L'Enseignement mathématique

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//

L'ENSEIGNEMENT

MATHÉMATIQUE

REVUE INTERNATIONALE

PARAISSANT TOUS LES DEUX MOIS

DIHIGÉE PAR

C.-A. LAISANT

Docteur es sciences,

Kiamiiialoiir d'admission à l'Ecole polytechnique
de Paris.

H. FEHR

Docteur es sciences.

Professeur à l'Université de Genève
et au Gymnase.

avec la collaboration de A. BUHL, Docteur es sciences.

COMITE DK KATItONAGK

P. APPELL (Paris). — N. BOUGAIEV (Moscou). — Mobik CANTOR (Heidelberg).

L. CREMONA (Uome). - E. CZUBER (Vienne). — Z.-G. DE GALDEANO (Saragoue).

A.-G. GREENHILL (Wooiwich). — F. KLEIN (Gôtlingeu).

P. MANSION (Gand). — MITTAG-LEFFLER (Stockholm). — G. OLTRAMARE (Genève).

Julius PETERSEN (Copenhague). - E. PICARD (Paris). — H. POINCARÉ (Paris).

P. -H. SCHOUTE (Groningue). - C. STEPHANOS (Athènes). — F. Gombs TEIXEIRA (Porto).

A. VASSILIEF (Kasan). — A. ZIWET (Aim-aibor, Mirhigan. (I. S. A.).

V e Année. 1903.

$

PARIS

C. NAUD, EDITEUR

3, RUE RACINE, 3

igo3

%*/a vù/b

A NOS LECTEURS

Au début de cette nouvelle année i()o3, nous nous con-
formons à une pratique devenue pour ainsi dire une tra-
dition depuis qu'a été fondée notre Revue. Elle a sa raison
d'être, car il est bien rare qu'une circonstance ne se pré-
sente pas chaque année, méritant d'être signalée d'une
façon spéciale, autrement que par un article ordinaire.

Il en est une, cette fois, qui a certainement été remar-
quée déjà, mais sur laquelle nous voulons attirer votre
attention. C'est l'adjonction, à la rédaction, d'un nouveau
collaborateur qui a bien voulu répondre à notre appel et
à qui nous témoignons ici notre reconnaissance. Parmi
les jeunes savants français, M. Buhl a pris une place
importante en peu d'années ; il s'est fait à lui-même sa
première éducation mathématique ; et, grâce à des facul-
tés exceptionnelles, joiiites à une prodigieuse puissance
de travail, il a pu conquérir rapidement des grades scien-
tifiques auxquels on n'atteint en général que bien plus
lentement. Nous serions mal à l'aise, et un peu suspects,
pour dire ici de lui tout le bien que nous en pensons ;
mais nous avons le droit de déclarer que son entrée à la
direction est une bonne fortune et une garantie d'avenir
pour V Enseignement mathématique.

En remerciant nos collaborateurs et correspondants,
parmi lesquels nous n'avons garde d'oublier les membres
de notre comité de patronage, nous croyons devoir spé-

A NOS LECTEURS

cialement insister sur ce qui concerne ceux d'entre eux
qui ont bien voulu nous envoyer des renseignements sur
lies cours universitaires dans les divers pays. Puissent-ils,
non seulement nous continuer un si précieux concours,
mais aussi trouver des imitateurs ! Rien ne rentre mieux
dans le cadre de notre publication; rien n'est plus de
nature à intéresser les professeurs et à provoquer des
progrès dans l'enseignement, par une louable émulation.
Organisation, nombre et noms des professeurs, pro-
grammes, répartition des matières enseignées, sanctions
des études, tout cela est important, tout cela est utile,
et chacun en profitera.

Nous apportons tout le soin et toute la sollicitude pos-
sibles à une publication qui nous est chère ; mais nous
n'avons aucune prétention à l'infaillibilité. C'est dire que
si parmi nos correspondants il s'en trouve pour nous
signaler des critiques ou pour nous suggérer des amélio-
rations auxquelles nous n'aurions pas songé, loin de leur
an savoir mauvais gré, nous leur aurions au contraire
une véritable gratitude. Chaque proposition qui nous
serait faite fera l'objet d'une consciencieuse étude de
notre part.

Et maintenant, il ne nous reste plus qu'à exprimer à
tous nos vœux les plus sincères pour 1903. Ce sont d'ail-
leurs des vœux égoïstes, car, dans la grande coopération
que nous formons, ils se retournent vers notre Revue
elle-même, à laquelle lecteurs, collaborateurs et corres-
pondants ne cessent d'apporter un concours si cordial et
si utile,

C.-A. Laisant, H. Fehr.

LES

APPLICATIONS DU CALCUL DES PROBABILITÉS

A LA MÉTHODE SCIENTIFIQUE

Chapitre I. — Le problème du calcul des probabilités
Position du problème. — Applications pratiques.

Le calcul des probabilités est une des parties des sciences
mathématiques, que les anciens ne paraissent pas avoir connue.
C'est, semble-t-il, au génie intuitif de Pascal, dont l'attention se
trouva portée sur les jeux dits de hasard, que les temps modernes
doivent cette découverte, dont la fécondité, si elle se mesurait
au succès et à la faveur qu'elle n'a jamais cessé d'obtenir, devrait
être vraiment énorme. Indépendamment de la valeur philoso-
phique de ces recherches paradoxales au premier abord, on leur
a attribué encore une immense portée pratique : beaucoup de
gens considèrent le calcul des probabilités comme un moyen
scientifique d'investigation préalable dans les domaines incon-
nus de l'avenir, un véritable procédé de prévision, de divination.
Un historien des sciences occultes dans un livre encore assez
récent, Plytoff, fait une place au calcul des probabilités, parmi
les sciences divinatoires, à côté de l'oniromancie, ou de la chi-
romancie, et lui consacre un chapitre entier, à ce titre ( l ).

Pour ceux qui ne prétendent pas se servir de cette branche des
mathématiques pour soulever le voile de l'inconnu, ils ne laissent
pas cependant de revendiquer pour elle des applications parfois
inattendues. Des philosophes et des mathématiciens, et non des

(') Plytoff, Les sciences occultes, Paris. J.-B. Bnillière, in- 12 1891. Cb. III.
p. 47. «î.

4 A'. VASCHIDE ET H. PIÊRON

moindres, tels que Laplace, Condorcet et Poisson, n'ont-ils pas
cherché dans la mesure des probabilités une approximation suffi-
sante pour leur permettre de rejeter les raisonnements plus ou
moins exacts des juges chargés de donner leur avis dans les
procès et dans les causes, n'ont-ils pas rêvé d'un jour où les inno-
cents et les coupables attendraient leur sort du tirage d'une
boule blanche ou noire d'une urne où on en mettrait en propor-
tions définies, tirage réglé par le hasard, un hasard qu'on aurait
au préalable enchaîné dans des formules mathématiques, rêve
qualifié par Stuart Mill le scandale des mathématiques, et qui
ne laissa pas d'indiguer le robuste bon sens de M. Bertrand.

Sans aller si loin, la plupart des savants admettent un usage
du calcul des probabilités dans les sciences, où il devient un auxi-
liaire utile des méthodes de recherche, permettant parfois de
découvrir l'existence de causes inconnues produisant des modi-
fications ou des perturbations plus ou moins constantes. Et
certes nos moyens de rechercher les causes des phénomènes
sont souvent si restreints qu'un procédé de ce genre qui, s'il
ne peut définir les causes inconnues en question, peut cependant
les indiquer comme un X à résoudre, n'est pas à regarder comme
négligeable, s'il est réellement capable de rendre de tels ser-
vices.

C'est cette question de l'utilité, de la fécondité du calcul des
probabilités que nous voulons examiner ici surtout. Ce sont ses
applications qui nous préoccuperont constamment, et surtout ses
applications dans les sciences les plus complexes, dans les
sciences biologiques.

Cependant nous étudierons d'abord brièvement quelques for-
mules mathématiques du calcul des probabilités, devant servir
particulièrement aux applications concrètes, afin d'en examiner
la valeur. Ensuite nous glisserons sur la question de l'applica-
tion du calcul des probabilités à la connaissance de l'avenir ; et
enfin nous aborderons le point capital de notre étude, a savoir
les applications du calcul des probabilités à la recherche des
causes et à celle des erreurs, particulièrement dans les sciences
biologiques, la valeur des applications déjà faites, les conditions
nécessaires de ces applications, et leur légitimité en général.

LES APPLICATIONS DU CALCUL DES PROBABILITÉS

Chapitre IL — Exposition des principes et des problèmes
du calcul des probabilités.

Qu'est-ce que c'est qu'une probabilité? — Les théorèmes des probabilités.
— Le théorème de Bernoulli. — Le théorème de Stirling. — Probabilité
de l'écart. — Le problème de Buflbn. — Intégration des formules. —
Données critiques de Bertrand. — L'écart probable. — L'écart moyen. —
La probabilité des erreurs.

t
Dans l'examen du calcul des probabilités, nous ne chercherons

pas à faire un exposé trop connu des définitions élémentaires.

Nous voulons seulement mettre quelques points en lumière, qui

nous paraissent trop souvent négligés, et sur lesquels nous

reviendrons dans la suite.

La probabilité d'un événement se définit, comme on le sait,
par le rapport du nombre des cas favorables à l'arrivée de cet
événement au nombre total des cas possibles. Mais il y a ici un
postulat indispensable, c'est à savoir l'égale possibilité de ces
différents cas possibles ; sans cela, comme le fait remarquer
M. Bertrand, on pourrait ne considérer que deux cas possibles :
l'arrivée, et la non-arrivée de l'événement : un seul étant favo-
rable, la probabilité serait toujours—.

Cependant il n'est pas toujours nécessaire d'avoir cette égale
possibilité des différents cas, mais c'est à une condition expresse :
il faut alors déterminer la probabilité de ces différents cas, et
leur attribuer comme coefficient la valeur qui mesure cette pro-
babilité propre pour chacun d'eux.

Il y a là un postulat initial absolument fondamental dans ce
calcul; s'en passer équivaudrait à vouloir faire delà géométrie
euclidienne sans le postulat d'Euclide. Nous verrons si ce pos-
tulat initial a toujours été scrupuleusement respecté.

Nous n'insisterons pas sur les théorèmes des probabilités totale
et composée, et nous aborderons immédiatement le point capital
du calcul, le théorème de Bernoulli ; il permet de mesurer
pour un nombre donné d'épreuves /«, la probabilité P pour
qu'un événement E, d'une probabilité simple égale à />, la pro-
babilité inverse étant égale à q 9 arrive un nombre donné de fois.

La combinaison la plus favorable se trouve être celle dans

6 N. VASCUIDE ET II. PIÉRON

laquelle le nombre d'arrivées de l'événement E est mp et celle de
l'événement inverse mq. Cette probabilité maxima est donnée
par la formule

^'itzmpq

Il faut noter que cette formule n'est obtenue que par un cer-
tain nombre d'approximations. La plus importante est l'applica-
tion de la formule dei Stirling, qui donne uu équivalent plus
simple des produits des premiers nombres. D'après elle,

i . 2 . 3 . . . . n •=. e~ n n n yirzn.

Or cette formule n'est à peu près exacte que pour une valeur
très considérable de n.

M. Bertrand donne la comparaison des deux termes pour
n = 20. Voici les résultats :

I .2.3. . . . 20 = 2.432.902.008. I76.64O.OOO
c -20 20 20 V/40~ÏÎ = 2.422.;86.385.5lO.4OO.OO0.

Si le rapport des deux valeurs est 1,00417, il n'en est pas
moins vrai que la différence absolue est énorme : elle est de
l'ordre des dizaines de quatrillions.

On peut donc dire que pour n = 20, on a une approximation
absolument insuffisante.

La probabilité maxima diminue a mesure que les épreuves
augmentent, car m se trouve au dénominateur, c'est-à-dire que
Ton trouvera un écart de plus en plus probable entre le nombre
probable et le nombre réel d'arrivées de l'événement E. Soit h
cet écart entre mp et mx.

On tire de la probabilité maxima, en faisant encore appel au
théorème de Stirling, la probabilité de cet écart pour laquelle
M. Bertrand donne la formule

I A«_

(0 ./ e impq'

y/iizmpq

Il rend cette fonction de h continue en substituant à h une

LES APPLICATIONS DU CALCUL DES PROBABILITÉS 7

variable continue : il considère l'écart comme compris entre z
et z -f- dz. La formule devient

yi~mpq

La probabilité alors pour que z soit inférieur à une limite
donnée a, c'est-à-dire pour que l'écart soit compris entre — a
et + a est

:mpq I

* tmpq dz

^aizrnpq

et, en posant

t= , --- >
y impq

«

Dans chaque cas particulier, cette probabilité P. s'obtiendra
par les valeurs (/) de la fonction

t
JL / e-' % dt

= »W-

La probabilité pour avoir un écart inférieur à une limite don-
née a étant (/), la probabilité pour avoir un écart égal ou supé-
rieur a cette limite sera i — 0(0- C'est-à-dire que l'expression

M i-e«

peut être considérée comme la probabilité d'un écart p si Ton
pose

h

t— i •

y -à mpq

Par conséquent, la formule de la valeur probable de l'écart
donné par M. Bertrand sera équivalente à celle-ci.

8 N. VASCH1DE ET H. PIÉRON

On aura

I £__ / h \

^iTzmpq mpq ~~ \tfimpq)

Et en effet, M. Bertrand semble considérer ces formules
comme équivalentes, car il les emploie fréquemment l'une pour
l'autre.

Nous voyons, au chapitre VII, page 124, qu'il résout ce pro-
blème.

Buffon a jeté une pièce de monnaie 4 <>4 ^ ols et obtenu 2 048
fois face.

Quelle est la probabilité de l'écart h = 28 ?

mp = 4 040 X — = a oao. mx — 2 048. mx — mp z= a8.

Il donne d'abord la formule (1) de la probabilité de l'écart.
Puis il cherche par l'intégrale la probabilité de l'écart moindre,
qui lui donne 6 (0.62)= 0,619.

Et il cherche par 1 — 6 (t) la probabilité de l'écart égal ou
supérieur à 28, qu'il trouve ainsi égale à o,38.

Or cette assimilation des deux formules, et cette égalité que
nous avons posée est tout simplement absurde : l'un des deux
ternies est une simple fonction, le second est le résultat d'une
intégration. Or il n'y a pas d'assimilation possible entre l'inté-
grale et la fonction.

L'intégrale est à la fonction comme une aire est à une courbe.
C'est ainsi qu'une courbe peut présenter un maximum sans que
Taire cesse de s'accroître.

Or justement la fonction (1) présente un maximum, ce qui ?
au point de vue du calcul des probabilités est absurde.

Prenons donc l'expression

(0

yJiT.mpq

h*

2mpq

et formons sa dérivée.

Pour simplifier l'écriture, prenons

LES APPLICATIONS D,U CALCUL DES PROBABILITÉS

La fonction (i) devient

r = j=e-M".

La dérivée y' sera

y* yir

-A*.r*

En mettant — 7=— en facteur commun, on a l'expression

e-A'xt r -i

L'on voit aisément que le maximum est obtenu pour 2À J ar 2 = i 9
c'est-à-dire pour jr 2 ==— rj-, ou pour # = — ^=.

Ainsi quand x< — p, la fonction croît; quand x > — -= , la

Ay -x hyi

fonction décroît.
Si nous avons maintenant

ou

™P<? = -p-

ce maximum est obtenu pour

i A 2

*pqx % pq

Ainsi le maximum de la fonction (i) est obtenu pour une
valeur de m égale à une fraction dont le numérateur est le carré
de l'écart A et le dénominateur le produit de la probabilité p de
l'événement E par la probabilité inverse q de l'événement E'

C'est ainsi que, si l'on fait/?=y = — , A=io, on a, pour
0t = 4°> par les calculs logarithmiques,

P (A) = 0,0009,

pour m =4oo =

et pour m = 4 ooo

N. VASCI/IDE ET H. PIÉRON
h*

P (h) — 0,024,

P (h) = 0,0001 5.

Ainsi donc, la probabilité d'un même écart absolu de 10 qui,
raisonnablement (et d'après M. Bertrand lui-même), doit croître
avec le nombre des épreuves (et, en effet, la ruine des joueurs se
fonde sur les oscillations de plus en plus grandes des écarts
absolus, malgré la diminution des écarts relatifs), diminuerait,

d'après cette formule quand on aurait dépassé .

Et, comme la formule nécessite m très grand, il y aurait
décroissance continue de cette probabilité.

11 est curieux que Ton n'ait pas mis en lumière cette absur-
dité.

M. Bertrand, quand il applique sa formule, ne fait jamais
varier m 9 mais h, et, en effet, ici il y a diminution continue de
la fonction pour un accroissement continu de A, m étant cons-
tant.

C'est ainsi que M. Bertrand donne cet exemple (') :

1

m zz: 1000. p zz: q = —

On a, pour h = £o,

•ï

c~ 3,< m 0,0010285 ;

pour h = 60,
pour h= 100,

l'a

± €""* = o,ooooi883;

y 1000 ir

<?~'° = 0.00000000002006.

\A0001r
Les valeurs données par la formule (2)

1 - e (i)

(') Bertrand. Calcul des probabilités. Paris. 1889, p. 78, 79.

LES APPLICATIONS DU CALCUL DES PROBABILITÉS il

différent donc de plus en plus, à mesure que m augmente, des
valeurs de la formule (i).

C'est ainsi que dans les exemples que nous avons donnés plus
haut, pour m = 4°, nous avions :

pour /w = 4oo = — ,

pour m = 4 ooo,

P (h) = 0,0009,
1 — 6 (*) = 0,0016 ;

P (h) = o,o*4
1 — 8 (!) = o,3* ;

P (h) = 0,0001 5

i — e (0 = 0,7556.

Et, dans l'exemple du problème dé Bu (Ton, de M. Bertrand,
jh = 4o4 > 9 au li eu de ' — 6= 0,619 qu'il a trouvé, l'ap-
plication de la formule (1) donne P(28) — o,oo85i5.

Ainsi donc, c'est la seule formule (a) : 1 — 0(f) qui doit être
gardée pour mesurer la probabilité d'un écart (A), 6 mesurant la
probabilité d'un écart moindre, c'est-à-dire encore la probabilité
de la cause.

Mais l'application de cette formule nécessite m tics grand.

Notons au passage que, dans le calcul des probabilités, quand
on rencontre un écart, il faut en chercher la probabilité, et qu'il
y a une formule pour la probabilité des causes. Cela n'est pas
inutile, car nous aurons à y revenir, quand nous traiterons des
applications du calcul.

Il y a d'ailleurs un écart probable, c'est-à-dire qui a probabi-
lité égale d'être ou de n'être pas surpassé; c'est l'écart a défini
par l'équation :

a
■7= = 0,476936,
yzmpq

OU

a = 0,47693 vAw"/?<7>

car

e (0,4769**) = 7- ...

la JY. VASCHIDE ET H. PIÊRON

Quant à l'écart moyen, considéré comme donnant la valeur
probable de l'écart, dans une série m d'épreuves, il est de

y/l . ,—

7F \ m M = °»797»9 \mpq-

C'est ainsi que, dans le problème de Buffbn, la valeur pro-
bable de l'écart était de 24,7, alors que l'écart réel était de 28.
L'écart probable était de 21 environ. Le rapport des deux écarts
doit être de o,8463. Cela est encore très important à mettre en
relief: le calcul des probabilités admet un écart, et un écart pro-
bable contre le nombre probable d'arrivées mp d'un événement E,
et le nombre réel mx d'arrivées de cet événement, et non seu-
lement ce calcul l'admet, mais il l'exige. Une très grande régu-
larité est considérée comme l'indice d'une cause régulatrice
corrigeant les écarts nécessaires dus au hasard.

M. Bertrand (*) a proposé de chercher quel est l'écart dans la
proportion des naissances des filles et des garçons, qu'il y a
10 000 à parier contre 1 de franchir au moins une fois en cent
ans.

Il trouve cet écart égal à 99.

Si l'on a 9,2/1 = 100, c'est-à-dire — = 0,092, il y a 10 000 à

parier contre 1 pour que l'événement de probabilité — arrive une
fois au moins sur 100 épreuves.

Or la probabilité d'un écart, pendant une année, plus grand
que Xsur 14000 naissances, est :

X^'xmpq)

Cela doit être égal à 0,092, et par conséquent,

G (.7= =0,908.

\yzmpq/
= I
On en déduit X = 99

Il faut alors ' = 1 , 19
yimpq

(*) Bertrand, p. 16a, i63.

LES AÏÏLICATtOyS Dr CALCVL DES PMOMAMILtTES i3

« Si dans un siècle, conclut M. Bertrand , l'écart n'avait pas
une seule fois dépassé 99. si sor 14000 naissances annuelles,
le nombre des garçons s'était maintenu entre 7 3oo et 7 100,
une cause régulatrice serait presque certaine; il y a 10 000 à
parier contre 1, a priori, pour que le hasard, sur cent épreuves
tentées dans la même urne, ne maintienne pas une telle régu-
larité ; r . »

Ainsi, quand la probabilité d'un écart égal ou supérieur à
l'écart réel est très forte, il y a probabilité égale d'une cause
régulatrice, de même que, quand cette probabilité est très faible,
il y a probabilité égale d'une cause perturbatrice, et dans la
mesure par conséquent où la valeur réelle est inférieure ou supé-
rieure à la valeur probable de l'écart.

Il est donc absolument illégitime, de par le calcul des proba-
bilités lui-même, de compter sur une régularité absolue des
événements dus au hasard, et de leur répartition proportionnelle
à leurs probabilités respectives. Nous verrons que c'est encore
un point que Ton oublie trop souvent, si du moins ceux qui
parfois prétendent appliquer le calcul des probabilités se sont
jamais donné la peine de l'apprendre.

Il y a encore une formule fournie par le calcul des probabili-
tés et qui peut servir a de nombreuses applications, c'est celle
qui concerne l'erreur probable et la probabilité des erreurs dans
les observations scientifiques.

La loi de probabilité des erreurs qui dépendent de tant de
facteurs n'est nécessairement accessible au calcul que d'une façon
très imparfaite. Euler, Bernoulli, Lagrange, Laplace ont lait des
hypothèses que les faits ont démenties.

C'est à la loi établie par Gauss que Ton s'est rallié.

Elle part de ce postulat que la valeur la plus probable entre
plusieurs mesures d'une grandeur est la moyenne des grandeurs
obtenues, postulat qui n'est vérifié qu'approximative m en t.

On obtient comme formule de probabilité d'une erreur com-
prise entre z et z -f- dz>

V 7 *

O/tûf.. p. i63.

Enseitçnement math.

i4 N. VASCHIDE ET II. PIÊRON

Celle d'une valeur plus petite que a, en valeur absolue, sera :

c _*t,t j- _ JL I e -t* dt = 6 (ia).

Connaissant la valeur de l'erreur probable, on peut en fonc-
tion de celle-ci trouver la probabilité d'une erreur.

L'erreur probable r est donnée par deux formules dont les
résultats divergent a la troisième décimale :

2o
r =0,8453 —
n

r — 0,6745 W— 2—,
V /1— 1

A est le nombre des épreuves.

2o est la somme des erreurs résiduelles qui doivent être con-
nues (on a la un moyen de mesurer le degré de confiance d'une

série d'observations ; -j- sera le poids d'une observation).

On peut donc ainsi connaître l'erreur probable, qu'il y a pro-
babilité — de surpasser ou de ne pas surpasser.

M. Nikolaus Wuich a construit sur ces données un tableau
reproduit par Bertrand.

Il donne la probabilité d'une erreur en fonction de l'erreur
probable, sur 10 000.

Ainsi il y a probabilité 5 000 ( — 222_ = _L\ pour 1 fois l'erreur
J r \ 10 000 a /

probable ; probabilité 54 pour 0,01 fois l'erreur probable; pro-
babilité 9 993 pour 5 fois l'erreur probable (ou, suivant la nota-
tion habituelle, probabilités o,5 ; o,oo54 ; 0,9993).

Enfin, en faisant les mesures = n, la moyenne = m, la

variation moyenne = 9 f moyenne des écarts par rapport à la
moyenne =-^— ) , et, si l'on a deux moyennes de mesures ana-
logues, on atteint une différence d.

Quelle est, peut-on se demander, la probabilité de cette valeur
d considérée comme une erreur.

LES APPLICATIONS DU CALCUL DES PROBABILITÉS i5

On considère la précision K comme égale à — pr*

vyiz

On fait la moyenne générale M et ( y considéré comme le pro-
duit de Terreur par la précision devient t = Kyn(M — m), et

ntfn dv

\/t. (ns>* + n t v*)

avec des simplifications.

La probabilité d'avoir une mesure égale à m sera égale à
i — 6(0> ce qu'un tableau peut nous fournir.

Ainsi donc, non seulement le calcul des probabilités fournit
un écart probable et la probabilité d'un écart entre le nombre
probable et le nombre réel d'arrivées d'un événement, mais
encore une erreur probable et la probabilité d'une erreur, c'est-
à-dire d'un écart entre une valeur observée et une valeur réelle
(et non plus probable), le plus souvent ignorée (et a laquelle on
substitue la moyenne des valeurs, considérée comme la valeur
la plus probable).

Ce dernier calcul présente encore bien plus d'éléments subjec-
tifs que le premier. En tout cas il y a lieu de ne pas confondre,
ce que nous verrons qu'on a fait, l'erreur et l'écart.

Et maintenant, que peut-on tirer de ce calcul de la probabilité
des erreurs ? Nous verrons ce qu'on en a tiré. Nous verrons
ensuite si l'on en peut légitimement tirer quelque chose.

Chapitre III. — Le calcul des probabilités peut-il servir à la
connaissance de l'avenir.

Opinion de Laplacc. — Opinion de M. Poincaré. — Application du calcul
de probabilité aux jeux de hasard ; exemple. — Les probabilités partiel-
les. — Les opinions et les critiques de Cournot.

Le calcul des probabilités peut-il servir à la connaissance de
l'avenir ? Nous avons vu qu'un historien des sciences occultes en
faisait un mode de divination spécial. Seulement, ce n'est pas
là une autorité suffisante. Mais nous nous trouvons souvent en
présence de joueurs qui dans leurs mises s'efforcent de suivre les
indications du calcul des probabilités. Si l'on joue à la roulette,

16 N. VASCHIDE ET H. PIÊHON

par exemple, lorsque la rouge est sortie six fois de suite, on met
sur la noire avec une quasi-certitude qu'elle sortira, la probabi-
lité d'une sortie consécutive de sept rouges étant très faible. Le
calcul des probabilités légitime-t-il ce raisonnement ? Laplace
distingue expressément deux cas dans la probabilité des événe-
ments futurs: si l'événement attendu dépend des événements
antérieurs, il y a une probabilité nouvelle, tirée de la connais-
sance de cet événement, pour l'événement à venir. Si par exem-
ple on a dans une urne une boule blanche et une noire, la proba-
bilité d'en tirer une quelconque est — . Mais si Ton tire une
boule blanche, sans la remettre, la probabilité de tirer la noire
devient égale à i. C'est une certitude. Dans le second cas, l'évé-
nement nouveau est indépendant des événements anciens, sa pro-
babilité reste alors constante.

Si, après avoir tiré la boule blanche de l'urne, je l'y remets,
la probabilité de tirer la boule noire reste — . Il en est ainsi tou-
jours pour des jeux comme pile ou face, ou comme la roulette.

Dans ce cas, dit Laplace, « le passé ne peut répandre aucune
lumière sur l'avenir et il serait absurde d'en tenir compte » ( I ).

Mais Laplace ne donne pas une justification suffisante de son
assertion. Le calcul des probabilités juge des sorties respectives
à pile ou face, quand elles sont passées, et attribue une proba-
bilité infiniment faible à une sortie constante de pile par exem-
ple ; pourquoi ne le pourrait-il faire dans l'avenir ?

M. Poincaré s'occupe aussi de la question. Parlant des joueurs
qui mettent sur la noire après une sortie consécutive de six rou-
ges, il dit : « En réalité leur probabilité de gain reste — . L'ob-
servation montre, il est vrai, que les séries de sept rouges con-
sécutives sont très rares, mais les séries de six rouges suivies
d'une noire sont tout aussi rares. Ils ont remarqué la rareté des
séries de sept rouges, s'ils n'ont pas remarqué la rareté des
séries de six rouges et une noire, c'est uniquement parce que de
pareilles séries frappent moins l'attention ( 2 ) ».

(*l Laplace. Essai philosophique sur le calcul des probabilités, p. 18.

(* Poincaré. Réflexions sur le calcul des probabilités. Revue générale des Sciences,

uoùt 1899, p. aC;.

LES APPLICATIONS DU CALCUL DES PROBABILITÉS 17

Le raisonnement de M. Poincaré ne nous -parait pas absolu-
ment juste. Cette assimilation d'une séné de sept rouges à une
une série de sept sorties décomposée en six rouges et une noire
n'est pas exacte. Car cette série de six rouges et une noire ne
représente en fait qu'une série de six rouges, l'apparition de la
noire ne faisant que marquer la fin de cette série ; une série de sor-
ties d'une couleur ne peut en effet se clôturer que par une sortie
de la couleur inverse. (Une série n'est série que si elle est homo-
gène, elle est close par une apparition hétérogène.) Dire qu'une
série de six rouges et une noire est aussi rare qu'une série de sept
rouges, c'est dire en fait qu'une série de sept rouges consécu-
tives est aussi probable qu'une série de six rouges consécutives.
Or ceci est contraire au calcul des probabilités. La probabilité
d'une série est égale au produit des probabilités partielles de
chaque terme, où à la puissance n m * de cette probabilité, n repré-
sentant le nombre de termes de la série. Il est donc évident que
la probabilité d'une série de sept termes est moindre que d'une
série de six termes.

Et nous pouvons encore nous demander pourquoi ce n'est pas
le joueur qui a raison.

A vrai dire, si le calcul des probabilités ne légitime pas la
spéculation des joueurs, c'est parce que les probabilités initiales
ne sont applicables que pour plus d'un terme, qu'alors il faut
faire appel au théorème de Bernoulli et que l'application du
théorème de Bernoulli réclame un grand nombre d'expériences.
Or la probabilité porte ici non sur un grand nombre d'événe-
ments futurs, mais sur un seul. Dès lors le calcul des probabi-
lités n'est plus applicable. Il y a parfois des rencontres extraor-
dinaires dans une série très limitée d'événements, mais les grands
nombres régularisent tout, et rien ne permet plus alors de s'en
apercevoir, en sorte que ce qui est vrai de la totalité ne l'est pas
des parties, et qu'en voulant passer de l'une aux autres on risque
de tomber dans des erreurs très grossières.

Mais, semble-t-il, le calcul des probabilités reste applicable
à la prévision des rapports respectifs de différents événements,
pour un nombre considérable de ceux-ci.

Il est évident que, si l'on a 10.000 numéros dans une urne,
par exemple, dont la probabilité respective de sortie est par

18 N. VAS C H IDE ET II. PIÈRON

conséquent de , pour celui qui sortira avec une proba-
bilité aussi faible, et qui sortira pourtant nécessairement s'il
n'est pas spécifié, car il faut bien qu'un sorte, on ne pourra se
récrier, comme pour l'apparition d'un phénomène absolument
extraordinaire ; car cet événement est isolé. Le calcul des pro-
babilités ne donnait aucune indication sur la sortie de ce numéro,
dont la probabilité de s'est transformée subitement en une

r IO ooo

certitude égale à l'unité. Mais le calcul des probabilités pourra
donner des indications sur le nombre de sorties de ce numéro
pour deux ou trois millions d'expériences.

Cournot proteste, en une page très remarquable, contre cette
probabilité partielle, incomplète et douteuse des événements
futurs, relative à un petit nombre d'épreuves, d'autant plus que
voulant subordonner le calcul des probabilités à l'expérience, la
probabilité ne pourrait jamais que servir d'expression aux évé-
nement passés.

« La probabilité mathématique prise objectivement, ou conçue
comme mesurant la possibilité des choses, ne peut en général
être déterminée que par l'expérience. Si le nombre des épreuves
d'un même hasard croissait a l'infini, elle serait déterminée
exactement avec une certitude comparable à celle de l'événe-
ment dont le contraire est physiquement impossible. Pour un
nombre très grand d'épreuves, la probabilité n'est encore donnée
qu'approximativement ; mais on est autorisé a considérer comme
extrêmement peu probable que la valeur réelle diffère notable-
ment de la valeur conclue des observations. En d'autres termes,
il arrivera très rarement que l'on commette une erreur notable
en prenant pour la valeur réelle la valeur tirée des observations.
Dans le cas même où le nombre des épreuves est peu considé-
rable, on a voulu tirer, de certaines considérations mathéma-
tiques, des formules pour évaluer numériquement la probabilité
des événements futurs d'après les événements observés, mais de
telles formules n'indiquent plus que des probabilités subjectives,
bonnes tout au plus a régler les conditions d'un pari; elles
deviendraient fausses si on les appliquait comme on l'a fait sou-
vent bien à tort à la détermination de la possibilité des événe-
ments. »

LES APPLICATIONS DU CALCUL DES PROBABILITÉS 19

En fin de compte, on peut admettre que le calcul des proba-
bilités a une valeur au point de vue de l'avenir pour un grand
nombre d'épreuves, mais seulement si l'on accorde à ce calcul
une portée a priori dépassant les limites d'une expérience fonda-
mentale qui n'a d'ailleurs jamais été systématiquement faite ; cette
valeur restera cependant toujours approximative, car, pour que
l'application de la formule Stirling dans les calculs soit à peu
prés exacte, il faut des nombres d'épreuves très considérables, et
pour des nombres d'épreuves très considérables, on a des écarts
probables de plus en plus considérables eux aussi, au point de
pouvoir dépasser tout nombre donné. Pour un nombre infini
d'épreuves, l'écart absolu atteindrait lui-même une valeur infinie
d'un infini d'ordre inférieur, mais irréductible à toute mesure, à
tout chiffre fini.

On voit donc que cette valeur du calcul des probabilités, ainsi
limitée dans tous les sens d'aussi stricte façon, peut être consi-
dérée comme à peu près négligeable.

Chapitre IV. — Les applications scientifiques du calcul des proba*

bilitès.

La probabilité des causes. — Les applications en Psychologie; exemples.
— Calcul de probabilité et télépathie; exemples. — Applications dans les
Sciences Physiques ; exemples. — Les applications en Anthropologie ; exem-
ples. — Les applications en médecine. — Les applications dans les scien-
ces sociales. — Les applications réelles sont beaucoup plus rares qu'on ne
pourrait le croire.

On a fait des applications scientifiques du calcul des proba-
bilités. Nous allons tacher de donner une idée des principales,
très rapidement, et tout d'abord la probabilité des causes.

On trouverait dans Bertrand de nombreuses applications de ce
genre, émanant en général de probabilistes qui s'en servaient
comme d'illustrations de leurs théories et proposaient des pro-
blèmes pour familiariser avec les formules. Mais ce ne sont pas
des applications méthodiques.

C'est surtout en psychologie, à notre connaissance, que ces
applications ont prétendu se faire.

On a même affirmé la nécessité de se servir du calcul dans

30 A'. VASCUJDE ET II. PIÉRON

cette science. Laplace disait déjà que c'était dans les sciences les
plus complexes, où l'investigation est le plus difficile, que l'ap-
plication du calcul était le plus nécessaire.

<( On ne peut pas faire un pas dans la psychologie expéri-
mentale, dit M. V. Henry, sans avoir recours aux principes du
calcul des probabilités » ( l ).

Et l'auteur, après avoir exposé les principes généraux du
calcul ainsi que le théorème de Bernoulli, en s'inspirant de
très près de Bertrand (cela est tellement apparent que M. V.
Henry n'a même pas cru utile de le citer) donne les formules
de probabilité d'un écart, mettant en première ligne l'expres-
sion

dont nous contestons l'exactitude pratique.

Puis il donne quelques exemples dans lesquels il fait le calcul
par la formule i — 8 (*).

En particulier, en présentant a un sujet des lettres (voyelles)
qu'il ne voit pas consciemment, sur 120 expériences pour chaque
série, on cherche combien de fois le sujet, qui doit dire une lettre
au hasard, tombe juste suivant que les lettres ont une grandeur
plus ou moins élevée. On cherche le nombre probable de coïn-
cidences, et la probabilité de l'écart S (t) ; on a par l'inverse de
la probabilité de l'écart, la probabilité d'une cause.

L'écart maximum obtenu est de 43 (nombre probable : 20
nombre réel : 63). Or pour un écart de 17, la probabilité de
l'écart n'est déjà que de 3 p. 100 000.

Mais avant qu'on ait ainsi revendiqué dans la méthode une place
à de tels calculs, des applications avaient été déjà faites. C'est par
un procédé de ce genre que M. Richet a prétendu prouver la
réalité de la suggestion mentale. Il faisait deviner au sujet, qui
devait parler au hasard, le nom d'une carte connue par une
personne. Il comparait le nombre de coïncidences réelles au
nombre de coïncidences probables. Et alors prenant la différence,

(*) V. Henry. Le Calcul des Probabilités en Psychologie. Année Psychologique
2* année (1895), 1896, p. 466.

LES APPLICATIONS DU CALCUL DES PROBABILITÉS ai

l'écart, et le rapportant au nombre des sorties probables,
M. Richet l'érîgeait en probabilité d'une cause qu'il déclarait
être la suggestion.

Voici un cas par exemple :

Sur 840 tirages, le sujet tombe 25o fois sur la couleur de la
carte. Le nombre de sorties probables était de 2o3, dit
M. Richet. La probabilité était de 4— , contre -~ , c'est-a-dire

de y (Ce nombre de sorties probables aurait donc dû être de 210}.
J'ai un écart, dit M. Richet, de 52, 02 est le quart de 208, donc
la probabilité pour l'existence de la suggestion est de -- .

L'application du calcul des probabilités, est ici tout à fait
mauvaise. Il fallait faire appel à la formule de la probabilité de
l'écart 1— 8 (/).

Faisons appel a cette formule.

On a

h

<= " -, pq =o,i$ f

y/aîrx 840x0,19 = 3a;
5o est l'écart exact (840 — 810)

17= l '*>
9 (i,56)=o,9;a6.

La probabilité de la cause n'est plus d'un quart, mais de 97
p. 100.

On voit que l'application de la formule, n'est pas négligeable.
Elle serait ici tout à fait favorable au calcul de M. Richet.

Il y a des cas où il n'en serait pas ainsi.

Il y aurait lieu en particulier d'appliquer ces formules exactes,
au calcul des probabilités à toutes ces études et enquêtes que
l'on fait a l'heure actuelle sur les phénomènes anormaux, halluci-
nations télépathiques et autres et qui jouent constamment du
calcul des probabilités (').

(*) Cf m Procedinga of Society for Psychical Research, t. VI, 1889.
Ch. Richet. Further expérimente in hypnotic lucidity or clairvoyance , p. 16-67,
;a-75, 8a.

22 N. VASCHIDE ET H. PIÊRON

D'après l'enquête de la Société des recherches psychiques de
Londres, on arrive pour la question des hallucinations à des
résultats tels que ceux triomphalement exposés par M. Flamma-
rion (*) par l'intermédiaire de M. Dariex :

On n'a relevé qu'une hallucination visuelle sur 248 personnes.
Soit pour la probabilité d'un tel cas : — 75-.

La probabilité de mort pour un adulte d'âge indéterminé dans
une période de 24 heures est de

22 I

1000 365
1 22 1 1

248 xooo 365 4.114.545

Et Ton conclut que l'hypothèse d'une action télépathique
réelle est 4 II 4 545 f° ls P^ us probable que l'hypothèse d'une
coïncidence fortuite. Voilà une interprétation de résultats qui ne
se soucie guère des règles les plus élémentaires du calcul des
probabilités.

Mais voici qui est mieux encore.

M. Flammarion extrait des Phantasms of the Living un cas
précis et qu'il décrit longuement, puis il applique le calcul des
probabilités.

Il n'y a pas eu un intervalle de plus de 12 minutes entre
l'hallucination et la mort, période contenue 1 20 fois dans 24 heures

soit .

120

Il s'agissait d'un homme de 48 ans.

La probabilité officielle de la mort est alors de

L'on a donc

1000

I

13,5 1 1 _ 1

248

1000 365 120 804.622. 222

H. Sidgwick. Expérimenta in thoughi transference, p. 128.
Myeas. Das Doppel-ich, p. 109, no.

L. Taylor. Expérimental Comparison belhween chance in Correspondance of
diagrams, p. 398, 401, 4o5, t. III, i885, p. 190,200; t. IV, 1886-1887, p, 189, 208.
Ed. Gewatt. The Calculus of Probabililie applied io psychical Research,
Raphaël Chaisdos. Revue des Deux Momies, 1887, p. an.
(*) C.Flammarion. L'Inconnu et les Problèmes Psychiques. Ch. IV, note p. 239-241

LES APPLICATIONS DU CALCUL DES PROBABILITÉS a3

et la probabilité pour l'existence de l'action télépathique devient
de 804622 222. On ne pourra pas dire que notre remarque, que
nous avons souvent répétée était inutile, à savoir que le calcul
des probabilités n'était applicable qu'aux grands nombres ; qu'il
réclame des grands nombres d'épreuves, et ne se contente pas
de ceux dont on surcharge ses conclusions. Or ici, il y a une
épreuve et une seule. Supposons un milliard de boules diffé-
rentes dans une urne. Nous en tirons une particulière. La pro-
babilité pour que nous tirions cette boule par hasard était

. Nous allons conclure qu'il y a un milliard à parier

1 000 000 000 1 j r

contre un pour l'existence d'une cause à laquelle nous attribue-
rons tel nom plus ou moins surnaturel que nous voudrons,
cause qui a produit le tirage de cette boule. Notre raisonnement
vaudra celui de M. Flammarion, et nous pourrons monter plus
loin dans les zéros accumulés.

Vraiment il est permis de s'amuser, mais il faut être bien
naïf pour prendre pareilles choses au sérieux.

Laissons donc tous les calculs du même genre, et revenons
aux applications plus sérieuses.

C'est la probabilité des erreurs qui est le pltfs souvent
employée dans les diverses sciences.

L'astronomie sur laquelle, faute de compétence, nous ne nous
permettrons pas d'insister, fait constamment appel à la théorie
des erreurs et des poids pour caractériser les observations.
Cette science d'observation, si proche des mathématiques pures,
devait être tentée de mathématiser en quelque sorte l'observa-
tion elle-même, de déchiffrer les phénomènes subjectifs pertur-
bateurs. A côté de la mesure excellente de l'équation personnelle,
elle a encore fait appel a la probabilité des erreurs variables,
qui ne peuvent être soumises à une formule d'observation,
étant inconstantes par nature. On ne manque jamais, en rap-
portant des observations faites, de donner leur précision et leur
poids.

Il n'y a guère d'application de ce genre dans les sciences
physico-chimiques.

Cependant il ne faudrait pas croire qu'elles en sont véritable-
ment exclues. Pour les parties les moins précises de ces sciences,

a4 N. VASCUIDE ET H. PIÊRON

on fait parfois appel aux probabilités, et Ter que ni et Damien (')
dans leur traité de Physique expérimentale consacrent une partie
de leur introduction concernant la méthode à la théorie de la
probabilité des erreurs.

Se fondant sur la théorie, telle qu'ils l'ont exposée, M. Paillot( 2 ),
élève de M. Damien, dans une thèse récente de l'Université de
Lille, en recherchant les forces électromotrices d'aimantation,
appelé à mesurer le diamètre des bobines employées, a tenu
compte des erreurs relatives à la moyenne, en prenant les carrés
des différences.

Il obtenait ainsi la somme de ces carrés > e* et il en tirait

l'erreur probable du résultat pan la formule

i-v/ Se ' .

S \ m {ni — i)

Cette erreur s'est toujours trouvée chez lui de l'ordre des
dix millièmes.

Ce qui prouvait qu'on ne pouvait, dans ses évaluations, pousser
l'approximation au delà du quatrième ordre des unités déci-
males.

Le calcul des probabilités n'a été employé chez cet auteur
que pour cette évaluation du diamètre des bobines ; il s'en est
dispensé dans beaucoup d'autres et, en effet, on peut dire que
dans les sciences physiques, le calcul des probabilités est l'ex-
ception.

En revanche, pour des sciences de mesures plus complexes,
telle que l'anthropologie, nous retrouvons ces applications plus
nombreuses ( s ).

(*) Terquem et Damien. Physique expérimentale, in-8, 1888, Introduction, ch. II,
p. 66-1 o5.

Pajllot. Recherches sur les forces électromotrices d aimantation , in-8, 190 1.
Lille, p. a3-5a.

( 3 ) De nombreuses applications ont été faites dans les sciences naturelles, rares
parce que la mesure elle-même y est rare. Des courbes théoriques ont été faites, par
exemple pour les variations des types en botanique afin de les comparer aux
courbes réelles, exactement comme en anthropologie pour les variations des types
considérés comme tels.

Cf. Amann. Application du calcul des probabilités à l'étude de la variation d'un
type végétal. Bull. herb. Boissier. 1896, Ch. IV, p. 377-590.

LES JPPLICATIOXS DU CALCUL DES PROBABILITÉS a5

C'est Quételet qui, le premier, a tenté des applications effec-
tives de la théorie des erreurs aux mensurations anthropolo-
giques. Il extrait par exemple du treizième volume de YEdin-
burgh médical journal les résultats de la mensuration des cir-
conférences des poitrines de 5 j38 soldats écossais. Le calcul de
Terreur probable permit à Quételet de conclure qu'il pouvait
parier un contre un qu'une personne peu exercée se tromperait
de 33 millimètres (i pouce) en mesurant une poitrine de plus de
i mètre (4o pouces) de circonférence. Et alors 5 j38 mesures
prises sur une seule personne se grouperaient avec la même
régularité que les 5 738 mesures prises sur les soldats écossais.
Quételet passe de l'écart réel à l'erreur probable. Nous revien-
drons sur ce point. Herschell ('), en faisant les mêmes calculs,
ne trouva pas les mêmes résultats*

On sait que c'est Quételet ( 2 ) qui mit en-honneur la conception
de Y homme moyen, un peu ridiculisée, depuis lors. 11 se livra
en effet à la statistique et aux moyennes avec ardeur, voulant que
pas un domaine social n'échappât à la mesure avec comme crité-
rium la théorie des probabilités.

Il fut en effet tout à fait enthousiasmé par ce calcul qu'il décla-
rait déjà très insuffisamment appliqué. « Le calcul dés probabi-
lités, dit-il, n'est que l'instrument qui doit servir à régulariser
les travaux d'exploitation ; mais il devient indispensable dans les
recherches auxquelles nous voulons nous livrer. Il sert en effet
à distribuer avec avantage la série de nos observations, à conti-
nuer la valeur des documents dont nous faisons usage, à les
continuer ensuite de manière qu'ils s'écartent le moins possible
de la vérité, et à calculer, en définitive, le degré de confiance
qu'on peut attacher aux résultats obtenus ( s ). »

Depuis, des applications nouvelles se sont faites, avec un oubli
fréquent des essais de Quételet.

Ed. Goldstein a publié en i883 une étude sur les applications
du calcul des probabilités à l'anthropologie (*), ne faisant guère

0) Herschell. Sur la théorie des probabilités et ses applications aux sciences
physiques et sociales. Revue d'Edimbourg, a juillet 1890.
(*) Quételet. Physique sociale, in-8, 1 8G9. T. I.
(*) Quételet, id. t p. 137.
(*) Edouard Goldstein. Revue u f Anthropologie, a» série, Xï, i883, p. 704-718.

26 JV. VASCHIDE ET H. PIÉRON

que résumer un travail allemand de Stieda^). Il s'occupe surtout
de la sériation dans les moyennes qui lui paraît nécessaire, car
on fait parfois des moyennes avec des éléments hétérogènes.
Mais comment mesurer cette hétérogénéité. Il fait appel à la
théorie des erreurs qu'il expose d'abord en général, donnant les
formules de mesure de Terreur probable.

La somme des erreurs résiduelles \ 8 est la somme des écarts

d par rapport à la moyenne, les écarts représentant pour lui
les erreurs, la variation moyenne. Il donne le tableau très
complet de Wuich. Il définit le poids, la précision, etc., et
applique comme exemple seulement, ces formules à des mesures
anthropologiques comparatives sur des juifs autrichiens. 11 indi-
que que, pour les moyennes, il y aurait lieu de comparer deux
courbes ainsi définies.

On fait une courbe du nombre de fois que chaque mesure a
été rencontrée, a partir de la plus faible.

Puis, la moyenne étant déterminée, on cherche combien de
fois, sur un nombre égal d'épreuves, chaque mesure devait arri-
ver d'après le calcul des probabilités fondé sur l'erreur probable :
la probabilité est relative, d'après le tableau de Wuich, au multiple
de l'erreur probable, qui est ici l'écart par rapport à la moyenne,
soit une valeur égale à deux fois Terreur probable, qui s'écarte
de la moyenne du double de l'écart probable, je trouve comme
probabilité de cet écart 82,3 p. ioo; donc sur ioo cas, il ne devra
y en avoir que 17,7 qui atteindront ou dépasseront cet écart. Je
détermine un point de la courbe probable. Je chercherai le point
de la courbe réelle, qui pourra être de 20 par exemple, et je com-
parerai les deux courbes.

Quand les deux courbes diffèrent beaucoup, je dois dire que
d'autres éléments que des erreurs sont venus troubler mes
moyennes, et par conséquent que mes éléments mesurés ont des
différences réelles qui ne permettent pas de les comparer, qu'il
faut donc les ranger dans des séries, dans des moyennes différentes.
Je mets en lumière l'hétérogénéité de ma moyenne, et je n'ai

('i D r Ludwig Stieda. Ucber die Anwcndung der Wahrscheinlichkeitsrechnung
in der anthropologischen Statistik. Archiv fiir Anthropologie, 1888, t. 14.

LES APPLICATIONS DU CALCUL DES PROBABILITÉS 97

plus qu'à la diviser en séries homogènes, représentant des types
anthropologiques : il ne doit pas y avoir entre des types de cette
espèce des écarts dépassant notablement l'indice probable d'os-
cillation, Terreur probable.

Une application pratique du calcul des probabilités a été faite
tout récemment par M. Binet en anthropologie ( 1 ).

Ayant pris des mensurations crâniennes dans deux groupes
d'enfants, l'un d'intelligents, l'autre d'inintelligents, il fit les
moyennes, et trouva des différences entre ces moyennes considé-
rées a priori comme homogènes (M. Binet n'a pas fait la courbe
de Stieda et Goldstein).

En particulier, il applique la formule de probabilité d'un écart
de moyennes aux moyennes du diamètre frontal :

« Etant donné, dit-il, la différence d'une mesure que présen-
tent deux groupes de sujets, il est possible de savoir si cette dif-
férence moyenne résulte des écarts opératoires de mensuration ou
résulte des dimensions réelles qui ont été mesurées.

On voit que la question est d'une importance capitale. La for-
mule à employer est la suivante :

T== y»j tfn.d.v 9

Appliquée au diamètre frontal, cette mesure lui donne à ce
qu'il rapporte, une probabilité de 80 p. 100 pour que la diffé-
rence provienne d'autre chose que des erreurs opératoires,
20 p. 100 pour qu'elle soit due à ces simples erreurs opéra-
toires.

Pour le détail de la formule, M. Binet renvoyait à un second
article de V. Henry ( 2 ) qui traitait cette fois de la théorie des
moyennes et des erreurs, et qui s'attachait surtout à la probabi-
lité de l'écart entre deux moyennes, plutôt qu'à l'écart interne,
pourrait-on dire, relatif à la moyenne. C'est en effet un problème
qui s'ajoute à celui de Stieda : Quand on a constitué des moyennes
homogènes d'où l'on a exclu toute hétérogénéité trop forte,

(') Binet. Mensuration de la tête vivante. An. Psych. 7* Ann. igoi, p. 359, ^6o.
(*) V. Henry. Quelques applications du Calcul des Probabilités en Psychologie.
An. psych. »• année (1898), 1899, p. i53-iGo.

a8 iV. VASCHIDE ET //. PJÈRON

comment reconnaître maintenant le degré d'hétérogénéité de
deux moyennes prises dans leur ensemble et qu'on considère
par avance comme hétérogènes ; le sont-elles vraiment au point de
constituer deux moyennes distinctes,, et de ne pouvoir se fondre
en une seule, de représenter enfin deux types différents. Tout
d'abord il fallait amener l'unité interne dans les types. Mainte-
nant il faut juger de la dualité externe de ces types.

La première application servait à déceler une hétérogénéité
dans la moyenne ; la deuxième sert à déceler une homogénéité de
deux moyennes.

C'est dans les temps de réaction surtout que se présente cette
question en psychologie : on élimine arbitrairement et sans
appel en général au calcul des probabilités, toute mesure qui
Vécarte isolément par trop de la moyenne, sans qu'il y ait de
règle de cette élimination, autre qu'une appréciation subjective,
et le type étant ainsi constitué dans une moyenne, on veut le com-
parer à une autre moyenne, soit d'un autre sujet, soit d'un autre
état du même sujet. A quel moment la différence entre ces
moyennes sera-t-elle significative de la spécificité de ces types,
de la réalité des différences objectives ? C'est a cela que doit
répondre la série des probabilités des erreurs dans les moyen-
nes.

E.-W. Scripture ( J ) a consacré un article au même sujet, fai-
sant, lui aussi, la théorie des applications du calcul, mais non
des applications proprement pratiques. Et c'est surtout aux temps
de réaction qu'il songe, ce faisant.

On voit que les applications réelles sont beaucoup plus rares
qu'on ne pourrait le croire, étant donnée la vogue du calcul des
probabilités qu'on cite à tout propos, et auquel on fait constam-
ment appel théoriquement. Cette abstention de la pratique est-
elle ignorance, est-elle défiance du bon sens vis-à-vis du prestige
des chiffres ?

Il est bien certain pourtant que Ton applique couramment,
sinon le détail, du moins le principe du calcul des probabilités,
dans la vie ordinaire, mais c'est une pratique empirique, et nous

(*) E.-W. Scripture. Compilation of a set of simple direct measurement. Stu-
dies from the Y aie psychologie al Laboraiory, vol. VIII. 1900, iu-3°. New Haven.

LES APPLICATIONS DU CALCUL DES PROBABILITÉS 29

traitons des applications scientifiques du calcul des probabilités.
Aussi ne nous sommes-nous pas arrêtés aux applications qu'en
font souvent les médecins dans le traitement de certaines mala-
dies, car ils ne recourent à cela que par une ignorance plus ou
moins avouée, réalisant pour la vie humaine ce que Laplace rêvait
pour la sécurité civique en proposant de juger par probabilités.
Eux soignent par les mêmes principes, et les discussions sur l'in-
tervention chirurgicale dans l'appendicite par exemple, roulent
le plus souvent sur des probabilités extraites de quelques cas,
quand ce n'est pas d'un cas.

Et cette application médicale n'est pas récente. Avant la
découverte de la vaccine, on multiplia les considérations proba-
bilités sur les dangers et les avantage» de l'inoculation, toujours
en considérant des hommes « moyens » comme Bertrand le
relève ironiquement, des hommes-types, des hommes en soi;
D'Alembert (') en a fait aussi la remarque très judicieuse.

Enfin les compagnies, d'assurances tiennent un grand compte-
des probabilités fournies par les statistiques ; elles opèrent d'ail-
leurs sur des grands nombres et vivent de la constance assez
régulière de la nature, que Les probabilités attribuent à la puis-
sance « Hasard » alors que, dans la monotonie universelle, il
est plus simple d'admettre que les mêmes causes produisent tou-
jours les mêmes effets. Aussi les résultats assez heureux des
compagnies d'assurance ne peuvent guère se reporter sur le cal-
cul des probabilités, d'autant qu'on ne fait appel qu'aux probabi-
lités simples et non aux formules compliquées du calcul.

(A suivre.)

X. Vaschide (Paris). II. Piérox (Paris).

(') D'Alembert, Mélanges de littérature, d histoire et de philosophie. 4» éd. Amster-
dam, 1770, in-ia. — Réflexions philosophiques et mathématiques sur l'application du
Calcul des probabilités à l'inoculation, p. 3o5-386.

Enseignement math.

ÉQUIVALENCE DU MOUVEMENT

D'UN PLAN INVARIABLE 2 PASSANT D'UNE POSITION DONNÉE S,
A UNE AUTRE POSITION DONNÉE 2 2 .

I. — Relations générales entre les déplacements des points d'un
système invariable arbitraire.

§ i. — Les déplacements de trois ou d'un plus grand nombre
de points d'une ligne droite <r qui, d'une manière quelconque,
passe d'une position <r t à une position <r 2 ne sont pas indépen-
dants; nous allons montrer qu'il y a une relation entre eux. Il
existe entre les déplacements des points d'un système S à trois
dimensions quand il est transporté d'une manière quelconque'
d'une position S, à une autre position quelconque 2 2 , des rela-

», tions semblables valables de manière
générale et que nous développerons
d'abord.

Soient A, B, C et U quatre points'
d'un système invariable de l'espace
formant les sommets d'une pyramide
arbitraire, de sorte que A, B, C, U;
A lf B^C^U, et A 2 , B 2 , C 2 , U 2 sont les
«. pyramides congruentes homologues de

g ''' S, S, et S,.

Nous posons (fig. i).

A X A 2 = o if B t B 2 = o 2 , CjC, = o 3 , UjU, = o.
Comme S, et S 2 sont des systèmes congruents, le produit inté-

ÉQUIVALENCE DU MOUVEMENT D'UN PLAN Ji

rieur de deux vecteurs de S 4 est égal au produit intérieur des
vecteurs homologues de 2 2 .
Donc, on peut écrire

mais nous avons

«i = «i + o.= a x + o 2 — o„

et aussi avec cela

«il(fc-*ri = (*t + 3.)ip.,

c'est-à-dire
ou

ou enfin

«•|8i + M^=(«i + St)|8i-

De même nous trouvons •

«sl^ + Pi|o«=o t

*.I*. + M*i = («i + M|*i-

De plus on a la relation

5ilTi = Çtlïi;

mais nous avons
de sorte que

c'est-à-dire

ou

ou enfin

5i1(t.<-*t) = (5. + *JIïî.

. 5i I *7 .+ Ti I 5 ^ = °»

- U(3.-y+ïil(8-*i)=o
lil«. + ïtl«=.5.lîi+.T«l»i'..

3s /'. KRAFT

De manière semblable s'obtiennent les relations

Ti I °l + 5* l Ô T = °»

Ti|8 + 5,|8 f = T t|8,+ Ç i ia,;

«il 5 + e î |ô l =« l |o, + e t |o I .

En outre, pour les vecteurs du système on a les relations

( ai + aJ|8. = o, (? 1 + p î )|o P = o,...

et aussi par suite

(aotj +o«) | 8« = o, (*& + o ? ) 1 8 ? = o,...
OU

aai|8«+8«î= o, apjSp+Spizro,...

Multiplions la première de ces équations par o p i, la seconde
par c fc î, il vient

a («i I ««) «a! + WV- = o, 2 (^ 1 8 ? ) 8.» + 8«!8£ = o,

et en combinant ces relations par addition et soustraction, on
obtient les importantes relations

(«i I *«) V- + (M h) ««■. + MW = o,
(«il«.)8*5 — (Pil*rt*a=o.

On voit d'après cela que les déplacements de quatre points
quelconques et plus du système S dépendent l'un de l'autre.

§ i r . — Si les déplacements des points A, B, C et U du système
2 sont infiniment petits, il résulte des formules du § i, si nous
négligeons les grandeurs infiniment petites d'ordre supérieur
devant celles d'ordre moindre,

«i I <*Ps + Mpi = (»i + Pi) l«*Pi. a i I v 3 + Pi I v 2 = («4 + p t ) | Si ;
5,1^ + ^185=0,

5i I d ?z + Ti I <*P = ?i I <*Pi + Ti I <*Pi. 5i I »* +Ji h* = Et I ^ + Ti K î
p 1 lrfp + r J1 |iift=p i |rfp 1 +ij 1 |rfp li pjH-*ii K = PiK+^K ;

«i I <*P +°i I <*?2 = *1 L<*Ps + °i I d 9ï> «1 l.* + 6 1 1 H = «1 K + 9 i I V

ÉQCIVALEXCE DC MOCVEMEXT D'CX PLAX 33

Les relations ainsi développées, qui peuvent facilement se
traduire en langage ordinaire, sont évidemment encore valables,
si les quatre points sont situés dans un plan.

II. — Le plan ou champ des points.

S 2. — Soient A, = -f-p,, B, = O -f- ?2> C, = O + p„ trois
points situés non en ligne droite dans le même plan et soit
U t = O + p un point arbitraire du même plan. Avec le point O
comme pôle de coordonnées, l'équation du radius vector de ce
plan est

?=»?!+ n ?i + P?v m + n+p = i t
ou aussi

? = ?!+» (?i — Pi) +P (?J — Pi) '

et si nous posons

(P* — Pi) = «p (?* — Pi) = ?i»
cette équation devient

P = ?l +"*! + />?!•

Soit maintenant d'une manière quelconque le plan 2 transporté
de la position 1\, pour laquelle nous avons écrit l'équation, a h*
position S 2 .

Si le plan 2 est transporté de la position 2 4 à la position I 2 ses
points A, B, C et U subissent les déplacements A, A, = o,, B 1 B i
= o t , C^C, = o s et U t U 2 = o, de sorte que avec U, = O + A
pour le plan S, il vient la relation

*= p + 8 = m (p 1 +8 l ) + /t(? i + 8 i )+p (?, + &,)
= m Pi + n?i+fPs+ m5 i + n5 i + P*v

ou, avec m + n + p = i ,

•J, = Pl + 8,+/» ( (p 2 — ?1 ) + (8 â — S,) )+p {(fc-p.) + (*,-*,) J.

ou

^=p 1 + /ia 1 +^ 1 +8 I + /i(o t — o l )-l-/> (83 — 84),

ou

f = ?1 + a, + ji (^ + 3.) +/> (?i + 8, ),

34 F. KRAFT

et enfin

ty=?t + *i + ' t *t+P?>v

avec (a, -f- o« ) = a 2 , (? t -f ^) = ?,, où les vecteurs a 2 = A,B t
et J3 2 = A 2 C 2 sont situés dans le plan 2 2 et où l'équation en ù est
l'équation du plan Z 2 en plus simple forme.

Le déplacement S = (ty — p) = (U 2 — UJ du point arbitraire
U du plan 2 est alors

= Wl8, + /I0 2 -f" P$zf m + n + P = T »

*=8 1 + n(8 l -8 1 ) + />i8 1 -8 1 ),
8 = 8 1 + »(« 1 -« 1 )+/>{fc-p 1 ) i
o = o 4 + no« + ptp.

Prenons m, n et p comme variables, 3 comme radius vector,
ces équations donnent alors les déplacements totaux les points du
plan 5, quand celui-ci passe d'une manière quelconque de la po-
sition 2i à la position X 2 et ces équations sont celles d'un plan
dont les radii vectores, sont égaux aux déplacements des points
du plan 2.

<( Le système des déplacements des points d'un plan, qui change
sa position, a la propriété d'être déterminé pour tous les points
de ce plan si les déplacements de trois points quelconques du
même plan, mais non en ligne droite sont connus. » — « L'hodo-
graphe des déplacements des points d'un plan est un autre plan
qui en général ne passe pas par le pôle de l'hodographe. Des
figures correspondantes en 2, 2 4 , S 2 et dans le plan de l'hodo-
graphe sont des figures semblables. »

Il suit de la dernière équation

L(8-8|)(Mp)] = o.

Si l'on désigne par e le vecteur de position du plan donné,
on a

et on a aussi

(8 — S 4 ) 1 e = o, (8'|t) = («,!•).

« Le plan de l'hodographe est parallèle à la différence des

ÉQUIVALENCE DU MOUVEMENT D'UN PLAN 35

déplacements des extrémités de deux vecteurs hétérogènes quel-
conques du plan S. »

- « Les projections des déplacements des points du plan S sur
la direction du vecteur de position du plan de l'hodographe sont
égaux entre eux ; tous les points du plan £ subissent, dans la
direction du vecteur de position de ce plan, le même déplace-
ment. »

§ 2'. — Si les déplacements des points du plan S sont infini-
ment petits, les équations des plans S 4 et S 2 , si nous posons
a l = a, $ t = (3, a, = a 4 + d&, ?* = Pi + dp, deviennent

P = Pi + ** + P$>

♦ = p, + <*p 4 + »"(«+ *«) + /> (P + <*M,

l'équation de l'hodographe du système des déplacements des élé-
ments du plan S est donc

dp = (^ — p) = dp 4 -f- wia +/><*£,

laquelle, comme nous voyons, s'obtient aussi immédiatementpar
différenciation de l'équation du plan S = 2 1 .
D'après cela, il vient pour les vitesses des points du plan

do dp. , d% . rfô

" = -£■=-$■ + * -dF+p-ir

ou

v=z7 t +n (î£ — 5j) +p (t£ —jjJ,
t>=(i — * — i p)v 1 + /ir 1 +/?tv

Avec l'équation relative à dp nous obtenons

[(dp-dp L ) {dadfi]=o 9
ce qui entraine

(v — vj) [(îT s — 5j) (vi — «7)1 = o.
et si nous posons

(<Wp) : •ÇE2MÎ = («'PO : • WM? = 1 *>
il s'ensuit

(<f p --«IpJ | e = o, (dp\ e) =J<*p  | s),

36 , F. KRAFT

« I/hodographe des déplacements infiniment petits et l'hodo-
graphe des vitesses des points d'un plan S sont des plans paral-
lèles qui en général ne passent pas par les pôles de ces hodo-
graphes. Les projections des déplacements, ainsi que les
projections, des vitesses des points du plan £ sur la direction du
vecteur de position des plans des hodographes sont égaux entre
eux ».

§ 3. — Les déplacements des points du plan £ forment, avec
le plan 2 en ses positions S 1 et 2 2 , en général des angles différents,
ce que l'hodographe montre immédiatement. Parmi les points
du plan 2 il peut y en avoir de tels que leurs déplacements soient
perpendiculaires au plan 2 = S, et de tels que leurs déplacements
soient en ce plan.

Pour des déplacements o n perperdiculaires à S 4 , nous avons la
relation

«- = [ll«iPJ]:V / («

ift)î.

Avec cela on obtient

(OjÔaOjj) = X

[***M(*i?i)>

de sorte que

De plus nous obtenons

(snojjoj + n (e n 8 ? o«) = o,

M«8J+/>(

ce qui donne

ûjS^rt

5 N

P -S *

r o«ô ? e„

et, par suite,

5 __ 5 , 3,8,1,,

i ^ , OlOjS,,

o«o ? e„

*.*>

de sorte qu'en général il n'y a qu'un seul déplacement de cette
espèce, et pour le radius vector du point qui est déplacé par le
vecteur o n nous obtenons

^ «s * •>

Pn — Pi -h yy- — ^ -h a ;> h-

ÉQUIVALENCE DU MOUVEMENT D'UN PLAN 37

Si nous observons que o a = (S 2 — o,), ô ? =(o 3 — oj, a, =
(p 4 — p,), ^ == (p s — p x ) nous trouvons facilement

P» = * l ) PÂiiO pi +(3,3^,,) pi +(01^1,,) o 3 (.

Le point du plan S = S 4 qui est déplacé, autour du vecteur S„ ,
est son pôle.

§ 3'. — Si les déplacements des points du plan S sont infini-
ment petits il existe en général un point dont le déplacement
rfp n lui est perpendiculaire. D'après le paragraphe précédent,
nous obtenons successivement pour ce déplacement, pour le
radius vector du point du plan correspondant et pour la vitesse
de ce point

_ d 9i d^d 9%

d?n = dadbtn ( ( d ?* d ?*»l d ?i + i d ?3 d ?i l ») d ?t + i d ?i d 9t*n) d?z '
I»=:1(«?}:V/(1W;

?» = d%d$Z n \ (**&**) ?l+ fà&l*»* ?i + ( do l d ?i 1 *) Pi > '>

et en outre

î-f-pîfiârK*-

Vn = ^- | (t^e») tû + ( Wn) v* + (w«)r, j,

P» = a rL \ [V t V+ n ) ?i + (¥l e ») Pi + ( W») Pi( •

§ 4- — Examinons maintenant si le plan S possède des points
dont les déplacements sont dans le plan S == 2 Â .

Si nous désignons ces déplacements par 8 P , nous avons pour
ceux-ci la relation

Oc = A + «0« +p*} = «i*! + «i?| ■

38 F. KRAFT

Les coefficients doivent satisfaire aux conditions

** = B > A 5 MA) "" w i (*i a A) | = 6 + eu, ;

et de plus

3Àfc + »(8Aft)=«i(«APi).
ô i s «?i +|» M«Pi) = «! Mj»Pi).

Avec ces valeurs des coefficients, où un coefficient reste indé-
terminé, nous obtenons

8. = *P l + n 1 (* 1 + cp i ).

L'hodographe pour les déplacement 8 e est une ligne droite ; il
y a donc un ensemble de points du plan 2 dont les déplacements
sont dans le plan S r Cette ligne hodographe est, dans l'hodo-
graphe du système des déplacements de 2 t la section de son plan
par le plan parallèle à £ t qui passe par son pôle. Les équations de
ces deux plans sont

(3-*i)(8«*ri = o f (i»iPi) = o.

Par conséquent la section de ces plans est parallèle au vec-
teur

L(* A) («AH = (?M) ** - MA) & •
= (°«*i?i) 5 ? — ( 5 ? a iPi)û«.

De m, == o, il suit o e = 6^ 1? et c'est pourquoi les équations
de Thodographe pour les déplacements o c sont

8 e = b^+u j (? 1 ô«8,)« i — (« 1 8«8p)p 1 j,

8 e = ftp, + U { (8...P,) 8 ? - (d^PO 8a j .

Avec les valeurs des coefficients n et p, on obtient de plus

8« = 0! + bfiu. + bà} + U L (CjO. + c 2 8 ? ),

ÉQUIVALENCE DU MOUVEMENT D'UN PLAN 3c

et si nous posons b i -+- b % -+- b % = i , c\ + c % = — c w il vient

o e = (Mi + Ms + 6,84) + 1*4 (c 4 o 2 + C,0, + C3OJ.

Enfin nous obtenons pour l'équation du lieu des points dont le
déplacement est 8 e

L = ( b t?i + h \H + ft sPi) + "i ( c iPj + Va + c sPi)»
il est parallèle au vecteur

c'est une ligne droite, comme nous l'avons déjà conclu de l'équa-
tion de Thodographe de 3 t . Cette droite s'appelle la caractéris-
tique du plan S = S r

Les équations des plans 2, et £ 2 sont

(P - Pi) («1P1) = 0, (♦ - Pi — *i) («*PJ = o.

Les extrémités des déplacements o e sont situés sur l'intersec-
tion de ces plans, celle-ci est parallèle au vecteur

1 = [(«1P1) («iPJ] = (*i«iW Pi— (PaPJ «r

Pour cette ligne on a A = p, c'est pourquoi

"*i +/>Pi = 8 i + n i a * + "*Pi.
de sorte que

(»*i+i>Pi)(«iPd = M«iPi).

c'est-à-dire

/ ' = râr( (oVA) ~' ,( " iaiW J

si n = o,

- _ * t «A

et, par ces valeurs, la ligne en question passe par le point

4o F. KRAFT

et avec cela nous avons pour l'équation de l'intersection, ou pour
le lieu des extrémités des déplacements o e , puisqu'elle est paral-
lèle au vecteur r 4f

+ = pi + -fer- & + " f »^w »i - Mi) ^ ' •

Avec les valeurs précédentes de n et p on a

X — 2 _L ^l g sPg *

la caractéristique passe donc par le point

et puisqu'elle est parallèle au vecteur y, nous avons aussi pour
équation de la même

x = Pl - 8, + i^r »i - 8 ?) + w ) («i 8 A) * - (^ 8 «Pt) ^ i •

Si Ton a en particulier o t = o, le point A du plan S ne subit
aucun déplacement et alors les équations de la caractéristique et
du lieu des extrémités des déplacements S c de ses points sont

7- = Pi + » î (*|3«Pi) «i — («*8«?i) Pi ït

+ = Pi + *((P:«iPi)«i-(«APi)Pi}.

Si les déplacements des points A et B sont nuls, on a 8 t = o,
3 2 = o, d'où alors

X = Pi + noLl = ♦» 3 e = o .
Si Ton a 8, = o, 8 2 = 8 3 , nous obtenons

X = Pi + " ( a i — Pi) = ♦» a « = °-

Dans les deux derniers cas le plan S possède une droite qui ne
change pas de lieu quand il passe de la position S â à la position

s.-

§ £ w — Si les déplacements des points du plan S sont infini-
ment petits, on procédera comme au § 4 en désignant par 8 A . les

ÉQUIVALENCE DU MOUVEMENT D'UN PLAN 4»

grandeurs correspondant aux grandeurs d k devenues infiniment
petites; on aura pour l'équation de l'hodographe des déplace-
ments situés dans le plan S â

dp = (Mp*+ Mps + Mpi) + "i [ c i d ?% + <v*? 3 + «s^Pi)-

La vitesse qui correspond à ce déplacement est

L'équation de la caractéristique du plan S = 2 t est mainte-
nant

et l'équation du lieu des extrémités des déplacements 8 C est

+ «{[?(* + rfa)(?+rf»]«-[«(« + rf«)(? + rf?)]P},

toutes ces équations, comme on le voit immédiatement, peuvent
facilement être simplifiées, mais nous en laisserons le soin au
lecteur, afin de ne pas abuser de la place qui nous a été accordée
dans cette revue.

§ 5. — Parmi tous les déplacements qui donnent l'hodographe
du système des déplacements du plan S, l'un est moindre que
tous les autres ; il est égal à la perpendiculaire abaissée du pôle
sur le plan de l'hodographe. Désignons ce déplacement par 3 ; il
est donné par la condition

= A + 710. + po? = X | (8«0<j) = JE.

De celle-ci suit immédiatement

(5,8.5?) = *(3.8,)!, x = (5^5,) : (8.8,)?.

de sorte que

°o = 7TF17 °*° -,/^^T 8,

A* F. KRAFT .

De plus, nous obtenons

<«A) I (8««j) + «Mu)! = o, (5.8,) I (3,8 ? ) + /> (8«3«)! = <>.

„_ (V.)I(>A) _» „_ (8,8,) | (8.8,) _ .
. "~ : (M,)» ' '- (8.8,)! '

et aussi avec cela

S -S ■ (8A)IM ») 8 , (8,8.) 1(8. 8,)

ou, en abrégeant

d'où il suit

8 = a% + //o, + c'8 s , a' + *' + c' = i .

Comme les coefficients de cette équation sont bien détermines
il n'y a en général qu'un point dont le déplacement est o : son
radius vector est

Po = Pi + *'«! + *Pi-
On a

MA

8|t = 8 1 |e =

•(W,)î '

« Les projections des déplacements 2 sur la direction de £ sont
égales au déplacement minimum o ».

Si Ton a o A = o, le plan de l'hodographe du système des dé-
placements passe par le pôle de cet hodographe, on a alors S =
o l = o, p = p t et A est le point dont le déplacement est le
moindre. Si Ton a o, = o, 8 i = o, on a aussi S = o et p = p â ,
et tous les points de la droite AB sont sans déplacement parce
qu'il en est ainsi des points A et B.

S 5'. — Si les déplacements des points du plan S sont infini-
ment petits, nous obtenons comme déplacement minimum

__ dp t dp t dp 3 •

et aussi

(dp,d 9i ) | (rfqrfP) (d 9i d Pi )\(d«dV

*o-<*pi + jjjsfii — d * + — (rfi5pj; d ?>

ÉQUIVALENCE DU MOUVEMENT D'UN PLAN 43

la vitesse avec laquelle il s'exécute est

Vo — 77======== 8,

ct la forme des autres résultats se voit immédiatement d'après le
paragraphe 5.

§ 6. — Les déplacements des points du plan 2 sont donnés par
l'équation

5 = 8 1 + (/i8«+ / >8 ? )

D'après cela le déplacement de chaque point du plan se com-
pose de deux composantes, c'est-à-dire d'un déplacement o x com-
mun à tous les points du système et d'une composante

qui est parallèle au plan de l'hodographe du système des dépla-
cements et perpendiculaire au vecteur de position de ce plan.

Nous allons maintenant examiner par quelles sortes de mou-
vements simples le plan 2 peut passer de la position l l à la posi-
tion 2 à en passant des cas spéciaux au cas général ; dans ce para-
graphe nous admettrons que o t = o.

Si le point A est sans déplacement, o l = o, le point A A = A 2
est un point double des plans I â et £ 2 .

L'équation de l'hodographe du système des déplacements des
points du plan 2 est à présent

8 = no 2 +/rô 3 .

Les déplacements totaux des points du plan 2 sont tous paral-
lèles au plan de l'hodographe qui passe par son pôle perpendi-
culairement au vecteur de position e de ce plan, lequel vecteur
est donné par

3 = [|(W]-V(P^.

Comme n etp (indépendants l'un de l'autre) sont des nombres

u

F. KHAFT

variables, il pourrait exister plusieurs points sans déplacement,
on aurait la condition o = o, ou

et si cette équation doit être satisfaite, o i et o 3 doivent être des
vecteurs parallèles, ce que nous excluons ici, de sorte qu'il n'y a
qu'un seul point sans déplacement.

Soient 2', 2' 2' â les projections de 2, 2 t , 2 2 , dans la direction
de s, sur un plan 2 A parallèle au plan de l'hodographe du système

Fig. a.

des déplacements; 2', 2' A , 2', sont des systèmes congruents en ce
plan 2 A car les projections de tous les vecteurs qui lient des points
homologues de 2 4 et de 2 2 - sont égales à ces vecteurs. Avec la
projection A' du point A = A A = A 2 dont le déplacement est
nul, coïncide le point double de 2' t et S', (fig. 2). Si S passe de
la position 2 A à la position 2 S , 2' passe aussi de la position 2' t à la
position 2', et si 2' coïncide avec 2', de sorte que des points cor-
respondants de 2' et 2' 2 se couvrent, 2 est encore passé de la posi-
tion 2 A à la position 2 2 . Le plus simple mouvement de 2' dans le
plan 2 A , pour parvenir d'une position 2'j à la position 2' 2 , est la
rotation de 2', autour du point double A' des systèmes plans If i

EQUIVALENCE DU MOUVEMENT D'UN PLAN 45

et 2' 2 , d'un angle w égal à l'angle des droites homologues de 1\
et S' 2 . Les déplacements des points de £' sont égaux aux déplace-
ments des points correspondants de £ car ces derniers sont paral-
lèles au plan 2 A .

En se reportant pour les notations à la figure (2), on a, si le
système S' passe de la positiou 1\ à la position S' a , en posant

a'j = cos wx\ -\- sin w | (ea'j), P' 2 = cos w§\ -f sin tv | (eJS'j).

De plus nous avons par rapport au système plan S les équa-
tions

a, = (1 — cos w t ) (e | a,) s -f- cos w l a L -f- sin w % \ (sx L ),
Pi = (1 — cos tr 2 ) (e I p â ) e + cos tv^ -f sin w t | (ep,).

Le plan qui passe par B A B 2 = 3 2 perpendiculairement à la
droite A 4 A' coupe cette ligne, qui est parallèle e, en un point O â
et on a AO.B.B, ses AA'B/B,' ; de 0^[ = X[, Ô^ l = X' à on a par
suite '£[ = a/, 't\ = a 2 ', donc

X'i = cos "'iX'i + 8 » n w i I («X'i) = c <> s «'«'i + «m w I (es\),
de sorte que

W, = tv.

Le plan qui passe par C^C, = 8 g et est perpendiculaire à la
droite A t A' coupe cet axe A, A' = e en un point O a et on a A0 2 C,C 3
= AÀ'C/C,' ; de 6fi l = X'/ f Ô& = X' 2 ' on a par suite /'/

= M' = ft,donC

x% = cos w iyC\ + * in w * i ( e xr) = cos «'P't + 8inw, i ( s P'i) » .

de sorte que

tv 2 = tv.

Si le point B du plan 2, par sa rotation autour de Taxée qui
passe par le point A i = A 2 , passe de la position B 4 à la position
B 2 , le pointC passe aussi du lieu C, au lieu C 2 et de même tous
les points homologues de 2 et 2 2 se couvrent puisque trois paires
de points homologues de 2 et 2 2 coïncident.

Enseignement math. 4

46 F. KRAFT

L'amplitude de la rotation s'obtient moyennant le déplacement
connu d'un des points B ou C ; on a

8, = (cos w— i) i\ + sin «' | (ex' 2 ),
d'où, par quadrature intérieure et extraction de racine, il vient

2 sin -i w = (v/ar: k ,j f h , t =v /^i.

Pour un point arbitraire U du plan 2 nous obtenons mainte-
nant, si nous posons \J ± = A Â -+- p,, U, -+- A, = p 2 ,

p 2 = (i — cos w) (e | pi) e + cos wp L -f- sin w | (epj),

ou, avec

Pi = « + Xi» Pi = M8 + 7j» ( 2 / Xi) = ( e I Xi) = °» Xiî = *iî

^^costi'Xi + sinHfot),

de sorte que le déplacement de ce point est

8 = x* — 7^ = (cos w — i) Xi + sin w | foi).

« Etant donné un point du plan S sans déplacement, ce plan
passe de la manière la plus simple d'une position 2 l à une posi-
tion S 2 en tournant autour de l'axe passant par le point fixe du
plan qui est point double de 2, et S, et qui est perpendiculaire
aux déplacements de deux autres points quelconques du plan S
assujettis toutefois à ne pas être en ligne droite avec le point fixe.
L'angle de rotation est égal à l'angle qu'enferment les perpen-
diculaires abaissées des éléments original, et final d'un dépla-
cement donné sur l'axe de rotation. Les déplacements des
points du plan 2 sont perpendiculaires à cet axe et de gran-
deur directement proportionnelle à leurs distances à cet axe.
Le mouvement correspondant de la projection du système plan 2
sur un plan perpendiculaire audit axe est la rotation de la pro-
jection autour du point d'intersection de l'axe de ce plan, du
même angle que précédemment ».

Dans ce mouvement les trajectoires des points du plan S sont
des arcs de cercle dont les plans sont perpendiculaires à l'axe de
rotation et dont les centres sont situés sur Taxe.

ÉQUIVALENCE DU MOUVEMENT D'UN PLAN fa

Le système des déplacements

s'appelle un système rotatif, puisqu'il est engendré par rota-
tion.

§ 6'. — Si les déplacements des points du plan S sont infini-
ment petits, on a rfp t = o, et son mouvement est équivalent a
une rotation infiniment petite d'amplitude dw autour de l'axe
passant par le point double de 2 1 et S, et perpendiculaire au plan
de Thodographe des déplacements. L'angle de rotation est
donné par

et la vitesse angulaire du plan est

W = (v. i :k' l )=(v i :h" 1 ), t, 1 :* 1 = * , ,:AV

Pour un point arbitraire du plan 2 nous obtenons

Pi = Pi + dw | (e Pl ), xa = 7.i + dw I (tfc),

dp = dw | (epj =r dw \ (e/J,
5 , = ic|(ep i ) = ui|(t/ J ).

§ 7. — Un cas plus spécial est celui où les points À et B du
plan S sont sans déplacements ; alors o 1 =o ? o i =o, de sorte
que A, = A, et Bi= B 2 sont des points doubles de S A et S,.

Alors la droite A t B 1 ^= A,B, est évidemment une ligne double
de S 4 et S 2 .

Dans ce cas, nous avons

c *

et les déplacements des points du plan 2 sont parallèles entre
eux.
Avec /> = 0, il vient

8 = 0, p = p t + n^i,

de sorte que les points de la droite AB = A t B, ne changent pas
de lieu ; cette droite est la caractéristique du plan 2 = 2 X .

48 F. KRAFT

Comme on a généralement

«i|8>+M*«=°,
on a h présent

«il^s— °» «il 0=0,

les déplacements de tous les points du plan S sont perpendicu-
laires à la ligne double de S t et S,. Les points homologues de S,
et 2j sont également éloignés de chaque point de cette ligne,
cette distance variant naturellement pour chaque couple de
points.

L'équation d'une droite du plan 2 = 2 t qui est parallèle à a â
est

P = Pi + cP 1 +iia lf

et comme o t = o, o a =0, les déplacements des points de cette
droite sont

= co s ,

ils sont égaux entre eux. En prenante comme paramètre variable,
il suit de là que les points de chaque rayon du plan 2 qui est
parallèle a 1 subissent un déplacement égal, de sorte que les
déplacements des points du plan S sont directement proportion-
nels à leurs distances à la droite A 1 B 1 == A 4 B t ; en outre les
déplacements sont perpendiculaires h a x , et la droite AjB, est
un axe pour le transport par rotation du plan S de la position S,
en la position 2 3 ,

Nous avons après cela, si e = (a t : y a i-)'

fc = (1 1 Pi) e + cos «' (tpj | e + sin w | (tft),

avec ?! = «• + /'„ ? t = u «+/„ (t| y/,) = (• |X' t ) = o est

X' 2 = cos iv x'i + sin «' | (»X\),

o s = (co8 w — 1) x'i + «in w | (cy/J,

d'où il suit

équation qui détermine l'angle de rotation.

EQUIVALENCE DU MOUVEMENT D'UN PLAN 49

Soit y, la distance vectorielle d'un point arbitraire du. plan
S=S 4 à Taxe a t , cette distance vectorielle devient après la rota-
tion

X* = cos «7i + sin "' I ( £ Xi)>

et le déplacement de ce point est

o = Xi — Xi = ( C08 "' — x ) Xi + sin "' I ( 6 Xi)-

§ 7'. — Si les déplacements des points du plan 2 sont infini-
ment petits on a dp t = o, rfp 2 = o et le mouvement de ce plan
est équivalent à une rotation infiniment petite autour de la ligne
double A 4 B t =A 2 B 2 de 2 â etS â ; l'amplitude et la vitesse angu-
laire de cette rotation sont

§8. — Enfin nous voulons examiner le cas spécial dans lequel
o 1 = o et 8j = 2 S est. Le point A du plan S est sans déplacement,
les déplacements de ces points B et C sont égaux.

Dans ces conditions nous avons

8=(*+p)*„

et les déplacements des points du plan S sont parallèles entre
eux.

Avec (n-4-/?)= o, c'est-à-dire avec p = — n, il vient

= 0, p = pi + » («1 — ftî-

Le plan 2 possède donc une droite passant par le point A = A,
dont le lieu ne change pas; elle est parallèle à la différence
des vecteurs a t et P i ainsi qu'à B â A, et forme une ligne double
de S, et S„

On a alors en général

(«1 1 *«) «?!-(&!*>) M =0,
et ici, dans notre cas particulier

(«iiy«.!-(Pii8»)*.î=o.

5o ' F. KRAFT

de sorte que les déplacements des points du plan 2 sont perpen-
diculaires à la direction du vecteur (a, — è 3 A ).

L'équation d'un rayon du plan S=S A parallèle à (<x t — [3J,
est

* =?! + <»! + «(«! — Pi)»

de sorte que les déplacements de ses points sont

Les déplacements des points d'une droite quelconque du plan
S = S 4 qui est parallèle au vecteur (a t — (îj sont égaux. Les
déplacements des points du plan S sont perpendiculaires a la
droite sans déplacement et, en grandeur, directement propor-
tionnels aux distances desdits points à cette droite. La droite qui
passe par le point A, et qui est parallèle a (ol 1 — (ÎJ est ainsi un
axe de rotation quant au transport du plan S de la position S, à
la position £,.

Remplaçons l'ancien axe de rotation par le nouveau et con-
servons la notation du § 7, nous avons pour le mouvement du
point C

X\= cos nyj t + sin w | (ex\),
S 3 = (cos w- 1) x'i + 8in«> | (s /;,) ; c = fo - fr) : y/ (*< - £,)*,

équation qui nous donne l'amplitude de la rotation.

§ 8'. — Si les déplacements du plan S sont infiniment petits,
on a d p 4 = o , d p 2 = d p 3 et l'équation de Thodographe du système
des déplacements est

dp= {n+p)dp Si

on a pour la vitesse

v={n+p)v 3 ,

l'équation de l'axe de rotation est

P = Pi + « («1 — W-

ÉQUIVALENCE DU MOUVEMENT D'UN PLAN Si

et l'amplitude dé la rotation ainsi que la vitesse angulaire du
•plan 2 sont

dw = ft/3p£: h\) = (ds, : h\ h W=(V 3 : h\) .

§ 9- — ^ trois points du plan 2, non situés en ligne droite,
sont fixes, on a o t =S 2 = o 8 = o et par suite 3= o. Le plan ne
peut subir aucun déplacement.

§ 10. — Soit maintenant un plan 2, dont aucun point n'est
fixe et qui doit passer d'une position 2 t à une position 2 2 .

L'hodographe du système des déplacements du système plan
de points 2 a présentement l'équation

Le système des déplacements se compose de deux parties,
d'abord du système

d'une translation commune o t à tous les points du plan, et du sys-
tème

8 =(«3«+y>o ? ),

dont les vecteurs du déplacement sont parallèles au plan de l'ho-
dographe et qui d'après le § 6 donne une rotation autour d'un
axe. Nous pouvons écrire

= X + r = r + Sp

et cette équation nous montre que Tordre dans la suite de la
translation et de la rotation, dans le mouvement du plan 2 d'une
position 2 A , est absolument indifférent.

Le point A = À i ne possède que la translation 8 t = A, À a .

Soient, si nous posons

*% %

o, = o lf

o 2 — 8 t = (O,,

3 8 — o, = ro 3 ,

o v — 8 i — w 4 ,

0, = 0>,

5a F. KRAFT

*) 2 , a> 3 , &> 4 , .., w les déplacements des points B, C, D, ...U du plan
S parallèles au plau de l'hodographe du système des déplace-
ments lequel à présent ne passe pas par son pôle, ces déplace-
ments pouvant être engendrés par la rotation du plan S
autour de Taxe i passant par le point A = A, et perpendiculaire
au plan de l'hodographe. Chaque point du plan possède en outre
la translation 8 1#

Prenons à présent le pôle des coordonnées sur cet axe, coïn-
cidant avec le point A 4 ; avec les notations précédentes le radius
vector d'un point arbitraire du plan S, qui passe de la position
Z v à la position S 2 , est

Pi = ( e 1 Pi) e + cos w (tpj | e + sin «» | («pj + 8„
le déplacement total du point est

= (Pi— Pi) = ( l — cos w ) { ( e I Pi) £ — Pi j + «in " I («Pi) + 8 X ,

eu, avec p 1 = «e+X 1 , p 2 ="e + y^, (e | yJ = (e|yJ==o,

Xi = cos «"Xi + sin w I ( e Xi) + 8 i>

5 = (Xi — Xi) = ( C08 w ~ Xi + sin "' I ( e Xi) + *i-

Il suit de là pour l'amplitude de la rotation

8 2 =(i — COS If) {(tK)« — « 4 } + « n H («*|) + *i.

d'où

3 t a = 8, — 8 4 = (cos w — 1) x', + sin w | (ry/J,

de sorte qu'enfin

sin 1^=^(8,-8,)*:^).

Comme le mouvement du système plan 2 est équivalent à une
notation autour de Taxe e passant par le point A= A t et à une
translation inclinée sur cet axe, il est aussi équivalent à une rota*
tion autour d'un axe parallèle à ç, passant par un point quel-
conque du plan I = S 1? avec la même amplitude, et à une trans-
lation du plan qui est égale au déplacement total de ce point.

« Le mouvement d'un plan £, qui passe d'une position S 1 à une

ÉQUIVALENCE DU MOUVEMENT D'UN PLAN 53

autre position £ 2 , est équivalent h une rotation autour d'un axe s
passant par un quelconque de ses points perpendiculairement au
plan de l'hodographe du système des déplacements des points
du plan S et à une translation de tous ses points. L'amplitude de
la rotation est égale à l'angle des plans 2 t et Z s . La translation
est égale au déplacement total du point du plan par lequel passe
l'axe de rotation.- Avec le point de réduction (Aee^AJ du sys-
tème des déplacements du plan S varient en général la transla-
tion et la position de l'axe de rotation mais non sa direction,
l'amplitude de la rotation est la même pour toutes les réductions
du système des déplacements. L'ordre de suite de la rotation et
de la translation est arbitraire ; elles peuvent donc avoir lieu en
même temps.

Si nous choisissons le point qui a le plus petit déplacement ô
comme point de réduction, les translations de points du plan 2
sont parallèles à Taxe e, qui passe par ce point et égales à o A .

Le mouvement du plan 2 est d'après cela un mouvement de
vis dont l'axe a l'équation

p, = a!p i + b'p 2 + c'p s + u | (S.oj,).

C'est le mouvement le plus simple pour le transport du plan I
d'une position S 4 à une position 2 2 .

§ 10'. — Si tous les points du plan 2 subissent des déplace-
ments infiniment petits, l'équation de l'hodographe du système
des déplacements est

dp = dp { + (nda + p$)
= (nda+pdp)+d ?l ,

il se compose de deux parties

dp l = dp lf dp r t= [ndoL + pdp).

La première partie peut être engendrée par la translation infi-
niment petite <fp t de tous les points du plan, la deuxième partie
par une rotation infiniment petite autour de l'axe passant par le
point A= A t et parallèle au vecteur de position du plan de l'ho-
dographe du système des déplacements.

54 F. KRAFT

L'équation de l'hodographe du système des vitesses des points
du plan est

ou

» = (* — * — P) vi+ M 2 +pvl,

elle se décompose en systèmes partiels

tJ~i ="ï^, v r = n7 2 +pv° 3 — (n+p)^

c'est-à-dire en un système de vitesses de translation et de rota-
tion.

L'amplitude de la rotation est donnée par

dlv = v1fo7£g = ^h - d ?i) -
et la vitesse angulaire autour desdits axes est

Revenant à l'équivalence du mouvement du plan, le théorème
donné précédemment est valable ici ; l'équation de l'axe e n pour
un mouvement de vis du plan est

p. = a' Pi + b'? à + c'pj + u\ [fo — v[) fo — iTj].

On déduira sans difficulté les cas spéciaux déjà traités des
résultats des deux derniers paragraphes.

Ferdinand Kraft (Zurich).

NOTES ET DOCUMENTS (')

ECOLE CENTRALE DES ARTS ET MANUFACTURES

EXTRAITS DU (( PROGRAMME DES CONDITIONS POUR L'ADMISSION
DES ÉLÈVES »

D* importantes modifications ont été apportées au programme d'admission
à l'Ecole centrale de Paris. Elles tendent principalement à transformer la
préparation des candidats pour la rendre plus pratique et mieux appro-
priée que par le passé au but de ï Ecole. Nous attirons tout particulière-
ment f attention de nos lecteurs sur les « Renseignements généraux sur
l'esprit dans lequel ont été faites les modifications aux programmes. »

Note de la Rédaction.

Renseignements généraux. — L'Ecole centrale des Arts et Manu-
factures établie à Paris est spécialement destinée à former des ingé-
nieurs pour toutes les branches de l'industrie et pour les travaux et
services publics dont la direction n'appartient pas nécessairement aux
ingénieurs de l'État.

L'Ecole ne reçoit que des élèves externes. Les étrangers y peuvent
être admis comme les nationaux ; leur admission a lieu aux mêmes
conditions.

La durée des études est de trois ans.

Le prix de renseignement, y compris les frais qu'entraînent les
diverses manipulations, est établi conformément au tableau suivant, et
exigible en trois termes :

Avant l'ouverture des cours .

Première

année d'études

(3* division)

fr.

45o

Deuxième

année d'études

{i e division)

fr.

5 00

Troisième
annéo d'études
(l r « division)

fr.

5 00

Le i eP février

225

2DO

25o

Le i OP mai

225

230

25o

900

IOOO

IOOO

(') Nous publions sous ce titre des extraits de règlements, programmes et décrets
relatifs à l'enseignement secondaire et û l'enseignement supérieur.

La Rédaction.

56 NOTES ET DOCUMENTS

Concours. — Nul n'est admis à l'Ecole que par voie de concours.

Le concours est public. Les épreuves sont de deux sortes : les
épreuves obligatoires et les épreuves facultatives.

i° Epreuves obligatoires. — Elles consistent en compositions écrites
et en examens oraux qui portent sur les connaissances ci-après :

i° La langue française ; a l'arithmétique ; 3° la géométrie élémen-
taire ; 4° l'algèbre ; 5° la trigonométrie ; 6° la géométrie analytique à
deux et à trois dimensions ; 7 la géométrie descriptive ; 8° la méca-
nique ; 9 la physique ; io° la chimie; 1 1° le dessin à main levée, le
dessin au trait et le lavis.

Toutes les matières comprises dans les Programmes détaillés, sont
également obligatoires. Les candidats dont les connaissances sur Tune
quelconque des matières seraient reconnues insuffisantes ne pourront
être admis. Le programme est remis à toutes les personnes qui en font
la demande au secrétariat de l'Ecole.

Les compositions écrites peuvent s'appliquer à toutes les divisions
du programme ; une rédaction correcte et méthodique, ainsi qu'une
écriture régulière et très lisible, en sont des conditions essentielles.

Les coefficients attachés aux examens oraux et aux compositions
écrites sont fixés comme il suit :

ORAL COMPOSITIONS ÉCRITES

Géométrie analytique et Mëca- Trigonométrie et calcul loga-

nique 5 rilhmique 3

Arithmétique, algèbre, trigono- Mathématiques 5

métrie 5 Physique 2

Géométrie élémentaire et descrip- Chimie a

tive 5 Epure 3

Physique 5 Dessin d'arcliileciure 4

Chimie 5 Dessin de machines a

Croquis de machines a

Quinze points seront ajoutés au total des points obtenus par ceux des
candidats qui produiront soit le certificat relatif à la première partie
des épreuves du baccalauréat de l'enseignement secondaire classique ou
moderne, soit le diplôme des Ecoles nationales des Arts et Métiers.

Tout candidat de nationalité française, dont les compositions écrites
présenteront de graves incorrections au point de vue de la rédaction
ou de l'orthographe , sera, de ce fait, déféré au jury d'admission réuni
en séance plénière et pourra être exclu du concours, alors même que
l'ensemble de ses épreuves le classerait en rang utile pour être admis.

•à Épreuve facultative. — En raison de l'importance croissante qu'a
pour les ingénieurs la connaissance des langues, tout candidat, quelle
que soit sa nationalité, sera admis, s'il en fait la demande dans la forme
spécifiée plus haut à l'article : « Concours », à passer un examen sur
une ou plusieurs des langues suivantes : Anglais Allemand, Espagnol,

NOTES ET DOCUMESTS 67

et Russe. L'examen sera oral et public comme les épreuves obligatoires.
11 consistera en :

i° La traduction française d'un texte écrit dans la langue sur laquelle
porte l'épreuve ;

2 Une conversation en ladite langue.

Les points obtenus dans cette épreuve au-dessus de la note 10, seront
affectés du coefficient a et compteront pour l'admission.

Si un candidat passe sur deux ou trois langues, le coefficient a s'ap-
pliquera dans les conditions ci-dessus, à la langue sur laquelle il aura
obtenu la plus haute note, les points au-dessus de 10, obtenus sur les
autres langues, s'ajoutant purement et simplement.

Composition de Mathématiques. — A l'avenir, cette composition por-
tera sur deux sujets distincts :

i° Une question de cours prise dans la partie du programme relative
à la mécanique ou à la cinématique, avec application numérique, s'il y
a lieu ;

'i° Un problème de géométrie analytique ou de cinématique, consis-
tant : soit dans la recherche, la discussion et la représentation d'un
lieu géométrique ou d'une trajectoire d'après les conditions géomé-
triques ou cinématiques données ; soit dans la discussion el la repré-
sentation d'une courbe ou d'un mouvement directement définis par des
équations numériques données.

Pas plus que par le passé on ne proposera des questions d'arithmé-
tique pure ou d'algèbre pure. Ces deux sciences n'interviendront qu'à
titre d'auxiliaires.

Ce que l'on désire, c'est que les candidats soient exercés à discuter
et à suivre, par les moyens analytiques, géométriques ou cinématiques
dont ils disposent, l'allure d'une fonction d'une variable ; qu'ils soient
exercés à la recherche des tangentes, des maxima et minima, des points
d'inflexion et, en cinématique, à celle des vitesses et des accélérations
tangentielles.

On ne s'interdit pas d'une manière absolue de donner aussi des
questions où il y aurait à remonter à des fonctions primitives ; mais,
en ce cas, on se bornera aux fonctions primitives qui sont explicitement
au programme et que les candidats doivent connaître.

Renseignements généraux sur l'esprit dans lequel ont été
faites les modifications au PROGRAMME. — Les modifications appor-
tées au programme ont été faites dans le but de le simplifier, de le
préciser et de le développer dans le sens dans lequel les élèves eux-
mêmes sont appelés à se diriger après leur entrée à V école.

i° Simplifications. — On a supprimé toutes les questions pouvant
donner lieu à des discussions sur les principes : ces questions qui tou-
chent à la philosophie des mathématiques seraient intéressantes et utiles
pour des élèves se destinant à l'enseignement; elles ne peuvent même

58 NOTES ET DOCUMENTS

pas être comprises d'un élève de lycée. Personne ne songerait à
demander à des candidats à l'Ecole centrale d'approfondir et de justifier
les définitions de la ligne droite et du plan, de discuter le postulatum
d'Euclide : les notions simples et intuitives fournies par le bon
sens ne peuvent qu'être obscurcies par des discussions prématurées.
La même prudence s'impose en arithmétique, en algèbre et en méca-
nique.

C'est ainsi que, pour l'algèbre et l'arithmétique, on a supprimé du
programme toutes les questions pouvant donner lieu à des développe-
ments ou à des interrogations sur les nombres incommensurables en
général, sur l'idée générale de limite, sur la continuité en un point ou
dans un intervalle, sur l'existence des dérivées et des fonctions impli-
cites... : ce genre de notions se trouvera précisé parles exemples parti-
culiers qui s'en présentent dans le cours ; l'idée d'incommensurable par
le rapport de la diagonale du carré au côté ; l'idée de limite par les
progressions géométriques décroissantes, les séries, les dérivées... ;
pour éviter toute difficulté pour la continuité on a indiqué au programme
que l'idée d'un trait continu pour la représentation graphique de la
fonction suffirait à définir la continuité ; on a, d'une façon générale,
introduit dans toutes les questions d'analyse et d'algèbre la représen-
tation graphique; par exemple, on a indiqué que, pour le théorème des

accroissements finis, j—^ == f 1 (c), on peut le déduire de cette

remarque que, sur l'arc de courbe y -=.f{x) entre les deux points x = a
et x = b, il existe un point .r ==. c où la tangente est parallèle à la corde,
pourvu que la dérivée remplisse les conditions connues ; de même la
représentation graphique doit jouer un rôle fondamental dans tout
ce qui touche à la théorie des équations à coefficients réels, théorème
de Rolle, méthodes d'approximation de Newton et des parties propor-
tionnelles...

Pour les séries, on ne demandera que l'étude de celles dont la conver-
gence ou la divergence puisse s'étudier par l'application directe des
théorèmes indiqués au programme.

En mécanique, les interrogations ne porteront pas sur les principes.
Les candidats devront être exercés aux questions du programme accom-
pagnées d'applications simples ; par exemple les conditions générales
d'équilibre d'un corps solide devront être appliquées aux cas simples
d'un corps solide sollicité par deux forces, par trois forces, par des
forces parallèles, par des forces dans un même plan...

Une autre simplification du programme a consisté à supprimer les
petites questions traitées par des méthodes spéciales et compliquées,
quand il existe des méthodes générales plus simples.

Enfin, une dernière simplification en mathématiques a consisté à dimi-
nuer en géométrie analytique la place excessive prise par la théorie des
courbes et surfaces du second ordre, principalement en supprimant des

NOTES ET DOCUMENTS 59

questions relatives à ces courbes ou surfaces rapportées à des axes
quelconques. On a supprimé toutes les formules générales qui ne sont
que des exercices de mémoire ou des jeux d'écriture ; exemples : condi-
tion de contact d'une droite et d'une conique, équation quadratique des
tangentes menées d'un point, équation quadratique des asymptotes
dans l'équation générale, théories générales des foyers et des direc-
trices...

De même, dans l'espace, on a supprimé ce qui se rapporte à la réduc-
tion de l'équation générale du deuxième degré ; par contre, on a précisé
les points sur lesquels portera l'étude des quadriques avec les formes
réduites.

Pour éviter de charger la mémoire de formules compliquées, on a
spécifié en géométrie analytique que, dans toutes les questions relatives
aux angles et aux distances, on emploierait les coordonnées rectangu-
laires.

Dans le même ordre d'idées, on a supprimé les notions de sciences
naturelles précédemment exigées.

a° Précision. — L'ancien programme contient quelques expressions
trop vagues ou trop générales, de telle sorte que les professeurs, ne
sachant jusqu'où l'examinateur ira, fatiguent les élèves à force de vouloir
prévoir des questions possibles. Dans cet ordre d'idées, rentrent
d'abord des questions sur les principes qui sont déjà écartées, puis des
questions comme les suivantes :

En trigonométrie :

Application à la résolution de certaines équations trigonométriques.

En algèbre :

Fonctions primitives qui s'obtiennent comme conséquences immé-
diates des dérivées ci-dessus indiquées.

En géométrie analytique :

Recherches des asymptotes à une courbe : application aux courbes
algébriques.

Equations générales de coniques assujetties à certaines conditions.
Equations d'un plan assujetti à certaines conditions, etc.

Ces questions ont été précisées et on a énuméré les applications
demandées, ce qui allonge le texte, mais diminue le programme.

3° Développement. — Enfin, on s'est proposé de développer le pro-
gramme. Il y a actuellement une tendance à faire tourner toute la géo-
métrie analytique autour de l'étude des courbes et surfaces du second
ordre définies par les équations générales et de la recherche de lieux
géométriques artificiels ; les élèves apprennent par cœur des formules
et des équations tout à fait inutiles. Comme nous l'avons déjà dit, on a
supprimé dans le programme tout ce qui pourrait pousser les profes-
seurs dans cette voie où les élèves, se fatiguent sans aucun développe-
ment dé l'intelligence et acquièrent le dédain des questions simples et
précises, des applications numériques, des calculs entièrement terminés*.

1

60 NOTES ET DOCUMENTS

Beaucoup d'élèves sont incapables de construire une courbe définie
par une équation numérique explicite y = /*(.r),de calculer les maxima,
minima, les points d'inflexion, etc. On a, en conséquence, introduit
quelques questions qui obligeront les élèves à approfondir la repré-
sentation d'une fonction par une courbe sur des exemples numériques
et à pousser les calculs jusqu'au bout. C'est pourquoi on a divisé la
partie du programme relatif aux courbes en trois parties :

A) Etude des courbes définies par une équation explicite y = f(x),
cas très important au point de vue des applications :

B) Etude des courbes telles que les coordonnées d'un de leurs points
soient exprimées en fonctions d'un paramètre, cas qui se présente cons-
tamment en cinématique ;

G) Courbes définies par une équation implicite, cas sur lequel por-
taient presque toutes les questions de l'ancien programme.

En trigonométrie on a ajouté la formule de Moivre et la formule
d'Euler

e*' = cos x-\-i sin x.

Pour établir cette formule, on remarquera que, en prenant la dérivée
de

y = L (cos x -f- i sin #)

par les règles ordinaires et réduisant on trouve

on en conclut y = ix -j- C.

cos x -f- i sin x = Ae"

et en faisant x = o, A = 1. 11 ne sera soulevé aucune difficulté au sujet
de cette démonstration.

Enfin, le programme se trouve complété, dans le sens que nous avons
indiqué, par l'introduction de quelques notions de cinématique et de
mécanique.

Si, pour les parties déjà anciennes et depuis longtemps classiques du
programme, on a tenu à le préciser, à plus forte raison, en est-il ainsi
dans ces parties nouvelles.

Ce qu'on a voulu tout d'abord, c'est que de futurs ingénieurs acquiè-
rent le plus tôt possible quelques notions précises sur les machines les
plus simples et que, sur chacune d'elles, il leur soit montré clairement
qu'on ne peut pas gagner à la fois en force et en chemin parcouru, ce
qui n'exige en aucune façon qu'on leur donne et surtout qu'on leur déve-
loppe la notion du travail mécanique.

Galilée, sans cette notion, pouvait déjà dire à ses contemporains que
celui qui chercherait un dispositif mécanique ayant par lui-même la

NOTES ET DOCUMENTS 6l

double vertu de faire gagner à la fois de la force et du temps ne méri-
terait pas d'avoir du temps, parce qu'il l'emploierait trop mal. C'est ce
que les machines comprises au programme suffisent à faire concevoir.

Si ce but avait été le seul utile, le programme de statique y eût suffi.
Si l'on y a ajouté les premiers éléments de la cinématique et de la
dynamique du point, c'est surtout en vue de renseignement de la phy-
sique, cette science dont l'importance en industrie grandit chaque jour.
Les professeurs de physique n'ont jamais pu se passer d'employer des
notions de mécanique plus ou moins déguisées. Il a paru préférable de
les donner franchement en les réduisant à ce qui est indispensable dans
la physique élémentaire et restera indispensable dans la physique la
plus industrielle, à savoir : la notion du champ de forces uniforme et
celle du champ de forces centrales variant en raison directe de la dis-
tance au centre. C'est à bien en imprégner les débutants que s'attache le
programme dès ses premières lignes, dès qu'on a défini l'accélération.

On ne demandera d'ailleurs aucun des théorèmes généraux relatifs à
la dynamique du point.

En statique, on a, dès le début, et contrairement à l'usage, introduit
la notion du frottement. C'est la réalité, ce que chacun conçoit. Elle est
de nature à donner aux débutants des idées beaucoup plus justes que
l'abstraction sur laquelle, d'ordinaire, on les tient peut-être un peu
longtemps et non au profit de la claire vue des choses.

Cours universitaires.

Paris. Collège de France. — Mécanique analytique et mécanique
céleste. M. Hadamard. — Calcul des variations ; Equation aux dérivés
partielles dans la mécanique des milieux déformables. Les mercredis à
2 heures 1/2 et les samedis à 3 heures 3/4. — Analyse mathémathique.
M. Jordan. Equations différentielles. Les jeudis et samedis à midi 3/4.
— Physique générale et mathématique. M. Brillouix. Productions pro-
pagation et réception des ondes électriques à travers l'espace. Rôle de
la Terre. Les mercredis et samedis à 5 heures. — Mathématiques.
(Fondation C.-A. Peccot). Contrairement à ce que nous annoncions
dans notre dernier numéro, ce cours n'est pas continué cette année
par M. Borel mais par M. Lebesgle qui traitera delà notion d'intégrale
définie et du développement trigonométrique des fonctions, les ven-
dredis à io heures 1/2.

SUISSE

Neuchatel. Académie. — Calcul infinitésimal (3 h.). Géométrie analy-
tique dans l'espace (2 h.). Théorie des nombres (1 h.). M. Isely. —
Théorie générale des fonctions (2 h.). Fonctions abéliennes (1 h.).
M.-L.Gaberel. — Astronomie sphérique et géodésie (3Ji.). M. le Grand
Roy. — Mécanique analytique(i h.). Physique math. (2 h.). M. R.Weber.

Enseignement math. 5

CHRONIQUE

Prix Académiques.

Prix décernés. — Dans sa séance du 22 décembre 1902, l'Académie
des Sciences de Paris a décerné les prix afférents à Tannée 1902.
Comme les années précédentes nous indiquons ici ceux qui ont trait
aux mathématiques.

Grand prix des sciences mathématiques (3ooo francs). — Perfection-
ner en un point important, l'application de la théorie des groupes con-
tinus à la théorie des équations aux dérivées partielles : M. Ernest
Vessiot. Professeur à la faculté des sciences de Lyon . Une mention
très honorable est accordée à M. Le Roux, chargé de cours à la Faculté
des sciences de Rennes.

Prix Bordin. — Développer et perfectionner la théorie des surfaces
applicables, sur le paraboloïde de révolution. Une mention honorable
est accordée à M. de Tannenberg, professeur à la Faculté des sciences
de Bordeaux.

Prix Francœur. — M. Emile Lemoine obtient le prix pour l'ensem-
ble de ses travaux sur la géométrie.

Prix Poncelet. — M. Maurice d'Ocagne obtient le prix pour l'en-
semble de ses travaux sur la Nomographie.

Prix extraordinaire de mécanique (6000 francs). — Un prix de
4000 francs est donné à M. Romazotti pour ses travaux relatifs aux
bateaux sous-marins, et un prix de 2000 francs à M. Driencourt.

Prix Montyon. — M. le commandant Hartmann obtient le prix pour
les expériences à l'aide desquelles il a su faire apparaître à la surface
des corps élastiques, les lignes de glissement produites dans leurs
déformations.

Prix Plumey. — M. le colonel Renard, obtient le prix pour l'ensem-
ble de ses travaux.

Prix Pierre Guzman. — Non décerné.

Prix Lalande. — Décerné à M. Trépied, directeur de l'observatoire
d'Alger pour l'ensemble de ses travaux.

Prix Valz. — M. Hartwig, directeur de l'observatoire de Bamberg
obtient le prix pour l'ensemble de ses travaux.

Prix Damoiseau. — M. Gaillot, sous-directeur de l'observatoire de
Paris obtient le prix pour l'ensemble de ses travaux.

Prix Sans s en. — M. le Comte Aymar de la Baume-Pluvinel,
obtient le prix pour l'ensemble de ses travaux d'astronomie physique.
Un encouragement et une médaille sont accordés au Docteur Jean Binot.

CHRONIQUE 63

Prix Saintour. — Partagé entre M. Riquier. pour ses travaux sur
l'intégration des systèmes d'équations aux dérivées partielles, et A. Minet
pour ses recherches sur la préparation électrolytique de l'aluminium.

Prix fondé par M m * la Marquise de Laplace, — Œuvres complètes
de Laplace décernées en prix au premier élève sortant de l'Ecole Poly-
technique : M. Aubrun.

Prix Félix Rivot. — A réserver aux deux élèves entrant les premiers
soit à l'Ecole des Mines, soit à l'Ecole des Ponts et Chaussées :
MM. Aubrun, Niewenglowski, Barrillon, Bénézit,

Prix proposés. — Prix Francœur (iooo francs). — Prix annuel
décerné à l'auteur des travaux utiles au progrès des sciences mathéma-
tiques pures et appliquées.

Prix Poncelet (2000 francs). — Destiné à récompenser l'ouvrage le
plus utile aux progrès des sciences mathématiques pures ou appliquées,
publié dans le cours des dix années qui auront précédé le jugement de
l'Académie.

Grand prix des sciences mathématiques (3ooo francs). — Perfection-
ner, en quelque point important, l'étude de la convergence des fractions
continues algébriques.

Prix Bordin (3ooo francs). — Développer et perfectionner la théorie
des surfaces applicables sur le paraboioïde de révolution.

Prix Vaillant (4000 francs). — Déterminer et étudier tous les dépla-
cements d'une figure invariable dans lesquels les différents points de la
figure décrivent des courbes sphériques.

Prix extraordinaire de mécanique (6000 francs). — Destiné à récom-
penser tout progrès de nature à accroître l'efficacité de nos forces
navales.

Prix Montyon (700 francs). — Mécanique appliquée à l'agriculture,
aux arts mécaniques ou aux sciences.

Prix Plumey (a5oo francs). — Perfectionnement des machines à
vapeur ou de la navigation à vapeur.

Prix Fourneyroh (1000 francs). — Etude théorique ou expérimentale
des turbines à vapeur.

Prix Pierre Guzman (100,000 francs). — Communiquer avec un astre
autre que la planète Mars. Comme ce prix ne pourra probablement pas
être décerné d'ici longtemps, les intérêts du capital feront un prix
quinquennal qui sera décerné pour la première fois en 1905.

Prix Lalande (54o francs). — Observation ou mémoire le plus utile
à l'Astronomie.

Prix Vais (460 francs). — Observation astronomique.

Prix G.Pontécoulant (700 francs). — Recherches de mécanique céleste.

Prix Janssen (Médaille d'or). — Astronomie physique.

Prix Damoiseau (2000 francs). — Il existe une. dizaine de comètes
dont l'orbite, pendant la période de visibilité s'est montrée de nature
hyperbolique. Rechercher, en remontant dans le passé et tenant compte

64 CUllONIQUE

des perturbations des planètes, s'il en était ainsi ayant l'arrivée de ces
comètes dans le système solaire.

Prix Binoux (-2000 francs). — Histoire des sciences.

Médaille Arago. — Témoignage de haute estime donné par T Acadé-
mie à un travail scientifique de nature quelconque.

Prix Wilde (4000 francs). — Ce prix doit récompenser la découverte
ou l'ouvrage le plus distingué sur l'Astronomie, la Physique, la Chi-
mie, la Minéralogie, la Géologie ou la Mécanique expérimentale.

Prix Petit d'Ormoy (10.000 francs). — Mathématiques pures ou
appliquées.

Prix Boilcau fi3oo francs). — Progrès suffisant de l'Hydraulique.

Prix de M mc la Marquise de Laplace. — Collection des œuvres de
Laplace décernée au premier élève sortant de l'Ecole Polytechnique.

Prix Félix Rivot (a5oo francs). — A partager entre les quatre élèves
sortant chaque année de l'Ecole Polytechnique avec les numéros 1 et
•2, dans le corps des raines et des Ponts et Chaussées.

Prix Lecomte (5o,ooo francs). — Découvertes scientifiques capitales.

Prix Saintour (3ooo francs). — Décerné dans l'intérêt des sciences.

Le Prix Fr an cœur.

Ainsi qu'on le voit dans liste précédente, le prix Francreur a été
décerné cette fois à M. Emile Lemoine. Nous nous associons de grand
cœur au témoignage d'estime de l'Académie et sommes heureux de voir
récompenser un de nos amis qui à coup sûr méritait une telle distinction
à des titres nombreux. M. Lemoine fut le principal créateur de la géo-
métrie du triangle et le créateur exclusif de la géométrographie. Il s'est
aussi occupé de certaines parties de la théorie des nombres et du calcul
des probabilités. Avec M. Laisant il fut le fondateur de \J Intermédiaire
des Mathématiciens et a donné un grand nombre d'articles aux jour-
naux mathématiques les plus divers. Atteint depuis quelques années d'une
maladie cruelle, il a le grand regret de ne pas pouvoir toujours travailler
autant qu'il le désire et de se refuser à de nouvelles publications de ses
idées, publications qu'on lui demande de tout côté et notamment de
l'étranger. La rédaction de Y Enseignement mathématique est heureuse
de s'associer aux félicitations dont ce modeste savant est l'objet.

États-Unis.

Nécrologie. — M. le P r John B. Runkle, qui dirigeait la section des
sciences mathématiques de l'Institut technologique de Massachusett,
est décédé le 8 juillet dernier. Il était né à Root le 11 octobre i8*3.
Runkle a dirigé l'Institut technologique pendant huit ansj il a. été pen-
dant plus de trente ans l'un des principaux appuis de Y American Nau-
tical Almanach . Il a fondé et dirigé le Mathematical Monthly (i858*i86i),
qui fut l'un des premiers périodiques mathématiques américains.

CORRESPONDANCE

A propos du récent article de M. Vidal.

En partant des définitions habituelles de la droite et du plan, on
prouve qu'il existe entre l'hypoténuse a et les côtés b et c d'un triangle
rectangle l'une des relations

*(t)=-(t)-(t)-

a* = b* + c»

suivant que l'on rejette ou que l'on admet le postulat de la parallèle
unique et réciproquement. Il en résulte que le postulat de la parallèle
est indémontrable en se servant des définitions seules puisque ces défi-
nitions conduisent à deux relations distinctes, dont la seconde seule-
ment a pour conséquence ce postulat.

L'argument de la pseudosphère est parfaitement probant quand «n
l'entend d'une pseudosphère enroulée un nombre infini de fois sur elle-
même; il est inutile pour ceux qui connaissent la géométrie plane lobat-
chefskienne ; incomplet parce qu'il prouve seulement l'indémontrabilité
du postulat de la parallèle unique par des constructions planes.

Gand, octobre 190a. P. MxNSION.

Remarque sur la géométrie non-euclidienne.

11 y a des géomètres qui pensent que la géométrie projective habi-
tuelle est indépendante de la théorie des parallèles, en sorte que
ses théorèmes subsisteraient aussi dans la géométrie non-euclidienne.
Toutefois il v a une différence. . _

Soit A une droite, s un point, puis \

su et s^ les deux parallèles différentes \

du point 5 à la droite A, qui existent
dans la géométrie de Lobatchewsky.
Choisissant à volonté deux points u
et v sur lune et l'autre desdites paral-
lèles, je considère la droite uv comme
l'axe de perspective, s étant le centre de projection. Cela étant, j'observe
que si le point mobile m parcourt la droite indéfinie A, sa projection m
parcourra le segment de longueur finie uv ; les points placés sur les
deux prolongements de uv ne correspondront à aucun point de la
ligne A. C'est là une différence radicale entre les deux géométries. X.

1

BIBLIOGRAPHIE

Alfredo Capelli. — Lezioni sulla teoria délie forme algebriche. Un
vol. di 293 p. gr. in-8° (in litografia) ; L. 10. — B. Pcllerano, N a poli 190a.

En publiant cette rédaction, faite par lui-môme, du cours qu'il a professé à
l'Université de Naplcs sur la théorie des formes algébriques, M. Capelli
prévient expressément le lecteur, dans sa préface, qu'il a voulu s'en tenir à
un exposé théorique tout à fait général, sans autres applications que quelques
rares exemples jugés utiles pour éclaircir certaines propositions abstraites.
Et en effet, on chercherait vainement dans cet ouvrage les résultats si nom-
breux et variés acquis à la science dans les théories spéciales des formes
ou système de formes binaires, ternaires, quaternaires, des formes bili-
néaires, etc. Par contre, on y trouvera un exposé remarquablement métho-
dique et rigoureux d'une théorie qui a été édifiée surtout grâce aux recher-
chas personnelles de 1 eminent professeur, et dont la généralité ne laisse
rien à désirer, car elle s'attaque directement et de prime abord aux systèmes
de tant de formes simultanées indépendantes qu'on voudra de n'importe
quels ordres, renfermant un nombre quelconque de séries de variables
n airci tant cogrédientes que contragrédientes. Cette théorie est exclusivement
fondée sur la considération de l'opération polaire, à laquelle l'auteur ramène
successivement (au besoin par l'introduction de séries de variables auxiliaires
qui disparaissent finalement du résultat) toutes les autres opérations, telles
que celles de Cayley et d'Aronhold, qui jouissent aussi de la propriété de
conserver le caractère d'invariance. Les relations entre ces diverses opéra-
tions, répétées ou combinées entre elles, sont étudiées en détail, notamment
au point de vue des conditions de permutabilité. — Pour leur application à
la construction des formes concomitantes d'un système donné, et pour la
représentation de ces formes, il est fait exclusivement usage de la notation
symbolique allemande ; néanmoins quelques leçons du chapitre 11 sont con-
sacrées à la formation et à la discussion des équations différentielles qui
caractérisent les covariants, les semi-covariants, etc., ainsi qu'aux propriétés
si importantes des sources (péninvariants). L'ouvrage se termine par la
démonstration du théorème de M. Gordan complété par M. Hilbert, sur
l'existence de systèmes finis complets de covariants pour tout système de
formes fondamentales à plusieurs séries de variables n alrcs cogrédientes .

Dans un appendice d'une trentaine de pages, l'auteur a rejeté les dévelop-
pements de la théorie générale qui concernent spécialement le domaine
binaire, savoir les formules de réduction indispensables pour simplifier les
représentations symboliques (celles qui concernent le domaine ternaire
ont été données au § XIV du chap. 11), le développement de Clebscb et
Gordan, les propriétés de l'opération de transvection (Uebcrschiebung) et les
relations identiques existant entre les formes que fournit l'application répé-
tée de cette opération. R. Perrin (Paris).

BIBLIOGRAPHIE 67

L. Couturat. — La logique de Leibniz, d'après des documents inédit».
(Collection historique des grands philosophes). Un toI. gr. in- 8°, 608 p.,
prix : ia fr. ; F. Alcan, Paris.

Qu'il reste de Leibniz des documents inédits d'une certaine importance et
en assez grand nombre, voilà certes un fait qui surprendra bien des lecteurs.
On en trouvera cependant une preuve éclatante dans cet ouvrage, de plus de
six cents pages, consacrées à la Logique de Leibniz d'après des documents
inédits, et dans lequel il n'est pas un chapitre qui ne soit d'un réel intérêt,
tant pour le philosophe que pour le mathématicien.

Il est vrai que la publication des œuvres de Leibniz a été faite dans des
conditions très défavorables, sinon défectueuses. Les œuvres n'ont du reste
été publiées qu'incomplètement, et ce qui est imprimé est dispersé dans des
éditions partielles ou fragmentaires. Quant aux nombreux auteurs qui, depuis
bientôt deux siècles, ont consacré des travaux au grand philosophe allemand,
ils n'ont, pour la plupart, pas eu recours aux documents primitifs. C'est ce
qu'a constaté M. Couturat lorsqu'il prit connaissance des manuscrits con-
servés à la bibliothèque de Hanovre, t Nous croyions, dit-il dans la Préface,
n'avoir plus qu'à glaner après tant d'éditeurs : or nous avons rapporté une
moisson si riche de documents nouveaux, que nous avons été obligé de
refondre entièrement notre livre et de récrire certains chapitres en totalité »,
notamment le chapitre consacré à la langue universelLe et celui qui a pour
objet le calcul logique.

Les deux premiers chapitres traitent de la Syllo gis tique (3a p.) et de la
Combinatoire (18 p.). L'auteur indique d'abord ce que pensait Leibniz de la
logique traditionnelle d'Àristote et des scolastiques et en particulier de la
théorie du syllogisme pour laquelle il a toujours témoigné une grande admi-
ration. Dès sa quatorzième année, il porte son attention sur ces questions.
A l'âge de dix-neuf ans, il montre dans son De Arte Comhinatoria, que l'une
des principales applications de l'art des combinaisons est la logique, et tout
particulièrement la logique de l'invention. M. Couturat montre que la logique
conçue par Leibniz n'est pas un développement ou un perfectionnement de
celle d'Àristote, mais qu'elle est une sorte de Mathématique nouvelle, selon
l'expression employée par Leibniz lui-même.

La logique de l'invention conduisit le jeune philosophe à la conception
d'une Langue universelle (chap. III, 3o p.) et d'une Caractéristique univer-
selle (chap. IV, 3a p.). Au milieu du xvn e siècle, il existait déjà plusieurs
projets de langue internationale. Mais il ne s'agissait guère que de systèmes
artificiels et arbitraires sans base logique et philosophique. Leibniz s'oc-
cupa, dès sa vingtième année, du plan d'une langue universelle ayant une
base philosophique. M. Couturat fait une esquisse de ce plan; il nous
montre comment Leibniz cherche à simplifier la grammaire et la syntaxe,
puis comment, par la conception d'un « alphabet des pensées humaines », il est
conduit hors des limites de son projet primitif, à l'institution d'une caracté-
ristique universelle et à l'élaboration d'une Encyclopédie (chap. V, 57 p.) .
Leibniz envisage la caractéristique comme un instrument puissant permet-
tant d'effectuer les raisonnements et les démonstrations par un calcul ana-
logue aux calculs arithmétique et algébrique. « En somme, c'est la notation
algébrique qui incarne pour ainsi dire l'idéal de la caractéristique et qui
devra lui servir de modèle ». Il attache une grande importance au choix des
symboles en mathématiques et il attribue les progrès qu'il a fait faire à cette

1

68 BIBLIOGRAPHIE

branche, nniquement à ce qu'il est parvenu à créer des symboles bien adap-
tés aux relations qu'ils doivent représenter. Le plus bel exemple que Ton
puisse citer est celui du Calcul infinitésimal. L'invention la plus célèbre de
Leibniz se trouve donc liée à ses recherches dans le domaine de la logique,
aussi M. Couturat insiste-il à juste titre sur l'unité que prend l'œuvre philo-
sophique et scientifique de Leibniz, dès que l'on tient compte de sa caracté-
ristique universelle.

L'institution de la caractéristique est intimement liée à l'élaboration de
Y Encyclopédie qui à son tour présupposait la connaissance de la Science
générale. M. Couturat rend compte des divers projets que Leibniz a conçus
au cours de sa carrière et montre les raisons qui ont fait échouer cette vaste
entreprise d'une encyclopédie. Il fait une étude très approfondie de la Science
générale (chap VI, 107 p.), qui constituait en quelque sorte toute la logique
de Leibniz, et qui devait être une méthode universelle applicable à toutes les
sciences. Ce chapitre, l'un des plus importants de cet ouvrage, sera lu avec
un grand intérêt, non seulement par les philosophes, mais aussi par le ma-
thématicien qui y trouvera entre autres une série de paragraphes consacrés
à la théorie des probabilités. Pour Leibniz, cette théorie constitue une « par-
tie de la logique » ; il envisage la logique des probabilités comme un com-
plément naturel de la logique de la certitude, surtout dans le domaine de
l'art d'inventer.

Leibniz a essayé de faire entrer la logique dans le cadre des sciences ma-
thématiques, ou, tout au moins, de la revêtir d'une forme mathématique, et,
afin d'y parvenir, il a élargi considérablement le domaine de la mathématique.
Il divise celle-ci en deux branches principales : la science des grandeurs ou
de l'égalité, des rapports et des proportions, qui est la mathématique tradi-
tionnelle ; et la science des formes ou de la similitude, de l'ordre et de la
disposition, qui est la combinatoire. En envisageant les sciences mathéma-
tiques à un point de vue aussi large, Leibniz a été l'un des premiers à s'aper-
cevoir de l'existence de ce qu'il appelle la Mathématique universelle
(chap. VII, 40 p.)* H conçoit sa logique comme une « algèbre universelle
pouvant s'appliquer à tous les objets susceptibles de déterminations précises
et comprenant autant d'algèbres spéciales qu'il y a de genres de relations
entre ces objets ».

Parmi ces algèbrcs théoriquement possibles, il a essayé d'en élaborer
deux, le Calcul logique et le Calcul géométrique. Le premier consiste en une
théorie de l'identité et de l'inclusion (chap. VIII, 65 p.). Les divers sys-
tèmes qu'il a ébauchés, et dont l'un est inédit, nous montrent que Leibniz a
entrevu les principes de la logique algorithmique, développée par Boole un
siècle et demi après lui.

Quant au Calcul géométrique (chap. IX, 43 p.), il devait fournir un instru-
ment mieux approprié à l'étude des figures que ne l'est la géométrie analy-
tique; ce devait être une sorte de caractéristique géométrique. Leibniz la
rattacha principalement à la théorie de la congrucncc et de la similitude,
mais il rencontra de nombreuses difficultés et ne parvint pas à édifier son
calcul géométrique sur des principes clairs et solides. S'il n'a pas atteint le
but qu'il s'était proposé, cela tient à ce qu'il ne parvint pas à affranchir la
géométrie de la considération de la grandeur et à exprimer directement la
situation. En dépit de l'opinion des contemporains de Leibniz le but à
atteindre n'était ni chimérique, ni stérile; et effectivement il a été atteint par

BIBLIOGRAPHIE 69

Grassmann qui, sans connaître le but de Leibniz, a établi les principes d'un
calcul géométrique dans son Ausdehnungslehrc (i844)- Ainsi par ses projets,
d'une conception si hardie, d'un calcul logique et d'un calcul géométrique,
Leibniz a anticipé de près de deux siècles sur les progrès de l'esprit humain.

M. Couturat fait suivre son exposé de quelques réflexions finales (11 p.),
qui ont pour but de montrer en quoi la logique de Leibniz est insuffisante
et incomplète. Il estime que si Leibniz a échoué dans ses projets d'un calcul
logique, cela est dû à un a respect excessif- pour l'autorité d'Aristote », à
son attachement à la tradition scolastique, et que, s'il n'est parvenu à édifier
son calcul géométrique sur des bases rationnelles, la principale entrave est
due à l'autorité d'Euclide. Leibniz avait pleinement conscience d'une logique
plus vaste et plus compréhensive que la logique classique. « Malheureuse-
ment, dit M. Couturat dans sa Conclusion, ses essais inachevés et, somme
toute, infructueux, sont restés presque entièrement inédits et ignorés pendant
près de deux siècles; les philosophes ont continué à adorer Aristote, et ce
sont des mathématiciens qui ont eu l'honneur, dans la seconde moitié du
xix° siècle, de ressusciter, sans le savoir, la pensée de Leibniz. L'algèbre
de la Logique paraît aujourd'hui définitivement fondée ; et la Logique des
relations commence à se constituer. Il ne faut donc pas dire que la Logique
est une science faite (comme si une science humaine pouvait jamais être
achevée !) ; la vérité est que la plus grande partie reste à faire ».

Le livre se termine par des Appendices (96 p.) et par des Notes (54 p.),
relatives aux documents cités. Ces appendices, au nombre de cinq sont inti-
tulés : Précis de logique classique. Leibniz et Hobbes, leur Logique, leur
Nominalisme. Sur quelques inventions mathématiques de Leibniz qui se rap-
portent à la Combinatoirc et à la Caractéristique. Sur Leibniz fondateur
d'Académies. Sur le calcul géométrique de Grassmann.

En résumé, dans cet ouvrage, d'un caractère essentiellement historique,
M. Couturat donne à la fois une analyse et une reconstitution de la Logique
du grand philosophe allemand. Son exposé accompagné de nombreuses cita-
tions et références, facilitera dans une large mesure l'étude delà philosophie
de Leibniz.

H. Fehr.

Shyder and Hutchinson. — Diflferential and Intégral Calculus ; 1 vol.
in-8°, relié, 3ao p. ; prix : 2 dollars 5o ; American book Company, New-
York, Cincinnati et Chicago.

La série des publications de l'Université de Corncll, à laquelle appartient
ce volume, est adoptée et fort appréciée dans les collèges et les Universités
des Etats-Unis. Le but de l'ouvrage de MM. Snyder et Hutchinson a été de
présenter un exposé rapide, à la fois de tout le calcul infinitésimal dans sa
partie élémentaire. Bien qu'on ait utilisé les précédents ouvrages, plus
amplement développés, le calcul intégral a cependant fait l'objet d'une rédac-
tion pour ainsi dire entièrement nouvelle. Ou trouve de nombreux exercices
gradués, et des exemples bien choisis, tantôt dans le texte, tantôt à la fin des
chapitres. La méthode suivie est rigoureuse, mais simple et pratique, comme
il convient dans un livre qui s'adresse aux étudiants, auxquels il est dange-
reux de jeter le doute dans l'esprit, sous prétexte de raffinements exagérés.

Peut être les auteurs auraient-ils bien fait de renoncer à l'emploi de la
fonction vers (sinus verse = 1 — cos.) abandonné en Europe depuis plus d'un

1

70 BIBLIOGRAPHIE

siècle, alors que tant de boas esprits proposent au contraire de renoncer
aux sécantes et cosécantes, et même de se borner aux trois fonctions fonda-
mentales, ain. y oos. et tang. Maïs ce n'est là qu'une insignifiante critique, et
elle ne porte aucune atteinte aux mérites d'un excellent ouvrage, qui sera
utilement étudié par les élèves et consulté par les professeurs.

Pour donner une idée du contenu de ce volume, nous reproduisons simple-
ment ci-après les titres des divers chapitres.

Calcul différentiel ; Principes fondamentaux. — Différcntiation des formes
élémentaires.— Différentiations successives — Développement des fonctions.
Formes indéterminées. — Mode de variation des fonctions d'un variable. —
Vitesses et différentielles. — Différentiation des fonctions de deux variables,
— - Changement de variable. — Tangentes et normales ; coordonnées polai-
res. — Dérivée d un arc, d'une corde, d'un volume, et d'une surface de révolu-
tion. — - Asymptotes. — Concavité, convexité ; points d'inflexion. — Contact
et cearhwe ; développée» et développantes. — Points singuliers. — Enve-
loppes.

Calcul intégral ; Principes généraux d'intégration. — Formules de réduc-
tion. — Intégration des fractions rationnelles. — Intégration par rationali-
sation. — Intégration des fonctions trigonométriques et autres transcen-
dantes. — Intégration comme sommation. — Applications géométriques. —
Intégrations successives.

C. A. L.

Ern. Weinkoldt. — Leitfaden der analytischen Géométrie, bearbeitet
auf Ycranlassung der K. Inspcktion des Bildungswesens der Marine, i vol.
cartonné, gr. in-8°, 80 pages; prix: Mk. 1,60. B. G. Teubner, Leipzig.
190.1.

Ce Précis contient les premiers éléments de Géométrie analytique limités
à la notion de coordonnées, aux problèmes essentiels concernant le point, la
droite, la circonférence et les coniques. Présentées sous une forme à la fois
claire et concise, ces notions forment le minimum des connaissances que l'on
peut exiger dans ce domaine de tous ceux qui ont suivi un enseignement
élémentaire de Géométrie analytique. Elles sont accompagnées d'application
pratiques et d'exercices numériques;

Nous sommes persuadés que ce petit manuel est appelé à rendre d'utiles
services non seulement aux élèves de l'Ecole de Marine auxquels il eBt spé-
cialement destiné, mais aussi à ceux des établissements secondaires pour
lesquels il constituera un excellent guide dans une première initiation.

BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE

Bulletin astronomique, publié par l'observatoire de Paris sous la direc-
tion de H. Poincaré, G. Bigourdan, O. Callandreau, H. Deslandreb,
R. Rauau. Publication mensuelle gr. in-8°. Paris, Gauthier-Villars. Abon-
nement annuel pour l'Union postale ; 18 fr., 19° année, 1902.
Août. — H. Poincaré : Sur les planètes du type d'Hécube. — Esmiol :
Observations de planètes. — Revue des publications.

Septembre. — L. Schulhof : Détermination de l'orbite de la comète pério-
dique de Swift. — Rambaud, Sy et Villatte : Observations de petites planètes,
faites à Alger. — Revue des publications.

Octobre. — M. Lœwt et P. Puiseux : Sur la structure et l'histoire de
l'écorce lunaire. — Coggia : Observations de planètes faites à Marseille. —
C.-Y.-L. Charmer : Sur la convergence des développements suivant les puis-
sances des masses des planètes. — Revue des publications.

Novembre. — Andoyer : Sur la théorie de la lune. — Salet : Observations
de planètes, faites à Paris. — P. Caubkt : Détermination des éléments des
clichés photographiques d'une môme zone. — Revue des publications.

Bulletin des Sciences mathématiques, rédigé par G. Darboux, E. Pi-
card, J. ïaknery. Publication mensuelle, gr. in-8°. Paris, Gauthier-Villars.
Abonnement annuel : 20 fr. Tome XXVI. 190a.

Mai. — E. Picard : Sur les intégrales doubles de fonctions rationnelles
dont tous les résidus sont nuls. — Comptes rendus et analyses.

Juin. — N. Delaunay : Sur les calculateurs cinématiques des fonctions
elliptiques. — A. Durand : Sur un théorème relatif à des moyennes. —
Comptes rendus et analyses.

Juillet. — E. Estanave : Thèses de Sciences mathématiques soutenues devant
la Faculté des Sciences de Paris et devant les Facultés de province dans le
courant du xix° siècle. — Comptes rendus et analyses.

Août. — E. Estanave : (Suite de l'article précédent). — Comptes rendus
et analyses.

Septembre. — E. Estanave : (idem). — Comptes rendus et analyses (Voir
particulièrement dans ce numéro un article de M. H. Poincaré sur les
Grundlagen der Géométrie de M. Hilbcrt.

Bulletin des Sciences mathématiques et physiques élémentaires

dirigé par L. Girard et Ch. Michel, paraissant deux fois par mois en
cahiers in-8°. Paris, Société d'Editions scientifiques. Abonnement annuel :
6 fr. 8° année, 1 902-1 903.

Fasc. 1 à 4. — L.-G. : Sur l'enseignement de la géométrie. — G. Lehr :
Théorème de Pythagore. — A. Bonnefoy : Volume du tétraèdre. — A. Du-
rand ; Variation des fonctions. — Divisibilité par 7.

7a BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE

Comptes rendus des Séances de l'Académie des Sciences de Paris,

publiés par les secrétaires perpétuels. Cahiers hebdomadaires in-4°. Paris,
Gauthier- Villars. Abonnement annuel. Union postale : 34 fr, t. CXXXV,igoa.

I er septembre. — E. Maillet : Sur les fonctions entières et quasi-entières
et les équations différentielles. — R. Liouville : Sur les équations différen-
tielles du second ordre à points critiques fixes.

8 septembre. — P. Painlevé : Sur l'irréductibilité des transcendantes uni-
formes définies par les équations différentielles du second ordre. —
H. Andoyer : Sur l'accélération séculaire de la longitude moyenne de la Lune.
— -M. Borrelly et L. Fabry : Observations de la comète b 190a, découverte le
I er septembre par M. Périne et le 2 septembre d'une manière indépendante,
par M. Borrelly, à l'observatoire de Marseille. — P. Chofardet : Observations
de la comète 1902 b, faites à l'Observatoire de Besançon. — E. Maillet: Sur
les équations différentielles et la théorie des ensembles. — A.Turpain; Sur
les propriétés des enceintes fermées, relatives aux ondes électriques.

i5 septembre. — B. Baillaud et Montangerand : Sur la surface focale
principale de l'objectif de l'équatorial photographique de l'observatoire de
Toulouse. — J. Semesov : A propos de la note de M. Th. Tommasina, sur le
mode de formation des rayons cathodiques et des rayons de Rôntgcn. —
Pu.-A. Guye et F.-L. Perrot : Sur la formation des gouttes liquides et les lois
de Ta te,

22 septembre. — J. Boussinesq : Extension du principe de Fermât, sur
l'économie du temps, au mouvement relatif de la lumière dans un corps trans-
parent hétérogène, animé d'une translation rapide. — H. Deslandres ;
Recherches spectrales sur la rotation de la planète Uranus.

29 septembre. — J. Guillaume : Observations de la comète Perrinc-Bor-
relly (1902 b) faites à l'équatorial Brûnner de l'observatoire de Lyon. —
H. Deslandres ; Organisation, à l'observatoire de Meudon, des spectrogra-
phes automatiques dits des vitesses, qui enregistrent les mouvements radiaux
et l'épaisseur de la chromosphère solaire. — G. Tzitzéïca : Sur la déforma-
tion continue des surfaces.

6 octobre. — J. Guillaume : Observations du soleil faites à l'observatoire
de Lyon pendant le premier trimestre de 1902. — G. Leveau : Comparaison
des tables de Vesta avec les observations méridiennes faites de 1890 à 1900. —
W. Stekloff : Remarque sur un problème de Clcbsch sur le mouvement
d'un corps solide dans un liquide indéfini et sur le problème de M. de Brun.
— M. de Séguier : Sur un théorème de M. Frobenius.

i3 octobre. — O. Callandreau : Sur quelques particularités de la théorie
des étoiles filantes. — Existence de points radiants stationnaires par 4±>° de
latitude. — J, Boussinesq : Démonstration générale de la construction des
rayons lumineux par les surfaces d'onde courbes. — M. Servant : Sur
l'habillage des surfaces. — W. Kaufmann : La déviation magnétique et élec-
trique des rayons Becquerel et la masse électromagnétique des électrons. —
J. Thovert : Sur une conséquence de la théorie cinétique de la diffusion. —
M. Dussaud : Sur un nouveau procédé destiné à faciliter l'écriture et le
calcul aux aveugles.

Note. — Ce fascicule porte Vannonce d'un changement de prix de V abonne-
ment. Les abonnés aux Comptes rendus de l'Académie seront désormais

servis aux conditions suivantes :

Abonnement annuel : Paris 3o fr. Départements 40 fr. Etranger : 44 **•

BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 73

20 octobre. — Ha ton de la. Goupillière : Sur le problème des brachisto-
chrones. — Ph. Guye et F.-L. Perrot : Sur la formation des gouttes
liquides et des lois de Tate. — F. Beaulakd ; Sur les paramètres élastiques
des (ils de soie. — L. Houllevigue : Lames minces métalliques obtenues par
projection cathodique.

27 octobre. — P. Painlevé : Démonstration de l'irréductibilité absolue de
l'équation y = 6 y 2 -f- x, — Haton de la Goupillière : Quelques cas d'in-
tégration de l'équation des brachistochrones. — J.-A. Normand : Sur la
cavitation dans les navires à hélices. — R. Blondlot : Sur la vitesse de pro-
pagation des rayons X. — J. Guillaume : Observations du soleil, faites à
l'observatoire de Lyon, pendant le deuxième trimestre de 1902. — L. Schle-
singer : Sur la théorie des fonctions algébriques. — A. -S. Chessin : Sur
l'équation de Bessel avec second membre. — P.-J. Suchar : Sur un exemple
de transformation corrélative en mécanique. — V. Crémieu : Précaution à
prendre pour l'emploi des fils de cocons comme fils de torsion. — J.-H. Co-
blyn : La vision à distance par l'électricité.

3 novembre. — R. Blondlot : Sur l'égalité de la vitesse de propagation
des rayons X et de la vitesse de la lumière dans l'air. — M. d'Ocagne : Sur
la résolution nomographique du triangle de position pour une latitude
donnée. — R. Liouville : Sur les transcendantes uniformes définies par les
équations différentielles du second ordre. — A. Leduc et P. Sacerdote : Sur
la formation des gouttes liquides et la loi de Tate.

10 novembre. — P. Painlevé : Sur les transcendantes uniformes définies
par l'équation y" = 6j 2 -\-x. — P. Duhem : Sur les quasi-ondes. — R. Blon-
dlot : Observation et expériences complémentaires relatives à la détermina-
tion de la vitesse des rayons X. Sur la nature de ces rayons. — J. Collet :
La pesanteur le long du parallèle moyen. — L. Autonne : Sur les substitu-
tions crémoniennes dans l'espace. — M. Joucuet : Sur la rupture et le
déplacement de l'équilibre. — E. Cartan : Sur l'équivalence des systèmes
différentiels. — W. Stekloff : Sur certaines égalités remarquables. — E. Van
Aubel : Sur le phénomène de Hall et le pouvoir thermo-électrique.

17 novembre. — M. d'Arsonval : Pendule de Foucault simplifié. —
E. Vallier : Sur la loi des pressions dans les bouches à feu. — P. Duhem :
Sur l'analogie entre les rayons X et les oscillations hertziennes. — W. Stek-
loff : Sur la représentation approchée des fonctions. — E. Cartan : Sur la
structure des groupes infinis.

24 novembre. — M. Perrotin : Vitesse de la lumière ; parallaxe solaire.

— J. Guillaume : Observations du soleil faites à l'observatoire de Lyon
(équatorial Brùnner de o m. 16), pendant le troisième trimestre de 1902. —
E. Maillet : Sur les fonctions inonodromes à poiut singulier essentiel isolé.

— E. Esclangon : Sur une extension de la notion de périodicité.

i cr décembre. — G. Mittag-Leffler : Sur l'intégrale de Laplace-Abel. — ■
P. Duhem : Sur les conditions nécessaires pour la stabilité de l'équilibre d'un
système visqueux. — E.. Vallier ; Tracé des courbes de pressions. —
AV. Stekloff : Sur quelques conséquences de certains développements en
séries analogues aux développements trigonométriques. — R. Levavasseuu :
Sur les congruenecs à plusieurs inconnues relativement à un nombre premier
impair. — M. Auric : Sur la généralisation des fractions continues. —
R. Liouville : Sur les transcendantes uniformes définies par des équations
différentielles du second ordre, — » M. Ponsot : Méthode pour évaluer les

74 BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE

températures dans l'échelle thermodynamique centigrade. — J. Collet :
La pesanteur le long du parallèle moyen.

8 décembre. — P. Painlevé : Sur l'irréductibilité de l'équation^' = 6r* -\-x m

— J. Bigourdan, G. Fayet, P. Salet : Observations de la nouvelle comète
Giacobini (d. 190a). — M. Combêbiac : Sur les propriétés du plan au point
de vue de YAnalysis situs. — M. Krause : Sur une formule sommatoire dans
la théorie des fonctions à deux variables.

i5 décembre. — P. Duueh : Sur là stabilité de l'équilibre et les variables
sans inertie. — J. Mascart : Perturbations indépendantes de l'excentricité.

— P. Chofardet : Observations de la comète Giacobini (190a d) faites à
Besançon. — R. d'Àdhémar : Sur l'intégration d'une équation aux dérivées
partielles du second ordre, du type hyperbolique, à plus de deux variables
indépendantes.

22 décembre. — Séance publique annuelle. Prix décernés et proposés.
Voir Y Enseignement mathématique, p. 6a.

29 décembre. — P. Du hem : Des conditions nécessaires pour qu'un fluide
soit en équilibre stable. — R. Blondlot : Sur la vitesse de propagation des
rayons X dans l'air et dans différents milieux. — MM. Rambaud et St :
Observations de la comète (d 1901) faites à l'Observatoire d'Alger. —

D. Egimtis : Observation des Perséides, Léonides et Biélides, faites à
Athènes en 190a. — J . Hadamard : Sur les fonctions entières. — W. Stekloff:
Sur la représentation approchée des fonctions. — M. Lercr : Sur la for-
mule fondamentale de Dirichlet qui sert à déterminer le nombre des classes
de formes quadratiques binaires définies. — E. LindelÔf : Une application
de la théorie des résidus au prolongement analytique des séries de Taylor.

— B. Mayor : Sur une représentation plane de l'espace et son application à
la statique graphique .

Nouvelles annales de mathématiques, dirigées par C. -A. Lais a nt et
E. Duporcq. Publication mensuelle in-8°. Paris, Gauthier-Villars. Abon-
nement annuel, Union postale : 18 fr. Série 4, t. II, 190a.

Mai. — P. Appell : Sur les expressions des tensions en fonction des défor-
mations dans un milieu élastique homogène et isotrope. — C. Maltezos :
Sur la chute des corps dans le vide et sur certaines fonctions transcendantes.

— M. d'Ocagne : Sur les adjointes des directions normales d'une conique. — -
M. Fréchet : Sur quelques propriétés de l'hypocycloïde à trois rebroussé-
ments. — E. Jaggi : Sur les zéros des fonctions entières. — GertiGcats de
géométrie supérieure, correspondance, questions et solutions, notice sur
X. Antomari.

Juin. — A. Greeuhill : Le pendule simple sans approximations. — ■

E. Duporcq : Sur les transformations de contact dans le plan. — V. Hioux:
Nouvelle démonstration du théorème de Feuerbach. — M. Bauer : Sur les
congruenecs identiques. — Concours divers.

Juillet. — G. Pirondini : Sur les normales d'un hélicoïde. — J. Réveille:
Note de géométrie. — Pmilbert nu Plessis : Concours d'admission à l'Ecole
polytechnique en 1902. — Certificats d'analyse et d'algèbre supérieure, agré-
gation et concours pour l'Ecole normale.

Août. — Mannheim : Note de géométrie, —r C-A. Laisant : Analogies
entre les courbes funiculaires et les trajectoires d'un point. — V. Jamkt :
Sur la théorie des forces centrales. — E. Jaggi : Détermination des fonctions

BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 7*

d'une variable qui admettent les substitutions d'un groupe donné. — Certifi-
cats de calcul infinitésimal.

Septembre. — M. B lu tel : Du rôle de renseignement des mathématiques
dans la formation de l'esprit. — Niels Nielskh : Equations différentielles
linéaires obtenues par le produit de deux fonctions cylindriques. — E.-N.
Babisien : Généralisation du problème de Malfatti. — Certificats de calcul
différentiel et intégral.

Octobre. — E. Carvallo : Conférence sur les notions de calcul géomé-
trique utilisées en mécanique et en physique. — A. Bienaymé : Sur un pro-
blème de substitutions étudié par Mongc. — M. Fréchet : Généralisation du
théorème de Tissot. — E. Iagci : Application aux fonctions circulaires et
elliptiques d'une méthode générale de détermination des fonctions dont on
donne le groupe de substitutions. — Bibliographie. — Certificats de calcul
infinitésimal. — Questions et solutions.

P. Bachmann. — Niedere Zahlentheorie. Erster Teil; un vol. relié, in-8°,
4oa p. (t. X, 1 de la Collection Teuhner) ; prix : M. 14 ; B.' G. Teubner,
Leipzig, 1902.

Bardey-Pietzker. — Anleitung zut Auflôsung eingekleideter alge-
braischer Aufgaben. Zwcitc, vôllig umgearbcitetc Auflagc von Fr.
Pietzker ; un vol. cart. in-8°, 160 p. ; prix : Mk. 2,60 ; B. G. Teubner,
Leipzig-Berlin, 1903.

W. Brusch. — Grundriss der Elektrotechnik fur technische Lehran-
stalten. Mit 248 Abbildungen ; un vol. relié, gr. in-8°, 168 p. ; prix : Mk. 3 ;
B. G. Teubner, Leipzig, 1902.

Rob. Fricke. — Hauptsâtze der Diflferential und Intégral Rechnung,

als Lcitfadcn zum -Gcbrauch bei Yorlesungen. Dritte umgearbeitcte
Auflage ; un vol. in-8°, 218 p. ; prix: Mk. 5. Fr. Viewcg u. Sohn, Brauns-
schweig, 1902.

Godbfrot (Maurice). — Théorie élémentaire des Séries. Limites, Séries
à termes constants et variables. — Fonctions circulaire, exponentielle et I\
Avec une préface de L. Sauvage. 1 vol. gr. in-8° de VIII-266 pages avec
figures. 1903. 8 francs. Gauthier-Villars, Paris.

G. Holzmuller. Elemente der Stéréométrie : Vierter Teil. Fortsetzutig
der schwierigeren Untersuchungcn : Berechnung und stereometrische
Darstellung von statischen, Trâgheits-und Centrifugal-Momcnten homogè-
ne r Raumgebilde. Simpsonsche Hegel, verallgemeinerte Schichtenformel,
gewisse Zuordnungen und konforme Abbildungen im Dienste solcher
Bestimmungen. Nachtrag ûber das Katcnoïd, seine Krûmmungsverhaltnisse
und sphârische Abbildung und ûber seiner Zusammenhang mit der Gauss-
schen Pseudosphâre und der Minimalschraubenregelflâche. 1 vol. in-8°,
de 3n p. ; prix : br. M. 9 ; relié M. 9,5o ; G. J. Goeschen, Leipzig, 1902.

E. Lakdfriedt. — Théorie der algebraischen Fnnktionen und ihrer
Intégrale. 1 vol. relié, in-8°, 294 p.; t. XXXI delà collection Schubert;
prix : Mk. 6,40 ; G. J. Goeschen, 1902.

E. Landfriedt.— Thetafunktionen und hyperelliptische Funktionen.
1 vol. relié, in-8°, i45 p. ; t. XLVI de la Collection Schubert ; prix : Mk.
3,4o; G. J. Goeschen, Leipzig, 1902.

76 BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE

G. Loria. — Le Trasâgurazioni di una Scienza. Discorso. Donne Ma-
tematiche. Lettura. Seconde édition augmentée d'une note, i broch. gr.
in-8° de 54 p- G. Mondovi. Mantouc, 190a.

W. Ludwig. — Die Horopterkurve, mit einer Einleitung in die Théorie
der kubischen Raumkurve. 1 broch. gr. in-8° do 36 p. ; M. Schilling, Halle
1902.

II. Muller und A. Hui>e. — Die Mathematik auf den Gymnasien und
Realschulen, B. II Oberslufe, Abtcilung a: Synthétisent» und analytische
Géométrie der Kegelschnitte. Darsteliende Géométrie. 1 vol. relié, iu-8°,
188 p. ; prix : Mk. a, 40; B. G. Tcubner, Leipzig, 1902.

Emilie Norton Martin. — On the Imprimitive Substitution Groupsof
Degree fifteen and the Primitive Substitution Groups of Degree

eighteen. Dissertation presented to the Falcuty ot Bryn Mawr Collège
for the Degree of Doctor of Philosophy. The Lord Baltimore Press, the
Friedenwald Company, Baltimore (U. S. A).

G . Pka.no. — Aritmetica générale e algebra élément are. Ouvrage rédigé
avec les symboles de la logique mathématique. Dilta G. B. Paravia et C.
1 vol. gr. in-8° de 144 pages. Turin, 190a. Prix : a, 40.

Schubert (Herm). — Niedere Analysis. Erslcr Teil : Kombinatorik, Wahr-
scheinlichkeitsrechnung. Kcttcnbruchè und diophantische Gleichungen,
(t. V, de la Collection Schubert), 1 vol. in-ia, 181 p. ; prix : Mk. 3, 60.
G.-J. Gôschcn, Leipzig, 190a.

M. Sciiuster. — Geometrische Aufgaben und Lehrbuch der Géo-
métrie. Planimetrie ; Stéréométrie; Ebene-sphiirische Trigonométrie, nach
konstruktiv-analytischer Méthode bearbeitet. Ausgabe A: FùrYollanstalten.
Zwciter Teil : Trigonométrie. 1 vol. relié, in-8°, nap. ; prix: Mk. 1,60;
B. G. Teubncr, Leipzig, 1903.

J. A. Serret. — Lehrbuch der Differential und Integral-Rechnung,

deutsch bearbeitet von Axel Harnack. Zweite Auflage berausgegeben von
G. Bohlmann. Dritter Band, erste Lieferung : Di/ferentialgleichungen.
1 vol. broché, in-8 , 3of p. ; prix : Mk. 6. ; B. G. Teubncr, Leipzig, iyo3.

O. Stolz u. A.Gmeiner.— Theoretische Arithmetik. II Abteilung. Die
£*ehre von den reellen und complexen Zahlen. a Aufl. 1 vol.
broché ; in-8°, 40^ P- (*-• IV, de la Collection Tcubner) ; prix : Mk. 7»ao; B.
G. Teubncr, Leipzig, 190a.

C11.-J. de la Vallée-Poussin. — Cours d'Analyse infinitésimale.
Tome 1. 1 vol. gr. in-8° de 37a pages. Prix ia francs ; A. -Y. Dieudonné,
Louvain, Gauthier- Yillars. Paris, 1903.

Ern. VVeinnoldt. — Leitfaden der analytischen Géométrie, bearbeitet

auf Yeranlassung der k. Inspektion des Bildungswesens der Marine. 1 vol.
relié. in-8°, 80 p., prix : Mk. 1,60; B. G. Tcubner, 190a.

Le Gérant ; C. NAUD.

ÉVREUX, IMPRIMERIE DE CHARLES UÉRISSEY

LES NOUVEAUX PROGRAMMES

L'ECOLE POLYTECHNIQUE DE PARIS

Depuis longtemps annoncés et attendus, les nouveaux pro-
grammes d'admission a l'Ecole polytechnique ont été publiés; ils
portent la date du i5 octobre 1902.

11 ne faut pas exagérer l'importance des programmes en
général; nous en trouvons une preuve nouvelle dans l'expérience
qui vient d'être faite depuis cinq ans. Les programmes en
vigueur dans cette période ont certainement été les plus
lamentables qui eussent été appliqués depuis plus d'un demi-
siècle; et l'on pouvait légitimement craindre qu'il en résultât un
abaissement du niveau intellectuel dans le recrutement. Cela ne
s'est pas produit, du moins dans une mesure appréciable; et cela
montre bien, nous y insistons, combien en matière pédagogique
les programmes ont peu d'importance en regard des méthodes.

Cependant, il y a une limite à tout. Et cette limite avait été
tellement dépassée qu'on peut, sans exagération, considérer la
transformation qui vient d'être accomplie comme une véritable
délivrance. C'en est une pour les candidats, pour les professeurs
de mathématiques spéciales, pour les examinateurs, et surtout
pour l'Ecole polytechnique elle-même, qui recevra enfin des élè-
ves mieux préparés à profiter de l'enseignement.

Dans ce qui va suivre, nous ne voulons pas analyser par le
menu chaque point particulier. Nous insisterons surtout sur les
différences, par adjonction ou suppression, qui existent entre
le nouveau programme et le précédent ; et comme, sous le titre
« Renseignements généraux », on a introduit des indications sur

Enseignement math. 6

78 C.-A. LAISAST

Tinterprétation de certains articles, nous tirerons parti au fur et
à mesure de ces indications. C'est là, il faut le dire tout de suite,
une très heureuse innovation, qu'on a eu bien raison d'emprun-
ter aux programmes de l'Ecole centrale. C'est la seule manière
d'arriver, dans une certaine mesure au moins, à corriger la
sécheresse d'une liste de paragraphes, toujours forcément
hétérogène, en essayant de montrer l'esprit, à côté de la
lettre.

Les renseignements généraux dont nous parlons débutent par
un préambule de quelques lignes, où Ton explique que le but
poursuivi est d'établir un accord plus intime entre renseigne-
ment préparatoire et celui de l'Ecole elle-même. On veut réagir
en outre contre l'envahissement de certaines théories, qui
avaient pris une place hors de proportion avec leur importance,
et leur substituer des notions plus utiles. Dans cet ordre d'idées,
on signale le danger du développement prématuré des théories
touchant aux principes, et des subtilités qui ont pour résultat
général de rebuter les jeunes esprits. Comme conséquence , on
interdit impérativement aux examinateurs d'interroger sur les
principes fondamentaux de la théorie des limites, des incom-
mensurables et des fonctions continues, aussi bien que sur les
singularités que peuvent présenter les fonctions. Enfin, on
prescrit de n'envisager que des fonctions continues admettant
une dérivée.

A tout ceci, on ne peut qu'applaudir sans réserve. La scholas-
tique et la métaphysique prématurées ne peuvent aboutir qu'à
dégoûter à tout jamais les jeunes gens des mathématiques, en
engendrant chez eux le scepticisme, et en leur en masquant l'utilité
pratique. Pour de futurs ingénieurs surtout, c'est un véritable
empoisonnement intellectuel.

On a rayé du programme l'arithmétique, la géométrie élémen-
taire et l'algèbre élémentaire. Il pourra être tenu compte de
l'insuffisance des candidats sur ces matières, mais il ne sera
demandé aucune démonstration. Il est à craindre ici que les
auteurs du programme aient poussé un peu loin dans une voie
de réaction salutaire, en général, mais qu'il ne faudrait pas
exagérer. Cependant il y a lieu d'espérer que cela n'aura pas de
gravité dans la pratique.

NOUVEAUX PROGRAMMES DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE 79

Le programme, dans sa partie mathématique, comprend les
matières suivantes : Algèbre. — Trigonométrie. — Géométrie
analytique. — Mécanique. — Géométrie descriptive. Nous allons
successivement les passer en revue.

Algèbre. — On trouve d'abord la division des polynômes et le
plus grand commun diviseur, puis quelques éléments d'analyse
combinatoire et le binôme (dit de Newton) pour un exposant
entier et positif. On interdit expressément les permutations, etc.,
avec répétitions, les puissances d'un polynôme au delà du cube,
et les sommations de piles de boulets. Ces interdictions encore
sont peu graves, mais peu justifiées, et légèrement puériles.

Les déterminants, réduits à leur théorie élémentaire, les équa-
tions linéaires, le calcul des radicaux (qui figurait précédemment
dans l'arithmétique), et les expressions imaginaires, ne sont
l'objet d'aucune observation spéciale.

Nous arrivons aux séries. On se borne aux caractères de
convergences les plus simples et les plus usuels, et on mentionne
les séries alternées. 11 est spécifié qu'on s'en tiendra au programme,
qu'on n'exigera pas, notamment, la règle de Duhamel, et qu'il ne
sera parlé que des séries a termes réels.

Nous trouvons ensuite l'étude de la fonction a x , la limite de

( 1 -\ ) , la théorie des logarithmes considérés comme expo-
sants, l'usage des tables de logarithmes et de la règle à calcul.
On écarte la construction des tables, et la définition des loga-
rithmes par deux progressions. Ce dernier point n'est guère jus-
tifié, mais l'introduction de la règle à calcul est si raisonnable
et si utile que la compensation est plus que suffisante.

On aborde maintenant l'un des points capitaux du nouveau
programme; il s'agit du rétablissement des infiniment petits :
ordre relatif, valeur principale, développement jusqu'à un ordre
donné, exemples.

Immédiatement après viennent les dérivées et différentielles.
Pour les fonctions d'une variable, on s'en tient à la différentielle
première. Pour celles de plusieurs variables, on demande la
différentielle totale ; on demande aussi la différentielle première
d'une fonction composée. Les fonctions implicites, les maxi-
mums ou minimums , les formules de Taylor et de Maclaurin

8o C.-A. LAISANT

avec leurs applications restent au programme à peu près comme
précédemment. On insiste sur l'interdiction d'interroger sur les
différentielles d'ordre supérieur, et on exclut également les
maximums ou minimums des fonctions de plusieurs variables.
Cela peut être sage, l'abus étant souvent voisin de l'usage. Mais
il nous faut maintenant citer textuellement une phrase qui parait
totalement incompréhensible, si elle ne renferme pas une faute
d'impression ou un lapsus : « On demandera de démontrer que
« toute fonction qui admet une dérivée dans un intervalle est
« continue dans cet intervalle, ce qui permet d'établir immédiate-
ce ment la continuité de toutes les fonctions usuelles ». Comment
peut on trouver les dérivées des fonctions usuelles sans se servir
de leur continuité? Encore une fois, il y a là un point qui néces-
site des éclaircissements.

La théorie des équations n'a pas subi de modification essen-
tielles. Le théorème fondamental (dit de d'Alembert) reste tou-
jours admis comme postulat (ce que nous persistons à trouver
fâcheux; car la démonstration en est tout à fait simple, quand on
veut bien ne pas se perdre dans des subtibilités). Les fonctions
rationnelles des racines, l'élimination par les fonctions symétri-
ques, les racines égales, les théorèmes de Rolle et de Descartes
les méthodes d'approximation de Newton et des parties propor-
tionnelles par des considérations géométriques (excellentes indi-
cations) figurent expressément. Comme commentaire, on inter-
dit certaines chicanes sur l'élimination ; on interdit aussi d'aborder
l'irréductibilité d'une équation, la résolution algébrique pour
le 3 e et le 4° degrés, et le théorème de Budan et Fourier.

La décomposition des fractions rationnelles en éléments simples
a été rétablie. Mais, comme si les auteurs du programme avaient

eu peur de leur propre audace, ils écartent les choses les plus

f U Y
simples, comme la formule— '— = 1 , et les éléments

simples de la forme r , ' n — ... , " „ en sorte que de cette utile

restitution, il ne reste plus grand chose ; elle est heureuse quand
même, et il est à espérer qu'à l'usage, un certain tassement
s'établira.

Le programme d'algèbre se termine par les fonctions primi-
tives, et les intégrales simples indéfinies ou définies, avec emploi

NOUVEAUX PROGRAMMES DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE 81

du changement de variable, et application aux fractions ration-
nelles et aux expressions ,— t dx\ exemples simples de

quadratures. Le programme lui-même spécifie que la notion
fondamentale est basée uniquement sur la considération de l'aire
d'une courbe, et on y insiste dans les renseignements généraux,
en ajoutant qu'aucune démonstration ne sera demandée, reposant
sur la définition analytique de l'intégrale. Nous passons sous silence
quelques restrictions complémentaires ayant pour objet d'éviter
des complications aux examens.

Dans l'ensemble, et en dépit des légères observations critiques
qu'on a trouvées ci-dessus, ce programme d'algèbre est incontes-
tablement supérieur au précédent.

Nous regrettons de n'y rien voir figurer sur les différences ni
sur l'interpolation. Mais il faut nous résigner; pour l'instant ce
n'est pas à la mode; et peut-être, avant un demi-siècle, se trou-
vera-t-il un homme de génie pour découvrir à nouveau ce qu'on
savait il y a soixante-quinze ans, à savoir que ces théories sont
non seulement utiles, mais indispensables dans les applications,
et pour imposer sa conviction. 11 faut savoir être patient, en
présence du mouvement (parfois circulaire) qu'affecte le pro-
grès pédagogique. Ne pas trop reculer, c'est déjà une notable
satisfaction.

Trigonométrie. — Le programme n'a pas subi de profondes
modifications; c'est toujours la théorie élémentaire des fonctions
circulaires, et la résolution des triangles rectilignes, a laquelle
on a ajouté la formule fondamentale de la trigonométrie sphé-
rique. A noter cependant que la résolution trigonométrique de
l'équation du 3 e degré a disparu, et qu'à partir de 1905, l'usage
des tables centésimales sera obligatoire. On écarte formellement
la théorie des racines primitives dans les équations binômes,
et la formule de Moivre dans le cas d'un exposant non entier.

Géométrie analytique. — En géométrie analytique plane,
c'est à peine si le texte du programme a changé ; il faut remar-
quer cependant la suppression de la théorie générale des centres,
des diamètres et des axes, et l'introduction de la courbure,
rendue indispensable par celle des éléments de cinématique.

8a C.-A. LAI SAN T

On spécifie que la théorie des formes quadratiques et celle des
substitutions linéaires sont exclues, qu'il en est de même des
coordonnées homogènes, et qu'en fait de points multiples, on s'en
tiendra aux points doubles. Plusieurs professeurs, à ce sujet,
m'ont confié leur embarras et demandé s'il sérail interdit aux
candidats d'employer des méthodes et des formules devenues
classiques, et qui semblent éclairer et simplifier l'exposition, en
ce qui concerne les coniques. J'espère que non, et je l'ai dit.
Pour les courbes en coordonnés cartésiennes on insistera sur les
équations résolues en y ou en .r, et sur les courbes unicursales;
pour les coordonnés polaires, on se bornera au cas d'une équation
résolue en p.

Le programme de géométrie analytique à trois dimensions n'a
pas subi de changement. C'est sans doute par un oubli regrettable
qu ? on n'y a pas introduit la notion du plan osculateur, non moins
indispensable que la courbure au point de vue de la cinématique.

Mécanique. — Ici, les modifications sont profondes; on intro-
duit la cinématique et la dynamique du point, en éliminant
tout ce qui pourrait donner matière à des chicanes sur les prin-
cipes. La statique du point matériel est traitée d'abord comme
corollaire de la dynamique; puis finalement on traite à part la
statique des solides invariables, à peu peu près comme dans le
programme précédent, mais en supprimant tout ce qui concerne
les machines simples.

Géométrie descriptive. — Une seule adjonction, mais qui a
bien son importance : « Projections cotées ; surfaces topogra-
phiques. » On ne peut qu'y applaudir. Il était déplorable de
laisser en dehors du programme des notions aussi simples et
aussi utiles. On ne devra pas demander de méthodes fondées sur
la courbure des surfaces.

Tel est dans ses lignes principales le nouveau programme d'ad-
mission. Il est mauvais, par cette raison qu'un programme n'est
jamais et ne peut jamais être bon ; mais nous l'approuvons quand
même, parce qu'il représente, il faut le répéter, un immense
progrès sur celui qui vient de disparaître, et une tentative très
honorable de retour à des idées raisonnables*

NOUVEAUX PROGRAMMES DE 1/ ÉCOLE POLYTECHNIQUE 83

Il est facile de voir quelles sont les préoccupations légitimes
qui l'ont inspiré. Elles peuvent se résumer en deux lignes ;
désir de donner aux candidats des notions utiles et môme indis-
pensables au point de vue de leur enseignement futur ; souci
d'éviter les arguties raffinées, aussi bien que les théories sans
application directe.

Le résultat sera-t-il celui qu'on désire ? C'est à l'usage qu'on
le saura et qu'on en jugera. En ces matières, on navigue cons-
tamment entre deux écueils : danger, en ne précisant pas assez, de
donner à renseignement un caractère de plus en plus broussailleux
et confus, contraire, somme toute, au but qu'il s'agit d'atteindre;
danger, en précisant trop, de juger les candidats d'après un
petit nombre de connaissances acquises et bien répétées, plutôt
que sur leur aptitude à en faire application, c'est à-dire sur leur
mémoire plus que sur leur intelligence.

Il faut, en eflet, voir nettement et dire franchement comment
les choses se passent. Les examinateurs, contraints, dans un
temps fort limité, à juger un grand nombre de candidats, ont
une tendance à revenir, avec une préférence visible, vers cer-
taines questions et certains exercices. Les professeurs, désireux
avant tout (et c'est leur devoir) d'assurer le succès à leurs élèves,
sont souvent aux aguets de ces questions particulières, leur
attachent parfois une importance qu'elles n'avaient pas originai-
rement, allongent leur cours en conséquence, y adaptent des
théories étrangères à la lettre et à l'esprit du programme ; et
c'est ainsi qu'au bout de quelques années on se trouve en pré-
sence d'un état de choses soulevant des plaintes générales et dont
la faute est à tout le monde et n'est à personne.

Les professeurs se plaignent des examinateurs ; les examina-
teurs se tiennent sur leurs gardes vis-à-vis des professeurs ; les
candidats ballotés entre des poussées diverses, auxquelles s'ajoute
l'émotion de l'examen, perdent la tète et ne donnent pas toujours
la mesure exacte de leur valeur réelle.

Les conseils et commissions chargés du soin des programmes
considèrent qu'il faut, dans l'intérêt de l'enseignement, lutter
contre la tendance des professeurs et celle des examinateurs ; et
le résultat final de tant de conflits est toujours médiocre.

Je suis absolument à mon aise pour parler de ces questions, et

84 C.-A. LAÎSANT

cela pour deux motifs : le premier, c'est que je n'ai connu le
programme nouveau qu'après sa publication, et que, par consé-
quent, je n'y ai pas la moindre parcelle de responsabilité ; le
second, c'est que je ne prétends pas plus qu'un autre à l'infailli-
bilité dans les fonctions toujours délicates d'examinateur.

Le grand tort, c'est de ne pas produire tout haut les griefs
qu'on articule tout bas, de ne pas considérer à la fois les profes-
seurs, les examinateurs et les conseils de l'école Polytechnique
comme les collaborateurs d'une même œuvre ; et de vivre dans
une sorte de persistant malentendu.

Si cette collaboration désirable s'effectuait, il est certain que
Ton pourrait arriver à des programmes offrant une imperfection
moindre ; et si elle avait un caractère permanent, chose facile en
soi, rien n'empêcherait, d'opérer graduellement dans ces pro-
grammes, d'année en année, les modifications et les perfection-
nements jugés utiles d'un commun accord. Je crois même qu'on
finirait ainsi par diminuer beaucoup, sinon par détruire totalement,
l'action néfaste de la chance, ce fléau des examens. Et alors, on
n'assisterait plus a ce spectacle, surprenant et affligeant, d'une
collection d'hommes de haute valeur, compétents et conscien-
cieux, se réunissant pour aboutir à une œuvre commune médiocre
et boiteuse.

J'ai dit très haut, dans ce qui précède, ma manière de voir,
parce que jai toujours considéré la vérité franchement exprimée
comme l'un des meilleurs témoignages de respect qu'on puisse
rendre aux gens qui en sont dignes. J'estime que ma situation
d'examinateur, loin de m'imposer une réserve excessive et un
silence absolu, me fait un devoir de signaler les imperfections
où je les vois et les remèdes où il me semble les trouver. Mon
seul but est de contribuer au progrès de l'enseignement de
l'Ecole polytechnique, à la meilleure organisation possible de
cet enseignement, sur lequel les études préliminaires réagissent
avec tant d'énergie.

Et je tiens a déclarer en terminant, comme je l'ai fait au début,
qu'en dépit de ses défauts et de ses lacunes, le nouveau pro-
gramme pourra donner des résultats excellents, si l'on veut en
faire l'application avec une entière bonne foi, et en y apportant
un esprit libre de toute entrave. C.-A. Laisant (Paris).

LE PROBLEME N° 2 DE M. DAVID HILBERT

Immédiatement après la communication Sur les problèmes
futurs des Mathématiques, faite par M. Hilbert au Congrès inter-
national des Mathématiciens à Paris le 8 août 1900 (*), M. Peano
déclarait (-) que ma communication, déjà annoncée pour le sur-
lendemain, sur Un nouveau système irréductible de postulats pour
V Algèbre ( 3 ) aurait répondu au problème n° 2 de M. Hilbert : De
la non-contradiction des axiomes de l'Arithmétique ( k ).

M. Hilbert n'a pas répondu, et il n'aurait pu le faire avant
d'écouter ma communication ; malheureusement le surlendemain
M. Hilbert était absent.

Presque deux années se sont écoulées du Congrès à la publi-
cation du compte rendu. En attendant, M. Hilbert aurait pu
connaître la solution d'une question qui l'intéressait si vivement
en 1900, en s'adressant à M. le Secrétaire du Congrès ou à moi
pour avoir les épreuves de ma communication. Et il lui aurait
suffi d'en lire Y Avant-propos Ç) pour comprendre que son pro-
blème n° 1 ( 6 ) n'était qu'une causerie, qui se pouvait suppri-
mer ( 7 ).

Maintenant que le compte rendu a paru et que M. Hilbert

f) Compte rendu du deuxième Congrès int. des mathématiciens. Paris, Gauthier-
Yillars. 1900. p. 58-i 14,

\*) Ibidem, p. ai.

[*) Ibidem, p. 249-2.50.

[') Ibidem, p. 71-74.

f) Ibidem, p. 249, 2:">o.

(*) Voir L'Enseignement Mathématique, 1902, p. 386.

{'\ Personne ne l'en aurait empêché ; en effet M. Hilbert a apporté d'autres modi-
Bcntîons à l'original de sa communication {ibidem, p. 58 note).

86 A. PADOA

semble vouloir continuer à garder le silence, je crois rendre
service aux jeunes étudiants, en leur évitant d'accepter l'invita-
tion de M. Hilbert à méditer sur des questions qui ont été réso-
lues depuis longtemps.

M. Hilbert commence ainsi :

« Lorsqu'il s'agit de poser les principes fondamentaux d'une
science, l'on doit établir un système d'axiomes renfermant une
description complète et exacte des relations entre les concepts
élémentaires de cette science. Ces axiomes sont en même temps
les définitions de ces concepts élémentaires ; aucune affirmation
relative à la science dont nous examinons les principes fonda-
mentaux ne sera admise comme exacte, à moins qu'on ne puisse
la tirer des axiomes au moyen d'un nombre fini de déductions.
Si l'on considère les choses plus exactement, la question suivante
se pose : Certaines affirmations contenues dans des axiomes ne
sont-elles pas dépendantes les unes des autres, et, par suite, ces
axiomes ne renferment-ils pas des parties communes superflues
que l'on doit supprimer si Von veut obtenir un système d'axiomes
complètement indépendants ?

« Mais avant tout, parmi tant de questions soulevées par l'exa-
men des axiomes, je regarde comme la plus importante celle-ci :
Démontrer que les axiomes ne sont pas contradictoires ; c'est-à-
dire démontrer quen se basant sur les axiomes Von ne pourra
jamais arriver à des résultats contradictoires au moyen d'un
nombre fini de déductions logiques. »

Ma communication commence ainsi :

« Dans Y Introduction logique à une théorie déductive quel-
conque qui précède notre Essai d'une théorie algébrique des
nombres entiers, nous avons analysé la structure formelle d'une
théorie déductive quelconque, pour établir les principales condi-
tions de sa perfection logique et les règles pratiques pour recon-
naître si ces conditions se trouvent vérifiées dans une théorie
donnée.

« Maintenant, nous ne faisons que rappeler ces conditions et
énoncer ces règles, dont l'étude appartient à la logique générale,

LE PROBLÈME iVo i DE M. DAVID FULBERT 87

pour une application mathématique a l'analyse des principes de
T Algèbre.

« D'abord il faut déclarer quels sont les sytnboles dont on fait
usage dans la théorie sans les définir [symboles non définis) et
énoncer les propositions {définitions exceptées) qu'on accepte
dans la théorie sans les démontrer [postulats) (*).

« Les postulats doivent être compatibles; c'est-à-dire qu'ils
ne doivent pas se contredire.

« Pour démontrer la compatibilité d'un système de postulats,
il faut trouver une interprétation des symboles non définis, qui
vérifie simultanément tous les postulats.

« Le système des postulats doit être irréductible; en d'autres
termes, les postulats doivent être absolument indépendants ; c'est-
à-dire : il faut qu'aucun des postulats ne puisse être déduit des
autres; ou bien encore : il faut qu'en remplaçant séparément
chaque postulat par sa négation on obtienne un système de propo-
sitioFis compatibles.

« Pour démontrer l'irréductibilité d'un système de postulats,
il faut trouver, pour chacun d'eux, une interprétation des sym-
boles non définis, qui ne vérifie pas le postulat considérée, mais
qui vérifie simultanément tous les autres. »

Il me semble que le second texte répond complètement aux
questions posées dans le premier ; je n'y ajouterai pas un seul
mot, sauf la déclaration que les idées que je viens d'énoncer ne
m'appartiennent pas ; on ne saurait pas môme leur attribuer
exactement une paternité, car presque tous les mathématiciens
qui ont analysé les principes de la Géométrie en ont fait usage,
quoique très souvent d'une manière confuse et inutilement res-
trictive ( 2 ) ; mais depuis longtemps elles ont été énoncées exacte-

(<) Dans le texte de M. Uilbert et dans le mien ont respectivement la même signi-
fication concepts élémentaires et symboles non définis, axiomes et postulats.

( s ) On est arrivé jusqu'à confondre la recherche delà preuve qu'une proposition
ne dépend pas d'un système donné avec la critique de la certitude du fait énoncé
par celte proposition, en oubliant que, pour prouver l'indépendance d'une pro-
position d'un système donné, il ne faut pus fixer préalablement la signification
des symboles employés, tandis qu'on ne saurait douter de la vérité d'une proposi-
tion, avant d'avoir fixé la signification de ces symboles ; et que, par suite, il s'agit
de deux questions tout ù fait séparées. Plusieurs mathématiciens ont commis cette
confusion, pur exemple, dans leurs discussions sur le postulat des parallèles.

88 A. PADOA

ment et en toute leur généralité dans la Revue de Mathématiques
et dans le Formulaire mathématique^).

M. Hilbert poursuit :

« En Géométrie on démontre la non-contradiction des axiomes
en construisant un domaine convenable de nombres tel qu'aux
axiomes géométriques correspondent des relations analogues
entre les nombres de ce domaine et tel, par conséquent, que
toute contradiction dans les conclusions tirées des axiomes géo-
métriques serait forcément reconnaissable dans l'arithmétique de
ce domaine. De cette façon la non-contradiction des axiomes
géométriques est ramenée à la démonstration de la non-contra-
diction des axiomes de l'Arithmétique. »

Ne m'accusez pas de vouloir trop subtiliser si je m'arrête à
examiner la signification de la phrase « En Géométrie on dé-
montre... »

Si M. Hilbert voulait dire « En Géométrie, M. un tel a
démontré... » ou bien « En Géométrie, l'on pourrait démon-
trer... », il n'y aurait rien à objecter.

Malheureusement la phrase qui suit immédiatement dans le
texte de M. Hilbert :

« Quant à la démonstration de la non-contradiction des axiomes
de F Arithmétique, elle demande à être effectuée par voie directe »,
nous prouve que M. Hilbert n'a pas compris que, pour démon-
trer l'indépendance ou la non-contradiction d'un système de pro-
positions ( 2 ), Ton peut choisir les interprétations des symboles
non définis dans un domaine convenable quelconque, pourvu
seulement que la connaissance de ce domaine soit préalablement
admise.

11 paraît en effet que M. Hilbert, après avoir établi une espèce
de hiérarchie entre les différentes branches des mathématiques,

( f ) Turin, Bocca frères.

(*) Ce sont deux questions séparées par rapport ù un système donné de propo-
sitions ; mais ainsi qu il découle de ce qui précède, ce n'est qu'une seule question
logique par rapport à la méthode de démonstration.

LE PROBLÈME A» a DE M. DA VID HILBERT 89

juge que le domaine de chaque branche soit en même temps le
domaine d'où devait jaillir la preuve de la non-contradiction des
axiomes de la branche supérieure. Par suite (comme selon
M. Hilbert les deux premières branches seraient l'Arithmétique
et la Géométrie) la Géométrie devrait être justifiée par l'Arith-
métique, et l'Arithmétique (puisque l'on ne saurait descendre
plus bas dans la hiérarchie) devrait se résigner à se justifier par
elle-même.

Deux faits concourent a prouver que la conviction de M. Hil-
bert est erronée : maints mathématiciens ont réussi à démontrer
la non-contradiction ou l'indépendance de quelques propositions
de Géométrie en donnant aux symboles considérés des interpré-
tations différentes des ordinaires, mais sans sortir du domaine
de la Géométrie; tandis que pour ma part, dans la communication
dont je m'occupe, j'ai réussi à démontrer l'indépendance de
plusieurs propositions d'Algèbre en donnant aux symboles consi-
dérés des interprétations qui sortent du domaine exclusif de6
mathématiques.

M. Hilbert continue :

«Les axiomes de l'Arithmétique ne sont pas essentiellement
autre chose que les règles ordinaires du calcul auxquelles il faut
ajouter l'axiome de continuité. 11 n'y a pas longtemps, j'ai énu-
méré ces axiomes dans une courte note ; en même temps j'y ai
remplacé l'axiome de la continuité par deux autres plus simples,
à savoir : l'axiome connu d'Archimède, et un nouvel axiome
énonçant que les nombres forment un système d'êtres qui n'est
susceptible d'aucune extension, si l'on conserve intacts tous les
autres axiomes (axiome d'intégrité). »

Laissons a M. Hilbert la responsabilité du choix de son sys-
tème de postulats pour l'Arithmétique. Il est certain qu'en con-
sidérant comme postulats « les règles ordinaires du calcul » et
autre chose encore, les déductions doivent être bien simples :
maintenant on comprend aisément pourquoi M. Hilbert renonce
à se soucier de l'indépendance des postulats.

go A. PADOA

M. Hilbert poursuit :

« Or je suîs persuadé que Ton peut trouver une démonstration
directe de la non-contradiction des axiomes de l'Arithmétique
en appliquant à ce but les méthodes de raisonnement connues
dont on se sert dans la théorie des nombres irrationnels, après
les avoir remaniées en leur faisant subir des modifications conve-
nables. »

Étrange persuasion que celle de M. Hilbert. Il peut s'épargner
la peine de remanier et de modifier n'importe quelle méthode
de raisonnement, car il n'aboutira à rien.

En effet : les contradictions ou les dépendances des proposi-
tions ne peuvent être démontrées que par des raisonnements
déductifs, tandis que les non-contradictions ou les indépendances
des propositions ne peuvent être démontrées que par des consta-
tations (on constate que des interprétations convenablement choi-
sies des symboles vérifient ou ne vérifient pas les propositions
en question).

La suite du texte de M. Hilbert ne mérite pas la discussion.
En voici la première période :

« Pour caractériser encore a-» un autre égard l'importance du
problème, je ferai la remarque suivante : si l'on confère à quel-
que notion des attributs qui se contredisent, je dirai que, au
point de vue mathématique, cette notion n'existe pas. »

Et si l'on n'avait pas la prudence de se placer « au point de
vue mathématique » ?

L' Avant-propos de ma communication finit par une question
qui n'a pas encore été posée par M. Hilbert :

ce Le système des symboles non définis doit être irréductible
par rapport au système des postulats; en d'autres termes, il faut

LE PROBLEME y 2 DE M. DA VID UILBERT 91

que des postulais on ne puisse déduire aucune proposition qui soit
une définition possible d'un des symboles non définis au moyen
des autres.

v Pour démontrer C irréductibilité d'un système de symboles
non définis par rapport à un système de postulats , il faut trouver
une interprétation des symboles non définis, qui vérifie simultané-
ment tous les postulats et qui continue à les vérifier lorsqu'on
change convenablement la signification d'un seul des symboles
non définis, et cela pour chacun d'eux. »

Après quoi, moyennant trois symboles non définis, j'énonce
mon système de sept postulats (§ H), j'en démontre la compta-
bilité (S III) et l'irréductibilité (jj IV) ; enfin je démontre l'irré-
ductibilité du système de symboles non définis par rapport au
système de postulats (§ V).

Que reste-t-il encore des questions logiques posées dans le
problème n° 2 de M. Hilbert ?

A. Padoa (Rome).

SUR L'ENSEIGNEMENT ELEMENTAIRE

DES FONCTIONS ELLIPTIQUES

Malgré leurs applications a des questions fondamentales de
géométrie, de mécanique pure ou appliquée, de physique, les
fonctions elliptiques ne font pas partie de renseignement élémen-
taire. Il en résulte que les physiciens, les ingénieurs, et ceux en
général, qui ne sont pas mathématiciens de profession, sont pri-
vés d'un instrument de travail dont ils comprennent pourtant
l'utilité; sans doute, bon nombre d'entre eux ont étudié les fonc-
tions elliptiques; mais l'exposé qui leur en a été fait visait à être
aussi complet que possible, tout en étant rapide et le temps leur
a manqué pour se les assimiler d'une façon suffisante et surtout
durable.

Les méthodes d'exposition employées sont basées soit sur
l'étude d'une équation différentielle, soit sur la construction a
priori d'une fonction doublement périodique ; mais par suite de
leur caractère général et abstrait, elles exigent de longues
réflexions. Une étude hâtive en est impossible. Il suffit sur ce
point, de rappeler l'anecdote de Sylvester et de son professeur ( l ).
Par conséquent si l'on ne dispose que d'un temps limité, il faut
se borner aux propriétés essentielles.

Les fonctions elliptiques se sont introduites dans l'analyse sous
la forme d'équations différentielles; mais pour l'enseignement,
il est permis de prendre un autre point de départ, si Ton y
trouve avantage. Un débutant acquérerait difficilement une idée

(') Revue des Sciences pures et appliquées. T. VIII, 1897, n u 17, E. Picard. Notice
sur James Joseph Sylvester.

ENSEIGNEMENT ÉLÉMENTAIRE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES 9'*

nette de la fonction sin x par exemple, si on la lui présentait
comme la fonction inverse de l'intégrale

/■

s/i-y 1

il est intéressant de considérer comme exercice, cette définition;
mais il ne viendra à personne l'idée de la prendre comme point
de départ de l'étude des fonctions circulaires au lieu de la défi-
nition usuelle. Les fonctions elliptiques sont plus complexes
que les fonctions circulaires, puisque celles-ci n'en sont qu'un cas
limite ; il est donc désirable qu'on aborde leur étude par une
méthode aussi facile, si faire se peut, que celle qui a servi pour
le cas particulier. Or en partant d'un problème élémentaire sur
les tangentes aux coniques, on peut arriver très facilement a l'in-
tégrale d'Euler, à la notion de la double périodicité, au problème
de la multiplication par un nombre entier, c'est-à-dire aux pro-
priétés fondamentales des fonctions elliptiques et à ce qui est
nécessaire pour leurs applications les plus usuelles.

Ce problème consiste à étudier les points de contact d'une
ellipse avec une ligne polygonale qui lui est circonscrite en même
temps qu'elle est inscrite dans une ellipse homofocale à la pre-
mière.

Soit une ellipse E dont le demi-grand axe est pris pour unité
et dont la demi-distance focale est k. Soit jjl un point fixe de E et P
le point où la tangente à E en ja coupe le petit axe ; considérons
l'ellipse E' homofocale à E et passant en P, désignons par M un
point mobile sur E', par R l'une des extrémités de la polaire de
M par rapport à E. Cela posé, si l'on définit le point fixe \x et les
points mobiles M et R par les compléments a, © et o> de leurs
anomalies excentriques, on trouve presque immédiatement la
relation

(i) cos a zr cos u) cos © + sin w sin © \ i — k* sin 2 a.

Sous forme rationnelle, elle devient

(i') a — sin* a — sin 2 eu — : sin 2 © — a cos a cos cocos o

-f- k 2 sin 2 a sin 2 to sin 2 =
Enseignement math. 7

94 E.-M. LE MER A Y

et est symétrique ena., u> et o. En la résolvant par rapport a a, par
exemple, puis en posant

sina^ia sinto = a: sino— .r'
on trouve

__ x\/i — .r'- [/i — £ 2 .r' 2 db^V 1 — •*" V 1 — *" **"

(*:

i-^^^

telle est donc la relation entre les abcisses du point ;jl et des
points mobiles M et R; le double signe correspondant aux deux
points R extrémités de la polaire.

En diffe rendant (2), a étant constant, on obtient l'équation

dx dS

l" ' ^1— j-» v/i — k* j-- ~~ yA — x' 1 y/i— *-*'* "~ 0,

(2) est donc une intégrale algébrique de l'équation (3). C'est
l'intégrale d'Euler. Si Ton revient aux notations primitives \S)
devient

d*ù do

(i) " ■

rf 1 — k- sin- w ^/ 1 — k 1 sin-' o

(1) est donc une intégrale de (4). C'est l'intégrale obtenue par
Lagrangc.

Argument elliptique. — Revenons à la figure précédente que
nous appellerons la figure I et considérons une ligne polygonale
inscrite à E\ circonscrite a E et tangente à celle-ci, à lune des
extrémités du petit axe. Désignons par ,r = o l'abcisse de ce
point, puis par .r.„ .r v , ... .r iH .., celles des points de contact suc-
cessifs obtenus en partant dans un sens déterminé, à droite du
petit axe, par exemple; n opérations (une opération consistant
dans le passage d'un point de contact au point de contact sui-
vant) nous fournissent une grandeur .r 2n .

Nous allons voir que Ton peut définir une variable z et une
fonction de cette variable telles que lorsque la variable prend des
valeurs proportionnelles à o, 1, 2. ., /*, la fonction prenne les
valeurs :r , .r 2 , .r...., x in ...

A cet effet considérons : le point Q de l'ellipse E ayant même
anomalie excentrique que M, la tangente à E en Q, et les iuter-

ENSEIGNEMENT ELEMENTAIRE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES 9>

sections de cette tangente avec les tangentes issues de M. On
trouve que les lieux de ces deux intersections sont une seule
et même ellipse E" ayant pour demi-axes les racines carrées de

i+y/i — A*»in*g (i— /- 2 ) d 4 - y /i — ^sin-'q)

i + cos a V J — * 2 sina + cos a

dirigées respectivement suivant OX et la direction perpendicu-
laire.

La différence de ces deux quantités est fr\ donc E" est homo-
focale à E et E'. La ligne polygonale inscrite à E", circonscrite
h E et la touchant au même sommet que la précédente, nous four-
nit ainsi deux séries de points; d'abord ceux d'abeisses .r.», .î' 4 ,
x în ... déjà obtenus, puis une deuxième série de points intermé-
diaires. Nous pouvons continuer ainsi, obtenir de nouvelles
ellipses E'", E IV , homofocalcs aux précédentes et insérer entre deux
points d'abeisses .r 2n , u\ I{n + , un nombre i' — r de points inter-
médiaires, y étant aussi grand que Ton voudra.

Considérons maintenant l'ellipse E et toutes celles qui lui sont
homofocalcs; la tangente à E en un sommet du petit axe déter-
mine à droite de cet axe un point X»sur l'une des ellipses de la
famille.

La deuxième tangente à E issue de X touche E en un point B ;
soit [3 son abeisse; l'ellipse qui passe en N peut être définie par le
paramètre fi. On démontrerait aisément que si Ton continue la
ligne polygonale dont XB est un coté, les projections sur OX des
différentes polaires des sommets tels que X sont toutes plus
petites que r fi et vont même en décroissant du moins tant qu'on
n'atteint pas l'axe OX. Dès lors soit .r l'abcisse d'un point de E
situé dans le premier quadrant ; on pourra toujours déterminer
une ellipse de paramètre suffisamment petit r fi et un entier A suffi-
samment grand pour qu'après un nombre A d'opérations on par-
vienne en un point de E dont l'abcisse diffère de .r d'une quan-
tité aussi petite que l'on voudra et qui sera plus petite que (3. Nous
représenterons par r. la limite du produit a[j quand 3 tend vers
zéro.

A toute valeur de .v correspond une valeur de z fet même une
infinité; car à celle que nous venons de définir il faut ajouter
celles qui sont égales a celle-ci augmentée d'un multiple de ^K,

1

96 JE. -M. LÉMERA l

K étant la limite du produit AJ5 quand on choisit x = 1 , c'est-à-
dire quand la ligne polygonale embrasse le quart de l'ellipse) et
réciproquement à toute valeur de z correspond une valeur de x
et une seule. On dit que z est l'argument elliptique de module
k et Ton écrit

x — sn (À\ z)
ou simplement

x — sn (z).

On peut comparer avec z l'angle o> complément de l'anomalie
excentrique du point dont l'abcisse est .r; on dit que lo est l'am-
plitude des; ce qui s'écrit

o> = am z ;
on a donc

x = sin (w = sin am z z= sn z.

D'après la définition de z, on a

.. sn z
sn o — o et lim — - — = i pour zzzzo.

Equation différentielle de snz. — Revenons a la relation (a)
que nous avons déduite de (i') ; cette dernière étant symétrique
en a, to et o, en la résolvant par rapport à sin o = .r', on a :

, n , x y/i — a 2 y/i — A- 2 a 2 +ay/r^7*yi— * 2 x 2

^ j Jr "~ i — * 2 a 2 x 2

Formant la différence x' — .r, la divisant par a et passant k la
limite (pour a = o) on obtient

lijn * ~~ X = l/i—Jr* y/i—A 2 ^ ;

le premier membre peut s'écrire -^- ; en effet si l'on pose x = snz

a —sn Iz on en tire x 1 = sn (z -f- As) on a donc

jr' — x sb(: + As) — snz

a s/iAs

la limite du second membre est la même que celle du rapport

5n(: + Az) — snz
_

ENSEIGNEMENT ELEMENTAIRE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES 97

sn:

puisque la limite de — ^ est 1 pour z = o. La fonction x = sn z
a donc pour équation différentielle

(5) àL^i/T^tfi-Vx* •

En représentant z en fonction de x par la notation

z = arg. sn x

on voit que l'équation (3) d'Euler a pour intégrale
arg. sn x zh arg. sn x' = C te .

Le théorème d'addition de la fonction sn z nous est donné par
la relation (:*') où x f , x et a représentent respectivement

sn (=+/?), snz, snp,

v étant comme z un argument elliptique.

On peut remarquer que si les deux ellipses E, E'au lieu d'être
homofocales étaient concentriques, semblables et avaient mêmes
directions axiales ou encore se réduisaient à deux cercles concen-
triques,^ z dégénérerait en sin z, l'équation différentielle (5) et
les théorèmes d'addition se réduiraient à

-^- = \J\ — x* , x'=x\/i— à 1 +a v/i— x* -

Si les deux coniques étaient un cercle et une ellipse ayant
pour petit axe un diamètre du cercle ; sn z dégénérerait en Th z.

Courbe d'Halphen. — Jusqu'ici l'argument z est considéré
comme la limite du produit À 4 3 ; on peut le représenter par une
surface en employant la représentation géométrique d'Halphen
ou une autre analogue, la suivante par exemple que nous appelle-
rons la figure II.

En posant x = sin u>, l'équation (5) devient

d(ù , , g . » ■

— = y 1 — k* sin- to ,

dz
d'où

dm

Jo V

98 E.-M. LE ME RAT

Soit un cercle de rayon i, une ellipse dont les demi-axes

sont i et-jj ,(A'=y/i — À 2 ), considérons la courbe G dont le rayon

vecteur est la moyenne proportionnelle entre ceux du cercle et
de l'ellipse ; si Ton prend pour axe polaire le petit axe de l'ellipse
et si iù représente l'angle formé avec lui par le rayon vecteur p';
l'équation de l'ellipse est

y i — k 2 sin- tu
la courbe G a donc pour équation

(i — k- sin- to)*4*
et son aire déterminée par l'angle co est

- f—

•2 J y i

k 1 sin- tu

elle est donc égale à la moitié de l'argument elliptique z; d'ail-
leurs

sin w = ,r = sn z.

Périodicité. — En continuant la ligne polygonale (figure I) ins-
crite à E' et circonscrite à E ; on finira par trouver des points de
contact voisins de ceux déjà obtenus ; on conçoit même que l'on
pourrait déterminer l'ellipse E' dételle sorte qu'après un certain
nombre d'opérations on retombe exactement sur les premiers
points de contact obtenus; la l'onction sn z est donc périodique:
on le voit d'ailleurs d'une façon bien plus nette sur la figure II. Si
K représente Taire comprise entre l'axe polaire, un axe perpen-
diculaire et la courbe G, on voit que sn z reprend les mômes
valeurs quand z augmente d'un multiple de qK par suite

sn (z -f- 4 K) =z sn z ;

on voit aussi que la fonction ne fait que changer de signe si z
augmente de »K; la quantité 2K est la demi-période; elle joue le
même rôle que 7; pour les fonctions circulaires.

ENSEIGNEMENT ÉLÉMENTAIRE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES 99

Multiplication de V argument par un nombre entier. — La mul-
tiplication de l'argument par un entier m contient deux ques-
tions : étant donné sn z trouver sn mz ; étant donné un secteur z
de la courbe G, trouver l'angle déterminant un secteur m fois
plus grand; le premier de ces problèmes peut se résoudre en
faisant usage du théorème d'addition; de plus la figure I en four-
nit une représentation géométrique ; il est clair que si Ton déter-
mine l'ellipse E' de telle sorte que l'abcisse de jjl soit égale à la
valeur donnée de sn z que nous pouvons supposer positive ; en
construisant la ligne polygonale ayant un premier contact en jjl
et en tournant dans un sens convenable, les abscisses des points de
contact successifs auront pour valeurs sn 3s, sn 5z... sn(p.n -\- 1) z.
En construisant entre les deux mêmes ellipses une seconde ligne
polygonale ayant un contact au sommet du petit axe de E, les
abscisses des contacts successifs seront sn iz, sn ^z... sn [ r .in z).

Maintenant que l'on connaît la valeur de sn mz on peut lu
reporter sur la figure II et déterminer ainsi le rayon vecteur et
l'angle (à un multiple de 2^ près) qui détermine sur Taire embras-
sée par G, un secteur mz; si ç est la valeur trouvée de sn mz on
aura simplement à résoudre l'équation

\/ 1 — k' 2 sin 2 w

«»

ce qui donnera pour l'angle tu cherché quatre valeurs faciles à
discuter.

Valeurs imaginaires de V argument . — On peut, soit admettre
dans une première étude, soit démontrer assez facilement en
s'appuyant sur le théorème d'addition, que lorsque la variable est
purement imaginaire, la fonction .v/z est aussi purement imaginaire
si on lui impose la condition d'être une fonction analytique (').
Nous écrirons donc

sn (z \f'~i) ~ V— "* S/i (3) = x y^~
où Sn z représente une fonction réelle de zet où l'on pose.r=Snz.

(') Voir Nouvelles Annales, 3» série. T. XIX. juin 1900. Exposition géométrique
de quelques propriétés fondamentales des fonctions elliptiques de première
espèce.

ioo E.-M. LEMERAY

Le théorème d'addition et l'équation différentielle si Tony rem-
place a, x et x' par a\J — i, x \J — i, x' \J — i, deviennent

y ary/i+q» \/i + k*a* + a\/i + x i y/i +jfx*
i — A- 2 «* x*

-^r = v /l + ** v/i-m*** •

Une induction naturelle conduit a penser que la nouvelle
relation entre a, x et x* doit être la solution d'un problème ana-
logue au précédent. En effet, dans le premier problème,
l'équation des ellipses rapportées à deux axes rectangulaires
est

B"**-hÀ*j*=À*B*.
avec

A«— B* = * 2 .

En changeant x' 1 en — x' 1 on a les hyperboles.
— B 2 .r* + A*j=A 2 B 2

avec la môme relation entre A et B. Elles ne sont pas homofo-
cales ( x ), elles ont les mêmes axes que les ellipses delà figure i.
En répétant les mêmes constructions que dans le premier pro-
blème on arrive à des résultats analogues en ce qui concerne la
périodicité, la multiplication de l'argument; mais on arrive à
voir que la fonction Snz devient infinie pour certaines valeurs
de ,3; dans les calculs, les fonctions circulaires sin cos sont rem-
placées par les fonctions hyperboliques SA et CA. La représenta-
tion de l'argument, par une surface se fera d'une manière analogue
à celle du premier cas; on considérera le rayon vecteur hyper-
bolique (') et l'argument hyperbolique au lieu du rayon vecteur
ordinaire et de l'angle. Nous rappelons que si les coordonnées
d'un point sont.r, y son rayon vecteur hyperbolique est y / y 1 — a* 2 -

(') Si l'on considérait des hyperboles homofocales on aurait bien une relation de
même forme, mais A serait plus grand que 1 car il n'est autre que l'excentricité de
ces hyperboles.

(*) Voir Laisant. Essais sur les fonctions hyperboliques. Gauthier-Villars 1874.
Cela montre une fois de plus l'intérêt qu'il y aurait à introduire franchement dans
l'enseignement l'usage des fonctions hyperboliques.

EXSEIGDÎEMEXT ELEMENTAIRE DES FOSCTIOXS ELLIPTIQUES loi

L'analogue de la courbe G est alors une courbe G dont le rayon
vecteur hyperbolique est la moyenne proportionnelle entre ceux
de ("hyperbole équilatère de demi-axes égaux à i et de l'hyper-
bole ayant pour demi-axes i etp ; le demi-axe transverse étant

celui qui est égal à l'unité; Taire comprise entre la courbe, son
asymptote et Taxe transverse est représentée par K' et Snz a pour
période réelle 2 K'.

Double périodicité de snz. — De ce qui précède on conclut
que la fonction snz a deux périodes; Tune réelle et égale à
4 K, l'autre imaginaire et égale a 2 K/ y — 1; par suite le plan
des z est partagé en rectangles par des parallèles à l'axe réel et à
Taxe imaginaire, quand z occupe dans ces rectangles des posi-
tions relatives semblables la fonction prend des valeurs égales;
dans chaque rectangle la fonction devient deux fois nulle et deux
fois infinie. Ses zéros sont im K + 2/1K/ \f — 1 ; ses infinis sont
2/11K-4-2 (rt+ 1) K'y/ — 1 où K et K' sont les deux intégrales

n dx /■• dfx

J |/(i — **} (1— *■*«) Jo tf(l+X*)(l+k*X*)

que l'on peut calculer par des séries; /«, n sont des entiers quel-
conques.

Variations de la fonction snz. — Pour se rendre compte de la
manière dont varie snz quand z décrit un chemin déterminé dans
son plan, il suffit d'examiner deux cas principaux, celui où z
décrit une parallèle à l'axe réel et celui où il décrit une paral-
lèle à l'axe imaginaire et de chercher les courbes décrites par
la fonction. Les points de celles-ci peuvent être obtenus au
moyen du compas.

Pour le premier cas on posera :

5 = u + v iJ^T, sn(u + v tf=7)= U + V ^=T.

en développant le second membre au moyen du théorème d'addi-
tion, puis en séparant le réel et l'imaginaire et posant

snu=Ç, S/2v = V ,

102 E.-M. LEMERAY

on a

r , _ V (' + Vq ) (' + *- Vg) Y , _ VjS(i-I') (i — *»i

(i+A'ï^VS*
En éliminant ï 2 on trouve

Tel est donc le Heu décrit par snz dans le premier cas, V est
l'ordonnée d'un point où la courbe coupe Taxe imaginaire. Pour
le second cas on posera

z - « + v \/~ sn (u 9 + s V~ ) = U + V l/~.

on développera encore sn (// + r\/ — i) puis posant Snv =r n
sn it = U et séparant le réel de l'imaginaire on a

U;(, + r^(i + ^r^ vil _ U 2 );i _^ U 2 ) ^

l'élimination de y, donne ( x )

U est l'abscisse d'un point où la courbe coupe l'axe réel. On
remarque que l'équation (7) se tire de (6) en changeant respecti-
vement

Vjj, Y- et L* 2 en — Ujj, — L* 2 et — V-.

On pourrait démontrer non seulement que les systèmes (6) et (7)
sont bien orthogonaux comme l'exige la condition d'analvticité
imposée à la fonction, mais encore que les courbes (7) sont à
elles-mêmes leurs propres trajectoires orthogonales. Si le para-
mètre Ujj est compris entre 1 etpon a les courbes relatives au

(') Lac. cit.

w

ENSEIGNEMENT ÉLÉMENTAIRE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES io3

premier cas; s'il a une autre valeur positive on a les courbes
relatives au second cas.

Ces courbes sont susceptibles d'une définition simple. A cet
effet, on mettra l'équation (7) sous la forme

/•(U.Y)=:0

en la résolvant par rapport à la constante arbitraire U . Le calcul
ne présente aucune difficulté et l'on trouve

v T ' + *'R*:fc vV + *'R a ;.*-.U i U i 1
x | TJn: j

où nous avons posé

R* = l* + Y*.

Désignons par F et F' les deux points de Taxe des U ayant
pour abscisses -j- ' et — l ; P ar G et G' les deux points du même

axe ayant pour abcissesH — j- et -r- ; soit U, V un point du plan :

fetf ses distances à F et F', le lieu des points pour lesquels le
rapport f: f est le même qu'au point considéré est un cercle;
on trouve que ce cercle coupe Taxe réel aux points d'abscisses

2U

De même si l'on désigne par^ r et^ les distances du point U, Y à
G et G' le lieu des points pour lesquels le rapport g : g' est le
même qu'au point considéré, est un autre cercle qui coupe Taxe
réel aux points d'abcisses

1 4- * 2 R* do y/(i + V K*;' — 4 A* u*

Ces valeurs sont précisément les facteurs du second membre
de l'équation (8). Dès lors si nous représentons d'une ma-
nière générale par 1 les abscisses d'intersection du premier cercle
avec l'axe OU, par J les points analogues pour le second cercle ;
les courbes (7) auront pour équation

104 E.-M. LE ME RAY

on voit que Ton obtiendra autant de points que Ton voudra de la
courbe coupant en ± U l'axe réel, au moyen des intersections
de deux cercles faciles à construire, l'un arbitraire du paramètre i,

1 autre dont le paramètre est j = -^

Théorème de Poncelet. — A propos de la figure I nous avons
dit que Ton pouvait concevoir l'ellipse E' telle qu'après un certain
nombre d'opérations on retombe exactement sur des points de
contact déjà obtenus; il est clair qu'il suffit pour cela que le
point (jl d'abscisse sin a = sn p soit choisi de telle sorte que p
soit un diviseur de la période /j K ou plus généralement soit
commensurable avec 4 K ; mais alors si l'ellipse répond à cette
condition, on pourra prendre pour sommet du polygone un point
quelconque de E' et les polygones ainsi obtenus auront tous le
même nombre de côtés; une conclusion analogue se présente
quand l'on considère les hyperboles dont nous avons parlé ; on
arrive ainsi à deux cas, très particuliers à la vérité, des théorè-
mes de Poncelet, mais qu'on peut évidemment généraliser par
projectivité. Il conviendra de signaler que l'équation algébrique

par laquelle on déterminera snp\ p— — K, m, n entiers I n'est

pas résoluble sauf dans des cas très particuliers.

Les considérations précédentes peuvent s'étendre presque sans
changements aux fonctions à multiplicateur <r de Weierstrass ( ! ).
En les complétant par quelques notions sur les fonctions en, dn et
en général sur celles qui sont reliées a sn par une équation algé-
brique; parla réduction des intégrales dépendant de la racine
carrée d'un seul polynôme du quatrième degré aux trois types
canoniques, par la transformation de Landen, par les théorèmes
fondamentaux sur les arcs d'ellipse et d'hyperbole qui ne présen-
tent aucune difficulté théorique, on aura les éléments nécessaires
pour les applications les plus usuelles et pour pouvoir utilement
employer les tables. L'étude des fonctions considérées comme
définies par les équations différentielles au moyen des intégrales
curvilignes, les développements en séries et en produits, les fonc-

i 1 ) Les coniques sont deux ellipses ou deux hyperboles avant mômes directions
axiales, mais non horaofocnlcs.

ENSEIGNEMENT ÉLÉMENTAIRE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES io5

tions de Jacobi, la formation a priori d'une fonction admettant
deux périodes, les problèmes de la division et de la transforma-
tion en général seraient réservés à renseignement supérieur.

Dans l'enseignement moderne on laisse au second plan les
fonctions sn en dn et Ton considère d'abord la fonction p de
Weirstrass. Si dans un enseignement préparatoire on préfère
commencer aussi par l'étude de cette fonction, on peut suivre une
méthode analogue à celle qui vient d'être exposée. Nous nous
bornerons à dire que e^ e 2 , e s , désignant trois constantes dont la
somme est nulle, on considérera les deux paraboles dont les
équations en coordonnées rectangulaires sont :

(P) r = ±tfT, (P') a«j=(e s — */](*,-- ej+xifc a S v'x

où

S = ^(« — •, + e 1 )(« — «, + ft)
et où a est une constante arbitraire. Alors si l'on pose

si Ton prend sur P un point d'ordonnée égale à p{z) — e x et
si l'on considère une ligne polygonale partant de ce point ayant
ses côtés tangents à P et ses sommets sur P', les ordonnées des
points de contact successifs augmentées de e l9 seront

p(z + Q, />(s±aB f />(3±«C, ....

les deux signes correspondant aux deux directions possibles
qu'on peut suivre en partant du premier point.

E.-M. Lémeray.

(Saint-Xnznirc.)

UNE LEÇON DE GEOMETRIE ANALYTIQUE

1. — Trois quantités quelconques a % b 9 c admettent six per-
mutations ; quelle est la position des six points de l'espace dont
ces permutations sont les triples coordonnées cartésiennes rec-
tangulaires ? On voit tout de suite que ces six points se trouvent

3

sur le cercle d'intersection du plan 2 Jr t = a -\- b + c et de la

i
a
sphère S.r| — a 2 + i 2 + c 2 . De plus, l'expression connue de la

i

distance de deux points de l'espace montre que les deux triples

(a, b, c) \ (a, c, b) •

[b, c, a) ' , {b, a, c) >
(c, a, b) ^ (c, b, a) )

de permutations cycliques correspondent aux sommets de deux
triangles équilatéraux et que pourf?<ô<r ces deux triangles
égaux n'équivalent quant à leurs sommets à un hexagone régu-
lier que dans le cas où b est la moyenne arithmétique de a et c.
Dans le cas ordinaire où ib ^= a + c tous les angles de l'hexa-
gone sont égaux, seulement quant à leur longueur les côtés se
groupent en deux triples en succession alternante, de manière
qu'un côté plus court se trouve toujours entre deux côtés plus
longs, etc. Et cet hexagone à peu près régulier n'obtient la
l'acuité de couvrir par répétition tout le plan que dans le cas
particulier ib = a-\-c, où il devient régulier tout à fait.

En transportant parallèlement les plans coordonnés à la nou-
velle origine (a, a, a) on passe aux six permutations (o, a l9 a.],

UNE LEÇON DE GEOMETRIE ANALYTIQUE 107

où nous supposons encore a l <a i . Dans ce cas il est évident que
l'hexagone en question s'obtient en tranchant dune manière
régulière les sommets d'un triangle équilatéral A^V^A, (fig. 1).
Ce qui nous suggère l'idée de considérer le triangle A^V.Aj
comme triangle de référence d'un système de coordonnées homo-
gènes et dans le plan de ce triangle les six points (0, b v% (>.>) où
la somme b t -f- /a, équivaut à la hauteur de ce triangle de réfé-
rence. Alors les équations ,r é • = o et .r, = b i font connaître les

Fijf. i.

Fijr. a.

deux triples de cotés. Et les six sommets se trouvent trois fois
deux à deux sur trois droites parallèles, les droites

.r; — o, .r, z= b^ .Vf — h., pour 1 = i, -2, '].

2. — Passons du cas (</, /;, r au cas (//, />, c, r/ où il s'agit des
24 points de l'espace à quatre dimensions E i dont les coordonnées
rectangulaires forment les permutations des quatre quantités
a 9 £, c, d ou après un déplacement parallèle des axes coordonnés
des quatre quantités o, </ t , </_,, r/ ;r Ces 24 points se trouvent sur

la sphère d'intersection de l'espace tridimcnsional 1>, =^17r et

1 1

de lhvpersphère ï.r; = -^;. Par rapport au tétraèdre régulier

A,A 2 A 3 A 4 dont les sommets sont les points d'intersection avec

cet espace, on a affaire aux '> \ points o, b r b„b 2 ) où b v <b ,</;.,

s
et ïi t =/(, la hauteur du tétraèdre. Ainsi l'on trouve facilement

1
que les 24 points en question sont les sommets d'un tétraèdre,

108 P. -H. SCHOUTE

tronqué d'une manière régulière tant sur les arêtes qu'aux som-
mets, les plans i: t = o représentant les faces originales du tétra-
èdre, les plans #,== b^ en enlevant les sommets et les plans ^H-j*
= b s -f- b n en enlevant les arêtes. Donc le résultat (fig. 2) est un
polyèdre à 24 sommets, 36 arêtes et 14 faces que nous représen-
tons par le symbole (24, 36, i4). Seulement dans le cas très
particulier où a, b y c, d sont quatre termes consécutifs d'une série

arithmétique, ce qui amène les relations A 1 = — A f =yi 3 , ce

polyèdre est limité par huit hexagones réguliers égaux et six
carrés égaux et forme donc cette combinaison cristallographique
du cube et de l'octaèdre qui jouit de la faculté de remplir tout
l'espace tridimensional par répétition (Voir Revue générale des
sciences, t. V, p. 5 11),

Dans le cas général les trois espèces de faces sont représentées
par les couples d'équations

(*i + *2 + *3 — a + h + C » X \ ~ d )<

(x t + x. 2 = a + b, .r 3 +^~c + d),
(x t = a, jr s + dr 3 + * 4 = 6 + c + d).

De la même manière les trois espèces d'arêtes sont représentées
par les triples d'équations

(•**i + ** = a + b, ar s = c, jr 4 — d),
(x t = a, x 2 + x 3 = b + c, x 4 = d),
(x t = a, x 2 = 6, x 3 + * v = c + d) .

Pour raccourcir nous représentons les trois espèces de faces
par les symboles (3, i) 4 , (2, a) 6 , (1, 3) 4 où les indices 4, 6, 4
indiquent les nombres de plans de chaque espèce. Dans cet ordre
d'idées les arêtes se représentent par les symboles (2, 1, i) 12 ,

(if 2 > 0i2> (*> h a )«-

3. — Procédons au cas (a, b, r, ^/, e) des 120 points de l'espace
E 5 , où il s'agit d'un pentaédroïde régulier A t A 2 A 3 A 4 A 5 tronqué
aux sommets, sur les arêtes et sur les faces, Ici il y a à distinguer
les quatre espèces (4, i) 5 , (3, 2) 10 , (2, 3) 10 , (1, 4) 5 d'espaces limi-
tants; les cinq espaces (4, 1) tronquent le polytope régulier aux
sommets, les dix espaces (3, 2) et les dix espaces (2, 3) en font

UNE LEÇON DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE

109

autant sur les arêtes et sur les faces et les cinq espaces (1, 4) sont
les espaces originaux du polytope. Ainsi le nombre des espaces
limitants est 3o. Ensuite on trouve les six espèces (3, 1, i) 20 ,
("> 3, i) 20 , (1,1, 3) 20 , (2, 2, i) 30 , (2, 1, â), , (1, 2, 2) 30 de faces, ce
qui prouve que le nombre des faces est 1S0. Et enfin il y a quatre
espèces(2, 1,1, i) 60 , (1,2, 1, i) 60 ,(i, 1, 2, i) 60 , (1, 1, 1, 2) 60 d'arêtes.
Donc le polytope en question admet 120 sommets, 240 arêtes,
i5o faces et 3o corps limitants; nous le représentons par (120,
240, i5o, 3o).

En général le polytope trouvé est limité par dix espaces en
forme de polyèdres (24, 36, i4) et par vingt prismes hexagonaux
(12, 18, 8). Dans le cas très particulier où les cinq quantités
a, i, c, d, e sont des termes consécutifs d\ine série arithmétique,
toutes les arêtes ont la même longueur, de manière que les dix
polyèdres (24, 36, 14) prennent la forme de la combinaison cris-
tallographrque indiquée, tandis que les prismes sont des prismes
réguliers limités par deux hexagones réguliers et six carrés.

4. — En augmentant toujours le nombre, des quantités entrant
dans les permutations on trouve successivement des polytopes
caractérisés par les symboles

(720, 1800, i56o, 540, 62)

(5o4o, i5i2o, 16800, 8400, 1806, 126)

(4o320, 14 1 120, 191 520, 126000, 40824, 5796, 254)

qu'on obtient toujours en tronquant d'une manière régulière le
polytope régulier, a un nombre minimum d'espaces limitants,
aux sommets, aux arêtes, aux faces, aux espaces limitants, etc.
Nous faisons suivre les calculs assez simples qui se rapportent
au cas de huit quantités et donc de 8! = 4<>32o points.

Espaces E fl

Î7.0- •

. a(8), = 16

(6,2). .

. 2(8) a = 56

(5,3). .

. 2(8), = na

(4,4). •

• (»)*= 70

254

(6.1,1).

(5,2,1).

(4,3,1).

(4.V-0.
(3,3,2).

Espaces E s

• 3(8), (7),:

• 6(8), ( 7 ) 2 :

• 6(85,(7),:

• 3(8), (6),:
. 3(8), (6),:

Enseignement math.

168
1008
1680
1260
1680

5796

8

/>.-#. SCHOUTE

Espaces £ 4

(5,1,1,1). .

. 4(8) t (7)i (6) â = i344

(4.2, i.i). .

• "(8) 1 ( 7 ) t (6) 2 = 10080

(3,3. i,i). .

• 6(8)i (7) t (6)3 = 6720

(3,2,2,1). .

• "(8)i (7)2 (5), = 20160

(2,2,2,2). .

(«)i (6)i (4)i = a5ao

40824

Espaces E 3

(4,i, 1,1,1). . .

5(8), ( 7 ), (6), (5), = 8400

(3, 2,1, 1,1). . .

«0(8), (7), (6), (5), = 67*00

(2,2,2,1,1). . .

i°(8)i (7)i (6)1 (4)i = 5o4oo

I 26000

Faces.

(3,i,i,i,i,i). . .

6(8), (7)i (6), (5), (4), = 4o3*o

(2,2,!, I,I,l). . .

■5(8), (7). (6), (5), (4), = i5iaoo

(2,1,1,1,1,1,1).

191320
Arêtes.
7(8)i (7)i(6)i(5)i (4)4(3)! = 141 »o.

En cherchant a généraliser ce calcul pour le cas de n quanti-
tés, on trouve le symbole suivant

(.l,JS=L..,

(n — 2) (3/î — 5)

(ii—a)(,i— 3)*

24 48

(« — 4) (i5/t s — i5oji 2 + 485/i — 602)
6760

n :,.

2n— A,

qui exige qu'on s'arrête au premier terme disparaissant et qu'on
interprète le terme précédent, égal à l'unité, comme se rappor-
tant au polytope lui-môme. Probablement les efforts à détermi-
ner le terme général de la suite entre crochets se perdront
encore longtemps dans les brouillards de la théorie des parti-
tions.

P. -H. Schoute (Groningue).

LES

APPLICATIONS DU CALCUL DES PROBABILITÉS

A LA MÉTHODE SCIENTIFIQUE (»)

Chapitre V. — Discussion de la valeur des applications
scientifiques du calcul des probabilités.

La théorie des moyennes. — La probabilité des causes. — La probabilité
des erreurs. — Confusion de l'erreur et de l'écart. — On conclut à tort à
des écarts objectifs de la matière observée. — Supposition illusoire de
l'élimination des erreurs systématiques. — Ilya des probabilités qui ne
sont pas toujours vérifiées; exemples.. — Impuissance pratique de la
théorie des probabilités des erreurs. — Causes efficientes et calcul des
probabilités. — L'approximation; les conditions essentielles; exemples. —
L'application de la probabilité des causes et l'application de la probabilité
des erreurs.

Nous avons vu que les applications scientifiques, les applica-
tions pratiques aux méthodes d'observation et de recherche,
étaient peu nombreuses, et que les applications exactes au point
de vue mathématique étaient encore plus rares. Mais, même
exactes, toutes ces applications sont-elles légitimes et jusqu'à quel
point le sont-elles, c'est ce que nous allons examiner maintenant.

Les applications les plus fréquentes et les plus sérieuses sont
celles qui se fondent sur la théorie des moyennes et recherchent
la probabilité des erreurs.

Quelle est la valeur de ces applications ?

Voyons d'abord quelles en sont les bases. L'erreur est un écart
qui se produit entre une valeur réelle et une valeur appréciée.
Comme, le plus souvent, la valeur réelle n'est pas connue en
elle-même, mais seulement par des valeurs appréciées, on ne

(*) Voir L'Enseignement mathématique, numéro précédent.

lia N. VASCHIDE ET H. PIÊRON

peut savoir de combien une valeur appréciée diffère d'une valeur
réelle. Il faut donc un artifice qui permette d'effectuer des cal-
culs sur cette erreur. Pour cela, on considère comme valeur
réelle, c'est-à-dire comme valeur dont la réalité est la plus pro-
bable, une moyenne entre un certain nombre de valeurs appré-
ciées. L'erreur est donc définie, pour le calcul des probabilités,
l'écart par rapport à la moyenne. On détermine une erreur que
Ton appelle probable, non sans postulats et approximations, et
on compare toutes les erreurs à celle-là. Une nouvelle formule
donne les probabilités des erreurs, sous ce rapport. Que peut-on
conclure d'une probabilité plus ou moins faible, plus ou moins
forte d'un écart relatif à la moyenne, d'une erreur déterminée ?
Nous voyons que Ton peut indifféremment eh conclure l'une
de ces assertions :

Ou bien il y a probabilité d'une cause perturbatrice, ou régu-
latrice de l'erreur, c'est-à-dire de la variation de la moyenne,
probabilité dans tous les cas, d'une erreur systématique, distin-
guée ainsi de l'erreur fortuite à laquelle s'applique le calcul des
probabilités. Là donc, une faible probabilité d'une erreur décè-
lerait l'existence d'une erreur systématique ayant échappé aux
investigations préalables.

Ou bien la faible probabilité d'une erreur fera déclarer au con-
traire qu'on n'est plus en présence d'une erreur, mais d'un écart réel
dû aux phénomènes observés, et non à la manière d'observer ces
phénomènes. Ici on décèlerait un écart objectif s'opposant ainsi à
l'écart subjectif qui tient aux conditions individuelles d'observation ,
et que l'on appelle erreur, l'erreur dont on cherche la probabilité.
Dans un cas, la faible probabilité d'une erreur indiquerait la
présence d'une erreur plus considérable que les erreurs fortuites,
dans l'autre cas l'absence d'erreur même fortuite à laquelle est
substituée un écart réel.

On tire donc toujours des conclusions sur quelque chose d'ob-
jectif, devant dépasser la simple subjectivité, ou une erreur objec-
tive due aux méthodes ou aux instruments d'observation, ou un
écart objectif résidant dans la matière môme observée.

Or nous constatons qu'on conclut toujours à un écart objectif
de la matière observée. Cela n'est donc pas légitime. On sup-
pose toutes les erreurs systématiques éliminées, mais c'est une

LES APPLICATIONS DU CALCUL DES PROBABILITÉS Ii3

supposition qui n'est pas valable ; rien en effet ne permet de
choisir entre ces deux conclusions possibles. Il n'y a qu'un cas
où une. interprétation est plus indiquée que l'autre ; c'est celui
où Ton prend une série de mesures, d'évaluations d'une valeur
que l'on croit rester identique pendant tout le temps que
durent ces évaluations et ces mesures : la mesure anthropolo-
gique d'un crâne par exemple, toujours le même, mesure que
Ton fait bien rarement car cela n'a pas grand intérêt scienti-
fique. Et encore rien dans le calcul des probabilités ne permet
d'affirmer l'identité dans le temps de la matière observée : on
ignore en effet les causes possibles, de variation. Et, dès qu'on
fait une moyenne de crânes différents, comme il y a aussi des
écarts objectifs, l'ambiguité reparaît.

Cette ambiguité reste constante dans la mesure des probabi-
lités d'erreurs des temps de réaction, par exemple où rien ne
reste identique à deux moments différents du temps.

Enfin signalons une confusion véritable que l'on fait parfois
de l'erreur et de l'écart, comme Stiedaet Goldstein par exemple.
C'est ainsi qu'ils prétendent appliquer la théorie des probabilités
des erreurs à la détermination des types, caractérisés pajr des
écarts objectifs et réels, et par conséquent à la probabilité pour
que ces écarts soient dus a des variations quasi-fortuites d'un
type considéré comme un individu ou pour qu'ils soient dus à
une différence de deux types, à l'existence d'un type différent et
objectivement distinct, type cause de ces écarts faussement assi-
milés aux erreurs. La théorie des erreurs ne porte que sur des
phénomènes objectifs et sur leurs oscillations, et ne peut sans
un arbitraire inconcevable, être étendue à des oscillations de
phénomènes objectifs, surtout avec cette notion souvent obscure
et arbitraire aussi du type.

Toutes ces réserves étant faites, on peut voir quelle faible portée
peut avoir l'application scientifique du calcul des probabilités des
erreurs : elle se limiterait à la probabilité d'une erreur systématique
dans une série d'évaluations, d'une grandeur supposée identique
et constante, dans le temps, ce qui n'est déjà qu'approximatif (*).

(') Parfois l'erreur probable ne sert qu'à limiter le nombre des unités décimales
d'une approximation, quelle que soit l'insuffisance théorique du calcul, on peut
reconnaître que sa portée pratique n'est pas alors dangereuse.

Ii4 JV. VASCIIIDE ET H. PIÉRON

Et enfin il y a lieu, même dans ses limites, de ne pas oublier
que ce calcul repose sur des postulats qui ne sont pas toujours
vérifiés : nous avons signalé le postulat de Gauss de la moyenne
considérée comme la valeur la plus probable. Il y a deux autres
postulats, l'un qui consiste à admettre que les erreurs fortuites,
c'est-à-dire inconstantes, car c'est le seul terme d'opposition
avec les erreurs systématiques, ne peuvent pas dépasser une
certaine limite, et restent dans le voisinage de Terreur probable,
dont la mesure n'est peut-être pas très exacte, le second, que
les erreurs tendent à se compenser mutuellement, sans s'ajouter
dans un sens ni dans l'autre.

Nous avons dit que la mesure de l'erreur probable n'avait pas
une certitude a priori bien grande. Or, en appliquant la théorie
des moyennes, et, par extension du postulat de Gauss, en consi-
dérant la moyenne des erreurs, des variations (indépendamment
de la moyenne générale) comme Terreur probable, on constate
apriori que cette mesure diffère très souvent et parfois d'une façon
très considérable de Terreur [probable mesurée par la moyenne
des écarts relatifs à la moyenne avec le coefficient du calcul.

M. Binet a été victime d'une absurdité due à son application,
que nous avons relatée, du calcul de probabilité des erreurs :

Il a mesuré, et cela est très louable, son erreur moyenne de
mesure, en faisant à des intervalles plus ou moins éloignées, des
évaluations de la même mesure. Il a trouvé une erreur moyenne
de i mn, 8;en supposant que les variations se produisent également
dans les deux sens par rapport à la moyenne, il faut en prendre
la moitié, c'est-à-dire o mm 9. D'autre part il applique la formule
de probabilité des erreurs dans l'écart des deux moyennes

8(0, t= "'^ .

Et il trouve une probabilité de 70 p. 100 pour que l'écart qu'il
a trouvé entre la moyenne des mesures du diamètre frontal
minimum soit un écart réel dû à la matière observée, et non aux
conditions subjectives, fortuites d'observation,

Or quel est cet écart : o mm 76 (*).

(*) Binet p. 399. Diamètre frontal minimum. Intelligents : io3" m ao.

Inintelligents : ioa«"34.

LES APPLICATIONS DU CALCUL DES PROBABILITÉS n5

Cet écart est donc inférieur à l'erreur moyenne observée (o mm 9).
Cela suffit pour condamner les conclusions de M. Binet pour
cette mesure, et la formule de calcul des probabilité des erreurs.

Il est étrange que M. Binet n'ait pas été frappé de cette absur-
dité évidente et qu'il ne Tait pas signalée.

Aussi félicitons-nous vivement M. Bourdon qui, faisant appel
aux probabilités dans une étude de psychologie, procéda par
une recherche expérimentale de leur valeur au lieu de faire
appel à des formules mathématiques du calcul.

Pour déterminer dans des recherches sur l'association, la pro-
babilité pour que deux phénomènes consécutifs, pris au hasard,
se ressemblent, il a ouvert des livres, et a considéré chaque fois
le premier adjectif, substantif ou verbe qu'il rencontrait, sur la
première ligne de la page de droite, et renouvelant un très grand
nombre de fois ces expériences de consécution, il a dressé un
tableaii expérimental des ressemblances phonétiques, graphiques,
ou syllabiques constatées, dont il a établi la proportion. Et il a
pu comparer le tableau obtenu dans ses expériences sur l'asso-
ciation avec celui-là.

Si la théorie de la probabilité des erreurs est vraiment enta-
chée d'une impuissance pratique, il en est de même des notions
qu'on prétend en tirer, de précision et de poids. D'ailleurs la
mesure du poids parait assez livrée à l'arbitraire. Nous voyons
un astronome, dans une thèse toute récente, après avoir donné
une détermination des poids ajouter : « Toutefois, on ne peut
accorder une confiance trop absolue aux nombres ainsi détermi-
nés. Il est certain, en efFet, que dans l'appréciation si délicate
du poids, beaucoup de circonstances inconnues doivent échapper
au calcul. D'ailleurs les différentes méthodes employées par les
astronomes qui se sont occupés de la formation d'un catalogue
montrent que cette détermination est toujours quelque peu livrée
au sentiment de chacun. Nous avons donc suivi les coutumes
habituelles en nous laissant, dans l'évaluation du poids, une
certaine latitude (*). »

Enfin nous ferons remarquer que les observations que nous

(') Joanny Lagrula. Étude sur les occultations d'amas d'étoiles par la lune, avec
un catalogue normal des Pléiades. Lyon, Ruj, in-8, 1901, p. 5o.

Iï6 N. VASCU1DE ET //. PIERON

avons faites aux bases mathématiques de cette théorie et à ses
postulats ont été présentées déjà par Bertrand. « La règle des
moyennes, dit-il, il importe d'insister sur ce point, n'est ni démon-
trée, ni exacte (*).

D'ailleurs « l'application du calcul des probabilités à l'étude
des erreurs d'observation repose sur une fiction dont il ne fau-
drait pas faire une réalité. Les erreurs sont supposées tirées au
sort dans une urne dont la composition est définie par la loi de
probabilité acceptée (*) ».

Ainsi la théorie de la probabilité des erreurs très sujette en
elle-même a la critique, pleine de postulats et d'approximations
rencontre dans l'application des difficultés insurmontables, et
n'aboutit à aucune conclusion certaine. Partout on peut introduire
de l'arbitraire, jusque dans le calcul, à plus forte raison dans sa
pratique. Les conditions exigées sont irréalisables, l'élimination
complète des erreurs systématiques n'étant jamais certaine. Il
n'y a pas adéquation à la nature qui ne reste pas identique dans
le temps. Et au terme on ne sait si les résultats doivent s'inter-
préter dans le sens d'une réalité objective des faits observés, ou
d'une perturbation constante des méthodes et des instruments
d'observation.

Mais, à côté de cette application du calcul de probabilités à la
vérification scientifique en quelque sorte, il y a une application
plus importante d'investigation et de recherche. Elle porte, non
plus sur la question de l'existence d'un substrat réel de variations
apparentes observées, mais d'une cause efficiente de phénomènes
constatés.

A quelles conditions le calcul des probabilités sera-t-il ici
applicable ?

Nous ne reviendrons pas sur la théorie mathématique en elle-
même, ses approximations et ses postulats inévitables.

En la supposant exacte, qu'exige-t-elle pour conserver cette
exactitude ?

Il y a deux conditions essentielles requises :

i° Un très grand nombre de cas;

(*) Bertrand, p.
(*) id. t p. asa.

r

LES APPLICATIONS DU CALCUL DES PROBABILITES 117

2° L'égale possibilité des cas.

i° 11 faut un très grand nombre de cas. Or que de fois Ton appli-
que le calcul des probabilités a un cas isolé. Nous en ayons mon-
tré un remarquable exemple. Les études de Mitchell sur la
probabilité d'une cause qui aurait produit le rapprochement de
deux étoiles dans le ciel portent aussi sur un cas isolé et sont
donc entachées d'un vice radical.

Mais, dans cette loi des grands nombres, il y a une indétermi-
nation énorme. Tous les nombres sont a la fois petits et grands :
je cherche la probabilité d'un événement ; elle est très faible ;
et s'il se produit une fois dans une année, dans un mois, dans une
semaine ; conclurai-je à l'existence d'une cause de cet événement?
Je puis dire que cette semaine, ce mois, cette année sont des
périodes trop limitées. Si j'ai une probabilité d'un milliardième,
cela veut dire que, sur un milliard de cas analogues, l'événement
considéré se produira une fois.

Je puis être tombé sur cette milliardième fois. Il faudra que je
m'assure que sur un milliard de cas analogues, l'événement ne s'est
produit qu'une fois; et encore cela pourra paraître insuffisant :
dans un milliard de séries d'un milliard, l'événement doit arri-
ver un milliard de fois; mais il y a des écarts d'autant plus grands
en valeur absolue que les nombres de cas sont plus élevés. Je
pourrai avoir plus d'un milliard d'événements; ils pourraient se
trouver parfois réunis plus particulièrement en certaines séries,
être plus particulièrement disposés dans d'autres.

Donc, dans ma série d'un milliard, je pourrai me trouver en
présence d'une de ces séries anormales, et rencontrer plusieurs
fois l'événement. Remonterai-je a un milliard de ces séries, le
même raisonnement viendrait encore, où s'arrêter? Et les écarts
croissant en valeur absolue à mesure, ils vont, eux aussi, se
perdre dans l'infini, en sorte que la précision semble s'enfuir et
s'éloigner de plus en plus à mesure qu'on croit l'atteindre, ou
s'en approcher davantage.

En tout cas le calcul des probabilités exige un nombre de cas
plus considérable la plupart du temps qu'il n'est possible au
savant d'en observer : des vies seraient insuffisantes à des obser-
vations de ce genre, surtout pour les événements à probabilité
très faible et à très grande probabilité de cause.

n8 N. VASCHIDE ET //. PIÉRON

Voîci une probabilité pour l'existence d'une action télépa-
thique ; cette probabilité est énorme. Le nombre de cas est-il très
grand; il est relativement très faible, surtout eu égard à ces
chiffres.

On fait une enquête dans un milieu limité, et portant sur des
faits passés; on demande de répondre <c oui » ou « non » pour
l'existence antérieure, dans des limites très vagues, de l'événe-
ment en question : une hallucination télépathique ! Puis on lait
le rapport des « oui » aux « non » comme de deux quantités
complètes. Il est de toute évidence que scientifiquement cela est
sans valeur. Prenez un milieu considérable, d'au moins un mil-
lion de personnes ; observez-les pendant un an, avec des moyens
sérieux de contrôle, et comptez les événements en question.
Etablissez ensuite leur probabilité et comparez au nombre total de
cas observés : un événement d'une probabilité d'un millionième
pour un jour, doit arriver une fois par jour pour un million de
personnes. Ce n'est qu'avec des nombres suffisamment grands
et vraiment complets et une observation rigoureuse que l'on
pourra songer à utiliser le calcul des probabilités. Mais est-ce
possible ? Evidemment non.

2° Egale possibilité des cas.

Mais cela serait encore peu de chose, et les difficultés soule-
vées ne sont rien auprès du second réquisit de l'application du
calcul des probabilités à la recherche des causes.

Pour que des cas puissent être comparés et sériés, pour qu'ils
puissent rentrer dans un calcul de probabilités, il faut que leur
probabilité respective soit complètement définie, qu'ils présen-
tent une égale possibilité, ou du moins une possibilité quantifiée
pour être comparable.

Or cela est-il réalisé dans la question ?

L'exemple type est celui des boules dans une urne : mais cela
suppose une identité absolue des différentes boules, qui ne peut
dans la nature être parfaitement réalisée, sinon comme une con-
ception et comme un rêve, jamais en fait. Cela supposerait
même une identité absolue de position, ce qui est absurde. Nous
disons que les différences de position sont des causes perturba-
trices, car quelqu'un, qui, au moment du tirage, verrait la posi-
tion respective des boules, pourrait dans une certaine mesure

LES APPLICATIONS DU CALCUL DES PROBABILITES 119

prévoir la nature du tirage. Mais on répond par le postulat de la
compensation des différences qui peuvent ainsi se produire,
grâce aux grands nombres.

Si des boules dans une urne ne peuvent déjà répondre parfai-
tement aux réquisits du calcul qui réclame l'identité et l'indiffé-
rence mathématique, comme la géométrie réclame des points,
lignes et surfaces irréalisables dans la nature, à plus forte raison,
quand on complique le^ données, s'éloigne-t-on de ces conditions
essentielles, et on s'en éloigne d'autant plus que la complication
devient plus grande.

Or, dans les sciences les plus simples, on ne fait pas appel au
calcul des probabilités pour l'investigation des causes, car on
peut arriver à les découvrir par des méthodes directes. C'est
donc dans les sciences très complexes, où ces méthodes directes
échouent souvent, que l'on voudra l'utiliser comme méthode.
Mais l'égale possibilité des cas réclamée très énergiquement par
Laplace ne sera plus, même approximativement, appréciable. La
quantification n'en est plus possible.

Prenons les faits psychologiques. Pour que deux cas soient,
sinon identiques, du moins comparables, il faut que toutes les
circonstances accompagnant le fait, et les conditions du fait
puissent être quantifiées comme les conditions d'apparition des
boules tirées dans une urne : c'est dire qu'il faudra quantifier
les rapports temporels, spatiaux, physiologiques, affectifs, qu'il
faudra quantifier le passé psychologique de l'individu, et d'autres
circonstances ignorées; il faudrait quantifier l'inconnu et l'in-
quantifiable. Il faut absolument renoncer à une pareille préten-
tion. Donc, toute application du calcul des probabilités à des
sciences complexes, et, à vrai dire, à toute science, car toute
science est complexe, est illégitime, car elle ne répond pas aux
réquisits du calcul, même d'une façon approximative.

Vous faites une enquête sur les hallucinations télépathiques.
Rendez-moi vos cas comparables. Si vous ne le pouvez pas, alors
ne les comparez pas, considérez-les individuellement, c'est-à-
dire renoncez a leur appliquer la formule du calcul des proba-
bilités.

Ce qui est vrai des sciences psychologiques le sera donc encore
plus des sciences sociales, d'autant qu'ici apparaît un élément

lao iV. VASCIIIDE ET H. PJERON

nouveau de complication, la valeur du témoignage, appréciée
elle aussi par le calcul des probabilités. Quelle est la probabilité
du mensonge ?

Aussi ceux qui appliquent les probabilités aux résultats des
enquêtes, et prétendent compromettre en leur faveur les proba-
bilités feront bien de méditer ces lignes de Laplace que nous
leur mettons sous les yeux :

« Ainsi, dit-il, les puissances successives d'une fraction
moindre que l'unité diminuant sans cesse, un événement qui
dépend d'une suite de probabilités fort grandes peut devenir
extrêmement peu vraisemblable. » Il y a « dégradation de la
probabilité des faits lorsqu'ils sont vus à travers un grand nombre
de générations successives : plusieurs événements historiques,
réputés certains, seraient au moins douteux, si on les soumettait
à cette épreuve ».

« Dans les sciences morales, où chaque conséquence n'est
déduite de ce qui la précède que d'une manière vraisemblable,
quelque probables que soient ses déductions, la chance de l'er-
reur croît avec leur nombre et finit par surpasser la chance de
la vérité ( Â ). »

Puis, parlant de la probabilité individuelle de vérité ou de
mensonge, qui est rapportée à la probabilité du fait raconté, un
fait impossible donnant certitude du mensonge de celui qui le
rapporte, Laplace déclare : « En étendant cette conséquence à
tous les faits extraordinaires, il en résulte que la probabilité de
Terreur ou du mensonge du témoin devient d'autant plus grande
que le fait attesté est plus extraordinaire ( 2 ). »

Ainsi donc, de la très faible probabilité de coïncidence entre
une hallucination et une mort, un probabiliste comme Laplace
aurait pu conclure, non pas à l'existence d'une action télépa-
thique, mais à la mauvaise foi des personnes interrogées.

Nous retrouvons pour la probabilité des causes la même ambi-
guïté dans l'interprétation des résultats que pour la probabilité
des erreurs : faut-il rapporter les chifFres à un phénomène
objectif réel, dans les événements observés, ou à un défaut systé-

(*) Laplace. Essai philosophique sur les probabilités. Paris, 1819, 4 éd., în-8 p. i5,
(•)/*, P. 145.

LES APPLICATIONS DU CALCUL DES PROBABILITÉS iai

matique des instruments et des méthodes, ici le mensonge dans
les témoignages.

Voilà une conclusion probabiliste qui ne serait pas faite pour
plaire à nos probabilistes nouveau jeu.

Ainsi la probabilité des causes est encore moins applicable
que la probabilité des erreurs. Non seulement les résultats ne
sont pas toujours certains, mais les conditions requises ne peu-
vent être réalisées, et surtout dans les sciences les plus com-
plexes, où l'on est le plus tenté de faire appel à ce calcul. Les
grands nombres présentent une condition insuffisamment déter-
minée, et dépassant en tout cas la plupart du temps les forces
humaines ; l'égale possibilité des cas, ou sa quantification, est
quelque chose d'absolument irréalisable, particulièrement dans
les sciences psychologiques et dans les sciences sociales, où
s'ajoute encore l'élément de probabilité du témoignage.

Toutes les applications du calcul des probabilités s'évanouissent
donc définitivement et sans recours quand on les examine d'un
peu près (*).

Chapitre VI. — Conclusion.

Le calcul des probabilités comme méthode scientifique. — Ses avantages et
ses causes d'erreurs.

Ce qui reste du calcul des probabilités, ce sont les probabi-
lités simples, dont on peut dire, avec Laplace, qu'elles ne sont
« que le bon sens réduit en calcul ».

En fait, nous nous conduisons la plupart du temps dans la vie
par des probabilités, et souvent par des probabilités subjectives
qui gagneraient à une quantification par laquelle elles perdraient
peut-être de leur poids, mais cette quantification n'est pas pos-

(') On trouvait nombre d'objections très judicieuses de M. Bertrand à l'appli-
cation du calcul des probabilités. Une démonstration systématique des lemraes
impliqués par cette application n'a jamais été faite par lui.

— Notons encore la remarque d'un astronome, M. Jean Mascart qui fit voir tout
« ce qu'il peut y avoir d'arbitraire dans l'application du calcul des probabilités
aux phénomènes naturels » en l'appliquant. Jean Ma.sca.rt. Contribution à l étude
d'S Planètes télescopiques, p. 63.

laa JV. VASCHJDE ET H. PIERON

sible d'une façon précise (*). On ne peut quantifier la croyance,
parce qu'il y a toujours des éléments et des facteurs qui nous
échappent. Une quantification alors sera tout arbitraire, et la
croyance se fortifiera encore par le prestige des chiffres, des
chiffres qu'elle se sera inventés à elle-même. Mais la pratique
n'exige pas nécessairement la certitude de la vérité. L'action
n'est pas la science.

En science il n'en peut être ainsi. On ne peut vivre de
croyances et de probabilités. Il faut des faits, il faut une certi-
tude, il faut une vérité, provisoire peut-être, mais une certitude
et une vérité cependant, rendant compte de tous les faits actuel-
lement connus, sinon de tous les faits qu'on pourra être appelé
à connaître dans l'avenir.

Il faut donc s'en tenir aux vieilles règles de la méthode scien-
tifique, et ne pas négliger les tables de présence et d'absence
et des variations concomitantes, pour des probabilités et des
formules d'intégrales. On découvrira les causes réelles avec plus
de précision et de garanties.

Au lieu de multiplier des expériences plus ou moins bien
faites, on s'en tiendra à un plus petit nombre d'expériences plus
minutieusement conduites. On tachera d'éliminer les erreurs le
plus possible, au lieu de compter sur les compensations que bonne
dame Nature peut y effectuer ; l'observation des constances dans
les phénomènes sera plus féconde que la probabilité pour l'ob-
jectivité des écarts. Et si l'assertion de M. Victor Henry était
exacte, qu'on ne peut faire de psychologie sans faire de calcul
des probabilités, cela donnerait une triste idée de la valeur scien-
tifique de la psychologie.

Heureusement il n'en est rien, et la psychologie, comme toute
autre science, sait fort bien s'en passer, et elle doit, plus que
toute autre, s'en passer.

Mais il y a peut-être un peu de snobisme a l'heure actuelle,

(*) Nous n'avons pas discuté In question critique cl logique delà probabilité en
elle-même, et de ses rapports avec la certitude. Nous n'avons envisagé que le
calcul, capable de fausser souvent la valeur exacte de la probabilité, qui nest par
aucun moyen connu quantifiablc. Aussi tout ce que l'on a pu dire (voir par
exemple d'excellentes remarques d'IlEKscHKLL) en faveur de In quantification idéale
de la probabilité ne peut valoir en faveur du calcul constitué des probabilités.

LES APPLICATIONS DU CALCUL DES PROBABILITÉS ia3

dans cette mathématisation des sciences complexes. La mathé-
matique est toujours le type rêvé par les sciences ; on croit que
les sciences de la nature ne seront vraiment des sciences que
quand elles se réduiront à un système d'algorithmes. Et comme
on n'est pas près d'aboutir a un tel résultat, on se hâte de s'ap-
proprier des formules qu'on croit applicables, et où l'on voit
briller les symboles analytiques ; et l'on se persuade que l'on
augmente la précision de la science, alors qu'on n'a fait que
s'embarrasser de symboles plus ou moins incompris, très impré-
cis, sous leur apparence de précision, avec leurs approximations
parfois lointaines, et leurs postulats parfois contredits par les
faits.

Nous avons voulu faire réfléchir un peu sur les fondements de
ces applications pour montrer où mène cet amour erroné de la
mathématisation à outrance.

Et nous avons songé aussi à l'abus pseudo-scientifique du
calcul des probabilités que n'ont pas manqué de faire tous ceux
qui, aux confins de la science, prétendent pénétrer au delà de
ses limites.

En appliquant mal le calcul, et au point de vue du calcul lui-
même, et au point de vue de la matière qu'ils y fournissent, ils
accumulent des chiffres auxquels ils font dire toute autre chose
que ce qu'ils pourraient a la rigueur signifier. Et l'on ne sait
si c'est chez certains, naïveté extrême, ou charlatanisme à
outrance.

Aussi, ce que nous avons taché de faire, c'est de dessiller les
yeux des gens sincères qui se sont laissés impressionner par la
magie toute-puissante des chiffres, souvent incompris. Mais, on
ne le dira jamais trop, une science complexe qui persistera à
user, comme méthode, de l'application du calcul des probabilités,
même en s'attachant à ne commettre aucune erreur grossière,
aura beau accumuler chiffres sur symboles et équations sur
intégrales, elle n'en restera pas moins, avec son apparence sé-
rieuse, inférieure à l'intuition vulgaire qui, pour avoir l'air moins
précis, sera toujours cependant plus exacte. Et d'ailleurs l'igno-
rance qui prend un aspect de précision et qui s'amplifie par la
mesure, en devenant fausse science, sera toujours plus dangereuse
que celle qui, restant plus vague, restera plus facile à reconnaître

I!i4 JV. VASCHIDE ET H. PIÈROS

et à dépister ; elle sera plus dangereuse, car elle en imposera
davantage.

Quand, donc, lorsque Ton ne sait rien, si Ton ne peut rien
savoir, se décidera-t-on à se limiter à la connaissance de cette
ignorance même, à ne pas chercher à abuser les autres et à s'abu-
ser soi-même? La science ne s'accommode pas du bluff et de la
fausse précision. Elle réclame avant toutes choses la sincérité et
la conscience. Que celui qui ne sait pas n'hésite pas à dire : je
ne sais pas. Et que celui qui ne veut pas employer les vieilles
méthodes, laborieuses, mais fécondes, renonce à faire de la
science, et qu'il ne fasse pas « appel au procédé des formules
qui effectueraient sa besogne. » Enfin, laissons aux spéculations
mathématiques le calcul des probabilités, et retournons à nos
vieilles charrues pour continuer à labourer le champ illimité de
la science.

N. Vaschide (Paris). H. Piéron (Paris).

BIBLIOGRAPHIE

Cette bibliographie, que nous avons tâché de rendre assez complète
dans ses grandes lignes sans prétendre l'être complètement, comprend
une série d'ouvrages sur les applications de la loi de Gauss à la psycho-
physique ; ceci est en effet la base de la méthode essentielle des cas
vrais et des cas faux. En butte aux objections générales que nous avons
faites, cette application aurait pu être directement critiquée. Nous ne
l'avons pas fait, car c'aurait été discuter les fondements même de la
psycho-physique, ce qui était trop spécial pour notre étude. Notons
que M. Marcel Foucault, dans une thèse récente de la Faculté des Lettres
de l'Université de Paris sur la psycho-physique, a pris à partie la loi de
Gauss ainsi expliquée et a vivement discuté la légitimité de cette appli-
cation ( l ). Beaucoup de ses remarques nécessairement un peu spéciales,
mais qui s'élèvent parfois à une certaine généralité encore un peu
timide, concordent entièrement avec ce que nous avons tâché d'établir.

Inutile d'ajouter que ces remarques nous paraissent, par conséquent,
être absolument justes.

On trouvera dans //. Laurent une bibliographie très complète des
travaux concernant le calcul des probabilités ; la nôtre se réfère par-
ticulièrement aux problèmes qui nous préoccupent.

(*) Marcel Foucault. La psycho-physique. in-8°, Paris, p. 317-339.

LES APPLICATIONS DU CALCUL DES PROBABILITÉS ia$

Aman* (J.). — Application du calcul des probabilités à l'étude de la varia-
tion d'un type végétal, Bull. herb. Boissier, 1896, IV, p. 577-590.

AsiMorv (O). — Die Vererbung Erworbener Eigenschaften. Nat. Woch.,
Berlin, 1896, X, p. 3o6.

Ampère. — Considérations sur la théorie mathématique du jeu, in-4 ,
Lyon, 1803.

Auber. — Traité du calcul des probabilités. In-8°, Paris.

Baillaud. — Cours d'astronomie, i TO partie, chapitres I et II, 1893.

Barbier. — Notes sur le problème de l'aiguille et le jeu du point couvert.
Journal de Liouville, 1860. V.

Bernouilli (Jacques). — Ars conjectandi. T. ad. Vastel. In-8°, 1801.

Bernouilli (Jean). — Sur les séquences de la loterie de Genève. Histoire
de V Académie de Berlin, 1769.

Bertrand. — Calcul des probabilités. In-8°, Paris, Gauthier-Villars, 1889.

Bessel. — Fundamenta Astronomie. Sect. II, 1818.

Binet. — Mensuration de la tète vivante. Année psychol. VII e année, 1901,
p. 359.

Boas. — Ueber die Berechnung der Unterschiedschwellenwerthe dcr
Méthode âer richtigenûnd falschen Fâlle. Archiv. de Pflûger,XXyill,p. 84

Bourdon. — Recherches sur la succession des phénomènes psychologiques.
Rev . philos. XXV, mars 1893, p. 226.

Bruns. — Ueber die Àusgleichung statisticher Zlihlungen in der Psycbo-
physik. Philos. Sludien, IX, p. 1.

Bruns. — Ueber die Darstellung von Fehlergesetzte. Asiron. Nachrichten,
i43, p. 329.

Bruns. — Zur Collectiomasslehre. Philos. Studien, XIV, p. 339.

Buffon. — Essais d'arithmétique morale. Histoire naturelle, supp., t. I.

Catalan. — Solution d'un problème relatif au jeu de rencontre. Journal de
Liouville, II, i ro série.

Chandos (R.). — Revue des Deux-Mondes, 1887, p. an.

Clarc*. — The laws of chance applied to the solution of a great variety of
problems rclating to cards. Londres, in-8°, i858.

Coupin. — Suggestion et prestidigitation. La Nature, ;aS novembre 1899,
p. 402.

Cournot. — Essai sur les fondements de notre connaissance et sur les
caractères de la critique philosophique. ln-8° f Paris, Hachette, i85i.

Cury. — Theory of errors of observation. Londres, 1875.

Czuber. — Théorie der Bcobachtungsfehler. Leipzig, 1891.

D'Alembert. — Mélanges de littérature, d'histoire et de philosophie. In-12,
Amsterdam, 1770. — Doutes et questions sur le calcul des probabilités
p. 275-304. — Reflexions philosophiques et mathématiques sur l'applica-
tion du calcul des probabilités à 1 inoculation, p. 3o5-386.

D'Alembert. — Opuscules mathématiques, t. II, Mem. X.

Dormoy. — Théorie des jeux et du jeu de Baccara. Journal des act. fran-
çais, IV.

Dormoy. — Théorie mathématique des paris de courses. Journal des act*
français, II et III.

Eller. — Probabilité dans le jeu de rencontre. Histoire de VAc. de Berlin,

Euler. — Sur la loterie. Histoire de VAc. de Berlin, 1751.

Enseignement math. 9

ia6 A\ VASCIIJDE ET H. PIÉRON

Euler. — Sur l'avantage du banquier dans le jeu de Pharaon. Ilist. de l'Ac.
de Berlin y 1774.

Fate. — Cours d'astronomie, i ro partie, livre III, t. I, p. 187-236, 1881.

Fechnek. — Elcmente der Psychophysik, I, p. 102.

Fechnek. — Ueber die Méthode der richtigen und falschen Faille in Anwen-
dung auf die Massbcstirnmungcn* der Fcinheit oder exlcnsiven Eropfind-
Hchkeitdes Raumsinnes. Abhandl, d. math. phys. CL d. Kgl. Sachs. Ces.
d. Wiss, XIII, 1884.

Fechnek. — Revision der Hauplpunktc der Psychophysik, p. 49-

Fechnek. — In Sachen des Zeitsinnes und der Méthode der richtigen und
falschen Fiillc, gegen Estel und Lorenz. Philos. Studien, III, p. 12.

Fechnek. — Kollektiomasslchre, chapitre V, 1897.

Fermât. — Correspondance avec Pascal.

Flammarion. — L'Inconnu et les problèmes psychiques, chapitre IV, p.
239-241.

Foucault. — La psychophysique. Paris, Alcan, in-8°, 1901, p. 40, p. 327-339.

Gauss. — Theoria motus corporum cœlestium. Liv. II, sec. 3, 1809.

Gauss. — Theoria combinationis observationum erroribus miniwis obnoxisc.
Commentationes sociei reg. scient. Gôttingue, vol. IV, 1823.

Gewatt. — The calculus of probabilities. Applied to psychical Research.

Goldstein (Ed). — Des applications du calcul des probabilités à l'anthropo-
logie. Revue d x anthropologie, i° série, t. VI, i883, Paris, p. 704-728.

Goukéamd. — Thèse sur l'histoire du calcul des probabilités, 1848.

Hauteserve. — Traité élémentaire sur les probabilités, in-12, i834.

Henri (V.). — Le calcul des probabilités en psychologie. Année psychol., II,
1895, p. 466 (publié eu 1896).

Henri (V.). — Quelques applications du calcul des probabilités à la psycho-
logie. An. psych., V, 1898, p. i53-i6o (publié en 1899}.

Herschell (G.). — Sur la théorie des probabilités et ses applications aux
sciences physiques et sociales. Revue d'Edimbourg^ n° i85, juillet 1890,
publié dans — Essays from the Edinburgh and quaterly Review" in-4 ,
Londres, 1897, et dans Quételet. Physique sociale, p. 1-89.

Huyghens. — Di ratiocinimis In ludo aliœ, 16 5 8.

Kûlpe. — Grundriss der Psychologie, p. 66, 1893.

Kaempfe-Bruns. — Beitrag zur experimentclle Prûfungen der Méthode der
richtigen und falschen Fiille. Philos. Stud., VIII, p. 5n.

Lacroix. — Traité élémentaire du calcul des probabilités, in-4 , 1806.

Lagrange. — Recherches sur les séries récurrentes. Mém. de l'Ac. de
Berlin, 1775.

Lagrula. — Etude sur les occultations d'amas d'étoiles par la lune avec un
catalogue normal des pléiades. Lyon, in-8 ù . 1901, p. 5o.

Laplace. — Essai philosophique sur les probabilités, 4 e éd. Paris, 1819.

Laplace. — Théorie analytique des probabilités, œuvres. Paris, in-4°, 1847,
t. VII, 1. II, ch. 5 et 6, p. 383-442.

Laurent (H.). — Traité du calcul des probabilités, in-8°, Paris, 1873.

Laurent (H.). - — Jeux de hasard. Paris, in-12.

Lorenz (Carl). — Untcrsuchungcn ùber die Auflassung von Ferndistanzcn.

Philos. Stud., VI, p. 26.
Lorenz (Gustav). — Die Méthode der richtigen und falschen Fiillc in ihrer
Anwendung auf Schallempf. Philos. Stud. f II p. 3g4.

LES APPLICATIONS DU CALCUL DES PROBABILITÉS 137

Merkel. — Theoretische und experimentelle Bcgrùndung der Fehlermetho-

dcn. Philos. Stud., VII, p. 558.
Merrimah. — Method of least squares, 6° éd., New-York, 1894.
Moivre. — Doctrin of chances, in-4°, 1758.
Montinort. — Analyse des jeux de hasard, 1713.
Mosch Ekich. — Zur Méthode der richtigen und falschcn Fiille im Gebiete

der Schallempf. Philos. Stud., XIV, p. 491. 1898.
Muller (G.-E.). — Zur Grundlegung der Psychophysik, ch. I à III.
Mûller (G.-E.). — Uber die Massbestimmungcn des Ortsinnes der Hand

mittels der Méthode der richtigen und falschcn Fiille. Archiv. de Pflûger.,

XIX, p. 191.
Myers. — Das Doppel-ich. Procecdings of Soc. for psych. lies., VI, 1889,

p 209.
Ottinger. — Sur le jeu de rouge et noir (ou trente et quarante). J. de Crelle,

LXVII.
Paillot (R.). — Recherches sur les forces électromotrices d'aimantation.

Thèse Fac. des Se. de Lille, 1901, in-8°, Lille, p. a5-3i.
Pizetti. — Fondamenti matematici per la triticadi resultati sperimentati,

Genève, 189a.
Plttoff. — Les sciences occultes. Paris, J.-B. Baillière, in-ia, 1891. ch. III.

Le calcul des Probabilités, p. 47-66.
Pochet. — Sur le»jeu de l'horloge. Journ. des act. français, V.
Poikcaré. — Calcul des probabilités (leçons). Paris, Carré, in-8°, 1896.
Poikcaré. — Réflexions sur le calcul des probabilités. Revue générale dos

sciences, 5 avril 1899.
Poisson. — Sur le jeu de trente et quarante. Gergonne, XVI.
Poisson. — Recherches sur la probabilité des jugements, Paris, Bachelier,

in-4«, 1837.
Qlételet. — Sur la théorie des probabilités appliquées aux sciences

morales et politiques, 1896.
Quételet. — Physique sociale ou essai sur le développement des facultés de

l'homme, in-8°, 1869. Appendice p. 479-493, t. IV, p. iii-146.
Rabelais. — Pantagruel, 1. III, ch. XL1II. Œuvres. Ed. Garnier, in- ia.

Paris, p. a88.
Regnault. — Calcul des chances et philosophie de la Bourse, in-8°. Paris,

i863.
Riciiet (C11.). — Furker expérimenta or iu hypnotic lucidity clairvoyance.

Proc. Soc. of. Psych. t. VI, 1889, 73-83.
Sckipture. — Studies from the Yale psychol. laboratory. vol. VII, 1899,

p. 108, in-8°, New-Haven.
Scripture. — Computation of a set of simple diret incasurements. Stud.

from the Yale psych. Lahor.. vol. VIII, 1900.
Sidgwick (H.). — Expcrimcnts in thought transference. Proc. ofSoc. Psych.

Res., VI, 1889, p. ia8.
Stieda (D r L.). — Uebcn die Anwendung der Wahrscheinlichkcitsrechnung

in deranthropologischenStatistik. Archiv. fur Anthropologie, XIV, Braun-

schweig, 188a.
Taylor (L.). — Expérimental comparison between chance and thought

transference in correspondance of diagrams. Proc. of Soc. of psych. Res.,

VI, 1889, p. 398-401-405.

ia8 N. VASCHIDE ET H. PIÊRON

Tiïrqukm et Damien.. — La physique expérimentale. Paris, Hermann, in-8°,

1888. i cr fasc. Introduction, ch. JI. p. 6o-io5.
Trembley. — Observations sur le calcul d'un jeu de hasard. Acad. de Ber-
lin, 1802.
Yaschide (N.). — Expérimental investigations in télépathie hallucinations.

The Monist, 190a, vol. XII, ch. a4, p. 273-3o8-347-365.
Weinstein. — Handbuch der physikalischen Maasbestimmugen. Berlin, 1886.
■Nous ne connaissons pas, à notre grand regret, les travaux de K. Marbe
et celui de M. Karl Pearson; ils nous ont été signalés récemment par le pro-
fesseur L.-W. Scripture.

Note de la Rédaction

L'article qu'on vient de lire est publié, comme tous ceux de notre revue,
sous la responsabilité des auteurs.

Ceux-ci sont des psychologues qui jugent surtout les tentatives mathéma-
tiques dirigées dans le domaine delà psychologie, et la bibliographie qui pré-
cède montre assez qu'ils n'ont pas traité le sujet à la légère. Nous croyons
toutefois que, s'ils ont raison d'attaquer certaines applications saugrenues,
ils ont tort de s'en prendre aux formules elles-mêmes du calcul des proba-
bilités. C'est ce que montre M. Cailler dans deux pages publiées ci-après
dans la Correspondance.

Nous avons cru cependant que la lecture des pages écrites par ces psycho-
logues qui se sont donnés la peine de devenir mathématiciens pouvait pré-
senter un réel intérêt.

Une note fort juste nous semble donnée dans ces questions par M. Angel
Gallardo (Comptes rendus du deuxième Congrès international des Mat hé-
maticiens : p. 395. — Les mathématiques et la biologie). Pour eet auteur
a les objections ne doivent pas être adressées aux méthodes mêmes mais à la
manière de s'en servir. »

NOTES ET DOCUMENTS

Cours universitaires.

Semestre d'été 1903

ALLEMAGNE

Greifswald. (Beginn : i5 April). — Thomé : Potentialfunktion,
4 §l ; Th. d. algebraischen Flâchen und Raumcurven, a ; Math. Semi-
nar, a. — Study: Infinitesimalrechnung I, 4, Uebungen dazu, 1 ;
Liniengeometrie. 3 ; Math. Seminar. — Kowalewski : Allgemeine
Funktionentheorie, 4 ; Géométrie der Zahlen, 1 ; Uebungen zur Funktio-
nentheorie, 1.

Heidelberg. (Beginn.: ao April). — Kœnigsberger : Diflerential-
und Integralrechnung, 4' 1 ; Funktionentheorie, 4 ; Math. Unter-u.Ober-
Seminar. — M. Cantor : Anwendung der Analysis auf hôhere alge-
braische Kurven in der Ebene , 4 ; Arithmetik und Algebra (fur
Kameralisten), 3. — Eisenlohr : Wahrscheinlichkeitsrechnung, 3 ;
Mechanik, 4. — Koehler : Analytische Géométrie der Ebene, 3. —
Landsberg: Th. der Determinanten u. lnvarianten, 4; Ausgewahlte
Kapitel der Théorie des Alg. Funktionen. — Boehm ; Th . d. elleptis-
chen Funktionen, a. — Valentiner : Bahnverbesserung einschliesslich
spezielle Stôrungen.

Iena. (vom 20 April bis 8 Aug. 1903). — Gutzmer : Differenzialre-
chnung mit Uebungen, 5' 1 ; Einfûhrung in die Théorie der diff. Glei-
rhungen, 5. — Thomae : Analytische Géométrie der Ebene, 4 ; Math.
Géographie, 3. — Frege : Funktionentheorie nach Riemann, 4; Math.
Uebungen, 1. — Knopf : Zeit u. Ortsbestimmung mit prakt. Ueb. auf
der Sternwarte, 4 ; Geodâsie mit prakt. Ueb. im Gelânde, a.

Leipzig. — C. Neumann ; Differential-und Integralrechnung (Fort-
setzung und Anwendungen), 8' 1 ; Math. Seminar, a. — A. Mayer :
Gewôhnliche Differentialgleichungen, 4; Uebungen dazu, 1. — Hôlder:
Anwendungen der elliptischen Funktionen, 3 ; Projektive Géométrie
in synthetischer Behandlung, 3 ; Seminar, 1 . — Engel : Analytische
Géométrie, 4 ; Uebungen dazu, 1 ; Alg. Gleichungen (Forts.), a ; Trans-

*l3o NOTES ET DOCUMENTS

formationsgruppen ; 2. — Hansdorff : Th. der Kurven u. Flâchen, 4 ;
Ueb. dazu, 1. — Liermann : Einfùhrung in die hohere Analysis, 3 ;
Nichteuklidische Géométrie, 2. — Bruns : Fehlertheorie u. Ausglei-
chungsrechnung, 2 ; Himmlische Mechanik (II theil), 2. — Peter :
Bahnverbesserung und spezielle Stôrungen, 2. — Bruns u. Peter :
Prakt. Uebungen auf der Sternwarte. — Stucker : Prakt. Géométrie
mitUebungen im Feldmessen und Nivelliren, 2. — v. Oettingen : Geo-
metrischperspektivisches Zeichnen, 2. — O. Fischer : Einfùhrung in
die math. Behandlung der Naturvv. (Anal. Geom., Diff. u. Int.
reehnung), 3.

FRANCE

Paris. {Sorbonnè). E. Picard: Equations différentielles au point de
vue de la physique mathématique, 1 h. Théorie des fonctions algébri-
ques de deux variables, 1 h. — E. Goursat : Equations différentielles,
i h. — P. Appell : Mouvement des systèmes, mécanique analytique,
mécanique des fluides, 2 h. — G. Wolf : Astronomie, 2 h. — M. Boussi-
nesqt: Phénomènes ondulatoires, 2 h. — M. Kœnigs: Elasticité et
résistance des matériaux, 2 h. — L. Raffy : Equations différentielles
et leurs applications à la mécanique et à la physique, 2 h. Conférences
sur le calcul infinitésimal, 1 h. — J. Hadamard : Conférences sur les
cours de M. Goursat, 1 h. et de M. Picard, 1 h. — M. Puiseux : Confé-
rences de mécanique et d'astronomie, Lunej détermination des longi-
tudes, 2 h. — M. Andoyer : Théorie des éclipses, 1 h. — Blutel :
Conférences aux candidats à l'Agrégation. — M. Servant : Conférences
de mécanique physique.

Paris. (Mairie du IX* arrondissement). Cours de l'institut financier

ET DE L'INSTITUT DES ASSURANCES DONNES PAR L'ASSOCIATION PHILO-
TECHNIQUE. — Nous regrettons de parler aussi tardivement de ces
cours qui fonctionnent depuis le 10 novembre 1902. Ils sont destinés
aux personnes qui veulent se mettre au courant des théories mathéma-
tiques des opérations commerciales et financières et mettent les candi-
dats à même de subir l'épreuve d'admission à Y Institut des actuaires
français.

Directeurs des cours : MM. Charliat et Barriol.

M. Roux : Comptabilité financière, le lundi à 8 heures et demie du
soir. — M. Bondon : Théorie et pratique des opérations des grands
établissements de crédit, le mardi à 8 h. — M. Ichac : Bourse et
finance, le mardi à 9 h. — M. Chevalier : Economie sociale, le mardi
à 8 h. — M. Barriol : Opérations financières à long terme, le mer-
credi à 8 h.

M. Poussin : Théorie des assurances sur la vie, le mercredi à 9 h.
— M. Bosler : Mathématiques préparatoires, le jeudi à 8 h. — M. Cot-
tin : Mathématiques complémentaires, le jeudi à 9 h. — M. Petit :

NOTES ET DOCUMENTS i3i

Calcul des probabilités, le vendredi à 8 h. — M. Le Vassbur: L'assu-
rance au point de vue de l'inspection, le vendredi à 8 h. — M. Lange .
Assurances maritimes, le samedi à 9 h. — M. Deléarde: Assurances
contre les accidents, le samedi à 9 h.

SUISSE

Bern. (21 April bis *5 Juli). — J. H. Graf : Besselsche Funktionen
mit Repetitorium, 3 il ; Elliptische Funktionen mit Repet, 3 : Funktio-
nentheorie, 2 ; Differentialgleichungen, 2 ; Differential-und Integral-
rechnung, 2 ; — Graf u. Hubek : Mathematiscbes Seminar, 2. — Graf
u. Moser : Mathematischversicherungswissenschaftliches Seminar, 1.
— Huber : Sphiirische Astronomie (II Teil), 2 ; Einleitung in die Théo- •
rie der alg. Flâchen, 2. — Sidler: Ueber Ellipsenbogen, deren Diffe-
renz rektifizierbar ist, 2. — Ott : DifFerentialrechnung, 2; Analytische
Géométrie, 2. — Benteli: Elem. d. darst. Géométrie, 4; Praktische
Géométrie, mit Ueb. auf dem Terrain, 3. — Moser : Die Intensitàts-
funktion und ihre Anwendung zur Sterblickkeitsmessung (1-2 st). —
Crelier : Géométrie synthétique dans l'espace, 2.

Genève, (du 8 avril au i5 juillet). — C. Cailler : Calcul différentiel
et intégral, 3 h. ; Mécanique rationnelle, 3 ; Conférences d'analyse
supérieure, 2. — II. Fehr : Théorie générale des équations, 2; Géo-
métrie descriptive, 2. — C. Cailler et H, Fehr : Exercices pratiques
de Cale. diff. et int., 2 ; d'Algèbre et Géométrie supérieures ; de Méca-
nique rationnelle 2. — R. Gautier: Astronomie théorique, 2; Météo-
rologie, 2. — D. Mirimanoff : Le problème de Dirichlet.

CHRONIQUE

Le Congrès international des sciences historiques à Rome.

En avril prochain se tiendra à Rome un congrès d'Histoire des
Sciences sous le patronage de S. M. le Roi d'Italie. Des sections parti-
culières sont réservées aux mathématiques, à la physique, à l'astrono-
mie, à la géodésie. Les invitations ont été lancées avec les signatures
des professeurs P. Blaserna, V. Cerruti, V. Volterra, P. Giagosa,
G. Loria. Pour participer au Congrès il est nécessaire d'adresser
l'adhésion au Secrétaire général du Congrès, Palazzo del Collcgio Romano
(via Collegio Romano, 26). L'inscription est de i5 francs. Moyennant
4o francs on obtiendra le titre de sociétaire fondateur du Congrès.

Ces détails matériels étant donnés, nous pouvons ajouter que ce con-
grès s'annonce comme devant être des plus intéressants ; bon nombre
de communications ont été déjà annoncées par MM. Cantor, Favaro,
Celoria, Vacca, Vuibert, P. Tannery, G. Loria. Des rapports seront
faits sur des thèmes choisis par le comité d'organisation, l'un de ces
thèmes touchant à l'introduction de l'histoire des sciences dans l'Ensei-
gnement supérieur. Il y aura également une conférence sur l'histoire
générale des sciences, à laquelle sont invités tous les membres du con-
grès, qui sera faite par M. P. Tannery avec la haute compétence qu'on
lui connaît. D'ici à l'ouverture du congrès, ce programme ne pouvant
que s'augmenter, on voit combien la tentative promet d'être heureuse.

Achille Goulard.

Nous avons appris, trop tard pour l'annoncer dans notre numéro de
novembre 1902, la mort d'Achille Goulard, professeur au lycée de
Marseille. Il a succombé, dans les derniers jours d'octobre 190a, à l'âge
de 42 ans, aux atteintes d'une maladie, cruelle, contre laquelle il luttait
depuis plusieurs années avec une énergie, hélas! inutile. C'était un pro-
fesseur excellent, dévoué à son enseignement autant qu'on peut l'être,
et un esprit mathématique remarquablement fin et original. Un grand
nombre de notes, parues surtout dans ï Intermédiaire des Mathémati-
ciens, en sont la preuve et ses lecteurs déploreront avec nous la perte
prématurée de celui dont on pouvait encore tout attendre.

A côté du professeur et du savant, il y avait en lui l'homme, le père
de famille, admirable de dévouement et de conscience. En exprimant
aux siens la part qu'elle prend à leur douleur, la rédaction de V Ensei-
gnement Mathématique, sait qu'elle ne peut leur apporter ni consola-
tion, ni adoucissement ; mais elle accomplit un devoir de confraternité
et de justice.

CORRESPONDANCE

A propos d'un article sur le calcul des probabilités.

Les auteurs de l'article sur les Applications du calcul des probabilités
à la méthode scientifique publié dans le dernier numéro de Y Enseigne-
ment mathématique, (5° année, p. 3-!ao,), à côté de nombre de remarques
judicieuses et d'applications intéressantes ont commis quelques inad-
vertances. Je me permets d'en relever en passant quelques-unes pour
l'instruction de ceux de nos lecteurs qui n'ont pas le loisir de refaire
les calculs de MM. Vaschide et Piéron.

Ces auteurs trouvent une absurdité dans la formule approchée

h*

I ïmpq

yiizmpq

de la probabilité d'un écart égal à // sur une série de m parties. A les
en croire, le bon sens indique que, // restant fixe et m croissant, cette
probabilité doit croître toujours, au lieu que la formule après une
courte période de croissance passe par un maximum puis diminue
constamment. Bien qu'ils ne présentent pas leur objection avec toute
la netteté désirable, ils paraissent admettre que le soi-disant paradoxe
provient de l'approximation insuffisante de la formule de Stirling et des
simplifications employées pour obtenir la formule précédente. Or il
est aisé de montrer que le maximum existe encore dans la formule
rigoureuse. Par exemple, en jouant as parties à rouge ou noire, la
probabilité d'un écart // au profit de la rouge, autrement dit la proba-
bilité de voir la rouge sortir (s + //) fois et la noire (s — h) fois seule-
ment est

as! /i\ as

Si s augmente d'une unité la valeur précédente se multiplie par le
facteur

(as-f- i) (as -f- a) i

(s+i+A) l»+i— *) T ;

ainsi, lorsque s est plus petit que a/i 1 — i, la probabilité d'un écart h

i34 CORRESPONDANCE

augmente avec s, tandis que si s a dépassé (ih* — i), cette probabilité
décroît et même va jusqu'à zéro quand s va à l'infini.

Non seulement il n'y a rien là de contraire au bon sens, ainsi qu'on
peut s'en convaincre par l'examen de petits nombres s et //, mais le fait
même de la diminution de P avec 5 est en parfaite harmonie avec le
théorème de Bernoulli. Si la probabilité d'un écart égal à // augmen-
tait sans cesse avec s, il en serait de même pour la probabilité d'un
écart absolu plus petit qu'un nombre fixe quelconque et Ton ne serait
pas autorisé à conclure que l'écart absolu augmente sans limite avec le
nombre des parties. En outre, le maximum de la formule approchée cor-
respond, dans le cas présent, à la valeur 4/1 2 du nombre /«, tandis que
le maximum de la formule exacte donne, comme on vient de voir, m =as
= .'|// 2 — 2. La faiblesse de l'erreur relative pour /* tant soit peu grand,
est de nature à accroître la confiance accordée à la formule approchée.

Je conclus que les deux formules

h*
I tmpq ( h \

Pi= / e et I\ = e(-7==),

yimpq \V impq I

bien que non équivalentes, sont exactes l'une et l'autre au moins en
première approximation : la première donne la probabilité d'un écart
égal à //, la seconde la probabilité d'un écart plus petit que //.

Un autre point appelle encore une critique. Aussi bien rien n'est
plus instructif et ne met mieux en évidence ce qu'il y a de vague dans
les principes du calcul des probabilités et de décevant dans beaucoup
de ses applications, que les divergences d'appréciation qui se pro-
duisent à propos des problèmes les plus simples.

Ainsi nos auteurs prennent à partie M. Poincaré au sujet du pro-
blème de rouge et noire et ne combattent que mollement l'opinion des
joueurs qui mettent sur la noire après la sortie de six rouges consécu-
tives. N'est-ce pas là cependant supposer de la mémoire à la roulette,
lui prêter des intentions ?

Après l'apparition de six rouges il faut, pour savoir si la série est
close, jouer un septième coup. Nos joueurs, si du moins ils se donnent
la peine d'analyser leurs impressions, partent donc de l'idée que les
séries de six rouges suivies d'une noire sont plus fréquentes que les
séries de sept rouges. Or si l'on admet la probabilité de la sortie d'une

rouge ou d'une noire soit — , toute succession donnée de ces couleurs,

celle-ci par exemple : rouge, noire, noire, noire, rouge, noire, rouge,

a une probabilité égale à — — . Ainsi la sortie de ces deux couleurs dans

l'ordre indiqué est aussi probable que celle de toute autre succession
et sera, en pratique, aussi rare que la sortie de sept rouges de suite.
Je ne vois pas ce qu'on peut objecter de fondé à ce raisonnement.

G. Cailler (Genève).

CORRESPONDANCE 1 35

i. Sur les formules de Bonnet, Enneper et Kommerell.

La formule de Bonnet :

TT* di= l77-7r) 8,n ? cost ? (I)

qui détermine la torsion géodésique de toute courbe d une surface,
comprend, comme cas particuliers, celles $ Enneper pour les lignes
asymptotiques :

et de M. Kommerell pour les géodésiques (Archiv der Math, und Phy-
sik y 3°Reihe, B. 1, S. 116-7) :

-bHt-ttMtt-t); «

mais cette circonstance apparaît bien plus clairement, si l'on donne à la

formule de Bonnet (1) une autre forme. En effet, éliminons ? entre (1)

et l'équation :

cos o> _j_ cos 2 © sin 2 o

P~ ~~ Pi Pi '

on a :

cos u>

I -o/ 1 I \ I COSW o / * * \

Pi ' V Pi Pi / Pi ? * V Pi Pi /

d'où la formule (1) se transforme en la suivante :

(1 , dta \ s / costo 1 \ / 1 cos oj \ , n

x ± -5r)=(-i 07)- (77 — — / ; (,)

sous cette forme, on voit tout de suite qu'elle comprend la formule (a)
pour «o = — , et la formule (3) pour o> = o. Plus généralement, pour
les courbes w = const., elle devient :

1 / ras w 1 \ / 1 ' cos («> \ , ...

-ï^ = (-7 ?r)(-h --?-)• (I)

Enfin, pour les lignes de courbure, elle donne le théorème dit* de
Lancret :

1 , rfu>

TT ~dT*

i36 CORRESPONDANCE

A propos de la démonstration des formules (i), (a) et (3), je voudrais
observer que la manière la plus courte de la faire, c'est de partir des
équations :

COS (D = r * - LJ -

V^+7T? ' \Zi+p* + q* V* + P* + 1*

respectivement, que l'on différentie et ajoute.

a. Remarque sur les lignes de courbure.

Dans toute ligne de courbure on a :

i . dut

d'où :
d'autre part :

p L COSUJ = p,

ou :

COS (t) I

Donc :

p ~~ pi '

i

_ C08 ( ± / J ïï-+ C )

et de même :

Pi

p

i

_ cos(± /i£L + ,)

Pi p

3. Quand la trajectoire d'un mobile est plane, l'hodo graphe l'est aussi,
quel que soit le mouvement, car de la relation :

on tire :

a dx _lt* d y • r dz — ^ .

CORRESPONDANCE

l3 7

réciproquement, si l'hodographe se trouve dans un plan passant par
l'origine, la trajectoire est plane, car de :

*£+ B -ï+ c 4r=°

on trouve

Ax + By + Ce = D.
4. Dans le mouvement central on a :

x" _ y" _ i,"

x ~~ y ~ z

et la trajectoire est plane. La trajectoire est aussi plane (mais dans un
plan qui ne passe plus nécessairement par l'origine) quand on a :

—tir <m m m

(c'est-à-dire quand le mouvement sur l'hodographe est central) ;
car on trouve :

y>x'"—xy" = o, etc.
d'où :

y'x" — *y = C, z'y" — y'z n = A, x'z" — z'x" = B,
et :

Ax'+B/ + Cs' = o,
et par conséquent :

Ax + Bj + G3 = D.

Juin 1902. N. J. Hatzidakis (Athènes).

Sur le théorème du carré de l'hypoténuse

Le carré CDEB = a* construit
sur l'hypoténuse BC du triangle
rectangle ABC est égal à la surface
du carré AJHG=(c — b) 2 y plus les
quatre triangles rectangles égaux
ABC, CDJ, DHE, EBG.

Les carrés ABFI == c 2 et DKIJ
= b 2 ont également pour surface
AJHG = (c — £)*, plus les quatre
triangles rectangles (égaux à ABC)
DKE, DEH, EFBetEGB.

La somme des surfaces de ces
deux derniers est donc bien équi-
valente à celle du carré construit sur l'hypoténuse.

L. Barré.

i38 CORRESPONDANCE

Sur une question de convergence

Dans le débat engagé entre M. Barbarin et moi, au sujet d'un théo-
rème sur un quadrilatère birectangle, (L'Ens. Math., 1902, p. 343-346
et 438-444), il s'agit de savoir si une certaine suite de distances, comptées
sur un même côté du quadrilatère, peut-être convergente ou non.
M. Barbarin dit oui, moi je dis non.

Pour justifier sa manière de voir, mon distingué contradicteur
s'appuie tout d'abord sur l'atomisme géométrique de M. Bonnel. Ce
simple fait me suggère déjà une réflexion.

Je serais curieux de savoir si M. Barbarin, qui utilise si adroitement
l'atomisme bonnélien contre ma démonstration du postulatum d'Euclide,
admet celle que M. Bonnel prétend donner du même postulatum au
moyen du même atomisme (*) S'il ne l'admet pas, comme il est probable,
comment la réfute-t-il ? Et s'il l'admet, comment explique-t-il qu'une
théorie capable, à ses yeux, de démontrer le postulatum, soit capable
également de démontrer la fausseté d'une proposition qui est certaine-
ment vraie si le postulatum est démontré et de laquelle, pourvu qu'on la
démontre avant le postulatum, on peut faire dépendre la démonstration
de celui-ci ?

Quoi qu'il en soit, admettons pour le moment, avec M. Bonnel et
M. Barbarin, la notion d'atome linéaire, c'est-à-dire la notion d'une lon-
gueur qui, sans être nulle, serait cependant plus petite que toute longueur
assignable.

Rapprochant de cette notion l'exemple classique des polygones régu-
liers convexes de n côtés, inscrits et circonscrits à une même circon-
férence, M. Barbarin pose en principe que les distances successives
AE, EG..., peuvent décroître constamment.

Faisant ensuite l'hypothèse que l'une de ces distances VX est égale à
l'atome linéaire, il en conclut que la distance suivante XX' « ne saurait
exister » c'est-à-dire doit être nulle.

J'observe tout d'abord que cette conclusion au sujet de XX' me paraît
difficile à concilier avec un fait accepté par M. Barbarin, à savoir:
qiï aucune des distances AE, EG..., « ne peut être rigoureusement
nulle, en vertu de la construction employée. »

Je rappelle ensuite qu' « en vertu de la construction employée », la
valeur des distances AE, EG..., est commandée par celle des angles
AGD, EFD..., et que, par suite, une hypothèse sur la valeur des dis-
tances n'est acceptable que si elle est compatible avec la valeur des angles.
Cette remarque faite, supposons, je le veux bien, que VX soit égal à
l'atome linéaire. Cela revient à dire que VX, si petit soit-il, n'est pas

(')J. Bonnel. Les atomes et hypothèses clans la Géométrie, p. 78 et 1 13 ; La géo-
métrie atomique rationnelle, p. 65.

r

CORRESPONDANCE

'3 9

nul. Donc XY ne coïncide pas avec VY. On a donc un triangle XVY

rectangle en V, exigeant par conséquent que l'angle VXY soit aigu. Et

voilà parle fait anéantie la conclusion de M. Barbarin, affirmant que

XY est perpendiculaire commune à AB et

à CD. — L'angle VXY étant aigu, il s'ensuit

(je crois inutile de l'expliquer avec plus de

détail) que ï angle XY'D est obtus. DoncX'Y'',

perpendiculaire à CD en Y', ne coïncide pas

avec XY', et par suite XX' ne peut être nul.

11 faut donc, d'après les principes mêmes

de l'atomisme bonnélien, que XX' soit au moins égal à X atome linéaire,

c'est-à-dire à VX.

Ainsi s'évanouit l'objection de M. Barbarin, fondée sur l'hypothèse
que XX' peut être moindre que VX.

Quel que soit, par conséquent, le crédit que mérite le singulier ato-
misme de M. Bonnel, la démonstration de mon théorème n'en peut
recevoir aucune atteinte.

Me voilà donc bien à l'aise pour déclarer maintenant que je repousse
absolument une théorie d'après laquelle, pour une valeur de n suffisam-
ment grande, mais finie, l'expression — ne peut diminuer sans s'an-
nuler. J'estime qu'une pareille condition suffit pour juger, je veux dire
pour condamner la théorie qui l'exige.

Mais alors, impossible de contester, avec M. Barbarin, l'exactitude
de cette assertion : « Il n'y a que les longueurs pouvant devenir nulles
dont on puisse dire qu'elles peuvent tomber au-dessous de toute lon-
gueur assignable. »

Impossible également de soutenir, avec M. Barbarin, que la diffé-
rence P — p des périmètres de deux polygones réguliers convexes de n
côtés, l'un circonscrit, l'autre inscrit à une circonférence de rayon R
peut <( tomber au-dessous de toute longueur assignable » sans « jamais
devenir nulle ». C'est contradictoire, comme on peut en juger par la
formule

P/> 2

r n

ait (2/1R + y/^K* — p-)

Autre objection. — Elle est inspirée par les travaux de M. de Tilly,
d'après lesquels toute la métagéométrie peut découler de la notion de
distance « considérée comme s,eule notion première intuitive. » M. Bar-
barin veut bien en tirer d'abord la conclusion que mon théorème
demeure vrai « dans le système usuel (euclidien) comme dans le système
lobatchefskien ».

Cest tout ce que je demande !

— Mais, poursuit mon distingué contradicteur, il n'en est plus de
même dans la géométrie de Riemann.

i4o CORRESPONDANCE

— Que m'importe ? La géométrie riemannienne n'a rien à faire ici,
parce que ses données fondamentales ne répondent pas à l'état de la
question dont il s'agit. Le compte à régler entre la géométrie eucli-
dienne et la riemannienne est un compte à part : on le réglera quand
sera réglé celui de la géométrie lobatchefskienne.

Dernière objection. — C'est moi-même, paraît-il, qui en ai fourni les
éléments en déclarant qu'au fond, dans le théorème en litige, « il s'agit
de savoir si les angles correspondants successifs AGD, EFD..,, sont
tous obtus ou tous aigus. » De cette façon d'envisager la question,
M. Barbarin conclut comme précédemment que mon raisonnement n'est
admissible que pour les deux géométries euclidienne et lobatchefs-
kienne.

Encore une fois, c'est tout ce que je demande !

Je récuse, d'ailleurs, l'obligation que veut m'imposer mon contradic-
teur de m'assurer si les angles successifs ACD, EFD, GHD..,, « obtus
depuis le premier jusqu'au n e inclusivement, c'est entendu » sont crois-
sants constants ou décroissants. 11 me suffit de savoir qu'ils demeurent
obtus.

En résumé, des diverses objections de M. Barbarin, contre mon
théorème les unes ne l'atteignent pas, les autres le confirment plutôt,
toutes crient en quelque sorte : il faut bien que le théorème soit bon,
puisqu'il résiste à la critique de M. Barbarin.

Il me reste maintenant à répondre à une seconde critique.

« En partant des définitions habituelles de la droite du plan, dit
M. Mansion (LEns. Math., iyo3, p. 05), on prouve qu'il existe entre
l'hypoténuse a et les côtés b et c d'un triangle rectangle Tune des
relations

(E) a* = 6 2 + c\

suivant que l'on rejette ou que l'on admet le postulat de la parallèle
unique, et réciproquement. Il en résulte que le postulat de la parallèle
unique est indémontrable en se servant des définitions seules, puisque
ces définitions conduisent à deux relations distinctes dont la seconde
seulement a pour conséquence ce postulat. »

Pour prévenir toute équivoque, rappelons d'abord que, d'après les
définitions auxquelles se réfère ici M. Mansion, la ligne droite est telle
que par deux points donnés quelconques on en peut mener une et une
seule. — Partant de là (et en admettant, bien entendu, les postulats
ordinaires autres que le postulat en litige), le raisonnement de M. Man-
sion serait péreiuptoire si les définitions seules de la droite et du plan
conduisaient effectivement à la relation (L). Mais justement, et d'après

CORRESPONDANCE 141

ce que dit M. Mansion lui-même au début de sa remarque, ce ne sont
pas les définitions seules qui conduisent à la relation (L), c'est encore
et avec elles la contradictoire du postulat de la parallèle unique. On ne
peut donc pas savoir, d'après la seule relation (L), si les définitions
seules de la droite et du plan ne contiennent pas le postulat de la paral-
lèle unique. Rien ne sert alors d'observer que la relation (E) exige ce
postulat. Gela signifie, en effet, que pour obtenir la relation (E)' il faut
ajouter le postulat aux définitions si elles ne le contiennent pas, cela ne
signifie pas du tout qu'elles ne le contiennent pas. Dira-t-on que la
preuve qu'elles ne le contiennent pas c'est que la relation (L) démontre
l'absence de contradiction dans les conséquences de la contradictoire
du postulat ? C'est revenir au sempiternel sophisme dont on a voulu
faire Y argument de non-contradiction et que nous avons réfuté dans cette
Revue (Sept. 1902, p. 33o-333). Donc ni la relation (L), ni la relation (E),
considérées soit séparément, soit simultanément, ne permettent de
conclure à l'indémontrabilité du postulat de la parallèle unique..

Quant à l'argument de la pseudosphère, M.- Mansion affirme qu'il
est « parfaitement probant quand on l'entend d'une pseudosphère
enroulée un nombre infini de fois sur elle-même ». A cette affirmation
pure et simple j'oppose cette simple observation que ma réfutation de
l'argument de la pseudosphère (VEns. math., 1902, p. 333-336) est
parfaitement indépendante de l'enroulement illimité de la pseudosphère
sur elle-même.

C. Vidal. (Paris).

Janvier 1903.

Enseignement math.

BIBLIOGRAPHIE

P. âppell. — Traité de Mécanique rationnelle, t. III. Equilibre et
mouvement des milieux continus. Paris, Gauthier-Yillars. Un beau
vol. gr. iu-8° de 558 pages. Prix : 16 fr.

Le tome troisième du Traité de Mécanique rationnelle termine le magis-
tral ouvrage entrepris par M. P. Appell. Il ne m'appartient guère d'en faire
Télogc, si ce n'est par cette simple remarque que bien avant la publication
du dernier volume, toute l'édition du premier était épuisée. Toutefois
ceux qui comme moi se sont assimilés les méthodes de la Mécanique en
étudiant cette œuvre simple et savante, se douteront bien que les ques-
tions, autrefois si obscures, de la Statique et de la Dynamique des fluides,
vont être présentées à eux avec un intérêt nouveau et une clarté nouvelle.

Le volume débute par l'exposition analytique de formules qui sont d'un
usage constant en Physique mathématique et en Mécanique : formules de
Green, d'Ampère et de Stokes, qui servent à transformer une intégrale triple
étendue à un volume, en une intégrale double étendue à la surface qui le
limite, ou une intégrale double étendue à une aire en une intégrale simple
étendue au contour de cette aire. La notion de tourbillon est introduite avec
une grande simplicité et, par son emploi, on retrouve de façon toute naturelle
des théorèmes connus d'analyse élémentaire . Ainsi écrire que Ydx -f- Qdy
+ Kdz est une différentielle exacte, c'est écrire qu'un tourbillon est nul.

Après ces notions analytiques, nous abordons la théorie de l'attraction.
M. Appell nous fait remarquer tout au début qu'on passe de l'attraction
newtonienne aux attractions électriques et magnétiques, en remplaçant la
constante positive /"par une constante négative — A\

L'expression — kmm'r—* est bien alors positive, tout comme dans le cas
d'une attraction newtonienne, si les masses m et m' sont de signes contraires.
Si elles sont de même signe, il y a répulsion. Beaucoup de calculs cessent
alors d'être des exercices analytiques et donnent des résultats tangibles. Au
point de vue de la seule attraction newtonienne à quoi sert d'étudier l'action
que peuvent avoir Tune sur l'autre deux portions de plans parallèles ?

En électricité, au contraire, ce calcul ne se présente-t-il pas naturellement
dans l'étude du condensateur ?

Nous trouvons aussi une théorie succincte de l'aimant élémentaire et du
potentiel d'une double couche magnétique.

Inutile de dire que les exemples de calculs d'attraction sont nombreux et
variés ; les théorèmes d'Ivory sur les ellipsoïdes ho m o focaux sont, par con-
tre, simplement cités comme exercices et rien n'est plus heureux que la sup-

BIBLIOGRAPHIE i43

pression de démonstrations compliquées qui, dans certains traités, tiennent
la moitié des pages réservées à l'attraction. Dans l'ouvrage de M. Appell ces
pages ne sont pas prétextes à des subtilités analytiques qui font perdre de
vue les applications à faire ultérieurement.

Nous passons ensuite aux propriétés générales des fonctions vérifiant
l'équation de Laplacc AU rr o et dites fonctions harmoniques, puis aux masses
attirantes illimitées et au potentiel logarithmique : pour les masses illimi-
tées, l'auteur montre que le mot attraction peut ne plus avoir de sens,
comme dans le cas du plan indéfini.

Ce n'est qu'après ces préliminaires que nous entrons, à proprement par-
ler, dans l'étude de l'équilibre et du mouvement intérieurs dune masse con-
tinue.

Il ne s'agit pas encore d'hydrostatique ou d'hydrodynamique, mais de
généralités relatives à tout milieu continu gazeux, liquide ou solide, des-
quelles on déduira plus tard la mécanique des fluides et la théorie de l'élas-
ticité. Il y a à signaler ici tout particulièrement la belle représentation
géométrique de Cauchypourla variation en direction de l'effort élémentaire,
représentation semblable à celle que fournit l'ellipsoïde d'inertie dans la
théorie des moments.

Au début de l'hydrostatique et, comme une des premières applications,
nous rencontrons la formule barométrique discutée avec achèvement complet
des calculs et même mise sous la forme qui s'accorde avec les tables de
M. Mathieu, publiées dans Y Annuaire du Bureau des Longitudes. Viennent
ensuite le principe d'Archimède et l'étude générale de l'équilibre isotherme.
Le cas où les forces dérivent d'une fonction de forces non uniforme est bien
curieux ; il matérialise pour ainsi dire certaines conceptions de la théorie des
fonctions. Soit la fonction de forces

y
U =: arc tang -^—

uniforme dans toute surface fermée n'entourant pas l'axe des z ; elle permet
un état d'équilibre à un fluide enfermé dans une telle surface. Mais si la sur-
face entoure l'axe des z, le fluide se met en mouvement ; inlroduit-on une
cloison pour empêcher ce mouvement, elle ne l'empêchera que si elle fait
l'effet d'une coupure rendant à nouveau la fonction U uniforme.

Des considérations des plus utiles viennent ensuite sur l'équilibre d'une
masse fluide animée d'un mouvement de rotation, questions fondamentales en
mécanique céleste et que les beaux travaux de M. Poincaré ont beaucoup
avancées, surtout quant aux figures d'équilibres ellipsoïdales, annulaires et
autres qui n'ont pas forcément plusieurs plans de symétrie. Après l'équilibre
des fluides pesants nous trouvons celui des corps flottants. Le sujet date
d'Archimède et cependant, après les travaux de M. Guyou, il paraît né
d'hier. Je ne puis entrer ici dans tous les théorèmes élégants auxquels il
donne lieu, mais le résultat fondamental est des plus simples à énoncer :
la détermination de l'équilibre d'un corps flottant se ramène à celle de l'équi-
libre d'une certaine surface (surface des centres de carène) que l'on peut
supposer réalisée matériellement et posée sur un plan horizontal rigide.

Avant d'entrer définitivement dans la Dynamique, M. Appell nous fait étu-
dier les propriétés purement géométriques et ciuématiques de la déforma-
tion des milieux continus.

144 BIBLIOGRAPHIE

L'équation de continuité est donnée sous une forme absolument générale
et, dans l'étude des dilatations autour d'un point, nous retrouvons encore un
ellipsoïde pour interpréter plus commodément les choses ; il y a là une
représentation géométrique qui fait facilement image. Une déformation
homogène d'une masse continue est caractérisée par ce fait que ces ellip-
soïdes de dilatation sont égaux et orientés de la même façon en tous ses
points. Pour une déformation quelconque, nous pouvons imaginer en chaque
point de la masse une déformation homogène tangente, conception de même
nature que celle du mouvement hélicoïdal tangent dans l'étude du déplace-
ment d'un solide invariable et qui ne le cède en rien à cette dernière au point
de vue de l'élégance et de l'utilité.

Dans la cinématique des milieux continus, nous trouvons un chapitre des
plus importants sur la propagation des ondes. Les derniers résultats dus à
M. Hadamard, y sont développés. L'onde est une surface qui se déplace et
se déforme dans le milieu considéré, sur laquelle les dérivées des coordon-
nées prises par rapport à leurs valeurs initiales, ou par rapport au temps,
cessent d'être continues.

Une discontinuité d'ordre n est celle où la première dérivée qui cesse
d'être continue, est d'ordre n, toutes les dérivées d'ordre inférieur à n res-
tant continues.

Les cas de n = i et n = a sont étudiés en détail par M. Appell. Les
résultats généraux obtenus par M. Hadamard pour n quelconque, sont rappe-
lés sommairement et leurs démonstrations sont proposées comme exercices.

Dans la dynamique des fluides parfaits, nous trouvons maintes choses
remarquables, telles que le théorème d'IIugoniot et la détermination de la
vitesse de propagation du son.

A remarquer aussi la transformation des équations de Y hydrodynamique
pour le cas de coordonnées quelconques, transformation exactement compa-
rable à celle qui change les équations ordinaires du mouvement d'un point
ou d'un système en les équations de Lagrange.

Dans ces théories difficiles qui semblent si souvent dénuées d'applications
et qui chez beaucoup de savants paraissent avoir été seulement prétextes à
des développements analytiques, intéressants sans doute, mais qui faisaient
perdre de vue les problèmes matériels posés au début, on ne saurait trop
admirer l'auteur du présent ouvrage qui s'efforce de donner sans cesse des
exemples de problèmes aussi simples que possible et de les résoudre com-
plètement de façon à faire suivre les développements analytiques de réalités
concrètes. Voici l'étude du mouvement d'un liquide pesant dans un vase de
révolution présentant une large ouverture à la partie inférieure, et plus loin
c'est le mouvement d'un liquide qui se précipite dans un espace sphérique
brusquement laissé vide en son sein. Après les théorèmes de Bcrnoulli et de
Torricelli et l'élude générale des écoulements en régime permanent nous
tombons dans la théorie des tourbillons. Ce mot, déiini au début d'une façon
purement analytique, nous apparaît ici sous un jour matériel qui le justifie.
Si les particules d'un fluide n'ont pas une rotation nulle, elles ont des mouve-
ments tourbillonnaircs et s'arrangent en tubes de tourbillons qui ne peuvent
se terminer au milieu de la masse ; ces tubes sont donc fermés sur eux-mêmes
ou terminés aux parois ou aux surfaces de discontinuité. Tels sont les
anneaux de fumée que les fumeurs s'amusent à lancer. A côté de ce jeu que
la théorie des tourbillons nous explique, faut-il rappeler qu'elle a été

BIBLIOGRAPHIE i45

l'objet de la part de lord Kelwin, des plus hautes spéculations au point de
vue cosmogonique et qu'il a émis cette hypothèse que les atomes qui consti-
tuent la matière qui tombe sous nos sens sont de minuscules tourbillons
d'éther.

Dans l'exposition de la présente théorie, je signalerai comme particulière-
ment remarquable le problème qui consiste à déterminer la vitesse d'une par-
ticule fluide connaissant le tourbillon relatif au môme point et aussi une ana-
logie électro-dynamique des plus intéressantes. L'existence de tourbillons
dans un liquide modifie évidemment les vitesses d'une particule quelconque ;
or, si l'on considère l'ensemble de tous les tourbillons qui forment un tube
annulaire, l'effet de l'existence de ce tube sur un point P de la masse est le
même que celui qu'exercerait un courant électrique parcourant un fil conduc-
teur de même figure que le tube tourbillonnairc sur le point P considéré
comme un pôle magnétique.

Le chapitre qui termine la dynamique des fluides est consacré aux mouve-
ments parallèles à un plan fixe.

Tous les problèmes relatifs aux milieux continus semblent évidemment
exiger la considération de l'espace à trois dimensions, mais on peut, par la
pensée, imaginer des milieux continus n'ayant que deux dimensions. Tel
serait, par exemple, le milieu constitué par des molécules assujetties à res-
ter sur un plan.

Cette fiction devient une réalité dans des milieux continus à trois dimen-
sions où toutes les particules ont originairement des vitesses parallèles à un
plan et où il est évident, par raison de symétrie, que ce parallélisme n'a pas
lieu d'être altéré. Tels sont les cas d'écoulement dans un canal constitué
latéralement par des plans verticaux et dont le fond est un cylindre de géné-
ratrices perpendiculaires aux parois. C'est notamment le cas d'un liquide
qui s'écoule par-dessus un déversoir horizontal formant un plan perpen-
diculaire aux parois latérales d'un canal. Alors les équations du mouvement
se réduisent à deux.

Il faut remarquer dans ces dernières pages l'étude de la propagation des
ondes à la surface d'un liquide, les ondes stalionnaircs et le phénomène du
clapotis. Quant à l'étude des mouvements tourbillonnaires, elle est reprise
dans ce cas particulier. Si par exemple nous prenons un liquide dans un vase
à parois verticales et à fond horizontal, en supposant que toutes les vitesses
soient parallèles au fond, les tubes de tourbillon ne pourront évidemment
être que des droites verticales. Les équations du mouvement de ces tubes,
quand on les suppose infiniment déliés, se mettent aisément sous la forme
canonique.

Le volume se termine par la théorie de l'élasticité, terminée elle-même
par l'étude de la vibration des milieux élastiques et la comparaison des
vibrations transversales qu'ils peuvent transmettre avec les vibrations longi-
tudinales que transmettent les fluides parfaits.

Je citerai encore quelques pages sur les fluides visqueux et j'aurai peut-
être donné une pâle idée des nombreux sujets abordés par M. Appell; mais
ce dont je renonce à donner aucune idée, c'est, d'un côté, la clarté avec
laquelle tout est présenté, d'un autre, la patience de l'auteur qui a recueilli
d'innombrables renseignements bibliographiques et a partout indiqué ce qui
reste à faire après ce qui est fait à l'heure actuelle. Et comme les deux pre-
miers volumes du traité ne le cèdent en rien au troisième, je crois qu'on

iffi BIBLIOGRAPHIE

peut conseiller à tous ceux qui veulent acquérir une haute idée de la science
et de l'art mathématiques, d'entrer dans ce magnifique monument élevé à la
mécanique rationnelle.

A. BuiiL (Paris).

P. Bachmaxn. — Niedere Zablentheorie, Erster Teil. B.-G. Teubner's
Sammlung von Lehrbûchernaufdem Gebietc der Mathematischen Wissen-
schaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. Band X, i. — Un vol. relié,
gr. in-8°, 402 p. ; prix : M. 14. — ; B.-G. Teubner, Leipzig, 1902.

À côté de l'Encyclopédie des Sciences mathématiques, qui a déjà rendu
de si grands services aux géomètres, la librairie Teubner a entrepris la
publication d'une collection de traités séparés consacrés aux parties les plus
importantes de la science mathématique. On ne saurait contester l'utilité
d'une telle publication. En effet, les articles de l'Encyclopédie ne contien-
nent que des résumés et des aperçus dans lesquels les résultats acquis à la
science sont systématiquement classés et enregistrés. C'est un guide pré-
cieux, mais ce n'est qu'un guide. Pour les développements, démonstrations,
etc., on doit recourir aux sources : monographies, notes, mémoires dissé-
minés dans les comptes rendus et les revues périodiques. Bien rares sont
encore les traités spéciaux, assez complets pour pouvoir donner une idée
exacte de l'état actuel de nos connaissances mathématiques, assez intelli-
gibles en même temps pour servir de livres d'initiation.

A en juger par le premier volume qui vient de paraître, l'ouvrage de
M. Bachmann remplit admirablement le but que vise la Collection Teubner.
Après une courte introduction historique, l'auteur examine et précise la
notion du nombre entier positif et négatif en se plaçant au point de vue de
M. Df.dekind, mais il simplifie et complète sur quelques points l'analyse du
célèbre géomètre allemand. Le second chapitre est consacré à la théorie de
la divisibilité. Les lois fondamentales de cette théorie sont établies on
partant de la notion moderne des modules que l'on doit à Kronecker et à
M. Dedekind. M. Bachmann établit ensuite un certain nombre de proposi-
tions se rattachant à la théorie précédente, en particulier la formule d'Euier
donnant la somme des diviseurs d'un nombre et quelques propriétés très
curieuses de la factorielle dues à Weill, Catalan et autres.

Le troisième chapitre expose les principes de la théorie des congruences:
systèmes de restes, nombre maximum de racines, etc. Parmi les applica-
tions de cette théorie on remarquera les propriétés générales de la fonction
<p (n) et celles des fonctions plus générales de Lucas et de Schemmel.

L'auteur reprend ensuite au 4° chapitre la théorie de la divisibilité. Mais
cette fois-ci il en établit le théorème fondamental au moyen de l'algorithme
d'Euclide (procédé de Poinsot) ce qui le conduit naturellement aux fractions
continues et à la théorie des séries de Farey, théorie à laquelle se ratta-
chent les recherches relativement récentes de M. Hurwitz et de M. Vahlen.

Le 5° chapitre traite des théorèmes de Fermât et de Wilson.

Un long chapitre est consacré à la théorie des résidus quadratiques.
C'est incontestablement le plus curieux. On y remarquera une table chro-
nologique des différentes démonstrations de la fameuse loi de réciprocité
de Legcndre. Ces démonstrations, dont on connaît environ une cinquan-
taine, sont divisées en catégories et celles d'entre elles qui appartiennent
aux éléments de la théorie des nombres sont analysées avec soin.

BIBLIOGRAPHIE l47

Le dernier chapitre contient la théorie générale des congruences d'un
degré quelconque. A côté des résultats dus à Schôncmann, Dedekind et
J.-A. Serret on y trouve la belle théorie des imaginaires de Galois et enfin
la 7° démonstration que Gauss a donnée de la loi de réciprocité, démons-
tration qui est précisément basée sur la théorie des congruences.

En résumé, le premier volume de l'ouvrage de M. Bachmann apprend
beaucoup. Il peut servir de complément et de commentaire aux six pre-
miers paragraphes (et au 8 e ) de l'article correspondant de l'encyclopédie,
dû aussi à la plume de M. Bachmann, et il s'adresse aussi bien à ceux qui
veulent approfondir la science des nombres qu'à ceux qui désireraient s'y
initier.

D. Mirimanoff (Genève).

£. Estanave. — Essai sur la sommation de quelques séries trigono-
métriques ; gr. in-8°, 112 p. ; prix: 6 fr. ; Paris, A. Hcrmann, 1903,

Les séries qu'étudie l'auteur sont d'une haute importance au point de vue
des applications mécaniques ou physiques. Il s'est proposé surtout d'at-
teindre un but pratique, c'est-à-dire d'effectuer la sommation, plutôt que de
se livrer à une étude purement théorique. 11 a cependant donné, dans un
grand nombre de cas, la solution du problème inverse de la formule de
Fourier, ce qui peut s'énoncer ainsi : faire correspondre à une série trigo-
nométrique donnée une fonction dont cette série est le développement. Sa
méthode consiste essentiellement à profiter de l'identité qu'il établit entre
une série simple et une série à double entrée contenant une fonction arbi-
traire, en disposant de l'indétermination qui en résulte. Les calculs auxquels
cette méthode conduit exigent souvent la résolution de certaines questions
auxiliaires. On peut citer parmi ces questions la détermination d'intégrales
définies, ou celle d'intégrales particulières d'équations différentielles. Le ré-
sultat est obtenu par une méthode intuitive, qui revient an fond à celle des
coefficients indéterminés, mais qui est beaucoup plus rapide, et ramène tout
à une formule unique. En somme, il parvient à deviner la loi, et en démontre
ensuite la généralité.

A signaler aussi les aperçus que M. Estanave est amené à présenter sur
les nombres d'Euler, de Bernoulli, de Genocchi. En résumé, son livre, qui
a dû lui coûter beaucoup de travail et de peine, est une œuvre à la fois utile
et intéressante.

C. A. L.

G. Holzmuller. — Klemente der Stéréométrie : Viertcr Teil. Fortsetzung
der schwierigeren Untcrsuchungen : Bercchnung und stcreomclrische
DarsU'llung von statischen, -Tragheits-und Centrifugal-Momenten homoge-
ncr Raumgcbilde. Simpsonsche Regel, verallgemeinerte Schichtenformel,
gewisse Zuordnungcn und konforme Abbildungen im Dienste solcher
Bcstimmungen. Nachtragùber das Katenoïd, seine Krûmmungsverhaltnisse
und sphârische Abbildung und ùber seinen Zusammenhang mit der Gauss-
schen Pseudosphiïre und der Minimalschraubenregelflàche, 1 vol. in-8°.
de 3n p. ; prix: br. M. 9 ; relié M. 9-5o; G. J. Goeschen, Leipzig, 190a.

Dans ce volume, M. Holzmuller continue à montrer qu'il existe, à côté de
la grande route du calcul différentiel et intégral, un sentier permettant d'ar-

€ ï48 BIBLIOGRAPHIE

river plus facilement au but du premier dans l'étude de certaines propriétés
des lignes et surfaces. Par des moyens quasi élémentaires, il fait obtenir au
lecteur des résultats fort intéressants.

Ce quatrième et dernier volume est divisé en 3 sections : la première est
consacrée à l'exposé des propriétés des moments des divers ordres et espèces
d'un système de points, à leur détermination et à leur réprésentation
stéréométrique .

L'application de ces théories à une extension des formules trouvées plus
haut et de la règle de Simpson à des corps particuliers, puis aux paraboles
d'ordre p et à leurs solides de révolution, la détermination de la longueur
d'une courbe ou du contenu d'une surface, celle de leur centre de gravité, de
leurs moments divers forment le sujet des divers paragraphes de ce chapitre.

De nombreux exemples illustrent le texte et leur étude complète facilite
le lecteur et l'incite à en traiter d'autres qui ne sont qu'indiqués.

Signalons en particulier les curieuses suites trouvées pour les moments
d'inertie et les coordonnées du centre de gravité des surfaces limitées par
des paraboles de divers ordres.

Les ellipses d'inertie de Poinsot et de Clebsch-Culmann sont obtenues
aussi très simplement ainsi que la lemniscate du moment centrifuge (cen-
trifugalmoment) .

Puis l'auteur montre l'emploi de deux transformations et des représenta-
tions conformes correspondantes pour la recherche des moments polaires
de divers ordres pour des figures planes et obtient des relations intéres-
santes entre ces moments et les arcs de courbes ou les surfaces des ligures
transformées .

La deuxième section s'occupe spécialement des surfaces du deuxième
degré : leurs surfaces, leurs volumes, moments principaux y sont déterminés
et de nombreuses applications des formules trouvées à des problèmes de
mécanique en montrent judicieusement l'utilité.

La troisième section comporte quelques compléments a la théorie du
cathénoïde, de la pseudosphère et de la surface de vis à filet carré.

Nous ne pouvons faire mieux, pour résumer brièvement le but poursuivi
et atteint par l'auteur, que de traduire la dernière phrase de son traité.

« Que l'on considère, dit-il, le tout comme une incitation à étendre tou-
« jours davantage les limites des mathématiques élémentaires, et cela non
« seulement pour la géométrie, mais aussi pour la mécanique, la cartogra-
« phie, la géodésie, la physique cosmique, la théorie du potentiel et autres
a théories mathématiques et leurs applications. »

Nous sommes persuadés qu'en suivant ces traces et en effectuant pour les
différentes disciplines ce que M. Holzniùller vient de faire pour la géomé-
trie, d'autres mathématiciens rendraient à leur tour un grand service à la
science et surtout à ceux qui doivent l'étudier.

S. May (Lausanne) .

Karl T. Fischer. — Der naturwissenschaftiiche Unterricht in En-
gland insbesondere in Physik und Chcmie ; mit einer Ucbersicht der en-
glischen Unterrichtslittcratur zur Physik und Chcmie. Un vol. gr. in-8° ;
relié. 94 p. ; prix : M. 3, 60 ; B. G. Teubner, Leipzig.

Au cours d'un séjour de plus de six mois en Angleterre, M . Fischer a eu
le privilège de visiter un grand nombre d'établissements scolaires, secon-

BIBLIOGRAPHIE M9

daires et supérieurs, et d'y étudier l'organisation de renseignement, notam-
ment celui des sciences physiques et chimiques. Il a publié les résultats de
son enquête en un petit volume très documenté qui sera lu avec plaisir par
tous ceux qui désirent se tenir au courant des progrès de l'enseignement
scientifique dans les divers pays.

L'auteur examine la part qui est faite à renseignement des sciences dans
les diverses catégories d'établissements secondaires et supérieurs ; il passe
en revue les plans d'études, les méthodes d'enseignement, l'organisation des
laboratoires, la préparation du personnel enseignant, etc. Son exposé est
accompagné de plusieurs planches et de nombreux extraits de documents
officiels. Comparant l'organisation anglaise à ce qui se fait en Allemagne, il
conclut en faveur de la première dont il attribue la supériorité au caractère
à la fois plus intuitif et plus pratique que l'on constate dans les divers
degrés de l'enseignement.

Francesco Briosciii. — Opère M atematiche, publicate per cura del comi-
tato per le Onoranzc a Francesco Brioschi (G. Ascoli, V. Cerruti, G. Co-
lombo, L. Cremona, G. Negri, G. Schiaparelli). Tome second. Un vol.
gr. in-4°, VIII-456 p.; prix ; L. a5. — Ulrico Hcepii, Milan, 190a.

Le comité de publication des Œuvres complètes de Brioschi poursuit sa
tâche avec une rapidité et un soin dont leur sauront gré les mathématiciens
de tous les pays. Il vient de publier le tome II qui contient les mémoires,
au nombre de trente-cinq, publiés par Brioschi de i858 à 1887 dans les Annali
di Matematica pura ed applicata. Ces mémoires se rattachent à la théorie
des surfaces, à la résolution des équations du cinquième degré, aux équa-
tions différentielles linéaires, aux fonctions elliptiques et hyperelliptiques.
On y retrouve également quelques-unes de ses belles recherches sur la
théorie des formes binaires.

H. F.

P.-H. Schoute. — Mehrdimensionale Géométrie. Erstcr Theil : Die li-
nearen Raumc (T. XXXV de la Collection Schubert). 1 vol. relié, p. in-8°de
VIII-a9i p. avec 55 figures et 335 exercices; G. J. Goeschen, Leipzig, 190a.

Le savant professeur de Groningue vient d'enrichir l'importante collection
Schubert d'un nouvel ouvrage d'une grande utilité pour les mathématiciens
qui veulent s'initier aux théories de la géométrie à n dimensions.

Il s'agit ici, comme le dit l'auteur dans sa préface, de la géométrie exclu-
sivement euclidienne, le cadre restreint de l'ouvrage ne permettant pas en
effet de s'occuper des géométries non euclidiennes, qui devront être par la
suite l'objet d'une étude séparée.

Ce livre, dont la lecture ne suppose pas même la connaissance du calcul dif-
férentiel et intégral est vraiment un livre d'enseignement, bien conçu par son
plan et son développement : il s'adresse surtout aux étudiants pour qui
l'étude de la géométrie à n dimensions est une nouveauté à laquelle les prin-
cipes déjà acquis en planimétric et stéréométrie, en géométrie analytique et
descriptive leur servent de préparation directe. Aussi a-t-il évité les théories
trop abstraites et trop longues, et s'est-il surtout attaché à bien préciser les
points fondamentaux et essentiels, à mettre ceux-ci en lumière par des
exemples bien choisis, afin que ses lecteurs puissent, lancés dans une direction

i5o BIBLIOGRAPHIE

sûre, continuer d'eux mêmes les recherches synthétiques et analytiques de
cet intéressant sujet.

M. Schoute a puisé à bonne source dans quelques auteurs italiens estimes,
notamment dans les Fundamenti di Geometria de G. Veronese, et dans la
dissertation inaugurale de M. Wythoff d'Amsterdam ; il a ajouté à son texte
une chose extrêmement précieuse, et que les étudiants estimeront à sa valeur :
une série de questions dont un certain nombre sont résolues dans le cours
de l'ouvrage et les autres proposées à titres d'exercices.

Les chapitres successifs ont pour titres : i° Principes fondamentaux sur
les espaces à n dimensions. — a Parallélisme. — 3° Orthogonalité ! — 4° Dis-
tance, projection et angle. — 5° Géométrie descriptive. — 6° Géométrie ana-
lytique. — 7° Géométrie de position. — 8° Géométrie du nombre. —
9° Polygonométrie.

Quelques devoirs variés et intéressants terminent ce livre très clair, dont
on ne saurait trop recommander la lecture, et qui, nous l'espérons, aura le
succès qu'il mérite.

P. Bakbarin (Bordeaux).

E. Pascal. — Lezioni di Calcolo infinitésimale ; parte I, Calcolo diffe-
rcnziale, VII-3n p.; prix L. 3 ; parte II, Calcolo intégrale, VIII-3a9 p. ;
prix L. 3 ; Milan. Hœpli, 1903.

Les deux nouveaux volumes que nous donne dans la collection Hœpli rémi-
nent professeur à l'Université de Pavie, forment un cours élémentaire de
calcul infinitésimal, ne renfermant que les notions essentielles, mais les pré-
sentant avec ordre et méthode. C'est un service de plus, après tant d'autres,
que M . le professeur Pascal rend à l'enseignement, car les étudiants, si
souvent embarrassés par la grosseur même des livres classiques trouveront
ici tout ce qui leur sera nécessaire pour une première élude.

Voici les matières principales contenues dans les deux volumes dont il
s'agit :

Fonctions réelles de variables réelles. — Dérivées d'une fonction. — Déve-
loppements en séries des fonctions. — Étude des variations d'une fonction
au voisinage d'un point. — Quelques applications analytiques. — Applica-
tions géométriques ; principes de géométrie différentielle. — Intégrales défi-
nies et indéfinies. — Intégrabilité des fonctions. — Calcul des intégrales
indéfinies et définies. — Intégrales multiples. — Formes aux différentielles
totales du premier ordre et du premier degré. — Géométrie intégrale. —
Equations différentielles.

Nous eussions été heureux de voir compléter cet excellent ouvrage par un
certain nombre d'exercices, ce qui n'aurait pas beaucoup augmenté retendue.

C.-A. L.

BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE

Acta mathematica, publication rédigée par J. Mittag-Leffler, Beijcr,
Stockholm. Mayer et Mùller, Berlin. Hermann, Paris. Année 190a.
Volume a5.

Fasc. 3 et 4- — J.. Hurwitz : Ueber die Réduction der binàren quadra-
tischen Formen mit complexen Coefficicnten und Yariabeln. — W.Burnbidb :
On the four rotations which displace one orthogonal System of axes into
another. — Ch. Riquier : Sur le degré de généralité d'un système différen-
tiel quelconque. — I. Behdixon : Sur les racines d'une équation fondamen-
tale. — P. Stackel : Arithmetische Eigenschaften analytischer Func-
tionen.

Volume 26 (complet). — N.-H. Abel ; Recherches sur les fonctions ellip-
tiques. — P. Appell : Sur les fonctions abéliennes considérées comme fonc-
tions algébriques de fonctions d'une variable. — A.-V. Backlund : Geome-
trischer Bewcis eincs algebraischen Satzes von Jacobi. — G. Darboux : Sur
l'application du théorème fondamental d'Abel relatif aux intégrales algébri-
ques à la recherche de systèmes complètement orthogonaux dans un espace
à n dimensions. — J.-C. Fields : Algebraic proofs of the Riemann-Roch
theorem and of the independence of the conditions of adjoinlness. — G. Fro-
beicius : Ueber Gruppen der Ordnung p % q>. — L. Fucus : Ubcr zwei nachge-
lassene Arbeilen Abois und die sich daran anschlicssenden Untersuchungen
in der Théorie der linearcn Diffcrentialgleichungen. — J.-W.-L. Glaisher :
On the relation of the Abelian to the Jacobian elliptic functions. — D. Hil-
bert : Ueber die Théorie der relativ Abel'schen Zahlkôrpcr. — A. Hurwitz :
Ueber Abel's Verallgemeinerung der binomischen Formel. — J.-L.-W.-V.
Jeksen : Sur une identité d'Abel et sur d'autres formules analogues. —
L. KOnigsberger : Bermerkungen zu eincm Satze von Lie ùber cin Analogon
zum Abel' schen Theorem. — II. Mixkowski : Ueber periodische Approxima-
tionen algebraischer Zahlen. — G. Mittag-Leffler : Sur la représentation
analytique d'une branche uniforme d'une fonction monogène. — M. Nôtiier :
Rationale Réduction der Abel'schen Intégrale. — E. Picard : Sur quelques
points fondamentaux dans la théorie des fonctions algébriques de deux varia-
bles. — H. Poixcaré : Sur les fonctions abéliennes. — G. -G. Stokes : On
the disconlinuity of arbitrary constants that appear as multipliers of semi-
convergent séries. — W. Wirtingër : Ueber einige Problème in der Théorie
der Abel'schen Functionen. — W. Wirtingër : Einige Anwendungen der
Euler-Maclaurin'schen Summcnformel, insbesondere auf eine Aufgabe von
Abel.

i5* BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE

The American mathematical Monthly, publication mensuelle dirigée
par B.-F. Finkel et J.-M. Colaw. Springfield (U. S. A.) — Abonnement
annuel : a dollars. Vol. IX, 1902.

Fasc. 3. — G.-B. Halsted : Biography of Eugenio Beltrami. — G.-A. Mil-
ler : On the Primitive Groups of Class Four. — L.-E. Dickson : Factors of a
Certain Déterminant of Order Six.

Fasc. 5. — V. Snyder : Models of the Weierstrass Sigma Function and
the Elliptic Intégral of the Second Kind. — A. Hume : Meridian and Trans-
verse Sections of Helicoïds of Uniform Pitch. — G.-B. Halsted : Proving
the False.

Fasc. 6, 7. — L.-E. Dickson : The Order of a Certain Scnary Linear
Group. — E. -H. Moore : The Betwecnness Assumptions. — B.-G. Halsted :
A Non-Euclidean Gem.

Fasc. 8, 9. — G.-B. Halsted : Biography of Cristoforo Alasia. —
L.-E. Dickson : Ninth Summer Meeting of the American Mathematical
Society. — J.-W. Nicholson : The expression of the n th power of a Num-
ber in Terms of the n th powers of other Numbers, n Being any integer ;
and the déduction of Some intcresting propcrties of prime Numbers.

Fasc. 10. — H. Maschke : Some Modéra Methods and Principles of Geo-
metry. — Solutions et questions diverses.

Annals Of Mathematics, publiées sous les auspices de la Harvard Univer-
sity par O. Stone, W.-E. Byerly, H. -S. Write, W.-F. Oscood, F. -S.
Woods. Cambridge, U.S. A. Publication trimestrielle, gr. in-4°- Second
Séries. Vol. 3. 1901-190*.

N° 1 . — E.-B. Van Vleck : On the Convergence of the Continued Frac-
tion of Gauss and other Continued Fractions. — M.-B. Porter : On the
Diflerentiation of an Infinité Séries Term by Term. — J.-K. Whittemork :
A Note on géodésie Circles. — W.-F. Oscood : Note on the Functions Defi-
ned by Infinité Séries whose Terms are Analytic Functions of a Complex
Variable ; with Correspondit^ Theorems for definite Intégrais. — C.-L.
Bouton : Nim a Gaine with a Complète Mathematical Theory. — G.-A. Mil-
ler : On the groups Generated by Two Operators of Order Three whose
Product is also of Order Three. — W.-A. Granville : On the Invariants of
a Quadrangle under the Largest Subgroup, having a Fixed Point, of the
gênerai Projective group in the Plane.

N° a. — M. Bôcher : Some Applications of the Method of Abriged Nota-
tion. — M'.-B. Porter : On the Roots of Functions connected bj r a Linear
Récurrent Relation of the Second Order. — S. Woods : Space of Constant
Curvature.

N° 3. — W.-H. Rœvbr : Brilliant Points and Loci of Brilliant Points. —
W.-F. Osgood : Problcms in Infinité Séries and definite Intégrais with a
Staicment of certain Sufficient Conditions which arc Fundamcntal in the
Theory of definite Intégrais. — H.-B. Newson : Note on the Product of Li-
near Substitutions.

N° 4. — H. -S. W t hitk : Note on a Twistcd Curve connected with an Invo-
lution of Pairs of Points in a Plane. — R.-E. Allardicb : On some Curves
connected with a System of Similar Conics. — J. Westlund : Note on Mul-
tiply Perfect Numbers. — W.-R. Ransom : A Mcchanical Construction of
Confocal Conics. — F. Smith : On Sophus Lies Représentation of Imagina-

BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE i53

ries in Plane Geometry. — G. -A. Miller: Note on the Group Isomorphisms
of a group of Order p m . — L.-D. Ames : Evaluation of Slowly Convergent
Séries.

Vol. 4. N° 1. — G.-A.-Bliss : The Géodésie Lines on the Anchor Ring.
H. -F. Blichfeldt : Proof of a Theorem Concerning Isosceles Triangles. —
L.-E. Dickson : An Elementary Exposition of Frobenius's Theory of Group-
Characters and Group-Determinants. — E.-V. Huntingtoh : Communication
concerning Mr. Ransom's Mechanical Construction of Conics.

Archiv der Mathematik und Physik, gegrûndet 1841, durch J.-A.
Grunert. Drittc Reihe, llcrausgegebcn von E. Lampe, W. Franz Metkr,
E. Jahxke. Band IV, 1902; B.-G. Teubner, Leipzig und Berlin.

Hefte 1, 1. — A. Pringsheim : UeberKonvergenz-Kriterien fûrReihen mit
Komplexen Gliedcrn. — P. Appell : Sur le degré de réalité dune courbe
algébrique à coefficients réels. — E. Weinnoldt : Ueber die Konstruction
von Isophcngen auf Flâchen 1. Ordnung. — B. Oster : Ueber die Herleitung
der Formeln fur Lebensversicherungsprâmien. — W. Thienemann : Ein
berne rkenswertes Pcntagouikositetraeder. — E. Habutzscuel : Rota t ion s-
zykliden und Lamésche Produktc. — E. Netto : Notiz ùber die Kreistei-
lungs-Polynome. — P. Stackel : Eine Eigenschaft der geodàtischen Linien.

— H. Zùge : Zur Lehrc von der Teilbarkeit dekadischer Zahlen. —
G. Majcen : Ueber gewisse Scharen homothetischer Kegelschnitte in der
Dreiecksgeonietrie. — S. Jolles ; Synthctischc Théorie der Zentrifugal-
und Tràgheitsmomente eines Raumstùckes. — E. Wôlffing : Uber eine
besondere Klasse transcendenter Kurven. — L. Saalschùtz : Unabhangige
Darstellung der Mac Mahonschen symmetrischen Funktionen. — H. Schoe-
ler : Angenâherte /i-Teilung eines beliebigen Winkels mit Zirkel und Lineal.

— E. Lampe : Bemerkungen ùber einige angenâherte /t-Teilungen von Win-
keln. — Rezensionen. — Vermischte Mittcilungen.

Atti de la Reale Accademia dei Lincei. Comptes rendus publiés par
l'Académie des Lincei, Année 299, 5° série, 190a. E. Loescher et C io .
Rome. Abonnement annuel : 10 L.

6 juillet. — Daniele : Intorno ad alcuni particolari movimenti di un punto
sopra una superficie. — Viola ; Le deviazioni minime délia luce mediante
prie mi birifrangenti.

ao juillet. — Bortolotti : Contributo alla teoria degli insiemi. — Fubiki :
Sugli spazi a quattro dimensioni che ammettono un gruppo continuo di movi-
menti.

3 août. — Levi-Civita. : La théorie elcttrodinamica di Hertz di fronte ai
fenomeni di induzione.

17 août. — Pascal : Sulla teoria invariantiva délie espressioni ai difTeren-
ziali totali di second* ordine, e sudi una estensionc dei simboli di Chris-
toCTel. — Bortolotti: Alcuni teoremi che possono tencr luogo di quello délia
média, per funzioni le cui derivate non sono atte alla integrazionc definita.

— Niccoletti : Su una classe di equazion a radici reali .

4-ai septembre. — Pascal : Trasformazioni infinitesime e forme ai difFcren-
ziali di second'ordine.

5 octobre. — Bihdoni : Sui numeri inGniti cd infinitessimi attuali.

19 octobre. — Amaldi : Determinazione délie superficie algebriche su cui

i54 BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE

esistono piu di due fasci di curve algcbriche unisecantisi. — Picciati : La
icoria di Hertz applicata alla dcterminazione del campo elettromagnetico
generato délia traslazione uniforme d'una carica elettrica parallelaoïente
ad un piano conduttore indefinito.

a novembre. — Millosewich : Osservazioni e calcol d'orbita del pianetino
JL 190a (Venetia). — Osservazioni délia cometa Perrine h 1902. — Capelli :
Sulle relazioni algebrichc fra le funzioni 6 di una variabile e sul teorema di
addizione.

BolletinO di Matematica (IL) rédigé par A. Conti, publication mensuelle
in-8°. Année 1902, t. I. Bologne, G. Cenerelli.

Fasc. 3. — Bettazzi : Figure finite e figure infinité. — Ciamberliki : Sul
concctto diLuogo nell'insegnamento délia Geometria elemenlare. — Pagliano:
La dis fi d a matematica tra N. Tartaglia e L. Ferrari e la risoluzione dei pro-
blemi délia geoin. elcm. mcdiante la riga e il compassa diopertura fissa. —
Pkedella-Longhi : Intorno alla risoluzione dei problcmi aritmetici.

Fasc. 4. — Bassi : Sezioni circolari del cilindro e dei cono obliqui : assi
del cono. — Stasi : Sull' ordinainento razionale délie varie parti dell' Arit-
metica. — Ciamberlini : Ipercritica (?).

Fasc. 5. — Cavalli-Lanfredi : Risoluzione di problemi geometrici ele-
mentari in un foglio limitato. — Ciamberlini : Osservazioni pel Dizionariodi
Matematica. — Monti : Sulle cquazioni di quarto grado. — Bassi : Voir
numéro précédent. — Ducci : Come svolgerei nell' lstituto Tecnico il Capi-
tolo : Diseguaglianzc di i° e a grado. — Problemi di massimo e minimo.

Fasc. 6 — Pagliano : Sull'uso del compasso di apertura fissa nella riso-
lazione dei problemi délia geometria clementare e sulla sostituzione di un
disco al predetto compasso. — Stasi : Sull' ordinamento razionale délie
varie parti dell' Aritmetica. — Fontebasso : Una risoluzione elementare di
un problema geometrico. — Trevisan : I sistemi metrici non decimali nell'
aritmetica pratica.

Bulletin of the American Mathematical Society publié par F.-N. Cole,
A. Civet, F. Morley, D.-E. Smith. a série, 190a. Vol IX. Macmillan Com-
pany, Lancaster, Pa., and New- York. — Abonnement au volume annuel :
5 dollars.

Octobre. — O. Bolza : Some Instructive Examples in the Calcul us of
Variations. — E.-R. Hedrick : On the Sufficient Conditions in the Calculus
of Variations. — E.-B. "Wilso.x : Some Récent Books, on Mcchanics. —
E.-V. Huntington : On a New Edition of Stolz's Allegemeine Arithmetik,
with an Account of Peano's Définition of Number. — E.-J. Wicczynski :
Lazarus Fuchs.

Novembre. — Ed. Kasner : The Ninth Summer Meeting of the American
Mathematical Society, — E.-S. Crawle y : The Meeting of section A of the
American Association for the Advancement of Science. — G. -A. Miller :
Second Report ou Récent Progress in the 4 Theory of Groups of Finite Order.

Décembre. — W.-B. Fite : Conccrning the Coramutator Subgroups of
Groups whesc Orders are Powers of Primes. — L.-J. Hewes : Note on
Irregular Déterminants. — G.-O. James : Note on the Projections of the
Absolule Accélération in Relative Motion. — L.-P. Eisejîhart : Infinitésimal
Déformation of the Skew Helicoid. — S. Epsteen : On Integrability by Qua-

BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE i55

d ratures. — E.-B. Wilson : The Cenlenary of the Birth of Abel. — E.-R.
Hedrick : The English and French Translations of Hilbcrt's Grundlagen der
Géométrie. — G. -A. Miller : Dickson' s Linear Groups.

Il NuOVO Ciment O. — Organe de la société italienne de Physique publié
par A. Batelli, V. Volterra, A. Righi et P. Cardani. Publication men-
suelle, gr. in-8°. Pise, Pieraccini. Série V, tomes III et IV. 1902.

Mai. — A. Maresca : Sulla eugia svolta délia scarica oscillante di un con-
densatore nei tubi a vuoto. — G. Ercolini : Influenza délia durata di carica
sulla deformazione dei condensatori . — A. Garbasso : Sopra una quistione
di elettrodinamica. — G. Morera : Intorne aile oscillazioni elettriche. —
E. Salvioni : Misura di masse comprese fra gr. io _ l e gr. io~ 6 . — E. Sal-
vioki : Sulla volatilizzazionc del muschio. — E. Salvioni : Un' esperienza per
dimostrare il decrescere délia pressione atmosferica cou l'altezza.

Juin. — D. Mazzotto : Efletto di lunghi rinvenimenli a varie température
sulle coslanti magnetiche del ferro. — T. Levi-Civita : Influenza di une
schermo conduttore sul campo clettromagnetico di una corrente altcrnativa
parallela allô schermo. — A. Masini : Di una disposizione opportuna per
aumentare reffetlo délie onde elettromagnetiche sovra uncircuito.

Juillet. — P.Pizetti : Sopra alcunc recenti determinazioni délia gravita nell'
oceano atlantico. — G. Giorgi : Sul sistema di unita di mis lire elettro-
magnetiche con Osservazioni délie Prof. L. Donati. — A. Righi : Sulla pro-
duzionc di Suoni per niezzo del scariche nei tubi a gas rarefatto e nclle
flamme. — Q. Major ana : Nuovi fenomeni magneto-ollici presentati da spé-
cial i soluzioni magnetiche. — W. Voigt : Sul fenomeno Majorana.

Août. — Mort de Riccardo Felici. — E. Alhansi : Sopra un problema di
elettrostatica. — G. de Rossiet A. Sella : Sul comporta mento elettrico délie
flamme in un campo elcttrostatico alternato. — A. Sella : Riccrche di
radio attivila indotta.

Septembre. — Allegretti : Sul fenomeno Edison. — A. Garkasso : Su la
polarizzazione rotatoria dei raggi di forza elettrica. — A. Varali-Thevenet :
Calore di soluzione. — V.-E. Boccara : Sulle variazioni diurne délia rifra-
zione atmosferica. — A. Pochettino e A. Sella : Conduttivita elettrica acquis-
tata dair aria provenienle da una soffïeria ad acqua .

Octobre. — A Battelli : Necrologia del Prof. Riccardo Felici. — G. Piag-
gesi : Magnetizzazioni dei liquidi col cambiare délia temperatura. — G. Erco-
lini : Influenza del campo elettrico sull'elasticilà del vetro. — E. Almaxsi :
Sopra un problema di elettrostatica.

Annuaire du bureau des Longitudes pour 1903. — Ce petit volume
contient, comme toujours, une foule de renseignements indispensables à
l'ingénieur et à l'homme de science. Parmi les notices de cette année, signa-
lons tout spécialement celle de M. R. Radau, sur les £ toiles filantes et
Comètes, celle de M. J. Janssen, Science et Poésies et enlin les Discours
prononcés aux obsèques de MM. Faye et Cornu. Paris, Gauthier-Villars.
In-16 de près de 810 pages avec figures : 1 fr. 5o (franco, 1 fr. 85).

Annual Report of the Smithsonian Institution showing the opérations,
expenditures, and condition of the Institution for the year endingJune 3o,
1901. — Washington : Government printing Office, 1902.
Ce magnifique volume de LXVII — 78a pages, gr. in-8 , contient des

i56 BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE

articles des plus intéressants sur l'état actuel des grandes questions scien-
tifiques. Nous citerons particulièrement :

G. G. Abbot : Some Récent Astronomical Events . — C. Farrington : A
Century of the Study of Météorites. — J.-H. Poynting : Récent Studies in
gravitation. — Lord Kelvin : On Ether and Gravi tational Malter through
Infinité Space. — J.-J. Thomson : On Bodies Smaller than Àtoms.

Outre ces questions particulièrement mathématiques, le volume contient
des mémoires non moins savants sur la Physique, la Chimie, les Sciences
naturelles, etc..

F. Enriques et Ugo Amaldi. — Elementi di Geometria ad uso délie scuole
secondaric superiori ; i vol., in-ia, XXII,-655 p. ; prix : L. 4»5o ; Bologne,
N. Zanichelli, 1903.

Sophus Lie. — Ueber lntegralinvarianten und Differentialgleichungen

Mémoire posthume. 1903. 1 brochure in-4° de 73 pages. In Kommission
bei J. Dybwad Christiania.

G. M alpin. — Opinions et curiosités touchant la Mathématique, xvi,
xvii, xvm e8 siècles. Deuxième série, 1 vol. in-8° de 33a pages. Prix : 5 fr.
Paris, C. Naud.

E. Pascal. — I Gruppi continui di trasformazioni (Parte générale délia
Teoria) . N°» 3*7-3 a8 de la Collection Hoepli. Un vol. relié in- 16, 358 p.,
prix : 3 L. ; U. Hoepli, Milan, 1903.

H. Poincarê. — La Science et l'hypothèse. 1 vol., petit in-8° de 284 pages.
Prix : 3 fr. 5o. Paris, E. Flammarion.

H. Poincaré. — Figures d'équilibre dune masse fluide animée d'un
mouvement de rotation. Leçons professées à la Sorbonne en 1900,
rédigées par L. Dreyfus. 1 vol. in-8° de a 10 pages avec ligures. Prix :
7 fr. Paris, C. Naud.

E. Study. — Géométrie der Dynamen Die Zusammensetzung von Krâften
und Verwandte Gegenstandc der Géométrie. Zweite Lieferung (p. 241 à6o3).
Un vol. gr. in-8°, prix : Mk. i3, 4° j B- G. Teubner, Leipzig, 1903.

Bern. Riemann's gesammelte mathematische Werke. — Nachtrâge
Hcrausgcgeben von M. Noether u. W. Wirti^ger. Un vol. in-8°, 116 p.;
prix : Mk 6; B. G. Teubner, Leipzig, 1902.

G. Vivanti. — Complementi di Matematica ad uso dei Chimie! e dei
Naturalisti. N 09 3a9-33o de la Collection Ilœpli. Un vol. relié, in-16, 38a p.;
prix : 3 L. ; D. Hœpli, Milan, 1903.

V. Williot. — Etudes sur les nombres premiers. Première partie : La
voie de Riemann. 1 broch. gr. in-8° de 40 pag^s; Hermann. Paris 1903.
prix : 3 francs.

Zindler (Konrad). — Liniengeometrie mit Anwendungen. Erstcr Teil.
(t. XXXIV de la Collection Schubert) 1 vol. in-12 38o p. ; prix : Mk. la ;
G.-J. Gôschen, Leipzig, 190a.

Le Gérant : C. NAUD.

ÉVREUX, IMPRIMERIE DE CHARLES HÉRISSET

L'ESPACE EST-IL EUCLIDIEN?

La question des Géométries, où se rencontrent à titre égal la
Mathématique et la Psychologie ou plutôt la science appelée par
les Allemands la Théorie de la connaissance, partage avec les
questions métaphysiques cette particularité, que la difficulté con-
siste surtout h en déterminer la signiCcation précise.

Nous nous proposons de faire un exposé d'ensemble de la
question, en nous attachant à l'examen de certains points, dont
l'obscurité, exploitée par l'ignorance mathématique, a permis la
production d'un flot abondant de sophismes.

I
Aperçu historique.

Le meilleur moyen d'aborder une question obscure ou obscur-
cie consiste à en faire un exposé historique.

C'est ce que nous allons faire brièvement, en nous efforçant
surtout de dégager l'unité de l'œuvre accomplie par les illustres
Géomètres dont nous rencontrerons les noms.

Principes de la géométrie. — Si l'on examine avec quelque
attention les démonstrations des théorèmes fondamentaux de la
Géométrie, on découvre bientôt qu'elles sont essentiellement
basées sur les propriétés des déplacements sans déformation, fait
fondamental que les traités élémentaires ont peut-être le tort de
ne pas mettre nettement en lumière.

Les propriétés primordiales de ces déplacements constituent
donc les vrais axiomes de la Géométrie, et les éléments mis en
œuvre dans cette science sont ceux dont la notion est intimement

Enseignement math. n

i58 G. COMDEBIAC

liée à celle de ces déplacements ou, d'une manière plus précise,
est invariante dans ces déplacements : un point reste un point,
une ligne reste une ligne, une surface reste une surface ; l'éga-
lité, la perpendiculaire se conservent, etc.

Ce fait capital s'exprime en disant que la Géométrie est la théorie
des propriétés invariantes dans les déplacements sans déformation.

Enonçons les propriétés fondamentales des déplacements sans
déformation sans trop nous préoccuper des doubles emplois pos-
sibles.

L'égalité des figures étant définie par leur superposabilité,
c'est-à-dire par la coïncidence au moyen de déplacements sans
déformation, la proposition : deux figures égales à une troisième
sont égales entre elles, exprime que le résultat de deux déplace-
ments opérés successivement peut être obtenu par un seul dépla-
cement, autrement dit que les déplacements constituent un
groupe d'opérations.

On peut toujours déplacer une figure de manière à amener un
de ses points en un point quelconque de l'espace (transitivitè du
groupe).

Si Ton fixe deux points A et B d'une figure, un déplacement
continu est encore possible, dans lequel demeurent fixes tous les
points d'une ligne passant par les points A et B. On définit ainsi
une catégorie de lignes (lignes droites), dans laquelle chacune
est déterminée par la connaissance de deux de ses points.

Qu'entend-on par Géométrie non-euclidienne ?

On sait qu'un des axiomes de la Géométrie occupe une place à
part dans cette science, c'est le postulat des parallèles, connu
aussi sous la désignation, plus ou moins légitime, de XI e axiome
d'Euclide et ainsi énoncé par Euclide :

« Lorsque deux droites sont rencontrées par une troisième, de
manière que la somme des angles internes situés d'un même côté
de cette dernière soit inférieure à deux angles droits, les deux
droites, indéfiniment prolongées, se coupent du côté où se trou-
vent ces deux angles ('). »

(*) « Ka f i éàv e(ç ojo e-josias eùoîïa ÈfiTriiriou» Ta; évxô; xal iiz\ 12 aùxa
fjtipï) ywvîa; ojo <4powv é/.stffo'ovz; 7:01*5. &x l 5a).XofJiev2< 12; o'jo euosfa; src'aTrsipov
0"j|JL~e7:":£iv, s© à jJtipiq tlslv a't xtûv ouo ôpowv éXasjovîç. »

V ESPACE EST-IL EUCLIDIEN? i$9

Il résulte de là que, si par un point extérieur à une droite D,
on lui mène une perpendiculaire et à celle-ci également une per-
pendiculaire, cette dernière est la seule droite menée par le
point qui puisse ne pas rencontrer la droite D, et elle ne la
rencontrera pas en effet, si Ton ajoute l'hypothèse que par un
point quelconque, on ne peut mener qu'une perpendiculaire à
une ligne droite.

Travaux divers. — De nombreux efforts ont été faits et sont
faits encore pour démontrer le postulat des parallèles. Ce qui va
suivre montrera clairement la vanité de ces recherches.

Encouragés et sans doute guidés par Gauss, le Russe Lobat-
chewski (1829) et le Hongrois Bolyai (18^2) parvinrent, chacun
de son côté, à édifier synthétiquement une Géométrie parfaite-
ment conséquente avec elle-même en laissant de côté cet axiome
et en admettant au contraire que l'on peut, par un point extérieur
à une droite, lui mener une infinité de parallèles comprises dans
un certain angle.

Il semble que Gauss fût déjà parvenu à des résultats ana-
logues dans des recherches qui ne furent publiées que beaucoup
plus tard.

Riemann (i854), traitant la question analytiquement, fonda la
Géométrie sur la notion de distance généralisée, ou plutôt sur
l'expression de l'élément linéaire.

Il parvint ainsi, non seulement à la Géométrie de Lobatchewski-
Bolyai, dans laquelle la ligne droite a un segment à l'infini, mais
encore à une Géométrie dans laquelle la ligne droite n'a pas de
points à l'infini.

Cayley (1839) généralisa également l'idée de distance, d'une
manière moins abstraite, en la fondant sur des propriétés projec-
tives.

Nous désignerons, avec Beltrami et Helmoltz, sous le nom de
Géométrie sphérique, celle de Riemann, et sous le nom de Géo-
métrie pseudo-sphèrique, celle de Lobatchewski-Bolyai. On dis-
tingue aussi ces diverses Géomé tries au moyen des qualificatifs
d'hyperbolique (Lobatchewski), elliptique (Riemann) et parabo-
lique (euclidienne).

On doit aussi citer, dans le même ordre de recherches, les

160 G. COMBEBIAC

remarquables travaux de Beltrami sur les surfaces à courbure
constante.

Les recherches de Rieniann étant basées sur les propriétés
d'une expression différentielle, ne se prêtaient pas à rétablisse-
ment d'un système d'axiomes pouvant servir de base à la Géomé-
trie.

Helmoltz (1868) ( f ) s'efforça d'énoncer nettement les axiomes
communs à la Géométrie euclidienne et aux Géométries non-
euclidiennes, c'est-à-dire les propriétés des déplacements d'où
peuvent être déduites toutes les propriétés indépendantes du pos-
tulat des parallèles.

Axiomes de Sophus Lie. — Sophus Lie (1890) ( 2 ), utilisant ses
admirables travaux sur les groupes de transformations, montra
que les déductions d'Helmoltz se trouvaient, en certains points,
erronées, que son système d'axiomes présentait à la fois des insuf-
fisances et des superfluités, et enfin établit, d'une manière qui
paraît cette fois définitive, les propriétés des déplacements pouvant
donner lieu indifféremment aux Géométries euclidienne et non-
euclidienne, et pas à d'autres.

Les principes posés par Lie, pas plus que ceux d'Helmoltz, ne
s'expriment pas avec toute la simplicité désirable dans le langage
de la Géométrie constructive.

Lie a énoncé deux systèmes équivalents de principes, présen-
tant deux propositions communes, savoir :

I. L'espace est une variété à trois dimensions. — La première
partie de cette proposition constitue moins l'énoncé d'une pro-
priété qu'une définition donnant au mot espace une signification
précise : l'ensemble des points.

II. Les déplacements sans déformation forment un groupe réel
et continu. — Dire que les déplacements forment un groupe,
c'est dire que deux figures égales, c'est-à-dire superposables à
une troisième, sont égales entre elles.

■ (*) Helmoltz, Ueber die Thatsachen, die der Géométrie zum Grunde liegen ; Gôt-
tjnger iS'achrichten, 18O8 ; Wissenschaftliche Abhandlungcn, 2" Bd, S. G18 ; Barth,
Leipzig. Traduit en français par Hotlel ; Hermann, Paris.

{*) Sophus Lie, Lcipziger Berichte, 1890; Théorie der Transformationsgruppen
3" Abschnitt, S. 393 ; Tcnbncr, Leipzig.

L'ESPACE EST-IL EUCLIDIEN? loi

Dans un premier système d'axiomes, Lie complète ces deux
propositions par la suivante :

III. Le groupe des déplacements présente la propriété de la libre
mobilité [freie Beweglichkeit) dans F infinitésimal, en entendant
par là que, un point étant maintenu fixe, ainsi qu'un élément
linéaire passant par ce point, un déplacement continu est encore
possible, mais que tout déplacement devient impossible, si Ton
fixe en outre un élément superficiel contenant cet élément
linéaire.

Cette proposition pourrait, me semble-t-il, être remplacée
par la suivante, qui a une signification cbnstructive :

On peut toujours fixer un point quelconque, ainsi qu'un autre
suffisamment voisin du premier, de manière qu'un déplacement
continu soit encore possible ; mais on rend tout déplacement
impossible en fixant un nouveau point convenablement choisi
sur une surface quelconque passant par les deux premiers points.

Dans un second système d'axiomes donné par Lie, l'axiome de
la libre mobilité est remplacé par deux autres, que nous tradui-
rons, dans le langage de la Géométrie constructive, de la manière
suivante :

i° Si Von maintient fixe un point quelconque, tous les points
susceptibles diêtre atteints par un autre point quelconque sont
situés sur une surface contenant le second point et ne contenant
pas le premier;

2° Autour du point fixe il existe un domaine triplement étendu
et de dimensions finies, dans lequel tout point peut atteindre, par
un déplacement continu, tout autre point situé sur la surface cor-
respondante, définie ci-dessus.

Chacun des deux systèmes d'axiomes de Lie exprime des pro-
priétés appartenant à tout groupe continu de transformations
projectives conservant une quadrique, ordinaire ou dégénérée en
une courbe plane, à condition toutefois de se limiter à un
domaine convenablement choisi.

Bien plus, il s'applique à tout groupe semblable à un de ces
groupes, c'est-à-dire à tout groupe obtenu par une transforma-
tion générale opérée sur les variables, et il ne s'applique qu'à de
tels groupes.

i6a G. COMBEBIAC

Telle est la proposition démontrée par Sophus Lie en se basant
sur les propriétés, découvertes par lui-même, des groupes de
transformations.

Il résulte de là que, si Ton appelle « point » l'ensemble de trois
coordonnées, et « déplacements sans déformation », les trans-
formations de l'un des* groupes ainsi définis, on pourra établir,
par rapport à ce groupe, des définitions et des propriétés corres-
pondantes à celles de la Géométrie où n'intervient pas le postu-
lat des parallèles.

Quant à ce postulat, il devra être remplacé par d'autres pro-
positions convenablement choisies suivant le groupe pris pour
base.

Enfin nous citerons les ouvrages de M. Klein (*) (1889-90) sur la
Géométrie non-euclidienne, où Ton trouvera, en plus d'un bel
exposé des travaux indiqués ci-dessus (sauf ceux de Lie), des
résultats personnels du plus haut intérêt, notamment sur les
diverses formes d'espace susceptibles de correspondre à une
même détermination métrique.

Des travaux illustres que nous venons |d'énumérer résulte sans
conteste la possibilité d'établir, en écartant le postulat des paral-
lèles, des Géométries conséquentes avec elles-mêmes et, par suite,
rimpossibilité de démontrer ce postulat en s'appuyant sur les
autres axiomes.

D'ailleurs, un simple regard jeté sur une surface sphérique
montre (Jn'on y peut réaliser une Géométrie satisfaisant, à l'inté-
rieur d'un domaine convenablement limité, aux axiomes d'Eu-
clide, à l'exception du postulat des parallèles.

11
Les Géométries et leurs relations.

Différentes Géométries. — Nous allons étudier d'un peu plus
près les différentes Géométries et les relations que l'on peut éta-
blir entre elles.

(*) Klein. Nichl-Enclidische Géométrie Vorleaungen, ausgearberlet von Fr. Schil-
ling, Gottingen, 1893.

L'ESPACE EST-IL EUCLIDIEN? i63

Y aurait-il autant de Géométries qu'il y a de groupes de
transformations du type indiqué par Sophus Lie ?

Nullement, pourvu que Ton n'envisage que l'enchaînement
logique des propositions, en faisant abstraction de la diversité
des figures susceptibles de leur correspondre.

La Géométrie correspondante à un groupe ne dépend que des
propriétés que présentent, par rapport à ce groupe, les notions
fondamentales relatives à ce groupe : lignes jouant le rôle des
lignes droites, fonction jouant le rôle de la distance, etc., de
sorte qu'une seule Géométrie correspond à tous les groupes sus-
ceptibles de se transformer l'un dans l'autre par un changement
quelconque, toutefois réel, de variables.

On peut donc se borner à considérer les groupes dans lesquels
les lignes jouant le rôle des lignes droites sont effectivement les
lignes droites de la Géométrie vulgaire, c'est-à-dire les groupes
projectifs conservant les quadriques de cette dernière Géométrie,
et, parmi ceux-ci, ne distinguer que trois cas (certains cas étant
éliminés par les conditions auxquelles doit satisfaire la mesure
des angles), donnant lieu h trois* Géométries, savoir :

Quadrique réelle (domaine intérieur), Géométrie pseudo-sphé-
rique ;

Quadrique imaginaire à équation réelle, Géométrie sphérique;

Quadrique dégénérée en une conique imaginaire, Géométrie
euclidienne ;

On est toutefois conduit, comme on le verra plus loin, à intro-
duire dans les Géométries non-euclidiennes un paramètre, qui
semblerait indiquer que ces Géométries forment une série sim-
plement infinie.

Nous verrons qu'en fait ce paramètre est arbitraire, quand on
ne considère que la Géométrie où il figure et qu'il ne caracté-
rise une propriété de celle-ci que lorsqu'on la compare à une
autre présentant avec la première certaines relations.

Distance généralisée suivant Cayley. — Nous pouvons évi-
demment nous servir de la Géométrie vulgaire comme système
d'analyse pour étudier, au point de vue qui nous occupe, un
groupe conservant une quadrique. Soit l'équation de la quadrique

Qxx -■ o,

*64 G. COMBEBIAC

le premier membre représentant une fonction du second degré
des coordonnées x 9 y, z.

Le groupe admet un invariant simultané relatif à deux points
quelconques x, y, z\ x\ y r > z' y savoir. le rapport anharmonique
formé par ce couple de points avec les points d'intersection de
la quadrique et de la droite qui les joint.

En posant

i T dû dû dû 1

ce rapport anharmonique a pour expression

Qxx> + s/Q^r'—QxxQrfxf

F (x, x 1 ) :

û*r/— i/Uv,/— Û„Q X , X , '

et Ton peut choisir pour l'invariant une fonction quelconque de
cette quantité.

Pour trois points, x, y, z ; x f 9 y\ z' ; x", y", z"> en ligne droite
et se succédant dans Tordre où ils sont écrits, Ton a

F {x,x") = F{x,x')xF(x',x"),

formule que Ton vérifiera en remplaçant dans le second membre
les coordonnées du second point par les expressions

x' = tx + Qx"
/ = fj + 0j"

5' = #3+ Os",

où t et 9 sont des nombres compris entre zéro et l'unité et ayant
leur somme égale à l'unité.

Si l'on veut que la distance soit une fonction satisfaisant, dans
les conditions ci-dessus, à la relation

n*,*n=f[*.*n+f (*.**)>

son expression générale devra être évidemment

Qxxf + S/U^x!— UxtUxIt'

(i) />,*0=clog

Ûxx/ — V/O 1 »/ — Ûxx «W

L'ESPACE EST-IL EUCLIDIEN* i65

ou encore

(a) f(x, x') = a ic arc cos , ° XJ/ =a arc tang ^**** + Q ** U " ,

où c est une constante arbitraire.

L'expression (i) conviendra au cas de la quadrique réelle, et
Ton devra alors choisir pour c une valeur réelle et positive ;
l'expression (2) conviendra au cas de la quadrique imaginaire,
et Ton devra alors donner à c une valeur imaginaire pure

On voit qu'en Géométrie sphérique (ou riemannienne) la mesure
des distances sur une ligne droite présente les mêmes caractères
que la mesure des angles autour d'un point dans la Géométrie
plane ordinaire.

Paramètre des Géométries non-euclidiennes. — Le paramètre c
(paramètre k de Gauss et de Lobatchewski) représente une lon-
gueur déterminée, savoir la distance de deux points dont le rap-
port anharmonique relativement à la quadrique fondamentale est
égale à e.

Donner une valeur déterminée à c revient à fixer l'unité de
longueur.

L'introduction du paramètre c présente l'avantage de rendre
arbitraire l'unité de longueur et par suite homogènes les for-
mules des Géométries non-euclidiennes ; mais la propriété con-
sistant dans l'homogénéité des formules n'aura pas le même
caractère que dans la Géométrie euclidienne. Dans cette dernière,
la multiplication par un même nombre de toutes les longueurs
figurant dans une formule peut être interprétée soit comme un
changement d'unité, soit comme une modification par similitude
des figures ; dans les Géométries non-euclidiennes, cette dernière
interprétation n'est pas possible, car la longueur représentée par
le paramètre c est liée à la Géométrie même et ne peut être
modifiée par une transformation ponctuelle.

Déterminations métriques présentant un contact en un point.
— Nous avons vu qu'il n'existait, à proprement parler, que trois
Géométries différentes, en désignant par le mot Géométrie un

166 G. COMBEBIAC

ensemble de propositions, susceptibles d'ailleurs de corres-
pondre à des images géométriques diverses. Dans cet ordre
d'idées, on ne distingue pas, par exemple, la Géométrie rieman-
nienne sur le plan de la Géométrie sur la sphère, quoique les
propositions de Tune et de l'autre ne deviennent identiques
qu'en remplaçant dans cette dernière les mots grand cercle par
ligne droite.

Une même Géométrie peut être obtenue en choisissant des
opérations différentes pour définir l'égalité, c'est-à-dire la super-
posabilité ; l'égalité aura les mêmes propriétés, mais les figures
égales ne seront pas les mêmes dans les deux cas.

Mais rien n'empêche d'envisager à la fois dans l'espace, conçu
simplement comme l'ensemble des points, les différents groupes
de transformations susceptibles, suivant le théorème de Lie, de
donner lieu à des systèmes de détermination métrique.

Les groupes dans lesquels les lignes jouant le rôle des droites
sont les mêmes, donneront lieu aux mêmes propriétés projectives
des figures. Ces groupes sont compris dans un même groupe,
savoir le groupe projectif général.

Il peut exister entre deux de ces groupes une relation consis-
tant en ce que les déterminations métriques correspondantes don-
nent lieu, en un point déterminé de l'espace, aux mêmes
propriétés, aux infiniment petits près d'ordre supérieur.

M. Klein ( 4 ) exprime cette relation en disant que les deux
déterminations métriques (Maassbestimmungeri) présentent un
contact en un point.

Considérons une détermination euclidienne et une détermina-
tion non-euclidienne présentant un contact en un point O.

En ce point, le cône isotrope euclidien doit se confondre avec
le cône tangent à la quadrique fondamentale non-euclidienne,
c'est-a-dire que le plan de l'infini et le cercle imaginaire de Tin-
fini euclidiens se confondent respectivement avec le plan polaire
du point par rapport a cette quadrique fondamentale et avec
l'intersection de ce plan et de cette quadrique.

Autrement dit, la quadrique fondamentale du système non-
euclidien considéré est, dans le système euclidien considéré, une

(*) Klein. Math. Annalen % Bd. IV, S. 5;3; traduit en français par La u gel, Paris.

L'ESPACE E$T-IL EUCLIDIEN? 167

sphère ayant pour centre le point O, et par suite de la forme :
x 2 +r* + s* — 4c 2 = 0,

c étant réel ou purement imaginaire et de la forme i d.

On est conduit, d'après les idées de Riemann et de Beltrami, il
donner le nom de courbure à l'expression

1

4c 2 '

la courbure étant positive pour une géométrie sphérique (qua-
drique fondamentale imaginaire) et négative pour une géométrie
pseudo-sphérique (quadrique fondamentale réelle).

Il reste bien entendu qu'il ne faut associer à ce mot de cour-
bure aucune des images géométriques qu'il éveille dans la théo-
rie ordinaire des surfaces et des courbes.

Formons, d'après la formule (1) ou (ibis), l'expression de l'élé-
ment linéaire ds relatif à la détermination non-euclidienne cor-
respondante à la quadrique ci-dessus.

Cette expression contient un paramètre arbitraire c, mais la
condition de retrouver, pour x = y = z = 0, l'expression eucli-
dienne de l'élément linéaire, conduit à l'égalité des deux para-
mètres que nous avons désignés par la même lettre c en prévi-
sion de ce résultat, et l'on a finalement :

, . , _ lc*(dx* + dy* + dz*)— (ydx — JcdyY — {zdy— rdz)* — (xdz — zdx)*
&S — aC* ' : - '- * .

q (4c* — *-— f — z*)*

On voit que cette expression se confond avec l'expression habi-
tuelle de l'élément linéaire, non-seulement pour x = y — z=o 9
mais encore, x, y et z étant quelconques, pour c 2 = 00.

Par la condition que les deux géométries considérées donnent
lieu à la même détermination métrique au point O, la longueur
non euclidienne c a pris une signification par rapport à la
géométrie euclidienne, et devient caractéristique de la géo-
métrie non-euclidienne considérée parmi celles qui ont un con-
tact en O avec cette géométrie euclidienne.

On remarque que, tandis qu'il existe une série simplement
infinie de géométries non-euclidiennes ayant un contact en un
point donné avec une géométrie eucidienne, il n'existe qu'une

i68 G. COMBEBIAC

géométrie euclidienne jouissant de cette propriété par rapport à
une géométrie non-euclidienne donnée.

Pour comparer les déterminations métriques sur une ligne
droite, faisons dans la formule donnant l'expression de l'élément
linéaire :

y — z^o.

On a alors, x désignant la distance au point O suivant la déter-
mination euclidienne et s la même distance suivant la détermi-
nation non-euclidienne :

, 4c*dx

dS = -— -.

4c- — x*
En géométrie pseudo-sphérique (lobatchewskienne) :

s = aclog- —.

(ac — x) À

En géométrie sphérique (riemannienne), Ton a pour c' =i c ,

4c' 2 dx , x

ds = , ,. , — z , s = 2c arc tang , .

4c' 2 -\-x 11 ° ac'

Nous venons de voir comment se présentent les détermina-
tions métriques non euclidiennes, dans l'analyse euclidienne.

Pour varier les points de vue, supposons, au contraire, que,
tout en employant des instruments de mesure non-euclidiens,
l'on continue à tenir pour exactes les formules et les raisonne-
ments euclidiens.

Dans ces conditions, Ton remplace en chaque point de l'espace
la détermination métrique non-euclidienne par la détermination
euclidienne présentant avec la première un contact en ce point,
de même que Ton emploie souvent, à la place d'une petite por-
tion sphérique une représentation plane obtenue en projetant
cette portion superficielle sur son plan tangent.

Toute détermination métrique directe (d'angle ou de distance)
se confondra ainsi en, chaque point avec la vraie, et la longueur
d'une ligne obtenue par la mensuration successive de ses seg-
ments élémentaires sera concordante avec la longueur qui résul-
terait de la détermination non-euclidienne considérée.

L'ESPACE EST-IL EUCLIDIEN? 169

Mais la détermination euclidienne employée différera d'un
point à un autre, de sorte que les résultats ainsi obtenus par
des mesures directes ne seront pas concordants avec les résultats
calculés au moyen des formules euclidiennes. C'est ainsi que
l'on constatera, par exemple, que la somme des angles d'un
triangle est différente de deux angles droits.

Géométrie euclidienne sur la sphère. — Pour associer quel-
ques images géométriques aux considérations analytiques expo-
sées dans ce paraphe, appliquons celles-ci à la Géométrie sur une
sphère, c'est-à-dire à l'ensemble des propriétés invariantes
dans les déplacements sans déformation conservant cette sur-
face, déplacements qui sont les rotations autour du centre.

Parmi les notions primordiales, l'on trouve le point et le
grand cercle.

On peut toujours, par un déplacement, amener un point en
un autre point quelconque de la sphère.

Un point de la surface étant fixe, on peut encore opérer un
déplacement de manière à amener un autre point quelconque sur
un grand cercle passant par le point fixé.

Par un point on peut mener un grand cercle, et généralement
un seul, perpendiculaire à un grand cercle donné.

On déduit de ces propriétés tout un ensemble de propositions,
qui deviendraient identiques aux propositions de la géométrie
plane indépendantes du postulat des parallèles, moyennant le
remplacement des mots grand cercle par ligne droite.

Il y a lieu d'observer toutefois qu'on doit, pour cette équiva-
lence, se limiter sur la sphère, à un certain domaine, en raison
du fait suivant :

Tous les grands cercles passant par un point passent par
son opposé et sont perpendiculaires au grand cercle dont ces
points sont les pôles.

Nous reviendrons plus loin sur cette particularité.

Pour comparer deux déterminations métriques au moyen
d'images sphériques, comme nous l'avons fait au moyen d'images
planes, prenons sur la sphère, pour système de référence, deux
grands cercles rectangulaires se coupant en un point O, pris
pour origine.

170 G. COMBEBIAC

Les coordonnées d'un point M seront les longueurs X et Y
des arcs de ces grands cercles compris entre le point O et les
grands cercles menés par M perpendiculairement aux premiers.

Les trois coordonnées du point M par rapport à un système
trirectangulaire ayant pour origine le centre de la sphère, un des
axes passant par le point O, ont pour expression :

R Co8 Tr Sin Tr

R

y Cos 2

X
R

+Cos*.

Y
R

-Cos 2

X
R

Cos 2

Y'
R

Cos

X

R

■ Cos

Y

K

y Cos*

X
R

- + Cos 2

Y
H

-Cos 2

X
R

Cos 2

R

Cos

Y

H

Sin

X

TT

y/cos*-^-+Cos*-l— Cos^Cos'I

On vérifiera que tout déplacement sans déformation de la
sphère, savoir une rotation autour de son centre, laisse invariante
l'équation

Cos* -£- +Cos 2 ~ —Cos 2 2L Go» 2 4- = o-
ri i\ i\ K

OU

tg'-^+tg 2 \ +1=0.
Posons

xzzRtg-^-, J=1 Rtg_.

Tout déplacement sans déformation de la sphère sera représenté
par une transformation projcctive en x et y conservant l'équa-
tion quadratique :

* 2 +j a +R 2 = o.

Un grand cercle de la sphère a une équation de la forme

a Cos — Sin -— — \- b Cos —rr- Sin -— — j- c Cos —■ Cos — = o.
1\ s\ 1\ K il K

OU

ax + by + c = o.

La position d'un point sur la sphère est une fonction périodi-

L'ESPACE EST-IL EUCLIDIEN? 171

que des coordonnées X et Y, de sorte que les systèmes de valeurs
X, Y et X -+- 2 -ir R, Y + 1 tz R, représentent le même point.

Les coordonnées x et y sont également des fonctions périodi-
ques de X et Y, mais de période iz R, de sorte qu'aux deux
points X, Y et X -|- it R, Y -f- iz R correspond le même système
de valeurs x 9 y.

En laissant de côté un des deux points correspondants à .r et
y, on ne considère, en faisant varier x et y de — 00 à+00, que
la demi-sphère limitée par un grand cercle ayant pour pôle le
point O. Le groupe euclidien ayant un contact en avec le groupe
des déplacements sphériques est représenté par le groupe pro-
jectif continu en x 9 y, conservant l'équation

xl -\-y 2 — o.

La courbe de l'infini relatif à ee système euclidien est le grand
cercle ayant pour pôle le point. O.

Par un de ces déplacements euclidiens, un point quelconque
de la demi-spère ne pourra jamais atteindre ce grand cercle.

Les rotations euclidiennes autour du point O se confondent
avec les rotations sphériques.

Une translation euclidienne sera une transformation dans
laquelle tous les points décrivent des grands cercles perpendicu-
laires à un même grand cercle passant par le point O. On voit
que ces grands cercles rencontrent le grand cercle de l'infini au
même point. Ils jouent le rôle des parallèles de la géométrie
plane ordinaire.

Ainsi se trouvent réalisées, sur la sphère, deux géométries : l'une
non-euclidienne, qui est relative aux déplacements vulgaires de
la sphère ; l'autre euclidienne, qui comprend un ensemble de
de propriétés susceptibles d'être exprimées par les mêmes pro-
positions que les propriétés de la géométrie plane ordinaire.

III
L'Infini géométrique.

Diverses conceptions de la ligne droite et du plan. — Nous
nous sommes efforcés, dans les pages précédentes, en variant
les figures que l'on peut faire correspondre à une même relation

17a G. COMBEBIAC

logique, de détruire certaines associations d'idées, et de montrer
notamment que la détermination métrique des longueurs et des
angles constitue une idée indépendante de la conception même
des figures.

La conclusion qui s'en dégage est celle-ci :

On peut, tout en maintenant les concepts vulgaires du point,
de la droite et du plan, obtenir des géométries conséquentes
avec elles-mêmes en modifiant d'une certaine manière l'idée de
la détermination métrique, de sorte que les propriétés où inter-
vient l'idée de mesure peuvent être très différentes de celles de
la géométrie ordinaire.

On comprend que la somme des angles d'un triangle ne soit
plus égale à deux angles droits, si la mesure des angles est tout
autre qu'en géométrie euclidienne et si les angles droits eux-
mêmes ne sont pas ceux de cette géométrie.

Il semble, dans ces conditions, qu'on ne doive rencontrer au-
cune difficulté à admettre les conceptions nouvelles à côté des
conceptions ordinaires.

C'est pourtant dans les difficultés que l'esprit éprouve à créer
des images géométriques correspondantes aux concepts des géo-
métries non-euclidiennes que Ton doit voir l'origine de la répu-
gnance qu'ils inspirent à certains esprits.

C'est que, contrairement à nos prévisions, ce ne sont pas seu-
lement nos conceptions de la mesure qui exigent des modifica-
tions, mais encore nos conceptions de la droite et du plan et
surtout de l'infini. Il y a là un fait inattendu qui doit être exa-
miné.

Nous pouvons nous borner au cas de la géométrie sphérique
(ou riemannienne).

Considérons d'abord la géométrie sur la ligne droite.

On a vu que la détermination riemannienne s de la distance à
un point est liée à la détermination euclidienne x ayant un
contact avec la premiàre en par la formule

x — a c tang -,

La présence d'une fonction trigonométrique suggère l'assimi-
lation de la droite au cercle, c'est-à-dire l'hypothèse que deux

V ESP ACE EST-IL EUCLIDIEN? i-)$

valeurs de — ; ne représentent un même point de la droite que

lorsque ces valeurs différent d'un multiple de un, de sorte qu'on
doit, à chaque point de la conception euclidienne déterminée

par une valeur de — ? comprise entre et — , associer un

point étranger a cette conception et correspondant à la va-
leur ^-r -f- ic.

2 C'

Les points de la droite vers lesquels on tend par les déplace-
ments euclidiens effectués dans les deux sens et qui, dans la con-
ception ordinaire, se confondent, seraient séparés par un segment
correspondant point par point au segment de cette dernière con-
ception. f

Cette nouvelle conception de la ligne droite est tout aussi légi-
time que la conception ordinaire comportant un point à l'infini,
vers lequel on tend en se déplaçant dans un sens ou dans
l'autre.

Mais on peut tout aussi légitimement admettre que les deux
. points correspondants à une valeur de x, que nous avons séparés,

soient de nouveau réunis et que les angles — -, et — , -f- tc repré-
sentent le même point de la droite.

A chacune de ces conceptions correspond une conception du plan
et une conception de l'espace ; d'où deux sortes de géométries
correspondantes à la même détermination métrique.

Dans l'une de ces géométries, à laquelle M. Klein réserve la
dénomination de Géométrie sphèrique en raison de sa plus
grande analogie avec la géométrie sur la sphère, Ton admet que
l'espace comprend des points situés au-delà de l'infini euclidien.

Dans l'autre Géométrie, appelée par M. Klein Géométrie
elliptique y l'espace ne comprend que les points de la conception
vulgaire.

Degré de connexité du plan. — La question relative au
nombre de points de l'espace qui correspondent à un même
système de valeurs des coordonnées nous parait être indépen-
dante de celle des parallèles, quoique ce soit l'étude de cette
dernière qui nous y ait conduits.

La question se pose, non seulement indépendamment de toute
Enseignement math. i?

174 G, COMBEBIAC

particularisation de la détermination métrique, mais encore en
l'absence de toute idée de détermination métrique.

Nous nous en rendrons compte au moyen de la Géométrie
prôjective sur la ligne droite.

On sait que Ton peut déterminer la position d'un point sur In
ligne droite, sans l'intervention de l'idée de distance, au moyen
d'un système général de coordonnées projectives, le système
étant caractérisé par le choix des points correspondants à trois
valeurs de la coordonnée, par exemple o, i et oo .

Chacun des points de la droite est déterminé univoquement par
un nombre compris entre — oo et + oo , les nombres — oo et + oc
correspondant au môme point, et le point de l'infini sur la droite
correspondant à une valeur quelconque.

On peut d'ailleurs, par des transformations projectives, amener
le point de l'infini en un point quelconque en lui faisant par-
courir la droite dans un sens ou dans l'autre, et amener un point
quelconque en un autre point quelconque en passant par le point
de l'infini.

Il résulte de là que les propriétés projectives d'une ligne
droite sont celles d'une ligne fermée (certains disent illimitée).

Pour des raisons analogues, le plan doit être considéré comme
une surface fermée.

Mais alors nous nous trouvons en présence de ce fait : Etant
donnée une droite D (ligne fermée) sur un plan (surface fermée},
un point peut, en suivant une ligne droite, passer d'un côté à
l'autre de la droite D sans traverser cette ligne, propriété qui
indique que le plan est une surface à double connexité.

En outre, on peut obtenir le résultat indiqué au moyen d'une
trajectoire différant aussi peu que l'on voudra de la droite D, ce
qui exige que le plan soit une surface double. On peut former
par exemple une surface double en réunissant les petits côtés
d'une bande de papier, de manière à séparer les angles qui
seraient réunis si l'on voulait obtenir une surface cylindrique.

Du fait que le plan est une surface double résulte la propriété
suivante :

Si l'extrémité d'un stylet décrit une ligne droite du plan dans
toute son étendue, le stylet, revenu au point de départ, sera du
côté du plan opposé à celui où il se trouvait au départ.

L'ESPACE EST-IL EUCLIDIEN? i;5

Mais on peut interpréter autrement les propriétés projectives.

Rien n'empêche de concevoir, comme nous l'avons déjà men-
tionné, que chaque système de valeurs des coordonnées projec-
tives représente deux points de l'espace, savoir celui de la con-
ception habituelle, et un autre situé au delà de l'infini euclidien.

Dans cette dernière conception de l'espace, le plan serait une
surface fermée simple et à simple connexité, et deux lignes droites
situées dans un même plan se couperaient en deux points, dont
l'un situé au delà de l'infini euclidien.

On voit que des conceptions diverses de l'espace peuvent cor-
respondre à la même forme analytique.

Dissociation des idées d'espace et d'infini. — Les propriétés
projectives des figures doivent être les mêmes pour toutes les
Géométries métriques que nous avons étudiées, puisque les
lignes droites et les plans de ces Géométries sont les mêmes
lignes de l'espace ; les considérations que nous venons de déve-
lopper sont donc communes à ces Géométries.

En se bornant aux deux formes d'espace envisagées ci-dessus,
la ligne droite est une ligne fermée et le plan, une surface fer-
mée. Ces conceptions de la droite et du plan, quoique d'origine
projective, doivent évidemment s'accorder avec fa conception
euclidienne et par suite, en dépit de l'intuition vulgaire, l'idée
de l'infini doit être compatible avec celle d'une ligne et d'une
surface fermées. k Il faut donc franchement nier cette incompati-
bilité qui n'est qu'apparente.

La difficulté d'obtenir une représentation visuelle d'un fait ne
nous parait pas être une objection contre la réalité de ce fait.

Quand nous nous représentons la sphéricité de la terre, ce n'est
pas avec des images de faits terrestres, telles que les impressions
d'un voyageur qui parcourrait un méridien, mais bien avec
l'image d'une boule de petites dimensions.

Nous interprétons un fait nouveau pour nous au moyen des
images antérieurement acquises par notre esprit, et cela n'est pas
toujours possible.

D'ailleurs quelles images visuelles correspondent à l'idée de
l'infini euclidien ?

Ce point à l'infini sur une droite, qui coïncide avec celui vers

176 G. COMBEBIAC

lequel on tend en s'éloignant dans l'autre sens ; ce plan de l'infini,
que Ton rencontre en prenant n'importe quelle direction, ne
sont pas plus concevables en somme qu'une idée de l'espace
privée de celle de l'infini en tant que propriété intrinsèque.

Résultant uniquement de la nature du mouvement au moyen
duquel on suppose l'espace parcouru, l'idée de l'infini doit*
être séparée non seulement de l'idée d'espace, mais encore de
celle des lignes que nous qualifions d'infinies ; on peut même la
faire disparaître totalement moyennant une modification de la
notion de distance.

N'est-il pas naturel d'ailleurs que l'idée de l'infini, qui n'est
autre que celle d'une opération indéfiniment répétée ou conti-
nuée, soit liée à la nature de cette opération elle-même ?

D'ailleurs cette idée, ainsi que l'idée parente d'infiniment petit,
constituent-t-elles, dans la science mathématique, autre chose que
des procédés analytiques, remarquablement féconds, permettant de
déduire de certaines propriétés particulières, tenues pour exactes
dans un domaine déterminé, d'autres propriétés valables seule-
ment pour ce domaine, mais procédés impuissants, comme l'ana-
lyse mathématique elle-même, à fournir des idées légitimes sur
les propriétés particulières d'un autre domaine, auquel peuvent
ne pas être applicables les idées que cette analyse a prises comme
point de départ ?

C'est ainsi qu'il serait vain de vouloir, au moyen de l'analyse
infinitésimale et sans autres expériences que celles qui s'appli-
quent aux corps de dimensions ordinaires, se faire des idées sur
la constitution intime de ces corps et sur les propriétés des parti-
cules présentant des dimensions d'un autre ordre de grandeur.

A plus forte raison, les idées de l'infini et de l'infiniment petit,
qui sont d'origine mathématique, ne sauraient répondre à aucune
propriété intrinsèque d'un concept figuré.

L'idée de l'infini n'est donc pas inhérente à celle d'espace ;
cette dernière peut être en cfFet séparée de celle de détermina-
tion métrique, et par suite de celle de l'infini, qui peut en résul-
ter. En particulier, celle-ci peut être exclue de la Géométrie
projective et à plus forte raison de Y Analysis situs.

Ce n'est pas seulement relativement à l'infini que l'on a doté
l'idée d'espace de propriétés intrinsèques qu'elle ne comporte pas.

VESPACE EST-IL EUCLIDIEN? 177

Que penser des idées illusoires de forme, nature, structure de
l'espace, notions inconsistantes, qu'il convient d'abandonner aux
métaphysiciens, lesquels semblent se complaire, en mauvais archi-
tectes, à construire des édifices d'autant plus élevés que les fon-
dements en sont plus précaires ?

Le mot espace doit perdre sa prétentieuse importance pour
devenir l'expression vague de la faculté que nous avons de localiser
les objets ou, ce qui revient au même, de la propriété qu'ont
les objets d'être localisés.

[A suivre.) G. Combebiac (Limoges).

EQUIVALENCE DU MOUVEMENT

D'UN SYSTÈME INVARIABLE A TROIS DIMENSIONS S

QUI PASSE D'UNE MANIÈRE QUELCONQUE

D'UNE POSITION DONNÉE 2 t A UNE AUTRE POSITION DONNÉE Z 2

|(pc,A)

Si. — Soient ÀBCU, A^C^ et A 2 B 2 C 2 U 2 des pyramides homo-
logues appartenant respectivement aux systèmes S, l l et 2 2 ; ce
sont, en raison de Tin variabilité du système ï, des pyramides
congruentes.

Prenons un point fixe O
de l'espace pour origine
des rayons vecteurs des
points des systèmes S, 1 L
et S 2 . Soient donnés dans
les systèmes L', S A et S 2 les
points respectivement ho-
mologues A, B, C ; A p B f ,
Cj et A„ B a , C 2 , avec (ABC;
^ o. Soit U un point arbi-
traire, variable, de 2, de
manière que U â et U 2 soient
respectivement les points
correspondants de Sjet^,
avec la condition

Fijç. i.

(ABCU)^bo.

Si nous posons (G g. i)
;p;=:a l ,Â^ 1 = p 1 ,A 1 = + ?l ,B 1 =0 + ?1> C l = + p„
U 1 =0 + p, l'équation du système ponctuel S, ou U l sera

ÉQUIVALENCE DU MOUVEMENT D % UN SYSTÈME 179

ou encore

P = Pi +»»(?* — Pi) + *(pa — ?Ù+P\l{?t— P,)(?3 — Pi)].

où m 7 net p sont des variables numériques, indépendantes Tune
de l'autre.

Si le système S passe de la position S A à la position 2 2 , les
points A, B, C et U subissent les déplacements totaux

A f A 1= 8 t , 1^1*,= 8„ C t C t = 3„ U 4 U 2 = 8,

de manière qu'il existe pour le système ponctuel S 2 , si Ton pose
U 2 = + i|/ 5 la relation

* = P + * = Pi + 8t + *(P« + «. — Pi — 8f) + *(p. + *s — Pi — *i)

+/>ir(?2+3 4 — ?! — ôi)(p 3 4-3 3 — pi— 0,)l f

ou

+ = Pt + m (P* — Pi) + »(P» — Pi>+/> I [(P* — Pi) (Ps — Pi)J
+ 3 4 + »&- «J +«(8,-8,) +/> | [( ?t - p.) (83-3,)

- (P. - P.) (3. ~ *J + (8* - 3J ft - Si)].

ou, moyennant (8 2 — 8,) = 8., (8 3 — 8,) = 8^,

<l = p + 8 = ?1 + ma, +718,+ /> | (a^)

+ 8j + m8, 4- n8, + p | [ ai 3 ? — ^8« + 8<o ,]

et, si nous posons

[(pi + «,)-(p. + 80] = ^=^.[{Pa + y-(Pi + 8i)]=Â?:i = ? i .
l'équation polaire du système ponctuel S 2 est encore

♦ = P + *i + «^ + *Pi+/H(«,M.

On en déduit pour le déplacement total du point variable U
du système 2

o = (<]* — p) = t { + wto« + /i8p + y? | [a,8 ? — frS, -f 8«8 ? J.

« Les déplacements totaux de quatre points et plus du système 2
ne sont pas indépendants. Les déplacements totaux de tous les
points U du système 2 sont déterminés, lorsque ceux de trois
points du système non situé en ligne droite sont connus, le
système S est passé de la position Z i à la position S 2 , lorsque
trois points de S non situés en ligne droite, qui coïncidant

i8o F. KRAFT

auparavant avec les points correspondants de S t , coïncident avec
les points homologues de S, ».

En prenant 8 comme radius vector, la dernière équation est
celle de l'hodographe des déplacements totaux des points du
système 2.

La multiplication de cette équation par (§A) donne

(8-8J (8.*,) = />|[«A-PA+*A] (8.8 P ).
Présentement nous avons

[«A- P A + «A] l (M,) = («A) I (Wri - (P A) I (SA) -H W-

= |« 1 |8« 8p|8 a

+

8«|8, 8 P |8«
8* 1 8p 8p f 8p

— IPi|8« 8«|o*«
IPi|8? 8 a |8 P

= WW--(«i A) AA)-(M8«) (8J8 P ) + (PJ3p)W+«.»(Ê-(8J8|)ï

= { («iAA!+ (Pift) W+ W } - AA) { « 4 A+ Pi|8- + *«A }

= -(3.|8ri{« 1 |8 P + (p 1 -8ri|8« + 8.|8 P )
= ~A|3p)(« 1 |8 p + p,|8.-8«|8 p +8«|8 p j

= -(«-A){«iA+W8«)
= o,

par suite

ir«A-PA+*AH*A)=o.

Nous obtenons ainsi

r(8-»i)(«A)J = o.

« L'hodographe des déplacements totaux des points du système
ï est un plan parallèle aux différences des déplacements totaux
des extrémités des segments a et (3 ».

Déduisant de la première équation de cet hodographe les
déplacements totaux de trois autres points coplanaires du sys-
tème et développant avec ces déplacements l'équation de l'hodo-
graphe, nous obtenons de nouveau le même hodographe.

« L'hodographe des déplacements totaux des points d'un sys-
tème indéformable 2, lorsque celui-ci passe, de toutes les manières
possibles, d'une position 2 4 à une autre position 2 2 , est constam-
ment un plan ».

Nous pouvons encore écrire

8&*a + *A + 3A) = 3A8 a .

ÉQUIVALENCE DU MOUVEMENT D'UN SYSTÈME 181

En prenant 8 X , S 2 et S, comme vecteurs de l'hodographe, le
plan de cet hodographe passe par les extrémités de ces vec-
teurs.

Si nous transportons les déplacements o t , o„ S 3 des points
A, B, C en l'espace de manière que
leurs origines coïncident avec le
même point t de l'espace, le plan
déterminé par leurs extrémités D â ,
D t , D s (fig. 2) est le plan de l'hodo-
graphe du système des déplace-
ments, t étant le pôle de l'hodo-
graphe, car on a (D 2 — D 4 ) = S.,
(D, — D,) = S ? , et l'équation de ce

plan est

(0 — o 1 )(S«o ? )=o.

Le vecteur

ii = l[«A-M« + W»l

est, parce que (|*5 a 8 p ) = o, parallèle au plan de l'hodographe
et est une somme de multiples de 0, et 8 ? , de sorte que nous pou-
vons poser

jx = xô* + j3 ? = | [*fit — &$« + o.o ? ] .

Si e désigne le vecteur déterminant la position du plan de l'ho-
dographe, on a

et la multiplication de l'équation précédente par e donne

*(«*«) +ri*h) = e 1 [«A — Pi*»]-

De cette équation résultent, par les valeurs des coefficients x

et y,

x(ô|,6o«) = (o^e) | [%fit — h8«J,

de sorte que moyennant ces valeurs de x et y, on a

* - S^ °* + €0«8 ? ° ? -

i8i

F. KRAFT

Mais nous avons

M I [«A - k*j = («ut) I («A)- (**)

= (•1 M (M *>)-(«

(eo«) | [«,8,-0,3.] = (e3.) | («,8 ? ) -(e3.)

8p I ?i « 1 ,3. j
8>|3. e|8«|

= i|a, 3«|a,| — U|Pi 5«l?i
■ |t» 8.18,1 |e|8« 8«|3.

= («l«0(«.l8ri-(«l?i)W.

car 3, et o ? sont rectangulaires avec s, de sorte que nous obtenons
encore

I* = lj^- (l(« I M (3. 1 8») - (• I «i) VJ 8. + [(« I «J (5. 1 h) ~ (• I P.)8.?]î.s •

Avec cette valeur de u, l'équation de l'hodographe du système
des déplacements peut maintenant s'écrire

3 = 3, + j \m + _^- [(. | «s,) (3. 1 3,) - (. | «,) 3,!] j 3.

+ ! > + sh- [(e I ^ (8 ' I ^ ~ (e I W 8 "- 1 J î 8? '

formule au moyen de laquelle le déplacement o d'un point quel-
conque du système 2 est représenté comme somme de multiples
de trois déplacements donnés.

Moyennant la valeur de e, l'équation de l'hodographe, en
forme d'un produit, nous conduit a l'importante relation

(3_ 8 1 )|t = o
l81t) = (3 1 U).

ou

<( Les projections des déplacements totaux des points du
système 2 sur la direction du vecteur de position du plan de
l'hodographe sont égales entre elles ».

§ î'. — Si les déplacements des points du système 2 sont
infiniment petits, si o { = rfp if alors les équations de l'hodographe
du système des déplacements sont

dp = dp L + mdoi + nd* + p | [*d$ — $d*} ,
car (daidp) peut ici être négligé vis-à-vis des autres quantités

ÉQUIVALENCE DU MOUVEMENT D'UN SYSTÈME i83

comme infiniment petit d'ordre supérieur et si les déplacements
sont infiniment petits en posant a. i = a, ^ = |5, a 2 =a+rfa,
£ 2 =£ + rf(î;de plus

* = *i+[« + -;£^[«IM(rf«W)-(t|«)rfPÎ]i^

(<*p - <* Pj ) (rfarfp) = o ;

(rfp-<* Pl )|6 = o, rfp | e = ^ Pl | e, .= [|(rf«rfp)]n/(rfarfW!.

Nous obtenons ainsi, pour vitesses des points du système ï,

y =7 t + mfc — Vi) + n (v 3 --v i )+p\[a(v s — v^) — ftfa— ÊJ)];
(c"— ïi) |e = o, e= ![(»*— «i) K — »J] : V[(»t — »i/fô— «i)]*»

et la formule donnant la vitesse y, déduite de l'équation encore
inutilisée des déplacements totaux infiniment petits, peut aussi
être écrite directement.

Les dernières équations, en y prenant v comme radius vector,
sont celles de Thodographe des vitesses des points du système ï,
c'est un plan parallèle au plan de Thodographe des déplacements.

§ 2. — Parmi les déplacements totaux des points du système ï
il en existe un qui est le plus petit il est égal à la perpendicu-
laire abaissée du pôle de Thodographe, égal à la projection du
déplacement total d'un point quelconque du système 2 sur la
direction du vecteur e.

Pour ce déplacement, que nous désignons par S , existe la
condition

80 = 84 + mS« + ni} + p | [a fi* — (^o, + 8«8 ? ]
= xl(8«o ? )=je = (8 1 |t)t.

Nous obtenons ainsi
de sorte que

o 1 o«o ? = jr(o.op)i,

- TâJûï K««o« -

«A*

S

e.

En multipliant l'équation de condition pare, on obtient
(rij + m(c3j + n(c3;0 +pt | [«£* — ^8.] = o,

184 F. KRAFT

si nous multiplions cette équation d'abord par 3 p , ensuite par o a ,
il vient

(8^8 i )+m(e8.3ri+p(a P i)|[«A-p i 8J = o,
(8.68.) + n (8«i8j0 +/>(8rf) | [a,8> — &3J = o,
d'où

__ t3 t 8 t (i8«)l[»A-M«]

Si nous substituons ces valeurs de m et de n dans l'équation
qui donne en fonction des déplacements donnés, nous obtenons

£ 8 a Qi 2 1 e ^i^g *

8 = o â + »V o« + -^V- 0?,
ou

80= -a^r i («8A)8 i +(t8 I 8J8 1 + («8^8, (,

équation par laquelle le déplacement minimum est déterminé en
fonction des trois déplacements donnés.

§ 2'. — Si les déplacements totaux des points du système 2
sont infiniment petits, le déplacement minimum est évidem-
ment

ou encore

d ?Q= 73^ ( ( td P4*tà d Pl + ( Zd P* d 9i) d ?i + (**Pl rf Pi)*Pl j >

de sorte que la plus petite vitesse est

v = —- -iys — }(rôiï 1 )ïi + (tVaVÙvt + {tv L v t )v s \ .

v =
ou

§ 3. — Il s'agit maintenant de déterminer à quels points du
système correspond le déplacement 8 .

L'équation des radii vectores des points auxquels appartient
le moindre déplacement s'obtiendra en substituant dans l'équa-

ÉQUIVALENCE DU MOUVEMENT D'UN SYSTÈME

18S

tion des radii vectores des points du système ponctuel 2 les
valeurs de m et n trouvées dans le § 2, ce qui donne, en dési-
gnant par p, le radius veclor de ce lieu,

+

P* = Pi + -^r- heo 3 o,)*i + (^Sjp, (

-z£r f [&*) I (* A - M J]*i + [M i (* A - M J]Pi + (■«?) i («1P1) !•

Ce lieu est donc une ligne droite, qui est parallèle au vecteur

v = [(ri,) 1 («a - ^a a )]a, + [M I («A ~ M JlPi + (««d I («1P1) -

Si a désigne l'angle que cette droite fait avec la direction du
vecteur déposition e du plan de l'hodographe, on a

tanga = v/Iï?)î: («M-
Quand nous usons d'abréviations, nous pouvons écrire
v = «a 1 +*P 1 + cl(« i Pi),
d'où nous obtenons

(S0=«(M 1 )+6(EP I ) + *|(« 1 P 4 )].

On a donc aussi

| (e.) B a[(3.3>) | «J + *[(3 a 3 ? ) | M + c[(8«8,) foPJ] , •
| («„) « «[(8.K) 3,- A|«!)3J + *[(8.|PJ8,- («M W3J

+ c[(3.a i p i )3 ? -(8 ? a 1 p t )8a],
| (w) s [a(3.| «J + 6(8.| W +c(8 tt a 1 p i )]8 ?

ou en abrégé
Mais nous avons

|(sv) sr3 ? +s3«.

a =(«|« 1 )Saî— (« lP,)(3.|8,), * = («|PJ3 ( a-(t[« 1 )(3.|8 A ) f
c (3«*i W = ( E $«o?) (S.a^J

e|o a o«|o« o ? lo«
= *!«i 3.|a, Ofla,

•IPi 3-1 Pi S?lf>.
e(3.« t p J = 8«î(«, I 8,) (s | W + (c| a,) (8.| 8,) (8. 1 £,)
- (•Ip 1 )(« 1 l8.)(3. iSrf - (tl*,)^, |8,)3J;
c(3^ 1 ^J = (t3.8,H3,« i PJ
e|3 ? 3«|3 ? op|3j

«IP, 8«!?. S?lPi
efoa^J = (t|p 1 )(a l |8 f ;(3«|8 f ) + (t|«,KM8j3,î

- («I PJ(»il 8-)S?i— (e|ai)(PitV(3- |*>) =

186 F. KRAFT

et c'est pourquoi

r = ( (t|« l )8rf-(.|p l )(8«|8,) j (« 1 |8j + ((f|p 1 )84-(tl«,)(3.|8»J } ÎP.I «.)
+ (•! P,)(«i| »»)8j+(t|a 1 )(M8j(8.|8,) - («| ?,)(*, |3.)(8.|8 ? )
-(t|«i)(p,18,)8j,
r= j(t|«,)(« i |8j8| L »-(«|a l )(p i |8ri8j) +(«1^)8^,18.^*^8,)

-a(t|pj(«,|8J{8.l8ri,
r = (.|p,)8J { p,|«« + «i!*») -a(e|W(a 1 |8.)(8.|8 |1 ),
r = (£|3 1 )8.i ( ( p 1 |8.+ a,|3 ? -8«|8 ? )- : i(e|p 1 )(»,|8«)(8«l3?).
r=-(.|p I )(8«|3,)[( a t i -«J|8J-a(t|p l )(« l |8.)(8.|8,),
i- = -(t|p i )(8.|3,) (.« 1 |8. + « 1 |8.j,

'•=-(MP.)(5«|3?) {(«i + «J|8.|.
r—o;

de plus nous obtenons

- • = { (f K)34- (»|fc)(3.|8,) j (o,|8,)+ } («IP,))8J-(«1«,)(8«|3 # ) '• (P,'3 ? )
+ («I P,)(», 1 8#)(«. 1 8?) + («1 «,) (P. 1 W - (• I MK 1 3.)3 ? î
-(« I *i)(Pil *»)(«. I*»),

le second membre de cette équation peut être traité exactement
de la même manière que le second membre de l'équation en /•,
ce qui donne

s = o.
Nous obtenons ainsi

|(s*)=o, H = o,

c'est-à-dire que le lieu des points dont le déplacement est o„ est
une ligne droite parallèle à ce déplacement ainsi qu'au vecteur
déterminant la position du plan de l'hodographe.

Pour/;=o, le radius vector de cette droite est égal à

?i+ -^ { (««A)«i+ («3.8J Pi \,

de sorte que l'équation du radius vector du lieu en question
s'écrit dans la forme la plus simple

98 = pl + 753T ( ^^"i+^JP* i + tn -
Dans le changement de position du système S, cette ligne,

ÈQUIVALEXCE DU MOUVEMENT D'UX SYSTÈME 187

envisagée comme appartenant à ce système, se déplace sur elle-
même, chacun de ses points subissant le déplacement o . Deux
droites homologues de S t et S 2 coïncident avec cette droite consi-
dérée comme ligne de l'espace absolu, elles constituent ainsi
une ligne double de 2 A et S 2 sans points doubles, et lorsque o = o
une ligne de points doubles.

« Lorsque le système 2 passe de la position 2 t à la position
2 2 , Sj et S, ont toujours une ligne double, qui n'a généralement
pas de points doubles, les points de 2 situés sur cette droite
subissent le plus petit déplacement qui esl possible dans le chan-
gement de position de S ».

§ 3'. — Si les déplacements des points de 2 sont infiniment
petits, l'équation du lieu des points de déplacement minimum
est évidemment

ou encore

P. = ?i + —7= =Tr= =T ) ( t0 * r *)* + ("* V à $ { + UZ '

§ 4- — Vraisemblablement, les déplacements des points des
droites du système 2 qui sont parallèles à la ligne double de L\
et 2 4 , présentent des propriétés particulières.

L'équation d'une telle droite, parallèle à s, s'écrit

? = Pi + W i a l + »|?i + '" >

mais on ae,= (o,o ? ), 8 a et o p sont des quantités invariables, donc
os = o, de sorte que

ô = oi + »ij o« + n fi? ;

comme le second membre de cette équation est une quantité
constante, les déplacements des points de cette droite sont égaux
entre eux.

« Les déplacements des points d'une droite du système 2,
parallèle au vecteur déterminant la position du plan de l'hodo-
graphe, de son système des déplacements (parallèle à la ligne
double de 2 t et 2,) sont égaux entre eux et en général également
inclinés sur cette droite ».

i88 F. KRAFT

Cherchons, s'il existe des droites du système S qui soient paral-
lèles au vecteur déterminant la position du plan de l'hodographe
et dont les points soient déplacés parallèlement à ce vecteur.

L'équation d'une telle droite est

le déplacement de ses points doit être donné par l'équation
8 = 8 A -f- roôa + n$? = xz

d'où résulte

e8<j8, + /«(eo^Sa) =. o, e8«8 1 + n(e8«8p) = o.

Ces équations donnent pour m et n des valeurs réelles, qui n'ont
qu'une seule signification, en les portant dans les équations
donnant p et 2, nous obtenons

: Pl + 18^7 ( ( s8 8 8 ^ + ( sa i a *^i p~ we '

* = *♦ + lâ^7 [ («VJ8. + («*A)«> ] = V

Il n'y a donc qu'une telle droite, les déplacements de ses
points sont égaux au déplacement minimum possible, et cette
droite coïncide avec la ligne double de S 4 et 2 2 .

Nous sommes ainsi parvenus indirectement à l'équation de la
ligne double de 2 4 et £ 2 sans nous être engagés dans un calcul
plus long que pour la détermination de sa direction.

« Les points d'une droite jjl de S parallèle à la ligne double jjl°
de 2 t et 2 a subissent le même déplacement, la projection de ce
déplacement sur la direction de la droite est égale au déplacement
S , lorsque I passe de la position S t à la position 2 2 . Si nous
déterminons dans le système 2 des sections planes, normales à
|x c'est-à-dire à e, ces sections planes constituent des systèmes
partiels congruentsde 2, les points correspondants de ces sections
c'est-à-dire les points situés sur la même droite pi, ont le même
déplacement ; il en résulte que les déplacements de ses sections
planes, lorsque 2 passe de la position I t à la position S 2 , sont
égaux entre eux ».

EQUIVALENCE DU MOUVEMENT D'UN SYSTEME 189

§ 4 7 « — Lorsque les déplacements des points de 2 sont infini-
ment petits, le déplacement des points d'une droite u est

dp =: dp t + Jttjdx + iiydfy,
leur vitesse

îT= Vl + m l (v i — v L ) + n x (tT a — v") ,

et l'équation de la droite du système 2 ayant le déplacement dp
est la même qu'au § 3'.

§ 5. — Nous allons maintenant nous appliquer à la recherche
des mouvements simples, par lesquels le système invariable S
peut parvenir d'une position donnée S, à une autre position 2 2 et
à la détermination la plus simple de ces mouvements. Pour cela
partons des cas spéciaux, que nous résoudrons directement. Le
cas où l'on a 8 1 = o 2 = o 3 = o, ne donne lieu à aucune considéra-
tion, puisque Ton a alors 8 = o, le système S n'a alors aucun dépla-
cement.

Soit premièrement o, = 2 2 =o, de sorte que les points A et B
de 2 ne soient pas déplacés.

Alors A 1 = A 2 et B, =B 2 sont des points doubles de 2j et S 2 la
droite A 1 B 1 =A 2 B 2 est une ligne double de 2j et S 2 n'ayant que
des points doubles.

L'équation de l'hodographe des déplacements des points de 2
est maintenant

o = " 8 3 +JpI(Vs)-

Pour d'autres points qui n'auraient pas de déplacements on a

la condition

3 = /io 8 +/>|(a 1 o 3 )=o,

d'où il résulte, 3 3 et | (a^) étant des vecteurs non parallèles,

n = o , p — o ,

valeurs qui, substituées dans l'équation du système ponctuel 2,
donnent

P = Pi + » l *i>

qui est l'équation de la ligne double de 2, et S 2 , laquelle aurait pu
être écrite directement en raison de A t = A s et B t = B,. Il n'existe
pas d'autres points sans déplacement.

Enseignement math. i3

190 F. KRAFT

Comme Ton a, dans le cas général
on a maintenant

d'où on déduit, en multipliant par a 1 l'équation de l'hodographe,

a,lo = o,

de sorte que les déplacements des points de S sont rectangulaires
avec la ligne double.

Pour le déplacement minimum on a

H = (*i i s ) £ = 0, a = (ai : \/*& ,

mais, si l'on a 8 = 0, on a n=p — o et il en résulte que le lieu
des points sans déplacement est la droite ÀB = AjB, du sys-
tème 2.

L'équation d'une droite du système, dans E n parallèle à a t
s'écrit

les déplacements des points de cette ligne sont

0=1(^ + ^)03;

ils sont égaux entre eux.

« S'il existe deux points du système 2 sans déplacement, ht
droite qui réunit ces points est sans déplacement, tes déplace-
monts de tous les points du système sont normaux à cette ligne
et directement proportionnels aux distances des points à la droite
sans déplacement. Les déplacements des points qui appartiennent
a une droite parallèle au lieu des points sans déplacement sont
égaux entre eux ».

Comme A 1 B 1 = A 2 B 2 est une ligne double de ï, et ï 2 n'ayant
(jue des points doubles, les points homologues de Ï A .et X s sont
également éloignés de chaque élément de cette ligne. Il en
résulte, en tenant compte de la proposition précédente, que le
système passe de la position I t à la position ï 2 de la manière la
plus simple par une rotation autour de la double ligue, l'ampli-

ÉQUIVALENCE DU MOUVEMENT D'UN SYSTÈME 191

tudc de la rotation étant égale à l'angle de deux plans homologues
de 2 4 et 2 2 se coupant sur la double ligne, ou encore égale à
l'angle des perpendiculaires abaissées des points C, et C 2 sur la
double ligne, où elles se rencontrent d'ailleurs.

Pour le déplacement du point C, nous obtenons ainsi t

p, = (t | Pi)c + cos w{th) 1 1 + sin «*| (tpj ,
3,= P t — P l =(i — cOB^[(M«)f — pj + sînH(«Pi)-
Si nous posons

il vient

7^ = cos ii'xj + sin ^1(6X1),

0, = (cos w — 1) x{ + sin w | (ex{) ,
'à sin «• = \y o 3 î : AJ) .

a

Nous obtenons maintenant pour un point quelconque U du
système S, si y, et y 2 désignent les distances normales des points
U 1 et U 2 à Taxe de rotation,

Xi = cosiVX l +8inwl(ex l ),
= x 2 — Xi = ( cos w — l )lt + sin «' J ( e 7a) »

valeurs, par lesquelles le mouvement du système 2 est pleine-
ment déterminé. Chaque point de 2 décrit, dans le passage de la
position 2, à la position 2 2 par rotation autour de la ligne double
de 2, et 2 2 , un arc de cercle dans un plan perpendiculaire à Taxe
de rotation, dont le centre est situé sur cet axe.

« Lorsqu'un système invariable 2 possède deux points sans
déplacement, il a également une droite sans déplacement, savoir
celle qui réunit les deux points ; le système 2 parvient de la posi-
tion 2 4 à la position 2 2 de la manière la plus simple par une
rotation autour de cette ligne comme axe, en prenant l'amplitude
de la rotation égale à l'angle de deux plans homologues quel-
conques de 2, et 2 2 ».

§ 5'. — Si les déplacements des points de 2 sont infiniment
petits, l'équation de l'hodographe des déplacements des points
du système 2 est, en conséquence du § 5, si rfp,=o, rfp 2 =o,

19a F. KRAFT

et, par suite, les vitesses de ses points sont

v'=nv s +p\{av^ :

le lieu des points sans déplacement, c'est-à-dire sans vitesse, est

donné par

p= Pl + ma.

L'angle de la rotation autour de la ligne double de S, et S 2 est
et la vitesse angulaire du système 2 est alors

Pour un point quelconque U du système 2 nous avons

Xi = Xi + <M(eXi),

<*P = <M(«Xi)> * = wl(«Xi)-

§ 6. — Nous considérons maintenant le cas où Ton a S, = o,

Alors le point A de S est sans déplacement, A t = A â est un
point double de 2, et 2 2 , et les déplacements des points B et C
sont égaux entre eux.

L'équation de Thodographe des déplacements des points de 2
s'écrit

8 = (m + n)8 t +p|t(« l -p 1 )8j.

Pour le lieu des autres points pour lesquels on pouvait avoir
S ==o, on doit avoir

m + /i = o, f=-o,

d'où il résulte, en vertu de l'équation du système ponctuel 2=2,,

P = Pl + »*(«! — Pi)'

Donc le lieu des points sans déplacement est une droite
passant par le point A, = A 2 = A et parallèle à la droite joignant
les points B, et C t ; c'est une ligne double de 2 A et 2 2 composée
uniquement de points doubles.

Les déplacements des points B et C étant égaux, les déplace-

ÉQUIVALENCE DU MOUVEMENT D'UN SYSTÈME i&

ments des points de la droite AB sont à cause de cela égaux
entre eux. Donc la double-ligne de S, et S, est parallèle à la droite
B 1 C I et le déplacement du point A étant égal a zéro, elle passe
par le point A, = A, et est entièrement composée de points
doubles, comme cela résulte directement de son équation.
D'une manière générale, on a

(«ii*Jte-(MW = o,

d'où il résulte, pour notre cas spécial,

(»i-Pi)l*i = o,
qui donne, avec l'équation de l'hodographe,

(*i-MI» = o f

c'est-à-dire que les déplacements de points de 2 sont normaux a
la ligne double de 2 l et 2 2 .

L'équation d'une ligne droite de S 4 parallèle au vecteur (^ — [îj
peut être écrite

? = Pi + m i a i + n £i+Pi I («jPi) + "( a i — Pi) >

d'où nous obtenons, pour les déplacements des points de cette
ligne,

a = (m, + fi ± )a 2 + Pl i [( Œl — pjaj.

de sorte que les déplacements des points d'une telle droite sont
égaux entre eux.

« Lorsque le système 2 possède un point sans déplacement et
que les déplacements de deux autres points du système sont
égaux, il présente une droite sans déplacement, qui passe par le
premier point et est parallèle au vecteur déterminé par les deux
autres points. Les déplacements des points d'une droite du sys-
tème parallèle à la ligne sans déplacement sont égaux entre eux.
Les déplacements de tous, les points de 2 sont normaux à la droite
fixe du système et sont, en grandeur, directement proportion-
nels aux distances des points à la droite fixe. »

Si nous remplaçons la ligne double du cas déjà traité par la
ligne double actuelle des systèmes S 4 et 5 â , nous reconnaissons
que le système 2 peut être transporté de la manière la plus simple

194 ^ KRAFT

de la position ï, à la position 2* par une rotation autour de cette
ligne, mouvement pour lequel sont valables, avec

les formules correspondantes du § 5, l'amplitude de la rotation
doit être déterminée par l'équation

a •in~ii'=(t/8j: h[).

§ 6'. — Si les déplacements des points de 2 sont infiniment
petits, et si dp i = o, rfp, = rfp„, l'équation de l'hodographe du
système des déplacements est

dp={m + n)dp à +p\[(* — pjrfp,].

et, par suite, l'équation de l'hodographe du système des vitesses

de S est

v = {m + n)\Vi + p\[(a — $v i ],

le lieu des points sans déplacement, c'est-à-dire sans vitesse, est
donné par

p = ?i + w (« — ?);

on a encore

(g — P)lrf p = o, (a — ?)lw=o,
<*«, = (^rfpj : a() = (^ : A0, u , = („ f : *{).

§ 7. — Supposons que le déplacement du système invariable ï
soit tel, que Ton ait seulement o, = o.

Alors les systèmes YJ, et S 2 possèdent un point double A x = A r
qui est donné.

L'équation de l'hodographe des déplacements des points de ï
s'écrit maintenant

= wo 2 + /io 3 +p | [a^y — fro 2 + 3 A]
ou

fort 1 [«A -P Al )> ,(,,,. («3J1[«A-PA] />

'i = )m+, W^-PtQd 8, +*!,+, ^Ht«,o,-P,od ;

Pour le plus petit déplacement nous obtenons

3 = o,

ÉQUIVALENCE DU MOUVEMENT D'UN SYSTÈME i$$

les points du sytème ayant ce déplacement sont situés sur la
droite

p. = Pl +i< £ , . t = [|i3 1 3 s )]:v^S)T

équation que Ton obtient en faisant o A = o dans l'équation de la
ligne double, qui a été développée dans le § 3, cette ligne passe
par le point double A L = A 2 de S, et ï 2 ; c'est aussi l'équation
de la ligne double qui est composée uniquement de points
doubles.

On a maintenant

o|e =o A |£ =z o.

L'équation d'une droite quelconque de 2 = £ x parallèle au vec-
teur s qui détermine la position du plan de l'hodographe du
système des déplacements peut être écrite

il en résulte, pour les déplacements de ses points,

o = m 1 o 2 + WjOg ;

ils son égaux entre eux.

« Lorsqu'un point du système invariable S reste en repos dans
le passage de ce système de la position 2 t a la position S 2 , celui-ci
possède toujours une droite en repos, elle passe par le point fixe
donné, est perpendiculaire au plan de l'hodographe du système
des déplacements des points de 2, plan qui passe par le pôle de
l'hodographe, avec chaque point de cette ligne coïncide une paire
de points homologues de 2 X et ï 2 , elle coïncide avec la ligne
double de £ A et £ 2 composée uniquement de points doubles. Les
déplacements des points de £ sont normaux à cette ligne, aucun
point de X ne se déplace dans sa direction, les déplacements des
points sont, quand à leurs grandeurs, directement proportion-
nels aux distances de points à cette ligne. Les points homologues
de S t et 2 2 sont à égale distance de la ligne double. »

Le système £ peut donc être transporté de la position 2 4 à la
position S 2 par une rotation autour de la ligne double de S, et 2 2 .

Les distances en grandeur de deux points quelconques homo-
logues de 2, et 2 2 à un point quelconque de la ligne double sont
égales entr'elles puisque l'on a S 4 *~ ï,. Les projections de

196 F. KRAFT

S, et 2 2 sur un plan perpendiculaire à leur ligne double forment
deux systèmes plans congruents ayant un point double à Tinter-
section du plan et de la ligne double. Chaque plan perpendicu-
laire à la ligne double de 2 f et £, coupe ces systèmes en des
systèmes plans S', et I' s congruents, dont le point double coïncide
avec le point d'intersection de ce plan et de la ligne double ; les
systèmes 1\ et aussi les systèmes 2' 9 dans des plans perpendicu-
laires à la ligne double sont congruents entr'eux. Le déplace-
ment d'un point du système S = 2, est égal au déplacement de
sa projection sur un plan perpendiculaire à la ligne double.
Lorsque 2 passe de la position Si à la position 2 2 , 2' va de la posi-
tion 2', à la position 2' â , ce qui a lieu de la manière la plus
simple par rotation autour du point double de 2' 4 et 2' 2 situé sur
la ligne double. Si ce passage s'exécute en une section plane, il
s'exécute aussi dans toutes sections planes et, par suite, le sys-
tème 2 passe de la manière la plus simple de la position 2, à la
position 2 2 par sa rotation autour de la ligne double de 2 â et 2 2 .
La grandeur de l'angle de la rotation résulte directement, en
maintenant les relations déjà posées et en considérant les dépla-
cements des points B et C, de la formule

« Le mouvement d'un système invariable 2 qui possède un
point fixe en passant, d'une manière quelconque d'une position 2 A
à une autre position 2 S , est équivalent à une rotation autour de
l'axe passant par ce point et perpendiculaire au plan de l'hodo-
graphe de son système des déplacements, et c'est la manière la
plus simple de réaliser son déplacement. »

§ 7'. — Si les déplacements des points du système 2 sont infini-
ments petits et que l'on ait dp l = o, le point A étant ainsi en
repos, l'équation de Thodographe du système des déplacements

est

dp = mdpt + ndp 3 + p | [arfp, — £<*pj,
ou encore

j (e|»W P3 S-(c|p)( W o,) j

+ j „ + (sN«o < iy-(e|pVp,l j

ÉQUIVALENCE DU MOUVEMENT D'UN SYSTÈME 197

Les équations de l'hodographe de son système des vitesses
sont donc

v = mv 2 + nvs+pllzvs^ P»3»

-_( , w«)^-(«iw(^nr,) \

v-lm-p -^-^ — "« "' Vi

. ( n . n •(«!«) fi 15J—(«lflÊr / -

{ SV îV 3 >

On a maintenant rfp = o, v = o, et

est l'équation de la ligne double de Z 4 et E a .

Pour le passage de S de la position S t à la position l t par une
rotation autour de la ligne double comme axe, le déplacement
angulaire et la vitesse angulaire sont

, v^?J __j/SL ,„- v * - v 3

dw = K^~- Vf 9 w; -~Âf-~Âf~>

Si U est un point quelconque du système S, A 1 U 1 = p, on a,
comme le point A est en repos, a|</a = o, (î|rff3 = o, ainsi
p|rfp = o, et, comme dp est en outre perpendiculaire à s, nous
pouvons poser

de plus le déplacement d'un autre point X du système S est,
d'après cela, en posant A^ = <J/,

Mais on a aussi

de manière que Ton a aussi, en combinant les trois dernières
équations

pl[*ilM)] ++i[*l(«P)]=o.
ou

*i(f«W+5M*p)=<>f
d'où il résulte

,. -,- — *P - ^
*'- x -|(.p) -|(4) *

198 F. KRAFT

En posant

= je + y_ , <J, = Jlt 4. Xl , ( g | X ) — ( e I Xi ) = o,

il suit

dp~x\{v/}, d$=x\{v/ ml ),

les déplacements des points U de S sont, quant à leurs gran-
deurs, directement proportionnels à leurs distances à Taxe s pas-
sant par le point A t = A â .

D'après tout ce qui précède, les déplacements des points de 1*
forment un système de déplacements qui peut être obtenu par
une rotation autour de cet axe, de sorte que, parce que x est infi-
niment petit, l'amplitude de cette rotation est

, dp dty

Nous obtenons ainsi les équations valables pour tous les points
du système 2

dp = dw\{tp) =zd*'\(r/) t
» = t0 1 (ep) = 10 |(t/J.

Les déplacements infiniment petits dc 2 et dp, des points B et C
sont donnés, on a donc

rf lv = -*L = J&_ ,«;--^- —2

s

(u) - |(e?) '"- |(. S ) - |(c?)

Nous obtenons maintenant, pour le radius vector ty = AjU.,
du point U après la rotation

S 8. — Appliquons-nous maintenant au cas général, savoir celui
où, dans le passage du système S d'une position donnée £ t à une
autre position donnée S t , aucun point du système ne demeure en
repos.

L'équation de l'hodographe du système des déplacements des
points de 2 s'écrit

3 = 3, + ( ro8, + **, +p | [ Bl 8, — p f 3. + 8.8,] } .
Le déplacement de tout point de 2 se compose d'après cela de

ÉQUIVALENCE DU MOUVEMENT D'UN SYSTÈME 199

<leux parties ou composantes, d'une translation commune à tous
les points du système

égale au déplacement AjA^ du point A et du déplacement

qui est parallèle au plan de l'hodographe, de sorte que le sys-
tème des déplacements 8 r est réalisable au moyen d'une rotation.
Les déplacements des éléments d'une droite du système ï
parallèle à t sont égaux entr'eux, il existe dans I une droite
dont les points sont déplacés dans sa propre direction d'un
vecteur

vTOT

elle se conjoint avec la ligne double sans points doubles de
Sj et £„ leur équation est de la forme

•s > % >

£0*0. , E0{0.) r , , . % % .

?' = P« + -rf- a » + ITT- ?• + "' [ °^' ■

S0«0>) 6o»o«j

Les projections des déplacements des points du système £ sur
les droites du faisceau parallèle à s sont égales au déplacement
minimum 8 , de sorte que, dans le passage du système X de la
position S t à la position 2 t chaque point du système 2 est
déplacé dans la direction de s du vecteur o .

Comme Ton a

OHOj + ÛrZiOr+O,,

le système S peut être conduit de la position S t à la position ï 2
par une translation et une rotation, ou par une rotation et une
translation. Tous les points du système 2 ont une translation
commune, qui est égale au déplacement total o 1 du point A, la
rotation doit avoir lieu autour de Taxe e passant par le point
À = A 17 l'équation de cet axe est

P = ?!+"£•

Si nous considérons les déplacements de B et C dans ce

aoo F. KRAFT

mouvement, nous obtenons pour l'amplitude de la rotation

i

'2 sin —
a

4 / g, -81)! __ t / ft-*i)i
V («,)* ""V ( £ Pi) 2 -

Si un système invariable S possède une rotation autour d'un
axe et une translation inclinée sur cet axe, son mouvement est
équivalent à une rotation de la même amplitude autour d'un
autre axe parallèle au premier et à une translation parallèle à cet
axe, translation qui est égale au déplacement total d'un point
quelconque du système dans la direction de cet axe.

Maintenant si o est la translation du cas précédent et si nous
choisissons Taxe en question comme axe de rotation, comme les
points du système situés sur cet axe se déplacent seulement du
vecteur 3 dans le passage de Jl i à 2 â , le nouvel axe coïncide avec
la ligne double de E 4 et £„ son équation est donc

« Lorsqu'un système invariable S passe d'une manière quel-
conque d'une position donnée £ t à une autre position donnée E â ,
son mouvement est toujours équivalent à un mouvement héli-
coïdal et c'est le mouvement le plus simple possible réalisant le
déplacement donné. »

Si nous partons de la réduction du système des déplacements
des points du système S au point A = A t> respectivement pour
la direction e passant par le point A = A â , les déplacements des
points d'une droite du système 2 parallèles à e étant égaux
entr'eux, si A désigne la distance de l'axe du mouvement héli-
coïdal au point A = A^ l'on a

aX z=z (eSj) | e -f- cotang w\ (eo t )

et, par conséquent, l'équation de cet axe

P' = .°i + -7( (e8i) |e+ cotang i- «/((eS,) j + me.

L'équation du radius vector du plan contenant les points A lf B t
et Cj est

ÉQUIVALENCE DU MOUVEMENT D'UN SYSTÈME aoi

Pour le point d'intersection de Taxe du mouvement hélicoïdal
et de ce plan, on doit donc avoir

**i + y Pi = -J- [ («Si) I * + rotang -i- w | (eo,) < ,
ou, en multipliant cette équation par e,

*{*i«) + v (M = t j Pi - M »•)«> + cotg -I- * i Kcjj | «] | ,
*(v) +y(M) = v ( M + «>** ~ HP 4 - («PiW ] . -

Il en résulte, en multipliant successivement cette relation
par p t et a i9

*(« 4 «PJ = -i- | (^«pj + cotg -i- "[(MSi)-(e|3i)(*IM] j ,
y(Pt««i) = ~- S (VaJ + cotg-i-if^aJoi) — (elS^elaJ] j ,

formules qui donnent les valeurs des coefficients x et y pour le
point d'intersection de Taxe du mouvement hélicoïdal et du plan
contenant les points A n B t et C r

Par ce moyen on a aussi une équation de cet axe

P- = Pi+ -^^- J (3,?^) + cotg -^- ^'[(e | 3,)(e I?,) — (PJ 8,)] j a,

+ afop,,) ( &*» e > + C ° tg T "'^l 8 ^ 61 a J - < Œ * l8 iW j Pi + tt£ -

De deux équations relatives a la ligne double de ï, et E 2 résul-
tant les relations numériques

W

On détermine encore la distance de Taxe du mouvement
hélicoïdal au point A, au moyen de sa première équation.
On doit avoir

202 F. KRAFT

de sorte que Ton a aussi

o = (8 3 a,t)(ai | i) + (3Ât) (p, | ■) + jt vTO)T
d'où nous obtenons

et l'équation de Taxe est de nouveau

L'équation de l'hodographe du système des déplacements de.v
points de 2 s'écrit

o = 3 4 + mo« -f- «o ? -\-p | } «^ — pjO.4- 8«8 ? { .

Le déplacement total d'un point quelconque X de S se déduit
de là comme composé de deux parties, dont l'une est égale au
déplacement total d'un autre point quelconque U du système et
dont l'autre est parallèle au plan de l'hodographe.

Si nous posons

on a

8 X = 8 4 + m x ^ a + «xO ? +p x p .

De cette équation résulte, J>ar l'élimination de o r

8 X = o + [m x — m)8« + (/i,— «)o ? + [p* — p] ^
ou

Ox = -f- Û r , x =Z O r . x + 0.

On en déduit, en posant x= i, a, 3...,

ô\ = 8+ 8 r>1 =:3 — | /Mo a + /io ? 4-/?jjL ;,

o 4 v- 8 + 8r.i= 3 — | [m — i)8« + «3ji4-/?ijl ; ,

8, = 8 + 8 r ,3 = 8 — ) /iio«+ (n — i)8 ? +/?jjl { ,

3 4 = 3 + 3,.4=:8— J (m— //i.)8 a + (w — //.)o ? + ;/? — /?.) fi |,

Les composantes o ri , o rS , o r3 ,... des déplacements S,, o 2 , o^...,
c'est-à-dire o rr , ,r= i, 2, 3... forment, puisqu'elles sont parai-

ÉQUIVALENCE 1)1 MOUVEMENT D'UN SYSTÈME ao3

lèles au plan de l'hodographe, dans leur ensemble, un déplace-
ment résultant d'une rotation, elles sont égales à la différence
entre le déplacement total o x du point du système 2 et le dépla-
cement total d'un point du système arbitrairement choisi U,
commun par conséquent à tous les points du système et perpen-
diculaire au vecteur déterminant la position du plan de l'hodo-
graphe.

De là et en se reportant au cours de notre développement, on
déduit directement la proposition :

« Lorsqu'un système invariable 2 passe d'une position donnée 2,
d'une manière quelconque à une autre position donnée 2 â , son
mouvement est équivalent à une translation du système, qui est
égale au déplacement total d'un point quelconque du système 2
et à une rotation de 2 autour de l'axe passant par ce point du
système et parallèle au vecteur qui détermine la position du plan
de l'hodographe du système des déplacements des points de 2.
Comme par la translation 2 reste parallèle à lui-même, quelque
soit le point dont le déplacement ait été choisi comme déplace-
ment total, et que l'hodographe reste là même pour chaque point
de réduction, l'amplitude de la rotation et la direction de l'axe
de rotation restent les mêmes pour toute réduction du système
de déplacement. L'ordre suivant, par lequel sont opérées la trans-
lation et la rotation est indifférent, et elles peuvent être simul-
tanées ».

Si nous choisissons le moindre déplacement o comme vecteur
de translation du système on a

X = -+- r , x = IVC -f- Q ,

l'axe de rotation coïncide alors avec la ligne double des sys-
tèmes 2 4 et 2 2 , tous les points de 2 possèdent alors en commun,
quand 2 passe de 2 t à 2 2 , la moindre translation, et si la rotation
et la translation s'effectuent uniformément, les points du sys-
tème 2 décrivent des arcs d'hélices de même pas autour de la
ligne double comme axe.

« Le mouvement d'un système invariable 2 passant d'une
manière quelconque d'une position 2 â à une autre position 2, est
équivalent à un mouvement hélicoïdal, qui est son mouvement le
plus simple. »

ao4 F. KRAFT

Si nous prenons un point quelconque de Taxe des hélices
comme pôle des coordonnées, l'on a pour le déplacement d'un
point quelconque U du système S, en posant U t = + ?, U s

<J/ = (e | p)£ + cos ♦«{(€?) | e] + sin w\ (ep) + 8 ,

et le déplacement total de ce point du système est

o='l — p:= (i — cos(i')[(ps)jE] + siii«')(ep)-f o .

Les formules correspondantes, quand on prend un autre axe
quelconque pour faire passer le système 2 de la position S â a la
position 2, sont les mêmes moyennant le remplacement de o
par le déplacement de cette droite considéré comme droite du
système S.

§ 8'. — Si les déplacements des points du système 2 sont infi-
niment petits, l'équation de l'hodographe des déplacements des
points du système est

dp = dp L -f- mdoi -f- nd$ + p | [%d ( p — J3da] ,

le système des déplacements infiniment petits se décompose en les
deux systèmes partiels

dp L zz dp L

dp r = mdoi + nd$ + p \ [«£{* — prfa],

de sorte que Ton a

dp = dp x + dp r = dp r + dp t .

L'hodographe des vitesses des points du système X a évidem- *
ment l'équation

v = v, + m (tJ 2 — v t ) + /ifà— vi)+/?|[a(J 3 — Sj) — pfo— cj],

le système des vitesses se décompose dans les deux systèmes
partiels

iV=/wa'+/^'+/?|[a,V— Jia'].
Le déplacement du système S est équivalent à une translation

ÉQUIVALENCE DU MOUVEMENT D'UN SYSTÈME ao5

infiniment petite dp t de ses points et à une rotation infiniment
petite autour de Taxe passant par le point A = A â et ayant pour
équation

? = Pl + «, • = [| (didffl : \/(dïW = [ | (a'j3')] : \fiJW,
l'angle de la rotation est

et la vitesse angulaire

)/W V/W)î

Si nous choisissons comme axe de rotation la droite qui coïn-
cide avec la ligne double de S t et S„ l'équation de cette dernière
est

P* = Pi + -7TT ) W?JPÙ* + [**?&*}$ J + «*.

ou encore

p.= Pi + ,-L— 5 («W;* + (s^wi)? ( +w£,

le système S se déplace alors parallèlement h lui-môme suivant le
vecteur

d ?l d ?î d ?3 g
ï/(«J*J?)i
avec la vitesse

•(«'M!

et le même déplacement angulaire et la même vitesse angulaire
que précédemment, son mouvement consiste donc dans un mou-
vement hélicoïdal infiniment petit.

En prenant le pôle des coordonnées sur l'axe des hélices, on a
pour le point U du système 2

+ = P + <H (*p) + rf ?o»

dp = dw\ (êo) + rfp , v =ti>| (ep) + v
Enseignement math. 14

/

/

ao6 F. KRAFT

§ 9. — Les cas généraux développés dans les paragraphes 8
et 8' comprennent tous les cas particuliers. Nous allons pour-
tant examiner différentes acceptions relatives à des déplace-
ments o p 2 a et 5 3 ou rfp t , <fp 2 et ûfp 8 déjà traitées comme cas parti-
culiers.

§ 10. — Il nous reste d'abord à exprimer les résultats généraux
habituels en coordonnées rectangulaires, il s'agit notamment de
l'équation de l'hodographe du système des déplacements, de
Taxe hélicoïdal, de l'amplitude et de la translation du mouve-
ment de torsion.

Soit

A, = + Pj = O +x A + ja + 5^, S, = dfa + dfc+d^,

Bi = O + 9-2 = O + x A +y& + 3i e s , 5, = dfa + rf ."t, + <J f % .

C i = + ?3 = + *3 £ J + 7a £ i + =3 £ 3> *3 = ^' £ 1 + <**"h + d s"h »

Nous en déduisons

*i=(*« — *iK + fo — Ji)Si + (£, —5,583 =«ie, +« a £ 2 + tf 3 e 3 ,

Pi = (*s ~-*i) £ . +(r s — nK +( s 3 — -i) £ s =^i e i + *** + *>&>

5? = W - <*>! + (^3"— <*i") £ 2 + W- <*l"') £ 3 = *'l £ l + V £ * + *»V

Le radius vector d'un point quelconque U de S = £j, ou
l'équation du système ponctuel S = S n est maintenant

O — JCc^ +J£,+ 58,
= 'l 6 ! + ïiH + -i £ 3 + '«(«1*1 + «A + «3^ + "(*l«l + Ma + VJ

+ P\ I («1^ - «i^i) i £ i £ i! + («i^ - «3^! (^sj + ( fl 3 A, - «i^l fe) !,
ou

— [X i + »!«,+ tlb l +p( ai b 9 — «A)] £ l + [Ji + " lf 'i + "*S + /> W'J — « A)] £ 2

Les coordonnées de ce point sont donc

.r = .r 4 -f- ma i + nb l + /?(«2^» — °a''î) = *i + /MCT i + nb i + pc% f
ï = Ji + " j «j + "''2 + Pi a A — «A) — Ji + ma t + nb t +pc»
5 = s x + m« 3 + n* 3 + p{a l b i — fij^) = s £ + ma t + n6 3 +/>r s .

On déduit de là les valeurs des coefficients m, /?, p 9 exprimé
en fonction de x, y, z et des quantités données.

ÉQUIVALENCE DU MOUVEMENT D'UN SYSTÈME 107

Nous écrivons, pour résoudre ces équations par rapport a
m y n et p 9

ma i e i + nb i e v +pc { e l — [x — x^e»

ma^e t + nb^e t + pc % e % — (j — y Je.,, [e^e^) = 1 ,

ma % e z + nb s e 3 + />Vi = (~ — z t) e s>

l'addition de ces équations donne

m{a l e l + a t e, + a 3 e^) + 11(6^ + b t e à + Va) +/>(<V ? i + c i c t + Va)

— ( 4P _, ri ) <?1 4_(j_. jj)e a + (s— =^3,

et nous en déduisons, par la multiplication extérieure, pour /w, /i
et p les relations

«i

«i

«8

* — *i. r— Ji»

c z t

*l

*i

*3

=

*i *•

*3

C L

c i

<*3

c i c *

C 3

K

>>2

'>*

•* — 'î» r— Ji»

3 5 4

c i

<*«

C 3

Z=

c, c s

*3

a i

«ï

«3

«1 «i

«3

«■> "3

«•1 h b 9

-*!• J — Jl. ~ — ~1

A*

*i

Ces équations donnent directement les valeurs de m, n et p.
Pour le développement ultérieur il faudra toujours prendre les
valeurs précédentes pour /?*, n et p.

Nous obtenons maintenant pour le déplacement du point U = U 1
du système E de coordonnées x, y et z :

= </'&, + d' , z i + rf"'s 3

— {b i a 3 '-—a s b i n e l — (Mi'-*i"3>i-M-Mi>;i
ou, en ordonnant par rapport à s,, s,, e 2 ,

= rf' Êl + d'% + <*'%

= J dl + ma/ + nb i '+p\a i b z '—a z b i '—b t a 3 '+b 9 a i , +a i 'b 3 '—-a s 'bi r ] { e r
+ ! <V'+ ma È t + nb t t + p[a 9 b i , ^a i b i l ^b^ l , + b l a 9 '+a 3 'b l , -^a i 'b t '] j e,
+ J rf 1 w +ma,'+«V+p[« l V-« 1 6 1 , -Mt'+^i'+«i , V-«i'*iT {«»•

208

/'. KRAFT

Cette équation donne directement les composantes du déplace-
ment total d'un point quelconque du système S parallèles aux
axes des coordonnées.

Avec o comme rayon vecteur, d r , d" et d 1 " sont les coordonnées
courantes du plan de l'hodographe du système des déplacements
des points de £.

La seconde des équations de l'hodographe nous donne

\{d' - d\) t t + {d" -- d») e 2 + (<*'« - <*,'") e 3 'j
X ; (afa + <e> + #f ;«J (bfa + b 2 ' h + 6,'tJ j = o,

l'équation de l'hodographe est donc, avec les coordonnées d\ d"
et d!\

d 1 _ d % \ d" — df, d'" — d"

K

K

'V

Pour le déplacement minimum, nous obtenons au moyen de la
première formule, qui donne o ,

è = d ' h + d %+d Q '%
d L ' df d x " 1
d,± d» d. 2 f "
d,' d," d,"
(ajbj - ajbfo + «y - <V)e 2 + K V - «, V)

équation dont nous pouvons tirer directement les composantes
de 8 parallèles aux axes de coordonnées, la grandeur de ce
déplacement est

d L ' d t " <*/»

v/a ? = d; d % » d 9 >»

d-A d 3 " d z '"

L'équation du radius vector de l'axe de rotation, quand on
prend le point A = A x comme point de réduction du système des
déplacements, est

P = Pi-f«ll 8 «8 ? ),
ou

(p — Pi) |(o a o.) = 0,

ÉQUIVALENCE DU MOUVEMENT D'UN SYSTEME 209

d'où Ton a encore

d'où résultent directement, comme équations de cet axe en coor-
données habituelles

«2 b s — a 3 f >> a 3 h i — a î b z "l'b-i — <tïhî

L'équation du radius vector de Taxe pour le mouvement héli-
coïdal du système E s'écrit

Nous posons pour abréger,

1(0.0;») = WV - «3^>i + («^'l "«/y S !+ ( fl i'V- «i^l^

moyennant quoi, le vecteur fixant la position du plan de l'hodo-
graphe est

£ = (<V £ i +c t 'h + Ca'sJ : v/^ + c^+c^ ,
OU

£ = (c 1 , £ 1 + c 2 '£ 2 + c 3 '£ 3 ) : c' y c'* zz c/* + c,'* + c,' 2 .

Nous en déduisons d'abord

(O30J | (o.o-O =

(0x0,) I (3.3>) =

<*:*' rf a" ^3'" I

d t ' df d™ = A lf

c,' c 3 " c,'" |

<// d^' d}"

d; d? <//" =a 2 .

<V <V ci-

Maintenant il résulte de l'équation du radius vector de Taxe
hélicoïdal

(* — •* 1) 6 i + — Ji) h + (~ — 5 i) h = -JT (" lE i + a i e * + " A)

+ 7T (Vl + Mi + ^3 £ 3 ) + «(<?/«! + fl'«l + Cg'^s) ,

aïo
d'où

F.

KRAFT

x — x K

u = r— -

Ml

_ r—jri

M*

c 2 V*

z z t

Mi

Ml

's'

c 9 'c'*

c s 'c"

en multipliant cette relation par (c/c/^V*) il vient

c '*(* — 'j) — Ml — Ml j <V<y

!**(*-- Ji)—Mi-Mi} «
— | c ' 2 (3— 3l ) — « 3 A t — /, 3 A, j Cl 'c 2 ',

et, en exprimant encore a l9 a i9 a 3 , 4 £ , i 2 , b z en fonction
de quantités données, on obtient comme équations en coor-
données habituelles de Taxe du mouvement hélicoïdal de S

» c*(x — x,) — \(x 2 — x L ) — A â (j- 3 — x,) { c/r,'

= ) c' i (r-ri)-A 1 ( ri - (ri )-A 1 Cr s -j I ) ; <V<V

Il reste encore à déterminer l'angle de rotation tv.
Pour cela nous possédons l'équation

4 sin 2 — »i

i (oj — o t )*

ce qui donne

, ■ • i (« , < a +« i "+", / V

4 s in ^— — a' """* - -

et cette équation détermine l'amplitude de la rotation.

Faisons maintenant passer le système S de £ A à ï 2 au moyen
d'une rotation autour de Taxe de torsion et de la translation o .

En choisissant un point de cet axe comme origine des
coordonnées, les axes du nouveau système de coordonnées
étant parallèles à ceux du système primitif, on a, si p = x t e x
"+" Vi e i "+" z i £ 3 est ^ e ra y on vecteur d'un point quelconque
U = U â de 2 = 2, et <!/ = x e f -+- y e, + z e s le rayon vecteur
du point correspondant dans 2 = 2„ après le déplacement de X,

*l == (s| p)£ + cos u»(e?) | s + sintr | (ep) -f o ,

ÉQUIVALENCE DU MOUVEMENT D'UN SYSTÈME an

d'où, en posant

e = ^r (c 1 's 1 + c 2 's 2 + c s 'ij = e^ + c,e 2 + e 3 e 3 ,

* e i + 7H + -e 3 = (1 — cos w) [e^ +-e^ â + Vl ) (e^-f- «,£4 + <? 3 e 3 )
+ cos«'(x£ 1 +^e i +^£ 3 )

+ ^1 + <*<>% + <*</%,

ou

«î + ^2 + se 3 = J (1 — cos w) (e^ + e t <> îri + * a *i*i) + cos *vx â

+ sin «•(«,«! — c^) + dj ( e x
+ J (1 — cos w) [e i e 2 x i + e,*^ + e t e 3 z L ) + 0081174

+ «in "'(<Vi — «i 3 i) + <V î h
+ j j (! — cos iv) (e 3 p 1 ^ 1 + e^^ + e 3 2 s t ) + cos wz t + sin iv^ — e,*,) + <* "' j 6 3 .

De cette équation on déduit directement les coordonnées du
point U (j-, ;/, z) du système 2 après le déplacement.

Si Ton fait coïncider l'axe de z du deuxième système de coor-
données avec Taxe de torsion, Ton a£ = e 3 ,c 1 = e 2 = o,e,= i,
dj = d /f = o, dj" = d , ce qui entraîne

*h + Th+ z h — ) cos «"Xi— »in «Ti j £j+ J cos «t, + sin trXj j e 4 + j \z l +d { e,,

d'où

x =: cos wx l — sin wy i y = cos wy t -|- sin wx lf z = z i -{- rf .

§ 11. — Par ce moyen est résolu le problème du déplace-
ment d'un système invariable E, qui passe d'une manière quel-
conque d'une position donnée £ t dans une autre position don-
née £ 2 , en ce qui concerne son mouvement le plus simple et son
système de vi cesses.

On peut aussi effectuer la solution de ce problème au moyen
de la multiplication algébrique du facteur de déplacement. La
publication de cette dernière solution est réservée pour une
autre époque.

Ferdinand Kraft (Zurich).

NOTES ET DOCUMENTS

Cours universitaires [suite).
Semestre d'été 190 3

ALLEMAGNE

Berlin. (Universitàt). — Schwarz : Integralrechn, 4 ; Ueb. hierzu ;
Anw. d. Ellipt. Funktionen ; Variationsreehn., 4 ; Kolloquien; Serainar.

— Schur : Einl. in d. Th. der gew. Difl. gleichgn, a. — Landau :
Zahlentheorie. 4; Einl. i. d. Funktionenth., 4; Th. der Riemann'schen
Zetafunktionen, 1. — Frobenius : Théorie der alg. Gleichungen, 4;
Seminar. — Schottky : Théorie der Abel'schenfunktionen, 4 ; Semi-
nar. — Hettner : Potentialtheorie, 2. — Knoblauch : Anal. Géomé-
trie, 4; Th. der part. Diff.-gleichgn., 4; Th. der Strahlensysteme, 1.

— Lehmann-Filhès : DifF. rechng., 4 : Ueb., 1. — Fôrster : Gesch.
der griechischen Astronomie, a; Théorie der Zeitmessung, 2; Fehler-
theorie, 1. — Bausghinger : Einl. in die Mechanik des Himmels, 3 ;
Doppelsterne, 1 ; Seminar. — Weinstein : Einl. in die math, Physik,
3; Grundlagen der phys. Wissenschaften. — Warburg : Experimen-
talphysik; Math. Ergânzungen zur Experimentalphysik. — Neesen :
Elementare Mechanik, 1.

Berlin-Charlottenburg. (Tcchn. Hochschule). — Dziobek : Hôhere
Mathematik, Ueb. dazu. — Haentzschel : Elemente der Mechanik
(f. Ghemiker). — Hamburger : Variationsrechng., Funktionentheorie ;
Niedere Analysis u. Algebra. — Hauck : Darst. Géométrie. — Hertzer :
Darst. Géométrie. — Hettner: Hôhere Mathematik : Ueb. dazu ;
Théorie der Raumkurven und Flachen; — Jolles : Darst. Géométrie.

— Lampe : Hôhere Mathematik ; Ueb. dazu ; Bestimmte Intégrale u.
Diff. gleichgn. — Paalzow : Math. Physik. — Gross : Mechan.
Wiirmetheorie; Einl. in die Math. Physik; Einl. in die Potentialtheorie.

— Hessenberg : Darst. Géométrie; Ausgew. Kapitel aus der Théorie
der Kegelschnitte. — Jahnke : Einf. in die Vektoranalysis ; Repetit,
ùber E le mentar mathematik. — R. Mùller : DilF. u. Int. rechng. — Stei-
nitz : Synthetische Géométrie; Elem. d. darst. Géométrie; Anal.
Géométrie. — Kôtter : Mechanik; ausgew. Kapitel u. Geschichte. —
Pietsch : Mechanik. — E. Meyer : Mechanik.

NOTES ET DOCUMENTS 2i3

Bonn. (Univers itàt). — Lipsghitz : Anw. der Infinit, rechn. auf die
Théorie des Raumes, 4. — Kortum : Unendl. Reihen, 2; Diff. u. Int.
rechn., 4; Ueb. im math. Seminar, 2. — Hbffter : Analyt. Géométrie
des Raumes, 4; Ueb., 1; Darst. Géométrie (vorzugsweise Perspektive)
mit Zeichenùbungen, a. — Sommer : Elemente der Idealtheorie, 2. —
Môrmichmeyer : Geschichte der Astronomie» 1. — Kûstner : Défini-
tive Bahnbestimmung der Korneten u. Planeten, 3;Prakt. Ueb.; Kol-
loquium. — Deichmùller : Bestimmung der Figur der Erde, 1 ; Aus-
gleichungsberechnung, 1 ; Astron. geod. Arbeiten, 2.

Breslau. [Universitàt). — Sturm : Théorie der geom. Verwandt-
sehaften, 4î Darst. Géométrie u. graph. Statik, 3; Seminar, 2. —
Rosanes : Anal. Géométrie der Ebene, 4 ; Determinanten, 2 ; Seminar,

1. — London : Th. der best. Intégrale u. der Fourier'schen Reihen, 3.
— Franz : Variations-u. Stôrungsreehnung, 3 ; Geogr. Ortsbestim-
raung, 2 ; Uebersicht ùber die Astron. Theorien, 2; Astr. Praktikum,

2. — Neumanx : Elastizitatstheorie, 3; Ausgew. Kap. der Potential-
theorie, 2; Ueb. in math.-phys. Seminar.

'Erlsjxgen. (Univers itàt). — Gordan : Raumgeometrie, 4; Zahlentheo-
rie, 4; Seminar, 3. — Noether : Diff. u. Int. reehng., 4; Diff. Géomé-
trie, 4; geom. u. analyt. Uebungen. — Schmidt : Math. Physik, \ ;
math.-phys. Ueb., 2; mit Wehnelt.

Freiburg i. Br. — Lùroth : Hôhere analyt. Géométrie der Kurven
u. Flàchen, 4; Theoretische Astronomie, 3. — Stickeluerger : Inte-
gralrechn., 5 ; Ellipt. Funktionen, 3 ; Math. -Seminar. — Lœwy :
Théorie der alg. Gleichungen, '1 ; Ueber die Gruudlagen der Géomé-
trie, 2. — Seith : Kegelschnitte in elementargeometrischer Behand-
lung.

Giessen. (Universitàt). — Pascii : Anal. Géométrie der Ebene, 4 î
allgemeine Hilfsmittelder Funktionentheorie, 2 ; Seminar, 2. — Netto :
Einl. in die Algebra, 4; Diff. Gleichungen, 2; Seminar, 1. — Wells-
tein : Darst. Géométrie mit Ueb., 6; Einl. in die Géométrie der Lage,
2 ; arithm. Théorie der Formen, 2.

Gœttingen. (Universitàt) . — Klein : Encyclopédie der Géométrie,
'1; math. Seminar, 2. — Hilbert : Diff. gleichungen, i; Mechanik der
Continua, 2; Math. Seminar, 2. — Minkowski : Algebra, '» ; Minimal-
flâchen, 2; Funktionentheoretische Uebungen, 2. — Brendel : Versi-
cherungsrechn, 2; Uebungen dazu, 2; Ueb. f. d. Intégration v. Diff.
gleichgn, 2; specielle Stôrungen, 2. — Schilling : Diff. u. Integral-
rechn, 4; Graphische Statik, 1 ; Ueb. dazu, 2. — Zermelo : Anal. Géo-
métrie, 4; Uebungen (mit Brendel), 2. — Blumenthal : Ellipt. u.
Modulfunktionen, 3 ; Uebungen (mit Brendel), 2. — Voigt : Théorie u.

il4 NOTES ET DOCUMENTS

Anwendung des Potentials, 4; Ueb, 4; Ausg. Kap, d. Mechanik, 1. —
Riecke ; Serainar, geom. Optik. — Ambronn : Théorie und Gebrauch
der astronoin. Instrumente, 2 ; Méthode der kleinsten Quadrate, 1 ;
Uebungen ; Ueber das Kalenderwesen, 1.

Halle. (Universitàt). — G. Gantor : Diff.-u. Integralrechn, 5; math.
Seminar. — Wangbrin : Differentialgleich., 4; Analyt. Géométrie der
Ebene, mit Ueb, 3; sphâr. Trigonométrie u. math. Géographie, 3 ;
math. Seminar. — Eberhard : Théorie des hôheren Gleichungen, 4 ;
Uebgn. — Grassmann : Analyt. Mechanik, mit Ueb. , 4; Anw. d. darst.
Géométrie auf die Flàchen zweiten Grades, 2. — Bughholz : Wahr-
scheinlichkeitsrechnung u. Méthode der kleinstein Quadrate, 2 ; prakt.
Uebungen in geographischer Ortsbestimmung. — Bernstein : Grund-
lagen der Géométrie, mit Uebungen, 3.

Kiel. (Universitàt) . — Poghhammer : Anal. Géométrie der Ebene, 4J
Théorie der bestimmten Intégrale, 4; Einl. in die Wahrscheinlich-
keitsrechnung, 1 ; math. Seminar. — St/ECKEL : Differentialrechn. u.
Einl. in die Analysis, 4 ; analyt. Mechanik, 4 ; Biegung krummer Flà-
chen, 1 ; math. Seminar (ûber Mechanik). — Weinholdt : Graph. Sta-
tikmit Ueb., 2. — Weber : Electro statik und Potentialtheorie, 2. —
Hakzer : Rotationsprobleme der Mechanik der Himmels, 3 ; astronom.
Uebgn. — Kreutz : Bahnbestimmung der Kometen u. Pianeten, 3 ;
Théorie des Ring-und Kreuzstabmikrometers, 1. — Kobod : Niedere
Geodâsie, 2 ; Uebungen. — Grossmann : Geogr. Ortsbestimmung, 2 ;
die neueren Ergebnisse der Astronomie, 1.

Kônigsberg. (Universitàt). — W. Fr. Meyer : Anal. Géométrie, 4 ;
Uebgn., 1; Einl. in die hôhere Géométrie, 4» Uebgn., 1. — Schôn-
flies : Théorie der Differentialgleichungen, 4 ; math. Seminar, 2. —
Saàlschùtz : Determinanten, 2 ; Gauss'sche und andere intéressante
Reihen, 4. — Vahlen : Differentialrechn. mit Ueb., 5. — Struve :
Himniel-Mechanik, 3; Ueb., 2. — Cohn : Anwendgn. der Potential-
theorie, 3. — Volkmann : Elasticitatstheorie, 4; Ueb. in math. phys.
Seminar.

Marburg. {Universitàt). — Hess : Géométrie der Ebene in analyt.
und synthetische Behandiung, 4 ; Ausgew. Kapitel der hôheren Analy-
sis, 4; Unter-u. Oberseminar. — Hensel : Differentialrechnung, 5;
Théorie deralg. Funktionen und ihre Anwendung auf die Théorie der
alg. Kurven u. der Abel'schen Intégrale. 4; Math. Seminar, 2. —
v. Dalwigk : Funktionnentheorie, 5; Geodasie, 2. — Jung : Zahlen-
theorie, 4; Algebra, 2.

Mûnchen. [Universitàt). — Bauer : Algebra; Seminar. — Linde-
mann : Théorie derellipt. Funktionen; Théorie der alg. Funct.; Semi-
nar. — » Voss : Théorie der Dilf. gleichgn. ; Théorie deralg. Kurven ;

NOTES ET DOCUMENTS ai5

Seminar. — Pringsheim : Integralrechn. ; Ergânzungen u. Ueb. zur
Differentialrechn. — Dôhlbmanx : Darst. Géométrie (Axonometrie,
Perspektive), Uebungen dazu; Graph. Statik mit Uebgn. — Brunn :
Elem. der hôherenmath. f. Studierende aller Fakultâten. — v. Wbbbr :
Analyt. Géométrie der Raumes mit Uebungen; Déterminai! ten, mit
Uebungen. — v. Seeliger : Theoretische Stellarastronomîe. —
Axding : Elem. der Astronomie. — Graetz : Mech. Wârinetheorie ;
Ausgew. Kapitel aus der Hôheren Mechanik. — Korn : Potentialtheo-
rie u. Kugelfunktionen.

Strassburg. (Universitàt) . — Reye : Ausgew. Kapitel der hôheren
synthetischen Géométrie, 3 ; Théorie der Krafte die nach Newtons
Gesetz wirken (Potential théorie), 3 ; math. Seminar, 2. — Becker :
Sphàrische Astronomie mit Anw., 3; Théorie der Ausgleichung der
Beobachtungsfehler, 2 ; Astr. Uebungen aufder Sternwarte. — Weber :
Bestimmte Intégrale und Einl. in die Funktionentheorie, 4; Hôhere
Algebra, 4; math. Oberseminar, 2. — Rotii : Dilf. u. Integralrechn.,
3; Ueb dazu, 2; Analyt. Geom. der Ebene, 3. — Wislicenus : Histo-
rische Einl. in die Astronomie, 1 ; Dioptrik, 1 ; Besprechungder neues-
ten literarischen Erscheinungen auf astronomischem Gebiete, 1 . —
Disteli : Analyt. Géométrie des Raumes, 3; Darst. Géométrie mit
Ueb. 4; math. Seminar, 2. — Epstein : Théorie und Anwendung der
Determinanten, 2.

Tûbingen. (Universitàt). — v. Brill : Analyt. Géométrie des
Raumes, 3; Théorie der Krùmmung der Fliiehen, 4; math. Seminar, 2.
— Stahl : Niedere Analysis, 2; Ueb. dazu, 1 ; Hohere Analysis, 3; Ueb.
dazu, 1. — Maurer : Darst. Géométrie, 2; Ueb. dazu, 2; Einwertige
Funktionen einer komplexen Variabeln, 2; Ueb. dazu, 1. — Waitz :
Populâre Astronomie, 2; Théorie der Liehtcs, 3; Ueb. dazu, 2.

Wûrzburg. (Universitàt). — Prym : Integralrechn., 6; Uebungen
dazu, 2; Ausgew. Kapitel der Funktionentheorie, 2. — Selmxg : Sphà-
rische Astronomie, 2; Wahrscheinlichkeitsrechnung, Fehlerausglei-
chung, Versicherungswesen, 2. — Rost : Darst. Géométrie, 4; Analyt.
u. synth. Géométrie der Kegelschnitte, 4; Anw. der Infinitesimalanaly-
sis auf Géométrie, 4; Seminar, 2.

AUTRICHE

Graz. (Universitàt). — Frischauf : Diff.-u. Integralrechn. u. deren
Anwendung auf Géométrie, ;>. — v. Dantscher : Anal. u. projekt
Géométrie der Ebene, 5; math. Seminar, 2. — Hilledrand : Mecha-
nik des Rimmels, 2; Théorie der astronom. Instrumente, 3.

ai6 NOTES ET DOCUMENTS

Innsbruck. (Universitàt). — O. Stolz : Théorie der Funktion von
komplexen Verànderlichen, mit Ueb., 3; Arithmetik, die Lehrevonden
reellen Zahlen, mit Ueb., 4. — Wirtinger : Hôhere Algebra, 3;
Abel'sche Funktionen, 3 ; math. Seminar, 2. — Zindler : Anaiyt. Géo-
métrie der Ebene et der Baumes, a; Liniengeometrie, 2; math. Semi-
nar, 1. — v. Oppolzer : Sphàrische Astronomie.

Prag. K. (k. Karl Fer dinands Universitàt). — Pick : DifF. gleichun-
gen, 3; DifF.-u. Integralrechnung, 2; math. Seminar, a. — Gmeiner :
Anaiyt. Géométrie, 3; Ueber Zahlenkongruenzen, a. — Weiss : Elem.
d. darst. Géométrie. — Weinegk : Théorie der Passagen-Instrumen-
ten, 3; Ueb. im astron. Beobachten, a; Finsternisse, 1. — Oppehheim :
Prâzession, Nutation u. Verânderung der geogr. Breite, 4.

Wien. (Universitàt). — v. Escherich : Elem. der Dilf.-u. Integral-
rechnung (unter besonderer Berùcksichtigung der Bedûrfnisse der
Naturhistoriker, Physiker, Chemiker, Mediziner und Versicherungs-
mathematiker), 5; Uebungen dazu, a; Proseminar f. math., 1 ; Seminar
f. Math., 2. — Gegekbauer : List nicht. — Mertens : Zahlentheorie,
5 ; Uebungen im math. Seminar, a; math. Proseminar, 1 ; Wahrschein-
lichkeitsrechnung, 3; mathem. Statistik, 3. — Kohn : Synthetische
Géométrie, \; Uebungen dazu, 1 ; Invariantentheorie mit geom. Anw\,
a. — Blaschke : Einfùhrungin die math. Statistik, 3. — Zsigmondy :
List nicht. — Dàublebsky v. Sterneck : Algebra, 3. — Garda : Aus-
gew. Kapitel aus dem Gebiete der Beriihrungstransformationen, a. —
Plemelj : Potentialtheorie, a. — Weiss : Prakt. Astronomie, 4- —
v. Hepperger : Théorie der speziellen Stôrungen, 3 ; Bahnbestimmung
der Doppelsterne, a. — Schram : Interpolationsrechnung und mecha-
nische Quadratur, a. — Prey : Théorie des Saturnringes, 1 ; Das geo-
metrische Nivellement. — Hartl : Kartographie mit Konstruktions-
ùbungen, \.

SUISSE

Basel. (Universitàt). — II. Kinkelix : Alg. Analysis, 3 ; Geom. An-
wendungen der DifF. Rechng., 3 ; Bestimmte Intégrale, a ; Warschein-
lichkeitsrechn, 3. — K. von der Muhll : Einltg. in die math. Physik
mit Ueb., 5; Ausgew. Kap. der math. Phys., 4; Uebungen, a. —
E. Uagenbach-Bischoff : Behandl. phys. Aufgaben im math. Seminar,
a. — R. Flatt : Liniengeometrie.

Lausanne. (Université). — Amstein : Gale. diff. et intégral, 5; Exer-
cices, a; Th. des fonct. ellipt., 3; Elem. du cale. diff. et int. (cours
destiné aux élèves en sciences phys. et nat., 3; Gale, int., intégrales
définies et séries, a. — Joly : Geom. anal., 2; Geom. descr., a;

r

NOTES ET DOCUMENTS 217

Epures. 4; Th. des nombres, 2. — Mayor : Mécanique rat., 4;
Exercices, 1 ; Phys. math., 2 ; Statique graph., 11 2 ; iv 2. — Maillard :
Astronomie, 2; Mécanique céleste, 1 ; Cale, des prob., 1.

Zurich. (Ecole polytechnique, section normale). — Hirsch : Integral-
rechnung, 4 ; Repet., 4; Uebungen, 2. — Franel : Calcul intégral, 4 ;
Répét., 1 ; Exercices, 2. — Herzog : Mechanik, I Teil, 6; ^Repet., 1 ;
Uebungen, 2. — W. Fiedler : Darst. Géométrie, 2; Répét., 1;
Uebungen, 4. — Lacombe : Géométrie descriptive, 2 ; Répét., 1 ; Exer-
cices, 4. — \V. Fiedler : Anal. Géométrie der Lage, 2. — Geiser :
Ausgewahlte Problème der analyt. Géométrie; Ebene Kurven, 4. —
Hurwitz : Ellipt. Funkt., 4; Funktionentheoretische Uebungen, 2. —
Rudio : Zahlentheorie. — Hirsch : Th. der lin. Diff. gleichungen, 2.
— Weber : Zylinder-und Kugelfunktionen und ihre Yerwendung in
der Physik, 2. — Wolfer : Geographische Ortsbestimmung, 3; Ueb,
im astronomischen Beobachten ; Einleitung in die Astrophysik. —
Beyel : Schattenlehre, 2; Perspektive, 2. — J. Keller : Repet. der
darst. Geom., 2; Repet. der Diff. u. Integralrechnung, 2. — Kraft :
Angewandte Mechanik, Bewegungsmechanismen. — Rebsteix : Ver-
sicherungsmathematik.

Zurich. (Universitât). — Burkhardt : Lin. Diff. -gleichungen, 4 ;
Vektoranalysis, 2; Math. Behandl. period. Naturerscheinungen, 2;
Math. Seminar, 2. — Weiler : Anal. Géométrie, u, 2; Darst. Geom.,
11, 3; Math. Géographie, 2; Kartenprojektion 2. — Kraft : Allg.
Mannigfaltigkeitstheorie, 4. — Gubler: Zahlentheorie, 2 ; Polit. Arithm.
mit Ueb., 2; Math. Unterricht in der Mittelschule, 2.

CHRONIQUE

Congrès des mathématiciens allemands.

La prochaine assemblée annuelle de l'Association allemande des
mathématiciens [Deutsche Mathematlker-Verelnlgung) aura lieu à Cassel,
du 20 au -i() septembre prochain, en même temps que la soixante-
quinzième réunion des naturalistes et médecins allemands. Les com-
munications figureront à l'ordre du jour de la section 1 (Mathématiques,
Astronomie et Géodésie) de ladite réunion. Elles devront être emprun-
tées, le plus possible, à la théorie des fonctions abéllennes d'une part, ou
à la mécanique théorique d'autre part.

La « Gaceta de Matematicas elementales »

Sous ce titre paraît une nouvelle publication périodique espagnole, à
laquelle la rédaction de Y Enseignement Mathématique envoie ses vœux
de prospérité les plus sincères. Elle est dirigée par M. le Docteur
A.-O. Obejero et paraît mensuellement depuis le début de l'année i<jo3.

Ernest Duporcq.

C'est avec une douloureuse stupeur que nous avons appris la mort
d'Ernest Duporcq. Je suis un de ceux qui sont allés, il y a deux mois à
peine, le saluer dans l'église Saint-François-Xavier, lors dune union
qui semblait être pour lui la garantie d'un bonheur durable et mérité.
Qui pouvait prévoir qu'il ne serait plus, si peu de temps après cette
belle journée !

Duporcq était un géomètre dans la véritable acception du mot, un
disciple de Ghasles et du colonel A. Mannheim. Il nous laisse un traité
de géométrie moderne, un grand nombre d'articles séparés ayant pres-
que tous trait à la géométrie et notamment un important mémoire sur
le déplacement des figures dont les différents points décrivent des
courbes sphériques. Celte dernière étude a été mise récemment au con-
cours par l'Académie des Sciences et la lutte pour le prix paraissait
déjà se cantonner entre deux candidats tout au plus, dont était Duporcq.

Rappelons aussi que Duporcq a été secrétaire du dernier Congrès
des Mathématiciens et que, lors de la mort d'Antomari, il reprit la part
qu'avait ce dernier à la direction des Nouvelles Annales.

N'est-ce pas une étrange fatalité que de voir Duporcq mourir si peu
de temps après son prédécesseur.

La Rédaction de Y Enseignement mathématique offre respectueusement
à sa veuve et aux siens ses affectueuses et sincères condoléances.

A. Buhl.

CORRESPONDANCE

A propos d'une note récente sur la Géométrie générale.

Un correspondant de Y Enseignement mathématique a fait observer,
en s'appuyant sur un exemple, que c'est à tort que certains géomètres
pensent que la géométrie projective est indépendante de la théorie des
parallèles et que ses théorèmes doivent subsister sans modification
dans la géométrie non-euclidienne.

Il me semble que les géomètres ainsi visés pourraient peut-être
opposer à l'objection élevée la réponse suivante :

La conception de l'infini géométrique comporte une grande part
d'arbitraire. Rien n'empêche, par exemple, de concevoir l'espace
comme constitué par des points, les uns situés à distance finie, les
autres à distance infinie, ceux-ci étant définis comme étant inaccessibles
au moyen de déplacements sans déformation.

Dès lors, deux lignes droites situées dans un même plan se rencontrent
toujours à distance finie ou infinie ; une ligne droite peut être considérée
comme une ligne fermée ; les plans, ainsi que les surfaces algébriques
à branches infinies, doivent être considérées -comme des surfaces
fermées.

Cette conception (et n'est-ce pas la plus satisfaisante au point de vue
de la généralité des propositions, tant en Analysis situs qu'en géométrie
projective ?j revient à admettre que, si l'on considère un système de
coordonnées projectives dans l'espace (et l'on sait que de tels systèmes
peuvent être établis indépendamment de toute idée de distance), à tout
groupe x, y, z de trois valeurs réelles de ces coordonnées, y compris
± ao , correspond un point de l'espace, et réciproquement.

Les systèmes de coordonnées vulgaires, basées sur la distance eucli-
dienne, sont des cas particuliers des systèmes projectifs et jouissent
par conséquent des mêmes propriétés.

Mais il n'en est pas de même des systèmes qui seraient basés sur la
notion de distance lobatchcwskienne. Celle-ci est effectivement une
fonction logarithmique des coordonnées projectives et peut, pour des
valeurs réelles de ces coordonnées, prendre des valeurs imaginaires,
de sorte que, avec un système de coordonnées lobatchewskiennes, la
solution commune aux équations de deux lignes droites situées dans
un même plan, mais ne se rencontrant pas (au sens lobatchewskien),

\

aao CORRESPONDANCE

est représentée par des valeurs imaginaires (représentant des points de
l'infini lobatchewskien), fait analytique qui n'est en rien contradictoire
avec la conception de l'espace exposée plus haut.

Ce fait est corrélatif de la propriété de log x de prendre une série
de valeurs imaginaires, pour passer de + « à — oo , x variant d'une
manière continue de — x à o.

En résumé, les hypothèses métriques n'interviennent dans la concep-
tion même de l'espace ponctuel, considéré comme une variété numérique,
que parce qu'il s'établit une confusion entre les propriétés de l'espace
et celles de certaines coordonnées — du moins c'est ainsi que nous
nous représentons l'état de cette question. G. Combebiac.

Lettre à M. Laisant, à propos de son article sur les bissectrices

d'un angle.

Université d'Edinburgh, le la novembre 190a.
Cher Monsieur,
J'ai pris beaucoup d'intérêt à la lecture de vos Remarques sur les
bissectrices d'un angle publiées dans le numéro de juillet 1902, de
Y Enseignement mathématique. Le sujet se rattache aux travaux qui parais-
sent de temps en temps sur l'introduction des quantités négatives en
géométrie, question appelée à jouer un rôle de plus en plus important
dans l'enseignement des mathématiques élémentaires. Une attention
soutenue portée sur les grandeurs géométriques négatives éviterait
souvent, je crois, beaucoup de difficultés qui se présentent dans la pra-
tique. Plusieurs soi-disant démonstrations de la géométrie analytique
élémentaire ne sont pas du tout des démonstrations mais bien d'heureu-
ses coïncidences avec les formules algébriques qui s'appliquent néces-
sairement à tous les cas. Comme exemple, je citerai seulement quelques-
unes des démonstrations qu'on donne pour l'expression de l'aire du
triangle en fonction des coordonnées de ses sommets. Dans la plus
élémentaire, fondée sur la distance entre deux points (x) et (.r') prise

sous la forme 1/ v r x x 'r2 on introduit la possibilité d'un signe

moins qui dans certaines circonstances paraît laisser un doute.

En premier lieu qu'entend-on par l'angle de
deux droites ? Avant de pouvoir considérer
l'angle nous devons préalablement diriger les
p droites et en choisir une comme base.
Q Ainsi l'inclinaison de OQ sur OP où l'angle

POQ est la rotation nécessaire peut amener P'OP sur la direction Q'OQ.
Les cosinus directeurs d'une droite fournissent un moyen parfait
d'interpréter la direction de cette droite. Pour abréger je me borne
au cas de droites situées dans un plan passant par l'origine.

r

CORRESPONDANCE aai

Si OP est le sens positif de la droite, c'est-à-dire qu'une mesure faite
sur cette droite soit prise avec le
signe j- dans la direction OP et avec
le signe — dans la direction OP 7 .

Alors les cosinus directeurs de la
droite sont

p p

où (£, r,) est un point quelconque R
pris sur la droite et p la longueur dirigée OR.
Ainsi

— ? + p '

Pour la droite POP', ces cosinus directeurs sont changés de signe.
On a de semblables résultats dansl'espaceà trois dimensions.

A ce point de vue rien ne pourrait être plus élégant que votre recher-
che des cosinus directeurs des bissectrices des angles de deux droites,
mais je crois que vous y êtes forcément amené en discutant la question
de savoir si c'est l'angle aigu ou l'angle obtus que nous bissectons.

Les droites étant dirigées par les cosinus directeurs, nous n'avons
par la liberté de choisir l'angle compris entre ces droites.

Il est déjà donné par les lignes dirigées de
versP (a£y) et Q (*',£',-/).

Il y a plus : si le dénominateur dans les rapports
(a + a') : ($ -+- jî') : (y -\- y*) est pris positivement, la
"\^ bissectrice est, elle aussi, dirigée et sa direction est
celle que nous prendrions naturellement pour direction
positive de cette bissectrice. Les trois autres bissectrices correspon-
dent à — U + a') : — (£+ £) : — (v + ï'); (— « + «0 : (- P + PO :
( — V~f~V)î ( x — a ') : (? — £0 : ('ï — ï0» * e dénominateur pour les cosi-
nus directeurs étant pris positivement.

Ainsi ( — a+a'j: ( — £ + £') : ( — 7 + */) correspond à la bissectrice
entre OP' et OQ. Si la direction de la bissectrice OR n'jst pas essen-
tielle, ,1e même problème se résout aisément comme il suit. Soient

(o

(;, Tj, $ v ) les cosinus directeurs; puisque cos POH = cos HOQ on a

c'est-à-dire

?* + r,e + ?y = -ï*'

v| ( a _ a ' } = 0#

En outre les trois directions sont coplanaires

w

Enseignement math.

323 CORRESPONDANCE

Les équations (i) et (a) fournissent les rapports pour Ç, yj, £,

* + «': P+P':ï + ï',

mais les équations (i) et (a) sont égalemeut vérifiées par la droite ayant
pour direction RO ; de là l'incertitude en direction.

Pour la bissectrice de l'angle supplémentaire, nous changerions les
signes de a', $, y*, pour obtenir l'angle P'OQ.

Les cosinus directeurs sont donnés par

f*-«'):(P^.p'): (y-tV

Le problème le plus général de déterminer les cosinus directeurs de
OR lorsque rOR= POQ peut être résolu comme suit. C'est une

question de trigonométrie et de théorie des équations de déterminer

n = ou; -f- (fy -f- y? de sorte que

x = cos I — arc cos (ax' + P?' + Yï') I .

De là

*«£Ç» = (S*Ç)«. (i)

L'équation (2) estla môme que plus haut. Ces deux équations corres-
pondent à deux droites et la droite demandée doit être telle que

cos ROQ = { cos (n — 1) POK \ '

Dans tout problème sur la ligne droite dans un plan renfermant des
mesures d'angles, l'équation d'une droite sous la forme y = mx-\-c est
d'un faible usage parcequ'une telle droite ne peut pas être une droite
dirigée et l'équation représente également une certaine droite dans une
direction donnée ou la même droite dans la direction opposée. C'est
dû à ce fait que tang (rc-f-O) = tang 8.

Lorsque par conséquent nous cherchons à mesurer l'angle entre
deux droites y = mx -+- c et y = m'x -+- c' et que nous obtenons

m — ;»'
arc tang

1 -f- '""*'

l'ambiguïté est due à ce fait que les droites ne sont pas dirigées. Heureu-
sement dans les cas importants du parallélisme et de la perpendicularité
cette difficulté ne s'élève pas. Quand l'équation de la perpendiculaire à
une droite dans un plan ou à un plan dans l'espace se présente, c'est, je
crois, une erreur d'imaginer que la perpendiculaire issue de l'origine

CORRESPONDANCE aa3

doive toujours être prise comme positive, car cela enlève aux considéra-
tions développées ci-dessus les avantages qu'elles présentent au point de
vue des expressions algébriques.
L'équation de géométrie plane

x cos 6 + y sin 6 — p = o,

signifie : la ligne telle' qu'en considérant la perpendiculaire qu'on lui
abaisse de l'origine, celle-ci est inclinée de l'angle 9 sur Taxe des x, tan-
dis que la distance de l'origine au pied de cette perpendiculaire est p en
grandeur et en signe. Avec cette interprétation il n'y a plus de confusion
possible entre les deux droites

x cos -f- y sin 8 — p = o,
x cos -f- j s in -f- p = o,

car l'essentiel est le sens ou la direction de la perpendiculaire.
Remarquons aussi que

x cos 6 -|- y sin — p — o

x cos (0 + r) + y sin (0 -f- iz) -f- p = o

représentent concuremtnent la même droite. Les deux perpendiculai-
res ont des sens opposés sur la même droite de base. La droite elle-
même dans ce cas est non dirigée mais ceci est dû à cette particularité
qu'elle est perpendiculaire à la droite menée par l'origine. Si au lieu
d'être perpendiculaire à la droite menée par l'origine, la droite est
inclinée de l'angle 0, cette dernière est encore dirigée et son équation
est

x sin (6 -f- o) — y cos ^0 + o) — p sin ( — p) = o.

Cette équation est toujours distincte de

x sin (6 — o) — y cos (0 — o) — p sin ( — o) =z o

sauf lorsque u<p = iu.

De semblables considérations s'appliquent dans l'espace à l'équation

x cos -f- y cos o + z cos ^ — P Z=L °'

Charles Tweedie (Edinburgh).

Réponse à M. Cailler au sujet du calcul des probabilités.

Nous remercions vivement M. Cailler, de l'attention qu'il a bien
voulu donner à l'article très audacieux qu'a publié de nous cette revue
exclusivement mathématique, alors que nous ne sommes pas des

224 CORRESPONDANCE

mathématiciens. Mais, nous l'avons montré, cette partie des mathéma-
tiques, le calcul des probabilités, a pris une très grande valeur dans
tous les ordres de sciences. Or nous craignons que parfois, en restant
trop près des formules, on ne s'élève pas assez au-dessus d'elles pour
en bien pénétrer le sens plus lointain, à l'aide du bon sens et de la
raison. Nous nous excusons des erreurs que nous avons pu faire.
Cependant il semble que les objections de M. Cailler ne portent pas
entièrement.

i° M. Cailler montre, contre nous, dit-il, que les deux formules

(i) P, =-r== e *»W et (a) P, = 6 lj=^=)

y iTzmpq \ y -i mp q /

n'ont pas besoin d'être équivalentes, puisqu'elles signifient deux choses •
très différentes, la première, la probabilité d'un écart égal à //, la
deuxième, la probabilité d'un écart moindre.

Mais nous n'avons jamais prétendu que ces deux formules dussent
être identiques.

C'est à l'équivalence de la formule (3)

(3)

\\/impqJ

et de la formule (i) que nous nous sommes attaqués, cette formule (3)
étant inverse de la formule (2) et mesurant la probabilité d'un écart égal
ou supérieur à //.

Et nous n'inventons pas cet usage de la formule 1 — 6 (/) puisque
M. Bertrand l'emploie couramment.

A vrai dire la formule (3) ne doit pas être identique à la formule (1)
puisque la première mesure seulement la probabilité d'un écart égal, la
seconde la probabilité d'un écart égal ou supérieur à //. Et là a été notre
négligence. Nous avons considéré la première formule comme mesurant
la probabilité d'un écart au moins égal à //, et non tout à fait égal à //.

11 reste cependant que la formule (1) qu'on a employée dans les appli-
cations, n'a guère d'intérêt et que, seules, les formules (a) et (3) sont
fécondes. Nos conclusions sont maintenues, mais nous avions fait une
remarque erronée, nous le reconnaissons franchement.

•2 Pour ce qui est de la probabilité du joueur, nous maintenons
entièrement nos conclusions, non que le joueur ait raison, car, et c'est
là l'objection la plus forte à son calcul, on ne peut parler de probabilité
pour un cas.

M. Cailler reproduit tout simplement l'argumentation de M. Poincaré
sur les séries également probables de six rouges et une noire d'une
part, et de sept rouges d'autre part.

Raisonnons un peu. Nous supposons une succession illimitée de

CORRESPONDANCE aa5

rouges et de noires. Nous voulons dans cette succession déterminer
une série. Il y a deux procédés : ou je vais prendre sept coups consé-
cutifs, les considérer comme une série et en chercher la probabilité, et
alors nos adversaires ont raison. Ou je vais, au lieu de ce procédé
arbitraire, chercher une série dans cette succession. Qu'est-ce qu'une
série pour la raison? C'est une consécution d'éléments homogènes.
Qu'y a-t-il d'homogène dans cette succession ? ou des éléments rouges
ou des éléments noirs. Alors, je m'en vais prendre une consécution de
rouges, par exemple une série de 7 rouges. Comment ma série est-elle
définie, à l'origine ? par l'apparition d'une rouge après une noire ; à la
fin ? par Y apparition d'une noire après une rouge. Ma série ne peut
comprendre que des rouges, la noire précède l'ouverture de la série et
la clôture. Dire donc série de six rouges et une noire, c'est dire série
de six rouges et série de noires commençante (pouvant ne comprendre
qu'un terme, ou plus).

Si l'on ne procède pas ainsi, il n'y a qu'arbitraire et irrationnel. Par
quoi est précédée la série donnée par M. Cailler : Rouge, noire, noire,
noire, rouge, noire, rouge ? Par quoi est-elle continuée ? Pourquoi con-
sidérer cette série ? 11 n'y a pas de raison, il n'y a pas de série unique.
11 y a là une série d'une rouge, une série de trois noires, une série d'une
rouge, une d'une noire, une d'une rouge (bien qu'en général on con-
serve 4 le mot série pour une consécution multiple).

Il nous semble qu'il y a là un exemple de préoccupation tout à fait
exclusive pour les formules empêchant la réflexion d'examiner la ma-
tière même de ces formules, ici la notion de série.

N. Vaschide et H. Piéron.

BIBLIOGRAPHIE

Em. Borel. — Leçons sur les séries à termes positifs. Professées au
Collège de France. Recueillies et rédigées par Robert d'Adhémar. — Un
volume gr, in-8°, 91 p.; prix : 3 fr. 5o; Gauthier-Villars, Paris, 1902.

En lisant ce livre on a l'impression que le rédacteur n'a pas su rendre avec
assez de précision l'idée du professeur. Bien souvent, en effet, on désire
plus de rigueur dans le développement des théories. Les démonstrations ne
sont pas toujours exactes et la forme laisse quelquefois à désirer.

Ce que le livre a de nouveau, c'est principalement l'usage de symboles
propres à représenter les degrés d'infinitude des fonctions croissant plus
rapidement que l'exponentielle e x , ou moins rapidement que la fonction loga-
rithmique log x.

Il y a cependant, une question fondamentale qui demeure irrésolue, à
savoir : les critères sur lesquelles les auteurs s'appuient pour définir l'éga-
lité ou la majorité de la croissance des fonctions. Ces critères peuvent être
établis, d'une infinité de façons différentes indépendamment de la représenta-
tion symbolique des degrés d'infinitude. Mais, lorsqu'on ne dit pas expres-
sément le contraire, il semble' toujours sous-entendu que l'on se rapporte à
la méthode classique qui se rattache à la considération du quotient des fonc-
tions qu'on veut comparer.

M. Borel paraît, au premier abord, ne pas vouloir s'écarter de cette mé-
thode. Non seulement, en effet, il ne s'occupe pas exprès de la question, mais
dans plusieurs endroits il semble bien accepter la solution générale que je
viens de rappeler.

Je citerai les phrases :

« Notre but est d'étendre la théorie des ordres d'infinitude à des cas
où la valeur que l'on serait conduit à leur attribuer serait zéro ou l'infini.

« Dans ce but, nous conviendrons de dire que, x étant l'infinimcnt petit
principal. . . (') .

« Dans tout ceci, certains coefficients constants sont sans importance. Ainsi
e x y ou 3e**", c'est pour nous la même chose, car c'est le môme mode de crois-
sance » ( 2 ).

En laissant donc de côté la nature et les lois de formation des symboles
qu'on introduit dans le livre, on pense toujours que deux fonctions auxquelles

(') Cf. Sur les ordres d'infinitude. Note publiée par le Bull, de la Soc. Math, de
France. 1901. p. 154.

(*) Cf. la note à la p. 35 du texte.

BIBLIOGRAPHIE ii-j

va être attribué un même symbole, seront censées avoir un rapport fini et
réciproquement.

Il n'en est rien. Dès la première notation qu'il propose, c'est-à-dire, lors-
qu'il définit Tordre (fx) par la condition que Ton aie, quel que soit le nombre
positif e,

lim =_ = o, lim - m « ,

x — * X i* + » x — x X ^ — «

(p . 36) on se représente des fonctions comme :

y, = x? + » H j 2 = x* ~ x <*> (} 1 -* ^ = °)

qui ont même ordre (fi), et dont le rapport -=-^- est infini toutes les fois que
la fonction s (or) décroit assez lentement pour que

lim log x. e (x) = oo .

L'introduction des symboles cu n ne fait qu'augmenter cette indétermination.
On le voit très aisément et je n'insiste pas là-dessus. Je veux seulement si-
gnaler la Remarque II (p. 43), à la suite de laquelle le degré '2 de la fonction

x % se trouve différencié du degré — cu>2 de la fonction ex 2 , et la différence

des degrés de deux fondions telles que z et y = z + lest mise en évidence

-32-1

par les symboles w, wew.

Cette remarque, en évidente contradiction avec la noie à la page 3 1 ) que j'ai
citée, ne pourrait s'expliquer sinon en admettant que : Deux fonctions ont
même degré alors et alors seulement si l'on peut leur attribuer un même
symbole.

A part l'arbitraire d'une telle définition, il faut observer en premier lieu
que : Les lois de compositions des symboles de M. Borel ne donnent aucun
critère pour ordonner l'ensemble de ces symboles, et que pourtant la question
de savoir laquelle entre deux fonctions données a la plus grande croissance t
demeure irrésolue même lorsqu'on connaît les symboles qu'il faut leur attri-
buer.

En outre, dans le courant de l'œuvre, en voulant donner des critères pour
l'assignation de ces symboles, voire même les déterminer dans des cas parti-
culiers ; on se sert de la connaissance du symbole attribué à une autre fonc-
tion à laquelle la fonction à étudier est dite comparable ou du même degré,
ce qui nous porte à un cercle vicieux.

D'autant plus que maintes fois les fonctions dont il s'agit ne sont nullement
comparables, si avec ce mot on se rapporte à la théorie ordinaire des
infinis :

Je citerai les pages 64, 8a, où l'on lit :

en remarquant que n ! est comparable à n n , donc (n !)p à n°P

puisque pP est asympto tique ment peu différent de p !

n n
Et je ferai observer que le rapport — p croît plus rapidement que toute

puissance finie nP de n. ' *-

aa 8 BIBLIOGRAPHIE

En somme, dans ce livre, on n'a pas conservé les définitions classiques
d'égalité et d'inégalité dans les ordres d'infinitude, on n'en a pas donné des
nouvelles, et Ton a, avec cela, introduit de? symboles avant de bien préciser
les idées qu'ils doivent représenter.

L'utilité de ces symboles est donc bien douteuse, cl les propositions où ils
sont employés demandent à être éclaircics.

Par exemple, lorsqu'on trouve à la page 58, la proposition :

Le degré de f (x), en fonction de f (x) est moindre que :

i+ — +-V+ ... +~ L± - 1 i*^ o)
u> ta- o*'*

.... La limite est la croissance de la fonction idéale

et à la page 70 :

.... Si k est très voisin de un, le degré w I p-l est très grand

On ne connaît pas le sens des mots moindre, limite , très-grand, etc.

Peut-être ces incohérences, seraient-elles moins évidentes avec une rédac-
tion plus soigneuse.

Par exemple, à la page 45» on veut tirer des critères, qu'on dit très utiles
pour la détermination des ordres d'infinitude, de la considération, manifes-

jydx
tement fausse, que si — j est infiniment grand, sera de même degré .

(Il suffit de prendre y =1 log x pour voir tomber en défaut cette assertion).

Encore : la démonstration qui se trouve à la page 59 et qui a une impor-
tance capitale pour la belle méthode du terme maximum de M. Borel, n'est
pas complète.

On n'a pas tenu compte du fait que la quantité s" 1 , dans la formule

( I + i^)- = , (»■-->>+,,,

est négative cl variable avec m — m'.

A la page 61, on n'a pas observé que si on fait, pet o (n) = n /y (/ynl , on a

lim

n _ w e lo * ( 1o k W J — 1

— P-*p
et que la somme 1 -f- e + e -f- . . . , n'est plus finie.

Ajoutons pour terminer que, quant à la forme de l'exposé, on rencontre un
certain nombre d'incorrections et que les fautes d'impressions sont assez nom-
breuses pour témoignerde la hâte avec laquelle ce livre a été rédigé et publié.

Ettore Bortolotti (Modcna).

Maurick Godefroy. — Théorie élémentaire des séries. Un volume de
266 p. gr. in-8°, prix : 8 francs. Gauthier-Villars, Paris 1903.

En groupant les points principaux de la théorie des séries, M . Godefroy
a écrit un livre utile qui sera apprécié. On ne saurait assez recommander

BIBLIOGRAPHIE a*9

l'étude des questions qui y sont traitées. Les séries interviennent dans presque
tous les problèmes posés par l'analyse, elles sont d'un usage constant en
astronomie et en physique .

Dans le premier chapitre de son livre M. Godefroy définit les notions si
importantes de limite et de continuité : limite d'une variable, limite d'une
fonction, fonction continue dans un intervalle, à droite, à gauche, etc., fonc-
tion dérivablc. Ce chapitre sert d'introduction.

Les principes de la théorie des séries et les propriétés des séries à termes
constants sont exposés dans le chapitre suivant. Il contient les définitions
des notions fondamentales, les règles de convergence les plus usuelles et les
points principaux de la théorie des séries alternées et des séries de séries.

On y remarquera quelques exemples curieux (entre autres la série de
Césâro et celle de Lambert). L'auteur passe ensuite à la théorie des séries à
termes variables et plus particulièrement à celle des séries entières. La notion
si délicate de convergence uniforme est élucidée par un exemple que l'on doit
à Paul du Bois-Reymond.

À la théorie des séries entières est rattachée celle des polynômes de Le-
gendre et delà série hypergéométrique. L'auteur établit ensuite les formules
de Taylor et de Mac-Laurin.

Les trois derniers chapitres, qui forment les deux tiers du livre, sont
consacrés à l'étude détaillée de la fonction exponentielle, des fonctions cir-
culaires et de la fonction gamma. La fonction exponentielle et les fonctions
circulaires sont définies au moyen de leurs développements en série, ce qui
n'est pas nouveau, mais la façon dont l'auteur en déduit les propriétés carac-
téristiques de ces fonctions, la clarté de l'exposition, le grand intérêt des
questions qui sont traitées dans celte partie du livre, en rendent t la lecture
particulièrement attachante. Comme application, l'auteur étudie les poly-
nômes de Hermite, les fonctions de Bessel, les polynômes de Bernoulli.
Signalons encore une théorie des logarithmes et dos fonctions hyperboliques
et la démonstration de la transcendance du nombre e.

Le dernier chapitre est consacré à la fonction gamma définie comme limite
d'un produit. Ce chapitre est curieux et sera lu avec intérêt.

On trouve à la fin des chapitres de précieuses indications bibliographiques
et des exercices.

Ajoutons que l'auteur se borne à la considération du domaine réel. Malgré
cela l'ouvrage de M. Godefroy est moderne. Son caractère distinctif est la
clarté et il pourra être lu par tous ceux qui connaissent les éléments du
Calcul différentiel. Le livre est précédé d'une belle préface de M. Sauvage.

13. Mikimanoif (Genève).

Edouard Caxxwkl. — La rotation de la terre démontrée par le pen-
dule de Foucault; appareil des écoles, in-8°, 35 p.; chez l'auteur,
Levallois-Perret (Seine).

Cette petite brochure accompagne l'appareil imaginé et construit par
M. Cannwcl, pour reproduire l'expérience de Foucault dans la plus jinodestc
école et même chez soi. Ce pendule de Foucault réduit, ce qui permet cepen-
dant de constater parfaitement la rotation apparente du plan d'oscillation, a
été présenté par M. d'Arsonval, le 17 novembre 1902, à l'Académie des
sciences. Le problème pratique n'était pas facile à résoudre, caria question
de la suspension du fil surtout est chose fort délicate. M. Cannwcl y est

a3o BIBLIOGRAPHIE

parvenu par des moyens très simples et qui n'exigent qu'un peu d'attention
et de soin, sans aucune habileté spéciale d'expérimentation.

La brochure, où figure en tète un portrait de Foucault, contient les notices
consacrées à cet illustre physicien, par J. Bertrand et M. Gariel; la commu-
nication de Foucault sur le pendule, lue par Arago à l'Académie des Sciences
le 3 février i85i; celle de M. d'Arsonval, du 17 novembre 190a, rappelée
ci-dessus; des extraits des discours de M. Flammarion et de M. Chaumié,
ministre de l'Instruction publique, prononcés lors de la réinstallation du
pendule de Foucault au Panthéon, le 22 octobre 190a: une note très claire
de l'auteur sur son appareil et quelques documents complémentaires ; le tout
accompagné de nombreuses figures qui achèvent de faciliter la lecture.

Grâce à l'appareil de M. Cannwcl, il devient possible à tout instituteur, de
montrer à ses élèves la rotation de la terre, en plaçant sous leurs yeux la
reproduction d'une expérience célèbre, qui semblait possible seulement jus-
qu'ici dans des conditions très exceptionnelles et très onéreuses. Nous esti-
mons qu'il a rendu de la sorte un important service à l'enseignement élé-
mentaire de l'astronomie. L'installation de ce petit pendule, dans toutes les
écoles, serait une juste glorification du génie de Galilée et de celui de Léon
Foucault. C.-A. L.

C. Alasia. — I complementi di Geometrica élément are, 1 vol. XV-i.j.j p.,
117 fig. ; prix L. i,5o; Milan, Hœpli, 1903.

Ce petit volume appartient à la collection des manuels Hœpli. Voici les
titres des divers chapitres qui le composent :

Vecteurs. — Généralités sur les polyèdres. — Mesure des polygones et
des polyèdres. — Symétrie. — Superposition des figures. — Homothétic.
— Similitude. — Maximum et minimum en géométrie. — Transversales. —
Puissance d'un point par rapport à un cercle ; axes radicaux, centres radi-
caux. — Involutions. — Pôles et polaires. — Inversion. — Les sections
coniques.

Cette énumération sommaire suflit à donner une idée des ressources que
présentera pour tout bon élève moyen la lecture de cet ouvrage modeste, et
fort utile. L'exposition est claire, l'ordonnance est très méthodique, et plus
d'un professeur n'aura qu'à y gagner.

C.-A. L.

BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE

Arohiv der Mathematik undPhysik, gegrûndet 1841. durch J.-A. Grû-
nert. Dritte Reihe, llerausgegeben von E. Lampe, W. Franz Mkyer,
E. Jaiikkk. Band IV, 1903 ; B.-G. Teubner, Leipzig und Berlin.

Heftc 3 und 4. — H. Weher : Théorie der reellen quadratischen Irratio-
nalzahlen. — J. Horn : Untersuchung der Intégrale einen lincaren Differen-
tialglcichung in der Uragebung einer Unbestimmthcitsstclle vermittelst suc-
cessiver Annàherungen. — J.-H. Graf : Entwicklung der Funktion Log V [a)
nach fallenden Potcnzen des Arguments. — C. Beybi. : Ucber Axonometrie
und schicfe Paralielprojektionen. — G. Walleuherg : Ueber die Vcrtausch-
barkeit homogencr lincaren Difrcrentialausdrûcke. — K. Jaiinhe : Auszuge
aus drei Briefen Steiners an Jacobi. — E. Jahnhe : Schreiben Jacobis an den
Staatsminister v. Eichhorn betreffend Jakob Steiner. — J. Nkubkrg : Kegel-
schnittc aus der Dreiecksgcometrie. — H. Guradze : Ruumlichc geometrische
Vcrwandtschaften und Système. — P. Appell (lettre à M. M. Krause) : Sur
les fonctions de Beraoulli à deux variables. — M. Kkause (lettre à M. Appell) :
Ueber die Bernoullischon Funklionen zweier veriindcrlichen GrÔssen. —
Ph. Maenxchex : Ein ncurs Schliessungsproblem. — G. Majcen : Neue
Beilriigo fur Drciecksgoomctric. — H. Kùiine : Die Grundgleirhungen
einer belicbigen Manuigfalligkeit. — G. Ko un : Lcber das Prinzip von der
Erhaltung der Anzahl. — E. Prixcsheim : Ucber Brcchung und Dispersion
des Lichts aufder Sonne. — Rezensionen. — Vermischte Mitteilungen. —
Sitzungsberichte der Berliner mathematischcn Gcsrllschaft.

Atti de la Reale Accademia dei Lincei. Comptes rendus publiés par
l'Académie des Lincei, Année 299, 5° série, 190a. E. Loescher et C le .
Rome.

16 novembre. — Capelli : Sulle relazioni algebrichc fra le fuuzioni di
una variabile e sul tcorcma di addizione. — Gugliklmo : Intorno a due modi
per determinare il raggio di curvatura délia superficie dello spigolo nei coltelli
délie bilancie c dei pcndoli.

7 décembre. — Millosewich : Ultime osservazioni délia coroeta 190a B
Perrine c osservazîonc délia nuova cometa 190a D Giacobini. — Niccolktti :
Sulle proprieta aritmetiche délie funzioni analiliche.

21 décembre. — Niccolktti : (Suite de la communication précédente).
Année 3oo, 5* série, 1903, 4 janvier. — Niccolktti: (idem). — Picciati :
Campo clectromagnetico gencrato da una carica ellctrica in moto circolare
uniforme.

18 janvier. — Pascal : I problemi di riduzione di Pfaff e di Jacobi nel caso
dei second ordine. — Frattini : Diun gruppo continuo di trasformazioni.

î3a BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE

1 er Février. — Morera : Sulla trasformazione délia cquazioni differenziali
di Ilamilton. — Frattini : Di un gruppo continuo di trasformazioni dccom-
ponibili finitamcntc.

i5 février. — Morera : (idem). — Burcatti ; Sulle condizioni d'integrabi-
lita di un particolare sistcma d'cquazioni aile dcrivate parziali e loro
applicazionc a un problcma di georaetria. — Dall' Acqua : Sulle terne orto-
gonali di congruenze a invariant! costanti.

Bibliotheca Mathematica . Zeitschrift fur Gcschichtcdcr mathematischcn
Wissenschaftcn, herausgegebcn von Gustay Enestrôm in Stockholm.
Folge 3, Band 3, B. G. Teubner, Leipzig 1902.

Heft 3. — P. Tannery : Sur la sommation des cubes entiers dans l'anti-
quité. — H. Suter : Ueber die Géométrie der Sôhnc des Musa ben Schakir.

— T. Hayashi : The values of n used by the Japanese malheinaticians of the
17 th. and 18 th. centuries. — G. Lori.v : L'œuvre scientifique d'Ernest de
Jonquièrcs (avec un portrait).

Heft 4- — W. Schmidt : Zur Geschichto des Dampfkesscls im Àltertume.

— P. Tannery : Simplicius et la quadrature du cercle. — H. Suter : Ueber
die im a Liber augmenti et diminutionis » vorkommendcn Auloren. —
G. Enestrôm : Ein verschollencr deutscher Cossist aus dcin An fange des
scchzehnlen Jahrhundcrts. — E. Wôllfing : Bericht ùber dcn gegenwartigen
Stand der Lehre von der Frcsnelschen Wellenflâche. — A. Favaro : Intorno
ad alcunc anomalie presentatc dal « Bullettino » del Principe Boncompagni.

— S. Gùnther : August Hellcr. — G. Enestrôm : Gustav Wcrtheim. —

A. von Bkaunmùhl : Mathcmatisch-historische Vorlesungen und Seininar-
ubungcn an der tcchnischen Hochschulc in Mùnchcn 1897-1902. — G. Enes-
trôm : Kleinc Bcmcrkungen zur zweiten Auflage von Cantors « Vorlesungen
ûber Gcschichte der Mathematik ». — Vermischte historischc Xotizen und
verschiedene Sachcn.

Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences de Paris.

publiés par les Secrétaires perpétuels. Cahiers hebdomadaires in-4°. Paris,
Gauthier-Villars, t. CXXXVI, 1903.

5 janvier. — A. Korn : Sur les fonctions universelles dans l'espace. —
M. d'Ocacne : Sur une classification nouvelle des modes de représentation
nomographiquc des équations à un nombre quelconque de variables. —

B. Mayor : Sur une représentation plane de l'espace et son application à la
statique graphique.

12 janvier. — P.-J. Suchar : Sur une transformation réciproque en méca-
nique. — Ch. Riquier . Sur l'existence, dans certains systèmes différentiels,
des intégrales répondant à des conditions initiales données. — T. Levi-Civita :
Sur les trajectoires singulières du problème restreint des trois corps. —
B. Mayor : Sur la statique graphique dans l'espace.

19 janvier. — P. Duuem : Sur quelques formules de Cinématique utiles
dans la théorie générale de l'Elasticité. — R. Liouville : Sur la réductibilité
des équations différentielles. — A. Korn : Sur les fonctions universelles du
plan et des surfaces de Riemann. — C. Guichard : Sur les surfaces qui se
correspondent avec parallélisme des plans tangents et conservation des
aires.

26 janvier. — P. Appell : Sur quelques fonctions et vecteurs de point dans

BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE a33

le mouvement d'un fluide. — P. Painlevé *, Sur la réductibilité des équations
différentielles. — J. Boussinesq : Théorie de l'absorption de la lumière par
les cristaux symétriques. — Ch. Riquier : Sur les systèmes différentiels
réguliers. — T. Levi-Civita : Condition du choc dans le problème restreint
des trois corps.

a février. — J. Boussinesq : Sur l'absorption de la lumière par les cris-
taux symétriques et par certains milieux dissymétriques, tels que les corps
actuellement isotropes solides ou fluides, sensibles au magnétisme et qu'on
soumet à son action. — J. -A. Normand : Expressions algébriques approxima-
tives des transcendantes logarithmiques cl exponentielles. — E. Ferron :
Essai de solution complète du problème de l'équilibre d'un corps rigide,
présentant deux points fixes. — G. -A. Miller : Sur les groupes de substi-
tutions. — D. André : Sur les couples actifs des permutations. — E. Borel :
Sur l'approximation les uns par les autres des nombres formant un ensem-
ble dénombrable. — J. Hadamard : Sur les glissements dans les fluides.

9 février. — J. Boussinesq : Sur l'extinction gra Juellc du mouvement à
l'arrière d'une onde isolée, dans un milieu élastique éprouvant une résistance
proportionnelle ou à la vitesse, ou au déplacement. — P. Duiiem : Sur les
équations du mouvement et la relation supplémentaire au sein d'un milieu
vitreux. — E. Maillet : Sur les fonctions entières d'ordre infini et les
équations différentielles. — J. Hadamard : Sur les opérations fonctionnelles.

— Ci. Kœnigs : Sur le théorème analogue à celui de Bobillier, dans le cas du
roulement d'une surface sur une surface applicable.

16 février. — J. Boussinesq : Calcul direct et simple de la vitesse de pro-
pagation du front ou de la tèle d'une onde, dans un milieu ayant des équa-
tions de mouvement compliquées. — J.-A. Normand : Expressions algé-
briques approximatives des transcendantes logarithmiques et exponentielles.

— J. Mascart : Perturbations indépendantes de l'excentricité.

a3 février. — C. Guighard : Sur une classe particulière de systèmes tri-
ples orthogonaux. — L. Jacob : Sur la résistance des gaz parfaits au mou-
vement des solides. — L. Crelier : Sur les rayons rectangulaires des
faisceaux homographiques.

i mars. — J. Boussinesq : Sur l'absorption de la lumière par un corps,
naturellement hëlérotrope, auquel un champ magnétique assez intense
imprime un fort pouvoir rolatoire et par un corps isotrope, qu'un tel champ
rend à la fois biréfringent et dissymétrique. — G. Mittag-Leffler : Une
généralisation de l'intégrale de Laplace-Abel. — J. Mascart : Perturbations
qui ne dépendent que de l'élongation. — J. Hadamard : Rectification à la
note du a février.

9 mars. — J. Boussinesq : Théorie générale de la translucidité. —
1*. Duiiem : Sur le mouvement des milieux vitreux affectés de viscosité et très
peu déformés. — C. Guiciiard : Sur une transformation dune classe parti-
culière de systèmes triples orthogonaux. — W. de Tannknberg : Sur la
déformation des surfaces. — L. Autonne : Sur l'hyperhermiticn.

16 mars. — H. Lebesgue : Sur l'existancc des dérivées. — A. Boulanger :
Sur les géodésiques des variétés à trois dimensions.

a3 mars. — G. Humhert : Sur les fonctions abéliennes à multiplication
complexe. — P. Duiiem : Sur les ondes au sein d'un milieu vitreux affecté de
viscosité et très peu déformé. — A. de la Baume-Pluvinel : Sur le spectre
de la comète 190a b.

a34 BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE

3o mars. — M. Troxcet : Sur lin calculateur mécanique appela Àrithmo-
graphe .

Jornal de Sciencias mathematicas e astronomicas, publicado pelo

F. Gomes T^eixeira, Vol. XV. Co Imprensa da Universidade. Coïnibra,
190a.

N° 1. — J.-B. d'Almeida Arez : Duas classes de numéros.

Monatshefte fur Mathematik und Physik, herausgegcbcn von Prof.

G. y. Eschcrich und Prof. L. Gcgcnbaucr. XIV. Jahrgang 1903. Eisenstein
und Co. in Wien.

1, 1. u. 3. Vierteljahr. — H. Hahn* : Zur Théorie der zweiten Variation
einfacher Intégrale. — E, Kohl : Ueber die Herleitbarkeit einiger Haupt-
satzc der Potcntialtheoric aus der Stcfan'schcn Entwicklung der Maxwell'
schen Gleichungen. — L. Klug : Desmisrhe Vierseiten-und Kcgclschnitt-
systerae ; Einige Siitze ùber die Kegel zweiter Ordming. — W. Lewicki :
Beilrag zur Théorie der Modulgruppe. — L. Hanni : Zuriickfuhrung der
allgemeinen Mittelbildung Bords auf Miltag-Lefllers w-fach uncndliche
Rcihen. — F.-J. Studnicka : Uober binomische Facultaten und dercn CocQi-
cienten. — E. Kobald : Zur matheinatischen Théorie der Verzwcigung von
VVechselstromkreisen mit Inductanz. — G. Hlbeh : Die Conchoidenflâche.
— E. Mùllch : Die eincm Steiner schen Satze cntsprcchendc algebraische
Idcntitiit. — F.-J. Obexrauch : Die erste Raumcurvc der Pythagorâischcn
Schulc, ihre orthogonale und imaginâre Projection. — O. Biermanis : Kine-
matische Deutungder additiven Pcriodicitat ; Ueber nâhcrungsweise Cubatu-
ren ; Zur niîhcrungsweiscn Quadratur und Cubatur. — J. Valyi : Ueber die
Fusspunktdreiccke. — R. D. Vos Stkrneok : Ueber die zu den Configuratio-
nen ia, zugchôrigcn Gruppen von Substitutioncn. — J.-A. G mi: in eu : Conver-
genzsiitzc fur alternierende unendliche Kettcnbrûchc. — \V. Kaptetn: Einige
Bemerkungen ùber Besscl'sche Functionen. — W. Lewicki : Zur Laplaec'
schen Théorie der Saturnringe. — W. Pexider : Notiz ùber Functional-
theoreme. — G. Kou.n : Beweis eines Satzcs ûber zwei cubische Raumcur-
ven, welche dasselbc Tctraeder in gleicher Wcise zum Schmiegungstelrae-
der haben. — Litteratur-Berichte.

PeriodicO di Matematica; publié par G. Lazzkri, organe de l'association
« Mathesis », paraissant tous les deux mois. Livourne, R. Giusli. Abon-
nement aunuel : L. 9. 17 année. 190a. Fasc. 1, *i, 3, 4.

Juillet-Août. — Tkavkrso : Sulle principali operazioni dell' aualisi combi-
na toria formale e su alcune loro applicazioni relative allô sviluppo rapido
dei déterminant! et degli iperdeterminanti. — Frattini : Di un certo algo-
ritino per lo sviluppo délia radice quadrata di un numéro i utero in fraziouc
continua. — Pksci : Sopra uno degli errori prodotti dalla interpolazione
semplicc. — Picoioli : Sulla minima dislanza di duc iperspazi. — Taciuri :
Gencralizzazioni riguardanti la divisibilita dei numeri c la leoria délie fra-
zioni decimali periodiche. — Pitom : Riccardo Fclici.

Septembre-Octobre. — Traverso : (Voir fascicule précède. il). — Mignosi:
Un problcma sulla partizionc dei numeri. — Delitala : Nuo.o proprictà dei
punti notevoli dei triangolo. — Questions et solutions, bibliographie.

Novembre-Décembre. — Traverso : (Voir fascicule anteprécédent). —

BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE a35

Deutala : (Voir fascicule précédent). — Brusotti : Dimostrazione di un
teorema di calcolo combinatorio.

Janvier-Février. — Lazzarini : Sui numeri perfelti e sui numeri di Mcr-
scnne. — Pitoni : Sopra l'cquazione caratteristica dei gas. — Cortesi : Kqua-
zioni a radie i in progressione aritmetica. — Cattaneo : Sulla risoluzione
simmetrica del sisteina

s s

i i

Crêpas : Una succcssionc di numeri intérim — Petites notes cl Bibliographie.

Supplemento al Periodico di Matematica. Ce supplément est rédigé plus
particulièrement en vue de renseignement des mathématiques élémentaires.
Il fournit mensuellement de nombreux exercices résolus et à résoudre.

UnterrichtsblaBtter f ftr Mathematik und Naturwissenschaf ten. Organ

des Ycreins zur Fôrderung des Unterrichts in der Mathematik und den
Naturwissenschaften, Begrùndet unter Mitwirkung von Bern. Schwalbe,
herausgegcben von F. Pietzkek. Jahrg. VIII, 190a ; O. Salle, Berlin.

N°* 5 et 6. — Ueber den Plan einer Encyklopiîdie fur die Elcmenlar-
Malhcmatik. — E. Gkimsehl : Neue Apparate und Vcrsuchsanordnungen. —
K.Bociiow : Zur Behandlung der regelmiissigcn Vielccke. — J.-E. BOttcher :
Ànschaulichc Kreisberechnung.

WiadoiDOSci matemat y czne, recueil polonais publié par M. S. Dickstein;
t. VI, 1902; J. Sikorskie, Varsovie.

Fasc. 4- — r • Biske : Essai sur l'application de l'Hydrodynamique à la
théorie des protubérances solaires. — Gosiewski : Sur le problème de Saint
Pétersbourg. — G. Peano : Les définitions mathématiques. — Lopuszanski :
Essai sur la théorie des nombres relatifs. — Cwojdzinski : Sur les coordon-
nées polaires d'un point et d'une droite. — A. Denizot : J.-L. Fuchs.

Fasc. 5. — B. Niewenglowski, S. Dickstein : Sur la théorie élémentaire
des nombres. — B. Nieweisglowski : Un problème sur l'hyperbole. —
S. Dickstein : Sur les manuscrits de T. Harriot ; Table des courbes panal-
gébriques. — M. Bronska : Expression des coefficients dans les développe-
ments de l'anomalie vraie, de l'anomalie excentrique et du rayon vecteur de
l'orbite d'un corps céleste.

Fasc. 6. — L. Sïlow : Discours prononcé à la fête du centenaire de nais-
sance d'Abel à Christiania le 5 septembre 190*2. — T. Hubir : Sur la théo-
rie des déterminants. — F. Oscood : Sur les fonctions définies par des
séries infinies dont les termes sont fonctions analytiques d'une variable
complexe avec des théorèmes correspondants pour les intégrales définies. —
Mélanges.

Zeitschrift fur mathematischen und naturwissenschaftlichen Unter-

richt Begrùndet 1869 von G.-C.-V. Hoffmann und gogemviirtig heraus-
gegeben vonH. Sciiotten*. B. -G. Tcubner, Leipzig und Berlin. Abonnement
annuel 11 M. 33 Jahrgang. 190*2.

N° 7. — Ed. Schumann : Die hôhere Mathematik in den wûrttembergis-
chen Oberrealschulen. — E. Eckiiardt : Elemcntare Abteilung der Realitats

1

236 BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE

bedingungen fur die Gleichungen drittcn Grades ohne AuflÔsung dies«»r
Gleichnugeïi. — K. Wolletz : Ueber die Leitlinie der Kegelschnitte. —
Klehicrfr'Mitteilungcn. — Litterarischc Bericlite.

N°8.. — E. Fink : Die schcinbare Vergrôsserung der Sonne und des
Mondes ani Horizont. — H. Thieme : Die Parallelenlehre im Unterricht. —
W. Jakisch : Die formelarme und logarilhmcnlosc Méthode der Auflôsung
trigonometrischer Àufgaben. — Fr. Gkakfe : Die Euler'sche Curve a tr
rr Trsin t ist eine Inverse der Quadratrix. — Litterarischc Berichte. — Pàda-
gogische Zeitung.

34. Jahrgang, n° 1. — R. Hertter : Der Potenzkreis. — J. Sterba : Ueber
einige goniomotrische Relationcn. — R. Gùktsche : Die quadratische Glei-
chung in gcomelrographischenBehandlung. — Poske : Der Arbeilsbegriffim
Unterricht in der Mathematik. — Litterarische Berichte. — Pàdagogische
Zeitung.

Zeitscbrift fur das Realscliulwesen, herausgegbben und redigirt von
Em. Czubeu, Ad. Bechtel und Mon. Gloser ; 27 e année, 1902 ; Alf. Hôlder,
Vienne.

N 08 11 et it. — Erw. Dixtzl : Der grossie geracinsame Teiler ganzer
positiver Zahlen. — E. Czuber : Die Abel-Fcier in Christiania.

L. Décombk. — La compressibilité des gaz réels. 1 vol. in-8° de 99 pages

avec figures. (Collection Scicntia.) Prix : 2 francs. C. ÎS T aud, Paris, 1903.

A. R. Forsyth. — A Treatise on Differential Equations. 3° édition. Un
vol. gr. in-8°, 5n p. ; Macmillan and Co. Londres, 1903.

C. de Freygixkt. — De l'expérience en Géométrie. 1 vol. in-8° de xx-

175 p. Prix : 4 francs. Gauthier-Yillars, Paris, 1903.

G. Hlmbert. — Cours d'Analyse professé à 1 École Polytechnique.

Deux volumes grand in-8°. i er vol. : Calcul. différentiel, Priuçipcs du cal-
cul intégral, Applications géométriques. Pj^x : 16 francs. Gauthier-Yillars.
Paris, 190a.

E. Joui- fret. — Traité élémentaire de géométrie à quatre dimensions.

1 vol. gr. in-8° de xxix-2i3 pages et 65 figures. Prix : 7 fr. 5o. Gauthier-
Yillars, Paris, igo3.

F. Rouché et L. Léyy. — Analyse infinitésimale à l'usage des ingénieurs.
Tome second : Calcul intégral, Intégrales définies et indéfinies, Séries de
Fourrier, Fonctions elliptiques, Equations différentielles ordinaires et aux
dérivées partielles, Calcul des variations. 1 fort vol. gr. in-8° de 840 p.
Prix de ce tome et du précédent : 3o francs. Gauthier-Yillars, Paris, 1903.

Le Gérant : C. NAUD.

ÉVREUX, IMPRIMERIE DE CHARLES HERISSE?

L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE EN RUSSIE (')

ÉTAT ACTUEL. — ENSEIGNEMENT SECONDAIRE

Les établissements secondaires qui se trouvent le plus étroite-
ment liés aux écoles primaires sont représentés par des institu-
tions spécialement pédagogiques ayant pour but de préparer
leurs élèves à donner l'instruction primaire. La Russie actuelle
possède deux sortes de ces établissements, conformément aux
deux types principaux de l'école primaire russe.

Séminaires de Maîtres.

Afin de préparer des maîtres pour le degré inférieur de ces
deux types, celui de l'école de village, le Ministère de l'Instruc-
tion publique a fondé dans différentes villes et même dans des
villages des séminaires de maîtres, dont le nombre montait à 63,
en 1891. Le contingent en est formé d'élèves qui ont terminé un
cours complet de l'école primaire. Suivant les décrets du Minis-
tère adressés aux arrondissements, l'enseignement de l'Arithmé-
tique y a pour but : i° d'élargir et de compléter, en les systéma-
tisant, les connaissances antérieurement acquises ; 2 de développer
la facilité des élèves a calculer et à résoudre des problèmes et
3° de préparer à l'étude des méthodes d'enseignement de l'Arith-
métique élémentaire. Dans ce but, l'arrondissement de Moscou
a élaboré, en 1892, le plan d'études qui suit, comprenant un cours
de trois ans et une subdivision de trois classes.

Programme d'Arithmétique. — Première classe, (trois leçons
par semaine). Opérations sur les nombres entiers abstraits et con-

(*) Voir dans le t. I de cette Revue, sons ce même titre, V Aperçu historique (p. 77-
100) et L'Etat actuel; enseignement primaire, p. 420-446.

Enseignement math. 16

a38 BOBYNIN

crets. Fractions ordinaires et fractions décimales. Seconde classe.
(trois leçons par semaine). Rapports et proportions. Résolution
de problèmes relatifs aux grandeurs proportionelles. Extraction
delà racine carrée d'un nombre entier ou fractionnaire. Méthode
d'enseignement de l'Arithmétique élémentaire. Troisième classe.
(deux leçons par semaine). Équations du premier degré à coeffi-
cients numériques. Extraction de la racine cubique d'un nombre
entier ou fractionnaire. Méthode d'enseignement de l'Arithmé-
tique élémentaire (fin). Répétition de tout le cours d'Arithmé-
tique.

Le programme, confirmé par le curateur de l'arrondissement
de Moscou le 12 mai 1892, revu et complété en 1895, nous donne
les détails nécessaires sur ce plan d'études.

Connaissances préliminaires. Numération. Théorie des opéra-
tions arithmétiques. Opérations sur les nombres entiers abstraits.
Nombres concrets. Divisibilité des nombres. Fractions ordinaires.
Fractions décimales. Rapports et proportions. Règles de la réso-
lution des problèmes relatifs aux grandeurs proportionnelles.
Equations du premier degré à coefficients numériques. Extrac-
tion des racines carrées et cubiques des nombres. Exercices
oraux. Exercices écrits.

Cinq manuels sont recommandés comme suffisant à accomplir
ce programme. Ils diffèrent très peu entre eux et comprennent
la traduction russe du Traité d'Arithmétique, par J.-A. Serret.
Quatre recueils d'exercices sur l'Arithmétique appropriés au
cours du gymnase sont indiqués en outre pour la résolution des
problèmes et des exemples.

Les futurs maîtres des écoles de village suivent un cours des
méthodes d'enseignement de V Arithmétique élémentaire d'après le
programme suivant, revu et approuvé en même temps que celui
d'Arithmétique.

« Contenu du cours d'Arithmétique élémentaire et sa division
par sections ; a) numération et opérations dans les limites de la
première dizaine ; b) numération et opérations dans les limites
de la centaine ; c) numération et opérations dans les limites d'un
millier ; d) numération et opérations sur les nombres de toutes
les grandeurs ; e) opérations sur les nombres complexes. Fonde-
ments de cet ordre du cours et buts atteints dans l'étude de

L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE EN RUSSIE a39

chaque section. Parallélisme dans Tordre des matériaux d'études ;
son importance. Division exemplaire du cours par les années
d'études dans l'école d'une classe. Secours intuitifs dans l'ensei-
gnement de l'Arithmétique élémentaire. Méthode d'enseigne-
ment. — Numération et opérations dans les limites de la première
dizaine. Ordre des exercices oraux. Marche des exercices dans le
calcul direct et inverse. Recherche des résultats des quatre opé-
rations à l'aide des secours intuitifs et exercices pour les appren-
dre. Résolution de problèmes. Connaissance des chiffres et des
signes des opérations. Exercices écrits ; leur importance. Devoirs
écrits indépendants. — Numération et opérations dans les
limites de la première centaine. Connaissance de la dizaine,
comme unité numérique. Notation écrite des dizaines. Exercices
oraux et écrits avec des dizaines (répétition du cours précédent
sur les dizaines). Numération écrite et numération parlée. Exer-
cices d'assimilation de la numération. Quatre opérations. Forma-
tion des tables des opérations. Déduction du procédé normal de
l'exécution orale des opérations. Résolution de problèmes sur
toutes les opérations. — Numération et opérations dans les
limites d'un millier. Connaissance de la centaine comme unité
numérique. Notation écrite des centaines. Numération parlée et
numération écrite. Procédés normaux de l'exécution orale des
quatre opérations. Connaissance des termes. Procédés particu-
liers d'exécution des opérations. Résolution d'exemples et de
problèmes. Connaissance des fractions les plus simples. — Numé-
ration et opérations sur les nombres de toutes les grandeurs.
Unités numériques d'un millier jusqu'à un billion. Numération
parlée et numération écrite jusqu'à un billion. Exercices d'assi-
milation de la numération. Multiplication et division d'un nombre
par 10, ioo, etc. Quatre opérations sur les nombres de toutes les
grandeurs. Définition de chaque opération. Déduction de la règle
de l'exécution par écrit de chaque opération. Exercices d'assimi-
lation du mécanisme des quatre opérations. Méthodes des preuves
des opérations. Manières particulières d'exécuter les opérations.
Addition et soustraction sur les bouliers ; exercices. Problèmes
avec des nombres de toutes les grandeurs : problèmes purement
arithmétiques ; leur résolution conjointement avec le maître ou
comme travail indépendant. Quelques problèmes typiques de

a4o BOBYNIN

nature algébrique, leur résolution. — Opérations sur les nom-
bres complexes. Notions sur la mesure des grandeurs autant que
possible à l'aide des secours intuitifs. Déduction des notions de
nombre concret et de nombre complexe. Etude des tables des
mesures de longueur, de poids, des matières sèches, des liquides,
de papier, du temps. Réduction descendante et réduction ascen-
dante des nombres complexes. Déduction des règles de l'exécu-
tion écrite des quatre opérations sur les nombres complexes. Exer-
cices d'opérations sur les nombres concrets : résolution d'exem-
ples et de problèmes ; disposition des inscriptions. Résolution
de problèmes sur le calcul du temps. Déduction des notions géo-
métriques fondamentales, résultant de la considération des solides.
Mesure intuitive de l'aire du rectangle. Mesure indirecte de Taire
du rectangle; exercices. Méthode de mesure directe du volume du
prisme régulier quadrangulaire ; mesure de capacité. Mesure
indirecte du volume ; exercices. Résolution de problèmes. Connais-
sance des fractions les plus simples. — Cours de la seconde classe
de V école à deux classes. Répétition de la numération et des quatre
opérations sur les nombres entiers abstraits et concrets. Déduction
des caractères de divisibilité parles nombres 2, 3, 4> 5, 6, 8, 9.
Décomposition du nombre non premier en facteurs premiers. Dé-
duction des règles de détermination duplus grand commun diviseur
et du plus petit commun multiple de deux ou plusieurs nombres
à l'aide de la décomposition des nombres en facteurs premiers.
Cours systématique des fractions. Connaissance des fractions
décimales. Déduction des règles des quatre opérations sur les
fractions décimales. Conversion d'une fraction ordinaire en frac-
tion décimale et vice versa. Résolution de problèmes sur les règles
de trois, d'intérêt, de change, de société et d'alliage sans avoir
recours aux proportions. »

C'est surtout ce programme qui nous fait voir la lenteur éner-
vante adoptée par les pédagogues russes pour l'enseignement
du Calcul suivant la méthode concentrique dans l'étude de la
numération et des opérations. Il est à craindre, qu'en s'accordant
sous ce rapport avec la méthode de Groubé, celle-ci ne vienne en
répéter en pratique les résultats manques.

En même temps que les programmes que nous venons d'expo-
ser, l'arrondissement de Moscou a introduit dans les séminaires

L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE EN RUSSIE a4l

ceux de la Géométrie, de V Arpentage et de leurs méthodes d'en-
seignement.

Programme de Géométrie. — Introduction. Ligne droite. Posi-
tion mutuelle des lignes droites. Circonférence de cercle. Figu-
res. Lignes proportionnelles et similitude des figures. Polygones
inscrits dans un cercle et polygones circonscrits à un cercle.
Mesure des aires. Lignes droites et plans dans l'espace. Polyèdres.
Mesure des volumes. Exercices (i. Problèmes de calcul ; 2. Pro-
blèmes de construction. 3. Démonstrations des théorèmes, qui
n'entrent pas dans le cours. 4- Formation des théorèmes réci-
proques et contraires ; 5. Démonstration analytique des théo-
rèmes).

Programme d'Arpentage. — Notions sur le plan et sur le profil
des localités. Classification des plans d'après leur destination.
Échelle linéaire simple. Echelle composée. — Indication des
points sur la surface de la Terre et alignement. Cas divers d'ali-
gnement. — Mesure des lignes ; chaîne d'arpenteur, roulette,
corde. Superposition de lignes sur un plan horizontal. — Cons-
truction des lignes parallèles et perpendiculaires, à l'aide de la
chaîne ou de l'équerre d'arpenteur. — Instruments destinés à
mesurer les angles : boussole et astrolabe. Mesure des angles sur
le terrain. Tracé des lignes droites formant un angle déterminé sur
le terrain. Mesure de l'angle à l'aide de la corde. — Détermina-
tion des distances inaccessibles. — Levé de plans : i° à
l'aide de la chaîne et de l'équerre d'arpenteur ; 2 a l'aide
de la chaîne et de la boussole ; 3° à l'aide de la chaîne
et de l'astrolabe. — Planchette; ses accessoires. Insertion des
angles à la planchette. Détermination de la position des points à
l'aide de la méthode d'intersection. Triangulation. Levée de
détail. — Règles générales du tracé de plans. Signes convention-
nels. Évaluation des aires d'après le plan. Division d'un champ
en arpents et en portions. — Notion sur le nivellement. Niveaux
les plus simples. Nivellement simple. Tracé du profil.

Connaissances abrégées de la méthode d'enseignement de la
Géométrie élémentaire. — Contenu du cours primaire de Géo-
métrie dans les écoles de deux classes et son caractère. Secours

a4* BOBYNIN

intuitifs et méthode d'enseignement. — Déduction des notions
géométriques. Contenu et étude des articles traitant des lignes
droites, des angles, des figures et de la mesure des aires. —
Exercices au dessin linéaire et à la mesure. Problèmes de calcul
et de constructions. Devoirs écrits en classe et hors de classe. —
Opérations sur le terrain. Instruments les plus simples s'em-
ployant dans ces opérations. Marche des travaux de levé et de
tracé de plans.

Le plan <T études qui suit en explique la répartition dans les
classes : « Première classe (2 leçons par semaine). Ligne droite.
Angles. Circonférence. Figures. Arpentage. Seconde classe
(2 leçons par semaine). Lignes proportionnelles. Similitude des
figures. Polygones inscrits dans le cercle. Polygones circonscrits
a un cercle. Mesure des aires. Arpentage. Troisième classe.
(2 leçons par semaine). Lignes droites et plans dans l'espace.
Polyèdres. Mesure des surfaces et des volumes. Arpentage. Con-
naissances abrégées de la méthode d'enseignement de la Géomé-
trie élémentaire. Répétition de tout le cours. »

Ce qui saute aux yeux à la lecture de ces programmes, c'est
tout d'abord le manque d'harmonie entre leur étendue et le temps
réservé à l'étude. Si le cours des méthodes d'enseignement de
l'Arithmétique nous frappe par sa lenteur surprenante, celui de
la Géométrie se distingue au contraire par une rapidité vertigi-
neuse. On est tenté de croire que les auteurs des programmes
possèdent des procédés spéciaux pour faciliter et simplifier l'en-
seignement et l'étude de la Géométrie. Mais il n'en est rien, et la
note explicative accompagnant les programmes se résume en
deux indications méthodologiques fort peu définies : v° « Le cours
systématique est précédé d'un examen des solides géométriques.
Cette introduction a en vue la minorité des élèves qui n'ont
point du tout appris la Géométrie ; elle profite aussi à la majorité
en lui donnant le modèle des leçons futures dans l'école » ;
2 « Quand il s'agit d'un théorème nouveau le professeur emploie
assez souvent le procédé analytique de démonstration en y fai-
sant participer toute la classe. Au contraire, quand il démontre
un théorème déjà étudié en classe ou donné préalablement comme
thème, il peut s'en tenir à la synthèse, la forme analytique

L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE EN RUSSIE a43

présentant plus de difficultés aux élèves surtout au début de leurs
études. Us ne sauraient même s'y exercer avec profit (ainsi que
dans la démonstration exposée sous la forme d'un syllogisme
complet) que dans un but purement instructif et en dernière
classe ». Si, pour avoir plus de détails sur la première indication,
nous nous adressons à la note explicative accompagnant le pro-
gramme de Géométrie pour les écoles de deux classes, nous ne
pouvons en extraire que ces quelques renseignements définissant
jusqu'à un certain point cette partie du cours, mais sans donner
l'exposé des méthodes employées dans l'enseignement scolaire :
« Le cours commence par l'examen du cube, des prismes, des
pyramides, du cylindre, du cône et de la sphère. L'examen de ces
corps fait connaître les formes les plus simples, il aide à déduire
les notions indiquées dans le programme et dénote la position
mutuelle des lignes, les différentes sortes d'angles et de
figures. »

Le manque de données méthodologiques positives noté dans
la première indication s'allie dans la deuxième aux données pure-
ment négatives. Par exemple, c'est un fait anormal que la méthode
analytique y soit envisagée comme présentant le plus de difficultés
aux élèves, et l'histoire de la science ne saurait l'admettre. On en
arrive à la conclusion suivante : l'enseignement contemporain
ignore les formes d'analyse simples et primitives. Il n'en connaît
que la forme définitive et complète, représentée dans le progrès
successif de l'intelligence humaine par Platon et son école. Et
c'est ce degré supérieur qu'il applique à un milieu intellectuel
inférieur. On comprend donc qu'il ne réussit point. Il en appelle
alors à la méthode synthétique, mais celle-ci n'étant qu'un ren-
versement de l'analyse dont elle se trouve inévitablement précé-
dée, ne vaut pas grand'chose dans une étude élémentaire. De
cette manière l'enseignement contemporain réduit la méthode
démonstrative de l'exposé des vérités scientifiques presque à
l'ancienne méthode dogmatique. En effet, autrefois on apprenait
par cœur les règles, maintenant on cherche à apprendre par cœur
la marche de démonstration du théorème. Mais comme il n'y a
que l'analyse pour découvrir les démonstrations des nouvelles
vérités, on est réduit à l'arbitraire et au hasard, du moment qu'on
en évite les procédés. Autrefois l'oubli des règles mettait l'élève

244 BOBYNIN

dans une impasse, maintenant si la mémoire lui fait défaut, il
n'est point en état de suppléer par ses propres combinaisons à ce
que le manuel ou le professeur lui auront appris.

L'étendue du programme et le manque des moyens rationnels
pour l'accomplir obtiennent des résultats en conséquence : les
élèves des séminaires ne sont point à même ni d'acquérir les con-
naissances géométriques, ni de les faire passer aux autres. Le
témoignage de Ratchinsky cité dans l'article précédent ne nous
l'affirme que trop.

Nous ne possédons point de cours de Géométrie et d'Arpen-
tage spécialement composé pour les séminaires en question.
C'est pourquoi on y a introduit les mêmes livres d'étude que dans
les établissements secondaires ; tous ont exclusivement recours à
la synthèse. Les programmes cités plus haut en indiquent quatre.
N'y trouvant ' rien d'original, nous nous abstenons de détails
bibliographiques, mais voici l'observation que fait sur les livres
de ce genre la « Note explicative » dont nous avons déjà parlé :
« Deux tendances se manifestent dans nos cours élémentaires
de Géométrie et cela dans la manière d'en disposer les bases ;
parfois la planimétrie est distinctement divisée en deux parties
comprenant les lignes et les figures ; certains manuels au con-
traire se hâtent de donner la notion du triangle et basent là-des-
sus les démonstrations qui suivent ».

Tout en admettant les deux groupes de manuels, les auteurs
de la « Note » préfèrent cependant la tendance du premier ainsi
qu'ils nous le font voir dans le programme. Celui-ci indique,
outre les cours de Géométrie, quatre recueils de problèmes géo-
métriques, trois manuels d'Arpentage et trois auxiliaires pour
l'enseignement de la « Géométrie intuitive ». Au nombre des pre-
miers se trouve le livre d'ALEXANDROFF, compilé suivant les idées
de Petersbn : « Les méthodes pour la résolution des problèmes
de constructions géométriques »,etun recueil de problèmes géo-
métriques.

Pour en finir avec les cours de mathématiques (Géométrie,
Algèbre, Trigonométrie) appropriés en Russie aux établissements
secondaires, observons qu'ils sont très nombreux. Cela s'explique
tout d'abord par la simplicité des procédés mis en pratique
par les auteurs. On ne va point au delà des compilations des

L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE EN RUSSIE *&

manuels étrangers, le plus souvent français et allemands. Si l'au-
teur ne possède aucune de ces langues, force lui est de s'en
tenir aux manuels russes.

L'Ecole modèle. — A chaque séminaire se rattache une « école
modèle » afin que les élèves puissent s'initier à la pédagogie, la di-
dactique et la méthodique dans leur application pratique, et plus
tard s'y exercer eux-mêmes. Suivant les ordres du ministère de
l'Instruction publique, le maitre de l'école doit être expérimenté
dans l'enseignement pour savoir guider les élèves-régents dans
leurs occupations pratiques. Les séminaristes visitent l'école modèle
à partir du deuxième semestre de la seconde année. En troisième
ils donnent eux-mêmes dgs leçons d'essai de toutes les branches
enseignées à l'école; chacun d'eux doit servir d'aide au maître pen-
dant une semaine et assister à toutes ses leçons. Tout séminariste
de la troisième a au moins une leçon d" essai k donner pour les sec-
tions principales suivantes de l'Arithmétique. Section inférieure
de la première classe de V école. Calcul et opérations dans les limi-
tes de la première dizaine. Opérations sur les dizaines. Addition et
soustraction dans les limites de la première centaine. Section
moyenne de la même classe. Opérations sur les nombres de la
première centaine. Numération et opérations dans les limites du
premier millier. Section supérieure de la même classe. Numéra-
tion et opérations sur les nombres jusqu'à un million. Opérations
sur les nombres complexes. Opérations sur les fractions les plus
simples. Quant aux leçons d'essai pour la Géométrie, ni le Minis-
tère, ni les arrondissements n'en font mention.

Institut de maîtres.

Les établissements destinés à former des maîtres pour les écoles
de ville ont été fondés en même temps que ces dernières, sous le
nom d'Instituts de maîtres. Ils n'étaient que deux au début,
en 1872 (à Saint-Pétersbourg et à Moscou). Dans la suite, huit
villes eurent les leurs : Kazan, Orenbourg, Belgorod (gouverne-
ment de Koursk), Théodosie (en Crimée), Glouchof (gouverne-
ment de Tchernigof), Tifliss et Vilna. Cette dernière ville en a
même deux : l'un pour les chrétiens, l'autre pour les juifs. Les

a46 BOBYNIN

élèves qui ont fini le cours complet de l'école de ville y entrent
sans examen ; les autres sont soumis à un examen d'entrée. Le
cours des Instituts est subdivisé en trois classes et dure trois ans.
Le programme embrasse l'ensemble de ce qu'on enseigne dans
les écoles de ville, et fait particulièrement attention aux sections
des sciences qui entrent dans leur programme. On y étudie
théoriquement et pratiquement (ne fût-ce qu'en appendice) la
Pédagogie, la Didactique et la Méthodique des différentes bran-
ches d'étude.

Au cours d'Arithmétique et de Géométrie professés à l'école
de ville, l'Institut ajoute l'Algèbre élémentaire. Les trois sciences
y sont enseignées d'après les programmes suivants, approuvés
par le Ministère le i3 novembre iS^ôtpour trois ans et gardés
intacts jusqu'à aujourd'hui.

Programme d'Arithmétique (extrait). — Première classe, « Répé-
tition des quatre opérations sur les nombres entiers et fraction-
naires (au moyen de la résolution des problèmes oraux et écrits).
Méthode synthétique et méthode analytique de la résolution de
problèmes. Grandeur, unité, nombre. Numération. Quatre opé-
rations sur les nombres entiers et sur les fractions décimales.
Mesures. Nombres concrets. Divisibilité des nombres. Nombres
premiers et non premiers. Fractions ordinaires. Fractions déci-
males. Fractions continues. Rapports et proportions. Résolution de
problèmes relatifs à la règle de trois, à la règle de société, etc., en
employant les proportions et la méthode de réduction à l'unité. »

Programme Géométrique (extrait). — Première classe. Cours
préparatoire. — « Entretiens sur les solides géométriques. Ligne
droite et ses propriétés. Position mutuelle des deux lignes
droites. Perpendiculaires et obliques. Circonférence et les lignes
droites qui s'y rattachent. Résolution de problèmes. Rectangle.
Mesure des aires. Parallélipipède droit rectangle. — Cours théo-
rique. La notion d'axiome et de théorème. Démonstration d'un
théorème. Triangles. Lignes parallèles. Circonférence. Poly-
gones. Quadrilatères. Aires des figures rectilignes. Lignes pro-
portionnelles. Similitude des triangles. Similitude des polygones.
Lignes proportionnelles dans le cercle. — Seconde classe. —

L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE EN RUSSIE *47

Répétition d'une partie du cours précédent (lignes propor-
tionnelles et similitude des figures). Polygones inscrits dans
un cercle et polygones circonscrits à un cercle. Longueur de
la circonférence et aire du cercle. Plans et lignes droites
dans l'espace. Angles dièdres. Angles polyèdres. Polyèdres.
Mesure des volumes des polyèdres. Trois corps ronds. Polyèdres
semblables. Courbes les plus usuelles et leurs propriétés princi-
pales. Applications pratiques de la Géométrie aux opérations sur
le terrain à laide de la chaîne, des jalons et des instruments des-
tinés à mesurer les angles. Connaissance des instruments d'ar-
pentage principaux. Notions fondamentales sur le levé de plans
et sur le nivellement. Résolution des problèmes de construction.»

Programme <F Algèbre (extrait). — Première classe. « i. Com-
position d'un problème: conditions données et nombre cherché.
Sens de ces parties du problème. Inconnues auxiliaires dans le
problème. Décomposition d'un problème composé en problèmes
simples résolus par une seule opération. 2. Généralisation des
problèmes. Sens du problème général. Nombre général et son
expression littérale. Formule. Composition des formules dans les
problèmes. Résolution de problèmes a l'aide des formules.

3. Simplifications algébriques : le coefficient et l'exposant. Réduc-
tion. Emploi des parenthèses. Calcul des formules composées.
Composition de problèmes résolus par les formules données.

4. Analyse de la formule y = a — b et des problèmes résolus
par cette formule. Nombres négatifs. Sens des solutions néga-
tives dans les problèmes. Généralisation des problèmes à l'aide
des nombres négatifs. 5. Opérations sur les nombres négatifs.
6. Opérations sur les monômes, 7. Résolution des problèmes à
l'aide des équations. Résolution des équations à une seule incon-
nue. 8. Résolution des équations déterminées à deux et à plu-
sieurs inconnues. 9. Proportions arithmétiques et géométriques.
— Seconde classe. — Opérations sur les polynômes. Résolution
des équations déterminées littérales du premier degré. Puissance
et racine. Extraction de la racine des monômes. Extraction de la
racine carrée des polynômes. Extraction de la racine carrée ou
cubique des nombres entiers ou fractionnaires. Equations du
second degré. Discussion des équations déterminées du premier

a48 BOBYNIN

degré à une seule ou à deux inconnues. Discussion de l'équation
quadratique à une seule inconnue. Résolution des équations des
degrés supérieurs résoluble à l'aide de l'équation du second de-
gré. Inégalités, leurs propriétés. Résolution des équations indé-
terminées du premier degré à deux inconnues. »

Il y a sept leçons hebdomadaires pour renseignement des
mathématiques en première, il y en a six dans le premier semestre
de la classe suivante. Le deuxième semestre de la seconde et
toute Tannée de la troisième disposent de trois leçons seulement,
consacrées à l'étude théorique et pratique des méthodes de ren-
seignement géométrique et arithmétique. Il est à regretter que
les « Programmes et plans d'études des cours professés aux Ins-
tituts de maîtres », approuvés par le Ministère, ne nous don-
nent que ces brèves indications mal définies :

« Le deuxième semestre (de la seconde) se passe à expliquer
les principes fondementaux des méthodes de renseignement
arithmétique et géométrique en connexion avec les leçons modèles
du précepteur et les leçons d'essai des élèves, si ceux-là en ont
le temps. Le troisième semestre (trois leçons par semaine).
Etude des manuels théoriques et pratiques d'Arithmétique et de
Géométrie. Répétition du cours d'Algèbre accompagnée de la
résolution des plus difficiles parmi les problèmes qui se rappor-
tent à toutes les sections des mathématiques antérieurement
apprises. L'étude des méthodes de l'enseignement arithmétique
et géométrique est jointe aux leçons modèles des élèves, ainsi
que le demande le programme du diplôme du maître de ville.
Les élèves doivent faire connaissance avec les plus remarquables
d'entre les livres et les articles qui se rapportent a l'enseignement
primaire des mathématiques ».

Pour ce qui concerne l'épreuve subie dans le but de devenir
un maître d'école de ville, le Ministre de l'Instruction publique
nous donne les programmes suivants.

Programme de la méthodique de V Arithmétique (extrait). —
<c i # Importance des Mathématiques et en particulier de l'Arithmé-
tique dans l'ensemble des matières du cours secondaire. Simplicité
et précision du contenu de l'Arithmétique. Liaison logique des
vérités arithmétiques. Possibilité de la résolution des problèmes

L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE EN RUSSIE 249

au commencement du cours. 2. Aperçu historique succint sur le
développement de la méthodique de l'Arithmétique. Son état
jusqu'à Pestalozzi. Réformes de Pestalozzi. Méthodes des Kran-
qué, Diesterweg, Guentschel et Groubé (comme principale). 3.
Thèses principales de renseignement mathématique secondaire
et leur analyse. 4- Remarques méthodiques sur la résolution des
problèmes oraux et écrits. 5. Étude des nombres de la première
dizaine. Changements de la méthode de Groubé, proposés par
Evtouchevski. Secours intuitifs. Exercices écrits avec des nom-
bres de la première dizaine. 6. Études des nombres de la seconde
dizaine. Exercices^et leur ordre. 7. Etude des nombres 20-100.
Problèmes oraux et écrits. Calcul des formules. Quatre opéra-
tions arithmétiques. Travaux des écoliers hors de classe. 8.
Nombres complexes. Étude des mesures russes. Quatre opéra-
tions sur les nombres complexes. 9. Numération dans les limites
d'un millier. Numération et opérations jusqu'à un million.
Secours intuitifs. 10. Cours élémentaire des fractions ordinaires.
Secours intuitifs. 11. Cours systématique de l'Arithmétique.
Caractères de divisibilité. Décomposition d'un nombre en fac-
teurs premiers. Recherche du plus petit commun multiple de
plusieurs nombres. Addition, soustraction, multiplication et
division des fractions. 12. Méthodique des fractions décimales.
i3. Méthodes de la résolution de problèmes sur les règles de
trois, etc. 14. Division du cours de l'école de ville. »

Programme de méthodique de la Géométrie. — « 1. Importance
de la Géométrie dans l'ensemble des matières du cours secondaire.
Moyens que l'homme emploie pour mettre en évidence les véri-
tés géométriques : 1) observation directe, 2) mesurage, 3) dé-
duction. Leur place dans l'enseignement primaire. Contenu
du cours élémentaire. Sa division. 2. Entretiens intuitifs sur les
corps géométriques. Objets et buts de ces entretiens. Exercices
de dessin linéaire. 3. Notes méthodiques sur l'enseignement des
théorèmes géométriques. Problèmes numériques et problèmes
de construction. Leurs buts. 4* Lignes droites. Angles. Lignes
parallèles. Circonférence. Exercices de dessin linéaire. 5. Trian-
gles et polygones. Mesure des aires. Secours intuitifs. 6. Mesure
des volumes. Secours intuitifs. 7. Applications pratiques de

a5o BOBYKIN

Géométrie. Leur place dans le cours de Géométrie. 8. Système
de géométrie cFEuclide. Système du cours secondaire de Géomé-
trie de Legendre. Systèmes de renseignement primaire de géo-
métrie, proposés par Diesterweg et Falqué. »

Il est aisé de voir que le programme de la méthodique de
l'Arithmétique est composé d'après Groubé sans exclure toute-
fois la méthode concentrique pour la numération et les règles.
Nous nous en assurons en y trouvant parmi les manuels
recommandés, la « Méthodique de l'Arithmétique primaire »
de A.-J. Goldenberg basée justement sur la méthode concen-
trique.

L'institut de maîtres et l'école de ville, tout en formant des
types supérieurs au séminaire et à l'école de village, ont cepen-
dant moins de différence entre eux que ne nous en présentent
leurs programmes de méthodique de la Géométrie.

Les deux types de l'école russe secondaire que nous venons
d'examiner appartiennent au vaste groupe des écoles spéciales,
et cela, malgré le caractère d'instruction générale qui y prédo-
mine. Les autres écoles du même genre : écoles techniques,
industrielles, celles de commerce et d'économie rurale, etc.,
sont encore plus spécialisées, nous ne nous y arrêterons pas.
Nous passerons donc au groupe d'instruction générale des
écoles secondaires. Il comprend les établissements d'étude
pour les jeunes filles et les jeunes garçons. Nous commencerons
par les premiers dont le cours de mathématiques est moins
étendu.

Etablissements secondaires des jeunes filles.

Les établissements secondaires de jeunes filles sont répartis
entre trois ministères. La plupart des gymnases et progymnases
sont attachés à celui de l'Instruction publique ; les gymnases des
capitales, quelques-uns de la province et tous les instituts de
demoiselles appartiennent aux établissements de l'Impératrice
Marie ; enfin le clergé a ses « écoles de diocèse ». Afin d'éviter
les répétitions nous donnons un programme d'ensemble pour tous
ces établissements.

L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE EN RUSSIE i5i

Arithmétique. — « Classe élémentaire (E. D. (*) ; quatre
leçons par semaine. G. M.). Calculs oraux et résolution des pro-
blèmes dans les limites de la première centaine. Numération
écrite jusqu'à cent. Connaissance des mesures russes les plus
usitées.

Première classe (£. Z)., /. D. ; quatre leçons par semaine.
G. I. p., G. M. ; trois leçons par semaine). Etude des nombres
dans les limites de la première centaine [G. /. p,. I. Z).). Numé-
ration. Opérations sur les nombres entiers abstraits. Opérations
arithmétiques sur les bouliers [G. I. p.). Connaissance des mon-
naies et des mesures russes de longueur, de poids, etc. (G. /. p.,
I. D.). Résolution orale et écrite de problèmes.

Seconde classe (G. I. /;., G.M.,I. D. ; 3 (/\-E.D.) leçons par
semaine). Opérations sur les nombres entiers abstraits (suite et
fin). Opérations sur les nombres concrets et complexes. Pro-
blèmes sur le calcul du temps (E. />.). Cours élémentaire des
fractions (G. J/., /. />.).

Troisième classe (G. L p., G. Jf., /. D. ; 3 (4-E. D.) leçons par
semaine). Nombres premiers et non premiers. Caractères de
divisibilité. Décomposition d'un nombre en facteurs premiers.
Plus grand commun diviseur. Plus petit commun multiple. Frac-
tions ordinaires. Fractions décimales (G. /. p.).

Quatrième classe (E. /)., G. /. p., G. J/., /. D. ; trois leçons
par semaine). Multiplication et division des fractions ordinaires
(E. /).). Fractions décimales (£. Z)., G. M., L Z).). Fractions
décimales périodiques (Zs. D., G. il/., L /).). Résolution de pro-
blèmes relatifs à la mesure des aires et des volumes (G. M.).
Rapports et proportions (G. /. p. y G. M.> I. D.). Résolution de
problèmes relatifs à la règle de trois, aux intérêts, à l'escompte,
à la règle de société et aux alliages (G. 7. />., G. J/., I. D.). Sys-
tèmes les plus remarquables des mesures et des monnaies des
pays étrangers (G. I. /;.). Application de l'Arithmétique à la
tenue de livres (G. I. p.).

(*) Abréviations conventionnelles employées pour désigner les établissements
d'étude : E. D. Ecole de diocèse ; G. I. p., Gymnase» et progymnases du ministère
de l'Instruction publique; G. M., Gymnases des établissements du l'Impératrice
Marie ; /. D., Instituts de demoiselles.

aSa BOBYNIN

Cinquième classe (E. D. 9 I. D. ; trois leçons par semaine).
Rapports et proportions. Résolution de problèmes relatifs k la
règle de trois, aux intérêts, k la règle de société et aux alliages.
Répétition de tout le cours d'Arithmétique [E. />.). Règle con-
jointe (/. /).). Généralisation des problèmes (/. D.). Passage de
l'Arithmétique à l'Algèbre (/. Z>.).

Septième classe. G. /. p. Re vision de tout le cours d'Arithmé-
tique, avec additions nécessaires. »

Algèbre. — « Cinquième classe (G. /. /?., G. Af., /. D. ; i 1/2
leçons par semaine). — Exercices servant de passage de l'Arith-
métique k l'Algèbre (G. M. à Moscou, quatrième classe ; à
Saint-Pétersbourg, sixième classe). Caractères algébriques
(G. M. à Moscou, quatrième classe ; à Saint-Pétersbourg,
sixième classe). Détermination de la valeur numérique des quan-
tités algébriques (G. M. k Moscou, quatrième classe ; k Saint-
Pétersbourg, sixième classe). Réduction des termes semblables.
Addition, soustraction, multiplication et division des monômes.
Opérations sur les polynômes (G. M. a Moscou). Fractions algé-
briques les plus simples (ibidem). Equations du premier degré à
une seule inconnue (ibidem).

Sixième classe (G. /. p. ; 2 (1 1/2 G. M.) leçons par semaine).
Opérations sur les polynômes (G. /. p.). Elévation des monômes
aux puissances deuxième et troisième. Elévation des polynômes
k la puissance deuxième. Extraction de la racine carrée des
nombres. Résolution des équations déterminées du premier
degré k une seule ou k plusieurs inconnues. Résolution des
équations du second degré a une seule inconnue (G. /. /?.).

Septième classe (G. /./?.; 2 (1 1/2 G. M.) leçons par semaine).
Mise en équation de problèmes du premier degré et leur réso-
lution (G. M. k Saint-Pétersbourg). Notions sur les expressions
irrationnelles (G. M. k» Moscou). Disparition des radicaux de
l'équation (G. M. k Moscou). Équations du second degré (G. M.
à Moscou). Elévation des polynômes a la puissance troisième
(G. /. /*.). Extraction de la racine cubique des nombres (G. /.
p.). Progressions arithmétiques et géométriques (G. /./>., G. Af.
k Moscou). Logarithmes et leurs applications les plus importantes
(G.I. p.).

L ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE EN RUSSIE l53

Géométrie. — Première classe (G. L p.). Étude intuitive des
propriétés des lignes. Ligne droite. Circonférence. Angle.
Lignes parallèles. Mesure des lignes droites, des arcs et des
angles.

Seconde classe (G. /. p.). Étude intuitive des figures. Triangles.
Quadrangles. Polygones. Figures régulières. Mesures de super-
ficie. Mesure des aires des figures rectilignes (carré et rec-
tangle) .

Troisième classe (G. /. /?.). Étude intuitive des corps géomé-
triques. Mesures de volume. Mesure des surfaces et des volumes
des solides les plus simples. Exercices de tracé des figures et
des solides.

Cinquième classe [G. L p., G. M. 9 L D. ; i 1/2 leçons par
semaine. E. D. sixième classe). Notions géométriques fondamen-
tales. Théorèmes sur les lignes droites et les angles. Égalité des
triangles. Relations entre les côtés et les angles du triangle.
Propriétés de la perpendiculaire et des obliques. Applications
numériques des théorèmes et des problèmes de cette partie du
cours. Résolution de problèmes de construction.

Sixième classe (E. /)., G, I. p. ; 2 (1 1/2 G. M.) leçons par
semaine). Similitude des figures et leurs applications à la réso-
lution des problèmes pratiques. Mesure des aires des figures
rectilignes. Cercles. Droites, angles et figures dans le cercle.
Mesure de la circonférence. Aire du cercle. Applications numé-
riques à la mesure des aires des figures (G. /. p.). Solides : cube,
prisme, pyramide, cylindre, cône, sphère (E. /).). Mesure des
surfaces et des volumes des solides [E. D.): »

Septième classe (G. I. p* ; 2(1 1/2 G. M.)" leçons par semaine).
Stéréométrie. Applications numériques a la mesure des surfaces
et dès volumes des solides.

Nous ajouterons que l'école de diocèse n'a que six classes, la
préparatoire (élémentaire) exceptée, et que les cours mathéma-
tiques des deux dernières classes de l'institut de demoiselles ne
présente presque pas de. différence avec les mêmes classes du
gymnase de l'Impératrice Marie.

Enseignement math. 1;

a>4 bob y NI N

Établissements secondaires des jeunes gens.

Les établissements d'instruction générale de jeunes gens
sont aussi répartis entre trois ministères : celui des Cultes (les
écoles et séminaires ecclésiastiques), celui de l'Instruction pu-
blique (les progymnases, les gymnases et les écoles réaies) et
celui de la Guerre (les corps de cadets). Voici les parties fonda-
mentales du programme de leurs cours de mathématiques.

Arithmétique. — Classe élémentaire (Pg., G. (*)., E. r. ; six
leçons par semaine). Quatre opérations sur les nombres entiers.
Emploi des bouliers russes. Addition et soustraction sur les bou-
liers. Résolution écrite et orale de problèmes.

Première classe (JE. e. 9 Pg. et G. 9 C. c. ; 4 (3 E. r.) leçons
par semaine). Numération. Opérations sur les nombres entiers.
Tables des mesures russes. Opérations sur les nombres com-
plexes. Connaissance des fractions les plus simples (Pg. et G.).

Seconde classe. (E. e., Pg. et G., E. r., C. c, ; 4 (3 E. e.)
leçons par semaine) . Nombres premiers et non premiers. Théo-
rèmes les plus importants sur la divisibilité des nombres. Carac-
tères de divisibilité par i 9 3, 4> 5, 6, 8, 9, 10, 25. Décomposi-
tion d'un nombre en ses facteurs premiers. Plus grand commun
diviseur et plus petit commun multiple. Opérations sur les frac-
tions ordinaires, abstraites et concrètes. Opérations sur les frac-
tions décimales, abstraites et concrètes [E. e. ; troisième classe).
Système métrique de mesures. Fractions décimales périodiques
(E. e., C. c. ; troisième classe). Résolution écrite et orale de
problèmes.

Troisième classe (E. e.> E. r. ; 2 (4 C. c. 9 1 Pg. et G.) leçons
par semaine). Rapports et proportions. Résolution de problèmes
relatifs à la règle de trois, aux intérêts, à l'escompte, à la règle
conjointe, k la règle de société et aux alliages (E. e. ; quatrième

(*) Abréviations conventionnelles : E. e., Écoles ecclésiastiques; S. c., Séminaires
ecclésiastiques ; Pg. et G., Progymnases et gymnases; E. r., Ecoles réa'es; C. c. t
Corps de cadets.

L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE EN RUSSIE a55

classe), employant les proportions et la méthode de réduction à
l'unité. Répétition de tout le cours d'Arithmétique (E. r.).

Quatrième classe (E. e. ; deux leçons par semaine). Résolution
de problèmes relatifs a la règle de trois, aux intérêts, à l'es-
compte, à la règle de société et aux alliages. Répétition de tout
le cours d'Arithmétique.

Septième classe (C. c). Répétition de tout le cours d'Arithmé-
tique avec additions nécessaires.

Algèbre. — Troisième classe (Pg. et G., E. r., C. c. ; deux
leçons par semaine). Exercices servant de passage de l'Arithmé-
tique à l'Algèbre. Caractères algébriques. Détermination de la
valeur numérique des quantités algébriques. Quatre opérations
sur les monômes et sur les polynômes (G. c. ; quatrième classe).

Quatrième classe [E. r., G. c. ; 3 (2 Pg. et G.) leçons par
semaine). Décomposition d'une expression algébrique en fac-
teurs. Plus petit commun multiple et plus grand commun divi-
seur de plusieurs monômes ou polynômes. Opérations sur les
fractions algébriques. Opérations sur les puissances à exposants
négatifs. Rapports et proportions. Résolution de l'équation du
premier degré à une inconnue. Mise en équation de problèmes
du premier degré à une inconnue. Résolution d'un système
de deux (Ce. ; cinquième classe) ou de plusieurs {Pg. G., G. c. ;
cinquième classe) équations simultanées du premier degré. Mise
en équations de problèmes du premier degré (C. c. ; cinquième
classe). Élévation des monômes aux puissances et extraction des
racines (G. c. ; cinquième classe). Élévation des polynômes au
carré (C. c. ; cinquième classe). Extraction de la racine carrée
d'un polynôme (G. c. ; cinquième classe). Extraction de la racine
carrée (G. c. ; cinquième classe) ou cubique (Pg. et G. ; cinquième
classe) d'un nombre.

Cinquième classe (E. r., C. c. ; 3 (2 Pg. et G.) leçons par
semaine). Résolution de l'équation du second degré a une incon-
nue. Mise en équations de problèmes du second degré. Rela-
tions entre les coefficients et les racines de l'équation du second
degré. Propriétés du trinôme du second degré. Résolution des
systèmes les plus simples de deux équations simultanées du

*56 BOB Y NI N

second degré à deux inconnues. Calcul des radicaux. Opérations
sur les puissances a exposants fractionnaires. Propriétés des
inéquations du premier degré (E. r. ; sixième classe, Pg. et G. ;
septième classe). Résolution de l'inéquation du premier degré à
une inconnue (E. r. ; sixième classe; Pg. et G. ; septième classe).
Résolution de l'équation indéterminée du premier degré à deux
inconnues (E. r.; sixième classe; Pg. et G. ; septième classe).
Progressions (S. e. ; fin du programme d'Algèbre) et logarithmes
(C. c. 9 Pg. et G. ; sixième classe).

Sixième classe (E. r., Pg. et G., G. c. ; deux leçons par
semaine). Discussion de l'équation du premier degré à une et à
deux inconnues [Pg. et G. ; VII e classe). Discussion de l'équa-
tion du second degré [C. c). Analyse combinatoire (Pg. et G. ;
VII e classe) Binôme de Newton (exposant entier positif) (Pg.
et G. ; VIP classe). Fractions continues. Leurs applications au
calcul des logarithmes et à l'extraction de la racine carrée d'un
nombre avec une approximation donnée (E. r., Pg. et G.;
VII e classe).

Septième classe (C. c). Revision de tout le cours d'Algèbre.

Géométrie. — Quatrième classe. (E. r. ; 5 leçons par semaine,
Pg. et G. 2, leçons, C. c. 3 leçons). Notions sur les corps géomé-
triques, les surfaces, les lignes et le point. Ligne droite. Angles.
Perpendiculaires et obliques. Lignes parallèles. Égalité des
triangles. Propriétés des triangles. Quadrilatères et polygones.
Cercle. Propriétés des cordes, des sécantes et des tangentes.
Positions mutuelles de deux circonférences. Mesure des angles
(Pg. et G. y C. c. ; V e classe). Les principaux problèmes de cons-
truction. Exemples et problèmes numériques. Lignes propor-
tionnelles (Pg. et C, C. c. ; V e classe). Similitude des triangles
ou des polygones (Pg. et G., C. c; V e classe).

Cinquième classe. (E. r. ; 4 leçons par semaine, Pg. et G.
2 leçons, C. c. 3 leçons). Relations les plus importantes entre
les côtés et les autres lignes des triangles et des quadrilatères.
Droites proportionnelles dans le cercle. Triangles et polygones
réguliers inscrits dans le cercle et circonscrits à un cercle.
Notions sur la méthode des limites. Longueur de la circonfé-

L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE EN RUSSIE *S*]

rence. Notions sur le calcul du nombre 7t. Mesure des aires des
figures rectilignes et du cercle. Comparaison des aires. Pro-
blèmes de construction. Problèmes numériques. Position respec-
tive des droites et des plans dans l'espace. Propriétés princi-
pales des angles dièdres et polyèdres. Egalité des angles
trièdres.

Sixième classe. (E. r. ; 4 leçons par semaine ; Pg. et G.,
C. c. 2 leçons). Notions sur les polyèdres réguliers. Mesure des
surfaces et des volumes des prismes et des pyramides. Egalité
et similitude des prismes et des pyramides. Mesure des surfaces
et des volumes des trois corps ronds. Cylindres et cônes sem-
blables. Résolution de problèmes numériques. (S. e. ; fin du
programme de Géométrie). Répétition de tout le cours de
géométrie [E. r.).

Septième classe (G. c). Répétition de tout le cours de géo-
métrie.

Huitième classe (G.). Répétition de tout le cours de Mathéma-
tiques avec additions nécessaires.

Trigonométrie rectiligne. — Sixième classe (E. r., C. c. ;
2 leçons par semaine). Septième classe. (G, ; i -y leçons par
semaine). Objet de la trigonométrie rectiligne. Rapports trigo-
nométriques. Variation des rapports trigonométriques. Relations
entre les fonctions trigonométriques d'un même arc. Expressions
du sinus, du cosinus et de la tangente, de la somme ou de la
différence de deux angles, d'un demi-angle, et du multiple d'un
angle. Rapport entre la somme des sinus de deux angles et leur
différence. Notion sur le calcul des tables trigonométriques. Usage
des tables trigonométriques. Relations entre les angles et les côtés
d'un triangle rectangle. Résolution des triangles rectangles. Rela-
tions entre les angles et les côtés d'un triangle obliquangle. Réso-
lution des triangles obliquangles. Calcul des aires. Transformation
des formules en expressions calculables par logarithmes. [E. r.).
Résolution des équations trigonométriques les plus simples
(E. r.). Mesure des lignes et des angles sur la surface terrestre
(G.). Instruments destinés à mesurer les angles (G.). Application
de la trigonométrie rectiligne aux opérations sur le terrain (G.).

a58 BOBYNIN

Partie complémentaire des programmes. — Dessin linéaire.
E. r. . — Classes quatrième, cinquième et sixième.

Dessin technique. E. r. — Troisième classe : 2 leçons par
semaine.

Dessin projectif. E. r. — Classe complémentaire : 2 leçons
par semaine.

Algèbre. E. r. — Classe complémentaire : 3 leçons par
semaine. Expressions imaginaires. Opérations sur les expressions
imaginaires. Résolution des inéquations du second degré. Maxi-
mum et minimum du trinôme du second degré. Résolution des
équations binômes les plus simples. Résolution des équations
trinômes [a x tp -\- b x y -\-c = 6). Théorèmes sur la divisibilité
des polynômes entiers. Abaissement de Tordre d'une équation.
Equations équivalentes. Solutions étrangères.

Application de V Algèbre à la Géométrie. E. r. — Classe com-
plémentaire. C. c. — Sixième classe. Objet de l'application de
l'Algèbre à la Géométrie. Nombre linéaire. Expression linéaire.
Quantités et expressions de deux ou trois dimensions. Quantité
de dimension nulle. Exemples. Homogénéité des équations.
Comment l'homogénéité peut cesser d'être apparente. Rétablis-
sement de l'homogénéité. Construction des formules algébriques,
rationnelles et irrationnelles. Discussion et construction des
racines de l'équation du second degré. Construction des formules
contenant les rapports trigonométriques. Exemples et pro-
blèmes.

Eléments de Géométrie analytique. C\ c. — Septième classe :
2 leçons par semaine. Coordonnées rectilignes. Equations d'un
point. Expression de la distance entre deux points. Equation
d'un lieu géométrique. Equation de la ligne droite. Discussion
de cette équation. Problèmes généraux relatifs à la ligne droite.
Circonférence. Ellipse. Hyperbole. Asymptotes de l'hyperbole.
Parabole. Transformation des coordonnées. Discussion des
courbes représentées par l'équation générale du second degré à
deux variables. Tangentes et normales aux coniques. Exemples
et problèmes. — Comput pascal S. e.

L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE EN RUSSIE 259

Certains programmes sont accompagnés de notes explicatives
dont il est difficile de comprendre le but, vu le caractère vague
et suranné des thèses qu'ils renferment. Dans la note destinée
aux gymnases et aux écoles réaies nous rencontrons par exemple
les réflexions suivantes citées comme vérités immuables.

« Les mathématiques sont Tune des bases de l'instruction
générale, étant une science précise et abstraite et offrant à ceux
qui les étudient un moyen simple et commode pour développer
régulièrement leur pensée. L'enseignement des gymnases (mais
non celui des écoles réaies à ce qu'il paraît puisque leur pro-
gramme omet toute cette citation) doit surtout songer au progrès
intellectuel des élèves. Il s'en suit qu'en enseignant les mathé-
matiques on fait particulièrement attention à la partie théorique
du cours ».

« En Algèbre on doit chercher à élargir la conception que les
élèves ont du nombre, car il ne faut pas oublier que l'esprit de
généralisation domine dans cette science et que c'est là la raison
qui en rend si grave le rôle dans le cours d'un établissement
secondaire. Il faut expliquer aux élèves que les opérations algé-
briques ne sont que des transformations équivalentes des formules
des opérations en d'autres formules possédant la forme désirée.
Les nombres négatifs doivent être envisagés comme des nombres
généralisés et il est nécessaire d'expliquer qu'ils sont introduits
dans l'Algèbre pour rendre possibles tous les cas de soustrac-
tion ».

<c En Géométrie on doit avoir pour but principal de faire
étudier systématiquement les vérités géométriques. Mais comme
la Géométrie nous présente les exercices les plus simples et les
plus variés pour l'appropriation de la logique formelle, nous
agirons selon le but de son étude en éclaircissant les. méthodes
de démonstration des vérités géométriques et en ayant soin que
les élèves possèdent à fond les méthodes ou formes de discussion
employées pour ces méthodes de démonstration ».

On ne laisse pas de faire des emprunts aux manuels ; je cite par
exemple cette assertion : « l'enseignement de la Trigonométrie a
pour but de résoudre les triangles et c'est dans ce but seulement
qu'il faut se servir des fonctions t ri gonomé triques »«.

Ce que nous venons d'en faire voir montre suffisamment que

a6o BOBYNIN

les notes explicatives ne sauraient être de quelque utilité pour un
professeur, et pourtant l'état des choses est tel que leur secours
serait très désirable.

Ainsi que le montrent les programmes cités, les établissements
secondaires en Russie, les séminaires ecclésiastiques exceptés,
présentent une espèce de fusion de l'école primaire avec l'école
secondaire. La préparatoire et les trois classes inférieures appar-
tiennent a la primaire. Les notes explicatives nous parlent ainsi
du cours d'Arithmétique dans ces classes. Dans les écoles de
diocèse de filles « le cours systématique d'Arithmétique poursuit
un double but, spécialement pratique et généralement instructif.
Le premier cherche à habituer les enfants à un calcul prompt,
juste et facile, le second à penser logiquement, à s'approprier
d'utiles procédés de réflexion et à les appliquer avec conscience
aux calculs donnés. » Dans les gymnases et les écoles réaies
« l'enseignement arithmétique vise, dans les trois premières
classes, a ce que les quatre règles soient opérées sur les nombres
entiers et fractionnaires d'une manière consciente, rapide et élé-
gante ». En exposant ensuite les moyens pour arriver à ces buts
(un exposé rappelant une ordonnance de médecin !) on passe sous
silence les méthodes d'enseignement ; mais le contenu des pro-
grammes et surtout quelques auxiliaires qui y sont cités (les
recueils de problèmes et les manuels composés par Evtouchevsky
et Goldenberg) montrent assez que celles-ci ne diffèrent point
des méthodes employées dans les écoles de ville et de village.
Aucune différence ne saurait donc être constatée entre les deux
types de l'école primaire d'une part et son troisième type réuni
à l'école secondaire de l'autre. C'est pourquoi nous pouvons nous
dispenser de revenir à l'enseignement arithmétique qui s'y donne.

Ainsi l'école secondaire russe a pour objets principaux de son
enseignement mathématique : l'Algèbre et la Géométrie élémen-
taires. Les établissements de garçons y ajoutent encore la Trigo-
nométrie rectiligne (à l'exception des séminaires ecclésiastiques).
La courte durée de l'année scolaire, réduite a sept mois si l'on en
exclut les vacances et la période des examens, rend tout à fait
insuffisant le nombre des leçons destinées à donner le cours
établi par les programmes. Dans l'absence des méthodes d'ensei-
gnement pouvant faciliter la tâche du professeur, celui-ci voit

L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE EN RUSSIE 261

échouer ses meilleures intentions et ses plus chères espérances
manquent de succès. Force lui est de se renfermer dans un accom-
plissement formel de ses devoirs. L'étude de la science se trouve
alors remplacée par l'étude des manuels satisfaisant aux exi-
gences des programmes et de leurs notes explicatives. La leçon
se passe à expliquer le contenu des manuels en y ajoutant parfois
la solution des problèmes en 'guise d'illustration. Hors de la
classe les élèves cherchent à retenir les questions expliquées afin
de pouvoir les réciter et en tirer parti aux leçons suivantes. Les
manuels étant exclusivement basés sur la synthèse, les élèves
pour des raisons citées plus haut (pages 243-244) doivent fatiguer
leur mémoire bien davantage que ne le demandait l'ancienne
méthode dogmatique. Celle-ci avait exigé que les élèves retinssent
mot à mot le contenu des théorèmes, des règles et des procédés
dans leur application aux problèmes à résoudre. La méthode
actuelle, exige de plus qu'on retienne la démonstration dans sa
marche précise, et dans tous ses détails. Il est aisé de prévoir où
l'on en arrive en surchargeant tellement la mémoire des élèves.
Ce qui a été appris par cœur s'échappe aussitôt qu'on n'en a plus
besoin. Et les meilleurs élèves des écoles secondaires, en entrant
aux Facultés mathématiques des universités ou aux écoles supé-
rieures, techniques et de génie, se sentent insuffisamment pré-
parés pour suivre les cours de mathématiques supérieures.

Le tout offre en somme un triste état de choses. L'Histoire
des mathématiques peut seule l'améliorer quand elle aura réussi
a étudier en détails le développement des méthodes en Mathé-
matiques.

V.-V. Bobynin (Moscou).

L'ESPACE EST-IL EUCLIDIEN?

(Suite).

IV
Gfréométrie physique.

Déplacements des corps solides naturels. — Une théorie
peut être appréciée à deux points de vue : au point de vue de sa
valeur en tant que système logique et au point de vue de sa con-
cordance avec une catégorie de faits physiques.

Nous croyons avoir montré que lesGéométries non-euclidiennes
constituent des systèmes logiques aussi rigoureux que la Géo-
métrie euclidienne.

Êxiste-t-il des faits physiques dont la Géométrie soit la théorie ?

Nous avons vu que la Géométrie était la théorie des déplace-
ments sans déformation.

En tant que notion idéale, un déplacement sans déformation
peut être légitimement conçu comme euclidien ou non-euclidien
à notre gré.

C'est là un siège commode pour l'analyste. Mais une notion
subjective a toujours un substratum objectif et empirique, et celle
de déplacement sans déformation n'a pas été conçue sans germe
extérieur par le cerveau humain.

En fait, la notion de déplacement sans déformation n'est pas
autre chose que la notion empirique du déplacement des corps
solides, notion qui résulte directement, dans tout esprit humain,
de l'observation inconsciente du monde extérieur et qui persiste
telle quelle chez l'ignorant, tandis qu'elle se transforme chez le
savant en notion purement abstraite, ne correspondant qu'approxi-

V ESPACE EST-IL EUCLIDIEN? a63

mativement aux faits physiques, tenus par lui pour [plus com-
pliqués.

Nous voici donc conduits à cette question un peu bizarre :
« Les corps solides naturels sont-ils ou non-euclidiens? »

M. Poincaré (') nous donne le moyen de nous débarrasser de
cette question par les considérations suivantes :

<( La Géométrie euclidienne serait dès aujourd'hui con-
vaincue d'erreur, puisque nous savons qu'il n'existe pas de
solides rigoureusement invariables.

« Les axiomes géométriques ne sont donc ni des jugements
synthétiques a priori, ni des faits expérimentaux.

« Ce sont donc des conventions; notre choix est guidé par des
faits expérimentaux, mais il reste libre et n'est limité que par la
nécessité d'éviter toute contradiction ».

Nous nous permettrons de présenter une objection à cette
manière de voir les choses.

Les propriétés réelles des déplacements des corps solides
naturels dépendent de multiples circonstances physiques : tem-
pérature, pression, usure, etc. Mais, quelque nombreuses que
soient les causes susceptibles d'influer sur les propriétés des
déplacements, on peut concevoir qu'elles aient été déterminées,
et par suite, parvenir à l'idée des déplacements qui auraient lieu,
si les causes perturbatrices n'agissaient pas.

Bref, on pourra distinguer les circonstances topogènes des cir-
constances hy logé nés y suivant l'expression d'Helmholtz, et il sera
permis de parler des propriétés géométriques des corps solides
naturels, pourvu que la manière dont se déplacent ces corps
soit indépendante de leur substance. Quant aux effets dus soit à
l'usure, soit aux variations de la température et de la pression,
on peut concevoir la possibilité de s'en garantir ou d'en tenir
compte, puisqu'ils sont dus à des causes non topogènes.

Toute détermination expérimentale des lois d'une catégorie de
phénomènes serait impossible, si on ne pouvait se soustraire,
dans une large mesure, à l'influence des causes indépendantes
de celles que l'on étudie, ou bien calculer, avec une approxima-
tion connue, les effets de ces dernières.

(') Poincaré. Revue générale de* Sciences, p. 769-774, 1891.

*64 COMBEBIAC

L'existence de la pesanteur et sa variation avec le lieu empê-
chent-elles la détermination des lois des forces électriques et, ces
lois acquises, suppriment-elles la possibilité de les corriger au
moyen d'expériences plus précises, comme le fait s'est produit
dans certaines branches de la science ?

Cette possibilité de déterminer les lois de chaque catégorie de
phénomènes tient précisément à notre manière de classer les phé-
nomènes par catégories dont chacune correspond à des causes
indépendantes des autres.

Nous croyons donc qu'il n ? y a aucune absurdité a se demander
si les corps solides sont euclidiens ou non-euclidiens.

C'est cette question et pas d'autre qui est en jeu, lorsqu'on
suppose que des mesures astronomiques pourraient venir con-
tredire les formules euclidiennes.

Imaginons, par exemple, qu'on ait pu connaître (par quels
procédés de communications interplanétaires?...) le résultat de la
mesure directe d'un angle astronomique ayant son sommet sur
Mars et que ce résultat différât de la valeur calculée d'autre
part par les formules euclidiennes sur des données résultant de
mesures faites par les habitants de la Terre.

Supposons que l'on ait d'autre part d'excellentes raisons pour
écarter toute explication relative a la propagation de la lumière
ou à un ordre de faits analogues.

Devra-t-on conclure que V espace n'est pas euclidien ?

Nullement, l'espace n'a pas de propriétés intrinsèques.

La seule conclusion compatible avec le bon sens est que les
instruments goniométriques employés, ou plutôt les instruments
qui ont servi à leur graduation, ne satisfont pas aux axiomes
euclidiens.

S'ils satisfont à tous ces axiomes, sauf à celui des parallèles,
tous les instruments goniométriques, construits indépendamment
les uns des autres en des points quelconques de l'espace, doivent
donner le même résultat si on s'en sert pour la mesure d'un
même angle.

Cela tient aux propriétés suivantes :

i° L'angle 2^ est le même en tous les points de l'espace ;

2° Deux grandeurs superposables en un lieu de l'espace le
sont en un lieu quelconque et quel que soit le trajet employé

L'ESPACE EST-IL EUCLIDIEN? a65

pour chacune d'elles (propriété des déplacements de constituer
un groupe d'opérations, ce qui est nécessaire pour établir conve-
nablement Tidée d'égalité) ;

3° Le tout ne peut pas être égal à la partie (*) (restriction réalisée
par l'existence d'un invariant relatif à deux points et entraînant

cette conséquence que, si a = é, — -# = — b ).

Si l'on admet ces diverses hypothèses, l'on devra conclure de
l'expérience imaginaire relatée plus haut que les déplacements
des corps solides sont non-euclidiens, et Ton voit clairement que,
si cette conclusion peut être tirée sans qu'aucun corps solide soit
transporté de Mars sur la Terre ou inversement, c'est en raison
des propriétés admises pour ce déplacement en dehors du postulat
des parallèles, propriétés dont les conséquences sont particulière-
ment importantes en ce qui concerne la mesure des angles.

On peut d'ailleurs se poser bien d'autres questions sur la
vraie nature des déplacements des corps solides, car le postulat
des parallèles n'est pas le seul axiome qu'on puisse abandonner
sans compromettre l'ordonnance logique de la géométrie. On
lira avec intérêt, sur cette question des axiomes indépendants,
le remarquable mémoire de M. Hilbert ( 2 ).

Mais, qu'il s'agisse du postulat des parallèles ou de tout autre
axiome, ce n'est pas dans les propriétés des corps solides naturels
que nous voyons le principal intérêt de la question relative à la
portée physique de la géométrie.

La Géométrie et les Sciences physiques. — En fait, la
Géométrie domine toute notre analyse de la nature par suite du
fait que tout phénomène est indépendant du lieu où il se produit;
ou, d'une manière plus précise, qu'on peut, sans rien changer à
un phénomène, opérer un déplacement sans déformation de
l'ensemble des corps qu'il intéresse, toutes autres circonstances
(la température notamment) restant les mêmes.

Il en résulte que les conséquences d'une modification aux
axiomes de la géométrie peuvent s'étendre à des faits d'un ordre
tout différent de celui des propriétés des corps solides.

(*) Poing ARE. Revue de métaphysique et de morale, 1899.

( f ) Hilbkrt. Grundlagen der Géométrie, Teubner, Leipzig, 1899 ; traduit en fran-
çais par M. La u gel. Gaiilhier-Yillars, Paris, 1900.

a66 COMBEBÏAC

La Mécanique, c'est-à-dire la science du mouvement, est essen-
tiellement relative aux déplacements sans déformation, comme
si un fait ne nous intéressait qu'en ce qu'il trouble la configura-
tion d'un ensemble de corps ; les énergies potentielles relatives
aux diverses forces naturelles s'expriment en fonction des posi-
tions relatives des corps mis enjeu (ou, ce qui revient au même,
en fonction des distances des points de ces divers corps, car la
distance de deux points est le seul invariant indépendant que
présente le groupe des déplacements).

Pour pouvoir déterminer clairement le rôle de la Géométrie
dans la Mécanique, il faudrait qu'on fût parvenu d'abord a
donner aux fondements de cette dernière science une structure
logique plus satisfaisante, ensuite à distinguer,, dans ces fonde-
ments, la partie rationnelle de la partie expérimentale. Ces deux
résultats ne paraissent pas près d'être obtenus.

Précisément en raison de cette obscurité, qui s'étend aux
principes de la science astronomique, une des principales tribu-
taires de la Mécanique, on peut regarder comme possible
l'éventualité qu'une modification de la notion de distance ait
pour effet de simplifier certaines lois de l'univers. Cette éven-
tualité est fort bien acceptée par notre esprit, lorsqu'on songe à
l'origine précaire de la notion de distance.

Si elle venait à se produire, il n'y a aucun doute qu'on
s'empresserait d'adopter cette modification féconde dans les
question où elle aurait sa raison d'être.

Cette adoption n'aurait d'ailleurs nullement pour conséquence
la disparition de la Géométrie euclidienne, celle-ci conservant
tout son intérêt dans le domaine où elle continuerait à être
exacte : la Mécanique des corps indéformables n'a-t-elle pas,
dans l'état actuel de la science, sa place à côté de la théorie de
l'élasticité, qui contredit la réalité de pareils corps ?

Nous croyons donc qu'un examen du rôle joué dans la Méca-
nique par les principes de la Géométrie présente le plus grand
intérêt.

L'édification d'une statique non-euclidienne a été tentée par
M. Andrade (') ; parmi les résultats obtenus, nous citerons

(') Andrade. Leçons de mécanique physique. Société d'éditions scientifiques,
Pnria. 1898.

L'ESPACE EST-IL EUCLIDIEN? 267

l'impossibilité paradoxale de réaliser le mécanisme particulière-
ment simple, constitué par un fil flexible et inextensible. Mais
on doit remarquer qu'une telle théorie suppose la généralisation
préalable des notions fondamentales : force, équilibre, travail,
et que la manière dont peut se faire cette généralisation est en
partie arbitraire.

Ces quelques observations, quoique fort imprécises, suffisent
à montrer que la portée des questions relatives aux déplacements
sans déformation s'étend bien au delà des propriétés des corps
solides.

L'infini physique. — Nous avons vu que l'idée de l'infini
géométrique était essentiellement relative à la notion de distance
et pouvait disparaître moyennant certains systèmes de détermi-
nation métrique.

De même que nous nous sommes demandé s'il existe une
géométrie physique, nous pouvons nous demander si l'idée de
l'infini correspond a un fait physique.

On imagine généralement que, si l'on parcourait indéfiniment
une ligne droite, on traverserait indéfiniment des mondes plus
ou moins semblables a celui dont nous faisons partie.

Il semblerait dès lors que cette idée de l'infini cosmique
doive disparaître en même temps que celle de l'infini géométrique.

Cette façon de voir les choses résulte, suivant, nous, d'un faux
point de vue :

Il est évident d'abord que des considérations sur la notion de
distance ne peuvent avoir aucune conséquence pour nos connais-
sances cosmiques. Celles-ci doivent donc être examinées d'une
manière tout à fait indépendante.

Nous avons déjà observé que, dans la science mathématique,
les expressions telles que : infini, infiniment petit, croissant ou
décroissant indéfiniment, ont des significations rigoureusement
et positivement définies, liées à l'importante notion de limite, et
qu'elles ne peuvent pas correspondre à des propriétés intrin-
sèques d'un concept objectif.

L'idée de l'infini cosmique, tout à fait analogue, réside dans
celle de la persistance de nos perceptions familières dans un
voyage supposé indéfiniment continué dans l'espace.

a68 COMBEB1AC

Cette idée ne repose évidemment sur aucun fait expérimental.

Une notion n'étant plus valable en dehors du domaine de
l'observation qui lui a donné naissance, nous ne croyons pas que
Ton puisse légitimement donner au mot infini une valeur
physique qu'il ne saurait avoir.

La conception de l'univers comme la répétition indéfinie de ce
qu'une expérience restreinte nous a fait connaître nous parait
aussi inacceptable que celle qui consisterait à croire que dans
un examen des corps solides qui porterait sur des particules de
plus en plus petites, persisteraient les propriétés de continuité,
d'élasticité, de couleur, etc., relatives à l'observation courante.

Le prolongement de nos images représentatives au delà du
domaine empirique est une opération familière à l'esprit humain ;
mais on sent tout l'arbitraire de ces généralisations trans-
naturelles, qui sont, je crois, les procédés de création des idées
métaphysiques.

V
La Ligne droite .

Définition de la ligne droite. — On a souvent confondu la
définition de la ligne droite avec l'énoncé de ses propriétés
fondamentales, c'est-à-dire de celles d'où se déduisent rationnel-
lement toutes les autres.

Cette confusion est une erreur.

Nous montrerons en effet qu'on peut créer des géomé tries en
prenant pour base des systèmes de lignes choisis arbitrairement
dans une large mesure, auxquels nous attribuerons les propriétés
du système des lignes droites.

A la base de toute science rationnelle se trouvent des notions
primordiales, qu'il est impossible de définir autrement que par
le procédé consistant à montrer un objet pour indiquer la signi-
fication du mot qu'il représente.

Pour la Géométrie, si l'on conserve les procédés habituels de
démonstration des premiers théorèmes, la notion primordiale
est évidemment celle du déplacement sans déformation.

On peut bien en énoncer les propriétés fondamentales,
comme a cru le faire Helmholtz, comme l'a fait Sophus Lie ; mais

V ESPACE EST IL EUCLIDIEN? 269

cela ne suffît pas a la définir. Il existe en effet une infinité de
groupes de transformations ponctuelles de l'espace jouissant des
mêmes propriétés que le groupe des déplacements. Chacun de
ces groupes est ce que devient le groupe des déplacements dans
une transformation ponctuelle univoque de l'espace.

Les lignes droites sont alors transformées en d'autres lignes
qui jouissent de toutes leurs propriétés.

Toutes les propositions de la Géométrie restent exactes, à
condition de représenter par les mots : égalité, ligne droite,
plan, etc., des choses autres que celles que ces mots repré-
sentent habituellement.

Une fois acquise la notion primordiale de déplacement sans
déformation, la ligne droite peut être définie, ou plutôt la notion
de ligne droite est comprise dans celle de déplacement sans
déformation.

En effet une des propriétés des déplacements sans déformation
consiste en ce que, lorsqu'on maintient fixes deux points d'une-
figure, tous les points d'une certaine ligne passant par ces deux
points restent également fixes.

On obtient ainsi des lignes déterminées par deux points, par
suite dépendant de quatre paramètres : ce sont les lignes
droites.

Au moyen d'un des groupes de transformations dont il vient
d'être question, nous obtiendrons de la même manière des
lignes déterminées également par deux points, qui ne seraient
pas des lignes droites.

Détermination de la ligne droite par deux points. — On vient
de yoir que la propriété d'être déterminée par deux points ne
peut pas constituer une définition de la ligne droite. Cela
résulte encore plus clairement, si cela était nécessaire, de la
signification du mot « déterminé ».

Une ligne droite est déterminée par la connaissance de deux
de ses points et par le fait d'être une ligne droite, c' est-a-dire
que deux points la déterminent parmi les lignes droites.

Le fait pour une ligne d'être déterminée par deux points ne
constitue évidemment pas une propriété de cette ligne mais bien
une propriété d'un système de lignes, dont elle fait partie.

Enseignement m «th. 18

a;o COMBEB1AC

Mais si le fait d'être déterminée par deux points ne peut pas
être une définition de la ligne droite, il peut, dans une certaine
manière d'édifier la Géométrie, constituer une propriété fonda-
mentale, autrement dit un axiome.

On sait que la Géométrie projective peut être établie indépen-
damment de la Géométrie métrique, celle-ci venant alors la com-
pléter par l'introduction du plan et du cercle imaginaire de
l'infini. Mais, tandis que les déplacements sans déformation ont
paru constituer une notion si naturelle qu'on a couramment
appliqué leurs propriétés sans éprouver le besoin de les
énoncer, les transformations projectives au contraire sont loin
de se prêter facilement à une conception intuitive, et on ne
peut guère les placer en qualité de notion fondamentale à la
base de la Géométrie.

Il faut alors recourir,. pour ce rôle, à la ligne droite.

Dans ces conditions, sans se demander quelle est l'origine
empirique de la notion de ligne droite, on la prendra comme
notion fondamentale, et on devra alors commencer par énoncer
ses propriétés fondamentales.

Observons encore, et pour ne plus y revenir, qu'une transfor-
mation ponctuelle de l'espace transformerait le système des
lignes droites en un système jouissant des mêmes propriétés et
par conséquent susceptible de servir de base à une géométrie,
ou plutôt à un ensemble de faits susceptibles d'être exprimés
par les propositions de la géométrie projective (puisqu'il ne
s'agit, pour le moment, que de cette dernière).

La première propriété fondamentale est que les lignes droites
constituent un système à quatre paramètres. L'on doit ajouter,
si Ton adopte l'hypothèse admise dans cette étude (§ III), que la
condition de passer par deux points quelconques donne toujours
lieu à une détermination et à une seule.

Cette propriété des lignes droites ne constitue pas une base
suffisante pour la géométrie projective. Il faut en outre qu'il
existe des plans, c'est-à-dire des surfaces à trois paramètres
telles que, si une ligne droite a deux de ses points sur Tune
d'elles, elle y soit contenue tout entière.

L'examen de la question montre facilement que l'existence des
plans est liée à la propriété suivante des lignes droites :

L'ESPACE EST-IL EUCLIDIEN? *-}t

Si trois lignes droites se rencontrent deux à deux, et qu'une
quatrième rencontre les deux premières, elle rencontre aussi la
troisième.

La recherche de l'expression analytique de cette condition
constitue une étude des plus intéressantes, qui se rattache aux
travaux de M. Kœnigs sur les équations différentielles exprimant
la condition de rencontre de deux lignes infiniment voisines
faisant partie d'un système à un certain nombre de para-
mètres.

Ce n'est pas ici le lieu de pénétrer plus avant dans cette
question.

Remarquons enfin que Ton peut rattacher la détermination
d'une ligne droite par deux de ses points à la notion de distance,
qui, elle, dépend incontestablement de celle de déplacement
sans déformation.

On peut en effet construire une ligne droite déterminée par
deux de ses points A et B, en effectuant uniquement des mesures
de distance. Il suffit pour cela d'observer que, sauf sur la droite
ÀB, il n'existe pas de point C qui soit le seul à être distant des
points A et B des longueurs AC et BC.

On peut, au moyen d'une propriété analogue, déterminer les
points d'un plan dont on connaît trois points.

Lignes minimales. — Il faut citer, parmi les propriétés de la
ligne droite que Ton a voulu utiliser comme définition, celle
d'être le plus court chemin d'un point à un autre. (On remar-
quera que cette propriété occupe une place à part dans la
géométrie et n'est pas utilisée dans les démonstrations).

Cette propriété est démontrable, puisqu'il suffit d'appliquer le
calcul des variations a l'intégrale qui représente la longueur d'une
courbe, et cela en prenant, pour l'élément linéaire, l'expression
euclidienne ou non-euclidienne.

Dans l'ignorance où je suis d'une démonstration synthétique,
qui doit probablement exister, j'en esquisserai une dans le but
surtout de montrer les éléments de la question.

Il suffit évidemment de prouver que, dans un triangle, un
côté est plus petit que la somme des deux autres et, en abaissant
du sommet une perpendiculaire sur le côté opposé, on voit faci-

27a COMBEBÏAC

le m eut qu'il suffit de démontrer que la perpendiculaire est plus
courte que les obliques.

Si Ton mène à une droite A une perpendiculaire issue d'un
point extérieur 0, et deux obliques issues du même point et abou-
tissant à des points équidistants du pied de la perpendiculaire,
ces obliques seront égales comme côtés homologues de deux
triangles égaux.

En outre, si on s'éloigne d'une manière continue de la perpen-
diculaire, les longueurs des obliques varient dans un sens perma-
nent. Car, sans cela, on rencontrerait deux obliques égales, et
enjoignant le point O au milieu de la distance de leur pied, on
formerait deux triangles, qui seraient égaux comme ayant leurs
côtés égaux deux à deux. De l'égalité des angles homologues, il
résulterait qu'on aurait construit une seconde perpendiculaire, ce
qui est contraire à un théorème connu.

Il résulte de là que la longueur de la perpendiculaire est mini-
mum ou maximum, ou bien que toutes les droites issues du
point O et arrêtées à la droite A sont égales et sont des perpen-
diculaires à cette dernière.

Pour décider entre ces trois cas, il est nécessaire de faire inter-
venir les propriétés particulières des trois Géométries.

Cette étude étant déjà fort longue, nous laisserons au lecteur
le soin de terminer la démonstration, en faisant observer toute-
fois qu'en Géométrie sphérique, il faut préciser que la propriété
du minimum appartient au plus petit des deux segments déter-
minés par deux points sur une droite.

Rectilinéaritë du rayon lumineux. — Nous avons vu qu'une
ligne droite peut être déterminée matériellement comme axe de
rotation d'un corps solide, ou encore au moyen de mesures
directes de distances, c'est-à-dire, dans les deux méthodes, en uti-
lisant les propriétés des corps solides.

Pratiquement, on emploie souvent la propriété des rayons
lumineux d'être rectilignes, et Ton a parfois voulu voir dans cette
propriété la base de l'idée de ligne droite.

La rectilinéarité du rayon lumineux est, comme l'observe Helm-
holtz, un fait physiquement démontrable.

Si un rayon lumineux issu d'un point A passe par un point B,

L'ESPACE EST-IL EUCLIDIEN? 27$

sa rectilinéarité se vérifiera en constatant qu'il continue a passer
par ce dernier point, lorsqu'on fait tourner autour de la droite AB
l'appareil solide qui le produit. La ligne droite, dans cette expé-
rience, est déterminée, ainsi qu'il convient, comme axe de rota-
tion d'un corps solide.

Au point de vue rationnel, la rectilinéarité d'un rayon lumi-
neux dans un milieu homogène tient évidemment aux deux pro-
positions suivantes :

i° Un milieu est dit homogène, lorsque les propriétés physi-
ques en un point de l'espace situé dans le milieu, ne changent
pas dans tout déplacement sans déformation du milieu;

i° Les lois physiques sont indépendantes du lieu, c'est-à-dire
sont invariantes par rapport aux déplacements sans déforma-
tion.

A propos de l'homogénéité, nous ferons une observation.

On dit quelquefois que Y espace est homogène.

Cette façon de s'exprimer est évidemment défectueuse, si Ton
prend le mot « espace » dans le sens très-restreint où nous avons
dû l'employer dans une question qui exigeait une précision
absolue des termes. Mais il n'y a pas grand inconvénient, à con-
dition de ne pas se laisser duper par les mots, à s'exprimer
. comme si les propositions géométriques représentaient les pro-
priétés d'une entité, qui serait l'espace.

Dans cette manière de parler, purement métaphorique, l'ho-
mogénéité de l'espace n'exprime pas une propriété objective,
mais est seulement une constatation résultant de la définition de
l'homogénéité.

L'homogénéité non-euclidienne ne constitue pas évidemment
la même propriété physique que l'homogénéité euclidienne, et
c'est une des raisons pour lesquelles nous disions que les prin-
cipes de la Géométrie ont une portée physique.

Dans tous les cas, les lignes droites sont les mêmes lignes
dans les trois Géométries, et c'est pour cela qu'on ne doit pas
parler de la ligne droite euclidienne; l'incorrection est du même
ordre que celle de l'expression : l'espace euclidien.

Comme l'observe Helmholtz, il est probable que, si l'on était
conduit à modifier certaines lois physiques en raison de faits non-
euclidiens, le rayon lumineux n'en conserverait pas moins lapro-

*74 COMBEBIAC

priété de suivre le plus court chemin et, par suite, dans les
milieux homogènes (au nouveau sens que prendrait ce mot), de
parcourir des lignes droites.

VI
Qu'est-ce que la Géométrie?

Le présent article allait être terminé, lorsqu'à paru le numéro
de Y Enseignement mathématique, contenant la lumineuse vue
d'ensemble de M. H. Laurent sur les fondements de la Géométrie.
Sa lecture me fait ajouter ce paragraphe a un article déjà
long.

Il est un point, beaucoup plus psychologique que mathéma-
tique d'ailleurs, sur lequel des géomètres éminents s'expliquent
au moyen d'expressions que je ne puis comprendre, c'est celui
qui est relatif à la nature même de la Géométrie.

Il s'agit au fond d'une question de mots, notamment des signi-
fications différentes que l'on peut donner à certaines expressions
telles que : Géométrie, convention, science expérimentale.

Suivant M. II. Laurent, la Géométrie serait un langage, un
système d'analyse ayant pour objet de classer, coordonner, expli-
quer les phénomèmes observés dans le domaine de la Géométrie,
c'est-à-dire les faits géométriques, par conséquent, choisir entre
les types possibles de géométries serait une question dénuée de
sens.

On a dit, dans le même courant d'idées, que, parmi les Géo-
métries, on avait simplement à se préoccuper de choisir la plus
commode, et encore « que les axiomes de la Géométrie sont des
conventions ».

Enfin, nous citerons les deux affirmations contradictoires :

« Il faut se résigner à faire de la Géométrie une science phy-
sique et expérimentale ( ! ) ».

« La Géométrie n'est pas une science expérimentale ( 2 ) ».

(') H. Laurent. Les principes fondamentaux de la théorie des nombres et de la
Géométrie, Collection Scientia, Naud, 1902, Paris.

(*) H. Poincaré. ôur C ouvrage de M. llilbert Grundlagen der Géométrie, Bulle-
tin des sciences mathématiques. i<>oa. Paris.

V ESPACE EST-IL EUCLIDIEN? 17$

Pour que la Géométrie fût un simple casier de coordination
pour les faits géométriques (il ne s'agit pas, bien entendu, du
système d'analyse qui porte le nom incorrect de Géométrie ana-
lytique au lieu de s'appeler, comme il conviendrait, analyse géo-
métrique), il faudrait que ceux-ci existassent en dehors d'elle.
Or c'est ce qui n'est pas, et la preuve la plus directe, c'est que
M. H. Laurent, pour qualifier leur domaine, n'a pas trouvé d'autre
épithète que le mot « géométrique ».

Par cela seul que M. H. Laurent sait quels sont les faits qu'il
qualifie de géométriques, il a déjà fait choix d'une géométrie : en
particulier, la science de l'égalité euclidienne ne peut pas se con-
fondre avec celle de l'égalité lobatchewskienne.

Et d'ailleurs, qu'on essaie de préciser l'idée de la géométrie
jouant le rôle d'un langage par un exemple concret en donnant
les représentations (?) d'un fait géométrique dans des systèmes
différents de géométries !

La Géométrie euclidienne n'est pas la plus commode (qu'on
essaie d'exprimer pour quel objet), mais bien celle qui étudie
des faits d'une catégorie particulière, constitués (comme tout
fait) par l'association de notions déterminées, parmi lesquelles
certaines se rapportent à des relations possibles entre les autres ;
ces notions sont celles de point, ligne, surface, intersection, con-
tact, droites, plan, etc., sans oublier l'importante notion de
l'égalité géométrique.

Ces notions (et il en est,*par suite, de même des faits géomé-
triques) sont précisément caractérisés par la propriété d'être
indépendantes de tout déplacement sans déformation.

On voit donc que, en changeant l'idée de déplacement sans
déformation, ce n'est pas seulement un système d'analyse que
l'on change, mais bien les faits eux-mêmes qu'il s'agit d'étudier.

Les axiomes de la Géométrie, c'est-à-dire les propriétés fonda-
mentales des notions qui constituent l'objet de cette science sont-
ils conventionnels?

Si l'on entend exprimer par là que l'esprit humain est libre de
construire des édifices logiques, sur des bases très différentes
entre elles, c'est une naïveté, applicable à toute science ration-
nelle : à la Mécanique rationnelle et aux diverses branches de la
Physique mathématique, par exemple.

a76 ' COMBEBIAC

Si Ton veut dire que Ton peut arbitrairement changer les
axiomes de la Géométrie, tout en conservant le nom de cette
science, j'estime qu'il n'est pas raisonnable de prendre le mot
« Géométrie » dans cette acception.

L'esprit humain ne crée une idée, un mot que poussé par un
mobile, un intérêt. Supprimer le mobile et conserver le mot est
absurde, antinaturel. Or l'intérêt spécial qui caractérise la Géo-
métrie disparaît si Ton remplace certains axiomes, c'est-à-dire
certaines notions, par d'autres.*

Au surplus, qu'on essaie d'expliquer d'une manière vraiment
positive ce que l'on peut entendre par cette proposition : les
principes de la Géométrie Sont des conventions.

Il reste à examiner si la Géométrie est une science physique,
une science expérimentale.

Ce qui nous importe n'est pas de savoir comment on doit s'ex-
primer sur ce point, mais bien comment on doit classer la Géo-
métrie parmi les autres sciences.

Je dis qu'elle ne se différencie pas, au point de vue qui nous
occupe, de la Mécanique rationnelle et des diverses branches de
la Physique mathématique.

Je m'élève tout d'abord contre la distinction faite souvent entre
les êtres de raison et les objets réels.

En somme, ce qu'atteint notre connaissance, ce sont toujours,
des idées, des images : l'idée du corps solide indéformable n'est
pas moins réelle (?) que celle du' corps solide élastique, elle
appartient à un domaine d'observation moins attentive, voilà
tout.

L'Optique élémentaire est tout aussi physique, expérimentale
— si l'on veut employer ces expressions — que l'Optique de
Fresnel et celle de Maxwell.

Le point matériel de la Mécanique rationnelle n'est pas plus un
être de raison qu'un objet quelconque.

Les notions qui sont à la base des sciences rationnelles sont
soumises aux mêmes lois de formation que celles de nos notions
que nous qualifierions le plus volontiers de réelles — si ce mot
pouvait avoir un sens dans l'espèce. Elles ne résultent pas d'une
opération d'abstraction, elles sont simplement le résultat du pre-
mier regard maladroit encore que nous jetons sur la nature, et

L'ESPACE EST-IL EUCLIDIEN? 377

elles constituent les matériaux avec lesquels notre esprit construit
les idées compliquées qui devront s'accorder avec des expériences
plus précises,

Cela admis, on ne voit pas en quoi la théorie de l'égalité des
longueurs, des surfaces et des volumes indéformables est d'une
autre nature que la théorie élémentaire des actions électriques,
l'Optique élémentaire ou toute autre science déductive ayant
des principes provenant directement ou indirectement de l'expé-
rience.

Enfin la Gométrie reste justiciable de Inexpérience.

La mesure des objets sensiblement indéformables a suffisam-
ment intéressé l'humanité pour donner lieu à la science impor-
tante qu'est la Géométrie élémentaire et il est très remarquable
que les lois relativement récentes de la Mécanique et de la Phy-
sique soient intimement liées à l'idée du déplacement sans défor-
mation, laquelle intervient dans ces lois par la distance, repré-
sentant numérique de cette idée comme étant le seul invariant
indépendant relatif au groupe des déplacements.

Il ne saurait être indifférent, au point de vue des conséquences
physiques, que la distance qui figure dans les lois de la Dyna-
mique ou dans l'expression de l'énergie potentielle due à des
forces cosmiques, électriques, électrodynamiques, etc., soiteucli-
dienne ou non-euclidienne.

Or l'unité de plus en plus probable de la conception que l'hu-
manité est appelée à se faire de la Nature nous fait penser que
des modifications fondamentales dans la Mécanique entraîneraient
des modifications concordantes dans la Géométrie.

A vrai dire, une hypothèse reste à envisager, c'est celle suivant
laquelle le rôle essentiel joué par la mesure des distances dans
la plupart des branches de la science résulterait d'un phénomène
purement subjectif, c'est-à-dire que l'esprit humain, hypnotisé
par l'idée du corps solide, en aurait fait l'élément de toute son
analyse de la nature et le repère auquel il rapporte toutes les
modifications d'ordre mécanique

Mais alors on devrait pouvoir, par de simples définitions de
mots, déduire rationnellement de nos conceptions géométriques
les notions et les lois fondamentales de la Mécanique, qui d'ab-
solues deviendraient relatives, j'entends anthropomorphiques.

278 COMBEBIAC

Notre cerveau, libéré de sa polarisation vers l'idée d'indéforma-
bilité, pourrait alors établir une Mécanique qui conserverait sans
doute les notions de point et de position, mais qui ne serait pas
liée à l'idée exclusive de distance.

Pure hypothèse d'ailleurs, que n'encourage guère l'insuccès
des tentatives faites jusqu'ici pour réduire à un clair assemblage
ce système à liaisons surabondantes que constituent les principes
de la Mécanique, hypothèse très séduisante pour l'analyste en ce
qu'elle réduirait le nombre des principes échappant à la pure
logique, encore plus séduisante pour le philosophe positif, qui
verrait ainsi se dissiper une bonne partie du caractère mystérieux
présenté par certaines lois fondamentales de la Mécanique et de
la Physique, pour lesquelles aucune explication ne se présente à
notre esprit.

G. Combebiac (Limoges.)

PHILOLOGUES ET PSYCHOLOGUES
EN FACE DU PROBLÈME DES PARALLÈLES (')

PREMIERE PARTIE
Contributions philologiques à l'étude des parallèles.

Les parallèles n f ont pas été ainsi nommées parce qu'elles sont
incapables de se rencontrer, si loin qu'on les prolonge. Leur
nom, et du même coup leur définition, indiquent qu'elles font
avec une transversale des angles alternes égaux. On en déduit
l'égalité ou la supplémentarité des autres angles.

On considère comme cas particulier les a droites perpendicu-
laires à* une troisième.

Une fois ces déductions prochaines établies, on passe de l'hy-
pothèse à la construction effective, en remarquant précisément
la différence entre les parallèles définies par la non-rencontre
et les parallèles définies par le sens étymologique pur et direct.
Deux segments rectilignes qui se coupent par le milieu donnent
la clef de la construction cherchée, de sorte que les deux paral-
lèles se trouvent d'emblée obtenues, sans postuler la transforma-
tion progressive des droites sécantes ou non sécantes (cela est
très important.) En vertu de l'axiome qui déclare que deux droites

(*) Sous ce titre, notre distingué collaborateur M. Raoul Buron nous avait pré-
senté un manuscrit un peu trop étendu pour pouvoir trouver place utilement dans
L'Enseignement Mathématique. Sur la prière de la Rédaction, il l'a réduit, peut-être
en y mettant cette fois un peu trop de réserve. Malgré cette brièveté, les lecteurs
seront assurément intéressés par la thèse de l'auteur; elle est nouvelle, originale,
et à notre avis d'une profonde justesse.

Note de la Rédaction.

•j8o R. BARON

ne peuvent se couper quen un point, on démontre que les paral-
lèles ne se rencontrent nulle part, puisqu'elles se rencontreraient
en deux points symétriques, après une demi- rotation du système
autour du point médian de la transversale incluse.

C'est une erreur historique que de prendre comme théorème
fondamental celui-ci : ce Quand deux droites sont parallèles, elles
font avec une transversale des angles alternes égaux, etc.. » Et
Ton souligne Terreur en disant : « Réciproquement, si deux
droites font avec une transversale des angles... ces droites sont
parallèles ». — C'est cela au contraire qui est le point de départ,
et qui se démontre immédiatement sans postulat. Le desideratum
euclidien gît en ceci, savoir : que l'on peut conclure du parallé-
lisme à la non rencontre, tandis que Von ne peut pas se donner
à priori des droites non-sécantes pour en conclure à leur paral-
lélisme (étymologiquement parlant).

La linguistique ne se borne pas à des réformes. Elle condamne
encore la dénaturation du mot asymptote et l'hypothèse gratuite
de deux droites se rencontrant à l'infini sans se couper. Il y a dans
tout ce langage un parti pris d'embrouiller les questions ! Ety-
mologiquement, deux lignes sont <c asymptotes », lorsqu'elles
ne tombent pas l'une sur l'autre. Asymptote est composé de
symptote et de a privatif. Le prétendu postulatum d'Euclide, en
réalité son desideratum, consiste à savoir si la parallèle propre
jouit du monopole de rasymptotisme propre. En d'autres
termes : ce Par un point pris en dehors d'une droite, on ne peut
mener qu'une, parallèle » ; mais il n'est pas prouvé du même
coup que la parallèle dérangée de sa position unique 9a rencon-
trer l'autre droite.

Réservant pour la partie philosophique ce second point, je me
borne à chercher comment nous pourrions exprimer le Lieu de
la première rencontre^ entre deux droites qui tout d'abord ne se
rencontraient pas ?

Pouvons -nous supposer avec Lobatscheflsky que, entre la
sécante et la non sécante, il y a une position limite commune qui
est une simple rencontre, ou un asymptotisme intermédiaire

PHILOLOGUES ET PSYCHOLOGUES 281

entre couper et ne pas couper une droite ? — Mais où cela a-
t-il lieu ? — A l'infini ? mais I'Infini n'est pas un lieu et à l 'infini
n'est pas une locution adverbiale de lieu !

Dira-t-on, avec certain apôtre de la néo-géométrie, « que deux
droites qui se rencontrent au bord du plan, se rencontrent pré-
cisément à l'infini, sans se couper ? » Mais le plan n'a pas de
bord. — Reprenons la preuve a rebours et voyons comment deux
droites sécantes pourraient devenir non sécantes en passant par
une position limite commune entre les deux états.

Par une incorrection nouvelle les non-euclidiens diront que
l'on chasse le point de rencontre à l'infini et qu'il s'évanouit en
cet endroit ? P ?

Le grammairien analyste ne peut tolérer ce puéril jeu de
mots: « Vous chassez un point à l'infini... » Cela signifie que
vous répétez indéfiniment l'opération qui consiste à faire reculer
le point de rencontre. Le plan étant illimité, votre processus est
éternel et vous n'aboutissez jamais à acculer le point dans ses
derniers retranchements. L'expression « à l'infini » est un adverbe
de manière ou de temps, mais non un adverbe de lieu, ainsi que
je le disais plus haut.

Somme toute : une sécante ne devient pas non sécante, dans
un endroit défini, ni à un endroit défini. — C'est une logomachie
abusive ! La mathématique ainsi conçue loin d'être une langue
bien faite, aurait pour véhicule l'argot le plus inintelligible. —
Voilà ce que disent les philologues.

Le philologue enfin pourrait ajouter, mais à titre d'idée direc-
trice seulement, que le mot parallélogramme n'est pas autre
chose qu'une réduction abrégée de « diagramme des parallèles ».
— En tous cas, ce qui est certain et fécond, c'est que le paral-
lélogramme étant défini et construit par le moyen de deux seg-
ments rectilignes qui se coupent par le milieu, on en déduit
toutes les propriétés de cette figure sans avoir recours à aucun
postulat. Suivant que les diagonales sont égales ou inégales,
obliques ou perpendiculaires, et en combinant ces cas entre eux,
on a de quoi définir le rectangle, le losange et le carré d'une
façon admirablement générale, même sur des surfaces non
planes.

a8a R. BARON

DEUXIÈME PARTIE
Contributions psychologiques à l'étude des parallèles.

Les astronomes ont découvert et fait admettre Y équation per-
sonnelle. — Les géomètres auraient pu les devancer de bien des
siècles, si toutefois la géométrie est antérieure à l'astronomie.
L'intuition géométrique n'est déjà pas identique pour tout le
monde. — Le raisonnement géométrique, la preuve géométrique
ne signifient rien, en général, c'est-à-dire abstraction faite de la
culture intellectuelle des gens et de leur tournure personnelle
d'esprit. Cela est la revanche des non-euclidiens : mauvais ter-
minologistes, mauvais logiciens, ils se relèvent aux yeux de tous
par le côté empirique et le relativisme de leur Psychologie. —
Mais c'est tout, ou plutôt non, ce n'est pas tout ! Si les Eucli-
diens eussent tenu la main aux définitions exactes et bien serrées,
jamais leurs adversaires n'auraient osé mettre en avant la notion
de <c deux droites se rencontrant sous un angle nul! ».

Ceci d'ailleurs sera une transition entre la philologie et la psy-
chologie : qu'est-ce qu'un Angle ?

11 y a, ce me semble, un vestige de la négligence ici dénoncée,
lorsque nous cherchons à comprendre ce que les gens veulent
dire en parlant d'un arc de cercle ? Il y a des arcs de circonfé-
rence et des secteurs de cercle, mais il ne faut en aucun cas con-
fondre l'angle biradial avec l'angle-espace. Le psychologue
accuse hautement cette amphibologie : « L'angle est-il une situa-
tion relative de deux demi-droites, ou bien une portion définie
de l'espace plan absolu? » — Répondez. Et comme personne ne
consent à répondre franchement, le psychologue continue sa
grêle de questions :

i° Que voulez-vous dire en annonçant que deux angles adja-
cents égalent deux droits?

2° Qu'est-ce que ces deux angles adjacents dont les côtés dis-
tincts sont en ligne droite ?

3° Qu'est-ce que cette somme des angles autour d'un sommet
commun et égale à quatre droits ?

PU1LOLOGUES ET PSYCHOLOGUES *83

4° Qu'est-ce enfin et surtout (!) que Y espace-bande compris
entre deux parallèles ?

Et, comme personne encore ne veut se compromettre là-des-
sus, nous dirons ceci :

i° L'espace-bande compris entre deux parallèles n'est point
un angle nul, c'est un incomparable à la façon dont Leibniz a
cherché ses infiniment petits.

a Une bande-espace est double ou triple d'une autre, comme
la différentielle (dy) est double ou triple de l'accroissement uni-
taire et étalon (dx) .

3° Une bande, si large qu'elle soit, ne peut en se répétant
devenir une partie aliquote de l'espace plan.

4° Aucun angle-espace, dans le sens véritable, ne peut rester
contenu dans une bande. (Bertrand de Genève).

Nous voici au cœur du sujet psychologique. (Théorie de la
connaissance). On peut faire de la géométrie bidimensionnelle
sur trois faces principales, ayant avant tout cette propriété,
savoir : « Que l'on transportera les figures, d'un endroit en un
autre, sans plissement ». (Je traduis une phrase de Gauss).
L'axiome des axiomes est donc celui-ci : « Transportabilité et
superposabilité des figures ». — C'est le principe majeur de la
technicité géométrique.

Le psychologue est enchanté de voir cette hiérarchie introduite
dans les vieux axiomes jaloux les uns des autres, oligarchistes
et faussement démocrates ! 11 est certain que les axiomes ne se
valent pas... (apodictiquement parlant). — Ce serait trop facile î

L'Euclidien comprendra que sa géométrie n'est ni plus ni
moins vraie que les autres géométries... mais qu'elle est plus
commode ! (Poincaré).

L'Euclidien admettra même, en y mettant un peu de bonne
volonté, que sa géométrie est plane, c'est-à-dire plate, homaloï-
dale, bourgeoise, opportuniste, tempérée, comme une foule im-
mense de choses en ce bas mode ! — Psychologiquement l'Eu-
clidiamsme est encore conforme à son étymologie, c'est la bonxe
clef pour ouvrir les serrures moyennes, sans aucune ironie ! —
Mais il pourrait très bien se faire que le nom d' « Euclide » fût
symbolique en tout cela ?

a8i U. BAROX

A ce point de vue : Euclidianisme = Transigeance = Succès!
Revenons à la géométrie pure.

Il y a certainement une surface sur laquelle la géométrie
euclidienne est craie. — Cela suffit au psychologue. Si Ton veut
que cette surface se nomme « Horisphère », nous la nommerons
ainsi afin d'apaiser les passions. Et puis après ?

Théorème. — Par un point P pris en dehors d'une droite et
par rapport a une transversale donnée, on peut mener autant de
parallèles qu'on sait géométriquement en construire, c'est-à-dire
une seule. Nous y insistons a dessein : une seule :

i° Si le point P est pris sur la transversale même, l'unicité de
la parallèle est évidente, puisque toute autre droite ne ferait pas
les angles voulus au point P avec la transversale donnée.

2° Si le point P est à la fois en dehors de la droite et dé la
transversale, il faut démontrer que du point P on ne peut mener
à la transversale qu'une droite faisant un angle défini en gran-
deur et en direction. — Or, cette démonstration est facile.

Théorème. — Par un point pris en dehors d'une droite, on
peut mener autant de droites asymptotes que Ton sait eu
construire, c'est-à-dire une seule.

Et en effet ce n'est là qu'un corollaire du théorème précédent,
si l'on veut bien se rappeler que la parallèle est la seule droite
asymptote, dans le sens propre des termes.

Mais le philosophe fera remarquer que si la seule droite
asymptote que nous sachions construire est une parallèle, rien
ne prouve qu'il n'y ait pas d'autres droites non parallèles et
pourtant asymptotes dont la construction nous échappe ?

J'avoue que cette dialectique donne envie de jeter par terre
toute la géométrie et même toute géométrie ! — Exemple.

i° Par un point pris sur une droite on peut élever une perpen-
diculaire, ou plusieurs ou pas du tout.

2° Par un point pris en dehors d'une droite on peut abaisser
une perpendiculaire, ou plusieurs ou aucune.

Le géomètre se révolte aussitôt et demande au nom de quel
absurde libéralisme on détruit l'unicité ou la réalité même de la
perpendiculaire ?

PHILOLOGUES ET PSYCHOLOGUES a85

Ce libéralisme n'est pourtant pas si absurde que cela, attendu
que notre procédé pour élever une perpendiculaire est issu de la
croyance que l'espace plan est exactement divisible en deux moi-
tiés et chacune d'elles encore en deux moitiés. Lorsqu'on disait
jadis, pour établir la possibilité de la quadrature du cercle, qu'un
carré inscrit, grandissant jusqu'à devenir un carré circonscrit,
devait à un moment critique passer tout juste par une aire égale
à. celle du cercle, on oubliait que cette croissance continue est
une superstition ; et que en réalité, l'aire croissante du carré
saute par-dessus la valeur incommensurable de Taire circulaire.
L'instant précédent donne un carré encore trop petit, l'instant
suivant donne un carré déjà trop grand.

Chacun de nous attribue au principe de continuité des vertus
diverses. Ainsi, au nom de la continitué absolue on élèvera, je
suppose, une première perpendiculaire sur une droite. Or, au
nom de la même continuité, je défie le géomètre d'en élever
une seconde, à côté. Et voila pourquoi : votre procédé de cons-
truction consistant à faire tourner la future perpendiculaire
autour de son pied, vous ne parviendrez pas à chasser le point
de rencontre à l'infini (voy. plus haut), vous n'atteindrez pas
l'angle aigu de parallélisme et encore moins l'angle droit ! Voilà
où l'on arrive en usant d'une dialectique à outrance. La géomé-
trie finit par être pleine de desiderata.

Conclusions provisoires.

La linguistique et la psychologie nous conduisent à déclarer
incorrecte, dans la forme et dans le fond, toute la théorie des
parallèles. 11 faudrait pouvoir faire abstraction de tout notre
psittacisme à l'endroit de ce trop fameux chapitre. Au lieu de
rabâcher automatiquement les mots, les phrases et les para-
graphes, il faudrait loyalement se demander à quel résultat on
prétend arriver soit par la raison pure, soit par l'intuition empi-
rique, soit par l'emploi simultané de la logique et des notions
expérimentales directes.

i°Si l'on admet notre première rectification, savoir : que deux
droites coplanaires sont parallèles dès qu'elles font des angles
définis avec une transversale définie et imposée au constructeur;

Enseignement math. 19

286 X. BARON

2° Si Ton admet que le parallélisme est la seule condition
. actuellement réalisable # asymptoti&me ou de non rencontre ;

3° Si Ton veut bien songer que la constructibilité des figures
est strictement obligatoire en géométrie propre ;

4° Si l'on veut bien se souvenir que deux lignes se rencontrant
sous un angle nul coïncident dans toute leur étendue ;

Alors on abandonnera sans aucun regret le postulat euclidien,
pour toujours, et sans vouloir combler le desideratum au moyen
d'une géométrie non euclidienne.

En revanche, on saura mieux exprimer ce desideratum, en
remarquant que, par rapport à une transversale définie, deux
droites parallèles à une troisième sont parallèles entre elles,
c'est-à-dire incapables de passer par un même point. Il ne reste
donc qu'une lacune véritable, savoir : que deux droites pourraient
être parallèles à une troisième, mais pas par rapport à la même
transversale.

Dans ce cas, le démonstrateur (?) essayera de faire pivoter ses
transversales autour des points milieux de la partie incluse, afin
de les amener dans le prolongement Tune de l'autre. Bref: il
ramènera ce cas au précédent et il en déduira « triomphalement » !
que par un point P pris en dehors d'une droite on ne peut cons-
truire qu'une parallèle, par rapporta une transversale quelconque.

Cela irait à dire que lorsque deux droites sont parallèles par
rapport à une transversale, elles le sont encore par rapport à
toute autre transversale.

Et maintenant il n'est pas sûr du tout que les non-Euclidiens
renonceraient a leur système favori, parce que ce système con-
siste à se passer du critérium de la constructibilité, en fondant de
toutes pièces une géométrie exempte de contradictions... jus-
qu'à présent... du moins. Or cet appel à la non-contradiction est
un hors-d'œuvre dialectique.

Deux hommes tels que Bertrand de Genève et Lobatscheflsky
sont psychologiquement irréductibles. Leurs grammaires sont
même incompatibles et je n'ose suivre M. Poincaré dans son
audacieux lexique destiné censément à traduire les propositions
du système S en celles du système 2.

PHILOLOGUES ET PSYCHOLOGUES 1*1

J'aimerais mieux, pour mon compte, démontrer d'emblée que
la somme des trois angles d'un triangle ne peut être inférieure à
deux droits (on sait que cette somme ne peut être supérieure à
deux droits). Je me servirais, toujours à l'usage des gens qui ont
ma psychologie, de la notion de I'angle tronqué.

I/angle tronqué est un espace non fermé et néanmoins déli-
mité par 3 droites. Par le fait, c'est un angle-espace diminué
d'un triangle plus ou moins grand. Que
cet espace triangulaire soit négligeable
ou non, il est évident que l'angle tronqué
ne saurait être plus grand que l'angle non
tronqué dont il dérive.

Dans de telles conditions, la somme des
espaces FAD + D ACE + ECG ne saurait
être supérieure à FAD+DBE + ECG et iLen résulte- que la
somme des angles A + B -j- C égale au moins deux angles droits
(angles-espace).

Telle est la tournure de mon propre esprit : je ne vois pas la
faute de logique que je puis commettre en ceci, savoir : « Que la
somme des angles-espace d'un triangle, n'étant ni supérieure, ni
inférieure à deux droits, elle est forcément égale à deux droits. »
Je suis évidemment un vulgaire euclidien, puisque cette preuve
me suffit. — Mais il est probable que je ne serai pas le seul.

P. -S. — Il se dégage de tout ce qui précède que les définitions
fondamentales des angles, des parallèles, des espaces-bandes, des
asymptotes en général, et d'une foule d'idées géométriques telles
que I'angle tronqué, gagneraient beaucoup à un procès impartial
en revision.

J'ai négligé de parti pris des questions curieuses sur les cercles
parallèles de la sphère, les méridiens et la loxodromie, les hélices
du cylindre et du cône, la spirale logarithmique.

Ce que je viens d'exposer rapidement doit suffire pour exciter
l'attention des géomètres désireux d'appuyer leur science sur la
double base d'une terminologie impeccable et d'une psychologie
au contraire très large.

Raoul Baron (Paris).

SUR LA NECESSITE DU POSTULAT D'EUCLIDE

La question du « postulat cTEuclide » semblait élucidée il y a
vingt ans ; l'acceptation totale des idées kantiennes, la considé-
ration de l'espace comme notion à priori fournissait une expli-
cation complète. Il est même étonnant que, dès cette époque,
quelque philosophe n'ait point exprimé cette idée si forte que
formula depuis M. Poincaré : « Il n'y a que des géométries plus
ou moins commodes. »

Depuis quelques années, par suite, peut-être, d'un certain
retour à l'impressionnisme, les polémiques ont repris ; il se
trouve encore des géomètres — si on peut donner ce nom à tous
ceux qui s'occupent de géométrie — qui veulent, sinon démon-
trer le postulat de la parallèle unique, tout au moins lui trouver
une réalité physique. Leur sentiment est-il absurde ? je ne crois
pas, et la réponse qui consiste à leur montrer la représentation
spatiale physique comme possible dans un système géométrique
quelconque est peut-être un peu simpliste. Cet argument ne les
satisfera pas parce que, malgré tout, ils rapprocheront l'image de la
nature, et que quelque chose les choquera qui sera pour eux peut-
être mal défini et à quoi Ton ne saura répondre. Ils défendront
leur sentiment, en quoi il est possible qu'ils aient raison, mais
par des arguments en général peu satisfaisants.

Cherchons quel est le point où ils pèchent.

Le géomètre crée ses postulats par l'observation de certains
éléments fixes ou coordonnés dans l'espace où il agit. Il étend
ces propriétés à un espace indéfiniment étendu, et leur donne
ainsi la forme géométrique ; puis il les développe par combi-
naison, induction et syllogisme et crée ainsi une science qu'il
applique à l'espace physique. C'est là l'emploi rationnel d'un
mode de correspondance bien défini, et l'usage de toute science.

SUR LA NÉCESSITÉ DU POSTULAT D'EUCLIDE 289

Mais ce qu'on doit se garder de faire, c'est après avoir appliqué
cette géométrie à l'espace, de vouloir faire rentrer l'espace dans
cette géométrie, et de ne lui point voir d'existence en dehors.
C'est là une des erreurs fréquentes chez les géomètres. Je leur
dirai en passant qu'ils ne sont point seuls a la faire ; il nous arrive
souvent de prendre nos représentations pour des réalités : je lis
cette phrase d'un géomètre : « Nous ne pouvons imaginer une
courbe sans tangente ». Avons-nous donc à le faire? S'il existe
des fonctions ne présentant point de dérivées, il est probable que
ces fonctions ne sont point représentables par une courbe gra-
phique ou que la tangente a de telles courbes si elle existe, n'est
point représentable par la dérivée. De même, une géométrie doit-
elle. représenter tout l'espace ? Elle a été créée sur un nombre fini
de postulats ; la réalité n'a aucune raison de n'en point demander
un nombre indéfini. Pourtant, parmi ces représentations géomé-
triques, il en est qui nous représentent plus ou moins bien les
objets extérieurs ; en somme, il y a une géométrie sinon plus
vraie, tout au moins plus satisfaisante. Est-ce éducation, ata-
visme ? il se trouve que cette géométrie est celle d'Euclide.

Personne n'oserait dire pourtant que le postulat de la parallèle
ait une réalité ; ni que cette géométrie soit plus simple puisque
la simplicité n est point sur ce point définie. Mais on peut dire
qu'elle conduit à des résultats bien en rapport avec les phéno-
mènes de l'espace ambiant, cela pour la majorité des intelligences.
Chaque géomètre pourrait former sa géométrie : partant de
certains postulats, la développer jusqu'à un certain résultat qui
le surprenne ; particulariser alors ce résultat s'il trouve ainsi
satisfaction et en former un postulat ou bien transformer une
des notions antérieurement admises. On pourrait dans ce sens
développer le beau mémoire de M. de Tilly fondé sur la notion
de distance ; cette méthode suivrait peu le développement didac-
tique d'Euclide, c'est pourquoi j'en proposerai une autre.

Nous aurions pour premier objet de créer sur une surface une
ligne géométrique susceptible de mesure, ligne que nous nom-
merons droite. On devra alors satisfaire aux 3 postulats suivants :
i° Le plan est superposable à lui-même par glissements; 2 La
droite est définie par un point de départ et un point d'arrivée ;
3° La droite est superposable à elle-même par glissements.

*$o LUCAS DE PESLOUAN

De ces trois postulats découlerait la mesure de la droite, puis
Iq définition et la mesure de l'angle. On verrait ensuite qu'une
telle géométrie ne permet pas en général de former deux angles
adjacents ayant leurs côtés sur une même droite et égaux, c'est-
à-dire ne permet pas l'existence de la perpendiculaire, ce qui
nous amènerait alors a créer un quatrième postulat.

4° La droite est superposable à elle-même par rotation dans
le plan autour d'un de ses points.

Ayant vérifié que ce postulat ne contenait aucun des précé-
dents, nous continuerons le développement : nous définirons la
figure symétrique d'une figure donnée (ce qui nous évitera
d'admettre la rotation du plan autour d'une droite) et les rela-
tions entre une figure A et la symétrique B' d'une figure B. —
Passant alors au quadrilatère trirectangle, nous démontrerons
que son angle non droit, aigu ou obtus se conserve pour tout
quadrilatère du plan, restant positif en diminuant quand les
côtés augmentent s'il est aigu, augmentant et toujours inférieur
à 3 droits s'il est obtus.

Nous admettrons alors la notion d'aire ; nous ne pouvons en
général mesurer une aire sans passer par des notions infinitési-
males, mais nous pouvons connaître l'aire d'un triangle en fonction
des angles; si cette fonction est linéaire, nous aurons mesuré Taire.
Toute la mesure de Taire est basée sur ce lemme : deux qua-
drilatères trirectangles qui ont Tangle non droit et un côté adja-
cent égaux chacun à chacun sont superposables.

Ce lemme n'est point vrai si les quatre angles sont droits. On
démontre pour le cas de Tangle aigu ou obtus que Taire du qua-
drilatère trirectangle d'angle non droit égal à A est mesurée par
K(i — A). 11 en résulte donc dans les deux cas que Taire totale du
plan est finie. C'est la un résultat qui présenté ainsi brusquement
surprend; si on ne peut point l'admettre, on se trouve amené
à faire de la géométrie Euclidienne. La géométrie dans l'espace
ne demandera que l'admission du postulat de libre mouvement.

Ce qui a été fait a consisté en somme à remplacer le postulat
de la parallèle unique par un autre d'allure plus intuitive. On
eut pu choisir une marche différente et admettre comme néces-
saire la similitude. Le fait de pouvoir construire une image
réduite d'une figure semble un fait intuitif. Cette réduction avec

SUR LA NÉCESSITÉ DU POSTULAT D'EUCLIDE 291

rapport de grandeur constant n'est possible que dans le système
Euclidien. Il est vrai que l'on peut considérer que cette constance
du rapport ne soit pas une condition nécessaire dans la possibilité
d'une représentation réduite. Mais on admettra qu'il faut tout au
moins que ces rapports ne soient point très écartés les uns des
autres. Cela se peut-il dans un système de géométrie générale. Il
y a là un problème d'analyse que je n'ai point résolu. Il se pose
aisément en considérant les relations de M. de Tilly entre les 1 o dis-
tances de 5 points dans l'espace, soit/(a t , b i9 ...) = o cette relation,
elle devient f(\ a i \ b r ..) = o. Se peut-il que quelle que soit la
valeur des X on n'ait jamais par exemple \ = 2 X 2 . 11 semble bien par
les considérations des surfaces sphériques qu'il n'en soit pas ainsi.

Quel que soit d'ailleurs le résultat, les géomètres ne sauraient
y voir un argument en faveur du postulat d'Euclide. La question
est toute de sentiment. // ri y a pas à savoir si V espace est
Euclidien, mais seulement si les esprits le sont.

Cette forme d'esprit me semble d'ailleurs générale parce
qu'elle se lie à la faiblesse de nos organes sensitifs : nous ne per-
cevons par la vue que des espaces très restreints, nous ne voyons
point les grandeurs dès qu'elles dépassent un certain ordre,
elles n'existent alors que par leur représentation numérique ; les
effets de perspective et de coloration ne sauraient tenir lieu d'un
chiffre. Au point de vue de leur forme géométrique : ou bien ce
sont des éléments qui se reproduisent par addition, et alors nous
les transportons en pensée par glissement les uns à la suite des
autres. C'est de cette façon que nous imaginons le plan comme
infini. Ou bien nous imaginons une représentation des objets par
réduction de rapport, jusqu'à les mettre à même d'être perçus
par nous. C'est dans ce sens que nous sommes Euclidiens, que
seule nous satisfait la géométrie d'Euclide. «Qu'importe, disons-
nous, de savoir que les planètes décrivent une ellipse, si nous
ne pouvons nous représenter une telle ellipse. »

Tels sont les arguments que devraient donner les défenseurs
du postulat d'Euclide ; je ne sais s'ils l'ont fait. Mais ils ont aussi
voulu s'appuyer sur l'expérience, et en cela, je crois qu'ils ont
absolument tort. On a déjà vu plus haut, de cette opinion, une
raison très générale. M. Poincaré en a donné une fort belle à
laquelle il faudrait ajouter quelques mots :

î9* LUCAS DE PESLOVAN

Je croîs d'abord qu'il peut y avoir confusion sur le sens du
mot expérience. Une expérience, dit-on, ne saurait donner un
résultat absolu, elle ne fournit qu'une approximation. Ceci n'est
point si le résultat cherché est qualitatif. Bessel a fait cette
remarque que la définition du plan par la ligne droite n'était pas
a priori cohérente ; il a donc fallu que l'existence du plan fut
expérimentale. Il est vrai que l'expérience est pour ainsi dire
intérieure, que l'on n'aurait point l'idée delà matérialiser, parce
que tout résultat obtenu physiquement né saurait changer notre
notion, et même en dépendrait probablement. De même, les rai-
sonnements faits tout à l'heure sur les figures symétriques à
l'aide des quatre premiers postulats donnaient une géométrie de
la sphère. Nous aurions pu les faire en opérant le retournement
de cette sphère autour d'un de ses grands cercles. C'est là un
procédé qui serait peut-être choquant a priori si le maniement
des sphères en tissus élastiques ne nous l'avait montré pos-
sible ( 4 ). C'est encore là un résultat expérimental tout à fait absolu.
Nous pourrions dire que c'est un résultat expérimental a priori.

On ne saurait raisonner de même au sujet du postulat d'Euclide
(ou du moins de celui que l'on nomme ainsi) parce que, sous
quelque forme qu'on le présente, il offre un caractère quantita-
tif : alors, il est vrai qu'une expérience ne saurait donner un
résultat absolu par suite de la nature même de l'expérience.
Mais je crois aussi qu'il existe une autre raison, c'est que l'expé-
rience ne saurait donner de résultat. La connaissance qu'elle
amènerait au sujet de l'infinité de l'espace, au sujet de sa forme,
est trop élevée pour nos esprits. Le fait d'acquérir de telles certi-
tudes de l'extérieur devrait entraîner dans nos idées cosmogo-
niques une transformation qui ne saurait être aussi brusque. C'est
en nous et non en dehors de nous que nous devons trouver la
raison d'être de tels faits. Peut-être dira-t-on que cette raison
naît d'une métaphysique bien sentimentale. Je n'en discon-
viendrai pas.

Resterait à traiter une question : le rôle donné aux postulats

(*) Il est vrai que la superposition ne se fait pas alors sans déformation. D'ailleurs
les raisonnements géométriques ne supposent pas V indeformabiliU mais seulement
la superposabiliié. La notion d'indéformable n'entre que dans la représentation
graphique du raisonnement.

SUR LA NÉCESSITÉ DU POSTULAT D'EUCLIDE 293

dans renseignement de la géométrie. Nous n'avons point à voir
s'il faut enseigner cette science, mais comment on le pourrait
faire. Faut-il déplorer cette suite de théorèmes du premier et
du deuxième livre, que les enfants savent par cœur? J'ai vu plus
tard que, dans la plupart des ouvrages secondaires, ils n'avaient
même point l'excuse de la précision. Je me rappelle aussi com-
bien d'enfants révèrent la gloire de transformer en théorème ce
« postulatum d'Euclide, que l'on admet sans démonstration »,
ainsi qu'il était écrit en italique. Cela est fâcheux ; le seul sys-
tème serait de ramener ces postulats à des notions intuitives sans
chercher à les expliciter. Y parviendra-t-on pour le postulat
d'Euclide? Je n'ai pu parvenir à le faire, et la méthode employée
plus haut serait mauvaise, car le postulat y agit par négation.
Telle qu'elle est, je la crois plus satisfaisante que celle qu'on
m'enseigna. En dehors de toute transformation, je crois la forme
suivante meilleure que celle que l'on donne habituellement : Le
postulat suivant : « Le lieu des points équidistants d'une droite est
une droite » répond à notre expérience journalière, grossièrement
du moins. Je crois qu'il est plus profitable en ce sens de mas-
quer aux enfants les fondements de la science; tout au moins est-
ce aussi honnête que de leur en dire la moitié. Si d'autre part on
leur ouvrait l'esprit à la géométrie générale, la notion d'un
espace replié sur lui-même ou seulement d'un plan fermé à la
façon d'une surface cylindrique leur semblerait tout a fait bar-
roque. Il n'y a pour eux qu'une géométrie vraie.

Dans un cerveau de dix-huit ans les raisons d'agir ainsi dispa-
raissent et je ne juge point mauvais que l'abord des situations
dans notre société exige une certaine précision dans les con-
naissances géométriques. On peut y apprendre au moins à diffé-
rencier parmi des sensations qui semblent n'avoir pas de lien,
celles qui dérivent d'un même principe, c'est là un utile travail
d'induction.

Ce qu'il faudrait pouvoir apprendre aussi, ce sont les raisons
qui amenèrent Euclide à développer ce seul système. Répondait-
il nécessairement à ce sens admirable de beauté et d'équilibre
qui, dans l'art, créa une perfection? Quelque Helléniste nous le
dira-t-il ?

C. Lucas de Peslouan (Paris).

CHRONIQUE

M. L. Cremona.

La science mathématique vient de faire une perte immense en la per-
sonne de l'un des plus illustres géomètres italiens. M. L. Cremona est
décédé à Rome dans le courant du mois de juin dernier.

M. Cremona donne l'exemple d'une brillante carrière. Il restera
célèbre non seulement par ses travaux scientifiques, mais aussi par les
hautes fonctions qu'il a occupées avec une rare distinction dans l'ensei-
gnement supérieur et dans les affaires publiques; il était sénateur et
fut ministre de l'Instruction publique.

Né à Pavie en i83o, il débuta dans renseignement en qualité de pro-
fesseur au lycée de Crémone, puis à celui de Milan. Ses travaux dans
le domaine de la Géométrie ne tardèrent pas à lui faire obtenir une
chaire universitaire, celle de Géométrie supérieure à l'Université de
Bologne. Il fut ensuite appelé à Rome pour travailler, en qualité de
Directeur, à la réorganisation de l'Ecole d'application des Ingénieurs;
il fut également professeur à l'Université de Rome. M. Cremona était
membre de toutes les académies importantes d'Italie; en outre, la plu-
part des grandes académies de l'étranger lui avaient conféré le titre de
Membre correspondant. D'autre part nous ne saurions oublier que lors
de la création de cette Revue, il nous donna son précieux appui moral
en honorant V Enseignement Mathématique de son patronage.

Les travaux de Cremona se rattachent principalement à la Géométrie
supérieure, pure et appliquée, et à l'Analyse. Doué d'une remarquable
habileté dans la Géométrie, il laisse une série de travaux fondamentaux
d'une grande valeur, notamment dans la Géométrie projective et dans
la théorie des courbes et des surfaces. Sa carrière scientifique demande
des études approfondies qui vont sans doute être entreprises de diffé-
rents côtés; dans cette notice hâtive nous ne pouvons tenir compte des
nombreux mémoires insérés dans les périodiques mathématiques; nous
devons nous borner à signaler les principales monographies.

i. Introduction aune théorie générale des courbes planes (en italien),
Bologne, 1862, édit. allem. i8G5.

'à. Sur les transformations des courbes planes (en italien), Bologne,
i8(i3-f>>.

CHRONIQUE 295

3. Préliminaires d'une théorie géométrique des surfaces (en italien),
Bologne, 1867; édit. aile m., 1870.

4. Les figures réciproques dans la Statique graphique (en italien),
187a; édit. franc., i885.

5. Eléments de Géométrie projective, édit. ital. 1873; édit. franc.,
1875; édit., allem., 1882; édit. angl., 1894.

6. Eléments de Calcul graphique (en ital.); édit. franc., 1875.

Voici donc qu'en quelques années l'Italie perd trois de ses plus
grands savants Biuoscm, Beltràmi et Cremona. Toutefois ce dernier
a encore pu collaborer à la remarquable publication des « Opère Mate-
matiche » de ses deux illustres compatriotes.

H. Fbhr.

N. Bougaiev.

La Russie vient à son tour de perdre l'un de ses plus illustres mathé-
maticiens, M. Bougaiev, professeur à l'Université de Moscou. Né à
Douchet (Gouvernement de Tiflis), en 1837, Nicolas Bougaiev est mort
le -MJ mai (11 juin) iyo3 à Moscou. Après avoir suivi les cours de
l'Université de Moscou et de l'Académie des Ingénieurs à Saint-Péters-
bourg, il fut reçu docteur es sciences mathématiques et nommé profes-
seur à l'Université de Moscou en 1866. Président de la Société mathé-
matique de Moscou, depuis 1891, il fut élu en 1897 membre correspon-
dant de l'Académie Impériale des Sciences de Saint-Pétersbourg. Sa
disparition laissera un grand vide, non seulement en Russie, mais dans
le inonde des mathématiques de tous les pays. Comme M. Cremona,
M. Bougaiev a fait partie du comité de Patronage de L Enseignement
Mathématique, qui se trouve donc cruellement frappé par la perte de
deux de ses plus illustres membres.

Ses principaux travaux, insérés presque tous dans le Recueil mathé-
matique de Moscou, ont porté plus particulièrement sur la théorie des
nombres et l'analyse. Citons d'abord ses deux thèses : « Convergence
des séries » et u Identités numériques se rattachant aux propriétés du
symbole E » (thèse de doctorat). Signalons ensuite sa « théorie des
dérivées numériques » et ses travaux relatifs aux applications de la
théorie des fonctions elleptiques (Recueil math.., t. XI et XII).

On lui doit une série d'articles et d'analyses insérés dans les C. R. de
f Académie des Sciences de Paris et dans le Bulletin des Sciences mathé-
matiques et astronomiques.

A côté de ses travaux purement mathématiques, Bougaiev s'est aussi
occupé de questions philosophiques. Mais il ne fut pas seulement un
savant aux idées larges, il fut également un excellent professeur. Il
laisse aussi un certain nombre d'ouvrages élémentaires, dont un traité
d'Arithmétique et un recueil de problèmes d'Arithmétique.

396 CHRONIQUE

la. Gegenbauer.

Le 3 juin 1903 est mort à Vienne un mathématicien de grande valeur,
M. L. Gegenbauer. Né en 1849, M. Léopold Gegenbauer était profes-
seur à l'Université de Vienne ; il y enseignait plus particulièrement
certains chapitres de la théorie des fonctions et donnait, ces dernières
années, le cours général de calcul différentiel et intégral destiné aux
étudiants en sciences physiques, chimiques et naturelles et aux actuai-
res. Ses travaux appartiennent principalement à l'Algèbre supérieure et
à l'Analyse.

M. Gegenbauer dirigeait, avec MM. G. v. Escherich et F. Mertens,
les Monatshefte fur Mathematik und Physik. Sa mort prématurée
est une perte sérieuse pour ce journal, comme pour la science mathé-
matique en général. Que nos confrères reçoivent nos plus sincères
condoléances.

3° Congrès international des mathématiciens.

Nos lecteurs savent que le prochain congrès international des mathé-
maticiens aura lieu en 1904 à Heidelberg et qu'il sera préparé par
les soins de Y Association des mathématiciens allemands. Le comité
qu'elle a constitué à cet effet vient d'arrêter, dans ses grandes lignes,
le programme du Congrès.

I. — Le Congrès aura lieu du 8 au 1 3 août 1904. Il sera présidé par
M. le professeur H. Weber (Strasbourg). 11 comprendra six sections
qui seront présidées comme suit :

i° Arithmétique et Algèbre : par MM. Kneser et Luroth ;

a Analyse : par MM. Hildert et Schwarz;

3° Géométrie : par MM. Brill, Meyer et Schur;

4° Mathématiques appliquées : par MM. Hauck, Klein et Runge ;

5° Histoire des mathématiques : par MM. Cantor et Staeckel;

6° Enseignement : par Schubert et Treutlein.

En même temps que ce Congrès le Comité organisera la célébration
du centenaire de Jacobi.

II. — Le Comité local se compose provisoirement de MM. les pro-
fesseurs Cantor et Kônigsberger et de MM. les Conseillers Ellmbr,
Fuchs, Krall et Krieger

III. — Finances. Le Gouvernement badois a promis son appui finan-
cier pour une somme de Mk. 3 000.

La carte de membre du Congrès sera délivrée moyennant le paiement
de Mk. !ao; il y aura, en outre, des cartes spéciales, au prix de Mk. 10,
pour les personnes accompagnant un membre du Congrès.

CHRONIQUE *97

La commission des finances se compose de MM. Klein, Schwarz,
Wbber et Krazer; ce dernier fonctionne en qualité de trésorier du
Congrès.

IV. — Programme : Lundi, 8 août 1904 ; 5 h. soir, séance du Comité;
8 h. soir, séance de réception. — Mardi, 9 août; 10-1 h. première
séance générale, discours de M. Kônigsberger; 4 h., organisation des
sections; 6 h. banquet. — Mercredi 10 août, 9-1 1 et 12-2 h. : séances
des sections; après-midi et soir, réunion familière libre. — Jeudi 1 1 août,
10-1 h. ; a* séance générale (a ou 3 conférences); 6 h. illumination du
château. — Vendredi îa août; 9-11 et ri-a h. séances des sections;
après-midi et soir, réunion familière libre. — Samedi i'i août; 9 h.
séance administrative; 10-1, 3 e séance générale (a conférences, clô-
ture du Congrès).

Pendant le Congrès il paraîtra, tous les matins, un journal du con-
grès contenant la liste et l'adresse des participants et le programme de
la journée.

Pour tout ce qui concerne le Congrès, s'adresser à M. le Professeur
Docteur A Krazer, Karlsruhe, 1, B., Westendstr. 57.

V. — Expositions. Le Comité a décidé d'organiser à l'occasion des
congrès une exposition de modèles mathématiques et une exposition des
publications mathématiques. Dans les deux on se bornera, le plus pos-
sible, aux travaux présentés aux cours des dix dernières années.

Ces expositions seront organisées, Tune, par MM. Disteli, v. Dyck
et Mehmke ; l'autre par MM. Gutzmkr et Krazer.

Nous ne pouvons que féliciter le comité de l'excellente résolution de
ces deux expositions ; nous le faisons avec d'autant plus de plaisir que
nous avons nous-mêmes été de ceux qui ont proposé l'organisation
d'une exposition de modèles et instruments mathématiques. 11 est à
désirer que ces expositions restent ouvertes au moins pendant tout
le mois d'août afin qu'elles puissent être visitées par le plus grand
nombre possible de professeurs des divers degrés de l'enseignement
mathématique.

Congrès international de Philosophie.

Sur la demande de la Commission d'organisation nommée au Congrès
de Paris, en 1900, le deuxième Congrès international de Philosophie
aura lieu à Genève en 1904, dans la première semaine de septembre,
sous la présidence d'honneur de M. Ernest Naville, et sous la prési-
dence effective de M. le professeur J.-J: Gourd. Les thèmes proposés
à la discussion seront publiés ultérieurement. Toutes les communica-
tions concernant le Congrès doivent être adressées au secrétaire
général, M. Ed. Claparède, 11, Champel, Genève.

CORRESPONDANCE

Sur la formule du binôme.

Généralement (surtout parmi les élèves) on s'imagine qu'il est impos-
sible d'établir la formule du binôme sans connaître la théorie des com-
binaisons. Or, ce sont là deux choses tout à fait indépendantes Tune de
l'autre. En effet, laissant de côté certaine démonstration de la formule
de Newton, fondée sur la méthode d'induction, et par conséquent peu
propre à figurer dans un cours — je prétends qu'on peut réussir, avec
des débutants, en procédant comme il suit.

Appelons, comme tout le monde, dérivée d'un polynôme entier /(.r),
la limite vers laquelle tend.

f(x + k)-f{x)
h

quand h tend vers zéro, et cherchons, en particulier, la dérivée de
a m , a désignant une constante, et m un entier positif. De l'identité

a(* + A)"»— zx*» = <zh [{x + h)*»- * + (x + h) 1 »-* x+ . . . +x m ~ *]
on déduit

p = m — 1

a(x+ h)» 1 — ax m

a \ (x + A) m - 1 -Pj-P.

Or, quand h tend vers zéro, chaque terme écrit sous le signe S a la
même limite, .r m_1 ; et comme ces termes sont au nombre de w, leur
somme a pour limite mx m ~ l . Donc la dérivée cherchée est m<xx m ~ *.

Ensuite, la dérivée du polynôme f(x) étant la somme des dérivées
de ses termes, on en déduira,

/ , (x)=ma x M - , + (ffi-i)a 1 J! m - ! + ... +« m -i

et pour les expressions des dérivées suivantes :

f'(x)z=:m(m—i)a x m - t + ... + 'jtf TO _ a

f m (x) = m(m — i) . . . 1. 1 . tf n ;

CORRESPONDANCE 299

Puis :

f[ X) =f(o)+ T r(o) + —r(o) + ...+-^ T i'-(o).

En particulier, si f(x) est le développement de (a -\- x) m , ce qui pré-
cède montre que l'on a, en changeant x en a -(- x :

f(x) = m[a -f jr)'»- 1 , /"» = m« m -*
/•''(*) = m (ro — i)(a+jr) w - 2 , f\o) =m(m — i)a m ~\ etc.

et par conséquent

m . , m (m — 1)

a m " 1 .rH - -

1 1.2

V. Jamet (Marseille).

f\x) = a m -{ a m -*x-\ - - a»'-¥+ ...+x w

A propos d'un article sur le calcul des probabilités.

Je demande pardon aux lecteurs de la Revue de prolonger devant eux
un débat qui touche à peine aux mathématiques bien qu'il y soit ques-
tion de probabilités, assez simple d'ailleurs pour que chacun puisse se
faire une opinion personnelle après quelques minutes de réflexion. Mais
MM. Vaschide et Piéron semblant induire de notre discussion que la
fréquentation des formules est un obstacle nécessaire à l'intelligence
des choses, les mathématiciens ne sauraient m'en vouloir de protester
doucement contre cet arrêt de déchéance un peu brutal. En défendant
une dernière fois mon point de vue, je n'aurai pas d'arguments nou-
veaux à présenter ; il suffira de soumettre à un examen attentif ceux
qui ont été produits de part et d'autre.

Je laisse de côté le premier point visé dans ma lettre puisque aussi
bien nous sommes maintenant d'accord et j'arrive de suite à l'argument
du joueur à rouge et noire.

Nos auteurs consacrent plusieurs lignes à la définition, qu'ils jugent
décisive, du mot série. Une série, c'est, d'après eux, une succession de
coups d'une même couleur précédés et suivis d'un coup de couleur
différente. Pour être plus ou moins heureuse une définition n'en est
pas moins essentiellement arbitraire; elle est quelquefois indiquée par
cet ensemble d'actions et de réactions qu'exercent les uns sur les
autres les mots d'une langue et qui constitue son génie, mais elle n'est
jamais imposée par la raison et son seul objet est de préciser et d'allé-
ger le langage. A moins que, comme il arrive quelquefois, le choix d'un
mot n'ait justement pour but d'égarer la raison en lui suggérant cer-
taines idées préconçues et irraisonnées sur le rôle spécial de l'objet
dénommé par rapport aux objets analogues non dénommés; ici, par

3oo CORRESPONDANCE

exemple, d'insinuer que l'apparition d'une série nombreuse donne sur
les événements futurs des renseignements qui manquent lorsque la
série fait défaut. Mais ceci n'est qu'un sophisme ; en bonne logique,
ce n'est pas en discutant sur la légitimité d'une convention verbale, que
j'accepte d'ailleurs comme j'accepterais toute autre, qu'on peut élucider
n'importe quel point de fond, la thèse du joueur par exemple.

On peut présenter cette thèse sous la forme suivante. Un joueur
assiste au jeu de rouge et noire et voit sortir une noire et six rouges
de suite. Si à ce moment il entre au jeu il doit mettre sur la noire, car
les séries de plus de six rouges sont fort peu problables.

Pour rétorquer l'argument, il ne suffît pas de dire avec mes hono-
rables contradicteurs que la notion de probabilité s'évanouit pour un
cas unique. L'assertion est contestable; d'ailleurs si l'avantage, bien
qu'aléatoire, existe pour un coup unique, il se manifestera certainement
lorsqu'on répétera l'épreuve. 11 n'y a donc là qu'un semblant de réfuta-
tion.

Voici ma réponse. Toute question de probabilité repose en dernière
analyse sur une convention plus ou moins déguisée, parfois si natu-
relle qu'elle passe inaperçue, et relative à l'énumération des £as regar-
dés comme également vraisemblables. Il entre ainsi dans la notion
même de probabilité, en tant que grandeur, un élément irrationnel ne
relevant que du sens commun. De là résulte qu'à moins d'être incohé-
rente, aucune affirmation sur la probabilité ne peut être qualifiée
d'impossible ou d'absurde ; tout au plus pourra-t-on l'appeler bizarre
et contraire au bon sens.

Devant le sens commun le joueur a tort. Si le hasard règle seul
l'arrivée des couleurs et que, pour éviter toute supercherie, on suppose
aveugle et sourde la personne chargée de le consulter, il est impossi-
ble d'imaginer par quel moyen s'exercerait l'influence supposée des
coups joués sur les coups à jouer et, en réalité, l'apparition d'une série
si prolongée soit-elle ne donne pas le moindre indice sur la couleur qui
va sortir. La répugnance qu'éprouve un cerveau bien fait à admettre le
contraire me paraît même empêcher seule nos contradicteurs de se
ranger purement et simplement à l'avis du joueur. En tout cas si l'on
adoptait le point de vue de ce dernier, on ne pourrait plus supposer cons-
tante, comme l'ont fait par inadvertance MM. Vaschide et Piéron p. 16,
la probabilité de l'apparition d'une noire quels que soient les coups
déjà joués.

Dans la supposition inverse, qui est la nôtre, la probabilité de

chaque couleur est — à chaque coup. D'où résulte par les principes

du calcul des probabilités, que les séries homogènes sont a priori
d'autant moins vraisemblables qu'elles sont plus longues. Le seul motif
invoqué pour démontrer la thèse est justement la rareté de ces séries;
mais on ne peut faire état en faveur de la thèse d'une propriété qui est
une conséquence de la négative.

CORRESPONDANCE 3oi

Quant à l'analyse employée par MM. Vaschide et Piéron pour mettre
en évidence une contradiction inhérente à notre théorie et d'après
laquelle les séries de 7, 8, 9 rouges devraient être aussi probables que
celles de 6, elle n'est pas exacte.

On a déjà joué 7 coups; si l'on amène noire au 8 e coup, événement de

probabilité — , la série sera de six rouges; si c'est rouge, événement

dont la probabilité est aussi — , la série sera de plus de 6 rouges, on

ne saura de combien au juste qu'en continuant la partie. La probabi-
lité de faire une série de 7 rouges sera celle d'amener d'abord rouge

puis noire, on égale à — . De même, la probabilité de faire une série

4
de 8 rouges sera celle d'amener deux rouges de suite, puis noire, ou

égale à — - • La probabilité de faire une série de 9, 10... rouges sera

o

donnée par les nombres — — , -—— , etc. Ainsi la probabilité de faire
une série de plus de six rouges est h ir H r + . . . = — et se

4 o 16 2

trouve égale, comme il fallait, à la probabilité d'amener rouge au
8 e coup.

En résumé la thèse et sa négative sont deux affirmations aussi justes
Tune que l'autre au point de vue purement logique. La thèse n'est
accompagnée d'aucune preuve, la négative seule satisfait cette obscure
intuition du vrai qui est le bon sens. Le bon sens, il est vrai, peut se
tromper et doit s'incliner devant les arrêts de l'expérience. Jusqu'à
quel point peut-on parler d'expérience en matière de probabilité et
quelle est la valeur démonstrative de cette expérience ? C'est là une
question délicate d'un haut intérêt pratique et philosophique à peine
abordée dans les traités classiques. En attendant la solution définitive
de cette question, à laquelle MM. Vaschide et Piéron nous ont apporté
une intéressante contribution, il reste au joueur, s'il veut faire triom-
pher son dire, à instituer des essais où l'on comparera les successions
de 6 rouges suivies d'une noire aux successions de six rouges suivies
d'une rouge. Je doute fort pour ma part que ces dernières soient moins
fréquentes que les autres.

G. Caillkr (Genève).

Enseignement math.

BIBLIOGRAPHIE

F. Bohnert. — Elementare Stéréométrie. — Un vol. cartonné, i83 p.,
Collection Schubert; prix : Mk. 2,40; G. -F. Goeschen, Leipzig, 190a.

Nous recommandons cet ouvrage à tous ceux qui enseignent la Géométrie
dans l'Espace . Ils y trouveront, présentés sous une forme à la fois simple
et claire, un certain nombre de problèmes, qui, malgré leur utilité immé-
diate, n'ont pas encore reçu, dans renseignement secondaire supérieur, la
place qu'ils méritent.

L'auteur divise son ouvrage en deux parties. Dans la première, après avoir
étudié les théorèmes concernant la droite et le plan et qu'il a réunis sous le
titre de Stéréométrie de position, il passe à l'étude des angles polyèdres,
puis il examine le calcul du volume des solides géométriques les plus simples
en se basant sur le principe de Cavalieri. Sont encore étudiés les propriétés
les plus importantes et les problèmes fondamentaux concernant la sphère et
les polyèdres réguliers.

La seconde partie contient le calcul du volume des solides géométriques
groupés d'après la classification de Hkinze, puis les règles de Simpson et de
Guldin et leurs applications. L'ouvrage se termine par un court aperçu des
sections coniques envisagées comme sections planes d'un cône de révo-
lution. H. F.

J. Boussinesq. — Théorie analytique delà chaleur mise en harmonie
avec la thermodynamique et avec la théorie mécanique de la lumière.
Tome i er . Problèmes généraux. — Un vol. gr. in-8°, XXVII-333 p. ; prix :
xo francs ; Gauthier-Villars, Paris, 190*2.

Au début du xix° siècle, Fourier, en découvrant la manière de mettre en
équation les problèmes de la théorie analytique de la chaleur et la méthode
d'intégration la plus convenable, a fondé Tune des branches les plus simples
de la Physique mathématique.

Fourier et tous ceux qui Font suivi ont assimilé la chaleur à une substance
indestructible sans cesse en mouvement pour passer des corps chauds aux
corps froids ; et il a encore envisagé les corps solides comme étant com-
posés d'un nombre immense de molécules, maintenues à d'imperceptibles
distances et à des températures diverses et qui se céderaient les unes aux
autres de la chaleur suivant la loi de Newton. C'est l'hypothèse du rayon-
nement particulaire. Les principes de la théorie mécanique de la chaleur
ont montré, au contraire, que la chaleur est de la nature d'un travail;
c'est donc en partie de l'énergie actuelle, ou cinétique, du mouvement vibra-
toire invisible des molécules des corps, et en partie de l'énergie potentielle
développée par les forces en jeu dans ce mouvement.

BIBLIOGRAPHIE 3o3

Dans cette nouvelle manière d'envisager la chaleur, chaque molécule, dans
un instant infiniment petit de son mouvement vibratoire, affectera les phases
et les vitesses les plus diverses ; la température d une molécule, qui est
quelque chose d'indépendant de ces phases, ne peut avoir une valeur dis-
tincte pour chaque point, matériel et il n'est plus possible d'attribuer une
température propre à chaque molécule ; l'hypothèse du rayonnement parti-
culaire ne saurait plus subsister.

M. Bonssinesq s'est proposé d'exposer, dans un traité, dont le premier
volume seulement a paru, la théorie de la propagation de la chaleur en se
fondant sur les principes de la thermodynamique .

Il faut avant tout préciser la signification de quelques expressions; définir
le flux de chaleur, la température d'un corps, etc .

Les molécules des corps sont animées de mouvements visibles quelconques
et, de plus, soumises à des vifs mouvements vibratoires irréguliers, mais
invisibles, en tant que mouvements, d'amplitude très faibles et de périodes
extrêmement courtes autour d'une position moyenne. L'énergie d'un petit
élément de volume, à cause de la non-participation des centres de gravité
des particules au mouvement invisible, se compose seulement de l'énergie du
mouvement visible et de l'énergie (évaluée en calories) du mouvement invi-
sible ou calorifique, dite chaleur sensible du corps. Elle pourra se rappor-
ter à l'unité de volume.

Envisageons l'énergie potentielle : la partie qui correspond aux actions
mutuelles, qui s'exercent à des distances perceptibles, est constante ; la
partie qui correspond aux actions moléculaires (énergie potentielle interne)
s'exprime par simple addition des valeurs qu'elle a dans les divers éléments
de volume du corps considérés séparément. Elle comprend l'énergie pure-
ment élastique et celle dépendant de l'agitation calorifique. C'est la chaleur
potentielle, qui pourra aussi se rapporter à l'unité de volume.

La somme de la chaleur sensible et de la chaleur potentielle, par unité
de volume, sera la chaleur totale.

Le travail élémentaire des forces extérieures comprend le travail des pres-
sions ou des actions physiques exercées à la surface du corps dans son
mouvement visible et le travail de ces mêmes actions dans le mouvement
calorifique.

Ce dernier est, par définition, le flux de chaleur entré dans le corps par
les divers éléments de sa surface dans l'instant dt.

Si les mouvements visibles sont très faibles, l'énergie actuelle ou poten-
tielle ne comprend à très peu près que la partie calorifique. Alors le prin-
cipe de la conservation de l'énergie nous donnera, en commun avec l'ancienne
théorie, les' principes fondamentaux de l'égalité entre les flux de chaleur
qui pénètrent dans le corps par sa surface et l'accroissement de la chaleur
totale d'un instant à l'autre ; et de l'égalité entre la chaleur gagnée par un
corps à travers une partie quelconque de sa surface et celle perdue par la
matière extérieure contiguë.

Mais avant d'en développer les conséquences, M. Boussinesq veut appro-
fondir la nature de cette agitation moléculaire invisible et très rapide qui
constitue la chaleur ; pour cela il examine, d'une manière qui n'est pas la
chose la moins originale de son livre, les phénomènes de la chaleur rayon-
nante et de la lumière dans l'éther libre.

Qu'est-ce que l'éther, et quelles propriétés devons-nous lui attribuer ?

304 BIBLIOGRAPHIE

La résistance extrêmement faible que l'éther oppose aux mouvements des
corps célestes nous oblige à le considérer comme un fluide d'une extrême
mobilité et d'une densité presque nulle. Lord Kelvin a calculé que la den-
sité de l'éther n'est pas moindre que io~ 20 de celle de l'eau, et peut atteindre
io - *• ou un peu plus.

Mais cette fluidité est-elle conciliable avec la transversalité des vibrations
qui constituent la lumière ou la chaleur, puisque les fluides, doués seule-
ment de l'élasticité de volume, ne peuvent pas transmettre des vibrations
transversales comme les solides ?

L'excessive brièveté des vibrations lumineuses, qui se succèdent de près
d'un quatrillion par seconde, explique l'apparente anomalie. En effet, dès
qu'un liquide ou un gaz est agité, sa fluidité est détruite ; des pressions
obliques, comme dans un corps isotrope déformé, s'y développent. Les
liquides et les gaz, grâce à une évolution imperceptible et appropriée des
molécules, reforment sans cesse d'eux-mêmes la parité de constitution ; mais
cela exige un certain temps et cette évolution n'est plus possible lorsque les
molécules doivent exécuter plus d'un trillion d'imperceptibles vibrations par
seconde. Donc, pour ces vibrations, l'éther se comporte comme un solide
isotrope. Mais il y a plus : l'uniformité de la propagation des mouvements
ondulatoires exige que le milieu où ils se transmettent se comporte comme
une masse déformablc et continue. On doit encore admettre que les inter-
valles séparant les molécules d'éther et les distances auxquelles s'exercent
les actions en jeu dans le mouvement vibratoire, se réduisent à des fractions
extrêmement faibles de la longueur d'ondulation X ; sans cela les équations
aux dérivées partielles de la propagation cesseraient d'être homogènes
comme le supposent les lois simples de la physique et elles ne seraient non
plus du second ordre.

Le phénomène de la dispersion dans tous les milieux où l'éther est par-
semé de molécules pondérables, prouve au contraire qu'il n'en est pas de
même de la matière pondérable.

Dans toute théorie de la dispersion, on doit découper dans les corps
transparents de petits volumes constitués de même à côté les uns des autres
et de dimensions comparables à X. Alors les variations des déplacements
vibratoires sont des différences finies ; leur développement en série de Tay-
lor introduit dans les équations du mouvement des dérivées d'ordre supé-
rieur ; les équations ne sont plus homogènes, ce qui entraîne la variabilité
de la vitesse de propagation avec X, c'est-à-dire la dispersion.

Donc, malgré l'extrême faiblesse de sa densité, l'éther renferme par unité
de volume incomparablement plus de particules que n'importe quelle matière
pondérable.

Cela exige que nous nous représentions l'éther comme une poussière ato-
mique de points matériels presque sans masse, assez petits et assez rappro-
chés pour qu'on puisse le considérer comme un fluide continu. Son action
sur une molécule pondérable en repos ou en mouvement restera toujours
peu sensible pour la mouvoir ou pour la retenir ; il sera très élastique pour
l'énorme intensité des actions atomiques, à la manière d'un solide isotrope;
il pourra propager les vibrations transversales qui constituent la lumière ou
la chaleur rayonnante avec une prodigieuse vitesse, grâce à l'extrême fai-
blesse de sa densité qui le rend presque dépourvu d'inertie ; mais il ne pourra
transmettre des ondes à vibrations longitudinales, surtout si elles sont d'am-

BIBLIOGRAPHIE 3o5

plitude appréciable, comme celles qui constituent le son dans l'air ou dans
l'eau.

L'équation qui régit, à une première approximation, la propagation des
vibrations transversales de l'éther et dont M . Boussinesq donne aussi une
démonstration directe sans rien emprunter à la théorie de l'élasticité, montre
a posteriori les propriétés déjà admises.

Qu'arrivera-t-il lorsque les ondulations lumineuses ou calorifiques pro-
pagées dans l'éther libre arrivent à la surface d'un corps et pénètrent dans
ses espaces intcrmoléculaires ?

L'hypothèse la plus naturelle est de supposer l'éther où baignent les molé-
cules des corps solides ayant la même densité et, par suite, la même élasti-
cité de l'éther libre de même que l'air ou l'eau ne subissent aucune
modification appréciable par le fait des poussières qui s'y trouvent dissé-
minées. Les molécules du corps, énormément plus denses que l'éther, et
qu'on pourra considérer comme absolument fixes, opposeront une résistance
aux vibrations de l'éther lorsqu'il sera animé par une série d'ondes. La résis-
tance opposée par des corps fixes à un fluide qui les entoure et dont les
mouvements sont à courte période, se compose de deux parties dont Tune
est proportionnelle à l'accélération, l'autre à la vitesse du fluide. Si un pro-
jectile traverse l'air ou l'eau, c'est cette seconde partie qui est prépondé-
rante ; tandis que dans le mouvement d'un pendule de faible longueur, c'est
la première et sa mise en compte dans l'équation du mouvement ne pro-
duit qu'un accroissement fictif de la masse. Pour l'éther, l'accélération

absolue moyenne est de l'ordre de — — , tandis que la vitesse est de l'ordre

de — , si x est la période du mouvement vibratoire; la résistance est donc

proportionnelle à l'accélération. Les équations du mouvement ondulatoire
de l'éther d'un corps isotrope transparent ou diathermane se déduisent aus-
sitôt, et Ton arrive, comme pour le pendule, à la conclusion que la résistance
des molécules pondérables portera fictivement la densité p de l'éther à la
valeur p (i -f- a), et de là se motive, d'une manière toute naturelle, l'hypo-
thèse de Fresnel des inégales densités de l'éther dans les divers corps trans-
parents, malgré la constance de son élasticité. La longueur d'ondulation est
réduite dans le rapport de ^i-\-ol à i, et comme elle est encore très grande
par rapport aux intervalles moléculaires, a ne doit pas être trop grand ;
c'est une première condition pour la transparence ou diathermanéité d'un
corps. tJne autre condition se trouve en considérant que les molécules pon-
dérables, dans ces corps, n'ont aucune action mutuelle ; c'est-à-dire que
chaque molécule se comporte comme si elle était soustraite à l'action des
autres ; alors la matière pondérable ne reçoit de l'éther que des quantités
absolument négligeables d'énergie actuelle ou de chaleur sensible ; c'est la
deuxième condition.

Si ces deux conditions ne se vérifient pas, le corps acquiert opacité ou
athermanéité ; le mouvement cesse d'être ondulatoire et devient une agitation
irrégulière. Les équations du mouvement ne sont plus linéaires, homogènes
et à coefficients constants ; le fait capital de la composition et de la simple
superposition des déplacements, leur indépendance mutuelle, cessent d'avoir
lieu. L'agitation calorifique est rebelle à notre analyse. Elle est encore pos-
sible dans les mêmes hypothèses des corps transparents, c'est-à-dire si le

3o6 BIBLIOGRAPHIE

rayon d'activité des actions moléculaires est assez court et les molécules pon-
dérables assez rapprochées, pour que l'énergie actuelle puisse se communi-
quer largement à ces molécules sans perdre son caractère ondulatoire.

L'intensité de cette agitation irrégulière est mesurée par l'énergie vibra-
toire totale, car on ne peut parler non plus, comme pour le son et la lumière,
de la hauteur et de la couleur. Voyons si elle produit quelque effet sensible.

Si dans une particule en repos les molécules viennent à osciller calorifi-
quement, nous aurons des rapprochements et des écartements entre les molé-
cules, qui produiront des répulsions et des attractions. Mais les premières,
qui assurent l'impénétrabilité, sont beaucoup plus intenses que les secondes,
qui assurent la cohésion ; alors il y aura, sur tout élément plan, un excédent
des répulsions et une pression notable intérieure qui produira un mouve-
ment sensible d'expansion, c'est-à-dire une dilatation. Cette dilatation, qui
donne une mesure de l'intensité de l'énergie, n'est pas aisément mesurable
dans tous les corps ; on ne pourrait même comparer que les intensités d'uu
même corps sans avoir une échelle unique. LaJoi physique de l'équilibre de
température, par laquelle un corps communique une partie de sa chaleur à
ceux qui le touchent et qui sont à l'état de repos interne, jusqu'à ce que l'agi-
tation de ceux-ci ait atteint une certaine limite, permet de faire servir un
seul corps pour établir les degrés d'agitation calorifique des corps. En effet,
si les deux corps sont de même nature, cette limite, pour le corps primitive-
ment froid, n'est autre chose que l'état du corps chaud à l'état d'équilibre ;
alors on pourra comparer les degrés d'agitation de tous les corps de même
nature avec ceux d'un autre corps choisi à volonté (thermomètre). La loi
* expérimentale que deux corps en équilibre de chaleur avec un troisième, le
sont entre eux, pourra faire adopter pour tous les corps un même thermo-
mètre ou une même échelle. Chaque degré de cette échelle est une tempéra-
ture.

Dans chaque question le zéro sera déterminé par la température la plus
importante ; l'excédent u sur celle-là de chaque température effective n'aura
que des valeurs petites par rapport à la température absolue. Par consé-
quent la chaleur totale y par unité de volume sera de la forme

T =A + C«,

A étant la valeur de y à la température absolue du zéro choisi ; C la chaleur
spécifique du corps par unité de volume. La variation de la chaleur totale,
produite par les changements de température survenus pendant dt, aura pour
expression

dt Çc^-dw=dj\dm

et, en vertu de l'équation des forces vives, elle sera égale au flux à travers la
surface du corps.

Mais pour exprimer le flux en fonction de u, afin d'obtenir l'équation aux
dérivées partielles de la propagation de la chaleur, encore un pas est à faire.
Avant tout la propriété que la chaleur totale cédée à un élément de volume
par la matière environnante égale la somme algébrique des flux qui traver-
sent ses diverses faces en venant du dehors, presque évidente dans l'ancienne
théorie, n'est pas moins vraie ; c'est ce que prouve un raisonnement bien

BIBLIOGRAPHIE 3o7

simple. Lorsqu'on . un état normal, c'est-à-dire si *L est fini, la somme

algébrique des flux de chaleur venus du dehors à travers les diverses faces
d'un élément de volume, est comme infiniment petite comparativement à leur
somme arithmétique. C'est le principe de la quasi-neutralisation des flux de
chaleur.

Deux applications capitales sont les suivantes :

La continuité des flux, pour unité d'aire, relatifs aux éléments plans qui se
déplacent dans le corps parallèlement à eux-mêmes.

L'égalité des flux à travers les deux faces de la couche sépara tive de deux
corps ou milieux contigus.

Dès lors on peut faire les considérations bien connues de Cauchy qui
introduisent les flux principaux relatifs aux axes coordonnés, le flux maxi-
mum ou courant de chaleur, etc.

M. Boussinesq, en poursuivant les recherches de Lamé et Duhamel, a pu
obtenir dans la représentation géométrique de la théorie des flux, tout en
restant dans le cas le plus général, beaucoup de simplicité et d'élégance.

Les composantes des flux suivant les axes sont des fonctions linéaires des
trois dérivées^de la température u; on a donc en général neuf coefficients de
conductibilité : six indirects et trois directs positifs. Ils se réduisent à trois
dans les corps à contexture symétrique, et à un seulement dans les corps
isotropes. Le flux maximum ou courant de chaleur, et le flux qui traverse
l'élément plan isotherme u = cos t en venant du côté de la normale positive
(pente de température) ne tiennent pas au choix des axes. Ils donnent lieu a
considérer deux coefficients de conductibilité ; l'un suivant le courant, l'autre
suivant la pente de température. La représentation de ce dernier se fait par
l'ellipsoïde principal de Lamé. Pour les axes de cet ellipsoïde, les six con-
ductibilités indirectes sont deux à deux égales et de signes contraires. En
particulier, Jes milieux où ces six conductibilités sont égales deux à deux, se
comportent, au point de vue de la propagation de la chaleur comme s'ils
étaient symétriques. Dans ce cas il existe un potentiel des flux et l'ellip-
soïde de Lamé et son réciproque suffisent, comme on sait, à la représenta-
tion de la conductibilité suivant la ligne de pente de température et la ligne
du courant. Mais les constructions de Lamé ne suffisent plus dans le cas
d'une contexture non symétrique. Alors la considération d'un autre ellipsoïde
dont les rayons vecteurs représentent, par leurs carrés, les conductibilités
des courants qui ont leur direction (ellipsoïde de conductibilité), permet de
donner, de la manière la plus élégante, la construction générale des courants
de chaleur, étant donnée, dans une particule, la disposition des éléments
plans isothermes, et inversement. Ces constructions se simplifient dans les
barres, les plaques minces et les cristaux

On a maintenant tous les éléments pour la recherche, selon les méthodes
usuelles, des équations de la propagation de la chaleur dans les corps ather-
manes sans source intérieure ou dans les corps diathermanes.

L'auteur en effet déduit les équations indéfinies et à la surface dans divers
cas d'échauffement par rayonnement, par convection, etc. Il aborde même la
question si épineuse de savoir si les équations de la propagation déterminent
les températures successives, c'est-à-dire la question de l'existence d'une
solution, au point de vue de l'analyse, dans les problèmes de la théorie
analytique de la chaleur. L'essai de démonstration esquissé par l'auteur,

3o8 BIBLIOGRAPHIE

emprunte nécessairement encore quelque chose à l'expérience ; mais M. Bous-
sinesq, très justement, observe que :

« Nous sommes loin encore de l'époque (si elle arrive jamais) où la Phy-
sique mathématique pourra ne faire appel à l'observation que pour poser les
premiers principes de chacune de ses branches et où elle se dispensera de
baser purement et simplement sur l'expérience, dans ses démonstrations, le
postulatum de la variation graduelle de toutes les fonctions qu'elle emploie. »

M. Boussinesq ne veut pas entrer dans le détail des recherches récentes
de MM. Poincaré, Stekloff et Le Roy.

En revanche, on peut démontrer rigoureusement l'unité de la solution et
aussi que tout problème de la théorie de la chaleur se ramène à deux pro-
blèmes fondamentaux : celui du refroidissement simple et celui des tempéra-
tures stationnaires.

Dans le problème général du refroidissement, quelle sera la forme géné-
rale de l'intégrale ? Si l'on substitue à l'ensemble des corps un nombre très
grand de points fixes, on obtient un système d'équations linéaires du premier
ordre, dont la forme de l'intégrale est connue ; alors, par simple induction,
on est conduit à l'expression générale de la température et qui se compose
par addition de solutions simples d'une forme connue. C'est bien ce qu'il
faut demander directement aux équations du problème. Dans les corps à con-
texturc symétrique, les solutions simples ne contiennent aucun facteur tri-
gonométrique ou algébrique eut; elles sont donc de la forme e~" lt u. Ces
exponentielles sont décroissantes et m satisfait à une équation caractéris-
tique à racines toutes réelles. La première solution simple correspond à la
plus petite racine m Q . M. Picard, dans un cas particulier, a établi que cette
racine est simple ; c'est ce qui arrive encore dans tous les cas connus ; il ne
lui correspond donc qu'une seule fonction u. Qu'arrivera-t-il si le temps
croît au point de rendre e~~ mt très petit? La série formée par les solutions
simples, se réduira presque au premier terme

qui conserve un même sigDe dans toute l'étendue du système, comme l'a
démontré M. Poincaré.

Ce premier terme exprimera donc la température bien avant qu'elle s'an-
nule physiquement. Son mode de distribution aux divers points, exprimé
par m est invariable, indépendant de l'état initial et déterminé uniquement
par la constitution géométrique et physique du corps. Non seulement, donc,
l'état final (u = o) est indépendant des irrégularités de l'état initial, mais le
phénomène s'harmonise aussi dans sa marche, au point de se débarrasser
des inégalités accidentelles durant une longue période dès qu'il a atteint ce
qu'on appelle, suivant Fourier, son état pénultième,

M, Boussinesq, enfin, n'expose pas seulement des théories générales: il
les applique aussi au beau problème de Fourier de la température du sol
terrestre, à l'arinille, à l'étude comparée du refroidissement de la sphère et
du cube, etc.

Je ne me flatte pas d'avoir mis en évidence toutes les beautés du livre de
M. Boussinesq, dans cet exposé nécessairement sommaire.

M. Boussinesq, dans l'exposé de chaque question, veut être, avant tout,
physicien ; dans les solutions finales, sans de grandes complications de for-

BIBLIOGRAPHIE 3<>9

mules, il cherche à lire les grandes lois, suivant le modèle à jamais célèbre
de l'œuvre immortelle de Fourier. Il essaie d'expliquer la nature intime des
équations différentielles du problème à traiter, il soumet à une discussion
approfondie toutes les hypothèses et, chose tout à fait capitale, les dévelop-
pements analytiques lui sont presque toujours suggérés par des considéra-
tions mécaniques ou physiques.

Ce sont des qualités que nous voudrions trouver dans tous les traités de
Physique mathématique et qui rendent très instructive la lecture de l'ouvrage
si éminemment philosophique de M. Boussinesq.

R. Marcolongo (Messine).

Rob. Fricke. — Hauptsàtze der Differential und Integral-Rechnung,

zusammengcstellt als Leitfaden zum Gebrauch bei Vorlesungen. Dritte
umgearbeitete Auflage. — Un vol. in-8° ; ai8 pages ; prix : Mk. 5 ; Friedr.
Vieweg u. Sohn, Braunschweig, 190*.

Ce volume contient le résumé des éléments de Calcul différentiel et inté-
gral indispensables aux techniciens. En le rédigeant, M. Fricke a rendu un
grand service à une catégorie importante d'étudiants. Nous en voyons la
preuve dans la rapidité avec laquelle les deux premières éditions ont été
enlevées .

Il va de soi que, bien qu'il soit destiné aux élèves des écoles techniques,
ce volume n'a pas pour but de remplacer un traité. Suivant le but que s'est
proposé Fauteur, ce résumé est destiné, avant tout, à permettre aux étudiants
de suivre plus facilement le cours de Calcul différentiel et intégral et à leur
donner un canevas pour le travail de revision.

Voici les titres des cinq sections qui constituent ce volume : Introduction.
Les bases du Calcul différentiel. Application du Calcul différentiel. Bases et
applications du Calcul intégral. Fonctions de plusieurs variables indépen-
dantes. Introduction à la théorie des opérations différentielles. Appendice :
Nombres complexes et fonctions à une variable complexe. H. F.

Netto (D r Eug.) . — Lehrbuch der Combinatorik. — Un vol. cart. in-8°,
a6o p. ; prix : Mk. 9. — B.-G. Teubner, Leipzig, 190a.

Depuis la publication de l'ouvrage d'OtTTixcER, Lehre von den Combina-
tionen, 1837, il n'avait paru aucune monographie sur ce même sujet. L'ana-
lyse combinatoire s'est pourtant enrichie d'un grand nombre d'importants
travaux ; de nouveaux problèmes ont été soulevés, tandis que certains pro-
blèmes anciens ont pu être généralisés. Ces matériaux, disséminés dans un
grand nombre de revues, viennent d'être réunis et groupés d'une façon métho-
dique par M. Netto. Il faut reconnaître que cet ouvrage répond à un réel
besoin et que nul n'était mieux désigné pour entreprendre un travail aussi
aride que le savant professeur de Giessen.

M. Netto présente l'analyse combinatoire comme une science indépen-
dante ayant à résoudre des problèmes qui lui sont propres. Son exposé
ne sera pas seulement le bienvenu auprès de ceux qui s'intéressent spéciale-
ment à ce domaine, il rendra également de grands services à tous les mathé-
maticiens, car aujourd'hui les notions de l'analyse combinatoire interviennent
dans les domaines les plus divers.

L'ouvrage est divisé en treize chapitres. Le premier traite des opérations

3io BIBLIOGRAPHIE

combinatoires ordinaires telles qu'on les trouve dans les manuels d'Algèbre ;
on y. rencontre cependant quelques problèmes plus généraux, que l'on n'a
pas coutume de rencontrer dans les ouvrages élémentaires. A ces notions se
rattachent, dans le deuxième chapitre, le théorème du binôme et ses exten-
sions dues à Àbel et à Burg et le théorème du polynôme.

Dans le chapitre m, consacré aux complexions avec ordre limité, sont
traités un certain nombre de problèmes célèbres tels que le Proteus- Verse,
corrigé par M. Netto, les problèmes des déterminants de Weyrauch et de
Longchamps, le problème de M. Cantor-Baur, etc.

L'auteur présente ensuite (chap. iv) la théorie de l'inversion, à laquelle
vient se rattacher le théorème de Metzler, et la théorie des séquences, d'a-
près les travaux de M. Désiré André.

Les trois chapitres suivants traitent des combinaisons et des arrange-
ments relatifs à une somme donnée et des propriétés relatives à la décom-
position d'un nombre en m addendes satisfaisant à des conditions données.
La résolution de ces problèmes repose, en grande partie, sur les travaux de
Sylvestre ; elle donne lieu à une série de beaux théorèmes et exercices qui
se rattachent plus particulièrement à la théorie des nombres.

Le problème analogue de la décomposition d'un nombre en m facteurs est
examiné dans le chapitre suivant ; les développements analytiques auxquels
il donne lieu fournissent d'intéressants théorèmes et se trouvent appliques
aux problèmes de Môbius et de Scherk.

L'auteur étudie ensuite (chap. ix) les autres opérations combinatoires ; il
examine, entre autres, les permutations circulaires, et, dans les problèmes,
ceux de Catalan et de Schrôder. Puis vient une étude approfondie du pro-
blème de Steiner et Kirkmann relatif à la formation de groupes de 3 élé-
ments pris dans n éléments donnés, les groupes étant tels que tout couple de
deux éléments Cgure, et une fois seulement, dans un groupe.

Dans le chapitre suivant, M. Netto présente les principales applications
de l'analyse combinatoirc, puis il groupe, dans le dernier chapitre, les for-
mules fondamentales étudiées dans ce livre.

Dans ce domaine des mathématiques il reste encore bien des problèmes à
résoudre ; l'auteur en signale un certain nombre en les accompagnant des
indications bibliographiques qui permettront au lecteur de s'orienter sur
l'état actuel des recherches.

E. Gubler (Zurich).

Errata. — M. E. Bortolotti nous signale quelques fautes d'impression

qui se sont glissées dans son compte rendu bibliographique des Leçons sur

les séries à termes positifs de M. E. Borel (voir le précédent numéro,

p. 226-228).

Pages 227 ligne 17 au lieu de oj 2 e w —1 lire tu— 2 e a>~ l

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BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE

American M athematical Monthly (The), publication mensuelle dirigée
par B.-F. Finkel et J.-M. Colaw. Springtield (U. S. A.). Vol. IX et X.

Vol. IX. Fasc. ii. — L.-E. Dickson : A inatrix deiined by the Quatcrnion
Group. — B. IIalsted : The length of the circle. — S. Epsteex : An elcmen-
tary account of the Picard- Vessiot Theory. — A. Hendersok : Two simple
constructions for finding the foci, etc..

Fasc. ia. — A. Emch : Closed loxodromics of the torus. — G. -A. Miller:
On Ball's Uistory of Mathematics. « — J. Quixx : A dcvelopment of the Conic
Sections by kinematic methods. — A. Henderson : Suite des études du nu-
méro précédent.

Vol. X, 1903. Fasc. 1. — W.-M. Haskbll : On a certain rational cubic
transformation in space. — S. Epsteen : Détermination of the group of
rationality of a linear diflerential équation. — G.-W. Greekwood : Some
fallacies in Text-Books on elementary solid Geometry. — H.-L. Coar :
The volume of the sphère. — G.-R. Dean : Dérivation of formula for-

tang — in Sphcrical Trigonomctry.

Fasc. a. — G. -A. Miller : An elementary example of modular Systems.
— W. Haskell : Generalization of a fundamental thcorem in the Geometry
of the Triangle. — G.-R. De Ait : Intégration as a Summation. — FI. Cajori:
On the chinesc o ri gin of the symbol for zéro. — A. Henderson : The Déri-
vation of the B ri an c h on configuration from two spatial Point-Triads.

Fasc. 3. — E. Kasner : The group gênera ted by central symme tries,
with application to polygons. — S. Epsteex : Analog of Sylvester's dialytic
method of élimination. — A.-B. Pikrce : Suflicient condition that two
linear homogeneous diflerential équations shall hâve comraon intégrais. —
R. Dean : Note on the polar of a point as to a Conic. — W. Williamson :
Computation of logarithms.

A finals of Mathematics, publiées sous les auspices de la Harvard Univer-
sity par O. Stoke, W.-E. Byerly, H.-S. White, W.-F. Oscood, F.-S.
Woods. Cambridge, U. S. A. Publication trimestrielle, gr. in-4 . Second
Séries, Vol. 4» 1902-1903.

N° a. — J.-W. Bradshaw : The logarithm as a direct function. —
P. Saurel : On positive quadratic forms. — E.-A. Hook : Multiple points
on Lissajou's curves in two and three Dimensions. — C. Engberg : A
spécial quadri-quadric transformation of real points in a plane.

3ia BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE

Jahrbuch ûber die Fortschritte der Mathematik, begrùndet von Carl
Ohrtmann. Im Yerein mit andcren Mathematikern und unter besonderer
Mitwirkung der Herren Félix Muller und Albert Wangerin herausgegeben
von Emil Lampe und Georg Wallenberg. Band 3i, Jahrgang 1900 (in drei
Heftcn) ; George Reimer, Berlin, 1901.
Heft 3. — Mechanik. — Mathematische Physik. — Geodasie, Astronomie,

Météorologie.

Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung, in Monats-
heftcn herausgegeben von A. Gutzmer in Icna. — Band 12, igo3 ; B.-G.
Teubner, Leipzig.

Heft 1. — A. Gutzmer : Chronik der D. M. V. — Fr. Meyer : Bericht
iïbcr den Stand der Encyklopàdie d. math. Wiss. — E. Czuber : Ucbereinen
Satz der Fehlertheorie u. seine Anwcndung. — G. Kowalewhki : Ueber die
proj. Gruppe der Normkurve u. eine charakteristische Eigcnschaft des R 6 .

— H. Likbmann : Ueber die singularitiitcnfreie konforme Abbildung ge-
schlossencr Flâchcn auf die Kugel. — W. Haskell : Die Darstellung von
gewissen Resultanten in Determinantcnform. — E. Jahnke : Ferd. Caspary.

— B. Kagan : Nachtrag zu einem Aufsatz ùber die Postulaten der eukl.
Géométrie. — M. Brendel : Das Gauss-Archiv. — Mitteilungcn u. Nach-
richten.

Heft 1. — H. Schubert : Anzahl-Beziehungen bei Inzidenz u. Koinzidenz
mehrdimensionaler linealer Raume. — E. Jahnke : Ueber eine elem. Théo-
rie der Thetafunktionen von ein u. zwei Argumenten. — E. Muller : Zur
Théorie der lin. Système von Kurvcn u. Flâchen a. Grades. — R. v. Ster-
neck : Ueber ein Anologon zur additiven Zahlentheorie. — R. Mehmke :
Bemerkungen zur Geometrographie. — H. Liebmann : Bcrichligung. —
A. Przeborski : P. Pokrowsky-Mitteil. u. Nachr.

Heft 3 et 4- — Fr. Meyer : Ueber Verallgemeinerungen von Sàtzcn ûber
die Kugel, etc. — L. Schlesinger : J. Bolyai. — C. Brodmann : Der in te ni.
Katalog der naturw. Literatur. — A. Schônflies : Zur Statistik des math.
Studiums. — W. Ahrens : Ueber die Aufgaben u. Einrichtungen eines math.
Adressbuches. — Mitt. u. Nach.

Heft 5. — J. Lûroth : Ernst Schrôder. — K. Geissler : Die geom. Grund-
vorstellungen u. Grundsàtzc u. ihr Zusammcnhang. — R. Guntsche : Zu
H. Mehmkes a Bemerkungen zur Geometrographie ». — Mitt. u. Nachr.

Journal de mathématiques pures et appliquées, publié par C. Jordan,

paraissant trimestriellement. Paris, Gautier-Villars. Série 5, t. VIII,
190a, et t. IX, 1903.

Fasc. II. — P.-J. Sughar : Sur les équations différentielles linéaires de
second ordre à coefficients algébriques. — A. Zoukib : Sur l'hexacoryphe
complet. — H. Poincaré : Sur les cycles des surfaces algébriques.

Fasc. III. — P. Duhem : Sur la stabilité de l'équilibre relatif. — G. Piron-
dini : Symétrie tangentieile par rapport à une surface de révolution. — De
Séguier ; Sur les équations de certains groupes. — H. Laurent : Sur les
séries de polynômes.

Fasc. IV. — Ed. Maillet : Sur les fonctions entières et quasi-entières. —
M. Auric : Essai sur la théorie des fractions continues. — L. Desaint :

BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 3i3

Théorèmes généraux sur les points singuliers des fonctions données par une
série de Taylor.

Année 1903. — Fasc. 1. — P. Appell : Sur quelques fonctions de point
dans le mouvement d'un fluide. — MM. Beghin et Rousseau : Sur les per-
cussions et les systèmes non holonomes. — P. Appell : Remarques sur les
systèmes non holonomes. — M. Béguin : Extension du théorème de Carnot
au cas où certaines liaisons dépendent du temps. — E. Picard : Sur l'im-
possibilité de certaines séries de groupes de points sur une courbe algé-
brique. — G. Humbert : Les fonctions abeliennes singulières et les formes
quadratiques.

Journal fur die reine und angewandte Mathematik gegrûndct 1826,

von A.-L. Crelle; herausgegcbcn von K. Hensel. G. Reimer, Berlin.

Band, n5. 1902.

Heft i/a. — L.-W. Tiiomé : Ueber einc Anwcndung der Théorie der
linearen Differentialgleichungen in der Variations-Rechnung. — L. Schle-
sixger und T. Brodén : Bcmerkungen zuin Riemannschcn Problcm. —
E. Netto : Ueber Nàhrungswerthe und Kcttenbrûche. — E. Landau : Ueber
diezu einem algebraischcn Zahlkôrper gehdrige Zctafunction und die Aus-
dehnung der Tschebyschefschen Primzahltheorie auf das Problem der Ver-
theilung der Primideale.

Heft III. — A.Kkeser: DieStabilitiit dcsGlcichgewichlshângendcrschwercr
Fiiden. — W. Stekloff : Sur le développement d'une fonction donnée en
séries procédant suivant les . polynômes de TchebichefF et, en particulier,
suivant les polynômes de Jacobi.

Heft IV. — H. Abel : Ein Bricf von >îiels Henrik Abel an Edmund Jacob
Kùlp. — R. Rothe : Zur Théorie der Diflcrential-Invariantcu. — J.-B.
Gœbel : Die Verteilung der Electrizitat auf zwei loi tend en Kugeln. —
P. Mutte : Ueber rationale Funktioncn bilinearen Forinen. — H. Jung :
Arithmctischen Beweis eincs Satzes ùber den Grad der Eliminante zweier
ganzen Funktioncn zweier Veranderlichen. — G. Frischauf : Ueber das
Intégral der DifTerentialgleichung xy" -\-y' + xy =z o. — F. -G. Teixeika :
Sur le développement des fonctions doublement périodiques de seconde
espèce en série trigonométrique.

Le Matematiche pure ed applicate. Publication dirigée par Cr. Alasia.
Castello, S. Lapi. T. II, 1902.

Septembre-octobre. — F. Severi : Risoluzionc dcscriltiva di alcuni pro-
blcmi spaziali biquadratici. — A. Calegari : I determiuanti di specie supe-
riore. — C. Burali-Forti : Sulle linee funicolari. — G. Tzitzéica : Sulle
superficie minime ortogonali ad una sfera. — L. Lo Monaco-Aprile : Sopra
una trasforraazione cremoniana del terz'ordine spéciale . — V . Retali : Sopra
una trasformazione cremoniana del terz' ordine spéciale. — E. Lebon : 3ulla
identité di due metodi clementari pel calcolo di ît. — Alfa : Dimostrazione
di una relazione di condizione negli integrali iperellittici . — Questions,
solutions, bibliographie.

Novembre-décembre. — A. Calegari : I determinanti di specie superiore. —
V. Retali ; Sopra una trasformazione cremoniana del terz'ordine. — G. Piron-
dini : Propricta caratteristiche di alcune linee pianc a doppia curvatura. —

3i4 BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE

Y. Straizeri : Sul moto di ana sfera che si appoggia a due rette che l'incon-
trano. — N. Nielsen : Note sur la fonction gamma. — Notes et sujets
divers.

Janvier. — G. Pirondim : Propricta caratteristiche di alcune linee piane a
doppia curvatura. — D. Gambioli : Nota sa alcuni teoremi sulle frazioni con-
tinue e sulle loro applicazioni. — J. de Vries : Quintiche isodina miche. —
Questions diverses. — Problèmes résolus et à résoudre.

Revue Scientifique, dirigée par J. Héricourt. Publication hebdomadaire.
Paris, 19, rue des Saint-Pères, 4° série, t. 19.

28 février. — C.-A. Laisant : Édueation scientifique et psychologie.
7 mars. — Ad. Gadot : Ce qu'aurait pu être le mètre.
14 mars. — S. Newcomb : L'univers comme organisme.
18 avril. — B. Portier : Carré magique et cabalistique.
a3 mai. — B. Portier : Carré magique à grille.

Revue générale des Sciences pures et appliquées, dirigée par Louis
Olivier. Publication paraissant le i5 et le 3o de chaque mois. Paris.
Armand Collin. 1903.

3o janvier. — P. Duhem : L'évolution de la Mécanique : Les diverses
sortes d'explications mécaniques.

i5 février. — P. Duhem : La mécanique analytique.

28 février. — P. Duhem : Les théories mécaniques de la Chaleur et de
l'Electricité.

i5 mars. — P. Duhem : Le retour à l'alomisme et au cartésianisme.

3o mars. — P. Duhem ; Les fondements de la Thermodynamique.

i5 avril. — P. Duhem : La Statique générale et la Dynamique générale.

3o avril. — P. Duhem : Les Branches aberrantes de la Thermodynamique.

3o mai. — M. W. Fœrster : La Précession des équinoxes, d'Hipparque à
Ptolémée et à Kepler.

Revista de Ciencias; rédacteur en chef, F. Villareal; publication men-
suelle gr. in-8°. Lima, Impr. de l'École des ingénieurs. 5 e année. 1902.

Les mathématiques tiennent une place notable dans cette revue. Voir par-
ticulièrement cette année : F. Villareal : Cosmografia. Senos de orden
superior. — Cuadrante solar horizontal. — Flexion de las vigas. — Movi-
miento perpetuo. — Rotacion de la Tierra.

Revue semestrielle des Publications mathématiques, rédigée sous les
auspices de la Société mathématique d'Amsterdam, par P. -H. Schoute,
D.-J. Korteweg, J.-C. Kluyver, W. Kapteyn, P. Zeemax ; t. XI, i™ par-
tie ; 190a, avril-octobre ; Delsman et Nolthenius, Amsterdam, 1903.

En même temps que ce fascicule la Revue semestrielle publie la Table
des matières contenues dans les cinq volumes 189&-1902 suivie d'une table
générale par noms d'auteurs.

BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 3i5

Zeitschr. fur das Realschulweseu, herausgegeben und redigirt von
Em. Czubbr, AD. Bechtel und Mor. Glôsbr, XXVIII, Jahrg., 1903 ; Alf.
Hôlder, Wien.

N° 1. — K. Reissenbebger. Der hôhere Lehrerstand und seine Stellung in
der gelehrten Welt.

N° 2. — K. Iwrdy : Ein Beitrag zum krystallogr. Unterrichte in der VII.
Klasse der ôsterr. Realschulen.

N° 3. — (Ne contient pas de mathém.).

N° 4. — J- Obenrauch : Platons erste ebene Kurve dritler Ordnung.

N° 5. — VI. Misar : Versuch einer Zusammenstellung der von Schùlern
in der Mathematik am haûfigstcn begangenen Fehler.

N° 6. — (Ne contient pas de math.).

Zeitschrift fttr Mathematik undPhysik, begrûndct durch O. Schlômilch,
gegenwârtig herausgegeben von R. Mehmke und C. Runge, 48 ter Band ;
B.-G. Teubucr, Leipzig, 1903.

Hcft 1. — R. Gans : Ueber Induktionen in rotierenden Lcitern, — Rada-
kovic : Ueber die Bcwegung eines Motors unter Bcrùcksichtigung der Elas-
tizîtat seines Fundamcnts. — L. Matthiessen : Ueber Linsen u. Linsensys-
teme. — A. Grùnwald : Robert Balls lincare Schraubengebiete. — F. Jung :
Zur geom. Bchandlung des Massenausglciches bei vierkurbeligen Schiflsma-
schinen. — H. Heimann : Die Fcstigkeit ebener Platten bei konstanter Belas-
tung.

Heft 2. — A. Franche : Zcichnerische Ermittclung der Krâfle im Kreis-
bogentrager mit n. ohne kampfergclenke. — A. Franche : Der Spitzbogen-
tràger mit Scheitelgclenk. — R. Mûller : Zur théorie der gestreckten
Koppelkurve. — R. Muller : Zur Lehre von der Momcritanbewegung eines
starren ebenen SyslcMiies, — R. Muller : Zur Théorie des ebenen Gelenk-
vierecks. — J. v. Vietii : Ueber Zentralbewegung. — L. Kann : Zur mech.
Auflûsung von Gieichungen. — A. Fôppl : Lôsung des Krciselproblcms mit
Hilfe der Vektoren-Rechnung. — P. Roth : Die Festigkeitstheorien u. die
von ihnen abhiingigcn Formcln des Maschinenbaues.

Heft 3 et 4. — H. Grassmann : Die Drehung eines kraftfreien starren
Kôrpers um einen festen Punkt. — A. Franke : Kontinùrliche Parabel-
trager. — R. Gans : Ueber die num. Auflôsung v. part. DifTerentialgleichun-
gen. — J. Hokn : Zur Théorie der kl. Schwingungen. — C. Runge : Zerlegung
u. Zusammcnsetzung von Drehungen auf graphischen Wege. — C. Runge :
Zerlegung e m pi ri se h periodischer Funktionen in Sinuswellen. — O. Die-
trichkeit : Hôher-stelligc Logarithmen-Tafeln. — Th. Schxidt : Ueber ein
kinematisches Modcll. — F. Meisel : Zur théorie des Foucaultschen Pen-
delversuches. — H. Heimann : Beispiel zum Satze von Minimum der Rcib-
ungsarbeit. — A. Klingatsch : Die Bestimmung des kùnstigen Punktes fur
das Rûckwarts-Einschnciden. — Fr. Schilling : Ueber den Pohlkeschen
Satz.

Zeitschrift fttr mathematischen und naturwissenschaf tlichen Unter-
richt begrûndet 1869 von G.-C.-V. Hoffmann, herausgegeben von
D r H. Schotten, 34 Ur , Jahrgang, 1903. B.-G. Teubner, Leipzig et Berlin.

3x6 BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE

Heft a. — H. Wieleitner : Ueber die math.-phys. Lehraufgabe u. die
Ausbildung der Facblehrer im Kônigreich Bayera. — £. Grimseal : Die
einfachen. Maschinen, insb. der Hebel im Physikunterricht. — Kl. Mit-
teilungen.

Heft 3 et 4» — Hertter : Die Kegelschnitte. — J. Jung : Zur Behandlung
der Versicherungslehre im Unterricht. — E. Eckhardt : Neue Ableitung u.
geom. Darstcllung vom Kreisumfang u.-inhalt. — Kl. Mitt.

A. -H. Bucherer. — Elemente der Vektor-Analysis, mit Beispiclcn aus
der theoretischen Physik. — Un vol. cari., in-8°, 91 p. ; prix : Mk a,4<> ;
B.-G. Teubncr, Leipzig, 1903.

Mart. Girndt. — Raumlehre fur Baugcwerkschulcn und vcrwandtc Gewer-
bliche Lehranstaltcn. I. Lehre von den ebenen Figuren. — Un vol. cart.
gr. in-8°, 96 p., i° édition; prix : Mk 2,40 ; B.-G. Tcubner, 1903.

Alf. Gutkwecht. — Integrallogarithmus . — Thèse de doctorat présentée
à l'Université de Berne, une broch. in-8°, 5o p., K.-J. Wyss, Berne, 1903.

C.-H. Muller u. Preslf.k. — Leitfaden der Projektions Lehre. Ein
Uebungsbucb der konstruirenden Stéréométrie. — Un vol. in-8°, cartonné
(Ausgabe A., Mk 4. — î Ausg. B., Mk a) ; B.-G. Teulner, Leipzig, 1903.

Maur. d'Ocagne. — Exposé synthétique des principes fondamentaux
de la Nomographie. — Un fasc. gr.-in-4°, 63 p. avec 3i figures;
prix : 3 fr. 5o; Gauthier-Villars, Paris, 1903.

P. Schlee. — Schûlerubungen in der elementaren Astronomie (Heft 1
der Sammlung naturwissenschaftlich-pâdagogischer Abhandlungen) . —
Une broch. gr. in-8°, i5 p.; prix : Mk. o,5o; B.-G. ïeubncr, Leipzig,
1903.

W. Voict. — Thermodynamik. Band I. Einl. : Thermomelrio, Kaïori-
melrie, Wanneleitung. Erster Teil : Therniisch-mechanische Umsetzungen
(Sammlung Schubert t. XXXIX). — Un vol. cartonné in-8°, XV-36o p. ;
prix : Mk. 10; G.-I. Gœschen, Leipzig, 1903.

Ern. Wôlffing. — Mathematischer Bûoherschatz. systematisches Ver-
zeichnis der wichtigsten deutschen und nuslandischen Lehrbûcher und
Monographicn des 19. Jahrhunderls auf dem (iebicte der mat. Wissens-
chaften. I. Teil : Reine Mathematik, mit eincr Einleitung : Kritische
Uebersicht ùber die bibliogr. Hilfsmittel der Mathematik. — Un vol. relié,
gr. in-8°, XXXVI-416 p. ; prix : Mk. 14 ; B.-G. Teubner, Leipzig, 1903.

Le Gérant : C. NAUD.

EVREUX, IMPRIMERIE DE CHARLES HÉRI8SST

A PROPOS D'UN RÉCENT EXPOSÉ DES PRINCIPES

DE LA GÉOMÉTRIE NON-EUCLIDIENNE

i. — La Géométrie non-euclidienne, descendue des réglons
hyperboréennes où elle semblait confinée, commence, depuis
quelques années, à entrer dans le domaine des connaissances
communes. Tous ceux qui s'occupent actuellement de Mathéma-
tiques et de Philosophie savent que, pendant longtemps, on a
discuté au sujet du principe des parallèles et qu'aujourd'hui, à
côté de la géométrie classique, on considère d'autres géométries
logiquement compatibles.

A la diffusion de ces idées parmi les jeunes savants ont con-
tribué les cours que quelques-uns des plus éminents géomètres
ont fait dans les Universités italiennes et allemandes et surtout
les exposés systématiques des recherches sur les fondements de la
Géométrie^ qui ont paru depuis quelques années.

Ces exposés ont non seulement élargi le domaine de la Géo-
métrie non-euclidienne, mais ils ont encore contraint les esprits
bien organisés à suivre les. édifices variés et admirables qui ont
été inspirés par la renaissance scientifique, caractéristique du
xix e siècle, et à se rendre compte des connexions qui existent
entre les branches les plus élevées des Mathématiques et d'inté-
ressants problèmes de Psycho-physiologie ( 1 ).

C'est pourquoi un exposé rapide, simple, élémentaire des prin-
cipes de la Géométrie non-euclidienne sera toujours bien accueilli.

(•) La connexion entre les Mathématiques. la Philosophie et les sciences expérimen-
tales est amplement traitée et discutée d'une façon tout à fait nouvelle et personnelle
dans le récent volume de H. Poincaré : L* Science et [Hypothèse (Ed. Flammarion).
Dans ce volume sont réunis et coordonnés dans un but unique, les divers articles
que l'illustre savant a publiés depuis 1890, dans les revues de Philosophie et de
Mathématiques. . . ,

Enseignement math. ai

3j8 Ji. BONOLA

Mais prenons garde : en se pressant on risquerait d'être obscur
pour les commençants et la trop grande simplicité peut se
confondre avec l'inexactitude ! La tâche de celui qui se pro-
pose d'écrire un petit traité sur les fondements de la Géométrie
n'est pas aisée, s'il veut tenir compte des exigences scientifiques
et didactiques, qui semblent souvent inconciliables !

2. — Le livre récent de M. Barbarin : La Géométrie non-
euclidienne (*) ne répond que partiellement au but auquel il
semble destiné. L'exposé, réduit souvent au seul énoncé des
théorèmes, est peut-être trop rapide ( 2 ) ; les notices historiques,
qui en de tels sujets sont d'une importance capitale, présentent
de notables lacunes; les observations critiques sur les défini-
tions et sur les postulats d'Euclide ne sont pas très nettes et
précises.

Dans l'exposé schématique des principes, l'auteur indique les
deux méthodes qu'on peut suivre pour le développement élé-
mentaire du sujet dont il s'occupe, et montre ensuite comment
ces méthodes concordent dans les résultats.

Suivant la première, l'auteur limite ses considérations a une
région normale de plan, région dans laquelle deux points déter-
minent sans exception une droite, il discute les trois cas que pré-
sente le quadrilatère birectangle et isocèle de Saccheri, et il en
déduit les théorèmes sur la somme des angles d'un triangle.

Passant ensuite de la région normale au plan complet, il déter-
mine trois systèmes géométriques, caractérisés par les propriétés
suivantes :

Système euclidien. — a) Par un point passe une seule paral-
lèle, etc. ; b) Deux droites ne peuvent enclore une portion de
plan.

Système de Lobatscheffskij. — a) Par un point passent deux
parallèles, etc.; b) Deux droites ne peuvent enclore une portion
de plan.

(') Paris, C. Naud, 190a, 79 page».

(*) Il est juste de faire remarquer que ce livre faisant partie de la Collection
Scientia, M. Barbarin s'est vu forcé de faire de nombreuses coupures afin de ne
pas dépasser les 80 pages mises à sa disposition. La Rédaction.

PRIXCIPES DE LA GÉOMÉTRIE NON-EUCLIDIENNE 3i9

Système ïuemannien. — a) Il ri existe pas de parallèles ; b) Deux
droites renferment toujours une portion Je plan.

En suivant la méthode cTEuclide et de LobatschefFskij, et
l'hypothèse que dans le plan entier est valable le principe de
la détermination unique de la droite passant par deux points,
l'auteur déduit les théorèmes de Legendre sur la somme des
angles des triangles ( 1 ) et par conséquent les deux premiers
systèmes rappelés ci-dessus.

De l'hypothèse que deux droites aient plus d'un point commun,
il déduit que la somme en question surpasse deux angles droits,
et en conséquence il obtient le système de Riemann.

Ces conclusions et d'autres analogues, qui souvent se rencon-
trent dans les écrits relatifs à la Géométrie non-euclidienne, ne
nous semblent pas pleinement justifiables : ils représentent plutôt
le fruit d'une étude insuffisamment profonde des principes de la
Géométrie, ou, peut-être encore, une tentative, non conforme à
la nature du sujet, d'éviter certaines difficultés qu'il vaudrait
mieux montrer dès le principe. Il nous semble donc opportun
de mettre en relief tout ce qu'elles contiennent de non rigoureux.

3. — Limitons-nous ici à la .Géométrie élémentaire du plan.

Deux voies se présentent, ainsi que l'indique M. Barbarin. La
plus simple, celle d'Euclide, LobatschefFskij, Bolyai, part d'un
système de postulats valable dans le plan complet, et par elle on
démontre un premier groupe de propositions; ensuite on retrouve
les diverses branches qui donnent naissance aux divers systèmes
géométriques. Alors, si Ton admet que le postulat relatif à la
détermination de la droite ne souffre aucune exception, on se
trouve en présence non seulement des deux types de Géométrie,
euclidienne et de LobatschefFskij, comme le supposent M. Bar-
barin (Cfr. l'ouvrage en question, p. a5) et d'autres auteurs,
mais encore d'un troisième type qui a été mis en lumière par
M. Klein dès 1872 et appelée par lui Géométrie elliptique ( 2 ).

(*) Ces théorèmes, sous une forme un peu différente, appartiennent à Saccheri ;
on pourrait les appeler théorèmes de Saccheri.

(-) La Géométrie elliptique fut découverte par Caylet en 18^9. Elle apparut alors
avec la Géométrie hyperbolique, comme une généralisation projet* tive de la métrique
ordinaire. M. Klein mit en évidence le lien qui existe entre les métriques projec-
tiles de Cayley et la Géométrie de Lobata chefs kij et Bolyai.

3ao fi. BONOLA

En Géométrie elliptique, la droite est une ligne fermée et la
somme des angles d'un triangle est supérieure à deux droits. Il
s'ensuit que le premier théorème de Legendre sur la somme des
angles d'un triangle ne se déduit pas seulement du postulat :
deux droites ne peuvent enclore un espace, comme l'affirme
M. Barbarin, mais de ce postulat combiné avec ceux qui font de
la droite une ligne ouverte.

On doit rechercher la raison pour laquelle la Géométrie ellip-
tique paraît être négligée ou inconnue dans la difficulté que le
plan elliptique présente a la représentation intuitive.

Celui-ci, contrairement à ce qui arrive pour le plan euclidien
et pour les deux autres non-euclidiens, n'est pas brisé par ses
droites en deux feuillets et Ton ne peut y distinguer deux faces.
Le plan elliptique ne possède donc pas les caractères des sur-
faces simplement connexes et bilatères, que l'intuition sépare
difficilement de la représentation concrète du plan.

Une forme géométrique qui réalise la connexion et les pro-
priétés graphiques du plan elliptique, c'est X étoile de droites de la
Géométrie projective, tandis que Y étoile de rayons!^) de la Géomé-
trie élémentaire répond aux caractères du plan de Riemann. La
considération des deux étoiles, l'une a côté de l'autre, éclaircit
assez bien le lien qui existe entre le plan elliptique et celui de
Riemann ( 2 ).

Nous pouvons nous imaginer pour cela deux étoiles, l'une de
droites, l'autre de rayons, ayant le même centre. Il est clair
qu'à toute droite de la première correspondent deux rayons de la
seconde, que toute figure appartenant à la première est formée
de deux figures symétriques de la seconde et que, sous certaines
restrictions, les propriétés métriques des deux formes sont les

(*) Nous appelons rayon la demi-droite.

(*) Nous avons conservé ici le nom plan de Riemann au plan dont parle M. Bar-
barin. Mais ce nom peut convenir également au plan elliptique. Riemann, dans son
mémoire/ fait de la géométrie infinitésimale, ou mieux de la géométrie dans un
domaine limité. 11 parle, en passant, de l'espace complet dans sa nouvelle géomé-
trie, mais nous ne savons pas comment il a conçu cet espace par rapport à sa
connexion. 11 vaudrait mieux appeler gcomclries riemanniennes les deux géométries
compatibles avec l'hypothèse de l'angle obtus et les distinguer Tune de l'autre par
les adjectifs elliptique et doublement elliptique. La Géométrie que M. Barbarin et
d'autres appellent Géométrie de Riemann, serait dite Géométrie doublement ellip-
tique, (Gfr. Klein. Vorlesungcn iïber Aieftl-Euklidische Géométrie. 1893.}

PRINCIPES DE LA GÉOMÉTRIE NON-EUCLIDIENNE 3*1

mêmes. De telle sorte que, si l'on s'accorde à regarder deux rayons
opposés de l'étoile de rayons comme formant un seul élément,
elle s'identifie avec l'étoile elliptique.

Les mêmes considérations étant valables pour les deux plans
elliptiques et de Riemann, cela nous montre que le premier
d'entre eux, à côté de l'autre, doit être conçu comme plan double,
La courbe de rebroussement du plan double sera reconnue faci-
lement pour une conique imaginaire*

4. — L'autre voie qui permet de résoudre le problème des
fondements est la voie de Riemann, qui limite l'étude des
propriétés géométriques de l'espace à la région finie, accessible
aux vérifications expérimentales.

A une telle méthode se rattache le principe de la région nor-
male, employé par M. Barbarin dans son exposé.

Dans la région normale sont valables, sans exception les
postulats ordinaires de détermination, d'ordre, de congruence
ou de mouvement, et, en général, toutes les propositions
indépendantes du principe des parallèles, qu'on peut démontrer
dans une portion limitée et simplement connexe de plan eucli-
dien.

Après la discussion des trois cas auxquels donne lieu le qua-
drilatère de Saccheri et après avoir complété l'étude des pro-
priétés les plus notables de la région normale dans les trois
hypothèses de l'angle droit, de l'angle aigu, de l'angle obtus, se
présente naturellement le passage de la région normale à la
forme complète à laquelle elle appartient.

Guidé par l'intuition, on est conduit à admettre que, autour
de chaque point de la forme, il est possible de circonscrire une
région normale, où sont valables les propriétés de la région pri-
mitive. Cela s'appelle affirmer V homogénéité de la forme .

Alors, dans le cas où le quadrilatère de Saccheri aurait ses
deux derniers angles droits, le problème est ramené à la recherche
de toutes les formes possibles à deux dimensions, dont les régions
normales jouissent de toutes les propriétés appartenant à une
région limitée de plan euclidien.

Le plan d'Euclide fournit une solution, mais non la seule.
Le cylindre ordinaire et une certaine quadrique réglée de

3*a R. BONOLA

l'espace elliptique (*) répondent aux mêmes conditions requises.

Le même problème, dans le cas où serait valable dans la région
normale l'hypothèse de l'angle obtus, admet une solution plus
simple, parce que, comme Ta démontré Killing ( 2 ), il n'y a que
le plan elliptique et le plan de Riemann qui soient compatibles
avec le principe de la région normale.

Finalement, dans le troisième cas, où Ton admet l'hypothèse de
l'angle aigu, les choses se compliquent.

En plus du plan de Lobatscheflskij, diverses catégories de
formes se présentent, répondant toutes aux deux principes rap-
pelés ci-dessus : leur détermination se relie à Tune des plus
brillantes théories modernes : la théorie des fonctions automor-
phes ( 3 ).

Ces quelques considérations sur les nouvelles formes spatiales,
connues sous le nom de formes de Clifford* Klein, montrent clai-
rement la non-équivalence des deux méthodes ébauchées ici pour
la construction de la Géométrie plane.

Si l'on veut écarter les formes de Cliflbrd-Klein, il est néces-
saire d'introduire un nouveau postulat, que Ton découvre facile-
ment en comparant entre eux le plan euclidien et le cylindre. En
effet, sur le plan euclidien, le principe de détermination de la
droite, postulé pour la région normale, s'étend à toute la forme
sans exception ; sur le cylindre, au contraire, deux points d'une
même génératrice appartiennent à autant de droites (géode-
siques) que l'on veut.

En postulant donc, en plus des lois de la région normale et
d'homogénéité, que le principe de la détermination de la droite,
d'abord attribué à la région normale, est valable sur la forme

(*)La quadriqiic en question fut découverte parCLiFFORD (Cfr. Prêt iminary Sketch
on Biquaternions : Lond. M. S. Proc., IV, p. 38i-3<p). On peut l'engendrer, dons
l'espace elliptique, par lu rotation d'une droite autour d'un axe gauche, ou encore par
la rotation d'un cercle autour de In polaire du centre. Par rapport à lu mobilité
sur elle-même, elle se présente avec les caractères du cylindre de révolution, et
par rupport à la connexion, avec ceux de la surface annulaire du tore.

(*) Cl r. Killing. L'c ber zwei Raumformen mit constante r positiver Kriïmmung. Crelle,
LXXXVI, p. 72-83. — L'eber die Cliffurd-Klcin schen Raumformen, Math. ann. xxxix.

(") Le lecteur qui désire quelques renseignements plus amples sur cette question,
peut lire les ouvrages suivants : Klein. Zur ISicht-Euklidische Géométrie; Math.
Ànn., XXXVII, p. 544-572. — Killing. Einfiïhrung in die Grundlagcn der Géométrie*
Bd. 1.

PRINCIPES DE LA GÉOMÉTRIE NOS-EUCLIDIENNE 3aî

complète, on excluera les formes de Clifford-Klein et % en outre, le
plan de Riemann.

Les seules formes compatibles avec le nouveau postulat sont
donc :

a) Le plan euclidien ou parabolique ;

b) Le plan de Lobatscheffskij-Bolyai ou hyperbolique ;

c) Le plan de Cayley ou elliptique.

Et le plan de Riemann ?... Pour celui-ci, l'existence des points
opposés, par lesquels passent des droites en nombre infini, con-
tribue à rendre la forme peu apte à représenter le concept
intuitif du plan ; néanmoins, la possibilité de glisser comme les
autres sur lui-même par un groupe de oo 3 transformations con-
gruentes, conduit à le considérer en même temps que les précé-
dents.

Le système de postulats qui conviennent aux quatre géomé-
tries en question peut être résumé ainsi :

a) Principe de la région normale. — Il existe une région
limitée, simplement connexe, dans laquelle sont valables les pos-
tulats de détermination, d'ordre, de congruence, etc.

b) Principe d" homogénéité. — Autour de chaque point il est
possible de délimiter une région normale.

c) Principe du déplacement généralisé. — A tout déplacement
de la région normale est coordonné un déplacement de la forme
complète, qui transforme toute figure en une autre congruente (').

Il est manifeste que les quatre géométries en question véri-
fient le système de postulats a), b), c) ; la réciproque, à savoir
qu'il n'existe pas d'autres géométries compatibles avec lesdits
postulats, a été démontrée par Killing (Gfr. ouvrages cités).

5. — Revenant au livre de M. Barbarin, il est clair qu'en se
proposant de ne pas préjuger l'existence possible de couples de
points ne déterminant pas la droite et d'utiliser le concept de
région normale, l'auteur devait- mieux coordonner et mettre en
relief les divers postulats, réunis par nous dans les principes a)
b), c).

( 4 }Le principe c) pourrait être remplacé par un postulat qui semble plus géné-
ral : Toutes les droite» sont congruentes. Interprété physiquement, ce dernier
exprime Visotropie de l'espace.

3*4 ff. UOfiOLA

Le principe de la région normale réunit l'ensemble des pro-
positions élémentaires susceptibles d'une vérification expérimen-
tale, les deux autres, au contraire, n'expriment pas de résultats
que l'expérience puisse confirmer : ils expriment plutôt une
extension que l'intellect donne aux résultats des expériences
effectuées dans la région normale.

Nous ajouterons que la solution proposée à la fin du numéro
précédent s'adapte bien à l'empirisme que professe l'auteur lors-
qu'il parle de la forme géométrique de l'univers (Cfr., ch. vm).

L'expérience seule, dit-il, devra indiquer la forme réelle de
notre espace : les inexactitudes auxquelles sont sujettes toutes
les vérifications empiriques ne permettent pourtant pas une
réponse absolue. L'espace par suite pourra être euclidien ou non,
pourvu que, dans ce dernier cas, le paramètre (inverse de la cour-
bure de Riemann) soit très grand.

Le choix du concept euclidien pour représenter l'espace phy-
sique, ne s'imposerait donc qu'en vertu du critérium d'économie.

Ici se présente spontanément la question psychologique d'expli-
quer le sentiment de nécessité qui accompagne la formation des
concepts géométriques, sentiment qui se justifie mal dans un
ordre d'idées purement empirique, où les connaissances dues à
l'expérience semblent susceptibles de modes divers de détermi-
nation.

Comment se fait-il donc que, tandis que plusieurs géométries
physiques nous apparaissent logiquement possibles et compati-
bles, notre intuition demeure enfermée dans une forme fixe
euclidienne ?...

La question a été résolue par Kant, qui considère l'intuition
spatiale comme étant imposée à priori à la structure mentale de
tout sujet, et qui dénie toute réalité à l'espace. Mais cette der-
nière affirmation est repoussée par l'empirisme, lequel, partant
de la réalité objective de l'espace, essaie de reconstruire l'intui-
tion au moyen des sensations !...

Pour diminuer le conflit existant entre la doctrine kantienne
et la doctrine empirique, le professeur E. Enriques, de l'Univer-
sité de Bologne, a proposé une solution qui repose sur ce concept
fondamental: Les concepts (point, ligne, surface, etc..) d'oh part
la Géométrie naissent par association de différents groupes de

PRINCIPES DE LA GÉOMÉTRIE NON-EUCLIDIENNE 3a5

sensations. Ces associations, effectuées suivant la structure logique
de la pensée, supposent comme conditions logiques les postulats (*).
Bien que de telles conditions, prises objectivement, ne puis-
sent être valables qu'avec une certaine approximation, subjecti-
vement, l'existence des concepts en question, comme objet de la
pensée exacte, nécessite la validité rigoureuse des postulats.

Février 1903.

Roberto Bonola (Pavie).

(Traduit de l'italien par M. Combebiac.)

( f ) Cfr. Enriques. Sulla spiegazione psicologiea dei postulait délia Geometria.
Rivista Filosofica, 1901.

THEORIE DES PARALLELES EUCLIDIENNES

Fig.

Pour éviter des répétitions il sera entendu dans ce qui va
suivre que nous raisonnons sur un même plan.

Si une droite CD (fig. i) s'éloigne d'une droite AB — c'est-à-
dire si les perpendiculaires MP, M^... abaissées des points de

CD sur AB vont en croissant
— elle continuera à s'en éloi-
gner dans le même sens, et à
s'en rapprocher dans le sens
contraire, tant qu'elle n'at-
teindra pas AB. Rencontrera-
t-elle AB dans le sens où elle
s'en rapproche ? Ce n'est pas
évident a priori, car quand
on se pose cette question, le
cas des asymptotes se présente aussitôt à l'esprit. Nous y répon-
drons plus loin, n'ayant pas besoin d'élucider ce point pour
établir la théorie qui fait l'objet de ce travail, et c'est précisément
en cela qu'elle est intéressante.

Nous retenons seulement le fait de la constance de l'éloigne-
ment ou du rapprochement qui, d'après le concept que nous
avons de la ligne droite, ne peut pas ne pas s'imposer à l'esprit.
Il est d'ailleurs susceptible de pouvoir être vérifié par une
expérimentation directe.

Nous pouvons donc en faire un axiome ou postulat au même
titre que les autres axiomes ou postulats de la ligne droite dont
on ne saurait sérieusement contester qu'il n'aient leur origine
dans l'observation ou l'expérience.

Cette origine nous échappe par suite de l'habitude, les proprié-
tés de la ligne droite ayant été épurées depuis longtemps, et

THÉORIE DES PARALLELES EUCLIDIENNES 3*7

étant devenues des données d'intuition. Mais une analyse un peu
profonde ne permet pas de la méconnaître.

Or en n'admettant que les propriétés de la ligne droite consi-
dérée en elle-même, on ne définit pas complètement cette ligne.
Il faut y ajouter une propriété du même ordre concernant sa ma-
nière d'être par rapport à une autre droite, propriété qui ne
peut se déduire des premières, comme c'est établi aujourd'hui,
que nous savons certaine dans le monde extérieur accessible à nos
observations et sans laquelle le développement logique de la géo-
métrie ordinaire est impossible. Seulement on doit. chercher une
façon de présenter cette propriété qui entraîne immédiatement
notre adhésion, et ce n'est le cas, ni de la forme donnée par
Euclide dans son postulat V, ni de celle qui lui a été subs-
tituée.

La forme suivante répond à ce but.

Axiome. — Si deux droites se rapprochent dans un sens 9 elles
s'éloignent constamment dans le sens contraire, et inversement
(tant qu'elles ne se coupent pas).

Ainsi énoncé, cet axiome s'impose immédiatement à nous
comme vrai. Nous ne pouvons concevoir, en effet,- sans faire vio-
lence à notre esprit, que deux droites se rapprochent après
s'être éloignées, ni qu'elles s'éloignent après s'être rapprochées.

Définition. — Une droite est dite parallèle à une autre quand
tous ses points sont à la même distance de cette autre.

Théorème I. — Deux droites perpendiculaires à une troisième
sont parallèles Vune à Vautre.

Soient deux droites AB, CD perpendiculaires à une troisième
E F (fig. 2). En faisant tourner le demi-plan (R) autour de E F
pour l'appliquer sur le demi-plan (S), 1IB viendra sur HA et KD
sur KC. Si donc les droites AB, CD se rapprochaient ou s'éloi-
gnaient dans la région (H), elles se rapprocheraient ou s'éloigne-
raient dans la région (S), ce qui est contraire à l'axiome posé plus
haut. Les perpendiculaires abaissées par exemple de CD sur AB
sont égales. Mais on peut remarquer que ces perpendiculaires
sont aussi perpendiculaires à CD. Soit en effet une perpendicu-
laire MP abaissée d'un point quelconque M de CD sur AB, on a

3a8

COMMOLET

MP = KIL Joignons Mil etPK. Les deux triangles PHK, HMP
sont égaux comme ayant un angle droit égal compris entre côtés
égaux, d'où PK = MH. Par suite les deux triangles HKM, PMK

C X

F

M D

(S)

XI

(R)

A H

P B
E

Fig. a.

ont leurs trois côtés égaux et sont égaux. On en déduit

HKM = PMK. Le premier étant droit, il en est de même du
second. Les distances de chacune des deux droites AB, CD à
l'autre sont donc les mêmes.

Ainsi se trouve nettement établie l'existence de deux droites
parallèles.

Théorème H. — Par un point pris à T extérieur £ une droite,
on peut mener une parallèle à cette droite, et on ne peut en mener
qu'une.

Soient la droite AB et le point C (fig. 3). Menons CD perpen-

H.

E-

— ^_c m,

P

ST"^

-K

A

i

> E

>

B

Figr. 3.

diculaire à AB, et EF perpendiculaire à CD au point C. La droite
EF sera parallèle à AB, d'après le théorème I, et c'est lt
seule.

THÉORIE DES PARALLÈLES EUCLIDIENNES 3ag

Considérons en effet une autre droite HK passant par le point C
et faisant avec EF un angle aussi petit qu'on le veut. Une partie
de cette droite fera avec CD un angle aigu, soit CK cette partie.
Abaissons d'un point M de CK la perpendiculaire MP sur AB, et
désignons par M t le point où MP prolongé rencontre EF. On a
MP <M X P, et comme M,P = CD, il s'ensuit MP < CD. Donc HK
n'est pas parallèle à AB.

Corollaire. — Quand deux droites sont parallèles, toute droite
perpendiculaire à lune est perpendiculaire à Vautre.

Théorème III. — Deux droites AB^ CD parallèles à une troi-
sième sont parallèles entre elles.

On démontrera facilement que AB et CD sont perpendiculaires
à une même droite.

Les autres théorèmes dérivant des parallèles : égalité des
angles alternes-internes, somme des angles d'un triangle, etc., se
démontreront comme d'habitude ; mais on pourra les démontrer
de la manière suivante.

Soient deux parallèles AB et CD et la sécante EF (fig. 4)-
Menons KR perpendiculaire sur AB et HP perpendiculaire à CD.

Fig. 4.

Les deux triangles rectangles HKP, HRK sont égaux, car IIP =

KR. Donc KHR = IÏKP.

En remarquant que la figure HRKP a quatre angles droits et
que la somme des angles du triangle HPK égale la somme des
angles du triangle HRK, on voit que la somme des angles d'un
triangle rectangle égale deux angles droits.

33o

COMMOLET

Pour démontrer qu'il en est de même de la somme des angles
d'un triangle quelconque, il suffira de mener une hauteur
qui soit située à l'intérieur du triangle, ce qui est toujours pos-
sible.

Nous ajouterons pour compléter cette théorie que deux droites
parallèles ne se rencontrent pas, ce qui découle de définition
même, et que deux droites qui ne sont pas parallèles se ren-
contrent.

On pourra trouver diverses démonstrations de cette dernière
proposition.-

En voici une :

Soit la droite CD non parallèle à ÀB. Menons d'un point M de
CD la perpendiculaire MP à AB, et la parallèle EF à AB passant
par M.

La droite CD forme avec MP deux angles inégaux dont l'un

aigu et l'autre obtus (fig. 5). Supposons que PMD soit l'angle
C

Fig. 5.

aigu. Prenons sur AB, a partir de P dans le sens AB, PP t = MP,

P t P f =MP 1 ... et désignons par x t , x v .. x n les angles PP 4 M,

PjP 2 M... égaux respectivement aux angles P t MF, P 2 MF... comme
alternes-internes.
On a

T dr

,rfr

idr

a n

Il sera donc possible, en appelant a l'angle DMF, de trouver
un angle #„, tel que l'on ait x n < a.

La sécante correspondante MS fera avec MF un angle plus

THÉORIE DES PARALLÈLES EUCLIDIENNES 33i

petit que a, et sera dès lors comprise entre MD et MF. Comme
elle rencontre AB, MD rencontrera aussi nécessairement AB.

Pour rester logique on devra définir une parallèle a un plan :
une droite qui reste à la même distance du plan.

De même, un plan sera dit parallèle à un autre si tous ses
points sont à la même distance de cet autre.

Ces définitions venant à la suite des théorèmes sur les droites
et plans perpendiculaires, on démontrera facilement qu'une droite
et un plan, ou que deux plans perpendiculaires à une même
droite sont parallèles.

Cette théorie des parallèles nous paraît beaucoup plus satisfai-
sante que la théorie classique actuelle.

Elle nous a été suggérée par la lecture de l'excellent livre de
M. de Freycinet : De ï expérience en géométrie. Nous n'avons
fait que la développer et la préciser pour la rendre applicable à
l'enseignement.

Il importe de débarrasser les bases de la géométrie ordinaire
de la considération de la rencontre ou de la non-rencontre de
deux droites en présence du développement des géométries non-
euclidiennes qui forment des systèmes cohérents, logiquement
coordonnés, où on n'a relevé aucune contradiction, par consé-
quent très intéressants au point de vue spéculatif, mais dans les-
quels, la correspondance entre les formes conçues et les formes
réalisées est moins grande que dans le système euclidien, parce
qu'ils négligent une donnée fondamentale d'expérience.

La ligne droite, telle que la conçoivent les néo-géomètres n'est
plus celle du sens commun.

Commolet (Paris).

LES LIMITES ET L'ATOME

On appelle ordinairement limite d'une quantité variable, en
Géométrie, une quantité fixe dont la variable peut s'approcher
indéfiniment, sans jamais pouvoir l'atteindre. Cette condition
imposée à la limite, de ne pouvoir jamais être atteinte par la
variable, est formulée en termes trop absolus. Ne sait-on pas que
la tangente en un point A d'une courbe est la limite des posi-
tions que prend une sécante, issue du point A, lorsqu'elle a
tourné autour de ce point, de manière à ce qu'un second point
d'intersection de la sécante avec la courbe vienne se confondre
avec le premier ? La parallèle menée par un point O à une droite
n'est-elle pas la limite des positions que prend la perpendiculaire
abaissée du point O sur la droite, lorsqu'on la fait tourner autour
de ce point d'un angle droit ? Et dans ces deux cas, du moins,
n'est-il pas visible que la variable atteint sa limite, et exacte-
ment ?

Il est vrai que, si l'on cherche à atteindre cette limite en appli-
quant à la variable une construction géométrique, on n'y réus-
sira pas. Si, par exemple, après avoir mené parle point A d'une
courbe une première sécante, on détermine la seconde enjoignant
le point A au milieu de l'arc que sous-tend la première ; si l'on
opère de même sur la seconde pour avoir la troisième, et ainsi
de suite ; on obtiendra des sécantes qui s'approcheront de plus
en plus et même indéfiniment de la tangente; mais, aucune moi-
tié d'un arc ne pouvant être nulle, jamais la sécante ne deviendra
tangente. De même, dans le cas de la parallèle, si l'on joint le
point à des points de la droite de plus en plus éloignés de la
perpendiculaire, on obtiendra des obliques faisant avec cette per-
pendiculaire un angle de plus en plus grand et même indéfini-
ment voisin de 90 degrés, mais, les points ne pouvant pas être à

)

LES LIMITES ET L'ATOME 333

l'infini sur la droite, jamais l'oblique ne deviendra ainsi la paral-
lèle.

Ce qui arrive la n'est pas un fait accidentel, mais une règle
générale : toute construction géométrique permet d'atteindre
l'indéfiniment petit ou l'indéfiniment grand, mais jamais zéro ni
l'infini; par conséquent, toute limite dont la définition renferme
implicitement toute l'idée de l'infini ou de zéro, — et c'est ici le
cas — , échappe à la possibilité d'être atteinte par une opération
géométrique exécutée sur la variable.

Au contraire, si l'on a recours à un mouvement de rotation, la
limite est atteinte à la suite des valeurs indéfiniment croissantes
delà variable, absolument comme l'une quelconque d'entre elles
succède à la précédente.

À quoi cela tient-il ? Les résultats dus à une construction géo-
métrique sont nécessairement discontinus et par suite ne repré-
sentent qu'un certain nombre des valeurs possibles de la variable,
tandis que le mouvement de rotation, étant continu, nous les
donne toutes, sans exception. Il nous donne non seulement les
valeurs de la variable qui sont fournies par l'opération graphique
ou fictive, mais encore toutes les valeurs intermédiaires dont cette
opération ne laisse aucune trace. En outre, quand la rotation a
permis d'amener la droite mobile sur la valeur extrême que peut
atteindre la construction géométrique, rien n'empêche de conti-
nuer le mouvement de la droite qui a été utilisé jusque là et de
franchir la limite que la construction est impuissante a dépasser.
C'est ainsi que, dans le premier cas considéré, le second point
de la sécante mobile vient se confondre avec le premier et la
limite zéro se trouve atteinte à la suite de l'indéfiniment petit ;
dans le second cas, à la suite d'obliques indéfiniment longues,
l'infini se présente nécessairement, au moment où l'angle que
font ces obliques avec la perpendiculaire devient droit.

Appliquons cette remarque à d'autres exemples classiques.

La ciiconférence d'un cercle est la limite du périmètre d'un
polygone régulier inscrit au cercle et dont le nombre des côtés
augmente indéfiniment.

Supposons qu'on parte du carré inscrit, et, qu'en divisant eh
deux unités l'arc sous-tendu par son côté, on ait inscrit l'octogone
régulier, puis le polygone régulier de 16, 3a..... côtés; on par-
Enseignement math. aa

334 J.-F. BONN EL

viendra ainsi, au moins mentalement, à un polygone régulier
dont les côtés seront indéfiniment petits. Mais il est clair que
l'opération, même poussée par la pensée aussi loin qu'on voudra,
ne peut pas nous donner un côté de longueur nulle, autrement
dit, la construction géométrique ne permet pas d'atteindre la
limite zéro. Si, au contraire, on fait tourner autour du centre de
la circonférence un des deux rayons qui aboutissent aux extré-
mités d'un côté du carré, de manière à ce qu'il se rapproche de
l'autre supposé fixe, on voit immédiatement que l'extrémité du
rayon mobile passera, d'une part, par le milieu de tous les arcs
intermédiaires à ceux-là, que l'opération graphique ou fictive n'a
pas envisagés. En outre, quand la rotation aura amené le rayon
mobile à passer par l'extrémité du plus petit côté que puisse
atteindre la construction géométrique, rien ne s'oppose à ce que
le mouvement qui a été utilisé jusque-là, soit continué, de ma-
nière à réduire ce côté extrême et Tare qu'il sou s- tend à égaler
la limite zéro.

L'asymptote à une branche d'hyperbole peut être regardée
comme la limite des sécantes menées par le centre et dont le
point d'intersection s'éloigne à l'infini. Mais il est clair qu'une
détermination géométrique de pareilles sécantes, ne peut donner,
comme dans les exemples précédents, que des sécantes indéfi-
niment grandes, tandis que, en faisant tourner une droite autour
du centre de l'hyperbole, on a la certitude d'obtenir successive-
ment toutes les sécantes possibles, et même, au delà de la sécante
indéfinie la plus grande que puisse fournir la construction géo-
métrique, l'asymptote qui en est la limite.

Le mouvement de rotation dont nous venons de signaler l'uti-
lité dans le plan, n'est pas moins précieux dans l'espace.
Considérons, en effet, un cône droit circulaire; coupons-le
par un plan qui passe par deux génératrices opposées ; puis,
par un point quelconque pris sur l'une des génératrices,
menons une droite qui soit perpendiculaire à leur plan et une
autre qui soit parallèle à 1% génératrice opposée. Le plan que
déterminent la parallèle et la perpendiculaire est, comme on
le sait, parallèle à la génératrice opposée : la section faite dans
le cône par ce plan est donc une parabole. Si Ton fait maintenant
tourner ce plan autour de la perpendiculaire comme axe et vers le

LES LIMITES ET V ATOME 335

sommet du cône, la section obtenue devient une ellipse, puis un
cercle, puis encore une ellipse, et enfin une droite limitée; si on
fait tourner ce même plan en sens contraire, la section obtenue
devient une hyperbole, puis une droite illimitée. Le cercle peut
donc être considéré comme la limite d'une ellipse, et la parabole
comme la limite soit d'une ellipse, soit d'une hyperbole. Or la
limite est ici atteinte effectivement, on le voit, par le mouvement
de rotation d'un plan, en raison même de la continuité de ce
mouvement, comme toutes les circonstances précédemment
signalées.

Mais si Ton cherche, en dehors de tout mouvement et en par-
tant d'une propriété géométrique, a établir que le cercle ou la
parabole est une limite de l'ellipse, ou encore que l'hyperbole a
pour limite soit une parabole soit une droite illimitée, le résultat
est tout différent.

Vous pouvez doubler, tripler quadrupler, etc. la distance des
deux foyers d'une ellipse, par exemple en fixant l'un d'eux et le
sommet voisin, vous obtiendrez ainsi des ellipses s'allongeant et
s'approchant indéfiniment de la forme parabolique, mais jamais
le second foyer ne pourra être transporté a l'infini, et, par suite,
jamais l'ellipse ne sera transformée en parabole. De même, si
vous réduisez la distance focale a sa moitié, son tiers, son quart,
elle n'égalera jamais zéro, et, par suite, l'ellipse ne deviendra
jamais un cercle. Même chose pour l'hyperbole.

En résumé, ce qui précède nous montre qu'une figure variable
susceptible de s'approcher indéfiniment d'une limite, l'atteint
régulièrement, si le rapprochement résulte d'un mouvement con-
tinu de rotation, qui est toujours possible, et qu'au contraire elle
ne l'atteint jamais, si le rapprochement résulte d'une construction
géométrique. Nous sommes donc en droit de conclure, ainsi que
nous l'avons dit en commençant, que cette condition imposée à
une limite, de ne pas pouvoir être atteinte par la variable, est
trop absolue, et qu'il sera permis, à un aussi juste titre, de rem-
placer dans la définition les quatre derniers mots ce sans jamais
pouvoir l'atteindre », par ceux-ci : « au point de se confondre
avec elle », puisqu'une figure variable qui arrive à sa limite ne
doit en rien et en aucun cas se distinguer de cette limite.

Comment se fait-il que quelques savants aient cherché à trans-

336 J.F. BON* EL

former en principe général cette prétendue impossibilité pour une
variable d'atteindre sa limite, et à l'expliquer, par l'existence,
dans la définition de l'une, d'un ou plusieurs éléments incompa-
tibles avec la définition de l'autre ? pas assez incompatibles néan-
moins pour les empêcher de se rapprocher Tune de l'autre, à ce
point que, si Ton prend la limite pour valeur de la variable, Ter-
reur commise devienne rigoureusement nulle? Comment surtout
est-il venu à l'esprit d'un géomètre d'introduire dans la définition
d'une limite cette condition parfaitement inutile et démentie pat-
tous les exemples qu'on connaît? il faut, pour en découvrir l'ori-
gine, se reporter à la pratique initiale du Calcul différentiel.

Leibniz, l'inventeur de ce calcul, appelait limite d'un rapport
le rapport de l'accroissement infiniment petit dy d'une fonction
à l'accroissement infiniment petit dx de la variable. D'après

celte définition, le rapport -j— est égal à la dérivée/' (r) de l;i

fonction, et l'on a l'égalité <-—- = f (.*•), d'où l'on tire pour la

valeur de la différentielle (diminutif de différence} de la fonc-
tion : dy=f (r) du\ Mais cette' formule n'est pas absolument
exacte, attendu que la dérivée f :x) d'une fonction n'est pas

égale au rapport —p- quand les termes de ce rapport sont très

petits, mais bien quand ils sont rigoureusement nuls.

Pour parer à riuconvénient qui en pourrait résulter, quelques
géomètres ont imaginé de conserver dans cette formule les
ternies dy et dx en les regardant comme de purs symboles de
zéro. Grâce à cette convention, la formule redevient exacte el
peut être introduite dans le Calcul différentiel. D'autres géo-
mètres ont procédé d'une manière toute différente. Puisque
/' (x) est égal a iïw-^r » on P eut poser -^ r - = /' (.r) + a, et, par
suite, Ay = /' (x) Ax+a A.r, a étant une quantité qui s'évanouit
en même temps que Ax devient nul. Cette formule nous montre
que l'accroissement d'une fonction correspondant à un accrois-
sement quelconque de la variable est composé de deux parties :
la seconde tend vers zéro en même temps que Ix ; la première
est ce qu'on nommera la différentielle de la fonction et qu'on
représentera par dy. Comme d'ailleurs la différentielle de la
variable, ou dx, ne se distingue pas de son accroissement lx 9 on

LES LIMITES ET LATO ME 3.3j

pourra écrire la relation suivante dy =f (jc) rf.r, dire qu'elle est
vraie pour toute valeur finie ou indéfiniment petite de l'accrois-
sement de la variable, et lui appliquer toutes les règles du Calcul
différentiel.

Toutefois il y a une valeur pour laquelle cette formule est en
défaut ; c'est la valeur limite <Lv = o, qui est nécessaire pour la
définition de la dérivée et de toutes les dérivées, et qu'il est impos-
sible de ne pas introduire finalement dans les formules, quand on
voudra passer aux limites. La rigueur de ce procédé resterait
donc, en définitive, plus apparente que réelle si ceux qui l'ont
imaginé s'en étaient tenus là. Ils ont alors inventé, pour échapper
à ce défaut de rigueur, d'imposer à la définition d'une limite cette
condition bizarre qu'une variable ne peut jamais atteindre sa
limite. Grâce à ce subterfuge, on n'a plus à s'inquiéter de ce qui
se passe à la limite dans le Calcul infinitésimal ; les infiniment
petits sont toujours décroissants et ne s'évanouissent jamais,
quoique pouvant approcher d'aussi près qu'on le veut de zéro.

Nous avons vu, sur de nombreux exemples géométriques, que
cette condition est faussement imposée à la limite des grandeurs
variables. Elle n'est pas davantage acceptable, lorsqu'il s'agit de
la définition d'une dérivée ou d'une différentielle de fonction ;
on s'en assure, comme nous l'avons fait pour la définition d'une
tangente. Ce qui importe, c'est de faire voir comment, avec
l'atome, peuvent se résoudre toutes les difficultés ; nous allons
brièvement l'indiquer.

D'après la théorie de l'atome, il y a toujours un accroissement
£ de la variable indépendante, qui est le plus petit auquel puisse
correspondre un accroissement 7 4 de la fonction ; le rapport — —
est, par définition, la dérivée de la fonction, de telle sorte qu'on
a l'égalité vraie:— -—f (x). Dans cette relation, les deux
termes r k et e ne sont pas des symboles de zéro, ni des quantités
indéterminées, mais des atomes correspondants, c'est-à-dire des
réalités concrètes et déterminées, qui, en raison de leur état
atomique, semblent mieux appropriées que toute autre à l'idée
qu'on doit se faire du mode de génération d'une courbe ; dans
la génération d'une courbe, ce rapport — - représenterait l'atome
de direction.

338 J.-F. BONN EL

De cette définition on déduit immédiatement les propriétés
générales des dérivées, celle des fonctions inverses, celle d'une
fonction dont la dérivée est constante, celle des fonctions qui ont
la même dérivée, celle du maximum et du minimum d'une
fonction ; etc. Si, après cela, on veut bien avoir présente à
l'esprit cette vérité que, dans le calcul, ce qui est plus petit que
l'atome e est nul ou de nul effet pour l'accroissement de la fonc-
tion, on trouvera sans peine la dernière valeur de s, qui est

(i + e) , la dérivée de x m y de la fonction exponentielle et

logarithmique, des fonctions trigonométriques directes et
inverses, enfin de toutes celles qu'on est convenu de désigner
sous le nom de fonctions simples.

Voici en outre une conséquence très importante de cette
définition de la dérivée par les atomes, définition qui est iden-
tique au fond à celle de Leibniz : si l'on a formé une équation
entre des indéfiniment petits de différents ordres, et qu'on
veuille en dégager la relation propre à ceux qui sont de l'ordre
le moins élevé, il suffira de supprimer tous les termes où
figurent les autres, comme étant nuls ou de nul effet ; en d'autres
termes, il est permis, dans un calcul d'indéfiniment petits d'un
certain ordre, de négliger à volonté tous les indéfiniment
petits d'un ordre supérieur. On voit, d'après cela, quels avan-
tages sont attachés à la substitution de l'atome à la place de
zéro dans toutes les questions de limite, comme à la substitution
de l'indéfini à la place de l'infini : toutes les contradictions
que nous avons signalées, toutes les difficultés qu'on rencontre
à se mettre en face de zéro et de l'infini ou à vouloir les éviter,
disparaissent avec l'atome et son inverse qui est Tindéfiniment
grand.

J.-F. Bonnel (Lyon).

SUR LES DIVISIONS HOMOGRAPHIQUKS

Introduction. — Quand on développe la théorie des divi-
sions homographiques au moyen de l'équation algébrique fonda-
mentale

xx' — Xx — \xx' -(- v = o

on est amené à considérer deux origines O et O' pour compter
les segments x, .r'.

En disant que l'équation doit être satisfaite quelles que soient
les origines, on admet le fait comme évident à priori. Cependant
nous croyons bon, dans l'intérêt des débutants de la géométrie
synthétique, de donner une forme plus concrète et plus précise
à ce principe, en l'énonçant comme un théorème dont la démons-
tration simple conduit d'une manière palpable aux propriétés
connues des coefficients X, r 4 et v.

Tel est le but que nous nous proposons dans les lignes qui
suivent.

Définition. — On appelle divisions homographiques des
suites de points telles qu'à chaque point de l'une correspond un
point et un seul de l'autre.

Equation. — Il existe donc entre les segments x et x f déter-
minés sur deux bases l et l f , par deux points homologues et
comptés depuis deux origines données, une équation du premier
degré de la forme :

xx' — \x — jjlt' -f- v — o.

Les coefficients X, u, v sont déterminés par trois paires de
points homologues fondamentaux.

34o

L. CRELIER

Théorème : Etant donné 3 paires de points homologues fonda-
mentaux, la position des éléments d'une quatrième paire sur les
bases est indépendante des origines.

Démonstration. — Soit et 0' les origines, a, a' ; b, V et c 9 c les
— ~» 3 paires de points homologues fondamentaux.
Désignons les segments comme suit :

■r i «

i l

Oa — t
0'a'=zt'

ab"=.m
a'b'=m'

ac=: n
a'c'=n'.

L'équation de définition s'appelle :

xx' — 7jc' — |jjr' -f- v = o.

Calculons d'abord les coefficients À, tx et v
en formant les 3 équations correspondant aux points donnés;
nous avons :

tt' — \t JJL/' +v = o*

(1 + m) [t' + m') — X (/ + m) — jji (*' + m') -f v = o,
(! + »)(«'+ »•) — X(« + ») — !*(«' + *•) +v = o.

Les solutions X, u et v seront

•> *i ±* ±*

Formons ensuite ces déterminants

A =

A,=

— * — «' +i

— («+*) —(<' + !».') -fi

-(<+-») —(/*+»■) + i

— «' — «' +i

— (« + ») C + ^O -(«'+'«') +i
-(' + «) («'-f» 1 ). -(<'+« , )+«

— < — «' +i

-(!+"•) -(* + «) ('' + »'') + «

-(t+«) -(' + ■) ('' + «') +i

— < — f — «'

SUR LES DIVISIONS R0M0GRAPR1QU ES >*i

Développons et simplifions :

A = m'n — mn',

A, =z /' (mn' — m'n) + m'n' (/« — «),

Aj= / >i«' — m'n) + mn (n' — /«*),

Ajz= W {mn' — m'n) -f- tm'rï [m —n) + t'mn {nf - m').

On peut encore écrire évidemment :

A 4 = A** + m'n' (m — /*),
i A* = A/ + mn (n' — m'),
, A 3 =A 1 * + A 2 /' — Att'.

Prenons maintenant un 4° point d sur /, donnant
x = * + /> avec y> = «</:

Son homologue d' sur Z' donne

x' = f + />' avcc p' — a '<*'-

La valeur jr 7 se déduira de celle de x d'après l'équation fonda-
mentale :

xx' — )jt — jxr' -f v = o.

On aura :

1

>■* — *

« — fi

Introduisons les

valeurs des déterminants

!

A A V -

A,

— A.

Avec les segments p, l, p' et /', on a :

Développons ensuite/»'

.. _ Mi +/)-*, _. ,<

' - A v t +/>)-**_
A,t + A,;» — A, — t'tA — *t>A 4- 1 A.
- Al+Af-A,

34a L. CRELIER

En tenant compte des valeurs (i) et en simplifiant, on obtient :

m'n' {m — n) p

P =

p [mn' — m'n) — mn [n' — /«')

D'où il résulte que la position du point d! par rapport aux
points a', V et c f est indépendante des valeurs t et t r , c'est-à-dire
indépendante des origines O et 0' sur les bases l et l\ C. q. f. d.

Remarque. — Puisque la position des éléments des paires
nouvelles est indépendante des origines primitivement choisies,
on peut prendre celles-ci d'une manière arbitraire sur les bases,
en observant que les 3 paires fondamentales déterminent chaque
fois des nouvelles valeurs de A, jji et v.

Calcul des coefficients. — Nous avons eu

\ \ ^3

En introduisant les valeurs tirées des déterminants, on obtient :

» ±t' -\-m'n' (m — n) m'n' (m — n)

À — — * ~r — t~t ; — »

A m n' — mn

lt-{-mn[n' — m') mn (n' — m*)

|Z - * *T '

A uin — m n

— A i' + -M' — W __ u , i tm'n'(m-n) -f t'mn {n'—m')
A mn' — m'n

OU

v = M + \xt' — tl\

Cas particuliers : i° à tombe en b ou en c.
On a alors

p — m ou p =z n.

Supposons donc p = n ; on obtient :
, m'n' (m — n) n

n [mn' — m'n) — mn[n' — m')

On voit que d! tombe sur l'homologue de c, soit c' .
De même avec b et b'.

2° Les origines sont une paire de points homologues comme a, «'.

SL'JR LES DIVISIONS HOMOGRAPÏÏIQCES 343

Dans ce cas les valeurs t et t' sont nulles et on obtient
. m'n 1 (m — /»}

À r= ; ; »

mn — m n

mn [n' — m 1 )

IX — : L-»

mn' — m'n

v = o.

L'équation générale devient :

xx' — ajf — \lx' = o,
ou

x' = kXy
avec

m'n' (m — n)

* = ■

x — jx (mn' — m'n) x — mn [n' — m 1 )

On voit que x' s'annule avec x

4° Le conjugué d'un point comme b est à V infini.

Dans ce cas on a m' = oo .

Les valeurs À, v et p' ne présentant pas de remarques parti-
culières.

La valeur jjl prend la forme : jjl == / -f- m = 06.

Si on faisait de même n = oo, c'est-à-dire si on prenait c à
Tin fini, on aurait •

X= *' + /*' = ÔV.

Les points conjugués des points à l'infini portent le nom de
points limites.

On en conclut que les coefficients X et jjl sont donnés par les
distances des points limites de chaque base à l'origine correspon-
dante.

En outre, si les points limites étaient les origines, on aurait :

X = o, jjl zr o.

D'où

xx' = — v = tt'

t et t' désignant les distances de ces points aux points a et a 1 .
5° On prend d à V oo .

344 A. SU VA

Le conjugué d' du point rf x donne alors la distance
m'n' [m — n)

P ~

mn — m n

= X— /'.

Cette valeur peut du reste être déduite directement du cas
précédent.

L. Crelier (Bienne. Suisso!.

LA FORMULE DE STORES

Rappelons que le théorème de Stokes se résume dans l'identité

f{\dx+Yéfy + Zdz)

dans laquelle le premier membre est une intégrale curviligne et
le deuxième une intégrale de surface limitée par le contour de
la première ; X, Y, Z sont des fonctions de .r, y 9 s, finies et con-
tinues sur la surface, admettant des dérivées finies et continues
aux mêmes endroits ; Z, //?, n sont les cosirrus directeurs de la nor-
male à l'élément dw de la surface.
Nous poserons

x = f[u.v) 9

r=-_-j(ii,|.),
z = A(w, *•),

de telle sorte que ce soient

x = fi\\, II), etc..
.r^ />,«), etc.

les équations des courbes i-o. et 3-4,
et

xzzz f\y, ir f ), etc.
celles des courbes a-3 et 1-4.

LA FORMULES DE STOKES 3 F>

Nous aurons évidemment

Mais d'un autre côté, on a

L'intégration par parties donne d'ailleurs

-( x v+ ï !+ z £)./"

"( l^^+'ay^+^^Jar^'
/\/è\ b* , a y a r . a y a;\ av , .

/•«s/az a* , az a r , az a:\a= . .

En faisant les substitutions et les réductions on aura

4. /*W» Y &X \ D ^> . ( dZ ^\ PÇr tS ) ,
+ J , 'A ** % ) D K') + \> "*» 1 Dl».") "^

\as a*/ D('v))

346 A. SILVA

En intégrant cette expression entre les limites *> t et v t on a

"■'/■(^-•>«-"X(^ + >"
+ *X'(*Ê + -)*--X( x 3r + -)*

Le premier membre est l'intégrale le long du contour ; le
deuxième celle relative à la surface y comprise.

En. désignant par l 9 m, n, les cosinus directeurs de la nor-
male, on a

=jfi(f-ïM£-S)-+(S-$)'h

Il faut rapprocher maintenant les deux courbes 1-2 et 3-4, ei
réduire le petit contour a-3 à un point.

Otto A. Silva (Rio de Janeiro).

L'ALGÈBRE DU CALCUL

Depuis son origine, il y a plus de deux siècle», <m a ehercfcé
:i donner au Calcul infinitésimal wne base purement arithmétique.
Avant d'exposer 110e méthode des plus simples pour atteindre ce
but, sans limites ni infinitésimales , nous allons démontrer que la
méthode en vogue est non seulement incommode mais erronée, en
tant qu'elle repose sur la contradiction dont on s'est servi pour
établir la loi de la dérivation partielle, loi d'autant plus fonda-
mentale qu'elle contient celles de l'addition et la multiplication
des dérivées comme cas particuliers : ce que Ton n'a pas même
remarqué.

Si par exemple w =/"(*>, co), ohv=xsinx 9 to=e x 1 on obtient

[--1 — J en regardant la première comme variable, la seconde

comme constante : ce qui est impossible, à moins quex ne soit en
même temps variable et constant...

Nous ne tarderons pas à préciser en le généralisant le vrai
procédé de la dérivation partielle, déguisé sous cette sophistique
puérile, en posant cette notation et ces définitions préalables.

1. Par

il est entendu que a=c 9 b = d, en distinguant toujours une frac-
tion d'un quotient, ainsi :

X -}- X IX

I -f- 1 1

2. Par

U =1 U Vj U = «c,w U = M», CtC.

M» W. REKTOX

on entend u est fonction de p, u est fonction de v et de <r, m est
fonction de p, qui est fonction de .r, etc.

\\. Soit

a i ?i • • w i + ** ?a ••«,+ .. + a,» } n . . w„ =

1

"i + "2 + • • + "« s= « («

1
et nommons cette série ou son équivalent symbolique // (dont le

module, 1, indique que Zo«,v les n termes y sont compris) un

résultant.

Si n =p -J- q, et si Ton supprime les termes d'ordre y, de sorte

que Ton ait

(0

«1 + u t + • • +Up = U \l>]

o 11 le module (1) =/> : /î, le résultant se dit partiel par rapport
au premier.

Ainsi Ton a en général

M

en posant

/> + ?

où /w est un entier à déterminer. Le cas où m> 1 et par consé-
quent qo n ~ l —o est analogue à celui d'un déterminant (qui n'est
qu'une espèce de résultant) où Ton multiplie des termes par des
éléments- zéro.

4. Toute autre série, ayant même nombre de termes,

i" + j« + • • + nUU = u (<*)

Se nomme, ainsi que la première, un co-résultant.

;">. Si tout terme de la série est fonction de .r, on la nomme
résultant en .r, en l'écrivant ainsi

x

(f)

"*l + ltx,+ • . . + Wx nX = U,

m t «-r + ,11* + . . . + n x'^ ^ J'

L'ALGÈBRE DU CALCUL M9

où le module se conforme si la lettre de la sous-fonction; et tout
résultant se dit homonyme ou hètêronyme selon que la fonction
et In sons-fonction sont identiques- ou non, en entendant d'ailleurs
que tout produit d'un résultant homonyme ou hétéronyme se dit
aussi homonyme ou hétéronvme.

6. Si en particulier pour toute valeur de x

x

U.r «

Ux X

X

où // est fonction de.r, on nomme le résultant co résultant de u
par rapport à x. Et il est évident que si par exemple u = w fj . et Ton
peut trouver des co-résultants de m par rapport a r, et de v par
rapport à .r, on en aura aussi trouvé de // par rapport à .r, ainsi

V

X X

U H \' U c
X V X f# e

v

\'X H.r y Ux

*> ~~ .«X ~" «.r
X X

7. Définition. — Si w = //,. J ., io x . 9 - x , où n est fonction immé-
diate de f», n\. et t>, «r.. sont des fonctions immédiates de .r, et

u

X

u
i»

X iV X

■ "" T

X

V

X W X

z

X

=

u„

V

\'x '/« »»\»

»'.r M* »«'x
X W X

//-

"5
z

X

V

Wc

/#c
V

x w x

«> 4- f/ H "«> 4-

z

. 4- //;

• + '<:
7.

X

'.r

1

»\r 4" "•* "'.r + •
X w x

1

et si daus tout module M = ^ — 2- on suppose/; le nombre des

termes homonymes* m le nombre des sous -fonctions immédiutos
d'une fonction donnée/ de sorte que

v 1 w 1 z 1 »

« s »r -J- f/ir »«'.* 4" ■ • •+- "= z -r _ «r

"c *'* + "ic »«>-f- • ■ + "s "^ "~ «r
V 1 W j Z 1 1

les co-résultants à droite se nomment respectivement la dérivée
et le dérivant de u par rapport à x, et en même temps tout rêsul-

Enscignement mulh. rf

35o W. RENTON

tant particulier dont ils se composent se nomme la dérivée ou le
dérivant (total ou partiel selon le cas) de sa fonction respective
par rapport à sa sous-fonction.

8. De la formule [g) toutes les règles ordinaires de la dérivation
se déduisent au premier coup d'œil ; et il est à remarquer que
quelles que soient les valeurs de v, iv, etc., on a toujours

V.i +-W.I + . . +Z.i = i {h)

c'est-à-dire le résultant des modules est le module du co-rèsul-
tant.

9. Ainsi pour u — u rx , où m u , le nombre de sous-fonctions
immédiates de w, est l'unité, on a

i 1 1

«u V'x Ht

U c %'x Ux

1 i 1

(A)

d'où, en posant u = v 9

1 1 1

U u Ux = U Xi «u i'x = «x
11*1

1

et par conséquent u u = u u = 1 , etc.

De même pour u = « r , m u = m v = 1 , et Ton a

W U V w _

1 1 1
Uv »V «*x

1

Ux

X V W X

1 1 1

U X

et ainsi de suite.

10. Pour 1/= w t> , Wj, /?i u =2, et Ton a

d'où en posant co = .r,

i 1 (li (i)

et, pour u i = 0. r, = — */» :.# • . .

(0 1 '
+ tu M\r

-

1
I/o?

U v V*

(0 J

+ "•» M '«

]

(lî

•'« + «* =

-Ux

P)

L'ALGÈBRE DU CALCUL 35i

1 1 . Pour u =4>-|- w, on a

u

X

U V u

y x 4v

X

=

i

V -\- II' v x

v v x

i

V -(- W
II'

1

' «'X
"X

1

Vx + « X

1

1

•y -f- »>'

1 1

*» -f- ir
i

(C)

* + «■

en divisant le dénominateur par p -f" w au ^ eu de multiplier le
numérateur, pour ne pas être en contravention avec la définition
du § 4i puisque le produit de deux binômes estquadrinôme tan-
disque leur quotient est binôme. Et puisque .

i i i

u m = v x + "'x,

iiiiii

rirrzifp -{-«'„, w tl =:f.,-|-«', - ,

(i) i i (i) i i

u — V v -f- «'„ o, u M := »'„ o -f- to M

en multipliant tout terme hétéronyme par o a-i . Par conséquent

(0 = 4.*

_^ i

*"i "îi f ' t •

U v v x + 2/„u> = F x + *"*. -

ce qu'il faut constater. De même pour le dérivant. Et en général

_L JL

» 1 ni 1 1

Mri'x +•■-!- «3 s -r _ ^x + » » .+ S*

'M'x +
1 1

i-2. Pour f/ = w on a

z

M

«X

1

1/ M V KM*

•T V X il' X

1 1

ViV V 9 V*V i\' x

V V x «' W'x

1 1

1 1 1

1

__ »*'*x 4" Vtv M __ U x

-

fX »»•

~~ Vx + M'x ' "j

WX«'

1 1 1

1

(D)

3>a W. RENTON

Et en général

_L L

Ml Ml 1

u v x + .. + ***** ^ **'•• *Vt+.. + » • ._.

'M'x + • • + «s"* "" *'*+•-+ "x

» 1 f 1 1 1

r:

i3. Pour u = ç : ivona

ii i i

i-j. : w» — yw x : «>* u x v : n«

u x s' : a»
1 1

D'où deux corollaires importants.

a. La dérivée d'une constante est nulle.

Ainsi

i - i

1 * V vv

"^ V V*

111 1

» = i + i + . . . 4-i = o + o+..-|-0-z:wo

1 1 n i

De même m =mo, et n : m = o. Donc e = e.o. Q.E.I).

m

jj. £e quotient de deux fonctions évanouissantes est le quotient
de leurs dérivées. Puisqu'une constante a la même valeur pendant
deux instants consécutifs, et qu'il est impossible de changer de
signe en moins de deux instants, toute fonction qui change de
signe en passant par zéro est constante: et comme le quotient de

deux constantes est constant, — est constant, en écrivant ainsi

1» fraction pour la distinguer de? : w, dont la valeur est générale.
En égalant et difierentiant ces deux expresions on a

V

v : CM z= —

«V

1 1

V W V

♦V W* ~~* II'

d'où

V ALGÈBRE DU CALCUL 35*1

et

t

£ = -l,Q.E.D.

M'

i4- En appliquant ces règles aux fonctions fondamentales .r\
rt J , sin^ etc, on a

Ainsi

_ n~l n— 1

x" x, x„

nx n ~ l «,

X 1 „I

1

X» ___ x" + * __
X X

x«x*

X

nxn-i (a + fr)x«+*-*

x*«x« «+x^fcx i »

n a + b

* + b

a* __ a* A
x xA

1

1

où A = logfl, et xk =U a A e = U e . Ainsi

Ainsi

a* = 1 + Ax + A» — 4- . .

i

a*=o + A + A s x+..= a*A.
1

sinx co»x M,

x xcotx u,

x 3 x 5

8injP=:x _ _+__..

X 9 X*
,= 1-^- + — .. = cosx

(*)

(M

(T)

Et ainsi de suite.

i5. Pour la dérivation successive on emploie le module n ou
(n] n selon que l'opération est totale ou partielle. Ainsi

t s

1 9 1

*., = «,,-

- u v v x r r

(») (*)

«t- = *x

354 W. RE A TON

On démontre la première égalité en différentiant les identi-
tés

îi.ii i ii

la première par rapport à x y la seconde par rapport à *>, ce qui
donne

2 2 1 2 1 12 1

f/t V = lt v V X — U X X + UxX v \'x

2 « 1 2 1 12 1

U Xo = ttxT = U c i'x + U S'xX v

d'où

12 1 12 1

u x x v i'x + u v vxx v = o .

16. Pour l'intégration successive, opération qui ne parait pas

reconnue dans les mathématiques, on emploie le module n, en

nommant toute fonction V intégrale de sa dérivée ou V intégrant de

son dérivant par rapport à une sous-fonction quelconque ; c'cst-

i -t
à-dire z/=m — u. Ainsi dans ce que Ton peut nommer le déve-

i —i

loppement intégro-differentiel ou intèrentiel

— 1—1 2—2

U == U X 1\' V + Ux*'o + IWv + • .

on n'a qu'à mettre w = i pour avoir

u x + c = u x + UxV + Ux -r + . .

21

le soi-disant théorème de Taylor. De même on a
u == UW •+ MU' + UW + .,

«0 "1-1 2-2 ""

17. Deux fonctions v, to se nomment paronymes si Ton a

p== w. Ainsi .r 2 : 2=x = e x .

.. i : i

18. Quant à la notation que nous avons ébauchée, elle se ratta-
che évidemment à celle de Newton, d'ailleurs vague et défec-
tueuse, à laquelle nous avons cherché adonner une base ration-
nelle, en regardant la dérivée tout simplement comme la

L'ALGÈBRE DU CALCUL 355

somme des numérateurs iVun nombre convenu de fractions égales,
idée aussi étrangère en elle-même à l'algorithme de Newton
qu'au du : dx de Leibniz, qui n'a aucun sens, et que l'on ne
rend intelligible qu'en le transformant en du : r, ou rf, coeffi-
cient algébrique, est le dérivant de la fonction, comme nous
venons de le définir. Ainsi

« u

Ut = U X

1 *

puisque toute tangente (pour j^nous rappeler l'origine géomé-
trique de ce genre de calcul) n'est que le quotient u : x multiplié
par un tenseur arithmétique qui dépend de la forme de u. Et
c'est au moyen de cette fonction auxiliaire, dont le logarithme
bien entendu n'est qu'un cas particulier, que l'on parvient à
établir les règles du Calcul, et à remplacer par un mécanisme
simple et symétrique un pêle-mêle de procédés artificiels dont'
l'empirisme et la sophistique font le scandale de la science. En
effet comme l'addition mène à l'idée de la multiplication, et
celle-ci a l'idée du logarithme, ainsi

Q a + A a + . . + n a = na
<Zo X a L x . . X a n =. a n

d'où a = oa, a = a°> on n'a qu'à généraliser le logarithme pour
arriver à l'idée du dérivant, qui à son tour mène à celle de la
dérivée.

W. Renton (Newcaste, Angleterre).

REMARQUES SUR LES VARIATIONS D'UN POLYNOME

Si Ton donne à une racine d'un polynôme entier l'accroisse-
ment Aa, les accroissements correspondants des coefficients du
polynôme deviennent :

A« = o
A/ij = — a «lx

(A) Aa 2 = — (a k + a a) la

Art* =-— (a*-i +fl»_îa + fi v .-:a i + . . . +"o x '~ 1 ' Aa
A« ?l = — (tf.*-i + «;*-2 «+";*- :j * 2 + . . . +o a:*— i)Aa.

Nous voyons cela, soit en divisant le polynôme donné par
j: — a et multipliant ensuite le quotient par (.r — a — la), soi!
en ayant égard aux relations entre les racines et les coeffi-
cients.

En observant que

dp+OL (tf ;/l _i + «j*- ia+ fl. A -3 **-+- • • • + a o a:i ~ ! ) = °
nous écrivons les relations (A) comme il suit :

HEMARQUES SUR LES VARIATIONS D'UN POLYNOME 35?

Des relations (A) on déduit la formule de récurrence

\i\) Aa» = — a v — i Aa-(-a A«v-i

d'où suivent divers corollaires pour les variations des coefficients
correspondants à la variation de la racine a.

1. — Quand une racine positive devient négative et que dans un
groupe de coefficients de même signe du polynôme, un quel-
conque d'entre eux diminue absolument ou change de signe,
tous ceux qui le précèdeut chaugent nécessairement de
signe.

Démonstration. — Supposons que nous ayons

a y — î < o a v _i<o Ov<o
a>o Aa<o mais | A* | >at A«, > o,

de la relation ^C) nous tirons alors

— Ov— 1 Aa + a. A« v — i >o,

ou

ou

et comme
il s'ensuit
donc
Pareillement de

on déduit que

a. Afl»_ i><!„_iA«,
a. Aav_i> | «v-i | . | Aa |

3 < | A« |

A/ïv-i > | a v — i | ,
«V-l + A«v-l >o.

Aa v — 1 > o
«v- J + Afl v -2>o.

On démontre de la même manière la proposition correspon-
dante, quand nous avons

a,-2>o, tf v ~i>o. a v >o.
a. — Si dans un groupe de termes de même signe un quelconque

/

358 />. Z EB VOS

d'entre eux, le dernier excepté, ne change pas de signe, il en
sera de même pour le suivant, car autrement le précédent ne
pourrait garder son signe.

3. — Le changement d'une racine positive en négative détruit au
moins une variation.

Démonstration. — Les coefficients du premier groupe conser-
vent leur signe, puisqu'il en est de même du premier (car
Ax = o) (voir remarque 2). Ceux du dernier groupe, au con-
traire; changeront tous de signe, puisqu'il en est de même du
dernier terme

# " car(a ll +Aa :Jl ).« !A <o,
comme on déduit des relations (B), puisque

(on + A^K = V ^1 + -^ J

mais

I A*

d'où

«i> 1

1 Aa .
1 + <o.

(voir remarque 1).

Quant aux autres groupes, trois cas peuvent se présenter :
i° ou tous les termes du groupe conservent leur signe ;
a ou tous changent de signe ;

3° ou bien présentent une seule variation, de sorte qu'ils peuvent
se subdiviser chacun en deux autres groupes, dont le second
aura des coefficients ayant conservé leur signe (c'est-à-dire de
même signe que les coefficients correspondants du polynôme
donné).

Tout cela se voit d'après la remarque I.

Soit v le nombre des groupes consécutifs du polynôme
donné.

Ils présentent v — 1 variations, cherchons le nombre maximum
des variations des coefficients correspondants du nouveau poly-
nôme. Je dis que ce nombre maximum sera v — a.

REMARQUES SUR LES VARIATIONS D'UN POLYNOME 3>9

Car on aura ce nombre maximum. en supposant que chaque
groupe du polynôme donné il partir du deuxième jusqu'à l'avant-
dernier fut subdivisé en deux autres groupes. Le nombre des
groupes nouveaux, ainsi produits, sera a (v — i).

F. n représentant les groupes du polynôme donné par

(i) L, M, N, P... J. K

et par L' jjl.ijl'. v,v' 4 o,p.'... <x,*' K' (a)

ceux du nouveau polynôme (c'est-à-dire par L' le groupe des coeffi-
cients correspondants à ceux du (L), par jji, jjl' les groupes en
lesquels fut subdivisé (M e. c. t., etc.). L'on voit que le signe des
coefficients du groupe (jjl) coïncide avec celui du groupe L, de
même le signe des coefficients du groupe (v) coïncidera avec
celui du groupe ({*') et ainsi de suite.

Donc les groupes (2) coïncideront deux à deux en un groupe
du nouveau polynôme et par conséquent ce dernier aura v — 1
groupes, c'est-à-dire v — 2 variations.

4. — De ce qui précède Ton déduit aussi le théorème de Des-
cartes; car, pour chaque changement d'une racine positive en
négative, il faut qu'un nombre impair de variations se perde ; ce
nombre impair de variations doit donc exister auparavant dans
le polynôme. Du reste, après le changement des racines posi-
tives en négatives, le polynôme ne présentera pas un nombre
impair de variations, car, autrement, il aurait une racine posi-
tive.

5. — Dans ce qui précède Ton supposait

|A«|>fc,

mais il est facile de montrer que les propositions précédentes
seront vraies aussi pour

\% = — a ;

Ton verra ainsi que, si un coefficient négatif devient positif, le
coefficient suivant, s'il est positif, conservera son signe.

6. Soit le polynôme

« or;* -f -a r l:i *~~ 1 + • • • -\-aP~ l <x*— ?+ l + a ? x*— t + ... +a a _tj? ï i_« r 4-i + a 9 xv>— t

36o /*. ZERVOS

dans lequel nous supposons les coefficients

a , «j, ... a ? — 1 positifs

a v flj+t,... a^-i négatifs

0<r» a«+i.... Ot-i positifs

a-, ciH-l,.- ûv— 1 négatifs,
e. c. t.

Si dans le changement d'une racine positive en racine néga-
tive ou nulle nous avons

«a-t + ^«<r-l >0

(ir a, +Aa„ >o

a»~i + Aa,-i >o
a» -{- Aa v > o

c'est-à-dire si le dernier terme de chaque groupe négatif devient
positif, et que le premier de chaque groupe positif reste positif,
alors le polynôme donné n'a d'autre racine positive que a; car le
nouveau polynôme aura tous les termes positifs et cela parce que
le dernier terme de chaque groupe négatif devenaut positif, il
s'ensuit que tous ceux du groupe qui précèdent, deviendront
positifs; de même le premier terme de chaque groupe positif
restant positif, il s'ensuit que tous ceux du groupe qui lui sui-
vent resteront positifs.

Les inégalités (E) peuvent aussi s'écrire comme il suit

a 9 — («»— i+a,_ 2»+. . .+a **- l ).Aa>o
a> -î — (a>— 2 + av-3« + • • • + a 9 w-*). Aa>o

r/ v — (a»-i+fl»-ja+. . .+a a»— 1 ).la>o

et comme la proposition précédente est vraie aussi pour

Ax = — a,

il s'ensuit que, pour que a soit la seule racine positive de poly-
nôme, il sufGt que

««r-i + a^r-îa+a,— 3a 5 + . . . -(-«o** - ^

(s) a 9 -f-a,-ia+«*-2* 2 +... +a a<r >o

a»-i-f-av-2a+av— 3«*+ . ..+a av-i;>o

REMARQUES SUR LES VARIATIONS DTX POLYNOME 36i

mais comme de la première des inégalités iz) suit la seconde
d'après nos suppositions) et de la troisième, la quatrième, les
conditions \z) se réduisent aux seules suivantes :

a. i +a> 22 + flv :; *'+ . . . -f a z t -i>o

et en généra], on montre de même que le nombre de variations
que présentent les expressions

tfv-l,+ A«v-i,),. •

est précisément égal au nombre de variations que présentera le
nouveau polynôme.

7. — Suivant Laguerre un nombre positif a est la limite supé-
rieure des racines positives, si tous les polynômes suivants sont
positifs

fi u a 2 + a à x + a J (== a' J )
fl a :l + «,»* -I- a** + x, (a a'J

Nous pouvons exprimer cette proposition encore d'une autre
manière.

Soit le môme polynôme que celui de la sixième observation :
Je dis qu'il su Hit d'avoir

« x-~i + /i 1 a>-2+ +a,-\ >o

pour que a soit la limite supérieure des racines positives. Car
alors la série

sera aussi composée de termes positifs et cela parce que nous
observons qu'aussi pour ces polynômes est vrai 2 la forn.ulc de
réduction

36a P+ZERVOS

par conséquent, quand â^-i est positif, a\ sera aussi positif, de
même &'„_£? car

et

(Nous avons supposé a„> o a,_2<o).

Dé même nous pouvons modifier la proposition de Lagucrre,
d'après laquelle la limite supérieure du nombre des. racines posi-
tives du polynôme donné, plus grandes que a, est le membre de
variations de la série des expressions

<*o> a ù* + a v a o** + *t*+ a v 9 a o aî * + ai* 11 "" 1 + **

P#ur cela nous montrerons .d'une manière analogue, que ce
nombre est le même avec le nombre des variations de la série
des polynômes

a *?-i+a l *î-s + +<V-i

a a»— i + a v a»- 2 + + «*- 1

« a-— ^ + a i %'— 2 + +«t— i

«o av "~ i + a i **-"' + -f«v— i

) (

8. — Deux polynômes complets, ayant m — i racines communes
et une différente, différeront au moins dans la moitié des coef-
ficients; car s'ils ne diffèrent pas dans le coefficient du
terme dont le rang est /i, ils différeront dans celui du rang/i+ î,
comme on voit de la relation

Aa»+i =-f-a.Aa v — a>.Aa,
mais

« v =^= o et Aa -=f=. o

donc

REMARQUES SUR LES VARIATIONS D'UN POLYNOME 36*

II. Changement des variations d'un polynôme en multipliant

par (x-\- a )* + b\

Considérons l'opération :

w o r ^ + a i J "' 1 ~ 1 + <l j- ri4 ~ 2 + • • • +«;i-2* 2 + tfn— îar+a.^ (polynôme complet).

jt^+2-}-^ x*+i+a.

+**«(

4-aacr.

+aâa 2

-|~aaayi— 3 .

+ («H-**)«V-«I +(« , +* f )« f .-l

+(«*+*■)«,>

i. — Soit a > | b | et a^. a^-i > o. alors le nouveau polynôme
présentera un nombre de variations moindre ou, au plus, égal
à celui du polynôme donné.

Démonstration. — Exprimons par

a , <Zj . . . , <7 ? le premier groupe des termes positifs.
« ? -h1, a ? +2. . ., «t le deuxième groupe des termes négatifs.
a-H-i, a T +2. . ., a, le troisième groupe des termes positifs.

• c. c. t.

Nous observons que, aux p + i premiers termes positifs du
multiplicande correspondent p -f- r i premiers ternies positifs, du
produit.

Du a 9 jusqu'à a. il se présente une variation au multiplicande;,
je dis qu'il se présentera une, au plus, dans les termes corres-
pondants du produit; parce que dans la série

<t. t +i ■\-2*a i -{-(x î +b i )a 9 — i, a 9 ^t + ia.a î ^i + (ai 1 + b 1 )a v

a ? +3 + aoca p + 2+ (a* + b 2 ) <* ? + i, . . . , a?+ aa.a-~ i + (a* + £ 2 > T - ï

tous les termes à partir du troisième jusqu'au dernier ..sont
négatifs parce qu'ils se composent de termes négatifs. Les coef-
ficients qui se composent de négatifs et positifs sont le premier
et le second coefficient de la série précédente.

Or, quand le premier est négatif» noua avons .,„. - ; :., .<

«f-M I > a.a.«î

UY\ />. ZERVOS

(Voix aussi

parce que

par conséquent

*2. ou |^<i f -4-i | > (a 2 + fr 2 ) «p,

>>l*h

c'est-à-dire que le second est aussi négatif; quand, au contraire
1c premier est positif, alors quel que soit le second nous aurons
une variation. Nous voyons de même que, comme les termes du

multiplicande a., a~+\ a 9 présentent une variation, lesterires

correspondants du produit présentent aussi, au plus, une varia-
lion, etc. L'on déduit ainsi la règle suivante : Du premier
terme du produit jusqu'à celui qui précède l'avant-dernier, nous
avons, au plus, autant de variations que le multiplicande.

Il reste encore à examiner dans le produit les trois derniers
termes, c'est-à-dire

D'après ce que nous avons démontré, le produit présente,
jusqu'au terme dont le rang est [A-f-i autant de variations que
le multiplicande, ou moins. Or, si d'abord il en présente autant,
que le multiplicande, le terme qui a le rang;x+ i aura le même
signe avec celui qui a le rang jx-f- i du multiplicande, autrement
le produit présentera, jusque-là, au moins une variation de moins,
parce qu'il ne peut en présenter davantage, c'est-à-dire le coef-
ficient a^+aa.a^-i -f- (a -f- b f )a,^i aura le même signe avec
a. k por conséquent aussi avec (a* -f- &*) a. k et aussi avec 2a tf^-f- V
-|-& 2 )a JA _i car, nous avons supposé que

donc les trois derniers termes du produit ne présentent aucune
variation; si maintenant le produit présente jusqu'au terme quia
\a rang ([Jt-f- 1) moins de variations que le multiplicande, alors les
variations du produit seront, au plus, aussi nombreuses que celles
du multiplicande, car les trois derniers coefficients du produit
peuvent présenter, au plus, une variation, puisque

0,-1. Op>0.

REMARQUES SUR LES VARIATIONS D'UN POLYNOME 365

2. — Tout polynôme entier multiplié par

(x+ *)«+**
où

et

x ^

a K — i

peut bien perdre, mais jamais gagner des variations.

La démonstration est analogue à la précédente ; il suffit d'ajou-
ter ici l'observation que l'avant-dernier coefficient du pro-
duit

aa a^ + ( a * + * f ) «j*— t

aura le même signe que le dernier, d'après nos conditions.

III. Recherche approximative d'une racine positive d'un polynôme

AVEC LE PREMIER TERME POSITIF ET LES AUTRES NEGATIFS

i . — On sait qu'une équation avec une seule variation a une
racine positive a et qu'un polynôme multiplié par x — a acquiert
au moins une nouvelle variation, il s'en suit que si nous divisons
le premier membre de l'équation donnée par x — a, nous aurons
un polynôme avec des termes tous de même signe.

Soit maintenant un tel polynôme :

a Q xv- — a L x?-— 4 — a 2 xi*— 2 — a 3 xv--

si nous le divisons para: — a, nous aurons tous les coefficients du
quotient positifs

«o» *o*— «i>°» «o* 2 — *i*- «j>o,

De l'inégalité

«o a — û i>o

Ton déduit que

■>■?-•

de même de Tinég

alité

«0

* J — « t a — ^>o

Enseignement i

na th.

366 />. ZERVOS

l'on déduit que

a 2 *-a *->o

mais, pour cela, il faut que a soit un nombre plus grand que la
racine positive de l'équation

x* -. x *_— o

(parce quea>o) d'où

ai

t v v a «o y «o

qui est plus grande que — .

IV. Limites de racines

On connaît les relations entre les racines et les coefficients,
c'est-à-dire

« + P4-T+ =-«i

a , 3 ï Y= (-'K

Nous pouvons en déduire des règles pour trouver des limites
des racines ; par exemple :

i . — Si dans un polynôme du degré jjl avec des racines toutes
réelles, nous avons

I «*-i I ><**

il y aura nécessairement une racine en valeur absolue moindre
que |x.

Démonstration. — La somme des produits des racines jjl — i
à ;jl — i donne en valeur absolue le terme | a JJl _i | . La valeur
absolue du produit des racines est | a?. \ . Des produits u — i à
jjl — i , le plus grand en valeur absolue est celui qui n'a pas la
racine la plus petite ; et si nous multiplions ce produit par
jjl, nous aurons un nombre plus grand que | a^_\ | et par
conséquent que | «j» | ; tandis que si le même produit est multi-
plié par la racine a plus petite, nous aurons le ternie | a^ | .

REMARQUES SUR LES VARIATIONS D'UN POLYNOME 36?

D'où Ton voit que jjl est plus grand que la plus petite racine*

2. — Dans un polynôme qui a toutes les racines positives

et

I «M > I «ii-i I >

il y a nécessairement une racine positive plus grande que le
degré du polynôme.

Démonstration. — Là somme des produits des racines jjl — i
à [x — i est égale à | a^i | , tandis que le produit de jji racines
est égal à

Des produits jjl — i à u. — i le moindre sera celui qui n'a pas
la plus grande racine. Donc ce produit, multiplié par jjl, nous
donnera un nombre plus petit que tf^-jet par conséquent plus
petit que a^.

D'où il suit que le nombre jji est plus petit que la plus grande
racine.

P. Zkrvos (Athènes).

NOTES ET DOCUMENTS

Cours universitaires.
Semestre d'hiver 1903-190/!.

PREMIÈHE PARTIE (*)

ALLEMAGNE

Berlin. (Universitàt). — Schwarz : Analyt. Geom., 4; Kegelscho.,
2; Th. d. analyt. Funkt., 4; Colloq., 2; Sem., 3. — Knoblauch :
Diff. rechn., 4; Ueb., 1 ; Th. d. ellipt. Funktionen, 4. — Lehmann-
Filhès : Integralrechn., 4. — Hansens Méthode d. Berechnungallg. Stô-
rungen, i. — Landau : Th. d. Determinanten, 4; Funktionenth., 4;
Transcendenz von e u. w, 1. — Schur : Th. d. algebr. Gleich., f{; Th.
d. lin. Diff. -gleich., 4 ; Frobenius : Zahlenth., 4 ; Sem., 3. — Schot-
tky : Th. d. Abelschen Funktionen, 3 ; Potentialth., 3 ; Sem., 3. —
Marcuse : Allg. Himmelsk., 1 1/2; Fehler bei Sinneswahrnehmungen
bei Prâzisionsmessungen, 1 ; Ortsbest., 1 ; Sem., 1 1/2. — Foerster :
Th. d. Raummessung, 2 ; Geschichte d. arab. u. mittelalterl. Astrono-
mie; Gesch. u. Th. des Fernrohres, 1 ; Sem. f. wissensch. Rechnen. —
Bauschinger : Mechanik des Himmels, 3 ; Chronologie, 1 ; Einrich-
tung u. Gebrauch d. Planetentafeln ; Sem. f. wissensch. Rechnen. —
Helmert : Figur u. Schwerkraft d. Erde, 1; Méthode d. kl. Quadrate, 1.
— Battermann : Ausgleichungsrech., 1 1/2. — Plank : Allg. Mecha-
nik, 4 ; Uebgn. in d. analyt. Mechanik. — Weinstein : Thermodyna-
mik, 3 ; Physik d. Erde, 1.

Breslau. (Universitàt, i5 Okt. ; i5 Màrz). — Rosannes : Algebr.
Gleichungen, 4 ; Elem. der Funktionth., 2 ; Ueb. des math.-phys.
Sem., 1. — Sturm : Diff. rechnung u. Elem. der Integralrechn., 4i
Th. der geom. Verw., II, 3 ; Uebgn. des math.-phys. Sem. — Franz :

( f ) Cette première Partie contient la liste, aussi complète que possible, des cours
de Mathématiques supérieures qui se donneront l'hiver prochain dans les Univer-
sités et Ecoles supérieures d'Allemagne, des Iles-Britanniques et de la Suisse. Nous
publierons en novembre les extraits des autres programmes qui nous parviendront
avant le i5 octobre.

La Rédaction.

NOTES ET DOCUMENTS 369

Astronomisches Rechen-Praktikum, a ; Mechanik des Himmels, Natur
u. Bahn d. Mondes, a ; Schilderung d. Weltgebâudes f. aile Fakul-
tâten, i. — Neumann : Einf. i. d. mechan. Wàrmeth., 4 ; Ausgew.
Kapitel der Potentialth., a ; Sem., a. — London : Analyt. Mechanik.,
4; Uebgn., 1.

Erlangen. (Universitât, i5 Okt. ; i5 Mârz). — Gordan : Diff. u. In-
tégral rechn., 4 ; Algebra, 4 ; Sem., 3. — Noether : Analyt. Géomé-
trie, I, 4; Analyt. Mechanik, 4 ; Math. Uebgn. — Wehnelt : Einf. i.
d. math. Behandlung d. Physik u. C hernie, 1 ; Math.-phys. Uebgn. mit
Prof. Schmidt, a.

Freiburg i. B. (Universitât). — Lûroth : Analyt. Geom. d. Ebeneu.
Diff. rechn., 5; Analyt. Geom. d. Raumes, 3 ; Sem., 1. — Stickel-
berger : Th. d. Diff. gleichn.,' 4 ; Zahlenth., 3. — Lœwy : Alg. Ana-
lysis, 4 ; Ausgew. Fragen d. Algebra, a ; Sem. — Kœnigsberger :
Part. Diff. gleichn. u. ihre Anwendungen, a ; Kinetische Gastheorie,
1. — Seith : Projektive Geom., a.

Gœttingen. (Universitât, Beginn, 16 Okt.). — Klein : Diff. u. Inte-
gral rechn., Il, 4 ; Seminar (Wahrscheinlichkeitsrechn.), a. — Hilbert :
Th. der part. Diff. gleichn., 4 ; Zahibegriff u. Quadratur des Kreises, a;
Sem. (Diff. gleichgn.), a; Algebr.-arithm. Uebgn. mit Minkowski,
Zermelo, Blumenthal, 1. — Schwarzschild : Allg. Astronomie, 3;
Astronom. Colloquium, a. — Minkowski : Mechanik, I, 4 ; Geom. d.
Zahlen, a; Algebr.-arithm. Uebgn., 1 ; Uebgn. in Diff. gleichgn. (mit
Hilbert), a. — Brendel : Geoda3Îe, a ; Math. Statistik, 1 ; Sem. f. Ver-
sicherungswesen, a. — Schilling : Darst. u. projektive Géométrie, a;
Uebgn., 4 ; Kinematik, 1. — Ambronn : Th. der Finsternisse u. Bes-
timmung astron. Konstanten, 3; Uebgn. (Sternwarte) taglich; Ausg.
Kapitel aus d. Geschichte der Astronomie, 1. — Zermelo : Variations-
rechnung, 3 ; Determinanten, 1 ; Ueb. z. Diff. u. Integralrechn., 1 ;
Algebr.-arithm. Uebgn., 1. — Abraham : Thermodynamik, a ; Thermo-
dyn. Uebgn., 1. — Blumenthal : Automorph. Funktionen, a ; Uebgn.,
1. — Bose : Einf. in die math. Behandlung der Natur w., 3.

Greifswald. (Universitât). — Thomé : Analyt. Geom., 4 ; Th. der
hypergeom. Funktionen, 1 ; Sem., 1. — Study : Infinitesimalrech-
nung, II, 1 ; Uebgn. 1 ; Geom. in complexen Gebiete, a ; Sem. —
Kowalewski : Funktionen th., II (Eliipt. Funktionen), 4, Uebg., 1;
Th. der Kettenb ruche, 1 . — Ebert : Bahnbest. d. Cometen u. Plane-
ten, 1; Sphar. Astron , 1; Astr. Rechenubgn. m. bes. Berûcksichtigung
der num. Auflôs. v. Diff. gleichgn. durch. mech. Quadratur, 1 ; Anleit.
zu geogr. Ortsbestimmungen, 1 .

Heidelberg. (Universitât). — Kœnigsberger : Analyt. Mechanik, 4 ;
Eilipt. Funkt., a; Ausgew. Kap. d. Integralrechn., a; Math. Unter u.
Obersem., a. — Cantor : Diff. u. Integralrechn., 4 ; Uebgn.; Polit.

370 NOTES ET DOCUMENTS

Arithm., a. — Eisenlohr : Diff. u. Intégral rechn., 5 ; Ueber das Poten-
tial, a. — Boehm : Mechanik der Continua (Elastizitât u. Hydrodyna-
mik), 3. — Kœhler : Analyt. Geom. Raumes, 3. — Landsberg : Darst.
Geom. mit Uebgn., 4; Th. der kr. Flâchen u. Linien, 4. — Yalenti-
ner : Th. d. Stôrungen, a; Grundlehren d. Astron. in geschichtlicher
Entwicklung, a. — Wolf : Elem. der Astron. (Math. Geogr.), a.

Iena. (Universitât, 19 Okt. ; 19 Màrz). — Gutzmer : Integralrechn.,
4 ; Sem. dazu., 1 ; Determinanten u. Algebra, 4- — Thomae : Analyt.
Geom. d. Raumes, 4 ; Elem. Funktionenth., 4 ; Sem., 1. — Fregh :
Part. Diff. gleichgn., 4; Begriffsschrift, 1. — Auerbach : Mechanik,
4. — Rau : Techn. Mechanik (Dynamik), 4. — Knopf : Wahrschein-
lichk. rechn. u. Méthode d. kl. Quadrate, 3 ; Best. d. scheinb. Laufs
der Planeten u. Kometen, a.

Kiel- (Universilâi). — Pochhammer : Geom. d. Raumes, 3; Th. d.
Diff. gleichgn. m. einer unabh. Var., 3 ; Math. Sem., 1. — St^ckel :
Integralrechn., 3 ; Ellipt. Funkt., 4 ; Sem. (ell. Funkt.), 1. — Kobold :
Meth. d. kl. Quadrate m. bes. Berûcksichtigung geodât. Messungen,
a ; Geodât. Uebgn. — Weinnoldt : Ausg. Kap. d. techn. Mechanik. —
Grossmann ; Einf. in d. Chronologie; Uebgn. zur geogr. Ortsbest., 1.

Leipzig. [Uniïersitât, i5 Okt. ; i3 Mârz). — Neumann : Analyt. Me-
chanik, 4; Sem., a. — Bruns : Allg. Astronomie u. Astrophysik, \;
Sem. f. wissensch. Rechnen, a ; Prakt. Uebgn. (Sternwarte) mit Prof.
Peter. — Ad. Mayer : Dyn. Diff. gleichgn., 4; Ueb., 1. — Hôlder :
Diff. u. Integralrechn., 5 ; Ausg. Kap. aus d. Th. der ell. Modulfunkt.,
a ; Sem., 1. — Engel : Anal. Geom. d. Raumes, a ; Funkionth., 4 ;
Transf. gruppen u. Diff. gleichgn., a ; Sem., 1. — Hausdorff : Einf.
in die Algebra u. Determinantenth., a; Zeit u. Raum., a. — Liebmaxn :
Zahlenth., a ; Darst. Geom., a ; Ueb., 1.

Marburg. (Univers itât). — Hensel : Integralrechn., 5 ; Th. d. Diff.
gleichgn. mit Einschluss d. lin. Diff. gleichgn., 4 ; Sem., a. — V. Dal-
wick : Allg. Th. der Flâchen u. Raum. Kurven, 4 ; Kinematik, 1. —
Jung : Alg. Analysis, 4; Variationsrechn., 4; Ueb. z. Diff. u. Inte-
gralrechn., a.

Munster i. W. (Univcrsitât) . — Killing : Potentialtheorie, 4; Diff.
u. Integralrechn., II, 3; Uebgn., 1 ; Nicht eukl. Geom., a ; Math. Ober-
sem., a. — Von Lilienthal : Analyt. Geom., II, 4; Krûmmungsth. d.
Kurven u. Flâchen, 4 ; Polit. Arithm., a; Sem., 1. — Dehn : Elem.
Algebra, a ; Irrationalzahl u. Quadratur d. Kreises, a. — Plassmann :
Ueber die Fixsterne, a ; Astron. Uebgn.

Strassburg (Universitât, 19 Okt. ; 19 Mârz). — Reye : Analyt. Geom.
d. Raumes (Neuere Methoden), 3 ; Math. Théorie der Elastizitât fester
Kôrper, a ; Sem., a. — Begker : Bahnbest. d. Planeten, Kometen u.

NOTES ET DOCUMENTS 371

Météore, 3 ; Elem. d. hôh. Geod&sie, 1 ; Sem. ; Astr. Beobachtung a.
d. Instrum. der Sternwarte. — Weber : Diff. u. Intégral rechn., 4 ; Th.
d. ellipt. Funkt., 4 ; Math. Obersem., 2. — Roth : Alg. Analysis u.
Determinanten, 3; Analyt. Geom. d. Raumes, 2; Gewbhnl. Diff. gleichgn.
— Wislicenus : Abriss d. neuern Geschichte d. Astronomie, 1 ; Anwei-
sung zu den einfachsten kalendarischen Rechnungen, i ; Die Beschaf-
fenheit unserer Nachbarwelten in gemeinverstandlicher Darst. 1 ; Bes-
prechung d. neuestern iiter. Erscheinungen auf. astron. Gebiete. —
Disteli : Analyt. Geom. d. Ebene, 3 ; Graph. Statik, a; Ueb., 2; Ueb.
des math. Sem. (untere Abtg.), 2. — Epstein : Differentialgeometrie
(Th. de Raumkurven u. Flâchen), 3.

Stuttgart. {KgL Techn. Hochschule, Beginn 12 Okt.). — Mathem. u.
Mechanik. — Bretschxeider : Niedere Math. — Hohenner : Trigo-
nom. ; Katastermessungen ; Markscheidekunst. — Hohenner u. Heer :
Plan-u. Gelândezeichnen. — Roth : Niedere Analysis. Schattenkonstr.
u. Beleuchtungskunde. — Reuschle : Kurvendiskussion ; Analyt.
Geom. d. Ebene u. d. Raumes ; Neuere analyt. Geom. d. Ebene u. d.
Raumes ; Diff.-u. lntegralrechn. , Sem. — Wôlffing : Funktionenth., I;
Diff. u. lntegralrechn. — Mbhmke : Darst. Geom. ; Reine Mechanik ;
Sem. — Hammer : Prakt. Geom. ; Ausgleichungsrechn. ; Hôh. Geodà-
sie ; Barom. Hôhenmessen, Astron. Zeit. u. direkte geogr. Orstsbest. —
Autenrieth : Techn. Mechanik.

Tûbingen. (Universitât, 16 Okt.; 14 Màrz). — V. Brill : Einf. in die
hôh. Mathematik, 4; Th. d. Alg. Kurven, 3 ; Sem., 2. — Stahl : Hôh.
Analysis, II, 4 ; Part. Diff. gleichgn., 3 ; Sem., 2. — Maurer : Ellipt.
Funkt., 2; Ueb., 1 ; Darst. Geom., II, 1 ; Ueb., 2; Sphar. Trigonom.,
1 ;Ueb., 1.

Wûrzburg. (Universitàt) . — Prym : Diff. gleichgn. m. Einl. i. d.
hôh. Analysis, 5 ; im Unterseminar ; Uebgn. z. Diff. -rechn., 2 ; im Ober-
sem ; Ausgew. Kap. d. hôh. Mathem., 2. — Selling : Intégration d.
gewôhnl. Diff. gleichgn., 4; Mechanik, 4; Th. d. Planetenbewegungen,

3 ; Bescheibende Astronomie, 1. — Rost : Analyt. Geom. d. Raumes,

4 ; Einf. in die Analyt. Geom. d. Ebene, 4 î I™ Untersem.; Ueb. aus. d.
analyt. u. synth. Geom., 2; Elem. d. Determinantenth., 2. — (Weitere
Vorlesungen ù. Math, werden spater noch. besonders augekiindigt).

ILES-BRITANNIQUES

Aberdeen. University. Mathematics Professor; G. Pirie, Lecturer.
Goodwillie. There will be three mathematical classes : the Gradua-
tion Class; the Intermed. Honours Class; the Honours Class.

Aberyswyth. University Collège of Wales (i5 th. sept. 1903-21 st
June 1904). — Lectures in Mathematics pure and applied. Professor;

372 NOTES ET DOCUMENTS

R.-W. Genèse; Lecturer : W.-J. Johnston; Assistant Lecturer : J. I.
Walley.

Pure Math. Matriculation Glass (5 hours a week). — Intermédiare
Course (4 h. a week). — Ordinary Course : Algebra, Trigonometry,
Géométrie, Coordinate Geometry, Diff. and Intégral Calculus (4 h. a.
week). — Spécial Course : Algebra, Spherical Trigonometry, Geome-
try, Coordinate Geometry, Diff. Calculus, Intégral Calculus, Elemen-
tary Differential Equations ; a course of not less than 8o lectures.

Applied. Math. Matriculation Class (a h.). — Interniediate Course
(a h.). — Ordinary Course : Kinematics, Kinetics, Statics, Hydrosia-
tics, Astronomy; a course of not less than 8o lectures. — Spécial
course : Particle Dynamics, Analytical Statics, Dynamics, Hydrosta-
tics; 8o lectures.

Math, pure and applied. Honours Course.

Exercices Classes.

Bangor. University Collège ofNorth Wales (Oct. i st io,o3-June 'i8 l h
i9<>4)- — Professor : G. H. Bryan; Assistant Lecturer : Harold Hilton.

I. Interniediate Course (Pure Mathematics) ; 3 h.

II. Final Courses. A. Pure Mathematics : Ordinary (Arts) Course, Al-
gebra et Trigonometry, Geometry, Diff. et Int. Calculus; 3 h. — Spé-
cial (Arts) Course, Algebra, Pure and Coord. Geometry, Diff. et Int.
Calculus, Elementary Difl. Equations, Spherical Trigonometry, 3 h. —
B. Applied Mathematics : Ordinary (Arts) course, Kinetics, Statics,
Plane Astronomy, 3 h. — Spécial (Arts) course, Analytical Statics,
Dynamics, Hydrostatics, 3 h.

III. Honours Course (Pure et Applied Mathematics).

Brecon. University of Wales. — Pure Mathematics. I. Intermediate
Course. II. — Spécial Course : Pure et Coord. Geom.; Diff. a. Intégral
Calculus ; Elem. Diff. Equations, High., Algebra, Spher., Trigonom.
III. Final Course.

Applied Mathematics. Ordinary Course : Kinetics, Statics, Hydros-
tatics, Plane Astronomy. — Spécial Course : Analyt. Statics, Hydros-
tatics, Dynamics of Particle, Dynamics. — Final Course.

Bristol. University Collège (6 Oct. 1903-20 June 1904). Mathematics.
Professor : R. Barrell ; Lecturer : L. Watkin.

Matriculation Course, 3 h. — Elementary Course for first Year En-
gineering Students, 3 h. — Intermediate Course, 3 h. — Calculus for
Engineering Students, 3 h. — Advanced Course, 4 h. — Spécial advan-
ced Course, 2 h. : Rigid Dynamics, High. Calculus, Differential Equa-
tions or other branches of High. Mathematics. — Spécial Course for
Woman, 2. — Exercise Classes.

Mixed Mathematics Mathematical Course : Statics, Dynamics and
Ilydrodynamics. — Advanced Course : Analytical Statics, Dynamics,
Hydrodynamics, Astronomy.

NOTES ET DOCUMENTS 3^3

Belfast. Queens Collège (Oct. ao, i<)o3-June 11, 190$). — Lectures
in Pure Mathematics, three Years ; Professor : Alf. Cardew-Dixon. —
Civil Engineering (3 years) ; Prof. Maurice F. Fitz Gkrald.

Birmingham. Univcrsiiy (Oct. 5 190'i ; June 3o, 1904). — Profcs T
sor : R. S. Heath ; Lecturer : C. T. Preece.

Pure Mathematics. Preliminary Course, 4 h. — University Courses :
I (4 h.), Algebra, Trigonometry, Geometry; Il (4 h.), Algebra, Trigo-
nometry, Geometry, Diff. Calculus, Int. Cale. ; III (4 h), Anal. Geo-
metry, Diff. Cale, Int. Cale, Diff. Equations.

Applied Mathematics. University Courses : I (4 h.), Statics, Dyna-
mics, Hydrostatics ; II (4 h.), Statics, Dynamics of a Particle, Rigid
Dynamics, Hydrostatics.

Higher Mathematics. Classes will le arranged in more advanced ma-
thematics, if sufficient demand for such instruction is fortheoming.

Cambridge. University. — Lectures proposed by the Spécial Board
for Mathematics; in three terms: I, the Michaelmas Term begin oct. 1 5 ;
II, the Lent Term, January 18; III, the Easter Term, April a5.

Forsyth : Partial Diff. Equations (I et II, 3 h.); Calculus of Varia-
tions (I), a. — Darwin : Theory of Potential and Attractions (I), 3 ;
Figure of the Earth and Precession (II), 3. — R. S. Ball : Planetarv
Theory (1), 3; Application of Geometry to Dynamics (II), 3. — Lar-
mor : Electrodynamics (I et II), 3 ; Elementary Mathematical Physics
(II), 3 ; The theory of Gases and MolecularStatistics of Energy (III), 3.

— Hinks (for Prof. Darwin on and Prof, sir R. S. Ball) : Démonstrations
in Practical Astronomy (I et II), a ; Observatory, Prac. Work. (1 et II).

— Thomson : Properties of Matter (I), a ; Elcctroinagnetic Waves (I),
a; Electricity and Magnetism (II et III), a ; Discharge of Electricity
through Gases (II), a. — A. B. Peace : Heat et Heat Engines (I), 3. —
IIobson : Spher. et Cylindrical Harmonies (I), 3 ; Sound and vibrations
(II), 3. — Richmond : Analytical Geom. of Curves (I), 3; Analyt.
Geom. of 3 dimensions, proj. properties (II), 3. — Baker : Elem.
Theory of Funktione (I et II), 3 ; Theory of Groups (III), 3 ; Solid Geo-
metry (for Part. Ij, I, 3; Analysis (for Part. II et III), 3. — Macdo-
nald : Waves (especially waves of Light (I), 3 ; Hydrodynamics. —
Mollison : Th. of Potential a. Electrostatics (III), 3. — Herman : Hy-
dromechanics (for Part. I), II, 3 ; (for Part. II), II, 3. — Mathews :
Alg. Functions (Elem), I ; Th. of Alg. Numbers (II et III), 3. — Wm-
tehead : Appl. of Symbolic Logic to Cantor's theory of Aggregate
(I et III); Non-Euclidean Geometry (III). — Berry : Ellipt. Functions
(I et II), 3. — Bennett : Linear a. Quadratic Complexes (II), 3. —
Mundro : Hydrodynamics et Sound (for Part. I), 1, 3. — Whittaker :
The Diff. Equations of Applied Mathematics (I), a ; General Dynamics
(II). — Grâce : Invariants and Geometrical Applications.

374 NOTES ET DOCUMENTS

Dundee, University Collège, University of St Andrews, — Professor :
Steggall; Assistant Lecturer : Norme. — Pure Mathematics. Junior
Class. Ordinary Class. Junior Hon. Class. ; Senior Hon. Class. —
Applied Mathematics. General Class. Advanced Class.

Durham. University. — Honour Mathematical Lectures, in 3 ter m s
(I, II and \\\). Professor Sampson : First Year, I Algebra, 3 ; II Tri-
gonometry, 3 ; III Analyt. Conic Sections, 3. Second Year, I Calculus,
3 ; II Dynamics, 3 ; III Solid Geometry, 3. Thlrd Year, I Calculus, a ;
II Dynamics, a ; III Solid Geometry, a. Second and Third Years, I Op-
tics, a ; II Astronomy, a ; III Revision, a.

Lecturer Heawod. First Year, I Geometry, 3 ; II Dynamics, 3 ; III
Newton. Second and Third Years, I Hydrostatics, a; Statics, 1; II
Examples of Intégral Calculus, a; Statics, x ; I il Differential Equa-
tions ; Papers, 1 .

Edinburgh. University. — Prof. Chrystal : Sen. Mathematics. —
Prof. Chrystal et Chas. Tweedie : Mathem., IntermediateHon.; Advan-
ced Honours, 3. — Horsburgh : Mathem. Int. Course Honours, prati-
cal Division. — Mac Gregor : Natural Philosophy ; Thermodynamics.
— Knott : Dynamics, 3 ; Applied Mathem.

Glasgow. University. — Jack : Mathematics, 3 ; Math. Honours
(Intenn.), 3 ; in Advanced, 3. — Gray : Natural Philosophy; Higher
Mathem. A. B. ; Becker : Astronomy.

Liverpool. University. — Mathematics. Professor : F. S. Carey :
Assistant Lecturer : Siiarpe et Hudson.

Pure Mathematics. Prelimlnary Course, 3. — Int. Course, 3. — Final
et First Year Honours Course, Elem. of the inf. Calculus, with appli-
cations of the properties of conic sections, 3. — Final et second Year
Honours Course, Diff. a. Intégral Calculus, diff. équations, with ana-
lyt. plane et solid geometry, 3. — Third Year Honours Course, Diff.
Equat., higher pi. et solid Geometry, definite intégrale, finite diffé-
rences. — Advanced Course ; th. of functions, elliptic functions.

Applied Mathematics. Interm. and First Year Honours Course, Sta-
tics, Dynamics, Hydrostatics, 3. — Final et second Year Honours
Course, Analyt. Statics, Hydrostatics, dynamics of a particle et ele-
mentary rigid dynamics, 3. — Third Year Honours Course Rigid dyna-
mics et hydrodynamics, Attractions et theory of waves, 3.

London. University Collège. — Mathematics. Professor : Hill;
Assistants : Harris, Filon.

Lower Junior Class- {Harris), 3. — Junior Class {Hill), 5. — Senior
Class [Hill and Filon), First Year's Course : Algebra, Plane Trigonom.,
Geom. Conics, a ; second Year's Course : Elem. proj. Geometry,
Geora. Draving, Plane Coordinate Geometry, a ; First Year's Course :
Diff. et Integr. Cale, a ; Second Year's Course : id. t ; Spherical

NOTES ET DOCUMENTS $*)*>

Trigonoon. — Higher Senior Class, Hill : Th. of Functions, i ;
Algebra of Quantics, i. — Filon : Ellipt. Functions, i ; Diff. Equat.,
i ; Biscontinous Functions with Applic. to Math. Physics, i ; Diff.
Equat., i.

Applied Math, and Mechanics. Prof. K. Pearson ; Assistant : Filon,
Kinematics, Statics, Dynamics, Hydrostatics, Astronomy.

Newcastle upon Tyne The Durham Collège of Science. Mat hématies.
Professor : H. P. Gurney. Assistant Prof. : Jessop. G. \V. Caunt,
W. M. Davidson.

Nottingham. University Collège. — Mathematics and Physics. Pro-
fessor : W. H. II eaton. Lecturers in Mathematics : Taylor, Barton,
Shaw, Erskine, Murray, Morley, Newton.

Pure Mathematics. Lower Junior Course, 3 ; Higher Junior Course,
3; Lower Interm. Course, a; Interm. Course, a; Lower Senior Course,
5 ; Higher Senior Course, 4. — Exercice Classes. Mathematics for
Engineering Students, 5. — Mixed Mathem.

Oxford- University. — Lecture List for Michaelmas Terni 1903. —
Mathematics. — Elliot : Th. of Numbers, a ; Infinité Séries and Pro-
ducts, 1. — Turner : Elem. Math. Astronomy, 2; Practical Work
(with Plummer). — Esson : Analytic Geometry of Plane Curves, a ;
Synth. Geometry of Plane Curves, 1. — Love : The Mechanics of De-
formable Bodies, a ; Problems in Applied Mathem., 1. — Hasefoot :
Algebra, a. — Leudesdorf : Proj. Geometry, 3. — Jolliffe : Analyt.
Geometry, 3. — Russell : Diff. Calculus, 7. — Me Neile : Curve Tra-
cing, 1. — Pedder : Problems in Pure Math., 1. — Sampson : Higher
Solid Geom., a. — Campbell : Diff. Equations, a. — Thompson : Inté-
gral Calculus, a. — Hayes : Analyt. Statics, 3. — Dixox : Hydrosta-
tics, a. — Gerrans : Adv. Rigid Dynamics, a. — Kirkby : Attractions
et Electrostatics.

Reading. University Collège. — Mathematics. Professor : A. L.Bow-
ley. Assistant Lectures : II. Kapman. — First Year Course (A) and (B).
— Second Year Course (A) and (B). — Advanced Conics.

Sheffield. University Collège. — Mathematics. Professor : A. H.
Le ah y. Lecturer; H. G. Dawson. — Leahy : Analysis ; Elem. Dyna-
mics, Elem. Hydrostatics ; Optics ; Astronomy. — Dawson : Geome-
try ; Elem. Mechanics; Elem. Hydrostatics. — Spherical Harmonie
Analysis. — Higher Classes for Honour Degrees in Mathematics.

St- Andrews (University of). United Collège of St-Salvator and St-
Leonard. — Mathematics. Professor : Lang. There are four Math.
Classes : Junior Class, Tutorial Class, Ordinary Class, Honours Class
(Jun. and Sen.).

376 NOTES ET DOCUMENTS

Southampton. Hartley Université Collège. Mathematics. Professor :
Hudson ; Assistant Lecturer : Cowlishaw.

Pure Mathematics. Lower Junior Class, 5 ; Junior Class A, 4 ; B, 5.
— Interm. Class 5. — Senior Class, 5 ; Higher Algebra, Trigonom.,
Pure Geom., Analyt. Geom., Elem. Diff. and Int. Calculus. — Higher
Senior Class.

Mixed Mathematics. Junior Class; ïntroductory Mechanics and Hy-
drostatics, 3. — Interm. Class, 2; Elem. Statics and KineticsofParticles
et Rigid Bodies , Elem. Hydrostatics. — Senior Class, 2; Kineticsand
Statics of Particles et Rigid Bodies. Stat. of Incompressible Fluids.
Elem. Statics of Elastic Fluids et Solids. Optics and Astrononiy.

SUISSE

Basel. (Universitdt). — H. Kinkelin : Diff. u. Int. rechn., I, 3 ; Ana-
lyt. Geom., 3 ; Diff. gleichgn., 3 ; Uebg. im math. Sem., 2. — K. Von
der Mûhll : Analyt. Mechanik mit Uebgn., 4 ; Ueber einz. Kapitel d.
Math. -phys., 4; Math. phys. Uebgn., 2. — R. Flatt : Pâdagog.
Sem. math.-nat. Abtlg., 3.

Bern. (Univers itàt). — Graf : Besselsche Funkt. m. Rep., 3; Ellipt.
Funkt. m. Rep., 3 ; Diff. gleichgn., 2 ; Diff. u. Int. rechnung, 2; Ren-
ten-u. Versicherungsrechn., 2. — Graf u. Huber : Math. Sem., 2. —
Graf u. Moser : Math.-versiçherungsw. Sem., 1. — Ott : Int. rechn.,
2; Analyt. Geom., Il, 2; Analyt. Mech., 2. — Huber : Bahnbestim-
mung der Planeten u. Kometen, 2; Fourier'sche Reihen u. Integralen.
Anw. auf d. Phys., 2. — Benteli : Darst. Geom., Kurven, Strahlen-
flâchen, reg. Polyeder, 2; Ueb., 2; Prakt. Geom., 1 ; Konslruktive
Perspektive, 1 ; Rotationsflachen, 1 . — Moser : Ausgew. versiche-
rungswl. Kap.; Elem. d. Wahrscheinlk. -rechn. u. d. Lebensversiche-
rungsmathematik, 1. — C relier : Einl. in d. synth. Geom., 2 ; Chap.
choisis de Géométrie, 2.

Genève. {Université, ij oct.. ; 22 mars). — C. Cailler : Calcul diff.
et int., 3 ; Exerc, 2; Mécanique rat., 3 ; Exerc, 2 ; Conférences d'A-
nalyse sup., 2. — H. Fehr : Algèbre, 2 ; Géométrie analyt., 2 ; Exer-
cices, 2; Courbes planes, 1 ; Séminaire de Géom. sup., i, — R. Gau-
tier : Astronomie générale, 2 ; Météorologie, 2. — J. Lyon : Détermi-
nants, 1. — D. Mirimanoff : Equations de la Phys. math., 2.

Lausanne. (Université). — Amstein : Calcul diff. et Int., 6 h. ; II, 2 h.;
Exercices, I, 2 h. ; II, 1 h. ; Elém. de Cale. diff. et intégral (cours des-
tiné aux étudiants en se. nat., 3; Théor. des fonctions, 3. — Joly :
Géométrie desc, l, 5; Epures, 1 ap.-m. ; Géom. analyt., 2 ; Géom. de
Posit., 2; Courbes planes, 2. — Mayor : Mécanique rat., 5 ; Exerc, 1 ;
Phys. math., 2; Statique graphique, l, 2; II, 2; Epures, 1 ap.-m. —

NOTES ET DOCUMENTS 377

Maillard : Astronomie, 3 ; Compléments, 1 ; Méc. céleste, 1 ; Exerc
pédagog., 2. — Jaccottet : Théorie des équat. alg., 2.

Zurich. {Ecole polytechnique, section normale des sciences mathémati-
ques) (du 12 oct. au 26 mars). — Première année. Hirsch : Differen-
tialrechnung, 4 ; Repetitorium, 1 ; Uebungen, 2. — Franel : Calcul
différentiel, 4 ; Répétition, 1 ; Exercices, 2. — Geiser : Ânalytische
Géométrie, 4 ; Repetitorium, 1 . — W. Fiedler : Darstellende Géomé-
trie, 4; Rep., 1 ; Uebgn., 4. — Lacombe : Géométrie descriptive, 4 ;
Rép., 1 ; Exerc, 4.

Les 3 années suivantes. — Hurwitz : Differentialgleichungen, 4 ;
Uebgn., 1 ; Invariantentheorie, 2. — Franel : Théorie des équations
différentielles, 4; Exerc, 1. — W. Fiedler : Géométrie der Lage, 4.
— Lacombe : Géométrie de position, 2. — Franel et Hurwitz : Math.
Seminar, 2. — Herzog : Mechanik, % ; Teil, 4 ; Rep., 1 ; Uebgn., 2. —
Hirsch : Variationsrechnuqg, 3. — X.... : Vermessungskunde, 5;
Rep., 1 ; Uebgn., 2; Erdmessung mit Rep., 2; Geod. Praktikum, 2. —
Wolfer : Einl. in die Astronomie, 3; Uebgn., 2; Planeten-und Kome-
tenbahn-Bestimrnungen, 2. — Stadler : Theor. Padagogik mit Eins-
chuss der Sozialpâdagogik, 2 ; Bacon u. die Begriindung der moder-
nen Naturvv.

Cours libres. — Beyel : Geom. Einl. i. d. graph. Statik, 2 ; Rechen-
schieber m. Uebgn., 1; Darst. Géométrie, 2; Flâchen 2. Gr., 2. —
J. Keller : Th. d. Zentralprojektion m. Anw. auf d. pratische Pers-
pektive, 2; Th. d. Projectivitàt, 2; Collineation u. Affinitat, 2. —
Kraft : Geschichte der Mechanik, 2. — Rebstein : Kartenprojektion,
i ; Versicherungsmathematik, 1 ; Ausgew. Kap. aus d. hôh. Géodésie
u. Ausgleichungsrechnung, 1.

Zurich. (Universitât) (i3 Okt; 5 Mârz). — Blrkhardt : Elem. d.
Diff. u. Integralrechnung, 4; Gewôhnl. Diff. gleichgn., ï; Math. Sem.,
2. — Wolfer : Astronomie (v. plus haut, Ecole polyt.). — Weiler :
Analyt. Geom. m. Uebgn., I, 3; Algebra m. Uebgn., 2. — Gubler :
Algebr. Analysis mit Uebgn., 2: Zahlentheorie, 1 ; Inhalt u. Méthode
d. Math. Unterrichts an Mittelschulen, 2.

CHRONIQUE

Les Travaux Mathématiques au Congrès de Sciences Historiqi
à Rome en 1903.

Un Congrès International de Sciences Historiques s'est tenu à Rome
du i au 9 avril i<jo3, sous Les Auspices du Roi d'Italie, Victor Emma-
nuel III. L'organisation du Congrès avait été faite sous la direction du
ministre de l'Instruction Publique, M. Nunzio Nasi, et du maire de
Rome, M. le prince Prospero Colonna. Le Congrès comprenait huit
Sections qui nommèrent comme président, M. le sénateur P. Villari et
comme secrétaires, MM. G. Gorrini et J. Giorgi. La Section des Scien-
ces, organisée par MM. les sénateurs P. Blaserna et V. Cerruti et par
MM. V. Voltcrra, de l'Académie des Lincei, P. Giocosa et G. Loria,
élut comme vice-présidents MM. de Galdeano, P. Giacosa, S. Gùnther,
E. Lebon, G. Loria, E. Millosevich, Stieda, V. Volterra ; comme
secrétaires, MM. A. Balducci, L. Carpi, V. Tonni-Bazza, G. Vacca,
G. Vaiiati; et nomma chaque jour un président différent : furent dési-
gnés MM. P. Tannery, K. Sudhoff, R. Blanchard, S. Gùnther, V. Vol-
terra, E. Lampe, Benedikt.

A plusieurs reprises, une question d'intérêt général fut agitée, celle
de l'enseignement universitaire de l'Histoire des Sciences, déjà abordée
au Congrès Historique tenu à Paris en 1900. De discussions auxquelles
prirent part beaucoup de membres, il est résulté l'adoption du vœu
suivant : « L'enseignement de l'Histoire des Sciences sera institué par
la création de cours universitaires divisés en quatre séries : i P0 Sciences
Mathématiques et Astronomiques, *2 e Sciences Physiques et Chimiques,
3 e Sciences Naturelles, 4 e Médecine. En outre des éléments d'Histoire
des Sciences seront introduits dans les programmes de l'enseignement
moyen. »

Dans la Revue Générale des Sciences (1 5 juin) de M. Louis Olivier, j'ai
résumé toutes les Communications faites dans la Section des Sciences;
dans L'Enseignement Mathématique,] expose plus explicitement les Com-
munications relatives à l'Histoire des Sciences Mathématiques ( i ).

M. Paul Tannery, directeur de la Manufacture des tabacs de Pantin,
expose les points principaux d'une Note sur l'histoire des mots analyse
et synthèse. Il distingue deux sens. A. Le premier est celui d'opéra-
tions, qui ne se retrouve plus actuellement en Mathématiques, mais qui

{*) C'est avec le plus vif regret que je ne résume pas les Communications de
MM. M. Darvai, F. MUller et G. Vacca, parce que mes notes étaient insuffisantes
pour les exposer convenablement et que mes lettres de demandes de renseigne-
ments à ce 8 trois auteurs sont restées sans réponses.

CHRONIQUE 379

existait dans l'Arithmétique Grecque. L'idée primitive correspondrait
à la formation et à la mise en détail de groupes monétaires. La généra-
lisation a été faite par les grammairiens, qui ont introduit la notion
d'élément (primitivement lettre de l'alphabet) et ont transmis ces mots
aux langues modernes. B. Dans le sens de processus logique, le mot
analyse correspond au contraire primitivement à l'idée de défaire un
nœud. Les Mathématiciens Grecs l'ont emprunté aux logiciens et lui
ont opposé abusivement le mot synthèse. Viète a réintroduit ces deux
mot9 dans la Mathématique moderne ; Descartes les a fait passer dans
la langue philosophique, où la confusion existe actuellement entre les
deux sens.

M. Moritz Cantor, Prof, à l'Université de Heidelberg, a donné,
d'après les Ecrits eux-mêmes de J. Cardan, des détails biographiques
qui n'avaient pas encore été signalés. Ces Ecrits sont intitulés : De
Vita Propria, De Subtilitate et De Varietate : le premier a servi pour
les particularités de la vie de Cardan et les deux autres pour exposer
l'état de ses connaissances.

M. Vixcexzio Tôxni-Bazzà, ingénieur à Rome, a exposé surN. Tar-
taglia, de Brescia, quelques aperçus nouveaux résultant de ses recher-
ches, dans les Archives de Venise notamment. Ces Archives contien-
nent T « Inventaire » des objets que possédait ce mathématicien et qui
a été dressé par le notaire Rocho de Benedictis. C'est aussi ce notaire
qui a libellé le « Testament » de Tartaglia ; ce document est très inté-
ressant, car c'est à peu près le seul qui contienne des données exactes
sur sa famille et sur sa Vie. Après l'avoir lu et commenté, M. V. Tonni-
Bazza a fait remarquer que les contemporains de Tartaglia laissèrent
celui-ci dans une profonde indigence. Ensuite il a cherché à prouver
qu'un Manuscrit de Tartaglia, intitulé De Numéris et Mensuris et se
trouvant dans une des bibliothèques d'Oxford, est de la main même de
ce savant, et il a fait ressortir la valeur scientifique de cet Ecrit. Enfin
il a dit qu'il a trouvé dans les Archives d'Urbino une lettre adressée
par Tartaglia à l'ingénieur militaire Castriota, et il a lu de cette Lettre
quelques fragments complétant ce que l'un sait sur ce mathématicien.
A la suite de son émouvante Communication sur Tartaglia et de détails
sur le lieu de sa sépulture, M. V. Tonni-Bazza fut délégué par la Sec-
tion des Sciences du Congrès pour la représenter à la Cérémonie que
la ville de Brescia prépare en l'honneur de son il^istre fils. Dans une
autre Communication à propos de la Vie et des Ouvrages de B. Castelli,
M. V. Tonni-Bazza a fait connaître quelques détails inédits, et surtout
a relevé l'accusation de plagiaire qui a été faite à l'égard de Castelli pour
son Livre intitulé La Misura délie Acque Corrcnti, fondement de l'Hy-
draulique. Cette accusation avait été portée à la suite de la découverte,
dans une Bibliothèque de Rome, d'un Manuscrit de Léonard da Vinci,
où Ton retrouve presque mot à mot quelques passages de la théorie de
Castelli. M. V. Tonni-Bazza s'est efforcé de démontrer, par des argu-

38o C1IR0MQUE

ments tirés de la biographie de Castelli et de l'Histoire des Sciences,
qu'il n'y avait pas eu de plagiat.

M. Giovanni Vailati, Prof, à l'Institut technique de Gôine, a défendu
Archimède au sujet de la démonstration qu'il a donnée du principe du
levier, dans son Ouvrage Sur T équilibre des figures planes. Il lui semble
que les critiques faites par M. E. Mach, de l'Université de Vienne, et
tendant à qualifier cette démonstration de pétition de principe, ne sont
pas fondées et qu'elles résultent d'un examen insuffisamment appro-
fondi des axiomes et des définitions qui en constituent le point de
départ. Elle est fondée sur des propositions fondamentales relatives
aux propriétés élémentaires des centres de gravité des corps rigides ;
son caractère logique, qui résulte de l'analyse de ces propositions,
paraît présenter à M. G. Vailati une remarquable affinité avec celui qu'on
attribue au procédé employé par Gauchy pour déduire le principe de
la composition des forces d'une équation fonctionnelle et de quelques
axiomes, justifiés par des raisons de symétrie.

M. Giulio Pittarelli, ProL à l'Université de Rome, a parlé de
Pietro Délia Francesca da Borgho San Sepolcro, peintre du xv e siècle,
dont M. Wintinberg vient de publier à Strasbourg le Traité De Per-
spetdva Pingendi. Après avoir montré l'importance de Délia Fran-
cesca comme peintre, il le signale comme étant le premier auteur d'un
exposé rationnel de la perspective.

M. Gustavo Uzielli, à Florence, a montré, dans un Mémoire très
original, que la longueur des diverses parties du corps de Jésus-Christ
a servi de base aux mesures en Italie pendant le Moyen Age. Ce Mémoire
est le résumé de la Brochure que M. G. Uzielli a publiée sous le titre :
Misure lineari Mediocvali e V effigie di Christo (Firenze, 1899).

M. Em. Lampe, Prof, à l'Ecole polytechnique de Berlin, a donné
d'intéressants détails sur le passé et l'avenir du Jahrbuch ùber die
Fortschritte der Matlicmatik. Cette publication, fondée en 1871 par
Ohrtmann, mort en i885, et par M. Félix Mùller, a pour but d'analyser
toutes les publications en Mathématiques pures et appliquées. Les ana-
lyses réunies dans un même Volume comprennent toujours les Ouvrages
et Mémoires d'une année et sont rangées selon les sujets. Il existe
3i Volumes (1868-1900); le 32 e , qui est sous presse, rendra compte
des Ecrils parus en 1901. Le lecteur trouve sur quelques pages les tra-
vaux qui ont trait à un même sujet et prend vite connaissance de l'état
des recherches sur ifne question déterminée. Il y a un grand nombre de
collaborateurs et chacun ne rend compte que des travaux qui font l'ob-
jet de ses recherches de prédilection ; grâce à cette organisation, les
analyses font toujours bien ressortir les idées principales des auteurs.
M. F. Mùller étant maintenant âgé de soixante-trois ans, cherche un
successeur ; il espère que ses forces lui permettront d'attendre qu'un
jeune savant veuille bien aussi se sacrifier à la direction d'une œuvre
très utile, mais nullement rémunératrice, le nombre des abonnés étant

CHRONIQUE 38i

assez restreint et la publication n'étant dotée d'aucune subvention.
M. le Prof. Elia Millosevich, directeur de l'Observatoire du Col-
lège Romain, a exposé l'histoire du Canon des Eclipses, publié par
T. von Oppolzer, et montré que l'iconographie qui y est annexée pré-
sente des imperfections pour préciser immédiatement les dates histo-
riques. Après avoir signalé le Canon des Eclipses établi par F. K. Gin-
zel, il montre l'importance de l'Atlas qui se trouve dans cette œuvre et
qui donne, pour les Eclipses Solaires totales et annulaires, les régions
couvertes par l'ombre dans le monde classique ancien, de l'an 900 avant
J.-C. à l'an 600 après J.-C. Enûn M. E. Millosevich propose qu'une
nouvelle édition de cet important Atlas, avec une Préface rédigée au
point de vue historique, soit publiée par ses éditeurs, à un prix modique
permettant une vente étendue. Cette proposition est votée à l'unanimité
par les Membres de la section, persuadés qu'un tel Ouvrage serait très
bien accueilli par les Historiens.

M. Sibgmund Gûnther, Prof, à l'Ecole Polytechnique de Munich, a
décrit le a Baculus Astronomicus » ou « Jakobstab », qui est en prin-
cipe une combinaison de deux règles articulées de manière à permettre
la mesure des angles ; cet instrument a été le plus souvent employé
pour prendre la hauteur du Soleil à midi, afin d'en déduire la latitude
géographique. Il divise en trois périodes l'histoire du Jakobstab.
D'abord, les Grecs ont eu l'idée de cet instrument : le « dioptra » de
Hipparque en est une première forme ; Archimède, dans son livre inti-
tulé Arenarius, donne, pour trouver le diamètre apparent du Soleil,
une méthode qui s'appuie sur le principe du Jakobstab. Puis, dans
le xiv e siècle, le juif espagnol Levi ben Gerson a donné à cet instru-
ment la forme que l'Astronomie a adoptée jusqu'au xvn e siècle.
M. S. Gùnther fait remarquer que Breusing s'est trompé en attri-
buant l'invention du Jakobstab à Regiomonlanus pour la seule raison
que ce dernier en donne la description, car il est certain que cet astro-
nome avait dans sa bibliothèque le livre de Levi. Enfin, à partir
du xv* siècle, les marins qui naviguaient dans l'Océan Indien appli-
quaient, pour mesurer la hauteur de l'étoile polaire, une certaine com-
binaison de cordes à nœuds fondéesur le principe de Jakobstab; déplus,
le Manuel Nautique publié par l'amiral Abu Saïd, sous le règne de Soli-
man le Grand, contient la description d'un semblable procédé de mesure.
M. S. Gùnther conclut en disant que la Science n'est pas encore arrivée
à établir de liaison entre ces trois phases de l'histoire du Jakobstab.

M. Ernest Lebon, Prof, agrégé au Lycée Charlemagne à Paris,
Lauréat de l'Institut, a exposé un « Plan d'une Bibliographie Analy-
tique des Ecrits contemporains sur l'Histoire de l'Astronomie ». Ce
« Plan » a été signalé par plusieurs Journaux et Revues (') : les uns

(*) Notamment par : // Giornale d'Italia (Rome, 5 et 6 avril, 19 mai) ; La Pene-
ueranza (Milan, 22 avril) ,* L'Education Nationale (Athènes, 28 avril) ; Bulletin de la
Société Astronomique de France (Puris, mai) ; Le Journal du Dimanche (Paris, 10 mai) ;

Enseignement math. a5

38-i CHRONIQUE

l'ont résumé, d'autres en ont publié des extraits. De plus, à l'Académie
des Sciences de Paris, dans la séance du 1 1 mai, ce ce Plan » a été
signalé par le Secrétaire Perpétuel, M. Gaston Darboux, et a été pré-
senté par l'un de ses membres, M. Paul Appell^ 1 ).

M. R. Almagià, à Rome, a exposé les observations de marées dues
à Eratosthène, Posidonius etSeleucos, aux Anglo-Saxons et aux Arabes,
en faisant remarquer qu'elles ont un assez grand degré d'exactitude.
Ensuite, il a rapporté les principales hypothèses pour expliquer ce
phénomène au point de vue de la relation entre les mouvements de la
mer et les phases de la Lune. Enfin, il a montré que les contradictions
entre ces hypothèses proviennent de ce que Ton ne connaissait pas
l'universalité du phénomène des marées et surtout de ce que l'on ne
mesurait pas leurs hauteurs ; ce n'est qu'à partir de l'époque où Léo-
nard da Vinci eut, le premier, indiqué la nécessité d'une telle mesure
que la vraie explication du phénomène fut donnée par les astronomes.

M. Baratta, à Voghera, a fait remarquer que la fréquence des trem-
blements de terre en Italie a certainement contribué à développer dans
ce pays les études sismologiques. Mais, si les recherches de caractère
général sont anciennes, il n'en est pas de même de la construction d'ap-
pareils destinés à l'étude des commotions terrestres. M. M. Baratta n'a
parlé que des appareils et il les divise en deux groupes : les sismo-
mètres à pendule et les sismoscopes à mercure. Pour le premier
groupe, il a cité les observations de N. Girilo en 1731, de A. Bina
en 1751, de M. Augusti en 1779; il a parlé longuement de l'appareil
que D. Salsano construisit en 178*5 et de l'instrument le plus perfec-
tionné, le pendule établi en 1 79D par le duc de la Tour. C'est de Hau-
tefeuille qui proposa, en 170't, la construction de sismoscopes à mer-
cure, mais ce ne fut guère qu'un siècle plus tard que A. Cavalli en cons-
truisit un. M. M. Baratta a donné l'histoire, peu connue, de A. Cavalli,
auteur des Lettere Meteorologiche Romane, et ajouté que le sismoscope
de ce dernier fut, après avoir reçu de successifs perfectionnements,
introduit dans les Observatoires d'Italie. Enfin, il a décrit le bifilaire
dynamique proposé en i838par C. Keil, de Milan, en 1842 par Colla,
de Parme et en 1887 par Moureaux, de Paris.

M. le Prof. Attilio Mori, topographe de l'Institut Géographique
Militaire à Florence, a fait hommage à la Section des Sciences, au nom
de cet Institut, de son intéressant Mémoire intitulé Cenni storici
sui lavori Geodetici e Topografici c sulle principali produzîoni Cartogra-
fiche eseguite in Italia dalla meta dcl secolo XVIII ai nostri giorni (con

La Nature (Paris, 16 mai); Bulletin, des Sciences Mathématiques et Physiques élé-
mentaires (Paris. i« r juin); Nature (London, 18 juin); Bulletin Astronomique de
r Observatoire de Paris (juillet 1903) ; Revue Scientifique (Paris, 4 juillet) ; Memorie
délia Societa degli Spettroscopisti Italiani (Gatania, Vol. XXXII).

(*) Les paroles de M. Paul Appell ont été résumées dans Le Temps (Paris, ï3 mai)
et dans le Journal Officiel (Paris, ao mai}.

CHRONIQUE 383

1 2 ritratti, Firenze, 1 903) . La célèbre opération de la mesure de Tare du
méridien dans les Etats Pontificaux, exécutée de 1750 à 1 7^3, sous la
direction de Boscovich et Maire fut le commencement de la Cartographie
scientifique en Italie. Ce travail fut suivi par les opérations de Beccariaen
Piémont, des Astronomes de Bréra en Lombardie, de Rizzi-Zannoni
dans le Royaume de Naples, des ingénieurs géographes français dans
T Italie Septentrionale et Centrale, du baron de Zach dans plusieurs
parties de la Péninsule. Une seconde période comprend les grandes
entreprises de l'Institut Géographique Militaire de Milan, qui fut trans-
féré à Vienne, de l'Office Royal Topographique de Naples, de l' Etat-
Major Piéuiontais, surtout sous la direction des célèbres G. Inghirami
pour la Toscane et A. La Marmora pour la Sardaigne. La dernière
période comprend l'œuvre de l'Institut Géographique Militaire et de la
Commission Royale Géodésique, entreprise aussitôt après l'unification
du Royaume d'Italie et continuée avec ardeur jusqu'à présent. M. A. Mori
aussi a demandé qu'il fût entrepris une Bibliographie Géodésique Ita-
lienne. Enfin il a signalé la grande importance pour l'Astronomie des
Manuscrits Scientifiques de L. Ximénès, qui fut l'homme le plus savant
de son époque ; ces Ecrits sont à la Bibliothèque Nationale de Florence.

M. D. Diamilla-Muller, à Rome, a rappelé que la propriété des
pôles de l'aiguille aimantée était certainement connue en Europe au
xn e siècle : on en trouve la preuve dans un Livre Chinois qui est à la
Bibliothèque Nationale de Paris et dans un Manuscrit de la Bibliothèque
de Leyde. Il a fait remarquer que la première indication de la variation
exacte de la déclinaison a été faite par Colomb, le i3 septembre 149*2.
Enfin il a donné l'historique suivant de la légende qui attribue, mais
faussement, à Flavio Gioa l'invention de la Boussole. L'historien Flavio
Biondo a écrit en i45o que des navigateurs d'Amalphi avaient inventé
l'usage de l'aiguille magnétique pour reconnaître le Nord en mer; quel-
ques années plus tard, G. B. Pio écrivit : « In Campania veteri magne-
tis usus inventus à Flavio traditur. » Les trois derniers mots se rap-
portent, non à Flavio Gioa, mais à Flavio Biondo, que l'on nommait
simplement Flavio à cause de sa grande célébrité. C'est surtout pour
faire bannir des livres classiques une croyance erronée que M. I). Dia-
nilla Muller a fait cette communication.

M. Umberto Pagani, Prof, à Rome, a fait connaître par quelles
mains ont successivement passé cinq fragments d'un bolide qui éclata
le »6 janvier 1 496, au milieu de douze coups de tonnerre, au Val di
Noce, à quelques lieues de Forli. Ce phénomène eut pour témoin Nova-
cula, qui l'a raconté. Au point de vue météorologique, astrologique et
religieux, il a paru à M. Pagani intéressant de rappeler et de résumer
la chronique de Novacula, d'ailleurs depuis longtemps laissée dans
l'oubli. M. U. Pagani termine en attribuant au même bolide les trois
pierres qui sont, a-t-on écrit, tombées le a8 janvier 1496 près de Cesena
et dont on a fait une célèbre croix.

Ernest Lebon (Paris),
Délégué par le Ministre de l'Instruction Publique.

CORRESPONDANCE

Une annotation à l'algèbre d'Euler.

Dans son Algèbre, Euler termine le chapitre des fractions décimales
périodiques en se proposant de calculer i : 10 !. Pour cela, il se met
à calculer i : 2!, 1 : 3!, etc., enfin à agir comme on fait quand le but
est de trouver la valeur du nombre e, et en effet on n'a guère besoin
de connaître 1 : 10! qu'en sa qualité de terme de cette suite. Mais si
on voulait connaître 1:10! pour lui-même et indépendamment de e, il
y aurait une façon de calculer plus rapide, plus tachistarithmélique .
Qu'on nous permette ce néologisme exprimant une idée analogue à la
géométro graphie de M. Lemoine (qui aurait peut-être été mieux dénom-
mée ta ch istograph ie) .

Décomposons 10 en ses facteurs premiers

2345-6789 10

a . a* . 2 . a* . a

3 . 3 . 3* .

5 . .5

Il est facile de voir que 10 ! = 100 X 8i X 64 X 7.

Or la division par 100 se fait par un déplacement de virgule ; de

plus -T7— est un quotient des plus connus, de sorte qu'il ne reste à faire

que les divisions par 7 et G \ ; ou bien, ce que je préfère, par 7, par 8
et encore par 8 .

Tableau des opérations

Division par 100 de 1,000

81 de 0,010 000

7 de ia3 456 790 la

8 de 17 636 684 3o
8 de a ao4 585 54

Donc 1 : io I = 0,000 000 275 537 19

Cet exemple montre comment il faut varier les procédés de calcul
suivant qu'on poursuit un résultat isolé, ou bien un ensemble de résul-
tats devant mener à un but donné.

Ch. Berdellk, Rioz (Haute-Saône).

CORRESPONDANCE 385

Le problème du veilleur de nuit.

Quelle heure sonne-t-il ? — Qu'on en additionne
Les moitié, tiers et quart, le total donnera
En même temps la somme et de l'heure qui sonne
Et de celle qui dans une heure sonnera (*).

Ce problème se résoud à première vue par la considération que le
plus grand nombre d'heures est justement le plus petit commun mul-
tiple de a, 3 et 4-

Mais il est intéressant de résoudre ce problème enfantin par une
méthode générale. Or ici les équations ordinaires ne sont pas de mise
et il y a lieu de recourir à l'emploi des congruences, module m. Au
lieu de rendre cette idée par M. 12 ne vaudrait-il pas mieux la rendre
par 12 = 0. ?

Voici le calcul :

x 1 x 1 x . / . \

Ia == , — + y +~ ===*+ (* + l)

i3 ,

X =5 IX + I

12

i3ar == i\x -f- 12
x = o == 12

C'est-à-dire qu'il a sonné minuit et que dans une heure il sonnera
une heure.

Cela prouve qu'il y a certains calculs inventés pour résoudre des
questions très élevées, qui peuvent servir à en résoudre de très sim-
ples, même d'enfantines.

N'y aurait-il pas lieu de parler des congruences, dès le chapitre des
équations algébriques du 1" degré ?

Ch. Berdellé, Rioz (Haute-Saône).

A propos du récent article de M. Combebiac.

Pour établir de claire façon que le postulat classique des parallèles
est indémontrable, M. Combebiac [VEns. math., 1903, p. 162) a sim-
plement recours à l'habituel argument de non-contradiction.

Cet argument ou plutôt ce sophisme me paraît avoir été réfuté dans
cette Revue (t. IV, 1902, p. 33o-333).

C. Vidal (Paris).

(*) Imite de l'allemand, de Hebel (Œuvres, édition on 3 volumes, Karlsruhe,
1847, 1H° vol., p. i5'3).

BIBLIOGRAPHIE

E. Bardey. — Anleitung zur Auflbsung eingekleideter Aufgaben.

Zweitc, vôllig umgearbeitete Auflage, von Fr. Pietzkkr. — i vol. in-8°
cart. 160 p.; prix: Mk. 2,60. B.-G. Teubner, Leipeig, 1903

Ce livre n'est pas un simple recueil d'exercices, mais un guide méthodi-
que ayant pour objet l'étude de la mise en équation des problèmes de l'Al-
gèbre élémentaire. L'auteur examine neuf catégories de problèmes appar-
tenant les uns aux mathématiques pures, les autres aux sciences appliquées.
Chaque catégorie comprend un certain nombre de problèmes étudiés d'une
manière très approfondie.

Nous devons ajouter que cette nouvelle édition diffère entièrement de la
précédente. M. Pietzker ne s'est pas contenté de surveiller simplement la
réimpression de l'ouvrage ; il a entièrement remanié l'exposé, de manière à
en faire réellement un guide utile à la fois aux maîtres et aux élèves.

Eue Beltrami. — Opère Matematiche, publicate per cura délia Facultà
di Scienze délia R. Université di Roma. Tomo primo; con Ritratto e Bio-
graphia deir Autore. — Un vol, in-4 , XXII-437 p.; prix : L.a5; Ulr.
Hœpli, Milan, 1902.

La Faculté des Sciences de l'Université de Rome et les savant italiens ne
sauraient élever à la mémoire d'Eugène Beltrami un monument plus digne
que celui que constitue la publication des œuvres complètes de l'illustre géo-
mètre. De même que les travaux de Brioschi, ceux de Beltrami vont être
réunis en une série de beaux volumes in-4 , sortant des presses de la Tipo-
graphia Matematica de Palermo, et édités par la maison Hœpli, à Milan.

En tête de ce premier volume, figure une belle notice dans laquelle M. Cre-
mona caractérise en quelques pages la vie et l'œuvre du grand géomètre.
Puis viennent les mémoires, au nombre de 26, que publia Beltrami, de 1861
à 1868, dans les Annali di Matematica, le Giornale di Matematiche, les
Rendiconti, les Nouvelles Annales, etc.. Ces premiers mémoires appartien-
nent au domaine de la Géométrie et principalement à celui de la Géométrie
infinitésimale. On y trouve, entre autres, les mémoires suivants, qui ont été
le point de départ d'importants travaux entrepris par d'autres savants :
Ricerche di Analisi applicaia alla Geometria; Stilla flessione délie super-
ficie rigate ; délie variabili complesse sopra una superficie qualunque ; Saggio
d'interpetrazione délia Geometria non-euclidea; Teoria fondamentale degli
spazi di curvatura costante.

Nous devons nous borner à cette énumération. Les lecteurs trouveront
d'ailleurs au tome II de celte Revue (année 1900, p. 1 73-178) ; une notice sur
Eugène Beltrami, sa vie et ses travaux, par M. Frattini; elle est suivie
de la liste des publications du Professeur E. Beltrami.

H. Fehk.

BIBLIOGRAPHIE 387

Emm. Czuber. — Probabilités et moyennes géométriques, traduit de
l'allemand par Schlermans. — Gr. in-8°, 244 p.; prix : 8 fr. 5o, Hermann,
Paris, 190a.

Cet ouvrage a pour objet principal de grouper la classe nombreuse des
problèmes de probabilités où les cas possibles constituent un domaine
continu.

Pour la plupart d'entre eux, les données sont d'ordre géométrique, ou bien
les énoncés sont susceptibles de représentation géométrique, et c'est ce ca-
ractère qui a déterminé le titre du livre .

Les questions traitées, ainsi que les méthodes employées, sont fort
attrayantes et me paraissent présenter au plus haut degré le caractère de
a récréations mathématiques ». Ce n'est pas un des moindres attraits de ces
questions que la diversité des solutions qu'elles comportent suivant les con-
ventions que l'on adopte pour l'évaluation de la probabilité ou plutôt pour
la définition de l'égalité de probabilité.

Pour un très grand nombre de problèmes, il n'eût peut-être pas été inutile
d'indiquer chaque fois les conventions admises et les conditions matérielles
susceptibles de leur correspondre.

Parfois, la convention s'impose naturellement.

Ainsi, si un point est assujetti à l'unique condition de se trouver sur une
ligne de longueur L, on convient, / et /' étant les longeurs de deux segments
de cette ligne comptés à partir de l'une de ses extrémités, que les probabili-
tés pour que le point se trouve d'une part entre les points l et l-\-dl, d'autre
part entre les points /' et /' -\- d l sont égales, de sorte que la probabilité
pour que le point se trouve entre les points / et / -f- d l est exprimé par le

* dl

rapport — -— .

En vertu d'une convention analogue, si un point est assujetti à se trouver
à Fintérieur d'une surface d'étendue S, la probabilité pour qu'il se trouve à

l'intérieur d'un élément de superficie ds est exprimée par le rapport — - —

Mais cette simplicité est loin de se retrouver dans tous les problèmes et
les rapprochements que nous pourrions faire entre certaines solutions (no-
tamment entre celles des problèmes VII et X) montreraient que les métho-
thodes appliquées supposent, sans que le lecteur en soit prévenu, des conven-
tions divergentes dans la définition de l'égalité de probabilité.

Au point de vue de l'élégance des méthodes et des résultats, nous mention-
nerons spécialement les questions relatives à la position d'une droite
arbitraire par rapport à des contours fermés.

Nous signalerons encore les questions où, non seulement le nombre des cas
possibles est infini, mais encore où leur domaine devient lui-même infini, tels
que les problèmes qui reposent sur la probabilité de la réalité des racines
d'une équation du second degré, dont les coefficients peuvent prendre toutes
les valeurs réelles de — 00 à -f- 00 .

Disons en terminant que nous aurions quelques réserves à faire sur les
qualités de la traduction. G. Combebiac (Limoges).

E.-A. Fouet. — Leçons élémentaires sur la théorie des fonctions
analytiques. i rt Partie (Chapitre I à V). — Un vol., grand in-8°, 33o p.;
avec 359 fig.; prix : fr. 7 20. Paris, Gauthier-Villars, 190a.

388 BIBLIOGRAPHIE

L'auteur des leçons élémentaires s'adresse plus particulièrement aux étu-
diants des Facultés des Sciences, mais son livre rendra de réels services à
tous ceux qui désireront acquérir une vue d'ensemble sur l'état actuel de la
théorie des fonctions analytiques.

A côté des principes bien connus de cette théorie, on y trouve des rensei-
gnements précieux sur la plupart des résultats dont s'est enrichie cette bran-
che de l'analyse depuis Cauchy et Weiertrass.

Ce premier fascicule, seul paru, contient l'introduction et le livre I. L'in-
troduction est partagée en deux sections, La première traite des fonctions
en général. Un aperçu de la théorie des ensembles, permet à M. Fouet de
préciser le sens d'un certain nombre de locutions employées dans la théorie
des fonctions. C'est dans la 2° section que l'auteur introduit la notion de
fonction analytique, mais auparavant il définit avec précision les notions de
limite, de continuité, de convergence.

Le livre I est consacré à l'étude des méthodes générales de définition et
de représentation des fonctions. Les fonctions qu'on est amené à étudier
peuvent être définies de bien des manières : par une équation, une série, une
intégrale, etc. Dans tous les cas les mêmes questions se posent : la fonction
ainsi définie est-elle analytique ? Quelles sont ses propriétés caractéristiques ?

Le chapitre I est consacré à la théorie classique des fonctions algébriques.
La considération des surfaces de Riemann aide à rendre intutives les pro-
positions établies. Parmi les exemples donnés dans ce chapitre on remar-
quera les transformations linéaires.

Nous passons ensuite aux fonctions définies par des séries et des produits
infinis. Les propriétés générales des séries et en particulier celles des sé-
ries entières sont exposées avec détail. Un paragraphe spécial est consacré
aux séries trigonométriques, mais l'auteur se borne à un historique, fort in-
téressant du reste. Nous pénétrons ensuite dans le domaine à peine exploré
des séries divergentes. M. Fouet dit quelqnes mots des recherches de MM.
Poincaré, Stieltjes, Padé et Le Roy (les lecteurs désireux d'approfondir ce
sujet sont renvoyés aux sources), mais il s'arrête un peu plus longuement
sur la théorie de M. Borel. Le chapitre se termine par l'étude de quelque^
séries classiques (fonction exponentielle, circulaires, fonction euléricnne,
séries hypergéométriques).

Les fonctions définies par des séries multiples et des produits infinis
multiples sont étudiées dans le chapitre m. Nous trouvons à la fin du cha-
pitre l'étude des trois fonctions de Wcicrstrass et des fonctions thêta.

Dans le chapitre suivant, qui est consacré aux fonctions définies par des
intégrales, il y a lieu de remarquer une généralisation de la notion d'inté-
grale due à Riemann et la démonstration du théorème fondamental de
Cauchy donné par M. Goursat, démonstration qui n'exige pas d'hypothèse
relative à la continuité de la dérivée. La série de Taylor déduite de la for-
mule de Cauchy permet d'obtenir le développement des fonctions algébriques
étudiées au chapitre I or .

Le volume se termine par la théorie du prolongement analytique, d'après
Wcicrstrass. Une question importante est traitée à la fin du dernier chapitre:
celle du développement des fonctions en une série de polynômes. 11 serait
difficile d'énumérer tous les sujets traités ou seulement effleurés par M. Fouet.

Certainement son livre rendra de réels services; il inspirera au lecteur la
curiosité de lire les mémoires originaux. D. Mirimanoff (Genève).

BIBLIOGRAPHIE 389

Maurice Lév y. — Éléments de Cinématique et de Mécanique. Con-
formes au Programme d'admission de l'Ecole centrale des Arts et Manu-
factures. — 1 vol. xvm-411 p. grand in-8°, prix : 10 francs. Bernard et C ,e ,
Paris, 1902.

Le programme d'admission de l'École centrale des Arts et Manufactures,
dont cette Revue a public récemment les points principaux (n° de jan-
vier 1903), accuse des tendances que Ton pourrait qualifier de réalistes.

Concrétiser les notions, faire appel, pour en préciser certaines, à d'autres
ressortissant à un domaine différent, laisser de côté les subtilités au béné-
fice de la clarté, employer moins de logique pure et plus d'images senso-
rielles, établir une correspondance sans lacune entre les faits objectifs et les
propositions scientifiques, telle est la méthode.

Ses avantages nous paraissent incontestables tant au point de vue de la
gymnastique intellectuelle qu'au point de vue utilitaristc.

On conçoit ce que peut donner ce programme, lorsqu'il est appliqué par
l'esprit lumineux et puissant, qui a présidé à son établissement.

M. Maurice Lévy s'y est strictement conformé. Ainsi qu'il nous en prévient
dans l'Introduction, il a évité de donner la première place à de convention-
nelles abstractions, et est allé au plus droit vers le réel.

Malgré le caractère élémentaire de l'ouvrage et l'extraordinaire simplicité
des moyens employés, l'on sent que l'on est bien en présence d'une œuvre
de maître, dont la lecture sera du plus grand profit, non seulement pour les
candidats à l'Ecole centrale, auxquels elle est destinée, mais aussi pour tous
ceux qui s'intéressent aux méthodes de présentation des principes de la
Mécanique, tant au point de vue de l'enseignement qu'à celui de la satisfac-
tion de la raison. G. Combebiac (Limoges).

B. Riemann's Gesammelte Werke.^achtrage herausgegcbcn von M. Nœ-
tuer und W. Wirtixger. — Un vol. in-8°, 116 p. ; prix : Mk. 6; B.-G.
Teubner, Leipzig, 190a.

Depuis l'apparition de la deuxième édition des Œuvres de Memann, on a
trouvé un certain nombre de documents qui montrent que, dans ses cours, le
savant géomètre avait été beaucoup plus loin que dans ses publications. Ces
documents ont été réunis dans le présent volume, qui parait sous le titre de
« Supplément aux œuvres complètes». Ils comprennent : 1) des notes relatives
aux leçons sur la théorie générale des intégrales algébriques (semestre
d'hiver 1861-62), avec des annotations de M. Nœthkr ; a) un extrait d'une
leçon sur les intégrales d'une équation différentielle linéaire du second ordre
en un point multiple (hiver 1 856-57) ; 3) des notes relatives aux leçons sur la
série hypergéométrique (semestre d'hiver 1 858-59), avec des annotations
de M. Wirtinger ; 4) diverses notes mathématiques ; 5) diverses notes con-
cernant Riemann.

M. Scuustrr. — Geometrische Aufgaben und Lehrbuch der Géo-
métrie. Planimetrie. Stéréométrie. Ebene und sphiirischc Trigonométrie.
Nach Konstruktiv-analytischcr Méthode bearbeitet. Ausgabe A (Fur Vol-
anstalten) zweiter Teil : Trigonométrie. — Un vol. cartonné, 112 p. in-8°;
prix : Mk 1,60 ; B.-G. Teubner, Leipzig, 1903.,

Ce recueil d'Exercices de Trigonométrie plane et sphérique est appelé à

390 BIBLIOGRAPHIE

jouer un rôle utile au moment où, dans l'enseignement secondaire, on tend
de plus en plus à emprunter des problèmes aux diverses branches des
mathématiques pures et appliquées. On y trouve en effet non seulement des
exercices et problèmes purement théoriques, mais aussi des problèmes
élémentaires concernant la Topographie, la Cosmographie, l'Astronomie, la
Navigation, la Physique, etc. Grâce à la variété des exercices et au soin avec
lequel ils ont été classés, ce petit ouvrage peut être recommandé à tous ceux
qui enseignent la Trigonométrie.

H. -G. Zeuthen. — Histoire des mathématiques dans l'antiquité et au
moyen âge, traduite en français par Jean Mascart. Un vol. in-8° de
xv-296 pages. Prix : 9 francs. Paris, Gauthier- Villars, éditeur.

Cet ouvrage, comme l'écrit M. Zeuthen dans sa préface, a pour but « de
mettre principalement en relief ce qu'il importe aux étudiants et aux profes-
seurs de savoir ».

Pour de tels lecteurs, point n'est besoin d'entrer dans de grands détails
historiques, il faut plutôt connaître les aspects primordiaux sous lesquels se
manifestèrent aux chercheurs les vérités et les méthodes et quelles applica-
tions en découlèrent par la suite.

La notion précise de ces origines sera donc la condition indispensable
pour comprendre la lente évolution des formes qui a fini par donner, au
cours des âges, leur physionomie actuelle aux mathématiques.

Après avoir signalé brièvement les connaissances mathématiques des
Egyptiens et des Babyloniens, l'auteur aborde la partie principale de son
sujet, l'œuvre des mathématiciens grecs. Le savant danois voit, avec juste
raison, « dans la découverte et le traitement ultérieur des graudeurs irra-
tionnelles, et la force principale et la principale faiblesse des mathémati-
ques grecques ». Les géomètres hellènes* cherchèrent à rendre toute
démonstration applicable, même à ces grandeurs qui ne se peuvent qu ap-
proximativement exprimer par des nombres. Ainsi se développèrent leurs
scrupuleuses tendances à l'impeccabilité des déductions et à la précision des
termes. La mathématique devint alors la science exacte par excellence.
Mais d'aussi grandioses conceptions n'auraient point dû entraîner l'indiffé-
rence pour les essais tendant à calculer approximativement ce qui ne com-
porte pas pleine et entière exactitude. Archimède (mort en aia av. J.-C),
en indiquant les limites entre lesquelles doivent être situées les quantités
cherchées, eut beau montrer qu'on pouvait exprimer d'une manière irrépro-
chable les résultats mêmes d'un pareil calcul, son exemple ne fut pas suivi
de ses compatriotes qui, pour la plupart, considérèrent comme secondaire
le calcul pratique.

Le fondement de l'Arithmétique grecque n'eut ni la largeur, ni la fermeté
scientifique de la base sur laquelle Euclide établit la Géométrie et, jusque
vers l'an 3oo après J.-C., on négligea presque complètement la science des
nombres en Grèce et à Alexandrie. Alors vint Diophante qui apporta
quelque innovation dans ce domaine. Entre les modes d'exposition anté-
rieurs et les siens, existe une différence capitale. Il s'occupe seulement de
problèmes numériques spéciaux et n'utilise pour les résoudre que des opé-
rations purement numériques sans établir jamais de théorèmes généraux.
Ayant renoncé à la représentation géométrique de ses prédécesseurs, il dut
recourir à un moyen nouveau pour désigner à l'esprit une quantité inconnue

BIBLIOGRAPHIE 3oi

de même que ses fonctions simples. Ce fut l'origine des symboles algé-
briques.

Au contraire des Grecs, les savants de l'Inde ne manifestèrent aucune
aptitude pour la rigueur théorique et, pour eux, le calcul numérique et son
empirisme pratique devinrent le véritable moyen de s'approprier les théo-
rèmes et les méthodes. Au moyen âge, les Arabes développèrent puissam-
ment l'héritage que les géomètres grecs et les arithméticiens hindous leur
avaient transmis. En particulier, ils imprimèrent un vigoureux essor à la
Trigonométrie et à ses applications astronomiques.

L'apparition du Liber-Abaci de Léonard de Pise (1202) signale le premier
réveil des mathémathiques européennes que ses successeurs, l'italien Lucas
Paciuoli, l'anglais Bradwardin, les français Oresme et Chuquet, les alle-
mands Widmann, Peurbach et Regiomontanus firent honorablement pro-
gresser, en attendant que les Yiète, les Napier, les Fermât, les Pascal, les
Newton et les Leibniz inaugurent, par leurs géniales découvertes, Père de
la science moderne.

Là s'arrête le livre de Pérudit professeur de Copenhague, et, comme con-
clusion, nous ne saurions formuler qu'un regret : c'est qu'il n'ait pas con-
tinué son histoire des mathématiques jusqu'à notre temps.

Jacques Boybr (Paris).

Sammlung Goeschen. Volumes p. in- 12, cart., prix : 80 Pfg. le volume.
G.-J. Goeschcn, Leipzig.

Cette Collection comprend aujourd'hui plus de i5o monographies apparte-
nant aux domaines les plus divers des connaissances humaines. Son but est
de donner une introduction, à la fois simple et exacte, aux principales
branches de la science. Elle s'adresse donc non seulement à ceux qui, déjà
mêlés à la vie pratique, désirent compléter leurs connaissances générales
dans quelques branches, mais aussi aux professeurs auxquels elle présente,
sous une forme entièrement objective, un aperçu de l'état actuel des connais-
sances fondamentales de la plupart des branches de l'enseignement.

Les volumes qui se rattachent aux sciences mathématiques pures ou appli-
quées sont actuellement au nombre d'une vingtaine; ils sont dus à des
hommes d'une compétence incontestable dans le domaine dont ils se sont
chargé, et c'est à cela que doit être attribué le grand succès de la collection.

Les derniers volumes parus sont les suivants : Projektive Géométrie
(a e édition), par K. Doehlemann; c'est un exposé synthétique des éléments de
géométrie moderne. — Darstellende Géométrie, par R. Haussner; on y
trouve la projection oblique et ses applications, et la projection orthogonale
appliquée aux principaux problèmes relatifs à la droite, au plan et aux
polyèdres. — Ifôhere Analysis, 1. Teil ; Integralrechnung (a e édition) ;
Repetitorium und Aufgabensammlung zur Differentialrechnung; (id) ... zur
Integralrechnung, les trois volumes par Fr. Junker; les deux derniers cons-
tituent un excellent recueil d'exercices à utiliser dans un premier enseigne-
ment du Calcul différentiel et intégral. H. F.

BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE

Annali di Matematica pura ed applicata, dirigées par L. Biamchi, L. Cre-
mona, U. Dini, G. Jung; série 3. t. VIII, C. Rebeschini, Milan, 1902.

Fasc. 2-3. — Niccolktti : Sulla formola di Taylor. — Marletta : Studio
geometrico délia quartica gobba razionalc. — Tedone : Saggîo di una tcoria
générale délie equazioni deH'equilibro elastico per un corpo isotrope —
Bocgio : SulTintegrazione di alcunc equazioni lineari aile dériva te parziali.

Fasc. 4* — Bottasso : Sopra le coniche bitangenti aile superficie algcbrichc.
— Bortolotti : Sul limite del quoziente di due funzioni. — Niccoletti: Alcu-
ni teoremi sui determinauti. — Graf : De la détermination de certaines fonc-
tions d'après des conditions données.

Archiv der Mathematik und Physik, gogrûudet 184 1 durch J.-A.
Grunekt. Dritte Rcihe. Herausgcgebeu von E. Lampe, \V. Fraxz Meyer,
E. Jahnke. Band V. 1903 ; B.-G. Teubner, Leipzig und Berlin.

Hefte 1 und a. — J. Weingarten : Ueber eine Aufgabe der Mechanik. —
W. Schell : Synthctische Behandlung einiger Problème ùber Kurven dop-
pelter Krùmmung. — R. Sturm : Ueber eincn vermeintlich richtigen Satz
von Gergonnc und ùber Umformungcn von Maxiinal-uud Minimalligurcn. —
A. Hurwitz : Ueber hôhere Kongrucnzen. — T. Levi-Civita : Sur la singula-
rité dont sont affectées, pour une vitesse nulle, les équations du mouvement
d'un point matériel frottant sur une surface. — E. Jahnke : Brief von Lever-
rier an Jacobi ; Brief von Liouvillc an Jacobi. — H. Opitz : Ueber die
Auflôsung der transcendenten Gleichung

;— i)1jt2Tl+1 v 7 ^"

_V(-0

X+i) - 4

L. Matthiessen : Von der Periodicitiit der Kcttenbrùchc, in welchc sich
Irrationale zweiten Grades cntwickeln lassen. — E. Naetsch : Ueber ein in der
Vektor-Analysis auftretendes System partieller Differentialgleichungen
1. Ordnung. — T. Hayashi : On the Remainders of the Numbers of Triangle
of Pascal with respect to a Prime Number. — M. d'Ocagne : Ueber ciuigo
elementare Grundgedanken der Nomographie. — O. Guntsche : Ueber den
/usammenhang einer bei der Lôsung von Alhazens Aufgabe auftretendcn
uleichseitigen Hyperbel mit der neueren Dreiecksgeometrie. — E. Landau :
Ueber den Verlauf der zahlentheoretischcn Funktion cp (x); Ueber die Maxima-
lordnung der Permutation gegebenen Grades. — E. Muller : Ein Uebcrtrag-
ungsprinzip des llerrn E. Study. — K. Cvvojdzinski : Distanzrclationeu
zwischen Punktcu und Gcraden der Ebene sowie Puukten und Ebcnen iin

BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 3a3

Raume. — F. Emde : Der Charakter der Betriebskurven eines Gleich-
strommotors mit Nebenschlusserregung. — S. Gundelfinger : Ueber einc
fundamcntale kubische Gleichung zu derThcoria motus corp. ccl. von Gauss.

— E. Lampe : Bemerkung zu der vorstehenden Note des Herrn S. Gundel-
finger. — Rezcnsionen. — Vermischto Mitteilungen. — Sitzungsberichte der
Berlincr Mathematischen Gcscllsehaft.

Bibliotheca Mathematica. Zeitschrift fur Geschichtc der mathema-
tischen Wissenschaften, herausgcgeben von G. Enesthôm, 3. Folge ;
4 Band ; B.-G. Teubner, Leipzig.

Heft'i. — G. Enesthôm : Ueber kulturhistorischc und fachmassige Be-
handlung der Gcschichte der Mathematik. — W. Schmidt : Nivellierinstru-
ment und Tunnelbau im Altertume. — F. Rudio : Zur Réhabilitation des
Simplicius. — R. Wallnkr : Die Wandlungen des TndivisibilienbegrifTes
von Cavalieri bis Wallis. — H. Suter : Ueber cinige noch nicht sicherges-
teUte Autorcnnamcn in den Ueberselzungen des Gerhard von Creniona. —
G. Loria : Osservazioni sopra di un problema pscudo-clcmentare. — Pexi-
der : Uebcrsicht iiber die Litteratur des Abelschcn Theorems. — Sicgm.
Gùnthkh : Maximilian Curtze. — G. Enesthôm : Ueber die Aufgaben eincr
math. Zentralbibliolhck.

Bulletin of the American mathematical Society, public par F.-N. Cole,
A. Ziwet, D.-E. Smith. Macmillan Company, Lancaster, Pa., and New-
York. — 2 e série, 1903. Vol. IX.

Janvier. — F.-N. Cole : The October Meeting of the American Mathema-
tical Society. — F. Cajori : Séries whose product is absolutely convergent.

— L.-E. Dickson : Three sets of generational relations defining the abs-
tract simple group of order 660 ; idem of Order 5o4«

Février. — W.-F. Osgood : On the transformation of the boundary in
the case of conformai mapping. — V. Sxyder : On the quintic scroll
having three double Conics. — L.-P. Eisenhart : Surfaces referred to their
Unes of length zéro. — E.-R. Hedrick : Supplementary Note on the Cal-
culus of Variations. — E.-B. Wilson : The synthetic treatment of Conics
at the présent time.

Mars. — F.-N. Cole : The ninth annual Meeting of the American Mathe-
matical Society. — G. -A. Miller : The Deceiuber Meeting of the San Fran-
cisco Section. '— L.-E. Dickson : The abslract Group G simply isomorphic
with the altcrnating group on six letters. — H.- F. Blichfeldt : Note on a
property of the Conic Sections. — H. -T. Hudson : The analytic theory of
displaçcments. — Notes. — New Publications.

Avril. — F. Holgate : The January Meeting of the Chicago Section. —
E.-W. Davis : Some Groups in Logic. — V. Sn y der : Cesàro's iutrinsic
Geometry. — J. Pierpont : Gauss's Collected Works. — E.-B. Wilson :
Analytic Projective Geometry. — Notices diverses.

Mai. — F.-N. Cole : The February Meeting of the American Mathematical
Society. — E.-H. Moore : On the Foundations of Mathcmatics. — C.-J.
Keyser : Conccrning the axiom of infinity and mathematical induction. —
E.-R. Hedrick : A. German Calculus for Engineers.

Juin. — M. Bôcher : Singular Points of Functions which Satisfy Partial
Diffcrential Equations of the Elliptic Type. — A.-M. Nasch : Errata in Gauss's

394 BULLETIX BIBLIOGRAPHIQUE

a Tafel der Anzahl dcr Classen Binarer Quadratischer Formen. » — E.-Mc.
Clintocx : ïhe Logarithm as a Direct Function. — J.-I. Hutchinson : ïhe
Theory of Àutoraorphic Functions. — E.B. Wilson. — Loria's Spécial
Peane Curves.

Juillet. — F.-N. Colk: The April Meeting of ïhe Chicago American Mathe-
matical Society. — T. -F. Holgate : The April Meeting of the Section. — G. -A.
Miller : The April Meeting of the San Francisco Section. — G. -A. Miller :
A Fundauicntal Theorem with Respect to transitive substitution Groups. —
Ed. Kasner : The Characterization of Collineations. — W.-F. Osgood : A
Modem French Calculus.

Mathematische Annalen herausgegcben von F. Klein, W. v. Dyck,
D. Hilbert. Publication trimestrielle. Leipzig. Teubner. — Band, 56 u. 57.
Hcft 3. — D. Hilbert : Ueber die Grundlagen der Géométrie. — J.-H.
Graf : Beitrag zur AuflOsung von DifFerentialgleichungcn zweitcr Ordnung,
denen gewisse bestimmte Intégrale genùgen. — L. Lachtin : Die DifTeren-
tialresolvente einer algebraischen Gleichung sechsten Grades allgcmeincr
Art. — E. Netto : Ueber die Zusammensetzung von Substitutionen aus den
Transpositionen. — P. Sïaeckel : Liueare Scharen gcodittischer Linien. —
K. Th. Yahlen : Ueber endlichgleiche Polyeder.

Heft 4. — O. Blumentual : Ueber Modulfunktionen von mehreren Yerân-
derlichen. — A. Lœwy : Ueber reduziblc lineare homogène DiïTerentialglei-
chungen. — K. Bœhm : Zur Intégration particller Diflerentialgleichungen .

— P. Epstein ; Zur Théorie allgcmciner Zetafunctioncn. — E. Landau :
Neuer Beweis des Primzahlsatzcs und Beweis des Primidealsatzes. —
E. Landau : Ueber die Klassenzahl der binàren quadratischen Formen von
negativer Discriminante. — M. Nœtiier : Ueber die singularen Elemenle der
algebraischen Kurven.

Band 57. — 1903. Heft 1. — F. Klein : Gauss'wissenschaftlichcs Tage-
buch. (1796-1814) und ûber der Stand der Herausgabe von Gauss' YVerken.

— O. Bolza : Zur zweilen Variation bei isopcrimctrischcn Problemen ;
Ueber das jsoperimetrische Problem auf einer gegcbenen Fliiche. — E. Lan-
dau : Ueber die Darstellung défini ter binarer Formen durch Quadrate. —
E. Pascal : Eugenio Beltrami. — O. Zoll : Ueber Flâchen mit Scharen
geschlossencr geodâtischer Linien. — H.-J. Hatzidakis : Ueber partielle
Intégration.

Heft 2. — D. Hilbert : Ncue Begrûndung der Bolyai-Lobatschefskyschen
Géométrie. — W. Boy : Ueber di Curvatura intégra und die Topologie
gcschlossener Fliichen. — Yoshiye : Anwendungen der Yariationsrechnung
auf partielle Diflerentialgleichungen mit zwei unabhangigen Variabeln. —

E. Schmidt : Ueber die Anzahl der Primzahlen unter gegebener Grenze. —

F. S cnu h : Zur Proportionslehre. — H. Schubekt : Ueber die Incidenz zweier
linearer Ràumc beliebiger Dimensionen. — F. London : Ueber cincn Satz
aus der Théorie der ebenen Kollineationen. — G. Hamel : Ueber die Geome-
trien, in denen die Geraden die Kùrzesten sind.

MathesiS- — Recueil mathématique à l'usage des écoles spéciales, public
par P. Mansion et J. Neuberg. Gand, Hostc. Paris, Gauthier-Yillars. Série
3. t. II et III, années 1903 et 1903.
Octobre. — C.-E. Wastekls : Sur le centre de gravité des figures sphé-

riques. — J. Neubeiig : Sur le complexe de Grassmann.

BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE ^

Novembre. — J. N. Surprises mathématiques. — H. Van Aubel : Notes
de géométrie. — J. Neuberg : Sur quelques cas particuliers d'un théorème
de Grassmann.

Décembre. — P. M. : Sur l'analyse des Anciens. — Notes diverses.

T. III. Janvier 1903. — M. Stuyvaert : Une leçon sur les cubiques gauches.
— A. Demoulin : Généralisation d'un théorème de Ed. Lucas. — Bibliogra-
phie et notes diverses.

Février. — C. Servais : Relations entre deux systèmes d'axes. — G. Fon-
tené : La construction de Nicollic pour le problème de Halley. Notes et
Bibliographie.

Mars. — A. Boutin : Note sur quelques séries. — M. Lauvernay : Pro-
blème de géométrie. — J. Dépkez : Géométrie du triangle.

Avril. — P. M. : Théorie purement analytique des fonctions circulaires
d'après Scidel. — L. Casteels; G. Delahate : Problèmes de géométrie. —
J. Rose : Sur le centre de courbure des coniques. — Notes, problèmes di-
vers.

Mai. — J. Neuberg : Sur les exemples de triangles homologiques dont les
sommets sont situés sur six droites données. — Notes diverses et questions
d'examen.

Juin et Juillet. — M. Stugvaert : La courbe horoptère. — E. Barisien :
Sur le quadrilatère inscriptible dans un cercle. — Notes et problèmes di-
vers.

Il NuOVO CimentO . — Organe de la société italienne de Physique publié
par A. Batelli, A. Roiti, V. Volterra, A. RiGHietP. Cardani. Publica-
tion mensuelle gr. in-8°. Pise. Picraccini, Série V, t. IV et V, 190a et 1903.
Novembre. — F. Maccarrone : Conducibilita e ritardo di polarizzazione
dielettrica. — T. Martini : Fenomeni che manifestâno le polveri igrofile
poste in contatto con le soluzioni saline i miscugli alcoolici c gli acidi
diluiti.

Décembre. — S. Lussana : Proprieta termiche dei solidi e dei liquidi. —
E. Alf.ssandrini : Sull' elettricita sviluppata per gorgoglio d'aria in acqua.
— R. Magini : Sull' uso dei reticolo di doffrazione nelle studio dello spettro
ultra violetto. — L. Puccianti : Corrispondente elettrico dei diamagne-
tismo.

Année 1903. T. V. Janvier, — G. Lauricella : Sulla deformazione di una
s fera elastica isotropa per date tensioni in superficie. — Dall'Oppio : Intor-
no l'interrutore di Wehnelt. — G. Scalfaro : La velocita délia luce nei
cristalli magnetici.

Février. — P. Cardani : Dclerminaziona diretta dei rapporto di Poisson
nei Gli metallici. — G. di Ciommo : Sulla calibrazionc elettrica d'un filo con-
duttore. — P. Bassi : Sulle azioni idrodinamiche escreotate da corpi solidi
oscillanti in seno ad un liquido.

Mars. — S. Lussana : Proprieta termiche dei solidi e dei liquidi. — P. Car-
nazzi : Influenza délia pressione e délia température sul coefficiènte di com-
pressibilità dei mercurio. — M. La Rosa : Sopra una Nota di A. H. Sircks
intitolata :> Alcuni notevoli fenomeni che riguardano il incuito elettrico ncgli
elettroliti. — Anonyme : Sul fenomeno dcl Prof. Banti.

Unterrichtsblœtter fur Mathematik und Naturwissenschaften. Or-
gan des Vereins zur Fordcrung des Unterrichts inder Mathematik und den

396 BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE

Naturwisscnschaften. Bcgrùndet uutcr Mitwirkung von Bcrnh. Schwalbe,
herausgegeben von F. Pietzkkr. Jahrg. IX, 1903 ; O. Salle, Berlin.

Nr. 1 et 1. — K. Geissler : Der Winkel u. das Unendliche. — Tu. Adriax :
Ueber die Bcrcchnung der ?ïiîherungswerte von iz — S. Leisen : Konstitu-
tions u. Strukturformcln fur geom. Konstruktioncn. — A. Schulke : Le-
bensversicherungs-Rechnungen beim Untcrricht.

Publications non-périodiques

M. Cantor. — Politische Arithmetik oder die Arithmetik des tàg-
lichen Lebens . Zweite Auflage. 1903. 1 vol. in-8° de i55 p. B.-G. Teubner.

E. Delsol. — Principes de Géométrie. 1 vol. in-8°dc 96 p. Prix : 2 fr. 5o.
C. Naud. Paris 1903.

A. Faifopkr. — Eléments de Géométrie, à l'usage de l'Enseignement mo-
derne et des Lycées. Traduction de la i3° édition italienne, par Fr. Talanti.
1 vol. in-8° de 585 pages. Prix 5 fr. Paris, Nony 1903.

R. Fueter. — Der Klassenkôrper der quadratischen Korper unddie
complexe Multiplication. Inaugural Dissertation, Gottingen 1903. Une
broch, gr. in-8° de 70 pages.

C. Guiciiard. — Traité de Géométrie. Deuxième partie (Compléments).
1 vol. iu-8° de 43o pages. Paris 1903. Nony.

Aug. Tafelmacher et R. Pœnisch. — Elementos de Matematicas. T. 4.

Eslereomctria, 1 vol. cart. 80 p.; prix : P. i,5o. — T. 5 : Trigonometria
plana. 1 vol. cart., 112 p.; prix : i,5o P. — T. 6: Aljcbra 186 p.; prix:
1 fr. 80. Santiago du Chili, 1903.

G. Holzmuller. — Methodisches Lehrbuch der Elementarmathe-
matik. Dritter Teil. 2. Auflage. 1 vol. cart., 370 p,. prix : M. 4 fr. 40; B. G.
Teubner, Leipzig, Berlin, 1903.

Kiiimrt. — Grundriss der Differential und Integralrechnung. II.

Theil : Integral-ftechnung, Achte verbesserte u. vermehrte Auflage des glei-
chnamigen Lcitfadcns von Max. Stkgemaxx. i vol. broché, g.. in-8°, 666 p. ;
llclvingschc Verlagsbuchhandlung, Hannover, 1903.

H. \Tuller und P. Pietzker. — Rechenbuch fOr dieunteren Klassen
der hoheren Lehr anstalten . Ausgabc A.; fur Gymnasien. — 1 vol. cart.
i-it\ p.; prix : 1 fr. 40; B.-G. Teubner, Leipzig und Berlin, 1903.

Ocagne (Maurice d ; ). — Les instruments de précision. Conférence faite
au Conservatoire des Arts et Métiers, le i5 mars 1903. Publiée par le Syn-
dicat des Constructeurs d'Instruments de précision. Hôtel des Sociétés sa-
vantes. 28, rue Serpente, Paris.

Le Gérant : C. NAUD.

EVEEUX, IMPRIMERIE DE CHARLES UBRI8SET

L'ENSEIGNEMENT MATHEMATIQUE EN RUSSIE (')

ÉTAT ACTUEL. — ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR.

En Russie, l'enseignement des mathématiques supérieures se
donne dans les Facultés physico-mathématiques des universités,
dans les sections mathématiques des Cours supérieurs de femmes à
Saint-Pétersbourg et à Moscou, enfin dans les écoles supérieures,
instituts et académies techniques et écoles de génie. Pour le but
que nous poursuivons, il suffit de nous en tenir aux universités ;
l'enseignement mathématique aux cours de femmes n'en diffère
que par quelques restrictions et il est confié aux mêmes profes-
seurs; d'autre part, celui des écoles supérieures, académies et
instituts techniques ou écoles de génie n'est pas assez indépendant
des autres sciences.

D'après le règlement universitaire de 1884 — encore aujour-
d'hui en vigueur — l'enseignement mathématique devait poursuivre
les buts suivants : i) les étudiants devaient étudier plus à fond
les éléments de chaque science ; 2) plus d'indépendance élait à
désirer dans leurs travaux; 3) les professeurs effectifs étaient dis-
pensés de leurs fonctions d'examinateurs et ces dernières trans-
mises à des commissions particulières composées des savants pris
en dehors de l'université; 4) l'institut des privat-docents se trou-
vait largement développé afin d'affirmer la liberté de l'enseigne-
ment universitaire.

Sous le règlement de i863 l'enseignement était abandonné aux
professeurs presque sans contrôle. 11 y en avait qui laissaient
leurs propres intérêts l'emporter sur ceux de leurs auditeurs.

(') Voir dans le t. 1 de cette revue, V Aperçu historique ip. 77-100)» L'Etal actuel
de l'enseignement primaire (p. 420-449). et, dans celui de l'année courunte, l'Etat
actuel de l'enseignement secondaire (p. 237-261).

Enseignement math. ?t>

398 BOBYXIS

Souvent ils ne parlaient que superficiellement des éléments de
la science ou ne présentaient des détails que sur les parties du
cours cultivées par eux-mêmes, force était aux étudiants de s'en
tenir aux manuels.

Quant a l'indépendance de leurs travaux, le règlement de i863
ne contrôlait pas plus les étudiants que les professeurs. Les exa-
mens dont le résultat valait beaucoup par le fait des droits au ser-
vice d'Etat et de la position sociale du jeune homme, avaient lieu
pour chaque science a part, chez le professeur qui l'avait professée.
Les connaissances des étudiants se limitaient à ce qui leur avait
été lu pendant Tannée, c'est-à-dire aux notes que l'un ou plu-
sieurs d'entre eux avaient prises à la leçon et fait lithographier
ensuite. Malgré de nombreuses fautes ces lithographies tenaient
lieu de manuel à tel point que bien des étudiants se passaient de
suivre les cours de leur Faculté.

Le règlement de i863 avait aussi admis les privat-docents. mais
seulement pour enseigner les branches non obligatoires. Les
cours obligatoires n'étaient lus que par des professeurs ou des
docents non privés et recevant une rétribution fixée. Le nombre
des privat-docents était par conséquent très restreint. Le règle-
ment de 1884 a contribué a l'augmenter : i° en abolissant le grade
de docent non privé ; 2 en donnant pour trois ans celui de pri-
vat-docent à tout savant travaillant pour le professorat et 3° en
permettant aux étudiants de choisir entre le cours d'un professeur
et celui d'un privat-docent, si tous les deux enseignaient la même
science. Mais en formant de cette manière l'institut des privat-
docents le règlement de 1884 n a presque rien fait pour l'assurer
matériellement. C'est une des raisons (l'espace nous manque
pour en citer d'autres) qui expliquent pourquoi il n'a pas atteint le
degré de développement qui serait à désirer.

Le règlement de 1884 a conservé la division de la Faculté phy-
sico-mathématique en deux sections : à) mathématique; b) des
sciences naturelles. Conformément a cette répartition, il établit
pour la première section les chaires : 1. de Mathématiques pures;
a. de Mécanique théorique et pratique ; 3. d'Astronomie et de
Géodésie; 4- de Physique et de Géographie physique.

Les commissions particulières avaient à se prononcer sur les
connaissances des étudiants et à leur distribuer les diplômes du

L'ENSE/GXEMENT MATUÉMATIQUE EX Rl'SSIE 399

i er ou 2 e degré. Le règlement de 1884 chargea en même temps
le ministère de l'Instruction publique de confirmer et de publier
pour toutes les universités des « règles générales sur les examens
subis dans les commissions et sur les exigences auxquelles on
devait y satisfaire ». C'est en 1880 que parut, publiée par le mi-
nistère la « liste des exigences qu'ont à satisfaire les jeunes gens
faisant leur épreuve devant la commission physico-mathématique,
Section des sciences mathématiques. »

« | 1. Ceux qui subissent l'examen doivent connaître les sciences
faisant partie de l'instruction générale physico-mathématique, savoir :
Mathématiques, Physique, Mécanique, Astronomie et Chimie (*). —

| 2. Chacun est soumis, en outre, à une épreuve complémentaire in-
diquée aux paragraphes 8 et 10.

| 8. Le jeune homme soumis à l'épreuve complémentaire choisit
deux sciences entre les cours suivants :

< 1) Théorie des nombres. 2) Algèbre supérieure. 3) Théorie des
fonctions elliptiques. 4) Géométrie supérieure.

« 5) Théorie du potentiel avec son- application aux phénomènes
électriques et magnétiques. 6) Théorie cinétique des gaz. 7) Théorie
mathématique de la lumière. 8) Théorie mathématique de l'élasticité
des corps solides. 9) Théorie mathématique de la chaleur.

« 10) Cinématique du mouvement absolu et du mouvement relatif.
1 1) Théorie générale du mouvement d'un solide.

« l'ï) Mouvement des corps célestes sur les coniques. 1 3) Théorie
des perturbations du mouvement. 14) Astronomie pratique. i5) Géo-
désie.

« § 9. Il est libre de remplacer cette épreuve par un examen de
Mécanique pratique ou de Géométrie descriptive, à condition de savoir
bien dessiner. — § 10. Les résumés des cours entendus à l'Université
sur les sciences choisies ou des connaissances acquises, en général
dans leur domaine, font aussi partie de l'épreuve complémentaire. Ces
résumés, une fois agréés par la Commission, déterminent les exigences
de l'examen. »

Au moment où la commission physico-mathématique allait
commencer à fonctionner le ministère de l'Instruction publique
publiait, en 1889, les « règles et programmes pour les examens
devant la commission physico-mathématique, section des sciences
mathématiques. » Nous n'en citerons que les programmes, la
réglementation des examens ne présentant pas un grand intérêt.

(') Voir ci-après (p. 400), les» programmes.

4oo BOB Y y IN

Programmes de l'examen général dans la Commission physico-
mathématique; section des sciences mathématiques.

I. Programme de V examen de mathématiques pures.

A. Géométrie analytique. — Détermination de la position d'un
point sur un plan à l'aide des coordonnées rectilignes et polaires.
Transformation des coordonnées dans le plan. Signification géomé-
trique des équations entre les coordonnées. Classification des courbes
par leurs équations. Signification de l'équation du premier degré à
deux variables. Formes les plus usitées de l'équation du premier degré
et signification de leurs coefficients.

Problèmes fondamentaux relatifs aux points et aux droites sur un
plan-: a) expression de la distance entre deux points; détermination
des coordonnées du point divisant, dans un rapport donné, la droite
qui joint deux points ; expression de l'aire du triangle par les coor-
données de ses sommets, b) Equation d'une ligne droite passant par
un ou par deux points donnés ; équation d'une droite parallèle à une
droite donnée et passant par un point donné; équation d'une droite
passant par le point de rencontre de deux droites données, c) Condi-
tion pour que trois points soient en ligne droite ; condition pour
que trois droites passent par un même point, d) Détermination de
l'angle de deux droites données; condition de perpendicularité de
deux droites données; équation et longueur d'une perpendiculaire à
une droite donnée, passant par un point donné ; détermination du rap-
port de deux segments d'une distance entre deux points donnés, divisée
par la droite donnée.

Discussion des courbes représentées par l'équation générale du
second degré à deux variables.

Centre, diamètre, diamètres conjugués et axes des courbes du
second degré. Equations des tangentes aux courbes du second degré
et de leurs polaires, relatives au point donné.

Réduction de l'équation générale des courbes du second degré à la
forme la plus simple à l'aide des propriétés des diamètres et des axes.

Construction de l'ellipse et du cercle, de l'hyperbole et de la para-
bole. Déduction des propriétés fondamentales de ces courbes à l'aide
de leurs équations les plus simples.

Foyers et directrices des courbes du second degré.

Equation générale des courbes du second degré, rapportée au
sommet. Equations polaires les plus simples de ces courbes.

Détermination de la position d'un point dans l'espace à l'aide des
coordonnées rectilignes et polaires. Transformation des coordonnées.
Signification géométrique d'une ou de deux équations entre les coor-
données.

L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE EN RUSSIE 4<>i

Expression de la distance entre deux points donnés. Détermination
des coordonnées du point divisant, dans un rapport donné, la droite
qui joint deux points donnés. Cosinus des angles, qui déterminent la
direction de la droite. Cosinus de l'angle de deux droites, dont la
direction est donnée. t

Equation du plan. Angles que la perpendiculaire à un plan fait avec
les axes. Conditions du parallélisme de deux plans. Equation d'un plan
passant par un ou par trois points donnés et d'un plan parallèle à un
plan donné et passant par un point donné. Intersection de trois plans.
Expression du cosinus de l'angle de deux plans. Conditions de perpen-
dicularité de deux plans.

Equations d'une ligne droite. Conditions du parallélisme de deux
droites. Equations d'une droite passant par un ou par deux points
donnés ou menée par un point donné parallèlement à une droite
donnée. Angle de deux droites. Condition de perpendicularité de deux
droites. Condition pour que deux droites passent par un même point.

Condition de parallélisme d'une droite et d'un plan. Condition pour
qu'une droite donnée soit dans un plan donné. Equation du plan passant
par un point donné et par une droite donnée. Angle d'une droite et
d'un plan. Condition de perpendicularité d'une droite et d'un plan.
Equation d'un plan perpendiculaire à une droite donnée et passant par
un point donné. Equations et longueur d'une perpendiculaire à un
plan donné, passant par un point donné. Equations et longueur d'une
perpendiculaire à une droite donnée, passant par un point donné.
Equations et longueur d'une perpendiculaire aux deux droites données.

Centre, plan diamétral, plans diamétraux et principaux des sur-
faces du second ordre. Réduction à la forme la plus simple des équa-
tions des surfaces du second ordre possédant un centre ou dépourvues
de centre.

Discussion des formes d'ellipsoïde, de deux hyperboloïdes et de
deux paraboloïdes suivant leurs équations les plus simples en coor-
données rectilignes. Discussion des sections circulaires et des généra-
trices rectilignes des surfaces de second ordre.

B. Algèbre supérieure. — Existence de la racine de l'équation
algébrique. Décomposition d'une fonction entière en facteurs. Nombre
des racines de l'équation. Racines imaginaires conjuguées. Relations
entre les coefficients et les racines. Recherche des racines commensu-
rables des équations à coefficients rationnels.

Réduction de la résolution d'une équation qui a des racines égales à
celle de plusieurs équations qui n'ont que des racines simples.

Limites des racines réelles d'une équation. Théorème de Rolle.
Méthode de Sturm pour la séparation des racines de l'équation. Mé-
thode de Fourier pour la séparation des racines de l'équation.

Méthode de Newton pour le calcul de la valeur approchée de l'une

4û2 BOBYXIN

des racines de l'équation. Complément de Fourier de la méthode de
Newton. Signification géométrique de la méthode de Fourier.

Formules de Newton pour l'expression des sommes de puissances
semblables des racines d'une équation en fonction des coefficients.
Calcul des fonctions symétriques rationnelles des racines de l'équation
donnée. Application des fonctions symétriques à la transformation de
r équation. Formation du produit des carrés des différences des racines
de l'équation donnée.

Réduction d'une fonction fractionnaire de racine de l'équation à la
fonction entière de la même racine.

Application des fonctions symétriques à l'élimination d'une inconnue
entre deux équations à deux inconnues.

Résolution algébrique des équations des troisième et quatrième
degrés.

Décomposition des fractions rationnelles en fractions simples.

C. Calcul différentiel. — Limite d'une variable. Infiniment
petits et infiniment grands. Limites des expressions et (i+a) *7>

a étant infiniment petit. Divers ordres d'infiniment petits.

Dérivée et différentielle de la fonction d'une seule variable. Leur
signification géométrique. Dérivées des fonctions les plus simples.
Dérivées de la fonction de fonction. Dérivées d'une somme, d'un pro-
duit et d'un quotient.

Dérivées partielles et différentielle totale d'une fonction de plusieurs
variables indépendantes. Formule générale de la différentiation d'une
fonction composée.

Dérivées et différentielles des ordres supérieurs des fonctions dune
seule variable.

Dérivées partielles et différentielle totale des ordres supérieurs des
fonctions de plusieurs variables indépendantes. Principe de l'interver-
sion des différen dations.

Différentiation des fonctions implicites. Changement de variables.

Formules de Taylor et de Maclaurin complétées par le reste. Déve-
loppement des fonctions les plus simples en séries. Détermination de
la véritable valeur des fonctions qui deviennent indéterminées pour
des valeurs particulières de la variable. Propriété des fonctions homo-
gènes (théorème d'Euler).

Ktude de la variation des fonctions. Maxima et minima des fonctions
d'une seule ou de plusieurs variables indépendantes. Cas d'une fonc-
tion explicite de plusieurs variables liées par des équations données.

Tangente et normale aux courbes planes.

Concavité, convexité et inflexion d'une courbe plane.

Différentielle de l'arc d'une courbe plane. Courbure, rayon de cour-
bure et coordonnées du centre de courbure. Expression du rayon de
courbure en coordonnées polaires. Application des formules générales

VEXSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE Ey RUSSIE loi

aux courbes du second degré, à la cycloïde et à la spirale logarith-
mique.

Enveloppe d'une famille donnée de courbes. Contacts des divers
ordres des courbes planes. Droite osculatrice. Cercle oseulateur.
Développées et leurs propriétés. Développées des coniques, de la
cycloïde et de la spirale logarithmique.

Tangente et plan normal dune courbe gauche. Différentielle de l'arc
d'une courbe gauche. Rayon de courbure première.

Cosinus des angles que fait la tangente ou la normale principale
dune courbe avec les directions de trois axes rectangulaires. Plan
oseulateur ou plan de courbure. Cosinus des angles que fait la perpen-
diculaire au plan oseulateur avec les directions de trois axes rectangu-
laires. Seconde courbure ou courbure de la torsion. Application à
l'hélice.

Plan tangent et normal à une surface courbe. Equations différen-
tielles de surfaces cylindriques, coniques, développables et de révolu-
tion. Surfaces enveloppes.

/>. Calcul intégral. — Intégrale indéfinie et intégrale définie. Pro-
cédés principaux d'intégration.

Intégration des fonctions rationnelles.

Cas les plus simples de l'intégration de différentielles irrationnelles.

Conditions d'intégrabilité et formule de réduction de l'intégrale d'une
différentielle binôme.

Cas les plus simples de l'intégration de différentielles transcendantes.

Propriétés fondamentales de l'intégrale définie, résultant de sa défi-
nition. Cas où les limites des intégrales sont infinies. Cas où la fonction
contenue sous le signe J devient infinie aux limites de l'intégrale.

Série de Taylor sous la forme de l'intégrale définie.

Evaluation approchée de l'intégrale définie à l'aide des séries ou de
l'interpolation (méthode des trapèzes, formule de Simpson).

Diflerentiation de l'intégrale définie relative au paramètre. Intégra-
tion sous le signe J. Exemples d'application de la diflerentiation et de
l'intégration sous le signe f, à la détermination des valeurs de quel-
ques intégrales définies.

Intégrales eulériennes de première et de seconde espèce ou fonc-
tions B (p t q) et r (p). Réduction des intégrales de première espèce à
celles de seconde espèce. Propriétés fondamentales de la fonc-
tion T (p).

Intégrales prises entre deux limites imaginaires. Théorème de
Cauchy et ses conséquences principales.

Déduction des formules générales pour la détermination des aires
limitées par des courbes, des arcs des courbes, des volumes et des
surfaces de révolution. Application à quelques exemples.

Intégrales définies doubles et multiples. Changement de variables
dans les intégrales multiples.

4o4 bob r m y

Détermination du volume des corps terminés par des surfaces quel-
conques. Quadrature des surfaces. Application à quelques exemples.

E. Théorie de l'intégration des équations différentielles. —
Conditions d'intégrabilité des expressions de la forme

p i dx i -\- p 2 dx. 2 +....+p»dx n .
Pi> P*,""> Pn étant les fonctions données de variables indépendantes .r Jf

Equations différentielles ordinaires. Equations aux dérivées par-
tielles. Leur classification par ordres. Formation de l'équation diffé-
rentielle ordinaire par l'élimination de constantes arbitraires.

Intégrale générale d'une équation différentielle ordinaire. Dévelop-
pement de cette intégrale en séries.

Equations différentielles ordinaires du premier ordre. Cas dans
lequel les variables sont séparées. Cas où l'équation ne renferme pas
la variable indépendante ou dépendante.

Equations différentielles linéaires. Equations différentielles homo-
gènes. Equations les plus simples réductibles à une équation linéaire
et homogène.

Problème des trajectoires. — Théorie du facteur intégrant.

Solutions particulières des équations différentielles du premier ordre.
Leur recherche au moyen de l'intégrale générale.

Equations différentielles des ordres supérieurs. Equations de la
forme

-35T = / ('h f [tj^t* -d^) = °. f \lû^ - -jZ ) = o.

Abaissement de l'ordre des équations de la forme
f \X, Y . Y , . . . y / = o.

des équations de la forme f (y, y\ y", . . . y n ) = o et des équations homo-
gènes relativement à la fonction inconnue et à ses dérivées.

Equations différentielles linéaires. Propriétés générales de leurs
intégrales. Abaissement de Tordre de ces équations à l'aide des solu-
tions particulières.

Variation des constantes arbitraires. Equations différentielles liné-
aires à coefficients constants.

Equations différentielles ordinaires simultanées. Réduction de leur
intégration à l'intégration d'une équation différentielle ordinaire. Equa-
tions linéaires simultanées à coefficients constants.

Intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre
qui soient linéaires relativement à la fonction inconnue et à ses dérivées.

RENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE EN RUSSIE 403

F. Calcul des variations. — Variation d'une intégrale simple.
Ligne la plus courte entre deux points. Ligne géodésique. Surface de
révolution à aire minimum. Brachistochrone. Problème des isopéri-
mètres.

G. Calcul des différences finies. — Ex pression de la différence
d'ordre supérieur à l'aide des valeurs de la fonction et vice versa expres-
sion d'une valeur de la fonction à l'aide de leurs différences succes-
sives. Problème d'interpolation. Formules d'interpolation de Newton
et de Lagrange.

Différentiation finie et sommation des fonctions les plus simples.
Nombres de Bernoulli. Formule d'Euler pour passer des sommes aux
intégrales et vice versa. Formule de Stirling.

Application du calcul des différences finies aux équations différen-
tielles linéaires.

H. Calcul des probabilités. — Mesure de la probabilité. Règles
fondamentales du calcul des probabilités.

Probabilité des événements composés des mêmes événements sim-
ples. Loi des grands nombres et leurs conséquences.

Détermination des probabilités des hypothèses et des événements
futurs. Fondements de la méthode des moindres carrés.

L'épreuve sur les parties élémentaires des mathématiques comprend
outre le cours de gymnase : Propriétés les plus principales des déter-
minants et leur application à la résolution des systèmes des équations
linéaires. Opérations sur les expressions imaginaires. Formule de
Moivre. Résolution trigonométrique des équations binômes. Caractères
les plus simples de convergence des séries. Eléments de la théorie des
nombres : divisibilité des nombres ; théorèmes de Fermât et d'Euler;
résolution de congruences du premier degré. Eléments de Trigono-
métrie sphérique. Construction des formules algébriques. Application
de l'Algèbre à la résolution de problèmes géométriques.

II. Programme de l'examen des mathématiques appliquées et des
sciences physiques.

A. Physique. — Notions mécaniques fondamentales. Mesures les
plus usitées. Instruments de mesure. Pesanteur. Forces moléculaires
dans les corps solides. Corps liquides. Corps gazeux. Mouvement
ondulatoire. Acoustique. Optique géométrique. Vision. Instruments
d'optique. Spectroscopie. Photométrie. Rayons de lumière et rayons
de chaleur. Actions chimiques des rayons. Optique physique. Thermo-
métrie. Dilatations. Calorimétrie. Changements d'état. Echauffement
et refroidissement. Conduction de la chaleur. Eléments de la théorie
mécanique de la chaleur. Electricité statique. Magnétisme. Electroci-
nétique. Thermo-électricité. Electrodynamique. Théorie physique du

4o6 BOBYSIS

courant. Induction électrique. Unités électrostatiques et électrodyna-
iniques.

B. Météorologie. — Instruments et méthodes d'observation. Atmo-
sphère. Phénomènes thermiques à la surface de la terre. Pression
atmosphérique. Courants d'air. Humidité de l'air. Hydrométéores.
Phénomènes électriques dans l'atmosphère. Phénomènes lumineux
dans l'atmosphère. Magnétisme terrestre.

C. Mécanique. — Statique. Attraction. Cinématique et dynamique.
Hydrostatique et hydrodynamique. Application de la loi des forces
vives aux machines.

D. Astronomie. — Instruments d'astronomie. Astronomie sphé-
rique. Astronomie théorique. Astronomie physique.

E. Chimie. — Chimie inorganique.

Pour ce qui concerne l'épreuve complémentaire les programmes
du ministère se bornèrent à répéter en 1889 ce qui a été cité plus
haut en y ajoutant la « Remarque » suivante.

« Le contenu des parties de la Physique mathématique indiquées
ci-dessus (avec les autres parties de l'épreuve complémentaire) est
déterminé par les résumés cités ci-dessous et présentés à la commis-
sion par les jeunes gens soumis à l'examen. Il est permis de limiter la
section choisie à l'une de ses parties principales plus ou moins déve-
loppée. Par exemple dans la théorie du potentiel (5 e section) le résumé
de l'examen peut comprendre : ou la théorie de l'électricité statique ou
celle du magnétisme. Il peut même être remplacé par Télectrodyna-
mique théorique. Pour la théorie mathématique de la lumière le résumé
de l'examen peut embrasser cette théorie appliquée soit à des corps
isotropes, soit à des cristallins. Le résumé de la théorie mathématique
de la chaleur peut se borner à la thermodynamique ou à la théorie de
conduction de la chaleur. Entre les parties de la physique mathéma-
tique pouvant être choisies pour l'épreuve complémentaire se trouvent
encore : a) la capillarité, b) l'acoustique théorique. L'épreuve en ques-
tion peut encore être remplacée par un examen général sur les éléments
de la Physique mathématique dans les limites des cours professés à
quelques universités (avec trois leçons hebdomadaires pendant l'année)
et suivant un résumé qui en contiendrait les données les plus importantes
et les plus accessibles ».

Afin de concilier renseignement actuel dans les universités
avec les buts du ministère et de lui en subordonner les tendances,
le règlement de 1884 fut complété par deux articles que voici :

L ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE EN RUSSIE 4<>7

a § 70. Chaque Faculté compose un ou plusieurs plans d'étude où elle
indique les sciences dont les étudiants ont à s'occuper, et Tordre qu'ils
doivent suivre en les étudiant. Le conseil de l'université examine ces
plans et tous les changements qui peuvent y avoir lieu pour les sou-
mettre ensuite à la confirmation du ministre de l'Instruction publique ».

« $ 71. Conformément à ce que les professeurs comptent donner aux
étudiants en fait de lectures et occupations pratiques, les Facultés font
un aperçu sur renseignement de chaque semestre à venir en distribuant
les leçons et les exercices d'après les jours et les heures hebdomadaires.
Revus par le conseil, ces aperçus sont aussi présentés au ministre pour
être confirmés ».

Citons comme exemple « L'aperçu sur renseignement à la
Faculté physico-mathématique de l'Université Impériale de Mos-
cou en 1902- 1903 ». Nous examinerons la partie qui se rap-
porte à la section des sciences mathématiques.

P. o. é. (*). N.-B. Bougaïeff. Doyen de la Faculté des sciences
physico-mathématiques. 9 heures hbd. a : à) Introduction à l'Analyse
avec exercices, j heures, [1] ; b) Calcul intégral, 4 heures, [3]. —
7 heures hbd. p. : a) Calcul différentiel, 4 heures, [2] ; b) Calcul inté-
gral, 3 heures, [4]. — S. r. : Cauchy, Analyse algébrique. Serbet,
Cours de calcul différentiel et intégral. Zernoff, Calcul différentiel (en
langue russe). Meyeh, Vorlesungen ùber die Théorie der bestimmten
Intégrale. Todhunter, Treatise on the Differential Calculus with nu-
merous Examples (traduit en langue russe par M. Imschenetsky).

P. o. é. C.-A. Andrkieff. 4 heures hbd. a. : Mathématiques élémen-
taires (théorie des déterminants, propriétés des polynômes, géométrie
sphérique et trigonométrie sphérique), [ij. — 4 heures hbd. p. : Algè-
bre supérieure, [a]. — S. r. : G. Dostor, Eléments de la théorie des
déterminants, Paris, 1877. G. Salmox, Vorlesungen zur Einleitung in
die Algebra der linearen Transformationen (deutsch bearb. von Fied-
ler), Leipzig, i863. J. Serret, Traité de trigonométrie, 7 e édit., Paris,
1897. ^- Tikhomandritsky, Cours succinct d'algèbre supérieure (en
langue russe), Kharkov, 1887. J. Petersex, Théorie der algebraischen
Gleichungen, Kopenhagen, 1878.

P. o. B.-C. Mlodzieiovsky. 8 heures hbd. a. : a) Géométrie analyti-
que du plan, 3 heures, [ 1] ; b) Théorie des fonctions de variables réelles,

(') Abréviations conventionnelle*: P. o. é. : Professeur ordinaire émérite ; P. o. :
Professeur ordinaire ; P. e : Professeur extraordinaire; P.-d. Privat-docent ; [1].
l 2 l»P]> Ul, [5], [6], [7J, [8] : étudiants des semestres, premier, second, troisième,
quatrième, cinquième, sixième, septième et huitième ; S. r. ; secours recommandés ;
heures hbd, a. : heures hebdomadaires durant le semestre d'automne ; heures hbd. p. :
heures hebdomadaires durant le semestre de printemps.

408 BOBYXIN

3 heures, [5] ; c) Exercices de géométrie analytique à trois dimensions,
a heures, [3]. — 6 heures hbd. p.: a) Géométrie analytique de l'espace,

4 heures, [a] ; b) Exercices de géométrie analytique à deux dimensions,
a heures, [a], — S. r. : Andréieff, Cours fondamental de géométrie
analytique (en langue russe), Moscou, 1900. Salmon, Géométrie analy-
tique (traduit en langue russe par M. Alexéiefify, Moscou, 1891 -9a.
Briot et Bouquet, Leçons de géométrie analytique, Paris, 1898. Dm,
Grundlagen fur eine Théorie der Functionen einer reellen verànder-
lichen Grosse, Leipzig, i89a.STOLz und Gmeiner, Theoretische Arith-
metik, Leipzig, 190 1. Stolz, Grundziige der Differential-und Integral-
rechnung, Leipzig, 1893. Andréieff, Recueil d'exercices sur la
géométrie analytique (en langue russe), Kharkov, 189a.

P. o. L. C. Lakhtix, secrétaire de la Faculté des sciences physico-
mathématiques, 8 heures hbd. a. : a) Calcul différentiel, 4 heures, [S 1 ;
b) Calcul des variations, a heures '"5, 7^ ; c) Intégration des équations
différentielles, a heures '5". — 7 heures hbd. p. : à) Calcul des diffé-
rences finies, a heures ,6, 8 ; b) Intégration des équations différen-
tielles, 3 heures 4 ; c) Exercices d'intégration des équations différen-
tielles, a heures '6,. — S. r. : Serret, Cours de calcul différentiel et
intégral, Paris, 1879. Todhunter, Treatise on the Differential Calcu-
lus, etc. (traduit en langue russe par M. Imschenetsky), Saint-Péters-
bourg, 1873. Moigno, Leçons de calcul des variations (traduit en lan-
gue russe par MM. Raiévsky et Khandricoff), Moscou, 1864. Erxst
Pascal, Die Variationsrechnung, deutsche Ausgabe von A. Schepp,
Leipzig, 1899. Vastschenko-Zakhartschenko, Leçons de calcul des
différences finies (en langue russe), Kiew, 1868. Tikhomandritsky,
Cours de calcul des différences finies (en langue russe), Kharkov, 1890.
Boole, A treatise on differential équations. Forsyth, Lehrbuch der
Differentialgleichungen, herausgegeben von H. Maser, Braunschweig,
1899. Sohnke, Sammlung von Aufgaben aus der Integralrechnung,
Halle, 1877.

P.-d. S. P. Yinogradoff. 5 heures hbd. p. : a ) Exercices de calcul
différentiel, a heures ['ij ; b) Exercices de calcul intégral, 3 heures [4 ■
— S. r. V. Schiff (M mc ), Recueil d'exercices et de problèmes sur les
calculs différentiel et intégral (en langue russe), Saint-Pétersbourg,
1898- 1900. Sohnke, Sammlung von Aufgaben aus der Differential-und
Integralrechnung, Halle, i88j. ScHLOMiLcn,Uebungsbuch zum Studium
der hôheren Analysis, Leipzig, 1888. Frenet, Recueil d'exercices sur
le calcul infinitésimal, Paris, 1 88a. Tisserand, Recueil complémentaire
d'exercices sur le calcul infinitésimal, Paris, 1896.

P.-d.X.X. Bobyxin. 3 heures hebdomadaires durant l'année : a) His-
toire des mathématiques depuis les temps les plus reculés jusqu'à la
Renaissance, 1 heure [ 1, 3, 5, 7 r a, '*, (>, 8] ; b) Histoire des mathé-
matiques depuis la Renaissance jusqu'au milieu du xvin e siècle, 1 heure
1, 3, 5, 7 a, 4, G, 8 ; c) Histoire et état actuel de l'enseignement des

L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE EN RUSSIE 409

mathématiques, 1 heure [1, 3, 5, 7] [2, 4, 6, 8J. — S. r. V. V. Boby-
nin, Programme du cours de l'histoire des mathématiques (en langue
russe), Moscou, 1890; V. V. Bobynin, Leçons d'histoire des mathé-
matiques (état préscientifique des connaissances mathématiques).
Appendice au journal Les sciences physico-mathématiques dans leur état
actuel et passé (en langue russe), Moscou, 1891- 1897. Hankel, Zur
Geschichte der Mathematik in Alterthum und Mittelalter, Leipzig, 1874.
Cantor, Vorlesungen ûber Geschichte der Mathematik, 3 Bande, Leip-
zig, 1892-1898. Sutbr, Geschichte der mathematischen Wissenschaf-
ten, zweiter Theil, Zurich, 1875. V. V. Bobynin, L'enseignement
mathématique en Russie. Aperçu historique (l'Enseignement mathéma-
tique, i n année, 1899). C.-A. Laisant, La mathématique. Philosophie.
Enseignement, Paris, 1898. J.-M.-C. Duhamel, Des méthodes dans
les sciences de raisonnement, i re partie, Paris, i865.

P.-d. J. C. Bogoiavlensky, 3 heures hbd. a. : Théorie des équa-
tions différentielles linéaires [5, 7]. — 2 heures hbd. p. : Equations
aux dérivées partielles [6, 8]. — S. r. : Anissimoff, Fondements de la
théorie des équations différentielles linéaires (en langue russe), Mos-
cou, 1889. Sawitsch, Sur les équations différentielles ordinaires
linéaires (en langue russe), Saint-Pétersbourg, 1892. Picard, Traité
d'Analyse, t. III, Paris, 1895-96. Halphen, Traité des fonctions ellip-
tiques, t. II, Paris. Schlesinger, Handbuch der Théorie der linearen
Differentialgleichungen, Leipzig, 1 895-98. Goursat, Leçons sur l'inté-
gration des équations aux dérivées partielles du premier ordre, Paris,
1891. Mansion, Théorie der partiellen Differentialgleichungen erster
Ordnung, Berlin. 1892. Forsyth, Lehrbuch der Differentialgleichun-
gen, Braunschweig, 1889.

P.-d. A. C. Vlassoff. 2 heures hbd. a. : Géométrie projective
[3, 5, 7]. — 3 heures hbd. p. : a) Géométrie projective, 1 heure [4, 6, 8] ;
b) Théorie synthétique des coniques, 2 heures [a], — S. r. : Th. Reye,
Die Géométrie der Lage, 1 Abtheilung, 4-te Auflage, Leipzig, 1899.
Steinbr, Die Théorie der Kegelschnitte in elementarer Darstellung
(bearbeitet von Geiser), Leipzig, 1887.

P.-d. A. A. Dmitrovsky. 2 heures hbd. a. : Courbes planes des
ordres supérieurs "5, 7]. — 2 heures hbd. p. : Courbes planes du troi-
sième degré [6, 8]. — S. r. : Clebsch, Vorlesungen ùber Géométrie,

I Band, Leipzig, 1876. Salmon-Fiedler, Analytische Géométrie der
hôheren ebenen Curven, Leipzig, 1882. Crbmona, Einleitung in eine
geometrische Théorie der ebenen Curven, Greifswald, i865. Durège,
Die ebenen Curven dritter Ordnung, Leipzig, 1871.

P. o. N. G. Joukovsky. i i heures hbd. a. : a) Introduction à la
mécanique, dynamique du point, 3 heures [3] ; b) Mécanique du sys-
tème, théorie de l'attraction, 3 heures [5j ; c) Hydrostatique et hydro-
dynamique, 3 heures ^J ; d) Exercices de mécanique, 2 heures 5j. —

II heures hbd. p. : a) Introduction à la mécanique, dynamique du

410 bob r xix

point, 3 heures ~4~ î à) Mécanique du système, théorie de l'attraction,
3 heures ''6] ; c) Dynamique des solides, compléments de la dynamique
du système, 3 heures [8; ; d) Exercices de mécanique. — S. r. Poin-
sot, Eléments de statique, Paris, 1861. Résal, Traité de mécanique
générale, t. I, Paris, 1873. Sloudsky, Cours de mécanique théorique
(en langue russe), Moscou, 1881. Appell, Traité de mécanique ration-
nelle, Paris, 1 895-1900. — Bobyleff, Cours de mécanique analytique
(en langue russe), Saint-Pétersbourg), 1 881 -1884. Joukovsky, Leçons
d'hydrodynamique (en langue russe), Moscou, 1887. Lamb, A treatise
on the mathematical theory of the motion of fluids, Cambridge, 1879.
Klein und Sommerfeld, Théorie des Kreisels, Leipzig, 1898. Rolth,
An elementary treatise on the dynamics of a system of rigid bodies,
London, 1877. Jullien, Problèmes de mécanique rationnelle, Paris,
1866. Kraft, Sammlung von Problemen der Mechanik, Stuttgart,
1884.

P.-d. D. X. Goriatscheff. 3 heures hbd. a. : Cinématique (cours
spécial :>, 7 . — 3 heures hbd. p. : Statique (cours spécial) [6, 8\ —
S. r. Résal, Traité de cinématique pure, Paris, 1862. Somoff, Mémoire
sur les accélérations de divers ordres, Saint-Pétersbourg, i86|.
Liguixe, Généralisations de quelques propriétés géométriques du mou-
vement du système (en langue russe), Odessa, 1873. Seiliguer, Théo-
rie du mouvement d'un corps semblablement déformable (en langue
russe), Kasan, 189*2. Darboux, Mémoire sur l'équilibre astatlquc,
Paris. Mônius, Gesammeite AVerke, Bd. 111, Leipzig, 1886.

P.-d. Y. M. Kovalexsky. 4 heures hbd. a. : Résistance des maté-
riaux 3, 5, 7 . — \ heures hbd. p. : Hydraulique \, 6, 8 . — «S\ r.
Colligxox, Résistance des matériaux, Paris, 1877. Résal, Traité
de mécanique générale, t. V. Grashof, Die Festigkeitslehre, Berlin,
1866. Karl vox Ott, l)as graphische Rechnen und die graphische Sta-
tik, Prag, 1879. Baisé, Théorie de la résistance des matériaux (en lan-
gue russe), Saint-Pétersbourg, 1897. Collignox, Hydraulique, Paris.
1877. Bresse, Cours de mécanique appliquée, 2 e partie, Paris, 187^.
Maximexko, Cours d'hydraulique (en langue russe), Saint- Péters»
bourg, 1881. Evxevitsch, Hydraulique (en langue russe), Saint-Péters-
bourg, 1891.

P.-d. E. A. Bolotoff. 2 heures hebdomadaires durant l'année :
Théorie de l'élasticité 5, 7 6, 8 . — S. r. : G. Kirchhoff, Yorlesun-
gen ùber mathematische Physik. Mechanik, Leipzig, 1876. A. Clebsch,
Théorie der Elasticitât fester Kôrper, Leipzig, 1862. S. W. Thomson.
and P. G. Tait, Treatise on natural Philosophy, p. II, Cambridge,
i883.

P.-d. X. J. Merzaloff. 7 heures hbd. a. : a) Géométrie descriptive,
2 heures 1 ; b) Théorie des mécanismes, 2 heures 1 ~J*\ ; c) Dessin
linéaire, 2 heures 3, 5, 7 ' ; d) Exercices de tracé des machines, 1 heure
| 5, 7_'. — 7 heures hbd. p. : a) Exercices de géométrie descriptive,

L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE EN RUSSIE 4n

a heures ja ' ? b) Théorie générale des machines, a heures (> ; c Des-
sin linéaire, 2 heures ~4, 6, 8 ; d) Exercices de tracé des machines,
1 heure , r 6, 8]. — *S\ r. Rex Claux, Theoretische Kinematik. Ghashof,
Theoretische Maschinenlehre, Bd. II. Soxgaylg, Géométrie descrip-
tive, Khoudiakoff, Détails des machines (en langue russe). Bach,
Détails des machines (en langue russe). Khoudiakoff, Résistance des
jnatériaux (en langue russe).

P.-d. J. B. Staxkiewitsch 3 heures hdd. a. : Intégration des équa-
tions de la mécanique [7]. — \ heures hbd. p. : Hydrodynamique (cours
spécial) [8]. — S. r. Jacobi, Vorlesungen ùber Dynamik, Berlin, i86o\
Colligxox : Mécanique, t. IV, Paris. Graixdorge, Intégration des
équations de la mécanique, Bruxelles, 1889. Paixlevé, Leçons sur l'in-
tégration des équations de la mécanique, Paris, 1895. Lamb, Einleitung
in die Hydrodynamik, uebersetzt von Reiff, Freiburg, 1884. Jou-
kovsky, Leçons d'hydrodynamique (en langue russe), Moscou, 1886.
Basset, A treatise on hydrodynamics, Cambridge, 1888.

P. o. W. G. Ceraski. 6 heures hbd. a. : a) Astronomie sphérique,
•à heures |3,; b) Astronomie physique, a heures [3, 5' ; c) Exercices
d'astronomie sphérique, a heures '"5". — 7 heures hbd. p. : a] Astro-
nomie sphérique, 2 heures j"'|~. ; b) Astronomie physique, 'i heures
j_4, G ; c) Astronomie pratique avec les observations faites à l'Observa-
toire, 3 heures ^6, 8 . — *S'. r. Bnùxxow, Lehrbuch der spharischen
Astronomie. A. Sawitsch, Astronomie sphérique (en langue russe),
.Saint-Pétersbourg, 1874. M. Chaxdiukoff, Cours d'astronomie sphé-
rique (en langue russe), 2 e édition, Kiew, 1889. ^- Zinguer, Cours
d'astronomie, partie pratique et partie théorique (en langue russe)..
Saint-Pétersbourg, 1899. M- Khandrikoff, Astronomie physique (en
langue russe), Kiew, 1886. Newcomb, Astronomie populaire (traduit
en langue russe par M. Drehnteln), Saint-Pétersbourg, 1 89.4 .

P.-d. P. G. Sterxberg. 4 heures hebdomadaires durant l'année :
Géodésie supérieure avec les occupations pratiques faites à l'Observa-
toire r 5, 7^ 6, 8'. — S. r. : Helmert, Die mathematischen und physi-
kalischen ïheorien der hôheren Geodasie, I Bd., Leipzig, 1880. Tu.
A. Sloudsky, Leçons de géodésie supérieure (en langue russe;, Mos-
cou, 1894. N. Zinguer, Cours de géodésie supérieure (en langue russe),
Saint-Pétersbourg, 1898. M. Khaxdrikoif, Théorie de la ligure de la
terre (en langue russe), Kiew, 1900. B. Vitkowsky, Géodésie pratique
(en langue russe), Saint-Pétersbourg, 1898.

P.-d. S. A. Kasakoff. a heures hebdomadaires durant Tannée :
Mécanique céleste l j, 7] [6, 8. — .V. r. : F. Tisserand : Traité de
mécanique céleste, t. I, Paris, 1888. O. Dziobkk, Die mathematischen
Theorien der Planeten-Bewegungen, Leipzig, 1888.

P. 0. N. A. Oumoff. 14 heures hebdomadaires durant l'année :
a) Physique expérimentale : acoustique, optique, électricité, magné-
tisme, 4 heures \, /^ ; b) Séminaire physique, 1 heures , i f \ ; O Occu-

4u BOBVXIN

pations pratiques faites au laboratoire physique, 8 heures [5, 7] [6, 8J.
— .y. r. : Chwolson, Cours de physique (en langue russe), t. 11, 1898
.(éditions grande et petite). Siloff, Cours de physique (en langue
russe), 1897. A. Stoliétoff, Introduction à l'acoustique et à l'optique
(en langue russe). Wùllner, Lehrbuch der Experimentalphysik, Bd. III,
1897. Graetz, Die Lehre von der Elektricitât, 1900. Weiler, Lehr-
buch derPhysik, Bd. I, Magnetismus und Elektricitât, 1901. À. B. Zix-
cuer, Recueil des problèmes d'électricité et de magnétisme.

P. o. A. P. Sokoloff. 12 heures hebdomadaires durant l'année :
a) Physique expérimentale : mécanique, phénomènes moléculaires, cha-
leur, 4 heures [1] [2] ; b) Occupations pratiques faites au laboratoire
physique, 8 heures [3, 5, 7] ~4, 6, 8]. — S. r. : Chwolson, Cours de
physique, t. I et III (en langue russe ) y Saint-Pétersbourg, 1897-99.
Siloff, Cours de physique, i re partie (en langue russe), 3 e édition,
Varsovie, 1900. Kayser, Lehrbuch der Physik, 2-te Auflage, Stuttgart,
1900. Wùllner, Lehrbuch der Experimentalphysik, 5-te Auflage,
Bd. I u. II, Leipzig, 189J-96. Kohlrausch, Leitfaden der practischen
Physik, 9-te Auflage, Leipzig, 190 1. Wiedemann und Ebert, Physica-
lisches Practicum, {-te Auflage, Leipzig, 1899. Ostwald, Hand-und
Hilfsbuch zur Ausfûhruhg physico-chemischer Uebungen, Leipzig, 1 893.

P. e. P. N. Lebedieff. 9 heures hbd. a. : a) Mouvement d'électricité
dans les gaz, 1 heure [3, 5, 7] ; b) Recherches scientifiques faites au
laboratoire, 8 heures ~5, 7]. — 1 heure hbd. p. : Applications d'élec-
tricité 4, G. 8]. — S. r. : Thomson, Electricitâtsleitung in Gasen, Leip-
zig, 1900. Gérard, Cours d'électricité (en langue russe), Saint-Péters-
bourg, 1898.

P.-d. N. P. Castiérin. Gheures hbd. a. : a) Vibrations acoustiques et
ondes, 4 heures L 3, 5, 7; b) Séminaire physique, 2 heures L ij. —
6 heures hbd. p. : a) Théorie de la chaleur, 4 heures 1 6, 8] ; b) Sémi-
naire physique, 2 heures [2;. — S. r. : Rayleich, Theory of Sound,
•London, 1896. Helmholtz, Vorlesungen iiber die mathemat. Princi-
pien der Akustik, Leipzig, 1898. Clausius, Die mechanische Wàrme-
theorie, Braunschweig, 1887. Planck, Thermodynamik, Leipzig, 1897.
Fourïer, Théorie analytique de la chaleur. Boltzmann, Vorlesungen
iïber Gastheorie, Bd. I, II.

P.-d. P. B. Préobragensky. 4 heures hbd. a. : a) Théorie des vec-
teurs et ses applications à la mécanique, 2 heures 5, 7^ ; b) Photogra-
phie et s.es applications scientifiques, 2 heures 1, 3, 5, 7". — 2 heures
hbd. p. : Photographie et ses applications scientifiques [2, 4, 6, 8]. —
S. r. : J. Zantschevsky, Théorie des torseurs (en langue russe), Odessa,
1889. P. Romer, Eléments fondamentaux de la méthode des quaternions
(en langue russe), Kiew, 1868. Hoùel, Théorie élémentaire des quan-
tités complexes, Paris, 1874. Tait, Elementares Handbuch der Qua-
ternionen (uebersetzt von Scherff), Leipzig, 1880. A. P. Kotelnikoff,
Calcul des torseurs et quelques-unes de ses applications à la géo-

L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE EN RUSSIE 4i3

métrie et à la mécanique (en langue russe), Kasan, i8<p. A. Fôppl,
Einfuhrung in die Maxwell'sche Théorie der Electricitat, Leipzig,
1894. J. M. Eder, Ausfuhrliches Handbuch der Photographie, Halle,
1890-96. The chemistry of photography, by Meldola, London, 1891.
Hugo Schroeder, Die Elemente der photographischen Optik, Berlin,
1891. Steiner, Die Photographie im Dienste des Ingénieurs, Wien,
1893. Pizzighelli, Die.Anwendungen der Photographie, Halle, 1892.

P.-d. A. B. Zingubr, 2 heures hbd. a. : Fondements scientifiques
d'électro technique [5, 7]. — 2 heures hbd. p. : Optique géométrique et
théorie des instruments d'optique [4, 6]. — S. r. : A. Holtz, Die
Schule des Elektrotechnikers, Leipzig, 1898. G, Ferraris, Wissens-
chaflliche Grundlagen der Elektrotechnik, Leipzig, 1901. P. Jànet,
Leçons d'éieciro technique générale, Paris, 1900. Mûller-Pouillet,
Lehrbuch der Physik, Band II, Abth. I, Braunschweig, 1898. E. Wal-
lon, Leçons d'optique géométrique, Paris, 1900.

P. e. E. G. Leist. 7 heures hbd. a. : a) Météorologie et magnétisme
terrestre, 3 heures [5] ; b) Hydrologie, 1 heure [3, 5, 7] ; c) Optique
atmosphérique, 1 heure [5, 7] ; d) Exercices pratiques de météorologie
et de géographie physique, 2 heures [5, 7]. — 8 heures hbd. p. :
a) Météorologie et magnétisme terrestre, 2 heures [6] ; b) Météorologie
théorique, 1 heure [6, 8] ; c) Physique du globe, 1 heure [6, 8] ;
d) Cours réitéré de météorologie, 2 heures [8] ; e) Exercices pratiques
de météorologie et de géographie physique, 2 heures [6, 8]. — .y. r. :
Latschixoff, Fondements de la météorologie (en langue russe), Saint-
Pétersbourg, 1895. Woieikoff, Climats du globe (en langue russe),
Saint-Pétersbourg, 188'». Rakhmanoff, Cours succinct de météorolo-
gie (en langue russe), Moscou, 1902. Hann, Lehrbuch der Météorolo-
gie, Leipzig, 1901. Sprung, Lehrbuch der Météorologie, Hamburg,
i885.

P.-d. G. C. Rakhmanoff. 2 heures hbd. a. : a) Electricité atmosphé-
rique, 1 heure [5, 7] ; b) Recherche sur les couches supérieures de l'at-
mosphère à l'aide des ballons et des cerf-volants, 1 heure [5, 7]. —
2 heures hbd. p. : a) Recherche sur les couches supérieures de l'atmos-
phère à l'aide des ballons et des cerfs-volants, 1 heure [G, 8] ; b) Orages,
aurores polaires, nuages lumineux, 1 heure [G, 8].

P. e. W. Th. Lougujmn. 2 heures hbd. a. : Exercices pratiques de
thermométrie, de calorimétrie, de cryoscopie et d'autres sections de la
chimie physique, 2 heures [j, 7]. — 3 heures hbd. p. : a) Cours élé-
mentaire de thermométrie, 1 heure [6, 8] ; b) Exercices pratiques de
thermométrie, de calorimétrie, de cryoscopie et d'autres sections de la
chimie physique, 2 heures [G, 8J. — S. r. : Yan, Fondements de la
thermochiinie (en langue russe). Berthelot, Mécanique chimique.
Berthelot, Thermochiinie, lois et données numériques. Nernst, Theo-
retische C hernie. Ostwald, Lehrbuch der allgemeinen Chemie. Khrut-
scheff, Equilibre chimique (en langue russe). Planck, Grundriss der

Enseignement math. u;

4M BOBYNIX

Thermochemie. Thomsen, Thermochemische Untersuchungen. Guil-
laume, Traité de thermométrie. Wùllner, Lehrbuch der physik.
Warme. Pouillet, Lehrbuch der physik. Wârme. Louguinix, Des-
cription des méthodes principales de la chaleur de combustion (en langue
russe). Wiedemann, Physikalisches Prakticum.

P.-d. J. A. Kabloukofb. 5 heures hbd. a. a) Chimie générale, I par-
tie (chimie inorganique), a heures [i] ; b) Exercices pratiques de chi-
mie générale, 3 heures L i, 3], — 7 heures hbd. p. : a) Chimie générale,
I partie (chimie inorganique), a heures [a] ; b) Chimie physique, a heu-
res [4, 6, 8] ; c) Exercices pratiques de chimie générale, 3 heures [a, 4].
S. r. : D. J. Mendeleeff, Fondements de la chimie (en langue russe).
J. A„ Kabloukoff, Eléments fondamentaux de la chimie inorganique
(en langue russe). Ostwald, Grundriss der allgemeinen Chemie.
J». Kabloukoff, Eléments fondamentaux de la chimie physique; livrai-
sons i re et a e . S. Joukovsky, Secours aux exercices pratiques de chi-
mie inorganique.

P.-d. A. N. Reformatsky. a heures hebdomadaires durant l'année :
Chimie générale, Il partie (chimie organique) [3, 4]. — S. r, : Refor-
matsky, Cours élémentaire de chimie organique, 5 e édition (en langue
russe), Kiew, 1901. Remsen, Introduction à l'étude de chimie orga-
nique, a e édition (en langue russe), Moscou, 1900. Mbnschoutkin,
Leçons de chimie organique (en langue russe), 4 e édition, Saint-Péters-
bourg, 1901. V. Meyer und P. Jacobson, Lehrbuch der organischen
Chemie.

P.-d. S.. G. Krapivin. 4 heures hebdomadaires durant Tannée :
a) Chimie générale, a heures [1] [a] ; b) Exercices pratiques de chimie
générale, a heures [1] [a]. — S. r. : Erdmann : Lehrbuch der anorga-
nischen Chemie, a-te Auflage, Braunsclvweig, 1900. Potilitzin, Cours
élémentaire de chimie (en langue russe), Varsovie, 1900. Mendeleeff,
Fondements de la chimie (en langue russe), 6 e édition.

P.-d. P. P. Orloff. a heures hebdomadaires durant l'année : Chimie
générale [1] [a], — S. r. : Mendeleeff, Fondements de la chimie (en
langue russe), 6 e édition, Saint-Pétersbourg, 1895. Potilitzin, Cours
élémentaire de chimie, 1900. Remsen, Introduction à l'étude de chimie
(chimie inorganique) (en langue russe), Moscou, 1901. Kabloukoff,
Eléments fondamentaux de la chimie inorganique (en langue russe),
Moscou, 1900. Ostwald, Grundriss der allgemeinen Chemie, 3 Aufh,

l8 99f

V. V. Bobynin (Moscou).

LA LOGIQUE SYMBOLIQUE

En général, on regarde la logique symbolique comme une
étude très abstraite, très difficile et d'une utilité assez restreinte.
Je vais expliquer ici les premiers principes d'un système symbo-
lique qui est, au contraire, extrêmement simple et d'une utilité
aussi incontestable que celle des mathématiques.

i. Le symbole A B indique une proposition dont A est le sujet
et B le prédicat. Il affirme que A est une des personnes ou des
choses, B 1S B 2 , B s , etc. formant la classe B. Le symbole A B
indique l'individu, ou un individu, de la série Ai, A s , A s , etc.
(formant la classe A), dont on peut affirmer A B . Le symbole A B
veut dire (A B ) C ; il indique une proposition dont A B est le sujet
et C le prédicat. Prenons l'exemple suivant: Soit A = Alfred,
B= boulanger, C = catholique. Alors

A B affirme que Alfred est boulanger, tandis que A B n'affirme
rien ; il indique simplement Alfred le boulanger. Il y a plusieurs
personnes, A A , A,, etc., dont chacune s'appelle Alfred, et le
symbole A B indique l'individu, ou un individu de cette série,
qui est boulanger.

Ag veut dire (A B ) C ; il affirme que Alfred le boulanger (ou le
boulanger Alfred) est catholique.

Ag veut dire (A C ) B ; il affirme que Alfred le catholique est bou-
langer.

Bc veut dire (B C ) A ; il affirme que le boulanger catholique
s'appelle Alfred.

a. Que le symbole a indique la proposition A B ; et le .sym-
bole p la proposition C D . Alors, <x£ veut dire A B C D ; il affirme A*

4x6 H. MAC COLL

et aussi C D ; tandis que a+p veut dire A B -f-C D et n'affirme que
l'alternative À B ou C D . Par exemple, soit A = Alfred, B = Ao*/-
laii«er y C = Charles, D = docteur. Alors :

aji, comme son synonyme A B C D , affirme que « Alfred est bou-
langer, et Charles, docteur »; tandis que a-+- jî, comme son
synonyme A B +C D , affirme que « ou Alfred est boulanger ou
Charles docteur ». Quant a la question si les deux propositions
A B et C D sont toutes les deux vraies, l'alternative A B + C D ne dît
rien; elle affirme simplement que, au moins, une des deux pro-
positions est vraie.

3. Avant d'aller plus loin, je vais appliquer ces principes à
l'algèbre élémentaire. Soit A et B deux nombres ou fractions;
soit P= positif ; soit N=négatif; soit Z=zéro. Si nous
excluons de notre univers toute quantité imaginaire ou infinie,
nous aurons les formules suivantes ;

(i) (AB)P = APB p + ANBN ; (a) (AB)N = A*BP + APB* :

(3) (AB)Z = A* + B z = A z +|(A* + A») B z = A z (BP + B") + B z ;

( 4 )(A*-B)p=<a(*-^J P ^

(5) ia*-b)»=Ja(*-1)^

Pour donner un autre exemple, supposons qu'on cherche les
nites, de x qui
Les données

limites, de x qui résultent des données 3jt**> — x — 3

= (3** — ^x + 3)P=(iax*~a5ar+i-i;« >
4

-- ) Ux - 3) (3* - 4) j P = (4* — 3)P (3x — 4) p + (4* — 3)» (3* — ', )*

-(">7)(->4) +(•<*)(-< 4)
- («•>!)+ H)'

4 3 3 A

car #> -y implique j> j, etar< - implique x < -?- . Donc r

doit être ou au-dessus de -5- ou au-dessous de — . Un dernier

. •'»

exemple pour finir. Des données 3*<9 — a* déduire les limites

de j et de a.

LA LOGIQUE SYMBOLIQUE 4*7

Les données

= ( . r _ v /^=^i)N (jt+v /^rp)« > (9 _ « 2) p

= (.r- vT 1 *)" (* + •F? i ) P (« î -9) P
= (-r - V/JF^ 5 )* (x + V/F^ (« ~ 3) p (a + 3) P .
soit

x l — v/9 — a', ar 2 = — V^9 — fli » «i = 3, 0, = — 3.

Les limites sont

(x, > *>*,) (a, > a> «j)

4. Les symboles (A B )' et A~ B sont synonymes; chacun repré-
sente la négation de A B et affirme que A ne se trouve pas dans
la série B,, B 8 , B 3 , etc. Supposons que A B affirme que « Albert
ira à Bordeaux », c'est-à-dire que Albert est une des per-
sonnes B â , B„ etc., qui iront à Bordeaux. Alors, (A B )', ou son
synonyme A~ B , nie A B et affirme que « Albert n'ira pas à Bor-
deaux ».

5. Dans les exemples précédents, le sujet A d'une proposi-
tion A B était un être concret. Dans la logique pure ou abstraite,
le sujet d'une proposition A B est lui-même une proposition, et
l'exposant B affirme quelque attribut, tel que vrai, faux, cer-
tain, etc. Les cinq mots vrai, faux, certain, impossible, variable
(possible mais incertain), se présentent si souvent que je les
représente d'une manière permanente respectivement par les
cinq lettres grecques t, 1, e, 7), 0. Par exemple, A T BCD,jE 6
affirme que A est vrai, B faux, C certain, D impossible, E va-
riable.

6. La proposition A T (A est vrai) ne doit pas être confondue
avec A* (A est certain), ni A* (A est faux) avec A 1 » (A est i/w-
possible). Le symbole A T affirme que A est vrai, au moins dans
le cas considéré; A 1 affirme non seulement que A est vrai dans
le cas considéré mais aussi que A est certain, c'est-à-dire vrai
dans toutes les circonstances compatibles avec nos données et nos
définitions. Pareillement, le symbole A 1 affirme que A est faux
au moins dans le cas considéré; tandis que A r - affirme non s'en-

4iô //. MAC COLL

lement que À est faux dans le cas considéré mais aussi que A
contredit quelque donnée ou définition et qu'il est par conséquent
impossible. Dans le langage des prohabilités, A 1 affirme que la
probabilité de A est i ; A 1 » affirme que la probabilité de A est o ;
et A 6 affirme que la probabilité de A est quelque fraction au-
dessous de i et au-dessus de o. Donc A 6 nie A e et nie A* de
sorte que nous avons A* = A' A - ' 1 (voir §§ 4 et 2 3 avec la note à
la fin).

7. Le symbole a : [3 (qui s'appelle une implication) représente
la proposition (x^') 1 », ou son synonyme (a'+jî) 1 . Pour en rendre
claire la signification, supposons que a représente la proposi-
tion A B , et que (3 représente la proposition C D . Alors a : 4 3
exprime les quatre affirmations suivantes, qui seront considé-
rées ici comme équivalentes; (1) il affirme que A B implique C D ;
(2) il affirme que si A est B (c'est-à-dire appartient à la classe B),
alors C est D ; (3) il affirme que A ne peut pas être B sans que C
soit D; (4) il affirme quVi est certain que ou A n'est pas B, ou C
est D.

8. Le symbole A xy veut dire (A x ) v ; le symbole A xy3 veut
dire (A xy )'; et ainsi de suite. Par exemple, A 11 veut dire (A 1 ) 1 ; il
affirme qu'i7 est faux que A soit certain; tandis que A u veut
dire (A 1 ) 1 ; il affirme quV/ est certain que A est faux. Si nous
considérons le symbole (<x = [3) comme l'équivalent de (a : ,3)
( 4 3 : a), nous aurons A tl = A T *, A"i=A l , A" = A r + A©, A T
= A l + A (voir § 10).

9. La définition du symbole a : 4 3 (voir § 7 ) nous conduit au
paradoxe (tj : a)' (a : e)% lequel affirme» que les deux implica-
tions 7, : a et a : e sont toujours vraies, quelle que soit la propo-
sition a. Cependant, la preuve en est facile, car

t\ :az=f (ïja^n t= -rç»* = e
* : s =r (ae')n = (ai))*. = jj»i =r £.

La formule (e') 1 », que nous supposons ici, n'a pas besoin de
preuve. Par exemple, la négation de la certitude (2X3 =6), à
savoir: (2><3^=6), est évidemment une impossibilité. Nous
avons aussi les formules (r\') 1 et (^)*« Pour donner un exemple

LA LOGIQUE SYMBOLIQUE 419

concret de la dernière, supposons que la probabilité de la
variable soit deux tiers; la probabilité de sa négation V est
nécessairement un tiers, de sorte que 8' est aussi une variable.

10. * Le symbole (a=[J) est l'équivalent de (a : |3) (J3 : a). 11
n'affirme nécessairement pas que les deux propositions a et j3
sont synonymes, en ce sens qu'elles auraient la même significa-
tion. Une identité absolue est affirmée, non par le symbole
(a = {3), mais par le symbole (a = (3); de sorte que nous avons
toujours (a=.j3) : (a = (3), mais non pas nécessairement (a= {3) :
(<x= (3).. Néanmoins, l'affirmation (a= j3) étant en général suffi-
sante pour notre raisonnement, nous l'employons souvent dans
des cas où nous pourrions employer (a = [3), comme nous em-
ployons quelquefois a : (3 au lieu de (a = j3) quand nous n'avons
pas besoin du second facteur [3 : a. Il résulte de notre défini-
tion d'une implication (§ 7) que nous avons toujours les for-
mules (c 1 = s 2 ) 1 et (7i 1 =7j 2 )«, même lorsque la certitude e 4 est
différente de la certitude e â , et l'impossibilité r n différente de
l'impossibilité r, 2 . Mais quand nous avons deux variables 9 t et 8 a ,
l'équivalence (0 1 =6 2 ) n'est pas nécessairement vraie.

1 1 . Les propositions A T et A sont équivalentes, en ce sens que
chacune implique l'autre (voir § 7) ; mais elles ne sont pas syno-
nymes, en ce sens que chacune pourrait être substituée à l'autre
dans n'importe quelle expression sans en changer la significa-
tion. Par exemple, supposons que A représente 9 T , c'est-à-dire
une variable qui est vraie dans le cas considéré quoi qu'elle ne
soit pas toujours vraie. Nous aurons

(At)i — (63* = £• = e ; mais À« = 6J =T â ;

car, dans le premier cas, la proposition 8*, qui affirme qu'une-
variable vraie est vraie, est une vérité évidente, et, par conséquent,
une proposition de la classe s ; et dans le second cas, 9' est une
impossibilité, puisque toute variable, qu'elle soit une variable 6, ou
une variable 8„ est exclue (par définition] de la classe e. Pareille-
ment, quoique nous ayons l'équivalente (A l =A), en ce sens
que A 1 implique A' et que A' implique A 1 , on ne peut pas tou-
jours substituer A 1 à A', ni A' à A 1 , sans changer le sens de
l'expression où l'un ou l'autre se trouve.

4*0 //. MAC COLL

Ces paradoxes ne se présentent pas dans le langage ordinaire.
Par exemple, il n'est guère possible de trouver l'ombre d'une
différence de sens entre « il est Américain » et « il est vrai qu'il
est Américain », ou entre « il n'est pas Américain » et « il est
faux qu'il soit Américain ».

Mais la logique symbolique fait pour la raison ce que fait le
télescope ou le microscope pour l'œil nu.

12. — Le symbole, a! [3 (qu'on peut appeler une implication
inverse) affirme que la proposition a est impliquée par la propo-
sition p. Il est donc synonyme de (3 : a. Le symbole a : [3 : y
veut dire (a : (3) (j3 : y) ; et le symbole a ! (3 ! y veut dire (a ! jî,
(P ! y). On définit de même a : |3 : y : S, qu'on peut appeler une
chaîne dèductive, et a ! |3 ! y ! o, qu'on peut appeler une chaîne
indue tive.

i3. — Un des principes sur lesquels est fondé mon système
est le principe que Ton peut changer le sens de n'importe quel
symbole, ou de n'importe quel arrangement de symboles, pour
aider ou abréger notre raisonnement, pourvu que ce changement
de sens soit accompagné d'une nouvelle définition. N'est-ce pas
cette variabilité de signification qui distingue l'algèbre de l'arith-
métique ?

En arithmétique le môme symbole (par exemple 3 ou -g-]

indique toujours le même nombre ou fraction ; tandis qu'en
algèbre le même symbole (par exemple x) peut représenter un
nombre 6 dans un problème, 8 dans un autre, 5-f--y"d ans un
autre, et ainsi de suite. En suivant ce principe, nous allons
maintenant changer la signification du symbole A B , qui sera em-
ployé à l'avenir (jusqu'à nouvelle définition) comme synonyme de
l'implication A : B. La négative de A„ sera représentée par A 0B .
ou par (A B )\ de sorte que nous avons

A B = A : B — (AB> = (.V + B)*
A 0B = (A B )' = (A : B)'= (AB'l-n.

i4« — Un symbole de la forme F(.r) ou f\x) ou o(.r), etc., s'ap-
pelle une fonction de x.

Il représente une expression quelconque contenant le symbole x.

LA LOGIQUE SYMBOLIQUE 4*1

Un symbole de la forme F(.r, y) ou cp(»r, y), etc., s'appelle une
fonction de x et de y.

Il représente une expression quelconque contenant les sym-
boles x et y. Pareillement, F(x, y, z) s'appelle une fonction de .r,
y, z ; et ainsi de suite. Supposons que nous ayons une fonction
cp(.r) ; alors des symboles tels que <f (a), ?(a -+- p), 'f(A B ) repré-
sentent respectivement ce que l'expression o{x) devient (i) lors-
que a est substitué à x ; (2) lorsque a -f- P est substitué à x ;
3) lorsque A B est substitué h x; les autres mots, ou autres sym-
boles, de V expression restant les mêmes qu auparavant* Pareil-
lement, si nous avons une expression quelconque indiquée par
'f(.r, y, z) y le symbole «(a, a t 3, jî') indiquera ce que »(.r, y, r]
devient lorsque a est substitué à x 9 a£ à y, et [j 1 à .r. Les exem-
ples concrets suivants aideront à faire comprendre ces défini-
tions.

Soit a = artiste, é 3 = buffle, y = gorille ; et employons le
symbole cp(a, |î) pour représenter la proposition, Yartiste a tué
le buffle. Alors le symbole <p(«,y) affirmera que Yartiste a tué le
gorille ; le symbole o({3, a ) affirmera que le buffle a tué Yartiste ;
et o(y, jî) affirmera que la gorille a tué le buffle.

Si nous représentons la formule A^-f-B, : (AB) X par le sym-
bole ?(:) ; alors ?(=) représentera A x + B, = (AB),. La formule
<p(:) est toujours vraie, quelles que soient les propositions A,B,.r;
mais la proposition 'f (=) n'est pas toujours vraie ; elle est fausse,
par exemple, lorsque A = 6, B = 6', x = r 4 ; car alors elle
devient

r ,+ (0% = (06'),,

ce qui est faux, car

T , = : 7i = (6V)n = (te)*. = 0-, = t„

(tt / ) r# zz G' : r t = (6'e)n = (6> = 6' = r„ [car («')*. = a»]

(00'), = r in = r, : 7i = s (voir § 9).

Donc, dans ce cas la proposition 'f(=) devient y, -}-yj = y, : y, f
ce qui est faux, car r k -f- y^ = y i9 tandis que y, : y t = e.

Le symbole 'f*(.r) veut dire \ ©(.r) ]*. Par exemple, cp 1 affirme
que ©(.r) est une certitude.

i5. — Pour empêcher une multiplicité inutile de parenthèses
j'emploie le symbole A :: B comme l'équivalent de (A ==B), mais

4« H.. MAC COLL

avec moins de portée. Par exemple (A = B ;: C) veut dire
f A = (B : : C) ] et non pas \ (A = B) : : C j , lequel peut être exprimé
sans parenthèses par le symbole A :: B = C. Pour économiser les
parenthèses nous posons la convention que A :: B a la même
portée que A : B, mais plus de portée que A + B. Par exemple,
A= B ;: C : D-|-E affirme que A est équivalent à B :: C : D +E,
et cette dernière expression veut dire (B = C) !C:(D~hE)j, car
C:D + E veut direC:(D + E), et non pas (C:D) + E.

16. — Dans les formules suivantes (dont la plupart sont évi-
dentes) le symbole A B est employé comme synonyme de A : B ;
et le symbole A 0B veut dire (A B )' ; de sorte que nous avons

A B = (A ; B) = (AB> = (A' + B)«
Aob = (A : B)' = (AB^-n = (A' + B)- ».

(i) (aa> (a + a')« ; (a) a — aa = a + a ; (3) (a« +- an + «•)» ;

(4)a::p = (a:p)(p:a); (5) *: P = P':«'; (6) at : ?x = p': «< ;

( 7 ) (a : P) : a + p ; (8) (a* :&):**+&; (9) «(? + T ) = *ï + fr

(10) («P)'=«' + p'; (11) («+»' = *'?; (ia) (*:*) {x:?)=x:^;

(i3)a^ T :a Y ; (14) (a : p : T ) : (a : T ) ; (i5) («+?)„=«.,+ p^:

(16) «:«4-p:«+p + T ; (i 7 j a!ap!ap T ; (18) (e> (r/). (*)• ;

(19) (a+P) x = «,?,; (ao) (a + p), : a x + p, : («P), ;
(ai) XmfiXv+xi:***}; (aa) z : a = a»; (a3) a : t, = on ;

(a4) (a : p) : (*« : *») ; (a5) (a : P) : (p, : a x ) ; (a6) « ? = a :: a? ; '

(a 7 ) a ? = a + p :: p; (28) (a : p) : (a< : p.) ; (29) (a : p.) : («P) T .

17. — Nous allons maintenant examiner les syllogismes de la
logique traditionnelle. Tout syllogisme valide n'est qu'un cas
spécial de la formule générale ol^ : a Y , qui est l'abrégé de (a : J3)
(? : ï) : ( a : ï)> e * 4 1 " affirme que si a implique ^, et fi implique y,
alors a implique y. (Voir $5 }*> *3). Dans cette formule les pro-
positions a, (3, y peuvent avoir ou ne pas avoir le même sujet,
et elles peuvent être, séparément ou en combinaison, des certi-
tudes, des impossibilités, ou des variables.

Pour appliquer la formule aux syllogismes, nous supposons
que les propositions a, 3, y ont toutes le même sujet, savoir, un
individu P pris au hasard dans notre univers d'entités admissi-
bles, P 19 P 2 , P 3 , etc. Ainsi les propositions a, j3, y sont les
abrégés respectifs des propositions P«, P% P", qui affirment res-
pectivement que P appartient à la classe a, que P appartient à la
classe J3, que P appartient à la classe y. Comme dans les for-

LA LOGIQUE SYMBOLIQUE 4*3

mules du § 16, le symbole a 0? est synonyme de (* P )' et de (a : $)\
Ainsi nous aurons

a ? = a : } zz P« : P? = tout a est £ ;

a o3 = (a : $)' zz (P* : P?)' =z quelque a n'est pas ^ ;

a ? ' zz a : £' zz P« : P- ? zz nul a n'est $ ;

itf = (a : p'j'^zz (P« : P-?)' zz quelque a est ?.

Que ©(*», 4 â, y) représente la formule générale *$-,: a...

Alors si nous considérons comme équivalents les syllogismes
qui ont des prémisses équivalentes et la même conclusion, ou
des conclusions équivalentes, nous aurons

Barbara zz ©(a, (J, y)

Celarent = Ccsare = ^(a, p, y*)

Darii = Datisi zz <p([>, y, «')

Forio zz Festinb = Ferison = Frésibon = s(a, y> {*')

Camestres zz Camencs zz ©(y, £, a')

Disamis zz Dismaris zz o( t 3, a, y*)

Baroko = ©(a, y» ?)

Bokardo zz o(3, a, y)-

De la formule x : y — y r : x' il s'ensuijt que pour chacun de ces
syllogismes »(jr, y 9 z) = ? (s', y', x 1 ).

Nous pouvons donc renverser Tordre des termes de chaque
syllogisme, si, en même temps, nous en changeons les signes.
l'ar exemple, Camestres et Camenes équivalent chacun à » (a, £',*'')•

18. — H y a quatre syllogismes de la logique traditionnelle
qui ne sont pas valides, du moins sous les formes qu'on leur
donne en général.

Ce sont Daraptiy Felapton, Fesapo et Bramantip.

Pour les rendre valides il faut donner aux trois premiers une
troisième prémisse $r* (voir § 4)> et à Bramantip une troisième
prémisse y*.

Ainsi corrigés, ils deviennent, comme tous les autres, des eus
spéciaux de la formule générale y(a, j3, y). En employant les
symboles (Darapti) c , (Felapton) e , etc., pour indiquer les syllo-
gismes corrigés, nous aurons

(Darapti) c zz o£, ay, r t )

;Felaplon) (; zz ( Fesapo ) f zz ©(£, af, t.)

(Bramant ip) t = ©(y, £a' f tj).

4*4 M- MAC COLL

Pour montrer la méthode générale de réduction, il suffit de
prendre deux cas (i) celui de Darii et (2) celui de (Darapti) e .

Darii — £yï y '< «oy' — P T a !i'a 7 ' : r k (car x : r' =x y : r,)

= Pr«r' • *?' = Ptï«' - P*' = ?(P> ï> »'>
(Darapti) c = ftM-i : «V = P T P«P«i : «<>•;'

= £7*0/ : p n = P T a(aY) r . : p*.
= Mï*K : Pn = ?(P> ï«, l).

Pour prouver que Darapti sous sa forme ordinaire n'est pas
nécessairement valide, nous n'avons qu'à montrer un seul cas où
il est faux. Un tel cas est (^(av)" 1 , qui est le produit de deux fac-
teurs parfaitement possibles et compatibles entre eux. En repré-
sentant Darapti sous sa forme ordinaire non corrigée par le sym-
bole [Darapti)^ e , et en supposant que (^(ay) 11 », ou son synonyme
[3 y (ay)i, soit vrai, nous aurons

(Darapti)- c = P T P* : «oy' = fa : («7)01 = V. • V».
= S7i = Tj;
car

et

T j0 r, = far,)' = fi' = T r

Pareillement, on peut prouver que Felapton, Fesapo, Bra-
mantip ne sont pas nécessairement valides sous leurs formes
ordinaires. Par contre, la formule générale cp(a, (3, y) dont on
peut déduire tout syllogisme valide est (comme toutes les for-
mules valides) une certitude formelle, et par conséquent vraie
pour toutes les valeurs de a, (3, y, ou de leurs combinaisons.
Prenons, par exemple, le casa*{î'y r *. Nous aurons

o(s, 0, t,) = £»0 ri : g y§ — t.t, : t, = r, : r é = £ :
car

c« = (te')n = (0>. = 0« = r t ; et 6, = (Or^n = (Os)*. = ta = r, ;
et

t, : y, = s (voir §9).

19. La manière ordinaire d'exprimer un syllogisme ne me
semble pas tout à fait correcte. Au lieu de dire, comme Ton fait
en général, « Tout A est B, tout B est C, donc tout A est C »,

LA LOGIQUE SYMBOLIQUE 4*5

nous devrions dire « Si tout A est B, et si tout B est C, alors
tout A est C ». Bien que les logiciens emploient presque tou-
jours la première forme, c'est la seconde qui exprime leur vraie
pensée. Sous la seconde forme, le syllogisme, comme je viens de
le montrer, est toujours vrai indépendamment de la vérité ou
de la fausseté de ses prémisses ou de sa conclusion ; car (en
contraste avec la première forme) la seconde forme ne garantit
ni la vérité des prémisses, ni la vérité de la conclusion ; elle
affirme seulement qu'il est impossible que les prémisses soient
vraies et (en même temps) la conclusion fausse (voir § 7). Soit P
les deux prémisses, et Q la conclusion. La première forme af-
firme P .\ B, qui équivaut à P (P : Q) ; la seconde n'affirme que
le second facteur P : Q, qui veut dire (PQ') T| et qui est une certi-
tude formelle. La forme P.*. Q est fausse dans le cas P% quelle
que soit la conclusion Q ; tandis que la forme P : Q est vraie dans
ce cas comme dans tous les autres. Car en supposant P = ^,
nous aurons

P:.Q = P(P:Q) = 7 î fo:Q) = T,e = T l ;
P;Q:z=v.Q=e(Yoir§9).

A

20. Le symbole -g- indique la probabilité que la proposition A

soit vraie en supposant que B soit vrai ; B étant une proposition
quelconque compatible avec les données de notre problème, mais
non nécessairement impliquée par elles.

Le symbole — indique la probabilité que la proposition A soit

vraie en ne supposant rien que les données du problème. Le sym-

A «* A A
bole 8 -g-, ou son synonyme 3 (À, B), représente-^- , et

s'appelle la dépendance de A par rapport à B. Il indique l'aug-
mentation ou (lorsqu'il est négatif) la diminution subie par la
probabilité générale -7- quand la supposition B est ajoutée à nos

A

données. Le symbole 8° — , ou son synonyme o° (A, B) affirme

que la dépendance de A par rapport à B est zéro. Dans ce cas on
dit que la proposition A est indépendante de B, ce qui implique
(voir 20, formule 1) que B est indépendante de A. Les symboles
a, 6, c, etc. représentent respectivement les probabilités-^,

B C

— , — , etc. ; et les symboles a', 4', c*', etc., représentent respec-

i*6

H. MAC COLL

A' B' C
tivement les probabilités — , — > -r - * elc - * de sorte que nous

avons a' = i — a, A' = i — 6, etc.

Les diagrammes suivants expliquent les définitions adoptées.

E E

Fig. a.

Que les symboles A, B affirment respectivement comme pro-
jr positions qu'un point P (pris au

hasard sur la totalité de points mar-
qués dans le cercle E) sera dans le
cercle A, "qu'il sera dans le cercle B.
Alors AB affirmera que P sera dans
les deux cercles A et B ; AB' affir-
mera que P sera dans le cercle A,
mais pas dans le cercle B ; et parei-
llement pour A'B et A'B'. Dans la

c A3

hgure i , nous avons — — a = — ;

A' , io . AB i AB'J

— i3 ' e

Fig. 3.

i3

A'

— . Dans la figure 2, nous avons — = a -— — ; — = a' = — ;

= — ; = — . Dans la figure 3,

AB

£ 12 £ 12

S_ m J± , 8_ AB

II ' £ II ' £

I
II

AB'

£

nous avons

2
II

Il est évident aussi que :

/r ,, N ^ A A A AB A i 3 , i

(Fig. I) _=___ = ^ _ = __._=:+_

,„. . „ A A A AB A i 3
(F.g. 2 ) ,_ = __ T = ___= T -— = o

LA LOGIQUE SYMBOLIQUE 4*7

/t „ Q . A A A AB A i 3 i

(Hg. 3) o. g -= F - T = ^ r - — = j-— = ~Jt ■

R i

Pareillement, dans la figure i, nous avons o ~r- = -f- -t- 5 dans

o Ri

la ligure 2, o — = o ; et dans la figure 3, -7- = — ^ .
Les formules suivantes sont faciles à vérifier :

(0

A a B , A a , B
B - tA ; ° B _ 6 ° A ;

( a )

A' A „ A' , A
~B J - ,_ B" ; *"B- - °B ;
A a b A ^ A b ^ A

C J )

TF"~T7 ¥ ' TT ; r - B 7- "^!^ b" ;

(4)

A' __ A # g A' _ ? A _ b „ A

(5)

AB A B B A B A
1 ~T' A" & ' B -a A-'' B :

(6)

A + B A B AB , _ B
t 1 s s A

1 A .

■.;)

A + B _ A B AB

X XX x '

(8)

AB A B _ B A

x x xA x ' xh '

21. Quand un exposant x est une fraction comprise entre o

/ A \ x -n A
et 1, les symboles A*, (-g- ) , 0* -cr- ou o x (A, B) affirment respec-
tivement comme propositions que la probabilité de A est x ; que
la probabilité de A, en supposant B, est x ; que la dépendance de A
par rapport à B est x. Le contexte empêchera toute ambiguïté
ou confusion d'idées quand nous employons ainsi des exposants
comme prédicats. Ces conventions nous donnent les formules
suivantes :

(')

/A x B \

(a) A'B" (AB)»: (A + B)* + v- =

(3) A- B'J (A + B)= : (AB)* + *-»

(4) A- B* (AB)' (A + B)v : (x + y = a + 6)

(5) A* B* (AB)'* : 8° (A, B) : 8° (B, A)

(6) À'B*8«(A f B):(ÀB)*¥

m -»'(4)'(4)Mt=t)

4a« //. MAC COLL

(8)

A«B» (A) * f^\ ' J :(bx + b'y = «)
(9) A- B* ( AV (4) * : (te - *r r =«. - *' = b - a']

/A = A\:3oA : 3«_L
^B B^ B A

80 (A,B) = *(B.À) = (4 = A) = (A = 4).

(»)
(i3)

9.2. J'appelle une proposition une certitude formelle quand elle
résulte nécessairement de nos définitions ou conventions de lan-
gage sans autres données; une impossibilité formelle quand elle
contredit quelque définition ou convention de langage ; et une
variable formelle quand elle n'est ni formellement certaine ni
formellement impossible. Une proportion est une certitude ma-
tèrielle quand elle résulte nécessairement de quelques données
spéciales extérieures à nos définitions ou conventions de langage ;
une impossibilité matérielle quand elle contredit quelques don-
nées spéciales extérieures à nos définitions ou conventions de
langage. Les symboles A', À 1 » affirment respectivement que A est
une certitude , que A est une impossibilité, sans dire si la certi-
tude ou impossibilité est formelle ou matérielle. Toutes les for-
mules que j'ai données ici sont des certitudes formelles.

23. Quand une proposition n'est ni formellement certaine ni
formellement impossible, elle peut être une certitude matérielle.
une impossibilité matérielle, ou une variable matérielle, selon i o>
données. Ainsi nous pouvons avoir des propositions telles que A"
(il est certain que A est certain), A y| (il n'est ni certain ni im-
possible que A soit impossible), A tft (il est faux qu'il n'est ni
certain ni impossible que A soit certain), et pareillement pour
n'importe combien d'exposants ou prédicats successils. Prenons
les exemples concrets suivants :

En fixant notre attention sur une de ces trois figures, prenons
comme donnée que le point P est pris au hasard sur les cinq

LA LOGIQUE SYMBOLIQUE 419

points marqués dans le cercle E, et convenons que le symbole À
(comme proposition) affirme que le point P, pris au hasard, sera
un des points marqués dans le cercle A. 11 est évident que si nous
prenons la figure 1 nous aurons A 1 , tandis que dans la figure 2
nous aurons A 1 , et que dans la figure 3, nous aurons Ai. Car dans
ces trois cas les probabilités respectives de A sont (,-r-, o.

Maïs maintenant, au lieu de prendre une figure fixe, prenons
une des trois figures au hasard, et convenons que les symboles
F lf F 2 , F 3 (comme propositions) affirment respectivement que

A £ A E

Fig. 1. Fig. a. Fig. 3.

c'est la figure 1 qui se présentera, que c'est la figure 2, que c'est
la figure 3. Puisque ces trois figures sont les seules de notre
univers limité, nous avons (F 4 + F 2 + F,)*, de sorte que

À* = A. (F, + F % + FJ = À.F l + À.F 1 + À.F If

et, par conséquent (voir § 20, formule 5),

-Al — JjL -Al-L-Zi- j^L_lJjl a ' — g ( A ' A> A ' \
s ~ ■ ' F t + « " F t + e * F, - 3 [ F, + F t + F, )

= T (' + ° + <>) = -y •

Ainsi, avec nos données actuelles, A* est variable \ puisque sa
probabilité n'est ni 1 ni o, mais une fraction entre les deux.
C'est-à-dire nos données nous mènent à la conclusion A' 1 . Pareil-
lement on peut démontrer que nos données nous mènent aux
conclusions A r *' et A M . Mais maintenant supposons que les figures
a et 3, au lieu d'être différentes de la figure 1, soient exactement
semblables à la figure 1 . Dans ce cas nous aurons

At — _L IhL a. -Al a. At \ — _L /jAL a. -Al j. Ac \

— - 3 { F, + F 2 + Fs j - 3 [ F f + F t +TT/

= -f(l+I + = 1.

Enseignement math. *8

;3o U. MAC COLL

Ainsi, au lieu d'avoir A 1 *, comme avant, nous aurons A M , qui
, affirme qu'tï est certain que A est certain. Pareillement, avec ces
données, nous aurons A" et. A êl ».

Note. — Le système de logique que je viens d'expliquer n'est
pas fondé sur les mêmes principes que les systèmes des autres
logiciens. Dans aucun des systèmes qui me sont connus je ne
trouve la distinction que je fais entre les mots vrai et certain, et
entre les mots faux et impossible ; de sorte que dans ces systèmes
symboliques les propositions variables (dont les probabilités ne
sont ni i ni o) ne trouvent pas de place. Par conséquent, plusieurs
des formules de ces systèmes n'ont qu'une validité limitée ; elles
sont valides pour les certitudes et pour les impossibilités, mais
non pour les variables. Mais, supposons qu'on reconnaisse ces
variables, et qu'on désire les exprimer dans le langage symbo-
lique ordinaire. Alors, la proposition exprimée par mon sym-
bole A 1 serait exprimée par (A = i), ma proposition A T - par A
= o), et ma proposition A 1 par (A =£ i) (A =/=o). Si l'on voulait
exprimer ma proposition A 11 (voir § 23) dans le langage symbo-
lique ordinairement accepté, on serait obligé de la présenter
sous la forme peu maniable de

{(A # .) (A=£ o) =jfc .> !(A^ ,) (A # o) ^ o'.

Il y a dans mon système des formules innombrables, comme,
par exemple,

A'B 1 + B'A 1 : (AB) 1 : A"* 5 B* + B " A 1 ,

qui deviendraient presque incompréhensibles par leur simple
longueur, si on les traduisait dans le langage symbolique d'un
autre système. Si on représente la première alternative de cette
dernière formule par 3 (s), la dernière alternative doit être repré-
sentée par y ( — -rç), et alors la formule devient

?M:(AB)i: ? (-T,).

(Pour l'explication des symboles <p (s) et <p ( — r 4 ), voir § 14.
On trouvera des exemples de l'application de ma méthode aux
mathématiques dans mon mémoire de la Bibliothèque du Con-
grès International de Philosophie^ t. III, p. i35-i83, Librairie
Armand Colin.
' Hugh Mac Coll (Université de Londres.;

SUR LA CONCEPTION DES LIMITES (•)

Nous disons qu'une grandeur variable tend vers une limite y
lorsqu'elle se rapproche infiniment d'une grandeur de même na-
ture. On appelle cette dernière grandeur limite.

De cette définition, il résulte qu'il n'est pas nécessaire que la
limite soit une grandeur fixe, et qu'elle-même peut avoir une
limite. Il en résulte encore que la limite ne peut jamais être at-
teinte; en efiet, la grandeur donnée se rapproche infiniment de
sa limite; donc à l'infini, la grandeur arrivera a sa limite, mais
l'infini ne s'épuise jamais, la limite ne sera jamais atteinte. Nous
ne pouvons donc pas toujours dire sur la limite ce que nous pou-
vons dire en commun sur les grandeurs variables, et vice -versa.

Prenons un exemple. Considérons un cône et inscrivons-y
une pyramide. Si nous faisons croître à l'infini le nombre
de ses faces de telle façon que ces faces deviennent infiniment
petites, la pyramide se rapprochera infiniment du cône.
Obtiendrons - nous une pyramide qui se confonde avec le
cône ? Non ; parce que nous n'obtiendrons jamais une pyramide
ayant un nombre infini de faces. De plus encore, si notre imagina-
tion permettait d'exister à une telle pyramide elle ne pourrait être
identifiée avec le cône, parce que la pyramide qui aurait un nom-*
bre infini de faces devrait être une figure variable, tandis que le
cône est une figure fixe.

Par suite pouvons-nous dire du cône tout ce que nous pou-
vons dire de la pyramide? Évidemment non. Il est possible que
le cône jouisse de toutes les propriétés des pyramides, mais jus-
qu'ici nous ne sommes pas autorisés à l'admettre simplement parce

(') Voir dans cette Revue, les articles de M. J.-F. Bqxxei . notamment la Note
intitulée : Les limites et l atome, t. V, p. 3Ja-338. La Rédaction.

43a C. POPOVICI

que le cône est la limite des pyramides. De plus, il nous faut
encore remarquer que c'est tout autre chose que la limite géomé-
trique, concrète, intuitive des figures de l'espace, et la limite
arithmétique, abstraite, déductivedes grandeurs qui représentent
, les mesures des éléments des figures de l'espace. Si la pyramide
a comme limite le cône, il ne s'ensuit pas que la surface de la
pyramide ait comme limite la surface du cône. Je montrerai qu'il
existe des figures qui ont comme limite la surface du cône et
malgré cela la surface latérale de ces figures n'est pas égale à la
surface latérale du cône. Imaginons que nous plaçons dans un
cône une série de disques qui se recouvrent en s'appuyant com-
plètement sur la surface du cône. Supposons que ces disques
s'amincissent infiniment, puis coupons par un plan l'ensemble
formé par le cône et les disques, la figure formée par les disques
aura comme limite la figure du cône ; mais la surface latérale de
cette figure, ou. en d'autres ternies la surface découverte des dis-
ques, nous ne pouvons pas encore dire quelle a une limite égale
à la surface du cône, nous ne pouvons pas affirmer non plus qu'elle
ait une limite, cette limite dépend peut-être de l'inclinaison qu'ont
les disques sur les génératrices du cône, et peut-être même de la
loi que suivent ces disques en se faisant infiniment minces, parce
qu'ils sont coupés obliquement par le plan. Considérons en par-
ticulier le cône circulaire droit, et les disques parallèles à la base
du cône, soit r le rayon du cercle, i la hauteur et a la généra-
trice.

La surface non couverte des disques se compose de deux par-
ties : la partie non couverte des bases et la surface latérale des dis-
ques. Considérons la première partie. En projetant chaque por-
tion sur la base du cône, on voit que leur somme est égale à la
base du cône : tc/*. Nous avons dit que la deuxième partie se
compose de la surface latérale des disques. Chaque élément cylin-
drique A A' ce 1 de cette surface se rapporte à l'élément correspon-

i tc PA AC
dant de Taire du tronc AA' BB', comme les produits ' ^ ' ^

(01 étant la demi-somme des rayons du tronc) ; le rapport entre la
surface latérale des disques et la surface latérale du tronc de cône
sera compris entre la plus grande et la plus petite valeur du rap-
port ' .. ; lorsque les disques s'amincissent infiniment, ce

SUR LA CONCEPTION DES LIMITES 433

rapport tend vers la valeur -j-— - = — et la surface latérale des dis-
ques aura pour limite Tira — ==7cr/. La surface latérale de la

figure qui tend vers le cône sera icri-j-i:r* = irr(r + i) tandis
que la surface latérale du cône est nra (*). Conformément à notre
calcul, nous pouvons voir que la surface que
nous obtenons, si nous considérons les dis-
ques extérieurs a la même limite et que cette
surface est indépendante de la loi d'après
laquelle les disques s'amincissent. La corré-
lation entre l'espace et le nombre, entre lu
position et la dimension doit être conçue sous
un rapport tout nouveau, nous devons donc
concevoir d'une façon différente l'intuition
et la déduction, ce que nous voyons et ce qui
existe. Il nous faut séparer les opérations
d'avec les nombres, les opérations d'avec les
figures. Faire varier un nombre vers sa limite, c'est une opéra-
tion ; faire varier une figure vers sa limite c'est encore une opé-
ration, mais nous avons vu que si deux figures tendent vers une
même limite comme figures, il n'en est pas de même de leurs
aires qui sont des nombres. Etudier une corrélation entre la
variation des figures et la variation des fonctions serait une inté-
ressante question. On pourra, par exemple, concevoir une
nouvelle science différentielle et intégrale par des opérations pure-
ment géométriques ; différencier serait faire une sorte de défor-
mation, intégrer, établir une sorte de mouvement. Beaucoup de
théorèmes et de théories auront sans doute des corrélatifs très
intéressants si nous passons du nombre à l'espace, si nous rem-
plaçons le terme de valeur par celui de position, fonction par
figure, égal par superposable, identité par coïncidence ; le seul

i l ) On pourra calculer la somme des surfaces latérales des disques de
cette façon :

Supposons les disques de hauteurs égales, et soit s le rayon du disque
qui vient immédiatement après le sommet. Le n mo disque aura un rayon nse,

nous cherchons la somme : ZïTznsh = iizsk —^- . Or, kn = ici (»+*) s = r -

Donc, cette somme est ri.

434 c. pop or ici

terme équivalence reste de plus dans la richesse de la conception
géométrique.

Il faut faire attention a la valeur des notions, distinguer la lon-
gueur et la ligne, Taire et la surface et vice-versa. Ne dit-on pas ?
Aire plane et surfaces coniques. Et relativement au volume ? Le
volume est le lieu qu'occupe un corps dans l'espace. Si le corps
se meut il n'a plus le même volume, parce qu'il n'occupe plus le
même lieu dans l'espace. C'est là qu'est le défaut parce que
nous n'avons qu'une seule notion pour la figure et pour la mesure.
Nous avons vu dans l'exemple cité plus haut qu'il est possible
que la figure ait une limite et que son aire n'en ait pas. Prenons
un exemple dans lequel l'aire a une limite sans que la figure en
ait. Nous savons que chaque grandeur, qui croît en restant infé-
rieure à une grandeur donnée, a une limite. Traduisons cela en
géométrie.

Considérons une figure S et une surface intérieure 2. Suppo-
sons que la partie intérieure S est variable et qu'elle croît en res-
tant comprise dans la figure S, il est évident que son aire aura une
limite inférieure à Taire S; mais la figure S aura-
t-elle une limite ? Elle en aura une, mais seule-
ment lorsque : lim aire 2 = aire S ; et si lim
2=S'<S alors nous pouvons imaginer dans
l'intérieur de la figure S une infinité de figures
d'aire S' et par suite la figure 2 n'admet pas de
Fi 2 limite, tandis que son aire en a une. La propo-

sition suivante : Chaque grandeur qui croît en
restant inférieure à une grandeur donnée a une limite, se traduira
ainsi en géométrie : Chaque figure qui croît en restant comprise
dans une figure donnée a une limite. Nous voyons que le théo-
rème n'est plus vrai pour les grandeurs géométriques.

Nous allons en voir la cause. C'est peut-être parce que les figu-
res en question ont deux dimensions tandis que Taire n'en a
qu'une. Remarquons alors qu'on peut imaginer dans une ligne
AB une infinité des segments de même longueur. Donc c'est la
position, la cause. Lorsque nous établissons une corrélation, il
faut nous arrêter et établir une convention sur les notions. Que
doit-on comprendre en géométrie par plus grand et plus petit?
Ceci : La figure A est plus petite que la figure B, lorsqu'elle est

SUR LA CONCEPTION DES LIMITES 4*5

comprise dans la figure B, mais non lorsqu'elle peut y être com-
prise ; il en est du reste ainsi avec les nombres. N'est-il pas vrai
<jue 2 est trois fois dans 6? Mais lorsqu'il s'agit de figures,
c'est-à-dire des régions de l'espace, les
figures sont des grandeurs qui ont dans
leur nature constitutive l'espace, la posi-
tion. Pouvons nous dire que la figure B
contient la figure A, lorsqu'elle ne contient
pas tous les points de A ? En algèbre on
ne fait pas nécessairement distinction entre Fig. j.

contenir et pouvoir contenir ; en géométrie

pouvoir contenir est une question de forme et contenir une ques-
tion de position, et alors nous dirons qu'une figure est plus grande
qu'une autre lorsqu'elle la contient.

Demandons-nous maintenant ce que signifie pour une figure
croître et décroître. Une figure croît lorsqu'elle gagne dans l'éten-
due sans rien perdre du terrain gagné s'il en est ainsi, il est aisé
de démontrer notre théorème et par conséquent le théorème sui-
vant : « Chaque grandeur, qui croît en restant inférieure à une
grandeur donnée, à une limite » est générale. — Considérons main-
tenant une autre proposition : Un ensemble limité et contigu,
qui contient une infinité de points, admet au moins un point
limite. Le théorème est vrai que l'ensemble soit un intervalle nu-
mérique ou une figure.

Demandons-nous ce qui arrive lorsque au lieu de points, il
s'agit de figures. Une figure qui contient une
infinité de figures n'admet en général aucune
figure limite. En effet, considérons une
figure S qui contient une infinité de figures 2,
formées d'après une loi quelconque. Suppo- •
sons qu'il existe un point O intérieur dans
toutes ces figures. De ce point O, menons un
Fig. •,. rayon visuel OV, il sera intercepté par les

figures S aux points a, a, ...a n et sur un inter-
valle fini et continu. Par suite les points a, a, ...a„ admettront
au moins un point limite a.

Si nous faisons tourner le rayon OV il sera intercepté de tous
les points limites. Considérons l'ensemble formé par ces points; *

436 C. POPOVICI

nous ne pouvons pas affirmer qu'il forme une courbe continue, et
même s'il en était ainsi, nous ne pouvons dire que leur ensem-
ble est une figure de la famille 2, il pourrait être par exemple
un de leurs enveloppes et par suite nous ne pouvons pas dire que
l'infinité des figures 2 admet une figure limite.

Considérons maintenant que l'infinité des figures S est l'en-
semble des figures que prend une figure variable. Que signifie
une figure variable ? Une figure qui croit et décroît. Fixons les
idées pour un moment; supposons que la figure croit seule-
ment et si nous nous souvenons de la définition donnée
sur la croissance et la décroissance, alors dans la direction
d'un rayon visuel, les points a, a, .«. seront dans le même
ordre et admettront un point limite a qui sera de la dernière
figure, par suite ils formeront un ensemble continu « la dernière
figure » et parce que tous les points limites
forment une figure de la famille considérée ;
alors cette figure qui croit admet une figure
limite. Nous avons affirmé plus haut qu'il
était aisé de démontrer ce théorème, et nous
l'avons démontré maintenant. Il en arrive de
pi 5 même lorsque la figure décroît, c'est-à-dire

lorsqu'elle occupe successivement des posi-
tions comprises dans les précédentes. Mais qu'arrive-t-il lorsque
nous ne précisons pas le sens de la variation d'une figure ? Par
exemple, la figure A, avait crû et est devenue la figure B; puis
après la figure B a décru et est devenue la figure C. Qu'a fait la
figure A depuis A jusqu'à C ? Elle a varié. Mais a-t-elle crû ou
décru? Conformément à la définition donnée elle n'a crû ni
décru, et malgré tout elle a varié, car si elle restait constante
les figures A et C seraient identiques. Donc, par quelle sorte de
variation passons-nous de A à C ? Ni croissant, ni décroissant
seulement, mais croissant et décroissant à la fois. Nous sentons
donc la nécessité d'envisager des grandeurs géométriques d'une
variation d'une nature nouvelle, et c'est bien naturel, puisque les
grandeurs géométriques ne sont pas de la même nature que
celles arithmétiques, les premières contiennent dans leur cons-
titution l'espace. Eh bien donc, dans quel cas pourrons-nous
appliquer les vérités sur la variation des nombres à la variation

SOMMATIONS QUE VON RENCONTRE EN MECANIQUE Ol

des figures ? Seulement lorsque les figures varient de telle façon
que deux figures différentes puissent être comparées à deux
nombres différents. C'est donc qu'il reste à chercher beaucoup
de vérités propres sur la variation générale des figures différente
de celle des nombres.

C. Popovici (Tu rno- Se vérin, Roumanie)

SUR

QUELQUES SOMMATIONS QUE L'ON RENCONTRE
EN MÉCANIQUE

i. — Au nombre des notions fondamentales sur lesquelles
repose la Mécanique rationnelle, se trouvent celles de point
matériel et de masse d'un point. D'après les idées qui sont gé-
néralement adoptées aujourd'hui, la masse d'un point est un
nombre ('). Si l'on considère un système de n points on appelle

n

masse du système la somme des masses des n points : M = lm { .

Mais si l'on considère un système comprenant une infinité de
points, comme c'est le cas général en Mécanique, la somme des
masses de ces points contient une infinité de termes positifs, et
l'on ne voit pas à priori y que Ton puisse attribuer un sens à une
telle somme. Il est nécessaire d'introduire de nouvelles hypo-
thèses. Des remarques analogues se rapportent aux expressions

S/nx, S/w ~ , Hm -jp-, Hm (y -£- — z -£- \ , S/w *, 2/wr 2 , qui se

rencontrent dans l'application des théorèmes fondamentaux de
la Mécanique. Au point de vue de l'enseignement, il peut y avoir
intérêt à préciser les hypothèses qui permettront d'introduire
ces diverses sommes dans le calcul et, pour le cas des corps con-

{') Voir Appell, Cours de mécanique à r usage des candidats à l'École cenit aie,
Paris, 1901, — et BlondlOt, Notions de mécanique à C usage des élèves de
physique, autographié, Nancy, 1896.

438 DAUTHEVILLE

tinus, de les exprimer par des intégrales définies. Nous tente-
rons de le faire en quelques lignes.

a. Masse d'un corps; centre de gravité. — Considérons n points
pesants, de poids respectifs p t , />„••• /?„. Ces poids ne sont autre
chose que des forces parallèles et de même sens; ils ont une
résultante égale à leur somme, P = 2/> f , et appliquée en un
point G 1# Pour passer au. cas d'un corps, il faut faire croître n
indéfiniment. L'expérience montre que Ton peut maintenir en
équilibre un corps pesant en lui appliquant une seule force. Dès
lors il est naturel d'admettre que lp { reste finie et a une limite
lorsque n croit indéfiniment. Cette limite est le poids du corps,
P = fy,.. Nous admettrons aussi que G t tend vers une position
limite, G, point d'application du poids ; c'est le centre de gra-
vité. Mais, en introduisant l'accélération due à la pesanteur, on
npi — gûii', par suite si S/j, a une limite, il en est de même
pour S/iif. Posant M = I/w,, on appelle M masse du corps, et on a

Cela posé, comme la masse d'un point est indépendante de la
force qui agit sur lui, la masse d'un corps, telle qu'on vient de
la définir, est indépendante de la pesanteur.

On peut énoncer autrement l'hypothèse précédente. Pour que
S//i £ reste finie et tende vers l'unité quand le nombre de ses termes
croît indéfiniment, il faut que M, tende vers o. Ce qui a été dit
revient donc à admettre que la masse d'un point qui peut être
un nombre positif quelconque quand le point est isolé, doit être
considérée comme un nombre infiniment petit quand le point
est envisagé comme faisant partie d'un corps, et même comme
un infiniment petit assujetti à une condition, celle de la conver-
gence de I/?i,.

3. Expression de la masse par une intégrale définie, — Nous
considérerons seulement des corps continus. Prenons le cas d'un
arc de courbe AB. Décomposons-le en n arcs ; soit MM' = As
l'une des parties, et s la valeur de l'arc de courbe terminé en M.
Appelons \m la masse de l'arc MM', arc que nous considérons
comme formé par l'ensemble d'une infinité de points matériels.

Le quotient — — est une fonction de s.

SOMMATIOSS Ql'E L'OS RESCOSTRE ES MÉCASIQUE 4*9

Nous ne considérerons que le cas où ce quotient tend vers une
limite, ;x, quand As tend vers o ; u étant une fonction de s qui
est elle-même continue. Cette restriction n'a guère d'importance,
car il ne semble pas pour le moment qu'il y ait utilité d'intro-
duire en mécanique des fonctions discontinues ou n'admettant
pas de dérivée, ;x est la densité de la courbe en M. Cela posé,
on a A/w = (;jl -f- e^As, s désignant (comme dans la suite) un
infiniment petit dont Tordre par rapport à A* est égal à l'in-
dice ; ou bien A/m = u. A* -+- s- On a donc pour la masse
de Tare AB :

■;i) M = z(iiis + t^

Faisons croître indéfiniment le nombre des arcs MM', chacun
d'eux tendant versod'unc manière quelconque. Le second membre
de (i , reste égal à M, il tend donc vers une limite. D'après les
propriétés des infiniment petits, il en est de même pour £u. A*.
Alors, par la définition même de l'intégrale définie, on a

('i M= / jx ds

Si au lieu de considérer un arc de courbe, on envisage une
aire ou un volume, la marche du raisonnement ne sera pas mo-
difiée, mais on remplacera A* par At ou Av, et on arrivera à une
intégrale double ou triple.

Lorsque Ax tend vers t, l'arc MM' tend vers M. Ainsi la masse
de M est un infiniment petit, ce qu'on sait déjà, dont la partie
principale est *±.ds.

4- Formules pour le centre de gravité. — Considérons encore
l'arc ÀB décomposé en n arcs. Appelant X, Y, Z, les coordonnées
du centre de gravité : x, y. z celles de M ; x, y, z, celles du
centre de gra\ité de l'arc MM', le théorème des moments donne :

Mais le centre de gravité de MM' tend vers M quand A* tend
vers t. Donc

MX

= y .';i -f 1 { .1». X — S,i = \ .'M** — l i

44o DAUTHEVILLE

Passant à la limite et raisonnant comme plus haut

MX = /

\lx, ds, etc.

Nous démontrons, en même temps, que Ton peut introduire
2/ra.r, la sommation étant étendue à tous les points du corps, et
écrire

MX = Zmx.

Il en résulte, par les mêmes hypothèses :

c'est-à-dire que les expressions S/w -7-, 2/m , 2 ont un sens.

5. Les autres sommes. — Quelques mots suffisent pour justifier
la considération des autres sommes. On a par exemple :

dy
les valeurs de y..,.,-^-,..,, v et r se rapportant au point M de

densité jjl. Nous convenons de ne considérer que des fonctions
continues ; toutes les fonctions qui sont coefficients de As sont
donc iiitégrables. Il en résulte que les sommations, étendues à
tous les points du corps, ont un sens ; et en outre qu'elles s'ex-
priment par des intégrales définies qui seront simples, doubles
ou triples selon que Ton considérera un arc, une aire ou un
volume.

S. Dautheville (Montpellier).

LA METHODE DE M. MERAY

POUR L'ENSEIGNEMENT DE LA GÉOMÉTRIE

Depuis que M. Laisant a signalé, sous le titre Une exhumation
géométrique (Enseignement mathématique, n° du i5 mars 1901),
la méthode de M. Méray, des progrès considérables ont été
accomplis, et il nous semble intéressant de les indiquer ici. On
se souvient qu'il s'agit de renseignement de la Géométrie, et que,
dans un ouvrage publié en 1874, M. Méray réformait de fond en
comble cet enseignement, menant de front l'étude du plan et de
l'espace, mettant franchement les axiomes en évidence, emprun-
tant à l'observation du monde extérieur les notions premières
indispensables et atteignant ainsi un double but : rendre plus
rapide et moins pénible l'acquisition des vérités géométriques ;
substituer une rigueur réelle à la rigueur apparente.

Les premiers essais pédagogiques de cette méthode permirent
d'espérer les meilleurs résultats et furent brutalement arrêtés par
l'esprit de routine; de nouvelles tentatives, toutes récentes
celles-là, confirment en tout point celles de 1876 à 1878. On peut
s'en rendre compte par la lecture d'une petite brochure extraite
de la Reçue bourguignonne de l'enseignement supérieur, qui con-
tient, en dehors du rapport de M. Chancenotte, dont M. Laisant a
publié les conclusions dans son article, les documents que voici :

Rapport de M. Billiet, professeur de mathématiques à l'École
normale d'instituteurs d'Auxerre (6 décembre 1900).

Lettre d'envoi, au recteur de l'Académie, du rapport précé-
dent, par M. Mironneau, directeur de l'Ecole normale d'institu-
teurs d'Auxerre.

Deuxième rapport de M. Billiet (1 3 juillet 1901).

Lettre d'envoi de ce deuxième rapport, par M. Mironneau,

44* S. PERRIN

Dans le rapport de 1900, M. Billict, après avoir rappelé quel
est le but de l'étude de la géométrie dans les écoles normales,
fait le tableau suivant, pas flatté, mais bien juste, de renseigne-
ment classique :

<( Les débuts sont longs, les démonstrations fastidieuses et
« souvent pleines de subtilité ; l'esprit des élèves est soumis a
« un ergotage incessant, sinon pédantesque ; sous prétexte de
« tout démontrer, on s'attarde à de véritables niaiseries pour
<c poursuivre une vainc rigueur; aussi, une étude faite de la
« sorte, loin d'assouplir l'intelligence, finit bientôt par l'anky-
« loser. »

Il fait toucher ensuite du doigt l'incohérence des programmes
des écoles normales, rejetant à la deuxième année des notions
géométriques nécessaires pour l'exécution du dessin géomé-
trique imposé dès la première année. Le travail manuel se prête à
des observations analogues à celles amenées par la considération
du dessin.

Pour mettre de l'harmonie à la place de ce chaos, M. Billict sol-
licita et obtint, dès 1898, l'autorisation de réformer son ensei-
gnement par l'introduction des « nouveaux éléments de Géo-
métrie » de M. Méray.

L'expérience fut renouvelée en 1899. « Les leçons, dit-il,
« étaient animées; les élèves s'intéressaient vivement à la nou-
« velle méthode. » Enfin, la tentative s'étendit encore, et les
élèves de première année suivirent le nouveau cours. « Ils avan-
« cent de surprise en surprise », ajoute encore l'auteur; « leur
« intelligence s'éveille et s'ouvre très facilement aux aperçus
« nouveaux qui leur sont présentés; tous sont frappés de Ten-
« chainement des théorèmes et de la simplicité des démonstra-
» tions ».

En résumé, M. Billiet conclut formellement en faveur de la
méthode de M. Méray, en constatant, d'après son observation,
qu'elle fait appel « à l'intelligence plutôt qu'à la mémoire ».

La lettre d'envoi de M. Mironneau constate que le professeur
« et les élèves se déclarent également satisfaits de la nouvelle
« méthode. »

Par une inspiration des plus heureuses, il donne un résumé
<r'une sorte d'enquête faite par lui auprès des élèves- maîtres,

LA MÉTHODE D€ .V. MER A Y 443

ayant presque tous déjà étudié la géométrie classique. Nous ne
pouvons reproduire ici les déclarations recueillies, pourtant bien
intéressantes. Elles se résument en une approbation que partage
du reste entièrement le directeur. Une seule inquiétude se mani-
feste, relativement aux examens; espérons, pour l'honneur des
examinateurs, que cette inquiétude ne sera pas justifiée. Je ne
résiste pas au plaisir de reproduire textuellement ici un passage
de la lettre de M. Mironneau : ce Malgré le respect qui s'attache
a a une méthode admirée depuis deux mille ans, il est difficile
« de ne pas constater que ce respect même en a fait une sorte
« de formulaire sacré qui risque d'endormir l'esprit au lieu de
« l'éveiller. » C'est rigoureusement vrai ; et il faut avoir le cou-
rage de le dire tout haut. L'admiration que nous devons avoir
pour les géomètres grecs n'en sera nullement diminuée, bien au
contraire, aux yeux des hommes qui prennent la peine de réflé-
chir; et si ces ancêtres revenaient au monde, ils seraient les
premiers, avec leur puissance d'esprit, à conseiller de ne pas
s'endormir dans la routine et les sophismes.

J'arrive maintenant au deuxième rapport de M. Billiet, celui
de 1901 ; c'est un important travail, qui n'occupe pas moins de
12 pages, bourrées de faits, de documents, .dans la brochure pré-
citée. L'auteur y énumère les conclusions suivantes et les déve-
loppe ensuite :« i° L'enseignement simultané de la géométrie
« plane et.de la géométrie dans l'espace fait gagner un temps très
« sensible sur la durée totale de l'enseignement géométrique;

« 2 La nouvelle méthode rétablit la concordance en bien des
« points, entre les diverses matières du programme de mathé-
« matiques et celles des enseignements théoriques et pratiques
« qui s'y rattachent;

« 3° Elle fait appel à l'intelligence des élèves plutôt qu'à leur
« mémoire;

ce 4* £He les habitue à penser par eux-mêmes et non plus seu-
le le ment par leur professeur ou par un livre. »

Il termine en répondant à certaines objections formulées par
des professeurs : i° Difficultés éprouvées par les élèves et par
les maîtres; 2 forme concise, trop savante de l'ouvrage; 3° l'ou-
vrage n'est pas accessible aux élèves des écoles primaires supé-
rieures; 4° l'ouvrage de M. Méray renferme quelques notions de

444 S- PERRIN

trigonométrie; 5° dans tous les examens, les élèves sont inter-
rogés d'après l'ancienne méthode.

Dans sa lettre d'envoi au recteur, M. Mironneau expose que ses
observations, tant sur la valeur éducative de la méthode que sur
les résultats purement géométriques, n'ont fait que confirmer les
conclusions de son précédent rapport : « i° En faisant marcher
« de pair la géométrie plane et la géométrie dans l'espace, la
u méthode Méray rapproche les vérités correspondantes et sup-
« prime les répétitions, d'où cette concision lumineuse dont les
« élèves se déclarent enchantés et qui représente, en somme, du
« temps gagné;

« 2° Cette marche parallèle du plan et de l'espace permet
« d'établir, dès la première année, entre les programmes de
« géométrie, de dessin linéaire et de travail manuel, la concor-
« dance qui rend une organisation pédagogique rationnelle;

« 3° Enfin, la fusion de la géométrie plane et de la géométrie
« dans l'espace permet des rapprochements ingénieux et sug-
« gestifs entre des notions que la géométrie euclidienne tient
« soigneusement séparées. De ces rapprochements, résulte pour
« les élèves la vision nette de l'ensemble, la vision synthétique,
« condition nécessaire de toute science. Ainsi, l'élève domine
ce son cours au lieu d'en être écrasé. Et, en effet, nous sommes
« particulièrement séduits par la facilité avec laquelle les élèves
« trouvent^ à une question donnée, des solutions originales. Un
« exercice ou un problème étant proposé, les élèves cherchent^
« et au lieu de considérer la bonne solution comme simple
« affaire de hasard ou de flair, au lieu de faire appel exclusive-
« ment à leur mémoire pour trouver des cas analogues, ils pro-
« cèdent à une véritable recherche scientifique. C'est ainsi
« qu'une même question est le plus souvent résolue de plusieurs
<( manières entre lesquelles il est fort intéressant de faire dis-
« tinguer ensuite la solution la plus logique, la plus simple ou
« la plus élégante. La méthode géométrique de M. Ch. Méray
ce est donc essentiellement éducative, »

Signalons enfin les résultats de Tannée scolaire 1 901- 1902
dans les écoles normales d'instituteurs d'Auxerre et de Dijon,
constatés par les rapports adressés par MM, les professeurs à
M. le recteur de l'Académie de Dijon.

LA MÉTHODE DE M. MÊRAY 445

A Auxerre, M. Billiet a pu, dans le courant de cette année,
terminer le cours de géométrie commencé aux élèves de première
année de 1900 1901. Le cours complet a compris exactement
vingt-sept heures en première année et trente-cinq heures en
seconde, soit un total de soixante-deux heures. L'emploi du
temps des écoles normales attribuant trente six heures en pre-
mière année et soixante-douze en seconde année, il en résulte
un gain de quarante-six heures, c'est-à-dire de plus d'un tiers en
faveur de la méthode M éray. A côté de cette grande économie de
temps, il faut ajouter une plus-value de même ordre sur les résul-
tats de l'ancien enseignement due à une synthèse remarquable,
caractéristique de l'ouvrage de M. Méray, qui permet d'étudier
vite et de savoir très bien, tout à la fois.

A Dijon, M. Chancenotte a enseigné la nouvelle méthode aux
élèves de première année. Il espère réussir à constater que
« l'ouvrage de M. Méray coûte moins d'eflbrts que la géométrie
« traditionnelle, tout en ouvrant à l'esprit de bien plus larges
« horizons ». Il insiste sur ce fait que « l'emploi de cette mé-
« thode permettra de donner une base rationnelle a l'enseigne-
« ment du dessin géométrique, et qu'ainsi, prendra fin pour cet
ce enseignement, le caractère presqu'exclusivement empirique
« qu'il revêt aujourd'hui. Cet empirisme peut être inévitable avec
« des enfants de l'école primaire, mais quand il s'agit de former
« le maître de la même école, il doit être regardé comme extrê-
« mement fâcheux, car l'instituteur doit, autant que possible,
« connaître le pourquoi de ce qu'il enseigne ».

L'année scolaire 1902- 1903 sera encore plus fertile en résul-
tats que les années précédentes : des applications de la méthode
ont été continuées à Auxerre, étendues en deuxième année à
Dijon, inaugurées dans les éeoles normales de Lyon, d'Albert-
ville et dans l'école primaire supérieure de Dijon. D'après les
informations reçues au 1 5 janvier dernier, on peut s'attendre à
une moisson abondante d'éloges à la fin de l'année.

Il semble bien établi aujourd'hui que les anciennes méthodes
maintenues jusqu'à présent dans l'enseignement universitaire sont
encore plus que les programmes la cause de l'insuffisance des
résultats acquis. Nous assistons actuellement à l'expérimentation
officielle d'une méthode d'enseignement des langues vivantes qui
Enseignement math. 29

446

CH. BERDELLÊ

rompt tout rapport avec renseignement classique des langues mor-
tes. Il est nécessaire que ces efforts se généralisent : nous
devons renoncer à nous payer de mots ; il nous faut acquérir des
idées si nous voulons rivaliser utilement avec nos voisins. Je ne
puis mieux terminer, pour constater combien la recherche de
nouvelles méthodes est à l'ordre du jour, qu'en citant les paroles
prononcées par M. Combarieu, chef de cabinet du ministre de
l'Instruction publique, inspecteur d'académie a Paris, lorsqu'il
présida la distribution des prix aux élèves des cours de dessin de
la ville de Paris, à la Sorbonne : « En somme, la pédagogie
« comme tant d'autres choses et suivant ce qui parait être une
« loi générale du progrès, est descendue de son char de Phaeton
« pour se rapprocher de la vie sociale. »

Elie Perrin (Paris).

SUR LA NOMENCLATURE DES PUISSANCES

En faisant, il y a un certain nombre d'années, des extraits
traduits de l'histoire des Mathématiques de Gantor, pour un
ami qui ignorait l'allemand, j'ai copié pour moi-même et mis en
tableau le renseignement suivant :

n 1

/!»

il*

/*•
« 7

NOMS DES PUISSANCES DES NOMBKK8, ADOPTÉS PAR

DIOPIIANTE

Nombre.

Carré.

Cube.

Carré carré.

Carré cube.

Cube cube.

Carré carré cube.

LES ARABES

Nombre.

Carré.

Cube.

Carré carré.

Premier sursolide.

Carré cube.

Deuxième sursolide.

J'ai donc été bien étonné en lisant dans l'histoire des Mathé-

SUR LA NOMENCLATURE DES PUISSANCES

447

matiques de Ferdinand Hoefer. (p.. 298) un paragraphe dit, sur
l'autorité de A. Sédillot, Ion attribue aux Arabes une nomen-
clature identique à celle de Diophante. A la fin de ce paragraphe
l'on dit: « Ces dénominations des puissances étaient déjà
connues des Grecs, ce qui contredit l'opinion de Wallis, pré-
tendant que les Arabes avaient adopté, dans leur nomenclature,
un système différent de celui de Diophante. » Qui a raispn de
Cantor et Wallis d'un côté, de Hoefer et Sédillot de l'autre. 11
semble que ce problèine historique doit recevoir la solution
suivante : il y a eu des mathématiciens arabes qui ont suivi la
nomenclature de Diophante et des anciens Grecs ; il y en a eu
d'autres qui ont cherché a faire mieux. Pourtant, avant de se
prononcer, il serait intéressant de connaître les documents sur
lesquels on s'est appuyé pour émettre Tune et l'autre des affir-
mations contradictoires.

Mais il s'élève une autre question, c'est celle de savoir laquelle
des deux nomenclatures est préférable. 11 me semble qu'en
écartant les expressions i er et 2 e sursolide, c'est celle des Arabes
non imitée des Grecs qu'il faut préférer. En effet /i* est-ce un
carré ? Non ! Est-ce un cube ? Pas plus ! Pourquoi alors l'affubler
de ces deux noms ? Posez les mêmes questions relativement à
/* 6 et vous verrez que u * mérite réellement le nom de carré cube
ou de cube carré. C'est même sa double propriété de carré et de
cube qui valut au nombre 64 l'honneur d'être choisi par
Charles XII pour base d'un nouveau système de poids et mesures
qu'il voulait donner à la Suède.

. n 1
lignée

carré

bicarré

tricarré

n 1
lignée

« 2
carré

bicarré

n
tricarré

lignée

n 1

n 9

n»

n 9

/j 3
cube

/!«

«»

n"

cube

n*

/i 5

n>

n"

n 9
bicube

„18

n u

;i 7 *

n 9
bicube

7l to

«"

„t3

« 17

tricube

/j"

;| I0I

n %i*

/1"
tricube

«**

n*>

„3i

. /i"

448 CH. BERDELLÈ

La cinquième puissance sera-t-elle de ce fait privée de nom
géométrique. Non ! C'est le produit du carré par le cube, ou du
cubé par le carré. C'est donc un carré de cubes, cuborum qua-
dratus, en allemand Kubenkadrat ; mais, il faut se garder de le
confondre avec le nombre carré et cube ou plus simplement
carré-cube, fquadratus-cubus, quadratkubus ou kubusquadrat).

Au bas de la page précédente se trouvent deux tableaux com-
paratifs à double entrée qui pourront servir pour les dénomi-
nations à donner à un certain nombre de puissances.

Dans le premier de ces deux tableaux les exposants du corps
du tableau sont formés par l'addition de ceux des deux entrées;
dans le second c'est par leur multiplication. Maintenant si nous
prenons dans un des deux tableaux une puissance quelconque de
n nous pourrons la caractériser en faisant un seul tout des deux
dénominations qui se trouvent aux deux entrées correspondantes.
Seulement dans le premier tableau l'une des dénominations
sera au nominatif singulier^ l'autre au génitif pluriel. Dans le
second tableau les deux dénominations seront mises en apposi-
tion. Ainsi n 1 * est un bicarré de bicubes tandis que n 8i est un
bicarré bicube. On m'objectera que ces noms ne seront jamais
employés ; aussi je ne les donne pas pour servir de dénomina-
tions, mais plutôt comme des affirmations laconiques de
théorèmes de géométrie numérique. Dire que n 34 est un bicarré
bicube c'est dire, en un langage moins bref que celui de l'Algèbre,
mais pourtant encore très laconique que : si on extrait la racine
cubique de n *' on obtient un côté qui peut encore être disposé
en cube. Le côté de ce cube peut être disposé eu carré dont la
racine sera encore un carré, et la racine de ce dernier sera n.
En effet dans ce cas particulier on peut faire les opérations :

dont la possibilité est indiquée par ces mots bicarré-bicube.

11 y a des amateurs d'Arithmologie qui désireraient que les
noms des dix premières puissances des nombres puissent être
exprimés par des moyens plus laconiques que de dire cinquième
puissance. La chose est facile sans recourir à la langue grecque,
le latin suffit, mais en recourant à un artifice employé par les
capitaines instructeurs qui au lieu de croisez baïonnette disent

SUE LA NOMENCLATURE DES PUISSANCES

449

simplement, « croisez ette ! n Donc au lieu de dire en latin quint*
fotentia nous dirons quintentia> ce qui nous fournira les déno-
minations féminines suivantes en latin, français et allemand :

primentia.
secundentia .

primence.
secondcnce .

primenz.
sekundenz .

tertientia .
quartentia.
quintentia .
sextentia.

tierçence.
quartence.
quintence.
sextence.

terzienz.
quartenz.
quintenz.
sextenz.

septimentia.
oc ta vend a.

septimence.
octarencft.

septimenz .
octaven^. ,

nonentia.
décime ntia.

nonence.
décimence.

nonenz.
decimenz.

Parlons ici encore d'une question qui se rattache par des lien»
assez étroits à celle des noms géométriques des puissances.

On sait qu'on appelle équations trinômes des équations de
forme suivante

ar* 1 + P x n + PF° (■)

et qu'on donne à l'équation

le nom d'équation bicarrée. ;.,, i:

Or les équations du 3 e degré peuvent, on le sait, être réduites,,
par élimination du 2 e terme à la forme

*" + P* + 9 = «• (3)

On ne voit pas alors pourquoi les équations de forme i,

**» + px m -f- p = o. (4J

ne mériteraient pas aussi le nom d'équations trinômes. Seule*
ment on distinguerait les équations trinômes en quadratiques (r)
et en cubiques (4).

Sans savoir si l'utilité en pourra être bien grande, nous
croyons donc qu'il serait intéressant de classer et de nomen-
claturer les équations trinômes de la façon suivante :

x 2 -f- px + p = o Équation trinôme quadratique. ' f;. :

x* + px + p == o cubiquç. ,. . , •j'!:. 1 '.

~f~ px* -f- p = o bicarrée.

x* + px 3 + p = o
x 9 -j- px* + P = o

x* 4- px u + ? = ° <

+ px* + p = °\

. cuboquadratiquc .
quadratocubique .
tricarrée.
bicubique.

1

45o M. LERCH

Les nombres sont d'une classification très facile, ainsi que les
opérations qu'on peut effectuer sur eux, et il me semble que
l'étude de cette classification ne serait pas stérile pour tous ceux
qui s'en occuperaient.

Ch. Berdellé (Rioz, Hhute-Saône).

DÉMONSTRATION ÉLÉMENTAIRE DE LA FORMULE

00

I. Un lemme. — De la double inégalité bien connue

sine

i > *- > cose

il suit que

9

. sine . ., ©

o < i - < i — cose = 2 sin- -*- .

e ♦ a

sine .
o<i+— <-<2;

?

d'où en multipliant,

o < i """ ? < 4 »in 2 -I-

sin*e . e

,-*- < 4 sin 2 -i-
e z

ou, après la division par la quantité

o ©

KÎn*e — 4 s i n * -*- cos * -*- t

' 2 2

x ' Hin*o e*- cos* —

• 2

En supposant o obtus, cette double inégalité permet de con-
clure que la fonction

sin*? o 2

reste finie dans l'intervalle I — — > -r )

DÉMONSTRATION ÉLÉMENTAIRE D'UNE FORMULE 45*

II. — Je pose cp = am pour avoir les infinis de la fonction

W fi M = -r^—

sous forme simple, et je vais considérer la somme évidemment
convergente

v = — 00

qui devient infinie pour les mêmes valeurs que la fonction
f t (x). On voit d'abord que Ton a

f l [x + m) = f i (x) i A (* + ») = /;(*), («=:±i,=fca,:fc3 f ...)
puis on s'assure que la différence

(4) *(*)=/;(*}- a w

reste finie dans l'intervalle ( — f- ... — ) et par conséquent pour

tous les x.
En effet, on a

la fonction

restant finie dans l'intervalle ( > — J , et la quantité

devient la différence de deux fonctions qui, dans l'intervalle

! - , -7- j restent finies.

Il y a donc une constante positive C telle que partout

(5) l*MI<*,

la valeur spéciale de cette constante n'ayant d'ailleurs aucune
importance pour nous.

45a M. LERCU

III. —Si, dans la série (3), on transforme l'indice sommatoire
v en posant

v = p + \xm (p = 0,1,2, ...m — 1 ; jjl = o, db i, :± a, . . .)
où m signifie un entier positif quelconque, il vient

m — 1 00 m — I 00

ou bien

w— i

Une équation fonctionnelle toute semblable subsiste pour la
fonction

f f \-_ rc 8

mais nous nous bornerons pour l'établir dans le cas particulier de
m — %* f k étant un entier positif quelconque.
On a d'abord

L x ' x ' -I 4 sin* — 4 co8* —

, . , xtz xi: sm s £ic
4 siii* cos s

1 2

=/■,(').

de la sorte que l'équation

se trouve vérifiée pour m = 2. Admettant qu'elle subsiste pour
une valeur m, nous transformerons les termes du second membre
en l'employant dans le cas de m = 2, ce qui donne

DÉMONSTRATION ÉLÉMENTAIRE D'UNE FORMULE 453

et il s'ensuit au lieu de (7)

IH — 1 M — 1

ou bien

'■'*>= <^2>(^)

ce qui est la formule (7) écrite avec la valeur a/w de l'entier m.
La formule (7) ayant lieu pour m = 2, sera vraie, par consé-
quent, pour /iï = 4* 8, 16, et en général pour m = a*.

IV. — Les deux formules (6) et (7) ayant lieu pour m = 2*, il
^'ensuit pour la fonction

*m-/i(*)-/;m

la formule de la même forme

« ^>=i|;ir(^).(— *î.

Puisque pour toute valeur.de .r l'inégalité (5) a lieu, cette der-
nière formule permet de conclure

l'M !<■£?=£• ( '" = a * ! '

et il s'ensuit en faisant croître k au delà de toute limite, que

l'on a

ls(*)! = o.

• Ceci vérifie l'équation f x [x) =/ 2 (x) f ou bien

00

vZZOO

qu'il s'agissait d'établir. Elle fait voir, d'une manière qui me
parait élémentaire et simple, que la fonction sin aie est analytique,
ce qui permet d'obtenir son développement suivant les puissances
de x sans faire usage du théorème de Taylor-Cauchy.

M. Lkiu;h (Fribourg, Suisse).

L'ÉQUATION DU PRISME OPTIQUE

L'étude des formules du prisme optique, dans le cas d'un
rayon se propageant dans une section principale, peut se faire
d'une manière plus didactique qu'on ne la fait ordinairement.
Voici la marche à suivre.

Les équations du prisme
sont :

sin i sin i'

\ sin r sin r"
(l) / X-r + r'

D=i + i'-(r+r'),

au nombre de 4 entre y quan-
tités-. On pourra donc en éliminer les quantités r, i v , r' et trouver
ainsi une relation

f (D, A, /*, t) = o.

Pour cela de (i) nous tirons

r = D + À — i
et

sin (D -f- A — i) . . sin A i/n* — sin* i — cos A sin i

i : - = sin r = sin (A — r) = - •

L'équation cherchée \f= o) est ici

(a) sin (D -f- A — i) — sin A. y 7 » 2 — sin 2 i + cos A. sin i z=z o.

Discussion. — i er cas. En supposant que A augmente, les i
et n restant constant, on voit que D augmente aussi, car on a

dD cos A y n 1 — sin'i -f- sin i sin A \

"5Â" ~ cos (D + A — i) /°*

V ÉQUATION DU PRISME OPTIQUE 455

2* cas. En supposant que n augmente, les i et A restant cons-
tant, on voit de l'équation (a) que D augmente aussi.

3 e cas. Supposant enfin que 1 varie, les A et n restant cons-
tant, la déviation D varie aussi. Prenons la dérivée
dD - cos 1 r sin A. sin i , ~1

— 7T- = I ît— : 7 r- I ==- + COS A I

di cos (D + A — 1) |y w i _ 8 i n 2 i J

cos i. cos r'

cos i' . cos r

qui peut s'annuler pour une valeur particulière de 1. Il existe
donc une valeur extrême de D.

Pour cet angle d'incidence on doit avoir --p- = o, c'est-à-dire

(3)

et, en élevant les deux membres de l'égalité (3) au carré, on.
trouve

1 — ain 2 i

n* — sin f i

** — 1

r= 1

1 — sin* i'

n* — s in - i'

•n* -*■ 1

sin* i =. sin* i'.

d'où

On a donc pour la déviation extrême

et l'on voit aisément que cette valeur correspond à un minimum
de déviation, en comparant la déviation pour cette valeur à la
déviation correspondant à une autre incidence, ou encore en
examinant le signe de la dérivée seconde ,. t , pour i = /♦.

C.Maltézos (Athènes).

NOTES ET DOCUMENTS

Cours universitaires.

Semestre d'hiver 1903-190',.

SUITE (»)

AUTRICHE

Wien. Universitàt. — V. EschbrichJ Bestimmte Intégrale, 5 ; Pro-
seminar fur Mathematik, 1 ; Seminar fur Mathematik, 2. — - Mbrtexs :
Elemente der Differential-und Intégral rechnung. Uebungen im mathe-
matischen Seminar, 2. Uebungen ira mathematischen Proseminar, 1.
— Kohn : Analytische Géométrie, 4. Uebungen zu dieser Vorlesung,
1 g. Kurven und Flachen III. Ordnung, 2. — Taubejl : Funktionen-
llieorie, 4. Versicherungsmathematik, 4. — BlaschkE : Einfùhrung in
die raathematische Statistik, II. Teil, 3. — Daublebsky v. Sterneck :
Kreisteilung und Kummersche Zahlen, 2. — Carda : Einfùhrung in die
Differential géométrie, 2. — Plbmelj : Zahlen théorie, 2. — GrFinwald :
Fouriersche Reihen und Intégrale, 1 . — Weiss : Bahnbestimniung von
Planetenund Kometen, 4. — v. Hepperger : Sphârische Astronomie,
4. Astrophysik, 1. — Schram : Astronom. Rûckrechnung ûberliefertcr
Himmelserscheinungen und dereh Anwendung in der Chronologie, 2.
— Prey : Elemente der darstellenden Géométrie, mit Anwendung atif
Kartenprojektionen, 2.

Wien. Technische Hochschulc. — Matliematische Fâcher. — Allé ;
Mathematik I. Curs. — Zsigmondy : Mathematik I. Curs. — Czuber :
Mathematick II (Bauingenieurschule),, Grundlehren der hoheren Mathe-
inatick, Wahrscheinlichkeitsrech. — Reich : Ausgewahlte Kapitel
aus der hoheren Algebra. — ,Tauber : Versicherungsmathematik 1. u.
II. C. — Blaschke : Einfùhrung in die mathematische Statistik. — v.
Daublebsky : Théorie der Raumkurven u. Flachen. — Mùller : Dar-
stellende Géométrie u. konstruktives Zeichnen. — Schmid : Darstel-

(') Faute de place nous devons renvoyer au numéro de janvier 1904 la publica-
tion du tableau des cours de mathématiques des principales Université* de*
Etats-Unis.

La Rédaction.

SOTES ET DOCCMEXTS 4^7

lende Géométrie and konstrnktÎYes Zeiehnen. — Malle» : Stereogra-
phiscbe Projekûon a. Cyklographie, Seminar fur darstellende Geotte-
trie. — Scmii» : ProjektÎTe Géométrie 1 a II. — Fixger : Elément?
der reînen Mechanik in Verbindang mit graphischer Statîk. — Zsm-
MOXDT : Elemente der reinen Mechanik in Verbindung mit graphischer
Sutik. — Fixes* : Encyklopâdie der Mechanik. — v. Trtmajer :
Technische Mechanik I. Tl. — Hermakek : Technische Mechanik IL
Tl., Hydromechanik, ausgewàhlte Kapitel. — Fixger : AnalytisrW
Mechanik. — Pollace. : Elemente der niederen Geodâsie. — Scbeli. :
Praktiscbe Géométrie, Situationszeichnen, Photogrammetrie. — Tin-
ter : Méthode der kleinsten Quadrate. Hôhere Geodâsie. Spharische
Astronomie, Uebungen im Beobachten nnd Rechnen, Geodatische
Rechen ùbungen .

FRANCE

Paris. — Faculté des Sciences. — G. Darboux : Principes généraux
de la Géométrie infinitésimale (a heures par semaine). — E. Gocrsat :
Opérations du calcul différentiel et du calcul intégral. -Eléments de la
théorie des fonctions analytiques (2 heures). — P. Pain levé : Des lois
générales de l'équilibre et du mouvement (a heures). — P. Appell : Elé-
ments de mathématiques préparatoires à l'étude de la mécanique et des
sciences physiques (*i heures). — H. Poincarb : Des perturbations pla-
nétaires (a heures). — J. Boussinbsq : Propriétés thermo-mécaniques
des solides et des fluides. (Théories générales des pressions, des défor-
mations et de la conductibilité. Application aux solides : dilatations
et déformations thermiques. Application aux fluides : courants de
convection ; pouvoirs refroidissants d'un fluide et d'un courant fluide.)
(a heures). — G. Kœnigs : De la cinématique théorique et de son appli-
cation aux machines. La statique graphique et ses applications à
l'étude des machines à l'état de mouvement (* heures). — L. Raffv :
Conférences sur la Géométrie supérieure (i.conf. par sem.). — P. Pui-
sbux : Conférences sur la mécanique. Exercices et développements sur
le programme du certificat de mécanique rationnelle. Théo/ie de l'at-
traction. Attraction des ellipsoïdes (a conf. par sem.). — Andoyeii :
Conférences préparatoires à l'agrégation des sciences mathématiques
(a conf. par sem.). — Blutbl : Conférences préparatoires à l'agrégation
des mathématiques (1 conf. par sem.). — M. Servant : Conférences sur
la mécanique physique (1 conf. par sem..).

Cours de mathématiques générales. — Ce. cours est destiné à mettre
les étudiants, qui ne possèdent pas suffisamment le programme de
mathématiques spéciales, à même de profiter le plus rapidement pos-
sible de l'enseignement supérieur de la Faculté. Cet enseignement dont
la création était attendue depuis longtemps est confié à M. Paul Appell,

4^8 CORRESPONDANCE

l'émûient professeur de Mécanique rationnelle de là Faculté des sciences.
Les cours auront lieu 3 fois par semaine pendant le semestre d'hiver.
Dans notre prochain numéro nous indiquerons les points principaux
du programme de cet enseignement.

ILES- BRITANNIQUES '

• London.' Kings Collège (University of London). — Mathematics.
Professor : W. H. -H. Hudson. Lecturers : J.-B. Dalb ; R.-W.-K.
Edwards.

Class I, fivehours (preparing forthe London University Matriculation
Examination) Arithmetic, Algebra and Geometry.

Class II, four hours (preparing for the London University Interme-
diate Examination in Arts and Science), Geometry, Algebra, Solid
Geometry Trigonometry and Plane Coordinate Geometry.

Class III, four hours (preparing forthe B. A. Pass Examination ofthe
University of London), Algebra, Trigonometry, Geometrical, Conics,
and Plane Coordinate Geometry.

Class IV, spécial course B. A., and B. Se. Honours. — Alg. Analy-
sis, î h. — Analytical Geometry of Curves and Surfaces, i h. — Diffe-
rential Equations, i h.

Class V, course for M. A. — Higher Analysis, î h. — Diflerential
Equations of Mathematical Physics, i h.

Applied Mathematics. Professor : W. G. Adams. Demonstrator : F.
Whitk. Theoritical Mechanics, I Int. Arts class, two hours. — IL.
B. A. Class, tree hours; Statics and Dynamics, Hydrostatics, Astro-
nomy.

CORRESPONDANCE

A propos de l'article de M. R. Baron
' Philologues et Psychologues en face du problème des parallèles.

L'article publié sous ce titre dans notre numéro de juillet (année
i(>o3, p. 'AyS-'iSn) a, comme on devait s'y attendre, soulevé plusieurs
critiques. M. Baron a certainement eu une pensée originale en voulant
montrer qu'il y a des tournures d'esprit qui n'acceptent plus la science,
quand elle cesse de donner des résultats tangibles ou qu'elle élargit le
domaine de nos conceptions au delà de celui qui est accessible à nos
sens. Mais il faut reconnaître qu'il s'appuie parfois sur des notions

CORRESPONDANCE /fiç

géométriques un peu fantaisistes. Telle est celte de V angle tronqué (p. a8j).
Elle n'a aucun sens précis, Fauteur ayant négligé définir ce qu'était
la mesure d'un angle tronqué. Introduire une notion d'aire dans la
mesure d'un angle ne peut conduire qu'à des contradictions bizarres.

Nous reproduisons ci-dessous celle des critiques qui insiste précisé-
ment sur ce point; elle est extraite d'une intéressante lettre que nous
adresse M. G. Popovici, professeur à Turno-Severin (Roumanie).

La Rédaction.

Je crois nécessaire pour l'intelligence des choses de rappeler d'abord
textuellement le passage dans lequel M. Baron expose sa notion d'angle
tronqué.

ce J'aimerais, mieux, pour mon compte, démontrer d'emblée que la
somme des trois angles d'un triangle ne peut être inférieure à deux
droits (on sait que cette somme ne peut être supérieure à deux droits).
Je me servirai, toujours à l'usage de gens qui ont ma psychologie, de la
notion de I'Angle tronOué.

<( L'angle tronqué est un espace non fermé et néanmoins délimité par
3 droites. Par le fait, c'est un angle-espace diminué d'un triangle plu»
ou moins grand. Que cet espace triangulaire
soit négligeable ou non, il est évident que
l'angle tronqué ne saurait être plus grand que
l'angle non tronqué dont il dérive.

« Dans de telles conditions, la somme des
espaces FAD + DACE +ECG ne saurait être
supérieure à FAD +- DBE + ECO, et il en
résulte que la somme des angles A + B + G
égale au moins deux angles droits (angles-
espace).

« Telle est la tournure de mon propre esprit : je ne vois pas la faute
logique que je puis commettre en ceci, savoir : Que la somme des
angles-espace d'un triangle, n'étant ni inférieure ni supérieure à deux
droits, elle est forcément égale à deux droits. Je suis évidemment un
vulgaire euclidien, puisque cette preuve me suffit. — Mais il est pro-
bable que je ne serai pas le seul. »

Les raisonnements de M. Baron offrent vraiment une grande apparence
de rigueur, puisqu'ils sont soutenus par des preuves évidentes à nos
yeux. Mais je crois qu'il y a souvent une différence entre ce que nous
voyons et ce qui existe.

En effet, reprenons ces raisonnements pour en tirer quelques con-
clusions.

Premièrement, la conclusion, ou, pour mieux dire, le premier fait
observé est le suivant :

FAD + DBE + ECO, c'est-à-dire :
EA -f- B + C =z 'à angles-espace -J- ABC triangle -espace.

46o CORRESPONDANCE

et, d'autre part, puisque la somme A + B -f- C ne peut être inférieure
à deux angles droits et puisqu'il est déjà démontré quelle ne peut être
•supérieure, on a forcément la conclusion :

A -|- B + C = a angles droite-espace.

Retranchons membre à membre :

O = ABC triangle-espace.

Je crois que je ne serais pas trop prétentieux si je proposais à M.
Baron de me démontrer que tous les triangles sont égaux. Je viendrai
démontrer à mon tour que l'infini est nul.

On peut utiliser les conclusions citées, à savoir : FAD -f- DBE
4- ECG =A + B-|-C = a angles droits espace, c'est-à-dire l'espace
illimité FABCG= a angles droits espace, et pour les appliquer à l'étude
de la variation de la somme de deux angles droits ; on supposera que la
droite AC se déplace parallèlement pour aller même au delà de B.

Il y aurait là une belle question ; je me borne à faire remarquer qu'on
pourra la résoudre : i) Par la géométrie euclidienne ; a) Par la géomé-
trie non-euclidienne.

Voici maintenant une autre question : soient deux angles égaux
(angles-espace) A et A'. Supposons que Ton ait disposé les angles A et

Çl A' de manière qu'ils aient

/" un côté commun et qu'ils

„*'' forment deux angles corres-

X y' S pondants BAC, BA' C\

^''' Alors nous voyons que la

différence de ces angles est

l'espace infini CAA'C'; mais

4,>'** / ^\. les angles étant égaux leur

différence est nulle, donc
l'espace infini CAA'C est
nul.

Passons à une autre ques-
tion. La somme de tous les angles adjacents formés autour d'un point O
et d'une même partie d'une droite est égale à deux angles droits. Dont*
tout l'espace ABO vaut deux angles droits, de même tout l'espace
A'B'O fera deux angles droits.

Par conséquent la différence AB, A'B' est égale à zéro.
Les lecteurs, et peut-être M. Baron aussi, liront avec intérêt ces
quelques remarques et ils comprendront mes conclusions.

C'est le danger de l'introduction trop délicate de 1 Angle-espace au
lieu de l'angle biradial. Dans mes raisonnements je n'ai fait que suivre
les conseils de M. Baron : « On ne doit confondre l'angle bi radial avec
r angle-espace ». Particulièrement il nous faut remarquer que deux

COHRKSPOXDANCE 461

angles dont les côtés ont des directions qui font entre elles un angle
nul ne sont pas nécessairement égaux ; dans tous les autres cas, lorsque
les directions des côtés feront des angles égaux, les angles seront
égaux, c'est-à-dire superposable s (il faut remarquer que je parle en
géométrie euclidienne).

Puis je tiens à signaler une erreur de logique. Quoique M. Baron
déclare : qu'il sait que la somme des angles d'un triangle ne peut être
supérieure a deux angles droits, il constate que cette somme dépasse deux
angles droits précisément du triangle ABC, quantité négligeable ou non
(si elle ne saurait être négligeable M. Baron, croyait — je pense —
avoir mieux raison), puis il en conclut: donc cette somme ne peut
être inférieure à deux angles droits, et d'après cette tournure il ne voit
pas la faute logique s'il dit que cette somme est forcément égale à deux'
droits. C'est d'abord un fait psychologique, je m'imagine, constaté par
nous tous, que lorsque nous avons des idées préconçues, notre psy-
chologie nous emporte, par des fautes logiques, à forcer les raisonne-
ments jusqu'à ce que notre but proposé soit atteint.

Une autre faute est qu'on opère avec des infiniment grands comme
avec des quantités égales, et, ce qui est plus dangereux dans ces rai-
sonnements, est qu'on exprime la différence entre des quantitées
infinies (A + B-f-C) — a triangles-espace par des quantitées unies :
triangle ABC négligeable ou non.

11 y a encore un raisonnement très curieux que je veux donner à pro-
pos de cette remarque. Une droite infinie partage le plan en deux
demi-plans. Il n'y a pas de raison pour que ces deux demi-plans ne
soient pas égaux, ou mieux : par raison de symétrie ces deux demi-
plans sont égaux.

Supposons que cette droite infinie a'b' tourne autour du point I et
devienne A'B' ; alors les demi-plans a'b\G et A'B',0 sont égaux puis-
qu'on a retranché et ajouté deux angles (espace) opposées au sommet
I. On a donc A'B'O = a'b'o. D'autre part si la droite avait tourné de
même angle autour du point K on aurait pour la même raison a'b'o =
ABO. Donc A'B'O = ABO. J'ai donc bien démontré rigoureusement
que l'espace infini ABA'B' est nul. Mais, si vous ne le voulez pas, alors
il vous faudra admettre que lorsqu'une droite a'b' tourne autour d'un de
ses points les deux demi-plans séparés varient d'après la position du
point de rotation, mais alors c'est contraire à l'hypothèse qu'une droite
partage le plan en deux demi-plans égaux, dont nous sommes partis, ce
qui est absurde ; de plus, je vous prie, précisez-moi de quelle partie
doit se mouvoir le point I pour que le demi-plan a'b'o croisse, et de
quelle partie pour qu'il décroisse pendant la rotation, et cela pour
quelle raison.

C. Popoyici (Turno-Severin, Roumanie.)

Enseignement math. 3o

BIBLIOGRAPHIE

A.-R. Forsyth. — A Treatise on Differential Equations. Third Edition,
i vol. relié, 5n pages; Macinillau et C ie , Londres, 1903.

Nous signalons à nos lecteurs cette nouvelle édition du Treatise on Diffe-
rential Equations de M. Forsyth. Ce traité appartient depuis longtemps à lu
calégorie des ouvrages classiques sur les éléments de la théorie des équa-
tions différentielles, et c'est à ce titre qu'il a été traduit en allemand (en 1889}
et récemment en italien. Il n'y a donc pas lieu de donner une analyse de ce
livre ; il suffira de signaler simplement en quoi cette troisième édition, revue
et augmentée, diffère de la précédente.

Les principaux changements portent sur l'étude de l'équation de Riccati, sur
la discussion des conditions d'intégrabilité d'une équation aux différentielles
otales, et sur la démonstration du théorème fondamental relatif à l'inté-
grale d'une équation linéaire aux dérivées partielles du premier ordre de
La grange.

D'autre part, l'auteur a ajouté un court aperçu de la méthode de Rimgv
pour la résolutiou numérique d'équations différentielles du premier ordre
et de la théorie des multiplicateurs de Jacobi ; il signale également la méthode
de Frobenius pour la résolution des équations linéaires à l'aide de séries.
Ajoutons pour terminer, que le nombre des problèmes et exercices a été con-
sidérablement augmenté. H. F.

E.. Goursat. — Cours d'Analyse Mathématique, 1. 1. — 1 vol. gr. in-8°;
prix : 20 francs ; Paris, Gauthler-Yillars, 190a.

L'ouvrage de M. Goursat est le résumé de son cours de la Faculté des
Sciences ; le premier volume contient l'élude des fonctions de variables
réelles sauf la théorie des équations différentielles reportée au deuxième
volume et la théorie des incommensurables exposée dans les livres d'Algèbre.

Tout au long du premier volume on retrouvera le désir exprimé par l'au-
teur de rester élémentaire dans son exposition, précise et claire mais éloignée
cependant d'une « généralité superflue dans un livre d'enseignement ». On
remarquera non moins l'abondance des matières traitées dans ce livre, leur
adaptation aux nécessités d'un enseignement de plus en plus riche et péné-
trant, et le souci constant de M. Goursat d'éclairer une théorie abstraite par
un exemple concret, géométrique s'il est possible.

Nous ne pouvons que citer les théories sur lesquelles l'auteur a particu-
lièrement insisté et les questions qui semblent émerger du fond moyen des
cours de licence.

La notation différentielle est introduite dès les premières questions par
suite « des avantages qu'on y trouve pour la symétrie et la généralité dans
les formules ».

BIBLIOGRAPHIE 463

Parmi les premières questions étudiées, les fonctions implicites et les
déterminants fonctionnels se résument dans le théorème suivant :

« Soient u v w 2 ,... u n ,n fonctions de n variables indépendantes x it x it ... x n .
Pour qu'il existe entre ces n fonctions une relation ne renfermant pas les
variables x i9 a* s , . . . x n , il faut et il suffit que le déterminant fonctionnel cor-
respondant soit identiquement nul ».

L'auteur appelle l'attention de l'étudiant sur la grande importance de cette
proposition en Analyse et montre comment on peut en tirer le théorème
fondamental des logarithmes.

A propos des changements de variables quelques pages sont consacrées
aux transformations des courbes planes et aux transformations de contact ;
à citer ici les exemples de Legendre et d'Ampère.

Les notions de limite inférieure et supérieure d'un ensemble de nombres
ainsi que la notion d'oscillation précèdent la méthode de Riemann dans la
recherche de la condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction soit
intégrable dans un intervalle : une fonction continue satisfait à une telle
condition.

Successivement nous voyons comme applications des intégrales : la dé-
monstration de la transcendance du nombre e par la méthode de M. Hermite
et l'esquisse des intégrales curvilignes; puis quelques aperçus des intégrales
abéliennes et des courbes unicursales. Après l'exposé des intégrales ellipti-
ques, suivent l'intégration double avec la formule de Green et l'exposition du
changement de variables ; ces théories s'achèvent par des compléments sur
les intégrales de surface, les formules de Slokes et les intégrales eulériennes;
la théorie des intégrales multiples se ramène d'ailleurs facilement à celle des
intégrales doubles par des transformations successives.

Dans l'intégration des différentielles totales d'une importance si considé-
rable en Physique mathématique, les périodes sont abordées en quelques
lignes faciles à lire.

Depuis la représentation et la définition des fonctions analytiques par des
séries de Taylor, les séries ont acquis une importance considérable et même
fondamentale dans les questions les plus abstraites de l'Analyse, alors qu'au-
paravant leur rôle se réduisait presque à n'être qu'une méthode de calcul.
La théorie des séries entières et des fonctions représentées par une série de
Maclaurin semble être un sujet de la plus grande importance pour les futurs
mathématiciens; qu'il s'agisse de la croissance des fonctions ou de leurs
points singuliers lorsqu'elles sont uniquement connues par une série de
Maclaurin ou définies par une équation différentielle, on trouve là tout un
ensemble de questions difficiles dont la résolution partielle a permis d'ap-
profondir les concepts de fonction et de nombre ; les travaux qui s'y rap-
portent constituent actuellement une grande partie de l'Analyse pure.

L'auteur s'y arrête longtemps.

11 rappelle les règles de convergence : la règle de Cauchy étant plus géné-
rale que celle de d'Alcmbert. Les critères logarithmiques permettent de se
figurer une échelle de convergence et de divergence ; ils se rattachent aussi
à l'une des questions les plus étudiées à l'heure actuelle : la croissance des
fonctions ; ils sont suivis de la multiplication des séries et de la théorie des
séries multiples où se présente la généralisation du théorème de Cauchy
ramenant la convergence d'une série à l'existence d'une intégrale double.

La représentation des fonctions par des séries commence avec la notion

\H BIBLIOGHAPUIE

de convergence uniforme. La conlinuité d'une fonction entière et la formation
de ses dérivées successives se présentent ensuite.

L'introduction des fonctions majorantes permet de grouper autour d'une
idée simple un grand nombre de questions, comme la substitution d'une série
entière dans une autre, la division des séries entières et la théorie des fonc-
tions implicites avec la décomposition d'une fonction de deux variables en un
produit de deux facteurs d'après Weicrstrass ; celte décomposition est inté-
ressante au double titre historique et formel car c'est l'une des premières
propositions générales obtenues dans la théorie des fonctions de plusieurs
variables. L'étude des fonctions implicites définies par un système d'équa-
tions est résumée dans un théorème général dont la démonstration n'est faite
que sur un cas particulier.

Le développement des fonctions arbitraires en séries trigonométriques et
des fonctions continues en séries de polynômes met en évidence divers
modes, plus généraux, de représentation des fonctions soumises dans un inter-
valL- donné à moins de restrictions que les fonctions développables en *éries
de Taylor; celles-ci doivent avoir des dérivées alors qu'une fonction continue
peut ne pas en avoir comme le montre l'exemple de Weiertrass avec lequel
M. Goursat finit la partie purement analytique de son premier volume.

Les trois derniers Chapitres présentent les applications géométriques de
l'Analyse qui précède.

La notion de courbure est rapidement introduite.

A la théorie des enveloppes et des surfaces développables succède l'exposé
détaillé de la courbure et de la torsion avec leur application aux hélices et
aux courbes de M. Bertrand.

La théorie des surfaces profite largement de l'aide des simplifications géo-
métriques ; les calculs effectués permettent souvent l'expression facile des
éléments et des conditions en coordonnées curvilignes ; c'est ainsi que les
équations des lignes asymptotiques et des lignes de courbures sont obtenues
avec des exemples simples d'application.

Les lignes de courbure donnent lieu à la démonstration des formules
d'Olînde Rodrigue», des théorèmes de Joachimsthal et de Dupin suivis de
leurs applications aux lignes planes et sphériques qui sont lignes de cour-
bure, aux surfaces homofocales du second degré ainsi qu'à la transformation
par rayons vecteurs réciproques.

Par la généralisation des surfaces réglées, les congruences et les complexes
sont amenés naturellement et constituent une introduction à la génération
rectiligue de l'espace. Parmi les systèmes de droites les plus intéressants,
la congruence des rayons lumineux normaux à une surface conserve sa pro-
priété après un nombre quelconque de réfractions.

A la lin des chapitres sont indiqués des problèmes : énoncés de licence ou
propositions tirées des travaux de Laplaee, Euler, Jacobi, Halphen, Hermitc.
Pain levé, Darboux...; la résolution de ces dernières propositions constitue-
rait un acheminement vers les véritables recherches scientifiques.

L. Desaimt (Paris).

KiiaesTO Pascal, Professore ordinario nella R. Universila di Pavia. I gTUppi
continui di trasformazioni (Parte générale délia teoria). Un vol. j58 p.
Manuali llœpli). Prix : 3 fr. oo; Ui.kico Hœpli, Milauo, 1903.

La théorie des groupes continus de transformations, due au génie de So-

BIBLIOGRAPHIE . 465

phus Lie, ne constitue pas seulement une théorie de la plus grande élégance:
ses nombreuses applications dans les branches les plus diverses de la science
mathématique autorisent toutes les espérances.

Les relations qu'elle a créées entre des domaines sans connexion apparente,
les méthodes générales qu'elle a introduites dans l'intégration des équations
différentielles ordinaires, l'harmonie qu'elle a déjà apportée dans la théorie
des équations aux dérivées partielles, les points de vue admirablement gé-
néraux et féconds dont elle a doté la géométrie, la clarté qu'elle est venue
jeter sur la question des principes de cette dernière science, tout concourt
à lui faire, dans l'Analyse mathématique, une place des plus importantes,
qui ne peut qu'aller en s'élargissant.

L'œuvre de Sophus Lie est contenue dans des mémoires publiés à mesure
de sa création, à partir de l'année 1873, pour la plupart à Christiania.

Elle se trouve systématiquement exposée dans une série d'ouvrages,
comprenant au moins sept gros volumes gr. in-8° et dûs à la collaboration
de Sophus Lie et de MM. Engel etSeheffcrs, et édités par la maison Teubner
à Leipzig.

Comme le dit Sophus Lie lui-môme, la structure de cette œuvre se ressent
du souci de présenter ces choses nouvelles dans leur imposante généralité,
de ne pas abandonner un sujet avant d'en avoir épuisé tous les points
de vue, de ne pas manquer de signaler les nombreuses ramifications qui se
détachent vers les autres branches des mathématiques.

On conçoit qu'une telle œuvre ne s'adresse guère aux étudiants.

Il existait là une lacune : elle est désormais comblée de la manière la plus
heureuse par l'ouvrage de M. Pascal.

Dans ce charmant petit livre, pas plus volumineux qu'un agenda de poche,
on trouvera la matière du premier volume de la « Théorie de Sophus Lie,
c'est à-dire, en somme, ce qui constitue la théorie proprement dite des grou-
pes finis et continus de transformations, non sans rencontrer plusieurs résul-
tats dus aux travaux personnels de l'auteur.

Ceux à qui il est arrivé de se rebuter devant l'œuvre substantielle, mais
d'une assimilation parfois un peu laborieuse, de Sophus Lie, goûteront d'au-
tant plus vivement, dans l'ouvrage de M. le Professeur Pascal, la sobriété
élégante du discours, la simplicité directe des démonstrations, la liaison des
idées, bref tous ces soins de haute politesse par lesquels l'auteur garde
pour soi le travail fastidieux, en laissant au lecteur l'illusion de la facilité.

Il n'est pas jusqu'à cette délicieuse langue italienne dont la fluidité ne
concoure à cette impression de facilité, qui émane de tout le livre.

M. le Professeur Pascal laisse entendre, dans sa préface, qu'il se propose
de consacrer un second volume à l'étude de certains groupes particuliers,
ainsi qu'à l'étude si importante des transformations de contact.

Nous espérons que l'œuvre sera ensuite complétée par l'exposé des appli-
cations de la théorie des groupes continus de transformations à l'intégration
des équations différentielles et à la théorie des équations aux dérivées par-
tielles. 3ïous espérons en outre, dans l'intérêt de la diffusion de cette partie
de l'Analyse mathématique, que ces divers ouvrages tenteront les tra-
ducteurs.

G. Combebiac (Limoges).

BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE

Amials of Mathematics, publiées sous les auspices de Harvard Univcr-
sity, par O. Stonc, W.-E. Byerly, H.-S. White, W.-F. Osgood, F.-S.
Woods. Cambridge, U. S. A. Publication trimestrielle gr. in-4°. Second
Séries, vol. IV, 1902- 1903.

N° 3. — R.-C. Archibald : The Cardioid and Tricuspid : Quarlics with
Three Cusps. — E.-D. Roe : Note on a Partial Diflerential Equation of the
First Order. — A.-S. Gale : On a Generalizalion of the Set of Associated
Minimum Surfaces. — H.-S. White : ïwisted Quartic Curves of the First
Species and Certain Covariant Quartics. — E.-R. Hedrigk : On the Charac-
teristics of Diffcrential Equations.

N° 4. — E.-R. Hedrick : (Voir n° précédent). — M. Bôcher : On the Uni-
formity of the Convergence of Certain Absoiutely Convergent Séries. —
W.-F. Osgood : The Intégral as the Limit of a Sum, and a Theorem of Du-
haracl's. — R.-E. Moritz : On a General Relation of Continued Fractions.
— J.-A. Van Groos : Note on the Equilateral Hyperbola. — G.-A. Miller :
A New Proof of the Generalized Wilson's Theorem. — E.-B. Vak Vleck :
A Sufficient Condition for the Maximum Number of Imagina ry Roots of an
Equation of the n-lh Dcgree.

Atti de la Reale Accademia dei Lincei. — Comptes rendus publiés par
l'Académie des Lincei, année 3 00, 5 e série, 1903. E. Lœscher et C u \
Rome.

i t;r mars. — Mokera : Sulla trasformazione délie equazioni differenziali di
Hamilton. — Capelli : Sulle relazioni algebriche fra le funzioni 6 di una
variabile e sul teorema di addizione. — Dall'Acqua : Sulle terne ortogonali
di congru enze a invarianti costanti. — Fubini : Sul problema di Dirichlet
nello spazio iperbolico indefinito. — Viterbi : Sull'equilibro d'un ellisoïdc
planetario di rivoluzione elastico isotropo.

i5 mars. — Picciati : Campo elettromagnetico generato del moto circolaro
uniforme di una carica elettrica para llela mente ad un piano conduttore inde-
finito. — Dall'Acqua : Moti di un punto libero a caratteristiche indipen-
denti. — De Franchis : Sulle corrispondenze algebriche fra due curve.

5 avril. — BIanchi : Sulle quadriche coniugate in deformazione ; Sulla no-
zione di gruppo complemcntare e digruppo derivato nelJa teoria dei gruppi
continui de trasformazioni. — Capelli : Sulle relazioni algebriche fra le fun-
zioni di una variabile e sul teorema di adizione. — Millosewich : La Stella
nuova (variable?) in gemini; le ultime posizioni délia cometa 1903 a. —
Dall' Acqua : Moti di un punto libero acaratteristiche indipendenti ; Traietto-
rie dinamiche di un punto libero, sollccitato da forze conservative . — Vi-

BCLLETIX BIBLiOGBAFBIQLE 467

tebbi : Sali" équilibra d'un eOisoide planetario di rivolnzionc clasUco iso-
trope

19 avril. — Biakchi : v Voir séance précédente). — Mourra : Sulla trasfbr-
mazione délie equazioni differcnxiali di Uamilton. — Y itérai : v Voir séance
précédente). — De F» à Tient» : Salle corrispandenze algebriche fra due carre.

3 mai — Pascal : Introdnzione alla teorîa délie forme diffcrenxiali di or-
dine qaalnnqne. — Dall'Acqca : Traiettorie dina miche di un punto libero.
sollicîtato da forze conservative.

17 mai. — Pascal : Sulla costmzione dei simboli a caratlere invariantivo
nclla teoria délie forme differenziali di ordine qualunque. — Ricci : Sulle su-
perficie geodetiche in una varieta qualunque e in particolare nelle variclà a
tre dimensionî.

5 juin, — Pascal : Una classe di corarianli simultanei di un forma difforcn-
ziale di ordine qualunque, e di una aile derîvate parziali. — Ricci : Sulle su-
perficie geodetiche in una varietà qualunque e inparticolare nelle va rie t à a
tre di menai oni. — Millosewicb : Osservazioni dei pianctini LT ed LT Du-
gan ioo3. — Cortariiu : Sol moto d'un sis te ma olonomo di corpi rtgidi. - -
Fcbijii : Ricerche gruppoli relative aile equazioni délia dinamica.

Bulletin de la Société mathématique de France, publié par les secré-
taire s, t. XXXI, ioo3 ; Paris, au siège de la Société, à la Sorbonne.

Fa se. III. — E. Borel : Sur l'approximation des nombres réels par les
nombres quadratiques. — E. Gouesat : Sur la théorie des fonctions impli-
cites. — E. Lecorku : Sur les lignes asymptotiques de certaines surfaces.—
Lzbsscuf : Sur le problème des aires. — E. Estanavb : Sur les coefficients
des développements en séries de tangx, seex, et d'autres fondions. —
J. Hadamard : Sur un problème mixte aux dérivées partielles. — X. Sm.ty-
kow : Sur l'existence des intégrales d'un système complet d'équations aux
dérivées partielles du premier ordre d'une seule fonction inconnue. — Comp-
tes rendus des séances (avril, juillet 1903).

Jahrbuch liber die Fortschritte der Mathematik bcgnïndet von Cari
Ohrtmann, herausgegeben von Emil Lampe und Gborg Wallenberc. Band 3a,
Jahrgang 1901 (in drei Heftcn). Georg Reimer, Berlin, 190 3.

Heft 1. — I Geschichte und Philosophie. — II Algebra. — III Niedere
und hôherc Arithmctik. — IV Kombinationslchre und Wahrscheinlichkeits-
rechnung. — Y Reihcn. — YI DifTercntial-und Intcgralrechuung. — Vil
Funk tionentheo rie .

ileft a. — VIII Reine, elementare und synthetische Géométrie.- - IX Ana-
lytische Géométrie.

Nouvelles Annales de Mathématiques, dirigées par C.-A. Lai*ant,
C. Bourlet et R. Bricard, série 4, t- HI» *9<>3 ; Gauthier-Villa rs 9 Paris,
Tome 111, 1903, janvier. — C.-A. L usant : Rayon de courbure d'une
courbe plane. Remarques et constructions. — M. Canon : Démonstration de
la construction trouvée par Uamilton pour déterminer le point où le cercle
des neuf points d'un triangle touche le cercle inscrit. — R. Bricard : Note
sur l'inversion. — I). Mikimanoff : Sur l'équation jr 8 +.r\+ 5 * -- **• — R» Dl
Montessus : Un paradoxe du Calcul des probabilités. - A. Vaquant Solu-
tion de la question de Mathématiques spéciales donnée à l'Agrégation en 190a.

468 BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE

Février. — G. Lert : Sur les cercles tangents à trois èercles donnés. —
L. Autonome : Sur la canonisation des formes bilinéaires. — M. Stuyvaebt :
Sur la sphère osculatrice à la cubique gauche. — P.-J. Suchar : Sur une
interprétation géométrique des équations différentielles linéaires du second
ordre à coefficients constants et avec second membre. Solution de la question
de Mécanique proposée à l'Agrégation en 1903.

Mars. — G.-À. L. Nécrologie : Ernest Duporcq. — R. Bricard : Sur un
problème relatif aux surfaces. — A. Mannhrim : Sur le théorème de Schoel-
cher. — G. Fontené : Correspondance (1, 1) entre les deux décompositions
N — A x B et N z= P* + Q a . — A. Causse : Question d'Analyse de 1 Agré-
gation (190a). — A. LociiARD : Recherche géométrique de la surface gauche
minima. — Correspondance. — Certificats d'études supérieures.

Avril. — E. Jaggi : Sur les fonctions admettant les substitutions d'un
groupe donné et seulement celles-là. — C. Bourlet : Sur le mouvement d'un
point pesant sur une courbe avec résistance proportionnelle au carré de la
vitesse.

Mai. — G. Majcbn : Sur quelques rapports entre les triangles et les coni-
ques. — G. Font en Ê : Sur les entiers algébriques de la forme x -\-y y/ — 5.

— L. Crblier : Construction des rayons rectangulaires des faisceaux homo-
graphiques. — Y. Jambt : Sur la théorie des forceB centrales.

Juin. — H. Andoyer : Problème de mécanique rationnelle. — A. Max-
nheim : Démonstration d'un théorème de Villarceau. — E. Iacgi : Sur la
transformation des fonctions d'une variable.

Juillet. — H. Padé : Sur l'herpolhodie. — J. Sire : Sur la multiplication
par 5 d'une période de la fonction pu. — E. Iacgi : Sur la transformation
des fonctions d'une variable.

Août. — L'Espéranto et les Mathématiques. — R. Bricard : Démonstra-
tion simple du théorème de Fermât. — G. Lbchalas : Un paradoxe du Cal-
cul des Probabilités. — E. Estanave : Du calcul explicite des intégrales défi-
nies du type

zl*\wjzdz, Ï9=z j zQcosjzdz,

avec quelques applications à la recherche de développements en séries trigo-
nométriques. — Note sur l'équation en* (J. S.). — V. Jamet : Sur les inté-
grales de Fresnèl. — R. Bricard : Sur une propriété des lignes de courbure
des surfaces.

Periodico di Matematica, publié par G Lazzeri. Organe de l'Association

« Mathesis » paraissant tous les deux mois. Livourne, R. Giusti. 18° année.

1903.

Mars-Avril. — Cortbsi : Equazioni a radici in progressione aritmetica. —
Crêpas : Una successionc di numeri interi. — Frattiju : La radice quadrala
d'un intero e un certo gruppo di trasformazioni. — Biasi : Sul postulato
dell'equivalenza. — ScaRpis : Una propriété degli archi le eu funzioni gonio-
metriche sono razionali. — Ciamberlini et Cipolla : Osservazioni sulla
nota'del dott. Lazzarini « sui numeri perfetti e sui numeri di Merseune ».
Petites notes. Questions résolues et à résoudre.

Mai-Juin. — A. Droz-Farny : Note geometriche sopra alcune propriété
dell'iperbolc equilatera. — Niccolbtti : Un teorema sulle funzioni razionali.

— BERNARDi'.Sull'estrazione abbreviata délia radice quadrata interadei numeri

H '=i" s

BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE \*$

interi. — Patrassi : Sopra alcune formole relative aile progression! per diflV-
renza. — Lazzarini : Un nuovo teorema sulla fuBzîone E di Legendre. -
Cebetti : Matematica ed Espéranto. — Cipolla : Délie congruenze btnomic
rispetto ai numeri primi délia forma 2 n q -{- i essendo q un numéro primo. —
Problèmes divers. — Bibliographie.

Supplcmento al Periodico di Matematica (Mars cl Avril). Pucgiakti :
Corrispondente elettrico del diamagnelismo. — M Zuccagni : Sopra un c ri-
te rio di divisibilita valevole per qualunque numéro primo (esclusi a e 5). -
E.-N. Barisiex : Sulla decomposizione d'una somma di due quadrati in una
somma di quattro quadrati. — Questions et solutions.

Mai. Juin. Juillet. — G. Lazzkri : Teoria geometrica dei piani, assi e cen-
tri radicali. — Anonyme : Nécrologie de Luigi Cremona. — B. Lbvi : Teoria
geometrica délie proporzioni fra segmenti, indipendente dal postulato d'Ar-
chimede. — R. Pitoiii : La risonanza elettrica. — G. Lazzeri : Sistemi di cir-
coli e sfere. — A. Pensa : A proposito di una formula di geometrica raetrir»

— Nombreux problèmes résolus et à résoudre.

Revista trimestral de matematicas, publiée par J. Rils n Casas. Sam-
gosse, a* année. 190a.

Fasc. Y. — L. de Alba : Formulas de la Geomctria dcl Triangulo.
E. Herkakdez . Calculo de los coeficientes de la transformada de una funciou
algebrica, racional y entera de mas de una variable. — E.-N. Baribien :
Sobre el problema de Malfatti. — E. Nannei : Nota sobre racionalizacion.
Fasc. VI. — R. .Caro : Intégrales multiples.
Fasc. VII. — L.-S. de la Campa : Investigation de un lngar geometrico.

— J. Rius t Casas : Caractères formales de la iguatdad.

Fasc. VIII. — J.-J. Duran-Loriga : Nota de geometria del Triangulo.
L. de Alra : Formulas de la geometria del Triangulo. — E. Hernandfz :
Séries notables. — E. Sanchis ; Nota de aritmetica. — Bibliographie,
Chronique et Questions diverses .

Fasc. IX. — L. de Alba : Formulas de la geometria dcl Triangulo.
R. Caro : Intégrales hiperbolicas. — J. Ruiz-Castizo : Alguuas formulas para
el empleo de ejes coordenados oblicuos en la Mccanica aualitica. — C. Ai.v-
bia : Aigu 11a s observaciones sobre formulas de las superficies.

Fasc. X. — L. Octavio de Toledo : Dos versiones espaûolas de los Elc-
mentos de Euclidcs. — L. Clakiana : Estudio de las ecuaciones entre démo-
das parciales de cuarto orden, con dos variables independientes. — J. Hui/-
Castizo : Algunas formulas para el empleo de ejes coordenados obi i m os on
la Mccanica analitica. — Bibliographie. — Chronique . — Questions résolut» s
et à résoudre.

Revue générale des Sciences pures et appliquées. Directeur ; L. Oli-
vier, 14 année, 1903, Arm. Colin, Paris.

Sous le titre de V Evolution de la Mécanique, M. P. Duhem, professeur «l«*
Physique théorique à la Faculté dés Sciences de Bordeaux, publie dans cett»*
Revue une série d'articles fort remarquable où il étudie succensivement :

I Les diverses sortes d'explications mécaniques (n° 2, 3o janvier). — II La
Mécanique analytique (n° 3, i5 février). — III Les Théories mécaniques dr
la chaleur et de l'électricité (n° 4, a8 février). — IV Le retour à l'Atomismo
et au Cartésianisme. — Y Les fondements de la Thermodynamique.— YI La

4/0 BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE

Statique générale et la Dynamique générale. — YII Les branches aberrante»
de la Thermodynamique.

Nous espérons que cette série sera quelque jour résumée et publiée sous,
un volume spécial.

Livres nouveaux :

H. Bruns. — Grundlinien des wissenschaftlichen Rechnens. Un vol.
broché, in-8°, i5û p. ; prix : Mk. 3,4o ; B.-G. Teubner, Leipzig, 1903.

J. Classen : Théorie der Elektrizitœt und des Magnetismus, Band I.
Elcktrostatik und Elektrokinetik (Sammlung Schubert). — Un vol. cart.,
189 p. ; prix : Mk. 5 ; G.-J. Goeschen, Leipzig. 1903.

P. Exriques. — Vorlesungen Qber projektive Géométrie, Deutsche
Ausgabe von Ilerm. Fleischer, mit cinem Ëiofûhrungswort von Félix Klein.
— Un vol. broché, in-8°, 374 p.; prix : Mk. 8 ; B.-G. Teubner, Leipzig, 1903.

Arw. Fuhrmaxx. — Bauwissenschaftliche Anwendungen der Inte-
gralrechnung. Lehrbuch, Auf'gabensamnilungund Literaturnachweis.TeilIV
der Anwendungen der Infinitesimalrechnung in den Nalurwissenschaften, im
Hochbau und in der Technik. — Un vol. broché, 29a p. ; W. Ernst Sohn r
Berlin, 1903.

K. u. Y. Kommerell. — Allgemeine Théorie der Raumkurven und
Flœchen (Sammlung Schubert). — Deux vol. cart. de 144 et 21a p. ; prix :
Mk. 4,80 et 5,8o ; G.-J. Goeschen, Leipzig, 1903.

G. -A. Maggi. — Principii di Stereodinamica. Corso sulla Formazione,
l'Interpretazione et l'Integrazione délie cquazioni del movimento dei solidi. —
Un vol. broché, in-8°, ?6a p. ; prix : L. 7,5o ; Ulrico Hœpli, Milan, 1903.

G. Papelier. — Précis d'Algèbre et de Trigonométrie, à l'usage de&
élèves de mathématiques spéciales. — Un vol. 35o p. ; Nony, Paris, 190a.

Iïerm. Schubert. — Niedere Analysis. Zweiter Teil ; Funktionen, Po-
tenzreihen, Gleichungen {Sammlung Schubert). — Un vol. cart. de ai5 p.;
prix : Mk. 3, 80 ; G.-J. Goeschen, Leipzig, 1903.

Herm. Schubert. — Elementare Berechnung der Logarithmus, eine
Erganzung der Arithmetik-Bùcher. — Un p. vol. broché, 87 p. ; prix : Mk.
1,60; G.-J. Goeschen, Leipzig, 1903.

U. Weber und J. Wellstein. — Encyklopaedie der Elementar-Mathe-
matik, cin Handbuch fur Lehrer und Studierendc. B. I. Elementare Algebra
und Analysis. — Un vol. cart. gr. in-8°, 447 p. ; prix : Mk. 8; B.-G. Teubner,.
Leipzig, 1903.

Le Gérant : C. NAUD.

TABLE DES MATIÈRES

ARTICLES GÉNÉRAUX

Doctrine

A nos lecteurs (Les Directeurs) i

Lob applications du calcul des probabilités ù la méthode scientifique

(.V. Vaschide et H. Pieron) 3,iii

Le problème n° a de M. David Hilbert (A. Padoa) 85

L'espace est-il euclidien (G. Combebiac) 157,26a

Philologues et psychologues en face du problème dos parallèles

(R. Baron) 279

Sur la nécessité du postulat d'Euclide [Lucas de Peslouan) a88

A propos d'un récent exposé des principes de la Géométrie non-eucli-
dienne (R. Bonola) 317

Théorie des parallèles euclidiennes (Commolet) 3a6

Les limites et l'atome (J.-F. Bonnet) 33a

L'algèbre du calcul (R. Renton) 347

La logique symbolique (Hugh Mac Coll) 4i5

Sur la conception des limites (C. Popovici) 43 1

Histoire ; organisation de 1 Enseignement.

Les nouveaux programmes de l'Ecole Polytechnique de Paris (C.-A. Lui-
sant) 77

L'enseignement mathématique en Russie ; état actuel ; enseignement
secondaire (V.Bohynin) a37

L'enseignement mathématique en Russie : état actuel : enseignement
supérieur (V, Bobynin) 397

ÉTUDES PEDAGOGIQUES

Equivalence du mouvement d'un plan invariable £ passant d'une posi-
tion donnée X A à une autre position donnée S 2 (F. Kraft) 3o

Sur l'enseignement élémentaire des fonctions elliptiques (H. -M . Lémeray) 9a

Une leçon de géométrie analytique (P. -H. Schoutc) 106

Equivalence du mouvement d'un système invariable à trois dimensions S
qui passe d'une manière quelconque d'une position donnée S, à une
autre position donnée E 2 {F. Kraft) 178

472 TABLE DES MATIÈRES

Sur les divisions Iiomographiques [L. Crclicr) 339

La formule do Stokes [Otto A. Silva) 344

Remarques sur les variations d'un polynôme (P. Zervos) 356

Sur quelques sommations que Ton rencontre en mécanique {Dauthe-

ville) 437

La méthode de M. Méray pour l'enseignement de la géométrie (Elie

Perrin) 44*

Sur la nomenclature dos puissances [Ch. Berdcllo) 446

Démonstration élémentaire de la formule — r-, m \ — ; rr-

•0 —- — x>

[M. Lerck) 45o

L'équation du prisme optique [C. Maltézos) 454

Notes et documents.

Ecole centrale des Art» et Manufactures ; extrait du « programme des
conditions d'admission dos élèves » 55

Cours universitaires :

Allemagne 129, ai a, 368

Autriche „ 2i5, 456

France 61, i3o, 457

Iles Britanniques 371, 4^8

Suisse 61, i3i, 216, 376

CHRONIQUE

Congrès et Sociétés savantes ; divers.

Prix académiques; Académies des Sciences de Paris 6a

Le prix F rancœur 64

Le Congrès international des sciences historiques à Rome i3a

Congrès des mathématiciens allemands 218

Troisième Congrès international des mathématiciens 296

Congrès, international de philosophie 297

Les travaux mathématiques au Congres des sciences historiques à Rome

en 1903 • (E. Le bon) 378

La « Gaccta de Mathematicas elementalcs » 218

Nécrologie.

N. Bougaicv 293

L. Cremona {II, Fehr) 294

Ernest Duporq (A. Buhl) 218

L. Gegenbauer 296

Achille Goulard, i3*

John!)» Runkle 64

TABLE DES MATIÈRES 4;3
CORRESPONDANCE

LETTRES OU EXTRAITS DE LETTRES

L. Barré : Sur le théorème du carré de l'hypoténuse 137

Ch. Berdellé : Une annotation à l'algèbre d'Euler 384

Gh: Berdcllé : Le problème du veilleur de nuit 385

C. Cailler : A propos d'un article sur le calcul des probabilités . i33 t 299

G. Conibehiac : A propos d'une note récente sur la géométrie générale 219

JV.-J. Hatzidakis : Sur les formules de Bonnet, Enneper et KommcrclL» i35

V. Jamet ; Sur la formule du binôme 198

P. Mansion : A propos du récent article de M. Vidal 65

C. Popovici :"A propos de l'article « Philologues et psychologues en

face du problème des parallèles » - 458

Ck. Tweedie : Lettre à M. Luisant, à propos de son article sur les bis-
sectrices d'un angle 220

A. Vaschide H II. Piéron : Réponse à M. Cailler au sujet du calcul des

probabilités 223

C. Vidal : Sur une question de convergence 139

C. Vidal : A propos du récent article de M. Combebiac 385

X... : Remarque sur la géométrie non-euclidienne 65

BIBLIOGRAPHIE

A las 1 a (C). — I complemcnti di geometria elementare (C. A.. L). . . u3o
Appell (P.). — Traité de mécanique rationnelle, t. III. Equilibre et

mouvement des milieux continus (A. Buhl) 14a

Bachmann (P.). — Niederc Zahlentheorie, I (D. Mirimanoff) 146

Bardky (E.). — Anleitung zur Auflôsung eingekleideter Aufgaben . . 386

Beltkami (Eug.). — Opère raalematichc. t. I (//. Fchr) . . . ... . . 386

Bohnert (F.). — Elementare Stéréométrie (//. F.) 3oi

Borel (Eni.). — Leçons sur les séries à termes positifs (A\ Borto-

lotti) 216, 3 10

Bouss;xE8Q (J.). — Théorie analytique de la chaleur, t. I (B. Marco Ion go) 3oa

Brioschi (Francesco). — Opère matematiche, t. II (II. F.) 149

Cankwel (Ed.). — La rotation de la terre démontrée par le pendule de

Foucault ; appareil des écoles (C. A. L.) 229

Capelli (Alf.). — Lezioni sulla teoria délie forme algebriche (B.Perrin) 66

Couturat. — La logique de Leibniz (//. Fehr) 67

Czuber (Emm.). — Probabilités et moyennes géométriques (G. Corn-

bebiac) 387

Esta wave (E.). — Essai sur la sommation de quelques séries trigono-

métriques (C. A, L.) 147

Fischer (Karl T.). — Dernaturwissenschaftliche Unterrichtin England, 148

For8vth (A.-R.). — A Treatise on Differcntial Equations (//. F.) . . . 462
Fouet (E.-A.). — - Leçons élémentaires sur la théorie des fonctions

analytiques (D. Mirimanoff) 387

Fricke(KoL).). — Hauptsiitzc cler Differcntial u.Intcgralrechnung(//./'*.) .309

474 TABLE DES MATIÈRES

Godefroy (Maurice). — Théorie élémentaire des séries (D. Mirimanoff) aa8

Goursàt. — Cours d'analyse mathématique (L. Desaint) 463

Holzmûller (G.). — Elemente der Stéréométrie, t. IV (S. May) ... 147
Lévy (Maurice). — Eléments de Cinématique et de Mécanique (G. Com-
be biac) 389

Netto (Eug.). — Lehrbuch der Combinatorik (E. Gublcr) 309

Pascal (E.). — Lezioni di calcolo intinitesimale (C. A. L.) i5o

Pascal (E.). — I gruppi contiiiui di trasformazioni [G. Combebiac). . 464
Riemann's Gesammelte Werke, Nachtràge hcrausgegeben von Noether

und Wirlinger 389

Sammlung Goeschen (Doehlemann ; Haussncr; Junkcr) 391

Schoutb (P. -H.). — Mehrdimensionale Géométrie [P. Bar bar in) . . . 149

Schuster (M.). — Geometrische Aufgaben und Lehrbuch der Géométrie 389
Skyder and Hutchinson. — Diflerential and Intégral Calculus, t, I

(CA.L.) 69

Wbinholdt (Ern.). — Lcitfaden der analylischen Géométrie 70

Zeuthen (H. -G.). — Histoire des mathématiques dans l'antiquité et au

moyen âge (/. Boyer) 390

BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE

PUBLICATIONS PÉRI0DIQUE8

Acta matematica (Mittag-Leffler, Stockholm) i5i

American ma thematical M onthly (Sprinfield) i5a, 3ii

Annali di matematica pura ed applicala (Bianchi, Dini, Jung, Milan). 39a

Annals of Mathematics (Harvard University) i5a, 3 11. 466

Annuaire du Bureau des Longitudes pour 1903 i55

Annual Report of the Smithsonian Institution i55

Archiv der Mathematik und Physik (Lampe, Fr. Mkyer, Jahnke, Leipzig,

Berlin) i53, a3i,39?

Atti délia R. Accademia dei Lincei (Rome) i53, a3i,466

Bibliotheca mathematica (Enestrom, Leipzig) % a3a,393

Bolletino di Matematica (Conti, Bologne) i54

Bulletin astronomique (Paris) 71

Bulletin delà Société mathématique de France (Paris) 467

Bulletin des sciences mathématiques (Darboux, Picard, Tannery,"

Paris) 71

Bulletin des sciences mathématiques et physiques élémentaires (Gérard

et Michel, Paris) 71

Bulletin of the American Mathematical Society (New- York). . . . 134,393
Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences (Paris) 7a, a3a, 3ia
Jahrbuch ûber die Fortschritte der Mathematik (E. Lampe et G. Wal*

lenberg, Berlin) 3 12, 467

Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung (Gutzmer,

Leipzig) 3ia

Jornal de Sciencias Mathematicas e Astronomicas (Teixeira, Coimbra) 2 34
Journal de Mathématiques pures et appliquées (Jordan, Paris). . . . 3ia
Journal t'ûr reine und angewandte Mathematik (Hensel, Berlin). . . . 3i3

TABLE DES MATIÈRES 47 5

Matematiche pure ed applicate (Le) (Alabia, Castello) 3i3

Mathematische Annalen (F. Klein, Leipzig) 3g4

Mathesis (Mansion et Neubekg, G and) 394

Monatshefle fur Mathematik und Physik (G. v. Eschkkic und L. Ge-

genbaubr, Wien) a34

Nouvelles Annales de mathématiques (Laisant, Bourlkt et Bkicakd,

Paris) 74,467

Nuovo-Cimento (II) (Batelli, Volterra, Pise) i55,395

Periodico di Matematica (Lazzeri, Livourne) 334, 468

Revista de Ciencias (Villareal, Lima) 3i4

Revista trimcstrial et matematicas (Rius y Casas, Saragosse) 469

Revue générale des sciences pures et appliquées (Olivier, Paris). 3 14, 467

Revue scientifique (Hérccourt, Paris) 3i4

Revue semestrielle des publications mathématiques [Amsterdam) . . . 3i4
Unterrichtsblâttcr fur Mathematik und Naturwissenschaften (Pietzker,

Berlin) a35, 3$$

Wiadomosci Matematyczne (Dikstrin, Varsovie) '. . . a35

Zeitschrift fur das Realschulwesen (Czubbr, Bechtel, Glô&eh, IVien) a35, 3i5
Zeitschrift fur Mathematik und Physik (Mbhmke, Ru.ngl, Leipzig). . . 3i 5
Zeitschrift fur mathematischen und naturwisscnschaftlichen Unterricht

(Schotten, Leipzig) 236, 3 16

publications non périodiques
Livres nouveaux 75, i56, 236, 3i6, 396, 470

TABLE DES NOMS D'AUTEURS

Cette table comprend les auteurs d'articles généraux ou d'articles de chro-
nique, de lettres ou notes insérées dans la correspondance ou de comptes rendus
bibliographiques.

Les numéros qui suivent chaque nom renvoient aux pages du volume.

BaRBARIN (P) 149

Baron (R) 279

Barré (L.) ' . Î37

Bkrdellé (Ch.) . . . 384.385,446
Bortolotti (Ett.) .... 226. 3io

BOBYNI.N (V.) 237,397

Bo^el(J.-F.) 33a

Bonola (R) : 317

BOYER (J.) 390

Bliil (À.) 1 ',1,218

Cailler (C.) 133,299

Coll (Hugh Mac) .... 41 5

COMBEBIAC (G.) . l57,2I9 f 262

387, 389, 46 r >

COMMOLKT 326

C relier (L.) 339

Dautheville .07

Dksaint (L.) 464

Fkhk (H.). . 67. 149, 294, 3oa, 309
386, 391,462

(UBLEK (E.) 309

JlvTZIDAKIS (N. J..I l35

Jamet (V.) 298

Kraft (Ford.) 30,178

Laisant (C.-A.). . 69,77,147,150

229, 23o

Lebon (F.) . 378

Lémeray (F.-M.) 92

Lkrcu (M.) 45o

Mansion (P.) 65

May (S.) 147

Mirimanoff (D.). . . 146, 228, 388

Marcolongo (R.) 302

Maltézos (C.) 454

Padoa (A ) 85

Perrik (Raoul) 66

Perrin (Elie) 44 1

PlÉRON (H.) 3, 111,223

Peslouan (Lucas de) 288

POPOVIGI (C.) 43l,459

Rehto* (R.) 347

Silva (Otto A.) 344

SCHOUTE (P. 11.) 106

Tweed ie (Ch.) 220

VaSCHIDE (N.) 3,111,223

Vidal (C.) i38,385

X 65

Zervos (R) 336

UYRÉUX, IMPRIMERIE DE CHARLES UÉRISSLY

PERIODICAL

THIS BOOK IS DUE ON THE LAST DATE
S TAMPED BELO W

RENEWED BOOKS ARE SUBJECT TO
IMMEDIATE RECALL

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Série» 468A

PERIODICAL

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