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U. CrvâfAËê 



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// 



L'ENSEIGNEMENT 

MATHÉMATIQUE 

METHODOLOGIE ET ORGANISATION DE l'eNSEIGNEMBNT 

PHILOSOPHIE ET HISTOIRE DES MATHEMATIQUES 

CHRONIQUE SCIENTIFIQUE — MELANGES BIBLIOGRAPHIE. 



REVUE INTERNATIONALE 

BAISSANT TOUS LES DEUX MOIS ^^J C^ 



PA 



DIBIGis PAR 



C.-A. LAISANT 

Docteur es sciencM, 

Examinatear d'admission à TEcole 

polytechnique de Paris. 



H. FEHR 

Doctear es sciences, 

Professeur à l'Université de Genève 

et au Gymnase. 



AVEC LA COLLABORATION DE 

A. BUHL 

Doctenr es scienci^s 
Maître de Conférences à la Facullé des Sciences de Montpellier. 

COMITÉ DE PATRONAGE 

P. APPSLL (Paris). — Mot. GAHTOR (Heidelberg). - E. CZUBER (Vienne). — W.-P. ERMAKOF (KieO- 
A.-E. FORSYTH, (Cambridge). — Z.-G. de GALDEAHO (Saragosse). — A.-6. GREEVHILL ( Woolwieh). 

F. KLEnr (GdtUngen). — G. LORIA (Gènes). - P. ICAITSIOH (Gand). 

ICTTAG-LEFFLER (Stockholm). — G. OLTRAMARE (Genève). — Julius PETERSEH (Copenhague). 

E. PICARD (Paris). — H. POIVCARÉ (Paris). — P.-H. SGHOUTE (Groniogne). 

DaT.-BuiT. SMITH (New-York). - C. STEPHAITOS (Athènes). — F. Gomis TEIXEIRA (Porto). 

A. VASSILIBF (Kasan). — A. ZIWET (Ann Arbor, Michigan, U. S. A.). 



HUITIEME ANNEE 



1906 



PARIS 

GAUTHIER-VILLARS, ÉDIT*"^ 

55, QUAI DES QBANDS-AUQUSTINS 



GENÈVE 

GEORG & C^ ÉDITEURS 

10, COERATERIE. 10 



1906 



DE L'ENSEIGNEMENT 
DES SCIENCES MATHÉMATIQUES ET PHYSIQUES 

DANS LES UNIVERSITÉS ET HAUTES ECOLES TECHNIQUES». 



Les observations qui suivent se rattachent aux proposi- 
tions qui ont été publiées par la Commission pédagogique 
de la « Société Allemande des Naturalistes et Médecins », 
réunie dernièrement à Meran ; j'admets donc que le lecteur 
puisse se procurer son « Rapport » *, rédigé par M. Gutz- 
MER. Les propositions de la Commission sont relatives à l'en- 
seignement des sciences mathématiques et naturelles dans 
nos écoles supérieures, dites « à neuf classes » (neunklassig). 
En elles-mêmes, elles n'apportent rien de précisément nou- 
veau, mais sont plutôt la conséquence du développement 
constant qui se produit dès longtemps dans les milieux sco- 
laires, sous l'impulsion des divers facteurs de la culture 
moderne. Et cependant elles semblent avoir causé dans les 
divers cercles de l'enseignement supérieur et universitaire, 
comme une émotion générale. On se rend compte de ce que 
Tadoption, comme aussi l'application des mesures proposées 
devraient occasionner, dans l'enseignement supérieur et 
universitaire, des modifications multiples. De fait, la Com- 
mission, dans le rapport et les conclusions qu'elle doit pré- 
senter Tannée prochaine, ne pourra pas ne pas donner son 
avis sur les questions traitées ici même. D'autre part, elle 
sait fort bien que toutes les propositions qu'elle pourra for- 



* Trmdait de l'allemaiid par A. Dufour (Gené-ye) d'après le texte allemand publié par le 
Jahresberieht der D. M. V., Octobre, 1905. — Là où le terme de Haute Ecole est employé sans 
autre qualificatif, il signifie indifféremment et à la fois, soit : « Université», soit « Haute école 
technique », tandis que le t^rme d'écoles supérieures (hbhere Schulent, est réservé aux écoles 
qui, inférieures aux Hautes Ecoles, y préparent et conduisent. 

' Rericht der Unterrichtskommission der Gosellschaft Deutscher Naturforsteher und Aerztc 
Oberihre bisherige Tâtigkeit. Leipzig, F. G. W. Vogel, 1905. 

[Voir notre compte rendu du Congrès de Meran, UEns. math., 7* année ; p. 487-488, 15 nov. 
If06. — Le rapport sur l'enseignement des mathématiques se trouve reproduit in-extenso dans 
les Notes et Documents du présent numéro. Réd.] 



6 F, KLEIN 

niuler ne vaudront guère mieux qu'un coup d'épée dans 
Teau, si elle n'est sûre d'avance de se voir appuyée de divers 
et nombreux côtés, dans les milieux militants de l'enseigne- 
ment supérieur; puis, ces propositions ne trouveront leur 
vraie ibrmule qu'après qu'elles auront été discutées, même 
en dehors d'elle, et d'un peu partout. C'est pourquoi la Coni- 
uiission a chargé deux de ses membres, eux-mêmes inté- 
ressés en première ligne, comme professeurs, au succès de 
la tâche proposée, savoir M. le prof. Chun, à Leipzig, et 
moi-même, de soumettre des |)ropositions de ce genre, à 
titre préalable, aux représentants des diverses Hautes Ecoles 
et de les inviter à les examiner d'avance et à les discuter 
aussi publiquement que possible. M. le prof. Chun se char- 
gera surtout de ce qui concerne l'enseignement biologique, 
tandis que je me borne à ce qui touche à l'enseignement des 
mathématiques et de la physique. Restent réservées les con- 
sidérations spéciales relatives à celui de la chimie. 

Peut-être me sera-t-il permis d'ajouter que j'ai déjà mis 
à profil les nombreuses occasions que j'ai eues d'échanger 
avec mes divers collègues, nos vues et nos idées person- 
nelles sur les points à examiner. Et, d'emblée, je veux si- 
gnaler deux objections qui m'ont été plus d'une fois expri- 
mées à l'endroit du rapport de Meran. Comment organiser 
les cours de début (dits Anf'angsvorlesungen), destinés qu'ils 
sont à déjeunes étudiants munis d'un bagage scientifique si 
divers, si étendu même par sa seule hétérogénéité, selon 
l'école d'où ils sortent ? Et où trouver, plus tard, des maîtres 
capables de fournir dans les écoles a à neuf classes », un 
enseignement spécifié comme on le propose ? Ces deux 
questions rentrent du plus ou moins dans les deux pro- 
blèmes principaux que je me propose de traiter ici, et aux- 
quels je consacre à chacun, un des chapitres (I et II) qui vont 
suivre. Dans le chapitre I, je vais parler des cours de mathé- 
matiques et de physique destinés aux étudiants, qui ne doi- 
vent s'en occuper qu'à titre de sciences auxiliaires; puis, 
dans le chapitre II, je m'occuperai de la méthode rationnelle 
à employer pour former ceux qui se destinent à enseigner 
les mathématiques et la physique. Quant à l'appendice (cha- 



DE L'ENSEIGNEMENT DES MA TUÉ MA TIQUES 1 

pitre III), son but est défini par la phrase qui termine le 
chapitre II. 

I. Les Mathématiques et la Physique considérées comme sciences 

auxiliaires. 

Pour ne pas me perdre dans les généralités, je préfère 
rattacher mes observations, sans autre, aux deux cours prin- 
cipaux en cause : Le cours de physique expérimentale ^ com- 
mun aux Universités et aux Hautes écoles techniques, et 
le Cours d'introduction aux mathématiques supérieures^ 
telles qu'ils se donnent dans les écoles techniques, aux fu- 
turs ingénieurs; — il est bien entendu que ce que je dirai 
s'appliquera aux autres cours d'introduction, muiatis mutan- 
dis suivant leur objet. 

Jusqu'ici, dans ces deux cours, on n'a tenu aucun compte de 
la différence de culture préalable existant entre les partici- 
pants. Ils se donnentsurtoutaveccetteadmission complaisante 
qu'on ne saurait exiger d'autres bagages que celui qu'apporte 
l'étudiant frais sorti du gymnase classique, et même dans le 
cours de physique expérimentale, on va jusqu'à faii*e abstrac- 
tion de beaucoup des prolégomènes de mathématiques, en- 
seignés pourtant dans les classes supérieures de ce gymnase. 

Je [>ars de cette dernière circonstance, qui donne une 
preuve caractéristique d'un fait patent, c'est que l'homogé- 
néité de la culture préalable, qu'on admet avec une com- 
plaisance, toute de théorie arbitraire, dans l'organisation des 
cours d'entrée dans l'enseignement supérieur, n'existe abso- 
ment pas en fait. Auprès de ceux qui possèdent leur certifi- 
cat complet de maturité, après avoir fait les neuf classes 
réglementaires viennent s'asseoir d'autres auditeurs, dont 
beaucoup n'ont que le certificat de sortie de seconde (Unter- 
sekunda) *. Plus le professeur s'efforce de se rendre utile à 



^ On me prie de mentionner ce qui suit: Dans les Hautes Ecoles techniques prussiennes, 
les jeanes g«ms munis d'un certificat do tnAinriXé primaire ( Primareife} «Haient admis jusqu'ici. 
Par ordonnance du 5juillet 1905, il a été statué que, désormais, ne pourront y être admis comme 
élèves réguliers, d'autres étudiants, parmi les sujets du royaume, que ceux qui seront porteurs 
d'an certificat de maturité émané d'un gymnase allemand, d'un gymnase « réal » (Realgym~ 
nasium), ou d'une école réale supérieure. Eux seuls seront désormais admis aox examens. 
Les autres, pourvu qu'ils possèdent les connaissances scientifiques exigées pour le service 
militaire réduit à une année, seront admis comme simples auditeurs (HÔrer). Mais on ne 
leur délivrera aucun diplôme académique. 



8 F, KLEIN 

ses auditeurs, et plus, par conséquent, il se voit amené à 
mettre son enseignement au niveau et à la portée des étu- 
diants les moins avancés. D'autre part, à Theure qu'il est, de 
nombreux gymnases scientifiques (Realgymnasien) et écoles 
réaies enseignent la physique, tant théorique qu'expérimen- 
tale, d'une manière vraiment sérieuse, et cet enseignement 
le cède en bien peu de chose à ce que vise le cours de début 
des Hautes Ecoles; il présente tous les avantages dus à l'exé- 
cution d'un programme systématique et complet (geschlos- 
sen)y et implique en particulier la culture mathématique pa- 
rallèle et correspondante. C'est pourquoi les étudiants sor- 
tis d'écoles semblables n'acquièrent rien, ou n'acquièrent 
que peu de chose, aux cours universitaires d'instruction tels 
qu'on les donne actuellement. 

Pour ceux de mes lecteurs peu versés dans les études 
mathématiques-physiques, qu'il me soit permis de remar- 
quer ici que l'adaptation du niveau de l'enseignement donné, 
dans les branches dont s'agit, à celui de la culture préalable 
des étudiants est d'absolue nécessité. Il semble qu'il en soit 
autrement dans les cours de nature littéraire ou historique, 
parce que l'auditeur, même le moins préparé, y trouve une 
pâture intellectuelle abondante et une impulsion toujours 
profitable, et peut ainsi, par ses propres études privées, 
graduellement combler les lacunes existantes. Au con- 
traire, dans les mathématiques comme dans la physique, les 
connaissances ne s'édifient, pour ainsi dire, que par étages 
successifs, et qui veut parvenir au sommet, doit les gravir 
un à un. L'inégalité de culture préalable^ parmi nos audi- 
teurs, constitue donc, pour les premiers cours de première 
année un inconvénient aussi grand que réel. 

Peut-être est-il opportun de signaler clairement et nette- 
ment cet inconvénient. Mais ce que ces lignes ont surtout 
pour but de faire ressortir, c'est que cet inconvénient ne sau- 
rait être créé par l'adoption des propositions venues de 
Meran, mais qu'il existe depuis longtemps et qu'il y faut 
parer en tout cas et à tout prix. 

Au reste, faudrait-il donc retarder le développement spé- 
cifique des établissements supérieurs dits à neuf classes. 



DE L'ENSEIGNEMENT DES MATHÉMATIQUES 9 

parce qu'en Tétat, il crée des conditions incommodes à 
renseignement des Hantes Ecoles ? Je mets ici, à dessein, 
Taccent sur le terme « spécifique ». La réforme scolaire de 
1900 a rompu une bonne fois avec l'idée de l'école unique 
pour tous (EinheitS'Schule)^ qui mène soit à négliger d'im- 
portants éléments de culture, soit à créer une uniformité 
oppressive, soit enfin à abaisser le niveau commun jusqu'à 
celui d'une sorte de banalité encyclopédique. Sans doute, 
toute école spécifique est, par essence, plus ou moins exclu- 
sive, et se meut, pourrait-on dire, sur un terrain et dans un 
angle limités, mais le principe de l'universalité se trouve 
sauvé par la multiplicité et l'existence simultanée d'écoles 
diverses. Du moment que le jeune homme fréquente l'école 
supérieure (hôhere Schule)^ qui répond à ses dons naturels 
et à ses plans d'avenir, il devient possible et désirable, à son 
point de vue individuel, comme au point de vue général et 
social, d'abréger dans la mesure du possible, ses études 
ultérieures et spéciales, relatives à sa vocation future. On 
l'a dit si souvent, que, là-dessus, je n'insiste pas davantage. 
Qu'il me soit seulement permis d'ajouter qu'une instruction 
spéciale comme celle que j'ai en vue ci-dessus, n'est pas une 
instruction professionnelle, au sens le moins élevé du mot, 
mais une instruction générale basée sur des matières spé- 
ciales. 

Pour sortir du dilemme signalé, il n'y a qu'une seule voie 
à suivre : les Hautes Ecoles doivent s'adapter au développe- 
ment scientifique des écoles préparatoires. Je suis heureux 
de rappeler, à ce sujet, que l'université traversa, dans les 
premières décades du siècle passé, une transformation sem- 
blable, quoique bien plus complète que celle qui s'impose 
aujourd'hui pour les sciences dont il est ici question. Ce fut 
à l'époque de l'organisation permanente de nos gymnases 
actuels et de l'examen de sortie auquel ils aboutissent 
(Abiturientenexamen). Tout cet enseignement préparatoire, 
qui jusque-là avait été la tâche principale de la Faculté de 
Philosophie, fut désormais dévolu aux gymnases ; et la Fa- 
culté de Philosophie put poursuivre des buts nouveaux et 
plus élevés. Personne ne saurait contester que ce change- 



10 F. KLEIN 

ment a eu les résultats les plus heureux pour celte Fa- 
culté, et cela, tant pour son régime intérieur que pour les 
services qu'elle rend. Que dès lors se tranquillisent ceux 
((ui, aujourd'hui quand de nouvelles modifications vont s'im- 
poser, ne veulent y voir que la néfaste désorganisation de 
nos Hautes Ecoles. 

Sans doute, la chose n'est pas aussi simple que le change- 
ment que je viens de rappeler : des écoles préparatoires 
très diverses, les unes au même rang que les autres, ont des 
droits incontestablement égaux. Il parait nécessaire, qu'à 
calé des cours d'introduction, qui présupposent le maximum 
de préparation spécifique, on institue d'autres cours complé- 
mentaires, qui, partant du niveau inférieur, acheminent au 
niifeau supérieur les étudiants moins bien préparés. 

Donc, qu'on complète le programme, en un sens analogue 
à celui des cours traitant du latin et du grec, qui s'organisent 
d'ores et déjà pour les étudiants dont la culture philologique 
préalable laisse à désirer. Les amis des écoles réaies ont tra- 
vaillé à rencontre de ces derniers cours dans ce qu'ils croyaient 
être l'intérêt d'une égalité de droits. Je crois ce point de vue 
absolument faux. Le but à poursuivre devrait être, non pas 
la suppression de cours quelconques, mais leur multiplication, 
ou, si je puis m' exprimer ainsi, leur généralisation. 

Cependant, et pour rester dans la même ligne, je recom- 
mande encore l'organisation de cours d'instruction qui 
soient séparément adaptés aux diverses études auxquelles se 
destinent les auditeurs, — c'est-à-dire quelque chose de 
semblable à ce qui se fait dans les écoles préparatoires. 
L'extension qu'ont prise les diverses sciences est telle que, 
plus le temps marche, et moins les cours généraux d'ins- 
truction deviennent profitables, — ou prendrait alors telle- 
ment de temps, qu'il dépasserait celui dont dispose les étu- 
diants, qui doivent, en un nombre donné de semestres, 
atteindre un but déterminé selon la profession qu'ils em- 
brassent. Quant aux vues d'ensemble sur les disciplines di- 
verses, ceux qui désirent en acquérir la synthèse peuvent s'en 
pénétrer, soit dans des cours publics appropriés, soit dans des 
cours supérieurs destinés au cercle restreint des spécialistes. 



DE L'ENSEIGNEMENT DES MATHEMATIQUES 11 

Pour ce qui est de la Physique expérimentale, la question 
se simplifie par le fait que les propositions de Meran parais* 
sent fixer, en Physique, un but à peu près semblable pour 
toutes les « écoles à neuf classes » (neunklassig). Restent 
alors les modifications suivantes à apporter aux cours d'in- 
troduction : 

1**) Institution d'un cours préparatoire spécial pour ceux 
qui, sans préparation suffisante en physique, entrent dans la 
Haute Ecole ; 

2**) Organisation des cours de manière à ce qu'ils s'adap- 
tent aux divers buts professionnels que les étudiants se pro- 
posent, soit aux directions diverses dans lesquelles ils se 
proposent d'étudier. 

Sur ce second réquisite, je dois faire remarquer, à titre d'ex- 
emple, que, dès longtemps, à l'Université de Vienne, se don- 
nentdescoursd'inlroductionàla Physique expérimentale, des- 
tinés aux fulurs professeurs de mathématiques et de Physi- 
que, et que, dans ces cours on insiste tout spécialement 
sur des considérations d'ordre mathématique (mathema- 
tische Formulierung). C'est ainsi que je me représente les 
cours d'introduction destinés soit aux médecins, soit aux 
ingénieurs, etc., conçus diversement en vue des connais- 
sances utiles et nécessaires aux uns ou aux autres. Quant à 
la nature et à l'étendue des mesures d'exécution du pro- 
gramme de ces cours en lui-même, c'est aux spécialistes à 
les formuler. Pour les professeurs de physique, la tâche, ici, 
sera certes, ardue. Et cependant, il faut, à tout prix l'entre- 
prendre, si l'on ne veut pas voir s'abaisser le niveau des 
connaissances nécessaires, en matière de sciences naturelles, 
tant aux futurs médecins, qu'aux futurs ingénieurs, sous la 
pression croissante des branches plus proprement profession- 
nelles. D'autre part, faudra-il donc écourter, pour ne pas dire 
mutiler, les cours d'introduction à la physique, ou faudra-t-il 
les confier à des médecins ou à des ingénieurs, donc à des 
professeurs qui ne soient pas des physiciens de carrière ? 
Caveant cousu les ! 

Je m'attends bien à ce que ces propositions rencontrent 
de l'opposition chez les spécialistes, et je ne désire rien plus 



12 F. KLEIN 

qu'une discussion largement ouverte. Une chose m'apparaît 
clairement : c'est que la physique elle-même en profiterait 
dans la même mesure dans laquelle s'opérerait Torganisa- 
tion et la multiplication des cours prévus par la proposition 
de Meran. N'étant point moi-même physicien de carrière, 
j'en reste convaincu avec une sécurité, dont m'est garante, 
par analogie, la marche suivie par \e cours d'introduction aux 
hautes mathématiques^ tel qu'il s'est donné et se donne, au- 
jourd'hui encore, dans les Hautes Ecoles techniques. Le pro- 
gramme des études d'ingénieurs, dans les Hautes Ecoles 
Techniques allemandes, fut, il y a plusieurs dizaines d'an- 
nées, calqué sur celui des écoles analogues françaises, en ce 
qui concerne les mathématiques. Mais, en Allemagne, les 
développements subséquents ont écourté, en lui enlevant 
morceau après morceau, l'enseignement mathématique pro- 
prement dit au profit de l'enseignement technique et prati- 
que, qui, dès le début des études, en accapare du plus au 
moins la place. Les Mathématiques supérieures, soit le Cal- 
cul différentiel et intégral, ainsi que la Géométrie analy- 
tique, se trouvent aujourd'hui réduits à un simple cours 
d'introduction qui ne se suit que dans les deux ou trois pre- 
miers semestres. En outre, on y enseigne toujours de 
façon assez complète, la Géométrie descriptive dans l'an- 
cienne acception du terme. Mais déjà dans le cours de 
Mécanique appliquée ou technique, autrefois de nature 
foncièrement mathématique, les expériences directes sur la 
machine même (ou l'inspection des constructions elles-mê- 
mes) se poussent toujours plus au premier rang, comme élé- 
ment principal. Je fais allusion ici aux laboratoires gran- 
dioses, destinés aux ingénieurs, qui, dans les dix dernières 
années, ont été ajouté aux Hautes Ecoles techniques d'Alle- 
magne. 

Ce développement, qui n'est peut-être point parvenu à 
son dernier terme, fut, à tout prendre, le fruit de la néces- 
sité. Il répond aux besoins actuels de l'industrie allemande, 
qui demande une grande majorité d'ingénieurs pratiques, 
et seulement une minorité de théoriciens. Gela est bien 
dans l'esprit du temps, qui se détourne de plus en plus. 



DE L'ENSEIGNEMENT DES MATHEMATIQUES 13 

el par d'excellentes raisons, d'une culture exclusivement 
formelle. 

Mais la médaille a son revers. On a, comme on dit en alle- 
mand « jeté l'enfant avec l'eau en vidant la baignoire », 
dans beaucoup des cas qui se présentent dans la pratique, la 
culture mathématique seule peut élaborer la réponse cher- 
chée, et les connaissances préliminaires emmagasinées par 
nos ingénieurs n'y suffisent pas. Je pourrais en citer ici des 
exemples typiques. Où trouver la moyenne juste? 

C'est ici que les propositions de Meran se montrent sous 
un jour particulièrement heureux. Alors que l'enseignement 
mathématique, déjà dans les classes du gymnase, et d'em- 
blée, s'attache à l'intuition d'espace et à la notion de fonc- 
tion el amène ainsi les élèves au sein même du Calcul diflfé- 
renlief et intégral, le cours d'introduction aux Hautes Ma- 
thématiques pourra, dans les Hautes Ecoles être plus nourri 
qu'il ne le fut jusqu'ici : En particulier, lorsque déjà, dans 
l'école inférieure l'esprit des élèves a été exercé à consi- 
dérer les rapports entre la théorie mathématique et ses 
applications, alors, le parallélisme si désirable avec la tech- 
nique pratique, se produira plus aisément. En quelques 
mots, la mathématique s'incorporera d'une manière beaucoup 
plus organique à tout ce qui forme l'horizon intellectuel du 
futur ingénieur, et s'y imprégnera aussi de façon plus perma- 
nente que ce n'a été le cas jusqu'ici. 

Je suppose, bien entendu, cela en tenant compte des con- 
sidérations générales présentées plus haut que, pour ceux 
qui arrivent dans la Haute Ecole sans la préparation mathé- 
matique normale, telle que la demandent les propositions 
de Meran, il sera institué des Cours préparatoires suffi- 
sants. 

D'autre part pourrait se présenter un allégement profitable 
pour les élèves diplômés des Ecoles Réaies supérieures, — 
poiirvu que, dans ces dernières, comme le recommande la 
majorité de la commission, l'enseignement soit poussé jus- 
quaux éléments du Calcul infinitésimal. Ainsi les élèves 
sus-mentionnés pourraient être dispensés d'une partie du 
Cours d'introduction donné dans la Haute Ecole, el ainsi 



14 F, KLEIN 

entrer plus tôt dans le domaine des études techniques pro- 
prement dites. Il va sans dire que ces cours d^introduction 
•devraient se Fragmenter de manière à faciliter la dispense 
possible que je viens de supposer. Que cela soit praticable 
et par quels moyens, la Haute Ecole technique de Stuttgart 
nous en donne un exemple probant : depuis longtemps son 
programme est conçu dans le sens de cette proposition, — 
et personne ne s'est jamais plaint que, dans ces conditions, 
le niveau moyen de la culture mathématique des ingénieurs 
en ait baissé. 

En voilà assez sur le cours proposé : Je renonce à parler 
de l'importance semblable que pourrait avoir l'application 
des propositions de Meran pour renseignement des Hautes 
Ecoles en matière de Géométrie descriptive et de Mécani- 
que appliquée (technique)*. Mais, pour empiéter "sur la 
deuxième partie des considérations présentées dans ce mé- 
moire, j'ai à formuler une autre requête, qui s'applique assu- 
rément aussi aux études de physique : c'est que, dans les 
Hautes Ecoles techniques, on organise, tant en matière de 
mathématiques qu'en matière de physique, — au profit de 
ceux qui désirent une culture plus complète, — des Cours 
supérieurs ( Spezialvorlesungenjy — beaucoup plus nom- 
breux et plus complets qu'on ne l'a fait jusqu'ici. J'entends 
par là des cours, non point, cela s'entend, de nature abs- 
traite, mais des cours dans lesquels la pleine compréhension 
théorique se marie avec la compréhension pratique et ne 
fasse qu'un avec celle-ci ; qu'en un mot elles se pénètrent 
réciproquement. Cela me mènerait trop loin de vouloir mon- 
trer, même par quelques exemples, combien cette requête 
se légitime dans l'intérêt même de notre industrie et de ses 
exigences croissantes; qu'il nie soit seulement permis de 
remarquer que l'association des Ingénieurs Allemands Ta 
déjà présentée, de façon expresse, en 1895, clans ce qu'on 



* Pour ce qui concerne la Géométrie descriptive, voir, par exemple Touvrage si suggestif 
de Pr. Schilling sur ses applications de la Géométrie descriptive, en particulier sur la Photo- 
grammetrie {Ueber die Anwendungtn der darstelUnder Géométrie^ insbesondere ûbcr die Photo^ 
grammetrie» — Leip/Jg 190i). — Un exposé complet des |K>ints de vue essentiels, à l'époque 
actuelle, pour l'enseignement de la mécanique industrielle, ne semble pas exister encore; 
j'exprime ici le vœu sincéi*e que quelque écrivain compétent no tarde pas à nous doter de 
cet exposé. 



DE L'ENSEIGNEMENT DES MATHEMATIQUES 15 

appelle ses « Résolutions d'Aix-la-Chapelle » (Aachener 
Beschluesse). Le point de vue auquel je me place ici pour 
la reprendre à mon compte, est que, sans ces cours supé- 
rieurs, il ne sera plus possible aux Hautes Ecoles techni- 
ques de participer, dans la proportion que j'esquisserai plus 
loin, à la production de forces jeunes pour renseignement. 

A ce sujet, je dois ajouter quelques mois sur une ques- 
tion soulevée plus haut en passant (en ce qui concerne la 
Physique expérimentale). Par le fait que, comme le montre 
Texpérience, les mathématiciens et les physiciens, ne sont 
pas toujours aptes à faire ressortir la signification pratique 
de la théorie, on tend de nouveau, dans les études tech- 
niques comme dans les études médicales, à confier les 
cours non à des théoriciens, mais à des praticiens. C'est 
tomber de Charybde en Scylla : on trouve bien chez ces 
derniers la culture pratique, mais la culture théoriqujg, trop 
souvent, leur manque, et celle-ci ne s'acquiert que bien dif- 
ficilement après l'époque des études; c'est là un fait d'ex- 
périence. D'autre part, nous ne pourrons créer des forces 
enseignantes d'une manière vraiment systématique que lors- 
que nous mettrons le plus tôt possible les étudiants, tant en 
mathématiques qu'en physique, en contact avec les problèmes 
pratiques. Sans doute, tout n'est pas fait quand on a acquis 
une préparation systématique. Tout au contraire, il est hau- 
tement désirable que, dans le cas d'une profession quelcon- 
que, on ne recherche, à l'avenir, non plus les compétences 
en quelque sorte unilatérales, mais les aptitudes pleinement 
é(|uilibrées, et cela en matière pédagogique comme en ma- 
tière scientifique. 

II. Des études nécessaires à ceux qui se destinent à l'enseignement 

des Mathématiques et de la Physique. 

Comme base de la discussion qui suivra, je n'envisagerai 
que l'état de choses qui existe aujourd'hui dans l'Allema- 
gne du Nord (état de choses avec lequel celui qui règne 
dans l'Allemagne du Sud ne se laisse comparer que bien 
difficilement). En outre, je mettrai toujours, et en première 
ligne, l'accent sur la culture mathématique de^ candidats à 



16 F. KLEIN 

renseignement, et cela, non seulement parce que cette cul- 
ture me tient de plus près que la culture en matière de phy- 
sique, mais parce qu'à son sujet, les difficultés me semblent 
ressortir avec un relief exceptionnel. 

Et d'abord, quelques mots sur le développement histo- 
rique. Il n'y a que 75 ans, on le sait, que nos programmes 
universitaires présentent une subdivision spéciale à l'ins- 
truction des étudiants qui se destinent à l'enseignement des 
sciences mathématiques et naturelles ^ Les exigences 
étaient d'abord aussi modestes quant au niveau demandé 
que nombreuses par leur multiple étendue (naturellement, 
elles embrassaient toutes les sciences naturelles dans leurs 
diverses disciplines). La haute science, comme telle, avait 
peu de place dans les épreuves de capacité, en tout cas en 
matière mathématique. Je n'en veux pour preuve que ni 
Gaus^, ni DiRiCHLET, ni Riemann n'ont jamais fait partie des 
jurys d'examen, pas plus que Jagobi, Kummer, Weier- 

STRASS ou KrONEGKER. 

Au milieu de la décade 1860-1870, la tendance s'accen- 
tue vers de plus hautes études. De plus en plus, les mathé- 
maticiens de haute marque font partie des jurys d'examen, 
et le programme des épreuves de 1866 exige des candidats 
en des termes dont le sens n'est pas douteux : a qu'ils aient 
« pénétré assez avant dans le domaine de la Géométrie et 
« de l'Analyse supérieure, et dans celui de la Mécanique 
« analytique, pour pouvoir s'y livrer avec succès à des re- 
« cherches personnelles. » La hausse dans le niveau scien- 
tifique qui se produisit aussitôt, s'accompagna naturellement 
d'un rétrécissement du champ d'études, dans le domaine 
même des mathématiques. La première branche à en pâtir 
fut la mathématique appliquée, qui, du moins sous la forme 
d'études d'astronomie et de géodésie, avait, jusque-là, 
joué un rôle considérable. Dans les hautes mathématiques 
même l'intérêt se concentra sur tel ou tel objet, selon que 



^ Voir mon mémoire Pelatif à « Cent ans d'enseignement mathématique dans les écoles 
supérieures de Prusse • dans le recueil général de Lexis sur la Réforme de renseignement 
scolaire supérieur en Prusse. Halle, 1902; réimprimé dans le 13* volume les Jahresberickte 
der D, Math. Ver,, p. 347^356, — et ailleuis. 



DE L ENSEIGNEMENT DES MATHÉMATIQUES 17 

cet objet se trouvait être celui des investigations favorites 
de tel ou tel spécialiste (géométrie moderne, théorie des 
invariants, théorie des fonctions, en particulier des fonctions 
elliptiques, des équations différentielles linéaires, etc., etc.). 
Les Séminaires universitaires, fondés, à Torigine, pour 
former des instituteurs capables, se transformèrent de plus 
en plus complètement en collèges destinés à Tinstruction 
d'hommes voués aux recherches scientifiques. 

Tout ce développement repose, que ce soit consciemment 
ou pas, sur cette conception fondamentale, que l'utilité des 
études universitaires est à chercher, pour les étudiants des- 
tinés à renseignement, dans leur seule valeur formelle. Il 
ne s'agit point, selon cette théorie de l'objet des études 
mathématiques, mais de la concentration et de Veffort qu'on 
voue à cet objet. Mais les expériences qu'on fit dans les 
écoles, avec les instituteurs formés par cette méthode, n'ont 
point été généralement favorables. Aussi voyons nous bien- 
tôt se manifester dans l'enseignement universitaire des ten- 
dances, qui visent à une culture mathématique moins exclu- 
sive, et à un plus grand souci des besoins réels des écoles 
inférieures. Si aujourd'hui s'offrent, aux futurs instituteurs 
dans beaucoup d'universités, des tables de lecture et de 
travail avec de riches bibliothèques, si nous enseignons la 
Géométrie descriptive et d'autres branches des mathéma- 
tiques appliquées, tous ces progrès furent suggérés parle 
désir de rendre plus fructueux pour les écoles l'enseigne- 
ment mathématique à venir des aspirants instituteurs, tout 
en lui gardant son caractère scientifique. Inutile d'insister, 
ce sont là choses qui, ces dernières années, ont été pleine- 
ment mises en lumière, et de divers côtés *. Je prie, cepen- 



' Je ne veux mentionner ici que les mémoires les plus récents, sur ces matières, qui 
figurent dans \o3 uJahresberichte der Deutscken Mathematiker Vereinigung*. Ce sont: 
STiBCRJlL, AngewandU Matkematih und Physik an den deutscken Universitdten (Vol. 13, 1904, 
p. 313—341). GuTZMBR, Veher dit auf die Anwendungen gerichteten Bestrebungen im mathe- 
matiscfun Unterrickt der deutscken Universitdten (ibid. p. 517 — 523). Holzmukllbr, Bemer- 
kungen Uber den Unterrickt und die Lekramtspr&fung in der angewandten Matkematik 
(Vol. 14, 1905, p. 249 — 274). Il serait certainement grandement à désirer, que l'on pût rendre 
obligatoire, pour tous les nuithématiciens, un certain degré de connaissances en fait de 
malhématiques appliquées. 11 ne faudrait pas représenter celles-ci comme quelque chose 
d'étranger et de spécial, existant à côté et en dehors des Sciences mathématiques pures, 
mais bien comme une branche faisant tout naturellement partie de la culture mathéma- 
tique normale. C'est pourquoi de semblables cours de début me semblent des plus utiles 

L'Enseignement mathém., 8* année; 1906. 2 



18 F. KLEIN 

dant, mes collègues de bien vouloir faire connaître^ si ces 
idées se trouvent partout appliquées de manière satisfai- 
sante, et si. pour ainsi parler, on en est arrivé à appliquer 
un programme normal, qui soit de nature à garantir la fu- 
ture aptitude pratique des étudiants se destinant à rensei- 
gnement. 

Admettons que cette organisation normale existe déjà; 
je n'en partage pas moins Topinion de plusieurs de mes col- 
lègues : c'est qu'il faut en arriver à quelque chose de plus ". 
On a pu caractériser plaisamment le système actuel d'édu- 
cation mathématique comme n'étant souvent qu'un système 
tendant à un a double oubli ». A l'Université en effet, on 
commence par mettre de côté les mathématiques apprises 
dans les écoles inférieures, pour faire de même, après l'exa- 
men de capacité et la conquête du diplôme, à l'égard des 
connaissances supérieures acquises dans Tintervalle ! A ren- 
contre de cet état de choses, nous demandons pour les étu- 
diants qui se destinent à l'enseignement des cours spéciaux 
qui établissent et mettent en lumière les rapports multiples 
et nécessaires existant entre les mathématiques supérieures 
et le domaine de V instruction scolaire, — des cours ensuite 
desquels les effets bienfaisants et durables des hautes 
études universitaires ne manqueront pas de se manifester 
et de se prolonger dans l'activité scolaire à venir de ceux 
qui les fréquentent. A ces cours se rattacheraient aisément 
les considérations pédagogiques sur la nature et le but de 
l'enseignement mathématique à tous ses degrés. Sans doute, 
c'est aux « Séminaires pratiques » adjoints, en Prusse, de- 
puis une quinzaine d'années aux écoles supérieures (Hoehere 



pour les candidats à la carrière pédagogique, des cours dans lesquels les intérêts do la 
mathématique pure et ceux de la mathématique appliquée se conditionnent et se pénètrent. 
C'est ainsi que mon collègue Rungr a fait, dans le dernier semestre d'été, et avec le plus 
grand succès, un cours de Calcul différcntiol et intégral (3 heures d'exposition et 3 heures 
d'exercices pratiques), cours qu'il continuera l'hiver prochain sous une forme identique. 
' Voir par exemple: Stackri., dans le 13* volume des Jahresberichte, p. 524-530: Sur la 
nécessité de cours réguliers, dans les Universités, sur les mathématiques élémentaires. — 
J'ai, moi-même, donné des cours semblables, sous une forme nouvelle, dès l'automne de 
190'!, et espère pouvoir bientôt publier des détails sur les résultats obtenus. — La propo* 
sition do M. Stickel n'exclut naturellement pas la possibilité d'offrir, dans beaucoup de 
cours supérieurs, des données occasionnelles sur les sciences naturelles, sur les applications 
pratiques modernes, et aussi sur le développement historique de l'objet traité, ainsi que 
des exemples tirés de cas spéciaux. Tout cela ne pourra être qu'utile à l'activité scolaire 
future des auditeurs. 



DE L ENSEIGNEMENT DES MATHEMATIQUES 19 

Schulen)^ que nous confions Tinitiation des futurs institu- 
teurs aux méthodes scolaires, mais cela n'exclut point 
la possibilité désirable, que nous nous étendions, dans les 
cours universitaires, sur les questions g^cfw^raZc^ que soulè- 
vent les mathématiques envisagées au point de vue pédago- 
gique, questions qui ne tiennent naturellement que peu de 
place dans les cours ordinaires de pédagogie tels que les 
donnent nos collègues de la Faculté de philosophie, qui, 
naturellement conçoivent leurs leçons en partant plutôt de 
leurs propres antécédents philologiques. 

Les candidats en mathématiques ayant trouvé à l'univer- 
sité une éducation telle que j'ai cherché à la définir sous 
ses faces diverses, seraient certainement propres à répondre 
aux exigences de l'enseignement mathématique réorga- 
nisé conTormément aux recommandations laites à Meran. 
Qu'on veuille aussi considérer, que ces recommandations 
tendraient à faciliter considérablement l'orientation de l'en- 
seignement universitaire et polytechnique vers les côtés pra- 
tiques de la carrière future des instituteurs. De fait, leur 
adoption supprimerait le gouffre qui subsiste entre les ma- 
thématiques scolaires et les hautes mathématiques, puisque 
désormais les mêmes notions pénétreraient renseignement 
des premières, que celles qui président à renseignement 
des secondes. Jusqu'ici, un cours de mathématiques élé- 
mentaires semblait être, dans le cycle des cours universi- 
taires, un élément singulier et exceptionnel; désormais 
il sera possible de le rattacher aux autres éléments de ce 
cycle. 

Des considérations semblables se légitiment, en ce qui 
concerne nos candidats, pour l'enseignement de la Physique. 
Nous ne saurions nous dispenser de réclamer une extension 
correspondante de cet enseignement (extension qui déjà, est 
un fait accompli en plusieurs endroits, ou plutôt un fait 
commencé). Je veux parler de l'acheminement à la démons- 
tration personnelle par l'étudiant; à des travaux pratiques de 
laboratoire conçus dans le sens de l'enseifirnement ulié- 
rieur à donner par celui qui s'y livre; à la fabrication |)cr- 
sonnellc des appareils les plus simples, — enfin, de déve- 



20 F. KLEIN 

loppements très généraux sur la méthode et Torganisation 
de l'enseignement de la physique. Ces progrès semblent 
moins ardus à réaliser que pour les mathématiques, en ce 
qui concerne renseignement de la physique, parce que ja- 
mais ce dernier ne s'est écarté d'une certaine moyenne, 
comme au contraire Ta fait, indubitablement, renseignement 
des mathématiques. 

Cependant, une grosse question se pose : Où prendre le 
temps indispensable pour ces adjonctions aux programmes 
des Hautes Ecoles, pour désirables qu'elles soient ? Sans 
doute, on peut augmenter le nombre des professeurs, et 
multiplier les locaux nécessaires, mais la capacité compré- 
hensive (Fassungskraft) de nos étudiants est une grandeur 
de moyenne constante y de laquelle ^ évidemment^ nous sommes 
bien forcés de tenir compte. 

Disons le d'emblée, la prolongation éventuelle du séjour 
à l'université ne mérite pas même qu'on la discute. S'il doit 
y avoir allégement, il faut qu'il vienne d'un autre côté. A 
Gœttingue, où les diverses branches des mathématiques et 
de la physique sont richement représentées, il y a longtemps 
que nous essayons du système « facultatif». Nous ne récla- 
mons l'unité de culture que pour ce qui est absolument 
indispensable, et, pour le surplus, laissons à chacun le 
choix, quant aux possibilités que lui offre la variété des 
cours. Dans d'autres universités, on préférera peut-être faire 
[)révaloir un plan d'études déterminé, ce qui pourrait bien 
être plus profitable pour l'étudiant. On pourra ainsi arriver 
à fixer certaines normes pour les conditions d'obtention du 
diplôme en mathéinathiques ei exi\>\iys\^\\e. Mais une entente^ 
ensuite de discussion raisonnée, entre les spécialistes des 
diverses universités me parait tout particulièrement désirable. 

Une condition préalable à cela doit être mentionnée ici, 
el résulte d'une question plus pressante encore. Les mêmes 
problèmes que nous discutons ici, se présentent quant à la 
préparation universitaire des futurs instituteurs des sciences 
biologiques et de chimie (et cela d'autant plus que les propo- 
sitions dites de Meran prévoient une transformation fort 
importante de l'enseignement biologique dans les écoles 



DE L'ENSEIGNEMENT DES MATHÉMATIQUES 21 

préparatoires supérieures, autrement dit, de cet ensei- 
enseignement dans la sphère scolaire). Soit dans la ligne 
mathématico-physique, soit dans la ligne biologico-chimique, 
une culture spéciale (fachmànnisch) du candidat paraît indis- 
pensable. Sera-t-il encore possible, à l'avenir, de conserver 
entre ces deux lignes d'études, un lien commun, si léger 
lut-il, ou nous fautil travailler dans le sens d'une sépara- 
tion complète, étanche, pourrais-je dire ? 

Je n'hésite pas à me ranger à ce dernier parti. Que si 
l'étudiant en mathématique ou en biologie conserve, après 
avoir l'ait honneur aux branches qui lui sont logiquement 
indispensables, un surplus d'énergie disponible, il complète 
alors à sa guise et librement sa culture scientifique. Au 
reste, pareils compléments sont d'une utilité clairement 
évidente. Quelques connaissances en chimie (et en minéra- 
logie) sont indispensables à tout physicien, comme quelque 
familiarité avec la physique, au chimiste. Le biologiste doit 
avoir certaines notions d'hygiène, comme le mathématicien 
doit savoir quelque chose de l'astronomie. Et à chacun, 
même dans son propre domaine, une étude de la philoso- 
phie, faite au point de vue de sa spécialité, sera des plus 
utiles. S'il y a lieu d'ajouter un numéro de plus aux bran- 
ches sur lesquelles porte l'examen de capacité, je recom- 
mande, en outre de la Propédeutique philosophique^ tout 
particulièrement la Géographie (parce qu'elle se rattache, 
avec une facilité relative, aux études mathématiques et aux 
sciences naturelles) '. 

Les conseils scolaires, habitués à l'amalgamation tradi- 
tionnelle des mathématiques et des sciences naturelles, ne 
se rangeront point de leur plein gré à la séparation dont je 
plaide la cause, et je soupçonne que jusque dans le camp 
des spécialistes, tant mathématiciens que biologistes, se ren- 
contrera, ici et là, quelque opposition à la thèse que je sou- 
tiens. On demandera que, comme jusqu'ici, le mathématicien 



* De cette façon, le biologiste trouvera à s'employer utilement même dans le gymnase 
classique non modifié (ce qui est très important en présence des resolutions de Meran, qui 
ne réclament un enseignement biologique assez avancé que pour les classes supérieures des 
écoles c réaies*, et accentuent d'autre part, la nécessité d'une culture spéciale très complète, 
professionnelle pourrait-on dire chez les biologistes). 



22 F. KLEIN 

acquière ce qui lui est nécessaire, en Tait de connaissances 
biologiques, pour conquérir les degrés inférieurs dans ces 
branches [Unterstufé)^ et que le biologiste en fasse autant de 
son côté, en ce qui concerne les mathématiques et la physi- 
que. En ce cas, je recommande, en opposition avec ce qui se 
pratique aujourd'hui, avec des résultats d'ailleurs peu encou- 
rageants, un système qui rende plus accessible le « degré 
inférieur » (Unterstufe). Les spécialistes en mathématiques, 
en physique, en chimie et dans les diverses sciences, jus- 
que et y compris la biologie, devraient, dans chaque univer- 
sité, se réunir et tomber d'accord sur un programme d'exa- 
mens bien clair, mais pas trop étendu. C'est ce qui, par 
exemple, vient, me dit-on, de se passera Muenster. Ils de- 
vraient aussi pourvoir à l'organisation de cours et d'exercices 
pratiques, qui ne surchargent pasl'étudiantau-delà de ce qui 
est sirictement nécessaire. On pourrait aussi penser à ratla- 
clier les épreuves propres au diplôme du degré inférieur, à 
un examen intermédiaire desliné à ceux qui aspirent à con- 
quérir le degré supérieur (Oberstufe). Je me suis toujours, 
quant à moi, déclaré très sympathique à la création d'un 
examen intermédiaire de ce genre, et je crois que le carac- 
tère scientifique des études, auxquelles se livrent les candi- 
dats à l'enseignement, ne saurait qu'y gagner. 

Je renonce à développer plus au long les possibilités indi- 
quées plus haut. Je préfère beaucoup effleurer, dans un ap- 
pendice, deux autres questions tout aussi pressantes, savoir* 
celle de la préparation raisonnée des futurs instituteurs et 
professeurs de mathématiques et de physique, dans les 
Hautes Ecoles techniques, et celle de la culture addition- 
nelle que pourraient et devraient acquérir les instituteurs 
actuellement en exercice. 

m. Appendice. 

A, Pour ce qui concerne l'éducation rationnelle dans les 
Hautes Ecoles techniques, des candidats à l'enseignement, 
le règlement prussien des examens comprend, dans les 
trois années d'études requises ( Akademisches Triennium)^ 
jusqu'à trois semestres passés dans ces Ecoles techniques. 



DE L'ENSEIGNEMENT DES MATHÉMATIQUES 23 

Ainsi les candidats à renseignement ne reçoivent donc pas 
leur certificat de capacité de la seule université, et celle 
combinaison offre un champ considérable aux influences 
pratiques de la technique. Cependant les résultats connus 
démontrent, que ce système n'a produit que des fruits assez 
illusoires. La principale raison en est, que dans les Ecoles 
techniques de Prusse, jusqu'ici, il n'existe pas de cours ni 
d'exercices pratiques destinés spécialement aux candidats à 
l'enseignement et que ceux-ci se voient obligés d'assister uni- 
quement aux leçons ordinaires faites aux futurs ingénieurs. 
D'autre part, des combinaisons spéciales d'enseignement ne 
sauraient vraiment prospérer, qu'en rendant possible une 
véritable unité des études (Voiler Abschluss) et en s'y adap- 
tant. Aussi en suis-je venu de plus en plus à me convaincre 
de la nécessité de créer, dans nos Hautes Ecoles techniques, 
un programme complet, à l'adresse des candidats à l'ensei- 
gnement mathématique et physique. (Cela existe depuis 
longtemps dans les institutions analogues de l'Allemagne du 
Sud, et c'est l'objet d'un désir constamment exprimé dans 
celle du Nord, parles cercles intéressés.) Et cela implique 
nécessairement la participation des professeurs de la Haute 
Ecole technique, qui ont été chargés d'instruire les candi- 
dats, aux épreuves de capacité à subir par ces derniers. En 
sollicitant la discussion sur ce point, je soumets aussi les 
desiderata suivants : 

i). Le but de la combinaison devrait être de faire valoir 
beaucoup plus expressément la signification propre de la 
technique, pour notre culture moderne, dans l'éducation 
universitaire des candidats, — beaucou[) plus expressément, 
disais-je, que par la seule création de cours de malhémali- 
ques et de physique appliquées, comme c'est généralement 
le cas dans les universités. 

2). H ne s'agirait point, comme on en a exprimé la crainte, 
d'introduire dans les Hautes Ecoles techniques un élément 
étranger, mais bien au contraire de donner tout son relief 
à leur rôle scientifique. 

3). Il semblerait même possible d'insérer définitivement 
dans leur programme, ces cours supérieurs de malhémati- 



24 F. KLEIN 

ques et de physique dont j'ai parlé au chapitre premier, à 
un point de vue plus général. 

4). Du même coup, pourrait enfin fleurir une branche jus- 
qu'ici trop négligée dans Téducation des candidats à l'ensei- 
gnement ; je veux parler de la préparation systématique de 
maîtres spéciaux et de carrière (Fachlehrer) pour les nom- 
breuses écoles techniques moyennes (mais des développe- 
ments sur ce point, pourtant de capitale importance, ne 
seraient pas à leur place ici). 

5). Il faut aussi considérer, que parle développement dé- 
siré de l'enseignement mathémalico-physique, l'intérêt des 
professeurs des branches qui s'y rattachent, quant à la tâche 
proprement pédagogique dévolue aux Hautes Ecoles tech- 
niques, en deviendrait plus vivant et plus intense qu'il ne 
pouvait l'être jusqu'ici. 

6). Même les universités, au sens le plus élevé, profile- 
ront de ce progrès, par le fait que quelque concurrence, sur 
un terrain qui jusqu'ici leur était exclusivement réservé, 
leur sera plus fructueux qu'un monopole que personne ne 
leur disputait. 

7). 11 est évident que le progrès que je réclame ne saurait 
s'accomplir sans une augmentation correspondante du per- 
sonnel enseignant dans les Hautes Ecoles techniques. 

B. Les changements de méthode réclamés par les réso- 
lutions de Meran, ne sauraient, si d'ailleurs ils doivent être 
adoptés, point attendre qu'une nouvelle génération de maî- 
tres soit parvenue à maturité; il s'agit, bien au contraire, de 
gagner aux innovations requises ceux qui sont actuellement 
en exercice, notamment aussi les instituteurs plus âgés. 

On peut être reconnaissant à l'administration prussienne 
d'avoir déjà résolu, à ce point de vue, une mesure fort im- 
portante. Comme le rapport de Meran le mentionne, cette 
administration a provoqué, en divers lieux, des essais et des 
expériences conformes aux propositions de la commission 
en ce qui concerne l'enseignement mathématique et physi- 
que. On projette également des essais analogues quant aux 
réclamations de Meran, relatives aux sciences biologiques. 
Espérons donc, qu'ainsi, de divers centres, pourra venir la 



DE L ENSEIGNEMENT DES MATHÉMATIQUES 25 

preuve, pour les cercles scolaires, non seulement du carac- 
tère praticable des réformes que nous réclamons, mais en- 
core de ce que ces réformes ont d'utile et d'important! 

Les discussions qui se produiront, dans les réunions de 
professeurs et de maîtres, sur les résultats obtenus, comme 
sur les voies suivies pour les atteindre, ne manqueront pas 
de donner à la question plus d'espace et de lumière. 

Mais, à mes collègues des Hautes Ecoles, je me permets 
de demander qu'ils veulent bien^ de leur côté^ avoir égard au 
mouvement qui se dessine^ dans l'organisation des cours de 
vacances qu'ils donneront, ou, s'il y a lieu, d'en organiser 
précisément au point de vue de ce mouvement. 

Les cours de vacances dans le domaine des sciences na- 
turelles, servent jusqu'ici, et fort utilement, à tenir les maî- 
tres et les instituteurs au courant des progrès récents de la 
science. Cela est certainement fort important, pour peu que 
le résultat récompense l'effort, c'est-à-dire, pour autant qu'on 
réussit à se faire clairement comprendre. Mais, à côté de 
cela, nous devrions, me serable-t-il, nous appliquer tou- 
jours plus, à parler dans les cours de vacances, de la haute 
signification que présentent les parties anciennes et nou- 
velles de l'enseignement des Hautes Ecoles pour les voies 
utiles à suivre, dans les écoles supérieures ou moyennes 
qui aboutissent à TUniversité. Sans doute faut-il aussi que 
dans celle-ci, les professeurs se tiennent, plus que jusqu'ici, 
au courant des conditions et de l'état de choses qui préva- 
lent dans ces écoles. 

C'est pourquoi je pense que tous nous admettrons que le 
terme si bref des cours de vacances, qui ne peuvent actuelle- 
ment agir qu'à titre d'incitation passagère, devrait s'élargir 
jusqu'à constituer un vrai semestre de perfectionnement. 

Je ne doute pas de tout ce qui pourrait être suggéré d'in- 
téressant sur tous les sujets traités dans le présent mémoire, 
et je prie instamment les intéressés de ne pas garder pour 
eux leurs opinions et leurs observations *. 

Gœltingue, fin de septembre 1905. F. Klein. 



^ [Ces observations pourront être signalées dans cette Revue dans la rubrique récem- 
ment ouverte sous le titre de «Réformes à accomplir». Voir L'Enseig. Math., 7" année, 
p. 382-387 et p. 462-472. — Réd.]. 



SUR L'EVOLUTION DE LA MATIERE 



Le livre qu'a publié M. Gustave Le Bon sous le tilre 
« L'évolution delà matière*» mérite autre chose qu'un simple 
compte rendu bibliographique. 

Il est du petit nombre de ceux qui font penser, qui obli- 
gent le lecteur à discuter avec lui-même et Ton ne sait, 
après l'avoir lu, s'il faut plus admirer la patience et la cons- 
tance scientifiques de l'auteur, au cours de ses recherches 
expérimentales, ou bien l'envolée de son imagination philo- 
sophique dans le champ des hypothèses qui déjà s'imposent. 
Alors môme qu'on connaît par avance l'ensemble des idées 
de M. Gustave Le Bon, par la série des intéressants mé- 
moires publiés antérieurement par lui, notamment dans la 
Revue scientifique^ on a plaisir à en retrouver dans son livre 
une synthèse qui ne fait pas double emploi. 

Dans ce recueil, nous ne voulons étudier les doctrines 
dont il s'agit qu'au point de vue des répercussions qu'elles 
exercent sur les théories en vigueur dans le domaine des 
mathématiques appliquées^ ou, pour mieux dire, dans celui 
de la Mécanique rationnelle, puisque c'est là qu'on se trouve 
toujours ramené, en dernière analyse. Le meilleur hommage 
que nous puissions rendre à l'auteur, c'est de discuter ses 
idées avec une entière liberté d'esprit. Il nous parait en effet 
qu'en tout état de cause, la poussée qu'il imprime à la science 
moderne ne peut-être que dans le sens d'une marche en 
avant, fût-il dans l'erreur sur quelques points. D'ailleurs, on 
le verra dans ce qui va suivre, les discussions portent peut 
être plutôt sur la forme que sur le fond, sur les mots que sur 
les choses elles mêmes. Mais, en ces délicates matières, le 
langage prend une importance considérable, qu'il serait im- 
prudent de méconnaître. 



> 1 vol. do la Bibliothèque de Philosophie scientifique, avec 67 figures (9« mille); Paris, 
Flammarion, 1905. 



SUR L'EVOLUTION DE LA MATIERE 27 

L'idée fondamentale de M. Gustave Le Bon est que la pro- 
priété des corps radio-actifs est universelle, à des degrés di- 
vers. Soit spontanément, soit sous Faction de certaines causes, 
la matière se désagrège ; l'atome, qu'oncroyait indestructible, 
ne l'est pas, et nous apparaît comme un immense réservoir 
d'énergie; dans la dissociation, cette énergie se dissipe, la 
matière cesse d'être pondérable, et vient à Tétat d'éther, en 
passant par des états intermédiaires entre le pondérable et 
l'impondérable. 

En ce qui touche les faits eux mêmes, il semble bien que 
l'auteur ait cause gagnée ; en ce qui concerne la manière de 
les exprimer, et à plus forte raison de les expliquer (si tant 
est qu'on explique jamais réellement un phénomène) c'est 
une autre affaire. Les théories modernes relatives à l'électri- 
cité ont conduit à des notions qui sont pour surprendre, et 
qui semblent ébranler les principes fondamentaux de la Mé- 
canique. On nous a parlé de masses variables suivant la vi- 
tesse, par exemple, d'atomes électriques, de-ions, d'électrons 
jouissant de propriétés spéciales ; et on en est arrivé à se de- 
mander si la Mécanique classique, qui suflit largement, telle 
qu'elle est, à tous nos besoins pratiques et mêmes scientifi- 
ques, en ce qui concerne les applications, ne serait pas 
simplement une première approximation, le premier terme 
d'une série dont les suivants ne sont pas encore connus à% 
nous. C'est fort possible; les principes de la Mécanique sont 
des postulats, non des dogmes immuables ; mais encore 
faut il s'entendre sur les mots qu'on emploie. 

Beaucoup d'entre ces mots sont connus et admis ; d'autres 
appellent une définition ; certains, enfin, par la nature des 
choses, sont indéfinissables, mais ont besoin du moins d'être 
expliqués, pour que le langage soit compréhensible. Dans 
l'un de ses articles de la Revue scientifique^ M. Gustave Le 
Bon proclame avec grande raison qu'il est indispensable de 
définir nettement tous les termes. Je crains qu'emporté par 
son sujet, il ne soit pas resté dans son livre absolument fidèle 
à cette sage maxime. J'ai cherché en vain, par exemple, ce 
qu'il faut entendre par masse, par énergie, par inertie; et 
cette lacune est d'autant plus grave que ces locutions sont 



28 C. A. LAISANT 

souvent assimilées à des quantités, et qu'on nous parle de 
leur mesure. 

La vérité, ce me semble, c'est que la science, à un stade 
quelconque, ne peut se passer d'hypothèses. Par une ten- 
dance assez naturelle de l'esprit humain, nous finissons par 
donner à ces créations une réalité objective, alors qu'elles 
n'existent que dans notre cerveau. La Chimie et la Physique 
actuelles, par exemple, ne peuvent tenir debout sans la con- 
ception de la molécule et de l'atome ; la théorie de la lu- 
mière, depuis Fresnel, exige qu'on admette l'existence de 
l'éther. Mais personne a-t-il jamais vu une molécule ou un 
atome ? Personne a-t-il pu constater quelque part la présence 
d'une quantité quelconque d'éther ? Et ne pouvons nous faire 
les mêmes objections aux physiciens de Técole moderne qui 
jouent avec une telle habileté des ions et des électrons? 

Ils pourraient nous répondre qu'en Mécanique, notre point 
matériel n'a guère plus de réalité ; et ils auraient grande- 
ment raison ; car il ne s'agit plus ici d'une hypothèse utile 
pour expliquer des phénomènes, mais d'un mot contenant 
une contradiction dans les termes, puisqu'il exprime l'idée 
d'une quantité de matière aussi grande que nous voulons, et 
qui n'occuperait aucune place. 

Pour revenir à l'éther, qui joue dans ces questions un 
rôle si considérable, quel besoin avons nous, après avoir 
admis cette hypothèse, de le doter d'une impondérabilité ab- 
solue ? Si la masse totale de l'éther supposé répandu dans 
tout notre univers stellaire connaissable était de 1 milli- 
gramme, par exemple, ou môme d'une tonne, il est bien pro- 
bable que nous n'arriverions jamais par nos moyens terrestres 
à la mettre en évidence. Et cependant, n'existerait-elle pas 
quand même? Je n'aperçois donc aucun motif a priori 
pour créer celte opposition métaphysique, anti physique, 
pourrais-je dire, entre le pondérable et l'impondérable, 
entre la matière et l'éther. 

J'admire le titre qu'a choisi M. Gustave le Bon, l'évolution 
de la matière; je trouve heureuse son expression, dissocia- 
tion de la matière, ou dissociation de l'atome ; mais je ré- 
prouve la forme et surtout l'idée dans ce vocable un peu 



sua L'ÉVOLUTION DE LA MATIÈRE 29 

barbare «dématérialisation de la matière», auquel il revient 
souvent avec une sorte de prédilection. C'est à mon sens, 
diminuer et dénaturer de ses propres mains l'édifice qu'il 
vient de construire avec tant de talent et de conscience. 

Quelle est, en effet, l'affirmation maîtresse qui semble se 
dégager de toute l'œuvre avec une lumineuse clarté ; c'est 
que Tatome, jusqu'ici considéré comme un élément simple, 
indestructible, inerte, est au contraire un système fort compli- 
qué, un véritable univers, capable de se dissocier sous cer- 
taines influences, et renfermant une quantité d'énergie con- 
sidérable dont il est le réservoir. Or, après cette dissociation, 
après cette libération d'énergie, on vient lui refuser la quali- 
té de matière. Pourquoi? Parce que, semble dire l'auteur, 
la propriété essentielle de la matière, c'est d'être inerte; et il 
a consacré une grande partie de sa vie et ses meilleurs ef- 
forts à démontrer victorieusement qu'elle ne l'est pas. 

C'est ici qu'il nous faut revenir aux principes fondamen- 
taux de la Mécanique, et rechercher les modifications que 
les découvertes physiques modernes doivent nécessairement 
y introduire. J'ai, pour mon compte, depuis bien longtemps, 
soutenu que le prétendu principe de l'inertie devrait être 
remplacé par Vhypothèse de l'inertie. C'est la base même de 
toute la science du mouvement. En vertu de cette hypothèse, 
on admet que si un corps n'est pas en repos, ou animé d'un 
mouvement rectiligne et uniforme, c'est qu'une cause exté- 
rieure est venue agir sur lui ; à cette cause, on donne le nom 
de force ; par la comparaison avec les poids, nous arrivons 
à mesurer les forces ; nous constatons pour un même corps, 
la proportionnalité des forces aux accélérations, et le rap- 
port constant de la force à l'accélération nous donne, pour 
un corpis quelconque, la notion de masse et nous permet d'ef- 
fectuer la mesure de cette masse. 

Partant de là, on arrive à l'idenditédu travail et de la force 
vive, et comme conséquence à la conception de l'énergie mé 
canique, demi produit de la masse par le carré de la vitesse. 
C'est la base fondamentale de toute la théorie de l'énergie ; 
nous ne pouvons la concevoir, cette énergie, malgré ses ap- 
parences diverses, que comme une transformation plus ou 



30 C, A. LAISANT 

moins étudiée, plus ou moins mystérieuse, de la force vive 
ou énergie mécanique. 

Dès lors, pourquoi vouloir maintenir à tout prix dans la 
science cette notion de force, sinon comme un mot commode 
à employer dans le langage et le calcul ? La véritable consé- 
quence à tirer des conquêtes de la Physique moderne, c'est, 
il me semble, la renonciation franche à Tidée d'inertie entant 
que principe, et l'adoption de celle de masse comme notion 
première, au même titre que l'espace ou le temps. L'hypo- 
thèse de l'inertie pourra ainsi être présentée comme concor- 
dant suflisamment avec tous les besoins pour qu'il n'y ait au- 
cun inconvénient à l'admettre dans les applications ordinai- 
res, mais elle cessera d'apparaître comme un dogme im- 
muable et irréductible. Par contre, la masse restera identique 
à elle-même et indestructible, au milieu des transformations 
sans nombre qu'il nous sera donné d'observer. Tant que ces 
transformations ne toucheront pas à la dissociation de la ma- 
tière, tant qu'il n'y aura pas libération de l'énergie intra- 
atomique, en tout ou en partie, les choses se passeront com- 
me si l'inertie supposée était une véritable loi de la nature, 
et les principes actuels de la Mécanique pourront s'appliquer 
tels quels. Au contraire, dès que la dissociation interviendra, 
nous devrons nous attacher exclusivement au principe de 
la conservation de l'énergie, qui peut rester solide sur sa 
base et résister longtemps — nous n'osons pas dire toujours 
— à tant d'assauts. 

Une petite quantité de matière, un gramme par exemple, 
renferme, d'après la théorie de M. Gustave Le Bon, une 
somme d'énergie qui, si elle était libérée représenterait bien 
des milliards de kilogrammètres. Que devient-elle, avec celle 
conception d'un éther immatériel dans lequel la matière vient 
se perdre. C'est une sorte de nirvana (inal (suivant le mot de 
l'auteur), un néant infini et immobile recevant tout et ne ren- 
dant rien. 

Au lieu de cet élernel cimetière des atomes, j'ai plutôt une 
tendance à voir dans l'éther le perpétuel laboratoire de la na- 
ture. J'irais presque jusqu'à dire qu'il est à l'atome ce qu'en 
Biologie le protoplasma est à la cellule. Tout y va et tout en 



SUR L'ÉVOLUTION DE LA MATIÈRE 31 

vient. C'est une forme de la matière, forme originelle et fi- 
nale à la fois ; dans Tindéfinie circulation des mondes, rien n'est 
en repos, rien ne nous apparaît immuable, tout se trans- 
forme, tout évolue; tout, sauf la masse, qui demeure, et 
Ténergie qui ne s'éteint pas. Et lorsque je considère la dis- 
sociation d'une portion de matière si faible qu'on le voudra, 
lorsque j'imagine ces particules, des centaines de milliards de 
fois plus petites que l'atome, se précipitant au sein de l'éther 
avec une vitesse comparable à celle de la lumière, il ne me 
répugnerait nullement de penser que l'une d'entre elles, dans 
les profondeurs inouïes de l'espace, à des distances devant 
lesquelles celle de Sirius à la Terre ne compte pas, ira peut- 
être contribuer à la formation tourbillonnaire de quelque né- 
buleuse, germe d'un monde nouveau, à la construction d'un 
atome qui fera partie intégrante de ce monde jusqu'à sa dis- 
sociation future. 

Je ne serais pas étonné de me trouver moins qu'il ne paraît 
en contradiction avec M. Gustave Le Bon, lorsque je rencon- 
tre dans son livre des passages comme celui-ci: 

« Nous ne pouvons pas dire comment s'est constitué 
« Tatome et pourquoi il finit par lentement s'évanouir; 
a mais au moins nous savons qu'une évolution analogue se 
« poursuit sans trêve, puisque nous pouvons observer les 
« mondes à toutes les phases d'évolution, depuis la nébuleuse 
«jusqu'à l'astre refroidi, en passant par les soleils encore in- 
« candescents comme le nôtre. » 

Toutes ces idées, pourra-t-on dire, sont du domaine de 
l'imagination pure. Je répondrai que l'imagination a sa 
place nécessairement marquée dans la formation des hypo- 
thèses, en cosmogonie notamment, et en général dans tous 
les domaines, si nombreux et si étendus, hélas, où notre 
ignorance est encore profonde. Tout ce qu'on doit exiger, 
c'est que les produits de l'imagination ne viennent pas con- 
tredire les faits connus et bien observés, mais soient au con- 
traire consacrés à les coordonner entre eux dans la mesure 
où il nous est possible de le faire, et à faciliter ainsi la dé- 
couverte de lois nouvelles. 

Je dois ajouter, pour m'excuser, s'il était nécessaire, des 



32 C, A, LAISANT 

critiques auxquelles j'ai cru pouvoir me livrer, que jamais 
sans doute les réflexions qui précèdent ne se seraient pré- 
sentées à mon esprit sans la lecture des travaux de M. Gus- 
tave Le Bon, et surtout de son remarquable ouvrage « l'Evo- 
lution de la matière. » Je regrette que la nature même de 
cette Revue, ainsi que je Tai dit plus haut, ne m'ait pas per- 
mis une analyse plus complète, en ce qui touche d'autres 
domaines, comme celui de la Chimie et de la Biologie, par 
exemple. Malgré mon incompétence, j'ai éprouvé à la lecture 
(le ces passages un plaisir qui sera ressenti également par 
tous les amis de la science et de la sincérité scientifique. 

Pour me résumer, il m'apparaît, en ce qui concerne la 
Mécanique rationnelle, que ses principes et par suite son 
enseignement, ne doivent pas recevoir jusqu'ici d'atteinte 
sérieuse, mais que certaines précautions s'imposent. Elles con- 
sisteront principalement: à présenter le principe de l'inertie 
comme une hypothèse, admissible jusqu'aux phénomènes de 
dissociation exclusivement; à postuler Tidée de masse, en 
n'introduisant celle de force qu'à titre de conséquence ; à 
continuera s'appuyef sur la conservation de l'énergie ; à voir 
dans l'éther hypothétique une forme spéciale de la matière, 
le grand laboratoire des mondes, d'où tout vient, où tout 
retourne ; sans que nous puissions d'ailleurs avoir sur la na- 
ture de cet éther, sans doute d'ici bien longtemps, aucune 
donnée réelle et précise. 

C. A. Laisant. 



SUR LE CONTOUR APPARENT DE LA SURFACE 

D'UN CORPS 



DEFINITION, COMPOSITION ET DETERMINATION 

PAR POINTS, AU MOYEN DES PROCÈDES DE LA GEOMETRIE DESCRIPTIVE, 

DU CONTOUR APPARENT DE LA SURFACE d'uN CORPS. — 

SÉPARATION d'ombre ET DE LUMIERE. — TECHNOLOGIE. 

1. Introduction. — La définition, la composition et la déter- 
mination du contour apparent de la surface d'un corps sem- 
blent avoir été données jusqu'ici d'une manière bien impar- 
faite. Trop souvent encore, on lit par exemple, que le contour 
apparent de la surface d'un corps est la courbe de contact 
d'un cône, circonscrit à la surface et ayant l'œil pour sommet, 
alors qu'on soupçonne immédiatement toutes les restrictions 
et additions que cette définition exige dans les applications, 
puisque la courbe de contact à laquelle on a même donné le 
nom de Courbe de perspective, n'appartient pas toujours, ni 
en tout, ni en partie, à ce qu'il convient d'appeler le Contour 
apparent, (Voir I. M. 1898, p. 6). 

Nous avons en vue de donner, dans cette Note, pour le con- 
tour apparent et la séparation d'ombre et de lumière sur la 
surface d'un corps, une définition mathématique complète, 
la composition précise, une technologie et enfin, une règle 
générale et méthodique de recherche par points au moyen 
des procédés de la Géométrie descriptive. 

2. Colliers. — Si l'on appelle tangente à une surface, une 
droite tangente à une courbe de la surface, on sait que le lieu 
a des points de contact des tangentes menées par un point 
à une surface est le même que le lieu des points de contact 
des plans tangents menés par le point O à la surface, ou que 
la courbe de contact du cône ayant pour sommet et circon- 
scrit à la surface. La ligne a peut donc être désignée sous 

L'Enseignement muthém., 8« année; 1906. 3 



34 F. CHOME 

trois appellations différentes, sans compter l'appellation abu- 
sive de contour apparent ou de courbe de perspective, et 
comme ces trois dénominations sont également désagréables, 
par leur longueur, dans les raisonnements géométriques, 
nous désignerons le lieu a sous le nom de collier pour le 
point 0. (Voir Int. d. Math. 1898, p. 6). 

De même, pour une surface donnée, nous appellerons 
collier pour une droite d, le lieu des points de contact des 
droites tangentes à la surface et parallèles à rf, ou encore le 
lieu des points de contact des plans tangents à la surface et 
parallèles à âf, ou enfin la courbe de contact du cylindre pa- 
rallèle à âf et circonscrit à la surface. 

- En particulier, on pourra appeler collier Jiorizontaly celui 
qui correspond à une verticale, et collier vertical, celui qui 
correspond à une droite de bout. 

Le collier d*une surface a est considéré fréquemment en 
projection sur une surface tt, plane ou non, à Tintersection 
de cette surface n avec le cône ou le cylindre circonscrit à la 
surface a. Cette projection prendra naturellement le nom de 
collier projeté sur tt, ou simplement de collier projeté, s*il 
n'en résulte aucune ambiguïté au sujet de la surface de pro- 
jection pour laquelle on parle. Le collier horizontal, projeté 
sur le plan horizontal de projection pourra être appelé sim- 
plement collier horizontal projeté ; le collier vertical, projeté 
sur le plan vertical de projection pourra être appelé simple- 
ment collier vertical projeté. 

Les colliers et les colliers projetés jouissent d'importantes 
propriétés* et se déterminent en Géométrie descriptive 
d'après des méthodes qu'il est inutile de rappeler dans celte 
Note, pour le but que nous avons en vue. 

3. Défmition du Contour apparent. — Dans le langage vul- 
gaire, on appelle contour apparent de la surface % d'un 



^ On sait, par exemple, que la tangente en un point du collier d'une surface a et la généra- 
trice de la développable circonscrite correspondante sont deux diamètres conjugués dans 
l'indicatrice de la surface OLy que le collier peut présenter des points remarquables où ces deux 
-diamètres conjugués sont confondus et que la projection, sur une surface fr^ d'un point remar- 
quable est un point de rcbroussement de première espèce du collier projeté, si le point remar- 
quable est un point ordinaire de seconde espèce. (Voir Mathesis, 1898, t. VIII (2), pp. 177 k 185). 



sua LE CONTOUR APPARENT 35 

corpSf pour une position déterminée de Toeil O, la ligne qui 
sépare sur la surface «, la partie vue de la partie cachée de 
cette surface. 

Four donner à cette définition vulgaire un sens mathéma- 
tique, nous supposerons: 

i* Que l'œil O est réduit à un point géométrique et peut 
donc être considéré comme un pôle dans les projections po- 
laires ; 

2** Que les projetantes polaires issues de Tœil sont consi- 
dérées comme des rayons visuels ; 

3** Que si deux points A et B appartiennent à un même 
rayon visuel et sont situés sur ce rayon d'un même côté de 
l'œil, le point A est dit au-dessus ou au-dessous de B suivant 
que Ton a 

OA < OB ou OA > OB; 

4® Qu'un point A est dit vu^ quand sur le rayon visuel 
allant de A à Tœil O et se terminant en O, il n'y a dans le 
corps considéré aucun point placé au-dessus de A; qu'un 
point A est dit cacA^dans le cas contraire. 

Si Tœil, assimilé à un point géométrique, s'éloigne au- 
delà de toute limite sur une semi-droite rf, donc dans un sens 
bien connu, les trois dernières conventions se transforment 
aisément et nous saurons dans ce cas: 

1® Que Tœil est réduit à un point géométrique silué à l'in- 
fini sur une semi-droite d; 

2** Que les rayons visuels convergents ont pour limites 
des rayons visuels parallèles à âf et de même sens ; 

3** Que si deux points A et B appartiennent à un même 
rayon visuel, le point A est au-dessus ou au-dessous de B, 
suivant qu'en partant de B, dans le sens de la semi-droite d, 
on passe par A ou non ; 

4** Qu'un point A est vu, quand sur le rayon visuel passant 
par A, il n'y a dans le corps considéré, aucun point placé 
au-dessus de A; qu'un point A est caché dans le cas con- 
traire. 

D'après ce qui précède, nous pouvons dire, comme dans 
le langage vulgaire, mais en employant des termes ayant un 



sens mathématique, que le Contour apparent de ta surface 
d'un corps, pour un œil placé à dislance finie ou infinie, 
c'est-à-dire pour des rayons visuels convergents ou parallè- 
les, est la ligne gui sépare sur la surface, la partie vue de 
cette surface de la partie cachée. 

4. Composition du contour apparent. — Proposons-nous 
maintenant de rechercher la composition du contour appa- 
rent. Coupons la surface donnée « au moyen d'un plan pas- 
sant par l'œil, ou parallèle aux rayons visuels dans le cas 
d'un œil silué à l'inlini. Soit l la section (voir la figure) et in- 
diquons par des hachures la position du corps par rapport 
à la surface. 




1. — Menons à la section l tous les rayons visuels tangents. 
En faisant varier le plan sécant, de manière à engendrer au 
moyen de la ligne l la surface tout entière, le lieu des points 
de contact obtenus dans chaque plan sécant est le collier de 
K pour l'œil O (n" 2) ou pour une droite d parallèle aux rayons 
visuels. 

Dans chaque section, aux environs d'un point de contact, 
la tangente ne peut être qu'extérieure au corps comme en 



SUB LE CONTOUR APPARENT 37 

A, G, F; ou intérieure au corps, comme en B, D ; ou inté- 
rieure au corps d'un côté du point de contact et extérieure 
au corps de l'autre côté de ce point, comme en G ou R. 

On appelle /?o^'/zr réel^ du collier, tout point à tangente ex- 
térieure, tels sont les points A, G, F; un pareil point peut 
être vu ou caché. 

Un point réel est vu^ si la tangente en ce point ne perce la 
surface d'aucun corps au-dessus du point, tels sont les points 
A et F. Les points réels vus séparent chacun sur la section 
plane, une partie vue d'une partie cachée et appartiennent 
donc au contour apparent. 

Un point réel est cachée si la tangente en ce point perce la 
surface du corps au-dessus du point ; tel est le point G. Tout 
point réel c^rcA^ appartient à une partie entièrement cachée 
de la section et ne saurait faire partie du contour apparent, à 
moins qu'il ne soit une extrémité d'un lieu de points réels vus. 

On appelle /;(7c'/2/ virtuel^ Av\ collier, tout point à tangente 
intérieure; tels sont les points B, D ; un pareil point est 
nécessairement caché et sur la tangente, au-dessus du point 
de contact, il existe toujours au moins un point appartenant 
à la surface du corps, supposé limité de tous côtés. Tout 
point virtuel, appartenant à une partie entièrement cachée 
de la section plane, ne saurait faire partie du contour appa- 
rent, à moins d'être une extrémité d'un lieu de points réels 
vus. 

Nous appellerons point intermédiaire^ du collier, tout 
point tel que G ou R, pour lequel la tangente est extérieure 
au corps, d'un côté du point, et intérieure au corps de l'autre 
côté du point. Un pareil point peut être vu comme le point R, 
ou caché comme le point G, mais il appartiendra toujours à 
une partie entièrement vue ou entièrement cachée de la sec- 
tion plane et ne saurait faire partie du contour apparent, à 
moins qu'il ne soit une extrémité d'un lieu de points réels 
vus. 

Nous voyons donc que le contour apparent de la surface 



^ J. De La Ooumerie est, pensons-nous, le premier géomètre qui ait employé les dénomi- 
nations de point réel et de point virtuel^ en vue d'arriver aux points remarquables des colliers 
(Traité de Perspective linéaire. Paris, 1859). Nous avons introduit les points intermédiaires. 



38 F. CHÔMÉ 

d'un corps comprend les points réels vus du collier de la sur- 
face. Nous désignerons le lieu de ces points sous le nom de 
Contour apparent tangentieL 

II. — Si la surface a présente des arêtes, droites ou cour- 
bes, nous pouvons considérer aussi, sur la seclion /, les rayons 
visuels passant par les intersections des arêtes avec le plan 
sécant. Le lieu de ces points est évidemment constitué par les 
arêtes de !a surface, si Ton fait varier le plan sécant de manière 
à engendrer la surface tout entière au moyen de la ligne /. 

Dans chaque section, aux environs du point situé sur une 
arête, le rayon visuel ne peut être qu'extérieur au corps 
comme eu P, M, I; ou intérieur au corps comme en L, N, ou 
extérieur au corps d'un ('ôté du point et intérieur au corps de 
Tautre côté de ce point, comme en H ou Q. 

Nous appellerons /;o//2/ réel d'une arête^ tout point à rayon 
visuel extérieur, tels sont les points P, M, I; un pareil point 
peut être vu ou caché. 

Un point réel est vu^ si le rayon visuel passant par ce point 
ne perce la surface d'aucun corps au-dessus du point, tels 
sont les points P et I. Les points réels vus séparent chacun 
sur la section plane, une partie vue d'une partie cachée et ap- 
partiennent donc au Contour apparent. 

Un point réel est caché, si le rayon visuel passant par ce 
point perce la surface du corps au-dessus du point; tel est 
le point M. Tout point réel caché appartient à une partie en- 
tièrement cachée de la section et ne saurait faire partie du 
contour apparent, à moins qu'il ne soit une extrémité d'un 
lieu de points réels vus. 

Nous appellerons /?o/a?^ virtuel d'une arête, tout point à 
rayon visuel intérieur au corps; tels sont les points L, N; 
un pareil point est nécessairement caché et sur le rayon visuel, 
au-dessus du point considéré, il existe toujours au moins un 
point appartenant à la surface du corps supposé limité de 
tous côtés. Tout point virtuel, appartenant à une partie entiè- 
rement cachée de la section plane, ne saurait faire partie du 
contour apparent, à moins d'être une extrémité d'un lieu de 
points réels vus. 



SUB LE CONTOUR APPARENT 39 

Nous appellerons point intermédiaire d*une arôle, tout 
point tel que H ou Q, pour lequel le rayon visuel est exté- 
rieur au corps d'un côté du point considéré et intérieur au 
corps de l'autre côté du point. Un pareil point peut être vu 
comme le point Q, ou caché comme le point H, mais il appar- 
tient toujours à une partie entièrement vue ou entièrement 
cachée de la section plane et ne saurait faire partie du con- 
tour apparent, à moins qu'il ne soit une extrémité d'un lieu 
de points réels vus. 

Nous voyons donc que le contour apparent de la surface 
d'un corps comprend les points réels vus des arêtes de la sur- 
face. Nous désignerons le lieu de ces points sous le nom de 
Contour apparent rasant. 

Nous appellerons Contour apparent propre, l'ensemble du 
contour apparent tangentiel et du contour apparent rasant. 

111 et IV. — Il exisie sur la surface, un troisième et un qua- 
trième lieu de points faisant partie du contour apparent. Car 
si nous considérons le rayon visuel passant par un point réel 
vu tel que A ou P, ce rayon visuel peut percer la surface 
en un point E ou K, situé immédiatement au-dessous de A ou 
P. Or, le point E ou K sépare sur la section plane, une partie 
vue d'une partie cachée et appartient donc au contour appa- 
rent. 

Nous désignerons tout point tel que E ou K, sous le nom 
de point consécutif au point réel vu A ou P. 

Nous voyons donc que le contour apparent de la surface 
d'un corps comprend le lieu des points consécutifs des points 
du contour apparent tangentiel et du contour apparent rasant. 
Nous désignerons le lieu de ces points sous le nom de Con- 
tour apparent consécutif Qi il peut comprendre deux parties: 
Tune provenant du contour apparent tangentiel et que nous 
appellerons Co/z/(?wr apparent consécutif tangentiel; l'autre 
provenant du contour apparent rasant et que nous appelle- 
rons Contour apparent consécutif rasant, 

V. — Il n'est pas nécessaire d'examiner les rayons visuels 
autres que ceux qui sont tangents à la surface ou qui s'ap- 



40 F. CHÔMÉ 

pnient sur des arêtes de la surface, car un point situé sur la 
surface et correspondant à lout autre rayon visuel, appartient 
nécessairement à une portion entièrement vue ou entièrement 
cachée autour du point considéré. Le contour apparent d'un 
corps ne comprend donc pas d'autres points que ceux que 
nous avons indiqués aUx §§ I, II, III et IV. 

VI. — En résumé, nous pouvons indiquer dans le tableau 
synthétique suivant, la composition du contour apparent et 
la technologie que nous proposons pour ses différentes par- 
ties : 

(Contour apparent tangenliel. 

^ (Contour apparent propre 5r> . . * 

Contour) r r (Contour apparent rasant. 

apparent) . (Contour apparent consécutiftangeutiel. 

^^ (ContourapparentconsécutifJ^ ^ * * *-r 

'^'^ (Contour apparent consécutif rasant. 

5. Critérium permettant de reconnaître dans une épure les 
points du contour apparent propre. — Le théorème suivant 
donne un moyen géométrique infaillible pour reconnaître 
dans une épure, les points réels vus du collier ou des arêtes 
de la surface d'un corps. 

Théorème, — Pour qu'un point A situé sur une arête ou 
sur le collier de la surface d'un corps pour des rayons visuels 
convergents ou parallèles^ appartienne au contour apparent 
propre de la surface^ il faut et il suffit que le rayon visuel 
correspondant ne rencontre pas la surface du corps au-des^ 
sus du point et rencontre cette surface, au-dessous du points 
en un nombre de points pair ou nul, les points de contact ou 
d'appui, réels ou virtuels ne comptant pas, les points inter^ 
médiaires comptant pour un point. On suppose le corps limité 
de tous côtés. 

En effet, si le point A appartient à la partie tangentielle ou 
rasante, il est réel et vu. Le point étant vu, le rayon visuel 
correspondant ne rencontre pas le corps au-dessus du point. 
Le point considéré étant réel, le rayon visuel correspondant 
est extérieur au corps aux environs du point et s'il pénètre 
dans celui-ci, au-dessous du point, en un premier point d'in- 
tersection, il devra en sortir en un second point et ainsi de 



SUB LE CONTOUR APPARENT 41 

suite; de sorte qu^au-dessoiis du point considéré, il y aura 
nécessairement un nombre nul ou pair de points d'intersec- 
tion, à condition de négliger tout point de contact ou d'ap- 
pui, réel ou virtuel, et de compter tout point intermédiaire 
pour un point. 

On voit que les conditions énumérées sont nécessaires; 
elles sont du reste suffisantes, car on en conclut aisément, 
que tout point qui y est soumis, est réel et vu. 

6. Méthode générale pour la détermination par points du con- 
tour apparent. — Nous pouvons enfin donner pour la déter- 
mination complète du contour apparent de la surface A\\n 
corps, dans une épure, le procédé général suivant dont la 
justification se trouve dans ce qui précède. Les rayons 
visuels convergent en un point O ou sont parallèles à une 
droite d, 

i* On cherchera le collier de la surface pour le point O ou 
la droite d ; 

2^ On déterminera l'intersection de la surface du corps, 
préalablement limité de tous côtés s'il y a lieu, avec le cône 
ou le cylindre visuel circonscrit à la surface; 

3* On distinguera sur le collier cherché au 1®, les points 
réels vus qu'on reconnaîtra au moyen de l'intersection déter- 
minée au 2®, grâce au théorème du n** 5. On aura, de cette 
manière, éliminé les points réels cachés, les points virtuels 
et les points intermédiaires, pour obtenir le contour appa- 
rent tangentiel ; 

4" On prendra, sur l'intersection déterminée au 2**, les points 
consécutifs des points trouvés au 3** et l'on aura ainsi le con- 
tour apparent consécutif tangentiel ; 

5** On considérera les arêtes de la surface du corps et le 
cône ou cylindre visuel ayant ces arêtes pour directrice ; 

6® On déterminera Tinterseclion de la surface du corps 
avec le cône ou cylindre visuel considéré au 5**; 

7® On distinguera, sur les arêtes du corps, les points réels 
vus qu'on reconnaîtra, au moyen de l'intersection détermi- 
née au 6°, grâce au théorème du numéro 5. On aura ainsi 
éliminé, sur les arêtes, les points réels cachés, les points vir- 



42 F. CHÔMÉ 

tuels et les points intermédiaires, pour obtenir le contour 
apparent rasant; 

8** On prendra, sur Fintersection déterminée au 6^ les 
points consécutifs des points réels vus trouvés au 7®, et Ton 
aura ainsi le contour apparent consécutif rasant^ quatrième 
et dernière partie à trouver pour le contour apparent. 

7. Remarque. — La méthode donnée au numéro précédent, 
pour la détermination d'un contour apparent, est générale et 
complète; elle conduit infailliblement au résultat cherché, 
mais elle peut donner lieu, surtout chez les commençants, à 
des tracés très compliqués. Il faudra faire les constructions 
sur Tépure, en tâchant d'être sobre dans le tracé des lignes 
et en examinant attentivement si certaines constructions ne 
peuvent être évitées *. 

Il en est ainsi du reste pour Temploi de toutes les métho- 
des générales dans toutes les branches des mathématiques, 
et pour n'en citer qu'un exemple, nous rappellerons de com- 
bien de remarquesutilesetpratiquesonfait suivre, en Algèbre, 
la méthode générale pour la résolution de n équations du 
premier degré à n inconnues. 

8. Technologie complémentaire. — Pour compléter la tech- 
nologie relative au contour apparent, il y aurait lieu de 
définir les expressions ; Contour apparent horizontal^ con- 
tour apparent vertical^ contour apparent projeté sur une sur- 
face, contour apparent horizontal projeté^ contour apparent 
vertical projeté^ mais ces expressions se comprendront 
comme les termes analogues relatifs aux colliers (n** 2) avec 
lesquels il ne peut être permis de les confondre. 

9. Séparation d'ombre et de lumière. — Faisons remarquer 
enfin que si au lieu de rayons visuels, on considère des 
rayons lumineux issus d'un point ou parallèles à une droite, 
on trouve, au lieu du contour apparent, la séparation cC om- 
bre et de lumière appelée aussi ombre sur le corps ou simple- 



* Voir F, Chômé. Cours do Géométrie descriptive, I'* Partie, Livre I n* 93, Livre U ii*433. 



ENQUÊTE SUR LA MÉTHODE DE TRAVAIL 43 

ment ombre. Cette ligne comprend donc l'ombre propre et 
l'ombre consécutive qu'on appelle ombre portée. L'ombre 
propre comprend du vesieV ombre tangentielle et Vombre ra- 
sanlCy Fombre portée comprend Vombre portée tangentielle 
et Vombre portée rasante. 

La règle générale pour rechercher l'ombre d'un corps 
peut être déduite immédiatement de celle que nous avons 
donnée au numéro 6 pour la détermination du contour appa- 
rent. 

Octobre 1905. F. Chômé (Bruxelles). 



ENQUÊTE SUR LA METHODE DE TRAVAIL 

DES MATHÉMATICIENS 



LES RÉSULTATS > — III 

Questions 2 et 3. 

2. — Quelles sont les branches de la science mathéma-- 
tique vers lesquelles vous vous êtes senti plus particulièrement 
attiré ? 

3. — Etes-vous plutôt attiré par l'intérêt de la science 
mathématique en elle-même, ou par les applications de cette 
science aux phénomèmes de la nature ? 

Quatre-vingt-deux mathématiciens ont répondu à ces 
deux questions. Comme on devait s'y attendre, leurs réponses 
présentent une grande variété. Tandis que les uns ont porté 
leur attention principalement sur la méthode et le côté lo- 
gique des mathématiques, il en est un grand nombre qui se 



* XoirVEns. math, y 7* année, n* 5, p. 387-395 ; n« 6, p. 473-478, 1905. 



44 ENQUÊTE SUR LA MÉTHODE DE TRAVAIL 

sont sentis attirés plus particulièrement vers Tune ou même 
plusieurs des branches mathématiques. On constate en effet 
fréquemment qu'un même savant s'intéresse successivement 
ou simultanément à plusieurs domaines par le fait même 
des concepts ou des principes fondamentaux qui leur sont 
communs. 

Cette diversité dans les réponses ne permet guère de les 
grouper en une classification à la fois nette et rigoureuse, tout 
au moins pour ce qui est de la question 2. Un examen appro- 
fondi des 82 réponses nous a conduit à la répartition suivante: 

Mathématiques pures d'une manière générale; mé- 
thode et logique des mathématiques 10 

Algèbre et théorie des nombres (10); analyse (10); 

algèbre et analyse (4) 24 

Géométrie 24 

Géométrie et algèbre (7); géométrie et analyse, géo- 
métrie infinitésimale (8) 15 

Mathématiques appliquées 9 

Nous reproduisons ci-dessous les réponses * les plus ca- 
ractéristiques de chacun de ces groupes : 

Rép. XL VI (Espagne). — Ce sont les branches théoriques qui 
m'ont attiré plus particulièrement. Mon attention s'est. portée 
principalement sur la méthode mathématique et sa logique rigou- 
reuse. Au commencement la Géométrie m'attirait par sa clarté ; 
mais à présent je n'ai pas de préférence : je vois le même objet 
sous deux points de vue, celui de la Géométrie et celui de l'Ana- 
lyse, qui viennent se fondre dans Tintelligence. 

J'ai été attiré par la science elle-même comme développement a 
priori ; mais après quelques années, j'ai aimé voir contrôlées les 
lois théoriques dans la réalité extérieure. Un grand intérêt pré- 
sentaient également pour moi la métaphysique (principalement la 
Logique) ainsi que les sciences naturelles, la physique et la chimie. 

Z. G. DE Galdeano. 

Rép. IX (France). — Les méthodes m'attirent en raison de leur 
puissance et de leur naturel; j'ai peu de goût pour l'artifice et 
pourtant je suis séduit par l'élégance des démonstrations artifi- 
cielles et leur ingéniosité. La mécanique est la branche que je pré- 
fère à cause de ses applications aux phénomènes naturels. 

> Suivant le désir exprimé par un grand nombre de nos lecteurs, nous donnerons l'indi- 
cation du nom de l'auteur do la réponse dans le cas où celui-ci nous y a autorisé. 



ENQUÊTE SUR LA MÉTHODE DE TRAVAIL 45 

Autrefois attiré par la science mathématique en elle-même ; je 
suis de plus en plus attiré par Tétude des phénomènes naturels 
où Ton peut apporter la précision mathématique. (...) 

Rép. XXIII (France). — J'ai travaillé beaucoup en amateur sur 
des sujets variés. Cependant les questions de méthodes et les ap- 
plications à la mécanique m'ont plus spécialement attiré. L'arith- 
métique a moins souvent excité ma curiosité. 

Je me suis appliqué surtout à des questions de mathématique 
pure. La physique mathématique m'eut intéressé si les circons- 
tances m'avaient permis de travailler dans un laboratoire. Je ne la 
comprends pas sans le contrôle de l'expérience. C.-A. Laisant. 

Rép. XLUI (France). — Au début (en Elémentaires et Spéciales) 
TAIgèbre, qui me donnait le plus de satisfaction au point de vue 
de la rigueur d'exposition, et la Mécanique rationnelle. Plus tard, 
j'ai lu le traité des Substitutions de M. Jordan parce que je dési- 
rais beaucoup savoir ce qu'il avait fait, et aussi par suite de di- 
verses circonstances heureuses qui m'ont donné le temps et les 
moyens de m'en occuper. Edm. Maillet. 

Rép. XXI (Autriche). — Quoique dans la pratique je m'occupe 
principalement de la Physique théorique je me sens attiré au plus 
haut point vers les Mathématiques pures, et je compte les heures, 
où j'étudiais la théorie des nombres, parmi les plus belles de ma 
vie. Ludw. Boltzmann. 

Rép. LV (Etats-Unis). — L'Algèbre, la Théorie des Nombres, la 
Géométrie, toutes les branches de la Théorie des groupes. 

Le principal intérêt dans les beautés de la théorie. 

Léonard-Eug. Dickson. 

Rép. XXII (Etats-Unis). — J'ai une préférence spéciale pour la 
théorie des nombres, et dans d'autres branches pour le côté arith- 
métique du sujet. 

Je préfère les Mathématiques pures aux Mathématiques appli- 
quées. Edw. B. EscoTT. 

Rép. LXXIX et LXXX (Norvège). — Théorie des équations algé- 
briques. La science mathématique pure. A. S. etAlf. Guldberg. 

Rép. LXXXIV (Suisse). — La théorie des nombres puis l'Analyse. 

Par la science elle-même. Gabriel Oltramarb. 

Rép. XXX (Suède). — D'abord la théorie des nombres, ensuite 
la théorie des fonctions analytiques. 

La science mathématique en elle-même, ainsi que ses applica- 
tions. Cari Stôrmer. 

Rép. XXXV (France). — Vers l'analyse. 

Par l'intérêt de la science mathématique elle-même, mais/?arre 
quelle s'applique aux sciences de la nature. (...) 

Rép. LVIII (Italie). — Je préfère l'étude de l'Analyse à celle de 
la Géométrie pure. 



46 ENQUÊTE SUR LA MÉTHODE DE TRA VAIL 

J'ai été attiré par l'intérêt de la science en elle-même, par sa 
beauté plutôt que par ses applications. Ern. Pascal. 

Rép. VII (Allemagne). — î^es théories analytiques ont toujours 
eu plus d'attrait pour moi que les géométriques, pour lesquelles il 
me manque une certaine imagination de Tespace. Peu à peu mon 
goût se développa pour les recherches historico-mathématiques, 
grâce sans doute à l'influence des cours du Prof. D*" Moritz Stern, 
à Gottingen, dans lesquels de nombreuses digressions historiques 
captivèrent les auditeurs. 

Les Mathématiques pures m'attirent exclusivement. 

Moritz Cantor. 

Rép. XIX (Allemagne). — Mon intérêt s'étend en première ligne 
sur l'Analyse et sur son application à la Géométrie ; par contre, 
je m'intéresse peu à la Géométrie synthétique, la Mécanique et 
l'application des mathématiques aux sciences de la nature. (...) 

Rép. XLIX (France).— L'application de l'Algèbre à la Géométrie 
m'a toujours séduit par son caractère élégant et où l'imagination 
a beaucoup de part. (Paul Barbarin). 

Rép. XVIII (Italie). — La Géométrie infinitésimale en premier 
lieu, puis l'Analyse, la théorie des groupes etc. 
Parla science mathématique elle même. (...) 

Rép. LXXIV (Italie). — La géométrie étudiée par le moyen de 
l'Analyse algébrique et infinitésimale. 

Je suis attiré particulièrement par l'intérêt de la science mathé- 
mathique en elle-même. (Geminiano Pirondini). 

Rép. XXXI I (Autriche). — J'ai vécu d'abord pour la Géométrie, 
mais je me suis tourné bientôt vers les fonctions analytiques et la 
philosophie, pour n'y travailler que peu d'années. Je me suis ar- 
rêté aux intégrales définies et à l'arithmétique, branches que mes 
nombreux vieux manuscrits ne me permettent pas d'abandonner, 
bien que j'aimerais me consacrer encore à d'autres chapitres des 
Mathématiques pures. Au programme de mes études manquait la 
Physique ; je n'étais pas initié aux mathématiques appliquées ni aux 
travaux de laboratoire. (Mathias Lerch). 

Rép. I (France). — J'ai été séduit par la Géométrie au dernier 
point dès ma première initiation aux méthodes modernes (aux con- 
férences préparatoires au concours général de la classe élémen- 
taire, prof. M. Fabre), et à 17 ans j'ai dévoré littéralement la « Géo- 
métrie Supérieure » de Chasles qui venait de paraître (1842). Mais 
bientôt je me suis aperçu que la Géométrie n'est qu'un mythe 
comme science /7w/*e, qu'elle n'est que l'application de V Analyse à 
l'étude des faits gêoniétriquesy et je ne me suis plus occupé que 
d'Analyse. Celle-ci m'a paru pitoyable par son décousu, ses pro- 
cédés, son manque absolu de rigueur, et mes principaux efforts 
ont tendu à la rendre naturelle, claire et rigoureuse autant que la 



ENQUÊTE SUR LA MÉTHODE DE TRAVAIL 47 

moindre question d'Algèbre élémentaire. Je crois que ces efforts 
n'ont pas été fournis en pure perte. 

IjCs Mathématiques me séduisent par elles-mêmes et presque 
indépendamment de leurs applications. Je ne pense pas que ja- 
mais leurs branches supérieures, si luxuriantes aujourd'hui, ren- 
dront aux autres sciences, aux arts industriels, des services compa- 
rables même de loin, à ceux que ces dernières ont tiré, tireront 
toujours de leurs parties inférieures et moyennes. Mais je vois dans 
la culture des Mathématiques poussée au delà du nécessaire pour 
les applications, l'élément dominant, même essjentiel, de toute édu- 
cation scientifique solide^ dans quelque direction que ce soit. Je 
ne prise pas moins les sciences physiques naturelles etc. pour 
leur beauté propre, et je les estime autrement utiles que les théo- 
ries mathématiques d'ordre tout a fait supérieur. Si je pouvais re- 
commencer ma vie, je pousserais l'étude des Mathématiques, et 
cela avec grand soin, jusqu'à un point supérieur au niveau de la 
Licence, peu inférieur à celui du Doctorat, puis je considérerais 
comme chose sage de surmonter mon goût personnel, pour les 
abandonner et m'adonner exclusivement aux sciences physiques 
et naturelles. Certes il faut que les mathématiques supérieures fas- 
sent sans cesse de nouveaux progrès en surface et en hauteur, mais 
il importe que peu de mains y travaillent à cause de la quasi-nul- 
lité des résultats pratiques. A mes yeux les Y4 de ce qu'on publie 
sur les Mathématiques n'a pas plus de valeur réelle que la solution 
d'un cas de casse-tête chinois, indépendamment de la grandeur 
des diflicultés vaincues et du talent de ceux qui en sont venus à 
bout. (Ch. Méray.) 

Rép. XXV (Hollande). — La Géométrie, surtout la Géométrie 
synthétique d'après Poncelet, Steiner, Cremona etc. ; puis la Géo- 
métrie descriptive, et aussi la Géométrie analytique; quant à 
l'Analyse, elle me sert surtout comme instrumentpour les recher- 
ches géométriques. 

La science mathématique en elle-même. (...) 

Rép. XXIX (Hollande). — La Géométrie en général. La théorie 
seulement m'attire ; par contre les applications me sont assez in- 
différentes. (Jan de Vribs.) 

Rép. X (Irlande). — Vers la Géométrie (et la logique des autres 
sujets). — Par la science elle-même. (Rob. Genèse.) 

Rép. XLII (Italie). — La Géométrie. — Par l'intérêt des sciences 
mathématiques abstraites. (F. Amodeo.) 

Rép. LXXV (France). — La Géométrie. — Par la spéculation des 
idées pures et métaphysiques. (Gaston de Longchamps.) 

Rép. XXVI (France). — Mes goûts sur ce point ont été variables. 
Actuellement mes préférences sont pour la Géométrie, et en parti- 
culier la théorie des surfaces, et aussi les principes (Postuîatum 



48 ENQUÊTE SUR LA MÉTHODE DE TRA VAIL 

d'Euclîde etc). Je trouve aussi un grand attrait dans la physique 
mathématique. 

Je suis plutôt attiré par les applications àTétude des choses na* 
turelles; mais je comprends parmi les sciences naturelles la science 
de la forme, c'est-à-dire le Géométrie. (J.-A. Richard.) 

Rép. XXXVIII (Allemagne). — La mécanique et principalement 
ses applications techniques et, d'autre part, les fondements des 
sciences mathématiques examinés aussi au point de vue de la 
théorie de la connaissance. (Wernicke.) 

Rép. XI (Russie). — Mécanique et Géométrie. — Par les appli- 
cations géométriques. (N. Delaunay.) 

Rép. III (Angleterre). — Les mathématiques appliquées, en par- 
ticulier la thermodynamique. — Par les applications. 

(G. H. Bryan.) 

Quant à la question 3 on voit, d'après les réponses qui 
précèdent, qu'un bon nombre de mathématiciens n'envisa- 
gent guère que le côté purement abstrait de la science sans 
se préoccuper en aucune façon des applications. On constate 
toutefois avec plaisir qu'il y en a environ un tiers qui restent 
en contact avec les sciences appliquées en faisant une part 
égale entre les mathématiques pures et appliquées. Un poin- 
tage des réponses fournit les chiffres suivants : 

La science mathématique en elle-même 54 

La science mathématique et ses applications aux phé- 
nomènes de la nature 19 

Les mathématiques appliquées 9 



/ 4 



suwre). 



CHRONIQUE 



Bolyai fondé par T Académie hongroise des Sciences. 

Nous avons annoncé, il y a quelques mois, le prix international 
fondé par TAcadémie de Budapest, en Thonneur du célèbre géo- 
mètre hongrois Jean Bolyai. Ce prix, qui consiste en une médaille 
et en une somme de dix mille couronnes, doit être attribué tous 
les cinq ans à l'œuvre mathématique la plus remarquable pro- 
duite pendant les cinq dernières années. Il vient d'être décerné 
pour la première fois, au mois de décembre dernier, à l'occasion 
du centième anniversaire de la naissance de Bolyai. Après une 
discussion approfondie la commission a décidé, à l'unanimité, 
d'attribuer le prix au savant français M. Henri Poincaré; elle était 
composée de MM. Konig et G. Rados, professeurs à l'Ecole poly- 
technique de Budapest et de MM. F. Klein (Gœttingue) et Gaston 
Darboux (Paris). 

Nos lecteurs applaudiront avec nous à l'hommage que l'Acadé- 
mie de Budapest vient de rendre à notre illustre collaborateur. 

La Rédaction., 
Académie des Sciences de Paris. 

Prix décernés. — Dans la séance annuelle du 18 décembre 1905 
M. G. Darboux, secrétaire perpétuel, a donné lecture des rapports 
sur les prix décernés par l'Académie en 1905. Voici, d'après les 
Comptes rendus, les prix concernant les sciences mathématiques. 

Géométrie; prix Francœnr. — Le prix est décerné à M. Stouff 
pour l'ensemble de ses travaux mathématiques. 

Mécanique; prix Montyon, — Le prix est décerné à M. Mesna- 
GER, pour ses travaux théoriques et expérimentaux de l'élasticité 

et la résistance des matériaux. 

Prix Fourneyron, — Le prix n'est pas décerné; la commission 
maintient le sujet du prix pour le concours de 1908. 

Prix Poncelet. — Le prix est décerné M. Lallemand, pour l'en- 
semble de ses travaux sur la figure de la Terre, et des perfection- 

L'Enseignement mathém., 8* année ; 1906. 4 



60 CHRONIQUE 

nements qu'il a apporté aux instruments relatifs aux nivellements 
et aux mesures géodésiques. 

Astronomie ; prix Pierre Guzmann, — Le prix n'est pas décerné. 
— Conformément aux conditions de la fondation, la commission 
décerne, sur les arrérages, un prix de 12,000 fr. à M. Perrotin, en 
son vivant Correspondant de TAcadémie des Sciences, pour l'en- 
semble de ses travaux astronomiques. 

Prix Lalande, — M.-W. H. Pickering, astronome à l'observa- 
toire d'Harvard, auteur de nombreux travaux, notamment de la 
découverte de deux nouveaux satellites de Saturne. 

Prix Valz. — M. Giacobini, de l'observatoire de Nice, pour sa 
découverte, depuis 1896, de neuf comètes, qui, sans lui, auraient 
pu passer inaperçues. 

Prix G. de Pontécoiilant. — M. J.-C. Kapteyn, directeur du 
laboratoire astronomique de Groningue, pour ses recherches de 
Mécanique céleste. 

' Prix Damoiseau. — Le prix est décerné à M. Fayet, de l'obser- 
vatoire de Paris; un prix de 1000 fr. prélevé sur les fonds Guz- 
man, est décerné à M. Fabry, de l'Observatoire de Marseille. 

Histoire des Sciences; prix Binoux, — La commission décerne le 
prix à Tensemble des travaux historiques de Paul Tannery. 

Prix généraux: Prix Petit d* Or moy (Sciences mathématiques). — 
M. Emile Borel, pour l'ensemble de ses travaux mathématiques. 

Prix Laplace, — Oeuvres de î^aplace remises à M. L.-E. Por- 
tier, sorti premier de l'Ecole polytechnique et entré, en qualité 
d'élève ingénieur, à l'Ecole nationale des mines. 

Prix Félix Riçot, — Partagé entre MM. L.-E. Portier et P. -F. 
RoDHAiN, entrés les deux premiers en qualité d'élèves ingénieurs 
à l'Ecole des Mines, et MM. J. Prontard et M. -P. Lefranc, entrés 
les deux premiers, au même titre, à l'Ecole des Ponts et chaussées. 

Prix proposés*. — Prix Francœur (1000 fr.) — Ce prix annuel 
sera décerné à l'auteur de découvertes ou de travaux utiles au 
progrès des sciences mathématiques pures et appliquées. 

Prix Bordin (1907 ; 3000 fr.) — Reconnaître d'une manière gé- 
nérale si les coordonnées des points d'une surface algébrique peu- 
vent s'exprimer en fonctions abéliennes de deux paramètres, de 
telle sorte qu'à tout point de la surface corresponde plus d'un 
système de valeurs des paramètres (aux périodes près). 

Etudier en particulier le cas où l'équation de la surface serait 

de la forme 

z^=f[x,y], 

/étant un polynôme, et donner des exemples explicites de telles 
surfaces. 



' Par une mesure générale, TAcadémie a décidé que la clôture de tous les concours aura lieu 
le 31 décembre de l'année qui précède celle où le concours doit être jugé. 



CHRONIQUE 51 

Prix Vaillant (1907 ; 4000 fr.) — Perfectionner en un point im- 
portant le problème d'Analyse relatif à l'équilibre des plaques 
élastiques encastrées, c'est-à-dire le problème de Tintégration de 
Téquation 

avec les conditions que la fonction u et sa dérivée suivant la nor- 
male au contour de la plaque soient nulles. Examiner plus spécia- 
lement le cas d'un contour rectangulaire. 

Grand prix des sciences mathématiques (1908; 3000 fr.). — Réa- 
liser un progrès important dans Tétude de la déformation de la 
surface générale du second degré. 

Prix Montijon (prix annuel; 700 fr.). — Invention ou en perfec- 
tionnement d'instruments utiles aux progrès de TAgriculture, des 
Arts mécaniques ou des Sciences. 

Prix Poncelet (2000 fr.). — Décerné alternativement a un Ou- 
vrage sur les Mathématiques pures ou sur les Mathématiques ap- 
pliquées, î.e prix Poncelet sera décerné en 1907 à un Ouvrage sur 
les Mathématiques appliquées. 

PrLr Fourneyron (1908; 1000 fr.). — Etude théorique ou expéri- 
mentale des turbines à vapeur. 

Prix Vaillant{i^9\ 4000 fr.). — Perfectionner, en un point im- 
portant, l'application des principes de la dynamique des fluides à 
la théorie de l'hélice. 

Prix Pierre Guzman (100,000 fr.) — Décerné à celui qui aura 
trouvé le moyen de communiquer avec un astre autre que la pla- 
nète Mars. — Les intérêts du capital non décerné s'accumulent et 
forment un prix quinquennal, qui serait décerné à un savant 
français, ou étranger, qui aurait fait faire un progrès important à 
l'Astronomie. Le prix quinquennal, représenté par les intérêts du 
capital, sera décerné, s'il y a lieu, en 1910. 

Prix La lande (prix annuel; 540 fr.). — Observation, mémoire 
on travail le plus utile aux progrès de l'Astronomie. 

Prix Valz (prix annuel; 460 fr.). — Observation astronomique 
la plus intéressante de Tannée. 

Prix G, de Pontécoulant (1907 ; 700 fr.). — Recherches de Méca- 
nique céleste. 

PrLv Damoiseau (1998; 2000 fr.). — Théorie de la planète basée 
sur toutes les observations connues. 

Prix Janssen. — Médaille d'or; progrès important à l'Astro- 
nomie physique. 

Prix Binoiix (1907 ; 2000 fr.). — Ce prix alternatif sera décerné, 
en 1ÎK)7, à l'auteur de travaux sur V Histoire des Sciences. 

Prix Saintour (3000 fr.). — Ce prix annuel est décerné par l'Aca- 
démie dans rinlérêtdes Sciences. 



52 . CHRONIQUE 

Prix Petit d'Ormoy (1907, deux prix de 10,000 fr.). — L'Acadé- 
mie a décidé que, sur les fonds produits par le legs Petit d'Ormoy, 
elle décernera tous les deux ans un prix de dix mille francs pour 
les Sciences mathématiques pures ou appliquées, et un prix de 
dix mille francs pour les Sciences naturelles. Elle décernera les 
prix Petit d'Ormoy, s'il y a lieu, dans sa séance publique de 1907. 

Prix Leconte (1907 ; 50,000 fr.). — Ce prix doit être donné, en 
un seul prixy tous les trois ans, sans préférence de nationalité : 
1® Aux auteurs de découvertes nouvelles et capitales en Mathéma- 
tiques, Physique, Chimie, Histoire naturelle, Sciences médicales ; 
2** Aux auteurs d'applications nouvelles de ces sciences, applica- 
tions qui devront donner des résultats de beaucoup supérieurs à 
ceux obtenus jusque-là. 



Faculté des Sciences de Paris. 

Thèses soutenues en 1905 en vue du Doctorat es sciences mathé- 
matiques : 

ZoRETTi (L): Sur les fonctions analytiques uniformes qui pos- 
sèdent un ensemble parfait discontinu de points singuliers. 

Stoenesco (P) : Sur la propagation et l'extinction des ondes pla- 
nes dans un milieu homogène et translucide, pourvu d'un plan 
de symétrie. 

PoMPEiu (D): Sur la continuité des fonctions de variables com- 
plexes. 

Bernard de Montessus de Ballore (Rj : Sur les fractions conti- 
nues algébriques. 

IIussoN (A) : Recherche des intégrales algébriques dans le mou- 
vement d'un solide pesant autour d'un point fixe. 

Reveille (J) : Etude synthétique et analytique du déplacement 
d'un système qui reste semblable à lui-même. 

MoNTBiL (C) : Contribution à l'étude des courants de convection 
calorifique. 

Les mathématiques au Congrès des Philologues et Pédagogues 

allemands; Hambourg, 1905. 

f.e 48'"'' « Congrès des philologues et des Pédagogues Allemands », 
tenu à Hambourg du 2 au 6 octobre 1905, posséda une section 
mathématique et physique très fréquentée ; 66 membres partici- 
pèrent aux séances de cette section, présidée par M. le prof. Thaer 
(Hambourg). 

Dans la première séance M. Schubert (Hambourg) fit une com- 
munication sur Les problèmes de nombres entiers dans la géométrie 
algébrique. Après avoir défini « l'angle héronique », comme appar- 



CHHONIQUE ^ 53 

tenant à un triangle dont les trois côtés et Faire peuvent être 
exprimés par des nombres entiers, désignation tout à fait nou- 
velle dans la géométrie, il donna une solution assez élégante du 
problème déjà ancien de trouver tous les triangles héroniques. 
Il étendit le problème à la recherche des parallélogrammes héro- 
niques, puis des quadrilatères et des polygones inscrits dans un 
cercle, et possédant la même propriété. Cherchant à trouver une 
solution du problème, quand*on ajoute la condition que les mé- 
dianes soient aussi des nombres entiers, il prouva qu'il n'est pos- 
sible de le résoudre que pour une seule médiane*, mais qu'il 
y a une infinité de triangles, dont les trois côtés et les trois mé- 
dianes sont des nombres rationnels, quand on omet la condition 
que Taire soit aussi un nombre rationnel. Examinant plus tard 
les pyramides à base triangulaire, carrée ou hexagonale, il montra 
que chaque pyramide héronique doit avoir aussi une sphère cir- 
conscrite dont le rayon est un nombre entier. 

M. BoHNBRT (Hambourg) donna ensuite un aperçu des exercices 
de physique faits par les élèves des classes moyennes des écoles 
réales à Hambourg. 

Le lendemain 4 octobre eut lieu une séance générale, également 
importante pour tous les membres du congrès, et dans laquelle 
figurait entre autres une conférence de M. Klein (Gottingue) sur 
l'activité de la Commission d'enseignement chargée par le Congrès 
des naturalistes et médecins allemands d'étudier les réformes de 
renseignement secondaire supérieur des sciences mathématiques, 
physiques et naturelles. 

La deuxième et dernière séance de la section (5 octobre) com- 
prenait deux communications, celle de M. le prof. Wernickb sur la 
notion de travail dans la déformation et son application [Begriff 
der Formànderungsarbeit und seine Venvendung), puis, après une 
intéressante discussion sur ce travail, celle de M. Grimsehl (Ham- 
bourg) sur exercices de physique faits par les élèves des classes 
supérieures de son école. Il présenta plusieurs expériences nou- 
velles; puis il conduisît les membres de la section à une exposi- 
tion, arrangée avec beaucoup de soin, où plus de quarante expé- 
riences dephysiqueétaientgroupéesd'une manière bien instructive. 
Le dernier jour du congrès fut consacré à la visite des musées 
d'histoire naturelle, de l'observatoire maritime et de plusieurs la- 
boratoires de physique de la vieille ville hanséatique. 

E. Pahl (Charlottenbourgi. 



* Dans une séance de la société Mathématique de Berlin (DécHmbre 13, 1905) M. Guntzrchk 
{kit remarquer qu'il y a une erreur dans la démonstration donnée par M. Schubert, cette 
démonstration n'étant fondée que sur une seule solution particulière do l'équation à doux 
ineonnus du deuxième degré à laquelle conduit ce problème. Mais on connaît déjà beaucoup 
de couples de vale.ur8, qui satisfont à cette équation et qui ne sont pas examinés par M. Schu- 
bert. Son théorème manque donc encore d'une démonstration exacte. 



54 CHRONIQUE 



Association des maîtres de mathématiques 
des écoles moyennes suisses. 

La 5™*' réunion annuelle des maîtres de mathématiques des écoles 
moyennes suisses a eu lieu le 9 décembre 1905 à Zurich sous la 
présidence de M. le D"" E. Gubleri Trois communications figu- 
raient à Tordre du jour. 

1. Dans sa communication sur renseignement de la Géométrie 
descriptive M. C. Egli, recteur du Gymnase de Lucerne, montre 
comment on peut présenter cet enseignement en se bornant 
d'abord à la projection orthogonale sur un seul plan et en faisant 
intervenir d'une façon systématique la projection du point de 
cote 1. 

2. M.H.Fehk, professeur à l'Université de Genève, donne un ra- 
pide aperçu de quelques-unes des tendances actuelles de renseigne^ 
ment de la Géométrie élémentaire. Il insiste surtout sur la nécessité 
qu'il y a, pour les maîtres^ d'être familiarisés avec la notion de 
groupe qui joue aujourd'hui un rôle si fécond en mathématiques. 
Comme l'a dit M. Poincaré, la Géométrie est l'étude des propriétés 
d'un groupe particulier, de celui des mouvements des corps soli- 
des. Cette idée fondamentale se trouve déjà développée en 1874 
dans les Nouveaux; Eléments de Géométrie de M. Méray, qui établit 
tous ses postulats uniquement à l'aide des propriétés des dépla- 
cements. M. Fehr examine ensuite les avantages que présente la 
fusion de la Planimétrie et de la Stéréométrie: elle permet, entre 
autre, de simplifier l'enseignement et de développer de bonne 
heure l'intuition de l'espace. Puis il donne un aperçu du mouve- 
ment en faveur de la fusion en France et en Italie. 

Ces deux communications ont donné lieu à d'intéressantes dis- 
cussions. 

3. L'ordre du jour portait ensuite une communication de M. Otti, 
professeur à l'Ecole cantonale d'Aarau, sur les avantages que pré- 
sente, dans renseignement des écoles moyennes, V emploi de la divi- 
sion décimale de V angle avec les logarithmes à quatre décimales. 
En raison de l'heure avancée de la séance, M. Otti doit se borner 
à déposer son mémoire. La discussion de ses thèses aura lieu à la 
prochaine assemblée annuelle. 

L'Association a renouvelé son comité comme suit : président, 
M. le D"" Fehr, professeur à l'Université et au Gymnase de Ge- 
nève; assesseurs, M. le D^ M. Grossmann, maître à l'Ecole réale 
supérieure de Baie et M. le D"" A. Juzi, professeur au Gymnase de 
Bienne. 

La prochaine réunion annuelle aura lieu à Baie, en octobre 
1906. 



CHRONIQUE 55 

Nécrologie. 

Otto Stolz. — [.e 23 novembre 1905 est mort à Vienne M. O. 
Stolz, membre de TAcadéniie impériale des Sciences de Vienne. 
Xé à Hall (Tyrol) en 1842, Stolz fit ses études à l'Université de 
Vienne, où il se consacra tout particulièrement aux Mathémati- 
ques et à l'Astronomie. En 1807 il devint assistant à l'Observatoire 
et fut admis à professer à l'Université en qualité de privat-do- 
cent. Quatre ans plus tard il reçut un appel à l'Université d'Inns- 
bruck pour la chaire de Mathématiques. C'est là que se passa sa 
belle carrière de professeur et de savant au milieu de l'estime 
générale de ses étudiants et de ses collègues. Pour des rai- 
sons de santé il dut prendre sa retraite au mois d'octobre dernier. 

Les travaux de Stolz appartiennent aux domaines de l'Arithméti- 
que théorique, de l'Algèbre supérieure et de l'Analyse. Nous nous 
bornerons à rappeler ici ses divers Traités : Vorlesungen ûber ail- 
gemeine Arithmetiky 2 vol., 1885-6; Grnndziige der Diffère ntial" 
u. Integralrechnung^ 2 vol., 1893-6; puis, en collaboration avec M. 
J. A. Gmeiner : Theoretische Arithmetiky 2 édit., 1902 ; Einleitung 
in die Funktionentheorie, 2 vol.. 1904 — lî)05. 

Ern. Kaller (Vienne). 

V. ScHLBGBL. — A la même date du 23 novembre est décédé 
M. V. Schlegel, professeur à l'Ecole supérieure des machines à 
Hagen (Prusse). Schlegel laisse de nombreux mémoires qui se rat- 
tachent, pour la plupart, à V Ausdehnungslehre de Grassmann. 11 
est l'un de ceux qui, au cours des trente dernières années, ont le 
plus contribué à faire connaître les méthodes fécondes dues au 
savant géomètre de Stettin. H. F. 

Nominations. 

M. O. Blumexthal est nommé professeur à l'Kcole technique 
supérieure d'Aix-la-Chapelle. 

M. J.-E. BoNBGRiGHT cst uommé professeur de Mathématiques à 
l'Université d'Ottowa, Kansas. 

M. J.A.Brooks est nommé professeur extraordinaire de Mécani- 
que à la Brown University, Providence, E.-U. 

M. J. Rius Castizo, de l'Université de Saragosse, est nommé 
professeur de Mécanique théorique à TUniversité de Madrid. 

M.Fr. CoHN, privat-docent, est nommé professeur extraordinaire 
d'Astronomie et de Mathématiques à l'Université de Konigsberg. 

M. M. Ernst, privat-docent, est nommé professeur extraordi- 
naire d'Astronomie à l'Université de F^emberg. 

M. G. Fabbr est admis à l'Ecole technique supérieure de Karls- 
ruhe en qualité de privat-docent. 



56 CHRONIQUE 

M. R. FuETBR est admis à TUniversité de Marbourg en qualité 
de privat-docent. 

M. Th. Friessendorf est admis à professer les Mathématiques 
appliquées à l'Université de St.Petersbourg. 

M. A. -G. Hall est nommé professeur de Mathématiques à la 
Miami-University, Oxford, Ohio (E.-U.). 

M. F. Hartogs est admis à TUniversité de Munich en qualité de 
privat-docent pour les Mathématiques. 

M. J.-J. Jeams est nommé professeur de Mathématiques appli- 
quées à l'Université de Princeton (E.-U.). 

M. H. VON KoGH, privat-docent à l'Université de Stockholm est 
nommé professeur de Mathématiques pures à l'Ecole technique 
supérieure de Stockholm. 

M. R. H. Lee est nommé professeur de Mathématiques auRhode 
Island Collège (E.-U.). 

M. N. LuDwiG est admis à l'Ecole technique supérieure de Vienne 
en qualité de privat-docent de Mécanique technique. 

M. M. Mason est nommé professeur adjoint de Mathématiques 
à la Sheffield Scientific School, Yale University, (E.-U.). 

M. H. B. Newson est promu professeur titulaire de Mathémati- 
ques à l'Université de Kansas (E.-U.). 

M. F. S. PiNKERTON est nommé professeur de Mathématiques 
appliquées à l'University of South Wales, à Cardiff. 

M. C. F. RussELL est admis à professer les Mathématiques au 
King's Collège de Londres. 

M. F. Severi, de Pise, est nommé professeur de Géométrie à 
l'Université de Parme. 

M. C. SoMiGLiANA, de Pavie, est nommé professeur de Physique 
mathématique à l'Université de Turin. 

M. E. Steinitz est chargé d'un cours de Géométrie descriptive 
à l'Ecole technique supérieure de Charlottenbourg. 

Médaille d'or à rEzposition de Bruxelles. 

Nos lecteurs apprendront sans doute avec plaisir que V Enseigne- 
ment mathématique a reçu la médaille d'or à l'Exposition inter- 
nationale des Arts et Métiers organisée à Bruxelles à l'occasion du 
75 anniversaire de l'indépendance nationale. 



NOTES ET DOCUMENTS 



ALLEMAGNE 

RAPPORT SUR L'ENSEIGNEMENT DES HATHÉHATIQUES 
DANS LES ÉTABLISSEMENTS SECONDAIRES SUPÉRIEURS A 

NEUF CLASSES* 

Dans nos établissements secondaires supérieurs les Mathématiques se 
trouvent dans une toute autre situation que les Sciences naturelles ; elles ne 
doivent pas conquérir au sein de l'organisation scolaire le crédit nécessaire, 
mais il leur faut une certaine adaptation au but moderne de l'école, et celle- 
ci leur est rendue difficile moins par les circonstances extérieures que par 
le poids de la tradition de plusieurs siècles, 

Le principe de cette adaptationn' est pas douteux ; il ressort déjà nettement 
des observations méthodiques des programmes prussiens publiés en 1901. 
Il tend d'une part (comme dans toutes les autres branches) à adapter l'en- 
seignement, plus que par le passé, à la marche naturelle du développement 
intellectuel; à placer les nouvelles connaissances en relation organique avec 
la science actuelle; enfin à rendre de plus en plus consciente la coordina- 
tion de la science en soi et avec les autres branches de l'école, de degré en 
degré. De plus il s'agira, en reconnaissant cependant la valeur éducative des 
mathématiques, de renoncer à toutes les connaissances spéciales et pratique- 
ment inutiles; par contre de développer le plus possible la faculté d'obser- 
vation mathématique du monde des phénomènes. 

De là découlent deux buts particuliers : le développement de l'intuition 
de l'espace, d'une part, et de l'idée de fonction d'autre part. On ne porte 
aucun préjudice à l'éducation logique par le but posé à l'enseignement mathé- 
matique, et l'on peut même dire que ce but ne fait que gagner par le dé- 
veloppement renforcé, dans la direction indiquée, de l'enseignement mathé- 
matique, par ce fait que les Mathématiques sont mises en rapport plus 



' Extrait du Kapport de la Commission d'enseignement de la Société des naturalistes et 
médecins allemands (Bericht der Unterrichtskommission der Gescllschaft Deutscher Natur- 
forscher u. iErzte Qber ihre bisherige Tatigkcit, Vorlag F. C. W. Vogel. Leipzig, 1905). Ce 
Bapport contient 1* un rapport général, rédige par M. A. Gutzmkr ', 2« le rapport ci-dessus sur 
l'enseignement des mathématiques (rapporteur M. le |m>f. P. Klein) ; 3* un rapport sur l'en- 
seignement de la Physique ; 4« un rapport sur l'enseignement de la Chimie y compris la 
Minéralogie et de la Zoologie avec Anthropologie, la Botanique et la Géologie. 

Voir, en tête de ce numéro, l'article de M. F. Klkin. fRéd.l 



58 NOTES ET DOCUMENTS 

étroit avec le domaÎDe qui intéresse l'élève et dans lequel ses capacités lo- 
giques devront s'exercer. 

Tel est le principe. Notre tâche principale nous a paru la suivante : don- 
ner à ce principe une forme plus conséquente qu'auparavant en élaborant un 
projet de programme approprié aux conditions des Gymnases. Nous pensons 
par cela avoir frayé la voie à un réel et grand progrès, qui sera salué avec 
joie par tous les amis d'une réforme conforme à notre temps et par tous 
les représentants des Sciences naturelles. Pour ce qui est des détails, nous 
renvoyons au projet ci-dessous et aux explications qui raccompagnent et 
nons ne relevons à l'avance que les points particuliers suivants : 

1° Par le fait que notre programme tient compte, dans une mesure plus 
grande que le précédent, des points de vue généraux déjà cilés et rejette 
pour cela une certaine quantité de matière peu utile, il apporte un allége- 
ment sensible pour la plupart des élèves, surtout en reculant les notions 
dont l'introduction prématurée met eu doute chez beaucoup d'élèves leur 
succès dans l'étude des mathématiques. Sont laissées de côté tontes les par- 
ticularités dont l'emploi intelligent suppose une certaine routine aussi bien 
dans le domaine des transformations analytiques que des constructions géo- 
métriques. D'antre part, les conceptions abstraites et les démonstrations qui 
sont si souvent incompréhensibles pour le débutant sont renvoyées aux de- 
grés supérieurs. Cela ne nuira point à la sécurité dans l'application des 
eoiinaissances mathématiques acquises ou à la logique de la pensée mathé- 
matique. A ce point de vue, l'art du maître dont nous ne voulons pas res- 
treindre l'initiative par des prescriptions spéciales, est de s'en tenir à ce que 
Ton peut exiger sans tomber dans l'exagération 

2o Nous recommandons expressément une grande liberté du maître pour 
ce qui est du choix particulier, la présentation méthodique, la répartition 
du travail, etc. (bien entendu, dans le cadre du programme général). Nous 
abandonnerons à cette liberté, dans notre projet, le soin de décider d'un 
point particulièrement important sur lequel les opinions des intéressés ne 
semblent pas suffisamment au clair. Nous proposons dans notre projet 
(comme une conséquence de notre principe général) que l'on mène l'ensei- 
gnement dans la l»"» du Gymnase jusqu'au seuil du calcul infinitésimal ; 
mais n'avons rien fixé de spécial sur la forme de cet enseignement. Une fois 
que l'on aura fait l'expérience dans divers établissements on pourra décider 
avec plus de certitude comment la chose pourrait être le mieux réalisée. 

îJo Comme but final, l'enseignement mathématique en I'® comprend, en 
somme, les trois points suivants : 

Un coup d'œil scientifique sur la parenté des sujets mathématiques traités 
à l'école ; 

une certaine aptitude de la conception mathématique et son emploi à la 
résolution de problèmes particuliers : 

enfin et surtout In pénétration de l'importance des mathématiques pour la 
connaissance exacte de la nature. 

De cette manière l'élève acquiert des connaissances mathématiques non 
seulement précieuses en elles-mêmes, mais qui forment en même temps une 
base pratique pour tous ceux à qui elle est nécessaire pour leur carrière 
particulière. La discontinuité qui apparaît souvent quand on passe aux études 
supérieures, disparaît de ce faTl. 

D'une manière analogue la conclusion prévue par notre projet après la 
lime supérieure sera aussi utile à celui qui quitte l'école avec le certificat de 



NOTES ET DOCUMENTS 



59 



volontariat» comme à celui qui se dispense des classes supérieures de réta- 
blissement. 

\^ Au point de vue de l'organisation nous faisons valoir le vœu que l'on 
abroge la réduction à 3 hçures seulement de l'enseignement mathématique 
dans les deux Tertia du Gymnase, adoptée en son temps au profit du grec, 
et dont Faction défavorable a été reconnue par tous les maîtres. Dans toutes 
les classes du Gymnase il devrait être attribué quatre heures aux mathéma- 
tiques (Arithmétique). 

Nous nous bornerons à ces remarques pour ce qui concerne le programme 
mathématique des Gymnases Quant au Gymnase réal (Realf^'mnasium) et 
à l'Ecole réale supérieure (Bealschulej nous ne ferons que des remarques 
très générales. Ces écoles se trouvent sous l'influence des nouvelles préro- 
gatives trop eu cours de développement pour qu'il soit possible de préciser 
dès maintenant certains détails. Du reste, dans plusieurs parties du pays, 
par exemple à TEst et Ouest de la Prusse, ces écoles semblent posséder en- 
core de grandes différences intérieures. 

En Prusse, dans les écoles réaies supérieures, les heures suivantes sont 
actuellement assignées aux Mathématiques. 



Mathématiques 


VI 


V 


IV 


Illb 


Illa 


Ilb 


lia 


Ib 


la 


ToUl 


Realgymnasium . . 
Oberrealschule 


4 
5 


4 
5 


4 
6 


5 
6 


5 
5 


5 
5 


5 
5 


5 
5 


5 
5 


42 
47 



Il en résulte que dans les programmes actuels on poursuit pour ces deux 
genres d'école un enseignement mathématique plus élevé que dans les Gym- 
nases classiques. 

Pour les Sciences naturelles on a le tableau suivant, tandis que dans les 
Gymnases, dans toutes les classes, deux heures sont attribuées actuellement 
aux Sciences naturelles. 



Sciences naturelles 



VI 



IV 



III b 



Illa 



Ilb 



lia 



;1b 



la 



Total 



Realgymnasium 
Oberrealschule 



2 
2 



2 
2 



2 


2 


2 


4 


5 


5 


5 


29 


2 


2 


4 


6 


6 


6 


6 


36 



Ceci est sensiblement davantage que dans les Gymnases classiques, mais 
semble encore bien insuffisant, si l'on songe au rôle qu'ont à remplir les 
Sciences naturelles dans les écoles réalcs, d'autant plus si l'on doit tenir 
compte des disciplines biologiques dans les classes supérieures. En consi- 
dérant ce fait, la Commission, sur la proposition de ses membres mathéma- 
ticiens, estima, pour les Gymnases réaux où les circonstances sont spéciale- 
ment défavorables au développement renforcé des Sciences naturelles, qu'il 
était préférable de renoncer au surplus des heures de mathématique, c'est- 
à-dire de céder une heure aux Sciences naturelles en commençant par la 
///me inférieure. Nous aurions alors actuellement, dans l'école réale. pour 
toutes les classes, 4 heures de mathématiques comme cela est demandé nor- 
malement au Gymnase, et on appliquerait aux Gymnases réaux « eo ipso », 
le programme mathématique arrêté par les Gymnases. Les Sciences natu- 



60 



NOTES ET DOCUMENTS 



relies, par contre, obtiendraient au Gymnase réal presque le même nombre 
d'heures dont elles disposent maintenant dans les écoles réaies, c'est-à-dire : 



Sciences naturelles 



VI 



IV 



III b 



nia 



ilb 



lia 



Ib 



la 



Total 



Realgymnasium . . 



3 



35 



Les deux écoles devront alors chercher à obtenir cette augmentation de 
temps accordée aux Sciences naturelles au moyen de concessions de la part 
d'autres branches. Sur ce point nous entrerons dans quelques détails dans 
la partie de notre rapport consacrée aux Sciences naturelles. 

Il n'existerait donc un surplus d'heures (pour l'enseignement mathématique) 
que pour les écoles réaies supérieures. Ce surplus doit être employé, 
d'après l'avis unanime des membres de la Commission, avant tout à un dé- 
veloppement plus intense de la même matière qui est traitée dans les Gyra> 
nases; d'une part les principes généraux des matières étudiées seront mis 
en évidence d'une manière particulière et assis plus fortement, d'autre part 
on concédera une place plus large aux applications pratiques et aux ques- 
tions graphiques. Une minorité de la Commission voulait se limiter à ce 
cadre de travail pour les dites écoles. La majorité, par contre, recommande 
une extension modérée de la matière à la Géométrie analytique et aux élé- 
ments du calcul infinitésimal par une transformation systématique de l'en- 
seignement. Cette adaptation correspondrait d'une matière très logique à la 
tendance précitée (tandis que le surplus que les établissements réaux possé- 
daient jusqu'ici sur les Gymnases semble choisi d'une façon plus arbitraire). 
En I<^ renseignement mathématique se terminerait ainsi quant à sa nature, de 
la même manière que dans les Gymnases, mais tendrait seulement vers une 
compréhension mathématique plus complète pour ce qui est des phénomènes 
de la nature et de la vie journalière. Le travail pourrait être poursuivi, par 
exemple, jusqu'à Tétude satisfaisante, basée sur les moyens les plus rapides, 
des oscillations infiniment petites du pendule ou des lois de Kepler sur le 
mouvement planétaire, comme conséquences des Théorèmes fondamentaux de 
la mécanique et de la loi de Newton sur la gravitation universelle. 



PROGRAMME MATHÉMATIQUE POUR LES GYMNASES 

A. Degrés infériears. 

Sixième. — Les opérations fondamentales de calcul avec des nombres eu- 
tiers, concrets ou non, dans un domaine limité. Mesures allemandes, poids 
et monnaies. Exercices dans la notation décimale et dans les calculs déci- 
maux les plus simples, comme préparation au calcul des fractions. 

Cinquième. — Calcul. — Exercices progressifs sur les nombres décimaux 
concrets en élargissant le domaine des mesures employées (poids et monnaies 
des pays étrangers^, mesures de longueur de diverses espèces (problèmes les 
plus simples sur les aires et volumes en indiquant le rapport entre volumes 
et poids. (Dans tous ces calculs il faut toujours d'abord faire prévoir ap- 
proximativement la grandeur des résultats). Divisibilité des nombres. Frac- 
tions ordinaires (tout d'abord comme nombres concrets). 

Préliminaires sur la Stéréométrie. Introduction dans les notions fonda- 



NOTES ET DOCUMENTS 61 

mentales de l'espace, toutefois de façon à ce que l'espace apparaisse surtout 
comme support de relations planimétriques. Dimensions de l'espace, sur- 
faces, lignes, points expliqués tout d'abord par l'entourage et confirmés sur 
les solides les plus divers. Figures planes considérées d'abord comme 
limites des corps, puis en elles-mêmes, sur lesquelles on expliquera les no- 
tions de direction, angle, parallélisme, symétrie. Exercices à la règle et au 
compas; usage continuel du dessin et des exercices de mensuration. 

Quatrième. — Calcul. Calcul des fractions décimales. Calcul abrégé (sur 
exemples simples). Règle de trois en évitant tout excès de formes schémati- 
ques. Problèmes de la vie usuelle ; cas simples du pourcentage (intérêt, es- 
compte). Préparation à l'Algèbre par la répétition de problèmes appropriés 
déjà traités en employant les lettres au lieu de nombres. Signification d'ex> 
pressions littérales données et calcul de telles expressions après substitution 
numérique. Relation entre les règles du calcul de tête et celle du calcul avec 
parenthèses. 

Géométrie. Etude de la droite des angles et des triangles. Déplacement 
des figures; relation entre les éléments d'un triangle; cas limites (triangles 
rectangles, isocèles, équilatéraux). Théorèmes simples sur les parallélo- 
grammes en partant de la construction. 

Troisième inférieure. Arithmétique. Revision systématique des règles 

fondamentales du calcul par formules littérales. Notion de grandeur relative, 
développée sur des exemples pratiques et montrée sur une droite par la 
série des nombres étendue indéfiniment dans les deux sens. Règles pour 
les grandeurs relatives. Suite des exercices dans le calcul d'expressions lit- 
térales en connexion avec les grandeurs négatives et explication constante 
du caractère fonctionnel des variations de grandeur employées. Application 
aux équations et problèmes du premier degré à une inconnue. Différence 
entre identité et équation. 

Géométrie. Sm\e de l'étude du parallélogramme. Le trapèze. Théorèmes 
fondamentaux sur le cercle. Considération de l'influence exercée sur le ca- 
ractère général d'une figure par les changements de grandeur et de position 
des éléments. Application constante à des constructions avec exclusion des 
problèmes solubles seulement à l'aide d'artifices. 

Troisième supérieure. — Arithmétique. Compléments et développements 
sur le calcul littéral, en particulier décomposition de polynômes Propriétés 
des proportions. Equations pures et problèmes du premier degré à une et 
plusieurs inconnues. Dépendance de l'expression d'une grandeur par rap- 
port à une variable qu'elle renferme. Représentation graphique de fonctions 
linéaires et emplois à la résolution d'équations. 

Géométrie. Comparaison des aires et leur calcul en rapport avec des fi- 
gures limitées par des droites compliquées; calcul approximatif pour des 
surfaces limitées par des courbes. Répétition des calculs de volume de la 
cinquième. Problèmes. 

Seconde inférieure. — Algèbre. Puissances et racines. Equations et pro- 
blèmes du second degré à une inconnue. Relations entre les coefficients et 
les racines. Variation du trinôme du second degré avec représentation gra- 
phique. Résolution de problèmes du deuxième degré à une inconnue par in- 
tersection de droites et de paraboles. Considération de la représentation 
graphique comme moyen de mettre en évidence des relations empiriques 
données. 

Géométrie, Similitude en insistant surtout sur la similitude de position. 



62 NOTES ET DOCUMENTS 

Proportion dans le cercle. Calcul de valeurs approchées de la circonférence 
et de l'aire du cercle par des polygones. Relations entre les côtés et les an- 
gles d'un triangle, surtout du triangle rectangle. Recherche et vérification 
de tables de ces rapports (comme préparation à la trigonométrie), avec tra- 
vaux pratiques ; la planchette. 

B. Degrés sapérienrs. 

Seconde supérieure. — Algèbre. Extension de la notion de puissance, 
conception de la puissance comme grandeur exponentielle, notion et emploi 
du logarithme. Progressions arithmétiques et géométriques, emploi des der- 
nières au calcul des intérêts et rentes (dans des problèmes simples em- 
pruntés à la réalité). Représentation graphique de la dépendance du nombre 
et du logarithme. Règle à calcul. Résolution d'équations quadratiques à doux 
inconnues, par le calcul et graphiquemeut. 

Géométrie. Trigonométrie en relation avec les constructions planimétri- 
ques. Application aux problèmes usuels de la mesure des triangles et qua- 
drilatères. Dépendance réciproque entre les angles et les fonctions par les 
formules goniométriques. Représentation graphique de ces fonctions. Pro- 
blèmes appropriés, constructions et calculs. Division et relations harmoni- 
ques et notions fondamentales destinées à préparer (comme fin de la plani- 
métrie) à la Géométrie moderne. 

Première inférirurb. — Algèbre. Etude rai sonnée des fonctions traitées en 
considérant leur croissance et décroissance (en utilisant éventuellement les 
notions de dérivée et d'intégrale); application à de nombreux exemples en 
Géométrie et en Physique, particulièrement en Mécanique. Théorèmes prin- 
cipaux les plus simples de l'analyse combinatoire avec exemples. 

Géométrie. Stéréométrie en tenant compte des principales notions de la 
projection d'une figure. Exercices de dessin stéréométriquc. Théorèmes 
simples de la trigonométrie sphérique. Géographie mathématique, théorie 
de la projection des cartes. 

Première supérieure. — 1° Sections coniques, traitées analytiquement et 
synthétiquement, avec application aux éléments de l'astronomie. 

2» Répétitions sur l'ensemble de l'enseignement, où, si possible, on fera 
résoudre de plus grands problèmes par le calcul et dessin. 

S»» Coup d'œil général rétrospectif avec considérations historiques et phi- 
losophiques. 

RENSEIGNEMENTS SUR LE PROJET CI-DESSUS 

1° Dans l'enseignement du calcul, dans les classes inférieures, le domaine 
des nombres à utiliser dans les exemples doit rester restreint: les nombres 
au-dessus de 100.000 sont à éviter. On vouera un grand soin au calcul de 
tète. Pour les applications des mesures, monnaies et poids, tenir compte de 
préférence de conditions usuelles; les problèmes de la vie courante doivent 
traiter des questions réelles et non des problèmes fictifs qui ne se rencon- 
trent jamais. Souvent renseignement du calcul devient un enseignement spé- 
cial, mais il ne doit jamais dépasser ce que nous réclamons en général d'un 
adulte instruit. D'autre part l'enseignement du calcul doit être considéré 
comme préparation à l'arithmétique et à l'algèbre. On devra donc bien 
tenir compte de la distinction des dogn's et leur coordination. De même, il 



NOTES ET DOCUMENTS 63 

faut attacher de l'importance à une notation à la fois bonne et logique. Celle- 
ci ne doit pas être en contradiction avec celle en usage plus tard dans l'ensei- 
gnement mathématique. Dans chaque établissement un mathématicien in- 
fluent ou une conférence des maîtres devrait intervenir dans ce sens. 

L'enseignement géométrique doit se lier d'une manière naturelle h. l'intui- 
tion et partir de mesures pratiques. Il faudra éviter soigneusement de rendre 
obscur par une démonstration systématique pédante la compréhension des 
faits qui semblent évidents à l'intuition ; au lieu de démonstraliou logique, il 
vaut mieux chercher tout d'abord à rendre les élèves conscients de notions 
acceptées spontanément par l'esprit. Par exemple l'égalité des figures se 
déduira comme conséquence naturelle de la construction fournissant prati- 
quement une seule solution. Les démonstrations indirectes sont à éviter le 
plus possible; traiter comme évidente, la réciproque des relations démon- 
trées directement, en tant que — comme c'est le plus souvent le cas — elle 
s'impose ainsi à l'esprit. Dans le dessin, la clarté doit être favorisée le plus 
possible (par l'emploi de hachures, de couleurs) ; toute complication par 
des faits secondaires est à éviter, ainsi que des notations peu commodes. 
Daus les considérations planimétriques mettre en lumière, si possible, les 
liens avec l'espace à trois dimensions, surtout à l'aide d'exemples empruntés 
à la réalité. On recommande l'emploi de modèles. 

2 a. Dans les degrés more/2.9 l'Arithmétique est remplacée par l'Algèbre qui, 
dans la dernière partie de la IV»ne est préparée par l'exposé méthodique de 
tout l'enseignement préliminaire du calcul et par la formation d'une certaine 
pratique dans l'emploi des lettres. Eviter tout pédantisme dans la systéma- 
tique de l'arithmétique, où souvent il faut craindre qu'un o circulus vitiosus u 
vienne dissimuler la démonstration. Au contraire les théorèmes de l'Algèbre 
théorique sont à traiter comme conception scientifique de ce qui est déjà 
fortement pressenti. De même l'introduction des nombres négatifs doit 
partir d'exemples tirés de la pratique; la représentation des nombres sur 
une droite est à traiter comme représentation visuelle des connaissances ac- 
quises, de façon à ce que les règles avec quantités relatives se présentent 
comme des généralisations naturelles des opérations sur valeurs absolues. 
A éviter toutes les opérations artificielles, divisions de polynômes compli- 
qués, etc.; par contre insister sur la décomposition des polynômes {extrac- 
tion de racines carrées comme thème d'exercices); pour les proportions ne 
retenir que les relations élémentaires, mais se rendre maître de la notion de 
proportionalité directe et inverse. 

De cette façon il restera du temps à consacrer à la partie principale du 
travail : familiariser l'élève avec l'idée de fonction, ce qui est déjà préparé 
par l'étude préliminaire de l'Algèbre à la fin de la IV"><', puisque la variation 
des expressions algébriques par suite de substitution de différentes valeurs 
pour les grandeurs diverses qui figurent, s'impose d elle-même. 

2 6. Cette habitude de faire intervenir l'idée de fonction doit être entre- 
tenue aussi en Géométrie par considération continuelle des modifications 
qu'éprouve la question par des changements de longueur et position ; par 
exemple la variation de forme des quadrilatères, variation de position res- 
pective de deux cercles, etc. Mais en même temps l'examen des relations 
trouvées que l'on peut grouper d'après des points de vue divers, constitue 
un excellent mode d'éducation de la pensée logique dont on fera usage le 
plus souvent possible ; de même pour la considération des cas de transitiou 
el la notion de limite. Pour atteindre ce but il faut exclure du programme 



64 NOTES ET DOCUMENTS 

actuel plus d'un point de détail et ne faire que passer sur une foule de 
choses ; en particulier l'extension des théorèmes établis pour des relations 
rationnelles ne doit être faite que pratiquement au cas des nombres irra- 
tionnels, c'est-à-dire en indiquant la possibilité de rendre aussi petite qu'on 
le veut l'erreur commise par substitution de nombres rationnels aux irra- 
tionnels. 

Il ne faut pousser les constructions qu'en rapport intime avec l'enseigne- 
ment propre; dans l'analyse, il faut surtout veiller à la marche des pensées 
par lesquelles on parvient à la solution, c'est-à-dire l'analyse doit être 
conduite psychologiquement ; attacher aussi une grande importance à l'ha- 
bitude de la pensée fonctionnelle (les cas limites sont à discuter spéciale- 
ment). 

De plus, il faudra, à ce moment, relier les mathématiques à la construc- 
tion, soit par l'introduction de la représentation graphique, soit en expéri- 
mentant les rapports réciproques entre lignes et angles. 

30 Pour ce qui est de l'enseignement dans les classes supérieures, nous 
pouvons nous borner à quelques remarques. 

Dans l'enseignement de la II'"'' supérieure, l'extension de la notion de 
puissance par l'introduction des exposants négatifs et fractionnaires doit 
être réalisée d'une façon essentiellement fonctionnelle, ce qui fournit l'occa- 
sion directe de mettre en relation étroite les progressions arithmétiques 
et géométriques. Dans la Trigonométrie, laisser dans l'ombre toutes les 
transformations artificielles pour faire place, d'une part, aux applications 
pratiques, de l'autre, à la conception fonctionnelle des éléments fondamen- 
taux. Emploi de modèles. En terminant la planimétrie par la trigonométrie 
à l'aide de problèmes choisis d'une façon rationnelle, insister surtout sur la 
différence entre relations de position et de mesure. 

Pour ce qui a trait à l'introduction des éléments du calcul infinitésimal 
dans la \'^ inférieure, la commission Ta considérée simplement comme 
éventuelle, parce que les opinions ne sont pas au clair sur la façon dont elle 
doit se faire. Jusqu'à une date ultérieure la commission abandonne la dé- 
cision de ce point aux soins du maître des divers établissements. Il est clair 
qu'il ne s'agit que de problèmes élémentaires de différentiation et d'inté- 
gration, [i'introduction de problèmes de Physique, particulièrement de Mé- 
canique, n'a pas seulement en vue la liaison très désirable de la pensée 
mathématique et physique, mais elle permet aussi de décharger l'enseigne- 
ment physique très limité par le temps. 

Dans la Stéréométrie, l'application du calcul des formules des volumes 
doit être limitée au profit d'une méthode basée davantage sur l'intuition de 
l'espace, mettant en relief les principes importants de la Géométrie descrip- 
tive. Soigner aussi des exercices de construction simples, pour lesquels on 
attachera de l'importance à une bonne exécution graphique. 

On trouvera aussi l'occasion de mettre à nouveau eu lumière des chapitres 
déjà vus de la planimétrie (similitude, relations harmoniques), en établissant 
leurs principes par une méthode stéréométrique. 

L'étude des coniques en I*"® supérieure doit tenir compte, le plus possible, 
du côté analytique et synthétique de l'objet. A recommander en Géométrie 
synthétique beaucoup de dessin, afin de faire ressortir la relation de forme 
entre les coniques et le cône, la dépendance de la position du plan sécant, le 
rapport de position des foyers et directrices. Les cas limites méritent aussi 
une attention particulière. La géographie mathématique (en I»"® inférieure) et 



NOTES ET DOCUMENTS 65 

les éléments de rAstronomie (en II™« supérieure), se rattachent aux parties 
correspondantes de l'enseignement physique. 

A l'examen de maturité, on reconnaîtra le plus sûrement le développement 
mathématique de Télève et son influence sur son développement général 
lorsqu'on exigera, au lieu de la résolution de quatre problèmes particu- 
culiers comme maintenant, d'une part, une étude d'un thème général, d'au- 
tre part, l'étude complète (calcul et dessin) d'un problème. 

De même, à l'examen oral, il faudrait donner plus de poids à l'intelligence 
qu'à la mémorisation d'un grand nombre de formules spéciales. 



FRANCE 

MODIFICATIONS APPORTÉES AU PLAN D^ÉTUDES 
DES LTCÉES ET COLLÈGES DE GABÇONS 

DU 31 MAI 1902 
(Arrdtés des 27, 28 juillet et 8 septembre 1905). 

(suite ^) 

II. Programmes *. 

Les programmes d'enseignement des mathématiques dans les 
classes secondaires des lycées et collèges de garçons sont modi- 
fiés ainsi qu'il suit : , 

Cinquiéine B (A hem'es). 

Arithmétique.. — Numération décimale. — Addition et soustraction des 
nombres entiers. — Multiplication des nombres entiers. Produit d'une somme 
ou d'une diflTérence par un nombre. Produit de facteurs. Puissances. — Di- 
vision des nombres entiers. Règle pratique. — Caractères de divisibilité par 
2, 5, 9, 3. — Nombres premiers. Règles pratiques pour la décomposition 
d'un nombre en produit de facteurs premiers, pour la recherche du plus 
grand commun diviseur, du plus petit commun multiple. — Revision du sys- 
tème métrique. 

Géométrie (Voir Instructions). — Usage de la règle, de l'équerre, du com- 
pas et du rapporteur. — Lig^e droite et plan. Angles. Symétrie par rapport 
à une droite. Triangles. Triangle isocèle. Cas d'égalité des triangles. — 
Perpendiculaire et obliques. Cas d'égalité d"eô triangles rectangles. — 
Droites parallèles. Somme des angles d'un triangle, d'un polygone convexe. 
— Parallélogramme. Rectangle. Losange. Carré. — Cercle. Diamètre. Cordes 
et arcs. Tangente. — Positions relatives de deux cercles. — Mesure des an- 



^ Pour la première partie, contenant les Instructions relatives à l'enseignement des mathé- 
matiquesi Toir le précédent numéro, pp. 491-497. 

* Ceux de nos lecteurs qui ne connaissent pas Torganisation de l'enseignement secondaire 
en France, trouveront un aperçu des différonts cycles et divisions dans V Etiseignement ntathé" 
matique du 15 mai 1905, pp. 183 et 184. 

Les Programmes sont en vente à la librairie Delalain frères, Paris, 115, boul. Saint-Gerp 
main. Rkd. 

L'Enseignement mathém., 8* année ; 1906. 5 



66 NOTES ET DOCUMENTS 

gles. — Constructions d'angles et de triangles. — Tracé des perpendicu- 
laires et des parallèles. — Constructions de cercles, de tangentes. 

Dessin géométrique, — Exécution avec les instruments des constructions 
expliquées dans le cours de géométrie. — Problèmes et exercices simples 
se rapportant également au cours de géométrie ; exécution graphique de la 
solution trouvée. Dessins géométriques dans lesquels entrent des lignes 
droites et des cercles, empruntés à des motifs de décoration de surfaces 
planes : parquetages, dallages, mosaïques, vitraux ; lavis à l'encre de Chine 
et à la couleur de quelques-uns de ces dessins. 

Quatrième B (5 heures). * 

Arithmétique. — Fractions ordinaires. Opérations. — Fractions décimales. 
Grandeurs directement et inversement proportionnelles. Opérations sur les 
nombres décimaux. — Règle pratique pour l'extraction de la racine carrée 
d'un nombre entier ou décimal à moins d'une unité décimale d'un ordre 
donné. — Progressions arithmétiques et géométriques. Somme des termes 
des progressions limitées. — Méthodes commerciales du calcul de l'intérêt 
et de l'escompte. Bordereaux d'escompte. Comptes courants. Notions som- 
maires sur leb valeurs. 

Géométrie. — Points qui divisent une droite dans un rapport donné. — 
Lignes proportionnelles. Propriété des bissectrices d'un triangle. — Trian- 
gles semblables. Définition du sinus, du cosinus et de la tangente d'un angle. 
— Définition des figures homothétiques. Polygones semblables. Panto- 
graphe. — Relations métriques dans un triangle rectangle. — Constructions 
de la quatrième proportionnelle et de la moyenne géométrique. — Polygones 
réguliers : carré, he^xagone et triangle équilatéral. — Mesure de la circon- 
férence du cercle (énoncé). — Mesure des aires du rectangle, du parallélo- 
gramme, du triangle, des polygones. — Rapport des aires des deux poly- 
gones semblables. — Aire du cercle. — Construction de quelques courbes 
simples, telles que la cissoîde, les conchoïdes, etc. 

Dessin géométrique. — Même programme que dans la classe précédente. 
Ajouter la construction graphique de lieux géométriques et le tracé des 
courbes à la plume. 

Troisième B (4 heures). 

Algèbre. — Nombres positifs et négatifs. Opérations. Applications con- 
crètes. — Monômes, polynômes. — Addition, soustraction, multiplication 
des. monômes et des polynômes. Identité : 

xm — «m = (x — a) (x'«— 1 + axm—^ -f- -f- a'"-i). 

DivisioQ des monômes. — Equations numériques du premier degré à une 
ou deux inconnues. — Variation et signe de l'expression flj: -f- 6 ; représen- 
tation graphique. — Equations du second degré. Relations entre les coeffi- 
cients et les racines. 

ax -\- b 
Variations du trinôme du second degré, de la fonction -7 — V"*T> ; repré- 
sentation graphique. 

Usage des tables de logarithmes et d'anti logarithmes, à quatre décimales. 
Intérêts composés. 



NOTES ET DOCUMENTS 67 

Géométrie. — Du plan et de la droite dans l'espace. — Angle dièdre. 
Droites et plans parallèles. Droite et plan perpendiculaires. — Projection 
d'un polygone, d'un cercle ; ombres d'une figure plane sur un plan en géo- 
métrie colée. — Définition des angles polyèdres, du prisme, de la pyramide. 
— Projections, ombres propres et portées sur un plan. — Surfaces et vo- 
lumes du prisme et de la pyramide. — Cône, cylindre, plsin tangent. — 
Sphère, cône et cylindre circonscrits. Surfaces de révolution. Sections planes 
de la sphère. Pôles. — Ombres propres et portées sur un plan. — Surfaces 
et volumes du cône et du cylindre de révolution. — Surface et volume de la 
sphère (énoncé). — Indications propres à faciliter l'exécution du lavis. — 
Levé des plans, arpentage, nivellement. 

Seconde (G, D) (5 heures). 

Algèbre. — Opérations sur les nombres positifs ou négatifs. — Monômes; 
polynômes; termes semblables. 

Opérations: Addition, soustraction, multiplication des monômes et des 
polynômes. — Identité : 

x<n — a^ =1 (x — a) (a:™— 1 -f- dx^-^^ -f- + a"—*). 

Division des monômes. — Résolution des équations du premier degré à 
une inconnue. Inégalité du premier degré. Résolution et discussion de deux 
équations du premier degré à deux inconnues. 

Problèmes: mise en équation. Discussion des résultats. 

Variation de l'expression ax -\- h \ représentation graphique. 

Equation du second degré à une inconnue (on ne fera pas la théorie des 
imaginaires). Relations entre les coefficients et les racines. 

Existence et sigSe des racines. Etude du trinôme du second degré. 

Inégalité du second degré. Problèmes du second degré. Variation du tri- 
nôme du second degré ; représentation graphique. 

^ ax -\- h 
Variation de l'expression , _i_ </ » représentation graphique. 

Notion de la dérivée ; signification géométrique de la dérivée. Le signe de 
la dérivée indique le sens de la variation ; applications à des exemples nu- 
mériques très simples et en particulier aux fonctions étudiées précédem- 
ment. 

Progressions arithmétiques et progressions géométriques. Logarithmes. 

Usage des tables de logarithmes à quatre ou cinq décimales. — -Intérêts 
composés. 

Géométrie (figures planes). — Ligne droite et plan, — Angles, sens d'un 
angle. Droites perpendiculaire^. — Triangles. Triangle isocèle. Cas d'éga- 
lité des triangles. -~ Perpendiculaire et obliques. Triangle rectangle. Cas 
d'égalité. — Définition d'un lieu géométrique. Lieu géométrique des points 
équidistants de deux points ou de deux droites. -^ Droites parallèles. — 
Somme des angles d'un triangle, d'un polygone convexe, — Parallélogrammes. 



iVipto. — Pour ce qui est des logarithmes, on se proposera essentiellomeiit de familiariser 
les élèves avec l'usag*' des tables. 

Les professeurs pourront donner des indications très sommaires sur la théorie déduite soit 
de l'étade des progressions, soit de l'étudo des exposants. 



68 NOTES ET DOCUMENTS 

— Figures symétriques par rapport à un point ou à une droite. Deux figures 
planes symétriques sont égales. — Translation d'une figure plane de forme 
invariable. 

Cercle. — Intersection d'une droite et d'un cercle. — Tangente au cercle ; 
les deux définitions de la tangente. — Arcs et cordes. — Positions relatives 
de deux cercles. — Mesure des angles. — Mouvement de rotation autour 
d'un point. Tout déplacement d'une figure plane de forme invariable daus 
son plan se ramène à une rotation ou à une translation. 

Longueurs proportionnelles. — Points partageant un segment dans un 
rapport donné. Définition de la division harmonique. — Triangles sembla- 
bles. — Toute parallèle à l'un des côtés d'un triangle divise les deux autres 
côtés en parties proportionnelles. Réciproque. Définition d'un faisceau har- 
monique. 

Propriétés des bissectrices d'un triangle. Lieu géométrique des points 
dont le rapport des distances à deux points fixes est constant. 

Notions simples sur Thomothétie. Polygones semblables. Sinus, cosinus 
tangente et cotangente des angles compris entre et 2 droits. Relations 
métriques dans un triangle rectangle et dans un triangle quelconque. Lignes 
proportionnelles dans le cercle. Quatrième proportionnelle; moyenne pro- 
portionnelle, 

Polygones réguliers. Inscription dans le cercle du carré, de l'hexagone, 
du triangle équilatéral, du décagone, du pentédécagonc. Deux polygones ré- 
guliers d'un même nombre de côtés sont semblables. Rapports de leurs péri- 
mètres. Longueur d'un arc de cercle. Rapport de la circonférence au dia- 
mètre. Calcul de ir. (On se bornera à la méthode des périmètres.) 

Aire des polygones; aire du cercle. — Mesure de l'aire du rectangle, du 
parallélogramme, du triangle, du trapèze, d'un polygone quelconque. — r 
Rapport des aires de deux polygones semblables. — Air^ d'un cercle, d'un 
secteur et d'un segment du cercle. Rapport des aires de deux cercles. 

Notions d'arpentage. Usage de la chaîne et de l'équerre d'arpenteur. 

Premiôre G et D (5 heares). 

Géométrie. — Plan et ligne droite. — Détermination d'un plan. — Paral- 
lélisme des droites et des plans. — Droite et plan perpendiculaires. — Pro- 
priétés de la perpendiculaire et des obliques menées d'un même point à un 
plan. — Angle dièdre. Sens. Angle plan correspondant à un angle dièdre. 

Plans perpendiculaires entre eux. — Projection d'une aire plane. 

Translation. Rotation autour d'un axe. Symétrie par rapport à une droite. 
Symétrie par rapport à un point. Symétrie par rapport à un plan. Ce se- 
cond mode de symétrie se ramène au premier. 

Angles trièdres. Disposition des éléments.' Trièdres symétriques. Chaque 
face d'un trièdre est moindre que la somme des deux autres. Limites de la 
somme des faces d'un angle polyèdre convexe. 

Trièdres supplémentaires. Applications. — Cas d'égalité des trièdres. 

Homothéiie. Sections planes parallèles d'angles polyèdres. Aires. 

Polyèdres. Polyèdres homothétiques, polyèdres semblables. Prismes. 
Pyramide. 

Notions sommaires sur les symétries du cube et d^ l'octaèdre régulier. 

Volumes des parallélépipèdes et des prismes. Volume de la pyramide. 



NOTES ET DOCUMENTS 69 

Volume dn tronc de pyramide à bases parallèles. Volume du tronc de 
prisme taiangulaire. 

Rapport des volumes de deux polyèdres semblables. 

Deux polyèdres symétriques sont équivalents. 

Cylindre à base circulaire. Plan tangent. 

C6ne à base circulaire. Plan tangent. Sections parallèles à la base. 

Surfaces de révolution simples : cylindre, cône. 

Sphère. Sections planes. Pôles. Plan tangent. Cône et cylindre circon- 
scrits. 

Surface latérale du cylindre et du cône de révolution. 

Volume du cylindre et du cône à base circulaire. 

Aire de la zone. Aire de la sphère. Volume de la sphère. 

Géométrie descriptive, — Projection et cote d'un point. — Représentation 
de la droite. Pente. Distance de deux points. Droites concourantes. Droites 
parallèles. — Représentation du plan. Echelle de pente. Plans parallèles. - — 
Rabattement sur un plan horizontal. Angle de deux droites. Distance d'un 
point à une droite. — Intersections de droites et de plans. Application aux 
problèmes d'ombres et de sections planes de prismes et de pyramides. — 
Droites et plans perpendiculaires. Distance d'un point à un plan. — Angle 
d'une droite et d'un plan. Angle de deux plans. Application à la construction 
de polyèdres simples. — Représentation du point, de la droite et du plan à 
l'aide de deux plans de projection. — Intersections de droites et de plans. 
Droites et plans parallèles. — Droites et plans perpendiculaires. — Rabat- 
tement d'un plan sur un plan horizontal. — Changement du plan vertical. 

Reprendre les problèmes précédemment énoncés relatifs aux distances, 
angles, ombres et sections planes. 

Trigonométrie, — Fonctions circulaires (sinus, cosinus, tangente et cotan- 
gente). Relations entre les fonctions circulaires d'un même arc. Calcul des 

fonctions circulaires de quelques arcs : -? , -^ i etc. — Théorie des projec- 

* 3 

tions. — Formules d'addition pour le sinus, le cosinus et la tangente. — 

Expression de sin 2 a» cos 2 a, tg 2a — Toutes les fonctions circulaires 

de l'arc a s'expriment rationnellement en fonction de tg -^ • Connaissant 

cos a =z b, trouver les valeurs du sin et du cos des arcs -r ; choix des va- 

leurs correspondantes a un arc a donné. 

Connaissant tg a, trouver les valeurs des tg des arcs — ; choix de la va- 

leur correspondante à un arc a donné. 

Transformer en produit la somme ou la différence de deux fonctions cir- 
culaires, sinus, cosinus ou tangentes. Problème inverse. Expression de la 
forme 

a cos (tat -|- o) + cos (ait + j5) 

où t désigne la seule variable. 

Usage des tables de logarithmes à quatre ou cinq décimales. 

Résolution des triangles rectangles. — Résolution ou discussion de quel- 
ques équations trigonométriques simples. — Relations entre les côtés et les 
angles d'un triangle. Résolution des triangles. 

Algèbre. — Equation et trinôme du second degré. Cas où la variable est 



70 NOTES ET DOCUMENTS 

une ligne trîgonométrique. — Calcul des dérivées de fonctions simples. 
Etude des variations et de la représentation graphique. 

Etude d'un mouvement rectiligne au moyen de la théorie des dérivées. Vi« 
tesse et accélération. Mouvement uniformément varié. 

(Les professeurs devront appliquer les théories de ralgébre à de nombreux exemples em* 
pruntës soit à l'algèbre^ soit à la trigonométrie, soit à la géométrie.) 

Classe de Mathématiques (S heures). 

Arithmétique. — Numération décimale. — Addition, soustraction, multi- 
plication et division des nombres entiers. Théorèmes fondamentaux concer- 
nant ces opérations. Explication des règles pratiques pour effectuer les 
opérations. 

On ne change pas le reste d'une somme, d'une différence, d'un produit, en 
augmentant ou en diminuant un terme ou un facteur d'un multiple du divi- 
seur. Restes de la division d'un nombre entier par 2, 5, 4, 25, 8, 125, 9, 3, 
11. Caractères de divisibilité par chacun de ces nombres. 

Plus grand commun diviseur de deux ou plusieurs nombres. Nombres pre- 
miers entre eux. 

Tout nombre qui divise un produit de deux facteurs et qui est premier à 
l'un de ces facteurs divise l'autre. 

Plus petit commun multiple de deux ou plusieurs nombres. 
Définition et propriétés élémentaires des nombres premiers. Décomposi- 
tion d'un nombre entier en un produit de facteurs premiers. Cette décom- 
position ne peut s'effectuer que d'une seule façon. Composition du plus grand 
commun diviseur et du plus petit commun multiple de deux ou plusieurs 
-nombres décomposés en facteurs premiers. 

Fractions ordinaires. — Réduction d'une fraction à sa plus simple expres- 
sion. Réduction de plusieurs fractions au même dénominateur. Plus petit dé- 
nominateur commun. Opérations sur les fractions ordinaires. 

Nombres décimaux. Opérations (en considérant les fractions décimales 
comme cas particulier des fractions ordinaires). Calcul d'un quotient à une 
approximation décimale donnée. 

Réduction d'une fraction ordinaire en fraction décimale; condition de pos* 
sibilité. Lorsque la réduction est impossible, la fraction ordinaire peut être 
regardée comme la limite d'une fraction décimale périodique illimitée. 

Carré d'un nombre entier ou fractionnaire; composition du carré de la 
somme de deux nombres. Le carré d'une fraction n'est jamais égal à un nom» 
bre entier. Définition et extraction de la racine carrée d'un nombre entier 
ou fractionnaire à une approximation décimale donnée. 
Système métrique. Exercices. 

Rapport de deux nombres. Rapports égaux. Partage en parties propor- 
tionnelles. 

Mesure des grandeurs. Définition du rapport de deux grandeurs de même 
espèce. Théorème : Le rapport de deux grandeurs de même espèce est égal 
au quotient des nombres qui les mesurent. 

Grandeurs directement ou inversement proportionnelles. Problèmes. 
Définition de l'erreur absolue et de l'erreur relative. Détermination de la 
limite supérieure de l'erreur commise sur une somme, une différence, un 
produit, un quotient, connaissant les limites supérieures des erreurs dont 
les données sont entachées. 



NOTES ET DOCUMENTS 71 

Algèbre. — Nombres, positifs et négatifs. Opérations sur ces Dombres. 

Monômes, polynômes; addition, soustraction, multiplication et division 
des monômes et des polynômes. 

Principes relatifs à la résolution des équations. — Equations du premier 
degré. 

Equation du second degré à une inconnue. (On ne développera pas la théo-^ 
rie des imaginaires.) Equations simples qui s'y ramènent. 

Inégalités du premier et du second degré. ^ Problèmes du premier et du 
second degré. 

Progressions arithmétiques et progressions géométriques. Somme des 
carrés et des cubes des n premiers nombres entiers. 

Logarithmes vulgaires. Usage des tables a cinq décimales. — Intérêts 
composés et annuités. . 

Coordonnées d'un point. Représentation d*une droite par une équation du 
premier degré. Coefficient angulaire d'une droite. — Construction d'une 
droite par son équation. 

Variations et représentations graphiques des fonctions : 

ax -\- b 
yzziax -\' b\yz=i ^,^ ^, ; y = ax* -f- 6x + c ; 

y = ax* + bx* -f- c. 

Dérivée d'une somme, d'un produit, d'un quotient, de la racine carrée 
d'une fonction, de sin x, cos x, tg x, cotg r. 

Application à l'étude de la variation, à la recherche des maxima ou des 
minima de quelques fonctions simples, en particulier des fonctions de la 
forme 

ax* -{• bx -\- c 
„V + 6'a- + c ■•'+'' + *• 

OÙ les coefficients ont des valeurs numériques. 

Dérivée de l'aire d'une courbe regardée comme fonction de l'abscisse. (On 
admettra la notion d'aire.) 

(Le professeur laissera de côté toutes les questions subtiles que soulève une exposition ri- 
goureuse de la théorie des dérivées; il aura surtout en vue les applications et ne craindra pas 
de faire appel h l'intuition.] 

Trigonométrie. — Fonctions circulaires. Addition et soustraction des arcs. 
Multiplication et division par 2. — Résolution des triangles. 

Applications de la trigonométrie aux diverses questions relatives au levé 
des plans. 

[On ne parlera pas de la construction des tables trigonométriqucs.] 

Géométrie. — Droite. Angles. Parallélisme. Polygones. Cercle. 
Plan ; droites et plans. Angles dièdres ; angles polyèdres. 
Translation. Rotation. Symétries. 

Homothétie et similitude. Relations métriques. Polygones réguliers. 
Priisme, pyramide, cylindre, cône, sphère. 
Aires et volumes. 

Puissance d'un point par rapport à un cercle et par rapport à une sphère. 
Axes radicaux. Plans radicaux. 



72 NOTES ET DOCUMENTS 

Polaire d'un point par rapport à un cercle ; plan polaire d'un. point par 
rapport à une sphère. 

Inversion. Applications. Appareil de Peaucellier. Projection stéréogpra- 
phique. 

Vecteurs. — Projection d'un vecteur sur un axe ; moment linéaire par rap- 
port à un point ; moment par rapport à un axe. 

Somme géométrique d'un système de vecteurs ; moment résultant par rap- 
port à un point ; somme, de moments par rapport à un axe. 

Application à un couple de vecteurs. 

Projections centrales, — Plan du tableau. Perspective d'un point, d'une 
droite, d'une ligne. Point de fuite d'une droite. Perspective de deux droites 
parallèles. Ligne de fuite d'un plan. Conception de la droite à l'infini d'un 
plaq. 

Coniques. — Ellipse. — Tracé ; tangente ; problèmes simples sur les tan- 
gentes. Equation de l'ellipse rapportée à ses axes. Ellipse considérée comme 
projection du cercle ; problèmes simples sur les tangentes ; intersection de 
Tellipse et d'une droite. 

Hyperbole. — Tracé ; tangente , asymptotes ; problèmes simples sur les 
tangentes. Equation de l'hyperbole rapportée à ses axes. 

Parabole. — Tracé, tangente ; problèmes simples sur les tangentes. Eîqua- 
tion de la parabole rapportée à son axe et à la tangente au sommet. 

Définition commune de ces courbes au moyen d'un foyer et d'une directrice. 

Sections planes d'un cône ou d'un cylindre de révolution. 

Géométrie descriptive. — Rabattements. Changement d'un plan de projec 
tion ; rotation autour d'un axe perpendiculaire à un plan de projection. 

Application aux distance» et aux angles : distance de deux points, d'un 
point à une droite, d'un pointjà un plan ; plus courte distance de deux droites, 
dont l'une est verticale ou debout ou de deux droites parallèles à un même 
plan de projection ; perpendiculaire commune à ces droites. Angle de deux 
droites ; angle d'une droite et d'un plan ; angle de deux plans. 

Projection du cercle. Sphère; section plane, intersection avec une droite. 
Cône et cylindre à directrice circulaire ; plan tangent passant par un point 
ou parallèle à une droite ; ombres ; contours apparents ; sections planes. 
Cônes et cylindres circonscrits à la sphère. Ombres. 

Représentation d'une surface par des courbes de niveau. Cote d'un point 
de la surface dont la projection horizontale est donnée. Pente d'une ligne 
tracée sur une surface. Lignes d'égale pente. Lignes de plus grande pente. 

Application des considérations précédentes aux cartes topographiques. 

Planimétrie et nivellement. Lignes et teintes conventionnelles. Lecture 
d'une carte et en particulier de la carte d'Etat-major. Usage de la carte sur 
le terrain. 

Cinématique. — Unités de longueur et de temps. — Du mouvement. Sa 
relativité. Trajectoire d'un point. — Exemples de mouvement. 

Mouvement rectiligne : Mouvement uniforme; vitesse, sa représentation 
par un vecteur. Mouvement varié ; vitesse moyenne ; vitesse à un instant 
donné, sa représentation par un vecteur ; accélération moyenne ; accélération 
à un instant donné, sa représentation par un vecteur. Mouvement uniformé- 
ment varié. 

Mouvement curviligne. — Vitesse moyenne, vitesse à un instant donné 
définies comme vecteurs. Valeur algébrique de la vitesse. Hodographe. Ac- 
célération. 



NOTES ET DOCUMENTS 73 

Mouvemeot circulaire uniforme, vitesse angulaire; projection sur un dia- 
mètre, mouvement oscillatoire simple sur une droite. 

Changement du système de comparaison. Composition des vitesses. 

Exemples et applications (ne pas insister sur les applications purement 
géométriques). 

Mouvement de translation d'un corps solide. Glissières- rectilignes. 

Mouvement de rotation d'un corps solide autour d'un axe. Arbres et cous- 
sinets. Pivots et crapaudines. Gonds et charnières. 

Etude géométrique de Vhélice. Mouvement hélicoïdal d'un corps. Vis et 
écrou. 

Transformations simples de mouvements étudiées au point de vue pratique : 
courroies de transmission, roues dentées, bielles et manivelles. (On n'étu- 
diera pas le détail des mécanismes.) 

Dynamique et Statique. — Point matériel. — Inertie. Force : sa représen- 
tation par un vecteur. Masse. Indépendance des effets des forces. Composi- 
tion des forces. 

Equilibre d'un point matériel libre. Equilibre d'un point matériel sur une 
courbe ou sur une surface. Equilibre d'un point matériel sur un plan quand 
on tient compte du frottement. 

Mouvement d'un point pesant libre suivant une verticale. 

Mouvement parabolique d'un point pesant. 

Frottement de glissement. Mouvement d'un point pesant sur la ligne de 
plus grande pente d'un plan, avec ou sans frottement. 

Travail d'une force appliquée à un point matériel. Unité de travail. 

Travail d'une force constante, d'une force variable. Travail élémentaire. 

Travail total. Evaluation graphique. Travail de la résultante de plusieurs 
forces. Théorème des forces vives pour un point matériel. Exemples simples. 

Forces appliquées à un corps solide. — Forces parallèles Centre des 
forces parallèles. Centre de gravité. Sa recherche dans quelques cas sim- 
ples : triangle, trapèze, quadrilatère, prisme, pyramide. 

Couples, composition des couples. 

Réduction des forces appliquées à un solide à deux forces ou à une force 
et à un couple. 

Conditions d'équilibre d'un corps solide. Cas de trois forces, de forces 
parallèles, de forces situées dans un même plan. 

Equilibre d'un corps mobile autour d'un axe fîxe, d'un point fixe ou bien 
assujetti à reposer sur un plan fixe. 

Machines simples à l'état de repos et à l'état de mouvement. — Levier. 
Charge du point d'appui. Treuil. Poulie fixe et poulie mobile. 

Moufles, cric, plan incliné. 

On vérifiera que si une machine simple est en mouvement, les conditions 
d'équilibre étant remplies à chaque instant, le travail élémentaire de la puis- 
sance est égal et dé signe contraire à celui de la résistance. 

Enoncé du théorème général des forces vives. Application aux machines. 

Travail moteur et travail résistant. 

Résistances passives. Frottement. 

Travail des résistances passives. Rendement d'une machine. 

Indications sur l'emploi des volants et des frefns. 

Cosmographie. — Sphère céleste. Distance angulaire. Hauteur et distance 
zénithale. Théodolite. — Lois du mouvement diurne. Méridien. Pôle. Jour 
sidéral. — Ascension droite et déclinaison. Lunette méridienne. 



74 NOTES ET DOCUMENTS 

Terre, Coordonnées géographiques. — Dimensions et relief de la Terre. 
— Mappemonde. Cartes. 

Soleil. Mouvement propre apparent sur la sphère céleste. Ecliptique. Iné- 
galité des jours et des nuits aux diverses latitudes. Saisons. Année tropique 
et année sidérale. 

Heure sidérale ; heure moyenne ; heure légale. — Calendriers julien et 
grégorien. 

Lune. Mouvement propre apparent sur la sphère céleste. Phases. — Ro* 
tation. Variation du diamètre apparent. — Eclipses de Lune et de Soleil. 

Planètes. Système de Copernic. — Lois de Kepler. 

Loi de Newton et ses conséquences. — Notions sommaires sur les distances, 
les dimensions, la constitution physique du soleil, des planètes et de leurs 
satellites. Comètes; étoiles filantes; bolides. — Etoiles; constellations. 
Nébuleuses. Voie lactée. 

Quatrième A — (2 heures normales). 

Arithmétique. — Produit d'une somme ou d'une différence par un nombre. 
Produit de facteurs. Puissance. 

Caractères de divisibilité par 2, 5, 9, 3. 

Nombres premiers. Règles pratiques pour la décomposition d'un nombre 
en produit, de facteurs premiers, pour la recherche du P. G. C. D., du 
P. P. CM. 

Proportions. Exercices sur le système métrique, les fractions et les gran- 
deurs directement et inversement proportionnelles. Règle pratique pour 
l'extraction de la racine carrée d'un nombre entier ou décimal à moins d'une 
unité décimale d'un ordre donné. 

Géométrie (Voir les Instructions). Usage de la règle, de l'équerre, du 
compas et du rapporteur. 

Ligne droite et plan. Angles. 

Triangles. Triangle isocèle. Cas d'égalité des triangles. 

Perpendiculaire et obliques. Cas d'égalité des triangles rectangles. 

Droites parallèles. Somme des angles d'un triangle, d'un polygone con- 
vexe. — Parallélogramme. Rectangle. Losange. Carré. 

Cercle. Cordes et arcs. Tangente. — Positions relatives de deux cercles. 

Mesure des angles. 

Constructions élémentaires sur la droite et le cercle 

Troisième A (3 heures normales). 

Arithmétique. — Exercices sur le système métrique et les grandeurs 
directement et inversement proportionnelles. 

Algèbre. — Nombres positifs et négatifs. Opérations. Applications con- 
crètes. — Monômes; polynômes. — Addition, soustraction, multiplication 
des monômes et des polynômes. Identité : 

a:' — fl' = (ar — a) (x^ -{- ax -\- a*) 

Division des monômes. — Equations numériques du premier degré à 
une ou à deux inconnues; inégalité du premier degré à une inconnue. 

Géométrie. — Problèmes et interrogations sur le programme de la classe 
précédente. 



NOTES ET DOCUMENTS 75 

Points qui partagent une droite dans un rapport donné. — > Lignes pro- 
portionnelles. 

Triangles semblables. Définitions du sinus, du cosinus, de la tangente et 
de la cotangente d'un angle. 

Définition des figures homothétiques. Polygones semblables. Pantographe. 

Relations métriques dans un triangle rectangle. 

Propriétés des sécantes dans le cercle. — Constructions de la quatrième 
proportionnelle et de la moyenne proportionnelle. 

Polygones réguliers : carré, hexagone et triangle équilatéral. 

Mesure de la circonférence du cercle (énoncé). 

Mesure des aires du rectangle, du parallélogramme, du triangle, du tra- 
pèze, des polygones, du cercle. 

Rapport des aires de deux polygones semblables. 

Seconde A, B (2 heures pendant le premier semestre). 

Algèbre, — Exercices sur les équations du premier degré et la repré- 
sentation des variations de la fonction ax-{-h. 

Géométrie. — Du plan et de la droite dans l'espace. 

Angle dièdre. Droites et plans parallèles. Droite et plan perpendiculaires. 

Définitions des angles polyèdres, de la pyramide, du 'prisme. 

Enoncé des règles relatives aux surfaces et aux volumes des prismes, 
pyramides, cylindres, cônes et sphères. 

Première A, B (2 heures pendant le second semestre). 

Algèbre. — Exercices sur les équations numériques du premier degré a 

une ou plusieurs inconnues, et du second degré à une inconnue; représen- 

1 
tation des variations de x^ ei — * 

X 

Géométrie. — Mesure des angles. Figures planes semblables. Définition 
du sinus, du cosinus et de la tangente d'un angle compris entre et 2 
droits. 

Relations métriques dans le triangle et dans le cercle. Mesure des aires 
planes. 

Enoncé des règles relatives aux surfaces et aux volumes des prismes, 
pyramides, cylindres, cônes et sphères. 

Classe de Philosophie 
(2 heures pour les mathématiques ; i demi-heure pour la cosmographie). 

Mathématiques. — Rappel des principales règles relatives au calcul des 
nombres positifs ou négatifs; développements de (a -f~ '^)'> (^4"^)'» idendité : 

fl» + i — 6» + i = (a — 6) (««-{-««-i 6 + +^'*). 

Notions sur l'algèbre géométrique des Grecs : représentation d'un nom- 
bre par une ligne, d'un produit par la surface d'un rectangle; figures équi- 
valentes aux identités : 



( 



«±*)« = a»±2at + 6'. {^-^J -{^-^^ = ah. 



76 NOTES ET DOCUMENTS 

Carré coastruit sur l'hypoténuse d'uu triangle rectangle. 

Construction d'un rectangle ayant un côté donné et équivalent à un rec- 
tangle donné. 

Construction d'un rectangle équivalent à un carré donné, connaissant la 
somme ou la différence de ses côtés ; expressions de ces côtés qui résultent 
de la construction. 

Résolution algébrique de l'équation du second degré. Application au pro- 
blème précédent ; comparaison des résultats. 

Avantages de la notation moderne et en particulier de l'introduction des 
nombres positifs et négatifs. 

Détermination, au moyen de deux nombres positifs ou négatifs, d'un point 
d'un plan; représentation inverse d'un système de deux nombres ou moyen 
d'un point d'un plan. 

Extension de la notion de coordonnées; longitude et latitude d'un point 
d'une sphère. 

Représentation graphique de la variation d'un phénomène qui dépend 
'd'une seule variable; courbes des températures, des pressions; application 
à la statistique. Notion de fonctions ; représentation graphique de fonctions 
très simples : 

Construction d'une droite définie par une équation numérique du premier 
degré entre x, y; coefficient angulaire^, ordonné à l'origine. Coefficient angu- 
laire de la droite qui joint deux points. 

Usage du papier quadrillé. Résolution de deux équations numériques du 
premier degré à deux inconnues par l'intersection de deux droites, des 
équations numériques de la forme : 

par l'intersection des courbes (une fois tracées), ayant pour équations : 

avec La droite dont l'équation est y -\- p x -\- y = 0. 

Graphique des chemins de fer. 

Courbes fournies par les appareils enregistreurs. 

Construction de quelques courbes simples définies géométriquement ; 
équations de ces courbes. 

. Notion de la tangente et de la dérivée. Exemples de tangentes obtenues 
géométriquement comme limites d'une sécante (cercle, parabole). Coefficient 
angulaire de la tangente : applications à quelques cas simples : 

y=zx^, y:=ix*, j=-« 

Notions sur l'usage de la dérivée pour reconnaître le sens de la variation 
d'une fonction. 



1 Le coefficient angulaire sera défini comme étant le coefficient de x dans l'équation résolue 
par rapport à y, ou comme l'ordonnée du point d'absclsae égale À l'unité de la parallèle mené« 
par l'origine. 



NOTES ET DOCUMENTS 77 

Evaluation approximative de l'aire d'uae courbe tracée sur du papier qua- 
drillé en comptant les carrés contenus à l'intérieur de la courbe : limite de 
l'erreur fournie par le nombre des carrés que traverse la courbe; cette 
erreur peut être rendue très petite en employant un quadrillage très fin. 

Aire du triangle obtenue comme la limite commune de deux sommes de 
rectangles dont l'une est inférieure, l'autre supérieure à Taire cherchée. 
Aire de la parabole. Problème inverse de la recherche d'une dérivée. Aire 
d'un triangle, ou d'une parabole, obtenue par la recherche d'une fonction 
dont la dérivée par rapport a x est ax ou ax*. 

• -Application de la méthode infinitésimale à l'évaluation des volumes ou 
des surfaces des corps considérés en géométrie élémentaire. 

Conseils obnâraux. — Le professeur n'oubliera pas que les élèves auxquels il s'adresse 
n'ont pas l'habitude des mathématiques ; il évitera donc toute théorie abstraite ; il ne mettra 
pas en avant les idées générales, mais cherchera à les faire ressortir sur des exemples parti- 
culiers développés avec la lenteur et le détail qu'il jugera nécessaires pour être bien suivi. Le 
programme précédent est destiné à le guider, mais ce n'est pas un programme strict. Le 
maître sera libre d'en développer plus ou moins certaines parties suivant l'aptitude de ses 
élèves, suivant l'intérêt qu'il aura su exciter en eux. Ces observations concernent en particu- 
lier les applications qui sont mentionnées à la fin du programme et qui, dans tous les cas, 
devront être traitées largement, sans trop s'attacher à la rigueur. 

Il est recommandé au maître d'introduire dans son enseïgement quelques notions histo- 
riques; ainsi il pourra parler de la méthode d'exhaustion chez les anciens (Euclide, Archiniède) 
et donner quelques détails sur l'invention du calcul différentiel et intégral. Son but est de 
contribuer au développement philosophique do ses élèves en leur faisant acquérir des idées 
importantes. 

» • 

Cosmographie. — Système de Copernic. — - Le Soleil. Ses dimensions, sa 
distance à la Terre. Constitution physique, rotation, taches. 
Notions sommaires sur les planètes. — La Terre. Forme et dimensions. 
Rotation, pôles, équateur, méridiens, parallèles. Longitude. Latitude. 

La Lune. Mouvement. Constitution physique. 

Comètes. Etoiles filantes. Bolides. — Etoiles. Nébuleuses. Voie lactée. 

Les programmes ci-dessus seront obligatoires : 

A partir de Vannée scolaire 1905-1906, pour les classes de Cin- 
quième B et Quatrième A (1*^ cycle), ainsi que pour la classe de 
Seconde A, B, C, D {2^ cycle] ; 

A partir de Vannée scolaire 1906-1907, pour les classes de Qua- 
trième B et Troisième A (1*'' cycle), ainsi que pour la classe de 
Première A, B, C, D (2« cycle) ; 

A partir de Vannée scolaire 1907-1908, pour la classe de Troi- 
sième (1** cycle), ainsi que pour les classes de Philosophie et de 
Mathématiques (2*' cycle). 



Cours universitaires. 

Semestre d'hiver 1905-1906. 
(Suite,) 

Cambridge; Vniversity. — Michaelmas term, 1905. — A. R. Forsyth: 
Partial differential équations, 3 hours. — G. H. Darwin : Theory of polen- 
tial and attractions, 3. — Sir R. S. Ball : Planetary theory. 3. — J. Larmor: 



78 NOTES ET DOCUMENTS 

Electricity and mag^etism, 3. — J. J. Tûomson : Properties of matter, 3; 
Electricity and matier, 2. — 6. Hopkinson : Applied mathemalics, 2 ; Elec- 
tricity, 2. — E. W. Hobson : Vibrations and sound, 3. — H. F. Baker : Intro- 
duction to theory of functions, 3; Solid geometry, 3. — .H. W. Ricrhond : 
Analytic geometry, 3. — E. T. Wbittakkr : Theory of optical instruments, 3. 

— A. N. Whitehead : Principles of mathematics. — A. Berrt : EUiptic 
functions, Bessel functions and Fourier séries, 3. — Monro : Hydrodyna- 
mies and sound, 3. — J. H. Grâce : Invariants and géométrie applications, 
3. — Barnes : Gamma functions, 3. 

Lent term, 1906. — A. R. Forsyth : Partial differential équations, II, 3. — 
G. H. Darwin : Dynamical astronomy (elementary), 3. — Sir R. S. Ball : 
An elementary course on quatemions, 3. — J. Larmor : Electrodynamics 
wîth optical applications, 3. — J. J. Thomsok: Electricity and magnetism, 3; 
Discharge of electricity through gases, 2. — B. Hopkinson : Applied mathe- 
matics, II, 2; Electricity, II, 2. — E. W. Hobson: Harmonie analysis, 3. 

— H. F. Baker : Theory of Functions, 3 ; Analysis, 3. — E. T. Whittaker : 
The differential équations of applied mathematics, 3. — H. W. Richmond : 
Analytical geometry, 3. — R. A. Herman : Hydrodynamics, two courses, 
each three hours. — A. N. Whitehead : Symbolic logic and its applications 
to mathematics. — A Berry : Elliptic functions, 3, — G. T. Bennett : Line 
geometry, 3. — E. W. Barnes : Linear differential équations, 3. 

Easter ternti 1906. — A. R. Forsyth : Partial differential équations, III, 
3. — J. Larmor : Theory of gases and thermodynamics, 2. — J. J. Thom- 
son : Electricity and magnetism, 3. — E. W. Hobson : Theory of the con- 
tinuum, 3. — H. F. Baker ; Theory of functions, 3; Analysis, 3. — W. L. 
MoLLisoN : Theory of potential and electrostatics, 3. — A. N. Whitehead : 
Non-euclidean geometry, 3. — A. Berry: Transformation of elliptic func- 
tions, 3. — Hardy : Intégral functions. 

Long vacation, 1906. — Richmond : Geometry, 3. — Coatbs : Electricity 
and magnetism. — Leathbm : Physical optics. — Younc : Theorj' of in- 
variants. 

Oxford; University, — Lecture List for Hilary Term, 1906 (à partir du 
22 janvier). Mathematics. — W. Esson : Comparison of analytic and syn- 
thetic methods in the theory of contes, 2 ; Synthelic geometry of cubics, 
1. — E. B. Elliot : Eléments of elliptic functions, 2 ; Theory of numbers, 
1. — H. H. TuRNER : Elementary mathematical astronomy, 2. — H G. Plum- 
MER : Practical work, observatory. — A. E. H. Love : Theory of the poten- 
tial, 2 ; Eléments of the differential and intégral calculus, 2. — J. W. Rus- 
sell : Algebra of quantics, 2. — P. J. Kirkby : Higher algebra, 1. — A. L. 
DixoN : Galculus of finite différences, 1. — J. E. Gampbell : Differential 
geometry, 2. — G. H. Sampso.n : Higher solid geometry (continued), 2. — 
G. H. Thompson : Dynamics of a particle, 3. — H. T. Gerrans: Hydrodyna- 
mics, 2. — C. E. Haselfoot : Geometrical optics, 2 — A. L. Pedder : Tri- 
gonometry, 1. — G. Leudesdorf : Geometry (maxima and minima, inver- 
sion, &c.), 2. — A. E. Joliffe : Analytical geometry (continued), 2. — R. F. 
M^Neile : Intégral calculus, 2. — E. H. Hayes : Elementary mechanics. 3. 

Paris ; Collège de France (cours du 1«'' semestre 1904-1905). — Mécanique 
analytique et mécanique céleste ; M. Hadamard, suppléant : Equations aux 
dérivées partielles de la mécanique des milieux continus (2 leçons par 
semaine). — Mathématiques ; M. Humbert. suppléant : Transformation des 



BIBLIOGRAPHIE 79 

fonctions elliptiques et abéliennes (2 leçons par semaine). — Physique 
générale et mathématique; M. Brillouih : Théories moléculaires de la 
matière et particulièrement la théorie dynamique des gaz, en tenant compte 
des échanges d'énergie entre l'éther et la matière (1 leçon). Principales 
méthodes mathématiques de la physique générale appliquées à l'Elasticité 
et à l'Acoustique (1 leçon). 



BIBLIOGRAPHIE 



ponr TAn 1906 publié par le bureau des Longitudes, avec Notices 
scientifiques. — 1 vol. in-16 de près de 900 p. avec ligures ; prix : 1 fr. 50 
(franco, 1 fr. 85); Gauthîer-Villars, Paris. 

La librairie Gauthier-Villars vient de publier, comme chaque année, 
Y Annuaire du Bureau des LongitudeSy pour 1906. — On sait que ce petit 
volume compact fournit une foule de renseignements indispensables à Tingé- 
nîeur et à l'homme de Science. Cette année nous signalons tout spéciale- 
ment la Notice de Ai. G. Bigourda'v : Les éclipses de Soleil, Instructions 
sommaires sur les observations que l'on peut faire pendant ces éclipses, 

RENé Baire. — Leçons sur les fonctions discontinues, professées au Collège 

de France et rédigées par A. Denjoy. — 1 vol.gr. in-8o deVin-126 pages; 
prix: 3 fr. 50; Gauthier- Villars, Paris. 

Les fonctions discontinues sont-elles d'une nature totalement différente 
des fonctions continues ? Des considérations physiques extrêmement simples 
ont montré depuis longtemps qu'il n'en était rien. On peut chauffer une 
barre de façon tout à fait arbitraire et dans ces conditions la température 
peut être initialement une fonction discontinue de l'abscisse mais, dès que la 
barre sera abandonnée à elle-même, la température tendra à s'uniformiser 
d'un point à l'autre et sera une fonction continue de l'abscisse pour tout 
instant postérieur à l'instant initial. Remontons maintenant dans le temps 
en inversant les lois de la conductibilité thermique et nous concevons la 
possibilité de considérer la fonction discontinue primitive comme limite de 
fonctions continues. C'est là le premier point dont, s'occupe M. R. Baire 
mais dans un esprit très différent de ce qui précède. C'est au point de vue 
analytique seul qu'il considère le discontinu comme limite du continu. 
D'ailleurs les fonctions analogues à celle à laquelle nous venons de faire 
allusion ne rentrent que comme cas particulier dans celles considérées par 
l'auteur lesquelles peuvent exister lorsque la variable est dans un ensemble 
beaucoup plus général que celui des points d'un segment. A ce dernier 
point de vue, M. Baire a dû ajouter notablement à la théorie des ensembles ; 
on lui doit non seulement de beaux résultats mais de nombreuses définitions. 
Particulièrement intéressante est In considération des nombres transfinis, 



80 BIBLIOGRAPHIE 

nombres ordinaux non entiers, et dont l'introduction est cependant néces- 
saire, si l'on peut s'exprimer ainsi, pour numéroter les éléments de certains 
ensembles. 

Dans l'étude proprement dite des fonctions d'une variable, l'esprit péné- 
trant de l'auteur se révèle tout de suite avec la notion de semi-continuité. 
D'une façon extrêmement brève, on peut considérer en un point d'un certain 
ensemble une fonction f ayant un minimum m et un maximum M en ce point. 
L'ordinaire condition de continuité se traduit par la double égalité /"= m =. M. 
Il y a semi-continuité quand l'une seulement de ces égalités a lieu. Un 
chapitre est consacré aux ensembles de points dans l'espace à /{.dimensions 
et l'on y retrouve avec une grande symétrie les considérations développées en 
détail pour l'espace à une dimension. Une des conclusions, les plus impor- 
tantes du livre est relative aux développements de fonctions continues' et 
discontinues en séries de polynômes. M. Baire n'a certainement pas livré 
toute sa pensée à cet égard; il nous renvoie pour terminer à un mémoire 
qui doit paraître incessamment aux Acta mathematica ; le présent ouvrage 
y sera en tout cas une introduction aussi excellente que simple. 

A. BuHL (Montpellier). 

E. BoREL. — Leçons sur les fonctions de variables réelles et les dévelop- 

pementS en séries de polynômes, professées à l'Ecole Normale supérieur^ 
et rédigées par Maurice Fréchel avec des notes par M. P. Painlevé et 
H. Lebesgue. — 1 vol. gr. in-S» de 160 pages ; prix : 4 fr. 50 ; Gauthîer- 
Villars, Paris, 1905. 

Ce volume est le huitième de la Collection de Monographies sur la Théorie 
des fonctions. Il envisage les fonctions de variables réelles dans les voies 
récemment ouvertes par des œuvres comme la thèse de M. Baire. 

A vrai dire il est assez difficile de distinguer bien nettement, tout au 
moins à l'heure actuelle, ce qui revient au champ réel et au champ complexe. 
Beaucoup de développements en séries de polynômes peuvent presque 
toujours servir à représenter indistinctement des fonctions analytiques ou 
non mais, comme les auteurs qui se sont occupés de ces épineux problèmes 
ont commencé par séparer les deux champs, il est nécessaire de commencer 
par accepter cette démarcation. 

Aussi bien le fait de se cantonner d'abord dans les variables réelles permet 
de préciser, avec le maximum de simplicité, une foule de questions relatives 
par exemple à la continuité des fonctions représentées par des séries à 
termes continus ainsi qu'à l'intégration de ces mêmes séries. A propos du 
premier exemple rappelons la condition classique de convergence uniforme, 
condition inattaquable mais trop solide peut-être, et qui a été remplacée 
par les conditions plus élastiques de convergence simplement uniforme et de 
convergence quasi-uniforme dues respectivement à MM. Bendixson et Arzela. 

Quand au développement des fonctions de variables réelles en séries de 
polynômes c'est là un cas particulier du problème extrêmement général de 
la représentation analytique approchée de fonctions non analytiques. En 
ces points on sent nettement que M. Borel a tenu, à l'exemple de Weierstrass, 
a rejeter des considérations intuitives qui, si elles n'ont pas la valeur 
rigoureuse de sa pure analyse, peuvent être cependant grandement utiles. 
Echauffons arbitrairement une barre : par le fait même la température en 
un point de la barre est d'abord une fonction tout à fait quelconque (continue 



BIBLIOGRAPHIE 81 

ou discontinue» analytique ou non) de l'abscisse de ce point. Au bout d'un 
temps fini, mais aussi court qu'on le veut» la .température en question est 
devenue fonction analytique de la dite abscisse et par suite» en remontant le 
temps, la représentation analytique aussi approchée qu'on le voudra est 
toute trouvée. Que l'on mette cette idée en formules et l'on aura le procédé 
de Weierstrass et notamment la fameuse intégrale définie dont il se sert et 
qui n*a que le tort de paraître venir juste à propos sans qu'on sache pour- 
quoi on a recours à elle plutôt qu'à une autre. 

A la suite de la méthode de Weierstrass, M. Borel eta expose d'autres 
dues à MM. Volterra, Lebesgue, Runge ; il traite de l'extension de ces 
résultats aux fonctions de plusieurs variables et consacre des pages très 
intéressantes au problème de l'interpolation. La formule de Lagrange par 
exemple conduit bien à représenter une fonction par un polynôme mais, 
comme le remarque très justement l'auteur, il n'est pas sûr que la courbe 
parabolique ainsi employée se rapproche d'autant plus de la courbe arbi- 
traire donnée qu'on donne un plus grand nombre de points de celle-ci. Aussi 
M. Borel tente de donner une théorie générale de l'interpolation qui ne soit 
pas soumise à des inconvénients de cette nature. La partie rédigée par lui 
se termine avec la représentation des fonctions discontinues. Ce que j'ai dit 
plus haut à propos de la méthode de Weierstrass montre immédiatement 
que le fait pour une fonction d*étre représentable par une série de polynômes 
n'est nullement une preuve de continuité. C'est M. Baire qui a défini le 
premier les fonctions les plus générales représentables par des séries de 
polynômes. Le jeune et éminent analyste a donné aussi une classification 
des fonctions qui se rattache immédiatement au point de vue précédent. Les 
fonctions continues sont de classe zéro, les fonctions développables en séries 
de fonctions continues et qui ne sont pas continues sont de classe un, celles 
développables en sériesde fonctionsde classe un,etqui ne sont pasde classe 
un, sont dites de classe deux et ainsi de suite. Une fonction de classe n et 
représentable par une série multiple d'ordre n dont tous les termes sont 
des polynômes. 

Voyons maintenant la note de M. Painlevé.Sar le développement des fonc- 
tions analytiques. Le problème est de trouver un développement, valable 
non pas seulement dans un cercle comme le développement taylorien mais 
dans tout le plan sauf peut-être sur certaines demi-droites formant ce que 
M- Mittag-LefHer a appelé l'étoile. M. Painlevé obtient alors très élégam- 
ment des développements en séries de polynôme tels que ceux signalés pour 
la première fois par M. Fredholm. Le principe de la méthode peut s'exposer 
en deux mots. Considérons deux champs complexes, celui des t et celui des 
t puis une transformation conforme changeant les points d'afiixe et 1 du 
premier en les points et 1 du second et réciproquement. Soient ^ = ^ (t) , 
T = j^it) les formules définissant celte transformation choisie en outre de 
façon à changer un contour aussi aplati qu'on le voudra enveloppant le 
segment — 1 en un cercle mod t =: const > 1 . On a 

/•[•(T)] = Ao -j- Ait -j- A«t' -I- . . . 

ce qui, pour 

T = l, est f[ff{\)] ou f(\) . 

L'Enseignement matbém., 8* année; 1906. ^ 



32 BIBLIOGRAPHIE 

Mais si l'oa compare 

avec 

f (t) =z ao + ait -\- ûi^ -}-•••» 

développement valable tout au moins dans le voisinage de l'origine, dans 
lequel on remplace / par la valeur de la formule précédente, on se convainc 
que Âo , Al , As , ... sont des combinaisons linéaires et homogènes de oo , 
ai , as , ... et par suite f(\) , non représenté forcément par le développement 
précédent de f(t) pour f == 1 , l'est par 

Ao + Al + Aï + . . . 

C'est ce que M. Painlevé appelle une série génératrice normale. 

Le volume se termine par une seconde note de M. Henri Lebesgue qui 
revient sur le théorème de M. René Baire dont il a été question plus haut et 
par une troisième de M.Borel ou ce dernier s'attache à démontrer qu'il existe 
effectivement des fonctions dans toutes les classes de M. Baire. 

A. BiiHL (Montpellier). 

Catalogne international de la littérature scientifique, publié par une 

commission internationale sous la direction de M. le D^* H. Forstbr Mor- 
LEY. A Mathematics. — 1 vol., 201 p. ; prix : fr. 18. 75. Gaulhier-Vil- 
lars, Paris ; 

Cette importante publication est due à l'iailiative de la Royal Society de 
Londres qui, depuis une dizaine d'années, a réuni une série de conférences 
internationales en vue de la publication d'un Catalogue international de la 
Littérature scientifique. Les différentes branches scientifiques ont été répar- 
ties comme suit en 17 groupes et feront l'objet de 17 volumes annuels. 

A. Mathématiques. G. Minéralogie. N. Zoologie 

B. Mécanique. H. Géologie. O. Anatomie humaine. 

C. Physique. J. Géographie. P. Anthropologie phy- 

D. Chimie. K. Paléontologie. sique. 

E. Astronomie. L. Biologie générale. Q. Physiologie. 

F. Météorologie. M. Botanique. R. Bactériologie. 

Il s'agit, comme on le voit, d'une entreprise considérable qui est appelée 
à rendre de grands services dans tous les domaines de la science ; elle sera 
particulièrement bien accueillie dans les branches qui, moins favorisées que 
les sciences mathématiques, ne possédaient pas encore de périodiques 
spécialement consacrés à la bibliographie, tels que le Jahrhuch ûher die 
Fortschritte der Mathematik et la Revue semestrielle de publications 
mathématiques. 

Chaque volume donne, par ordre méthodique, les titres des ouvrages et 
des mémoires publiés pendant une année dans les Recueils scientifiques, à 
partir du l®*" janvier 1901. Nous voudrions pouvoir dire de tous les ouvrages 
et mémoires publiés, mais il est matériellement impossible, surtout dans 
les premiers volumes, d'être absolument complet. 

Le présent volume est consacré aux mathématiques. Il contient, après 
diverses notes d'introduction et listes : a) une classification des différentes 



BIBLIOGRAPHIE 83 

branches des mathématiques pures, suivie d'une table des matières (en 
quatre langues) ; b) le catalogue des ouvrages et mémoires par noms 
d'auteurs, puis c) par ordre dçs matières. 

J. Classen. — Théorie der Elektrizitât and des Magnetismas. II. Band : 

Magnetismus und Elektromagnetismus, (Sammlung Schubert XLII.) — 1 
vol. cart. in-8°, IX-251 pages; prix: Mk. 7 ; Gœscheo, Leipzig, 1904. 

Nous avons déjà fait connaître aux lecteurs de Y Enseignement mathéma^ 
tique (no 5, septembre 1904) la première partie de l'ouvrage de M. Classen 
sur l'électricité et le magnétisme. 

La deuxième partie, dont nous voulons maintenant dire quelques mots, a 
pour objet le magnétisme et l'électroniagnétisme. 

L'exposition du magnétisme, d'après les idées de Maxwell, est faite par 
une méthode tout à fait semblable à celle de l'électrostatique (première par- 
tie) et que nous avons cherché déjà de résumer ; mais les hypothèses fonda- 
mentales sont naturellement ici un peu diverses et pas toutes accessibles à 
l'expérience ; il en résulte plus d'une difficulté et l'auteur ne s'en cache 
d'ailleurs pas. 

La partie vraiment intéressante est l'électromagnétisme. Le point de dé- 
part de M. Classen, comme celui de plusieurs auteurs, est la loi de Biot- 
Savart et celle de Faraday sur l'induction (lois intégrales). Mais l'auteur 
commence, selon nous très à propos, par une hypothèse que l'on pourrait 
nommer loi différentielle ou hypothèse élémentaire, et qui n'est pas suscep- 
tible de vérification directe; elle donne les deux systèmes d'équations différen- 
tielles de Maxwell-Hertz, qui, dès à présent, formeront la base de l'exposition 
systématique de toute la théorie. Après avoir montré qu'elles renferment 
toute la théorie des phénomènes du magnétisme et de l'électrostatique, etc., 
l'auteur va les appliquer à l'étude de la propagation des ondes hertziennes 
dans l'espace et dans les lils, et à celui des courants alternés. 

Nous recommandons vivement la lecture du petit livre de M. Classen aux 
jeunes physiciens avant qu'ils abordent Tétude toujours difficile des mé- 
moires originaux sur les théories modernes de l'électrodynamiquc. Ils y 
trouveront, avec de très nombreux rappels à 1 expérience, une théorie bien 
détaillée des principaux instruments de mesure, sans que la lecture soit 
arrêtée par des difficultés analytiques que M. Classen a eu soin d'écarter. 
Peut-être, croyons-nous, aurait-il été préférable d'employer les notations 
du calcul vectoriel fort utilisées maintenant dans toutes les théories élec- 
triques. R. Marcolongo (Messine). 

L. CouTURAT. — L'AIgàbre de la Logique. 1 vol. de 100 pages in-8 écu; Col- 
lection Scientia. Prix: 2 fr. Gauthier-Yillars, Paris. 

Dans ce nouveau volume de la collection Scientia, M. Couturat présente 
un exposé très clair des principes et des théories élémentaires de l'Algèbre 
de la Logique Fondée et développée au cours du XIX")<-' siècle par G. Boole 
et £. ScHRôDER, cette science a pour but d'exprimer les principes du raison- 
nement, les X lois de la pensée u. 

L'auteur se limite à l'Algèbre de la Logique classique et se place au 
point de vue purement formel, qui est celui des mathématiques. Il part de la 
relation d'inclusion a<^b {a est contenu dans b, ou a implique />), qu'il envi- 



84 BIBLIOGRAPHIE 

sage comme notion première et par conséquent indéfinissable ; a et h dési« 
gnent des concepts ou des propositions. La relation <^ petit se traduire ap« 
proximativement par donc : a<Cb ou a donc h. 

Le premier principe ou l'axiome de l'Algèbre de la Logique est le prin- 
cipe d'identité a<^a. Un second principe est celui du syllogisme : 

{a<b) {b<c) < («<c). 

Puis viennent les trois opérations, la multiplication et l'addition logiques 
et la négation et leurs principales propriétés et applications. M. Couturat 
présente d'abord la méthode de Boole et de Schrôder qui offre une grande 
analoG^ie iivec l'Algèbre ordinaire : résolution des équations par rapport aux 
inconnues et éliminations des inconnues. Il expose ensuite la méthode de 
PoRETSKY que l'on peut résumer en trois lois : la loi des formes, la loi des 
conséquences et la loi des causes. 

Ce court aperçu montre, d'une façon très imparfaite, il est vrai, que l'AU 
gèbre de la Logique est un algorithme possédant ses propres lois et suscep- 
tible d'être développé mathématiquement tant par sa forme que par sa mé- 
thode. II s'agit d'une branche encore peu connue, surtout dans les pays de 
langue française : aussi faut-il savoir gré à M. Couturat d'en avoir fait 
l'objet de cet intéressant petit volume. 

H. Fehr. 

G.-O. James. — Eléments of the Kinematics o! a Point and the Rational 
Mechanics of a Partide. 1 vol. g. in-S^, XII, 176 p., prix: 2 Doll.,* John 
Wiley & Sons, New- York, 1905. 

Ce petit traité de Mécanique élémentaire sert en quelque sorte de prépa- 
ration aux éludes supérieures des écoles américaines ; il est écrit avec une 
extrême clarté. 

La théorie des vecteurs, qui désormais doit faire partie du cours de Mé- 
canique, est limitée aux règles de la composition el de la dérivation ; si 
l'auteur avait exposé les éléments de ce qu'on appelle le calcul vectoriel, 
toute son exposition aurait gagné beaucoup en simplicité. La Cinématique 
et la Mécanique proprement dite considèrent seulement le point matériel 
libre ou assujetti à quelques liaisons simples. L'exposition des principes de 
la Dynamique (chap. IX) est faite avec étendue et précision. L'auteur suit 
M. Mach pour la définition de la masse, et KirchhofP pour celle de la force ; 
il envisage celle-ci comme n a purely mathematical and not phjrsical concept a 
(page 110). 

Le livre ne contient pas beaucoup d'applications ; toutefois, on y trouve 
l'étude des mouvements harmoniques, celui du mouvement des projectiles 
dans le vide, même en envisageant l'influence de la rotation de la terre. 
Qu'il nous soit permis d'observer que la théorie du pendule de Foucault 
(ji 182) eût été susceptible d'une exposition plus simple et que les équa- 
tions du JJ 163 peuvent s'intégrer quelle que soit la valeur de w. 

R. Marcolongo (Messine). 

Henri Lebesgue. — Leçons SUT l'intégration et la recherche des fonctions 

primitiveSi professées au Collège de France. — 1 vol. gr. in-8<» de IV-142 
pages; prix: 3 fr. 50; Gauthier-Villars, Paris, 1904. 



BIBLIOGRAPHIE 85 

Les aperçus résumés en ce volume sur les problèmes de l'iatégration 
paraîtront à coup sûr nouveaux à bien des lecteurs qui d'eux mêmes n'au- 
raient pas soupçonné l'utilité des recherches approfondies auxquelles se livre 
M. Lebesgue. Il faut cependant reconnaître que l'idée de fonction s'élar- 
gissant sans cesse, des notions telles que celle de l'intégration doivent 
s'élargir aussi et se perfectionner notablement sous peine de n'avoir plus 
aucun sens dans les nouveaux domaines où la théorie des fonctions nous 
entraîne. Nous n'en sommes plus a l'ancienne fonction, la plus importante 
sans doute, qui n'était qu'une ordonnée variant continuement avec une ab- 
scisse et dont l'intégrale existait au même titre que la notion d'aire. Nous 
considérons des fonctions dont la variable peut être dans des ensembles 
bien plus divers que celui des poiùts formant un segment de l'axe des 
abscisses ; pourvu qu'à une valeur de cette dernière prise dans l'ensemble 
corresponde une ordonnée nous avons une fonction au sens de Riemann. 
Qu'est-ce alors que l'intégrale ? C'est la discussion approfondie de cette 
question qui tait l'objet des leçons de l'auteur. Il reprend la définition de 
Riemann et l'étend en la complétant. Remarquons spécialement le chapitre 
relatif à la mesure des ensembles où la notion d'ensemble mesurable au 
sens de M. Jordan (ensemble mesurable J) est heureusement rapprochée des 
notions d'intégrales par excès et par défaut dues à M. Darboux. Cela con- 
dnit tout de suite à une très belle et très générale conception de l'idée 
d'aire. Et rien dans ces nouvelles définitions, qui paraîtront peut être bien 
abstraites et bien quintessenciées à ceux qui ne se sont pas encore heurtés 
à l'insuffisance des anciennes conceptions, n'est cependant superflu. Ne con- 
naissons-nous pas des courbes dont l'aire est indéterminée comme par 
exemple celle de M. Peano qui passe par tous les points d'un carré ? 

Signalons aussi le très intéressant rapprochement des courbes rectifiables 
et des courbes quarrables. 

Si la première partie du volume tend à établir une distinction entre les 
fonctions intégrables et non intégrables, la seconde, étudie la notion de fonc- 
tion primitive elle-même dans les cas où cette notion à la raison d'être. 
Ll'ouvrage est donc aussi complet qu'on pouvait le souhaiter, et cependant, 
grâce à l'habileté de M. Lebesgue, il résume de nombreux mémoires dus à 
Riemann. Dirichlet, Darboux, Cantor, Hilbert, Borel, Baire et autres 
savants adonnés à l'étude de ces délicates questions. 

A. BuHL (Montpellier). 

E. LiNDELôp. •— Le Calcul des résidus et ses applicatious à la théorie des 

fonctions, l vol. gr. in-8ode 144 pages, prix 8 fr. 50; Paris, Gauthier- 
Villars, 1905. 

Ce volume est le neuvième de la Collection de Monographies sur la Théorie 
des fonctions. Il tranche de façon extrêmement nette sur les volumes précé- 
dents. Ces derniers, en effet, ont eu trait aux méthodes introduites tout 
récemment dans l'analyse et, dans des ouvrages comme ceux de MM. Lebesgue 
et Baire, on comprenait immédiatement que les auteurs exposaient leurs 
propres créations. M. Lindelôf nous ramène aux méthodes de Cauchy et rien 
à mon avis ne sera plus salutaire pour les jeunes géomètres souvent trop 
occupés de discuter des définitions, des idées logiques et qui délaissent et 
dédaignent le calcul, les opérations analytiques explicites, la supériorité 
esthétique indéniable que les égalités ont sur les inégalités. Que de chan- 



86 BIBLIOGRAPHIE 

gements à cet égard, je ne veux pas dire après des maitres comme Cauchy, 
mais seulement après Hermite dont la mort est encore ti*op récente pour 
qu'on puisse oublier son œuvre. 

Remercions donc M. Lindelôf de nous ramener dans ces magnifiques 
domaines. 

Il nous rappelle d'abord les théorèmes généraux du calcul des résidus, 
l'usage qu'on peut en faire pour le développement des fonctions implicites 
et obtient en outre la célèbre formule de Lagrange ; il calcule aussi quelques 
intégrales définies et établit l'importante formule de M. Jensen. Nous voyons 
ensuite les formules sommatoires tirées du calcul des résidus lequel permet 
en effet d'exprimer la somme des valeurs que prend une fonction analytique 
pour des valeurs entières successives de la variable. La méthode résulte 
immédiatement de ce que le résidu de ic coivzf {z) relatif k z z=. v W entier) 
est f {v) et la formule ainsi obtenue, par des changements dans les variables 
ou dans les contours d'intégration, se présente sous des formes diverses et 
également intéressantes. 

Des formules de cette nature, M. Lindelôf donne des applications variées 
et intéressantes. De nouvelles intégrales définies apparaissent et il exprime 
ainsi la constante d'Euler, les nombres BemoulH, il étudie de même les 
sommes de Gauss. Si l'on cherche à eflectuer le calcul explicite des inté> 
grales définies introduites, celles-ci se prêtent, sous certaines restrictions, 
à des développements en séries qui constituent les formules sommatoires 
d'Euler et leurs analogues. 

Voici maintenant les fonctions T (x) , \o^T [x) , la formule de Stirling, 
l'étude dans tout le plan de 

Ç(5) = l + 1 4- J- + ... 

2* 3' 

toutes choses éminemment intéressantes et perfectionnées par Hermite, 
Hadamard, Lerch, Hurwitz, etc.. 

L'ouvrage se termine par une solution particulière du problème du pro- 
longement analytique d'une série de Taylor, solution étudiée non seulement 
par M. Lindelôf mais par MM. Mellin et Le Roy. L'égalité 



^ci / r ff{z)x*dz 



en donne l'idée primordiale. Le premier membre n'existe que dans un cercle 
alors que le second existe en dehors. 

Ces courtes citations ne donneront qu'une idée insuffisante de l'ouvrage 
court mais cependant très riche dont on peut conseiller la lecture comme 
exemple d'idées aussi belles que fécondes. A. Buhl (Montpellier). 

R. Marcolongo. — Meccanica raâonale (Manuali Hœpli). — 2 vol. in-lG», 
271 -|- 324 pages ; prix : 3 L. chaque volume ; Ulr. Hœpli, Milan. 

La Collection Hœpli vient de s'enrichir de deux nouveaux volumes qui 
seront d'autant mieux accueillis qu'il manquait précisément un manuel con> 
sacré à la Mécanique rationnelle. M. Marcolongo, professeur à l'Université 
de Messine, semblait tout particulièrement désigné pour entreprendre la 



•A 



BIBLIOGRAPHIE 87 

tâfhe assez difficile de condenser eu deux petits volumes les notions essen- 
tielles de Mécanique rationnelle. S'il y est parvenu d'une manière aussi satis- 
faisante, c'est surtout grâce à l'emploi de la méthode vectorielle. Il est incon- 
testablement plus simple d'opérer directement sur des vecteurs au lieu de 
faire intervenir les projections, Texposé y gagne en clarté et en précision. 

L'ouvrage est divisé en trois parties Les deux premières, consacrées à la 
Cinématique et la Statique font l'objet du premier volume ; la troisième con- 
tient la Dynamique et les principes de In Mécanique des fluides forme le 
▼olume IL 

Spécialement destiné aux étudiants, cet ouvrage est appelé à leur rendre 
de précieux services non seulement par l'exposé clair et bien ordonné des 
notions théoriques, mais aussi par les nombreux exercices qui terminent 
chaque chapitre. H. Fehr. 

U. MûLLEK et M. KvTKBwsKY. — Sammlung von Aulgaben ans der Arith- 
metik, Trigonométrie and Stéréométrie. IL Teil, Ausgabe A. fur Gym- 

nasien. Zweite verbesserte und stark gekûrzte Auflage. — 1 vol. in-S*», 
273 p.; prix: Mk. 2,20; B. G. Teubner, Leipzig. 

Ce livre offre en réalité plus que ne l'indique le titre, puisqu'il contient 
aussi des problèmes de Géométrie analytique sur les coordonnées et les 
coniques; ceux-ci envisagent les uns le calcul, tandis que les autres ont 
en vue des constructions. 

Dans la première partie, on trouve, à côte de problèmes appartenant à la 
Planimétrie, des questions empruntées à la vie pratique. D'une manière 
générale les auteurs ont accordé une large place aux applications. La Physique 
fournit une série de résolutions d'équations : relations entre le volume, le 
poids et la densité; chute des corps, jet vertical ou oblique d'un mobile, 
plan incliné, gravitation ; puis les lois de Mariotte, d'Archimède, mesure 
des hauteurs à l'aide du baromètre, chaleur spécifique, Photométrie. réflexion 
et réfraction de la lumière, mesures électriques, applications des lois d'Ohm 
et de KirchhofF. 

Tout maître de mathématique qui comprend les besoins modernes fera 
très bon accueil à ces exercices, ainsi qu'aux problèmes des domaines de la 
Géographie mathématique, de la Nautique et de l'Astronomie. 

Cette édition réduite renferme en tout 930 numéros dont la plupart contien- 
nent 3 à 6, quelquefois même 22-28 exemples. Elle fait partie de la remar- 
quable série de manuels' publiés avec beaucoup de soin par la maison 
Teubner sous la direction de M. H. Mûller professeur au Gymnase (c Raise- 
rin-Augusta » de Charlotlenbourg. 

Nous recommandons vivement cet Ouvrage à l'attention de tous les maîtres 
de mathématiques. Ern. Kaller (Vienne). 

Dr Prompt. — Remarques sur le théorème de Fermât. — 1 brochure in-l2o 

de 32 pages. Imp. Allier frères, Grenoble, 1905. 

Cette petite brochure est intéressante par son originalité. Des poètes ont 
utilisé des sextines, c'est-à-dire des ensembles de six vers que l'on répétait 
en permuttant les rimes d'une certaine manière. Le D** Prompt remarque 
que si Ton applique les mêmes règles de permutation à un nombre quel- 
conque d'objets, toutes ces combinaisons, qui peuvent s'écrire sous forme de 

* Prof. H. MQiUr's Mathematischts Unterrichtswerk, in 4 Abteilungen. 



38 BIBLIOGRAPHIE 

tableaux carrés ou rectangulaires suivant les cas, ont des propriétés remar- 
quables à rapprocher de celles des carrés magiques. Un nombre passe d'une 
colonne à une autre d'une sextine suivant un chemin bien déterminé et l'on 
peut se proposer inversement de déterminer le nombre de la sextine qui 
parcourt un cycle donné. Ces considérations conduisant à des théorèmes 
intéressants notamment à celui-ci que 2p — 1 est divisible par p '\' \ »\ p 
est un nombre premier diminué de l'unité. On voit l'analogie avec l'un des 
célèbres théorèmes de Fermât, mais cependant la démonstration de M. Prompt 
ne parait valable que pour le nombre 2. Il le reconnaît d'ailleurs lui-même 
et ne prétend publier sa brochure que pour signaler un mode de démons- 
tration que l'on pourra peut-être généraliser. Il semble bien que son procédé 
relève un peu plus du hasard que de recherches méthodiques, mais il serait 
injuste cependant de ne pas reconnaître à ce travail assez de qualités pour 
intéresser les arithmologues. A. Buhl (Montpellier). 

J. Reusch. — Planimetrische Konstmctionen in geometrographischer Aas- 

fûhmng, mit 104 Figuren im text. — 1 vol. br. in-8o, X-84 pages ; prix 
M. 1 ; B. G. Teubner, Leipzig. 

Lorsque la solution d'un problème de Géométrie peut être construite par 
plusieurs procédés, il est naturel de chercher quel est le meilleur, si l'on 
sait exactement dire ce qu'il faut entendre par « le meilleur procédé » ; nous 
pensons qu'il serait bien difficile de donner à ces mots, pour tous les cas, 
une définition que tout le monde pourrait admettre ou qui permettrait de dis- 
tinguer, parmi toutes les constructions connues ou possibles, une construc- 
tion unique qui serait universellement prise pour la meilleure. 

On pourrait, par exemple, considérer comme le meilleur procédé, celui 
qui exige le plus petit nombre d'opérations matérielles ; les hommes de mé- 
tier, tels que les dessinateurs dans les bureaux techniques, qui ne s'inquiètent 
que des règles d'exécution indépendamment de tout raisonnement, penseront 
ainsi assez naturellement parce qu'ils pourront qualifier matériellement ce 
procédé comme étant le plus simple. Or, en supposant que l'on puisse retrou- 
ver, distinguer et compter, dans une figure géométrique, le nombre de toutes 
les opérations matérielles qui ont été effectuées, il est facile d'imaginer, 
pour des instruments déterminés, une formule présentant d'une façon claire, 
la plus ou moins grande complication du tracé de la figure. 

M. Lbmoine a, le premier, donné à cette idée une forme concrète que nous 
allons rappeler brièvement. 

Si l'on suppose l'emploi de la règle, on peut vouloir distinguer deux opéra- 
tions dont nous faisons suivre l'indication par des notations représentatives 
correspondantes : 

Faire passer le bord d'une règle par un point op. : Ri : 

Tracer une ligne en suivant le bord de la règle op. : Rs. 

On peut vouloir distinguer dans l'emploi du compas trois opérations : 

Placer une pointe de compas sur un point donné . . . . . op. : Ci ; 

Placer une pointe de compas sur un point indéterminé d'une ligne 

donnée , op. : Ci ; 

Tracer une circonférence op. : Ci. 

L'emploi de tout autre instrument tel que l'équerre, le compas de propor- 
tion, etc., donnerait lieu de même à des notations nouvelles, particulières 
aux opérations que l'on voudrait distinguer. 



BIBLIOGRAPHIE 89 

Toute construction géométrique faite avec la règle et le compas est donc 
•représentée par le symbole 

op. : (toi Ri + "» I^> + '»> Ci -f- "« Cj -f- nt Ci), (1) 

dans lequel mi, ms, m, nt et m indiquent respectivement le nombre des opé- 
rations Ri, Rs, Cl, Cl et Ct. 

M. Lemoine appelle Coefficient de simplicité ou plus brièvement simpli- 
cité, le nombre mi -|- ms -|- /ii -|- /is -|- n» ; il appelle coefficient d'exactitude, 
ou plus brièvement exactitude, le nombre mi -{- m -{- nt ; mi est le nombre 
de droites tracées ; m est le nombre de circonférences tracées. 

Les diverses constructions géométriques de la solution d'un problème 
pourront être comparées entre elles, au moyen du symbole (1), ou de tout 
autre symbole analogue, se rapportant à un plus grand nombre d'instruments 
et l'on comprend que cette comparaison a conduit, pour un grand nombre de 
problèmes, à la recherche de solutions nouvelles de plus en plus simples 
et a été féconde en excitant la sagacité et l'ingéoiosité des géomètres. Ces 
recherches ont été classées sous le nom de Géométrographie, par M. Le- 
moine qui a donné à la solution générale la plus simple d'un problème, le 
nom de Construction géométro graphique. 

On voit donc que la Géométrographie a pour but de compter, en les dis- 
tinguant, les opérations à exécuter, avec des instruments déterminés, pour 
obtenir la solution d'un problème de géométrie plane ; de chercher de nou- 
velles solutions exigeant moins d'opérations que celles déjà connues ; de 
comparer entre elles les solutions connues. 

Remarquons bien que M. Lemoine ne prétend pas établir une correspon- 
dance parfaite entre ses formules, ses définitions et les cas de la pratique ; 
c'est spéculativement qu'il admet que les opérations Ri, Rt, Ci, Cs, Ct, sont 
égales pour former les coefficients de simplicité et d'exactitude. Au reste, la 
géométrographie suppose que la feuille de dessin est aussi grande qu'il est 
nécessaire à l'exécution intégrale de la construction que l'on veut faire, que 
les instruments sont aussi petits ou aussi grands qu'il est utile, qu'un point 
est également bien déterminé, quel que soit l'angle sous lequel se coupent 
les deux lignes qui fixent le point, etc. (Voir E. Lemoine, Géométrographie 
ou Art des constructions géométriques. Paris, 1902). 

Le travail de M. Reusch a pour but de répandre, dans les écoles, la mé- 
thode donnée pour amener systématiquement la simplification des construc- 
tions planimétriques; il contient un exposé historique intéressant, signale 
dans les travaux de Steiner un passage exprimant très clairement les soucis 
de ce géomètre au sujet de la plus ou moins grande complication des cons- 
tructions de la géométrie plane, et montre tout le mérite de la formule de 
M. Lemoine. 

M. Reusch, comme M. Bernés, ne fait pas de différence entre les opérations 
Cl et Cl du symbole de M. Lemoine, estimant avec raison peut-être, que la 
distinction entre les opérations Ci et Ci est pratiquement sans utilité, si elle 
ne Test pas théoriquement ; il désigne par Ci l'opération consistant à tracer 
une circonférence et prend donc, pour l'exécution d'une construction faite 
au moyen de la règle et du compas, le symbole 

Il Ri + /» Ri -h /Ml Cl -|- mi Cl, 
un peu plus simple que le symbole de M. Lemoine. 



90 BIBLIOGRAPHIE 

Le travail de M. Reusch contribuera puissamment, dans son pays d'origine, 
à propager le goût des méthodes géométrographiques, à faire naître de nou- 
velles recherches et à enrichir le domaine pratique de la Géométrie plane ; 
il est désirable que les professeurs de Géométrie le fassent connaître à leurs 
élèves. F. Chômé (Bruxelles). 

J. Richard. — Notions de Mécanique. — 1 vol. in-8<» de 224 pages. Prix: 4 fr.; 
de Kudeval, éditeur, Paris, 1905. 

Cet ouvrage contient toutes les matières des programmes de mathémati- 
ques A et B et renferme en outre de nombreuses applications pratiques. 

Dans une introduction philosophique et historique, l'auteur déGnit le ca- 
ractère de la Mécanique, signale sans insistance inopportune les difficultés 
qui affectent les fondements de cette science, notamment la notion de force, 
esquisse un aperçu historique, dont l'intérêt est manifeste pour une science 
encore en évolution, enfin donne quelques judicieux conseils à l'élève sur la 
manière d'étudier. 

La première partie de l'ouvrage, de beaucoup la plus importante, est 
consacrée à la Statique. Après avoir établi la notion de la force statique au 
moyeu du dynamomètre et énuméré les diff'érentes espèces de forces, l'auteur 
expose en tous détails la théorie de leur composition, tout en traitant les 
nombreuses et intéressantes propriétés géométriques qui s'y rattachent, 
parmi lesquelles nous relevons celles qui sont relatives au centre de gravité 
et à l'emploi des coordonnées barycentriques ; signalons encore, parmi les 
applications pratiques, la théorie des appareils à peser et celle de l'équilibre 
de cfuelques machines. 

La deuxième partie, qui commence par un préambule sur le rapport an- 
harmonique et les triïingles homologiques, comporte des notions très éten- 
dues, bien que sommairement exposées, sur les polygones funiculaires et la 
statique graphique, avec applications pratiques, parmi lesquelles se trouve 
la théorie de la flexion des poutres droites. 

La troisième partie comprend les premières notions de cinématique et les 
propriétés essentielles du déplacement d'une figure invariable dans un plan 
ainsi que l'étude des engrenages et de quelques systèmes articulés. 

Enfin la quatrième partie est consacrée à des considérations générales sur 
les machines, après introduction des notions de travail et de force. 

Cet ouvrage se recommande par l'.ordre adopté dans l'exposition, l'élégante 
sobriété des démonstrations, la judicieuse répartition de l'espace entre 
les diverses matières, enfin par la très large part légitimement faite aux 
applications. G. Combebiac (Bourges). 

R. ScHRôDER. — Die Ânlangsgrftnde der Differential- and I ntegralrech- 

nong. — Fur Schûler von hôheren Lehranstalten und Fachschulen, sowie 
zum Selbstunterricht. — 1 vol. cart., 131 p. ; prix : Mk. 1.60 ; B. G. Teub- 
ner, Leipzig. 

Au moment où l'on tend à introduire dans l'enseignement secondaire su- 
périeur les premières notions de calcul infinitésimal, ce petit volume mérite 
d'être signalé à tous ceux qui enseignent ces éléments. Les considérations 
théoriques sont limitées au strict nécessaire, par contre l'auteur donne un 
grand nombre d'exercices et d'applications. A ce point de vue c'est un 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 91 

excellent recueil à mettre entre les mains des élèves. Voici les grande? 
dÎTisions du manuel : 

Calcul différentiel : Notion et propriétés de la dérivée. — Application du 
Calcul différentiel à la détermination des formes indéterminées; aux maxima 
et minima; à l'étude des courbes planes. 

Calcul intégral : La notion d'intégrale. Méthodes d'intégration. — Âppli- 
.cation du Calcul intégral à la détermination de l'aire de surfaces planes et à 
la rectification de courbes planes. — Application du calcul infinitésimal à la 
Mécanique. 

M.-E. WicKERSHEiMER. — Los Piiiicipes de la Mécanique. — 1 vol., 130 p., 

prix : 4 fr. Ch. Dunod, Paris. 

On s'est beaucoup occupé, dans ces dernières années, du remaniement 
des fondements de la Mécanique, mais on doit convenir que les essais tentés 
jusqu'à présent en vue de cette reprise en sous-oeuvre sont loin d'avoir 
donné toute satisfaction. M. Wickersheimer estime que, pour construire 
l'édifice nouveau que tout le monde attend, il faut d'abord que la démolition 
s'achève et que le terrain soit complètement déblayé. A cet effet, les notions 
essentielles de la Mécanique font successivement l'objet d'un examen appro- 
fondi, qui a pour effet de les dépouiller de la tare anthropomorphique, tout 
spécialement dénoncée par l'auteur. 

C'est ainsi «que le temps est réduit au rôle de variable indépendante dans 
le déplacement d'un corps quelconque et qu'une intéressante analyse de 
diverses expériences historiques montre que sa mesure n'est nullement 
impliquée dans l'idée de mouvement, mais n'est au contraire que le résultat 
d'une comparaison entre certaines vitesses. La question du mouvement 
absolu est approfondie. L'auteur met aussi en lumière les pétitions de prin- 
cipe cachées dans les méthodes classiques selon lesquelles sont introduites 
les notions de force et de masse. La notion de force statique soulève de 
TÎvcs critiques et semble devoir désormais céder le pas à la notioji du 
travail ; celle-ci fait l'objet d'un développement important. Enfin un chapitre 
est consacré à la rotation de la terre. G. Combebiac (Bourges). 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 



f • Sommaire des ppineipaux périodiques: 

Acla Mathematica, dirigé par Mittag-Leffler, t. XXIX. Beijer, Stockholm. 

Fasc. 3 et 4. — A. Wiman : Ueber die NuUstellen der Funktionen-Ea (x). — 
H. PoiNCARÉ : Sur la méthode horistique de Gyldén. — T. Brodék : Ueber 
eine Yerallgemeinerung des Riemann'schen Problems in der Théorie der 
linearen Differentialgleichungen. — E. Maillet: Sur les nombres e et ir et 
les équations transcendantes. — M. Lerch : Essais sur le calcul du nombre 
des classes de formes quadratiques binaires aux coefficients entiers. 



92 BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 

American Joumal Ol Mathamatics, edited by Frank Morley, publîshed 
under the Auspices of the John Hopkins Universily. Vol. XXVII. The 
Johns Hopkins Press, Baltimore. 

N» 3 (Juillet 1905). — G. W. Hill : Déduction of the Power Séries Re- 
presenting a Function from Spécial Values of the Latter. — Saul Epsteen 
and Heman Burr Léonard : On the définition of reducible Hypercomplex 
Number Systems. — Peter Field : Quintic Curves for which P = 1. — 
C L. E. MooRE : Classification of the surfaces of Singularities of the Qua- 
dratic Spherical Compiex. — Léonard Eugène Dickson : Subgroups of 
Order a Power oï p in the General and Spécial m-ary Linear Homogeneous 
Groupa in the GF [/?'»]. 

No 4 (Octobre 1905). — C. J. Keyser : Concerning certain 4-Space Quintic 
Configurations of Point Ranges and Congruences, and their Sphère Ana- 
logues in Ordinary Space. — G. A. Miller : Some relations between Number 
ïheory and Group Theory. — J. E, Wright : The Differential Invariants 
of Space. — L, D. Ames : An Arithmethic Treatment of some Problems in 
Aualysis Situs. — Heman Burr Léonard : Hypercomplex Number Systems. II. 

Annales de la Faculté des Sciences de l'Université de Toolonse. Deuxième 

série. T. VI, 1904. E. Privât, Toulouse; Gauthier-Villars, Paris. 

Fasc. 3 et 4. — Edmond Maillet : Sur les équations de la Géométrie et la 
théorie des substitutions entre n lettres. — W. Stekloff : Théorie générale 
des fonctions fondamentales. 

Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences 

de Paris. — 1905. second semestre, T. CXLI. Gauthier-Villars. Parisx 

3. Juillet. — E. Picard: Sur une inégalité relative à la connexion linéaire 
et sur le calcul du genre numérique d'une surface algébrique. 

17 Juillet. — Lœwy : Nouvelle méthode pour la détermination directe de 
la réfraction à toutes les hauteurs. — Ch. André : Appareil à éclipses arti- 
ficielles de soleil. — L. Guichard : Sur les propriétés infinitésimales de 
l'espace non-euclidien. — Em. Cotton : Sur l'évaluation des erreurs dans 
l'intégration approchée des équations différentielles. 

24 Juillet. — H. Padé : Sur la convergence de la Table des réduites d'une 
fraction rationnelle. 

31 Juillet. — Lœwy : Etude de la réfraction à toutes les hauteurs. For- 
mules relatives à la détermination des coordonnées des astres. — Demoulin: 
Sur la théorie des surfaces et des enveloppes de sphères eu Géométrie 
anallagmatique. — P. Boutroux : Sur les propriétés d'une fonction holoroorphe 
dans un cercle où elle ne prend pas les valeurs zéro et un. — A. Buhl: Sur 
de nouvelles séries de polynômes. — De Sparre : Sur le frottement de glis- 
sement. 

3 Août. — AuRic : Sur les fractions continues algébriques. 

21 Août. — P. Painlbvé : Sur les lois du frottement de glissement. 
28 Août. — G. Darboux : Sur une équation différentielle du 4* ordre. — 
Ed. Maillet : Sur les nombres transcendants. 

4 Sept. — Demoulin : Sur les enveloppes de sphères dont les deux nappes 
se correspondent avec conservation des angles. 

11 Sept. — G. Darboux : Sur une équation différentielle du 4« ordre. — > 
Demoulin : Sur deux systèmes cycliques particuliers. — Auric : Sur la 
généralisation des fractions continues algébriques. — Zervos : Sur le pro- 
blème de Monge. 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 93 

23 Sept. — P. DuHEM : Sur les origines du principe des vitesses virtuelles. 

30 Sept. — P. Painlevé : Sur les lois du frottement de glissement. -— 
RiCH. PucHS : Sur quelques équations différentielles linéaires du second 
ordre. — S. Bermstein ; Sur les surfaces minima. 

9 Oct. — G.-Â. Miller: Groupes contenant plusieurs opérations de l'ordre 
deuxième. 

16 Oct. — G. Remoundos : Sur les fonctions ayant un nombre fini de 
branches. — ArRic : Sur le calcul d'une arche en maçonnerie. 

23 Oct. — Fr. RiEsz : Sur les ensembles discontinus. 

6 Nov. — BouTROux: Sur les relations récurrentes convergentes. — Padé: 
Sur les réduites d'une certaine catégorie de fonctions, — G. Zemplén : Sur 
l'impossibilité des ondes de choc négatives dans les gaz. — Hadamard : Re- 
marque au sujet de la Note de M. Zemplén. — Crémieu : Recherches sur la 
gravitation. 

13 Nov. — Stuyvaert : Sur les congruences des cubiques gauches. — 
ZoRETTi : Sur le développement d'une fonction analytique uniforme en pro- 
duit infini. , 

20 Nov. — FRécHET : Formule d'interpolation des fonctions périodiques 
continues. — Padé : Sur les développements eu fractions continues de la 
fonction F (A, 1, h\ u) et la généralisation de la théorie des fonctions sphé- 
riques. — Dchem: Sur l'impossibilité des ondes de choc négatives dans les 
jçaz. — HussoN : Sur un théorème de M. Poincaré, relativement au mouve- 
ment d'un solide pesant. 

27 Nov. — Fréchet: Les ensembles de courbes continues. — E. Lebesgue: 
Sur la divergence et la convergence non-uniforme des séries de Fourier. 

4 Dec. — Guichard: Sur la déformation des quadriques. — Brillonin: 
Inertie des électrons. 

11 Dec. — Padé: Sur la convergence des fractions continues régulières de 
la fonction F- (A, 1, A', u) et de ses dégénérescences. — Stekloff: Sur le^ 
problème du mouvement d'un ellipsoïde fluide homogène dont toutes les 
parties s'attirent suivant la loi de Newton. — Boulanger: Théorie de l'onde 
solitaire qui se propage le long d'un tube élastique horizontal. 

18 Dec. — Séance annuelle. Prix décernés et prix proposés (voir plus 
haut p. 49-52.) 

26 Dec, — A. Dbmoulin : Sur les surfaces isothermiques et sur une classe 
d'enveloppes de sphères. — C. Carathéodory : Sur quelques généralisa- 
tions du théorème de M. Picard. — W. Stekloff : Sur le mouvement 
non stationnaire d'un ellipsoïde fluide de révolution. — Clairiti : Sur une 
transformation de certaines équations linéaires aux dérivées partielles du 
second ordre. 

Jahrbuch ftber die Fortschritte der Mathematik herausgegeben von Emil 

Lampe. Band 34. Jahrgang 1903. G. Reimer, Berlin. 

Hefte 1 u. 2 (p. 1 à 736). — Geschichle und Philosophie. — Algebra. — 
Niedere und bôhere Arithmetik. — Kombinalionslehre und Wahrscheiulich- 
keitsrechnung. — Reihen. — Differential- und Integralrechnung. — Funk- 
tionentheorie, — Reine, elementare und synlhetische Géométrie. — Analy- 
tische Géométrie. 

Jahresbericht der deutschen Mathematiker-Vereinigniig, in Monatsheften 

herausgegeben von A. Gutzmer in Jena. 14. Band. Teubner, Leipzig. 
Heft 7. — A. Korselt : Ueber die Grundiagen der Mathematik. — E, 



94 BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 

WfLscH : Karl Josef Kiipper. — N. Ha.tzidakis : Zum Nekrolog fur Wilhelm 
Sehell. — G. Holzmûller : Zu den BemerkuDgen des Herm Ebner. 

Hefte 8 und 9. — E. Study : Sir William Rowan Hamilton. — E. Study : 
Ueber Hamiltons geometrische Optik und deren Beziehuog zur Théorie der 
Berûhrungstransforraationeo. — G. Majcen : Eine neue Erzeugungsart fur 
verschiedene typische Formen der Flàche 3. Ordnung. — Félix Berrstein : 
Die Théorie der reellen Zahlen. — A. Gutzmer : Kurze Bemerkuug ùber 
gewisse liueare DiflTerentialgleichungeo. 

Hefte 10. — F. Klbiti : Problème des mathematisch-physikalischen Hoch- 
schulunterrichts. — Wilh. Fiedler : Meiiie Mitarbcii an der Reform der 
darstellenden Géométrie in neuer Zeit. — Paul StXckel : Isometrische 
Flâchenpaare. — Paul Stackel : Mindings Beweis fur die Stabilitiit des 
Gleichgewichtes bei einem Maximum der Krâftefunktion. — Bericht ûber die 
Jahresversammiung in Meran vom 24. bis 29. September 1905. 

Hefte 11 et 12. — K. Heksel : Ueber die arithmetischen Eigenschaften der 
algebraischen und transzeodenten Zahlen. — L Schlesinger : Ueber eine 
Darstellung des Systems der absoluten Geojmetrie. — E. Mûller : Die dar- 
stellende Géométrie aïs eine Yersinulichung der abstrakten projektiven 
Géométrie. — E. Mûller : Beitrâge zur Zyklographie. — R. Gans : Gravi- 
tation und Elektromagnetismus. — Hugo Dingler : Zur Methodik in der 
Mathematik. — Mitteihmgen und Nachrichten. — Litcrarisches. 

Monatshefte fur Mathematik and Physik, herausgcgeben von G. von Esche- 

RicH, F. Mertems und \V. Wirtinger, XVI. Jahrg. 1905. J. Etsenstein 
et Co, Wien. 

Ch. Beyel : Eine Aufgabe ûber ein besondercs Yiereck. — O. Biermann : 
Ein Problem der Interpolationsrcchnung. — O. Biermann : Eine Divisions- 
probe. — E. Fischer : Ueber quadratische F'ormen mit reellen KoefiBzienten. 
— R. Fischer : Ein Beitrag zur hyperbolischen Géométrie. — Th. Freud : 
Ueber die uneigentlichen bestimmten Intégrale, — J. A. Gmeiner : Ueber die 
disjuntiven Konvergenz- und Divergenzkriterien zweiter Art fur unendliche 
Reihen mit positiven Gliedern. — A. Guldbekg : Ueber reduzible lineare 
homogène Differenzengleichungen. — H Hahn : Ueber Funktionen zweier 
komplexer Verânderlicher. — H. Hahn : Ueber punktweise unstetige Funk- 
tionen. — H. Hahn : Ueber den Fundamentalsatz der Integralrechnung. — 
G. HuBER : Auswertung einiger bestimmler Intégrale mit Anweuduag des 
freien Integra tionsweges. — M. Lrrch : Einiges ûber den Integrallogarith- 
mus. — N. NiELS : Notiz ûber den Integrallogarithmus. — N. Niels : Ueber 
die Stirlingschen Polynôme und die Gammafunktion. — H. Opperheimek : 
Ueber die Ausartungen der Schrôterschen Konstruktion der ebenen Kurven 
dritter Ordnung. — J. T. C. Pohl : Arzelas Abhandlung : Sulle série dei 
funzioni, parte prima. (Ueber die Funktionenreihen). — M. Radakovié : Be- 
merkungen ûber die Summierung Fourierscher Reihen. — Th. Schmidt ; 
Uneigenlliche Projektion und Pilletsche Konstruktion. — E. Schrukka v. 
Rechtenstamm, Lotuar D"" : Théorie der Polygonalresle. — H. Tietze : Ueber 
das Problem der Nachbargebicte im Raum. — H. Tietze : Ueber Funktional- 
gleichungen, deren Lôsungen keiner algebraischen Differeutialgleichung ge- 
nûgen kônnen. — E. W^elsch ; Nachruf Wilhelm Weiss. — E. VV^lsch : 
Biniiranalyse zur Géométrie des Dreiecks. — E. von Weber : Ueber die Be^ 
ziehung zwischcn Kegclschnitten und Kreisen und die Théorie des Imagi- 
naren. 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 95 

Revne da Matllélliatiqiies (Revista dî Matematica), publiée par G. Peamo. «^ 

T. VIII. Bocca frères, Turin. 

N® 4. — M. CipOLLA : Teoria de congruentias intra- numéros integros. — 
F. CiiiONio : Super formula de Snell. 

Sitsnngaberichte der K. àkademie der Wissenschaften, Wien. Maih.-Na- 

lurw. Klasse. CXIII. Bnnd, Jahrgang 1904. Gefold's Sohn, Wien. 

Hefte I bis X. — A. Adler : Zur Théorie des Plûcker'schcn Konoids. — 
M. Allé : Ein Beilrag zur Théorie der Evoluten. — Ueber infinitésimale 
Transformation. — E. G. Bausenwein : Aendcrung des PeltiereiTectes mit 
der Temperatur. — O. Biermak?) : Ueber das Restglied trigonometrischer 
Reihen. — G. Bukggraf : Définitive Bahnbestimmung des Kometen 1874 II. 

— Daublebsky V. Sterneck : Ein Analogon zur additiven Zahlenlheorie. — 
M. Herz : Eine Ycrallgemeinerung des Problems des Rûckwartseinschnei- 
dens : Problem der acht Punkte. — Fr. Hocrvar : Ueber die Zerlegbarkeit 
algebraischer Fornien in lineare Faktoren. — L. Klug : Konstruktion der 
Perspektivurarisse und der ebenen Schnitte der Flàchen zweiter Ordnung. 

— F. LAschardt : Ein Vorschlag zur Bestimmuug der Venusrotation. — 
F. Mertens : Ueber eine Darstellung des Legendre'schen Zeichens. — 
J. Rheoeti : Définitive Bahnbestimmung des Kometen 1890 III. — Th. 
ScHMiD : Zur Konturbeslimmung der Flâchen zweiten Grades. — A. Schœn- 
FLiES : Ueber Stetigkeit und Unstctigkeit des Funktionen eiuer reellen Ver- 
ânderlichen. — E. W^lsch : Ueber die lineare Yektorfunktion als biniire 
doppelquadratische Form. — Ueber die hôheren Yektorgrôssen der Kristall- 
physik als binâre Formcn. — Ueber Reihenentwicklungen mehrfach binarer 
F'orraen — L. Weinek : Graphische Nachweise zur Olbers'schen Méthode 
der Kometenbahnbestimmung. — K. Zahradnik : Beitrag zur Théorie der 
rationalen Kurven dritter Ordnung. 

Zeitschrilt fur das Realachulwesen, herausgegebeu von Em. Czubek, Ad. 

Bechtkl und MoR. Gloser, XXX. Jahrgang, 1905. Alf. Hôlder, Wien. 

N® 7. — F. Kemént : Das Mittelschulwesen der Vereinigten Staaten und 
die Unterrichtsabteilungen der Weltausstellung zu St. Louis 1904. 

N» 8. — A. PicHLER : Ueber die Darstellung der Zahlen als Summen 
arithm. Reihen. — D' Erwin Dimtzl : Arithmetisch-analytische Problème. — 
U. ScHWE?sDE>cwEiic : Der Wechselschnitt beim schiefen Kreiskegel. 

N<* 10. — Ans dem Leben Petzvals. 

N** 11. — E. CzuBBR : Die Frage der Einfûhrung der Infinitestimalrech- 
nung in den Mitteischulunterricht vom ôsterreichischen Standpunkte. 

No 9 et 12. — (Pas de mathématiques). 

2. Liivres nouveaux: 

F. Amodeo. — Leâoni diGeometria proiettiva dettate nella R. Universltà 

di Napoli. Terza Edizione. — 1 vol. gr. in-8®, 456 p.; prix: 12 lires; L. 
Pierro, Naples. 

W.-W. Rouse Bali.. — Histoire des Mathématiqnes. Edition française 

revue et augmentée, traduite de la troisième édition anglaise par L. Freund. 
T. I. — 1 vol. gr. in-8o, 422 p. ; Hermann, Paris. 

E. Borel. — Géométrie premier et second cycles (Cours de Mathématiques 
rédigés conformément aux nouveaux programmes.) — 1 vol. in-18o, 383 p. ; 
prix : 3 fr. ; A. Colin, Paris. 

O. Th. Bûrkle?!. — Aafgabensammlimg sur analytischan Géométrie der 



96 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 



Ebene. (Mit 32 Figuren.) (Sammlung GÔschen,) — 1 vol. cart. in-16o; 196 p.; 
prix : Mk. 0,80 ; G. J. Gôschen, Leipzig. 

P. D. Chwolson. — Traité de Physique. Ouvrage traduit sur les éditions 
russe et allemande par C. Davaux. Ëdition revue et considérablement aug- 
mentée par l'Auteur suivie de Notes sur la Physique théorique par E. et F. 
CossERAT, Tome 1*'. Premier fascicule, in-8o ; 407 p. Introduction, Méca- 
nique, Méthodes et Instruments de mesure avec 219 fig- dans le texte. Prix: 
16 fr. A. Hermann, Paris. 

A. Gkévt. — Géométrie théorique et pratique. Deuxième édition. — 1 vol. 

cart. in-16®, 472 p.; prix: 3 fr. 50; Vuibert & Nony, Paris. 

J. HoRN. — Gewôhnliche Differentialgleichungen beliebiger Ordnung. 

(Sammlung Schubert.) — 1 vol. p. in-S», 391 p. ; prix 10 Mk. ; G. J. Gôschen, 
Leipzig 

G Lejeune-Djrichlbt. — Vorlesoiigeil Ûber die Lehre von den einfachen 
und mehrfachen hostimillteil Integralen, herausgegeben von G. Aremdt. — 
1 vol. br. gr. in-S^. XXXIII, 476 p. ; prix: 12 Mk. ; Vieweg & Sohn, Braun- 
schweig. 

H. Mûller & J. Plath. — Lehrhnch der Mathematik zur Yorbereitung 

auf die Mittelschullehrer-Prûfung und auf das Abiturientenexamen am ReaU 
gymnasium. 1vol. in-8<>, cart. 236 p.; prix: 4 Mk. ; 6. E. Teubner, Leipzig. 

H. MiJLLER & J. Plath. — Sammlung von Aufgaben zur Yorbereitung auf 
die Miltelschullehrer-Prùfung und auf das Abiturientenexamen aus Real- 
gymnasium. — 1 vol. in-8", cart 259 p. ; prix : 4 Mk. ; B. E. Teubner, Leipzig. 

G. Peamo. — Formulario mathematico, editio Y. Fasciculo 1 : Logica ma- 
thematica. Aritlimetica. Algebra. Geomelria. Limites. Calculo differentiale. 

— 1 vol. in-8o, 304 p.: prix: 12 L. ; Fratelli Bocca, Turin. 

Fr. Rogel. — Das Rechnen mit Vorteil. Eine gemeinfassliche durch zahl- 
reiche Beispiele erlauterte Darstellung empfehlenswerter Yorteile und ab- 
kûrzender Yerfahren. — 1 vol. in-8o, 38 p. ; prix: Mk. 0,80 : B. G. Teubner, 
Leipzig. 

H. Schubert. — Auslese aus meiuer Unterrichts- und Vorleaungspraxis. 

— 1 vol. in-16o, 218 p.; prix: 4 Mk. ; G.-J. Gôschen, Leipzig. 

Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft. — Dritter 

Jahrging. — 1 vol. in-8o, 85 p. ; prix: Mk. 2.80; B.-G. Teubner, Leipzig. 

O. Staude. — AnaljTtische Géométrie des Punktes, der Geraden Linie und 
der Ebene. Ein Handbuch zu den Yorlesungen und Uebungen ûber analy- 
lische Géométrie. — 1 vol. in-8o, 447 p. avec 387 fig. dans le texte ; prix: 
14 Mk. ; B. G. Teubner, Leipzig. 

F. G. Teixeira. -— Tratado de las Gnrras especiales notables. — 1 vol. 

gr. in-4<>. 633 p.; Imprenta de la « Gaceta de Madrid» Madrid. 

G. YivANTi. — Théorie der eindeutigen analytischen Fnnktionen, Deutsch 

herausgegeben von A. Gutzmer. — 1 vol. cart. in-8<», 512 p.; prix: 12 Mk. ; 
B. G. Teubner, Leipzig. 

J. YOiNDERLiNN. — Parallolperspektive. Rechtwinklige und schiefwinklige 
Axonometrie. (Sammlung Gôschen.) — 1 vol. cart. in-16o avec 121 fig. ; 
prix: Mk, 0,80; G.-J. Gôschen, Leipzig. 

H. Wieleitnbr. — Théorie der ebenen algehraischen Kurven hôherer 

Ordnung. (Sammlung Schubert.) — 1 vol. cart. 313 p. ; prix: 10 Mk. ; G.-J. 
Gôschen, Leipzig. 

VV. Wien. — Ueher Elektronen. Yorlrag gehalten auf der 77. Yersamm- 
lung deutscher Naturforscher und Aerzte in Meran. — 1 vol. in-8*», 28 p. ; 
prix: I Mk. ; B.-G. Teubner, Leipzig. 




GiusTO Bellavitis 
1803-1880 



GIUSTO BELLAVITIS 
SA CORRESPONDANCE SCIENTIFIQUE 



Le 6 novembre 1905, il y a eu exactement vingt-cinq ans que 
cessait de vivre dans la ville de Trezze, près Bassano, le comte 
Ginsto Bellavitis, Admirable comme savant et comme citoyen, il 
a légué son nom à une théorie qui fut Torgueil de sa vie, la théorie 
des èquipollences. Rendre un hommage à sa mémoire est pour 
moi un devoir agréable à remplir, comme Italien et comme admi- 
rateur de sa doctrine. En publiant de lui des lettres* ou des frag- 
ments de lettres, pour les lecteurs de V Enseignement mathèmati- 
quey je dirai préalablement quelques mots de sa vie si bien rem- 
plie. 



* En avril 1901, j'enToyaie à V Intermédiaire des Mathématiciens une question qui, soub le 
numéro 2137, a été insérée à la page 189 du tome VIII. Immédiatement après je recevais de 
M. le Professeur C.-A. Laisant, avec qui j'étais depuis quelque temps en relations amicales. 
nn paquet de lettres, et le billot suivant : — « Vers la fin de Tannée 1869, sur la prière de 
Hoûel, avec qui j'étais en correspondance, G. Bellavitis m'envoya deux de ses Mémoires. 
Comme je ne lisais pas un mot d'italien à cette époque, je lui répondis en le remerciant et 
lui exprimant mon regret de ne pouvoir le comprendre. De là sa première lettre où il me 
prodiguait avec une rare bienveillance dos conseils qui me permirent, au bout de quelques 
•eraaines, de eomprf ndre couramment un Mémoire mathématique italien. Notre correspon- 
dance, interrompue parles événements des fatales années 1870-71, fut ensuite reprise d'une 
façon régulière et se prolongea jusqu'à sa mort. J'ai conservé précieusement ses lettres et je 
suis heureux de les confier à mon ami M. Alasia pour la publication de la correspondance 
d'un grand géomètre, qui fut aussi un homme de grand cœur. On y trouvera la marque des 
qualités d'ingéniosité, de bon sens, de clarté, qui caractérisent l'esprit inventif de Bellavitis 
et la preuve surabondante de l'aftectueuse bienveillance qu'il montrait aux plus humbles. » 

Je publie deux de ces lettres et des fragments pris dans quelques-unes des autres, ayant 
an caractère trop familier pour être publiées dans leur entier. 

Qu<>lqu«s mois après, exactement le 11 juillet 1903, M. Gabriel Torelli, le savant professeur 
d« l'Université de Palerme. applaudissant à ma tentative, m'envoyait trois lettres qu'il pos- 
sédait, l'une adressée à lui-mômo et les deux autres à deux jeunes mathématiciens qui 
appartenaient à une « Association des conférences mathématiques ■ fondée à Naples. Elles 
•ont d'un grand intérêt scientifique et je les traduis intégralement. On les trouvera plus loin. 

Bellavitis eut une correspondanco active et très agréable avec de nombreux mathémati- 
ciens italiens et étrangers, parmi lesquels plusieurs ont malheureusement disparu, ce qui a 
rendu très pénible la recherche des lettres. Celles adressées à M. Buoncompagni, par 
exemple, ont été vendues à un inconnu par un marchand de livres d'occasion de la place 
S. Pietro in Vincoli; à Rome ; j'ai pu vérifier le fait moi-même j celles adressées à M. Torto- 
lini sont en possession de M. J. Halle, libraire à Munich, et en vente à un prix assex élevé 
ainsi que la correspondance de M. Tortolini lui-même avec plusieurs mathématiciens italiens. 
M. le professeur Barbarin, du Lycée de Bordeaux, a eu la bonté de se charger de la re- 
cherehe des lettres adressées à Hoflel et il s'est mis en communication avec la famille de 
celui-ci : il est probable qu'il réussira. Les lettres adressées à M. Emmanuel Pergola, de 
l'Observatoire Royal de Naples, sont peut-être égarées ; c'est la crainte de ce savant astro- 
nome. Que sera-t-il advenu de la correspondance qui était entre les mains de MM. Cremona, 
Chelini, Casorati, Crelle, Terquem, Brioscbi, Beltrami, Genocchi, Massalongo, Matteucci, 
Doma, Fusinieri, Battaglini, Pegorini, etc ? Je poursuivrai mes recherches, dans l'espoir 
d'une réussite satisfaisante. 

L'Enseignement mathém., 8* année ; 1906. 7 



98 C, A LAS I A 

Beliavitis mérite une place des plus honorables parmi ceux qui 
par eux-mêmes et par leurs œuvres, peuvent servir de modèles à 
la jeunesse: il dut tout à lui, bien peu aux autres. — Né le 22 no- 
vembre 1803, à Bassano, village situé à 40 km. de Padoue, d'une 
noble mais très pauvre famille, il fut obligé d'abandonner les 
écoles, à peine adolescent, pour se placer comme copiste à la mai- 
rie de son pays natal ; à l'âge de 19 ans, de copiste il devint secré- 
taire ; il garda cette charge, trop modeste pour ses mérites et son 
talent, mais qui pourtant lui donnait le moyen de vivre, jusqu'à 
l'approche de sa quarantième année. — Mais ce n'était pas seule- 
ment dans l'ingrat travail de sa charge qu'il limitait son activité. 
Son père avait recherché lui aussi un soulagement à ses fatigues 
quotidiennes et aux persécutions de l'adversité dans l'étude des 
mathématiques : il partagea avec son fils ce qu'il avait appris par 
lui-même, et ce fut la seule richesse qu'il put lui laisser en héri- 
tage. Aussi dans les dernières années de sa vie G. Beliavitis répé- 
tait avec fierté qu'il n'avait eu que deux maîtres : son père et lui- 
même. I^es heures de bureau accomplies, il courait vers sa modeste 
petite chambre, et là il s'adonnait pendant de longues heures à 
l'étude de sa science favorite, au moyen de livres qui ordinairement 
lui avaient été prêtés et que parfois il copiait, n'ayant pas la pos- 
sibilité d'en acheter un exemplaire. En attendant, il avait com- 
mencé à publier les résultats de ses études, qui dès l'abord mé- 
ritèrent l'attention des savants, par leur originalité et par la 
grande étendue des connaissances qu'ils dévoilaient chez l'auteur; 
mais celui-ci continuait à être le modeste secrétaire de la mairie 
de Bassano. Dans une lettre à M. Laisant, datée du 27 décembre 
1872, il complète lui-même ainsi sa biographie : « ,,. Comme faisais 
fait toutes mes études par moi-même et comme je n'avais pas suivi 
les cours officiels^ il semblait que la carrière de l'instruction publi- 
que dut m'être fermée ; mais lorsque V Institut Vénitien fut rétabli 
par l'Empereur Ferdinand^ fy fus agrégé en 18 W. Ce faity l'amitié 
de quelques-uns et ma fortune constante me firent nommer fi8k2} 
Professeur de mathématiques au Lycée de Vicence; ensuite^ en iSkc^^y 
Professeur de Géométrie descriptive à l'Université de Padoue^ et 
après l'unification italienne (1867) je changeai cette chaire pour 
celle d'Algèbre complémentaire et Géométrie analytique. J'eus plu^ 
sieurs amisy morts pour la plupart^ à ma grande affliction. D'un 
caractère toujours gai^ aimant les discussions sans jamais me 
passionner^ libre-penseur^ libéral^ un peu républicain de sentiments, 
sincères et franc^ je nepou vais pas étreagréable à ladomination étran- 
gère; mais néanmoins je n'en souffris aucune persécution. Cespro^ 
vinces libérées^ beaucoup par ma fortune habituelle et peut-être 



^ A celte époque, il obtint, sans examens et sans demande de sa part, le doctorat en 
mathématiques. 



CORRESPONDANCFs DE BELIAVITIS 99 

aussi parce qu'on jugeait que beaucoup de Professeurs n*as^aient 
guère de sentiments italiens (après on découvrit que les autres 
étaient plus libéraux que moi)^ je fus par le Gouçernement nommé 
Sénateur; j* allai plusieurs fois à Florence * et à Home, mais l'école 
et ma famille m'attiraient bientôt à Padoue. Ici la vie m'est très 
agréable : mes concitoyens me nommèrent et jusqu'à présent me con- 
servent conseiller municipal, r> — Dans sa modestie, Bellavitis ne 
manqua jamais d'attribuer à la fortune bienveillante ce qu'il ne 
devait qu'à sa tenace volonté, à son puissant esprit. Ennemi des 
louanges exagérées il voulut rédiger lui-même Tinscription* du 
marbre que, selon Tusage commun, ses parents auraient placé sur 
son tombeau ; et quand, en 1878, il prévoyait sa fin prochaine, il 
voulut écrire lui-même la lettre de faire-part de sa mort, en y 
mettant de sa main l'adresse de ses amis et laissant naturellement 
la date en blanc. A quelques-uns cela paraîtra peut-être un acte ori- 
ginal; mais cet acte montre assurément combien, en suivant la re- 
ligion du vrai et du devoir, on affronte avec intrépidité le pro- 
blème de l'au-delà'. 

L'activité scientifique de Bellavitis ne s'est pas limitée seule- 
ment au champ mathématique, il a voulu s'occuper aussi de mé- 
téorologie, de chimie, d'histoire naturelle, d'économie, de géogra- 
phie, de philosophie et même de littérature*. Certainement il n'a 
pas pu montrer dans ces questions la même compétence qu'il ap- 
portait dans les choses mathématiques ; mais dans ces écrits di- 
vers on rencontre une note toute particulière qui démontre la sû- 
reté de jugement et la pénétration d'esprit du grand géomètre ita- 
lien. 

Sa « Théorie des figures inverses m parut en 1836 : c'est un travail 
de grand mérite et qui fut loué par tous les géomètres ; il y 
traite, par la méthode des équipollences dont il avait publié des 



' Capitale de l'Italie jusqu'à la prise de Rome, en 1870. 

* m Si mon fils voulait conserver mon nom inscrit sur une pierre, je le prie de ta faire murer 
en quelque endroit de notrk, c'est'à-tUre, de sa maison, ou elle pourrait être lue avec 
profil par quelques-uns de nos descendants ; hors de là, toute mémoire n'a pas de raison 
d'être. • 

&iusto Bellavitis 

Naquit ji Bassano (1803) 

De Ernest et de Jeanne Navarini. 

L'amour de l'étude 

et d'heureuses circonstances 

le firent 

Professeur à Vicence (1843), à Padoue (184&-18...^ 

et Sénateur du Royaume d'Italie (1866) 

Il fut conseiller municipal (1866-18...) 

Il écrivit sur les mathématiques 

et inventa la méthode des équipollences. 

Epoux et père affectueux 

il vécut heureux. 

* G. ToBKLLi. — Commémoration de G. Bellavitis à l'Académie Pontonienne de Naples. 

* Les écrits de Bellavitis surpassent le nombre de 200. 



100 C. A LA SI A 

essais depuis 1833, la transformation que Plûcker avait établie de- 
puis deux ans seulement, et il en donne des applications nouvelles 
et très importantes suggérant en même temps un beau principe 
de représentation. Mais son travail n'eut ni la publicité ni le suc- 
ses qu'il méritait, et le principe de représentation développé par 
lui entra un peu plus tard dans le domaine géométrique, sous le 
couvert des noms de Thomson, de Liouville et de Môbius. Deux 
ans plus tard, il publiait r« Essai de géométrie dérii^ée^ » où il ex- 
posait à la jeunesse italienne les doctrines de Poncelet, de Steiner 
et de Chasles qui avaient ramené la géométrie synthétique à une 
forme dont la simplicité et la fécondité sont très remarquables. 

Il consacra une attention toute particulière aux question qui de 
son temps constituaient les sujets préférés des mathématiciens : 
observateur éclairé et profond, il retrouvait dans les recherches 
des ses prédécesseurs et de ses contemporains des lacunes qu'il 
était utile de combler. Ce fut ainsi que de l'étude des coefficients 
dans les développements des fipotestésy>^j il put déduire une longue 
succession d'intéressantes propriétés des nombres Bernoulliens et 
Eulériens, établissant des méthodes pour les calculer avec grande 
facilité et donnant de nombreux développements en séries, où ces 
nombres figuraient. 

Mais ses recherches sur les imaginaires forment la plus belle 
page de son œuvre scientiOque; adversaire implacable de l'intro- 
duction de ces quantités dans l'algèbre, il a toujours vaillamment 
combattu les méthodes par lesquelles les différents auteurs en ex- 
posaient la théorie, soutenant que les imaginaires devaient seule- 
ment être considérées comme des quantités géométriques. Cette 
aversion est certainement exagérée; elle ne peut trouver sa justi- 
fication que dans la manière peu rigoureuse dont lathéorie de ces 
quantités était exposée, même dans les plus célèbres traités ; mais 
cette disposition a certainement contribué à féconder dans son 
esprit la méthode des équipollences, qui a été l'orgueil de toute sa 
vie. — Les dés^eloppements et les applications de la méthode des 
équipollences, — dit-il dans une lettre à M. Laisant (28 — VI — 1873), 
je les ai écrits en IH32 chez celle qui depuis a été ma femme chérie, 
pendant qu'elle m* accompagnai t, travaillant ou chantant; {*ous 
voyez combien à cette méthode^ je suis lié par de très chers souve- 
nirs. » Le travail de l'esprit et la poésie du cœur, deux rayons di- 
vins qui ne devaient cesser d'éclairer toute sa vie! 

Mais pourquoi, demandera-t-on, cette méthode ne reçut-elle pas 
l'accueil que l'auteur espérait? — Le célèbre Hamilton * avait 



* Potestè d'exposant positif exprime le produit x(x -f- 1) {x •{■ 2)... \x -{• n — t), et potesté 

t 
d'exposant nétratif, la fraction rr- ' 

' Né à Dublin le 3 août 1805, et mort dans cette môme ville le 2 septembre 1865. 



CORRESPONDANCE DE BELLAVITIS 101 

édifié, presque en même temps que Bellavitis annonçait les ap- 
plications de sa méthode, un système d^îmaginaires auxquelles il 
avait donné le nom de quaternions ; ses nombreux travaux, pres- 
que tous publiés dans le a Philosophical Magazine » sont ceux qui 
parurent quelques années après, en 1853, à Dublin en un volume 
de près de 900 pages, sous le nom de « Lectures on quaternions ». 
— Les quaternions et les équipoUences sont deux algorithmes 
qui ont une commune ressemblance avec Tagorithme algébrique 
et une signification essentiellement géométrique. Mais alors que 
la méthode des équipoUences est l'un des moyens les plus simples 
et directs de représentation des relations en grandeur et position, 
elle perd beaucoup de son mérite lorsqu'on l'applique aux figures 
de l'espace ; cela au contraire n'arrive pas pour la méthode des 
quaternions qui est donc plus générale. Bellavitis s'était pleine- 
ment rendu compte du défaut de généralité de sa méthode, car il 
en parle dans plusieurs de ses lettres ; mais il ne s'est jamais lassé 
<le montrer tous les avantages qu'on pouvait en tirer, et il l'a appli- 
quée à un très grand nombre de questions de géométrie et de mé- 
canique qu'il publiait sous le nom de «Reçue des journaux n. Son 
Mémoire capital sur cette méthode ^ est la « Sposizione del metodo 
délie équipollenze y> y inséré dans le volume pour 1854 des ^Mémoires 
de la Société italienne des sciences y*, et qui ensuite fut traduit en 
français par M. C.-A. Laisant et en langue bohème par M. Zah- 
radnik. Mais cette méthode, à peine publiée, a eu le malheur de 
se trouver, sans parler des quaternions, en présence d'une autre 
très puissante elle aussi, le Calcul barycentrique de Môbius. Bel- 
lavitis en plus d'une occasion reproche aux géomètres italiens 
d'avoir fait • trop peu attention à la méthode inventée par lui, et 
il écrit ' à M. Laisant, lorsque celui-ci allait commencer la tra- 
duction de sa « Sposizione » : 

« Je ifous suis grandement obligé pour la peine que cous cous 



* En outre, il a publié sur les équipoUences les travaux suivants : 

Sur certaines appUcations d'une nouveUe méthode de géométrie analytique, dans la revue 
« Le Poligraphe ■ de Vérone, juin 1833, t. XIII, fMg. 53-4t1. 

Essai d'une nouvelle méthode de géométrie analytique (Calcul des équipoUences f. — Annales 
dites de FusinUH, 1835, in-4*, t. V, pag. 344-259. 

Mémoire sur la méthode des équipoUences. — Mêmes Annales, 1837, t. VII, 79 pages. 

Solutions graphiques de certaines questions de géométrie recherchées par la méthode des 
équipoUences. — Mémoires de l'Institut vénitien, 1843, in-4*, t. I, pag. 335-267. 

Calcul des quaternions et ses relations etvec la méthode des équipoUences. — Actes du m/;me 
Institut, 1858, t. III, et Mémoires de la Société italienne des Sciences, 1858, in'4«, t. I, 
83 pages. 

Exposition des nouilles méthodes de la géométrie analytique. — M^^moiras du même Ins- 
titut, 1860, 159 pages. 

Eléments de géométrie et de trigonométrie et de géométrie analytique, avec l'addition de 
texposition de la méthode des équipoUences. — Padoue. 1863, 196 pages. 

Revue des Journaux. — Actes du même Institut, 1859-1873. 

Considérations sur la mathématique pure. — Mémoires du même ln«titut, 18C7-1A73. 

' Lettre datée de Padooe, 37 décembre 1873. 



102 C. ALASIA 

donnez afin de faire connaître en France ma méthode des équipol- 
lences. Je i^ous avoue que depuis quarante ans j'ai la convictipn 
que sous un nom ou un autre les principes de la méthode finiront 
par être adoptés^ et cela pour les raisons que i^ous aussi ai^ez Juste- 
ment indiquées. Mais je manque de persévérance et je fus aussi un 
peu infortuné. En Italie^ personne n'a fait attention à mes idéesy 
ety si après quelques années on en adopta quelques unes, on pré^ 
fera les attribuer plutôt aux allemands. Quand Cauchy adopta et 
loua les idées de Saint Venant^ je pris finalement la décision de lui 
écrire que j^ avais employé et publié^ moi aussi, des idées sembla- 
bles bien longtemps auparavant ; mais peu après , Cauchy mourut. 
J'envoyais aussi plusieurs mémoires à l'Académie des Sciences (de 
l'Institut de France)^ mais tandis que dans les comptes-rendus on 
annonçait tout au long les titres de tous les mémoires sur la trisec- 
tion de l'angley des miens on annonça le titre d'un seul en ajoutant 
f et plusieurs autres » / 

M. Hoiiel est pour moi un ami très cher et vraiment affec^ 

tionné : il a beaucoup fait pour les équipollenceSy mais toutefois il 
ne considère pas la chose à mon point de vue. Observez la dernière 
partie de son Calcul infinitésimal : il y considère les quantités 
dites COMPLEXES comme des termes algébriques ; et ensuite il en fait 
application à la géométrie ; au contrairey le calcul de ces quantités 
et les quantités elles-mêmes sont essentiellement géométriques. Il 
faut rompre avec les anciennes idées des imagina ristes et rester 
dans le vrai champ géométrique ; on ne doit pas se faire scrupule 
d'adopter quelques nouveaux mots et les deux signes ^ et 5. MM. 
Bourget et Darbouxy eux aussi, ont pour moi de la bienveillance y 
mais je ne saurais les importuner à ce propos^ : faites donc vous- 
même ce que vous pouvez et ce que vous trouvez de mieux. Si vous 
vouliez bien me favoriser de quelques notes sur les équipollences^je 
serais très heureux de les publier dans mes « Revues » (comme je 
l'ai fait pour des solutions que m'a envoyées M, Emile Français) 
et cela fera du bien aux équipollences en Italie vis-à-vis des nom- 
breux mathématiciens qui n'estiment que les choses étrangères. 
Vous pouvez publier aussi ces mêmes travaux, s'ils y sont accueil- 
lis , dans vos Revues , mais il faudra que vous vous donniez la 
peine d'expliquer en détail les principes de la méthode, car il ne 
faut pas espérer qu'on se rappelle le mémoire oii M, Hoiiel les ex- 
posait. » 

A propos de l'origine de sa méthode, M. Bellavitis écrivait 
encore la lettre suivante à M. Laisant qui, ayant complété la tra- 
duction de la « Sposizione », lui en communiquait la préface : 



* C'est-à-dire pour leur demander d'insérer dans les Revues françaises les traductions de 
ses Mémoires. 



CORRESPONDANCE DE BELLAVITIS 103 

Padoue, 29- VI 1873. 

Mon cher amij 

Je vous dois les plus grandes obligations pour la manière très 
favorable suivant laquelle vous présentez ma méthode des équipol- 
lences. Je m'aperçois que si, dès le commencement. Je m'étais 
adressé aiuc mathématiciens français, la méthode ne serait pas 
tombée dans toubli oii les Italiens Vont laissée. J'envoyai, il y a 
bien longtemps, un écrit en langue française à Poncelet, mais je 
n*en reçus aucune réponse ; je m'adressai à Cauchy {qui approu- 
vait et développait les idées de Saint Venant, comme je vous l'ai 
déjà indiqué, mais sa fin prématurée l'empêcha de s'occuper de 
moi. Je n'eus pas même de réponse de M, Môbius, bien que sous un 
certain point de vue, les équipollences puissent être considérées 
comme une généralisation de son calcul barycentrique ; plus tard, 
il adopta d'autres idées qui m' appartenaient, mais il ne me cita 
jamais : c'est la difficulté de la langue /... 

A propos du grand génie que fut Cauchy et observant la date de 
ses « Exercices d'analyse », // vient d'abord à la pensée que c'est 
lui qui a été l'inventeur des fondements de la méthode des équipol- 
lences. Dans une note de mon « Essai sur l'algèbre des inva- 
riants » j'écrivais : M. Cauchy, dans un post-scriptum à l'un de 
ses Mémoires (Mém. de TAc. d. Scienc. de Tlnst. de France, 1836, 
t. XXII, pag. 131) expose plusieurs des principes fondamentaux 
adoptes également par moi dans cet « Essai » et il déclare com^ 
ment, après mîire réflexion, il trouve favorable de substituer à la 
théorie des imaginaires considérés comme des symboles la théorie 
DBS quantités géométriques exposée par Saint Venant dans son 
Mémoire inséré dans les Comptes Rendus pour ISkô, t. XVI, 
pag. 620. Maintenant, on pourra ajouter ces autres citations: 
Comptes^ Rendus, 3-IX'i8k9, t. XXIX, où Cauchy donne l'his- 
toire de la représentation géométrique des imaginaires et dit 
q u'il lu i semble que le meilleur parti est d'abandonner l'usage de 
l/ — i et de le remplacer par la théorie des quantités géomé- 
triques : « Exercices d'analyse », 1847, t. IV, pag. 157-180. Ces 
citations viennent apporter l'appui, non seulement du raisonne^ 
ment, mais aussi dune autorité indiscutée, à mon avis, que les 
imcLginaires ne peuvent se justifier dans l'algèbre, mais que la géo- 
métrie présente un objet réel auquel on peut appliquer un calcuv 
assujetti aux mêmes règles que le calcul algébrique et qui l'em- 
brasse comme cas particulier. Donc, toutes les fois que le signe â 
s'évanouit, on a une vérité sur les quantités algébriques. 

Vous pouvez aussi remarquer ce qui suit ; bien qu'il soit proba- 
ble que la première idée sur les équipollences soit née en moi en 
observant la manière par laquelle Buée et Argand prétendaient 



104 C. AL AS r A 

REPRÉSENTER LES IMAGINAIRES^ toutefois^je nie absolument quU soU 
possible de représenter ce qui est impossible et absurde ; au con- 
traire^ par un simple signe ^ on peut représenter le rapport très 
réel de deux droites perpendiculaires ; la méthode des équipollen- 
ces est une théorie géométrique qui subsiste en elle-même et qui a^ 
par dessus touty une signification géométrique : en outre, elle est le 
seul fondement d'un calcul qui embrasse le calcul algébrique. Je 
coudrais vous tirer de votre point de vue que la théorie des imagi- 
naires et sa représentation possèdent les deux avantages auxquels 
vous faites allusion^ pour vous amener au mien ;je voudrais aussi 
voir substituer Tordre logique à l'ordre historique. Je vois que 
Mourey s'est également laissé guider par le dernier point de vue 
plutôt que par le premier; par le mien plus que par celui où vous 
vous placez, » 

Il faut remarquer la variété des sujets auxquels M. Bellavitis 
touchait successivement dans sa correspondance, pas tous géo- 
métriques : dans une autre lettre à M. Laisant, datée de décembre 
1874, par exemple, il commence à lui annoncer Tenvoi d'un dis- 
cours sur la logique en ajoutant que c'est son testament philoso- 
phique et que probablement il sera aussi son testament matlfé- 
mathique : il parle encore des solutions de deux questions par les 
équipollences et après, rompant soudainement, il saute à un nou- 
veau sujet: « J'espère que vous resterez toujours dans la foi ortho- 
doxe : nier la théorie des parallèles c'est nier toute la géométrie^ 
nier la seule chose dont nous sommes pleinement convaincus : il 
n'est pas possible de croire qu'il y a des vérités géométriques 
démontrées rigoureusement et de les admettre comme conséquences 
nécessaires des définitions : tout dépend de notre connaissance du 
monde matériel. Nous savons bien peu de chose sur la géométrie à 
deux dimensions ; très peu sur celle à trois; voudrions-nous écha- 
fauder des théories fantastiques sur une chimère dont nous ne pou- 
vons nous former aucune idée ? » Au milieu de ces considérations 
géométriques, s'intercalent, comme dans certaines autres lettres, 
des considérations sur l'actualité politique ; il parle, comme s'il 
s'agissait encore de géométrie, des chances d'un Napoléon IV par 
la volonté du peuple ou d'un Henri V par droit divin ; de la 
régence de l'Espagnole, de l'ascension au pouvoir d'un Rouher, 
connu chez nous par son fameux « Jamais à Rome » ; des grandes 
sympathies des Italiens pour la France, de la fortune de l'Italie 
qui, en grande partie, a été due au caractère et aux paroles de 
l'empereur d'Autriche, son plus grand ennemi. Selon lui, le grand 
bien que les Français ont fait à l'Italie « on ne peut se passer de 
l'attribuer aux deux Napoléon » ; il dit que « Thiers fut toujours 
hostile aux Italiens », etc. C'est ainsi qu'il se reposait des consi- 
dérations mathématiques ! Même quand il ne s'occupait que de sa 
science préférée, il ne s'arrêtait jamais sur un même sujet; mais 



CORRESPONDANCE DE BELLAVITIS 105 

il en touchait au contraire plusieurs; comme exemple, je rap- 
porte, en raison de l'intérêt des questions dont il s'agit, les pas- 
sages suivants d'une lettre que, deux mois seulement avant sa 
morty il adressait à M. Laisant : 

« J* ai parlé moi aussi des centres harmoniques de plusieurs 

points par rapport à un point fixe. Par exemple^ par rapport à un 
point G et à une conique, la polaire est le lieu des centres harmoni- 
ques des points d'intersection de cette courbe ai^ec une droite menée 
par G y et cela aussi quand les intersections sont représentées par 
des points imaginaires communs à la droite et à la conique. Peut- 
être ce théorème pourra-t-il s'appliquer aux courbes d'ordre supé- 
rieur au deuxième. 

Le théorème cité par M. Collignon (pag. kk] était connu de 
Newton, IJéquipollence FM — y* — x + 2^-^ représente une para- 
bole (duplicatrice de la droite) ^ FA ^ — 1 en donne le sommet, et si 
y indique le temps, elle exprime le mouvement d'un corps qui 
tombe (car d'M est constant). Le point N, où la directrice est ren- 
contrée par la normale en M est donnée par 

FN û y» — t -f- 2*5 + (y» + l)(y3 — 1) li _ 2 + y-y» + 3)5. 

Le point S donné par FS — 7 FN est le centre du cercle AFM : 

Newton a^^ait observé que si S est animé d'un mouvement vers le 
ceiitre d'attraction F, en désignant par d les dérivées par rapport 
au temps t donné par 9^ -|- 39 = t, on a 

rfM il 2 y -f â]Jff, rf«M ^ 2(<p -I- 5)£f»f + 2</y*, 

et à cause de 

on obtient aisément par substitution 



<PMSk 



_ 4yiy -f ^) n -2y^ + 2-4y5 ^ _ 2 ^ 



FM 



9(^1 _|- i)« 9|,j,> _|- 1)« - 9(ç« -|_ i|8 9 9r»FM 



formule qui représente l'attraction en rapport inverse du carré de 
la distance FM. Au moyen du centre mobile on peut aisément 
marquer sur la parabole la position rfe M à chaque instant. 

Les recherches de M, Lucas (pag. 25, 35, 36) qui se rapportent 
aux tissus sont pour moi complètement neuves. 

J'avais des doutes sur F absolue généralité du théorème de Chastes 
sur les caractéristiques : je verrai très volontiers ce que M. Hal- 
phen y a substitué, » 



106 C. ALASIA 

Voici maintenant les trois lettres que M. G. Torelli, comme je 
l'ai dit plus haut, a bien voulu m'envoyer; je saisis cette occasion 
pour lui renouveler mes remerciements. 



I. Aux jeunes mathématiciens appartenant à F Association des 

conférences mathématiques ; Naples, 

Vous avez voulu m'agréger à votre Société et je vous ai remer- 
cié par une lettre datée du 19 du mois passé ; je voudrais profiter 
de votre politesse pour venir converser avec vous ; mais pardon- 
nerez-vousà un vieillard le tort d'étudier des choses déjà répétées 
souvent pour vous entretenir de sujets peu intéressants ? 

Des formules se présentent fréquemment qui semblent neuves 
seulement pour avoir été signalées sous une autre forme. J'ai déjà 
parlé de Futilité de la considération particulière des coeflîcients 
du développement des potestés (facultés ou factorielles) 

[x]n = x[X -f- \\\X -I- 2) (X -f rt — 1) 

en puissances, let réciproquement des puissances en « potestés » : 
je désigne ces coefficients par la notation [n)r^ en sorte que j'ai 

x" = M'* — (1 — /,ii[:r]'*-^ + (2 — «)« W"-^ — ... 

Nous avons par exemple, 

[.r]» = X» -h 3r« -f 2jr , 

M- ' = (;,^iH^i2)(x-3 ) = •-"' + (- 3)ix- * + (- 3),x- ^.. 

~~ x^^ x^^ x^ ^ x^ ^ '" 

a:»= [.rj~^ — 3[j:] -f x . 

x-^ = [x]-^ — (4),[xr* -h |5)ita:]-5 _ ... 

= {x\-^ — 6[j:1-" * -h 35[j']-^ — 225[jr]- * -|- 1624[a-l- "^ — ... 

Voici la table des coefficients [n)r qui se calcule par la relation 

(« -f- \)r = [n)r f /l(n)r_i : 



CORRESPONDANCE DE BELLAVITIS 



107 



R 


r— 1 


2 


3 1 


4 


5 


6 


7 


8 


5 


15 


140 


1050 


6951 


42525 




1 


■ 


— 4 


10 


65 


350 


1701 


7770 


34105 


145750 




— 3 


6 


25 


90 


301 


966 


3025 


9330 


28501 


2 


3 


7 


15 


31 


63 


127 


255 


511 


— 1 


1 


1 


1 


1 


1 


1 


1 


1 





1 
2 


1 
12 





-1 

120 





1 

252 





—1 
240 


1 


1 
2 


1 

12 

—5 

12 




• 

1 

12 
—3 

4 


—1 
120 
—1 
120 
19 
120 
—251 
120 




—1 
120 
1 
40 

9 
20 

475 
60 


1 
252 

1 

252 

4 

315 

—221 

2520 

863 

504 

—19087 




1 
252 

1 
84 

— 11 
420 

— 95 
252 
1375 

168 

—5257 

24 


—1 

240 

—1 

240 

19 

5040 

199 

5040 

— 47 

720 

—9829 

5040 

33953 

720 

i070(H7 


2 


1 

3 

6 

10 

15 

21 


3 


2 

11 

35 

85 

175 


4 


6 

50 

225 

735 

1960 


5 


24 

274 

1624 

6769 


6 


120 

1764 

13132 

67284 




504 


7 


720 
13068 
118124 


8 


5040 
109584 




720 


9 


40320 



Comme on a 



(«)i = 



n{n - 1) 



{n)t = 



(3/1 — l)/i(/i — l)(n — 2) 
2.3.4 



_ n{n — i)n(n — l)(/t — 2){n — 3) 
^"'' - 1.2.3.4 ' ••• 

pour r -}- l>/i> — 1, on a aussi (n)r = 0; maïs si nous suppri- 
mons dans ces expressions le facteur qui les annule, nous obte- 

. 1 . 

nons d'autres coefficients que je vais indiquer par - (/i)r, et qui 

sont les termes fractionnaires de la table précédente. Ils se cal- 
culent à partir de 



108 C . ALASIA 

-(1), = -. ^,1).= _, -|,;e = — , -(l). = 2ro' 

1 1 1 ,^ —691 

Ô<^^**-ÏÏÏ2 ' ô**^"- -32720 ' 

et ils dépendent des nombres Bernoulliens. 

Ces coeflicients donnent bien des développements en série, 
comme^ 

Il - ny'" "^ [1 - «]• 



y—^j = ^ + - — -- + - — r.-' + 



-h X A- -— .r -f- p-7 jr ^ 4- etc. 



(-7-)" = 



[1-/1] 

1 4. IzJl^jc 4- -ill^;r« 4- etc 
^ + [14. „]f^ +[14- 'îf ^ 



Par exemple, 

19 



2.1.1. 120 



\ex—\)—'^ 2+2.1 2.1.4 + 

V .r ; ~ ^ [1 4. „|i-^ + [1 + n]«^ [1 -h ;,1»-^ + " - 

/ Jc \"__ , , (1 — n)i (2 - n)t , 
Vlogd 4- .r)/ ~ ' + In - 1]^^ + [/i - 2)^'' + 

Il est facile d'apercevoir que (/?)rest la somme des produits rkr 
des nombres 1, 2, 3, . . . , n — 1, et que [n]r est la comme des pro- 
duits r à r des nombres égaux ou non 1, 2, 3, . . . , n : à ce propos 
les notations usitées dans \e Journal de Mathématiques (de M. Bat- 
taglini) sont, 

Sr,/ = {i + l)r , (Xr,i = (1, 2, 3 .... if = (- «> • 

Ainsi la Quest. 56 du t. IV (page. 344) de cette Revue se réduit 
à une des formules précédentes : M. Sylvester ajoute que [n)r est 
divisible par chacun des nombres premiers qui sont en même 
temps > (r+ 1), > (ai — r — 1) et < (^^ — 1 ) • il est exact aussi, 
que ( — n)r est divisible par tous les nombres premiers qui sont en 
même temps > (r+ 1), >(« — 1), et<(/i + r — 1) Quest. 53, IV, 
pag. 319). Par exemple, ( — 5)3 =: 1050 est divisible par 5 et par 7. 
Je n'en vois pas la démonstration. 



CORRESPONDANCE DE BELLAVITIS 109 

Il n'y a pas lîeu ici de parler des nombres BernouUiens car il 

1 
est plus opportun de considérer les —(l)r compris dans la table qui 

précède, ou bien les *, = !, 0^ = 2,*^ = 16, ôg = 272, 3,o = 7936, 
ôjj =353792 pour lesquels M. Trudi donne la formule 

Il faudrait rechercher s'il existe une autre formule analogue 
pour les nombres ^3=1, ^5 = 5, i- = 61, ^, = 1385, ô^, =50521, 
^^, = 2702765, etc. 

Entre les nombres {n]r existent plusieurs relations : les suivantes 
sont des cas particuliers : 

(n)r — (/i)r-i(r — « -h 1)1 + (/i)r-2(r — 1-1-1)8--.. ..±(r—/i + 1)r = n — r]'' ; 

pour /i=5, r = 3 on a, 

50 — 35 -h 10 — 1 = 24 = [2]« ; 

{n)r — (rt)r— i(r — n)\ -f [n)r — i[r — h\t — -^^ {r — n)r =^ o ; 

50 — 35 . 3 -h 10 . 7 — 1 . 15 = ; 

\n\r— (/î — l|r-i(l — n\i 4- {n — 2)r— 2(2 — n)t— ± {r — tir^o ; 

50 — il . 10 -h 3 . 25 — 15 = ; 

la dernière de ces relations est un cas particulier de 

{n)r {n)r-i(m + 1 )i (/i — 2)r-i(m + 2)t 

7 "•" r. _ir-l, „ii+ro _ir-2, .„ , i ^ '" 



(m -|- Dr (m + /l)r 



H- 



[!__,„ —r]'' [1 _w_ «]»• 



qui présente des particularités quand on y comprend quelques- 
uns des - (n]r . 

Il n'y a pas de doute que la Quest. 48 peut se démontrer aisé- 
ment ; néanmoins, par la méthode des équipollences expliquée 
dans mes « Eléments de Géométrie » dont j'ai l'honneur de vous 
envoyer un exemplaire, on peut en donner une démonstration di- 
recte et sans autres considérations géométriques que celles qui 
sont le fondement de la méthode. Si D, E, F sont les milieux des 
côtés BC, CA, AB, on a, 

AD £^ i (AB + AG) , BE ^ i (BA + BC) , CF ^ ^ (CA -f CB) . 



no C, ALASIA 

et il en résulte (car AB + BA^o , etc.) : 

AD + BE -h CF Û , 

ainsi nous voyons qu'il existe un 
■..,u triangle dont les côtés sont équi- 
pollents ^c*est-à-dire égaux et pa- 
rallèles) aux droites AD, BE, CF. 
C'est l'un des points fondamen- 
taux de la méthode, que la sur- 
face du triangle dont les côtés sont AB, etc. est donnée par 




- (AB . JAC — ;^AB . AC) . 

De même la surface du triangle dont deux côtés sont équipoL 
lents à DA, BE, est donnée par 

^ji(-AB-AC).l(-JABH-rBC) + i(JAB + rAC).Jl--A 

Q: jliiAB -h AC)l2jAB — JAC) -f (JAB -f rAC)(AC — 2AB)| 

û ^ (— *> . AB . rAC -h 3 . AC . VaB) . 

3 
dont la surface est les y de celle de ABC. 

Dans le triangle ADH dont les côtés sont AD, DH ^ BE, HA n CF, 
la droite passant par le milieu de DH est, 

AK ^ î|AD-f AH) ^ ^(AD— CF)^7(AB + AC -|- AC + BC) ^ ^AC ; 
2 2 4 -i 

il en résulte qu'avec les médianes du triangle ADH on formerait 
un triangle semblable à ABC. 

Supposons maintenant que plus généralement D soit un point 
de BC donné par CD ^ /.CB, d'où AD ^ /. AB+(1— /) AC ; de même 
soit AE ^ m, AD ; donc, 



BE £^ m . BC + (1 — m)BA , 
et aussi, comme conséquence. 



B¥ Q:n.BA. , 



CF ^ /i . CA -f- (I — fiiCB . 

Pour que les trois droites AD, BE, CF soient équipollentes aux 
côtés d'un triangle, il faut que AD + BE + CF ^ 0, c'est-à-dire, 

/.AB-|-(1— /)AC + m|AC — AB) + (m~l)AB-|-/i AC-f (1— /i)(AB— ACjl^O, 



CORRESPONDANCE DE BELLA VITIS 111 

ce qui exige que / — m -{-m — 1+1 — /î=0, 1 — l-\-m — n — l-|-/i=0, 
ou l=m=n. 

On trouve ensuite par le calcul même, que le triangle qui a des 
côtés équipoUents aux droites AD, BC, CF, a pour surface (/i*+l 

1 
— n) ABC. Pour n = ^ on est dans le cas examiné ci-dessus. 

Padoue, 7 juillet 1867. 



II. Aux jeunes mathématiciens appartenant à l'Association des 

conférences mathématiques ; Naples, 



Comme je vous Tai dit, certaines choses reviennent sous les 
yeux avec des noms différents : c'est ce qui arrive pour les séries de 
Moivre et d'Euler. Posant 

(A) [x — ai){x — ai) .... (x — an) = x"^ — Aix" "" * -f •••• ± A« , 

les coefficients A,, A,, . . , , An sont des fonctions symétriques des 
n quantités a^y a^, , an', et posant 



(C) î =^-«4-_^+_^+ 



les termes de la série récourrente 1, C,, C,, .... seront nommés 
fonctions symétriques complètes : par opposition nous nommerons 
A,, A«, .... fonctions symétriques simples. On établira ainsi une 

disposition uniforme pour calculer les A^ , A,, . . . . , 2a, 2a^ 

C C 

Les fonctions symétriques de trois quantités seulement c^ =10, 
c,=69, C3 = 410 étant données, on détermine les fonctions simples 
correspondantes A,, Aj, A3 (c'est-à-dire la table de récourrence) 
en observant que 

Il -f Cl f -f Cj<» -h ....)(1 — Alt + At/« — As/») = l : 

nous écrirons dans une première ligne les nombres 1, Cp C,, C, 
et, au-dessous, de nouveaux nombres, de manière que dans chaque 
colonne la somme soit=0, et que les nombres de chaque ligne 
soient proportionnels à ceux de la première ligne : ainsi, 

1 + 10 + 69 + 410 -f- 2261 -f- 11970 , 

— 10 — 100 — 690 — 4100 — 22610 . 

+ 31 4- 310 + 2139 + 12710 , 

— 30 — 300 — 2070 . 



112 C, ALASIA 

et les nombres de la ligne oblique avec les signes alternés nous 
donneront les fonctions symétriques simples, A, ^=10, Aj = 3i, 
A, = 30. Ensuite, poursuivant le calcul de la 5* colonne nous ver- 
rons que le premier nombre sera 2261 =C4, et après avoir écrit 
— 22610, nous trouverons 11970= Cg, etc. 

Quand on connaît les fonctions symétriques simples A, = 10, 
A, =31, A, = 30, si on demande de déterminer les sommes 2tf, 
X/*, 2a^^ etc. des puissancesdes ^r,, a^j,..., on écrira dans une /i]g7ie 

initiale les nombres 1, — A,, -|- A2, — A, qui multipliés par 

0, 1, 2, 3 formeront la première ligne: les nombres des autres li- 
gnes s'écriront de manière que dans chaque colonne la somme 
soit =0, et que les nombres des 2*, 3*, .. . lignes soient propor- 
tionnels à ceux de la ligne initiale 

1 — 10 -}- 31 — 30 

-_ 10 4- 63 — 90 

+ 10 ~ 100 4- 310 — 300 

-f 38 — 380 + 1178 — 1140 .... 

4- 160 — 1600 + 4960 .... 

722— 7220 .... 

+ 3400 .... 



les sommes J£a = 10, 5rt'=:38, JSa'=160, , se liront dans la li- 
gne oblique. Cette disposition de calcul montre que, si au contraire, 
les données étaient les sommes J£a^ 2a} ^ 5«',...., on pourrait aisé- 
ment retrouver les fonctions symétriques simples A, =10, A,=31, 
A, = 30. 

La même disposition de calcul sert pour passer des fonctions 
symétriques complètes 10, 69, 410, 2261,.... aux sommes des puis- 
sances, 10, 38, 160, 722, 3400,..., et réciproquement. Comme exem- 
ple, j'écris dans une ligne oblique les sommes 10, 38, 160, 722, 
3400.... au-dessus de 10 j'écris — 10 à cause de la règle ordinaire 
qui exige que la somme de chaque colonne soit = 0; j'écris dans 
la ligne initiale, après 1, le 10 qui est la valeur de — 10 divisé par 
— 1. Dans la deuxième ligne je pose + 100, à cause de l'autre règle, 
qui veut que les nombres de toutes les lignes, la première exceptée, 
soient proportionnels à ceux de la ligne initiale : au-dessus de +100 
j'écrirai (à cause de la première règle) — 138, qui divisé par — 2 
donnera le nombre -|-69 de la ligne initiale. 



1 4- 10 -f 69 4- 


410 4- 2261 4- 


> ■ ■ • 


10 138 


1230 9044 


1 • ■ • 


10 4- 100 4- 


690 4- 4100 4- 


1 • • • 


38 4- 


380 -r 2622 4- 


• f • 




160 4- 1600 4- 


• • • 




722 4- . 


• • • 



CORRESPONDANCE DE BELLAVITIS 113 

Procédant de la même manière on trouvera toutes les fonctions 

symétriques complètes de la ligne initiale 1 + 10 + ^9+ Si 

celles-ci étaient connues, on formerait la ligne initiale en les mul- 
tipliant par 0, — 1, — 2, — 3,..., et par l'algorithme expliqué on au- 
rait les ia=iO, 5a' =38, 2a^=^ 160. Ce sont des avertissements 
élémentaires mais très utiles dans le calcul numérique, et qu'on 
ne doit jamais négliger. 

Dans le cas particulier de /Zj =1, ûr8=2, . .. ., art=/i les fonctions 
symétriques simples ou complètes sont les coefficients des po- 
testés d'exposant positif ou négatif développées en puissances, 
ou. 

Al = (« -I- 1)1 , Ar = (/l H- l)r , Cl = (— /l)l , Cr = (— «)r . 

Ainsi pour /ii=3 (voyez la table précédente), soit de A, =(4), = 
6, (4), = li, (4), = 6; soit de C, =(— 3),=6, C, = (— 3), = 25, 
C, = (—3), = 90, on déduira 2a = 6, Sa* = 14, 2a^ = 36. 

i — 6 + 11— 6 1-1- 6 + 25 -h 90 -f 301 l-f-6-f25-|- 90 + 301-f-... 

— 6 + 22 — 18 _6 — 50 — 270— 1204 —6 — 36 — 150 — 540... 

+ 6 — 36 + 66 — 36 +6+36 + 150+ 540 +11+ 66 + 275... 

+ 14 — 84 + 154 +14+ 84+ 350 — 6— 36... 

+ 36 — 216 +36+ 216 

+ 98 +98 

La formule (C) et ses analogues donnent dans le cas actuel les 
relations fondamentales, 

(— n)r = (1 — n)r + /l(— /I)r— I , (n -\- i)r = (n)r + n{n\r -^ l . 

I' 

Les quatre formules dont, dans la lettre précédente, j'ai donné 
des cas particuliers, sont 

{n)r (n)r—\{m)i (^)r— alm)! (/»)r (^+y»)r 

^ tl-Ti]'" [i-nY~\i-mY [i-nY-^ll-my "" [l-m]«""[l-m+n]'* * 

t2) (»lr . {n-\)r-\{m)t {m)r _ (m + fllr 

[!_„]'•"*' [l_„]'-'[_,„]i"*" •"• [-,„]'• [-m^nY 

(3i ^^^^ I i^-^)r-U'n-{-\]i (^-2)r-a(m+2)i (m-\-r)r __ (w+/i)r 

[_„]'• [!-.„]'— »[-TO-l]' [2-/1]'*- ^[-m-l]« "*' [-//i-r]'" [-/«-/i]'"* 

{n)r (/l-l)r-l(m+l)i (/i -2)r-2{//l+2)l (m+r)r _ (l>l+/l)r , 

* [^nY [l-,j]'-^[-m]« |2-/i]'-'^[-m-l|« **" [1-m-r]'' [l-w-zi]'"' 

elles donnent quatre expressions différentes de {m + n^r . 

T/En««igiinineiit inathém., R« nnnôe ; I^Of». 8 



114 C, ALASIA 

Si dans (1) on pose /?i = — 1 et si on changée «en 1 — /i, on a une 
formule, donnée par M. Torelli; 

(1 -- n)r (1 — /l)r~l (1 — . n)r-2 J_ _ [— n]r 

Au moyen de la relation 
(le symbole ('J^) équivaut à (J) = -^ — s — ^ etc.) on aura : 



— 2 



+ ((/!)• -h /i(/i - !).« + (<^^)i/i - 2),[«]> + {^^})[aYf-'^+ ... 

formule qui nous donne l'expression de chaque fonction symétri- 
que simple des n quantités «, « H- 1, a + 2, .... , a'\- n — 1, au 
moyen des potestés des (aj: si on développe ces potestés en puis- 
sances, on obtient au moyen de (3j, les expressions des fonctions 
symétriques des puissances des a, c'est-à-dire, 



if» — 3 



Ces dernières expressions contiennent, en outre des coefficients 
binômes ('*')= . » ô • » les seules fonctions 

simples (/i)r des (/i — 1) quantités 1, 2, 3, . . . . , n — 1 , 

Je pense que de cette manière on pourra démontrer les expres- 
sions des fonctions symétriques complètes des a, a -|- 1, a -H 2,.... 
Il resterait à démontrer plusieurs autres relations entre les 
coefTicients (n)rt comme, 

ni 

(n)r — (fl)r — 1(— n)i + (/l)r--2 (— 1)i — .... ± (— «)r = [— nY \ 

[n)r—\n — \]r-\[2^n]i 4- (/i— 2)r-2 (3— /i)j— ....±(r+ 1 - n)r = /Jl\). 
Si dans la première de ces relations nous faisons n :=3, /• = 6, 



CORRESPONDANCE DE BELLAVITIS 115 

tous les termes seront nuls, mais si nous supprimons le facteur 
qui les annule, nous obtiendrons encore (consultez la table de la 
lettre précédente pour les valeurs 

\ 251 

(3)1 = 3. (4), = 6, (4), = 11, (4). = 6, -(4)4 = 



o' '' 120 



ô'^^* = 2-0 ' ô<^'»= Y520-j = 



—4 , — ^ A L *^ n _i_ — ^ A «> —^51 9 — 221 _ 

315"*" "40 •*'"*■ Î2ô""^ ~-^"~^ 12Ô •*'2Ô""252r-'' ' 

ayant eu soin de changer de signes les trois derniers termes qui 
contiennent le facteur nul dans le deuxième facteur [r — n-\- 1), 
avant de faire ce changement dans le premier (/i)r— *. On pourra 
consulter à ce propos une note que j'ai insérée dans les « Annales 
de M, Tortoliniyt^ t. IV, pag. 108, Rome, 1853. 

Padoue, 15 juillet 1867. 



III. ^1 M. Gabriel Torelliy Naples, 

Padoue, 2 septembre 1867. 

Mon ami très estimé, 

La meilleure marche à suivre pour maintenir la correspondance 
c^est de répondre aussitôt qu'on a lu la demande : c'est ce que je 
vais faire pour vous démontrer au moins par mon empressement 
le plaisir que j'éprouve à entretenir avec vous et les autres jeunes 
mathématiciens de l'Association une libre correspondance scien- 
tifique. 

Sans le démontrer ici, il est cei'tain que la formule qui donne 
(n]r contient au numérateur les facteurs n[n — 1) [n — 2)....(/« — /•), 
et vous l'observez aussi en disant que [n)r est divisible par 

n\n — 1)(;i — 2) ... [n — r] 
r. 2.... (r + 1) • 

D'ailleurs, même sans recourir à cette formule, nous avons une 
infinité de manières de calculer les BernouUiens, et de ceux-ci 
dépend la première ligne de la table de ma première lettre, car, 

- (o)r = rBr- 1 
O 



116 C. ALASIA 

La première ligne étant écrite, les autres s'en déduisent au 
moyen de la relation 

n(n)r + («)r+l = (« + l)r+l 

Le meilleur titre des BernouUiens est celui d'être vieux, car 

11 
les coefficients - (o)r = -(l)r font partie d'une table bien plus utile. 

Par exemple, les coefficients dej-^^ 1 se trouvent dans la 

ligne 

3 2 --? 1?. 3l 

4 ' 120 ' 140 

Les trois premiers termes du développement sont 

^ ^ [- 2Y ^ [— 2]»'*' " ^ -2 ^ 2 . l"^ • 

le numérateur (S), s'annule ; mais comme dans le dénominateur 
nous avons les facteurs ( — 2) ( — 1) (0), en supprimant haut et bas le 
0, il reste. 





continuant, 


on 


a, 




o^ '" 


J-« 


^— 


V 


et. 


(- 


-2)(- 


ir 


2 ' • 






• 


19 

130 

t 


p« 


At onc< 


^rA 




7'3)' 



(— 2)(— l)(lf — 2"^ ' ' (—2)(— 1)1.2"^ "~ 2.2"*^ ' ^^^' 

I 

Ce passage des (n)r aux -[n)r se présente dans les développe- 
. — -7--^^ — ) pour [n) entier et positif. 

Possédant les tables des (n)r et des -(/i)r , on a des occasions 

très fréquentes de les employer. Du reste ces développements 
sont connus. 

La formule que vous écrivez 

se réduit à 

1 11 

-(r)r + /i = (r)r-l-(l)n + (r)r-2- (l)n + l + .... 

On a par exemple 

i(3)« = (3)4(1). + (3).i(l). +1(1). = =-^ + 4 • 



CORRESPONDANCE DE BELLAVITIS 117 

Il y a certainement un grand nombre de relations de ce genre. 
J'ai vu dans votre Mémoire la démonstration que je demandais : 

je vous fais observer que ( — 4), = 65 n'est pas divisible par ' ' 
= 20 et par conséquent {^—n)r n'est pas divisible par 

(n + r)(n + r - 1) .... {n + i)n 
1.2.3 .... (r-f 1) 

Je ne peux pas comprendre que pour l'étude de la mathémati- 
que, on pense, en Italie, à abandonner Naples, où on trouve aussi 
une école d'Ingénieurs. Naples est pour la mathématique le Paris 
de l'Italie. L'Institut technique de Milan me parait bon et je ne 
peux penser qu'on cherche à le supprimer ou à le réduire. Celui 
de Turin sera bon, et peut-être pour un jeune homme sera-t-il 
plus approprié que celui de Milan ; mais mon opinion est lancée 
avec peu de fondement et vous ne devez pas en tenir compte. Je le 
répète, pour étudier les mathématiques, le meilleur est de rester à 
Naples. 

. . .Votre bien dévoué 

G. Bellavitis. 



Ces quelques lettres que j'ai reproduites presque intégralement 
montrent suffisamment combien est intéressante la correspon- 
dance de ce savant et fécond mathématicien qui s'est appelé Giusto 
Bellavitis. 

C. Alàsià (Tempio). 



UNE LEÇON SUR LA GEOMETRIE DE L'AJUSTAGE 



Cette leçon sur la géométrie de Tajustage est la troisième 
d'un enseignement d'initiation. 

Résumons d'abord sommairement les idées et les faits qui 
la précèdent. 

Dans une première leçon ont été exposés les faits primitifs 
de la géométrie, faits que la raison accepte et qui dérivent, 
à n'en pas douter, des expériences des muscles et des yeux 
de nos ancêtres, répétées par nos propres organes et affir- 
mées sous les vocables Ae principes ou de postulats. 

L'expérience que nous avons vécue, dans notre contact ré- 
pété avec les corps solides nous a suggéré la notion de corps 
rigides^ amorphes d'ailleurs et possédant un ensemble de 
points, mais déterminés dans leurs situations par rapport 
aux corps rigides voisins par les situations de certains de 
leurs points. 

Par exemple, on peut clouer un corps rigide par deux de 
ses points sur un autre corps rigide, à l'égard duquel le pre- 
mier se déplace ; ce dernier, par rapport au premier, joue le 
rôle d'espace. 

L'expérience nous suggère qu'on peut toujours lier alors 
au premier corps rigide d'autres points formant une ligne 
et qui, immobiles^ resteront communs au premier corps rigide 
et au second; alors, le premier corps rigide ne pourra plus 
prendre qu'une sorte de déplacement^ en sorte que si on lui 
impose la condition de passer d'une position à une autre 
sans jamais repasser par les positions intermédiaires avant 
de revenir à sa position de départ on définira d'une manière 
complète un seul déplacement possible en deux sens diffé- 
rents; naturellement on ne considère ici que Tordre des 
situations rencontrées et non pas le plus ou moins de rapidité 
dans leurs successions; ce déplacement est une rotation. 



LA GÉOMÉTRIE DE L'AJUSTAGE 119 

La ligne des points fixes, commune au corps en mouve- 
ment et à l'espace environnant est une droite ou encore un 
ajce de rotation. 

Les propriétés suivantes complètent la définition de la 
droite. 

1** Après superposition préalable de deux couples conve- 
nables de leurs points, deux droites peuvent être superpo- 
sées Tune sur l'autre de deux manières différentes. 

2® Toute droite n'est prolongeable que d'une seule ma- 
nière ; et tout point de la droite est accessible par un chemi" 
nement fini sur la droite. 

3** Toute droite est définie en situation parles situations de 
deux de ses points, pourvu toutefois que ces deux points, 
appartiennent à une portion de droite déjà existante et dont 
l'étendue ne dépasse pas une certaine portion assignable de 
droite, que nous nommerons la distance réduite. 

Dans la géométrie de la droite ouverte, on verra plus loin 
que la distance réduite est infinie. 

4** Si A et B sont deux points suffisamment rapprochés 
d'un même point O, ces deux points sont aussi Joignables 
par une portion définie de droite moindre que la distance ré- 
duite et que nous appellerons AB, et si on considère alors 
les droites que l'on peut définir par la jonclion de O aux dif- 
férents points de la portion AB, ces différentes portions de 
droite moindres que la distance réduite formeront un en- 
semble de points, que l'on nomme une trame triangulaire ; 
la propriété essentielle d'une trame triangulaire est de rester 
inaltérée par la permutation des rôles joués par les points 
O, A, B. 

On définit ainsi l'intérieur du triangle AOB ou un morceau 
de plan ; et on en déduit, tout au moins dans un domaine 
suffisamment réduit la distinction des deux régions d'une 
trame à l'égard d'une droite joignant deux points de la trame. 

5** L'extension de la trame triangulaire autour d'un point 
O, dans une trame plus étendue, à l'intérieur de laquelle se 
trouve le point donne la notion des angles plans dont la 
propriété essentielle sera de pouvoir se reproduire ^^t glis^ 
sèment et renversement. 



120 J. ANDRADE 

&* La rotation d'une trame autour d'une droite de cette 
trame passant par O épuise tous les points de Tespace qui 
peuvent être dans le voisinage du point O ; en d'autres ter- 
mes, la position d'un point sur une droite étant définie par 
un seul renseignement quantitatifs la position d'un point 
d'une trame sera définie par 2 renseignements quantitatifs, 
et enfin la position d'un point de l'espace sera définie par 3 
renseignements quantitatifs. 

En d'autres termes la droite est un ensemble à une dimen- 
sion, la trame est un ensemble à 2 dimensions, et l'espace 
est un ensemble à 3 dimensions. 

1^ Si deux trames ou plans ont un point O commun ils ont 
une droite commune passant par ce point. 

Avec ces premières données, la deuxième leçon de la géo- 
métrie naturelle construit la théorie de Tangle droit, les cas 
d'égalité des triangles quelconques et des triangles rectangles 
formés dans le voisinage d'un point 0, et enfin les propriétés 
essentielles de Tangle trièdre et des angles polyèdres. Après 
avoir rappelé ces propriétés classiques des trames triangu- 
laires, nous allons nous servir de celles-ci comme de vérita- 
bles ponts jetés d'une figure à l'autre et obtenir la notion des 
deux déplacements fondamentaux d'un solide. 
Sans insister ici sur les détails de démonstrations connues^, 
nous soulignerons au contraire les idées propres à la géo- 
métrie nouvelle. 

Théorème /. Si une droite passant par un point d'un plan 
P est perpendiculaire à deux droites distinctes menées par O 
dans ce plan elle est perpendiculaire à toutes les droites issues 
de O dans ce plan. 

(Démonstration bien connue). 

Définition; une telle droite est dite perpendiculaire au 
plan P. 

Théorèmes II: 1** Pour mener d'un point I situé hors d'un 
plan P une droite perpendiculaire à ce plan il suffit de pro- 
jeter 1 en H sur une droite XY du plan P, de mener dans P 
et par H la perpendiculaire HZ à XY puis de projeter I en O 
sur HZ; O est dit la projection de I sur P. 

2® Réciproquement pour projeter un point I sur une droite 



LA GÉOMÉTRIE DE L'AJUSTAGE 121 

XY de P il suffit de projeter I sur le plan P en O puis de pro- 
jeter O sur XY. 

(Démonstrations connues), 

Corrollaires : 1® par un point 1 on peut toujours mener une 
perpendiculaire au plan P et une seule; tout au moins si le 
point I est dans un suffisant voisinage d^un point du plan. 

2^ Par un point O d'un plan on peut toujours élever une 
droite perpendiculaire à ce plan et une seule. 

3** Par un point O d'une droite on peut toujours mener un 
plan perpendiculaire à une droite et un seul. 

4*^ Quand une droite coupe un pian P en O les projections 
de ses points sur ce plan forment une droite et la perpendi- 
culaire à cette projection menée par dans le plan P est 
perpendiculaire au plan qui contient la droite et sa projec- 
tion (plan projetant). 

Remarque, — La démonstration connue des corollaires 
2* et 3** des théorèmes II repose sur le postulat 7 énoncé plus 
haut; il est intéressant d'observer que ce postulat 7 peut être 
remplacé par ce postulat équivalent: 

<c Qand un solide tourne autour d'une droite, tous les demi- 
ce plans du solide qui passent par cette droite et qui sont 
<K entraînés dans le mouvement du solide se rabattent en un 
a même instant sur les prolongements respectifs de leurs 
« primitives situations. » 

Adoptons en effet ce postulat, ou principe du demi-tour et 
proposons nous d'en déduire le postulat 7. 

Soit 01 une droite perpendiculaire au plan P menée par le 
point O de ce plan ; soient OÂ et OB deux droites distinctes 

du plan P ; concevons l'angle AÔB partagé en 3 parties égales 
par les droites OC et OD intermédiaires; considérons un 
solide lié à OA, OC et 01; faisons tourner ce solide autour 
de OC de manière que l'angle AÔC se renverse sur l'an- 
gle COD; d'après ce postulat du demi-tour, la droite 01 
après ce renversement est venue sur le prolongement de sa 
position primitive; donnons ensuite au solide une rotation 
autour de OD de manière que l'angle COD se renverse sur 
l'angle DOB, la droite 01 reprend alors sa situation primitive. 
Si donc une autre droite OJ perpendiculaire au plan P et 



122 y. ANDRADE 

4ssue de O existait les deux déplacements considérés la réta- 
bliraient elle aussi dans sa situation primitive; dès lors le 
déplacement qui finalement a fait glisser AÔC sur Tangle 
DOB aurait laissé immobiles les deux droites 01 et OJ ce 
qui est impossible d'après les autres postulats. 

Donc par le point on ne peut mener qu'une perpendicu- 
laire au plan P; on en conclut immédiatement que par un 
point d'une droite on ne peut mener qu'un plan perpendicu- 
laire à la droite; et de là enfin on conclut que si deux plans 
ont un point commun ils ont en commun toute une droite qui 
passe par ce point, c'est-à-dire précisément le postulat 7. 

Inversement, la théorie du dièdre nous montrera tout à 
rheure que le postulat 7 fournit à son tour lé principe du 
demi- tour. 

Définitions, — Nous appelons angle dièdre la figure for- 
mée par l'ensemble de deux demi-plans réunis par une droite 
commune qui limite les deux demi-plans considérés. Cette 
droite commune se nomme Varête du dièdre ; les demi-plans 
que nous n'envisagerons d'ailleurs que dans le voisinage de 
Taréte.se nomment les faces du dièdre. Si par un point de 
Tarète on mène dans les deux faces respectivement deux 
droites perpendiculaires à faréte, on forme dans un plan 
perpendiculaire à cette arête un angle plan que nous nom- 
merons : un angle rectiligne. 

Théorème III. — Tous les angles rectilignes d'un dièdre 
sont égaux. 

Nous partagerons la démonstration en 2 parties : 

1" Si un angle rectiligne d'un dièdre est droit, tous les 
angles rectilignes sont droits. 

2** Deux angles rectilignes quelconques d'un même dièdre 
sont égaux. 

La première proposition est une conséquence du corollaire 
4 des théorèmes II : 

En effet soit O H la projection de I H sur le plan P ; la 
droite J H menée dans le plan O I H perpendiculairement 
à O H est (Th. II, corol. 4) perpendiculaire au plan P, en 
sorte que O H est aussi la projection de O J. 

Le plan qui projette à la fois sur P les deux droites O J et 



LA GÉOMÉTRIE DE L'AJUSTAGE 123 

I H forme avec le plan P un dièdre dont les deux angles rec- 
tilignes I O U et J H X sonl droils, d'après les théorèmes 2. 

Enfin la seconde proposition résulte de la remarque fonda- 
mentale suivante : 

Considérons deux dièdres «rf/ûce/i/^c'est-à-dire ayant même 
arête el séparés par une face commune ; en deux points O et 
O' de Taréte formons des angles rectilignes <^:; A et <^:; B en 
O. <t: A' et <^ B' en 0', les angles rectilignes <^: A et < B 
seront dans le même rapport que les angles rectilignes <^:; A' 
et < B'. 

La démonstration s'achève immédiatement par la considé- 
ration d'une commune mesure entre les deux rectilignes de 
même sommet et par les rotationîs successives qui font glisser 
sur O chaque partie aliquote sur la suivante. 

Cette remarque rapprochée de la l""' partie de la démons- 
tration établit la seconde partie du théorème 3. 

Définition. — Nous appellerons mesure de Tangle dièdre, 
la valeur commune de ses angles rectilignes. 

Théorème IV. — Quand une figure plane faisant partie d'un 
solide glisse dans son plan P en conservant un point fixe O, 
ce mouvement équivaut à une rotation autour de la perpen- 
diculaire élevée de O sur le plan P. Ce théorème est une sim- 
ple conséquence des corollaires des théorèmes II. Mais la 
forme de cette conséquence est importante à considérer. 

Corollaire. — En rapprochant ce théorème du théorème 3 
nous voyons que dans une rotation tous les plans passant par 
Taxe de rotation tournent du même angle ; et en particulier 
nous retrouvons le principe du demi-tour déduit du pos- 
tulat 7. 

Théorème V. — Etant donnée une droite A B de Tespace 
cette droite est Taxe de deux mouvements simples pour un 
solide. 

I** Une rotation autour de la droite. 

2^ Un glissement ^mple du solide, dans lequel tous les 
plans du solide qui passent par A B ne font que glisser sur eux- 
mêmes en même temps que la droite A B du solide glisse sur 
elle même. 

Ce dernier mouvement s'appelle une translation^ la droite 



124 /. AND RADE 

de Tespace sur laquelle glisse alors la droite du solide se 
nomme Vaxe de la translation. 

La première partie de ce théorème est évidente, la secon- 
de est une conséquence de Tégalité des angles rectilignes 
d'un dièdre. 

La leçon donnée à des débutants peut se terminer ici ; à 
des élèves plus mûrs qui révisent on peut donner les com- 
pléments qui suivent : 

Droite ouverte ou droite fermée ; Symétrie. 

Après cet exposé des conséquences des postulats déjà ex- 
posés il nous reste à spécialiser les modes de jonction de 
points par des droites. 

En cheminant sur une droite D à partir d'un point O, nous 
^vons admis qu'on rencontrait d'abord et sur une étendue finie, 
des points qui ne sont Joignables à O que par une seule droite. 

Dès lors, de deux choses l'une: ou tous les points de D 
auront la même propriété et il en sera de même de toutes les 
droites de l'espace, ou bien en cheminant dans un certain 
sens sur D, on rencontrera tôt ou tard et pour la première 
fois un point O' joignable à O par une seconde droite D'. En 
rabattant le plan P des deux droites D' et D autour de D' 
nous trouverons une seconde droite D" égale à D qui joindra 
O et O', mais alors on peut aussi amener D" sur D par une 
rotation convenable autour d'une perpendiculaire à P élevée 
de O ; mais alors O' n'ayant pas bougé par cette rotation 
appartient à l'axe de cette rotation , ainsi la perpendiculaire 
A ail plan P en O recoupe le plan en 0') le plan de cette per- 
pendiculaire et de la droite D étant rabattu autour de A 
nous montre alors que la droite D est fermée etque les points 
O et O' la partagent en portions égales. 

En désignant alors par L le demi-tour de la droite on voit 

L 

que toute droite est le lieu des points équidistants de -^ de 

l'un des deux points où se coupent les perpendiculaires à la 
droite menées dans l'un des plans passant par la droite, ces 
points sont les pôles de la dl'oite dans le plan considéré. Si 
un point M d'un plan n'est pas le pôle d'une droite D de ce 



LA GÉOMÉTRIE DE L AJUSTAGE 125 

plan, il y a alors deux distances réduites du point M à la 
droite ; mais Tune ou l'autre de ces distances étant prolongée 
d'une longueur égale fournit un même point M\ en d'autres 
termes si les distances d'un point à une droite fermée sont 
au nombre de 4, ce point n'a cependant qu'un seul symétrique 
par rapport à la droite. 

Dans cette géométrie de la droite périodique ou fermée 
sur elle même il convient de ne donner le nom de triangle 
qu'aux triangles propres c'est-à-dire à ceux dont les côtés 
sont moindres que L et leurs angles opposés moindres que 
2 droits. L'existence de ces triangles sera assurée par l'étude 
des angles trièdres faite d'abord dans un voisinage suffisant 
du sommet puis par l'étude de la sphère ; la théorie du diè- 
dre faite dans cette leçon nous montre qu'alors deux triangles 
sphériques qui sont les images sphériques d'un même triè- 
dre ont les mêmes angles ; comme dans la géométrie de la 
droite fermée le plan est une variété de sphère, la remarque 
faite sur les triangles propres est justifiée. 

Ces dernières considérations qui anticipent sur la qua- 
trième leçon de la géométrie de Tajustage n'ont dans la géo- 
métrie de la droite fermée d'autre intérêt que celui de pré- 
parer pour cette géométrie la formation des propriétés mé- 
triques et la mesure des étendues qui constitue l'étude du 
second livre de la géométrie naturelle. 

Nous exposerons, pour terminer, les lois de la symétrie, en 
nous limitant pour abréger à la géométrie de la droite ou- 
verte. 

LOI DE LA SYMÉTRIE 

Définitions. — Nous appellerons point symétrique d'un 
point donné M par rapport à un plan P le point M' obtenu 
en menant de M une droite perpendiculaire sur P et la pro- 
longeant d'une longueur égale. 

De même le symétrique d'un point M par rapport à un point 
O est le point M" obtenu en joignant M à O par une droiie 
que l'on prolonge d'une quantité égale au delà de O. 

On définira de même les figures symétriques d'une figure, 
ensemble de points. 



126 /. ANDRADE 

Théorème VI, — Soit O un point d'un plan P et soit F une 
figure ensemble de points soit F' la figure symétrique de F 
par rapport à P et F" la figure symétrique de F par rapport 
au plan P les figures F' et F" sont superposables. 

Démonstration. — Soit M' le symétrique d'un point M de 
F par rapport à P et M" le point symétrique de F par rapport 
au point O soit H le pied de la perpendiculaire menée de M 
sur P; M = O M' (obliques s'écartant également du pied de 
la perpendiculaire O H.) 

La droite O H eôt donc bissectrice de Tangle M O M' ; 
dans le triangle isocèle O M' M" la droite qui joint le som- 
met O au milieu ] de la base M' M" est perpendiculaire à 
celte base en même temps que bissectrice de Tangle M" O 
M', mais les deux bissectrices des deux angles adjacents 
supplémentaires M" O M' et M' O M sont perpendiculaires 
Tune sur Taulre ; d'ailleurs la droite qui, menée dans le plan 
projetant O M sur P est perpendiculaire à la projection O H, 
est perpendiculaire à P. 

La droite I est donc indépendante du point M choisi, 
donc les figures F" et F' coïncideront quand on donnera à 
Tune un déplacement de un demi-tour autour de O L 

Dernière remarque. — Toutes les propriétés qui précè- 
dent, complètent avec la théorie du triangle plan et, avec celle 
des triangles sphériques envisagés sur une même sphère la 
partie de la géométrie qui est indépendante du postulatum 
d'Euclide. 

La géométrie indépendante du postulatum d'Euclide peut 
être appelée la géométrie de Tajustage, car elle est l'étude 
des propriétés de Tespace qui permettent la reproduction 
d'un solide donné. 

Ce problème revient en effet à des assemblages de barres, 
à des réalisations de rotations, de translations d'axes déter- 
minés et à la matérialisation d'au moins une trame. 

Limitée à la géométrie de la droite ouverte cette géométrie 
de l'ajustage a déjà (ait l'objet d'une partie de mon enseigne- 
ment à l'école alsacienne, dès 1889. 

Jules Andràde (Besançon). 
Décembre 1905. 



PROPRIETES CORRELATIVES DU PENTAGONE ET 

DU DÉCAGONE RÉGULIERS 



Les malhématiques ne sont, en général, envisagées parles 
élèves de nos collèges que comme une science dont Tétude 
offre beaucoup de difTicultés mais fort peu d'attraits; et Ton 
voit souvent des jeunes gens inca|)ables de progresser dans 
cette branche lors même qu'ils font preuve d'une grande 
facilité de compréhension et d'assimilation. La cause de 
cette répugnance provient peut-être du fait que dans rensei- 
gnement la valeur éducative des mathématiques ne produit 
pas ses effets, qu'il est donné beaucoup trop de place à la 
reproduction passive d*énoncés et de démonstrations et que 
rélève est pour ainsi dire enserré dans une discipline qui 
lui enlève la faculté de se développer par lui-même et de 
s'intéresser ainsi d'une manière plus active à cette partie 
des études secondaires. En lui accordant sous ce rapport plus 
de libertés et en lui permettant de se livrer à des recherches 
personnelles, on pourrait parvenir au but désiré. Le maître 
devrait surtout orienter ces recherches du côté de la géo- 
métrie, science qui, par son caractère parfaitement dé- 
fini, peut procurer beaucoup de satisfaction à ceux qui l'étu- 
dient. 

C'est dans le but de fournir un exemple à l'appui de cette 
manière de voir que l'auteurs'estproposédemontrercomment 
fonctionne le principe* des corrélations d'éléments analogues 
dans le pentagone et le décagone réguliers. 



* Ce principe est à notre connaissance très peu observé dans renseignement bien qu'il 
soit souvent applicable avec fruit. Ainsi, s'agit-il de transformer un triangle donné en un 
triangle équilatéral de môme surface, on construit des triangles équilatéraux sur les côtés 
«, 6 et r du triangle donné, aussi bien à l'intérieur qu'à l'extérieur de ce dernier. Les points 
milieux de ces triangles équilatéraux lorment eux-mêmes des triangles équilatéraux dont 



128 



F. REDL 



Représentons par /• (voir figure) le rayon du cercle, par s^ 
le côté du décagone, par s^ celui du pentagone, par s^ celui 

du décagone étoile, en- 
fin par ^4 la diagonale du 
pentagone. On vent dé- 
montrer que^, et.ç,d*une 
part, ^2 et s^ d'autre part 
jouent le même rôle dans 
les relations déduites de 
la figure. 

Soient MN et 1 1 deux 
diamètres perpendicu - 
laires ; IIV une corde 
parallèleau diamètre MN 
et représentant une dia- 
gonale du pentagone ; 
sa longueur est donc 
égale à s^ ; elle est divi- 
sée en p par le rayon 
01 en deux parties éga- 
les; les angles IIOP et 
011/7 valent respective- 
ment 72° et 18"^. Repliant 
le triangle WOp autour 
de \\p on obtient le tri- 
angle isocèle OlIP, dans 
lequel OU = PU = r ; 
Tangle compris entre ces deux côtés est ainsi égal à 36°, de 




nous représentODB les côtés respectivement par D et d. En désignant par S la surface da 
triangle donné, nous avons les relations : 

3 O 

par addition de ces relations on a : 

ls/r=D«— rf«, d'où S = 2^(D«-rf«). 



Pour le côté du triangle cherché, nous obtenons l'expression j = / U* — <fl qu'il est facile 
de construire. 



PENTAGONE ET DÉCAGONE RÉGULIERS 129 

sorte que la base de ce triangle est le côté s^ du décagone; 
d'où la relation : 

Soit encore de Taulre côté de MN la corde III IV parallèle 
à la droite MN et égale au côté s^ du pentagone (comme on 
le remarque facilement les points I à V sont les différents 
sommets d'un pentagone régulier). Si l'on désigne par q 
l'intersection de III IV avec II et si l'on replie le triangle 
OlIIgautourdu côté Ill^.on obtient le triangle isocèle OIIIQ 
dans lequel IIIO = IIIQ = /■ et l'angle OIIIQ mesure 108°. 
La base OQ de ce triangle est donc le côté s^ du décagone 
étoile et Ton en déduit : 

formule analogue à I. 

On remarque également d'après la figure que l'angle IIIP 
est égal à 4 X 18° c'est-à-dire à 72° ; mais comme l'angle OPIl 
a la même valeur, le triangle PlII est isocèle et Ton a : 

lit = *j,.= r -I- 5, . III 

Les triangles OIIP et IIIP ayant tous leurs angles respec- 
tivement égaux sont semblables ; on en déduit : 

s^ \rznr i [r -^ s^\ , IV^ 

et, en tenant compte de la relation III 

De ces deux dernières relations il résulte que : 

(r — 5,1 : «1 = 5, : r , v^ 

«, : r = (r -h 5,1 : jfj, , V^ 

ce qui donne pour ^^ et s^ les valeurs : 

^ = J(j/5--1) et ^=^(^/5 + 1). VI 

et par addition _ 

PQ = s, -f 5, = r j/5 . VII 

L'EBMigoement mathém., 8* année ; 1906. '•> 



130 F, REDL 

On pourrait obtenir directement cette valeur en considé- 
rant les relations III et IV^; la relation III donne : 

r« = (5, — Sj)« = .v] — 2«,5, + *| 

et avec IV^ 
d'où 

5;-» = (s, + A-J« . 

La considération de la figure nous conduit également au 
même résultat. En effet la proportion IV^ a montré* que les 
côtés de Tangle droit des triangles MOP et MOQ sont pro- 
portionnels ; ces triangles sont donc semblables, Tangle 
PMQ est droit et si m désigne le milieu du rayon 01, on a : 

PQ = 2mM . 

D'autre part dans le triangle OMw, on a : 

«, -h A, = PQ = r ^/6" . 

I 

puis, en tenant compte de la relation III on obtient 

r /5"r= r + 2sj = 2.v, — r . 

La relation IV^ combinée avec III ou VII donne : 



d'où 



\ — 35j 5, -h *! = O . VIII 



.Vj 5, = r* . IX 



Le théorème de Pythagore appliqué aux triangles OMP, 
OMQ et PMQ conduit à la relation : 

qui avec IX équivaut à VII 



1 La théorie de la puissance d'un point par rapport à un cercle nous conduit aussi à cette 
proportion. En effet, soit sur la circonférence 0,5 le point diamétralement opposé à V, les an- 
gles 5III0 et QIIIO sont respectivement égaux à 73^ et 108^, les points Q,IU et 5 sont donc 
situés en ligne droite et l'on a : 

Q5 =: QO = *, = r + 5j . 

Mais comme Q^ = «j, il résulte quo : 

*i Cl + 2'*) = '• f + *,) «t w "" '■} ('• + '•j = V ■" '^ = ''•'• • *^*^- 



PENTAGONE ET DÉCAGONE RÉGULIERS 131 

Si Ion soustrait cette égalité de II, puis de I, on a : 

relations qui mettent bien en évidence la correspondance 
qui existe enlre les quantités s^ et s^ d'une part et .ç^ et s^ de 
l'autre. On voit maintenant d'une manière claire que FM et 
QM représentent le côté et la diagonale du pentagone régu- 
lier ; mais une voie purement géométrique peut de même 
nous l'indiquer. Traçons en effet de M, P et Q comme centres 
trois circonférences de rayon r; puis, désignant par S^ et S, 
les intersections des circonférences P et Q avec la circonfé- 
rence M, menons les sécantes PSi et QSb et appelons Tj et T^ 
les secondes intersections de ces sécantes avec la circonfé- 
rence M. Des égalités IV^ et IV^ on déduit : 

S,Tj = .V, et SJT, = s, : 

il en résulte que les angles SiMTj et SgMT, valent respecti- 
vement 36*^ et 3 X 36° = 108° ; mais comme les côtés égaux 
des triangles isocèles S^MP et S,MQ ont pour longueur /• et 
que les angles compris entre ces côtés valent 72° et 144°, il 
est ainsi prouvé que PM = .Vg et QM = s^. 

Des résultats obtenus jusqu'à maintenant, on peut conce- 
voir, par l'emploi de deux compas, une construction du 
pentagone régulier, construction dans laquelle les points P et 
Q jouent un rôle symétrique; ce procédé * conduit facilement 
et rapidement au but. Nous allons l'exposer très brièvement. 

Après avoir tracé le cercle O et dans ce <*ercle les deux 
axes perpendiculaires MN et II, on détermine le point m, mi- 
lieu du rayon 01 ; on porte sur le diamètre II avec Taide 
d'un second compas le segment wM de part et d'autre de/w, 
ce qui donne les deux points P et Q; puis, de P et Q comme 
centres on décrit deux cin'onférences de rayon /•; les inter- 



' Cette note était entre Us mains de la Rédaction de cette Revue depuis un an^ lorsçu'en 
novembre 1905 j'ai eu connaissance de ta construction publiée par M. H. BonRKHTiiitT 
(braanschweig) dans le n* 3 des Unterrichtshlâtter fdr Mathem. u. Phvs., t. X. Uauteur 
désigne U procédé comme construction géomètrographique et celle-ci ne diffère de la mienne 
qu'en ce qu'elle fournit les points ¥ el Q de la division en moyenne et extrême raison pcw la 
méthode donnée dans la Géométrographie de Lomoine, Scientia, { XLIII, 3. Qu'il me soit 
permis Rajouter que j'ai trouvé la construction ci-dessus d'une façon indépendante il y a 
déjà plusieurs années. 



132 F, REDL 

sections de ces dernières avec la circonférence précédente 
nous donnent, avec le point I, les sommets du pentagone. 
Cette construction peut être facilement modifiée comme suit: 
on trace la tangente en N à la circonférence O, on projette 
sur cette droite les points Pet Q en Pj et Qj ; on relie ces 
derniers points avec M par deux droites qui coupent le dia- 
mètre H en/? et q; les perpendiculaires à ce diamètre par 
les points/? et q déterminent sur la circonférence les 4 som- 
mets cherchés. Cette modification ne rend pas nécessaire 
l'emploi du second compas, et la simplicité du procédé n'est 
en rien atténuée; elle offre en outre une certaine liaison 
avec la construction élégante donnée par Staudt dans le 
a Journal de Crelle » (vol. 24) et qui outre le cercle néeessiste 
seulement une équerre. 

Désignons par x ei y les intersections du cercle avec 
les droites MP^ et MQi et prolongeons la corde j?^ jusqu'à 
ses rencontres en B et A avec les tangentes en M et N ; il est 
alors facile de voir que les droites iVA et MB ont respective- 
ment pour longueur /• et 4r. En effet: les angles AorPj, BMy 
et AQi^ sont égaux, les triangles A.rPi et AQjy sont donc 
semblabes, d'où la proportion : 

Kx : (AN + «,) = AP, : A;^- 

et Fégalité 

\x • Ar =ÂN^ = (AN — 5j) (AN + .v,) . 
ce qui donne 

5,.V, = (S, A*j)AN . 

ou encore 

.V, (r -f 5j) = r . AN , 

En comparant ce résultat avec la relation IV^ on a : AN = i\ 
Des triangles également semblables \xF^ et BxM on déduit : 

AP, : BM = xPj : xU . 
d'où 

(r — *j) : BM = xP, . MPj : j-M • MP, = «| : 4r« . 

Puis, tenant compte de la relation 

.-»! = r(r— .V,) 



PENTAGONE ET DÉCAGONE RÉGULIERS 133 

déduite de IV^ on conclut que : 

BM = 4r . 

Nous voyons par là qu'après avoir déterminé sur les tan- 
gentes en N et M les points A et B, on obtient les points .r, y 
en coupant la circonférence par la droite AB et les points 
Qi» Qt Pli p en menant les droites My, M.r. La construction 
qui vient d'être exposée est celle qu'on emploie en général 
lorsqu'il s'agit de résoudre une équation du second degré à 
Faide d'un cercle fixe et de la règle ; elle est également à la 
base de l'adjonction apportée par Staudt dans l'article cité 
plus haut à la méthode de Steiner et Poncelet pour la con- 
struction du polygone régulier de dix-sept côtés. 

Dans le triangle rectangle MPQ, on a : 

*j = 5j • r/ô" et 5^ = 5, . rVT , XI 

puis, multipliant membre à membre ces égalités et tenant 
compte de IV^, on obtient : 



s, 



, : 5^ = r»/r . XII 



relation analogue à IX. 
Mais de X on déduit : 

»| -f- s] = 5r» , 

de sorte qu'on a 

d'autre part les égalités XI montrent que : 

relation qui, jointe à la troisième des égalités XIII, donne : 

s^ = '^ 1/5"+ i) , 5, = ^* (/F- t) ; XV 

on en déduit, à l'aide des relations XIV, les valeurs de s^ et s^ 
exprimées en fonction du rayon r. On a, par exemple : 

s^=^ ^/lO ■+■ 2/5" . 



134 F. REDL 

D'aulre part XIII donne par addition : 



ce qui fournit à Télève un exemple de la décomposition d'un 
radical double en deux autres. 

On voit par les expressions XV(comparées aux relations VI)» 
comme aussi par la similitude des triangles III 01 et III IV I, 
que les longueurs s^ et s^ jouissent des mêmes propriétés 
que s^ et /• ou r et s^ ; elles peuvent en conséquence servir 
à construire le pentagone régulier dont le côté est donné. 

Si nous continuons nos recherches, nous voyons que, par 
division, les égalités XI donnent : 



et de là 



^1:5] = *^ : .9,= (/5- t) : 1/54- i) 



XVI 



s , V 5 + 1 « 3 + >/h 

1 , /5 - 1 ,3-/3" 

" ' /5^+ 1 * 2 

les formules XV sont ainsi confirmées. 

La valeur ^4 — ^a = ^^5 — 2V5 représente la moitié du 
côté t^ du pentagone circonscrit au cercle O. En eflfet, soit 
\v ce demi-côté ; les angles Ivt et Itv du triangle \tv sont 
tous deux égaux à 54° ; les côtés opposés 1/ et \v sont donc 
égaux ; d'autre part : 

nV= [I III = s, et IIV = 5^ , 

il s'en suit que : 

U = S4 «2 = IV . 

Si Ton désigne par w l'intersection des deux diagonales 
III V et I IV du pentagone, on a également : 

Iv = wW , car Icv = II ÏH = 5j . d'où ivIV =z 5^ — 5, , 

ainsi : 



PENTAGONE ET DÉCAGONE RÉGULIERS 135 

Nous déduisons de là une nouvelle construction du pen- 
tagone régulier dont le côté s^ est donné ; elle consiste à 
déterminer le point tv, en construisant le triangle III IV tv. 
Celle construction est alors susceptible d'une double inter- 
prétation suivant que la longueur donnée représente le côté 
5j du pentagone inscrit ou le côté i^ du pentagone circonscrit. 
Dans le premier cas le segment obtenu wW représente le 
demi-côté du pentagone circonscrit; dans le second cas où 

^/j = IV«' est donné, on obtiendra le segment III IV, côté 

du pentagone inscrit. On remarque en outre que si 2 est le 
point milieu de Tare IV V et z Tintersection de III 2 avec I IV, 
on a 

2m' = 2 IV = jÇj et III «/ = III IV = .ç, . 

La longueur Wlz exprime la distance des segments II III 
et I IV et, cette distance est la même que celle des segments 
III IV et II V ; elle a pour valeur 

PQ *j + 5, r 

On a aussi z2 = ^ du fait que 2lU=s^ et comme (*'IV=.Ç4 — s^ 
il en résulte que 

- iv — -- : et - I — — • 

la puissance du point z par rapport au cercle a pour valeur 

fi. — S r r 



c'est encore la relation XIV. 

Les triangles semblables WpO et III IVz nous fournissent 
la démonstration géométrique de la seconde partie de la 
relation XIV ; on a en effet : 



«4 r/5 

— • r := 

2 • 2 



T • '* — Â • *2 • 



Les triangles semblables IIII IV et III IV^ permettent de 
trouver la valeur du segment \q. En effet, on a : 

l^ : s^ = rVh : 2.9, , 



136 F. RE ni. 

d'où 

Cette valeur peut être aussi directement déduite de la figure, 
dans laquelle 

Il serait encore possible de comparer les triangles III OQ 
et I II V puis les triangles 2wYW, OUI IV et \vt. Comme pro- 
priétés que les élèves pourraient démontrer, nous citons les 
suivantes : 

1. Les points 4, P et V ainsi que les points 2, IV, Q sont 
situés en ligne droite. 

2. Le prolongement de la diagonale du quadrilatère 
I32fv passe par le point Q. 

3. Représentant par t^ le côté du pentagone étoile circons- 
crit au cercle 0, on a la relation 

J = 5, + .., = /y5 + 2/5 . 

4. Démontrer au moyen de la figure les proportions : 



ï, : 5, = /s : /s + 2/5 ; 



On pourrait également demander de calculer les segments 
PS, P2, PV, PIV, QV et Q3 . 

Franz Redl (Brunn-Harland, Basse-Autriche). 

(Traduction de Georges Bertrand, Genève). 



SUR LES PRINCIPES DE LA MECANIQUE 



Il y a différentes façons d'exposer la mécanique. On peut 
commencer par la statique, en faire une science indépen^ 
dante; c'est ainsi qu'on procédait autrefois. Une autre mé- 
thode consiste à débuter par la dynamique, après avoir exposé, 
bien entendu, les éléments de Cinématique nécessaires. 

Chacune de ces deux méthodes a ses avantages propres. 
Dans les phénomènes terrestres, dans les applications prati- 
ques où les liaisons jouent un grand rôle, la première mé- 
thode parait préférable. La seconde au contraire parait meil- 
leure pour Tétude des phénomènes célestes, c'est pourquoi 
je nommerai cette dernière mécanique astronomique la 
première « mécanique terrestre. » 

Dans la mécanique astronomique la notion de masse pré' 
sente quelques diilicultés ; dans l'exposé suivant je me suis 
efforcé de rendre naturelle l'introduction de cette notion. 

I. Notion de point matériel. Un point matériel est un 
volume de matière dont les dimensions sont insensibles. 
Toutefois dans certaines questions on est amené à considérer 
comme points matériels des volumes qui ne sont pas très 
petits. C'est ainsi qu^en Astronomie on traite le plus souvent 
les astres comme des points. 

II. Principe de l'inertie. Si un point matériel est isolée son 
mouvement est rectiligne et uniforme. En d'autres termes son 
accélération est nulle. Ce principe parait invérifiable ; op ne 
peut faire qu'un seul point matériel existe dans l'espace. 
Mais nous complétons le principe en admettant ce qui suit: 
«c L'action d'un ou plusieurs points matériels sur un point maté- 
riel est insensible à de grandes distances. » Alors un point 
matériel très éloigné de tous les autres aura un mouvement 
sensiblement rectiligne et uniforme. L'étude des mouvements 
propres des étoiles est d'accord avec ce principe. Comme les 



138 /. RICHARD 

mouvements de Sirius et de Procyon paraissaient n'être pas 
d'acc!ord avec lui, on en a conclu que chacun de ces deux 
astres avait un satellite. Plus tard l'observation a confirmé 
cette prévision. 

III. Principe de l'action et de la réaction. Je n'énoncerai 
pas tout d'abord ce principe. Je vais montrer qu'il est une 
sorte de généralisation du principe de Tinertie. Les points 
matériels sont en réalité des systèmes matériels très-petits. 
Le principe de l'inertie s'appliquant ainsi à un système ma- 
tériel très-petit doit s'appliquer à un système quelconque. 
Pour généraliser le principe, le plus naturel est d'adopter 
l'énoncé suivant : 

Si un système de points matérieh est isolé, (c'est-à-dire très 
éloigné de tout autre système) il existe un point G, intérieur 
à tout volume convexe contenant le système, qui possède un 
mouvement rectiligne et uniforme. 

Je ne dis pas que G est invariablement lié au système, car 
si le système n'est pas lui-même invariable cela n'aurait au- 
cun sens. J'admets toutefois que G ne dépend pas des vi- 
tesses des points du système. Je nommerai le point G, centre 
du système. 

Les points matériels ne sont pas tous identiques entre 
eux; deux petits volumes égaux, l'un de plomb l'autre de 
fer ne sont pas pareils. Je vais considérer d'abord des sys- 
tèmes formés de points tous identiques entre eux, que je 
nommerai homogènes. En admettant un principe supplémen- 
taire que j'énoncerai tout à l'heure je vais démontrer la 
proposition suivante. Le centre d'un système homogène est 
son centre des moyennes distances. On sait que le centre des 
moyennes distances de n points est un point dont les coor- 
données s'obtiennent en prenant la moyenne arithmétique 
des n coordonnées de ces points 

Xx -)r ^% • • "h Xn 

X = ■ 

n 

et deux formules analogues pour y et z. 

Supposons d'abord deux points A et B. Leur centre G, étant 
à l'intérieur de tout volume convexe contenant A et B doit se 



PRINCIPES DE LA MÉCANIQUE 139 

trouver sur la droite AB. Mais les points A et B étant iden- 
tiques, G ne peut se trouver qu'au milieu de AB. 

Considérons deux systèmes de points tous identiques entre 
eux soient Gi et Gt leurs centres. Si les deux systèmes ont 
le même nombre de points j'admettrai que le centre du sys^ 
tème total formé par la réunion de ces deux systèmes est en- 
core le milieu de Gi Gs comme si les deux systèmes étaient 
concentrés Fun en Gi l'autre en Ga. C'est là le principe sup- 
plémentaire dont j'ai parlé tout à l'heure. 

Revenons au théorème que nous voulons démontrer. Il est 
vrai pour deux points, nous l'avons vu. Supposons le vrai 
pour deux groupes ayant chacun n points identiques. Le point 
Gi centre du premier groupe sera son centre de moyennes 
distances, de même le point Ga centre du deuxième groupe. 
Le centre des 2/z points sera alors le point G milieu deGi Ga. 
Or ce point G est bien le centre des moyennes distances des 
2/1 points. (Si X est la moyenne arithmétique des abcisses 
des n premiers points, X' celle des n autres, la moyenne 

arithmétique des abscisses des 2n points sera "l ' .) 

Si donc le théorème est vrai pour n points quelconques il 
est vrai pour 2/i ; comme il est vrai pour 2, il est vrai pour 4 
puis 8, 16, 32... etc., c'est-à-dire pour 2^, p étant un entier 
quelconque. 

Pour étendre le théorème à un autre nombre de points, je 
fais les deux remarques suivantes. 

1** Si au centre d'un système on place un ou plusieurs 
points, cela n'empêche pas le centre d'occuper toujours cette 
même place. C'est si l'on veut un nouveau principe, mais il 
parait évident. 

2^ Si au centre des moyennes distances on place un ou plu- 
sieurs points le centre des moyennes distances du système 
obtenu par l'adjonction de ces points ne change pas. (La 
moyenne arithmétique de plusieurs quantités n'est pas chan- 
gée, si on adjoint d'autres quantités toutes égales à cette 
moyenne arithmétique). 

Cela posé, démontrons le théorème pour 25 points. Le 
théorème est vrai pour 32 points ; soit G le centre des 25 



140 J. RICHARD 

points. Au point G plaçons 7 points identiques aux premiers. 
Cela Fera 32 points, et le point G sera le centre de ces 32 points. 
Le théorème étant vrai pour ces 32 points, G est leur centre 
des moyennes distances. D'après la remarque précédente^ 
c'est donc aussi le centre des moyennes distances des 25 points 
primitifs. 

La proposition est ainsi complètement démontrée. 

Supposons maintenant des points identiques entre eux dont: 
mi réunis en Ai dont les coordonnées sont j^i, yi^ zi. 
m% As .rs, yi^ z%. 

etc. 

La moyenne arithmétique des abscisses sera alors : 

X = : 

"it + Wt + . • • 

en écrivant des formules analogues pour y et z, on aura les 
coordonnées du centre. 

Lorsqu'on a ainsi mi points réunis en Ai et m% réunis en As 
tous identiques entre eux, on dira que les masses des points 
Al et As sont proportionnelles à m\ et m%. Nous avons ainsi 
la notion de masse. Nous admettons alors que les points non 
identiques Ai et As peuvent être remplacés par un certain 
nombre de points identiques condensés en Ai, et un certain 
nombre condensés en As. Le rapport des deux nombres de 
points sera le rapport des masses des points matériels Ai 
et As. Le point G centre du système, dont les coordonnées 
sont calculées ci-dessus, possède alors, lorsque le système 
est isolé, un mouvement rectiligne et uniforme. Considérons 
maintenant deux points A et B seulement, de coordonnées 
Xy y, z, x'y y\ z' et de masses m et m\ soient X, Y les coor- 
données du centre G. 

mx -\- m X 



II) 



^ i f~ 

m -\- m 

Y = ^r + ^y 

m -\- m' 
,_ mz -}- m 5 

Jj — : 7- 



Soient y et y' les accélérations des deux points ; ce sont 
deux vecteurs dont les projections sur les axes sont les déri- 



PRINCIPES DE LA MÉCANIQUE 141 

vées secondes par rapport au temps de x, y, z; x\ y\ z' , En 
prenant les dérivées secondes des deux membres des équa- 
tions (1) et observant que le point G a une accélération nulle, 
on voit que les projections sur les axes de la somme géomé- 
trique des deux vecteurs my, m'y est nulle, donc ces vec- 
teurs sont égaux parallèles et de sens contraires. 

Si nous appelons Action de B sur A, le vectetir égal à my, 
dirigé dans le sens de l'accélération y, on voit par ce qui 
précède que Faction de A sur B et celle de B sur A sont deux 
vecleurs égaux et de directions contraires. 

Si l'on admet que cette action ne doit pas dépendre des 
vitesses absolues de A et de B, mais seulement de leur vitesse 
relative et de leur distance, comme la vitesse relative est di- 
rigée suivant AB, une simple raison de symétrie montre que 
Faction doit aussi être dirigée suivant AB, en sorte que: 

L'action de B sur A et l'action de A sur B sont deux vec^ 
teurs égaux et directement opposés. 

On peut encore remarquer que si Faction de A sur B n'était 
pas dirigée suivant ÀB, Faction de A sur B et celle de B sur 
A tendraient à faire tourner AB autour de G dans le même 
sens, ce mouvement de rotation irait ainsi en s'accélérant ce 
qui parait choquant. 

IV. Principe de composition. On obtient l'accélération 
produite sur un point A par un système de points B C D E en 
faisant la somme géométrique des accélérations que produi- 
raient les points B C D E séparément. L'action étant le pro- 
duit delà masse de A par son accélération, le même principe 
peut s'énoncer en remplaçant le mot accélération par le mot 
action. 

Le produit d'une masse par Faccélération de cette masse 
est appelé Force. 

Les principes que nous venons d'énoncer et d'expliquer 
ne sont nullement évidents. Leur démonstration est expéri- 
mentale, elle se Fait comme il suit: Ajoutons à ces principes 
la loi de Fattraction universelle. 

V action de A sur fi, dirigée suivant BA est proportionnelle 
au produit des masses de A et de B, et à l'inverse du carré de 
la distance AB, 



142 J. RICHARD 

Cette loi ajoutée aux antres permet de trouver le mouve- 
ment d'un système de points. Or: appliquée aux astres du 
système solaire elle donne des résultats conformes à Tobs^r- 
vation. Une loi différente ne donnerait pas le même résultat, 
comme on le démontre. C'est donc l'observation des astres 
qui fournit la vérification des principes précédents. On 
pourrait prendre chaque principe séparément et montrer 
comment il est vérifié ; je ne le ferai pas, me bornant à re- 
marquer que cette vérification est extrêmement précise. La 
même précision n'est pas atteinte dans la plupart des autres 
lois physiques. 

J'ai exposé les principes de la mécanique astronomique un 
peu longuement, avec presqu'autant de détails que je Tau- 
rais fait devant des élèves. Je ne recommencerai pas pour la 
mécanique terrestre. Je me bornerai à de courtes indications 
sur cette seconde façon d'exposer la mécanique. 

Une force est ce qu'on mesure avec un dynamomètre. Un 
dynamomètre pouvant être tendu par un poids, un poids est 
une Ibrce. La direction de cette force est toujours celle de la 
pesanteur, mais si l'on suspend un poids à un cordon pas- 
sant sur une poulie, et que l'autre extrémité de ce cordon 
soit attachée au dynamomètre, le dynamomètre fléchit comme 
si le poids y était directement appliqué. La direction de la 
force est changée non son intensité. On peut donc produire 
une force de direction et d'intensité quelconque à l'aide d'un 
poids. La statique des forces est identique à la statique des 
poids. On pourra vérifier à Taide de poids les propositions 
de statique. 

On peut alors exposer la statique comme le fait Poinsot 
ou de toute autre manière. 

La statique étant exposée on passera à la dynamique des 
corps pesants. La masse d'un corps pourra être définie ex- 
périmentalement comme le quotient du poids par l'accélé- 
ration. 

On pourra poser ensuite le principe de d'Alembert. La 
force d'inertie d'un point est le produit de sa masse par l'ac- 
célération qu'il possède, elle est de sens contraire à cette 
accélération. Le principe de d'Alembert consiste dans Téqui- 



GEOMÉTROGRAPHIE 143 

libre entre les forces d'inertie et les forces directement appli- 
quées. 

Le principe de d'Alembert se vérifie dans le cas simple des 
systèmes pesants; dans d'autres cas il est une sorte de défi- 
nition, car il y a des forces comme les frottements, la résis- 
tance de Tair, non mesurables statiquement. Ces forces sont 
définies de telle façon que le principe de d'Alembert de- 
meure vérifié. 

11 y a d'autres manières de faire. On peut par exemple ex- 
poser d'abord la statique, puis la dynamique astronomique 
indépendamment de la statique. Poser ensuite comme une 
sorte de postulat l'identité des deux notions de force. Par 
exemple si Ion mesure une attraction électrique statique- 
ment, puis au moyen des oscillations d'un petit pendule, le 
postulat en question affirmera l'identité des deux valeurs ob- 
tenues. 

J'arrête ici cette trop longue dissertation. Mon but prin- 
cipal était d'introduire d'une façon naturelle la notion de 
masse dans la mécanique astronomique. 

J. Richard (Dijon). 



APPLICATION DES MÉTHODES GÉOMÉTROGRAPHI- 
QUES AU TRACÉ MÉCANIQUE DES COURBES 

PLANES 



1. Nous nous proposons, dans cette courte note, de mon- 
trer comment on pourrait étendre les idées qui forment le 
fond de la Géométrographie au tracé des courbes planes au 
moyen de curvigraphes. 

L'étude de chaque tracé comprendra deux parties: 

1** Recherche du coefficient de simplicité du curvigraphe. 

2® Simplicité et exactitude du tracé de la courbe, cette 
dernière partie comprenant le réglage du curvigraphe. 



144 L. GODÈAUX 

On doit supposer que les curvigraphes employés sont aussi 
grands ou aussi petits que Texige le tracé. 

La première partie nécessitera un nouveau symbole que 
nous appelerons «symbole cinématique». 

Lorsqu'un point décrit une droite (ou lorsqu'un curseur 
parcourt une tige) et réciproquement lorsqu'une droite doit 
passer par un point, on aura Di 

Lorsqu'une droite glisse sur une droite, on aura sDt 

car cela revient à faire glisser deux points de la première sur 
la seconde. 

Nous obtiendrons pour chaque curvigraphe un symbole 
de la forme /iDi ; n étant le coeilicient de simplicité. II 
est à remarquer que notre méthode ne s'applique pas aux 
systèmes de tiges articulées tels que le quadrilatère arti- 
culé. 

Pour le tracé de la courbe, nous conserverons les symboles 
de M. Lemoine * et en plus de ceux-ci, le symbole L«, expri- 
mant le tracé d'une courbe plane du n**"* ordre. Le coeffi- 
cient de L„ entrera dans le coefficient de simplicité. 

Examinons maintenant quelques tracés : 

2. Tracé de Tellipse au moyen du curvigraphe à ornières. 

Ce curvigraphe se compose de deux ornières fixes rectan- 
gulaires. Un curseur A se meut sur Tune d'elle 0.r et un cur- 
seur B sur l'autre Oy, Tout point de AB décrit une ellipse. 
•Symbole 2Di. simplicité 2. 

Tracer une ellipse, un demi-axe étant donné*. 
Tracer une droite R«. 

Porter la distance donnée Ca + Cs 

Placer le point O du curvigraphe à une extrémité du 

segment Ci 

Mettre un point de Qx (ou de Oy) sur la droite tracée Ci 
Mettre la pointe à tracer à la 2* extrémité du segment Ci 
Tracer l'ellipse Lt. 

Op. : (R2 + 3Ci + C2 + C» + L2) ; simplicité : 7 ; exacti- 
tude : 4. 



' Voir Lbmoink, La GéométrographU yStiéntï»). Paria, Gauthier- ViUars ; page 16. 
' Nous supposons que pour donner une longueur, on donne l'écartement entre les deux 
pointes d'un compas. 



GÉOMÉTROGRAPHIE 145 

Tracer une ellipse, les deux demi*axes étant donnés. 
Tracer deux droites rectangulaires* OC, OD 4Ri + 3R« + Cs. 
Porter, à partir de O, les longueurs données sur ces 

droites 2Ct + 2C». 

Placer Tappareil 2Ci 

Placer le traceur en C, puis en D. 2Ci 

Tracer la courbe La. 

Op. : (4Ri + 3R2 + 6C1 + 3C8 + U); simplicité 17 ; exac- 
titude 10. 

3. Tracé de la conchoïde. 

Le curvigraphe employé se compose d'une droite Ox tour- 
nant autour d'un de ses points 0, d'une droite fixe AB et d'une 
droite CD glissant surOx de manière que Tune de ses extré- 
mités C parcourt en même temps AB. D est la pointe à tra- 
cer. La distance CD est réglable à volonté. Le symbole est 
3Di, simplicité : 3. 

Tracer une conchoïde, et AB étant placés, CD donné. 
Par O, tracer une droite rencontrant AB en C, Ri + R« 

A partir de C, porter CD' sur OC Ci+Cs 

Placer le point O et la droite AB du curvigraphe 3Ci 

Placer le point C du curvigraphe en C Ci 

Placer D en D' Ci 

Tracer la courbe L4. 

Op. : (Ri + R« + 6C1 + Cs + L4); simplicité, 10; exactitude?. 

4. Tracé du limaçon de Pascal, 

Le curvigraphe employé est analogue. C, au lieu de dé- 
crire AB, est lié d'une manière invariable à un point A tel 
que AC = A0. Symbole 2Di, simplicité : 2. 

Tracer le limaçon de Pascal connaissant AO et CD, 
Tracer un cercle de rayon AO et de centre A' .Cs. 

Tracer une sécante O'C', 0' étant sur la circonférence Rs. 
Porter sur O'C la longueur CD' où partir de C Ci + C». 
Placer le curvigraphe (O en O' et A en A') 2Ci. 

Faire coïncider C avec C Ci 

Faire coïncider D avec D' Ci 

Tracer le limaçon. L*. 



* LsMOiNKf loc. cit., page 19. 
L'Enseignement mathém., 8« année ; 1906. 10 



146 /. V. COLLINS 

Op. : (R« + 5Ci + 2Cs +L* « simplicité 9; exactitudes. 
On voil, par ces exemples, en quoi consisterait Tétude du 
tracé mécanique des courbes. 

5. Nous terminerons par ces trois remarques : 

a) Le symbole E de Téquerre est équivalent à 2Di. 

b) Lorsque deux droites se meuvent dans un plan et qu'el- 
les doivent faire constamment entre elles un angle kk\ on a 
recours à une équerre dont Tun des angles est égal à **'. 

c) Le symbole Di peut être généralisé. Si une courbe du 
/i™* ordre glisse sur une courbe semblable, on aura /wD„, 
m étant déterminé par la Géométrie. 

Décembre 1905. 

L. GoDËAUX (Ath, Belgique). 



SUR LA MÉTHODE D ENSEIGNEMENT 

EN AMÉRIQUE 



En Amérique Theure durant laquelle le maître entre en 
contact avec sa classe est communément appelée « la récita- 
tion ». William James, de TUniversité de Harvard, parlant 
de la (( Méthode de récitation américaine », Ja met en con- 
traste avec les cours allemands et écossais et le système 
anglais des «Tutors». Une « récitation » américaine typique 
d'autrefois, soit par exemple pour Tàlgèbre, peut se décrire 
comme suit : lorsque la classe est réunie, le maître s'informe 
des progrès que les élèves ont faits dans la préparation de 
leur leçon, et, le cas échéant, il en explique brièvement 
quelques-unes des difficultés. Il assigne ensuite à chacun un 
problème pris dans le manuel en usage. Dès que quelques 
élèves ont terminé on commence les explications ; chaque 
élève ira à son tour à la planche noire et expliquera sa solu- 



L ENSEIGNEMENT EN AMÉRIQUE 147 

tion de problème. Peut-être trouvera-t-on assez de temps à 
la fin de Theure pour donner quelques explications sur la 
leçon suivante ; mais souvent le temps manque et Ton s'en 
remet au manuel pour les solutions et les explications types. 
Ainsi le point saillant de Touvrage accompli pendant Theure 
est la récitation par Télève, soit de vive-voix, soit écrite, de 
ce qu'il a appris avant de venir en classe. Cette forme de ré- 
citation n'est plus aujourd'hui d'un usage absolument général ; 
elle a subi des transformations sur certains points. 

D'après la méthode allemande, le maître doit en premier 
lieu étudier un nouveau sujet avec sa classe, il développe et 
étend ses questions en exigeant des explications sur tous les 
points de la leçon, jusque dans les détails les plus minimes^ 
Une fois que le sujet est bien compris, il fait l'objet d'un 
devoir écrit, puis, dans la leçon suivante, Félève est soumis 
à une interrogation permettant de voir si le sujet a été bien 
compris et retenu. 

Dans le système anglais, le manuel est strictement suivi. 
Lorsque l'élève tombe sur quelque chose qu'il ne peut pas 
comprendre, il consulte son « Tutor » privé qui lui aide à 
surmonter Tobstacle, après quoi il continue comme aupara- 
vant. 

En France, dit M. James Pierpont', la méthode de confé- 
rences ou de cours est en usage à partir de la classe III ou 
pour les élèves de 14 ans et plus. 

La méthode américaine a obtenu de bons résultats. Du mo- 
ment où l'on s'en remet complètement aux manuels, ces livres 
doivent être rédigés avec le plus grand soin. On a souvent 
reconnu que les livres de classe américains sont les meil- 
leurs du monde, tant au point de vue méthodique qu'à relui 
de l'exécution. Ceci ne veut pas dire qu'ils soient supé- 
rieurs aux autres au point de vue purement scientifique. Les 
ouvrages atiglais, surtout ceux (|ui sont en usage dans les 
Collèges (gymnases), n'ont pas la même valeur pédagogique; 
leur classification laisse souvent à désirer et leurs explica- 
tions sont souvent trop condensées. 



* Voir Mathematics in Schools of Prussia, par Youno. 

> Voir BmlUUn of Uu American Mathematical Society, Murs 1900, p. vn. 



148 y. V. COLLINS 

La méthode allemande essaie de présenter le travail sous 
une forme facile à comprendre, même pour les élèves les 
moins doués, tandis que le plan anglais à l'avantage de faci- 
liter beaucoup les progrès pour ceux qui le sont davantage. 
La méthode américaine ne parait pas s'occuper plutôt des 
intérêts de ceux qui ont du talent que de ceux qui n'en ont 
pas; elle se met à la portée du plus grand nombre. 

En considérant la chose sous un autre point de vue, nous 
pouvons dire que les formes allemande et française placent 
le maître au centre de la classe, tandis que d'après la méthode 
américaine, les élèves prennent tour à tour cette place. 
La méthode française est l'enseignement didactique, la mé- 
thode anglaise celle d'un laboratoire, la méthode américaine 
se concentre dans le manuel, et la méthode allemande est 
nettement socratique. 

Chacune de ces méthodes présente des avantages spéciaux 
ainsi que des défauts; chacune est applicable au cours des 
études suivant les degrés et les sujets. Il s'agit surtout que 
l'élève se forme de bonne heure à acquérir des connais- 
sances et apprenne à se contrôler lui-même; vers la fin, 
lorsqu'il tend à se spécialiser, son but n'est plus tant d'ap- 
prendre à acquérir des connaissances, que plutôt et rapide- 
ment d'acquérir ces connaissances elles-mêmes et l'habi- 
leté de s'en servir. Dans l'entraînement judicieux d'un 
individu, on peut établir les trois degrés suivants : 1. Un 
stage de développement à l'aide de l'enseignement oral ; 
2. Un stage ultérieur à l'aide des manuels ; 3. Un stage où 
les cours proprement dits et les conférences jouent le prin- 
cipal rôle. Ces degrés semblent correspondre aux formes de 
présentation allemande, anglaise ou américaine, française 
(pour les classes avancées) ou écossaises. 

L'absence ou le déplacement d'un de ces trois degrés ne 
sera-t-il pas préjudiciable à l'élève ? 11 est évident que ces 
différentes méthodes peuvent se superposer ou encore 
s'harmoniser les unes et les autres, et dans certains cas être 
mises en pratique au cours d'une même leçon. Elles pour- 
raient aussi être combinées de différentes manières et pro- 
duire une grande variété dans la méthode de l'enseigne- 



L'ENSEIGNEMENT EN AMÉRIQUE 149 

ment. En Amérique nous possédons à présent différentes 
variétés, quoique, comme nous l'avons déjà mentionné, la 
majorité des maîtres appliquent les méthodes basées plus ou 
moins fidèlement sur Tancienne conception de la « récita- 
tion 1». II y a des maîtres qui font des conférences sur des 
points très difficiles, examinent Télève sur le devoir assigné 
dans le manuel, et développent, au moyen de questions, 
des sujets plus avancés. D'autres basent Tétude et la criti- 
que sur une préparation écrite apportée en classe. Quelques- 
uns seulement ont recours à la méthod.e de laboratoire. Une 
forme de « récitation » qui ne manque pas de mérite est 
celle qui consiste à appeler un seul élève à la planche noire 
pour la résolution graphique et orale d'un problème; le 
maître aide et examine celui qui travaille au tableau tout en 
questionnant et en cherchant à obtenir des suggestions de la 
part des autres élèves. 

Nous terminons ce bref exposé en insistant sur les avan- 
tages que présente la connaissance des méthodes en usage 
dans les autres pays. La comparaison des différentes mé- 
thodes sert à provoquer une saine émulation parmi les 
membres du corps enseignant. Dans cet ordre d'idées les 
associations de maîtres de mathématiques sont appelées à 
jouer un rôle très utile *. 

Joseph V. CoLLiNS (Stevens Point, Wis., Etats-Unis). 



* Nous pottTOiM ajoaier que dannt les qaatre ou cinq dernières enoées il s'est manifesté 
un réveil parmi les maîtres de mathématiques aux Etats-Unis. Plus d'une douzaine d'asso- 
ciations locales se sont organisées dans différentes parties du pays, et, en juillet 1905, des 
mesures furent prises pour réunir ces sociétés locales en une fédération nationale. 



MELANGES ET CORRESPONDANCE 



A propos d'un article sur le mouyement de la Terre. 
Lettre de M. Stuyvaert (Gand). 

La Tbrre tourne. — Un article très intéressant publié dans 
V Enseignement mathématique (p. 450-457), du 15 novembre 1905 
apporte encore quelques arguments en faveur du mouvement de 
la Terre, une question pourtant définitivement résolue, et sur la- 
quelle on est presque confus de devoir revenir. Seulement on est 
bien obligé d'en parler, parce que Ton voit, un peu partout, et en 
Belgique plus qu'ailleurs, une certaine catégorie de personnes ex- 
ploiter avec insistance un passage d'un livre récent de M. Poin- 
caré, et invoquer cette grande autorité pour mettre en doute le 
mouvement de la Terre. 

La reprise des expériences de Foucault sur le pendule a donné 
une autre occasion de se montrer aux partisans de l'immobilité du 
globe. Lorsqu'ils sont en présence de ce phénomème, ou de tout 
autre analogue, expliqué par la rotation terrestre, les immobi- 
listes disent : « Cette expérience et les raisonnements qui l'accom- 
« pagnent prouvent la rotation de la Terre... ou celle du reste de 
« l'Univers, ce qui revient au même,... voir M. Poincaré. » 

Leur attitude est habile mais peu scientifique : habile, parce 
qu'ils n'ont jamais à contester qu'un seul fait et une seule explica- 
tion à la fois ; peu scientifique, parce qu'ils se confinent dans la 
négative. 

S'ils sont sincères, ils doivent quitter cette position défensive 
et baser, sur Thypothèse du repos absolu du globe, une méca- 
nique, une physique, une astronomie nouvelles, et rendre compte, 
non pas d'un seul fait, mais de tous les phénomènes observés, 
pendule de Foucault, déviation des graves, force centrifuge, mou- 
vements des corps célestes, etc., etc. 

Qu'on n'allègue pas la plus grande commodité de l'hypothèse 
d'une Terre mobile. Car nous vivrions dans un monde bien 
étrange si les faits d'observation s'expliquaient moins bien par la 
vérité que par une hypothèse diamétralement opposée. 

Il y a plus : celui qui se croit en possession de la vérité doit la 
prendre pour base de ses théories, quoi qu'il puisse lui en coûter; 
il doit avoir le courage de passer par des calculs pénibles, ne 
fut-ce que pour prouver la possibilité de la chose. 



MÉLANGES ET OOîiRESPONDANCE 151 

On dira peut-être que dans l'hypothèse de Timmobilité terrestre, 
renoncé des lois de la nature devient d'une complication telle 
qu'elle équivaut en pratique à l'impossibilité, mais que ce n'est 
pas encore une raison sudlàante d'afRrmer la rotation du globe. 
Soit, mais c'est encore moins une raison de la nier. 



Lettre de M. Andrault (Grenoble). 

La relativité du mouvement de la terre. — Il y a sans doute des 
relativistes de tout ordre et de toute condition. M. Richard lui- 
même, si je l'ai bien compris, est en quelque manière relativiste, 
puisqu'il accorde que nous ne pouvons connaître que des mouve- 
ments relatifs. 

Mais c'est un relativiste, hanté par l'absolu : 

Non seulement il gratifie d'absolus les mouvements relatifs à 
certain repère, mais pour lui, une écrémeuse tournant dans l'Uni- 
vers et l'Univers tournant autour de l'écrémeuse sont deux 
hypothèses distinctesy ce qui suppose la croyance en un espace 
absolu. 

Comment d'ailleurs sait-il que dans la seconde hypothèse, les 
choses seraient autres que dans la première? Comment, si l'Uni- 
vers ne lui est pas donné deux fois, peut- il faire la différence? 
Comment saura-t-il même qu'un objet tourne ? 

L'espace absolu est par nature inaccessible. Comme le Dieu de 
Pascal, « n'ayant ni portes ni bornes, il n'a nul rapport avec nous : 
a nous sommes donc incapables de connaître ni ce qu'il est, ni s'il 
« est. » 

Je connais un relativiste. Quand vous l'interrogez sur la réalité 
du mouvement d'un corps, il vous envoie poliment chez le méta- 
physicien d'à côté. 

« La question n'est pas de mon ressort, dit-il, pas plus que celle 
« de la réalité de l'espace^ du temps ou du monde qui nous entoure. 
« Les sciences d'observation n'impliquent rien de pareil : On peut 
« s'occuper de sensations associées sans postuler la réalité des 
« objets extérieurs. Elles ont pour limite ce qu'on peut voir, en- 
« tendre ou sentir et comparer ». 

« Chacun son métier: Pour moi ce qui est incomparable est in^ 
• compréhensible. Un mouvement réel, existant en soi et par soi 
« est un non sens ; le mouç^ement n'est pas dans les corps^ il est 
€ dans leurs relations. » 

Et si pour en venir à un objet plus précis, vous lui faîtes remar- 
quer qu'à la suite de ses observations télescopiques, Galilée fut 
conduit à affirmer la rotation de la terre indépendemment de tout 
repère^ il répond: 

«* Je vous l'ai dit, je n'entends rien à ce langage. Les observa- 



152 MÉLANGES ET CORRESPONDANCE 

« tions de Galilée l'ont conduit à placer la terre au rang des pla- 
À nètes; voilà le fait. Pour ne pas le méconnaître, il lui fallut rap- 
« porter les mouvements de tous ces corps à un système de réfé* 
« rencene laissant à la terre aucun râle pr£i'ilégié;p9ir conséquent 
« à un repère à l'égard duquel il deç^ait dire que la terre tourne. 
« C'est précisément ce que réalisait le système de Copernic et ce 
« qui décida de son succès. » 

« Que Galilée ait prétendu en même temps affirmer quelque 
« chose sur les réalités métaphysiques, il est impossible d'en dou- 
te ter, sous peine de ne rien comprendre à son calvaire. C'est ce 
« qui l'explique sans le justifier. Bien d'autres ont mêlé physique 
« et méthaphysique : pour moi, la crainte de ce mélange est le com^ 
« mencement de la sagesse, » 

« Remarquez maintenant que la rotation de la terre est à l'ori^ 
« gine de notre dynamique. Cette dernière est fille de l'astrono- 
« mie ; ses invérifiables principes découlent de l'interprétation 
« copernicienne. S'ils n'en sont pas tout à fait descendus, c'est du 
« moins en vue du ciel copernicien qu'ils ont été construits et 
« ajustés. La rotation étant dans les prémisses, il n'est pas étonnant 
« qu'on la rétro ut^e dans les conclusions. » 

(( Pour connaître l'exacte portée des généralisations que nous 
« pouvons faire, à partir d'expériences mécaniques particulières, 
ce raisonnons donc comme si la dynamique n'existait pas, » 

a Vous avez étudié je suppose, les figures d'équilibre d'une 
a masse fluide en rotation. Vos expériences sont a^sez grossières, 
« pour que leurs résultats puissent être indifféremment rapportés 
« à un repère terrestre ou à un tièdre stellaire. Parmi tous les re- 
« pères possibles, n'en serait-il pas un faisant dépendre d'une 
« même loi la forme de la terre et celle de vos fluides ? » 

a Coïncidence remarquable: le repère de Galilée vous donne 
« satisfaction. » 

a Vous partez d' observations grossières sur l'invariabilité du plan 
ce d'oscillation d'un pendule, et vous vous proposez de faire ren- 
« trer dans l'ordre l'expérience de Foucault. Nouvelle coînci- 
« dence : 
« le même repère vous donne satisfaction '. » 

« Son importance va donc croissant. 

« Vous la multiplierez par d'autres généralisations du même 
« ordre, et plus encore par des généralisations d'ordre différent. » 

« Partant d'expériences sur la vitesse de la lumière vous chér- 
it chez par exemple quel devrait être le mouvement relatif de 
«t l'éther et de la terre pour que l'aberration ait les caractères que 



* On ne peut dire : « Les phënoméfaes qui accompagnent la rotation d'un objet se pro- 
« duisent tous pour la terre, donc la terre tourne, ■ car cela n'aurait de sens qu'en pré- 
« cisant le repère >. 



MÉLANGES ET CORRESPONDANCE 153 

« que nous lui connaissons. Résultat : On peut supposer Téther 
« lié au repère de Galilée. » 

« Ainsi donc, au degré d'approximation de nos expériences, // 
« existe un système de référence par lequel s'établissent des rapports 
« étroits et inattendus entre les phénomènes les plus divers. » 

« Un pareil repère n'a rien de commun a{>ec l'espace absolu. Il 
« est accessible, et tire même son importance de la richesse de ses 
« relations. » 

« Son rôle physique, quoique plus vaste est comparable au rôle 
« chimique de Tair. 11 n'y a pas plus de mobilité réelle, absolue, 
« que de combustibilité réelle, absolue. L'hydrogène brûle en 
« présence de Tair comme Tair brûle en présence de l'hydrogène ; 
« de même, la terre est en mouvement à l'égard du repère comme 
« le repère est en mouvement à l'égard de la terre. Demander si 
« c'est la terre qui tourne ou bien le repère, c'est demander si 
c c'est l'hydrogène qui se combine ou bien l'air. » 

« Affirmer cela, ce n'est pas plus méconnaître l'importance du 
« repère que méconnaître l'importance de l'air: C'est en quelque 
« sorte avancer que Galilée a été le Lavoisier de la physique. » 

« Et quand je dis que la terre tourne, mon affirmation relatit^e, 
c est plus riche de tous les rapports qu'elle éveille par le repère 
« qu'elle implique que si elle était absolue, c'est-à-dire isolée. » 

c Mais cette richesse, j'en conviens, n'est pas sensible aux yeux 
a du vulgaire. Elle ne se découvre pas au seuil de la science, mais 
« à mesure qu'on en gravit les degrés ; elle n'éclate splendide qu'à 
c son couronnement. » 

G. Andràult (Grenoble). 



Lettre deM. J. Richard, (Dijon). 

Réponse a M. Andràult. — Je me suis, je crois, mal fait com- 
prendre, lorsque j'ai parlé du mouvement absolu^. Je n'ai jamais 
prétendu que nous avions en nous-méme la notion du mouvement 
absolu, pas plus que nous n'avons la notion de corps solide in- 
variable ou de distance de deux points. La notion de mouvement 
absolu est une notion EXPÉRIMENTALE. 

Les lois de la dynamique ne sauraient être les mêmes, si l'on 
prend pour définir le mouvement un système de repères ou un 
un autre. Or il existe un système de repères c'est-à-dire un sys- 
tème d'axes et une horloge, possédant les propriétés suivantes : 

1® Le mouvement d'un point matériel isolé (c'est-à-dire très 
éloigné de tout corps pouvant agir sur lui) est rectiligne et uni- 
forme. 

2® Le mouvement des points matériels non isolés (par rapport 



154 MÉLANGES ET C ORBE SPO ND A N C E 

à ce système d'axes et cette horloge) est conforme à la loi de 
Newton. 

3° Par rapport à ce système d'axes la propagation de la lu- 
mière se fait avec une vitesse constante, la même dans toutes les 
directions. 

Tout ceci est affaire d'observations astronomiques. Comme je 
ne veux pas écrire une dizaine de pages, je demande qu'on m'ac- 
corde que tout ceci est démontré. 

J'insiste sur deux points cependant: 1° Ces observations ne 
sont pas grossières, elles sont multiples et s'accordent toutes en- 
tre elles. 

2^ Quelque précision qu'aient ces observations elles n'ont pas 
une précision infînie. Mais aucune vérité concrète, relative au 
monde extérieur n'est susceptible d'une précision infinie. 

Or j'appelle mouvement absolu le mouvemeTit par rapport au 
système d'axes possédant les propriétés précédentes. J'ai aussi 
bien le droit d'appeler ce mouvement « absolu » que M. Cayley a 
eu le droit dans sa géométrie non Euclidienne d'appeler absolu 
certaine surface du second degré. Les mots n'ont que le sens 
qu'on leur donne. 

La thèse du mouvement absolu, et du temps absolu est justifiée 
par le seul fait de l'existence d'un système de repères possédant 
des propriétés spéciales. C'est une vérité expérimentale. 

Je ne sais pas si Galilée a voulu mettre dans son système quel- 
que métaphysique. Je crois que son principal argument est celui- 
ci: Si la terre ne tourne pas tout tourne autour d'elle; à part les 
quelques astres ayant un mouvement propre, tout le système 
tourne autour de la terre comme un corps solide. Comment expli- 
quer cette extraordinaire solidarité de tous les corps ; ceux-ci ne 
paraissent pourtant pas liés entre eux. L'explication est simple 
si c'est la terre qui tourne. L'idée métaphysique de Galilée, si idée 
métaphysique il y a, est l'idée de cause. 

Je crois, du reste, être bien près d'être d'accord avec Monsieur 
Andrault. Précisions la divergence. Monsieur Andrault dit: « Il 
existe un repère par lequel s'établissent des rapports étroits et 
inattendus entre les phénomènes les plus divers. 

Un pareil repère n'a rien de commun avec l'espace absolu. » 

Désignons ce repère par A, l'espace absolu par B. 

Monsieur Andrault dit: « A existe, il est distinct de B. » 

Moi je dis : « A existe : B n'est pas défini ; je le définis par la 
proposition B=:A. » 

Je conteste la comparaison de la mobilité avec la combustibilité. 
Lorsque de l'oxygène et de l'hydrogène se combinent, ils jouent 
un rôle en quelque sorte symétrique. Il n'y a pas symétrie entre 
la terre et le reste de l'univers. Si la terre tourne, le reste restant 
fixe, les distances mutuelles des astres ne varieront pas. Si l'uni- 



CHRONIQUE 155 

vers tourne, la terre restant fixe, il y a une infinité de mouve- 
ments possibles, et celui dans lequel les apparences sont les mêmes 
que si la terre tournait n'est qu'un cas particulier extrêmement 
peu probable à priori. C'est l'argument cité plus haut que je sup- 
pose avoir été celui de Galilée. 

Je termine ici ces explications, plus longues que je n'aurais vou- 
lu les faire. Je dois dire en terminant que Monsieur Méray, après 
avoir lu mon article sur le mouvement absolu m'a déclaré être 
d'accord avec moi sur ce sujet, et m'a autorisé à le dire. 

Les relativistes se réclament de M. Poincaré. Dans son ouvrage 
sur la valeur de la Science, M. Poincaré s'est expliqué à ce sujet. 
L^idée générale qui domine dans ses ouvrages philosophiques est 
qu'il y a dans toutes nos affirmations des hypothèses adoptées 
par nous pour leur commodité. Mais si dire que la terre tourne 
est une convention commode, dire que la terre est plus grosse 
qu'une bille de de billard, ou que la distance de Paris à Londres 
est supérieure à un mètre, n'est aussi qu'une convention commode. 
La rotation de la terre n'a donc rien dé plus conventionnel que 
nos affirmations les plus usuelles. 



CHRONIQUE 



y One difitinction bien méritée. 

Le Journal officiel de la République française, du 18 février 1906, 
a enregistré la nomination de M. Emile Lbmoinb, mathématicien 
français, comme chevalier de la Légion d'honneur. C'est une me- 
sure à laquelle applaudiront les savants du monde entier, et qui 
honore grandement le gouvernement qui Ta prise. 

Il est presque de règle, en France, que les décorations sont 
attribuées à des fonctionnaires comptant un nombre d'années de 
service déterminé, ou à des personnages en situation de rendre des 
services politiques. 11 s'ensuit qu'elles sont prodiguées, et que 
malgré cela, il est fort rare qu'elles soient obtenues par ceux qui 
en sont le plus dignes, s'ils ne rentrent pas dans les catégories 
prévues. 

Or, M. Lemoine n'occupe aucune situation officielle; il n'ap- 



156 CHRONIQUE 

partient pas à renseignement public, n'est pas membre de Tins- 
titut. Il s'est borné à produire des travaux, comme la Géométrie 
du triangle, la Géométrographie, révélant un esprit d'inventioa 
exceptionnel, qui ont attiré l'attention de tous les mathémati- 
ciens, et qui ont pénétré dans l'enseignement, dans beaucoup de 
pays (pas en France, bien entendu). 

Il fallait donc un certain courage au Ministre de l'Instruction 
publique pour oser attribuer, par exception, une croix de cheva- 
lier à un homme dont le seul titre était de l'avoir cent fois méritée. 
Ce courage, il l'a eu, et il faut lui en être reconnaissant. 
. Pour M. Lemoine, c'est une distinction qui n'ajoute rien à sa 
valeur, et qu'il aurait dû obtenir depuis longtemps. Elle aura ce- 
pendant pour lui le caractère d'une récompense venant dans sa 
vieillesse couronner une vie de travail, passionnément consacrée 
à la science. 

A cette occasion, il pourra constater aussi les témoignages de 
sympathie non seulement de ses amis personnels, qui sont nom- 
breux, mais aussi des amis de la science mathématique. 

h' Enseignement mathématique aurait voulu s'inscrire au pre- 
mier rang parmi ceux-ci ; malheureusement, la date de sa publi- 
cation lui a imposé à peu près un mois de retard. Mais pour être 
tardif, nos hommages n'en sont pas moins sincères. 

La Rédaction. 



Cours de yacances à rUniversité de Gœttingue. 

L'Université de Gœttingue organise des cours de vacances des- 
tinés aux maîtres de l'enseignement secondaire supérieur. Ces 
cours, qui auront lieu du IQ^avril au 1®'' mai 1906, seront consa- 
crés aux objets suivants : 

MM. Klein et Behrendsen feront une étude approfondie des 
plans d'études des sciences mathématiques et physiques, élaborés 
par la commission d'enseignement de la Société des naturalistes 
et médecins allemands ^. 

M. Behrendsen traitera de la polarisation de la lumière à l'école 
secondaire supérieure ; M. Prandtl, de la théorie de la résistance 
et de l'hydraulique ; M. Runge, de la construction de la surface 
de la sphère à l'aide de la projection stéréographique ; M. Simon, 
a) des courants alternatifs, b) des méthodes graphiques en élec- 
trotechnique; M. VoiGT, des récents problèmes de la spectro- 
copie ; M. Wagner, des projections cartographiques les plus im- 
portantes en géographie et de leurs limites d'erreurs. 



* Voir L'Ens. math, du 15 janvier 1906, 8»* année, p. 5-25 et p. 57—45. 



CHRONIQUE 157 

Association suisse des maîtres de mathématiques ; 
conférence ^ M. E. Egli (Lucerne). 

Comme suite à notre compte rendu de la 5* réunion annuelle 
des maîtres de mathématiques des écoles moyennes suisses, nous 
donnons ci-après un résumé de la conférence de M. E. Egli. rec- 
teur du Gymnase de Lucerne, sur l'enseignement de la Géométrie 
descriptive. 

M. Egli estime que dans l'enseignement secondaire supérieur 
la Géométrie descriptive ne doit être envisagée ni comme une 
branche auxiliaire du dessin technique, ni comme science des cons- 
tructions graphiques dans le sens, par exemple, de cours profes- 
sionnels complémentaires. En raison de sa valeur formelle^ elle 
doit être considérée comme Géométrie dans l'espace par excel- 
lence. Comme telle, outre qu'elle habituera l'élève à se repré- 
senter des figures dans l'espace et par suite à raisonner directe- 
ment sur celles-ci, elle devra reprendre et résoudre complète- 
ment par la construction exacte les problèmes élémentaires de 
stéréométrie, qui jusqu'à ce point n'étaient introduits que par des 
croquis en perspective. Autant que possible on fera exécuter par 
l'élève des modèles correspondant à ces constructions, afin de 
développer chez lui un certain sentiment de responsabilité de ses 
travaux ; cet exercice est un bon contrepoids au travail exclusive- 
ment cérébral ; il contribue à former V habileté manuelle et aide 
par là à la formation d'hommes pratiques et utiles. 

Après avoir donné les moyens de représenter et de construire, 
la Géométrie descriptive servira à introduire l'élève dans de nou- 
veaux domaines qui sortent essentiellement du cadre des manuels 
de stéréométrie (p. ex. : projections du cercle, de la surface de la 
sphère, sections planes de cônes et cylindres, intersections de ces 
surfaces). Mais suivant le principe pédagogique de la concentra- 
tion de Herbart, elle devra toujours tenir compte des points de 
contact qui la relient à d'autres branches des mathématiques et 
choisir les applications que d'autres spécialités peuvent lui offrir 
(cosmographie, physique, cristallographie, dessin technique, om- 
bre; consulter à ce sujet E. Fibdlbr, die darstellende Géométrie 
im mathematischen Unterricht. Programme de l'école cantonale 
de Zurich, 1898). 

Pour l'enseignement de la Géométrie descriptive, on se servira 
tout d'abord d'w/i seul plan de projections. L'indétermination des 
objets représentés s'élimine par l'emploi d'un deuxième plan pa- 
rallèle au premier et dont on se donne une fois pour toutes la dis- 
tance fixe à celui-ci. Le point isolé est déterminé par sa projection 
et sa cote laquelle est indiquée de préférence par le « cercle de 



158 CHRONIQUE 

référence » (Distanzkreis)^, La méthode est celle des projections 
orthogonales. 

L'emploi d*un seul plan de projections suffit pour une quantité 
de problèmes ; il est conforme à la nécessité pédagogique de pas- 
ser graduellement du simple au compliqué, du facile au difficile. 
Au point de vue gi'aphique, le procédé a la plus grande analogie 
avec la méthode des plans cotés. Les passages à la projection pa- 
rallèle oblique (perspective cavalière), à l'axonométrie, à la pro- 
jection centrale s'effectuent tout naturellement et avec une grande 
unité de point de vue. [/introduction de nouveaux plans de pro- 
jections est particulièrement aisée, notamment de plans donnant 
des vues en élévation et de profil. L'élève se trouve ainsi amené à 
la Géométrie descriptive de Monge dont il s'approprie les propo- 
sitions spéciales, sans aucune difficulté, parce qu'elles se présen- 
tent alors à lui tout naturellement. 



Université d'Uppsal; thèses. 

Thèses soutenues à l'Université d'Uppsal (Suède) pendant les 
années 1903 à 1905 (inclusivement) : 

B. LiNDGRBN : Sur « Le cas d'exception de M. Picard » dans la 
théorie des fonctions entières. (Le 28 nov. 1903). — F. Lundbbrg : 
L Approximerad framstâllning af sannolikhetsfunktionen (Re- 
présentation approximative de la fonction des probabilités). — 
IL rwterfOrsâkring af Kollektivrisker (Réassurance des risques 
collectifs). (Le 7 nov. 1903). — G. Tegrngrbn: Bestâmning af ett 
enkelt sammanhângande Minimalytstycke (Détermination d'une 
surface simple continue). (Le 12 septembre 1904). — H. v. Zeipel : 
Recherches sur les solutions périodiques de la troisième sorte 
dans le problème des trois corps. (Le 28 mai 1904). — S. Johànsson: 
Ueber die Uniformisirung Riemannscher Flâchen mit endlicher 
Anzhal Windungspunkte. (Le 3 mai 1905). 



Nominations et distinctions. 

M. Hoquet est nommé astronome titulaire à l'Observatoire de 
Paris. 

M. Boulanger, maître de conférences, est nommé professeur 
de mécanique à l'Université de Lille. 

M. F. W. Dyson, de fObservatoire de Greenwich, est nommé 
professeur d'astronomie à l'Université d'Kdimbourg. 



* Voir W. FiKiïLKR, Geometrische Mitteilungen : IV. Nette eUmentare Projectionsmethode. 
Vierteijahrschrift der uaturforachenden Iresellschaft in Zurich, 24. Jahrgtng. 



NOTES ET DOCUMENTS 159 

M. FucHs est admis à TEcoIe technique sup. de Berlin en qua- 
lité de privat-docent pour les mathématiques. 

M. A. S. Gale, de New-Haven, est nommé professeur de mathé- 
matiques à rUniversité de Rochester (E.-U.) 

M. W. J. HussEY, de l'Observatoire Like, est nommé professeur 
d'astronomie à l'Université de Michigan et directeur de TObser- 
vatoire d'Annarbies (R.-U.). 

M. F. Klein est nommé docteur honoraire es sciences techni* 
ques de TEcole techn. de Munich. 

M. Reissnbr, privat-docent, est nommé professeur de mécani- 
que à TEcole techn. sup. de Berlin. 

M. O. S. Stbtson est nommé professeur adjoint à TUniversité 
de Syracuse (E.-U.) 

M. C. J. de La Vallée-Poussin, professeur à l'Université deLou- 
vain, a obtenu le prix décennal de mathématiques de l'Académie 
royale de Belgique. 

M. E. Zermelo, privat-docent, est nommé professeur à l'Univer- 
sité de Gœttingue. 

Nécrologie. 

C.-J. JoLY. — On annonce la mort de M. Ch.-J. Joly, astronome 
et professeur à l'Université de Dublin. Ses travaux appartiennent, 
pour la plupart, au domaine de l'analyse vectorielle d'après Hamil- 
ton. Joly n'était âgé que de 41 ans ; sa mort prématurée est une 
perte sérieuse pour la science. 



NOTES ET DOCUMENTS 



Cours universitaires. 

Semestre d'été 1906. 

Berne; Université. — Gkaf : Kugclfunktn. mit Repet., 3; Bessel'sche 
Funktu. m. Repet., 3 ; bestimmte Intégrale mit Repet., 3 ; DifT. u. Integral- 
rechn., 2; Difierenzialgleign., 2; Renten- u. Yersich.-rechnung, 2; math. 
Seminar. 2. — Ott : DifTerenlialrechD., 2 ; aoalyt. Géométrie d. Ebene i, 2. 
— HuBER : Bahnbestimmung d. Planeten u. Kometen. 2 ; Th. d. ellipt. Inté- 
grale m. Anwendgn. a. d. Géométrie, 2. — Bbkteli : Elem. d. darst. Géo- 
métrie, 4 ; prakt. Géométrie, 3 — Moseh : Versicherung verbundener 
Leben ; math, versicherungswiss. Seminar, 2. — Pexidek : Niedere Zahlenth., 
3 : Elem. d. Mengenlehre, 1 ; Elem. d. anal. Zahlenth., 2 ; das Primzahl- 



160 NOTES ET DOCUMENTS 

problem., 1. — Crelier : Synth. Geom. d. Raumes. 2 ; Géométrie des Drei- 
ecks, 2 ; Exercices de Géométrie, 2 

Darmstadt ; technische Hochschule. Mathem. Wissenschaften. — Dincel- 
DEY : Elem. d. hôh. Math. 1 f. Ing., Masch. u. Elektr. — Frmnek : Geodâsie ; 
Ausgleich.-Rechnung nach der Meth. d. kleinsten Quadrate; Geodât. Ueb. ; 
Ausarb. d. geodàt. Vermessungen. — Grafb : Repetit, der Elem. -Math. ; 
Hôhere Math. f. Arch., Chem., Elektrochem. u. Geom.; Hôh. Math. II. — 
GuNDBLFiNGBR : Hôh. Math. I f. Ing., Masch. u. Elektr. — Hbnneberg : 
Techn. Mech. I ; Reine Kinematik. — Pfarr : Hydraulik. — Scbeffers : 
Einleit in d. Funktionentheorie : Darst. Geom. I. — Wiener : Darst. Geom. 
I; Geometr. Form u. Form. d. Kunst ; Arbeiten in math. lostitat. — Gast: 
Astronom. Orts- u. Zeitbestimm. ; Ueb. im Zahlenrechnen. — Meisel : 
Grundzûge d. Karten-Projektionslehre ; Populâre Astronomie. — Schlink : 
Repet. d. Mech. ; Ausgew. Kap. d. Statik. 

Freiborg (Baden) ; Universitàt, — Luroth : Integralrechn., 5 ; Trigono- 
métrie, 2 ; Seminar. — Stickelberger : Analyt. Mechanik, 5 ; Fouriersche 
Reihen u. Intégrale, 2 ; Seminar. — Lœwy : Th. u. Anwendungen d. Deter- 
minanten, 4 ; Ueber die Grundlagen d. Géométrie, 2 ; Uebgn. zur Versiche- 
rungsmathematik. — Weingartek : Ausgew. Kapitel aus der Th. elastischer 
Kôrper, 2. — Seith : Darst. Géométrie, 2 ; Uebgn. 

Genève ; Université. — Cailler : Calcul diff. et intégral, 3, Exercices, 2 : 
Mécanique rationnelle, 3, Exercices, 2 ; Conférences d'analyse supérieure, 
2. — Fbhr : Algèbre, théorie des équations, 2 ; Géométrie descriptive et 
projective, 2 ; Exercices d'algèbre et de géométrie, 2 ; Séminaire de géom. 
sup., 1. — Gautier: Astronomie sphériqne, 2 ; Météorologie dynamique, 2. 
— MiRiMANOFF : Introd. à la théorie de Maxwell. — R. de Saussure : Géo- 
métrie du mouvement, 2; Mécanique des fluides, 1. 

Greifswald ; Universitàt, — Thomé : Th. der analyt., besonders der ellipt. 
Funktionen I, 4; Differeotialgeometrie. 2; Seminar. — Engbl : Analyt. Me- 
chanik I, 4 ; Analyt. Géométrie der Ebene u. des Raumes, 4 ; Di£Perential- 
varianten, 1 ; Seminar. — Vahlen : Integralrechn., 4 ; Uebgn., 1 ; Determi- 
nanten, 1. — Starke : Mathem. Erganzungen u. Uebgn. zur Experimeutal- 
physik der Erde, 1. — Schreiber : Uebgu. im Demonstrieren physikalischer 
Apparate. — Berg : Theoretisch-physikalische Uebgn. ; Geschichte der 
Physik im Zeitalter Newtons. 

Halle ; Universitàt. — Cantor : Zahlentheorie, 4 ; Seminar. — Waîigerin : 
Differentialgeometrie, 5 ; Bestimmte Intégrale u. Di£Perentiatglu, 4 ; Ausgew. 
Kapitel der Potentialtheorie, 1 ; Seminar. — Gutzmbr : Differentialrechn. 
mit Ubgn., 5 ; Funktionenth., 4 ; Ausgew. Kapitel der anal. Mechanik, 1 ; 
Seminar. — Eberhard : Algebra I, 4 ; Analyt. Géométrie der Kegelschnitte, 
2 ; Uebgn., 1. — Bernstein : Geschichtliche Uebersicht ûber die Hauptge- 
biete der reiuen Mathematik, 2 ; Versicherungsmathematik, 2. — BucaitoLz : 
Ausgew. Kapitel der theoretischen Astronomie u. Physik, 2 ; Prakt. Uebgn. 
in geogr. Ortbestimmung, 3. — Walter : Niedere Geodâsie mit Uebgn. 

Heidelberg ; Universitàt. — Kœnigsberger : Diff. u. Integralr.. 4 ; Th. d. 
Linien u. Flâche. 4 ; math. Sem., 2. — M. Cantor: Anal. Geom. d. Ebene, 
4 ; Arithm. u. Algebra (fur Kameralisten), 3. — Kœhler : Darst. Geom. m. 
Uebgn.. 4. — Bœhm : Elementarmathematik, 3-4 ; Uebgn., 1-2. — Yaleuti- 
KBR : Sphâr. Astronomie, 3 ; Elem. d. Astronomie in geschichtl. Ëntwicklung, 1. 



NOTES ET DOCUMENTS 161 

Jena ; Universitât. — Haussier : Diff. u. iategralr. I, mit Uebgn., 5 ; 
Analyt. Geom. d. Ebene. 4 ; Teilung u. Quadratur des Kreises, 2 ; math. 
Seminar, 1. — Tbomje : Ellipt. Funktionen, 4 ; math. Géographie, 3. — 
FasGE : Analyt. Mechanik. — Rau : Mechanik I mit Graphostatik, 3 ; 
Uebgn., 3. — Knopf : Zeit u. Ortsbest. mit prakt. Uebgn., 4 ; Bestimmung 
d. Bahnen d. Himmelskôrpes, 4 : Interpolationsrechn., 2. 

KolosSTar (Hongrie) ; Université. — Schlesinger : Intégrales définies et 
introduction à la théorie des fonctions, 3 ; Equations différentiel les linéaires, 
II, 3 ; Exercices, 1 ; Séminaire, 1. — Val ri : Théorie élémentaire des fonc- 
tions, 4 ; Théorie des invariants, 2 ; Exercices, 1 ; Séminaire, 1. — Fejér : 
Calcul des variations II, 2 ; Théorie des courbes gauches et des surfaces, 3. 

— Klug. — Géométrie descriptive I, 3 ; 11, 2 ; Exercices, 3. — Parkas : 
Théorie des forces, 4 ; Mécanique analytique, 3 ; Séminaire, 2. 

KÔnigsberg; Universitàt, — Meyer : Analyt. Géométrie der Ebene, 3; 
Einl. in die hôhere Géométrie, 4 ; Seminar. — Sghœnfliess : Funktionen-- 
théorie, 5 ; Seminar. — Saalschûtz : Determinanten, 2 ; Differentialrechn., 
Uebgn. — Battermann : Astronomisch-geogr. Ortsbestimmung, 3 ; Uebgn. 
Cohm: Bestimmung der Bahnen der Himmelskôrper, 3; Einf. in die neueren 
Theorien der Himmelsmechanik, 2. — Volkmann : Elastizitâtstheorie, 4 ; 
Seminar. 

Leipzig; Universitât. — Neumaxn : Anwendgn. d. Diff.- u. Integralr. , 4; 
math. Sem., 1. — Bruno : Himml. Mechanik, 2 ; Sem. f. wiss. Rechnen, 2 ;- 
Prakt. Uebgn. in der Sternwarte, mit Prof. Peter. — A. Mater : H(>here 
analyt. Dynamik, 5; Uebgn., 1. — Hôlder : Anw. d. ellipt. Funktionen, 3; 
ausgew. Kapitel ans d. Th. der ellipt. Modulfunktn., 2 ; math. Sem.. 1. — 
RoHN : Hôhere Kurven, 4; Determinanten, 2: math. Sem., 1. — Peter: 
Bahnverbesserungen u. spez. Stôrungen, 2; prakt. Uebgn. (mit Prof. Bruns).. 

— Hausdorff : Gewôhnl. Differentialgleichgn., 4 ; tlebgn. 1. — Liebmann : 
analyt. Geom. d. Ebene, 4 ; Uebgn., 1 ; Einf. i. d. algebr. Analysis. 

Paris ; Faculté des Sciences. — E. Picard : Analyse supérieure et algèbre 
supérieure : Quelques travaux récents relatifs à la détermination des inté- 
grales des équations différentielles par diverses conditions aux limites 
(2 leçons par semaine). — Goursat : Calcul différentiel et calcul intégral : 
Equations différentielles et équations aux dérivées partielles (1 leçon). — 
Raffy : Application de l'analyse à la géométrie ; des équations aux dérivées 
partielles et de leurs apfSlicalions géométriques en vue du certificat de cal- 
cul différentiel et intégral (2 leçons, à partir du l*' mai). — P. Pain levé : 
Mécanique rationnelle : Les lois générales du mouvement des systèmes, la 
mécanique analytique, l'Hydroststique et l'Hydrodynamique (2 leçons). — 
P. Appell : Mathématiques générales : Eléments de mécanique (1 leçon). — 
Ardoter : Astronomie physique : Ensemble des matières du certificat 
d'études supérieures d'astronomie (2 leçons). — Boussinesq : Physique ma- 
thématique et calcul des probabilités : Les ondes d'oscillation (houle et cla- 
potis de la mer) et les ondes produites à la surface d'une eau tranquille par 
l'imersion d'un solide ou par une impulsion superficielle (2 leçond). — 
G. Kœnics : Mécanique physique et expérimentale ; Théorie de l'élasticité ; 
Etude cinématique et dynamique des machines (2 leçons). — E. Borel : 
Théorie des fonctions : Théorie générale des fonctions entières et son appli- 
cation à diverses fonctions particulières (1 leçon). — Conférences: — 
Andoter : Astronomie (1 leçon). — Borel : Mécanique (1 leçon). — Raffy : 



L'Enseigaeinent mathém., 8* année; 1906. 



11 



162 BlBLiOGRAPHIE 

Calcul différonlicl et intégral (2 leçonH). — Hadama.rd : Mécanique (1 leçon). 

— Blutel : Mathémutiques gcuérales (1 leçon). — Servant : Mécanique 
physique (1 leçon). 

WÙrsborg ; UnWersitât. — Prym : Integralrechn., 6. Im Proseminar : a) 
Uebgn. z. hAh. Ânulysis f. Fortgeschrittene (gemeinsam mit dem Asststen- 
ten), 2 ; b) Uebgn. z. Integralrechn, 2. — Im Seminar : Ausgew. Kapitel d. 
Fuuktionth., 2. — Sellikg : Analyt. Mechanik, 4 ; Sphârische Astron. , 2. — 
Cantor : Kinetische Théorie und Bewegung der Gase, 4. — Ro8T : Analyt. 
und syuth. Géométrie d. KegeUchnitte, 4 ; Anw. d. Infinitesimatanalysis auf 
die Th. d. ebenen Kurven, 4 ; Th. d. Raumkurven und d. Flâchen, 4 ; Nicht- 
euklidische Géométrie, 2 ; Im Proseminar (gemeinsam mit dem Assistenten) : 
a) Uebgn aus der sphâr. Trigonométrie, 2 ; b) Algebr. Analysis, 2 ; Im 
Seminar : Anw. der ellipt. Funktionen auf Géométrie und Mechanik, 2. 

Zurich ; Ecole polytechnique. Section normale des sciences mathématiques. 

— HiRSCH : Integralrechn., 4; Repet., 1; Uebgn., 2; part. Di£PerentiaI- 
gleichgn., 4. — Fkanel : Calcul intégral, 4; Repet., 1; Exerc, 2. — - 
Herzog : Mechanik I, 6 ; Repet , Uebgn., 2. — W. Fibdler : Darst. Geom.. 
2 ; Repet., 1; Uebgn., 4; Elem. d. projektiven Koordinantengeometrie, 2. 

— Lacombe : Géométrie descriptive, 2; Repet., 1; Exerc, 2: Géométrie 
réglée, 1. — Gbiser : Ausgew. Partien d. analyt. Géométrie, 2 ; Ebene 
Kurven, 2. — Hurwitz: Funktionen th., 5: Uebgu , 1. — Geisbr u. Hurwitz: 
Math. Seminar, 2. — Rebstbin : Versichernngsmathematik, 2. — Rudio : 
Geschichte d. Géométrie vor Euklid, 1. — Rosbrmumd : Vermessungskunde, 
4; Uebgn., 3. — Wolfbr: Geogr. Ortsbestimmung, 3; Uebgn. im astron. 
Beobachten, 3 ; Ëint. in die Astrophysik. 

Bkyel : Kegelschnitte, 2 ; Axonometrie u. Perspektive, 2. — Dumas : 
Algèbre, 3. — J. Keller : Repet. der Integralr. m. Uebgn,, 2. — Kraft: 
Geometr. Kalkûl, 2. 

Zurich ; Vniversitàt. — Burkhardt : Algebr. Analysis, 4 ; Mathem. Théo- 
rie dissipativer Erscheinungen, 4; Seminar, 2. — Wbiler : Anal. Géométrie 
II, 4; Darst. Géométrie II, 4: Synthet. Géométrie, 2. — Gublbr : Die 
Hauptsâtze der Differential und Integralrechnung. 2 ; Polit. Aritmetik, 2 ; 
Inhalt und Méthode des geometr. Unterrichts in der Mittelschule, 1. — 
WoLFER : Geograph. Ortsbestimmung, 3 ; Uebungen im astron. Beobachten ; 
Einleitung in die Astrophysik, 2. 



BIBLIOGRAPHIE 



AbhandluAgeii sur Geschichte der mathematitchen Wistentchaften. 

XVIII« cahier avec 34 figures dans le texte. — 1 vol. gr. 8®, 196 p.; prix : 
6 marcs. B.-G. Teubner, Leipzig, 1905. 

Ce fascicule comprend trois travaux : 1® Aristote et les mathématiques, 
par J.-L. Hbibbrg ; 2<> Etudes sur l'histoire des mathématiques, en particu- 
lier de l'enseigpiement mathématique à l'université de Gôttingue au XVIII* 



BIBLIOGRAPHIE 163 

siècle, par C.-H. Mûller ; 3*> Le principe des vitesses virtuelles, ses 
démonstrations et rimpossibilité de baser sa réciproque sur la notion 
d' c équilibre d'un système de masses », par R. Lindt. 

he premier mémoire nous fait connaître, parmi les œuvres d'Aristote, les 
parties qui traitent de questions mathématiques. On ne saurait méconnaître 
son importance pour la genèse des éléments d'Euclide, car, à côté de défini- 
tions et démonstrations équivalentes à celles de celui-ci, on en trouve fré- 
quemment chez Âristote qui sont essentiellement diflerentes. 

Le deuxième travail (primitivement thèse de doctorat) débute par une 
introduction « sur le caractère et le domaine de la recherche historique en 
mathématique », dans laquelle Fauteur défend l'idée que les mathématiques 
appliquées et les méthodes d'enseignement méritent une place plus impor- 
tante dans les travaux historiques futurs. Puis il met immédiatement ses 
idées en pratique en donnant comme exemple un exposé de l'enseigne- 
ment mathématique à l'université de Gôttingen au dix-huitième siècle ; c'est 
une très bonne image non seulement de celui-ci mais de ses rapports avec 
les idées philosophiques, religieuses et humanistes de ce temps. Nous y 
faisons, entre autres, une connaissance plus intime avec la personnalité inté- 
ressante à plus d'un point de vue de A. -G. Kâstner. 

Le dernier mémoire est une étude sur les diverses preuves du principe 
des vitesses virtuelles ; il en ressort que les tentatives antérieures d'en éta- 
blir rigoureusement la réciproque ont échoué grâce à la notion équivoque et 
peu claire d' « équilibre d'un système de masses » ; on voit ensuite comment 
on peut éliminer cette notion en la remplaçant par celle d' « équilibre d'un 
système de forces appliquées à un système matériel rt. 

H. SuTKR (Zurich). 

P. Appbll et J. Cba-ppuis. — Leçons de Mécaniqae élémentaire, conformé- 
ment aux programmes du 31 mai 1902. /■'« partie, à l'usage des Classes de 
Première C D, in-16o, 177 p., prix : 2 fr. 75 ; Z/"»* partie, à l'usage des 
Classes de Mathématiques A B. in-16<>. 306 p., prix: 4 fr. ; Gauthier- 
Yillars, Paris, 1905. 

P. Appell. — Conn .de Mécaniqae à l'usage des élèves de la Classe de 
Mathématiques spéciales. 2>"« édition, entièrement refondue. — 1 vol. 
îu-8<> de 495 p., avec 186 figures; prix: 12 fr. ; Gauthier- Yillars, Paris, 
1905. 

En France l'enseignement de la Mécanique commence, dans les classes 
de Première C D, par des généralités sur les vecteurs et les premières 
notions de Cinématique. L'année suivante, dans la classe de Mathématiques, 
les élèves étudient les éléments de Cinématique, de Statique et de Dyna- 
mique. Enfin, dans la classe de Mathématiques spéciales, ils font une étude 
plus approfondie de ces éléments. 

C'est à ces divers degrés que sont destinés ces deux manuels. Ecrites par 
un mathématicien avec la collaboration d'un physicien les Leçons répondent 
bien à ce que l'on est en droit d'exiger : dans l'enseignement secondaire supé- 
rieur. Les auteurs ont compris que dans un premier enseignement les 
éléments de Mécanique ne doivent pas être présentés sous une forme pure- 
ment abstraite, mais qu'ils doivent rester en contact avec l'expérience et 
l'observation. 

La première partie des Leçons débute par un chapitre consacré aux 
notions géométriques relatives aux vecteurs, aux projections et aux mo- 



164 BIBLIOGRAPHIE 

ments. Le reste de l'Ouvrage traite des premières notions de Cinématique : 
mouvement, temps; cinématique du point; mouvements élémentaires d*un' 
système invariable ou corps solide. 

Dans la seconde partie on trouve d'abord les applications de la cinéma- 
tique aux engrenages et aux systèmes articulés. Puis viennent, accompa- 
gnées de nombreux exercices, l'étude des forces appliquées à un point 
matériel (ch. II), la statique des corps solides libres (ch. lil), l'équilibre des 
corps solides non libres ; les machines simples (ch. IV) et enfin les premières 
notions de Dynamique (ch. V). 

Ces Leçons de Mécanique élémentaire fournissent à l'élève un ensemble 
de premières notions qui lui seront souvent d'une grande utilité, même s'il 
arrête là ses études. Elles rinitient. entre autres, aux notions de travail et 
de force vive et à leur application a l'étude des machines simples. 

Le Cours de Mécanique^ destiné aux élèves de la classe de Mathématiques 
spéciales, constitue un second cycle dont les points de départ et d'arrivée 
sont les mêmes que dans les Leçons. Mais il s'adresse à des élèves qui sont 
déjà familiarisés avec les notions de dérivées, d'intégrales et d'équations 
différentielles. A la suite des modifications et des développements apportés 
au programme ' de Mécanique, l'auteur a été amené à remanier et à com- 
pléter la première édition. On sait que dans ce nouveau programme on tient 
compte, plus que par le passé, des notions qui jouent un rôle fondamental' 
dans les applications industrielles. Il est recommandé, en outre, de faire 
résoudre des exemples numériques et des problèmes familiers d'équilibre 
et de mouvement, a On devra éviter l'abus de l'appareil analytique, des 
axes de coordonnées, et exercer les élèves à raisonner directement sur 
chaque question ». L'auteur a tenu compte de toutes ces conditions, et cela 
lui était d'autant plus facile qu'il est précisément l'un des principaux inspi- 
rateurs du nouveau programme. 

Il n'est guère besoin d'ajouter qu'on ne peut que louer la précision et la 
clarté de ces manuels. H. Fehr. 

E. BoREL. — Géométrie, premier et second cycles (Cours de Mathématiques 
rédigés conformément aux nouveaux programmes). — 1 vol. in-lS», 383 p.; 
prix : 3 fr. ; A. Colin, Paris. 

• Ce volume fait- partie du Cours de Mathématiques rédigé conformément 
aux nouveaux programmes du 27 juillet 1905, cours dont M. Borel a entre- 
pris la publication. 

Le présent ouvrage fait naître des réflexions nombreuses se traduisant en 
bloc par un sentiment de soulagement accompagné d'une nuance de regret 
personnel, le tout pouvant se traduire par cette exclamation : « Si l'on avait 
toujours appris la géométrie comme cela I ». 

Voilà longtemps que le danger des abstractions euclidiennes est montré 
(faut-il rappeler le nom de M. Méray), on sait maintenant que, puisque 
malgré tout, les vérités géométriques sont d'ordre expérimental, il n'y a 
pas d'avantage à dissimuler cette origine et cependant la force des traditions 
est telle que bien des professeurs hésitaient à sortir de l'ornière classique 
par crainte de critiques aussi pédantesques qu'imméritées. Espérons que 
l'autorité de savants comme M. Borel contribuera beaucoup à la difïîision 
des méthodes intuitives. 



> Programme du 37 juillet 1904; reproduit dans cette Bévue dans les n** de nov. 1904 et 
do janvier 1905. 



BIBLIOGRAPHIE 165 

Le livre commence par une introduction nous présentant la géométrie de 
l'école primaire, on pourrait presque dire la géométrie de l'enfant quelque 
jeune qu'il soit. Elle est limitée au maniement de la règle, de l'équerre, du 
compas, aux polygones les plus simples avec lesquels on fait simplement 
connaissance. Des formules sont de suite données pour l'évaluation des aires 
et des volumes usuels ; il y est parlé de la conservation de la forme des 
figures changeant de dimension. C'est une introduction pratique, sans 
démonstrations autres que ceHes qui proviennent de remarques évidentes. 

Dans la première partie les notions fondamentales si délicates sont abor- 
dées de la façon la plus heureuse. La droite est définie à l'image d'un fil 
tendu. La théorie des parallèles est fondée sur l'idée de translation d'un 
.plan glissant sur lui-même. Tout ce qui concerne les angles est déduit de 
ridée de rotation d'un plan glissant sur lui-même, tel la face latérale d'une 
meule, car M. Borel n'a pas craint ces images tangibles. Les polygones 
réguliers donnent lieu de même à des remarques intéressantes sur les 
assemblages de tels polygones constitués par des carrelages ou des vitraux. 
Dans la seconde partie la géométrie dans l'espace est abordée dans le 
même esprit. La translation du tiroir d'une table sur le fond duquel on a 
tracé une droite quelconque ou dans lequel on a placé un livre dans une 
position quelconque, nous montre tout ce qu'il y a d'essentiel dans la 
théorie des plans et des droites parallèles. Le plan en rotation, non plus 
comme la face de la meule invoquée plus haut, mais comme une porte tour- 
nant autour de l'axe de ses charnières, nous conduit aux plans perpendi- 
culaires. Les corps ronds sont présentés comme susceptibles d'être fabriqués 
au tour, 

La si importante notion de symétrie est étudiée avec détail, la cristallo- 
graphie étant finalement mise à contribution pour illustrer matériellement 
diverses formes symétriques se rencontrant dans les polyèdres. 

La troisième partie commence par la théorie de la similitude, présentée, 
comme nous l'avons déjà vu dans l'introduction, en temps qu'idée intuitive 
toute naturelle. Deux figures semblables ont la même forme, non les mêmes 
dimensions et M. Borel remarque très justement qu'admettre l'existence de 
telles figures revient à admettre le postulatum d'Euclide. N'y aurait-il pas 
par suite avantage, au moins au point de vue de la simplicité, à postuler 
l'idée de similitude? Après les lignes proportionnelles nous tombons immé- 
diatement dans la trigonométrie considérée comme un simple chapitre de 
géométrie. Cela tient en quelques pages et combien cela remplace avanta- 
geusement le traité de trigonométrie que le commençant feuilletait avec une 
respectueuse terreur dès qu'il y voyait seulement le nom des fonctions trigo- 
nométriques, symboles hiéroglyphiques qui, à son idée, devaient représenter 
quelque chose de bien au-dessus des plus hautes difficultés de l'Algèbre et 
de la Géométrie. 

Remarquons encore dans cette partie — je ne puis évidemment tout citer 
— ce qui a trait aux polygones réguliers. Il y a, là aussi, un heureux 
mélange de trigonométrie et de géométrie et des calculs aisés nous donnent 
des résultats qu'on ne trouve parfois sur les figures qu'avec beaucoup trop 
d'ingéniosité. Même chose pour les volumes. Le tronc de pyramide n'est 
pas décomposé en trois pyramides, son volume résulte des trois égalités 

A = Al — Aj, Si hh = Si Af", 3 V = Si Al — St A» 

entre lesquelles on élimine Ai et As. 



166 BIBLIOGRAPHIE 

Des compléments soot consacrés à l'ellipse, à la parabole, à la cissoîde. 
Des notions d'arpentage terminent TOuvrage. Souhaitons que ce dernier ait 
tout le succès qu*il mérite. A. Buhl (Montpellier). 

A. Grbvt. — Géométrie théoriqae et pratique. Deuxième édition. — 1 vol. 

cart. in-16o, 472 p.; prix: 3 fr. 50; Vuibert & Nony, Paris. 

Voici un volume qui se rapproche du précédent par beaucoup de points. 
L'inspiration notamment en est tout aussi heureuse. II y a cependant entre 
les deux ouvrages une différence essentielle de destination. 

Celui de M. Borel est rédigé, comme nous l'avons dit, conformément à un 
programme bien déterminé, celui de M. Grévy, au contraire, dès la première 
ligne de la préface nous avertit qu'il ne correspond à aucun programme. 
C'est comme une revue des idées géométriques nouvelles, tout au moins au 
point de vue pédagogique, revue dans laquelle on trouvera matière à l'ensei- 
gnement habituel, et de plus à une foule de réflexions, de remarques 
curieuses et intéressantes dont on a généralement le tort de se priver 
comptant que. malgré leur simplicité, leur révélation appartient à des bran- 
ches plus élevées de la Science. 

Pour ce qui est des principes du début c'est bien entendu la méthode 
intuitive qui sert, l'auteur indiquant lui-même qu'il a suivi les vues de 
M. Méray. Là aussi la droite est définie par le fil tendu, le cercle par le 
compas. Les deux plans glissant l'un sur l'autre qui interviennent dans la 
théorie des parallèles ont leur introduction pratiquement justifiée par le 
rappel du procédé employé par les menuisiers pour tracer les parallèles, 
par l'usage de l'outil nommé trusquin. 

Le théorème si simple relatif à la somme des angles d'un triangle nous 
fournit immédiatement une appliration inattendue pour beaucoup à savoir la 
trisection de l'angle au moyen d'un instrument à glissières. Cela résulte 
immédiatement du fait de mener par un point A extérieur à un cercle de 
centre O deux transversales AOA' et ABC de telle sorte que AB soit égal 
au rayon BO. Alors l'angle en A est le tiers de COA'. 

Combien d'élèves ont appris plus tard — car ceci cesse d'être tout à fait 
élémentaire — l'impossibilité de la trisection de l'angle par la règle et le 
compas et ont ignoré les propriétés les plus simples des systèmes articulés. 
A propos des polygones M. Grévy nous montre des losanges articulés, des 
mortaises trapézoïdales et aussi des carrelages. 

La seconde partie du volume est consacrée aux aires planes. Remarquons 
par exemple que l'aire du polygone régulier conserve la même expression 
si le polygone, cessant d'être régulier, est simplement circonscriptible. 

A propos des polygones équivalents on démontre le théorème de Pytha- 
gore de la façon qui est en effet la plus naturelle puisqu'elle montre effectif 
vement le carré construit sur l'hypoténuse du triangle rectangle comme 
décomposable en parties s'appliquant exactement sur les carrés construits 
sur les côtés de l'angle droit. 

Au début de la troisième partie qui traite des lignes proportionnelles nous 
retrouvons des considérations analogues qui éclaireraient vivement la notion 
du rapport incommensurable de deux longueurs. Nous voyons ainsi que le 
carré construit sur la diagonale d'un premier carré a une aire double, ce 
qui explique bien le sens arithmétique du rapport \/^. 

Mentionnons aussi ici l'introduction très simple des lignes trigonomé- 
triques et cela à propos de l'étude des projections. Viennent ensuite 



BIBLIOGRAPHIE 167 

rhomothétîe et les divers procédés de transformation des tigares. L'instra- 
ment de la transformation homothétique est le panthographe, celui de 
Tin version est TinTersenr Peau cellier et enfin voici d'autres courbes ton- 
jours très simples à construire mécaniquement : la conchoïde de Nicoroède, 
la stropboTde, le limaçon de Pascal, la cissoîde et les coniques. 

Le reste du volume est consacré *à la géométrie dans l'espace et ici 
M. Grévy donne presque tout au début les notions fondamentales de la 
géométrie cotée. On a ainsi un procédé rigoureux pour se représenter les 
figures de l'espace, ce qui n'empêche pas, bien entendu, de les voir en 
perspective ordinaire et, comme précisément la géométrie cotée intervient 
pour des représentations qui ne sont jamais bien compliquées, on s'initiera 
à ses procédés sans aucune peine. 

A propos de l'évaluation des volumes M . Grévy juge probablement superflu 
de s'encombrer de formules compliquées. Il nous montre par exemple com- 
ment on évalue le volume d'un tronc de pyramide mais en raisonnant direc- 
tement sur les données et en cherchant séparément et de façon parfaitement 
explicite les hauteurs des pyramides dont la différence des volumes est le 
volume cherché. Signalons aussi l'étude des ombres faite partout après 
celle des solides considérés. 

Une troisième partie est consacrée au dessin géométrique, au levé des 
plans, au nivellement, voire même aux cartes géographiques. Le volume se 
termine par une délicieuse petite note sur quelques relations arithmétiques. 
On y évalue de visu, en assemblant des petits carrés, la somme des n pre- 
miers nombres entiers, la somme des petits carrés, la somme des n pre- 
miers nombres impairs. Espérons que cette ingéniosité fera beaucoup 
d'esprits ingénieux. A. Bubl (Montpellier). 

J. Classer. — Zwôlf Yorletnngeii fiber die Nator des Lichtea. Mit 61 

Figuren. 1 vol. in-12. 249 p.; prix : 4 Mk. G.-J. Gôschen, Leipzig. 

Les brillants phénomènes et les hypothèses sur la nature de la lumière 
ont été toujours Tobjet de leçons, de conférences des plus illustres physi- 
ciens. Parmi les plus célèbres citons celles de Tyndall, traduites en français 
par Moigno (La lumière» 1875), de Stokes, traduites en allemand {Dos Licht; 
zwOlf Vorles. 1883-1885), de lord Kelvin. 

Les leçons professées à Hambourg dans l'hiver 1904-1905,' par M. Classen, 
ont un autre but, car elles ne se proposent pas seulement d'exposer la théorie 
de la lumière, mais, surtout, les relations des phénomènes optiques et élec- 
triques ; elles ont donc pour objet ce que l'on nomme aujourd'hui la théorie 
électromagnétique de la lumière. Les connaissances très bornées en physi- 
que et en mathématique des auditeurs, rendaient bien difficile la tâche de 
M. Classen ; mais il a su très brillamment vaincre toutes les difficultés. 

Cependant la tentative de M. Classen n'est pas nouvelle. M. Garbasso, 
dans un remarquable cours â l'Université de Turin en 1895 iQuindici lezioni 
su la luce considerata corne fenomeno eletîromagnetieo, Milano 1897) s'est 
proposé le même but que M. Classen. Mais tandis que dans la brillante ex- 
position de M. Garbasso les phénomènes et les expériences de l'optique sont 
développés en même temps que celles de l'optique des oscillations électri- 
ques (suivant l'expression de M. Righi), M. Classen suit une méthode toute 
différente; car il commence par exposer, dans les six premières leçons, les 
expériences bien connues sur la réflexion, la réfraction simple et double, les 
interférences, la diffraction, la polarisation et les éléments fondamentaux de 



168 BIBLIOGRAPHIE 

la théorie élastique de la lumière. D'ailleurs, l'auteur n'insiste pas sur les 
explications théoriques ; il lui suffît seulement de fixer les principaux carac- 
tères d'oscillation, de périodicité, régularité des phénomènes étudiés , il dit 
.quelques mots sur le principe de Huygens et montre quelques-unes des dif- 
ficultés de la théorie des ondulations et de l'éther. 

Dans la septième leçon, il prouve comment l'électricité est capable d'un 
mouvement oscillatoire ; ici, il a, sans doute supposé chez ses auditeurs 
des connaissances un peu étendues sur l'électricité. Dès lors M. Classen, 
dans les leçons suivantes montre que les nouvelles oscillations possèdent les 
mêmes propriétés que les oscillations lumineuses. 

A la fin de son cours, M. Classen pose une question : Pouvons-nous affir- 
mer la possibilité des oscillations électriques de la petitesse des oscillations 
lumineuses, ou bien cette condition de petitesse ne soulève-t-elle pas des diffi- 
cultés analogues à celles que Ion a rencontrées dans la théorie élastique ? 

La réponse est assez claire. Ce serait contraire à l'esprit scientifique de 
dire que la Physique, avec ses nouvelles découvertes, a prouvé que les 
rayons lumineux sont produits par des oscillations électriques ; on peut 
dire seulement que l'hypothèse, d'après laquelle la lumière et les oscillations 
électriques sont de la même nature, fournit à la science actuelle une base 
nouvelle pour la solution de ses plus importants problèmes, de même que, 
pendant un demi-siècle, elle a utilisé la théorie élastique de la lumière. 

R. Marcolongo (Messine). 

M. DoLL et P. Nestlé. — Lehrbnchderpraktischen Géométrie. Mit 145 fig. ; 

2ie erweiterte u. umgearbeitete Auflage. — 1 vol. in-S®, 164 p. ; prix : 
3 Mk. B. G. Teubner, Leipzig. 

Dans ce volume se trouvent réunies les notions essentielles de Géodésie 
élémentaire indispensables aux architectes et aux géomètres et à leurs aides 
dans les divers travaux sur le terrain. Il comprend donc l'arpentage, le levé 
de plans, la mesure des surfaces, le nivellement, la détermination des 
profils et le piquetage d'arcs de cercle. 

L'auteur présente avec soin et beaucoup de détails la description et la 
vérification des instruments de nivellement. Par contre nous avons relevé 
un certain nombre de fautes d'impression et d'incorrections : p. 16 (ligne 14 
depuis le bas) on lit « vertical » au lieu de « normal » ; p. 29 (ligne 13 depuis 
le bas) x = \: 100000 au Heu de x = 100000 ; p. 31, J = 743,82 au lieu de 
734,82 ; p. 32 (ligne 6) on trouve 3 fois iji|z au lieu de || ; p. 36 (ligne 6 
depuis le bas) il manque le facteur r dans 2Rir (n\-n%) ; p. 52 l'auteur écrit 
« Kromglas » au lieu de « Crownglas » ; p. 113 (ligne 13 depuis le bas), 

1 : 50000 au lieu de 1 : 5000 ; p. 122 (ligne 3) on lit : sin 7 = V^" CQS^7 

au lieu de i/^ • co» 2 7 . ^ ^23 (ligne 15) le premier B doit être remplacé 

par E ; p. 125 (ligne 1 depuis le bas) il faut supprimer x dans xr^ini. 

Ce manuel rendra de bons services dans les écoles élémentaires d'Archi- 
tecture. Ern. Kaller (Vienne). 

G. Lejeune-Dirighlet. — Yorlesimgen tQ)er die Lehre Ton den einfachen 
and mehrfachen bestimmten Integralen, herausgegeben von G. Arexidt. 

— 1 vol. br. gr. in-80, XXXIII —476 p.; prix : 12 Mk.; Vieweg & Sohn, 
Braunschweig. 



BIBLIOGRAPHIE 169 

L'éloge de Dirîchlet n'est plus à faire et le public mathématique de tout 
pays accueillera certainement avec faveur les leçons que M. Arendt — un 
ancien élève de l'illustre maître — reproduit aujourd'hui dans leur forme 
originale et authentique. 

Est-ce à dire qu'il faille considérer ce volume comme un livre à la hauteur 
des exigences modernes. En aucune façon, l'année même, 1854, où Dirichlet 
professait à Berlin le cours dont il s'agit ici, Riemann dans un célèbre 
mémoire étendait à des fonctions discontinues dans tout intervalle la notion 
d'intégrale et sa définition, actuellement dépassée, n'est plus qu'un cas par- 
ticulier de celle que M. Lebesgue a donnée dans sa remarquable thèse en 
1902. 

Dirichlet ne s'occupe, pour ainsi dire, que d'intégrales au sens de Cauchy, 
mais ses méthodes sont si parfaites, ses points de vue si personnels que 
tout en attirant l'attention sur les points les plus délicats il instruit toujours 
sans jamais lasser le lecteur. S'il est loin d'ailleurs de toucher à toutes les 
questions, il ne quitte jamais un sujet sans l'avoir en quelque sorte épuisé. 

L'ouvrage se divise en deux parties, de longueurs très inégales, la première 
consacrée aux intégrales proprement dites comprend les quatre cinquièmes 
du volume. Dans celle-ci après avoir donné la définition de l'intégrale des 
fonctions continues entre des limites finies et montré comment se généralise 
cette notion, Dirichlet fait une étude des intégrales eulériennes et autres 
actuellement classiques. 11 passe ensuite aux intégrales doubles, mais s'en 
tient pour l'aire des surfaces gauches à la définition justement critiquée 
par MM. Schwarz et Peano, ce qui n'enlève rien à l'intérêt du chapitre 
relatif à l'aire d'une surface ellipsoïdale quelconque. 

Dans le but de bien éclaircir la théorie des intégrales triples Dirichlet traite 
enfin d'une manière très complète le problème de l'attraction exercée par la 
masse d'un ellipsoïde sur un point matériel quelconque. Les résultats essen- 
tiels obtenus jusqu'à lui sont, tout d'abord, exposés avec le plus grand soin, 
puis sa solution personnelle, des plus élégantes, grâce à l'introduction de 
son facteur de discontinuité. 

Ce facteur joue encore un rôle dans le chapitre qui termine cette première 
partie. Dirichlet l'utilise pour le calcul de certains volumes, de certains 
moments d'inertie, comme aussi pour la réduction d'une certaine intégrale 
multiple à des fonctions gamma. 

La seconde partie de l'ouvrage comporte des applications touchant de près 
à la théorie des fonctions. On y rencontre entre autres, une étude sur les 
valeurs asymptotiques des factoriels infinis, une étude sur la série h3rper- 
géométrique. 

Les lignes qui précèdent ne donnent qu'un aperçu trop sommaire de la ri- 
chesse des leçons que nous venons d'analyser ; celles-ci valent la peine d'être 
lues avec soin et grande attention. Ceux qui apprennent se féliciteront de 
les avoir approfondies, ceux qui savent d'y avoir rencontré nombreux sujets 
de réflexions. G. Dumas (Zurich). 

E.-T. Whittaker. — A Treatise on the Analytical Djrnamict of Partidet 

and Rigid Bodiet ; with an Introduction to the Problem of three Bodies. 
1 vol. relié, in-S®, XHI. 414 p, University Press, Cambridge ; Clay & Sons, 
Londres, 1904. 

Dans la Préface à son excellente Dynamique analytique (1878), Mathieu a 
écrit : « Quand la seconde édition de la Mécanique anal^-tique de Lagrange 



170 BIBLIOGBAPHIS 

« parut au commencement de ce siècle, elle était une oeovre accomplie ; 
« mais Poisson, Hamilton, Jacobi et d'autres géomètres ont apporté depuis, 
« sur cette matière, des travaux importants. » 

Plus de vingt-cinq ans se sont écoulés et la publication de Mathieu a rapide- 
ment vieilli. Si les problèmes posés par les grands géomètres de la première 
moitié du XVIII »• siècle ne sont pas encore résolus, si quelques théories 
ont perdu de leur importance, d'autres ont apporté un nouveau jour sur bien 
des questions, et de nombreux travaux, notamment ceux de M. Poincaré, 
ont considérablement enrichi les théories de la Dynamique analytique. 

M. Whittaker s'est proposé de pousser aussi loin que possible l'étude 
analytique du mouvement des systèmes dynamiques ayec un nombre fini de 
degrés de liberté et de présenter un tableau complet de l'état actuel de cette 
branche de la Mécanique générale. Nous pensons qu*i\ a pleinement atteint 
son but. Disons pourtant, avec l'auteur, que son livre, qui fait dignement 
suite à VAnalytical Statics du Routh, a subi en général l'heureuse influence 
des excellents ouvrages de ce dernier. 

Le domaine à explorer était immense et, presque toujours, l'auteur a bien 
choisi les choses les plus importantes, les démonstrations les plus simples; 
et le lecteur ne doit pas chercher ailleurs tout ce qu'il lui faut pour bien 
comprendre les théories exposées: car il trouve dans l'ouvrage même un 
exposé sommaire des éléments indispensables des théories d'Analyse utili- 
sées dans les diverses applications. C'est ainsi que l'on trouvera la théorie 
de la transformation simultanée de deux formes quadratiques à la forme 
canonique, dans la théorie des vibrations des systèmes dynamiques ; les 
propriétés les plus importantes de la transformation spéciale de contact et 
du dernier multiplicateur de Jacobi dans la théorie de la transformation des 
équations de la dynamique ; etc. 

Les applications simples, variées et intéressantes se succèdent à chaque 
page, et à la fin de chaque chapitre, suivant l'usage adopté dans les livres 
anglais, on trouve de nombreux exercices, proposés dand les examens d'An* 
gleterre ou extraits de mémoires originaux. 

Après ces caractères généraux, disons quelque chose sur la distribution 
des matières si riches et si abondantes contenues dans ce volume. 

A l'exception d'un seul chapitre (te premier) qui résume les théorèmes 
et les formules les plus connues de la Cinématique d'un système rigide, et 
qui n'est certainement pas un des meilleurs du livre', VAnalytical Dynamics 
peut se partager en trois parties. 

La première partie comprend « à peu près » tout ce qu'on a coutume 
d'exposer dans un cours élémentaire de Mécanique. Les équations de 
Lagrange y jouent un rôle prépondérant et une large part est faite aux 
méthodes d'intégration qui, par les auteurs anglais, sont nommées de 
a l'ignoration of coordinates ». C'est à ces méthodes que l'auteur réduit la 
recherche des intégrales bien connues des aires et des mouvements du 
centre de masse. On y trouve naturellement tous les problèmes résolubles 
par quadratures, de la Dynamique d'un point et des systèmes rigides avec 



^ Par exemple le théorème de Chasles (art. 5) n'est pas démontré d'une manière complète ; 
la considération d'un couple de rotations est aussi incomplète (art. 4). Le théorème sur la 
composition de deux rotations, que l'auteur démontre également d'après M. Burnside, est 
attribué à Hamilton, qui lui a seulement donné la forme reproduite dans le texte : mais le 
théorème a été donné depuis bien longtemps par Rodrigues. (Journ. de Mathém. 5 11840], 
p. 380). 



BIBLIOGRAPHIE 171 

un, deux, troift degrés de liberté ; leur discussion et leur résolution est 
toujours achevée par les fonctions de Weierstrass : on doit aussi mention- 
ner un chapitre, des plus intéressants, sur la théorie des vibrations; un 
antre sur la Dynamique des systèmes non holonomes. L'auteur, qui dans la 
définition des systèmes holonomes (p. 33} a suivi Hertz (Tarins, d. Meeh, 123), 
à propos des deux conditions linéaires auxquelles satisfont les variations 
des cinq paramètres définissant la position d'une sphère qui roule sans 
glisser sur un plan (système non holonome), aurait dû ajouter la condition 
indispensable que ces relations ne sont pas intégrables *. 

La deuxième partie est, à notre avis, la plus intéressante. Elle commence 
par l'exposition des principes de Hamiltoo et de Gauss (ce dernier dans la 
forme que lui a ^onné Hertz) et du principe de la moindre action (Chap. IX). 
Le principe de Gauss méritait peut-être de plus grands développements, 
surtout d'après l'exposition magistrale faite par M. Boltzmann dans ses 
Vorl. âb. die Prineip. d. Mech. 1. Th. § 65. La démonstration du minimum 
de l'intégrale qui représente l'action est fondée, comme il est connu (Dar- 
boux. Théor. d. surf. II) sur la remarquable expression de Lipschitz de 
l'énergie cinétique. L'auteur suit une méthode bien simple, mais qui ne nous 
semble pas à l'abri de toute objection. Le chapitre suivant est dédié aux 
systèmes hamiltoniens et à leurs invariants intégraux. La théorie des 
invariants intégraux d'un système d'équations diff. du premier ordre, fondée 
par M. Poincaré, a été l'objet, dans ces dernières années, de recherches 
nombreuses, entre autres d'un mémoire très important de M. De Donder 
(Rend. Cire. Matem. Palermo, XY (1901), XYI (1902). M. Appell, dans le 
2iBe volume de son grand Traité, a fait aussi un court exposé de la théorie 
en vue des applications à la Mécanique et à Hydrodynamique. L'exposition 
de M. Whittaker n'est pas étendue ; elle se borne, d'une part, à l'étude des 
systèmes d'équations différentielles du premier ordre qui possèdent un 
invariant intégral relatif et qui ont, par conséquent, la forme hamiltonienne ; 
elle donne, d'autre part, la détermination, d'après M. Poincaré, d'un inva- 
riant intégral dont l'ordre est égal à celui du système, détermination qui 
exige la connaissance du dernier multiplicateur du système. 

Le succès des méthodes d'intégpration des problèmes de la Dynamique 
est dû à la transformation et à la réduction à des systèmes avec un plus 
petit nombre de degrés de liberté ; de là la nécessité d'une étude approfon- 
die de la théorie de la transformation des équations de la Dynamique (Chap. 
XI). D'ailleurs, la transformation des systèmes canoniques est étroitement 
liée à la transformation spéciale de contact, dont l'auteur étudie les pro- 
priétés les plus élémentaires. En effet, pendant le cours du mouvement, un 
système dynamique subit une transformation infinitésimale de contact ; le 
problème de l'intégration se réduit à un problème de transformation et 
tonte la théorie se résume dans le théorème fondamental que les transfor* 
mations de contact sont les seules qui conservent la forme hamiltonienne aux 
équations du mouvement. Dans tout ce chapitre, si nous ne nous trompons 
pas, Tantear a mis à profit les recherches de Lie, Darboux, Poincaré, De 
Donder et Morera. 



* La remarqae générale m trouve seolemeat <Uds use DOte à la pag« 210. Dans cetta 
partie, Taotaor attribue à M. de Sparre (Exar. tf , p. 1C9) le théorénaa que llierpolhodia de 
Poinsot D'à pas de poiat dlallezioa. Ce théorème eat de M. Hess {Dos RotUn u. t. w. MAnieli, 
1880). 



172 BIBLIOGRAPHIE 

La recherche de la forme nouvelle du système canonique, exige la consi- 
dération du premier système difTérentiel relatif à une forme pfaffieone ; de 
là, en quelques lignes et de la manière la plus naturelle, on trouve l'équa- 
tion de Hamilton et le théorème célèbre de Jacobi, qui est fondamental pour 
.tout le chap. XII sur les propriétés des intégrales des systèmes dynami- 
ques. Toute intégrale complète de l'équation de Hamilton définit une trans* 
formation de contact et le problème de l'intégration est le même que celui 
,de la recherche des transformations de contact qui transforment le système 
canonique en lui-même. Les propriétés des intégrales en involution con- 
duisent au beau théorème de Liouville sur l'intégration d'un système dont 
on connaît n intégrales en involution. 

Très à propos, l'auteur expose un beau théorème de M. Levi-Civîta sur 
la manière de déduire des solutions particulières d'un système canonique 
■dont on connaît des intégrales ou des relations invariantes. M. Bungatti en 
A donné une démonstration bien simple. L'auteur aurait dû mentionner la 
jaelle application que M. Levi-Civita a fait de son théorème a l'étude des 
mouvements permanents (au sens de M. Routh) d'un corps rigide, surtout 
dans le cas de la Kovalevskij '. Viennent ensuite les problèmes dynamiques 
qui admettent des intégrales d'une forme déterminée. Le cas d'une intégrale 
linéaire dans les composantes des vitesses a été considéré par M. Korkine 
et M. Pennachietti ; il a été aussi l'objet des recherches de M. Cerruti, qui, 
pour le cas d'un point libre ou mobile sur une surface, a donné des théo- 
rèmes bien élégants, qui auraient très bien figuré dans le livre de M. Whit- 
taker (Collect. math, in honor. D. Chelini, 188Î). Les problèmes qui admet- 
tent des intégrales quadratiques dans les vitesses, outre celui des forces 
vives, ne sont pas encore étudiés en général ; l'auteur se borne à rappeler 
un élégant théorème de M. Stâckel (généralisé par MM. Goursat et Bun- 
gatti). Le problème, cependant, a été résolu, pour n = 3, par M, Di Pirro 
(Ann. Matem. 24 (2), 1896), et M. Painlevé a fait connaître une classe remar- 
quable de problèmes en question. 

La dernière partie, enfin, est une introduction aux recherches modernes 
sur le problème des trois corps. On verra certainement avec plaisir l'élé- 
gance et la simplicité avec laquelle M. Whittaker, en suivant en partie M. 
Poincaré, a su exposer, en quelques pages, en s'aidant de la transformation 
de contact, les recherches de Lagrange et de Jacobi sur la réduction du 
système hamiltonien du 1%^^ ordre, relatif au problème des trois corps, à 
un du 6™*, dernière limite à laquelle, jusqu'à présent, on soit arrivé. 

Les trois derniers chapitres sont consacrés aux objets suivants : le théo- 
rème de M. Bruns, d'après lequel il n'y a d'autres intégrales algébriques 
distinctes de celles bien connues ; celui de M. Poincaré, qui montre qu'il 
n'y a pas d'intégrales d'une certaine forme (et que l'auteur expose seulement 
pour le cas du problème restreint) ; l'étude de la forme et de la disposition 
des orbites des systèmes hamiltoniens et des solutions périodiques et de 
leur stabilité ; la théorie des exposants caractéristiques de M. Poincaré ; et 
enfin une méthode, due à l'auteur, pour l'intégration de tout problème dyna* 
mique par des séries trigonométriques. 

Malheureusement les indications bibliographiques font presque entière- 



^ M. Viterbi vient de faire la même application au mouvement d'un corps dans un liquide 
indéfini loraqu'ont lieu les intégrales de Glebsch ou de Llapounoff ou de Stekloff. (Âtti Ist. 
Venetû, 62, 1903-903). 



BIBLIOGRAPHIE 178 

ment défaut dans le beau livre ; c'est une lacune que Ton ne saurait asse» 

souhaiter de Toir disparaître dans un ouvrage qui rendra certainement de' 

grands services à tous ceux qui aiment à s'orienter dans les théories le» 

plus modernes dé la Dynamique analytique. 

R. Marcolongo (Messine). 

La Reyae du Mois. — Revue mensuelle dirigée par M. Em. Borel, 1c« année 
1906 ; prix de l'abonnement annuel : Paris, 20 fr. ; Union postale, 25 fr. ; 
prix du fascicule : 2 fr. 25 ; Librairie Le Soudier, Paris. 

En fondant ce nouveau périodique la Rédaction a pensé qu'en raison du 
nombre et de l'importance des questions qui peuvent être traitées par mé- 
thode scientifique, il serait utile d'avoir une publication dont cette méthode 
serait le principe. Elle se propose de former une revue dont le but essentiel 
est de contribuer au développement des idées générales par l'exposition et 
l'étude critique des résultats nonvellement acquis. Mais ce but ne peut être 
atteint que si la publication est une revue de libre discussion, aussi la 
Rédaction annonce-t-elle qu'elle admettra « a «exprimer en pleine indépen- 
dance toutes les opinions à base scientifique ». 

Les deux premiers fascicules présentent une remarquable variété dans les 
articles, à tel point que toute personne instruite les lira avec grand intérêt 
et beaucoup de profit. Nos lecteurs en jugeront par la liste ci-dessous des 
mémoires insérés dans ces deux numéros : 

N<> 1. — ViTO VoLTERRA : Lcs mathématiques dans les science» biologiques 
et sociales. — Alf. Croiset : L'enseignement laïque de la morale. — 
G. Darboux : La vie et l'œuvre de Charles Hermite. — Emile Bourgeois : 
Au seuil de l'alliance franco-russe. I. — E. Metchnikoff : La mort naturelle 
dans le règne animal. — Et. Fournol : La codification du travail. — *** : Le 
haut commandement dans l'armée française. 

No 2. — G. BoNNiER : Entre les cryptogames et les plantes à fleurs. — 
Luc. Levt : Examens et examinateurs. — A. Charrin : Les oscillations de 
l'état physiologique. — Em. Bourgeois : Au seuil de l'alliance franco-russe, 
II. — A. Job : Le mécanisme de l'oxydation. — H. Hauser : La géographie 
humaine et l'histoire économique. — Noël Berkard : Un préjugé dans l'en- 
seignement des sciences naturelles. — Perellos : L'instruction technique 
dans la marine. 

Chaque numéro contient, en outre, une chronique scientifique et de la 
bibliographie. 

Bien qu'il ne s'agisse pas d'une revue purement mathématique, nous avons 
cru utile, dans cette première annonce, de reproduire les sommaires des 
premiers fascicules. Avec de tels articles et ceux que Ton annonce pour les 
prochains numéros, la Revue du Mois est assurée de vivre et de trouver un 
excellent accueil dans tous les pays. H. Fehr. 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 



f • Sommaipes des principaux périodiques 



ArchiT der Mathematik nnd Physik, herausgegeben von E. Lampe, W.-Fr. 

Meyer, e. Jahnkb. Dritte Reihe ; B.-G. Teabner, Leipzig. 

Band 9. — K. Cwojdzinski : Distanzrelationen zwischen Puokten und 
Geraden der Ebene sowie Puokten und Geraden im Raume. — E. Eckhardt: 
Der Gauss-Lemoinesche Punkt im Kreisviereck. — L Edalji : Hyperbolic 
Functions. — E. Gehrcke : Ueber elektrische Wellen. — M. Grossmank : 
Metrische Eigenuchaften reziproker Bûndel. — R. Guntsghe : Beitrage zar 
Greometrographie HL — W. Kapteyn : Sur l'équatfon différentielle de 
Monge. — J, Kraus : Ueber die Algorithmen von der Form «'r^ — 2 ar'^i 

+ f^x-A-» ^^ ^^X' — ^' ^^^^^^ '• Ueber ^enâre Raumkoltineationen. — L. 
Matthibssek : A.ufl68ung quadratischer Gleichuogcu mit mehreren Unbe- 
kannten mittels Determinanten. -> P. Milau : Beitraig zur Untersuchung des 
erkennlnisstheoretischen Wertes der verscbiedenen auafytisch môglichen 
Raumformen. — G. -A. Miller : The groups geoeratcd by two operators 
wbich hâve a common square. — Th. Rete: Ueber Tetraeder deren Kanteo 
eine Flache zweiter Ordnung beruhren. — E Rieckb : Neuere Anschau- 
ungen der Elektrizitatslehre mit besonderer Beziehung auf Problème der 
LuftelektrizilSt. — L. SAALscitiJTz : Zur Bildung der symetrischen Punk- 
tionen — Zur Lehre von den quadratischen Resten. — O. Spiess : Ueber 
eine Eigenachaft der binaren quadratichen Formen. — O. Staude : Uebér 
die Erzeugenden der Flache 2. Ordnung. — F. G. Teixbira : Sur quelques 
intégrales déiinies. — Jar db Yries : Zur Einfûhrung in die normalen Koor- 
dinaten. — W. Westphal : Ueber die wichtigsten Beziehungen zwischen 
elektrischen und optischen Konstanten, insbesondere ûber den von Hagen 
und Rnbens nachgewiesenen Zusammenhang des Reflexion svermôgens mit 
dem elektrischen Leitverroôgen. 

Rezensionen. — Vermischte Aufgaben. — Sitzungsberichte der Beiliner 
Mathem. Gesellschaft. 

Bulletin de la Société française de Philoiophie, publié par MM. X. Léon : 

et A. Lalande. 5"^« année 1905. Librairie Arm. Colin, Paris. 

N® 4. — Hartmann : Matière et mouvement. — Discussion : Hadamard. 
Painlevé, Perrin. 

N<>* 6 et 7. — Ces deux numéros sont consacrés au vocabulaire philoso- 
phique (lettre E jusqu'à extrinsèque). 

Atti délia Reale Accademia dei Lincei, anno 302. Rendiconti 1905, Rome. 

Vol. XIY (l^i* semestre). — M. Abraham * Sopra une applicazione del metodo 
di Riemann alla integrazione délie equazioni differenziali délia teoria degli elet- 
troni. — G. Lauricella : Sulle derivate délia funzione potenziale di doppîo 
strato. — 1d. : Sulle equazioni délia deformazione délie piastre elastiche cilin- 
driche. — L. Orlando : Integrazione di Aifra due piani paralleli. — Id. : Sopra 
alcune funzioni ausiliarie. — F^. BIA^CHI : Sulle superficie deformate per 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 175 

flessione deU'iperboloide rotondo ad una falda. — A. Ca.pblli : SuU'arbitra- 
rietà délie caratteristische nelle formule di addizione delle funzioni 5 di una 
Tariabile. — Id. : Sulle formule generali di addizione e sulle funzioni 3 di 
più argomenti. — G. Castelnuovo : Sugli integrali semplici appartenenti ad 
una superficie irregolare. — J. Cipolla : Sul numéro dei punti di VVeier- 
strass fra loro distinti di una curva algebrica di génère p, — G. Fubini : 
Nnova applicazioni dei metodi di Riemann e Picard alla teoria di alcune 
equazioni aile derivate parziali. — Id. : Sulle coppie di varietà geodicamente 
applicabil. — E. Levi : Sui gruppi di movimenti. — F. Levi-Civita. : Sulla 
ricercâ di soluzioni particolari dei sistemi dilTerenziali. — E. Pascal : 
Ricerche sulla sestica binaria. — Id. : La classificazione delle superficie di 
h^ ordine con quintica doppia. — A. Tagliaferri : Sulle superficie W appli- 
cabili sopra superficie di rotazione. — G. Veronese : La geometria non 
archimedea. Una questione di priorità. — G. Vitali : Un contributo aU'ana- 
lisi delle funzioni. — V. Volterkâ : Un teorema sulla teoria dell'elasticità. 

— Id. : SuU'equilibrio dei corpi elastici più volte connessi. — Id. : Sulle 
distorsioni dei solidî elastici più volte connessi. — Id. : Sulle distorsioni 
dei corpi elastici simmetrici. — O. Tedoke : Sul problema dell'equilibrio 
elastico di un elissoide di rotazione. — Id. : SuU'equilibrio elastico di un 
corpo limitato da un cono di rotazione. — P. Pizzetti : Relazioni fra i mo- 
menti d'inerzia di un corpo dei quale la funzione potenziale è simmetrica 
intorno ad un asse. 

(2iB* semestre.) — L. Biamchi : Sulla deformazione dei paraboloidi. — A. 
Capelli : Sulle formole generali di addizione delle funzioni 5 di più argomenti. 

— C. A. Dell'Agnola : Sulle funzioni intiere trascendenti. — A. dkl Re : 
Sulle focali di Minding. — A. Ferbari : Intorno allô spezzamento delle linee 
parallèle aile cnrve piane algebriche. — G. Fubini : Sulle coppie di varieta 
geodeticamente applicabili. — C. Z. Giambelli : Le varietà reppresentate 
per mezzo di una matrice generica di forme e le varietà generate da sistemi 
lineari proiettivi di forme. — E. E. Levi : Sui gruppi transitivi dello spazio 
ad n dimensioni. — F. Levi-Civita : Sulle funzioni di due o più variabili 
complesse. — S. Piucherle : Sulle equaioni funzionali lineari. — G. Ricci : 
Sui gruppi di morimenti rigidi negli iper spazii. — V. Volterra : Sulle dis- 
torsioni generate da tagli uniformi. — G. Almahsi : Sul principio dei lavori 
▼irtuali in rapporto aU'attrito. — G. A. Maggi : Snll'interpretazione dei nuovo 
teorema di Volterra sulla teoria dell'elasticità. 

BnlleUii de la Société mathématiqne de France. T. XXXIII, 1905. Sorbonne, 

Paris. 

Fasc. 3 et 4. — Comptes rendus des Sf'ranees. — Ardre (D.) : Sur les som- 
mes des nombres, pris de quatre en quatre, des combinaisons régulières 
d'ordre quelconque. — De Mo:(Tchel'il : Résolution' de l'équation d^ = 
dx^ •\- dy^ -f- dz*. — AuTorfRE : Sur les droites fondamentales dans les rollî- 
néatîons de l'espace an — I dimensions. — Rémoundos (G.): Sur le cas 
d'exception de M. Picard et les fonctions multiformes. — Goursat (E ) : Sur 
le problème de Monge. — Sucbar (P. J.) : Sur une transformation réciproque 
en mécanique. — Lucas (Félix) : Sur la généralisation da rapport anharmo- 
nique. — Laivdau (E.): Sur quelques inégalités dans la théorie de la fonc- 
tion Ç [s) de Riemann. — pc Sêcuier (E.) : Sur certains groupes d'ordre 
pmqn, — Lardau (E.) : Sur quelques théorèmes de M. Petrovitch relatifs 
aux zéros des fonctions analytiques. — Correspondance. 



176 BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 



S* liivres nouveaux: 

Fed. Amodeo. — Vita matematica napoletana. Studio storico. biografico, 

bibliografico. Parle Prima. — 1 vol. gr. in-S®, 216 p. ; prix: 10 L.; Franc. 
Giannini e figli* Naples. 

A. Arnaudeau. — Tables des Intérêts composés. Annuités et Amortisse- 
ments pour des taux variant de dixième en dixièmes et des époques variant 
de 100 à 400, suivant les taux. — 1 vol. in-4o de XI-[15]-125 pages; prix: 
10 fr. ; Gauthier-Villars, Paris. 

J. BoussiNESQ. — Théorie analytique de la chaleur. Tome il. — 1 vol. 

gr. in-8o de XXXII-625 p. ; prix : 18 fr. ; Gauthier-Villars, Paris. 

U. Broggi. — Matematica Attuariale. Teoria Statistica délia Mortalità. 
Matematica délie Assicurazioni sulla vita. (Manuali Hœpli). — 1 vol. cart. 
346 p. ; prix : 3 L. 50 ; U. Hœpli, Milan. 

G. Darboux. — Notice historique sur Charles Hermite. — 1 fasc. gr. 

in-4o, 54 p. ; Gauthier-Villars, Paris. 

K. Dœhlemann. — Projektiye Géométrie in synthetischer Behandlung. 
Mit 91 Fig. ; 3'« vermehrte u. verbesserte Auflage. (Sammlung Gôschen). — 
1 vol. cart. 181 p., prix: 80 Pf. ; G. J. Gœschen, Leipzig. 

L. CouTURAT. — Les Principes des Mathématiques, avec un appendice 

sur la Philosophie des mathématiques de Kant. (Bibliothèque de Philosophie 
contemporaine). — 1 vol. in-S», 311 p. ; prix: 5 fr. ; Félix Alcan, Paris. 

Ch. Fassbinder. — Théorie et pratique des approximations numériques. 

— 1 vol. in-8o, de VI-90 p.; prix: 3 fr. ; Gauthier-Villars, Paris. 

Al. Gouillt. — Traité de Mécanique élémentaire limité aux matières da 

programme de l'Université pour les classes spéciales (1904) et adopté en 
1905 pour le concours d'admission à l'Ecole Centrale. — 1 vol. in-8*», de 
204 p. ; Croville-Morant, Paris ; Georg & C*«, Genève. 

C.-A. Laisant. — Initiation mathématique, ouvrage étranger à tout pro- 
gramme, dédié aux amis de l'enfance. — 1 vol. in-12o de VIII-167 pages 
avec 97 fîg. ; prix : 2 fr. ; Hachette, Paris ; Georg & C>«, Genève. 

Ernest Lebon. — Tables de caractéristiques relatives à la base 2310 des 
facteurs premiers d'un nombre inférieur à 30030. Publication honorée 

d'une subvention de l'Association française pour l'Avancement des Sciences. 
-;- 1 vol. gr. in'8<>, 20 tableaux ; Delalain, Paris. 

E. Mahler. — Ebene Géométrie. Mit. 110 Fig. Vierte, verbesserte Auflage. 
(Sammlung Gôschen). — 1 vol. 166 p. ; prix : 80 Pf.; G. J. Gœschen, Leipzig. 

H. DE Saussure. — Théorie géométrique du mouvement des corps. Fin 

de la l*^^ partie et commencement de la 2« partie : La Géométrie des feuillets. 

— 1 fasc. de 109 p. ; Librairie Rûndig, Genève. 

Dav.-Eug. Smith. — A Fortfolio of Portraits of Eminent Mathématiciens. 

Part. II. — The open Court Publishing Company, Chicago. 

J. Tannbry. — Leçons d'Algèbre et d'Analyse à l'usage des élèves des 
classes de mathématiques spéciales (ouvrage conforme au programme du 
27 juillet 190'*) — 2 vol. gr. in-8o. Tome I. VII-4?3 p., avec 35 fig. et 166 
exercices; 12 fr. Tome II, 636 p.,. avec 104 fig. et 238 exercices; 12 fr. ; 
Gauthier-Villars, Paris. 



METHODE KXPERIMEiNTALh: DANS LA SCIENCE DES 
NOMBRES ET PRINCIPAUX RÉSULTATS OBTENUS 



Parmi les nombreux cas d'emploi de la méthode expé- 
rimentale dans In littérature mathémati(|ue de Tantiquité, 
arrAtons-nous sur un cas exposé dans le papyrus Rhind* qui 
consiste dans Tapplicalion simidlanée de la méthode expéri- 
nienlale et d'une forme pai tit'uiière de celte méthode, à savoir 
la niélliode du calcul successif de Tinconnue cherchée en 
s'appuyant sur les conditions du problème. Placé dans l'édi- 
tion Eisenlohr sous le n** 40, c'est le 2'"* problème de la 
section insérée à la fin du XIV""" tableau. Complété pour la 
clarté de l'exposition par des mots |)lacés entre parenthèses, 
Texposé du problème et de sa solution se présentent de la 
ninniêre suivante: 

« 100 pains en 5 personnes. La 7'"® partie de la part des 
trois premières personnes (est égale à la part entière) des deux 
dernières. Quelles sont les différentes parts ? » 

23 

différence 5-j fais comme il arrive 

12 

1 total 60 



* Le papynis Ilhind est une œuvra nintitéinatiquo ('gypticnne. trouvée pdr legyptologuo 
nDglais Rhind ot écrite en l'an 1700 avant J.-C.pnr l'écrivain Aiimks. Il se trouve actuellomeni 
au Britîsh Muscum. Une traduction allemande en a paru sous le lilro: August Ehcnlohr. Ein 
mathematisi'hes Handbuch der altett £gypter (Erstcr Dand. Coinmentar, i*. Zweiter Band, 
Tafeln In-fol.). Leipzig, 1877. 

L'Enseignement niH*.bém.. 8' année : 1900. 12 



178 V. BOBYMN 

2 1 

Mulliplie 1 ô- pî^r 23, cela donne maintenant 38 j 

17- 23- 

12 20 

()^ 10-3^ 

1 lolaieO l| total 100». 

L'objet du problème — former une progression arithmé- 
tique de 5 termes dont la somme soit égale à 100 et telle cpie 
la somme des deux plus petits nombres soit égale au 7'°" de 
la somme des trois autres — n'est pas exprimée d'une manière 
sufnsamment claire. 

Mais la solution suivante ne laisse aucun doute sur cet 
objet. Elle se compose de deux parties. Dans la première, 
comme cela se présente constamment dans le papyrus Rhind, 

on se donne la raison (B-x) de la progression cherchée, sans 

aucune autre explication que ces mots fais comme cela arrive 
(mâche wie geschiehl) et on constate que cette progression 
satisfait à la condition du problème relative au rapport de la 
somme de deux des nombres à celle des trois autres. Seu- 
lement la somme de cinq termes de la progression est égale 
à 60, nombre inférieur au nombre donné 100. Cela montre 
que dans la méthode des essais on avait seulement en vue 
la seconde des deux conditions, la première restant provi- 
soirement de côté. 

En toute vraisemblance on a dû considérer tout d'abord la 
progression formée par les nombres entiers 

1 , 2,3, 4 , 5 . 

Or le rapport de la somme des deux premiers à la somme 

des 3 derniers est égal à y-» il est plus petit que le rapport 

1 
donné =- . Considérons de même les progressions 

1.3, 5 , 7 , 9 

1.4, 7 , 10 , 13 

1.5, 9 , 13 , 17 
1 , 6 , 11 , 10 , 21 



MÉTHODE EXPERIMENTALE 179 

dans lesquelles le rapport considéré a respeclivement pour 
valeur ô?' "ê ' Î3 ' 48 ' ^'^ ^® dernier dîftere très peu de -^ 
(la diflerence ^st 557J On est donc conduit à augmenter la 
raison non plus de 1 comme on Tavait fait jusqu'ici mais de 
2 , et on a la progression 

1 &\ 12 17 i 23, 

et cette fois le rapport est exactement égal à = . 

La seconde condition est remplie, mais non la première 
car la somme totale est 60 au lieu de 100. 

La 2°"^ partie de la solution commence en cherchant la 
différence entre 100 et 60, soit 40. Ici, la méthode des essais 
n'intervient plus. Il s'agit de modifier les nombres trouvés, 
sans détruire le rapport de la somme des deux premières à 
celle des deux dernières, de façon à augmenter la somme 

totale de 40. Or le rapport de 40 à 60 est égal à ^ ; il faudra 

donc multiplier les nombres de la progression trouvée par 

1 ^ , et le problème sera entièrement résolu. 

»i 

En comparant les deux parties de la solution du problème, 
sous le rapport de l'exposition, il est impossible de ne pas 
remarquer entre elles une différence essentielle. Dans la 
première — on donne sans aucune indication la raison de la 
progression et cette progression elle-même, comme nous 
Favons remarqué plus haut. Dans la seconde — toute la suite 
du calcul est expliquée avec délail. On peut expliquer cette 
différence par le point de vue duquel on étudiait la question. 
Sous le rapport du calcul, la seconde partie seule est résolue. 
Dans la première, un résultat défini a paru sur le seuil de 
la conscience; le reste est demeuré plus bas que ce seuil. 

Ainsi dans Tancienne Egypte la formation du papyrus Rind 
s'est accomplie plus ou moins clairement pour la conscience, 
de même que chez les calculateurs extraordinaires de notre 
temps quand ils appliquaient la méthode de la formation 
graduelle de l'inconnue d'après les conditions du problême. 



180 V. BOB y y IN 

L'emploi de la méthode des essais s'est fait inconsciemment , 
de sorte que cette méthode n'a pas tardé à se refléter sur 
la forme même de l'exposition des solutions acquises par 
elle. Ces résolutions comme il est possible de le voir par le 
cas examiné, ont suivi immédiatement l'énoncé cqmme il 
arrive. Après la résolution, est placée la vérificatioh dont 
les détails contrastent singulièrement avec le laconisme de 
l'exposition. 

Comme exemple de la méthode de la formation graduelle 
de l'inconnue d'après les conditions du problème on peut 
citer dans la littérature mathématique de l'antiquité la règle 
de fausse position (régula faisi simplicis positionis;. Dans 
Liber Abbaci de Léonard de Pise se rencontre le prohfème 
suivant, résolu par celte règle: 

Déterminer la hauteurd'iin arbre sachantqiie la partie sou- 
terraine égale à 21 empans, constitue le- -f ^-de sa hauteur. 

Il est naturel de prendre pour hauteur le nombre 12 qui 
est à la fois divisible par 3 et par 4. En essayant ce nombre, 
on trouve que la partie souterraine est égale à 7 empans 

r^ X 12 + ^ X 12 = 7]- Donc le nombre 12 est inexact. 

Mais comme 7 est le^ de 21, le nombre cherché est 12 X 3 

ou 36. 

Ce problème et les problèmes semblables ont conduit les 
calculateurs à l'idée de la proportionnalité des grandeurs. 
C'est d'ailleurs ainsi qu'est résolu le problème dans Léo- 

nard de Pise, en utilisant la proportion -== — , ce qui donne 

I 1 1 21.12 

la valeur de .r, x = — = — . 

Le lien créé par l'étude de la proportionnalité entre la 
méthode des essais et la méthode de l'expression du nombre 
en d'autres nombres est devenu plus étroit dans une des 
méthodes de la résolution des problèmes par la règle de deux 
fausses positions. Si après la résolution par la méthode des 
essais de chaque problème, on compare les difl^érences enlre 
la véritable grandeur de l'inconnue et chacun des essais, ou 
ce qui revient au même, si l'on compare les erreurs des essais 



METHODE EX^EB/MESTALE 181 

avec les erreurs dévoilées par la Térification, il esl alors pos- 
sible de découvrir la proporlionoalité qui existe entre eux. 
Si ensuite on prend deux de ces essais^ et si on forme avec 
eux une proportion entre les grandeurs susdites^ il sera 
facile d'établir un schéma de règlededeux fausses positions, 
exprimant Tinconnue cherchée en fonction d'autres nombres. 

Pour éclaircir ces considérations générales par un exemple, 
examinons un problème inséré dans les manuscrits russes 
du XVII* siècle : 

Trouver un nombre tel que si on le multiplie par 14, et si 

on divise le produit par 4^ on obtienne 18. 

Si on essaie successivement 10, 9, 8, 7, 6, en vériGaut on 
reconnaît que les erreurs commises sont respectivement 12, 
9, 6,3,0; ce qui montre que 6 est le nombre cherché. 

Ayant pris ensuite la différence entre ce nombre et chacun 
des essais, et les ayant comparés avec les erreurs corres- 
pondantes, nous obtenons les rapports égaux 

i2 _ 9 _ 6 _ 3 

T ~ 3 "" f ""T • 

d'où Ton conclut qu'il y a proportionnalité entre les diffé- 
rences et les erreurs. 

Si ensuite on prend en particulier la proportion formée 
par les deux derniers rapports, et si on Técrit sous la forme 



m] désignant Finconnue cherchée, on obtient le schéma sui- 
vant de résolution 

m 6.7 — 3.8 
111= 6-3 • 

trouvé probablement par les Hindous et étant passé ensuite 
chez les Arabes et en Europe. 

Et ceci peut se généraliser pour tous les autres problèmes 
de même genre. Si Ton désigne par z^ et 3, deux essais, par 



182 V. BOBYNIN 

Çi et jj les erreurs correspondantes, obtenues par la véri 
fication, l'inconnue x sera donnée par la formule 



d'où l'on tire 



X 


?1 


• 

X — : 


X 


fl-»- 


-f««i 



fl — ?1 



Outre cette forme de la règle de deux fausses positions, 
utilisée plus tard, il en existait une autre, qui semblablement 
à la règle d'une seule fausse position, apparaît comme le 
résultat direct de la méthode de la formation graduelle de 
l'inconnue d'après les conditions du problème. 

Si en appliquant la règle de deux fausses positions, on fait 
deux essais différant d'une unité, la diflerence des erreurs 
est constante; et il est facile de voir que cette constante est 
le coefficient de l'inconnue dans l'équation qui conduit à la 
solution du problème. En effet, soit l'équation 

ax ■\- h •=! o . 

Remplaçons x par deux nombres z, e\. z^±\ différant de 
1, les erreurs 9^ et ^^ sont définies par les égalités 

<l3j + '> = ?, 

d'où 

— « = ?l — ?f 

De là, il résulte que pour calculer le nombre des unités 
dont doit être modifié le nombre essayé pour avoir l'inconnue, 
il suffit de connaître combien de fois l'erreur contient le 
nombre constant qui représente la modification de l'erreur 
pour deux essais différant d'une unité. En ce qui concerne 
ce nombre constant, il peut être déterminé immédiatement 
en faisant deux essais différant d'une unité, ou moins rapi- 
dement en faisant tout autre essai. Alors le nombre constant 
cherché est le quotient de la division de la différence des 
erreurs par la différence des nombres essayés. 



MÉTHODE EXPÉRIMENTALE 183 

C'est ce qu'on peut représenter de la manière siiivanle 



•*1- 


a 


" 


X 


^2- 


9% 
a 


— 


X 


jr — 


az^ 


— 


?i 




a 




X = 


«'i 




?î 



a 

a (2, — r,) = y, — y. 



« = ?^^^' 



Appliquons ces deux méthodes au problème considéré 

plus haut. En prenant les deux essais 10 et 9 qui différent 

d'une unité, le nombre contact est la différence des erreurs 

correspondantes 12 — 9 = 3; si Ton prend les deux essais 

10 et 7, auxquels correspondent les erreurs 12 et 3, la cons- 

12 3 

tante est donnée par le quotient ^ _ ^ =^ 3. Divisons mainte- 
nant Terreur 12 (correspondant à Tessai 10) par la cons- 
tante 3, nous obtenons — = 4, et en retranchant ce quotient 

de Tessai 10, nous avons le nombre cherché 10 — 4 = (>. 

Cette façon d'opérer, sans utiliser les proportions a été 
beaucoup plus ancienne que Tautre. Ce n'est que plus tard 
qu'a été mise en pratique la troisième méthode, qui con- 
duit cTailleurs aux mêmes calculs. Désignons en effet par 
31 et ig deux essais quelconques, par tpj et (p^ les erreurs 
correspondantes, et par V le nombre dont doit 'être modifié 
fessai z^ pour donner la solution. En appliquant la règle an- 
cienne des deux fausses positions on est conduit au calcul 
suivant 

V - « - y* "-y» - y» <^i ~ -»^ . 



^ - -1 



?i — ?j 



18'* r. BORYNIN 

c'est ce que donne immédiatement la proportion 

fi — y» _ ti 

Cette troisième méthode a été exposée dans les traités 
arithmétiques des XVII* et XVIIP siècles. 

L'application des règles de une et de deux fausses positions 
à la résolution d'équations non seulement du 1'^'' degré, mais 
encore du 2"* et 3"" degré a été transmise à TEurope par les 
Arabes et s'est propagée dans le cours non seulement du 
moyen âge mais aussi des temps modernes jusqu'au com- 
mencement du XIX* sfècle. De TEurope occidentale, ces 
méthodes sont passées en Russie d'abord dans les manuscrits 
arithmétiques du XVII* siècle, et ensuite dans V Arithmétique 
de Magnitsky et dans d'autres traités arithmétiques imprimés 
au XVIII* siècle et au premier quart du XIX* siècle. 

On les retrouve dans l'un d'eux, imprimé pour la première 
fois en 1794 « Arithmétique élémentaire à l'usage des en- 
fants » de Michel Memorsky, et elles se sont maintenues dans 
l'enseignement grâce à la diffusion de ce traité qui a eu de 
nombreuses éditions dans tout le cours du 19* siècle et qui 
en a encore de nos jours. 

Les problèmes résolus par la règle de deux fausses posi- 
tions dans les manuscrits arilhméti(|ues russes du 17* siècle 
se rapportant à une équation du 1**" degré à une inconnue, et 
à des systèmes d'équations du l*"" degré à 2, 3 et 4 inconnues. 

Les illustres auteurs de la littérature mathématique à 
l'heure actuelle semblent ignorer l'histoire de leur objet et 
ne pas comprendre les besoins des élèves de l'école populaire, 
car ils ont supprimé complètement dans leur enseignement la 
règle des fausses positions. Sous ce rapport ils doivent être 
placés plus bas que l'illustre auteur, très connu au 18* siècle, 
Kourganoff' qui dans son arithmétique disait : « Bien que par 
l'invention de l'algèbre, la règle des fausses positions n'est 
pas nécessaire, néanmoins, cette méthode a été exposée ici 
pour ceux qui ignorent l'algèbre ou pour ceux qui ne dé- 
sirent pas la connaître, attendu qu'on peut s'en passer dans 



METHODE EXPERIMENTALE 185 

les calculs ordinaires (édition de 1776, p. 200). D'ailleurs le 
succès sans exemple en Russie du livre de Memorsky qui a 
surpassé le succès de tous les traités d'arithmétique, et qui 
seul consacre un chapitre à l'exposition de la règle des 
fausses positions n'est-ii pas une éclatante leçon pour tous 
ceux qui feignent d'ignorer les véritables besoins des éco- 
liers? 

Outre Tétude de la proportionnalité, autre découverte im- 
portante acquise à la science par la formation graduelle de 
Tinconnue d'après les conditions du problème, on employa 
dans la nouvelle algèbre un procédé pour résoudre les équa- 
tions du 1®*" degré à une inconnue. Le papyrus de Rhind nous 
offre un tableau très clair du développement de ce procédé 
qui consiste dans la division du terme connu de Téquation 
par le coefficient de l'inconnue. Les quatre premiers problèmes 
des Hau s'occupent de la détermination de l'inconnue con- 
naissant la somme de cette inconnue et d'une de ses parties. 
Comme ils se résolvent tous de la même manière, nous 
prendrons le N® 24 de Fédition de Eisenlohr. 

Tas. Sa 7* partie et son entier font 19. 



* . 7 


. 8 


*r2 

4 


* 




2ll 






* ..16 


'i' 






4li 

^ 2 4 






\^ 




* 


4 


9^ 
^ 2 










1 

7 


2 


1 1 
4 8 


ensemble 19. 



1 1 

Fais, comme il arrive, inconnue 16 ^ g" 

La première des quatre colonnes représente la description 
du problème en essayant le nombre 7, qui paraît le plus 
commode. La deuxième et la troisième sont consacrées à la 
division de 19 par 8 et la quatrième à la multiplication de la 
fraction trouvée par 7. 

La vérification montre que le nombre essayé 7 ne convient 
pas; le calcul a du conduire le calculateur égyptien «n des 
considérations semblables à celles qui ont trouvé place dans 



186 F. BOBYNIN 

le problème exposé plus liant de Léonard do Pise sur la 
règle de fausse position. Puisque le nombre donné 19 est la 
somroe.de Tinconnue et de sa septième partie, la diminution 
de ce nombre jusqu'à 8 ne peut provenir que de la diminution 
dans le même rapport de Tinconnuc elle-même. Or le quotient 

de 19 par 8 est représenté par le nombre fractionnaire 2 ^ ^ . 

Par conséquent Tessai 7 est le résultat de la diminution de 

1 1 
l'inconnu dans le rapport 2 t- g , et par suite, pour avoir 

1 1 
l'inconnue il faut multiplier 7 par 2 - g- c'est ce qu'indique 

la quatrième colonne. 

Nous trouvons des problèmes du même genre, mais un 
. peu plus compliqués dans les n®" 31-34 de l'édition Eisenlohr. 
Il s'agit de déterminer l'inconnue connaissant la somme de 
cette inconnue et de plusieurs de sqs parties, . - 
Par exemple, voici le problème N® 34. 

1 1 

Tas. Son -^ , son -r , son entier : tout cela domine 10. 

* lli 

* 4 7 

* - 7- ensemble niconnue 0-^-77 



Commencement do la vérification : 



. f; 1 1 1 
• ^ 2 7 Ï4 

*i 9i i 11 

2 "^ 2 i 14 28 

1,1111 ui r. t t .11 

* 4 ^T 8 2-8 56 ensemble 9^8 reste ^ ^ 



1 1 


1 


4 28 


2 


*il 
2 14 


1 



1 -L J_ J- J. i_ i 

7 14 14 28 28 56 4 



14 



844221 i? ensemble 21 

o 



METHODE EXPERIMENTALE 187 

L'exposition de la solution du problème parait beaucoup 
plus courte que précédemment. Les deux colonnes qui la 
composent comprennentune seule opération,, la division de 10 

par 1 "2 T ^ dont le résultat est l'inconnue cherchée. La vé- 
rification qui suit ne s'occupe plus de Tessai, mais de la solu- 
tion elle-même, 

Nous voyons apparaître ici Tunité comme nombre essayé, 
et non seulement dans ce problème, mais dans les trois autres 
qui l'accompagnent et qui sont du même genre. Grâce à cet 
emploi, les opération» qui déterminentrinconnue sont beau- 
coup plus simples, puisqu'une seule division suffit. Cepen- 
dant les calculateurs égyptiens ne paraissent pas avoir eu 
une idée très nette des avantages que présentait l'emploi de 
l'unité, puisque dans les solutions de problèmes analogues, 
ils ont fait des essais différents de l'unité. 

En connaissant la solution des problèmes du deuxième 
groupe Eisenlohr et Kantor ont été conduits à considérer 
ce groupe comme un recueil de problèmes relatif à la 
résolution d'équation du 1*' degré à une inconnue, suivant 
les méthodes de l'algèbre moderne; et la solution des pro- 
blèmes du deuxième groupe n'a pas suffi à les retenir dans 
cette erreur, qui d'ailleurs n'a pas passé inaperçue. Elle 
a été signalée par un orientaliste français Léon Rode dans 
un travail. « Les prétendus problèmes d'algèbre du manuel 
du calculateur égyptien (papyrus Rhind) » paru en 1882 dans 
le Journal Asiatique de Paris. D'après ses propres paroles, 
il a été conduit à la découverte de l'erreur de .Eisenlohr et 
de Kantor, » « après une étude très approfondie des chiffres 
et des explications qui les accompagnent quelquefois » 
(p. 5). Il ne faut donc pas considérer les solutions de ces 
problèmes comme résolutions d'équations dans le sens de 
l'algèbre moderne, mais comme de simples « applications du 
procédé de la fausse position » (p. 6). 

L'importance et les avantages de l'emploi de l'unité comme 
nombre à essayer ont été remarqués seulement par les Egyp- 
tiens, parmi tous les peuples civilisés de l'antiquité. Aussi 
après plus de 2000 ans, nous trouvons dans les œuvres ma- 



188 V. BOBYNIN 

thémaliques de l'Inde (12** siècle après J.-C.) des problèmes 
du même genre que ceux du papyrus Rhind, qui sont résolus 
en essayant des nombres quelconques. Dans le livre de 
Siddhantaçiroman par Bhâskara on trouve, par exemple, le 
problème suivant : 

On multiplie un certain nombre par 5; on retranche le 

1 . . . 

-r du produit, on divise le reste par 10 et au quotient on 

ajoute successivement le •» , la j et le -r du premier nombre. 

On trouve 68. Quel est le certain nombre? 

La solution est obtenue par le procédé utilisé dans le pre- 
mier des deux problèmes considérés plus haut du papyrus 
de Rhind. 

Ayant pris pour essai le nombre 3, et ayant calculé le ré- 
sultat de la vérification par les conditions du problème, 
Tauteur indien trouve la valeur de Tinconnue 48 en divisant 

17 
le nombre donné 68 par le résultat de la vérification -7- , et 

en mullipliant le nombre trouvé 16 par Tessai 3. 

C'est par cette méthode qu'opéraient les mathématiciens 
arabes quand ils n'utilisaient pas la règle des deux fausses 
positions. Ainsi dans un ouvrage du moyen âge composé 
d'après les sources arabes ou emprunté directement à ces 
sources « Liber augmenti et diminutionis vocatus mimeratio 
divinationis ex eo quod sapientes Indi posuerunt, quem 
Abraham compilavit et secundumlibrum qui Indorum dictus 
est composuit » se trouve le problème suivant : 

Si d'un certain nombre on retranche son tiers et son quart 
il reste 8. Quel est ce nombre ? 

L'auteur donne la solution suivante : 

1 1 

Prends 12 pour nombre inconnu, en enlevant le -^ et le t^ 

il reste 5, ensuite demande-toi par quoi il faut multilier 5 

2 . . 2 

pour avoir 12? cela donnne 2 -, et ensuite multiplie 2 ^ par 
8, et tu obtiens 19 g . 

Cette solution diffère de la solution donnée plus haut du 
premier problème du papyrus Rhind par la transposition des 



METHODE EXPERIMENTALE 189 

moyens dans la proportion j :=r — , on a désignée le résultat 

de la vérification de Tessai, b le nombre donné et c Fessai 
lui-même. 

D'une manière claire ou confuse la méthode de la forma- 
lion graduelle de Tinconnue d'après les conditions du pro- 
blème devait reposer sur les considérations suivantes : 

Chaque nombre doit être le même nombre de fois plus 
grand ou plus petit que le nombre qu'on en déduit par les 
conditions du problème. Donc, autant de fois l'essai 12 sur- 
passe le nombre 5, autant de fois l'inconnue cherchée devra 
surpasser le nombre 8. Il faut donc pour avoir l'inconnue 

multiplier 8 par le nombre 2 -^ que donne la division de 12 

par 5. 

Dans l'Europe occidentale le développement du procédé 
employé en algèbre moderne pour la résolution de l'équation 
du premier degré à une inconnue s'est déduit de la méthode 
des essais parcelle voie de généralisation dans laquelle se 
sont avancé les mathématiciens de l'Europe occidentale. 
(]eux-ci ont été conduits tout naturellement à remplacer les 
essais numériques et définis par des essais indéterminés, 
figurés d'un manière symbolique, et ensuite la découverte de 
Viete et venue généraliser le procédé, en permettant de 
résoudre les équations du 1®' degré et du degré supérieur à 
une ou plusieurs inconnues. 

Les opérations que l'on faisait jadis sur les essais furent 
étendus à des symboles plus généraux. Celte extension, en 
algèbre élémentaire, donna naissance aux méthodes de subs- 
titution et de comparaison dans la résolution des équations, 
et au procédé trouvé par les Hindous et Baschet de Meziriac 
pour la résolution des équations indéterminées au premier 
degré. 

Si, comme beaucoup le font, on forme le domaine de 
l'algèbre à la seule théorie des équations, alors, en nous 
appuyant sur l'historique que nous venons de présenter 
de l'origine des moyens employés dans l'algèbre moderne 
pour former et résoudre les équations du premier degré à 
une inconnue, nous pouvons dire avec certitude que l'algèbre 



190 /. ANDRADE 

est déduite de la méthode des essais, ou d'une manièxe plus 
précise de la méthode de la formation graduelle de rinconiiue 
d après les condilions du problème. 

V. BOBYMN (Moscou). 
(Traduction de M. E. Papelier, Orléans.) 



GEOMETRIE APPLIQUEE 

LA THÉORIE DES ROTATIONS ET LE NIVEAU A BULLE 



Théorème I. (Principe des deux demi-tours). — Soient QVi 
et OYa deux axes concourants. Pour déplacer un solide par 
un demi-tour sur Taxe OVi, on peut déplacer le solide par 
un demi-tour sur Taxe OV2 suivi d'une rolation égale à 2 fois 
Tangle V«OVi exécutée autour d'une perpendiculaire au plan 
des axes. 

Remarque, La démonstration est immédiate; on peut aussi 
regarder cette proposition comme un cas particulier de la 
combinaison de deux rotations successives finies. 

Soit à composer ces deux mouvements d'une figure sphé- 
rique : 1** une rotation }l2 exécutée autour du pôle P« ; 2** une 
rotation Ta exécutée autour du pôle Pi. 

On construit un triangle sphérique de base P2P1 dont le 
côté P2 M issu du pôle de la première rolation, est sur Tare 
de ffrand cercle obtenu en faisant tourner Tare P«Pi autour 
de Pa de Tangle — ^12 ai dont le côté Pi M issu du pôle Pi 
est sur Tare de grand cercle obtenu en faisant tourner Parc 
PiPa de Pangle + ir 3ii autour de Pi. 

M est le pôle de la rotation équivalente aux deux rotations 
successives et son amplitude est Pangle extérieur <J:; .rMPi 



GÉOMÉTRIE APPLIQUÉE 191 

Mj7 étant le prolongement de Tare P2M. 

Théorème II. (Principe des deux quarts de tour). — Soient 
dans Tespace deux axes concourants OVi et 0V« et donnons 
à un solide le dé|)laccnient de un quart de tour sur OVi. Ce 
déplacement peut être obtenu par un quart de tour sur OVa, 
suivi 1* d'une ro4ation V«OVi autour d'une perpendiculaire 
au plan ViOVi et 2® d'une rotation de même amplitude au- 
tour d'une perpendiculaire à OVi menée par O dans le plan 
Vi OVs. 

La démonstration se lait immédiatement en considérant le 
solide comme déOni par deux demi-barres assemblées^ dont 
les positions initiales seraient précisément OVt et OVx. 

Théorismk III. — Soient F et Q deux points d'une surface 
sphérique dont la distance angulaire est i (mesurée avec 
l'unité Irigonométrique des angles). 

Une rotation y d'une figure sphérique autour du pôle Q 
peut être remplacée par une rotation y autour du pôle P sui- 
vie d'une rotation j" autour d'un point H situé sur l'arc de 
grand cercle dont P est le pôle. 

Or le triangle PQH nous donne : 

1 1 

<»•> 2 1 «'" 2 1 

2 ' sin HQ sin< 

Supposons maintenant les angles i ety fort petits; 
on aura f =y, à des quantités près de l'ordre deji^ ; 

sensiblement [/ =y -f- - mji^]; 

m étant voisin de 1. 
et, ...y = (/' = ij\ à desquanlités près de l'ordre de if î^. 



• 



Application des théorèmes précédents au problême sui- 
vant : Rendre vertical Taxe du pivotement d'un solide, par 
exemple un théodolite. 

On suppose que Ton dispose d'un niveau à bulle, porté 
par l'instrument. Le niveau à bulle consiste essentiellement 



i92 y. AN BRADE 

en une surface en verre, de révolution et de très petite roiir- 

bure méridienne : 

1 1 

200'" ^" 400"» * 

L'intérieur de celle surface est remplie d'élher dont une 
bulle de vapeur se place symétriquement dans un plan mé- 
ridien vertical; le milieu de celte bulle définit un point du 
solide de verre où la tangente à la méridienne de la fiole est 
horizontale. 

Le niveau est toujours placé de manière que Taxe de révo- 
lution de la surface graduée de la fiole soit à peu près hori- 
zontal. Taxe de la fiole constitue la base du niveau. 

Supposons le niveau du théodolite ayant sa base à peu près 
parallèle à la droite OA qui joint le pied O de Taxe à une vis 
A du trépied de Tinstrument. L'axe élant placé, à Vœily à peu 
près vertical, supposons d'abord que Ton donne à Tappareil 
une rotation exacte d'un demi-tour autour de son axe et 
cherchons «à prévoir le déplacement qui va en résulter pour 
la bulle. 

Soit OVs Taxe de Tinstrumenl, OVa sa projection sur le 
plan vertical mené par OA et soit OVi la verticale menée 
par O soit <) Vi OV2 = i et <J V2 OV3 = /r. 

D'après le théorème 1 le demi-tour sur OVs est rempla- 
çable par un demi-tour sur OV2, suivi d'une rotation 2 k au- 
tour de la droite Ox perpendiculaire au plan V2OVS, c'est- 
à-dire presque parallèle à OA. La tangente à la méridienne 
de la fiole en la première position de l'appareil fait un an- 
gle a très petit avec l'axe Ox et cette tangente par la rota- 
tion 2k va faire avec sa direction primitive un angle /3 dont la 
moitié a pour sinus 

sin a sin k c'est-à-dire que seiissiblement p =i 2X:« . 

Voyons maintenant l'effet du demi-tour sur 0\%\ ce der- 
nier peut être remplacé par un demi-tour sur OVi et par 
une rotation d'amplitude 2i autour de l'horizontale [)erpen- 
diculaire au plan vertical OA. Celle-ci aura pour effet de dé- 
placer la division d'arrêt de la bulle presque dans le même 
plan méridien de la fiole et d'un angle égal à 2i\ si donc le 



GÉOMÉTRIE APPLIQUÉE 193 

ilemi-loiir effecluée on agit sur la vis A de manière à rame- 
ner la bulle de la moitié de son déplacement, on redressera 
la droite de OV2 vers OVx, et très sensiblement de Vangle i. 
D'après le théorème III, nous poiM'ons en effet très sensi- 
blement remplacer la rotation 2A* autour de 0.r: 1** par une 
rotation sensiblement égale autour de Taxe de la fiole, rota- 
tion qui change le ])lan méridien de la fiole sans changer les 
rangs des divisions tangentes à la bulle, et 2^ par une rota- 
lion autour d'un axe perpendiculaire à Taxe de la fiole et 
sensiblement égal à 2yk, y étant Tangle de Taxe de la fiole et 
de O.r, ce qui produira un déplaeement d'orientation de Tor- 
dre de yh, lequel est négligeable si l'une ou Vautre des quan- 
tités y OU k est comparable à i. 

Supposons que la rotation réalisée autour de OVs ne soit 
pas exactement de 1 demi-tour, mais un demi-tour plus une 
petite rotation résiduelle i. 

Soit / Tangle Vs OVi , la rotation résiduelle â sur OVs peut 
être remplacée par une rotation sensiblement égale à l au- 
tour de OVi et par une rotation sensiblement égale il autour 
d'une horizontale ; celle-ci sera négligeable si d ou l est de 
Tordre de i ou ce qui revient au même si k ou d est de Tordre 
de / (car l <C i -\- k). 

La correction i ayant été effectuée, comme on Ta dit, pour 
te qui est de sa valeur principale par la vis A, on achève de 
produire le retour de la bulle à sa position médiane en agis- 
sant sur la vis propre du niveau, ce qui a pour effet de ren- 
dre en cette position Taxe de la fiole horizontal. La pro- 
jection de Taxe sur le plan vertical OA est alors verticale. 

Pour achever le réglage de Taxe de Tappareil, on fait tour- 
ner Tappareil autour de son axe, de 1 quart de tour. Supposons 
d'abord que cette rotation exécutée sur OW2 soit exactement 
de 1 quart de tour, elle équivaut à 1 quart de tour sur OVi 
suivi 1** d'une rotation K autour de OA et 2'* d'une rotation K 
autour d'une droite OY' située dans le plan OVi perpendi- 
culaire à OWa, le quart de tour sur OVi ne déplace pas la 
bulle, la première rotation K déplace la bulle de Tangle K, 
la deuxième rotation K autour de OY' qui est Taxe de la fiole, 
modifie le méridien central de la bulle, mais sans modifier 

L'Eniieigncinont miithém., 8« annôe ; 1906. 13 



19'i E. CAHVALLO 

les divisions tangentes extrêmes, la première rotation sur OA 
déplace la bulle de Tangle K. 

On la ramène à sa position ])rimitive, en agissant sur les 
vis B et G, mais en sens inverse et de quantités égales pour 
laisser la direction OA invariable. 

Si enfin le quart de tour n'est pas rigoureusement exact et 
s'il comporte une petite rotation résiduelle e autour de OW2, 
celle-ci peut être remplacée par une rotation e autour de OVi 
et par une rotation eK autour d'une horizontale voisine de 
OY, dont TefTet est négligeable vis-à-vis de TelFet principal K. 

La première est d'ailleurs sans action sur la bulle. 

On voit comment la théorie élémentaire des rotations fait 
claire et précise la méthode opératoire du réglage des appa- 
reils de positions à axe vertical. 

Jules Andrade (Besançon^ 



SLR LA CONVERGENCE ABSOLUE DES SERIES 



Les mathématiciens recherchent avec raison la précision 
et la rigueur des termes. Dans cette voie, il peut être intéres- 
sant d^appeler leur attention sur un langage impropre consa- 
cré par l'usage, mais qu'il est aisé d'améliorer comme je vais 
rexpliquer. 

On adopte en général, pour les séries, les énoncés suivants : 

DÉFINITION. — Une série convergente est rf//6 absolument 
convergente si la série des modules de ses termes est aussi con- 
vergente. La série proposée est semi-convergente si la série 
des modules est divergente. 

Théorème. — On n altère pas la valeur d'une série absolu- 
ment convergente en changeant l'ordre des termes. On peut 
altérer arbitrairement la valeur d'une série semi-convergente 
en changeant l'ordre de ses termes. 



SUR LA CONVERGENCE ABSOLUE DES SÉRIES 195 

L'énoncé du théorème, juste dans le fond, est mauvais dans 
la forme; car, dans deux sens opposés, il comporte les idées 
fausses que voici : 

Tne somme dépend de Tordre de ses parties- 

La série absolument convergente ne change pas de valeur 
quand on rejette indéfiniment son premier terme au delà du 
terme de rang n auquel on s'arrête dans la suite des évalua- 
tions approchées de la série. . 

De bons auteurs', il faut le dire à leur louange, prennent 
soin de commenter le texte pour en préciser la signification 
de façon à écarter ces fausses interprétations. Il n'en est 
pas moins vrai que Ténoncé demeure défectueux et leur souci 
d'en expliquer les termes est une preuve suffisante de sa dé- 
fectuosité. 

Je propose le texte que voici : 

Théorème. — Si une série est absolument convergente^ on 
peut choisir arbitrairement^ parmi les termes qui suivent le 
rang n, des termes en nombre quelconque et à des places quel-» 
conques; la somme des termes choisis tend toujours vers zéro 
quand n croit indéfiniment. 

Si la série est semi-convergente^ on peut altérer arbitraire-- 
ment la somme des n premiers termes de la série en y ajoutant 
des termes cçnvenablement choisis parmi ceux qui suivent le 
rang n *. 

Le nouveau texte, ne prêtant pas à l'équivoque, ne réclame 
aucun éclaircissement. Ayant au fond la même signification 
que le texte ancien, il admet la même démonstration et les 
mêmes applications. Toutefois, respectant mieux dans la 
forme la réalité des faits, il entraîne plus de simplicité et de 
clarté dans les explications. 

On le voit, le changement que je préconise comporte un 
bien faible dérangement aux usages. Par contre, il me pa- 
raît avoir l'avantage notable d'éviter des confusions possibles 
et un effort parasite pour la traduction d'un texte incorrect en 



* Taknbhy, Introduction à l'étude des foutions, 1886 ; p. 54 à 5B. 
NiRWKMOLOWSKi, Cours d'atgrbre, 1891 ; t. I, p. 292 et 293. 

* S'il s'agit d'une »ério à termes réels, on peut par cette altération donner à la «érie telle 
▼alear que l'on veut. St la série a ses termes imaginaires, on peut donner, par exemple à la 
partie réelle de la série, telle valeur que l'on veut. 



196 V. JAMET 

une idée juste. Il n'est peut-être pas inopportun de rappeler 
ici que les membres de la Société mathématique de France 
ont connu sur ce sujet les scrupules d'un de leurs anciens 
confrères. Malheureusement, Fauteur s'obstinait à voir dans 
rincorrection du langage une idée fausse de Cauchy. Par son 
manque de mesure et de perpicacité, il a sans doqte éloigné 
ses auditeurs d'une observation qui avait quelque chose de 
juste. 

E. Carvallo (Paris). 



SUR UN DEVELOPPEMENT EN SERIE ENTIERE 



Quand on veut donner aux élèves, antérieurement à toute 
notion sur les dérivées, l'exemple du développement d'une 
fonction en série entière, on recourt tout naturellement à 
ridentité. 



k-i 



(1) Il — J-)"' = 1 + jr -h jr* + j» + ... 

(pour X < 1), qui résulte, soit de la théorie de la division, 
soit des progressions géométriques. Je me propose de géné- 
raliser cet exemple, et j'attache une certaine importance à 
cette généralisation, à cause de l'application dont elle est sus- 
ceptible, et par laquelle je terminerai cet article. Pour le mo- 
ment je veux montrer comment la formule (1) entraine, 
comme conséquence, la formule suivante 



(2) (1 - ^)-'" = 1 + - jr -h - \_J^ ^' 



-r» 4- ... 



m{m -\r \\ ... (m -\- p — \ ) „ 



p' 



pour toutes les valeurs entières de m. 



SUR Uy DÉ VELOPPEMENT EN SÉRIE ENTIÈRE 197 

Soient, en efl'et, deux séries entières 

S = ffo -f OxX -f a%x* + . . . 
T = />o -f btx -h //,x«+ ... 

convergentes pour une même valeur de x. Je dis que le pro- 
duit ST est égal à la somme de la série 

dont la convergence résultera de la démonstration ci-après. 
Désignons par S» la somme des n -f 1 premiers termes de 
la série S, par T„ la somme des /i -f 1 premiers termes de la 
série T, posons 

S = S„ + a . ï = T„ -h p 

et observons que 

ST = S« T„ -h d'Vn + /3S« + «p . 

Nous en déduisons que, n croissant au delà de toute limite 
S«T« a pour limite ST. 
Mais 

p=n 
Sh T/i = ^y ia^hp 4- <ii/>/»-i + ... -h Opt/o)xP. 

p=0 

Donc le second membre de cette égalité a pour limite ST. 

Admettons maintenant que Fégalité (2) soit vraie pour une 
certaine valeur de m et proposons-nous de démontrer qu'elle 
est vraie pour la valeur suivante. A cet effet, multiplions les 
égalités (1) et (2) membre à membre. Nous trouvons : 

m{m H- 1) , , 

-T • • • T- 



,l__;,-|- + .>=2(l+T + 



1-2 

p = i) 



m(m H- 1) . . ■ (w 4- /? — . , » p 



^) 



198 V. JAMET 

et il reste à démontrer que le coefficient de x^ est égal à 

(m + l)^w + 2) ... [m -{- p] 

Soit donc 



P'- 



. __ (m + iKm + 2) ... (m +/? ; 



On trouve, successivement 
De même 

Am,p-t = A/«,^-t -|~ A//i-i,^-i , 
A.m.p't = Am,p't -|- Am-t,p-% , 

Am , I =^ A/n ,1 -f" A w 1 , 1 . 

A,/i,t = wi 4- 1 

En ajoutant ces égalités membre à membre, et supprimant 
les termes communs aux deux membres de Tégalité résul- 
tante, on trouve 

Am,p = A/H'tip- ï "1" Am-i,/»-i -j- . . . -|- A/n-t,t -\~ -z h ^ » 

OU bien : 

,m + 1) (m -h 2) . . (m + ^ — 1 ) , , m . m (m + 1) , , 

FT = *"^"T+ 1.2 + '"-^ 



P 

m {m -1-1) . . (m -f /; — 1 ) 



c. y. f. d. . 



Application. Il résulte de ce qui précède que pour toute 
valeur de m, entière et positive, le nombre 



(■ - r 



est égal à la somme de la série 

I a. 1 J- "*^"^ "*" ^^ L _u ^(^ + i)(w. -f- 2 ) J_ 
"^ 1 "*" 1.2 • m« "^ J.2.3 • m«"^ ■" 



SUK UN DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE ENTIÈRE 199 

Or le terme général de <!elte série, savoir 



m (m -h 1 } (m 4- 2» . . . (m -f yp — 1 ) 1 



est égal à 



(■^-:)('-:)-('-^) 



On en conclut 



13) 



('-r>'-2/,='- 



D'autre part : 






J'aurai donc démontré que, in croissant au delà de toute 
limite, les deux nombres 



ont pour limite e, si je fais voir que leur difterence a pour 
limite zéro. Or 

et, en vertu de Tidentilé : 

jr*" - a'"= ix — a) x'""' + ax'""» + ii'j-"»-» + . . . + «'""*) , 



200 V. JAMET 

On en conclut : 

+ 1^4-.)'"- (* + id\ iin^^ '" (' + ,^)"'"'<"T^i = 

et celle inégalité démontre la proposition. 

Y. Jamet (Marseille;. 

P. S. — Au moment de corriger répreuve, je m'aperçois 
que la dernière partie de ce travail est susceptible d'une 
grande simplification. En effet, la relation (3) entraîne la sui- 
vante : 



ou bien 



Mais : 



/ 1 \-(m + l) 

+ J >- 

\ m/ \ m/ m \ m/ 



Donc : 



\ m/ \ m/ m \ m/ 

donc 



\ m/ \ m/ \ m 



et l'on est conduite la même conclusion que ci-dessus. 



SrK LES ELEMENTS DE LA THEORIE 
DES ENSEMBLES ORDONNÉS 



Ail moment où la théorie des ensembles tend à consliluer 
le fondement même des mathématiques, il ne paraîtra peut- 
être pas sans intérêt de rechercher s'il ne serait pas avanta- 
geux de modifier légèrement le point de vue auquel s'est 
placé G. Gantor pour Texposé des éléments de la théorie des 
ensembles ordonnés. Get exposé gagnerait à notre avis, une 
allure plus naturelle si Ton rapportait la notion d'ordre, qui 
en est la base, à la notion plus générale d'inclusion. 

Pour effectuer cette transposition, il suffît de remarquer 
qu'il est équivalent de dire qu'un élément déterminé mi ù\in 
ensemble M précède un autre élément déterminé /w« ou que 
l'ensemble des éléments qui précèdent /;?i est inclus dans 
IVnsemble des éléments qui précèdent w?«. Il résulte de cette 
remarque que « ordonner un ensemble M, c'est définir des 
« ensembles formés d'éléments de M (ou sous-ensenibles de 
a M), tels que deux quelconques de ces ensembles donnent 
« toujours lieu à une relation d'inclusion )>. 

Soit S un ensemble de sous-ensembles de M satisfaisant 
à la condition qui vient d'êlre énoncée (ces sous-ensembles 
seront dits les termes de S). A tout élément m de M corres- 
pond un ensemble G\m) (évidemment fonction de in) formé 
de tous les éléments qui npparlicnnent à l'un au moins des 
termes de S n'admettant pas m comme élément; on peut éga- 
lement distinguer l'ensemble F(/;/) formé par les éléments 
de M qui appartiennent aux mêmes termes de S que m. En- 
lin on peut en outre considérer l'ensemble G' [m) composé 
des ensembles Gim] et F(//?). Ces divers ensembles sont par- 
faitement définis; car chacune des qualités qui les caracté- 
risent appartient ou n'appartient pas à tout élément déter- 



202 G. COMHEBIAC 

miné de M. L'ensemble ¥{m) rorrespond à Tidée de coupure^ 
(|ui ne saurait être conçue en dehors de Tidée d'ordre; les 
ensembles G(m) ou G' [m) représentent la grandeui\ à laquelle 
donne lieu toute relation d'ordre. 

Si l'on exprime par le signe ' < la relation d'inclusion sans 
identité d'un ensemble dans un autre, on démontre que la 
condition nécessaire et suffisante pour que deux éléments 
déterminés mi et ms de M soient tels qu'il existe un ternie 
au moins de S admettant m\ et non pas mt est : 

G (m,) < G (wt) ou G'(mi) < G' (/«,) . 

De même, la condition nécessaire et suflisante pour que 
deux éléments m\ et m% appartiennent aux mêmes termes de 
S consiste dans l'identité de G(wi) et G{m^ ou bien encore 
de G'(^i) et G'(/W8). 

La relation exprimée dans la théorie de l'ordre par les 
mots « compris entre » est évidemment directement appli- 
cable. Les ensembles G(m) et G'{m) sont toujours des termes 
de la suite ^ S si celle-ci est partout disjointe, c'est-à-dire si 
les termes compris entre deux quelconques des termes de S 
sont en nombre fini (sans exclusion du nombre zéro). Dans 
le cas où la suite S est partout compacte, c'est-à-dire où deux 
termes quelconques en comprennent toujours d'autres, G(/w) 
et G\m) ne peuvent pas faire partie à la fois de cette suite ; 
mais ces derniers ensembles n'en sont pas moins parfaite- 
ment définis. 

Si l'on appelle champ d'une suite d'ensembles l'ensemble 
formé par les éléments qui appartiennent à l'un au moins 
des termes de cette suite, il est clair que toute suite d'en- 
sembles, même dépourvue de dernier terme, donne lieu à 
un champ, et Ton obtient ainsi la définition la plus naturelle 
de la limite d'une suite sans dernier terme ; la notion de 
limite se trouve ainsi établie d'une manière plus générale 
et surtout plus directe que par la méthode habituelle, et il 



' La signiiication habituelle de ce signu n'est qu'un cas particulier do celle-ci {>ar suite de 
rr^quivalcnce dos idées d'ordre et d'inclusion. 

' Nous dirons, pour abréger le discours, que des ensembles tels quo deux quelconques 
d'entr'eux donnent toujours liou à une relation d'inclusion forment une suite. 



SUB LA NOTION DE VRAIE VALEUR 203 

suffit de démontrer la propriété qui, dans cette méthode, sert 
de définition. On se trouve ensuite naturellement amené à 
la considération des notions introduites par G. Canlor: en- 
sembles enchaînés, parfaits, etc., en adjoignant au besoin, 
aux termes de la suite S, d'autres ensembles dont chacun 
doit posséder la propriété de contenir les ensembles G'(w) 
relatifs à tous ses éléments. G. Combebiac (Bourges). 



SUR UNE EXTENSION POSSIBLE DE LA NOTION 

DE VRAIE VALEUR 



Toute collection de faits analytiques conduit à un essai de 
coordination et cet essai peut quelquefois aboutir à l'établis- 
sement d'une théorie. C'est ainsi que des faits analytiques 
relatifs aux séries divergentes ont conduit tout récemment 
d^illustres mathématiciens à poser les premiers fondements 
d'une théorie des séries divergentes. 

Je me propose de montrer, dans cette note, comment quel- 
ques faits analytiques semblent indiquer une extension pos- 
sible de la notion de vraie valeur. 

I. — Prenons d'abordle problème ordinaire de la vraie valeur. 

Considérons une fonction définie par une certaine expres- 
sion analytique F{j7). Il peut arriver que pour une certaine 
valeur a: = a^ de la variable, l'expression analytique F (jc;) 
cesse d'avoir un sens: la fonction n'est donc pas définie au 
point X = a. Pour la définir on regarde si l'expression ana- 
lytique F(.r) tend vers une valeur limite lorsque .r tend vers 
a. Si cette valeur existe et si elle est égale à A on convient 
de poser, par définition, 

F (fl) = A 

et c'est ce nombre A qu'on appelle vraie valeur de F (.r) au 
point x=. a. 
On voit donc que pour définir la fonction considérée au 



204 D. POMPEIU 

point X = «, on lui impose la condition d'êlre continue en ce 
point. C'est sur cette convention que repose la notion or- 
dinaire de vraie valeur. 

Considérons maintenant un cas moins simple : une fonction 
est définie, dans un certain intervalle {x\ x") par une ex- 
pression analytique qui cesse d'avoir un sens pour une cer- 
taine valeur a de la variable; mais l'expression analytique 
qui définit la fonction ne tend vers aucune limite déterminée 
lorsque x tend vers a. Il n'est donc pas possible de définir 
la fonction au point a par la vraie valeur ordinaire, parce 
que cette vraie valeur n'existe pas. 

Mais, au lieu d'imposer à la fonction la condition d'être 
continue au point a (ce qui ne réussit pas dans le cas actuel) 
on peut lui imposer la condition d'être, dans Tintervalle 
.r' < rt < x" une fonction dérivée. Si cela réussit, la fonction 
ne peut avoir, au point a^ qu'une valeur A bien déterminée 
et Ton pose, par définition, 

F (a) = A 

On peut continuer à appeler le nombre A vraie valeur de 
la fonction au point a, ou plutôt vraie valeur généralisée. 

Il n'y a là qu'une convention, mais si l'on peut montrer 
que cette convention est utile, alors elle est aussi légitime 
que la convention ordinaire sur laquelle repose la notion 
commune de vraie valeur. 

II. — Je vais donner seulement deux exemples, mais on 
peut les multiplier à volonté. 

Considérons la fonction f(t) = sin -- , qui est indéterminée 

1 

au point / =: 0. On démontre facilement que sin - est une 

fonction dérivée et alors on a f{0) = 0. Ce sera, par défini- 

1 
tion, la vraie valeur de sin -- au point / = 0. 

Cela admis, la transformée de sin ■- , en posant / = - , est 

sin.r. On en déduit la convention suivante : pour x = ce on di 
sin X = 0. Et, l'on peut facilement montrer qu'on a aussi 
cos ar = 0, sin ax = pour o^ = oo , a étant un nombre fixe 
quelconque. 



s un LA NOTION DE VRAIE VALEUR 205 

Voici maintenant deux faits analytiques qui légitiment cette 
convention. 

(1«). — On a 

I a* -|- a' 







e-"^ cos axdx = 



a« -h a« ' 



avec a > o. 

Supposons maintenant a = o: i\ vient, 



1 sin ajcdx =z — , / cos axdx =. , 



(1) 





Mais 



SI 11 Qc.r 



/ . , cos o.r / , 

I SI II aj^ar =r , I cos «j*tfjr :=: 

En comparant avec (1) on voit que 

cos 00 = 0, sinoo^rO, 

ce qui s'accorde avec notre convention. 

Cet exemple est pris dans le Traité de Calcul intégral de 
Todhunter. 

(2**). — Considérons maintenant avec M. Picard (Traité 
d* Analyse : I, 32; l" édition) l'intégrale: 



00 



(2) . / ".lllJif d'à- , 



/sin 



OÙ nous supposons a > 0; le changement de variable a.r = y 
ramène cette intégrale à la suivante 



00 



/sin r 
u 



dr 



L'intégrale (2) ne dépend donc pas de a. En efïet, si nous 
la dérivons par rapport à a nous trouvons 







00 

COS ajcdx 



et cette intégrale est nulle d'après notre convention. 



206 D, POMPEIU 

III. — Le principe qui doit servir de guide pour légitimer 
celte exteu&ion de la notion de vraie valeur est le même que 
celui qui a servi pour édifier la théorie des séries divergen- 
tes. Je le copie, en ne changeant que quelques mots dans le 
livre de M. Borel sur les séries divergentes : 

Faire correspondre à une expression analytique F(j7), en 
un point d'indéterminationy une valeur telle que la substitu- 
tion de cette valeur à F (.r), dans les calculs usuels où elle peut 
se présenter j donne des résultats exacts, ou du moins presque 
toujours exacts. 

Une conséquence immédiate, qu'on tire de ce principe, 
c'est que la notion généralisée doit comprendre comme cas 
particulier la notion ordinaire. 

Une autre remarque essentielle et qui s'impose par les faits 
analytiques eux-mêmes c'est que certaines opérations qu'on 
peut effectuer, dans les conditions ordinaires, cessent d'être 
légitimes avec la notion généralisée. Cela devait naturelle- 
ment arriver puisque cela arrive dans toute extension : c'est 
ainsi, par exemple, que par l'introduction des variables com- 
plexes, les propriétés exprimées par des inégalités cessent, 
soit d'avoir un sens, soit d'être vraies lorsqu'on ne suppose 
plus les variables réelles. 

Quelles sont, après l'introduction de la notion de vraie 
valeur généralisée, les opérations du calcul algébrique et du 
calcul intégral qui continuent à être légitimes ? 

Voilà la question essentielle. Je n'ai p*as l'intention de 
l'aborder ici; mais JQ crois avoir montré par ce qui précède, 
qu'elle mérite d'être examinée. 

D. PoMPEiu (Jassy, Roumanie). 

Note de la Rédaction. — Nous rappelons, à propos d^; cet article, que 
la Rédaction laisse toute liberté aux auteurs, dont la responsabilité scieo- 
tiiique seule est engagée. Cet essai d'une extension de la notion de vraie va- 
leur nous a paru intéressant, mais il y aurait lieu de faire certaines réser- 
ves, principalement pour ce qui concerne cos oo et sin oo . 



SUR L IRREDUCTIBILITE 
DE CERTAINS DÉTERMINANTS 



SI les éléments 



du déterminant 



a.j {i, j = i,2, ... , n) 



A = I a,j I 



sont des variables ou des indéterminées indépendantes^ ce 
déterminant est une forme entière rationnelle irréductible de 
ces indé terni in ées * . 
Si les éléments 

b-j {i =y r= 1 , 2, ... , n\ 

du déterminant symétrique 

B = I 6^. I . 

oii bij= bjij sont des indéterminées indépendantes, ce déter- 
minant est une forme entière rationnelle irréductible de ces 
indéterminées. 

On peut démontrer ces deux théorèmes, dont le premier 
est classique, en même temps de la manière suivante : 

Si A ou B était déconiposable, toute forme du degré n pro- 
venant de A ou de B en remplaçant quelques indéterminées 
par les nombres zéro ou un (ou autres nombres entiers ra- 



' Nous disons avec M. Jur.KS Konio d'une forme (c'est-à-dire d'une polynoino) qu'elle 
est cntiète et rationnelle, si ses cœfGcients sont des nombres entiers rntionncls. Une for- 
me entière rationnelle du degr<^ zéro est un nombre entier rationnel. Une forme enti<*re 
rationnelle est irréductible j si, elle ne se décompose pas on un produit de deux formes en- 
tières rationnelles difTcruntes toutes deux de -|- 1 et de — 1. 



208 



/. RICHARD 



tionnels) sera aussi décomposable. Donc dans ce cas le déler 
minant 

.rj 1 ... 



D,, = 



1 ^,10 

1 jTa l 

1 .r, 

■ « • • 













• « 

Xii'X 1 

1 Jrn 



OÙ les indéterminées laissées dans la diagonale principale 
sont désignées par .ri, jJai ..., .r«, devrait être décompo- 
sable. Mais pour, n = 1 et 2, les formes 

D, rz: Xx I)t = a*! jr^ — 1 

sont évidemment irréductibles, et à tout autre cas s'applique 
la conclusion de /i — 1 à /i. 
On a 

D« = Xii D/i_i — D/i-t 

OÙ les déterminants D„..t et Du-a semblables à D,, ne contien- 
nent pas Xn» Par conséquent la forme Du linéaire en Xn en 
peut se décomposer que si D».! et l^n-t avaient un facteur 
commun différent de Tunité positive ou négative. Mais c'est 
impossible parce que Dn-x etD,i_2 sont deux formes différentes 

supposées irréductibles. 

Jos. KuRSCHAK (Budapest). 



CONSIDÉRATIONS SUR L'ASTRONOMIE, 
SA PLACE INSUFFISANTE DANS LES DIVERS DEGRÉS 

DE L ENSEIGNEMENT 



Dans la classification des sciences l'Astronomie occupe 
une place toute particulière. Si l'on envisage l'objet étudié, 
l'Astronomie se range parmi les sciences naturelles. Le phy- 



CONSIDERATIONS SUR L'ASTRONOMIE 209 

sicien en effet fait naître ou modifie les phénomènes qu'il 
étudie, le naturaliste au contraire observe les phénomènes 
se produisant d'eux-mêmes. Or s'il existe des phénomènes 
que rhomme ne peut ni faire naître, ni modifier d'aucune 
manière, ce sont à coup sur les phénomènes célestes. 

Par sa méthode au contraire rAstronomie est toute mathé- 
matique. L'Analyse, la Géométrie, la Mécanique, le Calcul 
des probabilités y trouvent leurs plus belles applications. 

Les connaissances des anciens relatives aux astres étaient 
très limitées, par contre l'aspect de la voûte étoilée était, 
semble-t-il, plus familier au grand nombre que chez les mo- 
dernes. Les poètes anciens, Virgile, Ovide, par exemple, font 
preuve d'une connaisauce des constellations à laquelle les 
poètes modernes sont en général loin d'atteindre. 

Ces derniers font souvent preuve d'ignorance et même 
d'un certain dédain pour la connaissance du ciel. Le seul 
mérite scientifique de Boileau est de s'être moqué de TAstro- 
nomie en faisant rimer axe avec parallaxe. 

Mais prenons La Fontaine, le seul des poètes français de 
cette époque qui ait vu de la poésie dans la nature. Lisez la 
fable où le renard aperçoit la lune au fond d'un puits et la 
prend pour un fromage. Elle témoigne d'une rare ignorance. 
D'abord la lune pour être vue ainsi doit être à peu près au 
zénith, chose impossible en nos régions; de plus, d'après la 
fable, elle s'y trouve encore deux jours après, et: 

« Le temps qui toujours marche avait pendant deux nuits 

Echancré selon l'ordinaire 
De l'astre au front d'argent la face circulaire ». 

Or, deux nuits après la pleine lune, l'astre n'est nullement 
echancré. 

Au dix-neuvième siècle, les poètes et littérateurs ne sont 
pas plus avancés en Astronomie. Lamartine fait lever Vénus 
le soir, Musset fait commencer le printemps au mois de Mai. 

Dans une petite comédie récente, un personnage regar- 
dant dans une cheminée aperçoit la lune au bout. La lune au 
zénith de Paris ! 

Cependant de telles absurdités ne choquenl personne. Cela 

L'Enseignement mathém., 8« année ; 190A. 14 



210 7. RICHARD 

prouve que les notions astronomiques les plus simples sont 
peu répandues. Cependant d'excellents ouvrages de lecture 
attrayante mettent cette science à la portée de tous. 

Mais du moins ceux qui étudient les sciences^ les élèves 
des lycées, des universités connaissent-ils rAstronomie? La 
réponse est certainement celle-ci. Ils la connaissent fort 
peu. 

Dans les programmes de renseignement secondaire la 
Cosmographie tient une faible place. En 1902 pourtant des 
réformes importantes furent introduites dans l'enseigne- 
ment scientifique. La Cosmographie en profita, mais pour 
peu de temps. Par une modification récente des program- 
mes son importance fut de nouveau diminuée. 

Cette diminution ne me semble pas logique. L'esprit des 
nouveaux programmes est de donner à l'enseignement ma- 
thématique un caractère plus concret. On veut faire voir 
en la mathématique non pas une science purement idéale 
ayant pour objet de pures conceptions de Tesprit, mais une 
science ayant pour objet la réalité concrète s'appliquant à 
tout ce qui nous entoure, servant à accroître notre connais- 
sance du monde extérieur. 

• Rien de mieux que cette conception. Si les problèmes abs- 
traits ont de rintérét pour le savant, le concret seul intéresse 
rélève. Or c'est là le véritable problème de renseignement. 
Il s'agit, pour que renseignement soit fructueux, d'intéresser 
l'élève. 

Mais ne convient-il pas, dès lors, d'attribuer plus d'impor- 
tance aux applications concrètes des mathématiques'. La 
Cosmographie, même assez élémentaire, fournit d'intéres- 
santes applications. La construction des cadrans solaires n'est 
p<is bien compliquée. On pourrait avec avantage en trigono- 
métrie remplacer certains développements peu utiles par la 



' Les applications ëlnmenlairos à la Géographie mathématique et à l'Astronomie occupent 
une très honne place dans les nouveaux programmes allemands (1902). Consulter^ entre* 
autres, les recueils de A. Schulkb, Aufgaben-Sammltmg aus dtr Arithmetiky Géométrie, 
u. Stéréométrie, Leipzig, 1902, et de Schustkh, Ceometrische Aufgaben u. Lehrbuch der Geth- 
metrie^ II. Trigonométrie, Leipzig, 1903. Voir aussi, dans les lieue Beitrdge zur Frage des 
math. u. phys. Unterrickts, publiés par Ki.kin u. Rieckb, l'article de K. Sr.HWAHZSciiiLn 
sur les observations astronomiques que l'on peut faire à l'aide de moyens tout à fait élé- 
mentaires. (Note dk la Rkdaction.) 



CONSIDÉRATIONS SUR L'ASTRONOMIE 211 

démonstration des trois formules du « Groupé de Gauss >> en 
trigononiétrie sphérique. On indiquerait aiix élèves la ma- 
nière de se servir de ces formules, et on leur laisserait le 
soin de démontrer eux-mêmes les formules donnant les an- 
gles en fonction des côtés. 

Dans ces conditions les exercices de calcul logarithmique 
au lieu de porter sur des problèmes de pure fantaisie devieh- 
draient'tout à fait réels. Voici des exemples: 

1* Questions relatives au lever et coucher des astres. 

2'' Distance de deux points dont on connaît la latitude et la 
longitude. 

3'' Calculer Tazimuth d'un mur, connaissant l'heure où 
Tombre de ce mur ne se projette ni d'un côté ni de l'autre. 

4** De Dijon on aperçoit le Mont-Blanc. On donne les lati- 
tudes et longitudes des deux points. Dans quelle direction 
faut-il braquer une lunette à Dijon pour que le Mont-Blanc 
soit dans le champ ? 

5** De Marseille on aperçoit le Canigou lorsque le soleil 
se couche derrière; à quelles époques de l'année le phéno- 
mène se produit-il? 

11 est possible d'aller plus loin, et de donner à des élèves 
n'ayant que les connaissances exigées à la seconde partie du 
Baccalauréat, quelques notions de Mécanique céleste. 

J'ai trouvé dans les œuvres de Voltaire une démonstration 
de la loi des aires. Cette démonstration due probablement à 
Newton, est d'une remarquable simplicité. Je la reproduis 
ici en abrégeant le plus possible. 

Supposons le point A attiré vers le point S. La force d'at- 
traction agit d'une manière continue; on suppose pour la 
démonstration qu'elle agisse en quelque sorte par saccades 
à intervalles de temps égaux à Jï, Jï étant très petit. 

Pendant un premier intervalle de temps S", le mobile par- 
court le petit segment AB. Si la force n'agissait pas, pendant 
un second intervalle Jï, le mobile parcourrait un second seg- 
ment BC= AB dans le prolongement de AB. Mais l'attrac- 
tion de S donne en B une impulsion, et amènerait le point 
de B en H si la vitesse "acquise n'existait pas. Pour avoir la 



212 /. RICHARD 

véritable position du mobile au bout du second intervalle de 
temps, on n'a qu'à composer les déplacements BH et BC, on 
construit le parallélogramme BHDC. BD est le déplacement 
résultant. Le point vient donc en D. 

Or les deux triangles BSD, BSC sont équivalents : ils ont 
même base BS et même hauteur, la distance de CD à BS, 
d'autre part BSC et BSÂ sont équivalents, ils ont même base 
AB = CD et même hauteur, la distance de S à la droite ABC. 




Donc Taire ASB est égale à Taire BSD. Les aires décrites 
par le rayon vecteur pendant les intervalles égaux à S* sont 
donc égales. 

C'est le principe des aires. 

II ne me semble pas facile d'aller plus loin, et de déduire 
les autres lois de Kepler de la loi de Tattractîon, par des pro- 
cédés élémentaires. Mais on peut faire Tinverse. 

Voici une manière de procéder. 

J'établis d'abord deux formules fournissant deux expres- 
sions de la vitesse aréolaire soient FM et FM'^ les rayons vec- 
teurs aux époques i et ^ + 9", et soit a leur angle. L'aire par- 
courue est comprise entre les deux secteurs circulaires de 
rayons FM et FM' et tous deux d'angle a, c'est-à-dire entre 

\ a . FM'et \ a FM'' 

En divisant par 3- chacune de ces deux expressions, et fai- 
sant tendre S* vers 0, on voit que leur limite commune est 

1 ' 2 

0) désignant la limite de a : 3", c'est-à-dire la vitesse angulaire 



CONSIDERATIONS SUR L'ASTRONOMIE 



2ia 



de rotation du rayon MF. Telle est une première expression 
de la vitesse aréolaire. 
On en a une seconde en remarquant que Taire du triangle 

FMM' est égale à = MM' X A (A est la hauteur issue de F;, 

en divisant par 3-, remarquant que -^ a pour limite la vitesse 

t' du point M, et A a pour limite la distance p du point F à la 
tangente en M, on voit que la vitesse aréolaire est 

. 1 

Considérons une ellipse de foyer F, parcourue par un mo- 
bile M, de façon que la vitesse aréolaire du rayon vecteur 
FM soit constante. Si T désigne le temps employé par le mo- 
bile pour parcourir Tellipse, a eX. b les demi-axes de cette 
ellipse. Taire de Tellipse étant -nab^ la vitesse aréolaire est : 

A = -TjT • (ly 

Nous allons chercher Taccélération du point M. Soit F' le 

second foyer, p la distance du foyer F à la tangente en M, et 

p* la distance du foyer F' à cette même tangente. On sait 

que : 

pp' = h- . 

Soit P le symétrique de F' par rapport à cette même tan- 
gente, on sait que FP = 2a. 
D'autre part 



or 



F'P = 1p' . 






donc 

ainsi F'P représente la vitesse 
multipliée parle facteur cons- 
tant A', et tournée d'ailleurs 
d'un angle droit, puisque F'P est perpendiculaire à la tan- 




214 y. RICHARD 

gehte en M. Le lieu de P représente donc Thodographe 
transformé par une homothétie de rapport k^ et une rotation 
d'un angle droit. La vitesse du point P est donc égale à l'ac- 
célération y cherchée multipliée par k et tournée d'un angle 
droit. 

P décrivant un cercle de centre F et de rayon 2«, la vi- 
tesse du point P est perpendiculaire à" FP. Donc l'accéléra- 
tion qui s'obtient en faisant tourner cette vitesse d'un angle 
droit est dirigée suivant PF ou suivant MF. 

Ainsi l'accélération est dirigée vers F. Pour l'avoir en gran- 
deur, désignons par u la vitesse angulaire de MF ou de PF. 
La vitesse de P est wFP ou 2^0). Mais on vient de voir que 
cette vitesse est ky. Donc : 

X^ = 2 a w . 

D'ailleurs on a l'expression de la vitesse aréolaire 

1 — « 

A = - MF . « ; 

de ces deux équations on déduit 

4 Art 
MF 

remplaçons k par sa valeur -r 

4A«fl 
7 = -=:, •' 
6» M F 

enfin remplaçons A par sa valeur (1), on a 

^ MF 

y est donc en raison inverse du carré de la distance. En 

outre, d'après la troisième loi de Kepler, le coefficient -^j- 

est le même pour toutes les planètes. 

On pourra aussi étudier le mouvement d'une planète sur 
son orbite et établir l'équation de Kepler. L'aire du secteur 



CONSIDERATIONS SUR L ASTRONOMIE 215 

elliptique parcourue par le rayon vecteur s'évalue facilement, 
en considérant l'ellipse comme projection d'un cercle. 

Beaucoup d'autres problèmes susceptibles d'une solution 
simple se présentent en Astronomie. Ainsi l'étude des étoi- 
les doubles conduit au problème de Géométrie suivant. Une 
ellipse inconnue a son foyer eu un point donné A d'un plan 
P et se projette sur le plan P suivant une ellipse connue. 
Déterminer l'ellipse inconnue, en grandeur et en position. 

J'ai envisagé l'Astronomie dans l'enseignement secondaire. 
Voyons maintenant le rôle joué par celte science dans l'en- 
seignement supérieur. 

Je ne m'étendrai pas beaucoup sur ce point. Les condi- 
tions de la licence mathématique ont en effet changé. Le 
grade de licencié comporte un certificat d'Astronomie. Il 
est à croire que depuis ces conditions nouvelles les études 
astronomiques sont moins sacrifiées qu'autrefois dans l'ensei- 
gnement supérieur. Ignorant s'il en est réellement ainsi, je 
ne puis qu'être très bref. 

Il est certain que de mon temps, vers 1886, on faisait bien 
peu d'Astronomie. L'année scolaire est, on le sait, divisée 
en deux semestres, dont le dernier, en dépit de son nom n'a 
que quatre mois. Pendant ces quatre mois, nous suivions 
deux fois la semaine un cours d'Astronomie. 

Le Professeur, M. Ossian Bonnet, dont le nom est connu 
de tout mathématicien, faisait un cours très détaillé. II trai- 
tait en premier lieu les questions préliminaires indispensa- 
bles. Trigonométrie sphérique, développements en série, géo- 
métrie infinitésimale sur la sphère, réfraction atmosphéri- 
que par une méthode fort intéressante. Quand toutes ces 
questions étaient traitées et que l'on allait aborder l'Astro- 
nomie proprement dite, la fin de l'année arrivait. 

J'ai donc fait sur cette science intéressante des études tout 
à fait incomplètes. Je me suis depuis efforcé de combler cette 
lacune dans mon esprit. J'ignore si actuellement l'étude de 
l'Astronomie dans les Facultés est moins délaissée qu'autre- 
fois. Cette science, comme toutes les applications des ma- 
thématiques aux sciences naturelles présente pour le mathé- 



216 /. RICHARD 

maticien un grand intérêt. Trop souvent en Analyse, surtout 
dans les parties les plus abstraites, les problèmes proposés 
sont très artificiels. Ils ont Tair d'être inventés tout exprès 
pour être résolubles, et le sont souvent en effet. Dans l'ap- 
plication des mathématiques aux phénomènes naturels, le 
problème est posé par la nature. 11 ne s'agit pas de modifier 
renoncé de façon à avoir une solution simple. Si on le fait 
ce ne peut être que comme méthode pour parvenir aux cas 
naturels. C'est ainsi que dans le problème des trois corps on 
peut chercher les solutions périodiques. 

Hermite, dans son cours, se plaisait à faire remarquer que 
les plus belles questions d'Analyse ont leur origine dans 
l'étude de la nature. La Série de Pourier, les polynômes de 
Legendre, les fonctions de Lamé, de Bessel, en sont des exem- 
ples frappants. C'est par Tétude du pendule que Greenhill 
aborde la théorie des fonctions elliptiques. Il y aurait donc 
proiit pour Tétudiant, après avoir suivi un cours d'Analyse, 
où les choses seraient présentées d'une façon abstraite, né- 
cessaire à la rigueur, à faire l'application de cette Analyse à 
des questions concrètes; et parmi celles-ci les questions 
d'Astronomie se présentent tout d'abord. 

Je termine ici ce plaidoyer en faveur de l'Astronomie. J'ai 
voulu montrer combien cette science est négligée aux diffé- 
rents degrés de l'enseignement, et combien elle mérite peu 
de Tétre. 

J. Richard (Dijon). 



ENQUÊTE SUR LA METHODE DE TRAVAIL 

DES MATHÉMATICIENS 



LES RESULTATS * — IV 



Questions 4 et 5. 



i. — AveZ'Vous conservé un souvenir précis de votre manière 
de travailler lorsque vous poursuiviez vos études, alors que le 
but était plutôt de s'assimiler les richesses d'autrui que de 
vous livrer à des recherches personnelles ? Avez-vous sur ce 
point quelques renseignements intéressants à fournir ? 

;3. — Une fois les études mathématiques usuelles (corres^ 
pondant par exemple au programme de la licence mathémar 
tique ou de l'agrégation ou de deux licences) terminées, dans 
quel sens avez-vous cru devoir orienter vos études ? Avez- 
vous d'abord cherché à acquérir une instruction générale très 
étendue sur plusieurs points de la science avant de produire 
ou de publier quelque chose de sérieux? Avez-vous au con- 
traire cherché à approfondir d'abord un point particulier en 
n'étudiant à peu près que ce qui était indispensable dans ce 
but; et n est-ce qu ensuite que vous vous êtes étendu peu à 
peu ? Et si vous avez employé d'autres méthodes pouvez-vous 
les indiquer sommairement. Quelle est celle que vous préférez ? 

Rép. I France;. — 4. Je travaillais au hasard des questions qui, 
tour à tour, m^atti raient ; je n'ai jamais bien su un « (^ours », 
n'ayant pu prendre sur moi de m*en assimiler les détails oiseux 
ou lourds, et si je n^ai jamais échoué à un examen, si jamais je 
n*ai fait ce qui s'appelle « en préparer un », jamais non plus ji* 



> VoirI'£ju. maik.,, 7* auée. b*5, p. 387-390 ; o* S. p. ilZ~'t7H, I9*»h ; »• tfOO^«, o* 1, p. 43- 
48. 190«. 



218 ENQUÊTE SUR LA MÉTHODE DE TRAVAIL 

n'en ai subi avec quelque éclat. Je conseille à la jeunesse de ne pas 
m'imiter, de bien s'assimiler les cours, à condition toutefois que 
pro^frammes et professeurs veuillent bien les expurger impitoya- 
blement de toutes choses inutiles, ce qui malheureusement n>st 
presque jamais le cas. 

5. Je h*ai jamais choisi les questions qu'au hasard de mes goûts 
et de l'intérêt que ces questions m'ont successivement présenté. 
Je n'ai presque rien lii et le regrette. Je conseille aux autres de lire 
tant qu'ils pourront pendant leur jeunesse, mais en étant guidés 
de manière à éviter l'innombrable quantité d'écrits qui n'appren- 
nent rien. Ch. Mëray. 

Rép. IV (Autriche). — 5. Je me suis efforcé h connaître le plus 
possible de branches mathématiques, afin d'éviter de donnera 
mes études un caractère unilatéral. Encore maintenant, une fois 
un travail personnel terminé, j'étudie pour changer un ouvrage 
sur un sujet qui m'est moins familier. Zinoler. 

Rép. V (Italie). — 4 et 5. Dès l'âge de IC ans, lors de mon entrée 
dans les études universitaires, je pris l'habitude de lire et d'étu- 
dier dans toutes les directions, auteurs classiques et auteurs... de 
moindre valeur. Je voulais m'emparer de tout ce que l'on a fait en 
mathématiques ! En même temps je voulais faire des recherches 
pour mon compte. (...) 

. Rép. VI (Allemagne). — 4. Je m'occupe de préférence de recher- 
ches personnelles. Lorsque je lis les travaux d'autres auteurs, je 
me borne souvent à lire les résultats et je cherche à les établir en- 
suite moi-même. 

5. Je publiai déjà au 3'"® semestre de mes études un mémoire de 
géométrie pure. Plus tard après avoir appronfondi mes études 
analytiques avec Weierstrass et Kronecker, je fus conduit uni- 
quement par intérêt géométrique aux recherches de Riemann et 
de Lie et je pus me servir avec succès des moyens analytiques. 

(•••:■ 

Rép. IX (France). — 4. Je n'ai jamais eu de goût pour le métier 
d'écolier que j'ai très mal fait et que je ferais encore très mal. 
J'aime comprendre et creuser, je ne m'occupe pas d'apprendre. 
Quand je cesse de chercher, j'oublie. 

5. Je n'ai employé de parti pris aucune méthode. J'ai seulement 
voulu élucider l'enseignement que j'ai reçu et avoir la réponse 
aux questions non résolues. J'ai travaillé, non pas pour savoir et 
me faire une carrière plus brillante, mais par simple curiosité. 

I... . 

Rép. Xïll (Angleterre). — 4. J'ai toujours été porté vers les re- 
cherches personnelles aussi bien pendant ma période d'étudiant 
qu'après. Quand on a trouvé quelque chose par soi-même dans 
une branche quelconque, on pénètre beaucoup mieux dans les 



ENQUÊTE SUR LA MÉTHODE DE TRAVAIL 219 

travaux des autres. L'un des principaux attraits des mathémati- 
ques est de réaliser par ses efforts personnels les difficultés d'un 
sujetet ensuite de chercher de quelle manière on peut les vaincre. 

Rép. XVll (Allemagne). — 4. Déjà comme étudiant je discer- 
nais facilement les choses essentielles dans une étude difficile et 
je les condensais en un exposé rapide. 

5. Je me suis d'abord dirigé du côté de recherches spéciales et 
ce n'est que plus tard que j'ai élargi le domaine de mes connais- 
sances. (...) 

Rép. XVIIl (Italie). — 4. J'ai toujours lu, peu de livres, mais des 
bons. Je les étudiais complètement et je reviens souvent aux 
points qui sont restés obscurs. 

5. L'un et l'autre, c'est-à-dire que tout en cherchant à acquérir 
une instruction générale, je fixai aussi mon intention sur des 
points particuliers qui m'attiraient davantage et au sujet desquels 
je me sentais capable de produire. (...) 

Rép. XIX (Allemagne). — Lorsque j'étais étudiant je n'ai à mon 
regret, pas travaillé d'une manière systématique, comme cela se- 
rait désirable pour une culture rationnelle. Je n'ai jamais éprouvé 
beaucoup de plaisir à étudier des ouvrages d'une certaine étendue; 
une fois que je possédais les bases des branches spéciales; je 
cherchais' à continuer par mes propres moyens. Il en résultat 
nécessairement des lacunes et des détours inévitables (...) 

Rép. XXI (Allemagne). — 4 et 5. J'avais toujours des doutes sur 
ce que je lisais ou j'entendais, tant que je n'avais pas obtenus les 
résultats par une voie personnelle. Je considérais toujours d'abord 
des cas particuliers et afin de bien comprendre la véritable signi- 
fication d'un théorème, et ce ne fut qu'ensuite que je cherchais la 
démonstration générale. Ludw. Boltzmann. 

Rép. XXII (Etats-Unis). — 5. Après avoir acquis des connais- 
sances générales en mathématiques, j'ai préféré entreprendre un 
sujet particulier et l'étudier à fond. E.-B. Escott. 

Rép. XXill (France). — 5. Une fois la licence prise en sortant 
de l'Ecole polytechnique, j'ai commencé par travailler pour mon 
agrément, des problèmes d'Algèbre ou de Géométrie analytique 
surtout, avec une tendance continuelle à les généraliser. Je n'étu- 
diais guère dans les livres que ce qui m'était nécessaire pour les 
résoudre. J'ai taché ensuite de procéder à une revision générale 
des cours classiques d'Analyse et de Mécanique analytique. Plus 
tard, sous l'impulsion de Houél et de Bellavitis, je me suis adonné 
à une étude très, attentive et approfondie de tout ce qui avait été 
fait sur les équipollences et les quaternions. Mais en résumé 
l'étude dans les livres m'a toujours été très pénible. 11 me semble 
qu'en principe il vaut mieux chercher par soi-même, sauf à con- 



220 ENQUÊTE SUR LA MÉTHODE DE TRAVAIL 

trôler et compléter ses résultats par des lectures ultérieures. Pour 
cela cependant un premier bagage général est nécessaire. 

C.-*A. Laisant. 

Rép. XXVI (France). — 4. Je ne mûris une question qu'en y ré- 
fléchissant en me promenant seul. 

5. Après l'agrégation j'ai passé beaucoup de temps à étudier 
THydrodynamiquë, sur laquelle je n'ai rien publié. J'ai abandonné 
cette étude parce que les fluides parfaits m'ont semblé trop loin de 
la réalité. Depuis j'ai étudié toutes espèces de choses; mais sur- 
tout la Géométrie. Lorsqu'il paraît un ouvrage semblant contenir 
des choses intéressantes et nouvelles, je Tacheté, de sorte que mon 
genre d'étude dépend un peu de ce qui se fait ailleurs. 

J. Richard. 

Rép. XXVII (Hollande). — 4. J'ai toujours éprouvé le besoin de 
remanier un mémoire ou un livre selon mon goût personnel. Avant 
de m'attacher à l'étude d'une question, je lis par ci par là des 
chapitres isolés se rattachant à celle-ci. 

5. Depuis ma promotion (1881) je me suis toujours d'abord 
orienté dans un domaine, puis j'ai cherché à produire du nouveau, 
ce.qui m'a presque toujours réussi. Mais j'ai toujours ressenti la 
nécessité de changer assez souvent de sujet. 

Jean de Vries. 

Rép. XXX (Norvège*). — 4. Tout d'abord je parcours rapide- 
mentla matière pour me faire- une idée d'ensemble; je l'étudié 
ensuite d'une façon plus ou moins complète suivant que j'en ai 
besoin ou non pour mes recherches personnelles. 

5. Comme étudiant j'ai déjà publié quelques travaux ; mais, les 
examens terminés^ j'ai cherché à acquérir une instruction aussi 
étendue que possible dans toutes les branches mathématiques. 

StOrmbr. 

' Rép. XXXII (Autriche). — 4. Ma coutume a toujours été d'inter- 
rompre les études par des recherches personnelles souvent de na- 
ture différente ; aussi j'étais rarement fîdèle à un sujet unique; il 
est probable que de ces variations dans les sujets provenaient quel- 
ques suggestions ou rafraichissements de l'esprit, mais je ne me 
souviens plus des détails. Lerch. 

Rép. XXXIII (France). — 4. Pour m'assimiler une théorie il me 
faut confronter plusieurs auteurs. Je rédige les parties les plus dif- 
ficiles lorsque je les ai comprises et que j'ai refait les calculs. 

5. Grand danger de ne pas lire — au moins il faut parcourir 
pour voir où l'on en est. De plus en plus grand danger d* écrire 
trop, à moins d'être Abel ou Galois. R. d'Adhémar. 



* C'est par erreur que dans le n* de Janvier 1906, page 45, la Rép. XXX porte rindication 
« Suède N. 



ENQUÊTE SUR LA MÉTHODE DE TRAVAIL 221 

Rép. XXXV (France). — 4. Je cherchais — et je cherche tou- 
jours — à bien saisir des idées directrices et à condenser les ré- 
sultats. 

5. J'ai d'abord cherché à acquérir une connaissance plus appro- 
fondie de l'Analyse générale. (...) 

Rép. XXXVI (Suisse). — 4. J'ai toujours eu beaucoup de plaisir 
à suivre mon propre chemin et à démontrer d'une manière diffé- 
rente ce que je trouvais chez d'autres. 

Je m'efforçais toujours à m'intéresser à l'ensemble d'une bran- 
che mathématique avant d'approfondir l'un de ses points particu- 
liers. Je n'ai jamais eu de goût pour la spécialisation étroite bien 
que j'en reconnaisse l'utilité. Chr. Beyel.' 

Rép. XXXVII (France). — 5. Si l'on désire faire avancer la 
science sur une branche particulière, il vaut mieux étudier à fond 
et bien s'assimiler un très petit nombre de mémoires, que de vou- 
loir connaître tout ce qui a été publié sur cette branche, ce qui 
souvent exigerait un temps très long. Quand ces études ont sug- 
géré quelque idée, on peut chercher s'il y a des travaux faits dans 
le même sens, par des analyses de mémoires, et étudier ceux qui 
paraissent se rapporter aux études dont le sujet sera de plus en 
plus restreint. E. Fabry. 

Rép. XXXIX (Grèce). — 4. Comme étudiant je n'avais pas un 
plan déterminé pour mes heures de travail. Quand à la manière 
de travailler, j'ai trouvé que j'apprenais bien mieux en cherchant 
à expliquer le sujet à un autre étudiant en mathématiques. Je ne 
lisais pas très longtemps mais bien par intervalles assez courts. 

5. La méthode que je préfère est celle-ci : apprendre d'abord 
l'indispensable de chaque branche de la science, afin d'en acquérir 
une idée générale assez nette, mais sans me perdre dans le monde 
des détails; commencer ensuite l'étude des questions spéciales. 
Rien ne stimule l'émulation et le zèle pour le travail que la satis- 
faction de se voir soi-même capable de trouver de nouvelles véri- 
tés. N. IIatzioakis. 

Rép. XLl (Ecosse). — 5. J'ai fait mes études absolument seul, 
mon principal objet étant l'Astronomie. J'ai étudié au fur et à me- 
sure ce dont j'avais directement besoin pour comprendre les ou- 
vrages de Tisserand, Hansen, Hill, etc. Lorsque j'essayai d'appren- 
dre des sujets qui ne m'étaient pas nécessaires, je les oubliais 
facilement. (...) 

Rép. XLIl (Italie). — 5. J'ai dû d'abord recommencer mes études, 
puis^ à Toccasion, je m'arrêtais a un cas particulier dont j'étudiais 
d'abord toute la bibliographie, puis je poursuivais mes recherches 
sans plus m'occuper des autres. Amodeo. 

Rép. XLIII (France). — 4 et 5. J'ai lu a fond: 1® à l'P^cole 
polytechnique, plusieurs traités d'Analyse et divers ouvrages ; 



222 ENQUÊTE SUR LA MÉTHODE DE TRAVAIL 

j'y retis en quaternions les applications géométriques du caurs 
de Bertrand ; je crois que tout cela était en partie inutile ; 2^ après, 
sur le conseil de M. Jordan, je lus V Algèbre supérieure de Ser- 
ret, la Zahlentheorie de Dirichlet-Dedekind, la Kreistheîlung de 
Bachmann, du Gauss probablement, le Traité des substitutions de 
M. Jordan et ses travaux sur les substitutions, des choses variées 
d'une part; d'autre part, à TEcole des Ponts et Chaussées, divers 
articles ou livres se rapportant à mes cours d'Hydraulique et de 
Résistance des matériaux ; je commençais Tétude de V Essai sur la 
théorie des eaux courantes de M. Boussinesq. Je prenais tou- 
jours des notes manuscrites assez complètes, quand les livres ne 
m'appartenaient pas (ceci me faisait en même temps faire des cal- 
culs) pour le cas où je. ne pourrais plus tard avoir à ma disposition 
une bibliothèque. Ainsi j'ai fait une traduction manuscrite de la 
Zahlentheorie de Dirichlet-Dedekind, traduction que j'ai failli pu- 
blier. 

Après, j'ai cherché immédiatement à me niettre au courant com- 
plètement de la théorie des substitutions, et j'ai préparé ma thèse 
de doctorat à Montauban, où j'étais ingénieur des Ponts et Chaus- 
sées, pensant que c'était la première chose à faire ; ma thèse me 
fit mettre au courant de l'Hydrodynamique de KirchofiT. J'ai habité 
ensuite Toulouse, ville de Faculté des Sciences; je pus me mettre 
au courant de la théorie des nombres. J'avais autrefois, en spécia- 
les, essayé une démonstration de .r' -{- y^ :p^ z^, à la suite de lec- 
tures de Mémoires de V Association française pour l'Ai^ancement 
des Sciences, dont mon père était membre. Mais, ce qui m'y fit re- 
venir, ce fut une question de mon chef de bureau àMontauban sur 
.r™ -|- jy" ^ z", qui se trouve au pied de la statue de Fermât, à 
Beaumont de Lomagne, près Montauban, où il est né. J'ai lu, par 
exemple, tout Kummer, la théorie des nombres de Legendre, ce 
qu'a fait Cauchy, du Liouville, etc., en passant à l'occasion, bien 
entendu. J'attaquai également les Transformationsgruppen de Lie 
et d'autres choses. Enfin plus tard, je me suis étendu de côté et 
d'autres, en particulier dans la théorie des fonctions. 

J'ai fait ma licence es sciences mathémathiques en novembre, à 
ma sortie de l'Ecole polytechnique, mon doctorat es sciences six 
ans après. Ed. Maillet. 

Rép. XLV (France). — 4. .11 m'a toujours été très pénible d'ap- 
prendre ; je préférais chercher moi-même et trouver à ma ma- 
nière la solution des questions exposées dans les cours. 
. 5. Je ne suis pas érudit. Je préfère étudier des questions neuves 
plutôt que d'étendre mon érudition. R. de Montbssus. 

Rép. XL VI (Espagne). — 4. Mes études universitaires une fois 
terminées, j'écrivis dans un gros volume toutes mes pensées sur 
l'enchaînement des idées mathématiques, la comparaison des di- 
verses méthodes d'exposition des auteurs que je connaissais, la 



ENQUÊTE SUR LA M É THODE DE . TRA V A tL 223 

formation des concepts mathématiques au point de vue de la logi- 
que et en cherchant la genèse des idées. 

5. Au lieu d'approfondir des points particuliers, j'ai cherché à 
obtenir le moyen d'acquérir de la variété dans lés connaissances 
avec ridée que leur enchaînement produit souvent la connaissance 
d'autres vérités. J'ai suivi l'idée de Dalembert : As^ancez et la foi 
{foiis viendra ; conquérir les hauteurs et après approfondir et vain- 
cre des diflicultés. Z. G. de Galdeano. 

Rép. XI^VIII (Hollande). — 4 et 5. J'ai commencé par des études 
dans les travaux des autres. Le goût des recherches personnelles 
s'est développé par l'étude et j'ai toujours combiné des recherches 
personnelles avec l'étude. Cardinaal. 

Rép. XLIX (France). — Une fois la période d'examens et con- 
cours terminée, je me suis naturellement laissé entraîner vers les 
questions qui me plaisaient, en étudiant tout ce qui pouvait s'y 
rapporter. Cela a toujours été la tradition et la méthode de travail 
des >îormaliens, et une fois sortis de l'Ecole, entre camarades de- 
venus collègues d'un même lycée, nous continuions à nous « pous- 
ser des colles »; deux ou trois d'entre elles ont été certainement 
le point de départ de mes travaux personnels sur le sujet spécial 
de la Géométrie non-euclidienne, travaux souvent laissés decùté, 
souvent repris, mais jamais perdus de vue. P. Barbarix. 

Rép. L (Etats-Unis). — 4. Je m'efforçais de lire avec suite en 
ayant recours, pour les sujets particuliers, aux meilleures autori- 
tés. . 

5. J'ai cherché à acquérir des connaissances aussi étendues que 
possible avant de publier ; plus d'une fois cela m'a empêché de 
publier. Mon enseignement m'a souvent suggéré d'intéressantes 
idées. E.-W. Davis. 

Rép. LVIl (Etats-Unis). — 4. J'ai suivi les études des autres 
plutôt que de m'engager dans des recherches personnelles, et cela 
à mon grand regret. Je conseillerais aux étudiants de s'initier de 
bonne heure aux recherches. Edw. P. Thompson. 

Rép. LVni (Italie). — 4. Quand j'étudie je préfère approfondir 
pour mon compte la question que je traite et même, lorsque je 
sais qu'un autre a déjà traité le même sujet ou un sujet analogue, 
je préfère toujours y arriver par mes seules forces et par une mé- 
thode personnelle et comparer ensuite mes résultats sur ceux 
qu'un autre peut avoir trouvé. 

Quand je prends connaissance des travaux d'autrui je ne m'ar- 
rête presque jamais aux délails, mais je commence presque tou- 
jours par les conclusions que je cherche à retrouver pour mon pro- 
pre compte d'une autre façon. C'est là une méthode que je recom- 
mande à tous mes élèves, mais je m'aperçois qu'ils ne sont pas 
tous capables de la suivre. 



224 ENQUÊTE SUR LA MÉTHODE DE TRAVAIL 

• 5. — Une fois mes études générales de mathématiques pures 
achevées (études vers lesquelles je me suis senti attiré par la mag'is* 
traie influence du professeur Guis. Battaglini de TUniversîté de 
Naples) je portai tout de suite mon attention sur des sujets parti- 
culiers (th. de formes algébriques, th. de fonctions abéliennes, 
etc] et je cherchai à faire des travaux sur ces questions. 

Il me semble que lorsqu'on a étudié pendant plusieurs années 
des sujets nombreux et variés, on doit éprouver le besoin de s'ar- 
rêter, ne serait-ce que pour peu de temps, dans un domaine spé- 
cial. Si Ton attend pour produire quelque chose qu'on se soit 
formé une culture plus étendue, cela revient, la plupart du temps, 
à poursuivre un but qui s'éloigne toujours davantage et qui 
s'agrandit en s'éloignant. On reste accablé et le sceptiscisme qui en 
résulte parfois fait considérer comme inutiles les efforts qui, dans 
l'enthousiasme des premières années, pouvaient paraître intéres- 
sants. J'ai vu presque toujours que les jeunes gens qui ne produi- 
sent pas tout de suite en se laissant tromper à la chimère d'une 
culture très étendue (et cette chimère, chose curieuse à dire est 
quelquefois l'eifet de la paresse) ne produisent jamais ou produi- 
sent très péniblement. Ern. Pascal. 

Rép. LXVI (Etats-Unis). — 5. J'ai d'abord cherché à obtenir un 
coup d'œil d'ensemble des mathématiques, y compris la Mécani- 
que et la Philosophie. V. Snyoer. 

Rép. LXVIII (Etats-Unis). — 5. J'ai spécialisé immédiatement 

L. CONANT. 

Rép. LXIX (Italie). — Mes études terminées (par le doctorat je 
sentis la nécessité de compléter ma culture générale. Les cours de 
nos universités roulent souvent sur des sujets très particuliers, 
il n'y a pas de programme déterminé, aussi omet-on souvent 
d^enseigner d'abord les notions indispensables aux étudiants. 
C'est uniquement par un besoin de mon esprit que je fais des re- 
cherches mathématiques et non dans l'idée d'être utile à la science 
ou de publier des travaux. (...; 

Rép. LXX (Etats-Unis). — 5. Sauf un petit travail sur la théorie 
des groupes, j'avais surtout en vue l'élargissement de mes connais- 
sances. John. W. YouNG. 

Rép. LXXI (Etats-Unis). — 5. Je n'ai pas cherché à étendre 
beaucoup mes connaissances, mais je me suis efforcé à spécialiser 
petit à petit. {.... 

Rép. LXXII (Etats-Unis). — 4. Pour bien comprendre un sujet 
il faut que je. développe la théorie par moi-même, en suivant la 
méthode d'un traité ou d'un article que j'ai lu plutôt hâtivement, à 
titre de préparation. 

5. Je crois qu'il est bon de commencer les travaux originaux de 
bonne heure (même en s'exerçant sur des sujets qui ne sont pas 



ENQUÊTE SUR LA MÉTHODE DE TRAVAIL 225 

nouveaux ou sans grande importance) tout en développant peu à 
peu ses connaissances générales. (...) 

Rép. LXXV (France). — 4. Je pensifs ; je prenais une idée ; je la 
suivais, en me promenant; tout en obéissant aux multiples et ma- 
térielles obligations de la vie, je la mûrissais et quand j'avais 
aperçu quelque chose pouvant donner lieu à l'exploitation de 
ridée, je me mettais à la planche, lu craie en main. Les longues 
insomnies du soir m'ont été souvent profitables; mais, je dois 
ajouter que le sommeil a parfois détruit d'une façon absolue ce 
que je croyais avoir créé le soir; je veux dire que je n'ai pas tou- 
jours retrouvé le lendemain la pensée du soir. 

5. A Texception de la surface de Steiner que j'avais étudié à 
fond parce que j'avais l'idée d'en faire le sujet d'une thèse de doc- 
torat, je n'ai jamais cru utile de faire des études a priori sur un 
sujet adopté. Je crois qu'il est préférable de chercher une voie, 
et une fois engagé, de se documenter pour savoir si l'on a mis la 
main sur une idée originale et susceptible d'être poursuivie avec 
les éléments nouveaux obtenus. G. de Longchamps. 

Rép. LXXVII (Etats-Unis). — 4. J'ai toujours préféré résoudre 
autant que possible chaque question par moi-même. 

5. Mes connaissances mathématiques se sont beaucoup déve- 
loppées par suite des exigences des problèmes dont je m'occu- 
pais. MoULTON. 

Rép. LXXVlll (Italie). — 4. L'étude et la lecture des livres et 
des périodiques me causent une grande fatigue. Je lis donc très 
peu, je réfléchis beaucoup et il m'arrive assez souvent d'écrire. Si 
je n'avais pas la satisfaction de voir mes écrits publiés, je n'écri- 
rais rien. 

.5. Je confonds facilement au bout de peu de temps ce que j'ai 
écris avec ce que j'apprends chez les autres, pourvu, bien entendu, 
qu'il ne s'agisse pas de théorèmes fondamentaux et de résultats ab- 
solument nouveaux. Si l'on me posait des questions sur les re- 
cherches que j'ai publiées, je devrais d'abord me préparer comme 
pour une chose étudiée depuis longtemps. (...) 

Rép. LXXXl (Hollande). — 5. L'idée d'une question me vient à 
la promenade, ou en lisant un livre ou un mémoire mathématique 
ou technique, ou encore dans une lecture littéraire. Quelquefois 
je m'efforce de la développer immédiatement, mais le plus sou- 
vent je la garde en mémoire et j'y pense de temps à autre. Je dé- 
veloppe les grands contours en promenade ou en voyage ; souvent 
des années se passent avant que je mette un seul mot sur le papier, 
Quelquefois j'ai écrit un mémoire dans un délai de quelques mois, 
les derniers de l'année. F. J Vaes. 



L'Enseignement mathém., 8* année ; 1906. 15 



MELANGES ET CORRESPONDANCE. 



Règle mnémonique pour retenir les analogies de Selambre. 

Œ.xlrait d'une lettre de M. d'Ocagne^. 

«... Eu interrogeant les élèves sur rAstronomie, je me suis 
aperçu de la difïiculté qu'ils ont, en général, à écrire de mémoire 
au tableau les analogies de Delambre dont le secours est indispen- 
sable pour la résolution logarithmique des triangles sphériques. 
J'ai été ainsi amené à leur proposer la règle suivante : 

i^es analogies de Delambre rentrent toutes dans la forme 

où /', gp , V sont des sin et vos. En outre : 

i** /"et \ff sont toujours différents ; 

2° on a, sous y, le signe -|- ou le signe — , suivant que /"est sin 
ou cas ; 

3** on a, sous \f* le même signe que sous y, ou non, suivant que 
%p est le même que 9, ou non. 

Cela permet d'écrire sans hésitation : 

. k . h -\- c .a B — C 

su, ^ siii — — = sin - cos — - — , 

.A A -f- f a B -f C 

sm - cos —— = cos - cos — — , 

A . h - c . rt . B — C 

cos y sin —^- =: sm - sm — — , 

A h — c rt.B-fC 

cos — cos — ; — 1= cos — sm — - — .» 
2 2 2 2 

Remarque, — La très intéressante observation de M. d'Ocacne 
peut se résumer symboliquement, d'une façon encore plus con- 
cise. 

Si on assimile, dans chacun des membres, les signes sin et 4*? 
cos et — , + et -[-> — ^t — , chaque relation est caractérisée, dans 



MÉLANGES ET CORRESPONDANCE 



227 



le premier membre, par trois signes a, jî, y et dans le second par 

On a' toujours y = a, c'est-à-dire que le symbole du premier 

membre est aj^a; et dès lors, celui* du second (a'/J'y'l^st ^ — a — /î. 

Si on écrit trois . fois a , j? et si on change le signe du dernier 

groupe 

aj3aj3— a — j3, 

il suffit de diviser cette suite- en deux moitiés 

pour obtenir les deux symboles caractérisant Tune quelconque des 
quatre relations. C.-A. L. 

Un théorème sur la Géométrie moderne. 



Voici un théorème de Géométrie moderne qui, je crois, est 
nouveau. 

Théorème. — Etant donnés deux triangles perspectifs ABC et 
A'B'C, tels que les sommets A', B', C soient situés un à un sur 
les côtés du triangle ABC, on a 

BX.GY.AZ B^ X'. C'y. k'V _ 
CX.AY.BZ ■ C'X'. A'Y'. B'Z' "" ' 

X.X' étant les points d'intersection avec BC et B'C d'une droite passant par A. 
Y. Y' » » » » CAetC'A' . » B, 

Z,Z' » » » » ABelA'B' » » C. 

Démonstration, — Soit D le point d'intersection des droites AX 
et BB'. Si Ton considère AX comme transversale par rapport aux 
triangles BB'C, C'BB', on a 



1 = 



BX.CA.B^D 
CX.B'A.BD 



1 = 



BD . B'X . C'A 



d'où Ton déduit 

AC'.CA.BX.B'X' 



lai 



1 = 



AB'.AB.CX.C'X' • 



On a de la même manière 



i|S» l= — 



y. 1 = 



BA'.AB.CY.C/Y^ 
BC'.BC.AY.A'Y' ' 

CB'.BG.AZ.A^Z' 
CA'.CA.BZ.B'Z' • 




228 



MELANGES ET CORRESPONDANCE 



En multipliant membre à membre on obtient 

ACBA\CB' CA.AB.BC BX.CY.AZ BWCX' ,X'Z' 
BC'.CA'.AB' ' AB.BC.CA * CX.AY.BZ * CX' . A' Y' . B' // 






— / BX.CY.AZ B'WC'T.K'Z' 

"" ' ' ^ ^ ^"*" ' CX.AY.BZ ■ C'X'.A'Y'.B'Z' 

_ BX.CY.AZ B^X\C'Y\A^Z' 
""CX.AY.BZ ' C'X'.A'Y'.B'Z' ' 

Corollaires, — I. Quand AX, BY, CZ sont des droites concou- 
rantes, il en est de même de A'X', W\\ CL' y et inversement. 

II. Quand X, Y, Z sont collinéaires, X', Y', Z' le sont aussi, et 
inversement. 

III. Le triangle ABC et un autre triangle a'b'c' homothétique à 
A'B'C sont perspectifs; inversement le triangle A'B'C et un 
autre triangle abc homothétique à ABC sont perspectifs. Dans les 
deux cas le centre d'homothétie est le point d'intersection de AX' 
avec BY", X' et Y" étant les points milieux des côtés du triangle 
A'B'C qui sont opposés à A et B. 




a' 

En effet, soient x^ y y z les points d'intersection des côtés cor- 
respondants des deux triangles a' V c' et A'B'C, on a 

E,F étant les points d'intersection de ^'r' avec CA et AB ; de 
même pour G et H, K et L. 



MÉLANGES ET CORRESPONDANCE 229 

Si nous envisageons les côtés du triangle ABC comme transver- 
sales du triangle a*b'c\ nous pouvons écrire 

c'x "" /l'K.c'H • fl'r "~ 6'E.û'L "~ b'E.b'Yi ' 

b'z ~~ e'a.b'F ""a'H.c'E ' 

Os relations donnent 

b'x.c'r.a'z 

' r= 1 

c'x.a*y,a'z 

d'où il résulte que les points a:, y^ z sont coUinéaires. 

On démontrerait de la même manière la seconde partie du co- 
rollaire. Y. Sawayama (Tokio). 



A propos de la rotation de la Terre ^ 
Lettre de M. G, Combbbiac (Bourges). 

Dans cette question j'en discerne deux à traiter successivement 
et dont la première est celle-ci: la rotation constitue-t-elle, pour 
les corps, une qualité objective ? 

Si le doute est permis lorsqu'on se cantonne dans le domaine 
cinématique, on peut, semble-t-il, affirmer que Tétat dynamique 
d'un corps permet de définir la rotation dont il peut être animé 
(direction de Taxe et intensité). Donc, dans notre conception actu- 
elle de la dynamique, la rotation absolue constitue bien une qua- 
lité objective des corps ; en d'autres termes, nos conceptions dy- 
namiques comportent, bon gré mal gré, la notion de ce qu'on a 
appelé l'espace absolu. Aussi le relativiste dont M. Andrault nous 
a communiqué les très intéressantes réflexions ne manque-t-il 
pas de nous affirmer que « la rotation de la terre est à l'origine de 
notre dynamique ». Il faut reconnaître que l'argument vise bien le 
cœur de la question; seulement il ne cadre pas avec les faits, car, 
s'il ne parait pas impossible de soutenir que la dynamique est 
d'origine exclusivement terrestre (en Astronomie, on observe des 
mouvements et non pas des forces), ses lois sont en revanche 
d'une nature telle qu'elles excluent toute dépendance avec la ro- 
tation de la terre et avec celle d'un système quelconque de repè- 
res. 11 est en effet facile de se rendre compte que, si l'on n'avait 
observé que des mouvements relatifs, l'intervention de la force 



' Voir VBnscignement Mathématique du 15 mars, 1904, p. 150>15ô. 



230 MÉLANGES ET C ORRPISP ON D A N € E 

centrifuge et, le cas échéant, de celle de Coriolis aurait conduit, 
non pas à admettre des lois différentes pour la dynamique, mais 
bien à introduire des forces d'une nature inconnue et dont la science 
continuerait à rechercher Texplication, comme c'est encore le cas 
pour la gravité universelle. Bref, il n'est pas possible d'attribuer 
une signification sensée à cette proposition : les lois dynamiques 
sont relatives à un système de référence déterminé. 

Bien loin que des explications différentes soient admissibles 
pour un même phénomène, ce qui est au contraire surprenant, 
c'est l'existence, pour tout phénomène, d'une explication, en égard 
aux conditions que l'esprit exige de celle-ci ; la croyance à cette 
existence (la foi en la raison) ne sera pleinement justifiée que lors- 
qu'elle aura, elle aussi, trouvé son explication. Seule d'ailleurs, la 
science peut donner satisfaction à cet égard, au risque d'augmen- 
ter son domaine aux dépens de celui que prétend se réserver sa 
rivale, la métaphysique. 

Au surplus, les partisans de la relativité scientifique disposent 
d'un moyen d'éclairer leur lanterne, c'est de se donner la peine, 
ainsi que les y invite fort judicieusement M. Stuyvaert, d'illustrer 
leur théorie par un exemple concret en édifiant, à côté de Texpli- 
cation la plus commode d'un fait déterminé (pleinement élucidé , 
une autre explication choisie parmi celles moins commodes et 
prétendues aussi exactes dont on nous a jusqu'à présent entrete- 
nus sans nous les montrer. Mais ils s'apercevront alors que ces 
explications présentent, en plus de leur incommodité, un autre 
défaut, celui de n'être pas des explications. 

Un mot encore : toute question ayant une signification précise 
relève nécessairement de la science, tout autre question doit dis- 
paraitre ; que reste-t-il alors dans le champ de la métaphysique ? 

Note additive: .rajouterai, pour préciser ma pensée, que mémo 
en n'observant que des mouvements relatifs, on est conduit à la 
notion du mouvement absolu. C'est l'idée que j'examinerai dans 
une courte note sur la loi de l'inertie. 



Lettre de M. Andrault (Grenoble). 

1. La Relativité des forces centrifuges. — A l'encontre de cer- 
tains pseudo- absolutistes, M. Combebiac peut parler des relati- 
vistes en général, comme s'il ne l'était pas. Son affirmation, «qu'il 
« n'est pas possible d'attribuer une signification sensée à cette 
« proposition : les lois dynamiques sont relatives à un système de 
« référence déterminé » le classe sans ambiguité. 

A la lettre, il se fonde, pour la justifier sur ce que nous aurions 
observé autre chose que des mouvements relatifs. Je lui deman- 
derais où ? quand ? comment ? si je ne supposais que la plume, on 



MELANGES El C O RRE S P O N D A y C E 231 

cet endroit, a dépassé sa pensée et qu'il ne faille lire « Si les mou- 
« vements, que nous avons observés, n'étaient que relatifs Tinter- 
« vention des forces centrifuges aurait conduit, etc. » Je crois donc 
être interprète fidèle, en disant que c'est Texislence des forces 
centrifuges qui Tamène à penser que la rotation est dans les corps, 
et par suite, que les principes ne se rapportent àaucun repère dé- 
terminé, mais à un espace absolu devenu nécessaire. 

En est-il ainsi ? toute la question est alors 'de savoir si les for- 
ces centrifuges ne dépendent que du corps auquel nous les attri- 
buons. Consultons Texpérience à ce sujet : 

Lorsqu'un corps tourne relativement à certains repères, il est 
soumis à Faction de forces dites forces centrifuges ; voilà ce qu'elle 
nous apprend. Mais cela n'est pas çrai pour tons les repères. 

Quand donc on énonce la loi exprimant sous quelles conditions 
naissent et grandissent les forces centrifuges, on ne peut sans la 
fausser faire abstraction des repères. Et Ton ne peut pas davan- 
tage les omettre dans un raisonnement sans en altérer la portée. 
C'est ce que mon honorable contradicteur me paraît avoir mé- 
connu : Les forces centrifuges sont rela tisses comme le sont les mou- 
vements. Je n'ajoute pas « comme le sont toutes nos connaissances» 
parce que cela n'est pas dans la question. Mais si toutes nos affir- 
mations sont de même nature, je ne vois pas de plus bel exemple 
à invoquer, pour établir qu'elles sont toutes relatives, que celui 
du mouvement en général, des rotations en particulier. Et alors, 
si expliquer un phénomène^ c'est en pénétrer F essence et la réalité 
absolue, nous n'expliquons rien. M. Combebiac, qu'est-ce qu'une 
explication? La théorie suivante qui n'a pas été imaginée à votre 
intention est-elle une explication? 

2. Théorie fallacieuse des marées: La terre satellite de la 
LUNE. Certains partisans du mouvement absolu s'égayent aux dé- 
pens des relativistes en leur faisant dire des sottises, par exemple 
que la terre ne tourne pas. A ceux-là je dédie ce court monologue. 

« Bien des personnes éprouvent des difficultés singulières à 
« comprendre la théorie des marées, (^est qu'elles ne peuvent se 
« défaire de cette ancienne croyance que la lune tourne autour de 
« la terre. 11 est bien clair en effet, que si la terre était immobile, 
« la lune en attirant les eaux de l'Océan les soulèverait de son côté, 
« et de celui-là seulement. Admettre que tout en les attirant, elle 
« les soulève du côté opposé, c'est ce qui parait à chacun d'une 
« absurdité palpable. Mais qu'au contraire, on considère que c'est 
« la terre qui circule autour de la lune: Dans cette chute inces- 
« santé, les eaux tournées vers la lune, plus fortement attirées que 
« le reste, prennent une avance et font saillie de ce coté : les eaux 
• opposées, moins fortement attirées, restent en arrière et font 
tt une bosse de l'autre côté, f-a double haute mer journalière s'ex- 
« plique sans difîiculté. » 



232 CHRONIQUE 

« De nos deux hypothèses, la première est donc à rejeter : Ce 
« n'est pas la lune qui est satellite de la terre, mais la terre satel- 
« lîte de la lune. » 

Raisonnement sophistique dira-t-on ? Peut-être, mais pas plus 
que beaucoup d'autres ayant cours, qui doivent aussi leur appa- 
rente validité, à cette illusion que se mouvoir est une locution 
ayant une signification par elle-même ; raisonnement qui, et tout 
cas, n'est trompeur que dans une conception absolutiste, puisqu'il 
suppose distinctes, les deux hypothèses mises en jeu. 



CHRONIQUE 



6. Oltramare. 

U Enseignement mathématique doit un hommage particulier à 
la mémoire de Tun de ses membres du Comité de Patronage, 
M. G. Oltramare, décédé à Genève, le 10 avril dernier, dans sa 
quatre-vingt-dixième année. Professeur honoraire de l'Université 
de Genève et doyen des mathématiciens suisses, M. Oltramare 
avait, en effet, été l'un des premiers, à accepter à faire partie de 
ce Comité, et, depuis, avait constamment témoigné son intérêt à 
ce journal. 

Nous consacrerons prochainement une Notice à sa vie et à ses 
travaux. 

La Rédaction. 



Comité de Patronage de a TEnseignement mathématique. » 

M. G. Oltramare a été remplacé dans le Comité de Patronage 
par M. le professeur J. Franel, Directeur de l'Ecole polytechnique 
fédérale, à Zurich. L'appui que nous apporte le savant professeur 
nous sera très précieux, et nous le remercions bien sincèrement 
d'avoir bien voulu nous honorer de son acceptation. 

La Rédaction. 



CHRONIQUE 233 



Les Mathématiques au 44* Congrès des Sociétés Savantes de Paris 

et des Départements, Paris, avril 1906. 

Résumé des Communications faites à la sous-Section des Atathé- 
matiquesj dans la séance du mercredi matin iS a^rily sous la pré- 
sidence de MM, P. Appell, Doyen de la Faculté des Sciences de 
Parisy Membre de Flnstitut et G. Dabboux, Secrétaire perpétuel 
de l'Académie des Sciences. 

M. Fassbinder, professeur à Paris. — Sur Fexistence de cer- 
taines intégrales de l'équation du + r (a: , y « = et d'autres 
équations d'ordre supérieur, 

1. — M. Emile Picard a depuis longtemps établi l'existence d'in- 
tégrales de l'équation ci-dessus ayant la forme 

u =z I^^ + Q(xo) log (a^ + f) . 

P et Q désignant deux fonctions holomorphes de .r et de y. 

Plus généralement, cette même équation admet des intégrales 
de la forme 

« = )J + jv + Q "■.'•> '°K (^ + .'^' • 

dépendant de 2/i -|- 1 constantes arbitraires. 

Pour le montrer, utilisons le changement de variables 

déjà employé par M. Hcdrick. 11 ramène l'équation et Tintégrale 
aux formes 

4- CM = , 

ô-rdv 

1/ = -^ -f-Glogxr . 
La substitution donne les équations 



isx ^y 
/ „ dGA 

(01 



-f cG =0 



n («G, ^ 2x '^«) + -n- (^ + cG,) + |.rv)« 2x ';^ = . 
\ •* dx/ ^ • Vt^xfvr ^ V • ^^x 

En exprimant que le premier terme de Téquation o est divisi- 
ble par.ry, on trouve, p^ et q^ étant deux constantes arbitraires, 

G^ = ;?,x» -h ^or" + ^^^ 



23'» CHRONIQUE 

et Téquation [o] devient 



(1) 



[n — 1) Un — l)Gi -. Ijr i--M -h c{p^x** + q^y*] + 
-h cGi ) + |j-v)«-t Zjt — = . 

(3n raisonne sur cette équation comme sur Téquation {o , et 
ainsi de suite. 

Finalement on trouve une intégrale do la forme 

*=« — 1 

2 {xy)k[xn-k p^.(j-, -j. r«-*Q^(r)] 

tl =z ^ \- G lofÇ XY , 

P;t et Qa- contenant chacune une constante. arbitraire, ainsi que G. 
11 suffit de revenir aux variables réelles. 

2. — La même méthode permet d'établir, pour Téquation 



(.•w 



-h rM = 



ùxxsydz 

l'existence d'intégrales ayant la forme 

où entrent 'an + 3 fonctions arbitraires et une constante également 
arbitraire. 

3. — Enfin, pour rétjuation tout à fait générale 



o U 



^x\ Csx^ t^J• 



+ rM = , 



m 



c étant une fonction holomorphe des m variables :i\ ,./*,, ... a'w, on 
établira de même Texistence d'intégrales de la forme 

(*''i » •''2 • • • • •'*'" ) 
u = — — — — h G (.r^ , .r, , . . . x,n) log Xj ur, . . . jfm , 

n étant égal à ou à 1. Mais il est à prévoir qu'il peut être quel- 
conque. 

M. Marque, Professeur au lycée de Tulle. — L'Auteur expose 
les résultats principaux d'un Mémoire sur la théorie du mom^e- 
ment d*un véhicule automoteur muni du différentiel de Pecqueur^ 



CHRONIQUE 235 

et sur les inconsfénients qui résultent de l'emploi de cet organe. Il 
indique le principe d'un autre dispositif, très avantaf^eux surtout 
pour le transport des poids lourds et des vitesses moyennes. Ce 
dispositif, fonde sur l'eniploi de courroies et de cônes lisses, pré- 
senterait les avantages du différentiel sans en avoir les inconvé- 
nients, et se prêterait aisément en outre aux changements de vi- 
tesse. (Journal officiel du 10 avril 1906.) 

M. K. Lbbon, Professeur au lycée Charlemagne. — Sur la cons^ 
traction d'une Table de caractéristiques relatives à la base de 
3OO30 des facteurs premiers d'un nombre inférieur à 901S00900. 
(Réponse à la première question du Programme du Congrès : 
Méthodes permettant de reconnaître si un très grand nombre est 
premier). 

Cette Table occuperait une surface environ 10 fois plus petite 
que celle qu'occuperait l'ensemble des tables qui existent et de 
c<*lles que l'on construisait jusqu'à 901800900, en adoptant la 
disposition des Tables de Burckhardt, de Dase, de Rosenberg et 
de Glaisher. Elle permettrait de reconnaître rapidement si un 
noRibre est premier ou composé, et, avec une table de restes, de 
résoudre instantanément ce problème*. (Journal officiel du 10 
avril 1906). E. Lebon (Paris). 



La 9"** réunion des maîtres des écoles moyennes austro-allemandes ; 

Vienne, 9-11 avril, 1906. 

A trois ans d'intervalle les professeurs des écoles moyennes de 
l'Autriche viennent de se réunir de nouveau, à Vienne, en une sé- 
rie de séances plénières et de séances de sections. Nous confor- 
mant au but de cette Res^ue^ nous nous bornerons à rendre compte 
ici de la séance de la section des mathématiques. 

Après quelques mots d'ouverture de M. H. Januschke, Directeur 
d'Ecole réale et membre du comité d'organisation, l'assemblée a 
composé son comité comme suit: MM. Aloïs Hôfler, Professeur à 
l'Université de Prague, président; Fr. Schiffner, Directeur d'Ecole 
réale (Viennei, vice-président; Prof. K. Frostl (Vienne) et Prof. 
L. Tesar (Olmûtz), secrétaires. L'ordre du jour comprenait trois 
conférences qui ont réunis de nombreux auditeurs. 



* La théorie générale des Tables analogues à celle dont M. E. Lkbon propose la construc- 
tion dans son Mémoire se trouve dans un Manuscrit qu'il a envoyé le '^ juillet 1905 aux 
Archives de l'Académie des Sciences de Paris ; cette théorie, les propriétés, non encore 
signalées dos prog^ssions arithmétiques employées et permettant de simplifier le calcul des 
caractéristiques, des exemples de ce calcul, sont exposés dans les Comptes Rendus de 
l'Académie Royale des Sciences de Lisbonne (1905 et 1906), de l'Association Française pour 
l'Avancement des Sciences (1905t, de l'Académie Royale des Lincei (1900). Le présont Mé> 
moire sera publié in-extenso dans le « Bulletin de la Société Philomathique do Paris ». — 
H. F. 



236 CHRONIQUE 

Les deux premières étaient consacrées à une question qui est 
actuellement à l'ordre du jour dans divers pays. Il s'agit d^ Twi- 
troduction du calcul infinitésimal dans les écoles moyennes \ 

M. le D^ Zahbadnicbk expose la question dans son ensemble; 
M. le Prof. A. HOfler examine ensuite les propositions faites dans 
le même sens par le société « Deutsche Mittelschule » à Prague. 
Ces deux conférences donnent lieu à une intéressante discussion 
à laquelle prennent part MM. D"^ Ignaz Wallentin, Prof. Ant. 
Neumann, Prof. Ludw Yolderauer, Prof. A. Hôfler, Prof. Ed. 
Schuscik; elle se termine par Tadoption, à l'unanimité, des deux 
propositions suivantes qui résultent d'une fusion des propositions 
à peu près analogues formulées par les deux conférenciers : 

« I : Il est désirable que l'on applique à nos établissements la 
« réforme préconisée et adoptée par les savants et pédagogues de 
« l'empire allemand et par les sociétés autrichiennes de l'ensei- 
<( gnement moyen, d'autant plus que l'enseignement réal autri- 
« chien, ainsi que cela a été reconnu à plusieurs reprises en Alle- 
« magne, a toujours été en grand progrès depuis le projet d'or- 
« ganîsation'de 1849. » 

« II. Il y a lieu de prier TAdministration supérieure de l'Instruc- 
« tion publique de bien vouloir autoriser des maîtres bien qualifiés, 
« qui sont persuadés de la nécessité d'une réforme, à faire des 
<( essais dans le sens indiqué par la Commission nommée par les 
« deux sociétés viennoises « Mittelschule* n et <^ Realschule. » Les 
« observations qu'ils fourniront devront être prises en considéra- 
« tion le plus possible dans l'élaboration d'un nouveau programme 
<( et des manuels. » 

Il y a tout lieu de croire que ces propositions seront accueillies 
favorablement, et l'on entrevoit ainsi avec plaisir la possibilité de 
l'introduction, dans les écoles moyennes autrichiennes, des notions 
fondamentales du Calcul infinitésimal combiné avec la pénétra-' 
tion de la notion de fonction à travers tout l'enseignement de 
l'Arithmétique et de l'Algèbre. 

La troisième conférence avait pour objet V utilisation des pro- 
jections obliques. Le conférencier, M. le Prof. Th. Hartwig, expose 
les idées qui l'ont conduit à publier son récent abrégé de stéréo- 
métrie constructive. Il regrette que dans les manuels de Mathéma- 
tiques, de Physique, de Minéralogie, etc., on ne fournisse aucune 
indication sur les principes et les conventions d'après lesquels on 
a établi les figures. Il montre ensuite comment ces constructions 



> Voir OesterreichUcht Mittelschule, XIX, Hôlder, Vienne, p. 36-54, 143-15S. 298>306, 
389-396 et Jahresbericht der I. Staatsrealschule im II. Bezirke in Wieii flir 1904-05, p. 78« 
115. 

•* Voiries Vorschldge zu einer zeitgemâssen l/mg-estaltung' des math ematischen L'nterrichtt 
an ihterreichîschen Gymnasien und Realschulen ; ces propositions ont été reproduites par 
la Xeitsch. f, math. h. naturw. Unterricht, XXXVII. 



CBROSIQUE 237 

peuvent être expliquées et exécutées dans le premier enseigne- 
ment des écoles moyennes en se basant sur des considérations 
analogues à celles qu^utilise Holzmûller. 

Ern. K ALLER .Vienne . 



Nominations et distinctions. 

M. E. BoRTOLOTTi, prof, extraord., est nommé professeur ordi- 
naire à l'Université de Modena. 

M. Daublebsky von Sterneck, prof, extraord., est nommé prof, 
ord. à l'Université de Czernowitz, Autr. 

M. DuLAC, maître de conférences, est nommé professeur-adjoint 
de mathématiques à l'Université de Grenoble. 

M. FuBiNi, de rUniversité de Catania, est nommé prof. adj. 
d'analyse à l'Université de Gènes. 

M. Gmbiner, prof. ord. à l'Université allem. de Prague, est 
nommé prof. ord. à l'Université d'Innsbruck, en remplacement 
de M. Stolz, décédé. 

M. Hagen, directeur de l'Observatoire de Georgetown, est nom- 
mé directeur de l'Observatoire du Vatican. 

M. G. lIuBER, prof, extraord., est nommé professeur ordinaire 
à l'Université de Berne. 

M. W. I. HussEY, de l'Observatoire Lick, est nommé professeur 
à l'Université de Michigan. 

M. Ernest Lbbon a obtenu une Médaille d'argent à l'Exposition 
internationale de Liège, pour l'ensemble de ses Publications ma- 
thématiques. 

M. M. d'OcAGXE, prof, à l'Ecole des Ponts et chaussées, est 
nommé prof, de Géométrie au Conservatoire des Arts et Métiers 
de Paris, en remplacement de M. Rouché, qui prend sa retraite. 

M. E. T. Whittaker, à Cambridge, est nommé professeur d'As- 
tronomie au Trinity Collège à Dublin et Astronome royal d'Ir- 
lande. 

M. E. B. WiLsoN, est nommé prof, extraord. à la Yale Univer- 
sity E.-U.) 

M. C. V. WissELiNGH, à Amsterdam, est nommé professeur à 
l'Université de Groningue. 

Prwat'docents. — Ont été admis en qualité de privat-docents : 

MM. M. Grossmann, à l'Université de Bàle ; G. Wallenbbrc, à 
l'Ecole technique supérieure de Charlottenbourg; F. Hartogs, à 
l'Université de Munich; M. Vanecek, à l'Ecole technique sup. 
tchèque de Prague. 



NOTES ET DOCUMENTS 



Cours universitaires. 

Semestre d*été 1906. 

(Suite). 

Berlin; Universitàt. — Schwarz: Elementargeomelrische Behandlung 
einiger Âufgaben des Maximums, 2; ïh. d. analyt. Funktionen II. 4; Uber 
krumme Flachen und Kurven doppelter Krûmmung, 4; Seminar; KoUoquien. 

— Frobenius : ïh. d. Determinanten, 4 ; Seminar. — Schottkt : DiiF.-rechnung, 
4; Ûbgn. dazu ; Àbelsche u. Thetafunktionen, 2; Seminar. — Hettker; 
Wahrscheînlichkeitsrechnung, 2. — Knoblauch: Anw. d. ellipt. Funktionen, 
4; Analyt. Géométrie, 4; Th. d. Strahlensysteme, 1. — Landau: Ùber den 
Picardscheii Satz, 2. — Schur : Integralrechnung, 4; Ubgn. dazu. — Leumank- 
FiLHÉs ; Analyt. Mcchanik, 4. — Fôrster: Geschichte der alten Astronomie, 
2. — Théorie und Kritik der Zeitmessung, 2; Fehlertheorie im Lichle der 
Astronomie, 1 — Bauschinger : Mechanik des Himmels, neuereTbeorîen. 3; 
Einrichtung und Gebrauch der Planetentafeln. — Struve: Sphâr. Astrono- 
mie I, 2; Ûbgn. — Marcuse: Théorie und Anwendung astron. Instrumente; 
Eiuf. in die astron. Géographie und Erdphysik. — Ristenpart: Gemeinver- 
standliche Himmelskunde; Einf. in die astron. Chronologie. — Scheiker ; 
Ûberdie Temperatur der Sonne; Astrophysikalisches Kolloquiuni. — Hel- 
mert : Gradmessungen ; Théorie der Kartenprojektionen. — Neesen: Grund- 
lagen der Ballistik, 2.- - Weinsteipj : Kinetische Gastheorie, 2. — Valentiner : 
Vektorentheorie mit Anwendung in der theor. Physik, 1. — Grûneisex : 
Hydrodynamik reibender Flûssigkeiten, 1. — Meyer : Ausgew. Kapitel der 
techn. Mechanik, 2. — v. Iheri?(g: Maschinenkunde mit Ubungen. 4. 

Bonn; Universitàt. — Study : Analyt. Géométrie II (Projektive Géométrie), 
3; Einl. in die Invariantenth, 3; Sem, — Kowalewski : Einf. in die Zahlenth., 
2; Diff.-rechn. und Eleraente d. Integralrechn., 4; Ûbgn. dazu: Kritische 
Ûbersicht ûber die neueren Ergebnisse der Mengenlehre, 1 ; Sem. — Londox : 
Darst. Géométrie mit Zeichenùbgn., 4; Th. der ellipt. Funktionen. 4; Sem. 
KûsTNEK : Théorie u. Praxis d. astron. Instrumente, 3; Astron. Kolloquium. 

— MôNNicHMKYER : Geogr. Ortsbestimmungen, 2. — Lorberg: Kinetische 
Gastheorie, 3 ; Mechanik, 4. 

GÔttingen; Universitàt. — Klein: Funktionsth. 4; Math. Seminar (mit 
Prof. Hilbert und Minkowski), 2. — IIilbert: DiiF. u. Integralrechn. I (mit 
Dr. Carathéodory), 4 ; Mechanik der Kontinua 4 ; Mathem.-phys. Seminar 
(mil Prof. Klein und Mi.nkowski), 2. — Schwarzschild: Allgemeine Astro- 
nomie, 3: Populiire Astronomie. 1; Astron. Kolloquium, 1. — Minkowski: 



NOTES ET DOCUMENTS 239 

Al^cbra, 4; Kugel-und verwandte Fuoktioncn, 2; Ma(h. Seminar (mit Prof. 
Klein und Hilberl), 2. — C. Runge: DifTerentialgleichf^D., 6; Math. Seminar, 
graphische Stattk, 2. — Bkekoel : Wnhrsoheinlichkeitsrechnung, 4; Versi- 
cherungsrechniiiig, 2; Uebgn. im Seminar f. Versicherungswissensrhaft, 2. 
—^ Ambroxk: Sphâr. Astronomie, 3; Astron. Uebungen f. Anfauger, 4-5; 
Aslron. Uebungen f. Portgcschritlene tâglich. — Prakdtl: Math.-physika- 
lischcs Seminar, Graphische Statik, 2. — Zermelo: Partielle DifT.-gleichgn. 
dcp Physik,4. — Abraham: Potentialth., 4. — Herglotz : Analyt. Géométrie, 
4. — Carathéodory : Variationsrechnung, 4. 

MÛnchen; Universitàt, — Lindeman^i : Integralrechn., 5; Th. d. Substitu- 
tionen u. d. hôh. alg. Gleirhungen. 4; Mechanik deformb. Kôrper, 2; Semi- 
nar ianalyt. Mechanik). — v. Seeliger: Th. d. Figur d. Hîmmelskôrper, 3; 
prakt. Uebgn. mit Anding. — Voss : Elem. Einf. in. d. Th.d. Diff.-gleign, 4; 
Analyt. Geom. d. Raumes, 5; math. Sem. — Prikgsheim: Best. Intégrale, 
4. Anw. d. ellipt. Funkionen, 2. — Dœhlemann : Darst. Geom. II, 3; Uebgn, 
2: synth. Geom. II, 4; das Imaginàre i. d. Geom., 1. — Anding : Ausglei- 
chungrechn., 2; Astron. Praktikum, mit v. Seeliger. — v. Webbr : Delermi- 
nanten mit Anw. 4; Diff.-rechn. 4; Uebgn. 2. — Kor?s: Funktioncnth. mit 
phys. Anwendgn. 4. — Bruma : Elem. d. hôh. Mathem., 4. — Hartogs : 
Ausgew. Kap. ans d. Funktionenth. 4. 

Oxford: University, — Lecture List for Eastcr and Trinitv Terms, 1906 
(à partir du 23 avril). — \V. Esson: Comparison of Analytic and Synthetic 
methods in the Theory of Conics, 2; Informai Instruction in Geometry, 1. 

— E. B. Elliot: A First Course on the Theory of Functions, 3. — A. E. H. 
Love: Waves and Sound. 2. — A. L. Dixon : Calculus of Variations. 1. 

— H. T. Gerrans: Line Geometry, 2. — A. E. Jolliffe: Higher Analytical 
Plane Geometry, 2. — P. J. Kirkby : Higher Plane Curves, 2. — J. \V. Rus- 
sel: A Course of Rigid Dynamics (iwo dimensions), 2. — R F. M<*Neile : 
Algebra. 2. — C. E*. Haselfoot : Séries and Conlinued Fractions, 2. — A. 
L. Pedder : Spherical Trigoûometry, 1. — C. H. Sampson : Solid Geometry, 
2. — C. H. Thompson : Differenlial Equations, 2. 

Strassburs; Universitàt. — Reye : Einl. in die synth. Géométrie, 2 ; techn. 
Mechanik, 4 : math. Sem.. 2. — Beckeh : Ausgew. Kapitel aus der Sphar. u. 
prakt. Astronomie, 2; Bahnbestimmung d. Doppelst. , 1 Astr. KoUoquium ; 
Astr. Beobachtungen. — Weber ■ Bestimmte Intégrale u. Einl. in die Funk- 
tionenth., 4; hôh: Zahlenth, 3; math. Sem. mil Wellstein, Timerding u. 
Epstein, 2. — Simon: Gesch. d. Mathem. im Miltclalter, 2. — Wellstf.in : 
Einl. in die Invariantenth.. 2; Eucykl. d. Elem.-Mathemalik II Géométrie; 
Sera. — Timerding: Analyt. Geom. d. Raumes, 3; Einl. in die angew. 
Mathem., 3; Wahrscheinlk.-rechn, 1; Sem. — Epstein: Eli. Funktionen, 
2; Sem. — Wirtz: Th. der Finsternisse, 1 ; Photomelrie d. Gestirne, 1. 

Wian; Universitàt. — G. v. Eschehich: Diff. u. integralrechn. (auch fur 
Naturhistoriker und Versicherungsmathemaliker), 5; Uebgn. hierzu ; Prose- 
minar fur Mathematik ; Seminar fur Mathematik. — Mertens : Zahleuth. 
(Forts.), 5; Uebgn. im math. Seminar, 2; Uebgn. im math. Proseminar; 
Wahrscheinlichkcitsrechn., 3. — Wirtinger: Th. der Diff. glgn. II, 5; Math. 
Seminar: Math. Proseminar. — Koun : Analyt. Géométrie, 4. Uebgn.; Algebr. 
Kurven, 2. — Tauber : Versîrherungsmalhematik (Forts.), 6. — Blaschke: 
Einf. in die math. Stalistik, II. Teil, 3. — Plkmelj : Einf. in die Th. der 
ellipt. Funktionen (Forts.), 2. — Gkunwald: Quaternionen uiid andere 



240 BIBLIOGRAPHIE 

hyperkomplexe Zahlensysteme (m. geometrischen Auwendungen). — Hahn : 
Theor. Arithmetik, 3. — Weiss: Prakt. Astronomie, 4. — v. Hbppercer : 
Astrophysikt 3 ; Théorie der speziellen Stôrungen. 2. — Schram : Die Zettrcoh- 
nungen verschiedener Yôlker und die UmrechDung fremder Daten (mit 
besonderer Rûcksicht auf Historiker), 2. — Herz: Die Stôrungen der Rot«- 
tionsachse der Erde, 2. — Prby : Phologrammetrie, 2. 



BIBLIOGRAPHIE 



Paul Bachmann. — ZahlenthBOrie. Versuch einer Gesamtdarstellung dieser 
Wissenschaft in ihren Hauptteilen. Fiinfter Teil: Allgenieîne Arithmotik 
der Zahlenkôrper. — 1 vol. relié in-8o, XXII, 548 p. ; prix 16 Mk. ; B. G. 
Teubner, Leipzig. 

L'ouvrage de M. Bachmann est consacré à la théorie générale des nombres 
et des corps algébriques. Cette belle théorie, dont Kummer, Dedekind et 
Kronecker ont été les fondateurs, a pris depuis une quinzaine d'années un 
développement extraordinaire. Enseignée dans un certain nombre d'Univer- 
sités d'Allemagne, elle est très bien connue de la jeune génération des géo- 
mètres d'Outre Rhin. Aussi existe t-il en Allemagne des ouvrages excellents 
sur la matière, parmi lesquels je citerai en première ligne la « Zahlentheo- 
rie * de M. Dedekind, l'Algèbre de M. H. Weber (2* volume) et surtout la 
(( Théorie der algebraischen Zahikôrper » de M. Hilbert, connue sous le nom 
de « Zahlbericht ». Ce dernier ouvrage, qui résume les résultats principaux 
acquis à la science avant 1896, servira pendant longtemps encore de guide 
aux chercheurs, mais il n'est pas toujours facile à lire. M. Hilbert n*a pu 
dans ce Rapport entrer dans les détails de toutes les démonstrations. L'ou- 
vrage de M. Bachmann au contraire ne saurait arrêter un commençant. Ce que 
M. Hilbert se borne à indiquer, M. Bachmann l'explique longuement. Son 
livre pourrait donc servir de commentaire aux deux premières parties du 
Zahlbericht, de commentaire et de complément, car M. Bachmann nous fait 
connaître aussi quelques uns des résultats publiés depuis 1896. 

Son livre contient douze chapitres et un appendice. Dans le premier cha* 
pitre nous trouvons d'abord les définitions des notions fondamentales. M. 
Bachmann nous explique ce qu'on entend par nombre et corps algébrique, 
domaine de rationalité et d'intégrité, « Unterkôrper » et « Oberkôrper » etc. 
Laissant de côté les corps algébriques quelconques, Tauteur nous fait con- 
naître les propriétés essentielles des corps finis qui seuls présentent un inté- 
rêt réel. De nouvelles notions s'introduisent alors : celles de base, de norme, 
de discriminant etc. , qui sont d'une si grande importance dans l'étude des pro- 
priétés arithmétiques des nombres algébriques. En suivant toujours la route 
tracée par M- Dedekind, l'auteur expose dans le 2« chapitre les principes de 
la théorie des modules et des « Ordnung » de Dedekind ( « Ring i) d'après 



BIBLIOGRAPHIE 241 

M. Hilbert.) Après cette étude préparatoire il serait facile d'aborder la théo- 
rie des idéaux de Dedekind. Mais M. Bachmann ouvre une parenthèse, et le 
chapitre suivant, consacré à la théorie des congruences, est destiné surtout 
à servir d'introduction à l'étude des méthodes de Kronecker et des recherches 
de M. Hensel que l'auteur nous fera connaître dans le 7* chapitre. 

Après cette excursion dans un domaine connexe, nous reprenons l'étude 
de la théorie de Dedekind. Nous voici en possession d'une notion nouvelle, 
celle d'idéal, et nous pouvons enfin aborder l'Arithmétique des nombres al- 
gébriques entiers. Cette belle théorie peut être comparée, en se servant 
d'une expression due à M. Hilbert, à un édifice puissant soutenu par trois 
piliers : le théorème sur la décomposition univoque des nombres algébriques 
entiers en facteurs premiers (idéaux), le théorème sur l'existence des uni> 
nités complexes et le théorème sur la détermination transcendante du nom- 
bre des classes. 

Le premier de ces théorèmes, avec les nombreuses conséquences qui en 
découlent, est démontré dans le chapitre 6, la théorie des unités complexes 
basée sur le deuxième théorème est exposée dans le chapitre 8, enfin le pro- 
blème si difficile de la détermination du nombre des classes est traité dans 
le chapitre 9. 

Ces chapitres contiennent des développements curieux. Dans le chapitre 
6, par exemple, nous trouvons une analyse détaillée des démonstrations si 
intéressantes du premier théorème fondamental qui ont été données par M. 
Dedekind et M. Hurwitz (celle de M.. Hilbert a trouvé place dans un chapi- 
tre différent consacré aux corps de Galois.) 

Les autres chapitres du livre de M. Bachmann ne présentent pas un inté* 
rèt moindre. 

Nous avons déjà dit que le 7« chapitre est consacré aux méthodes de Kro- 
necker et aux recherches de M. Hensel. Ces recherches peuvent être rattachées 
aux célèbres travaux de Kummer. Dans le domaine particulier étudié par 
Kummer il existe, comme M. Bachmann l'a très bien expliqué dans un autre 
volume de sa « Zahlentheorie a, une corrélation étroite entre la décomposi- 
tion d'un nombre premier p en facteurs idéaux et la décomposition d'une 
certaine équation en facteurs irréductibles mod. p. "M.. Bachmann nous mon- 
tre, et c'est en cela que consiste le résultat principal dû à M. Hensel, qu'il 
en est de même dans le cas général d un corps quelconque, pourvu que les 
équations particulières soient remplacées par l'équation fondamentale de 
Kronecker, équation qui contient les fameuses indéterminées de Kro- 
necker. 

Un autre chapitre (le 10^) est consacré aux formes décomposables Quels 
sont les rapports entre la théorie de ces formes et celle des nombres algé- 
briques entiers? A quoi correspond dans cette dernière théorie une classe de 
formes équivalentes etc. ? Telles sont les questions traitées par M. Bachmann 
dans le chapitre 10. Elles jouent un rôle important dans certaines recherches 
d'analyse et de théorie des nombres et en particulier dans l'étude des pro- 
blèmes relatifs à la multiplication complexe dans les fonctions elliptiques. 

Il nous reste à dire quelques mots des derniers chapitres du livre consa- 
crés aux travaux de M. Hilbert sur les corps relatifs et les corps de Galois 
et aux recherches plus récentes de M. Hensel. On connaît l'importance de la 
théorie des corps relatifs. M. Bachmann en fait connaître les points princi- 
paux dans le chapitre 11 ; et dans le chapitre suivant nous trouvons la belle 
théorie des corps de Galois qui ofire un exemple nouveau des relations étroi- 

L'Enseignement malhéin., 8* année ; 1906. 16 



2V2 B! HLIOGHAPHIE 

tes existant entre l'arithmétique des idéaux et la théorie de la résolution al- 
gébrique des équations. M. Bachmann met très bien en lumière rimporlance 
de ce fait dû à M. Hilbert. 

Quant aux recherches récentes de M. Hensel, il est à regretter que M. 
Bachmann se soit contenté d'un aperçu et de quelques courtes indications qui 
ne sauraient donner au lecteur une idée suffisamment complète de la théorie 
nouvelle de M Hensel. Il est vrai que le volume de M. Bachmann contient 
déjà bien des choses, il rendra donc des services réels et nous croyons qu'on 
le lira avec fruit et avec plaisir. Les commençants y puiseront les principes 
d'une théorie importante et belle ; et quant à ceux qui connaissent déjà les 
traités de M. Hilbert ou de M. Weber, ils trouveront dans le livre de M. 
Bachmann des indications précieuses et des éclaircissements utiles 

D. MiRiMANOFF (Genève.) 

W.-W. RousE Ball. — Histoire des Mathémathiqaes. Edition française re- 
vue et augmentée, traduite sur la troisième édition anglaise par L. Freund. 
T. I. — 1 vol. gr. in-8o, 422 p. ; Hermann, Paris. 

Ce premier volume contient la traduction des quinze premiers chapitres de 
l'ouvrage anglais, u A short account of the histor^' ol mathematics » de 
Rouse Ball ("6*^ édit. Londres 1901), et embrasse l'histoire des mathématiques 
depuis les temps les plus anciens jusqu'à Newton. Ainsi que l'n déjà remar- 
qué G. Enestrôm dans une analyse de l'édition anglaise ( Bihlioth, mathém. 
1902 p. 244 et suiv.) R. Ball a eu beaucoup moins en vue le' développement 
des idées mathématiques qu'un exposé biographique et bibliographique de 
la matière. Il s'en suit que la plupart des chapitres laissent à désirer, en ce 
qui concerne l'exposition delà science mathématique et particulièrement ses 
points caractéristiques ; c'est le cas en premier lieu de la période florissante 
de la gôométrie grecque : on ne retire qu'une bien vague idée de ses métho- 
des de démonstration et de sa manière de manier Tinfiniment petit (méthode 
d'exhaustion) ; de même des mathématiques des Indiens et des Arabes : 
l'analyse indéterminée pour les premiers, la trigonométrie pour les derniers 
auraient mérité mieux; tout ce que nous apprenons de la trigonométrie arabe 
est que Albattani a établi la relation du cosinus de la trigonométrie sphéri- 
que et que AbouUvafa a découvert la variation de la lune, deux assertions 
également inexactes. Il est à ce propos très regrettable que pour n'avoir pas 
tenu compte de travaux récents parus notamment dans la Bihl. mathem. 
et les Abhandliingen zur Geschichte der mathematischen Wissenschaften 
beaucoup d'inexactitudes se soient glissées dans l'ouvrage, inexactitudes qui, 
malheureusement, n'ont été rectifiées par le traducteur que dans la minorité 
des cas ; par exemple, des vingt cinq remarques que G. Enestrôm (loc. cit.) 
fait à propos du texte anglais, six seulement ont été prises en considératiou 
dans la traduction française. Pour ce qui concerne les mathématiques moder- 
nes au XVII« siècle, nous devons reconnaître que l'auteur a traité cette pé- 
riode, d'une façon bien supérieure à l'Antiquité et au Moyen-Age. 

On pourrait aussi critiquer l'orthographe défectueuse des noms arabes. A 
la vérité, la faute principale incombe ici à R. Ball; mais même les noms que 
celui-ci à écrits justes n'ont pas été rendus correctement par le traducteur, 
car un Français ne peut adopter simplement la méthode anglaise de trans- 
cription sans qu il en résulte une prononciation parfaitement fausse. Ainsi 
R. Ball écrit correctement (en négligeant toutefois de marquer la voyelle lon- 
gue) : Albuzjani, mais à tort : Alkarismi, Alkayami, Alkarki. Ces noms doi- 



BIBLIOQRAPIIIE 243 

veut être transcrits en français : Albouzdjani, Alkhouarizmi ou Àlkhwarizmi, 
Alkhayyami, Alkarkhi. Au lieu des noms du Moyen-àge Albategni, Alha- 
zeii et Arzachel, on pourrait bien écrire aujourd'hui Albattani, Alhasan ibu 
al'Haitam et Alznrkali. Le traducteur aurait d'ailleurs pu trouver l'orthogra- 
phe française des noms arabes dans la publication de l'algèbre d'Alkhayyami 
par Woepcke (Paris 1851), ouvrage qu'il doit cependant bien connaître s'il 
s'occupe d'histoire des mathématiques. 

G. Enestrôm a corrigé seulement une partie minime des indications fausses 
de R. Bail, il s'en trouve dans l'ouvrage un nombre beaucoup plus considé- 
rable ; 'qu'on nous permette de citer encore ici les plus importantes : 

P. 36, Hippias d'Elée est incorrect, le sophiste Hippias n'est pas originaire 
d'Hlée (Elea) dans la Basse Italie, comme Xénophane et Zenon, mais d'Elis 
iou Etide) dans le Péloponèse; la même erreur a été commise par G. Loria. 
(Le scienze esatte nelT antica Grecia, l. p. 64-66) qui l'appelle Ippia d'Elex 
au lieu de Ippia d'Elide. 

p. 42-45. Pour avoir ignoré les récents mémoires de F. Rudio dans la 
Bibl. math. (3« Folge, 3» Band, 1902. p. 7-62), tout l'exposé des quadratu- 
res de l'Hippocrale est erroné. 

P, 77. IV a. L'œuvre mécanique d'Archimède étudiée ici aurait été mieux 
introduite par le titre connu « l'équilibre des surfaces planes » que par 
« mécanique m. 

P. S'J. « Nous possédons des copies des commentaires faits sur l'ensem- 
bl<' de l'ouvrage (d'Apollonius) par Pappus et Entocius » n'est pas exact : 
de Pnppus nous possédons un certain nombres de lemmes concernant les 
trois premiers livres et d'Entocius seulement les commentaires sur les qua- 
tre premiers livres des sections coniques d'Apollonius. 

P. P?. Que le théorème de Ploléraée se trouve dans le sixième livre des 
éh^nients d'F2uclide est probablement une faute d'impression : il se trouve 
dans le premier livre de l'AImageste (édition de Heiberg, p. 37 etc.) 

P. 93. Le traducteur ne cite de la publication des œuvres d'Héron que le 
premier volume de 1899, il ignore encore les deux suivants parus en 1900 
et 1903. 

P. 150. L'Université de Prague n'a pas été fondée au 13« siècle mais on 
13i7 ; parmi celles du 14« siècle ne sont pas mentionnées celles d'Heidel- 
berg, de Cologne et d'Erfurt. Le chapitre sur la n création des premières 
universités au Moyen-âge » contient d'ailleurs maintes inexactitudes. 

P. 155. TiC récit de l'invasion des Aryens est complètement erroné; celle- 
ci n'eut pas lieu au 5^ ou au 6" siècle, mais environ 2000 à 1500 ans avant 
J.-C. voire, même plus tôt d'après certains histoi'iens. 

P 15H. A propos de l'équation nx' -\- 1 =;>■*, il aurait été plus intéressant 
de voir comment Brahmagupta et Bhaskara la résolvaient en nombres entiers 
au lieu de donner la solution en fractions rationnelles; car celle-ci n'est pas 
le grand progrès des mathématiciens indiens mais bien la solution eu nom- 
bres entiers (dite «méthode cyclique ») que Lagrange a retrouvée seulement 
en 1767. 

P. 165. Nous ne savons pas où l'auteur a appris qu 'Alkhouarizmi a été en 
Afghanistan et peut-être aussi en Inde : nous n'avons en tout cas connais- 
sance d'aucune source qui mentionne ceci. 

P. 166 et 161. Le système de numération décimale arabe ou indien n'a pas 
été apporté en Occident par l'Algèbre de Khouarizmi, mais bien par sou 
Arithmétique. 



244 BIBLIOGRAPHIE 

P. no et m. Qui était Abd-al-Gehl (un géomètre vers 1100), c'est ce que 
j'ignore ; est-ce peut-être Ibn Abdaldjalil ou Aboul-Djoud ? 

P. 113. Il n'est pas exact qu'Àrzachel ait émis l'idée du mouvement ellip- 
tique des planètes. 

P. 187. Il est dit ici que l'ouvrage sur lequel est basée la plus grande 
partie de la célébrité d'Oresme traite de monnaies et de change commercial. 
Nous avouons ne connaître d'Oresme aucun ouvrage de ce genre. 

Nous pourrions allonger encore beaucoup cette liste de fautes; mais nous 
terminons ici par la remarque que le traducteur aurait bien fait d'accorder 
h son travail une dernière revision, afin de pouvoir le compléter par une liste 
de fautes d'impression, liste qui certes n'aurait pas été superflue, car la 
quantité de celles-ci n'est pas des moindres. Qu'on me permette de citer 
comme pièces à conviction du fait que la traduction a été exécutée un peu 
superficiellement les détails suivants : Pour les renvois à des pages précé- 
dentes ou suivantes, on a redonné simplement les numéros de l'édition an- 
glaise quoiqu'ils ne correspondent pas à ceux de la traduction française (p. 
exemple, p. 111, nqte 1 on indique p. 111-112 au lieu de 115-116) ; p. 158, 
M. Freund traduit a ape » (= singe) par c ascète » (!) 

On peut enfin reprocher à l'auteur, en partie aussi au traducteur, les nom- 
breuses citations incorrectes ou tout au moins incomplètes de titres de pu- 
blications ; par exemple p. 13: Hankel, Geschichte dcr Mathematik. au lieu 
de : Zur Geschichte der Mathematik imAltertum und Mittelalter. 

L'ouvrage se termine par cinq Notes (p. 327-412) : 

I. Sur Viète considéré comme géomètre d'après Michel Chasles. — Ana- 
lyse des ouvrages originaux de Napier relatifs à l'invention des logarithmes, 
par Biot. — III. Sur Kepler, d'après Michel Chasles et Joseph Bertrand. — 
IV. Développement des principes de la Dynamique. Travaux de Galilée et 
Hughena. par Mach, traduction Emile Bertrand. — V. Sur les origines de la 

statique.. Préface de l'ouvrage de Pierre Duhem. 

H. SuTER. (Zurich.) 

Ettore Bortolotti. — Aritmetica générale ed Algebra per la 1* classe li- 

Ceale, in conformità dei programmi governativi, 11 nov. 1904. — 1 vol. 
în-8<>, 120 p. ; prix: L. 1,50; Soc. éditrice Dante Alighieri di Albrighi, 
Segali & G®, Roma-Milano. 

Conformément à son titre, cet Ouvrage comprend deux parties : I Arithmé- 
tique générale (les cinq premières opérations sur des nombres positifs et né- 
gatifs et sur des polynômes) ; II Algèbre (les équations des premier et 
deuxième degrés, les progressions et les logarithmes.) 

La première renferme l'exposé des propriétés des opérations tirées d'un 
petit nombre de définitions et de principes fondamentaux ; il est accompa- 
gné d'exercices faciles. 

Dans la deuxième partie les équations du premier degré donnent lieu à 
70 exemples très intéressants et bien choisis. Les équations du second de- 
gré sont précédées, à titre d'introduction, de l'extraction de la racine carrée. 
La forme de résolution est fort bien déduite elle est suivie de 24 exemples 
d'application. Viennent un chapitre consacré aux progressions arithmétiques 
et géométriques, puis l'étude des logarithmes introduits sur la remarque sui> 
vante (p. 105): « Deux progressions, toutes deux croissantes, l'une géométrie 
(fue et l'autre arithmétique, constituent un système de logarithmes, si la pre- 
mière contient parmi ses termes l'unité et l'autre le zéro et si, à partir de ces 



BIBLIOGRAPHIE 245 

termes on associe deux à deux les termes correspondant , à un même rang, 
c'est-à-dire si Ion pose : 

log ^» = /i</ . 

Il est regrettable que la table de logarithmes sV 3 décimales (p. 113) con- 
tiennent des erreurs dans le dernier chiffre. 

Dans les applications on trouve le problème des intérêts composés suivi 
de six jolis petits problèmes. 

Nous avons eu beaucoup de plaisir à examiner cet excellent petit manuel. 

Ern. Kaller (Vienne.) 

R. Ga:«s. — Einf&linilig in die Vektoranalysis mit Anvendungen auf die 
math^matiche Physik. — 1 vol. cart. in-S®, 100 p.; prix: 2 Mk. 80 B.-G. 
Teubner. Leipzig. 

H. Jahnkk. — Vorlesungen ûber die VektorenrechnQng mit Anvendungen 

auf die Géométrie, Mechanik und mathematische Physik. — I vol. cart. 
in-8o, 235 p.; prix: 5 Mk. 60; B.-G. Teubner, Leipzig. 

Les idées de Môbins, de Bellavitis, de Grassmann et de Hamilton sur le 
rôle utile du calcul géométrique finissent peu à peu par triompher. Elles 
ont permis d'introdiiire d'importantes simplifications non seulement dans 
plusieurs domaines de la Géométrie, mais aussi en Mécanique et en Phy- 
sique. C'est surtout dans ces deux dernières branches que l'emploi des 
méthodes vectorielles a pris, depuis quelques années, un développement 
très réjouissant. Aujourd'hui il n'est guère possible de lire dans ces domaines 
certains mémoires et traités fondamentaux, sans connaître quelques notions 
du Calcul vectoriel. 

En attendant que ses notions essentielles soient introduites dans les cours 
et les manuels de Géométrie analytique, l'Analyse vectorielle fait l'objet de 
cours spéciaux dans quelques universités et écoles polytechniques. Elle a. 
donné lieu à plusieurs ouvrages élémentaires auxquels viennent s'ajouter 
aujourd'hui ceux de M. Gans et de M. Jahnke. 

Dan son Introduction à l'Analyse vectorielle et son application à la Phy- 
sique mathématique, M. Gans présente d'abord les opérations élémentaires, 
puis les opérateurs différentiels. On lira avec intérêt les applications aux 
théorèmes de Stokes et de Grcen, à la notion de potentiel, à THydrodynamique 
et à la Statique. 

Les Leçons de Calcul vectoriel de M. Jahnke sont beaucoup plus dévelop- 
pées : elles insistent davantage non seulement sur les propriétés du calcul 
vectoriel proprement dit, mais aussi sur le calcul géométrique d'une manière 
générale. Ces leçons contiennent aussi les applications fondamentales à la 
Mécanique et à la Physique, mais on y trouve encore des applications fort 
intéressantes aux domaines les plus divers de la Géométrie. Elles se recom- 
mandent tout particulièrement à ceux qui désirent approfondir les méthodes 
du calcul géométrique. H. F. 

ŒaTret de Lagnerre publiées sous les auspices de l'Académie des Sciences, 
par MM. Ch. Hermite, H. Poincaré et E. Rouché. Tome II : Géométrie. 
— Vol. in-8 de iv-715 pages; prix: 22 fr. ; Gauthier-Villars; Paris. 

et Edmond Laguerre fut, en Mathématiques, un des esprits les plus origi- 
naux de notre temps. Il s'est successivement attaché aux sujets les plus 



2'i6 BIBLIOGRAPHIE 

variés et sur chacun d'eux il a répandu les idées les plus neuves et les plus 
fécondes, traçant des voies auxquelles nul avant lui n'avait songé. » 

M Peu soucieux de la renommée, il a semé ses découvertes en une foule de 
courtes notes éparses en divers recueils, sans se préoccuper de faire res- 
sortir aux yeux du public l'ampleur et l'unité de son œuvre. > 

« En outre, sauf en ce qui concerne la doctrine des imaginaires, à laquelle 
il a, en 1870, consacré quelques conférences libres, il n'a jamais eu occasion 
d'exposer publiquement ses idé^^s personnelles. » 

« Cette double circonstance explique comment celles-ci sont loin de jouir 
de la notoriété que devrait leur valoir leur importance intrinsèque et com- 
ment des Ouvrages didactiques, pourtant excellents, publiés sur les branches 
de la Science qu'a le plus enrichies Laguerre, mentionnent à peine ses admi- 
rables travaux. » 

« On peut donc affirmer que la réunion des Œuvres de Laguerre réserve 
de véritables surprises au public mathématique qui se trouvera, pour la 
première fois, à même de les juger dans leur ensemble et dans mesurer toute 
la portée ». 

C'est en effet ce que Ton a constaté après l'apparition du premier volume, 
paru il y a déjà plusieurs années. On sait qu'il contient les recherches sur lAl- 
gébre et le Calcul intégral et qu'il débute par une Notice sur la vie et les 
travaux de Laguerre par M. Poincaré. 

Le Tome II renferme l'oeuvre géométrique ; on y trouve plus de quatre- 
vingt Mémoires, dont les trois premiers, consacrés à la théorie des foyers, 
ont été publiés dans les Nouvelles Annales des années 1852 et 1853, alors 
que, candidat à l'Ecole polytechnique Laguerre était encore élève de Tlnsti- 
tution Barbet. Il est impossible de donner un aperçu même très succinct de 
ces Mémoires qui se répartissent sur les domaines les plus divers de la 
Géométrie. Laguerre abordait avec une égale facilité les questions de Géo- 
métrie synthétique et les applications de lAlgèbre & la Géométrie. Nous 
rappellerons cependant ses intéressantes recherches sur la Géométrie de 
direction et ses nombreuses Notes sur les surfaces algébriques et sur la 
Géométrie infinitésimale. 

H. F. 

Ernest Lebon. — Table des Caractéristîqaes relatives à la base 2310 des 
facteurs premiers d'un nombre inférieur à 30030. ^ 1 fasc. in-S®, 20 
tableaux ; Delalain frères, Paris. 

Cette Table de Caractéristiques permet de résoudre très rapidement le 
problème suivant : Un nombre étant donné reconnaître s'il est premier ou 
composé, et dans le second cas, trouver ses facteurs premiers. M. Lebo^ l'a 
construite en s'appuyant sur des propriétés non encore signalées de certaines 
progressions arithmétiques. Dans le présent opuscule l'auteur a du se limiter 
aux nombres inférieurs à 30030. On trouvera d'abord un exposé très élémen- 
taire de la théorie de la construction de cette Table dont l'emploi est des 
plus faciles. GrAce à leur disposition à la fois simple et ingénieuse, ces 
tableaux sont appelés à jouer un rôle très utile, mais, ils devraient être 
continuées. La Table de base 30030, analogue à celle-ci, permettrai! d'aller 
jusqu'au nombre 510510; la Table de base 510510 servirait à son tour pour 
les nombres inférieurs à 9699690, etc. 

Nous croyons que de telles Tables rendraient de grands services et nous 



BIHLIOGHAPHIE VC 

espérons, qirencouragô par le succès clo cet essai, M. Lebou conliiuiera celte 
publication. ^ H. F. 

VA. Maillet. — Essais d'hydraalique souterraine et fluviale. — 1 vol. ^r. 

in-8o de VI — 218 pages avec tableaux numériques ; prix : 11 fr. ; A. Her- 
mann, Paris. 

Le présent volume cause à première inspection un bien légitime étonne- 
ineot. OuTert au hasard il peut nous montrer des pages tellement remplies 
de symboles analytiques qu'on ne doute pas d'être en présence de méthodes 
relevant de la Physique mathématique. Ailleurs, il nous montre les résul- 
tats numériques, des débits soigneusement calculés pour des sources n'ayant 
aucun caractère fictif. Traiter analytiquement le régime des sources et des 
nappes d'eau et obtenir des résultats concordant avec les observations ou 
mieux encore permettant de prévoir celles-ci, voilà qui est bien fait pour 
déconcerter beaucoup d'esprits. C'est cependant ce qui se trouve dans le 
présent ouvrage. Certes, ces questions ne sont pas absolument nouvelles et 
le régime des sources alimentant Paris est une question tellement capi- 
tale quant à l'hygiène de la grande ville que les ingénieurs ont dû mettre 
beaucoup de science à faire des observations et des prévisions. C'est ainsi 
que depuis plus de trente ans certaines lois si apparences assez rigoureuses 
ont été formulées, telles que celles de Dausse sur les profits qu'une nappe 
souterraine tire de certaines pluies. 

D'autre part et dans un ordre d'idées beaucoup plus abstrait, M. Boussi- 
nesq a fait des théories mathématiques entre lesquelles et les précédentes 
M. Maillet semble avoir établi un admirable trait d'union. 

Et comme il est rare qu'un ingénieur descendant jusqu'aux côtés prati- 
ques des questions soit en même temps un géomètre de grande valeur à qui 
des points récents de la théorie des fonctions doivent beaucoup on comprend 
tout l'intérêt et toute l'originalité du présent ouvrage. 

D'ailleurs on y pénètre sans peine. Les méthodes graphiques y sont mi- 
ses continuellement à contribution. Ainsi, tout au début, nous envisageons 
des généralités sur le débit des nappes. Au temps l^ nous avons un débit 
Qq, au temps ^i, un débit Qi quantités entre lesquelles une intégration très 
simple nous donne une relations de la forme. 

Portant les Q^ en abscisses, les Qi en ordonnées on a une courbe pour 
chaque valeur de /j — t^. On voit sans peine que toutes ces courbes se dé- 
duisent de l'une d'entre elles par une construction géométrique simple. Dans 
le cas où le débit varie exponentiellement les courbes précédentes sont des 
droites passant par l'origine. Dans le chapitre suivant ces considérations 
sont reprises d'une manière légèrement différente et nous envisageons aussi 
les cas très intéressants où le débit est inversement proportionnel au carré 
d'une fonction linéaire du temps ce qui parait se rapprocher du régime d'une 
des sources de la Vanne située à Armentières. 

Dans le chapitre IV s'introduisent les considérations véritablement savan- 
tes. On part ici d'une équation aux dérivées partielles du second ordre dont 
on connaît quelques solutions exactes données par M. Boussinesq et c'est 



* Voir, dans le présent n*, le rompte rendu du 44* Congrès des Sor. Savantes, Paris, 1900. 



248 BIBLIOGRAPHIE 

ici aussi que la question capitale de la stabilité e»! envisagée. II est très 
important en effet de savoir si après une perturbation brusquement appor- 
tée au régime d'une source, par exemple après une pluie soudaine, la source « 
manifestera un dérèglement prolongé où reprendra au contraire presque 
immédiatement le régime normal. II faut signaler ici la propagation des on- 
des dans les nappes souterraine» qui donne lieu ti une analyse très remar- 
quable. Dans tous les cas où les nappes sont insérées entre un fond et une 
voûte de formes bien déterminées M. Maillet arrive à des résultats analyti- 
ques d'une élégance surprenante. Il considère surtout les cas où ces surfa> 
ces sont planes ou paraboliques et il peut alors terminer ses opérations qui 
présentent parfois de curieuses analogies avec d'autres problèmes de physi- 
que mathématique (Emploi de l'équation de Riccati, des fonctions de Bessel. 
etc..) 

La prévision des bas débits des cours d'eau et des sources termine la 
partie théorique. Je ne puis ici donner idée de la partie pratique qni achève 
le volume; si ce n'est en disant qu'elle justifie la première et qu'elle témoigne 
encore une fois de l'esprit pratique et consciencieux de l'auteur. Son vo- 
lume et les récents mémoires de M. Boussinesq font faire un grand pas à la 
science pure et à de nombreuses questions d'hydraulique et d'hydrogra- 
phie. A. BuHL (Montpellier.) 

H. PoiNCARÉ. — Leçons de Mécanique Céleste professées à la Sorbounc. 

Tome I. — Théorie générale des perturbations planétaires. — 1 vol. in-S* 
de VI-368 p. ; prix: 12 fr. ; Gauthier-Villars, Paris. 

M. Poincaré nous indique très nettement dans sa préface quel est le 
caractère des leçons qu'il public aujourd'hui. Elles ne font double emploi 
ni avec les Nouvelles Méthodes de la Mécanique Céleste^ ni avec le Traité 
de Tisserand. Ce sont les leçons faites a la Sorbonne par l'illustre profes- 
seur; elles partent des principes mêmes de la Mécanique analytique et 
étudient le problème des trois corps en restant beaucoup plus près des 
considérations astronomiques proprement dites que les Nouvelles Méthodes 
qui, elles, sont surtout caractérisées par une minutieuse discussion analy- 
tique de résultats dans lesquels l'astronome ne voyait guère que le carac- 
tère formel. En parcourant les présentes pages on éprouve encore une sen- 
sation très différente de celle éprouvée en parcourant Tisserand. 

Les créateurs de la Mécanique Céleste, à commencer par Laplace. n'eurent 
pas à leur disposition de puissants et uniformes moyens d'investigation. 

Que l'on compare par exemple la théorie de la Lune du savant précité et 
sa théorie des perturbations planétaires. On aura pendant très longtemps 
l'illusion que l'on étudie des choses totalement différentes. Le premier 
moyen véritablement général devait être fourni par les équations canoniques 
d'Hamilton et Jacobi qui permirent tout d'abord de dégager le caractère si 
simple en principe de la fameuse méthode de la variation des constantes 
arbitraires. Le grand mérite du Traité de Tisserand est de dévoiler cela 
tout de suite. Du présent ouvrage de M. Poincaré, dans un ordre d'idées 
analogue, on peut dire plus encore : il est le triomphe de la canonisation 
des équations. Elles apparaissent tout de suite au premier paragraphe, â la 
première page ; les transformations qui n'altèrent pas la forme canonique 
sont étudiées immédiatement ensuite, les théorèmes généraux y relatifs tels 
ceux de Jacobi et de Poisson nous mettent à même de manier les instruments 



BIBLIOGRAPHIE 2i9 

k peu près uniques à l'aide desquels nous allons aborder le redoutable 
problème des trois corps. 

M. Poîncaré nous en montre rapidement les intégrales élémentaires 
connues, élimine le centre de j^ravité» les nœuds et montre aussi'comment 
on est conduit à étudier tout d'abord le problème restreint, c'est-à-dire le 
cas où l'un des corps a une masse assez petite pour ne pas troubler sensi- 
blement le mouvement képlérien des deux autres. La théorie de la Lune 
se rapproche de ce problème restreint car, fortement troublée elle-même, 
elle ne peut guère troubler le mouvement képlérien du Soleil autour du 
centre de gravité du système qu'elle forme avec la Terre. D'ailleurs on peut 
encore un peu simplifier les choses en supposant circulaires les orbites non 
troublées. Mais avant de développer complètement ce problème et d'aborder 
les vues si originales de l'auteur nous revoyons en quatre chapitres le mou- 
vement elliptique non troublé puis les orbites osculatriees d'un mouvement 
troublé. C'est d'abord la méthode de Jacobi qui sert et elle introduit natu- 
rellement des constantes canoniques que Ton fait varier ensuite ; ici l'usage 
habile des crochets de Jacobi nous montre immédiatement les résultats qui 
dans l'ouvrage de Tisserand par exemple, n'apparaissent qu'après des cal- 
culs plus longs. Et c'est ici aussi que nous pouvons nous rendre compte de 
progrès très grands. Passer des éléments canoniques aux éléments elliptiques 
a. e, f, n. ^, c c'est détruire malheureusement le caractère canonique des 
équations et c'est pourquoi M. Poincaré nous propose d'autres systèmes de 
variables n'ayant pas cet inconvénient. Il s'ensuit naturellement de grandes 
différences dans les développements terminaux des éléments, mais des cal- 
culs devant lesquels l'imagination recule tant ils semblent menacer de deve- 
nir inextricables restent ici élégants et faciles à suivre. Le regretté Callan- 
dreau n'a-t-il pas dit quelque part que M. Poincaré avait traité ces questions 
avec une facilité qui déconcerte absolument ? 

Revenons au problème restreint. On sait qu'il admet uno intégrale impor- 
tante et célèbre dite intégrale de Jacohi. Cela se met tout de suite en 
évidence par un choix heureux d'éléments canoniques avec lesquels la 
fonction caractéristique du système d'équation ne contient pas le temps. Il 
s ensuit qu'elle est constante et c'est le cas d'un problème de Dynamique 
admettant l'intégrale des forces vives. Il y a quelque chose d'absolument 
analogue dans la théorie des perturbations séculaires que M. Poincaré 
traite ensuite. La question de la stabilité apparaît encore sous un jour 
excessivement simple, les éléments figurant dans des formes quadratiques à 
termes tous positifs et qui doivent rester constantes. Dans ces conditions la 
variation des éléments en question est évidemment limitée. 

Au fond la question la plus importante de toutes est de faire disparaître 
des développements terminaux les termes séculaires, c'est-à-dire ces termes 
qui menacent de croître indéfiniment avec le temps. Dès qu'ils s'aperçurent 
de leur existence, les créateurs de la Mécanique Céleste eurent bien l'intui- 
tion que ces termes n'avaient pas d'existence objective dans le système pla- 
nétaire et que c'était la méthode de calcul qui les introduisait; ce ne fut 
cependant pas une chose aisée que de se débarrasser de cet encombrant 
apanage. 

Un immense mérite revient à Delaunay car cet illustre et patient esprit, 
dans sa théorie de la Lune, donne une méthode précise pour cmpét*her le 
temps de sortir des fonctions sinus et cosinus, mais il fallait la persévé- 
rance qui lui fut spéciale pour ne pas reculer devant la solution effroyable- 



250 BIBLIOGRAPHIE 

ment longue qu'il imagÎDait. M. Poîncaré. conlinuateur de Delaunay. a 
perfectionné ces méthodes. À coup sûr on peut se demander si la nouvelle 
analyse n'entraînerait pas aussi de grandes longueurs lors ds ses appli- 
cations numériques mais nous voyons maintenant les choses d'assez haut 
et d'une façon assez simple pour nous rendre compte du fuit que là où la 
longueur subsiste il est dans la nature des choses qu'il en soit ainsi. 

Dans les derniers chapitres du livre, nous revenons sur le cas général du 
problème des trois corps et le souci qui domine est précisément de démon- 
trer que là encore on peut débarrasser les développements des termes 
séculaires tout comme dans les cas plus simples étudiés précédemment. 
Delaunay dont je parlais plus haut a été invoqué par M. Poincaré pour 
terminer ce bel ouvrage où les astronomes pourront se familiariser avec 
beaucoup de méthodes encore imparfaitement connues par beaucoup d'entre 
eux et où les analystes pourront trouver de féconds sujets de méditation 
tout en s'apercevant que beaucoup de concepts de pure analyse pourront 
être appliqués par eux aux besoins de la Mécanique Céleste. 

À. BuHL (Montpellier). 

G. ScHEFFERs. — Lelirbuch der Mathematik fur Sludierende der Natur- 
wissenchaften und der Technik mit 3'f4 Figuren — 1 vol. gr. in-8o» 682 p.; 
prix : 16 mk. ; Veit & Co, Leipzig. 

En raison de l'importance croissante que prennent les mathématiques dans 
les sciences les plus diverses» on demande de plus en plus aux établisse- 
ments supérieurs de mieux adapter leur enseignement mathématique aux 
exigences actuelles des autres branches scientifiques. Plusieurs universités 
ont compris qu'à côté des cours et des conférences destinés aux étudiants 
en mathématiques, il y avait lieu d'organiser un enseignement s'»drcssant 
plus particulièrement à ceux qui ne cherchent dans mathématiques qu un 
simple instrument auxiliaire. C'est à ce public, de plus en plus nombreux, 
qu'est destiné le bel Ouvrage de M. ScheflTers. 

D'une forme très élémentaire au début, n'exigeant que des connaissances 
tout à fait rudimentaires, ce traité conduit l'étudiant à des applications d'un 
caractère très élevé. La marche, bien ordonnée, est très lente, surtout dans 
la première moitié de l'ouvrage ; elle est originale par le groupement des 
matières et par les applications bien choisies et fort intéressantes. 

L'auteur part de la mesure des grandeurs, des notions de fonctions et de 
coordonnées et donne des exemples très variés de la représentation graphi- 
que. La notion de dérivée et la difl'érentiation d'expressions algébriques fait 
l'objet d'une étude très approfondie avec des nombreux problèmes prati- 
ques. Viennent ensuite les fonctions logarithmiques, exponentielles et cir- 
culaires. Les dérivées d'ordre supérieur sont suivies de leurs applications 
géométriques et cinématiques (courbure, mouvement rectiligne, mouvement 
curviligne.) Dans le chapitre consacré à l'étude des fonctions on trouve les 
formules d'interpolation, puis une très belle étude du théorème de Taylor 
et de ses applications. L'étude de lu série de Fourier, placée à la suite dos 
méthodes d'intégration, sera bien accueillie des physiciens. Du reste, qu'il 
s'agisse de ces derniers, ou d'une manière générale des étudiants des di- 
verses branches scientifiques, tous trouveront dans cet Ouvrage de nom- 
breuses applications bien upprofondies, qui les initiera à l'emploi du Calcul 
différentiel et intégral dans les sciences appliquées. 

Il suffira, pour faire ressortir le caractère de ce volume, de signaler les 



BIBLIOGRAP II lE 251 

intéressants développements qui accompagnent l'étude de la fonction expo- 
nentielle ; on oublie trop souvent «de faire remarquer aux étudiants pour- 
quoi cette fonction e^ inter\'ient constamment dans les applications les plus 
diverses et l'on se borne, le plus souvent, au problème des intérêts composés. 
Après l'étude du paragraphe consacré à la fonction exponentielle et à la 
croissance organique, les lecteurs de l'Ouvrage de M. SchefTers en auront 
une idée très nette. 

Le volume se termine par plusieurs tables numériques et par une table 
analytique des matières. 

Il faut remercier M. Sclieffers d'avoir entrepris la publication de ce Traité, 
qui est appelé à rendre de grands services à une catégorie très importante 
d'étudiants. H. Fehr. 

H. Schubert. — Aoslese ans meiner Unterrichts- nnd Vorlesnngsprazis. 

— 2 vol. in-16o, 239 et 218 p.; prix 4 Mk. le volume; G.-J. Gôschen, 
Leipzig. 

Donner une anal3'se de ces deux intéressants petits volumes est plutôt 
difficile. L'on est d'un bout à l'autre charmé par l'ingéniosité de l'auteur, 
en même temps qu'un peu étonné de la diversité des sujets traités. 

Dans son premier volume, après avoir indiqué une méthode d'une extrême 
simplicité pour le calcul des valeurs approchées des logarithmes, M. Schubert 
s'occupe entre autres de la construction du polygone régulier de dix-sept 
côtés, des équations de la division du cercle, du nombre des images réflé- 
chies par deux miroirs plans, d'une certaine inconséquence commise dans 
l'établissement des mesures absolues, etc. Le livre se termine par un char 
pitre consacré au problème d'Apollonius et autres questions analogues. 

Le second volume comprend tout d'abord une étude relative aux triangles 
et pyramides de Héron, autrement dit relative à des figures géométriques 
limitées par des droites et dont certains éléments essentiels, tels que côtés, 
surface par exemple, volume s'il y a lieu, etc. — sont exprimables en 
nombres entiers. Un autre chapitre se rapporte aux fractions continues de 
l'arithmétique, puis le recueil s'achève sur une seconde méthode permettant 
de trouver facilement la valeur d'un logarithme. 

M. Schubert se proposait de donner à ceux qui enseignent le moyen de 
traiter certaines questions pour elles-mêmes. Nous pensons qu'il a fait 
mieux encore, puisqu'il rend ainsi service à tous ceux qui, sans être mathé- 
maticiens de profession, aiment à s'occuper des problèmes intéressants aux- 
quels conduit notre belle science. G. Dumas (Zurich). 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 



f • Sommaires des principaux périodiques: 

Aimaes Scientificos da Academia Polj^chnica do Porto, publicados sob 

a Direcçào de P. Gomes Teixeira. — vol. I. Impreasa da Universidade, 
Coimbra. 

Les Annales de l'Académie polytechnique de Porto, dont nous signalons ici 
le premier fascicule, seront consacrées aux sciences mathématiques pures et 
appliquées, la Physique, la Chimie, les sciences naturelles et les sciences 
sociales. Elles remplacent, pour ce qui concerne les mathématiques, le 
Jornal de Sciencias Mathematicas et Astronomie as, qui cesse de paraître. 
M. Gomes Teixeira, notre distingue collaborateur, qui dirigeait le Jornal, 
prend la direction des Annaes. 

Voici le sommaire des n»* 1 et 2 : Teixeira : Sobre una questào entre 
Monteiro da Rocha e Anastacio da Cunha. — Niklsen: Sur les séries neu- 
manniennes de fonctions sphériques. — Ferreira da Silva : Aobrascientifica 
e a vida do chimico portugnez Roberto Duarte Silva. — Carqueja : O capi- 
talismo e as suas origens em Portugal. — E. Jahnkb : Sur une transforma- 
tion d'un classe d'opérations difl'érentielles binômes. — I. B. d'ALMEiDA A&ez : 
Nota sobre os coefiicienles das formulas de VVaring. — P. li. Schoute: Appli- 
cation d'un théorème connu sur la multiplication de deux matrices à la Géo- 
métrie polydimensionalc. 

Bulletin des Sciences mathématiques, rédigé par MM. G. Darboux, 

E. Picard, J. Tannery. Tome XXIX. 1905. Paris, Gauthier-Villars. 

Août-décembre 1905. — £. Estanave : Construction de surfaces applica- 
bles sur le paraboloïde de révolution défini par M. Darboux. — Lebesgue : 
Remarques sur la définition de l'intégrale. — Zoretti : Sur un thorème de la 
théorie des fonctions analytiques. — Marotte : L'évolution actuelle de ren- 
seignement mathématique en Angleterre et en .VUemagne. — Lelibuvke : Sur 
quelques questions concernant les fonctions elliptiques. — Comptes rendus 
et analyses. — Revue des publications mathématiques. 

Bulletin of the American Mathematical Society, New- York. Vol. XII. 

N» l (octobre 1905). — Charlotte Angas Scott: The Elemeutary Treat- 
ment of Conics by Means of the Regulus. — E. J. Townsend : Arzelà's Con- 
dition for the Continuity of a Function defined by a séries of Continuous 
Functions. — W. H. Bussey : Galois Field Tables for p» ^ 169. 

No 2 (novembre 1905). — F. N. Cole : The Twelfth Summer Meeting of 
the American Mathematical Society. — Ida May Schottbnfbls : A set of 
Generators for Ternary Linear Groupa. — Saul Epstben : Note on the Struc- 
ture of Hypercomplex Number Systems. — Ed. Kasner : A Géométrie Pro- 
perty of the Trajectories of Dynamics. — G. A. Miller : On the possible 
Numbers of Operators of Order 2 in a Group of Order 2"». — W. A. Man- 
NiNG : On the Arithmetic Nature of the Coefficients in Groups of Finite Mo- 
nomial Linear Substitutions. 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 253 

N« 3 (décembre 1905). — F. N. Colk : The Oclober Meeting of the Ame- 
rican Mathematical Society. — G. À. Miller : The september Meeting of 
the San Francisco Section. — C. A. Noble : Note on Loxodromes. — Sborter 
Notices. — Notes. — New Publications. 

Bolletino di Bibliografla e Storia délie Science matematiche, publicato per 

cura di Giro Loria. Anno VIII, 1905. C. Clausen, Torino. 

R. Marcolongo : Notizie sul « Discorso matematico n e sulla vita di Giulio 
Mozzi. — R. Bonola : Un teorema di Giordano Vitale da Bitonto sulle rette 
equidistanti. — G. Loria : Unicoique suum. — G. Vacca : Sulla matematica 
degli iintiche cinesi. 

Bolletino di Matematica. Diretto dal Dott. Alb. Cokti. Anno IV. Bologna. 

No* 5 à 12. — Sforza : La teoria delle parallèle dal punto di vista didat* 
tico. — BiNDo.Ni : A proposito di un articolo del prof. Loria sulla divisibilità 
dei numeri. — Biasi : Sulla divisibilità dei numeri. — Pizzarello : Altera- 
zione e uguaglianza delle frazioui. — Neppi Modona : Sul principio di pola- 
rità. — SiBiRAKi : Un problema di geometria elementare. — Natucci : Sulla 
scelta del Metodo per la teoria dei numeri irrazionali. — Id. : Alcune consi- 
derazioni sulla teoria delle proporzioni in geometria elementare. — Ciam- 
BBRLini : Su alcune proposizioni relative alla simiglianza geometrica. — 
Bo:coLA : Intorno ad una propriété delparallelogramma. — Scarpis : Intorno 
alla soluzione di un Problema da Meccauica. — Bassi : Relazioni metriche 
nel tetraedro. — Bindoni : Sulla scelta del metodo per la teoria dei numeri 
irrazionali. — Composto : Sulle equazioni di 3» grado. — Galvani : Una 
applicazione geometrica della numerazione binaria. — Tognoli : Una nuova 
soluzione del problema di Malfatti. — Cartoni : Sulla risoluzione grafica 
delle equazioni di 2o grado. — Marletta : Sulla condizione d'irriducibilità 
delle frazioni ordinarie. — Manci.nelli : Osservazioni relative alla ricerca 
délia radice quadrata e cubica di un numéro intero a raeno di un'unità. — 
Natucci : La riforma nelT insegpiamento dell' aritmetica razionale. 

Corrispondenza. — Rivista bibliografica. 

Joomal fur die reine and angewandte Mathematik, Herausgegebcn von 

K. Hensel. Georg Reimer, Berlin. 

Bd. CXXIX. Hefte 3 u. 4. — F. Mertens : Ein Beweis des Satzes, dass 
jede Klasse von ganzzahligen primitiven biniiren quadralischen Formen des 
Hauptgeschlechts durch Duplikation entsteht. — A. Hurwitz : Ueber eine 
Darstellungder Klassenzahl binârer quadratischer Formen durch unendliche 
Reihen. — W. Wirtikger : Ueber eine besondere Dirichletsche Reihe. — 
H. MiNKOWsKi : Diskontinuilatsbereich fur arithmetische .lilquivalenz. — 
E. Picard : Sur quelques questions se rattachant à la connexion linéaire dans 
la théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes. — 
L. Schlcsi.xger : Ueber die Lôsungen gewisser linearer DifTerenzial- 
gleichungen als Funktionen der singulhren Punkle. — E. Steixitz : Ueber 
die Anziehung hyperboloidischer Srhalen. 

Bd. CXXX. Hefte 3 u. 4. — H. Stahl : Die Abeischcn Funktionen von 
drei Variabeln. — R. Fveter : Die Théorie der Zahlstrahlen. — St. Jollbs : 
Neue Beweise einiger Sâtze aus der Théorie der lincaren Komplexe. — 
E. Picard : De l'intégration de Téquation ^u = <»" sur une surface de 
Riemann fermée. — L. Kœnigsberger : Ueber die Eisensteinschen Satz von 



254 BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 

dem Charakter der Koeffîzienten dcr ReiheoeDtwicklungen algebraiseher 
Fiinklionen. — St. Jolles : Zur synthetischen Théorie der Raumkurven III. 
Grades k* und den Kougruenz C*t ihrer Schmiegungsstrahlen. Kubische 
Ruurukurven und biquadratische Rcgelflâchen, die bezùglieh k* autoconju- 
gierl sind. — E. Steinitz : Ueber ein merkwûrdiges Polyeder von einseitiger 
Gesaintflache. — Inhaltsverzeichnis der Bande 121-130. 

MathdSis, Recueil mathématique publié par P. Maksion et J. Netjberg. Gand, 
Hoste ; Paris, Gauthier-Villars. Série 3. Tome V. 1905. 

. Juillet-décembre 1905. — E. Webbr : Sur quelques coniques associées au 
triangle. — E. Barisien : Exercices de calcul intégral. — H. Tsurmichi : 
Questions d'arithmétique. — Eo. Wasteels : Sur une transformation des 
ligures sphériques. — V. Jerabek : Podaire de l'hypocycloide de Steiner par 
rapport à un point de rebroussement. — À. Àubry : Théorie de l'équation 
de Pell. — Gustave Gérard : Sur l'hélicoïde développable. — V. Reyer : Sur 
une généralisation du théorème de Pascal. — J. Neuberg : Proposition sur 
les quatrièmes puissances des côtés d'un triangle. 

Bibliographie. — Notes mathématiques. — Solutions de questions propo- 
sées. — Questions proposées. 

Nouyelles Annales de Mathématiqnes, dirigées par G. -A. Laisamt, C. Bou&- 

LET et R. Bricard. 4« série. T. V. Gauthier- Yillars, Paris. 

Septembre-décembre 1905. — G. Lery : Nouvelles démonstrations du 
théorème de d'Alerabert. — Id. : Première démonstration. — Etiekne 
PoMEY : Deuxième démonstration. — Salon Chassiotis : Notes sur les 
courbes gauches. — Lancelot : Détermination d'une courbe algébrique 
gauche. — V. Jamet : Sur une propriété de là parabole. — G. Fomtené : 
Décomposition d'une correspondance tangentiellc entre deux courbes uni- 
cursales. — Stuyvaert : Quadrilatères de Steiner dans certaines courbes et 
surfaces algébriques. — Un Abonné : Sur un lieu connu. — Stuyvaert : 
Quadrilatères de Steiner dans certaines courbes et surfaces algébriques. — 
G. Fontené : Extension du théorème de Feuerbach. — P. Lévy : Sur les 
séries semi-convergentes. — C.-A. Laisant : Sur les sommes des puissances 
semblables des racines ; formules de Newton. — A. Auric : Résolution gra- 
phique de l'équation X* — p\ -{- q z= o, p et q étant quelconques. — 
G. Fontené : Sur les points de contact du cercle des neuf points d'un triangle 
avec les cercles tangents aux trois côtés. — Maurice Fréchet : Sur deux 
suites remarquables de polynômes et de courbes. — J. Juhbl-Rénoy : Sur 
la projection orthogonale d un cercle. — V. Retali : Sur une propriété de 
la strophoïde. — Pierre Sicard : Solution de la question d'Analyse du con- 
cours d'agrégation de 1905. — Certificats de calcul différentiel et intégral, 
etc. — Solutions de questions proposées. — Questions. 

Nyt Tidsskrift for Matematik, revue dirigée par C. Juel et V. Trier ; série 
A, 16'"« année ; série B, 16">« année ; 1905. L. Jorgensens, Copenhague. 

Psdagogisches Archiy. Monatsheft fur Erziehung und Unterricht an Hoch. 
Mitlel- und Yolksschulen, herausgegeben von Prof. D"" L. Frbytag : 47. 
Jahrg., 1905; Fr. Vieweg und Sohn, Braunschweig. 

Periodico di Matematica per l'Insegnamento secundario : Diretto dal Prof. 

G. Lazzeri. Série III. Raffaelo Giusti. Livorno. 

Vol. II. Fasc. V et VI (Mars-Juin 1905). — Poincaré : Le definizioni 
generali in matematica. — F. Siriram : Sul luogo di un punto univocamcnte 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 255 

coordinato ad una coppia di punti mobili. — M. Cipolla: Teoria dci numcri 
complessi ad N unilà (v. fasc. III-IV). — G. Ascoli : Sopra Ui rapprescn- 
tazione délie proietlività nello spazio a trc dimensioni. — A. Bindoni : Me- 
todo îndîrctto per la ricerca dei massimi e minimi di una fiin^ione di varia- 
bile reale. — F. Mancikelli : 11 concctto di aagolo in Goniomelria. — 
G. Marletta : Principi di gcomelria euclidea. — A. Bohrieko : Sulla con* 
grnenza e simmetria délie ligure. — G. Candido : Su d'un applicazioue délie 
fuDzioni U/i, V;i di Lucas. — Piccole note. 

Vol. ni. Fasc. I. (Juillet et Août 1905). — M. Pieri : Sulla definizione 
staudtiana dcH' omografia tra Forme semplici reali. — G. Lazzeri : Sulla 
dcterminazione degli assintoti délie curve algebriche. — M. Cipolla : Intorno 
aile differenze di O* c aile indentità aritmetiche. — G. Sadux : Un teorema 
sul (t modulo principale » di una funzionc. — G, Sanma : Equazioni te rui 
radici formano una progressione geonietrica. — F. Sibirani: Sulla definizione 
di area di una superficie curva. 

Prace Matamatyczno-Fizyczne, przcz S. Dicksteina. T. XVI. 1905. 

St. Kali.nowski : Sur le phénomène du retard dans la double réfraction 
électrique et dans la rotation magnétique du plan de polarisation dans les 
liquides. — E. Stephansex : Eine Bemerkung zur Théorie der linearen Dif- 
t'erenzengleichungssysteme mit constanten Coeflicienten. — A. Glldberc : 
Ueber lineare homogène DiflTerenzengleichungen derselben Art. — Al. La- 
PAREwicz : Application des formes binaires quadratiques à la décomposition 
des nombres en facteurs premiers. — S. Kepinski : Sur les vibrations trans- 
versales dos verges élastiques. — G. A. Miller : Theorems relating to quo- 
tîenl-groups. — \Vl. Gorc.zynski : Sur les méthodes de déduction de la loi 
de Kirchhoff. — \V. Biernacki : Sur les miroires produits par la désinté- 
gration galvanique du fer. — W. Biernacki : Sur un analysateur à pénombre 
et son application à Tétude de la lumière elliptiquement polarisée. — 
G. MiTTAG-IiEFFLER 1 Sur la représentation analytique d'une branche uni- 
forme d'une fonction monogène. Traduit par S. Dickstein. — R. Merf.cki : 
L'influeitce de la variable activité du soleil sur les mouvements apériodiques 
de l'atmophcre terrestre. 

Proceedings cl the London Mathematical Society. Série 2, vol. 3 

Fasc. 4-7. — VV. Burnside ' On the Complète Réduction ofany Transitive 
Permutation -Group ; and on the Arithmetical Nature of the Coefficients in its 
Irreducible Components. — E. \V. Barkes : The Maclaurin Sum-Formula. 
— Id. : The Asymptotic Expansion of Intégral Functions of Finite Non-zero 
Order. — W. H. Bussey : Generational Relations for the Abstract Group 
simply isomorphic with the Group LF [2, pn^ — P. W. Wood : On the 
Reducibility of Covariants of Binary Quantics of Infinité Order. Part II. — 
Id.': Alternative Expressions for Perpétuant Type Forms. — T. J. l'A. 
Bromwich : Tlieorems on the Logarithmic Polential. — W. H. Younc : 
Ordinary Inner Limiting Sels in the Plane or Higher Space. — G. H. 
Hardy : A Method for determining the Behaviour of certain Classes of Power 
Séries near a Singular Point of the Circle of Convergence. — J. A. H. 
JoH^STO?( : The Intersection of two Conic Sections. — J. M. Hill, L. N. 
FiLO.N and H. W. Chapman : On the Projection of two Triangles on to the 
same Triangle. — W. BuR^(SIDK : On the Condition of Reducibility of any 
Group of Linear Substitutions. — G. H. Hardy : On a Class of Anulytic 
Functions. — \V. H. Yol'.ng : Linear Content of a Plane Set of Points. 



256 BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 

^. Livres nouveaux: 

R. BoNOLA. — La Geometria non eaclidea, esposizione storico-crilica dcl 
»uo sviluppo. «^ \. vol. i^-8o, 214 p.; prix: 5 L.; Zanichelli, Bologna. 

H. Bruks. -^ Wahrscheinlichkeitsrechnang a. KoUektivmasslehre. — 

1 vol. iu-8o relié» 310 -|- 18 p. ; prix : 8 Mk. 40; B.-G. Teubner, Leipzig. 

Catalogue international de la littérature scientifique, publié par uue 

Commission internationale sous la direction de H. Forster Morlet. Deuxième 
et troisième années. Fascicules A : Mathématiques. — 2 vol. in-8o. 268 et 
228 p.; prix; 18 fr. 75 le volume; Gauthier- VilJars, Paris. 

C.-C. Dassen. -^ Tratado elemental de Aritmética. —1 vol. in-12. 548 p.: 

Hermanos, Buenos-Aires. 

Encyclopédie des Sciences mathématiques pures et appliquées. Edition 

française, rédigée et publiée d'après l'édition allemande sous la direction de 
Jules Molk. — Tome I, quatrième volume ; Calcul des probabilités. Théorie 
des erreurs. Applications diverses. Fasc. 1. — B. G. Teubner» Leipzig ; 
Gauthier- Villars, Paris. 

J.-A. Flemiivg. — Elektrische Wellen-Telegraphie, deutsch von E. Aschki- 

nass. —' 1 vol. cart 185 p.; prix: 5 Mk.; B. G. Teubner, Leipzig. 

A. Gutzmer. — Reformyorschlâge fur den mathematischen u. natur* 

wlssenschaftl. Unterricht. entworfen von der Unterrichtskommission der Ge* 
sellschaft Deiitscher Naturforscher u. Aerzte, nebsl einem allgemeinen Be- 
richt ûber die bisherige Tîltigkeit der Kommission. — 1 fasc. in-8o. 48 p. ; 
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OsK. Lesser. — Die Infinitesimalrechnung im Unterrichte der Prima. 
Mit 30 Fig. — 1 vol. cart. in-8o, 121 pag.; prix: 2 Mk. ; O. Salle, Berlin. 

N. Nielsen. — Handbuch der Théorie der Gammafunktion. — 1 vol. in-8«. 

relié, 326 p. ; prix: 12 Mk. ; B.-G. Teubner, Leipzig. 

Salv. Pincherle. — Lezioni di Algebra complementare. Analisi algebrioa. 

— 1 vol. in-8o, 366 p.; prix : 10 Lires, Zanichelli, Bologne. 

J. PioNCHOPc. — Trigonométrie rectiligne etsphérique. — 1 vol. gr. in-8'>. 

146 p. (Bibliothèque de V Elève-ingénieur) -y prix: 5 fr.; Gratier et Rey. 
Grenoble ; Gauthier- Villars, Paris. 

E. ScHRôDER. — Vorlesungen ûber Algebra der Logik (Exakte Logîk). 

Ziveiter Band herausgegeben von Eug. Mûller. — 1 vol. in-8o, XXX II -f- 
206 p. ; prix : 8 Mk. ; B.-G. Teubner, Leipzig. 

M. Simon. — Methodik der elementaren Arithmetik in Yerbindung mit 

algebraischer Analysis. — 1 vol. cart. in-S», 108 p.; prix: 3 Mk. 20; B.-G. 
Teubner, Leipzig. 

J. Thomas. — Grundriss einer analytischen Géométrie der Ebene. — 1 Vol. 

cart. in-8o, 184 p.; prix: 3 Mk. 60; B.-G. Teubner, Leipzig. 

G. VivANTi. — Théorie der eindeutigen analytischen Funktionen. Umar- 

beitung unler Mitwirkung des Verfasscrs, Deutsch herausgegeben von A. 
Gutzmer. — 1 vol. in-8o, relié, 512 p. ; prix : 12 Mk. ; B.-G. Teubner, 
Leipzig. 

K. Zindler. — Liniengeometrie mit Anwendungen. II Band. — 1 vol. cart. 
in-8o, 252 p. (Sammlung Schubert) prix: 8 Mk.; G.-J. Goeschen, Leipzig. 



LES FONCTIONS ANGULAIRES 
DANS LA GÉOMÉTRIE DE L'AJUSTAGE 



1. — Quelques remarques sur la continuité. 

Définition. — Un triangle sphérique dont aucun côté ne 
dépasse un quadrant est dit un triangle sphérique réduit. 

Lemme 1. Dans un triangle sphérique réduit tout angle ex- 
térieur du triangle est plus grand que chacun des angles in- 
térieurs qui n'ont pas même sommet que lui. 

Lemme 2. — Dans un triangle sphérique réduit la bissectrice 
d'un angle intérieur partage le côté opposé en deux segments 
dont Tordre d'inégalité est le même que celui des côtés con- 
tigus à ces segments. 

Ce lemme est une conséquence du précédent et de la con- 
sidération du triangle symétrique du proposé par rapport au 
plan de Tare de grand cercle bissecteur. 

Théorème 1. — Dans tout triangle sphérique réduit, dont 
les deux côtés de Tangle droit sont suffisamment inégaux et 
suffisamment réduits, le rapport du plus petit y de ces côtés 
au plus grand x de ces côtés est un nombre comparable au 

nombre qui mesure Tangle C, opposé au côté y^ lorsqu'on 
prend Fangle droit pour unité. 

En d'autres termes, on aura à la fois 



c r 

|droit — ^ • 


m 


X Idroll • 


m' 



m et m' désignant deux 
nombres finis. 



DÉMONSTRATION. — Considérous un triangle sphérique 
ABC rectangle en A, dont Afi est le côté le plus petit, soit C 

L'BaMigB«inent nuithém., 8* année ; 1t06. 17 



258 /. AN DR A DE 

Tangle aigu opposé h ce côté ; sur AC portons ADi = AB, et 
joignons B el Di, par un are de grand rercle ; porloiis 
DiDa = BDi, el joignons B et D2 par un arc de grand cercle ; 
et ainsi de suite ; soit D„ le dernier pjinl obtenu sur AC dans 
celte opération avant de franchir le point C. 

Nommons wi la valeur commune des angles de sommets 
B et Di dans le triangle isocèle ADiB; nommons de même u^ 
la valeur commune des angles de sommets B et Da dans le 
triangle isocèle B Di Da ; et ainsi de suite. La considéralion 
de l'excès sphérique dans ces triangles successifs nous donne 

"w ^ ^» — ■; ^ "rt — » 

et par suite 

/\ / 1 I 1 \ 

ABI)« = i/j + Ut-\- Ut + . • -f "« > Wi ( 1 -H ^ -h ^ + • ■ + 2;iZ\ ) '• 

ainsi donc : 

(1) (l«i->CBA>2£/,(l -Ij . 

Notons en passant cette conséquence : 

L'angle aigu d'un triangle sphérique rectangle et isocèle 
dont les deux cotés de Tangle droit tendent vers zéro a pour 
limite la moitié d'un droit. 

Soit P le pôle de l'arc de grandeur AC, répétons à la suite 

l'angle C autant de fois : q, qu'il est possible, dans l'angle 

/\ 
droit ACP; les bases opposées au sommet C et situées sur 

AP dans ces triangles successifs vont en croissant ainsi que 

les aires de ces triangles ; soit 

ACQ = ACB X ff , 
on a : 

«ire ABC < -^— , 

7 

c'est-à-dire en prenant Taire du triangle trireclangle comme 
unité : 

aire ABC < aire CQA . -^ < '''''' ^^' ^ 



ACQ 1 quadrant ' .-^^^ 

AC-Q 



OU 



i2. Ktrt ABC < • ^^ 






{ cKrfiuraan: hl ncHnirT TM»si:r < l 



Tenlier^ s>era sujvc»** > IL 

Daîl leurs nous «tcoh. |»oî!r i^rer parti ôf- î! 

donc en rerlu de 2 



u^ ^ ABW — î- < — ' 



^ 1 oii^c-Mu: 
1 



OU, â forliori : 






< 1* _ r*, ^ — <. — 



«3. ■• I I j- . I 

Or nous aTons 
c'est-à-dire 

^<t - 

donc en substituant dans 3 nous aurons celte limitation do ;«» 



I arr AC 

I — 



I — b 1 qua<ir.<nl 

et à fortiori 

/\ t 

BCA < iut 



• » 



I _ -J ± ' 

I — 6 1 quadranl 
7 



260 /. AN DR A DE 

et si 



1 quadrant 3 
(4) BCA < 12ii, ^ . 

X 

Nous allons maintenant limiter le rapport ^ par l'angle G. 

Sur AB prenons AD = AC =x; et portons sur AB à par- 
tir de A, AB -= y, autant de fois, soit /•, que possible dans 
AD ; AE = (/• 4- 1) y > AD soit C% Tangle EGA; et soit Go 
l'angle DGA ; 

et en vertu d'une remarque précédente: 





/\ /\ 




<<(r-hii(: . 


et à fortiori : 






C,<(^4-l)c 

• 


d'oii 










' + .r ^ c. • 


ce qui donne 






^ ^ c, - c 



Théorème 2. — Extension du théorème précédent aux 
triangles plans. Dans la géométrie de la droite fermée, le 
plan est une variété de la sphère et la méthode précédente 
s'applique alors sans modification. Nous n'avons alors qu'à 
envisager le cas de la droite ouverte ; or, en laissant de côté 
le cas classique d'Euclide, on sait que dans la géométrie de 
la droite ouverte la somme des angles d'un triangle recti- 
ligne est moindre que 2 droits d'une quantité qu'on appelle 
le déficit du triangle. 

Répétons alors la construction indiquée plus haut des 
points successifs Di, D2,..., D/i situées sur AC et conservons 



GÉOMÉTRIE DE L* AJUSTAGE 261 

les notations employées, nous aurons ici, en introduisant 
X' = BC, 

et 

C < Un < 1*->». 27* < «*~". p < ^T^ • 



ou 



C 2r 



1 droit ^*^ *■ ^^ ^ 

Telle est la limitation deTangle C par le rapport - ; quant 

à la limitation du rapport - par Tangle C elle ne souffre au- 
cune modification. 

Remarque. — Les théorèmes précédents nous seront sur- 
tout utiles en considérant des triangles rectangles dont le 
plus grand côté de Tangle droit sera variable en tendant vers 
zéro, c'est-à-dire infiniment petit. 

On peut alors comme conséquence directe de ces théo- 
rèmes énoncer ce résultat : si y est infiniment petit d'ordre 
supérieur à Tordre de x^ l'angle C est infiniment petit avec x 
et réciproquement. 

De là encore les conséquences importantes qui suivent, 
mais dont la démonstration est facile et intuitive : 

Théorème 3. — Dans un cercle donné la corde qui est vue 
du centre sous un angle infiniment petit est un infiniment 
petit de même ordre et elle fait un angle infiniment petit 
avec la perpendiculaire à l'extrémité du rayon. 

Théorème 4. — Dans un triangle rectangle (sphérique ou 
plan) dont le côté de l'angle droit x est fini et dont l'autre 
côté y est infiniment petit, l'excès de l'hypoténuse z sur le 
côté X est avec i/ dans un rapport qui est infiniment petit. 

Théorème 5. — Sur le plan (ou sur la sphère) la longueur 
d'un arc de cercle peut être définie comme la limite du péri- 
mètre d'une ligne brisée inscrite dont les côtés tendent si- 
multanément vers zéro. (Remarque; sur la sphère les éléments 
de la ligne brisée sont évaluées angulairement par leurs 
angles au centre de la sphère). 



262 /. AN DR A DE 

Théorème 6. — La longueur L d'un arc de cercle dont 
Tangle au centre est a, est déterminé, est une fonction co/i//- 
nue du rayon r de Tare et Ton peut écrire 

(5) L = aR(r) , la fonction R est continue. 

Théorème 7. — Ce théorème s'applique aussi sur la sphère, 
en évaluant angulairement les longueurs d'arcs de grand 
cercle et l'on a 

(6) / =r a^ (r) , / et r étant évaluées angulairement. 

Remarque. — Le rapport d'un arc infiniment petit à sa 
corde tend vers l'unité. 



II. Rotations finies autour d'axes concourants. Rotations relatives. 

Théorème 8. — Quand un solide éprouve un déplacement 
autour d'un point fixe, ce déplacement peut être obtenu par 
une rotation convenable autour d'un axe convenable passant 
par ce point i\\e. 

Théorème 9. — Quand un solide fixé par un point O éprouve 
une rotation «i autour d'un axe Ui passant par ce point ; puis 
une rotation «a autour d'un axe Ua passant par ce point, le 
déplacement final du solide peut être obtenu par une rotation 
unique as autour d'un axe Us passant par ce même point. 

En représentant les axes par leurs images sphériques 
orientées^ sur une sphère de centre la combinaison des dé- 
placements successifs (1) et (2) est définie comme il suit (toutes 
les rotations ne dépassant pas un demi-tour) : Par le premier 
pôle Pi menons un demi-arc de grand cercle Pi.r faisant avec 
le demi-arc de grand cercle PiPs un angle égal à la rotation 

— -^0Li\ par le second pôle Ps menons un demi-arc de grand 
cercle Pay faisant avec le demi-arc de grand cercle PaPt 
l'angle + ^ aa. 

Ces deux demi-arcs de grand cercle se co upen t au point 
Ps et l'angle de PsPa avec le prolongement de PiPs est égal à 



GEOMÈTHiE DE LAJl STAGE 263 

Définition des rotations relatives autour d'un point fire, 

— Soient Ui, Li, l's des d roi les concoiininles envisagées 

dans Tordre précité; considérons nn premier solide Si animé 
d'une rotation continue an autour de Ui, puis, par rapport à 
ce solide Si, considérons un second solide St en mouvement 
relatif de rotation continue et décrivant aa par rapport à une 
droite de Si qui coïncidait avec Ui à l'époque / ; nous suppo- 
sons que les rotations continues et simultanées 91 et at de- 
meurent dans un rapport constant donné, on pourra poser par 
exemple ai ^= «1 (/' — / . 2s = ém /' — / , 

les constantes on et on seront alcrs les vitesses angulaires 
des deux rotations relatives considérées. 

On considérera de même un troisième solide se détachant 
du solide St par une rotation continue as. à vitesse constante 
CM autour d'une droite de St qui à i*époque / coïncidait avec 
Ut et ainsi de suite. 

Nous dé6nissons ainsi par des emboîtements sui-cessifs de 
solides le mouvement d*un dernier solide Su en mouvement 
relatif de rotation continue par rapport au solide précédent 
Sff.i, cette rotation s'exécutant autour d'une droite de S«-i- q(>> 
coïncidait avec U» à Tépoque /. Le temps / ne joue ici que le 
rôle d'une variable indépendante. 

A regard de ces mouvements on a les théorèmes suivants : 

Théorème 10. — Dans un mouvement de rotation uniforme 
chaque point d'un solide possède une vitesse à Tépoque /, 
c'est-à-dire que si on envisage le déplacement MM' d'un point 
du corps durant le temps rf/ = /^ — /, la direction MM' éma- 
née de M tend vers une direction limite lorsque dt tend vers 

MM' 

zéro et en même temps le rapport '-^ tend vers une valeur 

limite appelée vitesse actuelle. 

Théorème 11. — Quand un solide pivote sur un point tixe, 
si deux points particuliers du solide ont l'un et Fautre une 
vitesse actuelle' tous les autres points du solide ont aussi 
une vitesse actuelle : celle-ci est la même que si le solide 
allait à partir de l'époque / continuer à tourner d'une rota- 
tion uniforme autour d'un axe convenable ; ce théorème est 
une conséquence des théorèmes 8 et 10. 



264 /. ANDRADE 

Les théorèmes précédents rapprochés de la notion des 
mouvements relatifs de pivotement et des lemmes de conti- 
nuité conduisent à cette conséquence importante. 

Théorème 12. — La combinaison de deux mouvements re- 
latifs de rotation sur un même point pivot est au point de 
vue de la distribution des vitesses dans le dernier solide en 
mouvement, indépendante de l'ordre dans lequel on a envi^ 
visage les droites Ui Ui pour définir le mouvement combiné; 
et la distribution des vitesses est la même que si le solide 
tournait avec une vitesse o^s autour d'un axe dont le pôle/Ts 
sur une sphère concentrifjue au pivot et sur Tare pi pt qui 
joint les pôles séparés définis à Tépoque / ; de plus en faisant 
x=/?i/?8, y = /Hpi, z = x + y, on aura 

«1 «1 «I 



Corollaire. — Si donc on considère les vecteurs ou seg- 
ments représentatifs des rotations ui, oja, &)s portés sur ces 
axes, il existe une opération qui permet de déduire le troisième 
vecteur au moyen des deux premiers, et le vecteur eus est 
dans le plan des deux premiers. 

Théorème 13. — Lorsqu'un point M d'un solide éprouve 
par une rotation donnée un déplacement infiniment petit du 
premier ordre de M en M', un point m voisin de M par un 
écart d'ordre supérieur au premier viendra en m' et l'écart 
M'm' sera infiniment petit d'ordre supérieur au premier. 

Théorème 14. — La combinaison de n rotations relatives 
concourantes définies plus haut est, au point de vue de la 
distribution des vitesses à l'époque /, indépendante de l'ordre 
qui a présidé à l'emboîtement des mouvements successifs. 

Corollaire. — Il existe une opération vectorielle définis- 
sant le vecteur résultant de plusieurs vecteurs donnés con- 
courants, et celte opération jouit des propriétés suivantes : 

1. L'opération est invariante (conséquence du théorème 9); 

2. L'opération se réduit à l'addition algébrique des seg- 
ments si les vecteurs sont portés par une même droite ; 

. 3. L'opération est commutative (indépendante de l'ordre) ; 



GÉOMÉTRIE DE LAJUSTAGE 265 

4. L'opération est associative (plusieurs vecteurs compo- 
sants sont remplaçables par leur vecteur résultant) ; 

5. L'opération est continue; 

6. L'ensemble de deux vecteurs n'est équivalent à zéro que 
si ces vecteurs, portés par une même droite, sont égaux et 
contraires. 



III. — Composition des vecteurs. 

Composition des vecteurs concourants d'un plan. 

Nous allons indiquer l'interprétation analytique des faits 
qui précèdent. Soit F un vecteur, d'intensité /", émanant de 
Oi et défini dans un plan en direction autour de ce point par 
l'angle orienté a que sa direction fait avec une droite OX. 

Il résulte des propriétés de l'opération de composition des 
vecteurs que ce vecteur peut être décomposé en deux vec- 
teurs X et Y agissant suivant 0.r et Oy et que 

X = f.g[a) . Y = f.h[QL) , 

^ et A désignant deux fonctions continues de l'angle a. 
L'invariance donne de suite les propriétés : 

/ g(— a] = g{oi) , /r(— a) = — /i (a) , 
(I) j g(a -f 1*') =: — A(a| , 
( h[QL -I- l^M = h{OL\ , 

enfin l'associativité et l'invariance combinées, nous donnent 
après une rotation arbitraire du système des axes de repère: 

( g{u -^ v)= g[u)g{y) — h{u)h{v) , 
l h(u -f *') = h(u)g{y) + h{v)g{u) . 

Les propriétés (I) et (E) nous donnent de suite l'équation 
fonctionnelle 

g(u -f >») -h ^(tt — V) = 2g{u)g{v) , 
(8) ( que nous associerons à la condition de continuité 

g(0) = 1 . 



266 J. AN BRADE 

Nous aurons d'ailleurs ici la condition supplémentaire 
^(jdroit) _Q (8 bis). Or, j'ai démontré (BulL Soc, Mathém. de 
France, Année 1900) que toute fonction g continue, solution 
de (8) doit admettre une fonction dérivée et que les seules so- 
lutions continues de (8) sont alors : 



Il = 00 



2/m\2« 1 U 



«=l 



n= 00 



ou bien ë('^) = ^ +2i\-k) 1^X3-»= "^'''•'yP*' 



n 



OU bien g{a] = 1 . 

Dans le cas (|ui nous occupe nous avons la condition sup- 
plémentaire g^(i'*'^) =0 et le premier type de solution convient 
seul ici ; la constante A* dépend du choix de Tunité d'angle. 

k sera égal à 1 si on adopte une unité d'angle dans laquelle 

l'angle droit sera représenté par la plus petite racine^ de 
l'équation : 



n = 00 



' +2 '-*'" 172^.72;; = « • 



11=1 



Composition des vecteurs concourants dans l'espace, — En 
décomposant un vecteur suivant les 3 arêtes d'un trièdre tri- 
rectangle, on voit qu'on peut effectuer cette décomposition, 
en apparence de trois manières différentes, et en exprimant 
que ces trois modes sont : 1** compatibles, 2** uniques ; d'après 
le 6™® caractère de la composition on obtient les relations 
fondamentales qui existent entre les six éléments d'un trian- 
gle sphérique. 

Pour compléter l'étude du système (8), j'ajoute que si l'on 
pose 

a 
H (a) =J^g{z)dz , 



on aura, en laissant de côté le cas de g {z) = i, et après un 
choix convenable de la variable 2, 



GÉOMÉTRIE DE L'AJUSTAGE 267 

^(a -f Pi =^(a)^ii3) — «H(a)H(/3) . 
H(a -f P) =^(a)H(|3) -hér(i5)H(a) . 

c = 1 si ^(a) = cos a , et en ce cas H 'a) = sin a ; 

(t =r — 1) si^(a) = cos hyp a , et en ce cas H (a) = sin hyp ce . 

Composition des vecteurs d'un plan perpendiculaires à une 
même droite et agissant d'un même côté. — Si on considère 
2 rotations successives autour d'axes perpendiculaires à un 
plan P et dirigés d'un même côté deceplan, on voit que si elles 
sont suffisamment petites, elles sont remplaoables par une 
rotation unique perpendiculaire à ce plan; celte circonstance 
va remplacer ici le rôle joué par le théorème 9 pour les vec- 
teurs concourants. De là et par les lemmes déjà utilisés on 
conclut que : 

Deux vecteurs d'égale intensité /?, tous deux situés dans un 
même plan, perpendiculaires à une même droite de ce plan, 
et tirant d'un même côté de cette droite, admettent un vec- 
teur résultant perpendiculaire à la même droite et de plus 
l'intensité de ce vecteur résultant a pour valeur 2 /> S (.r) ; j; 
désignant la demi-distance des points où les vecteurs compo- 
sants coupent la perpendiculaire commune, et S désignant 
une fonction continue. 

De plus, en considérant 2 paires de tels vecteurs dont les 
pieds sur leur perpendiculaire commune sont distribués sur 
cette droite symétriquement par rapport à un même point, 
on voit que le caractère continu et le caractère associatif de 
la composition se traduisent encore par les conditions : 

i S (X -h j) -h S(;r — jl = 2S (.r) S (y) . 
^ M S (0) = 1 . 

Mais, celte fois la condition supplémentaire g^ ^jdroUj __.^ jg |g^ 
composition des vecteurs concourants n'a plus son analogue ; 
en sorte que nous avons ici le choix entre les trois solutions 
du problème 8, c'est-à-dire entre les trois déterminations : 

ou S(j:) = 1 . 

X 

(11) < ^^ ^(^' = cos -r- , 

X 

OU s ix) = cos hyp -j , 



268 /. AN BRADE 

ce qui nous indique que la géométrie de l'ajustage va alors 
bifurquer en trois variétés dont la géométrie d'Euclide est un 
cas particulier. 

La composition dans un plan de deux vecteurs inégaux 
perpendiculaires de même sens sur une même droite s'ob- 
tient d'ailleurs immédiatement en introduisant la fonction 
R (r) de Téquation 5 ; il suffit de comparer les vitesses des 
pieds A et B des deux vecteurs &ii et gds dans les mouvements 
composants et dans le mouvement résultant, soit C situé en- 
tre A et B le pied du vecteur résultant cos; en faisant A C =jr, 
CB = y. 

Nous aurons de suite : 



Comparons ce résultat qui concerne les vecteurs vitesses 
de rotations à celui que fournit l'emploi de la fonction S; no- 
tre argument de comparaison sera la généralisation d'une 
méthode indiquée par Archimède. En effet, introduisons la 
fonction H, définie pjus haut; soit C un point intermédiaire 
entre A et B sur AB et soient C'A = a:', C'B = y' , D le sy- 
métrique de C par rapport au pied A, E le symétrique de C 
par rapport au pied B. 

Par le rôle de la fonction H ou par sa forme analytique déjà 
indiquée, nous voyons que cette fonction est croissante dans 
la géométrie de la droite ouverte, de même cette fonction est 
croissante tant que la valeur de la variable n'atteint pas le 
quart du tour de la droite, dans la géométrie de la droite fer- 
mée, or on peut s'assurer en prenant la distance A B moin- 
dre qu'un demi-tour de droite qu'il n'existe entre A et B 
qu'un point C tel que 

«1 w« 



H(r'')-H(/) • 

Supposons le point C ainsi déterminé, nous pourrons poser : 



M, = 2q Çs (0 dt = 27H [x') 



GÉOMÉTRIE DE V AJUSTAGE 269 



«, = ^ fs (t) dt = 2^H (/) , 



u 



on peut alors considérer le vecteur m comme le vecteur ré- 
sultant d'une infinité de paires de vecteurs chargeant unifor- 
mément te segment CD avec la densité de charge q par 
unité de longueur et en même temps le vecteur gds sera le ré- 
sultat d'une charge de vecteurs infiniment petits chargeant 
le vecteur C E avec la même densité de charge ; le vecteur 
résultant de r«>i et de gd2 sera donc un vecteur (ds perpendicu- 
laire à AB et dont le pied C^ est au milieu de DE; ce vec- 
teur (1)8 est alors déterminé par la relation : 

x' + y' 
!«, = 2// y S (/) dt = 2yH (jc" -h /) , 
u 

d'ailleurs, si x" et y" sont les distances du point C à A et B, 
on a évidemment; 

^ = .)' . / = ^ . 
en sorte que nous avons 

.- ,' = -jz — =- avec la condition x" -\- y" = AB = * , 

comme nous avions tout à l'heure 



«1 



R(j) K{x) 



avec la condition x -\- y z=: s , 



mais de plus le point C" est le pied de vecteur résultant de 
fùi et de (M»% comme le point C est le pied du vecteur résultant 
des deux mêmes; donc C et G" se confondent et nous con- 
cluons avec x^ = .r, et y" = y 

R(rj_H(.r) 
l\{x) H(x) ' 

et comme x et y peuvent être pris quelconques avec a>i et a>2, 
il en résulte que les fonctions R(x) et H (x) sont proportion- 
nelles l'une à l'autre. 



270 y. AN BRADE 

La formule d'addition de la fonclion H est donc applica- 
ble à la fonction R et nous avons alors comme conséquence 
des proportions 

«*>1 ^ Cds 

RTt) "" R]^ ~ R (:r -h r) ' 

la relation 

tot = OH S (x) -f «, S (y) . 

Remarque. — Le raisonnement précédent eut pu s'appli- 
quer mot pour mot, par Temploi d'une sphère, aux vecteurs 
concourants et nous aurions trouvé alors pour la fonction 
analogue de R [x) sur la sphère tp (a) la même proportionnalité : 

^ l«) = A (a) . m = sîn a . m 
R (x) = H [x] . m' . 

Il reste à déterminer la constante m' car m est évidem- 
ment égal à 1. 

Pour y parvenir exprimons que la vitesse d'un point situé 
sur le vecteur w8 résultant des vecteurs qui représentent les 
vitesses des rotations concourantes eui et (us est nul ; en nom- 
mant X et y les distances d'un point de us aux droites û>i et&)t 
qui font avec cji et ois les angles ai et as nous aurons: 

R(.r) _ Rjr) 
sin «1 sin ag 

car 

«1 R (x) = «« R ( j) 

et par la composition des vecteurs concourants 

fat sin «1 = cotsin ai , 

puisque 

par la méthode d'Archimède. 

Rapprochons ce résultat du théorème fondamental sur le 
dièdre. 

Considérons une droite OA qui tourne d'un angle infini- 
ment petit autour d'un axe 01, soit OA' la position infini- 
ment voisine de OA; AA' est la corde d'un arc de cercle 
de centre I ; soit de même B un autre point de OA qui vient 



GÉOMÉTRIE DE LAJUSTAGE 271 

en B' par la même rotation, BB' est la corde d'un arc de cer- 
cle de centre J situé sur Taxe 01 et d'après la propriété du 
dièdre, les angles AOA' et BOB' angles rectilignes d'un 
même dièdre sont égaux. 

D'autre part, dans le triangle isocèle AOA', et lors(|ue la 
rotation considérée tend vers zéro, on a : 

AA' AA' 

Lin» , Kc^K' =RiOA) ■ Lim ^^ = R(AI) : 

angle AQA angle AlA 

d'où, en divisant ces égalités membre à membre 

,. angle AIA' R(OA) R (OB) /\, /\, 

Lim — il — -— -^ = ^' ^, = . /^/ . puisque AIA'rrBJB'. 
angle AOA' R{OI) K (OI) ^ ^ 

Ainsi donc le rapport ^ ^ est une simple fonction de Tan- 

/\ 
gl(î a = AOI; désignons ceUe (onction par /"(AOI). 

En rapprochant ce résultat de la proportion tout à l'heure 

obtenue, savoir 

R(.r) _ R(r) 

sin ai sin ccj 

nous aurons : 

sin tti sin «s 

c'esl-à-dire / (a) = sin a . w, n étant constant. 

Or, pour a =- 1^™'*, /'(a) = 1, comme sin a : donc n = 1. 

Démontrons enfin que /?2' = 1, c'est-à-dire, en écartant le 
cas euclidien, qu'une fois l'unité de longueur droite adoptée 
de manière que 

soil cos jr 



on aura 



soit cos hyp. x 



R(j-) = H(x) = fs{z)dz . 



il n'y a d'ailleurs besoin de démontrer le théorème que dans 
la géométrie de la droite ouverte. Pour cela considérons sur 
une sphère déterminée un petit cercle de la sphère dont 2 
rayons spliériques PA et PB issus du pôle P font entre eux 



272 y. AN DR A DE 

Fangle a, soit ZJa longueur de Tare de ce petit cercle inter- 
cepté, si r est le rayon de la sphère, on a : 

/ . /AP\ 

- — = siQ I = — I a. 

R (r) \R (D/ 

Si les rayons AP et PB deviennent infiniment petits on 
pourra donc écrire en vertu des résultats déjà acquis : 

Lim ^ = et 

corde AP 

Or si on projette la figure sur le plan du petit cercle, si 
P'A est la projection de la corde AP, on a : 

, . corde PA , . . _ . / 

Lim rrj- = I , donc aussi, l.im ^rr- =z a ; 

FA FA 

or 

/= HiP'A) .a. m' . 
H ( P'A ) 

et comme p., a pour limitelquandP'Atend vers zéro, on a 

Lim fîTT =«.//! , 
F A 

d'où, en comparant les deux limites de^,on conclut m' = 1. 

Remarque. — Dans la géométrie de la droite ouverte et 
dans un triangle plan qui a deux côtés infiniments petits le 
déficit de la somme des angles à 2 angles droits est infiniment 
petit. 

IV. — Rotations relatives autour d'axes quelconques. 

L'étude déjà faite d'un système de rotations relatives au- 
tour d'axes concourants fournit un lemme important qui nous 
permettra d'aller plus loin. 

Lemme Fondamental. — Soient Ui et U2 deux droites actu- 
ellement données et ne se coupant pas ; considérons un pre- 
mier corps solide Si animé d'une rotation uniforme de vi- 
tesse angulaire a>i autour de Ui, considérons la droite As de 
ce solide qui coïncidait avec U2 à l'époque /, et envisageons 
par rapport au solide Si un second solide Ss tournant sur Si 
avec une vitesse angulaire constante &is; soit un certain point 



GÉOMÉTRIE DE L'AJUSTAGE 273 

du solide Sa, défini par sa position A à Tépoque t; à l'épo- 
que t ce point coïncide avec un certain point du solide Si qui 
à Tépoque t' sera venu en B, si on donne alors au point B la 
rotation relative qu'il doit éprouver autour de la position 
de A2 à l'époque /' avec vitesse angulaire os le point B vient 
en C; C sera la position à Tépoque /' occupée par le point 
du solide Ss qui était en A à Tépoque t. 

Dautre part, considérons le vecteur issu de A qui repré- 
sente la vitesse linéaire due à une rotation de vitesse angu- 
laire cùi autour de Ui ; considérons encore le vecteur issu de 
B qui représente la vitesse linéaire qu'aurait le point A s'il 
tournait autour de Us avec la vitesse angulaire os; formons le 
vecteur résultant de ces deux vecteurs concourants et multi- 
plions le par la durée /' — /, nous obtenons ainsi un vecteur 
A D;je dis que Vextrémité D de ce vecteur sera séparée du 
point C par un écart infiniment petit d'ordre supérieur à l'or- 
dre de V — /. 

DÉMONSTRATION. — Observons d'abord que si Qa est le vec- 
teur résultant de deux vecteurs concourants en O, ûi et ûs 
et que si M est un point de la perpendiculaire élevée de M 
au plan des trois vecteurs Q. la vitesse vz de M due à la rota- 
tion ûs sera un vecteur égal au vecteur résultant des deux 
vecteurs (^ et (^ qui représenteraient les vitesses linéaires 
qui seraient dues aux rotations isolées û, et Û2. (Conséquen- 
ce des résultats déjà acquis et de l'invariance de l'opération 
vectorielle; soit alors rf/ = /' — t une durée infiniment pe- 
tite; du mode d'équivalence des vecteurs concourants inter- 
prétés par des vitesses de rotation on conclut que le vecteur 
Yb dt est la limite de la droite qui Terme le contour de deux 
vecteurs successifs MN et NN', lorsque ce contour se mo- 
difie à tout instant de la durée dt de la manière suivante : 

N est la position occupée à l'époque t '\' dt par un point de 
Si qui était en M à l'époque / ; le segment NN' est la corde 
d'un déplacement relatif de Ss par rapport à Si, et tournant 
autour d'une droite A«. Cette corde variable est-elle même 
entraînée avec le solide Si pendant que le point de départ N 
de cette corde décrit d'un mouvement continu Tare dont M N 
est la corde dans la rotation Ûi ; or pendant le déplacement 

L'Enseigoement mathém., 8« année; 1906. 18 



274 y. AN DR A DE 

de Si nous pouvons envisager les segments NM et NN' 
comme issus du point mobile N et repérés par rapport à un 
trièdre de sommet N et qui serait inv^ariablement lié au so- 
lide Si ; or la droite NM issue de N et ainsi repérée, tend 
vers une droite déterminée de Si qui est la tangente en N à 
Tare M N, et de même la droite NN' issue de N et ainsi re- 
pérée tend vers une droite déterminée de Si perpendiculaire 
au plan de N et de la droite As qui à Tépoque / porte 122 ; ces 
deux droites limites coïncident d'ailleurs à l'époque / avec 
les vecteurs distincts Vi et — V2 ; on conclut de là aisément 
par nos lemmes de continuité que : 

1. le plan MNM' qui pivote sur M fait un angle infiniment 
petit avec le plan des vecteurs Vi et V2 ; 

2. Tangle que fait la droite NN' avec le vecteur NM est 
infiniment peu différent du supplément de Tangle de V2 et 
de Vi; 

3. Técart entre le point N' et Textrémité du vecteur Va rf/ 
est infiniment petit du second ordre; 

4. l'extrémité du vecteur Va dt et le point où vient Texlré- 
mité du vecteur Va dt par une translation Vi dt d'axe V^ sont 
séparés par un écart infiniment petit du second ordre. 

Nous pouvons maintenant achever la démonstration du 
lemme. 

Nous prendrons comme vecteurs Vi et Va les vitesses liné- 
aires dues aux rotations isolées ct)i sur Ui et oa sur Ua. 

Ces vecteurs Vi et Va peuvent être réalisés comme vitesses 
linéaires dues à deux rotations concourantes Q.\ et Q.% en un 
point O de la perpendiculaire élevée de M au plan de Vi et 
de Va. D'autre part en considérant les positions relatives de 
Si tournant autour de Ui puis de it tournant autour de At 
nous voyons que les cordes Mv et w' de ces deux déplace- 
ments relatifs peuvent encore être repérées par rapport à un 
trièdre de sommet v lié au solide Si, or bien que ce contour 
variable Mw' soit différent du contour variable MNN' envi- 
sagé tout à rheure, il possède, dans ses déplacements de 
pivotement sur v dans Si et de pivotement sur M dans l'es- 
pace fixe, les propriétés suivantes: 



GÉOMÉTRIE DE L'AJUSTAGE 275 

1. la droite Mv pivotant sur M lend vers la droite du vec- 
teur Vi ; 

2. La corde w' pivotant sur v dans Si tend vers une droite 
de S, qui à l'époque t est dirigée suivant la droite qui porte 
le vecteur V« ; 

3. enfin par les lemmes de continuité le plan de contour 
Mvv' et le plan de Vi et Vs font un angle infiniment petit; 

4. par les mêmes lemmes le point v' est à un écart du se- 
cond ordre du point où vient l'extrémité du vecteur Va dt 
subissant la translation dont Taxe est Vi dl et dont Tétendue 

centrale est V, dt donc enfin le vecteur -^ issu de M a pour 

valeur limite le vecteur Vs issu de M. G. Q. F. D. 

Remarque. — Le cas où les vecteurs Vi et V2 seraient dans 
un même plan exigerait une légère modification de la dé- 
monstration. 

Corollaire. — Le vecteur lim. -^ == Vs est indépendant 

de Tordre dans lequel sont envisagés les vecteurs 6)i et 032 
portés par Ui et par L'2 donc: 

Théorème 15. — Dans le mouvement qui résulte de deux 
rotations relatives autour de deux axes donnés à Tépoque t 
tout point du second solide défini par sa position à Tépoque 
/ a une vilesse indépendante de Tordre des emboitemcnts 
des solides entraînés. 

Théorème 16. — Le théorème précédent se généralise de 
lui-même pour le cas de n rotations relatives quelconques. 

Théorème 17. — La vitesse linéaire d'un point du solide 
S» défini par sa position à Tépoque / est le vecteur résul- 
tant des vecteurs qui représentent pour les mêmes points les 
vitesses linéaires dues aux rotations isolées tax, o)2,... portées 
par les axes Ui U2,... etc. 

Définilion des systèmes de vecteurs équivalents. — Le sys- 
tème des vecteurs vitesses de rotation, «i,w2..., &i,n portés par 
les droites Ui, U2 ..., U„ définit donc, dans une composition 
de mouvements relatifs, une distribution des vitesses qui à 
Tépoque t est indépendante de Tordre dans lequel sont envi- 
sagés ces vecteurs, tout vecteur w/ peut d'ailleurs, sans chan- 
ger la distribution des vitesses dans Tespace envisagé àTépo- 



276 /. AN BRADE 

que /, être décomposé en vecteurs concourants, en Tun quel- 
conque des points de la droite qui porte ce vecteur. 

Enfin, par la nature même des vecteurs vitesses de rota- 
tion, une paire de deux vecteurs égaux et contraires, portés 
par une même droite, mais non immédiatement appliqués 
au même point, forment, au point de vue de la distribution 
des vitesses un ensemble équivalent à zéro, c'est-à-dire un 
ensemble en équilibre; une telle paire se nomuie paire de 
vecteurs mutuels. Nous pouvons donc enfin énoncer le théo- 
rème intéressant que voici : 

Théorème 18. — 11 existe des systèmes de vecteurs équi- 
valents et cette équivalence jouit des propriétés suivantes : 

1. Tout système de vecteurs reste équivalent à lui-même 
quand on lui ajoute ou lui retranche un nombre quelcon- 
que de paires de systèmes de deux vecteurs mutuels ; 

2. un système de vecteurs concourants équivaut toujours 
à un vecteur résultant déterminé comme nous Tavons vu ; 

3. Un système de deux vecteurs ne peut équivaloir à zéro, 
(c'est-à-dire produire une distribution de vitesses nulles) que 
si ces vecteurs forment une paire de vecteurs mutuels. 

Ces propriétés vont nous permettre d'achever la trigono- 
métrie plane. 



V. — Réduction de Poinsot et Trigonométrie plane. 

Soient V un vecteur, et O un point particulier de l'espace 
d'ailleurs quelconque, soit H le pied d'une perpendiculaire 
abaissée de sur V, et soit H' le point symétrique de H 
par rapport au point O. (Considérons le vecteur V comme 
appliqué en H ; remplaçons d'abord le vecteur Vh par les 

vecteurs(jV) , ( ô ^ / ' P"^'*^ appliquons au point H' deux 

vecteurs Wh' et — Whs perpendiculaires à OH dans le plan 

1 1 

(O , Vh) et égaux respectivement à j V^ et à — « "^h ; c'est 

permis puisque Wh' et — Wh' s'équilibrent. Soit x la dis- 
tance OH. 



GÉOMÉTRIE DE L'AJUSTAGE 277 

Les vecteurs (^^ V) et + Wh' se composent en un vecteur 

unique passant par O perpendiculaire à OH et égal à V. S(a;); 
et il reste un groupe de deux vecteurs, perpendiculaires aux 
extrémités d'une même droite, égaux, et de sens opposés 
c'est ce que nous nommerons un couple; la droite menée 
par O perpendiculaire au plan du couple est dite Taxe du 
couple ; si sur Taxe du couple on porte le produit 2VR {x) 
dans un sens pour lequel la rotation que suscite Tidée du 
couple soit orientée par une convention choisie une fois pour 
toutes (rotation droite, gauche par exemple) ; ce segment se 
nomme le moment du couple; x est le bras de levier du 
couple. 

Moyennant ces définitions la transformation précédente 
peut ainsi s'énoncer: 

Théorème 19. — Tout vecteur V équivaut à un certain vec- 
teur passant par O et à un couple dont Taxe passe aussi par 
le point O. 

Théorème 20. — Deux couples de même axe et de sens 
contraire équivalent à zéro si leurs vecteurs perpendiculai- 
res à une même droite sont en raison inverse des fonctions 
R de leurs bras leviers. 

DÉMONSTRATION. — Soient Pi, Qi les vecteurs du premier 
couple appliqués aux points respectifs A, et Bi soient Pa, Qj 
les vecteurs, du second couple appliqué respectivement aux 
points A2 et B«. Ai et iVi sont d'un même côté de O, mais Pi 
et Pa sont perpendiculaires à ODi et de sens contraires, les 
vecteurs Pi et P2 ont un vecteur résultant ^ passant par O 
car si x et y sont les demi bras de levier des deux couples 
on a, par hypothèse : 

Pt _ P, _ g 

or, par un demi tour exécuté autour de Taxe commun de leurs 
couples le vecteur 6 résultant de Pi et de Pa se change dans 
le vecteur ©' résultant de Qi et de Qa ; mais "5 et "5', égaux et 
directement contraires, s'équilibrent. 

Théorème 21. — Deux couples qui ont même moment sont 
équivalents. 



278 /. AN DR A DE 

Théorème 22. — Si plusieurs couples ont des axes con- 
courants, ces couples se composent en un seul dont le mo- 
ment est un vecleup résultant des moments des couples com- 
posants. 

Théorème 23. — Un système quelconque de vecteurs peut 
toujours se réduire à un vecteur unique passant par et à 
un couple dont Taxe passe par O; et le système proposé ne 
peut équivaloir à zéro que si ces deux derniers éléments se 
réduisent séparément k zéro Tun et Tautre. 

Ceci est une conséquence de la réduction même et du ca- 
ractère (3) de l'équivalence. 

Telle est la réduction que nous appelons la réduction de 
Poinsot; Poinsot le premier la fit connaître dans la géomé- 
trie d'Euclide. 

Théorème 24. La réduction de Poinsot renferme La trigono^ 
mélrie plane. 

DÉMONSTRATION. — Considérons un vecteur porté par la 
droite A B, et soitC un troisième point quelconque de l'es- 
pace; si nous exprimons que le vecteur V dirigé de B vers 
A dans le triangle ABC fournit dans la réduction de Poin- 
sot les mêmes éléments, lorsque ce vecteur successivement 
considéré comme appliqué en A puis en B, est préalable- 
ment décomposé sur son point d'application en deux vec- 
teurs dont Tun est sur la droite qui réunit ce point d'appli- 
caUon au point C et dont l'autre est perpendiculaire à cette 
droite; soit B l'angle du triangle ABC qui a son sommet 
en B, soit A l'angle du triangle qui a son sommet en A, soit 
enfîn C l'angle du triangle qui a son sommet en C, l'identité 
des deux réductions de Poinsot, ci-dessus mentionnées, nous 
donne, en désignant par a, i, c les côtes du triangle: 

/ sin A R(/>) = sin I3.R(a) , 
(e) • S [h\ sin A = si» B cos CS \a\ -f- s»»» C cos B , 
I cos A = sin B sin CS \a) — cos B cos C . 

Ce système e ne change pas par la permutation du groupe 
(a, A) avec le groupe (i, B); de plus en vertu des identités 

S*(.r) — iR'(.r) == 1 , sin*« -f cos* a = 1 , 



GÉOMÉTRIE DE L'AJUSTAGE 279 

les trois équations e se réduisent aux deux dernières du 
groupe. 

Ces groupes peuvent être permutés, mais ils se réduisent 
en définitive à trois relations, par exemple aux trois suivantes: 

cos A -|- CMS B C08 (- 

S (fl) = — 



S{b)z= 



S(c) = 



»\n B sin C 

cos B -|- cos C cos A 
sin il sîu A 

co» C. -{- cos A cos B 
sin A . sin B 



Le cas de S (.r) ^ 1 donne la géométrie d'EucIide, mais 
dans ce cas particulier les trois relations précédentes se ré- 
duisent à une et il faut grouper autrement les relations si 
on veut obtenir un groupe de 3 relations essentielles. 

Mais dans tous les cas la réduction de Poinsot a fourni la 
trigonométrie plane, comme Tétude du pivotement sphérique 
nous avait donné, après la composition des rotations con- 
courantes, les formules de la trigonométrie sphérique. 



V. — Statique et Cinématique réunies. 

Bien que seule l'interprétation des vecteurs comme axes 
et vitesses de rotations relatives nous ait conduits à démon- 
trer l'existence de systèmes équivalents de vecteurs, la mé- 
thode employée montre que tout mode d'équivalence entre 
divers systèmes de vecteurs, qui satisfait aux conditions lo- 
giques énoncées plus haut, entraîne 3 types possibles pour 
les relations métriques dans l'espace ; mais^ une fois adopté 
le type d'espace, après particularisation des propriétés mé- 
triques, il n'y a plus qu'un mode possible d'équivalence en- 
tre les divers systèmes de vecteurs. 

Ainsi donc les vecteurs forces se réduisent et se composent 
exactement comme les vecteurs vitesses de rotations. 

Voici des conséquences intéressantes de ces faits : 

Nous avons vu plus haut que les moments des couples de 
vecteurs possèdent à leur tour les propriétés essentielles 



280 /. AN DR A DE 

de vecteurs simples; mais ces vecteurs d'un nouveau genre 
admettant aussi des couples, il y aura lieu de se demander 
ce que représentent ces couples de couples par rapport aux 
vecteurs du premier genre. 

Voici la réponse très simple à cette question, réponse dont 
la justification s'apercevra d'une manière intuitive par la théo- 
rie des vecteurs perpendiculaires à une même droite. Ainsi 
donc : 

Théorème 25. — € désignant un nombre égal à 1 dans la 
géométrie de la droite ouverte non euclidienne égal à — 1 
dans la géométrie de la droite fermée, égal à zéro dans la 
géométrie d'Eudide, et si on prend comme mesure du mo- 
ment le double produit du vecteur multiplié par la fonction 
R du demi bras de levier, un couple de moments, dbnt le 
moment nouveau est ^ équivaut à un vecteur V porté sur 
Taxe du couple du second genre et Ton a 

f* = - tV , 

en sorte que dans l'espace d'Euclide un couple de couples 
équivaut à zéro. 

Remarque. — Ce théorème fournit en Statique non eucli- 
dienne une détermination très simple de l'axe central d'un 
système de vecteurs. 



VI. — La notion du travail et le moment mutuel 
de deux systèmes de vecteurs. 

On a vu que la vitesse de tout point d'un solide animé de 
diverses rotations relatives est un vecteur égal au vecteur 
résultant des vecteurs qui représentent les vitesses dues aux 
rotations isolées ; considérons alors deux systèmes de vec- 
teurs S et S', faisons représenter à l'un d'eux un système 
de forces, et à l'autre un système de rotations relatives et 
considérons le déplacement infiniment petit 2 d'un solide 
qui résulte de ces rotations relatives pendant le temps dt soit 
F une des forces de S; soit v dt le déplacement infiniment 



GÉOMÉTRIE DE L'AJUSTAGE 281 

petit de son point d'application, le travail de la force F par 
rapport à ce déplacement est 

/\ 

ce travail est encore égal à la somme des produits des rota- 
tions par le moment de chaque force par rapport à Taxe de 
cette rotation, cette somme étant multipliée par rf^; cette se- 
conde définition devra donc être indépendante des rôles attri- 
bués aux deux groupes de vecteurs; /!x s'appelle le moment 
du groupe des deux systèmes de vecteurs. 

Théorème 26. — Le moment d'un groupe de deux systè- 
mes de vecteurs demeure invariable quand on remplace Tun 
ou l'autre des systèmes par un système équivalent. 

Dernière remarque. — Pour terminer cette genèse ciné- 
matique de la géométrie naturelle il resterait à établir que 
tout mouvement continu quelconque d'un solide dont trois 
points formant triangle ont à un moment donné des vitesses, 
possède à ce même moment une distribution générale de 
vitesses; la démonstration est facile, et doit précéder c'est- 
à-dire dominer l'emploi d'aucun système de coordonnées 
spécialisé. 

Mais je m'arrête ici, mon but était de préciser avec une 
rigueur complète le rôle des fonctions angulaires dans la 
géométrie naturelle. Ce rôle éclairé par l'idée d'Archimède 
et l'idée de Poinsot, nous conduit avec la plus grande sim- 
plicité à ce résultat : qu'il existe trois structures possibles 
de l'espace et trois seulement, compatibles avec la symétrie 
et les déplacements des solides. 

Jules Andrade (Besançon). 



CONSEQUENCES DIVERSES D UNE FORMULE 

D'ALGÈBRE 

LEURS INTERPRÉTATIONS GÉOMÉTRIQUES 



M. F. Mkyer a fait, à la section de pédagogie du Congrès de 
Heidelberg, en 1904, une très intéressante communication 
(Ueber das Wesenmathematischer Bev^^eise), dontTidée fonda- 
mentale est la suivante : l'accroissement des connaissances 
mathématiques réside souvent dans un nouvel arrangement 
de choses déjà connues. Parmi les exemples nombreux et 
très instructifs qu'il donne, nous avons remarqué celui qui 
concerne le théorème de Ptolémée^ au sujet duquel nous avions 
eu il y a longtemps des idées analogues ; nous nous permet- 
tons de développer ici ces idées parce qu'elles diffèrent de 
celles de M. F. Meyer par le point de départ et la direction. 

M. F. Meyer a eu le bon goût de ne pas pousser son sys- 
tème jusqu'à la formule paradoxale : tout est dans tout. Son 
travail d'ailleurs prouve assez qu'il peut y avoir du nouveau 
en mathématiques; et il est surtout important au point de vue 
de la pédagogie. Rien n'est plus utile, pour donner de l'unité 
et de la continuité à l'enseignement, et pour soulager la mé- 
moire des élèves, que de rapprocher les théories nouvelles, 
ou présentées comme telles, de toutes les vérités antérieures 
qui s'y rattachent. 

Le théorème d'algèbre d'où nous partons est le suivant. 

Si f(x) = est une équation de degré n ayant l'unité pour 
coefficient du terme x° et dont les racines a, b, c, ... k sont dis- 
tinctes ; si en outre F{x) = Px°"~* + ... est un polynôme en- 
lier de degré n — i^ on a la relation 



(1) ^u^^ 



CONSÉQUENCES D'UNE FORMULE D'ALGÈBRE 283 

le signe sommatoire s'étendanlà toutes les racines de f(x)=0. 
Si F{x) est de degré inférieur an — 1, on a 

e/, en particulier ^ on a toujours 
(3) '^.rr!r:=0. 



La démonstration n'est pas bien difficile (voir par exemple 
Serret, Algèbre supérieure); mais encore elle suppose la no- 
tion de dérivée d'un polynôme entier. Supposons le théorème 
établi, peu importe de quelle manière ; nous le rattacherons 
plus tard à des notions très élémentaires. 

A présent, on a 

f{x) = (jr — «) (X — Z») (x — c) ... {X — X-) , 

d'où successivement, 

/"ij-l = ij: — ^1 (j- — c) . . . Ijr — /•) + (x — fl) (jr — c) ... {x ^ k) -\- ... 

fia) = (û — A) (a — c) ... |û — k) 

etc. 

L'équation (3) conduit alors à Ténoncé : 

Etant donnés n nombres différents, si l'on retranche de 
chacun d'eux les n — 1 autres, les inverses des produits de 
ces différences ont une somme nulle. 

Dans les égalités (l) et (2), si Ton suppose P = 1 et si Ton 
appelle a,/3,y, ... y. les racines de F(.r) = on obtient les 
énoncés suivants. 

Etant donnés n nombres différents a, b, c, . . . k e/ n — 1 nom- 
breSy différents ou non^ a, /3, y, ... x ; si de l'un quelconque h 
des nombres de la première série on soustrait tous les autres 
et qu'on multiplie les restes entre eux ; si du même nombre h, 
on soustrait tous les nombres de la seconde série et qu'on 
multiplie les restes entre eux; les fractions ayant pour déno- 
minateur le premier produit et pour numérateur le second ont 
une somme égale à l'unité. Cette somme est nulle si les quan- 
tités a, /3, y, ... X sont en nombre plus petit que n — 1. 



284 M. STUYVAERT 

Si sur une droite on a w points A, B, G... K dont les abs- 
cisses, à partir d'une origine commune, sont a, 6, c..., A:, on 
a, en grandeur et en signe, 

BA = a — 6 . 

D'après ce qui précède, les inverses des produits des seg- 
ments de la droite ayant pour extrémité un des points et pour 
origine les /i-l autres ont une somme algébrique nulle. 

Il en est de même si dans la fraction ayant pour dénomi- 
nateur AH. BH. GH,.. KH on remplace au numérateur Tunité 
par le produit des segments MH. NH...., M, N,... étant des 
points, distincts ou confondus, de la droite, en nombre 
moindre que /i-l. Si ces points M, N,... sont en nombre /i-l 
la somme des fractions est égale à Tunité. 

Il va sans dire que les points peuvent être pris sur une 
courbe pourvu que leurs distances respectives soient mesu- 
rées le long de cette courbe. 

Si la première série comprend trois points, on a 

111 

*^' BA.CA "^ AB.CB "*" AC.BC ~ ^ ' 

OU 

BC -I- CA -I- AB = , 

^ ' BA.CA "^ AB.CB "•" AC.BC ~~ ' 

OU 

DA.BC -h DB.CA + DC.AB =z » 

DA.EA DB.EB DC.EC _ 
^ ^ BA.CA "*" AB.CB "*" AB.BC " ' 

(7, .^ + _^ + .^-l 

^ ' BA.CA ^ AB.CB ^ AC.BC "" 

La relation (5) est connue sous le nom à^ Identité de Pappus ; 
elle est identique comme forme à celle qui traduit le Théorème 
de Ptolémée suivant lequel le produit des diagonales d'un 
quadrilatère inscrit est égal à la somme des produits des côtés 
opposés du quadrilatère. M. F. Meyer a montré, et nous 
ferons voir aussi, que l'analogie de ces deux propositions 
n'est pas seulement formelle. 



CONSÉQUENCES D'UNE FORMULE D'ALGÈBRE 285 

Si dans les dénominateurs des fractions doivent figurer 
quatre lettres A, B, G, D, on a une série d'identités dont voici 
un exemple 



BA.CA.DA ' AB.CB.DB ' AC.BCDC ' AD.BD.CD 

doii après quelques transformations, 

BD AB.BC + AD.CD 



(8) 



AC "" AB.AD + BC.CD 



Cette relation entre quatre points en ligne droite s'écrit 
comme la relation donnant le rapport des diagonales du qua- 
drilatère inscrit dans un cercle ; pour abréger nous appelle- 
rons cette identité le rapport des diagonales. 

En faisant figurer aux dénominateurs des fractions 5 let- 
tres, 6 lettres, etc. on peut écrire des identités en nombre 
indéfini. Mais toutes doivent être des combinaisons d'identi- 
tés du type (4). 

En effet, soient pour fixer les idées, xi^xt^ x% les distances 
de trois points d'une droite à un quatrième et a^ b les dis- 
tances du premier au second et au troisième, de sorte que 
Ton ait par exemple 

Xi=i a -\- Xt , 
Xt^z h -\- r^ . 

Si Ton pouvait avoir une troisième identité entre ces cinq 
distances, qui ne fut pas une conséquence des deux rela- 
tions écrites, les quantités xi, x%y X9 seraient déterminées, ce 
qui est absurde puisque le quatrième point est quelconque. 

Ainsi se trouve ramené à des opérations d'une extrême 
simplicité, et conformément aux vues de M. F. Meyer, le 
théorème d'algèbre signalé au début de notre travail. 

Par exemple Y identité de Pappusse démontre en multipliant 
membre à membre les identités 

AC = AB -h BC . DA = DC -h CA , 

et en opérant une petite transformation dans le résultat ; on 
pourrait s'exercer à construire de la même manière les autres 
identités. 



286 M. STUYVAERT 

Le théorème de Ptolémée relatif au quadrilatère inscrit, et le 
théorème du rapport des diagonales^ si on les suppose éta- 
blis, d'une façon quelconque pour un cercle de rayon r, 
restent vrais lorsque ce rayon croit indéfiniment et par suite 
existent pour des segments d'une droite. Inversement les 
identités (5) et (8) ayant été démontrées pour des points en 
ligne droite, on peut en déduire les propriétés du quadrila- 
tère inscrit, soit par les formules trigonomélriques qu\itilise 
M. F. Meyer, soit par le procédé un peu différent que voici. 

Les formules (5) et (8) s'appliquent à des arcs de cercle 
comptés dans un même sens, et, comme elles soni homogènes, 
aux moitiés de ces arcs, si donc on les démontre pour les si- 
nus de ces moites, elles seront établies pour les cordes des 
arcs. 

En posant 

arc AB = 2« . BC = 2(3 . Cl) = 27 , 

d'où 

arc AC = 2(a -f j3) , AT) = 2(fle -f j3 + 7) . BD = 2(j3 -|- 7) . 

la démonstration consiste à établir les identités suivantes 

sin « siii 7 -|- siii (« -|- ]S -|- 7) sin j3 = sin (« -|- ]3) sio (P -|- 7) , 

sin (j3 H- 7) sin a sin j3 -j- **'" ^* + jS -f- 7) sin 7 

sin (a -^- (3) sin a sin (« -|- j3 -j- 7I -f~ **" P sin 7 

dont la vérification directe n'est pas bien pénible. 

Comme nous l'avons dit pour le théorème de Ptolémée et 
le rapport des diagonales, toute relation existant toujours 
entre cordes d'un cercle est vraie aussi pour les arcs sous- 
tendus comptés dans le même sens et par suite pour des 
points en ligne droite. Mais la réciproque n'est pas vraie, 
par exemple la relation 

AB + BC -h CA = 0, 

vraie pour trois points en ligne droite, ne l'est plus pour trois 
cordes. On peut rechercher un moyen, autre que celui des 
formules trigonométriques ci-dessus, de transporter sur le 
cercle les formules existant entre points en ligne droite et de 



CONSÉQUENCES D'UNE FORMULE D'ALGÈBRE 287 

distinguer lesquelles de ces formules se transportent sans 
altération. Une communication verbale de M. Demoulin nous 
a suggéré Tidée d'essayer la méthode par rayons vecteurs 
réciproques. 

Soit d une droite ayant pour transformée un cercle c, 
soient A* la puissance de Tinversion et P le pôle situé sur la 
circonférence c: M, M' et N, N' étant deux couples de points 
correspondants, savoir M et N sur la droite et M', N' sur le 
cercle, les triangles semblables PMN, PN'M' donnent 

MN PM PM.PN ;• 



M'V ~" !>>" /•' ~ PM'.PiN' * 
d'où 

MN = M'.V •. = M'N' 



Si le segment MN intervient dans une des identités étudiées 
ci-dessus, identité que Ton peut écrire en abrégé 

(9) 2tr(MM = 0. 

et où Ton suppose que tous les segments tels que MN soient 
orientés dans le même sens, on pourra remplacer MN par sa 
valeur en fonction de M'N' et faire sortir les facteurs k à 
cause de Thomogénéité; on aura 

(10, 2 '''>^'^'' ^^^^^ =2 "" ( pm-.'TnO = ^ • 

Pour que la relation (9) entre segments MN de droite, se 
transforme en la même relation entre cordes M'N', il faut que 
dans tous les termes de Tidentité (10), le produit PM. PN.... 
soit le même, ou que, dans la relation (9) chaque lettre M, 
N,.... intervienne le même nombre de fois dans chaque terme. 

Or une relation du type (4) 

^ -h . . . = 



BA .CA. . . 



ne peut satisfaire à cette condition puisque, après cette dis- 
parition des dénominateurs, A ne figure pas dans le premier 
ternie. 



288 M. STUYVAERT 

Une relation du type (5) ou (6), 

HA.ÏA... 



BA.CA... 



-h ... = 



renferme H une fois dans chaque terme, donc doit aussi conte- 
nir A une fois dans chaque terme, ce qui exige que chaque 
numérateur n'ait qu'un segment; alors les termes à partir du 
second ont A une fois au dénominateur; comme, après dis- 
parition des dénominateurs. A doit figurer une fois au nu- 
mérateur, il s^ensuit que les lettres B,G,... doivent être au 
nombre de deux et la seule relation de ce type qui se trans- 
porte sans altération par vecteurs réciproques est Tidentité 
de Pappus. 

II faut encore considérer les identités du type (7), 

(HAr(IA)^.. __ 

BA.CA... "^ • 

on voit comme plus haut que Ton ne peut avoir qu'une des let- 
tres H, I,... au numérateur et que les lettres B, G,... doivent 
être en nombre r+1 ; donc toutes les relations telles que 

(11) (H^)^ + -0 
^ ' BA.CA... ^ ' 

OÙ les lettres A, B, G,... sont en nombre r+2 se transportent 
sans changement sur le cercle par rayons vecteurs récipro- 
ques ; la plus simple de ces identités est 

(12) (HA)*BC.BD.CD — {HB)»AC.AD.CD + (HC)>AB.AD.BD 

- (HD)«AB.BC.AC = . 

Ghose curieuse, l'identité du rapport des diagonales, bien 
qu'elle soit vraie pour la droite et pour les cordes du cercle, 
ne se transporte pas directement par vecteurs réciproques. 
G'est qu'il y a des relations qui se transforment sur le cercle 
en d'autres, où intervient le pôle de la transformation, ou en 
d'autres où ce pôle n'intervient pas mais où il a une relation 
particulière avec la droite. 

G'est ainsi que la relation 

BA + AC -h CB = 



CONSÉQUENCES D'UNE FORMULE D'ALGÈBRE 289 

se transforme dans l'identité du théorème de Ptolémée pour le 
quadrilatère PA'B'C et c'est même, comme nous le fait obser- 
ver M. Demoulin, une démonstration connue et très simple 
de ce théorème, surtout si Ton a aussi en vue la réciproque. 
De même ce sera la relation (12), qui, moyennant une posi- 
tion spéciale de P, nous donnera le rapport des diagonales 
dans le cercle. Elevons, au point H de la droite ÂBCDH, une 
perpendiculaire de longueur quelconque HP et prenons 
l'extrémité P pour pôle de Tinversion ; nous aurons sur la 
droite, la relation (8) qui peut s'écrire en abrégé 

<13} BC.BD.CD + ... =0 ; 

en la multipliant par (HP;^ et en ajoutant la relation (12), on 
obtient, à cause des triangles rectangles HPA, HPB..., 

(PA)* BC.BD.CD -I- ... = . 
Appliquons l'inversion : 

(PA)«.B'C'.B'D'.C/D'.(PBi«(PC)>(PD)«+ ... =0. 

A cause du facteur (PA)«(PB)« (PC)* (PD)« commun à tous les 
termes on obtient la relation 

B'C'.B'D'.C'D' + ... =0 . 

qui est précisément le rapport des diagonales dans le cercle, 
M. F. Meyer remarque que l'identité de Piippus est la même 
que l'identité entre coordonnées plûckériennes d'une droite 
de l'espace et l'identité entre deux valeurs du rapport anhar- 
monique de quatre poinls. On peut ajouter que l'identité de 
Pappus, et quelques autres relations signalées ci-dessus, 
conduisent à des identités entre déterminants à deux lignes, 
identités »>{iles dans la théorie des formes binaires. 

En effet, rapportons les points de la droite AB à deux ori- 
gines ou points fondamentaux O, 0' et appelons comme 
d'habitude coordonnées d'un point A deux quantités propor- 
tionnelles aux segments OA et OA' multipliées par des cons- 
tantes arbitraires mais fixes; de sorte que si ai, at sont les co- 
ordonnées de A, fo et 6j celles de B, etc., on a 

pat = A.OA , p'bi = A . OB 

pan = k.XO' . p'6, = X-.BO' ' ^^^•' 

L'Enft«igii«meiit mathém., 8* année; 1906. 19 



290 E, BERTRAND 

A et k étant deux confiantes fixée pour lous les points de la 
droile, tandis que p. p',... peuvent varier d'un point à Taulre. 
On prouve alors facilement (|ue Ton a 

En substituant dans Videntiié de Pappus qui contient 
chaque lettre A, B, C, D une Ibis dans chaque terme, on fait 
disparaître le facteur commun pp p p et Ton a Tidentité fon- 
damentale de la théorie des formes binaires, 

[da)[bc] + [db)\ca) -f [dc)\ah) = . 

Mais toutes les identilés du typt^ (11) ont chaque lellre le 
même nombre de fois dans chaque terme et fournissent donc 
des identités analogues entre déterminants à deux lignes. 

Ainsi toute identité entre points en ligne droile qui se 
transporte sur le cercle par vecteurs réciproques donne aussi 
une identité entre déterminants à deux lignes. 

M. Stuyvaert (Gand). 



DEMONSTRATION DE LA FORMULE DE CORIOLIS 



f. Va^ (^r et i'e représentant les vitesses absolue, relative et 
d'entraînement d'un point mobile, on a 

Va = i'c H- i'r . 

et, le signe D indiquant la dérivée géométrique prise dans 
Tobservatoire absolu : 

Il reste à chercher les significations des trois termes com- 
pris dans cette égalité. 

2. Dc'a est l'accélération absoluey^ k\\\ mobile. 



LA FORMULE DE COBIOLIS 



291 



3. (fi^. 1). A esl la position du mobile à Tinstant /. A Tins- 
tant / + Atle mobile est venu en C elle point A de Tobser- 
valoire relatif en B ; le mouvement d'entraînement est défini 
à Tinstant / par la vitesse t^e du point A et la rotation &> passant 
par A, qui deviennent (^' et o/ à Tinstant t -f- A/. 

L'accélération d>ntrainement Je est celle du point A de 
l'observatoire lelatif; 




je = lim 



V — Ve 



Fig. 1. 

La vitesse d'entraînement Vg à Tinstant / + A/ est celle du 
point C de Tobservatoire relatif: 

La dérivée géométrique de la vitesse d'entraînement est 



—I 



Dve = lim = lim -4- lim — Momnta' . 



Prolongeons BC jusqu'en H, tel que BH = — - BC, nous 
aurons 

Dve = je -\- lim Momn o»' . 

le vecteur moment continuant à avoir C pour origine. Or la 
limite de oi' esl au celle de C est A et celle de H est l'extré- 
mité \r de la vitesse relative. Il vient donc : 

Dve =^je + Momy^ « • 

4. (fig. 2). A Tinslanl / l'observateur absolu mène par un 
point fixe Oi un vecteur OiHi = Vr et l'observateur relatif 
mène un vecteur égal OVV, mais le mouvement d'entraîne- 
ment déplace ce dernier vecteur qui se trouve en O'H' à 



292 



E, BERTRAND 



l'instant / -|- A/, auquel les deux observateurs mènent des 
vecteurs Oi h et O'V équipoUents à la nouvelle vitesse rela- 
tive. Par définition 




l^Vr = Hm 



Uil 



111 T- 



tkt 



Fig. 2. 

Menons ÔTC = OiHi ; il vient 



jr = lim 






/¥/ 



A< "■ A< "" A< "*" àt 



Passons à la limite en remarquant que lim -jr- n'est autre 

que la A'itesse du point Vr dans le mouvement de rotation de 
Tobservaloire relatif autour de 0, c'est-à-dire Momy^ôï; nous 
aurons 

5. Par conséquent 



ja =7« +jr+ 2 Momv^ « . 



Mars 1906. 



Emile Bertrand (Bruxelles). 



ENQUÊTE SUR LA METHODE DE TRAVAIL 

DES MATHÉMATICIENS 



LES RÉSULTATS* — V 

Questions 6, 7, 8a, 8b, et 9.' 

6. — AveZ'ifous cherché à vous rendre compte de la genèse 
des véritésj découvertes par vous, auxquelles vous attachez 
le plus de prix ? 

7. — Quelle est, selon vous, la part du hasard ou de l'ins- 
piration dans les découvertes mathématiques ? Celte part est- 
elle aussi grande toujours qu'elle le parait? 

8. — a) Avez-vous remarqué parfois que des découvertes 
ou des solutions, sur un sujet complètement étranger à vos 
recherches du moment, vous aient apparu, alors qu'elles cor- 
respondaient à des recherches antérieures infructueuses? 

h) Vous arrive-t-il de calculer ou de résoudre des problèmes 
en rêve ? ou de voir surgir toutes prêtes, en vous réveillant le 
matin, des solutions ou des découvertes soit complètement 
inattendues, soit vainement poursuivies la veille ou les jours 
précédents ? 

9. — Estimez-vous que vos principales découvertes aient 
été le résultat d'un travail voulu, dirigé dans un sens précis, 
ou bien se soient présentées à votre esprit spontanément pour 
ainsi dire ? 

Ces cinq questions ayant traita la façon dont lesdéoouver- 



> \o\TYBns. math., 7* année, n*5, p. 387-^95 ; n* 6, p. 473-478, 1905; 8* année, n* 1, p. 4S« 
48, n* S, p. t17-3S5, 1906. 

* L'étade de cette partie de l'Enquête (questions 6 à 9) a été faite par M. Th. Flournoy, 
professeur de psychologie à l'Université de Genève. 



294 ENQUÊTE SUR LA MÉTHODE DE TRAVAIL 

tes OU les idées nouvelles naissent dans l'esprit des mathéma- 
ticiens, il est naturel de les réunir et de grouper en un même 
article les réponses qu'elles ont suscitées. A quelques excep- 
tions près, ces réponses sont d'un bien regrettable laconisme. 
C'est le point faible des questionnaires très étendus, qu'ils 
découragent beaucoup de gens plus qu'ils ne les stimulent. 
On dirait que chaque individu ne dispose, pour répondre à 
une enquête, que d'une certaine dose de bonne volonté ou 
d'attention, d'où un résultat fort différent selon que cette dose 
est appelée à se concentrer en profondeur sur un seul objet 
ou à se disperser sur un grand nombre de questions très di- 
verses. On en trouve un exemple frappant en comparant no- 
tre enquête avec celle entreprise il y a peu d'années par M. 
Maillet sur les rêves et phénomènes d'inspiration chez les 
mathématiciens ^ Le formulaire de ce savant ne comprenait 
que deux questions très détaillées (voir Intermédiaire des 
Mathématiciens^ octobre 1902, p. 263). Il obtint environ 80 
réponses, dont on peut dire que les trois quarts constituent 
des observations de valeur, vraiment instructives; ce qui fait 
un dossier infiniment plus important que ce que nous avons 
recueilli d'utilisable, sur ces mêmes points, dans la présente 
enquête, d'une extension presque identique (puisque 84 per- 
sonnes y ont répondu) mais où les demandes concernant le 
rêve et l'inspiration sont à la fois beaucoup plus sommaires 
que celles de M. Maillet, et noyées au milieu d'une trentaine 
d'autres questions. L'idéal serait sans doute de faire autant 
d'enquêtes différentes et séparées qu'il y a de problèmes à 
élucider, et surtout d'interviewer à fond chaque répondant, 
oralement ou par correspondance, pour l'obliger à dévelop- 
per et à bien préciser sa pensée. Mais le moyen, en pratique 
et dans un temps limité, de faire face à une telle tâche et d'é- 
viter réellement la lassitude des enquêteurs et des enquê- 
tes !! — Qiioi qu'il en soit, voici à quoi nous arrivons en 



^ Voir Les Rives et l'Inspiration mathématiques (Enquête et résultats), par M. Edmond Maillet, 
ingénieur des Ponts et Chaussées, répétiteur à l'Ecole polytechnique. (Extrait du Bulletin de 
la Société philomathiqne, 1905.) Brochure de 44 p. Nous sommes heureux de cette occasion 
d'attirer l'attention tant des mathématiciens que des psychologues sur ce travail intéressant 
et trop peu connu, qui mériterait bien d'ôtre réédité à part en l'enrichissant encore dm autres 
articles de M. Maillet sur le môme sujet et des nouvelles réponses qu'il a pu recevoir depuis lors. 



ENQUÊTE SUR LA MÉTHODE DE TRAVAIL 295 

triant au mieux nos réponses, parfois bien vagues ou (chevau- 
chant les unes sur les antres. 

Question 6, — Il n'y a guère qu'un quart des personnes 
(23 sur 84), qui aient répondu avec quelque détail à celte ques- 
tion (laquelle, il faut le reconnaître, n'était pas formulée de 
manière à provoquer activement les longs récits). Les autres 
se sont abstenues (37), ou ont répondu non (15), ou se sont 
contentées d'un oui sans aulre explication (6), ou enfin se sont 
méprises (3; croyant qu'on leur demandait leur opinion sur 
la valeur de leurs découvertes, l'une a répondu qu'elle ne 
leur attribuait au<Hine importance, l'autre qu'elle n'osait se 
prononcer, la dernière qu'elle estimait le plus les résultats 
présentant le caractère de la simplicité). Des 23 réponses un 
peu détaillées, les unes retracent les incidents particuliers, 
lectures, visites, etc., qui ont guidé l'auteur dans tel ou tel 
de ses travaux (p. ex. n*** XXVill, XXXI) ; d'autres esquissent 
en gros les étapes psychologiques ou les processus logiques 
de toute recherche, intuition, démonstration, généralisation, 
etc. (ex. VI, IX, XXXIX, 'LXXXI); mais, sauf un ou deux 
cas développés avec plus d'ampleur (surtout XLIII), ces 
indications éparses sont trop insufTisantes pour qu'on en 
puisse rien lirer de général. 

Question 7. — Ici les deux tiers (57) de nos documents ren- 
ferment des réponses, qui sont loin de s'accorder. Leur va- 
riété déconcertante provient assurément en partie de la di- 
versité des expériences personnelles suivant les individus, 
mais en partie aussi de ce que la question posée emploie les 
mots de hasard ei A inspiration dans leur sens courant très 
élastique, d'où la porte ouverte à toutes les divergences d'in- 
terprétation. Ainsi s'explique sans doute que le rôle du ha- 
sard puisse être jugé tantôt considérable, tantôt insignifiant 
ou même nul, selon qu'on pense au hasard des rencontres 
c.r/a/7eM/'c^ (conversations, lectures, etc.), ou au hasard interne 
du cours des idées, lequel naturellement n'est fortuit qu'en 
apparence et se ramène en réalité soit à l'effet du travail an- 
térieur, soit au facteur imprévisible de 1' « inspiration ». Ce 
dernier terme à son tour peut aussi être entendu de bien des 
façoiis. Il y aurait à ce propos une jolie collection de défini- 



296 ENQUÊTE SUR LA MÉTHODE DE TRAVAIL 

tions à tirer de nos dociiments sur ce que c'est que Tinspi- 
ration, à savoir par exemple : les idées s'efforçant d'entrer 
dans le monde (X) ; une fonction mystique propre à chaque 
personnalité (XXXVI); le processus mental, impossible à re- 
tracer, par lequel, de l'observation d'une série de phénomè- 
nes, jaillit l'intuition de leur loi (XIII) ; la faculté de combler 
les lacunes d'un domaine en y réfléchissant (XIV) ; une sorte 
de fluorescence des impressions antérieures (XXXII); un 
pressentiment instinctif de vérités ou de méthodes nouvelles 
(III, XLIX); l'imagination (LXXV) ; un travail d'incubation 
cérébrale inconsciente (XXI II) ; etc. Le seul point sur lequel 
toutes nos réponses paraissent unanimes, en ce sens qu'il est 
expressément mentionné dans un bon nombre (15), qu'on le 
devine entre les lignes dans d'autres, et qu'aucune n'y con- 
tredit, — ^ c'est la nécessité de l'étude, de la réflexion, de la 
patience, bref du travail soutenu pour préparer ou parfaire 
les dons du hasard ou de l'inspiration (voir p. ex. : I, XXVIII, 
XXXVIII, etc.). 

Question 8 a, — 56 réponses, dont les trois quarts sont 
aflirmatives. Quelques répondants ont indiqué les circons- 
tances spéciales où cette éclosion soudaine d'idées lumineu- 
ses, vainement cherchées auparavant, les a particulièrement 
frappés : à la promenade ; dans la rue ; dans le train ; le jour 
de l'expulsion d'un taenia; à propos d'une lecture tout à fait 
étrangère (5 personnes, p. ex. n® V) ; ou au contraire plus ou 
moins apparentée (3 personnes, p. ex. LIX) au sujet de leurs 
recherches ; après des jours et des semaines d'intervalle, etc. 

Question 8 b. — Cette question du rêve et du sommeil a 
provoqué 69 réponses, dont un quart (18) complètement néga- 
tives. Des 51 répondants aflirmatifs, 45 entrent dans quel- 
ques détails, la plupart pour mentionner, comme ayant été 
parfois propice à leurs travaux mathématiques, l'état de veille 
au lit, soit le soir avant de s'endormir (état hypnagogique, 
par ex. n**' IV, XXX), soit pendant des insomnies nocturnes, 
soit surtout (22 personnes) le matin immédiatement après le 
réveil. Ce dernier moment semble bien être, en effet, chez 
beaucoup de gens, une époque privilégiée où le cerveau, res- 
tauré par le repos de la nuit, fonctionne avec une lucidité, 



ENQUÊTE SUR LA MÉTHODE DE TRAVAIL 297 

une aisance, une promptitude tout particulières, et fournit 
souvent des idées utiles ou des solutions vainement cher- 
chées la veille. — Quant aux rêves mathématiques, on ne les 
trouve signalés que par 15 personnes, et ils sont générale- 
ment sans valeur: le dormeur a beau avoir le sentiment d'y 
faire des découvertes magnifiques, au réveil cette illusion 
s'évanouit, et il constate Tabsurdité ou la niaiserie des rai- 
sonnements qui l'avaient émerveillé pendant le songe (p. ex. 
XXVI, LXXV). Sept documents seulement font allusion à 
des rêves utiles ; mais deux sont bien vagues et incertains 
(XLVII, LXIV) ; dans un autre, il s'agit d'un récit de seconde 
main ne concernant pas le signataire lui-même, mais sa mère 
(LV) ; dans un autre encore, les rêves semblent n'avoir été 
que des souvenirs de choses déjà connues du sujet (XXXII); 
il ne reste que trois répondants qui affirment avec quelque 
précision avoir obtenu en songe des solutions sinon bien im- 
portantes, du moins vraiment justes et neuves pour eux (n®* 
XXIIl, LU et LXIIl *). En somme ces résultats, s'ils sont fa- 
vorables à la fécondité inventive des premiers moments après 
le réveil, ne le sont guère à celle du rêve, sauf de bien rares 
exceptions. Notre enquête confirme ainsi, dans les limites 
restreintes de son étendue, les conclusions de M. Maillet, 
qui a trouvé l'inspiration mathématique beaucoup plus fré- 
quente au réveil que pendant le rêve. 

Question 9. — Cette question parait avoir un peu fait dou- 
ble emploi avec la question?, encequedans Tesprit de beau- 
coup de gens le hasard, la spontanéité, l'inspiration, se con- 
fondent et s'opposent en bloc, comme le facteur imprévisible 
et involontaire^ au ï^iCVeur volontaire : travail, réflexion suivie, 
étude assidue, tension vers un but précis, etc. Aussii les ré- 
sultats sont-ils fort analogues. Les deux tiers (56) de nos do- 
cuments répondent à la demande 9, et ils peuvent se classer 
en trois groupes. Un petit nombre seulement (11) insistent 
sur la spontanéité de leurs découvertes; encore faut-il noter 
que la plupart d'entre eux ajoutent que le travail y a aussi eu 
sa part (p. ex. : 111). Un second groupe (15) tient la balance 



'* Ces deux derniers figurent déjà dans l'enqudte de Maillot, loc. cit., n** LV et LVII. 



298 ENQUÊTE SUR LA MÉTHODE DE TRAVAIL 

égale entre les deux facteurs, soit qu'à leurs yeux le travail 
et la spontanéité coopèrent toujours, ou qu'ils se partagent 
les cas parliciiliers (XXXI). La majorité enfin (30) attribue au 
travail voulu et dirigé le rôle prépondérant, voire mênne 
exclusif (3 personnes, [). ex. IX), dans leurs découvertes ma- 
thématiques, ce qui est d'accord avec la tendance générale des 
réponses à la demande 7. 

Voici, pour illustrer ces résumés statistiques, un choix des 
passages les plus intéressants et caractéristiques de nos docu- 
ments sur les points en question. 

Rép. I (France). — 7. Le hasard, Tinspiration, produisent tou- 
tes les découvertes, mais à condition que Ton ait beaucoup cher- 
ché dans leur sens ou dans de très voisins. Mérav. 

Rép. II (France). — 8ô. Oui, dès le collège, et assez souvent dans 
la vie quand un travail me passionnait et me forçait à m'opinià- 
trer. 

9. Spiritus flat ubi vult ! ! et quum vult ! Audebrand. 

Rép. ni (Angleterre). — 7. Il y a partout des matières de recher- 
che en abondance pour qui sait les trouver. Le hasard peut jouer 
un rôle occasionnellement, mais c'est l'inspiration que je consi- 
dère comme le facteur de toute importance, en entendant par là 
cette intuition où Ton aperçoit d'un seul coup la façon dont il faut 
résoudre un problème avant d'effectuer ce travail de résolution. 

8. Je me suis levé une fois au milieu de la nuit pour résoudre 
des problèmes que je n'avais pas pu résoudre auparavant. Ordi- 
nairement les solutions me viennent pendant la journée, lorsque 
je suis occupé à quelque chose de tout à fait différent. 

9. Tout à fait spontanément, mais cependant en connexion avec 
les travaux qui m'ont occupé auparavant. Bryan. 

Rép. IV (Autriche). — 8^. En général il est rare que je me sou- 
vienne d'avoir rêvé de mathématiques ; et quand cela m'est arrivé, 
les idées venues en tête se sont toujours trouvées illusoires et 
même absurdes. Par contre, j'ai quelquefois eu, immédiatement 
avant de m'endormir, de bonnes idées et spécialement une grande 
vivacité d'imagination géométrique. Zindler. 

Rép. V (Italie). — 8tf . Il m'est arrivé plusieurs fois que la solu- 
tion d'une difficulté qui m'avait empêché de poursuivre une re- 
cherche m'est venue à la suite d'une lecture, même sur un sujet 
tout à fait différent. 

9. Le plus souvent, résultat d'un travail voulu. (. ..) 

Rép. VI (Allemagne). — 6. Pour un très grand nombre de résul- 



ENQUÊTE SUR LA MÉTHODE DE TRAVAIL 299 

tats nouveaux trouvés par moi, je les ai d'abord devinés et n'en ai 
trouvé la démonstration qu/ensuite. 

7. Je n'ai pas l'impression que le hasard joue un bien grand 
rôle. 

Sb. Je ne crois pas qu'on puisse trouver en rêve la solution d'un 
problème mathématique. Par contre il m'est souvent arrivé qu'une 
solution cherchée en vain dans mon cabinet de travail se soit su- 
bitement présentée à la promenade ou pendant quelque autre oc- 
cupation n'absorbant pas complètement l'esprit. (...) 

Rép. VII (Allemagne). — 7. Je crois que les individus diffèrent 
totalement à ce point de vue, et qu'il n'y a que les mathématiciens 
d'une très grande puissance d'invention qui puissent répondre là- 
dessus. 

8. 11 m'est arrivé de rester pendant des semaines sur un pro- 
blème que j'ai fini par abandonner, et dont la solution a jailli de- 
vant mes yeux pendant la nuit au bout d'environ deux ans où je 
n'avait plus pensé consciemment à ce problème. 

Mon. Cantor. 

Rép. VIII (Angleterre). — 8a. Quand je suis au lit, pendant l'obs- 
curité où tous les membres sont en repos et où je puis donner 
toutes mes forces à la pensée, l'inspiration me vient. Cette méthode 
est la plus féconde, mais elle nuit beaucoup à la santé par la pri- 
vation de sommeil. (...) 

Rép. IX (France). — 6. A force de penser à une question, je fi- 
nis par en avoir un sens assez juste, mais un peu obscur par suite 
peut-être en partie de la fatigue due à cette pensée obstinée. Puis, 
après un repos dû par exemple à une bonne nuit, l'intelligence 
plus reposée et plus vigoureuse voit la vérité se dégager dans un 
énoncé net et précis. La démonstration n'est plus qu'une affaire 
de mise en ordre et de patience. 

7. Je ne connais pas le hasard dans la découverte ou la recher- 
che ; mais cela tient peut-être à mon genre de recherches, qui a 
toujours été d'élucider des sujets plutôt que d'aller à l'aventure 
dans un terrain tout à fait neuf. 

8^. Le rêve ne m'a jamais rien donné de bon ; le réveil, oui, à 
cause, je crois, du repos. C'est surtout la pensée au lit le matin 
qui a été fructueuse. 

9. Jamais les choses ne se sont présentées spontanément à moi, 
mais seulement après réflexion suivie. (...) 

Rép. X (Irlande). — 7. Je pense que les idées s'efforcent d'en- 
trer dans le monde. Souvent elles viennent à plusieurs individus 
à la fois dans divers pays, sont négligées par les uns et s'imposent 
à d'autres. 

9. Le résultat d'un travail voulu. Genèse. 



300 ENQUÊTE SUR LA MÉTHODE DE TRAVAIL 

Rép. XIII (Angleterre). — 7. Les vérités mathématiques se dé- 
couvrent souvent par intuition, mais jamais, je puis dire, par 
pure inspiration. Il faut d'abord avoir observé quelque série de 
phénomènes pour arriver intuitivement, c'est-à-dire par un pro- 
cessus de pensée qu'on est incapable de retracer, au théorème ou 
à la loi impliqués dans ces phénomènes. (...) 

Rép. XIV (Angleterre). — 7. L'inspiration est simplement la ca- 
pacité de combler les lacunes dans un champ que l'esprit conçoit 
vivement, et elle résulte d'une réflexion pénétrante. (...) 

Rép. XV (Allemagne). — 9. Ceux de mes travaux auxquels j'ac- 
corde le plus de valeur sont nés d'idées fortuites, que j'ai ensuite 
serrées de plus près. (...) 

Rép. XVI (Belgique). — 7. La part du hasard et de l'inspiration 
est très faible. Stuyvabrt. 

Rép. XVII (Allemagne). — 8A. Je ne rêve jamais de mon activité 
de mathématicien ou d'écrivain, pas même quand je travaille fié- 
vreusement des journées entières. Mais il m'arrive souvent de 
comprendre tout à coup le matin quelque chose qui avait résisté 
à tous mes efforts la veille. (. . .) 

Rép. XVIII (Italie). — 7. Je crois la part du hasard très petite, 
celle de l'inspiration très grande, en ce sens que, quand on pos- 
sède beaucoup de vérités mathématiques, une idée heureuse, née 
dans l'esprit, sans qu'on sache comment, fait apercevoir des liai- 
sons auparavant cachées et découvrir de nouveaux théorèmes. 

9. Les vérités que j'ai trouvées me sont apparues le plus sou- 
vent comme nées dans mon esprit. (...) 

Rép. XIX (Allemagne). — 8ô. J'ai souvent en rêve des représen- 
tations mathématiques, mais jamais assez nettes pour que je puisse 
les reproduire à l'état de veille. Par contre j'ai souvent eu au ré- 
veil des idées neuves et très utiles. (.. .) 

Rép. XX (France). — 6. Non, mais je puis dire que l'intuition 
ou la divination y a été pour beaucoup. 

7. Pour moi, en mathématique le hasard est Tassemblage de tou- 
tes les combinaisons et associations d'idées qui se présentent à 
l'esprit. Le jeu de l'imagination éveille des rapprochements qui 
souvent mettent sur la voie du résultat désiré. Brocard. 

Rép. XXI (Autriche). — 7, 8, 9. Je crois avoir trouvé tous mes 
résultats non par hasard, mais par réflexion assidue dans une di- 
rection déterminée. Par contre ce n'est pas volontairement et de 
force que j'ai obtenu mes meilleures idées, mais elles me sont ve- 
nues, lorsque tout était préparé par la réflexion, après un certain 
temps de repos, souvent des jours et même des semaines. Elles ne 
me sont jamais venues en rêve; cependant leur arrivée a été si peu 



ENQUÊTE SUR LA MÉTHODE DE TRAVAIL 301 

consciente qu'il m*a souvent été impossible d'en assigner plus 
tard le moment précis ; souvent aussi c'était à la lecture d'autres 
écrits apparentés, mais cependant très différents. 

L. BOLTZMANN. 

Rép. XXIII (France). — 6. 7. Les rares propositions nouvelles 
que j'ai pu établir m'ont semblé le plus souvent résulter, sinon du 
hasard, du moins d'un travail inconscient^ sorte d'incubation cé- 
rébrale. On a longtemps travaillé une question sans rien trouver. 
Tout d'un coup, et parfois lorsqu'on a laissé la question de côté, 
la lumière surgit, la vision nette se fait, sans qu'on puisse dire 
pourquoi. 

8a. Oui, et ceci se relie étroitement à la question précédente. 

Sb. Souvent j'ai rêvé mathématique. Une fois j'ai trouvé en rêve 
la solution d'un problème d'ailleurs très simple, mais que je cher- 
chais infructueusement depuis plus de 15 jours. Je ne crois pas 
que le rêve mathématique puisse être fécond, mais il me semble 
que la réflexion dans le demi-sommeil peut préparer très heu- 
reusement rincubation cérébrale. 

9. Toute découverte me parait être le résultat d'un travail voulu, 
mais souvent très antérieur, si bien qu'on n'en apas toujours con- 
science ; et on peut de bonne foi attribuer ainsi à l'inspiration 
spontanée ce qui provient de la méditation patiente. 

C.-A. Laisant. 

Rép. XXVI (France). — 86. Oui, mais très péniblement et une 
seule fois. Je m'étais demandé en dormant si toute fonction était 
la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire. J'ai en 

fi-jc) -(- f[ x) 

rêve trouvé très péniblement l'identité f(j:) = ^ + 

-^ '-—. En me réveillant j'ai vu que ma question était naïve, 

tandis qu'en rêve elle m'avait paru très sérieuse. J. Richard. 

Rép. XXVll (France). — 7. L'inspiration seule peut amener à 
des résultats vraiment intéressants et nouveaux. Weill. 

Rép. XXVIIl (France). — 6. Ayant fait de la métrique en coor- 
donnée trilinéaires, dans l'ouvrage de Painvin surtout, m'étant 
d'autre part occupé de géométrie non-euclidienne, j'ai eu un jour 
l'idée de la métrique que j'ai nommée aninifolutive 

7. L'inspiration est le fruit de la réflexion; quand on a beaucoup 
pensé à une chose, on est préparé à profiter des hasards heureux 
qui peuvent se rencontrer touchant cette chose. Il faut ensuite 
une longue patience. 

9. Travail voulu, effort. Fontexé. 

Rép. XXX (Norvège). — %a. C'est surtout après le coucher, dans 



302 ENQUÊTE SUR LA MÉTHODE DE TRAVAIL 

Tobscurité, que je pense le plus clairement. Les détails secon- 
daires s'eflacent alors, et les points principaux surgissent. 

Stôrmer. 

Rép. XXXI (Allemagne). — 6. Mes découvertes se rattachaient 
la plupart du temps à des leçons, où à la lecture de travaux étran- 
gers, ou à des recherches expérimentales. 

7. Le hasard joue aussi toujours un rôle. Dans mon Harmonie- 
lehre tout le travail a été précédé d'une sorte d' « inspiration ». 

9. 11 y a eu « travail voulu » dans mes ouvrages de Thennome- 
chanik et de Perspective^ et « spontanéité » dans ceux sur V Harmo- 
nie lehre et V Electricité. V. von Oettixcen. 

Rép. XXXIl (Autriche). — 7. J'ai été servi tout ensemble par 
l'inspiration et le hasard, qui ne me paraissent être qu'une sorte 
de fluorescence des impressions antérieures. 

Sb. Encore étudiant, j'ai rêvé une construction stéréométrique 
que j'avais oubliée. J'ai eu plus tard d'autres rêves mathématiques, 
mais peu nombreux et fantaisistes. Je me rappelle cependant un 
rêve très vif que j'ai eu trois fois, à des époques très différentes et 
sous la même forme : je voyais un livre allemand où se trouvaient 
des théorèmes d'une beauté et d'une élégance suprême, concer- 
nant certaines intégrales analogues aux fonctions sphériques. 
J'attribue ce rêve à quelques impressions reçues et que le som- 
meil avait exagérées. 

9. Je dois beaucoup aux inspirations spontanées, bien qu'elles 
aient été généralement imparfaites au début. Ma méthode de tra- 
vail ressemble d'ailleurs à celle du romancier Balzac ; il me faut 
toujours corriger mon style et écrire presque calligraphiquement; 
c'est ainsi que je parviens à perfectionner et enrichir le sujet. 

Lerch. 

Rép. XXXV (France;. — 8 a. Il me semble que oui ; cela tient 
à ce que certaines questions restent en quelque sorte à l'affût 
sans même qu'on y pense. 

9. J'ai toujours cherché méthodiquement les problèmes que 
j'ai résolus. Mais pour cette résolution, et quelquefois pour la 
pensée même de cette recherche, des idées sont nées de rappro- 
chements inattendus. (...) 

Rép. XXXVI (Suisse). — 7. Il est très difficile de répondre à 
cette question, parce qu'en travaillant nous vivons toujours dans 
une espèce de nébulosité [Fhiidtim] scientifique qui nous empê- 
che de juger facilement quelles impressions nous avons emmaga- 
sinées consciemment ou inconsciemment. Je crois cependant 
qu'à la découverte de tout résultat ou théorème de valeur coopère 
une certaine loi ou fonction mystérieuse, propre à chaque individu 
[ein gemsses der Persônlichkeit eigentiimliches [mysptisches) Forrn- 



ENQUÊTE SUH LA MÉTHODE DE TRAVAIL 303 

gesetz]^ et qu'on peut désigner du nom d*inspiration. Pour moi 
il n*y a pas de hasard. 

Bkyel. 

Rép. XXXVIIl (Allemagne). — 6, 7, 9. Il y a pour commencer 
réflexion consciencieuse et scrupuleuse ; mais le dernier pas est 
toujours un don qui arrive comme une inspiration. 

Wernicke. 

Rép. XXXIX (Grèce). — 6. Certainement. Les points que j'ai 
moi-même cherchés, je les ai examinés à tous les points de vue et 
sous tous les rapports possibles. La genèse, je crois qu'elle con- 
siste la plupart du temps dans la généralisation, ou plut(^t la ten- 
dance à ta généralisation qui s'empare de nous. 

7. Le hasard a aussi sa part, surtout dans les résultats et notam- 
ment en ce qui concerne leur élégance: maintes fois on travaille 
longtemps et péniblement pour n'aboutir qu'à des résultats dé- 
pourvus d'élégance ou de concision. Mais par contre, le choix 
rationnel et intelligent des questions à traiter, et une certaine expé- 
rience qu'on n'acquiert qu'avec le temps et l'habitude, peuvent 
bien souvent annuler, ou du moins rendre insignifiante, la part 
du hasard. I/inspiration contribue aussi ; mais quelquefois, non 
dirigée, elle nous égare. 

N. Hatzidakis. 

Rép. XLl :Ecossei. — 7. L'inspiration et le hasard jouent tous 
deux un rôle ; mais ce qui vaut encore mieux, c'est l'application 
continue. ^.. 

Rép. XLII 'Italie/. — 7. Xi hasard ni inspiration. Les décou- 
vertes ne sont que le fruit de l'étude continue. 

8 Â. Quand un sujet m'a fortement préoccupé, mon cerveau con- 
tinue à travailler pendant le sommeil et plus d*une fois j'ai trouvé 
des solutions en dormant. Mais la plupart du temps je n'ai eu en 
dormant qu'un tourment inutile, croyant obtenir des résultats qui, 
une fois réveillé, se trouvaient faux. 

9. Les deux cas se présentent. Amodko. 

Rép. XLIII France . — (> et 7. Dans les débuts, j'ai tâtonné pas 
mal. J'avais à ma disposition deux procédés d'investigation : Ou 
bien chercher à résoudre des problèmes posés ou facih's à poser; 
c'est je crois souvent le plus difTicile. Ou bien, au contraire, ima- 
giner de nouveaux sujets d'étude, même généraux, et y découvrir 
ce que je pourrais. Pour ce second procédé, qui ne correspond pas, 
je crois, à une faculté exercée dans l'enseignement, j'ai eu à faire 
une véritable école ; mais c'est d'après moi le plus fécond. Il y a 
d'ailleurs très souvent des cas mixtes. Au cours de mes lectures, 
je prenais des notes sur les idées de sujet d'études qu'elles pour- 



304 ENQUÊTE SUE LA MÉTHODE DE TRAVAIL 

raient me suggérer. Exemple : un auteur ne traite qu'un cas d'une 
question, un cas particulier, etc. ; généraliser ; j'aime beaucoup 
généraliser, et étendre, par analogie ou non. Mon premier mé- 
moire du Journal de Math. « Sur les isomorphes holoédrîques, 
etc., 1895 » est une généralisation d'un mémoire de M. Netto : il 
n'avait traité qu'un cas particulier étendu, j'ai traité le cas géné- 
ral. C'est en généralisant le théorème de Fermât sur les nombres 
polygones et la méthode de Cauchy corrélative et un théorème de 
Liouvîlle, et m'aidant (influence du hasard] d'une identité simple 
d'Oltramare lue dans V Intermédiaire des Mathématiciens , que j'ai 
obtenu mes extensions du théorème Fermât sur les nombres po- 
lygones (J. de Math., 1896). 

Quant à mes recherches sur la théorie des fonctions, elles ont 
pour origine, outre des lectures antérieures, une visite à Hermite 
et à M. Haton de la Goupillière. J'ai tiré de ce qu'ils me dirent la 
conclusion que je devais varier davantage mes productions, et je 
me suis fait cette suggestion : je vais laisser de côté tout ce que 
j'ai fait antérieurement, tout livre connu, toute idée ayant trait à 
ce qui s'est fait à ma connaissance, et je vais trouver quelque 
chose, par ex. sur les solutions des équations différentielles, ra- 
tionnelles en X, y, y' y",... Je crois que la première idée nettement 
utile, l'idée de la méthode, m'est venue en chemin de fer du côté 
d'Arcueil (patrie de Cauchy î). C*est ainsi — et aussi, il faut bien 
le dire, un peu grâce à l'influence des lectures antérieures agis- 
sant inconsciemment — que j'ai abouti à mon mémoire du Jour- 
nal de Math. (1902, p. 19). 

Je conclurai : la volonté et Tinspiration jouent très souvent un 
rôle pour le choix du sujet et la découverte, qui sont rarement 
étrangers aux lectures antérieures, dont ils sont un prolongement 
plus ou moins net. Mais il peut avoir des exceptions, au moins en 
apparence, quand on a fait beaucoup de lectures et qu'on étudie 
plusieurs branches des mathématiques. Dans ce cas encore le ha- 
sard peut décider de la branche où se fera la découverte ; mais 
c'est réellement un hasard bien préparé et qui ne mérite guère ce 
nom. 

9. Voir 6 et 7. Chez moi la volonté doit jouer un rôle capital. 
Au surplus, quand j'ai négligé quelque temps un sujet, il me faut 
quelques heures d'entraînement pour pouvoir m'en occuper sé- 
rieusement. Maillet. 

Rép. XLIV. (Italie). — 86. Parfois le matin, à peine réveillé, j'ai 
résolu les questions qui m'avaient semblé insurmontables le jour 
précédent. 

9. Mes principales découvertes se sont présentées à moi spon- 
tanément. Marlbtta. 

Rép. XLVl (Espagne). — 8. Quelquefois je suis sorti de mon lit 



ENQUÊTE SUR LA MÉTHODE DE TRAVAIL 305 

pour écrire un aperçu des idées qui m'étaient soudainement ve- 
nues, afin de les développer le jour suivant, parce que, sans cette 
précaution de les noter immédiatement, je les oublie, comme le 
montre le fait suivant: ayant trouvé une fois une petite démons* 
tration, très importante, pour simplifier une théorie, avec deux 
figures, j'envoyai le tout à Timprimerie ; mais par mégarde on 
perdit ma démonstration, et je ne pus la reconstituer malgré les 
figures. G. de Galdeano. 

Rép. XI-. VII (Suisse). — Sa. Une fois seulement je me souviens 
de m'étre levé, aussitôt réveillé, pour fixer une idée qui m'était 
venue «en rêve, mais je ne sais plus de quoi il s'agissait. 

GUBLER. 

Rép. XLIX (France). — 7. Le hasard a certainement joué un 
rôle, comme en toutes découvertes, mais l'inspiration ou mieux 
Tobstination de l'esprit a fait bien davantage. Le mathématicien 
qui est sur la trace d'une vérité nouvelle en est parfaitement 
averti par une sorte d'instinct qui ne trompe guère, et comme la 
patience est sa vertu dominante, il recommencera les essais jus- 
qu'à ce qu*il soit certain d'avoir réussi ou de faire fausse route. 

8Ô. Non en rêve, mais dans l'état tranquille qui précède ou qui 
suit le sommeil, souvent en promenade solitaire. Barbarin. 

Rép. L (Etats-Unis). — 7. Je crois que l'inspiration joue une 
grande part mais je me rends toutefois bien compte qu'il est bien 
diffîcile, sinon impossible de dire comment on a trouvé ses idées. 
Par exemple j'ai retrouvé une découverte, que je croyais avoir 
faite, dans des livres que j'avais lus auparavant. 

Sb. Pas consciemment; mais plus d'une fois je me suis réveillé 
avec des idées claires sur un sujel qui m'avait préoccupé peut-être 
la veille, peut-être plusieurs jours avant. Je conseille aux étu- 
diants de se poser les problèmes devant l'esprit aussi tôt que pos- 
sible afin que ce travail cérébral inconscient puisse s'y exercer. 
— 9. A peu près la moitié de chaque. Davis. 

Rép. LII [Francei. — 7. Je crois à l'inspiration chez un petit 
nombre de grands esprits ; à un plus grand nombre pour lesquels 
le génie est une longue patience ; à une très faible influence du 
hasard pur, mais à l'importance des hasards heureux qui se pré- 
sentent à quelques esprits perspicaces et profonds. Bien entendu, 
je dis cela au point de vue général. 

8^. J'ai envoyé à M. Maillet un rêve qui m'avait, sur un sujet 
bien humble d'ailleurs, fourni une solution bi/arre [voir Maillet 
loc. ciLy n^IVj. Ce fut d'ailleurs mon seul rêve utile, bien <|ue sou- 
vent le cauchemar mathématique me fatiguai. 

9. Travail voulu et personnel, mais sur des pisti*H rencontrées 
spontanément en général. Haton de la GotfiLUKfiK. 

L'Enscignemeol roatbém., •• asiM-e ; IMie, 30 



306 ENQUÊTE SUR LA MÉTHODE DE TRAVAIL 

Rép. LY (Etats-Unis). — 6. En fait chacun de mes nombreux 
mémoires est" né en se rattachant» à un mémoire antérieur d'un 
autre auteur ou de moi-même. Dans l'introduction de chaque mé- 
moire, j'ai essayé d'expliquer la genèse de sa conception. 

7. Il m'est rarement arrivé de faire une découverte par hasard, 
ou de trouver un résultat essentiellement différent de ce que je 
prévoyais. Presque toujours j'ai eu par intuition un sentiment 
assez défini du résultat final, tandis que les détails de la démons- 
tration formelle m'ont coûté beaucoup de travail ; dans quelque 
cas la preuve explicite s'est fait attendre un an ou deux, et parfois 
je n'ai trouvé la clef de la démonstration que par hasard ou par 
une inspiration soudaine. 

8. Seulement rarement. Il m'est arrivé de trouver dans la rue 
ou ailleurs la clef d'une démonstration que j'avais longtemps 
cherchée en vain. Quant aux rêves, ils sont chez moi rares et de 
la valeur de la grandeur du cercle ! Voici toutefois un cas dont je 
puis garantir l'authenticité : Ma mère et sa sœur, qui à l'école 
étaient rivales en géométrie, avaient vainement passé une longue 
soirée sur un problème. Pendant la nuit, ma mère y rêva et com- 
mença à développer à haute voix la solution de ce problème ; ma 
tante, l'entendant, se leva et eu prit note ; le lendemain matin, à 
la leçon, ell^ se trouvait avoir la solution juste, qui manquait à 
ma mère ! !^.-E. Dickson. 

Rép. LVII (Etats-Unis). — 7. Je pense que la chance ou l'inspi- 
ration peuvent mener à découvrir des vérités, mais il est probable 
que cela n'a guère lieu qu'après une étude serrée et prolongée du 
sujet, comme dans le cas de Newton découvrant les lois de la gra- 
vitation. 

8 a. Oui. A certains moments favorables, quand on est engagé 
dans d'autres sujets, on a de soudaines inspirations sur les sujets 
qu'on a sérieusement étudiés auparavant. 

8 b. Je ne me souviens pas d'avoir résolu un problème ou une 
difficulté quelconque en rêve, mais j'ai souvent trouvé que le tra- 
vail aboutit facilement le matin après le repos de la nuit, alors 
qu'on n'avait pas pu obtenir de résultats la veille quand on avait 
l'esprit fatigué. 

9. Je pense que le travail volontaire et systématiquement pour- 
suivi dans une direction déterminée conduit aux meilleurs résul- 
tats ; mais il arrive aussi qu'on obtient spontanément des résul- 
tats d'une manière frappante. E. P. Thompsox. 

Rép. f.lX (Allemagne). — 7. Je crois que le hasard ne fait trou- 
ver de nouvelles vérités que lorsqu'on s'est complètement plongé 
dans une question par un travail acharné, de sorte qu'on ne peut 
pas attribuer de r6le spécial an hasard comme tel. 



ENQUÊTE SUR LA MÉTHODE DE TRAVAIL 307 

8 a, Oniy dans des recherches voisines; non pour des sujets 
complètement hétérogènes. 

8 b. Je n'ai jamais rencontré de solution en rêve ; mais immé- 
diatement après le réveil, encore au lit, j'ai quelquefois trouvé la 
solution de problèmes qui m'avaient vainement occupé la veille ou 
pondant plusieurs jours. 

9. En partie voulu, en partie spontané. Tafblmachbr. 

Rép. LXUl (Suisse). — %b.\\ m'est arrivé très souvent de résou- 
dre des problèmes en rêve ; pas de voir les calculs, mais de voir 
la marche générale, et, sans voir les calculs, d'avoir la solution 
exacte; le matin je me souviens de la solution et vaguement du 
raisonnement, mais en quelques instants le tout est retrouvé. 
Ceci quand j'ai cherché infructueusement le soiravant de me cou- 
cher. L,,] 

Rép. LXIV 'Etats-Unis). — 8ô. Je pense qu'il m'est arrivé une 
ou deux fois seulement de résoudre un problème en rêve ; mais 
très souvent en m'éveillant le matin il me vient une solution quand 
j'ai travaillé sans rien trouver le jour précédent. Riktz. 

Rép. LXX (Etats-UnisK — 7. Difficile de répondre. Cela dépend 
de la définition de hasard et inspiration. Je pense que la chance 
arrive à ceux qui sont le mieux préparés ; l'inspiration rend pro- 
bablement compte de l'intention de la majorité des nouvelle» nié" 
thodes, 

8^. Je me suis souvent couché avec un problème non résolu sur 
lequel j'avais beaucoup travaillé dans la soirée, et je me suis ré- 
veillé avec une nouvelle méthode d'attaque qui s'est trouvée bonne. 

9. J'ai des exemples des deux dans mon expérience très limitée. 

YoiJXG. 

Rép. LXXII Etats-Unis-. — 7. Cela dépend entièrement des in- 
dividus. Pour moi, qui n'ai pas une brillante intuition, les résul- 
tats sont surtout dus au travail patient et persévérant et aux tenta- 
tives répétées. 

8A. Non, quoique des idées utiles me viennent souvent l«'i nuit, 
pendant que je suis réveillé, ou le matin avant de nie l«»ver. 

Rép. LXXV France. - 7. La part du hasard? Infiniment pe- 
tite. L'inspiration? Je ne comprends pas bien ce nom. Mais si l'on 
remplaçait ce mot inspiration par <> imagination » je répondrais 
qu'il faut aux mathématiciens par où j'entends non les « profes- 
seurs » mais les « inventeurs ». c'est-à-dire ceux qui ajoutent au 
passé une chose petite ou grande, peu importe une qualité* pri- 
mordiale très intense, la qualité d'imagination. Les nouveautés, 
même on pourrait peut-être dire nurtoitt les plus élémentain*s, 
exijrcnt dans le cer\eau humain un très grand eifort d'imagination ; 



308 ENQUÊTE SUR LA MÉTHODE DE TK.i 

à ce point de vue, elles méritent peot-ètre plus d'es'' 
leur en accorde généralement. 

Sa, J'ai surtout observé que par une pente inseiis''- 
vais des choses déjà vues, et même des choses qui m- 
sonnelles, que j'avais trouvées, que j'avais comploter 
et que le travail cérébral, par un mouvement circnhi 
riode, remettait devant moi comme une vérité nouvt- 
des très modestes travaux que je puis revendi<|u«v 
absolu que j'ai le souvenir très précis dethéorcinr 
vu, très justement je crois, attribuer dans des not 
et dont j'avais perdu toute notion. Ceci doit ètiv' 
ayant peu produit, le fait semble prouver combi< 
susceptibles d'oublier nos propres œuvres et p<» 
retrouver des choses déjà faites par nous-mêmes. 

Sb. [Ici l'auteur renvoie à sa réponse publiée pa 
cit., p. 30, n° LV. On y voit qu'il a souvent des 
tiques, où il obtient des résultats qui lui seinl 
pendant le rêve, mais qui se trouvent sans valenu 
continue en en donnant un nouvel exemple int< • 

11 est très rare que mes rêves mathématiques i ■ 
tachés d'erreurs de raisonnement. Voici un fait 
cis, à l'appui de cette opinion qui s'applique prol 
coup d'autres personnes. Je rêvais de l'inscriptl- 
réguliers et je me disais dans ce rêve : Puisque I ■ 
polygone dont le côté soustend l'arc de 18°, co 
avec la règle et le compas inscrire le polygone « 
donc trouver la corde qui soustend l'arc de 1". 
tais-je à moi-même dans le rêve, n'a-t-on pas 
temps une remarque aussi simple! Je subis cnsi 
meil qui me donna une conscience très nette du 
de faire et me permit de le fixer en ma méni<» 
demi-sommeil, je me donnai le commandemcM 
tout cela à mon réveil. Cette confusion entre !<• 
tés est sans doute peu croyable; je certifie j)»- 
commise et que, dans ce rêve et même dans w 
ne voyais absolument que la différence des chill 

Rép. LXXVl (France). — 9. Les résultats que 
toujours été la conséquence d'une méthode opi. 



■ 

■-^ ,V H» #» 

■ * 



^r 



Rép. LXXVIII (Italie). — Quand une rech< 
tueuse, je ne l'abandonne qu'après avoir essay» 
de réussite, mais une fois abandonnée je ne m 
Les solutions que j'ai cru trouver dans l'état de 



ENQUÊTE SUR LA MÉTHODE DE TRAVAIL 309 

toujours trouvées fausses. Je crois en revanche que, si avec les 
connaissances que je possède, je suis en état de résoudre une 
question donnée, il me suffit d'y penser intensément pendant 
quelque temps pour en trouver la solution après un bon sommeil. 

(...) 

Rép. laXXXI (Hollande). — 6. Le plus souvent, les vérités nou- 
velles m'apparaissent pendant que je dessine une ligure sur le pa- 
pier ou en pensée, ou que je songe au sujet à développer. En gé- 
néral la preuve ne tarde pas à venir ; je ne me souviens que d'une 
seule vérité géométrique qui, ayant jailli pendant le tracé de la 
figure, me coûta trois ans pour la démonstration. 

7. Le hasard peut donner une direction aux recherches, Tétude 
et la persévérance peuvent accumuler les faits et les résultats, 
mais c'est seulement l'inspiration qui peut faire envisager une 
question mathématique à un point de vue général, condition si 
nécessaire pour l'avancement de la science. 

8a. Des propositions ou des questions dont je cherche la solu- 
tion me reviennent à la mémoire quand je ne m'y attends pas, évo- 
quées par la vue ou la pensée de choses qui souvent ne se ratta- 
chent que de loin, ou pas du tout, à mes recherches. 

86. Jamais en rêve. Quelquefois en réfléchissant au lit, avant le 
sommeil, une solution surgit par le fait du calme et de la soli- 
tude. Mais je n'aime pas cela, parce que cela me coûte une partie 
du sommeil qui m'est nécessaire. Le lendemain, au plus tard, je 
puis sans peine noter ces solutions, etc. 

9. Voulu. J.-V. Vabs. 

Rép. LXXXII (Suisse). — 7 et 9. J'estime que cette part est nulle 
et qu'en réalité les idées nouvelles, les découvertes, résultent d'un 
travail de réflexion très suivi. 

8a. Des solutions qui me paraissaient difficiles d'obtenir se sont 
souvent présentées comme très simples après avoir abandonné les 
recherches pendant quelque temps (jours ou semaines). 

86. Oui, j'ai souvent rêvé mathématiques ; en général les raison- 
nements étaient sans lien et il s'agissait de choses connues, par 
exemple de questions se rapportant à une leçon faite dans la 
journée ou à faire le lendemain ; ce n'était jamais des raisonne- 
ments nouveaux. Il m'est arrivé de penser aux mathématiques le 
matin à moitié réveillé, et de voir dans une forme très simple des 
questions qui m'avaient paru difficiles à la fin de la soirée précé- 
dente. [Réponse déjà publiée par Maillet, /oc. 677., n* XXVIIL] 

Fehr. 

Rép. LXXXUI (France). — 7. Le hasard peut jouer un certain 
rôle si, étudiant deux sujets différents, l'un d'eux suggère une 
solution pour l'autre. Je crois aussi à l'inspiration entendue en ce 



310 ENQUÊTE SUR LA MÉTHODE DE TRAVAIL 

sens qu'après avoir réfléchi un certain teraps sur un problème, les 
diflérentes remarques qu'on a faites mentalement viennent se fon- 
dre subitement et donner la méthode cherchée. 

8^. Pas immédiatement après le sommeil. Il m'arrive de rouler 
dans ma tète des équations ou des problèmes auxquels j'ai réflé- 
chi la veille; mais c'est plutôt une sorte d'obsession momentanée 
(sans résultat) dans l'instant qui précède le réveil, et je cherche 
à éviter cela en changeant de sujet avant de m 'endormir. 

(...) 

Rép. LXXXIV (Suisse) — 7. Elle est très grande. 
8<3. Oui. 

8^. J'ai souvent poursuivi en rêve des solutions qui se sont tou- 
jours trouvées être fausses le lendemain au réveil, 

9. Mes découvertes ont toujours été le résultat d'un travail voulu. 

Oltramare. 

Ces (locuineiits, tout disparates et insuflisants qu'ils soient, 
pourrnirnt peut-être se résumer en disant: Les dérouverles 
malhétnaliques — petites ou grandes, et quel que soit leur 
contenu (nouveaux sujets de recherches, intuitions de mé- 
thodes ou de marches à suivre, pressentiments de vérités et 
de solutions non encore démontrées, etc.) — les découvertes 
ne naissent jamais par génération spontanée. Elles supposent 
toujours un terrain ensemencé de connaissances préalables, 
et bien préparé par un travail à la fois conscient et subcons- 
cient. D'autre part, toute découverte, par sa nouveauté même 
et son originalité, traïu'he forcément avec ce qui précède, et 
parait d'autant plus surprenante qu'elle jaillit plus inopiné- 
ment d'une incubation latente plus prolongée. On comprend 
donc que, suivant les cas et les individus, ce soit tantôt son 
caractère imprévu, tantôt sa dé|)en(lance du travail volontaire 
antérieur, qui frappe davantage son auteur lorsqu'il y réflé- 
chit rétrospectivement. De là tant de variétés d'appréciation, 
et l'égale vérité de ces deux aphorismes célèbres, contradic- 
toires en apparence, mais exprimant les deux faces indisso- 
lublement liées, quoique d'un relief souvent très inégal, d'un 
même processus: le génie, c'est l'inspiration; le génie, c'est 
une longue patience. 



MELANGES ET CORRESPONDANCE 



A propos de la rotation de la Terre ^ 
Lettre de M. J. Richard (Dijon). 

Permettez-moi de revenir encore sur la question du mouvement 
de la terre. 

I. Je ne comprends pas du tout la théorie fallacieuse des ma- 
rées de M. Andrault. Expliquer les marées, c'est montrer que ce 
phénomène est une conséquence d'une loi plus générale antérieu- 
rement admise, celle de l'attraction universelle. Cette loi les ex- 
plique elTectivement, et montre en même temps que la terre et la 
lune tournent autour de leur centre de gravité commun, pendant 
que ce point tourne autour du soleil. 

II. La lettre publiée par M. Combebiac dans le précédent nu- 
méro (p. 229-230) contient des idées très justes. Si la terre ne 
tournait pas, pour que les phénomènes soient les mêmes que si 
elle tournait il faudrait supposer des forces réelles remplaçant les 
forces centrifuges composées. On ne pourrait pas expliquer l'exis- 
tence de ces forces bizarres. Ces forces entraîneraient vers leur 
droite, dans Thémisphère nord, vers leur gauche dans l'hémis- 
phère sud, les objets qui se déplacent. Cela rompt la symétrie 
entre la droite et la gauche, cela fait que dans l'espace il y a une 
direction, celle de Taxe du monde possédant des propriétés par- 
ticulières, de sorte que, en voulant rétablir la relativité du mou- 
vement, on supprime la relatis^ité de V espace, 

III. Par rapport à l'univers visible, la terre est un astre tout 
petit ; elle n'a aucune importance. Les habitants des planètes qui 
circulent autour de Yéga, s'ils ont les mêmes notions astronomi- 
ques que nous, ne se doutent pas de son existence, et désignent 
le soleil par un simple numéro ou une lettre de leur alphabet. 
C'est donc une idée folle de prendre pour axes de coordonnées 
des axes liés à la terre, et de les supposer fixes. Imaginez, un fou 
se persuadant que tout se meut, que lui seul est immobile ; bien 



* Voir L'Enseignement mathématique» 8« année, p. 150-1&5, p. 339-383. 



312 MÉLANGES ET CORRESPONDANCE 

mieux, comme le corps du fou n*est pas un solide invariable, sup- 
posez que ce fou croie en Tim mobilité de son œil droit, tous les 
déplacements observés par rapport à cet œil sont pour lui absolus; 
son œil droit est le corps alpha. 

I^'œil droit du fou en question a environ 2 ce. de diamètre soit 
1 ce. de rayon ; le rayon de la terre est environ 700 millions de 
fois plus grand. Mais le rayon de la terre est contenu plus de 
20 milliards de fois dans la distance de la terre à Véga. Le fou 
qui croit que son œil est immobile n'est donc pas plus illogique 
que celui qui fait de la terre le corps alpha. 

Je n'insisterai pas sur Timpossibilité pour le fou en question de 
se construire une dynamique. Cette impossibilité de prendre pour 
système d'axes fixes des axes liés à Tœil d'une personne prouve 
bien que tous les trièdres de référence ne s'équivalent pas. 

IV. Nous observons l'univers qui nous est extérieur; les lois de 
son mouvement sont objectives, ce n'est pas nous qui les faisons. 
Ces lois nous montrent l'existence d'un Irièdre de référence qu'il est 
nécessaire de supposer fixe. Il faut donc accepter ce fait. Que cela 
puisse choquer les gens s'imaginant avoir en l'esprit les données 
nécessaires pour expliquer l'univers, cela est naturel. Mais ceux 
qui croient l'expérience et l'observation nécessaires à la connais- 
sance des choses ne trouvent là rien d'extraordinaire. 



Lettre de M. G. Combebiac (Bourges). 

I. Réponse à M. Andrault. — Je méconnais en effet formelle- 
ment, ainsi que le constate M. Andrault, le fait que les forces cen* 
trifuges sont relatives comme le sont lès moiwementSy attendu que 
j'ignore ce que l'on peut bien entendre par la relativité (par rap- 
port à quoi ?) d'une force, fût-elle centrifuge. Il n'est pas douteux, 
au contraire, que la force centrifuge due à la rotation de la terre 
— évitons les généralités insaisissables — ne puisse être différen- 
ciée, individualisée au moyen de l'expérience et indépendamment 
de toute observation de mouvement. La loi qui la régit met néces- 
sairement et exclusivement en cause une droite passant par le 
centre de la terre et invariablement liée à celle-ci (dans le do- 
maine d'approximation qui comporte ces manières de s'exprimer). 
Dans ces conditions, on est autorisé à qualifier non pas d'incom- 
mode mais bien de contraire au bon sens la mise en cause d'un 
système de repères défini par rapport à des corps manifestement 
étrangers an phénomène et en outre indépendants entr'eux comme 
le sont les étoiles fixes. C'est que la science n'est pas unique 
ment fondée sur les observations scientifiques ; elle doit rester 
inébranlablement attachée au bon sens, ce sol compact et résis- 



MELANGES ET CORRESPONDANCE 31S 

tant formé d'innombrables particules qui sont le résidu de Texpé- 
rience journalière, c'est-à-dire de l'activité mentale elle-même 
sous sa forme consciente ou subconsciente. 

M. Andrault signale aussi que la théorie des marées peut être 
établie indifféremment en supposant fixe soit la terre soit la lune; 
cela nous enseigne que certains phénomènes dépendent seule- 
ment du mouvement relatif de deux corps, et aussi que Ton doit 
être circonspect en inférant d'un fait à sa cause (la cause consiste 
ici en un mouvement relatif). Les juges d'instruction n'ignorent 
pas qu'un même fait peut admettre diverses causes. 

Il n'en est pas moins vrai qu'en disant que le chat trouvé mort 
sur la voie publique est tombé de telle gouttière, on exprime un 
fait objectif, par conséquent vrai ou faux, et que ce fait constitue 
aussi une explication, car il a pour effet de rattacher le fait ob- 
servé à des qualités générales de la matière, jouant ainsi le même 
rôle que la rotation de la terre par rapport à la force centrifuge 
terrestre. 

Je conviens d'ailleurs bien volontiers que j'ignore si cette expli- 
cation du phénomène m'en fait pénétrer l'essence et la réalité 
absolue^ ces expressions n'éveillant en moi que l'écho de lointai- 
nes dissertations sur des sujets confus et mal définis — idéa- 
lisme, réalisme,... — que la science peut, sans rien perdre, aban- 
donner à sa rivale, la métaphysique,., jusqu'à ce qu'elle soit en 
mesure de démontrer, par suite du développement de la psycho- 
logie, que les conceptions dont elles émanent sont purement et 
simplement inconsistantes. 

II. Sur la loi de l'inbrtie*. — L'impossibilité d'observer au- 
tre chose que des mouvements relatifs a conduit Cari Neumann* 
à émettre l'idée que la loi de l'inertie s'applique aux mouvements 
relatifs des corps par rapport à un système indéformable de repè- 
res auquel il a donné la dénomination de corps Alpha, 

Dans cette conception, la loi ordinaire de l'inertie doit se pré- 
senter comme un cas particulier d'une loi plus générale régissant 
tous les mouvements relatifs; cette loi est évidemment exprimée 
par l'équation vectorielle : 

OÙ F désigne la force appliquée au point matériel mobile, Jr l'ac- 
célération relative de celui-ci par rapport à un système rigide A, 
Je l'accélération, par rapport au corps Alpha, du point de A qui 
coïncide, â l'instant considéré, avec le point matériel, enfin Je 
Taccélération de Coriolis. Ces deux derniers vecteurs dépendent 



1 Voir L'Ehs. Math, du 15 mai 1906 ; p. 339-233. 

' Carl Nkumank. — Ueber die Principien der GcUiUi'newtvi'schen Théorie. Leipzig, 1870. 



314 MÉLANGES ET CORRESPONDANCE 

essentiellement du mouvement relatif de A par rapport à Alpha 
et s'annulent lorsque A définit le même système indéformable 
que Alpha. Telle est la forme que doit prendre la loi de Tinertie 
dans la conception de Cari Neumann. Elle fait intervenir, en plus 
des éléments du mouvement relatif qu'elle régit, le mouvement 
de A par rapport à Alpha, et cette intervention cesse précisément 
lorsqu'elle aurait sa raison d'être, c'est-à-dire lorsque les corps A 
et Alpha définissent le même système de repères. Rn outre la loi, 
dans sa nouvelle forme, n'admet plus un déplacement d'ensemble 
sans déformation de tous les corps mis en cause ; le corps Alpha 
en effet ne doit pas suivre les autres dans un tel déplacement et 
cette circonstance sulïit à faire ressortir le caractère artificiel de 
son intervention. Ainsi, les conditions dans lesquelles intervien- 
drait le corps Alpha dans les lois du mouvement relatif de deux 
corps sont franchement contraires à notre conception de la cau- 
salité physique, conception qui résulte, elle aussi, de l'expérience 
plus ou moins consciente en attendant qu'elle se présente comme 
une nécessité logique. 

On voit donc que la loi d'inertie relative au corps Alpha ne pré- 
sente pas les caractères d'une loi naturelle, contrairement à ce 
qui a lieu pour la loi de Galilée-Newton ; elle ne saurait, dans ces 
conditions, satisfaire le physicien. 11 est à prévoir qu'on me de- 
mandera ce qu'on doit entendre par les caractères d'une loi natu- 
relle. Si je pouvais répondre à cette question, je n'attendrais pas 
qu'elle fût posée. Mais ces caractères, quelque imprécis qu'ils 
soient en l'état actuel de nos connaissances, existent ; la preuve, 
c'est que les raisons exposées ci-d«ssus sont de nature, si je ne 
m'abuse, à ruiner l'idée du corps Alpha dans l'esprit de beaucoup 
de physiciens et dans celui de quelques mathématiciens. Je con- 
clus : notre conception actuelle de la Dynamique implique, bon 
gré mal gré, la notion du mouvement absolu. 

La mesure du temps, qui intervient dans la loi de l'inertie, 
donne lieu à des remarques de même nature, mais peut-être plus 
caractéristiques que celles qui viennent d'être développées au 
sujet du système de repères. 

La loi de l'inertie est indépendante du choix de l'unité de temps, 
mais elle implique le choix d'une horloge, c'est-à-dire une no- 
tion de l'égalité de temps. On peut établir cette notion au moyen 
d'une simple définition, en décrétant, par exemple, la constance 
du jour sidéral (passons sur les difficultés que soulève la subdivi- 
sion de cette unité). Mais on ferait ainsi abstraction de l'intuition 
causale d'après laquelle deux phénomènes déterminés par des 
circonstances physiques identiques doivent avoir des durées éga- 
les entre elles ou même, le cas échéant, s'accomplir dans le même 
temps. (Si l'on m'oppose l'impossibilité de définir l'identité de 



ME LANGES ET C OBBE SP O N DAN C E 315 

circonstances physiques, je répondrai qu'il suffit que la notion de 
cette identité soit indépendante de l'idée de temps, et c'est ce qui 
est manifestement réalisé). L'égalité de temps constitue donc une 
notion physique indépendante de tout concept astronomique, et 
c'est physiquement et non pas astrononiiquement que devrait être 
définie Thorloge-étalon ; bien plus, si Ton venait à constater une 
diminution (mesurée à l'horloge astronomique) de la durée d'os- 
cillation d'un pendule défini physiquement, on n'hésiterait pas à 
l'attribuer à une augmentation du jour sidéral, surtout si la com- 
paraison statique de la pesanteur avec les forces élastiques, par 
exemple, montrait qu'aucun changement n'est survenu de ce côté. 
11 est manifeste d'ailleurs que cette conclusion serait choisie en 
raison de sa conformité avec l'intuition causale et non pas en rai- 
son de sa commodité ; on ne saurait oublier en eff'et que le phé- 
nomène du jour sidéral a pour cause la rotation de la terre. Ajou- 
tons, dans le même ordre d'idées, que, si Copernic a estimé plus 
vraisemblable la rotation de la terre que celle du ciel, c'est uni- 
quement parce que la solidarité impliquée par un pareil mouve- 
ment s'accorde avec la structure physique de la terre, tandis 
qu'on ne s'expliquerait pas un tel mouvement d'ensemble d'un 
système de corps indépendants entr'eux comme le sont les corps 
célestes. 

La conclusion à tirer de ces considérations est la suivante : 
l'idée du mouvement absolu ainsi que celle de l'égalité de temps 
sont des notions objectives et ont l'une et l'autre leur raison d'être 
dans la concordance de faits en nombre infini; la science ne sau- 
rait faire abstraction de l'intuition causale en faisant intervenir 
dans la loi ou dans l'explication d'un phénomène des cirscons- 
tances dont il est manifestement indépendant ; cette intuition 
causale (qu'il ne s'agit pas d'ailleurs de soustraire à la critique) 
a une valeur objective démontrée par la faculté de prévision 
qu'elle engendre; elle a ses racines dans les connaissances conti- 
nuellement et discrètement déposées par l'expérience en couches 
superposées dans lesquelles la pensée puise ses aliments essen- 
tiels. Cayley a pu dire que les mathématiques sont l'idéalisation 
du bon sens ; j'ajouterais volontiers que la science tout entière est 
le développement du bon sens, terme qui n'est lui-même que le 
nom vulgaire, mais excellent, de l'intuition causale. 

« Sur la convergence absolue des séries » et « sur un développement 

en série entière ». 

[A propos des articles de MM. Carvallo et Jamet). 

• Permettez-moi de vous adresser deux remarques au sujet des 
Notes publiées sous ces titres, dans le dernier n® de l'Enseigne- 
ment mathématique^ par MM. Carvallo et Jamet. 



316 MELANGES ET CORRESPONDANCE 

Page 194. — M. Carvallo, à propos de la vraie valeur d'une série 
absolument convergente, donne aux mots changer l'ordre des ter^ 
mes une signification qui, comme il le remarque, rend mauvaise 
la forme du théorème de Dirichlet. Mais le théorème est sus- 
ceptible d'une interprétation juste, plus simple, je crois, que celle 
proposée par M. Carvallo. Elle est adoptée dans le Formulario 
mathematico, éditio V, p. 225, prop. 26-2. 

Mfqf N^ . 2 (mod u , NJ iQ . t^t (N^fN^,) rcp. 3. 2 [uv , NJ = 2(tt. N^) . 

« Si u est une quantité fonction des nombres 0, 1, 2..., c'est-à- 
dire si H est une succession, ou série de quantités, et si la somme 
des modules des //, étendue à tous les indices 0, 1, 2... est une 
quantité finie, c'est-h-dire, si la série des modules est conver- 
gente, et si s^ est une correspondance univoque et réciproque en- 
tre les nombres 0, 1, 2,..., ou une permutation dé cette suite 
infinie des nombres, alors la somme de la série permutée égale la 
somme de la série primitive. » 

Les mots du langage ordinaire « changer Tordre des termes » 
est remplacé par le symbole v f (N^, f NJ rcp, qui élimine toute 
ambiguïté. 

Page 197. — Dans l'article de M. Jamet, il y aurait lieu d'ajouter 
une condition, pour mettre la multiplication des séries d'accord, 
par exemple, avec le Formulario, pag. 222, prop. 22-2, et pag. 225, 
prop. 27-1-2-3. Les propriétés que l'auteur démontre pour le nom- 
bre e, sont aussi démontrées d'une façon élémentaire dans le For- 
mulario p. 241. G. Peano (Turin). 

A propos de a rinitiation mathématique n de H. Laisant. 

Lettre adressée à M. Fehr. 

Monsieur et cher Collègue, 

Je viens de lire très attentivement le petit volume de M. Lai- 
sant « Initiation mathématique ». Je le trouve extrêmement im- 
portant pour la première initiation et d'un réel intérêt même 
pour les initiés. 

Voilà un excellent ouvrage de vulgarisation mathématique dans 
le vrai sens du mot. Il contribuera sans doute à faire apprécier et 
aimer les mathématiques dans un milieu très étendu. 

Parmi les nombreuses questions dont M. Laisant s'occupe dans 
son livre, on doit signaler notamment celles qu'on trouve de la 
page 62 à la page 9.3 \ devenues intéressantes par la manière dont 



1 Les aires. '— Le pont aux Anes. — Divers casse-tAtes. — Le cube en huit morceaux. — 
Les nombres triangulaires. — Les nombres carrés. — La somme des cubes. — Les puissan- 
ces de 11. — Triangle et carré arithmétiques. — Les numérations diverses. — La numération 
binaire. — Les progressions par différence. 



CHRONIQUE 317 

elles ont été exposées. La méthode suivie dans les démonstra- 
tions, soit par sa simplicité, soit surtout pour bien parler aux 
yeux ', mériterait d'être généralisée et adoptée dans les livres des- 
tinés à renseignement élémentaire. 

Le petit ouvrage de M. Laisant retiendra, je Tespère, l'attention 
des professeurs, et provoquera un échange de vues qui permettra 
sans doute de fournir quelques généralisations et extensions à 
d'autres questions et problèmes. 

Capitaine R. Guimaraes, 
membre de l'Acad. des sciences de Lisbonne. 

Questions et remarques diverses. 

Vue8 stéréosco piques pour l'enseignement de la Géométrie, — 
Quelque lecteur pourrait-il nous renseigner sur ce que l'on pos- 
sède' en fait de dessins stéréoscopiques pour l'enseignement des 
diverses branches de la Géométrie. Au moment où l'on cherche à 
développer chez les élèves l'intuition de l'espace, quelques dessins 
bien appropriés rendraient de grands services. Ces dessins se- 
raient mis en circulation dans la classe avec l'appareil à main qui 
est déjà en usage pour d'autres branches d'enseignement. 

L'Enseignement mathématique publierait éventuellement un cer- 
tain nombre de planches à titre de modèles. 

H. Fehr. 



CHRONIQUE 



La 15'"'' réunion de rAssociation allemande pour l'ayancement de 
renseignement des sciences mathématiques et naturelles. 

La réunion de l'Association allemande pour Tavancement de 
l'enseignement des sciences mathématiques et naturelles a eu lieu 
cette année, à l'occasion des vacances de Pentecôte, dans une 
petite ville universitaire de Bavibrr à Krlangen, Le choix de cette 
ville a permis de grouper d'une façon très intime les représen- 
tants des différentes parties de TEmpire allemand. 



» Voir pp. 67-68, 69-70, 71-72, etc. 

* Le Katalog mathem. u. phys. Modelle, Àpparate u. Instrumente^ ptiblit* par W. Dyck, à 
VoccAMon de l'exposition organisée par la Deutsche Mathematiker-Vereinigung, (Munich. 
1892) mentionne une collection de dessins de J. ^chlotkk, exposée par l'Institut mathem. 
de l'Ecole techn. sup. de Munich. — Mentionnons aussi la confi'reoco faite à TAssociation 
suisse des maîtres de mathématiques, en 1903, par M. Sti.nkr iWinterthour) ; elle n'a pas été 
publiée mais nous apprenons que M. Stiner prépare uue publication sur cette question. 



318 CHRONIQUE 

Nous devons nous borner, dans ce court compte rendu, adonner 
un aperçu des travaux concernant spécialement renseignement 
mathématique. La place nous manque pour parler des autres 
travaux, ainsi que des réunions familières et des excursions scien- 
tifiques. 

La première séance générale a été ouverte à TAula de TUniver- 
sité par M. le Prof. F. Pietzkkr (Nordhausen), président de 
l'Association. Après les divers discours de bienvenue pronon- 
cés par les représentants du Gouvernement, de la Ville et de 
l'Université, M. J. Ducrue (Munich) fait une conférence sur la pro~ 
pédentiqiie géométrique, 11 montre en quoi consiste renseignement 
préparatoire à la Géométrie indroduit depuis quelques années dans 
la 4"* classe des gymnases bavarois; puis il donne quelques 
développements sur les bases et l'organisation de son propre cours 
en accompagnant son exposé de démonstrations qu'il a l'habitude 
de faire à ses élèves et des dessins qu'ils ont exécutés. 11 nest 
guère possible de décrire en quelques lignes ces intéressantes 
démonstrations qui utilisent, entr'autres, des tiges de bois et 
des (ils élastiques blancs tendus devant le tableau noir. 

Dans sa communication sur les notions de nombres et d'ensembles^ 
M. WiKLEiTNEii (Speyer) examine quelles sont les notions et pro- 
. positions delà théorie des ensembles qui ont une importance im- 
médiate pour l'enseignement des écoles moyennes, et tout parti- 
culièrement pour celui de la Géométrie. 11 insiste d'abord sur la 
différence entre les deux espèces d'ensembles infinis, les ensembles 
dénombrables etceux qui sont équivalents à un continu; viennent 
ensuite la différence entre les règles des opérations sur les nombres 
finis et les nombres infinis, la puissance égale des ensembles in- 
finis de dimensions différentes, puis enfin la définition exacte de la 
notion de dimension. 

Nous ne pouvons signaler que par leur titre les belles com- 
munications présentées à la 2™"* séance générale parM.E. WlEDEMANN 
surles expériences physiques chez les anciens y notamment chez les 
Arabes et M. H. Hess, sur les problèmes modernes de la théorie des 
glaciers. 

Dans la 3"® séance M.Pietzker présente un rapport sur l'accueil 
fait dans les milieux de l'enseignement aux réformes proposées* pair 
-la Commission de la société des naturalistes et médecins allemands 
et dont il a été question à plusieurs reprises dans cette Revue. 
Sur la proposition de M. H. Schotten (Halle), l'assemblée adopte 
la résolution par laquelle elle déclare appuyer les propositions de 
la dite commission. D^ H. Wieleitner (Speyer; . 



* Vi)ir le» Ueformvorsehldge f. d. mathem. u. i.aturw. Unterrtcht entworfcn von der Vnter- 
richtskommission der Gesetlschaft Deiitscher Naturforscher und Aerzte. Prix : 1 Mk. ; Teiibner. 
Lcipxtg. 



CHRONIQUE 319 

Nominations et distinctions. 

M. !.. BoLTZMANN (Vienne) a obtenu le prix Pierre W. Mïjller 
consistant en une médaille d'or et en une somme de 9000 marks. 

M. L. BuHMBSTER, dc TEcole technique sup. de Munich, est 
nommé membre extraordinaire de IWcadémie des sciences de 
Munich; TEcole technique de Hanovre lui a décerné le diplôme 
de Docteur honoraire en raison de ses travaux remarquables dans 
le domaine de la Cinématique. 

M. S. Epsteen est nommé professeur extraord. de Mathématiques 
à rUniversité de Colorado (E.-U.) 

M. C. N. Haskin est nommé professeur extraord. de Mathéma- 
tiques à rUniversité de TUlinois lE.-U.) 

M. F. JuNc; passe en qualité de privat-docent. de l'Ecole tech- 
nique sup. de Prague à celle de Vienne. 

M. Ernest Lebon est nommé membre honoraire de l'Académie 
de Metz. 

M. G. A. Miller est nommé professeur extraord. à TUniversité 
de rillinois (E.-U.) 

M. J. A. Miller est nommé professeur ordinaire à TUniversité 
de Wisconsin (E.-U.) 

M. N. N. Saltykow de rinstitnt polytechnique de Kief, est nom- 
mé professeur extraord. de Mathématiques pures à l'Université de 
Charkow. 

M. W. A. Stekloff de l'Université de Charkow, est nommé 
professeur ord. à l'Université de St. Petersbourg en remplacement 
de M.Markoff qui prend sa retraite. 

M. E. B. Van Vleck est nommé f)rofesseur de Mathématiques 
à l'Université de Wisconsin (E.-U.) 

^ Consers'atoire des Arts et Métiers de Paris, — M. M. d'OcACXE 
a été, non pas nommé, mais présenté par le Conseil de l'Ecole 
pour la chaire de Géométrie descriptive. D'autre part, l'Académie 
des sciences a décidé de présenter en première ligne M. d'OcAGNE, 
en seconde ligne M. C. Bourlet et en troisième ligne Lucien Lévy. 

Privat'docents. — Ont été admis en qualité de privat-docents: 
MM. G. Z. GiAMBRLLi, pour la Géométrie projective, à l'Univer- 
sité de Gènes; L. Haxni, pour les Mathématiques, à l'Université 
de Vienne ; Schellfisch, id., à l'Université dc Munster; Erh. 
ScHMi», id., à l'Université de Bonn. 

Smith's'Prizes de VLnU^ersité de Cambridge, — Les Smiths- 
Prizes de Tannée courante ont été attribués aux mémoires sui- 
vants: «The géométrie interprétation ofapolaric binary forms », 
par M.C. F. Russel. « A problem in tidal évolution suggested by 
ihe motion of Saturn's ninth satellite », par M. F. J. Stiiatton. 



NOTES ET DOCUMENTS 



Cours universitaires. 

ANGLETERRE 

Oxford ; University. — Mathematics Lecture List for Mîchaelmas Term, 
begin 15 oct. 1906. — W. Esson : Aualylic Geometry of Plane Curves, 2 ; 
Synthetic Geometry of Plane Curves, 1. — E. B. Elliot: Séquences and Sé- 
ries, 2; Elementary Theory of Number, 1. — A. E. H. Love : Hydrodyna- 
mies, 2; Problems in Applied Mathematics. 1. — H. H. Turner: Elementary 
Matheraatical Astronomy. H. C. Plummer : Pratical Work. — C. E. Ha- 
selfoot: Theory of Equations, 1. — C. Lf.udesdorp : Projectivc Geometry 
(elementary), 3. — A. E. Joliffe : Analytical Geometry, 2. — J. W. Russell : 
DifTerential Calculus, 2. — R. F. M<*Nkile : Curve Tracing, 1. — A. L. Ped- 
DER : Problems in Pure Mathematics, 1. — C. H. Sampson : Higher Solid 
Geometry, 2. — J. E. Campbell: DifTerential Equations, 2. — C. H. Thompson : 
Intégral Calculus, 2 — E. H. Hayes : Analytical Statics, 3. — A. L. Dixon : 
Hydrostatics, 1. — H. T. Gerrans : Tridimensional Rigid Dynamics, 2. — 
P. J. KiRKBY : Attractions and Electrostatics, 2. 

AUTRICHE-HONGRIE 

KolOZSVar (Hongrie) ; Université (sera, d'hiver 1906-07). — Schlesingeh ; 
Calcul différentiel et intégral, 4; Groupes discontinus, 3; Exercices, 1 ; Sé- 
minaire (avec Fejér), 2. — Valyi : Algèbre supérieure, 5; Théorie des nom- 
bres, 2; Exercices, 1 ; Séminaire, 1. — Fejér: Équations différentielles du 
domaine réel, 3, — Klug: Géométrie descriptive, 1, 2; II, 2; Géométrie pro- 
jective, 2; Exercices, 3. — Tancl : Optique géométrique, 2. — Farkas : 
Théorie des vecteurs, 3; Transformations de l'énergie, 4 ; Séminaire, 2. 

ÉTATS-UNIS D'AMÉRIQUE 

Cours annoncés pour Vannée universitaire t906-î907. 

University of GhicagfO. — The following advanced courses in mathematics 
are announced for the summer quarter. June 19 - September 1. — Prof. 
O. BoLZA : Elliptic functious, 4: Fuuclions of a real variable, 4. — Prof. 
H. Mascuke : Projective geometry. 4. — Prof. H. E. Slauobt : Elliptic inté- 
grais, 4 ; Analytic geometry, 5. — Prof. L. E. Dickson : Algebraic analysis, 4 : 
Theory of substitutions, 4. — Dr A. C. Lunn : Intégral calculus, 5 ; General 
Seminar, 2. — Mr N. J. Lënnes : Pedagogy of mathematics, 4, 



NOTES ET DOCUMENTS 321 

Comell University (Ithaca, New- York). — Prof. L. A. Wait : AdTanced 
analylic geometry, 3; Diflerential calculus, II, 2. — Prof. G. W. Jones : Al- 
gebra and imaginaries»3. — Prof. J. McMahon : Mechanics and hydrodyna- 
mies, 2 ; Fourier's séries and spherical harmonies, 3. — Prof. J. H.Tanikbb: 
Theory of équations, 2. — Prof. J. l. Hutchinson : Projeclive geometry, 3 ; 
Seminar in automorphic fonctions, 2. — Prof. Y. Snyder : Algebraic plane 
curves, 3 ; Definite intégrais, 2. — Prof. W. B. Fixe : Theory of functions 
ofa complex variable, 3; Theor^^ of groups, 2 (first half year); Theory olas-> 
semblages, 2 (second half year). 

Johns Hopkins University (Baltimore). — Prof. F. Morlet : Projective 
geometry, 2 ; Dynamics, 2 (first half year) ; Theory of functions, 2 (second 
half year) ; Classic authors, 1. — Dr. A. Cohen : Elemenlary theory of func- 
tions, 2 ; DifTerential équations, 3 (first half year) ; Theory of numbers, 3 
(second half year). — Dr. A. B. Coble : Theory of correspondence, 2. 

Indiana University (Bloomington). — Prof. R. J. Aley : DifTerential équa- 
tion, 5 ; Theory of numbers, 6. — Prof. C. S. Davisson : Modem analytic 
geometry, 4 ; Theory of surfaces, 4 ; Fourier's séries, 3. — Prof. D. A. 
RoTBROCK : Calcuius, II, 6 ; Calculus of variations, 6 ; Functions defined 
by differential équations, 4. — Prof. U. S. Hanna : Groups of substitutions, 
3; Galois's theory of équations, 3. 

(Snmmer term, June 21-September 7, 1906). — Prof. S. C. Davisson : 
Higher plane curves, 5. — Prof. D. A. Rothrock : Calculus of variations, 6. 
— Prof. U. S. Hanna : Theory of numbers, 3. 

University of Pennaylvania. — Summer session, 1906. Thirty lectures in 
each course, July 5 to August 16. — Prof. G. E. Fisher : Invariants and 
covariants. — Prof. J. I. Schwatt : Definite intégrais. — Prof. G. H. Hal- 
LETT : Theory of abstract groups. — Dr. F. H. Safford : Differential équa- 
tions. 

University of Wisconsin. — Summer session. Prof. C. S. Slichter : His- 
lory of mathematics, 2; Differential équations, 5. — Prof. G. A. Bliss ! El- 
liptic functions in the Jacobi form, 5 -, Calculus of variations, 3. 

Taie University (New Haven, Conn.). — Prof. J. Pierpont : Advanced me- 
chanics, 2; Advanced theory of functions, 2 ; Theory of functions ofa real 
variable, 2. — Prof. P. F. Smith : Advanced analytic geometry, 2; Founda- 
tions of geometry, 1. — Prof. H. E. Hawkes : Linear associative algebra, 2; 
Teachers course in geometry, 2. — Prof. M. Mason : Calculus of variation, 
2; Differential équations of physics, 2. — Prof. E. B. Wilson : Advanced 
calculus; 2 ; Thermodynamics, 2. — Dr. W. A. Granville : Differential geo- 
metr3% 2. — Dr. L. E. Hewes : Differential équations. 1 ; Géométrie transfor- 
mations, 2. — Mr. E. L. Taylor : Scientific computation, 1. — Prof. W. B. 
Beebe : Celestial mechanics, 2. — Prof. F. E. Beach : Vector analysis, 1 ; 
(first half year). 



L'Enseignement mathcm., 8« année; 1906. 31 



BIBLIOGRAPHIE 



A. Arnaudeau. — Tables des Intérêts composés. — Annuités et Amortisse- 
ments pour des taux variant de dixième en dixièmes et des époques variant 
de 100 à 400, suivant les taux; 1 volume in-4, de XI -[15] -125 pages; 
prix : 10 fr. ; Gauthier- Villars, Paris. 

Les nouvelles Tables d'intérêt composé calculées par M. Arnaudeau four- 
nissent, pour 65 taux d'intérêt différents, les données suivantes : la valeur de 
1 fr. placé à intérêts composés après un certain nombre d'années ou de mois; 
la valeur actuelle de 1 fr. payable après un certain nombre d'années ; la valeur 
actuelle d'un certain nombre d'annuités de 1 fr. payables à la fin de chaque 
année ; l'annuité par laquelle on peut amortir uu capital de 1 fr. au bout 
d'un certain nombre d'années. 

Ces Tables sont donc de nature à .rendre les mêmes services que les 
Tables existantes ; mais elles présentent, en outre, une particularité sur la- 
quelle nous désirons appeler l'attention à cause de son importance pratique. 
L'auteur, au lieu de conserver la graduation traditionnelle des taux d'intérêt 
par Y«, ^s ou ^ 16 pour 100 (suivant le caractère plus ou moins usuel des 
taux considérés) a adopté un intervalle uniforme de ^lo pour 100 pour toute 
l'échelle des taux. Le taux le plus bas des Tables étant 0,5 pour 100. les 
suivants sont 0,6. 0,7 et ainsi de suite, sans aucune lacune, jusqu'au taux 
le plus élevé, 6,4 pour 100. Il résulte de celte uniformité dans les inter- 
valles que l'interpolation, c'est-à-dire la détermination d'un résultat corres- 
pondant à un taux non mentionné dans les Tables, se trouve grandement 
facilitée et qu'on peut appliquer à cet effet la formule de Newton, en utilisant 
un ordre de différences en rapport avec l'approximation que l'on désire 
obtenir. 

A. FuHRMANN. — Aafgaben aasder analytischen Mechanik. I. DHtte Auf- 

lage. — 1 vol. de XII, 206 pages ; prix : M. 3. ; Teubner, Leipzig. 

On sait combien M. Fuhrmann a déployé d'ingéniosité pour présenter 
d'innombrables et élégants problèmes comme applications immédiates des 
théories de la Mécanique. D'ailleurs, dans la préface du petit volume d'au- 
jourd'hui, il nous rappelle l'opinion de SchlAmilch lui-même d'après laquelle 
le langage des sciences exactes était comparé à une langue étrangère qu'il 
^'agissait d'apprendre. Dans ce cas — c'est toujours Schlômilch qui parle — 
on ne se contente pas d'un apprentissage théorique, il faut savoir se tirer 
d'affaire pratiquement et ce n'est qu'en causant qu'on apprend à converser. 

De même en mathématiques. Résolvons donc des problèmes et ce sera la 
meilleure façon de nous rendre compte de la portée des théories. Ce dont il 
faut alors remercier M. Fuhrmann c'est d'avoir collectionné et inventé des 
problèmes ayant tous une rare élégance. 

Le présent volume a trait à la statique et à l'attraction. L'équilibre d'un 
point matériel libre puis assujetti à rester sur des lignes ou des surfaces 
données, offre des considérations curieuses et certains de ces problèmes ont 
été reproduits en France à titre d'exercices, notamment dans le grand traité 



BiBLIOGRAPBIE 323 

de M. P. Appell. Rappeloos par exemple le pont-levis continuellement en 
équilibre avec son contrepoids si ce dernier décrit une certaine courbe à dé- 
terminer. Remarquons aussi quelques cas d'équilibre d'un point sur une 
courbe gauche. La détermination des centres de gravité tient à elle seule 
une grande partie de l'ouvrage. Signalons surtout le cas des corps limités 
par des surfaces de révolution ou par des surfaces cylindriques. La statique 
des systèmes de points et des corps solides est suivie d'applications du 
principe des vitesses virtuelles. L'attraction donne lieu à trois catégories de 
problèmes suivant que l'on envisage l'action des lignes, des surfaces ou des 
corps à trois dimensions. 

Enfin il est tout à fait remarquable que ce recueil de problèmes soil ac- 
compagné de renseignements bibliographiques extrêmement riches ; les 
noms de certains auteurs témoignent à eux seuls de l'importance des sujets 
traités. A. Buhl (Montpellier.) 

Al. GouiLLY. Ingénieur des Arts et Manufactures. — Traité de mécanique 
élémentaire limité aux matières du programme de l'Université pour la 
classe de mathématiques spéciales (1904) et adopté en 1906 pour le con- 
cours d'admission de l'Ecole centrale. — 1 vol. in-8<'. XVI, 204 p. ; prix: 
5 fr. ; Croville-Morant, Paris: Georg & €••. Genève. 

Comme conséquence des remaniements récemment apportés en France 
dans les programmes universitaires, les ouvrages d'enseignement font une 
plus grande part à l'expérience dans l'introduction des concepts et aux be- 
soins de la pratique dans 1<; choix des applications traitées. L'ouvrage de M. 
Gouilly accuse peut-être encore davantage cette double tendance, en raison 
sans doute de la profession de son auteur. Il se distingue aussi par des inno- 
vations heureuses dans les méthodes d'exposition et les démonstrations; on 
doit y signaler notamment le souci constant d'éviter que la conception de la 
force se confonde avec celle d'une flèche tracée sur le tableau noir, c'est-à- 
dire de distinguer nettement les propriétés des forces de celles des vecteurs 
géométriques. C'est ainsi qu'à la notion habituelle de l'équivalence des sys- 
tèmes de forces se substitue très raisonnablement l'équivalence des systèmes 
de vecteurs et, en conséquence, la notion inutile de corps rigide dis- 
paraît du domaine proprement mécanique. La théorie des machines simples 
acquiert dès lors une allure nouvelle plus apte à développer le sentiment de 
la réalité. 

Les matières traitées sont celles du programme visé dans le titre et se sui- 
vent dans l'ordre généralement adopté, savoir: vecteurs concourants, ciné- 
matique du point géométrique, cinématique des figures géométriques (figu- 
res invariables), mécanique du point matériel, systèmes de points matériels. 
théorie des systèmes quelconques de vecteurs, conditions d'équilibre d'un 
système matériel, machines simples. 

En tète de l'ouvrage sont reproduits divers articles dans lesquels l'auteur 
avait déjà exposé ses vues personnelles sur l'enseignement de la mécanique; 
deux de ces articles ont été publiés dans V Enseignement mathématique en 
janvier et mars 1904. G. Combebiac (Bourges.) 

C.-A. Laisant. — Initiation mathématique. - Ouvrage étranger à tout 
programme, dédié aux amis de l'enfance. — 1 vol. gr. in-16, 167 p. ; 
2 fr. ; Georg et C«, Geifève; Hachette et C«, Paris. 

Ce nouvel Ouvrage de M. Lnisant est consacré au grand problème de 



324 BIBLIOGRAPHIE 

rinitiation première mathématique. Il contient le développement des prin* 
cipes exposés dans une conférence faite en 1899 à l'Institut psycho-physio* 
logique. Ces principes sont ceux de « toute saine pédagogie » ; ils sont 
applicables non seulement à l'éducation des petits enfants, mais aussi à 
l'enseignement secondaire. 

«Attachez-vous — dit M. Laisant ~ à intéresser, àamuser l'enfant, ne lui 
faites rien apprendre par cœur. Rendez son travail attrayant. Donnez à 
l'enfant l'illusion que c'est lui-même qui découvre la vérité. Remplacez la 
méthode didactique par des leçons de choses. En procédant de cette façon, 
il est possible de faire entrer dans l'esprit de l'enfant, sous forme de jeu, 
les premières notions sur TArithraétique, l'Algèbre et la Géométrie et a à 
11 ans, s'il est d'intelligence moyenne, il saura et comprendra mieux les 
mathémathiques que les neuf dixièmes de nos bacheliers ». 

Mais pour arriver à ce résultat, il ne suffit pas de connaître les principes 
si justes que je viens de rappeler, il faut encore savoir les appliquer. Le 
livre de M. Laisant fournit à cet égard des indications précieuses dont 
l'éducateur pourra s'inspirer. 

Ce qu'on doit d'abord développer chez l'enfant, c'est la faculté du dessin. 
Lorsqu'il aura appris à tracer régulièrement les bâtons, on lui apprendra à 
les compter. On se servira en même temps d'autres objets, tels que des 
haricots, des jetons, etc, et on donnera ainsi à l'enfant la notion des nombres, 
— jusqu'à 10 d'abord, jusqu'à 100 ensuite, en groupant les allumettes ou 
les haricots en paquets de dix. On lui fera construire la table d'addition et 
à l'aide de cette table et de ces paquets d'allumettes, il tracera des exemples 
d'addition et de soustraction sur les nombres inférieurs à lOO et plus tard 
sur des nombres quelconques qu'il apprendra à construire d'une manière 
analogue en groupant les paquets (dizaines) en fagots (centaines), les fagots 
en boites, etc. C'est en jouant qu'il apprendra ainsi la numération écrite 
et même les premières notions d'algèbre ; il suffira pour cela de traduire 
les deux premières opérations par des bâtons ou des segments portés de 
gauche à droite et de droite à gauche. 

C'est par des procédés semblables (construction de table, dessin, exemples 
amusants) que l'enfant apprendra la multiplication, la division et les pro- 
priétés les plus simples des fractions. 

Je tiens à faire remarquer en passant que des méthodes analogues à celles 
de M. Laisant sont adoptées depuis plusieurs années dans un grand nombre 
d'établissements primaires et secondaires de Russie et que les résultats 
obtenus ont été excellents. 

Les mêmes principes sont applicables à l'initiation première géométrique. 
Au lieu de donner à l'enfant les démonstrations classiques, on se bornera, 
comme le dit si bien M. Laisant dans sa conférence de 1899. a à lui faire 
sentir les choses, d'une façon assez claire et assez nette pour que cela équi- 
vaille, au point de vue de sa satisfaction de conscience, à une démonstration 
absolument rigoureuse. » 

C'est ici que le dessin nous sera particulièrement utile. A l'aide de 
figures que Tenfant tracera lui-même on pourra l'initier aux propriétés les 
plus simples des lignes, des angles, des corps. 11 sera même possible de 
lui faire comprendre le fameux théorème de Pythagore, car il existe de ce 
théorème une démonstration intuitive qui peut être lue sur les figures, — 
c'est celle qui se trouve dans un ouvrage de Bhascara. C'est aussi à l'aide 
de figures et de constructions qui parlent aux yeux, que M. Laisant, en 



BIBLIOGRAPHIE 325 

imitant en cela les anciens, obtient non seulement les expressions (a-f'b)', 
(a4-b|* etc., mais encore les sommes des carrés et des cubes des n premiers 
nombres entiers. Mais je ne saurais énumérer tous les résultats qu'on 
obtient ainsi en jouant, au moyen de constructions toujours amusantes. 

Je voudrais maintenant attirer l'attention sur une notion importante qu'on 
devrait, d'après M. Laisant, donner dès le début de l'initiation mathéma» 
tique, — c'est la notion de la numération et de différents systèmes de numé- 
ration. Les applications et les exemples ne manquent pas et M. Laisant en 
donne plusieurs bien faits pour intéresser les enfants. 

Nous avons déjà souligné le rôle joué par le dessin, les figures et les 
constructions. Il faudra habituer l'enfant petit à petit à se servir du compas 
et du rapporteur. 11 pourra alors exécuter des tracés plus précis et en parti- 
culier des graphiques qui lui permettront d'une part de trouver la solution 
d'une foule de problèmes intéressants et utiles et d'autre part le prépare- 
f^nt à bien comprendre les principes de la Géométrie analytique. 

Dans cet enseignement essentiellement objectif, les questions amusantes 
servent de moyen pédagogique. Le livre de M. Laisant contient un choix 
varié d'exemples, — jeux, paradoxes, problèmes plaisants, bien faits pour 
attirer l'attention et la curiosité des enfants. Je citerai en première ligne 
les exemples suivants : les grains de blé sur l'échiquier, la maison à bon 
marché, un dîner cérémonieux. On arrive ainsi à faire pénétrer dans le 
cerveau de l'enfant une foule de choses importantes et utiles. Il est à sou- 
haiter que tous les éducateurs s'inspirent des principes si justes que 
M. Laisant expose avec tant de lucidité dans son petit livre sur l'initiation 
mathématique. D. Mirimanoff (Genève). 

H. MûLLER u. J. Pla.th. — I. Lehrbach der Mathematik. IL Sammlong 

▼on Anlgaben. Zur Vorbereitung auf die Mittelschullehrerprûfung und 
auf da& Abiturientenexamen am Gymnasium. Fur den Selbstunterricht. — 
2 vol. in-8o; 4 mk. le volume; B. G. Teubner, Leipzig. 

M. H. Mûller, professeur au Gymnase a Kaiserin Augusta o à Chariot- 
tenbourg-Berlin, a publié ces dernières années, en collaboration avec plu- 
sieurs collègues compétents, une série d'excellents recueils qui méritent 
d'être connus de tous les professeurs. L'exposé, à la fois clair et précis, 
est présenté avec soin sans développements inutiles; il tient largement compte 
du principe de la concentration des différentes branches. Ces qualités sont 
du reste reconnues par tous ceux qui ont eu à examiner les volumes parus. 

Les manuels Mûller possèdent plusieurs éditions appropriées aux besoins 
des différentes catégories d'écoles moyennes. Il y a les manuels adaptés A) 
aux gymnases et aux progymnases; B) aux Ecoles réaies; C) aux séminaires 
et écoles normales ; D) aux écoles supérieures de jeunes filles. 

Les deux volumes que nous avons sous les yeux forment une suite de 
l'édition C. L'auteur, M. Plath, examine les matières destinées aux examens 
des maîtres des écoles moyennes. En Prusse, on nomme « Ecole moyenne » 
les classes qui se rattachent directement à l'école primaire sans fournir la 
préparation à l'université. L'ouvrage s'adresse aux maîtres primaires qui se 
préparent à passer dans ces écoles moyennes, mais il convient aussi à la 
préparation des examens de maturité des écoles réaies. Le recueil d'exercices 
est extrêmement riche et il correspond pas à pas au manuel. Celui-ci com- 
prend six parties : l'' les compléments de planimétrie (similitude, divisionset 
faisceaux harmoniques); 2» Algèbre (puissances, racines, nombres complexes, 



326 BIBLIOGRAPHIE 

équations quadratiques, maxima et minima, progressious, bioome, etc.); 
3<> Trigonométrie plane et sphérique; 4<* Compléments de Stéréométrie 
(entre autres la projection des cartes;} 5° et 6» Géométrie analytique. 

Le présent Ouvrage, comme d'ailleurs toute la collection MûIIer, peut 
être vivement recommandé. On trouvera un exposé détaillé des différents 
volumes dans la brochure de 36 pages distribuée gratuitement par la maison 
Teubner. C. Brandenberger (Zurich). 

Maurice d'Ocagne. — Le Galcol simplifié par les procédés mécaniques et 
graphiques. 2* édition entièrement refondue et considérablement aug- 
mentée. — 1 vol. cart. in-8<». 228 p.; 5 fr. ; Gauthier-Villars. 

Voici un ouvrage qui engagera sans doute quelques professeurs à inter- 
rompre de temps à autre le cours régulier des leçons conformes aux pro- 
grammes par des digressions à la fois intéressantes et utiles. Quelques 
causeries sur les procédés si ingénieux que l'on possède pour simplifier le 
calcul numérique seraient certainement les bienvenues et elles permettraient 
de présenter un aperçu du principe et du fonctionnement des machines à 
calculer, des caisses enregistreuses, des instruments logarithmiques, des 
nomogrnmmes, etc.. que l'élève a l'occasion de voir en dehors de 1 Ecole. 

Cet ouvrage en donne un excellent exposé; il forme une deuxième édition, 
entièrement refondue et considérablement augmentée, du petit opuscule 
publié par M. d'Ocagne il y a une dizaine d'années. On y trouve l'historique 
rapide et la description sommaire, faits à un point de vue très général, des 
divers procédés qui ont été imaginés en vue de simplifier le calcul numé- 
rique. L'auteur vise uniquement les calculs immédiatement réductibles aux 
opérations fondamentales de l'arithmétique et à la résolution numérique 
des équations; il divise les divers modes de simplification en six groupes. 

Sous le titre d'instruments arithmétiques, sont réunis les appareils qui 
permettent d'effectuer manuellement les opérations sans le secours d'aucun 
mécanisme tels que ressorts, cames, etc. Ils comprennent des addition- 
neurs, des multiplicateurs et les réglettes de Grenailles. 

Les machines arithmétiques font l'objet d'un intéressant exposé qui dé- 
bute par la description de la machine conçue d'une façon si hardie par 
Biaise Pascal. Sont étudiés ensuite les instruments et machines logarith^ 
miques. Ce paragraphe est précédé d'une note sur l'histoire des logarithmes 
rédigée d'après des notes du Lieutenant-Colonel Bertrand ; on y cherche 
en vain le nom de J. Burgi, qui doit être cité à côté de Néper dans l'inven- 
tion des logarithmes. Puis viennent les tables numériques ou barèmes, le 
calcul par le trait et le calcul nomographique. 

On sait la part que l'on doit à l'auteur de ce volume dans les progrès delà 
Nomographie et on lira sans doute avec intérêt son exposé des types de 
nomogrammes les plus courants qui constituent un instrument mathématique 
des plus précieux. H. Fehr. 

Edm. Sghulze und F. Pahl. — Mathematische Anlgaben. Ausgabe fur Gymna- 
sien. L ïeil : Aufgaben aus der Planimeirie und Arithmetik fur die Unter^ 
stufe (Quarta bis Untersekunda einschl.) von Prof. D'. Edm. Schulze. — 1 
vol. in-8®., •VIII-196 p. ; Dûrr, Leipzig. 

Cette première partie du Recueil de MM. Schulze et Pahl contient les 
exercices et problèmes relatifs à la Géométrie, l'Arithmétique et l'Algèbre 
des classes lY à II des gymnases prussiens. 



BIBLIOGRAPHIE 327 

Les auteurs ne paraissent pas accepter sans discussions les demandes 
toujours plus énergiques en faveur des applications pratiques dans Tensei* 
gnement mathématique. Dans l'introduction ils insistent du moins pour 
qu'on ne néglige pas les mathématiques pures. Les problèmes empruntés à 
la physique sont cependant nombreux et bien choisis. Les notes qui accom- 
pagnent quelques problèmes permettent d'écarter certaines difGcultés et 
d'utiliser le recueil sans le secours d'un traité. 

L'ouvrage renferme 1083 numéros, dont plusieurs contiennent jusqu'à 24 
exemples. C'est dire qu'il s'agit d'une collection remarquablement riche. 

Ern. Kaller (Vienne). 

Dav.-ëug. Smith. — A Portfolio of Portraits of Eminent Mathematicians. 

Part. IL — Douze portraits sur papier japon, 5 doit. ; sur pap. plat., 
3 doll. ; the Open Court Publishing Company, Chicago. 

Cette seconde série des portraits de mathématiciens publiés par M. D.- 
E. Smith est consacrée aux mathémathicicns suivants : Pascal, Jean et Jacques 
Bemoulli, Gauss, Lagrange. L'Hôpital, Cavalieri, Euler, Monge, Laplace, 
Tartaglia, Barrow. Chaque portrait est accompagné d'une courte notice 
biographique et bibliographique. 

Nous saisissons cette occasion pour signaler à nouveau cette belle collec- 
tion à tous les mathématiciens et tout particulièrement aux professeurs de 
l'enseignement secondaire supérieur. 

C.-O. TucKET. — Ezamples in Arithmetic with some notes on method. — 

1 vol. XIL 251 p., avec solutions (39 p.); 3 sh ; George Bell & Sons; 

Londres. 

Dans le présent recueil d'exercices, l'auteur cherche à tenir compte des 
deux tendances ci-après suivant lesquelles on se propose de réformer l'en- 
seignement mathématique : 1) éviter les diOQcultés purement artiûcielles et 
abréger les parties élémentaires de manière à gagner du temps pour les 
parties supérieures ; 2) lier entre elles d'une façon plus intime des branches 
que l'on avait l'habitude de séparer strictement. A cet effet, il a placé à la 
fin, sous le titre de problèmes à examiner, les questions qui présentent des 
difficultés pour le commençant; il fait un usage constant du papier quadrillé 
au millimètre de manière à tirer parti de bonne heure des procédés graphi- 
ques en Arithmétique. Une partie est spécialement consacrée à des ques- 
tions empruntées à la Physique. Dans la seconde partie du volume on trouve 
les logarithmes et quelques notions de trigonométrie avec les tables. 

Dès les premiers chapitres, l'auteur a su illustrer le texte à l'aide 
d'exemples d'un grand intérêt pour les élèves; à citer par exemple les 
carrés magiques, les questions empruntées à la statistique, à la vie sociale, 
à la Géographie mathématique et à la Chronologie, les calculs de surfaces et 
de volumes. La notion de coordonnées donne lieu à des applications fort 
bien choisies et fournissant la représentation graphique de lois physiques. 

Les lecteurs du continent seront frappés de voir les nombreuses compli- 
cations auxquelles conduit le système anglais des poids, mesures et monnaies, 
et ils ne manqueront pas de reconnaître plus que jamais les avantages con- 
sidérables du système métrique (v. p. 6-12, 86-92, 213-215). 

A signaler les courtes indications concernant les obligations et actions 
(« Stocks and Shares »)et les variations de leurs cours (p. 135-6), puis, d'autre 
part, celles qui sont relatives à l'établissement de formules et à la recherche 
des causes d'erreur numériques. 



328 BIBLIOGRAPHIE 

m 

Les exercices comprennent 2894 numéros dont plusieurs contiennent 
10 problèmes différents ; ils sont d'une remarquable variété. Leurs solutions, 
placées à la fin du volume, embrassent 39 pages très serrées. 

Il n'est guère besoin d'ajouter que l'Ouvrage est imprimé avec ce soin 
spécial qui caractérise les grands éditeurs anglais. 

Ernest Kaller (Vienne). 

H. Weber & J. Wellstein. — Encyklopâdie der Elementar-Mathematik. 

Ein Handbuch fur Lehrer u. Studiereude. IL Elemente der Géométrie. 
— 1 vol. cart. grand in-S®, XÏI. 604 p. ; 12 Mk; Teubner, Leipzig. 

Ainsi que nous avons déjà eu l'occasion de le dire en rendant compte du 
premier volume (L'Ens. math., 6* année, p. 160-162J, cet Ouvrage est destiné 
à la fois aux professeurs de l'enseignement secondaire supérieur et aux 
étudiants qui se préparent à la carrière de l'enseignement. Ce n'est pas une 
encyclopédie au sens habituel de ce terme. Comme il Ta annoncé d'autre 
part, M. Weber a emprunté le titre de l'ouvrage au cours qu'il a l'habitude 
de professer aux étudiants en mathématiques dans le but d'attirer leur atten- 
tion sur les principes fondamentaux des mathématiques. Envisagé à ce point 
de vue, ce second volume, qui est consacré à la Géométrie élémentaire, atteint 
parfaitement ce but. L'ouvrage est divisé en trois parties : I. Les fonde- 
ments de la Géométrie-, II. la Trigonométrie; III. la Géométrie analytique 
et la Stéréométrie. 

La première partie, rédigée par M. Wellstein, débute par un très bel 
exposé critique des notions fondamentales de la Géométrie. Elle donne un 
excellent aperçu des fondements des diverses branches de la Géométrie : 
Géométrie naturelle et Géométrie d'approximation. Analyses situs. Meta- 
géométrie; la Géométrie euclidienne et les géométries non-euclidiennes; 
Géoméirie projective, Planimétrie. 

La Trigonométrie plane est présentée sous une forme très condensée, 
mais très claire, par M. H. Weber. Elle est suivie des principes de Trigo- 
nométrie sphérique rédigée par M. W\ Jacobsthal. La méthode est basée 
sur la notion de groupe, suivant le point de vue adopté par Study. 

Dans la troisième partie, M. W^eber examine successivement les notions 
essentielles de Géométrie analytique à deux et à trois dimensions et de 
stéréométrie. Celle-ci comprend un intéressant chapitre intitulé : Groupes 
de rotations et polyèdres réguliers. H. Fehr. 

H. Wieleitrer. — Théorie der ebenen algebraischen Kurren hôherer 

Ordnang (Sammlung Schubert). — 1 vol., 313 p.: 10 Mk. ; Gœschen, 
Leipzig. 

La très intéressante et très utile collection Schubert, s'est enrichie d'un 
volume consacré aux courbes planes d'ordre supérieur, dû à la plume de 
M. le D^ H. Wieleitner, (Spire). Adoptant la méthode mixte, qui consiste à 
mêler, quand cela est indiqué, les considération de pure géométrie aux 
calculs de géométrie analytique, l'auteur a pu donner sous un petit volume, 
les résultats essentiels relatifs aux courbes planes d'ordre supérieur à 2. 
L'emploi de plusieurs instruments, permet toujours plus de concision, 
souvent plus de clarté ou d'élégance et donne, dans les recherches le moyen 
de monter plus haut ou de creuser plus profond. 

Les exemples choisis pour illustrer les théories, le sont excellemment et 
sont en outre, traités avec soins. Peut-être cependant, pourrait-on eu désirer 



BIBLIOGRAPHIE 329 

un autre au chapitre II pour mettre en lumière les avantages de la méthode 
de Czuber pour les enveloppes, car, avec l'exemple choisi, la méthode or- 
dinaire conduit a un calcul encore plus court. 

Dans les cinq premiers chapitres les courbes sont étudiées au point de 
Tue des propriétés polaires ; le troisième est consacré à la Hessienne, à la 
steinerienne et au principe de correspondance de Chasles, le quatrième aux 
formules de Plûcker et le cinquième à l'établissement de la notion de genre 
et à la représentation de deux courbes de même genre Tune sur l'autre. 

Au chapitre VI, l'auteur considère, au contraire les courbes au point de vue 
des formes qu'elles peuvent affecter ; il y fait usage du triangle et du polygone 
analytiques, applique ces notions à la détermination des asymptotes rectilignes 
et curvilignes et donne un court aperçu de la méthode de Puiseux pour l'étude 
des points singuliers. 

Le chapitre VU est consacré à l'exposé des principaux résultats obtenus 
par Cayley, Nœther et Brill, Halphen relativement aux singularités d'ordre 
élevé. 

L'étude de la transformation des courbes fait l'objet du chapitre VIII. 
Pour la démonstration de l'équivalence de toute transformation crémo- 
nienne à une série de transformations du 1^^ degré, l'auteur renvoie au livre 
de K. Dœhlemann (même collection) et explique la transformation quadra- 
tique à l'étude des quartiques rationnelles, puis passe à l'examen sommaire 
de la transformation par rayons vecteurs réciproques et des différentes formes 
de quartiques bicirculaires rationnelles. 

Il consacre le chapitre IX à la correspondance sur les courbes rationnelles 
ou non rationnelles, à l'établissement de la formule de Cayley-Brill; le cha- 
pitre X à l'étude des systèmes de points d'intersection des courbes. 

Le chapitre XI contient des applications du théorème sur les systèmes de 
points d'intersection, en particulier à la courbe générale du 3°^« ordre, une 
courte étude des quartiques de Lûroth, du mode de génération de Chasles 
et de la théorie des restes de Sylvester. 

L'ensemble des théories générales est appliqué dans le chapitre XII, aux 
courbes du 3™*' ordre, à la recherche de la disposition des points d'inflexion, 
des polaires harmoniques, de la Hessienne. de la Cayleyenne ; l'auteur y 
donne une classification publiée d'abord en 1904-1905 par Kôlmel et termine 
par l'exposé du mode de génération de Grassmann. 

Dans le chapitre XIII, ces mêmes théories sont appliquées aux courbes 
du 4"»« ordre. Après avoir étudié avec détail, en vue de ce qui suivra, deux 
exemples particuliers, l'auteur donne les résultats essentiels relatifs aux 
tangentes doubles et aux systèmes qu'elles forment entre elles. 

Relativement à la possibilité de ramener l'équation générale à la forme 
U. W — W* = 0, l'auteur se borne à remarquer que le nombre des para- 
mètres disponibles est plus que sufûsant. 

Salmon (V. Courbes Planes) se contente aussi de cette preuve qu'il semble 
difficile, mais cependant désirable de rendre plus rigoureuse. Le même au- 
teur, en effet, en une autre circonstance (Géom. à 3 dimensions) remarque 
que le fait que l'équation aX» -f [>Y» -f cZ« -f rfT» -|- eU» = contient 19 
paramètres ne suffit pas pour que l'on puisse affirmer que l'équation générale 
de la surface du 3"^« ordre est réductible à cette forme. 

Quoi qu'il en soit, le chapitre, qui contient les grandes lignes d'une clas- 
sification des quartiques et qui se termine par quelques considérations sur 
les courbes de 4<n« classe est intéressant et le résumé très bien fait. 



330 BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 

Le chapitre XIV et dernier contient les résultats les plus essentiels relatifs 
anx faisceaux et aux réseaux de courbes, aux systèmes non linéaires, à la 
théorie des caractéristiques de Chasles et au principe de la conservation do 
nombre de H. Schubert. 

Au sujet de ce dernier principe, il cite les réserves à faire, indiquées, 
parait-il. par Kohn et Study, comme il aurait pu mentionner celles de Hal- 
phen, relativement à la formule de Chasles pour les caractéristiques. 

Malgré ces réserves, ces principes sont féconds et sont de précieux moyens 
de recherche. En particulier le Kalkill der abzâhlenden Géométrie de H. 
Schubert n'en restera pas moins une œuvre aussi utile qu'elle est origi- 
nale et fortement pensée. 

En résumé, l'ouvrage de M. H. Wieleitner, par un ensemble de précieuses 
qualités, est destiné à rendre des services et aux étudiants et aux professeurs. 

On doit au même auteur un consciencieux travail bibliographique sur lés 
courbes algébriques, intitulé Bihlio graphie der hôheren algebr. Kurven (58 
p.. Gœschen, Leipzig), pour la période 1890-1904, et où il ne semble pas 
qu'un travail de quelque importance ait pu être omis. 

F. DuMONT (Annecy). 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 



1 • Sommaires des principaux périodiques : 

Acta Mathematica, dirigé par Mittag-Leffler, t. XXX. Beijer, Stockholm. 
Fasc. 1 et 2. — René Bairb : Sur la représentation des fonctions disconti- 
nues. — GiuLio BiscoNCiNi: Sur le problème des trois corps. — Fr. W. 
Meyer : Eine auf unendliche Produkte sich beziehende Fehlerabschatzungs- 
regel. — V. Bjerknes : Recherche sur les champs de forces hydrodynami- 
ques. — H. voN KocH : Une méthode géométrique élémentaire pour l'étude 
de certaines questions de la théorie des courbes planes. — J. L. W. V. 
Jensen : Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyen- 
nes. — Edmund Landau : Ueber einen Satz von Herrn Phragmén. 

Annales de la Société scientifique de Bruxelles, dO« année. Louvain, 1906. 

2" fascicule. — De Sparre : Note au sujet du mouvement des corps à la 
surface de la terre dans la chute libre. 

Annali di Matematica. — Directeurs : L. Bianchi, O. Dini, g. Jung, G. 
Segre. Série III. T. XII. Rebeschini di Turati e C, Milan. 

E. Almansi : Sopra una délie esperienze del Plateau. — L. Bianchi : Com- 
plementi aile ricerche sulle superfici isoterme. — Fr. Severi : Il teorema 
d'Abel sulle superfici algebriche. — P. Burgatti : Sugrintegrali primi del- 
l'equazioni del moto d'un corpo pesante intoriio a un punto fisso. — Niels 
NiBLSEN : Sur les séries de fonctions de Stirling. — Luther Ppahler Einsen- 
BART : Surfaces analogous to the Surfaces of Bianchi. — Ed. Maillet : Sur 

les équations indéterminées x -^ y z=z c z . — U. DiNi : Studii sulle 
equazioni differenziali lineari ; loro intégral! normali. — L. Bianchi: Teoria 
délie trasformazioni délie superfici applicabili sui parabolidi. — G. Fubini: 
Sulle costruzioni dei campi fondamentali di un gruppo discontinuo. 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 331 

Bibliotheca Mathamatica. Zeitschr. f. Geschichte dcr mathem. Wissen- 
schaften, herausgegeben von G. Enestkôm. 3. Folge. Band 3, Teubner, 
Leipzig. 

Heft 3. — P. Taricery : Un traité grec d'Arithmétique antérieur à Euclide. 

— Bjôrnbo: Die mathem. S. Marcohandschriften in Florenz, 2 ; Gerhard von 
Cremonas Uebersetzung von Alkwarizmis 'Algebraund vonEuklidsEIementen. 

— K. HuicROTH : Zu Albrecht-Dûrers Naherungskonstruktionen regelmâs- 
•iger Vieleke. — Alf. Pringsheim : Ueber ein Eulersches Konvergenskrite- 
rium. — Zeuthen : L'œuvre de P. Tannery comme historien des mathéma- 
tiques. 

BnlletiA de la Société Française de Philosophie, publié par X. Léon et 

André Lalande. 6< année. Ann. Colin, Paris. 

No 3. — Le contenu essentiel des principes de thermodynamique, thèse 
de M, Perrin; discussion; MM. Lalande, Painlevé, Sorel. 

Bulletin de la Société Mathématique de France. T. XXXIV. 

Fasc. 1 et 2. — Fontené : Sur une configuration remarquable dans l'es- 
pace. — Bricard : Sur certains systèmes linéaires, ponctuels et tangeutiels, 
de qundriques. — Boutroux : Propriétés d'une fonction holomorphe dans 
un cercle où elle ne prend pas les valeurs zéro et un. — Lecornu : Sur 
l'herpolhodie. — De Sparre : Note au sujet du valet de menuisier. — Ha- 
DAMARo : Sur les caractéristiques des systèmes aux dérivées partielles. — 
PoTRON : Sur une formule générale d'interpolation. — Combebiac : Sur l'ap- 
plication des équations de Lagrange à la détermination des actions exercées 
par un fluide parfait incompressible animé d'un mouvement irrotationnel — 
Hadamard : Sur les transformations ponctuelles. — Gouksat : Remarques 
sur quelques théorènaes d'existence. — De Sparre : Note au sujet du frotte- 
ment de glissement. 

Comptes rendus hehdomadaires des séances de l'Académie des Sciences 

de Paris. — 1906, premier semestre, T. CXLII — Gauthier-Villars, Paris. 

2 Janvier. — C. Guichard : Sur la déformation des quadriques. — AuRic: : 
Théorèmes sur les fonctions entières. — Lbrch : Sur les théorèmes de Syl- 
vester concernant le quotient de Fermât. 

8 janvier. — Hadamard : Sur les transformations planes. — Stekloff : 
Sur le mouvement non stationnaire d'une ellipsoïde fluide de révolution qui 
ne change pas sa figure pendant le mouvement. 

15 Janvier. — E. Goursat : Sur les intégrales infiniment voisines des équa- 
tions aux dérivées partielles. — E. Merlin : Sur «ne famille de réseaux con- 
jugués à une même congrueuce. — G. Zemplin : Sur l'impossibilité des ondes 
de choc négatives dans les gaz. 

22 Janvier. — A. Korn : Sur un théorème relatif aux dérivées secondes 
du potentiel. 

29 Janvier. — C. Guichard : Sur certains systèmes de cercles et de sphères 
qui se présentent dans la déformation des quadriques. — Gambibr : Sur les 
équations difTérentielles du second ordre dont l'intégrale générale est uni- 
forme. 

5 Février. — Holmgren : Sur un problème du Calcul des variations. — 
P. DuREM : Sur les quasi-ondes de choc. — A. Korn : Solution générale du 
problème d'équilibre dans la théorie de l'élasticité dans le cas où les dé- 
placements des points de la surface sont donnés. 

12 Février. — Ed. Maillet : Sur les fonctions entières. — L. Rem y : Sur 



332 BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 

un hessien hyperelliptique. — P. Dvrbm: Quelques lemnes relatifs aux quasi- 
ondes de choc. — A. Boulanger : Extinction de l'onde solitaire propagée 
le long d'un tube élastique horizontal. — E. H. Amagat: Sur la pression in- 
terne des fluides et 1 équation de Clausius. 

19 Février. — Hatt: Détermination simultanée de deux points au moyen 
de constructions graphiques à grande échelle. 

26 Février. — P. Boutroux : Sur l'indétermination d'une fonction d'une 
variable au voisinage d'une singularité transcendante. — Fejbr : Sur la série 
de Fourier. — Dulac : Intégrales d'une équation différentielle dans le voisi- 
nage d'un point de critique. — Fatqu : Sur l'application de l'analyse de Di- 
richlet aux formes quadratiques à coefGcient et à indéterminées conjuguées. 

— P. DuHEM : Sur une inégalité importante dans l'étude des quasi-ondes de 
choc — Banachiewitz : Sur un cas particulier du problème des n corps. — 
BoussiNBSQ ; Propagation autour du centre dans un milieu homogène et iso- 
trope. — Fredholm : Sur la théorie des spectres. — Korn : Sur les vibra- 
tions d'un corps élastique dont la surface est en repos. 

5 Mars. — G. Humbert : Sur quelques conséquences arithmétiques de la 
théorie des fonctions abélieunes. — L. Bianchi : Sur la déformation des 
quadriques. — S. Bernstein : Sur les singularités des solutions des équa- 
tions aux dérivées partielles du type elliptique. — Boussinesq : Propagation 
du mouvement autour d'un centre, dans un milieu élastique, homogène et 
isotrope. 

12 Mars. — P. Duhem : Sur les quasi-ondes du choc. — Boussinesq: 
Propagation du mouvement (v. plus haut). — Esclangon : Observations de 
la comète 1906 b. 

19 Mars. — V. Volterra : Sur les fonctions qui dépendent d'autres fonc- 
tions. — J. iNHEL-RéKOY : Sur les aflîxes des racines d'un polynôme de degré 
n et du polynôme dérivé. — Boggio : Nouvelle résolution du problème de 
l'induction magnétique pour une sphère isotrope. 

26 Mars. — E. Goursat : Sur la théorie des caractéristiques. — G. Tarry: 
Sur un carré magique. — L. Zorbtti : Sur les ensembles discontinus. — P. 
Fatou : Sur le développement en série trigonomctrique des fonctions non 
intégrables. — L. Rémt : Sur les surfaces hyperelliptiques définies par les 
fonctions intermédiaires singulières. — P. Duhem : Sur les quasi-ondes de 
choc. 

2 Avril. — E. Maillet : Sur les fonctions hypertranscendantes. — P. H. 
ScHOUTE : La réduction analytique d'un système quelconque de forces en Em. 

— JouGUET : Sur l'accélération des ondes de choc planes. 

9 Avril. — J. Clairin : Sur les transformations des systèmes d'équations 
aux dérivées partielles du second ordre. — E. Picard : Sur quelques pro- 
blèmes de physique mathématique se rattachant à l'Equation de M. Fredholm. 

16 Avril. — (Pas de mathématiques). 

23 Avril. — E. Fabry : Courbes algébriques à torsion constante. — Tarer: 
Sur les groupes réductibles de transformations linéaires et homogènes. — 
G. Léry : Sur l'équation de Laplace à deux variables. 

30 Avril. — C. Guichard : Sur les variétés doublement infinies de points 
d'une quadrique de l'espace à quatre dimensions applicables sur un plan. — 
M. d'Ocagnr : Sur un théorème de J. Clark. 

7 Mai. — A. Buhl : Sur la généralisation des séries trigonométriques. -^ 
L. ScHLEsiKGER : Sur certaines séries asymptotiques. — Jouguet : Sur Tac* 
célération des ondes de choc sphériques. 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 333 

14 Mai. — E. GuTou : Sur un effet singulier de frottement. — P. Vielle et 
R. LiouviLLE : Influence des vitesses sur la loi de déformation des métaux. 
H. DE LA GouPiLLiBRE : Centre de gravité de systèmes discontinus. 

21 Mai. — Haton oe la Goupillièhb ; Lieu géométrique de centres de 
gravité. 

28 Mai. — Automne: Sur les propriétés qui, pour les fonctions d'une va- 
riable hypercomplexe, correspondent à la monogénéité. — Bourgbt : Sur 
une classe particulière de fonctions 8. — Haton de la Goupillière : Centres 
de gravité de systèmes spiraloïdes. 

5 Juin. — G. B. Guccia : Un théorème sur les courbes algébriques planes 
d'ordre n. 

11 Juin. — M. Lerch ; Sur le problème du cylindre elliptique. 

18 juin. — TziTziiGA : Sur la déformation de certaines surfaces tétraé- 
drales. — Gambier : Sur les équations différentielles dont l'intégrale géné- 
rale est uniforme. — G. Lery : Sur l'équation de Laplace à deux variables. 

25 juin. — E. Picard : Sur le problème généralisé de Dirichlet et l'équa- 
tion de M. Fredholm. — Tzitzéica : (v. plus haut.) — G.-B. Guccia : Un 
théorème sur les surfaces algébriques d'ordre n. — Gambier : Sur les équa- 
tions différentielles du deuxième ordre et du premier degré dont l'intégrale 
générale est uniforme. 

Rondiconti del Gircolo Matematico di Palermo. Direttore G.-B. Guccia. 

T. XX. — Enriqves : Sulle superficie algebriche di génère geometrico 
zéro. — Panmelli : Sui sistemi lineari triplamente infiniti di curve tracciati 
sopra una superficie algebrica. — de Franchis : Sulle superficie algebriche 
le quali contengono un fascio irrazionale di curve. — Castelnuovo : Sulle 
superficie aventi il génère aritmetico negativo. — Enriques : Sulle superficie 
algebriche che ammettono un gruppo continuo di transformazioni birazionali 
in se stesse. — Nobile : Sullo studio intrinseco délie curve di caccia. — 
Sannia : Transformazione di Conibescure ed altre analoghe per le curve 
storte. — Severi : Intorno alla costruzione dei sistemi completi non lineari 
che appartengono ad una superficie irregolare. — Boggio : Sulle funzioni di 
Green d'ordine m. — Vitali : Sulle funzioni ad intégrale nullo. — d'Adhémar : 
Sur une équation aux dérivées partielles du type hyperbolique. Étude de 
l'intégrale près d'une frontière caractéristique. — Pannblli : Sulle reti di 
superficie algebriche. — Levi-Civita : Sopra un problema di elettrostatica 
che si è presentato nella construzioni dei cavi. 

Berzolari : Sui sistemi di /i -}- 1 relte dello spazio ad n dimensioni, situate 
in posizione di Schiâfli. ^— Brusotti : Teoremi sulle piramidi di /t -|- 1 ver- 
tici dello spazio ad n dimensioni. — Burgatti : Sugli integrali singolari délie 
equazioni a derivale ordinarie del second'ordine. — Gebbia : Sulla integra- 
bilità délie condizioni di rotolamento di un corpo solido sopra un altro, e 
su qualchc questione geometrica che vi è connessa. — Aguglia : Sulla 
superficie luogo di un puuto in cui le superficie di Ire fasci toccano una 
medesima retta. — De Franchis : Sugl'integrali di Picard relativi ad una 
superficie doppia. — Barbieri (A.) : Alcuni teoremi sulle funzioni semicon- 
tinue, e sulle funzioni di una variabile, limiti di funzioni di due variabili 
reali. -— Pisati : Sulla estensione del metodo di Laplace aile equazioni diffe- 
renziali lineari di ordine qualunque con due variabili indipendenti. 



334 BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 

Revue de Métaphysiqne et de Morale, dirigée par X. Léon. Arm. Colin, Paris. 
IS™» année. N*' 4. — P. Boutroux : Correspondance mathématique et 
relation logique. 

N«» 6. — P01NCA.RÉ : Les mathématiques et la logique. — Ruhsell : Sur la 
relation des mathématiques à la logistique. 

14ine année. N* 1. — Poincaré : Les mathématiques et la logique (fin). — 
E. Lechalas : Note sur le nombre des dimensions de l'espace. 

N*' 2. — M. PiERi : Sur la comptabilité des axiomes de l'Arithmétique. — 
L. CouTURAT : Pour la Logistique (Réponse à M. Poincaré). 

No 3. — M. PoiKGARÉ: Le mathématique et la Logique. — L. Couturat: 
La Logique et la philosophie contemporaine. 

Revue générale des Sciences pures et appliquées dirigée par L. Olivier 

17me année, 1906; Arm. Colin, Paris 

No 1 (15 janvier). — P. Duhem : L'hystérésis magnétique, I l'aimantation 
dans un champ qui varie très lentement. 

No 2 (30 janvier). — P. Duhem: L'hystérésis magnétique, II Taimantation 
dans un champ qui varie très rapidement. — G. Mihlaud : Descartes et la 
Géométrie analytique. 

No 4 (28 février). — H. Boitasse : Les gammes musicales au point de vue 
des physiciens. 

No 6 (30 mars). — Th. Moreux : Revue annuelle d'Astronomie. 

Revue semestrielle des publications mathématiques, dirigée par P. -H. 

Schoute, D.-E. Korteweg, J -C. Klutver, W. Kapteyn, J. Cardinaal. 
T. XIII. 2""° partie, octobre 1904-août 1905. Delsman en Noithenius. 
Amsterdam, 1905. 

SitEungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft. — Dritter 

Jahrgang. — 1 vol. iii-80, 85 p. ; prix : Mk. 2.80 ; B.-G. Teubner, Leipzig. 

C. Cranz : Entgegnung auf den Yortrag des Herren F. Kôtter vom 24 Juni 
1903. — G. Hauck : Ueber angewandte Mathematik. — G. Hessekberg: 
Ueber die kritische Mathematik. — A. Knesbr : Die Fouriersche Reihe und 
die angenâherte Darstellung periodischer Funktionen durch endliche trigo- 
nometrische Reihen. — J. Knoblauch : Der Gaussche Satz vom Rrûmmungs- 
mass. — F. Kôtter : Die Kreiselwirkung der Râderpaare bei Regelmassiger 
Bewegung des Wagens in kreisfôrmigen Bahnen. — M Koppr : Die Neper- 
schen Logarithmen sind mit dem natûrlichen im wesentlichen identisch. — ^ 
E. Lampe : Elementare Bemerkungen ûber geometrische Aufgaben aus der 
Théorie der Maxima und Minima. — R. Mullbr : Ueber konjugierle Parai- 
lelstrahlen eines polaren Peldes. — H. Rbissner : Ueber die Stabilitât der 
Biegung. — R. Rothe : Ueber die geodâsische Abbildung zweier Flâchen 
aufeinander. — P Schafhritlin : Ueber den Yerlauf der Besselschen Funk- 
tionen. — M. Zacharias : Ueber ahnliche Punktreihen und ebene Système. 
P. ZùHLKE : Ueber die geodâsischen Linien auf Kegelflâchen. 

Ifnterrichtsblâtter fur Mathematik und Naturwissenschaften, herausge- 

geben von F. Pietzker. XI. Jahrgang, 1905. Otto Salle, Berlin. 

No 1. — D' Fritz Walther : Mechaiiik und Turnen. — O. Lesser : Wie 
verteilen sich die freien Eckpuukte aller pythagoreischen Dreiecke ûber die 
Ebene, wenn die Dreiecke mit einer Kathete ûber einer festen Geraden 
stehen, und allen der auf dieser Geraden liegende Hypotenusenendpunkt 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 335 

gemeînsam ist ? — Di* Ernest Schultz : Ueber den einleitenden georaetrischen 
Unterricht in Quarta. — G. Holzmuller : Vorschlag zum kinciuatischen 
Modell eines besonderen Gelenkvierecks. 

N*> 2. — G. Kewitsch : Hôhere Analysis in der Schule. — D"^ Th. Adrian : 
Nachtrag zu den /i-Formeln. — G. Holzmuller : Ueber das bicentrische 
Viereck. 

N*^ 3. — F. PiETZKER : Die Person des Lehrers im mathemntisch-Datur- 
wissenschaflHchen Uoterricht. — K. Dunker : Forderungen fur den mathe> 
matisch-naturwissenschaftlichen Unterricht und seine Yertreler. — O. Lesser: 
Ratiouale Zahlen in der Ebene und im Raum. 

N<» 4. — H. Dresslrr : Zur Entwickelungsgeschichte einer angewandten 
Gleichungsaufgabe. — G. Holzmuller : Bcmerkungen ûber Geometrographie. 

N® 5. — D"" A. HôFLER : Philosophische Elemenle in alleu Unterrichts- 
fôcheru. philosophische Propadentik als eigenes Fach. 

N° 6. — G. Holzmuller : Zur vorlâufigen Orientierung ûber die Elek- 
troiicntheorie. — D** zur Kammer : Die Summ en Formel anstatt des Intégrais 
fur Potenzen mit ganzzahligen Exponenten. 

Zeitschrift fâr Mathematik and Physik, herausgegeben von R. Mehmke u. 

C. RuKGE. 52. Band, 1905. B.-G. ïeubner, Leipzig. 

Félix Bernstein : Ueber eine neue geometrisch-mechanische Erzeug- 
nissweise des Kreises und der spharischen Kegelchnitle. — Félix Biskb : 
Korrektionsspiegel zu parabolischen Reflektoren. — Katoptrisches Okular. 
— Karl Dœhlemann-: Die Perspektive der Brader van Eyck. — Anton 
Grûnwald : Darstellung aller Elementarbewegungen eines starren Kor- 
pers von beliebigera Freiheitsgrade. — G. Herglotz : Ueber die Elas- 
tizitât der Erdc bei Berûcksichtigung ihrer variublen Dichte. — G. Holts- 
MARK : Ueber eine Anwendung der Fehlerwahrscheiniichkeitstheorie auf 
GrAssen, welche sich nicht rein zufâllig ândern. — J. Horn : Weiiere 
Beilrage zur Théorie der kleinen Schwinguugen. — Alfons-Yincenz. Léon : 
Spannungen und Formânderungcn einer rotierenden Hohl- und Voll- 
kugel. — Berichtung dazu. — Spannungen und Formânderungen eines 
Hohlzylindcrs und einer Hoikugel, die von innen enfvarmt werden, unter 
Annahme eines linearen Temperaturverteilungsgesetzes. — K. Mack : Tan> 
gentenkonstruktion mit Hilfe des Spiegcllineals. — Lud-wig Matthiessen : 
Mathematische Théorie der Spiegelung in abwickelbaren Flâchen. — A. G. 
M. MiTCHELL : The lubrication of plane surfaces. — Richard von Mises : Zur 
konstruktiven Infinitesîmalgeometrie der ebenen Kurven. — B. J. W. 
Reuser : Die vorteilhaftesle Pfeilhôhc eines gleichmassig belasteien syme- 
trische Drcigelenkbogens mit kreisfôrmiger Mittellinie. — C. Runge : 
Numerische Berechnung der Hauptachsen einer Fliiche zweiler Ordung. — 
Ueber die Zerleguug einer empirischcn Funktion in Sinuswellen. — 
Rudolf Schimmack : Ein kinematisches Prinzip und seine Anwendung zu 
einem Katenographen. — Ludwig Schleiermacher : Zur Massenberechnung 
im Wegbau. — J. Sch.nÔgkel : Graphisch-analytische Ausgleichung eines 
ebenen Linieuzuges nach der Méthode der kieinsten Quadrate. — Eduard 
Sf.lling : Neue Kechenmaschine. — A. Timpe : Problème der Spannnungs- 
verteilung in ebenen Systemen, einfach geiôst mil Hilfe der Airyschen 
Funktion. — E. Wkinnold : Ueber kinematische Erzcugung von Regel- 
flâchen 4. Ordnung. — Th Weitbrecht : Ueber die elastische Doforraalion 
eines kreisfôrmigen Ringes. — S. Wellisch : Ueber das nalûrliche Erhal- 



336 BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 

iuDgsprinzip. — Ferdinand Wittenbaurr : Die Bewegungsgesetze der ver- 
ânderlichen Masse. 

ZeiUchrilt fûr mathematischeii n. natarw. Unterricht, herausgegeben von 

D' H. ScHOTTEN. — 36. Jahrgang, 1905 ; B.-G. Teuboer, Leipzig. 

No» 4 à 8. — O. Lesser : I. Kurven und Evoluten. — F. Ludwig : Weitere 
Abschnitte aus der Biométrie. — J. Sterba : Elementare Bahnbestimmung 
éines Planeten. — Kahl Bochow : Einfachste Berechnung des regel in âssigen 
20-Ecks — J.-H. Kepplrr : Ein oftmals wiederholter Trugschluss. — 
O. Righter : Zur Orthogonalprojektion des Wûrfels. — Weist : Zur sleoro- 
metrischen Veranschaulichung. — Th. Meyer : Zur Berechnung der pytha- 
goreischen Zahlen. — K. Haggk : Der Satz des Ptolemâus. — W. Janisch : 
Zur Lehre von der Proportionalitât der Linien am Kreîse. — F. Frischauf : 
Die Abbildungslehre und deren Anwendung auf Kartographie und Geodâsie. 
— A. Pleskot : Bemerkung zur Lôsung der unbestimmten Gleichungen. — 

G. LoNY : Ueber die Formel 5= 5^ -|- r*. — A. Wernicke : Neue nalurphi- 
losophische Bestrebungen. — E. Eckhardt : Der Crelle-Brocard-sche Win- 
kel als besonderer Fall einer Aufgabe iiber das Kreisviereck. — K. Hagge: 
Zum goldenen Schnilt. — G. Lony : Der Apollonische Kreis als geomeiris- 
chen Ort. 

Litterarische Berichte. — Piidagogische Zeituug, etc. 

2. Livres nouveaux: 

H.-B. Fine. — A GoUege Algebra. — l vol. cart. 595 p. ; */« ^' \ ^>ii<i & Com- 
pany, Boston, New- York, Chicago, London. 

Alex Myller. — Gewôhnliche Oifferentialgleichnngen hôherer Ordniing 

in ihrer Beziehung zu den Integralgleichungen. (Inaugurât. -Dissertation), 
36 p. ; Dietrich, Gôttingen. 

De G. -H. NiwENGLowsKi. — Los iiiathématiqaes et la médecine. — 1 vol. 

in-8o broché, 70 p. : 2 fr. H. Desforges, Paris. 

Dr Prompt. — Remarques sur le théorème de Fermât. Deuxième tirage 

augmenté d'un appendice. — 1 broch. in-16,48p.; Allier frères, Grenoble. 

Walther Schmidt. — Wie gewiimeii wir lûr. Behandlnng des Fanktioiis* 

begrifis PlatZ im math. Unterricht? (Beilage zum Programm, Dûren, 
Rhl. Realgymnasium 1906). — 1 broch. in-8<*, 19 p. et 8 fig. ; Becker, 
Dûren. 

L. Tesar. — Elemente der Oiiferential-n. Integralrechnng. Hilfsbuch fur 

den mathemath. Unterricht zum Gebrauche an hôheren Lehranstalten. 
Mit. 83 Fig. — 1 vol. cart. in-8 ; 2 Mk. 80; B.-G. Teubner, Leipzig. 



i 



L'ENSEIGNEMENT SCIENTIFIQUE A L'UNIVERSITÉ 

DE PARIS* 



Un discours de M. P. Appbll, doyen de la Faculté des Sciences. 

Mes premières paroles seront pour remercier, au nom de 
la Faculté des Sciences de l'Université de Paris, l'Université 
de Londres, de sa gracieuse invitation et de sa magnifique 
hospitalité. Tous mes collègues, présents et absents, ceux 
qui ont été assez heureux pour pouvoir accepter votre invi- 
tation, comme ceux que leur état de santé ou leur devoir 
professionnel ont retenus à Paris, me chargent d'exprimer 
de leur part leurs sentiments de vive admiration pour la 
science anglaise, de profonde et cordiale sympathie pour 
leurs collègues anglais. 

Permettez-moi, Mesdames et Messieurs, de vous entrete- 
nir pendant quelques instants de notre Faculté, de ce que 
nous y faisons, de ce que nous voudrions y faire. Je ne m'ar- 
rêterai pas à vous parler de la situation matérielle de notre 
établissement, je m'attacherai à montrer comment nous com- 
prenons notre devoir vis-à-vis de nos deux mille trois cents 
étudiants. 

Nous estimons que les Facultés des sciences ont une dou- 
ble mission à remplir. Elles doivent d'abord donner un en- 
seignement scientifique général, en vue de la haute culture 
des esprits, en vue de la préparation à certaines carrières, 
comme les carrières de médecin, de professeur, d'ingénieur, 
dans lesquelles des connaissances scientifiques supérieures 
sont indispensables. Elles doivent ensuite, et c'est la plus 



* M. P. Appell, membre de tlnstitut, a bien voulu nous autoriser à reproduire le discours 
qu'il prononça le 7 jain dernier, à la réunion organisée par l'Université de Londres en 
l'honneur des Universités françaises et à laquelle ont pris part un grand nombre de re- 
présentants de l'enseignement supérieur français. (V. le compte rendu complet publié par 
la Revue InternationaU de fEiueigaementf n* 6, 1906). 

L'Enseignement matbém., 8« année; 1906. 32 



338 P. APPELL 

noble partie de leur tâche, faire progresser la Science elle- 
même par les travaux de leurs maîtres, à tous les degrés, et 
initier une élite d'étudiants aux méthodes d'invention et de 
découverte. Nous considérons cette fonction comme la fonc- 
tion vitale de l'enseignement supérieur. Un établissement 
scientifîque dont les professeurs se consacreraient unique- 
ment à Texposé de la Science que d'autres ont faites serait 
voué à une décadence rapide. Seuls les maîtres qui ont fait 
et qui font des travaux personnels, des recherches origina- 
les, comprennent et connaissent à fond les méthodes pro- 
pres à chaque science, peuvent donner la vie à un enseigne- 
ment, même élémentaire, et communiquer à leurs élèves cet 
esprit de curiosité scientifique, de recherche passionnée de 
la vérité, en dehors de tout profit et de toute application, qui 
constitue le véritable savant. 

Pour répondre à celte double tâche, il s'est établi chez 
nous deux espèces de cours et de laboratoires. Dans les pre- 
miers, consacrés à l'enseignement général, les mêmes ques- 
tions fondamentales doivent être traitées chaque année : il 
est évident en effet, que pour le professeur de calcul infini- 
tésimal, de chimie générale, de géologie... il existe un cer- 
tain nombre d'idées fondamentales qui doivent être dévelop- 
pées soigneusement, il existe un certain nombre d'observa- 
tions, d'expériences, de calculs que les étudiants doivent 
savoir faire et comprendre à fond. Ces cours sont donc, pour 
leur partie essentielle, à programme fixe. 

Au contraire, dans les cours et les laboratoires institués 
en vue de la recherche scientifique, règne la liberté la plus 
complète : là, plus de programme, plus de procédés régu- 
liers d'enseignement. Le professeur choisit librement son 
sujet, il le développe jusqu'au point où l'ont amené les re- 
cherches les plus récentes : il indique les faits acquis, les 
faits douteux, les directions dans lesquelles il estime qu'on 
doit conduire les recherches futures avec quelque espérance 
de succès. 

Bien entendu, cette division des cours et des laboratoires 
en deux catégories, suivant qu'ils sont affectés à l'enseigne- 
ment général ou aux recherches ne peut être rigoureusement 



L'ENSEIGNEMENT A L'UNIVERSITÉ DE PARIS 339 

réalisée qu'en mathématique où les parties élémentaires sont 
très étendues, nettement délimitées. Elle est beaucoup plus 
vague dans les sciences expérimentales, où des questions en 
apparence classiques peuvent donner lieu à des découvertes 
de premier ordre ; un exemple, entre bien d'autres, nous est 
fourni par les beaux travaux sur la composition de Pair dus 
à votre collègue Sir William Ramsay que nous sommes 
heureux de saluer ici. Aussi tenons-nous à ce que les en* 
seignements généraux, même les plus élémentaires, soient 
donnés par les maîtres de la science, qui ont seuls Tautorité 
nécessaire pour supprimer les détails inutiles et présenter 
les éléments de façon à préparer les recherches futures. 
- Pendant longtemps, surtout avant la création des Uni- 
versités, renseignement des Facultés des sciences a été trop 
théorique, trop verbal; il comprenait trop de cours ex ca^ 
ihedra précieusement recueillis et appris par Téludiant pour 
Texamen. Nous Pavons tourné et le tournons de plus en 
plus vers les réalités, en réduisant l'enseignement oral au 
strict nécessaire, et en développant au contraire, la vie 
dans le laboratoire, le contact avec les objets eux-mêmes dans 
leur réalité et leur complexité. A cet égard, Tidéal que nous 
poursuivons et que nous espérons atteindre un jour, serait 
d'avoir des laboratoires d^enseignement assez grands pour 
que tous les étudiants puissent, à toute heure, y travailler 
librement. 

Voici maintenant quelques détails sur les diverses sciences, 
le degré de préparation des élèves qui nous viennent des 
lycées, et les mesures que nous avons prises pour assurer 
la transition entre les études du Ivcée et celles de la Faculté. 

Les étudiants en mathématiques arrivent à l'Université très 
bien préparés: cela tient à l'existence de certaines écoles, 
l'Ecole Polytechnique dépendant du ministère de la Guerre, 
l'Ecole centrale des arts et manufactures dépendant du minis- 
tère du Commerce et de l'Industrie, l'Ecole normale supé- 
rieure qui fait partie de l'Université et qui doit former des 
professeurs pour les lycées. Ces trois écoles ne sont pas 
ouvertes comme les Universités : on y admet un nombre dé- 
terminé d*élèves à la suite d'un concours dont le programme 



340 P, APPEL L 

comprend beaucoup de mathématiques, un peu de sciences 
physiques et pas du tout de sciences naturelles. Chaque 
année il se présente à ces écoles plus de 2000 candidats pour 
500 places environ ; la lutte est difficile : pour être admis 
les jeunes gens travaillent beaucoup, travaillent souvent 
avec excès pendant deux années en moyenne. Les élèves 
reçus à TEcole Normale, une vingtaine à peu près, devien- 
nent d'excellents étudiants pour la Faculté. A côté d'eux, 
parmi les candidats qui, s'étant préparés aux trois écoles 
n'ont pas réussi, il s'en trouve un grand nombre qui vien- 
nent à l'Université continuer des études scientifiques. Ces 
jeunes gens très entraînés au raisonnement et au calcul ma- 
thématique se portent en majorité vers les cours de mathé- 
matiques ; ils suivent avec facilité les enseignements géné- 
raux de calcul infinitésimal et de mécanique rationnelle : ils 
se spécialisent ensuite, les uns pour aborder les parties éle- 
vées des mathématiques, les autres pour s'occuper de ma- 
thématiques appliquées, comme l'astronomie ou la méca- 
nique expérimentale. 

L'enseignement des parties élevées des mathématiques, 
en vue des recherches, est très fortement organisé : il com- 
prend les cours de géométrie supérieure, de mécanique 
céleste, d'analyse supérieure, de théorie des fonctions, de 
physique mathématique et de calcul des probabilités. Dans 
ces cours, comme je l'ai dit, le professeur est entièrement 
libre et conduit ses auditeurs, vers les travaux des recher- 
ches ; il est puissamment secondé par les maîtres de confé- 
rences de TEcole Normale qui, surveillant chacun les pro- 
grès d'un petit groupe de quatre ou cinq élèves, ont une 
action directe sur eux, les connaissent personnellement et 
les dirigent suivant leurs aptitudes particulières. 

Celte méthode de travail est déjà ancienne : elle nous a 
valu, il y a une trentaine d'années, wn précieux encourage- 
ment de la part de vos grands mathématiciens Cayley et 
Sylvester qui s'étaient informés auprès de leur collègue 
Hermite des détails d'une organisation dontils jugeaient favo- 
rablement les résultats. 

Quant aux mathématiciens qui se tournent vers les appli- 



L'ENSEIGNEMENT A L'UNIVERSITÉ DE PARIS 341 

cations, nous nous efforçons de les assujettir à des exercices 
pratiques, à des applications et des observations réelles. Pour 
l'astronomie, nous avons trouvé une solution satisfaisante 
en envoyant les étudiants dans un observatoire très pratique 
ayant servi autrefois à former des officiers de marine en vue 
de missions scientifiques. Pour la mécanique appliquée, nous 
sommes encore loin du but ; à Tépoque où le général Pon- 
celet occupait la chaire, il n'existait aucun laboratoire: on 
se bornait à montrer aux élèves une collection de modèles. 
Depuis dix ans, nous avons un laboratoire avec quelques 
bonnes machines ; nous l'agrandirons sous peu de façon à 
pouvoir y installer de véritables machines industrielles, à 
faire étudier aux élèves la résistance des matériaux et à leur 
permettre de poursuivre des expériences sur les quêtions 
si délicates et encore si obscures relatives au frottement, à 
la résistance des milieux, à l'hydrodynamique et à Faérody- 
namique. 

Dans les sciences physiques, les étudiants, sauf ceux qui 
viennent de la préparation aux grandes écoles, ne connais- 
sent pas assez de mathématiques pour suivre avec fruit un 
enseignement élevé de la physique. Nous avons, pour ces 
élèves, créé à la faculté un enseignement préparatoire por- 
tant sur l'analyse infinitésimale, la géométrie analytique, la 
mécanique rationnelle: cet enseignement qui remonte à trois 
ans seulement répond à un besoin si urgent qu'il est suivi 
par plus de deux cents élèves. Je ne veux pas entrer ici dans 
le détail des cours de physique et de chimie : je rappelle 
seulement qu'en 1904 une chaire et un laboratoire de recher- 
ches physiques ont été créés pour le physicien Curie qui 
vient de nous être enlevé si tragiquement par un affreux 
accident; M™* Curie qui a secondé son mari dans ses der- 
nières recherches a été, sur la proposition unanime de la 
Faculté, appelée à sa succession, pour qu'elle puisse autant 
que possible, continuer l'œuvre entreprise en commun; elle 
me rappelait récemment avec émotion et reconnaissance, que 
les premiers encouragements, les premiers appuis scientifi- 
ques reçus par Curie, il y a vingt ans, après ses découvertes 
initiales, quand il était un modeste préparateur, lui étaient 



342 P. APPELL 

venus de votre illustre compatriote, le grand physicien lord 
Kelvin. 

Les étudiants en sciences naturelles nous viennent du 
lycée avec une. préparation bien insuffisante, et il ne peut pas 
en être autrement si Ton ne veut pas charger davantage les 
programmas du baccalauréat, déjà beaucoup trop lourds ; 
nous avons institué pour eux une année d'études prépara^ 
toires pendant laquelle ils entendent chaque matin des cours 
de physique, de chimie et de sciences naturelles et exécutent 
chaque après midi des manipulations, des dissections, des 
exercices pratiques très nombreux, très variés et surveillés 
avec soin. Ces études préparatoires sont obligatoires pour les 
futurs étudiants en médecine qui y trouvent un enseigne- 
ment scientifique élevé d'un caractère très expérimental. 
Elles ont été suivies cette année par 500 élèves. Pour les tra- 
vaux de recherches en sciences naturelles, une grande ville 
comme Paris ne peut pas offrir de ressources suffisantes : 
aussi, la Faculté possède-t-elle, outre les laboratoires de 
Paris, un laboratoire de botanique dans la forêt de Fontaine* 
bleaii, et trois laboratoires de zoologie maritime, Tun à Wi- 
mereux, près Boulogne, Tautre à [RoscofT, en Bretagne, le 
troisième à Banyuls, sur la Méditerranée, près de TEspagne. 

Mais je dois me borner à cette vue d'ensemble, ayant déjà 
retenu bien longtemps votre attention. J^ai à m'excuser 
d'avoir employé à votre égard la méthode que je critiquais 
tout à l'heure et que nous cherchons à faire disparaître: je 
vous ai décrite abstracto^ d'une façon purement verbale, les 
xlivers organes de notre Faculté. Je ne demande pas mieux 
que de réparer cette faute et de compléter ma démonstration. 
Il suffit pour cela que vous vouliez bien venir à Paris visiter 
notre Faculté qui sera très heureuse et honorée de vous re- 
cevoir. 



ETUDE ELEMENTAIRE DES FONCTIONS 

HYPERBOLIQUES 



Avant propos. — Les théories mathématiques s'éclairent 
singulièrement quand on les examine d'un point de vue conve- 
nablement élevé. Toutefois les méthodes analytiques moder- 
nes, assimilables à des instruments d'une haute perfection, 
demandent comme tels, une grande dextérité dans leur ma- 
niement. D'un autre côté, l'esprit n'est complètement satisfait 
que quand il est parvenu à établir ces mêmes théories, en 
n'utilisant que les propriétés strictement nécessaires à leur 
démonstration. Aussi les exemples sont nombreux, de véri- 
tés mathématiques trouvées d'abord comme corollaires de 
propriétés très générales et démontrées ensuite par leurs au- 
teurs d'une manière tout élémentaire. 

Si rhabitude de voir de haut élargit l'esprit et prépare les 
découvertes, voir de près ne lui est pas moins nécessaire, en 
l'accoutumant à s'assurer à mesure de l'entière rigueur de 
chaque nouvelle déduction. En outre, bien des théories, 
même très élémentaires, qu'on croyait comprendre, vues de 
plus près, doivent être reprises à partir du début, et souvent 
même par une autre voie. Ces considérations témoignent de 
l'utilité de monographies n'empruntant leurs principes qu'au 
sujet lui-même, et d'ailleurs exposées aussi élémentairement 
et aussi complètement que possible. 

La théorie des fonctions exponentielles, beaucoup moins 
utile dans les applications que celle des fonctions circulai- 
res, a en théorie une valeur égale; et, à," ce pointde vue, elle 
demanderait d'être traitée de même d'une manière élémen- 
taire. Or elle peut l'être d'une manière on ne saurait plus 
simple, par la méthode archimédienne des doubles inégalités 
de plus en plus approchées, en partant de la seule connais- 
sance de cette inégalité, due également à Archimède. 



344 A, AUBRY 

<1 -f- x)" > 1 + /ijr , (/i, enl. po». , ar > — 1) 

et de laquelle on déduit aisément la relation fondamentale 

T— Î-— >(1 -h s)'» > 1 + mz . (m. rai. et > 1 . — 1 < s < 1 V 

Cette théorie ainsi exposée, est une introduction naturelle 
à la théorie des séries et à celle du calcul infinitésimal, au 
lieu d'en être un simple corollaire. On obtient ainsi, — direc" 
tement et beaucoup plus rapidement que parles méthodes gé- 
nérales — : une définition claire et rigoureuse des symboles 
€* et Lr ; nombre d'exercices sur les approximations algé- 
briques et numériques ; la démonstration très simple de di- 
vers théorèmesouformulesdeNeper,Briggs,Kepler,Gregory, 
Mercator, Halley, Stirling, Euler, Lagrange, de Stainville, 
Cauchy, Realis, Underfinger, Catalan, Schlômilch, Laisant, 
Cesàro, etc. ; enfin les séries logarithmiques, exponentielles 
et binomiales. Il y a lieu de remarquer que pour ces derniè- 
res, les conditions de convergence, si délicates à étudier avec 
les méthodes artificielles ordinaires s'introduisent ici, pour 
ainsi dire d'elles-mêmes. 

1. Désignons par m un nombre rationnel supérieur à l'unité, 

1 1 
et par z un nombre quelconque compris entre et - ; on 

a (P. M. 1900, p, 406) : 

(1) -L~ >(1 + -,m > 1 + tnz . 

1 — mz 

2. Les deux expressions suivantes, où on a : — m ^ x 
< ni, 

tendent vers une même limite à mesure que m tend vers l'in- 
fini. En effet pour a > 1, on a : 



\ «'»/ 



> 1 ±- 



m 



d'où, en élevant à la puissance m et dédoublant. 

(ma , j:) > (m , jr) , (— ma , ar) < (— wi , ar) . 



ÉTUDE DES FONCTIONS HYPERBOLIQUES 345 

Si m augmente consiamment, la valeur de («) augmente de 
plus en plus, tandis que celle de (/3) diminue. D'ailleurs leur 

rapport ( l A , toujours inférieur à 1, est, d'après (1), 

toujours supérieur à 1 , et tend donc vers l'unité. 

Par suite, en appelant/* (a:) la limite commune de (m, x) et de 
( — m, x)^ on a : 

(m,ar) <f(x) < (— m,jr) ; 

et, si on appelle e la limite particulière correspondante x=- 1, 
c'est-à-dire si on pose f[\) = e, 

(2) e = lim \m,\) zrz lim ( — m , 1) 

(3) (m.l)<e<(-m,l) 

Cette limite est d'ailleurs finie, car pour m = 2, (2) par 
exemple, devient 2,25 < e < 4. 

3. Les quantités (m, j?), (m, y), (m, x -{• y) tendant en même 
temps vers des limites finies, on peut poser 

f(x + y) (m,x+y) [ ^ m(m + x + y)j 

La partie entre crochets a une valeur supérieure à 1, et, 
d'après (1), inférieure à un nombre qui tend vers l'unité, quand 
m tend vers l'infini. On peut donc écrire 

W . f(x)f{y)z=f(x+y) 

d'où aisément 

f{0) = 1 . f(x) f(- :r) = 1 . f(x)nz=: f(nx) , fi^''^ fi^) 

et enfin 



m 



±^ 



=K*f) 



ce qui donne, en faisant .r = 1, et pour toute valeur ration^ 
nelle positive ou négative de £. 



346 A. AUBRY 

4. Cette relation n'a de sens, au point de vue du calcul ha- 
bituel, que si | est commensurabie. C'est pourquoi il vaut 
mieux définir le symbole e* comme désignant la fonction /"(j?) 
= lim (m, x)\ cette fonction, appelée exponentielle de x dé- 
finit donc un ensemble d'opérations en nombre infini^ lequel 
peut se réduire en exponentiation positive et une négative, 
si X est rationnel. 

Ainsi, X désignant un nombre quelconque, on posera d'après 
cette définition 

(5) e* = lim (m, x) = lim ( — m , x) 

(6) (m,x)<e«<(_,„,jr) 

(7) c*ey = e'+y 

La relation (5) a été remarquée, pour la première fois, par 
Halley (P. T. 1695) et la relation (6) par J. de Stainville {Met. 
cCAnaL Paris 1815). Les relations (4) et (7) font voir que la 
fonction e^ est toujours croissante et continue. 

5. Posons e* = y ; J7 est dit le logarithme népérien de y, 
ce qui s'indique par la notation x = Ly. De là les relations 

(8) Ll = . Le = 1 . L(ab) = La + L& , L (a"») = mha . 

6. De (6) on tire a fortiori, à cause de (1) 

ou, si l'on veut, avec Cauchy {anal. alg. Paris, 1821). . 

Cor. I. Faisons x = Ly, il viendra cette relation de Neper 
{Mir. log. constr. Edinburg, 1617), 

(10) r - 1 > i^r > '^ 

qui devient, en changeant y en l + z et en 1 + - , 

(1*) î>L(l+,î)>^-±- 



ÉTUDE DES FONCTIONS HYPERBOLIQUES 347 



II. De (9) on tire, en changeant a: en - , 



m m 

(13) m (y/^- 1) > ' > m (t - y/e-') 



7. Posons pour abréger 



Cx - ""' ^ ^" Sx - ^' " ^"^ ïx — — 

K.X — ^ , ^x — j^ . la: -_ — , . 



on aura 



C»x - S«a: = 1 . S:r = 2S ^ C | . C:r = C« | -h S» J 

= 2C» I - 1 = 2S« I + 1 

I 

Or la relation (9) donne 

ex + e^ > 2 d'où Cx > 1 , Sar > 2S | > 2T | > Ta: 

4T I + Sx > 8T I -h 2S I 

Car cette dernière inégalité se réduit à C* — > 1. On peut 
ainsi écrire : 

e* - 1 > Sx > i (4T I + Sx) > 2T I > 1 - e-' . 

^^^^ M ^BF ^B^ ^B^ ^B^ 

Changeons .r en ^ , t- . g . tc v et multiplions respecti- 
vement par 2, 4, 8, 16,...; les deux membres extrêmes ten- 
dront vers la limite commune x^ à cause de (13). Il en sera de 
même des seconds, troisièmes et quatrièmes membres. Or, 
comme on Ta vu plus haut, les seconds diminuent constam- 
ment ainsi que les troisièmes, tandis que les quatrièmes aug- 
mentent. On peut donc écrire : 

W Sx > \ (4T I + Sx) > X > 2P| > Tx . 

8. Changeons j? en L (:; + \/z^ + 1), dans le premier et 



348 A. AUBRY 

le troisième membres de (14), et en L ô""" d^i^s le troi- 
sième et le cinquième ; il viendra 

(15) |±^ > e* > y^5« + 1 4- - (2 > s > 0) 

Cor. I. Prenons les inverses, il viendra 

2 - 



et de là, en retranchant. 



i > e--» > y^2«-hl - z , 



(id) 



(16) ^^, > Sz > z (id) 

d'où, en élevant au carré et changeant z en -r- » 

<*^) * + {\r^)^> Cz > 1 -h i' (4 > z > 0) 

Ces deux dernières relations conduisent aux suivantes : 

<"' ' > ^' > 256 + %y + z« (2>«>0) 

(19) Uni - = 1 , lim ~ * = i , lim Cx = 1 , lim ^ = 1 (x = 0) 

X X Al X 

II. Les identités 

■^^ 2 

jç «• jp •• 

conduisent, en changeant successivement .r en ô» r» g ' Î6'*" 
à ces formules 

(20) % = c|cfcf... 

(21) * _i=*T| + lTÎ+lTÎ + ... 



(22) 



ïx X 2 2 ' 4 4 ' 8 8 
^^^ = (l-T^|)(l-T.f)(l-T.|)... 



S'a: 

dont les deux premières sont bien connues (voir, par exem- 



ÉTUDE DBS FONCTIONS HYPERBOLIQUES 349 

pie V Essai de M. Laiôant, Paris 1873). On en trouvera d^au- 
très du même genre, en traitant de même les identités. 

(Cx + Sx) (Cx — Sx) = C«x — S«x , S»x — Us f )*= (2S» | V , 





S«x — 2S» 1 = 2CxS» 1 , 




1 




1 1 


2S«f 


S»x ~~ 2SxTx ' 2 ~ Cx ' X 

2 


Tx""Sx' • • 



III. A cause delà première inégalité (16), de la seconde (17) 
et de la suivante 

(1 + a) (1 + 6) ... > 1 -h fl + ft + ... . 

les formules (20), (21), (22) donnent celles-ci 

(23) '. 

3x or X* 

* > ^ * > r+i? = * - T + 9 

et la dernière, cette autre très approchée. 



(25) 






Ces relations sont uliles dans le calcul des expressions hy- 
perboliques Sj?, Gr, Tj7. 
9. Posons 

f W = 1 + Y « + Y —2— «" + ••• + Y ••• ï «*' 

+ (^)=:l + -«-h j -JT^^^, _^ ^^ _^^ ^ _ir__ ^^^ 



350 A. AVBRY 

il viendra (1+ a) y (A) = ^(/i: + 1) ; et, si A ■^ /i, o <«< 1, 0< 
* < 1, 

Faisant A; = 0, 1, 2,... « — 1 et multipliant, il vient, en po- 
sant a = J , 6 = ± ^ , 



(«I 



(n.x,=i + i^+(i-i) !;+...+ 



0-i)- 0-"-^)S. 



ijSi (_„,x)>i + i: +(i + l)^ + ... + 



+ ^)-0^"-^05- 



(y, ,_2„.±.,>iqi,4+0+2i)f; 



\ "^ 2H/ ••• V "'' 2n-|-l/ (2b + 1) ! • 

Si ^ est positif, («) et (/3j donnent 

(n.j?) < 1 + - + ... -(-—<(- /i,ar) 

d'où 

(26) ex = lim (1 + ^ + ... + ^) (;, = «) 

(27) e = liiD (1 -h ^ + ... -h ;Ji) (W.) 

Le principe de cette démonstration est dii à de Stainville 
(1. cit.) 

10. La formule (26) a lieu également pour x négatif. En 
effet, d'après («) et (/3), la valeur de l'expression 






est comprise entre celles des deux suivantes 

(2/1 , a:i -h (2/1 , — x) et (2/i , x) + (— 2/i , x| 



ÉTUDE DES FONCTIONS HYPERBOLIQUES 35t 

qui tendent, l'une et l'autre, vers la limite c* -|- e* = 2Gd?, 
quand n tend vers oo . On a donc : 

(28) Cx = lim 1^1 + ^ + ... + ^^J („=«) 

d'où 

(29, e-.= li«[l-f + g-... + ,^,] (id.) 

(30, Sx = ,i. [f - i; + ... ± j^^] ,id., 

11. De (12), on tire, en changeant successivement z en 



X 



n * n — X * n — 2x * '" n — {n — i) x * 

et additionnant, cette relation 

n n 

d'où, en développant les quantités sous les signes 2, et som- 
mant à Taide de la formule de Roberval^ 

1 1 jP + 2P +Z^ + ... +nP 1 



» ' /» + l-^ nP + l /» + * ■ 

il vient : 

^ta"l \/l A-/ 1 — X Jmdx \ n/ k 



Les deux membres extrêmes diffèrent de 



2:i^^u<-('-j)']i- 



> 



2:R+j(-'^^)]'*=t.- 



* Cette formule se déduit de la suivante 



\P + 1) »' > n--\,n^\\ >(/» + 1) (» - 1) 

•n y faisant successivement n^ 1,2, 3, ... n, additionnant et réduisant. 



352 A. AUBRY 

et par suite ils tendent à se confondre quand n tend vers oo. 
Or ils comprennent toujours la série ^ y terme à terme, 



car on a 






On peut ainsi poser 
et de là 

L(1+j:=L-3 Lj 1=^ 1 ^ Ô7 

1 — X 1 — x" .-fciJi A- ^md\ 2a- 

OU bien 



(32) 



L (1 + .;) = lim (J - i' -h ... - Ç) (/» = 00 , < X < 1) 



Gauchyi'^^^. Awa/. Turin, 1835) et Schlômilch(/^a/irfé. der 
Anal. lena, 1873) ont démontré cette formule par des moyens 
analogues, mais leur marche est beaucoup moins élémen- 
taire. 

Les deux formules (31) et (32) peuvent se condenser en 
une seule, qu'on appelle formule de Mercator [Log, Londres, 
1668) et qui est 

(33) L (1 + X) = ^ - ^' + J - ... (3^<i) 

Cor. I. Les formules (31) et (32) donnent celle-ci, remar- 
quée d'abord par Gregory [Ex. geom. Londres, 1668.) 



(34) 



'■^=^(î+ï + T+-) 



et qui pour x = Ty, devient 

II. a désignant un nombre quelconque, on a, si x*< 1, 



_^ , «(r-T + -) ''(t-t + -)' 



a «L(l+x) . . 
(l + x)=:e =1+-J^ .^-j ^ + — ^ 5-| '— + 



ÉTUDE DES FONCTIONS HYPERBOLIQUES 353 

Le coefficient Aea^y dans le dernier membre, doit être une 
fonction entière de a, du degré n\ or ce coefficient devant 
se réduire à zéro, pour les valeurs 0, 1, 2, .3,... n — 1, de 
Texposant oc, et à Tunité, pour a, = n^ il se confondra avec 

ot(g + 1) ... (g — yi + 1) 

On a donc la formule du binôme^ 

(36) (1 + Jr)"= 1 -h I jr + f î^ a? + ... (j^ < 1) 

Cette démonstration est due à Cauchy (1. cit.). 



Exercices * 

i. Soient z un nombre positif quelconque et jk un nombre 
rationnel tendant vers zéro ; on a : 

/-l^,. /— 1 ,. z^^ 1 ^ g^-1 
j> lim = lira > — ■ . 

En désignant par L 2 la limite commune, on peut la défi* 
nir par la relation 



m m 



Ls = lim m (i/s^— t) = l»m m /l — i/l!j 



(m = oo). 
(Brigga) 



De là, la relation 



m m 

(«) '»(l/^-- lj> L;>m A — y^ (Lagrange) 

En déduire la relation (10) et la troisième des relations (8). 
2. 1"* De la définition de e*, déduire les formules suivan- 
tes : 

"^-^VâTe/ Vtmô/ VÏ5M8/ VIïTsî/ - 



» Voir J. S. 18M-1900, TK, de la f. log. ; P. M. 1899, Rem. sur la série log. ; P. M. 1900, 
Sur une id. d'Buler, 

L'EoMigDement mathëm., 8* année ; 1906. 33 



354 A. AUBRY 



' ""^\4 6.7V \8. 10.157 V 16.18.317 * 

(rt -I- IX» /i« + * 






i/nî (n='oo) (Unferdînger) 

n 

,. t/{/i -h l)(/i -t- 2| ... (2w) 4 ^. , . - . . 

lim ^— ! ! — ^-2 ■ ■ ■ — = — (id.) (Laisant) 

n e 

4 8^ 3 3 a7__ 

i _ )/C«i l/^ITî |/U^ __ /Cs.i .Ci.i /C9.».Cg.» t/Ci7.9.Cia.9 
e "" 2 2 2 3 3 3 *" 

2 ^ /4"/6.8 /lO. 12.14.16 ,^ , 

^ = r V 3 V 5- V 9.11.13.15 - ^^-*^^*^'^' 

\/;^= H» (i ± j) (. ± ^) ... (. ± "^) ,M., 

_ 2® Dans un vase de contenance connue et plein de vin, on 
fait tomber un filet d'eau d'un débit connu. Combien restera- 
t-il de vin après un temps donné, en supposant que le mé- 
lange se fait instantanément ? (Terquem.) 

3® Quelle est la valeur de l'intérêt composé d'une somme 
donnée, placée pendant un temps donné à un taux également 
connu ; les intérêts se capitalisant à chaque fraction infinité- 
simale du temps ? (Jacques BernouUi.) 

4® Quel doit être le profil générateur d'une tour ronde 
pleine, chargée à sa partie supérieure d'un poids P, formée 
d'une matière de densité /?, et telle que, dans une section ho- 
rizontale quelconque, la pression verticale par unité de sur- 
face soit constante ? (Poncelet.) 

5. Démontrer les relations : 

X X 

lim _ =:: 00 , lim L i/ar = . lira i/or =1 (j- =:») 



ÉTUDE DES FONCTIONS HYPERBOLIQUES 355 

1 

lim — = 1 , lim a:* = 1 (j: =: 0) 

4. Si la somme a: + y + ... tend vers une limite finie, il en 
est de même du produit (1 + x) (1 + y)... (Cauchy). Consé- 
quence de (9.) 

5. L'équation e* + -^ = ï^'^t aucune racine réelle, (id.) 

6. La fonction — passe par un maximun pour x = w. (id.) 
On s'appuie sur la relation. 

.-=>.(,±i) 

7. La fonction \/x passe par un maximum pour .r = c 
(Euler). On part de la relation. 

-t* h 

8. On a: 

(a) - > L -^ > --— ^ (Neper) 

(p) ^ > , .. , ; > — j— ; ^, Kepler 

^o — gb ifia — //]& 
(7) c« > j- > e* . //i«Lwi >• -. — >> m^Lm (Rcalis) 

m m a-f-...+£ 

. fa[/a 4. ... -f- c/7"\'« / , ,T . V 

im ( -^^^ ' — ^— ^ I =i/a«...7<' (m = oc) (faisant} 

\ a -I- ... -f- c / y 



lim 



:r 4- j* -f- X* + a« 4- ... > L -j-î — > j -I- ji 4- X» -h X»' 4- ... 

9. Substituer dans (11) les valeurs 

11 2 1 4 2/14-3 



„ • n ^ 1 ' n 4- 1 ' w» — 1 ' /i« — 3« — 2 • /i(/i -H 2|« ' 

l^iO 6/1* — 4/1» + 1 

(;i» — 64) m» — 25) (/j« — 49) ' /ï« \n* — 4) ' 



856 A. AUBHY 

z = sec 6* — 1 , — sin'ê* , — cos 26* . tg^i* , — tg*6# , 

et en déduire des formules utilisables pour le calcul des lo« 
garithmes et des lignes trigonométriques. 
10- Dans (11) faisons successivement 



en tirer deux limites de L ^ . Apprécier Terreur com- 
mise en prenant une de ces limites pour la valeur de L . 

(Gauchy). 

11. Même question en substituant. 

— 2Â -I- n 2k + 3n 2k + kn — n' 

'^ - " "1?~ • " (n + kf ' - '* {kn + A - «)* 

12. Des relations de Texercice 10, déduire la quadrature 
de rhyperbole xy = 1 (Schlômilch). 

13. Tirer le même résultat de la relation (a) de l'exercice 1. 

i4. Sur une droite AOLN, prenons AO égala Funité, et fai- 
sons mouvoir le point L uniformément, et le point N de manière 
que OL soit égal à L (AN). Si la vitesse du premier point est 
représentée par AO, celle du second Test par AN (Neper.) 

15. Considérons la série dont les deux premiers termes sont 

^ T' et 2 ^T A 1 et chacun des suivants alternativement 

moyen géométrique et moyen harmonique des deux qui le 
précèdent immédiatement. Les termes de la suite oscillent 
autour d'une limite finie, L 2, dont ils se rapprochent de ma- 
nière à en différer aussi peu qu'on veut. (Gregory.) 

16. 1^ De (14) déduire la relation suivante : 

(a) i-^ > L« > 2 ^^-j (Kepler et Gregory) 

et de là 

2® De (15) tirer la suivante : 

,. e* — 1 — X \ 

l.m -5 =_ (jr = 0!. 



ÉTUDE DES FONCTIONS HYPERBOLIQUES 357 

de (14), celle-ci : 

.^. ±_ . 1_ .^ 12in» + 12m + i ^ , m + 1 2 

"^' 2iii "*" 2iii 4- 2 -^ 61» (m + 1) (2m -f- 1) -^ m -^ 2m + 1 ' 

et de là 

* >(m.l)>e -r .__ «>(„,!) >___«. 

i7. De (16), (17) et (23), déduire cette inégalité 

X* X* X* 

-^^^ 2^ 6 ^24 

18. De (/3), exercice 16, on déduit 

Sm + l 



i-i .4 (i - .4n) > ^ C-^')^ - > « 



d'où, en appelant 2 la série obtenue en faisant /n = 1, 2, 3,... 
dans le second membre, et posant e^~z = c, nombre d'aiK 
leurs fini puisqu'on a : 

11 

^ > 2 > , d'où e > c > e" ; 

On tire de là 



= 21im|ii...^j^y/l 



La formule (/3) est ce qu'on appelle la formule de Stirling. 
La démonstration indiquée est celle de M. Gésaro (M. 1881), 
sauf l'origine de la relation (a). 

19. Dans (a), exercice 16, faire 

4 , 1 . , 2 ■ 2 /i« (n« — 1 )«(/! + 2) 

s = sec 6», 1 -f x, ". , 14--, 1 » -î T . \ — TTST — —!p, • 

1 — X n n nr — 1 (n + 1)' (n — 2) 



> D'-oà, à eauM d« la formule de Wallto, c = \/9ir . 



358 A. AUBRY 

et faire servir les relations trouvées au calcul des logarith- 
mes ^ 

20. Représentons par DF [x) la limite du rapport de Tac- 
croissement Y {x±h) — F [x) de la fonction F {x)^ à Taccrois- 
sement ifc A de la variable, limite dont l'existence n'est d'ail- 
leurs pas certaine a priori. On aura, à cause de (a) et (y), exer- 
cice 8, 

1 

De* = e* , D/n* = m*Lm , DLx = — . 

X 

21. Considérons les valeurs F (a), F (a + A), F (a + 2 A),... 
F (a + «A = 6), de la fonction F (^), et désignons par la no- 

a 

tation / F [x) dr^ la limite, fixe ou indéterminée vers laquelle 

b 

tend la somme 

hF (a) -\- hF {a -{- h) -^ ... -f- hF {b) 

à mesure que A tend vers zéro, ou que n tend vers l'infini. 
1,** De (11) et de (12) on tirera, en faisant z = — et effectu- 
ant la sommation, 

/•^=L*. doù r^=i 

J X a J X 

a 1 

ensuite 

{X + A)[L(x-|- A)— -1] ^x(La: — 1)> hLx> x{hx — 1) 

— (x^h)[h{x — A) — 1] 

d'où 

b 
fhxdx = 6 (LA — 1) — a (La -r 1) 
a 

pu simplement 

/ hxdx = x(Lx — 1) . 



* Par exemple, U dernière transformation indiquée montre qu'en poéant 

I (ff — t)'(«-*-a ) _ * 

(«4- 1)«(» — 2) n(«« — 3)* 

16 
Terreur est inférieure à — = — . . Ainsi, connaissant L7,L8 et LIO, on déduira de U sortP 

(«• — ♦)• 

LU avec huit décimales exactes. Le degré d'approximation croit rapidement avec n. 



ÉTUDE DES FONCTIONS. HYPERBOLIQUES 359 

2" Les identités 






, jc + h — i , X— 1 
LL(x + A) - LL:. = L j^l + ' - l^. ' J • L ^^^^^ - ^' Y+î 

= L (* + a^« + ^A _ A _ J • 

Ly/(x + A,' ± 1 - Ly/x' ± 1 = ^ L(l + -^^r+r; 
conduisent à 



3** Dans (a), exercice 16, faisons 

X -{- h + y/\x + A)» + 1 
■ "" JC 4- l/jc* -h 1 

on aura a fortiori 

*_ > Lz > , \, ^ a'où. f 7=^ = L (^ +^/iM=T) 

j/F^M ^ ^ {/{x + A)' + 1 J /^• + t 

4** De (11) on tire : 

{X + hf [2L (x 4- A) — 1] — :r« {2Lx — 1) > i^La: > jr« (2Lx — 1) — 

(a; — A)« [2L {x - A) — 1] 

d'où 

fxhxdxziz ^ (2La:— 1) 

5^ On a : 

Aa« 4- Aaa + A -f- ... -|- Aa* = jrZTl — 



h 

d'où, à cause de (y), exercice 8, 

b 
Ça^dx =: p- , Çe^dx = e* — 1 . 







Le principe de cette dernière démonstration est dû à Cau- 
chy. Par des moyens analogues, Schlômilch a donné k valeur 



360 A. AUBR7 

. . On pourrait en donner beaucoup d'autres, plus 

ou moins simplement. 

22. De la formule (36) revenir à (35), à Taide de (a), exer- 
cice 1. 

2d. Développer en séries les expressions suivantes : 

L YZiri — L (1 + X) — I L f3^ (Thompson) 



X 
X 



24. Appliquer la formule (34) aux expressions suivantes : 

L (ni DM» + 4) '**»"•"•> ^ (n + !)'(>. -2) <»««") 

(« + 5)(n + 3)'»(n + l)' (n« - 49) (n« - 1) ,„..„. 

^ (n-H4)»(>. + 2rn '^•"**' ^ («* - 25)» (S*créUn) 

(«« - 9) [n* - 16) (n«-64)(B«-25)(it'-9 ,.„.., 
^ (n»-25)n* •**'"*"> ^ («» - 49)» «* (L.yernède) 

L (» + 6)(>. + 3)(n + 2)(n+l) (L.vemède) 
(n -f- 5)»/i" 



(w — 9) (n + 8) (n + ?)(«- 5) (n — 1) 
'^(« + 9)(«-8)(».-7)(n+5)(« + l) ' •' 



25. Posons. 



F(x.«)=:î + — ^ +r-r^+- + 



n n -i- X n '\- 2x " n -{- {n — l)a: * 

♦ (^» '») = r-m + .. . o^ + — + 



n 

/•(x.n) = /i(i/rirj-i; , f(^.«) = «(i-yVT^) ' 

De la relation (1) et de l'inégalité connue 

gf + tfi -h '" + g« >^ ./— ; -- 

/i 

on tire directement celles-ci : 

x> F(a?,/i)>/'(ar,/i)> F(;r,oo) = /'(a;,oo) = *(x,oo) = . 



FONCTION CONTINUE SANS DÉRIVÉE 361 

X 

[/i,F(x./i)|>[oo,F(ar.oo^] = l +*= [— 00, ♦(ar, •)]>[— x,*(a:,«)] 
lim[F(ar,«) -h F(:>-,«) — F(x + ^' + xj, /i)] = 0» (« = « ) 

De plus si X est rationnel, 

lira (m, l)F(*.n) = 1 -f- x . (id.) 

26. Considérons la série dont les deux premiers termes 
sont Gr, 1, et chacun des suivants alternativement moyen 
arithmétique et moyen géométrique des deux qui le précè* 
dent immédiatement. Les termes de la suite tendent vers la 

Sx 

limite — (Gergonne). 

A. AuBRY (Beaugency, Loiret). 



EXEMPLE SIMPLE D'UNE FONCTION CONTINUE 

N'AYANT PAS DE DÉRIVÉE 
POUR UNE INFINITÉ DE VALEURS DE LA VARIABLE 



Lorsque le professeur explique à des débutants la notion 
de dérivée, il ne soulève pas devant eux la question de sa- 
voir si toute fonction continue a une dérivée. Il lui suffit de 
leur montrer que les fonctions qu'ils connaissent en ont 
une. 

Mais, un peu plus tard, il devient peut-être temps de met- 
tre en garde les élèves, qui faussement guidés par l'intui- 
tion, s'imagineraient que toute fonction continue a une dé- 



> Cette relation t'obtient en cherchent l'expression de la limite de la quantité 

[«, F(ai, n)l [«, F{y , »)) — [«, F(x + y + «y, n)] . 
On en tire, en écrlTant par définition F (a — l,ao)s= La, 

La -f L6 = L lo^) . 



362 E. CAHEN 

rivée, puisque toute courbe a une tangente et tout mouve- 
ment une vitesse. Il est vrai que, ce faisant, ils ne feraient 
que la même erreur qu'ont faite tous les mathématiciens 
pendant près de deux siècles ; et ainsi, leur faute serait, jus- 
qu'à un certain point, légitime. Mais il est légitime aussi de 
chercher à la corriger. 

Malheureusement, les exemples de fonctions continues 
sans dérivées que Ton trouve dans les ouvrages classiques 
ne sont pas simples ', et il n'est pas à supposer que les élè- 
ves se les assimilent. On trouvera donc peut-être quelque 
intérêt à en rencontre^ ici un tout élémentaire. 

Soit a un nombre réel, compris entre et 1. 
Dans l'intervalle de à 1, intercalons le nombre a qui di- 
vise cet intervalle dans le rapport . Divisons chacun 

des deux intervalles formés dans le même rapport, nous inter- 
calons ainsi le nombre a^ dans le premier intervalle, et 

a '\- a \i — a) 

dans le second. Puis nous divisons dans le même rapport 
chacun des quatre intervalles formés, et ainsi de suite* 
On démontre facilement que les intervalles formés ten- 
dent tous vers zéro. (Car au bout de n opérations, chacun 
des intervalles formés est plus petit que le plus grand 
des deux nombres a", (1 — a'*). Les nombres 

0, 1 , a, a", a -\- a (1 — a\ 



extrémités des intervalles ainsi formés forment un en- 
semble E. Cet ensemble contient une infinité d'éléments, 
il y a une infinité d'éléments de E dans tout interçalle 
compris dans l'intervalle * de à 1. 



* Voir par exemple : B. Nibwknolowbki. Cours d'algèbre, 2* éd., t. 3, p. 464, Paris, Ar^ 
nund Colin, 1A02. 

Je parle, bien entendu, de fonction continue, n'ayant fws de dérivée pour une infinité de 
valeurs de la variable. S'il ne s'agit que d'un exemple de fonction continue n'ayant par de dé- 
rivée pour une valeur de la variable, voici un exemple bien simple et bien connu : la fonction 

égale à x sin — pour x ?& 0, et à pour a; = est continue pour « = et n'a pas de dérivée 

pour cette valeur de la variable. 

* L'ensemble E est dense dans l'intervalle de à 1. 



FONCTION CONTINUE SANS DÉRIVÉE 363 

Recommençons maintenant les mêmes opérations, mais en 
partant d'un nombre b différent de a. 
Ce qui donne un ensemble £'. 
Au nombre 

de l'ensemble E Taisons correspondre le nombre Oderensenble E' 

1 » 1 » 
a » b n 

a + a{l — a) » b + h {i -^ b) » 

et ainsi de suite ; autrement dit, à tout élément de. l'ensem- 
ble E, faisons correspondre celui de Tensemble E' qui a été 

obtenu après le même nombre d'opérations. (Voir la figuré 

1 1 \ 

sur laquelle on a supposé a = -r^ b = -^j, 

o a* a a*a(i-a) i 

o 6* 6 6*6(i-«) 1 

Si Ton appelle j?, un élément de E, et y l'élément corres- 
pondant de E' ; y est une fonction de x définie pour toutes 
les valeurs de x qui font partie de E, et cette fonction est évi- 
demment croissante. 

On en déduit une fonction de .r, définie pour toutes les 
valeurs dex comprises entre et 1, 

En effet soit x une telle valeur. Si elle fait partie de l'en- 
semble E, la valeur correspondante de y vient d'être définie. 
Sinon soit Xn Xn l'intervalle dans lequel se trouve x après 
n opérations. Considérons y„ y» correspondant à Xn Xn- Les 
extrémités y» et y» se rapprochent indéfiniment quand n 
croit indéfiniment; d'ailleurs y^ lie décroît jamais ; donc y» 
et yn ont une limite commune y, c'est cette limite qui sera 
la valeur de la fonction correspondant à la valeur œ de la 
variable. 

Cette fonction est évidemment croissante. 



364 £. CAHEN 

Je dis qu'elle est continue pour toute valeur x de la 
variable. 

En effet soit y la valeur correspondante de la fonction. 
Donnons-nous un nombre positif a, et considérons la subdi- 
vision poussée jusqu^à ce que y — a, y, y + a ne soient 
plus dans le même intervalle. Soit alors y» yn Tintervalle 
dans lequel est y. On voit que si x ne sort pas de l'intervalle 
Xn Xn, la valeur de y ne peut sortir de l'intervalle y» y„ ; 
donc sa variation est plus petite que a ; donc la fonction y 
continue. 

Nous allons maintenant montrer que pour toutes les va- 
leurs de X appartenant à l'ensemble Ej la fonction y n'a pas 
de dérivée. 

Poussons la subdivision jusqu'au moment où X apparaît. 
Soit alors x x' l'intervalle qui admet x comme extrémité m- 
férieure. 

Entre x et x' on intercale un nombre jf"^, entre x et x" 
un nombre x*" et ainsi de suite. 

Soient y, y\ y" > • - les valeurs correspondantes de y. 
On a 

x" — a: = a(xf — x) . f - j = b(y — y) ; 

x^ ^ xz= aixf— X) = aV — a:) . ;^^ — j = h{f^y) = ^«(/ — j) . 

• a • • a ■ • a 



Donc 





— r 

X 


= 


6 

a 






■ x' 


f 


- r 

— X 


= 




)■ 


/- 


y 


j{n) 


• 

-r 


■ • 

— 1 


rî) 


•w — 

1 


-' ./- 


y 



Soitj pour fixer les idées, 6 > a. On voit que ^-j^^f^r ^^'^^ 

indéfiniment quand Xn tend vers x. 

Cela suffit pour prouver que la fonction y n'a pas de dé- 



DEUX THÉORÈMES DE CARNOY 365 

rivée pour cette valeur de x\ car sî elle en avait une le rap- 

port — devrait tendre vers une limite finie quand Ax tend 

vers zéro d'une manière quelconque. 

Il est d'ailleurs facile de compléter le résultat précédent, 

en montrant que -^ croit indéfiniment quand bkX tend vers 

zéro par \9\e\XTs positives quelconques. 

D'autre part quand Ax tend vers zéro par valeurs néga^ 

tives, le rapport -^ tend vers zéro. 

Car si Ton considère les intervalles successifs dont x est 
Textrémité supérieure, soient xm\ xi"^ ,n"',... leurs extré- 
mités inférieures, on trouvera facilement 



y - yr _ (LrJL\ 



^I 



Or rhypothèse b^ a entraine 1 — b < 1 — a. 

Donc cette expression tend vers zéro. 

Une question qui se pose maintenant est de savoir si les 
propriétés précédentes subsistent quand x n'appartient pas 
à l'ensemble E. Cela n'est pas. 

Al* 

Dans ce cas la variation de -^ est plus compliquée et dé- 
pend en général de la façon dont tix tend vers zéro. Nous 
réservons cette étude pour une autre occasion. 

E. Cahen (Paris). 



DEMONSTRATION SYNTHETIQUE 
DE DEUX THÉORÈMES DE CARNOY 



La mort récente de Joseph Carnoy, professeur de géomé- 
trie à l'Université de Louvain, me fait songer à publier une 
démonstration synthétique de deux théorèmes qui lui sont 
dus ; si je le fais, c'est bien moins pour cette démonstration 



366 



M, AL LI AU ME 



synthétique que pour les théorèmes eux*mêmes, fort élé- 
gants et susceptibles dé nombreuses applications à la cons- 
truction des coniques. 

I. — Soit (fig. 1) une conique avec trois sécantes la cou- 




pant aux points A et M, A' et N, S et S'. Considérons les deux 
premières comme deux ponctuelles projectives; pour en dé- 
terminer la projectivité, posons a priori A homologue de 
A', B, intersection de A M et S S', homologue de B', intersec- 
tion de A'N et S S', et enfin C, intersection de A M et A' N 
correspondant à lui-même. Les deux ponctuelles sont donc 
aussi perspectives et les rayons joignant leurs points ho- 



DEUX THÉORÈMES DE CARNOY 367 

mologues se coupent tous au point O, intersection de AA' 
et BB'. 

Mais, pour préciser cette correspondance, il nous faut cher- 
cher une loi qui donne les trois couples homologues qui 
viennent d'être posés. Je dis que cette loi consiste en ceci : 
mener par Si intersection de S S' et de MN, un rayon quel- 
conque coupant A M et A' M respectivement aux points r' et 
r; joindre S r et S' r' et obtenir R intersection de Sr avec 
A M, homologue de R', intersection de S' r' avec A' N. En 
faisant coïncider le rayon quelconque Si r /•' avec S S' on ob- 
tient les points B et B'; en le faisant coïncider avec Si C, on 
obtient Télément uni C ; il reste à démontrer que, d'après 
cette loi, A corres|)ond à A'. 

Joignons A S et marquons a Tinlersection de A S avec 
A' N ; joignons Si a et marquons a! l'intersection de Si a avec 
A M ; tout revient à démontrer que A' «' passe par S'. Nous 
voyons que la figure contient un hexagone, NMASS'A'N, 
inscrit dans la conique; numérotons en les côtés en com- 
mençant par N M = 1. D'après le théorème de Pascal, a\ in- 
tersection de 2 et 5, doit être en ligne droite avec les deux 
autres intersections a et Si ce qui achève la démonstration. 
Si maintenant nous considérons le quadrilatère A A' M N et 
la'position du centre de perspectivité O des deux ponctuelles, 
nous aurons le théorème suivant : 

Etant donnés six points^ d'une conique, on en prend qua- 
tre* pour les sommets d'un quadrilatère et on détermine les 
points' où la corde* des points restants rencontre deux côtés 
opposés^; les droites* menées par deux points' pris sur les 
autres côtés® en ligne droite avec l'un d'eux* et par les ex- 
trémités'® de la corde*', rencontrent ces mêmes côtés'^en deux 
points "en ligne droite avec l'autre**. (Carnoy. Annales de 
La Société scientifique de Bruxelles, 1879-80 ; Cours de géo- 
métrie analytique, tome 1.) 

Ou bien : Etant donnés cinq points d'une conique, on en 
prend quatre pour les sommets d*un quadrilatère et Von 



»AA'MNSS'; «A A' MN ; «SiotO; <SS'; »MNol A A' ; •r' S' et r S; 'r'el /•; »M A 
«tN A'; «St; »«S'etS; "S S'; "N A' et M A; ««R'ctR; "O. 



368 



M, ALLIAVME 



mène par le cinquième deux droites quelconques^ la prt'- 
mière rencontrant deux côtés opposés en deux points ^^ la se^ 
conde rencontrant les autres côtés aussi en deux points: les 
droites qui joignent ces points combinés deux à deux for-' 
ment avec chaque groupe de côtés opposés deux quadriLatè'^ 




4f^p 



res tels que leurs diagonales se rencontrent sur la conique. 
(Carnoy, loc. cit.) 

IL* — Soit (fig. 2) une conique avec six tangentes «, m, a', 
71, 5, s^ dont quatre sont considérées deux par deux, a et m, 
a' et 71, comme faisant partie de deux faisceaux projectifs de 
centres S et S'. Posons à priori a homologue de a\ ô, joignant 
S à P, intersection de s et s\ homologue de b\ joignant S' à 



DEUX THÉORÈMES DE CARNOY 369 

P, et enfin S S' ou c élément uni des deux faisceaux; ceux-ci 
sont donc perspectifs, avec P A, où A estie point de rencon- 
tre de a et a', comme ponctuelle d'intersection. 

Pour fixer cette perspectivité, il faut trouver une loi gé* 
nérale qui réponde aux trois exemples posés. Je dis qu'elle 
consiste en ceci: Tintersection de m et de /i donne un point 
Si qui joint à P donne la droite ^i ; prenons un point variable 
V sur ^1 et joignons S V =/d et S' V = o ; p coupe ^ en q et 
p' coupe ^' en y'; les rayons/' et r' unissant respectivement 
S à f' et S' à f seront homologues et se couperont en un 
point R de P A. Pour qu'il en soit ainsi, il faut que cette loi 
donne les couples [a «'), [b i'), [c c'). La vérification en est 
aisée pour(c c') : il suffit de prendre V en Va, intersection de 
cavec PA;de même pour (66') en faisant venir V en P. Il reste 
à démontrer que a est, d'après cette loi, l'homologue de a' . 

Cherchons 4>, intersection de ^ et de a ; joignons 4> S' ==-« 
et marquons Vi l'intersection de $ S' avec ^i ; on voit facile- 
ment que, pour que la proposition soit exacte, les droites 
S Vi = a', a! et s' doivent se couper en un même point Y. 

Considérons Thexagone nm a s s' a' ii circonscrit à la. co- 
nique. D'après le théorème de Brianchon, en numérotant les 
sommets (/i m = 1, etc.) les droites 14, 25, 36 doivent se cou- 
per en un même point; comme, par construction, ceci se vé- 
rifie en Vi, il faut bien que a passepar Y etil est clair main-» 
tenant que a est Thomologue de a' , Enfin, si nous considé- 
rons le quadrilatère m n a a* et \di position de la ponctuelle 
d'intersection des deux faisceaux perspectifs, nous avons le 
théorème suivant: 

. Etant données six tangentes ' à une conique, on en prend 
quatre* pour former un quadrilatère et par deux sommets 
opposés • on tire deux droites* passant par le point d'inter- 
section^ des deux autres*; si on mène par les autres som- 
mets' deux droites* qui se coupent sur l'une d'elles*, les 
lignes *^ qui joignent ces mêmes sommets" aux points'* où 
ces droites'* rencontrent les deux tangentes", se couperont 
sur l'autre '*. (Cahnoy, loc. cit.) 



ï/n naa's 5'; «m n a o' ; «A et Si ; <P A et *i ; •? ; «* et ** ; ^S «I S' ; ^p et ^ ; • *i e« 
V; *«r ot r' î "S et S' ; "jB' et /^ ; «fi' et /) ; Mj* et / ; »»P A. 

L'Eii»eigneineiit mathém., 8* année; 1906. 3^ 



870 L. GODE AUX 

Ou bien : Etant données cinq tangentes d'une conique^ on 
en prend quatre pour former un quadrilatère, et on choisit à 
volonté deux points sur la cinquième tangente ; on Joint le 
premier à deux sommets opposés et le second aux deux au- 
tres sommets des quadrilataires ; deux points d'intersection 
des droites ainsi obtenues et combinées deux à deux for- 
meront avec chaque groupe des sommets opposés, deux qua- 
drilatères tels que les droites réunissant les points de concours 
des côtés opposés de l'un avec les points analogues de l'autre 
seront des tangentes à la conique. (Garnoy, loc. cit.) 

M. Alliaume. 



SURLAGEOMETROGRAPHIEDES COURBES PLANES 



t. — La méthode que nous avons donnée* ne s'applique 
pas, comme nous Tavons du reste fait remarquer, aux cur- 
vigraphes sans glissement. 

Nous nous proposons de combler cette lacune par l'em- 
ploi de plusieurs symboles cinématiques nouveaux. 

Pour exprimer que deux droites tournent autour d'un point 
fixe sur chacune d'elles mais mobile par rapport à leur plan, 
nous utiliserons le symbole Ki, 

Si Tune des droites et par conséquent le point sont fixes 
par rapport au plan des deux droites, le symbole deviendra K%. 

Le symbole de deux droites tournant autour d'un point 
fixe sera^ on le voit aisément, égal à 2 K2. 

Un curvigraphe quelconque aura donc un symbole de la 
forme 

(dt Di + /ti Kl -I- h Kl) ; 

coeflicient de simplicité : di + ki -\- k2. 



^ Application des mélhodes géométrograpliiques au tracé mécanique des courbes planes. 
VBnseignenunt mathématique, mars 1906, p. 143. 



GÉOMÉTROGRAPHIE DES COURBES PLANES 371 

Les curvigraphes sans glissement renFermant moins de 
causes d'erreur, à cause de la difficulté de fabriquer de bon* 
nés règles, nous prendrons dx comme cœificient d'exacti- 
tude. 

Nous allons donner quelques exemples. 

2. — Inverseur de Peaucellier^. Soit ABCD un losange ar- 
ticulé, PBD un triangle isocèle également articulé, BD étant 
la base. Adjoignons-y un petit triangle isocèle de sommet R 
et de base AP. 

Si P et R sont fixes, A décrit une circonférerice et C une 
droite perpendiculaire à PR. 

Symbole : (4 fi -f- 3 K%) ; Simplicité, 7 ; Exactitude a, ". 

Pour placer l'inverseur, la droite PR étant donnée en gran- 
deur et en position, on a 2 Ci. 

3. — Contreparallélogramme. Soient AB, CD les côtés non 
parallèles d'un trapèze isocèle, AC, BD étant les bases. La 
figure ABCD est un contreparallélogramme. 

Si Ton fixe les sommets AB, le point de rencontre P des 
droites AD, BÇ, décrit une conique. 

Symbole. [2Th + 2 Ki + 2 Ka) ; Simplicité: 6 ; Exactitude2. 
Pour placer Tappareil, on a 2 Ci . 

4. — Ellipsographe. — Si deux droites égales, 00' et O'A 
articulées sont telles que O reste fixe et que A décrive une 
droite OA, tout point de O'A décrit une ellipse, saufles points 
qui se trouvent sur la circonférence O' (00'). 

Symbole : (Di -f- Kj -f Ka) ; Simplicité, 3; Exactitude, 1. 
Pour placer l'appareil, on place d'abord O Ci 

on fait suivre à OB la direction du grand axe Ci 

On fait 00' = O'A = a. 2Ci 

5. ParaboLographe. — L'appareil se compose d'une tringle 
fixe A B (directrice) et d'un losange CDEK articulé dont un 
point F est fixe (foyer) et dont un autre D glisse sur AB. 

Un angle droit GDH a un côlé DG qui glisse sur AB. 
L'intersection H de DH et de CE décrit la parabole. 
Symbole : (8 Di + 3 Ki + 2 K«) ; Simplicité 13; Exactitude 8. 



* Voyez .* Nbl'bkro. Sur quelques systèmes de tiges articulées» tracé mécanique des lignes. 
Liège, 188JB. 
s II ne faut pas oublier qu'il s'agit, en réalité, du coefficient d'inexactitude. 



372 L. GODE AUX 

Pour placer Tappareil, on place F Ci 

puis AB 2Ci 

Op : (3 Cl). 

6. Compas conchoïdal, — Dans Tinverseur ABCDP de 
Peaucellier, si A décrit une circonférence passant par P, G 
décrit une droite perpendiculaire à PO, O étant le centre de 
la circonférence passant par A et P. 

Soit E le pied de la perpendiculaire abaissée de C sur PO. 
Une barre rigide FF' est invariablement liée à angle droit à 
PO en E, et Ton a EF = EF'. Si Ion fixe G, et que E décrit 
une ligne quelconque, F et F' décrirons les conchoïdes. 

Symbole (5 Ki + 2 K«) ; Simplicité 7. 

En particulier, si E décrit une droite, F décrit la conchoide 
de Nicomède, le symbole du curvigraphe devient (IDi +5 Ki 
+ 2 Kt), simplicité 8, exactitude 1. 

Symbole de placements Ci. 

Si E est invariablement lié à un point fixe O', les points F 
et F' décriront un limaçon de Pascal ; le symbole est (6 K, + 
3 Ka), simplicité 9. 

Symbole de placement 2 C, ? 

En général, si E parcourt une ligne plane algébrique 
d'ordre n^ le symbole du curvigraphe sera (D/i + 5 K, + 2 
Ka) ; simplicité 8, exactitude 1. 

7. Compas cissoïdal. — Soit ABCDP un inverseur de 
Peaucellier. 

Fixons le point A et faisons, au moyen d'une bride OP, 
parcourir au point P la circonférence O (OA = c). 

Le point C décrit une cissoïdale. 

Symbole: (4 K, + 3 Kt) ; simplicité, 7. 

Symbole de placement, 2 C|. 

Soit/7 la puissance de Pinverseur [p = PA X PC). 

Si /? = 4 c*, 

le point C décrit la cissoïde de Diodes. 

Si /> = 2c« 

le point C décrit une strophoïde. 

Si p = c^ 

le poini C décrit la trisectrice de Maclaurin. 

8. Génération de Ne^Uon, — On connaît la célèbre généra- 



ORBITES DES PLANÈTES ET DES COMÈTES 373 

tion des coniques donnée par Newton et que Steiner quali*- 
fiait plaisamment de « machine à vapeur ». Si deux angles 
constants AOB\ A'O'B' tournent autour de leur sommet et 
que B et B' parcourent une même droite, Tintersection des 
côtés OA et O'A' décrit une conique'passant par A et A'. B et 
B' décrivent une droite d. 3 D, 

L'intersection C de OA et de O'A' décrit OA et OA' 2Di 
OA et O'A' tournent autour de O et O' 2 Ki 

Symbole : (5Di +2 Ka); Simplicité? ; Exactitude 5. Sym- 
bole de placement 2 Ci. 

On voit que cette génération est loin d'être la plus simplet 

Mai 1906. 

L. GoDEAUX (Ath., Belgique.) 



EXPOSITION DE LA MÉTHODE DE LAPLAGE 
POUR DÉTERMINER LES ORBITES DES PLANÈTES 

ET DES GOMÈTES. 



Les méthodes de détermination des orbites donnent lieu 
à des calculs fort compliqués et dénués de symétrie. Il en 
est ainsi à cause de la nécessité d'adapter les Formules au 
calcul numérique. Lorsqu'on veut seulement montrer en 
quoi consiste la méthode, il y a je crois avantage à procéder 
differenîment, G'est ce que je vais faire pour la méthode 
donnée par Laplace. 

Gonsidérons un astre (planète ou comète) tournant autour 
du soleil. 

Nous observons cet astre de la Terre. Il s*agit de déduire 
de ces observations les éléments de l'orbite. 

Lorsqu'on a la position de l'astre à l'époque /, et sa viti;Hse 
en grandeur et direction, sa trajectoire est déterminée. Soit 



« D'après aotre critéffim. 



374 /. RICHARD 

jile coefficient d'altrartion du soleil, V la vitesse de la planète, 
r sa distance au soleil, a le demi grand axe de son orbite; 
le théorème des forces vives donne: 



v-a-i) 



fi est connu, parce qu'on suppose ta masse de lu planète né- 
gligeable par rapport à celle du soleil. 

V et /* étant connus, cette formule donne a. 

Le problème revient alors à déterminer une conique con- 
naissant un foyer, une tangente et son point de contact, et la 
longueur de Taxe focal. C'est là un facile problème de Géo- 
métrie. 

Pour déterminer Torbite d'un astre il s'agit de trouver sa 
position et sa vitesse à une époque donnée, c'est-à-dire les 
3 coordonnées j?y z de l'astre, et les dérivées par rapport à 
t de ces 3 coordonnées, l'origine étant supposée le centre du 
soleil. 

J'appelle r la distance de Tastre au soleil ; p sa distance à 
la terre. Laplace appelle p la projection de cette distance sur 
le plan de Técliptique, nous aurons plus de symétrie dans 
les calculs en nommant p cette distance elle même. 

Le plan de xy est supposé être le plan de Técliptique, en 
sorte que la terre est dans ce plan. Nous nommerons j:o, yo, 
jso les coordonnées du centre de la terre, R sa distance au 
soleil. 

Considérons le vecteur joignant la terre à l'astre. Sa 
longueur est p ; nommons a, v^ w les cosinus directeurs de 
la direction. Tout ce qu'on peut observer de la terre, ce sont 
les valeurs de u^ v^ w k différentes époques. On pourra donc 
calculer Uy v^ iv en fonction du temps, par l'une des méthodes 
d'interpolation connues; u^ v, a' étant connues en fonction 
de /, on connaîtra pour l'époque considérée les valeurs de 
u, if, Wf de leurs dérivées a', v\ iv\ de leurs dérivées 
secondes w'', p", u^»'', et même des dérivées d'ordre supérieur 
si cela est nécessaire. 

Lorsque w n'est pas identiquement nul, c'est-à-dire quand 
le plan de l'orbite n'est pas confondu avec celui de l'éclip- 



ORBITES DES PLANÈTES ET DES COMÈTES 



375 



tique, ii suffit de connaître les dérivées jusqu'au 2® ordre, 
comme on va le voir. 

Les projections du vecteur p sont j;- j?o, y -yo et z et aussi 
up^ vp^ {Vp, on a donc 



(i) 



x=zx^-^ up, y = y^ -{- vp z =z ivp . 



d'où en dérivant deux Fois par rapport à ^ et représentant 
les dérivées par des lettres accentuées 



(2) 



X =: 






jt^ + u"p + 2u'p' + Uf" , 



D'ailleurs la loi de Tattraction universelle donne : 



(3) 


„« _ _ Çf v" - — f5" r" - 


et aussi : 




(4) 


yr — _ f*-^o ^ _ /*2o 
~" R» ' -^0 "" R» • 






après avoir dans les formules (3) remplacé x, y, z par leurs 
valeurs de tirées de (1) portons les valeurs de a?", y", z", 
•^"^ yo""» ^o** dans le système (2). Nous obtenons ainsi le 
système suivant: 



(5) 



On a ainsi 3 équations linéaires en p p p" . Le déterminant 
des inconnues est: 



(6) 



A = 



a" u' u 



v^ v' V 



iv" tv' w 



376 /. RICHARD 

comme on le voit facilement, en retranchant de la f" colonne 

les éléments de la 3^ multipliés au préalable par ^ . 

Ce déterminant ne peut être nul que s'il y a entre m, i^, w 
une relation de la forme : 

au 4- P*' + yw* = 0. 

C'est là une proposition bien connue, de la théorie des 
équations différentielles linéaires. Si cette relation avait lieu, 
c'est que la planète serait dans un plan fixe passant par le 
centre de la terre. Ceci ne peut avoir lieu que si la planète 
a une inclinaison nulle sur le plan de Técliptique ; fv = o. [La 
détermination de Torbite dans ce cas est compliquée; elle 
exige au moins quatre observations. Les ouvrages que je 
connais traitant de ce sujet n'envisagent pas ce cas.] 

Résolvons les équations (5) par rapport à p., on trouve 

(7) ,=:K[i.-i,]. 

en posant : 

(8) K = ^ L (iw' ~ s^w') + y^(uv' — yu')\ . 

L'équation (7) va nous permettre de calculer p. 

Pour faire ce calcul, Laplace se sert du triangle S T P, 
c'est-à-dire du triangle ayant pour sommets le soleil, la terre 
et la planète. 

L'angle en T est connu. Le vecteur TPa pour cosinus 
directeurs u^ c, w, le vecteur TS a pour cosinus directeurs 



R ' R ' ^^^^ ' 


• 


donc 




(8) 


•"-=-^-? 


On a: 





(9) r* = p* -h R* — 2|B R C08 T 

L'équation (7) s'écrit: 

(7 his) r»(K — pR») = KR» 



ORBITES DES PLANÈTES ET DBS COMÈTES 377 

et élevant au carré et remplaçant /*' par sa valeur (9) on a une 
équation en p du 7^ degré qu'il faut résoudre. 

La méthode de Gauss est préférable ; elle consiste à prendre 
pour inconnue Tangle en P du triangle TS P. 

On a : 

^ 8IU (P-hT) ^ siii T 

'^ 8in P sin P 

en portant dans Téquation (7) on obtient une équation de la 
forme 

sin* P = a sin P -f-p cos P , 



a et /3 étant des constantes connues. 

a 



En posant î- = /g^y, a*4-/3* = '^*» on a: 

(10) sin* P = 5 sin (P 4- f ) . 



On est ainsi ramené à la résolution de cette équation. 
P étant connu, on calcule p; puis p étant connu, les équa- 
tions (5) donnent -^ ou p' \ pour cela on multiple la V^ par 

u\ la seconde par v\ la troisième par w', et on ajoute. 

On obtient ainsi, en observant que d'une part i/'+t^' + w* 
= i,et que par suite uu' + ^^' + «'(v' =0, et que, d'autre part, 
on a trouvé 

R» r» ~" K • 

on obtient, dis-je, Téquation : 

p étant connu, cette équation donne p' , 

On trouve ensuite â?, y, z à l'aide des formules (1) puisque 
p est connu. Par dérivations des mêmes formules on a les 
dérivées de x^ y^ z, puisque p est connu. 

On obtient donc bien la position et la vitesse de la planète 
à l'époque considérée. 

Le problème est ainsi résolu. 

J. Richard (Dijon). 



n 



GABRIEL OLTRAMARE 
1816-1906 



Bien que le professeur G. Oltramare comptait au nombre 
des nonagénaires de sa ville natale, la nouvelle de sa mort, 
survenue le 10 avril dernier, a surpris tous ses amis et ses 
anciens élèves. 11 semblait que ce vénéré vieillard, demeuré 
si robuste de corps et d'esprit, devait rester encore long- 
temps au milieu de nous. Ce qui subsiste maintenant, c'est 
le souvenir de cette originale figure, et il ne s'effacera pas 
de la mémoire de ceux qui ont connu cet homme excellent et 
professeur éminent. 

Gabriel Oltramare naquit à Genève le 19 juillet 1816 — il 
avait donc atteint sa quatre-vingt-dixième année, comme le 
mathématicien genevois Simon THuillier, Fun de ses prédé- 
cesseurs à l'ancienne Académie. Dès Tâgededix ans, il montra 
des dispositions particulières pour les mathématiques. Après 
avoir passé successivement par le Collège et l'Académie, il 
partit pour Paris où il fit des études de mathématiques supé- 
rieures. Reçu licencié es sciences mathématiques en Sorbonne, 
en 1840, il ne tarda pas à entrer en relations scientifiques 
avec plusieurs savants français, notamment avec Cauchy, 
Poisson et Arago. Il interrompit son séjour à Paris durant 
un an, en 1843, pour aller en Egypte où il était appelé à di- 
riger l'éducation d'Achmel Pacha, Tils d'Abraham Pacha. 

Rentré à Genève en 1848, il était nommé, le 18 novembre 
de la même année, professeur de mathématiques supérieures 
à l'Académie. 11 occupa cette chaire sans interruption jusqu'à 
la fin du semestre d'été 1900 et remplit pendant de nom- 
breuses années les fonctions de Doyen de la Faculté des 
Sciences dont il fut un administrateur dévoué. 

Les travaux de G. Oltramare appartiennent principalement 
aux domaines de la théorie des nombres, de l'algèbre et de 



GABRIEL OLTRaMARE 379 

Fanalyse supérieures ; on lui doit en outre des Notes d'Astro- 
nomie et de Météorologie. Ce sont d'abord des recherches sur 
le calcul des résidus ; elles ont été publiées dans les Comptes 
rendus de TAcadémie des Sciences de Paris et dans les Mé- 
moires des Savants étrangers en 1841. Puis viennent, de 1843 
à 1856, une série de travaux d'un grand intérêt sur la théorie 
des nombres; ils ont paru, pour la plupart, dans le Journal 
de Crelle et dans les Mémoires de L'Institut national genevois. 
Le plus important est sa « Note sur les relations qui existent 
entre les formes linéaires et les formes quadratiques des 
nombres premiers » (J. de Crelle, 1855). C'est une généra- 
lisation, par une méthode très originale, des résultats trouvés 
par Jacobi et Libri. 

Un savant mathématicien et physicien a écrit dans cette 
Revue : « Je compté les heures que j'ai consacrées à la théorie 
des nombres parmi les plus belles de ma vie. » Oltra- 
mare pouvait en dire autant; cette théorie. Tune des plus 
arides des mathématiques, était son sujet de prédilection. 
Jusqu'à ces dernières semaines il méditait toujours, au cours 
de ses longues promenades, sur quelque propriété des nom* 
bres qu'il s'empressait de communiquer à ceux de ses an- 
ciens élèves qui avaient le bonheur de le rencontrer. 

En algèbre et en analyse supérieures, M. OItramare laisse 
des recherches très remarquables, parmi lesquelles nous de- 
vonsnous bornera signaler cellesqui se rattachent à un calcul 
imaginé par lui en 1885, et auquel il attachait une grande im- 
portance. 

11 s'agit d'une opération symbolique distributive, désignée 
par G (généralisation) et définie par les égalités 

G(A -f Bl = GA -f- GB ; Gu^sT... = —^ — g — avec « + f -|- ... = /i . 

Prenons, pour simplifier, le cas d'une seule variable; 
l'extension au cas de n variables est facile. Soit f (x) une 
fonction développée en série d'exponentielles ^. 



* Voir EneykiopëdU 4er math. WUs. l\ k. 11, p. 773, article de M. Pmchrrlb. 



380 GABRIEL OLTRAMARE 

Oitramare envisage cette fonction comme résultat d'une 
opération G effectuée sur e"^, soit 

Ge*^ = 1 f(u) e*^ = f (X) . 

On en déduit 

En partant de là, il établit, dans son Calcul de Généralisa^ 
tion une méthode qui, dans bien des cas, peut fournir un 
précieux auxiliaire, principalement dans la détermination des 
intégrales et dans l'intégration des équations différentielles. 

Il faut ajouter toutefois que les transformations introduites 
par Oitramare ne sont pas d'une irréprochable rigueur, si 
Ton se place au point de vue des méthodes en usage aujour- 
d'hui, et qu'il y a donc lieu d'en préciser les conditions dans 
chaque cas particulier. 

■ Toutes les recherches sur le Calcul de généralisation ont 
été publiées dans les Mémoires de l'Institut national genevois 
et dans les Comptes rendus de l'Association française pour 
^avancement des sciences (1885-1898). Développées et perfec- 
tionnées dans la suite, elles ont été réunies d'abord sous le 
titre d' Essai sur le calcul de généralisation^ Genève 1893 ; 
(traduit en russe, St-Pétersbourg, 1895), puis, en une nouvelle 
édition, entièrement refondue, publiée à Paris en 1899. 

Mentionnons encore le traité d'arithmétique qui a paru 
en 1872, sous le titre de Leçons de calcul; calcul numérique. 

Mais Oitramare n'était pas seulement un mathématicien 
très distingué; c'était aussi un excellent professeur, un mattre 
dans toute l'acception du mot. La chaire qu'il occupa corn* 
prenait le calcul différentiel et intégral, l'Algèbre, la Géomé- 
trie analytique, la Géorhétrie descriptive et le calcul des pro- 
babilités. Doué d'une remarquable énergie, qu'il a du reste 
conservée jusqu'aux derniers jours de sa vie, il savait in- 
téresser ses auditeurs par un enseignement vivant et leur 
inculquer une bonne méthode de travail. Il fut un ami pa- 
ternel et bienveillant pour tous ses élèves, leur prodiguant 
les avis et les conseils. 

Telle fut la vie du savant et du professeur; vie vouée 



GABRIEL OLTRAMARE 381 

tout entière à la science, à Famitié et au développement 
scientifique de ses étudiants. Ce Fut une vie à la fois belle 
et heureuse, qui restera un noble exemple pour ses nom- 
breux élèves. H. Fkiir. 



Liste des publications de Gabriel Oltramare 

rangées par ordre chronologique. 

1. Recherches sur le calcul des résidus. Paris, C. R., 1841, t. 12 

p. 953; t. 13, p. 296; Paris, Mém. Sav. Etr., 1841. 

2. Note concernant une seiche observée sur le lac de Genève. 

Paris, C. /?., 1841, t. 13, p. 829. 

3. Recherches sur la théorie des nombres. Paris, 1843, in-8*, 

15 p. 

4. Considérations générales sur les racines des nombres pre- 

miers, 14 p. in-4*. Journ. de Crelle, 1853, t. 45, p. 303-316. 

5. Résolutions des congruences du troisième degré. Journ. de 

Crelle, 1853, t. 45, p. 316-346. 

6. Note sur les séries décroissantes dont les termes sont alterna- 

tivement positifs et négatifs. Journ. de Cretle, 1853, t. 49^ 
p. 345-348. 

7. Mémoire sur la résolution de l'équation indéterminée aa- -f- 

hky — z{j:^ + ky^,. Journ. de Crelle, 1855. t. 49, p. 142-150. 

8. Note sur les relations qui existent entre les formes linéaires 

et les formes quadratiques des nombres premiers. Journ. de 
Crelle, 1855, t. 49, p. 151-160. 

9. Mémoire sur la détermination des racines primitives des nom- 

bres premiers. Journ. de Crelle^ 1855, t. 49, p. 161-186. 

10. Mémoire sur quelques propositions du calcul des résidus. 

Genève, Inst. nat., 1855, t. 4, 15 p. 

11. Sur les nombres inférieurs et premiers à un nombre donnée 

Genève, Inst. nat., 1856, t. 4, 10 p. 

12. Sur les quantités infinies. Genève, Inst. nat.y 1856, t. 4, 34 p. 

13. Note sur la fonction Gm = , — ' ,' o ^ » ^'*«^- nat.^ 1856, t. 4, 

(m -f- 1 zm) 

ip. 

14. Sur les séries mixto-périodiques. Inst. nat.y 1857, t. 5, 24 p. 

15. Note sur les formules algébriques du second degré qui déter- 

minent une suite de nombres premiers. Inst. nat., 1857, t. 5. 

16. Mémoires sur les fonctions discontinues. Inst. nat., 1863, t. 9, 

19 p. 

17. Sur Texistence d'une loi de répartition analogue à la loi de 

Bode ou de Titius pour chacun des systèmes de satellites de 



382 GABRIEL OLTRAMARE 

Jupiter, de Saturne et d^Uranus. Paris, C. /?., 1870, t. 70, 
p. 739. 

18. Leçons de calcul. Arithmétique. Genève, 1872, in-8**, 152 p. 

19. Sur la transformation des formes linéaires des nombres pre- 

miers en formes quadratiques, Paris, 6\ /?., 1878, t. 87, 
p. 734, Genève, Inst, nat., 1879, t. 14, 66 p. 

20. Notice sur la constitution des nuages et la formation de la 

grêle. Paris. C, /?., 1879, t. 88, p. 818. Genève, Arch. Se. ph,, 
1879, t. 1, p. 487-501. 

21. De la suspension des nuages et de leur élévation dansTatmos- 

phère. Paris. C. A, 1879, t. 88, p. 1265. 

22. Explication du bolide de Genève du 7 juin 1879. Paris, C. ff., 

1879, t. 88, p. 1319. 

23. Note sur la série qui résulte du développement de ^ __ ' ^ . As- 

soc, franc. Paris, 1881, p. 117-127. 

24. Mémoire sur la généralisation des identités. Genève, Inst. 

naL, 1886, t. 16, 109 p. 

25. Extraits de divers mémoires relatifs au calcul de généralisa- 

tion, Assoc. franç.y Grenoble 1885 (1), p. 89, 92, 94; Paris, 
1889 (2), p. 145; Toulouse, 1887(5), p. 75, 285; Marseille, 
1891 (2), p. 66. 

26. Essai sur le calcul de généralisation. Genève, 1893, in -4, 132 p. 

(autographié), traduit en russe; Pétersbourg, 1895. 

27. Note sur le nombre des fonctions arbitraires qui entrent dans 

rintégrale complète des équations linéaires aux différences et 
différentielles partielles. Assoc. franc., Bordeaux. 1895. 

/COS YX U.JC 
t \ Et .,t . Assoc. franc. Bordeaux, 

1895. 

29. Mémoire sur Tintégration des équations aux différences mêlées. 

Assoc. franc. y Bordeaux, 1895. 

30. Calcul de généralisation. Paris, Hermann, 1899, in-8**, 191 p. 



ENQUÊTE SUR LA METHODE DE TRAVAIL 
DES MATHÉMATICIENS ' 



A propos des questions 6 à 9. 
Lettre de M. Gino Loria (Gênes). 

Dans la très intéressante «nquête de V Enseignement ma- 
thématique sur la méthode de travail desmathémaliciens on a 
reproduit presqu'uniquement les opinions des savants vi- 
vants. Dans vos « observations finales, », à la fin du Question- 
naire, vous avez fait ressortir l'intérêt qu'il y aurait d'obtenir 
des renseignements sur les mathématiciens disparus. 11 y 
aurait en effet à glaner bon nombre de renseignements utiles 
en cherchant dans la correspondance, dans les discours et 
même dans les ouvrages des grands géomètres morts, 
comme cela a du reste été fait pour la question 1. Permettez- 
moi donc d'apporter deux faits à Tappui de cette remarque. 
Je serais heureux que mon exemple fut suivi par d'autres et 
que l'on parvint ainsi à former un utile complément à cette 
importante enquête. 

Lagrange. — Dans le beau volume de C.-A. Bjerknes, 
Niels-Henrik Abel (Paris, 1885) il y a (p. 174-176) des détails 
très intéressants sur la manière de travailler de Lagrange. 
Holmboe, le maître d'Abel, les avait trouvés dans le journal 
de Lindenau et Bohnenberger. En voici le principal passage : 

« Je n'étudiais jamais dans le même temps qu'un seul ouvrage; 
mais s'il était bon, je le lisais jusqu'à la fin. 

ft Je ne me hérissais, pas d'abord contre les difficultés, mais je 



1 VoirVEnt. maM., 7* année, n*5, p. 387-395 ; n* 6, p. 473-i78, 1905; 8* année, n* 1, p. i3- 
48, n* S, p. 917-335, 393-310, 1906. 



384 ENQUÊTE SUR LA MÉTHODE DE TRAVAIL 

les lisais pour y revenir ensuite vingt fois s'il le fallait; si après 
tous ces efforts, je ne comprenais pas bien, je cherchais comment 
un autre géomètre avait traité ce point-là. 

« Je ne quittais point le livre que j'avais choisi sans le savoir, 
et je passais tout ce que je savais bien quand je le rencontrais de 
nouveau. 

« Je regardais comme assez inutile la lecture de grands traités 
d'analyse pure ; ii y passe à la fois un trop grand nombre de mé- 
thodes devant les yeux. C'est dans les ouvrages d'applications 
qu'il faut les étudier : on y juge de leur utilité, et on y apprend la 
manière de s'en servir, selon moi, c'est aux applications qu'il 
convient de donner son temps et sa peine ; et il faut se borner en 
général à constilter les grands ouvrages sur le Calcul, à moins 
qu'on ne rencontre des méthodes inconnues ou curieuses par 
leurs usages analytiques. 

« Dans mes lectures, je réfléchissais principalement sur ce qui 
pouvait avoir guidé mon auteur à telle ou telle transformation ou 
substitution et à l'avantage qui en résultait; après quoi je cher- 
chais si telle autre n'eût pas mieux réussi, afin de me façonner à 
pratiquer habilement ce grand moyen d'analyse. 

« Je lisais surtout la plume à la main, développant tous les cal-» 
culs et m'exerçant sur toutes les questions que je rencontrais ; et 
je regardais comme uile excellente pratique celle de faire l'analyse 
des méthodes et même l'extrait des résultats quand l'ouvrage était 
important ou estimé. 

« Dès mes premiers pas j'ai cherché à approfondir certains 
sujets pour avoir occasion d'inventer, et de me faire autant que 
possible des théories à moi sur les points essentiels, afin de les 
mieux graver dans ma tète, de me les rendre propres, et m'exer- 
cer à la composition. 

« J'avais soin de revenir fréquemment aux considérations géo- 
métriques, que je crois très propres à donner au jugement de la 
force et de la netteté. 

« Enfin je n'ai jamais cessé de me donner chaque jour une 
tâche pour le lendemain. L'esprit est paresseux ; il faut prévenir 
sa lâcheté naturelle et le tenir en haleine pour en développer 
toutes les forces et les avoir prêtes au besoin ; il n'y a que l'exer- 
cice pour cela. C'est encore une excellente habitude que celle de 
faire, autant qu'on peut, les mêmes choses aux mêmes heures, en 
réservant les plus difficiles pour le matin. » 

Helmholtz. — A roccasion du diner qu'on lui donna pour 
fêter sa 70™" année, Helmholtz a donné, des détails extrême- 
ment remarquables sur les conditions où il fit ses princi- 
pales dérouvertes. C'est un passage bien beau que je tranô- 



MÉLANGES ET CORRESPONDANCE 385 

cris textuellement n'ayant pas le courage de le traduire, de 
peur de le gâter. 

« Da ich aber ziemlich oft in die unbehagliche Lage kam, auf 
gûnstige EinfôUe harren zu mûssen, habe ich darûber, wann und 
wo sie mir kamen, einige Erfahrungen gewonnen, die vielleieht 
Anderen noch nûtzlich werden kônnen. Sie schleichten oft genug 
still in den Gedankenkreis ein, ohne dass man gleich von Anfang 
ihre Bedeutung erkennt ; spâter hilft dann zuweilen nur noch ein 
euftUiger Umstand, um zu erkennen, wann und unter welchen 
Umstânde sie gekommen sind; sonst sind sie da, ohne dass man 
weiss woher. In anderen Fâllen aber treten sie plôtzlich ein, ohne 
Anstregung, wie eine Inspiration. So weit meine Erfahrung geht, 
kamen sie nie dem ermûdenden Gehirne und nicht am Schreib- 
tisch. Ich musste immer erst mein Problem nach allen Seiten so 
yiel hin- und hergewendet haben, dass ich aile seine Wendungen 
und Verwîckelungen im Kopfe ûberschaute und sie frei ohne zu 
schreiben, durchlaufen konnte. Es dahin zu bringen, ist eine 
Iftngere vorausgehende Arbeit meistens nicht mOglich. Dann 
mûsste, nachdem die davon herrûhrende Ermûdung vorûberge- 
gangen war, eine Stunde voUkom mener kôrperliche Frische und 
ruhigen Wohlgefûhls eintreten ehe die guten EinfïUe kamen. 
Often waren sie wirklich des Morgens bei Aufwachen da. 
Besonders gern aber kamen sie bei gemâchlichen Steige ûber 
waldige Berge in sonnigem Wetter. Die kleinsten Mengen alko- 
holischen Getrànks aberschienen sie zu verscheuchen. [Vortrâge 
und Reden, IV. Aufl. 1896, L Bd., p. 15). » 

Note de la rédaction. — Vahondance des matières nous oblige 
à remettre à un prochain numéro la suite de la publication des 
résultats de l'Enquête. 



MELANGES ET CORRESPONDANCE 



Vues stéréoflcopiques pour renseignement de la Géométrie. 

1< — Dans une petite note, insérée dans le dernier numéro (p. 
317), nous avons attiré Fattention des professeurs sur l'emploi du 
stéréoscope pour développer chez les élèves l'intuition de Tespace. 
Elle nous a valu de nombreuses lettres dans lesquelles nos cor- 
respondants insistent à leur tour sur le parti que Ton peut tirer de 
cet appareil ; quelques-unes répondent en outre à notre demande 

L'EpueignemMit mathém., 8« aooée ; If 06. 25 



â86 MÉLANGES ET CORRESPONDANCE 

de renseignements sur ce qui a été édité dans ce domaine. Ce 
sent les lettres de MM. Berdellb (Rioz, Htç-Sa6ne]^ Crblibr 
(Bien ne], Grebnhill (Londres), Linsenmann (Munich), Prieur (Be- 
sançon), Saint-Loup (Vuillafans, Doubs), STiNER(Winterthour),F. 
J. Vaes (Rotterdam). 

L'emploi du stéréoscope dans renseignement a déjà été préco- 
nisé à plusieurs reprises, en Allemagne et en France. Il existe 
même, depuis plus de quarante ans, des vues destinées à rensei- 
gnement de la Géométrie et de la Cristallographie. Plusieurs de 
ces collections sont aujourd'hui épuisées et il est à désirer qu'il 
se fasse de nouvelles figures dans lesquelles on tiendrait compte 
des procédés modernes de reproduction et des besoins actuels des 
divers degrés de renseignement mathématique. Les résultats ob- 
tenus sont encourageants, ainsi que cela ressort des lettres que 
nous avons reçues, et il faut espérer que les essais se généralise- 
ront de plus en plus. Cela est d'autant plus facile que les stéréos- 
copes à main se trouvent déjà en nombre suffisant dans beaucoup 
d'établissements scolaires. Nos lecteurs peuvent facilement se ren- 
dre compte de çisu de ce que donne l'appareil en examinant les 
deux vues dont il est question dans la note ci-après de M. Stiner 
et dont un exemplaire a été encarté dans le présent numéro. 

Voici maintenant un premier aperçu bibliographique. Nous le 
ferons suivre d'une description des principales collections. 

2. — Lettre de M, Stiner. — On trouve des vues stéréoscopiques 
de figures géométriques dans les ouvrages suivants : 

Wheatstonb Ch.,\Se/Yrâ^e zur Physiologie des GesichtssinneSy I. 
Teil ; Ueber einige merkwûrdige und'bis jetzt unbeobachtete Er- 
scheinungen beim Sehen mit beiden Augen. Uebersetzt von D' 
A. Franz Annalen der Physik und Chemie von Poggendorf. I. Er- 
gânzungsband, Leipzig 1842. 

Helmholtz, Handbuch der physiologischen Optiky Leipzig 
1856-66. 

Steinhauser a., Ueber die geometrische Construction der Ste^ 
reoskopenbilder^ Graz 1870. 

« En ce({ui concerne plu^ particulièrement les publications des- 
tinées à l'enseignement, dans le sens de la question posée par 
M. le prof. Fehr, nous mentionnons : 

Eltzner C. h., Das Stereoscop^ eine Sammlung von 28 Tafeln 
mathemàt. Kristallkôrper und Flàchen stereoscopisch dargestellt, 
Leipzig 1864. 

Brude a., Stereoskopische Bilder aus der Stéréométrie. Bezogen 
auf den Cubus und entnommen dem Werke desselben Verfassers: 
« Das Zeichnen der Stéréométrie, » Stuttgart 1872. 

Steinhauser A., Stereoskopische IVandtafeln, Carl's Reperto- 
rium der Experimentalphysik Bd. XII, Mûnchen 1877. 

« Dans mon enseignement de Stéréométrie et de Géométrie des- 



MELA/TGES ET COBR ESPONDAN CE Zil 

criptive au Techaicum, j'emploie depuis un certain temps déjji, 
des vues stéréoscopiques établies les unes par construction, les 
autres d'après la photographie de modèles. J'en ai fait l'objet 



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d'une communication à la réunion annuelle de l'Association suisse 
des maîtres de mathémathique en 1903. Sur l'invitation de M. le 
prof. Fehr je présente ici deux exemples empruntés à ta dite con- 



388 MÉLANGES ET CORRESPONDANCE 

fèrence. Une publication peu étendue est en ce moment en pré- 
paration. 

« Les deux modèles sont construits pour une distance de 6,5 cm. 
entre les deux yeux, ceux-ci étant à une distance D = 24 cm. du 
plan de l'image. Ces vues peuvent donc être regardées sans sté- 
réoscope ; on peut introduire une séparation de manière à ce que 
chaque œil ne voie qu'une image. 

<( Pour que les vues soient faciles à saisir et produisent Teffet 
voulu, il est indispensable que leur construction soit faite avec 
une grande exactitude et beaucoup de soin. A cet effet nous avons 
eu recours à un plan auxiliaire parallèle au plan de Timage et 
situé à une distance Da = 240 cm. Les perspectives obtenues sur 
ce plan sont des figures semblables à celles du plan D, le rapport 
de similitude était Vio ' elles sont ensuite réduites aux dimen* 
sions définitives par le moyen de la photographie. 

« Pour l'exemple ci-joint concernant l'ombre portée par un cadre 
rectangulaire sur des plans rectangulaires, avec les conventions 
usuelles, on a fait les hypothèses suivantes : horizon perspectif à 
4,5 cm. au dessus du bord inférieur; point de vue à droite, à 3 cm. 
à gauche du bord antérieur du troisième plan de projection, le 
premier et troisième plan étant limités par le plan auxiliaire Da : 
dimensions du cadre: longueur 45 cm., hauteur 60, largeur 9^ 
épaisseur 4,5, 

« L'autre modèle donne Tintersection d'un paraboloïde hyper- 
bolique avec la surface latérale d'un cylindre de révolution, l'inter- 
section se décomposant en une génératrice commune et en une 
courbe gauche du 3* ordre. Les valeurs 4,5*"" et 3'"* sont rempla- 
cées ici par 4 et 2 ; rayon du cylindre 15 cm., l'axe étant à 27,5 
derrière Da ; les génératrices du paraboloïde sont dans des plans 
parallèles distants entre eux de 4 cm. 

« Pour tout ce qui concerne la construction de vues stéréoscopi- 
ques de figures géométriques parle moyen de la photographie, on 
trouvera d'utiles indications dans l'ouvrage suivant: Stbinhausbr, 
A., Die theoretische Grundlage fur die Herstellung der Stereosco- 
penbilderaufdem Wege der Photographie. Lechner, Vienne, 1897. 

G. Stiner (Winterthour). 

3. — La Géométrie au stéréoscope, par L. Saint-Loup, profes- 
seur de mathémathiques au Lycée Bonaparte, Paris, Hachette^ 
1886. — MM. Prieur (Besançon) et Berdellé (Rioz, Haute-Saône) 
nous signalent cet ouvrage, aujourd'hui épuisé, et qui consiste en 
un stéréoscope très rudimentaire avec 80 planches stéréoscopi- 
ques de Géométrie dans l'espace (n°' 1 à 40) et de Géométrie des- 
criptive (n*** I à XL) ; le tout est accompagné d'une plaquette d© 
36 pages donnant les énoncés des théorèmes auxquels se rappor- 
tent les vues stéréoscopiques. M. Saint-Loup, qui est doyen hono- 



MÉLANGES ET CORRESPONDANCE 389 

raire de la Faculté de Clermont, ancien professeur aux Facultés 
de Strasbourg, de Poitiers et de Besançon, est maintenant en 
retraite aux environs de Besançon. « Il a fait dans cette ville, nous 
écrit M. Berdellé, plusieurs conférences pour la propagation de 
TEspëranto. Je m'étonne qu'il n'ait pas eu Tidée de rééditer son 
ouvrage dans cette langue. Beaucoup de mathématiciens sont 
espérantistes ; pourquoi n'écriveut-ils pas dans cette langue, au 
moins, pour commencer, des traités très courts et très élémentai- 
res. J'aurais déjà voulu le faire, mais le vocabulaire ^ m'en manque 
et j'ai éprouvé par expérience que je n'étais pas assez initié pour 
le former. 

Si M. Saint-Loup réédite son ouvrage, il ferait bien d'y ajouter 
quelques planches pour illustrer les principes du stéréoscope et 
de la vision binoculaire. 

4. — Collections Schlotke. — M. Schlotke, ancien directeur 
de l'Ecole industrielle et du Technicum de Hambourg, a publié, de 
1870 à 1875, les trois collections suivantes : 

I. Stereoskopische Figuren. Ein AnschauungsmittelzumGebrauch 
beim Studium der Stéréométrie und sphflrischen Trigonométrie. 
Hambourg, Friederichsen et C*^., 1870. [épuisé], 

II. Die Hauptaufgaben der descriptis^en Geometriey in stereosco- 
pischen Figuren dargestellt. Hambourg 1871, prix: 2 M. 40. 

III. Krystallographie, Stereoscopische Darstellung einer Reihe 
der wichtigsten Krystalle, der Combinationen derselben, etc.... 
Hambourg, 1873, prix: 4M. 50. 

I. Bien que la première série ne se trouve plus dans le com- 
merce, nous croyons cependant devoir en donner un court aperçu 
d'après les indications qu'a bien voulu nous fournir M. Linsbn- 
MANN, conservateur de la Collection mathématique de l'Ecole tech- 
nique supérieure de Munich. Cette première série comprend 32 
planches (8 X 16 cm^) très bien dessinées et qui examinées au 
stéréoscope, donnent un excellent effet. Voici quelques exemples: 

1) Une droite MN est perpendiculaire à un plan si elle est per- 
pendiculaire à deux droites passant par son pied dans le plan. 

2) Soit la droite AB projetée sur le plan MN suivant AC; toute 
droite DE située dans le plan MN et perpendiculaire à AC est per- 
pendiculaire à AB. — 3) Angle d'une droite et d'un plan. Démons- 
tration de l'angle minimum... — 6} Plus courte distance de deux 
droites. — iO] Trièdre. Démonstration de la relation <}:; BAC + 
<t; CAD >><J^BAD. — ... iS) Trièdre et trièdre supplémentaire. — ... 
2k) Triangle sphérique. — ... 28) Cercles tracés sur la sphère ter- 
restre. Axe et équateur. Longitude et latitude. — 29) Cercles tra- 
cés sur la sphère céleste. Zénith, Nadir ; Axe, Azimut, etc.. — 30} 



* Le vocabulaire a éU établi par M. Bricard aoui le titre: MaUmatica Termimarê^ Paris, 
Hachette, 75 cent. (H. F.) 



390 MÉLANGES ET CORRESPONDANCE 

Equateur, écliptique, ascension droite, etc.. — âiy Horizon, Equa-^ 
teur, écliptique, etc.. 

Comme on le voit, cette collection contient d'excellents exem- 
ples, et ceux qui sont empruntés à la Géographie mathématique 
et à la Cosmographie ne sont pas les moins utiles. 

II. — Nous avons sous les yeux les modèles destinés à rensei- 
gnement de la Géométrie descripiiçe ; ils sont au nombre de 30 et 
embrassent l'ensemble du programme d'un enseignement élé- 
fiientaire. La listé ci-dessous donne iine idée du champ que l'on 
t)eut parcourir avec ces modèles. 

i) Projection d'une droite sur 3 plans rectangulaires. —- 2) Vraie 
grandeur d'une droite AB par la rotation du plan projetant... 4) 
Angle de deux droites. — ... 7) 8) et ^) Intersection de deux plans. 

— ... i4) Angle de deux plans. — ... i^) 20) et 2i] Intersection de 
polyèdres. — 2^1] à 26) Intersection de cônes et de cylindres. — 27) 
Hyperbolpïde de révolution ; plan tangente — 28) Paraboloïde hy- 
perbolique. — 2[^) Conoïde droit. — 30) Voûte. 

Les figures sont aussi très bien exécutées et, bien que la nota- 
tion employée (les projections du point A sont a, aj ne soit plus 
en usage, elles peuvent encore rendre de bons services dans l'en- 
seignement élémentaire. 

III. — Signalons enfin la collection destinée à faciliter l'étude 
de la Cristallographie \ elle coinprend 51 figures réparties sur 45 
planches avec un court texte explicatif. 

5. — Le stéréoscope a encore trouvé des applications fort inté- 
ressantes dans la théorie des fonctions elliptiques, M. Grbbnhill a 
présenté aux membres de la Société mathématique (voir Bull, de 
la Soc. math. XXIX, 1901), un « appareil steréoscopique pour 
mettre en relief les figures géométriques se rapportant aux fonc- 
tions elliptiques ». 11 s'agit d'exemples relatifs à la chaînette sphé- 
rique et à certaines courbes algébriques. Les figure^ au nombre 
de 14 ont été dessinées par Dewar et reproduites par la maison 
Amstrong et C® h Newcastle. 

6. — Modèles Wibnbr. — M. Chr. Wiener a établi deux photo- 
graphies stéréoscopiques du modèle d'une surface du â* ordre a9ec 
27 droites. Elles ont été éditées, 1869, avec un texte explicatif (8 p.), 
par la maison Teubner à Leipzig; prix: 2 M. 40. 

7 et 8. — Mentionnons encore deux collections employées aux 
Etats-Unis et éditées l'une par la Maison Heath et C% à Boston, 
l'autre par la Maison Underwoodet Underwood à New-York. Noii» 
comptons pouvoir les décrire dans un prochain numéro. 

- Nous y joindrons .les notes et les renseignements bibliographi- 
ques que nos lecteurs voudront bien nous adresser. 

H. Fbhr. 



MÉLANGES ET CORRESPONDANCE 391 



Démonstration élémentaire d'un théorème sur le triangle.^ 

Il s'agît du théorème connu : Etant donnés un triangle ABC 
et la circonférence circonscrite^ les cercles déterminés par les pieds 
des perpendiculaires abaissées des points dun. même diamètre 
MN de cette circonférence sur les 3 côtés du triangle^ passent 
par un point fixe. 

Les 2 lignes de Sîmsondes deux extrémités M et N du diamè- 
tre sont 2 cercles particuliers parmi ceux que nous considérons. 
En vertu du théorème bien connu de Tucker, ces 2 lignes de Sim- 
son se coupent à angle droit sur la circonférence du cercle des 
neuf points du triangle donné. Par conséquent nous avons à prou- 
ver que le cercle passant par les pieds des 3 perpendiculaires 
abaissées d'un point quelconque du diamètre MN sur les 3 côtés 




passe par le point d*intersection X de ces lignes de'Simson. Pour 
cette démonstration j'utiliserai 2 lemmes : 

LemmeL — Soient D et E les pieds des perpendiculaires abais- 
sées de M sur AB et AC, de sorte queDE est la ligne de Simson 
de M. De même, soient F et G les pieds des perpendiculaires 
abaissées de N sur BC prolongé et AC, de sorte que FG est la li- 
gne de S>mson de N. Représentons par X le point d'intersection 
de DE et FG. Les triangles MBN et ÊXG sont semblables. 

Car, comme MBN et CFN sont égaux comme angles droits, et 

NMB = 'iiCPy les triangles MBN et CFN sont semblables et comme 



^ Le manuscrit de- cette note était déjà expédié à la Rédaction lorsque noui avoni trouvé 
dans les Nouv. Ann, de nov. 1005, une démonstration moins élémentaire par M. FoNTRiii, 
p. 604-506. — T. Hayashi. 



392 



MÉLANGES ET CORRESPONDANCE 



Œii et ÈXG sont égaux comme angles droits, et CÎNt = CGt* = 

LEG, les triangles CFN et EXG sont semblables. 

Donc, les triangles M6N et EXG sont semblables. 

Lemme IL — Représentons par H et K les points d'intersection 
de MN avec AB et ÂC respectivement. Les triangles EMK et XBK 
sont semblables. 

Car, puisque ME || NG, on a 



KE _ KG _ EK 4- KG _ EG _ 
KM ■" KN ~" KM -HëN "^ MN "~ 



EX 
MB 



(Lemme I). 



Par suite : || = ^ et KEX = KMB. 

Donc les triangles KEX et KMB sont semblables. 




-Par suite: A. = MÎcfe. 
D'où Èlbc + xlcM = IVÏICB + XÛl, 
C'est-à-dire ÈI^ = XI^, 

d'où 






KM ,, KE _KX 
j^g ; d où KM "" KB • 

Par conséquent les triangles EMK et XBK sont semblables. 

Démonstration du théorème. — Soit P un point quelconque si- 
tué entre H et K et soient PQ, PR, PS les perpendiculaires abais- 
sées de P sur BC, CA, AB respectivement. 

Puisque PR || ME et conséquemment les triangles EMK et 
RPK sont semblables, les triangles XBK et RPK sont semblables 

(Lemme II) ; d'où || = H et xick = B^. 

Donc les triangles XKR et BKP sont semblables. 

Par suite : KR!X = K^ ; d'où 5^A = Ht^. 



MÉLANGES ET CORRESPONDANCE 393 

D'une manière analogue XSA = KPC. 

£« outre, puisque P, Q, C, R sont sur une même circonférence, 

P^ = pck. 

D'une manière analogue PQS = PBS. 
Par conséquent: 

R$b 4- Rxà = PQR + PQS + S^A + XfsX + À, 

/\ /\ /\ /\ 

= PCR + PBS 4- HPB + KPC H- A. 

/\ /\ /\ 

= BPC + HPB + KPC, 

= 2 angles droits. 

Donc Q, R, X, S sont sur une même circonférence, 
r^a démonstration dans le cas où P n'est pas situé eiltre H et K 
est très peu différente. % 

Ce qui précède a été suggéré par moi et complété par K. Kato. 

T. Hayàshi (Tokio). 



La loi de « causation » et le postulatum d'Euclide. 

I. — Si la géométrie, depuis Euclide, s'est constamment perdue 
dans la dialectique, et les combinaisons de mots masquant trop 
souvent la fausseté des raisonnements, c'est pour ne pas avoir mis 
à la base de son enseignement l'expérience directe, d'où découle 
la grande loi de la « causation ». 

Il me faut bien créer ce mot de « causation » puisque la science 
latine n'a pas encore osé le faire, s'étant arrêtée à « causalité ». 
J'entends par loi de la causation, la loi expérimentale suivante : 

« Une même cause produit toujours les mêmes effets, » 

Nous vivons dans cette loi et elle est une des quelques grandes 
lois naturelles dont nous nous servons constamment, sans jamais 
la moindre hésitation, et sans pourtant oser franchement l'expri- 
mer à la base de tout notre enseignement. 

Je vais avoir cette .franchise pour démontrer directement, et 
sans le secours des parallèles, que les trois angles d'un triangle 
valent deux droits. 

Ainsi sera levé le doute que laisse planer, pour d'aucuns, sur la 
géométrie, le recours au postulatum d'Euclide, que nous démon- 
trerons au lieu de l'admettre. 

11. — 1" Proposition. — Dans un même cercle^ ou dans tous les 
cercles égaux ^ de mêmes angles au centre saus^'tendent des arcs 
toujours les mêmes, et réciproquement. 

Cette proposition obéit à la Joi de causation ; l'identité des cer- 



894 



MÉLANGES ET CORRESPONDANCE 



clés et des angles au centre, qui sont les causes, commande Tiden- 
tité des arcs .&ous-tendus qui sont des effets. 

Inversement la cause identique « arcs égaux » avec « cercles 
égaux » commande Teffet identique « angles au centre égaux ». 

Il importe de remarquer que je n'ai pas parlé de la réciproque 
de la loi de causation ; je me suis gardé de dire que Teffet « arcs 
égaux » devait être engendré par des angles égaux dans des cer- 
cles égaux. 

Car on ne peut dire qu'un effet donné ne peut être produit que 
par une cause unique 

Si la loi de causation est absolue, sa réciproque ne Test pas. 
Remarquons encore que j'ai employé, à dessein, le mot identité 
comme plus expressif qu'égalité. 

2"® Proposition. — Dans un cercle un angle au centre a pour 
mesure Varc intercepté entre ses côtés. 

Cette proposition se démontre comme U est fait actuellement 
dans toutes les géométrieis. 

3inc Proposition. — Un angle inscrit a pour mesure la moitié de 
l'angle interprété entre ses côtés. 

Soit un cercle de diamètre ACB. 
a) Considérons d'abord un angle 
inscrit MBC dont un côté passe par le 
centre. 

Prenons ensuite l'arc AN égal à 
l'arc AM et joignons NB ; l'angle ABN 
sera égal à l'angle ABM en vertu de 
la loi de causation. 

Je vais faire voir que l'angle inscrit 
MBN est la moitié de l'angle au cen- 
tre MCN. 

Faisons glisser tout le cercle de 
diamètre ACB, dans le plan sur lequel 
il est tracé, de manière à ce que le 
centre C décrive le rayon CB et s'ar- 
rête en B. 

Opérons ce glissement sans faire 
subir de rotation sur lui-même au cer- 
cle ACB. 

Dans ces conditions le point A viendra en C, le point M en /n 
et le point N en /i, les .trois points m C et /i étant sur la circonfé- 
■penoe -en traits i n terrom pu s . 

Je pourrais dire que la loi de causation provoque le parallélisme 
des droites Mm, AC et Nn ; je n'en ferai rien ; je me contenterai 
de dire que ces trois droites sont forcément égales, car elles sont 
les effets d'une même cause; cette cause est le. glissement du cer- 
cle, sans rotation sur lui-même. 




MÉLANGES E T CO R R ESPOIfùAyC E 395 

Joignons Bm et Bn. L'angle au centre mBn est égal à MCN, 
puisque c'est ce dernier lui-même demeuré indéformé pendant 
tout le glissement du cercle. 

Dès lors les triangles MBC et MBm sont égaux et isocèles ; ils 
sont des effets d'une même cause; cette cause c'est l'égalité de 
leurs 3 côtés, MB commun, et MC = CB = Bm = Mm = le rayon 
du cercle. 

Il en résulte l'égalité des angles mBM et CBM. 

De même les triangles BCN etBNn sont égaux comme ayant les 

3 côtés égaux, et Ton a les angles CBN et NBn égaux entre eux. 
Comme l'angle ABM est égal à ABN, ainsi que nous l'avons 

constaté en débutant, il en résulte que Ton a, autour du point B, 

4 angles égaux entre eux. 

Donc l'angle inscrit MBN est égal à la moitié de l'angle mBn 
qai est lui-même égal à l'angle au centre MCN. 

Donc aussi l'angle' MBA (inscrit) est égal à la moitié de mBC 
ou de son égal MCA (au centre). 

Il en résulte que l'angle inscrit MBA comme Tangle inscrit 
MBN ont pour mesure la moitié des 
arcs interceptés entre leurs côtés. 

b) Considérons maintenant un an* 
gle inscrit quelconque MIN dont 
aucun côté ne passe par le centre de 
la circonférence. 

Par le point I menons le diamètre 
ICR. 

L'angle MIR et l'angle NIR, ayant 
un côté passant par le centre, ont pour 
mesures la moitié des arcs MR et 
NR. 

Donc leur différence, c'est-à-dire 
l'angle MIN, a pour mesure la moitié de la différence des arcs 
MR et NR, c'est-à-dire la moitié de l'arc MN. 

4"* Proposition. — Dans un triangle ABC la somme des 3 
angles vaut 2 droits. 

Je puis élever au milieu I de BC, une perpendiculaire MIN. 

En prenant un point quelconque O de cette perpendiculaire je 
puis, de O comme centre, avec OB = OC (causatîon) comme 
rayon, décrire une circonférence. Règle générale cette circonfé- 
rence ne passera pas par A, troisième sommet du triangle. Sup- 
posons que notre circonférence ait le point A dans sa courbe. 

Si on fait glisser le point O sur la droite MIN, et que dans cha- 
cune de ses positions on construise la circonférence passant parB 
et C, on voit que cette circonférence, partant de la position de O 
coïncidant avec 1, s'enflera de façon continue y sans limite ; en fai- 




396 



MÉLANGES ET CORRESPONDANCE 



saut glisser O au dessus et en dessous 
de N, lac irconférence, dans son gon* 
flement continu, couvrira tous les 
points du plan sans exception, et ne 
passera qu'une seule fois par chacun 
d'eux, exception faite pour B et C 
par lesquels passera toujours la cir- 
conférence extensible. 

On VOIT ainsi qu'il existe toujousr 
une circonférence, et une seule, pas- 
sant par A en même temps que par 
B etc. 

Envisageons maintenant cette cir- 
conférence. 

Les 3 angles A^ B et C du triangle 
inscrit dans une circonférence ont 
pour mesure la moitié des arcs inter- 
ceptés entre leurs côtés. A eux 3 ils 
interceptent toute la circonférence 
qui correspond à 4 angles droits (qu'on peut inscrire au centre si 
on veut). Donc la mesure des 3 angles du triangle quelconque 

^ ABC est la moitié de 

n /B la circonférence, qui 

correspond à 2 droits. 

c. q, f. d. 

III. — J'aborde le 
postulatum d'Euclide, 

Etant donné une 
droite XY, si en 2 
points M et N de cette 
droite on construit 2 
angles égaux, soit 
AMY = BNY, les deux 




^ 



M N 

droites MA et MB ne se rencontreront jamais. 

Supposons que les droites AM et BN puissent se rencontrer en 
un point P. 



Dans le triangle MPN on aura : 



a + |3 + 7 ^ 2 droits. 



Mais y -|- a' = 2 droits, donc a-|-jS-|-y=/-|-a' 
D'où « + /? = «', 



MÉLANGES ET CORRESPONDANCE 397 

Mais encore a= a' par construction. 

P 




Donc |3 = O. 

Donc les droites MA et NB ne se rencontrent pas. 

6*. qm f. rf. 
Commandant Lbmairb (Bruxelles)^ 

A propos de la rotation de la Terre \ 

Lettre de M. Andrault (Grenoble). 
Réponse à M. Comhehiac et à M. Richard. 

Toute explication eut une relation. — A voir l'importance que 
M. Combebiac attache à la possibilité d'une explication pour tout 
phénomène, j'avais pensé qu'il allait faire porter son effort sur ce 
point, et que cherchant à déterminer les conditions de validité 
d'une explication, il en arriverait à établir la nécessité de l'espace 
absolu. Maintenant Tai lieu de croire, qu'il prend le terme dans 
son acception usuelle, vague et élastique. En ce sens, des expli- 
cations, on en trouve toujours. 

« J'ai ouï dire, écrit Condillac, qu'un physicien se félicitant 
« d'avoir un principe qui rendait raison de tous les phénomènes 
<c de la chimie, osa communiquer ses idées à un habile chimiste. 
« Celui-ci ayant eu la complaisance de l'écouter, répondit qu'il ne 
« lui ferait qu'une difficulté, c'est que les faits étaient tout autres 



> Voir VBnseig. math. 8"« année, pp. 150-155, 330-233, 311-315. 



398 MÉLANGES ET CORRESPONDANCE 

« qu'il ne les sapposait. a Hé bien, reprit le physicien, apprenez- 
c les moi, afin que je les explique. » 

Aussi nia réponse en cet endroit sei*a-t-elle brève. 

1^ Il y a des explications de toutes espèces, de bonnes, de mau- 
vaises, de subtibles, de vagues, d'ingénieuses, de frivoles et même 
de fallacieuses « telle la théorie des marées » que j'ai précédem- 
ment exposée. Dans ces conditions, qu'il yen ait une de meilleure 
que les autres, c'est forcé ; qu'elle leur soit de beaucoup supérieure, 
c'est remarquable; qu'elle soit d'une autre nature, c'est ce qu'il 
faudrait démontrer. 

2® Qu'on explique par des faits ou par des lois, expliquer c'est 
toujours établir une relation entre deux ou plusieurs phénomènes. 
Toute explication comporte au moins deux bouts, l'expliquant et 
l'expliqué; elle est donc loin d'impliquer un absolu quel qu'il 
soit. 

Toute force est une relation, — J'en dirai autant des forces. Elles 
sont comme les bâtons : il n'y en a pas qui n'aient qu'un seul 
bout. C'est au fond ce qu'exprime le principe de l'égalité entre 
l'action et la réaction. « Tout ce qui tire et presse est en même 
« temps tiré et pressé dit Newton. Si le cheval traîne la pierre 
« attachée par un cable, le cheval est arrêté par la pierre, car le 
« cable tendu*, dahs son effort pour se relâcher, attire également 
« le cheval vers la pierre, et la pierre vers le cheval. » 

Si l'aimant attire le fer, le fer attire Taimant; si le traîneau 
frotte sur la neige, la neige frotte sur le traîneau. Il n'est pas 
jusqu'à la pesanteur qui ne s'oifre comme une relation entre deux 
termes, car, leâ corps en se dirigeant sur toute la surface de la 
terre vers le centre de celle-ci^ indiquent en quelque sorte d'eux- 
mêmes que c'est* du globe qu'émane la force qui les fait tomber, 
autrement dit que la pesanteur «st une force qui s'exerce entre la 
terre et les corps. 

. Il peut être commode, et même parfois nécessaire de faire porter 
son attention sur un seul des bouts d'une force ; mais l'autre n'en 
existe pas moins, et fait partie intégrante de la notion de force 
telle que l'expérience journalière nous la fournit. 

Dans les académies du moyen âge, on discutait, paraît*il, des 
problèmes dans le goût de celui-ci : « Etant donné un aveugle et 
« son chien, dire si c'est le chien qui tire l'aveugle, ou l'aveugle 
« qui retient le chien. » Voilà à quoi l'on risque de perdre son 
temps quand on sépare l'action de la réaction ! 

Les forces d'inertie s'exercent entre les corps et le repère de la 
dynaniique. — Si toutes les forces sont des relations, pourquoi 
les forces centrifuges, et pliis généralement les forces d'inertie 
feraient-elles exception ? 

Elles se développent quand la vitesse d'un corps varie par rap- 
port à un certain repère, et par rapport à celui-là seulement. 



MÉLANGES ET CORRESPONDANCE 399 

C'est ce qui in*avait fait écrire, au grand scandale de M. Com^ 
bebiac, que les forces centrifuges sont relatives^ comme le sont 
les mouvements. 

- J'ajoute maintenant: les forces d'inertie sont des relations 
comme le sont les forces de toute espèce. Elles ont deux bouts; l'un 
est sur le corps^ Vautre sur le repère. J'y suis tout naturellement 
conduit, puisque le repère loin d'être étranger au phéuomène y 
est intimement associé. 

M. Combebiac ne s'étonnera donc plus — * je l'espère du moins 

— de voir intervenir ce repère dans l'expression de la loi d'iner- 
tie, généralisée ou non. 

Possibilité d'une explication des principes de la dynamique, — i 
Et puisqu'aussi bien, nous touchons ici au cœur de la question,, 
qu'il me soit permis de donner à ma pensée une forme plus concrète. 

En fait, quel est le repère de la dynamique ? Peut-être le ciel 
étoile, mais beaucoup plus probablement l'éther, ce milieu dans 
lequel tous les corps sont plongés, et dont ils sont imprégnés. Les 
forces d'inertie seraient donc, non des forces fictives comme on 
le dit souvent, mais des forces très réelles, s'exerçant entre l'éther 
et les corps dont la vitesse varie. On entrevoit ainsi la possibilité 
d'une explication des principes de la dynamique. 

Chaque corps en se déplaçant dans l'éther produit un sillage 
analogue à celui que produit un bateau dans l'eau. Tant que le 
mouvement reste rectiligne et uniforme, le sillage reste le même, 
et grâce à des compensations tenant à la nature du milieu, celui- 
ci ne tend en rien à modifier le mouvement des corps. Mais, dès 
que la vitesse varie, il s'ensuit une perturbation, une déformation 
du sillage, entraînant une réaction sur le corps ; ce qui explique 
pourquoi une variation de vitesse ne peut jamais se produire que 
par rintervention d'un agent extérieur* 

Et, contrairement à l'opinion émise par M. Richard « Texis- 
tence de ces forces bizarres » entraînant les corps qui se dépla-r 
cent par rapport à la terre se trouve expliquée. Et si leur exis- 
tence rompt la symétrie entre la droite et la gauche, je ne vois pas 
comment M. Richard lui-même la rétablira : Le repère tourne par 
rapport à la terre — où s*il préfère, la terre tourne par rapport au 
repère, — et c'est cette rotation relative qui détruit la symétrie. 
Ni M. Richard, ni moi, n'y pouvons rien. Allons ! le relativisme a 
du bon ; il n'exclut pas l'explication, et je crois que jusqu'à nou- 
vel ordre notre conception actuelle de la dynamique s'en acco- 
mode. 

Le mouvement absolu est un fantôme créé par le langage. -« 
Mais d'où procéda donc cette croyance au mouvement absolu, 
eroyance dont nous avons tant de mal à nous défaire ? Tout sim- 
plement du langage. 

Nous avons, dès l'enfance, contracté l'habitude de parler du 



400 CHRONIQUE 

mouvement des corps, comme si ce mouvement leur appartenait 
en propre. Le langage n'en reste pas moins clair, puisqu'il est tou^ 
jours sous entendu que le repère est la terre. Mais on ne le dit ja-* 
mais, et Tomission du mot entraîne celle- de la chose. Nous finis- 
sons par croire que le mouvement est réellement dans les corps, 
et que se mouvoir est une locution ayant une signification par 
elle-même. Ce serait méconnaître singulièrement Tinfluence du 
langage sur l'évolution de notre esprit que de s^en étonner. 

Nous sommes ainsi amenés à nous poser à propos des corps 
célestes, de la terre, et même de tous les corps, des questions qui 
sous la forme qu'on leur donne n'ont de sens qu'à la condition que 
le repère puisse encore rester sous entendu, ce qui justement n'est 
plus le cas. Comme rien ne nous prévient que nous transportons 
les questions de cette forme en dehors de leur domaine de vali- 
dité ; nous nous attachons à les résoudre comme nous en avons 
résolu d'autres, et nous pensons pouvoir le faire avec le même 
succès. Habitués à triompher dans un domaine, sans nous rendre 
compte que c'est essentiellement le domaine du relatif, nous abor- 
dons sans sourciller, celui de la connaissance intime des choses, 
le domaine de l'absolu. 



CHRONIQUE 



Prix proposés par rAcadémie royale de Belgique pour 1907. 

Sciences mathématiques, pures et appliquées : 

I. — Trouver en hauteur et en azimut les expressions des ter- 
mes principaux des déviations périodiques de la verticale dans 
l'hypothèse de la non coïncidence des centres de gravité de 
l'écorce et des noyaux terrestres. (Prix : 800 francs). 

II. — Entre les éléments de deux formes du second ordre (deux 
systèmes plans non superposés un système plan et une gerbe, 
deux gerbes de sommets différents) on établit une correspondance 
quadratique (« Verwandtschaft zweiten Grades » dans de sens de 
Reye. Géométrie der Lage^ Vol. II. Chap. XII). Etudier les sys- 
tèmes d'éléments qu'on déduit par jonction ou par intersection 
des couples d'éléments homologues des deux formes du second 
ordre. (Prix : 800 fr.) 

Les manuscrits peuvent être écrit en français, flamand ou latin; 
ils doivent être anonyme avec devise et pli cacheté antenant le 
nom, et envoyé au secrétaire, Palais des Académies à Bruxelles, 
avant le l*-* août 1907. 



CHRONIQUE 401 

III. — Le Prix Lagrange (1200 fr.) sera décerné, en 1909, au 
meilleur travail mathématique ou expérimental sur la Terre (faisant 
avancer la connaissance mathématique de la Terre). La limite pour 
l*envoi des travaux est fixée au 31 décembre 1908. 

89* Réunion de la Société helvétique des sciences naturelles ; 

St-6all, 1906. 

Cette réunion, qui vient d'avoir lieu à St-Gall du 29 juillet au 
1*' août, était des plus intéressantes à tous les points de vue. Par- 
mi les travaux présentés aux séances générales, nous mention- 
nons tout particulièrement la belle conférence de M. le Prof. 
RosENMUND (Zurich). On sait que le distingué professeur est Tau- 
teur des travaux géodésiques du tunnel du Simplon. Il a parlé sur 
la mesure eu longueur du tunnel au moyen des fils «d'invar». 
Nous avons pu admirer jusqu'à quel point Texactitude mathéma- 
tique peut être portée dans les travaux de cette envergure. L'écart 

1 
moyen est rôQÂ^A de la longueur totale. 

Dans les séances de section, les physiciens et les mathémati- 
ciens ont travaillé en commun. Voici la liste des sujets présentés: 

1. Chappuis-Sarasin (Bâle) : La valeur du litre d'après les nou- 
velles mesures, (en français) 

2. Gruner (Berne) : Sur les constantes de la radio-activité, (en 
allemand) 

3. MoosBR (St-Gall) : Analyse des lois de Kepler basée sur une 
cosmogonie théorique, (en allemand) 

4. L. Crelier (Bienne) : Géométrie synthétique des courbes supé- 
rieures, (en français) 

5. T. Klinoblfuss (Bàle) : L'étincelle de fermeture dans les tubes 
Rontgen. — Sur un éclair particulier observé près de Bâle. (en 
allemand) 

6. Mercanton (Lausanne) : Photographies d'éclairs. — Magné- 
tisme des argiles cuites, (en français) 

7. FoRBL (Lausanne): Fata morgana. (en français) 

8. Luc. de la Rive (Genève) : Sur les électrons, (en français) 

9. Kleinbr ;Zûrîch) : Fusion du lithium, (en allemand) 

Pour ce qui concerne spécialement les travaux mathématiques, 
nous pouvons ajouter que la conférence de M. Mooser a vivement 
intéressé l'auditoire d'autant plus que l'auteur est malheureuse- 
ment aveugle. Les formules finales auxquelles il arrive pour la 
deuxième et la troisième loi de Kepler sont les suivantes: 

11- I • / * — 2.e cos « 

II* loi : up r= tr t / î 

y 1 — 'le cos y -|- e* cos* ^ 
L'Enseignement mathëin., 8« année; 1906. 26 



402 CHRONIQUE 

ni« loi : -L = 4n» ;\, . • . 

Il résulterait de cette dernière que la troisième loi n'est pas 
exacte. Avant de pouvoir porter un jugement définitif il faut at- 
tendre un examen plus approfondi des bases adoptées par M. 
Mooser. On les trouvera dans un ouvrage que le conférencier fera 
paraître prochainement. 

Le second travail mathématique a été présenté par Tauteur de 
ces lignes. La première partie paraîtra du reste dans V Enseignement 
mathématique^ la seconde sera publiée par les Archives des 
sciences physiques et naturelles de Genève. 

L. Crelier, (Bienne). 

Deuxième Congrès universel d'Espéranto, 
Genève, 28 août-6 septembre 1906. 

Parmi les nombreux congrès qui ont eu lieu cette année, celui 
des espérantistes doit être compté au nombre de ceux qui offrent 
un intérêt et une importance particulièrement considérables, non 
seulement par sa grande portée sociale, mais aussi par les services 
qu'il rendra à la Science. L'expérience qui avait été faite Tan der- 
nier à Boulogne vient d'être reprise à Genève avec un succès en- 
core plus éclatant. Près de 1500 personnes, accourues des pays les 
plus divers, se sont entretenues pendant quelques jours de la ma- 
nière la plus familière au moyen de la langue espéranto. Le public, 
qui était admis à la plupart des séances, a pu se rendre compte de 
la facilité avec laquelle les congressistes faisaient leurs confé- 
rences et leurs improvisations uniquement en espéranto. Sans 
doute la nécessité d'une langue auxiliaire internationale est au- 
jourd'hui généralement reconnue et ce n'est guère que sa réalisa- 
tion pratique qui pouviaiit laisser quelques doutes. Mais, après des 
expériences aussi concluantes que celle qui vient d'être répétée à 
Genève, ces doutes ne tarderont pas à disparaître. 

Il n^y a pas lieu de donner ici un compte rendu détaillé du 
2® Congrès d'Espéranto. Nous nous bornerons à parler de la réu- 
nion des savants espérantistes. Il s'était constitué en effet une 
section parmi les membres cultivant les sciences mathématiques, 
physiques et naturelles. Cette section scientifique était présidée 
par M. le général Sébert, membre de l'Académie des Sciences de 
Paris. Après une discussion très intéressante, à laquelle ont pris 
part des savants de diverses nationalités, la section a adopté les 
deux vœux suivants : 

1® Que les savants utilisent constamment l'Espéranto pendant les 
congrès scientifiques internationaux. 



CHRONIQUE 403 

2* Que les journaux internationaux acceptent des articles en 
Espéranto et ajoutent à chaque article en langue nationale un ré^ 
sumé en Espéranto, 

La Section scientifique a constitué un Bureau international per-^ 
manent chargé plus particulièrement de suivre la rédaction des 
vocabulaires techniques spéciaux à chaque science, afîn qu'il y ait 
une certaine unité de direction. Cette Commission sera présidée 
par M. le général Sébert; elle aura pour secrétaire M. Carlo 
BouRLET, professeur à TEcole des Arts et Métiers de Paris. 

Ces décisions constituent un précieux encouragement pour les 
membres de la Délégation pour l'adoption d'une langue auxiliaire 
internationale; il faut espérer qu'ils aboutiront dans leurs démar- 
ches. Après rimposante pétition réunie par la Délégation et le 
succès des congrès d'Espéranto, le moment parait en effet venu où 
Y Association des Académies doit examiner la question d'une lan- 
gue auxiliaire et de se prononcer sur le choix. H. Fehr. 



Associatioii suisse des maîtres de mathématiques. 

La prochaine réunion annuelle aura lieu à Baie, le 20 octobre, 
sous la présidence de M. H. Fehr, professeur à FUniversité de 
Genève. I/ordre du jour comprend les communications suivantes : 

1? Les avantages que présente, dans renseignement des écoles 
moyennes, l'emploi de la division décimale de l'angle avec les 
logarithmes à quatre décimales (en allemand), par M. Otti 
(Aarau). 

2** La mathématique pure et l'approximation (en français), par 
M. L. KoLLRos (Chaux-de-Fonds). 

3® Sur certaines réformes dans l'enseignement des sciences ma- 
thématiques et naturelles (en allemand), par M. R. Flatt (Baie). 

Ces communications seront suivies 'd'une discussion. Nous en 
rendrons compte dans notre prochain numéro. 

Nominations et distinctions. 

M. Alf. AcKBRMANN, de la Maison Teubner, à Leipzig, a reçu le 
titre de docteur honoris causa de l'Université de Greifswald. 

M. Carlo Bourlet est nommé professeur de Géométrie descrip- 
tive à l'Ecole des Arts et Métiers de Paris, en remplacement de 
M. Rouché, qui prend sa retraite. 

• M. E; W. Brown est nommé professeur de mathématiques à la 
Yale University, New Haven (E. U.). 

MM. R. Castelnuovo et Cerruti, à Rome, et M. Capelli, à Naples, 
sont nommés membres du Reale Istituto Lombardo. 



404 CHRONIQUE 

M. F. Enriques est nommé membre correspondant national de 
l'Académie dei Lyncei à Rome. 

M. E. Kasner est nommé professeur extraord. à la Columbia 
University, New York (E. U.). 

M. le Prof. Mbrtbns (Vienne) obtient un prix de 5000 Mk. de 
l'Académie Royale des Sciences de Prusse pour ses travaux sur les 
équations cycliques. 

M. P. Painlbvé est nommé membre étranger de TAcadémie dei 
Lyncei à Rome. 

M. PiCART, directeur de TObservatoire, est chargé d'un cours 
d'Astronomie physique à la Faculté des Sciences de Bordeaux. 

M. H. PoiNCARB est nommé docteur honoris causa de l'Univer^ 
site de Dublin. 

M. G. ScHBFFBRs, prof. de l'Ecole techn. sup. de Darmstadt, est 
nommé professeur ord. de Géométrie descriptive à TEcole techn. 
sup. de Charlottenbourg, en remplacement de G. Hauck, décédé. 

M. S. E. Slocum, de l'Université de rUlinois, est nommé profes- 
seur de mathém. appliquées à TUniversité de Cincinnati (E. U.). 

M. E. T. Whittaker, astronome, est nommé docteur honoris 
causa de l'Université de Dublin. 

M. T. K. Whittbmore est nommé professeur extraord. de mathé- 
matiques à la Havard University. 

Priyat-docents, — Ont été admis en qualité de privat-docents : 
M. Adlbr, pour la Géométrie descriptive, à l'Ecole techn. sup. de 
Vienne ; M. K. Bopp, pour les mathématiques, à l'Université de 
Heidelberg; M. O. Perron, pour les mathématiques à l'Université 
de Munich. 

Nécrologie. 

G.-A. de LoNGCHAMPs est décédé à Paris, le 9 juillet dernier, à 
l'âge de 64 ans. 

D.-G. LiNDHAGBN, astrouome, secrétaire à l'Académie suédoise 
des Sciences est décédé à Stockholm à Tâge de 87 ans. 

Maillard, professeur de mathématiques à la Faculté des Sciences 
de Poitiers. 



NOTES ET DOCUMENTS 



Cours universitaires. 
Semestre d'hiver 1906-1907 (suite). 

ALLEMAGNE 

Berlin ; Universitàt. — Schwarz : DiiTerentialrechDung, 4 ; Uebungen ; 
Synth. Géométrie, 4 ; Elementargeom. Herleitung der wichtigsten Eigen- 
«chaften der Kegelschnitte ; Seminar; KoUoquium. — Frobbnius : Algebra, 
4; Seminar. — Schottky : Integralrechn., 4 ; Uebungen; Allg. Punktionenth. 
4, Seminar. — Hbttnbr : Bestimmte Intégrale, 2. — Knoblauch : Determi- 
oanten, 4; Krumme Flâchen, 4*, Raumkurven, 1. — Schur : Gewôhnliche 
DiiTerentialglgn., 4. — Landau: Zahlentheorie, 4. — Lehmann-Filhéb : 
Analyt. Géométrie, 4. — Fôrstbr : Geschichte der mittelalterlichen Astro- 
nomie. 2; Kosmische Erkenntnis und psychische Problème, 1 ; Théorie und 
Kritik der Raummessung, 2. — Struve : Sphâr. Astronomie, 3; Uebgn. — 
Bauschinger : Bahnbestimmung der Himmelskôrper, 8 : Uebungen. — Ris- 
tbnpart : Th. der Finsternisse und Sternbedeckungen ; Berechnung der 
Finstemisse von 1909. — Scbeimer : Einleilung in die Astrophysik II, 3 ; 
Astrophysikalisches KoUoquium. — Helmert : Gradmessungen, 1 ; Mé- 
thode der kleinsten Quadrate, 1. — Marguse : Allgemeine Himmelskunde 
mit Lichtbildern ; KoUoquium iiber astronomische Géographie ; Théorie 
und Praxis geographisch- und nautisch-astronomischer Ortsbestimmungen. 
— Planck : Allgemeine Meciianik, 4 ; Mathematisch-physikalische Uebun- 
gen. — Nebsen :- Elementare Mechanik, 2. — Weinstbim : Mathematische 
Phyf»ik, 4. — Valehtiner : Kinetische Théorie der Gase, 2. — Aschkinass : 
Elemente der hoh. Mathematik, mit besonderer Bcrûcksichtigung ihrer An- 
wendungen. — Grûneisen : Ueber DifTerentialgleichungen von Schwingungs- 
vorgângen. — Meter : Einfûhrung in die moderne Maschinentechnik, 2; 
Exkursionen. — Ihering : Maschinenkunde mit Uebungen. 

Bonn; Universitàt. — Studt : Nicht-eukiidische Géométrie, 4; Einl. in 
die analyt. Mechanik, 4, Seminar. -* Kowalewski : Infiuitesimalrechnung 
II, 4 ; Uebungen ; Th. der Fourierschen Reihen, 2 ; Géométrie der Zahlen. 
2, Seminar. — London : Elemente der analyt. Géométrie der Ebene und 
des Baumes, 4 ; Uebungen : Darst. Géométrie II mit Zeichenûbungen, 3 ; 
Seminar. — Schmidt : Einfûhrung in die Algebra, 3 ; Determinanten, 2. — 
KûsTNER : Th. der Bahnbestimmung der Planeten und Kometen, 3 ; Topo- 
graphie des Sonnensystems, 1. — M ônnichmeyer : Allgemeine Stôrungen, 2. 

Breslan; Universitàt. — Rosawes : Uebgn. des math.-phys. Seminars, 1 ; 
Analyt. Géométrie des Baumes, 3; Elem. der Théorie der DifTerential- 
gleichungen, 2. — Sturm : Uebgn. des math.-phys. Seminars, 2 ; Zahlen- 
theorie, 3 ; Geometrische Oerter hôheren Grades, 3. — Kkesbr : Uebgn. 



406 NOTES ET DOCUMENTS 

des math.-phys. Seminars» 2; Analyt. Mechanik, 4; Uebgn. ûber Mechanîk, 

2 ; Théorie der Fourier'sche Reihen und Intégrale, 2 — Franz : Astron. 
Seminar, 2 (PlaDelenbabnrechoung) ; Astron. Kolloquium. 2; Mechanik des 
Himmels, II. Teil. Beweguug der Himmelskôrper um ihren Schwerpunkt, 4 ; 
Théorie der Bahnrechnung der Plancten, 2. — Sackur : Einfûhrung in die 
math. Behandlung der Chemie, 2. 

Erlangen ; Universitàt. — Gordan : Analyt. Geom. d. Ebene, 4 ; Zahlen- 
theorie, 4 ; Uebgn. im math.-phys. Semin., 3. — Noether : Difierential- und 
Integralrechnung I, 4; Bestîmmte Intégrale, u. Fourier'sche Reihen, 2; 
Algebr, Flâchen, 2 ; Analyt. u. geomelr. Uebgn — Reigbr: Astrophysîk, 1. 

Freibarg im Br. ; Universitàt. — Lûroth : Analyt. Géométrie d. Raumes. 
4; populâre Astronomie, 2 ; Sem. — Stickelberger : Analyt. Géométrie d. 
Ebene u. DifT. rechn., 5 ; Funktionenth. , 3 ; Sem. — Lôwy : Diff. gleichgn., 

3 ; Ueber den Zahlbegriff, 2 ; Uebgn. ~ Weingarten : Einl. in die Hydro- 
dynamik, 4. — Leith : Elem. Géométrie d. Ebene u. d. Raumes. 

Giessen; Universitàt. — Pasch : Grundlagen der Aualysis, 2; Analyt» 
Géométrie der Ebene, II. Teil, 4 ; Uebgn. des math. Seminars, 1. — Netto: 
Ellipt. Funktionen, 4; Zahlenlh., 2; Uebgn. des math. Seminars, 1. — 
Grassmann : DifTerential- und Elem. der Integralrech., 4 ; Analyt. Mechanik. 
Teil, II, 3 ; Uebgn. zur analyt. Mechanik. 

GÔttingen; Universitàt. — Klein: Ellipt. Funktionen, 4. — Klein, Hil-^ 
bert, Minkowski und Herglotz : Seminar û. linear Diflerentialgleichungen 
im komplexen Gebiel, 2. — Hilbert : DiiTerential- und Integralrechnung II 
(mit Uebungen durch Carathéodory), 4; Mechanik der Kontinua, 4. — 
Scbwarzschild : Rotation und Figur der Himmelskôrper, 3 ; Astron. Se- 
minar, 2. — MiNKOwsKi : Enzyklopadie der Elementar-Mathematik, 4 ; In- 
varianlentheorie, 2. — C. Runge : Darst. Géométrie, 4; Uebungen zur darst. 
Géométrie, 4. — Runge, Prandtl, Abraham : Anwendungen der part. Diffe- 
renlialgleichungen. 2. — Brendel : Die math. Technik des Versicherungs- 
wesens, 3 ; Uebungen im Seminar fur Versicherungswissenschaft, 2. — 
AMBRO^N : Bahnbestimmungen fur Kometen und Planeten, 3 ; Méthode der 
kleinsten Quadrate, 1 ; Uebungen an Instrumenten der Stemwarte (f. Anf. u. 
Yorgeschr.) tâgl. ; Uebungen zur Berechnung von Kometen und Planeten- 
bahnen. — Phandtl : Ausgew. Abschnitte ans der Dynamik, insbesondere 
der Maschinen, 3 ; Praktikum im Maschinenlaboratorium, 3; Anleitung zn 
selbstândigen Arbeiten auf dem Gebiet der Mechanik und Wârmelehre. 
— Zermelo : Elemente der analyt. Mechanik, 4; Mathem. Behandlung der 
Logik, 1. — Abraham: Partielle Differentialgleichungen der Physik, 4. — 
BosE : Einfûhrung in die math. Behandlung der Naturwissenschaften, 3; 
Uebungen im Selbstanfertigen und Handhaben von DemonstrationsapparR- 
ten, 3. — Herglotz: Einf. in die analyt. Géométrie des Raumes, 2; Uebun- 
gen ûber ellipt. Funktionen, 2. — Carathéodry : Minimalprinzipien der 
Mechanik und Physik, 2 ; Uebungen in Integralrechnung, I. 

Greifswald ; Universitàt. — Thomé : Ellipt. Funktionen II. 4 ; Die hyper- 
geom. Funktion, 2 ; Seminar. — Engel : Dîff. u. Integralrechn. I, 4 ; Uebun- 
gen; Analyt. Géométrie des Raumes, 2; Th. der Transformationsgruppen, 
4; Seminar. — Vahlen : Th. der Diflerentialgleichungen, 3 ; Uebungen. — 
Holtz : Mechanik und Molekularphysik. 1. — Starke : Mathematische Er- 
gânzungen der Experimentalphysik — Schreber : Die Kraftmaschinen, 2. 



NOTES ET DOCUMENTS 407 

Halle ; Univers itàt. — G. Camtor : Diff.* uod Integralrecho. mit Uebga. 5; 
Vebgn des math. Seminars. — Wangbrin : Partielle DifFerentialgleichungea 
und ihre Anwendung in der math. Physik, 4 ; Yariationsrechauag, 2 ; Sphâr. 
Trigonométrie und math. Géographie, 2; Uebgn. des math. Seminars. — 
GuTZMER : Intégral rechn. mit Uebgn. 5 ; Darst. Géométrie mit Uebgn. 4 ; 
Uebgn. des math. Seminars. — Eberhard : Algebr. Uebgn. 1 ; Algebra, 
Teil I[, 3; Analyt. Géométrie des Raumes, 2. — Buchholz : Hôhere Geo- 
dâsie, 1 : Methoden der Bahnbestimmung der Planeten und Kometen, 1. — 
Bernsteiti : Konforme Àbbildungen, 2 ; Wahrscheinlichkeitsrechniing mit 
Anwendungen, 1 ; Praktikum der Yersicherungsmathemalik, 2 ; Kursus der 
Herstellung math. Modelle, 1 ^s- 

Heidelberg; Universitàt. — Kômigsberger : Hôhere Algebra (Théorie der 
Gleichungen), 4 Th. der Diirerentialgieichnungen,2 ; Variationsreçhnung, 1 ; 
Uebgn. im math, unter und ober Seminar. — M. Cantor : Differential- u. 
Integralrechn. , 4 ; Uebgn., 1; Politische Arîthmetik, 2. — Koehlbr : Syn- 
thetiscbe Géométrie, 3. — Bcehm : Th. und Anwendung der einfachen und 
vielfachen Intégrale, 3 ; Elementarmathematik, geometrischer Teil, 4. — 
Valbntjner : Bahnbestimmung der Kometen und Planeten, 2 ; Kapitel aus 
der Stellarastronomie, 1. — Wolf : Elem. der Astronomie und malh. Geo- 
graphie, 2. 

Jena ; Universitât. — Haussker : Integralrechn. mit Uebgn., 5; Nâhe- 
rungsmethoden, 2 ; Analyt. Géométrie des Raumes, 4 ; Math. Semiuar, 1. 

— Thomae : Bestimmte Intégrale, 4 ; Differentialgleichungen, 3 ; Math. Se-; 
tainar, 1. — Rau : Darst. Géométrie, 4 ; Mechanik (Dynamik), 3. — Fregb : 
Funktionentheorie nach Riemann, 4. 

Kiel ; Universitàt. — Poghhammer : Analyt. Géométrie d. Ebene, 3; Théo* 
rie d. Funktionen einer complexen Variable. 3: Uebgn. î. math. Seminar, 1. 

— Harzer : Rolationsprobleme a. d. Mechanik d. Himmels, 3; Uebgn. i. 
nummcr. Rechnen, 1. — Heffter : DifFerential- u. Integralrech. II T. 4; 
Uebgn. 2. DifFerential- u. Integralrech. 1; Einleit. i. d. Zahlentheorie, 4 ; 
Uebgn. i. math. Seminar, 1 */». — Weinnoldt : Darst. Géométrie : 2. T. 
Parailelperspektive, Axonometrie und Zentralperspektive, 3. — Strômgrbm : 
Math. Géographie, 1 ; Bewegungen d. Satelliten in uns. Sonnensysteme, 1. 

KÔnigsberg ; Universitàt. — Meyek : Analyt. Géométrie II, 3; Uebungen; 
Integralrechnung, 4; Analyt. Mechanik. 4; Sem. — Schoenflies : Th. d. Dif- 
ferentialgleichungen, 4 ; Sem. — Saalschûtz : Ueber pseudo-elliptische In- 
tégrale III. Gattung mit den nôtigen Entwicklungen aus der Théorie der 
elliptischen Funktionen nach der Méthode der Fundamcnta Jacobis, 2 ; 
Uebungen zur Integralrechn. — Battekma?«n : Sphar. Astronomie, 2; Mé- 
thode des wissensch. Rechnens. — Cohn : Th. d. Beobachtungsfehler, 2 ; 
ausgew. Kapitiil aus der Himmelmechanik, 2. 

Leipzig ; Universitàt. — Neumann : Analyt. Mechanik, 4 ; Math. Seminar ; 
Uebgn. zur analyt. mechanik, 1. — Bruns : Allg. Himmelskunde, 4 ; Seminar 
fur wissenschaAI. Rechnen, 2; Prakt. Uebgn. in der Sternwarte. — Mayer : 
Vftriationsrechnung, 4. — Uôlder : DifFerential- u. Integralrechnung, 5 ; 
Ueber die Grundiagen der Arithmetik u. der Grôssenlehre, 2 ; Math. Se- 
minar, 1. — KoiiN : Anwendung der DifFerentialrechnung auf Raumkurven 
u. Flàchen, 4 ; Uebgn. hierzu, 1 ; Invarianten, 2. — Peter : Ausgew. Ka- 
pitel der prakt. Astronomie (Bestimmung \on Fixsternôrtern), 2 ; Uebgn. 



408 NOTES ET DOCUMENTS 

in der Stemwarle. — Hausdorff : Zahlentheorie, 4. — Liebmann :' Analyt. 
Géométrie des Raames, 2. Uebgn. zur anal. Geom. des Raumes, 1. — Scboll r 
Techn. Krafterzeugung mit Demonstr. u. Messungea, an den Masch. des 
Instituts, 2 ; Physik. Prakt. 3. 

Marbnrg; Universitàt. — Hensel : Synthetische Géométrie, 4 ; Determi- 
nanten, 3; Wahrscheinlichkeitsrechnung, 1 ; Math. Seminar, 2. — Neumaru : 
Anwend. der ellipt. Fuukiionen, 3 ; Variationsrechnung, 3 ; Math. Uebgn. 2. 

— Dalwigk : Analyt. Géométrie des Raumes mit besondrer Berûcksichti- 
gung der Flàchen, 2. Ordnung, 4 ; Krûmmungstheorie ebener Kurren u. 
kinematische Untersuchungen ûber ebene Kurven, 2 ; Ausgewahlte Kapitel 
ans des Geodâsie, Topographie, Fiachenabbildung u. Kartographie, 2 ; 
Dazu Uebg^. nach Verabredung. Konstruktive Uebgn. ûber Kegelschnitte u. 
Flâchen, 2. Ordnung, 1. — Fuëter : Integralrechnung, 4 ; Uebgn. zur Inte- 
gralrcchoung, 1. 

MÛnchen; Universitàt. — Lindemann : Théorie der Funktîonen einer kom- 
plexen Variabeln, 4 ; Anwendung der Infînitesimal-Rechnung auf die Th. der 
Kurven und Flâchen im Raume, 4 ; Transformationsgruppen, 2 ; math. Semi- 
nar, 1'/}. — Sep.liger : Mechanik des Himmels, 1. Teil : die Laplace-Lever- 
rier'sche Stôrungstheorie, 4 ; Abtron. Kolloquinm. — Voss : Algebra, 4 ; Th. 
der algebr. Kurven, 4 ; math. Seminar, 2. — Pringsheim : Difierential-Rech* 
Bung, 5 ; Zahlentheorie, 4. — GrJLtz : Analyt. Mechanik, 5 ; ûber die Fort- 
schritte der exakten Naturwissenschaften, 1. — Doehlemann : Darstellende 
Géométrie 1,5; Uebgn. zur darst. Géométrie, 3 ; Liniengeometrie in synthet.- 
analyt. Behandlung, 4. — Weber : Analyt. Géométrie der Ebene, 4 ; Ergân- 
zungen und Uebgn. zur analyt. Géométrie der Ebene, 2 ; Integralrechnung 
mit Uebg ,4. — Brunn : Meng^nlehre, 4. — Hartogs : Ausgew. Kap. aus 
der Funktionentheorie, 2. 

Mftnster i. W. ; Universitàt. — Killing : Synthet. Géométrie, 3 ; Analyt. 
Géométrie, II. Teil, 3; Uebgn. zur analyt. Géométrie, 1 ; Math. Obersemi- 
nar, 2. — von Liliemthal : Differential- und Integralrechnung, II. Teil, 4; 
Funktionentheorie, 4 ; Math. Untersemioar, 1. — Dehm : Mechanik, II. Teil, 
4 ; Darst. Géométrie mit Uebg^., 3. 

Strassburg ; Universitàt. — Rete : Géométrie der Lage, 3; Analyt. Me- 
chanik, 2; Seminar. — Weber: Differential- und Integralrechnung, 4; An- 
wendung der ellipt. Funktionen auf Algebra und Zahlentheorie, 2 ; Seminar. 

— Wellstein : Analyt. Dreiecksgeomelrie, 2 ; Einleitung in die Gruppen- 
théorie, 3 ; Seminar. — Timerding : Analyt. Géométrie der Ebene, 3 ; Ueban- 
gen; Hydraulik, 1 ; Darst. Géométrie I, 2; Uebungen. — Epsteim : Die hy- 
pergeom. Differentialgleichung, 2. — Simon : Geschichte der Mathematik 
im Altertum in Yerbindung mit Kulturgeschichte, 2 ; Mathematisches Kol- 
loquium. — Bbcker : Th. der speziellen Stôrungen und der Bahnverbesserung, 
2 ; Uebungen ; Th. der Ausgleichuiig der Beobachtungsfehler, 1 ; Astrono- 
misches Kolloquium ; Beobachtnngen. — Wirtz : Einfûhrung in die Théorie 
der Gezeiten und verwandter Phanomene, 1 ; Théorie der Refraktion, 1. 

TÛbingen ; Universitàt. — Brill : Einfûhrung in die hOhere Mathematik, 
4 ; Ueber nichtstarre Système und die Mechanik von Hertz, 2 ; Uebg^. im 
math. Seminar, 2. — Stahl : Hohere Algebra, 2 ; Eliptische und Abel'sche 
Funktionen, 2 ; Variationsrechnung, 1 ; Uebgn. im math. Seminar, 2. — 
Maurer : Hôhere Analysis II, 3 ; Uebgn. hierzu, 1 ; Sphârische Trigonomé- 
trie, 1 ; Uebgn. hierzu. 1. — Gans : Th. des Schalls, 2. 



NOTES ET DOCUMENTS 409 

Wûribnrg ; Universitdt. — Prtm : Théorie der Funktiooen einer komple- 
zen Verânderlichen, 4 ; Im Prosemiaar - a) Zahlentheorie, 2 ; b) Einfûhrung 
in die analytische Géométrie der Ebeae, gemeinsam mit dem Assistenten, 4 ; 
Im Seminar : Ueber die Funktionen einer reelleu Verânderlichen, 2. — Rost : 
Algebra, 4 ; Darstellende Géométrie I, 4 ; Analytische Mechanik 1,4; Varia- 
tionsrechnuug, 2 ; Im Proseminar : a) Uebungen ans der analytischen und der 
synthetischen Géométrie, 2 ; b) Uebungen ans der darstellenden Géométrie, 
gemeinsam mit dem Assistenten, 4 ; c) Elemente der Determinautentheorie, 
durch den Assistenten, 2; d) Aasgewâhltes Kapitel der Elementarmathema- 
tik, durch den Assistenten, 2 ; Im Seminar : Anleitung zu selbstândigen wis- 
senschaftlichen Arbeiten, tâglich. 

ANGLETERRE 

Cambridge ; University. — Mathematics. List of Lectures, proposed for 
1906 — 1907. — (The courses of lectures will begin as follows : imMichaelmas 
Term 15 Octobre, Lent Term 17 January, Easter Term 22 April.) — Forsyth : 
Abel's Theorem and Abelian Functions (Michaelmas Ternit 3 h.) ; Calculus 
of Variations {Lent Term, 3 h.). — G. H. Darwin : Th. of Potential and At- 
tractions (M. 7*, 3) ; Figure of the Earlh and Precession [L. T. 3). — R. S. 
Ball: Spher. Astronomy (Elem) {M. T. and L. T, 3), — Larmor : Electricily 
and Magoetism (Af. 7*. 3; ; Electrodynamics (L, T 3); Th. ofGases and Ther- 
modynamics {E. T. 2). — Hitiks : Démonstration in Practical Astronomy (M. 
T^ and L. T, 2) ; Practical Work. — Hopkinson : Applied Mathematics jAf. 
T. and L. T. 2). — Hobson : Représentation of functions by seiies, incl. Fou- 
rier's séries (M. T, 3) ; Vibrations and Sound (Z. T. 3). — Baker: Th. of functions, 
3; Th. of équations with Groups (M. T. 3) ; Jh. of Coût. Gronp8(Z. 7". 3). -— 
RicBMOND : Aoalyt. Gcometry(Af. T, andZ. T, 3) ; Proj. Geometry (£. T), — 
Whitehead : Principles of Mathematics {M. T. and L. T.) : Non-Euclidean 
Georoetry {E. T.). — Hbrman : Hydromechanics I {L. T, 3); Hydrodynamics 
II {L. T.). — Bbrrt : Ellipt. Functions, Bessel Functions and Fourier Séries, 
3, — Benkett : Line Geomelry (L. T. 3). — Munro : Hydrodynamics and 
Sound I (M. T. 3). — Grâce: Invariants and Geom. Applications {M. T. 3). — 
Barnes : Taylor's Séries {M, T.) \ Lin. Diff. Equations (L. T. 3). — Young : 
Th. of Invariants {E. T. 3). — Hardy : Intégral Functions (E, T.). — Webb : 
DeGnite Intégrais {E. T.). 

SUISSE 

Basel ; Universitàt. — Kinkeli:* : Dîff. u. Integralrechn. 3 ; alg. Aualysis, 
3 ; Stéréométrie, 2 : Uebgn. im math. Sem. 1. — K. von der Mûhll : Analyt. 
Mechanik, 4 ; Uebgn. in der math. Phys. — Riggenbach : Astron. Géographie, 
2. — Flatt : Pàdag. Seminar, 3 ; Rep. der Algebra, 1. — Spiess : Die Grund- 
begriiTe der Mathematik. 3; Bilder aus der Geschichte der Mathem.,1. — 
Grossmann : Anw. d. darst. Géométrie, 2 ; allg. Kurven u. Flâchen, 2. 

Bom; Universiiàt. — Graf: Kugelfunktionen m. Repet , 3. — Besselsche 
Funktionen m. Repet., 3 ; Bestimmte Intégrale m. Repet., 3 ; DifTerential- 
gleîchgn., 2 ; Differential- und Integrairechng., 2 ; Funktionentheorie, 2 ; 
Renten- u. Versicherungsrechnung, 2 ; Seminar, 2. — Ott : Integralrechng., 
2 ; Analyt. Geom. d. Ebene II, 2. — Huber : Sphar. Astronom. I, 2 ; Théorie 
d. hôhern ebenen Kurven m. Uebgn., 3 ; Théorie d, ellipt. u. Theta-Funk- 
tionen, 3; Seminar, 1. — Benteli : Darstell. Geom., 2; Darstell. Geom., 



410 NOTES ET DOCUMENTS 

Uebgn.u. Repet., 2; Prakt. Geom., 1,1 ; Konstrukt. Perspektive, 1 . — Moser : 
Polit. Ârithm., 1; Mathem.-versicherungswissensch. Seminar, 2. — Crbjlier : 
Synthet. Geom. 1, 2. 

Gc^nèye ; Université : C. Cailler : Calcul différentiel et intégral, 3 ; Exer- 
cices, 2. — Mécanique rationnelle, 3 ; Exercices, 2 ; Conférences d'analyse 
supérieure : Théorie des fonctions. — H. Fehr : Géométrie analytique, 2 ; 
Algèbre, 2; Séminaire de Géométrie supérieure, 2; Exercices d'algèbre et 
de géométrie, 2. — R. Gautier : Astronomie physique, 2. — J. Lyon : Fonc- 
tion d'une variable complexe, 1. — R. de Saussure : Mécanique des fluides, 
1 ; Géométrie du mouvement, 2. 

Lausanne; Université. — Amstein : Cale, différ. et intégr. I, 6; Exerc. de 
cale. I, 2 ; cale, différ. et intégr. II, 2 ; Exerc. de calcul II, 1 ; Théor. des 
fouet., 3. — JoLT : Gcomét, descript. I, 5 ; Epures de Géom. descript., 1 
ap.-m. ; Géom. anal., 2 ; Géom. de posit., 2 ; Les courbes planes, 2. — 
Mayor: Mécan rations., 5; Exerc. de mécan., 1 ; Physiq. mathem., 2 ; Stat. 
graph. I, 3 ; III, 2 ; Epures de stat. I, 4 ; III, 4. — Maillard: Cale, infinit., 
avec applic aux sciences (cours dest. aux étud. en se. phys. et natur.), 3 ; 
Astron. sphér., la terre, le soleil, 3 ; Astron. mathém. et mécan. céleste 
(évent.), 2. — Jaccottet : Quadrature du cercle, t. 

Kenchâtel; Académie. — L. Iseli :. Calcul infinitésimal, 3 ; Géométrie ana- 
lytique, 2 ; Théorie des nombres et intégrales eulériennes, 2. — E. Le Gra?id 
Roy : Astronomie sphérique, Astrophysique, 2; Géodésie, 1 ; Exercices d'as- 
Iromie, 1. — A. Jaquehoo: Mécanique analytique, 2. — L. Gaberel : Pro- 
blêmes de mécanique. 

Zurich; Universitàt. — Burkhardt : Elem. d. Diif.- und Integralrechg., 
4; GewOhnI. Diff.-Gleichgn, 4; Math. Sem.,2. — Wolfer : Einl. in d. Astro- 
nomie, 3 ; Ueb. dazu, 2 ; Bahnbestimmung von Planeten und Kometen, 2. — 
Weiler : Analyt. Geom. m. Ueb. I, 4; Darst. Geom. m. Ueb. I. , 4 ; Mathem. 
Geogr., 2; Analyt. Geom., m. Ueb. f. Lehrmtskd., 2. — Gubler : Allg. 
Analysis, 2 ; Determinanten, 1 ; Sphâr. Trigonométrie, 1. 

Zorich ; Ecole polytechnique. — Section normale des sciences mathéma- 
tiques. — HiRscH : Differentialrechn., 4 ; Repet., 1 ; Uebgn., 2 ; Variations- 
rechn., 3. — Franel: Calcul différentiel, 4 ; Répél., 1 ; Exerc, 2; Th. des 
équations différentielles. 4; Exerc, 1. — Gbiser : Analyt. Géométrie, 4; 
Repet., 1. — FiEOLER: Darst. Géométrie, 4 ; Repet. i ; Uebg., 4 ; Géométrie 
d. Lage, 4. — Lacombe : Géom. descript., 4 ; Répét , 1 ; Exerc, 4 ; Géom. 
de Position avec exerc, 3. — Hirsgu u. Lacombe: Mathem. Seminar, 2. — 
HuRwiTZ : Differentialgleichgn., 4 ; Uebgn. 1 ; Ellipt. Fnnktionen, 4. — 
Hehzog : Mechanik II, 4; Repet., 1; Uebgu., 2, — Ro8bnmu>'d : Vermes- 
sungskunde. 3, Repet., 1 ; Erdmessung, 2 ; Geodat. Praktikum, 2, — Reb- 
sTEiN ; Kartenprojektionen. 1. — Wbbkr : Zylinderfunktionen und ihre Ver- 
wendung in der Physik, 2. — Wolfer: Einl. in die Astronomie, 3; Uebgn, 
3 ; Bahnbestimmung von Planeten, 2. 

C^urs libres : Beyel : Rechenschieber mit Uebg., 1 ; Darst. Géométrie, 2 ; 
Flachen 2. Grades ; Zentralprojektion u. projekt. Géométrie, 2. — Dumas : 
Procédés graphiques pour simplifier des calculs, abaques, nomogrammes, 3. 
— Herzog : Elastizitatslehre, 2. — J. Kellbr : Repet. d. darst. Géométrie, 2. 
Kraft: Mathematik und Mechanik im vorigen Jahrhundert, 2; Geom. KBlkûI 
1,2; 11,2. 



BIBLIOGRAPHIE 



Joaquim d'Azeveoo Albuquemque. — Bndimentos de conncrcio e contabi* 

lidade. — 1 vol. cari. 82 pp. Porto, typographia occidcDtal. 

En quelques pages, claires et bien ordonnées, M. d'Azevedo Albuquerque 
a développé le programme de commerce et de comptabilité récemment mis 
en vigueur dans les établissements portugais d'enseignement secondaire. 
Il s'est inspiré des travaux les plus récents publiés, sur cette matière, par 
nos compatriotes. Son livre simple et pratique, sera fort apprécié du public 
spécial auquel s'adresse l'auteur, et contribuera aux progrès d'un enseigne- 
ment dont personne ne conteste l'utilité. G. Faure (Paris.) 



U. Broggi. — Matematica aUnariale. (Manuali Hœpli). — l vol. cart. 346 p. ; 
3 L. ; Hœpli, Milan. 

Dans un élégant petit volume de la collection Hœpli. M. U. Broggi expose 
avec une grande clarté les éléments du calcul des probabilités, la théorie 
de la statistique mortuaire et celle des assurances sur la vie. 

Conçu surtout au point de vue théorique, ce petit ouvrage peut être con- 
sidéré comme une bonne introduction à l'étude des principes techniques de 
l'assurance, ce facteur si essentiel de la vie sociale moderne. L'auteur très 
bien informé, a su être complet avec brièveté et n'omettre aucune partie de 
son sujet-, c'est ainsi qu'on trouvera exposée d'après les idées de M. BohI- 
mann, la délicate théorie du risque, généralement négligée par les traités 
élémentaires. Au total, excellent ouvrage à recommander aux futurs ac- 
tuaires et où on ne trouve guère à reprendre que les trop nombreuses fautes 
d'impression restant dans les formules. C. Cailler (Genève.) 

K. DoEHLEMAN.x. — Geometrische TransfonnationeiL Teil. — 1 vol. cart. ; 

10 mk. ; G.-J. Goescheu, Leipzig. 

L'ouvrage de M. Doehlemann comporte d'abord une première partie, ser- 
vant d'introduction, dans laquelle il traite la théorie et les applications du 
rapport anharmonique en se servant des coordonnées simples, des coor- 
-données trilinéaires, puis des coordonnées tétraédriques. Le livre se sub- 
divise ensuite en trois autres parties développées de la même manière et 
-qu'on peut étudier simultanément. 

Ce sont : L Transformations binaires (relatives aux formations synthéti- 
ques du premier genre). IL Transformations ternaires (relatives aux forma- 
tions s^'nthétiques du deuxième genre). III. Transformations quaternaires 
(relatives aux formations synthétiques du troisième genre). 

Chaque partie comprend quelques généralités sur les formations homo- 
graphiques correspondantes. M. Doehlemann montre ensuite très habilement 
comment, par des substitutions linéaires de deux, puis trois, puis quatre 
équations au premier degré, on peut passer d'un groupe à son homographi- 
que. Les principales propriétés de l'homographie sont étudiées algébrique- 



412 BIBLIOGRAPHIE 

ment, et par des déductions simples, l'auteur établit les relations qui existent 
entre les formations de bases différentes, celles de même base et les invo- 
lutions. 

Il faut signaler» comme chapitres très intéressants, celui relatif à raffinité. 
Thomothétie, la similitude et l'égalité des figures, puis celui de la collînéa- 
tion centrale dont on peut comparer les résultats avec ceux de la projection 
centrale. On trouve encore une théorie géométrique simple des pantogra* 
phes et du perspectographe Ritter, ainsi qu'une application delà collinéation 
à la construction matérielle de la perspective des reliefs. 

£u résumé l'ouvrage de M. Doehlemann constitue une grande nouveauté 
dans ce sens qu'il établit systématiquement les relations fondamentales de 
l'algèbre avec les diverses parties de la géométrie synthétique. 

L. Crelibr (Bienne). 

OsK. Lessbr. ^ Die Infinitesimalrechnoiig im Unterrichte der Prima, mit 

30 Fig. im Text. — 1 vol. cart. in-8o. 12! p.; 2 Mk,, O. Salle, Berlin. 

T. Tbsar. — Elemente der Differential- n. Integralrechnang. — Hilfsbuch 

fur den mathematischen Unterricht zum Gcbrauche an bôheren Lehran- 
slalten. — 1 vol. cart. in-8«, 128 p.; 2 Mk. 20; B. G. Teubner, Leipzig. 

Au moment où il est question, dans plusieurs pays, d'introduire les pre* 
mières notion's de calcul différentiel et intégral dans les établissements d'en- 
seignement secondaire supérieur, ces deux ouvrages méritent d'être si- 
gnalés à tous ceux qui s'intéressent à cette utile réforme. Ils répondent tous 
deux aux vœux qui ont été exprimés de divers côtés et qui ont également été 
exposés dans cette Revue. Il s'agit principalement, comme on sait, de déve- 
lopper chez les élèves la notion de fonction, la représentation graphique de 
sa variation, la notion de dérivée et celle d'intégrale et de les familiariser 
avec les applications fondamentales les plus simples. 

h'ouvrage de M. Lesser comprend trois parties : 

\° La notion de fonction, représentation graphique. Résolution appro- 
chée d'équations numériques. 

2® La différenliation des fonctions et applications simples. ^ Le théo- 
rème de Taylor et ses applicptions ; expressions indéterminées, maxima et 
minima; cercle de courbure. Vitesse et accélération. 

3** Le calcul intégral. Intégrale définie. Longueur d'arc; le problème des 
quadratères ; volumes; le pendule; centre de gravité; moments d'inertie; 
les lois de Kepler. 

L'ouvrage de M. Tesar débute aussi par la représentation graphique d'une 
fonction, puis, dans une seconde partie, il donne une première étude de la 
notion de dérivée et de l'intégrale accompagnée d'un grand nombre d'exem- 
ples simples; applications géométriques, mécaniques et physiques. Puis 
viennent dans des chapitres spéciaux : l'étude des courbes planes, les fonc- 
tions logarithmiques et exponentielles et les maxima et minima des fonc- 
tions. 

J. PioNCHON. — Principes et formules de Trigonométrie rectiligne et 

sphériqne. — 1 vol. gr. in-8«, 146 p.; 5 fr., Gratier et Rey. Grenoble; 
Gauthier-Villars, Paris. 

Cet ouvrage est indépendant de tout programme; l'auteur s'est inspiré 
uniquement du but que poursuit la Bibliothèque de V élève-ingénieur, II 
s'agit, comme on sait, d'une collection d'opuscules ayant pour objet de pré- 



BIBLIOGRAPHIE 413 

senter sur chaque sujet, d^Hue façon brève, méthodique et pratique les no- 
tions essentielles, c'est-à-dire ce qui est indispensable a retenir pour assurer 
une application rapide des principes. 

Il n'existait guère, en pays de langue française, d'ouvrage de trigonomé' 
trie répondant à ce but. Les Cours de trigonométrie sont en effet trop élé- 
mentaires, tandis que les Traités sont beaucoup trop complets. Le présent 
ouvrage constitue donc un utile intermédiaire en ces deux catégories. C'est 
une sorte de mémento raisonné des principales notions dont rélève-ingé- 
nieur peut avoir besoin. 

L'auteur a divisé son exposé en cinq chapitres : 

L Ponctions trigonométriques. -^ II. Formules usuelles concernant les 
fonctions trigonométriques. — III. Grandeurs sinusoïdales. — IV. Trigo- 
nométrie rectiligne. — V. Trigonométrie sphérique. — Appendice : appli- 
cations diverses. 

Max Simon — Methodik der elementareii Arithmetik in Verbindung mit 

algehraischer Analysis. — Ivol. in-8«, cart., 108 p.; 3 Mk. 20; B.-G. Teub- 
ner, Leizig. 

Tous ceux qui enseignent les éléments de l'Arithmétique et de l'Algèbre 
liront avec une véritable intérêt ce petit livre de méthodologie. Il n'est guère 
besoin de leur présenter l'auteur, qui possède une grande expérience de 
l'enseignement et dont les travaux d'ordre pédagogique sont bien connus. On 
doit donc lui savoir gré d'avoir livré ses réflexions sur un enseignement qui 
offre souvent de sérieuses difficultés pour celui qui ne veut pas se borner à 
inculquer aux élèves de simples procédés de calcul. 

M. Simon passe en revue l'ensemble des questions que Ton étudie dans les 
collèges et les gymnases, depuis la numération et les sept opérations jus- 
qu'aux développements concernant le binôme, les nombres complexes, la 
fonction exponentielle, la résolution des équations du deuxième et du troi- 
sième degrés et les transcendantes élémentaires. Il insiste particulièrement 
sur le côté scientifique, que le maître ne doit jamais perdre de vue dans 
l'enseignement secondaire supérieur, et, à ce titre, l'ouvrage de M. Simon 
mérite d'être examiné avec beaucoup de soin. 

Dav.-Eug. Smith. — A modein American Course of Stndy in Arithmetic 

arranged by years. — 1 broch. in-16, 22 p. 

Handbookto Smith's Arithmetics. — 1 vol. in-l2o. 125 p. 

Practical Arithmetic. — 1 vol. in-12, 546 p.; prix : 65 cent., Ginn et Comp., 
Boston. 

M. David-Eugène Smith, professeur au Teachers Collège (Ecole normale) 
de la Columbîa University de New- York, a publié une série de petits ma- 
nuels d'Arithmétique correspondant aux divers degrés des établissements 
élémentaires. On lui doit en outre plusieurs ouvrages plus spécialement 
destinés aux maîtres, et ce sont ceux-là que nous voulons signaler ici, non 
seulement aux maîtres de l'enseignement élémentaire, mais aussi à ceux qui 
sont appelés à les former. 

Chacun sait que l'on trouve encore beaucoup de manuels renfermant un 
grand nombre de matières et de problèmes qui sont maintenus uniquement 
par tradition ou par routine, mais qui pourraient et qui devraient être en- 
tièrement abandonnés pour céder la place à des questions plus utiles. C'est 
en se plaçant à ce point de vue que M« Smith a écrit ses ouvrages en s'ef- 



414 BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 

forçant de les approprier le plus possible aux besoins actuels. Nous pou- 
vons dire qu'il y a pleinemeDt réussi. 

Envisajçeant renseignement de TArithmétique dans tout son ensemble, 
l'auteur expose dans son Modem american Course un plan d'étude qui tient 
compte des vœux qui ont été présentés de divers côtés. Les matières sont 
réparties sur six années, avec deux années complémentaires suivant les éta* 
blissements. L'examen même de ce plan d'éludé fait l'objet du Handbook. 
Les maîtres y puiseront d'utiles indications et d'excellents conseils d'ordre 
pcdag^ogique. Quant aux exercices et aux problèmes, ils les trouveront dans 
l'ouvrage intitulé Practical Arithmetic, C'est un excellent recueil renfermant 
un grand nombre de questions bien choisies et bien groupées, depuis la 
numération jusqu'aux problèmes d'ordre pratique empruntés à la géogra- 
phie mathématique, à l'Arithmétique commerciale et aux calculs des assu- 
rances. H. F. 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 



1« Soininaipes desi principaux périodiques: 

American Journal ol Mathematics edited by Frakk Morley, under the 

Auspices of the Johns Hopkins University. Vol. XXVIII. Baltimore. 

No» 1 et 2. — L.-E. Dickson : On the Quaternary* Linear Homogeneous 
Groupa Modulo p. of Order a Multiple of p. — John Eiesland : On the 
Integr«f tiou of a System of Differential Equations in Kinematics. — Ch. H. 
SisAM : On the Détermination of the Properties of the Nodal Çurve of a 
Unicursal Ruled Surface. — L. P. Eisbnhart : Certain Surfaces with Plane 
or Spherical Lines of Curvature. — A. G.Greenhill : The Notion of a Solid 
in Infinité Liquid. — Bertrand Russell : The Theory of Implication. 

Annales de la Faculté des Sciences de rUniyersité de Toalonse. Deuxième 

série. T. VII 1905. E Privât. Toulouse; Gauthier- Villars, Paris. 

Fasc. 1, 2, 3. — K.-M. Petekson : Sur les relations et les affinités entre les 
surfaces courbes. — K.-M. Peterson : Sur les courbes tracées sur les surfa- 
ces. — K.-M. Peterson : Sur la déformation des courbes de second ordre. — 
K.-M, Peterson : Sur l'intégration des équations aux dérivées partielles. — 
M.-D. PoMpéiu : Sur la continuité des fonctions de variables complexes. • — 
M.-L. Carrière : Sur les déformations de l'alliage entectique plomb-étain 
et les métaux visqueux. 

ArchiT der Mathematlk nnd Physik, herausgegeben von E. Lampe. W. 

Meyer, e. Jahnke. 10. Band. B.-G. Teubner, Leipzig und Berlin. 

No 1. — HoRN :■ Zur Théorie der Bewegung eines schweren Punktes auf 
einer Rotationsflâche* — Budde : Die Tantallampe der Firma Siemens & 
Halske A. -G. — Epstein : Raumkurven und Liniengeometrie. — 'Fleck : 



BULLETIN MlMiyoiMJifMIorE *;î 

Zur Darstellanç defiaitor biûrer F^msa. Mt*- S iluubcji . vitL i^uaarMm. ^murrr 
rationalzahliger Foi mi u. — Ca^tt» Snr ' «*çiucE»ftt ctCt^raAif.H- àt ^mic^. 
< — Laïc DAU : Uber eÎMS Satx àc% Htm. F7*fÀ9»niJi» n. oer TWr«ne àtr iiAi^nT^nn 
DifferentialgleicliaAgvm. — Kc»ftk.% Z*iu- B i^nac àtr *yaimnfiris»tà»t^ ftttaL^ 
tionen. — SàjAJScmtTZ : Pc^tjfa mg xs à«rB «-{««^^^^fatof-a AB£««feiy d(^ B(«r*^ 
C. Koslka. — CcsABO : Fcartiaii» rtoitmiM» saor» oc-rhc^. 

— Thieme : Rein gc o^ e tirsrW T^eum dw bj^res Fc«-ib#« i Orûnimc- — 
Walleuberc : Cber Bec»elii:iic<t» rw'iiM'^fx r>ex iaii^.cTJL»e« enaer l>rfi»i>cfm«r« 
linearen DiflereatialiclrïckBB^ rve.'it^ >L*rci.int£ nita irm^ i-rm'nXhuz'nncf^- 

— ScHULTZ : Die âberEâkiîf*^ v-I^cjrL'-Wn Kc«H^aji«tii la otr 1j^«iic tîrr 
HamiitooscbcD partîellea llziknt-Bi.jii£->^M^Eii£:. 

N*>* 3 et 4. — C. Scgke : Sur i* £:^êi»*-r»ij':tij pr^j^Tiive ô<* «.«rf »res c^J-ocw»*. 
^ — Stukm : Uber die E,rmemf[mng ^tr F]*c4ke 3. C^rcaoïkc dvrdi V«>.:ii»(«t>f 
Bûodel und trilîiieare Bii«<'kf]- — GiX3cacm : B^traç rmr Div-^r^k a<^ At- 
mosphâre. — F.-H. Saftok» : K'-Jitùom Crr.^di^ aod Li»c s IVi^dsxts^ — 
E. Hae?itzscmej. : B e Mc r k— tg r« d«r rors^K-ke^cie^ Xotii. — W.-Fr, Mri-ni : 
Uber Pa rtialbrocbzerîe g aag bci «ielfacbea Liaearfartorm d<^ X<ii a< rs — 
O. Spiess: Eiaige latecnl^^iiUie. — Pa.-E.-B. JotaaAis : TW DeYx4(Njvia<«i 
of the Theory of Traasfiaite Meaber». — J. Hwmwâ^ ma CâJkacxcr FnawAN^ 
Cber widerstaodslreae aag«^ta]liULff eWktriscber Leitaagsa^jn^ iTr«a«^^CM^ 
ration). Rezensioaea. — Veraiîsrbte )iitt<Filaaec-a. — lakah der Bind^^ t-t^ 
der dritten Reihe. 

BibliothecalIathMBmtieaL Z<ritsrbr. f. G««rbichte dematbeB.WîsseascbAt^^Sii, 
herausgegebeo voa G. Exc^tbôh. 3. Folge. Baad 6, Tenbner. 

Heft &. — A -E. Haas : Cber die Orifrinalîtât der physikalisrkea l.ebrea 
des Johannes PbiJopoaos. — Gi3ko Lokla : Sopra oaa iraasforaïajLioa^ dî 
cootatto ideata da Fenaal. — T. IlATAsai : Die Ba|n$''beB Rn^ise îa d<T 
japooischen Mathematik. — Pb.-E.-B. Jocbda» : On two diflerealiale^aalKHi» 
in Lagrange's « Mécaniqoe analytique ■. — Febd. Rcdio: Wilbelm SrHwiùh 
( 1 862- 1905 1. — F. Amodeo : Soi corso di sloria délie seienxe natlieaialï^^ 
nella r. università dî Napoli. 

BnUetin des Sdences aatliémalîqiiat, rédigé par MM. <^. Di^i^ikhx. 

E. Picard, J. Taxxert. — Tome XXX. 1906- Paris, Gaulhier-VilUr:^s 

Janvier-mai 1906. — But» : Snr la transformation par direrlions rvHM- 
proques. — C. Cailler : Sur one propriété de la série hyperg\^>m^li ^M^^ 
r— PoMrÊit; : Sur les séries de fonctions holomorphes. — P. Taxnvri ^ l.<^ 
éphémérides chez les Byzantins. — A. de Sai?it-Germain : Cinématique'. 
Problème relatif an centre instantané de rotation et au centre de» art^f^lo- 
rations. — Haac : Note sur les surfaces minima applicables sur une suH'aiv 
de révolution. — Poaréiu : (Rectification à sa note ci-dessu»i. — G. Raihv'^ 
Rapport sur le prix Bolyai. 

Mathesis, Recueil mathématique publié par P. Maksion et J. Ncirkru. — S«^« 
rie 3. Tome VI 1906. — Gand. Hoste ; Paris, Gauthier- VilUrs. 

Janvier-juin 1906. — De Tillt: Les premiers principes do U gt^>m<^lrU\ 

— J. Neuberg : Propriétés du quadrilatère inscriptible. — A. liÉ^RXRtMN . 
Sur la détermination des nombres amiables — F. Gomes>Trixrira» : Sui' I09 
transformations linéaires. — J. Neuberg : Sur deux cas particuliers du piH>» 



416 BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 

blême d'Apollonius. — Paul StXckel : Sur une formule approchée donnant 
X en fonction de sin xei cos x. — • C.-E. Wabteels : De l'existence du plan 
tangent. — P. M. : Sur les solutions de l'équation indéterminées' 4*7* =^*- 
— Barisien : Exercice de calcul intégral. 

Notes mathématiques. -" Bibliographie. — Solutions de questions prO' 
posées. — Questions d'examen. — Questions proposées. 

2« Liivpes nouveaux: 

W. M. Baker. — Algebraic Geomatiyi a new Treatise on analytical conic 
Sections. — 1 vol. in-16. 325 -|- 23 pp , 61 ; Georges Bell et Sons, Londres. 

Fr. Brioschi. — Opère Matematiche T. lY. — 1 vol. gr. in-4o, 418 p., 

25 L. ; U. Hœpli. Milan. 

Encyclopédie des Sciences mathématiques pures et appliquées, édition 

française publiée d'après l'édition allemande sous la direction de 
M. J. MoLK. — Tome I, troisième volume: Théorie des nombres^ Premier 
fascicule : Propositions élémentaires (Bachmann et Maillet) ; théorie arith- 
métique des formes (Vahlen et Cahe?(| — % p. ; Gauthier-Villars, Paris. 
A. Gvillem:!*. — Tableaux logarithmiques A et B, équivalant à des tables 
de logarithmes à 6 et 9 décimales et note explicative. — 1 vol. in-S», 4 fr; 
F. Alcan, Paris. 

E. JouFFRET. — Mélanges de Géométrie à quatre dimensions. — 1 vol. gr. 

in-So XI-227 p., 49 fig. ; 7 fr. 50; Gauthier-Villars, Paris. 

L. Krûger. — Znr Ausgleichung der Widersprûche in don Winkelhedin- 
gungsgleichungen trigonometrischer Netie. — 1 fasc. gr. in-4o; 34 p.; 

2Mk. ; 80 B. G. Teubner, Leipzig. 

H. Lebesgue. — Leçons sur les séries trigonométriques. — 1 vol. în-8<>, 

VIM28 p.; 3 fr. 50; Gauthier-Villars. Paris. 
Lucas de Pesloûan. — N.-H. Abel, sa Tio et SOU œuvre. — 1 vol. in-8o, 
XIII-169 p. ; avec un portrait : 5 fr. ; Gauthier-Villars, Paris. 

J. Massau. — Note sur les Géométries non euclidiennes (Premier fascicule). 

— 1 fasc. in-8o, 175 p. ; Dequesne-Masquillier et fils, Mons. 
M. Petrovitcm. — La Mécanique des phénomènes fondée sur les analogies 
(Collection Scienlia). — 1 vol. 96 p.. 114 fig. ; 2 fr. ; Gauthier-Yillars, Paris. 

E. Rœssler. — Théorie et calcul des lignes à courants alternatifs traduit 

de l'allemand par E. Steinmann. — 1 vol. cart. 288 p., 7 planches ; 
Ch. Béraager, Paris. 

Cr. Schmehl. — Die Elemente der sphârischen Astronomie und der 

mathematischen Géographie nebst einer Sammlung von Aufgaben. — 1 vol. 
in-16, 110 p.; 1 Mk, 60 ; E. Roth. Giessen. 
Ed. Schulze und Fr. Pahl. — Mathematischo Aulgaben Ausgabe fur 
Gymnasien, II Teil. (Obersekunda und Prima). 1 vol. in-8o, 284 p. ; 3 M. 40; 
Dûrr, Leipzig. 

M. Simon. — Ueber die Entwicklung der Elementar-Geometrie im XIZ. 

JTahrhundert. '^ 1 vol. in-8<> relié. 278 p.-, 8 M.; B. G. Teubner, Leipzig. 
E. VivANTi. — Fnnzioni poliedriche e modulari. (Manuali Hœpli), — 1 voL 

in-16. 437 p., 3 L. ; Hœpli, Milan. 
E. J. WiLczYNSKi. — Projective Differential Geometry of curves and ruled 

Surfaces. — 1 vol. relié in-8<», 298 p. ; 10 M. ; B. G. Teubner, Leipzig. 



LES LOGARITHMES AVANT NEPER*. 



Il est assez remarquable que Tidée d'une théorie arithmé- 
tique des logarithmes n*ait pris naissance qu'après celle de 
leur théorie algébrique. Dès Taurore de Talgèbre, on voit, 
en effet, considérer les rapports comme des quantités d'un 
genre spécial, leur donner des noms particuliers*, et em- 
ployer pour leur calcul, un langage logarithmique, pour ainsi 
dire. Car les opérations que nous appellerions aujourd'hui 
multiplication des rapports, leur élévation aux puissances, 
l'extraction de leurs racines, s'appelaient et se sont long- 
temps appelées addition, multiplication et division de rap- 
ports *. 

La musique est vraisemblablement Torigine de ces déno- 



* CoDHulter aussi, outre l'Histoire des mathématiques de M. Cantor f Vorlesungen ùber 
die fiesckichUs der Matheniatik, 3 vol. parus), l'ôludc historique que M. Thopfkb consacre 
aux logarithmes dans l'ouvrage intitulé (ieschickte der ELementar-Mathematik. t. II, p. 141- 
186. Die Logarithmen, La Rédaction. 

.345 « + 1 , . , j, ' ■\ ■ 

" Le» rapports -â- ' T ' T ' *** ' P*** exemple, portaient les noms de Q^ioAtoC , 

fTrcTpÎTOC, CircTCrapTOC, ... IirifiÔptOC, devenus plus tard sesquialler, sesquitertius , 
scsquiquarttis, ... superpartie fis. 

« Ainsi en ajoutcuit Tq^iôXioc (-r-) et I uTritriTCTaproç (— ) > on trouve rc77&irtfiir- 
ZOÇ \-r); doubler, tripler, ... sesquipler un rapport, c'est Télever au carré, au cube, ... à 

la puissance ^ ; prendre la moitié d'un rapport, c'est en extraire la racine carr<*e ; etc. 

La notion du rapport fut longue à s'éclaircir : Kepler, Mercator, Cotes, Halley, dans leurs 
écrits logarithmiques, parlent couramment d'addition et de division do rapports; dans le 
Hens qu'on vient d'indiquer. On en voit une autre preuve dans les curieuses remarques 
d'Arnauid, de Leibniz et do d'Alembert, au sujet du rapport de — 1 à -j- !• 

Le mot logarithmCy imaginé par Ncper, pour rt*mplacer le mot numcrus artificiaUs, 

d*abord employé par lui, et qu'on traduisait avec Kepler, par mesure des rapports (a^t<J- 
UÔC TÛV Xoyûv), avait contribué a la confusion. Matzka (.4- Gr; 1860) en a montrt' la vraie 
origine, qui est ^Lo^iffrixôç àpi3u6s. Neper ne parle nulle part, en effet, de mesure de 
rapports ; mais de son temps, le mot logistique était souvent pris pour calcul^ comme on 
le voit chez Neper môme. Déjà Platon distinguait la ^Loyiarcxiq, science du calcul, de l'àpc<d- 
^1971X10 « théorie des nombres. 

Ce langage inexact paraît avoir été critiqué d'abord par Clarke, dans sa controverse avec 
Leibniz. Celui-ci avait dit que • l'ordre a aussi sa quantité... Les r.iisons ou proportions, 
dans les mathématiques, ont leur quantité, et se mesurent par les logirithmes ». Clarko 
répondit à cela que • le temps et l'espace sont des quantités, ce qu'on ne peut dire de la 
situation et de l'ordre... L'expression logarithmique d'une proportion n'est pas la mesure. 
mais Vindicc ou le signe artificiel de la proportion ». 

L'Enseignement mathém., 8« année; 1906. 37 



418 A. AUBRY 

minations. Comme on sait, Pythagore avait découvert fortui- 
tement que les longueurs des cordes donnant les intervalles 
de quarte, de quinte et d'octave sont respectivement dans les 
rapports de 4 à 3, de 3 à 2, de 2 à 1. Il avait conclu que les 
intervalles musicaux sont régis par des lois numériques, 
qu'il s'appliqua à découvrir. Pour suivre leurs rêveries nu- 
mériques, psychologiques et cosmiques, autant que pour ré- 
gler les instruments de musique, les pythagoriciens en dé- 
duisirent plusieurs systèmes, en général très compliqués. 
C'est probablement d'eux que vient l'usage des noms rappe- 
lés plus haut: comme ces noms leur servaient surtout à dé- 
signer les intervalles musicaux, ils en vinrent à substituer 
aux noms des intervalles ceux des rapports qui les repré- 

sentent. Ainsi ils disaient: le rapport -^ est composé des deux 

rapports "ô et ^ • 

On voit un exemple de ce calcul dans un passage célèbre 
du Ttfxaw;, où, pour expliquer la formation de Tâme, Platon 
dit que Dieu sépara du tout une partie, puis une autre dou- 
ble de la première, puis une troisième triple de la première, 
une quatrième double de la seconde, une cinquième triple 
de la troisième, une sixième octuple de la première, une 
septième valant vingt-sept fois la première*; qu'ensuite il 
remplit chacun des intervalles doubles et des triples* par 
deux moyennes, dont l'une ^ surpasse le plus petit et est sur- 
passée par l'autre d'une même fraction de chacun d'eux, et 
l'autre^ surpasse le plus petit et est surpassée par l'autre 

d'une même quantité^; qu'il remplit ensuite les intervalles ir 
par des intervalles -g- et un intervalle de ^Tg ®. 



1 Ce qui donne déjà les nombres 1, 2, 3, 4, 8, 9, 27. 

* Ceux des nombres 1, 2, 4, 8 et des nombres 1,3, 9, 27. 

* Moyenne harmonique. 

* Moyenne arithmétique. 

* On a ainsi les nombres l»-^^»-^» 2.—, 3, 4, -—.--, 6, 8, 9, — , 18, 27 . 

4 9 8t 

* Ainsi le premier intervalle, de -r- à 1, donne les trois nouveaux intervalles, de —■ ii 1^ -t 

3 8 64 

,94.81_ .. ^o.8,^. . ^^.9 81, 9 8. 81 

a — • , —a — . Le quatrième, de 2 a — , les trois suivants, 2a — , — a—-, T*^* 

Ces nombres représentent tous dos intervalles musicaux : la quarto [diài Tf OdâûMv) ou 

4 9 256 

-— comprend un ton (Tovoç) ou -■ , un second ton et un limma (^ctuua) de rrr . 



LES LOGARITHMES AVANT NEPER 419 

La théorie des rapports, due à Eudoxe, est expliquée par 
Euclide, dans ses o'T«;f6icijv et ses dsdàfisvov^ sans toutefois qu'il 
soit parlé de la division des rapports. Cependant les Anciens 
ont dû faire plusieurs tentatives pour résoudre cette der- 
nière question. Platon, — qui, comme on sait, fut l'inspira- 
teur du problème déliaque ou duplication du cube, — paraît 
en avoir eu la première idée : on sait la manière dont il di- 

vise en trois parties égales, le rapport j, au moyen d'une 

construction graphique. — Le titre d'un des ouvrages d'Ap- 
pollonius^Tiepilôyov à7roTOM>5î, bien que n'en énonçant nullement 
le contenu, témoigne de préoccupations de ce genre : on sait 
d'ailleurs qu'il a écrit un traité sur les irrationnelles des or- 
dres supérieurs. — Nous voyons que Théon de Smyrne, pour 
avoir la valeur approchée du demi-ton, laquelle est la moitié 

du rapport g- ^ o" v/ 1 + g- » pose cette racine égale à l + 77 . — 
Enfin, d'après Ptolémée, pour partager pratiquement l'inter- 
valle musical 77 , par exemple, en deux parties égales, on le 

traitait ainsi : — = rr = tt- • tv , <-e qui donnait le célèbre 

15 45 46 4o ' * 

genre èvapjioviy.ôv^ provenant de la division de la quarte^, sui- 

vant les intervalles % , tt^ , t - De même, pour diviser l'in- 
tervalle de quarte en trois intervalles égaux, on le considérait 

12 11 10 

comme composé des trois suivants tt » ta ^ "ô" ^ 9^ii sont les 

rapports approximatifs cherchés; et en effet ce genre s'appe- 
lait iiazovov oua'kôv. 

Le premier qui considéra une progression géométrique 
en nombres, considérait implicitement aussi la progression 
arithméthique 1, 2, 3, 4,... et pourrait passer comme ayant eu 
la première idée des logarithmes, si la théorie logarithmi- 
que ne reposait pas précisément sur la difficulté de donner 
des correspondants dans la progression arithmétique aux 
nombres intermédiaires de la progression géométrique. Quoi 
qu'il en soit, on doit cette]considération à Archimède, qui 
outre un théorème important sur le mode de croissance des 



420 A. AUBRY 

deux progressions S remarque dans son \pafiij.ixèç^ que : étant 
donné des nombres continuellement proportionnels à partir 
de l'unité, le produit de deux de ces nombres est un terme 
de la progression autant éloigné du plus grand facteur que 
le second Test de Tunité, et autant éloigné de Tunité que les 
deux facteurs le sont ensemble de Tunité. 

Cette remarque d'Archimède a été développée et appliquée 
par Nicolas Chuquet, aux deux progressions ^f 1 : 2 : 4 : 8 :... 

et vf 1 : ^: "ô- : 2^ :... dans son Triparty, écrit en 1484, mais 

publié seulement en 1880 (B. Bon.) par Marre. Voici un ex- 
trait du texte de Chuquet : 

« De la multiplicacion et prop'ete des 
nombres proporcionalz. 

Tous nombres proporcionalz constituez ordonneement en 
quelque proporcion que ce soit commancant toutesfoiz a 1 et 
comptant cellui qui vient Immediatemmt après, 1. pour le 
premier et celui dap's pour le second et consequemment les 
aultres. Telz nombres ainsi ordonnez ont telle prope'te que... 
qui multiplie lung diceulx par lung des aultres et qui adiouste 
les deux ordres esquelz sont situez les deux nombres mul- 
tipliez. 11 treuve le lieu ou doit estre situe le nombre venu 
de la multiplicacion cest a dire qu'il treuve le quantiesme 
nombre ceste multiplicacion doit produire... 

... Aultre exemple a la proporcion superbi- 

17 

parciens. Qui multiplie. ^ , ^ , qui est le 3® su- 
perbiparciens en soy 11 treuve le 6® superbipar- 

ciens qui est 21 . ^ . Ou qui multiplie le 2® su- 

7 
perbiparciens qui est 2 . ô" • par le 3° qui est 4 . 

^ . Ion trouuera 12 . ^ttt . qui est le 5®. Car 2 et 

3 Joinctz ensemble font 5. Et ainsi des ault's 
superparciens et semblablement des aultres es- 
pèces conuîent entendre... » 



2 



21 .:: 



2 


■ 


3"" 


1 


n 

9 


2 


17 

27 


3 


58 
82 


4 


209 


^ 


243 


- 5 


316 
729 


-6 


ube du 


rap- 



7 . -rr — 



* Si entre les quantités H, K, on insère deux moyennes arithmétiques (), I, le cube du rap- 
port de K à I sera inférieur au rap'port do K à H. C'est la relation (1 -f- x)'']> 1 + /ue, qui nous 
a servi de point de départ dans notre étude élémentaire des fonctions hyperboliques. 



LES LOGARITHMES AVANT NEPER 



'i21 



Stifel [Arith, inl. Nùrnberg, 1544), outre des considérations 
semblables, établit nettement le parallèle des opérations 
élémentaires effectuées sur les deux progressions et étend le 
théorème d'Archimède aux progressions prolongées aux-des- 
sous de zéro et de Tunité. 

« Addilio in Arithmeticis progressionibus respôdet multi- 
plicationi in Geometricis... 

Substractio in Aritmeticis respondet in Geometricis divi- 
sioni... 

Multiplicatio simplex... quœ fit in Arithmeticis, respondet 
niultiplicationi in se quœ fit in Geometricis. 

Divisio in Arithmeticis progressionibus, respondet extrac- 
lionibus radicum in progressionibus Geometricis... 

... Sicut supra unitatem ponuntur numeri integri, et infra 
unitatem finguntur minutiœ unitatis, et sicut supra unum 
ponuntur intégra, et infra unum ponuntur minuta seu tracta: 
sic supra o ponitur unitas cum numeris, et infra o fingitur 
unitas cum numeris. Id quod pulchre reprœsentari videtur 
in progressione numerorum naturali, dum seruit progres- 
sioni. 

Sed ostendenda est ista speculatio per exemplum. 



— 3 


— 2 


1 





1 


2 


3 


4 


5 


6 


1 

"S" 


1 
4 


1 
2 


1 


2 


4 


8 


16 


32 


64 



Posset hic fere nouus liber integer scribi de mirabilibus 
numerorum, sed oporlet ut me hic subduca, et clausis oculis 
abea... » 

Tartaglia et d'autres ont aussi traité le même sujet, mais 
sans y apporter de considérations nouvelles. Ainsi, au milieu 
du XVI* siècle, le théorème incidemment énoncé par Archi- 
niède n'avait pas encore conduit à l'idée des logarithmes ; on 
peut croire cependant que. les remarques de Stifel ont dis- 
posé les esprits à les appliquer à la simplification des cal- 
culs numériques. 



422 A, AUBRY 

Le besoin d'abréger les immenses calculs des astronomes 
a en effet amené la découverte des logarithmes, que Bùrgî 
parait avoir faite dès 1588. Mais c'est à Neper seul qu'on 
en fait honneur, car non seulement il a devancé Bûrgi dans 
la publication des tables, mais il en a donné du même coup 
la théorie et l'usage, et il en a très bien compris la portée, 
tant au point de vue arithmétique qu'au point de vue ana- 
lytique. 

Bùrgi avait composé vers 1603 une table d'anti-logarithmes, 
longtemps inconnue. Cette table [Arith, und Geom, Progress 
Tabulen, Prag. 1620), retrouvée par Kœstner, en 1740, con- 
tient environ 33,000 logarithmes écrits en rouge (rothe 
Zahlen) à côté des nombres correspondants, écrits en noir 
{sc/m*a'rze Zahlen). 

Il a simplement remplacé la progression ff 1: 2: 4:... de 
Ghuquet, de Stifel et des autres, par la progression tt 1 : 
1,1000' : 1,0001»: 1,0001* :... variant très lentement, et en outre 
très facile à construire. L'usage de cette table n'a été publié 
qu'en 1856, par Gieswald. 

Appendice : Sur quelques méthodes élémentaires 
de calculs des logarithmes. 

Neper considère deux points mobiles H, >?, sur deux droi- 
tes AO, aw, le premier se mouvant uniformément et l'autre 
avec une vitesse proportionnelle à la dislance variable >?«. 
AH est le logarithme de la partie correspondante /îoi. La défi- 
nition de Neper, d'ailleurs non rigoureusement justifiée, 

n'est autre que la définition infinitésimale L.r = r — , ou. 



n 



mais moins directement, celle-ci L.r = lim/?(V/iF — 1). 

Ses logarithmes, que nous désignerons par la lettre N, 

peuvent être définis par la relation N {a) = 10^ L — : ils dé- 
croissent donc quand le nombre augmente. Neper avait sur- 
tout pour but de faciliter les calculs trigonométriques; aussi, 
pour ne pas avoir de nombres négatifs, il fait le sinus total 



LES LOGARITHMES AVANT NEPER 423 

(sin. 90° ou rayon) égal à Tunilé (représentée par 10'') et fait 
croître les logarithmes à partir de celui de ce nombre. 

Pour calculer sa table, il construit une progression géomé- 
trique de cent termes, dont le premier est le sinus total et la 

raison 1 — ^ ; le dernier terme est a = 9999900,0004950. 

D'après un théorème de Neper qui peut se rendre par la for- 
mule (a) de l'exercice 8 de notre Etude des foiic. hyp.^ — 
formule qui se déduit immédiatement de la définition ciné- 
matique de Neper, — on trouve 

iOO < N (fl) < 100,00001 d'où sensiblement N («) = 100,000005 

et de là 

N (9999900) = tOO.00050000. 

l^ne autre progression de cinquante termes dont le pre- 
mier est le sinus total, et le second 9999900, — la raison par 

1 
suite étant 1 — r^i , lui donne 

N (9995001,222927) = 50.100,0005 = 5000.025 . 

d'où 

N (9995000) = 5001,2485387. 

Il construit ensuite soixante-neuf progressions de vingt 
termes chacune ; la raison est partout 1 — ^^ , les termes 
initiaux forment eux-mêmes une progression dont le premier 

terme est le sinus total et la raison 1 — 7777: . Il a ainsi les lo- 

100 

garithmes de 1380 nombres variant de 1 à 0,5 et qui lui per- 
mettent de calculer par approximation ceux des lignes trigo- 
nométriques de 90° à 30°. 

Neper indique aussi un autre genre de logarithmes plus 
commode dans la pratique: ce sont ceux qui ont zéro pour 
logarithme de Tunité et 10*® pour logarithme de 10. Pour 
calculer ces nouveaux logarithmes, il propose trois méthodes 
élémentaires, ingénieuses mais peu pratiques. Par la pre- 
mière, on déterminera, au moyen de racines cinquièmes suc- 
cessives de 10, les nombres dont les logarithmes sont 
2 000000000, 400000000, 80000000, 16000000, 3200000, 
640000, 128000, 25 600, 5 120, 1024; puis, par des extractions 



42'i A. AUBHY 

de racines carrées successives de la dernière racine obtenue, 
les nombres dont les logarithmes sont 512, 256, 128, 64, 32, 
16, 8, 4, 2, i. Par des multiplications convenables de ces ra- 
cines, on aurait les anti-logarithmes de tous les nombres *. 

La seconde méthode ne demande que des extractions de 
racines carrées. Par exemple, pour trouver log. 5, on pren- 
dra successivement le moyen géométrique des nombres 10, 
1, dont les logarithmes sont connus, puis le moyen géomé- 
trique entre 10 et ce moyen, etc., en moyennant toujours 
deux nombres, Tun plus grand que 5 et l'autre plus pe- 
tit». 

Enfin la troisième méthode de Neper se déduit de cette re- 
marque que le nombre de chiffres de la puissance 1000"* de a 
diminué de 1 représente log. «. Ainsi comme on a: 

210000000 -—• IQS010S99M 

on peut écrire log. 2= 0,30102995. Briggs a continué ce cal- 
cul et a obtenu ainsi log. 2 avec treize décimales. 

Kepler {Chil, log. Marpurg, 1624) considère un rapport 
fixe et le mesure par la différence de ses termes. Tout autre 
rapport a pour mesure celle du rapport fixe multipliée par le 
nombre de fois que ce rapport contient le rapport type *. Par 

exemple, prenons pour rapport type la racine (2*®)'"® de r-;. , 
c'est-à-dire le rapport obtenu après trente extractions succes- 
sives de racines carrées, et que nous désignerons par - : 

1 1 
les rapports - et ^ seront mesurés par 1 — a et par 2*® (1 — 

a). Pour mesurer le rapport r-^ , on en extraira des racines 



^ Cette propriété des ternies de la progression 1:2:4:8:... de donner par multiplication 
tous les nombres entiers et celle presque identique de la progression 1 : 3 : 9 : 27 :... se voient 
dans l'ouvrage cité de Stifol. 

' Euler, refaisant ce calcul, a dA extraire vingt-deux racines pour obtenir log 5 avec sept 
décimales exactes. 

* Cela veut dire que si 1 — u désigne un nombre fixe dont le logarithme soit «a, le loga- 

n 

rithme de tout nombre k^ dans ce système, sera n (1 — ^/A*), n désignant l'exposant de la puis- 

l 

sance de ea qui donne le nombre A-, ou, comme dit Kepler, le nombre de fois que le rapport — 

te 

est contenu dans le rapport -ç . 



LES LOGARITHMES AVANT NEPER 425 

carrées successives jusqu'à la vingt-cinquième, 6, qui est 
sensiblement égale à - : la mesure cherchée est donc 2** 

(1 - b). 

On mesurera de même les rapports 

111111 1 1 



2 ' 0.96 ' 0,98 • 0,99 ' 0,95 ' 0,988 ' 0,969' 0,961 ' '" 

ce qui donnera les logarithmes kepleriens des nombres 2, 5, 
3, 11, 13, 17, 23,... 

Il donne, sans démonstration suffisante, plusieurs rela- 
tions intéressantes, dont la relation (jS) de l'exercice 8 et la 
première inégalité (a) de l'exercice 16, de notre article sur 
les fonc. hyp. 

On voit que Kepler peut représenter tous les systèmes, 
sauf le système népérien. Sa théorie est d'ailleurs bien infé- 
rieure à celle de Neper, qu'il se proposait d'éclaircir. 

Briggs s'est attaché, comme on sait, au calcul des loga- 
rithmes vulgaires. Voulant que la raison de la progression 
géométrique soit aussi voisine que possible de Tunité, mais 
ne pouvant se donner celle-ci a priori, puisque la base était 
fixée d'avance ; voulant d'autre part obtenir ses logarithmes 
avec quinze décimales exactes ; il calcula d'abord la table 
suivante de logarithmes vulgaires, qu'il poursuivit jusqu'à 
ce qu'il ait quinze zéros après la virgule, ce qui lui permet- 
tait de concevoir l'insertion de 10** — 1 moyens géométri- 
ques entre 10 et l, 

4 8 

\a] lojçlO=:l, Iog^l0=0,5, log ^/lO =: 0,25 , log|/lO = 0,125 ,... 

et dont le cinquante-quatrième terme est * 

log l,0^M278191'i932003235= 0,0'«5551115123125:82702. 

Il remarqua que le rapport de l'excès d'une racine sur 



* Ceâ racine» successives se déduisent les unes des autres à l'aide de diverses formules, 
dont voici la plus simple : soient 



Kl-fA = l + a, K'l-|-a = l + « et vi + Ozri+o:, 

on aura 

.1 1 , A3 

Jr= — Ot — — « + : — . 

4 8 H»24 



426 A. AUBRY 

runité au logarithme correspondant tend vers une limite 
fixe^ qui se trouve être le nombre 

M = 0,434294481903251804 . 

De là une première méthode de calcul des logarithmes. En 
effet soit à trouver log. 2: il extrait quarante-sept fois de 
suite la racine du nombre 1,024, ce qui lui donne 

log 1,0«* 16851605705394977 = 0,0>« 731855936906239368 

= M . 0,0" 1685165705394977 

Multipliant par 2*^, il trouve 

log 2 = 0,3010299956639111952 . 

6* 

Pour log. 3 il part de 1,0077696 = jm ; pour log. 7, il agi^^ 

1 1 
de même sur 1 + ^^ ; pour log. 11, sur 1 + ^^ ; en géné- 
ral, sur des nombres de la forme -= -. , les facteurs des nom- 

rr — 1 

bres /2, n — 1, /i + 1 ayant leurs logarithmes connus, sauf un. 

La table (a) permet de trouver autrement log. w, n étant 
compris entre 1 et 10. On divise n par le nombre de la table 
immédiatement inférieur, puis le quotient par le nombre qui 
lui est immédiatement inférieur, etc. On ajoute ensuite les 
logarithmes correspondants. 

Briggs donne encore une autre méthode fondée sur l'em- 
ploi d'une table des logarithmes des nombres 1,1,1,2, ... 1,9 ; 
1,01,... 1,09;... 1,0»1, 1,0«2,... 1,0»9. 

Ainsi, par les divisions successives, on a : 

2966,82051458 = 2966. 1,0»2. 1.0*7. 1.0'^6.... 

d'où le logarithme du nombre proposé à Taide de ceux de la 
table. 

Les logarithmes étant calculés par exemple de 10 en 10, 
Briggs montre à intercaler les autres à Taide de diverses for- 



>Si M+A = l + «,onaeoelTel: ^— A__ = (,+|) 



log (t + a) 



LES LOGARITHMES AVANT NEPER 427 

mules utilisant surtout les différences secondes et cinquiè- 
mes. 

Gregory a appliqué au calcul de L 10 le théorème rappelé, 
exercice 15 de nos fonc. hyp. Au vingtième terme, il a trouvé 
deux limites qui ont vingt-deux décimales communes. Il in- 
dique ensuite le calcul des nombres plus petits que 100, 
comme Briggs : 

Au-delà de 100, il prescrit de calculer 

Lfl-f 



L ^ A»{A-2)J 



d'où le logarithme de X + 1^ connaissant ceux de A — 2, 
de A — 1 et de A. 

Mercator [Log, Londres, 1668) a donné une ingénieuse 
théorie qui s'appuie sur l'étude des proportions à termes 
équidifférents. 



des rapports de ces rapports, de leurs rapports seconds, etc, 
Par exemple, on a sensiblement: 

M 

/ rt _ /î {h -\- a) — (h — a\ 



b n(h 4- a) + (h — a)' 

Ainsi on a : 



3 15 17 19 21 23 ^, , ... 

5 = Î7 Ï9 2Î 2-3 25 ^ ^" «ens.blement 



/3 19 
V5=2T 



Cela fait voir que les logarithmes des nombres 

a h -\- 3a 2b + 4« 3^ -f 5a 

b • U -\- a • 46 + 2a ' bb -f 3û ' *' 

sont comme les nombres 1, ^r , -r , 7- . •• 

2 6 4 



'i28 A. AUBRY 

Il tire de là, par des moyens élémentaires, mais peu ri- 
goureux, les formules approchées 

L (a -f h) — Lfl _2flf + b 2L \a -j- />) — Lg — L (g + 2/;) _ A + ^A * 
'"^ L(a + c) -— Lrt ~2a -f. c ' 2L (a + c) — La — L (a + 2c) ~ \fl -|- c/ 

et autres analogues. 

Ceci posé, il a, par des calculs faciles à restituer, 

1005*«» = 9965774 , 995**» = 1001823 

d'où, par des interpolations linéaires 

1005"».«»«« =10 et 995**»."»»» = 0.1 

De là les logarithmes de 0,995 et de 1,005, d'où, en utilisant 
(a), log. 101 — log. 100, puis log. 102 — log. 101, etc. 

Dans les P. T. de 1714, ont été publiées deux méthodes 
intéressantes pour le calcul d'un logarithme isolé quelcon- 
que. L'une, due à Long est basée sur l'emploi de la table des 
racines 10®, 100*, 1000",... de 10 et de leurs neuf premières 
puissances. On divise le nombre dont on cherche le loga- 
rithme par le nombre le plus voisin de la table, puis on agit 
de même sur le quotient, et ainsi de suite. On n'a plus qu'à 
ajouter les logarithmes obtenus. 

Le second procédé est de Taylor qui l'expose en l'appli- 
quant au logarithme de 2. Posons 

A = 7 log 2 — 2 = log 1,28 > , d'où log 2 > 0.28 

B = 3 log 2 — 1 = log 0,8 < , d'où log 2 < 0.33 

C = A -h B = 10 log 2 — 3 = log 1.024 > . d'où log 2 > 0.3 

D = B + 9C = 93 log 2 — 28 = log 0.990352031429 < , 

d'où log 2 < 0,30107 
E = C + 2D = 169 log 2 — 59 = log 1,004336277664 > , 

d'où log 2 > 0.301020 

N = L H- M = 325147 log 2 — 97879 = log 1,000000364511 . 

d'où log 2 > 0.3010299956635 
O = M -f 18N = 6107016 log 2 — 1838336 = log 0.999999764687 , 

d'où log 2 < 0,3010299956640 

On a ainsi deux valeurs très rapprochées de log. 2 et on 



LES LOGARITHMES AVANT NEPER 429 

peut en tirer une valeur très exacte en remarquant que si x 
est très petit on a sensiblement 

(I :+: jrj^ = 1 Hh SX d'où sensiblement x log (1 — 5) -|- 2 log II -|- x) = 0. 

Posant en conséquence 

3645110 -h 235313N = . 

on trouve la valeur de log. 2 avec quinze décimales exactes. 
Dodson [anti'log. Canon^ 1742) donne avec onze décimales 
les 100000 moyens géométriques insérés entre 10 et 1, avec 
leurs logarithmes vulgaires, c'est-à-dire la table désignée 
ci-dessous: 

1 : a = 1.000023026116 : a' : a» : ... : 10 . 
. a = 0,000001 . 2a . 3o ... . 1 . 

Euler, dans son Alg. enseigne ainsi à trouver la valeur de 
log. 2. Il s'agit de résoudre Téquation 10^ = 2. Or on a : 

2* > 10 > 2» , d'où \^x:>y 
La fraction -r , formée en additionnant les numérateurs et 

o 

les dénominateurs de ces deux limites de J7, est comprise 
entre elles * : c'est donc une nouvelle approximation. Or 



^ Cette remarque, que les Anciens paraissent avoir connue et utilisée, se voit pour la pre- 
mière fois chez Cbuquet (l. cit.i, qui l'appelle « la riglc des moyens n et l'emploie ainsi pour 
m lextraction des racines imparfaictes. ■ 

Soit t^ 6 : l'essai direct donne 2 <' t^ 6 <" 3. Essayons successivement S —, 2 — , '2 — , 
' ^ \ . 2 3 4' 

1 1 2 

2 — , ... 2 -— , 2 •— , ... nous trouvons : 
o 3 w 

2 

d'où le moyen 2 -7- , qui après essai, se trouve être trop petit. Moycnnons les deux limites 



2 -r- et 2 T- . il vient 2 — > valeur trop petite. « Et par ceste manière peulx procéder en 



^-f ' 

adjoustant le moins avec le plus ou le plus avec le moins Jusques a ce que Ion sapprochc bien 
près de . 6 . ung petit plus ou ung petit moins et tant qu'il souffise. Et doit on scavoir que 
tant plus Ion continueroit par ceste manie tant plus près de . 6 . Ion sapprocheroit mais 
Jamais on ne lattaindroit pci»«met. • 

Estienne de la Roche, dans son Arismêtique (Lyon, 1&20) emploie également ce procédé, 
qu'il appelle par médiacion. 

On appelle aujourd'hui médtantes le genre de moyennes dont il vient d'être parlé, et leur 
étude a mené à la connaissance de diverses suile.s importantes étudiées par Farey, Cauchy, 
Brocot, Halphen, etc. 



430 A. AUBHY 

on a : 

10» < V donc i > ^ > I . 

De même, on trouve : 

1^ ^3^ 4 2 7 3 28 ^liL^ 

3 •^•''^ 10 ' Î3 ^"^"^ 10 * 23 ^"^ ^ ÎO ' 'yâ ^"^-^10' 103*^"^ * 

28 31 59 • 

La relation ^ > x > rr-r donne Tapproximation -r^ , qui se 



no Q-; 

trouve être trop petite. Combinons-la avec ^ , il vient r^ , 
trop forte. Combinons cette dernière avec j^ , il vient 7^ ; et 



ainsi de suite. 

Cette méthode serait certainement la moins pratique de 
toutes celles qu'on a imaginées dans ce but. 

La méthode de Briggs, décrite plus haut a été modifiée 
heureusement par Flower [New way of mahing log. 1771.) Le 
diviseur est formé de l'ensemble des quatre premiers chiffres, 
en ajoutant 1, ce qui fournit un quotient de la forme 0,9* 
ab,,. On multiplie ce quotient par 1,0" «, « étant le complé- 
ment à 9 de fl. On répète la même opération sur le produit 
et on continue jusqu'à ce que la première moitié des chiffres 
du produit soit composée de 9: on écrit, immédiatement les 
derniers facteurs, en prenant les compléments des derniers 
chiffres. Ainsi par exemple 

??5£^|^6^ 0.9*3950608695 

le quotient multiplié par 1,0*6, donne 0,9^502457315 ; ce pro- 
duit, multiplié par 1,0®4, donne 0,9''02457116 ; celui-ci, multi- 
plié par 1,0'9, donne 0,9^2457107; ce dernier résultat four- 
nit les facteurs 

1,087 , 1,0»5 , 1,0^4 . 1,0»2 , 1.0«8 . 1,0"9 , 1.0^*2 ; 
d'où 

lojç 2966,8... = log 2967 — (log 1,0*6 + log lOn -f ...) 



LES LOGARITHMES AVAXT NEPEH 4:{1 

Cette méthode a reru plusieurs perfectionnements de dé- 
tails de Lefort, Fedor Thoman, Burnier, Gray et Hopp. 
Byrne [Dual log, 1863) a proposé de la modifier en rempla- 
çant dans la table, les logarithmes de 1,2, 1,3,... 1,02, 1,03,... 
par ceux de 1,1*, 1,1®,... 1,01*, 1,01*,... ce qui réduit la cons- 
truction de la table au calcul des logarithmes de 1,1, 1,01, 
1,001,... 

Garnier dans son Alg, (Paris, 1800), apprend à développer 
les logarithmes en fractions continues. Soit à trouver log. 2 ; 

on a 10^ = 2, d'où x < 1. Posons .r = — ; on aura 2" ^= 10, 

\ 

d'où a = 3 -|- /3 et 2 /3 = 1,25. Donc /3 < 1 ; posons /3 =^- , 
on aura de la même manière 

7 = 3 4- <y . 1,25^ = 1.024 , d'où (T < 1 ; 
posons donc i =-.— ^ ce qui donnera 

. = 9+Ç. 1.024? = ji^= 1.0097. 

1 t \ 024 

Ç=-. ,=2 + 6. 1.0097^> = ^-^^^=1.00'.4 . 

Il arrive finalement à ce résultat 

loK 2 = 3-1: 3-1: ^ 2^ ^ 1 = S = 0.3010301 . 

Enfin nous signalerons la méthode de Namur {Tables de log. 
Bruxelles, 1877), qui prescrit de multiplier le nombre dont 
on cherche le logarithme par un facteur convenable, de ma- 
nière que le produit soit voisin de 1 000000 M : les différen- 
ces des logarithmes sont, aux environs de ce nombre, de la 
forme 100..., ce qui rend l'interpolation très aisée. 

Nous aurions voulu faire encore ressortir davantage Tim- 
porlance de l'admirable découverte de Neper, en signalant 
rinfluence qu'elle eut sur les progrès du calcul, de la trigo- 
nométrie, de la cinématique, de Talgèbre ; sur l'extension 
de celle-ci aux quantités transcendantes; ainsi que sur la 



432 L. KOLLROS 

découverte du calcul des fonctions et du calcul infinilésimal. 
Mais cela eût dépassé notre but, et nous nous contenterons 
de rappeler, en nous y associant. Tune des épigraphes pla- 
cées en tête de la Mirifici Descriptio : 

« Hic liber est minîmus, si spectes verba ; sed usum 

Si spectes, Lector, maximus hic liber est. 
Disoe ; scies parvo tantum debere libello 

Te, quantum magnis mille voluminibus. Andréas Juniiis. » 

A. AuBRY (Beaugency, Loiret). 



LA MATHÉMATIQUE PURE ET L'APPROXIMATION 



1. — Dans révolution actuelle de renseignement des 
sciences, on constate un mouvement bien marqué vers l'uti- 
lité. Trop longtemps on a dit que le seul but des mathéma- 
tiques était de former le raisonnement; on les a enseignées 
comme s'il ne s'agissait que de créer de futurs mathémati- 
ciens. Aujourd'hui, on veut faire voir aux élèves que les 
sciences exactes ont de nombreuses applications pratiques, 
que la mathématique pure n'est pas seulement une excellente 
gymnastique de l'esprit, un admirable modèle de pensée 
logique, mais encore une interprétation approchée et com- 
mode de la réalité. Il n'est guère besoin de rappeler ici les 
nombreux écrits de M. Klein ^ en Allemagne, de M. Perry * 
en Angleterre et de beaucoup d'autres auteurs*. Signalons 
toutefois, parmi les ouvrages français, les volumes très sug- 
gestifs de M. Laisant, La Mathématique ; Philosophie -En- 



* Voir l'aperçu qu'en donne M. Marotto dans sa note sur L'évolution actuelle de l'enseigne^ 
ment mathématique en Angleterre et en Allemagne, publiée dans le Bull, des sciences math, de 
1905, p. 281-306. 

* Consulter les divers volumes de L'Enseignement Mathématique. 



LA MA TUÉMA TIQUE PURE ET VAPPROXIMA TIOJV 433 

seignement' et V Initiation mathématique ^\ puis les Confé- 
rences du Musée pédagogique^ el enfin \^^ Instructions i\\.n 
accompagnent les nouveaux progranimes français du 27 juillet 
1905V 

Ce mouvement vers la réalité est bien légitime et nous 
cherchons le moi en de suivre le courant sans faire subir 
d'oscillations trop brusques à nos méthodes habituelles. 

Devons-nous nous contenter de vérifier les formules trigo- 
nométriques à Taide de tables, comme le conseille M. Perry; 
voulons-nous, avec M. Borel, créer des laboratoires de mathé- 
matiques, des ateliers de menuiserie où les élèves construi- 
raient au tour des surfaces de révolution, tandis que d'autres 
ouvriraient et refermeraient des robinets pour résoudre pra- 
tiquement les problèmes classiques sur les bassins à remplir 
et à vider? Il faudrait tenter l'expérience pour pouvoir en 
juger sagement. Sans exagérer l'importance de ces exercices 
pratiques, nous devons reconnaître qu'ils sont excellents 
pour préparer l'enseignement théorique des mathématiques 
et pour donner une idée des limites d'exactitude des mesures 
réelles. Mais il est inutile d'en abuser. Nous ne voulons pas 
sacrifier la haute valeur éducative du raisonnement mathé- 
matique ; une bonne et solide logique doit en faire le 
fond . 

Nous croyons qu'il est nécessaire de donner un caractère 
expérimental au début de notre enseignement, mais nous 
pensons aussi qu'à un certain moment il faut grouper les ré- 
sultats observés, reconnaître leurs liens mutuels et arriver 
enfin à montrer comment on peut les déduire tous d'un mi- 
nimum d'entre eux. 

La manière naturelle de rapprocher la mathématique pure 
de la réalité, c'est de partir du concret pour arriver à l'ab- 
straction quand on en sent le besoin, puis de retourner du 



> Paris, Gauthier- Villa ra, !'«> édition 1898. (2« édition, sous presse. Réd.}. 

• Paris. Hachette : Genève, Georpr & Ci-, 1906. 

• L'enseignement des sciences mathématiques et des sciences physiques par H. Poincarô, G. 
Lippmann, L. Poincaré, P. Langevin, E. Borel. F. Marotte. Paris. lîM»'i. 

L'enseignement des sciences mathématiques et physiques dans l'Enseignement secondaire des 
garçons en Allemagne par F. Marotte, Paris, 1905. 

• Reproduites par V Enseignement Mathématique du 15 Novembre 1905, p. 4SH-*97. 

L'Enseignement mathém., 8« année} 1906. ^^ 



'i3'i L. KOLLROS 

symbole à la réalité en appliquant les résultats généraux 
trouvés en théorie à de nombreux exemples pratiques. 

2. — Je précise mon idée : 

En Géométrie^ par exemple, la première initiation doit se 
faire à Técole primaire par des exercices de dessin ; il est bon 
d'apprendre aux élèves à se servir de la règle, de Téquerre 
et du compas pour construire quelques figures simples; on 
peut leur faire constater expérimentalement toute une série 
de vérités qu'ils démontreront plus tard ; il est facile aussi de 
rendre plausibles les formules donnant la plupart des aires 
et des volumes usuels ; on en fera de nombreuses applications, 
en montrant que les figures en question se rencontrent en 
très grand nombre dans les objets qui nous environnent. 

Les élèves ne trouvent en général aucune difficulté à ce 
genre d'exercices. — D'où vient que quelques-uns ont tant 
de peine plus tard à s'habituer à un raisonnement rigoureux? 
C'est que le plus souvent ils n'ont pas compris l'utilité et la 
nécessité d'une telle rigueur. 

Un docteur en philologie me disait un jour qu'il reproche 
au mathématicien de vouloir démontrer des choses évidentes ; 
par exemple que les côtés opposés d'un parallélogramme ou 
d'un rectangle sont égaux. Plusieurs de nos élèves ont peut- 
être fait la même réflexion, et s'ils l'ont faite c'est bien un peu 
notre faute. 

Pour étudier les propriétés du parallélogramme on ne com- 
mencera pas par le définir, mais par le dessiner en coupant 
les lignes parallèles d'un cahier par deux autres parallèles 
(obtenues par exemple en faisant glisser une équerre sur une 
règle). Puis on pourra faire mesurer les côtés et les angles, 
constater qu'ils sont égaux deux à deux, tracer les diagonales, 
vérifier qu'elles se coupent mutuellement en parties égales, 
etc. — On observera ensuite que toutes les propriétés trou- 
vées sont des conséquences de la première d'entre elles, celle 
qui a servi à construire la figure. On peut donc se demander 
si, en admettant cette première propriété (qui sera la défini- 
tion du parallélogramme), on ne pourrait pas prouver toutes 
les autres sans instrument, mais par la pensée seule. 

Nous substituons ainsi à Tincohérence du procédé expéri- 



LA MATHÉMATIQUE PURE ET LAPPROXIMATIOS 435 

mental un enchaînement de vérités, — à une mesure gros- 
sière, un passage rigoureux d'hypothèse à conclusion, en 
faisant remarquer la portée de chaque partie de Thypothèse. 
Si rélève a compris que les fragments épars qu'il possédait 
font partie d'un tout, s'il est bien pénétré de la suite d'idées, 
s'il reconnaît la nécessité de prouver certaines propositions 
admises auparavant sans démonstration, il s'intéressera à la 
géométrie ; il aura compris la différence entre une vérification 
expérimentale et une preuve logique ; il aura franchi une 
première étape très importante. Mais il y a mieux à faire 
encore. 

Il faudra qu'il reconnaisse en outre que l'expérience peut 
être trompeuse. — On lui fera dessiner, par exemple, un 
triangle dont les trois côtés diffèrent très peu et il croira que 
les médianes et les bissectrices correspondantes se con- 
fondent. — On trouverait facilement d'autres exemples : je 
rappelle en particulier le paradoxe souvent cité* : 64 = G5. 
On partage un carré de 64 cases €n 2 triangles et 2 trapèzes 
que l'on peut assembler ensuite en un rectangle de 65 cases. 
Si l'on prend un carré de 441 cases, l'assemblage rectangu- 
laire semble être parfait et l'expérience montre que 441 ^=442. 

L'élève sait maintenant en quoi son bon sens est insuffisant : 
il constate que la théorie a mis de la cohésion, de l'ordre, de 
la clarté et surtout de la précision dans les connaissances 
vagues qu'il possédait auparavant. 

Il n'y aurait plus maintenant qu'un seul pointa élucider: 
et cependant, il est bon de s'arrêter un instant et de laisser 
à nos jeunes géomètres l'illusion d'avoir atteint la certitude 
absolue ; ilscroironlque les vérités mathématiques s'imposent 
à nous et à la nature elle-même. — II serait dangereux de l^s 
rendre .sceptiques, de faire sombrer leur enthousiasme nais- 
sant ; donnons-leur plutôt l'occasion d'exercer souvent la 
faculté nouvelle qu'ils viennent d'acquérir en leur proposant 
une série de problèmes bien gradués. Il est bon de choisir 
des exemples que l'on peut résoudre soit par une con>truc- 
lion géométrique, soit par un calcul numéri«^ue. un d 



•*> 



436 L, KOILROS 

procédés vérifiant l'autre. Cependant les problèmes de cons- 
truction proprement dits sont particulièrement attrayants 
quand ils sont traités avec méthode. Nous possédons un 
modèle du genre, traduit en plusieurs langues : ce sont les 
Méthodes et théories^ de Petersen ; cet excellent ouvrage est 
de plus une bonne préparation à Tétude de la géométrie mo- 
derne, l'auteur montrant Timportance de la transformation 
des figures. 

3. — Je n'ai parlé que de Géométrie jusqu'ici, et encore 
n'ai-je rien dit de bien nouveau, puisqu'il est d'usage d'appli- 
quer une méthode analogue à l'enseignement de l'Arithmé- 
tique. L'initiation expérimentale, le mécanisme du calcul se 
fait à l'école primaire. On commence l'étude des fractions 
par le gâteau à partager et l'on a raison ; on effectue les opé- 
rations fondamentales sans les justifier ; on enseigne les carac- 
tères de divisibilité sans les démontrer ; on a une idée de la 
numération sans en comprendre le principe ; on ne connaît 
que le nombre positif (entier et fractionnaire). — C'est à 
l'école secondaire, au Gymnase, que l'on comblera ces lacunes 
et que l'on insistera sur les extensions successives de l'idée 
de nombre ^ 

En parlant de la soustraction, on introduira tout naturelle- 
ment le nombre négatif pour rendre l'opération toujours 
possible ; on remarquera que cette nouvelle notion est utile 
pour mesurer les grandeurs susceptibles d'être comptées 
dans deux sens différents, recettes et dépenses, températures, 
distances, elc. 

Il est intéressant d'identifier les deux notions de «nombre» 
et de (i longueur d'un vecteur», en représentant les nombres 
positifs et négatifs sur un axe, à partir d'une origine. 

A l'ensemble des nombres entiers correspond ainsi un 
ensemble de points équidistants, ou aussi de segments diri- 
gés, de vecteurs. — Remarquons qu'on ne sort pas de cet 
ensemble de points en appliquant à leurs abscisses les 
trois premières opérations fondamentales. 



* Voir, à cv sujet, la note de M. Fkhr sur les extensions de la notion des nombres dans leur dé- 
veloppement logique et historique. L'Enseign. niiith., 4* année, p. 16-27. 



LA MATHÉMATIQUE PURE ET L'APPROXIMATION 'i37 

La division introduit les nombres fractionnaires ; les points 
correspondants viendront remplir les intervalles de la figure 
précédente. On arrive ainsi à l'ensemble des nombres ration- 
nels et on reste dans cet ensemble si Ton applique à ses élé- 
ments les quatre opérations fondamentales. 

Le rapport de deux segments s'écrira de préférence g^ 

AM MA\ 
plutôt que gTi oi* Wrt ) î on constatera qu'il est susceptible 

de prendre toutes les valeurs de — oo à + x et que Ton peut 
déterminer la position d'un point sur une droite par le rapport 
de ses distances à deux points fixes de cette droite. 

On peut éventuellement compléter ces notions de Géo- 
métrie analytique à une dimension en parlant de la division 
harmonique et du rapport anharmonique ; en montrant la 
signification de quelques substitutions simples ; 

par exemple: y=z jc + a (translation, glissement de Taxe 

sur lui-môme ou changement d'origine), 
y i=:a.r (amplification ou changement d'unité), 
î/ = — .r (symétrie par rapport à Torigine), 

ou encore y= - et plus généralement y = — -7— ^ . 

La théorie de la racine carrée exige une nouvelle extension 
de la notion de nombre. Au point de vue pratique, les nombres 
rationnels suffisent évidemment à la mesure des grandeurs. 
Et cependant, si l'on n'en introduit pas d'autres, on se voit 
obligé de dire que l'arc de cercle de la figure ci-dessous 
ne passe par aucun des points 
de l'axe O.r, donc ne le coupe ^ 

pas ; or, nous ne pouvons imagi- /__ 



I \ 



ner qu'une longueur (0 — 2 p. ex.) 

soit parcourue par un point d'un bout à l'autre sans que 
le nombre correspondant passe par toutes les valeurs 
«'emprises entre les extrémités (0 et 2). L'élève a cette intui- 
tion de la continuité. On dira donc que \/2 et tous les autres 
nombres irrationnels possèdent dans le domaine de la pensée 
une existence aussi réelle que les nombres rationnels. Re- 
marquons en outre que l'introduction d'un nouveau symbole 
tel que \/2 est très commode puis(|u'il condense en un signe, 
l'infinité des solutions rationnelles approchées. 



438 L. KOLLROS 

4. — Et maintenant j'arrive à la dernière étape que nos 
jeunes géomètres avaient encore à franchir pour arriver à 
une compréhension exacte de la mathématique pure. S'ils ont 
bien saisi la notion de nombre irrationnel, ils sauront aussi 
ce qu'on entend par « point géométrique » ; ils comprendront 
que c'est une limite, un symbole, une abstraction, etqu'il en 
est de même de la droite, du plan et de toutes les figures 
géométriques. — Mais alors ils feront immédiatement cette 
objection : Les résultats mathématiques ne sont pas con- 
formes à la réalité puisqu'ils portent sur d'autres objets que 
ceux du monde sensible ! En effet, en créant les symboles 
subtils de la mathématique pure, on perd en objectivité ce 
que Ton gagne en rigueur; mais, il faut reconnaître combien 
ces abstractions sont commodes. Les figures imparfaitement 
délimitées par nos sens ou par des instruments ne sont pas 
même soumises à l'axiome : « Deux quantités égales à une 
troisième sont égales entre elles », car, si l'on se donne trois 
objets presque identiques, il peut très bien se faire qu'on 
ne discerne pas le premier du second, ni le second du troi- 
sième, mais que l'on remarque une différence entre le premier 
et le troisième. Au lieu de dire que deux points déterminent 
d'autant mieux une droite qu'ils sont plus éloignés (en restant 
dans les limites du dessin), ou bien que le point d'intersection 
de deux droites est fixé plus exactement si elles se coupent à 
angle droit que si elles se rencontrent sous un angle très 
aigu, — on admet que «par deux points passe toujours une 
droite et une seule» ; que «deux droites se coupent toujours 
en un point et un seul». — C'est plus simple, plus net et 
cela rend le raisonnement beaucoup plus facile et plus clair: 
on peut même affirmer que sans ces abstractions, la science 
serait impossible. 

En outre, si les grandeurs sur lesquelles on raisonne ne 
sont que des conventions, elles ne sont cependant pas arbi- 
traires puisqu'elles ont été pour ainsi dire préparées, dictées 
par l'expérience ; si elles ne sont pas la traduction exacte des 
faits, elles n'en diff'èrent pourtant que très peu. Un résultat 
théorique indique toujours une approximation d'autant plus 
précieuse que l'on en connaîtra plus exactement les limites. 



LA MA THÉMA TIQUE PURE ET L'APPROXIMA TfON 439 

Donc, un complément indispensable à toute théorie mathé- 
matique ayant pour but des applications pratiques est une 
évaluation des erreurs, une théorie des approximations. Sans 
doute, on ne peut guère exposer à Técole une théorie systé- 
matique des erreurs; mais on doit du moins initier Télève 
aux procédés les plus simples de calcul approché par quel- 
(jues exercices convenablement choisis. 

On commencera, par exemple, par faire évaluer la surface 
(l'un carré dont le côté est donné avec une certaine approxi- 
mation : dire que le côté mesure 6,^""4, au mm. près, c'est dire 
qu'il est compris entre 6,*^™35 et 6,*^'"45 ; la surface du carré 
est alors comprise entre 40,*^'"*3225 et41,*^'"*6025 ; on prendra 
donc comme valeur approchée 41*""* ; il serait tout à fait illu- 
soire de conserver d'autres chiffres. 

Inversement, si l'on veut avoir des résultats suffisamment 
approchés, on peut se demander quel degré d'approximation 
il faut avoir dans les données. 

Il est intéressant de faire appel à l'expérience aussi sou- 
vent que possible. On peut, par exemple, mesurer directe- 
ment une circonférence, puis calculer sa longueur en pre- 

22 
nant successivement tt = 3,14; tt = y : tt = 3,1416; on 

comparera les résultats et l'on recherchera aussi l'influence 
d'une petite erreur dans la mesure du diamètre. 

Je n'insiste pas sur(îes exercices, on en trouvera plusieurs 
dans les recueils de Martus (Mathematische Aufgaben)^ de 
ScHULKE (Aufgabensamjnlung) et dans les Leçons d* Arithmé- 
tique de M. Jules Tannery où Ton montre sur quelques 
exemples la façon d'opérer pour arriver à l'approximation 
voulue avec le minimum d'effort. 

Dans les classes supérieures, on pourra parler aussi de 
rinterpolation et des méthodes approchées pour l'évaluation 
des surfaces (méthodes des trapèzes de Poncelet, de Simp- 
son ; comparaison avec les données d'appareils enregistreurs, 
planimètres, intégraphes). 

5. — La question des approximations mériterait évidem- 
ment une étude plus approfondie, mais il est temps de 
<*onclure. 

A cet effet je formulerai les deux thèses suivantes: 



440 L, KOLLROS 

i . — Il est bon de faire précéder toute définition, toute théorie 
d'une image grossière donnant une idée générale du sujets — 
puis d'amener peu à peu Vélève à la définition logique, à la 
notion précise sur laquelle on pourra fonder un raisonne- 
ment. 

2. — Il est utile de voir dans quelles limites se meut le ré- 
sultat du raisonnement mathématique quand les données va- 
rient entre certaines limites connues. Aussi souvent que pos- 
sible on comparera le résultat des calculs avec le résultai 
donné par une mesure directe. 

Dans la première de ces thèses, j'insiste sur la période 
d'initiation, puis sur le passage d'une intuition vague à une 
logique serrée. Dans la seconde, au contraire, je recommande 
de retourner de l'abstrait au concret en appuyant sur les 
limites imposées à la raison par l'expérience. 

La période préparatoire surtout doit nous intéresser. J'ai 
déjà parlé de l'introduction à la Géométrie ; je cite encore 
à ce sujet les ouvrages de MM. Emile Borkl*, Carlo Bourlet* 
et A. (jRÉVY*, où les considérations de svmétrie, de translation 
el de rotation facilitent les démonstrations. 

Fjïi Algèbre^ la représentation graphique des fonctions doit 
jouer le rôle principal ; un trait de courbe donne mieux l'idée 
de fonction continue à un débutant que le système d'inégalités 
de la définition logique ; plus tard, cependant, on pourra faire* 
remarquer que cette définition correspond à une courbe idéale 
où les abscisses et les ordonnées seraient mesurées avec une 
précision infinie. Il y a ici le même passage que celui d'un 
dessin à l'idée subtile de figure géométrique. Une quan- 
tité d'autres notions peuvent être ainsi préparées par un petit 
croquis ; je rappellerai entre autres les ïoncùon^ discontinues 
(tg.r. sec.r;, la différence entre les fonctions uniformes (.r, .r*, 
.r®, sin.r, et non uniformes (le cercle y = =t:\/Tr^.r*a 2 bran- 
ches; î/ = arcsin.r en a une infinité) ; la dérivée en un point 
d'une courbe est la pente de la tangente en ce point. Un point 
anguleux représente une discontinuité de la dérivée, Linté- 



• Géométrie, premier ot second cycles. Paris, Arin. Colin, 190ô. 

• (lours abrogé de Géométrie. Paris, Hachette, 1906. 

• Géométrie théorique et pratique. Paris, Vuibert iSc Nony, 1905. 



LA MATHÉMATIQUE PURE ET L'APPROXIMATION 441 

grale doit être définie romme surface ; il serait tout à fait 
hors de propos de faire soupçonner à nos élèves qu'ils ne 
savent pas ce que c'est qu'une surface ; le théorème de la mo- 
yenne revient à remplacer une surface curviligne par un 
rectangle. Pour rendre plausibles les théorèmes de Rolle et 
des accroissements finis^ il suffit de constater que, si Ton a 
une fonction uniforme dont la dérivée est continue, on peut 
toujours mener une tangente parallèle à une corde, etc. 

Si Ton veut bien faire voir la différence entre deux séries 
dont l'une converge seulement dans un intervalle et l'autre 
partout, on peut faire dessiner, par exemple, les deux 

courbes ; 

1 

y = -. , et y = e^ , 

1 — .r 

puis celles qui sont fournies par les premiers termes des dé- 
veloppements en séries : 



1-1 = 1 4- ^ . it = 1 + a- . 



.r» 



j. = 1 4- X 4- x^ + ^» , 7-. = 1 + ^ + ^' 4- '^^ . 



On constatera que les premières ne se rapprochent de la 

courbe y = que dans l'intervalle de — 1 à 4- l^ tandis 

que les autres tendent vers la courbe y = c^tout entière. 

En Trigonométrie, je crois qu'il est préférable de commen- 
cer par la résolution des triangles rectangles' ; au début, on 
pourra se servir avec avantage d'une table de valeurs natu- 
relles des lignes trigonométriques ; les élèves peuvent eux- 
mêmes en établir une à 3 décimales à l'aide d'un dessin sufli- 
samment grand sur papier millimétrique. Aprèsl'avoir utilisée 
dans quel(|ues exercices, ils reconnaît