuisse. Exponere tamen hoc loco non inutile visum est, ut 
appareat, quibus gradibns ad majora sit perventum, atque etiam ut 
Telut manu ducantur, qni adhuc tirones in recondita Geometria al- 
tius assurgere optant. 

Atque baecÄ. D. 1673 et parte Anni 1674 Parisiis egit Leibnitius. 
Sed Anno 1674 (quantum recordari potest) incidit in Aritbmeticum 
iUum eelebrem Tetragonismum, quod qua ratione factum sit expo- 
nere operae prelium erit. Solebant Geometrae figuras resolvere in 
i^ectangula per parallelas ordinatim ductas; ipse oblata forte occa- 
sione resolvit in triangula per rectas in unum punctum concurren- 
tes, dispexitque quomodo aliquid novi inde commodi duci posset. 
Sit (fig. 156) linea AYR, ducantur AY quot lubet, ducatur et axis 
qiticunque AC, eique normalis vel coaxis ÄE, bos tangens ipsius 
curvae in Y secet in T et ©. In eam ex A agalur normalis AN 
manifestum est triangulum elementare A^YjY aequari dimidio rect- 
angulo sub elemento curyae ^Y^Y et sub ipsa AN. Ducatur jam 
Inangulum characteristicum supra dictum lYD^Y, cujus hypote- 
nusa sit portio tangentis vel elementum arcus, latera sint parallela 
axi' et coaxi; patet ob triangula siroilia AN@ et lYD^Y fore ^Y^Y 
:,VD=rA0:AN seu A0.iYD vel AÖ.jX^X = AN . J^Y = (per 
supradicta) duplo triangulo AjYjY. Itaque si quaevis A0 trans- 
lata intelligatur in XY si opus productam, ita ut in hac sumatur 
XZ, fiet inde trilineum AXZA aequale duplo sogmenti AYvw/A, 
comprebensi recta AY et arcu AwY. Atque ita habentur quas 
TOcayerat figuras segmentorum, seu segmentis proportionales. Si- 
milis methodus procedit, cum punctum A sumatur extra curvam^ 
et tune hac methodo habentur Trilinea sectoribus proportionalia ex 
puncto illo concursus äbscissis. Quin etsl rectae non in lineam, 
sed in curvam (quam ordinatim tangunt) concurrant, non eo minus 
hac ratione utilia Theoremata formabuntur, sed talia persequi hujus 
loci non est. Suflicit nostro scopo considerare figuram segmentorum 
et in Circulo qnidem, ubi si punctufh A ponatur in initio quadrantis 
AYQ, curva AZQZ secabit circulum in fine quadrantis Q, atque inde 



fßAßw 

ßeßf^n^pi^s hm BP (normali ac| d^oaetfiin^ in ^l^ip cq^UX^r 
W9 B) ^syqaiptota erit; et taroen tota figura u^niita^ l^ufffady 
fi}^ iilter dAametrum AB, b^sin BP etc. et curv^ baßi ^ymptif- 
j^rß A7Q? etc. comprehejisa aecjpabitur cireulp oirca (ji^i^iefi^m Aj^ 
Sed ut ad rem veniamusi i^osito radio iMiiUtß, et A^ t#1 ^,i^, 
et A@ vel XZ,z, fiet ]i=2^7:, 1-f «e; sumixia auteip ip^i^rttni w 
^d A@ applicatarum seu ut hpdie loqi4mJVjr Jxiz ^sjt trilioeuo) 
^@^A, complementum trilinei AXZA, qufd duplo ^gqiepto cir" 
G^la^i OjS^endimus aequale. Jdem etiaoi a$8ec^tu9 ^uUmt eft JM«7 
thodo t ransmuta tiouum, quam in Angliam misit. Id ßgüm* ut 
pmnes ^l — xx = y «ummentur; fiat y"» + l + w, i^nd« fit x= 
9z:,l + zz et ]r=+zz + 1 ,:,z^ 4- 1. |ta rursus tantum iO)^ M 
spn^mari rationales. Nora haec et elegans via vis^ est etiaija ^tm^ 
tpnp, sed fatendum est, npn e^se universalem. Ca^t^runi p^teti 
hipc etiam haberi arpupi ^^ i^ii^i^, et alia id genus^ sed laediia^' 
Qiiilf vero f)ostea intelle)(jt zoster, haep iiidi9 f|^d^P®^? IVeuvtamw 
jfnniefli^te suis extractionit)pß, |d cogppsc^re desid^r^vit,. Hiac 
statiqf) apparuit, qu£^ metbodo M^cplau^ Merc^of d^^ivit Aritlm^ 
ticum Hyperbolae TetragonisiQUQi per seriem infi^itaip, el^W oir-' 
Cjuli dari, sublata asymnijBtfi.^ ^t divi^endo per l+*z, ut ille ii-^ 
vi^erat per 1 + z. Et mox jnyepit ^atpr Choor^a goc^erale pjro 
diqaensioqe figuraß corneae ce;|trum ha))eqti^. r^fSf^p^ spptpr, qpm-: 
prehensus arcu ^ectipnis cpnicae a verti^cp iqcipien^^^ et |*eGtis ^ 
ce^tro ad ejus extrema duct|s, ^^.q^atur rfn^tdugalo sub aemil9l^r>l 
^rapsverso et recta t+^t*+|t'+|t^ etc., posltp t essp pprtipn^in 
tan^enti^ in vertice, intercc^tam inter ve^^iceip et t^ngeiHem ^Ue- 
rius ei^tremi, et unitatem esse qyadratum a ^pqian^p cpiy^gatoi i)im 
rectanguium sub dimidiis lateribus recto et tr^iq^v^rs^ et ±_ ^ig^i^ 
flcare + in Hyperbola, sed — in Cireg^lo et Plipsi^ fJndt etijwj 
positq quadrato diametri 1, fiebi^t cjrculus -j — |-f |^-r~j>-^. |. ^ X ^^ 
etc. Hoc iqyentum cuip no^t^r Hu^enio adjepta dempQ9;t^^(|Q^ 
ostendisset, mirifice ille appkgisit, et cum r^mj^tte^pt dii^s.^t^jop^i||, 
literis adj|unctis dixit, id inyentMm sep^per ^emora^p 4ji|ud (jjech* 
metrajf futurum, et spem inde nasci, posse aUquando a^ sf|\^a^ 
nem ^eneralem perveniri, nempe aut exbibeudo veriw, Ta^i^W 
aut demonstrando iippossibilitatem in quanüt^ti^us recepti^.. iNfempi« 
nequß ipse, neque inventpr, npque ßlius qijüs^qj^m Parisiis^ qiia4 
cpnstet, aliqgid de $erie r^tioo^li iofinita tjoagniturdippn^ pir^i|l^ e^-« 
bib^nte (qiwis a Newtpnp pt (Jre^orio pxcp|g;i(9tas ppfitpa, poiistüiO 



'<)fäi6'()ülam bbdo audierat. Certe non Hugenius, Üt ex hac ipsa 

^^bjünctäi ejus epfstola • • . *) data patet ; itaque hac prima 

t$6e circu1\!ktn deriei quantitatum rationalium exacte aequalem de- 
KAönstratufli ftugettius 'cr6dT(Kl. Idern (viel Ipsius Hugenii, härüm 
t'eram perilisslttti, Ifestirtiönio fretus) credidit inventor, atque ideo 
epistofad illa's biüäs ad Oldenbürgium Ahnö 1674 ^cripsit, quas 
ädvetSarii ipsi edidet-e, in quibiiö tanqüarfi teth ttövam hunliät, se 
fet quidehi priDtiütn bth'nium invenisse niagnituaineiri circuli serie 
hutneföriVm 'if'ätiöh'ali'un) expressam, qüöd jäm ii^ Öyperbola präe- 
stitum cöri^tabat. 0^<^<)si jäm ipsi Londiiii agehti anno praece- 
denl^ Oldenburgiüs series Gregorii et Newloni coriimünicasset, ^e- 
bebät isumt/)'d eööe ipsVus impüdentici, hoc ad Oldeh'burgiiim scriJiere 
aUdentls, et 01denbll^gii bbliviositas vel praeväricätio dissimutäÜö- 
ilem ti'oh expirobrantfs. Nain ipsi ädversaHi exhibehi lespönsionem 
Oldenburgii, qua tantum indicat (ignorä're Te holim, alt) similes 
^eries 6iUtA G^egörio et Newtono innotuisse^ quas etiam anno de- 
hlUin seqüeilte Üle^is mense Aprili dätis (quas ipsi exhibent) com- 
hiüniiiavit. Onde ittleljigi pötest> quani füerint vel caeci invidiä, 
vei pertricti niMigtiFläle, qui nunc fingere audent, Oldenbürgium 
taliä ipsi jänl ähno priiecedente commuhicasse, quanquam aliquid 
cäecitatis iiisit ihalignitati, ({uod non viderunt edere se, quibüs 
süä figtiietita eVerterenl, hec potius has ipsius Oldenburgiique Ute- 
ras üt aliäl^ ex ibio Vel päi*te süppresserunt. Caeterum ex eö de- 
müiri töepit ipse cum Oldenbürgio commUnicare de rebus Geome- 
trifcis, ex quo scilicei ipse sese aliquod communicatione dignum 
iiiVenisse judiÜavit^ äriteä iri biä studiis Uro. Priores autem Pari- 
isiis dätae tÜ ttarüi, 26 Aprilis, ^4 Mäji, 8 Juni Anni 1673, quas 
ipsi adesse ajunt, sed supprimunt ciiin Oldenburgii responsionibüs, 
haud dubie de aliis rebus egere, nihilque Ulis praebuere, unde 
fictitiae illae Oldenburgii commünicationes credibiliores reddi pos- 
sent. Caetä^ufn ubi aüdivit hostet*, Nei^tonum et l^regorium ad 
series pervenisse per extractiones radicum, agnovit hoc sibi novum 
esse, neque inilio satis intellexit, idque ingeuue fassus est ipse et 
in nonnullis declarationem expetivil, praesertim quando series 
quaerebantur reciprocae, pro quibus ex infinita serie extrahenda 
erat radix per aliam seriem infinitam, atque hinc etiam patet fal- 
sum esse quod adversarii fingunt, Ojfdenburgium ei Newtoniana 



*) Lücke des Hanuscripts. 



404 

scripta communicasse ; nam ita declaratiouem petere opus non ha- 
buisset, sed postea ubi calculum differentialem detegere coepit, 
novam excogitavit artem longe universalissimam inveniendi series 
infinitas sine extractionibus accommodatam quanlitatibus tarn com- 
munibus quam transcendüntibus, assumta serie quaesita tanquam 
inventa; eaque methodo usus est ad absolvendum Quadraiurae 
Arithmeticae opusculum, ubi etiam aliena inTenta serierum pro 
arcu ex sinu, aut ex sinu complementi inserebat, et regressum 
etiam, dato scilicet arcu sinum vel sinum complementi invenire, 
nova hac Methodo demonstrabat. Eaque eliam causa est, cur postea 
methodis alienis non indiguerit. Et tandem hanc suam novam 
eliciendi series rationem in Actis Eruditorum publicavit. Caeterum 
cum in eo esset, ut opusculum illud quadraturae Arithmeticae Pa- 
risiis ederet, in Germaniam revocalus est, et uovi calculi arte ex- 
culla, priora minus curavit. 

Porro nunc jam exponendum est, quomodo paulatim ad no- 
Yum Notationis genus peryenerit noster, quod calculum differentia- 
lem appellavit. Jam A. D. 1672 de uumerorum proprietatibus col- 
loquenti Hugenius proposuerat hoc problema: invenire summam 
seriei decrescentis fractionum, cujus numeratores sint unitates, de- 
nominalores vero sint numeri trianguläres, cujus summam ajebat 
se invenisse inter collationes cum Huddenio de aleae aestimatione. 
Noster invenit summam esse 2, quod cum Hugeniana propositione 
consentiebat. Eadem opera invenit summas serierum hujusmodi 
numericarum, cum denominatores simt Numeri combinatorii qui- 
cunque, idque indicavit Oldenburgio Febr. 1673, quam adversarii 
edidere. Cum postea Pascalii triangulum Arithmeticum vidisset, 
ejus exemplo Harmonicum concinnavit. 

Triangulum Ariihmeticum, 

ubi series fundamentalis est progressionis 

Arithmeticae, nempe 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 

1 





l 


1 






1 2 


1 






1 3 


3 1 






14 6 


4 1 






1 5 10 


10 5 1 




1 


6 15 20 


15 6 


1 


1 


7 21 35 


35 21 7 


1 



«OS 

Triangulum Harmonicum, 

ubi series fundamentalis est progressionis 

Harmonicae f ^, |, |, j, |, |. 

I 
i i i 

1111 

5 IJÖ 30 TO 5 

6 To '^'Ö "B^Ö 30 i 

I iV TOT tIö To5 tV I 

in quo si denominatores cujuslibet seriei oblique descendentis in 
infinitum, itemque cujuslibet seriei parallelae finitae dividantur per 
denominatorem termini in serie prima, prodeunt numeri combi- 
natorii iidem qui in triangulo Anthmetico habentur. Utrique au- 
tem triangulo hoc est commune, quod series obliquae sunt invicem 
summatrices vel difl'erentiales. In Triangulo Anthmetico series 
data est summatrix proxime praecedentis, et est difTerentialis pro- 
xirae sequf'ntis; al in Triangulo Harmonico contra series data est 
summatoria proxime sequentis et difTerentialis proxime antecedentis 
Ex quibus sequitur esse 

l + Ui+i +i+ i + + +etc.«J 
l + i+ i +tV+tV+ 7h + 7h + etg* = f 
I + I+A+iV+A+tV + ijV + etc. = f 
Ki + iS+iV + TV+Tk+^+etc. = 4 
et ita porro. 

Atque haec quidem habebat, cum nondum versatus esset in 
An^Iysi Cartesiana; sed cum hanc adjecisset, consideravit seriei 
terminum posse plerumque generali aliqua notatione designari, per 
quam ad seriem aliquam simplicem refertur. Verb. gr. si quivis 
terminus seriei naturalis 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 etc. vocetur x, quem- 
libet terminum seriei quadratorum fore xx, vel cuborum fore x* etc., 

x.x+1 

qu^miibet terminum triangulärem, velut 0, 1, 3, 6, 10 etc. fore -j — ^ 

1 • ^ 

XX -f- X 

seu — - — , quemlibet pyramidalem 0, 1, 4, 10, 20 etc. fore 

x.x+».x + 2 , x*+3xx + 2x, ^ ., „. ,. , 

_^ .. _ vel ^ ^ et lia porro. Et hmc per calcu- 

lum generalem datae seriei posse inveniri seriem difTerentialem, et 
interdum etiam Bummatoriam, quando eam in nun^eris capit. ^ 



gr. quadratus est xx, proxime ipajor est xx+2x+l, differentia 
eorum est 2x-(:l, id est series nuraerorum impari^m est series 
differentialis quadratoniin. Nam ^i x sit 0, 1, 2, 3, 4 etc., 2x4-1 
sunt 1, 3, 5, 7, 9. Eodem modo, differenlia inter x* et x'+3xx+ 
3x4-1 est 3xx-|-3x + l, itaque talis est terminus pro serie diffe- 
rentiali cuborum. Porro si v,alor terqfiini seriei propositae possit 
ita exprimi per variantem n, ut, varians neque denominatorein ne- 
que exponentem ingredia(,ur, videbat d^tae seriei suinnialricem sem- 
per inveniri posse. Ex. gr. si quaereretu^r symmatrix quadraloruni, 
cum constaret eam non posse assurgere ultra gradum cubi, finge- 
bat ejus termit^um esse =ix^+mxx4-nx=z, quaeritur dz?=xx; fiel 
dz=ld(x^) + nirf(xx)4-n (posito dx=l), sed d(xx)=2x+li etdCx*)= 
3xx+3x+l (per jam invenla), ergo fiet 

dz=31xx+31x +1 

-)-2mx-4-msisxx; 
+ n 
ergo sit 1=J, ra= — ^, i — ^4:^=0 seu n»^, seu terminus seriei 
q.uadratorum suminatricis est Jx* — ^xx+^x vel 2x^ - 3xx+x , : 6. 
Exempli causa si quis velit suipipapo noyem vel decem primoruin 
quadratorum ab 1 usque 81, vel ab 1 usque ad 100, pro x sumat 
10 vel 11 nimLeruqfi pro^cime majorem i^adice Ultimi quadrati, et 
2x3— 3xx4-x, .ß erit 2000— 30p 4-, 10, :'6-285, vel 2.1331-3.121 
4-11,: 6=385. N^c diffjcilius est multo, centum aut 1000 qua- 
dratos per cpmpendiup suipmare. Eademquq methodus procedit 
in potentiis arlthmelicorum quibuscunque aut formulis, quae ex 
poteutiis talibus componuntur, ut scilicet seipper quotcunqiie ter- 
minj se/*i.ei talis compendio summari possjnt. Sed facile videbat, 
noster, hoc non semper procedere, cum varians x ingreditur in 
denominatorem, ul scilicet summatrix series numerica . repefiri pos- 
sit; prosecuturus tarnen hanc ipsam Analysin generaliter invenit 
atq.ue. etiam in Actis Eruditorum Lipsiensibus ostendit, semper 
pyo^se inveniri seriem summatricem, vel rem reduci ad summan- 

dum numerum terminorum fractorum simplicium, velut — , vel — ^, 

^ ' X XX 

Tel — etc. qui numero terminorum finito proposito summari uti- 

que possunt, sed nondumj oompendiose satis; at si de, njumero 
tf l^m|)}j[^|if fYi. infinito . agatur^ P.^^ino summari non possunt termini 

quales — r, quift tota series* infiniti talis terminorumi numeri e^ti 



im 

quantitas iofinita» sed termini numero infinki quales ^ vel -3, etsi 

cMficiailt) qcräntiHateiii fiiiitam, tarnen haetefnus suimnaW nonf jros- 
stlrit, nfdi' s^eipfi^ditrs qtiadrattri*is. Itaqtte jam A. D; 1682 iAens4 
stfcfunda Actoruiti Lrpsiensium dbsenayH, si exponantul* nttiüeri 
1.8, S.8i a.7, 7.-9, 9.H rtc. seü 3, 15, 35, 69, 9» etc. altqu^ 
hlde Hat Mi^^maMömtd 

i + A + A + TS + W «tc. 
httttc sferteiä M intinituin descendentem coraponere n^onf nisi ^, scfd 
s* itidÄ litfßlert'exöerpantur pef saitum |f + TV + irV + ®^^- «xpri- 
flfie^cf ma^itedlheni s^midrculi cujus diametri quadfatum est I. 

NettUfie^dtt *=?I vel » f«!- 3 etc., tcrihitius seriei f + iV + A «^• 

1 

®st Tznr-r-oir-r^.» quaeritur terminus seriei summatricis. Tentetur 

simplldssima ratione, an possit habere hanc formam ^ ; erii 
e c" eb 1 j 



fet4- c- bit-f b'+^c bbxx+ bbx + bc 4xx + 8x + 3 ' 

-fS*cx+cc 
fomnila«; id^nkificando fit b=:2, eb^l, ergo e=i, bb+2bc=3:8 seu 
4>+4«±±6 rdf c^l> et tandem bc+cc=8, qood succedit. Brgo 

1:2 1 

terminus seriei summatoriae est s—Vr vel -;; — rs; sunt auteni 

2ä+1 4x+2 

4v-f2 inpmrinin dupii. Polstretni) etiam vidit modum aliquem Cal* 

driam dififei^iitiälem adhibendi» ad series numericas, qoandö va«- 

rian» c»dki ih> ipsum ex^onentisiii', ut in progressione geometrtca', 

ubi' posffta radice b, terniinus^' eät' b', existentibus x numeris natu* 

r&libus. Ergo' tierminas seriei diflferentialis eritb*"'"'— b*=b*(b — 1); 

and^ mmifestttn seriem' dÜSer^tialem datae geometricae esse' etiaiH 

geonäetrioain datae pnoportibnaiem. Unde summa progressionis 

OeomeDpicae' habetur. 

Faeiie autem aniinadi^ertit noster Caloulum differentialem in 

F^iris esse mirum in modum facilem prae eo, qui in numeris* exer- 

cetur, quia in^ ffgiiris differentiae ipsis differentibus comparari nofn 

IMAStnlt; qooties antiBdi additione Tel subtractiotie conjungafitui^, 

qnae sunt inter se inoomparabilia, minora prae majoribud' e?ane- 

sKunt; atque hint etiam irrationales non minus fadte di£terentiari 

qaam surdas,' ta0 epe logarithmorum ipsas quantilartes exponen-^ 

tialesl' Obserrabat autem lineas infinite parvas in figmris occtip^ 



«HS 

rentes nihil aliud esse quam differentias momentaneas linearum 
variantium. Et quemadmodum quantitates hactenus coDsideratae 
simpliciter apud Analystas habuerant suas functiones, nempe poieo- 
tias et radices, ita jam quantitates ut variantes habere novas fun- 
ctiones, nempe differentias. Et ut habuimus hactenus x, xx, x^ etc. 
y» yy> y^ etc., ita posse adhiberi dx, ddx, d*x etc. dy, ddy, d'y etc. 
Eoque modo jam Curvas etiam, quas Cartesius tanquam Mechani*- 
cas ex Geometria exclusit, aequationibus localibus exprimi et cal- 
culo tractari posse, animumque a continua ad figuras intenlione 
liberari. Et in applicatione Calculi differentialis ad Geometriamf 
differentiationes primi gradus nihil aliud esse quam inventiones 
tangentium, differentiationes secundi gradus esse in?entlones oscu- 
lantium (quorum usum noster iutroduxit), et ita porro procedi 
posse. Neque vero haec tantum inservire ad tangentes et quadra- 
turas, sed ad omne genus problematum et theorematum, ubi dif- 
ferentiae cum Terminis integrantibus, ut vocavit ingeniosissimus 
Bernoullius, varie miscentur, quemadmodum in problematis Phy- 
sico-Mechanicis fieri solet. Itaque generaliter constituit, si qua 
series numerorum vel figura liuearum proprietatem habeat ex duo- 
bus vel tribus vel quatuor etc. terminis proximis pendentem, posse 
exprimi per aequationem, quam ingrediantur differentiae primi Tel 
secundi vel tertii gradus. Quin etiam theoremata invenit gene- 
ralia pro gradu differentiae quocunque, uti habebamus theoremata 
pro gradu quocunque, et miram reperit analogiam iater potentias 
et differentias in Miscellaneis BeroUnensibus publicatam. Quam 
si novisset aemulus, nou adhibuisset puucta pro gradibus differen- 
tiarum, quae inepta sunt ad generalem differentiae gradum expn- 
mendum, sed notam d a nostro impositam vel similem retinuisset, 
ita enim df potest exprimere gradum differentiae generalem. Cae- 
terum hinc jam o mnia calcul o exprimi poterant, quae olim figuris 
dabantur. Nam V(dxdx4-dydy) erat elementum curvae, ydx erat 
elementum areae, et yydx et ykdy sibi mutuo esse complemento, 
statim ex eo patet, quod d(xy)~xdfH-ydx seu vicissim xy=rykdy 
:-|-yydx, quanquam interdum signa varientur; et ex eo quod xyz= 
ykydz+yxzdy +yyzdx, etiam tria solida exhibentur, quae sibi mu- 
tuo sunt complemento. Nee est opus theoremata illa nosse, quae 
supra ex triangulo characteristico duximus, verb. gr. momentam 
curvae ex axe sußicit explicari per x^ >/dxdx+dydy). Et quae 
Gregorius a S. Vincentip habet, de Ductibus, quae ipse aut Pasca* 



40» 

Inte de Ungulis aut Cuneis, lymnia statim ex tali cftlcuio riascunlur. 
Itaque quae aniea ab aiüs inventa aim a)]ip]att6i], a se ieieciß 
oma Yoluptate videirat, jam magnoperie * curare desiit, quod omnia 
jain in lali oalculo cönlineBtor. Ex. gr. momenluDd figurae AXYA 
(fig. \51) et ake AX est ^/yydx; momentum figurae ex tangenle 
verticis est Jxydx; mejadeßlum trilinei complenientalis AZYA ex 
taBgenl!« verticis ^st Y^xxdy; sed haec duo naomenta posteriora 
simul sumia eodiponunt medfientum rectäiiguli circumscripti AXYZ 
ex tangente vertieis, adeoqae mutuo sibi sunt compkmento, quod 
est ^txy. Sed hoc «ine lebnBideratione figurae ostendit eliam cal- 
caius, nam ^d(xxy)aexiydx+4xidy, ita ut js^i non magis tot prae- 
claris egregiorum ^ inirörUHi ^eorematis opus sit ad Geometriam 
Ardiimedeam, quam iU^ ab Euclide in bbro 2. aut aliin datis ple^ 
rtsque ad Geometriam communem. Puiehre evenit, ut aliquando 
Calcnlus Transoendentiuni duo^t ad ordinarias, quod Hugenio im- 



2/SL3 /S. 



primis satisfaciebai. Veluti si inveniatur 2 / -- = 3 / — , eo ipso 

fit yy=x^ nempe ex natura Logarithmorum cum calcuio differen- 
tiali combinata, quae etiam ipsanaet tx eodem calcuio derivalur; 
esto enim x"*=y, fiet rox"*~Mx=dy, ergo utrinque dividendo per 



- "ß-Ä. 



aequalia erit m / — = / t rursus ex aeq. mlogx = logy, ergo 



=ß-/% 



logx :logy==/ — :y ~. Unde etiam calcuhis «xponenlialis trac<- 

tabilis redditur; esto enim y =z, fit 3Llogy = logz, ergo dxiogy 
+ xdy:y = dz:z. Et ita exponentes a Variante liberamus, aut 
vicissim utiliter varianteni in exponentem pro re nata transferimus. 
Denique ita ludus jocusque facta sunt, quae olim in admiratione 
erant. IIujus autem omnis calculi nee vola nee vestigium in 
aemuli scriplis ante edita a nostro Calculi praecepta extant, neque 
omnino quicquam quod non Hiigenius aut Barrovius praesti^issent 
modo eodem, si eadem tractassent. Sed quantum adjumehti prae- 
beat hie calculus, cahdide agnovit Hugenius, quod adversarii sup- 
primunt quantum possunt, et alia prorsus agunt, calculi difieren- 
tiali propria in toto suo scri|)to non attingeiites, tantumque in 
Seriebus infinitis haerentes, quarum methodum aemulum prae aliis 
provexisse nemo negat. Quae enim sub aenigmate dixerat et tan- 



«1» 

dem ezplici^ de FkixionibaB et Fkientibns I^qmuitilr, id ebt d«« 
quantitatibus fiDÜie et eoram elementis infinite pawis, sed quo^ 
modo unum« ex alio derivandum sit, nee miBimum adjomeiiftHi) 
praebent. Et dun; iUe rationea aasccttlM aut evanescenleB com»- 
derat, prorsu» a differentiaii calculo abduxit ad melliodain exhaa- 
atiomim, quae longe diveroa eat (etsi 8«as qimque utäUales liabea^> 
ntc per infinite parvasv sed ordinarias proceiKt, etsi in übs dennat 
Cum ergo adversarii aeqne ex Cemmercio fipietolico«. qaod 
edidere, neque aliunde vel minimum indicium pcotalemt, nnde« 
constei aemulum tali calculo uaum ante edka a doatro; ab bis 
aUata omnia ut aliena spemi possunt. Et usi sunt, arte nabtrianun, 
ut judicantes a re dei qua agitur aA alia diverterent, nenpe ad« 
series infinitas. Sed in üs nihil afferre potuerunt, unde Nostri 
candor graTaretur : narai ipsQ ingemie professua est, per quemi int 
Ulis profecisset, sed tarnen ibi quoque ad aliquid exoddus geno- 
raliusqne tandem pervenit. 



Beilage. 

Aus der Correspondenz zwischen Leibniz und Christian Wolf 
geht hervor, dass Leibniz, der damals in Wien sich aufhielt, die 
erste Kunde von dem Erscheinen des schon seit längerer Zeit an- 
gekündigten Commercium epistolicum Joh. Collinsii aliorumque de 
Anabfsv promota und von der darin ausgesprochenen Seilten^ der 
Londoner Societät der Wissenschaften in Betreff der Erfindung der 
Differentialrechnung durch Wolf erhielt, welchem ein Exemplar der 
gedachten Schrift direct aus England zugesandt worden war. Leib^ 
niz begriff, dass rucksichtlich seiner in dieser Sache sofort etwas 
geschehen müsse; indess entfernt von seineu Papieren, aus dienen 
er die nöthigen Notizen zu einer vollständigen Entgegnung schö- 
pfen konnte, entschloss er sich mit Benutzung der Materialien, die 
ihm eben zur Hand waren, zu der folgenden vorläufigen Erwide- 
rung, die in Form eines fliegenden Blattes veröffentlicht werden, 
sollte, und überschickte sie Wolf^. um den Druck zu veranlassen 
und zu überwachen. 



411 



?9M 1713. 

fyibmtifAs Jwm Vjeiinae Au^tviae agensi ob kicamtxn dfstan- 
ti^ D4Hlf|^i9t «idib iibeHum, im Aj^gliiN oiiper adiliuin^ quo« Nm»t(mo 
prinmi^JpvaoliQnW) C9)wU< diteireiiltalis Tindioaee quidamt conan- 
tjfx* ^,U%if^n coBtosien^fiUBt, mor« inraieeioa^. qimni ^rimuia f«tundi 
4»tiej^ß yi^um 9^ EqfMßmiT»0g^m «ki« potertuit novam hancAjDa- 
lyiipai^ Ariern 9fii«MW <^(£Aäknä<o fiusäe edüai» (cmb diiu .satte pres- 
sisa^ti): et pn|>liic^ QHP' ^ppicia.exoiilc^m, et; poat compiuires> demum 
annoa 9, Ni^toi/^, aJpM n^ik'. ei oomioibua quendaai qtiem vocat 
Calculup;^ Fluxif^illfi), Di^n^Al^i similem, fniaae producCum, qui 
t^en tuQc, nihil, ^^t^tx^i'li^iknitinm inovare eai ausus, JNec appa- 
cet, quibtt^ arguiperiMis^ mm velint leibmitmm baec a* Newtimo didi- 
c^ae» q4^i nj^iM^kr ^^«4^9^ ciiiqn«»» quod conalet caiBinimicavit, 
ant^quam ediaiiel;, LeibmtiH$\ (amen ex 8oo.c«ftdo«a aU»a* aeäti- 
Cialis lii^^nt^r; ßdQW. h^|^^pt Vira talia ex proprio iDgenio aiixi üu- 
i^iß$e, dicUtai^ti ; atquQ ide<> scripsit, Nmtünum aligiaid Calcuio. dif- 
^eQtißli ^iniik. bal)ui|9^ videri* Sed cum poatrejiio ittlelligeret, 
Ea^Jits^^enn $HßP(i. cootra s^ v«irU,: et quosdamin. Angiia praepostero 
gepL^s. sl\(4io< e^^M^qM^i progneasQs, «t non NewtQnum\ in comnui- 
Qionem, invi^n^i voca^S) Sied sq< excludere non< sine Titupecii nota 
v.elleQt, et Noßt^Mimt^ ipt^um (quod< v«x credibile oßat) iilaudabili 
l^pdi^ anp^qro. apipfra qoq^cii^MtiaQ: diel^vieo: tand^m igmeüfloj faiiai^e; 
i^ a^tebtias conai^eqaU, qupni ^Im. pnaepocupata in* Newtonii fa- 
vjorem apiq^p. e^animatiiiu^. apii £iibera|^ ex hom ipao. pr^eessu a 
candore alieno suspieqrvtCpßpit, Ca4( i^lii^ tHiaJottuna adi imitaUiapeni 
CalcuU, diffaqepMalis fo^niaMm hm^^ S^d. eum ipw per occupa- 
tioite^ diyeiraaa nunc pera« diiscuteife qidiit &a4ii$ peasel^ »A judioiami 
prifqaicii iMalb^^ia^Pi et b^rniq reruo) pei^iia^iimi et. a; pftritain stu^* 
dio. alj^ni. r^cupf i^Anrrk^ sihi pt«U^t. U ¥ßr0yonknibusis e«cuam ita^ 
pr4^unM^nt; \iißm\ 7 Jum 1 7 1,3 dati«;: 

„Vi^fiMir^INewtoomni 0tCica3iQ»iw;nai}ttta.aerierym opm.raui»- 
„tu^) pr<HnPinß^e p4)r,&xtra^üp^e.&RMlJciim)(qiu)s.;piiintt9 kiinauini 
,^dbibwt» eii qi^ideoi in> üs oxc^^lendiß ntüVArifimile eait.ialitiniliai 
„pman mw^ siu^iuoi) pp^uit» na« credQ tunc -temporia viel som^ 
„qiavit adbuG 4^: Cateul«: ^W JPluxipnulQi; et; Fluwliutn» vel de) 
Mreductione ejus ad generales Operatione$j,ApaIyticaa#i adi instar/ 
MAIg^ritbo^i ^^' regularuw.AtfHbmetiqü^niWi.aut idgebraioarum« 



ktit 



,,quod de literis punctatis x, x, x ; y, y etc., quas pro dx, ddx, 
„d*x; dy, ddy etc. nunc adhibet, in omnM)«« istts ^istolis 
„(Commercii Epistolici Collinsiani, unde argumenta dücere vo- 
,)iunt) nee volam nee Testigium invenias; imo ne q^idem in 
„Principiis Naturae Malhematicis Newton), ubi calculo suo flu- 
„xionnm utendi tarn frequentem babuisset occasionem, ejus vel 
„TerbuJo fit mentio, aut notam hujusmodi unicam cernere licet, 
„sed omnia fere per lineas figurarum, sine certa analysi, ibi per- 
„agiintur more non ipsi taiitum, sed et Hiigenio, imo jam an- 
„tea (hl nonnuliis) dndum Torricellio, RobiBrralHo, Fermatio, 
„Cavailerio» aliis usitato. Prima vice bae literae punctatae com- 
„paruerunt in tertio Tolumine Operum WalHsii, multis annis 
„postquam caiculos differentialis jam ubique iocorum invaluisset. 
,,ÄUeTwn indidum, quo conjicere licet caiculum fluxionnm non 
„fiiisse natum ante caiculum dilTerentialem, boc est, quod veram 
„rationem fluxiones fluxionum capiendi, hoc est differentiandi 
„differentialia, Newtonus nondum cognitam habuerit, quod patet 
,,ex ipsis Princip. Phil. Matb«, ubi non tantum incrementum con- 
„stans ipsius x, quod nunc notaret per x punctatum uno puncto, 
„designat per o» (more vulgari, qui calculi differentialis commoda 
„destruit), sed etiam regulam circa gradus uiteriores falsam de- 
„dit (quemadmodum ab eminente quodam Mathematico dudum 
„notatum est). . . . Saltem apparet Newtono rectam Methodum 
„differentiandi differentialiä non innotuisse, longo tempore post- 
„quam aliis fuisset familiaris etc.'' Haec ille. 

Ex bis intelligitur, Newtonutn, cum non contentus laude pro- 
motae synthetiee seu linealiter per infinite parva vel (ut olim mi- 
nus reete vocabant) indivisibilia Geometriae, etiam inventi analy- 
tici seu Calculi differentialis, a- Leihnitio in Numeris primum re- 
perti et (excogitata Analysi infinitesimalium) ad Geometriam trans- 
lati, decus alteri debitum affectavit, adulatoribus terum anteriorum 
imperitis nimis obsecutum fuisse, et pro gloria, cujus partem im- 
meritam aliena bumanitate obtinuerat, dum totam appetit, notam 
animi parum aequi sincerique meruisse: de quo etiam Hookium 
circa Hypothesin Pianetariam, et Flamstedium cit^ca usnm obser- 
vationum questos ajunt 

Gerte aut iniram ejus oblivionem esse oportet, aut magham 
Contra contoienliae testimonimän iniqultatem, si a^usationäm (ut 



4ia 

ex indulgentia coUigas) probat, qua quidem ejus asseclae etiam 
seriem, quae arcus circularis magnitudinem ex tangente exhibet, a 
Gregorio didicisse Leihnüium volunt. Tale quiddam Gregorium 
babuisse, ipsi Angli et Scoti, Wallisius, Hookius, Newtonus et ju- 
nior Gregorius, prioris credo ex fratre nepos, omnes ad hoc usque 
tempus^ Id est. ultra triginta sex anuos Iguomrunt, et Leihnitianum 
esse inventum agnoverunt. Modum quo Leihmtius ad seriei Nie. 
Mercatoris (primi talium inventoris) imitatioaem invenit seriem 
suam» ipse statim Hugenio Lutetiae agenti communicavit, qui et 
per Epistolam laudavit; eundem sibi communicatum laudavit ipse 
mox NewtonuSy fassusque est in literis banc novam esse Metho- 
dam pro seriebus ab aliis quod sciret nondum usurpatam. Me-^ 
thodum deinde generalem series inveniendi pro curvaruiti etiam 
transceudeutium ordioatis tandem in Actis Lipsieusibus editam non 
per extractiones dedit, quibus Newtonus usu^ est, sed ex ipso 
fundamento profundiore Caiculi differentialis Letbnitius deduxit ; 
per hunc enini calculum etiam res serieruui ad majorem perfectio^ 
nera deducta est. Ut taceam CalcuIi exponeniialis, qui Transcen- 
dentis perfecüssimus est gradus, quem Leibuüius primus exercuit, 
Johannes ?ero Bernoullius proprio marte etiam assecutus est, nul- 
lam Newtono aut ejus discipulis notitiam fuisse et horum aliquos, 
cum etiam ad calculum differentialem accedere vellent, lapsus sub- 
inde admisisse, quibus eum parum sibi inteliectum fuisse prodide- 
runt, queoiadmodum ex junioris Gregorii circa Catenariam paralo-^ 
gismo patet. Caeterum dubium non est, muitos viros praeelaros 
in Anglia haue Asseclarum Newtonianorum ?aniiatem et iniquitatem 
improbare, nee Vitium paucorum genti imputari debet. 



Da von dem Streit zwischen Leibniz und Newton die Jour- 
nale damaliger Zeit wiederhallten, wobei meistens unrichtige Auf- 
fassungen in Betreff Leibnizens zu Tage gefördert wurden, so sah 
sich derselbe veranlasst, überall abwehrend aufzutreten und seine 
Rechte zu vertheidigen. Von diesen Entgegnungen mögen die bei- 
den folgenden hier eine Stelle finden ; die erste ist für das Journal 
literair^, das im Haag erschien, die zweite für eine deutsche Zeit- 
schrift bestimmt. 

i 



414 



I. 

REMAftQUE SÜR LA CONTROVERSfi ENtRE M.DteltelßNlÄ iTt 

M. NEWTON. 

La Relatkn mise sur ce sujet dans fes Nouveliek Ikoffiircls 
qa'on publie ä la Haye dep«is ptiu, est plein« d'eireiira dk laits 
palpables, qui vi«iinent d*une (res jnauYaise införnnatiofi. OetDe «oll- 
troverse n'a jamais ele agiiee autresfbis entre oea deux MesamMra, 
jacoais H. Newton o'avoit donne ä connoitre qu^il preitudoit ra?ir 
ä M. de Leibniz la glorie d*avoir invente de bod ckef ie caicul «ks 
differences. Et M. de Leibniz a'a jamais S9eu ^ue par eefux qti 
ont vü le Commercium Epütolicum publik depais k Londras (oar 
etaot k Vienne mainteiiaDt, il ne Ta pas encor tu iuy meme), que 
M. Newton prenoit part ä la chicane qua des personues malinfoiv 
mees ou envieuses avoient suscitee depuis peu. M. de Leibnta n'a 
Jamals conimunique ses Raisons ä U Socieie Royale 4'Anglelerr€b 
ne croyaut pas en avoir besoin dans une affaire e\idenle, il aTOiC 
seidement ecrit qu'il ne doutoit potnt que la Seciete et M. Newtoa 
lay mSme ne desapprouvassent ce procede. Ainsi la Soeiete u*^ 
point pü examiner les Raiaons de part et d'autre pour iH^otioncelr 
la^dessus. 

Yoicy maiütenant un rapport Teritable« U y a eu un eoo»- 
merce de lettres entre Messieurs de Leibniz, OMenböurg, Newton^ 
C<»Uins et aiUres il y a quarante ans, et ua pMi avaUt et apröa. 
Qudque chose en a ete puhliee par feu M. Wallis dana le iroiaieine 
Tome de sea Oeuvnsa Matbematiques. On y Tok fue M. Neivlon 
faisoit un Myslere d'une certaine cbose qu*il disoit avoir decou?erte 
et qu'il a voulu faire passer par apres pour le caicul des DiiTerences^ 
au lieu que M. de Leibuiz Iuy communiqua francbement le fonde- 
ment de ce caicul, corame ccs memes lettres publiees par M. Wallis 
le temoignent, quoyqu'il se soit trouve que Hl, Newton ne Tait pas 
bien compris surtout par rapport aux diiTerences des difielrences. 
Or depuis on a trouve encore d'^autres lettres ecbangees par M. Col - 
lins et ses amis, et oit !es a publiees mainteüant ä Lendres avec 
des Additions, dans lesquelles on a pretendu sur des conjectures 
frivoles et fausses suppositions que le Caicul des diiferences etoit 
du ä M. Newton, et que M. de Leibniz Tavoit appris de Iuy, quoy- 
que le contraire se voye elairement et en termes expris dans leur 



415 

letteas publiees fiar VL WaHis. JLi'auteur ie ces addkl^iis a foultt 
ingter iemerairem^it des «hoses dont ii etoit mal «iiistruit, et il a 
fort mal nencontre quand il a voula devioer commüiit M. de 
Leibiiiz ^toit parvenii k son invenlioD^ U s'eßt trouve de plus, que 
IL Newton luy mäme a ignor^ encore le veritable Calcul des 
differenecs, lorsqu'il a publik son livre intitul^ Frincipia Thilos^'» 
fhi€ai Naturale Matkevuitica , non seukmeiit eii n'en faisaiit rien 
paroiire, quoyqu'il y eüt des grandes occasione de ie faire valoir, 
mm «ftcore en fadsant des faiites capitaies, qui ne pouYoient etre 
oompaiibies avee la eonnoissance de ce calcul, ce qu'nii llln^tre 
Mathefnaticien fort impartial a reinarque le premier. M. de Leib- 
BB vroii deja publie son caicul quelques annees auparavant en 1664, 
et M. Newton n'a jaoiais rien communique d^approchant ä qui que 
OB soit, autaut que Ton sadie, ny en public ny en particulier, que 
longtemps apres h publication de ses Prineipes Mathemattques de 
la Nature, c'est ä dire lorsque M. Wallis publia ses Oeuvres Mathe- 
matiques en trois volumes, quand rinveiilion de M. deLeibniz etoit 
deja celebre et practiquee publiquement, sur tout par Messieurs 
Bernoulli fr^es, arec un succ^s et applaudissement qui paroist 
a?9ir doone anvie k M. Newton (mais un peu Uop tard) d*y pren- 
dre part. L'on voit d'abord en considerant ce qu'ii a pubiie p«ir 
M. Waliis que l*invention de M. de Leibniz y paroist sous d'aotres 
Boms et d'autres caracteres, mais bien moins convenables. Gepen*- 
dant M. Newton et alors et longtemps s^res n'a jamais ose trou- 
blef M. de L^niz dans la possession de Thonneur de sa decou- 
vtfte. Et lors que Messieurs Hugens et Wallis, juges impartiaux 
et bien inatruits, vivoient encore, ii- a vü qu'il n*y trouveroit poitit 
soq Gompte» et il a attendu un temps, oü il ne reste plus persoilne 
de ctuT qui ont ^te les temoins des progres de cette science et 
mdme y ont contribue beaucoup, et il a maintenant recenrs k 
ie^ novkee mal inform^s de ce qui s'est pass^, et qui n'en jugent 
qiie par leur preventiona ou passions. Un cerlain nouveau venu a 
voulu se mettre en reputation en attaquant M. de Leibniz et en luy 
envayant nne espeee de defy per äcrit, maiis coimnie cet ad^rsaire 
Be. paroissoit pas d'huneiir k se rouloiir laisser instrmre, M. de 
ü^ail^i^z ne. voulut point s^engager en dispute avec luy. Et ii a 
bien fak, car autremem il aiiroH fouriif pretexte k ce chreaneufr de 
dirat qaa le procea atoit M instruit par dea nai&ens de part elf 
dfanürey et •qn^M'avoitl p4 fro^enoer' senitenee» la^dieiisttB) an lieuf qiao 



4M 

mainlenaDt ks pretendtii juges (qui ne sont DuUeraeht la Societe 
Royale) n*ont vü que les raisonsd'un parti. La-deasas on a publik 
ce Commercium Epistoltcum de M. Coüinsy croyant d'y aroir troave 
la pie au nid, quoyqu'il n'y aye rieu qui serve ä decider cette que^ 
sUon du veritabie iDventeur du Calcul des diffierences. Et M. New- 
ton a 6u ia foiblease de participer ä cette mauvaise demarehe: Si 
tacnisset, partictps innerUionis manaisset, M* de Leibniz ayant eu 
la facilite de le croire sur sa parole qu'ii pouvoit avoir eu quelque 
cbose d'approchaut de son chef, mais le contraire se decouvre 
maiutenant ä plein, les personnes instruites et neutres se sont 
moquees d'une pretension si tardive et si mal fondie. Et ön a publik 
la-dessus le jugement impartial d'un illustre Mathematicien , fonde 
sur le long silence et qui plus est» sur les erreurs de M. Newton, 
qui fönt voir qu'il a encore ignore depuis peu ce qu'il pretend 
avoir eu avant M. de Leibniz, c'est a dire il y a 40 ans. 



II. 

@9 fontmeu im ^Cidi n)ö(^cnt(id> flewiffe Seituni^en Don ge(e^« 
tcn ®a(^en (^eraud. ^w bad {lud fo ben 21. Septembn biefcd 
jaf^re^ ^ebiud t, t^at iemanb eiueii furjcn, ober übelgegränbeten bert^^t 
einrucfen (affeu Dom fireit jmfd^en ^tn. t>on Seibni} uiib Sir New-* 
ton, tit @cfinbutig i)ed Calculi differentialis bettcffcnb. (Sinige Dor# 
trefflt^e Matbematici, fo t)te fad^e audm grunb Detfle^eit unb un)9ar« 
tt»i\ä) U^n, ^aben r>ox ben erften gef))rod^en, unb be^ einen ttTtl^eil 
ig tu i$jfentlid>en brucf fommen. S)er f)r. <irfluber felbß ^at {id^ 
mit }anf|ud)tijen beuten ntd^t ein(a{Ten i^cOen, juma^l ba Sir New- 
ton felbfl uic^t erfc^ieuen ,. aber ein intfftx freuub be^ ^cn. Srfin« 
betd bat ftd) fledroert, M er tu obgeba^ten btxii^t getefeti, irie beffeit 
Urheber ber ia^ eine gauj faifc^e ((egalt geben moUen, nnb ^at ge« 
mevnet, er f5nne nii^^t bcjfer tf^nn, mmx er in ben 2)etttf^en ^ti^ 
tungen ber gelehrten beantn)oite^ u>ad man aui beut (SngUf^eit 
genommen. 

2)er 93ea^t fagt: S>ie loelt miffe, bag M. L. be» M. N. 
bie erfinbung bed Calculi Differentialis greitig madlieit 
n)o((e; allein bie ipelt meid bad gegent^etf, nnb ed ifl notoxi^tt), ha% 
elUd^e an^änger bed $tn. N. Don tnrjer jeit. I^el^r bem Urheber bie (&^tt 
bet (Srflnbung {meifel^aft p madlien getrai^tet, bie er ton bitten ja^ 
xtn ^e^r genie|et unb baft iebeman bk ntuttgleit fo(((fer praetensioii 



41t 

«»ituberfid^ t)0rfi>mmen , W fot(^e leute lo^tfci^oben, %\% ^t Hugens, 
Wallis urtb andere flefiotbett, l\t ed Beffct gctuitH unb bep bWcn 
Ubenäjcit jlc mit berglcid^en ^etfütjufommen, |t(^ mc^ [(feuert mfiffen. 
S)et SiflnNt l^at beii gtUitb bet ßtflnbüttg bereit« im ial^r 
167. i& einer e))t0et bar^etf^ben, bte fiertta^ ^r. Wallis in« btttt^ 
t^eil feiner loetcft <3M eignet ben)«gni§ au§ l^eitt original einger&dlet 
Uiib |)ernad^ ^at ber gtflnbet We ßiffinbilttg frtbfl fletneift getttac^t 
in ber Actis Eruditoirüna 168., »eti^e bätb batöuf tJOtt einigen t)dr* 
ttejii^en Gcom^tris aufgtfaffet nnb mit gtD§M Slu^ gebtaU(!&et 
»orben. 9lte ^t. N. biefen gtfldflidS^eit fortgaltg gefe^en/ ^af n aud^ 
t^eil baran nehmen toDflen nnb feine l»eif^ ittt jn^t 168. jn^iffi be* 
lannt gemadj^t^ \iQi it jnwr niftft We getingfte attgeigt gegeteti , bag 
er eine fot^^c art gii ted^nen gebtönd^et. t)ie gnt^e SK^i^nnnjj bie 
man t)on i|fm gehabt |at loeturfac^et, ba§ tnan gettt glanben n^olien, . 
er ^abe ttm,^ betglei<$en t)on jldj^ fetbji erl^dlten; aber nad^bim 
Bidn feine* t^eitt ben flreit erreget, ^X ein nnpartpeifc^er Geo- 
mctra t)om erften r«iig bie fa<!^ genauer nnterfu(^t unb geffl^toffen, 
^r* N. \i<i!bt et»«« fl^^abt, fo biefet 9te(S^nüng«fnnfl nalgfe Detmanb, 
aber nid!)t fdd^e fetbfi, »ie benn fein urt^eit bat)0tt gebttitft. 

Der ajetid^t fagt ferfler: ^r. i^on %. ^abe bie geteerten 
in granfreii]^ bergeßalt git bereben gen)ufl, baf fie auf 
fein »ort ^eglaabet, er fep ber Srfinber, aber bie gete^r« 
ten in granfrcicl flnb eben fo tei^tgldubig nt(!^t. d« %(xi {t(!^ audgi 
ber (Srflnber feittir etfliibiwg bei i^nen tiic^t getü^met, fonberrt jle 
baben gefeiten, bag er jle ^erfürgeben, unb jle b^ben jie nad^ feinem 
6jem^)et jl^ »o^I ju nuje gehabt. S)ie getebrten in SBetfd&Ianb, 
9'iiebertanb, ja in Sngtanb fetbji (Seutf^tanb ju gef^weigen) ^(i!s>v^ 
geurt^eitet »ie ®ie. 

Se^tere« »irb in me^rgeba^tem beri(!^t ))orgegeben, bag man 
eine gar genaue StacJ^rid^t üon biefem jireit in ben philosophif^en 
Transactionen ber @ngldnber be« Januarii nnb Februarii biefe« ja^« 
re« flnben »erbe, ganj anber« at« bie fo in bie au^Iänbifdl^en Zage* 
bfld^er ber geleierten unb fonberIi(| in« Journal literaire üom Julio 
unb Augusto be« ial^re« 1713 artic. 4 fommen. ^Dein e« ^aben 
gteid|)»o^t geute biefer ißart^ep fetbfl fotc^e x^ermepnte na^rid|)t in 
ba« Journal literaire gegeben ; aber ba bie fehler unb au«pd|)te bie^ 
fer 2eute iebermann, fo bie fa(^ ju unterfud|)en bequem unb geneigt, 
in bie Sugen fallen, fo b^t man ))or unndt^ig gehalten {t$ barauf 
ferner einjutaffen unb abermal^t« gu antworten. 

V, 27 



418 

2)et ^x. Stflnber unb bie ^oäf^tUlfttm Seute, bie ^ify fetner 
Stflnbunft itbitnti, ^aben fd^^^ne fad|)en fieTaudgegeben , bie fle ba^ 
bur^ betfurgebra(it, ba hingegen bed ^rn. N. anhänget ni^tö fon«' 
Uxüä)t^ gu mege gebra^^t^ unb faß nut jene abgef^tieben ober in 
falf^e ((l^lüffe gefallen, menn fle ttxoa meiter in ben tej;t (ommen 
tpoQen', n)ie ed bem ^tn. Gregori mit bet Aettentinie ergangen, 
moraud }u fe^en, bag tpad ^r. N. gefnnben, mefir feinem genio, 
ald biefem t>0Ttfftü juguf^^reiben , mt mittx feine anbdnger fo gar 
unfähig i^vx ttv^a^ na^lgutbnn« SBoOen fle geigen, ba§ fle biefe 
SHe^^nungdart re^^t befl^en, fo »erben fle n>ob( tbun, totnn fle e9 
bartbun ni^^t mit i^rer ))ergebenen jdntferep unb teeren mort^en, 
fonbern mit ber tbat, ald gum exempel, mnn fle fldS^ an aufgaben 
macben, fo ber tief|lnnige ^r. BernouUi t^orldngfi Dorgeleget, af^ 
nebmlid^ unter aQen Ellipsibus, bie umb eine ^auptaje bef^rie^ 
ben, biejenige ju flnben, beren Sogen j»if(!^en bem obem ißunct, 
ben {ie atle gemein b^ben, unb einer gegebenen reiften Sinie, fo bie 
^£e buc(^fd^neibet ber furgeße unter aOen, unb jioar burd(^ einen 
mi, ber nicbt nur auf EUipses, fonbern au^ auf anbere (inien 
etned gefc^Iec^td gebe, fo einanber ni^t db^^i^^ ^^^ ^^f '(fl^bri* 
f(^e koeife nt(bt gu mefen* @ie fdnnen au^ bie Geometri ni^t 
n)entg oermcbten, menn fle »eifen, mie man bie fürgefte Sinie finben 
fdnne, bie gtoif(!^en gtoep gegebenen ißuncten auff einem geiDtffen 
frnmmen blate (ober curva superficie) gu gieben, benn bagu mörbe 
i^nen bie red^nungderflnbung, bai>on bie frage i#, febr bleuen. 



I I 



I I 



' 





Fig.'/l 





^