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Full text of "L'Enseignement mathématique"

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L^-t.'/-^ 


L'ENSEIGNEMENT 

MATHÉMATIQUE 


L'Enseignement  mathém.,  19»  année  ;  1917. 


Digitized  by  the  Internet  Archive 

in  2010  with  funding  from 

University  of  Ottawa 


http://www.archive.org/details/lenseignementmat19inte 


y^ 


L'ENSEIGlNEMENT 


MATHÉMATIQUE 

MBTHODOI.OdE  KT  OItG  AN'ISAI  ION    DE    I.  ENSKICXEMENI' 

PHILOSOPHIE   ET  HlSlOlltE   DES  M  A  IHÉM  ATIQL'KS 

C  H  II  O  M  Q  U  E     S  C  I  E  N  •J    I  r  I  Q  i;  E    MÉLANGES     R  I  II  1.  I  O  C  l(  A  P  H  I  K 


REVUE    INTERNATIONALE 


PA  haïssant   tous  les    dklx    mois 


DIRIGRK    PAR 


C.-A.  LAISANT 


Docteur   es  sciences. 

ancien    Kxaininatear   d'admission  à  l'Kcole 

polytechnique    de    Pans. 


H.  FEHR 

Uoctear  es  sciences 

Professeur   à    rUniveriilé 

de.  (leitéve. 


AVEC     I.A     COLI.ABOItATIO.N      I>K 

A.   BUHL 

Docteur  éi  sciences 
Professeur  à  la  Faculté   des  Sciences   d»  Toulouse. 


Organe  officiel  de  la  Commission  internationale  de  l Enseignement  mathématique. 


TOME    D  I  X  -  N  E  U  \'  l  E  M  E 


1917 


txV^b- 


PARIS 
GAUTHIEK-VILLAHS,   ÉDIIKI'H 


GEJ^ÈVE 
GKOKG  &  G'«,  ÉDITECHS 


1917 


aA 


IMPRIMERIE    AI.BEKT    KUNDIG 
GENÈVE    (suisse) 


HENRI  POINGARE 

Œuvres  publiées  par  M.  G.  Darboux 

Tome  second  ' 

PAK 

A.   BuHL  (Toulouse). 


L'Enseignement  mathématique  se  fait  un  devoir  de  signaler 
cette  publication  impatiemment  attendue  et  qui,  commençant 
par  le  Tome  second,  nous  livre  Tœuvre  magistrale  de  la  jeu- 
nesse de  Poincaré,  {;elle  qui  a  trait  aux  fonctions  fuchsiennes. 

Je  me  fais  un  plaisir  d'écrire  ici,  non  un  article  bibliographi- 
que, car  toute  publicité  de  caractère  bibliographique  serait 
ridiculement  superflue,  mais  une  sorte  d'avertissement  que 
je  dédie  à  des  camarades,  à  des  élèves  même,  qui  m'ont  sou- 
vent demandé  «  s'ils  pourraient  lire  Poincaré  ».  Personnel- 
lement, je  fus  parfois  fort  embarrassé  à  cause  de  la  disper- 
sion des  ^Mémoires.  De  plus,  les  études  faites  jadis,  à  la 
Sorbonne,  ne  nous  donnaient  pas  assez  l'impression  de  pou- 
voir approcher  les  travaux  tlu  Maitre. 

Nous  entendions  parler  de  choses  admirables  et  nous 
aurions  voulu  les  admirer  alors  que  nous  possédions  à  peine 
le  programme  de  la  Licence.  L'enfance  a  toutes  les  audaces  ! 
D'autres  maîtres  également  vénérés,  MM.  Gaston  Darboux, 
Paul  Appell,  Emile  Picard,  semblaient  plus  près  de  nous,  alors 
que  Poincaré  s'en  éloignait  encore  en  ne  professant  guère, 
à  l'époque  dont  je  parle,  (jue  dans  la  chaire   de  mécanique 


1  Un   magnifique    volume    in-'i»    de    i.x\vil-f.28    pages,    19     (igiires    et    un    porliait.    Paris, 
Oauthier-Villais,  1916.  Prix:  35  Ir. 


6  A.    RUHL 

céleste.  Je  n'ai  point  dédaigné  cette  dernière  science  mais, 
en  général,  elle  avait  peu  d'adeptes.  Quelques-uns  de  ceux 
qui  entendirent  les  grands  cours  de  M.  Picard,  sur  les  fonc- 
tions abéliennes,  lïichsiennes,  hvperabéliennes,  hyperfuch- 
siennes,  furent  peut-être  trop  rapidement  dispersés  par  les 
nécessités  de  la  vie  et  quand,  profitant  de  quelque  halte 
salutaire,  ils  voulaient  regarder  encore  les  sommets  de  la 
science,  ils  constataient  avec  chagrin  que  leur  isolement  ne 
leur  en  laissait  plus  les  moyens  matériels;  ils  manquaient 
de  l'appui  d'un  livre,  d'un  texte  imprimé  trouvable  et  ma- 
niable partout. 

Ceux-là  rendront  grâce  à  M.  Darboux,  ainsi  qu'à  ses  colla- 
borateurs, M.  N.-E.  Nôrlund,  M.  E.  Lebon,  pour  la  publica- 
tion de  ces  Œuvres  où  tant  de  merveilles  vont  être  habile- 
ment réunies.  J'imagine  aussi  que  bien  des  jeunes  géomètres 
à  l'esprit  créateur  verront  maintenant  une  vaste  mine, 
d'exploitation  commode,  là  oii  des  gisements  d'une  égale 
richesse  totale,  avaient  cependant  le  grave  défaut  d'être 
séparés  et  de  ne  pouvoir  être  véritablement  réunis  que  par 
qui  avait  déjà  quelque  connaissance  de  leur  structure. 

Cet  ensemble  de  travaux  sur  les  fonctions  automorphes 
renferme,  à  coup  sur,  des  passages  de  difficultés  très  inégales. 
Tout  le  monde  ne  poussera  pas  la  lecture  au  même  degré 
d'avancement,  mais  je  n'hésite  pas  à  affirmer  que  tout  esprit 
mathématique  de  puissance  moyenne  peut  saisir  les  pre- 
mières lignes  du  chef-d'œuvre  et  voir  l'art  simple  et  fécond 
qui  engendre  tous  les  détails,  cet  esprit  ne  poursuivrait-il 
point  ceux-ci  en  toute  leur  complexité. 


Avant  de  passer  à  des  descriptions  mathématiques,  il  serait 
injuste  de  ne  point  mentionner  un  Kloge  liistorique  d'Henri 
Poincaré  qui  s'ajoute,  comme  un  nouveau  joyau,  aux  Eloges 
académiques  et  Discours  de  M.  G.  Darboux.  Cet  Éloge  histo- 
rique, lu  en  Séance  publique  annuelle  du  15  décembre  1913, 
et  déjà  imprimé  dans  les  publications  de  l'Institut,  constitue 
une  magnifique  préface  au  volume  d'aujourd'hui.  Les  articles 


HEyRf    POlNCARf:  7 

suscités  par  la  mort  de  Poincaré  ont  été  fort  nombreux;  plu- 
sieurs sont  dus  à  ses  confrères  de  l'Académie  des  Sciences. 
Celui  de  M.  Darboux  a,  au  plus  haut  degré,  le  charme  de 
Tintimité  ;  il  nous  laisse  pénétrer  dans  la  vie  enfantine  de  qui 
devait  devenir  un  prodigieux  géomètre;  il  abonde  en  anec- 
dotes délicates  et  imprévues.  11  nous  montre  non  seulement 
le  savant,  mais  l'enfant  au  foyer  paternel,  l'homme  au  foyer 
familial,  puis  le  citoyen  et  enfin  le  grand  patriote  qui,  dans 
les  heures  tragiques  que  nous  vivons,  élève  toujours,  malgré 
la  tombe,  l'éclatant  flambeau  de  la  Science  française. 


Je  ne  conseille  point  l'abord  des  fonctions  fuchsiennes  à 
qui  ne  connaîtrait  point  les  fondements  de  la  théorie  des 
fonctions  elliptiques.  Au  point  de  vue  logique  (*e  n'est  cepen- 
dant pas  essentiel  ;  les  secondes  fonctions  sont  des  cas  par- 
ticuliers des  premières  et  l'étude  d'un  cas  général  peut 
permettre  de  descendre  ensuite  au  cas  particulier.  Mais,  à 
ce  compte-là,  on  pourrait  ignorer  aussi  la  trigonométrie 
élémentaire  dont  toutes  les  formules  sont  des  dégénéres- 
cences de  formules  elliptiques.  Le  défi  ainsi  porté  au  sens 
commun  serait  peut-être  trop  violent.  D'ailleurs,  Henri  Poin- 
caré, lui-même,  nous  a  rappelé  qu'en  matière  d'acquisition 
de  connaissances  nouvelles,  il  nous  fallait  généralement 
repasser  par  où  ont  passé  nos  pères  «  rapidement,  mais  sans 
briller  d'étapes  »  [Science  et  Méthode,  p.  135). 

^lais  il  faut  reconnaître  que  l'ensemble  des  traités  relatifs 
aux  fonctions  elliptiques  —  pour  ne  parler  que  des  traités  — 
forme  un  monument  oîi  le  fil  d'Ariane  risque  souvent 
d'échapper  des  mains  du  néophyte.  Je  prends  sur  moi  de 
n'en  indiquer  qu'un,  celui  de  P.  Appell  et  E.  Lacour  (Gau- 
thier-Villars,  1897)  qui  me  semble  merveilleusement  adapté 
au  but.  En  étudiant  une  vingtaine  de  pages  de  cet  Ouvrage, 
en  trois  ou  quatre  endroits  diff'érents,  on  sera  suffisamment 
armé  pour  aborder  la  lecture  du  Tome  II  des  Œuvres  de 
Poincaré. 


H  A.  fin//, 

La  première  chose  à  faire  est  de  se  familiariser  avec  la 
ilouble  périodicité  traduite  par  Texistence  du  champ  com- 
plexe divisé  en  parallélogrammes.  C'est  immédiat. 

On  observera  ensuite  que  les  fonctions  doublement  pério- 
diques ne  naissent  pas  dans  ce  champ  de  manière  absolument 
directe.  La  plus  simple  de  toutes,  la  fonction  ^  «  de  Weier- 
strass,  est  la  dérivée  du  quotient  de  (t'u  par  au.  La  fonction 
(TU  elle-même  n'est  pas  doublement  périodique  ;  quand  on 
ajoute  des  périodes  à  son  argument  //,  elle  se  reproduit 
mullipliée  par  un  facteur  exponentiel. 

Voyons  maintenant  les  constructions  de  Jacobi  Appell  et 
Lacour,  chap.  W j.  Elles  aussi  reposent  essentiellement  sur 
la  construction  préliminaire  de  fonctions  0  et  H  remarqua- 
bles surtout  par  de  beaux  et  faciles  développements  en 
séries  ;  mais  ce  ne  sont  que  certains  quotients,  formés  avec 
ces  fonctions,  qui  donnent  sn,  en,  dn,  fonctions  jouissant  alors 
d'une  double  périodicité  proprement  dite. 

Venons  à  l'œuvre  de  Poincaré. 

I7ne  œuvre  géniale  n'est  pas  quelque  nouvel  enchevêtre- 
ment, tellement  complexe  que  personne,  jusque-là.  n'avait 
pu  réussir  à  bâtir  quelque  chose  d'aussi  compliqué. 

C'est,  au  contraire,  la  claire  perception  d'une  harmonie 
très  simple  que  les  yeux  grossiers  des  contemporains  ne 
voient  point;  c'est  l'esquisse  rapide  de  l'artiste,  imprévue  mais 
cependant  lumineuse  et  frappante  dès  qu'elle  existe.  Ceci 
est  vrai  dans  tous  les  domaines  de  la  pensée  et  plus  particu- 
lièrement encore  dans  le  domaine  mathématique. 

Combien  simple  est  l'égalité  où  l'on  peut  toujours  avoir 
ad  —  bc  =  1) 

az  +  h 

'    —  ,^7   •  (Il 

cz  -\-  a 

Cependant  l'esprit  reste  confondu  quand  on  songe  à  l'iné- 
puisable champ  de  merveilles  qu'elle  engendre.  Elle  trans- 
forme la  variable  complexe  z  en  z'  et  z\  à  son  tour,  peut 
<lonner  une  transformée 


(flf'+  cct'\z  -f   hc'  +  dd'  '^* 


HENRI    POiyCARÉ 


qui  ne  dilFère  de  z'  que  par  un  changement  de  coefficients. 
L'ensemlile  des  transl'orniations  1),  à  coeHicients  divers, 
l'orme  \\n  gioupe.  Mais  que  de  variété  dans  celui-ci. 

Ainsi,  considérons  toutes  les  rotations  qui  permettent  de 
faire  coïncider  un  polyèdre  régulier  avec  lui-même,  par  de 
simples  échanges  de  sommets.  Une  projection  stéréographi- 
que  de  ces  sommets  fera  correspondre  aux  l'otations  sphéri- 
ques  des  transformations  planes  du  type  (ij.  Il  y  a  déjà  là 
quelque  chose  d'énorme  ;  dans  les  groupes  linéaires  du 
type  (1)  nous  venons  d'apercevoir  les  groupes  polyédriques. 
A  ceux-(ù  correspondent  des  formes  algébriques  invariantes 
par  les  transformations  des  dits  groupes  ;  ce  sont  les  fonc- 
tions polyédriques  qu'il  faut  sans  doute  mentionner  d'abord 
au  point  de  vue  logique.  Elles  ont  été  considérées  avant 
Poincaré  et  jouent  notamment  un  rôle  considérable  dans  les 
travaux  de  Klein.  C'est,  si  l'on  veut,  une  généralisation  dans 
l'espace,  de  la  théorie  des  polygones  réguliers  et  de  l'équa- 
tion binôme.  Je  dirais  même  que  de  tels  points  relèvent 
plutôt  de  l'algèbre  que  de  l'analyse  infinitésimale,  en  me 
hâtant  toutefois  d'ajouter  que  je  ne  crois  point  aux  cloisons 
étanches,  justement  dans  \\n  domaine  oîi  rarithméti(|ue,  lal- 
gèbre  et  l'analyse  ont  des  rencontres  admirables. 

Un  autre  groupe  Ibrmé  de  substitutions  (i  est  le  groupe 
modulaire  ;  il  correspond  au  cas  où  «,  6,  c,  d  sont  entiers. 
Les  fonctions  invariantes  jiar  ce  groupe  sont  dites  fondions 
modulaires,  car  elles  naissent  de  la  relation  qui  existe  entre 
le  rapport  des  périodes  d'une  l'onction  elliptifjue  et  son 
module,  constante  arbitraire  figurant  naturellement  dans  la 
fonction,  de  même  que  l'excentricité  de  l'ellipse  figure 
naturellement  dans  l'arc,  de  même  c|u'un  angle  d'é(^art  initial 
est  élément  arbitraire  dans  un  mouvement  pendulaire. 

Sans  autre  prépai'ation  que  celle  indiquée,  on  pourra 
facilement  lire,  à  ce  sujet,  le  chapitre  Xlll  du  Traité  de 
MM.  .\ppell  et  Lacour. 

H  y  a  déjà,  en  ceci,  f|uelf|ue  chose  d'extrêmement  frappant. 
On  veut  construire  des  fondions  doublement  périodiques; 
dès  qu'on  y  a  réussi,  elles  en  livrent  d'autres  qui  manifestent 
des  propriétés   particulières    mais    indéniables    d'automor- 


10  A.    BUHL 

phisnie,  cest-à-dire  des  propriétés  d'invariance  quant  aux 
transformations  d'un  certain  groupe  linéaire  formé  de  sub- 
stitutions du  type  (1). 

Henri  Poincaré  s'est  peu  servi  de  ces  préliminaires.  11 
laisse  les  groupes  et  les  fonctions  polyédriques  se  développer 
en  Allemagne  et  il  ne  jette  guère  que  des  coups  d'œil  rétro- 
spectifs sur  les  fonctions  modulaires.  Notons  cependant  que 
la  réalité  des  coeflicienls  du  groupe  modulaire  entraîne  qu'a 
un  z  réel  correspond  un  z'  réel.  En  d'autres  termes,  l'axe 
réel  est  invariant  par  toutes  les  transformations  du  groupe. 
Les  groupes  fuchsiens  ont,  en  général,  un  cercle,  dit  cercle 
fondamental,  pour  ligne  invariante  analogue. 

C'est  ici  qu'il  convient  de  quitter  les  études  préliminaires, 
plus  ou  moins  d'accord  avec  ce  que  je  viens  d'indiquer,  pour 
étudier  directement  le  texte  du  Maître  disparu.  Dans  le 
Tome  II  (jui  vient  d'être  publié,  je  n'hésite  pas  à  distinguer, 
comme  absolument  fondamentaux,  les  deux  Mémoires  inti- 
tulés: Théorie  des  groupes  fuchsiens  :pp.  108-168)  et  Sur  les 
fondions  fuchsiennes  (pp.  169-257).  Avant  la  page  108  du 
Volume,  on  trouve  dix-huit  Notes  ou  petits  Mémoires  en 
lesquels  Poincaré  fait  des  esquisses  sommaires  des  résultats 
obtenus  mais  en  ne  démontrant  que  peu  de  choses.  Je  crois 
qu'il  vaut  mieux  lire  d'abord  les  Mémoires  développés  :  on 
reviendra  ensuite  sur  les  dix-huit  Notes  en  question,  qui 
pourront  alors  aider  à  fixer  dans  l'esprit  les  points  les  plus 
saillants  des  théories  complètes. 

Dans  la  Théorie  des  groupes  fuchsiens,  nous  voyons  d'abord 
que  ces  groupes  sont  formés  de  substitutions  du  type  L,  les 
coeflicients  a,  b,  c,  d  étant  réels  (mais  non  entiers,  car  alors 
le  groupe  fuchsien  dégénérerait  en  groupe  modulaire).  Le 
cercle  fondamental,  dans  ces  conditions  est  encore  l'axe 
réel,  mais  on  peut  montrer  tout  de  suite  que  ce  jieut  être  un 
<;ercle  fjuelconque,  ce  c|ui  est  établi  dans  un  jiaragraphe 
spécial  terminant  le  travail  p.  164). 

Soit  la  substitution  a  coetlicients  réels 


(=■  m 


(3) 


HE  y  RI    POIXCARÉ  11 

Faisons-lui  correspondre  la  suhstitiilion 


*=  +  '?  T"  +  ^ 


-f    I' 


OÙ  a,  /3,  y,  (î  sont  des  constantes  complexes  fixes.  Si  ^/,  b,  c,  (^/ 
varient,  avec  la  seule  conditioner/  —  èc  =  1,  il  est  clair  que 
les  substitutions  (4)  forment  un  groupe.  Pour  (3)  la  ligne 
invariante  est  Taxe  réel,  dont  l'équation  est 

pjirtie  imagiiiaife  de  ;  ^  0   . 

Pour  (4)  la  ligne  invariante  est,  de  même,  le  cercle 

a:  +  fj  I       - 

partie  imaginaire  de ;-  =  0  . 

^  ^  Yz  +  S 

C'est,  comme  je  l'ai  déjà  dit,  le  cercle  fon  dam  entai. 

Evidemment,  le  raisonnement  ne  serait  pas  valable  si  a,  b. 
c,  ci  devenaient  imaginaires  aussi;  ce  serait  le  cas  des  grou- 
pes kleinéens.  qui  n'ont  point  de  cercle  invariant. 

Revenons  aux  substitutions  réelles.  Henri  Poincaré  dit 
qu'elles  transforment  une  figure  quelconque  du  champ  com- 
plexe en  une  figure  congruente  (p.  112).  Ces  figures  con- 
gruentes  sont  analogues  aux  figures  égales  de  la  géométrie 
élémentaire,  où  elles  sont  déduites  les  unes  des  autres  par 
des  déplacements  qui,  eux  aussi,  forment  un  groupe.  La 
géométrie  des  figures  congruentes  est  analogue  à  celle  de 
Lobatschewsky,  à  celle  d'Euclide  sans  le  fameux  postulat. 
C'est  le  cas  de  reparler  de  ces  êtres  non-euclidiens  que 
Poincaré  ne  dessina  que  plus  tard,  qui  vivraient  dans  un 
monde  où  les  déplacements  seraient  des  substitutions  linéai- 
res plus  générales  ;  leur  géométrie  serait  non-euclidienne, 
leur  trigonométrie  pourrait  faire  usage  des  fonctions  fuch- 
siennes,  ce  qui  n'est  peut-être  pas  très  aisé  à  se  représenter 
au  point  de  vue  des  calculs  pratiques,  mais,  ayant  évolué 
dans  un  univers  plus  complexe,  ils  pourraient,  par  adaptation, 
être  plus  intelligents  que  nous.  Depuis  la  mort  de  Poincaré, 
ces  êtres  s'endorment,  .le  demande  (ju'on  les  fasse  revivre, 


12  A  .    li  U II  r. 

qu'on  les  réveille!  Sont-ils  si  fictifs!'  Ils  le  sont  à  coup  sur 
beaucoup  moins  f|ue  les  pygmées,  les  géants,  les  Lilliputiens 
des  voyages  de  Gulliver,  toutes  fictions  qu'il  serait  grand 
dommage  de  rayer  de  la  liltératui-e. 

Dans  les  êtres  fictifs  de  Poincaré,  je  vois  une  des  plus 
belles  conquêtes  de  l'esprit.  Ij  humanité  ne  peut  se  passer 
de  mythes  et  certains  ont  dit  (jue  la  science  balayait  im[)i- 
tovablement  ceux-ci.  Quelle  erreur  !  Elle  en  crée  de  bien 
plus  beaux  que  ceux  d'une  imagination  arbitraire! 

Revenons  à  la  forme  mathématique  des  congruences  entre 
figures.  L'idée  du  déplacement  sans  déformation  nous  paraît, 
bien  à  tort,  présenter  des  privilèges  spéciaux  quant  à  la 
conservation  des  lojigueurs  et  des  aires.  Pour  les  substitu- 
tions du  lype  (2),  l'intégrale 


/ 


mod  dz 


étendue  à  un  arc  de  courbe,  reste  invariante  quand  cet  arc 
est  transformé  en  un  arc  congruent.  Il  en  est  de  même  pour 
l'intégrale  double 


ff^ 


étendue  à  une  aire  et  à  l'aire  congruente.  En  (juoi  ces  inté- 
grales sont-elles  Logiquement  difïerentes  de  celles  qui  ne 
contiennent  point  les  dénominateurs  y  et  ij-  et  que  nous 
appelons  longueur  et  aire  ? 

Les  groupes  fuchsiens  sont  discontinus.  Ils  possèdent 
une  région  fondamentale  ?»„  limitée  par  des  arcs  de  cercle 
qui,  prolongés  quand  il  y  a  lieu,  sont  normaux  au  cercle 
fondamental.  Les  transformations  du  groupe  changent  R^  eu 
des  régions  congruenles  et  l'ensemble  de  ces  régions  forme 
un  domaine  que  l'on  étend  de  proche  en  proche  de  même 
que,  dans  la  théorie  des  fonctions  elliptiques,  on  passe  d'un 
parallélogramme  des  périodes  à  des  parallélogrammes  voi- 
sins aussi  nombreux  qu'il  est  nécessaire;  l'un  de  ces  paral- 
lélogrammes est  une  région  fondamentale  R„.  Dans  les  deux 
cas,  un  point  de  R„  ne  reste  jamais  tlans  W^  j)ar  une  substitu- 


HENRI   POINCARÉ  V.\ 

lion  du  groupe  ;  c'est  en  ceci  que  consiste  la  disconlinuité. 
Dans  les  deux  cas  également,  il  y  a  une  infinité  de  région^ 
congruentes  à  R^,,  ce  qui  revient  à  dire  qu'il  y  a  une  infinité 
de  substitutions  dans  le  groupe.  Henri  Poincaré  nous  rap- 
pelle ici  p.  117  qu'il  y  a  cependant  des  transformations  du 
type  (1)  qui  ne  comprennent  qu'un  nombre  fini  de  substitu- 
tions, allusion  manifeste  aux  groupes  polyédriques. 

Mais,  comme  je  l'ai  dit,  c'est  là  un  intermédiaire  sur  lequel 
il  ne  s'appuiera  pas.  Quant  à  examiner  comment  la  région 
Rq  doit  être  choisie,  c'est  une  chose  que  je  ne  pourrais  indi- 
quer qu'en  recopiant  la  plus  grande  partie  du  texte  du  Maî- 
tre. Il  y  a  là  une  étude  d'attention  absolument  inévitable  et 
que  l'avenir  ne  simplifiera  peut-être  pas  beaucoup  car,  si 
elle  n'est  pas  difficile,  elle  est,  du  moins,  assez  étendue  à 
cause  des  nombreux  cas  particuliers  qu'elle  comprend.  La 
R^  d'un  groupe  fuchsien  est  un  être  essentiellement  plus 
subtil  que  le  parallélogramme  des  fonctions  doublement 
périodiques.  C'est  le  dressoir  d'orfèvrerie,  aux  sculptures 
fines  et  délicates,  à  côté  de  la  rustique  table  carrée. 

Voici  cependant  une  propriété  merveilleuse  de  cette  R^. 
propriété  facile  à  décrire. 

On  sait  qu'une  fonction  algébri(|ue  quelconque  est  uni- 
forme sur  une  surface  (dite  sitiface  de  Rieiuann^  formée  de 
plans  superposés  et  de  lignes  de  [)assage  permettant  de 
|)asser  d'un  feuillet  à  un  autre.  Une  telle  surface  présente 
une  connexion  spéciale;  elle  est  comparable  à  un  tore,  à 
une  sphère  transpercée  de  part  en  part  par  des  puits,  toutes 
surfaces  cpii  ne  se  morcellent  pas  forcément  quand  on  y  lait, 
avec  des  ciseaux,  une  coupure  (|ui  est  cependant  une  courbe 
lermée.  Ainsi  on  ne  morcelle  pas  un  tore  en  le  coupant  le 
long  d'un  seul  méridien.  Le  genre  d'une  surface  de  Riemann 
est  un  nombre  qui  caractérise  la  surface  au  point  de  vue  du 
nombre  des  coupures  nécessaires  pour  la  rendre  simplement 
connexe,  c'est-à-dire  morcelable  par  toute  nouvelle  coupure. 

Or  il  se  trouve  que  la  R,,  d'un  groupe  fuchsien  est  limitée 
par  des  côtés  se  correspondant  deux  à  ileux  et  qu'on  peut 
rouler,  déformer  cette  région  jus(|u'à  souder  les  côtés  cor- 
respondants   et  obtenir  ainsi    une  surface    identique   à    une 


14  J.     HUIIL 

surface  de  Riemann.  D'où  la  notion  àe  genre  pour  un  groupe 
iuchsien.  Rien  que  cette  notion  sufïit  à  montrer  quelles  difFé- 
rences  profondes  peuvent  exister  entre  ces  groupes  et,  dans 
ce  premier  grand  Mémoire,  Henri  Poincaré  ne  cherche  guère 
à  montrer  autre  chose,  mais  il  y  a  là  le  germe  de  lidée  de 
runiformisation  des  fonctions  algébri(|ues  (juelconques  au 
moyen  des  fonctions  invariantes  par  le  groupe  fuchsien,  ce 
dernier,  avec  sa  R^,  jouant  un  rôle  qui  correspond  complète- 
ment au  rôle  primitivement  joué  par  la  surface  riemannienne. 

J'ai  hâte  de  parler  du  Mémoire  suivant,  mais  il  me  semble 
toujours  qu'on  ne  saurait  trop  s'arrêter  sur  la  Théorie  des 
groupes  fuchsiens  ;  elle  est  le  terrain  fondamental  qu'il  faut 
analyser  scrupuleusement  avant  d'en  vouloir  tirer  une  mois- 
son ;  qui  le  connaîtra  bien  moissonnera  aisément. 

La  première  révélation  du  Mémoire  Sur  les  fonctions  fuch- 
siennes  est  l'extrême  facilité  avec  laquelle  ces  fonctions  se 
construisent  au  point  de  vue  formel. 

Soit  H  une  fonction  rationnelle  et  considérons  la  série 


(-)( 


=2''''  +  '''' 


T.=   f  5/ 


OÙ,  à  toutes  les  valeurs  de  l'indice  /,  correspondent  toutes 
les  substitutions  d'un  groupe  fuchsien. 
Remplaçons,  dans  cette  égalité,  z  par 

Alors  t)  [z)  se  compose  d'abord  du  facteur  iy.z-\-§)'"'  que  l'on 
peut  éiwire  en  avant  du  sigma  puisqu'il  ne  dépend  pas  de  /. 
Quant  aux  facteurs  cjui  restent  sous  le  sigma,  on  voit  sans 
peine,  par  le  calcul  immédiat  qui  ilonne  (2)  en  partant  de 
deux  substitutions  (Ij,  qu'ils  sont  les  mêmes  que  ceux  qui 
figurent  dans  0  [z)\  ils  ont  simplement  changé  de  place. 
Donc 


HENRI    POINCARÉ  15 

Soit  (:),  une  autre  fonction  formée  comme  (d.  c'est-à-dire 
telle  que 

^^{z.\  =  {'.;jz  +  o.r"'0,(ci    . 

Si  nous  divisons  nos  deux  dernières  égalités  membre  à 
memijre,  nous  aurons  une  fonction  F(r.)  telle  c|ue 

F(:;_^.)=:  V  {z)   . 

C  est  la  fonction  fucJisienne.  Elle  est  le  quotient  de  fonc- 
tions t)  dites  thélafuchsieiines^  de  même  que  les  fonctions 
elliptiques  de  Jacobi  sont  des  quotients  de  fonction  0  à  mul- 
tiplicateurs destinés  aussi  à  disparaître  par  division. 

Il  est  extraordinaire,  je  dirais  presque  incompréhensible, 
que  des  légendes  redoutables  se  soient  créées  autour  de 
choses  aussi  simples.  Des  gens  à  érudition  mathématique 
notable,  des  agrégés  par  exemple,  m'ont  parlé  des  fonctions 
fuchsiennes  en  termes  véritablement  superstitieux  :  «  Nous 
avons  essayé,  mais  nous  n'v  pouvons  rien  comprendre  !  »  Ce 
serait  un  problème  psychologique  intéressant  que  de  cher- 
cher à  déterminer  la  cause  de  telles  opinions.  Je  le  laisse  de 
côté.  .Je  puis  pronostiquer  maintenant  fjue,  si  les  sujets  que 
je  viens  d'indiquer  sont  bien  compris,  tout  le  reste  du  Volume 
pourra  être  travaillé.  Par  «bien  compris  »  j'entends  surtout 
la  compréhension  formelle  des  choses.  Je  ne  vois  aucun 
inconvénient  à  ce  que,  dans  une  première  lecture,  on  laisse 
de  côté  des  démonstrations  telles  que  celle  concernant  la 
convergence  des  séries  thêlafuchsiennes. 

Je  vais,  quant  à  la  suite,  être  bref.  Feuilletant  rapidement 
ces  admirables  pages,  j  indiquerai  simplement,  d'une  touche 
ultra-légère,  les  merveilles  qu'on  y  rencontre. 

Les  fonctions  thétafuchsiennes  ont  des  zéros  et  des  infinis 
(jui  s'étudient  élégamment  par  l'application  des  théorèmes 
généraux  de  Cauchy.  Le  plus  grand  intérêt  est  du  côté  de  leurs 
points  singuliers  essentiels  qui  se  rangent  sur  le  cercle  fon- 
damental. Tantôt  on  peut  passer  entre  eux  pour  prolonger 
analytiquement  la  fonction,  tantôt  ils  se  pressent  sur  ce  cercle 
jusqu'à  en  faire  une  ligne  singulière  infranchissable  par  les 
procédés  tayloriens.  Des  travaux  ultérieurs  ont  montré  que. 


16  A.    BUHL 

pour  les  fomlions  analytiques  les  plus  générales,  de  tels  cas 
étaient  plutôt  normaux  que  singuliers;  les  fonctions  thèta- 
f'uchsiennes  les  ont  éclairés  d'une  vive  lumière. 

Toutes  Les  fonctions  fuchsiennes  de  même  groupe  sont  fonc- 
tions rationnelles  de  deux  d'entre  elles,  x  et  y. 

Soient  t'i  et  v^  des  fonctions  de  ,r,  telles  que 


Alors 


*  dx  '  dx  ^dx 

1  d^  s;  1  d^ 


dx'         v„  dx 


f  =  f{x,  y} 


<ar  on  voit  facilement  que  les  deux  premiers  membres  de 
cette  double  égalité  jouissent  de  Tautomorphisme  fuchsien. 
Ainsi 

fdx  Idx 

sont  les  deux  intégrales  de  l'équation 

d^, 

ax- 

oii  (j)  est  fonction  rationnelle  du  point  analytique  (.r,  y). 

C'est  là  une  conséquence  capitale,  claire,  lumineuse  du 
premier  théorème  souligné. 

La  classification  des  fondions  fuchsiennes  repose  surtout 
sur  celle  des  groupes  l'uchsiens  correspondants.  C'est  une 
des  raisons  pour  lesquelles,  plus  haut,  je  préconisais  sur- 
tout l'élude  des  groupes.  Les  rapports  avec  la  théorie  des 
équations  dillerentielles  linéaires,  à  coellicients  algébriques, 
percent  avec  les  premières  constructions  fonctionnelles;  nous 
allons  y  revenir  avec  les  écrits  plus  parliculièrement  consa- 
<rés  à  ces  équations. 

Dans  l'intervalle  mentionnons  le  Mémoire  Sur  les  groupes 
kleinéens  (pp.  258-299). 

D'un  mot  j'ai  déjà  silué  ces  groupes  par  rapport  aux  grou- 
pes fuchsiens  ;  il  faut  cependant  ajouter  (|ue  de  notables 
dillerences  de  méthodes  appaiaissent  ici.  Les  transforma- 
tions (|ui  transj)ortent  sur  la  sphèie  les  réseaux  j)olygonaux 


HENRI    POINCARÉ  17 

plans  entraînent  des  considérations  spatiales  ;  des  sphères 
divisent  l'espace  en  le  rapportant  tout  entier  à  une  certaine 
région  fondamentale.  Ces  résultats  lurent  d'ailleurs  confir- 
més par  des  méthodes  dillerentes  dues  à  M.  E.  Picard. 

Arrivons  au  travail  Sur  les  groupes  des  équations  linéaires 
(pp.  300-401).  Il  a  d'abord  une  importance  historique,  car 
il  s'appuie  surtout  sur  les  recherches  de  Fuchs  ;  c'est  vrai- 
semblablement en  ce  domaine  que  se  dessinèrent  les  pre- 
miers résultats  de  Poincaré,  d'oii  l'idée  de  qualifier  de 
fuclisiennes  les  nouvelles  transcendantes  y  découvertes. 
Klein  ne  sembla  pas  le  comprendre  tout  d'abord.  A  la  suite 
d'un  court  Mémoire  Sur  les  fondions  uniformes  qui  se  repro- 
duisent par  des  substitutions  linéaires^  publié  aux  Matliema- 
tiscJie  Annalen  et  qu'on  trouvera  dans  le  présent  Volume 
(pp.  92-105;,  le  géomètre  allemand  félicite  Poincaré  mais 
<;ritique  ses  dénominations.  Henri  Poincaré  répond  douce- 
ment mais  fermement  que  ces  dénominations  n'ont  pas  été 
choisies  au  hasard  ;  c'est  bien  à  Fuchs  qu'il  entend  rattacher 
le  point  de  départ  de  ses  recherches. 

Fuchs,  en  effet,  ouvrit  un  nouveau  et  vaste  champ  de 
recherches  en  appliquant  les  méthodes  de  Cauchv  à  l'étude 
des  intégrales  des  équations  linéaires.  Des  intégrales  dis- 
tinctes 


ne  peuvent  se  muer  en  d'autres  et  devenir  ainsi  j)lus  nom- 
breuses quand  la  variable  tourne  autour  de  points  singu- 
liers. Tonte  intégrale  d'apparence  nouvelle  n'est  qu'une 
fonction  linéaire  des/*  précédentes.  A  toutes  les  singularités 
possibles  correspond  un  ensemble  de  substitutions  linéaires 
formant  un  groupe  et.  quelles  que  soient  les  substitutions 
constructrices,  certaines  fonctions  de  leurs  coefiicients  sont 
toujours  les  mêmes  :  ces  fonctions  sont  des  i/ivarianfs. 

Je  mo  borne  à  dire  (jue  le  mode  de  correspondance  entre 
ces  invariants  et  les  coefiicients  de  l'équation  est  précisément 
exprimable  par  les  fonctions  fuchsiennes.  En  particulier,  des 
intégrales  qui  se  reproduisent  multipliées  par(.r— «)'',  quand 
.V  tourne  autour  de  a,  et  qui,  à  ce  titre,  sont  indéniablement 

L'Enseignement  nialhém..   19«  annoc,   1917.  2 


i8  A.    BUHL 

multiformes,  donnent  des  (|notients  où  le  facteur  singulier 
disparaît,  tout  (;omme  disparaissait,  lors  de  la  formation  des 
fonctions  fuchsiennes,  le  facteur  des  fonctions  thètafuch- 
siennes.  On  voit  qu'il  y  a  une  certaine  méthode  de  quotients 
qui  joue,  en  Analyse,  un  rôle  primordial,  même  dans  des 
questions  d'origines  fort  diverses. 

La  conclusion  essentielle  est  que  les  intégrales  (5)  peuvent 
èlre  des  fonctions  uniformes  d'un  z  qui  est  le  rapport  des 
intégrales  d'une  équation  du  second  ordre  à  coefficients 
rationnels  en  x  et  y  (si  x  et  y  sont  liés  algébriquement). 
Alors  X  est  une  fonction  fuchsienne  (ou  kleinéenne)  en  z. 
Quant  aux  p  expressions  (5)  des  v  à  l'aide  de  z  ce  sont  les 
fonctions  zétafuchsiennes  pour  lesquelles  un  Mémoire  spécial 
(pp.  402-462)  termine  la  série  des  précédents.  Je  ne  ferai 
guère  que  le  mentijnner.  Comme  je  le  montrais  quelques 
lignes  [)lus  haut,  on  arrive  aisément  à  comprendre  que 
l'équation  c"  =  v  cp  (.r,  y)  soit  intégrée  par  les  fonctions  fuch- 
siennes. Mais  n'y  a-t-il  pas  un  abîme  pour  passer  de  là  à 
l'équation  linéaire  d'ordre  quelconque  ?  Non.  C'est  un  peu 
—  que  l'on  me  passe  ici  beaucoup  d'imagination  simplifica- 
tive  —  comme  si'  l'on  constatait  d'abord  que  l'équation 
linéaire,  du  second  ordre,  à  coefficients  constants,  s'intègre 
par  les  transcendantes  élémentaires;  on  n'aurait  aucune 
peine  à  se  convaincre,  ensuite,  que  ce  résultat  est  valable 
pour  l'équation  d'ordre  quelconque.  Eh  bien,  les  fonctions 
fuchsiennes  jouent  précisément,  par  rapport  aux  équations 
linéaires  quelconques,  à  coefficients  algébriques,  le  rôle 
des  fonctions  élémentaires  qui  suffisent  à  l'intégration  dans 
le  cas  des  coefficients  constants. 

Je  viens  de  parler,  en  somme,  des  cinq  grands  Mémoires 
relatifs  aux  groupes  fuchsiens,  aux  fon(;tions  fuchsiennes, 
aux  groupes  kleinéens,  aux  groupes  des  équations  linéaires, 
aux  fonctions  zétafuchsiennes,  Mémoires  publiés  de  manière 
«•ontinue,  dans  les  Acla  mathematica  et  qui  suffiraient  à  eux 
seuls  à  l'immortelle  renommée  de  leur  auteur. 

Les  fonctions  fuchsiennes  et  l'Arithmétique  pp.  463-511) 
n'ont  pas  un  rapport  absolument  direct  avec  ce  qui  précède. 
Je   disais    incidemment,  en  une  page    précédente,    que   des 


HENRI    POiyCARE  19 

êtres  non-euclidiens  pourraient  se  servir  des  fonctions  f'uch- 
siennes,  comme  nous  nous  servons  des  fonctions  trigono- 
niétriques,  mais  qu'on  a  peine  cependant  à  imaginer  ce  que 
seraient  leurs  calculs  pratiques.  Les  diflicullés  que  je  me 
représente  sont  surtout  situées  dans  le  domaine  de  l'arith- 
métique. Ces  fameux  êtres  non-euclidiens  seraient  sans 
doute  bien  embarrassés  s  ils  n'avaient  que  celle  que  nous 
connaissons,  mais  nul  doute  qu'ils  n'en  aient  une  autre,  aux 
moyens  beaucoup  plus  puissants  et  dont  les  progrès  auraient 
marché  de  pair  avec  ceux  de  leur  analyse. 

Les  fondions  fuchsiennes  et  l'équation  ^ii  =  e"  (pp.  512-591) 
forment  un  exposé  où  à  coup  sûr,  il  faut  reconnaître  quelque 
complication.  Si  des  transcendantes,  de  nature  fuchsienne, 
permettent  d'intégrer  cette  équation,  elle  peut  aussi  l'être 
autrement,  notamment  par  des  méthodes  d'approximation 
étudiées  par  M.  E.  Picard.  On  conçoit  la  possibilité  d'éclairer 
les  deux  choses  l'une  par  l'autre. 

Fondions  modulaires  et  fondions  fucJisiennes  (pp.  592-618) 
terminent  le  Volume.  Henri  Poincaré  écrivit  ces  lignes  au 
seuil  de  la  mort.  Il  envoya  le  manuscrit  aux  Annales  de  la 
Faculté  des  Sciences  de  Toulouse,  le  7  juillet  1912,  veille  du 
jour  où  il  entra  à  la  clinique  oii  il  devait  succomber.  Et. 
chose  bien  singulière,  il  effectua  un  rapprochement  qui, 
dans  les  grands  travaux  de  sa  jeunesse,  ne  semble  l'avoir 
tenté  que  médiocrement.  Se  j)énétrer  des  fonctions  modu- 
laires pour  passer  ensuite  au  cas  plus  général  des  fonctions 
fuchsiennes,  ce  n'est  pas  une  mauvaise  idée,  à  condition  de 
ne  pas  se  laisser  absorber  trop  longtemps  par  les  premières. 
Mais  vraiment  Henii  Poincaré  dédaigna  cet  échelon  sur 
lequel,  à  la  fin,  il  parait  cependant  vouloir  descendre.  Au 
dessous,  il  n'y  avait  plus  que  la  nuit  du  tombeau  mais,  au 
dessus,  quelle  éblouissante  auréole  de  gloire  ! 

Note.  —  Cet  article  a  été  écrit  avant  la  mort  de  M.  Darboux 
survenue  le  23  février.  La  malheureuse  nouvelle  n'y  devait  rien 
changer.  Disons  seulement,  avec  tant  d'autres  voix,  l'aflliction  de 
la  Science  française  ainsi  frappée  de  coups  répétés  en  la  personne 
de  ses  plus  illustres  représentants.  .A.  B. 


DEUX  CONFÉRENCES  SUR  LA  NOMOGRAPHIE 

données  tes  28  et  'J9  juillet  191'i  à  l  Université  d'Edinilxnirg  ' 

l'AK 

Maurice  d'OcAGNK.  Prof,   à  l'Ecole  Polytechnique  de  Paris. 


H.  —  APPLICATION  DES  NOMOGRAMMES  A  ALIGNEMENT 

AUX  DIFFÉRENTS  CAS  DE  RÉSOLUTION 

DES  TRIANGLES  SPHÉRIQUES 

Préliminaires. 

1.  —  Si  Ton  désigne,  dans  un  triangle  sphérique,  les  côtés 
par  rt,  b,  c  et  les  angles  opposés  par  A,  B,  C,  ces  six  élé- 
ments étant  exprimés  en  fractions  (degrés  ou  grades)  de  la 
circonférence,  les  problèmes  concernant  la  résolution  des 
triangles  sphériques,  tels  qu'ils  se  présentent  en  astronomie, 
géodésie  et  navigation,  sont  tous  renfermés  dans  l'énoncé 
général  que  voici  : 

Etant  donnés  trois  des  six  éléments  a,  b,  c.  A,  B,C,  trouver 
PuN  des  autres. 

Il  convient  de  noter  que,  contrairement  à  ce  qui  se  ren- 
contre dans  les  traités  classiques,  cet  énoncé  propose  la 
recherche  cViin  seul  des  éléments  inconnus,  et  non  des  trois. 

Cette  distinction  est  essentielle  au  point  de  vue  de  la  solu- 
tion par  les  méthodes  nomographiques.  Ainsi  qu'on  le  verra 
par  la  suite,  le  premier  énoncé  exige  pour  sa  solution  trois 
nomogrammes  distincts,  tandis  (|ue.  pour  le  second,  un  seul 
suflit. 


'  Au  cours  du  CoUoquiuni  tenu  à  l'occHsion  du  tricentenaire  do  lioNontiou  dos  logarithmes. 
Pour  \a  première  partie,   voir  l'Enseig.  niathcm.  du  15  nov.   1916. 


NOMOGRAPUIE  21 

2.  —  S'il  ne  s'agit  d'obtenir  qu'un  seul  des  trois  éléments 
inconnus,  comme  cela  a  lieu  dans  les  importantes  applica- 
tions à  l'astronomie,  il  y  a  lieu  de  considérer  la  disposition 
du  système  de  quatre  éléments,  constitué  par  les  trois  élé- 
ments donnés  et  celui  qui  est  inconnu. 

Cette  disposition  peut  être  l'une  des  trois  suivantes  : 

P  Deux  couples  d'éléments  contigus  séparés  l'un  de  l'autre 
par  deux  éléments  non  intervenants,  tels  que  A,  b  et  B,  a. 
Une  semblable  disposition  sera  désignée  par  le  symbole  (2,  2). 

2°  Trois  éléments  contigus  et  le  quatrième  isolé  de  ce 
groupe,  par  conséquent  opposé  à  celui  des  éléments  qui  se 
trouve  au  milieu  du  groupe,  par  exemple  6,  A,  c  et  a.  Une 
telle  disposition  sera  désignée  par  le  symbole  (3,  1). 

3"  Quatre  éléments  contigus  comme  C,  «.  B,  c.  \]nQ  telle 
disposition  sera  désignée  par  le  symbole  (4). 

A  ces  trois  dispositions  correspondent  respectivement  les 
formules 

sin  A  sin  b  ::r  sin  a  sin  B   ,  (1) 

cos  a  z=z  cos  })  cos  c  +  sin  h  sin  c  cos  A   ,  (2) 

cos  a  cos  B  =  sin  a  cotg  c  —  sin  B  cotg  G   ,  (3) 

dans  chacune  desquelles  Tun  quelconque  des  quatre  élé- 
ments peut  être  pris  comme  inconnue.  Dans  le  cas  (3,1s  si 
l'élément  isolé  est  un  angle  au  lieu  d'un  côté,  comme  cela  a 
lieu  pour  la  formule  2),  il  est  nécessaire  d'appliquer  la  for- 
mule au  triangle  supplémentaire  en  remplaçant  a,  b,  c,  A  par 
par  t:  —  A,  r  —  B.  -  —  C,  -  —  a. 

Il  est  aisé  de  voir  que,  si  l'on  se  donne  trois  quelconques 
des  six  éléments  d'un  triangle,  on  peut  toujours  leur  asso- 
cier l'un  des  trois  auti-es,  de  façon  à  obtenir  une  disposition 
(3,  1).  Une  fois  ce  premier  élément  déterminé  par  l'applica- 
tion de  la  formule  (2),  on  peut  encore  constituer  une  disposi- 
tion (3,  1)  pour  chacun  des  deux  éléments  restants  en  l'asso- 
ciant convenablement  à  trois  autres  pris  parmi  les  quatre 
déjà  connus,  il  en  résulte  i\nau  moijcii  de  la  seule  formule 
(2)  on  peut  obtenir  la  résolution  complète  du  triangle. 

Mais  il  est  avantageux,  dans  certaines  applications  de 
l'astronomie,  de  déterminer   directement   un  seul  des   trois 


22  M.    D   OCAGNE 

éléments  inconnus,  sans  avoir  à  passer  par  l'interniédiaire 
d'un  des  autres,  ef  cela  nécessite  l'application  de  la  formule 
particulière  qui  correspond  à  la  disposition  des  éléments 
auxquels  on  a  affaire.  Donc,  pour  la  résolution  nomogra- 
phique  directe,  dans  tous  les  cas  possibles,  trois  nomo- 
grammes  sont  nécessaires,  correspondant  aux  trois  for- 
mules fondamentales  ci-dessus  données. 

3.  —  Avant  de  passer  à  la  construction  de  ces  trois  nomo- 
grammes,  il  convient  de  faire  une  remarque  spéciale  relative 
aux  formules  applicables  au  triangle  rectangle.  Supposons 
(\\\e  deux  des  éléments  (autres  que  l'angle  droit)  d'un  tel 
triangle  soient  donnés.  Pour  en  déduire  un  troisième,  nous 
n'avons  qu'à  considérer  la  disposition  formée  par  ces  trois 
éléments  et  l'angle  droit  et  à  appliquer  la  formule  appropriée. 

Par  exemple,  si  nous  voulons  connaître  la  relation  entre 
l'hypoténuse  a,  l'un  des  côtés  b  et  l'angle  compris  C,  nous 
reconnaissons  que  la  disposition  formée  par  ces  trois  élé- 
ments et  l'angle  droit  A  est  de  celles  désignées  par  (4  .  Une 
permutation  circulaire  de  (3)  donne 

cos  h  cos  C  r=  sin  h  cotg  a  —  sin  C  cotg  A   , 

qui,  lorsqu'on  tient  compte  de  A  =  |  .  devient 

cos  h  cos  C  1=  sin  h  colg  a   , 

OU 

tg  /^  =  tg  a  cos  C   , 

formule  classique,  et  de  même  pour  les  autres  cas. 

Il  est  ainsi  démontré  (|ue  les  trois  nomogrammes  appj'o- 
priés  aux  formules  (1),  (2),  (3)  fournissent  la  solution  com- 
plète de  tous  les  problèmes  en  question.  Il  est  vrai  que 
d'autres  formules,  telles  que  les  analogies  de  Neper,  sont 
employées  pour  les  calculs  ordinaires.  Cela  a  pour  but  de 
permettre  de  recourir  au  calcul  logarithmi(|ue  ;  mais  une 
telle  considération  n'intervient  pas  lorsque  l'on  lait  usage 
des  méthodes  nomographiques. 


NOMOGRAPIUE 


23 


Nom  o  gramme  de  la  foi- mu  le  (1). 

4.  —  Pour  obtenir  un  nomograninie  de   la  formule  (ly  il 
suffit  de  l'écrire  sous  la  l'orme 


sin  a        sin  A 


siu  h         siii  B 


(1) 


La  conslruclion  est  alors  immédiatement  évidente  par  la 
géométrie  la  plus  élémentaire. 

Si,  sur  deux  droites  parallèles,  on  porte  les  segments  A^^A 
et  A„«  proportionnels  à  sin  A  et  sin  a,  B^B  et  B^ô  propor- 


Fig.  i:<. 


tionnelsà  sin  B  et  sin  b  respectivement,  Téqualion  précédente 
exprime  que  les  droites  AB  et  ab  coupent  la  droite  A^B^  au 
même  point  P  (fig.  13)  ^ 

Cela  suggère  l'idée  de  construire  deux  échelles  de  sinus 


'  Cette  ligure  et  les  suivantes  sont  faites  à  une  trop  petite  échelle  pour  pouvoir  se  prêter 
à  un  usage  courant  et  ne  doivent  être  regardées  que  comme  servant  à  illustrer  les  explica- 
tions données  dans  le  texte. 


24  M.    D'OC  A  G  NE 

identiques,  sur  deux  axes  parallèles,  avec  les  zéros  en  A^  et 
IL  et  des  graduations  de  sens  contraires  en  vue  de  l'aire  en 
sorte  que  ce  point  P  tombe  entre  A^  et  H^.  Les  deux  droites 
AB  el  ab  coupent  alors  Aj^Bq  en  un  nn'/ne  point  P. 

Supposons,  par  exemple,  que  A,  B,  a  soient  donnés  et  è  à 
trouver.  L'opération  est  la  suivante:  Les  points  dont  les  cotes 
sont  A  el  B  sur  les  deux  échelles  sont  Joints  par  une  droite 
qui  coupe  A^B^  en  un  point  P,;  la  droite  Joignant  ce  point  P 
au  point  coté  a  sur  la  première  échelle  coupe  la  seconde  en 
un  point  dont  la  cote  est  b. 

Nous  avons  eu  recours  à  la  géométrie  élémentaire  pour 
exposer  le  principe  de  ce  nomooramme  parce  cjue  c  est  la 
méthode  la  plus  naturelle  ;  mais  il  est  clair  que,  si  on  le  veut, 
on  peut  établir  ce  principe  suivant  la  théorie  générale:  il 
suffît  de  procéder  comme  suit: 

Appelant  Ha  commune  valeur  des  deux  rapports  ci-dessus, 
on  a 

sin  rt  =  <  sin  b   , 

et,  si  Ion  pose  ' 

sin  a  ^  u   ,  sin  i>  =z  —  v   , 

il  vient  pour  l'équation  du  point  (/), 

(/  +  »■/  =  0  . 

Celle-ci  représente  les  points  de  Taxe  A^B^,  des  origines, 
et  de  même  pour  le  second  rapport. 

Noniogramnie  de  la  formule  (2). 
5.  —  Récrivant  cette  formule  sous  la  forme 

cos  a  —  sin  h  sin  c  cos  A  =  cos  b  cos  c   , 

nous  voyons  que.  pour  obtenir  sa  représentation  par  un  nomo- 
gramme  à  alignement,  il  suffît  de  poser 

H  ^  COS  rt   ,  t'  =  ^  COS  A   .  (4) 


'  Ici,  comme  dans  la  suite,  il  est  fait  usage  de  coordonnées  parallèles  h  et  »•  pour  la  cons- 
truction des  nomogramnies  (I,  5),  el  l'on  désigne  par  Aj  et  B^  les  origines  des  axes  coor- 
donnés afin  de  réserver  la  notation  A  et  B  pour  les  angles  des  triangles  sphériques. 


NOMOGRAPHIE  25 

Ces  équations  définissent  les  graduations  des  axes  A^u  et 
BqP  et  donnent  pour  le  réseau  des  points  (è,  c)  l'équation 

Il  -\-  t'  siii  I)  siu  c  :=  cos  h  cos  c   .  (5) 

La  symétrie  de  cette  écjuation  en  b  ei  c  montre  que  les 
courbes  \b)  et  les  courbes  [c)  sont  les  mêmes.  Ce  sont  les 
courbes  de  cette  famille  unique  qui,  en  se  recoupant  elles- 
mêmes,  engendrent  le  réseau  des  points  [b,  c  . 

Proposons-nous  d'abord  de  former  Téquation  des  courbes 
du  système  obtenu  par  la  variation  de  c.  Nous  avons  à  déter- 
miner le  lieu  du  point  d'équation  (5)  lorsque  c  y  est  regardé 
comme  variable.  L'équation  en  u  et  c  de  ce  lieu  résulte  de 
l'élimination  de  ce  paramètre  c  entre  l'équation  (5  et  sa 
dérivée  prise  par  rapport  à  c,  c'est-à-dire 

V  sin  h  cos  c  ■=:  —  cos  h  sin  c   ,  (6| 

Faisant  la  somme  des  équations  (5)  et  (6)  après  avoir  multi- 
plié, d'une  part,  la  première  par  sin  c  et  la  seconde  pas  cos  c, 
et,  d'autre  part,  la  première  par  cos  c  et  la  seconde  par  sin  c, 
on  a  les  équations 

Il  sin  c  =  —  t'  sin  h   ,  u  cos  c  =  cos  h   . 

qui,  élevées  au  carré  et  additionnées,  donnent 

«-  =  i>-  sin-  h  -\-  cos-  0   ,  (7) 

qu'on  peut  écrire 

u^  —  l  =  sin-  b[i'^-  —  1)   .  (7') 

Sous  la  forme  (7),  l'équation  montre  que  les  courbes l)i)  sont 
(les  ellipses  dont  un  axe  est  dirigé  suivant  la  droite  k^^^  joi- 
gnant les  origines  des  axes  A^u  et  B^v^  Sous  la  forme  (7') 
l'équation  fait  apparaître  que  ces  ellipses  appartiennent  à  un 
faisceau  tangentiel  comprenant  les  coniques  dégénérées 
u* — 1  =  0,  v* — 1^0  qui  consistent  chacune  en  un  couple 
de  points  réels  (u  =  ±  1  ,   v  :r=  ih  1). 

En  d'autres  termes,  les  ellipses  ih)  sont  toutes  inscrites  dans 


'  Voir,  pour  une  théorie  complète  des  coniques  en  coordonnées  parallèles,   la  brochure  de 
r.iuteur  :   Coordonnées  paraltcUs  el  axiales  {Paris  ;  Gauthier-Villars  ;  I885i. 


26 


M.    D'OCAGNE 


le  quadrilatère  formé  par  les  quatre  droites  joignant  chacun 
des  points  u  =  zb  1  à  chacun  des  points  \  z=±\.. 

Si,  comme  c'est  le  cas  sur  la  fig.  14,  nous  prenons  comme 
module  de  chacune  des  échelles  des  cosinus,  la  moitié  de  la 
distance  entre  les  axes  \qU  et  B^c,  ces  axes  étant  perpendi- 
culaires à  AqB^,  les   points  w=:±l,    c^;=ztl    forment   un 


^^'(A) 


Fig.   14. 


carré  dont  deux  des  côtés  sont  parallèles  à  AoB^.  Ces  deux 
côtés  et  les  deux  diagonales  du  carré  constituent  les  quatre 
tangentes  communes  à  toutes  les  ellipses  (Z>\ 

6.  —  Pour  le  tracé  de  ces  ellipses,  point  par  point,  nous 
aurons  recours  aux  coordonnées  cartésiennes  rapportées  aux 
axes  O.r  et  Oy  pour  lesquels  l'origine  0  est  le  milieu  A<,Bj, 


NOMOGRAFHIE  27 

le  sens  positif  de  O.r  confoiuiu  avec  OBo.  Taxe  i)y  parallèle 
aux  axes  A^u  et  B^v  et  de  même  sens. 

Avec  ces  axes,  les  coordonnées  du  point  (6,  c)  sont 


1  —  sin  h  sin  c  cos  b  cos  c 


(8) 


1  +  sin  b  sin  c   '  1  +  sin  b  sin  c 

Notons  que,  si  b  et  c  sont  compris  entre  O  et  tt, 

-  l<  r  <  0 

et  que 

0  <  >  <  1  ou  —  1  <  >  <  0 

suivant  que  b  el  c  sont  tous  deux  du  même  côté  ou  de  côtés 

différents  par  rapport  à  ^  . 

Cette  dernière  remarque  est  importante  en  ce  qu'elle 
donne  le  moyen  d'éviter  toute  ambiguïté  dans  la  correspon- 
dance entre  les  couples  de  valeurs  de  Z*  et  c  et  les  points  du 
réseau  [b,  c).  L'équation  (7  montre  que  l'ellipse  [b.  ou  (c)  est 
la  même  pour  deux  valeurs  supplémentaires  de  l'angle  cor- 
respondant ;  en  outre,  les  ellipses  [b)  et  (c)  ont  deux  points 
communs  symétriques  par  rapporta  Oj? dans  la  partie  utilisée 
du  réseau;  mais  la  remarque  ci-dessus  établit  clairement  que 
l'on  doit  prendre  le  point  au-dessus  ou  au-dessous  de  Or- 
suivant  que  b  et  c  sont  du  même  côté  ou  de  côtés  différents 

par  rapport  à  ^  . 

Supposons  maintenant  que  6  et  c  soient  égaux  ou  supplé- 
mentaires, de  telle  sorte  que  les  ellipses  correspondantes 
coïncident.  Par  passage  à  la  limite,  on  voit  que  l'on  doit 
prendre  pour  point  {b,  c)  sur  le  nomogramme  le  point  de 
contact  de  l'ellipse  unique  avec  l'une  des  tangentes  com- 
munes issues  de  O,  soit  au-dessus,  soit  au-dessous  de  Or. 
Dans  chaque  cas,  en  vertu  de  ce  qui  précède,  il  n'y  a  pas  la 
moindre  hésitation  à  avoir  dans  le  choix  de  ce  point  6,  c), 
non  plus  que  dans  la  détermination  de  la  valeur  d'un  de  ces 
angles  lorsqu'un  tel  point  et  la  valeur  de  l'autre  angle  sont 
connus. 

L'équation  cartésienne  de  l'ellipse  (/>),  dont  (7)  fait  connaître 


28  M.     D'OCAGNE 

l'équation  en  coordonnées  parallèles,  est  facile  à  former.  Des 
éc|iiations  (8)  on  tire  sans  difllcullé 


cos  h  cos  c 


d'où,  par  élimination  de  c. 


■'  +  ^''  +  ^  =  .1-.,= 


sin- b  cos-  h 

ou 

(  l  +  •*'")  t-"OS-  h  -\-  'ty-  sin-  /;  =  (  1  —  xp  siii-  h  cos-  //   .  (9) 

De  cette  équation  on  tire  immédiatement  que,  pour 
.f;  =  —  1,  on  a  ?/ =  rfc  cos  ^  ,  c'est-à-dire  que  l'ellipse  \b) 
coupe  l'échelle  a  portée  sur  Aq«  aux  points  cotés  6  et  t:  —  b . 

Il  convient  aussi  de  remai'quer  que  si,  dans  (7),  on  fait 
f  =  o,  on  a  «  =  ±  cos  Z>,  ce  qui  signifie  que  la  droite  joi- 
gnant les  points  cotés  b  el  r.  —  b  àe  Téchelle  («)  au  point 
Bq  sont  tangentes  à  l'ellipse  {b)  en  ces  points. 

7.  —  Au  moyen  soit  des  formules  (8),  soit  de  l'équation 
(9),  nous  pouvons  consti-uire  les  ellipses  [b)  [avec  lesquelles, 
ainsi  que  nous  l'avons  précédemment  observé,  coïncident 
les  ellipses  [c)]  par  les  procédés  ordinaires  de  la  géométrie 
analytique.  Mais  un  mode  de  construction  plus  simple  et 
plus  expéditif  est  fourni  par  la  considération  de  l'équation 
(2).  En  fait,  d'après  ce  que  nous  avons  vu,  cette  équation 
exprime  l'alignement  des  points  ia)  de  A^//,  (A)  de  B^i'  et 
b^  c).  Deux  tels  alignements  obtenus  pour  [b^  ci  par  le  calcul 
de  deux  couples  simples  de  valeurs  de  a  et  A  déterminent 
la  position  de  ce  point  {b,  c). 

Or,  la  formule  (2)  montre  que,  pour  A  =  o,  nous  avons 
a  =  b  —  6",  et,  pour  A  =  t:  ,  a  =^  b  -\-  c.  Ces  deux  couples 
de  valeurs  de  a  et  A  déterminent  des  droites  dont  le  point 
d'intersection  coïncide  avec  le  point  [b,  c). 

De  là,  la  construction  suivante  du  système  des  ellipses  [b) 
ou  {c)  :  Les  axes  A„u  et  B^v  portant  les  échelles  fa)  et  (A)  défi- 
nies par  les  formules  (4i,  ou  joint  cltacun  des  points  A^o  et 
A  :=  t:  r/  tous  les  points  de  l'échelle  (a)  et  l'on  obtient  ainsi  deux 
faisceaux  de  droites  dont  les  mutuelles  intersections  se  trou- 


NO  MO  GRAPHIE  29 

vent  sur  les  ellipses  {b).  Pour  que  deux  droites  de  ces  faisceaux 
se  coupent  en  un  point  de  l'ellipse  (b)  il  est  nécessaire  et  suffi- 
sant que  (a  somme  ou  la  différence  des  angles  correspondant 
à  ces  deux  droites  soit  égale  à  2b, 

C'est  par  ce  moyen  qu'a  été  construit  le  nomogramme  de 
la  fig.  14.  Son  mode  d'emploi  résulte  dans  tous  les  cas  de 
l'énoncé  suivant  : 

Le  point  b,  c)  étant  celui  des  points  d'intersection  des 
ellipses  (b)  et  fc)  qui  est  au-dessus  ou  au-dessous  de  AqB^  sui- 
vant que  h  et  c  sont  ou  non  du  même  côté  par  rapport  à  '-^  ,  les 
points  cotés  (a),  (A)  et  (b,  c  sont  en  ligne  droite. 

Nomogramme  de  la  formule  (3). 
8.  —  Récrivons  celte  Ibnnule  ainsi 

cotg  c  sin  a  —  '"Olg  C  sin  B  zz:  cos  a  cos  B  (3) 

et  posons 

Il  =r  cotgc    .  V  =1  —  cotgC    .  (10 1 

Ces  formules  définissent  les  échelles  portées  sur  les  axes 
AqU  et  Bot'  et  donnent  pour  le  réseau  de  points  («,  B)  l'équa- 
tion 

u  sin  a  -\-  s>  sin  B  =  cos  a  cos  B   .  (11) 

Pour  avoir  l'équation  en  u  et  v  de  la  courbe  [a]  résultant 
de  la  variation  de  B,  il  faut  éliminer  B  entre  cette  équation  et 
sa  dérivée  prise  par  rapport  à  B,  c'est-à-dire 

»'  cos  B  =  —  cos  a  sin  B   .  (I2i 

Si  l'on  fait  la  somme  de  ces  é(|uations  après  les  avoir  mul- 
tipliées respectivement  d'abord  par  cos  B  et  —  sin  B,  puis 
par  sin  B  et  cos  B,  on  obtient 

u  sin  u  cos  B  z=  cos  a    ,  u  sin  a  sin  B  =  —  r   , 

é(|uations    qui,  élevées    au   carré    et    additionnées,  donnent 


30  M.    no  CAO  NE 

l'équation  cherchée 

li-  siii-  a  :rz  S'-  4"  cos-  a   ,  (13) 

OU 

(m-  4-  1)  siii-«  =  V-  +  l   .  (13') 

Sous  la  forme  (12),  réquation  montre  que  les  courbes  ''a) 
sont  des  hyperboles  dont  un  des  axes  est  situé  sur  A^B^,  et, 
d'après  la  forme  (13'),  il  est  évident  que  ces  hyperboles  for- 
ment  un  faisceau  tangenliel  comprenant  les  coniques  dégé- 
nérées u^  -|-  1  =  0,  V-  +  1  =  0 ,  qui  consistent  chacune  en 
un  couple  de  points  imaginaires  (u  ::=  ±  i  et  v  =  ±  i). 

En  d'autres  termes,  les  hyperboles  (a)  sont  toutes  inscrites 
dans  le  quadrilatère  formé  par  les  quatre  droites  joignant 
chacun  des  points  u  ^  ±  i  à  chacun  des  points  v  ^  ±  i  • 

Par  rapport  aux  axes  cartésiens  que  nous  associons  de 
façon  permanente  aux  axes  parallèles  A^u  et  B(,t',  ces  droites 
ont  pour  équations 

y  =  ±i  ,  :)•  =  ±  ix  . 

Les  dernières  sont  les  droites  isotropes  issues  de  l'origine 
0,  ce  qui  prouve  que  CorigineO  est  un  foyer  commun  à  toutes 
les  hyperboles  du  faisceau  ^. 

Si  nous  permutons  a  avec  B,  et  u  avec  f,  cela  ne  change 
rien  à  l'équation  (llj,  de  sorte  que  nous  avons  immédiate- 
ment pour  l'équation  des  courbes  (B 

H-  +  1  =  [V-  +  1)  sin-  B   ,  (14) 

qui  définit  un  faisceau  d'hyperboles,  algébriquement  iden- 
tique au  précédent.  Seulement,  les  hyperboles  (rt),  qui  ont 
un  foyer  commun  en  O,  ont  leur  concavité  tournée  du  côté 
de  Aq,  tandis  que  les  hyperboles  (B)  qui  ont  aussi  un  foyer 
commun  en  O  ont  leur  concavité  tournée  du  côté  Bq  .  Ces 
deux  faisceaux  («)  et  (B)  sont  symétriques  l'un  de  l'autre  par 
rapport  à  Oy  (fig.  15)  ^ 


'  Il  est  à  noter  que  ces  hyperboles  n'ont  en  commun  qu'un  seul  foyer  et  non  deux,  attendu 
que  les  deux  autres  côtés  du  quadrilatère  dans  lequel  elles  sont  inscrites  sont  des  paral- 
lèles imaginaires  à  Ox  et  non  des  droites  isotropes. 

'Ce  nomogramme  a  été  eirectivement  construit  en  vue  de  son  application  particulière  à  la 
détermination  particulière  de  l'azimut,  pour  le  point  à  la  mer,  par  le  M.  lieutenant  de  vaisseau 
Perret  (Association  française  pour  l'avancement  des  sciences.   Congrès  de  Cherbourg,  19051. 


NOMOGRAPH lE 


31 


9.  —  Comme  dans  le  cas  précédent,  nous  allons  passer 
aux  coordonnées  cartésiennes,  par  rapport  aux  mêmes  axes 
que  ci-dessus,  en  vue  de  la  construction  des  hyperboles 
point  par  point. 


J3S' 


Fig.   16. 


Les  coordonnées  du  point  («,  B)  sont 

sin  B  —  sin  a  cos  a  cos  B 


sin  B  -\-  sin  a 


y 


sin  a  -\-  sin  B 


|15) 


Notons  que  si  <7  et  B  sont  compris  0  et  r,  nous  avons  tou- 
jours 


et  que 


-  1  <  »  <  1  . 

j)-  >  0  ou  >  <  0   . 


32  M.    I)   OCAGNE 

suivant  que  a  et  B  sont  ou  non  du  même  côté  par  rapport  à 

^ .  Cela  donne  le  mo3^en  de  faire  disparaître  toute  ambiguïté 

dans  la  détermination,  sur  la  partie  utile  du  nomooramme, 
du  point  correspondant  à  un  couple  de  valeurs  données  de 
a  et  B. 

Pour  avoir  récjuation  cartésienne  des  hyperboles  \a).,  nous 
n'avons  qu'à  tirer  de  (15) 

sin  B  ==  sin  a   ,  cos  B  =  - — '- {sa    , 

1  —  X  1  —  X     * 

et  nous  obtenons  ainsi 

Il  -\-  x)-  sin'-'  n  -\-  4r-  ig-  a  =z  \\  —  x)- 

ou 

(1  —  X)-  cos-  a  —  iy-  sin-  rt  =:  (1  -f-  x)-  siii-'rt  cos- «    .  (IG) 

Grâce  à  la  remarque  précédente  concernant  la  permuta- 
tion des  axes  A^ii  et  Bocdont  les  é((uations  cartésiennes  sont 
respectivement  r  +  1  :=^  0  et  .v  —  1  ==0,  nous  déduisons 
immédiatement  de  là  l'équation  des  hyperboles  (B) 

(1  +  .ri-  cos-  B  —  4r'  sin-  B  =z  (  1  —  x)-  sin-  B  cos-  B   .         (17) 

De  la  comparaison  de  ces  équations  (16)  et  (17)  avec  l'équa- 
tion (9)  il  ressort  immédiatement  que  les  deux  faisceaux 
d'ellipses  et  d'hyperboles,  ci-dessus  rencontrés,  se  déduisent 
l'un  de  l'autre  au  moyen  de  la  transformation  homogra- 
phique 

.r'  =z  Ifl  .r   ,  1  '  =  yi  , 

qui  fait  correspondre  aux  droites  issues  de  l'origine  et  incli- 
nées à  45'^  sur  A,,B(j  les  droites  isotropes  semblablement 
issues  de  G. 

Pour.r:^ —  1,  l'équation  (16)  donne  îy:=±cotgrt,  ce  qui 
montre  que  l'hyperbole  (a)  rencontre  l'axe  A^ii  aux  points 
cotés  «  et  t:  —  a  de  l'échelle  (c).  De  même,  si  l'on  fait  r —  1 
dans  l'équation  (17),  on  voit  que  l'hyperbole  (B)  coupe  l'axe 
BqV  aux  points  cotés  B  et  tt — B  de  l'échelle  (c). 

D'ailleurs,  si  l'on  fait  v  ^~r  o  dans  l'équation  (13),  ou  // :=  0 


NO  MO  GRAPHIE  33 

dans  léquation  14;,  on  constate  que  les  tangentes  aux  hyper- 
boles [ci]  en  leurs  points  d'intersection  avec  X^ii  passent  par 
Bq  et  que  les  tangentes  aux  hyperboles  (B)  en  leurs  points 
d'intersection  avec  B^i'  passent  par  A^,. 

Contrairement  à  ce  qui  avait  lieu  pour  le  précédent  nonio- 
gramme,  dont  la  partie  utile  —  lorsque  les  variables  restent 
comprises  entre  o  etz  —  est  enfermée  dans  une  aire  limitée, 
ce  nouveau  nomogramme,  pour  les  mêmes  limites  attribuées 
aux  variables,  s'étend  de  —  oo  à  -j-  x  dans  la  direction  de 
Oy.  Pratiquement,  donc,  il  n'est  possible  de  construire 
qu'une  partie  restreinte  de  ce  nomogramme.  Pour  atteindre 
des  valeurs  des  variables  en  dehors  de  ce  domaine,  il  est 
nécessaire  de  recourir  à  des  transformations  homologiques 
comme  celles  qui  ont  été  envisagées  dans  la  première  con- 
férence (I,  7  et  note  additionnelle  . 


Nomograiiimes  divers  relatifs  à  la  résolution 
des  triangles  sphêriques. 

10.  —  Si  l'on  ne  stipule  pas,  comme  nous  l'avons  fait 
ci-dessus,  que  Ton  veut  obtenir  un  élément  inconnu  d'un 
triangle  sphérique  dont  trois  éléments  sont  donnés,  r/  l'aide 
d'une  seule  lecture,  on  peut  arriver  à  ce  résultat  au  moven  de 
plusieurs  lectures  successives  faites  sur  un  nomogramme 
unique.  Au  point  de  vue  de  la  construction,  ce  nomogramme 
est  beaucoup  plus  simple  que  les  précédents  et  constitue  ce 
qu'on  peut  appeler  une  grille  trigonométrique. 

Cette  grille  se  construit  de  la  manière  suivante  :  à  un  cercle 
gradué  en  degrés  on  circonscrit  un  carré  dont  les  côtés 
sont  parallèles  et  perpendiculaires  au  diamètre  0°  —  180°. 
A  l'intérieur  de  ce  carré  on  trace  les  droites  joignant  les 
points  de  division  du  cercle  qui  sont  symétriques  soit  par 
rapport  au  diamètre  0^  —  180°,  soit  au  diamètre  90° — 270°. 
Chacune  de  ces  droites  est  associée  aux  graduations  des 
deux  points  du  cercle  divisé  qu'elle  relie. 

Il  a  été  établi  que,  grâce  à  l'introduction,  en  certains  cas, 
d'angles  auxiliaires,  cette  grille  permet  d'obtenir  la  résolu- 

I. 'Enseignement  mathi'in.,  19*  année:  1917  3 


3i  M.    D'OCAGNE 

lion  complète  de  tout  triangle  sphérique  ^  Mais  une  telle 
solution,  comme  on  s'en  rend  aisément  compte,  oH're  surtout 
un  intérêt  théorique.  En  pratique,  il  y  a  un  sérieux  avantage 
à  obtenir  le  résultat  cherché  au  moyen  d'une  seule  lecture 
et  c'est  là  ce  qui  confère  leur  importance  aux  nomogrammes 
que  nous  venons  de  décrire  ci-dessus. 

Dans  certaines  applications,  Tun  des  quatre  éléments  eu 
question  peut  être  regardé  comme  constant,  et  il  devient 
avantageux,  en  un  tel  cas,  de  construire  un  nomogramme 
parti('ulier  à  trois  variables  se  déduisant  d'un  des  précédents 
nomogrammes  par  fixation,  sur  l'un  des  quatre  systèmes 
cotés,  d'un  élément  unique  correspondant  à  la  valeur  cons- 
tante donnée. 

Supposons,  par  exemple,  que  le  problème  consiste  à 
représenter  la  relation  entre  les  trois  côtés  «,  6,  c  d'un 
triangle  sphérique  rectangle  en  A.  La  relation  en  question^ 

qui  peut  se  déduire  de  (2)  lorsqu'on  y  fait  A  =  ^ ,  est 

cos  a  =z  cos  b  cos  c  .  (18) 

Le  nomogramme  correspondant  est  celui  de  la  fig.  14  sur 
lequel  on  supprime  la  graduation  (A)  de  l'axe  .B^c,  tous  les 
alignements  étant  alors  pris  sur  le  point  B^, . 

Une  telle  solution  présente  l'intérêt  théorique  d'être  con- 
tenue dans  le  cas  général.  Mais  il  est  clair  (ju'on  peut  lui 
substituer  une  solution  beaucoup  plus  simple  qui  s'offre 
immédiatement  à  l'esprit.  Posant 

Il  :z=  cos  a  ,  ^'  =  —  cos  b  , 

on  a,  pour  c,  l'échelle 

u  -f-  *'  cos  c  ^  0  , 

portée  sur  l'axe  A^Bp. 

Les  échelles  {a)  et  (b)  sont  obtenues  par  remplacement,  sur 
la  fig.  13,  des  angles  inscrits  le  long  de  AqU  et  de  B^c  par 
leurs  compléments,  et  l'échelle  [c)  n'est  autre  que  la  projec- 


'  On  voudra  bien  se  reporter  nu  ni(5nioirc  publié    par  Tauteur  sur  ce  sujet  iBiilUtin  de  la 
Société  mathé/natiquc  de  France,  T.   32,  190'i,  p.   196). 


NOMOGRA  PHIE 


35 


tion  de  [a]  sur  A^Bq  à  partir  du  point  6  =  0,  puisque,   pour 
celte  valeur  de  b,  la  formule  (18)  donne  a  =  c. 

Pour  prendre  un  autre  exemple,  proposons-nous  de  repré- 
senter la  relation  entre  Tangle  horaire  AH,  la  déclinaison  O^ 


12  heures 
11 


7  <L 


5 


.     4 


(M) 


0  heure 


6"  (5) 


Fig.  16. 


et  la  distance  zénithale  z  d'un  astre  quelconque  pour  une 
latitude  constante  ip.  Cette  relation  est  fournie  par  la  formule 
(2)  où  l'on  fait 


A  =  ^  -  ?  . 


=  f-cO. 


A  =  AH 


36  M.    D    OCAGNE 

Ici,  9  est  supposé  constant.  Il  est  dès  lors  sufïisant  de 
marquer  sur  Tellipse  {b)  correspondant  à  cette  valeur  de  (j), 
les  points  répondant  aux  diverses  valeurs  de  cP,  c'est-à-dire 
les  points  où  les  diverses  ellipses  fc)  rencontrent  cette  ellipse 

(^)(fig.  16j. 

D'ailleurs,  AH  variant  de  0°  à  180°  tandis  que  ;  varie  seu- 
lement de  0°  à  90°,  on  peut  prendre  pour  cette  seconde 
échelle  un  module  double  de  celui  de  la  première,  de  façon 
à  donner  à  ces  échelles  des  longueurs  égales.  Gela  revient  à 
efTectuer  une  certaine  transformation  homographique  sur  la 
partie  qui  vient  d'être  particularisée  du  nomogramme 
général  de  la  formule  (2).  C'est  ainsi  qu'a  été  construit  le 
nomogramme  représenté  par  la  fig.  16^  en  vue  de  la  prépa- 
ration des  observations  à  Téquatorial  de  l'Observatoire  de 
Paris  »(?  =  48°50'li"). 


1  Au  sujet  de  la  construction  de  ce  nomogramme,  le  lecteur  peut  consulter  une  note  de 
l'auteur  dans  les  Comptes  rendus  de  l'Académie  des  Sciences,  T.  135,  p.  728  (1902). 


LES  ANTINOMIES  DE  RL  SSELL  ET  DE  BURALI-KORTI 

ET    LE 

PROBLÈME  FONDAMENTAL 
DE  LA  THÉORIE  DES  ENSEMBLES 

PAR 

D.    MiRiMANOFF  (Genève). 


Introduction. 

Aucune  théorie  mathématique  n'a  fourni,  comme  on  le 
sait,  autant  de  faits  paradoxaux  et  d'antinomies,  au  moins 
apparentes,  que  la  fameuse  théorie  des  ensembles  de  Cantor. 
Les  plus  connues  et  les  plus  importantes  de  ces  antinomies 
sont  celles  de  Russell  et  de  Burali-Forti  ;  mais  combien 
d'autres  faits  bizarres  ont  été  révélés,  depuis  la  publication 
des  premiers  travaux  de  Cantor  sur  la  théorie  des  ensembles, 
par  Borel,  Peano,  Richard  et  Cantor  lui-même. 

Les  antinomies  (.antoriennes,  qui  déconcertent  et  dérou- 
tent presque  toujours  au  premier  abord,  ont  fait  le  désespoir 
de  quelques  géomètres  logiciens.  C'est  là  sans  doute  (ju'il 
faut  voir  la  cause  de  la  défiance  exagérée  que  les  idées  et  les 
théories  cantoriennes  les  mieux  établies  inspirent  à  des 
esprits  particulièrement  défiants. 

Est-il  besoin  de  dire  (pie  rien  ne  justifie,  au  fond,  ni  cette 
défiance  ni  ce  désespoir  ?  N'avons-nous  pas  eu  des  surprises 
comparables  dans  la  théorie  des  fonctions  et  en  géométrie? 

Qu'on  se  rappelle,  par  exemple,  la  découverte  par  Riemann 
et  Weierstrass  de  fonctions  continues  non  dérivables  et 
de  courbes  sans   tangentes,  dont   une  étude  approfondie  n'a 


38  D.    MIRIMAyOFF 

justement  pu  être  faite  depuis  qu'à  Taide  de  la  théorie  des 
ensembles^;  on  pourrait  citer  également  la  propriété  si 
curieuse  des  séries  semi-convergentes,  révélée  par  Lejeune 
Dirichlet,  d'avoir  une  somme  dépendant  de  l'ordre  des 
termes. 

Dans  tous  ces  cas,  il  y  a  une  contradiction  manifeste  entre 
les  faits  nouveaux  et  les  propriétés  que  nous  croyions  tou- 
jours vraies  et  qui  nous  semblaient  évidentes,  mais  (jui  repo- 
saient en  réalité  sur  une  expérience  ou  une  intuition  incom- 
plètes, et  n'étaient  vraies  que  sous  certaines  conditions. 
C'est  ainsi  que,  dans  le  cas  des  séries  semi-convergentes, 
le  fait  nouveau  signalé  par  Dirichlet  semble  incompatible 
avec  la  propriété  fondamentale  de  l'addition  algébrique,  qui 
est  d'être  une  opération  commutative.  Cette  propriété  est 
toujours  vraie  dans  un  domaine  fini,  mais  les  exemples  de 
Dirichlet  prouvent  qu'elle  peut  cesser  d'être  vraie  lorsque 
les  substitutions  par  lesquelles  on  passe  à  Tordre  nouveau 
portent  sur  un  nombre  infini  d'addendes.  Le  sentiment  d'évi- 
dence repose  ici  sur  une  intuition  incomplète. 

Or  les  antinomies  cantoriennes  et,  en  particulier,  celles 
de  Russell  et  de  Burali-Forti  sont  comparables  aux  exem- 
ples que  nous  venons  de  rappeler.  On  croyait,  et  il  semblait 
évident,  que  l'existence  des  individus  devait  entraîner  néces- 
sairement celle  de  leur  ensemble  ;  mais  Burali-Forti  et 
Russell  ont  montré,  par  des  exemples  différents,  qu'un 
ensemble  d'individus  peut  ne  pas  exister,  bien  que  ces  indi- 
vidus existent.  Comme  nous  ne  pouvons  pas  ne  pas  accepter 
ce  fait  nouveau,  nous  sommes  obligés  d'en  conclure  que  la 
proposition  qui  nous  semblait  évidente  et  que  nous  croyions 
toujours  vraie  est  inexacte,  ou  plutôt  qu'elle  n'est  vraie  que 
sous  certaines  conditions-  .  Et  alors  le  problème  suivant  se 
pose,  que  l'on  peut  regarder  comme  le  problème  fonda- 
mental de  la  théorie  des  ensembles  : 

Quelles  sont  les  conditions  nécessaires  et  suffisantes  pour 
qu'un  ensemble  d'individus  existe? 

Certes,  l'étude  de  ce  problème  est  moins  avancée  que  celle 


'Cf.  M""*  Grâce  Chisholm  VouNo  :  Sur  les  courbes  sans  tangente  [Eus.  math., année  1915.  p-  348). 
Cf.  J.  KoNic  :  Neue  Grundlagen  der  f.ogik,  Arithmetik  iind  Mengenlehre,  chap.  II. 


THÉORIE    DES    ENSEMBLES  39 

des  séries  semi-convergentes,  mais  le  premier  pas  est  fait, 
ffràce  surtout  aux  recherches  de  Russell\  H.  Poincaré  -  et 
J,  Konig^.  Dans  les  derniers  paragraphes  de  ce  travail,  je 
donne  une  solution  du  problème  fondamental  pour  le  cas 
particulier  des  ensembles  que  j'appelle  ensembles  ordinaires. 
Mes  déductions  s'appuient  sur  trois  postulats,  qu'on  applique 
couramment  dans  l'étude  des  problèmes  de  la  théorie  des 
■ensembles. 

D'autre  part,  les  exemples  mêmes  de  Russell  et  de  Burali- 
Forti  auraient  besoin  d'être  examinés  de  plus  près.  Je  ferai 
voir  qu'il  est  facile  de  donner  une  forme  plus  précise  à 
l'exemple  de  Russell  en  le  débarrassant  de  difficultés  para- 
sites qui  n'ont  rien  à  faire  avec  l'antinomie  de  Russell  pro- 
prement dite.  Je  transformerai  de  même  l'exemple  de  Burali- 
Forti,  ce  qui  va  me  permettre  de  faire  un  rapprochement 
nouveau  entre  les  deux  antinomies. 

Je  ferai  abstraction,  dans  ce  travail,  des  distinctions  nou- 
velles introduites  par  J.  Kônig  [loc.  cit.)  dans  la  théorie  des 
ensembles  quelconques,  et  en  particulier  dans  celle  des  en- 
sembles bien  ordonnés.  Deux  ensembles  contenant  les  mêmes 
éléments  ne  seront  jamais  regardés  comme  différents,  à 
moins  qu'on  ne  tienne  compte  des  relations  d'ordre;  et  à 
tout  ensemble  bien  ordonné,  s'il  existe,  correspondra,  par 
définition,  un  type  d'ordre  déterminé.  Je  donnerai  dans  un 
autre  travail  les  raisons  qui  m'ont  déterminé  à  ne  pas  ratta- 
cher cette  étude  à  la  théorie  de  J.  Konig. 

Je  commencerai  par  l'antinomie  de  Russell. 

Anlinoniie  de  Russell. 

1.  On  sait  que  Russell  distingue  deux  sortes  d'ensembles  : 
Un  ensemble  E  est  de  première  sorte  s'il  diffère  de  chacun 
de  ses  éléments. 


1  RussRi.i.  :   The  Principles  of  Mathematics. 

*  H.  Poincaré  :  Science  et  Méthode.  Dernières  pensées. 

'  J.  K()Mo  :  Coc.  cit.,  chap.  II  et  IX.  On  trouvera  des  indicitions  bibliographiques  et  des 
remarques  intéressantes  dans  le  livre  de  G.  Hessenburci  :  GriindbegrifJ'e  der  .Hengenlehre  ; 
-dans  le  t.  II  de  l'ouvrage  de  K.  Schoem-lirs  :  Die  Entwicklung  der  Lehre  von  der  Piinkt- 
/nannigfaltigkeiten  -,  et  dans  les  mémoires  de  Zkrmelo. 


40  n.    MIRIMAMJFF 

Un  ensemble  E  est  de  seconde  sorte  s'il  contient  un  élé- 
ment (jLii  ne  diffère  pas  de  E. 

Il  résulte  de  cette  définition  qu'un  ensemble  de  deuxième 
sorte  contient  toujours  parmi  ses  éléments  un  ensemble  de 
deuxième  sorte.  D'où  ce  lemme  : 

Un  ensemble  d'ensembles  de  première  sorle  est  également 
un  ensemble  Ae  première  sorle. 

Envisaofeons  maintenant,  avec  Russell,  l'ensemble  R  de 
tous  les  ensembles  de  première  sorle. 

11  est  facile  de  montrer  que  cet  ensemble  n'existe  pas.  En 
effet,  s'il  existait,  il  devrait  être,  en  vertu  du  lemme  précé- 
dent, de  première  sorte,  c'est-à-dire  différent  de  chacun  de 
ses  éléments  ;  d'autre  part,  l'ensemble  R  doit  contenir  tous 
les  ensembles  de  première  sorte,  donc,  en  particulier,  l'en- 
semble R  lui-même,  —  résultat  absurde. 

Par  conséquent,  les  conditions  exprimées  par  les  mots 
première  sorle  et  loiis  sont  incompatibles,  et  l'ensemble  R 
n'existe  pas. 

Tel  est  l'exemple  remarquable  donné  par  Russell,  et  il 
prouve  bien,  comme  je  l'ai  rappelé  dans  l'introduction,  qu'un 
ensemble  d'individus  peut  ne  |)as  exister  bien  que  ces  indi- 
vidus existent  \ 

2.  —  Nous  allons  maintenant  donner  à  l'exemple  de  Rus- 
sell une  forme  légfèrement  dilTérenle. 

Faisons  remarquer  d'abord  que  la  seule  propriété  des 
éléments  qui  intervienne  dans  cet  exemple  est  leur  compo- 
sition. Un  élément  est-il  un  ensemble  ou  non  (par  défini- 
tion ?  et  s'il  l'est,  de  quelle  manière  se  compose-t-il  ?  Ses 
éléments  sont-ils  à  leur  tour  décomposables  ou  non?...  et 
ainsi  de  suite.  Voilà  ce  qui  est  seul  important  de  savoir. 

Pour  préciser,  j'introduirai  une  notion  (|ui  nous  sera  très 
utile  dans  la  suite. 

Soient  deux  ensembles  E  et  E'.  Je  dirai  qu'ils  sont  isomor- 
phes si  les  conditions  suivantes  sont  satisfaites  : 

a)  Les   ensembles  E   et  E'  sont  équivalents  ;  en  d'autres 


'  On  sait  que  rexeinple  de  Burali-Korti.  que  nous  iillons  examiner  plus   loin,  a  été  donné 
avant  celui  de  lUissell. 


THÉORIE    DES    ENSEMBLES  41 

termes,  une  correspondance  parfaite  peut  être  établie  entre 
les  éléments  de  E  et  ceux  de  E'. 

bj  Cette  correspondance  peut  être  établie  de  telle  manière 
qu'à  tout  élément  indécomposable  e  de  E  corresponde  un 
élément  indécomposable  e'  de  E',  et  réciproquement  ;  et 
qu'à  tout  élément-ensemble  F  de  E  corresponde  un  élément- 
ensemble  équivalent  F'  de  E',  la  correspondance  parfaite 
entre  les  éléinents  de  F  et  F'  pouvant  être  à  son  tour  établie 
de  telle  manière  qu'à  tout  élément  indécomposable  de  F 
corresponde  un  élément  indécomposable  de  F',  et  à  tout  élé- 
ment-ensemble de  F  un  élément-ensemble  é(|uivalent  de 
F',  —  et  ainsi  de  suite. 

Si  donc  deux  ensembles  sont  isomorphes,  les  éléments 
correspondants  le  sont  aussi,  et  réciproquement. 

Sont    isomorj)hes,     par    exemple,    les    deux     ensembles 

(«1 ,  e.,,...,  e,n,  F),    (e'i ,  e'.-,, e'„,  F'!\  où  lèse  et  les  e'  sont 

des  éléments  indécomposables,  et  les  F,  F'  des  ensembles 
contenant  chacun  un  même  nombre  d'éléments  indécompo- 
sables. 

Nous  dirons  qu'un  ensemble  E  est  de  première  sorte  s'il 
n'est  isomorphe  a  aucun  de  ses  éléments  ;  nous  dirons  qu'il 
est  de  deuxième  sorte  s'il  est  isomorphe  à  l'un  au  moins  de 
ses  éléments.  Est,  par  exemple,  de  deuxième  sorte  l'ensemble 
E  =  (e,  E'),  où  E'  =  (e',E"),  E"  =  (e",  E'"),  et  en  général 
e'"*  =:  (e'"',  E'""^^*)  pour  tout/;,  lèse  désignant  des  éléments 
indécomposables. 

La  définition  (|ue  nous  venons  de  donner  n'est  pas  identi- 
que à  celle  du  paragraphe  précédent,  mais  les  propriétés 
essentielles  des  ensembles  de  première  et  de  deuxième  sorte 
subsistent,  et  le  lemme  reste  vrai. 

Revenons  maintenant  à  l'antinomie  de  Russell.  Envisageons 
l'ensemble  R'  de  tous  les  ensembles  de  première  sorte,  au 
sens  nouveau.  On  démontre  comme  dans  le  paragraphe  pré- 
cédent, que  cet  ensemble  n'existe  pas.  En  effet,  s'il  existait. 


'  Dans  ce  traviiil,  je  désigne  un  ensemble  dont  les  (■lémentà  sont  a.  b.  t....  par  la,  b,  c,...), 
et  cela  quels  que  soient  ces  éU'nnents  ;  par  exemple,  une  parenthèse  île  la  lorme  (  K,  K  >,  où 
E,  F  sont  des  ensembles,  représente  l'ensemble  dont  les  éléments  sont  E  et  F,  et  non 
rensemble-somme  formé  par  la  réunion  des  ensembles  E  et  F. 


42  n.    MIRIMANOFF 

il  serait,  en  vertu  de  notre  lemme,  de  première  sorte,  et, 
d'autre  part,  il  devrait  être  isomorphe  à  l'un  de  ses  éléments, 
résultat  absurde. 

La  forme  nouvelle  sous  laquelle  nous  venons  de  mettre 
l'exemple  de  Russell  ne  se  prête  pas  bien,  comme  nous  le 
verrons  dans  la  suite,  à  un  rapprochement  avec  l'exemple  de 
Burali-Forti.  Pour  y  arriver,  une  transformation  nouvelle  est 
nécessaire.  Je   vais   la   donner  dans   le  paragraphe   suivant. 

3.  —  Je  commencerai  par  introduire  une  notion  dont  nous 
nous  servirons  souvent. 

Soient  E  un  ensemble,  E'  un  de  ses  éléments,  E"  un  élé- 
ment quelconque  de  E',  et  ainsi  de  suite.  J'appelle  descente 
la  suite  des  passages  de  E  à  E',  de  E'  à  E",  etc.  Cette  descente 
prend  fin  lorsqu'on  tombe  sur  un  élément  indécomposable. 
Dans  ce  cas  elle  est  finie,  mais  elle  peut  ne  pas  l'être,  ce  qui 
arrive  par  exemple  pour  tout  ensemble  de  deuxième  sorte 
E,  lorsqu'on  passe  de  cet  ensemble  E  à  l'élément  E'  qui  lui 
est  isomorphe,  de  E'  à  son  isomorphe  E",  et  ainsi  de  suite. 

Je  dirai  qu'un  ensemble  est  ordinaire  lorsqu'il  ne  donne 
lieu  qu'à  des  descentes  finies  ;  je  dirai  qu'il  est  extraordi- 
naire lorsque  parmi  ses  descentes  il  y  en  a  qui  sont  infinies. 

Tout  ensemble  de  deuxième  sorte  est  donc;  un  ensemble 
extraordinaire,  mais  ces  deux  notions  (d'ensemble  de 
deuxième  sorte  et  d'ensemble  extraordinaire)  ne  sont  pas 
équivalentes,  puisqu'une  descente  infinie  peut  se  présenter 
aussi  dans  un  ensemble  de  première  sorte. 

Soit,  par  exemple,  l'ensemble  E  =  (e,,  E'),  où  E'  est  un 
ensemble  de  la  forme  (e, ,  e„,  E"),  E"  =  (e, ,  <?.> ,  e^.  E"'j, 
et,  en  général,  E*'"=:(e„4.i,  e, ,  e^,  E"  )  pour  tout  n. 
L'ensemble  E  ainsi  défini  est  de  première  sorte,  bien  que  la 
descente  E,  E', . . .  E*"'. . .  soit  infinie. 

Appelons  longueur  d'une  descente  (dans  un  ensemble 
ordinaire)  le  nombre  des  passages  qui  la  constituent.  A  toule 
descente  correspond  ainsi  un  nombre  entier  //  déterminé, 
mais  cette  correspondance  n'est  pas  biunivoque  en  général, 
et  les  nombres  //  bien  que  finis,  ne  sont  pas  nécessairement 
bornés  dans  leur  ensemble. 

Les  propriétés  des  ensembles  de  première  sorte  dont  nous 


THÉORIE    DES    ENSEMBLES  43 

avons  fait  usage  dans  le  paragraphe  précédent  subsistent 
pour  les  ensembles  ordinaires  ;  notre  lemrne  reste  vrai  et 
s'énonce  de  la  manière  suivante  : 

Un  ensemble  d'ensembles  ordinaires  est  un  ensemble 
ordinaire. 

Envisao-eons  maintenant  l'ensemble  Y  de  tous  les  ensem- 
blés  ordinaires  existants.  On  démontre,  comme  dans  les 
paragraphes  1  et  2,  que  l'ensemble  V  ne  saurait  exister. 

Introduisons  à  présent  une  restriction. 

Soit  E  un  ensemble  ordinaire.  Par  définition,  toutes  les 
descentes  de  E  sont  finies  et  aboutissent  à  des  éléments 
indécomposables  qui,  bien  entendu,  ne  sont  pas  en  général 
des  éléments  de  E.  Pour  éviter  la  confusion,  je  les  appellerai 
noyaux  de  E. 

Envisaoeons  les  ensembles  ordinaires  dont  les  novaux 
€,  /",  g,-.,  font  partie  d'un  ensemble  existant  donné 
^z=i{e,f\  jg", ...).  Soit  V  l'ensemble  de  tous  ces  ensembles. 
On  démontre  immédiatement  que  cet  ensemble,  qui  est  un 
sous-ensemble  de  V  n'existe  pas  non  plus. 

En  particulier,  l'ensemble  de  tous  les  ensembles  ordi- 
naires à  un  seul  noyau  e  n'existe  pas.  Dans  le  paragraphe  7 
nous  serons  amené  à  définir  des  ensembles  à  un  noyau 
d'une  forme  particulière. 

En  partant  des  ensembles  déjà  introduits,  on  peut  définir 
des  ensembles  non-existants  d'une  nature  diflerente. 

Soit,  par  exemple,  E  un  ensemble  de  première  sorte  au 
sens  nouveau,  et  d^  l'ensemble  de  tous  les  ensembles  isomor- 
phes à  E.  A  tout  E  correspond  un  <g,  et  si  un  ensemble  E' 
est  non-isomorphe  à  E,  l'ensemble  correspondant  tJçVest  diffé- 
rent de  &.  Prenons  dans  chacun  des  ensembles  &  un  repré- 
sentant quelconque  Eq.  L'ensemble  de  tous  ces  E»,  (|ui  est 
un  sous-ensemble  de  IV,  n'existe  pas.  Des  sous-ensembles 
analogues  peuvent  être  définis  en  partant  des  ensembles 
V  et  V. 

Dans  les  paragraphes  suivants,  j'aurai  à  m'ajjpuyer  sur  une 
propriété  des  ensembles  existants  (|ui  est  loin  d'être  évi- 
dente, mais(|ueje  regarderai  comme  vraie,  du  moins  pour 
les  ensembles  que  j'envisage  dans  ce  travail. 


4»  ]) .    MIRIMANOFF 

Propriété  I.  —  L'existence  d'un  ensemble  entraîne  celle 
de  tons  ses  sons-ensembles^. 

En  veitu  de  cette  pi'opriété,  il  suffît  de  montrer  que  V 
n'existe  j)as  pour  en  conclure  immédiatement  f|u'il  doit  en 
être  de  même  des  ensembles  V,  R'  et  R. 

Aiitinoinie  de  BuraU-Forti. 

4.  —  Burali-Forti  arrive,  comme  on  le  sait,  à  l'antinomie 
qui  porte  son  nom  ^  par  la  considération  des  types  d'ordre 
d'ensembles  bien  ordonnés  (nombres  ordinaux  de  Cantor). 
Je  rappelle  que  ces  nombres  se  succèdent  suivant  une  loi 
déterminée,  et  forment  une  sorte  de  chaîne  dont  les  pre- 
miers chaînons  sont  les  suites  finies  de  1  (suite  ou  ensemble 
impropre),  2, . . .  «, . .  .  éléments,  puis  la  suite  w,  et  les  types 
d'ordre  &)  +  '  i  w  +  ^  .  •  •  •  o  +  «,  etc. 

Les  jn-opi'iétés  des  ensembles  bien  ordonnés  sont  très 
bien  connues.  Je  nie  bornerai  à  en  rappeler  les  deux  sui- 
vantes (jui  nous  seront  particulièrement  utiles  : 

a)  Tout  ensemble  bien  ordonné  infini  est  semblable  à 
l'ensemble  de  tous  ses  segments.  Cette  propriété  est  encore 
vraie  pour  les  ensembles  finis  et,  par  conséquent,  pour  tous 
les  ensembles  bien  ordonnés,  si  l'on  adjoint  à  l'ensemble 
des  segments  un  segment  fictif  dont  le  type  d'ordre  est  0, 
par  définition.  Je  le  désignerai  par  la  letti-e  e.  Il  en  résulte 
que  tout  nombre  ordinal  tt  est  le  type  d'ordre  de  l'ensemble 
des  nombres  ordinaux  a  <^  tt.  v  compris  0. 

b)  Lin  ensemble  bien  ordonné  n'est  semblable  à  aucun  de 
ses  segments. 

Ceci  rappelé,  envisageons  avec  Burali-Forli  l'ensemble  W 
de  tous  les  nombres  ordinaux  de  Cantor. 

L'ensemble  W  ainsi  défini  n'existe  pas.  Ln  effet,  si  W 
existait,  il  serait  bien  ordonné  et  aurait  un  type  d'ordre  r. 
(cf.  introduction)  ;  or,  tout  nombre  tt  est  un  élément  de  ^^', 
et  l'ensemble  des  nombres  ordinaux  «  <;  t:  est  un  segment 


'  Cf.  J.   KoNio  :   loc.  cit.,  cliiip.  VI,  «  l(i. 

^  BuKAi.i-Koirri  :   Vna  questionc  siii   tiiiineri  Iraiisfinili,    lleiidiciiitli  dcl  Circolo  Malcmatico 
lii  l'alerino.  vol.  Il   il81»71,  p.  154. 


THEORIE   DES    ENSEMBLES  '*5 

de  \V.  L'ensemble  de  Burali-Forti  seiait  donc,  en  vertu  de 
[a),  semblable  à  l'un  de  ses  segments  ;  conclusion  absurde, 
en  vertu  de  {b). 

Telle  est  Tantinomie  de  Burali-Foiti,  la  plus  ancienne  et 
peut-être  la  plus  importante  des  antinomies  cantoriennes 
<tonnues. 

Il  semblerait  à  première  vue  qu'on  s'appuie  implicitement, 
dans  l'antinomie  de  Burali-Forli.  sur  le  postulat  suivant  : 
tous  les  nombres  ordinaux  de  Cantor  existent.  En  réalité, 
l'antinomie  signalée  par  Burali-Forti  est  indépendante  de  ce 
postulat;  pour  s  en  assurer,  il  suffit  d'envisager  l'ensemble 
de  tous  les  nombi'es  ordinaux  existants.  En  efl'et,  si  un  nom- 
])re  ordinal  r.  existe,  il  en  est  de  même,  en  vertu  de  la 
propriété  I,  de  tous  les  nombres  ordinaux  a  ■<  ît.  et,  par 
conséquent,  tout  nombre  existant  t.  est  le  type  d'ordre  de 
l'ensemble  des  nombres  ordinaux  existants  inférieurs  à  tt. 
Le  raisonnement  de  Burali-Forti  s'applique  sans  modifica- 
tion, et  l'on  retombe  sur  la  même  antinomie  qu'auparavant. 
Nous  désignerons  par  W  l'ensemble  de  tous  les  nombres 
ordinaux  existants. 

Je  ferai  remarquer  que  l'antinomie  de  Burali-Forti  ne 
dépend  que  des  relations  d'ordre  de  W.  Or  les  relations 
d'ordre  d'un  ensemble  sont  transmises  à  tout  ensemble 
équivalent.  D'oii  cette  propriété. 

Propriété  II.  —  Un  ensemble  n'existe  pas,  s'il  est  équiva- 
lent à  l'ensemble  W  de  Burali-Forti. 

Et,  d'une  manière  plus  générale  (en  vertu  de  la  pro- 
priété I)  :  Un  ensemble  n'existe  pas  s'il  contient  un  sous- 
ensemble  équivalent  à  W. 

Je  vais  maintenant  donner  une  forme  un  peu  différente  à 
l'exemple  de  Burali-Forti  que  je  viens  de  rappeler. 

5.  —  Soit  E  un  ensemble  bien  ordonné  quelconque,  et  E' 
l'ensemble  de  tous  ses  segments,  y  compris  le  segment  e 
(voir  le  paragraphe  précédent).  En  vertu  de  la  propriété  («), 
E'  est  semblable  à  E.  Remplaçons  les  segments  dont  se 
compose  E'  par  les  ensembles  des  segments  de  ces  segments, 
et  appliquons  une  transformation  analogue  aux  segments 
introduits    de   cette    manière,  et   ainsi   de   suite.    A    chaque 


46  D.' MIRIMANOFF 

ensemble  bien  ordonné  E  correspond  ainsi  un  ensemble 
d'une  forme  parliculière  que  j'appellerai  ensemble  S  (lettre 
initiale  du  mot  segment,  pour  rappeler  le  rôle  joué  par  les 
segments  dans  eelte  transformation!. 

Le  segment  fictif  e  subsiste  seul  après  cette  transforma- 
tion. On  voit  (|u'un  même  ensemble  S  correspond  à  tous  les 
ensembles  bien  ordonnés  du  même  type  d'ordre  «.  Je  le 
désignerai  par  a.,  et  je  dirai  que  le  nombre  ordinal  a  est  le 
rang  de  l'ensemble  a^. 

Par  exemple  les  ensembles  S  qui  dérivent  des  ensembles 
bien  ordonnés  des  types  1,  2  et  3  s'écrivent 

(e);  [e,  (e));   (e,  (e),  (e,  [e])). 

L'élément  e  sera  considéré  comme  indécomposable. 

Il  résulte  de  la  définition  précédente  que  les  éléments 
d'un  ensemble  S  sont  également  des  ensembles  S. 

Je  dis  maintenant  que  tout  ensemble  S  est  un  ensemble 
ordinaire  à  un  seul  noyau  e.  En  effet,  dans  les  descentes 
auxquelles  donne  lieu  un  ensemble  S,  on  parcourt  une  suite 
de  segments  s'emboîlant  les  uns  dans  les  autres,  et  l'on  sait 
que  les  suites  de  ce  genre  sont  toujours  finies. 

Toute  descente  prend  nécessairement  fin  et  aboutit  à  l'élé- 
ment e. 

Les  ensembles  S  sont  donc  bien  des  ensembles  ordinaires. 
Il  en  résulte  entre  autres  qu'un  ensemble  S  ne  saurait  être 
isomorphe  à  l'un  de  ses  éléments. 

Soient  maintenant  deux  ensembles  bien  ordonnés  quelcon- 
ques, E  et  F,  et  soient  E.,  F^  les  ensembles  S  correspondants. 
Deux  cas  sont  possibles  :  ou  bien  les  ensembles  E  et  E  sont 
semblables,  ou  bien  l'un  d'eux  (par  exemple  E)  est  semblable 
à  un  segment  de  l'autre  (ensemble  F). 

Xous  avons  vu  que  dans  le  premier  cas  E^  =  F^  ;  dans  le 
deuxième  cas,  E^  est  isomorphe  et  même  égal  à  un  élément  F  . 

Ceci  établi,  revenons  à  l'antinomie  de  Burali-Forti.  Soit 
W  l'ensemble  de  tous  les  «.  existants.  Je  dis  que  l'ensemble 
W'  n'existe  pas. 

Première  Jiypotlièse  :  A  tout  nombre  existant  y.  correspond 


THÉORIE    DES    ENSEMBLES  47 

tin  ensemble  existant  «..  L'ensemble  W  est  alors  équivalent 
à  W  ;  il  n'existe  pas,  en  vertu  de  la  propriété  II. 

Deuxième  hypothèse  :  L'existence  d'un  nombre  «  n'entraîne 
pas  nécessairement  celle  de  l'ensemble  a^.  Soit  alors  tt  le 
plus  petit  nombre  tel  que  77^.  n'existe  pas.  Aucun  a.  n'existe 
pour  a  >. -,  car  l'existence  d'un  ensemble  «.  pour  a  >■  7: 
entraînerait  celle  de  ::.,  qui  est  un  élément  de  a.;  par  consé- 
quent. West  l'ensemble  des  a^de  rangs  inférieurs  à::;  donc 
W  =  7:^..  W  n'existe  pas,  puisque  -n^  n'existe  pas. 

Il  est  facile  maintenant  de  rapprocher  l'exemple  de  Burali- 
Forti  de  celui  de  Russell.  En  effet,  l'ensemble  R  est  relié  à 
W  par  l'intermédiaire  des  ensembles  R',  V,  V  et  W.  Or 
l'ensemble  R'  est  un  sous-ensemble  de  R  ;  l'ensemble  V,  un 
sous-ensemble  de  R' ;  tout  ensemble  V,  un  sous-ensemble 
de  \';  et,  enfin,  l'ensemble  W,  un  sous-ensemble  d'un  V. 
Les  ensembles  R,  R',...  W  forment  donc  une  suite  d'en- 
sembles s'emboîtant  les  uns  dans  les  autres.  Il  en  résulte 
qu'il  suffit  de  montrer  que  l'ensemble  de  Burali-Forti  n'existe 
pas  pour  en  conclure  qu'il  doit  en  être  de  même  de  chacun 
des  ensembles  R,  R',...  W.  Cela  est  vrai,  comme  nous 
l'avons  vu,  de  l'ensemble  W,  et,  en  vertu  de  la  propriété  I, 
cela  est  vrai  encore  de  chacun  des  ensembles  R,  R',  V  et  V. 
Il  n'est  donc  pas  nécessaire  d'appliquer  à  ces  ensembles  le 
raisonnement  de  Russell  ;  chacun  des  résultats  partiels  que 
nous  avons  obtenus  d'une  manière  directe  peut  être  consi- 
déré comme  une  conséquence  de  l'antinomie  de  Burali-Forti. 

6.  —  Je  ferai  remarquer  encore  qu'on  peut  définir  les 
ensembles  S  sans  passer  par  l'intermédiaire  des  ensembles 
bien  ordonnés.  Soit  E   un  ensemble  S.  Nous  avons  vu  que  : 

1.  L'ensemble  E  est  un  ensemble  ordinaire  à   un   noyau 
(le  noyau  e). 

2.  Si  .c  et?/  sont  deux   éléments  quelconques  de   E,   l'un 
d  eux  est  un  élément  de  l'autre. 

En  outre  : 

3.  Si  X  est  un  élément  de   E,  tout  élément  de  .r   est  un 
élément  de  E. 

Ces  propriétés  sont  caractéristiques  des  ensembles  S,  et 
peuvent  servir  à  les   définir.  On   démontre   immédiatement 


<iS  D.    MIRIMANOFF 

c|ue  les  ensembles  E  ainsi  définis  sont  bien  les  ensem})les  S 
du  paragraphe  précédent.  A  tout  ensemble  E  correspond  un 
type  d'ordre  déterminé,  et  l'ensemble  de  tous  les  ensembles 
E  ne  (lifFère  pas  de  l'ensemble,  W. 

Solution  du.  problème  fondamental  dans  le  cas 
d'ensembles  ordinaires. 

1.  —  L'étude  des  différentes  antinomies  que  nous  avons 
rencontrées  jusqu'ici  a  mis  en  évidence  les  faits  suivants  : 
dans  chacun  de  nos  exemples,  il  est  possible  de  Ibrmer  des 
ensembles  de  plus  en  plus  vastes,  mais  l'ensemble  de  tous 
les  individus  n'existe  pas  :  quel  que  soil  l'ensemble  qu'on 
envisage  (pourvu  qu'il  existe),  des  individus  noiiveaux  sur- 
gissent, et  un  ensemble  plus  vaste  apparaît  nécessairement; 
on  est  bien  en  présence  d'une  extension  indéfinie  (|ui  ne 
comporte  pas  d'ari'èt  ou  borne.  En  traitant  le  problème  fon- 
damental, je  serai  amené  à  [)réciser  cette  notion  un  peu 
vague  de  borne  et  d'absence  de  borne. 

Rappelons  à  ce  propos  qu'on  trouve  dans  les  ouvrages 
cités  au  commencement  de  ce  travail  une  analyse  logique  et 
psychologique  approfondie  des  antinomies  cantoriennes  et 
de  la  notion  d'ensemble  ;  je  n'en  aurai  pas  besoin  pour  le 
but  que  j'ai  en  vue. 

Nous  supposerons  que  les  ensembles  ordinaires  E  que  nous 
aurons  à  envisager  dans  l'étude  du  problème  fondamental 
vérifient  les  deux  conditions  suivantes  : 

Condition  (a).  — Les  éléments  de  E  sont  distincts;  il  en 
est  de  même  des  éléments  de  chacun  de  ces  éléments,  et 
ainsi  de  suite.  Par  cette  condition  je  n'écarte  pas  les  ensem- 
bles E  qui  ont  des  éléments  isomorphes  ni  ceux  dont  les 
éléments-ensembles  contiennent  des  éléments  isomorphes, 
etc.  L'identité  seule  est  exclue. 

Condition  (b).  —  Les  noyaux  e,  f,  g, . . .  de  tout  ensemble 
E  font  partie  d'un  ensemble  'N -.=  [e,  /,  g,...)  que  nous  consi- 
dérerons comme  donné  ou  connu   ci*,  paragraphe  3). 

Nous  avons  donc  à  résoudre  le  problème  suivant  : 

Quelles  sont  les  conditions  nécessaires  et  suftisantes  pour 


THÉORIE    DES    ENSEMBLES  49 

qu'un  ensemble  d'ensembles  ordinaires  distincts,  vérifiant 
les  conditions    a)  et  J)  ,  existe  ? 

Je  partirai  des  trois  postulats  suivants  : 

Postulat  1.  —  Si  un  ensemble  d'ensembles  ordinaires 
existe,  il  en  est  de  même  de  l'ensemble  de  tous  ses  sous- 
ensembles  distincts  (Potenzmenge,. 

Postulat  ?.  —  Si  un  ensemble  (E,  F,...),  oii  les  éléments 
E,  F,...  sont  des  ensembles  ordinaires,  existe,  il  en  est  de 
même  de  la  somme  des  ensembles  E,  F,...  (Vereiniouno-s- 
menge)^ 

Postulat  3.  —  Si  un  ensemble  {a.  b,  c,  . . .}  existe,  il  en  est 
de  même  de  tout  ensemble  équivalent  (E,  F,  G,...),  où 
E,  F,...  sont  des  ensembles  ordinaires  existants. 

Commençons  l'étude  du  problème  fondamental  par  le  cas 
particulièrement  simple  d'ensembles  S. 

Nous  avons  appelé /r//?^  d'un  ensemble  x,  son  type  d'ordre 
a.  Je  dis  qu'en  vertu  du  postulat  3,  à  tout  nombre  ordinal 
existant  a  correspond  un  ensemble  existant  «,;  la  deuxième 
hypothèse  du  paragraphe  5  doit  donc  être  rejetée.  En  effet, 
un  «^  est  l'ensemble  de  tous  les  ensembles  S  de  rangs  infé- 
rieurs à  y..  Soit  TT  le  plus  petit  nombre  existant  tel  que 
TT.  n'existe  pas  ;  tous  les  éléments  de  ::  existent  ;  d'autre 
part,  TT.  est  équivalent  à  un  ensemble  bien  ordonné  existant; 
il  devrait  donc  exister,  en  vertu  du  postulat  3,  contrairement 
à  notre  supposition. 

Il  en  résulte  que  l'ensemble  W  de  tous  les  «.  est  équiva- 
lent à  l'ensemble  W  de  Burali-Forti. 

Je  dirai  que  les  ensembles  S  ou  leurs  rangs  ont  une  borne 
cantorienne  s'il  existe  un  nombre  ordinal  supérieur  au  rang 
de  (diacun  de  ses  ensembles.  Dans  le  cas  contraire,  les 
ensembles  S  envisagés  n'ont  pas  de  borne  cantorienne.  On 
a  alors  le  critère  suivant  :  pour  qu'un  ensemble  d'ensembles 
S  non-isomorphes  existe,  il  faut  et  il  suilit  que  ces  ensem- 
bles aient  une  borne  cantorienne. 

Supposons  d'abord  que  les  ensembles  S  envisagés  n'aient 
pas    de    borne    cantorienne.  Je  dis   que   l'ensemble   de  ces 


'  J.  KoMG  :   loc.  cit.  chap.  VI,   par.  16. 

L'Enseignement  mathém.,  \'i'  année:   191'< 


50  D.    MIRIMANOFF 

ensembles,  que  je  désignerai  par  &  ne  saurait  exister.  Sup- 
posons le  contraire,  et  soit  t:^  l'un  des  ensembles  S  envisagés. 
J'appelle  A  -)  l'ensemble  des  éléments  de  <g;  dont  les  rangs 
sont  inférieurs  à  tt,  et  par  B  i  tt)  l'ensemble  des  ensembles  S 
dont  les  rangs  sont  supérieurs  à  ceux  des  éléments  de  A, 
mais  ne  dépassent  pas  t..  L'ensemble  B  (tt)  qui  ne  contient 
qu'un  seul  élément  de  (g  (l'ensemble  ttJ  est  un  sous-ensemble 
de  (tt  +  1).;  il  existe  donc,  en  vertu  de  la  propriété  I. 

A  tout  élément  TTç  de  (^T  correspond  un  ensemble  déterminé 
B  (tt). 

Si  l'ensemble  &  existait,  il  en  serait  de  même,  en  vertu 
des  postulats  3  et  2,  de  la  somme  des  ensembles  B  (tt) 
étendue  à  tous  les  éléments  ::.  de  ii->\  mais  ce  dernier  ensem- 
ble n'est  autre  que  l'ensemble  W',  et  nous  savons  que  W 
n'existe  pas  ;   donc  l'ensemble  &  n'existe  pas  non  plus. 

La  première  partie  de  notre  critère  est  établie. 

Supposons  maintenant  que  les  ensembles  S  envisagés 
ont  une  borne  cantorienne.  Je  dis  que  l'ensemble  ^^  de  tous 
ces  ensembles  existe.  Soit,  en  effet,  n  un  ensemble  S  dont 
le  rang  soit  supérieur  aux  rangs  de  nos  ensembles  ;  l'en- 
semble (^1  est  un  sous-ensemble  de  tt. ;  il  existe  tlonc.  en  vertu 
de  la  propriété  I. 

Notre  critère  est  établi. 

Avant  de  passer  à  l'étude  du  cas  général,  je  ferai  quelques 
remarques  pour  préciser  le  problème. 

8.  —  Faisons  remarquer  d'abord  que  le  critère  du  paragra- 
phe précédent  reste  vrai  si,  au  lieu  des  ensembles  S,  on  envi- 
sage les  nombres  ordinaux  de  Cantor, 

Soit  maintenant  £t=  fEjj,  Eo ,...)  un  ensemble  quelconque 
équivalent  à  un  ensemble  de  nombres  ordinaux  a.  /S....  Si 
les  nombres  a,  ,5,...  n'ont  [)as  de  borne  cantorienne,  l'en- 
semble (a.,  /3^, . . .)  n'existe  pas.  Par  conséquent.  »^'^  ne  saurait 
exister,  en  vertu  du  postulat  3,  car  son  existence  entraînerait 
celle  de  (a  .  ^  ,...);  d'où  ce  lemme  : 

Lemme.  —  Un  ensemble  (E^^,  Er,....)  n'existe  pas,  si  les 
nombres  «,  /3,...  n'ont  pas  de  borne  cantorienne.  11  en  est 
de  même,  en  vertu  de  la  propriété  1.  de  tout  ensemble  qui 
contient  un  sous-ensemble  de  cette  nature. 


THEORIE    DES    ENSEMBLES  51 

Nous  pouvons  maintenant  étendre  la  notion  de  rang  au  cas 
d'un  ensemble  ordinaire  quelconque  (existant). 

Définition  (r  .  —  Le  rang  d'un  ensemble  ordinaire  est  le 
plus  petit  nombre  ordinal  supérieur  aux  rangs  de  ses  élé- 
ments. Le  rang  d'un  noyau  est  zéro. 

Cette  définition  fournit  un  rang  déterminé  à  tout  ensemble 
ordinaire  E.  Supposons  en  effet  que  chacun  des  éléments  de 
E  ait  un  rang  déterminé,  en  vertu  de  (/)  ;  je  dis  qu'il  devra 
en  être  de  même  de  l'ensemble  E,  puisque  les  rangs  des 
éléments  de  E  ont  une  borne  cantorienne,  en  vertu  du  der- 
nier lemme.  Si  donc  E  n'avait  pas  de  rang  déterminé,  il 
existerait  au  moins  un  élément  E'  de  E  ayant  la  même  pro- 
priété ;  de  même  E'  contiendrait  au  moins  un  élément 
E"  n'ayant  pas  de  rang  déterminé,  et  ainsi  de  suite,  —  résultat 
absurde,  puisque  toute  descente  telle  que  E,  E',  E", .  . . 
aboutit  à  un  noyau  dont  le  rang  est  zéro.  Tout  ensemble  E  a 
donc  un  rang  déterminé,  en  vertu  de  (/•). 

9.  —  On  a  alors  le  critère  suivant  : 

Pour  qu'un  ensemble  d'ensembles  ordinaires  distincts 
vérifiant  les  conditions  [à]  et  [b)  existe,  il  faut  et  il  suffit  que 
les  rangs  de  ces  ensembles  aient  une  borne  cantorienne. 

Je  vais  d'abord  démontrer  un  lemme. 

Lemme.  —  L'ensemble  O^  de  tous  les  ensembles  ordi- 
naires distincts  de  rang  y.  vérifiant  les  conditions  a  et  {b) 
existe,  quel  que  soit  le  nombre  ordinal  y.. 

Pour  démontrer  ce  lemme,  je  me  servirai  d'un  raisonne- 
ment que  j  ai  déjà  employé  dans  le  paragraphe  précédent,  et 
qui  n'est  qu'un  transformé  du  principe  d'induction  complète. 

Supposons  que  le  lemme  soit  vrai  pour  tous  les  a.  infé- 
rieurs à  un  nombre  ;:.  Je  dis  qu'il  sera  vrai  pour  ?:. 

Soit,  en  effet,  2  la  somme  des  ensembles  O^^,  pour  tous  les 
«■<::.  Cet  ensemble  existe,  en  vertu  des  postulats  3  et  2. 
Or.  l'ensemble  0_,  est  un  ensemble  de  sous-ensembles  deZ; 
il  existe  donc,  eu  vertu  du  postulat  i. 

Le  lemme  s'en  déduit  immédiatement.  En  effet,  si  un 
ensemble  O,^  n'existait  [)as,  il  en  serait  de  même  d'une  suite 

d'ensembles  O,' .  O," oii  3<  >>  a'  >  a".  . . ,  résultat  absurde, 

cette   suite   devant   aboutir   à    l'ensemble   0{,,  c'est-à-dire    à 


52  D.    MI  RI  M  AN  OF  F 

l'ensemble  N  qui  existe  par  hypothèse.  Donc  0,^  existe,  quel 
que  soit  a,  C.  Q.  F.  D. 

Revenons  maintenant  à  notre  critère,  et  soit  &  l'ensemble 
des  ensembles  ordinaires  envisagés  E. 

Supposons  d'abord  que  les  rangs  des  ensembles  E  n'aient 
pas  de  borne  canlorienne.  Dans  ce  cas,  l'ensemble  &  n'existe 
pas,  en  vertu  du  lemme  du  paragraphe  8. 

Supposons  maintenant  que  les  rangs  des  ensembles  E  ont 
une  borne  cantorienne,  et  soit  t:  un  nombre  ordinal  supérieur 
à  tous  ces  rangs.  Envisageons  l'ensemble  2,  somme  des 
Ojj  relatifs  à  tous  les  a<;7T.  Cet  ensemble  existe,  en  vertu 
du  dernier  lemme  et  des  postulats  3  et  2.  Mais  l'ensemble  & 
est  un  sous-ensemble  de  1.  Il  existe  donc  en  vertu  de  la 
propriété  I. 

Notre  critère  est  démontré. 

Tels  sont  les  principaux  résultats  que  je  voulais  établir 
dans  ce  travail. 

En  résumé,  dans  les  paragraphes  consacrés  aux  antino- 
mies de  Russell  et  de  Burali-Forti,  je  me  suis  attaché  sur- 
tout à  décrire  et  à  coordonner  d'une  manière  nouvelle  des 
faits  en  partie  connus.  .J'ai  passé  ensuite  au  problème  fon- 
damental dont  j'ai  donné  une  solution  dans  le  cas  d'ensem- 
bles ordinaires,  en  m'appuyant  d'une  part  sur  l'antinomie  de 
Burali-Forti  et,  d'autre  part,  sur  plusieurs  postulats.  Bien 
que  ces  postulats  soient  fréquemment  employés  dans  l'étude 
des  problèmes  de  la  théorie  des  ensembles,  ils  sont  loin 
d'être  évidents,  et  auraient  besoin  d'être  examinés  de  près 
et  discutés. 

J'aurai  l'occasion  de  revenir  sur  ces  questions  dans  un 
autre  travail  que  je  consacrerai  aux  antinomies  cantoriennes 
et  à  la  théorie  de  J.  Kônis  ^ 

Genève,  mai-septembre  1916. 


'  Il  m'a  été  impossible,  à  mon   grand    rogret,  de   prendre  oonnaiss.Tnce  des  piihlicatioDS 
parues  depuis  le  commencement  de  la  guerre. 


MODULE   D  UNE  SOMME 


Michel  Petrovitch  (Belgrade,  Serbie) 


La  p.roposition  élémentaire  et  intuitive,  d'après  laquelle  le 
module  d'une  somme  2//^.  est  au  plus  égal  à  la  somme  de  mo- 
dules des  w^.,  est  fréquemment  utilisée  dans  des  démonstra- 
tions et  dans  des  calculs  approchés.  Les  propositions  aussi 
intuitives  qui  suivent,  fournissant  à  la  fois  des  limites  infé- 
rieures et  supérieures  du  module  d'une  somme,  pourraient 
également  rendre  de  pareils  services. 

1.  —  Soient 

«j  =  a,  -)-  /A,  ,  «2  =  (''>  +  ''^2  •  "s  ^^  "?.  ~l~  ''^i  •  •  •  • 

plusieurs  quantités  complexes.  On  a 

mod  ÏM^.  =  j/p-'  _|_  Q2 

OÙ  P  et  Q  désignent  les  valeurs  absolues  de  1«^.  etZ^^,. 
L'inégalité  et  l'identité 


1 


P-'  +   Q-'  1  1    /p  _  QY-' 


font  voir  que 


;p  +  Q)=^      2  +  2VP  +  Q 

1  ^  P-  4-  Q- 

2  (P  +  Q)2 


1 


Donc  :  le  module  d'une  somme  lu^  a  pour  valeur  0^  +  Q), 
ail  P  désigne  la  valeur  absolue  de  la  somme  de  parties  réelles 
des   u^,  Q  désigne  la  valeur  absolue  de  la  somme  de  coeffi- 


54  M.    PETROVITCII 

cients  de  i  des  ii^  el  9  désigne  un  fadeur  dont  la  valeur  est 

1 
toujours  comprise  entre  -j^et  1. 

La    limite -7=6^*^  effectivement  atteinte  lorsque  P=^Q  et  la 

limite  1  lorsque  les  u^^  sont  tous  réels,   ou  bien  tous  imagi- 
naires. 

On  voit,  par  e.\em[)le,  aussi  que 

log  mod  i]H^.  =  log  (P  -\-  Q)  —  0  , 

oii  (î  est  une  quantité  positive  plus  petite  que  -^  log  2.  Si  le 

logarithme  est  vulgaire,  à  est  compris  entre  0  et  0,15051 ...  ; 
s'il  est  naturel,  ^  est  compris  entre  0  et  0,34657... 

Rappelons  que  lorsque  P  et  Q  sont  des  mêmes  signes,  la 
somme  P  -j-  Q  coïncide  avec  la  valeur  absolue  du  coefficient 
de  i  de  l'expression  (1  4-^)2?/^,  et  que,  si  P  et  Q  sont  des 
signes  contraires,  cette  somme  coïncide  avec  la  valeur  ab- 
solue de  la  partie  réelle  de  la  même  expression,  comme  il 
résulte  de  la  formule 

(1  -f  i]^u^  =  (P  —  Qi  +  HP  +  Ql  • 

II.  —  Ce  qui  précède  n'assujettit  les  qualités  z<^  à  aucune 
restriction.  Supposons  maintenant  que  toutes  leurs  parties 
réelles  a^,  aient  un  même  signe,  aussi  que  tous  les  coefficients 
6^.  de  i,  les  deux  signes  pouvant  d'ailleurs  être  quelconques. 

En  désignant  par  a,,  la  valeur  absolue  de  r/^.  et  par  /3^.  la 
valeur  absolue  de  ô^  on  aura 


+  i^ 


et  par  suite,  en  vertu  de  ce  qui  précède 

j7i^(«A-  +  .\-)^  mod»,  ^  a,  4-?,   . 

Faisons  /i:  ^=:  1,  2,  3, . . .  et  ajoutons  membre  à  membre  les 
équations  ainsi  obtenues.  En  remarquant  que  les  a^  étant  tous 
de  même  signe,  ainsi  c|ue  les  ^,,  on  aura 

Sa,  =  val.  abs.  de  iZrt,  =  P  .  ïlfj,  =  val.  abs.  de  S/^,  =  Q   ; 


MODULE    D    UNE    SOMME  55 

on  obtient  ainsi 

—^  |P  +  Ql  ^^  mod  II.   ^  P  -4-  Q  , 

j/  2  * 

OU   encore 

i:  mod  11^  =  •/.  iP  +  Q)  ,  (1) 

avec 

V  2 

1 

Le  facteur  X  atteindra  sa  valeur -7-^=  limite   lorsqu'on   a   à 
la  fois 

ffj  =  />!  a^  =  b^  a^  =  b^ ,  ... 

et  la  limite  1  lorsque  dans  chaque  paire  de  quantités  (a^,,  bj) 
l'une  ou  l'autre  d'elles  est  nulle. 
En  comparant  l'équation  (1)  avec  l'équation 

mod   S«^.  =  61  P  +  Q)   ,  -i=  ^0^1 

y    2 

résultant  de  ce  qui  précède,  on  tire 


mod  }l,u,.  :=  _  i;  mod  11, 


Le  rapport  —  atteindra  sa  plus  petite  valeur  possible  lors- 

.1 
qu'on  a  à  la  fois  9  =  -^  et  X  =  1  ;  pour  qu'il  en  soit  ainsi  il 

faut  et  il  suflit  qu'on  ait  P  =  Q  et  que,  de  plus,  dans  chaque 
paire   de    quantités  («^.,  bj)   l'une  ou    l'autre    soit  nulle.  Le 

rapport  -  a  alors  la  valeur -7^. 

La    plus   grande   valeur    du    même    rapport  est  d'ailleurs 
manifestement  1,  car  on  a  toujours 

mod  S//^.  —  H  mod  m^,  ; 

cette  limite  1  est  effectivement  atteinte  lorsque  ou  bien  tous 
les  cik  à  la  fois,  ou  bien  tous  les  bk  à  la  fois  sont  nuls  (et  l'on 
a  alors  à  la  fois  9  ^  1 ,  X  ^  1). 


56  M.    PETROVITCII 

On  arrive  ainsi  à  la  proposition  suivante: 

Lorsque  dans  une  somme  2ii^  les  parties  réelles  des  u^  sont 
d'un  même  signe  et  qu'en  même  temps  les  coefficients  de 
i  dans  les  u^  ont  tous  un  même  signe,  on  a 

mod  ^H^.   =   aS  mod  u, 

oh  fj.  est  un  fadeur  dont  la  valeur  est  comprise  entre  -j^  et  1. 
La   limite  a  = -7-?=  est  effectivement  atteinte  lorsque  cha- 

cun  des  termes  «^.  est  réel  ou  purement  imaginaire,  et  que, 
de  plus,  la  somme  de  termes  u^^  réels  et  la  somme  de  coefli- 
cients  de  «des  u^.  purement  imaginaires  sont  égales  en  valeurs 
absolues.  La  limite  u.  ^=^  i  est  atteinte  lorsque  les  termes 
//^  sont  à  la  fois  tous  réels  ou  bien  tous  purement  imaginaires. 
Remarquons  que  dans  le  cas  considéré  (les  «^.  et  les  Z>^.  des 
mêmes  signes  respectifs;  la  différence  entre  le  logarithme  du 
module  d'une  somme  et  le  logarithme  de  la  somme  de  modules 
est  toujours  négative  et  plus  petite  en  valeur  absolue  que 
-  loo-  2. 

Genève,  janvier  1917. 


UNE  QUESTION  DE  CAYLEY 
RELATIVE  AU  PROBLÈME  DES  TRIADES  DE  STEINER 


Severin  Bays    Fribourof) 


1.  —  Le  problème  des  triples  ou  triades  de  Steixer  est  bien 
connu  : 

Pour  quel  nombre  d'éléments  \  peut-on  trouver  un  système  de 
triples  (combinaisons  3  à  3)  contenant  une  fois  et  lxe  seule  fois 
chaque  couple  de  ces  éléments  ?  Pour  un  N  donné,  combien  //  a-t-il 
de  systèmes  différents,  c'est-à-dire  de  systèmes  ne  pouvant 
provenir  V un  de  l'autre  par  une  permutation  quelconque  des  \ 
éléments  ? 

On  trouve  immédiatement  que  les  formes  nécessaires  pour  X 
sont  6/î  +  1  et()/7  +  3.  Reiss,  Moore,  Fitting  ont  établi'  que  ces 
deux  formes  sont  suffisantes,  c'est-à-dire  qu'il  existe  des  systèmes 
de  triples  pour  chaque  N  de  la  forme  6/?  -j-  1  ou  6//  +  3-  Netto, 
Hefftek,  Whue.  et  dautres  ont  donné ^  des  constructions  parti- 
culières, et  les  groupes  de  substitutions  de  nombre  de  ces  sys- 
tèmes ;  mais  le  problème  général  de  la  détermination  du  nombre 
de  systèmes  différents  pour  chaque  ^  =  G/«  +  1  ou  0/j -j- 3  est 
encore  à  Theure  actuelle  loin  d'être  résolu. 

A  part  le  cas  trivial  X  =  3,  où  le  système  est  formé  d'un  seul 

triple  123,  les  deux  cas  immédiats  sont  N=:7  et  N^9.  Le  nombre 

des  triples  du  système  pour  contenir  une  fois  exactement  chaque 

,      ,    .    ,        N  (x\  —  1) 
couple  doit  être ^ ;  un  élément  quelconque  pour  être  ac- 


'  Hkiss.   Journal  f.  Mathein.,  56(185'Jip     326.   —  MoORi:.   Mathein.  Ann.,   43   (18931,   p.   271. 

FiTTi.vG.  yiemv  Archief.  voor  iviskuiide    Mitgcgwen  door.  hel    Wiskundig  Oenootschap  te 

Amsterdam  (21,  !»   (1911),  p.  359. 

*  Nktto.  Lehrbuch  der  Comhinatorik,   1901,   p.   202.  —  Hekptkr.   Mathem.   Ann.,   i9  (18971, 

p.   101.    —    Whitk.    Transactions  of  the  American   Mathem.  Society,  vol.    14    (1),    1913,   p.  7; 

vol.  16  (11,  1915,  p.  13.  Proceedings  of  the  .\'ational  Academ;/  of  Sciences,  vol.  I   (1-81.  1915.  — 

L.-D.  CuMMiNOS.  Transactions  of  the  American  Math.  Society,  vol.  15  (3),  1914.  p.  311. 


58  S.    BA  YS 

couplé  à   chacun   des  N  —  1  autres    éléments,  doit   entrer    dans 

N  —  1      . 

— 2 — "  triples,  et  les  trois  éléments  d'un  même  triple  ne  doivent 

plus  se  retrouver  ensemble.  Pour  les  sept  éléments  1,  2,3, 4,  5,  6,  7, 
on  voit  ainsi  que  les  seuls  systèmes  possibles  commençant  par  le 
triple  123,  sont  les  six  suivants  : 


123 

145 

167 

246 

257 

347 

356 

123 

145 

167 

247 

256 

346 

357 

123 

146 

157 

247 

256 

345 

367 

J23 

146 

157 

245 

267 

347 

356 

123 

147 

156 

245 

267 

346 

357 

123 

147 

156 

246 

257 

345 

367 

De  la  même  manière  on  construit  les  seuls  six  systèmes  possi- 
bles commençant  par  le  triple  124  ;  ils  viennent  d'ailleurs  des 
précédents  en  permutant  les  éléments  3  et  4  : 


124 

135 

167 

236 

257 

437 

456 

124 

135 

167 

237 

256 

436 

457 

124 

136 

157 

237 

256 

435 

467 

124 

136 

157 

235 

267 

437 

456 

124 

137 

156 

235 

267 

436 

457 

124 

137 

156 

236 

257 

435 

467 

Les  systèmes  de  triples  de  sept  éléments  ne  peuvent  commencer 
que  par  les  triples  123,  124,  125,  126,  127  ;  ce  qui  donne  unique- 
ment 30  systèmes  possibles,  provenant  d'ailleurs  tous  les  uns  des 
autres  par  des  permutations  d'éléments,  par  conséquent  un  seul 
système  avec  un  groupe  de  substitutions  qui  le  transforme  en  lui- 

7  ! 
même  d'ordre  ;rx=  168. 

2.  —  Dans  ses  Mathematical  Papers  I  (page  481,  ISÔO  ,  Cayley. 
à  qui  Jacob  Steineu  a  dû  poser  le  problème  avant  d'en  donner 
l'énoncé  général  deux  ans  plus  tard  dans  le  Journal  of  Math. 
(1853,  p.  181',  fait  d'abord  la  remarque  qu'il  est  impossible  de 
répartir  les  35  triples  de  sept  éléments  en  cinq  systèmes  de 
Steiner.  En  efl'et,  dans  les  douze  systèmes  plus  haut,  on  en  trouve 
aisément  deux  dillerents  par  tous  leurs  triples,  mais  dans  chaque 
cas  il  est  déjà  impossible  d'en  trouver  un  troisième  commençant 
par  125  et  n'ayant  aucun  triple  commun  avec  ces  deux  premiers  ^ . 
Puis  Cayley  revient  à  la  même  question  à  la  fin  de  son  article  et 
donne  pour  15  éléments  une  démonstration  simple  et  intéressante. 


'  Nktto,   Combiiiatorik.  p.  228. 


UXE    QUESTION    DE    CAYLEY  59 

surtout  par  lidée  avec  laquelle  il  conclut;  je  me  permets  de  rap- 
porter cette  démonstration  avec  ses  propres  termes: 

«  Supposons  que  les  455  triades  de  15  lettres  puissent  être  dis- 
posées en  13  systèmes  de  35  triades  chacun,  contenant  chacun 
chaque  dyade  possible;  il  paraît  naturel  de  se  demander  si  ces  13 
systèmes  ne  peuvent  pas  s'obtenir  de  l'un  quelconque  d'entre  eux 
par  une  permutation  cyclique  de  13  de  ces  lettres.  Je  pense  que 
cela  est  impossible.  Soient  «,  b,c,. . . ,  l,  m,  les  13  lettres  soumises 
à  la  permutation  cyclique.  Considérons  à  part  les  triades  qui 
contiennent  Tune  ou  l'autre  des  deux  dernières  lettres  n  et  o  qui 
restent  inchangées;  aucune  de  ces  triades  ne  contient  la  lettre, 
quelle  qu'elle  soit,  qui  forme  une  triade  avec  la  dyade  no.  En  y 
barrant  ces  lettres  n  et  o,  il  reste  ainsi  dans  chaque  système  deux 
séries  de  6  dyades  chacune  et  composées  des  mêmes  12  lettres. 
Et  chacune  de  ces  deux  séries  de  dyades  doit,  par  la  transforma- 
tion cyclique  en  question,  reproduire  le  système  complet  des  78 
dyades  de  13  lettres.  Si  on  arrange  les  dyades  de  13  lettres  de  la 
manière  suivante  : 


uh 

hc 

cd 

de 

ef 

fg 

gh 

hi 

'7 

jl' 

kl 

Ini 

mu 

ac 

bd 

ce 

df 

eg 

fh 

gi 

l'i 

ik 

n 

km 

la  , 

mb 

ad 

he 

cf 

dg 

eh 

fi 

g.i 

hk 

il 

jm 

ka 

Ib 

me 

ae 

l'f 

'r 

dh 

ei 

f 

g''- 

ht 

iin 

y« 

kb 

le 

ind 

af 

l'g 

cl, 

di 

«,/ 

ft< 

gi 

h  m 

ia 

ii> 

ko 

Id 

me 

«g 

bh 

ci 

dj 

ek 

f 

gin 

ha 

ib 

F 

kd 

le 

mf. 

il  résulte  que  les  6  dyades  de  chaque  série  doivent  être  situées 
une    dyade    dans    chaque    ligne.    Supposons   les  deux  séries    de 

dyades  formées  des  12  lettres  a,  b,  c, /;  on  ne  trouve  point 

dans  l'arrangement  écrit  d'autre  série  de  6  dyades  de  ces  12  lettres, 
ayant  une  dyade  dans  chaque  ligne,  que  la  seule  suivante  :  al,  bk\ 
c/\  di,  eh,  fg;  et  comme  il  en  est  de  même  pour  toute  autre  com- 
binaison de  12  lettres  tirées  des  13  lettres  a,  i,  <:•,...  l,  m,  la  déri- 
vation des  13  systèmes  de  35  triades  au  moyen  d'une  permutation 
cyclique  de  13  lettres,  est  impossible.  » 

«  Et  il  ne  paraît  pas  y  avoir  aucune  règle  pour  faire  dériver  les 
13  systèmes  de  l'un  d'eux;  il  n'y  a  même  pas  de  raisons  pour  croire 
que  les  13  systèmes  existent  réellement,  car  on  a  déjà  démontré 
que  de  tels  systèmes  n'existent  pas  pour  le  cas  de  7  éléments.  » 

3.  —  Cependant  déjà  pour  9  éléments,  la  question  de  Cayley, 
impossible  pour  7  éléments,  a  une  solution  aflirmative  et  même 
deux  solutions  diiïérenlcs.  Avant  de  donner  ces  solutions,  la  pro- 
priété suivante  nous  fournit  d'une  manière  simple  et  nouvelle  tout 
ce  qu'il  est   nécessaire   de   rappeler  sur  le  système  de  Steiner  de 


60  .S.    BA  Y  S 

9  éléments'  et  permet  surtout  d'obtenir  immédiatement  des  solu- 
tions à  la  question  de  Cayley  '-. 

Théorème.  —  Si  le  triple  abc  n'entre  pas  dans  un  sijstenie  de 
Steiner  de  0  éléments,  le  triple  ce  ^  y  des  trois  éléments  associés 
dans  le  système  aux  couples  bc,  ac,  ab  : 

lic'x,     cap,     ali-f 

n'y  entre  pas  non  pins.  En  effet,  dans  le  cas  contraire  le  sy*<tème 
comprend  déjà  les  4  triples  bca,  ca^.  ah)\  a^y.  et  nen  garde  plus 
que  8  disponibles.  Les  3  éléments  restants  a',  fi',  y'  doivent  entrer 
chacun  dans  4  triples  ;  ou  bien  ils  forment  le  triple  a'^'y',et  alors 
ils  ne  peuvent  plus  entrer  ensemble  et  il  faudrait  encore  3x3  =  9 
triples  disponibles  en  plus  du  triple  a'^'y'  ;  ou  bien  ils  forment 
les  3  couples  ^'y' .  y'a\  a'^\  et  alors  chacun  doit  encore  entrer 
2  fois  séparément,  et  il  faudrait  encore  3X2  =  6  triples  disponi- 
bles, ce  qui  nest  pas  non  plus.  Le  triple  a^y  n'est  donc  pas  un 
triple  du  système  ;  par  la  même  raison  le  triple  u'^'y'  des  3  élé- 
ments associés  aux  couples  fiy,  ya,  a^,  ne  le  sera  pas  non  plus.  On 
voit  ainsi  que  le  système  de  Steiner  est  complètement  déterminé 
par  larrangement  a  fi  y  pris  dans  les  6  éléments  restant  après 
a,  b,  c,  et  la  permutation  a'^'y'  des  3  derniers  éléments  et  qu'il  ne 
peut  avoir  que  la  forme  suivante  : 

hc.x  ca.'^  ab.'( 

.Sy.a'  Y^'-P'  ^^-r  ç 

,;  V  .rt  'f  OL  .b  a  p  .c 

aaa'  h[iy  cyy' 

La  place  des  a,  b,  c  dans  la  troisième  ligne  est  en  effet  déter- 
minée par  l'arrangement  a^y  et  la  permutation  a'  ^' y'  ;  a.  ^.  y  ne 


Nktto,  Coinbinatorik,  p.  219  et  230. 
*  Je  n'ai  pu  trouver  aucune  allusion  h  cette  question  de  Cnylev  dans  les  travaux  parus 
jusqu'ici  sur  le  problème  des  triades  de  Steiner.  Netto  est  le  seul,  dans  sa  Comhinatnrik, 
)>.  228,  à  rappeler  cette  question  ;  il  ne  parle  d'ailleurs  que  du  cas  de  7  éléments  pour  mon- 
trer que  dans  ce  cas  la  question  est  insoluble.  Je  croyais  être  le  premier  à  avoir  obtenu  une 
solution  pour  9  éléments,  lorsque  j'ai  trouvé  dans  les  Récréations  inalhénatiques  de  Lucas» 
t.  II,  1883,  p.  193.  un  problème  de  M.  Walkoki  qui  établit  précisément  une  solutioa 
pareille.  M.  Walecki  représente  un  système  de  Steiner  de  9  éléments  par  le  schéma  : 

a         b   I 
d         Q 

f         S   I 

où  les  triples  sont  formes  par  les  six  lignes  et  colonnes,  et  les  6  diagonales  complétées  en 
écrivant  une  seconde  fois  le  schéma  .i  côté  du  premier  :  et  en  permutant  oycliquement 
(ab(defg),  il  montre  qu'il  obtient  ainsi  les  S4  triples  dos  9  élément.»  léparlis  en  7  tableaux, 
tels  que  l'on  rencontre  dans  chaque  tableau  chacune  des  9  lettres  une  fois  et  une  seule  fois 
avec  les  8  autres.  .\I.  Walecki  se  borne  d'ailleurs  à  ét.iblir  cette  répartition  et  ne  fait  aucune 
allusion  à  la  question  de  CayUy. 


UNE    QUESTION   DE    CAYLEY  61 

peuvent  entrer  clans  la  troisième  ligne;  la  première  et  la  deuxième 
ligne  montrent  que  «  n'est  plus  à  lier  qu'avec  a  et  a  .  (i  avec  b  et 
^\  Y  avec  c  et  y'.  Il  nous  faut  donc  encore  les  triples  aaa' ,  b^^\ 
cyy' .  qui  exigent  que  la  troisième  ligne  laisse  disponibles  les  cou- 
ples aa\  b^' ,  <y' ,  et  qu'elle  soit  donc  ^'y'a ,  y'a'b.  n'^'c. 

Le  nombre  des  systèmes  de  9  éléments  dans  lesquels  n'entre 
pas  le  triple  abc  est  ainsi,  puisque  ce  ^  y  peut  être  tous  les  arran- 
gements de  6  éléments  3  à  3  et  chaque  fois  a'  ^'  •/  toutes  les  per- 
mutations de  3  éléments  : 


«  rz:  G  .  5  .  4  .  6  =  720  systèmes 

Les  720  systèmes  contiennent  les  triples  abd,  abe,  .. .  abi\  le  triple 

(ibc  appartient  donc  aussi  à    120  systèmes  pareils  et  le   nombre 

total  des  systèmes   de  9  éléments  est  720  +  120  =  840  systèmes. 

D'autre  part,  par  la    manière   même  de  les   construire,  tous  ces 

systèmes  proviennent  les  uns  des  autres  par  des  permutations 

d'éléments  ;    ils    ne    représentent    donc   qu'un    seul   système   de 

Steiner  de  9  éléments  avec  un  groupe    de    substitutions  qui  le 

9  ' 
transforme   en    lui-même    d'ordre  7^7^  =  432. 

840 

Avec  cela  le  système  S  peut  s'écrire  relativement  au  triple  abc, 
d'une  manière  symbolique  mais  très  courte,  et  qui  le  détermine 
complètement  : 

a  [j  Y   ;    a'  [';'  y' 

et  sous  cette  forme  ce  n'est  plus  qu'un  jeu  d'écrire  maintenant 
6  systèmes  pareils  ne  contenant  pas  le  triple  abc  et  différents 
entre  eux  par  tous  les  triples.  Ainsi  par  exemple  les  6  systèmes  : 


ou  cette  vaiiante 


Les  six  systèmes  absorbent  ainsi  72  triples,  contenant  chacjue 
couple  exactement  ()  fois  :  les  J2  triples  restants  doivent  encore 
contenir  une  fois  chaque  couple,  et  forment  aussi  d'eux-mêmes 
un  système  de  Steiner.  On  a  ainsi  autant  de  solutions  h  la  ques- 
tion de  Cayley  :  Répartir  les  84  tiiples  de  9  éléments  en  7  systèmes 
de  12  triples,  chaque   système  contenant  une  fois  chaque  couple. 


a    ,3    y 

.      a    ^    y 

.3    y    a      . 

.      ;'«'?' 

ï    «    ^      • 

y  y'  a' 

a'  y  y'    . 

;:    y    a 

y  t'  *'  ■ 

,      a    iS   y 

y'  a'  [,'    . 

,     y    a   fi 

62 


S.    BA  Y  S 


4.  —  Reprenons  les  éléments  1,  2.  8,  4,  5,  (3,  7,  8.  9.   Une  pre- 
mière solution  à  la  question  de  Cayley  est  : 


123  l'i7  158  169  248  259  267  3i9  357  368  456  789 
12'i  136  157  189  239  256  278  347  358  468  459  679 
125     137      149     168     238     246     279     345     369     478     567     589 


126     139     145     178 
146     159 


127  138 

1 28  I 34 

129  135 


156 
148 


235  247  289  348  367 


234  258  269  379  356 
179  236  249  257  359  378 


469 
457 
458 


568     579    (I) 
489     678 
467     689 


167     237     245     268     346     389     479     569     578 


Par  commodité  désignons  chaque  système  par  son  premier 
triple.  Les  3  couples  d'un  même  triple  du  système  123  sont  séparés 
dans  les  6  autres  systèmes,  et  les  3  éléments  qui  leur  sont  asso- 
ciés dans  chaque  système  constituent  un  triple.  Ecrivons  au- 
dessous  de  chaque  triple  du  système  123  les  0  triples  qui  ainsi  lui 
correspondent,  mais  en  les  plaçant  chacun  dans  la  ligne  du  sys- 
tème de  Steiner  auquel  il  appartient.  On  obtient  le  tableau  suivant  : 


3 

123 

/47 

lis 

169 

2i8 

209 

2o: 

3!i9 

351 

368      i56          189 
i 

4 

468 

1 
2561239-347 

1 

347 
1       1 

459-189 

278 

157 

1 
189-239   136 

5 

478 

369 

246 

168 

589-3'.5 

168-125 

279 
1 

137 

125-345 

6    469-579  235 


348 


367       17 


469-289  1451289-178      126 


7 

258 

379-269 

234 

379-159 

146 

,.» 

678   146-269  457 

1 

8 

689 

467 

378-257  359-156 

378 

134 

1 
257-1561   128   249 

1 

9 

578-569 

389 

245-578 

167 

346 

148   129 

237 

245-346 

Une  substitution  quclconciue  du  groupe  symétrique  des  9  élé- 
ments transforme  le  système  total  I  en  système  1'  équivalent,  le 
système  123  en  un  système  12.r  équivalent,  et  ce  tableau,  dont  la 
construction  naturellement  subsiste  telle  quelle,  en  le  tableau 
équivalent  correspondant  au  système  12.J'  dans  le  système  1'.  Une 
substitution  (jui   transforme  à  la  fois  le  système  I  en  lui-même  et 


UNE    QUESTION   DE    CAYLEY  63 

le  système  123  en  lui-même,  doit  transformer  le  tableau  en  lui- 
même,  une  ligne  horizontale  en  une  ligne  horizontale,  une  colonne 
verticale  en  une  colonne  verticale.  Ces  dernières  substitutions  for- 
ment évidemment  un  groupe;  c'est  ce  groupe  que  nous  voulons 
obtenir. 

Les  colonnes  147,  259,  368,  qui  doivent  permuter  entre  elles, 
n'ont  pas  la  même  constitution  : 

Dans  les  colonnes  :       i47  '259                                   '^68 

25        3  fois  34   \                                29        3  fois 

les  couples           39   j  ^^  1                                      1 

entrent  :              69  '    2  fois  16  f     ^  f^i^                  ^^        2  fois 

89   \  18  [                                 75   ) 

et  9  autres  couples  '"  \                         et  9  autres  couples 

1  fois  chacun.  ''      '                               1  fois  chacun, 

et  6  autres  couples 
1  fois  chacun. 

Ainsi  rélément  2  peut  seulement  devenir  2,  5,  ou  9.  Pour  2  :=  2 
on  a  les  cas  : 

2  =  2     5z=5     9  =  9  2  =  2     5  =  9     9  =  5 

1   peut  devenir  1,   4,  7  1  peut  devenir  3,  6,  8 

Dans  chaque  cas  les  couples         associés  dans  le  système  123 

à  2|     13     48     67  perm.  entre  eux  13     48     67        perni.  entre  eux. 

à  5i      18     37      46        »  »         »  18     37     46    1    une  ligne  perniu- 

à  9l     16     34     78       «  »         »  16     34     78   \    te    avec    l'autre. 

On  obtient  immédiatement  les  6  premières  puissances  de  la  sub- 
stitution : 

s  =  I 59) (164378) 

Les  cas  2  =  5  et  2  :^ 9  ne  donnent  rien  ;  le  sous-groupe  cherché 
est  donc  le  groupe  |s'  '  d'ordre  6.  Enprenantensuite  avec  le  tableau 
du  système  123  le  même  tableau  correspondant  au  système  124, 
on  trouve  la  substitution  : 

(T  =  (1673824) 

qui  transforme  le  système  I  en  lui-même  en  cliangeant  le  sys- 
tème  123  dans  le  système  124,    et  dont  les  .")  autres    puissances 


Notation  de  Nette,  Gnippun  n.  Substitiilioncnthcorie,  1904,  p.  34. 


64  S.    BA  Y  S 

différentes  de  l'identilé  changent  le  système  123  en  les  5  autres 
systèmes  125,...,  129.  Le  groupe  total  qui  transforme  la  solution 
I  en  elle-même  est  donc  le  groupe  \^,*^\  d'ordre  42. 

5.    —  Une    seconde    solution   à  la  question  de    Cayley   est   la 
suivante  : 


123 

147 

158 

169 

248 

259 

267 

349 

357 

368 

456 

789 

124 

139 

157 

168 

236 

258 

279 

345 

378 

467 

489 

569 

12Ô 

136 

149 

178 

237 

246 

289 

348 

359 

457 

568 

679 

126 

137 

148 

159 

239 

245 

278 

346 

358 

479 

567 

689 

127 

135 

146 

189 

238 

249 

256 

347 

369 

458 

579 

678 

128 

134 

156 

179 

235 

247 

269 

367 

389 

459 

468 

578 

129 

138 

145 

167 

234 

257 

268 

356 

379 

'.69 

478 

589 

En  effet  le  tableau  correspondant  au  système  12.3  (je  donne  les 
systèmes  I  et  II  représentant  les  deux  solutions  avec  le  même 
système  123)  dénote  à  première  vue  un  groupe  d'ordre  plus  élevé  : 


... 

i'û 

mu 

\>'iS 

■>r,9 

■VÔ7 

3(i<s 

4.:6- 

789 

4 

489 

236 

258 

157 

467 

168 

279 

139 

345 

5 

679 

568 

348 

359 

178 

149 

125 

237 

246 

6 

567 

239 

358 

159 

346 

148 

479 

278 

126 

7 

458 

256 

347 

369 

678 

249 

127 

189 

135 

8 

578 

389 

247 
257 

367 

134 

269 

459 

128 

156 

9 

469 

589 

167 

138 

268 

145 

379 

234 

158 


267 


349 


I     267     349     I     349     158     |     158     267      |     appart.  au  système  12c 


Mais  ici  le  système   123  est  le  seul  dont  le  tableau   ait  cette 
forme.  l>e  tableau  pour  les  six  autres  systèmes  prend  une  forme 


UNE    QUESTION    DE    CAYLEY  65 

différente,  et  il  n'y  a  ainsi  aucune  substitution  qui  transforme  la 
solution  II  en  elle-même  en  chani^eantle  système  123  en  un  autre. 
Dans  ce  tableau  du  système  123,  les  colonnes  158,  267,  349,  doivent 
permuter  entre  elles  ;  il  ne  reste  qu'à  piendre  successivement 
1  =  1,5,  8,  2,  0,  7,  3,  4,  9.  Ainsi  pour  1  =  1  on  a  les  deux  possi- 
bilités : 

1=:1       5  =  5       8  =  8  1  =  1       5=8       8  =  5 

Les  couples  associés  à  ces  éléments  dans  le  système  123  : 

23  47  69  permutent  entre  eux.  23  47  69  permutent  entre  eux. 
29     37     46  »  »  »         29     37     46    ^    une  ligue  permuteavec 


zt 


36     79  »  »  »         24     36     79    S  l'autre. 


et  par  un  essai  sur  le  tableau  on  contrôle  si  la  substitution  obtenue 
est  à  prendre  ou  à  rejeter.  On  trouve  54  substitutions;  c'est-à-dire 
la  moitié  des  substitutions  qui  transforment  le  système  123  en  lui- 
même  en  permutant  les  triples  158,  267,  349,  entre  eux,  transfor- 
ment le  tableau  en  lui-même.  34  de  ces  substitutions  sont  les 
puissances  de  substitutions  de  la  forme  : 

5  =  (58) (2463791 

et  les  20  autres  sont  de  la  forme  : 

a  =  (158)  (267|  3'i9)  ,   ,'i  =  (123)  (456)  (798),  etc. 

î.,es  subslituti<)ns  «  et  jS  sont  permutables  et  donnent  un  groupe  G 

d'ordre   9.    La   substitution  s  est   permutable  avec  ce   groupe  G 

et  la  plus  petite  puissance  de  s  égale  à  une  substitution  de  G  est 

s**  =:  1.  Le  groupe  qui  transforme  le   système  II  en  lui-même  est 

donc  le  groupe  \  a,  ^,  s  l  d'ordre  ôk. 

On  arrive  plus  vite  au  résultat  avec  le  tableau  du  système  124  ; 

il  donne  immédiatenjent  un  sous-groupe  d'ordre  9  de  la  forme  de 

G,  et  le  groupe  cherché  est  ainsi  d'ordre  6X9  =  54. 

.  9  !        9  1 
Les  deux  solutions  données  représentent  ainsi  -^  -\-  -;ri-=  15360 

'  4  2    '    0  4 

répartitions  possibles  des  84  triples  de  9  élémenls  en  7  systèmes 
de  Steiner.  Or,  le  tiavail  n'est  pas  démesurément  long,  si  on  écrit 
les  840  systèmes  de  9  éléments,  on  trouve  que  pour  l'un  des  sys- 
tèmes 123,  par  exemple  pour  le  système  : 

123      l'i7     158     169     2'i8     259     267     3'i9     357     368     456     789 

il  y  a  32  systèmes  124  qui  en  diffèrent  par  tous  les  triples,  et  que 
chacun  de  ces  systèmes  124  accouplé  au  système  123  donne,  avec 
les  systèmes  125,...,  129,  n'ayant  aucun  triple  commun  avec  eux, 

L'Enseignement  mathéni.,  19"  année:   litl7.  ^ 


66  S.    fiJYS 

exactement  4  solutions  cherchées;  ce  qui  fait  32  X  4x  120=  15360 
solutions.  Les  systèmes  I  et  II  donnés  sont  donc  les  seules  solu- 
tions différentes  à  la  question  de  Cayley  pour!)  éléments. 

6.  —  Supposons  que  les  r  r  —  1  w  —  2)  /6  triples  de  )■  éléments 
1,  2,...  V  soient  répartis  en  v  —  2  systèmes  de  Steiner  Ay.  Il  y  a 
un  procédé  donné  par  Reiss  et  généralisé  depuis  pour  construire 
un  système  de  triples  A^v  +  i  au  moyen  d'un  système  de  triples  Ay. 
On  prend  comme  première  partie  du  système  t^-i't-\-\  le  système 
donné  Av  ;  on  répartit  les  (»' +  1)  i'/2  couples  des  v  ■\-  1  nouveaux 
éléments  en  v  colonnes  de  i' -|- 1) /2  couples,  mais  de  telle  sorte 
que  chaque  colonne  contienne  les  v  -\-  1  éléments,  et  on  écrit 
respectivement  devant  les  couples  de  chaque  colonne  les  anciens 
éléments  1,  2,  3, . . .  v.  On  se  rend  compte  immédiatement  que 
Tensemble  des  : 

y  (.y  —  1)  Iv  +  l)y  _  (2y  +  l)2v 

6  +  2  6 

triples  ainsi  obtenus  contient  en  effet  chaque  couple  des  2v  +  1 
éléments  en  question.  Heiss  fait  la  répartition  des  l'-f-  l)»'/2  cou- 
ples des  nouveaux  éléments  delà  manière  suivante;  pour  fixer  les 
idées  nous  prenons  le  cas  des  19  éléments  1,  2, ... ,  9  ;  0,  1',  2', ... ,  9'  ; 
il  est  facile  de  comprendre  cette  disposition  des  45  couples  des 
éléments  0,  1',  2',.,.,  9',  et  de  l'appliiiuer  au  cas  général: 


(A) 


Nous  écrivons  une  première  fois  devant  les  couples  de  chaque 
colonne  celui  des  éléments  1,  2,...,  v  correspondant  au  rang  de 
la  colonne;  puis  nous  permutons  cycliquement  les  éléments 
1,2,...»',  jusqu'à  ce  que  chacun  ait  été  placé  devant  chaque 
colonne;  les  r  ensembles  de  j' -f-  l!  i'/2  triples  ainsi  obtenus  n'au- 
ront nulle  part  2  triples  communs.  Si  nous  complétons  v  — 2  de 
ces  ensembles  par  les  Av  donnés  au  début,  nous  aurons  ainsi  v  —  2 
systèmes  de  Steiner  Aov-i- 1  différents  par  tous  les  triples.  En  for- 
mant ensuite  le  tableau  précédent  avec  les  éléments  0,  1,2....  i  =9, 

et  plaçant  devant  les  colonnes  les  éléments  1',  2',  3' r' ,  avec 

les  J'  —  2  systèmes  A-/  pareils  aux  systèmes  Av  nous  aurons  de 
même  v  —  2  systèmes  A^v  +  i  différents  partons  les  triples.  Il  est 
facile  de  voir  maintenant  qu'avec  les  y  —  2  pi-emiers  systèmes 
Aoy  +  1  trouvés,  il  est  possible  d'en  associer  exactement  2  des  der- 


0  1' 

0  2' 

0  3' 

0  4' 

0  5' 

0  6' 

0  7' 

0  8' 

0  9' 

2'8' 

l'9' 

l'2' 

l'3' 

l'4' 

r5' 

l'6' 

l'7' 

l'8' 

?,'-/ 

3'8' 

4'8' 

2'9' 

2'3' 

2'4' 

2'5' 

2'6' 

2'7' 

\%' 

4'7' 

5'7' 

5'8' 

6'8' 

3 '9' 

3'4' 

3'5' 

3'6' 

5'9' 

5'6' 

6'9' 

6':' 

7'9' 

7'8' 

8'9' 

4'9' 

4'5' 

USE   QUEs,ri()y  de   CAYI.EY  6? 

niers  obtenus  à  moins  que  r  —  2  =  1,  c'est-à-dire  v  =  3  et 
2i'-|-  1  =r  7.  et  c'est  la  seule  exception  'i  sans  avoir  encore  un  seul 
triple  commun,  et  réciproquement.  Ainsi  pour  19  éléments,  en 
écrivant  seulement,  pour  la  seconde  partie  de  chaque  système,  le 
premier  triple  de  chaque  colonne  : 


101' 

2  02' 

3  03' 

4  04' 

5  05' 

6  06' 

7  07' 

8  08' 

9  09' 

2  01' 

3  02' 

4  03' 

5  04'. 

6  05' 

7  06' 

8  07' 

9  08' 

109' 

3  01' 

4  02' 

5  03' 

6  04' 

7  05' 

8  06' 

9  07' 

1  08' 

2  09' 

401' 

5  02' 

6  03' 

704' 

8  05' 

9  06' 

107' 

2  08' 

3  09' 

5  01' 

6  02' 

7  03' 

8  04' 

9  05' 

1  06' 

2  07' 

3  08' 

4  09' 

6  01' 

7  02' 

8  03' 

9  04' 

105' 

2  06' 

3  07' 

4  08' 

5  09' 

7  01' 

8  02' 

9  03' 

1  04' 

2  05' 

3  06' 

4  07' 

5  08' 

6  09' 

2'01 

3'02 

4'03 

5'04 

6'05 

7'06 

8'07 

9'08 

l'09 

3'0I 

4'02 

5'03 

6'04 

7'05 

8'06 

9'07 

l'08 

2 '09 

Les  deux  derniers  systèmes  terminent  exactement  la  permuta- 
tion cyclique  de  manière  qu'il  y  a  là  tous  les  triples  possibles 
avec  Télément  0,  un  élément  simple  et  un  élément  prime  :  dans  les 
7  premiers  systèmes  les  autres  triples  de  chaque  colonne  contien- 
nent 2  éléments  primes,  dans  les  deux  derniers  les  mêmes  triples 
contiennent  2  éléments  simples.  Nous  obtenons  ainsi  9  =:  v  sys- 
tèmes de  Steiner  de  2v  +  1  éléments  différents  pat-  tons  les  tri- 
ples ;  il  est  dailleurs  impossible  par  le  même  procédé,  même  en 
modifiant  le  tableau  A,  den  obtenir  davantage.  Si  les  v  —  2  sys- 
tèmes Av  existent  pour  v  éléments,  pour  2r  +  1  éléments,  il  existe 
donc  en  tout  cas  v  systèmes  de  Steiner  n'ayant  aucun  triple 
commun,  c'est-à-dire  un  nombre  supérieur  à  la  moitié  du  nombre 
2v  -f-  1)  —  2  =  2»'  —  1.  Probablement  la  construction  correspon- 
dante de  Reiss  ou  une  autre  donnerait,  au  moyen  toujours  des 
V  —  2  systèmes  Av,  un  résultat  pareil  pour  2v  —  5  éléments  ;  pour 
13  éléments  j'ai  obtenu  7  systèmes  sur  11,  pour  15  éléments  S  sys- 
tèmes sur  13  et  pour  31  éléments  IG  systèmes  sur  29  différents 
I)ar  tous  les  triples.  Presque  certainement  il  existe  donc  pour 
chaque  N  =  6/«  -f  1  ou  0/î  -\-  3,  en  tout  cas  un  nombre  de  sys- 
tèmes différents  par  tous  les  triples  supérieur  à  la  demie  du 
nombre  N  —  2,  excepté  pour  7  éléments,  et  cela  me  parait  une 
raison  de  croire  que  7  éléments  est  le  seul  cas  pour  lequel  la  ques- 
tion de  Cayley  manque  de  solution. 

Fribourg    Suisse),  septembre  1916. 


'    Pour  V  =  3  la  repartition  en  v  —  i  systèmes  Aj  existe,  puisqu'elle  se  réduit  au  seul  triple 

123,  mais  précisément  parce  qu'elle  se  réduit  n  itti  système  Aj.  avec  les  dispositions  ; 

0  1'        0  2'        0  :i'  ,  .      OJ        iVl       (13 

'-'     2'3'        l'3'        VI'  -  23        13        12 

on  ne  peut  former  que  deux  systèmes  A7  n'ayant  aucun  triple  commun,  et  non  trois. 


DU  ROLE  QUE  PEUT  JOUER  L'ENSEIGNEMENT 

DES  MATHÉMATIQUES  DANS 

L'ÉDUCATION  INTELLECTUELLE  DES  ÉCOLIERS' 


H.   RooiîDA  V.  E.  (Lausanne. 


Une  commission  composée  de  vingt  professeurs  de  l'Ecole  poly- 
technique fédérale  a  présenté,  il  y  a  quelques  mois,  au  Conseil 
supérieur  de  cette  Ecole,  un  rapport  que  vous  avez  sans  doute  lu 
et  dans  lequel  elle  devait  indiquer  quelques  moyens  propres  a 
améliorer  la  culture  générale  et  V éducation  nationale  des  étudiants 
suisses,  de  ceux,  en  particulier,  qui  font  des  études  scientifiques. 

Dans  une  de  leurs  conclusions,  les  signataires  de  ce  rapport 
pi'oposent  «  d'alléger  les  programmes  des  écoles  moyennes  par 
réduction  de  la  part  réservée  aux  sciences  exactes  spéciales  au 
profit  de  la  langue  maternelle,  des  langues  nationales,  de  l'his- 
toire et  de  la  géographie.  » 

La  Commission  propose  aussi  de  prendre  eu  considération  la 
pétition  de  la  Société  suisse  des  Maîtres  de  géographie  «  tendant 
au  renforcement  de  l'enseignement  de  la  géographie  ;  et  de  join- 
dre dans  ce  but  la  géographie  à  l'histoire  comme  matière  d'exa- 
men pour  l'admission  à  l'Ecole  polytechnique  fédérale  ». 

Il  est  dit,  enfin,  que  les  mathématiques  et  les  sciences  natu- 
relles absorbent  le  temps  des  élèves  de  nos  écoles  secondaires 
scientifiques  au  point  de  leur  faire  négliger  leur  culture  générale. 

C'est  ce  rapport.  Messieurs  (que  je  n'ai  pas  la  prétention  de 
résumer),  qui  a  suggéré  à  l'un  des  membres  de  votre  (Comité 
ridée  de  vous  pioposer  aujourd'hui,  comme  sujet  de  discussion, 
le  rôle  que  peut  jouer  l'enseignement  des  niathématiques  dans  la 
formation  de  l'esprit  de  l'écolier. 

Avant  d'aborder  cette  (juestion,  je  suis  obligé  de  rappeler  l'un 
des  caractères  essentiels  de  nos  écoles  secondaires  et,  surtout,  de 


•  Rapport  pri'senté  le  8   octobre  1916.  à  Baden,  à  la  réunion    anniiello  tlo  la  Société  suisse 
des  professeurs  de  mathématiques. 


DU   ROf.E    DES    MATHÉMATIQUES  69 

préciser  le  sens  de  cette  expression  si  fréquemment  employée  : 
la  culture  générale. 

Bien  que  les  écoles  secondaires  s'offrent  à  un  public  plus  res- 
treint que  les  écoles  primaires,  les  maîtres  qui  y  enseignent 
s'adressent  à  des  élèves  devant  exercer  par  la  suite  les  professions 
les  plus  diverses.  Par  exemple,  dans  les  gymnases  classiques,  en 
dépit  des  triages  antérieurs,  les  mêmes  leçons  se  donnent  à  de 
futurs  médecins,  à  de  futurs  pasteurs,  à  de  futurs  avocats,  à  de 
futurs  ingénieurs,  à  de  futurs  pédagogues,  à  de  futurs  chimistes  ; 
et  ma  liste  n'est  pas  complète.  Il  faut  donc  que  l'enseignement 
ait  une  valeur  très  générale  si  l'on  veut  que  tous  ceux  qui  le 
reçoivent  puissent  en  retirer  un  réel  profit.  Il  semble  qu'on  l'a 
bien  compris,  puisque  c'est  une  «  culture  générale  »  qu'on  déclare 
vouloir  donner  aux  élèves  de  nos  collèges  et  de  nos  gymnases. 

En  quoi  consiste  cette  culture?  Toute  la  question  est  là. 

J'ai  cherché  le  mot  cultiver  dans  mon  Larousse,  et  j'ai  trouvé 
cette  définition  :  Faire  les  trai>au.v  propres  à  rendre  la  terre  fertile. 

Par  analogie,  on  peut  dire  que  cultiver  un  esprit,  c'est  le  sou- 
mettre à  un  régime  qui  fera  fructifier  ses  richesses  naturelles.  Et 
il  est  possible,  en  effet,  de  développer  par  le  moyen  d'une  gym- 
nastique régulière  les  aptitudes  précieuses  que  les  enfants  possè- 
dent tous.  Ce  qui  varie  beaucoup  de  l'un  à  l'autre  c'est  la  mesure 
des  progrès  réalisables. 

Les  écoliers  bénéficieront  donc  d'une  culture  générale  si,  en  se 
livrant  aux  divers  modes  d'activité  qu'on  leur  propose,  ils  aug- 
mentent leurs  forces  physiques,  morales  et  intellectuelles  et  amé- 
liorent ainsi  ce  que  la  nature  leur  a  donné  de  bon. 

En  réalité,  la  «  culture  générale  »  que  l'Ecole  s'efforce  de  donner 
à  tous  ses  élèves  est  une  culture  beaucoup  plus  superficielle.  C'est 
autre  chose.  Elle  consiste  en  un  ensemble  de  notions  morales, 
philosophiques,  littéraires,  historiques  et  scientifiques  qui  peu- 
vent être  à  peu  près  les  mêmes  chez  des  personnes  différant  très 
sensiblement  les  unes  des  autres  par  les  qualités  de  l'esprit. 

Je  sais  fort  bien.  Messieurs,  que  je  me  tromperais  ridiculement 
si,  entre  ces  deux  manières  d'entendre  la  culture  générale,  je 
voulais  voir  une  oj)position  absolue.  Entre  ces  deux  termes  extrê- 
mes on  peut  imaginer  des  termes  intermédiaires.  Et  puis,  il  est 
probable  qu'en  s'appliquant  à  orner  les  esprits  on  finit  par  en 
modifiei"  un  peu  la  (jualité.  .Mais  j'ai  raison  dédire  qu'en  général, 
par  la  force  des  choses,  le  maître  s'applique  davantage  à  commu- 
niquer à  ses  élèves  ses  propres  connaissances  et  sa  propre  habi- 
leté qu'à  améliorer  tout  ce  qu'il  y  a  de  perfectible  en  eux. 

Je  ne  crois  pas  m'être  écarté  de  mon  sujet  en  faisant  ces  lemar- 
ques  préliminaires.  Car  si  nous  voulons  donner  aux  écoliers  cette 
culture  générale  qui  résulte  à  la  longue  de  la  gymnastique  forti- 
fiante dont  j'ai  dit  deux  mots,  nous  comprendions  que  la  manière 


70  H.    HOORDA 

d'enseigner  importe  plus  que  la  matière  d'enseionement.  Il  est 
certain  qu'à  propos  de  ses  travaux  manuels,  par  exemple,  on  peut 
inculquer  à  un  enfant  des  idées  générales,  nettes  et  justes  sur  les 
conditions  anciennes  ou  actuelles  de  l'activité  humaine  à  la  sur- 
face du  globe.  Et,  par  contre,  un  maître  de  latin,  d'histoire  ou  de 
géographie  rendra  ses  leçons  arides,  ennuyeuses  et  inutiles  s'il 
étale  indiscrètement  son  érudition  ou  s'il  ne  sait  pas  choisir  les 
faits  significatifs  et  intéressants. 

Jugées  du  point  de  vue  où  je  me  place,  les  meilleures  leçons 
sont  celles  où  l'élève  est  vivement  intéressé,  celles  où  son  esprit 
est  actif.  Or,  me  semble-t-il,  nous  devons  nous  placer  à  ce  point 
de  vue-là.  En  efîet,  notre  responsabilité  vis-à-vis  de  l'enfant  est 
grande  ;  car  l'école  le  prive  de  sa  liberté  durant  des  années  et, 
cela,  certains  jours,  du  matin  jusqu'au  soir.  Nous  devons  donc  lui 
fournir  l'occasion  d'accroître  par  l'exercice  ses  aptitudes  natu- 
relles. En  ne  le  faisant  pas,  nous  nous  exposons  à  lui  prendre 
plus  que  nous  ne  lui  donnons.  Eh  bien,  puisqu'il  s'agit  avant 
tout  de  former  son  jugement  et  de  discipliner  sa  logique,  dac- 
croître  sa  vigueur  intellectuelle  et  d'affiner  son  esprit,  nous  ne 
pouvons  pas  faire  des  branches  d'enseignement  deux  catégories  : 
celles  qui  donnent  à  l'élève  studieux  une  culture  générale  et  celles 
qui  n'ont  pas  cette  vertu.  La  distinction  que  certains  maîtres  se 
hâtent  de  faii'e  à  leur  profit  entre  les  unes  et  les  autres  n'est  pas 
fondée.  N'est-il  pas  évident,  par  exemple,  que  Ion  pourra  dire 
autant  de  bien,  à  tous  les  points  de  vue,  des  sciences  naturelles 
que  de  la  géographie  ? 

De  tout  cela  il  résulte  que  les  mathématiques  dont  je  vais  parler 
tout  à  l'heure,  auront  ou  n'auront  pas  une  valeur  éducative  géné- 
rale, qu'elles  seront  fortifiantes  pour  l'intelligence  de  l'écolier  ou 
qu'elles  ne  le  seront  pas,  suivant  qu'on  les  enseignera  de  telle 
manière  ou  de  telle  autre. 

Mais  voici,  d'autre  part,  une  raison  qui  doit  nous  empêcher 
d'accorder  à  toutes  les  matières  d'enseignement  dos  places  égale- 
ment importantes  dans  les  programmes  scolaires. 

Il  y  a  des  enseignements  qui,  avant  tout,  ont  pour  but  de  déve- 
lopper chez  l'écolier  une  certaine  habileté.  Par  exemple,  on  voudra 
qu'il  devienne  habile  dans  l'emploi  de  sa  langue  maternelle,  ou 
dans  le  maniement  d'une  langue  étrangère.  De  même,  il  reçoit 
des  leçons  où  l'on  s'applitjue  \\  faire  de  lui  un  habile  calculateur, 
un  habile  dessinateur  ou  un  habile  gymnaste.  Cette  habileté  ne 
s'acquiert  (ju'à  la  longue,  grâce  à  un  entraînement  régulier.  11  im- 
porte donc  que  ces  leçons  où,  à  défaut  de  virtuosité,  l'élève  doit 
acquérir  de  l'aisance  et  de  l'adresse  soient  fréquentes.  11  vaudrait 
même  mieux  qu'elles  fussent  quotidiennes  et  de  courte  durée  que 
longues  et  espacées. 

Il  y  a,  d'autre  part,  des  leçons  dont  on  no   pont   [)as  dire  tout  à 


DU    ROLE    DES    MATHÉMATIQUES  71 

fait  la  même  chose.  Si,  par  exemple,  on  enseigne  l'histoire  aux 
enfants  ce  n'est  pas  pour  qu'à  seize  ans  les  plus  studieux  d'entre 
eux  soient  d'habiles  historiens.  A  seize  ans,  on  ne  sait  pas  encore 
ce  qu'est  la  vie  d'un  hom  me;  on  ne  sait  pas,  par  expérience,  ce  qui  rend 
difficile  la  lut  te  pour  l'existence;  et  l'on  ne  peut  porter  sur  la  conduite 
des  peuples  ou  des  individus  que  des  jugements  naïfs.  Si  son 
activité  intellectuelle  ne  s'arrête  pas,  les  idées  générales  qu'un 
écolier  peut  avoir  en  matière  d'histoire  se  transformeront  profon- 
dément. Par  contre,  il  peut  avoir  en  grammaire  ou  en  mathéma- 
tiques élémentaires  des  notions  essentielles,  justes  et  définitives. 

Les  leçons  d'histoire  qu'on  donne  à  nos  élèves  ne  peuvent  pas 
être  exclusivement  scientifiques.  Dans  ces  leçons,  le  maître  a  fré- 
quemment des  préoccupations  d'ordre  moral.  Il  veut  faire  réflé- 
chir ses  élèves  sur  la  conduite  humaine;  et,  pour  cela,  il  ne  craint 
pas  de  les  émouvoir  et  de  frapper  leur  imagination. 

De  même,  les  maîtres  de  géographie  ne  s'efforcent  pas  seule- 
ment d'accroître  l'érudition  de  l'écolier.  Ils  nous  ont  dit  que  leur 
enseignement  peut  avoir  un  caractère  moral  et  philosophique 
assez  accentué  pour  éclairer  et  améliorer  le  civisme  des  futurs 
citoyens.  Or  ce  n'est  évidemment  pas  par  le  moyen  des  monogra- 
phies nombreuses  et  monotones  et  par  les  longues  listes  de  noms 
géographiques  qu'ils  essaient  d'atteindre  leur  but.  Ce  sont  les 
faits  typiques  et  saisissants  qui  font  réfléchir.  Une  seule  histoire 
émouvante  qui  se  fixe  d'une  manière  inoubliable  dans  la  mémoire 
de  l'enfant  a  plus  d'importance  pour  son  développement  intellec- 
tuel et  moral  que  des  centaines  de  faits  qu'il  apprend  avec  rési- 
gnation. Bref,  puisque  dans  les  leçons  d'histoire  et  de  géographie, 
par  exemple,  il  ne  s'agit  pas  d'une  technique  indispensable  à 
acquérir,  c'est  la  qualité  de  ces  leçons,  beaucoup  plus  que  leur 
grand  nombre,  qui  en  fait  la  valeur  et  qui  les  rend  efficaces. 

Comptant  sur  votre  indulgence.  Messieurs,  j'ose  ajouter  un 
dernier  mot  à  cette  introduction,  qui  est  déjà  longue  mais  qui  me 
permettiade  parler  plus  clairement  de  l'enseignement  des  mathé- 
niati(iues. 

Pour  justifier  la  distinction  que  je  viens  de  faire  entre  deux 
genres  de  leçons,  je  pourrais  dire  aussi  que,  dans  les  unes,  les 
lacunes  qu'on  laisse  dans  le  savoir  de  l'écolier  sont  plus  graves 
que  dans  les  autres  ;  c'est-à-dire  que,  pour  le  maître,  il  importe 
beaucoup  moins  dans  celles-ci  que  dans  celles-lii  d'être  complet. 
Il  serait  bien  facile  de  montrer  par  des  exemples  qu'en  matière 
de  littérature,  d'histoire,  de  géographie,  de  sciences  naturelles, 
et  de  mathématiques  aussi,  il  y  a  des  lacunes  qui  ne  gênent  pas 
les  études  ultérieures,  des  lacunes  que  l'on  peut  d'ailleurs  com- 
bler, n'importe  cjuand,  en  cinq  minutes,  et  dont  on  a  beaucoup 
exagéré  la  gravité.  Mais,  si  un  jeune  homme  s'exprime  difficile- 
ment, ou  s'il  a  une  mauvaise  orthographe,  ou  s'il  ne  sait  pas  cal- 


72  //.    ROORDA 

culer  correctement,  ou  s'il  est  incapable  d'exécuter  un  croquis 
tant  soit  peu  exact,  ou  si  la  vigueur  de  ses  bras  est  tout  à  fait 
insuffisante,  il  nacquerra  ces  aptitudes  qui  lui  manquent  ni  en 
quelques  heures,  ni  en  quelques  jouis. 

Les  monographies  trop  nombreuses,  les  nomenclatures  trop 
complètes,  les  listes  de  noms  trop  longues  :  voilà  ce  qui  dans 
l'enseignement  exige  un  temps  considérable,  temps  perdu  pour 
la  culture  générale  de  l'écolier. 

Et,  maintenant,  parlons  des  mathématiques.  Je  vais  en  dire 
beaucoup  de  bien.  Mais  il  est  entendu  que  je  considérerai  seule- 
ment le  cas  où  elles  sont  étudiées  dans  de  bonnes  conditions  ; 
car  le  fait  est  que  certains  écoliers  suivent  pendant  deux  ou  trois 
ans,  avec  ennui  et  dégoût,  des  cours  d'algèbre  ou  de  géométrie 
dont  ils  ne  retirent  aucun  profit.  De  plus,  nous  avons  rencontré 
des  adultes  qui,  en  parlant  des  mathématiques,  avouent  sans 
embarras  qu'ils  n'y  ont  jamais  compris  grand'chose.  Et  ce  sont 
parfois  des  personnes  très  intelligentes.  Comment  concilier  ce 
fait  avec  la  grande  simplicité  des  mathématiques  élémentaires, 
simplicité  dont  je  parlerai  tout  à  l'heure  ? 

1.,'illustre  niathématicien  Biaise  Pascal  nous  a  fait  sans  le  vou- 
loir beaucoup  de  mal  le  jour  où  il  a  opposé  Vesprit  géométrique  à 
Vesprit  de  finesse.  Des  gens  qui  ont  entendu  parler  de  cette  dis- 
tinction classique  simaginent  qu'ils  ont  un  esprit  fin  parce  qu'ils 
ne  comprennent  rien  à  la  géométrie.  Cette  manière  dinteipréter 
les  textes  est  très  critiquable,  (^es  logiciens  audacieux  oublient  le 
cas  où  l'on  ne  possède  ni  l'esprit  de  la  géométrie,  ni  l'autre,  —  un 
cas  assez  fréquent.  A  vrai  dire,  un  géomètre  de  talent  a  nécessai- 
rement de  la  finesse  dans  l'esprit  ;  et  d'autre  part  on  ne  peut  pas 
être  un  esprit  fin,  si  l'on  est  réellement  incapable  de  comprendre 
la  géométrie. 

Le  raisonnement  occupe  dans  la  vie  de  notre  esprit  une  place 
beaucoup  plus  gratide  qu'on  ne  le  croit.  En  effet,  c'est  un  raison- 
nement très  rapide,  dont  nous  avons  à  peine  conscience,  qui  pré- 
cède le  plus  souvent  le  jugement  que  nous  portons  sur  les  êtres 
ou  sur  les  choses.  Eh  !  bien,  les  mathématiques  habituent  à 
voir  clair  dans  les  raisonnements  que  Ion  fait.  (Quelle  que 
soit  la  nature  des  (juestions  que  nous  abordons,  celles-ci  diffè- 
rent davantage  pour  nous  par  leur  degré  de  complexité  que 
par  les  facultés  de  notre  esprit  quelles  vont  mettre  en  œuvre  ; 
et  ce  qui  varie  aussi,  d'un  cas  à  l'autre,  c'est  le  degré  de  la 
conviction  avec  lacjuclle  nous  formulons  la  réponse.  A  l'ordi- 
naire, en  mathématiques,  on  résout  des  pi'oblèmes  où  le 
nombre  des  données  est  suffisant  et  où  l'on  sait  de  quelle 
manière  l'inconnue  dépend  de  chaque  donnée.  Ce  cas  favo- 
rable ne  se  présente  pas  souvent  dans  les  questions  de  la  biologie 


DU   ROLE    DES    MATHÉMATIQUES  73 

et  presque  jamais  lorsqu'il  s'agit  de  prévoir  la  conduite  des  indi- 
vidus ou  des  foules.  Un  homme  intelligent,  qu'il  soit  géomètre  ou 
non,  sait  donc  si  ce  qu'il  affirme  est  certain,  ou  bien  très  probable, 
ou  seulement  probable,  ou  possible,  on  improbable  ;  et  il  com- 
prendra aussi,  dans  certains  cas,  qu'il  est  devant  un  problème 
absolument  indéterminé. 

Voici,  d'ailleurs,  ce  qui  souvent  peut  faire  croire  à  une  diffé- 
rence essentielle  entre  l'esprit  de  finesse  et  l'esprit  géométrique. 

Pour  exposer  ou  pour  résoudre  une  question  quelconque  d'une 
manière  intelligente,  il  faut  d'abord  avoir  l'occasion  et  la  volonté 
de  s'en  occuper;  il  faut  commencer  par  s'y  intéresser.  Un  mon- 
dain, par  exemple,  qui  a  passé  des  milliers  d'heures  dans  les 
salons,  parlera  des  manifestations  de  la  coquetterie  féminine  plus 
finement,  sans  doute,  qu'un  mathématicien  de  génie  qui  a  presque 
toujours  vécu  dans  le  monde  des  équations.  Mais  cela  ne  prouve 
pas  qu'il  possède  à  un  plus  haut  degré  que  cet  austère  savant 
l'esprit  de  finesse.  Pour  prévoir  la  manière  d'agir  de  telle  coquette 
dans  telles  circonstances  précises,  l'un  de  ces  deux  hommes  qui 
fait  depuis  longtemps  des  observations  sur  les  femmes,  a  des 
données  qui  manquent  à  l'autre.  D'autre  paît,  quand  il  le  voudra 
réellement,  notre  mathématicien  pourra  constater,  dans  l'attitude 
ou  dans  le  langage  de  celles  qu'il  observe,  la  fré({uence  plus  ou 
moins  grande  de  certains  gestes,  de  certains  sourires,  de  certaines 
expressions  et  de  certains  mots.  Dans  ce  domaine  nouveau,  de 
simples  nombres  pourront  être  pour  lui  des  indices  psychologi- 
ques d'une  réelle  valeur.  Car  un  grand  savant  n'est  pas  nécessai- 
rement un  imbécile. 

Enfin,  ce  qui  peut  faire  croire  parfois  à  la  finesse  plus  grande 
de  ceux  qui  ont  préféré  les  études  littéraires  aux  études  mathé- 
matiques, c'est  que  quelques-uns  d'entre  eux  possèdent  une  remar- 
quable virtuosité  dans  l'emploi  du  vocabulaire.  Mais  avant  de  leur 
attribuer  un  esprit  très  fin,  il  faut  être  bien  sûr  f[u'il  ne  disent 
pas,  avec  des  mots  étincelants,  des  choses  absurdes  ou  banales. 

Ces  remarques  très  incomplètes  ne  suffisent  pas  pour  prouver 
que  l'esprit  de  finesse  et  l'esprit  géométrique  sont  absolument  de 
la  même  nature.  Je  me  contente  de  dénoncer  l'exagération  des 
autres.  Mais  ne  croyez  pas.  Messieurs,  que  j'ai  voulu,  sournoise- 
ment allonger  encore  mon  introduction.  Je  suis  en  plein  dans 
mon  sujet.  Car  s'il  était  vrai  que  pour  étudier  avec  profit  les  pro- 
blèmes de  la  littérature,  de  l'histoire,  de  la  politique  et  de  la 
morale  on  doit  posséder  ces  mêmes  facultés  intellectuelles  fonda- 
mentales qu'on  peut  développer  en  soi  en  étudiant  les  mathéma- 
tiques, nous  pourrions  en  conclure  (jue  les  (juestions  de  l'algèbre 
et  de  la  géométrie  ne  se  distinguent  des  autres  f|ue  par  une  sim- 
plicité plus  grande  et  que  ces  (piestions  sont  donc  particulière- 
ment  propres  à  exercer    l'intelligence  de  l'enfant.    Kn   d  autres 


74  H.    HOORDA 

termes,  nous  pourrions  dire  que  l'esprit  géométrique  n'est  pas 
autre  cliose  que  l'esprit  de  finesse  appliqué  aux  questions  que 
Ton  peut  trancher  avec  ceititude. 

Un  dernier  mot  à  ce  sujet.  Si  l'on  parle  avec  un  peu  de  dédain 
de  l'esprit  géométrique,  c'est,  quelquefois,  parce  qu'on  a  rencon- 
tré des  géomètres  qui  traitent  certaines  questions  complexes 
comme  si  elles  étaient  simples.  On  pouvait  en  conclure  que  ces 
géomètres  ne  sont  pas  très  intelligents.  Mais  ils  le  sont  autant  que 
ces  personnes  cultivées  qui  croient  avoir  nn  esprit  fin  et  qui  res- 
tent embarrassées  devant  les  problèmes  élémentaires  de  l'arith- 
métique comme  si  ces  problèmes  étaient  réellement  difTiciles. 
Quant  à  moi,  je  trouve  inquiétante  laudace  de  ces  gens  qui,  inca- 
pables de  se  faire  une  idée  claire  de  l'addition  de  deux  fractions 
ou  de  l'extraction  d'une  racine  carrée,  tranchent  avec  assurance 
les  questions  sociales  ou  morales  les  plus  compliquées. 

J'ai  parlé  de  la  grande  simplicité  des  mathématiques.  Cette  sim- 
plicité est-elle  réelle  ?  C'est  ce  que  je  vais  essayer  de  prouver.  Si 
tant  de  personnes  sont  tentées  dafïîrmer  le  contraire,  cela  tient  à 
des  raisons  que  j'indiquerai  à  la  fin  de  ce  rapport. 

En  étudiant  les  mathématiques  on  ne  s'occupe  que  des  gran- 
deurs géométriques  et  des  nombres.  Et  quels  que  soient  les  nom- 
bres dont  on  s'occupe,  tout  se  ramène  à  la  considération  des 
nombre  entie/s.  Or  une  rangée  de  points  marqués  sur  une  feuille 
de  papier  constitue  une  image  absolument  nette  d'un  nombre 
entier.  Il  suffît  de  grouper  ou  de  subdiviser  quelques-unes  de  ces 
rangées  de  points  pour  découvrir  toutes  les  propriétés  de  l'addi- 
tion, de  la  soustraction,  de  la  multiplication  et  de  la  division.  On 
acquerra  par  le  même  moyen  facile  des  idées  justes  sur  la  racine 
carrée.  Et  chaque  règle  nouvelle  sera  l'expression  de  ce  fait  qu'en 
changeant  le  mode  de  groupement  des  j)oints  qu'on  a  sous  les 
yeux  on  ne  fait  pas  varier  leur  nombre.  Enfin,  le  tableau  de  points 
qui  représente,  par  exemple,  le  produit  cinq  fois  huit,  est  absolu- 
ment analogue  à  celui  qui  représente  le  produit  de  deux  autres 
nombres  entiers.  Je  veux  dire  que  dans  le  domaine  de  l'arithmé- 
tique un  cas  particulier  ressemble  tellement  à  un  autre  cas  parti- 
culier qu'il  suflit  d'en  considérer  un  attentivement  pour  pouvoir 
énoncer  avec  {-onviction  une  règle  qui  s'applique  à  tous.  Il  n'y  a 
pas  d'autre  domaine  où  la  généralisation  des  résultats  observés 
se  fasse  avec  autant  de  sécurité  et  autant  d'aisance. 

Quant  aux  notions  fondamentales  de  la  géométrie,  nous  les  pos- 
sédons déjà  instinctivement,  tl'une  manière  confuse,  avant  d  avoir 
reç.'U  aucune  leyon  proprement  dite.  C  est  comme  une  science  qui 
dort  dans  notre  esprit  et  que  quelques  mots  du  maître  éveilleront. 
Les  mouvements  et  la  symétrie  de  son  propre  corps  ont  vraisembla- 
blement suggéré  à  l'homme  ces  idées  simples  qui  en  se  coordon- 
nant ont  constitué  la  iiéométrie  élémentaire. 


DU   ROLE    DES    MATHEMATIQUES  75 

Je  pourrais  citer  des  faits  nombreux  qui  confirment  cette  hypo- 
thèse ;  mais  pour  vous,  Messieurs,  ils  seraient  superflus. 

Enfin,  un  enfant  imaginera  lui-même  quelques-unes  des  iden- 
tités fondamentales  de  l'algèbre  élémentaire  en  essayant  de  rendre 
plus  facile  le  calcul  mental  qu'on  lui  a  proposé. 

Du  fait  que  le  mathématicien  ne  s'occupe  que  d'abstractions. 
des  naïfs  en  concluent  que  l'étude  des  mathématiques  est  difficile. 
Or,  l'abstraction  est  une  opération  automatique  et  spontanée  de 
1  esprit  qui  se  fait  dans  les  cerveaux  les  plus  grossiers  comme 
dans  les  autres.  Des  philosophes  ont  prétendu  que  des  cercles 
imparfaits,  les  seuls  que  nous  puissions  observer  autour  de  nous, 
ne  pouvaient  pas  donner  à  l'homme  l'idée  du  cercle  parfait.  Ils  se 
trompent,  car  nous  n'avons  pas  des  yeux  assez  bons  pour  aperce- 
voir les  petites  irrégularités  que  présente  tel  cercle  que  nous 
regardons,  le  disque  de  la  pleine  lune,  par  exemple  ;  et,  ainsi, 
quand  nous  apercevons  ce  cercle  imparfait,  c'est  l'idée  du  cercle 
parfait  qui  se  présente  la  première  à  notre  esprit.  Je  veux  dire 
que  c'est  l'imperfection  de  nos  sens  cpii,  constamment,  nous  fait 
faire  abstraction  de  la  plupart  des  caractères  de  la  réalité.  Et  il 
nous  faut  des  années  pour  corriger  et  compléter  les  idées  trop 
simples,  trop  abstraites  de  notre  enfance. 

Je  parlerai  plus  loin,  je  le  répète,  de  ce  qui  à  l'ordinaiie  rend 
difficile  l'étude  des  mathématiques.  Le  fait  est  cjue  l'écolier  qui 
étudie  les  mathématiques  élémentaires  s'occupe  de  choses  très 
simples,  assez  simples  pour  qu'il  puisse,  si  rien  ne  vient  le  troubler 
ou  le  distraire,  s'en  faire  une  idée  absolument  claire.  Et,  comme 
je  vais  le  montrer,  cela  peut  avoir  une  importance  fondamentale 
au  point  de  vue  de  son  éducation. 

Un  débutant  peut  étudier  l'algèbre  et  la  géométiie.  plusieurs 
années  de  suite,  de  manière  à  ne  rencontier  que  des  vérités  évi- 
dentes, ou  à  peu  près  évidentes.  Je  sais  bien  que  nos  élèves  n'ont 
pas  ce  bonheur;  mais,  pour  le  moment,  la  question  n'est  pas  là. 
Ce  caractère  d'évidence  des  relations  que  nous  découvrons  entre 
les  nombres  ou  entre  les  figures  géométriques  donne  à  notre  con- 
viction toute  sa  force  et  nous  permet  d'être  affiimatifs  avec  une 
assurance  parfaite.  Nous  nous  sentons  capables  de  convaincre  le 
contradictcui-  qui  se  présentera.  Or,  soif  dit  en  passant,  il  est  bon 
que  l'enfant,  qui  a  besoin  d'optimisme  et  île  confiance,  saciie  qu'il 
y  a  des  questions  sur  lesquelles  l'accoid  de  toutes  les  intelli- 
gences peut  se  faire  facilement. 

Je  dis  qu'il  n'y  a  pas  de  domaine  où  la  distinction  entre  le  i'rai 
et  \e  f'ati.v  soit  aussi  facile  à  faire  <iu'eu  mathématiques.  Les  affir- 
mations du  mathématicien  sont  aisément  contrôlables.  Aussi 
doit-il,  pour  travailler  avec  succès,  avoir  une  parfaite  probité 
intellectuelle.  S'il  manque  d'allention  ou  de  scrupules,  il  s'expose 
constamment  à  des  démentis  décisifs. 


76  //.    ROORDA 

A  ce  point  de  vue  le  mathématicien  est  un  privilégié.  Vous 
savez  fort  bien,  Messieurs,  (jue  tous  les  géographes  ne  peuvent 
pas  toujours  se  mettre  d'accord  ;  ni  les  historiens  ;  ni  les  philo- 
sophes ;  ni  les  moralistes.  On  a  vu  parfois  des  penseurs,  désireux 
démontrer  leur  ingéniosité  ou  leur  génie,  apporter  à  des  pro- 
blèmes très  complexes  des  sohitions  fantaisistes,  dépourvues  de 
toute  valeur  scientifique.  Et  il  leur  arrive  de  donner  leur  nom  à 
une  loi  naturelle  dont  la  fragilité  n'apparaîtra  qu'après  vingt  ou 
trente  ans  d'observations  patientes.  En  mathématiques,  il  est 
moins  facile  d'être  original. 

Autre  chose.  En  mathématiques,  on  sent  plus  vivement  qu'ail- 
leurs la  nécessité  d'être  très  attentif  à  ce  qu'on  lit  et  à  ce  qu'on 
écrit.  Quand  on  résout  des  équations,  par  exemple,  un  moment 
d'inattention  d'une  demi-seconde  suffît  pour  qu'on  aboutisse  à  un 
résultat  absolument  faux  et  pour  que  le  travail,  peut-être  très 
long,  qu'on  a  achevé  soit  sans  aucune  valeur.  Or,  on  ne  peut  cer- 
tainement pas  dire  la  même  chose  d'une  composition  littéraire, 
dans  laquelle,  d'ailleurs,  l'erreur  commise  étourdiment  sera  beau- 
coup plus  vite  corrigée. 

Effectuer  des  transformations  arithmétiques  ou  algébriques, 
pendant  cinquante  ou  soixante  minutes,  avec  une  attention  sou- 
tenue, cela  exige  un  sérieux  effort.  Mais,  dans  bien  des  cas, 
l'accomplissement  de  cet  effort  prolongé  constituera  une  condition 
suffisante  pour  que  le  travail  exécuté  soit  tout  à  fait  bon.  Les 
exercices  dont  je  parle  ici  auront  donc  une  intluence  moralisante 
sur  l'écolier,  puisqu'en  les  faisant  celui-ci  comprend  que  le  succès 
de  son  entreprise  dépend  uniquement  de  sa  persévérance,  de  sa 
volonté.  Il  y  a  beaucoup  de  domaines  où  la  récompense  du  tra- 
vailleur opiniâtre  est  moins  certaine. 

Il  y  a  des  leçons  où  l'écolier  en  est  réduit  à  répéter  ce  qu'on  lui 
a  appris,  sans  pouvoir  contrôler  l'exactitude  des  propositions  qu'il 
énonce.  Mais  en  mathématiques  on  peut  l'habituer  h.  se  demander 
constament:  «Ai-je  le  droit  d'affîrmer  cela?»  Et  ce  serait  pour  lui 
une  bonne  habitude  à  prendre. 

J'ai  dit  qu'en  étudiant  la  science  des  nombres  l'enfant  rencontre 
des  questions  qui  peuvent  devenir  pour  lui  absolument  claires, 
ce  ({ui  lui  permet,  quand  il  les  résout,  d'être  affirmatif  avec  fermeté. 
Mais,  précisément  parce  qu'il  aura  examiné  beaucoup  de  cas  où 
l'on  peut  affirmer  avec  certitude,  il  sera  capable  de  reconnaître 
les  cas  où  cela  n'est  plus  possible.  Xe  rencontrant  plus  dans  des 
problèmes  d'un  autre  ordre  la  netteté  et  la  clarté  aux(|uelles  il  a 
été  habitué,  il  sentira  mieux  que  personne  la  nécessité  de  sus- 
pendre son  jugement.  Mieux  qu'à  un  autre  on  pourra  lui  faire 
comprendre  que  telle  question  admet  des  solutions  différentes 
suivant  qu'on  accorde  plus  ou  moins  d'importance  à  ces  don- 
nées-ci ou  à  celles-là.  Ea  diversité  des  opinions  dans  le  domaine 


DU   ROLE    DES    MATHEMATIQUES  77 

de  la  morale,  de  la  philosophie  et  de  la  politique  ne  l'étonnera 
pas  et  il  sera  enclin  à  la  tolérance.  Je  sais  bien  que  dans  la  vie, 
devant  les  problèmes  indéterminés,  on  ne  peut  pas  suspendre  son 
jugement  indéfiniment  ;  il  faut  savoir  opter,  et  prendre  parti. 
Mais  on  peut  le  faire  sans  aveuglement.  Il  est  bon  que  les  ques- 
tions que  nous  simplifions  volontairement  pour  des  raisons 
d'ordre  pratique  ou  sentimental  conservent  pour  noire  intelli- 
gence toute  leur  complexité. 

Il  existe  évidemment  des  géomètres  peu  intelligents  qui  affir- 
ment à  tort  et  à  travers,  de  même  qu'il  existe  des  moralistes 
ineptes  et  des  historiens  sans  clairvoyance.  Mais  ce  n'est  pas 
l'étude  de  la  géométrie  qui  développe  en  nous  la  tendance  à 
affirmer  sans  précaution.  Au  contraire,  on  a  constamment  l'occa- 
sion, en  mathématiques,  de  mesurer  avec  soin  le  degré  de  géné- 
ralité de  la  vérité  et,  souvent,  l'obligation  d'iïitroduire  une  res- 
triction dans  l'énoncé  d'un  théorème. 

A  ce  propos  je  dois  faire  remarquer  que  le  maître  de  mathéma- 
tiques peut  être  un  auxiliaire  précieux  pour  son  collègue  qui 
apprend  aux  écoliers  à  se  servir  de  leur  langue  maternelle. 
Supposons,  en  effet,  que  l'on  demande  à  un  élève  de  définir  une 
figure  simple  tracée  sur  le  tableau  noir,  par  exemple  :  deux  angles 
opposés  par  le  sommet,  ou  bien  un  polygone  d'une  espèce  parti- 
culière. Si  sa  définition  est  incorrecte,  on  pourra  tracer  sur  le 
tableau  la  figure  qu'il  a  définie  sans  le  vouloir,  et  lui  faire  com- 
prendre ainsi  qu'il  s'est  trompé.  L'impropriété  des  termes  qu'il  a 
employés  lui  apparaît  tout  de  suite.  11  va  sans  dire  que  dans 
n'importe  quel  domaine  une  vérité  qu'on  formule  avec  des  mots 
mal  choisis  peut  devenir  une  erreur.  Mais  dans  le  domaine  des 
mathématiques,  mieux  que  dans  tous  les  autres  l'écolier  sent 
immédiatement  et  clairement  la  nécessité  d'employer  un  langage 
précis.  Et  même,  dans  bien  des  cas,  il  sentira  cette  nécessité 
sans  que  le  maître  intervienne. 

Cela  m'amène  à  parler  de  l'entière  liberté  d'esprit  avec  laquelle 
l'écolier  peut  étudier  les  mathématiques.  Je  veux  dire  qu'on  peut 
les  lui  enseigner  sans  lui  demander  la  moindre  docilité  intellec- 
tuelle. Si,  en  géométrie,  on  lui  indiquait  les  noms  des  figures 
élémentaires,  et,  en  algèbre,  les  signes  abréviatifs  universellement 
employés,  on  pourrait,  pendant  des  années,  le  faire  progresser 
rapidement  en  ne  lui  fournissant  que  les  énoncés  de  problèmes 
nombreux,  gradués  avec  beaucoup  de  soin.  Il  est  clair  (|u  en 
grammaire,  en  histoire,  en  géographie  et  en  sciences  naturelles 
on  ne  pourrait  pas  procéder  de  la  sorte.  Rn  particuliei",  dans  les 
leçons  où  on  lui  parle  de  choses  qui  sont  lointaines  dans  le  temps 
ou  dans  l'espace,  l'enfant  en  est  léduit  à  croire  ce  qu'on  lui  dit. 
Mais,  dans  les  leçons  de  mathématiques,  on  p<»urrait  constam- 
ment lui  donner  l'occasion  de  reconnaître  (]u'il  dispose  de  moyens 


78  H.    ROORDA 

naturels  pour  découvrir  la  vérité  sans  l'aide  de  personne.  Dans 
ces  leçons-là,  il  pourrait  être  plus  actif  que  dans  beaucoup  d'au- 
tres. Et  il  serait  toujours  facile,  en  lui  posant  de  temps  en  temps 
des  questions  embarrassantes,  de  maintenir  dans  de  sages  limites 
la  salutaire  confiance  quil  aurait  dans  ce  pouvoir  qui  est  en  lui, 
d'observer  attentivement,  de  persévérer,  de  raisonner  et  de  véri- 
fier. Si  l'un  des  buts  essentiels  de  l'éducation  est  de  former  des 
hommes  sachant  se  passer  de  maîtres,  l'étude  des  mathématiques 
peut  être  éducative  autant  que  toute  autre. 

Voici  encore  une  raison  pour  laquelle  il  faut  faire  faire  cette  étude 
aux  enfants.  Sans  que  j  insiste  sur  ce  point,  vous  me  croirez. 
Messieurs,  si  je  dis  que  les  cas  où  le  langage  mathématique  est 
préférable  à  l'autre  sont  innombrables.  Dans  bien  des  domaines  il 
y  a  des  choses  qu'on  peut  caractériser  au  moyen  d'un  ou  de  plu- 
sieurs nombres  bien  mieux  qu  avec  des  mots.  Les  nombres  et  les 
signes  de  l'algèbre  se  rencontrent  dans  des  livres  de  toutes  sortes. 
De  simples  nombres  peuvent  nous  renseigner  sur  la  situation  d'un 
point,  sur  la  forme  dune  figure,  sur  la  pente  d'une  route,  sur  la 
composition  d'un  mélange  ou  d'un  alliage,  sur  la  hauteur  d'un 
son.  surla  puissance  d'une  machine,  sur  l'état  pathologique  d'un 
malade,  sur  la  situation  économique  d'un  pays,  sur  les  habitudes 
d'un  peuple  et  sur  bien  d'autres  choses  encore.  Et,  par  exemple, 
ne  pourrait-on  pas  caractériser  un  peu  le  style  d'un  écrivain  en 
indiquant  la  fréquence  plus  ou  moins  grande,  dans  ses  écrits, 
des  mots  de  telle  espèce  et  de  telle  autre? 

Il  est  à  peine  besoin  de  le  dire:  les  mathématiques  constituent 
un  instrument  dont  se  servent  les  ingénieurs,  les  physiciens,  les 
astronomes,  les  hommes  d'affaires,  les  économistes,  les  statisti- 
ciens, les  géographes  et  bien  d'autres  gens  encore.  Et  que  ferait 
un  philosophe  qui  voudrait  étudier  le  mécanisme  du  raisonnement 
s'il  n'avait  pas  à  sa  disposition  les  exemples  que  peuvent  fournir 
l'algèbre  et  la  géométrie?  On  sait  d'ailleurs  quelle  place  a  été 
accordée  aux  mathématiques  par  les  penseurs  qui  se  sont  occupés 
de  la  classification  des  sciences. 

Le  nombre  se  retrouve  partout.  Eh  bien,  nous  avons  tous  pu  le 
constater,  lorsqu'un  adulte  cultivé  juge  utile  de  diminuer  son 
ignorance  en  matliématiques,  il  rencontre  à  l'ordinaire,  dans 
l'étude  qu'il  entreprend,  des  difficultés  sérieuses  et.  parfois,  dé- 
courageantes. En  tous  cas,  il  progresse  moins  vite  qu'il  ne  le  vou- 
drait. Il  lui  manque  non  seulement  le  temps  dont  disposent  les 
écoliers,  mais  aussi  certaines  habitudes  d'esprit  qui  sont  plus 
nécessaires  quand  on  se  sert  du  langage  algébrique  (jue  lorsqu'on 
parle  la  langue  de  tout  le  momie.  ()r,  j'affirme  qu'un  mathéma- 
ticien se  guérira  plus  lapidement.  avec  moins  d'efforts,  au 
moyen  de  livres  attrayants,  de  son  ignorance  en  littérature, 
en  histoire,   en   géographie   ou    en   sciences  naturelles.  J'ose  en 


DU   ROLE    DES    MATHEMATIQUES  79 

conclure  que  l'étude  des  mathématiques  n'est  pas  de  celles 
qu'on  peut  le  plus  facilement  remettre  à  plus  tard.  Plus  tard 
l'écolier  pourra  compléter  son  érudition  ;  mais  c'est  pendant 
que  l'être  humain  est  jeune  qu'il  faut  l'aider  à  perfectionner  l'ins- 
trutnent  de  travail  que  sera  pour  lui  son  cerveau. 

Enfin,  Messieurs,  je  ne  vous  étonnerai  pas  en  disant  qu'on  doit 
aussi  essayer  de  faire  aimer  les  mathématiques  pour  leur  beauté. 
Dans  la  géométrie  analytique," par  exemple,  il  existe  une  si  par- 
faite correspondance  entre  les  expressions  alorébiiques  et  les 
grandeurs  géométriques  que  les  caractères  les  moins  apparents 
d'une  courbe  se  révèlent  dans  les  particularités  de  son  équation. 
Et,  pour  finir,  je  citerai  encore  ce  fait  qu'un  raisonnement  simple 
et  bref  peut  donner  au  mathématicien  une  certitude  à  laquelle  on 
n'aboutirait  pas  par  des  observations  patientes,  poursuivies  pen- 
dant des  siècles.  Par  exemple,  ce  n'est  pas  l'expérience  qui  pour- 
rait nous  apprendre  que  la  suite  des  nombres  premiers  est  illi- 
mitée. Je  me  hâte  d'ailleurs  d'ajouter,  puisque  personne  ne  nous 
entend,  que  des  théorèmes  de  ce  genre  ne  permettent  pas  à 
l'humanité  d'améliorer  sensiblement  les  conditions  de  son  exis- 
tence à  la  surface  du  globe. 

J'ai  indiqué.  Messieurs,  quelques-unes  des  raisons  pour  les- 
quelles, selon  moi,  il  faut  enseigner  les  mathématiques,  réguliè- 
rement, plusieurs  années  de  suite,  aux  êtres  jeunes  dont  on  veut 
discipliner  l'intelligence.  Mais,  comme  je  l'ai  dit,  donné  d'une 
façon  maladroite  et  dans  de  mauvaises  conditions,  cet  enseigne- 
ment peut  être  dépourvu  de  toute  valeur  éducative. 

Il  y  a,  bien  entendu,  plusieurs  manières  de  bien  enseigner  et  je 
n'ai  pas  la  ridicule  prétention  de  donner  des  conseils  à  mes  col- 
lègues. C'est  dans  mes  propres  leçons  que  j'ai  constaté  la  dispro- 
portion inquiétante  qu'il  y  a  entre  les  efforts  que  fait  le  maître  et 
les  résultats  qu'il  obtient.  Mais  j'ai  des  raisons  de  croire  que  nous 
avons  tous  eu  l'occasion,  plus  ou  moins  souvent,  de  soulfrir  sin- 
cèrement de  notre  insuccès  partiel.  Si  je  ne  parviens  pas  à  en 
découvrir  les  vraies  causes,  vous  voudrez  bien  m'éclairer  sur  ce 
point. 

Il  ne  suffit  pas  à  un  maître,  pour  avoir  l'esprit  tranquille,  de 
mettre  dans  ses  leçons  beaucoup  de  s(»in,  d'ardeur  et  de  patience. 
Par  malheur,  il  est  pressé.  Il  a  des  élèves,  parfois  nouibrenx, 
auxquels  il  doit  inculquer,  dans  un  temps  donné,  la  somme  de 
connaissances  prévue  par  le  Programme.  Ses  élèves  diffèrent 
beaucoup  les  uns  des  autres  par  leur  zèle  et  par  la  qualité 
de  leur  intelligence.  Or,  il  ne  doit  pas  seulement  leui-  faire 
faire  à  tous  des  progrès  continus  :  c'est  la  même  dose  de 
science  (ju'il  doit  enseigner  à  ceux  qui  progressent  vite  et  à 
ceux    (pii    progressent    lentement.    La    nature    ne   se   soucie    pas 


80  //.    ROORDA 

des  exigences  de  l'Ecole;  et  quand  nous  sommes  paivenus  à 
enseigner  les  mêmes  formules  à  un  élève  borné  et  à  un  élève 
intelligent,  nous  ne  devons  pas  croire  que  nous  avons  mis  la 
même  clarté  dans  l'esprit  de  l'un  et  dans  lesprit  de  l'autre.  S'ils 
pouvaient  être  profondément  sincères,  ces  deux  écoliers  n'em- 
ploieraient pas  les  mêmes  mots  pour  dire  ce  qu'ils  ont  appris  et 
compris.  En  exigeant  trop  vite  d'un  débutant  qu'il  emploie  les 
expressions  correctes  et  classiques'du  maître,  on  n'est  plus  ca- 
pable d  apprécier  le  degré  exact  de  ses  connaissances. 

.le  veux  dire  qu'on  se  hâte  beaucoup  trop  denseigner  aux  débu- 
tants des  procédés  expéditifs,  des  raisonnements  d  une  forme  im- 
peccable et  des  formules  générales.  Les  questions  mathématiques 
seraient  beaucoup  plus  faciles,  beaucoup  plus  claires  pour  l'enfant 
s'il  avait  le  droit,  pour  commencer,  de  les  résoudre  à  sa  manière 
en  employant  les  moyens  très  imparfaits  qu'il  est  capable  dima- 
giner  lui-même.  Voyons!  est-il  naturel  qu'un  écolier  très  jeune 
procède  comme  quelqu'un  qui  connaît  d'avance  les  résultats  aux- 
quels il  doit  aboutir  ou  bien  comme  quelqu'un  qui  cherche,  qui 
ne  sait  pas  encore  ?  Qu'on  soit  intelligent  ou  non,  lorsqu'on  aborde 
une  question  nouvelle  on  commence  par  hésiter  et  tâtonner,  on 
fait  des  hypothèses,  des  vérifications,  on  reconnaît  ses  erreurs  et 
l'on  recommence.  On  dit  aux  écoliers  comment  ils  doivent  ré- 
pondre, mais  on  ne  leur  appi^end  pas  à  chercher.  Tracer  des 
figures,  observer,  tâtonner,  vérifier:  voilà  ce  que  nos  élèves  de- 
vraient faire  pour  commencer.  C'est  à  la  longue,  et  tout  naturel- 
lement, que  leur  langage  et  leur  raisonnement  s'amélioreront. 
Pour  cela,  bien  entendu,  on  les  aidera  ;  mais  on  devrait  attendre 
leurs  progrès  avec  moins  d'impatience. 

Je  viens  de  parler  de  figures.  11  est  bon  que  les  écoliers  très 
jeunes  s'en  servent  souvent.  Il  suffit  dans  bien  des  cas  de  repré- 
senter l'inconnue  d'un  problème  par  un  segment  rectiligne  ou  par 
la  surface  d'un  rectangle  pour  que  ce  problème  devienne  facile. 
Tout  ce  qu'on  peut  diie  du  produit  de  deux  nombres  ou  de  deux 
binômes  devient  évident  si  l'on  a  sous  les  yeux  le  rectangle  dont 
les  deux  côtés  sont  mesurés  par  les  deux  facteurs  de  ce  produit. 

Voici  une  expérience  que  j'ai  faite  souvent,  qui  a  toujours  réussi 
et  qui  me  paraît  significative.  Je  propose  à  mes  élèves  nouveaux 
qui  abordent  l'étude  de  lalgèbre  et  de  la  géométrie  et  qui  ont 
déjà  étudié  la  règle  de  trois,  un  problème  dans  le  genre  du  suivant  : 

Si  l'on  augmentait,  de  5  centimètres  le  côté  d'un  carré,  sa  surface 
augmenterait  de  865  centimètres  carrés.  De  combien  augmenterait 
la  surface  si  le  coté  augmentait  de  ^'  centimètres  ? 

La  plupart  de  ces  écoliei's  lésolvent  rapidement  le  problème  par 
la  règle  de  trois  et,  bien  entendu,  majiportcnt  une  réponse 
inexacte.  Au  moyen  d'une  (iguie  très  simple  ils  auraient  reconnu 
que  l'accroissement  de  la  surface  n'est  pas  proportionnel  à  l'ac- 


DU    ROLE    DE  S    M  A  T  II  É  MA  T  1  Q  LE  S  81 

croissement  du  coté  et  que  la  règle  de  trois  ne  doit  pas  intervenir 
dans  la  question.  Or  ils  n'auraient  pas  été  trompés  par  la  forme 
de  l'énoncé  si  on  les  avait  davantage  habitués  à  observer  et  si  l'on 
s'était  moins  hâté  de  leur  enseigner  des  procédés  expéditits.  Les 
règles  n'ont  de  la  valeur  que  si  Ton  sait  reconnaître  les  cas  oii 
elles  sont  applicables;  et  elles  nont  un  sens  tout  à  fait  clair  que 
pour  le  chercheur  dont  elles  résument  les  expériences  et  les  obser- 
vations nombreuses. 

Bien  souvent  l'écolier  s'occupe  de  mathématiques  sans  savoir 
ce  qu'il  fait.  Parce  que  le  maître  est  pressé,  parce  qu'il  doit  hâter 
l'instruction  de  ses  élèves,  il  leur  fournit  des  moyens  perfectionnés 
avant  qu'ils  se  soient  fait  une  idée  claire  du  but  à  atteindre.  Or, 
ce  but,  ils  l'atteindraient  beaucoup  plus  sûrement  si  on  leur  indi- 
quait la  direction  dans  laquelle  il  faut  marcher  sans  leur  fournir 
le  moyen  de  locomotion  qui  permet  d'avancer  très  vite.  Ne  pas 
trouver  tout  de  suite  le  procédé  qui  permettrait  de  résoudre  le 
problème  qu'on  s'est  proposé,  cela  arrive  aux  personnes  les  plus 
intelligentes.  Mais  ne  pas  savoir  ce  qu'on  veut,  c'est  être  incapable 
de  faire  un  effort  utile. 

En  classe,  les  maîtres  traitent  habituellement  avec  beaucoup 
de  soin  les  questions  de  détail  ;  mais  beaucoup  d'entre  eux,  sem- 
ble-t-il,  insistent  trop  peu  sur  la  signification  des  questions  très 
générales.  Or,  en  mathématiques,  ce  sont  les  idées  générales  qui 
pour  un  débutant  sont  les  plus  faciles  à  saisir.  Et  cela  se  com- 
prend. Les  préoccupations  fondamentales  de  ceux  qui  ont  élaboré 
l'arithmétique,  l'algèbre  et  la  géométrie  ont  un  caractère  essen- 
tiellement humain  et  traduisent  des  besoins  profonds  de  l'esprit 
que  n'importe  qui  peut  éprouver.  Si  ce  caractère  en  quelque  sorte 
naturel  des  mathématiques  n'apparaît  pas  nettement  à  l'écolier, 
c'est  qu'il  est  gêné  par  les  termes  techniques  spéciaux,  les  signes 
nouveaux  et  les  artifices  dont  on  abuse.  Il  pourra  être  embarrassé 
par  la  mise  en  évidence  d'un  facteur  commun  aux  dill'érents  ter- 
mes d'un  polynôme.  Mais  on  peut  lui  faire  comprendre  tout  de 
suite  et  très  clairement  le  problème  général  cpie  servent  à  résoudre 
toutes  les  règles  du  calcul  algébrique.  Quelle  que  soit  l'identité 
que  nous  avons  sous  les  yeux,  elle  nous  apprend  toujours  que 
telle  série  d'opérations  et  telle  autre  conduisent  à  deux  résultats 
égaux  lorsqu'on  les  effectue  sur  les  mêmes  nombres.  Or,  si  l'on 
propose  à  un  enfant  un  calcul  facile,  exigeant  beaucoup  de  temps, 
mais  susceptible  d'être  simplifié,  il  essaiera  lui-même  d'imaginer 
un  calcul  équivalent  et  plus  rapide.  Et  deux  ou  trois  exemples  du 
même  genre  lui  feront  comprendre  ce  qu'on  entend  par  expres- 
sions équivalentes.  Eh  bien,  il  est  certain  que  beaucoup  d'écoliers 
appliquent  les  règles  du  calcul  algébrique  sans  se  faire  une  idée 
claire  de  leur  rôle. 

L'Enseignement  tnalhém..   19*  .innée,   1917.  " 


82  H.    ROORDA 

Et,  de  même,  beaucoup  d'écoliers  qui  apprennent  docilement 
des  démonstrations  dans  leurs  manuel  de  géométrie,  sont  inca- 
pables de  distinguer  les  démonstrations  qui  sont  rigoureuses  et 
convaincantes  de  celles  qui  ne  le  sont  pas.  Les  démonstrations 
qu'un  élève  débite  n'exercent  une  action  éducative  sur  son  intel- 
ligence que  s'il  les  fait  avec  une  ferme  conviction.  Débiter  des 
démonstrations  de  la  solidité  desquelles  on  n'est  pas  sûr,  c'est 
vouloir  convaincre  les  autres  avant  d'être  convaincu  soi-même. 

Je  le  répète  :  si  le  maître  était  moins  pressé  il  pourrait  faire 
comprendre  clairement  à  l'enfant  le  sens  de  ces  mots  qui  revien- 
nent sans  cesse  dans  les  leçons  :  théorème,  réciproque^  démons- 
tration, etc.  Et,  en  passant,  il  lui  ferait  faire  de  la  bonne  psycho- 
logie en  lui  montrant  comment,  en  mathématiques,  on  peut 
parvenir  à  faire  partager  son  opinion  à  un  contradicteur.  Il  lui 
expliquerait  aussi  pourquoi,  dans  certains  domaines,  c'est  beau- 
coup moins  facile. 

Si  certains  maîtres  ne  veulent  traiter  dans  une  leçon  qu'un  ou 
deux  petits  sujets  bien  limités,  c'est  qu'ils  pourront  ainsi  proposer 
à  leurs  élèves,  pour  la  prochaine  fois,  une  tâche  bien  définie  et 
reconnaître  alors  aisément  ceux  qui  méritent  une  bonne  note  et 
ceux  qui  en  méritent  une  mauvaise.  Mais  en  procédant  de  la  sorte 
ils  tracent  des  frontières  dans  des  domaines  où  il  ne  devrait  pas 
y  en  avoir.  En  classant  et  en  subdivisant  les  choses  pour  des  rai- 
sons de  commodité,  l'école  supprime  les  relations  qu'il  y  a  entre 
les  questions  et  entre  les  phénomènes  et  elle  enlève  à  ceux-ci  une 
grande  partie  de  leur  intérêt  et  leur  vraie  signification. 

Sans  insister  sur  ce  point  j'ajouterai  que  l'étude  des  mathéma- 
tiques pourrait  être  rendue  beaucoup  plus  attrayante.  Elle  le  se- 
rait davantage  pour  l'écolier  si  celui-ci  était  moins  souvent  obligé 
d'écouler  et  plus  souvent  occupé  à  chercher.  Il  y  a  trop  de  mo- 
ments où  il  est  inactif  et  où  il  s'ennuie.  Or,  comme  je  l'ai  dit,  dans 
les  leçons  dont  je  parle,  le  rôle  du  maître  et  celui  du  livre  pour- 
raient être  beaucoup  plus  effacés  que  dans  la  plupart  des  autres  ; 
car  les  moyens  naturels  dont  l'élève  dispose  le  mettent  en  mesure 
de  travailler  seul  si  les  problèmes  qu'il  a  à  résoudre  ont  été  con- 
venablement choisis  et  gradués. 

Enfin,  à  propos  de  problèmes,  je  dirai  encore  qu'il  n'y  a  pas 
assez  de  variété  dans  ceux  qu'on  propose  aux  écoliers.  Sans  doute, 
ce  n'est  qu'au  moyen  d'exercices  répétés  qu'on  devient  un  bon 
calculateur.  Mais,  d'autre  part,  il  importe  absolument  que  l'élève 
soit  fréquemment  intéressé  par  sa  besogne.  Et  ceci  n'est  pas  in- 
compatible avec  cela. 

Je  me  contenterai  d'un  seul  exemple.  Le  chapitre  des  oirange- 
menls,  des  permutations  et  des  combinaisons  n'est  enseigné,  à 
l'ordinaire,  qu'aux  élèves  des  gymnases,  âgés  de  IG  ou  17  ans.  Or, 
on  pourrait  déjà  le  rendre  facilement  intelligible  pour  des  écoliers 


DU   ROLE    DES    MATHEMATIQUES  83 

beaucoup  plus  jeunes,  au   moyen  de  problèmes  pittoresques  que 
chaque  maître  imaginera  sans  peine. 

Il  ne  faut  pas  que  Tordre  mis  par  l'école  dans  les  matières  d'en- 
seignement ralentisse  la  vie  intellectuelle  de  Técolier.  La  nature 
aussi  a  mis  de  l'ordre  dans  ses  créations;  et  dans  l'esprit  des  êtres 
jeunes  les  idées  ne  se  succèdent  pas  comme  dans  les  programmes 
scolaires.  En  somme  nous  ne  pouvons  rien  faire  de  mieux  que  de 
fournir  à  nos  élèves  des  occasions  continuelles  de  réfléchir,  de 
s'enthousiasmer  et  d'exercer  leurs  forces. 

Encore  deux  mots,  Messieurs,  et  j'aurai  fini. 

On  ne  peut  pas  parler  de  l'enseignement  des  mathématiques 
sans  songer  aux  conditions  générales  dans  lesquelles  les  écoliers 
s'instruisent.  Cet  enseignement,  comme  tous  les  autres,  soufTre 
des  défauts  de  notre  pédagogie  traditionnelle.  Je  vais  indiquer 
brièvement  quelques-uns  de  ces  défauts,  ceux  qui  me  paraissent 
les  plus  graves. 

On  traite  trop  souvent  l'écolier  comme  un  prévenu  dont  on 
soupçonne  l'inattention  ou  la  paresse  ;  et  les  interrogatoires  fré- 
quents qu'on  lui  fait  subir  lui  font  comprendre  qu'il  a  intérêt  à 
cacher  son  ignorance.  L'effet  de  ce  régime  est  de  diminuer  sensi- 
blement la  liberté  d'esprit  de  l'enfant,  son  insouciance,  son  en- 
thousiasme et  sa  sincérité. 

L'intérêt  et  la  valeur  éducative  des  leçons  sont  diminués  par  le 
lait  que  le  maître,  habituellement,  doit  considérer  comme  des 
sujets  d  examen  et  non  pas  comme  des  sujets  de  conversation  les 
choses  dont  il  parle  à  ses  élèves.  Je  veux  dire  qu'en  séparant  et 
en  divisant  les  questions,  il  empêche  l'écolier  de  comprendre 
l'interdépendance  des  phénomènes. 

En  particulier,  la  répartition  des  matières  d'enseignement  en 
branches  tout  à  fait  distinctes,  attribuées  à  autant  de  maîtres 
spéciaux,  offre  des  inconvénients  très  graves. 

D'abord,  elle  augmente  la  monotonie  des  leçons.  Nous  avons 
tous  pu  constater  que  nos  élèves  nous  écoutent  beaucoup  plus 
attentivement  lorsqu'il  nous  arrive  de  parler  de  choses  qui  sont 
en  dehors  de  notre  spécialité. 

D'autre  part,  quand  un  même  écolier  a  des  maîtres  trop  nom- 
breux, il  peut  arriver  que  liniluence  des  uns  soit  en  paitie  neu- 
tralisée par  l'influence  des  autres.  Et  puis,  cet  enfant  aura  parfois 
à  satisfaire  des  exigences  trop  nombreuses. 

Celte  habitude  de  faire  suivre  à  nos  élèves  des  cours  tout  à  fait 
distincts,  dans  chacun  desquels  toutes  les  questions  traitées  sont 
du  même  ordre,  a  une  conséquence  baroque.  Un  cours  auquel  on 
ne  consacre  qu'une  heure  par  semaine  se  compose  d'une  quaran- 
taine de  leçons  environ,  car,  le  plus  souvent,  la  durée  d'un  cours 
est  d'une  année  au  moins.  Or,  on  se  décide  de  loin  en  loin,  —  et 


84  H .    ROORDA 

cela  peut  être  pour  d'excellentes  raisons,  —  à  traiter  devant  les 
écoliers  des  questions  d'un  genre  nouveau.  On  en  conclut  absur- 
dement  qu'il  faut  ajouter  un  cours  de  plus  à  ceux  que  mentionne 
déjà  le  Programme  ;  et,  ainsi,  le  nombre  des  leçons  auxquelles 
l'enfant  doit  assister  dans  le  courant  de  l'année  augmente  néces- 
sairement de  quarante,  ou  d'un  multiple  de  quarante,  ■ —  alors 
qu'une  demi-douzaine  de  leçons,  dans  certains  cas,  pourrait 
suffire,  une  demi-douzaine  de  leçons  qu'on  pourrait  incorporer 
dans  un  cours  déjà  existant  sans  en  augmenter  la  durée. 

En  enseignant  plusieurs  sciences  à  la  fois,  le  maître  pourrait 
mieux  faire  comprendre  à  ses  élèves  la  signification  de  chacune 
d'elles.  Par  exemple,  une  expression  algébrique  a  un  sens  plus 
clair  lorsqu'on  peut  voir  en  elle  une  manière  commode  d'exprim'er 
le  résultat  de  quelques  expériences  de  physique  ou  de  mécanique. 
De  même,  l'étroite  dépendance  qu'il  y  a  entre  les  problèmes  de 
mécanique  et  de  géométrie  est  évidente.  ¥^n  passant,  je  me  per- 
mets d'ajouter  qu'un  professeur  de  littérature  retirerait  un  réel 
avantage  du  fait  qu'il  enseignerait  aussi  l'histoire  et  la  géogra- 
phie. Car  il  ne  s'agit  pas  de  faire  de  nos  élèves  de  précoces  spé- 
cialistes, filnfin,  puisque  j'ai  osé  me  lancer  dans  l'utopie,  je 
remarquerai  encore  que  dans  les  leçons  où  Ion  ne  fait  pas  autre 
chose  que  d'enseigner  à  l'enfant  sa  langue  maternelle,  on  le  fait 
parler  à  des  moments  où  il  n'a  aucun  sentiment,  aucune  idée  à 
exprimer;  bref,  à  des  moments  oii  il  n'a  rien  à  dire,  et  seulement 
pour  lui  donner  l'occasion  d'appliquer  une  règle  nouvellement 
apprise.  L'idéal  serait  que  l'enseignement  de  la  langue  maternelle 
fût  donné  en  même  temps  que  tous  les  autres,  c'est-à-dire  dans 
tous  les  cas  où  l'enfant  emploie  spontanément  sa  langue  mater- 
nelle pour  formuler  sa  pensée.  On  me  fera  remarquer  que  dans 
l'enseignement,  comme  ailleuis,  la  division  du  travail  est  néces- 
saire, .le  demanderai  alors  si  elle  est  nécessaire  dès  le  début. 

Je  n'insisterai  pas  sur  le  fait  que  les  écoliers  sont  trop  longtemps 
enfermés  et  assis,  et  que  leur  santé  en  souffre.  Ce  sujet  a  déjà  été 
traité  bien  souvent. 

Je  n'ai  plus  qu'un  reproche  à  faire  à  IRcolc  avant  de  résumer. 
Ce  reproche,  le  voici. 

L'Ecole  s'applique  à  donner  aux  enfants  des  connaissances 
aussi  étendues  que  possible;  mais  elle  ne  se  soucie  pas  d'amé- 
liorer tout  ce  qu'il  y  a  en  eux  de  précieux  et  de  perfectible.  11  y  a 
des  aptitudes  fondamentales  de  l'être  humain  dont  le  pédagogue 
se  désintéresse.  L'écolier  ne  se  sert  habituellement  de  ses  yeux 
que  pour  lire  ou  pour  suivre  ce  (|u'il  écrit  :  il  ne  s'en  sert  presque 
jamais,  en  classe,  pour  observer.  Ses  mains  lui  servent  à  tenir  une 
plume,  \\n  crayon,  un  livre  ou  un  cahier:  elles  ne  lui  servent 
presque  jamais  à  façonner  ou  à  construire  des  objets.  Enfin  ses 
pieds  lui  permettent  uniquement,  pendant  les  leçons,  de  faire  du 


DU   ROLE    DES    MATHÉMATIQUES  85 

bruit  sous  la  table  ou  de  caresser  le  dos  du  camarade  qui  est  assis 
devant  lui.  Et  l'éducation  physique  de  l'enfant  est  en  grande 
partie  sacrifiée.  Mieux  exercés,  ses  yeux,  ses  mains  et  ses  pieds 
pourraient  avoir  pour  lui  une  valeur  beaucoup  plus  grande.  Je 
me  contenterai  de  remarquer  que  nos  sensations  pourraient,  dans 
des  occasions  bien  choisies,  nous  suggérer  des  idées  justes  en 
mécanique,  qui  nous  permettraient  de  mieux  comprendre  ces 
formules  dans  lesquelles  tant  décoliers  ne  voient  rien  de  plus 
que  les  lettres  m,  v,  t,  1,  g  et  f. 

En  somme,  en  dépit  de  la  richesse  apparente  des  programmes, 
l'enfant,  à  l'école,  fait  presque  tout  le  temps  la  même  chose. 
Dans  la  plupart  de  ses  leçons  c'est  la  même  attitude  qu'on  exige 
de  lui.  Et  la  conséquence  de  cette  monotonie  est  que  souvent  il 
s'ennuie. 

Je  m'arrête,  car  j'ai  déjà  abusé  de  votre  patience. 

En  résumé,  pour  les  raisons  que  j'ai  dites,  les  leçons  de  mathé- 
matiques données  dans  de  bonnes  conditions  peuvent  coopérer 
d'une  manière  particulièrement  efficace  à  l'éducation  intellectuelle 
de  l'écolier.  Et  puisque  dans  ces  leçons  il  s'agit  davantage  de  lui 
inculquer  une  ou  deux  bonnes  habitudes  d'esprit  et  de  développer 
en  lui  une  certaine  habileté  que  d'accroître  son  savoir  proprement 
dit  (savoir  dont  les  lacunes  pourront  être  comblées  plus  tard  ,  il 
importe  qu'elles  soient  suffisamment  nombreuses. 

L'étude  des  mathématiques  favorise  aussi  le  développement 
moral  de  l'enfant,  parce  qu'elle  le  rend  attentif  et  scrupuleux  dans 
ses  alfirmations,  et  parce  quelle  lui  montre  sans  cesse  des  cas  où, 
par  la  réflexion,  la  persévérance  et  la  probité  intellectuelle  on  par- 
vient tout  seul  à  distinguer  l'erreur  de  la  vérité.  Il  acquiert  ainsi 
une  légitime  confiance  dans  ce  que  le  cerveau  humain  a  de  bon. 

Et  puisqu'on  parle  beaucoup  depuis  quatre  ou  cinq  ans  d'édu- 
cation nationale,  j'ajouterai  qu'en  dépit  de  son  caractère  essen- 
tiellement international,  l'enseignement  des  mathématiques, 
mieux  que  tout  autre  enseignement,  peut  développerchez  l'écolier 
une  ou  deux  qualités  fondamentales  sans  lesquelles  on  est  un 
homme  médiocre  et  un  citoyen  peu  utile.  Il  importe  autant  dans 
la  vie  publique  que  dans  les  laboratoires  de  savoir  raisonner 
juste  et  de  ne  pas  se  payer  de  mots. 

Mais  je  dois  le  rappeler  en  terminant:  toutes  les  leçons  que 
l'écolier  reçoit  pourraient  être  améliorées  et  toutes  pourraient 
exercer  sur  son  développement  une  action  beaucoup  plus  favo- 
rable. Chaque  maître,  et  cela  pourrait  facilement  s'expliquer,  est 
porté  à  exagérer  l'importance  de  son  propre  enseignement.  Cha- 
cun est  dans  une  certaine  mesuic  un  spécialiste  dont  le  travail  est 
en  général  indé])endant  de  celui  de  ses  c(>ll«'gues.  Il  en  est  résulté 
cette  surcharge  des  programmes  dont  nos  élèves  souffrent  depuis 


86  //.    liOORDA 

longtemps.  J'ai  de  la  peine  à  comprendre  la  naïveté  de  certains 
réformateurs  qui  s'imaginent  qu'on  réaliserait  un  progrès  sensible 
si  l'on  consacrait  deux  heures  de  plus  par  semaine  à  tel  enseigne- 
ment et  deux  heures  de  moins  à  tel  autre.  Ce  qu'il  faut  modifier 
profondément,  c'est  le  régime  scolaire  auquel  les  enfants  sont 
soumis;  c'est  l'esprit  de  l'enseignement  et  c'est,  du  même  coup, 
l'état  d'esprit  de  l'écolier. 

La  question  fondamentale  qu'il  faudra  absolument  se  poser  un 
jour  est  la  suivante  : 

«  Quel  but  voulons-nous  assigner  à  l'Ecole?  Que  voulons-nous 
par-dessus  tout  ?  « 

Quand  nous  nous  ferons  une  idée  nette  des  aptitudes  qu'il 
importe  avant  tout  de  développer  chez  les  enfants,  nous  compren- 
drons ce  que  doivent  être  nos  programmes  et  nos  méthodes  d'en- 
seignement. 


Thèses  de  M.  Roorda. 

1.  La  distinction  que  l'on  fait  entre  les  branches  d'enseignement 
susceptibles  de  donner  à  l'écolier  une  culture  générale  et  celles 
auxquelles  on  refuse  cette  vertu  n'est  pas  fondée. 

2.  Les  leçons  où  il  s'agit  d'enseigner  à  l'élève  une  certaine 
technique,  de  développer  en  lui  une  certaine  habileté,  doivent 
être  plus  nombreuses  que  les  autres. 

3.  L'esprit  géométrique  n'est  pas  autre  chose  que  l'esprit  de 
finesse  appliqué  aux  questions  qu'on  peut  trancher  avec  certitude. 

4.  L'étude  des  mathématiques  habitue  à  être  affîrmatif  dans  les 
cas  où  l'on  doit  l'être  et  à  suspendre  son  jugementdansles  autres. 

5.  Il  n'y  a  pas  de  domaine  où  la  distinction  entre  le  vroi  et  le 
faux  soit  aussi  facile  à  faire  qu'en  mathématiques;  pas  de  do- 
maine, donc,  où  la  nécessité  d'être  scrupuleux  dans  ses  allirma- 
tions  se  fasse  aussi  fortement  sentir. 

6.  Eu  mathématiques,  l'élève  apprend  à  découvrir  la  vérité  sans 
le  secours  du  maître. 

7.  En  étudiant  les  matliématiques,  on  apprend  à  faire  des  rai- 
sonnements rigoureux.  L'homme  qui  raisonne  mal  manque  de 
probité  intellectuelle. 

8.  En  mathématiques,  l'enfant  étudie  des  questions  sui- lesquelles 
l'accord  de  toutes  les  intelligences  peut  se  faire. 

9.  Si  les  mathéuîatiques  n'ont  pas  pour  l'écolier  toute  la  valeur 
éducative  adirméc  dans  les  thèses  précédentes,  cela  tient  essen- 
tiellement à  la  manière  dont  on  les  enseigne  et  aux  caractères 
généraux  de  notre  régime  scolaire. 

A.  Trop  pressé,  le  maître  enseigne   souvent  dos   moyens  expé- 


CHRONIQUE  87 

ditifs  à  ses  élèves  avant  que  ceux-ci  se  fassent  une  idée  claire   du 
but  à  atteindre. 

B.  En  classe,  l'enfant  apprend  moins  à  observer  et  à  cherchei- 
qu'à  répondre  à  des  questions  prévues. 

C.  Plaire  débiter  à  un  élève  une  démonstration  dont  il  ne  sent 
pas  la  rigueur,  c'est  lui  demander  de  convaincre  les  autres  avant 
qu'il  soit  convaincu  lui-même. 

D.  On  se  hâte  beaucoup  trop  de  mettre  l'écolier  en  mesure  de 
montrer  qu'il  sait  quelque  chose. 

E.  On  lui  enlève  sa  liberté  d'esprit  en  le  traitant  comme  un 
prévenu  qui,  à  chaque  instant,  peut  être  pris  en  flagrant  délit 
d'ignorance. 

F.  Parles  frontières  trop  nombreuses  quelle  trace  tout  de  suite 
entre  les  matières  de  l'enseignement,  l'Ecole  supprime  les  rela- 
tions qu'il  y  a  entre  les  phénomènes  et  compromet  l'éducation 
intellectuelle  de  ses  élèves. 

G.  La  somme  des  connaissances  qu'un  écolier  doit  acquérir 
dans  un  temps  donné  ne  dépend  ni  de  ses  goûts,  ni  de  ses  apti- 
tudes. 


CHRONIQUE 


Gaston  Darboux. 

La  science  mathématique  vient  de  faire  une  perte  cruelle  en  la 
personne  de  lun  des  plus  éminents  géomètres  de  notre  époque. 
M.  Gaston  Darboux,  secrétaire  perpétuel  de  l'Académie  des 
Sciences  pour  les  sciences  mathématiques,  doyen  honoraire  de 
la  Faculté  des  Sciences  de  Paris,  fondateur  et  rédacteur  du  Bul- 
letin des  Sciences  nidthéniatiqties  et  astrofioniiqiies,  décédé  à  Paris 
le  23  février  1917. 

Né  à  Nîmes  le  13  août  1842,  Jean-Gaston  Darboux  fut  reçu  pre- 
mier, en  18()1,  à  la  fois  à  l'Ecole  Normale  supérieure  et  à  l'Ecolo 
Polytechnique.  Il  opta  pour  la  première;  il  y  fut  admis  à  l'agré- 
gation en  1804  et  docteur  es  sciences  en  1806  sur  la  présentation 
de  sa  thèse  sur  les  surfaces  orthogonales. 

D'après  la  Notice  que  M.  Ern.  Lebon  consacre  à  Darboux  dans 
sa  belle  collection  des  Savants  du  Joiir^  et  à  laquelle  nous  ren- 
voyons nos  lecteurs,  Darboux  débuta  dans  l'enseignement  comme 
professeur  suppléant  de  mathématiques  spéciales,  à  Paris,  au 
Lycée  Saint-Louis  (1804-18()5  ,  puis  au  Lycée  Louis-le-Grand 
(professeur  de  1808  à  1872  .   En    1872  il  devient  niaîtie  de  confé- 


*  Gaston  Darboux.   Biographie,    Bibliographie    anali/tiquc   des   écrits,   par    Ern.   Lkiion.    — 
Gauthicr-Villars,   Paris,  191(i. 


88  CHRONIQUE 

rences  à  l'Ecole  Normale  supérieure.  11  supplée  Joseph  Bertrand 
dans  sa  chaire  de  Physique  mathématique  au  Collège  de  France 
et  Chasles  pour  son  cours  de  Géométrie  supérieuie  à  la  Faculté 
des  Sciences,  puis,  en  1881,  il  succéda  à  ce  dernier  comme  pro- 
fesseur titulaire.  Depuis  cette  même  année  il  remplit  aussi  les 
fonctions  de  maître  de  conférences  à  l'Ecole  Normale  d'enseigne- 
ment secondaire  pour  les  jeunes  filles,  à  Sèvres.  Il  fut  doyen  de 
la  Faculté  des  Sciences  de  1889  à  190.3.  Admis  à  l'Académie  des 
Sciences  en  1884,  en  remplacement  de  Puiseux,  il  devint  secré- 
taire perpétuel  en  1900  comme  successeur  de  Joseph  Bertrand. 

Ce  que  fut  Darboux  comme  professeur  et  comme  savant,  les 
savants  les  plus  compétents  l'ont  dit,  en  1912,  à  l'occasion  de  son 
jubilé  scientifique'.  M.  P.  Appei.i.  a  rappelé  «  l'influence  décisive 
sur  le  développement  des  mathématiques  en  France  «  exercée  par 
Darboux  et  l'a  signalé  comme  «le  véiitable  initiateur  de  l'enseigne- 
m.ent  de  la  Mécanique  rationnelle  et  de  la  Mécanique  analytique, 
si  élevé  et  si  solide,  qui  se  donne  aujourd'hui  dans  toutes  les  uni- 
versités françaises  ».  En  parlant  de  Darboux  comme  successeur 
de  Chasles,  M.  Appell  s'est  exprimé  en  ces  termes:  «  Vous  déve- 
loppez alors  l'enseignement  dans  une  voie  nouvelle,  où  Bonnet 
l'avait  déjà  engagée,  la  voie  de  la  géométrie  générale,  considérée 
comme  application  de  l'analyse  dont  les  fondateurs  furent  Euler, 
Monge  et  Gauss;  c'est  dans  cette  chaire,  où  vous  professez  depuis 
trente-trois  ans,  que  vous  avez  fondé  cette  brillante  école  de  géo- 
métrie, dont  les  disciples  sont  maintenant  répandus  dans  tous  les 
pays,  et  que  vous  avez  développé  les  méthodes  et  les  résultats  (jui 
font  de  vous  un  créateur  et  qui  préserveront  votre  nom  de  l'oubli.  » 

A  côté  de  ses  remarquables  travaux  en  Géométrie  supérieure, 
dont  nous  nous  bornerons  à  rappeler  ici  ses  magistrales  Leçons 
sur  la  théorie  générale  des  surfaces  et  les  applications  géométriques 
du  Calcul  infinitésimal  et  ses  Leçons  sur  les  systèmes  orthogonaux 
et  les  coordonnées  curvilignes,  Darboux  laisse  des  recherches  fon- 
damentales en  Analyse  mathématique,  en  Algèbre,  en  Mécanique 
analytique  et  en  Physique  mathématique. 

Par  ses  fonctions  de  membre  du  Conseil  supérieur  de  llnstruc- 
tion  publique  (depuis  1888),  Darboux  a  exercé  une  grande  in- 
fUience  sur  le  développement  de  l'enseignement  scientifique  en 
France.  C'est  en  qualité  de  vice-président  de  ce  Conseil,  repré- 
sentant le  ministre  de  l'Instruction  publique,  qu'il  présida,  le 
2  avril  1914,  la  séance  générale  d'ouverture  de  la  Conférence 
internationale  organisée  par  la  Commission  internationale  de 
renseignement  mathématique^.  H.  F. 


'  Les  discours  et  les  .ndresses  ont  été  reproduits  en  appendice  dans  le  volume  publié  par 
le  Comité  du  Jubilé  sous  lo  titre  Gaston  Darlnm.v.  Elogfs  académiques  et  discours.  Librairie 
Hormann  iS:  fils.  Paris.   1912. 

*  Voir  le  discours  d'ouverture  dans  VEnscign.  niathcin.  du   15  mai  !91i. 


CHRONIQUE 


89 


Société  mathématique  suisse. 

Schuls.   6'  août  l'Jlt]. 

La  Société  mathématique  suisse  a  tenu  sa  septième  réunion 
ordinaire  à  Schuls  (Basse-Engadine),  le  8  août  1916,  sous  la  prési- 
dence de  M.  le  prof.  Marcel  Gkoï,smann  (Zurich),  à  l'occasion  delà 
réunion  annuelle  de  la  Société  helvétique  des  Sciences  naturelles. 
Quatorze  communications  ont  été  présentées  à  la  Section  mathé- 
matique ;  en  voici  les  résumés  : 

1.  —  M.  le  prof.  K.  Merz  iCoire  .  —  Note  historique  sur  la  sur- 
face de  Sleiner.  —  Steixer  n'a  rien  publié  sur  la  surface  qui  porte 
son  nom  ;  la  méthode  qu'il  a  employée  pour  l'engendrer  m'a  été 
communiquée  par  M.  le  prof.  Geiser.  Schroter  simplifie  cette 
méthode  en  remplaçant  la  gerbe  de  quadriques,  utilisée  par 
Steiner,  par  un  réseau  de  coniques.  On  doit  à  Kummer  la  première 
étude  analytique.  Voici  un  tableau  '  résumant  l'historique  de  la 
surface  : 


Steiuer    (Rome    1843) 
Schroter.      18631 


1863 


Cremoua 
Reye  .  . 
Sturm    . 


1864 
1867 
1871 


Berner 
Reye  . 


Stahl  . 
Reye  . 


Kummer  1863  —  \Veierstrass 


1864  Cayk^ 
1867  Clebsch    . 

Laguerre. 

Gerbaldi  . 


188.5 
1896 


Lacoui 


Timerding     18981 


1864| 

1867J 

1872  Berlini  .   . 

1881' 

jRohn .    .    . 
1896  Ber/.olari. 


1872 

1890 

1892 


Beltrami.     1879 


Les  travaux  synthétiques  sont  mentionnés  dans  la  première 
colonne  ;  les  travaux  analytiques  basés  sur  une  représentation 
plane,  dans  la  troisième;  ceux  qui  emploient  une  transformation 
quadratique  ont  été  intercalés  dans  la  deuxième  colonne  ;  enfin, 
les  quatiième  et  cinquième  colonnes  renferment  les  travaux  qui 
conduisent  à  la  théorie  de  certaines  formes  biquadratiques  en 
rapport  avec  cette  surface. 

Le  développement    historique    montre  comment  le  problème, 


'  Voir  les  indications  bibliographiqtipg  complètes  dans  :  K.  Mkhz.  Parallelfliiohen  ii.  Cen- 
tralfliiche  eines  besonderen  Ellipsoïdes  u.  die  Steinerschc  Kliiche.  Ueispiel  einer  qiiadra- 
tischcn  Transformation.  —  Aux  indications  données  dans  co  dernier  travail,  il  tant  ajouter 
les  suivantes  :  Lacilukiik,  OEuvres  II,  pages  281,  et  Bklthami,  Opère,  111,  p.  16R.  —  Voir 
aussi  :   Vcrhandlungen  der  schw.  naturforsch.  Gesellschaft,  1914,  II,  p.  102. 


90  CHRONIQUE 

aperçu  à  la  suite  d'une  vision  géométrique  géniale,  se  transforme 
peu  à  peu  en  un  problème  purement  algébrique.  La  connaissance 
géométrique  de  la  surface  apparaît  comme  l'intuition  qui  guide  à 
travers  le  dédale  des  relations  arithmétiques  et  conduit  à  des 
résultats  nouveaux  et  féconds. 

2.  —  iNl.  le  prof.  L.  Crelier  Berne-Bien  ne  .  —  Puissance  d'une 
droite  par  rapport  à  an  cercle. 

I.  —  Puissance.  —  Théorème  :  Etant  donné  tons  les  couples  de 
tangentes  à  un  cercle  que  l'on  peut  mener  par  les  diveis  points 
dune  droite  quelconque  du  plan  de  ce  cercle,  le  produit  des  tangentes 
des  demi-angles  de  la  première  tangente  et  du  prolongement  de  la 
seconde  tangente  de  chaque  couple  avec  la  droite  donnée  est  cons- 
tant. 

Cette  constante  s'appellera  la  puissance  de  la  droite  par  rapport 
au  cercle  et  nous  aurons  : 

«   =  angle  de  la  première  tangente  avec  la  droite 
«'  =     »  »       deuxième         »  »  » 

/•   =  rayon 
p  =  distance  du  centre  à  la  droite. 

II.  —  Faisceaux.  —  Nous  appellerons  faisceaux  de  cercle  F3  ou 
F.  l'ensemble  des  cercles  admettant  un  même  premier  centre  de 
similitude  extérieur  ou  intérieur  par  rapport  à  tous  les  cercles. 
Nous  aurons  : 

a  Etant  donné  deux  faisceau.t  F„'^  et  ¥[^  de  même  centre  radical 
principal  S,  les  points  de  coupe  des  tangentes  extérieures  communes 
de  deux  cercles  quelconques  des  faisceaux,  pris  l'un  dans  F^'''  et 
l'autre  dans  F^'  sont  tous  sur  une  même  droite  appelée  l'axe  radical 
principal  des  faisceaux.  Les  points  de  coupe  des  tangentes  inté- 
rieures communes  des  mêmes  cercles  sont  tous  sur  une  autre  droite 
appelée  l'axe  radical  secondaire  des  deux  faisceaux. 

Soient  C.^  un  cercle  de  F^'^etCj  un  cercle  de  Ff'.  Leurs  tan- 
gentes extérieures  communes  se  coupent  en  A.  La  droite  SA  est 
de  mêmes  puissances  relatives  par  rapport  à  tous  les  cercles 
de  Fj'  et  par  rapport  à  tous  ceux  de  Fj^^  Elle  est  encore  de  mêmes 
puissances  relatives  par  rapport  à  Cj  et  C,  .  Les  puissances  rela- 
tives par  rapport  aux  cercles  de  F^'^  sont  ainsi  les  mêmes  que  celles 
par  rapport  aux  cercles  de  F''^^,  puisqu'elles  sont  déterminées  par 

c,  etc;. 

La  droite  SA  est  de  mêmes  puissances  relatives  par  rapport  à 
deux  cercles  quelconques  pris,  l'un  dans  Fj'^et  l'autre  dans  F^" \ 


CHROMQUE  91 

Elle  passe  par  les  premiers  centres  de  similitude  correspondants, 
autrement  dit  les  points  de  coupe  des  tangentes  extérieures  com- 
munes aux  deux  cercles  sus-indiqués  sont  tous  sur  SA. 

Le  même  raisonnement  subsiste  avec  les  tangentes  intérieures 
et  donne  une  nouvelle  droite  SD. 

SA  ou  a^  devient  Yaxe  radical  principal  des  deux  faisceaux  SD  ou 
a.-.  Vase  radical  secondaire.  Si  nous  désignons  par  F^'"*'  et  F^''  les 
faisceaux  compris  dans  les  angles  opposés  des  précédents,  «, 
est  aussi  l'axe  radical  principal  pour  Fl"'  et  Fj'^'  et  Taxe  radical 
secondaire  pour  Fj'^  et  F3"'.  Il  en  est  de  même  pour  a^. 

b)  Etant  donné  deux  faisceaux  F^''  et  F^"\  les  points  de  coupe 
des  tangentes  extérieures  communes  à  deux  cercles  pris,  un  dans 
F^'^  et  l'autre  dans  F^'\  sont  tous  sur  une  même  droite,  l'axe  radical 
principal  des  deux  faisceaux.  Les  points  de  coupe  des  tangentes 
extérieures  communes  à  deux  autres  cercles  pris,  l'un  dans  ¥ ^  et 
l'autre  dans  F!*'  ou  l'un  dans  F^/^'  et  le  second  dans  F,'\  sont  ê^nle- 
ment  tous  sur  une  même  droite,  l'axe  radical  secondaire  des  deux 
faisceaux. 

III.  —  Involutions.  —  Nous  considérerons  maintenant  un  point 
quelconque  P  du  plan  d'un  faisceau  F^  ou  F  ^  complété  par  le 
faisceau  conjugué  F.^  ou  F^,  et  par  ce  point  nous  mènerons  deux 
tangentes  à  chaque  cercle  du  faisceau.  Soient  t^  et  /.,  les  deux  tan- 
gentes à  l'un  quelconque  des  cercles.  La  puissance  absolue  de  la 
droite  PS  =  a  sera  la  même  par  rapport  à  tous  les  cercles  du 
faisceau,  F,  et  la  même  par  rapport  à  tous  les  cercles  du  faisceau 
complémentaire  F' 

Si  nous  posons  :  angle  [l^  a)  =1  a  ei  angle  [t^a^.  =^  a' ,  nous 
aurons 

r,    ■                 1                       *           -    —  a' 
ruissance  de  a  ^^  ^g  ^,  ■  ^g  s • 

Avec  les  deux  tangentes  d'un  autre  quelconque  des  cercles  du 
faisceau  nous  aurons  également 


ruissance  de  a  z=z  Ig  —  .  ig ^  tg  —  .  Ig 


HT  constante. 


Les  bissectrices  des  angles  compris  entre  a  et  /,  ou  a  et  le  pro- 
longement de  /,  donnent  lieu  à  un  produit  de  tangentes  trigono- 
métriques  constant;  ces  bissectrices  forment  une  involution  dont 
l'axe  principal  en  PS  =  a. 

Thkoiu^me.  —  .4  tout  point  P  du  plan  d'un  faisceau  F,  ou  F^  de 
centre  radical  principal  S  correspond  une  involution  de  rayons. 
Les  rai/ons  conjugués  sont  les  bissectrices  des  angles  compris  entre 


92  CHRONIQUE 

l'axe  PS  ^  di  et  la  première  tangente  menée  de  1*  à  chaque  cercle 
du  faisceau  ;  puis  entre  a  et  le  prolongement  de  la  deuxième  tan- 
gente menée  de  P  au  même  cercle.  Les  rayons  doubles  sont  toujours 
réels  dans  le  plan  d'un  faisceau  V ^  et  dans  l'angle  intérieur  du 
plan  d'un  faisceau  F,.  Dans  son  angle  extérieur  ils  sont  imagi- 
naires. Les  rayons  doubles  réels  sont  les  bissectrices  des  angles 
compris  entre  l'axe  a  et  les  tangentes  des  deux  cercles  du  faisceau 
passant  par  le  point  considéré. 


3.  —  M.  le  prof.  0.  Spiess  (Bàle).  —  Problèmes  de  fermeture 
dans  les  courbes  coni>exes.  —  Soit  C  une  courbe  fermée  quelcon- 
que ;  soit  k  une  construction  qui  fasse  correspondre  chaque 
point  A  de  la  courbe  à  un  autre  point  A,  ;  admettons  en  outre  que 

1°  A  et  A,  se  déterminent  l'un  l'autre  de  façon  réciproque  et 
univoque. 

2°  Si  A  décrit  la  courbe  dans  un  certain  sens,  A,  la  décrit  en 
sens  contraire. 

La  construction  K  «ferme»  quand  A,  =  A  (points  fixes)  ;  elle 
«  ferme  «  si  on  l'exécute  deux  fois,  quand  A.,  =  A,  c'est-à-dire 
quand  A  et  A,  se  correspondent  mutuellement  Ipoints  mutuels). 
Le  problème  de  fermeture  consiste  à  déterminer  les  points  fixes  et 
les  points  mutuels.  On  reconnaît  ce  qui  suit  : 

I.  —  Il  y  a  toujours  exactement  deux  points  fixes  ;  ils  séparent 
chaque  paire  de  points  correspondants  A  et  A,. 

II.  —  Le  nombre  des  points  mutuels  peut  être  fini  ou  infini. 

III.  —  Si  A  est  un  point  quelconque  de  C  (ni  point  fixe,  ni  point 

mutuel),  les  points  A,  A,,  A^,  A3 ,  obtenus  par  la  répétition 

de   K,   sont   tous   différents   et   tendent    alternativement    vers  les 

points  limites 

lim  A,^.  =z  a  ,  lim  A.,,  ,  .  =  a,    . 

k=:x  k=x 

Si  «,  p^  «  ,  a  et  a,  sont  des  points  mutuels  ;  si  a,  :=  a  ,  a  est  un 
point  fixe. 

Dans  la  pratique  ces  points  peuvent  donc  être  déterminés  par 
une  répétition  finie  de  /c.  La  série  de  points  .\,  A_  j ,  A_., ,  A_3 

obtenue  par  la  construction  inverse  K~'  conduit  à  la  même  con- 
clusion. 

Lorsque  C  est  convexe,  on  peut  indiquer  un  giand  nombre  de 
ces  constructions  A*.  Soit  les  n  points  P,,  Pg ,  P3  • . .  P,,  dont  un 
nombre  impair  sont  à  l'extérieur  de  C;  on  mène  AP,  jusqu'à  son 
deuxième  point  de  coupe  \^^^  avec  C,  —  A  ,|P.,  jusqu'à  A^^p  etc.  ; 

le  point  A'"*  =  A,  possède  avec  A  les  relations  exiijées. 

On  obtient  ainsi  par  exemple,  le  théorème:  «  Dans  chaque 
courbe  convexe   (sans  angle)   on    peut   inscrire   deux   polygones 


CHRONIQUE  93 

impairs  dont  les  côtés  ont  des  directions  données  (en  particulier, 
par  exemple,  une  infinité  de  paires  de  triangles  réguliers'. 

Les  points  P  peuvent  être  remplacés  par  des  courbes  convexes 
T  auxquelles  on  pourra  mener  des  tangentes.  De  plus  ces  cons- 
tructions sont  soumises  à  la  transformation  dualistique. 


4.  —  M.  le  prof.  C.  Caillf.»  Genèvei.  —  Sur  la  Géométrie  réglée 
imaginaire.  —  Dans  ma  communication  de  Genève,  j'ai  entretenu 
la  section  mathématique  de  la  géométrie  des  corps  solides.  De 
nouvelles  recherches  dont  j'expose  les  résultats,  avec  tous  les 
détails  nécessaires,  dans  un  mémoire  actuellement  en  cours  de 
publication  dans  les  Archives  (S.e  Gen'exe,  mont  amené  récemment 
à  développer,  sui-  l'ensemble  du  sujet,  un  point  de  vue  inédit.  Je 
désire  en  dire  un  mot  aujourd'hui. 

D'après  cette  nouvelle  théorie,  la  géométrie  des  corps  solides 
se  confond  avec  la  stéréométrie  ordinaire,  quand  on  prolonge 
celle-ci  dans  le  domaine  complexe.  La  première  géométrie  est 
simplement  l'aspect  réel  de  la  géométrie  ponctuelle  imaginaire. 

Le  corps  solide  est  le  pendant  réel  du  point  imaginaire. 

Le  pendant  réel  du  plan  imaginaire  est  la  figure  qu'on  obtient 
en  faisant  chavirer  un  corps  solide  fixe  autour  de  toutes  les 
droites  de  l'espace  ;  j'appelle  vrilloïde  l'ensemble  ainsi  engendré. 

Enfin  si  on  fait  tourner  et  glisser  un  corps  solide  le  long  d'un 
axe  fixe,  on  définit  une  vrille  \  c'est  l'apparence  réelle  de  la  droite 
imaginaire. 

Les  propriétés  manifestées  par  le  corps  solide,  le  vrilloïde,  et  la 
vrille  sont  identiques  à  celles  du  point,  du  plan  et  de  la  droite  de 
l'espace  ordinaire,  sauf  en  ceci  que,  dans  les  relations  métriques, 
des  quantités  complexes  se  substituent  aux  quantités  réelles.  La 
place  me  manque  pour  justifier  ici  cette  assertion.  Je  veux  seule- 
ment entrer  dans  quelques  détails  touchant  la  Géométrie  des 
vrilles,  laquelle  représente  pour  la  nouvelle  théorie,  ce  qu'est  la 
géométrie  réglée  par  rapport  à  l'espace  ordinaire. 

L'espace  réglé  est  de  la  f[uatrième  dimension,  l'espace  vrillé  de 
la  huitième.  Pour  transformel'  les  unes  dans  les  autres  toutes  les 
vrilles  de  l'espace  il  faut  disposer  des  x  '"mouvements  complexes 
de  l'espace  imaginaire;  les  mouvements  réels  ne  transforment  une 
vrille  donnée  qu'en  oc''  vrilles  nouvelles  seulement. 

Toute  droite  possède  six  coordonnées  pliickériennes  /,  m,  n,  p, 
q,  r,  liées  entre  elles  par  la  relation 

Ip  -}-  ""7  ■+■  ""'  =:  0  . 

Toute  vrille  possède  de   même   12  coordonnées  pliickériennes 


94  CHRONIQUE 

l' ,  l",  m',  m",  n' ,  n",  p',  p" ,  q' ,  q" ,  /',  /",  qui  satisfont  trois  relations 
homogènes 

/'/"   +   ,„',„"    Ar   r'r"  =  0 
l'p'  —   l"p"   -j-    in'q'   —   m"q"   +   /('»'    —   «"/■"  =  0 
l'p"  +   l"p'    +   m'q"   +    m"q'    -f-   n'r"   +   n"r'  =  0 

lesquelles  restent  invariantes  dans  les  x  '-  mouvements  complexes. 

La  forme  fondamentale,  en  Géométrie  réglée,  est  le  complexe 
linéaire  de  Plûcker  et  Chasles,  dont  l'équation  dépend  linéaire- 
ment des  coordonnées  /,  m,  n,  p,  g,  r. 

De  même  dans  l'espace  vrillé,  la  forme  fondamentale,  qui  fait 
symétrie  au  complexe,  est  une  heptasérie,  d'équation 

a"i'  +  a'I"  -\-  b" m'  -{-  h'm"  -\-  c"n'  -(-  c'n"  +  d" p' 
+  d'p"  +  e"q'  +  e'q"  -{-  f'r'  +  f'r"  =  0   . 

L'interprétation  géométrique  de  cette  condition  est  analogue  à 
celle  du  complexe  en  Géométrie  réglée.  Elle  est  seulement  plus 
compliquée.  Au  lieu  de  la  distance  et  de  l'angle  qui  définissent 
ensemble  Vinteri>alle  de  deux  droites  quelconques,  une  nouvelle 
notion  s'y  rencontre  :  celle  des  den.v  distances  conjuguées  qui 
expriment  de  même  l'intervalle  entre  deux  vrilles. 

J'ajoute  que  si  on  cherche  à  déterminer  dans  Iheptasérie  les 
vrilles  qui  renferment  un  corps  donné  à  volonté,  les  axes  de  ces 
vrilles  décrivent  un  complexe  linéaire  F.  lequel  est  ainsi  associé 
d'une  part  à  Iheptasérie,  de  l'autre  au  corps  donné. 

Il  existe  seulement  ce*  complexes  F  de  cette  espèce,  la  consti- 
tution de  cette  famille  de  complexes,  de  second  ordre,  permet  de 
définir  géométriquement  toutes  les  vrilles  qui  forment  l'hepta- 
série  linéaire  fondamentale. 

5.  —  M.  le  prof.  F.  Rudio  (Zurich),  donne  un  aperçu  général  de 
l'état  actuel  de  la  publication  des  œuvres  complètes  d'Euler. 

6.  —  M.  le  prof.-D'  M.  Grossmann  (Zurich).  —  Remarque  con- 
cernant la  théorie  générale  de  la  relativité.  —  M.  Albert  Einstein , 
qui  a  établi  avec  MM.  Lorentz  et  Minkowski  la  théorie  de  la  rela- 
tivité, vient  de  mener  à  bien,  d'une  manière  absolument  satisfai- 
sante, la  généralisation  complète  de  cette  théorie. 

Il  en  résulte  maintenant  la  covariance  générale  des  équations 
décrivant  la  marche  des  phénomènes  physiques  ainsi  que  celle 
des  équations  dilTérentielles  (\\\\  déterminent  le  domaine  de  la 
gravitation.  Les  coordonnées  de  l'espace  et  du  temps  perdent 
ainsi  le  dernier  reste  de  leur  signification  intuitive;  elles  se 
réduisent  entièrement  à  des  paramètres  servant  à  la  détermination 


CHRONIQUE  95 

du  point  dans  l'espace  à  quatre  dimensions  dont  la  géométrie 
différentielle  représente  les  phénomènes  physiques.  Le  résultat 
devient  encore  plus  éclatant  lorsqu'on  le  compare  aux  idées  que 
Riemann  développait  en  1854  dans  son  discours  inaugural.  Voir 
l'exposé  détaillé  de  la  théorie  dans  :  A.  Einstein.  Die  Criindlage 
der  allgemeinen  Helathntatstheorie  ;  chez  Joli.  Amb.  Barth.) 

7.  —  M.  le  prof.-D"^  H.  Weyl  (Zurich).  —  he  problème  de  l'Ana- 
lysis  situs.  —  L'Analysis  situs  étudie  les  propriétés  dont  jouissent 
les  variétés  continues  indépendamment  de  toute  considération 
de  mesure.  On  y  distingue  actuellement  deux  manières  de  voir, 
Tune  se  rattache  à  la  Théorie  des  ensembles  'voir  les  travaux  de 
BrouwerJ,  l'autre  à  V Analyse  combinatoire  (voir  l'article  Dehn  et 
Heegard  dans  l'Encyclopédie).  Pour  illustrer  le  sens  de  ces  deux 
méthodes  et  leurs  relations  mutuelles,  l'orateur  reprend  le  pro- 
blème spécial  de  lAnalysis  situs  qui  joue  un  rôle  décisif  dans  la 
théorie  de  Riemann  des  fonctions  algébriques  :  la  détermination 
du  nombre  de  connexion  de  variétés  fermées  à  deux  dimensions. 

Par  la  décomposition  d'une  telle  variété  en  un  nombre  fini  de 
surfaces  élémentaires  surgit  un  polyèdre  Mobius  ;  on  décompose 
encore,  pour  plus  de  simplicité,  chaque  polygone  en  triangles  ; 
après  en  avoir  désigné  chaque  sommet  par  des  symboles  quelcon- 
C{ues,  par  exemple  par  des  lettres,  on  peut  disposer  tous  les  trian- 
gles dont  se  compose  la  surface  en  un  tableau  où  chaque  triangle 
est  caractérisé  par  la  donnée  de  ses  trois  sommets.  On  obtient 
ainsi  le  «  schéma  »  combinatoire  de  la  surface.  Deux  schémas  pro- 
viennent de  la  même  surface  par  des  triangulations  différentes 
s'ils  sont  «  homéomorphes  »,  c  est-à-dire  si  on  peut  les  ramener 
tous  deux  à  un  même  troisième  schéma  en  décomposant  encore 
les  deux  surfaces.  L'homéomorphie  est  une  relation  purement 
combinatoire  entre  les  deux  surfaces,  l^e  principal  invariant  de 
ces  schémas  au  sens  de  l'homéomorphie  est  le  nombre  de  con- 
nexion z=z  k  —  e  —  d  -\-  '6  [k  =^  nombre  d'arêtes,  e  =  nombre  de 
sommets,  d  ^^  nombre  de  triangles);  pour  des  surfaces  sans  anse, 
ce  nombre  est  1  (Théorème  d'Euler  sur  les  polyèdres). 

Mais  pour  établir  rigoureusement  que  le  nombre  de  connexion 
ainsi  obtenu  est  un  invariant  au  sens  de  l'Analysis  situs  de  la 
variété  à  deux  dimensions  primitivement  obtenue,  il  faut  recourir 
à  des  considérations  d'un  genre  tout  différent,  basées  sur  les 
principes  de  la  Théorie  des  ensembles.  Il  faut  d'abord  fixer  exac- 
tement la  notion  de  variété  à  deux  dimensions  ;  ensuite,  pour 
obtenir  une  définition  du  nombre  de  connexion  indépendante  de 
chaque  triangulation,  on  peut  suivre  un  chemin  qui  est,  dans 
l'Analysis  situs,  l'analogue  de  ce  qu'est  dans  la  théorie  des  fonc- 
tions la  démonstration  utilisée  par  Weierstrass  dans  la  théorie 
des  intégrales   abéliennes  :  déduire  la  nature  et  les  relations  des 


96  CHRONIQUE 

chemins  d'intégration  de  la  manière  dont  les  intégrales  se  com- 
portent. 

C'est  ce  qui  fut  effectué   en  détail  dans  cette  communication. 

8.  —  M.  le  prof.  L.-G.  Du  Pasquier  (Neuchàtel  .  —  Sur  larith- 
méliq ne  généralisée.  —  Soit  une  infinité  de  complexes  à  n  coor- 
données tels  que  [a^,  c/,,...,  an,  oii  <^/p,  c^,,...,  0,1  représentent  des 
nombres  réels.  On  érige  une  arithmétique  et  une  algèbre  généra- 
lisées portant  sur  ces  éléments  en  définissant,  sur  ces  complexes. 
Végalité  et  deux  opérations  qu'on  appellera  addition  et  multiplica- 
i/o/2,par  analogie  avec  l'arithmétique  ordinaire.  Ces  trois  définitions 
initiales  sont  arbitraires,  ce  qui  n'empêche  pas  les  opérations  qui 
en  résultent  d'être  soumises  à  certaines  lois  fondamentales.  L'ora- 
teur cite  les  dix  lois  fondamentales  qui  caractérisent  l'arithméti- 
que et  l'algèbre  classiques  et  rappelle  le  théorème  établissant 
qu'une  nouvelle  extension  du  domaine  des  nombres,  au  delà  des 
nombres  complexes  ordinaires,  n'est  possible  qu'au  prix  de 
l'abandon  d'une  ou  de  plusieurs  de  ces  lois  fondamentales.  Le 
développement  pris  jusqu'ici  par  l'analyse  mathématique  montre 
que  les  lois  dassociativité  et  de  distributivité  sont  les  plus  impor- 
tantes. En  maintenant  ces  lois  et  laissant  tomber  seulement  la 
commutativité  de  la  multiplication  et  l'exclusion  des  diviseurs  de 
zéro,  on  arrive  aux  systèmes  des  polytettarions.  Posant  entre  les 
coordonnées  des  tettarions  certaines  relations  appropriées,  on 
obtient  d'autres  systèmes  de  nombres  hypercomplexes,  par 
exemple  les  quaternions,  comme  cas  particuliers  de  certaines 
classes  de  polytettarions.  Les  tettarions  comprennent,  comme 
sous-systèmes,  tous  les  systèmes  possibles  de  nombres  hypercom- 
plexes à  multiplication  associatii>e  et  distributive. 

Parmi  les  connexions  remarqual)les  entre  certaines  lois  fonda- 
mentales régissant  les  opérations  de  l'algèbre  généralisée,  et  les 
propriétés  arithmétiques  des  domaines  où  ces  lois  sont  valables, 
citons  cette  curieuse  relation:  soit  un  domaine  de  nombres  hyper- 
complexes  entiers,  comprenant  des  complexes  irréductibles,  ou 
premiers,  et  a  un  complexe  entier  non  irréductible  de  ce  domaine. 
On  pourra  mettre  a  sous  forme  d'un  produit  de  facteurs  irréduc- 
tibles, en  imposant  h  ces  derniers  de  se  suivre  dans  un  ordre  tel 
que  leurs  normes  suivent  un  ordre  fixé  arbitrairement  pour  les 
facteurs  premiers  de  la  norme  N(a)  du  complexe  entier  donné  a. 
Cette  décomposition  de  «  en  facteurs  premiers  et  plurivoque  ou 
unique,  suivant  que  la  multiplication,  dans  le  système  envisagé, 
est  commutative  ou  ne  l'est  pas. 

9.  —  AL  G.  PoLYA  Zurich).  —  Lnpendant  du  théorème  d'appro- 
.vimation  de  Liouville  dans  la  théorie  des  équations  différentielles. 
—   Soit  «  un   nombre  irrationnel  et  soit  r,i  celui  des   nombres 


CHRONIQUE  97 

rationnels  de  dénominateur  ne  dépassant  pas  n  qui  est  le  plus 
voisin  de  «;  d'après  le  théorème  de  Liouville  la  suite  conver- 
gente pour  toute  valeur  de  a 

ne  peut  pas  converoer  avec  une  rapidité  arbitraire  si  a  satisfait 
à  une  équation  algébrique  à  coefficients  rationnels. 

De  même  qu'au  nombre  a  correspond  la  suite  [1],  on  peut  faire 
correspondre  à  toute  fonction  entière /'.r  la  série  de  Taylor  qui 
converge  vers  elle.  Si  f[.r]  satisfait  à  une  équation  différentielle 
algébrique  à  coefficients  rationnels,  la  série  de  Taylor  de  /*(.rj  ne 
peut  pas  converger  avec  une  rapidité  arbitraire.  Comme  la  série 
de  Taylor,  pour  des  fonctions  entières,  converge  d'autant  plus 
vite  que  la  valeur  absolue  de  la  fonction  augmente  plus  lentement, 
on  peut  énoncer  aussi  le  théorème  comme  suit  :  Si  une  fonction 
entière  satisfait  à  une  équation  différentielle  algébrique,  sa  valeur 
absolue  ne  peut  pas  croître  aussi  lentement  qu'on  voudra. 

Le  conférencier  présume  ce  théorème,  il  en  pose  la  démonstra- 
tion comme  problème,  toutefois  la  démonstration  est  déjà  établie 
sur  plusieurs  points  importants. 

En  s'appuyant  sur  des  travaux  de  MINI.  Ilurwitz  et  Perron,  le 
conférencier  a  obtenu  certains  résultats,  par  exemple  : 

La  fonction  entière  de  .r 

2    q"\v" 
11=0 

la  moitié  d'une  série  Thêta)  ne  satisfait  à  aucune  équation  diffé- 
rentielle algébrique  si  q  est  rationnel. 
L'équation  différentielle 


jin  iiii —  1  j 


est  irréductible,  en  ce  sens  qu'aucune  intégrale  de  cette  équation 
ne  satisfait  à  une  équation  différentielle  linéaire  à  coeilicien' 
rationnel  dont  le  degré  soit  inférieur  à  /n. 

10.  —  M.  le  D'  H  Berline»  (Berne).  —  Deux  Géoniétries  projec- 
tives  natuielles.  —  Les  deux  géoniétries  projectives  résultant  des 
systèmes  dabcisses  et  d'ordonnées  angulaires  cfr.  Berliner,  Actes 
de  la  Société  helvétique  des  Se.  nat.  1915,  Il  p.  109,  ou  L'Eus, 
math.,  1915,  p.  354;  conduisent  à  deux  géoniétries  naturelles.  Si 
nous  définissons  en  effet  la  longueur  d'un  arc  d'une  courbe  comme 
la  limite  vers  laquelle  tend  la  longueur  (au   sens  de  ces  géomé- 

L'Easeignenient  mathëm.,   19"  année;   1917.  7 


98  CHRONIQUE 

tries  métriques  d'un  polygone  inscrit  dans  l'arc  de  courbe^ 
lorsque  ses  côtés  tendent  vers  0,  Vnbscisse,  de  même  que  Vordon- 
née  angulaire  d'un  point  de  la  courbe,  sera  une  fonction  de  la  lon- 
gueur de  l'arc.  La  connaissance  de  cette  fonction  sullit  pour 
déterminer  la  forme  (au  sens  de  ces  géométries)  de  la  courbe, 
mais  pas  sa  position  dans  le  plan.  En  effet,  si  l'on  pose 


A(BCQP)  r=  (QP)2  :  1QPI3,  B(CAQP) 
=  (QP)3  :  (QPlj,  CiABQP)  =  (QPl^  :  (QPl.  , 


on  aura 


IQPI,  =  IQP,),-  PiPa». <P„-i  P„'.-  (P«  P).  PO"»-  '  =  ».  2,  3; 


en  outre  (QPjj  =  " ^  où  x  et  y  désignent  les  abscisses  de  Q,  P, 

dans  le  système  que  Ion  fait  correspondre  à  QP.  Ainsi  soitT  =  9'  [s] 
une  fonction  continue  donnée;  menons  par  un  point  P,,  la  dioite 
P(,P,  l'abscisse  soit  9>  («o)  dans  le  système  de  Po;  ensuite  parP,  la 
droite  P,  Pj  dont  l'abscisse  soit  (f  i.s,)  dans  le  système  de  P, ,  si  la 
distance  P^,  P,  =  .v,  —  «„  (donc  si  v  (*o   +  .v,  —  s^  est   l'ordonnée 

de  P,  dans  le  système  de  P„P,);  etc ,  enfin  par  P,,_,  la  droite 

P     ,P    dont  l'abscisse  soit  f/)  (s     ,)  dans  le  système  de  P„    ,,  on  aura 


|PoPJ.=  iPoP,'.-  ■■   IP»_.P„^- 

?  («ol  -I-  *i  —  *o  —  'i  ?  '•'•■«-1 1  +  •''■/i  —  •••■«-1  —  -i 


?(so)  — -j  ?(*/i-i) 


i="-l 


=  n('+»:^"^' 


Faisons  tendre  tous  les  Js-,  vers  0  en    même  temps   que   leur 
nombre  tend  vers  x  ,  de  sorte  que  2Js\  =  a-  —  *„;  on  aura 


(P/  ,—    lim    \\(\  H ^   -"l^lim  /"  *  '=  e'o  (i) 


CHRONIQUE  99 

or  e"^  ^  1  +  X  ^  e^""^'  pour    .r   <<  \/'l  —  1   (notamment 

e^-^'  =  1  +  .r  -  4r  [2  —  (1  —  af  e*^^"-"^'],  où  0<e<  li,  donc 

Ai-  ^-   /       As-       \2  s    /       A  A-        \2 

Les  sommets  d'un  polygone  ainsi  construit,  dont  les  côtés 
dendent  vers  0  remplissent  une  courbe  passant  par  P^,  l'abscisse 
de  chacun  de  ses  points  P^  est  donnée  par  t  ^=  ^  [s]  ;  (ainsi  s  —  s„ 
donne  la  longueur  du  polygone  et  par  là,  comme  on  peut  voir 
facilement  la  longueur  de  l'arc  de  P^  à  P, i,  et  tout  arc  quelconque 
peut  être  construit  grâce  à  i).  Si  t  =  y  (s)  ne  donne  pas  l'abscisse 
mais  l'ordonnée  angulaire  du  point  de  la  courbe,  on  trouve  d'une 
manière  analogue  2) 


/ 


ds 


cos-  Œ(s)[tgœ(s)  —  tg:.J 
lPyP,U=  e'o  j  =  l,2,3). 

Aussi  bien  dans  la  géométrie  des  abscisses  que  dans  la  géométrie 
des  ordonnées  angulaires  T  =  (pls)  est  une  équation  naturelle  de 
la  courbe. 

li.  —  M""  Grace-C^hisholm  Yolng  Lausanne L  —  L'année  passée, 
à  l'occasion  de  la  conférence  de  M'""  Young  sur  les  courbes  sans 
tangentes,  M.  Raoul  Pictet  a  raconté  que  M.  Cellérier  lui  avait 
parlé  vers  1860  d'une  courbe  sans  tangente  que  celui-ci  avait 
construite.  Un  mémoire  de  Cellérier  existe  à  ce  sujet,  et  a  paru 
après  la  mort  de  l'auteur  dans  le  Bulletin  de  M.  Darboux  (1890). 
Il  reste  incertain  si  la  courbe  de  Cellérier  est  antérieure  à  celle  de 
Weierstrass  ou  {'iie  iersa.  En  tout  cas  les  deux  semblent  être 
indépendantes.  Après  avoir  parcouru  le  mémoire  de  Cellérier, 
M"""  Young  constate  avec  le  plus  grand  intérêt  que  la  courbe  de 
Cellérier  est  une  courbe  sans  tangentes  dans  le  sens  le  plus  large. 
Elle  n'a  pas  de  tangentes,  ni  ordinaires  ni  singulières. 

La  méthode  de  démonstration  de  Ollêrier  est  tout  à  fait  oi-igi- 
nale  et  d'une  exactitude  irréprochable.  Comme  Weierstrass  il 
n'envisage  pas  la  (piestion  du  point  de  vue  géométrique,  et  la 
question  de  tangentes  singulières  n'entre  pas  dans  les  recherches 


100  CHRONIQUE 

ni  de  lun  ni  de  l'autre.  Mais  la  méthode  de  Weierstrass  est 
moins  profonde  que  celle  de  Cellérier  ;  cette  dernière  suffît  sans 
recherches  ultérieures  à  trancher  la  question  proposée. 

12.  —  M.  W.  H.  YouxG  et  M'""  Young  (Lausanne).  —  La  struc- 
ture des  fonctions  à  plusieurs  variables.  —  Le  sujet  de  cette  confé- 
rence est  une  généralisation  pour  plusieurs  variables  du  remar- 
quable théorème  donné  par  M.  Young  à  la  séance  de  la  British 
Association,  à  Leicester  en  1907,  d'après  lequel  les  limites  supé- 
rieures et  inférieures  d'indétermination  y  [x]  et  \\)  [x]  de  f[x  -\-  h), 
où  h  est  positif  et  s'approche  de  zéro,  sont  les  mêmes  que  celles 
de  f{x  —  h),  sauf  dans  un  ensemble  dénombrable  de  points.  On 
exprime  brièvement  ce  résultat  en  disant,  qu'/7  y  a  symétrie  à 
droite  et  à  gauche,  sauf  dans  un  ensemble  dénombrable  de  points. 

Dans  le  plan,  et  dans  n  dimensions,  nous  trouvons  aussi  en 
général  qu'une  fonction  quelconque  possède  une  structure,  pour 
ainsi  dire  cristalline,  en  vertu  du  tliéorème  suivant  : 

Si  {(x,  Y)  est  une  fonction  quelconque  de  (x,  y),  il  y  a  symétrie 
complète  autour  du  point  (x,  y)  par  rapport  aux  limites  supérieures 

(y  +  +,  <P  +  -^  9-  +  '  SP )   ^^  inférieures   [f^^,  V  +  _.  «/'_  +  ,  n> ) 

d'indétermination  de  f  (x  ±  h,  y  rb  k)  sauf  pour  des  points  tout  à 
fait  e.vceptionnels.  Ces  points  gisent  sur  un  ensemble  dénombrable 
de  courbes  monotones,  et  forment  en  conséquence  un  ensemble  sim- 
ple de  mesure  nulle. 

Pour  une  fonction  de  n  variables  l'ensemble  exceptionnel  est 
toujours  de  mesure  nulle,  et  git  sur  un  ensemble  dénombrable  de 
variétés  de  (n  —  1)  dimensions. 

Ce  théorème  gagne  en  intérêt  lorsqu'on  le  précise  davantage. 
Si  les  (p  s  par  exemple,  ne  sont  pas  tous  égaux,  on  peut  distinguer 
les  cas  suivants: 

I)  Un  des  (p's  est  plus  grand  que  chacun  des  autres  (ensemble 
dénombrable)  ; 

II)  Deux  des  (p's  sont  égaux  et  plus  grands  que  chacun  des  autres 
(dénombrable)  ; 

III)  Deux  des  y's  sont  égaux  et  les  deux  autres  sont  égaux  ; 

a)  il  y  a  symétrie  latérale 

(?++  =  ?_+.     9  +  _=  r_  +  |ou(  =  ^^=ç^_.     9_+  =  r__t; 

b)  //  y  a  manque  complet  de  symétrie  latérale 

'?  +  +  =  ?—•  ?  +  -=?-+'  = 

IV)  Trois  des  y's  sont  égaux  et  plus  petits  que  le  dernier. 

Les  cas  lllb  et  I\  correspondent  au  cas  général  de  notre  théo- 


Clin  ON /QUE  101 

rème.  Le  cas  IIL/  est  particulièrement  intéressant  et  caractéristi- 
que pour  notre  système  de  coordonnées  : 

Les  points  on  il  y  a  symétrie  à  droite  et  à  gauche  gisent  sur  un 
ensemble  dènombrable  de  lignes  horizontales,  et  ceux  oii  il  xj  a 
symétrie  au-dessus  et  au-dessous  sur  un  ensemble  dènombrable  de 
lignes  verticales. 

On  voit  clairement  à  présent  les  divers  cas  dans  l'espace  à  n 
dimensions.  La  méthode  de  démonstration  dépend  du  fait  que  cha- 
que fois  qu'on  a  deux  (f's  différant  par  une  quantité  plus  grande  que 
c,  où  f  est  fixe,  le  point  m'est  pas  un  point  limite  de  points  du  même 
genre  dans  le  quadrant  correspondant  au  plus  petit  des  deux  tp's. 
Attaché  au  point  r  on  aura  donc  un  petit  «drapeau»  dans  l'inté- 
rieur duquel,  au  sens  étroit,  il  n'y  aura  pas  de  points  de  l'ensem- 
ble. Il  s'agit  de  démontrer  que  les  ensembles  de  points  avec  un, 
deux  ou  trois  '(drapeaux»  par  point,  ont  certaines  propriétés.  En 
■pdt.Y\.\cw\\ev  les  ensembles  à  trois  <.>.  drapeaux y>  sont  dénombrables. 

13.  —  AL  le  prof.  D'  W.-II.  Youxc;,  F.  R.  S.  ^Lausanne).  —  Les 
intégrales  multiples  et  les  séries  de  Fourier.  —  f^e  conférencier 
présente  d'abord  quelques  remarques  préliminaires  sur  sa  mé- 
thode de  développer  la  théorie  de  l'intégration  simple  ^ 

1.  La  méthode  s  applique  également  (juand  l  intégration  est  ordinaire,  ou 
par  rapport  à  une  fonction  à  i'ariation  bornée,  soit  continue  .soit  discontinue. 

2.  Elle  s  applique  éi^alement  quand  l'intégration  est  multiple:  ici  un 
remarquera  que  1  inh'gration  peut  être  par  rapport  à  une  fonction  g  {x,y,...) 
à  variation  bornée,  continue  ou  discontinue,  et  que  l'intégration  ordinaire 
en  est  un  cas  spécial,  la  fonction  par  rapport  à  laquelle  l'intégration  se  fait 
étant  par  exemple  .r> ,  quand  il  s'agit  d'intégiation  double  ordinaire. 

3.  Dans  cet  exposé  de  la  théorie  il  n  est  pas  nécessaire  de  recourir  à  une 
perspective  illimitée  de  suites  monotones,  refoulant  de  cette  manière  —  comme 
on  pourrait  prétendre  —  les  vraies  difficultés,  sans  les  surmonter.  Il  s'agit 
seulement  de  définir  exactement  les  intégrales  des  fonctions  semi-continues 
de  M.  Baire,  qui  sont  précisément  les  intégrales  par  excès  et  par  défaut  de 
M.  Darboux  —  et  d'appliquer  ensuite  le  théorème  suivant  : 

L  intégrale  d'une  fonction  ï  {x)  est  en  même  temps  la  borne  supérieure  des 
intégrales  des  fonctions  semi-continues  supérieurement  plus  petites  que  f(x|, 
et  la  borne  inférieure  des  intégrales  des  fonctions  semi-continues  inférieure- 
ment  plus  grandes  que  f  (x)  -, 

I.  La  méthode  n  e.rige  pas  une  connaissance  préalable  de  la  théorie  des 
ensembles  et  en  particulier  de  la  théorie  de  la  mesure  ; 

Le  conférencier  définit  la  mesure  en  second  lieu,  comme  un  genre  spécial 
d  intégrale.  L  avantage  du  point  de  vue  logique,  même  quand  l'intégration 
est  ordinaire,  est  que  le  traitement  est  uniforme,  lin  effet,  pour  traiter  les 
ensembles  de  points  en  général,  sans  rester  seulement  parmi  les  ensembles 


'  Voir    daDS  VKns.  math,  les   comptes    rendus  des  sc.Tnces    tenues  à  Genève    (19151    et   à 
Kraiienfcld  (19161. 

'  Paris,  Comptes  rendus,  t.  Ilii,  p.  909,  séance  du  1.3  juin   19ir.. 


102  CHRONIQUE 

élémentaires,  dénombrables,  ou  fermés,  il  faut  précisément  procéder  par  la 
méthode  des  suites  monotones.  La  définition  de  la  mesure  en  général  n'est 
pas  justifiée  sans  l'emploi  d'un  raisonnement  identique  à  celui  que  le  confé- 
rencier adopte  dans  sa  théorie  de  l'intégration.  Dans  le  traitement  de  cette 
dernière  théorie  fondé  sur  la  mesure,  au  contraire,  on  suppose  toutes  les 
difficultés  concernant  la  mesure  surmontées,  et  on  recommence  par  une 
définition  toute  différente  de  lintégrale.  Par  ce  fait  le  manque  de  logique  est 
en  quelque  sorte  voilé. 

Mais  quand  l'intégration  n'est  pas  ordinaire,  l'avantage  de  la  nouvelle 
méthode  saute  aux  yeu.x.  Une  définition  préalable  de  la  mesure  d'un  ensemble 
de  points  par  rapport  à  une  fonction  à  variation  bornée  serait  artificielle  et 
privée  de  toute  signification  géométrique. 

D'un  autre  point  de  vue,  on  se  demande  pourquoi  définir  d'abord,  et  d'une 
manière  géométrique,  les  intégrales  des  fonctions  à  deux  valeurs  —  c'est-à- 
dire  la  mesure  —  pour  en  déduire  les  intégrales  des  fonctions  générales  .' 
Les  fonctions  à  deux  valeurs  ne  sont  pas  plus  élémentaires  que  les  autres. 
La  complexité  d'une  fonction  ne  dépend  pas  des  nombres  de  valeurs  qu  elle 
prend.  Les  fonctions  les  plus  employées  prennent  en  effet  toutes  les  valeurs 
entre  leurs  bornes  supérieures  et  inférieures.  C  est  le  nombre  des  limites 
nécessaires  pour  définir  et  exprimer  une  fonction  qui  eu  détermine  la  place 
dans  1  armée  des  fonctions,  et  ceci  ne  dépend  guère  du  nombre  des  valeurs 
qu'elle  prend. 

Après  ces  remarques  préliminaires  le  conférencier  passe  à  la 
considération  de  lintéorale  multiple 

S  f[.r  ,  y  ,    z,    ...\cig\.r  ,   r  .    -,    ...)    . 

Il  rappelle  la  définition  de  Stieltjes,  étendue,  comme  elle  peut 
évidemment  être,  à  plusieurs  variables.  Dans  le  plan,  par  exemple, 
nous  divisons  le  rectangle  (0,  0  ;  <7,  b)  en  plusieurs  petits  rectangles 
ix,  1/;  .T  -\-  h,  y  -\-  k).  Par  rapport  à  chacun  de  ceux-ci,  nous  for- 
mons le  terme  /'['§,  tj]  g[x,  y),  où 

r       Ir  +  /,.  .V  +  k 

=  g{.r  +  // ,  y  +  /.■)  —  A'(.r  ,  .)■  +  k]  —  g\.r  +  h  .  r)  4-  gi.r  ,  y)   . 

Nous  faisons  la  somme  de  ces  termes;  c'est  la  somme  approxi- 
mative de  l'inlégrale  ;  puis  nous  passons  à  la  limite  de  la  manière 
habituelle  dans  la  définition  de  l'intégrale, 

//■(.»• .  y)d{,'\.r,  r)  =  lim  :i:/'i;,   r,]lg[.r.   y]   . 

Ici  f{x,i/)  est  continue.  Si  elle  est  semi-continue  supérieure- 
ment, elle  est  la  limite  d'une  suite  monotone  non-croissante  de 
fonctions  continues,  dont  les  intégrales,  ainsi  définies,  ont  pour 


CHRONIQUE  103 

limite  rintégrale  de  /",  par  définition.  Si  nous  préférons,  nous 
pouvons  donner  une  autre  définition,  qui  cependant  revient  au 
même.  On  remplace/*!^,  7'  dans  la  somme  approximative  par  la 
borne  supérieure  de /'dans  le  petit  rectangle.  La  limite  obtenue 
sera  donc  l'intégrale  par  excès  de  M.  Darboux,  et  sera,  selon  le 
conférencier,  l'intégrale  de  la  fonction  semi-continue  supérieure- 
ment f{x,  y]. 

Dans  la  formule  il  faut  supposer  les  périmètres  des  rectangles 
construits  de  manière  à  ne  pas  passer  par  aucun  point  de  discon- 
tinuité de  la  fonction  g.  Ceci  est  possible  en  vertu  du  théorème 
que  ces  points  de  discontinuité  gisent  sur  un  ensemble  dènonibrable 
de  parnlVeles  aux  ares.  Si  I  on  préfère  ne  pas  éviter  ces  points,  on 
peut  modifier  légèrement  la  formule  approximative  comme  dans 
le  cas  d'une  variable. 

On  définit  d'une  manière  analogue  l'intégrale  d'une  fonction 
semi-continue  inférieurement.  Enfin  l'intégrale  d'une  fonction  / 
générale  est  la  borne  supérieure  des  intégrales  des  fonctions 
semi-continues  supérieurement  plus  petites  que  /*,  et  en  même 
temps  la  borne  inférieure  des  intégrales  des  fonctions  semi- 
continues  inférieurement  plus  grandes  que/".  Ces  bornes  coïnci- 
dent en  efi'et  pour  chaque  fonction  /"bornée,  définie  par  n'importe 
quel  procédé  mathématique,  et  pour  chaque  fonction  non-bornée 
ayant  par  rapport  à  g  une  intégrale  qui  est  absolument  conver- 
i^ente. 

Par  moyen  de  la  table  suivante  le  conférencier  donne  des  for- 
mules cjui  permettent  d'exprimer  les  intégrales  doubles  d'une 
manière  plus  familière,  en  employant  des  intégrales  répétées. 
Dans  le  domaine  de  l'intégiation  ordinaire  les  deux  notions 
d'intégrale  multiple  et  d'intégrale  répétée  sont  identiques.  Klles  le 
sont  toutes  les  fois  que  la  fonction  ^est  le  produit  d'une  fonction 
de  X  par  une  fonction  de//.  Mais  quand  ^  n'est  pas  de  cette  nature, 
les  théorèmes  donnés  ont  une  importance  capitale. 

Si 

g  =  f    o{.f,  r)dl.rr),     j     J       f'{.r.  y)dg{.r,  y)  =  J       f\.r,r\o{.r,r}d{.ry). 


s;  =  f  :i{x,y)dst.r,r),     j     J       f{x,r]dg{x,r)  =  J       /[.i\y)a{x.  y)  ds  {x,y 
-^d^  '^         \     f     n-r,y)d,ix,y^  =  Jdr  J  fd  \p^. 


«st   une    fonction  mo- 
notone   non-décrois- 

®'"^'^"  \     une  lonclion  nionolone. 


,        .    d^ 
notone    non-décrois-     /     ou    —,  un   des   nombies   dérivés    de    ^M«'.  >).   est 


10  i 


F  =:  ^    f\x,  y\  dx 
\'z=f  fix,)}clx 


,1.  —   r'  ■' 

~J      f{x,r\dix.y 

0,  0 


CHRONIQUE 

/a.  b 
?[x,y)dg{x,y)  : 
0,0 


^=0   I  -la;=0 


fax  S    ^^^.dgix^y). 


{     J      F{x,r)dG{x,r:=J      \V—\         dy. 
)     0,0  y=o  L      <'  J^=, 

<lJ(.r,v)</^M%.r)=  \fA   . 
0,0  L     Jo,  0 

.T=n  L  -"1/=" 

rf     /»^,  .y  /'.'/  .  ^„  ) 

Zr  ./       /"(•*•.  V)  dg  (.r,  ,vi  =  J     f^x.  y)d]-^[. 

0.0  0  '    "        ' 

Théorème  de  1  intégralioii  par  par[ies  ;   — 
J       gi.r,y)df{x,y)=  \fg\         -J     \fdg 

-J    \/'ds\         +J       fdg. 
0       L         Jr=0         0,0 


Si  g  (.r,  r )  et   tous 

ses    incréments    sont 
^  0, 


Théorème  de  la  moyenne,  type  Ossiaii   Bonnet. 

ro,  b, 
fd\xy ) 

0,0,...  0  X.  Y 

ovi  (X,  Y...)  est  un  certain   point  dn    «  rectangle» 
(0,  0 ;  a,  b, ). 


/ta,  b, 

J       fgdixy )=ig(a,b, 


Quant  aux  applications  à  la  théorie  des  séries  de  Fourier,  le 
conférencier  se  borne  à  citer  ses  nouveaux  résultats  dans  le  cas 
d'une  variable  et  fait  remarquer  qu'il  n'en  a  trouvé  aucun  qui  ne 
puisse  être  étendu  à  n  variables.  On  peut  citer  les  cas  suivants  : 

I.  La  série  de  Fourier  de  f  (x)  conçerge  an  point  x,  si 

-  f  I  d\u{f{x  +  u]  +  /■(.»•—«)))  I 

est  bornée. 

II.  La  série  alliée  de  la  série  de  Fourier  de  ï\\\  converge  an 
point  X,  si 

-  f  I  d\u[f\x  -I-//I   -  f\x  —  u)\)  I 


CHRONIQUE  105 

est  bornée,  et 


ll^o  J      'A-^'  +  "  —  /l*"  —  "M  col  ^  a  du 

existe. 

111.  sa  +  O'etf—  0^  existent, 

1 

lim  «rt,,  =  0     ,  lim  //A„  =  -!/'(+  0)  —  /'(  —  0|  ) 

quand  la  limite  est  prise  à  la  manière  de  Cesàro,  index   l  +  k  .  0  <C^''- 


14.  —  0.  Bloch  Berne  .  —  Sur  la  géométrie  dans  le  plan  d'une 
variable  complexe.  —  Des  problèmes  électrotechniques  ont  conduit 
l'auteur  à  la  considération   de   fonctions  rationnelles  de  la  forme 


A  4-  Bt'  +  Cv2  +  . . . .   +  M*'' 


D  4-  Er  +  Vy-  + +   .\v 


dans   lesquelles  c  désigne   un   paramètre  réel,  A,  B,  (],  etc.,  des 

constantes  quelconques,  complexes  ou   réelles.  V  est  ainsi  une 

complexe  variable  dont  la  représentation   géométrique   dans  le 

plan  de  Gauss  est  une  courbe  unicursale. 

L'auteur  développe  quelques-uns  des   résultats  de  ses  recher- 

,                                   ,           .                 ,.               .       ,.       A  +  Br  +  ca- 
ches,   entre    autres  les  suivants  :     1  expression  V  =^  t— -- — 1^^, 

^  u  -\-  [lv  -\-  rv- 

représente  quand  les  six  coeiricients  sont  complexes,  une  quar- 
tique  bi-circulaire  dans  une  position  quelconque;  quand  les  trois 
coefficients  du  numérateur  sont  seuls  réels,  on  obtient  une  de  ces 
quartiques  avec  un  point  double  à  l'origine.  Si,  dans  l'un  des 
deux  cas  précédents,  F  =0,  la  quartique  se  change  en  une  cubique 
circulaire.  Quand  A,  B,  C  sont  complexes,  D,  É,  F  réels,  léqua- 
quation  précédente  représente  une  conique  générale;  si  C=0,  la 
conique  passe  par  l'origine.  On  obtient  facilement  les  équations 
des  limaçons  de  Pascal  et  les  équations  focales  des  coniques.  La 
discussion  des  équations  conduit  à  des  modes  nouveaux  de  géné- 
ration de  courbes  connues  et  aussi  à  des  courbes  nouvelles. 

Les  différentes  courbes  unicursales  représentées  sont  difleren- 
ciées  par  le  nombre  plus  ou  moins  grand  des  termes  au  numéra- 
teur et  au  dénominateur  de  V  et  par  la  nature  (complexe  ou  réelle) 
des  coeflicients.  Les  expressions  \  avec  quatre  termes  au  numéra- 
teur et  au  dénominateur  donnent  déjà  2.")."»  combinaisons  diffé- 
rentes. Chacune  d'elles  représente  un  gi-oupe  de  courbes  renfer- 


106  CHRONIQUE 

mant  un  plus  ou  moins  grand  nombre  de  cas  particuliers.  Ainsi 

1  expression   N  = .  _ ,  ou  A  et  L  sont  complexes, 

est  l'équation  de  la  strophoïde  droite  en  position  quelconque  ; 
celle-ci  se  présente  comme  un  cas  particulier  d'une  cubique  circu- 
laire. Il  peut  aussi  arriver  que  des  expressions  différentes  donnent 
la  même  courbe. 

I/auteur  renvoie  pour  plus  de  détails  et,  en  particulier,  pour  le 
traitement  des  problèmes  fondamentaux  de  la  géométrie  analy- 
tique (problèmes  d'intersection,  de  tangentes,  etc.),  concernant 
ces  courbes,  à  un  travail  paru  dans  la  Schweiz.  Bauzeitnng  LXVIII, 
n"*  21  et  22j  et  ii  une  publication  qui  paraîtra  prochainement  sous 
le  titre  Ortskiirven  der  graphischen  Wechselstrointechnik,  chez 
Rascher  &  C",  à  Zurich. 


Nouvelles  diverses.  —  Nominations. 

Etats-Unis.  —  Les  mathématiciens  américains  se  sont  réunis 
à  New-York  du  27  au  M)  décembre  1916.  Les  deux  premières  jour- 
nées ont  été  réservées  à  la  23*  réunion  annuelle  de  la  Société 
mathématique  américaine  (American  mathematical  Societi/),  pré- 
sidée par  M.  E.  W.  Bitowx.  Plus  de  130  membres,  sur  732  que 
compte  la  Société,  ont  pris  part  aux  séances.  M.  L.  E.  Dicksox 
a  été  appelé  à  la  présidence  pour  1917. 

Les  deux  journées  suivantes  ont  été  consacrées  à  la  2''  réunion 
annuelle  de  la  Mathematical  Association  of  America,  qui  s'occupe 
plus  particulièrement  des  questions  de  l'enseignement  des  mathé- 
matiques. M.  FI.  Cajori  a  été  élu  président  pour  1917. 

Erance.  —  Académie  des  Sciences.  M.  Emile  Picard  a  été  élu 
secrétaire  perpétuel,  pour  les  sciences  mathématiques  et  phy- 
siques, en  remplacement  de  Gaston  Darboux.  Né  à  Paris  le 
24  juillet  1851),  M.  Picard  fait  partie  de  IWcadémie  des  Sciences 
depuis  le  11  novembre  1889  où  il  a  succédé  à  Halphen. 

Suisse.  —  M.  A.  Speiser  a  élé  nommé  professeur  de  mathé- 
matiques à  l'Université  de  Zurich. 

Nécrologie. 

Nous  avons  le  regret  d'apprendre  la  mort  du  général  Bassot, 
membre  de  l'Académie  des  Sciences  de  Paris  et  du  Bureau  des 
longitudes,  décédé  à  l'âge  de  soixante-treize  ans. 

H.  Dlm'lmieiî.  —  La  lîevae  de  Mi'laphifsique  et  de  Morale  n''  de 
janvier  1917  annonce  la  mort  de  son  jeune  collaborateur,  le  capi- 
taine Henri  Dui-umier,  tombé   au    clianip   d  honneui'.   «  CVest   une 


.V  o  T E  S  i:  T  n  o  c  u m i:  is  ts  lo: 

perte  irréparable  pour  la  philosophie  française.  Depuis  la  mort 
déplorable  de  notre  cher  Couturat,  nous  avions  reporté  sur  lui 
nos  plus  légitimes  espérances.  Henri  Dufumier  était  déjà  un 
maître  de  cette  science  difïicile  de  la  lo<risti(|iie  qui  suppose  elle- 
même  la  connaissance  approfondie  des  mathémati(jues,  puisque, 
selon  sa  propre  théorie,  elle  doit  en  sortir  inductivement.  »  U 
avait  pris  une  part  active  au  l'^'"  Congrès  de  philosophie  mathé- 
matique, tenu  à  Paris  du  (i  au  <S  avril  1914. 


NOTES  ET  DOCUMENTS 


Commission  internationale  de  l'Enseignement  mathématique. 

Compte  rendu  fies  tra\'(iux  des  Sous-coiumissioiis  /utlionales. 
|25^  article  I 

SUISSE 

Mathématiques  et  Enseignement  secondaire  suisse 

d  iiprès  le  rapport  de  M.  K.    Hkam)I'Nber(;f.k '. 

Peu  de  questions  sont  aussi  importantes  dans  les  pays  civilisés  que  celles 
de  renseignement  secondaii-e.  Sa  tâche  n'est  pas  facile  à  définir,  mais  étant 
destiné  dans  chaque  nation  à  former  pour  la  plus  grande  part  la  généra- 
tion cultivée  du  lendemain,  il  ne  peut  que  manquer  son  but  s  il  narrive  à  dé- 
velopper, à  côté  d'un  amour  ardent  du  vrai,  un  enthousiasme  sincère  pour 
le  beau  et  le  bien. 

La  pleine  possession  de  soi-même,  qu'on  voudrait  rencontrer  chez  fout 
adolescent,  ne  s  acquiert  que  lentement.  Pour  que  lécole  puisse  y  conduire, 
il  faut  qu'elle  inculque  à  l'enfant,  en  même  temps  qu'une  vive  affection  pour 
le  milieu  auquel  il  appartient,  le  sentiment  non  moins  net,  de  ce  qu'il  est. 
et  doit  être  en  tant  que  membre  de  l'humanilé  entière.  Le  jeune  homme 
doit  donc  être  amené,  par  l'instruction  qu'il  reçoit,  à  gagner  en  individualité, 
comme  aussi  à  devenir  chaque  jour  plus  conscient  de  son  nnivei-salité. 

L'école  cherche  à  atteindre  le  premier  de  ces  buis  par  l'étude  de  la  lan- 
gue, de  la  littérature,  de  l'histoire  et  de  la  géogi-aphie  du  pays  auquel  elle 
appartient.  Il  s'agit  ici  de  ceque  l'on  peut  appeler  l'éducation  nationale.  Elle 
poursuit  le  second  en  mettant  le  plus  possible  la  jeunesse  eu  relation  avec 
ce  qui  n'est  plus  l'apanage  exclusif  de  personne,  avec  les  langues  mortes,  par 
exemple,  les  sciences   en  général  ou   les  maihémaliques. 

C'est  en  se  plongeant  dans  ces  grandes  manifeslalions  que  l'esprit  se  met 


'  D'  K.  BRANr)K.\Bi:nr.t?ii,  Der  matheinalische  dilerrichc  an  deii  schweizerischen  Gi/mna- 
sien  u.  neatschiilen,  1  vol.  in-8»,  167  p.,  Ir.  :1.30  ;  CreorH  \;  C",  BMe  et  Genève  irasricule  i 
des  Rapports  de  la  sous-commission  suisse,  publiés  sous  la  direction  de  H.  Fkhri. 


108  NOTES    ET    DOCUMENTS 

le  mieux  eu  contact  avec  linfiui.  Il  semble  cependant  que  rien  n  établit, 
autant  que  les  mathématiques  et  d'une  manière  aussi  péremptoire.  luniver- 
salilé  de  notre  entendement.  « 

La  Société  suisse  des  Professeurs  de  mathématiques,  réunie  à  Baden  en 
octobre  1916,  avait  à  se  prononcer  sur  l'importance  réciproque  de  l'éduca- 
tion nationale  et  de  l'éducation  qui  a  sa  base  dans  l'étude  un  peu  appro- 
fondie des  sciences  mathématiques  '.  Le  débat  qui  n'est  pas  clos,  figure 
encore  à  l'ordre  du  jour  de  la  prochaine  assemblée.  Il  serait  donc  préma- 
turé de  vouloir  déjà  prendre  parti.  Ce  que  nous  voudrions  souligner,  c'est 
l'importance  qu'il  y  a  pour  quiconque  s'intéresse  à  la  cause,  à  reprendre  en 
mains  1  admirable  rapport  de  M.  Brandenberger  sur  les  mathématiques  dans 
l'enseignement  secondaire  suisse.  Il  semble  vraiment  diflicile,  sans  l'étude 
préalable  de  ce  beau  travail,  de  se  prononcer  avec  quelque  compétence  sur 
la  question  soulevée. 

Nous  allons,  pour  cette  raison,  en  donner  une  analyse  succincte,  d'autant 
plus  volontiers,  d'ailleurs,  que  ce  document  remarquable  n'a  pas  encore  été 
présenté  aux  lecteurs  de  ce  journal. 

Dans  cette  étude,  qui  remonte  à  1911  déjà,  mais  dont  l'actualité  est  en- 
core entière,  M.  Brandenberger  a  réuni,  en  un  seul  tout,  l'ensemble  des  ré- 
sultats d'une  enquête  organisée  par  la  sous-commission  suisse  d'enseigne- 
ment mathématique.  Les  indications  recueillies  proviennent  de  la  Suisse 
entière  et  sont  aussi  complètes  que  possible,  car  l'auteur,  pendant  l'élabo- 
ration de  son  œuvre,  n'a  jamais  craint  de  demander  de  tous  côtés  les  ren- 
seignements qu'il  jugeait  encore  nécessaires.  L'ouvrage  débute  par  des 
considérations  sur  l'influence  exercée  par  la  Confédération  sur  les  établis- 
sements secondaires  de  son  territoire.  Cette  influence  a  sa  source  dans  les 
conditions  qu'elle  impose,  1°  aux  futurs  étudiants  en  médecine,  2°  aux  jeunes 
gens  qui,  se  préparant  à  la  carrière  d'ingénieur,  se  proposent  de  passer  par 
1  Ecole  polytechnique.  Tous  les  établissements  suisses,  ou  du  moins  la  plus 
grande  partie  d'entre  eux,  se  trouvent  dans  la  nécessité  d'organiser  leur 
programme  en  tenant  compte  de  ces  deux  facteurs.  Leur  diversité  n  en  est 
pas  moins  grande.  On  le  constate  immédiatement  si  l'on  prend  la  peine 
d'examiner  les  tableaux  constitués  par  M.  Brandenberger.  Chacun  d'eux  in- 
dique exactement,  mais  d'une  manière  schématique,  en  même  temps  que 
1  âge  de  l'écolier,  le  nombre  correspondant  de  leçons  de  mathématiques 
qu'il  reçoit  par  semaine  dans  chaque  discipline.  Ces  tableaux  très  con- 
densés permettent  de  faciles  comparaisons.  Ils  sont  au  nombre  de  soixante, 
répartis  sur  douze  pages.  M.  Brandenberger  les  discute  avec  soin,  de  sorte 
qu'on  se  trouve  bien  vite  au  courant  de  leurs  moindres  particularités. 

Le  second  chapitre  est  consacré  à  la  valeur  éducative  de  l'enseignement 
mathématique,  tel  qu'on  le  comprend  en  Suisse,  ainsi  qu  à  sa  portée  prati- 
que. Pour  le  caractériser  M.  Brandenberger  donne  une  liste  de  problèmes 
composés  dans  les  différentes  écoles  à  l'occasion  des  examens  de  maturité. 
A  chaque  école  correspond  un  groupe  spécial  ;  il  n'y  a  donc  qu'à  considérer 
chacun  d  eux  pour  avoir  une  idée  de  la  matière  enseignée  dans  rétablis- 
sement. 

M.  Brandenberger  parle  au  troisième  chapitre  des  programmes  d'ensei- 
gnement.   Ceux-ci  sont  aussi  variés  que  possible,  autant  au  point  de  vue  de 


^  Voir  VEns.  Math.,  t.  WIII,  aniu'e  1910,  p.  441.  —   (Voir  aussi  dans  le  présent  fiisciciile. 
l.i  l'onlérencc  do  M.  Hooroa.  Hcd.) 


NOTES   ET  DOCUMENTS  109 

la  forme  qu'à  celui  du  fond.  Leur  variété  n'a  d  égale  que  celle  de  lorgaui- 
sation  des  écoles.  Pour  faciliter  les  comparaisons,  deux  tableaux  sont  pré- 
sentés ;  l'un  pour  les  gymnases  proprement  dits,  l'autre  pour  les  écoles 
scienliliques.  Ils  indiquent  d'une  manière  simple  ce  qui  se  fait  respecti- 
vement en  plus  et  en  moins  des  exigences  fédérales.  Au  premier  coup 
d'œil  on  s'aperçoit  que  les  écoles  ont  plutôt  la  tendance  à  dépasser 
de  beaucoup  ces  dernières  et  que  leur  enseignement,  pour  certains  chapitres 
spéciaux,  est  souvent  beaucoup  trop  complet.  D'une  manière  générale,  elles 
s'efforcent  aussi  d  initier  les  élèves  à  des  applications  pratiques.  D'un  autre 
côté,  la  notion  de  fonction  paraît  jouer  de  plus  en  plus  un  rôle  essen- 
tiel. Il  serait  toutefois  désirable  que  toute  modilicalion  heureuse  dans  un 
plan  d  études  comportât  en  même  temps  la  disparition  des  chapitres  devenus 
inutiles.  Ce  fait  est  trop  rare,  malheureusement. 

Il  est  enfin  impossible  d'expliquer  d'une  manière  plausible  la  grande  di- 
versité des  programmes,  si  ce  n  est  en  remarquant  que  les  écoles  secondai- 
res sont  cantonales  et  quelquefois  même  municipales  ou  communales.  Ceci 
A  son  bon  et  son  mauvais  côté.  Cependant  on  peut  se  demander  si  cette 
grande  indépendance  à  l'égard  de  la  Confédération  n'est  pas  plutôt  avauta- 
ji^euse.  Elle  facilite,  et  de  beaucoup,  l'introduction  des  réformes  reconnues 
nécessaires  par  le  personnel  enseignant. 

Une  des  parties  les  plus  intéressantes  du  volume  est  le  quatrième  chapitre, 
■où  M.  Brandenberger  traite  des  méthodes  d  enseignement.  Ce  chapitre,  le 
plus  développé  de  tous,  comprend  trois  divisions.  Dans  les  deux  premières, 
qui  se  rapportent  I  une  à  l'arithmétique,  l'algèbre  et  lanalyse,  l'autre  à  la 
géométrie,  les  vues  de  chacun  de  ses  correspondants  occasionnels  sont  expo- 
sées avec  clarté  et  netteté.  On  y  verra,  pour  prendre  un  exemple  au  hasard, 
parmi  les  très  nombreuses  questions  examinées,  la  façon  dont  on  envisage, 
<lans  les  différentes  écoles  secondaires  suisses,  l'analyse  combinatoire  et  les 
sujets  qui  s'y  rattachent  jusqu'à  la  théorie  des  assurances,  en  passant  par 
la  formule  du  binône,  les  déterminants  et  le  calcul  des  probabilités. 

Après  avoir  ainsi  donné  l'opinion  de  chacun,  M.  Brandenberger  émet  aussi 
la  sienne.  C'est  ainsi  qu'il  traite  tous  les  chapitres  spéciaux,  qu  il  s'agisse, 
pour  ne  citer  que  les  extrêmes,  d'arithmétique  élémentaire  ou  de  calcul  dif- 
férentiel et  intégral,  de  planimétrie  ou  de  dessin  de  machines. 

La  troisième  division  du  même  chapitre  se  rapporte  à  l'enseignement 
mathématique  considéré  à  un  point  de  vue  tout  à  fait  général.  Au  ^  oO,  l'au- 
teur montre  ce  qu'un  élève  normal  doit  être  susceptible  d  en  retirer.  Au 
^  31,  il  insiste  sur  la  méthode  à  suivre  dans  l'exposition  et  I  utilité  d  une 
bonne  préparation  pédagogique  du  futur  maître.  Il  reconnaît  volontiers  que 
<juelques-uns  d'entre  eux  possèdent  un  don  inné  d  enseignement,  mais 
pour  ceux-là  aussi,  il  pense  qu'une  initiation  à  la  pédagogie,  loin  d'être  su- 
perflue, ne  peut  présenter  au  contraire  que  de  très  sérieux  avantages. 

Le  ii  32  se  rapporte  à  la  manière  dont  l'enseignement  des  disciplines  ma- 
thématiques doit  être  coordonné.  M.  Brandenberger  signale  à  ce  propos  bon 
nombre  d'objets  de  leçons  sur  lesquels  les  maîtres  feraient  beaucoup  mieux 
<le  ne  pas  appuyer  '. 


*  Bien  des  propositions  de  M.  Brandenberger  ont  fait  du  chemin  depuis  la  publication 
de  son  rapport.  C'est  ainsi  que  dans  sa  séance  d'octolirc  1015,  à  Baden,  la  Société  de» 
Professeurs  secondaires  de  mat)iématiques  a  examine  avec  M.  Otli,  comme  rapporteur, 
quels  chapitres  on  pourrait  actuellement  supprimer  des  programmes  d'enseignement.  Voir 
\Eiis.  Math.,  t.  .XVIII,  année  1910,  p.  136. 


110  NOTES    ET    DOCUMENTS 

Relativement  à  l'aïialyse  combinatoire,  mentionnée  plus  haut,  il  reniiirque 
expressément  qu  il  est  partailement  iuutile  de  s  eu  occuper  en  détail.  Il 
voudrait  dautre  part  que  1  ou  tendit  toujours  plus  à  concentrer  l'enseifçne 
ment  mathématique  autour  d  nue  seule  et  unique  notion,  celle  de  fonction 
ou.  comme  on  peut  dire  aussi,  celle  de  dépendance  fonctionnelle.  En  arith- 
métique, en  algèbre,  comme  en  géométrie,  le  maître  peut  très  bien  parvenir 
à  ce  que,  peu  à  peu,  cette  notion  finisse  par  prendre  une  place  prépondé- 
rante dans  toutes  les  considérations.  «  L  instruction  et  l'éducation,  dit 
-M.  Brandenberger,  ont  comme  but  ultime  la  formation  de  la  volonté.  Mais 
la  volonté  n  existe  que  quand  il  n'y  a  dans  le  savoir  ni  contradiction,  ni 
manque  d'unité.  Pour  qu'il  puisse  en  être  ainsi,  il  est  donc  indispensable 
que  la  communication  de  nouvelles  connaissances  se  fasse  en  observan 
aussi  strictement  que  possible  un  seul  et  unique  principe,  celui  de  la  con- 
centration. » 

Ce  principe  de  concentration  ne  doit  pas  être  appliqué  aux  mathématiques 
seules.  Il  est  nécessaire  qu  bu  s  en  souvienne  aussi  pour  la  coordination  de 
1  ensemble  des  cours  d'un  même  établissement.  M.  Brandenberger  le  dit  en 
passant,  mais  sans  s'arrêter  sur  cette  questioiî  si  importante  qui  l'aurait 
entraîné  loin  du  cadre  qu'il  s'était  imposé. 

Dans  sa  belle  conférence  *,  sur  l'adaptation  de  renseignement  secondaire 
aux  progrès  de  la  science,  faite  en  avril  1914,  ;i  Paris,  à  l'occasion  de  la 
réunion  internationale  de  l'Enseignement  mathématique,  M.  Borel  a  parlé  de 
ce  sujet  si  digne  d'attention.  Nous  y  renvoyons  le  lecteur. 

La  question  des  examens  est  traitée  dans  le  cinquième  chapitre  de  l'ou- 
vrage que  nous  analysons,  tandis  que  celle  de  la  formation  effective  des 
professeurs  au  point  de  vue  pédagogique-  est  examinée  dans  le  sixième  et 
dernier. 

Ce  qui  frappe  dans  renseignement  suisse  à  tous  les  degrés  et  quelles  que 
soient  les  disciplines  scientifiques  ou  littéraires  que  l'on  considère,  c'est 
sou  immense  diversité.  D'un  endroit  à  un  autre,  1  organisation  des  écoles, 
les  matières  professées  appartenant  à  un  même  domaine,  les  exigences 
relatives  aux  membres  du  corps  enseignant  varient  pour  ainsi  dire  du  tout 
au  tout.  Il  n'y  a  pas  là  de  grands  inconvénients  pour  la  formation  générale 
des  esprits,  puisque  partout  renseignement  est  compris  de  la  façon  la  plus 
digne,  et  que  c  est  en  toute  conscience  que  les  maîtres  suisses  se  dévouent 
à  leurs  délicates  fonctions.  Ou  peut  même  prétendre  qu'il  n'en  résulte  rien 
de  fâcheux  non  plus  pour  la  formation  de  1  intelligence  mathématique  pro- 
prement dite.  La  science  mathématique,  en  elTet,  pas  plus  qu  une  autre,  n  a 
besoin,  pour  être  acquise,  de  chemins  tracés  à  l'avance  et  fondés  sur  des 
pi'incipes  immuables,  fruits  eux-mêmes  d'expérience  plusieurs  fois  sécu- 
laires. Le  sentiment  du  contraire  est  comme  un  reste  de  scolasticjue  qui  ira 
toujours  en  s'alfaiblissant. 

Comme  le  faisait  remarquer  .M.  Roorda  à  Baden  ^,  en  octobre  1916,  il  n  y 
a  pas  entre  l'esprit   géométrique  et  1  esprit  de  finesse,  une  oppositiou  aus^i 


»  Voir  ÏKiis.  Math.,  t.  XVI.  annoe  l'.U'»,  p.   198. 

-  .^  ce  point  de  vue,  les  idées  (-inisos  par  M.  Brandenberger  n'ont  cessé  de  porter  des 
(Viiils.  Voir,  par  exemple,  dans  17;'/i.<.  Math.  t.  XVI,  année  1914,  p.  138,  les  vœux  exprimés 
en  1913  par  la  Société  suisse  des  professeurs  de  l'ensoignement  secondaire.  On  sait  aussi 
<|ue  l'Kcole  polytechnique  a  institué  depuis  plusieurs  années  des  cours  de  méthodologie  et 
(\o  didactique  mathématique,  cours  dont  M.   Brandenberger  a  la  direction. 

'  Voir  sa  conlérence  dans  le  présent  fascicule. 


NOTES    ET   DOCUMENTS  111 

radicale  que  se  l'imaginait  peut-être  Pascal.  Les  faits  semblent  réfuter 
chaque  jour  davantage  les  adîrraations  à  ce  propos  du  si  célèbre  mathéma- 
ticien. 0  La  représentation  que  l'on  se  fait  souvent  de  la  science  mathéma- 
tique, comme  une  série  linéaire  ou  un  petit  nombre  de  séries  linéaires,  dans 
chacune  desquelles  l'ordre  rigoureu.K  des  antécédents  et  des  conséquents  ne 
peut  pas  être  moditlé').  est  erronée.  «Les  véritables  éléments  des  mathé- 
matiques, dont  on  ne  peut  pas  se  passer  pour  aller  plus  loin,  se  réduisent 
à  très  peu  de  chose  ;  aux  notions  d'arithmétique  et  de  géométrie  néces- 
saires pour  comprendre  et  appliquer  le  système  métrique,  il  sufht  de  joindre 
les  principes  de  la  notation  algébrique  pour  avoir  une  base  solide  à  partir 
de  laquelle  on  peut  étudier  les  mathématiques  dans  des  directions  variées, 
sans  qu  un  ordre  de  matières  particulier  soit  imposé  autrement  que  par  la 
tradition  et  les  usages-.» 

Si  donc  quelle  que  soit  l'organisation  de  chaque  école,  et  plus  spécia- 
lement celle  de  son  enseignement  mathématique,  on  s'en  tient  autant  qu'on 
le  peut  à  une  concentration  de  l'enseignement,  la  formation  des  intelligences 
ne  souffrira  pas. 

Mais  il  y  aura  d  autres  inconvénients.  Si  les  écoles  de  tous  les  degrés  se 
tiennent  trop  isolées  les  unes  des  autres,  et  ne  cherchent  pas  à  resserrer 
plus  fortement  les  liens  qui  les  unissent,  bien  des  progrès  désirables  eu 
matière  de  solidarité  nationale,  ne  pourront  se  faire. 

Les  programmes  de  tous  nos  établissements  d  enseignement  doivent  être 
coordonnés  atin  de  permettre  aux  élèves  suisses  de  fréquenter  indifféremment 
ces  établissements,  car  cette  fréquentation  ne  pourra  que  nous  rapprochei- 
plus  encore,  malgré  nos  dilférences  ethniques.  Ceci  permettra  également  de 
mieux  utiliser  nos  nombreuses  richesses  intellectuelles.  On  ne  peut  donc 
que  s'associer  au  vœu  formulé  par  M.  Brandenberger  à  la  page  64  de  son 
bel  exposé,  vœu  qui,  par  les  travaux  de  la  Société  des  Professeurs  de  ma- 
thématiques, se  trouve  déjà  en  voie  de  réalisation,  et  demander  avec  lui 
l'élaboration  en  commun  des  programmes  concernant  notre  enseignement 
secondaire.  Il  est  à  désirer  aussi  qu'on  fasse  de  même  pour  l'enseignement 
universitaire.  La  Société  mathématique  suisse  y  contribuera  sans  doute.  De 
toutes  façons,  il  semble  possible  de  parvenir  un  jour  à  l'unité  sans  tomber, 
pour  cela,  dans  l'uniformité. 

Mars  1917.  Gustave  Du.mas  (Lausanne). 


*  BoRKL,  Inc.  cit.,  p.  2(i6. 

*  BoREL,  loc.  cit.,  p.  207. 


BIBLIOGHAPIIIE 


Annuaire  poar  l'an  1917,  publié  par  le  Bureau  des  Longitudes.  —  1  vol. 
in-16  de  près  de  700  p.,  avec  11  fig.,  5  cartes  en  couleurs  et  2  portraits: 
2  fr.  ;  Gauthier-Villars  &  C'' ,  Paris. 

L'Annuaire  du  Bureau  des  Longitudes  pour  l'année  1917,  si  précieux  par 
le  nombre  des  documents  qu  il  contient,  vient  de  paraître.  Cet  excellent 
Recueil  renferme  cette  anuée,  après  les  documents  astronomiques,  des 
Tableaux  relatifs  à  la  Métrologie  et  à  la  Météorologie. 

Cet  Ouvrage  ne  se  trouvera  pas  seulement  sur  la  table  du  technicien,  du 
physicien,  du  mathématicien;  chacun  voudra  le  consulter  pour  avoir  sous 
les  yeux  la  liste  des  constantes  usuelles,  et  aussi  pour  lire  les  intéressantes 
Notices  de  cette  année  :  l,e  calendrier  babylonien,  par  G.  Bigourdan  ; 
L  avance  de  l'heure  légale  pendant  l'été  de  l'année  1916,  par  J.  Renaud  ;  La 
détermination  du  Mètre  en  longueurs  d'ondes  lumineuses,  par  M.  Hamy. 

Df  B.  Gonggrijp. —  Logarithmische  en  Goniometrische  Tafels  en  Bijtafels. 

—  1  vol.  in-8o   de    230   pages;    1  fl,  70;    P.    Noordhoff,    Groningen,    1916. 

Ces  nouvelles  tables  sont  divisées  en  plusieurs  parties.  La  première 
donne,  avec  cinq  décimales,  les  logarithmes  des  nombres  ordinaires  jusqu  à 
10,800.  Pour  les  800  derniers  nombres  les  logarithmes  ont  même  six  déci- 
males. Les  nombres  sont  présentés  par  groupes  de  10  dont  on  a  les  loga- 
rithmes sur  une  même  ligne  horizontale.  Par  exemple  on  lit 

012         3456789 
491      69       108     117     126     135     144     152     161     170     179     188 

ce  qui  indique  que  le  logarithme  de  4910  a  69108  pour  mantisse.  Pour  4911, 
4912,...  les  mantisses  sont  respectivement  69117,  69126,... 

Cette  disposition  est  appuyée  d'une  très  grande  clarté  matérielle,  d'une 
très  grande  correction  typographique.  Il  n'y  a  ainsi  que  1080  lignes  a 
manier.  Les  différences  se  lisent  très  clairement  dans  le  sens  horizontal 
comme  on  peut  d'ailleurs  s'en  convaincre  sur  la  ligne  ici  transcrite. 

La  seconde  partie  est  consacrée  à  la  trigonométrie.  Elle  donne  les  loga- 
rithmes des  sinus,  tangentes,  cotangentes,  cosinus  de  tous  les  arcs  pris  de 
minute  en  minute. 

Les  procodés  d'interpolation  sont  variés.  Pour  les  deux  premiers  degrés 
nous  retrouvons  celui  employé  dans  les  tables  françaises  de  J.  Houël.  On 
réduit  le  petit  arc  en  secondes;  on  cherche,  dans  la  premièic  partie,  le 
logarithme  de  ce  nombre  de  secondes  et  on  y  ajoute  le  logarithme  du  rap- 


BIBLIOGRAPHIE  113 

port  du  sinus  ou  de  la  tangente  à  l'arc  ainsi  évalué.  Ce  logarithme  de 
rapport  est  donné  en  bas  de  page. 

Pour  les  trois  degrés  suivants,  les  interpolations  peuvent  se  faire  sans 
procédé  spécial  mais  comme  elles  sont  assez  laborieuses,  des  tableaux 
d'interpolation  forment  des  pages  spéciales  respectivement  situées  à  gauche 
des  six  pages  consacrées  aux  six  demi-degrés  considérés. 

Les  «  Bijtafels  »  sont  des  tables  auxiliaires  extrêmement  pratiques.  La 
première,  A,  est  une  table  très  condensée  d  antilogarithmes.  B  donne  les 
carrés,  cubes,  racines  et  inverses  pour  les  nombres  de  1  à  100.  C  est  d'une 
disposition  très  ingénieuse  pour  donner  les  longueurs  d'arcs  de  cercle  com- 
posés de  degrés,  minutes,  secondes.  D  donne  les  logarithmes  de  1  -|-  r  pour 
les  calculs  financiers.  E  se  rapporte  aux  constantes  usuelles.  F  et  G  conver- 
tissent les  logarithmes  ordinaires  en  logarithmes  népériens  et  réciproque- 
ment. H  donne  les  valeurs  de 

2  sin  —    ,    l  tang  —    , 

les  arcs  a  étant  situés  dans  les  deux  premiers  quadrants  et  exprimés  en 
degrés. 

Enfin  des  tables  donnent  les  valeurs  naturelles  des  sinus,  tangentes, 
cotangentes,  cosinus  pour  tous  les  arcs  du  premier  quadrant  pris  de  minute 
en  minute.  Pour  les  arcs  inférieurs  à  6  degrés,  un  appendice  assure  toujours 
cinq  chiffres  significatifs. 

L'ensemble  de  tout  ceci  constitue  un  beau  recueil  d'une  perfection  maté- 
rielle au-dessus  de  tout  éloge.  A.  Buhl  (Toulouse). 

P.  WiJDEXEs.  —  Logarithmen  en  Rentetafels.  —  1  vol.  in-S»  de  64  pages, 
0  fl.  50  ;  Grouingeu,  P.  IVoordhoff,  Groningen  1916. 

Ces  tables  constituent  un  complément  de  celles  du  D""  B.  Gonggrijp,  com- 
plément adapté  aux  problèmes  financiers.  On  retrouve  d'abord  la  table  de 
logarithmes  pour  les  entiers  de  1  à  10.800. 

Viennent  ensuite  les  puissances  de  (!-[-;•)"  où;- varie  par  demi-centièmes 
de  0,02  à  0,06  alors  que  n  varie,  par  valeurs  entières,  de  1  à  35.  Puis  viennent 
des  résultats  analogues  pour  n  négatif.  Les  tables  suivantes  sont  consacrées  à 

2(1  -f  r)"  =  (1  +  r)  -l-'l  -h  m2+  ....  -f  (1  +  r," 

puis  à  des  sommes  analogues,  où  n  est  négatif,  et  aux  inverses  de  ces  som- 
mes, pour  les  valeurs  de  r  et  de  n  déjà  indiquées.  Signalons  encore  un 
petit  tableau  pour  les  racines  douzièmes  des  puissances  de  1  -|-  r  et  nous 
aurons  évidemment  tout  ce  qui  est  nécessaire  pour  le  calcul  rapide  des 
intérêts  composés,  annuités  et  quantités  connexes.  L  œuvre  est  de  même 
facture  que  celle  de  M.  B.  Gonggrijp.  A.  Buhl  (Toulouse|. 

Aug.  FôppL.  —  Vorlesungen  ùber  technische  Mechanik.  In  sechs  Biinden. 

Erster    Band  :    Einfiilirnug   in    die    .Mechanik.  5.   Auflage.  —    1  vol.   in-S"  ; 

431  p.,  104  fig.  ;  relié,  10  M.  ;  B.  G.  Teubuer,  Leipzig. 

Il  nous  suffira  évidemment  de  signaler  brièvement  cette  nouvelle  édition 
du  tome  I  du  traité  de  mécanique  technique  de  M.  Fôppl.  Sauf  de  légères 
modifications  de  détails  elle  est  conforme  à  la  4"'»  édition, 

L'Enseignement  mathém.,  19»  année,    1917.  8 


114  BIBLIOGRAPHIE 

Ce  premier  volume  a  pour  objet  l'introduction  à  la  mécanique  technique. 
Il  contient  tout  ce  qui  dans  une  première  étude  est  indispensable  aux  élèves- 
ingénieurs  : 

I.  Mécanique  du  point  matériel.  —  II.  Mécanique  du  corps  solide.  — 
III.  Théorie  du  centre  de  gravité.  —  IV.  Transformation  de  l'énergie.  — 
Y.  Le  frottement.  —  VI.  Elasticité  et  résistance.  —  VII.  Le  choc.  —  VIII. 
Mécanique  des  corps  fluides. 

L'Ouvrage  correspond  aux  leçons  que  professe  lauleur  à  1  Ecole  tech- 
nique supérieure  de  Munich.  C'est  sans  doute  le  traité  de  mécanique  tech- 
nique le  plus  répandu  à  l'heure  actuelle  dans  les  pays  de  langue  allemande. 


J.  Hada.makd.  —  Fours  Lectures  on  Mathematics.  A  course  of  lectures 
delivered  at  Golumbia  University  in  1911.  [Publications  of  the  Ernest 
Kempton  Adams  Fund  for  physical  research.  Nr.  5]  —  1  fasc.  iu-4"  53  p, 
$  0,75;   New-York,  Columbia  University  Press,  1915. 

Ce  livre  contient  la  série  des  quatre  leçons  en  langue  anglaise  que 
M.  Hadamard  a  données  en  1911  à  lUniversité  Columbia  (New- York).  En 
voici  les  titres  : 

I.  La  définition  des  solutions  d'une  équatiou  aux  dérivées  partielles  par 
des  conditions  à  la  frontière. 

IL  Recherches  contemporaines  sur  les  équations  différentielles,  les  équa- 
tions intégrales  et  intégro-différentielles. 

III.  L'analysis  situs  en  relation  avec  les  correspondances  et  les  équations 
différentielles. 

IV.  Solutions  élémentaires  des  équations  aux  dérivées  partielles  et  fonc- 
tions de  Green. 

La  lecture  de  ces  leçons  sera  des  plus  suggestives  pour  le  lecteur  quelque 
peu  familiarisé  avec  ces  théories.  Il  y  trouvera  non  point  un  exposé  systé- 
matique, mais  une  série  de  remarques  de  caractère  général  appuyées  sur 
des  exemples  particuliers  heureusement  choisis. 

M.  Pla.ncherkl  iFribourg). 


J.  Grialou.  —  Cours  d'Hydraulique,  professé  à  l'Ecole  centrale  de  Lyon. 
—  1  vol.  in-8o  de  VI-550  pages  et  240  figures;  20  fr.  ;  Gauthier-Villars, 
Paris,  1916. 

Ce  cours  d'Hydraulique  se  présente  sous  un  aspect  véritablement  original. 
Il  est  aussi  scientifique  que  possible  et,  même  dans  le  cas  où  il  a  fallu  des- 
cendre des  équations  analytiques  vers  les  résultats  empiriques,  la  transition 
conserve  le  caractère  d'une  application  qui  pourra  guider  les  progrès  futurs 
de  la  théorie.  Nombreuses  sont  les  questions  traitées.  Contentons-nous 
d'indiquer  les  plus  saillantes,  surtout  au  point  de  vue  malhématique. 

L'Hydrostatique  est  devenue  une  science  élémentaire  à  laquelle  on  peut 
donner  une  allure  purement  géométrique.  Les  centres  de  pression,  le  prin- 
cipe de  Pascal  donnent  d'élégants  et  faciles  calculs.  Du  liquide  en  rotation 
jiarabolique  autour  diui  axe  vertical,  nous  passons  à  la  rotation  circulaire 
autour  d  un  axe  horizontal  :  c  est  un  cas  traité  moins  souvent.  Ce  sont  le 
principe  d'Archimède  et  les  corps  flottants  qui  donnent  la  note  géométrique. 
La  formule  barométrique  donne  celle  des  calculs  pratiques. 


BIBLIOGRAPHIE  115 

Les  équations  générales  de  l'hydrodynamique  sont  établies  avec  soin. 
L  une  de  leurs  conclusious  immédiates  est  le  théorème  de  BernouUi 

z  -f  —  H =  H  =  const. 

Pour  le  cas  de  fluides  élastiques,  à  température  variable  ou  non,  il  admet 
des  variantes  qui  lui  sont  immédiatement  rattachées.  Il  est  aussi  d'une 
signification  géométrique  vérifiable  par  des  expériences  piézométriques  très 
simples.  On  peut  déjà  en  tirer  une  théorie  de  lécoulement  des  liquides  par 
les  orifices.  L'auteur  s'élève  ici  contre  des  idées  fausses,  attribuant  au.v 
veines  issues  d'orifices  en  mince  paroi  des  formes  non  tangenlielles  à  la 
paroi  ;  il  est  curieux  qu  il  faille  redresser  de  telles  erreurs  car  on  ne  voit 
pas,  au  simple  point  de  vue  de  la  continuité,  comment  une  molécule,  voisine 
de  la  paroi  et  se  disposant  à  sortir,  pourrait  présenter  tout  à  coup  un  point 
anguleux  dans  sa  trajectoire.  Les  sections  variables  d  une  même  veine,  à  des 
distances  diverses  de  l'orifice,  forment  aussi  un  sujet  d'étude  des  plus  sur- 
prenants. Le  théorème  de  BernouUi,  combiné  avec  certains  résultats  expé- 
rimentaux de  Borda,  donne  différentes  formes  de  celui  de  Bélanger  pour 
l'écoulement  s  effectuant  d'une  conduite  à  une  autre  conduite  de  section 
différente.  La  variation  de  charge  peut  cependant  donner  lieu  à  une  véri- 
table analyse  poussée  assez  loin  moyennant  des  équations  linéaires  dont 
l'une  est  intégrable,  non  sans  élégance,  par  les  fonctions  de  Bessel. 

Les  ajutages  et  déversoirs  ont  des  théories  plutôt  empiriques,  mais,  pour 
le  déversoir  en  mince  paroi,  nous  voyons  cependant  les  conséquences  très 
nettes  dune  hypothèse  concernant  le  maximum  du  débit. 

Les  tuyaux  de  conduite  sont  naturellement  traités  dans  un  très  important 
chapitre;  le  frottement  est  ici  impossible  à  négliger  et  malheureusement  on 
est  encore  réduit  à  des  hypothèses  expérimentales.  Les  rôles  de  l'élasticité 
des  parois,  des  poches  d'air,  donnent  cependant  lieu  à  des  calculs  et  à  des 
schêmes  d  une  fort  intéressante  variété  et,  contrairement  à  ce  que  l'on  pour- 
rait croire,  il  reste  encore  beaucoup  d'intérêt  pour  le  cas  où  le  fluide  en 
circulation  est  un  gaz.  La  fin  du  chapitre  nous  révèle  une  analyse  fort 
élémentaire  pour  l'obtention  d'une  formule,  due  à  M.  Haton  de  la  Goupillière, 
et  concernant  le  temps  de  remplissage  d'un  réservoir  communiquant  avec 
un  autre  de  capacité  indéfinie. 

L'écoulement  dans  les  canaux  et  rivières,  si  l'on  y  considère,  comme  fonc- 
tion à  étudier,  la  vitesse  en  un  certain  point  d'une  section  transversale, 
conduit  à  des  équations  aux  dérivées  partielles  analogues  à  celles  qui  se 
rencontrent  dans  des  régions  assez  diverses  de  la  Physique  mathématique. 
On  peut  y  satisfaire  par  des  solutions  trigonométriques  et  exponentielles. 
La  théorie  du  remous  provoqué  par  un  barrage  dépend  d'une  équation  dif- 
férentielle qui,  au  moins  dans  le  cas  du  canal  rectangulaire,  donne  lieu  à 
de  simples  intégrations  de  fractions  rationnelles. 

La  résistance  des  fluides  au  mouvement  des  solides  n'est  point  riche  en 
formules  mathématiques,  du  moins  dans  des  cas  tant  soit  peu  généraux, 
mais  les  hélices  aquatiques  et  aériennes,  les  parties  planantes  des  avions 
ont  exigé  des  résultats  dont  l'intérêt  pratique  existe  forcément. 

Les  mouvements  ondulatoires  des  liquides  (lioulc,  clapotis,..!  se  prêtent 
à  une  analyse  élégante  due  à  Cauchy.  Les  ondes  simples,  correspondant  aux 
solutions    trigonométriques   des   équations  aux   dérivées  partielles,  y  jouent 


116  RIBUO  GRAPHIE 

un  rôle  capital.  Se  raltacheut  à  celte  question  les  oscillations  pendulaires 
dans  les  tubes  en  U,  complètement  ramenées,  pour  les  petites  oscillations, 
aux  équations  différentielles  habituelles  possédant  ou  non  un  terme  amor- 
tissant suivant  qu  on  veut  ou  non  tenir  compte  du  frottement. 

Les  récepteurs  hydrauliques  sont  des  roues  ou  des  turbines  ;  un  profane 
pourrait  voir  dans  les  roues  des  appareils  primitifs  et  grossiers,  ce  en  quoi 
il  se  tromperait  fort.  Pour  prendre  l'eau  sans  choc  et  la  rendre  sans  vitesse, 
tout  en  la  conservant  entre  les  aubes  entre  les  deux  instants,  des  disposi- 
tifs fort  ingénieux  ont  été  réalisés.  Pour  les  turbines  l'esprit  géométrique 
semble  les  avoir  conçues  bien  avant  d'y  être  poussé  par  les  nécessités  indus- 
trielles. Les  turbines  dites  parallèles,  parce  que  les  filets  fluides  qui  les 
traversent  restent  à  une  distance  constante  de  Taxe,  sont  dues,  en  principe, 
à  Euler  !  Elles  sont  encore  plus  variées  que  les  roues  ;  elles  peuvent  être 
réversibles    c'est-à-dire    employées  à  refouler  l'eau    (pompes   centrifuges). 

Pour  les  roues  et  turbines  la  question  capitale  est  celle  du  rendement  et 
c'est  surtout  le  théorème  des  forces  vives  qui  revient  sous  des  aspects 
variés.  Beaucoup    d'élégance,    beaucoup    de    figures^  claires  et    suggestives. 

Les  machines  à  élévation  sont  d'abord  les  pompes  plus  ou  moins  antiques  ; 
leur  théorie  est  très  élémentaire.  Mais  il  faut  leur  adjoindre  les  béliers 
hydrauliques  ti  caractère  presque  paradoxal  ;  ils  utilisent  le  bref  instant 
d'un  coup  de  bélier  pour  élever  une  colonne  d'eau  dont  le  poids  ferme 
ensuite  une  soupape  l'empêchant  de  redescendre.  La  première  idée  des 
appareils  de  ce  genre  est  due  à  Montgolfier. 

L'ouvrage  va  maintenant  se  terminer  par  quelques  chapitres  d'un  carac- 
tère plus  analytique  mais  d  une  irréprochable  symétrie.  La  symétrie  maté- 
rielle des  roues,  turbines,  etc.,  doit  naturellement  appeler  souvent  un 
emploi  de  coordonnées  polaires,  c  est-à-dire,  dans  l'espace,  de  coordonnées 
semi-polaires  ou  cylindriques.  Les  équations  fondamentales  admettent  alors 
des  transformations  remarquables  propres  à  mettre  en  évidence  des  résul- 
tats qui  n'apparaîtraient  que  plus  difficilement  en  coordonnées  ordinaires. 
Pour  les  cloisons  directrices  des  turbines  j'aperçois  ainsi  tantôt  des  spirales 
logarithmiques,  tantôt  des  courbes  paraboliques  très  simples. 

Dans  une  étude  sur  le  mouvement  des  liquides  parfaits  nous  revenons  sur 
les  équations  générales  parmi  lesquelles,  dans  le  cas  d'un  potentiel  des 
vitesses,  se  trouve  l'équation  de  Laplace.  On  peut  satisfaire  à  ces  équations 
au  moyen  de  solutions  à  la  Cauchy  ;  ce  résultat  bien  connu  a  été  réappliqué 
ici,  de  manière  systématique,  à  divers  problèmes  d  écoulement.  Je  signale 
surtout  l'écoulement  eu  vase  circulaire  à  niveau  constant  par  orifice  circu- 
laire situé  à  la  base  ;  l'emploi  des  coordonnées  cylindriques  est  particuliè- 
rement approprié  car  il  suffit  de  savoii"  ce  qui  se  passe  dans  une  tranclie 
méridienne. 

Enfin,  pour  les  liquides  visqueux,  l'auteur  écrit  les  équations  générales, 
les  réduit  pour  le  cas  de  la  seule  pesanteur,  examine  le  mouvement  perma- 
nent et  aboutit  aux  équations  d'IleUuholtz.  Il  essaie  des  solutions  élémen- 
taires dans  la  théorie  du  remous,  dans  celle  du  déversoir  en  mince  paroi, 
où  il  arrive  notamment,  pour  les  lignes  de  courant,  à  une  équation  diffé- 
rentielle ordinaire  facilement  infégrable.  Il  exprime  ensuite  le  débit  par 
deux  intégrales  différentes  dont  il  établit  1  équivalence. 

Il  termine  par  le  mouvement  noyé  d  une  plaque  mince  rectangulaire  :  là 
encore  je  remarque  une  équation  différentielle  facilement  intégrable  pour 
l'obtention  des  ligues  de  courant. 


BIBLIOGRAPHIE  117 

Bien  d  autres  choses  seraient  à  citer  dans  cet  excellent  ouvrage  de  facture 
liautemeut  scientifîijue.  L'Hydraulique  n  y  apparaît  pas  comme  un  recueil 
de  formules  empiriques.  Euler  et  MontgoHier  ont  été  séduits  par  ses  attraits 
et  M.  J.  Grialou  nous  montre  que  ceux-ci  n'ont  pu  qu  augmenter  à  la  clarté 
des  méthodes   de  la  science  moderne.  A.    Blhl  (Toulouse). 

G.  A.  MiLLEK,  H.  F.  BucHFELDT  et  L.  E.  DicKso.N.  —  Theory  and  Applica- 
tions of  finite  Croups.  —  1  vol.  iu-So,  relié,  390  p.  ;  4  doll.  ;  John  Wiley 
&  Sons,  i\'ew-York. 

Cet  Ouvrage  est  dédié  à  l'auteur  du  Traité  des  substitutions  et  des  équa- 
tions algébriques  (Paris,  1870),  M.  Camille  Jordan,  dont  les  recherches  fon- 
damentales sur  la  théorie  et  les  applications  des  groupes  finis  ont  jeté  les 
bases  d'une  nouvelle  brandie  des  mathématiques.  Il  a  pour  but  de  donner 
un  exposé  d'ensemble  de  la  théorie  des  groupes  finis  et  de  leurs  principales 
applications.  Il  comprend  trois  parties  rédigées  par  MM.  Miller,  Blichfeldt 
et  Dickson,  bien  connus  par  leurs  nombreuses  contributions  à  la  théorie 
des  groupes. 

Dans  la  Première  Partie,  M.  G.  A.  Miller  (Uuiversity  of  Illinois)  expose 
les  notions  fondamentales  de  la  théorie  des  substitutions  et  des  groupes 
abstraits.  Dès  les  premières  définitions  l'auteur  fait  appel  à  des  exemples 
empruntés  à  la  Géométrie,  la  rotation,  autour  de  leur  centre,  d'un  triangle 
équilatéral  ou  d  un  carre,  permettant  d'illustrer  d'une  façon  très  claire  les 
notions  de  groupe  et  de  sous-groupe. 

Les  fondements  de  la  théorie  sont  caractérisés,  comme  on  sait,  par  les 
théorèmes  de  Sylow,  de  Lagrange  et  de  Cayley,  par  les  groupes  abélieus  et 
par  la  théorie  de  i'isomorphisme.  Ils  sont  présentés  avec  le  soin  et  la  pré- 
cision indispensables  dans  une  première  initiation. 

La  Seconde  Partie,  rédigée  par  M.  H.  F.  Blichfeldt  (Stanford  Univer- 
sity,  Cal.),  contient  l'élude  des  groupes  finis  de  transformations  linéaires 
et  homogènes,  dont  les  transformations  de  coordonnées  fournissent  les 
exemples  les  plus  simples.  L'auteur  étudie  les  principaux  cas  suivant  les 
conditions  auxquelles  on  soumet  les  éléments  du  tableau  formé  par  les 
coefficients. 

Dans  la  Troisième  Partie,  M.  L.  E.  Dickson  (University  of  Chicago)  a 
réuni  les  principales  applications  des  groupes  finis,  en  Algèbre,  en  Géo- 
métrie et  en  Analyse.  Les  plus  importantes  sont  relatives  à  la  résolution 
des  équations  algébriques  :  domaine  de  la  rationalité,  résolvantes  de  Galois, 
conditions  suffisantes  pour  qu'une  équation  algébrique  soit  résoluble  par 
radicaux;  conditions  suffisantes  pour  que  cela  soit  possible,  application  aux 
constructions  à  laide  de  la  règleet  du  compas.  Passant  au  domaine  de  la  Géo- 
métrie, M.  Dickson  examine  les  applications  fournies  par  la  recherche  des 
points  d  inflexion  d'une  cubique  plane  et  par  les  27  droites  d'une  surface  du 
3«  ordre  et  les  28  tangentes  doubles  d'une  quadrique.  En  Analyse,  ce  sont 
les  applications  des  groupes  de  monodromie  à  la  théorie  des  équations  dif- 
férentielles linéaires. 

Bien  que  cet  Ouvrage  soit  dû  à  la  collaboration  de  trois  auleurs,  l'unité 
de  l'exposé  n'en  souffre  pas.  Le  traité  de  MM.  Miller,  Blichfeldt  et  Dickson 
constitue  une  excellente  introduction  à  la  théorie  des  groupes  finis.  En  raison 
de  l'importance  que  la  notion  de  groupe  joue  dans  les  fondements  de  plu- 
sieurs branches  mathématiques,  il  est  appelé  à  rendre  de  grands  services 
dans  l'enseignement  universitaire.  H.  F. 


118  fil  HLIOGHAP  lUE 

Salmon-Fiedlek.  —  Analytische  Géométrie  der  Kegelschnitte  von  George 
Salmo.n.  Nacli  der  freien  Bearbeitung  von  Wilh.  Fiedler.  Neu  herausge- 
geben  von  Fried.  Dingeldey.  Achte  Auflage.  Erster  Teil.  —  1  vol.  in-S", 
xxx-452  p.  ;  relié,  12  M.  ;  B.  G.  Teubner,  Leipzig. 

La  première  édition  allemande  du  Treatise  on  conic  sections  (Dublin, 
1848)  de  Salmon  remonte  à  1860.  W.  Fiedler,  professeur  à  l'Ecole  polytech- 
nique de  Zurich,  publia  les  sept  premières  éditions,  en  apportant  chaque 
fois  des  remaniements  et  des  compléments.  A  la  suite  du  décès  du  savant 
géomètre,  c  est  M.  Dingeldey  qui  s  est  chargé  de  la  publication  do  ce  traité 
qui,  depuis  la  cinquième  édition,  paraît  en  deux  volumes.  A  son  tour  il 
introduit  quelques  modifications  afin  de  tenir  compte  des  besoins  et  de  l'état 
actuel  de  l'enseignement  scientifique. 

Il  est  inutile  de  rappeler  ici  le  contenu  de  ce  traité  classique  consacré  à 
la  géométrie  analytique  à  deux  dimensions.  Cette  première  partie  comprend 
l'étude  des  coordonnées,  de  la  droite,  des  formes  projectives,  du  cercle,  de 
lellipse,  de  l'hyperbole  et  de  la  parabole. 

F.  Gonies  Teixeika.  —  Sur  les  problèmes  célèbres  de  la  Géométrie  élé- 
mentaire non  résolubles  avec  la  règle  et  le  compas.  —  1  vol.  grand  in-8<', 
132  p.  ;  Imprimerie  de  l'Université,  Coïmbre,  1915. 

Dans  ce  volume,  le  savant  géomètre  portugais,  M.  F.  G.  Teixeira,  a 
groupé  les  principales  solutions  qui  ont  été  proposées  pour  la  résolution 
des  problèmes  célèbres  de  la  Géométrie  élémentaire  non  résolubles  à  l'aide 
de  la  règle  et  du  compas.  Ces  problèmes  sont,  comme  on  sait,  la  duplica- 
tion du  cube,  la  trisection  de  l'angle  et  la  quadrature  du  cercle.  Ces  trois 
problèmes  font  l'objet  des  troix  premiers  chapitres  dans  lesquels  l'auteur 
e.xpose,  dans  leur  ordi-e  chronologique,  les  solutions  les  plus  remarquables 
en  ayant  soin  de  rappeler  les  sources  historiques. 

I.  Le  problème  de  la  duplication  du  cuhe,  désigné  souvent  sous  le  nom 
de  problème  de  Délos,  a  pour  but  de  déterminer  un  cube  dont  le  volume 
soit  le  double  de  celui  d  U7i  cube  donné.  Hippocrate  de  Chio  a  réduit  ce 
problème  à  celui  de  la  détermination  de  deux  moyennes  proportionnelles 
entre  deux  segments  a  et  h,  c'est-à-dire  à  celui  de  la  détermination  de  deux 
segments  x  et  y  vérifiant  les  équations 

a         X         y  .  s  "i 

—  =  —  =  V   '         ou         XY  =  ao   ,         x-'  =  a- h  . 
X         \         b 

Le  problème  de  la  duplication  du  cube  correspond  au  cas  b  :=.  la. 

M.  Teixeira  expose  les  solutions  dues  aux  géomètres  grecs  Platon,  Ar- 
chitas,  Eudoxe,  Menechme,  Héron,  Phylo-Bizantinus,  Apollonius,  Eratos- 
thène,  Nicomède,  Dioclès,  puis  celles  qui  ont  été  données  après  la  Renais- 
sance par  Viète,  Yillapandus,  Gruenbergerius,  Descartes,  Fermât.  Sluse, 
Newton,  Viviani,  Hughens,  Clairaut  et  Monlucci. 

II.  La  plus  ancienne  des  méthodes  connues  pour  résoudre  le  problème 
de  la  division  de  l  angle  en  trois  parties  égales  est  due  à  Hippias,  qui  fait 
usage  d  une  courbe  qu  il  a  inventée  et  qui  a  été  nommée  plus  tard  quadra- 
trice  de  Dinoslratc.  Viennent  ensuite  les  méthodes  d  Archimède,  de  IS'ico- 
mède,  de  Pappus,  puis,  après  la  Renaissance,  celle  d'Etienne  Pascal,  de 
Descartes,  de  Fermât,  de  Kinner.  de  T.  Ceva.  de  Maclaurin,  de  Delanges, 
de  Chasles,  de  Lucas,  de  Catalan,  de  Longchamps,  de  Kempe. 


BIBLIOGRAPHIE  119 

III.  Le  chapitre  consacré  à  la  quadrature  du  cercle  débute  par  une 
Notice  sur  les  premiers  documents  concernant  ce  célèbre  problème.  Le 
document  le  plus  ancien  rencontré  jusqu'à  présent  est  le  Papirus  Rhind. 
Parmi  les  géomètres  de  l'ancienne  Grèce  qui  se  sont  occupés  de  cette  ques- 
tion on  trouve  les  noms  d'Anaxagore,  d'Hippocrate  de  Chio,  d'.\ntiphon,  de 
Bryson  et  d'Archimède.  Les  méthodes  graphiques  proposées  reposent  sur 
remploi  de  courbes  qu'ils  ont  nommées  qiiadratrices.  L'auteur  signale 
ensuite  les  méthodes  qui  ont  été  données  plus  tard  pour  le  calcul  ou  pour 
la  construction  de  -,  par  Viète,  Adriane  Romanus,  L.  van  Ceulen,  Snellius, 
Huygens,  James  Gregory,  Descartes,  Euler,  Legendre,  Wallis,  etc. 

IV.  Dans  un  dernier  chapitre  M.  Tei.xeira  examine  l'impossibilité  de  la 
résolution,  à  l'aide  de  la  règle  et  du  compas,  des  trois  problèmes  qu'on 
vient  de  rappeler.  Abordée  par  Descartes,  l'impossibilité  d'une  telle  solu- 
tion n'a  été  définitivement  établie  qu'au  XIX*  siècle,  grâce  aux  travaux  de 
Gauss,  d'Abel,  de  Petersen,  d  Hermite,  de  Lindemann,  de  Gordan  et  d'autres. 
Pour  ce  qui  concerne  plus  particulièrement  l'impossibilité  de  la  quadrature 
du  cercle,  l'auteur  adopte  la  démonstration  de  Gordan,  exposée  dune  ma- 
nière très  claire  et  élémentaire  par  M.  Klein  dans  ses  «  Vortrage  ùbcr 
ausgewahlte  Fragen  der  Elementargeometrie  »  ;  il  y  apporte  quelques  sim- 
plifications et  remplace  1  analyse  symbolique  qu'on  y  emploie,  par  une  ana- 
lyse ordinaire.  H.  F. 

Ch.  de  la  v.^llée-Poissin.   —  Intégrales  de  Lebesgue.  Fonctions  d'en- 
semble. Classes  de  Baire.  —  Leçons  professées  au  Collège  de  France.  — 
1  vol.  in-8"  de  viii-154  pages  ;   7  fr.  ;  Gauthier-Yillars,  Paris,  1916. 
Les    effroj'ables    malheurs    de    la    Belgique    ont    amené   M.   de  la  Vallée- 
Poussin  à  rUniversité  de  Harward  et  au  Collège  de  France.  Ce  n'est  pas  une 
compensation  et  il  aurait  pu  y  venir  sans  cela  ;   c'est   cependant  une  réper- 
cussion fort  heureuse  en  soi  et  qui   nous  vaut   un   élégant  volume   relatif  à 
des  questions  présentées  parfois  sous  une  apparence  sévère. 

La  théorie  des  ensembles,  qui  n'est  guère  qu'une  sorte  de  classification 
quand  il  s  agit  des  ensembles  dénombrables,  présente  immédiatement  une 
richesse  surprenante  dès  qu'on  aborde  le  continu  et  les  ensembles  de  même 
puissance.  L  antique  et  instinctive  notion  de  mesure  du  continu  s'étend 
alors  d'une  manière  prodigieuse.  Dans  les  ensembles  mesurables,  si  bien 
étudiés  pai-  M.  Borel,  la  notion  d'intégrale  est  immédiatement  généralisable 
et  devient  celle  de  M.  Lebesgue. 

Un  antre  point  de  vue  se  superpose  à  ceux-ci. 

Considérons  la  fonction  caractéristique  d'un  ensemble,  définie  comme 
étant  égale  à  1  sur  tous  les  points  de  l'ensemble  et  à  zéro  partout  ailleurs: 
en  général,  ce  sera  une  fonction  discontinue.  Or  il  se  trouve  que  toutes  les 
fonctions  discontinues  que  I  on  peut  avoir  à  considérer  ainsi  ont  été  irré- 
prochablement classées  et  définies  par  M.  Baire. 

En  fait  les  travaux  de  MM.  Borel,  Lebesgue  et  Baire  se  trouvent  s'équi- 
valoir, à  condition  peut-être  de  faire  quelques  arrangements  de  détail  néces- 
saires pour  bien  comparer  les  résultats  obtenus  isolément  ;  o  est  justement 
là  un  point  dont  s'occupe  M.  de  la  Vallée-Poussiu  et,  pour  les  travaux  en 
question,  ce  n'est  pas  une  mince  preuve  de  valeur  que  de  pouvoir  se  super- 
poser après  avoir  été  conçus  sous  trois  aspects  divers.  Et  maintenant  l'élé- 
gante perfection  des  théories  mathématiques  définitives  est  un  fait  absolu- 
ment acquis  dans  ces  domaines. 


120  BIBLIOGRAPHIE 

Ces  généralités  emplissent  une  première  partie  de  l'ouvrage. 

La  seconde  partie  est  consacrée  aux  fonctions  F(E)  d  un  ensemble  E.  On 
trouve  ici,  d  une  manière  fort  curieuse,  des  généralisations  du  calcul  difTé- 
rentiel  élémentaire.  Si  Ion  prend  dans  E  un  domaine  rectangulaire  oj,  dont 
la  mesure  peut  tendre  vers  zéro,  le  rapport  de  F  (w)  à  cette  mesure  peut 
avoir  différentes  limites  appelées  dérivées,  La  symétrie  attribuée  d'abord 
au  domaine  fo  n'est  pas  chose  essentielle  mais,  pour  approfondir  commodé- 
ment la  question,  l'auteur  étudie  les  ensembles  au  moyen  de  réseaux  et 
grillages.  Ce  sont,  si  l'on  veut,  des  perfectionnements  de  l'appareil  rudi- 
mentaire  avec  lequel  on  divisait  un  segment  en  un  nombre  indéfiniment 
croissant  de  parties  égales.  Pour  en  revenir  à  la  dérivation  générale,  il  faut 
observer  qu'elle  nécessite  beaucoup  plus  de  précautions  que  lintégration 
générale  ;  c'est  une  chose  remarquée  depuis  longtemps  mais  qui  réapparaît 
ici  avec  une  facile  et  heureuse  rigueur. 

La  troisième  partie,  consacrée  aux  classes  de  Baire,  revient  surtout  sur 
l'existence  réelle  des  fonctions  dans  les  dites  classes.  Je  rappelle  que 
M.  R.  Baire  range  les  fonctions  continues  dans  la  classe  zéro,  les  fonctions 
limites  de  fonctions  continues  (quand  ces  fonctions  limites  ne  sont  pas  de 
classe  zéro)  dans  la  classe  1,  les  fonctions  limites  de  fonctions  de  classe  1 
(quand  ces  fonctions  limites  ne  sont  pas  de  classe  zéro  ou  1)  dans  la  classe 
2,  etc.  On  était  habitué  aux  fonctions  de  classe  zéro  et  1  ;  au  delà  commen- 
yaient  de  redoutables  difficultés  aplanies  aujourd'hui  par  la  considération 
des  caractéristiques  d'ensembles  qui,  par  certains  «  théorèmes  de  structure  », 
sont  classés,  eux  aussi,  de  proche  en  proche. 

Il  m  est  difficile  de  faire  un  croquis  plus  précis  de  ces  excellentes  leçons 
car  il  me  faudrait,  pour  cela,  reproduire  nombre  de  définitions  ingénieuse- 
ment maniées  par  .NL  de  la  Yallée-t'oussin,  mais  je  crois  en  avoir  assez  dit 
pour  marquer  tout  l'intérêt  qui  s'attache  à  lœuvre.  Il  faut  surtout  consi- 
dérer que  celle-ci  n'est  pas  issue  directement  de  la  célèbre  trinité  Baire- 
Borel-Lebesgue. 

Elle  est  l'œuvre  d'un  mathématicien  très  au  courant  de  ces  théories  fonc- 
tionnelles, très  apte  à  les  juger  et  qui,  le  cas  échéant,  aurait  pu  faire  des 
critiques  d  un  grand  poids. 

Or  il  ne  critique  absolument  rien  et,  fondant  tout  dans  une  exposition 
simple  et  harmonieuse,  donne  ainsi  une  remarquable  confirmation  de  la 
simplicité  et  de  Iharmouie  des  théories  générales  en  question. 

A.  BuHL  (Toulouse). 


BULLETIN   BIBLIOGRAPHIQUE 


1 .  Publications  périodiques  : 

ÂCta  Mathematica,  dirigé  par  G.  Mittag-Leffler,  Stockholm.  —  Tome 
40,  n"^  3  et  4.  —  M.  Riksz  :  Sur  l'hypothèse  de  Riemanii.  —  N.-E.  Nôrlu.nd  : 
Sur  les  équations  linéaires  aux  différences  finies  à  coefficients  rationnels.  — 
P.  KoEBE  :  Abliandlungen  zur  Théorie  der  kontormen  Abbildung.  II.  Die 
Fundamentalabbildung  beliebiger  melirfach  zusammenhangender  schlichter 
Bereiche  nebst  einer  Anwendung  auf  die  Beslimmung  algebraischer  Funk- 
tionen  zu  gegebener  Riemannscher  Fliiche.  —  Mittag-Leffler  :  Remercie- 
ment. —  Id.  :  Testament  16/3  1916.  —  P.  Appell  :  Essai  sur  les  fonctions  0 
du  quatrième  degré.  —  G.  Pôlya.  :  Ueber  den  Zusammenhang  zwischen  dem 
Ma.Kimalbetrage  einer  analytischen  Fuuktion  und  dem  grôssten  Gliede  der 
zugehôrigen  Taylorschen  Reihe.  —  P.  Bout  :  Ueber  die  hinsichtiich  der 
unabhàugigen  und  abhangigen  Variabeln  periodische  DifTerenlialgleichung 
erster  Ordnung.  —  M.  Riesz  :  Ueber  einen  Satz  der  Herrn  Serge  Bernstein. 

—  Id.  :  Eiu  Konvergenzsatz  fiir  Diricliletsche  Reihen. 

Ânnals  of  Mathematics  })ublished  under  ihe  auspices  of  the  Princeton 
University.  N.  J.  2™'  série,  Vol.  18,  n»*  1  et  2.  —  T.  Hayashi  :  On  the  Sur- 
face of  Lowest  Degree  passing  through  a  given  curve  in  space.  —  H.  T. 
Bl'rcess  :  A  practical  Melhod  of  determining  elementary  Divisors.  —  L.  P. 
EiSENHART  :  Conjugale  Systems  with  Equal  Point  Invariants.  —  J.  F.  Ritt  : 
On  the  Derivatives  of  a  Functionat  a  Point.  —  A.  A.  Bennett  :  An  Existence 
Theorem  for  the  Solution  of  a  Type  of  Real  Mixed  DifTerence  Equation.  — 
J.  R.  Kline  :  Double  Elliptic  Geomelry  in  Terms  of  Point  and  Order  Aloue. 
A.  E.vicH  :  An  Application  of  a  Group  of  Order  16  to  a  Conliguraliou  of  an 
Elliptic  Cubic.  —  T.  A.  Pierce  :  The   Numerical   Factors   of  the  Arithmctic 

Forms  0(1  ±  a"),  (t  =  1,  .-.  «)•    —  T.  H.  Gronwall  :  A  Problem  in  Geo- 

metry  connecled  with  the  Analytic  Continuation  of  a  Power  Séries.  — T.  H. 
Gkonwall  :  Ou  the  Power  Séries  for  Log  (1  -j-  z),  —  T.  H.  Gro.nwai.l  :  Ou 
the  Convergence  of  Binet's  Factorial  Séries  for  Log  Fis)  and  'Ils).  —  J.  L. 
VValsh  :  Note  on  Cauchys  Intégral  Formula.  —  Olive  C.  Hazlktt  :  On  the 
Rational,  Intégral  Invariante  of  Nulpotent  Algebras.  —  W.  Le  Roy  Hart  : 
On  Trigonométrie  Séries. 

Bulletin  de  la  Société  mathématique  de  France.  Tome  XLIV,  fasc.  1-3. 

—  E.  R.  Hedrick  et  W.  D.  A.  Westkall  :  Sur  1  existence  des  fonctions  im- 
plicites. —  E.  Goursat  :  Sur  quelques  remarques  relatives  au  problème  de 
Pfaff.  —  Barké  :    Sur  quelques   surfaces    réglées  à  directrice    rectiligne.  — 


122  BULLETIN    BIBLIOGRAPHIQUE 

G.  Valiron  :  Sur  la  croissance  du  module  maximum  des  séries  entières.  — 
E.  Cartan  :  La  déformation  des  hypersurfaces  dans  lespace  euclidien  réel 
à  n  dimensions.  —  I.  Priwaloff  ;  Sur  les  fonctions  conjuguées.  —  G.  Vali- 
ron :  Sur  l'interpolation  des  fonctions  entières.  —  M.  Folché  :  Sur  la  trans- 
formation doublement  quadratique,  les  polygones  de  Poncelet  et  l'involii- 
tion  multiple. 

Bulletin  of  the  American  Mathematical  Society.  Volume  XXII,  nos  g,  9, 

10. —  C.  H.  SiSAM  :  On  a  Configuration  on  Certain  Surfaces. —  W.  A.  Wilson  : 
On  Separated  Sets.  —  W.  V.  Lovitt  :  Singular  Points  of  Transformations 
and  Two-Parameter  Faniilies  of  Curves.  —  Duuham  Jackson  :  An  Elemen- 
tary  Boundary  Value  Problem.  —  W.  F.  Osgood  :  Note  on  Functions  of 
Several  Complex  Variables.  —  A.  L.  Nklson  :  Quasi-Periodicity  of  Asymp- 
totic  Plane  Nets.  —  K.  P.  Williams  :  Concerning  Hills  Dérivation  of  the 
Lagrange  Equations  of  Motion.  —  B.  A.  Bernsteij»;  :  A  Simplification  of 
tiie  Whitehead-Huntington  Set  of  Postulâtes  for  Boolean  Algebras.  — 
G.  C.  Evans:  Application  of  an  Equation  in  Variable  Différences  to  Intégral 
Equations.  —  V.  C.  Poor  :  Operators  in  Vector  Analysis. 

Jahrbuch  ûber  die  Fortschritte  der  Mathematik,  lierausgegeben  von 
E.  Lampe.  —  Band  44.  Jalirgang  1913,  Heft  1.  Reimer,   Berlin,  1917. 

Mathematische  Annalen,  Band  77,  Heft  3. —  H.  Weyl  .  Ueber  die  Gleich- 
verteilung  von  Zahlen  mod.  Eins.  —  M.  Bauer  :  Zur  Théorie  der  algebr. 
Zahlkôrper.  —  Bauer  :  Ueber  zusammengesetzle  Zahlkôrper.  —  Bernh.  von 
LuDwiG  :  Ueber  eindeutige  Umkehrbarkeit  Abelscher  Intégrale.  —  O.  Blu- 
MENTiiAL  :  Einige  Miniraums-Siitze  ûber  trigonometrische  u.  rationale  Poly- 
nôme. —  O.  MuEHLE.NDYCK  :  Ueber  die  regularen  eindimensionalen  analy- 
tischen  Somenmannigfaltigkeiten.  —  J.  v.  S.  Nagy  :  Ueber  die  reeilen  Zûge 
ebener  u.  Raura-Kurven.  —  F.  Hausdorfk  :  Die  Machtigkeit  der  Borelschen 
Mengeu.  —  K.  Knopp  :  Bemerkungen  zur  Struktur  einer  linearen  perfekten 
nirgends  dichten  Punktmenge. 

Heft.  4.  —  p.  KoNiG  :  Ueber  Graphen  u.  ihre  Anwendung  auf  Determinan- 
lentheorie  u.  Mengenlehre.  —  M.  Dehn  :  Ueber  die  Starrheit  konvexer  Po- 
lyeder.  —  W.  Kûstermann  :  Funktioncn  von  beschriinktei"  Schwankung  in 
zwei  reeilen  Veranderlichen.  —  O.  Szasz  :  Ueber  die  Approximation  stctiger 
Funktionen  durch  lineare  Agregate  von  Potenzen.  — ■  G.  Pôlya  :  Ueber  Po- 
tenzreihen  mit  ganzzahligen  KoefTizienten.  —  E.  Hilb  :  Zur  Théorie  der 
linearen  Integrodifferentialgleichungen.  —  Emmy  Noether  :  Die  Funktional- 
gleichung  der  isomorphen  Abbildung.  —  A.  Speiser  :  Gruppendeterminante 
u.  Kôrperdiskriminante.  —  G.  Vochera  :  Ein  direkter  Beweis  fur  die  Nor- 
ranlform  der  komplexen  Zahiensysleme, 

Nouvelles  Annales  de  Mathématiques,  dirigées  par  C.-A.  Laisant  et 
R.  Bricard.  4«  série.  Gauthier-\  illars,  Paris.  Tome  XVI,  janvier-juin  1916. 
—  R.  GooRMAGHTiGii  :  Sur  les  familles  de  cercles.  —  A.  Pellet  :  Sur  les 
systèmes  orthogonaux.  —  Lucien  Godeaux  :  Etude  élémentaire  sur  l'homo- 
graphie plane  de  période  trois  te  sur  une  surface  cubique.  —  A.  Gf.rardin  : 
Distances,  en  nombres  entiers,  de  trois  points  et  de  leur  centre  isogone 
à  120°.  —  F.  Balitrand  :  Construction  du  centre  de  courbure  de  Ihyperbo- 
lisme  et  de  l'affine  d  une  courbe  donnée.    —  G.  Fonte.né  :  Points  d  intersec- 


BULLETIN    BIBLIOGRAPHIQUE  123 

tion  d  une  surface  du  quatrième  ordre  avec  les  arèles  d'uïi  létraèdre.  — 
L.  Fomey:  Démonstration  algébrique  du  théorème  de  d  Aleinbert.  —  R.  Gook- 
MAGHTiGH  et  Y.  Théballt  :  Sur  une  question  de  Maunheim  et  ses  applica- 
tions à  la  géométrie  du  triangle.  —  R.  Bouvaist  :  Sur  la  détermination  des 
itxes  de  l'indicatrice  et  des  rayons  de  courbure  en  un  point  d  une  surface  du 
second  ordre.  —  F.  Gomes  Teixeira  ;  Sur  une  propriété  générale  des  cu- 
biques circulaires  unicursales.  —  T.  Hayashi  :  Sur  quelques  équations  cu- 
biques trinômes  indéterminées.  —  J.  Jofkkoy  :  Solution  du  problème  de 
Pappus  généralisé.  —  R.  Bricakd  :  Au  sujet  d  une  Note  de  M.  Fontené.  — 
G.  FoNTKNÉ  :    Somme  des  cubes  de  n  nombres  en  progression  arithmétique. 

—  I.-J.  ScHWATT  :  Note  sur  la  sommation  d'une  série.  — V.  Thébault  :  Sur 
le  cercle  de  ïaylor  relatif  au  triangle.  —  M. -F.  Egan  :  Note  sur  les  quarti- 
ques  gauches  unicursales.  —  F.  Balitrand  :  Construction  du  centre  de 
courbure  de  la  spirale  hyperbolique.  —  E.-N.  Barisien  :  Egalité  entre  deux 
arcs  d'une  ellipse  et  d'un  limaçon  de  Pascal.  —  R.  Bouvaist  :  Détermination 
du  rayon  de  courbure  en  uu  point  de  certaines  courbes  planes.  —  R.  Goor- 
MAGHTiGH  :  Sur  un  rapprochement  remarquable  entre  l'hypocycloïde  à  trois 
rebroussements,  le  folium  de  Descartes  et  la  cardioïde.  —  R.  Bricard  : 
Mouvement  d'une  figure  plane  liée  à  deux  courbes  roulant  sur  des  rouleaux. 

—  M.  Weill  :  Propriété  de  certaines  formes  quadratiques.  —  R.  Bouvaist  : 
Sur  la  détermination  de  la  tangente  en  un  point  de  certaines  courbes  planes. 

Juillet-décembre  1916.  —  V.  Thébault  :  Sur  une  curieuse  figure  relative 
au  triangle.  —  Auric  :  Sur  le  barycentre  des  triangles  pseudopodaires.  — 
M.  Weill  :  Sur  le  produit  des  nombres  dont  chacun  est  une  somme  de  deux 
carrés.  —  Ed.  Maillet  :  Sur  un  théorème  de  M.  Axel  Thue.  —  R.  Bouvaist  : 
Sur  la  détermination  du  centre  de  courbure  en  un  point  d  une  conique.  — 
M.  Weill  :  Sur  quelques  équations  quadratiques.  —  M.  Weill  :  Sur  des 
identités  remarquables.  —  J.  B.  Pomey  :  Nouvelle  démonstration  d'un  théo- 
rème d  Abel  sur  les  séries.  —  J.-B.  Pomey  :  Généralisation  du  théorème  de 
Rolle  et  application  à  la  Physique.  —  F.  Gonseth  :  Une  extension  d'un  théo- 
rème de  Poncelet.  —  R.  Geormaghtigh  :  Sur  certains  systèmes  d'équations 
indéterminées  du  second  degré.  —  V .  Gomes  Teixeira  :  Sur  une  manière  de 
construire  les  cubiques  circulaires.  —  E.-N  Barisie.n  :  Sur  la  parabole  tan- 
gente à  quatre  droites.  —  F.  Balitra.nd  :  Construction  du  rayon  de  courbure 
de  la  polaire  réciproque  d'une  courbe  par  rapport  à  un  cercle.  —  H.  Le- 
besgue  :  Sur  deux  théorèmes  de  Miquel  et  de  Clifford.  —  V.  Thébault  : 
Sur  deux  théorèmes  de  M.  P'onlené  relatifs  à  l'orthopôle.  —  J.  B.  Po.mey  : 
Généralisation  des  quantités  imaginaires.  —  B.  Globa-Mikhaïlenko  :  Sur 
une  nouvelle  ligure  d'équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation. 

La  Revue  de  l'Enseignement  des  Sciences.  —  Librairie  Alcau,  Paris. 
Janvier-Avril  1916.  —  Ch.  Bioche  :  Sur  iin  problème  de  minimum.  — 
L.  Gemllon  :  Les  petits  problèmes  du  photographe.  —  Ch.  Michel  :  Pro- 
blèmes d'algèbre  pour  la  classe  de  mathématiques  spéciales.  —  H.  Lebes- 
cue  :  Sur  les  angles  polyèdres.  —  J.  Juhel-Ré.noy  :  Sur  deux  problèmes  de 
géométrie  descriptive.  —  Ch,  Bioche  :  Constructions  et  formules  appro- 
chées. —  A.  Vieillefond  :  Sur  le  problème  d'Olinde  Rodrigues.  — 
G.  FoNTE.NÉ  :  Sur  les  signes  des  cordes  dans  un  cercle.  —  F.  Braciiet  :  Sur 
certaines  équations  du  deuxième  degré.  —  R.  Békard  :  Sur  1  équation  dif- 
férentielle d'Euler.  —  Ch.  Michel  :  Sur  l'équation  différentielle  linéaire  du 
second  ordre.  —  G.   Fonte.né  :    L'objet  et  sa  mesure.    —   J.   Pioncho.n  :    Dé- 


124  BULLETIN    BIBLIOGRAPHIQUE 

nrionstralion  élémentaire  d  un  théorème  relatif  à  l'induction  mutuelle  de 
deux  circuits.  —  H.  de  Lapirkre  :  Sur  les  angles  polyèdres.  —  J.  Juhel- 
Rénoy  :  Mener  par  deux  points  un  cercle  tangent  à  un  cercle. 

Revue  générale  des  Sciences  pures  et  appliquées.  —  Libr;iirie  Doin, 
Paris.  Année  1916.  N"  12,  Paul  Janet  :  Du  rôle  des  Universités  dans 
renseignement  technique  supérieur.  —  N"  13,  L.  Zoretti  :  Les  nécessités 
de  l'Enseignement  technique  supérieur.  —  N°  14,  P.  Puiseux  :  Revue  an- 
nuelle d  astronomie.  —  N»»  17-18,  G.  Milhaud  :  Les  premiers  essais  scien- 
tifiques de  Descaries.  —  N°  19,  M.  d'OcAO.NE  :  L'œuvre  mécanique  de  Leo- 
nardo  Torres  y  Quevedo. 

Revue  de  Métaphysique  et  de  Morale.  —  Année  1916,  nos  3  à  6.  — 
A. -IV.  NVhiteuead  :  La  théorie  relalionniste  de  lespace.  —  R.  Hubert  :  La 
théorie  cartésienne  de  l'énumération.  —  H.  Dufumiek  :  La  logique  des 
classes  et  la  théorie  des  ensembles.  —  B.  Varisco  :  Quelques  réflexions  sur 
lapplication  des  mathématiques  à  la  physique.  —  A.  Rey.mo.nd  :  L  infini  géo- 
métrique et  l'intuition.  —  L.  Rolgiek  :  La  démonstration  géométrique  et  le 
raisonnement  déductif.  —  L.  Couturat  :  De  l'abus  de  l'intuition  dans  l'en- 
seignement mathématique. 

Zeitschrift  fiir  mathematischen  u.  naturw.  Unterricht.  Band  47,  n»**  1  à 
8.  —  \\ .  Brlnner  :  Die  Versuche  mit  der  Atwoodschen  Fallmaschine  zum 
Xachweis  der  Erddrehung.  —  B.  Kerst  :  Uber  Polyeder,  deren  Xetze  durch 
konvexe  Polygone  gebildrt  werden.  —  E.  Haentzchel  :  Eine  artilleristische 
Aufgabe.  —  Pyrkosch  :  Die  mathematischen  Relormbestrebungen. —  \V.  B. 
Hoffmann  :  Venus  1916. —  Max  Brùes  :  .Mittelpunktswinkel,  Umfangswinkel, 
Sehne  und  Kreisviereck  in  allgemeinster  Behandlung.  —  Léman  :  Uber 
halbregulare  Korper. —  H.  Weinreich  :  Artilleristische  Problème  im  Schul- 
unterricht-  —  F.  Bre.mek  :  Uber  physikalische  Schùlerùbungen  uud  deren 
Yerwcrlung  im  Unterricht.  —  Karl  Rosenberg:  Gedanken  und  Erfahrungen 
zur  praktischcn  Ausbildung  der  Lehraratskandidalen  iùr  Physik.  —  K.  Rie- 
der  :  Zui-  Einfûhrung  des  Logarilhmus  im  Kleiiischen  Sinne.  —  VV.  Brun- 
NKR  :  Ein  Beilrag  zur  Erkliirung  der  Mondphasen.  —  Oskar  Lesser  :  Zur 
Behandlung  der  Kegeischnitte.  —  Oskar  Herrmann  :  Einige  Gruppen  von 
geometrischen  Aufgaben,  die  aul  unbestimmte  Ausdrûcke  fùhren.  —  P. 
Riesling  :  Uber  die  Kurve  der  Schattenenden  des  Gnomons,  —  Georg  Wolef  : 
Linearzeichenunterricht  und  Kunsterziehung.  —  Emil  Zeissig  :  Bildung  und 
Bedeutung  geometrischer  Ausdrûcke.  —  J.  Ruska  :  Zur  Geschichte  der 
Schachbrettaulgabe.  —  P.  Bràuer  :  Uber  quantitative  Schiileriibungen.  — 
W.  Hillers  :  Schulversuche  iiber  Mineralverwitteruugen  durch  COj.  — 
\Vilhelm  Lorey  :  Die  Herrschaft  iiber  die  Zahl.  —  H.  \N'oi.ff  :  Wie  weit 
sollen  die  Lehramtskandidaten  der  Mathematik  bei  ihrem  Studium  die  Geo- 
diisie  beriicksichtigen  ?  —  E.  Bottcher  :  Dreiflachkorpei-  —  Dieieckskorper. 
—  Id.  :  Aufsteigende  Polyederliste.  —  E.  Petzold  :  Dor  Physikunlerricht 
an  technischen  Mitteischulen.  —  VVilhelm  Hillers  :  Einige  Schauversuche 
im  Unterricht  iiber  die  Slabililat  eiiies  schwimmenden  Wûrfels.  —  K.  Qlen- 
SEN  :  Konstruktion  der  komplexen  VVurzeIn  von  Gleichungcn  zweiten  und 
dritten  Grades.  —  N.  Genmmatas  :  .Methodische  Bemerkungen  zur  ebenen 
Trigonométrie.  —  v.  Sanden  ;  Yoklorcnrcchnung  und  analytische  Géomé- 
trie. —  L.  Bloch  :    Graphische  Darstcliung  der  NN'irkungsweise  vou  Linsen 


BULLETIN    BIBLIOGRAPHIQUE  125 

und  optischen  Inslrumenten.  —    Kleiue  Milteilungen.  —   Aufgaben.  —  Re- 
pertorium.  —  Berichte.  —  Bûcheibesprechungeu. 

Proceedings  of  the  London  Mathematical  Society.  Séries  2.  Vol.  15.  Part., 
1-6.  —  G.  H.  Hardv  :  On  Diiiciilet's  Diviser  Problem.  —  \V.  Blrnside  : 
Ou  Periodic  Irralional  Waves  at  ihe  Surface  of  Deep  Water.  —  J.  C.  Fields  : 
Proof  of  ihe  Complementary  Theorem.  —  \V.  H.  You.ng  :  On  Intégrais  and 
Dérivâtes  with  respect  to  a  Functioii.  —  G.  R.  Goldsbrough  :  ïlie  Effect  on 
the  Tides  of  Variation  in  the  Depth  of  the  Sea.  —  G.  H.  Hardy  :  The  Se- 
cond Theorem  of  Consistency  for  Summabie  Séries.  —  F.  B.  Pidduck  :  The 
Kinetic  Theory  of  the  Motion  of  Ions  in  Gases.  —  M.  Kuniyeda  :  A  Theorem 
ou  Séries  of  Orthogonal  Functions.  —  H.  Jeffreys  :  On  the  Vibrations  of  a 
Spécial  Type  of  Dissipative  System.  —  T.  L.  Wren  :  Some  Applications  of 
the  Two-three  Biralional  Space  Transformation.  —  J.  Hodgkinson  :  The 
Conformai  Représentation  of  the  Various  Triangles  bounded  by  the  Arcs  of 
three  Intersecting  Circles.  —  J.  Larmor  :  The  Transition  from  Vapour  to 
Liquid  when  the  Range  of  the  Molecular  Attraction  is  Sensible.  —  G.  H. 
Hardy:    The  Average  Order  of  the  Arithmetical  Funclious    P  (.r)    and    A(j"). 

—  T.  W.  Chavndy  and  A.  E.  Joi.liffe  :  The  Lniform  Convergence  of  a  cer- 
tain Glass  of  TrigononieUical  Séries.  —  E.  B.  Stouffer  :  On  Seminvariants 
of  Liuear  Homogeueous  DilTerential  Equations.  —  G.  N.  Watson  :  A  Pro- 
blem of  Analysis  Situs.  —  C.  R.  Dînes  :  Functions  of  Positive  Type  and 
Related  Topics  in  General  Analysis.  —  H.  F.  Baker  :  Note  on  Mr.  W^ren's 
Paper  on  «  Some  Applications  of  the  Two-Three  Biralional  Space  Trans- 
formation ».  —  H.  ^^'.  TuR.NBULL  :  Some  Singularilies  of  Surfaces  and  Their 
Differential  Geomeiry.  —  W.  P.  Milne  :  The  Construction  of  Co-Apolar 
Triads  on  a  Cubic  Curve.  —  Major  P.  A.  Macmahon  :  Two  Applications  of 
General  Theorem  in  Combinatory  Analysis.  —  S.  Chapman  :  On  the  Unifor- 
mity  of  Gascons  Density,  according  to  the  Kinetic  Theory.  —  S.  Pollard  : 
On  the  déduction  of  criteria  for  the  convergence  of  Fourier's  séries  from 
Fejer's  Theorem  concerning  their  Summability.  —  E.  K.  Wakeford  :  Mi- 
quel's  Theorem  and  the  Double  Si.\.  —  J.  IIodgkinson  :  The  Xodal  Points 
of  a  Plane  Sextic.  —  W.  H.  Young  :  Note  on  Functions  of  Upper  and  Lower 
Type.  —  Grâce  Chisholm  Young  :  On  the  Derivatives  of  a  Function.  —  Hilda 
P.  Hldso.n  :  The  Cremona  Transformations  of  a  certain  Plane  Sextic.  — 
Bro.mwich  :  Normal  Coordinates  in  dynamicai  Systems.  —  Tables  du  Tome  15. 

Rendiconti  del  Circolo  Matematico  di  Palermo.  Tome  XLI.  —  A.  Ver- 
GEKio  :  SuUe  ecjuazioni  integrali  del  tipo  Fredholm.  —  G.  H.  Hardy  and 
{J.  E.)  LiTTLEwoon  :  Theorems  concerning  the  Summability  of  Séries  by 
Borel's  exponential  Melhod.  —  V.  Strazzeri  :  Sulla  liuea  dei  puuti  parabo- 
lici  di  una  superficie.  —  O.  Chisim  :  Sui  fasci  di  cubiche  a  modulo  costante, 

—  L.  Pf  EiSENiiART  :  Surfaces  generated  by  ihe  Moliou  of  an  invariabbe 
Curve  whose  Points  describe  straight  Lines.  —  L.  Galvi.m  :  SuUe  funzioni 
convesse  di  una  o  due  variabili  defitiite  in  un  aggregalo  qualunque.  —  (î. 
FuBiM  :  Applicabilità  projetliva  di  due  superficie.  —  E.  Daniele  :  Sulla  de- 
foi"mazione  di  una  trave  appogiata  orizzontalmenle.  soggeta  ad  un  carico 
mobile  concentralo.  —  G.  Marletta  :  Délie  superficie  algebriche,  dordine 
6,  o  7,  con  un  fascio  di  cubiche  ellitiche.  —  W.  Sierpinski  .  Sur  une  série 
potentielle  qui,  étant  convergente  en  tout  point  de  son  cercle  de  conver- 
gence, représente  sur  ce  cercle  une  fonction  discontinue.  —  E.  P.  Cantelli  : 


126  BULLETIN    BIBLIOGRAPHIQUE 

La  tendenza  ad  un  limite  nel  senso  del  calcolo  délie  probabilità.  —  I.  Pri- 
WALOFF  :  Sur  la  dérivation  des  séries  de  Fourier.  —  A.  Sig.nokim  :  Sul- 
l'inizio  delT  efflusso  dei  liquidi.  —  A.  L.  iS'ELSON  :  Plane  Nets  with  equal 
Invariants.  —  G.  Scorza  :  Intorno  alla  teoria  générale  délie  noatrici  di  Rie- 
mann  e  ad  alcune  sue  applicazioni. 

Sitzungsberichte  der  Kaiserlichen  Akademie  derWissenschaften  inWien. 

—  Band  12i.  —  C.  Blrsti.n  .  Die  Spaltung  des  Kontinuuins  in  /. ,  iiberall 
dichte  Mengen.  —  E.  Dolezal  ;  Das  Rùckwartseinschneiden  auf  der  Sphare, 
gelôst  auf  photogrammetrischeu  ^^  ege  II.  —  Id.  :  Das  Pantograph-Plani- 
meter.  —  W.  Gkoss  :  Zur  Poisson'schen  Suminierung.  —  G.  Kowalewski  : 
Neuer  Existenzbeweis  fur  implizite  Funktionen.  —  Id.  :  Bunteste  Reihen 
und  Ringe  von  Elementgruppen.  Ein  neues  Problem  der  Kombinatorik.  — 
E,  Landau  :  Ueber  eine  Aufgabe  aus  der  Théorie  der  quadratischen  Formen. 

—  Id.  :  Neue  Untersuchen  ûber  die  Pfeiffer  sche  Méthode  zur  Abschâtzung 
von  Gitterpunktanzalilen.  —  A.  Lechner  :  Ueber  die  Richtkraft  eines  rotier- 
enden,  gefiihrteu  Kreisels.  —  Id.  :  Zur  Mechanik  der  Zykeln.  —  R.  Weitzen- 
BocK  :  Ueber  Bewegungsinvarianten.  VIII. 

Zeitschrift  fur  das  Realschulwesen,  Wien.  —  XLI  Jahrgang.  —  W. 
Peïerle  :  E^nfache  Beispiele  von  Regelflachen  3.  Ordnung  und  von  einigen 
ebenen  Schnitten  dorselben.  — A.  Lanner  :  Veranschaulichung  der  unendlich 
ausgedehnten  Ebene  im  Bereich  eines  gegeben  Kreises.  —  A.  Pleskot  : 
Ueber  eine  Art  der  Erzeugung  der  Kegelschnitte  durch  Kreisbiischel.  — 
O.  Bachrach  :  Neuer  geonietrischer  Beweis  zweier  Siitze  ùber  die  ebenen 
Schuitte  der  bifokalen  Rotalionsflachen  II.  Gr.  —  K.  VVolletz  :  Einiges 
ùber  die  Bewegung  der  Korper  im  lufterfùllten  Raume.  —  F.  Schicht  :  Dé- 
finition und  Berechnung  der  raechanischen  Arbeit.  —  G.  Bozicevic  :  Eine 
neue  Konstruktion  der  Kegelschnitte.  —  Manque  le  i\°  2,  non  parvenu  à  la 
rédaction). 

Comptes  rendus  de  l'Académie  des  Sciences  de  Paris,  2n>e  semestre  1916 
(suite).  —  l'i  novembre.  —  C.  Guichard  :  Sur  les  systèmes  triple-orthogo- 
naux, tels  qu'un  système  de  courbes  de  Lamé  soit  formé  de  lignes  sphéri- 
ques,  le  lieu  des  centres  des  sphères  qui  les  contienne  étant  une  sphère 
ou  un  paraboloïde  de  révolution.  —  L.  Hart.man.n  :  Variation  systématique 
de  la  valeur  de  la  force  vive  dans  le  choc  élastique  des  corps.  —  E.  Belot  ; 
Précisions  nouvelles  sur  la  loi  exponentielle  des  distances  des  planètes  et 
satellites.  —  20  nov.  —  E.  Borel  :  Sur  l'approximation  des  nombres  incom- 
mensurables par  les  nombres  rationnels.  —  E.  Kogbetliantz  :  Sur  les  séries 
de  fonctions  ultrasphériques.  — -  G.  Koemgs  :  Sur  les  propriétés  du  second 
ordre  des  mouvements  plans  à  deux  paramètres.  —  H.  Vérone  :  Sur  une 
méthode  de  calcul  des  perturbations  d'un  mouvement  connu.  —  G.  Julia  : 
Sur  quelques  propriétés  du  groupe  fuchsien  formé  des  substitutions  modu- 
laires qui  n'allèrent  pas  une  forme  d'Hermite  indélinie.  —  L.  Roy  :  Le  pro- 
blème du  mur  en  électrodyuamique.  —  'Jl  nov.  —  C.  Glichard  :  Sur  les 
réseaux  K  d  une  quadrique  de  révolution.  —  E.  Picard  ;  Sur  les  intégrales 
de  différentielles  totales  relatives  aux  surfaces  algébriques  régulières.  — 
G.  KoENiGs  :  Sur  la  forme  géométrique  générale  des  propriétés  du  second 
ordre  des  mouvements  plans  à  deux  paramètres.  —  M.  Mesnager  :  Formule 
de  la  plaque  mince  encastrée  sur  un  contour  rectangulaire  plan.  —  4  décem. 


BULLETIN   BIBLIOGRAPHIQUE  127 

bre.  —  W.  SiEKPiNSKi  :  Sur  le  rôle  de  l'axiome  de  Zeimelo  dans  l'analyse 
moderne.  —  Gaston  Julia  :  Snr  les  formes  de  Diiiclilet  et  sur  les  substitu- 
tions loxodromiques  du  groupe  de  Picard.  —  M.  Brillouin  :  Solution  fon- 
damentale (sources)  dans  un  liquide  pesant  à  surface  libre. —  Baticle  :  Sur 
le  calcul  des  voûtes  épaisses  soumises  à  une  pression  uniforme.  —  P.  Gl. 
.MiKHAiLENKO  :  Sur  une  nouvelle  figure  d'équilibre  d'une  masse  fluide  en 
rotation.  —  Il  déc.  —  E.  Aries  :  Sur  la  détermination  de  1  énergie  libre  par 
l'équation  d  état  de  Clausius.  —  26  déc.  —  S.  Ma.ngeot  :  Sur  une  construc- 
tion de  la  sphère  osculalrice  et  du  rayon  de  torsion  en  un  point  de  la  courbe 
d'intersection  de  deux  surfaces  données.  —  W.  H.  Young  :  Sur  les  conditions 
de  convergence  des  séries  de  Fourier.  —  Baticle  :  Sur  l'application  de  la 
théorie  des  équations  intégrales  à  certains  calculs  relatifs  à  la  stabilité  des 
constructions  (problème  à  une  dimension).  —  De  Sparre  :  Au  sujet  des  coups 
de  béliers  dans  une  conduite  forcée,  formée  de  deux  sections  de  diamètres 
différents.  —  E.  Akies  :  Sur  une  forme  de  la  fonction  de  la  température  dans 
1  équation  d'état  de  Clausius. 

/«'■  semestre  1917.  —  6  janvier.  —  M.  Petkovitch  :  Limite  d'extensibilité 
d'une  courbe  d'allure  variable.  —  Maur.  Ha.mi  :  Sur  la  valeur  approchée 
d  une  intégrale  définie.  —  W.  H.  Yol.ng  ;  Sur  une  nouvelle  suite  de  condi- 
tions pour  la  convergence  des  séries  de  Fourier.  —  S.  Souslin  :  Sur  une 
définition  des  ensembles  mesurables  B  sans  nombre  transfinis.  —  M.  Lusin  : 
Sur  la  classification  de  M.  Baire.  —  L.  Hartma.nn  :  Variation  systématique 
de  la  valeur  de  la  force  vive  dans  le  choc  élastique.  —  P  Appeî.l  :  Sur  une 
extension  des  équations  de  la  théorie  des  tourbillons  et  des  équations  de 
Weber.  —  de  Sparre  :  Calcul  du  coup  de  bélier  dans  une  conduite  forcée 
formée  de  deux  sections  de  diamètres  différents.  —  E.  Esclangon  :  Sur  la 
réflexion  et  la  réfraction  d'ondes  isolées  à  la  surface  de  séparation  de  deux 
fluides  en  repos  ou  en  mouvement.  —  15  janv..  —  A.  Khintchixe  :  Sur  la 
dérivation  asymptotique.  —  Q2  janv. —  Bertrand  Gambier  :  Sur  l'identité  de 
Bézout.  —  Michel  Petrovitch  :  Valeur  de  Faction  le  long  de  diverses  trajec- 
toires. —  Mes.nager  :  Formule  en  série  simple  de  la  plaque  uniformément 
chargée,  encastrée  sur  un  contour  rectangulaire  plan.  —  E.  Escla.ngo.n  :  Sur 
la  réflexion  totale  d  ondes  isolées  à  la  surface  de  séparation  de  deux  fluides 
en  mouvement  ou  en  repos.  —  Maur.  Salgek  :  Sur  l'énergie  possédée  par 
la  terre  du  fait  de  sa  rotation  sur  elle-même.  —  5  février.  —  R.  Garniek  : 
Sur  les  singularités  irrégulières  des  équations  différentielles  linéaires.  — 
W.  H.  You.NG  :  Sur  la  théorie  de  la  convergence  des  séries  de  P'ourier.  — 
E.  Delassus  :  Sur  la  notion  générale  de  mouvement  pour  les  systèmes  holo- 
nomes  et  non  holonomes.  —  E.  Jouguet  :  Sur  la  stabilité  séculaire.  — 
H.  ViLLAT  :  Sur  un  calcul  de  résistance  dans  un  courant  fluide  limité.  — 
26  fév.  —  Gaston  Juma  :  Sur  les  formes  binaires  à  coefficients  et  indéter- 
minées complexes,  de  degré  quelconque.  —  ô  mars.  —  G.  Giraud  :  Sur  les 
fonctions  hyperfuchsiennes  et  sur  les  systèmes  d'équations  aux  différen- 
tielles totales.  —  E.  Cotton-  :  Nombre  caractéristique  et  rayon  de  conver- 
gence. —  12  mars.  —  R.  de  .Mo.ntesscs  de  Ballore  :  Sur  les  courbes  gauches 
algébriques.  —  19  mars.  —  E.  Lebon  :  Sur  une  nouvelle  table  de  diviseurs 
des  nombres.  —  G.  Julia  :  Sur  la  réduction  des  formes  binaires  d'un  degré 
quelconque  à  coefficients  et  à  indéterminées  réels  ou  complexes.  —  .M.  Ha.my  : 
Valeurs  approchées  de  quelques  intégiales  indéfinies.  —  G.  Girald  :  Sur 
les  fonctions  hyperfuchsiennes.  —  A.  Buhl  :  Sur  les  sommes  abéliennes  de 
volumes  coniques.   Cas  des  cyclides.    —   L.  Hart.man.n  :  Variation  systéma- 


128  BULLETIN    BIBLIOGRAPHIQUE 

tique  de  la  valeur  force  vive  dans  le  choc  élastique  des  corps.  —  25  mars. 
—  E.  BoMPiANi  :  Les  hypersurfaces  déformables  dans  un  espace  euclidien 
réel  à  ii  O  3)  dimensions.  —  E.  Kogbf.lliantz  :  Sur  la  sommation  des  séries 
ultrasphériques. 

2,  Livres  nouveaux  : 

M.  BôcHER.  —  Leçons  sur  les  méthodes  de  Sturm  dans  la  théorie  des 
équations  dilFérentielles  linéiiires  et  leurs  développements  modernes,  pro- 
fessées à  la  Sorbonne  en  1913-14,  recueillies  et  rédigées  par  G.  Jvlia  (Col- 
lection Borel).  —  1  vol.  gr.  in-S",  118  p.,  5  fr.  :  Gauthier-Villars  &  C'^,  Paris. 

E.  Désortiaux.  —  La  réforme  rationnelle  de  l'heure.  —  Son  importance 
au  point  de  vue  économique  et  social.  —  1  brocli.  p.  in-S»,  14  p.  :  Gauthier- 
Villars  &  C'«,  Paris. 

Aug.  Fôi-PL.  — Vorlesungen  ûber  technische  Mechanik,  in  sechs  Banden, 
Erster  Baud  :  Einfùhrung  in  die  Mechanik,  5'<^  Auflage.  —  1  vol.  in-S»,  xvi- 
431  p.,  relié,  10  M.  ;   B.  G.  Teubnei-,  Leipzig. 

Rud.  FuETEK.  —  Synthetische  Zahlentheorie.  —  1  vol.  in-S»,  vm-271  p., 
relié;  G.  J.  Gôschen,  Leipzig. 

M.  Gross.mann.  —  Elemente  der  darstellenden  Géométrie  (Teubners  Leii- 
faden  fur  den  mathem.  u.  techn.  Hochschulunterrichl).  —  1  vol.  p.  in-8o, 
84  p.,  2  M.;  B.  G.  Teubner,  Leipzig. 

Rud.  Meh.mke.  —  Leitfaden  zum  grapbischen  Rechnen  |Sammlung  ma- 
them.-physik.  Lehrbûcher,  herausg.  von  E.  Jahuke).  —  l  vol.  relié,  152  p., 

5  M.  40;  B.  G.  Teubner,  Leipzig. 

R.  de  MoNTEssus  de  Ballore.  —  Leçons  sur  les  fonctions  elliptiques  en 
vue  de  leurs  applications.  Cours  libre  professé  à  la  Faculté  des  Sciences  de 
Paris.  —  1  vol.  gr.  in-S",  x-268  p.,  12  fr.  :  Gauthier-Villars  &  C'^.  Paris. 

A.  Pringshei.m.  —  Vorlesungen  ûber  Zahlen-  u.  Funktionenlehre.  Erster 
Band,  zweite  Abteilung  :  Unendliclie  Reiheu  mit  reellen  Gliedern.  —  1  vol. 
gr.  in-8o,  222  p.,  10  M.  80:  B.  G.  Teubner,  Leipzig. 

J.  Rey  Pastor.  —  Introducciôn  a  la  Matemàtica  superior.  Estado  actual. 
Métodos  y  Problemas  iManuales  Coroua).  —  1  vol.  in-16,  cart.,  202  p  , 
3  P.  50;  Biblioleca  Corona,  Madrid. 

J.  Rey  Pasïor.  —  Fundamentos  de  la  Geometrîa  Proyectiva  superior.  — 

1  vol.  gr.  in-8o,  xxn-444  p.  ;  Madrid. 

L.  Sel.me.  —  Principe  de  Carnot  contre  Formule  empirique  de  Clausius. 
Essai  sur  la  Thermodynamique.   —   1  vol.  p.  in-8o,  150  p..  4  fr.  50;  Uunod 

6  Pinad,  Paris. 

Annuaire  pour  l'An  1917  publié  par  le  Bureau  des  Longitudes,  avec  No- 
tices scieniKique.s.  —  1  vol.  in-16  de  près  de  700  p.  avec  11  fig.,  5  cartes  et 

2  portraits:   2  fr.  :  Ganlliioi'- Villars  &  C'e,  Paris. 

Berichte  u.  Mitteilungen,  veranlasst  durch  die  internationale  inalhema- 
tische  L'nterrichtskommission,  herausg.  von  W.  Liktz.ma.nn'.  Erste  Folge, 
XII  :  A.  GuTZMER,  Die  Tatigkeit  des  dcutschen  Uuterausschusses.  —  1  fasc. 
gr.  in-8'J,  31  p.,   1  M.:  B.  G.  Teubnei-,  Leipzig. 

Poradnik  dla  SamoukÔW,  Wskazôwki  Metodyczne  dia  Studjujacych  Pos- 
zczegôlne  Nanki.  i Guide  pour  les  autodidactes,  vol.  I,  Mathématiques,  ré- 
digé par  SiEKPiNSKi,  Zare.mba  et  de  nombreux  collaborateurs.)  —  1  vol.  gr. 
in-8o,  xL-620  p.,  2  R.  40  ;  Michalski  &  Hefflich,  Varsovie. 


SUR 

QUELQUES  REPRÉSENTATIONS  ARITHMÉTIQUES 

DES  FONCTIONS  ANALYTIQUES 


A.  KiENAST  (Kùsnacht-Zurich). 


D'après  Weierstrass  la  fonction  analytique  est  définie  par 
la  série 

P(,r|ai  =  'S  i-F'''''(rt)|.r  —  fl)'^  (1) 

et  par  son  prolongement  analytique.  La  fonction  est  parfai- 
tement déterminée  par  la  suite  infinie  de  quantités 


F(«)   . 


F     [a] 


F'  l«)   , 


si  elle  est  choisie  telle  que  la  limite  supérieure  des  valeurs 
limites  des  modules 


n/^ 


,(H-I 


soit  un  nombre  fini,  par  exemple  — .  On  désigne  en  général 

par  F(,r)  la  fonction  qui,  dans  sa  totalité,  est  définie  par  les 
éléments  (2). 

Si  K  est  un  continu  formé  du  ne  seule  pièce  qui  ne  se 
recouvre  nulle  part  elle-même,  renfermant  le  point  a,  et  tel 
que  la  branche  de  la  fonction  F(.r),  formée  par  P{.v\a)  et  son 
prolongement  analvtique  à  l'intérieur  de  K,  reste  uniforme 
et  régulière,  M.  Mittag-Lefi-leh  désigne  cette  branche  par 

L'Ensi-ifjnenient  mathéin.,   19'^^  année;    1017.  •' 


130  A.    K/ENAS/' 

¥K{x).  En  désignant  le  cercle  de  convergence  de  la  série  (1) 
par  C,  l'expression 

donne  la  représentation  analytique  de   FC{.c).  Cette  expres- 
sion est  composée  des  éléments  (2)  et  des  nombres  ration- 

1    . 
nels  — 7  indépendants  du  choix  des  dits  éléments. 

[A   I  • 

Le  proI)lènie  dont  je  vais  m'occuper  consiste  à  construire 
des  expressions  arithmétif|ues  formées  au  moyen  des  cons- 
tantes (2)  valables  dans  une  étoile  de  convergence  K  de 
centre  a  et  circonscrite  au  cercle  C.  MM.  Mittag-Leffler  et 
BoREL  en  ont  publié  des  solutions  des  plus  importantes, 
M.  Mittag-Leiïler  demandant  une  représentation  valable  et 
gardant  sa  forme  dans  tout  le  domaine  de  la  branc^he  uni- 
forme d'une  fonction  monogène. 

Laissant  de  coté  de  telles  conditions  supplémentaires,  les 
considérations  suivantes  contiennent  la  démonstration  dans 
le  cas  le  plus  spécial^  d'une  méthode  qui  permet  d'obtenir 
une  infinité  de  formules  à  l'aide  desquelles  on  peut  trans- 
former une  expression  limite-  dans  une  autre.  Le  reste  de 
la  note  sera  consacré  aux  applications. 


L'intégrale  générale  de  l'équation  différentielle  linéaire 
.1-  -rz  —  -^'P  <^)J'  =  ■*"*?  (x)   ,  (3) 


.r«<p(.r)  =   ]2  D,„-t-"'+''   > 


*  La  démonstration  pour  tous  les  cas  aujourd'hui  accessibles  est  développée  dans  un 
mémoire  :  "  L"eber  einc  Integralformel  und  die  Elgenschaften  der  darin  vorkomntenden 
Kunktionen  «,  Vierteljahrsschrift  der  natitrforschenden  Cesellschaft  in  Ziirich,  61.  Jahrgang 
191(1,  drilles  und  viertes  Helt. 

*  G.   Mittao-Li:fki.i:h,   Sur  la  représentation,  etc.,   Acta  Math.,  t.  24,  p.   184,   la  note. 


FONCTIONS    ANALYTIQUES  131 

OÙ  p{x)  et  (p(.r)  sont  supposés  des  séries  de  Taylor  à  rayon 
de  convergence  non  nul.  se  compose  dune  intégrale  parli- 
culière  V(j;)  de  (3)  et  de  l'intégrale  générale 

X 

r,(x)  =  e"  =z^E[k)x''  (4) 

de  l'équation  sans  second  membre 

x>^U)  —  xp[.r)y\{x]  :=  0    ,  (5) 

c'est-à-dire 

y[x)  =y,[x]  +  V(x)   . 

On  peut  arriver  à  la  représentation  d'une  intégrale  parti- 
culière de  deux  manières. 

La  ditTérentiation  de  (3)  donne 

y"  —  p[x)y'  —  p'[x)y  =  x^~- [x .  ç' {x)  +  (a  —  l)?(.r|]  =  x^~'- .  Çj  (a:)    , 

d'où 

x'-.  çlx)  v"  —  [xp{x\z{x\  4-  5j(.r)]j">'  —  x[xp'{x)z{x)  —  p(x)o^{x)]y  =  0   .     (6) 

L'équation   déterminante   de   cette  équation   difïerentielle 

ç^OiYly—  •)  —  ?,  (0)T  =  T-rtO)[Y  —  1  —  («  —  1>]  =  0 

possède  comme  racine  0  et  a.  Par  conséquent  (6)  admet  un 
système  fondamental  d'intégrales  r,  2o  dont  on  connaît  la 
forme  analytique  dans  le  voisinage  de  x  =  0. 

Chaque  intégrale  de  (3)  doit  être  intégrale  de  (6);  mais  la 
réciproque  n'est  pas  vraie.  Donc  il  est  toujours  possible  de 
déterminer  les  constantes  D  telles  qu'on  ait 

v,(x|  =  D,  3,(x)  +  DjSjU-)  ,  (7) 

\ix)=zD[z,{x)-\-J)[z,ix)   .  (8) 

Il  faut  distinguer  l/'ois  cas: 

Premier  cas:  Supposons  que  «  ne  soit  pas  un  entier.  Le 
système  fondamental  de  (f))  est  de  la  lorme 


H=0  n=ii 


132  ^      KIENAST 

De  Téquation  (7)  résulte  à  cause  des  expressions  pour 
3/,,  Sj,  2-2  valables  dans  le  voisinage  de  .r  =  0 

D,  =  0  et  r,  (.r)  =  D,  z,  (x)    . 

Par  suite  l'équation  (8)  s'é(M*it 

d; 

V(.r)  =  yr-y.ir)  -f-  T)^z^{x)   , 

mais  si  V  est  intégrale  particulière  de  (3) 

en  est  une  autre.  Donc  on  est  conduit  au 

Théorème  :  L'équation  difTérentielle  (3]  admet  une  inté- 
grale complètement  déterminée  par  la  propriété  d'être,  dans 
le  voisinage  de  .r  ^=  0,  développable  en  la  série  conver- 
gente 

V(,r)  =  2^"'^""^^  •  \^^  ■ 

Inversement  : 

Théorème  :  Si  la  fonction  y  est  donnée  par  la  série  con- 
vergente 

l'expression  (3) 

P(r)  ^  ^-j 3cp{.r)y 

est  égale  à  la  série  convergente 

2  '^„  •»■'""'■*  '  I>o  ^  0  . 

Second  cas  :  Soit  a  un  entier  positif",  l'n  système  fonda- 
mental pour  (6)  est 

=■   =   2  ^"•'■""^°'    •  -.!  =   ;â  ^'n  +  ^n  log.v].r"   . 


FO.\C  11  O  NS    A  NA  L  Y  I/O  UE  S  133 

et,  certaines  ronditions  étant  remplies,  la  seconde  intégrale 
^2  ne  contient  pas  de  logarithme. 

Si  dans  le  développement  de  z.-.  le  terme  logarithmique  ne 
manquait  pas,  on  concluerait  de  l'équation  (7;  D,  =  0,  et 
puisque  l'égalité  entre  les  deux  membres  restant  est  impos- 
sible, le  développement  de  ;.,  ne  renferme  pas  de  logarithme 


z,{x)=  ^C„x" 


n=0 


Par  suite  l'équation  (8) 


vui  =  d;.  ^  A„x''+»  4-  rv  ^  C„.r" 

/i=0  n=0 

conduit  au 

Théorème  :  L'équation  différentielle  (3)  admet  une  inté- 
grale complètement  déterminée  par  la  propriété  d'être,  dans 
le  voisinage  de  .r  =  0,  développable  en  la  série  convergente 

\\x)  —  ]2  B^..r*"  ;  B^  9^  0    , 

et  inversement. 

Maintenant  l'équation  (7)  pour  la  valeur  .v  =  0  montre  que 
le  coefficient  de  z.2  ne  peut  pas  disparaître.  Introduisant 

1  D, 

^2  ^2 

dans  (8)  on  aura 

Dt  d[  D,  —  D,  D't 

V,a-,  =  -v.(.r,  +  -^^^^ z,(x), 

et  l'on  est  amené  au  même  théorème  trouvé  dans  le  premier 
cas.  Cette  substitution  est  seulement  impossible  si  (8)  ne 
renferme  pas  z.,:  mais  dans  ce  cas  (8   prouve  le  théorème. 

Troisième  cas:  Supposons  a  nul  ou  entier  négatif.  Le  sys- 
tème fondamental  de  (6)  est 

--.  =  i  A,.x"  ,  .,  =  2  t^«  +  C„  logx]x"  , 

n=0  71=0 

et  de  (8)  on  tire  le 

Theorfi.mk  :    L'é(juation    différentielle  (3)  admet   une   inté- 


134  A.    KIENAST 

grale  représentée  par  la  série  convergente 

Les  considérations  faites  se  rapportent  an  cas  le  plus  spé- 
cial du  problème  suivant  :  Déterminer  le  développement  en 
série  d'une  intégrale  particulière  de  ré(|uation  différentielle 

n  m 

oc 

PM)  —  2  '\k'*^'^  ' 

valable  dans  le  voisinage  du  point  singulier  j- =  0  pour 
lequel  les  inlégrales  de  P(i/)  z=  0  sont  toutes  régulières.  On 
trouvera  les  résultats  pour  le  cas  général  dans  le  mémoire 
cité  plus  haut. 

De  la  même  manière  j'arrive  dans  ce  mémoire  à  l'expres- 
sion en  série  représentant  asymptotiquement  une  intégrale 
particulière  de  l'équation  différentielle 


j=o  L  -^  J 

p.{x)  =  rt.  +  -■  +  -^  +  ...    ;  a^O. 

'■XX-  " 

quand  .r  grandit  indéfiniment  en  étant  positif. 


II 

On  connaît  plusieurs  moyens  pour  former  une  intégrale 
définie  représentant  une  solution  particulière  de  (3).  A  ce 
but  conduisent  la  méthode  de  la  variation  des  constantes  et 
un  théorème  de  Cauchv,  voir  Comptes  Rendus,  T.  Il,  p.  2 
(1840).  Soit 


/ 


VVI.r  ,  t)dt 


FONCTIOIVS    A  NA  I.  YTIQ  UES 


135 


celte  intégrale  définie  cherchée,  il  doit  être  possible  de  déter- 
miner la  constante  C  telle  (|ue  ré(juation  subsiste 


Cii(x)  +  \{x)  =  fwix  ,   l\dt 


Or  dans  le  cas  présent  il  est  plus  simple  de  la  tirer  des  écpia- 
tions 

xy'  —  xp(x)y  =  a*  .^[x]   , 

xy   —  xp(x)y^  n:  0   , 


qui  donnent 


•^D'i  y'  —  ?'  •?'[]  =  •*"*  -Ti  •  ?(-^t 


ou 


\{x) 


?\{^) 


Vyl  _  x^-K<f{x] 

0^0  ~ ''         Ji' 


r) 


dx 


(9) 


car  on  a 


y{x) 


)\  (^) 


Cr,(x)  +  \{x) 


Ji(^) 


V(x)  k 


Ji  \^)Ua 


C'est  la  formule  principale  et,  comme  récpiation  différen- 
tielle (3y  joue  un  rôle  Ibndamental,  je  l'appelle  équation  dif- 
férentielle de  liaison. 

Dans  le  mémoire  plusieurs  lois  cité  je  fais  la  démonstra- 
tion d'une  formule  analogue  pour  le  cas  général  d'une  équa- 
tion différentielle  de  liaison  de  n''""'  ordre. 

Connaissant  la  forme  analytique  des  fonctions  V,  ?/, ,  ip  il 
s'ensuit  : 

Théorème  :  Les  deux  membres  de  (9)  convergent  pour 
limXo  =  0,  si  R(a)  >  0,  R(a)  désignant  la  partie  réelle  de  la 
quantité  a. 


136  A.    KIENAST 

III 

Les  applications  de  (9)  qui  suivent  résultent  de  l'introduc- 
tion d'un  paramètre.  Je  commeni^e  par  le  cas  le  plus  simple  : 

/  —  ay  —  .r*~'.e(j-)   ,  (10) 

X 

Ici  V(.r)  est  représenté  par  la  série 

si  a  n'est  ni  nul  ni  entier  négatif,  et  si  en  outre  R'a)  >  0, 
on  a 

X 

e-"^.\(x\  =fe~"".t''-^.f(t}dt  .  (12) 

0 

La   condition  de  convergence  étant  remplie  pour  a  =  l, 
on  obtient  pour 

11=0 

la  formule 

X 

e-"^.V(^-)  -  Y(/))=y*e-"'.?(/|rf<  .  (13) 

0 

La   relation  entre   V(.r)   et  œ(.r)  se   calcule   en    employant 
dans  (10)  : 

ce  qui  donne  : 

x*-'.«p(.r)  =  ;V  I)„.,."+='  =  X  [,,/  +  alA„  -  oA^^_^].r"+^-'   . 
n=0  n=  I 

OU 

D„=  («+  a)A„-rtA„_,    . 


FONCTION  S    A  NA  I.  Y  T I Q  UE  S 


137 


Pour    introduire   le   paramètre   mentionné   je   pose    main- 
tenant 

ce  (jiii  entraîne  que  les  r/,,^  et  c  doivent  être  choisis  confor- 
mément  à  la  coiulitioii  que  la  série  N  D,i.i;"  soit  convergente. 
En  faisant  usage  du  tableau  suivant  : 


a  ■. 

X  = 

0 

1 

2 

3 

«  =  0 

«00 

«01 

«02 

• 

1 

0 

««01 

««02 

«4-1 

* 

2 

0 

0 

«'«02 

. 

la 

+ 

l)(a  +  2) 

3 

* 

* 

* 

* 

on  trouve 


Ao  =  S  «c 


.1 


X=i. 


A..  = 


—  y,«ox^  ' 


"         (a  +  lHa  +  2)  ...  (a+  n)  ^^^ 
D„  =  a  .  A^  , 


D_  = 


"        la  +  l)ia  -I-  2)  ...  (a  -}-  «  —  1)  • 

et  la  formule  (12;  devient 


e-"-^  .\a.. 


"=it  '  '         '  LA=n  J 

\X=o  /  (I 


0  ( "="  ) 


(14) 


138  A.    KIENAST 

Elle  est  valable  pour  tontes  les  valeurs  des  f/o„  et  z  telle  que 


E'^«'"  =  «Sv='^--S 


«„„(azx) 


(a  +  l||a  +  2)  ...  la  +  n) 


(15) 


soit  par  rapport  à  .r  une  série  convergente.  Par  suite  2  ^oX^^" 

est  nécessairement  une  série  à  rayon  de  convergence  non 
nul    et   z    une    valeur    pour    laquelle    elle    converge.    Donc 

-Cl         «o„(-^)"  ... 

Zjr^i — I ^^v  ^st  une  série  touiours  convergente.  Pourtant 

je  distingue  deux  cas  : 

Premier  cas.  —  Soit  2^oà^''  *'iî^  série   à  rayon  de    con- 

X=o 

vergence  non  nul  et  z  une  valeur  fixe  pour  laquelle  elle  con- 
verge. A  chaque  quantité  positive  t  si  petite  qu'on  veut,  il 
est  possible  de  déterminer  l'indice  v  tel  qu'on  a  pour  «  >  v 


X=/i 


<s 


Il  est  facile  d'obtenir  la  formule 

'     Zjr(a  +  rt  +  1|-  I^la)    ;/   1^1  _,_  J_Y-« 

axj 

(-1)" 


«       a— 1  oo 


(«•r)" 


par  exemple   en  calculant  (12)   pour  cft.r)  =  1.    Donc  le  pre- 
mier membre  de  (14)  peut  s'écrire 


'     Zjr(a  +  «  +  l)      .2j"oK 


'     ,à,n«  +  «4-i)+  r(a)  ./  u_^±y- 


=  L 


F OyC  TIO  iV .s    A  N A  F.  Y  T I  Q  U E  S  139 

Cette  forme  conduit  aisément  à  la  valeur  limite  : 


llm  L 


L'équation   (14)    est  valable  pour   chaque    valeur   r. .   pour 

ac 

lac|uelle  2^'t'X~'"  est  convergente  et  pour  cha(|ue  valeur  .r 

qui  n'est  pas  point  singulier  de  l'équation  diflerentielle  (10), 
c'est-à  dire  pour  chaque  valeur  finie  x,  x  =  x  étant  le  seul 
point  singulier.  Donc,  le  point  x  ^  ce  étant  atteint  tel  que 
R(«.r)  >>  0,  on  conclut  de 


1-  r  -at  a)  ^         "(iniazl)'        (    ,        , 


le  Théorî-ime  :  L'éçralité 


2".>='-=/>'V''°|£i-,°+°;+iih''''^    K,„>o   ,16, 


subsiste    pour   cliaque  valeur  z  pour   la(|uelle   ^^o/^'    ^^^^ 

>=t» 
convery-ente.    L'inlégrale   définie    dans    le   second    membre 
converge  au  moins  pour  les  mêmes  valeurs  de  z. 

Dans  son  mémoire  «  Sur  la  représentation  analytique  d'une 
branche  uniforme  d'une  fonction  monogène  »,  Acta  Math., 
T.  29,  M.  G.  Mittag-Lefller  a  démontré  trois  théorèmes  (A, 
B,  C  du  §  1)  se  rapportant  à  des  intégrales  de  la  forme  de 
l'intégrale  définie  dans  (16).  Il  est  facile  d'étendre  en  suivant 
le  même  ordre  d'idée  les  autres  résultats  des  §§  1  et  4  du 
mémoire  de  M.  Mittag-Lefller  à  cette  nouvelle  intégrale.  On 
est  ainsi  conduit  au 


140  A.    KIENAST 

Théorème  :  L'intégrale 


0  ■  ' 

possède    par    rapport  à    z   une    étoile    de    convergence    B'. 
L'égalité 

a  lien  partout  à  1  intérieur  de  B^'  . 

Cette  étoile  de  convergence  que  M.  Mittag-Lefïler,  dans  le 
Tome  29  des  Acta  Math.,  désigne  par  B*^''  est  identique  au 
polygone  de  sommabilité  de  M.  E.  Borel. 

Par  le  même  procédé  on  obtient  pour  a  =  1  les  formules 
(14)  et  (16)  en  partant  de  (13).  Une  intégration  par  parties 
conduit  alors  à  la  formule  (16)  dans  laquelle  on  a  fait  «  ==  0. 
C'est  la  formule  célèbre  de  Laplace-Abel-Borel. 

Second  cas.  —  Soit  2  f^o\~\  ^ine  série  qui  représente  une 

fonction  f[z)  asymptotiquement.  C'est  une  série  divergente 
pour  chaque  valeur  finie  z.  Les  considérations  faites  dans  le 
premier  cas  seront  en  défaut,  mais  c'est  M.  Borel  qui  a 
remarqué  que  l'intégrale  Laplace-Abel  peut  pourtant  être 
convergente.  M.  Borel  ^  introduit  par  définition  la  valeur  de 
cette  intégrale  définie  comme  somme  de  la  série  divergente. 
Et  M.  G.  H.  Hardy  ^  a  formulé  à  cet  égard  son  «  principle  »  : 
«  If  tvvo  limiting  processes  performed  in  a  definite  order  on 
a  l'unction  of  two  variables  lead  to  a  definite  value  X,  but 
when  performed  in  reverse  order  lead  to  a  meaningless 
expression  Y,  we  may  agrée  to  interpret  Y  as  meaning  X.  » 
Il  est  curieux*  que  personne  ne  semble  avoir  remarqué  la 
possibilité  d'une  démonstration  exacte.  Dans  le  cas  présent 
il  n'est  pas  nécessaire  d'avoir  recours  à  une  nouvelle  défi- 
nition  ou   à   un   nouveau   principe.   Mais  les   séries  conver- 


•   V'oir  p.  ex.   ses  Leçons  sur  tes  séries  divergentes,   GHiithier-Villars,  1901. 

'■'   Trans.   Camhr.  Phil.  Soc,    19,   p.  ^97,    I90'i. 

2  Compare/  la  critique  sévère  de  M.  G.  MiTi  ac-Lkkklkh,  <i  Sur  la  représentation  arith- 
métique des  fonctions  analytiques  générales  d'une  variable  complexe  »,  Congrès  intern.  des 
mathématiciens,  Rome,  1908,  Alti,  1,  et  Bull.  Americ.  Math.  Soc,  sér.  2.  vol.  XIV  (1908). 


F  ONCTIO  iV  5    A  \  ALYTIQL'E  S 


VA 


gentes  et  les  séries  asymplotiqiies  dans  le  sens  de  Poincaré 
sont  jusqu'à  ("e  jour  les  seules  qui  ont  un  sens  arithmétique 
défini.  La  supposition  l'aile  signifie,  d'après  la  définition 
introduite  par  Poincaré  :   il  subsiste  pour  chaque  entier   m 

l'équation 

1 


)  =0        ;* 


=  0 


Donc  on  écrit  l'équalion  (14)  de  la  manière  suivante  : 


.m       —ax        t   s^ 


„=„    ri'  +  n  +  i) 

/— '  ■  Il 


fi-- 


ria)    . 


fe-''' .  /"-'  dt  +  fe-"' .  l" 


»,     "On' 


.«+1 


-    r(a  +  «  +  l) 


dt 


ce  qui  est  une  équation  exacte.  En  passant  à  la  limite  a'^  +  x  , 
on  trouve  pour  R'a  >>  0  et  pour  chaque  valeur  finie  de  z, 
excepté  z  =  0, 


0  =z  —  z' 


fi- 


ni j  -| 


f[z]  +   fe-"'(atf 


at 


-oï^<«  +  «  +  l' 


d{at)  (  . 


Or  il  subsiste  pour  chaque  entier  ;;?  réf(uation 


lim  z"')f^z)  —   fe-'"{ot)'^ 


V 


at 


d{at)(  =  0 


et  c'est  l'expression  en  Ibrinule  du  ("ait  (jue  l'intégrale 


(17) 


K  =   fo~^'\at\'^ 


at 


„^„I^(a+;i  +1) 


d\at] 


(18) 


142  A.    KIENAST 

représente  asymptotiqnement  la  fonction  f{z)  de  même  que 

^  1 

la    série    "^  ^<fo>-^  de  laquelle  on  est  parti. 

Mais  il  est  possible  ((ue  oelte  intégrale  K  converge  et 
représente  une  fonction  analytique  ls.[Zj  dans  le  sens  ordi- 
naire. Donc  on  conclut 

f(z)  =  Kici  +  E   , 

oîi  E  est  une  fonction  représentée  asymptotiquement  par  un 
développement  identiquement  nul.  Et  parce  que  dans  les 
calculs  faits  on  n'a  pas  introduit  des  parties  étrangères  à  /'(s), 

léqnation 

/■(:)  =  Kui  (19) 

sera  exacte  dans  un  grand  nombre  de  cas. 

La  fonction  f\z)  est  représentée  asymploliquenient  par  la 

^1  '  .  . 

série    2  ^oi  ^  lorsciue  r.  =  /".e'^  croit   indéfiniment    suivant 

un  ravon  déterminé.  Pour  les  séries  asymptoliques  dont  on 

fait  usage  dans  la  théorie  des  équations  différentielles,  une 

telle  égalité  asyniptolique 

=^  1 

f[z.)  ^2   «0^3 

/•  tendant  vers  lintini,  est  unique  pour  tous  les  arguments  ^|* 
compris  dans  un  certain  angle 

Donc  l'équation  ;^17)  aura  lieu  dans  le  même  angle. 
La  série  sous  le  signe  d'intégration 

"n\T  /at\ 

^   1-. V^-^-—  =^(— )  (20) 

est  convergente  ou  représente  une  fonction  i,'(-r  )  asympto- 
tiquement. 

Je  sup|)Ose,  i'aisant    _-  =.  n  z=  p  .  e    ,  (|ue  la  série 


FONC  TIONS    A  y  A  L  YTIQ  LE  S  143 

soit  convergente  et  que  la  ibiiction  g[u)  rjirelle  représente 
soit  holomorphe  dans  l'angle 

0  <  p  ^  X   ,  (N  nombre  posilif  arbitiii  ire  meut  grand) 

?,  <  r  <  ?.. 

Ainsi  a  ^=- :c  est,  pour  !p,  <  9  <  9.,  le  seul  point  singulier 
possible. 

En  outre,  je  suppose  que,  u  =  :c  étant  singulier,  g{u)  soit 
tel  que  Tintégrale  (18;  converge  pour 

ri  *C  sru'u  <^  On    , 

OU,  t  ayant  Targunienl  0, 

ri  <  ai-g  a  —  arg  r.  <  Çj    . 
arg«  —  =.,  <  arg  r  <  arg  «    —  ?,    . 

Il  résulte  que  l'intégrale  (18  converge  si  z  =^  r .  e''^  est 
une  valeur  quelconcpie  clans  l'angle 

a  i-g  a  —  o.,  <^  i  <^  a  rg  rt  —  s,    , 

c  < /•  <  X  {|uel(|ue  petit  (|ue  soit  le  nombre  [lositit  e.  Dans 
cet  angle  l'intégrale  (18)  représente  une  fonction  analyli(|ue 
holomorphe. 

Dans  le  cas  le  plus  simple  et  très  important  g{u)  est  l'onc- 
tion rationnelle,  holomorphe  pour  «  =  x  .  Sous  cette  condi- 
tion rintégrale  (18  est  (convergente  dans  tout  le  plan  de  la 
variable  z  sauf  peut-être  sur  quelques  rayons  limitant  un 
nombre  fini  d'angles.  Les  fonctions  qu'elle  représente,  holo- 
morphes  pour  tout  point  z  intérieur  à  ces  diflérents  angles 
sont  en  général  des  fonctions  analytiques  diflerentes. 

L'exemple  suivant  montre  le  grand  avantage  que  présen- 
tent les  formules    Ui    et  (19;. 

On  sait  par  la  méthode  Poincaré-Horn,  (jue  l'écpiation 
diflerentielle 

x'-y  -j-  xj'  +  {X-  —  n-jY  =  0 

admet  un  système  fondamental  qui,  pour  toutes  les   valeurs 


144 


A.    MENA  S  T 


finies  de  n  réelles  ou  complexes,   est  représenté  asymptoti- 
quement  par  les  séries 


r(x  +  .  +  i)r(>.-„  +  l)      j 


V..r|,,^('„  +  Mr(_  „  +  l)l-|;.  +  1,  <2.>|' 


y.,(.r)  = 


r().  +  .  +  i)r(>.-.  +  |)        , 


V--x^or(„  +  l)r(-«  +  |)r,>.  +  i.  (-2-)^  ' 


lorsque  /•  =  |.r|  augmente  indéfiniment,  si 

pour  la  fonction  r^i-r)  :     —  -  -\-  o  <^  arg  .r  <  2-  —  o   , 
»  »  12 '-^l  •  +  ^  *C  ai'g-*'  <C  •^~  —  ^   . 

le  nombre  positif  $  étant  aussi  petit  qu'on  le  veut. 
Je  pose  rt  =  1,  a  =  n  —  ô^  ^l  à  cause  de  la  formule 


r   X-n  + 


/=o  r(-«  +  -)r(À  +  i) 


u}'^-  =  (1  +  u"     2 


(16)  donne 


rJ.ri  = 


— (— l)=.tx      (-ii-iLj    »  1  I  1  _(_  (_  1) 


V^ 


1^  fe-^.t      2 

0  r 

|£  =  1,  2) 


dt   , 


d'oii 


^)V2.e-^ 


(«—Il 


r.,  l-r)  == 


r(„.l)      f 

(î)".v..   - 


e-^«|I  4-  „2|      ^  (/„   , 


,^     —  V("— ') 


r  "  + 


^e-»-''!!  -^  „2,"     2rf„ 


+i 


Ici  le  chemin   dinléoralion  doit  atteindre   l'infini   tel  que 
R(.r«)>0. 


FONCTIONS    ANALYTIQUES 
Enfin  les  relations 


145 


v/i 


2       —i- 
.  e 


2      ' 


(r)  =  H'"  IX)   , 


uix)  =  H' 


montrent  qu'on  est  arrivé  à  la  représentation  par  intégrales 
définies  des  fonctions  cylindriques  de  troisième  espèce^ 
(Hankel). 

On  voit  que  la  formule  (16)  et  d'autres  qu'on  obtient  par  le 
même  procédé  fournissent  un  moyen  indispensable  pour  des 
calculs  effectifs,  notamment  pour  les  séries  dérivant  des 
équations  différentielles  linéaires  du  type  hypergéométrique. 

IV 

Je  reprends  les  considérations  du  commencement  de  III, 
en  disposant  des  constantes  a„)  comme  il  suit 


'n\ 


K  =   0 


71  =  0 

0 

0 

0 

0  . 

1 

«00 

a+1 

0 

0 

0  . 

2 

«•«00 

«•«01 

0 

0  . 

(a 

+  Dia  +  2| 

(a 

+  Du  4-2) 

3 

«'  •  «00 

«-  •  «01 

«'•«02 

n 

(a  +  lHa  +  2)U  +  3)    (a  +  l)(a+ 2)(a  +  3)    (a  +  l):a  +  2)(a  +  3) 

Il  en  résulte 

A„  =  0    . 


n—\ 


A..  = 


(a  +  Du  +  2)  ...  la  +  «,    ' 
Do  =  0    . 


D..  = 


la  +  iMa  +  2)  ...  |a  +  n) 


*  N.  NiKLSBN.  Handbuch  der  Théorie  der  Cylinderfunktionen. 
L'Enseignement  mathém.,  19"  année,  1917. 


10 


146  A.    KIENAST 

et  la  formule  (12)  devient 


[axY 


_n=0  J 


=  fe-'^Uat) 


«01  («=')^ 


K^oTloc+X  +  l) 


diat] 


(21) 


Cette  équation  est  démontrée  pour  R  (a)  >•  0,  mais  on  voit 
aisément  qu'elle  reste  valable  pour  «  =  0.  En  outre  on  a  par 
rapport  aux  «„-â  et  ^  à  remplir  la  condition  que 

«  oe  a„,  (azx)*' 

^   D    r"  z=z  X  V  'lÀl , 


soit  une  série  convergente.  Elle  est  satisfaite  si    ^  «o^z^  est 

une  série  convergente;  elle  peut  Têtre  encore  pour  une  infi- 
nité de  séries  asymptotiques.  11  est  permis  de  donner  dans 

(21)  à  .r  une  valeur  finie  quelconque,  si   2  ^^^^l^'^  est  conver- 

gente,  mais  si  c'est  une  série  asymptotique  il  y  a  des  res- 
trictions spéciales  pour  chaque  choix  des  constantes  «o>  • 

De  la  définition  de  la  notion  limite  on  conclut  que  pour 
lim  .r  =  +  00  les  deux  membres  de  (21)  convergent  pour 
les  mêmes  valeurs  de  z. 

L'intég^rale  du  second  membre  a  été  considérée  dans  III. 

Cette  formule  (21)  dans  le  cas  «  =:i  1,  «  =  0,  lim  .r  =  +  go 
est  la  découverte  de  M.  E.  Borel  '  et  M.  G.  Mittag-Lefiler  en 
parle  à  plusieurs  occasions^. 

Il  me  semble  du  plus  haut  intérêt  qu'il  ne  subsiste  pas 
seulement  pour  lim  j:  :=^  +  x  mais  z  étant  fixé  pour  chaque 
valeur  .f  qui  est  point  régulier  de  la  fonction  analytique  dé- 

fini  par  la  série  de  Taylor  2*  ftt— V^— r—n  à  rayon  d( 
gence  fini  plus  grand  que  zéro. 


le  conver- 


'  Voir  :  Leçons  sur  les  séries  divergentes,  Paris,  IflOI. 

'  Par  exemple,  Sur  la  représentation,  etc.,  Acta  Math.,  T.  26  (1902),  p.  37 'i. 


FONCTIONS    ANALYTIQUES 


147 


V. 


Comme    dernière  application    de    la   méthode   exposée   je 
reviens  à  l'équation  (3)  pour  «  =r  1  . 


dx 


xp \x\y  ■=  X  .  <D{x) 


vp{x\y  = 


/M-)=  :s  K-^" . 


ç(.r)  =    2    I>,, 


(22) 


p{x)  et  ç(.r)  étant  des  séries  de  Taylor  à  rayon  de  conver- 
gence non  nul.  L'intégrale  de  Féquation  sans  second  membre 
est 

//'(Çirf; 
jj.r)  =  e"  =2   E(«):c"  ,  (4) 

et  il  reste  à  calculer  les  différentes  parties  de  la  formule  (9) 
pour  le  cas  présent. 


Jl  1-^) 


Le  théorème  du  second  cas  dans  I  montre  qu'on  aura 


et  l'on  obtient 


Il=z0 


Je  dispose  des   .\„  =  ^  ^'n\^'^  de  la  manière  suivante  : 


"'^ 

X 

=  0 

1 

2 

3 

«  =  0 

0 

0 

0 

0    . 

1 

E(l|flo 

0 

0 

0    . 

2 

E(2)a, 

E 

'21a, 

0 

0    . 

3 

E(3)fl, 

E 

|3|fl, 

E 

(3|flj 

0    . 

148  A.     KIENASr 

d'où 


A„  =  Et«)"2  a^z"  , 


et  par  suite 

D„  =  („  +  i)E(n  +  i) 2  «.='■  -  2  ^<->EP^)  2 ''r-A 


r=0  À=0 


n—\  r  n-\-r  "j 

=  («  +  l)E(«  +  l)a„="  +  2  «r=1  («  +  l)E(n  +  l)-  ^  V^^""!^* 

r=0  L  f*=0  J 


r=0 


Donc  on  est  arrivé  à  l'équation 


2E(n)a:" 
=    r!    2^"K,0«o  +  ^,,t«x^+-   +  ^n,.«„="]|/^     •  (23) 

Pour  le  moment  je  considère  cette  formule  seulement  en 
supposant  yi{x)  =  2  E(w)j7"  fonction  entière  transcendante. 

Dans  ce  cas  M.  Mittag-Lefller ^  donne  pour   l'expression  à 
gauche  dans  (23)  la  valeur 


24) 


OU 


;=0 


Le  contour  S  doit  être  la  limite  d'une  surface  simplement 


*  Voir:    Sur  la  représentation,  etc.,  Acta  Math.,  T.  20,  p.   170. 


FONCTIONS    ANALYTIQUES  149 

connexe  pour  laquelle  la  fonction  ¥[z.y)  reste  régulière;  il 
doit  être  parcouru  dans  le  sens  direct  et  embrasser  les  deux 
points  y  ^  0,  1/  ^=  l. 

En   discutant  l'intégrale  curviligne  M.    G.    Mittag-Lefller 
a  démontré  que 

'   =FA(=)  (25) 

n=0 

est  uniformément  convergente  pour  tout  domaine  intérieur 
à  Tétoile  principale  A  et  représente  la  branche  fonctionnelle 
FA(s)  partout  à  l'intérieur  de  cette  étoile,  si  la  fonction  entière 

i/i{x)  =  N  E  /i).r"  est  choisie  telle  que  : 

X.U  X 

fp[^M'z—fp['i]d'i 

,.      yxix.in         ..(10  n 

lim    — :=z   lim  e  =  U 

a;=ao      .Ti  (•'")  X:=X 

d'une  manière  uniforme  tant  que  u  appartient  à  un  domaine 
fini  situé  en  dehors  de  la  partie  de  Taxe  réel  positif  compris 
entre  .r  =  1  et  Tinfini.  Cette  condition  est  satisfaite  par  toute 
fonction  entière 

X 

fp\'z)d^  =  'ï{x)  (26) 

0 

possédant  la  propriété  : 

lim  T(r.e'''|  =  0 

uniformément  pour 

.-  <  9  <  27:  -  £   , 

£  étant  un  nombre  positif  arbitrairement  petit, 

lim  T|r  .  e'' I  =  oc  pour  s  =  0   . 

r-=aB 

En  outre  M.  Mittag-Leffler  démontre  que  la  série 


150  A.    KIENAST 

esl  pour  toute  valeur  de  z  une  série  toujours  convergente 
par  rapport  à  x.  Elle  est,  x  étant  fixé,  uniformément  con- 
vergente pour  un  domaine  quelconque  de  la  variable  z. 
p[x)  =  T' {x)  est  fonction  entière  transcendante,  donc 
(j)(j")  =rr  V'(^)  — p{x).y{x)  est  une  série  de  x  et  de  z  qui 
partage  avec  V(.r)  les  deux  propriétés  exposées  il  y  a  un 
moment.  La  fonction  entière  transcendante  yi(.r)  =  e  '^*  ne 
s'annule  pour  aucune  valeur  finie  x  et  par  suite  l'intégrale 
dans  (23)  a  un  sens  pour  chaque  valeur  finie  x. 

En  passant  à  la  limite  on  est  conduit  à  cause  de  (25)  à  la 
formule 


f  ]  2  '"  ^^n,  0  ^0  +  ^„,  1  «.=  +•••   +  ^„,  „  «„  ="]  \  ~  =  FA  (.)    . 


(27) 


L'intégrale  converge  uniformément  pour  tout  domaine 
intérieur  à  l'étoile  principale  A.  C'est  une  généralisation  de 
l'intégrale  Laplace-Abel,  de  l'intégrale  de  M.  Mittag-Lefïler 
et  une  formule  analogue  à  la  troisième  des  formules  (125) 
p.  177  démontrées  par  M.  Mittag-Lefiler  [Acta  Math.  t.  29). 

Je  termine  par  la  remarque  que  les  applications  de  la  mé- 
thode exposée  peuvent  être  augmentées  considérablement, 
car  elle  contient  trois  éléments  arbitraires:  1.  l'équation 
différentielle  de  liaison  d'ordre  quelconque;  2.  le  point  .r^, 
qui  peut  être  point  singulier  de  celte  équation  différentielle 
en  lequel  toutes  ses  intégrales  sont  régulières  ou  point  sin- 
gulier en  lequel  les  intégrales  sont  irrégulières;  3.  le  che- 
min d'intégration. 

D'autres  résultats  que  j'ai  obtenus  paraîtront  dans  la 
Vierteljahrsschrift  der  naturforschenden  Gesellschaft  in 
Zurich  •. 

Kùsnacht  (Ziirich),  octobre  1916. 


'   t  Neue   Entwicklungen    ùber   die    Abel'sche    IntegralumkehriiDgslbrmel.  »   Jahrgang   02 

(1917). 


SUR 
CERTAINES  FONCTIONS  ANALYTIQUES   UNIFORMES 

OBTENUES 
COMME  LIMITES  DE  FONCTIONS  MULTIFORMES 

PAR 

D,  PoMPEiu  (Bucarest). 


1.  —  On  connaît  le  procédé,  aujourd'hui  classique,  pour 
définir  sur  un  segment  recliligne  un  ensemble  de  points  : 
parfait  et  partout  non  dense. 

On  enlève  du  segment  donné  («,  b)  les  points  intérieurs 
appartenant  à  une  suite  dénombrable  d'intervalles  [a^..  ^^.),  ces 
intervalles  étant  assujettis  aux  deux  conditions  suivantes  : 

1**  Deux  quelconques  de  ces  intervalles  n'empiètent  ja- 
mais l'un  sur  l'autre  et  n'ont  aucune  extrémité  commune  ; 

2''  Dans  toute  portion  de  («,  b)  il  y  a  des  points  apparte- 
nant à  des  segments  [a^,  b^). 

Il  est  clair  que 

Hl/;,.  —  rt.l   ^  h  —  a   . 


'k  —  "k' 


Dans  le  cas  de  l'égalité  l'ensemble  obtenu  est  de  longueur 
nulle  ;  dans  l'autre  cas  il  est  de  longueur  finie. 

2.  —  Parallèlement  à  cette  opération  qui  donne  l'ensemble 
parfait  partout  non  dense,  considérons  une  fonction  non 
uniforme  F {z)  admettant  les  points  a  et  b  comme  points  cri- 
tiques et  supposons  qu'il  soit  possible  de  trouver  une  autre 
fonction  F, (2)  admettant  ^,  et  ^,  comme  points  critiques,  et 
telle  que  la  différence 


152  D.    POMPLIU 

n'admette  plus  {a^b^)  comme  coupure,  $,(2)  ayant  deux  cou- 
pures aa^  et  bb^ . 

Supposons  maintenant  que  Ton  puisse  trouver  ¥^[z)  de 
façon  que  retranchant  ¥^[z)  de  ^^{z)  la  fonction 

soit  uniforme  le  long  de  ct^b,^^   les  points  a„  et  b.^  étant  des 
points  critiques  pour  ¥z{z).  —  Et  ainsi  de  suite. 
On  serait  ainsi  conduit  à  une  série 

^{z)=  V{z)  -^¥^{z) 

définissant  une  fonction  analytique  uniforme  possédant  des 
points  singuliers  formant  un  ensemble  parfait  non  dense. 

Dans  ce  qui  suit  nous  nous  proposons  de  développer  ces 
indications  générales  et  de  préciser  la  méthode  qui  en  dé- 
coule. 

3.  —  Soit  F  (s)  une  fonction  analytique  possédant  deux 
points  critiques  a  et  b.  Nous  écrirons 

¥{z,  a,   b) 

pour  mettre  en  évidence  les  points  critiques  ;  il  est  clair  qu'en 
dehors  des  points  d'une  coupure  («,  b)  (qu'on  peut  supposer 
recliligne)  une  quelconque  des  déterminations  de  F  est  uni- 
forme :  autrement  le  point  à  l'infini  serait  lui-même  critique, 
ce  qui  n'est  pas  dans  nos  hypothèses. 
Cela  posé,  soit 

G(:  ,   a,  .   />,) 

une  autre  fonction  analytique  non  uniforme,  possédant  les 
points  critiques  a^  et  b^  ;  je  suppose,  pour  simplifier  l'expo- 
sition, que  «,  et  b^  sont  deux  points  situés  sur  le  segment 
ab,  de  façon  que 

l''!  -M  <l«-  ^1  • 

Cela  précisé,  je  suppose  que  la  fonction 

H  =  F  —  G 
(ou,  d'une  façon   plus   claire,  toute   détermination  de  celte 


FONCTIONS    ANALYTIQUES  153 

fonction)  est  uniforme  en  dehors  des  segtnents  rectilignes 
aa^  et  bb^ . 

En  d'autres  termes  nous  admettons  que  :  en  retranchant 
de  F  (qui  possède  la  coupure  ab)  la  fonction  G  (qui  possède 
la  coupure  r?,^,)  on  neutralise  la  portion  a^b^  de  la  coupure 
ab.  Nous  nous  proposons,  en  prenant  ce  fait  analytique 
comme  prémisse,  de  chercher  la  forme  générale  des  fonc- 
tions F  et  G. 

4.  —  Pour  cela  partons  d'un  point  Ç,  situé  sur  ab,  avec 
une  certaine  détermination  ¥q  de  F  et  tournons  autour  du 
point  critique  «,  dans  le  sens  direct,  pour  revenir  au  même 
point  ^  :  nous  arriverons  avec  une  autre  détermination 
F,  de  F  : 

La  différence 

F,  o-F^  (:)  =  /•(:)  (1) 

n'est  pas  nulle,  en  général,  lorsque  Ç  décrit  le  segment  «^  : 
c'est  d'ailleurs  une  fonction  analytique  qui  peut  être  pro- 
longée en  dehors  du  segment  ab. 

Un   raisonnement   analogue  nous  conduit  à  une   fonction 

G,(r)-G,(;:)  =  „-(^)  (2) 

définie  sur  le  segment  ab  et  qui  est  aussi  analytique  et  pro- 
longeable  en  dehors  de  ab. 

Il  est  clair  que  le  fait  analytique  qui  constitue  notre  hypo- 
thèse se  traduit  par  la  condition 

^1^1  =  /"(Ç)       (à  une  condition  uniforme  près)   .  (3) 

Je  dis  que  cette  condition  entraîne  la  conclusion  suivante  : 
f(z)  est  nécessairement  une  fonction  uniforme. 

En  effet,  envisageons  la  relation  1)  par  laquelle  est  dé- 
finie f{z). 

Si  cette  fonction  est  non  uniforme  elle  ne  peut  admettre 
d'autres  points  critiques  que  a  et  è,  d'après  nos  hypothèses 
relatives  à  F. 

De  la  même  manière  raisonnant  sur  la  relation  (2)  nous 
voyons  que  g[z)  ne  peut  admettre  d'autres  points  critiques 
que  rt,  et  b^  . 


154  D.    POMPEIU 

Mais  dans  ces  conditions,  on  le  voit  clairement,  la  relation 
(3)  ne  peut  subsister  que  si  fiz)  ^  g[z)  est  une  fonction  uni- 
forme. 

C'est  la  conclusion  à  laquelle  nous  voulions  arriver.  Mais 
cette  conclusion  nous  conduit  au  problème  général  suivant  : 

Soit  F  (c)  une  fonction  non  uniforme  ayant  deux  points 
critiques  a  q\.  b  :  elle  est,  par  suite,  uniforme  le  long  de  tout 
contour  fermé  contenant  a  et  b  dans  son  intérieur  (autrement 
le  point  à  Tinfini  serait  aussi  critique). 

Joignons  a  ei  b  par  un  segment  recliligne  ab.  Lorsque 
l'on  part  d'un  point  Ç,  situé  sur  ab  avec  une  certaine  déter- 
mination ¥q[z)  de  F(z)  et  que  l'on  tourne  autour  du  point  a 
on  revient  en  Ç  avec  une  valeur  ¥^{iÇ)  différente  de  la  valeur 
initiale  F^fÇ)  :  c'est  en  quoi  consiste  la  non-uniformité  autour 
de  a. 

Si  maintenant  on  considère  la  différence 

/•(r)  =  F,(ç)-F„(ri 

pour  tous  les  points  Ç  du  segment  ab  on  définit  ainsi   une 
fonction  /^(Ç)  qui  est  régulière  en  tout  point  Ç  autre  que  a  et  b, 
et  par  suite  prolongeable  en  dehors  du  segment  ab. 
Maintenant  deux  cas  peuvent  se  présenter  : 

1"  f[z)  est  une  fonction  uniforme  ; 

2"  /(z)  est  une  fonction  non  uniforme. 

Nous  ne  nous  occuperons  que  du  premier  cas  et  nous  nous 
proposons  de  trouver  la  forme  générale  de  F[z). 
5.  —  Prenons,  pour  cela,  la  fonction 

G(.,=J^/-(.)Iogi^ 

et  considérons  la  différence 

u{z]  =  V{z)  —G{z)   . 

Partons  du  point  Ç  avec  la  valeur 

»„(:)  =  F„(3)  -  G„(=) 


FONCTIONS    ANALYTIQUES  155 

Qq'z)  étant  une.  quelconque,  des  déterminations  de  G(s)  :  on 
voit  qu'en  tournant  autour  de  a  on  revient  au  point  de  dé- 
part avec   la    même   valeur  ii^.    Donc  ii{z]   est  une  fonction 
uniforme. 
Ainsi 


2-i' 

qui  est  la  forme  générale  de  F(z). 

6.  —  Maintenant,  pour  simplifier  et  considérer  un  cas  pré- 
cis, supposons 

u{z)  =  0   ,         /•(=)  =  !   . 
alors 

1     .       z  —  a 


2-1    ^  z  —  h   ' 

que  nous  écrivons  aussi  sous  la  forme  ¥{z,  a,  b)  pour  mettre 
en  évidence  les  points  critiques. 

Soit  maintenant  ¥  [z ,  «, ,  b^)  une  fonction  de  même  forme 
mais  dont  les  points  critiques  sont  <?,  et  Z>,  situés  dans  l'in- 
térieur du  segment  ab.   Si  je  forme  la  différence 

j'observe  que  cette  fonction  est  uniforme  en  dehors  des  cou- 
pures aa^  et  bb^.  Donc  la  soustraction  de  ¥{z,  a^,  b^  a  eu 
comme  effet  de  neutraliser  la  portion  a^b^  de  la  coupure  pri- 
mitive. 

Cette  propriété  peut  être  utilisée  pour  obtenir  une  fonc- 
tion uniforme  intéressante  comme  somme  d'une  série  de 
fonctions  non  uniformes. 

7.  —  En  effet,  sur  un  intervalle  («,  b)  découpons  une  suite 
dénombrable,  d'intervalles  («„ ,  bn)  de  manière  à  définir  sur 
ab  un  ensemble  parfait,  partout  non  dense. 

Cela  fait,  considérons  la  série 

—  l>. 


z  —  h        '^^  z  —  h 

9{Z)    =    log    — — ^^   log   ^;— 


qui  est  convergente  en  dehors  de  ab,  comme  on  peut  facile- 
ment l'établir. 


156  n.    POMPE lU 

On  démontre  aisément  que  tous  les  points  fl„  et  bn  sont 
des  points  singuliers  pour  9(2). 

En  effet,  la  série  étant  absolument  et  uniformément  con- 
vergente dans  tout  domaine  terme  ne  contenant  aucun  des 
points  a„  ou  Z»„  ,  on  peut  dériver  terme  à  terme  et  repré- 
senter (j)'(z)  par  la  série 


z  —  h 


i)    2i\z-b,^    =-«J 


Or,  pour  cette  série  tous  les  points  «„  et  bn  sont  singu- 
liers, comme  on  le  voit  tout  de  suite.  Donc  il  en  est  de  même 
pour  la  fonction  primitive  (f[z). 

Ainsi  la  fonction  ^(s)  est  uniforme  et  admet  un  ensemble 
parfait  et  non  dense  de  points  singuliers,  cette  fonction  étant 
obtenue  comme  somme  d'une  série  de  fonctions  non  uni- 
formes. 

8.  —  Reprenons  la  série  qui  définit  r^[z)  et  cherchons  une 
limite  supérieure  des  modules  des  termes  de  cette  série  pour 
une  valeur  donnée  de  la  variable  z. 

Prenons  la  fonction 


^(  =  1  =  log 
on  a 


et  l'on  peut  supposer 

16,-0,1  <::   , 


\  ;  —  fl.,  =  r.,  e    -/ 


si  Ton  prend  la  détermination  de  k[z)  qui  s'annule  à  l'infini. 
En  écrivant  k{z)  sous  la  forme 

k{z)  =  \og{z  —  aj  —  log(r.  —  «,) 

et  appliquant  le  théorème  des  accroissements  finis  on  arrive  à 

|A-(.)|-l^^^-i  (4) 

$  étant  la  distance  du  point  z  au  segment  rectiligne  nb. 
L'inégalité  ci-dessus  pouvant  d'ailleurs  s'établir  aussi  en 


FONCTIONS    ANALYTIQUES  157 

écrivant  k[z)  sous  la  forme  d'une  intégrale  définie  où  z  entre 
comme  paramètre. 

9.  —  La  relation  (4)  va  nous  permettre  d'établir  un  résultat 
intéressant,  relatif  à  la  fonction  ç  r)  du  n°  7. 

Soit  ab  l'intervalle  primitif  et  a^b^  le  premier  intervalle 
d'uniformité  obtenu  en  retranchant  F(:;,  r/, ,  Z>,)  de  Ffc,  «,  b). 
On  a 

¥{z,  a,  b)  —   V[z,  a^  .   fc,)  =  log  ^  ~  ^'  —   log  \  ~  '''   . 

Mais  le  second  membre  peut  s'écrire  aussi 
ç,  (c)  =  log_  _  J  +  ^^S:rzz~ô  ' 
et  sous  cette  forme  en  appliquant  la  relation  (4)  nous  trouvons 

a  ,j 

a  et  /S  étant  les  nombres  qui  remplacent  ici  J. 

Mais  on  peut  prendre  au  lieu  de  a  et  /3  la  distance  de  z  au 
segment  («,  b)  c'est-à-dire  la  plus  petite  valeur  de  jZ  —  ;;  [ 
lorsque  Z  parcourt  l'intervalle  («,  b  :  nous  désignerons  cette 
valeur  par  §. 

On  aura  alors  en  orénéral 


;?,.(^M    <\^\"n-f'n\ 


Gela  nous  fait  voir  que:  si  l'ensemble  des  points  Ç  qu'on 
veut  conserver  sur  («,  b)  comme  points  singuliers  est  de  lar- 
geur nulle  la  fonction  ©(z)  est  identiquement  nulle. 

En  d'autres  termes  :  On  ne  peut  pas  former,  avec  le  pro- 
cédé que  nous  avons  employé  ici,  une  fonction  analytique 
uniforme  et  possédant  des  points  singuliers  formant  un  en- 
semble de  longueur  nulle. 

Ce  résultat  négatif  ne  tient  nullement  à  une  particularité 
de  la  méthode  employée  pour  construire  ©(r)  :  il  peut  être 
expliqué  d'une  manière  générale  et  rattaché  à  une  propriété 
des  fonctions  uniformes,  relative  à  la  manière  de  se  com- 
porter de  ces  fonctions  autour  des  points  singuliers. 


158  D.    POMPE  lU 

Si  le  degré  dinfinitude  de  la  fonction  dans  le  voisinage 
d'un  point  singulier  est  inférieur  à  Tunité,  ou  encore  si  la 
fonction  est  bornée  dans  le  voisinage  des  points  singuliers, 
alors  ces  points  ne  peuvent  pas  former  un  ensemble  de  lon- 
gueur nulle. 

Mais  il  n'est  pas  possible  d'insister  ici  sur  cette  propriété 
fondamentale  des  points  singuliers. 

10.  —  J'indiquerai,  en  terminant,  une  recherche  qui  géné- 
ralise celle  que  nous  avons  développée  ici. 

Au  lieu  de  considérer  des  fonctions  multiformes  dont  les 
points  singuliers  sont  tous  situés  sur  un  segment  rectiligne, 
on  peut  considérer  des  fonctions  multiformes  dont  les  points 
critiques  sont  distribués  dans  le  plan,  et,  reliant  ces  points 
par  des  lignes  (segments  rectilignesj,  obtenir  une  région  R 
en  dehors  de  laquelle  la  fonction  considérée  soit  uniforme. 

Ensuite  on  peut  se  proposer  de  retrancher  de  la  fonction 
F,  premièrement  définie,  une  autre  fonction  F,,  de  même 
nature,  et  telle  que,  faisant  la  différence 


la  fonction  obtenue  continue  à  être  uniforme  en  dehors 
de  R,  mais  qui  soit  aussi  uniforme  en  certaines  régions 
R, ,  Rg,  ...  ,  R„  intérieures  à  R,  qu'on  peut  appeler  régions 
neutralisées  par  la  soustraction  de  F,.  En  continuant  à  re- 
trancher de  F  —  F,  une  autre  fonction  Fo  on  obtiendrait 
d'autres  régions  neutralisées  dans  l'intérieur  de  R  et,  à  la 
fin,  on  obtiendrait  comme  somme  d'une  série  une  fonction 
<î>  uniforme  possédant  un  ensemble  parfait  et  non  dense  de 
points  singuliers  (si,  bien  entendu,  les  régions  neutralisées 
ont  été  introduites  de  façon  convenable). 

J'ai  pu  obtenir  par  cette  méthode  la  fonction  uniforme  que 
j'ai  donnée  dans  les  Comptes  Rendus  (28  novembre  1904) 
comme  exemple  d'une  fonction  analytique  partout  continue, 
donc  continue  aussi  sur  l'ensemble  des  points  singuliers. 

Dans  les  Comptes  Rendus  la  fonction  en  (juestion  est  dé- 
finie par  une  intégrale  double.  D'ailleurs  aussi  la  fonction 
du  n°  7,  qui  est  désignée  par  ©(:;),  peut  être  définie  par  une 
intégrale  ;  mais  l'intérêt  de  la  recherche   qui  précède  nous 


ARITHMOGEOMETRIE  159 

paraît  résider  clans  le  fait  que  le  problème  général  posé  au 
n°  2  conduit  à  la  forme  générale  de  la  fonction  F (2)  donnée 
au  n"  5. 

Une  recherche  analogue  et  présentant  même  intérêt  peut 
être  faite  pour  le  problème  généralisé  que  nous  venons  d'in- 
diquer. 

Jassy,  décembre  1916. 


NOTIONS  D'ARITHMOGEOMETRIE 

(3e  article)  > 

PAK 

Emile  Turrière  (Montpellier). 


Les  quartiques  gauches. 

43.  —  MÉTHODE  DU  PLAN  oscuLATEUR.  —  De  même  que,  sur 
une  cubique  plane  dont  l'équation  a  ses  coefiicients  ration- 
nels, l'existence  de  deux  arithmopoints  quelconques  entraîne 
par  alignement  celle  d'un  troisième  arithmopoint,  sur  une 
quartique  gauche  d'équations  rationnelles  l'existence  de  trois 
arithmopoints  particuliers  quelcon(|ues  entraîne  celle  d'un 
quatrième  arithmopoint,  trace  de  la  courbe  gauche  sur  l'arith- 
moplan  défini  par  les  trois  arithmopoints  connus. 

Le  plan  défini  par  une  tangente  en  un  arithmopoint  d'une 
quartique  gauche  et  par  un  autre  arithmopoint  rencontre  la 
courbe  en  un  nouvel  arithmopoint. 

Enfin,  le  plan  osculateur  en  un  arithmopoint  rencontre  à 
nouveau  la  quartique    gauche    en    un  nouvel  arithmopoint. 


'  Voir  L'Enseignement  mathématique,   18«  année,   15  mars  l'Jliî,  pp.  8t-110,  et  15  novembre 
1916,  pp.  397-428. 


160  E.     TLRRIERE 

Cette  remarque  donne  naissance  à  une  méthode  analogue  à 
celle  du  point  tangentiel  pour  les  cubiques  planes  et  permet- 
tant de  rattacher  par  une  voie  itérative  une  suite  d'arithmo- 
points  à  tout  arithmopoint  d'une  quartique  gauche.  Cette 
méthode  du  plan  oscillateur  consistera  à  partir  d'un  arith- 
mopoint connu  a  priori  Mj  ;  le  plan  osculateur  à  la  quartique 
gauche  en  M,  rencontrera  la  courbe  gauche  en  un  second 
point  Mj  ;  le  plan  osculateur  en  M.,  donnera  un  autre  arith- 
mopoint M3  ...  et  ainsi  de  suite:  de  Tarithmopoint  Ma—i  se 
déduira  un  arithmopoint  M^  qui  sera  la  trace  de  la  quartique 
sur  le  plan  osculateur  de  Ma_i. 

44.  —  Les  équations  des  nombres  congruents.  — J'ai  déjà' 
donné  un  exemple  de  l'application  de  la  méthode  du  plan 
osculateur  à  l'occasion  des  équations  indéterminées  simul- 
tanées 

J"-  +  rt  =  y-   ,  x^  -\-  h  =:.  z-   . 

Pour  r/  +  «^  =  0  elles  ne  sont  autres  que  les  équations 
des  nombres  congruents  qui  ont  donné  lieu  à  des  travaux 
remarquables  de  Léonard  de  Pise,  Edouard  Lucas,  A.  Ge- 
NoccHi  et  Mathew  Collins.  Impossibles  pour  «=1,2,  3,  10, 
11,  17,  19,  ...  ,  elles  sont  possibles  pour  <7  =  5,  «  =  6,  par 
exemple. 

Pour  «  =  5,  Z>  :=  —  5  ce  sont  les  équations  du  problème 
proposé  par  Jean  de  Palerme  à  Léonard  de  Pise,  qui  en  a 
donné  la  solution 

1  1         41 

•^  =  ^  +  1+6  =  12    • 

Pour  «  =r  6,  Z>  =  —  6,  on  se  trouve  en  présence  d'un  sys- 
tème d'équations  étudié  par  Ed.  Lucas  =.  Partant  de  la  solu- 
tion simple  : 

5  7  1 

^  =  2    •         •^'  =  2    •  =  =  T   ■ 


'  Lt  problème  de  Jean  de  l'alerine  et  de  Léonard  de  Pise,  L'Enseignement  mathématique, 
XVII"  année,  septembre-novembre  1915  (p.  315-324). 

'  Edouard  Llcas,  Sur  la  résolution  des  systèmes  d'équations  x'  —  (iv"  =:  u*,  x'  +  dv'  :=  v*, 
Nouvelles  Annales  de  Mathématiques  [2],  t.  XV,  1876,  p.  466-469. 


ARIT  H  MO  GEOMETRIE  161 

Ed.  LccAS  forme  les  nouvelles  solutions   moins  évidentes  : 


1201 

1249 

1151 

^'  -  140 
2-639-802 

•    •'--  140  ' 

10  113  607 
•^'  ~  7 -776 -485  ' 

*»  "~  140  ' 

4-319-999 

*^»  ""  7 -776 -485  ' 

">  ~~  7  ■776- 485 

les  formules  de  récurrence  qu'il  indique  ne  sont  d'ailleurs 
pas  distinctes  de  celles  que  j'ai  trouvées  en  application  de  la 
méthode  du  point  tangentiel  sur  une  cubique  plane  : 

ab  —  x^  x^y-  -f-  az-  x'-z-  -\-  by- 

Des  propositions  générales  sur  l'impossibilité  des  équa- 
tions des  nombres  congruents  ont  été  données  par  A.  Ge- 
>'0CCHi  ^  par  exemple  lorsque  a  est  un  nombre  premier  de 
la  forme  8  m  +  3  ou  le  double  d'un  nombre  premier  de  la 
forme  8  m  +  5)  ;  le  même  auteur  s'est  occupé  d'ailleurs  dans 
le  même  travail  du  cas  «  +  Z>  ^  0.  Elles  ont  aussi  été  con- 
sidérées par  Ed.  Lucas  ^  dans  ses  recherches  sur  les  travaux 
de  Léonard  de  Pise. 

45.  —  Les  équations  simultanées  homogènes 

X-  -\-  ay-  =  z-   , 
ax-  -\-  y-  =  t-   , 

ont  été  traitées  de  même-^;  pour  a  =^  1 ,  elles  admettent  une 
solution  simple 

a- =  3,         r  =  l.  c  =  4,  <  =  8. 


^  A.  Gknocchi,  Sur  l'impossibilité  de  quelques  équations  doubles,  Comptes  Rendus  de  l'Aca- 
démie des  Sciences  de  Paris,  1874,   t.  78,  p.  433-435. 

*  Ed.  Lucas,  Recherches  sur  plusieurs  ouvrages  de  Léonard  de  Pise  et  sur  diverses  questions 
d'arithmétique  supérieure,  Bollcttino  di  bibliografia  (du  prince  Bonrompagni),  1877.  Lucas 
cite  Léonard  de  Pisk.  Lucas  P.xcioli,  L.  Euler,  Mathew  Coi.lins  et  A.  Gknocchi. 

Au  sujet  des  mêmes  équiitions  des  nombres  congruents,  voir  aussi  la  question  n»  4472  de 
Y  Intermédiaire  des  mathématiciens  (19J5,  p.  52,  et  p.  231)  par  M.  A.  Gkuabdin:  on  y  trouve 
des  listes  étendues  de  valeurs  de  a  pour  lesquelles  les  équations  sont  possibles  ou  impos- 
sibles. 

'  L'Intermédiaire  des  mathématiciens,  1916,  p.  63.  L'auteur  de  la  solution  indique  précisé- 
ment la  méthode  du  plan  osculateur,  ainsi  que  celle  d'une  quadrique  ayant  avec  la  courbe 
sept  intersections  confondues  au  point  initial  ;  le  huitième  point  d'intersection  est  une  nou- 
velle solution.  Il  traite  ensuite  la  question  au  moyen  des  fonctions  elliptiques  d'un  même 
paramétre  u  et  signale  toute  une  série  de  solutions  de  paramétres  — 3h  ,  — lu,  —  llu  ... 
déduites  d'une  solution  initiale  de  paramétre  u. 

L'Enseignenient  mathém.,  19»  année  ;  1917.  II 


162  E.     TU  RR  IL  RE 

dont  il  est  possible  de  déduire  la  solution 

X  =  —  447    ,  V  r=  1121    ,  =  =  300i    ,  t  =  —  1688   . 

M.  A.  Gér\rdin^  a  d'ailleurs  signalé  un  cas  particulier 
de  possibilité  de  cette  équation.  C'est  celui  pour  lequel  le 
nombre  a  est  de  la  forme  suivante  : 

a  =  À-  +  •2X  -f  4  . 

Dans  ce  cas,  on  peut  prendre  : 

X  =  1   ,  V  =  À  +  2   ,  z  =  A-  ^  3À  +  4   ,  /  =  "/.-'  _f_  X  _j_  2   . 

Le  cas  de  a  carré  a  été  traité  par  L.  Ei  ler  en  1780'. 

46.  —  Comme  autre  exemple,  je  signalerai  encore  celui  du 
problème  de  la  détermination  de  deux  parallélépipèdes  rec- 
tangles à  arêtes  rationnelles,  équivalents  et  isodiagonaux. 
On  impose  une  des  arêtes  de  l'un  des  volumes  et  deux  arêtes 
de  l'autre. 

Soient  .r,  y,  c  les  arêtes  de  l'un  des  parallélépipèdes;  c 
est  connu  et  j:*,  7/  sont  deux  inconnues.  Les  arêtes  du  second 
volume  seront  de  même  «',  b\  z'  ;  a\  h'  sont  donnés  et  z'  est 
inconnu.  11  s'agit  alors  d'étudier  le  système  suivant  d'équa- 
tions entre  .r.  y  et  z'  : 

i  xyc  r=  a'h'z'   , 

(  X'  -\-  y-  -\-  c-  =  a"-  +  //-  +  z'-  : 

elles  représentent,  par  rapport  à  des  axes  coordonnés, 
(0.r,  Oî/,  Os')  une  biquadratique  gauche  intersection  d'un 
j)araboloïde  hyperbolique  avec  un  hyperboloïde  de  révolu- 
lion.  Par  la  transformation  définie  au  moyen  des  formules 

X  =  4p  (r  +  v)   . 
a  I) 

a  b 


1  Loi-,  cil  ,  p.  6i. 

'  C.  f.  Commentatioiies  arithincticie,  IS49,  t.  Il,  pp.  425-137. 


AlilT  II MOGEOM  ETRIE  163 

et  par  conséquent  constituée  par  une  affinité  et  une  rotation 
autour  de  Oc',  les  équations  de  la  biquadratique  gauche  de- 
viennent : 

X-  =  (Z  +  1)2  —  K   ,  Y-'  =  (Z  —  1)2  —  K   . 

K  est  une  constante  égale  à^ j^tt^ •   Cette  valeur 

particulière  de  K  assure  à  la  biquadratique  transformée 
l'existence  d'un  arithmopoint  particulier 

_  c{a   +  //)  _  c  [a'  —  //)  _  _c2_ 

«  —         «7/         •  ^  —        a'b'        '  «  ~  a'//  ' 

correspondant  à  la  solution  banale  constituée  par  deux  pa- 
rallélépipèdes égaux. 

La  méthode  du  plan  osculateur  pourra  être  appliquée  à 
tout  arithmopoint  (r^,  i/q,  z^y)  de  la  biquadratique  d'équa- 
tions : 

X-  +  A-  =  iZ  +  1)2  ,         y 2  _)_  A-  =  (Z  —  1)2  , 

le  plan  osculateur  au  point  {.x'^,  ?/„,  Zq   ayant  pour  équation 

'—  j-'X  +  i'Y  +  21:.*  +  1  —  KlZ  =  —  6;„(:*  +  1  —  K)   . 

Je  n'insiste  pas  sur  ce  problème  qui  peut  être  traité  d'une 
autre  manière  et  rattaché  à  des  cubiques  planes  remarqua- 
bles signalées  par  Edouard  Lucas.   Voir§§  61,  62  et  63.) 

Je  pense  que  ces  divers  exemples,  étudiés  par  une  méthode 
très  élémentaire,  suffisent  amplement  pour  justifier  l'intro- 
duction de  ces  considérations  d'arithmogéométrie.  Ils  prou- 
vent d'ailleurs  qu'il  n'est  pas  nécessaire  d'utiliser  des  résul- 
tats de  la  théorie  des  fonctions  elliptiques  pour  aborder 
systématiquement  l'étude  de  ces  questions  de  théorie  des 
nombres. 

47.  —  Mkthode  de  la  qladrique  passant  par  sept  points. 
—  Une  méthode  analogue  à  celle  du  plan  osculateur  découle 
du  fait  bien  connu  que  toutes  les  (juadriques  passant  par 
sept  points  communs  passent  par  un  huitième  point  fixe. 

Supposons  qu'on  connaisse  sept  arithmopoints  particuliers 
d'une  biquadiatique  gauche  définie  comme  intersection  de 


164  E.     TURRIERE 

deux  quadriqiies  Q,  :=  0  et  Q.^  =  0-  On  formera  alors  l'équa- 
tion d'une  quadrique  passant  par  ces  sept  arithmopoints  mais 
n'appartenant  pas  au  faisceau  ponctuel  défini  par  les  quadri- 
ques  Q,  =  0  et  Qg  =  0^ .  Soit  Q3  =  0  une  telle  quadrique.  Les 
équations  simultanées 

Q,  =  0   ,  Q,  =  0   .         (),,  =  0   , 

auront  pour  solutions  les  coordonnées  d'un  système  de  huit 
points,  auxquels  appartiendront  les  sept  points  connus  a 
priori.  De  sorte  que,  de  ces  sept  arithmopoints,  ce  procédé 
permettra  de  déduire  un  huitième  arithmopoint. 

Les  sept  arithmopoints  initiaux  peuvent  être  confondus 
en  un  seul  arithmopoint  :  on  possède  donc  une  nouvelle  mé- 
thode de  récurrence  entre  arithmopoints  d'une  biquadratique 
gauche,  absolument  analogue  à  celle  du  plan  osculateur. 

48.  —  RÉUUCTIBILITK  DE  l'ÉTUDE  ARITHMOGÉOMÉïRIQUE  d'uNE 
QUAHTIQUE    GAUCHE  A  CELLE   d'uNE    CUBIQUE    PLANE.  —   Une  autrC 

voie  est  ouverte  dans  l'étude  arithmogéométrique  d'une  quar- 
tique  gauche  représentée  par  des  équations  à  coeflicients 
rationnels  et  douée  d'un  arithmopoint  particulier  connu  a 
priori. 

Cette  étude  n'est  pas  distincte,  en  eftet,  de  celle  d'une 
cubique  plane,  qui  a  fait  l'objet  des  ï^!^  40,  41  et  42.  La  cubique 
plane  associée  à  la  quartique  gauche  n'est  autre  que  la  pers- 
pective de  celle-ci,  le  point  de  vue  se  trouvant  à  l'arithmo- 
point  connu  a  priori. 

Pratiquement,  on  projettera  la  quartique  gauche  en  pre- 
nant pour  centre  de  projection  l'arithmopoint  connu  a  priori 
sur  un  plan  de  projection  dont  le  choix  sera  effectué,  dans 
chaque  cas  particulier,  par  des  considérations  de  symétrie, 
d'élégance  ou  de  simplicité  des  équations. 

La  cubique  plane  perspective  de  la  (juartique  de  l'espace 
admet  pour  arithmopoint  particulier  la  trace  sur  le  plan  de 
projection  de  l'arithmodroite  tangente  à  la  quartique  au  point 
de  vue. 

C'est  ainsi  que  les  équations  des  nombres  congruenls 

x-  -\-  a  z=i  y-   ,  X-  -\-  h  =  z- 


ARITII MOGEOME  TRIE  165 

ont  pu  de  diverses  manières   être  ramenées  à  une  équation 
représentant  une  cubique  plane  douée  d'arithmo|)oints  '. 
49.  —  Phoblème   de   Fermât  :   Arithmotriangles  pythago- 

RIQUES  DONT  I.'hYPOTÉNUSE  ET  LA  SOMME  OU  LA  DIFFERENCE  DES 
CATHÈTES    SONT    DES    NOMBRES    CARRES    PARFAITS.    L'étude    deS 

triangles  pythagoriques  à  cotés  rationnels  dont  riiypoténuse 
est  mesurée  par  un  carré  et  dont  la  somme  xles  cathètes  est 
un  carré  a  été  faite  par  Leibniz^,  Fermât,  Eller^  et  La- 
GRANGE.  La  plus  petite  solution  de  ce  problème  est  constituée 
par  le  triangle  dont  les  cathètes  ont  pour  mesures  : 

1061-652-293-520   . 
4 -565 -486 -027 -761   . 

La  somme  des  cathètes  est  le  carré  du  nombre  2-372159; 
l'hypoténuse  est  égale  à  (2-165017/. 

Je  vais  appliquer  les  considérations  qui  précèdent  au  pro- 
blème beaucoup  plus  général  des  arithmotriangles  pythago- 
riques dont  rhypoténuse  et  la  somme  ou  la  différence  des 
cathètes  sont  mesurées  par  des  nombres  carrés  parfaits. 

Soient  jr,  y  deux  nombres  rationnels  algébriques  dont  les 
valeurs  absolues  sont  par  convention  les  rapports  des  ca- 
thètes à  l'hypoténuse  d'un  triangle  de  cette  espèce.  Il  s'agit 
ainsi  de  procéder  à  l'étude  du  système  des  deux  équations 

X-  +  _v-  =  1    ,  X  +  y  =  :■-   , 

admettant  les  solutions  banales  (.r  =  1 ,  ?/  r^  0,  r:  =  1) 
(.r  =  0,  2/  =  i  ,  z  =  1).  Ces  équations  représentent  respec- 
tivement un  cylindre  de  révolution  et  un  cylindre  parabo- 
lique, de  sorte  que  leur  ensemble  représente  une  biquadra- 
lique  gauche  douée  d'un  arithmopoint  particulier,  dont  il  est 
possible  par  symétries  de  déduire  trois  autres  arithmopoints. 


*  Cf.  L'Eiiseigneinent  mathématique.  XVIl'  année,  1915,  p.  ,117  et  321. 

'  Je  cite  Leib.niz  d'après  Eur.Bn  :  «  Hoc  problema  a  Lnibni/.io  olitn  propositum  »  (Coni- 
nientationcs  arithinelic;»',  t.  II.  p.  44-52,  Miscellanea  analytica,  15  novembre  177.3,  §  4,  p.  47-48]. 

'  L.   Eui.KR  a  consacri'î  deux  mémoires  à  ce  problème  ; 

al  De  tribus  pluribusvc  numeris  inveniendis,  quorum  summa  sit  quadratum,  quadralorum 
vero  summa  biquadratum,  18  mai  1780;  Commentationes  aritlimeticae,  édition  de  18'i9,  t.  II, 
p.  397-402.  La  solution  particulière  rapportée  dans  le  texte  ci-dessus  est  indiquée  dans  cette 
pièce. 

b)  Solutio  problematis  Fermatiani  de  duobus  numeris,  quorum  summa  sit  quadratum 
quadratorum  vero  summa  liquadratum,  ad  nientem  111.  Lagrange  adornata,  5  juin  1780; 
Commentationes  arithnietica-,  ibid.,  pp.  403-405. 


166  E.     TV  nu  1ERE 

La  distinction  entre  les  solutions  des  deux  problèmes 
distincts  qui  se  traduisent  par  ces  mêmes  équations  se  fait 
aisément.  Les  nombres  {x^  y)  peuvent,  en  effet,  être  soit  tous 
deux  positifs,  soit  de  signes  contraires.  Dans  le  premier  cas, 
on  se  trouve  en  présence  du  problème  de  Fermât  propre- 
ment dit  ;  pour  x  ei  y  àe  signes  contraires,  c'est  la  différence 
des  cathètes  qui  est  mesurée  par  un  carré  parfait.  D'ailleurs, 
le  seul  examen  de  z  permet  d'effectuer  autrement  la  même 
distinction  ;  il  résulte,  en  eifet,  de  l'équation 

que  les  solutions  du  problème  de  Fermât  proprement  dit 
correspondent  aux  arcs  de  la  biquadratique  extérieurs  à  l'es- 
pace limité  aux  deux  plans  parallèles  c  =  ih  1.  Les  arithmo- 
points  de  la  biquadratique  situés  entre  ces  deux  plans  paral- 
lèles sont  au  contraire  associés  à  des  arithmotriangles  pytha- 
goriques  pour  lesquels  la  différence  des  cathètes  est  un  carré 
parfait. 

Le  cône  du  troisième  degré  admettant  la  biquadratique 
considérée  pour  courbe  directrice,  le  sommet  étant  Farith- 
mopoint  [x  =  1,  y  =  0,  c  =  1),  a  pour  équation  par  rapport 
à  des  axes  issus  de  son  sommet  et  parallèles  aux  axes  pri- 
mitifs : 

(X-'  +  Y2)|X  +  Y  —  2Z,  +  2XZ2  =  0   ;    . 

de  sorte  que  la  cubique  d'équation 

,X2  +  Y2),X  -^  Y-2i  +  2X=:0 

estune  perspective  de  la  biquadratique  gauche.  La  corres- 
pondance entre  les  nombres  .r,  ?/,  z)  et  (.r,  y)  s'effectue  par 
les  formules 

\-  —  X-'  2XY 

X..:^:^',       Y=     ' 


—   I  c  —  1 


La  séparation  entre  les  arcs  associés  aux  deux  problèmes 
considérés  se  fait  au  point  à  l'infini  île  cette  cubique  circu- 


ARITHMOGEOMETRIE  167 

laire,  an  pointa  distance  finie  d'intersection  avec  Tasymptote 
X  +  Y  =  2,  à  l'origine  0  des  coordonnées  et  au  point  autre 
que  O,  situé  à  distance  finie,  d'intersection  avec  la  parallèle 
menée  par  O  à  cette  asymptote.  Les  deux  arcs  compris  entre 
ces  deux  droites  parallèles  (X  +  Y  =  0,  X  -f-  Y  =  2)  cor- 
respondent à  la  différence  des  cathètes,  tandis  que  les  deux 
autres  arcs  extérieurs  à  ces  deux  droites  parallèles  corres- 
pondent au  problème  de  Fermât.  Deux  arithmopoints  alignés 
avec  le  point  O  correspondent  toujours  au  même  problème. 

Une  des  solutions  remarquables  de  la  question,  ainsi  trou- 
vée au  moyen  des  alignements  sur  cette  cubique,  est  celle  qui 
correspond  au  triangle  rectangle  de  côtés  119,  120  et  169. 

La  méthode  du  plan  osculateur  peut  aussi  être  appliquée 
avec  intérêt  à  la  biquadratique  étudiée.  Pour  simplifier  les 
calculs,  il  est  avantageux  d'introduire  une  variable  auxiliaire 
è  définie  par  la  relation 

X  —  1-  =  2  y  0    ; 

de  sorte  que  Ton  doit  poser  : 

.•  =  !-+  v^  . 

-J  =  2  —  40  . 

Avec  ces  notations,  l'équation  du  plan  osculateur  de  la  biqua- 
dratique au  point  de  coordonnées  Xq,  t/^,  z^  et  du  {)ara- 
mètre  d^  est  : 

(2t., 5„  +  :J)x  -I-  (2ro5o  +  ^Ô' >'  "  ^^o"  =  ^^<>  "  '   ■ 

Ce  plan  osculateur  rencontre  à  nouveau  la  courbe  gauche  en 
un  point  de  cote  c,  dont  l'expression  peut  être  donnée  en 
fonction  de  z  seul, 

—  12  •■}-  12;->  +  z^ 

'■  ~  ^'     4  +  123*  —  3z«      ' 

ou,  plus  simplement,  en  fonction  de  c  et  de  tî  : 

_       1  —  4o  4-  5- 
^«  -  =•       1  _  38^       • 


168  E.     TURRIERE 

Les  paramètres  à  et  ^,  sont  liés  entre  eux  par  la  relation 


-v/|- 


54  _|_  1253  —  18o2  +  12o  —   3 

(352—    1)2 


On  observera  enfin  que  la  condition  z^  —  1  >  0,  caractéris- 
tique des  solutions  du  problème  primitivement  étudié   par 

1 
Ferm.vt  se  traduit  ici  par  l'inéquation  $  <^~  . 

La  solution  banale  .c  =  1,  3/  =^  0,  2  =  1  correspond  préci- 
sèment  au  cas  limite  $  =.y-\  elle  appartient  d'ailleurs  indiffé- 
remment aux  deux  problèmes.  La  formule  de  récurrence  ci- 
dessus  écrite,  entre  ^,  et  ^,  donne  alors  pour  ^:=  — la  valeur 

suivante  de  0^  : 

57  121 


'  ~  114-244 

qui,  supérieure  à  —  ,  correspond  au  second  problème  ;   elle 
conduit  à  la  solution 

_       119  _  120  __  1 

■^1  ~  "  Î69  '         ^  '  ~  Ï69  •         "'  ~  I3    ' 

déjà  signalée  à  propos  de  la  cubique  perspective  de  la  biqua- 
dratique  gauche. 

Généralisation  des  équations  de  Brahmagupta-Fermat. 

50.  —  L'étude  des  équations  A.r*  +  B.r^  =  fi-^i^)  dans  les- 
quelles /\.ri/]  est  un  polynôme  quelconque  du  second  degré 
des  deux  variables  a:  et  3/  se  ramène  immédiatement  à  l'étude 
arithmogéométrique  d'une  biquadratique  gauche  par  l'intro- 
duction d'une  nouvelle  variable  auxiliaire.  Une  telle  équation 

\.r'  +  B.r-^  =  f{.v  ,    v) 

peut,  en  effet,  être  considérée  comme  représentant  dans  le 
plan  O.ri/  une  courbe  du  quatrième  degré,  projection  d'une 


ARITHMOGEOM  ETIilE  169 


biquadratique  de  l'espace.  Cette  courbe  gauche  est  iinter- 
section  d'un  cylindre  parabolique 


avec  une  quadrique  d'équation  : 

Ac^'  +  B.rc  =  f{x  .  y)   . 

51.  —  Equations  ue  Brahmaglpta-Fermat  généralisées.  — 
Une  première  extension  toute  naturelle  des  équations  de 
Brahmagupta-Fermat 

Ax-  +  B.r  +  C  =  ;  - 
est  l'équation 

A.>-  4.  B.i-  +  C.v  +  D  —  y-   ; 

son  étude  se  rattache  immédiatement  à  celle  d'une  cubique 
plane.  (Voir  .^  42). 

Il  en  est  de  même  des  équations  plus  générales  : 

A.r^  +  Bx^  +  Cx-  +  D.r  +  E  =  v-'  . 

Pour  traiter  arithmogéométriquement  une  équation  de  cette 
espèce,  il  suffît  de  poser. r-=  z  de  sorte  qu'elle  représente 
une  quartique  plane  projection  sur  le  plan  O.ri/  de  la  biqua- 
dratique gauche  d'équations  : 

^  A:"-  +  B.r:  4   C=  +  D.r  +  E  =  y   , 


Les  cas  où  A  ou  E  seront  carrés  parfaits  permettront  de 
trouver  immédiatement  une  série  de  solutions. 

Parmi  les  équations  de  Brahmagupta-Fermat  généralisées 
au  sens  qui  précède,  il  convient  de  mentionner  d'une  ma- 
nière toute  spéciale  celles  qui  admettent  pour  premier 
membre  un  trinôme  bicarré  en  .r  et  plus  particulièrement 
encore  les  équations 

.r^  4-  A.r2  +  32  =  □   . 

En  posant 

B 

.r  +  -  =  \  . 


170  E.     TURRIÈRE 

cette  équation  devient 

X-  +  A  —  2B  =  □   ; 

de  sorte  que  toute  équation  du  type 

x^  +  Ar-  +  B2  =  □   , 

est  équivalente  au  système 

X2  +  a  =  n  X2  -f  /.  =  □ 

des  équations  des  nombres  congruents.  Les  constantes  A,  B, 
a^  b  qui  figurent  dans  ces  diverses  équations  sont  liées  entre 
elles  par  les  conditions 

«  =  A  —  2B   ,  />  =  —  4B   . 

L.  EuLER  affirma  Timpossibilité  pour  k  =  1,  3,  5,  6,  —  14, 
etc.,  ...  de 

x'  +  kx''  +  1  =  n  • 

L'équivalence  précédente  fut   indiquée   par  A.   Genocchi 
dans  le  mémoire  cité  au  §  44. 

L'équation 

X*  _  4x2  +  1  =  □ 

fut  enfin  traitée  par  Ed.  Lucas  [Recherches  sur  l'analyse 
indéterminée.  Moulins,  1873,  p.  67;  Recherches  sur  plusieurs 
ouvrages  de  Léonard  de  Pise,  p.  120]. 

52.  —  Problème  des    arithmodistances    pour  une  hyper- 
bole    ÉQUILATERE    OU     UNE     LKMMSCATE     UE     BeRNOULLI.    —    Il 

arrive  très  fréquemment  que  ce  genre  d'équations  de  Brah- 
magupta-Fermat  intervienne  dans  les  problèmes  des  arithmo- 
distances  pour  certaines  courbes.  C'est  ainsi  que  le  problème 
des  arithmodistances  pour  l'hyperbole  équilatère  et  son  cen- 
tre de  symétrie  ou  encore  pour  la  lemniscate  de  BernouUi 
et  son  point  double  (transformée  de  l'hyperbole  équilatère 
par  inversion)  se  traduit  analytiquement  par  l'équation 

f  =    1    +    X*    . 

Celle-ci  est  impossible  et  n'admet  que  la  solution  banale 
x  =  0.  Cette  impossibilité  résulte   du  théorème  négatif  de 


ARirHMOG  ÉOMETIilE  171 

Fermât  sur  l'équation  .r*  -)-  ^*  =  z'  ou  encore  du  théorème 
dû  à  Frénicle  de  non-existence  d'arithmotriangle  pythago- 
rique  dont  l'aire  soit  double  d'un  carré.  (Voir  à  ce  sujet  §  6 
de  ma  note  sur  Le  problème  de  Jean  de  Païenne  et  de  Léonard 
de  PJse], 

Cette    impossibilité    est    encore    équivalente    à    celle    de 

tangG  =  y^,  tang—  étant   rationnel.    En    d'autres   termes   il 

n'existe  pas  d'arithmotriangle  pythagorique  dont  le  rapport 

des  cathètes  soit  un  carré  parfait. 

53.  —  Problème  des  .\rithmodista>ces  pour  une  arithmo- 

CONIQUE     —  Plus   généralement,   étant   donnée  une  conique 

douée  d'arithmopoints  et,   par  suite,  représentable  par  des 

équations 

„  _  4  1 —  ?i 

A,   •         •         A,  ' 

dans  lesquelles  f.,,  g,^  et  h„  sont  des  polynômes  du  second 
degré  d'une  même  variable  /,  le  problème  des  arithmodis- 
tances  pour  cette  arithmoconique  et  pour  un  arithmopoint 
du  plan,  —  qui  peut  sans  restriction  de  généralité  être  pris 
pour  origine  des  coordonnées,  —  se  traduit  par  l'équation 

=  carre  partait    ; 


ou  encore  /'  +  g'  =  Y-.  De  sorte  qu'en  explicitant  la  variable 
/  on  est  ramené  à  une  équation  de  la  forme 

A.r^  +  B.r-'  +  Cx-  -^    D.r  +  E  =  ;  -  . 

Ce  résultat  s'étend  d'ailleurs  au  cas  d'une  arithmoconique 
de  l'espace.  On  a  alors 

_f.,  _g.  _  ^ 

■^  ""  ^,  '     '  ~t,'     '^  ~  K  ' 

on  est  par  suite  amené  à  une  équation 

/•»  _L.    o«  +   /«  =  Y-    , 


172  E.     TLRHIERE 

qui,  après  développement,  donne  encore  une  équation  de 
Brahmagupta-Fermat  du  quatrième  ordre. 

La  réciproque  n'est  pas  exacte.  Toute  équation 

ne  serait  susceptible  d'être  rattachée  à  un  problème  d'arith- 
modistance  pour  une  arilhmoconique  de  l'espace,  ni  a  fortiori 
pour  une  arithmoconique  de  l'espace.  Les  équations  pour 
lesquelles  A  et  E  ne  sont  pas  sommes  de  deux  ou  trois  carrés 
ne  sont  pas  susceptibles  d'une  telle  interprétation  géomé- 
trique :  par  exemple  aucune  des  équations 

;-2  —  X*  —  1    ,         y^  z=i  x^  +  1   , 

ne  peut  être  associée  à  une  arithmoconique  de  l'espace  ou 
du  plan  au  titre  de  courbe  représentative  de  l'équation  du 
problème  des  arithmodistances. 


Le  problème  de  Bhaskara  et  les  équations 

9{x  ,  y)  ==.  Il-  ,         'lix  ,  y)  ■=.  V-  . 

54.  —  Le  problèmk  de  Bhaskara.  —  Le  système  des  deux 
équations  indéterminées 

x--{-y-  —  1  -=2  II-   , 
X-  —y-  —  1  =  V-   , 

à  quatre  inconnues  .r,  y,  z/,  c,  dont  Bhaskara'  a  donné  les 
trois  solutions  particulières  suivantes  dépendant  d'un  para- 
mètre rationnel  arbitraire 

X  =  8"/.-  +  1       ,  y  =  8X2 

.r  =  >>  +  ^        •  r  =  l      . 

_  (8X2  —  1)2  _  8X2  —  1 

''''  ~     8X2     -       y  —     2)r~  ' 


'  Le  LiLavati.  section  IV,  règle  59-60.  Cf.  Nouvelles  Annales  de  Mathématiques,  question 
206,  [2|,  t.  Vni,  1849,  p.  107;  E.  Clkrk  en  donna  une  solution  incomplète,  t.  IX,  1850,  pp. 
116-118. 


ARITHMOGEOMETRIE  173 

et  dont  la  solution  générale  a  été  obtenue  par  A.  Genocchi  -, 
pourrait  de  diverses  manières  être  rattaché  aux  considéra- 
tions qui  précèdent,  en  supposant  que  l'une  des  inconnues 
prend  une  valeur  précisée,  ou  encore  que  a  et  p,  par  exemple, 
sont  deux  fonctions  linéaires  d'une  variable  z  à  coefficients 
rationnels  et  connus.  On  pourrait  aussi  songer  à  des  consi- 
dérations d'hypergéométrie. 

Je  me  bornerai  à  signaler  que  le  système  des  deux  équa- 
tions de  Bhaskara  est  équivalent  au  système  suivant  : 

2(.r-  —  1)  =  u-  4-  V-  .         2r-  =  ir  —  c"  ; 

il  suffit  de  poser 

y  Y 

pour  réduire  toute  la  question  à  l'étude  arithmogéométrique 
d'une  surface  unicursale  du  quatrième  degré  d'équation 

\-  —  \-  z=  il-  +  ^_ 

en  coordonnées  cartésiennes  (X,  Y,  X).  En  posant  alors 

X  +  V  =  i^ii*  ,      X  _  Y  =  |ï  . 

A[l.  A 

il  vient  ainsi  : 

il*  +  14-  </' 


X  =■ 


4/.^   +    1   _  U.2    •  ^'  4À^   +   1   —  ;jL-' 


Telle  est  la  solution  générale  dépendant  de  deux  paramè- 
tres rationnels  arbitraires,  1  et  a,  des  deux  équations  de 
Bhaskara. 

55.  —  Les  équations,  analogues  aux  précédentes, 

y^  +  r-'  -t-  1  =  H-'  , 
X-  -(-  r-  —  1  =  v-  , 


*  Angeio  GiîNOcr.Hl,  Solution  de  la  question  206,  nouvelles  Annales  de  Mathématiques,  [2], 
t.  X,  1851,  p.  80-85. 


174  E.     TUIiRIERE 

se  traitent  de  la  même  manière.  Elles  sont  équivalentes  aux 

équations 

2  =  u-  ~  V-  , 

2(.r-+j-)  =  «-  +  i-  ; 

en  posant  donc 

1  -        1 

l'étude  de  ces  équations  est  ramenée  à  celle  d'une  surface 
unicursale  du  quatrième  degré  représentée  par  l'équation 
(en  coordonnées  cartésiennes  .r,  ?/,  >.)  : 

Cette  surface  peut  être  envisagée  comme  engendrée  par 

un  arithmocercle  passant  par  l'arithmopoint  (.r  =  X,  y  ^— j, 

de  sorte  que  les  expressions  rationnelles  des  coordonnées 
d'un  point  quelconque  de  la  surface  s'obtiennent  en  posant 

0 
tang  -  =  ^  et 

,r  :^  A  cos  8  +  —  SI  11  0   , 
y  =  À  sin  0  —  -—  cos  9   . 

La  solution  générale  du  système  des  deux  équations 

j  .r2  +  j2  _^  1  _  ,,2  _ 

i    .r2   +  ^.2  _    1   =   ,2    . 

est  ainsi 

t  _  1    —    <2 


1{1    —    <2|    _)_    _  2ll 


_  X  _  2X 

""  -      HfT^      •     ^'  -     r+1^     • 

56.  —  Le  système  formé  parles  deux  équations  simulta- 
nées, encore  analogues  aux  équations  de  Bhaskara  : 

■'•-  +  y'  -  1  =  «-  , 
X-  —  _)■-  4-  1  =  v'  ■ 


ARITHMOGÉOM  ÉTIilE  175 

peut  être  traité  par  un  procédé  semblable,  à  la  seule  difTé- 
rence  que  la  surface  uniciirsale  qui  se  présente  ici  est  du 
troisième  degré.   De  l'équation 

2.r-  =  ;/-  +  V- 

et  des  résultats  du  §  5,  il  résulte  qu'il  faut  poser  actuellement 

Il  =:  .r(cos  9  -f-  siu  6|    , 
i'z=:x(cos9  —  sin  0)    , 

tang  -^  ^  i  étant  un  nombre  rationnel  arbitraire.  En  portant 
ensuite  ces  expressions  de  u  et  de  v  dans  l'équation 

«2—  ^.2  —  2|j2—  1)    , 


il  vient 


4x- 


de  sorte  que  l'étude  des  équations  proposées  est  réductible 
à  celle  d'une  surface  cubique  unicursale  d'équation 

Z  (  1  —  Z^i  =  X2  _  Y2  . 

Les  expressions  générales  des  solutions  {x,  ?/),  en  fonction 
de  deux  paramètres,  obtenues  par  ce  procédé,  sont  les  sui- 
vantes : 

_         2À(1  +  /2)  _  2X2<(1  4-  /2)  +  1 

^  ~  2X2f  (1    -I-    /2)   —  1     •  ^'  ~   2X2((1    -f    <2)  _   1     • 

57.  —  Théorème    fondamental  sur   les  équations  slmul- 

TANÉES 

f{x,  y)  =  ir  ,  '^{x  ,  y)  =  v'-   . 

Les  équations  de  Bhaskara  et  autres  équations  analogues 
qui  viennent  d'être  résolues  dans  les  trois  paragraphes  pré- 
cédents appartiennent  à  la  classe  très  générale  d'équations 
du  type  (pU:,2j)  =  tt^  '^[•^•,y)  =  v^^  ou  9  et  t^  sont  deux  poly- 
nômes à  coefficients  rationnels  en  x  et  y,  et  qui  sont  douées 
d'une  solution  particulière  manifestement  connue  a  priori  : 
les  équations  de  Bhaskara  sont  ainsi  douées  de  la  solution 


176  E.    T  Lit  m  ERE 

(.r  =  1,  ?/  =:  0  ;  les  équations  du  §  56  sont  douées  de  la  solu- 
tion (j"  =  0,  ?/  =  1).  Quant  aux  équations  du  §  55,  il  est  facile 

d'obtenir  une  solution  telle  que  .r  =  ^  ,  ?/  =  1. 

Il  est  important  d'observer  que  le  problème  actuel  de  deux 
équations  à  quatre  indéterminées,  qui  semblerait  se  ratta- 
cher à  des  considérations  d'arithmogéométrie  pour  un  hyper- 
espace  à  quatre  dimensions  est  réductible  à  une  étude  arith- 
mogéométrique  d'une  surface  de  l'espace  ordinaire. 

D'une  manière  précise  et  en  se  bornant,  pour  fixer  les 
idées,  au  cas  de  deux  équations  quadratiques  simultanées, 
il  y  a  lieu  d'énoncer  le  théorème  fondamental  suivant  : 

Le  système  formé  par  deux  équations  simultanées  quadra- 
tiques à  quatre  inconnues 

^(x  ,  y)   =z  II-   ,  '^(.r,  y)   =:  v-   , 

n'admet  pas  de  solution  en  général.  La  connaissance  d'une 
solution  particulière  entraîne  la  réductihilité  de  la  question 
à  l'étude  arithmogéométrique  d'une  surface  cubique. 

Soit,  en  effet,  [jCq,  y^,  Uq,  ('(,)  la  solution  connue  a  priori. 
Je  pose  alors 

X  =  x^  -\-  %t  .       y  =  1 0  +  ? ^  ,        «  =  "„  +  T '  .        ^'  =  'o  +  ^ '  . 

a,  /3.  y.  0,  t  étant  cinq  indéterminées.  Chacune  des  équations 
quadratiques  données  admet  la  solution  /  =:  0  et  peut  être 
résolue  par  rapport  à  t,  de  sorte  que  l'on  obtient  ainsi  deux 
expressions  différentes  de  t 

(I>.  M", 

sous  formes  de  fractions  rationnelles  dont  les  numérateurs 
sont  des  formes  linéaires  en  {a.  /3.  y.  à)  tandis  que  les  déno- 
minateurs sont  des  formes  quadratiques  par  rapport  aux 
mêmes  variables.  Il  résulte  de  cette  remarque  que  toute  la 
question  est  réduite  à  l'étude  arithmogéométrique  de  la  sur- 
face du  troisième  degré  dont  l'équation  est 

<1>,  M\,  —  ^\  «l»,  =  0 

dans  le  système  de  coordonnées  homogènes  ,oijSyè  . 


./  R I  THM  O  G  É  O  MÉ  TU  lE  177 

La  réductibilité  à  rétude  arithmogéométrique  d'une  sur- 
face de  l'espace  ordinaire  n'est  évidemment  pas  particulière 
aux  systèmes  d'équations  quadratiques.  Lorsquen  effet  les 
équations  ©  =  ii^  et  t^  =  v-  à  étudier  sont  de  degrés  plus 
élevés,  la  méthode  précédente  conduit  à  deux  équations  algé- 
briques en  /;  l'élimination  de  t  permet  alors  de  se  ramener 
à  l'étude  d'une  relation  unique  entre  «.  (3.  y.  ;?.  homogène 
par  rapport  à  ces  mêmes  variables. 

La  réductibilité  à  l'étude  d'une  surface  cubique  de  l'es- 
pace ordinaire  du  système  des  deux  équations  quadratiques 
(p(.r,  y)  =  u^  et  ^[x,y]  =  v-  étant  acquise,  il  faut  maintenant 
observer  que  les  conclusions  du  §  36  peuvent  en  outre  être 
appliquées  à  la  nouvelle  équation  cubique.  La  sur/ace  cubi- 
que obtenue  est  précisément  douée  de  trois  arithmopoints  non- 
singuliers.  Ce  sont  les  arithmopoints  de  coordonnées  respec- 
tives 


a  =  0   , 

fi  =  0    . 

Y  =  0   , 

Ô     3é    0 

a  =  0    , 

>  =  "J    . 

Y  ^  0   , 

0    =    0 

a  =  0    , 

3  =  û   , 

"    =     "n      . 

0  =:  v 

c'est-à-dire  deux  des  sommets  du  tétraèdre  de  référence  et 
un  troisième  point  de  l'aréle  qui  les  joint.  La  connaissance 
d'un  seul  de  ces  arithmopoints  suffit  pour  assurer  et  diriger 
parle  procédé  du  §  36  la  représentation  rationnelle  de  la  sur- 
face cubique  au  moyen  de  deux  paramètres  indépendants. 

Dans  ces  conditions,  la  connaissance  d'une  solution  parti- 
culière du  système  d'équations  quadratiques  généralisées  de 
Bliaskara  entraine  la  résolubilité  du  système  ;  la  solution  dé- 
pend de  deux  paramètres.  Si  la  représentation  trouvée  de  la 
surface  cubique  est  propre,  cette  solution  est  la  solution  géné- 
rale. 

Arithmogéométrie  autour  des  cubiques  de  Lucas. 

58.  —  Pour  un  nombre  assez  considérable  d'équations 
indéterminées  ayant  été  l'objet  de  recherches  spéciales,  le 
groupement  .r-  -j-  y^  -f  z'  intervient  dans  la  structure  de  ces 
équations.    Il  semble   donc  qu'il  y  ait  intérêt  —  et  effective- 

L'Enseignemcnt  mathi-m..   19*  année:   1917.  I* 


178  E-     TUHRIERE 

ment  il  y  a  très  souvent  un  réel  intérêt  —  de  rattacher  une 
équation  de  celte  espèce  à  Tétude  d'une  arithmosphère. 

C'est  ainsi  que,  pour  une  courbe  sphérique,  tracée  sur  une 
sphère  de  rayon  pris  pour  unité,  les  coordonnées  d'un  point 
quelconque  et  leurs  dérivées  des  deux  premiers  ordres  par 
rapport  au  paramètre  qui  repère  le  point  courant  de  cette 
courbe  sphérique  sont  liées  par  une  identité  due  à  E.  Ca- 
talan : 

(x'2  +  /2  +  c'2)[(.rr"  —  r.r"|2  +  (  vc"  —  zy" f  +  \zx"  -  xz"s-\ 
—  (^V'  +  j'y  +  -■'="!-  +  {x\y'-J'—z'y"\  +  j(r.V-  .rV)  +  c.(.r'v"  -  vV'i]^  . 

Cette  identité  donne  une  infinité  de  solutions  de  l'équation 
indéterminée 

(P2   +    Q2   _|_    R2,(p'2    +    Q'2   4.    R'-2,    ^    ^^    +   V^    ; 

on  en  conclut,  par  exemple  \ 

^242  +  7-  +  152)  (30-  ^  362  _^  23-)  =  375-  +  1475-  . 

Mais  en  pareil  cas  il  convient  de  ne  pas  se  laisser  fasciner 
par  la  présence  du  groupement  j::^  +  ^^  +  -";  il  pewty  avoir 
au  contraire  avantage  à  chercher  des  solutions  arithmogéo- 
métriques  n'ayant  absolument  aucun  rapport  avec  Tarithmo- 
sphère. 

59.  —  L'kquation  .r^  +  if  -f  s^  =  .r'^  +  ?/'2  +  -'2.  Cette 
équation  quadratique  homogène  à  six  indéterminées  se  rat- 
tache manifestement  à  l'arithmosphère.  Si  l'on  se  donne,  en 
effet,  arbitrairement  les  trois  indéterminées  .r',  ?/',  r',  la  dé- 
termination de  .r,  ?/,  z  n'est  autre  que  la  recherche  d'un  arilh- 
mopoint  quelconque  sur  l'arithmosphère  de  centre  0  qui 
passe  par  l'arithmopoint  de  coordonnées  .r',  ?/',  r'.  L'équa- 
tion (considérée  peut  donc  être  résolue  par  une  des  méthodes 
indicjuées  au  §  8  (représentation  géographique,  ou  mieux  : 
projection  stéréographique). 

La  même  équation  peut  être  étudiée  arilhmogéométrique- 
ment  d'une  manière  toute  dillerente.  J'observerai  dans  ce 
but  que  cette  éqiiation   est  susceptible  d'une  interprétation 


'  Question  n»  1124  des  Nouvelles  Annales  de  Mathématiques. 


A  n  I  TIIM  O  G  E  O  MÉ  TH  I E  179 

géométrique  remarquable.  Etant  considéré  un  triangle  de 
référence  ABC,  si  Ton  prend  sur  les  côtés  des  points  A'  sur 
BC,  B'  sur  CA  et  C  sur  AB,  déterminant  sur  ces  mêmes  côtés 
six  segments 

BA'  =  .»•  ,         A'C  =  .»•'   , 

CB'  =  V  ,         B'A  =  r'  , 
AC  =  z    ,  C'B  z=  ;'    , 

la  condition  nécessaire  et  suiiisante  de  concours  des  perpen- 
diculaires aux  côtés  en  ces  points  A' B' C  est  précisément 
la  relation 

a,-2  +  V-'  +  -J  =  x'-'  +  v'^'  +  z'-  . 

Cette  remarque  élémentaire  faite,  je  supposerai  que  les 
sommes  r  +  x\  i/  ■{-  i/'  al  z  -\-  :■'  sont  imposées;  soient  : 

X  -f-  x'  =z  a    ,         .V  +  v'  =  />    ,  z  -\-  z'  =  c  . 

Je  suppose  en  outre  que  les  nombres  a,  b,  c  peuvent  être 
considérés  comme  étant  les  mesures  des  côlés  d'un  arithmo- 
triangle  héronien. 

La  solution  générale  de  Téquation  indéterminée  dépend 
alors  de  «,  b  e\.  c  et  de  deux  paramètres  arbitraires.  Pour 
avoif  celte  solution  générale,  il  suffira  de  se  donner  arbitrai- 
rement un  aiitlunopoint  du  plan  de  l'arithniotriangle  héro- 
nien et  de  le  projeter  sur  les  droites  arithniodirigées  qui  por- 
tent les  trois  côtés  de  ce  triangle  :  les  six  segments  déterminés 
par  ces  trois  projections  constituent  précisément  la  solution 
générale  désirée. 

60.  —  L'équation  .r'-  -{-  y-  -\-  z^  =  x"^  +  ?/'^  qui  de  son 
côté  a  fait  aussi  l'objet  d'assez  nombreuses  remarques*  se 
rattache  à  la  précédente  au  titre  de  cas  particulier.  Les  for- 
mules déduites  de  l'étude  arilhmogéométrique  d'une  arith- 
mosphère  de  centre  O  et  qui  passe  par  l'arithmopoint  des 
coordonnées  {x\  ij  et  0)  se  simplifient  du  fait  que  l'arithmo- 
point connu  a  priori  a  sa  cote  nulle. 


'  Cette  équation  indéterminée  x'  +  i,^  +  ;*  =  x'*  +  ly"  +  ~*  a  été  fréquemment  considérée 
(question  n»  3621  de  V  Intermédiaire  des  Mathématiciens).  Je  pense  toutefois  que  la  solution 
géométrique  ci-dessus  doit  être  nouvelle. 

'  Question  4383  de  l'Intermédiaire  des  Mathématiciens. 


180  E.     TURRIERi: 

Cette  équation  comme  la  précédente  est  susceptible  d'une 
solution  dépendant  de  la  considération  de  Tarithmotriangle 
héronien  général.  Ici  toutefois  la  solution  générale  dépend 
des  côtés  de  Tarithmotriangle  héronien  et  d'un  seul  para- 
mètre. Cette  solution  générale  s'obtient,  en  effet,  en  suppo- 
sant que  l'arithmopoint  que  Ton  projette  sur  les  côtés  du 
triangle  n'est  plus  arbitraire  dans  le  plan  mais  appartient  à 
une  autre  droite  arilhmodirigée  spéciale  du  plan  perpendi- 
culaire en  B  à  l'arithmodirigée  AB). 

61.  —  Le  problème  des  parallélépipèdes  rectangles 
ÉQUIVALENTS  ET  ISODIAGONAUX.  —  Le  problème  du  §  46  peut 
être  étudié  sous  un  nouveau  point  de  vue  et  rattaché  à  l'élude 
arithmogéométrique  de  l'une  ou  l'autre  de  deux  cubiques 
remarquables  du  plan  d'un  triangle.  Ces  cubiques  ayant  été 
l'objet  de  deux  questions  très  précises  posées  par  Ed.  Lucas, 
il  m'a  paru  justifié  de  proposer  de  leur  donner  le  nom  de 
l'illustre  géomètre,  puisqu'il  s'agit  ici  d'une  application 
arithmologique  que  Lucas  aurait  parfaitement  pu  suggérer, 
s'il  ne  l'a  pas  fait  d'ailleurs  dans  des  notes  aujourd'hui 
perdues. 

L'énoncé  du  problème  des  parallélépipèdes  rectangles 
équivalents  et  isodiagonaux,  au  sujet  desquels  toutes  mes 
recherches  bibliographiques  sont  restées  infructueuses,  est 
le  suivant  : 

Etudier  les  couples  de  parallélépipèdes  rectangles  à  arêtes 
rationnelles  dont  les  diagonales  sont  égales,  sans  être  néces- 
sairement rationnelles,  et  dont  les  volumes  sont  équivalents. 
Soient  (.r,  ?/,  z)  et  [x\  y\  z')  les  arêtes  respectives  des  deux 
parallélépipèdes  que  l'on  désire  associer  ainsi.  Les  équations 
du  problème  sont  alors  les  suivantes  : 

j   a-  +  r-  ^  z-  =  .r"  +  r'-  +  ='-   . 
(  .r.y.  z  =  x' ./ .z'  . 

La  question  se  traduisant  ainsi  par  deux  équations  homo- 
gènes respectivement  des  second  et  troisième  degrés  à  six 
inconnues,  il  convient  de  se  donner  arbitrairement  trois  con- 
ditions supplémentaires.  Pour  chaque  choix  de  ces  condi- 
tions supplémentaires,  on  aura  à  résoudre  un  problème  du 


ARITIIMOGi:OMETRIE  181 

genre  de  celui  traité  au   ,^  44,  où  j'avais  imposé  une  arête 
d'un  des  volumes  et  deux  de  l'autre. 

Le  problème  des  parallélépipèdes  équivalents  et  isodiago- 
naux se  rattache  à  des  considérations  particulièrement  élé- 
gantes d'arilhmogéométrie  lorsqu'on  impose  les  trois  sommes 
formées  avec  une  arête  de  cha(;un  des  deux  parallélépipèdes. 
Soient,  en  effet,  (i,  h.  c  les  sommes 

.*•  -|-  x'  =  a   ,  V  +  _v'  =  />   ,  z.  -]-  z'  z=i  c   . 

Pour  simplifier,  je  supposerai  que  ces  longueurs  «,  b,  c 
sont  les  côtés  d'un  triangle  ;  celte  hypothèse  nécessaire  pour 
pouvoir  introduire  des  considérations  d'arithmogéomélrie 
conduit  à  des  formules  qui  sont  plus  généralement  valables 
pour  («,  b,  C]  absolument  quelconques. 

Si  donc  ABC  est  un  triangle  de  côtés  (<7,  6,  c)  et  si 
(.r,  x\  y,  y\  z,  z)  sont  les  mesures  de  six  segments  consécu- 
tifs, dans  l'ordre  même  de  ces  lettres,  pris  sur  les  côtés 
BC,  CA,  AB  du  triangle,  les  équations  ci-dessus  écrites  expri- 
ment des  propriétés  géométriques  remarquables. 

La  relation  de  J.  Géva, 


exprime  le  concours  des  trois  droites  AA',  BB',  CC  Quant 
à  la  seconde  relation 

■      ■'•'  +  r-  -f  r.-  =  .r'-'  +  r'-'  +  ='2  , 

elle  exprime  que  les  perpendiculaires  en  A'B'C  aux  côtés 
BC,  CA,  AB  du  triangle  sont  trois  droites  concourantes  (§59). 

Dans  ces  conditions,  une  solution  particulière  apparaît 
manifestement;  elle  est  tellement  remarquable  qu'elle  mérite 
d'être  signalée  avant  de  pousser  plus  loin  l'étude  générale 
du  système  d'équations  ci-dessus.  En  se  bornant  au  cas  d'un 
triangle  acutangle,  les  parallélépipèdes  rectangles  admettant 
respectivement  pour  arêtes  les  segments  d'ordre  pair  et  d'ordre 
impair  déterminés  sur  les  côtés  d'un  triangle  quelconque  par 
les  Jiauteurs  du  triangle  sont  des  solutions  particulières  du 
problème. 

Si  «,  b,  c  désignent  les  mesures  rationnelles  des  côtés  du 


2a 

ir-  +  c^  - 

a- 

2  h 

c-  -\-  a-  — 

ir- 

a- 

—  h- 

+ 

c2 

2a 

/,-• 

—  c- 

+ 

a- 

21, 

c 

-   «2 

+ 

h^ 

182  li .     TURRIERE 

triangle  figuratif  ABC,  les  expressions  correspondantes  des 
arêtes  des  deux  parallélépipèdes  associés  sont  : 

«2    4.    /,2    _    c- 
X   = 


2e  2c 

C'est  ainsi  que  le  triangle  de  côtés  f4,  5,  6)  donne,  après 
multiplication  par  8,  les  deux  parallélépipèdes  rectangles 
d'arêtes  respectives 

.r   z=  2:   ,         r   =     4   .         c   =  30  , 
x'  =    h   ,         y'  =  36   ,         z'  =.  18   . 

62.  —  La.  première  cubique  d'Edouard  Lucas. —  C'est  aux 
cubiques  qui  font  l'objet  de  la  question  suivante  que  se  rat- 
tache l'étude  générale  du  problème  des  parallélépipèdes 
rectangles  équivalents  et  isodiagonaux.  «  On  joint  les  trois 
sommets  d'un  triangle  ABC  à  un  point  P  et  l'on  prend  les 
«  intersections  A'B'C  des  lignes  de  jonction  avec  les  côtés 
«  opposés.  Trouver  le  lieu  des  points  P  de  telle  sorte  que  les 
«  perpendiculaires  élevées  sur  les  côtés  aux  points  A'B'C 
«  se  rencontrent  en  un  même  point  Q.  Ce  lieu  est  une  cubi- 
«  que  dont  il  est  facile  de  déterminer  seize  points  et  trois 
«  tangentes.  Déterminer  les  asymptotes  et,  aussi,  trouver  le 
«   lieu  du  point  Q.'  0 

Soient  X,  Y,  Z  les  coordonnées  barycentriques  du  point 
courant  P  de  la  première  cubique  de  Lucas,  le  triangle  ABC 
étant  pris  pour  triangle  de  référence.  La  droite  AP  a  pour 
équation 


*  Ed.  Luc.v.s,  yotivelUs  Annales  de  Mathématiques,  2«  série,  t.  XV,  1876,  question  n«  1207, 
p.  240.   Solution  p.  550-5.).^  iDkwui.k). 

Enoncé  analogue  par  Ed.  Lucas,  Nouvelle  correspondance  mathématique,  t.  II,  1876,  ques- 
tion n»  8:t,  p.  94.  Solutions  :  1'-  partie,  1880,  p.  .56-6.1  et  2«  partie,  1878.  pp.  261-272  par 
H.  van  AUBKL. 

Cf.  aussi  un  article  de  H.  van  AunKL,  Nouvelle  correspondance  mathématique,  t.  V, 
1879,  p.  87,  Sur  un  lieu  géométrique  (trouver  le  lieu  des  points  (J  tels  que  les  perpendicu- 
laires QA',  QB',  QC  abaissées  sur  les  trois  côtés  d'un  triangle  ABC  déterminent  sur  ces 
côtés  des  segments  en  involution. 


ARl  THMOGÉOMÉTRI  E  183 

et,  par  suite,  les  segments  BA'  =  .i'  et  A'C  =:  ,r'  déterminés 

sur  le  côté  |  =:  0  sont  entre  eux  dans  le  rapport  —  =z  —  .  Les 

valeurs  des  six  segments  BA',  A'C,  CB',  B'A,  AC   et  C'B 
sont  donc 

Z  ,  Y 


Y  +  Z   •         •      -        Y  +  Z 

X  ,  Z 

=  b  •  r, TT  ,  r    ^  b .  - 


■  Z  +  X  '       •  ■  Z  +  X  • 

X 


-       X  +  Y   • 

la  relation  .r^  +  3/^  +  -^  -=  ■<^'''  +  y'^  +  -'^  donne  alors  l'équa- 
tion de  la  première  cubique  de  Lucas  en  ce  système  de  coor- 
données barycentriques  : 

,Y  —  Z       ,^z  —  X        ,X—  Y 

Celte  cubique  se  transforme  en  elle-même  dans  la  trans- 
formation quadratique  définie  par  les  formules 

XXj  =  YYj  =  ZZj 

et  qui  est  analogue  à  la  transformation  isogonale.  Cette  in- 
variance de  la  cubique  correspond  à  l'échange  entre  eux  des 
deux  parallélépipèdes  associés. 

En  revenant  au  problème  des  parallélépipèdes  rectangles 
équivalents  et  isodiagonaux,  il  résulte  des  considérations  qui 
précèdent  que  sa  solution  générale  s'exprime  par  les  for- 
mules suivantes  où  «,  b,  c  sont  des  paramétres  absolument 
quelconques  (qui  ne  sont  pas  de  toute  nécessité  les  mesures 
des  côtés  d'un  triangle  ABC): 


■  Y  +  Z  •  Y  _|_  z  ' 

X  ,  z 

—  Y  ,  _  X 


184  E.     TU  R  RI  ÈRE 

X,  Y,  Z  sont  les  coordonnées  homogènes  d\in  arithmopoint 
quelconque  de  la  cubique  d'équation  homogène 

passant  par  les  sommets  du  triangle  de  référence  (qui  n'est 
plus  nécessairement  le  triangle  A,  B,  G). 

Il  est  essentiel  de  remarquer  que  la  première  cubique 
d'Edouard  Lucas  permet  de  résoudre  le  problème  des  paral- 
lélépipèdes lorsque  «,  b,  c  sont  les  mesures  des  côtés  d'un 
triangle  et  que,  si  cette  dernière  condition  n'est  pas  satis- 
faite, les  formules  obtenues  gardent  un  sens  et,  par  conti- 
nuité, donnent  la  solution  générale  du  même  problème. 

La  première  cubique  de  Lucas  [ou  sa  généralisation  pour 
le  cas  de  «,  b,  c  quelconques]  est  douée  d'un  certain  nombre 
de  points  remarquables:  les  sommets  ABC  du  triangle  de 
référence,  le  centre  de  gravité,  Torthocentre,  les  sommets 
A,  B,  G,  du   triangle   formé   par  les  parallèles  aux  cotés  de 

ABG,  etc D'où   a  priori  un    certain  nombre  d'arithmo- 

points  très  simples 

X=o,  Y=0,  Z—\, 

X  =  0  ,  Y  =  1   ,  z  =  0  , 

X  =  l,  Y  =  0,  Z=:0, 

X  =  1   ,  Y  =  1   ,  Z  =  1   , 

X  =  1   .  Y  =  1   ,  Z  =  —  I    , 

X  =  1   ,  Y  =r  —  1   ,  Z  =  1   , 

X^—  1.  Y  =  l,  Z  =  l, 

X  —  l>^  +  c-  —  a-   ,  Y  =  c-  +  fi-  —  Ir   ,  Z  =  a-  +  //-  —  c-   ; 

Ge  dernier  arithmopoint  correspond,  par  exemple,  au  point 
transformé  de  l'orthocentre  dans  la  transformation  quadra- 
tique signalée  précédemment. 
î>s»ri  63.  —  La  seconde  cubique  de  Lucas.  —  Soient  maintenant 

X,  Y,  Z  les  coordonnées  trilinéaires  du  point  Q.  Le  théorème 
des  projections  donne   immédiatement  les  expressions   des 


ARITIIMOG  EOM  ETRIE  185 

segments  BA',  A'C...  déterminés   sur  les  cotés  du  triangle 
ABC  par  les  projections  de  Q  : 


z 

-1-  X  cos  B 

sin  B 

X 

+   YcosC 

^  "~ 

sin  C 

Y 

-(-   Z  cos  A 

Y 

+  X  cos  C 

sin  C 

Z 

+   Y  cos  A 

sin  A 

X 

-)-  Z  cos  B 

sin  A  sin  B 

Téquation  de  la  seconde  cubique  de  Lucas  résulte  du  théo- 
rème de  J.  Céva  : 

(Y  4-  Z  cos  AjlZ  +  X  cos  BllX  +  Y  cos  C)  =  [Z  +  Y  cos  AmX  +  Z  cos  B) 

I Y  -|-  X  cos  Cl. 

Cette  cubique  est  invariante  dans  la  transformation  isogo- 
nale.  Elle  passe  par  les  sommets  A,  B,  G  du  triangle  ABC, 
par  Torthocentre,  par  le  centre  du  cercle  circonscrit  qui  est 
d'ailleurs  le  centre  de  cette  cubique,  par  les  centres  des 
quatre  cercles  tritangents  aux  côtés  du  triangle,  par  les 
points  à  rinfini  des  trois  médiatrices  qui  sont  asymptotes  de 
la  cubique 

Revenons  au  problème  des  parallélépipèdes.  11  résulte 
des  considérations  qui  précèdent  que  Ton  doit  poser 

2acZ  +  [a-  +  c-  —  h^\X  ,        2a/>Y  +  (a-  +  b-  —  c^lX 


~  4S  4S 

S  représentant  la  surface  du  triangle  ABC;  récjuation  de  la 
seconde  cubique  de  Lucas  est  alors: 


n 


2rtcZ  +  {a-  +  c-  —  ir-\\  _ 


Il  est  absolument  indispensable  de  supposer  actuellement 
que  a.  6,  c  sont  les  mesures  d'un  véritable  triangle  et  en 
outre  que  ce  triangle  est  un  arithmotriangle  héronien.  A  la 
différence  des  considérations  du  paragraphe  précédent  relatif 
à  la  première  cubique  de  Lucas,  où  aucune  hypothèse  res- 
trictive n'était  nécessaire  sur  la  nature  de  a,  b,  c\  ce  n'est 
actuellement  que   moyennant  cette  double  condition  que  le 


186  E.     TUHRIÈRE 

problème  des  parallélépipèdes  restangles  équivalents  et  iso- 
diagonaux étudié  sera  susceptible  d'être  rattaché  à  l'étude 
des  arithmopoinls  de  la  seconde  cubique  de  Lucas. 

64.  —  Autre  définition  de  la  seconde  cubique  de  Lucas. — 
Je  crois  devoir  indiquer  ici  une  propriété  importante^  qui 
peut  servir  à  définir  la  seconde  cubique  de  Lucas. 

La  seconde  cubique  d'E.  Lucas  est  Le  lieu  des  points  Q 
du  plan  d'un  triangle  ABC  tels  que  Les  droites  QA,  QB  et  QG 
soient  normales  en  A,  ^  et  C  à  une  même  conique. 

Si  l'on  représente,  en  effet,  en  coordonnées  trilinéaires 
par  rapport  au  triangle  de  référence  ABC,  une  droite  issue 
du  sommet  A  par  l'équation 

Y  =  mZ  , 

l'involution  des  droites  orthogonales  autour  du  point  A,  qui 
comprend  comme  couples  de  droites  associées  d'une  part  les 
deux    bissectrices    {m  =   1,   m'  =■-  —  1)    et    d'autre  part    la 

hauteur  AH  (m  = -\  et   le  parallèle  au    côté   opposé    BG 

(  m'  =  —  -^—3 )  1  6st  définie  par  Téquation 

mm'  -}-  l  -\-  {m  -\-  m')  cos  A  =:  0    . 

Si  donc  {x,  3/,  z)  sont  les  coordonnées  trilinéaires  du  point 
Q  du  lieu  étudié,  les  perpendiculaires  en  A,  B  et  G  aux 
droites  QA,  QB,  QG  ont  pour  équations  respectives 

Y  =  aZ    ,  z  =:[iX   ,  X  =  yY    , 

avec 

c  -|-  .1'  cos  A  X  -\-  z  cos  B  y  -\-  r  cos  C 

y  -\-  z  cos  A  '  '  z  -{-  .r  cos  B    '  '  •»'  +  y  cos  C 

Il  résulte,  d'autre  part,  de  l'équation  générale  d'une  coni- 
que circonscrite  à  ABG, 

^  +  '-5  +  '^^  =  o, 

.»■  V  : 

que  les  coefficients  jouant  le  rôle  de  coefficients  angulaires 


*  A  porter  au  compte  d'un  auteur  dont  je  ne  puis  préciser  le  nom,  n'ayant  pu  retrouver 
la  référence  utile. 


ARITHMOGÉOM  ÉTRIE  187 

des  tangentes  aux  sommets  A,  B,  G  du  triangle  de  référence 
sont 

*  ~      ë  '       '  "■      cX  '        '  "      6h  ' 

La  condition  nécessaire  et  suflisante  pour  que  QA,  QB,  QC 
soient  normales  à  une  même  conique  en  A,  B  et  G  est  donc 

elle  se  traduit,  par  conséquent,  par  l'équation 

[z  -\-  V  COS  A)  IX  +   3  cos  Bllv  -|-  X  cos  C) 

=  (  r  +  z  cos  A)  [z  +  ->■  cos  B)  [x  -\-  y  cos  C) 

représentative  de  la  seconde  cubique  d'E.  Lucas. 

Les  arithmotriangles  téléraétriques. 

65.  — Le  problème  télémétrique  conduit  à  la  considération 
de  triangles  obtusangles  particuliers  ABG  qui  sont  définis 
par  la  relation  ^ 

sin  2C  +  2  sin  2B  =:  0    ,  ( ^  >  f 

J'appellerai  triangles  télémélriques    les    triangles  de   cette 
nature.  Par  exemple,  les  triangles  d'angles 

A  =  30°  ,         B  =  105^   ,         C  =  45° 

qui  peuvent  être  facilement  construits  à  partir  des  triangles 
équilatéraux  sont  des  triangles  télémétriques  particuliers. 
Soient  maintenant  A'  B'  G'  les  pieds  des  hauteurs  d'un 
triangle  télémétrique.  Le  triangle  pédal  A'  B'  G'  de  ABG  a 
pour  angles 

A'  =  2A   ,  B'  =  2B  —  r:   .         C  =  2C  . 

Il  en  résulte  que  la  relation  de  définition  d'un  triangle  télé- 
métrique quelconque  se  traduit  par  une  condition  très  sim- 


'  J.-E.  EsTiENNB.  Note  sur  les  télémètres,  Revue  d'artillerie,  novembre  1904. 
Jules  Raibaud,   Instruments  d'optique,  d'observation  et  de  mesure.  Encyclopédie  scienti- 
fique, Paris,  1910,  p.  321-322. 


188  E.    rURRIERE 

pie  :  L'un  des  côtés  du  triangle  pédal  d'un  triangle  télémé- 
trique est  double  d'un  autre  côté  : 

A'B'  =  2A'C'   . 

Cette  relation  très  simple  permet  de  résoudre  graphique- 
ment le  problème  télémétrique. 

66.  —  Les  arithmothiangles  télpîmétriques  hérgniens.  — 
Le  problème  qui  consiste  à  rechercher  les  arithmotriangles 
télémétriques,  c'est-à-dire  ceux  de  ces  triangles  télémétri- 
ques qui  sont  à  côtés  rationnels  se  rattache  à  l'étude  arithmo- 
géométrique  d'une  quartique  plane.  La  relation  entre  les 
côtés  «,  b,  c  d'un  triangle  télémétrique  général  se  déduit 
immédiatement  de  la  condition 

sin  2C  +  2sin  2B  =  0   ; 

c'est  la  relation  homogène 

[h-  —  C-)  (c-  —  2//^)  +  {c-  +  2h-ja-  =  0   . 

En  posant  donc 


on  réduit  ainsi  l'étude  des  arithmotriangles  télémétriques  à 
celle  des  arithmopoints  de  la  quartique  plane  représentée 
par  l'équation 

(x-  —  r-][.x-  —  2v-|  =  .r-  +  2_v-  . 

L'étude  arithmogéométrique  de  cette  quartique  plane 
échappe  aux  procédés  qui  ont  été  développés  dans  les  pages 
précédentes.  Mais  il  est  toutefois  possible  à  l'occasion  du 
problème  de  la  détermination  de  ceux  de  ces  arithmotriangles 
télémétriques  qui  sont  aussi  héroniens,  d'établir  la  proposi- 
tion négative  suivante. 

Le  triangle  pédal  de  tout  arithmotriangle  héronien  est 
lui-même  un  arithmotriangle  héronien.  De  sorte  que  Varith- 
motriangle  télémétrique  héronien  le  plus  général  a  pour 
sommets  le  centre  du  cercle  inscrit  1  et  deux  des  centres  \^et\^ 


ARITII MOGEOMETRIE  189 

des  cercles  e.vinscrits  à  l'arithmotriangle  liéronien  A'B'C  le 
plus  général  dont  deux  côtés  soient  entre  eux  dans  le  rapport  .^  : 

A'B'  =  2A'C'   . 

Reste  à  déterminer  ceux-ci. 

67.  —  Il  s'agit  donc  de  déterminer  l'arithmotriangle  héro- 
nien  le  plus  général  A'B'C  tel  que  A'B'  =  2  A'C.  De  tels 
triangles  se  rencontrent  à  propos  de  l'équilibre  sur  un  plan 
incliné  d'un  cercle  vertical,  dont  le  centre  de  gravité  est  au 
milieu  d'un  rayon  ^ 

En  application  de  la  règle  du  paragraphe  10,  pour  repré- 
senter un  triangle  héronien  quelconque  A'B'C,  je  dois  poser 

A'   _   1   —  r-  Ë-'   —     •  cr^' 

y  ei  z  étant   deux  nombres  rationnels  assujettis  à  certaines 
inégalités.  La  condition 

A'B'  =  2A'C' 
se  traduit  ici  par 

siu  C  =  2sin  B'    , 

c'est-à-dire  encore  par  l'équation 


=  2 


\  +  -J        1  +  j2 

Par  conséquent  l'étude  des  arithmotriangles  télémétriques 
héroniens  (ou   encore  celle  des   arithmotriangles  héroniens 

dont  deux  côtés  sont  dans  le  rapport;^]  est   équivalente  à 

l'élude  arithnio géométrique  d'une  cubique  plane  douée  de 
quatre  arilhmopoints  (l'origine  et  les  arithmopoints  à  l'infini) 
mais  ne  possédant  pas  d'autre  arithmopoint. 

Cette    propriété   négative  résulte  de  ce  que  l'équation  du 


'  c.  f.  H.  Brocard,  Journal  de  .Spéciales,  1885,  pp.  108-109.  L'équation  d'équilibre 
sin  (9  +,  wl  :=  2sin  w,  où  w  est  l'angle  que  fait  le  plan  incliné  avec  l'horizon,  a  été  rencon- 
trée par  le  mcnic  géomètre  dans  des  rechorches  bien  dllFérentes  concernant  une  question  de 
géométrie  du  triangle  et  un  certain  groupe  de  trois  paraboles.  Journal  de  Spéciales.  188.T, 
pp.  77-80,  et  Mémoires  de  l'Académie  des  Sciences  et  Lettres  de  Montpellier,  Propriétés  d'un 
groupe  de  trois  paraboles,  t.  .XL,  I88.i-I886,  p.  51-58. 


190  E.     TUURIEHE 

second  degré  en  y  ne  peut  admettre  de  racine   rationnelle 
que  si  la  quantité 


est  un  carré  parfait.  On  est  ainsi  conduit  à  une  équation 

-j  -\-  -j  ^\  =  e 

qui  admet  la  seule  solution  banale  :;  :;=  0  et  dont  l'impossi- 
bilité a  été  établie  en  1777  par  Eller  ^  Il  n'existe  donc  pas 
d'arilhmotriangle  télémétrique  qui  soit  aussi  un  arithmo- 
tria ngle  hé/  o n  ie n . 

68.  —  D'une  manière  générale,  il  convient  d'observer  que 
le  problème  qui  consiste  à  déterminer  l'arithmotriangle 
héronien  le  plus  général  dont  le  rapport  de  deux  côtés  est 
imposé  a  priori  se  traduit  par  Téquation  d'une  cubique  plane 


Considérée  comme  une  équation  du  second  degré  en  z  elle 
entraîne  la  condition 

-J  _|_  2(1  —  2F)  ;2  +  1  =  /2  . 

Le    problème   considéré    est   donc    réductible    à    l'équation 
étudiée  par  Euler  dans  les  mémoires  cités  plus  haut. 
On  peut  encore  poser 

z       _         .r       _  J_ 

1  +  -J  ~  "  1  +  f  ~  2X  • 

la  question  est  alors  réduite  à   l'étude   d'une  biquadratique 
gauche  représentée  par  le  système  d'équations  : 

obtenues  en  écrivant  (jue   les  deux  équations  quadratiques 
en  z  et  en  y 

C-'  _  2À:  +1  =  0. 
y-  —  2/.HV  +1=0, 

ont  des  racines  rationnelles. 


*  L.  EuLEHi  Commentatinnes  arithmeticT,  édition  de  1849,  t.  2.  De  casibits.  guibiis  hanc 
fonnulain  \*  +  kx*.v'  +  y*  ad  quadratum  reditcere  licet  [avril  1777  et  mai  1782]  (pp.  183-189 
et  pp.  492-500). 

A.  GiîNOCCiii,  Sur  l'impossibilité  de  quelques  équations  doubles,  C.  R.,  1874,  t.  78,  pp.  433-435. 


.4  h'IT  H  M  0  G  E  O  M  ÈTIUE  191 

69.  —  Ici  s'arrête  l'article  que  je  m'étais  initialement  pro- 
posé d'écrire  sur  les  notions  d'arithmogéoinétrie,  la  suite 
devant  être  consacrée  à  des  compléments  et  à  des  considé- 
rations d'un  tout  autre  ordre.  Le  but  poursuivi  était  d'in- 
sister sur  l'intérêt  considérable  qu'offrent  les  remarques 
géométriques  dans  toutes  ces  questions  d'arithmologie.  L'ab- 
sence de  remar({ues  de  cette  nature  dans  presque  toutes  les 
études  faites  sur  des  problèmes  spéciaux  de  la  théorie  des 
nombres  est  une  lacune  que  j'ai  souvent  jugée  regrettable. 
C'est  pourquoi  je  me  suis  décidé  à  entreprendre  cet  examen, 
certainement  très  incomplet  encore,  de  toute  une  série  de 
questions  arithmétiques  susceptibles  d'êti'e  interprétées  géo- 
métriquement d'une  manière  intéressante. 

Je  me  suis  principalement  efforcé  de  rester  dans  le  domaine 
le  plus  élémentaire.  C'est  ainsi  que  j'ai  systématiquement 
écarté  les  fonctions  elliptiques,  qui  ne  figurent  point  dans 
nos  programmes  d'enseignement  secondaire.  Le  lecteur  dé- 
sireux d'aller  plus  loin  pourra  d'ailleurs  introduire  la  notion 
de  fonctions  elliptiques  à  l'occasion  des  propriétés  arithmo- 
géométriqiies  des  cubiques  et  des  biquadratiques  gauches, 
en  suivant  la  voie  tracée  par  J.  Bertrand  ^  par  H.  Léauté-, 
par  M.  PicQLET^  et  par  H.  Poincaré*. 

La  plus  grande  partie  du  présent  travail  a  été  effectuée 
dans  des  conditions  matérielles  désastreuses,  loin  notam- 
ment de  toute  bibliothèque.  Je  n'aurais  certainement  pas  eu 
la  possibilité  de  le  mener  à  bonne  fin  sans  le  concours  pré- 
cieux de  MM.  H.  Brocard  et  A.  Alrry,  que  j'ai  souvent  et 
toujours  très  utilement  consultés. 

Je  me  permets  donc,  dès  maintenant,  de  leur  adresser  ici 
mes  plus  vifs  remerciements. 

{A  suivre.) 


>  J.  Bkkthanu.  Traité  de  Calcul  diflérentiel  et  intégral,  t.  II.  p.  583. 
H.  Lkauté.  Etude  géométrique  sur  les  fonctions  elliptiques  de  première  espèce,  yournaf 
de  l'Ecole  polytechnique,    46"  cahier,   1873  it.  XXVIII,  p.   67-99. 

'  PiCQL'KT,  Application  de  la  représentation  des  courbes  du  3»  degré  à  raidc  des  fonctions 
elliptiques.  Journal  de  l'Ecole  polytechnique,  ô'i*  année,   1884. 

H.  PoiNCARÉ,  Sur  les  propriétés  arithmétiques  des  courbes  algébriques.  Journal  de  ma- 
thématiques pures  et  appliquées  de  Liouville,  5*  série,  t.  Vll,  1901,  pp.  161-233. 


MELANGES    ET    CORRESPONDANCE 


Récréation  mathématique. 
Le  jeu  de  la  Ziggiirat. 

PAR 

Pierre  Bovet  (Genève)  et  L.-G.  Du  I^asquier   Xeiichâtel, 


I.  —  La  plupart  des  recueils  de  récréations  mathématiques* 
mentionnent  sous  des  noms  divers  :  La  tour  de  Hanoï,  l'anneau 
du  brahmine,  etc.,  un  jeu  et  un  problème  dûs,  sauf  erreur,  à  I^ucas. 
Un  certain  nombre  de  disques,  7  ou  8,  de  s^randeurs  différentes 
sont  enfilés  dans  une  aiguille  verticale.  Le  plus  large  est  à  la  base, 
puis  les  diamètres  des  disques  vont  en  décroissant  jusqu'au  plus 
petit,  de  telle  sorte  que  l'ensemble  a  l'aspect  d'un  cône  en  étages 
et  le  profil  d'une  ziggiirat  assyrienne.  Deux  autres  aiguilles  verti- 
cales, vierges  de  tout  disque,  sont  fichées  dans  la  même  plan- 
chette. Il  s'agit  de  reconstruire  la  tour  sur  l'une  d'elles  en  dépla- 
çant un  seul  disque  à  la  fois  et  sans  jamais  poser  un  disque  sur 
un  autre  plus  étroit.  On  demande  quel  est  le  nombre  minimum 
de  déplacements  nécessaires  pour  un  nombre  n  de  disques. 

Ce  nombre  est  égal  à  2'*  —  1. 

En  effet,  quel  que  soit  le  nombre  des  disques,  on  ne  pourra 
ôterdela  première  aiguille  le  disque  de  base  qu'au  moment  où 
lune  des  deux  autres  aiguilles  appelons-la  la  seconde)  sera  entiè- 
rement libre,  et  où,  par  conséquent,  tous  les  disques  sauf  le  der- 
nier seront  enfilés  régulièrement  sur  la  troisième  aiguille. 

Puis  une  fois  le  disque  de  base  déplacé  de  la  première  à  la 
deuxième  aiguille,  il  faudra  rebâtir  sur  lui  la  pyramide  telle 
qu'elle  a  été  édifiée  sur  la  troisième  aiguille. 

Le  minimum  des  déplacements  nécessaires  pour  u  disques  est 
ainsi  représenté  par  une  somme  (appelons-la  S/ qui  se  décom- 
pose comme  suit  : 

S„  -  S„_,  +  1  +  S„_,  =  2S„_,  +  I. 


'  Par  ex.,  Lucas.  Récréations  mathématiques,  189S,  1.  III,  p.  .'•Ô-57.  —  G.tstOD  Tissandier. 
Kécréatioiis  scientifiques,  p.  22:t.  —  \\'.  Ahukns.  Matheinatische  SpieU. 


MÉLANGES    ET    CORRESPONDANCE  193 

On  vérifie  aisément  que  la  loi  est  générale  par  le  passage  de 
n  k  n  -\-  i. 

Partons  maintenant  de  n  =  2,  nous  aurons 

S,  =  2  S.  +  1. 

Mais  déplacer  une  pyramide  dun  seul  disque,  c'est  évidemment 
l'affaire  d'un  seul  coup  :  S,  =  1  ;  donc 

S^=  2  +  1  =    3  =  2-  —  1 

S3  =  (2  X  3)  +  1  —     7  =  2  ( 2-'  _  1 ,  +  1  =  2-''  —  1 

S,  =  (2  X  'I  +  I  =  15  =  2  (2''  _  1)  4-  1  =  2^  —  1,  etc. 

et  d'une  manière  générale 

S„  =  2"  _  1. 

Le  problème  de  Lucas  amuse  les  écoliers.  Comme  celui  des 
grains  de  blé  sur  les  cases  de  l'échiquier,  il  les  familiarise  avec 
les  valeurs  numériques  des  puissances  successives  de  2.  Ils  décou- 
vrent avec  joie  que  pour  transporter  une  tour  de  30  disques,  il  faut 
à  raison  dun  coup  par  minute  plus  de  2500  ans. 

Cas  de  quatre  aiguilles.  —  Après  avoir  trouvé  avec  mes  petits 
mathématiciens,  des  garçons  de  11  à  13  ans,  la  solution  du  pro- 
blème de  Lucas,  nous  nous  en  sommes  posé  un  second  que  je 
crois  nouveau  :  «  En  combien  de  coups  reconstruirait-on  la  tour, 
suivant  les  mêmes  règles,  si  la  planchette  portait  non  plus 
3  aiguilles,  mais  4  ?  » 

Ce  nouveau  problème  offre  des  analogies  évidentes  avec  le  pre- 
mier. Le  nombre  total  des  coups  (appelons-le  T  cette  fois)  s'ob- 
tient, comme  c'était  le  cas  pour  S  dans  le  problème  précédent,  par 
trois  opérations  : 

1**  L'enlèvement  des  n  —  1  disques  supérieurs  et  leur  empile- 
ment provisoire  de  façon  à  laisser  entièrement  libre  une  aiguille 
pour  y  transporter  le  disque  de  base  ;  —  cette  opération  représente 
V  coups. 

2°  Le  transfert  du  disque  de  base  de  laiguille  de  départ  à 
l'aiguille  d'arrivée  =  1  coup. 

3''  La  reconstruction  définitive  de  la  pyramide  sur  le  disque  de 
base  à  l'aiguille  d'arrivée,  par  le  transfert  de  «  —  1  disques.  Cette 
opération  qui  est  l'inverse  de  la  première  nécessite  le  même  nom- 
bre de  coups,  soit  v  coups. 

Quel  que  soit  le  nombre  des  disques,  T  est  toujours  un  nombre 
impair;  car  la  solution  du  problème  est  représentée  parla  for- 
mule r  =  2  ^^  -f-  1. 

La  différence  entre  les  deux  problèmes  consiste  en  ceci  :  La 

L'Enseignement  tnathém.,  19°  année,    1917.  13 


194       MELANGES   ET    CORRESPONDANCE 

première  opération  partielle,  celle  qui  doit  dégager  le  disque  de 
base  et  qui  consiste  en  un  empilement  provisoire  de  aï  —  1  disques, 
se  fait  non  plus  en  itne  pyramide  sur  une  seule  aiguille,  mais  sur 
deux  aiguilles  en  deux  pyramides  A  et  B,  composées  l'une  (K), 
celle  qui  se  construit  d'abord,  des  a  disques  les  plus  petits,  l'autre 
(B)  des  b  disques  les  plus  grands  \a  -\-  b  =z  n  —  1]. 

Ces  deux  tas  A,  B  ont  été  construits  dans  des  conditions  très 
différentes.  On  a  d'abord  bâti  A,  celui  des  petits  disques,  en  dis- 
posant librement  des  deux  aiguilles  auxiliaires  que  comporte 
notre  jeu  de  4  aiguilles.  Puis  on  a  commencé  de  bâtir  B,le  tas  des 
disques  les  plus  grands,  mais  on  n'avait  plus  en  ce  moment  à  sa 
disposition  qnune  seule  aiguille  auxiliaire  comme  dans  le  pro- 
blème de  Lucas,  l'autre  étant  immobilisée  par  la  pyramide  A. 

La  troisième  opération,  reconstruction  de  la  pyramide  finale, 
s'effectue  dans  des  conditions  identiques  à  la  première.  Il  s'agit 
en  effet  de  transporter  une  seconde  fois  la  pyramide  B  sur  le 
disque  de  base  déplacé)  avec  l'aide  d'une  seule  aiguille  auxiliaire 
(la  pyramide  A  immobilisant  la  seconde),  puis  la  pyramide  A  (sur 
le  sommet  de  B)  avec  l'aide  des  deux  aiguilles. 

Le  problème  final  se  ramène  donc  à  celui-ci  :  «  Quelle  est  au 
moment  où  l'on  va  déplacer  le  disque  de  base,  la  répartition  la 
plus  avantageuse  des  a  —  1  autres  disques  entre  les  deux  pyra- 
mides A  et  B  ?  » 

On  sera  tenté  de  déclarer  qu'il  faut  faire  la  pyramide  A  aussi 
haute  que  possible,  pour  disposer  aussi  longtemps  que  possible 
des  deux  aiguilles,  mais  un  examen  plus  attentif  montre  que  le 
problème  est  plus  complexe. 

(Continuons  d'appeler  S^^  le  nombre  de  coups  nécessaires  pour 
transporter  n  disques  dans  le  jeu  des  3  aiguilles  et  T„  le  nombre 
de  coups  nécessaires  pour  résoudre  le  même  problème  dans  le  jeu 
des  4  aiguilles).  Pour  /i  =  1  et  n  =  2.  S  est  égal  à  T,  car  le  trans- 
port s'effectue  de  la  première  à  la  troisième  aiguille,  sans  que  la 
quatrième  soit  mise  à  contribution.  Mais  pour  n  =  .3,  il  n'en  est 
plus  de  même  :  au  moment  de  déplacer  le  disque  de  base,  les  deux 
aiguilles  auxiliaires  portent  chacune  une  pyramide  réduite  de 
part  et  d'autre  à  un  seul  disque.  Il  a  fallu  2  fois  1  coup  pour  les 
constituer,  il  en  faudra  autant  pour  les  transporter.  Donc,  si 
T    =  2  ('  +  L  on  aura  pour  <>  =  2 

T,  =  (2  X  2)  +  1  =r  5, 

alors  que,  comme  nous  savons,  S^  ^  2^  —  1  =  7.  Cette  première 
divergence  entre  T  et  S  détermine  toutes  les  autres.  Pour  n  =  4, 
nous  aurons,  au  moment  de  transporter  le  disque  de  base,  n  —  1 
soit  trois  disques  répartis  en  deux  pyramides,  soit  nécessairement 
deux  d'un  côté  et  un  de  l'autre.  Les  deux  répartitions  possibles  : 


MÉLANGES    ET    CORRESPONDANCE  195 

2  sur  A  et  1  sur  B,  ou  2  sur  B  et  1  sur  A,  se  valent,  car  d'une  part 

2  sur  A  représente  Sg  ^  3  coups, 
1  sur  B  ))  Tj  ■=  1  coup, 

d'où  pour  p  =  ^1,  T^  ^  9  et  d'autre  part 

1  sur  A  donne  Sj  rr:  1  coup, 

2  sur  B       »       T„  =  3  coups, 

soit  encore  v  =  4,  T^  =  9. 

Pour  n  =  5,  nous  pourrons  avoir  3  empilements  : 

1.  1  sur  A  et  3  sur  B,  représentant  S,  =^=1,  Tg  ^  5,  w  =  6, 
T,  =  13. 

2.  3  sur  A  et  1  sur  B,  représentant  S3  =  7,  T^  ^=  1,  ^^  =  8, 
T.  =  17. 

3.  2  sur  A  et  2  sur  B,  représentant  S.,  =:  3,  ^„=^3,  (^  :=  6, 
T.  =:  13.  Si  nous  entendons  par  Tj,  comme  il  était  convenu,  le 
minimum  des  coups  nécessaires  pour  résoudre  le  problème, 
T.  =  13. 

Nous  ne  continuerons  pas  l'examen  détaillé  des  diverses  solu- 
tions possibles  pour  les  valeurs  successives  de  n.  Ce  que  nous 
avons  trouvé  suffit  à  nous  orienter  sur  la  façon  de  trouver  toute  la 
suite  des  valeurs  de  T. 

Nous  avons  déjà  dit  ce  que  nous  entendons  par  n,  par  S,^  et  par 
T^j.  Considérons  leurs  valeurs  successives  dans  ce  tableau  : 

-,) 


n 

s„ 

'S,-S„_,) 

'i;. 

IT-T,, 

1 

1 

1 

1 

1 

2 

3 

2 

3 

2 

3 

7 

4 

5 

2 

4 

15 

8 

9 

4 

5 

31 

16 

13 

4 

6 

63 

32 

17 

4 

7 

127 

64 

25 

8 

8 

255 

128 

33 

8 

9 

511 

256 

41 

8 

10 

1023 

512 

49 

8 

11 

2047 

1024 

65 

16 

12 

4095 

2048 

81 

16 

13 

8191 

4096 

97 

16 

14 

16383 

8192 

113 

16 

15 

33767 

16384 

129 

16 

16 

67535 

33768 

161 

32 

196  MÉLANGES    ET    CORRESPONDANCE 

Dans  la  répartition  des  n  —  1  disques  entre  les  pyramides  A  et 
B,  on  n'accorde  pas  une  préférence  exclusive  à  A,  pour  deux  rai- 
sons: 1'^  parce  que  pour  les  pyramides  de  1  et  2  disques,  il  n'y  a 
pas  de  différence  entre  S  et  T  .  Il  n'y  aura  ainsi  jamais  aucun 
inconvénient  à  ce  que  B  compte  2  disques.  C'est  ce  que  nous 
venons  de  voir  pour/i  =  3,  n  :=4,  «  :=  5  (cas  3).  1°  Avec  l'accrois- 
sement du  nombre  des  disques  en  A  arrive  un  moment  où  l'ad- 
jonction d'un  disque  à  la  pyramide  A  représente  une  plus  grande 
différence  que  l'adjonction  d'un  troisième  disque  à  l'autre  pyra- 
mide B. 

C'est  ce  qui  arrive  déjà  pour  /j  =  10.  En  effet  :  7  disques  en  B  et 

2  en  A  représentent  un  plus  grand  nombre  de  coups  que  0  en  B  et 

3  en  A. 

T-  =  25,  S,  =  3,  V  =z  28,  Tj„  =  57. 

'i;=  17,  S,  =  :,.  =  24,  T,,  =  49. 

Ceci  nous  amène  à  la  loi  de  la  série  T^^  telle  qu'elle  se  dégage 
de  la  cinquième  colonne  de  notre  tableau.  Cette  cinquième 
colonne  renferme  les  mêmes  nombres  que  la  troisième  ;  chacun  y 
figure  autant  de  fois  que  le  précédent  plus  une  fois.  Il  y  a  un  1, 
deux  2,  trois  4,  quatre  8  et  ainsi  de  suite.  Ce  que  nous  venons 
de  voir  de  la  façon  dont  s'établit  la  valeur  minimum  de  i>  (par 
l'addition  d'un  S  et  d'un  T)  et  par  conséquent  celle  de  T  (car 
T^j=  2  (>  +  1)  nous  explique  cette  particularité. 

Les  mathématiciens  ont  sans  doute  une  façon  succincte  de  noter 
la  loi  de  formation  de  la  série  T  et  de  calculer  la  valeur  T,,.  S'ils 
peuvent  m'en  signaler  une  qui  soit  à  la  portée  de  mes  petits 
élèves,  je  leur  en  serai  reconnaissant.  Pour  le  moment,  nous 
procédons  comme  suit  : 

Soit  à  trouver  T.,^.  Le  nombre  triangulaire*  inférieur  à  24  qui 
en  est  le  plus  rapproché  est  21,  et  de  21  à  24,  il  y  a  3.  Nous  tirons 
de  là  que  T,^  =  1  +  2.2*  +  3  .  2^  +  4  .  2-^  +  5  .  2^  +  G  .  2"- 
+  3  .  2"  ;=  513,  qui  s'obtiendrait  indifféremment  par  l'un  ou 
l'autre  des  empilements  suivants 

T,^  =  225   ,     S,  =  31   ,     .•  =  256   . 
T,.  =  193   .     Sg  =  63   ,     (■  =  256   . 

.l'ai  fait  représenter  graphiquement  à  mes  élèves  la  série  des 
valeurs  de  T.  Cela  nous  a  permis  d'entrevoir  la  solution  du  pro- 
blème des  5  aiguilles  et  de  tous  les  suivants.  Pour  un  nombre 


'  Mes  jeunes  mathématiciens  connaissent  celte  laoon  pythapforicienne  d'appeler  les  nombres, 
de  la  forme  n ,  résultant  de  l'addition  des  n  premiers  nombres  entiers. 


MÉLANGES    ET    CORRESPONDANCE 


197 


infini  d'aiguilles,  la  série  T  se  confondrait  avec  celle  des  nombres 
impairs. 

J'ai  conseillé  h  mes  jeunes  gens  de  fabriquer  pour  leurs  amis 
le  jeu  des  4  aiguilles  avec  quelque  15  à  20  disques.  Dans  la  prati- 
que, ce  jeu  donnera  matière  à  beaucoup  plus  d'hésitations  que  le 
jeu  classique  de  la  tour  dlïanoï.  C'est  dire  qu'il  a  chance  de  n'être 
pas  moins  amusant.  Ils  l'introduiront  par  un  petit  conte  assyrien 
et  l'ont  baptisé  déjà  :  \e  jeu  delà  Ziggiirat. 

Mon  vieil  ami  L.-G.  Du  Pasquier,  professeur  à  l'Université  de 
Neuchàtel,  auquel  j'ai  communiqué  les  pages  ci-dessus  a  bien 
voulu  répondre  déjà  au  vœu  que  j'y  exprime  d'obtenir  des  mathé- 
maticiens nne  formule  facile  permettant  de  calculer  T^.  Il  m'a 
permis  de  joindre  à  ma  communication  le  complément  qui  suit. 

Pierre  Bovet  (Genève). 

II.  —  Désignons  par  ;)_i  le  P^'éme  nombre  triangulaire;  d'après 

cela,    /q  =  1,  /,  r=z  3,    t„  =  6,  /,  =  10,    f^  =  13, en    général  : 

t-  =  -L  [X  -\-  i)  :X-\-'I).  Soit  n  un  nombre  positif  d'ailleurs  quelcon- 
que ;  représentons  par  Egi/?)  le  plus  grand  nombre  triangulaire 
contenu  dans  n;  par  exemple  E^{2)  =  l;  E^Iti]  =z  3;  E^[\)}=  6\ 
Ej(10,  33)  =  10  ;  etc.  (Cette  notation  est  une  généralisation  du 
symbole  de  Legendre  :  E  (n)  =  plus  grand  nombre  entier  contenu 
dans  «  ;  nous  posons  donc  par  définition  :  F,^'J:)  =zE{.c)  ;  Ej^[d')=^\e 
plus  grand  nombre  triangulaire  contenu  dans  ./  ;  E3(.r)  =  le  plus 
grand  nombre  carré  contenu  dans  .r  ;  EJ.r)  =  le  plus  grand  nombre 
pentagonal  contenu  dans  x;  et  ainsi  de  suite). 

Cela  posé,  tout  nombre  positif /i  peut  se  représenter,  et  d'une 
seule  manière,  sous  forme  d'une  somme  de  deux  termes 


n  =  />.  +  ;•  (a) 

où  t\  =  ^2{^)  ^^t  le  plus  grand  nombre  triangulaire  contenu  dans 
n,  et  /•  un  nombre  non  négatif.  Si,  en  particulier,  n  représente  un 
nombre  entier,  par  exemple  le  nombre  des  disques  dans  le  jeu  en 
question,  on  aura  les  décompositions  suivantes  : 


n  =   1 

2 

3 

4 

5 

6 

/ 

8 

9 

10 

11 

12 

13 

14 

15 

16... 

0,=  1 

1 

3 

3 

3 

6 

6 

6 

6 

10 

10 

10 

10 

10 

15 

15  ... 

r   =  0 

1 

0 

1 

2 

0 

1 

2 

3 

0 

1 

2 

3 

4 

0 

1  ... 

X  =  0 

0 

1 

1 

1 

2 

2 

2 

2 

3 

3 

3 

3 

3 

4 

4  ... 

198  MÉLANGES    ET    CORRESPONDANCE 

La  série  T    est  alors  représentée  par  la  formule 

T„  =  1  -H  (X  +  D  .  2>^+» 

La  sommation  de  la  série 

1  +  2  .  21  +  3  .  22  +  4  .  2-'  +  5  .  2^  +  ...  +{n  -f  1)  .  2"  =  J]  <'"+!)  •  2^^- 

/. 

qui  intervient  dans  la  formation  des  nombres  T^^,  peut  être  trouvée, 
grâce  aux  indications  qui  suivent,  même  par  des  garçons  d'une 
douzaine  d'années,  pourvu  qu'ils  connaissent  la  formule  de  som- 
mation des  progressions  géométriques.  On  a  tout  d'abord 

D'une  part, 

0  ..Il 

2  2^  =  1  +  2  +  'i  +  8  -t-  .  .  .  +  2"  =  2"+'  —  1  . 
X 

0...H 

D'autre  part,  on  peut  représenter  V  X  .  2'' de  la  manière  que  voici: 

0.../I 

V  X  .  2''-  =  0  +  1  .  2  +  2  .  22  +  3  .  2-'«  4-  4  .  2^  +  5  .  2^  +  .  . .  +  n  .  2" 


+ 

22  + 

2-^  + 

2^  + 

2^4-...+         2" 

+ 

2^4- 

2^4- 

2*  + 

2--'  +  .  .  .  +         2" 

+ 

23  + 

2^4- 

2^4-...+         2" 

+ 

2^4- 

+  • 

2^  4-  ...   +         2" 

_i_  2"~'  +  2" 
+  2" 

Faisant  la  sommation  de  chaque  ligne  horizontale   séparément, 
puis  additionnant  ces  sommes  partielles,  il  vient 

0...n 

2  À  .  2'=  (2"+'  -11-  1 
X 

4-  (2"+'  -  11  —  it  4-2) 

+  (2"+*  _  1)  —  ,1  +  2  4-  4) 

^  (2»+'  _  1)_  Il  4-  2  +  22  +  2») 

+   

+  (2"+'  _  1)  _  (1  +  2  +  22  +  2^'  4-   ...  4-  2"—-  +  2"-'). 


MÉLANGES    ET    CORRESPONDANCE  199 

Tout  ce  problème  est  ainsi  ramené  à  la  sommation  de  progres- 
sions géométriques. 

0  .  « 

On  trouve  facilement  V  A  .  2'^  =  2  +  f«  —  1)  .  2"+'. 


On  en  déduit  immédiatement  ^  {X  +  1    .  2''  =  1  +  /?  .  2""''V 

À 
et  ce  résultat,  combiné  avec  la  décomposition   a    du  nombre  n  des 
disques,  conduit  à  la  formule  cherchée 

T„  =  1  +  (X  +  ri  .  •2>-+' 

L.-G.  Du  Pasquieh  iXeuchàtel). 


Remarques  sur  le  problème  de  Jean  de  Palerme 
et  de  Léonard  de  Pise  (Fibonacci), 

à  propos  d'un  article  de  M.  E.  Tiirrière. 

Il  est  intéressant  de  rapprocher  les  recherches  publiées  récem- 
ment par  MM.  HfenTzscheP  et  Turrière'^  sur  le  problème  de  Jean 
de  Palerme  et  de  Léonard  de  Pise.  Tandis  que  INI.  Turrière  ne 
fait  usage  que  de  moyens  élémentaires,  M.  Hoentzschel  montre 
comment  l'emploi  des  fonctions  J)  de  Weierstrass  facilite  l'étude 
approfondie  de  ces  problèmes  arithmo-géométriques. 

D'après  le  1"  exemple  du  3"  livre  de  l'Arithmétique  de  Dio- 
phante,  il  s'agit  de  trouver  trois  nombres  en  progression  arith- 
métique (a  —  d,  a,  n  -\-  d]  et  tels  que  la  somme  de  deux  des 
nombres  soit  chaque  fois  un  carré  parfait. 

Diophante  cherche  d'abord  trois  nombres  carrés  qui  sont  en 
progression  arithmétique 

2a  —  d  =  r-   ,  2a  =  i-   .  2a  -{-  d  —  ..'  ; 

il  trouve 

'.1-  —  720  =  31-  .         412  .         412  ^  720  =  49^  . 


'  Jahresbericht  der  I).  M.-V.,  24«  année,  1915,  p.  'i67-471,  Lusiing  einer  Aufgabe  ans  der 
Arithmetik  des  Diophnnte,  25' année,  1916,  p.  139-145,  Ueber  eine  Aufgabe  aus  der  Arith- 
motik  des  Diophante. 

•  L'Enseign.  inathém.,  17«  année,  1915,  p.  315-324,  Le  problème  de  Jean  de  Palerme  et  de 
Léonard  de  Pise. 


200 


MELANGES    ET    CORRESPONDANCE 


Mais  c'est  la  première  question  de  Jean  de  Païenne  à  Léonard 
de  Pise  (Fibonacci)  qui  a  donné  la  solution 


41\2 

Ï2, 


1-2      +-^^V12 


9\2 


Il  est  clair  que 


H-  +rY 


+ 


^)' 


d  OU  11  suit  que  — ^ —  ,   — ^ —  et  t  sont  des   nombres   rationnels 

de  Pythagore. 

M.  H.Tentzschel  a  démontré  [/.  c,  24"  année,  p.  468,  (5)  et  p.  469, 
(7)-(ll)]  que  l'expression  générale  de  la  série  est  : 


2a  —  d  =  V\u\  —  e.—  -rj-o^^^-  —  '^^  +  11"  =  '"  •• 


2a  =  V[u\  =  --(2/2—  2k  +  \Y-  =  e- 


2a  +  d  =  piH)  —  c,   =  TT2I2F  —  1)2  —  .,.-'    ; 


d  =:  e.,  =  -  e^  =  -(2A-2  —  3/;  +  1|   . 


où  f[ii)  est  la  fonction  elliptique  de  Weierstrass.  C'est  la  solution 
primitive  selon  Fermât.  Voici  la  solution  complète  du  problème 
de  Jean  de  Palerme  [Jahresbericht,  25"*  année,  p.  142  ,  où  è  est  une 
valeur  spéciale  de  la  différence  d. 

f(u\  —  0   ,  ]Mu)    .  f(u)  +  0   ; 

P(2«)  —  5   .  J)(2m)    ,  p(2«|  -f  o   ; 

p(3«)  -  0   ,  p(3«)   ,  P(3m)  +  5  : 


Pl'H'l 


P(««|  -|-  0 


Pf2«l 


_     «"[12^  —  2X-  +  II"  +  16F(2y;g—  U  +  D"]^ 
~  l6k-{2/,-  —  1,"-(2P  _  2X-  +  ir-(2A-2  —  4X  4-  1)«  ' 

yinu\-  =    ip(nM||p2(nu)  —  d-]   ; 
P'(«).P'(2«) 


p(3<o  =pi«)  + 


ip(2«)-P(M))- 


(/.  c.  p.  470,  471.  1431. 


MÉLANGES    ET    CORRESPONDANCE 


201 


Exemples.  A.    A=5;  «  =  —  ;    doù  suit   2(i  =  (  —  j  ;  d=ô  =  . 
(Léonai'd  de  Pise.) 


«y 


i>) 


3  3i4  161- 


12, 
113  2792 


24-'.31-'.  41-'.  49- 

/    3  344  161     Y^ 
^24. 31. 41. 49/ 


242.312.412.492   ■ 
728  001 


/     3  344  161     Y^ 
\24.31.41.49J 


+  5-.-77 


24.31.41.49 


etc. 


B.     A-  =  —  1,    /i  =:  —  2  ;    d'où  il  suit  '2a  =z  20;    d  :=  ô  ^ 
[Jahresbeiicht,  2h''  année,  1916,  p.  142-145;. 


.5-  —  2't  =  1-  ; 


l>) 


c) 


1201\-' 


70 


115^2        /1201\-^ 
"7Ô"j   ■'     VTÔ 


52  +  24  = 
120l\2 


70 


7  776  485\- 


1  319  901 

776  485\2 


4  319  999\-! 


■i-   2Ï 


7  776  485\2 


1249 
70 


1  551.851/    ■  M  319  901 

10  113  607\2 


/;  776  485Y"'  _/10113607\ 

(^1319  901/   +     ^  —  \  1  551.851  / 


elc. 


1319  901/     '  \  1551.851 

Dans  le  travail  de  M.  Tuirière  on  aurait 
x'  =  P(3h|    ,     voir  p.  316,  (3)  et  j|  =  J)(2»)    ,      voir  p.  320,  1 10). 

(D'après  une  lettre  de  M.  H.entzschkl.  La  Rèd.) 


CHRONIQUE 


Société  mathématique  suisse. 

Réunion  de  Zurich,  30  mai  1917. 

Les  mathématiciens  suisses  ont  tenu  leur  réunion  de  printemps 
à  Zurich,  le  mercredi  30  mai  1917,  sous  la  présidence  de  M. 
Marcel  Giiossmann,  professeur  à  l'Ecole  polytechnique  fédérale. 
La  séance  était  consacrée  à  une  conférence  de  M.  Jacques  Hada- 
MAno.  membre  de  l'Institut,  professeur  au  Collège  de  France  et  à 
l'Ecole  polytechnique  de  Paris.  Répondant  à  l'invitation  qui  lui  a 
été  adressée  par  le  Comité  de  la  Société  mathématique  suisse,  le 
savant  mathématicien  a  bien  voulu,  malgré  les  temps  difliciles,  se 
rendre  à  Zurich  pour  y  exposer  quelques  résultats  sur  ses  pro- 
fondes recherches  concernant  «  la  notion  de  fonction  analytique 
et  les  équations  aux  dérivées  partielles».  La  conférence  eut  lieu 
devant  un  nombreux  auditoire  composé  de  mathématiciens  et 
d'étudiants  en  mathématiques  de  l'Ecole  polytechnique  et  de 
l'Université  de  Zurich.  Avec  une  remarquable  clarté,  le  savant 
conférencier  a  su  mettre  en  lumière  les  problèmes  à  la  fois  difli- 
ciles et  délicats  que  présentent  l'emploi  et  le  rôle  des  fonctions 
analytiques. 

Après  les  paroles  de  remerciements  du  président,  M.  le  Prof. 
J.  FiiAXEL  a  rappelé  la  place  que  prennent  les  tiavaux  de  M.  Ha- 
damard  dans  le  développement  des  différentes  branches  mathé- 
matiques depuis  près  de  vingt-cinq  ans.  Grâce  à  la  tournure  phi- 
losophique de  son  esprit,  il  a  fourni  d'importantes  contributions 
à  la  connaissance  approfondie  des  premiers  principes  de  la 
science. 

Société  mathématique  de  Londres.  —  Médaille  De  Morgan. 

La  London  MathemaLical  Society  a  conféré  la  Médaille  De  Mor- 
gan à  M.  le  Prof.  W.  H.  Youxg,  ¥ .  R.  S.,  pour  l'ensemble  de  ses 
travaux.  Cette  distinction,  qui  est  décernée  tous  les  trois  ans,  a 
été  attribuée  autrefois  à  Cayley,  Sylvester  et  Rayleigh.  Les  trois 
derniers  lauréats  ont  été  signalés  dans  cette  Revue  :  Glaisher 
(1908),  Lamb  (1911),  Larmor  (1914). 


BIBLIOGRAPHIE 


Maxime  Bôchek.  —  Leçons  sur  les  Méthodes  de  Sturm  dans  la  théorie  des 
équations  différentielles  linéaires  et  leurs  développements  modernes, 
protessées  à  la  Sorbonne  en  1913-1914,  recueillies  et  rédigées  par  Gaston 
JunA.  —  1  vol.  gr.  in-8o  de  vi-118  p.  et  8  £ig.  ;  5  fr.  ;  Gauthier-Villars, 
Paris,  1917. 

Ces  Leçons,  publiées  dans  la  Collection  de  Monographies  de  M.  Emile 
Borel,  provienneut  encore  de  l'euseignement  donné  en  Sorbonne  par  un  pro- 
fesseur étranger,  américain  cette  fois,  et  appartenant  plus  particulièrement 
à  la  brillante  Université  Harward.  La  France  s'est  toujours  félicitée  de  tels 
concours  et  de  telles  amitiés  et  point  à  tort  semble-t-il  ;  ce  pays,  qu  on  ac- 
cuse volontiers  de  légèreté  et  d  imprévoyance,  n'a  tout  de  même  pas  mal 
placé  sa  confiance  en  l'accordant  à  l'Angleterre  et  à  l'Amérique. 

Il  est  aussi  fort  intéressant  de  voir  nos  amis  étrangers  remettre  en  lu- 
mière le  nom  et  les  méthodes  de  Slurm  alors  qu'avec  une  modestie  exagérée 
nous  les  aurions  peut-être  laissés  s'effacer  derrière  les  constructions  plus 
modernes  relatives  aux  équations  intégrales. 

Il  me  semble  pouvoir  situer,  en  bloc,   les   Leçons  aujourd'hui  publiées  en 
y    voyant    surtout  un  développement  des   questions    Iraitées    par   M.    Emile 
Picard    dans    les    chapitres  V    et  VI   du   tome    III    de   son    Traité  d  Analyse 
(seconde  édition,  pp.  88-128i. 
Partant  de  I  équation 

a"  -{-  pu'  -\-  qu  =  ;•   , 

où  p,  (j.  r  sont  des  fonctions  quelconques  de  x,  M.  Bôcher  montre,  dans  un 
premier  chapitre,  qu'il  n'y  a,  en  général,  qu  une  courbe  intégrale  passant 
par  un  point  donné  avec  une  pente  donnée.  11  étend  la  question  au  sens  ana- 
lytique, le  plus  général,  du  mot  courbe.  Il  étudie  notamment  la  constitution 
fonctionnelle  de  u  par  rapport  à  p,  q,  r  et  aux  constantes  y  et  y',  introduites 
par  l'intégration  précitée. 

Le  chapitre  II  reprend  l'élude  de  l'équation  linéaire  d'ordre  quelconque, 
de  1  équation  adjointe  de  Lagrange  et  de  la  formule  de  Green  les  réunis- 
sant. Mais  cet  exposé  classique  est  complété  au  jour  d'une  symétrie  mise  en 
parallèle  avec  celle  de  systèmes  de  formes  algébriques  bilinéaires. 

Le  chapitre  III  reprend  l'équation  du  second  ordre  et  cherche  à  préciser 
la  position  des  zéros  de  ses  solutions  réelles.  C'est  le  problème  de  M.  E. 
Picard  déjà  mentionné.  C'est  également  ici  que  réapparaissent  les  théo- 
rèmes de  Slurm  proprement  dits  sur  la  manière  dont  les  solutions  indé- 
pendantes séparent  respectivement  leurs  zéros.  Des  théorèmes  de  ce  genre 
peuvent  s'étendre  entre  certaines  combinaisons  linéaires  en  u  et  «'.  Ou  peut 
étudier  aussi  la  manière  dont  oscillent  les  solutions  u  connaissant  les  bornes 
des  coeflicients  de  l'équation. 


204  BIBLIOGRAPHIE 

Le  chapitre  IV  étend  ces  théorèmes  d'oscillation  au  cas  des  équations 
d  ordre  quelconque. 

Le  chapitre  V  a  trait  aux  fonctions  de  Green.  Il  fait  surtout  ressortir 
pour  ces  fonctions,  ordinairement  définies  sous  forme  d'intégrales,  un  mode 
de  symétrie  analogue  à  celui  étudié,  au  chapitre  II,  pour  des  combinaisons 
de  formes  différentielles. 

Et  c  est  une  chose  fort  curieuse  que  de  voir  les  procédés  algébriques  de 
Sturra,  concernant  les  séparations  de  racines,  s'étendre  ainsi  dans  la  théorie 
des  équations  différentielles  et  remonter  enfin  jusqu'aux  symétries  des  ex- 
pressions fonctionnelles  introduites  dans  la  Science  par  la  théorie  des 
équations  intégrales. 

Ce  livre  contient  de  très  nombreuses  références  bibliographiques  ;  si  sa 
remarquable  originalité  de  conception  honore  grandement  son  auteur,  la 
rédaction  n'honore  pas  moins  M.  Gaston  Julia  qui  s  est  acquitté  d'une  telle 
tâche  avec  un  soin  digne  de  tous  éloges.  A.  Buhl  (Toulouse). 

R.  C.  Fawdry.  —  Dynamics,  Part  I.  —  1  vol.  cari,  in-16,  187  p.;  3  sh  ; 
G.  Bell  and  Sons,  Londres. 

Ce  manuel  fait  partie  de  la  collection  «  Bell's  Mathematical  Séries  for 
School  and  Collèges  ».  Faisant  suite  à  la  Statique,  du  même  auteur,  il  fournit 
une  première  introduction  à  la  Dynamique  limitée  aux  notions  essentielles 
que  1  on  enseigne  généralement  dans  les  écoles  secondaires.  Ces  premiers 
éléments  sont  répartis  comme  suit  : 

Cinématique.  —  Chute  des  corps.  —  Les  lois  du  mouvement.  —  Travail, 
puissance  et  énergie.  —  Le  choc.  —  Composition  des  vitesses,  des  accélé- 
rations et  des  forces.  —  Vitesse  relative.  —  Mouvement  circulaire. 

Par  les  nombreux  exercices  numériques  qui  accompagnent  chaque  cha- 
pitre, ce  petit  manuel  constitue  en  même  temps  un  excellent  recueil  de 
problèmes  élémentaires  de  Dynamique.  H.  F. 

R.  Meh.mke.  —  Leitfaden  zum  graphischen  Rechnen.  (Sammlung  mathem.- 
physik.  Lehrbûcher.)  —  1  vol.  cart.  in-16,  152  p.,  4  M.  80;  B.  G.  Teubner, 
Leipzig. 

Ce    Précis    de    calcul   graphique   est    un    résumé    des    leçons    professées 

l'Ecole  technique  supérieure  de  Stutigard.  L  auteur  se  borne  au  calcul 
graphique  proprement  dit  sans  aborder  les  méthodes  graphiques  de  la 
Nomographie.  Il  divise  son  exposé  en  deux  parties.  Dans  la  première  il 
étudie  le  calcul  ordinaire  et  la  résolution  graphique  des  équations,  en  ayant 
recours  :  a)  aux  échelles  usuelles,  h)  aux  échelles  logarithmiques.  Cette 
méthode  logarithmique,  due  à  M.  Mehmke,  sera  étudiée  avec  beaucoup 
d'intérêt  par  tous  ceux  qui  désirent  suivre  les  progrès  des  procédés  gra- 
phiques. 

La  seconde  partie  est  consacrée  à  l'intégration  et  à  la  différentiation  : 
Construction  des  courbes  intégrales.  Résolution  des  équations  différenlielles 
du  ler  ordre  ou  d'ordre  supérieur.  Emploi  d  échelles  usuelles  ou  d'échelles 
logarithmiques. 

Il  n'est  guère  besoin  d'ajouter  que  l'on  retrouve  dans  cet  opuscule  les 
qualités  de  précision  et  de  clarté  qui  caractérisent  les  travaux  de  M.  Mehmke. 

H.  F. 


BIBLIOGRAPHIE  205 

R.  DE  MoNTEssLs  DE  Ballore.  —  LeçoDS  suF  Ics  foDctions  elliptiques  en 

vue  de  leurs  applications.  Cours  libre  professé  à  la  Faculté  des  Sciences 

de  Paris.   —  1  vol.  gr.  in-8^  de  .\-268  p.  et  23  fig.  ;  12  fr.  ;  Paris,  Gauthier- 

Villars,  1917. 

On  peut  dire,  d  une  manière  générale,  que  ces  Leçons  représentent  une 
heureuse  tentative  de  construction  des  fonctions  elliptiques  fondée  surtout 
sur  l'emploi  du  calcul  algébrique.  Le  premier  grand  calcul  fondamental  est 
l'intégration  de  l'équation  d'Euler  d'où  1  on  peut  tirer  la  formule  d'addition 
pour  sn.  D  une  manière  plus  précise,  1  auteur  en  déduit  les  propriétés  de 
sn{u  +  iv\  et  notamment  la  double  périodicité  par  comparaison  avec  des 
périodes  respectives  de  snu  et  sniy.  La  Première  Partie  de  l'Ouvrage  ren- 
ferme aussi  tout  ce  qui  concerne  la  réduction  des  intégrales  elliptiques,  ce 
à  quoi  la  transformation  de  Landen  parait  naturellement  rattachée.  On  sait 
que  cette  transformation  rend  possible  l'étude  d  intégrales  elliptiques  au 
moyen  d'autres  de  même  forme  mais  de  modules  dilférents  :  elle  ne  repose 
que  sur  un  calcul  très  simple  d'ailleurs  présenté  par  J.  Bertrand  sous  une 
élégante  forme  géométrique.  Il  est  dans  lesprit  du  Livre  non  seulement  de 
ne  point  dédaigner  mais  encoie  de  rechercher  de  telles  choses. 

Avec  une  Seconde  Partie  nous  abordons  les  fonctions  de  Weierstrass.  Ici 
les  intégrales  elliptiques  contiennent  des  radicaux  portant  sur  le  fameu.x 
polynôme  4x^  —  g.,.r  —  g.^  :  des  différences  notables,  portant  tout  au  moins 
sur  le  maniement  des  fonctions  inverses,  s'observent  suivant  le  signe  du 
discriminant  A  =  f'^  —  '^' ^  ■  C'est  ce  que  M.  de  Montessus  fait  ressortir 
par  d'originales  méthodes  ;  la  formule  d  addition  de  pu  est  tirée  de  celle  de 
sn  quand  A  est  positif,  de  celle  de  en  quand  A  est  négatif. 

Une  Troisième  Partie  fait  appel  aux  généralités  de  la  théorie  des  fonctions. 
Il  est  certain  que  ce  sont  ces  généralités  qui  donnent  encore  les  vues  les 
plus  claires  sur  l'inversion,  surtout  quand  les  singularités  des  intégrales 
sont  situées  de  manière  quelconque  dans  le  champ  complexe.  De  plus,  les 
propriétés  générales  des  fonctions  entières  et  méromorphes  trouvent,  dans 
le  domaine  elliptique,  de  belles  applications  particulières.  Un  coup  d'œil 
rapide  en  ces  deux  voies  fondamentales  s  est  traduit  ici  par  une  exposition 
réduite  et  originale. 

Enfin,  dans  une  Quatrième  Partie,  n(>us  venons  aux  fonctions  0,  facilement 
présentées  au  moyen  de  celles  de  leurs  propriétés  qui  permettent  d  immé- 
diats développements  en  séries.  Il  paraît  ensuite  naturel  de  revenir,  par 
1  intermédiaire  de  ces  fonctions  0,  aux  (onctions  elliptiques  déjà  étudiées, 
notamment  à  sn,  en,  dn. 

Là  encore,  lauteur  a  fait  beaucoup  de  calculs  ;  1  ouvrage  ne  contient  pas 
d  applications  à  proprement  parler,  mais  il  est  éminemment  propre  à  aboutir 
à  celles-ci,  s  efforçant  de  ne  rien  laisser  dans  lombre,  même  en  ce  qui  con- 
cerne les  difficultés  arithmétiques.  Il  n'y  a  point  là  quelque  promesse  plus 
ou  moins  vaine.  Rappelons  que  M.  de  Montessus  est  aussi  l'auteur  des 
Exereices  et  Leçons  de  Mécanique  analytique  publiés  en  1915  et  analysés, 
d'ailleurs,  dans  L'Enseignement  Mathématique  |1916,  pp.  l'»0-142M.  Ces 
Exereices  ont  été  terminés  par  une  exposition  de  la  théorie  des  fonctions 
elliptiques  particulièrement  adaptée  à  la   résolution   des   problèmes  du   Re- 


'  Je  profite  de  ce  rappel  pour  corriger  une  coquille  assez   agaçanti-.   Dans  l'article  biblio- 
graphique cite,  p.  l'«I.  ligne   H'.,  au  lieu  de  prismes  elliptiques,  il  l'aiil  lire  formes  elliptiques. 

.\.  B. 


206  BULLETIN    BIBLIOGRAPHIQUE 

cueil.  A  beaucoup  d'égards  les  Leçons  d'aujourd'hui  développent  cet  appen- 
dice ;  l'auteur  de  celui-ci  ne  pouvait  oublier  noaintenant  ce  qu'il  avait  si  bien 
vu  sous  l'empire  des  nécessités  d'ordre  mécanique.  Lui-même  renvoie  mo- 
destement, pour  de  telles  applications,  au  Livre  bien  connu  de  P.  Appell  et 
E.  Lacour.  A  coup  svir  un  tel  renvoi  ne  saurait  être  méconnu,  mais  pour 
moi,  qui  ne  suis  point  tenu  à  de  telles  considérations  de  modestie,  je  ren- 
verrai également  aux  Exercices  de  Mécanique  de  M.  de  Monlessus  quant  à 
l'élégante  et  précieuse  intervention  des  fonctions  elliptiques  dans  la  science 
analytique  du  mouvement  et  de  la  géométrie  des  masses. 

A.  B'-HL  iToulouse). 


BULLETIN  BIBLIOGRAPHIQUE 


1 .  Publications  périodiques  : 

American  Journal  of  Mathematics.  —  Vol.  XXXVIII,  X»  4.  —  H.  Taber  : 
Conditions  for  the  Complète  Reductibility  of  Groups  of  Linear  Substitu- 
tions. —  C.-H.  SisAM  :  On  Sextic  Surfaces  having  a  Nodal  Curve  of  Order 
8.  —  W.-D.  Mac.millan  :  A  theorem  connected  with  Irrational  Numbers.  — 
W.-B.  FoKD  :  On  the  Représentation  of  Arbitrary  Functions  by  Definite  In- 
tégrais. —  H.-R.  Kingston  :  Metric  Properlies  of  Nets  of  Plane  Curves.  — 
H.-C.  GossARD  :  On  a  spécial  EUiptic  Ruled  Surface  of  the  Xinth  Order. 

Vol.  XXXTX,  n°  1.  —  T.  Fort  :  Linear  Différence  and  Differential  Equa- 
tions. —  VV.-V.  LoviTT  ;    Some   Singularities  of  a  Contact  Transformation. 

—  D.  BucHANAN  :  Oscillations  near  an  Isosceles-Triangle  Solution  of  the 
Problem  of  Three  Bodies  as  the  Finile  Masses  Become  Unequal.  —  L.-C. 
Cox  :  ïhe  Finite  Groups  of  Birational  Transformations  of  a  Net  of  Cubics. 

—  A.-E.  YouNG  :  On  the  Détermination  of  a  Certain  Glass  of  Surfaces.  — 
H.  Hilton  and  Miss  R.-E.  Colomb  :  On  Orthoptie  and  Isoptic  Loci.  — 
L.-B.  RoBiNsoN  :  A  New  Canonical  Form  for  Systems  of  Partial  Differential 
Equations. 

Archiv  der  Mathematik  und  Physik,  Leipzig.  —  Band  25.  —  M.  Pasch  : 
Zusammenliange  in  der  Lehre  von  don  Kegelschnitten.  —  F.  E.mdf  :  Schwin- 
gungen  und  Vektoren.  —  W.  Weber  :  Zur  Géométrie  des  einfachen  Vie- 
recks.  —  G.  Jau.mann  :  l  eber  Dyaden  und  Dyadenrechnung.  —  E.  Lampe  : 
Aufgaben  iiber  die  ans  den  Gliedern  einer  ganzzahligen  arithmetischen  Pro- 
gression gebildelen  symmetrischen  Grundfunklionen  und  iiber  die  Summen 
gleich  hoher  Polenzen  dieser  Glieder.  —  L.  Berwald  :  Ueber  einige  Mini- 
mums-Satze  der  Dreiecks-  und  Tetraedergeometrie.  —  P.  Riebesell  :  Ueber 
die  Intégration  der  ballislischen  Hauptgleichung  bei  Anwendung  des  Som- 
mcrfeldschen  Luftwiderslandsgesetzes.  —  O.  Danzer  :  Eine  Abbildung 
allgemeiner  Konchoiden  auf  Rogelfliichen.  —  E.  Bidde  :  Ueber  Nablapro- 
dukte.  —  M.  Baler  :  Zur  Théorie  der  arithmetischen  Progression.  —  G. 
PicK  :  Zur  nichteuklidischen  Géométrie.  —  J.  Hokn  :  Ueber  nichtiineare 
Dilferenzengleichuugen.  —  A.  Horn  :  Ueber  die  Anwendung  der  Méthode 
der  sukzessivcn  Niiherungen  zur  Lôsung  von  lincaren  Inlegralgleichungen 
mit  unsymmetrischen  Kernen.  —  E.  Landau  :   Neuer  Beweis  eines  Hardys- 


BULLETIN    BIBLIOGRAPHIQUE  207 

chen  Satzes.  —  L.  Lichtexstein  :  Zur  konformen  Abbildung  einfach  zusam- 
menhàngender  schlichter  Gebiele.  —  ï.  Yahlen  :  Beitrage  zur  Ballistik.  — 
M.  Pasch  :  Zerlegbare  Kegelschnittsgleichungen.  —  A.  Kempnek  :  Ueber  ir- 
reduzible  Gleichungen,  die  iinter  ihren  Wurzeln  auch  solche  mit  ralionalem 
reelletn  Teil  oder  mit  ralionalem  absolutera  Betrag  zulassen.  —  Id.  :  Be- 
merkung  zu  einem  zahlentheoretischen  Satz  von  Herrn  Lind.  —  J.-A. 
ScHOUTEN  :  Ueber  eine  neue  Théorie  der  Système  direkter  Rechnung  und 
ilire  Bedeutnng  fiir  die  mathematische  Physik.  —  L.  Gie.mpel  :  Fliissig- 
keitsoberflachen  unter  dem  Einflnss  der  Kohasion  u.  Adhiision.  —  K.  Kom- 
MERELL  :  Elementare  Berechnung  der  Zabi  -  u.  der  trigonometrischen 
Funktionen.  —  Eug.  Jahnke  ;  Zur  Einfûhrung  in  die  Dyadenrechnung. 

Atti  délia  Reale  Accademia  deiLincei.  Vol.  XXV,  2me  semestre  1916.  —  G. 
Andkeoli  :  Siiil  iternazione  délie  tunzioui  di  variabili  reali.  —  Id.  :  Sui  nuclei 
periodici  di  Evans  e  la  composizione  di  seconda  specie.  —  Id.  :  Sulla  riso- 
luzione  di  certe  equazioni  di  composizione  di  seconda  specie.  —  Id.  :  Sulla 
soluzione  générale  di  una  classe  di  equazioni  di  composizione.  —  L.  Berzo- 
LARi  ;  Sopra  una  classe  di  coniigurazioni  di  retle  e  di  piani.  —  Id.  :  Proprielà 
caratterisliche  délia  configurazione  formata  dalle  rette  e  dai  piani  Iritangenti 
di  una  superficie  del  terzo  ordine.  —  Id.  :  Sulla  varietà  cubica  con  dieci  punti 
doppi  dello  spazio  a  quattro  dimension!,  e  sulla  configurazione  di  quindici 
cerchi  dello  spazio  ordinario  sludiata  dallo  Slefanos.  —  L.  Bianchi  :  Sopra 
un'interpretazione  geometrica  dei  sistemi  commutativi  di  numeri  a  piùunità. 
—  C.  Burali-Forti  :  Sugli  operatori  difFereuziali  omograllci.  —  Id.  :  Ancora 
sulla  definizione  di  coppie  terne,  ecc.  —  P.  Blrgatti  :  Salle  discontinuità 
délie  funzioni  scalari  e  vettoriali  e  délie  loro  derivate  nel  passaggio  attra- 
verso  una  superficie.  —  Id.  :  SuUe  discontinuità  délie  funzioni  e  délie  loro  deri- 
vate attraverso  una  superficie. —  E.  Daniele  :  SuUe  equazioni  differenziali  e  le 
equazioni  integro-differeuziali  corrélative.  —  A.  Del  Re  :  Hamiltoniani  e  gra- 
dienti  di  forraazioni  estensive  nell'analisi  générale  di  Grassmann.  —  Id.  :  Pro- 
prietà  generali  degli  hamiltoniani  e  dei  gradient!  nell'analisi  ad  n  dimensioni  di 
Grassmann.  —  Id.  :  Gli  hamiltoniani  ed  i  gradienti  del  prodotto  di  due  fun- 
zioni estensive.  —  M.  A.  Moli.nari  :  Derivazioni  ad  indice  qualunque.  — 
J.  PÉRÈS  :  Sur  la  composition  de  première  espèce,  —  Id.  :  Les  fonctions 
d  ordre  quelconque  et  leur  composition.  —  G.  Sa.nma  :  Deduzione  geome- 
trica dei  metodi  di  approssimazione  délie   radici  reali  di  una  equazione.  — 

F.  Trico.mi  :  Sull  iterazione  délie  funzioni  di  una  variabile  complessa.  —  A. 
Vergerio  :  Sulla  derivazione  per  série.  —  E.  Al.mansi  :  La  teoria  délie  distor- 
sioni  e  le  deformazioni  finite  dei  solidi  elastici.  —  Id.  :  Sulla  teoria  degli 
impulsi.  —  Id.  :  Sulla  teoria  délie  distorsion!.  — U.  Crudeli  :  Sul  moto  tras- 
latorio  di  un  solido  sferico  in  un  liquido  viscoso.  —  C.  Del  Lungo  :  Dimo- 
strazione  termodinamica  délia  legge  di  Avogrado.  —  C.  So.migliana  :  Sulla 
teoria  délie  distorsion!.  Al  prof.  C.  Almansi.  —  G.  Ar.mf.lli.ni  :  Sopra  la  forma 
dello  sferoide  lunare.  —  G.  Ak.mellim  :  Osservazion!  sopra  una  récente 
teoria  délia  luce  zodiacale.  —  Id.  :  Ricerche  sopra  le  perturbazion!  del  satel- 
lite d!  Nettuno. 

Bulletin  of  the  American  Mathematical  Society,  New- York.  Vol.  XXIII, 
N"«  1-6.  E.  B.  van  Vleck  :  Currciil  tendencies  of  .Mathematical  Research. — 

G.  A.  Miller  :  Graphical  Method  of  finding  the  possible  Sets  of  Independent 
Generators  of  an  Abelian  Group.  —  C.  N.  Moore  :  On  the  Developments  in 
BesseTs  Functions.  —  \V.  E.  Mil.ne  :   Second  Note  on  Removable  Singula- 


208  BULLETIN    BIBLIOGRAPHIQUE 

rities.  —  V.  Sntder  :  The  Cambridge  CoUoquium.  —  C.  A.  Fischek  :  Note 
ou  the  Order  of  Contiiiuity  of  Futictions  of  Lines.  —  II.  W.  Richmond  :  The 
Equation  of  a  plane  Ralional  Curve  delined   by   Parametric  Equations.  —  L. 

E.  Dickson  :  An  Extension  oF  the  Theoi-y  ol  Numbers  by  Means  of  Cor- 
respondences  between  Fields.  — H.  S.  Vandiver  :  Note  on  the  Distribution 
of  Quadratic  Residues.  —  M.  Morsf.  :  Proof  of  a  General  Theorem  on  the 
Linear  Dependence  of  Analytie  Functions  of  a  Single  Variable.  —  G.  A. 
Pfeifffr  :  Note  on  the  Linear  Dependence  of  Analytie  Functions.  —  G.  M. 
Gruen  ;  On  the  Linear  Dependence  of  P'unctions  of  One  Variable.  —  O.  E. 
Glenn  :  Translation  Surfaces  Associated  with  Line  Congruences.  —  J.  H. 
Weaver  :  Pappus  introductory  Paper.  —  Virgil  V.  Snyder  :  Mathematics  ai 
an  Italian  Technical  School.  —  F.  N.  Cole  :  The  October  Meeting  of  the 
American  Mathematical  Society.  —  M.  W.  Haskell  :  The  Maximum  Num- 
ber  of  Cusps  of  an  Algebraie  Plane  Curve,  and  Enumeration  of  Self-Dual 
Curves.  —  W.  E.  Milne  :  Note  on  Asymptotic  Expressions  in  the  Theory 
of  Linear  Differential  Equations.  —  E.  B.  Wii.sox  :  On  Notational  Equiva- 
lence. —  M.  Frechet  :  Ou  Pierpont's  Intégral.  —  J.  Pierpont  :  A  Reply 
to  a  Reply.  —  E.  W.  Brown  :  The  Relations  of  Mathematics  to  the  Natural 
Sciences.  —  A.  Emch  :  A  Theorem  on  the  Curves  Describes  by  a  Spherical 
Pendulum.  —  R.  L.  Moore  :  A.  Theorem  Concerning  Continuons  Curves.  — 

F.  R.  Rider  :  A  Note  in  Discontinuons  Solutions  in  the  Calculus  of  Varia- 
tions. —  F.  N.  CoLE  :  The  Twenty-Third  Annual  Meeting  of  the  American 
Mathematical  Society.  —  E.  V.  Huntington  :  Complète  Existential  Theory  of 
the  Postulâtes  for  Sériai  Order.  —  E.  V.  Huntington  :  Complet  Theory  of 
the  Postulâtes  for  Well  Ordered  Sets.  —  G.  A.  Miller  :  Groups  Generated 
by  Two  Operators  of  the  Same  Prime  Order  Such  that  the  Conjugates  of 
One  under  then  Powers  of  the  Other  are  Commutative.  —  R.  L.  Borger  : 
A.  Theorem  in  the  Analysis  of  Real  Variables.  —  J.  R.  Kline  :  Concerning 
the  Complément  of  a  Countable  Infînity  of  Point  Sets  of  a  Certain  Type.  — 
A.  L.  Miller  :  An  Analogue  to  Pascal's  Theorem. 

2»  Livres  nouveaux  : 

H. -F.  Blichfeldt.  —  Finite  Collineation  Goups,  with  an  Introduction  to 
the  Theory  of  Groups  of  Operators  and  Substitution  Groups.  (The  Univer- 
sity  of  Chicago  Science  Série).  —  1  vol.  in-16,  194  p.,  relié,  1  D.  ;  The 
University  of  Chicago  Press,  III. 

G.  Darboux.  —  Principes  de  Géométrie  analytique.  Cours  de  géométrie 
de  la  Faculté  des  Sciences  de  Paris.  —  1  vol.  gr.  in-8»,  520  p.,  avec  27  fig., 
20  fr.  ;  Gauthier-Villars  &  Cie,  Paris. 

K.  Merz.  —  Zur  Erkenntnisstheorie  ûber  Raum  und  Zahl,  ans  Histo- 
rischem  der  Steinerschen  Fliiche.  —  1  fasc.  in-H'J.  'i8  p.,  1  fr.  ;  Librairie 
Schuler,  Coire. 

P.  PopovATz.  —  Critique  des  propulseurs.  —  1  vol..  p.  in-8'>,  131  p.  : 
Gauthiers-Villars  &  C'«,  Paris. 

J.  Rey-Pastor.  —  Teoria  de  la  Representacio  conforme.  (Publicacions 
de  l'Institut  de  Ciencias).  —  1  vol.  in-8,  115  p..  Institut  d'Estndis  Cata- 
lans, Barceloua. 

A.-N.  Whitehead.  —  The  Organisation  of  Thought,  Educaiional  and 
Scientific.  —  1  vol.  in-8o,  228  p.,  G  sh.,  Williams  and  Norgate,  Londres. 


REMARQUES  SUR  LA  THEORIE  DES  ENSEMBLES 
ET  LES  ANTLXOxMlES  GANTORIENNES.  —  L 


D.  MiHiMANOFF  (Genève) 


Iiitroduclion.  Dans  un  travail  récent,  publié  ici  même^  j'ai 
essayé  de  faire  un  rapprochement  nouveau  entre  les  antino- 
mies cantoriennes  les  plus  connues,  celle  de  Russell  et  celle 
de  Burali-Forli.  Cette  étude  m'a  amené  à  m'occuper  d'un 
problème  important,  que  j'ai  appelé  problème  fondamental 
de  la  théorie  des  ensembles,  et  (|ui  consiste  à  trouver  les 
conditions  nécessaires  et  suffisantes  pour  qu'un  ensemble 
d'éléments  existe.  Ce  n'est  qu'en  m'appuyant  sur  plusieurs 
postulats  que  j'ai  réussi  à  obtenir  un  critère  pour  une  caté- 
gorie d'ensembles  que  j'ai  appelés  ensembles  ordinaires. 

Gomme  je  l'ai  fait  remarquer  à  la  fin  de  mon  travail,  ces 
postulats  auraient  besoin  d'être  examinés  de  près  et  discutés. 
Je  compte  le  faire  prochainement,  mais  cette  discussion  exigv 
à  son  tour  une  étude  préparatoire.  Pour  se  rendre  compte 
de  la  portée  des  postulats,  il  est  utile  de  préciser  et  d'appro- 
i'oiulir  les  notions  en  partie  nouvelles  que  j'ai  été  amené  à 
introduire  dans  mou  travail.  C'est  ce  que  je  vais  essayer  de 
l'aire  dans  ces  premières  remar(|ues. 

1.  —  Convenons  de  représenter  un  ensemble  E  dont  les 
éléments  sont  a,  b,  c,  ...  par  [a,  b,  c,  ...).  Il  y  a  deux  choses 
à  distinguer  dans  un  ensemble  :   les  éléments  a,  b,  c,  ...  et 


'  Eus.  math.,  année:    1917,   p.   37  .i  52. 

L'Enseignement  ninthém.,   I',)"  année;    1!'17. 


210  D.    MIIîr.MANOFF 

Topération  de  réunion  ou  d'association  figurée  par  la  paren- 
thèse. 

Dans  ses  Neiie  Grundlageii  der  Logik,  Aiillimelik  and Meii- 
genlehre,  J.  Kônig  dislingue  plusieurs  sortes  d'opérations 
d'association  qu'on  pourrait  évidemment  figurer  par  des 
parenthèses  de  formes  différentes.  J'ai  fait  abstraction  de 
ces  distinctions  dans  mon  travail  sur  les  antinomies. 

Nous  dirons  donc  qu'un  ensemble  E  ne  diflPère  pas  d'un 
ensemble  F,  lorsque  tout  élément  de  E  est  un  élément  de  F 
et  réciproquement. 

Soit  a  un  élément  d'un  ensemble  E.  Deux  cas  peuvent  se 
présenter  :  ou  bien,  par  définition,  l'élément  a  n'est  pas  un 
ensemble;  je  dirai  alors  qu'il  est  indécomposable  et  je  le 
désignerai  par  une  minuscule  ;  ou  bien  l'élément  a  est  à  son 
tour  un  ensemble;  dans  ce  cas  je  le  désignerai  par  une  ma- 
juscule. Par  exemple  l'ensemble  E  =  fe,  E'  contient  un  élé- 
ment indécomposable  e  et  un  élément-ensemble  E'. 

Si  l'élément-ensemble  E'  contient  deux  éléments  indécom- 
posables f,  g,  et  un  élément-ensemble  E",  on  pourra  écrire 
E' =  ^f\  gi  E"),  d'oùE=  [e,  f\g,  E")  ;  de  même  E"  pourrait 
être  représenté  par  une  nouvelle  parenthèse,  et  ainsi  de 
suite.  Pour  mettre  en  évidence  la  composition  des  éléments 
d'un  ensemble,  on  est  conduit,  comme  on  le  voit,  à  introduire 
des  parenthèses  intérieures  s'emboitant  les  unes  dans  les 
autres. 

En  supprimant  les  parenthèses  intérieures  relatives  à  un 
ensemble  E  on  obtient  un  ensemble  nouveau  qui  ne  doit  pas 
être  confondu  avec  l'ensemble  E.  Supposons  par  exemple 
que  l'ensemble  E  contienne  deux  éléments  F  et  G,  tels  que 
F  =  (/i^  /s)  ;  G  =  {gi  '  é's-  g^)^  les  f.,  g.  étant  des  indécompo- 
sables. On  pourra  écrire  E  =  (F,  G)  =  ({/",,  ^),  {g^.  g.,,  i^avO- 

En  supprimant  les  parenthèses  intérieures,  on  obtient 
l'ensemble  f/,,  /.,,  g\.  g.2.  gs),  que  j'appellerai  6'-  Or  aucun 
des  éléments  de  3  n'est  un  élément  de  E,  et  réciproquement  : 
du  reste  les  ensembles  E  et  S  diffèrent  entre  eux  non  seule- 
ment par  leurs  éléments,  mais  pai"  le  nombre  de  ces  élé- 
ments, puisque  E  n'en  contient  (|ue  deux  tandis  que  «^;  en 
contient  cinq. 


THEORIE    DES    ENSEMBLES  211 

Gomme  l'ensemble  i^-^  est  la  somme  des  ensembles  F  et  G, 
supprimer  les  parenthèses  revient  ici  à  remplacer  l'ensemble 
primitif  E  dont  les  éléments  sont  F  et  G  par  la  somme  des 
ensembles  F  et  G. 

2.  —  Deux  notions  m'ont  été  particulièrement  utiles  dans 
mon  travail  sur  les  antinomies  ;  (;elle  de  descente  et  celle 
d'ensembles  isomorphes. 

En  partant  d'un  ensemble  E,  parcourons  une  suite  quel- 
conque E,  E',  E" où  E'  est  un  élément  de  E,  E"  un  élé- 
ment de  E'.  etc.  Gette  opération,  que  j'ai  appelée  descente, 
prend  fin  lorsqu'on  tombe  sur  un  terme  indécomposable, 
l'elles  sont  par  exemple  les  descentes  E,  e  ;  E,  E',  /"dans 
l'exemple  donné  au  commencement  du  n°  précédent.  J'appelle 
noyaux  d'un  ensemble  E  les  termes  indécomposables  aux- 
quels aboutissent  les  descentes  finies  de  E.  Un  noyau  de  E 
n'est  pas  nécessairement  un  élément  de  E.  Par  exemple  dans 
le  cas  de  l'ensemble  E  =  (F,  G),  que  j'ai  défini  à  la  fin  du 
n®  précédent,  aucun  des  nojaux  /,  ^  ne  figure  parmi  les  élé- 
ments de  E.  Je  désigne  par  N  l'ensemble  (e,  /,  ...)  de  tous 
les  noyaux  distincts.  Le  nombre  de  ces  noyaux  peut  être 
égal  à  1.  Tel  est  par  exemple  l'ensemble  (e,  («?)}  dont  l'un  des 
éléments  est  l'ensemble  singulier  (e). 

Lorsque  toutes  les  descentes  d'un  ensemble  E  sont  finies, 
je  dis  que  E  est  un  ensemble  ordinaire. 

Je  passe  maintenant  à  la  notion  d'isomorphisme.  Cette 
notion  peut  être  définie  par  réi'urrence.  Je  dirai  que  deux 
ensembles  E  et  F  sont  isomorphes,  s'il  est  possible  d'établir 
entre  les  éléments  de  E  et  ceux  de  F  une  correspondance 
parfaite,  telle  qu'à  un  élément  indécomposable  de  E  corres- 
ponde un  élément  indécomposable  de  F,  et  à  un  élément 
ensemble  E'  de  E,  un  élément  ensemble  isomorphe  F'  de  F, 
et  réciproquement.  Deux  ensembles  isomorphes  différents 
ne  diffèrent  que  par  les  noyaux  et  non  par  les  opérations 
d'association  ou  de  réunion  figurées  par  les  parenthèses. 

Ce  qui  est  commun  par  conséquent  aux  ensembles  isomor- 
phes c'est  leur  structure  ou  le  mode  de  leur  composition.  Si 
l'on  fait  abstraction  des  propriétés  particulières  qui  distin- 
guent un  ensemble  de  ses  isomorphes,  si  l'on  ne  retient  que 


212  D.     MiniMANOFF 

les  particularités  de  sa  structure,  on  arrive  à  un  concept 
nouveau  qu'on  pourrait  appeler  type  de  structure  de  cet 
ensemble,  concept  étroitement  lié  aux  notions  de  puissance, 
et  de  nombres  ordinaux  de  Cantor  ;  il  se  confond  en  effet 
avec  la  notion  de  puissance,  ou  de  nombre  cardinal,  lorsqu'on 
fait  abstraction  de  la  structure  des  éléments  de  l'ensemble, 
ce  qiii  revient  à  regarder  ces  éléments  comme  des  indécom- 
posables ;  et  d'autre  part  les  types  d'ordre  des  ensembles 
bien  ordonnés,  ou  les  nombres  ordinaux  de  Cantor,  dérivent 
directement  des  types  de  structure  de  certains  ensembles 
particuliers  que  j'ai  appelés  ensembles  S. 

3.  —  Ensembles  de  i"  et  S"*®  sorte.  Conformément  à  Rus- 
sell,  je  dis  qu'un  ensemble  E  est  de  l"^"  sorte,  s'il  diffère  de 
chacun  de  ses  éléments;  il  est  au  contraire  de  2*  sorte,  s'il 
contient  un  élément  au  moins  qui  ne  diffère  pas  de  E.  En 
modifiant  légèrement  cette  définition,  nous  dirons  qu'un 
ensemble  est  de  1""®  sorte  au  sens  nouveau,  s'il  n'est  iso- 
morphe à  aucun  de  ses  éléments,  et  nous  dirons  qu'il  est 
de  2"  sorte  au  sens  nouveau,  s'il  est  isomorphe  à  l'un  au 
moins  de  ses  éléments  (cf.  le  n°  2  de  mon  travail  cité).  Il 
résulte  de  cette  définition  qu'un  ensemble  ordinaire  est 
toujours  de  1'"''  sorte. 

Je  rappelle  l'exemple  d'un  ensemble  de  2*^  sorte  au  sens 
nouveau  que  j'ai  donné  dans  mon  travail  (p.  41).  Supposons 
qu'un  ensemble  E  contienne  deux  éléments:  un  élément 
indécomposable  e  et  un  élément-ensemble  E'  de  la  forme  {e\ 

),  OU  E  =^  (e  ,  E  ;,  et  en  gênerai  E  —  (e  ,  E  j  pour 
tout  n.  On  voit  immédiatement  que  l'ensemble  E  est  iso- 
morphe à  E';  il  est  donc  bien  de  2*  sorte  au  sens  nouveau. 

Si  en  particulier  aucun  des  noyaux  e'.  e",  ...  e'"  ,  ...  n'était 
différent  de  e,  l'ensemble  E  pourrait  être  regardé  comme 
un  ensemble  de  2"  sorte  au  sens  de  Russell. 

Autre  exemple  d'un  ensemble  de  2®  sorte  au  sens  nouveau. 
Je  me  rappelle  avoir  vu  il  y  a  quelques  années  un  livre  pour 
enfants  dont  la  couverture  était  ornée  d'une  grande  image 
en  couleurs.  Cette  image  que  j'appellerai  J  représentait  deux 
enfants  admirant  le  livre  même  dont  je  parle  ou  plutôt  son 
image,  c'est-à-dire  l'image  J'  de  l'image  J.  Sur  cette  image 


THÉORIE    DES    ENSEMBLES  213 

J'  on  apercevait,  on  devinait  plutôt,  les  deux  enfants  en  petit 
et  l'image  du  livre  déformés  par  la  perspective.  Tout  cela 
devait  théoriquement  continuer  à  l'infini.  Or,  l'image  primi- 
tive J  peut  être  considérée  comme  un  ensemble  dont  les 
éléments  sont  les  enfants  e^,  e„,  l'entourage  /  et  l'image  J' 
de  J.  se  décomposant  à  son  tour  en  e\,  ('\' f  et  .J".  elc.  Si 
donc  l'on  convient  de  regarder  les  éléments  e, ,  c^,  f  et 
leurs  transformés  comme  des  indécomposables,  Tisomor- 
phisme  de  J  et  de  J'  est  manifeste,  et  l'image  J  possède  bien, 
au  point  de  vue  où  je  me  place,  les  propriétés  caractéris- 
tiques d'un  ensemble  de  2''  sorte  au  sens  nouveau. 

Ensembles  bien  ordonnés  et  ensembles  S. 

4.  —  J'ai  fait  voir  dans  le  n"  5  de  mon  travail  sur  les  anti- 
nomies qu'en  partant  d'un  nombre  ordinal  quelconque  a  de 
Cantor  on  pouvait  former  un  ensemble  ordinaire  c^  à  un 
noyau  dont  la  structure  dérive  directement  des  relations 
d'ordre  définissant  le  nombre  y.  et  (|ue  j'ai  appelé  ensemble 
S.  Une  correspondance  parfaite  peut  être  établie  de  cette 
manière  entre  les  nombres  ordinaux  de  Cantor  et  les 
ensembles  S  ainsi  formés.  Soient  a  et  /5  deux  nombres  ordi- 
naux de  Cantor;  si  a  est  inférieur  à  ;5.  l'ensemble  «^  est  un 
élément  de  l'ensemble  ^3^. 

Je  crois  utile  de  compléter  maintenant  les  indications  que 
j'ai  données  au  n"  5. 

Rappelons  d'abord  que  les  nombres  ordinaux  de  Cantor 
sont  les  types  d'ordre  d'ensembles  bien  ordonnés. 

Soit  E  =  (rt,  b,  c,  ...),  un  ensemble  bien  ordonné  dont  le 
premier  élément  est  ci,  le  second  b,  le  troisième  c,  etc. 

En  remplaçant  rt  ,  b,c,...  par  des  éléments  nouveaux  c|uel- 
conques  a',  b\  c',  ...  on  obtient  un  ensemble  E'  qui  diffère  de 
E,  mais  dont  le  type  d'ordre  est  le  même,  pourvu  (|ue  les 
relations  d'ordre  n'aient  pas  changé,  c'est-à-dire  par  exemple 
que  a',  b\  c\  ...  soient  respectivement  le  premier,  le  second, 
le  troisième  élément  de  E',  etc.  Je  rappelle  que  l'ensemble 
E'  est  dit  semblable  à  E.  Pour  arriver  à  la  notion  du  type 
d'ordre,  ou  nombre  ordinal  «.  correspondant  à  E,  nous 
devons  faire  abstraction  des  propriétés  particulières  des 
éléments   « ,   b,  c\  ...    et  ne  tenir  compte  que   des  relations 


214  D.    MIRIMAiNOFF 

d'ordre  telles  que  ««  précède  b  ».  «  Z>  précède  c»,  etc.  Peu 
importe  par  conséquent  que  les  éléments  r/,  b,  c,  ...  soient 
des  points,  des  corps,  des  symboles...  Supposons  en  f)arti- 
culier  que  ces  éléments  soient  des  ensembles  A,  B,  C,  ... 
Cherchons  à  définir  ces  ensembles  de  telle  manière  que  leur 
structure  dérive  directement  des  relations  d'ordre  des  élé- 
ments correspondants  a,  b,  c,  ...  Il  sufiit  pour  cela  de  rem- 
placer les  mots  «  précède  »  ou  «  est  précédé  de  »  par  les 
mots  «  est  un  élément  de  »  et  «  contient  ». 

Quelle  sera  alors  par  exemple  la  structure  de  A?  L'élément 
correspondant  a  n'étant  «  précédé  »  d'aucun  autre  élément, 
A  ne  doit  «contenir»  aucun  élément;  c'est  donc  un  indé- 
composable ou  un  noyau,  que  je  désignerai  par  e.  De  môme 
l'élément  b  n'étant  précédé  que  de  l'élément  «,  B  est  un 
ensemble  qui  ne  contient  qu'un  seul  élément:  le  noyau  e. 
Donc  B  =:r  (e).  On  verra  de  même  que  C  doit  être  de  la  forme 
(e,  (e)),  etc. 

On  pourra  définir  ainsi  de  proche  en  proche  les  éléments 
suivants  D,  F,  ...  de  l'ensemble  nouveau,  qui  n'est  autre  que 
l'ensemble  S  correspondant  à  E. 

Par  cette  transformation  les  propriétés  particulières  des 
éléments  de  l'ensemble  initial  E  ont  été  éliminées;  seules 
les  relations  d'ordre  apparaissent  dans  la  structure  de  l'en- 
semble transformé. 

A  tous  les  ensembles  bien  ordonnés  du  type  y.  correspond 
un  ensemble  S  (ou  plus  exactement  un  type  de  structure  aj 
déterminé,  car  je  suppose  qu'on  fait  abstraction  des  propriétés 
[)articulières  du  noyau  e.  Et  réciproquement,  à  tout  ensemble 
S  (son  type  de  structure  correspond  un  nombre  ordinal  a 
déterminé. 

5.  —  Comme  je  1  ai  fait  remarquer  dans  le  n"  G  de  mon 
travail,  on  peut  édifier  la  théorie  des  ensembles  S  en  s'ap- 
piivant  uniquement  sur  les  propriétés  suivantes,  qu'il  faut 
alors  regarder  comme  une  définition  de  ces  ensembles. 

1.  Un  ensemble  S  est  un  ensemble  ordinaire  à  un  noyau 
(le  noyau  e). 

2.  Si  v  et  3/  sont  deux  éléments  d'un  ensemble  S,  1  un  deux 
est  un  élément  de  l'autre. 


THÉORIE    DES    ENSEMBLES  215 

3.  Si  E  est  lin  ensemble  S,  et  si  x  est  un  élément  de  E. 
tout  élément  de  x  est  un  élément  de  E. 

Indiquons  les  propriétés  les  plus  importantes  des  ensem- 
bles S  qui  découlent  de  cette  définition: 

a)  Si  X  e\  y  sont  deux  éléments  d'un  ensemble  S,  on  ne 
saurait  avoir  à  la  fois  «  x  est  un  élément  de  y  »  et  «  y  est  un 
élément  de  x  ». 

En  effet,  tout  ensemble  E  dont  les  éléments  .r,  y  sont  liés 
par  des  relations  ce  celte  forme,  possède  la  descente  E,  x, 
?/,  .r,  ...,  dans  laquelle  les  termes  .r,  y .  se  succèdent  pério- 
diquement. Cette  descente  étant  infinie,  l'ensemble  E  ne 
saurait  être  un  ensemble  S. 

b)  Soit  E,  E',  ...  E"",  e  une  descente  quelconque  de  E.  Je 
dis  que  tous  les  termes  de  cette  descente  sont  des  éléments 
de  E.  En  effet,  en  vertu  de  la  propriété  3,  cela  est  vrai  de  E" 
et  par  suite,  en  vertu  de  la  même  propriété,  de  E^^^  E*\  etc. 
En  particulier  le  noyau  e  est  un  élément  de  E. 

11  en  résulte  que  tout  ensemble  S  contient  un  élément 
indécomposable,  le  noyau  e. 

c)  Tout  élément  E'  de  E  est  un  ensemble  S. 

Il  est  évident  d'abord  que  E'  est  un  ensemble  ordinaire  à 
un  seul  noyau  (le  noyau  e). 

Soient  maintenant  x\  y'  deux  éléments  de  E'.  En  vertu  de 
la  propriété  3,  .r',  y'  sont  des  éléments  de  E;  donc,  en  vertu 
de  2,  l'un  d'eux  (.r'  par  exemple)  est  un  élément  de  l'autre 
(de  y').  Par  conséquent  E'  possède  les  propriétés  1  et  2. 

Soit  maintenant  x"  un  élément  de  x  .  En  vertu  de  la  pro- 
priété b)^  x^'  est  un  élément  de  E.  Donc,  en  vertu  de  2,  x" 
est  un  élément  de  E',  à  moins  que  E'  ne  soit  un  élément  de 
de  x'\  mais  celte  dernière  hypothèse  est  à  rejeter,  car  elle 
entraînerait  une  descente  infinie.  Donc  .r"  est  un  élément  de 
E'  et  par  consécjuent  E'  possède  les  trois  propriétés  caracté- 
ristiques des  ensembles  S. 

d)  Soité^  un  sous-ensemble  de  E.  Il  est  évident  que  &  pos- 
sède les  propriétés  1  et  2. 

Supposons  de  plus  que  l'ensemble  &  possède  aussi  la 
propriété  3  et  qu'il  diifère  de  E.  Je  dis  que  &  figure  alors 
parmi  les  éléments  de  E. 


216  n.    MIRIMANOFF 

En  effet  soit  E'  un  élément  de  E  qui  n'appartient  pas  à  S^\ 
en  vertu  de  2  et  3,  tous  les  éléments  de  &  sont  contenus  dans 
E'.  Par  conséquent  é^  est  un  sous-ensemble  de  E'.  Si  &  diffère 
de  E',  on  conclura  de  même  que  l'ensemble  ^^  est  un  sous- 
ensemble  d'un  élément  E"  de  E',  etc.  Comme  la  descente  E, 
E',  E",  ...  est  finie,  on  tombera  finalement  sur  un  terme  E*"' 
égal  à  &.  Or,  en  vertu  de  la  propriété  b]  E*"'  est  un  élé- 
ment de  E. 

Donc  «^T  est  un  élément  de  E,  si  &  diffère  de  E. 

On  en  déduit  la  propriété  suivante  que  j'ai  déjà  énoncée 
dans  le  paragraphe  précédent: 

Théorème.  Etant  donnés  deux  ensembles  S  de  même 
noyau  e,  ou  bien  ils  sont  égaux,  ou  bien  l'un  est  un  élément 
de  l'autre. 

Soient  E  et  F  deux  ensembles  S  de  même  noyau  e,  et  sup- 
posons que  E  diffère  de  F.  Je  dis  que  l'un  de  ces  ensembles 
est  un  élément  de  l'autre. 

Désignons  par  <g  l'ensemble  de  tous  les  éléments  communs 
à  E  et  F.  Soit  d'autre  part  x  un  élément  quelconque  de  &  et 
x  un  élément  quelconque  de  x.  En  vertu  de  3,  x  est  à  la  fois 
un  élément  de  E  et  un  élément  de  F.  Par  conséquent  x  est 
un  élément  de  t^'^.  Il  en  résulte  que  l'ensemble  i?>  possède  la 
propriété  3. 

Donc,  en  vertu  de  d),  ^^  est  un  élément  de  E,  si  S  diffère 
de  E  et  pour  la  même  raison  ^-,  est  un  élément  de  F,  si  (5^  dii- 
lere  de  F. 

D'ailleurs  3  ne  peut  pas  être  à  la  fois  élément  de  E  et  de 
F,  puisque,  par  définition,  «^i  est  l'ensemble  de  tous  les  élé- 
ments communs  à  E  et  F.  Par  conséquent  (^^  se  confond  avec 
l'un  des  ensembles  E,  F,  par  exemple  avec  E,  et  alors  E  est 
un  élément  de  F  ;  c.  q.  f.  d. 

L'analogie  entre  les  ensembles  S  et  les  ensembles  bien 
ordonnés  est  manifeste  ;  ce  qui  était  à  prévoir. 

En  particulier,  le  théorème  que  nous  venons  de  démontrer 
est  l'analogue  du  théorème  suivant  de  Cantor:  Etant  donnés 
deux  ensembles  bien  ordonnés,  ou  bien  ils  sont  semblables 
ou  bien  l'un  est  semblable  à  un  segment  de  l'autre. 

Du  reste,  il  résulte  immédiatement  des  propriétés  1,  2,  3 


THEORIE    DES    ENSEMBLES  217 

(|ii'à  tout  ensemble  S  correspond  un  nombre  ordinal  déter- 
miné ;  en  effet  tout  ensemble  S  peut  être  bien  ordonné  ;  il 
suffît  pour  cela  de  traduire  les  relations  «  j?  est  un  élément 
de  y  »,  où  r  et  y  sont  deux  éléments  quelconques  de  l'en- 
semble, par  les  relations  d'ordre  a.r  précède  yyy.  On  obtient 
ainsi  un  type  d'ordre  déterminé  que  dans  mon  travail  sur 
les  antinomies  j'ai  appelé  rang  de  l'ensemble  S.  En  po- 
sant le  rang  du  noyau  e  égal  à  zéro,  on  voit  immédiatement 
que  le  rang  d'un  ensemble  S  est  le  plus  petit  nombre  ordinal 
supérieur  aux  rangs  de  ses  éléments. 

L'analogie  que  je  viens  de  souligner  permet  de  ramener  la 
théorie  des  ensembles  bien  ordonnés  à  celle  des  ensembles 
S.  Je  ne  sais  si  cette  méthode  détournée  présente  des  avan- 
tages réels.  En  tout  cas  la  théorie  classique  de  Cantor  appa- 
rait  ainsi  sous  un  aspect  nouveau.  L'essentiel  pour  nous  c'est 
que  les  relations  d'ordre,  au  lieu  d'être  des  étiquettes  artifi- 
cielles, se  trouvent  en  quelque  sorte  incorporées  aux  éléments 
de  l'ensemble,  puisque  le  rang  de  chacun  d'eux  est  déterminé 
par  la  structure  de  l'élément.  Aux  nombres  ordinaux  de 
(>antor  correspondent  dans  cette  théorie  les  types  de  struc- 
ture des  ensembles  S. 

Dans  l'étude  suivante,  je  m'occuperai  plus  particulièrement 
des  antinomies  cantoriennes. 


DECOMPOSITION  DES  SEGMENTS  DE  DROITE 
EN  PARTIES  ÉGALES  1 

PAK 

Emile  Dumont  (Bruxelles). 


i.  —  DÉriMTioNS.  —  On  appelle  suite  croissante  de  segments 
une  succession  de  segments  tels,  que  chacun  à  partir  du 
second  est  supérieur  ou  égal  au  précédent.  Considérée  dans 
Tordre  inverse,  la  suite  est  dite  décroissante. 

Lorsqu'à  partir  d'un  certain  rang  tous  les  segments  d'une 
suite  sont  égaux,  la  suite  est  dite  finie  ;  le  segment  à  partir 
duquel  l'égalité   est  définitive  est  dit  le  dernier  de  la  suite. 

Une  suite  de  segments  est  dite  infinie  si  après  chacun 
d'eux  il  y  a  au  moins  un  segment  plus  grand  ou  plus  petit 
que  lui,  c'est-à-dire  si  aucun  segment  ne  peut  être  dit  «  le 
dernier  » . 

Une  suite  de  segments 

est   déterminée   si   l'on    peut   connaître    le   //'*■""  segment  G„ 
quand  on  connaît  l'entier  /? ,  quel  que  soit  celui-ci. 

2.  —  Limites.  —  On  dit,  d'une  suite  infinie  de  segments, 
qu'elle  croit  sans  limite  lorsqu'à  partir  d'un  certain  rang,  ces 
segments  sont  définitivement  plus  grands  fju'un  segment  A 
choisi  arbitrairement  grand. 

3.  —  On  dit  d'une  suite  de  segments  qu'elle  a  pour  limite 
zéro   lorsf|u'à    partir   d'un   certain  rang   ces   segments  sont 


'  La  théorie  quo  l'on  va  liro  suppose  ponniio  la  tht'orie  des  nombros  entiers.  Elle  se  place 
logiquement  en  tète  de  la  théorie  des  fonctions,  dans  un  cours  d'Arithmétique  métrique 
(voir  Scientia,  n»  35). 


DÉCOMPOSITION    DES    SEGMENTS  219 

définitivement  moindres  qu'un  segment  «  choisi  arbitraire- 
ment petit. 

4.  —  On  dit  d'une  suite  de  segments  qu'elle  a  pour  limite 
un  segment  déterminé  L  lorsque  la  suite  des  différences  entre 
L  et  ces  segments  a  pour  limite  zéro. 

Pour  qu'il  en  soit  ainsi  il  faut  et  il  suffit  évidemment  que, 
choisissant  un  segment  y.  arbitrairement  petit,  on  ait  défini- 
tivement, à  partir  d'un  certain  rang, 

L-a<G,,  <L  +  a. 

5.  —  Segment  variable.  —  Considérons,  sur  une  demi-droite 
Od,  des  segments 

OAi  =  G,   ,         OA,  =  G.,  ,    ...    ,         0A„  =  G„  ,    ... 

Imaginons  un  point  mobile  M  parcourant  successivement  les 
segments 

A,A,,  A,A3.    ...    .  A„_,A„,    ... 

Le  segment  OM,  dont  l'origine  O  est  fixe    et  l'extrémité  M 
mobile,  est  appelé  un  segment  variable.  On  peut  d'ailleurs 
se  libérer  du   point  0,  et  imaginer  un  segment  variable  G, 
constamment  égal  à  OM. 
Les  segments  de  la  suite 

G,  .  G,  .   G3 (i„  .... 

peuvent  être  considérés  comme  des  états  particuliers  succes- 
sifs que  prend  le  segment  variable  G  au  cours  de  sa  varia- 
lion,  et  l'on  peut  simplifier  le  langage  en  raisonnant  sur 
ce  segment  variable  plutôt  que  sur  les  segments  de  la  suite 
considérée. 

Ainsi  l'on  dira  respectivement,  dans  les  trois  cas  décrits 
aux  n"'  2,  .3,  4,  que  le  segment  variable  G  croît  sans  limite, 
a  pour  limite  zéro,  ou  a  [)our  limite  le  segment  L. 

On  écrira 

G    -♦    30       , 

G  -  0    ,  ou  lini  (i  =  0    , 

G  ->  L   ,  011  liin  Ci  =  L   . 

Un  segment  (jue  Ion    ne  fait  pas  varier  est  dit   «constant». 


220  E.    DU  MONT 

6.  —  Théorème.  —  Un  segment  variable  ne  peut  simulta- 
nément 

1°  Admettre  pour  limites  deux  segments  différents  ; 

2°  Admettre  pour  limites  un  segment  déteiminé  et  zéro  ; 

3°  Admettre  pour  limite  un  segment  déterminé  et  croître 
sans  limite  ; 

4°  Avoir  pour  limite  zéro  et  croître  sans  limite. 


fr K -'--> 


O  P'       A        P  Q       B       Q' 

Fig.  1. 

Soit  G  un  segment  variable.  Supposons  qu'il  puisse  avoir 
simultanément  pour  limites  deux  segments  différents  H  et  K. 
Sur  une  demi-droite  Od  prenons 

OA  =  H   ,         OB  =  K   ,         et         OM  =  G   . 

Décomposons  AB  en  deux  parties  dont  a  soit  la  plus  petite  ; 
on  aura 

AB  >  2a  . 

D'où,  prenant 

OP  =  OA  +  a  et  OQ  =  OB  —  a   , 

OP'i=OA  —  a  et  OQ'=OB  +  a, 

on  aura 

AB  =  A?  +  PQ  +  QB   . 

Si  notre  hypothèse  de  deux  limites  différentes  pour  G  était 
admissible,  G  devrait  pouvoir  satisfaire  simultanément  aux 
conditions 

H  —  a<G<H+a,  et  K  —  a<G<K  +  a, 

OU 

OF'  <  OM  <  OP         ti         OQ  <  OM  <  OQ'  . 

Or,  par  le  choix  (jue  nous  avons  fait  de  a,  nous  avons 

OP  <  OQ  . 


DÉCOMPOSITION   DES    SEGMENTS  221 

On  ne  peut  donc  pas  avoir  simultanément 
OM  <  OP  <  OQ  <  OM   . 

Un  raisonnement  analogue  montrera  rincompatibilité  des 
hypothèses  énoncées  aux  2"^,  3°  et  4"  du  théorème. 

7.  —  Remarque.  —  Quand  un  segment  variable  est  crois- 
sant : 

i"  ou  bien  il  n'existe  pas  de  segment  qu'il  ne  puisse  sur- 
passer définitivement  ;  dans  ce  cas  on  sait  que  le  segment 
variable  croît  sans  limite  (n°  5)  ; 

2°  ou  bien  il  existe  au  moins  un  segment  H  qu'il  ne  peut 
surpasser;  on  va  démontrer  que  dans  ce  cas  il  existe  un 
segment  déterminé,  limite  du  segment  croissant  considéré. 

8.  Théorème,  —  Si  un  segment  variable  G  est  croissant  à 
partir  d'un  état  initial  Gq  ,  sans  pouvoir  surpasser  un  seg- 
ment donnée,  il  admet  une  limite  L,  inférieure  ou  égale  à  H. 

Considérons  sur  une  demi-droite  Od  des  serments 

01  =  Go  .         OB  =  H   ,         OM  =  G  . 

Désignons,  d'une  façon  générale,  par  A  tout  point  que  le 
point  mobile  M  peut  atteindre  et  par  conséquent  dépasser 
sur  le  segment  IB.  [Remarquons  qu'il  n'y  a  évidemment  pas 
de  point  A  plus  éloigné  de  O  que  tous  les  autres,  j)uisque,  le 
segment  OM  étant  croissant,  le  point  M  peut  dépasser  tout 
point  A].  A  cause  de  l'hypothèse  le  point  B  ne  peut  pas  être 
dépassé  parle  point  M  ;  il  ne  peut  donc  pas  non  plus  être 
atteint  par  ce  point  mobile. 

Deux  cas  sont  maintenant  à  examiner  : 

Premier  cas.  —  S'il  n'y  a  entre  1  et  B  aucun  point  que  M 

ne  puisse  atteindre,  tout  point  compris  entre  1  et  B  est  un 

point  A.  Alors,  quelque  petit  que  Ton  choisisse  un  segment 

a.  en  prenant 

OA  =  H  -  a 

on  pourra  prendre  définitivement 

OA  <  OM  <  OB         ou  H  —  a  <  G  <  H 

et  par  consécjuent 

H  —  G  <  a  d'où  H  =  lim  G   . 


222 


E.    DUMONT 


Second  cas.  —  S'il  y  a  entre  I  et  B  au  moins  un  point  N 
que  M  ne  peut  atteindre,  alors  tout  point  du  segment  NB  est 
dans  le  même  cas.  Désignons  d'une  façon  générale  par  .\ 
tout  point  du  segment  IB  que  M  ne  peut  atteindre.  On 
observera  que  tout  point  de  IB  doit  être  évidemment  soit  un 
point  A  (comme  1),  soit  un  point  N  (comme  B)  ;  et  aucun  point 
A  ne  peut  se  trouver  à  droite  d'un  point  N. 


-H- 


fe G 


-> — ^> 


O 


I 


A    M 


Fis 


B 


Il  en  résulte  que  le  segment  IB  se  trouve  partagé  en  deux 
parties:  le  lieu  géométrique  des  points  IV  et  le  lieu  géomé- 
trique des  points  A;  parties  qui,  d'une  part  ne  chevauchent 
pas,  et  d'autre  part  englobent  tous  les  points  de  IB. 

Le  partage  de  IB  en  deux  parties  répondant  à  ces  deux 
(conditions  ne  peut  se  faire  qu'au  moyen  d'un  point  C^ 

Tout  point  compris  entre  G  et  I  est  un  point  A,  et  tout 
point  compris  entre  G  et  B  est  un  point  N  ;  quant  au 
point  G  lui-même,  s'il  était  un  point  A,  il  y  aurait  des  points 
A  entre  G  et  B  ce  qui  n'est  pas;  le  point  G  est  donc  un  point 
N  ;  et  il  joue  donc  dans  ce  deuxième  cas  le  même  rôle  que 
le  point  B  jouait  dans  le  premier  cas.  Par  conséquent  on  peut 
lui  appliquer  la  conclusion  obtenue  dans  ce  cas  et  posant 
OG  =  L,  on  aura 


OC  =  lim  OM 


L  =  lim  G  <  Il    . 


'  Le  lecteur  qui  ne  considérerait  pas  l'existence  du  point  C  comme  démontrée  par  mon  rai- 
sonnement est  prié  de  l'admettre  à  titre  de  postulat,  à  l'exemple  de  plusieurs  autours. 
Ainsi,  Dkdkkind  énonce  les  deux  postulats  suivants  : 

l»  Entre  deux  points  d'une  ligne  il  y  a  toujours  au  moins  un  point  intermédiaire; 

J"  Si  une  ligne  est  divisée  on  deux  parties  (classes  de  points)  de  telle  façon  que  : 

a)  chaque  point  de  la  ligne  appartienne  à  l'une  ou  à  l'autre  de  ces  parties  ; 

h)  chaque  point  de  la  première  partie  précède  idans  un  sens  donné  de  la  ligne)  chaque 
point  de  la  seconde  ; 

il  existe  alors  un  point  de  séparation  qui  ne  suit  aucun  point  de  la  première  partie  et 
que  ne  précède  aucun  point  de  la  seconde. 


DÉCOMPOSITION    DES    SEGMENTS  223 

9.  —  Remarque.  —  Quand  un  segment  variable  est  décrois- 
sant: l'^ou  bien  il  n'existe  pas  de  segment  tel  que  le  segment 
variable  ne  puisse  devenir  (définitivement)  moindre  que  bii. 

On  sait  que  dans  ce  cas  on  dit  que  le  segment  variable  a 
pour  limite  zéro. 

2°  Ou  bien  il  existe  au  moins  un  segment  tel  que  le  seg- 
ment variable  ne  puisse  pas  devenir  moindre  que  lui. 

On  démontre  par  le  même  raisonnement  qu'au  n"  8  que 
dans  ce  cas  il  existe  un  segment  déterminé,  limite  du  seg- 
ment décroissant  considéré. 

10.  —  Théorème.  —  Lorsqu'un  segment  variable  est  cons- 
tamment compris  entre  deux  autres  variables  qui  ont  une 
même  limite,  le  segment  intermédiaire  a  la  même  limite. 

Considérons  les  trois  segments  variables  G,  H  et  K,  véri- 
fiant constamment  les  conditions  : 

H  <  G  <  K 
et  soit 

L  ^  lim  H  =  liui  K    . 

Je  dis  qu'on  a  aussi 

L  =  lim  G   . 

Il  sufiit  de  prouver  que,  choisissant  un  segment  a  arbitrai- 
rement petit,  on  peut  amener  G  à  satisfaire  définitivement 
aux  conditions  L  —  a  <  G  <  i.  +  a. 

Or  on  peut  amener  H  et  K  à  satisfaire  définitivement  et 
simultanément  à  ces  conditions  ;  et  quand  on  a  simultané- 
ment et  définitivement 

!,  —  a<H<L4-a,         L—  a<K<L4-7.   ,        et         I1<G<K, 

on  en  déduit 

L  —  a  <  H  <  G  <  K  <  L  +  a  C  Q.  I- .  D. 

11.  — •  Corollaire.  —  Lorsqu'un  segment  variable  est  cons- 
tamment compris  entre  un  autre  segment  variable  et  un  seg- 
ment constant,  limite  de  celui-ci,  il  a  la  même  limite. 

12.  —  TnÉORiiME.  —  Si  deux  segments  variables  ont  simul- 
tanément chacun  une  limite,  leur  somme  et  leur  différence  ont 


224  E.     DU  MONT 

des  limites  respectivement  égales  à  la  somme  et  à  la  différence 
des  limites  des  variables. 

Soient  G  et  H  deux  segments  variables  ayant  respective- 
ment pour  limites  K  et  L. 

1°  Je  dis  que  G  +  Il  a  une  limite  égale  à  K  +  L. 

Soit  a  un  segment  aussi  petit  que  nous  voulons.  Décom- 
posons a  en  deux  parties  /S  et  y. 

Je  puis  amener  G  et  H  à  satisfaire  simultanément  et  défini- 
tivement aux  conditions 

K-,3<G<K  +  .f;,         L_y<H<L+Y. 

D'où  en  même  temps  et  définitivement 

(K  +  L)  _a<G  +  H<|K  +  L)  +  a. 

Donc  on  a 

K  +  L  =  lim  (G  +  H)  =  lim  G  +  lini  H   . 

2"  Je  dis  que  la  différence  entre  G  et  H  a  une  limite  égale 
à  K  —  L  (en  supposant  K  >  L). 

Choisissons  un  segment  «  aussi  petit  que  nous  voulons, 
et  moindre  que  K  —  L.  Décomposons-le  en  deux  parties  /S  et  y. 

Nous  aurons 

;j  +  y  <  K  —  L         d'où         L  +  V  <;  K  —  ,3  . 

Nous  pouvons  amener  G  et  H  à  satisfaire  simultanément 
et  définitivement  aux  conditions 

L-y<H<L  +  Y<K  —  fî<G<K  +  ^  . 

d'où 

(K  —  L)  -  (,^  +  y)<  G  -  H  <  (K  —  L)  +  (,3  +  V)   . 

OU 

(K  _  L)  —  a  <  G  —  H  <  (K  —  L)  +  a  . 

Donc  on  a 

K  —  L  =  lim  iG  —  H)  =  lim  G  —  lim  11    . 

l.'i.  —  Corollaire.  —  Si  G  est  un  segment  variable  admet- 
tant une  limite^  et  si  n  est  un  nombre  entier  déterminé,  on  a 

«  lim  G  =  lim  («G|    . 

14.  —  Théorème.  —  Si  un  segment  variable  G  a  pour  limite 


DÉCOMPOSITION   DES    SEGMENTS  225 

zéro,  et  sin  est  un  nombre  entier  déterminé,  le  segment  nG  a 
aussi  pour  limite  zéro. 

En  effet,  soit  a  un  segment  aussi  petit  que  nous  voulons; 
décomposons-le  en  n  parties  quelconques,  dont  la  plus  petite 
soit/3. 

On  a  donc  n  (S  <^  ce. 

Nous  pouvons  par  hypothèse  amener  G  à  satisfaire  défini- 
tivement a  la  condition 

G  <  .'i  , 

d'où,  définitivement  aussi, 

nG  <^  «|i  ■<^  a  , 

OU 

lim  («G|  =  0  . 
G-+0 

15.  —  Théorème.  —  Les  multiples  successifs 

A  ,   2A  ,   :JA  ,   ...  «A  ,   ... 

d'un  segment  constant  A,  forment  une  suite  infinie  croissant 
sans  limite,  quelque  petit  que  soit  A  ^ 

En  effet,  la  suite  considérée  est  évidemment  croissante. 
Si  elle  ne  croissait  pas  sans  limite,  nous  savons  qu'elle  aurait 
une  limite  L  supérieure  à  tous  les  segments  de  la  suite  ;  donc, 
choisissant  un  segment  arbitrairement  petit,  par  exemple  A 
lui-même,  on  pourrait  piendre  n  assez  grand  pour  que  Ton 
ait  définitivement  n  A  compris  entre  L  et  L  —  A  : 

L  —  A  <  «A  <  L         d'où         I.  <  («  4-  llA   . 

Don(!  le  segment  n  +  1)  A  ainsi  que  tous  les  suivants 
seraient  supérieurs  à  L  et  non  tous  moindres  que  L. 

Cette  conclusion  étant  incompatible  avec  l'hypothèse  que 
L  soit  supérieur  à  tous  les  segments  de  la  suite  considérée, 
celle-ci  n'a  donc  |)as  de  limite,  et  par  consécjuenl  elle  croît 
sans  limite  (7). 


•  Ce  théorème  n'est  autre  que  la  proposition  admise  souvent  sans  démonstration  sous  le 
nom  de  Postulai  d'Aichimcde. 

L'Enseignement  matliém.,   19«  année;   1917.  15 


226  E.    DU  M  ONT 

16.  —  Théorème.  —  Si  l'on  considère  une  suite  infinie  de 

^0.    \.    A,,    A3,     ... 

satisfaisant  à  la  condition  générale 

dans   laquelle  n  est  un   nombre  entier  déterminé,   la  suite 
infinie  considérée  a  pour  limite  zéro. 

Choisissons  un  segment  a  arbitrairement  petit,  et  moindre 
que  A(j .  Le  théorème  revient  à  démontrer  qu'il  existe  dans  la 

suite  décroissante 

\,  \,  \,  ... 

un  segment  moindre  que  «,  quelque  petit  que  soit  celui-ci 
Les  conditions 

Al  >  n\   . 
\n-^  >  '^\n  ■ 

donnent 

A„  >  «  A,  >  n'\,  >  ,.='A3  >     . .  >  «"'A,„  . 

d'où 

Ao  >  n'"  A'"   . 

relation  qui  est  vérifiée  quel  que  soit  m. 

Quelque  petit  que  soit  le  segmenta,   nous  savons  que  la 
suite  infinie 

a  ,    2a  ,   3a  ,    .    .  ,   m  ,    .  .  .  ,   n^a.  ,    .  .  .  ,    n"'a  ,    .  .  . 

croît  sans   limite  ;  il  en  est  donc  de  même  a   fortiori  de  la 
suite 

HT.  ,   n'^a.  ,   n^a. n'"  a.  .... 

Les  termes  de  cette  dernière  suite  arrivent  donc  à  sur- 
passer Aj,;  soit  par  exemple 

«^a>  A„ 

en  même  temps  que 

A„>"''A^  . 


DÉCOMPOSITION   DES    SEGMENTS  227 

Comparant  ces  deux  relations,  on  en  déduit 

nPa.:>nP\p  ou  \<^  C.Q.F.D. 

17.  —  Théorème.  —  Tout  segment  est  décomposable  en  un 
nombre  arbitraire  de  parties  égales. 

Considérons  un  segment  arbitraire  G  et  un  nombre  entier 
n;  je  dis  qu'il  existe  un  segment  H  tel  que  Ton  ait 

G  r=  «H    . 

Prenons  sur  une  demi-droite  Od 

OA  =  G  . 

Décomposons  OA  en  n  parties  quelconques,  et  soient 
0B[  et  OBj  deux  segments  respectivement  égaux  à  la  plus 
petite  et  à  la  plus  grande  de  ces  n  parties.  Soient 

n.OB'  =  OA'  .  /(OB"  =  AO"  . 


■> 


a 


O  b;         B"  A',  A  A'; 

Fig.  3. 

on  aura  évidemment 

Oa|  <  o.a  <  OA^"  . 
Posons 

a;a  =  A,  , 

et  décomposons  \  en  n  parties  quelconques  dont  la  plus 
petite  soit  A,  ;  on  a  alors 

\>n\  . 

Comparons  Aq  ou  A]  A  aux  multiples  successifs  de  /?A,  .  Nous 
savons  (n"  15}  qu'il  existe  un  premier  multiple  de  //A,  plus 
grand  que  A|A  ;  soit 

(m+  \][n\] 


228  E.    DU  MONT 

ce  segment,  m  désignant  un  certain  nombre  entier  supérieur 
ou  égal  à  1. 

Le  multiple  précédent,  c'est-à-dire  m  («Ai  ,  peut  ou  bien 
être  égal  à  A]  A,  ou  bien  être  moindre  oue  lui  on  sait  que 
/?Ai  est  moindre  que  A'Aj. 

Dans  \e premier  cas,  on  aura 

On  a  vu  qu'on  a  aussi 

Oa'  =  iiOB    : 

1  1 

ajoutant  membre  à  membre  on  obtient 

OA  =  /;(OB^  +  HiA.i   ,  ou         G  =  nU 

en  posant 

on[  +  m\  =  H   . 

Dans  le  second  cas  on  aura 

m{nl^]  <  AJA  <  im  4-  l)(/i  A,)  : 

d'où  ajoutant 

OAJ  =  nOB[ 

on  obtient 

/;[0B;  +  m  A,]  <  OA  <  n[OB[  +  [m  +  1)A,] 

inégalités  d'où  l'on  déduit 

OA  —  «[OBJ  +  m\]  <  n\    . 

Posant 

ob;  +  ,»A,  =  ob;>  ob; 

et 

ii\OB'  +  /«A,l  =  «OB'  =  oa'  >  //OB'  =  OA' 

et  remarquant  que,  des  inégalités 

OA^  <  OA  <  0A['  d'où  tiOi\  <  nOB' 

on  déduit 

ob;  <  ob;'  . 


DÉCOMPOSITION    DES    SEGMENTS 
ces  relations  deviennent 


229 


et 


OA]  <  OA^  <  OA   ,         avec         OA  —  OA^  =  A^A  <  h  A, 

ob;  <  ob;  <  ob;  . 

-     G 


0  b;  Bg     L 


A. 

Fis.  4. 


Ag    A 


A" 


Considérons   maintenant  le  plus  petit  des  deux  segments 

A,        et       AA 

et  décomposons-le  en  ii  parties  arbitraires  dont  la  plus 
petite  soit  ^A,  ;  on  a  alors  simultanément 

A,  >  ni.,  et  A^A  >  n  \.-,   . 

Comparons  le  segment  A[  A  aux  multiples  successifs  de 
«Ao ,  comme  nous  avons  comparé  A^A  aux  multiples  de  /?A,  . 
Nous  obtiendrons,  ou  bien 

oa  =  «[ob;  +  pA,] 
ou  bien 

OA'  <  OA'  <  OA'  <  OA         et         OB'  <  OB'  <  OB'  <  OB" 
avec  les  conditions 

OB^  =  OB^  +  P\   ,  OA^  =  «OB^  ,  et  A^A  <  «A.,   : 

et  ainsi  de  suite. 

Procédant  toujours  d'après  la  même  loi,  deux  circonstances 
pourront  se  présenter  à  la  longue  : 

1**  Ou  bien  il  arrivera  que  Ton  obtienne 

OA  =  ;»[0B|.+  .sA,.]         ou         G  =  /(H 
et  le  théorème  est  démontré  dans  ce  cas. 


230  E.    DU  MONT 

2**  Ou  bien  la  circonstance  examinée  au  l**  ne  se  présentera 
jamais,  quelque  loin  que  l'on  pousse  les  opérations. 

Dans  ce  cas  on  aura  créé  une  loi  de  formation  de  trois 
suites  infinies  de  segments  : 

la  suite  croissante  OA     ,      OA     ,      OA     ....  (1) 

1  J  8  ' 

la  suite  croissante  Ol'/   ,      OB^  ,     OB'   ....  (2) 

la  suite  décroissante  A,,   ,      A,    ,      A.,    ,      Aj   ,    . . .  (3) 

La  première  a  tous  ses  termes  moindres  que  OA,  donc 
(n"  8)  elle  a  une  limite  ^  OA. 

La  seconde  suite  est  liée  à  la  première  par  la  relation 
générale 

OA^  =  «OB',.  : 

de  plus  elle  a  tous  ses  ternies  moindres  que  OB"^,  donc  elle  a 
une  limite  r^  OB'] . 

La  troisième  suite  vérifie  la  condition  générale 

donc  (n°  16)  elle  a  pour  limite  zéro  ;  il  en  est  donc  de  même 
(n°  14)  de  la  suite 

/(A,    ,      «  Ao    ,      /(  A.,    ,    .  .  .  (4) 

Or,  si  l'on  considère  la  suite  infinie  des  différences  entre 
OA  et  les  termes  de  la  suite  (1),  c'est-à-dire 

A;a  ,     a;a  ,     A^A   ,    ...  (5) 

on  sait  que  les  suites  (4)  et  (5)  sont  liées  par  la  condition 
générale 

a',.  A  <  nA,._,    ; 

il  en  résulte  que  si  la  suite  (4)  a  pour  limite  zéro,  il  en  sera 
de  même  a  fortiori  de  la  suite  5)  puisque  celle-ci  a  ses  termes 
respectivement  moindres  que  ceux  de  celle-là.  On  conclut 
de  là,  par  définition  des  limites,  que  la  suite  (1)  a  pour  limite 
OA,  ce  que  nous  écrirons 

OA  =  iim  OA'    . 


DÉCOMPOSITION  DES    SEGMENTS  231 

Considérons  à  nouveau  la  suite  (2).  Nous  avons  vu  qu'elle  a 
une  limite  ^  OB^  ;  désignons  cette  limite  par  H,  et  soit 

OB  =  H  =  lim  OB'    ; 


je  dis  qu'on  a 
En  effet,  on  a 


OA  =  nOB 


OA  =  lim  OA^  —  lim  [nOB^] 
et  en  vertu  du  théorème  du  n°  13 

lim  («OB^I  =:  n  lim  OB^  =  «OB 

d'où 

OA  =  «OB         ou         G  =  «H  . 

Le  théorème  est  donc  démontré  dans  tous  les  cas. 

18.  —  Remarque.  — Quel  que  soit  le  procédé  géométrique 
adopté  pour  décomposer  un  segment  G  en  n  parties  égales, 
on  obtient  toujours  le  môme  résultat  ;  c'est-à-dire  qu'il 
n'existe  pas  deux  segments  différents  H  et  K  tels  que  l'on  ait 
simultanément 

G  =  «H         et         G  =  «K   . 

En  effet,  si  l'on  suppose  par  exemple  K  >  H  on  aura 

K  =  H  +  (K  —  H)         d'où         «K  =  «H  +  n\\\  —  H|  >  «H   . 

19.  —  DÉFINITIONS.  —  Chacun  des  segments  égaux  obtenus 
par  la  décomposition  d'un  segment  G  en  n  parties  égales 
s'appelle  la  n^^'"^ partie  de  G,  et  se  représente  par  le  symbole 

G 
n 

On  a  donc 

G  „ 

—  .  H  r=  G   . 
n 

ç 

On  dit  que  le  segment  -  est  contenu  n  fois  dans  G.  On  appelle 

partie  aliquote  d'un  segment   G   tout  segment  contenu   un 
nombre  entier  quelconque  de  fois  dans  G. 


232  E.    DU  M  ONT 

20.  —  Théorème.  — :  Les  parties  aliquotes  d'un  segment  G 
constituent  une  suite  infinie  décroissante 

G        G        G  G 

2"'    ^'    T'--'     «'■■• 

ayant  pour  limite  zéro. 

Choisissons  un  segment  «  arbitrairement  petit;  le  théo- 
rème revient  à  démontrer  qu'il  existe  dans  la  suite  considérée 
un  segment  moindre  que  a.  Or,  la  suite 

a   ,      2a   ,      3a   ,      4a   ,    .  .  . 

croit  sans  limite  ;  donc  on  peut  prendre  n  de  façon  à  vérifier 
la  condition 

^  G  G 

Aia  ^  G   ,  ou  na.  ^  n—         ou  encore  a  ^  —  . 

n  n 

D'ailleurs,  la  suite  considérée  est  décroissante,  car  si  Ion 
suppose  par  exemple  p  ^  «,  on  aura 

^GG  G^G  G^G 

G=zii—  =  p~,  et  n—  <'  p—         ou         p—<^p~, 

n        ^   p  n        '    n  '    p        '   n 


d'où  l'on  tire 


La  condition 


5<5 

P  « 


G 
-<a 


est  donc  vérifiée  définitivement. 

21.  —  Remarque,  —  La  théorie  qui  précède  est  applicable 
non  seulement  aux  segments  de  droite,  mais  aussi  aux  arcs 
de  circonférence  d'un  même  rayon  et  aux  arcs  d'hélice  de 
même  pas  sur  un  même  cylindre  circulaire  droit,  et  par  con- 
séquent aux  angles  et  à  toutes  les  grandeurs  géométriques 
directement  mesurables. 

Front  belge  de  TYser,  avril  1917. 


NOTIONS  D'ARITHMOGÉOMETRIE 

PAR 

Emile  Turrière  (Montpellier). 

(4e  article)  • 


L'arithraotrigonométrie. 

70.  —  C  est  dans  une  pièce  en  date  du  P'  mai  1780,  De 
casibus  quibusdam  maxime  memorabilibiis  in  analysi  inde- 
terminata,  ubi  imprimis  insignis  usiis  calculi  aiigiilorum  in 
analysi  Diophonlea  ostenditiir^,  que  L.  Euler  a  introduit 
l'usage  des  nombres  trigonométriques  pour  l'étude  de  cer- 
taines équations  de  l'analyse  diophantine. 

Ce  mémoire  traite  de  deux  problèmes;  chacun  d'eux  est 
résolu  d'abord  par  la  méthode  algébrique;  Eller  montre 
ensuite  combien  est  avantageux  l'usage  des  rapports  trigo- 
nométriques de  certains  angles  auxiliaires  pour  la  résolution 
de  chacun  de  ces  deux  problèmes. 

Le  premier  problème  est  relatif  à  la  résolution  de  l'équa- 
tion du  quatrième  degré  à  quatre  variables  : 

.»■-'  +  v-"  +  -■•  +  vJ  -  2(a-2_v2  +  _r-'r.2  +  z'-.r-)  +  •2>'-|.r-  +  y^-  +  c^l  —  0   , 

admettant  entre  autres  solutions  entières  les  trois  systèmes 
qui  suivent  : 

.r  =  20   ,  y  =  i:    ,  r.  =  i:    ,  i-  =  12    ; 

.•{9   ,  2.')   .  20   ,  12   ; 

78    ,  (iô   ,  2'.)    .  2'»    . 


*  Voir  VKnseiffnenient  inatkéniatique.   18»  annOe,   15  mars  191(1,  pp.  81-11(1,   et   15  novembre 
1916,  pp.  397-'i28  ;   19»  année,  15  mai  1917,  pp.  1.59-191. 

•  Coinmenlationes  arithmetiar.  tomiis  posterior,  pp.  .3G6-.379. 


234  E.     TURRIÈRE 

En  posant 


EuLER  montre  que  toute  la  question  revient  à  déterminer 
deux  arcs  a  et  /3  dont  les  nombres  trigonométriques  sont 
rationnels  et  qui  sont  en  outre  tels  que  le  produit  de  sin  a 
et  de  sin /S  soit  un  carré. 

Le   second  problème,  qui   consiste   de  même  à  résoudre 
l'équation 


douée  de  solutions  telles  que 


X   - 

-    14  , 

y 

=    8   , 

z=    5  , 

»■  =    3 

72  , 

35   , 

33  . 

14 

165  . 

99  , 

56  , 

32 

se  traite  d'une  manière  analogue,  en  posant 

xy  xz 

-^  =  cotane:  a   ,  —  =  cotangr  3  . 

vz  ^  yy  ^  ' 

et  en  déterminant  des  angles  a  et  /3,  à  rapports  trigonomé- 
triques rationnels,  tels  que 

cotang  a  .   cotang  |i  =r  □    . 

A  la  même  date,  c'est-à-dire  encore  le  1®""  mai  1780,  nous 
trouvons  une  autre  pièce  d'Euler  consacrée  aux  angles  d'un 
quadrilatère  tels  que  leurs  sinus  soient  proportionnels  à  des 
nombres  rationnels  donnés:  Iiivestigatio  quadrilateri  in  quo 
singuloriim  angiilorum  sinus  datam  inter  se  teneant  ratio- 
nem  ;  ubi  arlificia  prorsus  singularia  in  analysi  Diophantea 
occurrunt  ^ 

Si,  par  exemple,  les  nombres  donnés  sont  15,  14,  11  et  6, 
les  angles  demandés  sont: 

A  =     92"  23'  16"  , 

B  =  111°  10' 06"  , 

C  —  132°  53'  14"  . 

D  =     23°  33'  24"  , 


*  Commentalinnes  arithmetica',  t.  II.  pp.  380-.'!)l. 


ARITHMOG  EOMETRIE  235 

dont  la  somme  est  bien  360°  et  dont  les  nombres  trigono- 
métriqiies  sont  : 

sin  A  =  :^  1/23   .         cos  A  =  —  —    , 
2db  2^ 

sin  B  =  -—  \/23   ,         cos  B  ^ , 

36  36 

11     ,—  i9 

sin  C  =  ~  y  23   ,  cos  C  :=  —  —    , 

1        —  11 

sin  Jy  =    -   V23   .  cos  1)  =  —  —  . 

La  solution  de  ce  problème  peut  être  obtenue  d'une  ma- 
nière très  rapide  en  introduisant  le  rapport  commun  de 
sin  A,  sin  B,  sin  C  et  sin  D  aux  nombres  donnés  «,  b^  c  et  d. 
Si,  en  effet,  on  pose 

siu  A  =  ci.r   ,  sin  B  =  ^x  ,  sin  C  =:  c.r   ,  sin  D  =  ^.r  , 

la  condition  A  +  B  +  C  +  D  =  2;:  se  traduit  par  une  équa- 
tion du  premier  degré  en  .x^;  d'une  manière  générale,  les 
expressions  des  quatre  sinus  sont  irrationnelles,  les  nombres 
a,  b,  c,  d  étant  multipliés  par  la  racine  carrée  d'un  même 
nombre  rationneP  :  c'est  ce  cjui  se  produit  pour  les  trois 
exemples  numériques  traités  complètement  par  Eller. 

71.  —  Cette  introduction  des  rapports  trigonométriques 
de  certains  angles  dans  des  recherches  arithmétiques,  cette 
confrontation  de  la  trigonométrie  plane  fet  peut-être  aussi 
de  la  trigonométrie  sphérique)  et  de  l'analyse  diophantine 
semblent  devoir  présenter  un  intérêt  comparable  à  celui  de 
l'arithmogéométrie,  dont  le  fondement  n'est  autre  que  la 
confrontation  des  grandeurs  de  la  géométrie  et  des  nombres 
rationnels. 

Indépendamment  des  considérations  d'EuLKR  sur  l'avan- 
tage que  peut  présenter  l'introduction  des  angles  dans  l'étude 
de  certains  problèmes  diophantins,  j'avais  rencontré  —  dans 
les  derniers  paragraphes  de  mon  examen  du  Problème  de 
Jean  de  Palerme  et  de  Léonard  de  Pise  —  des  équations  tri- 


*  M  serait  intoressant  de  rechercher,  .i  ce  propos,  si,  pour  un  choix  convenable  des  données 
a,  b,  c,  d,  les  quatre  sinus  peuvent  être  rationnels. 


236  E.     TURRIERE 

gonométriques  particulières  ^  Les  théorèmes  de  F'ermat  et  de 
Frénicle  relatifs  à  l'inexistence  d'arithmotriaiigles  pylhago- 
riqiies,  dont  Taire  soit  un  carré  parfait  ou  le  double  d'un  tel 
cai'ré,  se  traduisent  par  des  équations 

sin  26  =  □    , 
2sin  20  r=  □    , 

impossibles  si  tang—  doit  être  un  nombre  rationnel. 

Ces  exemples  simples  suflisent  pour  permettre  d'intro- 
duire avec  clarté  et  précision  la  notion  à' équation  arilJimo- 
trigonoméliique.  Par  définition,  une  lelie  équation  est  une 
équation  à  coefficients  rationnels  dans  laquelle  un  certain 
nombre  d'inconnues  x,,  x., ,  ...  ,  Xn  sont  engagées  par  leurs 
seuls   rapports  trigononiétriques  et   dont   les   solutions  sont 

telles  (lue  tanof-^,   lano-^,  ...   Vawç^'^  soient  des  nombres  ra- 

j  no  ^2  ^^2 

tionnels.  En  d'autres  termes,  ces  angles  .i, ,  ...  ,  .r„  dont 
la  présence  dans  l'équation  trigonométrique,  au   sens  liabi- 


*  Lorsque  j"écriv;iis,  en  septembre  1915,  les  remarques  sur  le  problème  de  Léonard  de  Pise 
et  de  Jean  de  Païenne,  ou  même  les  premières  pages  des  Notions  d'arithmogé.omélrie,  y  me 
Ironvjiis  d;ins  liibsoliie  iuipossibilité  de  ftiire  l.i  uuiindre  recherche  bibliographique.  C/était 
donc  de  ni«-inoire  que  je  citais  Fi:hmat  .t  l'occasion  de  l'impossibilité  de  certaines  équations. 

Voici  maintenant  les  renseignements  historiques  nécessaires.  C'est  à  propos  du  problème 
20  de  Hachkt  [trouver  un  ariLhmol  riangle  pythagorique  dont  Taire  soit  égale  à  un  nombre 
donné],  qui  se  rattache  bii-mème  à  la  ati"  question  du  Vh  livre  de  X'Arithmètiqne  de  Dioi'H  a.ntk- 
que   Kkiimat  observa  que  L'aire  d'un  triangle  rectangle  en  nombres  ne  peut  l'tie  un  carre. 

Cette  même  proposition  négative  se  trouve  aussi  dans  la  lettre  de  Fkr.mat  à  Caroavi, 
d'août  1G59,  dont  une  copie;  par  Huvoi'Ns  nous  a  été  iransuiise  (œuvres  de  Fermât,  t.  2,  p.  431|. 

Frkmci.k  [Traité  des  triangles  rectangles  en  nombres,  dans  lequel  plusieurs  belles  pro- 
priétés sont  démontrées  par  de  nouveaux  principes,  Paris,  1671))  donne  ce  même  théorème 
à  la  page  100. 

A  noter  aussi  une  pièce  du  2!)  décembre  IIÎTS.  Invenirc  triangulnm  in  nunicris  cujus  area 
sit  qundratus  il.eihnizens  matnematische  Schriflen,  Gerhardt.  III.  p.  120-125i  dans  laquelle 
Leihm/.  retrouve  cette  même  impossibilité. 

Leibniz  établit  aussi  l'impossibilité  de  chacune  des  équations 


la  première  est  équivalente  k 


.X*  -  ,1*  =  a  : 
2  tang  0  =  D   . 


La  seconde  a  été  considérée  par  Fkrmat  (Observations  sur  Diophante,   VI,  26). 

En  ce  qui  ccmcerne  d'autre  part  l'inexistence  d'arithmotriangles  pythagoriqnes  dont  l'aire 
soit  le  double  d'un  nombre  carre,  c'est  à  la  page  101  du  Traite  de  Fhk.m<:i.k  qu'elle  est  énoncée 
et  établie.   Plus  loin  d'ailleurs  (p.  llli,  Krk.mcle  indique  l'impossibilité  de  l'équation  ïi^hj- 

valente  : 

.'*  +  .V*  =  D 

que  Fkrmat  a  de  son  côté  mentionnée  comme  impossible  dans  son  observation   VI,   i'U. 


ARITH  MOGEOMETHIE  237 

tuel  de  cette  expression,  en  l'ait  une  équation  arithmotrigo- 
nométriqiie,  sont  des  angles  d'une  espèce  toute  particulière 
que  nous  connaissons  bien  déjà  :  ce  sont  les  angles  des 
arithmotriangles  pythagoriques.  Dans  ces  conditions,  V Arith- 
?notrigoRométrie,  c'est  à-dire  l'ensemble  des  propi-iétés  de 
toutes  les  équations  aritlimotrigonoinélriques,  n'offre  aucune 
originalité,  mais  c'est  une  nouvelle  forme  avantageuse  d'ex- 
position des  faits  qui  constituent  la  a  Géométrie  des  triangles 
rectangles  en  nombres»  telle  que  la  concevaient  Diophante, 
Fermât  ou  Frénicle. 

L'arithmotrigonométrie  mérite  d'être  étudiée  ici.  Ce  qui 
fait,  en  effet,  le  plus  défaut  dans  la  théorie  des  nombres,  ce 
n'est  pas  une  théorie  générale;  ce  n'est  pas  non  plus  une 
base  métaphysique  solide;  ce  qui  fait  défaut,  dis-je,  c'est 
une  méthode  de  résolution  des  équations  en  nombres  ration- 
nels ou  entiers.  Toute  considération  qui  peut  conduire  à  des 
moyens  pratiques  de  détermination  des  solutions  est  la  bien- 
venue dans  le  monde  mystérieux  des  nombres.  C'est  ce  qui 
me  décida  à  consacrer  tant  de  pages  aux  présentes  notions 
trarithmogéométrie,  dès  que  je  reconnus  que  l'intuition 
géométri(|ue  pouvait  apporter  (juelques  perfectionnements  à 
l'analvse  diophantine.  C'est  encore  pour  une  raison  iden- 
tique que  je  crois  devoir  donner  un  tel  développement  à  ces 
principes  d'arithmotrigonon)élrie. 

72.  —  Les  équations  qui  viennent  d'être  rappelées  ci- 
dessus  et  qui  sont  étroitement  liées  aux  deux  théorèmes  de 
Fermât  et  de  Frénicle  sur  l'aire  d'un  arithmotriangle  pytha- 
gorique  sont  évidemment  équivalentes  aux  équations 

langO  =  □  et  2taijgO  =  □   ; 

celles-ci  sont  don(;  impossibles  du  point  de  vue  arithmo- 
trigonométri(jue.  Cette  impossibilité  des  é(juations  arilhmo- 
trigonométri(jues 

laiigO  =  □    .  2langO  =  □   , 

et  des  éf|uations  (|ui  en  dérivent  manifestement,  telles  que 
les  équations  arithmotrigonométriques 

sin20  =  n    ,  2siii20  =  Q    • 


238  E.     TURRIERE 

OU  encore  des  équations  algébriques  remarquables  qui  leur 
sont  équivalentes,  présente  une  grande  importance  dans  la 
théorie  des  nombres  et  dans  l'histoire  de  son  développement. 
Nombreuses  sont,  en  effet,  les  propositions  trouvées  et 
retrouvées  sur  ces  différentes  équations  ou  sur  les  figures 
géométriques  (les  arithmotriangles  pythagoriques  notam- 
ment) qui  leur  sont  liées.  En  réalité,  il  s'agit  d'une  unique 
propriété  de  la  théorie  des  nombres.  Tout  d'abord,  il  faut 
observer  que  les  équations 

tang  6  =  □  .  2  sin  29  =  □   , 

sont  identiques  entre  elles  et  qu'il  en  est  de  même  des  équa7 
tions  : 

2  tang  6  =  Q   .  sin  26  =  Q   • 

Reste  à  prouver  que  les  équations  sin  29  =\^  et  2sin  2^  ^  □ 
sont  équivalentes  par  changement  de  variable.  Il  suffit  de 
remarquer  que  l'équation  impossible 

considérée  par  Euler^  devient 

2XY(X'»  —  Y")  =  □   , 

au  moyen  de  la  transformation  affine  définie  par  les  équations 

^'  +  y  =  ^  '       -ï  —  j  =  Y  . 

En  posant  alors 

6 
y  =  xtang- 

dans  l'une  et  l'autre  des  deux  équations  impossibles  équi- 
valentes : 

xy(x*  -  /)  =  n  .     2xj(x'»  —  /)  =  n  . 

il  vient  : 

sin  26  =  [J         et         2  sin  26  =  Q   • 

L'impossibilité  de  l'une  des  équations  entraîne  donc  celle 
de  l'autre.  Et,  par  suite,  il  y  a  équivalence  entre  les  deux- 
propositions  négatives  de  Fermât  et  de  Frénicle  relatives  à 


'  Investigatio  binorum  namerorurn  formée  xyix*  —  v*l>  quorum  prnductnm,  sive  quntus  sit 
quadratuin  (14,  aoiit  1780).   Commentationes  urithmetics-,  toniiis  posterior,   pp.  4.'<8-Vi6. 


ARITHMOGEOMETRIE  239 

l'inexistence  d'arithniotriangles  pythagoriqnes  dont  l'aire 
soit  un  carré  ou  le  double  d'un  carré. 

73.  —  Impossibilité  de  sin©  =  D  et  de  cos^  ^=  D^  de 
2sin^=n  ET  DE  2cos^  =  □• 

Je   viens    de    dire    que    les    équations    arithmolrigonomé- 

triques 

tangO  =  Q         et         2tang6  =  [3 

étaient  séparément  impossibles,  comme  attachées  aux  pro- 
blèmes des  arithmotriangles   pythagoriques   dont  Taire  est 
un  carré  parfait  ou  le  double  d'un  carré. 
Les  quatre  équations  suivantes 

sin  6  =  □   ,  2sin  0  =  □   , 

cos6  =  □   .         2cos  0  =  □   . 

sont  de  même  séparément  impossibles,  pour  les  raisons  qui 
vont  être  données.  H  y  a  lieu  d'exposer  tout  d'abord  que  les 
deux  équations  de  la  seconde  ligne,  c'est-à  dire  les  équations 
en  cosinus,  sont  respectivement  équivalentes  aux  deux  équa- 
tions en  sinus  de  la  première  ligne. 

Des  deux  équations  irréductibles  l'une  à  l'autre  qu'il  con- 
vient de  considérer  maintenant.  Tune  d'elles  cos^  =  Q  est 
équivalente  à  l'équation 

X*  —  v"  =  □ 

reconnue  impossible  par  Fermât  à  l'occasion  du  26®  pro- 
blème du  VP  livre  de  Diophante.  De  même,  de  l'impossi- 
bilité de  l'équation 

2(X*  —  Y^i  =  □    . 


établie  par  Euler,  ou  encore  de  celle  de  l'équation 
considérée  par  Leibniz  \  il  résulte  que  les  équations,  équi- 


*  Exercitiiim  ad  promovendiini  scientiam  numerorum,  Leibnizens  mathematische  Schriften 
Gerhnrdt,  [2],   UI,  1863,  p.  iri-119. 

Dans  cette  pièce,  Lkibniz  s'occupe  de  l'équation 

J-  +  -  =  D  • 

X 

qui  peut  être  rattachée  à  l'étude  arithmogéométrique  d'une  cubique,  la  cubique  harmonique 
d'équation  : 

y'  =  x*  +  «ï-f  • 


240  E.     TURRIÈRE 

valentes  par  changement  de  variable  9, 

2cos6  =  G  et  2sinO  =  Q. 

sont  elles  aussi  impossibles. 

74.  —  Les  théorèmes  qui  précèdent  présentent,  en  plus 
de  leur  intérêt  historique,  celui  d'être  fondamentaux  dans 
l'étude  d'un  nombre  respectable  d'équations  impossibles 
déjà  connues.  Il  semble,  en  outre,  que  cette  source  féconde 
de  propositions  négatives  soit  enclore  loin  d'être  tarie. 

Voici  quelques  nouveaux  exemples  de  leur  utilité  incon- 
testable. 

Soit,  en  premier  lieu,  l'équation  arithmotrigonométrique  à 
deux  indéterminées  : 

sin  u  -\-  sin  v  =  1    ; 

elle  peut  être  transformée  en  l'équation  équivalente  : 

■>  "' 

sin  II  =  2cos-  —   , 

c'est-à-dire  : 

2  sin  M  =  □   . 

//  est  donc  impossible  de  satisfaire  à  l'équation 

sin  a  -f-  sin  »■  =  1    , 

avec  des  angles  tels  que  tang— e/  \.?ii\g^  soient  deux  nombres 

rationnels. 

Soit,  en  second  lieu,  à  résoudre  le  problème  de  la  déter- 
mination de  quatre  carrés  en  progression  arithmétique. 
M.  E.  H.ENTSCHEL  vient  de  rappeler  que  ce  problème  avait 
été  considéré,  dans  le  cas  de  trois  carrés,  par  Diophante  et 
que  le  Problème  de  Jean  de  Palerme  et  de  Léonard  de  Pise 
en  était  un  cas  particulier  (voir  paragraphe  76).  J'ajouterai 
que  ce  même  problème  de  trois  carrés  en  progression  arith- 
métique a  été  considéré  aussi  par  Fermât^  et  par  Frémcle  * 
et  que  sa  solution  générale  au  moyen  d'une  représentation 


>  Œuvres,  t.  II,   p.  ti5  et  23'i. 

'  Traité   des    triangles    rectangles    en    nombres...,    p.    27-28.    Frkniclk    donne    la    solution 
simple  49,  16!i,  289. 


ARITHMOGEOMETRIE  ^41 

aritlimotrigonométrique  a  été  donnée  plus  haut  (paragraphe  6: 
arithmotriangles  automédiaiis  . 

Le  problème  de  quatre  carrés  en  progression  arithmé- 
tique se  traduit  par  les  équations 

qui  deviennent 

X-  -h  :-  =  -ly-   ,         y-  +  t-  =  2c-   . 

Conformément  aux  conclusions  du  paragraphe  6,  je  poserai 
don(- 

X  =^  j(cos  a  —  sin  a|  , 

z  =.  v(cos  a  -|-  sin  a)  , 

r  =  r(cos  T;  -)-  sin  |î|  , 

t   rr  :;(cos  |i  —  sin  J3)  ; 

d'où  il  résulte  que  les  angles  «  et  /3  doivent  satisfaire  à  l'équa- 
tion arithmotrigonométrique 

|oos  a  -f-  sin  a)  (cos  3  -\-  sin  ^i)  =  1    , 

OU  encore 

cos  (a  —  li)  +  sin  (st  +  ?'  =  1   • 

Celle-ci  est  impossible  d'après  le  résultat  qui  vient  d'être 
obtenu  à  l'instant.  //  est  donc  impossible  de  déterminer  quatre 
carrés  en  progression  arithmétique. 


Sur  certains  arithmotriangles  pythagoriques. 

75.  —  L'examen  du  plus  célèbre  des  arithmotriangles 
pythagoriques.  celui  des  harpedonaptes  égyptiens,  donne 
l'idée  de  former  des  équations  arithmotrigonométri(|ues  fort 
simples  que  je  vais  étudier.  Les  sinus  et  cosinus  des  angles 
aigus  de  ce  triangle  sont  : 


et 


'  +  { 


L'Enseignement  mnlhém.,    l'J»  année;   1917.  !• 


242  E.     TURRIERE 

Quels  sont  d'une  manière   générale   les    arithmotriangles 
pythagoriques  tels  que 

1 


sin  6  = 


1  +  j'  ■ 

La  solution  générale  de  cette  équation  arithmotrigonomé- 
trique  s'obtient  aisément  par  considération  d'une  arithmo- 
cubique  unicursale  ;  on  doit  poser 


tan  g  —  =  2â^ 


et,  par  suite  : 

sin  G  = 


De  même  l'équation 

qui  n'est  d'ailleurs  pas  essentiellement  distincte  de  la  pré- 
cédente, se  laisse  résoudre  en  toute  généralité  en  posant  : 

0  21'  —  1 

**"^  2  =  2>7+T  • 

11  convient  de  noter  que  cette  question  fouinit  des  solu- 
tions particulières  des  deux  équations 

sin  0  =  □  4-  n    . 

cos  0  =  n  +  D  - 

(jui  seront  étudiées  quelques  pages  plus  loin  (paragraphe  80). 
76.  —  Le  théorèîme  de  Fermât  sur  le  nombre  7.  —  Pour  le 

3 
même  arilhmotriangle  pythagoriqne  (3,  4,  5),  on  a  tang  ©  =  — 

=  1  — (— j  ;  cette  dernière  relation  donne  naissance  à  une 

question  intéressante  en   elle-même,  qui  se  rattache  à  une 
fort  belle  proposition  de  Fermât  : 

Quelle  est  la  solution  générale  de  l'équation 

tang  0  —  1  —  X- 

en  nomijres  rationnels  ..  et  a  . 


ARITH  MOGÉOMETRIE  243 

Celte  équation  se  transforme  immédiatement  en  la  sui- 
vante : 

1  -  r-  ^  1  _  ^2 

représentative  d'une  cubique  plane.  Considérée  comme  une 
équation  du  second  degré  en  y,  cette  équation  dépend  du 
point  de  vue  arithmogéomélrique  d'une  équation 

.,.4  _  2.,-2  +  2  =  n 

de  Brahmagupta-Fermat  généralisée.  A  cette  même  équa- 
tion, ou  d'une  manière  plus  précise  à  l'équation  équiva- 
lente 

2.r*  -  -  -Ix-  +  I  =  □    , 

se  ramène  d'ailleurs  le  problème  des  arithmodistances  pour 

l'origine  et  l'hyperbole  équilatère  y  =  - — —  . 

Mais  ce  qui  est  encore  plus  digne  de  retenir  notre  atten- 
tion c'est  que  la  question  envisagée  n'est  point  distincte 
d'un  problème  qui  a  son  histoire  :  l'étude  d'une  propriété 
caractéristique  du  nombre  entier  7.  Fermât^,  en  effet,  a  re- 
marqué le  premier  que,  seul  dans  la  suite  des  irnliers,  le 
nombre  7  jouit  de  la  propriété  d'être,  ainsi  que  son  carré,  de 
la  forme  2u^  —  1  ;  en  d'autres  termes,  les  équations  simul- 
tanées 

2 1  -  —  l  =  x  , 

2z-  —  1  =  X-   , 

n'admettent,  en  nombres  entiers,  que  l'unique  solution  : 

X  =1   ,       J  =  2,        :;=5. 

Je  n'insisterai  guère  sur  ce  problème  de  Fermât,  qui  se 
rattache  encore  à  la  théorie  des  arithmopoints  d'une  biqua- 
dratique   gauche  ;  je  me  bornerai  à   mettre   en    lumière   sa 


'  Sur  i!e  problème  de  Fbkmat,  cf.  t.  2  des  Œuvres  de  Fermât,  pp.  434-446  et  d'autre  part  : 

Cm.  Hknry,  Kecherches  sur  les  manuscrits  de  Fermât,  p.  176. 

T.  Pkpi.n,  Sur  un  théorème  de  Fermât  (Alti  deW  Accademia  pontificia  dei  nuovi  Lincei,  t. 
36,  1883,  p.  23-33. 

A.  Gknocchi,  Démonstration  d'un  théorème  de  Fermât,  Nouvelles  Annales  de  Mathéma- 
tiques, 3»  série,  t.  2,  1883,  p.  3(i6-3I0. 


244  E.     TURRIERE 

liaison  avec  l'équation  précédente  ;  cette  liaison  résultant  de 

l'équation 

z'  =  2^*  -   -ly-  +  1    , 

de  lune  des  projections  de  la  biquadratique  de  l'espace, 
(^.omme  nouvelle  solution  simple  de  cette  équation,  j'ai 
trouvé  : 

31  3  41  9         4  ,40 

La  solution  primitive  de  Fermât  correspond  précisément  à 
l'angle  de  Taritlimotriangle  pythagorique  de  côtés  3,  4  et  5. 
Celle  que  j'en  ai  déduite  met  en  évidence  deux  nombres, 

31  41 

49        ^^       49     ' 

qui  ont  une  grande  signification,  si  l'on  se  reporte  à  mon 
article  sur  le  problème  de  Jean  de  Païenne  et  de  Léonard  de 
Pise^  ou  à  la  lettre  de  M.  Haentzchel'  sur  ce  même  travail  : 
la  solution  de  Diophante,  pour  le  problème  des  trois  nombres 
carrés  en  progression  arithmétique, 

41- —  720  =  31" ,   4Ï'      et      4Î-  -f  720  =  49" , 

et  la  solution  équivalente  de  Léonakd  de  Pise 

f'A\-       ,         /49\-'         /41\-        ,         /31 
(ï2  J   +  ^  =  (l2  j     •      (iTJ  -  ^  =  (12 

pour  le  problème  qui  constituait  la  première  des  trois  ques- 
tions de  Jean  de  Palekme,  mettent  précisément  en  évidence 
les  trois  nombres  31,  41  et  49.  Simple  coïncidence,  mais 
coïncidence  bien  curieuse  ! 

77.  —  Dans  les  paragraphes  précédents,  les  relations 

4  3 

cos  0  =  —    ,        tang  0  :^  —    , 


'  L'Enseignement  Mathématique.  17«  année  1915,  pp.  31Ô-324. 
»  tbid.,  19»  année,  1917,  pp.  199-201. 


A  RITHMO  GEOMETRIE  245 

m'ont  amené  à  étudier  séparément  les  deux  équations  arith- 
motrigonomélriques 

cos  6  = —,     ,        taniï  =1  —  \~\   • 

1  +  n 

Il  y  a  lieu  maintenant  de  rechercher  ceux  des  arithmotri- 
angles  pythagoriques  qui,  comme  celui  dont  les  côtés  sont 
3,  4  et  5,  satisfait  simiilUuiémenl  à  ces  deux  équations. 

Partant  de  la  première  des  équations, 

cos  0  ■:=. 


1  +  n  ' 

dont  la  solution  générale  est  donnée  par  les  l'ormules 

6       2  —  à2  _  'rr- 

taner  —  =  ^ rr,    ,        cos  0  = 


2  +  X-    '  ^  >-^  +  4    • 

il  iaut  égaler  à   une  quantité  indéterminée  i  —  u}  l'expres- 
sion 


Une  0 


d'où  l'équation 


elle  s'écrit  encore 


=  1 


\*  +  4À2  _  ',  —  (2;j.X|-   . 

Le  problème  étudié  se  ramène  donc  à  l'équation 
>-■*  +  V/.-  -  i  =  □  , 

qui  admet  pour  solution  À  =  x  .  /  =:  1  arilhmotriangle  3,  4, 
5),  À  ;=  ^  ;  à  cette  dernière  solution  correspond  un  arithmo- 
triangle  pythagorique  de  côtés  400,  5G1  et  689,  pour  lequel 

I  400 


cos  0  =: 


.+(r  '"' 


^  '.00  \  20 


246  E.    TUIiRIËRE 

(;'est  donc  actuellement  le  supplément  cVwn  des  angles  aigus 
de  Tarithmotriangle  dont  la  tangente  trigonométrique  est  de 
la  forme  spécifiée  dans  l'énoncé  du  problème. 
En  posant  alors 

À^  +  4X-  —  4  =  (  À"  —  2.r  +  - 

le   problème    est   ramené    à    Tétude    d'une    fonction    ^     de 
Weierstrass  d'invariants 

8  80 

a      pt  a      

»2   —  q  ^'  es   —  -7-       ■ 


Arithraotriangles  pythagoriques  dont  les  trois  côtés 
sont  sommes  de  deux  carrés. 

78.  —  Le  théorème  de  Fermât.  —  L'importance  des  nom- 
bres sommes  de  deux  carrés^  est  assez  grande;  elle  est 
surtout  due  aux  belles  recherches  qui  ont  été  faites  autour 
d'un  théorème  célèbre  de  Fermât'^.  C'est  à  l'occasion  du  pro- 
blème de  la  détermination  du  moindre  nombre  qui  soit 
autant  de  fois  qu'on  voudra  et  non  plus  la  somme  de  deux 
carrés,  problème  proposé  par  Frénicle,  dans  une  lettre 
adressée  le  6  septembre  1641  à  Fermât,  que  ce  dernier 
énonça  le  théorème  suivant  :  Si  un  nombre  p  compris  dans 
la  forme  4/î  +  1  ^st  premier  ou  composé  de  facteurs  premiers 
de  celte  forme,  p  est  la  somme  de  deux  carrés.  En  remar- 
quant que  les  facteurs  puissances  de  2  n'altèrent  point  cette 
propriété,  en  vertu  de  l'idenlité 

2(/;2  +  c^-)  =  \b  +  c)-  +  \b  —  (•)■-'   . 

il  est  possible  de  présenter  ce  théorème  de  Fermât  sous  la 
forme  générale  et  précise  (|ui  suit  : 


1  iDitialement  considérés  par  Diophantic  (H,  8,  9  et  10),  puis  par  Viktk  (Zeteticorum  libri, 
IV,  2,  :{). 

'  Œin-res  de  Fermât,  t.  I .  p.  2!t3  ;  t.  II.  p.  213,  221,  'i03  et  432  ;  t.  MI.  p.  243,  3lô.  —  S.  RiLm.is  : 
Scolies  pour  un  théorème  de  Fermât,  Moiifelles  Annales  de  Maihé/natiques  (3),  t.  4,  188.5.  p. 
367-372.  —  Le  théorème  de  Fkumat  a  été  démontré  par  Elm.iîr  [yoiuxaux  commentaires  de 
l'ètcrsbourg,  t.  IV,  p.  3  et  t.  V,  p.  3),  Lkoknuiib  et  Smith.  Edouard  Lucas  en  a  donné  une 
très  curieuse  démonstration  géométrique  par  les  satins  carrés. 


ARITHMOGÉOMÉTRIE  247 

Si  un  nombre  entier  n'a  que  des  facteurs  2°  ou  premiers  de 
la  forme  4k  +  1,  il  est  la  somme  de  deux  carrés. 

Le  théorème  s'étend  imtuéiliateiuent  aux  nombres  ration- 
nels ;  en  remarquant  avec  Euler  que  les  diviseurs  d'un 
nombre  somme  de  deux  carrés  jouissent  de  la  même  pro- 
priété, et  en  remplaçant  l'équation 

^  =  D  +  D  . 

par  ré(|uation  équivalente 

AB  =  D  +  D  . 

on  obtient  le  théorème  général  suivant  : 

La  condition  nécessaire  et  suffisante  pour  qu'un  nombre 
entier  ou  fractionnaire  soit  somme  de  deux  carrés  est  que  cet 
entier  ou  les  deux  termes  entiers  de  la  fraction  n'aient  que 
des  facteurs  des  formes  2°  et  4k  +  1. 

79.  —  Le  problème  des  arithmotriangles  pvthagoriques  a 
COTÉS  SOMMES  DE  DEUX  CARRES.  —  Les  équatioDS  arithmotri- 
gonojuétriques 

sin  6  =  Q    ,        cos  0  =  □    ,        tang  0  =  H    . 

étant  toutes  trois  séparément  impossibles,  il  n'existe  aucun 
arithmotriangle  pytliagorique  ayant  plus  d'un  côté  carré  par- 
fait. Comme,  parmi  les  nombres  non  carrés,  les  plus  simples 
sous  le  point  de  vue  de  la  constitution  par  sommes  de  carrés, 
sont  les  sommes  de  deux  carrés,  je  me  suis  naturellement 
posé  la  question  suivante  :  Existe-t-il  des  arithmotriangles 
pytliagoriques  dont  les  trois  côtés  sont  simultanément  sommes 
de  deux  carrés  ? 

La  réponse  à  cette  question  est  alfirmalive  :  il  existe  une 
infinité  de  solutions,  telles  que  celle  (|ui  correspond  aux  trois 

côtés 

9  =  3-  , 

40  =  2-'  +  (>-   . 

41  =  4-  +  5-   . 

Dans  cet  exemple,  la  plus  petite  des  cathètes  est  mesurée 
par  le  nombre  9.   D'une  manière   générale,    puiscjne  l'hypo- 


248  E.     TVHR1ERE 

ténuse  d'un  arithmotriangle  pythagorique  ne  peut  jamais 
être  mesurée  par  un  nombre  multiple  de  3,  puisque,  au  con- 
traire, Tun  des  côtés  est  toujours  mesuré  par  un  multiple 
de  3^,  et  puisque,  enfin,  ce  nombre  3  ne  saurait  être  somme 
de  deux  carrés,  comme  étant  de  la  forme  kk  —  1,  une  pre- 
mière proj)riété  des  arithmotriangles  pythagoricjues  spécia- 
lement étudiés  ici  est  que  : 

Dans  tout  arilhmoLriaugle  pythagorique  dont  les  trois 
côtés  sont  siinidtanément  sommes  de  deux  carrés^  l'une  des 
deux  calhèles  est  mesurée  par  un  nombre  divisible  par  9  (ou 
par  une  puissance  paire  de  3i.  Il  en  est  de  même  des  me- 
sures de  la  hauteur  relative  a  l'hypoténuse  et  de  l'aire  du 
triangle. 

D'autre  part,  comme  conséquences  de  la  propriété  d'in- 
variance par  multiplication  entre  eux  des  nombres  sommes 
de  deux  carrés,  il  est  évident  que  : 

L'aire  (qui  ne  peut  jamais  être  un  carré  pariait)  et  la  hau- 
teur relative  à  l'hypoténuse  d'un  arithmotriangle  pytJiago- 
rique  dont  les  côtés  sont  tous  trois  sommes  de  deux  carrés 
sont  aussi  mesurées  par  des  nombres  de  cette  nature. 

Ces  propriétés  générales  établies,  j'aborde  la  recherclie 
même  de  ces  triangles. 

80.  —  L'ÉQUATION  cos  ^  =r  □  +  □.  Soit  taug-^  =  x\  puis- 
que le  dénominateur  i  +  x^  de  la  fraction  rationnelle  expri- 
mant cos^,  en  fonction  de  x.,  est  une  somme  de  deux  carrés, 
il  faut  et  il  suffit  qu'il  en  soit  de  même  du  numérateur  1  — x^. 
Posant 

1  -  .1-  =  V-'  +  -J   , 

on  ramène  le  problème  à  l'élude  de  l'arithmosphère  d'équa- 
tion 

■»■-  +y-  +  -~-=^  : 

si  .r,  y  ei  z  sont  alors  les  coordonnées  d'un  aritlimopoint 
(juelconque  de  cette  arithmosphère,  l'expression  de  cos  0  est  : 


*  Ces  dfiix  thf'orcnics  sont  dus  à  FuÉMCi.ii  {loi:  cit.,  p.  77  et  T6  rospectivenient). 


ARJTHMOGEOMETRIE  249 

Telle  est  l'élégante  solution  du  problème.  Il  suffît  alors 
d'exprimer,  conformément  au  paragraphe  8,  les  trois  coor- 
données .r,  ?/  et  3  en  fonction  de  deux  paramètres  pour  avoir 
une  expression  de  cos^. 

L'équation  sin  ^  =  D  +  D  n'est  pas  différente  de  la  pré- 
cédente. Pour  la  résoudre  directement,  il  suffit  d'observer 
que  la  solution  générale  consiste  à  poser  : 

^ang  2"  =  a-  +  ,i-   • 

a  el  ,3  étant  deux  nombres  rationnels  quelconques. 

81.  —  Pour  revenir  au  problème  posé,  il  suffit  d'observer 
que,  par  similitude,  on  peut  rendre  l'hypoténuse  carré  par- 
fait ou  somme  de  deux  carrés  parfaits.  Le  problème  se  tra- 
duit donc  par  les  deux  équations  simultanées  : 

siu  ')  =  □+□     et     cos  6  =  n  +  n  • 

La  première  de  ces  équations  est  résolue  par 

t  =  tang  2"  =  *"  +  1^'    : 

la  seconde  équation  donne  alors  la  condition 

1  -  /^  =  G  +  n  . 

ou 

1  =  la-'  +  «jL-  ^  ,.2  ^    ,^2   , 

Nous  devons  ainsi  considérer  l'arithmosphère  de  rayon 
rationnel  et  choisir  parmi  son  infinité  double  d'arithmopoints 
ceux  qui  ont  une  coordonnée  somme  de  deux  carrés.  Les 
formules  de  représentation  ini[)r()j)re  étant 

(1  —  /riji  _»,2,  1  _  „2  2h 


(1    +    H-]  (1    -f-    V-)     '  ■  ■  (1    +    ''-!  il    -f    >-'|     •  1    _}_    „2     • 

un  choix  est  tout  indic|ué.  en  raison  de  la  grande  simplicité 
de  l'expression  de  c  ;  il  suffira  de  prendre  pour  u  une  somme 
de  deux  carrés.  D'où  le  théorème  définitif: 

Une  famille  d'r/rithnwlriangles  pythagofiqiies  dont  les  (rois 


250  E.     TURRIERE 

côtés  sont  simultanément  sommes  de  deux  carrés  est  caracté- 
risée et  définie  pai-  l'équation 

0  2i"a-  +  <i?\       . 

qui  exprime  la  tangente  Irigonométrique  de  l'un  des  angles 

aigus  en  fonction  de  deux  nombres  rationnels  arbitraires  À 

et  UL. 

,.04 
Pour  X  =  1.  a  =  K  on  obtient  tang-^  =  —  et,  par  suite, 

.    ,         ^0         /32\-^   ,     /24 
9  /12\^        /I5 


^°^^  =  4T  =  iTT;  +  V41 

cette  solution  correspond  précisément  au  triangle  dont  les 
côtés  ont  été  initialement  donnés  à  titre  d'exemple. 

Pour  \  =  1,  a  ^=  2,  il  vient  de  même  tg  ^  =  fy  ^  sin  9  .=  ^  , 
cosO  =  ^  ,  tsc9  =  —'.  rarithmotrianglp  pvthagorique  corres- 

pondant  a  pour  côtés 

65  =  1-  +  82  , 

72  =  C-  +  6-   , 
97  =  42  +  9-  . 

Une  autre  famille   étendue  de  solutions   particulières  est 
donnée  par  l'expression  de  l'ordonnée  y 


r  =  2v' 


(1    +    «2)(1    _|_   ^,2,     ' 

il  suffit  manifestement  de  poser 

f(l  —  H^l  =:  À-  +  a- 

pour  obtenir  (en  remplaçant  //  j)ar  v  pour  raison  d'élégance 
dans  l'aspect  de  la  formule) 

0  2  (X2   +    U.2) 


:'-'{- (^)'] 


ARITHMO  GEOMETRIE  251 

û 

iine  expression  de  taiig—  en  fonction  de  trois  indéterminées 
rationnelles  \,  a  et  v. 

Pour  V  =  0  cette  famille  se  réduit  à  la  précédente.  Xous 
aurons  donc  obtenu  une  solution  particulière  triplement 
indéterminée. 

Dans  ces  conditions,  Tétude  du  problème  dans  toute  sa 
ofénéralité  est  abordable.  Pour  obtenir  la  solution  e-énérale, 
il  est  inilispensalile  d'avoir  recours  aux  iormules 

_  2g  _  2r, _    P  +  r,^  -  1 

""  ~  r  +  V  +  1    ■        ■   ~  ^'  +  v+  l    ■        --  r-  +  rr-^l    ' 

de  la  représentation  propre  de  Tai-ithmosphère  de  ravon 
rationnel;  la  question  se  traduit  par  une  équation 

(.r-  +  r-l  (p  +  r]-)  +  .»-  +  /-  —  P  —  r,-  +  1  =  0 

du  quatrième  deoré  en  .r,  y,  \  et  yj.  Pour  éviter  Tintroduc- 
tion  de  notions  dhypergéométrie,  il  suffît  de  prendre  Tune 
de  ces  indéterminées  yj  pour  paramètre  et  les  trois  autres 
pour  coordonnées  dans  Tespace  à  trois  dimensions  (.r,  ?/,  |); 
le  problème  se  rattache  donc  à  l'étude  arithmotrigonomé- 
trique  d'un  faisceau  de  surfaces  du  quatrième  degré. 

Il  est  aussi  avantageux  de  ramener  cette  même  question  à 
l'étude  d'une   O)-  de  quarlicpies  planes^.  Si  y  et  yj  sont  pris 


'  Cette  derniero  considération  peut  être  présentée  sous  une  autre  forme.  La  question  est 
équivalente  à  la  recherche  de  deux  des  arithinopoints  d'une  arithmohyperbole  équilatérc, 
représentée  par  l'équation 

xy  =  X   \   y  -\-  \   , 

qui  ont  des  coordonnées  simultanément  sommes  de  deux  carrés  telles  que  les  suivantes  : 


X    = 

9  , 

.V  =  Y 

X    = 

1"  , 

9 

X    = 

129  , 

65 

4    ' 

L'arithmogéométrie  apparaît  do  plus  en  plus  comme  capable  de  provoquer  des  recherches 
sur  des  questions  originales  ressortissant  de  la  théorie  des  nombres.  Ici,  par  exemple,  se 
pose  une  question,  que  je  n'ai  pas  étudiée  mais  qui,  de  prime  abord,  semble  avoir  quelque 
intérêt:  Etant  donnée  une  équation  t'(x,,  ...  x^)  =  0  à  deux  ou  plusieurs  indéterminées, 
rechercher  celles  de  ses  solutions  qui  sont  formées  par  des  nombres  x,  ...  X[j  tous  sommes  de 
deux  carrés.  C'est  une  sorte  d'extension  do  l'équation 

Xx*  +  Ba:«  +  C  =  y*  , 
qui   traduit    le   problème  de   la   détermination    des   arithmopoints    d'une    parabole   y  =  Ax' 
+  Bj;  +  g    à   coordonnées    exprimées  par  deux   carrés  parl'aits,  et  d'une  manière  générale 

des  équations  f\x^,  x^ ,  ...  x'  l  =  0. 


252  E.    TURRIERE 

pour  paramètres,  et  si  x  et  |  sont  pris  pour  coordonnées 
dans  un  certain  plan,  cette  quarlique  est  la  projection  d'une 
biquadratique  gauche,  intersection  du  paraboloïde,  repré- 
senté dans  un  espace  {x.  |,  'Q  par  l'équation 


et  d'une  quadrifjue  rapportée  à  ses  axes  : 

(r,2  +  \)x-'  +  [f  —  iye  +  V-=:  rr'  —  V"  -  1   -  J-V    . 

82.  —  L'ÉQUATION  tang^  =  D  +  D-  Avant  de  passer  à  une 
nouvelle  que;-tion.  quelques  lignes  s'imj)Osent  au  sujet  de 
l'équation  tang  ^ --=  □  -f  G^  ^^^  ^'e  l'équation  équivalente 
cotang»  =  D  +  D- 

Cette  équation  arithmotrigonoinétrique  se  traduit  algébri- 
quement sous  la  forme 

■^  =  n  +  n. 

c'est-à-dire  encore  : 

X-  —  1  =  x\y-  +  :-)    ; 

celte  dernière  équation  représente,  dans  l'espace  ordinaire, 
une  surface  du  troisième  degré  (voir  paragraphe  36)  sur 
laquelle  existent  tous  les  arithmopoints  qui  correspondent 
aux  solutions  des  équations  siinullanées  siii  ^  ^=  D  +  D  ^t 
cos  ^  ^^  Q  +  G  •  ^6  sorte  que  la  solution  de  ré(|uation 
tang#=:G  +  Q  dépend  de  celle  du  problème  qui  vient 
d'être  traité  dans  les  paragraphes  précédents. 

L'arithmotrigonométrie  et  les  arithmotriangles  héroniens. 

83.  —  Application  de  la  notion  n'ARiTHMonisTANCE.  J'ai 
souvent  utilisé  dans  les  considérations  antérieures  la  notion 
d'arithmodistance  et  introduit  le  problème  des  arilhmodis- 
tances,  soit  pour  créer  de  nouveaux  types  d'équations  indé- 
terminées, soit  pour  rattacher  à  une  idée  générale  certaines 
équations  particulières. 

En  se   bornant  au    cas  de   l'arilhinocourbe  plane    (\  .  dont 


ARI  THMOGEOMÉTR] E  253 

i'arithmopoint  M  est  repéré  par  ses  coordonnées  x  et  y  et 
d'un  arithmopoint  fixe  A  de  coordonnées  a,  b,  le  problème 
des  arithmodistances  pour  cet  arithmopoint  A  et  Tarithmo- 
courbe  (G)  est  résolu  par  l'équation  générale  (paragraphe  17) 

(x  —  ar-  -\-  (V  -  /^|--  =  n  . 

Pour  les  développements  qui  vont  suivre  et  qui  ont  tou- 
jours pour  objet  la  constitution  de  rarithmotrigonométrie,  il 
est  avantageux  d'observer  que  cette  même  équation  est  entiè- 
rement é(|uivalente  à  une  équation  arithmotrigonométrique 
d'une  espèce  spéciale,  que  l'on  peut  mettre  sous  la  forme 


dans  laquelle  9  est  un  azimut  tel  que  tang—  est  un  nombre 

rationnel.  Cette  même  éc|uation  a  d'ailleurs  une  signification 
précise,  piiisqu'elle  se  présente  tout  naturellement  lorsque 
le  pi'oblème  des  arithmodistances  est  posé  sous  la  forme 
suivante. 

Soient  un  arithmopoint  connu  A  et  une  arithmocourbe  (G) 
dont  I'arithmopoint  courant  M  est  repère'  par  un  paramètre 
rationnel  t.  Quels  sont  ceux  des  arithmopoint  s  M  de  V  arith- 
mocourbe imposée  (G)  qui  définissent  avec  I'arithmopoint 
donné  A  des  droites  arithmodirigées  ? 

Cette  remarque  est  féconde  en  ce  sens  qu'un  grand  nombre 
de  cas  spéciaux  du  problème  des  arithmodistances  se  laissent 
traduire  par  des  é(|uations  arithmoli'igonométriques  souvent 
simples  et,  souvent  aussi,  de  formes  remarquables.  11  en  est 
notamment  ainsi  lorsque  la  courbe  imposée  (C)  est  paramé- 
triquement  représentée  par  l'inlermédiaire  de  fonctions  tri- 
gonométriques,  comme  pour  l'ellipse. 

Pour  l'elli[)se.  dis-je,  dans  le  cas  de  la  représentation  au 
moyen  des  demi-axes  a  et  /3  supposés  rationnels  et  de  l'ano- 
malie excentrique  ^.  supposée  telle  (|ue  tang-^  soit  un  para- 
mètre rationnel,  il  résulte  des  expressions  des  coordonnées 

.r  :=  a  cos  ç   ,  j  z::  |3  sin  s    . 


254  E.     lUHRIERE 

que  le  problème  des  arithmodistances  pour  cette  arithmo- 
ellipse  et  un  arithmopoint  général  de  son  plan  se  traduit  par 
l'équation 

S  sin  m  —    b 

-i- i =  tang  6   ; 

a  cos  ç  —  a 

trois  paramètres  arbitraires,  les  rapports  des  quatre  nombres 
rationnels  «,  è,  «  et  /S,  assurent  à  cette  équation  arithmo- 
trigononiélrique  une  assez  grande  généralité.  Elle  contient 
en  effet  comme  cas  particulier  deux  de  ceux  qui  vont  faire 
l'objet  de  considérations  spéciales  (paragraphe  86)  et  aux- 
quelles conduit  la  détermination  de  certaines  espèces  d'arith- 
motriangles  héroniens  : 


sin  © 

= 

const. 

tang  6 

tangç 



consl. 

tang  6 

84.  —  Le  problème  des  triangles  télémétriques  m'a  tout 
naturellement  amené  aux  paragraphes  67  et  68  à  rechercher 
s'il  existait  ou  non  des  arithmotriangles  héroniens  dont  deux 
côtés  soient  dans  un  rapport  donné  a  priori. 

Proposons-nous  d'une  manière  générale  de  rechercher 
tous  les  arithmotriangles  héroniens  dont  les  côtés  a,  b,  c 
satisfont  à  une  condition  donnée  : 

fia  ,  l> ,  c)  =  0  . 

D'après  les  formules  du  paragraphe  10,  il  faut  donc  déter- 
miner trois  nombres  rationnel^  R,  .v,  et  3/,  satisfaisant  aux 
inégalités 

1 


R>0.  >,>o,  Vi  f  ='- :>.v>=  . 

V  3 

et  reliés  entre  eux  par  la  relation  : 

'L     (»  +.v2)(i  +  "I  1  +  r  1  +  =-J 

Cette  dernière  équation  représente,  dans  un  système  de 
coordonnées  ?/,  s  et  R,  une  certaine  surface.  D'où  il  résulte 


ARITHMOGÉOMETRIE  255 

que  le  problème  considéré  de  détermination  d'arithmotri- 
angles  héroniens  est  équivalent  à  l'étude  arithmogéométrique 
d'une  surface  de  l'espace  ordinaire. 

11  n'est  ouère  possible  de  s'étendre  davantage  sur  un  pro- 
blème aussi  général;  pour  aller  plus  loin,  il  est  nécessaire 
de  le  particulariser. 

Parmi  les  cas  particuliers  remarquables,  il  <*onvient  de 
signaler  en  première  ligne  celui  d'une  condition  homogène. 
Lorsque  la  relation  imposée 

f[a  .   h  .   c\  =  Q 

est  homogène,  le  problème  général,  susceptible  d'être  asso- 
cié à  l'étude  d'une  surface,  dégénère  en  un  problème  d'arilh- 
mogéomélrie  autour  d'une  courbe  plane.  Les  coordonnées 
d'un  certain  plan  étant  r  et  2,  celte  courbe  est  celle  que 
représente  l'équation 

/•[Ir  +  :)(1  —yz]    .      v(l  ^  -J]   ,     z\\   +  y\]  =  0   . 

85.  —  Dans  ce  même  cas  d  une  relation  homogène  entre 
les  cotés  de  Tarithmotriangle  héronien,  cette  relation  im- 
posée peut  être  écrite  sous  la  forme  : 

/"(siu  A   ,      sin  B    ,      siu  C)   =  0   : 

des  cas  particuliers  intéressants  s'obtiennent  en  se  bornant 
à  des  équations  entre  sin  B  et  sin  C,  par  exemple. 

C'est  ainsi  que,  si  la  condition  imposée  est  une  relation 
homographique  entre  sin  B  et  sin  G,  soit 

a  sin  B  .  sin  C  +  i,!;  sin  B  +  2y  sin  C  +  4o  =  0   . 

cette  condition  se  traduit  par  l'équation 

av=  +  [n{l  -f  ==^)  +  yc(l  +  V-)  +  511  +r)(l  +  z2,  _  0   , 

représentative  d'une  qiiartique  plane.  Cette  courbe  est  la 
projection  sur  le  plan  Oi/z  de  la  biquadratique  gauche,  inter- 
section du  paraboloïde  hyperbolique  d'équation 

r:  —  X  =  0  , 
avec  une  quadrique  d'équation  : 

oU-2  +  y^  +  z^-)  +  .rivv  +  [u]  +  xr  +  ,'Jv  +  y;  +  0  =  0   . 


256 


TURRIERE 


Le    cas    («  =  0,   (î  =1=  Oj ,    c'est-à-dire    celui    de    léqualion 
arithmoti'igonométric|ue 

sin  C 
sin  o 

est  précisément  celui  qui  a  fait  Tobjet  des  considérations  du 
paragraphe  68.  Le  problème  dépend  de  Téquation 

r-*  +  iky'-  4-  I  =  D  • 

étudiée  par  L.  Euler,  A.  Genocchi  et  Ed.  Lucas  (cf.  §  51). 
86.  —  Soit  une  équation  du  type  précédent 

r*  +  2/v^'  +  1  =  □  ; 

elle  peut  être  mise  sous  les  deux  formes  suivantes  : 

(j2+  i|2  +  2a--i)r2  =  n  . 

dans  le  cas  oii  1[k  —  1)  est  un  carré  parfait,  soit 

2(X-  —  1)  =  4'o2  , 
l'expression 

2wr 


1+r 


peut  être  égalée  à  la  tangente  d'un  arc  0  tel  que  tang—  soit 
rationnel.  Si  donc  on  pose 


y  =  la"J 


0 

2    ' 


on  a 


sin  (-)  z=  tang  0    : 


réciproquement,   l'équation  précédente  dans  laquelle  &)  est 


0 


un  nombre  rationnel  et  0  et  fi»  deux  arcs  tels  que  tang-  et 
tangy  soient  rationnels  est  réductible  à  une  équation 

r-'  +  2/;v-  +  1  =  □   . 

Si  d'autre  part  2  1  —  /r  est  un  carré,  soit  Aor.  l'expression 
^   ,    .2  peut  être  égalée  a  un  sinus  d  un  arc  ft  :  on  est  ainsi 


ARITHMOGÉOMÉTRIE  257 

conduit  à  une  équation 

fo  .  sin  (-)  =z  sin  G   ; 

<''est  précisément  ce  qui  se  produit  au  paragraphe  68. 
Considérons  de  même  ré(|uatiou 

(_v2_  4)2  ^  2(/(-  +  \]y-  =  □    . 

Lorsque  2{k  -\-  1)  est  de  la  l'orme  — 46.^,  l'expression       ^'^-^  g, 

c'est-à-dire  w  tang  0  est  égale  à  un  sinus  et  Ton  retombe  sur 
une  équation 

o)  tang  (-)  zr  sin  0 

déjà  traitée. 

Enfin  lorsque  2{k  +  1)  est  un  carré  4w^,  l'équation  n'est 
autre  que 

'jj  tang  0  =:  tang  0    . 

Celle-ci  n'est  d'ailleurs  pas  essentiellement  distincte   de 
l'équation 

oj  sin  (-)  =  sin  6    ; 

cette  dernière  équation  devient,  en  effet, 

di'  tang  {-y  =  tang  0'   , 

en  posant 


e'  =  §^,      0'     «-' 


2         '  2         •  1  +  w    ■ 

En  résumé,  les  équations  (irilJinwirigonoinélriques 

sin  H  

sin  0 

sin  0 
tang  0 

tang  0 

^  =  «   - 

tang  'i 

dans  lesquelles  n,  tang-  <?/  lang-^  sont  trois  nombres  ration- 
nels dont  le  premier  est  imposé,  sont  respectivement  équiva- 
lentes à  trois  équations  eulériennes  du  type 

a:*  -f  2A.r-  +   1  =  Q   • 
L"Enseigneinpnt  niathoin..   !'.)•  .inni-e;   1917.  17 


258  E.     TURRIÈRE 

87.  —  Parmi  les  éqiialions  de  cette  espèce  se  trouve  l'équa- 
tion 

oc'  +  l'».r-  +  1  =  D 

qui  mérite   une   mention  spéciale,  car   elle    intervient  dans 
Fétude  du  problème  des  arilhmolriangles  télémétriques. 

Reprenons,  en  effet,  l'équation  trouvée  au  paragraphe  67 
de  la  quarlique  plane  dont  l'étude  arithmotrigononiétrique 
est  équivalente  à  l'étude  des  arithmotriangles  télémétriques 

généraux  : 

(.r-  —  y-)  (x2  —  2r-)  =  .1-  +  2r-  . 

La  condition  de  rationali.té  en  x^  de  cette  équation  bicarrée 
en  X  est  précisément  exprimée  par  l'équation 

/  +  14r-  +  1  =  D  : 

en  l'écrivant  sous  la  forme 

(j2_.  1)2  _^  ('n-|-  =  n  . 

et  en  posant  y  =  tang^,  elle  équivaut  à  l'équation  arithmo- 
trigononiétrique 

laug6  =  2lang  W  . 

L'équation  considérée  admet  des  solutions  banales  évi- 
dentes :  ?/  =  0,  1  et  l'oD  ;  elle  n'admet  pas  d'autre  solution 
rationnelle.  L'impossibilité  de  celte  é(|uation  particulière  a 
été  primitivement  établie  par  L.  Euler  en  1780 ^  Par  suite, 

//  n'existe  aucun,  triangle  Icléinétrique  dont  les  trois  côtés 
soient  rationnels. 

88.  —  Je  profite  de  l'occasion  qui  m'est  offerte  pour  indi- 
quer une  transformation  intéressante  de  ce  type  d'équation. 
L.  EuLEU  considère  l'équation  particulière 

X*  +  14.r-  +  1  =  □   , 


*  Cette  impossibilité  de  ré<piation 

x*  +  l'.a;!'  -f-  1  =  □ 

est  établie  à  la  fin  de  la  pièce  De  binis  forinuUs  speciei  x'  +  niv"  et  x*  +  iiy*  iiiter  se  con~ 
cordibus  et  discordibus,  datée  de  1780  [Comnieiitationes  arithinetic:i\  t.  2.  pp.  406-413]  et 
rappelée  (p.  492)  au  début  de  colles  des  deux  pièces  du  uiOnie  titre  :  De  casibtts  quibiis  hanc 
formulam  x*  +  kx*v*-|-  \*  ad  qiiadratuni  rediicerc  licet  qui  est  datée  de  1782  (t.  2,  p.  492). 

L'impossibilité  de  cette   équation   i>arliculière   est   rappelée   dans   le  travail   déjà  cité   de 
.•V.  Genocchi  (C.  «  ,  t.  78,  p.  435). 


AHIT  H  MO  GÉOMÉTRIE  259 

en  même  temps  c|iie  l'équation  également  impossible 

J.4    _    .,.2    +     1     ^    □      ; 

toutes  deux  se  présentent,  en  effet,  suivant  Tordre  que  Ton 
adopte  dans  Tétude  du  système  des  deux  équations 

.r-  +  r-  =  □  .,-  +  'n-  =  Q    . 

EuLEK  établit  l'impossibilité  de  toutes  ces  équations  ainsi 
(|ue  de  celles  qui  ])euvent  en  être  déduites  par  transforma- 
tion :  «  Denique  etiam  formulge  biquadraticas,  quae  se  obtu- 
«  lerunt,  sunt  impossibiles.  Ita  ciim  ex  theoremate  sit 
«  /;*  —  p'^q'^  +  ^*  =  n  impossibilis,  impossibilis  quoque 
«  erit  haec  forma  />*  +  i^p^q-  +  <i*  =  □,  bincque  etiam 
«  plures  alla?  formulse,  qua?  per  transformationem  hinc  for- 
et mari  possunt.  »  Il  ne  semble  point  qu'il  ait  aperçu  la  pos- 
sibilité de  translormer  Tune  en  Tau  Ire  par  une  transforma- 
tion simple  ces  deux  équations 

.,.■•  +  l'».r2  +  1  =  □   .  .r"  -  .r'  +1=0- 

Cette    transformation    n'est    autre    que   la    transformation 

homographique 

_  1  —  x' 

Soit  généralement,  en  effet,  une  équation 

.,.4  ^  2Lr-  +  1  :zr  n    ; 

la  transformation  ci-dessus   lui  lait  correspondre  l'équation 

x4  4-  2X'.r2  +   1  =  n    . 

et  la   correspondance  est  réciproque.  Entre  les  nombres  k 
et  k'  existe  la  correspondance  involutive 

\k  +  li(A-'  +  I)  qi  'i  =  0   ; 

tout  particulièrement  pour  k  =r=  -^  7,  on  obtient  /»'  =  — -^ . 

89.  —  Arithmotriangles  héroniens  dont  la  somme  des 
CARRÉS  DE  DEUX  COTES  EST  UN  CARRE.  —  11  s'agit  de  recher- 
cher tous  les  arithmotriangles   héroniens,   généralisant  les 


260  E.     rUHRIERE 

arithmotriangles  pythagoriques,  tels  que  la  somme  des  car 
rés  de  deux  côtés,  b  ei  c  par  exemple,  soit  un  carré  : 

h^-  +  c'-  =  U  ■ 
On  a  donc 

sin-B  -f  sin^C  =  □    . 

c'est-à-dire  encore 


Cette  dernière  équation  a  été  rencontrée  par  L.  Eller  ^  qui 
en  a  donné,  en  1773,  la  solution 

4<  3/2  +  1 


i{t-  +  3)   ' 


en  fonction  d'un  paramètre  rationnel  /  quelconque. 

90.  —  (^u'il  me  soit  permis,  à  ce  sujet,  de  placer  ici  quel- 
ques observations  sur  les  Commentaliones  arithmeticsg. 

Déjà  en  maintes  occasions,  j'ai  mentionné  le  nom  d'EuLER 
parmi  ceux  des  géomètres  qui  ont  étudié  certaines  figures 
simples  sous  le  point  de  vue  arithmogéométrique.  Les  ques- 
tions d'analyse  indéterminée  traitées  dans  les  admirables 
Coinmentationes  aiitJuuclicœ,  dont  la  lectui-e  est  facile  et  cap- 
tivante, sont  tle  deux  espèces.  Les  unes  sont  de  nature  géo- 
métrique :  triangles  héroniens.  triangles  à  médianes  ration- 
nelles, triangles  rectangles  dont  Ihypoténuse  est  un  carré 
parfait  ainsi  que  la  somme  des  cathètes,  parallélépipèdes 
rectangles  dont  les  arêtes  et  les  diagonales  des  faces  sont 
commensurables,  etc. 

A  côté  de  ces  questions  essentiellement  arithmogéomé- 
tricjues,  rébolues  totalement  ou  jiartiellenient  par  des  consi- 
dérations purement  arithmétiques,  se  placent  des  q^iestions 
de  pure  analyse  indéterminée,  telles  que  l'étude  de  l'équa- 
tion 

X*  +  k.i'  +  1  =  n  . 

dont  il  a  été  c|uestion  ci-dessus  aux  paragraphes  51  et  71  no- 
tamment). Rien  dans  l'œuvre  d'EiLER  ne  j)ermet  de  détermi- 


'  Gomniontationcs  arithineticn'.  Miscellanea  an.ilylicn.  15  novembre  1773,  tonuis  posterior. 
Petropoli,   18^9,  pp.  4'«-62.   Le  problème  ci-dcssns  considéré  est  traita  aux  pp.  46-47. 


ARITHMOGÉOMÉTRIE  261 

ner  l'origine  de  ces  questions  :  les  a-t-il  considérées  comme 
de  simples  générnlisalions  de  réquation  de  Brahmagupta- 
Fermat 

ax-  -\-  h.v  -}-  t-  =  ^    . 

OU  les  a-t-il  rencontrées  à  Toccasion  d'études  relatives  à  des 
problèmes  géométriques  du  genre  précédent,  problèmes 
auxquels  il  n'a  pas  cru  devoir  faire  allusion  dans  sa  rédaction 
définitive  ?  11  semble  dillicile  de  solutionner  celte  question 
d'origine,  car  il  insiste  IVéquemment  sur  le  caractère  ana- 
lytique de  ces  recherches  qui  constituent  un  prolongement 
de  l'analyse  diojyhanline. 

Il  semble  pourtant  difficile   datli'ibuer  une  origine  de  ce 
genre  à  des  éfiuations  telles  que  celle, 


de  la  pièce  du  15  novembre  1773.  Elle  est  peut-être  née  de 
l'étude  d'une  figure  géométrique  dont  il  ne  reste  pas  trace 
dans  le  mémoire  d'EuLKH.  11  est  fort  possible  que  la  généra- 
lisation des  triangles  pythagoriques  dont  je  viens  de  ratta- 
cher l'étude  à  cette  curieuse  é(juation  ait  été  envisagée  par 
le  même  géomètre  (jui  consacrait  plusieurs  mémoires  aux 
équations 

/'-  +  '•=  -  ^«-  =  n 

des  arilhmolriangles  à  médianes  rationnelles  (voir  >^  98)  et 
aux  é(|uations 

h-  -\-  c-  —  «-  =  □    ,    elc. 

voir  S  100  dont  la  liaison  avec  les  précédentes  est  évidente. 
Il  en  est  de  même  des  é(|uations  du  système 

•»•-  +  f  =  D  . 

dont  il  vient  dèlre  (jueslion  à  [)ropos  tics  arithmotriangles 
télémétriques  voir  ,^  88;  et  qui  sont  manifestement  celles  f|ui 
traduisent  analyliquement  le  problème  tics  arithmoti-iangles 
pythagoriques  h  (bnix  nuMlianes  l'alitmnelles  (voir  »j  99i. 


262  E.    TURRIKRE 

Le  problème  des  arithmodistances 
pour  un  arithmotriangle  donné. 

91.  —  Les  côtés  d'un  triangle  étant  mesurés  rationnelle- 
ment, s'il  existe  dans  le  plan  du  triangle  un  seul  point  dont 
les  trois  distances  aux  côtés  soient  rationnelles,  ce  triangle 
est  de  toute  nécessité  un  arithmotriangle  héronien. 

Si,  conformément  aux  conclusions  du  paragraphe  20, 
l'arithmotriangle  héronien  est  défini  par  trois  arithniodiri- 
gées  quelconques  du  plan,  tout  arithmopoint  du  plan  est 
alors  à  des  dislances  rationnelles  des  côtés  du  triangle. 

Voilà  ilonc  un  problème  d'arithmogéomélrie  simplement 
et  complètement  résolu.  11  y  a  lieu  de  se  poser  d'une  ma- 
nière analogue  le  problème  suivant  que  j'appellerai  par  la 
suite  problème  des  aritliiuodisUinces  pour  un  aritliniolri- 
augle  : 

Etant  donné  un  aritJimotriangle  (jueLconque,  cest-à-dire  un 
triangle  à  côtés  comniensurables,  déterminer  les  points  de 
son  plan  qui  sont  situés  à  des  distances  rationnelles  de  ses 
trois  sommets. 

92.  —  Le  quadrilatère  rationnel.  —  Ce  problème  impor- 
tant doit  être  rattaché  au  problème  du  quadrilatère  rationnel, 
c'est-à-dire  du  quadrilatère  à  côtés  et  à  diagonales  commen- 
surables.  Dans  le  cas  actuel,  trois  sommets  du  quadrilatère 
rationnel  sont  imposés. 

Le  premier  quadrilatère  rationnel  consitléré  fut  celui  de 
Brahmagupta  (paragi-aphe  .30)  :  ce  f|uadrilatère  rationnel  est 
inscriptible  dans  un  cercle. 

L'étude  du  (|uadrilatère  rationnel  le  plus  général  semble 
avoir  été  faite  pour  la  premièj'e  fois  en  1848,  par  E.-E.  Kum- 
MER^  qui  a  démontré  que  : 

Dans  tout  quadrilatère  à  côtés  et  à  diagonales  rationnels 
les  diagonales  se  coupent  en  parties  rationnelles. 

Ce  résultat  essentiel  pour  la  théorie  des  quadrilatères  ra- 


'  E.-E.  KuM.MËR.   Uel>er   die    Viorocke  dercn  Seiton  iind  Piagonalen  r.ilionnl  siiid.  Jour- 
nal fiir  die  reine  iind  angewandte  Mathematik  (Crelic),  37«  H.,   lS'i8,  S.   1-20. 


ARITIIMOGE  OMET  RIE 


263 


tionnels  avait  d'ailleurs  été  déjà  signalé  parL.-N.-M.  Carnot^ 
dès  1803  ;  le  géomètre  français  forme  les  expressions  des 
segments  des  diagonales  et  il  insiste  sur  le  fait  (|ue  chacun 
des  quatre  segments  des  diagonales  s'obtient  par  une  équa- 
tion du  premier  degré.  11  en  est  de  même,  ajoute  Carnot,  des 
segments  formés  sur  les  côtés  par  les  prolongements 
d'autres  côtés. 

La  théorie  des  quadrilatères  rationnels,  fondée  sur  le 
théorème  précédent,  a  été  ramenée  ])ar  Klmmeh  à  l'étude 
d'une  équation 

[a.r-  —   2c|a  +  V,  .,■  _  a/.-j"4-   'tk-fx'-  =  □    , 

dans  laquelle  a,  y,  c,  k  sont  des  constantes,  et  |)ar  suite  aux 
fonctions  elliptiques,  comme  application  d'un  mémoire  de 
Jacobi  2  sur  les  équations 

a  +  f'TC  +  c.r''  +  d.f^  -\-  e.r"*  ==  □    . 

93.  —  Ces  résultats  relatifs  aux  quadrilatères  rationnels 
rappelés,  je  reprends  l'étude  du  problème  des  arithmodis- 
tances  aux  sommets  d'un  quadrilatère  et  vais  réduire  ce  pro- 
blème aux  fonctions  elliptiques  par  une  voie  plus  géomé- 
trique. ' 

Si  <7,  b  et  c  sont  les  côtés  de  Tarithmotriangle  ARC  et  si 
.r,  ij  et  z  sont  les  distances  aux  trois  sommets  respectifs  A, 
B  et  C  d'un  point  M  quelconque  du  plan,  ces  six  longueurs 
sont  liées  par  la  relation 


=  0 


ou  encore  après  développement  du  déterminant  : 

rt2(.,2  _  ,2,  (^2  _    .2)    _^    /,2(_^.2   _   .2,  (^^2  _  .^.2,    _}_    ^-'(c^   -   .r^l  (  C"'   —    V^) 

-f  a-{a~  —  b-  —  c-).r-  +  h^{h-  —  t--  —  n-)y-  -\-  c-{c'-  —  a-  —  l>-)  z- 
+  (,-h'-c-  =  0  . 


0 

1 

l 

1 

1 

0 

f- 

/>-' 

1 

C' 

0 

rt2 

1 

ir- 

a- 

0 

1 

.r- 

y- 

;2 

i  Géométrie  de  position,   Paris,   1803.  p.   3'.H-H'.I3   (non  citée  par  Klmmi;h|. 
'  Jacohi.   De  usii  theoriae  integraliimi   ollipt>coriim  et  abelianonim  in   Analysi   Diopinntea, 
Journal  fiir  die  reine  iind  ange^vandte  Mathenialik,  13"  B,  1835,  S.  353-355. 


264  E.     TU  RR  1ERE 

Celte  condition,  nécessaire  et  suflisante  pour  que  quatre 
points  dont  les  distances  mutuelles  sont  données,  soient 
situés  dans  un  même  plan  ',  montre  que  le  problème  posé 
est  équivalent  à  l'étude  aritlunogéométiique  d'une  surface  du 
quaivicme  degré. 

Avant  de  [)ousser  plus  loin  Tétude  du  problème  dans  toute 
sa  généralité,  il  convient  de  mettre  en  évidence  les  solutions 
particulières  dont  la  connaissance  sera  ensuite  précieuse, 
puisqu'elle  assurera  aux  bic|uadraliques  gauches  génératrices 
de  cette  surface  l'existence  d'aritlimopoinls  particuliers. 

94.  —  Le  problème  des  arilhmodistances  pour  un  arithmo- 
triangle  quelconque  admet  une  infinité  de  solutions  parti- 
culières qu'il  est  possible  de  déterminer  simplement.  Ce 
problème  est,  en  effet,  résoluble  dans  le  cas  le  plus  général 
sur  le  périmètre  du  triangle. 

Soient  «,  ^,  c  les  côtés  du  ti-iangle  .ABC  et  un  point  M  de 
l'un  des  côtés,  BG  par  exemple,  situé  à  des  distances  ration- 
nelles 

CM  =  1  —  a  . 

des  sommets;  X  étant  un  nombre  algébrique  quelconque, 
tous  les  cas  possibles  de  figure  correspondent  à  ces  for- 
mules. Le  point  M  sera  une  solution  particulière  du  pro- 
blème des  arithmodistances  si  sa  distance  au  point  A  est 
rationnelle;  celle-ci  est  fournie  par  la  relation  de  Stewart  : 

£.2.  MC  +  b'~.  BM  —  a  .  AM'  =  a  .  BM  .  CM 

qui  se  traduit  algébriquement  par  l'équation 

/>-},  +  c-\a  —  À)  —  filia  —  X]  =  a  .  AM'   , 

c'est-à-dire  une  équation  de  Hrahmagupta-Fermat  (Ju  second 
degi'é  : 


>  Cotte  relation  doit  être  connue  depuis  Ibrl  longtoni|>s.  Elle  est  formel'  dans  la  Géométrie 
de  position  de  Cah.not  (18(13.  p  ItKT-SSOl,  rappoli-e  par  I''ohsti;m  ann  (  Indii'hi  iing  dos  Ptolo- 
miiischen  Sal/.es,  Journal  de  CrelU,  V.^'  ton»c,  18;i5,  p.  2:!3-23f.|  d'après  l'édition  allemande 
de  Sciii'MAnKiîii  de  l'ouvrage  procodent  ot  iornu-e  enoore  par  Sai.mon  [Traité  de  Géométrie 
analytique  à  trois  dimensions,  1882,  p.  50-511. 


ARITHMOGÉOMÉTRIE  265 

Elle  admet  trois  solutions  X  =  x  ,  A  =  0  (point  \\),  a  =  a 
''point  C)  connues  a  priori;  elle  est  donc  résoluble  et  sa 
solution  générale  en  lonclion  d'un  paramètre  est  : 

6-2  —  /2 


-  +  -^-^^2. 


95.  —  Le  problème  des  arilliinodistances  poui'  un  (irillinio- 
Iriangle  quelconque  est  de  même  toujours  résoluble  sur  la 
circonférence  du  cercle  circonscrit  au  triangle. 

Soient,  en  effet,  .r,  y  el  z  les  distances  d'un  point  ]M  de 
cette  circonférence  aux  sommets  ABC  de  l'arithmolriangle. 
Les  deux  théorèmes  de  Plolémée  relatifs  au  quadrilatère 
inscriptible  ABCM  se  traduisent  par  les  relations 

cz  z=  ox  -\-  b\   , 
c  hx  -\-  ay 

z         xy  -f-  ah 

par  multiplication  membre  à  membre  de  (^es  deux  relations, 

on  obtient 

.,        (ax  +  /',rl  (/'■!"  +  ay) 


c'est-à-dire 


ou  encore 


xy  -\-  ab 


„        a-  -\-  b'~  —  c~ 

X-  H xy  -I- 

ah 


X-  -f-  2cos  A .  j- j  -|-  r-  =  c- 


Si  .r  et  ;/  sont  regardées  comme  des  coordonnées  ordi- 
naires, cette  dernière  étjuation  est  celle  d'une  ellipse  pas- 
sant par  un  certain  nomljre  d'arithmo[)oints  simples  : 
(.r  =  zfc  c ,  y  ^  0  .  .r  ^^  0,  ij  =  ^tz  c),  (.r  =  zh  a ,  i/  =  zp  b), 
(.r  =  dz  b,  ?/  ^  =p  «).  Il  en  résulte  que  cette  ellipse  est  une 
arithmoconique  et  que,  par  suite,  .r  et  y  peuvent  être  expri- 
més rationnellement  en  fonction  d'un  paramètre  rationnel 
arbitraire  ;  la  formule 

cz  =:  ax  +  ^>- 

donne  ensuite  la  troisième  distance.  Telle  est  la  solution 
simple  et  complète  du  problème  sur  la  circonférence  cir- 
conscrite. 


266  E.     TURRIÈRE 

96.  —  Les  résultats  qui  précèdent  sont  d'ailleurs  liés  entre 
eux  d'une  manière  très  simple.  Soit  tout  d'abord  une  solu- 
tion D  du  problème  des  arithmodistances  sur  la  circonfé- 
rence circonscrite  au  triangle  ABC.  Les  segments  AB,  BC], 
CA,  AD,  BD,  CD  sont,  par  définition,  mesurés  par  des 
nombres  rationnels.  Si  E  est  alors  le  point  de  concours  des 
diagonales,  AD  et  BG  pour  fixer  les  idées,  du  (juadrilatère 
inscriptible  ABGD,  les  divers  triangles  semblables  de  la 
figure  fournissent  des  relations  qui  permettent  d'évaluer 
très  simplement  les  segments  de  diagonales  et  de  vérifier, 
pour  ce  quadrilatère  inscriptilile,  le  théorème  de  Carnot- 
Kummer.  De  toute  solution  du  problème  des  arithmodis- 
tances sur  la  circonférence  inscrite  au  triangle,  les  aligne- 
ments  avec  les  sommets  A,  B  et  C  permettent  donc  de  déduire 
trois  nouvelles  solutions  situées  sur  le  périmètre  du  triangle. 

Béciproquement  d'ailleurs,  les  mômes  relations  simples 
prouvent  que,  d'une  solution  E  située  sur  le  périmètre  du 
triangle,  il  est  possible,  par  alignement  avec  l'un  des  som- 
mets, d'en  déduire  une  autre  solution  D  située  sur  la  cir- 
conférence circonscrite. 

97.  —  A  quels  points  de  la  surface  du  f|uatrième  degré 
correspondent  les  solutions  particulières  dont  il  vient  d'être 
question  ? 

Soit  tout  d'abord  une  solution  sur  le  coté  BG.  Les  coor- 
données .r.  ?/,  z  satisfont  alors  à  l'une  des  écpiations 

±  y  ±  zz=  a   , 

correspondant  aux  trois  segments  formés  par  les  points  B 
et  G  sur  la  droite  illimitée  qui  porte  le  coté  FîG  et  à  l'équa- 
tion (|ui  traduit  le  théorème  de  SteNvart  ;  cette  dernière  est 
du  sec;ond  degré  en  .r,  y  et  z.  Il  en  résulte  qu'aux  côtés 
du  triangle  correspondent  trois  coniques  de  la  surface  du 
quatrième  ordre  et  les  coniques  symétriques  de  celles-ci 
par  rapport  aux  plans  coordonnés. 

Ce  sont  des  arithmoconiques  d'après  le  résultat  du  para- 
graphe 95.  Il  en  est  de  même  des  courbes  qui  corresjïondent 
aux  trois  arcs  AB,  BC  et  CA  de  la  circonférence  circonscrite, 
d'après  les  relations  (|ui  traduisent  les  deux  théorèmes  de 
Ptolémée. 


ARTTHMOGEOMETRIE  267 

La  solution  tlu  problème  général  des  arithmodistances  aux 
sominets  d'un  arilhmotriang-je  résulte  alors  des  considérations 
qui  préièdent.  Soit,  en  efTet,  une  tlroite  issue  d'un  sommet, 
A  par  exemple,  et  contenant  les  deux  solutions  particulières 
mais  dépendant  d'un  paramèlre  arbitraire.  D  sur  le  cercle 
circonscrit  et  E  sur  le  côté  BC.  Sur  cette  droite  ADE  le  pro- 
blème des  arithmodistances  s'exprime  par  les  deux  équa- 
tions : 

1"   =  h-  -\-  .»-  —  'Ihx  COS   3    , 
r-   =  c'-    -|-  .r"-  —  'Ic.r  cos  v   , 

/S  et  y  étant  les  angles  de  la  droite  ADE  avec  les  deux  côtés 
partant  du  sonjmet  A  ;  les  cosinus  de  ces  angles  sont  ration- 
nels puisque  les  côtés  des  triangles  ABE  et  ACE  sont  ration- 
nels. Les  deux  équations  qui  précèdent  représentent  deux 
cylindres  du  second  ordre  et,  par  suite,  sur  la  droite  consi- 
dérée ADE,  le  problème  des  arithmodistances  aux  sommets 
de  ABC  se  rattache  à  l'étude  d'une  bicpiadratifpie  gauche. 
Cette  bi(|uadratique  gauche  engendre  évidemment  la  surface 
du  quatrième  degré,  lorsque  ADE  pivote  autour  de  A. 

Sur  la  surface  du  quatrième  degré  attachée  au  problème 
des  arithmodistances  aux  sommets  d'un  triangle,  il  existe 
donc  une  triple  infinité  d  un  paramètre)  de  hiquadratiques 
gauches.  Chacune  de  ces  hiquadratiques  gauches  admet  des 
arithmopoints  connus,  situés  sur  les  arithmoconiques  de  la 
surface. 

Arithmotriangles  à  médianes  rationnelles. 

98.  —  Arithmotri.vxgi.es  a  médianes  iiATioxxELrEs.  D'une 
manière  générale,  le  centre  de  gravité  de  l'aire  d'un  arith- 
motriangle  n'est  pas  une  solution  particulière  du  problème 
des  arithmodistances  attaché  à  ce  triangle,  car  les  médianes 
ne  sont  pas  généralement  mesurées  rationnellement.  Le  dif- 
licile  problème  qui  consiste  à  déterminer  les  triangles  dont 
les  côtés  et  les  médianes  sont  ralionnellement  mesurés  a 
été  l'objet  de  toute  une  si-rie  de  Mémoires  de  L.  Ellkh  : 

a)  Solutio  problemalis  de  invenietido  triangulo  in  quo  reclœ 
ex  singulis  angulis  latera  opposila  bisecantes  sint  rationales 


268  E.     TURRIERE 

(1772),  [Leonhardi  Euleri   Commeutationes  arithmetic;r   col- 
lectae,  toinus  prior,  Petropoli,  J849,  pp.  507-515]. 

b)  Investigalio  Irianguli,  iii  qiio  dislanliœ  anguloriiin  ah 
ejus  centro  gravitalis  rationalilev  exprimantur  1778)  ibid., 
tomus  posterior,  Petropoli,  1849,  pp.  294-301]. 

c)  Solalio  facilior  problemalis  Diopliaiitei  circci  Irinngii- 
Itn/i,  in  quo  rcclœ  ex  niigulis  lalera  opposila  bisecaiiles  ralio- 
naliler  exprimatilar  (1779)  [ibid.,  tomiis  posterior.  pp.  302- 
365]. 

d)  Problème  de  géométi-ie,  résolu  par  l'analyse  de  iJio- 
phante  (1782)  [ii)id.,  toinus  posterior,  pp.  488  491]. 

Comme  solutions  simples,  Eu  1er  donne  dans  ces  divers 
mémoires  les  suivantes  ; 


a  r=  68 

b  = 

=  87 

c  =  85 

'««  =   15« 

m,^  =127 

m^  =  131 

159 

325 

314 

619 

377 

404 

477 

277 

446 

569 

861 

640 

a,b^  c  étant  les  côtés  et  /?/„,  /;?i,  m,   les  médianes  des  tri- 
ano'les  considérés. 

o 

e)  Il  faut  en  outre  mentionner  un  l'ragment  relatif  à  ces 
mêmes  triangles  :  Fragmenta  commentationis  cujiisdam  ma- 
Joris,  de  invenienda  relatione  Inter  lalera  Iriangulorum  quo- 
rum area  ralionalller  exprimi  possil  (ibid.,  tonius  posterior, 
pp.  048-651).  La  pièce  débute  par  (|uelr{ues  considérations 
sur  les  triangles  que  nous  nommons  actuellement  les  arith- 
motriangles  liéroniens  ipp.  648-649);  puis  Euler  étudie,  au 
titre  de  problème  analogue,  celui  des  arithmotriangles  à 
médianes  rationnelles  (pp.  649-650)  :  u  cjuod  autem  illo  difïî- 
«  cilius  est  judicanduni  quoniam  non  generaliter  solvi  pati- 
«  tur  ». 

Ce  problème  consiste  donc  à  résoudre  le  système  suivant 
de  trois  équations 

•l[h-  -\-  C-)  —  a-  =  □   . 

2i//-'  +  /'-^  —  '•-'  =  n  . 

J'observerai  (|ue  le  problènn»  (|ui  consiste  à  détorniincr  un 
arilhmotriangle  (rt ,  b,  c)  ailin(>ltant  une  méiliane  rationnelle 


A  RIT  H  M  OGEOM  lîTRIE 


269 


{sans  se  préoccuper  de  la  nature  des  deux  autres)  est  réso- 
luble de  la  manière  suivante.  L'équation  du  problème 


2(/>-  +  C-)  -  a-  =  n 


mise  sous  la  forme 


2i//-  +  c-\  =  «-'  +  □   , 
est  susceptible  d'être  mise  sous  la  nouvelle  l'orme 

[h    -\-    C|2   4-    (7;  —  f)2  1=  «2    +    n     : 

il  résulte  de  la  théoi-ie  de  l'arithmocercle  que  cette  dernière 
équation  admet  pour  solution  générale 

rt  =:  |i  -j-  f|  cos  1  -{-  [h  —  cl  sin  a    : 

b  ei  c  restent  arbitraires,  a  est  déterminé  par  cette  équation, 

dans  laquelle  a  est  un  arc  tel  que  tang^  est  rationnel  (je  ne 

discute  pas  les  conditions  d'existence  du  triangle). 

Il  résulte  de  la  remarque  qui  précède  que,  dans  tout  arith- 
motriangle  à  médianes  rationnelles,  les  trois  côtés  «,  b,  c 
sont  liés  entre  eux  par  trois  relations  linéaires  et  bomogènes 

a  =  (/>  +  c)  cos  CL  -\-  [}>  —  c)  sin  a  , 
/y  =  (c  +  a]  cos  '^  -\-  [c  —  a)  sin  l'i  , 
c  =  fa  +  h\  cos  V  -|-  \a  —  b)  sin  y   , 

dans  lesquelles   lang  — ,  tang^,   tang^  sont  trois  nombres 
rationnels  algébriques 


tang 


ta"g  17  =  y 


&  2 


ces  trois  nombres  sont  assujettis  à  vérifier  certaines  inéga- 
lités assurant  l'existence  effective  du  triangle  et  une  relation 
de  comj)atibililé  que  je  retiendrai  seule  : 

—  1  cos  X  -\-  sin  a  cos  a  —  sin  a   i 

j 

cos  |5  —  sin  |;  —  1  cos  f:    \-  sin  [i   |   =  0    . 

cos  y  -)-  sin  y  cos  y  —  sin  v  —   I  | 


270  .  E.     TIRUIÈRE 

En  posant,  pour  abréger  récriture 

2X  =  j2  —  1    ,  2Y  --  V-  —  1    ,  2Z  =  c^  —  1    , 

celte  condition  prend  la  l'orme  : 

X  -f  1         X  —  X        X  +  X 

Y  +  y  Y  +  1  V  —  r       =  0   ; 

L  —  z  Z  -\-  z  Z  +  1 

[)ar  développement  du  déterminant,  cette  équation  se  réduit 
finalement  à  celle 

•6xyz[x  +  y  +  :)  +  .l'I.r-  -  =-)  +  v|r.-  —  x-]  +  zix-  —  y'^) 
+  x-  -f-  _v-  -\-  z^  —  v:  —  cj-  —  xy  =  1   , 

d'une  surface  algébrique  du  quatrième  ordre  dépourvue  de 
ligne  double. 

Il  y  a,  d'après  ce  qui  précède,  équivalence  entre  le  pro- 
blème d'EuLER  et  l'étude  arilhmogéométrique  de  la  surface 
précédente.  A  tout  arithmotriangle  à  médianes  simultané- 
ment rationnelles  correspondent  des  arithmopoints  de  la 
surface,  puisque  les  équations  en  a,  ,5,  y  sont  du  second  degré 
en  X,  en  y  et  en  z.  Inversement  à  tout  arilhmopoint  de  la 
surface  correspond  une  solution  a,  b,  ci  définie  à  un  même 
facteur  près,  dont  l'existence  correspond  à  une  similitude 
arbitraire  des  triangles  solutions. 

Quant  à  l'étude  arithmogéométrique  de  la  surface  mise  en 
évidence,  elle  est  immédiate,  si  l'on  observe  que  c'est  une 
surface  du  quatrième  degré,  admettant  d'ailleurs  quatre 
séries  de  sections  planes  simples  (.r=const.,  ^  =  const., 
z  =  const.,  .r  -\-  1/  -\-  z  =  const.)  qui  sont  des  cubiques 
planes.  De  tout  arilhmopoint  connu  a  priori  ou  par  un  pro- 
cédé quelconque,  se  déduisent  donc  immédiatement  quatre 
cubiques  non  complanes  douées  d'arithmopoinls. 

99.  —  Il  est  intéressant  de  noter  en  passant  que  dans  tout 
arithmotriangle  pythagoriquc  la  médiane  relative  à  l'hypo- 
ténuse est  seule  rationnelle.  Celte  question  n'est  point  traitée 


A  /{ I  I  II M  O  G  É  O  M  É  TRIE  271 

clans  les   Coiuinentationes  arillimeticœ,   mais   elle  conduit  à 
rélude  des  équations  simidtauées 

X-  +  :-  =  □, 

.r^  +  4v2  =  □   , 

entre  les  cathètes  d'un  triangle,  ces  équations  exprimant 
respectivement  que  le  triangle  est  rectangle  et  que  Tune  des 
médianes  relatives  à  Tune  des  cathèles  est  rationnelle.  Ce 
système  impossible  a  été  considéré  par  Eulek,  dans  le  sup- 
plément de  la  pièce  du  5  juin  1780,  citée  au  paragraphe  87, 
à  l'occasion  de  l'inexistence  d'arithmotriangles  lélémétriques. 
100.  —  Le  problème  traité  par  Euleu  dans  son  Mémoire 
qui  a  pour  titre  RecJierches  sur  le  problème  de  trois  nombres 
carrés  tels  que  la  somme  de  deux  quelconques,  moins  le  troi- 
sième, fasse  un  nombre  carré  (Leonhardi  Euleri,  Commenta- 
tiones  arithmeitcae  coUectae,  tomus  posterior,  Petropoli, 
1849,  pp.  603-616)  se  rattache  inanilestement  par  analogie  au 
problème  des  arithmotriangles  à  médianes  rationnelles.  Les 
équations  sont  ici 

h-  -y   c-  —  fl-  :^=  □  =  /?-   , 

f-    +    «2  _    /,2  _    [-]    —   (^-2    ^ 

a^-  _)-  tr-  —  c-  =  □  =  r2    ; 

Euler  en  signale  toute  une  série  de  solutions  particulières, 
telles  que 


I 

II 

III 

IV 

V 

a  z=  2U 

397 

'i25 

595 

493 

l>  =  269 

593 

373 

769 

797 

c  =   1  i9 

707 

205 

965 

937 

auxquelles  correspondent  respectivement  les  nombres 


p  =   191 

833 

23 

J081 

1127 

7  =  89 

553 

289 

833 

697 

r  =  329 

97 

527 

119 

289  . 

272  E.     TURRIÈRE 

Ici  encore,  en  posant 

a  ^  h  cos  a  +  c  sin  a  , 
h  ^=.  c  cos  l'i  -|-  «  siii  [j  , 
c  =  rt  cos  Y  +  ^  sin  y    , 

avec  tang-K-  =  'J^,  ^''^^g^^^^'  t^'^g^^^-"  ^^  problème  se 
ramène  à  rétude  arithmogéométrique  d'une  surface  dont  le 
premier  membre  de  Téquation  est  le  développement  du 
déterminant  exprimant  la  compatibilité  entre  les  relations 
qui  précèdent  : 


cos  a 

s  m  a 

—  1 

cos  |j 

sin  V 

—  1 

cos  y 

cette  surface  est  représentée  par  l'équation  du  sixième  degré  : 

x'-y-zr  -j-  .v\z\x  -f-  y  +  "'  —  ».>;i-:  —  (.r  —  r)(i"  —  =)  i=  —  x\ 
+  a-2  4-  V-  +  zP-  —  X  —  r  —  3  =  0   . 

Quoique  le  degré  de  cette  surface  soit  aussi  élevé,  il  se 
trouve  qu'en  raison  de  la  nature  de  sa  courbe  à  l'infini,  une 
grande  simplification  se  produit  ici.  Les  sections  par  les 
plans  parallèles  à  l'un  quelconque  des  plans  coordonnés  sont, 
en  effet,  des  quartiques  planes.  En  outre,  une  telle  (|uar- 
tique  se  présente  manifestement  comme  étant  la  projection 
d'une  biquadratique  gauche.  Si  l'on  considère,  en  efîet.  la 
quartique  située  dans  le  plan  de  cote  z^  et  si  l'on  pose 


la  (|uartique  considérée  n  est  autre  (|ue  la  projection  de  la 
biquadrati(|ue  gauche,  intersection  du  paraboloïde  hyper- 
bolique représenté  par  cette  dernière  équation  en  .r,  ^  et  i 
par  une  autre  quadrique  dont  l'équation  est  moins  simple. 
De  la  connaissance  d'une  solution  particulièi-e  ilu  jiroblème 
il  est  donc  possible  de  déduire  une  infinité  de  nouvelles 
solutions,   comme    application   de   la    théorie   des    fonctions 

elliptiques. 

(A  suivre 


NOTE  SUR  LA  GEOMETRIE  DU  TRIANGLE 
ET  DU  TÉTRAÈDRE 

PAR 

M.-Fr.  Daniels  (Eriboiirg,   Suisse). 


Nous  développons  dans  cette  noie  quelques  théorèmes 
bien  simples,  échappés  à  ce  qu'il  paraît  à  Tattention  des  géo- 
mètres qui  se  sont  occupés  de  la  géométrie  du  triangle  et 
du  tétraèdre. 

1.  —  Lorsque  aux  droites  sphériques  ou  grands  cercles 
p.(i  =.  1,  2,  3)  qui  relient  un  point  quelconque  Piïgl  de  la  sur- 
face sphérique  aux  sommets  Aj(ï.)  d'.un  triangle  sphérique  on 
élève  en  P  même  des  normales  qj ,  ces  nouvelles  droites  sphé- 
riques coupent  les  côtés  coi'i'espondants  du  triangle  en  trois 
points  Qj  (pii  sont  collinéaires. 


■^^Ai 


On  peut  remplacer  la  surface  sphérique  par  un  plan  (fîg.  1), 
et  les  normales  q.  par  des  droites  conjuguées  aux  p^  par  rap- 
port à  une  conique  C  sphérique  ou  plane  (fig.  2). 

Ce  théorème  est  une  conséquence  immédiate  de  l'identité 
vectorielle  : 


VI,    r.  r,  LU  +  H,,  r.  x-  1,1,  +  Vf,,  r.  r.  f,I, 

L'Enseij^nnnicnt  malhéni.,   19":  année;   1917. 


18 


274  M.-F.    DANIELS 

OÙ,  pour  plus  de  simplicité,  les  virgules  remplacent  encore 
des  V,  signes  de  la  multiplication  vectorielle  ou  externe.  En 
effet,  nous  trouvons,  si  les  P^.  sont  les  vecteurs  des  côtés  du 
triangle,  successivement  pour  le  premier  sommet  A^ ,  pour 
la  droite  p^ ,  pour  la  normale  ^,  passant  par  P,  et  pour  son 
point  d'intersection  Qi  avec  le  premier  côté  les  vecteurs  sui- 
vants *  : 

Q,  =  Vf,.r.r,U,  . 

Ce  dernier  point ''^  donnant  avec  les  deux  autres  cjui  s'en 
déduisent  par  permutation  cyclique  des  indices  une  somme 
qui  est  idenlif|uement  nulle,  les  trois  points  0^.  sont  bien  col- 
linéaires,  c.  q.  r.  d. 

2.  —  Lorsque  aux  droites  pj  qui  relient  un  point  quelconque 
de  l'espace  P  aux  sommets  A^  d'un  triangle  plan,  on  cons- 
truit au  point  P  même  des  plans  normaux  -.,  ces  nouveaux 
plans  coupent  les  côtés  correspondants  du  triangle  en  trois 
points  Qj  qui  sont  coliinéaires. 

On  peut  remplac'er  les  plans  normaux  r.^  par  des  plans  con- 
jugués aux  droites/;^,  par  rapport  à  une  quadriqne. 

Pour  démontrer  ce  théorème  on  peut  se  servir  avec  avan- 
tage des  méthodes  de  Grassmann.  En  effet,  on  a  successi- 
vement pour  la  droite/fj.  pour  la  di'oite  conjuguée />',  jiour 
le  plan  ttj  passant  par  cette  dernière  droite  et  le  point  P, 
enfin  pour  l'intersection  Qj  de  ce  plan  avec  le  premier  côté 
du  triangle 

P,    =[A,P]    ,     />;=|[A,P]    ,     ::,  =  [P     |  A,?] 

Q,  =  [A^A..    P   I  AjP]  =  (A3P  I  A,P)A„  —  |A,P  |  A,P)A,  . 

Or  ce  dernier  point,  donnant  avec  les  deux  autres,  qu'on 
en  déduit  par  permutation  cyclique  une  somme  qui  est  iden- 


'  Voir  l'Enseignemenl   Mathématique,  Vil,  n»  3  :   [.es  coordonnées  projectiles  sur  la  sphère 
ou  F.ssai  de  gcoinèlric  sphèrique,  Fribourg   19(17. 
*  En  dévolopp.int  on  trouve 

Vr,  LU  =  {t-ts)^  -  't. (.Ifs  ;     Vr,  r.  U,  =  (ri,!    Vrt,  -  ir-  t,>VrC, 

V(, ,  r.  r,  Ll,  =  [(rfsKf,  f.i  —  (r-fjif.-raijr  +  ifi-tMlo-nts  —  (T,  mCa-r^r,.  • 


GÉOMÉTRIE    DU    TRIANGLE  275 

liqiieinent  nulle,  les  trois  points  Q^.  sont  bien  coUinéaires. 
G.  q.l".  d. 

On  arrive  à  une  autre  démonsti-alion  de  ce  théorème,  dont 
le  premier  constitue,  au  moins  pour  le  plan,  un  cas  spécial, 
en  prenant  le  [)oint  P  comme  centre  d  une  sphère  et  en  con- 
sidérant avec  le  triangle  sphérique  produit  |)ar  les  droites 
PA^.  le  trialatère  polaire  produit  parle?  plans  tt^..  Nous  nous 
proposons  de  revenir  dans  une  note  ultérieure  sur  certains 
théorèmes  similaires,  où  le  point  est  remplacé  par  une  droite 
((uelconque  ou  un  plan  quelconque. 

3.  —  Loisqu'aux  droites  p.  qui  relient  un  point  quelconque 
P  aux  sommets  Aj(i  ^=  1,  2,  3,  4)  d'un  tétraèdre,  on  construit 
au  point  P  même  les  plans  normaux  -k.^^  ces  nouveaux  plans 
coupent  les  faces  correspondantes  du  tétraèdre  selon  quatre 
droites  qj,  généiatrices  d'un  hyperboloïde. 

Au  lieu  des  plans  normaux  ti^  on  peut  prendre  des  plans 
conjugués  aux  droites  p.  par  lapport  à  une  quadrique. 

Ici  encore  les  méthodes  de  Cirassmann  fournissent  une  dé- 
monstration bien  simple.  On  trouve,  en  effet,  successive- 
ment pour  la  droite  />, ,  pour  la  droite  conjuguée  //,  pour  le 
plan  TTi  et  pour  son  intersection  q^  avec  la  première  face  du 
tétraèdre  : 

,/.,  =  [A,P]    ,     p[=\  [A,P]    ,      t:,  =  [P|A,P] 

<u  =  [^,^,^,  p  |a,pi  . 

Or  {;etle  droite  et  les  trois  autres  qui  s'en  déduisent  par 
permutation  cyclique  des  indices  peuvent  s'écrire  : 

,A,P  i  A,P)[A,AJ  +  (A,P  I  A3P1|A,A,1  +  (A,  P  |  A,P|[A2A3] 
-(A,P  I  A3P)[A,AJ  -  (A^P  I  A,P)[A,AJ  -(A,P  |  A^PpjAJ 

(A^P  I  A,P)[A,A,]  +  (A3P  I  k^V)[K_h,]  +  1A3P  I  A2P)[A,AJ 
-  (A,P  I  A.P)[A,A3]  -  (A,P  I  A,P)[A3AJ  -  (A,P  |  A3P)[A,  AJ  . 

Leur  somme  est  nulle  ;  les  quatre  droites  sont  donc  des 
génératrices  d'un  hyperboloïde. 

Fribourg,  le  30  septembre  1917. 


SUR  UXE  GÉNÉRALISATION  DU  THEOREME 

DE  STEINER-HABICH 

CONCERNANT    LES    ROULETTES   ET    LES    PODAIRES 

APPLIQUÉE  AUX  ORBIFORMES  D'EULER 

PAR 

L.   Bralde  (Bierstadt). 


i.  —  On  connaît  le  théorème  du  géomètre  suisse  Steiner  ' 
sur  les  roulettes  à  base  rectiligne  (R^  et  les  podaires  II.  théo- 
rème demandant  Légalité  des  arcs  correspondants  de  ces 
deux  courbes  dérivées  d'une  courbe  plane  (F).  Nous  avons 
généralisé  ce  théorème  dans  notre  thèse  -  en  faisant  rouler 
une  courbe  F  dont  l'équation  intrinsèque  est 

IT)  K  =fis)   ,  (1) 

sur  la  courbe  à  cou/ bure  proportionnelle  : 

(F,)  R'  =  ;j../-|.s|  (2) 

a  étant  constant.  Lare  de  la  podaire  de  F  ou  de  la  roulette 
à  base  rectiligne  étant^ 

a  =    f^ds  ,  (3) 

celui  de  la  l'ouletle  de  F  sur  F,  : 

on  reconnaît  bien  facilement  cette  oénéralisation. 


(4) 


'  J.  SriîiNHR,  Journal  de  Crelle,  21,  1840,  p.  Idl,  Voir  .iiissi  H.  Wit:i.kitm;k.  Spe:.  ebeiie 
Kiirvcn,  Coll.  Schubert,  p.  3(18. 

"  L.  Hrauih:,  Ucber  cinigc  Verallgcineiiicrungcii  des  Begriff's  der  Mannheimschen  Kurvc, 
Hcidelberg,   lOtl,  p.  38. 

2  H.  WiKLEiTNi:n, /oc.  cit.^.  182;  voir  nussi  notre  petit  opuscule:  Les  coordonnées  intrin- 
sèques, théorie  et  application,  coll.  Scientia,  Gauthier-Vilbirs,  Paris  19H,  p.  82. 


LES    ROULETTES    ET   LES    PODAIRES  211 

2.  D'après  Habich^oii  peut  faire  rouler  la  roulette  à  base 
recliligne  (O)  sur  la  podaire  (II)  de  (F)  de  sorte  que  la  base 
passe  toujoui-s  par  le  pôle  de  W  ;  par  inversion  du  roulement, 
le  pôle  de  n  parcourt  la  base  droite  de  ($  ;  enfin,  en  faisant 
rouler  II  ou  \^.  sur  une  courbe  (juelconque  F,),  la  roulette 
du  pôle  de  (II)  est  identique  à  lenveloppe  de  la  base  de  ($). 
Nous  V  mentionnons  encore  la  variation  de  ce  théorème,  en 
regardant  (^)  et  (Q)  comme  courbe  de  Mannheim  ou  comme 
radiale  d'une  autre  courbe  (C,)  ;  cette  variation  fut  trouvée 
presque  en  même  temps  par  M.  G.-B.  Santa^gelo-  et  par 
moi. 

A.  —  Dans  un  article"^  donné  aux  Mouatsh.  d.  M.  ii.  Ph.., 
nous  avons  généralisé  le  théorème  de  Habich,  en  faisant 
rouler  une  courbe  (F  sur  un  nombre  quelconque  de  courbes 
planes  (B,),  (Bg),  ...  (B,,),  pour  avoir  comme  roulette  d'un 
point  P  fixe  sur  le  plan  de  F  les  courbes  ($,),  («Pa  ,  ...  4>„). 
De  même,  on  peut  engendrer  celte  famille  de  courbes  (Oa.) 
comme  enveloppes  d'une  courbe  ^')  fixe  sur  le  plan  de^F): 
la  courbe  M'  touche  son  envelopj^e  toujours  aux  points,  dont 
la  normale  passe  par  le  centre  de  courbure  de  (F),  corres- 
pondant au  point  de  contact  P  de  (F)  et  de  (B^).  De  là  il 
résulte  que  les  coordonnées  de  ces  points  au  système  (tan- 
gente, normale)  de  (Ba)  sont  toujours  les  mêmes,  indépen- 
dants de  la  courbe  (B^  elle-même;  enfin  nous  trouvons 
notre  généralisation  : 

Quand  on  fait  rouler  les  courbes  Bu  sur  une  courbe  quel- 
conque C,  on  aura  toujours  la  niênie  enveloppe 

E[C;  B^jT,  I^)] 
de  la  courbe  «Pa-. 

Exemples  :  a  .  La  roulette  du  centre  d'une  circonférence 
roulant  sur  la  courbe  (B)  est  une  courbe  parallèle  ;  de  là  il 
résulte  :  Quand  on  fait  rouler  une  courbe  (B)  sur  une  courbe 
(Cl,  l'enveloppe  d'une  courbe  parallèle  au  profil  générateur 


'   Voir  WiEi.i'.iTNER,  loc.  cit.,  p.  310  ;  L.   Bralde,  loc.  cit.,  note  3,  |j.  8'.'-01. 

'  l'r.  B.  Santangelo,  SuUa  curva  di  Mannheim,  etc.  Hend.  Cire.  Mat.  Palermo  XXIX,  1910; 
voir  de  même  notre  thèse,  p.  4'». 

'  i'eber  eine  Verallgeineineriing  des  Steiner-llabichschen  .Satzcs  iiher  llnll  iiiid  russpunkl- 
kiirven,  Monatslicfte  d.   Math.  u.  Phvs.   1918. 


278  L.    BRAUDE 

est  une  courbe  parallèle  à  la  base  ;  de  ce  théorème,  on 
connaît  bien  les  cas  où  (B)  est  une  droite  ou  un  point' , 

b)  De  même,  on  trouve®  :  Quand  on  fait  rouler  une  courbe 
(B)  sur  une  courbe  (C),  l'enveloppe  cV une  développante  de  /^B) 
est  une  développante  de  (C). 

c)  La  roulette  du  pôle  d'une  spirale  logarithmique 

R  =  s  tg  a 

est  la  développoïde  (a)  d'une  développante  de  la  base  curvi- 
ligne^; de  là,  il  résulte  :  Quand  on  fait  rouler  une  courbe  (B) 
sur  la  courbe  (C),  l'enveloppe  d'une  développoide  (a)  d'une 
développante  (B')  de  (B)  est  la  développoïde  (a),  d'une  déve- 
loppante de  (C). 

d)  Entre  la  courbe  de  Mannheim,  la  radiale  et  Tarcuide,  il 
y  a  la  contenance  suivante^  :  Quand  on  fait  rouler  la  radiale 
sur  la  courbe  de  Mannheim  de  sorte  que  la  roulette  du  pôle 
est  la  base  rectiligne  [axe  des  x),  on  aura  comme  enveloppe 
d'une  droite  fixe  menée  par  le  pôle  de  la  radiale  une  arcuïde  ; 
la  variation  de  la  droite  correspond  à  une  transformation 
traitée  d'une  manière  approfondie  par  M.  E.  Kœstlin*.  Mais 
quand  on  fait  rouler  la  radiale  de  (F)  sur  la  développée  in- 
termédiaire d'une  courbe  à  courbure  proportionnelle  (Fi) 
rectifiable  par  les  mêmes  arcs,  on  aura^  comme  enveloppe 
d'une  droite  menée  par  le  pôle  une  causticoïde  de  F'  ;  de 
là  il  résulte  :  Quand  on  fait  rouler  sur  la  développée  inter- 
médiaire de  (Fj  la  courbe  de  Mannheim  d'une  courbe  à  cour- 
bure proportionnelle ,  l'enveloppe  d'une  arcuide  est  une  caus- 
tico'ide  de  la  courbe  'T).  Par  exemple,  on  peut  faire  rouler  la 
spii-ale  logarithmique,  représentant  la  base  curviligne  de 
l'arcuïde  dont  récpiation  intrinsèque®  est 

R  =  (•/"?  COS//Ç  (C)   ,  (5) 


1  H.   WiKLiuTNiJiî,  loc.  cit.  p.  186. 

'^  Pour  la  base  circulaire,  voir  H.  Wii:i.niTNi;ii,  p.  322;  pour  la  base  gonérale  voir  notre 
tlicse,   p.   'lO  ;    L.    BllAliDK.  /oc.  «■/.  3,   p.   112. 

3  L.   Braudh,  Enseign.  Math.,  XVl,  1914,  p.  360;  loc.  cit.  3,  p.  97. 

*  H.   WiKLKiTNKM,   loc.  cit.,  p.  384  et  suiv. 

<>  L.  Hraui>i!,  loc.  cit.  3,  )).  40  (I2|.  L.  Braldk.  Sur  quelque.')  {^l'iicralisalion.i  d'une  trans- 
formation ds  M.   E.    Kwstlin,  .\nui\\es  \ei\A.   Porto.  IX.  IDl'i.  toc.  cit. 'A.  p.    17. 

"  L.  Bkaiidi:,  .9«r  quelques  gcnèrali.iation.'!  d'une  transformation  de  M.  E.  Kœstlin,  Ann. 
Acad.   Porto.  l.\,   l'.M'i;  loc    cit.  3,  p.  17. 


LES    ROULETTES    ET    LES    PO  D  AIRE  S  279 

sur  une  autre  spirale,  pour  engendrer  une  courbe  du  même 
type  oomme  enveloppe  de  (C). 

4.  —  Appliquons  ce  théorème  aux  orbiformes  d'EuLER, 
courbes  définies  par  le  grand  géomètre  à  Taide  des  deux 
propriétés  que  chaque  normale  est  en  même  temps  binor- 
maie,  de  sorte  que  la  corde  comprise  entre  ces  deux  points 
soit  toujours  constante,  propriétés  supposées  d'abord  comme 
caractéristique  pour  la  circonférence  seule.  On  aura  par 
exemple  une  telle  courbe  en  faisant  rouler  une  cardioïde  à 
l'extérieur  d'une  hypocycloïde  à  un  nombre  impair  de  re- 
broussemenfs  réels.  En  supposant  comme  base  l'hypocy- 
cloïde  tricuspidale  (de  Steiner)  : 

R  =  «  cos  3ç   ,  (6) 

l'équation  intrinsèque  de  l'orbiforme  est 

R  =  |(l  +  cos3çl   .  (7) 

Quand  on  fait  rouler  une  telle  orbiforme  sur  une  courbe 
quelconque  (T),  l'enveloppe  de  l'orbiforme  est  une  courbe 
parallèle  à  iT).  Soit  F  par  exemple  la  développante  d'une 
circonférence  ;  alors  l'enveloppe  est  une  courbe  parallèle, 
c'est-à-dire  congruente  à  la  base. 

Faisons  maintenant  rouler  une  orbiforme  sur  une  autre 
orbiforme  ;  alors  l'enveloppe  est  toujours  une  orbiforme  si 
les  deux  courbes  roulent  à  courbure  opposée  ;  quand  elles 
roulent  en  même  courbure  on  aura  des  orbiformes  seule- 
ment en  évitant  l'intervalle  pourvu  de  rebroussements. 

Supposons  enfin  les  deux  orbiformes  congruentes  entre 
elles  ;  alors  on  aura,  au  cas  du  même  sens  de  courbure,  la 
base  elle-même  comme  enveloppe.  La  position  initiale  est 
sans  aucune  influence  sur  la  nature  de  Fenveloppe  ;  natu- 
rellement, au  dernier  cas  il  faut  éviter  que  les  deux  courbes 
se  touchent  complètement,  autrement  il  n'y  a  aucun  roule- 
ment. L'une  des  deux  orbiformes  peut  être  une  circonfé- 
rence ;  mais  quand  on  a  deux  circonférences  congruentes 
en  même  sens  de  courbure,  on  peut  les  faire  glisser  l'une 
sur  l'autre,  ce  (|ui  est  impossible  aux  autres  orbiformes. 


NOTE  SUR  LES  PERMUTATIONS 

(Définilions,    classifications   et    transformations} 

PAR 

A.  AuBRY  (Dijon). 


1.  —  Peut-on  déterminer  une  permutation  par  la  connaissance 
des  positions,  les  unes  par  rapport  aux  autres,  des  diverses  lettres, 
toutes  différentes,  qui  la  composent  ? 

1"  Indiquons  par  la  cliiade  cb  le  fait  que,  dans  la  permutation, 
la  lettre  e  est  placée  à  gauche  de  b.  La  première  lettre  de  la  duade 
est  la  prime,  la  seconde  V ultime. 

Si  les  deux  lettres  c  et  è  se  suivent  immédiatement  dans  la  per- 
mutation, la  duade  est  dite  immédiate.  Elle  est  médiate  dans  le 
cas  contraire. 

2°  Si  une  même  lettre  est  plus  dune  fois  prime  ou  ultime,  les 
duades  ne  sont  pas  toutes  immédiates.  Ainsi  ab  et  ac  ne  peuvent 
être  toutes  deux  immédiates  ;  en  outre  on  ne  sait  si  on  a  bc  ou  cb  : 
les  relations  ab ,  ac  ne  peuvent  donner  que  des  renseignements 
redondants  ou  incomplets. 

3"  L'existence  des  duades  ab .  bc ^  cd  ...  ef.  /^entraîne  celle  de 
la  duade  ag. 

Une  duade  médiate  est  la  résultante  de  plusieurs  duades  mé- 
diates ou  immédiates.  Une  duade  immédiate  ne  peut  se  remplacer 
par  d'autres  duades. 

4°  Appelons  chaîne  une  suite  de  duades  dont  la  prime  de  cha- 
cune est  identique  à  l'ultime  de  la  précédente.  La  chaîne  ab ,  bc ,  cd 
s'écrira  par  abréviation  :  chaîne  abcd. 

Les  deux  couples  ab,  ba  ne  peuvent  coexister  ;  en  général,  une 
chaîne  ne  peut  commencer  et  finir  par  la  même  lettre.  Outre  ab 
et  ba,  on  citera  les  chaînes  absurdes 

ac  ,   he  ,    ca  .   dl>  :     chaîne     nca   , 

ce  ,  df .    bc  ,   ah  ,   ea  :     chaîne     abcea  . 

5°  Si  une  chaîne  de  n  —  1  duades  contient  /i  lettres,  ces  duades 


Sl'B    I.  E  S    VER  M  U  TA  TIO  i\  S  28 1 

sont  iinmédiates.  Soit  la  chaîne  abc  ...  de  et  a,  ^,  ...  y,  ...  ô,  le 
nombre  des  lettres  existant  entre  a  et  b ,  entre  b  et  r,  ...  entre 
(/  et  6"  :  on  a  : 

1  +  (a  -f  ,:  -I-  ...  +  o)  +  (Il  —  2i  +  1  =  «    ,        d'où        a  +  ...  +  o  =  0   ; 

ce  dernier  résultat  ne  peut  avoir  lieu  que  si  a  =  ^=  ...  ô  =  0. 
Ainsi  la  permutation  corresjjoudante  n  est  autre  que  abc  ...  de. 

6"  Ainsi  une  permutation  de  n  lettres  est  nécessairement  et  suf- 
fisamment déterminée  par  n  —  1  duades  dont  toutes  les  primes 
sont  différentes  et  se  retrouvent  sauf  une,  dans  les  ultimes,  les- 
quelles par  suite  contiennent  une  lettre  qui  ne  se  retrouve  pas 
dans  les  primes.  Par  exemple  les  duades  de,  af\  cb ,  ea,  bd  déter- 
minent la  cliaine  cbdeaf. 

~'^  Si  ces  conditions  ne  sont  pas  toutes  remplies,  la  permutation 
ne  peut  généralement  pas  être  déterminée,  .\insi  les  duades  ae, 
ba ,  de,  df\  (?/' fournissent  la  chaîne  baef,  doù,  <à  cause  de  df,  les 
quatre  formules  possibles 

dliaef  .      hclaef  ,      badef  .      Iiaedf  . 

dans  lesquelles  c  doit  se  placer  en  respectant  la  condition  de.  ce 
qui  donne  5  +  ^  +  3  +  2  =  14  solutions. 

2.  —  Cette  définition  de  la  permutation  en  suggère  une  autre 
demandant  également  n  —  1  conditions  et  consistant  dans  l'indi- 
cation des  nombres  de  lettres  contenues  entre  les  termes  des  di- 
verses duades  données. 

I.  Ainsi  les  duades  ab ,  ed ,  ef,  avec  cette  indication  (pie  les 
deux  premières  encadrent'^  respectivement  quatre  et  deux  lettres, 
déterminent  la  permutation  acefdb . 

II.  r>es  duades  ab .  cd.  e/"  encadrant  respectivement  une.  deux 
et  trois  lettres,  déterminent-elles  une  permutation  .'  On  pourrait 
employer  1  analyse  indéterminée,  comme  au  n"  1,  7v'.  Mais  la  re- 
cherche directe  est  plus  courte.  On  a  les  dispositions 

a  ^  I)  ,     c  **  d  ,     e  ***  f  , 

les  astérisques  désignant  des  letties  inconnues.  On  verra  aisément 
qu'il  ne  peut  y  avoir  que  les  deux  solutions  eaebfd ,  eeadhf. 

III.  Plus  généralement  on  peut  se  demander  quelles  condi- 
tions doivent  remplir  les  nombres  a,  ^ ,  ...  à  pour  que  la  formule 
a^b^.^c  ...  d^-e    représente    une    permutation   des   lettres  abc  ...  de 

a,  ^,  ...  ô  désignent  les  nombres  de  lettres  existant  entre  aet^, 
etc.  . 


'  On  veut  dire  par  l.i  qu'il  y  a  quatre  lettres  entre  a  et  6  et  deux  entre  c  et  rf. 


282  A.    AUBRY 

Considérons  le  groupe  o.jh'-,c  ;  il  y  a  entre  «  et  c  : 

a  +  [î  +  1  lettres  si  a  et  3  sont  positifs,  ou  si  a  est  positif  et  |b  négatif  avec  x  +  |5  <<  0  , 
a  -(-  fj  —  1      »        »        »       négatifs,         »  »         »  »         a  -|-  [î  >  0  .  - 

On  peut  tirer  de  là  successivement  toutes  les  lettres  de  la  per- 
mutation. 

I\  .  iMais  on  arrivera  bien  plus  aisément  au  but  en  mettant  la 
formule  sous  une  autre  forme,  où  chaque  lettre  est  surmontée 
d'un  nombre  indiquant  sa  distance  à  la  lettre  a.  La  formule  ebdgafc, 
qui  s'écrirait  a_2biC_^d_^e^f_^g ,  s"éciirait  ainsi 

0—32—241—1 

a    b    c    d   e  f  g 

Cette  expression  montre  immédiatement  que  la  première  lettre 
est  a  et  la  dernière  e  ;  que  toutes  les  places  sont  occupées  et  qu'il 
n'y  a  pas  de  lettres  doublées  ;  que  les  voisines  de  d,  par  exemple, 
sont  b  et  g,  etc.  On  arrivera  de  la  manière  qui  suit  à  la  transfor- 
mation indiquée  : 

0—3  0  5-32  0—42—2 

a_.,  h  =  a  h  ,      h^  c  ^=i  h  c  z=z  h  c  ,      c_^  d  ■=.  c  d  ^=:  c  d   ,  ... 

3.  —  La  question  suivante  proposée  dans  le  t.  IV  de  la  Aoiiç. 
Corresp.  Math,  et  à  laquelle  il  ne  semble  pas  avoir  été  répondu, 
pose  une  nouvelle  définition  des  permutations. 

Déterminer  une  permutation  des  n  premiers  entiers,  sachant 
combien  il  y  a  avant  1  de  nombres  plus  grands  que  lui,  combien 
avant  2  plus  grands  que  lui,  etc.  (Brun.; 

Représentons  la  permutation  65L3274  par  la  formule  [2323100], 
indiquant  qu'il  y  a  deux  chiffres  avant  1  et  plus  grands  que  lui, 
etc.  Les  permutations  1234567  et  7654321  s'écriront  ainsi  [0000000] 
[et  6543210.] 

Appelons  en  général  a,  ^ ,  y  -,  •■■  f^-  ''  les  nombres  des  termes 
précédant  1,  2,  3,  ...  n  et  qui  leur  sont  supérieurs,  a  peut  recevoir 
toutes  les  valeurs  entières  de  0  à  «  —  1  ;  /S,  toutes  celles  de  0  à 
n  —  2;  y ,  toutes  celles  de  0  k  n  —  3  ;  ...  /*,  les  deux  valeurs  0  et  1  ; 
V,  la  valeur  unique  0.  De  la  sorte,  les  n  valeurs  de  a  associées  aux 
n  —  1  valeurs  do  jS,  ...  aux  deux  valeurs  de  fi  et  à  l'unique  valeur 
de  r,  donnent  bien  ni  formules  de  forme  ^a  ...  r\  en  nombre  égal 
à  celui  des  permutations  des  nombres  l,  2,  ...  n.  Toutes  ces  asso- 
ciations sont  évidemment  distinctes,  de  même  que  les  permuta- 
tions des  n  premiers  entiers  ;  et  comme  elles  sont  en  même  nom- 
bre (le  part  et  d'autre,  elles  se  correspondent  de    manière  à  se 


*  Ouant  an  cas  a    b        c,  il  est  évideniiULMit  impossible. 
01   — a  ' 


.s  UR    LES    PEU  M  U  TA  TKJ  N  S  283 

définir  nuituellement.  Cette  propriété  a  été  démontrée  autrement 
par  J.  B()ur(;et    .V.  .1.  1871. 

Les  conditions  nécessaires  et  suffisantes  pour  (junne  formule 
[«(S  ...  \\  représente  une  permutation  sont  ainsi  : 

0  ^  a  ^  /j  —  1    .      0  ^   ,'j  ^  «  —  2.   . ..  0  -^   ;j.  ^  1    .      0  =  V   . 

Le  rang  de  1  est  a  -\-  i  \ 

celui  (le  2  est  j  +  1     si     a  >   :; ,     et     ,3  +  2     si     a  ^  ,;   : 
3  ...  Y  +  1     si     a>Y       et     [5  >  y  ;   [3  +  2     si     a^y     ou     .3^';'; 

Y  +  3       si     X  ^  Y     et     '^  —  '(  '. 


Soit  la  formule  [012343210]  ;  on  l'assimilera  à  la  formule  géné- 
rale [a^yôs^fiOt].  Le  rang  de  1  est  a4-l  =  ^+i  =  i;le  rang 
de  2  est  ^  +  2  =  l-|-2=3,  puisque  a  <<  3  ;  ...  le  rang  de  G  est 
l!  +  ,3  =  3  +  .5  =  8,  puisque  les  quatre  nombres  a,  (S,  y,  J  sont 
^Ç  et  que  f  >  5  ;  le  rang  de  7  est  /J,-\-f^^2-\-^^6,  puisque 
a,  /3,  Y  sont  ^  ,a  ;  le  rang  de  8  est  ^-f"3  =  l-f-3^4.  puisque  a  et 
jS  sont  :^  2  ;  le  rang  de  9  est  t  -|-  2  =  0  +  2 ,  puisque  a  ^  i .  On 
trouve  ainsi  la  permutation  19283746.5. 

4.  —  ]'ois/naoes.  Les  questions  de  ce  genre  se  voient  pour  la 
première  fois  chez  Fiiemcle  [Abr.  des  Comb.  1693),  qui  se  propose 
de  trouver  le  nombre  de  permutations  des  huit  premières  lettres, 
telles  que  b,  c,  d  ne  soient  jamais  ensemble,  et  celles  où  deux 
lettres  données  ne  se  trouvent  ni  au  commencement  ni  à  la  fin. 
Les  problèmes  qui  suivent  donneront  une  idée  de  cette  théorie. 

L  II  n'est  pas  possible  de  déterminer  une  liste  de  permutations 
de  2  n  lettres  telles  que  chacune  soit  à  côté  de  toutes  les  autres  et 
une  fois  seulement.  Il  y  a,  en  effet,  C„  o  voisinages  à  réaliser,  et 
comme  chaque  permutation  donne  n  —  1  voisinages,  il  faut  envi- 

sager—  permutations,  ce  qui  montre  d  abord  que  n  doit  être  pair: 

mais  les  voisinages  de  a  par  exemple  sont  au  nombre  de  n  —  1  et 
demandent  par  conséquent  n  —  i  permutations,  —  Ed.  Lucas 
[Récr.  II,  175)  indique  à  tort  ce  problème  comme  possible, 

IL  Le  nombre  de  manières  d'assembler  n  majuscules  et  n  mi- 
nuscules de  manière  quil  n'y  ait  pas  deux  majuscules  ou  deux 
minuscules  consécutives  est  2  [n  1'  lEd.  Licas  . 

III.  Trouver  le  nombre  de  manières  dont  n  hommes  et  leurs 
femmes  peuvent  se  placer  sur  une  ligne,  de  manière  qu'aucun 
homme  ne  soit  auprès  de  sa  femme  fLd.  Lucas  .  Ce  problème  n'a 
pas  encore  été  résolu. 


284  A.    AUBRY 

5.  —  Rappel  de  diverses  propriétés  des  permutations.  1.  Toute 
permutation  de  n  lettres  ab  ...  kl  a  sa  retournée  Ik  ...  ba.  Elle 
donne  naissance  à  /«  —  1  permutations  tournantes. 

II.  Le  nombre  des  permutations  de  n  lettres  est  égal  à  n  ! 

III.  Le  plus  souvent,  les  lettres  représentent  des  nombres  ;  dans 
ce  cas,  une  permutation  quelconque  «è  ...  /  a  sa  complémentaire 
[s  —  a)\s  —  b)  ...  (.s  —  l  ,  s  désignant  la  somme  a  -{-  b  -\-  ...  -\-  l . 

Ainsi  la  somme  de  tous  les  nombres  de  neuf  chiffres  s'obtient 
1 
en  multipliant  par^O!  la  somme  des  deux  noinbres  123456789  et 

987(354321.  Ce  problème  est  d'origine  indienne. 

IV.  Une  permutation  symétrique  est  celle  où  deux  lettres  symé- 
triquement placées  dans  l'ordre  naturel,  le  sont  également  dans 
cette  permutation.  Pour  In  ou  2n  -)-  1  lettres,  le  nombre  de  ces 
permutations  est  /i!2"  lEd.  Lccas;. 

Y.  Figuration  des  permutations.  M.  Laisaxt  a  remarqué  qu  on 
peut  représenter  les  permutations  par  les  trajets  d'un  point  A  à 
un  point  \,  en  passant  par  un  point  B  réuni  à  A  par  une  ligne, 
un  point  C  réuni  à  B  par  deux  lignes,  etc. 

Ed.  Llcas  les  figure  sur  des  échiquiers  par  des  jetons  dont  les 
emplacements  sont  définis  au  moyen  de  coordonnées  cartésiennes: 
la  permutation  3142,  par  exemple,  étant  figurée  par  des  jetons 
placés  aux  points  1  —  3,2  —  1,3  —  4,4  —  2.  Il  examine  ces 
figurations  suivant  diverses  conditions  de  symétrie. 

La  recherche  du  nombre  des  permutations  où  il  n'y  a  quune 
lettre  dans  chaque  rangée,  dans  chaque  colonne  et  dans  chaque 
parallèle  aux  diagonales  de  l'échiquier,  constitue  le  célèbre  pro- 
blème des  reines,  résolu  seulement  pour  les  onze  premiers  échi- 
quiers. (Voir  Ed.  I^ucas,  l.cit.,  Rouse-Ball,  /^t'r/-.  et  Ahrexs,  J/c/M. 
Unt.  u.  Spiel.  1910. 

VI.  Abaques.  On  appelle  ainsi  un  échiquier  dont  les  //-  cases 
contiennent  n  fois  la  série  des  n  premiers  entiers.  On  en  a  un 
exemple  dans  les  carrés  latins  ',  où  chaque  rangée,  comme  chaque 
colonne,  contient  une  permutation  de  ces  n  nombres. 

On  en  a  un  encore  plus  remarquable  dans  le  carré  d'Euler* 
formé  de  «^  jetons  de  n  couleurs  et  de  ii  valeurs  différentes  et  tel- 
lement placés  que  chaque  couleur  et  chaque  valeur  se  trouvent 
représentées  dans  les  n  rangées  et  les  n  colonnes.  Bachet  avait 
déjà  donné  celui  de  4''  jetons  ;  Euler  a  commencé  l'élude  générale 
de  ces  carrés  et  a  soupçonné  l'impossibilité  de  celui  de  0^,  ce  qui 


•  Ainsi  nommés  par  Ellkr  dans  son  célèbre  mémoire  de  Vlissingen,  mais  connus  avant 
lui.  G.  Taruy  les  appelle  perniiitations  carrées  :  il  en  prévoyait  la  généralisalion  en  permu- 
tations cubiques,  quartiqucs.  etc.  On  a  aussi  appilo  permutations  des  2""»,  :'■»"■.  ...  ordres. 
les  nombres  i/i  !i  !  ,  i  i/i  !i  !  i  !  ,   etc.  ainsi  que  les  suivants  /i  !  !  =  1  !   2  1  ...  n  ! ,  n  !  1  !  :=  1  1  !   2  !  1   ... 

'■'  Appelés  carrés  symhoUques  par  M.  Bahhuttk.  On  les  appelle  aussi  carrés  des  n*  offi- 
ciers (de  71  armes  dilTércntes  et  de  n  grades  ditTérents.   Euli:r,  loc.  cit.). 


SUR    LES    PERMUTATIONS  285 

a  été  vérifié  par  G.  Tarry.    JNl.  Barbette  a  poussé  très  loin  rétude 
de  ces  carrés.  [Carrés  magiques,  Liège,  1912. i 

Le  carré  ci-dessous  est  dû  à  Eli.er  ;  il  donne  en  outre  dans  cha- 
cune des  diagonales  complètes^  la  collection  des  cinq  couleurs  et 
des  cinq  valeurs. 


•^4 

^3 

0, 

'l.l 

\ 

Ij 

9 

~4 

1. 

0 

-3 

3, 

'-. 

^1 

4. 

^4 

I3 

5, 

L 

2, 

3, 

On  peut  d'ailleurs,  parla  méthode  des  constellatioiis  àe  G.  Tarry, 
trouver  une  foule  de  collections  semblables  :  supposons  le  carré 
indéfiniment  reproduit  à  droite  et  au-dessous  et  découpons  dans 
un  carton  cinq  ouvertures  correspondant  aux  termes  2.,,  03 ,  3^ ,  J., 
et  4,  ,  par  exemple,  qui  renferment  la  collection;  dans  chacune 
des  positions  sur  le  carré  indéfini,  on  verra  une  collection  sem- 
blable. ■ 

D'un  carré  d'EcLER  on  déduit  aisément  un  carré  maoique  en 
considérant  les  termes  du  premier  comme  étant  écrits  dans  la 
base  ?i . 

A  signaler  encore  la  /ah/e  de  dii'ision  îmod.  /i]  où  le  terme  [x ,  y] 
est  =  x{x ,  y)  et  la  table  de  multiplication  niod.  n)  définie  par  la 
relation  (.r,  y)  =  xy .  (Voir  les  Fonc.  arith.  de  G.  Arnoux.^ 

VIL  Permutations  réciproques.  Jacobi  a  appelé  ainsi  les  permu- 
tations telles  que  le  a''™*  terme  de  la  première  étant  fi,  le  /S*"""  de  la 
seconde  est  «.   Cette  considération  est  due  à  Euler  II.  cit.). 

Le  nombre  des  permutations  qui  sont  leurs  propres  réciproques 
est  donné  par  la  récurrence 

»,  =  1  .  ».,  =  -1  .   t,^,  z=  tif._^  +  lA-  -  Uiif._.,  . 

\  IIL  Le  tiombie  total  des  manières  dont  on  peut  effectuer  le 
jiroduit  de  /i  nombres  dillerents  est 

(2n  —  3)  !  2"-'  ,^  ,  ,     , 

.    .  Caliilaiil. 


2.4.6  ...  (2«  —  4i 

IX.  On  appelle  inversion  le  cas  dune  duade  qui  nest  pas  écrite 
dans  l'ordre  naturel  :  ainsi  la  permutation  bdac  comporte  les  trois 
inversions  Z»(7 ,  <j^r7 ,  rfc.  Une  permutation  est  de  première  ou  de 
seconde  classe  selon  qu'elle  présente  un  nombre  pair  ou  un  nom- 
bre impair  d'inversions.  Les  deux  théorèmes  suivants  sont  le  fon- 
dement de  la  théorie  des  déterminants. 


^  Telle  que  05.   5j.  84,  2i ,    ]%. 


286  A.    AUBRY 

Une  permutation  quelconque  change  de  classe  si  on  échange 
deux  lettres.  Les  deux  classes  renferment  un  même  nombre  de 
permutations.  (Bezolt.) 

X.  Déterminer  les  permutations  telles  que,  pour  f  el  g  quel- 
conques, la  différence  de  la  Z'™"  et  de  la  g'"""  ne  soit  pas  égale  à 
f — g,  en  valeur  absolue.  Question  identique  au  problème  des 
reines  (V). 

XI.  Rangeons  les  permutations  de  n  lettres  dans  l'ordre  où  on 
les  trouve  successivement.  Quelle  est  la  k^""'  ?  Quel  est  le  rang 
d'une  permutation  donnée  ?  iJ.  Bolrget,  /.  cit.] 

XII.  Pernidtalions  discordantes.  Le  nombre  des  permutations 
oii  aucune  lettre  n'est  à  sa  place  est  donné  par  la  formule  sui- 
vante, due  à  Laplace,  mais  entrevue  par  Euleh  : 

"•-c,,,(«-  I):  +  c„ .,(,;- 2):-... 

XIII.  Les  2"+^  premiers  entiers  —  de  même  que  les  2"  (2/-  +  1) 
—  peuvent  se  partager  en  deux  suites  donnant  une  égalité  au 
^^ème  degré.    G.  Ta  nu  y.; 

XI \'.  Le  nombre  des  permutations  de  n  lettres  présentant  k 
inversions  est  égal  au  coeflicient  de  .r^  dans  le  produit 

il  -f-  x\[l  -\-  .»•  -\-  x-\\\  +  X  -\-  X-  -\-  ir\  ...  (O.  Rodrigiies.) 

XV.  Trouver  le  nombre  des  dispositions  rectilignes  d'un  jeu 
de  domino  rangé  suivant  les  règles  du  jeu  (Reiss.)  Aux  doubles 
près,  cette  question  revient  à  la  recherche  du  nombre  de  manières 
de  tracer  d'un  seul  trait  un  heptagone  et  ses  diagonales  (Laisaxt). 
(Voir  Ed.  Llcas.  op.  cit.  II  et  IV.) 

XVI.  Problème  de  Kirkman.  Voir  dans  les  Hècr.  d"Ed.  Lucas  et 
de  House-Ball  la  solution  de  divers  cas  simples  de  ce  problème, 
qui  dans  toute  sa  généralité  consiste  à  disposer  mn  lettres  en 
groupes  de  n,  de  manière  que  chaque  lettre  ne  soit  qu'une  seule 
lois  en  présence  de  chacune  des  autres.  A  oir  aussi  Encycl.  des 
se.  math.  I,  1,  p.  79.) 

XVII.  Problème  du  cavalier.  Il  s'agit  de  faire  parcourir  au  ca- 
valier toutes  les  cases  de  l'échiquier,  en  suivant  la  règle  du  jeu. 
(Voir  Ed.  Lucas,  Rouse-Ball  et  Ahuexs,  op.  cit.) 

6.  —  Trnnsforniatioiis  des  permutations.  Echanges.  La  transfor- 
mation la  plus  simple  consiste  dans  ïécka/ige  de  deux  lettres  don- 
nées ;  on  représente  cette  opération  par  la  notation  //,  b)  laquelle 
indique  que  a  prend  la  place  de  b  el  b,  celle  de  a. 

Par  exemple  dgefubc  se  transforme  en  abcdefg  par  les  échanges 
(a,  d],  [b,g],  [c,  e),  [d,f),[e,f)  et  [f,  g,  <pie  pour  abréger  on 
désignera  en  disant  qu'on  fait  subir  à  dgefabc  Vopèration  \a  ,  d) 
[b,g]{c,e][d,f]{e,f][f,g]. 

Cinq    hommes    et    leurs    femmes    sont    disposes    dans    1  ordre 


SUR    LES    PEU  MUTAT/ ON  S  287 

ABCDEabcde  \  leur  faire  échanger  leurs  places  de  manière  que 
chaque  mari  soit  à  côté  de  sa  femme.  On  trouvera  les  solutions 
par  l'analyse  indéterminée;  l'une  d'elles  s'indique  par  l'opération 
{a,B  [c,  D  [d  ,K)[d ,  b).  On  voit  que  ûf  change  deux  fois  ;  on  remar- 
quera aussi  que  Tordre  des  échanges  (a ,  B)  et  ic  ,  D;  est  indifférent, 
ce  qui  tient  à  ce  qu'ils  n'ont  pas  de  lettres  communes  ;  mais  il 
n'en  est  pas  de  même  des  deux  autres  qui  donnent  des  résultats 
différents  si  on  exécute  d'abord  (d ,  b  . 

11  faut  ainsi  toujours  effectuer  les  échanges  dans  l'ordre  indicjué. 

A  remarquer  également  que  lopération  [a,b]  est  la  même  que 
{b,a)  et  que  l'opération  a^b  faite  deux  fois  laisse  la  permutation 
inchangée. 

7.  —  Déplacements.  Pour  faire  venir  a  entre  h  et  â?  dans  hdgefabc, 
on  peut  effectuer  l'opération  [a,  f){a ,  e)[a,  g){a,  d) ,  ce  qui  re- 
vient à  retirer  a  et  repousser  d'un  rang  l'ensemble  des  lettres  d , 
g,  e ,  f,  et  metti.e  a  à  l'endroit  laissé  libre.  On  appellera  dépla- 
cement cette  opération  ;  la  formule  qui  la  représente  sera  donnée 
plus  loin. 

Etant  donné  la  permutation  kBÇ^abca^)',  la  transformer  par  dé- 
placements sur  deux  lettres  à  la  fois,  en  une  autre  où  les  A  soient 
ensemble,  de  même  que  les  B  et  les  C.  On  exécute  les  déplace- 
ments sur  BC<7,  sur  bca.  sur  BCa,  bc^  et  C^b,  toujours  vers  la 
gauche  :  on  a  alors  AaaBb^Ccy . 

8.  —  Tiansformations  diverses.  Le  nombre  des  permutations 
de  n  lettres  étant  limité,  si  par  une  certaine  transformation  la 
permutation  Pq  devient  P^ ,  puis  si,  par  une  transformation  iden- 
tique, celle-ci  devient  P^.  et  ainsi  de  suite,  il  arrivera  qu'on  re- 
tombera sur  une  transformée  Pa:  identique  à  une  permutation  déjà 
trouvée  Pa  .  On  aura  ainsi  : 


Ainsi  la  permutation  proposée  fournit  un  certain  nombre  k  —  h 
de  transformées  revenant  périodiquement.  Il  est  commode  d'écrire 
ces  k  —  h  permutations  les  unes  sous  les  autres  en  un  tableau 
synoptique. 

I.  Transformons,  à  l'aide  de  la  formule  x  =  2A  +  3  (mod.  7), 
les  termes  de  la  permutation  A*  ^  1 ,  2,  3,  4,  5,  6,  7  ;  puis,  de  la 
même  manière,  ceux  de  la  transformée  y  =  2.r -|- 3  =  2"''A  -f-  6  +  3, 
puis  z  =  2//  +  3  =  2'^A-  -{-  V2  -\-  ()  -\-  3,  et  ainsi  de  suite;  on  aura  : 

/  =  1  2  ;j  'i  .T  6  7 

.r  =  .5  7  2  'i  6  J  3 

1  =r  6  :{  7  'i  I  5  2 

;  =  1  2  3  4  .5  6  7 


288  A.    AUBHY 

La  période  comprend  trois  permutations. 

II.  La  transformation  d'EuLER  indiquée  au  n"5,  ^  II,  donne  une 
période  de  deux  permutations. 

III.  D'un  paquet  de  jetons  1,  2,  3,  ...  n,  on  met  le  premier  sous 
le  dernier,  on  élimine  le  deuxième,  on  met  le  troisième  sous  le 
paquet,  puis  le  quatrième  sur  celui  qui  a  déjà  été  retiré,  et  ainsi 
de  suite.  Quelle  sera  la  permutation  obtenue  par  les  éliminations 
successivement  effectuées  ?  (Ribi.) 

Soit  n  =  10.  Après  dix  opérations,  on  aura  éliminé  2 ,  4,  6,  8, 10 
et  il  restera  1,  3,  5,7,9;  après  quatre  opérations  sur  ces  der- 
niers on  éliminera  3,  7,  et  il  restera  9,  1,  5;  après  deux  opéra- 
tions sur  ces  derniers  on  élimine  1  et  il  reste  5,  9  ;  on  élimine  9  et 
il  reste  5,  qu'on  élimine.  On  a  ainsi  la  permutation  2,  4,6,  8,  10, 
3,7,1,9,5.  (Voir  Barbette,  Piles  merv.,  1912.) 

IV.  Sextines.  Mettons  la  dernière  lettre  d'une  permutation  avant 
la  première  ;  l'avant-dernière  immédiatement  avant  la  deuxième, 
l'antépénultième  immédiatement  avant  la  troisième,  et  ainsi  de 
suite;  nous  aurons  la  sextine  de  cette  permutation.  Agissons  de 
même  sur  cette  sextine,  puis  sur  ce  second  résultat  et  ainsi  de 
suite  ;  nous  retrouverons  la  proposée  après  un  nombre  k  d'opéra- 
tions dépendant  du  nombre  n  des  lettres.  Voici  la  valeur  de  k 
pour  les  seize  premières  valeurs  de  ti  : 

H  =  1     2     3     4     5     6     7     8     9     10     11     12     13      14     t5     16 

A- =  1     2     3     3     5     6     4     4     9      6      11      10      9      14      5      15 

(Prompt.) 

V.  Battements  de  Monge^.  Soit  un  paquet  de  n  cartes;  mettons 
la  deuxième  sur  la  première,  la  quatrième  sur  la  deuxième,  la 
sixième  sur  la  quatrième  et  ainsi  de  suite;  on  aura  une  transfor- 
mation qu'on  pourra  représenter  par 

n  ,   n  —  2  ,  n  —  4  ,  . . .   4  ,  2 ,  1 ,  3 ,  5 ,  . . .  /*  —  3  ,   n  —  1   , 

ou 

„  _  1  ,  „  _  3.  ...  4,  2,  1,  3,  ...  «  —  1,  »  , 

selon  que  n  est  pair  ou  impair. 

Selon  que  h  est  pair  ou   impair,  la  //*""'  carte  devient,  si  n  est 

pair, 

fn  +  2  —  /A^^"'"  ,      //J  +  1  -f-  /A^""^  , 

la    y-^.y j        o"    'a   (  2  j         •  '"'^ 

Pour  n  impair,  on  ajoutera  n  —  —  aux  nombres  [a]   . 


*  En  réalité  cetto  manière  de  battre  les  cartes  se  voit  déj.i  chez.   B.\(-.iiht. 


SUR    LES    PERMUTATIONS  289 

Opérons  de  la  même  manière  sur  cette  transformée,  puis  sur  la 
deuxième  transformée,  et  ainsi  de  suite  ;  nous  retrouverons  la 
proposée  api'ès  un  nombre  k  d'opérations  qui  sera 

pour  «  =  2     4     6     S     10     12     14      16     18     20     50     52     2^ 

X-  — -  2     3     6     4      6      10     14      5      18     20     50     12     /+  1   . 

Sans  écrire  les  diverses  permutations,  on  calculera  aisément 
les  emplacements  successivement  occupés  par  une  même  carte. 
Ainsi,  à  l'aide  des  formules  (a),  on  verra  que,  pour  n  =^  8,  la  pre- 
mière carte  devient  la  cinquième,  la  septième,  la  huitième  et  la 
première  ;  —  que,  si  n  est  de  la  forme  (xv  -|-  4,  la  (2.^'  -|-  2)*""*  occu- 
pera constamment  le  même  rang;  —  que  si  n  est  de  la  forme 
10.r  +  2,  les  {2.v  +  l)^"*  et  [6x  -\-  2)*""'  échangent  leurs  places  alter- 
nativement. 

9.  Siibstitations.  Cauchy  a  édifié  une  vaste  et  importante  théorie, 
dont  les  préliminaires,  qu'on  traitera  d'après  lui,  appartiennent 
au  sujet  du  présent  article,  et  où  le  giand  analyste  envisage  les 
transformations  des  permutations  en  général  comme  un  nouveau 
calcul  ayant  ses  règles  et  ses  notations  propres.  f>a  figuration 
d'une  telle  transformation  s'appelle  une  substitution.  La  transfor- 
mation de  ahcdefghi  en  cdifehhga ,  par  exemple,  se  représentera 
ainsi  : 

Cette  dernière  notation  est  la  généralisation  de  celle  des  échan- 
ges :  elle  indique  que  a  se  change  en  r,  c  en  /,  /  en  a;  b  en  d,  d 
en  f,  f  en  b  ;  h  en  g,  g  en  h  ;  e  ne  changeant  pas  de  place.  La  pre- 
mière notation  ace  désavantage  de  ne  présenter  qu'implicitement 
la  substitution,  objet  de  l'étude,  et  d'en  présenter  explicitement, 
au  contraire,  une  simple  application  arbitraire;  aussi  elle  n'est 
guère   utilisée   que  pour  faciliter  l'écriture  de  la  seconde.  Ainsi 

(       ,        )  fait  voir  immédiatementquela  substitution  [n,f](b,e){c,d) 

change abcdef  en  sa  velournée  fedcba ,  et  (  .    ,  ^   )  ,  que  {a  ,  b,  c ,  d, 

e ,  f)   change   la    même    permutation  en    sa    première    tournante 
bcdefa . 

Dans  le  premier  exemple,  la  substitution  se  compose  de  quatre 
cycles^  ou  si  l'on  veut,  de  trois,  le  cycle  {e\  pouvant  en  efi"et  être 
supprimé  de  la  formule,  comme  inutile.  Quand,  comme  dans  le 
second  exemple,  il  y  a  plusieurs  cycles  contenant  chacun  un  même 
nombre  de  lettres,  la  substitution  est  dite  régulière.  Quand  il  n'y 
a  qu'un  cycle,  comme  dans  le  troisième  exemple,  elle  est  dite 
circulaire. 

L'Enseignement  mathém.,   19»  anm-c  :    l'J17.  19 


290  A.    AUBRY 

Autres  exemples:  La  substitution  \a^b,c)  appliquée  à  cdba 
change  celle-ci  en  adcb.  La  substitution  permettant  de  passer  de 
dbeac  à  adbec,  ou  de  ceadfb  à  cbeafd  e^i  \d,  a,  e,  b)(c){fj,  ou 
simplement  [a,  e,  b,  d . 

Une  substitution  ne  peut  se  décomposer  en  cycles  que  d'une 
seule  manière;  et  une  même  lettre  ne  peut  se  trouver  dans  deux 
cycles.  D'ailleurs  les  cycles  peuvent  s'écrire  dans  un  ordre  quel- 
conque, et  dans  un  cycle  donné  on  peut  mettre  la  première  une 
lettre  quelconque. 

I  1       •        •        fcdifebh"a\         ,         .      ,  ,,      „     ,,  .,        ,  ,   , 

La  substitution  (  '  J  j  =  («,  i,  c)  (è,  /,  a)  (A,  g]{e],  qui  trans- 
forme cdifebhga  en  abcde/ghi  est  dite  Yiin'erse  de  la  substitution  (a), 
parce  qu'elle  permet  de  passer  de  la  transformée  cdi  ...  a  a  l'aide 
de  (a)  à  la  permutation  primitive  abc  ...  i.  L  inverse  de  [a]  s'écrit 
en  /en^ersant  les  lettres  dans  les  cycles  de  [a]. 

10.  —  On  appelle  application  de  la  substitution  S  à  la  permu- 
tation P,  ce  que  celle-ci  devient  quand  on  fait  subir  aux  lettres 
({ui  la  forment  les  modifications  indiquées  par  S  :  ainsi  l'applica- 
tion de  {a.  b]  (e,  d)  à  abcd  est  badc. 

On  appelle  produit  àe.  deux  substitutions  S  =  («,  b,  c,  d  ,  S'  = 
[a,  c,  b,  d] ,  et  on  note 

SS'  =  |a  ,   h  ,   c  .   d\  .  [a  ,  c  ,   h  ,  d)  ^ 

la  substitution  a,  d,  c  qui,  appliquée  à  une  permutation  déter- 
minée, donnerait  la  même  transformée  qu'en  y  appliquant  d'abord 
la  substitution  S,  puis  au  résultat  la  substitution  S'.  Ainsi  le  pro- 
duit SS'  =  [a,  d,  c    est  la  substitution  qu'on  trouve  en  changeant 

a   en   b   d'^  substitutiou),  puis  h  en   d  i2"ie  substitution) 

d  en   a                   »  »       rt   en   c                     » 

c    ea   d                  »  »      d   en  a                    » 

h   en   c                    »  »       c    en   b                     »                                    ' 

Delà,  la  notion  du  produit  SS'S"  ...  de  plusieurs  substitutions; 
—  de  la  puissance  S^  d'une  substitution  S;  —  de  la  puissance 
S"  =  1,  ou  sabstitution-iinité,  qui  laisse  sans  changement  la  per- 
mutation et  pourrait  s'écrire  [a)[b]'C)  ...  La  substitution  inverse 
S~'  est  ainsi  celle  qui,  multipliée  par  S  donne  la  substitution- 
unité  :  par  exemple,  comme  on  a  : 

[a  ,  c  ,  d  ,   h  ,  e).{a,  e  ,   b  ,  d  ,  c)  =  [a]  (c)  { d)  [h)  =  S«  , 


'  Le  point,  indice  de  muUiplic.ition,  n'est  pas  indispensable:  on  ne  peut  confondre  un 
produit  de  deux  substitutions  circulaires  avec  un«  substitution  formée  de  deux  cycles,  car, 
dMDS  ce  dernier  cas,  les  deux  cycles  n'ont  pas  de  lettres  communes. 


SUE    LES    PERMUTA  TIOXS  291 

les  deux  facteurs  du  premier  membre  sont  les  inverses  l'un  de 
l'autre. 

Si  S  permet  de  passer  de  la  permutation  P  à  la  permutation  Q, 

on  pourra  la  représenter  par  (  ,,  )  ,   de   sorte  que  son  inverse  '^^ 

\v/ 
/(V 
sera  représentée  par  y 

11.  —  On  donnera  ici,  d'après  Cauchv,  les  périodes  des  puis- 
sances de  diverses  substitutions  : 

[a  ,   />)  ,    [a]{h\  =  1  '    .      [a  ,   h  .   c]  .   [a  ,   c  ,   l>)  ,   {(t){h]u)  =^  1    . 

in  ,   h  .   c  ,   d]  ,   (fl  ,   c){h  ,   d]  .   ia  ,   d  .   c  ,   h)  ,   1   . 

I rt  .   h  .   c  .   d  ,   e\  .   [a  ,  c ,  e  ,   h  ,   d]  ,   {a  ,   d  ,   h  ,  e ,  c)  ,   {o  ,   e  .  d  ,  c  ,   l>)  ,  l    . 

[a  ,   h  ,  c  ,  d  .   e  ,  /■)  ,  (rt  ,   c  ,  e)\b  ,   d  .  f]  ,   (a  ,   d){h  ,  e){c  ,  /')  , 

{a,  e  ,  c){b  .  d  ,  f)  .  (a  ,  /',   e ,   d  ,  c  ,   h) ,   1   . 

|«  ,    h  ,   c]id  .   e)  ,   (rt  ,   c  .   b]td  ,   e)  ,   [a  ,   b  ,   c]  ,   \a  ,   c  ,    b]\d  ,   e)  ,   1   . 

(rt,   b,  c,  d\{e,  f),   (rt,   cm'',   d)   .    [a  ,  d  ,  c  ,   b)\e  ,  f),l. 

Les  puissances  dune  substitution  sont  visiblement  périodiques, 
puisque  le  nombre  des  formes  quelles  peuvent  avoir  est  limité  ; 
il  est  même  aisé  de  voir  que  la  période  d'une  substitution  circu- 
laire comprend  un  nombre  de  termes  égal  à  celui  des  lettres,  ce 
qu'on  vérifiera  en  remarquant  que,  pour  cinq  lettres,  par  exemple, 
les  puissances  sont  : 

(ibcde\  /abcde\  /abcde\  /(ibcde\  /abcde\  i'abcde\ 

abcdej    '      \bcdea)    '      \cdeabj    '      \deabc)    '      \eabcdj    '      \abcdej' 

Si  une  substitution  circulaire  a  n  lettres,  on  a  ainsi  S"  =  1,  doîi 
S""' S  =  1;  donc  S"~  est  l'inverse  de  S.  En  général  S"~  est  lin- 
verse  de  S^  :  la  deuxième  partie  de  la  période  se  déduit  donc  de 
la  première  en  renversant  les  termes  des  substitutions  de  celles-ci. 
A  remarquer  en  outre,  d'une  part,  que  toute  substitution  régu- 
lière est  une  puissance  d'une  certaine  substitution  circulaire,  par 
exemple  : 

rt.  />,  ...  l\(a',  //,  ...  /')(«".  //',  ...  /"i  =  (rt,  rt'.  rt",  b,  //,  //',  ...  /,  /',  /")•■'  ; 

ensuite  quune  puissance  de  substitution  circulaire  n'est  elle- 
même  circulaire  que  si  l'exposant  est  premier  avec  le  nombre  des 
lettres,  en  particulier  si  ce  dernier  est  premier. 


•  La  substitution  ta,  b)  est  sa  propre  inverse.  c'est-,i-dire  que  (a,  6)'=  I  ,  ce  qu'on  a  vu 
dijà  au  n»  6 

On  remarquera  que  la  puissance  d'une  substitution  non  circulaire  est  le  produit  des  puis- 
sances de  ses  difTérents  cycles. 


292  A  .    AUBR  Y 

12.  —  Sans  changer  le  résultat,  on  peut,  dans  un  produit  de 
substitutions,  SS'S"  ...  effectuer  les  multiplications  à  mesure 
quelles  se  présentent  ou  les  grouper  comme  ci-dessous  : 

SS'S"S"'  ...  =  S(S'S")S"'  ...  =  SS'(S"S"')  ... 

Mais,  et  c'est  en  quoi  cette  opération  diffère  de  la  multiplication 
ordinaire,  on  ne  peut,  dans  le  calcul,  changer  Tordre  des  opéra- 
tions^. Les  substitutions  SS'  et  S'S  sont  en  général  différentes  ; 
dans  le  cas  tout  à  fait  exceptionnel  où  les  deux  produits  sont 
identiques,  les  substitutions  sont  dites  échangeables  ;  on  en  a  des 
exemples  simples  :  dans  le  cas  où  aucune  lettre  de  S  ne  se  retrouve 
pas  dans  S'  et  réciproquement,  par  exemple  : 

{a  ,  h)  .{c,  d)  =  (c,  d].{a,  b)   . 
et,  dans  le  produit  de  puissances  d'une  même  substitution,  comme 

5253  =  ss(SSS)  =  (SSSMSSi  =  5332  . 

Voici  encore  un  exemple  de  Cauchy  :  soient 

?>  =  [a  ,  h,  c  ,  d){e  ,  f,  g,  h)   ,     S'  =  (a  ,  c  ,  e  ,  g\{b  ,  f,  d  ,  h)   , 

on  aura  : 

SS'  =  S'S  =  (a,  f}ib,  g)ic,  h){d,  e)  . 

Ainsi  étant  donné  deux  expressions  équivalentes  d'une  substi- 
tution, R  =  S,  on  peut  multiplier  les  deux  membres  par  une 
même  substitution  T,  mais,  dans  les  deux  cas,  à  droite  ou  à  gau- 
che. Ainsi  on  aura  : 

TR  =  TS       et       RT  =  ST  , 
mais  non 

TR  =  ST       ui       RT  =  -T-S  . 

13.  —  De  RS  =:  T  et  RS'  =  T,  on  tire,  en  multipliant  à  gauche 
parR-', 

S  =  r-'t  =  S'  . 

Donc  les  produits  dune  substitution  par  deux  autres  sont  dis- 
tincts et  les  produits  d'une  substitution  par  <;elles  d'un  même 
nombre  de  lettres  les  reproduisent  toutes. 

En  outre  le  nombre  de  substitutions  de  n  lettres  est  n  !  puisque 
c'est  celui  des  substitutions  (pii  peuvent  clianger  une  permutation 
en  toutes  les  autres. 


'  On  (lit,  dans  ce  cas,  que  la  multiplication  n'est  pas  commiitative. 


SUR    LES    PERMUTATIONS  293 

14.  —  I.  Si  les  substitutions  S  et  T  sont  échangeables  avec  R  , 
il  en  est  de  même  de  leur  produit.  En  effet  des  relations  SR=RS 
et  TR  =  RT,  on  tire 

^ST)K  =  S(TR)  =  SiRTi  =  (SRlT  =  (RS)T  =  RiSTi   . 

II.  Si  en  outre  Ull  --=  RU,  ou  a  iSTUjR  =  R(STU).  Et  ainsi  de 
suite. 

III.  Soient  les  relations  RS  =:  T  ,  SR  =  U  ,  on  aura  : 

TR  =  RU  .   T-K  =  RSHSR  =  RU-,  ...  T*^  R  =  RU^"    ; 

donc  Tune  des  relations  T^  =  1.  U^  =:^  1  entraine  l'autre. 

15.  —  Les  produits  TS  =  L'  et  SX  ^=:  V  donnent  des  substitu- 
tions semblables.  Considérons  une  permutation  quelconque  P, 
des  lettres  a,  b,  c,  ...  en  nombre  au  moins  égal  à  celui  des  lettres 
de  U,  et  appelons  Q  la  permutation  qui  s'en  déduit  quand  on  lui 

fait  subir  cette  substitution.  On  a  :  U  =  (  „ 

Supposons  que  a' ,  b' ,  c' ,  ...  représentent  ces  mêmes  lettres  dans 
un  ordre  différent,  et  soient  P'  et  Q'  ce  que  deviennent  P  et  Q 

quand  on  y  accentue  les  lettres;  la  substitution  (,^,)  sera  évidem- 
ment semblable  à  U.  Or  la  substitution  qui  change  P  en  P'  change 
aussi  Q  en  Q'  :  appelons-là  T  ;  on  aura  : 

p')  =  Q'  --•  =  «  =  a 

On  tire  de  là 

©=(r)Q(<'^r=-'-='-'-'-— ■ 

Cette  substitution  V  est  donc  semblable  à  U  -  . 


'  On  veut  dire  par  là  que  la  substitution  I        j  revient  à  substituer  la  permutation  P  à   l" . 

puis  Q  à  P,  enfin  Q'  à  Q. 

'  Cette  ingénieuse  démonstration  de  Cauchv  peut  être  présentét;  ainsi  d'après  M.  Jorhan. 
Eliminons  S;  il  vient  V  =  T~' UT  ;  soit  (o,  h,  r,  ...]  un  des  cycles  de  U;  si  l'applic^ition 
de  T  il  la  permutation  abc  ...  la  transforme  en  a'b'c' ...  ,  celle  de  T~  change  aib'c'  ...  en  abc  ... 
et  par  conséquent  celle  de  V  à  a'b'c'  ...  la  transforme  successivement  en  abc  ....  en  bc.a 
et  b'c'  ...  a'  :  on  peut  donc  poser  : 

v  =  ff;'-'-;)=,a',6',cs...). 

\  b  c  ...  a' ) 
V  est  donc  le  résultat  de  l'applicatisn   de  T  .i  U  . 


294  A.    AUBRY 

Exemples  :  pour 

S  =L  {a,  h) ,  'V  ^=.  {h  .  c)  .   on  a  :   U  =  |a ,  c  .  ^'  ,  \  =  («  .  /y .  fl    ; 
S  =z  [a  .  b  ,  c  .  d\  ,  'V  =z  ui  ,  c  \  .   ou  a  :    V.  ^  [a  ,  h]  {c  ,  J)  ,  \  ^  \a  .  d\\h  ,  c\    ; 
S  ^  irt  ,  A  ,  c  ,  (/|  ,  T  =  (rt  ,  />!  ,   on  a  :    U  =  I  /y ,  c  .  t/i  .  V  =  irt ,  f  ,  c/i    ; 
S  1=  I  rt  ,  l> ,  c ,  d ,  e  ,  /") ,  T  =  ( /; ,  c  ,  (/  ,  e]  ,   on  a  :    U  =  (  «  ,  c  ,  e  ,  /")  (  ^  ,  </)  , 

V  =  (a  ,  //,  d,  /'Ile,  e)   . 

Coi\  I.  La  substitution  'l'^'UT,  semblable  à  U,  s'obtient  en 
effectuant  la  substitution  T  dans  les  cycles  de  U.  En  effet,  cette 
opération  '  équivaut  à  l'accentuation  des  lettres  dont  il  est  parlé 
plus  haut. 

II.  Si  TU  =  UT,  on  a  :  U  :=  r~^UT.  Ainsi,  pour  que  T  et  U 
soient  échangeables,  il  faut  et  il  suffît  que  U  ne  change  pas  quand 
on  lui  applique  T. 

III.  Si  la  substitution  V  est  semblable  à  U  =  (      j  ,  il  existe  une 

substitution  T  telle  que  TU  r=  VT,  et  par  suite  toute  substitution 

/P'\ 
semblable  à  U  est  de  la  forme  1    'UT  .   En  effet  l'expression  iç.,) 

représente  toute  substitution    semblable  à  U  :   on   peut  donc  la 
supposer  égale  à  V. 

(A  suivre.) 


*  Cette  translormatioQ  d'une  substitution  est  analogue  à  l'applioation  d'une  substitution 
à  une  permutation,  —  et  par  suite  on  peut  la  désigner  sous  le  nom  d'application  de  la 
substitution  T  à  la  substitution   L' . 


L'ÉQUATION    DE    FERMAT 

«^~'  =  ph'p{a)  +  1    . 

PAR 

H.  E.  Hansen  (Copenhague). 


Fermât  a  donné  cette  équation,  d'où  il  résulte  que,  si  pour  p 
on  choisit  un  nombre  premier  et  pour  a  un  nombre  entier  non 
divisible  par/?,  on  aura  toujours  un  nombre  entier  comme  valeur 
de  kp[a).  Jusqu'ici  on  n'a  pas  su  déterminer  ce  nombre  comme 
fonction  entière  et  rationnelle  de  a  et  de  /?'. 

C'est  d'une  telle  détermination  qu'il  s'agit  ici. 

Pour  a'^  p,  on  peut  poser  a  =:  pn  -\-  .i\  en  admettant  n  ^=  1, 
2,  3  ...,  :v—.  1,  2,  3  ...  (p  —  11. 

Alors  on  a 

A-^,«,  = 

xP-^  —  i 

+  -y-  ■  '^* 

Le  premier  terme  du  second  membre  de  cette  équation  sera 
entier  et  la  valeur  ainsi  que  la  forme  en  sont  déterminées  pour 
les  données  p,  n  et  .i-;  il  s'ensuit  que  seulement  il  importe  de  dé- 
terminer le  second  terme,  c'est-à-dire  d'examiner  de  plus  près 
l'équation 

pour  a  ^  \,  2.  3  ...  (/?  —  1). 


'  Ceci  n'est  pas  tout  à  fait  exact  :   Pi.ana  {Mém.  de  l'Ac.  des  Se.  de  Turin,  18591  a  donné  la 
formule  suivante,  où  i„  est  mis  pour  l"  -f-  2"  +  3"  -|-  .  .  +  la  —  1)"  , 


,/'-' 


—  1        J^ 
pa 


=  ;^'*>+  Vl>2'»  + Vl.3^3  + 


en  outre,  LAonANGic,  dans  son  calcul  des  développements  de  (x  +  1 1  (x  -f-  21  ...  (x  +  «  —  t)  ; 

et  Jacobi,  dans  sa  recherche  des  valeurs  de  p  qui  donnent  a         —  1  S  0  (niod  p*  ,  se  sont 
occupés  de  sujets  analogues.  N.  D.  L.  R. 


296  H.  E.    H  ANS  EN 

Quand  p  est  un  nombie  premier  —  et  seulement  dans  ce  cas* 
—  de  r//'""'  =-  pk  +  1,  par  une  division  p  —  1  fois  réitérée  avec  a, 
on  peut  former  les  équations  : 

aP-^  =  pk.,  +  r^ 


aP-'^--  =  pk,^^^  +  z-^^, 

1    =/>A-^_,  +  1 

où  l'on  a  k^  égal  à  ok^,^  plus  un  nombre  w,  déterminé  par  le  plus 
petit  multiple  o)p  qui.  additionné  à  r^,  ,  donne  une  somme  qui  —  à 
son  tour  —  divisée  par  a,  donne  le  quotient  entier  /\_^i. 
Il  est  ainsi  évident  que  si  dans 

aP-^-^  =  pk^  +  r^ 

on  met  A'^^  =  ^'/«"a+i  +  ^''  <^"  aura 

ou,  après  division  par  a. 


"P  +  '■«  _ 

"'  <+i  T"  '«+1 


'^    "    '  =  pk        -f        ^        =  /'A«  ,  ,  +  '•«+,  ■ 


Dans  tout  cela  nous  n'avons  encore  rien  dit  sur  les  valeurs  des 
A",  ...  A'at,  A-jj,  ,  ...  A  _j;  celles-ci  pourraient  bien  être  des  fractions, 
et  au  surplus  négatives,  et  telles  seraient  justement  leurs  valeurs, 
si,  dans  la  dernière  équation  de  la  précédente  suite,  on  ne  trou- 
vait pas  /•     ,  =  1 . 

Comme  cela  se  trouvera  toujours,  on  peut  exprimer  ce  fait  dans 
une:  loi  pour  les  nombres  premiers  —  comme  suit  : 

Parlant  de  V unité  et  d'un  nombre  premier,  p,  on  peut,  en  aj'ou- 


>  Même  observation.  Ainsi  o^T.îS-i  ^  j   ^jj^j  37  73)     Voir  Ed.    Llcas   {Th.  des  n,  p.   422). 
N.  D.  L.  R. 


L'EQUATIOX   DE    FERMAT  297 

tant  à  1  un  multiple  de  p  ff)p  ,  obtenir  un  nombre  dii'isible  par 
a  <C  p.  An  quotient  ainsi  produit,  il  faut  additionner  un  nouveau 
multiple  de  p(«,p),  —  <»j  éventuellement  étant  0  — ,  puis  diviser  la 
somme  par  sl  pour  avoir  un  nouveau  quotient.  Avec  celui-ci,  on  agit 
comme  avec  le  précédent,  etc.  Ayant  ainsi  fait  p  —  1  divisions,  le 
dernier  quotient  obtenu  sera  toujours  1. 

La  dernière  équation  de  la  suite  donnée  plus  haut  ayant  ainsi 
la  forme  décrite,  il  est  aisé  de  voir  qu'il  faut  quon  ait  A-  _j  =r  0  ; 
et,  à  l'aide  de  nos  substitutions,  pour  A:,,  on  trouvera  successi- 
vement les  valeurs  de  A-  .,,  A*  ^  ...  et  enfin  celle  de  ko  :  A-  {a)) 
comme  fonctions  entières  et  rationnelles  de  a. 

A  proprement  dire,  le  problème  posé  ainsi  peut  être  regardé 
comme  résolu,  mais  nous  ne  manquerons  pas  de  donner  plusieurs 
exemples  afin  d  illustrer  ce  que  nous  avons  dit. 

Premièrement  nous  allons  montrer  en  détail  le  traitement  du 
cas />  =  7,  <7  =r  3.  Les  résultats  peuvent  être  rangés  en  quatre  co- 
lonnes, dont  ^I)  indique  les  p  —  i  divisions  par  a,  récemment  dé- 
crite ;  (II)  la  suite  des  équations  qui,  pour  le  cas  spécial,  corres- 
pond avec  la  suite  commune  donnée  au  commencement;  Illi  in- 
dique les  substitutions  pour  A-,  A-j  ...  k  _,,  de   même  adaptées  au 

cas  spécial;  et  IVn  enfin,  de  bas  en  haut,  successivement  les  va- 
leurs trouvées  pour  Ag,  Av  ...  A'^ ,  la  dernière  donnant  finalement 

A:(o:A:,(3)). 

(1)  III)  <Illl  (IV) 

1  +  2.7 
3 

5+  1.7 


=  0       35  =  7A-J  +  .5        /.    =  3/J-,  +  2        /.•    =r  3M  -(- 32.2  +  3  +  2 
=  4       3-"  =  7  A-.,  +  4        /j  =  'Sk,  +  1        A-,  =  3M  +  3.2  +  I 


4-1-2   7 

-— ^-^  =  6       33  =  7/3  +  G        /.,  =  3A-3  -f  2        /.-,_  =  3-.i 

6  +  0. 7_,        . 


7  A-,  +  2        A,  =  3A-,  /^  =  3.1 


3 

2-1-1.7 

-  ^I- =  3       3    =  7A.  +  3        A,  =  3A.  -^  1        A,  =  1 

3  -t-  0.7 

—h, =1        I    =  7A-    +  1        A.  =  3A,  A.  =  0 

(donc     Ag  =  0|   . 

Cependant,  comme  ce  n'est  que  l'expression  pour  A-  A-    ai  i  qu'on 
cherche,   le  i-ésullat  peut  être  trouvé    bien  plus   simplement  en 


U98 


H.  E.    H  ANS  EN 


cherchant  seulemetit  les  nombres  qui  dans  {{)  paraissent  comme 
l'acteurs  de  7  et  dans  (III)  comme  les  quantités  qu'il  faut  addi- 
tionnera "ik^iak^..  En  fin  de  compte,  on  peut  garder  la  désigna- 
tion a  pour  3.  La  détermination  de  k.  .3  alors  peut  être  réglée 
ainsi  : 


1.7 


On  commence  pai-  écrire  1  en  tète  de  la  ligne  supérieure,  puis 
on  cherche  le  plus  petit  multiple  de  7  qui,  additionné  à  1,  donne 
une  somme  divisible  par  3.  On  écrit  ce  multiple  sous  1,  dans  la 
seconde  ligne,  pendant  que  le  quotient  trouvé,  5,  sera  écrit  à 
droite  de  1  dans  la  première  ligne.  Maintenant  on  se  comporte 
avec  5  comme  auparavant  avec  1,  etc.  —  Le  petit  trait  horizontal 
à  la  fin  de  la  seconde  ligne  fait  rappeler  qu'on  a  A-  _,  ^  0. 

A  l'aide  des  facteurs  de  7,  de  la  seconde  ligne,  qui  —  comme  il 
a  été  dit  —  seraient  additionnés  au  produit  a  X  le  A*  précédent, 
on  a  successivement  : 

/■,  =  rt .  0  4-  0  =  0  ,     /  .j  =  rt .  0  +  1  —  1    ,     A-g  =  a .  i  -I-  0  =  a  , 
K  =  a.u-\-'l,     /,  =z  «3  _[_  2a  +  1    ,     /•  =  a*  +  2«-  -|-  «  +  2   . 


Nous  donnerons  encore  les  résultats  pour  toutes  les  équations 
«        =/'k  [rij  -{-  1  correspondant  aux  nombres  premiers  5,  7,  1 


et  13,   [n  <<  p). 


a  =2  , 


p  =  0    . 

13  4  2         1 

1.5     1     1.5      0.5      0.5      — 


A-,  =  0   ,     /,  =  0   .     A-,  =  I    ,     k  =  k^ici)  =  a  +  i 


«  =  ô    , 


2  4  3         1 

2.5      1.5      0.5      — 


A-,,  =  0   ,      A.  =  i    .      A,  =  fl  +  2   ,      k  =  k^[a]  =  a-  +  2«  +   1 


a  =  4  , 


3.5 


4  1  4         1 

0.5      3.5      0.5      — 


A3  =  0   ,      A,_,  ^  3   ,      k^  :=  'Su   ,      A  =  k    {a\  z=  ôa-  -j-  3 


L'EQUATION    DE    FERMAT 


299 


Le  trait  au-dessus  de  4  et  1  désigne  une  période  des  quotients 
obtenus. 


P  — 


a  =  2   , 


1.7 


4  2  14  2         1 

0.7      0.7      1.7      0.7      0.7      — 


/■^  =  Oj  ,     X^  =  0   .     /s  =  1  .     /o  =  rt   ,     A-,  =  a-  ,     k  —  A-   (rt)  =  «3  -f.  1 


fl  =  3 


5  4  6  2  3         1 

1.7      2.7      0.7      1.7      0.7      — 


;t.  =0   ,      h^  =  \    ,      k^z=.a   .      k.,  =  a~  +  -2    .      /:^  =  a^  + '2a  -\- l 
k^{a)  =  a^+  ■la-  +  a  +  2   . 


a  =  4  , 


112  4  1  2  il 


1.7    I     2.7      0.7      1.7      2.7      0.7      — 
/■^  I  «  )  =  2a*  +  «3  +  2.^+1    . 


3  2  (i  4  5         11 

1.7      4.7      2   7      3.7      0.7      —    | 


k^[a]  =  'Sa*  +  2u^  -f-  4rt-  -f-  rt  -f  2 


a  =  6 


1  6  16         1 

5.7      0.7      5.7      0   7      — 


k^(a\  z=  ôrt-*  4-  5rt-  +  5 


Par  avance  il  était  à  présumer  que  les  facteurs  premiers  de  ^  —  1 
allaient  jouer  un  rùle  considérable  à  l'égard  de  la  forme  des  fonc- 
tions k  [n].  En  effet,  il  en  est  ainsi,  car,  de  ce  qui  précède,  on 
voit  que  de  la  solution  de  p  —  1  se  déduit  l'apparition  des  périodes 
qui,  à  leur  tour,  donnent  leur  empreinte  particulière  à  la  forme 
du  k  'a).  Ainsi  on  voit,  par  exemple,  dans  ce  qui  précède,  que 
pour  p  —  1  =  0  on  peut  avoir  2  périodes  à  3  quotients  ou  3  périodes 
à  2  quotients.  Mais,  d'un  autre  côté,  on  voit  que  la  solubilité  de 
p  —  1  n'a  aucune  importance  réelle.  Ainsi  pour  p  —  l  =  (')  les 
valeurs  3  et  5  pour  n  nadmettent  pas  de  périodes. 


300 


H.  E.    HANSEN 


a  =    9 
a  =  10 


Pour  p  ^  il  et  13  nous  donnerons  seulement  les  expressions 
pour  k^^a]  : 

p=n  . 

a  =     2    ,     kp{a)  =  ri»  4-  a*  +  «'*  +  ^(-  +  1    , 

a  =    3   ,        »  =  '2^'  +  rt"  +  fl^  +  2rt-  +  «  +  1   , 

«  --    4   ,         «  =  «■*  -]-"'  +  ^<^'*  +  '^'^  +  "'  +  «"  +  3rt  +  1    , 

rt  L^    5   ,         »  =:  2rt''  +  rt^  +  a"  -(-  ^"*  +  2a^  -{-  a-  -\-  a  -\-  i   , 

rt  =    6    ,         »  r::  Srt**  +  a-  +  3rt8  +  irt^  +  5rt-»  +  2^^  +  'ki-  +  2a  +  1    , 

a  =    :   ,        »  =  4rt«  +  3a'  +  «"  +  «^  +  6rt^  +  2«5  _)_  3^2  -i-  5  «  -|-  5   , 

rt  =    8   ,         »  =  5a*  -f  6a'  +  4a'»  +  2a*  +  7a*  +  2a3  +  «-'  +  3^  -|_  5    , 

«  =  7a»  +  3a"  +  2a«  -|-  4a*  +  7»='  +  3a2  -j-  2a  +  4   , 

»  =  da*'  +  9a«  4-  9a^  -L  9a-  +  9   . 

p  =  13   . 

k    [a\  =z  a'*  -f  a*  +  a*  +  «^  +  a  -f   1    , 
»       =  2a''  +  2a«  +  2a3  +  2   , 

»       =  a'"  +  3a»  +  2a'  +  3a*'  +  a*  +  3a-  +  2a  +  3   , 
»      =z  a'"  +  4a»  +  3a'*  +  a"  +  4a*  +  3a^  +  a-  +  4a  +  3  , 
»      =  2a"  +  4a*  +  3a»  +  4a  '  +  5a*  +  3a*  +  a^  +  2a-  +  a  +  5   , 
«      =  3u"'  +  5a«  +  2a»  +  'la'  +  5a«  +  6a*  +  3a*  +  a^  +  4a- 

+  2a  +  1    . 
).      =  4aio  +  :a^  +  3a»  +  4a«  +  7a*  +  3a-»  +  4a2  +  7a  +  3   , 
).      =  6a"  +  2a«  +  6a'  +  2a«  +  6rt*  +  2a''  +  6a  +  2   , 
»      =  :rtJo+6a«  +  9a»+2a'  +  3a«+7a*  +  6a-'-t-9a-H-2a  +  3  , 
>,      =  9ai"  +  3a^  +  4a»  +  2a'  +  5a«  +  10a*  +  a*  +  'u^  +  6a2 

+  8a  +  5   , 
«       =  lla"J+  lla»+  lla^^-  lla*+ lla-+  11    . 

En  fin  de  compte,  il  faut  donner  une  couple  d'exemples  corres- 
pondant au  cas  a^p.  Nous  choisissons  p^ô,  «:=:5.1  -f-S, 
5.2  +  3  et  5. 34"  3.  Dans  la  précédente  équation  (A^  nous  aurons 
.r  ^  3,  />  =  5  et  n  égal  à  1,  2  ou  3,  ce  qui  nous  donne  : 

/•j(8)  =  5''  -j-   4. 5-. 3  +  6.5.3-  +  4.3^  -f  3"-  +  2.3  +  I    , 
k^[\3)  =  53.2*  +  4.52.23.3  +  6. 5. 2-'. 3-  +  4.2.33  _^  3-.  _,_  2.3  +  1    , 
A^llSl  =  53.3-»  +  4. 5-'. 3*  +  6.5.3*  +  4.3*  +  3-  +  2.3  +  1   . 


a  :i=    6 


a  =  » 
a  z=  9 
a  =10 
a  =  11 

a  =  12 


Pour  peu  qu'on  ait  pensé  trouver  ({uelciue  relation  entre  le  pro- 
blème traité  ici  et  celui  d'Ahel,  il  sera  à  supposer  que  le  précé- 
dent renseignement  exclura  cette  idée. 

Finalement,  il  faut  observer  qu'en  ce  qui  précède  on  ne  trou- 
vera pas  le  problème  résolu  généralement,  cest-à-dire  pour  des 


TRANSFORMATION   PROJECTIVE  301 

valeurs  quelconques  de  p  et  a.  Aussi  n'avons-nous  pas  démontré 
par  induction  que  ce  qui  a  lieu  pour  quelques  valeurs  de  yo  et  ^ 
serait  aussi  le  cas  pour  des  valeurs  plus  considérables. 

A  mon  avis  le  cas  traité  est  exceptionnel,  et  ne  permet  pas  ces 
preuves  ordinaires.  En  vérité,  il  me  semble  suffire  que  nous  soyons 
à  même  déprouver  l'exactitude  de  la  loi  que  nous  venons  d'énoncer 
pour  autant  de  nombres  premiers  que  nous  voulons,  et  de  savoir 
que,  dans  autant  de  cas,  notre  exposition  sera  juste. 

Copenhague,  le  1"  juillet  191G. 


SUR  UNE  TRANSFORMATION  PROJECTIVE 
CONDUISANT  A  QUELQUES  PROPRIÉTÉS  MÉTRIQUES 

PAR 

F.  GoNSETH  (Zurich). 


I 

1.  —  Dans  un  plan  non-euclidien,  nous  allons  supposer  que  la 
conique  absolue  soit  réciproque  de  celle  du  plan  euclidien,  c'est- 
à-dire  quelle  se  réduise  à  deux  droites.  Nous  examinerons  ensuite 
la  métrique  de  ce  plan  avec  un  œil  euclidien. 

Aux  notions  d'angle  de  deux  droites,  de  distance  d'un  point  à 
une  droite,  et  de  distance  de  deux  points  vont  correspondre  les 
notions  au  sens  non-euclidien  de  distance  de  deux  points,  de  dis- 
tance d'une  droite  à  un  point,  et  d'angle  de  deux  droites. 

2.  —  Supposons  que  la  conique  absolue  de  ce  plan  soit  formée 
des  deux  droites  isotropes  de  l'origine 

X-  -I-  y-  =  0  . 

Pour  passer  des  premières  notions  précitées  aux  secondes,  il 
suffît  de  remplacer  dans  les  foruiules  usuelles  les  coordonnées 
[x ,  ij]  d'un  point,  par  celles  (//,  v]  d'une  droite;  et  l'équation  des 
points  cycliques 

U'    +    i'2  =   0 

par  celle  des  droites  isotropes  de  l'origine 

X-  +  y'-  =  0  . 


302  F.     GONSETH 

3.  —  Le  plan  non-euclidien  à  étudier  se  déduit  du  plan  eucli- 
dien par  une  ^\m\i\Q  polarité  suivant  le  cercle  imaginaire 

^,2    _|_    ^2    _^     1    _    0 

OU  par  une  antipolarité  suivant  le  cercle  de  rayon  unité.  Recentre 
de  ce  cercle  sera  dit  aussi  centre  de  la  transformation. 

4.  — La  distance  non-euclidienne  de  deux  points  P^ ,  P.,  est  évi- 
demment égale  à  l'angle  des  rayons  OP^  et  OP2. 

La  distance  D  d'une  droite  d,  de  coordonnées  [u,  v)  à  un  point 
P(.r  .?/)  est  donnée  par  la  formule  suivante  : 

ux  ^  vy  +  1  _  ux  +  vy  +  1     («'  +  f")'^' 

Cette  distance  est  donc  égale  au  quotient  de  la  distance  eucli- 
dienne J  de  P  à  t/,  par  le  produit  des  distances  euclidiennes  /•  de 
0  à  P,  et  y»  de  0  à  d. 

r.p 

L'angle  (P  de  deux  droites  d^,  d^,  de  coordonnées  («^ ,  //g)  et 
(^1  j  ^2)  (poi'i'espondant  à  la  distance  de  deux  points  du  plan  eucli- 
dien) s'obtient  comme  suit  : 

Soit  R  le  point  d'intersection  de  d^  et  d^;  une  perpendiculaire 
en  O  sur  OR  les  coupe  en  M^  et  M,. 

Or:  _^ 

ÔÎT  ^    VK^  '-21'  +   l"l  -   "2I'    ^ 


U,  f„  —  u„  S'. 


lu-  OK.M,  =  î-^ î-^ 


D'où  il  résulte 


/(     +  f    —   un     V  ( 

1  1 


O.M,        OM2 


II 


5.  —  Nous  appliquons  tout  d'abord  cette  transformation  au  cas 
le  plus  simple  possible;  les  propriétés  les  plus  connues  des  co- 
niques vont  se  trouver  être  les  transformées  de  propriétés  immé- 
diates du  cercle. 

Un  cercle,  C,  passe  par  les  points  cycliques;  sa  courbe  correspon- 
dante sera  donc  une  conique  y  touchant  les  isotropes  du  point  0; 
une  conique  dont  0   est  par  conséquent  un  foyer.  O  ayant  été 


TRANSFORMATION    PROJECTIVE  303 

choisi  arbitrairement  dans  le  plan  du  cercle,  sa  directrice  sera  la 
correspondante  du  centre  de  C  ;  le  second  foyer  de  y  sera  le  trans- 
formé de  Voxe  radical  de  C  et  du  cercle-point  0. 

6.  —  Nous  écrivons  maintenant,  en  face  l'un  de  l'autre,  quelques 
énoncés  correspondants,  dont  l'identité  est  démontrée  par  ce  qui 
précède  : 

aj  Les  droites  projetant  deux  a' }  Les  droites  piojetant  de- 

points  fixes  d'un  cercle  depuis  puis  le  foyer  d'une  conique  les 
un  point  variable  de  ce  dernier,  points  où  deux  tangentes  fixes 
forment  un  angle  constant.  de  celle-ci  sont  coupées  par  une 

tangente    mobile,    forment    un 
angle  constant. 
b)  Les  tangentes  d'un  cercle  b' i  Le  rapport  des   distances 

sont  également  éloignées  du  d'un  point  d'une  conique  à  un 
centre.  foyer  et  à  la  directrice  corres- 

pondante est  un  nombre  cons- 
tant. 
6-y  Les  points  d'un  cercle  sont  c' i  D   étant  le  point  où   une 

également  éloignés   du  centre.       tangente  à  une  conique  coupe 

une  directrice,  0  le  foyer  cor- 
respondant; et  la  perpendicu- 
laire en  O  sur  OD  coupant  la 
tangente  en  M,,  et  la  directrice 
en  M.,  : 

1  _1_ 

est  une  constante. 
di  0  est  un  point  arbitraire:  d' )  Le  produit  des  dislances 

M  un  point  mobile  sur  un  cercle      des  foyers  d'une  conique  à  une 
c\  et  P  le  pied  de  la  perpendi-      tangente  variable  est  une  cons- 
culaire  abaissée  de  P  sur  l'axe      tante, 
radical  de  c  et  du  cercle  point  0; 

-— -—    z=  constante    . 
.M  l' 


7.  —  La  transformation  que  nous  étudions  fait  correspondre  à 
la  géométrie  des  cercles,  celle  des  coniques  ayant  un  foyer  com- 
mun. Tous  les  énoncés  de  la  première  se  transporteront  dans  la 
seconde,  aussit(U  qu'auront  été  donnés  les  équivalents  de  Vanille 
de  deux  cercles  ;  et  de  la  puissance  d'un  point  par  rapporta  un 
cercle. 

Deux  coniques  (jui  ont  un  foyer  commun  possèdent  encore  deux 
tangentes  comuuities.  Soient  T,  et  '\\\  T/  et  T.^'  les  points  de  con- 


304  F.    GONSETH 

tact  sur  chacune  d'elles  :  les  angles  'ï ^iyï ^  et  T/OT,'  sont  égaux 
et  correspondent  à  l'angle  de  deux  cercles. 

Soit  a  une  droite  arbitraire,  et  P  un  point  de  cette  droite  ;  ayant 
mené  les  tangentes  de  P  à  une  conique  y,  dont  0  est  un  foyer; 
ayant  enfin  mené  en  O  la  perpendiculaire  à  OP,  qui  coupe  a  en  M, 
et  les  tangentes  en  M^  et  M,;  l'expression 

1  1    V  ^     _     ^ 

ÔM  ~"  ÔWJ  \ÔM  ~  (m 

est  constante  quel  que  soit  P  sur  a,  et  correspond  à  la  puissance 
d'un  point  par  rapport  à  un  cercle. 

Transformons  par  exemple  le  théorème  suivant  dû  à  M.  Faube^  : 
Les  cercles  harinoniquement  circonscrits  à  une  conique  en  coupent 
orthogonalement  le  cercle  orthoptique. 

Soit  0  un  point  arbitraire,  qui  sera  comme  plus  haut  le  centre 
de  la  transformation  ;  et  y  une  conique  quelconque.  Soit  c  la  trans- 
formée dey;  les  droites  qui  la  coupent  en  deux  points  R,  et  R, 

tels  que  l'angle  RjOR^  soit  droit  enveloppent  une  courbe  qui  est 
évidemment  la  correspondante  du  cercle  orthoptique  de  y.  C'est 
une  conique  dont  0  est  un  foyer,  et  suivant  laquelle  0  a  la  même 
polaire  que  suivant  c.  Convenons  de  la  nommer  la  conique  orthop- 
tique de  c,  pai-  rapport  à  0.  Convenons  de  plus  de  dire  que  deux 
coniques  de  même  foyer  0  sont  orthogonales  lorsque  l'angle 
T^OTj.  dont  il  est  question  plus  haut,  est  droit.  L'énoncé  de 
Faure  devient  alors  le  suivant  : 

Toutes  les  coniques  dont  0  est  un  foyer  et  qui  sont  harmoniqne- 
ment  inscrites  à  une  conique  c,  sont  orthogonales  à  la  conique 
orthoptique  de  c,  par  rapport  à  O. 

8.  —  Un  faisceau  de  coniques  honiofocales  est  transformé  dans 
le  faisceau  ponctuel  déterminé  par  une  conique  arbitraire  et  par 
le  cercle-point  0. 

Dans  ce  faisceau  se  trouvent,  en  plus  du  cercle-point  0,  deux 
paires  de  droites  ;  l'une  est  réelle;  les  deux  droites  qui  la  com- 
posent seront  dites  les  directrices  du  point  O. 

Les  propriétés  suivantes  sont  la  traduction  de  propriétés  cor- 
respondantes des  coniques  honiofocales. 

Une  droite  d  est  coupée  par  les  courbes  de  ce  faisceau  en  des 
couples  de  points  qui  forment  une  ini>olution;  les  points  doubles  de 
celle-ci  sont  les  points  de  contact  des  deux  courbes  du  faisceau  qui 
touchent  d  ;  cette  im'olufion  est  projetée  depuis  O  par  les  rai/ons 
d'une  involution  si/métrique. 

L'énoncé  a' j  devient  : 


*  Faurb,  NouveUes  AnnaU.t,   t.  XIX,   p.  234. 


TRA  XSFORMATIOy    PROJECTIVE  305 

Ayant  choisi  deux  points  fixes  sur  une  conique,  et  les  ayant  pro- 
jetés depuis  un  point  mobile,  soient  N,  et  X._, .  les  points  oii  les  rayons 
projetants  coupent  l'une  et  l'autre  directrices  du  point  O  ;  l'angle 
Nj  0\,  est  constant, 

et  l'énoncé  d' i  par  exemple  : 

Le  produit  -~  .  -V-  (oii  g  est  la   distance  d'un  point  arbitraire  de 

la  courbe  au  point  ()  ;  d,  et  d.,  les  distances  au.v  directrices  de  0), 
est  une  constante. 

Si  0  est  un  foyer,  ses  directrices  coïncident;  et  l'on  retrouve 
l'énoncé  b' ). 

\).  —  Plus  généralement,  transformons  l'ensemble  des  courbes 
de  n'*""'  classe  ayant  les  mêmes  foyers  qu'une  courbe  donnée  F,,. 
Les  courbes  transformées  sont  du  n'™"  ordre  et  forment  un  sys- 
tème linéaire  ponctuel.  Parmi  elles  se  trouve  une  courbe  compre- 
nant n  droites  réelles.  Ces  n  droites  seront  les  n  directrices  réelles 
du  point  O,  suivant  C»,  la  transformée  de  Fn. 

Et  les  deux  énoncés  suivants  de  Laguerre  : 

Les  n  .tangentes  menées  à  F,i  depuis  un  point  c/uelcongue  ont 
même  orientation  que  le  groupe  des  n  droites  allant  au.v  foyers 
réels  de  F,,  ;  et 

Les  mn  tangentes  communes  à  deux  courbes  F,,,  et  F„  ont  même 
orientation  que  le  groupe  des  mn  droites  joignant  tous  les  foyers 
réels  de  F,n  à  tous  les  foyers  réels  de  Fn 

prennent  la  forme  suivante  : 

Les  n  points  d'intersection  d'une  droite  arbitraire  avec  une 
courbe  Cn  d'une  part,  et  les  n  directrices  d'un  point  quelconque  O 
d'autre  part  sont  projetées  depuis  O  par  deux  groupes  de  rayons 
ayant  même  orientation. 

Les  mn  points  d'intersection  de  deux  courbes  Cm  et  Cn  sont  pro- 
jetées depuis  un  point  arbitraire  0  suivant  mn  droites  ayant  même 
orientation  que  le  groupe  des  mn  droites  projetant  les  mn  intersec- 
tions de  toutes  les  directrices  du  point  0  suivant  d,  avec  toutes  les 
directrices  du  même  point  suivant  Cn  • 

On  pourrait  aisément  multiplier  les  exemples.  En  règle  géné- 
rale toute  propriété  métrique  se  transforme  en  une  nouvelle,  d'es- 
sence plus  générale,  si  le  centre  de  la  transformation  ne  prend 
pas  quelque  position  spéciale. 

m 

10.  —  Ou  peut  opérer  une  transformation  scmblalilc  dans  l'es- 
pace. 1/espace  transformé  peut  être  considéré  comme  non-eucli- 
dien, avec  la  quadrique  absolue 

•»  -  +  V-  +  =-  ^--  0   • 

L'Ensf i{!rn<""cnt  iiiatliém..   19"  nnnre.   1917.  •  2* 


306  F.    G  ON  SET  H 

On  le  déduit  de  l'espace  euclidien  t^-av  polarité  suivant  la  sphère 
imaginaire 

X-    +   f   +,2+1=0, 

OU  par  antipolarité  suivant  une  sphère  de  rayon  unité. 

11.  —  On  vérifiera  que  les  notions  habituelles  sont  à  remplacer 
comme  suit  : 

L'angle  de  deux  plans  par  l'angle  des  rayons  projetant  les  points 
transformés  depuis  le  centre  0  de  la  transformation. 

La  distance  D  d'un  point  à  un  plan  par  le  quotient  de  la  dis- 
tance ô  du  plan  transformé  n  au  point  transformé  P  par  le  pro- 
duit de  la  distance  ç  de  O  à  P,  et  de  la  distance  />  de  O  à  n 

D  =  ^   . 

La  distance  de  deii.v  points  par  l'expression 

1  1 

ÔM^  ~  ÔÂT,  ' 

où  les  points  M,  et  M^  sont  définis  comme  suit:   Soient  ?f,  et  n.-^ 
les  deux  plans  transformés,  et/* leur  droite  d'intersection  ;  la  per- 
pendiculaire en  O  sur  le  plan  (O,  r]  coupe  n ^  en  M,  et  n^  en  M^. 
La  plus  courte  distance  de  deux  droites  par 

1  1 

où  les  points  N^  et  X.^  sont  les  intersections  des  droites  transfor- 
mées avec  leur  transversale  commune  passant  par  0. 

L'angle  de  deux  droites,  enfin,  par  l'angle  des  plans  projetant 
les  transformées  depuis  0. 

12.  —  Transformons,  par  exemple,  un  faisceau  de  quadriques 
homofocales.  Ceci  nous  conduira  à  décrire  une  quadrique,  telle 
qu'on  la  i>oit  depuis  un  point  arbitraire,  O.  Mettons  encore  en 
regard  les  propriétés  en  question  et  celles  auxquelles  elles  corres- 
pondent : 

Le  lieu  des  sommets  des  cônes  Les    plans    qui    coupent   une 

de  révolution  tangents  à  une  quadrique  0  suivant  des  coni- 
quadrique  F  se  compose  de  trois  ques  telles  quelles  soient  pro- 
coniques, les  focales  de  la  qua-  jetées  depuis  un  point  0  par 
drique.  des   cônes  de  révolution  enve- 

loppent   trois    cônes  que   nous 
nommerons  les  cônes  focaux  du 
point  0. 
Deux  de  ces  focales  sont  tou-  Deux  de  ces  cônes  sont  tou- 


TRA  y  s  FOR  M  ATI  ON    P  R  O  J  E  C  T I  V  E  307 

jours    réelles,   la   troisième   est      jours  réels,  le  troisième  est  ima- 
imaginaire.  ginaire. 

Les    plans    de    ces    coniques  Le  point  O  est  le  sommet  d'un 

sont  les  plans  principaux  de  la       trièdre.  trirectan^Ie  conjugué  à 
qyadrique  F.  la  quadrique   (V.   Les   sommets 

de  ces  cônes  sont  à  l'intersec- 
tion   des    arêtes    de  ce    trièdre 
avec  le  plan  polaire  de  0. 
Les  focales  réelles  d'un  clUp-  Si  le  point  O  est  à  l'extérieur 

solde  ou  d  un  hyperboloïde  sont      ou  à  lintérieur  de  (T»,  il  se  trouve 
une  ellipse  et  une  hyperbole.  à  l'intérieur  de  l'un  et  à  l'exté- 

rieur de  l'autre  cône  réel. 
Les  focales  réelles  d'un  para-  Si  O  est  sur  <P,  les  deux  cônes 

boloïde  sont  deux  paraboles.  passent  par  ce  point. 

Une  section  circulaire  de  F  est  transformée  en  un  cône  tangent 
à  (p  dont  un  axe  passe  par  O.  Par  conséquent  le  lieu  des  sommets 
de  pareils  cônes  se  compose  de  six  droites  passant  par  O,  dont  il 
serait  facile  de  préciser  la  position  et  les  conditions  de  réalité. 
En  particulier,  les  plans  tangents  à  <î>  aux  points  où  ces  droites 
coupent  cette  quadrique  seiont  les  plans  ombilicaux  du  point  O. 
On  a  encore 

Toutes  les  quadriques  ayant  Toutes  les  quadriques  suivant 

mêmes  focales  forment  un  fais-      lesquelles  les  cônes  focaux  du 
ceau  homofocal.  point    O   sont    les    mêmes    que 

suivant  </>,  forment  un  faisceau 
ponctuel,  défini  par  la  quadri- 
que (t>,  et  par  la  sphère  point  O. 
Les  focales  sont  aussi  le  lieu  Les  cônes  focaux  de  O   sont 

des    ombilics    des    quadriques      aussi  l'enveloppe  des  plans  om- 
homofocales.  bilicaux   du    même  point  pour 

les  quadriques  du  faisceau  qui 
vient  d'être  défini. 

Jusqu'ici  ne  sont  guère  intervenues  que  des  relations  d'angles 
(à  côté  de  propriétés  polaires  qu'on  retrouverait  par  une  trans- 
formation du  même  système  homofocal  par  polarité  suivant  une 
sphère  arbitraire  de  centre  O.  Pour  introduire  d'autres  grandeurs, 
partons  des  énoncés  suivants  dus  à  Rêve',  en  même  temps  qu  à 
d'autres  auteurs  '^. 

Un  ensemble  de  points  pesants  de  masses  positives  ou  néga- 
tives) étant  donné,  les  plans  pour  lescjuels  le  moment  «[uadratique 
d'inertie   de  cet  ensemble  est  une  constante  donnée,  enveloppent 


Rkvk,  Journal  fur  Mathem  ,  72  il87()i. 

Par  exemple   Hinet,  Journal  de  l'Hcole  poli/t.,   IG. 


308  F.     GONSETII 

une  qiiadriqiie  :  loisqiie  la  constante  varie,  la  qnadrique  dérrit  un 
faisceau  iionioCocal.  Soit  F,  en  particulier,  la  quadrique  corres- 
pondant à  la  valeur  ().  On  peut  remplacer  tout  le  système  pesant 
par  quatre  masses  disposées  aux  sommets  d'un  télraèdre  polaire 
arbitraire  de  F. 

Si  la  masse  quon  veut  disposer  en  un  de  ces  sommets  est  donn'ée 
d'avance,  ce  dernier  peut  être  choisi  arbitrairement  sur  une  qua- 
drique F',  ayant  même  cône  asymptotique  que  F. 

Il  suffira  de  remplacer  partout  la  distance  d'un  point  du  système 

pesant  à  un  plan  arbitraire  par  l'expression  — '— .  où   les  lettres 

ont  la  signification  donnée  au  n"  11. 

Par  commodité  nommons  moment  relatif  nn  point  O,  d'un  point 
pesant  à  un  plan,  ou  d'un  plan  massif  à  un  point,  l'expression 
ainsi  transformée  des  moments  habituels.  Les  p  sont  d'ailleurs 
dans  ce  cas  des  constantes.  Les  énoncés  cités  deviennent  alors  : 

Un  ensemble  de  plans  massifs  étant  donné  (de  masses  positives 
ou  négatives),  le  lieu  des  points  pour  lesquels  le  moment,  quadra- 
tique et  relatif  au  point  0,  du  système  est  une  constante,  est  une 
quadrique  (I>.  Lorsque  la  constante  varie,  la  quadrique  décrit  un 
faisceau  ponctuel,  contenant  la  sphère  point  0.  On  peut  remplacer 
le  système  de  plans  massifs  par  quatre  plans  massifs,  formant  un 
tétraèdre  polaire,  d'ailleurs  arbitraire,  de  (J>. 

Si  la  masse  d'un  de  ces  quatre  plans  est  donnée  d'avance,  il 
peut  être  choisi  quelconque,  parmi  les  plans  tangents  à  une  cer- 
taine quadrique  qui  touche  (P  en  tous  les  points  de  contact  de  ses 
tangentes  menées  de  0. 

13.  —  Comme  dernière  application  enfin,  considérons  deux  sur- 
faces, l'une  de  «'*""'  ordre  F„,  l'autre  de  /?'^™^  classe  «J,,,  qui  soient 
apolaires.  Nous  définirons,  avec  Reyi-:  ^  la  surface  <f>,,  comme  suit  : 
Elle  est  l'enveloppe  des  plans  pour  lesquels  la  somme  des  mo- 
ments du  «'^™<'  ordre  d'un  système  de  points  pesants  est  nulle;  cet 
ensemble  de  points  est  un  système  définissant  de  (fin-  F„  sera  déter- 
minée, semblablement,  par  un  système  de  plans  massifs.  Ft  main- 
tenant l'énoncé  suivant'  est  juste  : 

Fn  et  (fin  sont  apolaires  quand  le  moment  mixte  de  tout  système 
définissant  Fn ,  par  rapport  à  tout  système  définissant  «J,,.  est  nul. 
(Le  moment  mixte  d'un  point  P  de  masse  m  et  d'un  plan  n  de 
masse  fi,  d  étant  la  distance  P  à  tt,  vaut  naturellement  m  fi  ô" . 

Ces  définitions  et  ce  dernier  énoncé  valent  encore  lorsque  ô  est 

partout  remplacé  par  ,  c'est-à-dire  lorsque  les  moments  habi- 
tuels sont  remplacés  par  les  moments  relatifs  à  un  point  arbitraire. 


'  rtiîYi:,  Jniini.   fur  Mathein.,  78  il87'i). 

'^  Cet  énoncé  ne  se  trouve  pas  dans  le  travail  citi-  de  Ileyc.  Il  en  est  une  conséquence  assez, 
naturelle. 


SUB    LA    FONCTIOy   RÉSiSTAyCE  309 

14.  —  Remarque.  Xoiis  avons  supposé  la  conique  absolue  de 
notre  plan  non-euclidien  formée  des  deux  droites  isotropes  du 
point  O;  et  dans  l'espace  la  quadrique  absolue  était  le  cône  iso- 
trope de  ce  même  point.  On  aurait  pu  naturellement  faire  toute 
autre  supposition  :  par  exemple  la  conique  se  composera  de  deux 
droites  rectangulaires  par  O.  Au  lieu  de  trouver  les  propriétés 
des  foyers  des  coniques,  on  en  trouvera  d'autres  qui  vaudront 
pour  tout  point  des  coniques  orthoptiques  de  ces  dernières.  Et 
dans  l'espace  la  sphère  orthoptique  d'une  quadrique  s'introduira, 
si  l'absolu  est  un  cône  équilatère. 

Les  propriétés  trouvées  sont  moins  simples  que  celles  qui  sont 
décrites  plus  haut  et  d'ailleurs  faciles  à  établir. 


SUR  LA   FONCTION  RESISTANCE  ¥{v) 
DE  LA   BALISTIQUE 

PAK 

G.  TiEucY  (Genève). 


1.  —  On  sait  que  le  problème  physique,  qui  consiste  à  chercher 
la  trajectoire  d'un  projectile  pesant  dans  l'atmosphère  terrestre, 
est  hérissé  de  difficultés;  si  on  le  considère  tel  qu'il  se  présente, 
dans  toute  sa  complexité,  il  est  inabordable  dans  l'état  actuel  de 
la  science. 

.Même  en  le  simplifiant  par  l'abandon  des  termes  secondaires 
des  perturbations  dues  à  l'atmosphère  ou  au  projectile  lui-même, 
c'est-à-dire  même  en  ne  considéiant  que  le  problème  balisticpie 
principal',  on  se  heurte  d'emblée  à  une  difficulté  considérable 
provenant  de  l'ignorance  c()m))lète,  où  l'on  se  trouve,  de  la  forme 
analytique  de  la  fonction  «  résistance  »  de  l'air. 

L'étude  théorique  des  lois  de  cette  résistance  est  extrêmement 
en  relard,  comparée  à  leur  étude  expéiimentale  ;  cette  dernière  a 
été  poussée  très  loin  par  les  artilleurs,  cai-  il  leur  était  nécessaire 
de  connaître  les  valeurs  numériques  de  la  résistance  atmosphé- 
rique ;  leurs  expériences  ont  lévélé  les  trois  lois  suivantes  : 


*  .Mouvement  dans  un  milieu  résistant,  honiof>i'ne,  immobile,  d'un  iioint  matériel  pesant 
soumis  a  l'aclion  :  1"  de  la  <;ravitc,  force  toujours  constante  et  parallèle,  '!"  de  la  résistance 
de  l'air,  force  toujours  tangenliclle. 


HIO  G.     TIERCY 

I.  La  résistance  de  lair  est  proportionnelle  à  la  densité  de  l'air  ; 

II.  Elle  est  proportionnelle  à  la  section  droite  du  projectile; 

III.  Pour  des  projectiles  de  même  section  et  de  formes  peu  dif- 
férentes, elle  peut  être  représentée  par  la  formule  AF  <'  ,  oii  k  est 
un  coefficient  constant. 

On  pourra  donc  écrire  la  force  «  résistance  »,  en  kilogrammes, 
comme  suit  : 

Résist.  =  0  .  -^-;—  .  iV[v)   , 

où  Ton  a  : 

0    =:  poids  du  in^  d'air  eu  kilogrammes  (co   nombre  est  proportionnel  à 

la  densité)  ; 
D  =   diamètre  du  projectile  |en  mèlresl  ; 
i    z=z  indice  cacactérislique  du  projectile. 

(3u  bien,  en  supposant  que  le  facteur  (a'S^)  entre  dans  Fiy,  on 
écrira  pour  l'accélération  due  à  la  résistance  : 

Y  =r  cF  {v)   , 
avec 

[    p  ^  mg  =:  poids  du  projectile  en  kgr. 

c  est  le  coefficient  balistique  du  projectile. 

Actuellement,  pour  établir  la  solution  du  problème,  on  laisse  à 
la  résistance  la  forme  générale  F(i>i  dans  les  équations  différen- 
tielles du  mouvement;  et  on  conserve  cette  indétermination  de  la 
fonction  FiVi  jusqu'aux  formules  finales.  On  considère  que  la  solu- 
tion doit  pouvoir  s'appliquer  à  toute  fonction  résistance;  il  suffît 
alors,  pour  l'application,  d'utiliser  les  données  de  l'expérience. 
Remarquons  que  c'est  aux  colonels  italiens  Saint  Robert  et  Siacci 
que  revient  le  mérite  d'avoir  montré  cette  voie  aux  balisticiens. 

2.' —  Lorsqu'il  s'agit  d'enseignement  et  qu'on  veut  présenter  à 
des  élèves  le  problème  du  projectile  dans  l'air,  il  est  de  coutume 
de  leur  imposer  une  loi  simple  de  résistance  (At'"-,  }ii>^,  etc.^  ;  on 
leur  dit  qu'elle  est  assez  satisfaisante,  mais  on  ne  leur  indique 
pas  pourquoi.  Il  me  paraît  opportun  d'éviter  cette  lacune;  et  c'est 
si  simple,  si  l'on  veut  bien  se  référer  à  l'ensemble  des  résultats 
expérimentaux  obtenus  ces  dernières  années!  Non  pas  que  je  pré- 
tende faire  résoudre,  par  des  étudiants  débutants,  le  problème 
analytique  contenant  la  l'onction  F  indéterminée;  ce  problème  est 
trop  compliqué  pour  eux;  il  s'agit  bien  plutôt  de  leur  apprendre 
à  résoudre  les  équations  du  mouvement  d'un  corps  dans  des  cas 
simples;  et  c'est  pourquoi  l'on  choisit   les   résistances  F  =  A»''*, 


s  m    LA    FONCTION   BÉ  SIS  TANCE 


311 


F  =  Bp^  etc.  ;  mais  je  prétends  qu'il  importe  de  leur  montrer  très 
nettement,  en  se  basant  sur  les  expériences  actuelles,  dans  quelles 
limites  ces  hypothèses  simples  sont  acceptables,  et  pourquoi  les 
diverses  fonctions  «  résistance  »  tour  à  tour  adoptées  dans  Ihis- 
toire  de  la  balistique  ont  pu  l'être  d'une  manière  satisfaisante.  Il 
est  nécessaire  que  ces  débutants,  à  qui  l'on  présente  un  problème 
si  actuel  et  si  capital,  aient  compris  la  portée  des  hypothèses  dont 
ils  se  servent  dans  leurs  calculs. 

3.  —  Il  serait  fort  malcommode  d'étudier  graphiquement  la 
fonction  F»  elle-même,  car  elle  augmente  très  rapidement  avec 
la  vitesse  «'.  On  est  donc  amené  à  étudier  le  rapport  de  FiVi  à  une 
fonction  simple  (par  exemple:  c,  ç'\  i'^,  etc.  .  Le  plus  souvent,  on 
étudie  le  rapport  : 

f\^)  =  —5-   • 

V- 

Cette  fonction  fiç)  est  inconnue  analytiquement,  comme  F(»')  ; 
mais  on  a  pu,  grâce  à  des  milliers  d'expériences,  dessiner  sa 
forme   projectiles  ogivaux  . 


~CC  lOC  i(.OQ  SaO  éûO  fCC  i<l!Q  J 


00  UCO 


312  G.     riERCY 

■  C'est  en  examinant  cette  courbe  qu'on  saisira  la  portée  des 
liypothèses  faites  autrefois  sur  Fit'  ;  on  comprendra  Tordre  d'ap- 
parition de  ces  hypothèses  successives,  et  les  raisons  de  leur 
abandon. 

a)  Lorsque  les  vitesses  des  projectiles  i'bombes  étaient  très 
faibles,  variant  de  75  à  250  m.  environ,  on  avait  adopté,  en  se 
basant  sur  les  travaux  de  Newton,  la  loi  carrée  : 

F  (v|  =  Av-  , 

où  A  était  une  constante  convenablement  choisie.  On  en  déduit  : 

m  =  A  . 

C'est  sur  cette  loi  quEuler  a  établi  la  première  théorie  balis- 
tic[ue.  On  constatera  sur  le  dessin  que,  dans  les  limites  indiquées 
(75  à  250  m.),  cette  «  loi  d'Euler  »  s'éloigne  peu  de  la  vraie  courbe 
fly).  La  loi  quadratique  pour  Fft»)  était  donc  satisfaisante  (fin  du 
XVIII'-"  siècle  . 

bj  Plus  tard,  vers  1850,  on  utilisa  des  vitesses  plus  grandes, 
variant  de  100  à  350  m.  Le  général  Didion  constata  que  la  loi  qua- 
dratique de  Fifi  ne  correspondait  plus  aux  résultats  expérimen- 
taux, la  résistance  augmentant  plus  vite  que  ne  l'indiquait  cette 
loi.  Il  adopta  la  formule  : 

Fir^  =  a^-  +  />v3 
(voir  son  Traité  de  balistique,  1860  .  On  en  tire  : 

f\v]  =  a  +  by   . 

On  voit  sur  le  dessin  que  cette  droite,  inclinée  sur  l'axe  des  (', 
s'éloigne  peu  de  la  courbe  vraie  fly]  dans  le  domaine  s'étendant 
de  p  =  100  à  <'  ^^  350.  La  formule  de  Didion  était  donc  satisfai- 
sante à  l'époque  indiquée. 

cj  Mais,  l'artillerie  se  perfectionnant,  les  vitesses  atteignirent 
bientôt  des  valeurs  de  400  à  500  m.  (vers  1870).  La  loi  de  Didion 
devint  insuffisante;  de  v  =^  350  à  <>  =  500,  elle  s'éloigne  trop  des 
résultats  de  l'expérience.  Le  balisticien  Bashford  [Treatise  on  the 
motion  of  projectiles,  1873)  choisit  alors  la  loi  cubique  : 

F  (»■)  =  /j.'S  ; 
elle  donne  : 

f(v)  =  hv    . 

On  vciit  que  cette  droite  passe  par  loiigine  des  axes  du  dessin; 
de  i>  =^  100  m.  à  r  :=  500  m.,  elle  remplace  d'une  manière  satis- 
iaisante  la  courbe/  c. 

di  Plus  tard  encore,  dans  le  dernier  (juarl  du  XIX'  siècle.  Piton- 


s  LU    LA    FONCTION   BÉ  SIS  Tjy  CE  313 

Blessant  remplaça  la  lt)i  de  Bashfoid  par  la  loi  biqiiadratiqiie  : 

Fir)  =  L-^    ; 

(Piton-Bressant,  .Mélanges,  1892;.  Cette  formule  suit  de  plus  près 
laugmentation  très  rapide  de  la  résistance  entre  p  =  250  m.  et 
\>  =  450  m. 

On  constatera  sur  le  graphique  que  cette  loi  de  Fie),  qui  donne  : 

/•|v)  =  A»-  , 

remplaçant  ainsi  la  vraie  courbe  f{\^]  par  une  parabole  d'axe  ver- 
ticale et  de  sommet  O.  s'éloigne  fort  peu  des  données  expérimen- 
tales pour  {>  comprise  entre  200  et  450  m. 

D'ailleurs,  il  se  trouve  que  cette  loi  biquadratique  de  F(Vs 
adoptée  dans  les  équations  du  problème,  permet  une  intégration 
assez  simple. 

e)  Actuellement,  les  vitesses  sont  beaucoup  plus  considérables; 
aucune  des  lois  approchées  indiquées  ci-dessus  pour  F  ^')  n'est 
valable  pour  ç  supérieure  à  500  m.  Le  graphique  le  montre  très 
nettement.  On  comprend  dès  lors  pourqut)i  ces  formes  simples 
ont  dû  être  abandonnées  dès  qu'il  sest  agi  de  canons  donnant 
des  vitesses  initiales  de  600,  700,  800  m.  ou  plus.  On  peut,  il  est 
vrai,  pour  les  grandes  vitesses,  adopter  pour  F {i>)  une  forme 
linéaire  : 

F  (fl  =  rt  —  bs'    : 

elle  correspond  à  une  forme  hyperbolique  de  f\y)  : 

a  —    fn' 


loi  relativement  satisfaisante  pour  les  grandes  valeurs  de  f. 

4.  —  11  résulte  des  considérations  précédentes  que,  si  l'on  veut 
absolument  utiliser  une  représentation  simple  de  loi  «  lésistance  », 
on  sera  conduit  à  une  décomposition  de  la  loi  en  «  tranches  »  ;  et 
les  formules  qu'on  obtiendra  ne  seront  valables  qu'entre  certaines 
limites;  l^  théorie  obtenue  n'aura  aucune  généralité,  et  l'appli- 
cation en  sera  parfois  fort  malaisée.  C  est  pourquoi  les  balisticiens 
actuels,  suivant  les  traces  de  «  de  Saint-Robert  »  el  de  «  Siacci  », 
conservent  la  fonction  F  «'  ,  sous  forme  indéterminée,  jusque  dans 
les  formules  dapplication. 

Remarquons  en  tej-minant  que  les  lois  simples  de  résistance 
(résistance  monômesi  ne  sont  pas  complètement  abandonnées;  on 
les  utilise  encore  dans  certains  cas;  par  exemple  dans  le  tir  des 
mortiers,  oii  les  vitesses  restent  faibles. 

Pour  des  renseignements  plus  complets  sur  les  facteurs  numé- 
riques du  problème,  nous  renvoyons  le  lecteur  au  remarquable 
traité  de  Cranz. 


MELANGHIS    F/F    CORRESPONDANCE 


Sur  la  définition  géométrique  de  la  «  Fenêtre  de  Viviani  ». 


Dans  les  cours  de  g'éométrie,  on  présente  généralement  la  courbe 
de  Viviani  comme  intersection  de  deux  surfaces  de  révolution  : 


une  sphère  de  rayon  /•,  et  un  cylindre  de  rayon  I  ^^  )  tangent  inté- 
rieurement à  la  sphère;  c'est  la  définition  géométrique  la  plus 
simple. 

Remarquons  que  la  courbe  peut  être  dessinée  sur  une  infinité 
de  surfaces  de  révolution  du  deuxième  degré,  issues  d'une  com- 
binaison linéaire  de  la  sphère  et  du  cylindre  primitifs. 

Soit  [s]  la  sphère,  dont  le  centre  est  à  l'origine  : 

.1-  +  v=^  +  r.-  -   /2  =  0    ;  (s) 

et  soit  {(■)  le  cylindre  tangent  intérieurement,  de  rayon  (^),  et 
d'axe  parallèle  à  l'axe  des  :;  : 

x-  +  V-  —  /•.*■  =  0   .  (c) 

Les  coordonnées  d'un  point  quelconque  de  la  courbe  satisferont 
à  toute  équation  résultant  de  la  combinaison  suivante  : 

(n  +  (.s).|/-|.r,    V,    r..]  =  0    , 

OÙ  /'{jc,  7/,  -.)  est  une  fonction  quelconque,  finie  tout  le  long  de 
la  courbe. 

Un  cas  particulièrement  intéressant  est  celui  oii  la  fonction 
f{:v  ,   2/ ,  c)  se  réduit  à  une  constante  k  : 

[r]  +  X(.s)  =  0    .  (1) 

On  obtient  l'éciualion  : 

.,-'  +  y-'  _  ,..,.  +  A-,.,-'  _(-  ,-•  4-  :-'  _  r-)  =  0   ,  (2) 


MÉLANGES    ET    CORRESPONDANCE  315 

qu'on  peut  écrire  sous  la  forme  : 


j i I :: . =  1 


r    2ii  +  X)  I      _ 

■  rm  +  2X)T    ^  [rii  -h  2^) Y  '  r>(i  +  2/1  y 

[2(l-f/)J  L2(1  +  A)J  L2(1  +  /)J- 

Sauf  dans  les  cas  où  le  discriminant  de  cette  équation  est  nul, 
cette  quadrique  (3;  est  visiblement  une  surface  de  révolution, 
dont  le  centre  est  sur  l'axe  des  x,  à.  une  distance  de  l'origine 
éfifale  à  : 


2(1  +  k] 


Donc  :  Tontes  les  quadriqnes  à  discriminant  non  nul  qui  con- 
tiennent la  courbe  de  Viçiani  sont  des  quadriqnes  de  révolution, 
issues  de  la  combinaison  jli.  Les  demi-axes  sont  les  valeurs  : 

_  r(l  +  2/)  ^    ^r[[  +  2k]         /T+T^     r(l  +  2^) 

>-2(l  +  A-)-  '^-2(l+A-)V       ^-       ~2V/-(1  +  /■)    ' 


On  en  tire 


\-\k  +  1)  =  kk-   . 


et  portant  cette  valeur  de  k  dans  l'expression  de  A,,  on  obtient  : 

r[\\  +  XI)  =2k^kl    ;  (4) 

c'est  là  la  condition  que  doivent  vérifier  les  axes  d'une  quadrique 
de  révolution,  dont  l'axe  de  rotation  est  celui  des  z,  pour  que 
cette  quadrique  contienne  la  courbe  envisaoée.  On  voit  immédia- 
tement, daprès  (4),  qu'il  faut  écarter  les  hyperboloïdes  à  deux 
nappes. 

On  remarquera  d'ailleuis  que  les  trois  valeurs  de /.qui  annulent 
le  discriminant  sont  : 

k  =  —  \   ,        X-  =  —  1  ,         X  =  0  ; 
2 

elles  correspondent  respectivement  à  un  cylindre  parabolique,  à 
un  cône  de  révolution  dont  l'axe  est  la  génératrice  du  cylindre  [c) 
tangente  à  la  sphère  (s),  et  au  cylindre  ,c\  lui-même. 


316  MÉLANGES    ET    CORRESPONDANCE 

On  établira  aisément  le  tableau  suivant  : 


Ax(j  Al  dans 
le  plan  x\j 


Axe  As  de 
rotation 


oc  <  A  <  -  1 
k  —  —  \ 


-  1  <  /. 


1 


2 


-  ^  <  /■  <  0 

k  =  0 

0  <  /.•  <  oc 

/.■  =   +    'X 


ce 

^>Ai>0 

0 

"2 


»•  <  Ag  <  =0 

oc 

imaginaire 

0 
imaginaii'e 

oc 
00  >  A,  >  r 


Sphère  lequalion  s). 

Ellipsoïde  aplati  (A,,  <^  Aj). 

Cylindre  parabolique 

-2  j^  rx  —  r^  =  0   . 

Hyperboloïde  à  1  nappe. 

Cône  de  révolulion. 

Hyperboloïde  à  1  nappe. 

Cylindre  (équation  c). 

Ellipsoïde  allongé  \A„  >  Aj) 
Splière  6\ 


Et  l'on  voit  que,  clans  cette  famille  de  quadriques  contenant  la 
courbe  en  question,  le  cas  de  [k  =  —  Ij  seul  ne  correspond  pas  k 
une  surface  de  révolution. 

G.  TiERCY  (Genève). 


Sur  l'équation  .v'-  —  Xif-  =  l. 


L'étude  de  l'équation 


Ar-  =  +  1 


(1) 


a  déjà  passionné  plus  de  trois  cents  auteurs,  et  Ion  connaît  les 
Tables  de  Legendre,  Bickmore  et  Whitford  !  ' 

La  recherche  pratique  de  la  solution  minima  était  faite  juscpià 
présent  sur  les  fractions  continues,  ce  qui  demande  en  j^énéral 
beaucoup  de  soins  et  de  temps. 

.l'ai  maintenant  complètement  établi  une  méthode  nouvelle, 
donnant  à  l'aide  de  mes  procédés  mécaniques  et  même  parfois 
à  simple  vue  une  valeur  très  petite  pour  une  inconnue  auxiliaire. 


1  Ce  dernier  volume  a  été  annoncé  dan;-  VE.  M.  en   1912  par  M.  A.  Aubry. 


MÉLANGES    ET    C  O  R  R  E  S  P  O  N  D  A  X  C  E  317 

qui,  dans  les  cas  les  plus  défavorables,  est  toujours  inférieure  à 
la  racine  carrée  de  l'inconnue  classique. 
J'utilise  simplement  les  équations 

=-  --  A/-  =  ±  4.  ±2.    —  1  (2| 

en  égalant,  suivant  les  cas,  A  et  t  à  des  formes  a^  -\-  b-,  p-  -j-  2^"-, 
2r-  —  s^-,  m^  —  ii-. 

Ayant  la  solution  minima  d'une  des  équations  i2  ,  on  sait  faci- 
lement passer  à  fi  . 

J'obtiens  ainsi  dans  chaque  cas  des  équations  doubles  à  solu- 
tions entières. 

Avec  mon  inconnue,  égale  à  V unité,  j'obtiens  par  exemple  : 

fil-  —  ri9,5"-  =  —  4 
2132  _  157   172  _  _  4 

45-'  —  2029.  1-'  =  —   4 
11352  _  941   372  —  _  4 

232-  —  2153.  02  —  —  1 
Ainsi  pour  941  —  29-  +  10-,  j'ai 

312  _  941   12  —  -|.  2.10  . 
1842  _  941   62  _  _  2   10  ^ 

d'où  6'^  -f-  1^  =  37,  et  la  solution  précédente. 

Voici  certaines  de  mes  équations  de  conditions  simultanées 

1°  z^  —  Xt-  =  —  \    ,         A  =  m-  +  «-   .  t  =  ^-  +  V 

(ma  —  o|î)-  —  A3-  zi=  +  w    . 
|m|i  4-  n^)~  —  Aa^  ^:  ip  /h    , 
m  impaif,      n  pair 

2o  ;2   _    ^,2   _    ^    2     ,  k    —   a-   —-Ib'     ,  \t\    =    -L-    —    -If  . 

\1h\  —  fla)'-  —  p-L-  =  ±:  ih    . 

Ainsi  pour  A  =151,  j'ai  ^=1. 
I.e  cas  de  —  2  est  semblable. 

3°  z-  —  At-  =  —  \   ■  A  =  fi-  +  h-   .  /  =  :-  +  /-' 

{hz  —  at)-  —  A/2  =  ±-2l>   . 
[bt  -\-  az\'-  —  Ac2  =  ip  2//   . 


318  CHRONIQUE 

Pour  A  =  1429,  j'obtiens  ^=  1. 

En   terminant  ces  brèves  notes,  je  signale  une  erreur  de  Le- 
gendre. 

Pour  397,  jai,  avec  une  inconnue  égale  à  deux 


doù 

ce  qui  donne 


W-  —  397.22  =  +  2.6   , 
2592  —  397.13-'  =:  —  2.6  , 


3447-  —  397 .  IlS^  +  T^f  =  —  4   , 
et  pour  léquation    1) 

r  =42  094  239  791   738  433  660  . 

.l'ai  beaucoup  de  résultats  inédits  et  j'espère  pousser  les  tables 
actuelles  jusqu'à  3000. 

Aux  Armées  de  France.  A.  Gérardix. 

9  juin  1917. 


CHRONIQUE 


Commission  internationale  de  l'enseignement 
mathématique. 

Bien  que  la  guerre  ait  suspendu  les  travaux  de  la  Commission 
internationale,  plusieurs  des  sous-commissions  nationales  qui 
n'avaient  pas  encore  achevé  leurs  rapports  ont  continué,  dans  la 
mesure  du  possible,  l'élaboration  des  mémoires  projetés.  Vingt 
fascicules  nouveaux  ont  été  distribués  depuis  le  l'"'  avril  1914  ;  ils 
se  répartissent  comme  suit  : 

Comité  central  2,  Allemagne  11.  Australie  J,  Belgique  1,  Ktats- 
Unis  4,  Russie  1.  On  en  trouvera  la  liste  détaillée  dans  les  Notes 
et  Documents  (voir  plus  loinl. 

Parmi  ces  rapports,  les  uns  se  rattachent  directement  au  plan 
général  des  travaux   élaborés  par  le  Comité  central,  d'autres  pré- 


CHRONIQUE  319 

sentent  un  caractère  nouveau.  Ainsi  deux  des  fascicules  publiés 
par  la  sous-commission  allemande  sont  consacrés  à  renseigne- 
ment mathématique  en  Danemark  ^rapport  de  M.  Rohrbeiîg^  et  en 
Angleterre  (rapport  de  M.  Woli-k).  La  sous-commission  allemande 
s'était  proposée  d'examiner  renseignement  mathématique  dans 
les  principaux  pays  en  prenant  comme  point  de  comparaison  les 
plans  d'études,  les  manuels  et  les  méthodes  en  usage  dans  les 
établissements  allemands.  Ces  rapports  devaient  être  basés  non 
seulement  sur  les  documents  réunis  par  les  sous-commissions  na- 
tionales, mais  encore,  autant  que  possible,  sur  des  voyages 
d'études.  C'est  ce  qui  a  été  fait  pour  le  Danemark  et  l'Angleterre. 
La   sous-commission  se  bornera  à  ces  deux  pays. 

De  son  côté,  la  sous-cominission  des  Etats-Unis  a  entrepris 
une  deuxième  série  de  rapports  dans  lesquels  elle  groupera,  par 
type  denseignement,  les  documents  publiés  par  les  sous-commis- 
sions nationales.  Les  trois  rapports  publiés  jusqu'à  ce  jour  sont 
consacrés  aux  objets  suivants  : 

1"  Les  matières  inscrites  dans  les  programmes  mathématiques 
des  différents  pays  pour  renseignement  élémentaire  et  moyen 
depuis  làge  de  6  ans  à  18  ans. 

2"  Les  mathématiques  dans  renseignement  commercial  et  in- 
dustriel moyen. 

3"  Les  mathématiques  dans  les  écoles  normales  primaires  ou 
établissements  similaires. 

Quant  aux  rapports  consacrés  à  la  préparation  des  maîtres,  il 
en  a  été  publié  trois  :  Allemagne,  Belgique,  Etats-Unis.  D'autres 
foscicules  sont  encore  en  préparation. 

Si  l'on  s'en  tient  aux  publications  qui  se  rattachent  directement 
au  Rapport  préliminaire  et  dont  la  liste  avait  été  annoncée  en 
1912,  elles  sont  achevées  depuis  cinq  ans  dans  les  pays  suivants  : 
Suède,  Hollande,  France,  Suisse,  Autriche,  Japon,  Etats-Unis, 
Iles  britanniques,  Danemark.  A  cette  liste  viennent  s'ajouter 
l'Australie  ^1916)  et  l'Allemagne  (1917t. 

Des  rapports  sont  encore  en  préparation  ou,  tout  au  moins, 
avaient  été  projetés  avant  la  guerre,  dans  les  pays  suivants  :  Bel- 
gique, Brésil,  Espagne,  Hongrie,  Italie,  Norvège,  Portugal,  Ré- 
publique Argentine,  Roumanie  et  Russie. 

H.  Fehr. 

Académie  des  Sciences  de  Paris.  —  Prix  décernés. 


L'Académie  a  décerné  les  récompenses  suivantes  : 
Mathématiques.  —  Prix  Francœnr  [1000  fr.).  —  M.  Henri  Vaii. 

LAT,  maître  de  conférences  à  la  Faculté  des  Sciences  de  Montpel 

lier,  pour  ses  travaux  dhydrodynainique. 


.320  CHRONIQUE 

Prix  Bnrdin  ^3000  fr.j.  —  L'Académie  avait  mis  au  concours  la 
question  suivante  :  «  Perfectionner  en  quelque  point  important 
la  théorie  arithmétique  des  formes  non  quadratiques.  »  —  I>e  prix 
est  décerné  à  M.  Gaston  Julia,  ancien  élève  de  l'Ecole  Normale  su- 
périeure, sous-lieutenant  au  34""'  régiment  d'infanterie,  pour  son 
mémoire  intitulé  :  Etude  des  formes  binaires  non  quadratiques  à 
indéterminées  réelles,  ou  complexes,  ou  à  indéterminées  conjuguées. 

Mécanique.  —  Prix  Monti/oii  (700  fr.).  —  M.  lieiié  de  Saisslri;. 
de  Genève,  pour  ses  travaux  sur  la  théorie  géométrique  du  mou- 
vement des  corps  solides. 

Prix  Poncelet  (2000  fr.U  —  M.  Jules  Axdrade,  professeur  à  la 
Faculté  des  Sciences  de  Besançon,  pour  ses  travaux  de  mécanique 
appliquée  et  notamment  pour  ceux  qui  concernent  la  chrono- 
métrie. 

Statistique.  —  Prix  Mont//on.  —  Le  prix  de  la  valeur  de  1000 
francs  est  décerné,  conjointement  à  MM.  Abraham,  professeur  à 
la  Faculté  des  Sciences  de  Paris,  et  Sacerdote,  pour  leur  Recueil 
des  constajites  physiques. 

Prix  généraux  —  Prix  Petit  d'Ormoy  des  sciences  mathéma- 
tiques (10,000  fr.).  F^e  Prix  est  décerné  à  feu  Pierre  Duhem,  profes- 
seur à  la  Faculté  des  Sciences  de  Bordeaux,  membre  non  résident 
de  l'Académie,  pour  l'ensemble  de  son  œuvre  et  en  particulier  pour 
son  ouvrage  intitulé  :  Le  système  du  monde. 

Prix  de  Parville  (ouvrages  de  sciences;.  —  Un  prixde  la  valeur  de 
2000  fr.  est  décerné  à  M.  Ch.  de  la  Vallée  Poussin,  professeur  à 
l'Université  de  Louvain,  correspondant  de  l'Académie,  pour  son 
Cours  d' Analyse  infinitésimale  et  ses  Leçons  sur  les  intégrales  de 
L^ehesgue  et  les  fonctions  d'ensemble. 

Astronomie.  —  Prix  Lalande  (1000  fr.  .  —  M.  Robert  Jonckeere, 
pour  son  cataloque d'étoiles  doubles.  —  Prix  Valz  4G0fr.i.  —  M. 
Alex.  ScHAUMAssE,  aide-astronome  à  l'Observatoire  de  Nice,  dé- 
couverte de  la  comète  1917  b. 

Histoire  et  Philosophie  des  Sciences.  —  PrixBinoux  2000  fr.).  — 
M.  F.  Gomes  Teixeira,  recteur  de  l'Université  de  Porto,  pour  ses 
«  Obras  sobre  Mathematica  ». 

Prix  généraux.  —  Prix  Saintour  (3000  fr.).  —  M.  H.  Lebesgue, 
maître  de  conférences  à  la  Faculté  des  Sciences  de  Paris,  pour  ses 
travaux  sui-  les  principes  du  calcul  inlinitésimal. 

Navigation.  —  Un  prix  de  2000  francs  est  décerné  à  M.  G.  Nucot. 
ingénieur  de  l'artillerie  navale,  pour  ses  travaux  de  balistique 
théorique  et  pratique. 

Pri.t  Plumey.  —  Un  prix  de  2000  francs  est  décerné  à  MM.  Sen- 
SEVER,  aviateur,  ot  L.  Ballif,  ingénieur  de  l'artillerie  navale,  pour 
les  recheiches  d'aérodynamique  publiées  dans  leur  ouvrage  inti- 
tulé «  le  Combat  aérien  ». 


CHRONIQUE  321 

Société  mathématique  suisse. 

Zurich,  Il  seplenihre  1917. 

La  Société  mathématique  suisse  a  tenu  sa  liuitième  réunion 
ordinaire  à  Zurich,  le  11  septembre  1917,  sous  la  présidence  de 
M.  le  Prof.  Marcel  Ghoss.mann  Zurich  ,  à  l'occasion  de  la  réunion 
annuelle  de  la  Société  helvétique  des  Sciences  naturelles. 

Voici  les  résumés  des  communications,  au  nombre  de  quinze, 
présentées  à  la  séance  ou  dont  les  mémoires  ont  simplement  été 
annoncés,  en  l'absence  de  leur  auteur. 

1.  —  M.  le  Prof.  A.  Emch  (Urbana,  E.-U.  .  —  Sur  les  courbes 
planes  qui  ont  pour  foyers  réels,  dans  le  plan  complexe,  les  racines 
jjièmeg  ^g  l'unité.  —  I.  Soit 

<I)(if  ,   V  ,  w]  =  0  .  (1) 

l'équation  d'une  courbe  de  «'^•"''  classe  en  coordonnées  homogènes 
et 

ul  -|_  ^.r,  4-  »■::  =  0 

l'équation  d'une  droite. 

Les  coordonnées  cartésiennes  correspondantes  sont  définies  par 


dans  ce  cas 

—  ?  -  if,  +  {X  +  nir  =  0  (2) 

est  l'équation  d'une  droite  qui  passe  par  le  point  (.r,  y)  et  par  un 
des  points  cycliques  du  plan,  f^es  coordonnées  homogènes  de  la 
ligne  (2)  sont 

SM  =:r  —  1    ,  ?'■'  ^^  —   '    .  p"'  =  •^'  -\-  h'    ■ 

Si  donc,  Jc  et  y  sont  déterminées  de  telle  sorte  que 

«ï)(—  1   ,     —  i  ,     X  ^  ni  =  0  (3) 

soit  satisfaite  par  .r  et  ?/,  la  tangente  à  (1  définie  par  (2)  passera 
par  ie  point  réel  [x ,  y]  et  un  des  points  cycliques.  En  conséquence, 
(.r,  yj  est  un  foyer  réel  de  la  courbe  (1).  Il  résulte  de  (S)  qu'il  y  a, 
en  général  n  foyers  réels  de  ce  genre;  on  les  obtient  en  mettant 
(3;  sous  la  forme 

f{x  ,  y)  +  igix  ,   y)  =  0  (4) 

et  en  cherchant  les  solutions  communes  à 

f{x  ,  r)  =  0         el         g{x  ,  y)  =  0  . 

L'Enseignement  inatht-in..  19'  année.    1917.  31 


322  CHROMQUË 

Xoiis  obtenons  ainsi  les  n  foyers  réels  et  les  n  n  —  1  foyers 
imaginaires  de  la  courbe    1  . 

Après  avoir  rappelé  ces  faits  connus,  nous  allons  déterminer 
celles  des  courbes  (1)  qui  possèdent  pour  foyers,  dans  le  plan 
complexe,  les  racines  n'*"*'*  de  l'unité. 

L'équation  (.3)  prend  alors  la  forme 

—  i  +  (X  +  n,"  =  0  (5) 

et   ij  devient 


Dans  cette  égalité  les  coefficients  doivent  être  choisis  de  telle 
sorte  que 

aj-  1)"  +  «ji—  l)"-'(-   i)  +  i,,j—\]"--[—if-^  ... 

+  «„(-""  +  1=0 

soit  identiquement  nul.  ce  qui  peut  être  réalisé  dune  infinité  de 
manières  ;  par  suite,  chaque  n  fournit  une  classe  infinie  de  sem- 
blables courbes. 

L'équation  cartésienne  s'obtient  par  le  procédé  d'élimination 
habituel.  Parmi  les  nombreuses  classes  de  courbes  ainsi  obtenues, 
signalons  le  cas  dans  lequel  i6;  prend  la  forme 

a.  =  u"--''.,-''  -  .."  =  0  .  (7) 

où  k  est  pair  ou  impair  en  même  temps  que  /i. 

Une  tiansformation  facile,  un  peu  longue  toutefois,  donne 
l'équation  de  la  courbe   7   en  coordonnées  cartésiennes 

^n-U^n^    (-1)"--^  •^^^'' 


n"{n  —  2k  f 


C'est  une  hyperbole  d'ordre  n.   Les  foyers  de  cette  courbe  sont 
réels  ;  ils  sont  aux  sommets  du  polygone  régulier  de  n  cùtés  ins- 
crits dans  le  cercle  de  rayon  I,  le  point    1,  Oi  étant  un  des  sommets. 
Lorsqu'on  a 

—  1  +   i.r  +  iy)-  =  0   , 

on   obtient   naturellement  un  système  d'hyperboles  et  d'ellipses 
homofocales. 

La  courbe  (7;  est  lationnelle;  ses  équations  paramétriques  se 


CHh  UNIQUE  328 

déterminent  facilement.   Les  points  à  Tinlini  de  l'axe  des  a  et  de 
Taxe  des  y  constituent  respectivement 

(n  —  1 M  2i  —  1 1                        (n  —  1 H  n  —  2/  —  1  ) 
et . 


soit   ensemble ^ points  doubles. 


2.  —  M.  le  D""  G.  PoLYA  (Zurich).  —  Sur  les  propriétés  arithmé- 
tiques des  séries  entières,  qui  représentent  des  fonctions  ration- 
nelles. —  I.  L'intégrale  d  une  fonction  rationnelle  ne  peut  pas  être 
développée  en  série  entière  à  coefficients  entiers,  excepté  le  cas 
où  elle  est  elle-même  rationnelle. 

IL  —  En  développant  une  fonction  rationnelle  en  série  de  Mac- 
Laurin  à  coefficients  rationnels,  les  dénominateurs  de  ceux-ci 
seront  composés  dun  nombre  fini  de  facteurs  premiers  (cas  trivial 
d'un  théorème  dEisenstein).  Quand  arrive-t-il,  que  les  numéra- 
teurs aient  la  même  propriété  ? 

Voici  la  réponse,  qu'on  obtient  en  combinant  les  éléments  de 
la  théorie  des  idéaux  avec  certaines  considéiations  sur  les  séries 
entières  :  toutes  les  séries  en  question  peuvent  être  déduites  de  la 
seule  série 

1  +  .r-H  x'  +  x'  +  ...  =— 1— 

1  —  .r 

par  l'application  répétée  (un  nombre  fini  de  fois;  des  opérations 
suivantes  : 

1.  Addition  d'un  polynôme. 

2.  Multiplication  de  la  séiie  par  a.v' . 
8.  Changement  de  variable  .f\a.r. 

4.  Changement  de  variable  .r|.r"'. 

5.  Addition  des  deux  séries  telles  que  le  coefficient  de  .v"  soit 
=  0  dans  une  des  deux  au  moins,  pour  n  =^  0,  1,  2,  o,  ... 

3.  —  M.  le  D'  A.  OsTiiowsKi  Marburg  a.  d.  L.j  et  M.  le  D-" 
G.  PoLYA  (Zurich;.  —  Sur  les  pohjnônies  à  valeurs  entières  dans 
un  corps  algébrique.  —  Xous  dirons  d'un  polynôme  P(.f)  qu'il  est 
à  valeurs  entières  dans  un  corps  algébrique  K,  si  Pi$  est  un  entier 
algébrique  appartenant  à  K  pour  tous  les  entiers  $  de  K.  Un  poly- 
nôme à  valeurs  entières  de  degré  m  est  nécessairement  de  la  forme 

ax'"  +-lî.r"'-'  +  ...  +  X 


«.  ^.  ...  X  étant  des  entiers  appartenant  à  K. 


32? 


CHRONIQUE 


Envisageons  l'ensemble  de  tous  les  entiers  a  tels  ciiie  — ;.c'"  soit 

^       m  . 

le  terme  le  plus  élevé  d'un  polynôme  à  valeurs  entières  de  degré  m. 
Cet  ensemble  d'entiers  est  un  certain  idéal  dans  K,  que  nous  dési- 
gnerons par  a,n.  Le  résultat  principal  de  notre  analyse  est  le  cal- 
cul explicite  de  a,„.  Désignons  par  p, .  p^,  ...  p^  les  idéaux  premiers 
divisant  ni  ! ,  par  N, ,  Ng,  ...  X^  leurs  normes,  et  posons 


On  a 


/•.■  =     — 


m 

+ 

m 

4- 

m 

^„,pf'pf^  ••?'■'  = ''»■') 


+ 


(I) 


Les  polynômes  à  valeurs  entières  dans  le  corps  des  nombres 
rationnels  sont,  comme  on  sait,  de  la  forme 

X     ,          x{x  —  1)     ,  x[x  —  1)  ...  (x  —  m  A-  1) 

"„  +  «1  T  +  "-2 S— S \-  ■■■  +  a,. 


1  .2 


1.2  ...  m 


/7q,  rtj ,  ^2,  ...  </,„  étant  des  entiers  rationnels.  Les  polynômes 

x{x  —  1)  x{x  —  1]  ...  [x  —  m  +  1) 


X    , 


1.2 


1.2...  m 


forment  donc  une  espèce  de  «  base  »  des  polynômes  à  valeurs  en- 
tières. La  condition  nécessaire  et  suffisante  de  l'existence  dune  base 
analogue  dans  un  corps  algébrique  K  quelconque  est  la  suivante  : 
Il  faut  que  tous  les  idéaux  a^,  ûj  ,  a,,  ...  a,„,  ...  soient  des  idéaux 
principaux  (Hauptideale).  Cette  condition  se  transforme  facile- 
ment à  l'aide  de  fl)  :  En  formant  le  produit  de  tous  les  idéaux 
premiers  de  même  degré,  qui  divisent  un  nombre  rationnel  p,  il 
faut  que  ce  produit  soit  un  idéal  principal  pour  p  quelconque. 
Ainsi,  dans  un  corps  de  Galois  (Normaikorper  l'existence  de  la 
base  ne  dépend  que  des  diviseurs  du  discriuiinant  (Grundzahli. 
Par  exemple,  la  base  existe  dans  tous  les  corps  engendrés  par  une 
racine  primitive  de  l'unité  de  degré  premier. 

On  peut  résoudre  la  question  de  l'existence  dune  base  aussi 
dans  le  cas  des  polynômes  à  valeurs  entières  qui  dépendent  de 
plusieurs  variables.  La  condition  est  la  même. 


4.  —  M.  le  D'  Perd.  Gonseth  (Zurich).  —  Un  théorème  relatif  à 
deux  ellipsoïdes  confocau.v.  —  l.,e  théorème  dont  il  s'agit  est  une 
extension  à  l'espace  du  théorème  bien  connu  de  Graves  : 

Si  un  fil  passé  autour  d'une  ellipse  est  tendu  par  une  j^ointe, 
celle-ci  peut  décrire  une  ellipse  confocale  à  la  première. 


CHRONIQUE  325 

L'analogue  de  l'espace  s'énonce  comme  suit  : 

TnÉoiiÈME  :  Si  d'un  point  P  on  mené  le  cône  tangent  à  un  ellip- 
soïde, et  qu'on  calcule  l'intégrale  de  l<i  courbure  moyenne  étendue 
à  la  surface  fermée,  convexe,  formée  par  le  cône  arrêté  aux  points 
de  contact  et  par  la  portion  de  l'ellipsoïde  qui  lui  fait  suite,  cette 
intégrale  reste  constante  si  P  décrit  un  ellipsoïde  confocal  au  pre- 
mier. 

La  méthode  de  démonstration  est  exposée  d'abord  pour  le  théo- 
rème de  Gi-aves.  L'intégrale  ffdpdcp  étendue  au  domaine  (9),  p] 
d'un  ensemble  de  droites  x  cos  y) -\- 1/ sin  cp — p=0  est,  d'après 
Croftox,  la  mesure  de  cet  ensemble.  En  particulier  la  mesure  des 
droites  qui  rencontrent  une  courbe  convexe  fermée  est  égale  à 
l'intégrale  de  sa  largeur,  c'est-à-dire  —  fait  connu  —  à  son  péri- 
mètre. 

D'autre  part,  les  mêmes  droites  étant  //.v  -\-  r//  +  1=0,  on 
reconnaîtra  que  la  mesure  est  égale  à  la  surface  non-euclidienne 
de  l'ensemble  des  points  de  coordonnées  rectangulaires 

X  z=  u   ,         y  =z  V  ,  (1) 

dans  un  plan  dont  la  conique  absolue  est  .r^  +  ij-=zQ. 

Soient  maintenant  e^  et  e^  deux  ellipses  confocales;  un  point  P 
de  fj,  avec  sa  tangente  t,  d'oii  l'on  mène  les  tangentes  a  et  b,  k  e.-,. 
Cette  figure  est  transformée  par  la  transformation  définie  par  les 
formules  (1).  On  obtient  deux  coniques  6\  et  «'.,  ;  une  tangente /> 
à  f', ,  avec  son  point  de  contact  T,  coupe  e'.,  en  A  et  B. 

Le  théorème  de  Graves  sera  exact  si  l'aire  non-euclidienne  au 
sens  défini  plus  haut)  de  la  portion  de  plan  située  à  l'extérieur  de 
la  courbe  fermée  convexe  formée  par  le  segment  AB  et  une  portion 
de  l'ellipse  f'.^  est  constante  lorsque  p  varie.  On  mènera  une  tan- 
gente voisine,  et  il  suffira  de  prouver  l'égalité  de  deux  triangles 
infiniment  petits.  Cette  égalité  résulte  du  fait  que  T  est  au  milieu 
(non-euclidien)  de  AB,  puisque  t  est  la  bissecliice  de  a  et  b. 

Dans  l'espace,  on  définit  semblablement  la  mesure  d'un  en- 
semble de  plans 

X  cos  a  4"  J  cos  [j  +  c  cos  y  —  ^  =r  0    , 
OU  bien 

ux  -\-  l'v  -|-  ii'c  -f-  1  =  0   ; 

on  la  reconnaîtra  égale  au  volume  non-euclidien  de  l'ensemble  des 
points  de  coordonnées  rectangulaiies  x  =  a,  1/  =  v ,  z  =  w,  dans 
un  espace  dont  la  quadrique  absolue  est  x-  -\-  if  -\-  c'  =  0. 

En  particulier  la  mesure  des  plans  qui  coupent  une  surface 
fermée  convexe  vaut  l'intégrale  de  la  largeur,  et  d'après  une  for- 
mule de  M.  HumviTz,  l'intégrale  de  la  courbure  moijenne  de  cette 
sur  l'a  ce. 

Le  reste  de  la  démonstration  se  calcinera  sur  la  précédente. 


326  CHRONIQUE 

5.  —  M.  le  Piof.  D""  L.  Kollros  (Zurich^.  —  Propriétés  métriques 
des  courbes  algébriques.  Toute  propriété  métrique  peut  être  con- 
sidérée comme  projective  si  l'on  fait  intervenir  les  éléments  abso- 
lus :  la  dioite  à  rinfini  et  les  points  cycliques  pour  la  géométrie 
euclidienne  plane  L  On  peut  donc  transformer  les  propriétés  mé- 
triques par  une  coUinéation  ou  une  réciprocité,  et  Ion  arrive  à  des 
rapprochements  entre  des  théorèmes  qui  paraissent  très  diffé- 
rents. Ainsi,  le  théorème  de  Carnot  sur  les  couibes  algébriques 
planes  coupées  par  un  triangle  devient  — par  une  réciprocité  dans 
laquelle  les  points  cycliques  correspondent  à  deux  côtés  du  tri- 
angle—  le  théorème  suivant  de  Lagnerre  :  Si  par  un  point  on 
mène  les  n  tangentes  à  une  courbe  algébrique  plane  de  classe  n 
et  si  l'on  joint  ce  point  aux  u  foyers  réels  de  la  courbe,  les  deux 
faisceaux  de  droites  ainsi  obtenues  ont  même  orientation  '. 

Dans  les  deux  théorèmes,  le  produit  de  n  rapports  anharmo- 
niques  (TjOAB)  est  constant,  0,  A,  B  étant  fixes  et  les  T^  variables. 
Dans  le  théorème  de  Laguerre,  les  points  T^,  O,  A,  B  sont  tous  à 
l'infini;  A  et  B  sont  les  points  cycliques;  0  est  le  point  à  l'infini 
de  l'axe-origine  des  angles. 

Si  B   tend   vers  A,  cette  condition   devient  :  ^,  ,y^^  =  const.  : 

i=\       '* 

elle  exprime  que  le  pôle  harmonique  P  de  A  par  rapport  au  sys- 
tème des  11  points  variables  Tj  est  fixe.  Si  A  est  à  l'infini,  F  est  le 
centre  de  gravité  des  points  T^-.  D'autre  part,  un  foyer,  point  d'in- 
tersection de  deux  tangentes  isotropes,  doit  être  remplacé  par  le 
point  de  contact  d'une  tangente  menée  de  A  cà  la  courbe.  Une  réci- 
procité telle  que  le  point  A  devienne  la  droite  à  linfini  remplace 
les  points  de  contact  des  tangentes  à  la  courbe  issues  de  A  par  les 
asymptotes  de  la  courbe  transformée.  Ainsi,  à  un  théorème  oii  tin 
système  de  droites  variables  n  une  orientation  constante,  corres- 
pond un  théorème  oii  un  système  de  points  variables  a  un  centre 
de  gravité  fixe.  Déplus,  à  un  foyer  de  la  première  figure  corres- 
pond une  asymptote  de  la  seconde. 

Exemples  :  1.  Au  théorème  de  Laguerre.  cité  plus  haut,  corres- 
pond le  suivant  :  Le  centre  de  gravité  des  points  de  rencontre 
d'une  droite  avec  une  courbe  du  n'*""'  ordre  est  le  mênie  que  celui 
des  points  d'intei'section  de  la  droite  avec  les  asymptotes  de  la 
courbe. 

2.   Les  systèmes  de  lai)!J(Miles  me-  Les    centres    de    gravité   des    deux 

nées   d'un    point  à  deux  courbes   de  systèmes  de  points   de   rencontre  de 

mémo    cLisse   ont   même    orientation  deux  courbes   algébriques  de  même 

si  le  point  est  foyer  d'une  des  courbes  ordre  par  une  asymptote  d'une  courbe 


1   Doux  svslémes  do  n  droites  ont  iuCmho  oricntatiun  lorsque  la  soiiimo  dos  anjïles  que  font 
les  n  droites  avec  un  axe  fixe  est.  la  inôiiu-  pour  les  deux  svstoinos    à  un  nuiUiple  de  77  près.). 


CHRONIQUE  327 

du  faisceau  tangentiel  déterminé  pai-  du   faisceau    ponctuel  déterminé  par 

les  deux  premières  iHumbert).  les  deux  premières,  coïncident. 

3.    L'orientation    du    système    des  Le  centi-e  de  gravité  des  points  de 

/Jira  tangentes  communes  à  deux  cour-  rencontre  de   deux   courbes   algébri- 

bes  algébriques  ne  varie  pas  quand  ques  ne  varie  pas  quand  on  remplace 

on  remplace  l'une  des   deux  par  une  lune  des  deux  par  une  autre  qui  a  les 

conrbe  qui   lui   est   homofocale  (La-  mêmes  asymptotes, 
sruerre). 


6.  —  M.  le  Prof.  D""  O.  Spiess  (Bàle  .  —  Un  théorème  relatif  aux 
fonctions  rationnelles.  —  Lie  a  émis  la  supposition  qu'on  doit 
pouvoir  obtenir  toute  fonction  analytique /"a;  par  itération  d'une 
substitution  infinitésimale  .v  -\-  g{x]dt\  que  fx  est  par  consé- 
quent un  élément  d'un  oroupe  continu  de  transformations.  On 
n"a  pas  réussi  jusqu'ici  à  démontrer  ce  théorème,  même  pour  la 
classe  très  spéciale  des  fonctions  algébriques.  Je  démontrerai  ici 
que  la  supposition  de  Lie  est  exacte  au  moins  pour  les  fonctions 
rationnelles. 

Le  problème  peut  se  réduire  à  déterminer,  pour  chaque  f[.t) 
donné,  une  fonction  */>  (jui  satisfasse  à  l'équation 

•I)(/-(.r))  =  p.*(.r)  .  (1) 

La  transformation  infinitésimale  originelle  est  alors  déterminée 
par 

Or  ]\DL  Kœmc;s,  Griîvy  et  Léau  ont  démontré  depuis  longtemps 
cpi'il  existe  des  solutions  de  (1)  dans  le  voisinage  de  certains 
points  fixes  de  f[x).  Si,  en  particulier,  f[x)  est  rationnelle,  ces 
méthodes  fournissent  toujours  une  solution  analytique  excepté  le 
seul  cas  où  l'on  a,  pour  tout  point  fixe  a^. 

c^.  =  f'\%f.]  =  e-^'^'k  (h,,  est  irrationnelle).  (2) 

Et  encore  dans  ce  cas  on  connaît  une  solution  si  f[.r\  est  linéaire  : 
(l>  x]  =x. 

La  supposition  de  Lie  sera  donc  démontrée  pour  une  fonction 
rationnelle,  si  nous  faisons  voir  que  : 

7'Aéo/è/«é>  ;  Une  fonction  rationnelle  dont  tous  les  points  fixes 
ont  la  propriété  (2)  est  nécessairement  linéaire. 

r  [x] 
Démonstration  :   Les   points   fixes   a.,  ...  u,^  de  f[x]  =r ——  (nous 

s  \X} 


328  CHRONIQUE 

pouvons  les  supposer  tous  dans  le  fini   sont  racines  de  l'équation  : 
xp  ^  xs  —  /•  =  0.   Il  en  suit  immédiatement  : 


Les  nombres  : 


h  =  n 


"7-  = 


i-^A-       'V{H) 


sont  au  même  titre  que  les  f^.  ^  0,  1,  x    en  vertu  de   2)'l  ;  par  con- 
séquent on  aura  d'après  Lagrange  : 


et  de  là  : 


i"'=[f]=' 


ou  bien  |3) 


"'i  +  •■■   +  «', 


Or,  en  vertu  de  (2),  les  points  f^.  sont  sur  le  cercle  unité  de 
centre  0;  et  par  conséquent  les  points  d'^.  sur  la  perpendiculaire 

à  l'axe  réel  par  o^-  =r  — .  Mais  comme,  en  vertu  de    3  ,  le  centre  de 

gravité  des  w^.  est  .i=— ,  il  faut  que  n  =  2,  cest-à-dire  que  f{x) 
soit  linéaire.  C.  q.  f.  d. 

7.  —  M.  le  Prof.  D''  A.  Hurwitz  (Zurich).  —  Gènéialisation  du 
théorème  de  Pohike.  (Extrait  d'une  lettre  à  M.  Kollros.)  —  Etant 
donnés  deux  tétraèdres,  on  peut  toujours,  en  remplaçant  l'un  d'eux 
par  un  tétraèdre  semblable,  les  amener  dans  une  position  telle  que 
les  droites  Joignant  les  sommets  correspondants  soient  parallèles 
entre  elles. 

En  effet,  si  ABCD  et  A'B'C'D'  sont  les  tétraèdres  donnés,  laf- 

fînité  (  »/R/p/n')  transforme  la  sphère  K  circonscrite  à  ABCD  en 

un  ellipsoïde  K'  circonscrit  au  tétraèdre  A'B'C'D'.  Déterminons 
une  section  circulaire  r'  de  rcUipsoïde  K';  à  ce  cercle  <■'  corres- 
pond, par  l'affinité  considérée,  un  cercle  c  sur  la  sphère  K.  Dila- 
tons le  tétraèdre  ABCD,  avec  la  sphère  K  et  le  cercle  c,  à  une 
échelle  choisie  pour  que  le  cercle  c  devienne  un  cercle  c,  égal  au 
cercle  c' .  Le  tétraèdre  dilaté  A,B,C,D,,  semblable  au  tétraèdre 
ABCD,  peut  dès  lors  être  mis  dans  une  position  telle  (|ue  le  cercle  t-, 


CHRONIQUE  .  329 

coïncide  point  par  point  avec  le  cercle  c'  ;  ainsi  les  deux  espaces 
en  affinité  deviennent  perspectifs  et  les  droites  AA',  BB',  CC,  DD' 
sont  parallèles. 

Le  problème  admet  deux  solutions  essentiellement  différentes, 
correspondant  chacune  à  l'un  des  deux  systèmes  de  sections  cir- 
culaires de  l'ellipsoïde  K'. 

Si  ABCD  sont  quatre  points  d'un  plan  et  si  A'B'C'D'  est  formé 
de  trois  arêtes  d'un  cube  passant  par  un  même  sommet,  on  trouve, 
comme  cas  particulier,  le  théorème  de  Pohlke. 


8.  —  M.  le  Piof.  D'"  C.  CAnATHÉoDonv  (Gœttingue).  —  Sur  le 
traitement  géométrique  des  e.rtré/nas  des  intégrales  doubles.  — 
A  côté  des  problèmes  aux  frontières  auxquels  le  calcul  des  varia- 
tions doit  son  existence  et  à  côté  du  calcul  des  variations  de 
Lagrange,  dont  l'importance  grandit  toujours  plus  dans  tous  les 
domaines,  la  théorie  de  Hamilton-Jacobi,  issue  il  y  a  bientôt 
cent  ans  de  l'optique  et  de  la  mécanique,  joue  un  rôle  tout  aussi 
important. 

Un  essai  d'extension  de  cette  théorie  aux  intégrales  doubles  a 
été  fait  il  y  a  quelques  années  '.  Je  veux,  ici,  esquisser  les  moyens 
très  simples  par  lesquels  on  peut  obtenir  l'essentiel  des  résultats 
de  Jacobi  et  Ilamilton,  lorsqu'aucunc  condition  aux  frontières 
n'est  prescrite  d  avance  pour  la  solution  cherchée  et  qu'on  évite 
ainsi  les  diflicultés  particulières  aux  problèmes  aux  frontières. 

Soit 


J=   f  ffir,y,  z;  z^,  Zy)dxdy  (1) 


l'intégrale  double  à  étudier.  Considérons  une  famille  ii  deux  para- 
mètres 

S(.r,  r,   :;)  =  X  ,         T(.r,  r,  :)  =  \x  (2) 

formée  de  courbes  (juelconques,  traversant  l'espace  et  envisa- 
geons-la comme  une  gerbe  de  tubes  infiniment  minces.  Sur  une 
surface  quelconque  z  =  Ci.r,  //)  chacun  de  ces  tubes  découpe  un 
élément  de  surface  pour  lequel  nous  pouvons  calculer  comme 
suit  la  valeur  de  l'intégrale  (1). 
Posons 

S(x  ,   r)  =  S(.r  ,  y  ,   z{x  ,  y))   ,        T|.r  .   ri   =  T(.r  ,  y  ,   z{x  ,   v)  |       |3) 


'  G.    PRANOK,    Die   llaniitton-Jacnhischc    Théorie   fiir    Doppclintcstalv,    Inaiig.-Dibs  .    Gôl- 
tingen,   1915. 


330  CIinONIOLE 

et  formons  le  déterminant  fonctionnel 

_        _    M"S  .     T|    _    ;   ^x  +   ^c  •  =.T    •       ^y  +    ^c  ■  =3/ 
^         ''  '  I       x^^      z      X    '  >/     '^       z       y 

Il  rcsnlte  alors  de  (1),  il],  (3) 

et  la  valeur  cherchée  de  J  pour  l'élément  de  surface  découpé  est 

^ci'/.du.  .  (4) 

Cette  valeur,  qui  dépend  de  Zx  et  z,j,  c'est-à-dire  de  la  position 
du  plan  tanoent  à  la  surface  donnée  z  =  z\x,  y  ,  est  la  plus 
petite  possible,  lorsque  les  relations 

A./-.     —/".A,    =0,         A./'.    —/".A,    =0  (5j 

~x  "x  ~;/  ~t/ 

sont  vérifiées  et  que  de  plus  le  minimum  de  f:  A  comme  fonction 
de  Zx,  z^  est  effectivement  assuré  par  les  valeurs  tirées  de  'ô^ 
(conditions  de  Legendre  ou  de  Weierstrassi. 

Nous  appelons  section  du  tube  au  point  d'intersection  du  tube 
avec  la  surface  z  =  z{.v,  //)  le  minimum  de  l'expression  (4). 

Nous  exigeons  maintenant  de  la  famille  de  courbes  2  ,  qu'elle 
ne  contienne  que  des  tubes  de  section  constante.  Cette  condition 
nous  donne  la  relation 

dans  laquelle  i/zA.  ,u  est  d'abord  une  fonction  arbitraire.  Si  nous 
remarquons  cependant  que  l'on  peut  toujours,  par  une  transfor- 
mation convenable  des  paramètres  l  el  fi  prendre  i/^7..  |U  =  1, 
nous  obtiendrons  finalement  le  système  d'équations 

f=S  .         f,    =S.     .         /•.    =A.     ,  (6) 

-X  ~x  ~ij  ~y 

duquel  tout  le  calcul  des  variations  des  intégrales  doubles  se 
déduit  sans  effort. 


\).  —  M.  le  Prof.  D.  niijî;:RT  (Gœttingue'i.  —  Le  raisonnement 
a.viomalique.  —  Vax  (groupant  les  faits  d'un  certain  domaine  scien- 
tifique, nous  remarquons  qu'ils  sont  susceptibles  d'être  ordonnés. 
Cet  ordre  se  fait  à  l'aide  d'un  partage  des  notions,  tel  qu'au  fait 
simple  du  domaine,  correspond  une   notion  de   ce   partage,  et  à 


CHRONIQUE  331 

chaque  ensemble  de  faits  correspond  une  relation  logique  entre 
les  notions.  Le  partajj^e  des  notions  s'appelle  la  théorie  axionia- 
tique  du  domaine  scientifique  envisagé.  Ce  partage  est  basé  en 
outre  sur  un  nombre  restreint  de  principes  fondamentaux  carac- 
téristiques du  domaine  qui  suffisent  entièrement  à  édifier  les  no- 
tions d'après  les  règles  de  la  logique.  Au  premier  coup  d'œil,  ces 
principes  fondamentaux  doivent  être  regardés  comme  les  axiomes 
du  domaine  scientifique  en  question.  Tout  effort  d'explication 
des  axiomes  conduit  en  général  à  un  nouveau  système  d'axiomes, 
c'est-à-dire  à  une  couche  plus  piofonde  d'axiomes.  Ce  procédé 
l'evient  donc  à  reculer  plus  profondément  les  bases  du  domaine 
scientifique. 

La  théorie  d'un  domaine  scientifique,  c'est-à-dire  le  partage  des 
notions  par  lesquelles  il  est  représenté,  a  pour  but  de  l'orienter 
et  de  l'ordonner.  Pour  arriver  à  ce  but  notre  partage  doit  remplir 
deux  conditions  :  premièrement,  il  doit  donner  un  aper^-u  sur  la 
dépendance  des  éléments,  secondement,  il  doit  assurei'  la  non- 
contradiction  des  axiomes  de  la  théorie.  Ce  second  point  est 
essentiel,  car  toute  contradiction  mettrait  en  cloute  la  théorie 
entière.  La  démonstration  de  cette  non-contradiction  réussit  en 
général  pour  les  théories  de  la  géométrie  et  de  la  physique  en 
léduisant  le  problème  à  la  non-contradiction  des  axiomes  de 
l'arithmétique. 

Pour  larithmétique,  la  léduction  à  un  autre  domaine  scienti- 
fique plus  spécial  n'est  plus  possible,  parce  que,  en  dehors  de  la 
logique,  il  n'existe  plus  aucune  autre  discipline  à  laquelle  l'esprit 
humain  doit  se  soumettre.  Il  semble  donc  nécessaire  de  pousser 
la  recherche  des  axiomes  de  la  logicjue  dans  ses  dernières  limites. 
Ce  chemin  a  été  préparé  depuis  longtemps;  les  recherches  du 
logicien  Russell  ont  été  particulièrement  couronnées  de  succès. 

Cette  analyse  des  axiomes  de  la  logique  est  rattachée  à  une 
série  de  questions  spécialement  mathématiques.  Klle  constitue 
dans  tous  les  cas  le  problème  le  plus  important  et  le  plus  difficile 
de  la  théorie  de  la  connaissance. 

10.  —  M.  le  Prof.  A.  Speiskh  ^Zurich).  —  Eqiinlio?is  du  cinquième 
degré.  —  On  sait  que  le  groupe  alternant  de  cinq  variables  est 
isomorphe  aux  00  rotations  de  l'icosaèdre.  Elle  admet  par  consé- 
quent une  représentation  par  substitutions  linéaires  ternaires  : 


«  =  I>-.a)  kV-^'^  S  =  E  .  A,   B  ... 

ainsi  que  par  substitutions  linéaires  fractionnaires 


332  CHRONIQUE 

Si  ft)  est  un  nombre  générateur  d'un  corps  avec  ce  groupe,  et  si 
ft)  ^  o)j ,  Mj^ Wg  sont  les  nombres  conjugués,  les  trois  nombres 

A,  =  ^«„"Js  .  A„  =  S.s-,2W     ,  A3  =  Ssi3'o 

s  s  s 

subissent  des  substitutions  ternaires  par  le  passage  aux  conju- 
gués et 

-A,±t/Â;-'.A,A3 

•  = a; 

subit  par  là  les  substitutions  linéaires  fractionnaires. 

Par  là,  le  problème  de  l'équation  du  5*^  degré  est  ramené,  de  la 
manière  la  plus  générale,  à  un  problème  à  un  paramètre. 

il.  —  M.  le  D''  S.  Bays  (Fribonrgi.  —  Siii-  les  systèmes  de  triples 
de  13  éléments.  —  La  preuve  que  pour  13  éléments  le  système 
cyclique  de  Netto,  et  le  système  donné  par  Kirkmann,  Reiss, 
de  Vries,  sont  les  deux  seuls  systèmes  de  triples  de  Steiner  diffé- 
rents possibles,  peut  être  faite,  sans  l'aide  d'aucune  notion  parti- 
culière et  d'une  manière  assez  simple,  en  construisant  directement 
les  systèmes  de  triples  de  13  éléments  qui  ne  contiennent  pas  un 
triple  fixé  abc. 

Un  système  de  triples  de  Steiner  qui  ne  contient  pas  le  triple 
abc  contient  les  trois  triples  : 

bca.         ca{i         ab^(  (a  ,    |i  ,  y  :^  «  ,   A  ,   c     et  entre  eux)   , 

OÙ  a,  /5,  Y  peuvent  être   tous   les  arrangements  de   dix  éléments 
trois  à  trois.  Pour  un  arrangement  a,  j5,  y  fixé,  il  n'y  a  que  deux 
possibilités   qui  donnent,   pour  la  construction  du   systènie,   les 
seules  dispositions  suivantes  qui  s'écrivent  aisément  : 
P""  cas.  Le  triple  afiy  est  contenu  dans  le  système. 


aOLT.' 

a .  . 

a{t'. 

aY. 

OL   .  . 

*.-''• 

ay'. 

a'.jY 

byç.' 

h  y.' m 

b  .. 

'-('  ■ 

?a> 

r-. 

■V- 

|40) 

cyy' 

ca'/i 

cy . 

c    .  . 

ya'y 

Ti^'- 

T  •• 

II*"  cas.  Le  triple  ajiy  n'est  pas  contenu  dans  le  système. 

aa'.         a.  .         "■'t^''^ 
i."      b{i.  ha'.        />.r.        bf.  [j|j'.         |j..         (8) 

TT'-         T-- 


«; 


,:ya 

ya^i 

aoLiii 

a  y.' Il 

a^p 

rty'ry 

h[u 

boi' . 

b^'. 

bY. 

cy. 

ccl'  . 

c-y , 

cy'. 

rtaa' 

a  .  . 

ay . 

rty' . 

bim 

h%'ii 

hVn 

h-;'(l 

a  (1  y 


Pli'.         |î..         a', 
cy'.  yy'.         y..         ,8) 


CHRONIQUE  3  33 


S 

rtaa 

«  .  . 

rt,i  Y 

a  .  . 

a  .  . 

a.  . 

a  |5  /?! 

21 

CL  œ 

1° 

/>.i. 

hoi'p 

^^^'. 

I>i- 

^¥- 

a'y'/i 

cy. 

ca'q 

c[i'. 

n  ■ 

tt'- 

T-- 

(12 1 

axni 

acn'n 

a^p 

afq 

aa'. 

a .  . 

?Y. 

2o 

b;^. 

b   .. 

b^ix' 

h'. 

r'i-'  • 

p.. 

a'  . . 

V 

cy. 

c    .  . 

cr. 

c^'cl' 

tt'- 

T-- 

(24)  pour  acLti 

(20)  pour  bo.'n 
ou  ta'« 

Dans  chacune  de  ces  dispositions,  les  éléments  a',  /?',  y',  diffé- 
rents entre  eux  et  des  éléments  a  ,  b ,  c ,  a,  ^,  y,  peuvent  être  tous 
les  arrangements  des  sept  éléments  restants  trois  à  trois;  pour 
chaque  arrangement  a',  ^',  y';  m,  n,  p,  q  peuvent  être  toutes  les 
permutations  des  quatre  derniers  éléments.  Pour  un  arrangement 
a' ,  jS',  y'  et  une  permutation  m  ^  n  •,  p -,  (J  fixés,  chacune  des  dispo- 
sitions se  complète  par  les  éléments  m,  n,  p,  q  (et  cela  sans  y 
mettre  beaucoup  de  temps  du  nombre  de  manières  que  j'ai  indi- 
qué à  droite,  c'est-à-dire  donne  ce  nombre  de  systèmes.  En  tenant 
compte  des  dispositions  où  les  deux  éléments  ^'  et  y'  ont  à  prendre 
le  même  rôle  que  a',  nous  obtenons  donc  : 

A^^.  A^.  P^.(40  +  8  +  3.8  +  3.12  +  3.(24  +  2.20))  =  10!  300 

systèmes  de  triples,  ne  contenant  pas  le  triple  abc,  et  par  suite 

10  !  300.  11 

—  —  :=  10  !  330  systèmes  de  tiiples  de  13  éléments,  qui  dif- 
fèrent entre  eux  au  moins  par  un  de  leurs  triples.  Or,  les  ordres  des 
groupes  qui  transforment  en  eux-mêmes  le  système  cyclique  de 

13  '        13  ' 
Xetto  et  celui  deKirkmann  sont  39  et  6;  -rr^r  -{ — -^  =  10!  330.  Par 

conséquent,  le  système  cyclique  de  Netto  et  le  système  de  Kirk- 
mann  sont  les  deux  seuls  systèmes  de  triples  de  Steincr  différents 
pour  i'.i  éléments. 

12.  —  M.  le  Prof.  L.-G.  Du  Pasquier  (Neuchàtel).  —  Sur  un 
point  de  la  théorie  des  nombres  hi/percomple.ves.  —  Dans  un  sys- 
tème de  nombres  hypercomplexes  à  n  unités  lelatives,  constitué 
pour  une  infinité  d'éléments  tels  que 

•r  =  -roPo  +  :r,e,  +  ...  +  x^é-,,    ,  où  les         .r,  .  x, x^ 

sont  des  nombres  réels  quelconques  dits  «  coordonnées  du  nombre 
hypercomplcxe  .r»,  et  les  e^,  e^,  ...,  e„  des  symboles  dits  unités 


334  CHRONIQUE 

relatwes,  supposons  définies  légalité  et  deux  opérations  de  calcul  r 
1  addition  et  la  multiplication.  Il  en  résulte  l'existence  de  deux 
opérations  inverses  qu'on  appellera  soustraction  et  division.  En- 
visageons le  corps  de  nombres  |R|  formé  par  l'ensemble  des 
nombres  hypercomplexes  à  coordonnées  x-^  toutes  rationnelles. 
Pour  faire  l'arithnomie  de  1  R  I ,  commençons  par  définir  le  nombre 
bypercomplexe  «entier».  Selon  la  définition  lipschitzienne,  un 
nombre  bypercomplexe  rationnel  r  est  nombre  entier,  quand 
toutes  ses  n  coordonnées  x-^  sont  des  nombres  entiers  ordinaires, 
tandis  que  .v  est  réputé  «  non  entier»,  dès  que  l'une  de  ses  coor- 
données .v-^  est  un  nombre  fractionnaire.  On  sait  depuis  Galss 
que  cette  définition,  appliquée  aux  nombres  complexes  ordinaires 
■^0  ~l~  -^i^f  "^^  ^^  ^^  —  1'  donne  une  aritbnomie  parfaitement  régu- 
lière, analogue  en  tout  point  à  l'arithmétique  classique.  L'exemple 
le  plus  simple  montiant  combien  cette  définition  lipschitzienne 
si  simple  est  cependant  peu  appropriée  e?i  général  comme  base 
d'une  arithmétique  généralisée,  est  fourni  par  les  «  nombres  com- 
plexes de  seconde  espèce»  .r  =  j;^  +  .^,/,  où  y  est  un  symbole 
défini  par  l'égalitéy'"^  -=  1. 

En  adoptant  la  définition  lipschitzienne,  on  voit  que  dans  ce 
système  particulier,  un  produit  peut  être  divisible  par  un 
nombre  entier  sans  qu'aucun  des  facteurs  ne  le  soit;  exemple: 
(3  -\-  j)  (5  —  3/i  =  12  —  4/  qui  est  divisible  par  2.  On  peut  faire 
tomber  cette  irrégularité,  et  d'autres  encore,  en  remplaçant  la 
définition  lipschitzienne  par  la  définition  hurwitzienne  d'après 
laquelle  un  nombre  hypercomplexe  .x  est  réputé  «  entier»  s'il  est 
contenu  dans  le  domaine  holoïde  maximal  [M]  du  corps  dénombres 
en  question,  «  non  entier  »  s'il  ne  fait  pas  partie  de  ce  domaine 
holoïde  maximal  [M].  En  vertu  de  cette  définition  nouvelle,  un 
complexe  rationnel  x  peut  fort  bien  être  entier  quoiqu'ayant  des 
coordonnées  .i\  fractionnaires.  Dans  le  cas  particulier  cité,  on 
appellera  entier  tout  nombre  complexe  de  seconde  espèce  repré- 
sentable par  la  formule  <i  -\-  -^  -[-  -^j ,  oîi  a  et  b  sont  des  nombres 

3  7       5         3  • 

entiers  ordinaires  d'ailleurs  quelconques.  Ainsi,  -^  -|-  -^7 ,  ^  —  -rj 

sont  maintenant  des  complexes  «  entiers  »  et  il  n'est  dès  lors  plus 
surprenant  que   .'}  +./)  (5  —  3/')  soit  divisible  par  4. 

La  définition  hurwitzienne  postule  dans  le  corps  de  nombres 
envisagé  l'existence  d'un  domaine  holoïde  maximal.  On  appelle 
ainsi  tout  ensemble  [M]  contenant  une  infinité  do  nombres,  parmi 
lesquels  le  nombre  i  el  le  nombre  0,  jouissant  des  propriétés  sui- 
vantes :  1)  la  somme,  la  différence  el  le  produit  de  tleux  nombres 
(|uelcon({ues  de  l'ensemble  apj)artient  toujours  au  même  ensemble  ; 
2)  il  possède  une  base  finie;  3)  il  n'existe  pas  dans  le  corps  de 


CHRONIQUE  335 

nombres  en  question  un  autre  domaine  holoïde  contenant  tous 
les  éléments  de  '.M]  plus  encore  d'autres  non  contenus  dans  [M\ 
Dans  le  cas  des  nombres  complexes  de  Gauss,  l'ensemble  de 
tous  les  /?,  +  /?,./,  lorsque  n^  et  /?.,  parcourent,  indépendamment 
l'un  de  l'autre,  la  série  des  nombres  entiers  de  — oc  à  +  ce,  cons- 
titue un  domaine  lioloïde  maximal  dans  jH(,  en  sorte  que  défi- 
nition lipschitzienne  et  définition  hurwitzienne  se  confondent. 
Tel  n  est  pas  le  cas  des  nombres  complexes  de  seconde  espèce  : 
l'ensemble  [H]  de  tous  les  n^  -)-  /*.,/,  c'est-à-dire  des  complexes  à 
coordonnées  entières,  constitue  bien  un  domaine  holoïde,  mais 
qui  n'est  pas  maximal  dans  |H[,  puisque  l'ensemble  [M]  de  tous 

les  "i  +  -|  +  -^j  contient  les  éléments  de  [H]  et,  en  plus,  dautres 

ne  faisant  pas  partie  de  [H]. 

Il  existe  des  systèmes  de  nombres  hypercompiexes  où  le  corps 
]R|  des  complexes  rationnels  ne  possède  pas  de  domaine  holoïde 
maximal.  Dans  ce  cas,  il  n  est  pas  possible  de  définir  le  nombre 
hypercoraplexe  «entier»  de  manière  à  obtenir  une  arithnomie 
régulière.  L'exemple  le  plus  simple  d'un  tel  système  est  fourni 
par  les  «  nombres  complexes  de  3*^  espèce  »  y  =  i/o  -\-  i/^i'  oîi  les 
coordonnées  //q,  //^  sont  de  nouveau  des  nombres  réels  et  i'  un 
symbole  défini  par  ;'- =  0,  le  calcul  sur  ces  nombres  se  faisant 
d'après  les  règles  ordinaires  de  l'algèbre. 

Pour  caractériser  les  systèmes  de  nombres  hypercompiexes 
sans  domaine  holoïde  maximal,  envisageons  la  suite  .r,  x'-^ ,  .r^  ...  , 
X",  .r^H-',  ...  où  X  représente  un  nombre  hypercomplexe  à  n  unités 
relatives.  Si  l'une  de  ses  puissances  est  identiquement  nulle, 
.r'"  =  0,  le  nombre  r  est  dit  «  nilpotent  »  ou  «  pseudonul  ».  ou 
encore  «  racine  r'^™"  de  zéro.  Ainsi,  dans  le  système  des  nombres 
complexes  de  3*^  espèce,  i'  est  une  racine  cariée  de  zéro,  puisque, 
par  définition,  i"^  =r  (). 

Une  condition  nécessaire  pour  que  le  corps  \  R  |  des  nombres 
hypercompiexes  rationnels  soit  dépoarK'u  de  domaine  holoïde  maxi- 
mal est  que  le  système  en  question  contienne  des  racines  de  zéro. 
Si  le  nombre  des  unités  relatives  dépasse  3,  cette  condition  néces- 
saire n'est  pas  toujours  suffisante.  Mais  quand  un  système  de 
nombres  contenant  des  racines  de  zéro  n'est  pas  dépourvu  com- 
plètement de  domaine  holoïde  maximal,  il  possède  une  infinité 
de  domaines  iioloïdcs  maximaux  dilfcrents  entre  eux.  La  défini- 
lion  du  complexe  »  entier  »  est  alors  j)lurivoque. 

13.  —  M.  le  Prof.  L.-G.  Dl  Pasqiikii  Xeuchàtel  .  —  Une  non - 
\'elle  formule  d'interpolation  dans  la  théorie  mathématique  de  la 
population.  —  Pour  étudier  les  variations  AP  que  subit  un  groupe 
dépopulation  P(/)  avec  le  temps  t,  on  suppose  que  l'elfeclif  P  (7) 


336  CHRONIQUE 

est  une  fonction   continue   du   temps  et  Ton  définit  l'intensité  de 
variation  à  l'instant  t  par 

,  .     ,   AP  \         d?  ?' 


F.  \tj        ?.dt~   ^ 


On  définit  de  même  des  intensités  spéciales,  notamment  l'inten- 
sité de  natalité  v[i]  ;  l'intensité  de  mortalité  fjii  ;  l'intensité  d'immi- 
gration tft  -,  l'intensité  d'émigratian  f  t).  Pour  les  facteurs  qui 
tendent  à  diminuer  TefTectif,  on  arrive  à  la  même  notion  en  par- 
tant de  la  théorie  des  probabilités  mathématiques.  On  définit  par 
exemple  le  taux  instantané  de  mortalité  par 


Lim  I  I    , 

«-►0  V  n  / 


en  désignant  par  n'^ t  la  probabilité  pour  une  personne  d'âge  t  de 
décéder  au  cours  des  n  premières  années,  et  Ton  démontre  que  ce 
taux  est  égal  à  Fintensité  de  mortalité  fi  t  .  En  vertu  d'une  pro- 
priété fondamentale  des  «  fonctions  d  intensité  »  ou  «  taux  ins- 
tantanés »,  on  peut  écrire 

ain  =  Vf/)  —  ul(/)  +  '.{t]  —  e'O  , 

la  natalité,  la  mortalité,  l'immigration  et  l'émigration  étant  les 
quatre  facteurs  dont  la  variation  de  l'effectif  P7  dépend  direc- 
tement. 

En  faisant  des  hypothèses  appropriées  sur  le  taux  instantané 
de  variation,  on  retrouve  les  théories  formelles  de  la  population 
émises  jusqu'ici.  Ainsi,  cr7)r=0  donne  la  théorie  de  la  population 
stationnaire  E.  Halley)  ;  g  t)  =.  const.  conduit  à  la  théorie  eulé- 
rienne  de  la  population  variant  en  progression  géométrique;  C[t) 

inversement  proportionnel  à  l'efTectif,  g  t  =:z  —  ^  donne  la  théorie 

de  la  population  variant  en  progression  arithmétique  'deMoivRE); 
1  hypothèse 

<3{t)  =  c{m  —  P)    , 

où  C  et  m  désignent  des  constantes  positives,  donne  la  théorie  de 
F. -P.  Vehhulst  qui  suppose  que  la  population,  partant  de  l'ef- 
fectif initial  P(,,  augmente  constamment,  mais  de  plus  en  plus 
lentement  et  finit  par  atteindre  nn  état  stationnaiie  caractérisé 
par  l'effectif /«  (abstraction  faite  des  écarts  accidentelsi  ;  formule: 


P  it)  =  P^ . -^ 

P„.e"-'  +  m-P„ 


CHROXIQUE  337 

On  peut  développer  une  théorie  nouvelle  en  supposant  qu'avec 
le  temps  surgissent  des  facteurs  qui  influencent  l'intensité  de 
variation.  Une  formule  relativement  simple  se  déduit  entre  autres 
de  l'hypothèse 

P 

où  c,  b,  /;/ désignent  des  constantes  :  elle  conduit  par  intégration  à 

P"  —  '" 

P(/)  =  m  + 


f(Po   —   ">)ii-  -   -2I>I)  +   I 


Parti  de  l'effectif  initial  Pq,  la  population  passe  après  un  temps  b) 

■     1  -,  1  .  , 

par  un  maximum  égala  m -\- ^,.  puis  tend  vers  un  état  sta- 

'  ^  1  —  cl)-     ^ 

tionnaire  caractérisé  par  l'effectif  constant  m. 

En  terminant,  l'auteur  indique  les  bases  d'une  théorie  future 

de  la  population,  théorie  formelle  mieux  adaptée  k  la  réalité  que 

celles  émises  jusqu'ici. 

14.  —  M.  le  D""  II.  Berlixer  (Berne).  —  Sur  une  loi  de  la  plu- 
ralité infinie  permettant  d'interpréter  chaque  théorème  de  la  géo- 
métrie projective  d'une  infinité  de  manières.  —  I.a  recherche  des 
coordonnées  homogènes  projectives  d'un  point  du  plan  est  basée 
sur  les  propriétés  suivantes  :  chaque  point  détermine  trois  trans- 
versales parles  sommets  du  triangle  fondamental  AjAjA,  du  sys- 
tème des  coordonnées.  Chaque  point  et  le  point  fondamental  dé- 
terminent d'une  manière  univoque  trois  rapports  doubles,  dont 
le  produit  est  constant  pour  tous  les  points.  Inversement  trois 
rapports  déterminent  un  point  du  plan.  Au  lieu  des  points  on 
peut  admettre  les  courbes  symétriques  triangulaires  D,„  avec 
l'indice  m  qui  est  un  entier  quelconque  comme  élément  de  la 
recherche  des  coordonnées  homogènes  et  projectives.  La  repré- 
sentation paramétrique  de  ces  couibes  est  de  la  forme 

pxj^  =  r.  («.  f  +  /y^)'"  (À  =    1,  2.  3) 

(on  a  choisi  les  c.  pour  pouvoir  considérer  aussi  les  points  comme 
courbes).  Les  points  communs  d'une  courbe  D„,  et  des  côtés  de 
A, A, A3  sont  trois  points  de  tangente  ou  trois  sommets  isuivant 
que  m  est  positif  ou  négatif'.  Par  chacun  de  ces  derniers  il  n'existe 
qu'une  seule  tangente.  Les  I)„,  déterminent  ainsi  trois  transver- 
sales des  sommets  A^D^^^  (A  =:  1,  2,  3i,  c'est-à-dire  passant  par  les 
points  de  tangence  de  D,;,  avec  les  côlés  opposés  ou  les  tangentes 
de  D,„  en  A,  .  A,,  A3.  Avec   une   telle  courbe  D„,  et  l'élément  fon- 

I.'Knseigncment  in;illii-in.,  10«ann<'e:  1917  23 


338  CHRONIQUE 

damental  (ce  dernier  peut  être  une  courbe  triangulaire  symétrique 
fixe  quelconque  d'un  indice  k  entier).  On  détermine  trois  rapports 
anharmoniques  dont  le  produit  a  la  valeur  ( —  1)  '  .  Inversement 
trois  rapports  anharmoniques  déterminent  d'une  manière  uni- 
voque  une  courbe  D,„.  On  peut  admettre  les  D,„  comme  éléments 
fondamentaux  et  les  coordonnées  Dm  homogènes  sont  j:|'"'.r2"''x^'"'. 
Elles  sont  données  par  les  équations 

m—k  X-   ,   J"'! 

(-1,  A^,A.^,A,^,D,1)J   =.^±^;  ,1) 

—k  V'"' 

(-1)'"       A).(A.  +  ,A-+,D„,r3,)=^  (II) 

m—k^ (  —  h'"  x'-^j^^ 


(-1)  [A-(A^+,A-^,D,D,j]  =_AJi         ,„„ 

(X  =  1,  2,  3)   . 


Les  coordonnées  homogènes  projectives  linéaires  et  ponctuelles 
ne  sont  que  les  coordonnées  D^  et  D,  d'après  la  disposition    III  . 

Lorsqu'une  courbe  est  donnée  en  forme  paramétrique  à  laide 
des  coordonnées  D,„  :  ç.rjj^"*  =/"^(^),  donc  comme  lieu  des  D,„, 
l'enveloppe  de  toutes  les  courbes  D,«  est  représentée  paramétri- 
quement  par  les  équations  suivantes  : 

GX.    =   [/■  (M]'"^'  [l'i+y^t]  ll+-M    -   /■).+-,  (7) />+i  (')]'"  .  (I) 

«(  +  1 — 11'"  '  "I 

ou  :  0  >|  =  [f^ [l\-\  [/j^^ ,1/1  /-j^^,  ( 0  —  /^^, ( / ) /-^^i  ( 0 ]         (III) 

\K  —  1,  2,  3)   . 

si  l'on  a  utilisé  la  définition  I,  II  ou  III  pour  les  coordonnées 
D,„.  Particulièrement  lorsque  les  D„,  sont  les  éléments  fondamen- 
taux, l'enveloppe  précédente  est  une  courbe  D,„  resp.  D,«_i  ou 
D  ,  ,/».  Pour  la  définition  III  seulement,  les  éléments  fonda- 
mentaux  et  les  formations  fondamentales  sont  réciproques.  En 
prenant  les  bases  piécédentes  comme  nouveaux  éléments  fonda- 
mentaux, les  bases  des  nouvelles  formations  fondamentales  seront 
les  anciens  éléments  fondamentaux.  La  condition  dincidence 
d'une  D,„  et  d'une  D,„-i-i  est  pour  les  cas  I  et  II  : 


'—  -I ' 1 ^ —  :=  0 

tj  "*a  3 


CHRONIQUE  339 

pour  le  cas  III  : 


OÙ  les  j;''"'  et  .i""+"  sont  les  coordonnées  D,„  et  D,„+i .  On  suppose 
encore  que  les  coordonnées  D„,  et  D„,+i  admeltent  la  même  courbe 
Da-  comme  élément  fondamental. 

Nous  pouvons  donc  interpréter  chaque  théorème  de  la  géomé- 
trie projective  d'une  infinité  de  manières.  On  remplace  les  points 
par  les  D,„  m  est  un  entier  quelconque  comme  éléments  fonda- 
mentaux. Quand  les  D,„  sont  déjà  choisis  le  théorème  a  encore 
deux  interprétations.  En  prenant  une  fois  les  D,„  d'après  I,  une 
autre  fois  un  D,„_i  d'après  II  comme  bases  relatives  aux  forma- 
tions élémentaires.  Ce  principe  est  le  principe  on  la  loi  de  la  plu- 
ralité infinie.  La  dualité  en  est  un  cas  spécial  pour  lequel  on  ne 
regarde  que  les  points  et  les  droites,  donc  les  Dj,  et  D,  comme 
éléments  fondamentaux.  Chaque  théorème  projectif  se  démontre 
à  l'aide  des  coordonnées  homogènes  projectives;  dans  cette  dé- 
monstration on  peut  remplacer  les  coordonnées  points  par  les 
coordonnées  D,„  quelconques. 

Dans  lespace,  cette  même  loi  de  la  pluralité  infinie  subsiste. 
On  peut  admettre  comme  éléments  des  coordonnées  projectives 
fondamentales  de  l'espace  les  surfaces  symétriques  tétraédrales 
d'un  indice  entier  quelconque.  La  dualité  dans  l'espace  est  un 
cas  spécial  de  la  loi  généi-ale.  Chaque  théorème  projectif  de  la 
géométrie  réglée  s'interprète  d'une  infinité  de  manières.  Les 
courbes  symétriques  tétraédrales  d'un  indice  entiei-  quelconque 
sont  les  courbes  d'intersection  de  deux  surfaces  symétriques 
tétraédrales  du  même  indice  ni. 

Pour  finir,  nous  remarquons  encore  que  sous  des  conditions 
déterminées,  on  peut  traiter  aussi  les  courbes  symétriques  trian- 
gulaires et  les  surfaces  symétriques  tétraédiales  d'un  indice  com- 
jilexe  comme  éléments  fondamentaux  du  plan  ou  de  l'espace. 

15.  —  M.  le  D""  K.  Mehz  Coire  .  —  Transformation  quadratique 
d'une  collinéalion  ;  une  métrique  qui  s'i/  rapporte.  —  Par  les  for- 
mules 

;-  =  x-  :  (r-  —  X-  —  ^-|    ;  t,-  =:  y-  :  (r-  —   .r"'  —  v-| 

le  plan  indéfini  des  ^,  rj  est  transformé  dans  l'intérieur  du  cercle 
'^^  +  U^  =  ''^  \  1^  droite  à  l'infini  correspondant  au  périmètre  de 
ce  dernier.  Aux  droites  parallèles  à  "S.  correspondent  des  ellipses 
dont  le  grand  axe  est  le  diamètre  du  cercle,  sur  x.  Pour  r]^=\,  on 
trouve  le  demi  petit  axe  sur  /y  /•  :  y'i  .  Si  ce  segment  est  choisi 
comme  unité  pour  les  t],  et  si  l'on  fait  coïncider  les  axes  des  coor- 
données "^t]  avec  xy ,  les  points  sur  .x'-  -\-  y-  =  —  se  correspondent 


340  CHRONIQUE 

à  eux-mêmes.  A  un  segment  de  droite  AB  à  l'intérieur  du  cercle, 
qui,  prolongé,  couperait  le  cercle  en  U  et  V,  correspond  un  arc 
A'B'  d'une  hyperbole  dont  les  asymptotes  sont  OU  et  OV. 

Si  Ion  opère,  consécutivement  à  cette  transformation,  la  nou- 
velle transformation,  quadratique,  J-  =  S'  ;  )?""  =  fj'  ;  -r"^  =  t'  ; 
?/'^  :=  .y' ;  on  obtient  la  collinéation  centrale,  de  centre  0,- d'axe 

■^''  +  ^   ==  17  »  avec  la  droite  limite  x'  -\-  y'  =  r^.  On  peut  déduire 

de  cette  collinéation  des  propriétés  de  la  précédente  transforma- 
tion du  plan  Ï7  dans  le  cercle  /•. 

Pour  obtenir  une  métrique^  à  l'intérieur  du  cercle  /■,  il  faut 
mesurer  le  segment  k{x^y^  ^[x^y^  par  une  fonction  F(.r,  y\  qui 
prenne  une  valeur  infinie  lorsque  A  ou  B  viennent  en  U  ou  V.  Pour 
cela  la  mesure  choisie  sera  l'arc  d'hyperbole  A'B'.  Les  coordon- 
nées X  et  y  d'un  point  P,  dans  r,  seront  alors  mesurées  par  les 
arcs  d'hyperboles  appartenant  à  P',  n  et  i^,  qui  correspondent  aux 
segments  x  et  y.  Ces  coordonnées  curvilignes  sont  représentées 
par  des  intégrales  elliptiques  : 


1      VI/-2  — ar2  — r')5  I 


y (,.2  —  x^—  j2)3  f         y|^2  _    _r2   _  ^.2|3 

Ces  arcs  n  et  i>  se  coupent  en  P'  sous  un  angle  (f.  Pour  que  l'élé- 
ment linéaire  donné  par  ds-  =z  dx-  -\-  dy^  soit  mesuré  par  son 
correspondant  d/r  -\-  dv'^  —  2dad^>  cos  y,  on  représentera  l'angle 
droit,  formé  par  dx  et  dy  ,  par 

"  °  xy[2r^  —  X-  —  y^]   ' 

La  fonction  mesurante  F'.r//i  est  alors  à  déterminer  à  laide  de 

Dans  cette  métrique,  les  lignes  géodésiques  ne  sont  pas  des 
segments  AB,  mais  des  arcs  d'ellipses,  qui  correspondent,  dans  la 
transformation  à  la  corde  de  l'arc  d'hyperbole  A'B'.  Dans  le  voi- 
sinage de  0,  ces  arcs  et  les  segments  AB  se  confondent  de  plus 
en  plus,  et  Ion  obtient  une  métrique  enrîidienne. 

IG.  —  Séance  adininhtr olive.  —  La  Société  prend  connaissance 
et  approuve  le  rapport  du  trésorier,  M.  le  Prof.  Ckf.mi-h.  Elle  pro- 
cède ensuite  au  renouvellement  de  son  Comité  pour  1918  et  1919. 
M.  Michel  PLAxcHEnEL  (Fribourg)  est  nommé  président,  M.  L. 
Chelier  (Bienne-Berne),  vice-président,  cl  M.  Cs.  Spiess  (Bàle), 
secrétaire-trésorier. 

La  prochaine  réunion  annuelle  auia  lieu,  sauf  imprévu ,  //  Lngano. 


'  (^cci  t'sl  lin  oxompli'  )uiiir  les  coiisidi'rations  };riHTiiles  de  gôoiurtric  non-eiiolidienno 
qu'on  peut  trouver  diins  K.  >[Hnz,  Ziir  Erkcnntnislhcorii,'  von  Hiuini  iind  Zalil  ans  Histo- 
rischein  der  Stcincrschen  Kliichc  (S.  lO'i),  Jahnsbericht  der  ?iatiirf.  ficseltschaft,  tiraubuiidens, 
CAuiv.   i:M7. 


CHRONIQUE  341 


Nouvelles  diverses.  —  Nominations  et  distinctions. 

Allemagne.  —  M.  A.  Beck  a  été  nommé  professeur  extraor- 
dinaire à  rUniversité  de  Bonn. 

M.  M.  DisTELi,  professeur  à  l'Ecole  technique  supérieure  de 
Carlsruhe,  prend  sa  retraite  pour  raison  de  santé. 

M.  H.  MoHiîMANN,  professeur  à  l'Ecole  des  Mines  de  Clausthal, 
a  été  nommé  professeur  à  l'Ecole  technique  supérieure  de  Carls- 
ruhe. 

M.  II.  Hahx,  professeur  extraordinaire,  est  nommé  professeur 
ordinaire  à  l'Université  de  Bonn. 

M.  Erhard  Schmidt,  professeur  à  IL'niversité  de  Breslau,  a  été 
nommé  professeur  ordinaire  à  l'Université  de  Berlin. 

Angleterre.  —  Ue  Prix  Adams  (250  livres)  de  l'Université  de 
Cambridge,  a  été  attribué  à  M.  J.  H.  Jeans,  du  Trinity  Collège, 
pour  son  mémoire  intitulé  «  Some  problèmes  of  cosmogony  and 
stellar  dynamics  ». 

M.  A.  X.  WniTEHEAD  a  été  élu  président  de  la  British  mathema- 
tical  Association. 

Autriehe.  —  L'Académie  des  Sciences  de  Vienne  a  décerné 
le  Pii.v  Baiinignrtner  3000  cour.:  à  M.  le  Professeur  A.  Einsteix, 
membre  de  l'Académie  des  Sciences  de  Berlin. 

L'Ecole  technique  supérieure  de  Vienne  a  conféré  le  grade  de 
docteur  honoraire  à  M^l.  R.  Mehmke.  professeur  à  l'Ecole  techni- 
que supérieuie  de  Stuttgart,  et  S.  FixsTEiiAVALDEii,  professeur  à 
l'Ecole  technique  supérieure  de  Munich. 

Etats-Unis.  —  M.  le  Professeur  Edw.  Kasxeii,  professeur  à 
l'Université  Columbia,  à  New-York,  a  été  nommé  membre  de  la 
National  Academy  of  Sciences. 

France.  —  Académie  des  Sciences.  M.  Paul  Paixlevé,  vice- 
président,  est  nommé  président  de  l'Académie  des  Sciences  pour 
1918. 

M.  V.  ^'oLTl•l!ltA,  professeur  à  l'Université  de  Rome,  membre 
correspondant  depuis  1004,  a  été  élu  membre  associé  étrangei'. 

Italie.  —  -MM.  U.  Cisoin  et  A.  Vitei!Bi,  professeurs  à  l'Uni- 
versité de  Pavie.  ont  été  nonitnés  membres  correspondants  du 
Reale  Istituto  Lombardo. 

MM.  U.  CisoTTi,  de  l'Université  de  Pavie,  et  E.  Damkle.  de 
l'Université  de  Catane,  professeurs  extraordinaires  de  physique 
mathématique,  ont  été  nommés  professeurs  ordinaires. 

M.  V.  Strazzkrt  a  été  admis  comme  privat-docent  de  géométrie 
analytique  et  projective  à  l'Université  de  Palerme. 


342  CHRONIQUE 

^orvèg"e.  —  Sous  la  dénomination  de  Fonds  Christoffer  Han- 
nevig  à  la  mémoire  de  Niels  Henrik  Abel,  M.  Chr.  Hannevig,  Nor- 
végien, vient  de  créer  une  fondation  destinée  à  développer  les 
recherches  mathématiques  en  Norvège.  Ce  nouveau  fonds,  pour 
lequel  il  a  versé  100.000  couronnes,  vient  déjà  de  recevoir  un  don 
de  50.000  couronnes  de  M.  Chr.  Hannevig,  senior.  On  compte 
pouvoir  le  porter  à  250.000  couronnes. 

Suisse.  —  M.  L.  Crelier,  professeur  extraordinaire,  a  été 
nommé  professeur  ordinaire  à  lUniversiré  de  Berne. 

Nécrologie. 

A.  Benteli  ;  E.  Ott.  —  L'Université  de  Berne  vient  de  perdre,  à 
huit  jours  d'intervalle,  deux  de  ses  professeurs  de  mathématiques, 
décédés  tous  deux  dans  leur  70'""  année.  Le  Professeur  A.  Bexteli, 
qui  enseignait  la  Géométrie  descriptive  et  la  Géométrie  pratique, 
est  mort  le  10  novembre  1917,  tandis  que  son  collègue,  le  Profes- 
seur E.  Ott,  chargé  plus  spécialement  des  cours  mathématiques 
destinés  aux  candidats  à  l'enseignement  secondaire,  est  décédé  le 
17  novembre  1917. 

G.  Frobexil's.  —  M.  G.  Frobenius,  membre  de  l'Académie  des 
Sciences  de  Berlin,  est  décédé  le  3  août  1917,  à  l'âge  de  67  ans. 
Professeur  à  l'Ecole  polytechnique  fédérale  de  Zurich,  Frobenius 
avait  été  appelé  à  l'Université  de  Berlin  en  1892. 

F.  R.  Helmert.  —  M.  F.  R.  Helmert,  membre  de  l'Académie  des 
Sciences  de  Berlin,  est  décédé  le  15  juin  1917,  à  l'âge  de  73  ans. 
Professeur  de  Géodésie  à  l'Université  de  Berlin,  Helmert  était  en 
même  temps  directeur  de  l'Institut  royal  de  Géodésie  et  du  Bu- 
reau international  de  Géodésie.  Il  était  membre  de  la  plupart  des 
grandes  Académies. 

D.  KiKucHi.  —  La  Science  japonaise  a  perdu  l'un  de  ses  repré- 
sentants les  plus  illustres,  le  baron  Dairoku  Kikuchi,  ancien  rec- 
teur de  l'Université  de  Tokio,  ancien  ministre  de  l'instruction 
publique,  décédé  le  19  août  1917.  Né  à  Tokio  le  17  mars  1855, 
Kikuchi  fit  une  partie  de  ses  études  en  Angleterre,  à  l'LIniversité 
de  Cambridge.  Son  retour,  en  1877,  marque  le  point  de  départ 
d'une  période  de  réforme  de  l'enseignement  mathématique  et  de 
lorganisation  scolaire  en  général*.  Nommé  professeur  de  mathé- 
matiques à  l'Université  de  Tokio  qui  venait  d'être  réorganisée,  il 
ne  tarda  pas  à  exercer  une  heureuse  influence  sur  le  développe- 
ment de  l'enseignement  scienlifujue  au  .lapon.  Son  gouvernement 
lui  confia  souvent  des  missions  scientifiques  à  létranger;  il  lui 
conféra  le  titre  de  baron  en  1902.  Kikuchi  représenta  le  Japon  à 
l'Association  internationale  des  Académies. 


*  Voir  FuJiSAWA,  Summan/  Report  on  the   Teaching  of  Matheinatiis  in  Japan,  Tokio,   IiM2. 


NOTES    ET    DOCUMENTS  343 

Ses  travaux  scientifiques  appartiennent  plus  particulièrement 
à  l'Histoire  des  mathématiques  de  l'ancienne  école  japonaise.  On 
lui  doit  aussi  d'excellents  manuels  de  Géométrie  élémentaire  et 
de  Géométrie  analytique. 

Fr.  LoxDox.  —  Le  17  février  1917  est  décédé  à  Bonn,  à  l'âge  de 
54  ans,  M.  F.  Franz  London,  professeur  ordinaire  à  l'Université 
et  doyen  de  la  Faculté  des  sciences  philosophiques.  Ses  travaux 
appartiennent  principalement  au  domaine  de  la  Géométrie  pro- 
jective.  En  souvenir  du  savant  professeur,  son  beau-frère,  M.  Alf. 
Hamburceh,  a  fait  don  à  l'Université  de  Bonn  d'une  somme  de 
30.000  marks  pour  la  création  d'un  fonds  dont  les  intérêts  servi- 
ront à  favoriser  et  à  récompenser  les  recherches  de  mathémati- 
ques  F'ranz  London-Sti(tung  fïir  niathematische  Forschungi, 

G.  Veroxese.  —  M.  Guiseppe  \  eronese,  professeur  de  Géomé- 
trie analytique  et  supérieure  à  l'Université  de  Padoue,  est  décédé 
subitement  dans  cette  ville,  le  17  juillet  1917,  à  l'âge  de  63  ans. 
Ancien  élève  du  professeur  Fiedler  à  l'Ecole  polytechnique  de 
Zurich  (1873-18771,  puis  de  Cremona  à  Rome  (18771,  dont  il  fut 
aussi  l'assistant,  Veronese  fut  nommé  professeur  titulaire  à  l'Uni- 
versité de  Padoue  en  1883.  Ses  remarquables  recherches  sur  la 
Géométrie  projective  des  hyperespaces  et  son  œuvre  magistrale 
sur  les  fondements  de  la  Géométrie  resteront  classiques.  Il  était 
sénateur  du  Royaume  d'Italie  et  appartenait  à  l'Académie  des 
Lincei,  à  la  Société  italienne  des  Sciences  (dite  des  XL)  et  à  de 
nombreuses  sociétés  savantes  italiennes  et  étrançrères. 


NOTES  ET  DOCUMENTS 


Commission  internationale  de  l'Enseignement  mathématique. 

Liste  des  puhlications  du  Comité  Central  et  des 
Sous-Commissions   nationales ,  parues  depuis  le  i*""  avril  191i. 

PUBLICATIONS  DU  COMITÉ  CENTRAL 

2ine  Série,  Fasc.  3.  Compte  rendu  de  ta  Conférence  internationale  de 
l'enseignement  mathématique  tenue  à  Paris  du  l»""  au  4  avril  1914,  par  H.  Fehr. 
1  fasc,  172  p.,  extrait  de  lEns.  Math.,  1914. 

La  préparation  théorique  et  pratique  des  professeurs  de  mathématiques 
de  l'enseignement  secondaire  dans  les  divers  pays.  Travaux  préparatoires  : 
Questionnaire,  textes  français,  allemand,  anglais,  italien.  Par  H.  Fehk. 
Genève,  34  p.,  extrait  de  VEns.  Math.,  1915. 


344  NOTES    ET   DOCUMENTS 

PUBLICATIONS  DES  SOUS-COMMISSIONS  NATIONALES 

ALLEMAGNE 

Berichte  und  Mittleilungen. 

1.  Folge  (li'e  série)  :  Heft  X.  Wei.nkeich,  H.  Die  Fortschritte  der  mathe- 
inatischen  Unterrichtsrefoiin  in  Deutschland  seit  1010.  —  Lietzmann,  W. 
Der  Pariser  Kongress  der  Internatioiialen  Matliematisrhen  Unterrichtskoin- 
mission  vom  1.-4.  April  1914  (S.  219-310|,  1915.  .M.  3. 

XI.  LIE■rzMA^N,  W.  Die  Aaslnldung  der  Malliematildehrer  an  den  hoheren 
Schulen  Deutschlands.  Beaiilwortiing  eines  Fragebogens  des  Hauplaus- 
scluisses  der  Inleruationalen  Malheiiialischen  Unteriichlskommissiou.  (S.  311- 
328),  1915.  M.  0,60. 

XII.  GuTZMEK,  A.  Die  Tàtigkeit  des  Deutschen  Unterausschusses  der 
Internationalen  Matheniatischen  Unterrichtskonimission  1908-1916,  Bericht 
anlasslich  der  Ferligslellung  der  «  Abhaudiungen  ».  (S.  329-356),  1916.  M.  1. 

2.  Folge  (2'ne  série)  :  I.  Rohuberg,  A.  Der  nialhematische  Unterricht  in 
Danemark,  1915.  M.  2.  40. 

II.  WoLFF,  G.  Der  Mathematische  Unterricht  in  Englnnd  (YI.  u.  205  S.), 
1915.  M.  5. 

III.  Titel  und  Inhaltsiibersicht  zur  ersten  und  zweilen  P^olge  der  Berichte 
uud  Mitteiluiigen.  —  Kôkisek,  E.  und  K.  Gesanttregister  der  Schriften  des 
Deutschen  Unterausschusses  der  Inleruationalen  Matheniatischen  Unler- 
richtskommission.  —  Vorbeinerkungen  —  Inhallsverzeichnis  des  Gesamt- 
registers.  —  Inhalt  der  einzelnen  Hefte.  zum  Teil  in  Tabellen.  —  Alpha- 
betisches  Sachregister.  —  Lietzmams,  \V.  Zusamnieuslellung  der  bis  Ostern 
1917  auf  Veranlassung  der  Iniuk  im  Ausiande  verôirentlichlen  Arbeiteu.  — 
Klein,  F.  und  Lietzmann,  W.  Zum  Abschlnss  der  Berichte  und  Mitteilungen 
(xvi  u.  99  S.),  1917.  M.  4.  ;  Verlag  B.  G.  Teubner,  Leipzig. 

Abhandlungen. 

Band  III.  Keft  9.  Lokey,  W.  Dus  Studium  der  Mathematik  an  den  deut- 
schen Unii'ersilaten  seit  Anfangdes  19.  Jahrhnnderts.  Mit  eiuem  Schlusswort 
zu  Band  III  von  F.  Klei.n.  Mit  13  Abbildungen  im  Text  und  aul"  4  Tateln. 
(XVI  u.  440  S.),  1916.  Geh.  M.  12,  Geb.  M.  14. 

Band  IV.  Heft  3.  Girndt,  M.  Die  deutschen  bautechnischen  Fachschulen 
und  der  mathematische  Unterricht.  Mit  3  Tafeln  und  54  Abbildungen  (vi  u. 
232  S.).  1916.  M.  7.20. 

Heft  9.  Stackel,  P.  Die  mathematische  Aushildung  der  Architekien,  Che- 
miker  und  fngenieure  an  den  deutschen  techfiischen  Ilochschulen.  Mit  eineni 
Schiusswort  zu  Band  IV  von  P.   Stackel  (xvi  u.   1915  S.),  1915.  M.    6.80. 

Band  V.  Heft  5.  Umlauf,  K.  Der  mathematische  Unterricht  an  den  Semi- 
naren  und  Vulkschulen  der  Hansestadte.  (va  u    165  S.),  1915.  M.  4.80. 

Heft  7.  Kôu^EH,  K.  Die  ^Mathematik  im  Preussischen  Lehrerhildungs- 
«l'cse/i.  Mit  einem  Schiusswort  xn  Bd.  V  von  F.  Klein.  Mit  10  Figuren  und 
1  Tafel  (viii  u.  136  S.).  1916.  M.  4  ;  Verlag  B.  G.  Teubner.  Leipzig. 

AUSTRALIE 

The  Teaching  of  Mathemalics  in  Australia,    report   presontcd  to   the    Inler- 
national  Commission    on  the    Teaching    of  Mathemalics,  by  H.    S.  Carslaw 


NOTES    ET    DOCUMENTS  345 

Un  fascicule  in-8o,  79  pages,  Angus  et  Koberlsoii  Ltd,  Sydned.   Tlie   Oxfoid 
Uuiversity  Press,  Amen  Corner,  Londres. 

BELGIQUE 

La  préparation  théorique  et  pratique  des  professeurs  de  niatliéiiiatiques 
de  renseignement  secondaire  en  Belgique,  p;ir  J.  Rose  (Charleroil.  — 1  fasc. 
iu-8o,  de  18  p.  (Extrait  de  l'Euseigueinent  mathématique,  u»  5,  1916,  Georg 
&  C'«,  Genève). 

ETATS-UNIS 

Curricula  in  Malhematics.  A  Comparison  of  Courses  in  ihe  Counlries 
represenled  in  llie  International  Commission  ot'  Teaching  of  .Malliematics, 
by  J.  C.  Bkown,  with  the  Edilorial  Coopération  of  D.  E.  SiMiTH,  \V.  V. 
OsGOOD,  J.  W.  A.  You.NG,  members  of  the  Commission  from  United  Stades. 
1  fasc.  in-8o,  91  p.  ;  United  States  Bureau   of  Education,    Wasliiuglon  1915. 

Mathematics  in  the  Lovcer  and  Middle  Commercial  and  Industrial  Sckools 
of  varions  counti-ies  represented  in  tiie  Inleruationai  Commission  on  the 
Teaching  of  Mathematics,  by  E.  H.  Taylok,  Instruclor  in  Mathematics 
Eastern  Illinois  State  normal  School.  With  the  Edilionai  Coopération  of 
David  Eugène  S.mith,  William  F.  Osgood,  J.  W.  A.  Yolng,  members  of  the 
Commission  from  the  United  Slates.  Washington  Government  Printing  Of- 
fice, 1915.  —  1  fascicule  in-8o,  96  pages. 

The  Training  of  Elenientary-school  Teachers  in  Mathematics  in  the  coun- 
lries represenled  in  ihe  International  Commission  on  the  Teacliing  of  Mathe- 
matics, by  I.  L.  Ka.ndkl,  associate  in  Educatioual  Administration,  Teachers 
Collège,  Columbia  University,  and  Specialist  iu  Education,  Carnegie  Foun- 
dation for  the  Advancement  of  Teaching.  With  the  Editorial  Coopération  of 
Davy  Eugène  Smith,  William  F.  Osgood,  J.  W.  A.  Young,  members  of  tlie 
Commission  from  ihe  United  States  Washington  Government  Printing 
Office,  1915.  —  1  fascicule  in-8o,  56  pages. 

27ie  Training  of  Teachers  of  Mathematics  in  the  Uniled  Stades  of  Ame- 
rica. —  I,  the  Theorelic  Side,  by  J.  W.  A.  Youkg.  —  II,  the  Practieal  Side, 
by  D.  E.  Smith.  —  1  fasc.  in-S»  de  11  p.  (Extrait  de  l'Enseignement  mathé- 
matique, 11°  6,  1916,  Georg  &  C'»,  Genève). 

KUSSIE 

L'Enseignement  mathématique  aux  cours  supérieurs  de  femmes  à  Moscou, 
par  B.  .Mlodzievsky.  —  1  tasc.  iu-8'^  de  20  p.,  Pélrograd,  1915. 

H.  F. 


Plan  d'études  mathématiques  de  l'enseignement  normal  primaire 

en  Bolivie 

par  Constant  Lukqvin  (Sucre,  Bolivie). 

I.  —  Nous  envisageons  l'enseignement  normal  piiinaire  au  point  de  vue 
mathémali(|ue  et  nous  exposons  dans  ce  petit  travail  quelques  considéiations 
générales  relatives  au  programme  pour  cet  enseignement. 


346  NOTES   ET   DOCUMENTS 

Comment  doit  être  organisé  1  enseignement  mathém.ntique  dans  une  école 
normale  ? 

Le  cours  de  mathématiques  pour  une  école  où  l'on  forme  des  instituteurs 
primaires  doit  comprendre  trois  parties  : 

1)  L'enseignement  théorique.  —  2|  L'enseignement  pratique.  —  3)  L'en- 
seignement méthodologique. 

La  ihéorie  et  la  pratique  doivent  êti-e  étroitement  liées.  Les  notions  théo- 
riques, les  démonstrations,  les  formules  seront  enseignées  par  la  méthode 
intuitive.  L'abstraction  viendra  ensuite  très  facilement.  Le  but  n'est  pas 
d'entasser  dans  le  cerveau  des  élèves  instituteurs  une  grande  quantité  de 
théorèmes,  mais  bien  d'insister  sur  les  méthodes  d'investigation  et  la  nature 
du  raisonnement  mathématique. 

Après  l'étude  de  chaque  théorie  vient  son  application  pratique  :  exennples 
numériques,  exercices  et  problèmes  de  récapitulation,  interrogation  sur  la 
partie  théorique. 

Cet  enseignement  pratique'  a  une  importance  capitale,  car  il  permet  au 
professeur  de  s'assurer  si  l'élève  a  compris  les  leçons  de  théorie. 

Dans  un  cours  de  mathématiques  pour  élèves  instituteurs,  il  y  a  lieu  de 
considérer  tout  particulièrement  l'enseignement  méthodologique.  C'est  la 
partie  professionnelle  qui  comprend  : 

1.  La  méthodologie  de  l'enseignement  du  calcul,  du  système  métrique  et 
des  formes  géométriques  à  1  école  primaire. 

2.  L'étude  spéciale  et  détaillée  du  programme  de  mathématiques  de  lécole 
primaire. 

3.  Des  exercices  didactiques  à  lécole  d'application  consistant  en  leçons 
suivies  d'une  critique  raisonnée. 

Cette  partie  méthodologique  du  cours  de  mathématiques  est  traitée  dans 
les  deux  dernières  années  d'études  de  l'école  normale. 

II.  —  Disons  tout  d'abord  un  mot  de  l'examen  d'entrée  à  l'école  normale 
primaire,  au  point  de  vue  mathématique.  Pour  l'admission  à  l'Ecole  normale 
de  Sucre,  nous  avons  adopté  le  programme  suivant  : 

1.  Arithmétique.  —  Nombres  entiers:  Numération  parlée  et  écrite.  Les 
quatre  opérations  :  règles  pratiques.  Tables  de  multiplication.  Problèmes 
sur  les  nombres  entiers.  Calcul  mental  sur  les  quatre  opérations. 

Fractions  ordinaires  :  Numération.  Simplification.  Réduction  à  un  même 
dénominateur.  Opér-ations.  Problèmes. 

Nombres  décimaux  :  Numération  orale  et  écrite.  Opérations.  Exercices. 
Problèmes. 

Système  métrique  décimal:  Mesures  de  longueur,  surface,  volume,  poids, 
capacité.  Monnaies. 

Arithmétique  pratique  :  Règle  de  trois  par  la  méthode  de  réduction  à 
l'unité.  Intérêt  simple.  Escompte  commercial. 

2.  Géométrie.  —  Notions  intuitives  sur  les  lignes,  les  angles,  les  espèces 
de  triangle,  les  quadrilatères,  les  polygones,  le  cercle.  Mesure  des  surfaces. 

Notions  élémentaires  sur  le  prisme,  le  cube,  le  parallélépipède,  la  pyra- 
mide, le  cylindre,  le  cône  et  la  sphèi-e.  Mesure  des  surfaces  et  des  volumes. 


^  Dans  la  classo  dfi  mathc'inatiqiics  de  l'Ecole  normale  de  Sucre,  le  long  des  îniirs  sont 
disposes  2.>  tableaux  noirs  pernictlant  à  tous  les  élèves  d'un  mémo  cours  de  travailler 
ensemble.  C'est  le  travail  collectif  avec  l'aide  du  professeur.  Il  y  a  chaque  semaine  une  leçon 
entière  consacrée  uniquement  aux  applications  <le  la  théorie,  aux  solutions  de  problèmes  et 
aux  interrogations. 


NOTES    ET    DOCUMENTS  347 

Ce  programme  est  celui  de  l'enseignement  primaire  élémentaire.  Nous 
croyons  que  la  connaissance  de  ce  programme  doit  constituer  la  base  des 
études  normales  primaires  proprement  dites. 

III.  —  Nous  faisons  connaître  maintenant,  en  résumé,  les  plans  d'études 
que  nous  avons  suivis  pour  l'enseignement  de  l'arillimétique,  de  la  géométrie 
et  de  l'algèbre. 

Akithmétiqle 

1.  Théorie.  —  1.  Nombres  entiers:  Numération.  Les  quatre  opérations 
fondamentales.  Divisibilité  :  théorèmes  généraux  et  caractères  de  divisibi- 
lité. Nombres  premiers.  Plus  grand  commun  diviseur.  Plus  petit  commun 
multiple. 

2.  Fractions  ordinaires  :  Numération.  Simplification.  Réduction  à  un 
dénominateur  commun.  Opérations  fondamentales. 

3.  Nombres  décimaux  :  Numération.  Opérations.  Conversion  de  fractions 
ordinaires  en  nombres  décimaux.  Fractions  décimales  périodiques. 

4.  Système  métrique  :  Origine.  Longueurs.  Surfaces.  Volumes.  Poids. 
Capacité.  Monnaies.  Applications. 

5.  Puissances  et  racines  :  Théorèmes  généraux.  Extraction  de  la  racine 
carrée  et  de  la  racine  cubique. 

6.  Rapports,  proportions  et  séries  de  rapports  égaux. 

IL  Pratique.  —  1.  Problèmes  :  Règles  de  trois.  Intérêt  simple.  Escompte. 
Tant  pour  cent.  Rentes.  Grandeurs  proportionnelles.  Partage  proportionnel. 
Règle  de  société.  Mélanges  et  alliages. 

2.  Calcul  mental  :  Exercices  gradués  de  calcul  mental  sur  les  nombres 
entiers  et  décimaux,  les  fractions  ordinaires  et  les  mesures  du  système 
métrique.  Procédés  de  calcul  rapide. 

m.  Méthodologie.  —  1.  Méthodologie  de  l'enseignement  du  calcul  et  du 
système  métrique  à  l'école  primaire. 

2.  Elude  détaillée  du  programme  de  l'école  primaire. 

3.  Exercices  didactiques  à  l'école  d'application  :  leçons  de  calcul  et  de 
système  métrique  données  par  les  élèves  instituteurs. 

Géométrie 

Au  point  de  vue  méthodologique,  une  innovation  de  grande  importance 
caractérise  renseignement  moderne  de  la  géométrie  élémentaire.  Il  s'agit 
d'une  réforme  de  méthode  qui  substitue  à  la  géométrie  classique  d  Euclide 
«ine  géométrie  concrète  basée  essentiellement  sur  les  mouvements  élémen- 
taires '.  On  sait  que  ce  changement  si  radical  dans  l'enseignement  de  la  géo- 
métrie a  été  très  discuté  et  est  encore  combattu.  Néanmoins  la  nouvelle 
géométrie  cinématique  présente  de  sérieux  avantages-.  D'autre  part,  elle 
est  liée  intimement  avec  le  dessin  géomélral  qui  la  complète,  peut-on  dire. 

I.  Théorie.  —  A.  Géométrie  plane. 

1.  Déplacements  et  figures  élémentaires.  —  Ligne  droite  et  plan.  Rotation 


•  Voir  programmes  officiels  français  du  27  juillet  1905  et  les  instructions  qui  les  accom- 
pagnent. 

'  Nous  l'avons  enseignée  avec  grand  profit  dans  nos  cours  à  l'Ecole  normale  de  Sucre. 
Nous  reconnaissons  qu'au  début  l'élève  a  quelques  difficultés  à  trouver  les  conséquences 
qui  résultent  d'un  mouvement  de  figures.  Mais  celte  difficulté  est  rapidement  vaincue  par 
<le  nombreux  exercices  graphiques. 


348  NOTES    ET    DOCUMENTS 

autoui-  d'un  point  :  angles.  —  Symétrie  par  rapport  à  un  point.  —  Cas 
d'égalité  des  triangles.  —  Syniélric  par  rappoit  à  une  droite.  Triangles 
isocèles.  —  Distances.  Perpendiculaires  et  obliques.  —  (]as  d'égalité 
des  triangles  rectangles.  —  Translation  i-ecliligne  :  lignes  parallèles.  — 
Somme  des  angles  d'un  triangle,  d'un  polygone.  —  Quadrilatères  :  parallé- 
logramme ;  rectangle  ;  losange  ;  carré.  —  Cercle,  circonféieuce,  diamètre, 
arcs  et  cordes,  sécautes  et  tangentes.  —  Positions  relatives  de  deux  circon- 
férences. —  Mesure  des  angles  dans  le  cercle.  —  Construction  d'angles,  de 
triangles,  de  quadrilatères.  —  Tracé  de  perpendiculaires  et  d'obliques  — 
Construction  de  cercles  et  de  tangentes.  Lieux  géométriques  simples. 

2.  Similitude.  —  Ugnes  proportionnelles.  Problèmes  graphiques.  —  Tri- 
angles semblables.  Cas  de  similitude.  Polygones  semblables.  —  Homothélie. 
Figures  homolhétiques.  -  Polygones  réguliers.  .Mesure  de  la  circontérence 
du  cercle. 

'3.  Aires.  —  Mesure  de  la  surlace  du  rectangle,  du  parallélogr;imme,  du 
tiiangle,  du  trapèze,  des  polygones.  —  Aire  des  polygones  réguliers.  Aire 
du  cercle.  —  Comparaison  des  aires  de  deux  polygones  semblables.  —  Pro- 
blèmes graphiques.  Exercices  numériques. 

B.  Géométrie  de  l'espace. 

1.  Déplacements  élémentaires.  —  Le  plan  et  la  droite  dans  l'espace.  — 
Détermination  et  intersection  de  droites  et  de  plans.  —  Translation  :  droites 
et  plans  parallèles.  —  Rotation  :  angles  dièdres,  plans  et  droites  perpendi- 
culaires. —  Angles  polyèdres. 

2.  Projections.  —  Distances.  Projections  orthogonales.  —  Projection  d'un 
polygone  et  d'un  cercle. 

3.  Polyèdres.  —  Prisme.  Pyramide.  —  Aiie  et  volume  du  prisme  et  de  la 
pyramide.  —  Polyèdres  semblables.  Exercices  numériques.  Problèmes. 

4.  Corps  ronds.  —  Surlace  de  révolution.  Cylindre.  Cône.  —  Sphère; 
sections  planes;  pôles;  plan  tangent.  —  Aire  et  volume  du  cylindre  et  du 
cône  de  révolution.  Aire  et  volume  de  la  sphère. 

IL  Akpeïnïagk.  —  Instruments.  Exercices  sur  le  terrain.  Levé  de  plans. 
Nivellement. 

III.  Méthodologie.  —  1.  Etude  du  [)rogramme  de  lortnes  géométriques 
de  l'école  primaire. 

2.  Exercices  didactiques  :  leçons  de  formes  géométriques  et  de  dessin 
géométral  à  lécole  d  application. 

Algèhke 

L'enseignement  do  l'algèbre  ne  doit  pas  être  faite  d'une  manière  absliaile. 
Il  importe  que  la  théorie  soit  présentée  intuitivement  et  il  est  essentiel  de 
mettre  en  évidence,  le  plus  possible,  la  relation  intime  entre  les  formules 
de  l'algèbre  et  les  réalités  concrètes.  IVous  insistons  particulièrement  sui* 
les  nombres'  positifs  et  négatifs,  ainsi  que  sur  la  représentation  graphique 
des  fonctions  élémentaires. 

1.  Notions  préliminaires  :  cocflicienl,  exposant,  termes  semblables:  valeur 
numérique.  —  2.  Nombi-es  positifs  et  négatifs  :  opérations,  applications 
concrètes.  —  3.  Calcul  algébrique  :  opérations  ;  produits  remarquables,  dé- 
composition algébrique.  —  4.  Equations  du  premier  degré.  —  5.  Problèmes 
dn  premier  degré.  —  6  Etude  et  représentation  gi-aphique  des  variations 
de  la  fonction  linéaiie.    — -  7.   Equations  du  second  degré.  —  8.  Ttrinôme  du 


NOTES    ET    DOCUMENTS  349 

second  deçré.  —  9.  Problèmes  du  second  degré.  —  10.  Etude  et  représen- 
tation graphique  des  variations  de  la  fonction  hoinographique.  —  11.  Pro- 
gressions. Logarithmes.  Intérêts  composés.  — 12.  Notions  sur  les  dérivées. 

IV.  —  La  trigonométrie  ne  figure  pas  au  programme  de  mathématiques 
de  l'enseio-nement  normal  primaire.  Cependant  nous  avons  fait,  avec  grand 
profit  pour  les  élèves,  l'élude  de  cette  branche  imporlante  des  mathéma- 
tiques en  dernière  année  de  l'école  normale  Nous  croyons  que  cet  ensei- 
gnement peut  se  donner  pour  les  deux  raisons  suivantes  :  la  trigonométrie 
n'est  pas  d'un  ordre  plus  élevé  que  l'arithmétique,  lalgèbre  ou  la  géomé- 
trie ;  la  question  dépend  seulement  d'en  faire  l'enseignement  d'une  manière 
véritablement  élémentaire  et  pratique.  Voici  le  résumé  de  notre  programme 
normal  primaire  de  trigonométrie  : 

1.  Notions  préliminaires  :  arcs  et  angles.  —  2.  Définition  des  fonctions 
circulaires  d'un  même  arc.  —  3.  Relations  entre  les  fonctions  circulaires 
d'un  même  arc.  —  4.  Relations  entre  les  fonctions  circulaires  d'arcs  dont  la 
somme  ou  la  différence  est  un  multiple  d  un  quadrant.  —  5.  Analyse  trigo- 
nométrique  :  addition,  soustraction,  multiplication  et  division  des  arcs.  — 
6.  Représentation  graphique  des  fonctions  circulaires.  —  7.  Usage  des 
tables  trigonométriques.  —  8.  Résolution  des  triangles  rectangles.  —  9. 
Relations  entre  les  côtés  et  les  angles  d'un  triangle  quelconque.  —  10.  Ré- 
solution des  triangles  quelconques. 


Cours  universitaires. 

Année  1917-1918. 

ÉTATS-UNIS  D'AMÉRIQUE 

Columbia  University  (Ne^v-Yurk).  —  T.  S.  Fiske  :  Differential  équations, 
4  hours.  —  Prot.  F.  N.  Cole  :  Theory  of  groups,  3;  Invariants  and  higher 
plane  curves,  3,  first  half-vear.  —  Prof.  .lames  .Maclay  :  Theory  of  géomé- 
trie constructions,  3,  fîrst  half-year;  Elliptic  functions,  3,  first  half-year. 
—  prof.  C.  J.  Keyser  :  Modem  théories  in  geometry,  4  ;  Mathematics,  3, 
second  half-year.  —  Prof.  D.  E  S.mith  :  History  of  mathematics,  2.  — 
Prof.  Edward  Kasnkk  :  Seminar  in  differential  geometry,  2  (wilh  D""  C  A. 
Fischer!  ;  Theory  of  fiinctionals  and  intégral  équations,  3,  first  half-year. 
Prof.  ^^'.  B.  FiTE  :  Differential  équations,  3,  second  half-year.  —  Prof. 
H.   E.  IIawkks  :   Differential  geometry  of  rurves.  3,  second  half-year. 

Cornell  University  f//ArtCrtj.  —  Prof.  .1.  McMahon-  :  Theory  of  probabi- 
lilies,  3;  Introduction  lo  acluaiial  science.  3.  —  Prof.  V.  Snyi>ek  :  Projec- 
tive  geometry,  3.  —  Prof.  F.  R.  Suakpe  :  A'ector  aualysis  wilh  applications 
to  physics,  3,  first  terni.  —  Prof.  VV.  B.  Carveh  :  Elementary  theory  of 
groups.  3,  second  term  ;  Synopsis  of  higher  mathematics,  3  (with  D''  Sil- 
verman).  —  Prof.  A.  Ranum  :  Differential  Geometry,  3,  first  term.  —  Prof. 
D.  C.  GiLLESPiE  :  Advanced  calcuhis,  3.  —  Prof.  W.  A.  Hurwitz  :  Diffeiential 
équations  of  physics,  3.  —  Prof.  F.  C.  Craig  :  Fourier  séries  and  ihe  poten- 
lial  funclion,  3  :  Teacher»  course  in  mathematics,  3.  —  Prof.  F.  \\'.  Owens  : 
'  Mathemalical    physics,    3.    —    D'    L.    L.    Silver.man  :    Infinité    séries,    3.    — 


350  NOTES    ET    DOCUMENTS 

D""  J.  V.  McKelv£V  :  Algebraic  curves,  3.  —  M.  H.  Betz  :  Elemenlary  difîe- 
rential  équations,  3.  —   D""  M.  G.  Gaba  :  Theory  of  équations,  3,  first  term. 

—  D""  R.  E.  GiLMAN  :  Advanced  analytic  geometry,  3. 

Harvard  XinVfQVSily  {Cambridge.  Mass.).  —  Prof.  \V.  F.  Osgood  :  Ad- 
vanced calculus,  part  II,  second  teirn,  3  ;  Infinité  seiies  and  products,  3, 
first  term;  Theory  of  functions,  second  course,  3.  —  Prof.  M.  Bôchek  :  In- 
troduction to  modem  geometry  and  modem  algebra,  3;  Algebra,  3,  second 
term.  —  Prof.  C.  L.  Bouto.n  :  Elementary  differential  équations,  3,  second 
term  ;  Differential  Equations  and  Lies  theory,  3.  —  Prof.  J.  L.  Coolidgf.  : 
Subjetc  matter  of  elementary  mathematics,  3,  first  term  ;  Probability,  3, 
second  term  ;  Algebraic  plane  curves,  3.  —  Prof.  E.  V.  Huntington  :  Fun- 
damental  conceps  of  mathematics,  2,  first  term.  —  Prof.  H.  N.  Davis  :  Dy- 
namics. 3.  —  Prof.  G.  D.  BiRKHOFF  :  Vector  analysis,  3,  first  term  ;  Theory 
of  beat  and  elastic  vibrations,  3,  second  term  ;  Integra!  équations,  3,  first 
term.  —  Prof.  D.  Jackson  :  Advanced  calculus,  part  I,  3,  first  term  ;  Intro- 
duction to  potential  functions  and  Laplace's  équations,  first  term  ;  Deve- 
lopments  in  séries,  3,  second  term.  —  D""  G.  .M.  Green  :  Theory  of  func- 
tions, 3.  —  D""»  G.  M.  Gree.\  and  W.  LeR.  Hakt  :  Differential  Geometry,  3. 

—  D""  W.  LeR.  Hart  :    Introduction  to  celestial  niechanics,  3,  second  term. 

—  D"".  T.  A.  Piekce  :  Theory  of  numbers,  3.  first  term  ;  Algebraic  numbers, 
3,  second  term. 

Professor  Birkhoff  will  conduct  a  fortnightly  seminary  in  analysis. 

Courses  of  research  ai'e  also  offered  by  Professor  Osgood  in  the  theory 
of  functions,  by  Professor  Bôcher  in  the  real  solutions  of  linear  differential 
équations,  by  Professor  Bouton  in  the  theory  of  point  transformations,  by 
Professor  Coolidge  in  geometry,  by  Professor  Birkhoff  in  the  theory  of  dif- 
ferential équations,  by  Professor  Jackson  in  the  theory  of  functions  of  a 
real  variable  and  by  D""  Green  in  differential  geometry. 

University  of  Illinois  fUrbana,  III.).  —  Ail  courses  are  three  hours  for 
the  year  e.xcept  as  olherwise  indicated.  — -  Prof.  E.  J.  Towxsend  :  Functions 
of  a  complex  variable  ;  Differential  équations  and  advauced  calculus.  — 
Prof.  G.  A.  MiLLEK  :  Elemenlary  theory  of  groups  ;  Theory  of  équations 
and  déterminants  (first  semester).  —  Prof.  H.  L.  Rietz  :  Theory  of  statistics. 

—  Prof.  J.  B.  Shaw  :  General  algebra.  —  Prof.  C.  H.  Sisam  :  Algebraic  sur- 
faces ;  Solid  analytic  geometry  (second  semester).  —  Prof.  A.  E.mch  :  Pro- 
jective  geometry;  Constructive  geometry  (second  semester).  —  Prof.  R.  D. 
Carmichaei.  :  Theory  of  linear  différence  équations.  —  Prof.  A.  R.  Crat- 
HORNE  :  Theory  of  mathematical  instruments  (second  semester).  —  D""  E.  B. 
Lytle  :  Teacher  s  course  (two  hours,  first  semester)  ;  History  of  mathema- 
tics |t\vo  hours,  second  semester).    —    D""  A.  J.  Ke.mpner  :    .Modem  algebra. 

Johns  Hopkins  University  ( Baltimore l.  —  Prof.  F.  .Mori.ey  :  Higher  Geo- 
metry, 2  ;  Theory  of  functions,  2.  Prof.  A.  B.  Coble  ;  Modular  functions, 
2.  —  Prof.  A.  CouEN  ;  Differential  geometry,  2  ;  Theory  of  real  functions,  2. 

—  D''  H.  Bate.man  :  Differenlial  équations  of  physics,  2. 

University  of  Pennsylvania.  —  Prof.  E.  S.  CrawlivY  :  Higher  plane  curves, 
2.  —  Prof.  G.  E.  FisHER  ;  Functions  of  a  complex  variable,  2.  —  Prof. 
I.  J.  ScnwATT  :  Infinité  séries  and  products,  2.  —  Prof.  G.  H.  Hai.lett  : 
Finite  groups,  2.    —   Prof.  F.  H.  Safford  :  Partial  differential  équations,  2. 

—  Prof.  M.  J.  Babb  :  Theory  of  numbers,  2.  —  Prof.  G.  G.  Cha.mbers  : 
Synthelic  projeclive  geometry,  2.    —    Prof.  O.  E.  Glen>  ;  Calculus  of  varia- 


yoTES    ET   DOCUMENTS  351 

lions,  2,  second  semester.  —  Prof.  H.  H.  Mitchell  :  Algebraic  nuiubers,  2. 

—  Prof.  R.   L.  MooRE  :  P'undations  of  matliematics,  2.    —    D""  F.  W.  Beal  : 
Differenlial  geometry,  2. 

Princeton  University  —  Prof.  H.  B.  Fi.ne  :  Thcory  of  functious  of  il  com- 
plexe variable,  3.  —  Prof.  L.  P.  Eisenhart  ;  Projective  geometry,  3;  Cal- 
culiis  of  variations,  3,  first  terni.  —  Prof.  O.  Veblen  :  Seminar.  3.  —  Prof. 
E.  P.  Adams  :  Analylic  mechanics,  3.  —  D""  J.  W.  Alexander  :  Algebraic 
functions,  3.  —  D""  G.  A.  Pfeiffer  :  Theory  of  funclions  of  real  variables,  3. 

Yale  University  (A'ew  Hav'en.  Conn.).  —  Prof.  E.  W.  Bkow.n  :  Advanced 
calculus,  3;  Advanced  dynamics,  2.  —  Prof.  J.  Piekpont:  Theory  of  func- 
lions of  a  complex  variable,  2;  Elliptic  functions.  2.  —  Prof.  P.  F.  Smith: 
DiÉferenliai  équations,  2.  —  Prof.  W.  R.  Longley  :  Intégral  équations,  2. 
second  term  ;  Potential  theory  and  harmonie  analysis,  tirst  lerm.  —  Prof. 
E.  J.  Miles  :  Calculus  of  variations,  2.  —  Prof.  J.  I.  Tracy  :  Modem  ana- 
lylic geometry,  2.  —  D""  D.  F.  Barrow  :  Advanced  algebra,  2.  —  M.  W.  L. 
Crum  :  Statics  and  dynamics,  2.  —  M,  J.  K.  Whitte.moke  :  Dilfercntial  geo- 
metry, 2. 

FRANCE 

Paris;  Collège  de  France.  —  Hu.mbekt  :  Questions  diverses  concernant 
les  formes  quadratiques.  —  Hada.mard  :  Les  équations  linéaires  aux  déri- 
vées partielles  du  second  ordre.  —  Brillouin  :  Variations  de  latitude.  Con- 
séquences relatives  à  la  constitution  et  aux  mouvements  généraux  du  globe. 
Problèmes  dynamiques  qui  s'y  rattachent.  —  LA^•GEVI^  :  Principe  de  relati- 
vité et  les  théories  de  la  gravitation. 

ITALIE^ 

Bologna  ;  Univeisità.  —  Burgatti  :  Teoria  malematic;i  dei  fluidi,  3.  — 
DoiNATi  ;  Termodinamica  e  lermocinelica,  teoria  délia  radiazione.  3.  — 
E.NRiQUEs  :    Teoria  geometrica  délie  C(]uazioiii  e  délie  fiinzioui  algebriche,  3. 

—  PiNCHERLE  :    Teoria    delle    funzioni    analiliche  ;  I  vari  punti   di  vista   nella 
teoria  delle  equazioni  differenziali  iineari,  3. 

Catania  ;  L'nn-ersit/i.  —  CiPOLi.A  :  Teoria  dei  nuuieri  iicl  corpo  razionale 
e  in  un  corpo  quadratico  qualunquc  ;  Qucstioni  classiche  di  aritmetica  asin- 
totica.  —  Damele  :  Moti  vibratori  ;  Applicazioni  all'oltica,  4.  —  Scorza  : 
Geomelria  sopra  una  curva  algebrica  e  inlegrali  abeliani  con  particolare 
riguardo  al  caso  degli  inlegrali  riducibili,  3.  —  Severim  :  Teoria  delle 
equazioni  inlegrali,  4. 

Genova  ;  Uni\'ersità.  —  Levi  :  ...-.  —  Loria  :  Geometria  a  n  dimeusioiii, 
3.  —  Tedo.ne  :    Ouica  :  fenomeni  di  inlcrferenza  e  fenonieni  di  ditIVazionc,  3. 

Napoli  ;  Utm'ersilà.  —  A.modeo  :  Storia  delle  matemaliclie  :  Xewlou  e 
Leibniz.  3.  —  Dkl  Rk  :  Analisi  ad  n  dimensioni  di  Grassmanu  con  applica- 
zioui  ;  eil  in  particolare  :  analisi  veltoriale  ad  n  dimensioni,  4  '/,.  —  Marco- 


'  Les  cours  fondamentaux  lanalyse  algél)ri([iie  et  infinitésimale,  gi-ométrie  analvlique. 
projective  et  descriptive,  mécanique  rationnelle),  existant  dans  toute  université,  ne  Ggiirent 
pas  dans  la  liste. 

'  II  se  trouve  au   front  et  n'a  pas  annoncé  son  cours. 


352  NOTE  ^    ET    DOCUMENTS 

LONGO  :  IdrocUnamica,  3.  —  Momtesano  :  La  tooria  délie  trasformazioni  bira- 
zionali  dello  spazio  ;  Le  Irasformazioiii  di  Kantor;  Le  superficie  razionali 
di  40  e  5°  oïdiiie,  3.  —  Pascal  :  Capitoli  scelti  di  analisi,  3.  —  Del  Pezzo  : 
Délie  trasformazioni  cremoiiiaiie  Ira  piani,  o  tra  spazi,  con  applicazioni  allo 
studio  délie  singolarilà  délie  curve  e  délie  superficie  ed  alla  rappresenla- 
zioue  piana  délie  superficie,  3.  —  Pinto  :  Elettroslatica  e  maçrnetismo  con 
parlicolare  riguardo  alla  teoria  délie  immagini  elettriclie  ed  alla  leoria  dei 
dieletlrici,  3. 

Padova  ;  Universilh.  —  d'Akcais  :  Funzioni  armoniclie  e  poliarmoniche  : 
Questioni  varie  concerneuli  la  teor-ia  délie  equazioni  a  derivate  parziaii,  4.  — 
CoMEssATTi  :  Introduzione  alla  geometria  algebrica.  3.  —  Levi-Civita  : 
Idrodinamica,  4.  —  Ricci  :  Calcolo  differenziale  assoluto  con  applicazioni 
alla  teoria  dell' elasticità,  4.  —  Severi  :  Geometria  difTereuziale,  4.  — 
To.NOLO  :  Equazioni  aile  derivate  parziaii  del  2"  ordine,  3. 

Palermo  ;  InUersità.  — Bagnera  :  Equazioni  difTerenziali  di  primo  ordine 
e  calcolo  délie  variazioni,  3.  —  De  Franchis  :  Geometria  non-enclidea  e 
generalità  di  geometria  difTereuziale,  3.  —  Gebbia  :  Teoria  dell' elettricilà  e 
del  magnetisnio  (2»  parle),  4  '/«.  —  Sig.norim  :  Teoria  dell' elasticità,  4. 

Pavia  ;  Uni\'ersità.  —  Bkhzolaki  :  Geometria  iperspaziaie,  3.  —  Cisotti  : 
Elellrodinamica,  3.  —  Gerbaldi  :  Funzioni  di  variabile  complessa  e  teoria 
délie  funzioni  elliuiclie,  3.    —    Vivanti  :  Teoria  délie  equazioni  inlegrali,  3. 

Pisa  ;  UnU'ersitn.  —  Bertini  :  Geometria  proietliva  degli  iperspazi,  3.  — 
BiANCHi  :  I|  Teoremi  di  esisfenza  nella  teoria  délie  equazioni  difTerenziali  e 
a  derivate  parziaii;  II)  Applicazione  alla  geometria  infinitésimale  délie  curve 
e  délie  superficie,  ^  '/,.  —  Dini  :  Studi  sulle  série  con  parlicolare  riguardo 
aile  série  divergent!  e  ai  vari  concetti  che  si  «ono  introdotti  nelia  somma  di 
queste  série,  4  */o  —  Maggi  :  Argomenti  vari  attinenti  alla  dinamica  dei 
sistemi  continui,  4  '/«  —  Pizzetti  :  Generalità  di  astronomia  sferica  ;  Deter- 
niinazione  di  uu'orhila  ellittica  :  Interpolazione  ;  Melodo  délia  variazione 
délie  costanti  arbitrarie  e  teoria  délie  perlurbazioni,  4  ".,. 

Roma  ;  Unii-ersità .  —  Bisconcini  :  Applicazioni  geonietiiche  e  cinematiche 
del  calcolo  infinitésimale,  3.  —  Castf.i.nuovo  :  Curve  algebriche  piane  e 
sghembe,  3.  —  Crudeli  :  Teoria  aiitmetica  délie  forme  algebiiche  binarie 
e  lernari'e.  3.  —  Silla  :  Equazioni  difTerenziali  délia  dinamica.  3.  —  Vol- 
terra  :  Teoria  délia  rotazione  dei  corpi  dotati  di  moti  poiiciclici  inierni.  e 
il  problema  délia  variazione  délie  latitndini,  3;  Termodinamica  e  applica- 
zioni dclla  termodinamica  ;  Teoria  dcgli  esplosivi.  3. 

Torino  ;    l'nii-ersità .  —  Boggio  :   Lezioni  sull' idrodinamica.  3.    —    Fibim: 
Funzioni  abeliane,  eilitliche,  modnlari,  3.  —  Segre  :  Applicazioni  degli  inle- 
grali abeliani  alla  geometria,  3.  —  Somkm.iana  :  Elasticità  ed  ottica,  3. 

SUISSE 

Semestre  dhiver   hti:-|9l8. 

Bàle,  L'nii'ersité.  —  E.  Hkcke  :  DidVrential-  und  Integralredinnng  I,  4  ; 
Uebgn.,  1;  Zalilentlieorie.  4;  Seminar  mit  Prof.  Spiess,  1.  —  O.  Spiess  : 
Analylische  Géométrie  (fiir  Anfanger),  3;  GrnndbegrilTe  der  ^L^lhemafik 
(fiir  Yorgerûckte),  4;  Gescliiclile  i\cv  .Matlieniatik,    l;  Malbeni.  Seminar,  mit 


^U^     cJit 

NOTES    ET    DOCUMENTS  363 

Prof.  Hecke,  1. — R.  Flatt  :  Padag-,  Semiiiar,  nialh.-naturwiss.  Abteilung  I, 
3;  Projektive  Géométrie,  2.  —  M.  Kkapp  :  Aslrophysik,  2;  Allg.  Chro- 
nologie, 1:  Populare  Astroiioiiiie  ;  Monde,  1;  Astronomisclie  Uebgn.,  fur 
Anfangei-,  2  ;  fur  Vorgeriicktere,  U.  —  ^^^  MATTHits  :  Matliematisch-phy- 
sikalisches  Seminar,  2. 

Berne,  l'ni\'ersilé.  —  Graf  :  Kugelfunklioneu,  mit  Rcpel.  I,  4;  Bessel- 
sclie  Fiinktionen  mit  Repet.  II,  4;  Integralrerhnung  mit  Repet.,  3;  Funk- 
tionenlheorie  I,  2  ;  Di(Terentialgleichangcn  II,  2  ;  Renlen-  uiid  Versicherungs- 
rechnung  I,  2  ,  Math,  Seminar,  mit  Prof,  Huber,  1  '/q.  —  G.  Huber  : 
Mechanik  des  Himmels,  2;  Alg.  Fliichen,  3;  Fourier  sche  Reilien  mit  An- 
wendungen,  2;  Math.  Seminar  (geoni.  Richtung)  mit  Prof.  Graf,  1.  —  Ott  : 
Algebrîiisclie  Analysis  11,2;  Sphiirische  Trigonométrie  mit  Anwendungen,  2  ; 
Inlegralrechnung,  1  ;  Analytische  Géométrie  II,  2.  —  Bentki.i  :  Darsleilende 
Géométrie,  Kurveu,  Strahlenflâchen,  reguliire  Polyeder,  2;  Darsleilende 
Géométrie,  Uebgn,  und  Repet.,  2;  Praktische  Géométrie  I.  1,  —  Mauderli  : 
Unterrichtsfragen  ans  dem  Gebiete  der  Astronomie  der  mathem.  Géogra- 
phie, 1  7-)  ''  Astron.  und  topogr.  Ortsbestimmung  fur  Geologen  und  For- 
schungsreisende,  1  ;  Der  Bau  des  Universums  im  Lichte  neuester  For- 
schuug,  1  '/2-  —  P*^-  ^'i-  HuBEK  :  IS'atûrliche  Géométrie,  1  ;  Ebene  Kurven 
3,  Ordnung,  1.  ■ —  Prof.  Ckk.i.ier  :  Synthetische  Géométrie,  III;  il  Dimen- 
sionale  Géométrie.  —  Pd.  B^rliner  :  Hôhere  Algebra  (  Fortsetzung),  1  '/g. 
—  Prof.  MosEK  :  Mathem,  Untersuchungen  betrelfend  Wilwen-  und  Waiseu- 
kassen.  Ausgew.  versicherungswissenschaftliche  Kapitel,  1  'A,  :  Mathema- 
tisch-versicherungswissenschaftiiehes  Seminar,  1  ^j.-,.  —  Pd.  Bohren  :  Poli- 
tische  Arithmetik,  2  ;  Méthode  der  kleinsten  Quadrale,  2. 

Fribourg,  Université.  —  Plancherel  :  Calcul  différentiel  et  intégral,  4; 
Exercices,  1  ;  Algèbre  supérieure,  3.  —  Damëls  :  Analyt.  Géométrie,  1,  4  ; 
Uebgn.,  \  ;  Mécanique  analylicjue,  4;  Théorie  des  fonctions,  3. 

Genève,  Uni^-ersité.  —  C.  Cailler  :  Calcul  diff.  et  intégr.,  3  ;  Exercices,  2; 
Mécanique  rationnelle,  3;  Exercices,  2;  Conférences  d'analj'se  :  Théorie  des 
fonctions  analytiques,  2.  —  H.  Fehr  :  Eléments  de  mathématiques  supé- 
rieures, 3;  Compléments  d  algèbre  et  de  géométrie,  1  ;  E.xercices,  2;  Géo- 
métrie projective,  1  ;  Conférences  de  géométrie  supérieure,  2  ;  Séminaire  de 
mathématiques  élémentaires.  Chapitres  choisis  de  méthodologie  et  de  didac- 
tique mathématiques,  1.  —  R.  Galtiek  :  Astronomie  mathématique  géné- 
rale, 2  ;  Climatologie,  2.  —  G.  Tiercy  :  Balistique  extérieure. 

Privat-docents  :  Alph.  Beknoud  :  Les  méthodes  graphiques  dans  les 
sciences  (courbes  et  abaques),  1.  —  G.  Tiercy  :  Théorie  des  réseaux  ortho- 
gonaux, 1. 

Lausanne,  Universilé  et  Ecole  d'ingénieurs.  —  A.mstein  :  Théorie  des 
fonctions,  3  ;  Complément  de  calcul  intégral,  2.  —  G.  Du.mas  :  Calcul  diff.  et 
intégrai,  I,  6;  Exercices,  I,  2;  Exercices  pour  étudiants  avancés,  2;  Sémi- 
naire mathématique,  1.  —  M.  Laco.mbe  :  Géométrie  desci-iptive,  4  ;  Epures, 
4;  Géométrie  an.ilytique,  2;  Géométrie  de  position  avec  exercices,  3.  — 
M.  Mayor  :  Mécanique  rationnelle,  I.  4;  Exercices,  I  ;  Physique  mathéma- 
tique, 2.  —  M.  Maillard  :  Calcul  infinitésimal,  avec  applications  aux 
sciences,  4;  Astronomie  sphérique,  3;  Mécanique  rationnelle,  2.  —  S.  Du- 
mas :  Calcul  des  probabilités,   II,  3. 

Prival-docents  :  Ch.  Jaccottet  :  Chapitres  choisis  de  la  théorie  des  fonc- 
tions, 2.  —  M.  Paschoud  :  Introduction  à  la  physique  matiiématique,  2. 

L'Enseignement  ninthém.,    19*  annexe;   1917.  23 


364  NOTES    ET   DOCUMENTS 

Neuchàtel,    Université.  —  L.-G.  Du  Pasquif.r  :  Calcul  diff.  et  intégral,  3; 
Equations    ditrérenlielles  ;    Théorie   des    groupes    de    transformation,   II,  2 
Exercices  de  mathématiques,  2;  Introduction  à  la  science   actuarielle.  1.   — 
L.  Gabiîrel  :  Géométrie  analytique.  2;  Théorie  des  fonctions  analytiques,  2. 

—  E.  Le  Grand  Roy  :  Astronomie  sphérique,  2  ;  Exercices,  1  ;  Météoro- 
logie, 1;   Astronomie  (cours  sup.)  :    Chapitres  choisis,  1. A.  Jaquerod  ; 

Mécanique  rationnelle,  2. 

Privat-docenis  :  11.  Strœle  :  Méthode  des  moindres  carrés  et  théorie  des 
erreurs,  1.  —  L.  Arndt  :  Introduction  à  l'astrophysique,  1. 

Zurich,  Université.  —  Prof.  Fueter  :  Einfùhrung  in  die  mathem.  Behand- 
lung  der  Nalurwissenschaften,  3;  Uebgn.,  1  ;  Funktionenlheorie,  3;  Mathem. 
Seminar  mit  Prof.  Speiser.  1.  —  Prof.  Speiser  :  Differenlial-  und  Integral- 
rechnung  I,  4;  Uebgn.,  1;  Synfhetische  Géométrie.  3;  Integralbegriff,  1. — 
Privatdoz.  Beknays  :  Théorie  der  trigonom.  Keihen,  3.  —  Prof.  Wolfer  : 
Einleitnng  in  die  Astronomie,  2;  Uebgn.,  2;  Théorie  der  Fiusternisse,  2. 

Zurich,  Ecole  polytechnique  fédérale;  section  normale.  —  Hirsch  :  Hôh. 
Mathemalilc  I,  6  ;  Repet.,  1,  Uebgn.,  2  ;  III.  3  ;  Uebgn.,  1.  —  Franel  :  Mathé- 
matiques supérieures  I,  6;  Répét.,  l  ;  Exercices,  2;  III,  3;  Exercices,  1.  — 
Grossmann  :  Darstell.  Géométrie,  4;  Repet.,  1,  Uebgn.,  4;  Projekt.  Géo- 
métrie, 4.  —  Weyl  :  Analyt.  Géométrie,  2;  Uebgn.,  1.  —  Kollros  :  Géo- 
métrie descriptive,  4;  Répét.,  1;  Exerc,  4;  Géométrie  de  position,  3; 
Exerc,  1.  —  Meissner  :  Mechanik  II,  4;  Repet.,  1  ;  Uebgn.,  2.  —  Hurwitz  : 
Alg.  Gleichungen,  4.  —  Hurwitz  und  Weyl  :  Math.  Seminar,  2.  —  Weyl  : 
Ausgew.  Kapitel  der  Géométrie,  4  ;  Logische  Grundlagen  der  Malhemalik, 
1.  —  Meissner  :  Ausgew.  Kapitel  der  Mechanik,  2.  —  B^schlin  :  Vermes- 
sungskunde  ;  Hôh.  Geodiisie,  3;  Repet.,  I.  —  Wolfer:  Einleitung  in  die 
Astronomie,  3;  Uebgn.,  2;  Théorie  der  Fiusternisse,  2.  —  A.mberg  :  Math, 
der  Pensionsversicherung,  2.  —  Brandenberger  :  Einfùhrung  in  den  math, 
naturw.  Unterricht  I,  2.  —  Pôlya  :  Wahrscheinlichkeit  u.  Ausgleichungs- 
rechnung,  2. 

Cours  libres.    —    Amberg  :    Mathem    Problème  der  Sozialversicherung,  1. 

—  Beyel  :  Rechenschieber  mit  Uebungen,  1  ;  Darstellende  Géométrie,  2  : 
Projektive  Géométrie,  1.  —  Gonseth  :  Birationale  Transformationen,  2  ; 
Calcul  graphique,  II,  2.  —  J.  Keller  :  Ebene  und  riiumliche  collineare  Sys- 
tème mit  Anwendung  auf  Kurven  und  Flachen  II.  Grades,  2.  —  Kienast  : 
Besselsche  Funktioneu,  2.  —  Kraft  :  Die  Grundkràfle  der  Welt,  1  ;  Geo- 
raetrische  Analysis,  3  ;  Mechanik  der  deformierbaren  Système  mittelst  der 
geomelrischen  Analysis,  3.  —  Pôlya  :   Mathemalische  Spiele.  1. 


BIBLIOGRAPHIE 


Index  du  Répertoire  bibliographique  des  Sciences  mathématiques.  3«  édi- 
tion. —  1  vol.  in-8",  115  p.,  H.  G.  Delsmaii,  Amsterdam  ;  Gauthier-Vil- 
lars  &  Oe,  Paris,  1916. 

La  Société  mathéaiatique  d'Amsterdam  a  fait  paraître  une  troisième  édi- 
tion de  r«  Index  du  Répertoire  bibliographique  des  Sciences  mathéma- 
tiques ».  Cette  nouvelle  édition  contient  des  améliorations  destinées  à  faci- 
liter toujours  plus  la  classification  des  mémoires.  La  Rédaction  et  les  nom- 
breux collaborateurs  de  la  Revue  semestrielle  des  publications  mathéma- 
tiques rencontraient  eu  effet  souvent  de  sérieuses  difficultés,  notamment 
pour  les  mémoires  se  rattachant  à  la  théorie  des  fonctions  (classe  D). 

La  consultation  de  l'Index  et  de  la  Revue  semestrielle  est  largement  faci- 
litée par  la  Table  alphabétique  très  détaillée  qui  termine  l'Index.  Il  faut 
savoir  gré  à  la  Société  mathématique  d'Amsterdam  du  soin  qu'elle  ne  cesse 
d  apporter  à  ces  publications.  H.   F. 

Mathematische  Bibliothek.  Gemeinverstandliche  Darstellungen  ans  der 
Elemeutar-Mathematik  lûr  Schule  u.  Leben.  Unler  Mitwirkung  von  Fach- 
geuossen  herausgegeben  von  D""  W.  Lietz.mann  u.  D''  A.  Witti.ng.  N^^  3  et 
10,  2^  édition;  n"s  25  et  26.  —  Petits  volumes  cartonnés  de  50  à  70  p  ; 
M.  0,80  le  volume  ;  B.  G.  Teubner,  Leipzig. 

Cette  collection  de  monographies  a  déjà  été  signalée  à  nos  lecteurs.  Elle 
a  pour  but  de  vulgariser  les  mathématiques  dans  le  public  des  gens  cul- 
tivés n'ayant  pas  poursuivi  leurs  études  mathématiques.  Elle  s'adresse  aussi 
aux  élèves  de  l'enseignement  moyen  et  à  tous  ceux  qui  enseignent  les  élé- 
ments de  malhématicjues. 

Deux  des  monographies  viennent  de  paraître  en  '2«  édition,  revue  et  com- 
plétée. Ce  sont  les  suivantes  : 

N»  3.  LiETZMANN,  Der  Pythagorische  Lehrsatz.  —  Le  théorème  de  Pytha- 
gore,  sa  démonstration,  les  nombres  de  Pythagore,  le  problème  de  Fermât, 
bibliographie  concernant  les  objets  mentionnés  ci-dessus. 

N»  10.  LiETZ.MAN.N  u.  Trier.  Wo  stcckt  der  Fehler  ?  —  Où  est  l'erreur  ?  Il 
s  agit  des  erreurs  de  raisonnement  ou  de  calcul  que  commettent  souvent  les 
élèves  en  Arithmétique,  en  Algèbre  et  en  Géométrie. 

La  collection  vient  de  s'augmenter  de  deux  nouveaux  volumes  : 

No  25.  LiETZMANN.  Riescti  u.  Zwerge  im  Zahlenreich.  —  Nombres  très 
grands  et  nombres  très  petits.  Exemples  et  curiosités  empruntés  aux  do- 
maines les  plus  divers. 

No  26.  B.  Kekst.  Methoden  zur  Lûsung  geometrischer  Aufgaben.  —  Ex- 
posé de  méthodes,  nombreuses  et  variées,  en  usage  dans  la  résolution  des 
problèmes  de  Géométrie  élémentaire. 


366  BIBLIOGRAPHIE 

H.  F.  Blichfkldt.  —  Finite  CoUineation  Groups,  wilh  an  Introduction  le 
the  Theory  of  Groups  of  Operalors  and  Substitution  Groups.  (ïhe  Uni- 
versity  of  Chicago  Science  Série).  —  1  vol.  in-16,  19'i  p.,  relié,  1  D.  ;  The 
Universify  of  Chicago  Press,  111. 

L  Ens.  math,  a  déjà  signalé  l'ouvrage  intitulé  Theory  and  Applications  of 
Finite  Groups,  publié  par  MM.  Miller.  BlichCelHt  et  Dickson.  Dans  ce  vo- 
lume, M.  BlifhCeldt  s'est  proposé  d'établir  d'une  façon  indépendante  la 
théorie  des  groupes  linéaires,  hes  propriétés  qui  eu  forment  aujourd'hui  la 
base  sont  dispersées  dans  un  grand  nombre  de  travaux  dont  les  premiers 
remontent  à  l'année  1876  (mémoire  de  Klein).  Le  nouvel  exposé  ne  fait  pas 
double  emploi  avec  celui  que  M.  Blichfeldt  a  consacré  à  la  théorie  des 
gi'oupes  linéaires  dans  l'ouvrage  rappelé  ci-dessus.  Tout  en  le  complé- 
tant en  de  nombreux  points,  il  peut  être  abordé  directement  sans  connais- 
sance préalable  de  la  technique  de  la  théorie  des  groupes.  Il  fournil  en 
même  temps  une  bonne  introduction  à  la  théorie  des  groupes  d'opérations 
et  des  groupes  de  substitutions. 

La  marche  suivie  ressort  de  1  énumération  des  chapitres,  au  nombre  de 
huit  : 

Propriétés  élémentaires  des  groupes  linéaires.  —  Groupes  d'opérations 
et  groupes  de  substitutions.  —  Groupes  linéaires  à  deux  variables.  — 
Théorie  des  groupes  linéaires.  —  Groupes  linéaires  à  trois  variables.  — 
Caractéristiques.  —  Groupes  linéaires  à  quatre  variables.  —  Historique  et 
applications  des  groupes  linéaires. 


E.  BucHEKER.  —  Grundzûge  der  mathematischen  Géographie.  —  1  broch. 
in-8o,  40  p.;  G.  Krebs,  Bàle,  1917. 

H.  Stohler.  —  Mathematische  Géographie  u.  sphàr.  Trigonométrie.  Als 
ein  einheitlicher  Lehrgang  ausgearbeitet.  —  1  vol.  In-S»,  96  p.,  relié,  avec 
46  fig.  et  2  planches;  Basler  Druck  u.  Verlags-Anstalt,  Bàle.  1916. 

En  Suisse  la  Cosmographie  ne  fait  pas  toujours  lobjet  d  un  enseignement 
spécial  dans  les  établissements  secondaires  supérieurs.  Ce  n'est  guère  le  cas 
que  dans  les  écoles  de  la  Suisse  romande  et  dans  le  Tessiu.  Ailleurs  les 
différentes  parties  de  la  Cosmographie  se  trouvent  réparties  entre  la  Géo- 
graphie, la  Physique  et  la  Trigonométrie  sphérifjue,  à  laquelle  on  rattache 
quelques  chapitres  de  Géographie  mathématique.  En  suivant  cette  voie,  le 
professeur  dispose  d'une  source  précieuse  de  problèmes  très  variés  dont  il 
augmente  encore  l'intérêt  en  les  rattachant  à  quelques  observations  faites 
en  plein  air  ou  dans  un  observatoire. 

C'est  ainsi  que  l'on  procède  à  Bàle,  au  Gymnase  classique  et  à  l'Ecole 
réale  supérieure  iGymnase  scientifique).  La  première  brochure,  celle  du 
professeur  Bucherei-,  est  un  résumé  des  leçons  de  Géographie  mathéma- 
tique faites  au  Gymnase  classique.  Elle  a  été  rédigée  pour  les  élèves  dans 
le  but  d  éviter  la  dictée  d'un  cours.  Il  sufllt  que  les  élèves  aient  sous  une 
forme  concise  les  notions  les  plus  indispensables.  La  brochure  ne  contient 
aucun  dessin,  les  figures  devant  être  faites  pendant  les  leçons,  sous  la  di- 
rection du  maître. 

Cet  abrégé  comprend  quatre  parties  :  Les  phénomèties  célestes.  —  Les 
systèmes  du  monde.  —  Le  système  solaire.  —  Les  étoiles  fixes. 

Le  livre  de  M.  Stohler  correspond    à    l'enseignement   donné   au    Gymnase 


BIBLIOGRAPHIE  367 

scientifique.  C'est  plus  qu'un  abrégé  :  c'est  un  manuel  accompagné  de 
figures,  de  cartes  célestes  et  de  tableaux  numériques.  Il  traite  des  objets 
suivants  : 

Détermination  d  un  point  sur  la  sphère  céleste;  problèmes  et  construc- 
tions. —  Description  du  ciel  ;  orientation.  —  Trigonométrie  sphérique.  — 
Mesure  des  temps.  —  Problèmes  empruntés  à  1  Astronomie  sphérique.  — 
Le  système  du  monde.  —  Tables. 

Comme  on  le  voit,  c'est  une  fusion  complète,  dans  un  même  enseignement, 
des  éléments  de  Trigonométrie  sphérique  et  des  notions  de  Cosmographie 
limitées  aux  méthodes  de  mesures  et  d'observations  qui  peuvent  être  mises 
à  la  portée  des  élèves  d'un  gymnase  scientifique.  S  il  est  vrai  que  ce  pro- 
gramme dépasse  sensiblement  celui  que  Ion  rencontre  généralement  dans 
l'enseignement  secondaire,  il  présente,  par  sa  méthode  d'exposition,  le  grand 
avantage  de  vivifier  les  leçons  et  de  montrer  la  portée  des  mathématiques 
dans  un  champ  très  vaste  d'applications  utiles,  non  seulement  à  l'astronome, 
mais  encore  aux  marins  et  aux  aéronautes. 

Ajoutons  qu'à  Bàle  on  procède  d'une  manière  analogue  pour  la  Trigono- 
métrie plane  avec  ses  applications  élémentaires  au  levé  des  plans  basées 
sur  des  mesures  prises  efFectivement  sur  le  terrain. 

Ce  court  aperçu  montre  que  dans  la  patrie  d  Euler  et  des  Bernoulli  on  est 
loin  des  méthodes  livresques  et  des  problèmes  au  millième  de  seconde  qui 
ne  sont  encore  que  trop  répandus  dans  l'enseignement  secondaire. 

H.  F. 

H.  S.  Carslaw.  —  The  Eléments  of  non-euclidean  Plane  Geometry  and 
Trigonometry.  (Longmans'  Modem  Mathematical  Séries.)  —  1  vol.  in-16, 
17y  p.  ;  relié,  5  sh.  ;  Longmans,  Green  and  C'\  Londres. 

Il  est  indispensable  que  les  maîtres  de  l'enseignement  moyen  se  rendent 
bien  compte  de  la  portée  du  postulat  d'Euclide  et  de  ce  que  devient  la  Géo- 
métrie si  l'on  renonce  à  ce  postulat.  C'est  à  ce  point  de  vue  que  s'est  placé 
l'auteur.  Son  ouvrage  s'adresse  aux  professeurs  de  géométrie  élémentaire, 
aux  candidats  à  l'enseignement  moyen  et  aux  étudiants.  Après  avoir  exposé 
brièvement  les  travaux  les  plus  importants  de  Saccheri.  Legendre,  Gauss, 
Bolyai,  Lobatschewsky  et  Riemann  sur  le  postulat  des  parallèles,  il  exa- 
mine les  éléments  de  la  Géométrie  plane  et  de  la  Trigonométrie  lobat- 
schewskiennes  (ou  hyperbolique),  de  la  Géométrie  plane  et  de  la  Trigo- 
nométrie riemannienne  (elliptique). 

Suivant  le  but  qu'il  s'est  proposé,  l'auteur  s'est  borné  aux  notions  fonda- 
mentales. Présentées  avec  clarté  et  précision,  ces  notions  constituent  une 
excellente  introduction  à  l'étude  des  travaux  classiques  sur  la  théorie  des 
parallèles  et  les  géométries  non-euclidiennes.  H.  F. 

Duilio  Gir.i.i.  professoie  al  R.  Liceo  di  Pavia.  —  Lezioni  di  Aritmetica  e 
di  Algebra  elementare,  ad  uso  délie  scuole  secoudarie  superiori.  — 1  vol. 
p.  in-8",  .Mattei  &  C",  Pavie. 

Dans  la  première  partie  de  cet  ouvrage,  publié  en  juin  1914,  l'auteur 
traite  des  cinq  premières  opérations  de  l'arithmétique,  des  progressions, 
de  la  numération  décimale,  des  proportions  et  des  fractions  décimales  pé- 
riodiques. Voulant  éviter  l'écueil  de  présenter  l'arithmétique  comme  un  jeu 
de  signes,  il  base  ses  déductions  sur  des   propositions  concoruanl  des  col- 


368  BIBLIOGRAPHIE 

lections  d'objets  ;  l'étude  des  proportions  est  précédée  de  copieuses  consi- 
dérations sur  les  grandeurs  continues  ;  le  nombre  0  est  l'objet  d  un  soin 
particulier. 

Tout  eu  rendant  hommage  à  l'effort  de  pensée  de  M.  le  prof.  Gigli,  nous 
avouerons  que  la  concision  n'est  pas  toujours  la  qualité  maîtresse  de  ses 
explications  et  démonstrations  ;  cela  tient  peut-être  au  point  de  vue  auquel 
il  a  voulu  se  placer.  Son  ouvrage  sera  lu  avec  intérêt  par  les  maîtres  de 
mathématiques  ou  les  instituteurs  déjà  au  courant  de  l'arithmétique  générale. 

Lucien  Baatard  (Genève). 

M.  Grossmann.  —  Elemente  der  darstellende  Géométrie  (Teubners  Leii- 
faden  fur  den  mathem.  u.  techn.  Hochschulunterricht).  —  1  vol.  p.  in-S". 
84  p.,  2  M.;  B.   G.  Teubner,  Leipzig. 

Ces  Eléments  de  Géométrie  descriptive  font  partie  de  la  Collection  des 
Abrégés  Teuhner  destinés  aux  étudiants  de  l'enseignement  supérieur  univer- 
sitaire et  technique.  Ils  forment  une  introduction  à  l'ouvrage  publié  par  le 
professeur  de  Zurich  dans  la  même  collection  sous  le  titre  de  Géométrie 
descriptive. 

Ces  éléments  comprennent  : 

\.  La  projection  orthogonale  sur  un  plan.  —  II.  La  projection  orthogo- 
nale sur  deux  plans  rectangulaires.  —  III.  Les  prismes  et  les  pyramides, 
avec  les  problèmes  sur  les  intersections  de  polyèdres.  —  IV.  Les  corps 
ronds. 

Conformément  au  but  de  la  collection,  l'auteur  s'est  borné  aux  notions 
fondamentales  ;  il  les  présente  sous  une  forme  claire  et  concise.  Ses  deux 
petits  manuels  constituent  un  excellent  guide  dans  une  première  étude  de 
Géométrie  descriptive. 


Maurice  Lecat.  —  Bibliographie  du  Calcul  des  variations  I.  Depuis  l'ori- 
gine jusqu'à  1850  ;  92  p.,  4  fr.  50.  —  II.  De  1850  à  1913  ;  113  p.,  4  fr.  — 
2  fasc.  in-8o,  Ad.  Hoste,  Gand  ;  A.  Hermann  &:  lils,  Paris. 

A  la  suite  du  développement  considérable  qu  a  pris  le  calcul  des  varia- 
tions depuis  une  vingtaine  d'années,  il  a  paru  utile  de  faire  une  bibliogra- 
phie aussi  complète  que  possible  des  travaux  parus.  Les  listes  élablies  par 
M.  Lecat  comprennent  les  travaux  qui  utilisent  le  calcul  des  variations  et 
ceux  qui  s'y  rattachent.  Chacun  des  deux  fascicules  comprend  deux  listes  : 
l'une  par  ordre  alphabétique  des  noms  d'auteurs  avec  les  titres  (accompa- 
gnés, s'il  y  a  lieu,  de  la  traduction  française)  des  mémoires  ou  des  ouvrages  ; 
l'autre,  où  les  indications  sont  abrégées,  est  rédigée  suivant  un  classement 
à  peu  près  chronologique. 

Le  fascicule  1  donne  en  outre,  dans  l'ordre  alphabétique,  les  titres  de 
recueils  cités,  avec  l'indication  des  tomes,  accompagnée  elle-même  des  nu- 
méros d'ordre  des  articles  qui  y  sont  contenus. 

L'auteur  a  établi  une  statistique  des  numéros  cités.  On  constate,  pour  la 
période  qui  précède  1850.  qu'il  y  a  trois  fois  plus  de  mémoires  écrits  en 
langue  française  qu'en  allcniand. 

Ce  travail  bibliographi(jue  sera  bJL'u  accueilli  du  public  nialhématique.  11 
est  appelé  à  rendre  de  grands  services  à  tous  ceux  qui  soccnpeiil  du  calcul 
des  variations. 


BIBLIOGRAPHIE  369 

Ch.  Michel.  —  Cours  d'Algèbre  et  d'Analyse.  —  1  vol.  gr.  in-S»  de  x-860  p. 
et  91  fig.,  avec  3i5  exercices  et  problèmes  proposés.  18  fr.  ;  F.  Alcau, 
Paris,  1916. 

Voici  un  ouvrage  dense  et  volumineux  qui  fait,  à  coup  sûr,  grand  honneur 
à  l'érudition  de  son  auteur.  Le  plan  adopté  est  déjà,  à  lui  seul,  uue  chose 
tort  remarquable,  et  je  m'expliquerai  mieux  à  ce  sujet  en  reproduisant 
d'abord,  comme  suit,  les  titres  des  chapitres. 

I.  Nombres  irrationnels,  limites,  continuité.  —  II.  Fonctions  puissance, 
exponentielle  et  logarithmique.  —  111.  Fonctions  circulaires.  —  IV.  Poly- 
nômes. Fractions  rationnelles.  Développements  limités.  —  V.  Analyse  com- 
binatoire.  Binôme  de  Newton.  Fonctions  symétriques  rationnelles.  —  VI. 
Déterminants.  Equations  linéaires.  F'ormes  linéaires.  —  Vil.  Nombres  ima- 
ginaires. —  VIll.  Dérivées  et  différentielles.  —  IX.  Applications  de  la 
théorie  des  dérivées  à  l'étude  des  équations  et  des  fonctions.  —  X.  Equa- 
tions entières.  —  XI.  Calcul  intégral.  —  XII.  Applications  géométriques  du 
Calcul  intégral.  —  XIll.  Séries  numériques.  —  XIV.  Séries  entières.  — 
XV.  Equations  différentielles. 

Le  premier  chapitre  semble  s  inspirer  notablement  de  la  Théorie  des 
nombres  irrationnels,  des  limites  et  de  la  continuité  publiée  par  M.  René 
Baire  en  1905  (Vuibert  &  Nony,  Paris). 

Le  second  étudie  x"  ,  soit  comme  fonction  de  x  soit  comme  fonction  de  n, 
ce  qui  explique  pourquoi  lexponentielle  apparaît  ici  avant  ces  assemblages 
de  termes  en  x"  que  sont  les  polynômes.  Quant  aux  fonctions  circulaires, 
sans  présager  en  rien  de  leur  nature  analytique,  on  peut  cependant  voir,  ne 
serait-ce  que  parleurs  formules  d  addition,  qu'elles  sont  suffisamment  appa- 
rentées à  la  fonction  exponentielle  pour  être  étudiées  immédiatement  à  la 
suite  de  celle-ci. 

Avec  l'étude  des  polynômes,  il  faut  signaler  celle  des  développements 
limités  tels  que 

«0  +  «I  +  «2-^'  +  •••  +  «„•»■"  +  -•*""  : 

l'idée  se  présente  de  manière  intéressante  comme  amorce  propre  à  unir  les 
polynômes  aux  séries  entières. 

Les  fonctions  symétriques  rationnelles  sont  étudiées  naturellement  au 
moyen  des  fonctions  symétriques  élémentaires,  mais  celles-ci  sont  consi- 
dérées indépendamment  de  la  théorie  des  équations  algébriques. 

La  notion  de  dérivée  est  élégamment  présentée  avec  interprétation  géo- 
métrique à  l'appui;  elle  est  immédiatement  suivie  de  l'élude  de  la  dérivée 
partielle.  Les  théorèmes  de  Rolie  et  des  accroissements  finis  sont  aussi 
appuyés  géométriquement  et  le  dernier,  convenablement  généralisé,  conduit 
à  la  formule  de  Taylor  avec  son  reste. 

Les  applications  des  dérivées  sont  aussi  de  nature  nettement  géomé- 
trique :  beaucoup  de  courbes.  La  méthode  d'approximation  de  Newton  se 
place  ici  de  manière  élégante  et  ceci  est  excellent  ;  on  ne  lui  fait  pas  le  toi't 
de  la  représenter  comme  un  pis  aller  rejeté  après  l'impossibilité  de  la  réso- 
lution par  radicaux,  laquelle,  mênie  quand  elle  est  possible,  exige  des 
extractions  de  racines,  c'est-à-dire  des  opérations  ayant  même  nature  arith- 
métique que  la  méthode  newtonienne. 

Le  chapitre  des  équations  entières  est  encore  un  de  ceux  où  les  considéra- 
tions  scientifiques    modernes    sont,   avec   une  très  heureuse  habileté,  mises 


370  BIBLIOGRAPHIE 

au  niveau  du  proi^ramnie  à  développer.  Les  lransform;iUons  des  équations, 
notamment  leurs  di^'erses  transformations  homograpliiques,  y  sont  étudiées 
avec  nombre  d'exemples.  La  décomposition  des  fractions  rationnelles,  si 
intimement  liée  à  celle  des  polynômes,  est  présentée  avec  inti'oduction  de  la 
notion  de  pôle  et  de  résidu  ;  à  un  pôle  donné  correspond  le  fait  de  retran- 
cher de  la  fraction  considérée  un  développement  relatif  à  ce  pôle  ;  c  est  le 
procédé  de  décomposition  des  fonctions  méromorplies. 

Lorsqu'on  aborde  l'intégration,  celle  des  fractions  rationnelles  lie  immé- 
diatement le  sujet  nouveau  au  sujet  précédent.  Très  nombreux  exemples 
d'intégrales  indéfinies  et  définies,  intéressantes  formules  récurrentes  à  un 
et  deux  indices.  Elégantes  applications  géométriques  complétant  d'ailleurs 
la  géométrie  des  masses. 

Ce  n'est  qu  ensuite  que  nous  abordons  les  séries.  Si  1  on  observe  ce  qui  a 
déjà  été  dit  sur  les  développements  limités,  sur  la  formule  de  Taylor  tou- 
jours pounue  d'un  veste,  on  voit  que  l'auteur  a  soigneusement  tenu  à  bien 
distinguer  ces  questions  de  celles,  très  délicates,  qui  concernent  les  séries 
indéfinies. 

Placées  après  le  calcul  intégral,  on  peut  d  ailleurs  les  comparer  avec  les 
intégrales  définies  et  aborder  les  séries  entières  avec  leurs  théorèmes  fon- 
damentaux d  intégration  et  de  dérivation. 

Il  y  a  là,  dans  l'ensemble,  un  ouvrage  rédigé  avec  une  conscience  extrême  ; 
outre  ce  que  je  disais  au  début,  il  fait  aussi  honneur  aux  qualités  de  logicien 
de  l'auteur  qui,  d  ailleurs,  doit  être  un  excellent  professeur.  J  ai  toutefois 
l'envie  de  critiquer  le  programme  qui  se  reflète  dans  un  tel  livre  ;  il  m'est 
pénible  de  |)enser  qu  un  adolescent  peut  avoir  une  première  vue  de  la  science 
sous  un  aspect  si  souvent  hérissé  de  difficultés  subtiles  et  pointilleuses, 
dont  l'analyse  délicate  ne  joue  cependant  aucun  rôle  dans  les  œuvres  d'un 
Hermite  ou  d'un  Poincaré.  Faut-il  admettre,  comme  je  1  ai  souvent  eulendu 
dire,  que  si  la  préparation  aux  grandes  écoles  ne  roulait  que  sur  une  science 
esthétique  et  intuitive,  les  élèves  comprendraient  trop  bien  et  répondraient 
trop  facilement  aux  examinateurs  qui  ne  sauraient  qui  éliminer.  Espérons 
encore  que  ceci  n'est  pas  une  bonne  raison.  Espérons  aussi  que  les  élèves 
qui  prendront  ce  livre  pour  guide  pourront  le  lire  d'abord  sans  trop  insister 
sur  ses  parties  rigoristes  et  revenir  ensuite  sur  celles-ci  ;  il  ue  leur  restera 
plus  alors  aucun  doute  sur  la  possibilité  de  tout  disséquer. 

A.  BuHL  (Toulouse). 

J.  Rey  Pastok.  —  Introduccion  a  la  Matemâtica  superior.  Esiado  aciual, 
Métodos  y  Problemas  (Manueles  Corona).  —  1  vol.  in-16,  cart.,  202  p., 
3  P.  50;  Biblioteca  Corona,  Madrid,  19I(k 

J.  Rey  Pastor.  —  Teorîa  de  la  Representacid  conforme.  iPublicacions  de 

l'Institut  de   Ciencies.i  —  1  vol.   iii-.S".  llô  p.,   In.-ilitnt  dl']sludis  Catalans, 
Barceloua,  1915. 
J.  Rey  Pastor.  —  Fundamentos  de  la  Geometria  Proyectiva  superior.  — 

1  vol.  gr.  in-8",  xxii-''ii't  p.   i.Iunla    para    ampliaciôn   de   estudios   e   inves- 
tigaciones  cientificas).  Madrid,  1916. 

Voici  trois  ouvrages  rédigés  par  un  jeune  géomètre  espagnol  —  M.  Roy 
Pastor  n'a  que  viugt-neuf  ans  —  (]ui  semble  appelé  à  prendre  une  part 
active  aux  progrès  de  l'enseignement  scientifique  de  son  pays.  Le  premier 
est  dédié  à   son   maître,   le  professeur  Z.  G.  de  Galdeauo,  bien   connu   dans 


BIBLIOGRAPHIE  371 

le  monde  des  malhématiciens.  Avec  une  ardeur  infatigable,  le  géomètre  de 
Saragosse  s  elTorcc,  depuis  plus  de  vingt  ans,  à  vulgariser  les  mathéma- 
tiques en  Espagne,  à  les  faire  connaître  et  apprécier  dans  les  difTorents 
milieux  scientifiques,  afin  de  montrer  le  rôle  utile  qu'elles  doivent  jouer 
dans  l'enseignement  scientifique  élémentaire,  secondaire  et  supérieur.  Son 
brillant  élève  M.  Rey  Pastor  poursuit  cette  belle  tâche. 

Sous  le  titre  à' Introduction  aux  malhéinatiques  supérieures  I  auteur  a  fait 
une  série  de  conférences  destinées  à  donner  dos  vues  d'ensemble  des  mé- 
thodes et  des  problèmes  qui  caractérisent  les  mathématiques  modernes.  Le 
présent  ouvrage  est  la  reproduction  de  ces  conférences  dont  voici  les  prin- 
cipaux objets  : 

I.  Fondements  de  l'Arithmétique  et  de  l'Analyse.  —  II.  Fondements  delà 
Géométrie.  —  III.  Fonctions  d'une  variable  réelle.  —  IV.  Méthode  du  pas- 
sage à  la  limite  dans  la  théorie  des  fonctions.  —  V.  Fonctions  d'une  variable 
complexe.  —  VI.  Systématisation  des  mathématiques  par  la  théorie  des 
groupes. 

Le  second  volume  a  été  publié  sous  les  auspices  de  1  «  Institut  d'Estudis 
catalans  ».  C'est  la  reproduction  d  une  série  de  huit  conférences  sur  la 
théorie  de  la  représentation  conforme.  Elles  sont  destinées  à  initier  les 
étudiants  aux  problèmes  fondamentaux  de  celte  théorie,  tels  qu  ils  résultent 
des  travaux  récents  de  Poincaré,  Kiebe,  Caratheodory,  Bieberbach,  etc. 

Ces  deux  séries  de  conférences  sont  rédigées  avec  une  grande  clarté  ; 
l'auteur  a  su  choisir  les  faits  essentiels  et  les  ordonner  avec  soin. 

Ces  mêmes  qualités  se  retrouvent  dans  le  troisième  ouvrage,  le  plus  im- 
portant des  trois.  Rédigé  au  retour  d'un  séjour  en  Allemagne,  ce  volume 
n'a  pas  la  prétention  d'être  un  traité  systématique  de  Géométrie  projective; 
c'est  plutôt  un  exposé  des  principes  fondamentaux  et  des  méthodes  qui  sont 
propres  à  cette  branche  de  la  Géométrie.  Il  comprend  trois  parties. 

Dans  la  première  partie,  intitulée  «  Systématisation  de  la  Géométrie  », 
l'auteur  présente  d'abord  les  notions  essentielles  de  la  théorie  des  groupes 
de  transformation,  puis  il  montre  quels  sont  les  caractères  fondamentaux 
des  différents  types  de  géométries,  depuis  la  géométrie  métrique  jusqu'aux 
géométries  transcendantes. 

La  seconde  partie  est  consacrée  aux  fondements  de  la  Géométrie  projec- 
tive réelle.  Elle  comprend  l'étude  des  axiomes,  leur  indépendance  et  leur 
compatibilité,  l  étude  de  la  projectivité  et  du  calcul  vectoriel  projectif. 

Dans  la  troisième  partie  l'auteur  présente  les  fondements  de  la  Géomé- 
trie projective  complexe.  Après  avoir  défini  les  éléments  imaginaires  de 
l'espace  R^ ,  il  expose  les  méthodes  de  Segré,  Klein,  Amodeo,  Gauss,  Staudt, 
Riemann,  etc.,  puis  il  examine  les  propriétés  projectives  des  figures  algé- 
briques. 

En  entreprenant  cette  étude  des  fondements  de  la  Géométrie  projective 
supérieure,  le  jeune  professeur  de  Madrid  s'est  attaqué  à  des  questions 
fort  délicates.  Sa  connaissance  approfondie  du  sujet  lui  a  permis  de  sur- 
monter les  difficultés.  Son  Ouvrage  est  appelé  à  rendre  de  grands  services 
dans  les  universités  de  langue  espagnole.  H.   F. 

José  A.  Sancmez  Pekez.  —  Compendio  de  Algebra  de  Abenbéder.  Texio 
arabe,  traduccion  y  estudio.  |Junta  para  ani|)liaci6n  de  estudios  e  investi- 
gaciones  cientificas.  Centro  de  Estudios  historicos).  — 1  vol.  in-8",  200  p., 
6  pesetas;  secrétariat  de  la  Société,  Moreto,  1,  Madrid,  1916. 


372  BIBLIOGRAPHIE 

Cette  traduction  espagnole  de  l'Algèbre  d'Abenbéder  apporte  une  contri- 
bution intéressante  à  l'Histoire  des  mathématiciens  hispano-arabes.  Il  s'agit 
d'un  ouvrage  didactique  qui  semble  avoir  été  assez  répandu  chez  les  Arabes 
de  l'Occident.  Le  manuscrit  arabe  qui  a  servi  de  base  à  ce  travail  est  daté 
de  1343  ;  il  est  conservé  à  la  Bibliothèque  de  l'Escurial  à  Madrid. 

Dans  sa  préface,  d'envii-on  50  pages,  M.  Sanchez  Ferez  fournit  d'abord 
un  court  aperçu  de  l'histoire  des  mathématiques  en  Espagne  en  s'arrètant 
plus  particulièrement  sur  la  période  à  laquelle  appartient  le  manuscrit 
d'Abenbéder.  Il  présente  ensuite  la  traduction  du  manuscrit  avec  des  anno- 
tations permettant  de  suivre  pins  facilement  les  calculs  du  mathématicien 
arabe,  puis  il  donne  le  texte  même  du  Traité  d'Abenbéder. 

Les  sujets  mathématiques  abordés  dans  ce  traité  ne  modifient  en  rien  nos 
connaissances  sur  les  mathématiques  chez  les  Arabes  de  1  Occident.  Ils 
comprennent,  dans  la  partie  théorique,  la  résolution  des  équations  du  pre- 
mier et  du  second  degré,  le  calcul  des  racines  carrées,  la  multiplication  des 
polynômes.  Une  seconde  partie  du  Traité  est  consacrée  à  des  problèmes 
nombreux  et  variés,  parmi  lesquels  on  trouve  aussi  des  problèmes  indéter- 
minés du  premier  et  du  second  degré. 

O.  Stolz  und  J.  A.  Gmeinek.  —  Theoretische  Arithmetik.  —  Il  :  Die  Lehren 
von  den  reellen  und  von  den  komple.\en  Zahlen.  2  Auflage.  —  1  vol.  in-S», 
viii-369  p.  ;  broché  12  M.;  B.  G.  Teubner,  Leipzig,  1915. 

Les  traités  publiés  par  Stolz  sous  le  titre  d'Arithmétique  générale  et  par 
Stolz  et  Gmeiner  sous  celui  d'Arithmétique  théorique  sont  devenus  clas- 
siques. Il  nous  suffira  donc  de  rappeler  ici  très  brièvement  le  contenu  de 
cette  2e  édition  du  Tome  II  de  1  Arithmétique  théorique,  qui  était  en  quelque 
sorte  une  2*  édition,  entièrement  revue,  de  l'Arithmétique  générale  de  Stolz. 

Les  auteurs  ayant  conservé  le  terme  d  Arithmétique  dans  le  sens  de  l'an- 
cienne Arithmetica  universalis,  il  s'agit  en  réalité  d'un  traité  d'Algèbre 
limité  au.v  opérations  fondamentales.  Le  présent  volume  fournit  une  étude 
approfondie  des  nombres  réels  (chap.  V  à  YIIl),  des  nombres  complexes 
(chap.  X  à  XII),  y  compris  les  puissances,  les  racines  et  les  logarithmes  de 
ces  nombres.  Il  contient  en  outre  une  première  étude  des  séries  de  nombres 
réels  (chap.  I.Y)  et  des  séries  de  nombres  complexes  (chap.  XIII). 

Les  nombres  irrationnels  sont  étudiés  d'après  les  théories  arithmétiques 
établies  par  G.  Cantor  et  Ch.  Méray. 

Parmi  les  modifications  et  additions  apportées  à  celte  édition,  nous  nous 
bornons  à  signaler  les  paragraphes  relatifs  à  la  représentation  géométrique 
des  quaternions. 


BULLETIN  BIBLIOGRAPHIQUE 


1.  Publications  périodiques: 

American  Mathematical  Monthly  iThel,  OfTicial  Journal  of  Ihe  Mathema- 
tical  Association  of  America,  devoted  to  the  Interesls  of  Collégiale  Mathe- 
matics,  edited  by  H.  E.  Slaught,  W.  H.  Bussey,  R.  D.  Carmichael.  —  Vo- 
lume XXIV^  1917.  Lancasler  and  Chicago. 

Annales  de  l'Université  de  Grenoble,  tome  XXIX,  1917.  —  Gauthier- 
Villars,  Paris  ;  Allier  frères,  Grenoble. 

Bollettino  di  Bibliografia  e  Storia  délie  Scienze  matematiche,  pubblicato 
per   cura  di   Gino  Lokia.  Auno  XIX,  1917.   —  Rosenberg  &  Sellier,  Torino. 

Bollettino  di  Matematica.  Giornale  scientifico  didattico  per  l'incremento 
degli  Studi  niatematici  nelie  scuole  medie.  Diretto  dal  Doit.  Alb.  Conti. 
Anno  XV,  1916-17,  Roma. 

Contribucion  al  Estudio  de  las  Ciencias  fisicas  y  matematicas.  —  Série 
Matematico-fisica,  Vol.  1,  1916.  —  Série  Tccnica,  Vol.  I,  1916.  La  Plata. 

Giornale  di  Matematiche  di  Battaglini,  direiia  da  Ernesio  Pascal.  —  Vol. 

LV  (8o  délia  3^  Sériel.  —  Pellerano,  Xaples. 

Intermédiaire  des  Mathématiciens,  dirigé  par  C.-A.  Laisant,  Ed.  >rAiL- 
LET,  A.  Mallski,  a.  Boulanger.  —  Tome  XXIV,  1917.  —  Gautliier-Viliars, 
Paris. 

Journal  de  Mathématiques  élémentaires,  publié  par  H.  Vlibkrt,  4'^  an- 
née, 1916-1917.  —  Librairie  Vuiberl,  Paris. 

Nieuw  Archief  VOOr  Wiskunde,  publié  sous  les  auspices  de  la  Société  des 
Sciences  d  Amsterdam,  |)ar  J.-C.  Klltver,  D.-J.  Korteveg  et  F.  Schuh, 
2e  série,  tome  XII.  —  Delsman  en  Nollhenius,  Amsterdam. 

Nyt  Tidsskrift  for  Matematik.  Revue  dirigée  par  p.  Heegaard,  série  a, 
28e  année  ;  série  B,  28^  année;  1917.  —  Jul.  Gjellerup,  Copenhague. 

Periodico  di  Matematica  per  l'insegnamento  secondario.  Diretto  dal  Prof. 
G.  Lazzeki.  St'rie  15,  vol.  XIV.  —  RafCaele  Giusti,  Livorno. 

Revista  de  la  Sociedad  Matematica  Espaiiola.  Revue  mensuelle.  6"=  année, 
1916-1917.  —  Ed.  Arias,  Madrid. 

Revue  scientifique.  Directeur:  Ch.  MouREU.  —  55c  année,  1917.  —  41  bis, 
rue  de  Chàteaudun,  Paris. 


374  BULLETIN    BIBLIOGRAPHIQUE 

Revue  semestrielle  des  publications  mathématiques,  rédigée  sous  les 

auspices  de  la  Société  rnatliéinaliqiie  d  Amsterdam,  par  H.  de  Vries,  J.  Car- 
DKNAAL,  \V.  Kapteyn,  J.  C.  KLuyvER  et  J.  WoLiK.  —  Tome  XXV.  Première 
partie  :  avril-octobre  1916.  —  Deismau  en  Xollheuius,  Amsterdam. 

School  Science  and  Mathematics.  A  Journal  for  Science  and  Mathemalics 
Teachers  in  secondary  Scliools,  vol.  XV,  1917.  —  Smith  ând  Turton, 
Chicago. 

Unterrichtsblàtter  fur  Mathematik  und  Naturwissenschaften,  heraus- 

gegeben  von  K.  Schwab  luid  A  .Malkek.  —  X.KIll  Jahrgang.  1917.  Otto  Salle, 
Berlin. 

Wiskundige  Opgaven  met  de  Oplossingen.  Tome  XII,  Delsman  en  Nol- 
theniumiis,  Amsterdam. 

Annals  of  Mathematics  published  under  ihe  auspices  of  the  Princeton 
Universily  N.  J.  —  2"i''  série.  Vol.  18,  r\°^  3  et  4.  —  H.  S.  N'andiver  :  Sym- 
melric  Funclions  formed  by  Systems  of  Eléments  of  a  P'iuile  Algebra  and 
their  Connection  with  Fermât  s  Quotient  and  Bernoulli  s  Xurnbers.  — 
H.  S.  Vandiver  :  The  Generalized  Lagrange  Inlederminate  Congi-uence  for 
a  Composite  Idéal  Modulus.  —  Howard  H.  Mitchell:  On  the  Congruence 
c.r'-  -|-  1  =z  d\^  in  a  Galois  Field.  —  \^'.  C.  Graustei.n  :  On  the  Geodesics 
and  Géodésie  Circles  on  a  Deveiopable  Surface.  —  Dunham  Jackson  :  Note 
on  représentations  of  the  Partial  Sum  of  a  Fourier's  Séries.  —  Frank  Irwix  : 
Acknowledgraent.  —  Henry  Bllmberc  :  Certain  General  Properties  of  Func- 
tious.  —  L.  E.  Dickson:  Fermat's  Last  Theorem  and  the  Origin  and  Nature 
of  the  Theory  of  Algebraic  Numbers.  —  A.  J.  Pell  and  R.  L  Cordon  :  The 
Modified  Remainders  Obtained  in  Finding  the  Highest  Common  Factor  of 
Two  Polynomials.  —  L.  I.  Hewes  :  Nomograms  of  Adjustmeut.  —  Albert 
A.  Bennett  :  Closed  Algebraic  Correspondences.  —  J.  L.  Coolidge  :  The 
Intersections  of  a  Straight  Line  and  Hyperqnadric  —  William  Benjamin 
Fixe  :  The  Relation  betweeu  the  Zéros  of  a  Solution  ol  a  Linear  Homoge- 
neous  Differential  Equation  aud  Those  of  its  Derivatives.  —  Luther  Pfahler 
Eisenhakt:  Conjugate  Planar  Nets  with  Equal  Invariants. 

Annali  di  Matematica  pura  ed  applicata,  Milano.  —  Série  111,  T.  XXVI, 
fasc.  1-2.  —  CuESTEK  :  Surfaces  characlerized  by  certain  spécial  proprielies 
of  their  direclrix  congruences.  —  Caldo.nazzo  :  Sulla  confluenza  di  vene 
libère. 

Fasc.  2-3.  —  Lusi.N  :  Sur  la  notion  de  l'intégrale.  —  Sierpinski  :  E  arc 
simple  comme  un  ensemble  de  points  dans  l'espace  à  m  dimensions.  — 
Calapso  :  Intorno  agi  inviluppi  di  sfore,  sulle  cui  superlicie  focali  si  coi-ris- 
pondono  le  liuee  di  curvatura.  —  Darbi  :  Proprietà  délie  equazioni  Abeliane 
a  gruppo  ciclico.  —  Biancui  :  Sullc  superficie  le  cui  noi-uiali  si  distribus- 
couo  in  una  série  x  '  di  iperboloidi  rotondi. 

Atti  délia  Reale  Accademia  dei  Lincei.  Vol.  XXVI.  1«^'  semestre  1917. 
—  G.Andreoli  :  Sovra  cerle  equazioni  di  composizione  di  seconda  specie.  — 
Id  :  Equazioni  integrali  singolari  con  nuclei  analoghi  a  quelli  di  Evans.  — 
Id  :  Sovra  una  particolare  classe  di  equazioni   integrali  singolari.  —  E.  Bek- 


BULLETIN    BIBLIOGRAPHIQUE  375 

zoLARi  :  Sulla  viirielà  cubica  con  dieci  punti  doppi  dello  spazio  a  quattro  di- 
mensioni.  e  nella  confîgurazioue  di  quindici  arclii  dello  spazio  ordinario  stu- 
diata  dallo  Stephanos.  —  L.  Bianchi  :  Rappresentazioni  normali  unifortni  e 
sistemi  di  Weingasten.  —  Id  :  Sopra  una  prorpietà  caratterislica  délie  su- 
perficie della  classe  K  ^  —  \[s{a]  +  •y(/')]^.  —  E.  Bompiani  :  Affinità  e  su- 
perficie applicabili.  —  C.  Bukaliiorti:  Sopra  i:na  nuova  definizione  di  terne, 
ecc.  —  Id  ;  I  moti  relativi  nel  calcolo  assoluto.  —  F.  P.  Cantelli  :  Sulla 
probabilità  corne  limite  della  f'requenza.  —  Id  :  Su  due  applicazioni  di  un 
teorema  di  G.  Boole  alla  stalislica  matematica.  —  S.  Cherubino  :  Sulle 
omografie  riemanniane  di  una  matrice  di  Rieraann.  —  O.  Chisini  ;  Sulla 
riducibilità  dell'  equazione  tangenziale  di  una  superficie  dotata  di  curva 
doppia  —  E.  Danielo  :  Sulle  equazioni  difTerenziali  e  le  equazioni  integro- 
difTerenziali  corrélative.  —  F.  Enkiques  :  Sui  rami  délie  curve  algebriche 
gobbo  nell  intorno  di  un  punio  singolare.  —  Id  :  Sulla  teoria  délie  omogra- 
fie iperspaziali.  —  G.  Lebon  :  Solution  d'un  problème  remarquable  relatif 
à  la  nouvelle  Table  de  diviseurs  des  nombres.  —  S.  Lefschetz  :  Sur  cer- 
tains cycles  à  deux  dimensions  des  surfaces  algébriques.  —  G.  A.  Maggi  : 
Sopra  una  formula  coinmutativa  e  alcune  sue  applicazioni.  Id  :  Posizione  e 
soluzione  di  alcune  questioni  attinenti  alla  teoria  délie  distorsioni  elastiche. 
—  J.  Pérès:  Sur  la  composition  de  1ère  espèce:  les  fonctions  d'ordre 
quelconque  et  leur  composition.  —  G.  Sanma  :  Su!  melodo  di  Borel  per  la  som- 
mazione  délie  série.  —  Id  :  Generalizzazione  del  metodo  di  Borel  per  la 
sommazione  della  série.  —  C.  Segre  :  Sui  complessi  lineari  di  schiere  rigate 
o  regoli.  —  O.  Tedoke  :  Sui  principio  di  Huygens  in  un  campo  elettromag- 
netico.  —  G.  Togliatti  :  Untipo  semplice  di  reti  di  reciprocità  degeneri  di 
la  specie  tra  spazî  ad  n  dimensioni.  —  A.  Vergerio  :  Un'  applicazione  del 
metodo  di  sommazione  délie  série  alla  risoluzione  délie  equazioni  integrali. 

E.  Almansi  :  Sulla  forma  dello  sferoide  terrestre  dedotta  dalle  misure  di 
gravita.  —  O.  Lazzarino  :  SuH'  estendibilità  del  teorema  di  reciprocità  del 
prof.  V.  Yolterra  ad  un  conduttore  elletrico  a  tre  dimensioni.  non  omogeneo, 
anisotropo  e  sottoposto  ail'  azione  di  un  campo  magnelico  qualunque.  — 
T.  Levi-Civita  :  Statica  einsteiniana.  —  Id  :  Sulla  espressione  analitica  spet- 
lante  al  tensore  gravitaziouale  nella  teoria  di  l]inslein.  —  P.  Pizzetti  : 
A  proposilo  di  uua  récente  IVota  del  prof.  Almansi. 

G.  Armeli.im  :  Sopra  le  distanze  planetarie  del  sole.  —  B.  Petromevics  : 
Sur  les  nombres  infinis  de  Fontenelle. 

Bulletin  de  la  Société  Physico-Mathématique  de  Kasan,  2"ie  série.  Tome 

XX  :  I.  —  IzNOsKOFF  :  Sur  les  carrés  magiques.  —  Th.  Banahewitsch  :  A  pro- 
pos de  la  théorie  d  erreur  de  fermeture  annuelle  dans  le  cas  de  la  détermina- 
tion de  latitude  géographique.   —   N.  Agrono.moff  :    Sur  un   type  d'équations 

indéterminées  x'"''^  +  -r'^"  -f  ...  +  ■»'^."'''''  =  0  dont  les  solutions  sont 
des  nombres  entiers.  —  D.  Doukiago  :  Sir  Robert  Bail  (Nécrologie).  — 
G.  Fichtenholz  :  Sur  la  dérivation  des  intégrales  définies.  —  O.  Gito.mihski  : 
Sur  la  courbure  des  polyèdres.  —  M.  A.  Gratschfff  :  Contribution  à  la 
théorie  des  erreurs  de  fermeture  dans  la  question  des  changements  de  la  la- 
titude géographique.  —  M.  Parfe.ntieff  :  Quelques  remarques  au  sujet  des 
carrés  magiques.  —  N.  Agronomoff  :  Sur  une  classe  des  équations  indéter- 
minées de  la  forme  .i     -|-  .r^  +  ...  -|-  .»•"  =  0  résolubles  en  nombres   entiers. 


376  BULLETIN    BIBLIOGRAPHIQUE 

M.  Gratscheff  :  Sur  la  valeur  de  la  constante  d  aberration.  —  G.  Rabino- 
viTSCH  :  Sur  la  propriété  du  maximum  du  cercle. 

Tome  XXI.  —  N.  Pakfentieff  :  N.  Sonine  (revue  de  ses  travaux  scienti- 
fiques). —  D.  GoLDHAMMEK  :  Nouvellc  théorie  des  pliénomènes  électromagné- 
tiques dans  les  milieux  mouvants.  —  J.  Socoloff  :  A  la  mémoii'e  des  profes- 
seurs I.  Borgman  et  N.  OumofT.  —  D.  Goldhammer  :  Nouvelle  théorie  des 
phénomènes  électromagnétiques  dans  les  milieux  mouvants,  (suite).  — J.  Ma- 
xiMOFF  :  Théorie  des  congruences  binômes  et  des  racines  primitives.  — 
N.  Pakfentieff  :  Evaluation  d'une  intégrale  définie.  —  Bolotoff  :  Sur  le 
principe  de  Gauss.  —  Th.  Banachevicz  :  Détermination  graphique  de  la  dis- 
tance d'une  comète  dans  la  méthode  de  Olbers.  —  J.  OuspeiNsky  :  Surla  pos- 
sibilité de  la  représentation  des  nombres  par  certaines  formes  quadratiques. 

—  J.  Ouspensky  :  Règle   pour  déterminer  le  signe  de  la  congruence  1,  2,  3, 

...  — — -T —  =  ih  1  (mod.  p.].  —  N.  Agknoomoff  ;  sur  un  système  remarquable 

des  triangles.  —  N.  Agkonomoff  :  Quelques  généralisations  et  corollaires  du 
théorème  relatif  aux  moyennes  géométrique  et  arithmétique.  —  F.  Sirvinte  : 
Sur  l'uniformisation  des  fonctions  analytiques. 

Bulletin  des  Sciences  mathématiques,  rédigé  par  G.  Darboux  et  E.  Picard  ; 
secrétaire  de  la  Rédaction,  E.  Lebon.  Tome  XL,  juillet-décembre  1916.  — 
P.  Appell  :  Sur  des  lignes  polygonales  et  sur  des  surfaces  polyédrales  géné- 
ralisant les  polygones  de  Poncelet.  —  M.  D'Ocagne  :  A  propos  d  une  Note 
de  M.  Malteo  Bottasso  sur  une  enveloppe  de  droites.  —  F.  Bollad  :  Sur  la 
détermination  du  centre  de  courbure  des  trajectoires  orthogonales  d'une 
famille  quelconque  de  courbes  planes.  —  G.  Darboux  :  Remarques  sur  la 
Note  de  M.  Farid  Boulad.  —  M.  Soubbotine  :  Sur  les  points  singuliers  de 
certaines  équations  différentielles. 

Tome  XLI,  1917,  janvier-juin.  —  P.  Appell  :  Sur  un  théorème  de  Joseph 
Bertrand  relatif  à  la  Cinématique  des  milieux  continus.  —  T.  Dantzig  :  Dé- 
monstration directe  du  dernier  théorème  de  Henri  Poincaré.  —  B.  Jekhowsky  : 
Sur  la  fonction  génératrice  des  fonctions  de  Bessel  à  plusieurs  variables.  — 
E.  Picard:  Sur  la  relation  entre  les  périodes  d'une  fonction  uniforme  qua- 
druplement  périodique  de  deux  variables.  —  G.  Kœnigs  :  Recherches  sur 
les  mouvements  plans  à  deux  paramètres. 

Bulletin  of  the  American  Mathematical  Society,  New-York.  Vol.  XXIII, 
n°»  7-10.  -  J.  E.  RowE  ;  The  Equation  of  a  Ralioual  Plane  Curve  Derived 
from  its  Parametric  Equations,  II.  —  Edward  Kasner  :  Equilong  Invariants 
and  Convergence  Proofs.  —  Samuel  Beatty  :  The  Inversion  of  an  Analytic 
Function.  —  T.  S.  Fiske:  Emory  Me  Clinlock.  —  Dr.  J.  II.  Weaver  :  On 
Foci  of  Conics.  —  Jekuthial  Ginsburg  :  New  Light  on  Our  Numerals,  with 
Introductory  Note  by  Professer  D.  E.  Smith.  —  W.  F.  Osgood  :  Singular 
Points  of  Analytic  Transformations.  —  J.  E.  Rowe  :  The  Projection  of  a  Line 
Section  upon  che  Rational  Plane  Cubic  Curve.  —  D.  Cak.michael  :  Examples 
of  a  Rcmarkable  Class  of  Séries.  —  P.  J.  Daniell  :  The  Modular  Différence 
of  Classes.  —  G.  E.  Wahlin  :  On  the  Principal  Unils  of  an  Algebraic  Do- 
main k  (p,  a). 

Compte  rendus  de  l'Académie  des  Sciences  de  Paris.  —  1'='^  semestre  1917. 

—  10  avril.  —  (ï.  JiiiA  :    Sur   les  réductions  des  formes  indéterminées  con- 


BULLETIN    BIBLIOGRAPHIQUE  377 

juguées  non  quadratiques.  —  16  avril.  —  Riquier  :  Sur  une  propriétés  des 
fonctions  analytiques  d'un  nombre  quelconque  de  variables  imaginaires.  — 
Mesnager  :  Sur  la  représentation  des  charges  concentrées  par  des  séries 
trogonométriques.  —  30  avril.  —  Guichard  :  Sur  les  réseaux  0  de  Monge 
dans  un  espace  d'ordre  quelconque.  —  J.  Boussinesq  :  Hypothèse  fondamen- 
tale de  la  mécanique  des  masses  pulvérulentes.  —  7  mai.  —  M.  Petrovitch  : 
Sur  quelques  expressions  numériques  remarquables.  —  B.  Jekhowski  :  Sur 
le  développement  en  série  de  diverses  expressions  algébriques  au  moyen 
des  fonctions  de  Bessel  à  plusieurs  variables.  —  i4  mai.  —  E.  Kogueliantz  : 
Sur  la  sommation  des  séries  ultrasphériques.  —  M.  Petrovitch  :  Théories 
arithmétiques  sur  l'intégrale  de  Cauchy.  —  '^l  mai.  —  P.  Fatou  :  Sur  les 
substitutions  rationnelles.  —  i  juin.  —  P.  Montel  :  Sur  la  représentation 
conforme.  —  \V.  Sierpienski  :  Sur  quelques  problèmes  qui  impliquent  des 
fonctions  non  mesurables.  —  li  juin.  —  G.  Jllia  :  Sur  les  formes  biquadra- 
tiques  à  indéterminées  conjuguées  et  à  coefficients  entiers.  —  18  juin.  — 
C.  Guichard  :  Sur  les  surfaces  telles  que  l'équation  de  Laplace  du  réseau 
formé  par  les  lignes  de  courbure  soit  intégrable.  —  G.  D.  Birkhoi  f  :  Sur 
une  généralisation  de  la  série  de  Taylor.  —  H.  Duport  :  La  loi  de  1  attrac- 
tion universelle.  —  25  juin.  —  G.  Julia  :  Sur  les  formes  binaires  à  indéter- 
minées conjuguées  qui  restent  invariantes  par  une  substitution  linéaire.  — 
W.  SiERpiNSKi  :  Sur  une  extension  de  la  notion  de  densité  des  ensembles.  — 
E.  Jablonski  :  Contribution  à  l'étude  du  cas  le  plus  général  du  choc  dans  un 
système  de  points  matériels  soumis  à  la  loi  de  ÎVewton. 

Jahresbericht  der  Deutschen  Mathematiker  Vereinigung,  Leipzig.  — 
Jahrgang  1916,  Juii-fJezember  —  E.  .Mùller  :  Die  achsiale  Inversion.  — 
E.  J.  Gi;.MBRL  :  Eine  Darstellung  statistischer  Reihen  durch  Euler.  —  Her- 
raann  Weyl  :  Strenge  Begrùndung  der  Charakleristikenlheorie  auf  zwei- 
seitigen  Flachen.  —  A.  Rosenthal  u.  O.  Szasz  :  Eine  Extremaleigenschaft 
der  Kurven  konstanter  Breite.  —  P.  Riebensell  :  E.  Busche.  —  E.  HiENTZ- 
scHEL  :  Ueber  die  Kongruenz  2'"^-  =  1,  mod.  1093^.  —  Julius  v.  Sz.  Nagy  : 
Ueber  die  algebraische  Darstellung  der  verknoteten  und  verketteten  alge- 
braischen  Raumkurven.  —  Michael  Bauer  :  Zur  Bestimmung  der  reellen 
VVurzeln  einer  algebraischen  Gleichung  durch  Itération.  —  J.  Horn  :  Verall- 
gemeinerte  Laplacesche  Intégrale  als  Losungen  linearer  und  nichtlinearer 
Differeiitialgleichungen.  —  Emil  Lampe  :  Zur  mechanischen  Quadratur.  — 
E.  H.ï.NTZscHFi.  :  Théorie  der  Dreiecke  rail  rationalen  Masszahlen  der  Seiten 
und  der  drei  Seitenhalbierenden.  —  A.  Korselt  :  Ueber  eine  Diophantische 
Aufgabe.  —  P.  v.  Sch-ewen  :  Bemerkungen  zu  den  Abhandlungen  des  Herrn 
Hœntzschel  im  24.  Bande,  S.  467  (T.  und  im  25  Bande.  S.  139  (f.  — 
E.  H.ïntzschel  :  Bemerkung  zu  der  vorstehenden  Notiz  des  Herrn  v.  Schœwon. 
—  Hans  Hah.n  :  Ueber  Fejérs  Summierung  der  Fourierschcn  Reihe.  — 
Heinrich  Liebmann  :  Die  Transformation  von  Varialionsproblemen.  —  Adolf 
Kneser  :  Eine  durch  elliptische  Funktionen  darstellbare  Transformations- 
gruppe.  —  Léo  Kœ.mgsberger  :  Weierstrass'  erste  Vorlesung  ûber  die 
Théorie  der  elliplischen  l'unktionen. 

Journal   fur  die  reine    und  angewandte  Mathematik.  —  Band  147.  — 

K.  Hensei.  :  Allgemeine  Théorie  der  Konkrnenzklassengrnppen  und  ihrer 
Invarianlen  in  algebraischen  Korpern.  —  T.  H.  Gronwall  :  Ueber  einige 
Summalionsmcthoden    und    ihre    Anweudung  auf  die  Fouricrsche   Reihe.  — 


378  BULLETIN    BIBLIOGRAPHIQUE 

O.  Pekron  :  Ueber  Système  vou  linearen  Uilferenzengleichunj^eii  erster  Ord- 
nung.  —  A.  Knksek  :  Transfoi-mationsgiuppeii  uiid  Yarialionsrechuiing.  — 
O.  Kœbe  :  Abhandlungen  zur  Théorie  der  koiiformen  Abbilduiig.  III.  Der 
allgemeine  Fundamentalsalz  der  konformen  Abbildiuig  nebst  einer  Anwen- 
dung  auf  die  konforme  Abbildung  der  Obcrfliiche   einer  korperliclien  Ecke. 

—  L.  KosciHMiEDER  1  Konjugicrte  Punkte  und  Enveloppen  bei  speziellen  Ya- 
rialionsproblemen.  —  O.  Szasz  :  Ueber  die  Erhaltung  der  Konvergenz  un- 
endlicher  Ketleubrùche  bei  indepcndenter  Veriinderlichkeit  aller  ihrer  Ele- 
nienle.  —  F.  Schottky  :  Problemalische  Punkle  und  die  eleinenlaren  Siilze, 
die  zum  Beweise  des  Picardschen  Theoreras  dienen.  —  U.  Fletek  :  Die 
Klassenzahl  zykiischcr  Kôrper  vom  Primzahigrad,  deren  Diskriminante  nur 
eine  Primzahl  enthiilt.  —  M.  Pasch  :  Grundf'ragen  der  Géométrie.  —  A.  Ost- 
ROwsKi  :  Ueber  sogenannte  perfekte  Korper.  —  J.  Schur  :  Ueber  Polenzrei- 
hen,  die  im  Innern  des  Einheitskreises  beschrankt  sind.  —  K.  Hensel  :  Die 
Verallgemeinerung  des  Legendreschen  Symboles  fur  allgemeine  algebraische 
Kôrper.  —  M.  Pasch:  Sechs  Punkte  einer  Ebene. 

The  Mathematics  Teacher.  A  Magazine  devoted  to  the  inlerests  of  Tea- 
chers  of  Miitliemalics.  Published  Quarterly  by  the  Association  of  Teachers 
of  Mathematics  in  the  middle  siates  and  Maryland.  Editor:  W.  H.  Metzlek. 
Syracuse  Univer  sity,  Syracuse,  N.  Y.  —  Yolume  IX  :  Ediforial.  —  C.  G. 
Grove  :  Mathematics  and  Psychology.  —  Dnnliam  Jackso.n  :  Yariables  and 
Limils.  —  Amelia  C.  Wright:  Collège  préparation  :  What  is  its  Effect  on 
YVhat  you  Teach  and  How  You  Teach  It.  —  Harry  English  :  Collège  Pré- 
paration :  What  is  its  effect  on  What  You  Teach  and  How  You  Teach  It.  — 
Report  of  the  Geomelry  Commiltee.  —  The  Association  of  Teachers  of  Ma- 
thematics of  New  England  :  F"inal  Report  of  the  Committee  on  the  Mathe- 
matics of  the  Pre-High  School  Grade.  —  George  W.  Evans  :  Mathematics 
for  the  Junior  High  School.  —  D.  E.  Smith  :  \Miat  is   to  Be    the  Oulcome? 

—  J.  H.  MiNMCK  :  Our  Critics  and  their  Viewpoints.  —  Agnes  L.  Rogeks  : 
The  Established  Results  of  the  New  Psychology  as  it  Bears  upon  the  Tea- 
ching  of  Mathematics.  Récent  Criticisms  of  Mathematics  Teaching  and  their 
Resulls.  —  R.  H.  Henderson  :  Récent  Advances  in  the  Teaching  of  Mathe- 
malics.  —  J.  L.  Patterson  :  To  Plot  a.r'  -\-  hx  -|-  c  =  0.  —  S.  S.  Keller  : 
Entrance  Requirements  Again.  —  G.  A.  Miller:  The  Use  of  the  Radical 
Symbol.  —  Katharine  F.  Ball  :  Mathematics  Applied  to  Domestic  Arts.  — 
Leonhard  Folix  Flld  :  Civil  Service  Questions  in  Mathematics.  —  E.  H. 
KocH,  Jr  :  Mathematics  Contests.  —  C.  C.  Grove  :  Kelurus  to  the  Questio- 
ner.  —  J.  K.  Lamond,  C-  C.  Grove,  Roos  \\'.  Marhiott  :  The  Order  of  Tea- 
ching ihe  Parts  of  the  Calculus.  —  Frank  H.  Scobey,  A.  L,  Clapp,  Ruth 
Mukhall:  Should  Arithmetic  be  Taught  to  ail  Pupils  in  ihe  High  School? 
When  ?  How  Much  Time  Shouldbe  Givcn  to  it.  —  Louisa  M.  Webster  :  Ma- 
thematics Clubs.  —  F.  W.  Gentle.man  :  The  Content  of  a  Mathematical 
Course  for  the  Junior  High  School.  —  New  Books.  —  Notes  and  News. 

Mathematische  Ânnalen,  Band  78,  n»»  1  et  2.  —  Alfied  Lcewy  :  Ueber 
Malrizen-  und  Din'erentialkomplexe.  —  Rudolf  Schavffler  :  Ueber  wieder- 
holle  Funklionen.  —  Robert  Kœmg  ;  Grundziige^iner  Théorie  der  Riemann- 
schen  Fuuktionenpaare.  —  Alexauder  Ostrowski  :  Ueber  die  Existenz  einer 
endlichen  Basis  bei  gewissen  Funklioncnsystemen.  —  A.  Haar  :  Reihenent- 
wicklungen  nach  Legendreschen    Polynomen.    —  E.  Hilb  :    Znr  Théorie  der 


BULLETIN    BIBLIOGRAPHIQUE  379 

lineareu  funktioiialen  Dillerenlialgleichungen.  —  H.  Mohrmann  :  Ueber  al- 
gebraische  und  nichtalgebraische  gewundene  Kurven  n-ter  Ordnung  vom 
Maximalindex.  —  R.  B^r  :  Ueber  Greensche  Randwertaufgaben  bei  der 
Schwingungsgleichung.  —  G.  Hessenberc  :  Vektorielle  Begrûndung  der 
Differenlialgeometrie.  —  J.  A.  Schocten  :  Zur  Klassitizierung  der  assozia- 
tiven  Zahlensysteme. 

Rendiconti  del  Circolo  Matematico  di  Palermo.  Tome  XLII.  P'asc.  1.  — 
Strazzeri  :  Sulle  superlioie  che  ammetlouo  per  sezioui  piane  una  semplice 
iiiHnità  di  curve  prefissate.  —  V.  Amato  :  Sulla  risoluzione  apiristica,  in  un 
eorpo  quadralico,  délie  concuenze  binomie  seconde  un  idéale  primo.  — 
P.  S'alli  :  Sulla  sommabilità  délie  série,  con  particolare  riguardo  aile  série 
di  Dirichlet.  —  O.  Nicoletti  :  Su  una  classe  di  iterazione  per  l'approssima- 
zione  degli  irrazionali  quadratici.  —  G.  Grimaldi  :  Délie  superficie  alge- 
briche  d'ordine  7  con  un  fascio  ellitlico  di  coniche.  —  G.  Segre  :  Su  una 
generazione  dei  complessi  quadratici  di  rette  del  Baltaglini.  —  U.  Amaldi  : 
Sulle  derivate  successive  dellc  funzioni  composte  di  quante  si  vogliono  va- 
riabili.  —  G.  Marletta  :  Délie  superfuie  aigebriche  d  ordine  6  con  un  fas- 
cio di  cubiche  ellittichc. 

Dans  une  cinilaire  datée  de  Païenne,  du  8  juillet  1917,  M.  De  Franchis, 
Directeur  des  Rendiconti,  annonce  que  par  suite  des  difficultés  provenant  de 
la  guerre,  le  comité  se  voit  dans  l'obligation  de  suspendre  provisoirement  la 
publication  de  la  Revue. 

Revue  de  l'Enseignement  des  Sciences  (La).  —  Librairie  Alcan,  Paris.  — 
Mai-Décembre  1916.  —  B.  Xiewenglowski  :  Sur  le  problème  dOlinde  Rod- 
rigues.  —  J.  Pioncho.n  :  Petite  enquête  sur  le  degré  d'aptitude  de  nos  ba- 
cheliers à  lutilisation  de  leur  savoir  en  mécanique.  —  A.  Viellefond  :  Le 
nombre  cousidéré  comme  un  opérateur.  —  R.  Bérard  :  Détermination  des 
tangentes  et  des  centres  de  courbure.  —  J.  Le.maire  :  Sur  le  centre  de  cour- 
bure des  coniques.  —  A.  Decerf  :  Quelques  questions  de  mécanique  ou  de 
théorie  des  vecteurs.  —  F.  Brachet  .  Sur  une  modification  de  l'emploi  du 
temps  en  seconde  G  et  D.  —  J.  Juhel-Rexoy  :  Surle  second  degré.  —  A.  \iel- 
I.EF0ND  :  A  propos  du  problème  d'Olinde  Rodrigues  et  des  quaternions.  — 
H.  Lebesgue  :  Sur  les  angles  polyèdres.  —  P.  Mo.ntel  :  Sur  la  règle  de  trois. 

—  G.  Fo.NTE.NÉ  :  Sur  la  règle  de  trois.  —  Id  :  Concentration  des  donnés  en 
géométrie.  —  H.  Pariselle  :  Note  sar  le  champ  des  lunettes  astronomiques. 

—  P.  Lugol  :  A  propos  de  la  loi  de  la  chule  des  ecorps.  —  R.  Bérard  . 
Mouvement  d'une  figure  plane  de  forme  invariable.  —  Ch.  Michel  :  Pro- 
priétés liomographiques  des  coniques.  —  R.  Paucot  :  Quelques  réflexions 
au  sujet  de  Ihistoire  des  sciences. 

Revue  générale  des  Sciences  pures  et  appliquées.  —  28mc  année.  — 
No  2.  —  E.  JouGUET  :  L'œuvre  scientifique  de  Pierre  DtJHEM.  —  N"  5.  — 
H.  Parisklle  :  La  télémétrie.    —  No  7.    —   Ch.  Glignard  :  Gaston  Darboux. 

—  No  9.  —  A.-E.-H.  Love  :  La  recherche  mathématique,  —  N"  10.  —  Melle 
J.  Joteyko  :  Les  méthodes  belges  d'Education  technique.  —  N"  11.  — 
G.  Milhaud:  La  querelle  de  Descartes  et  de  Fermai  au  sujet  des  tangentes. 

—  M.  P.  PuisEux  :  Revue  annuelle  d'Astronomie  (1916).  —  N""  15-16.  — 
G.  Milhaud:  Descartes  et  l'analyse  infinitésimale. 

L'Enseignement  mathém.,  19'  année;  1917.  24 


380  BULf.ETIN   BIBLIOGRAPHIQUE 

Scientia  (Revista  di  Scienza)  Revue  internationale  de  synthèse  scienti- 
fique, Milan.  —  Année  1917  :  Nos  1  à  8.  —  pi,.  £.  B.  Jourdain  :  The  func- 
tion  of  symbolism  iu  mathematical  iogic.  —  H.  von  Zeipel  :  Etoiles  et  mo- 
lécules. —  G.  LoRiA  :  L'enigma  dei  numeri  immaginari  attraverso  i  secoli. 
—  P.  Zkeman  :  L'hypothèse  de  l'éther  immobile.  —  J.-R.  Carkacido  :  Les 
fondements  de  la  biochimie.  —  G.  Milhaud  :  Descartes  et  Bacon.  —  M. 
Cantone  :  Sull'odierno  indirizo  degli  studi  fisici.  —  Carra  de  Yavx  :  Sur 
1  origine  des  chiffres.  —  F.  Iniguez  :  Les  spectres  stellaires.  —  B.  Cabrera  : 
Les  propriétés  niagnéliques  et  la  structure  de  l'atome.  —  F.  W.  Dyson  : 
The  détermination  of  stellar  distances.  —  M.  Betti  :  Il  problema  délia  tras- 
formazione  délia  muteria,  dai  tempi  antichi  ad  oggi.  —  G.  Loria  :  Lo  spettro 
dell  immaginario  in  geometria.  —  C.-Y.-L.  Charlier  :  Conceptions  monis- 
tique  et  dualistique  de  l'univers  stellaire.  —  E.  Riganano  :  I.,es  diverses 
mentalités  logiques. 

ZeitSChrift  fur  Matbematik  U.  Physik,  Organ  fur  angewandte  Mathe- 
metik.  —  Tome  64,  fasc.  3-4.  —  R.  v.  Mises  :  Graphische  Statik  raumlicher 
Kraftsysteme.  —  F.  Willheim  u.  A.  Léon  :  Ueber  das  elaslische  Gleich- 
gewicht  von  zylindrischen  Ringen  u.  die  Spannungsverteilung  in  einem 
gelochten  Zugstabe  von  endlicher  Breite.  —  A.  Ritter  :  Spannung  in  einein 
auf  mehreren  Stûtzen  gelagerten  Hohlzylinder  unter  der  Wirkung  von  in 
der  Richtung  der  Zylinderachse  gleichmiissig  verteillen  Belastungen.  — 
H.  Leitz  :  Berechnung  der  eingespannlen  rechleckigen  Platte.  —  F'r. 
Schilling  :  Neue  Methoden  der  Ortsbeslimmung  eines  Fremdkôrpers,  ins- 
bessndere  eines  Geschosses,  im  menschlichen  Kôrper  durch  Rôntgenauf- 
nahmen,  ein  einfaches  Bespiel  der  Photogrammelrie. 

ZeitSChrift  fûr  mathem.  u.  naturw.  Unterricht.  Leipzig.  —  Band  47,  N»** 

9-12.  —  W.  LiETZMANN  :  Kriegslehren  fur  den  mathematischen  Unterricht 
an  hôhereu  Knabenschulen.  —  H.  Wieleitner  :  Zur  Erfindung  der  analyli- 
schen  Géométrie.  —  H.  Scheffler  :  Ueber  Peripheriewinkel  und  Zentriwin- 
kel  der  Ellipse.  —  E.  Grunholz  :  Aus  der  Pra.vis  der  physikalischen  Schii- 
lerùbungen.  —  Alois  Lan.ner  :  Der  didaktische  Wert  der  Arnebergschen 
Kegeikonstruktionen.  —  W.  Rollwagen  :  Die  Voraussetzungen  der  zweiten 
Schallzone.  —  F.  R.  Sciierrer  :  Die  Struktur  der  Heronischen  Dreiecke.  — 
H.  Beck  :  Die  Hessesche  Normalform.  —  Heinrich  Ruff  :  Das  Logarithmie- 
ren  von  Ungleichungen.  —  W.  Brunner  :  Anwendung  des  Fliichensatzes  zum 
Nachweis  der  Erddrehung. 

Band  48,  N^^  1-5.  —  P.  Luckey  :  Kriegsnomogramme.  —  R.  Bôger  : 
Pappus-Fiinfeck-Steiner.  —  A.  Gutzmer  :  Die  Tatigkeit  des  Deutschen 
Unlerausschusses  der  Internationalen  Mathematischen  Unlerrichtskommis- 
sion  1908-1916.  —  R.  Ullrich  :  Ueber  das  Gleiten  und  Rollen  eines  Kor- 
pers  entlang  einer  schiefen  Ebene.  —  F.  Pugehl  :  Die  Behandlung  der 
Yiereckslehre.  —  P.  Lvckey  :  Kriegsnùinogramme.  —  A.  Peter  :  Das  sta- 
bile  Schwimmen  malhematischer  Korper.  —  AL  Koppe:  Bestimmung  der 
Sùdrichtung  aus  dem  Stande  der  Sonne.  —  F.  Pigehl  :  Die  Behandlung  dei' 
Yiereckslehre.  —  A.  Carl  :  Zur  Zinseszinsformel  —  P.  Zuhlke  :  Eine  ana- 
lytisch-geomelrische  Lôsung  des  Systems  zweier  allgemciner  quadratischer 
Gleichungen  mit  zwei  Unbekannleu  durch  eine  kubische  Glciciuing.  — 
K.  GiEBEL  :  Das  Stangenpiauimeler.  —  Ph.  Sciiwarz  :  Ueber  die  Beobach- 
lung  als  Quelle  eines  Satzes  der  «  Natùrlichen  Géométrie  ».  —  O.  Herrmann  ; 
Zur  I.ehre  von  der  Ivrùmmung  ebener  Kurven. 


BULLETiy     BIBLIOGRAPHIQUE  381 


S.  I-.ivres  nouveaux  : 

Emil  BucHEREK.  —  Grundzûge  der  mathematischen  Géographie.  —  1  vol. 
in-8°,  39  p.;  G.  Krebs,  Bàle. 

^^'.  LiETz.MAN,\.  —  Der  Pythagorische  Lehrsatz.  —  1  vol.  in-16,  64  p., 
M.  0,80  (Mathematisch-Pliysikalisclio  Bibliothek,  N»  3),  2<=  édition,  B.  G. 
Teubner.   Leipzig. 

W.  LiETZMANN  uud  V.  Tkiek.  —  Wo  steckt  der  Fehler?  —  1  vol.  in-16, 
53  p.  (.Mathemalisch-Physikalisclie  Bibliothek,  Xo  10|,  2«  édition;  B.  G. 
Teubner,  Leipzig. 

R.  Nelendorff.  —  Praktische  Mathematik,  1.  Teil.  —  1  vol.  in-16, 106  p.; 
M.  1,50  |Aus  Xatuf  u.  Geisteswelt i,  2>=  édition  ;  B.  G.  Teubner,  Leipzig. 

E.  Pjcard.   —  Les  Mathématiques  en  France  depuis  un  demi-siècle.  — 

1  brooh.  gr.  in-8",  24  p.:  Gautliier-Villars  &  C'«,   Paris. 

Serret-Scheffers.  —  Lehrbuch  der  Differential-  und  Integralrechnung, 
Ursprûnglich  Uebersetzung  des  Lelirbuches  von  J.  A.  Skkret.  Seil  der 
dritten  Aiiflage  giinzlich  neu  bearbeitet  vou  G.  Scheffeks,  Sechste  und  sie- 
bente  Auflage,  Ersier  Band  :  Differential  Rechnung.  mit  70  Figuren  im  Text. 
—  1  vol.  in-8o,  670  p.  ;  M.  13;  B.  G.  Teubner.  Leipzig. 

Hans  Stohler.  —  Mathematische  Géographie  und  sphârische  Trigono- 
métrie. —  1  vol.  in-8o.  96  p.;   Basler  Driick  u.   Verlags-Anstalt,  Bàle. 

Giolio  VivANTi,  —  Nuovi  esercizi  di  Analisi  Infinitésimale.  Traiii  dalle 
.Matematiche  A(>plicale.  —  1  vol.  in-8",517p.  ;   Mattei  (S;  C'*^,  Editori,  Pavia. 

Nomenclature  des  Journaux,  Revues,  Périodiques  français  paraissant  en 

France  et  en  langue  Irancaise  à  l'étranger,  par  l'Argus  de  In  Presse.  — 
1  vol.  p.  in-8o.  271  p.  Edité  par  les  Bureaux  de  lArgus,  37,  rue  Bergère, 
Paris  (1X«),  1917. 


TABLE    DES    MATrÈRES 


ARTICLES    GÉNÉRAUX 
Méthodologie  et  Notes  diverses. 

Pages 

Deux  couférences  sur  la  iS'omographie,  11.  Application  des  mono- 
grammes à  l'alignement  aux  différenis  cas  de  résolution  des  triangles 
sphériques  (avec  4  figures).  Par  M.  d'OcAGNE  iParis) 20 

Modules  d'une  somme.  Par  M.  Petkovitch  (Belgrade-Genève)  ...        53 

Une  question  de  Cayley  relative   au  problème   des   triades  de    Steiner. 

Par  S.  Bays  (Fribourg,  Suisse) 57 

Sur  quelques  représentations  arithmétiques  des  fonctions  analytiques. 

Par  A.  KiENAST  (Kùsnacht-Zurich) 129 

Sur  certaines  fonctions  analytiques  uniformes  obtenues  comme  limites 

de  fonctions  multiformes.  Par  D.  Pompéiu  (Bucarest-Jassyi  .      151 

Notions  d'arithmogéométrie  {S'"^  et  4'"«  articles).  Par  E.  Tukhière 
(Montpellier) 159,  233 

Décomposition    des    segments    de    droites    en    parties   égales   (avec  4 

figures).  Par  Emile  Du.mont  (Bruxelles) 218 

Note    sur  la    géométrie    du   triangle   et   du   tétraèdre  |avec  2  ligures). 

Par  M.  Fr.  Da.mëls  (Fribourg,  Suisse) 273 

Sur  une  généralisation  du  théorème  de  Steiner-llabich  concernant  les 
roulettes  et  les  podaires  appliquée  aux  orbiformes  d'Euler.  Par 
L.  Bkaude  (Bierstadt) 276 

Note  sur  les  permutations  (Définitions,  classifications  et  tiansfor- 
mations,  I).  Par  A.  Aubry  (Dijon) 280 

L  équation  de  Fermât  rt''~  :=z  pk  \(i)  -\-  1.  Par  H.  E.  Hanse.n-  (Copen- 
hague)     295 

Sur  une   transformation   projcctive    conduisant    à   quelques    propriétés 

métriques.  Par  F.  Goxseth  (Zurich) 301 

Sur  la  Ibnction  résistance  Fu)  de  la  balislique  (avec  1  figure).  Par 
G.  TiERcy  (Genève) 309 

Organisation  de  l'enseignement. 

Du  rôle  que  peut  jouer  renseignement  des  mathématiques  dans  l'édu- 
cation intellectuelle  des  écoliers.  Par  H.  Roorda,  v.  E.  (Lausanne)    .        68 
Thèses  de  M.  Roorda 86 


TABLE    DES    MATIERES 


383 


Histoire  et  Philosophie. 


Pages 


Henri  Poincaré,  œuvres  publiées  par  M.  G.  Darboux.  Tome  second. 
Par  A.  BuHL  (Toulouse) ^ 

Les  antinomies  de  Russell  et  de  Burali-Forti  et  le  problème  fonda- 
mental de  la  théorie  des  ensembles.  Par  D.  Miri.manoff  (Genève)       .       37 

Remarques  sur  la  théorie  des  ensembles  et  les  antinomies  cantoriennes, 

I.  Par  D.  iSIiRi.MANOFF  (Genève) 209 

MÉLANGES  ET  CORRESPONDANCE 

Récréations  mathématiques.  Le  jeu  de  la  Ziggurat.  Par  Pierre  Bovet 
(Genève)  et  L.  G.  Du  Pasquier  (Neuchàlel) 192 

Remarques  sur  le  problème  de  Jean  de  Palerme  et  de  Léonard  de  Pise. 
A  propos  d'un  article  de  M.  E.  Turrière.  D'après  une  lettre  de 
E.  Haentzschel 199 

Sur    la    définition    géométrique    de    la    «  Fenêtre    de    Viviani.  »     Par 

G.  TiEKCY  (Genève) 314 

L'équation  x''  —  Ar-  =:  1.  Par  A.  Gérardin   (Nancy) 317 


CHRONIQUE 

Articles  divers. 

Commission  internationale  de  l'enseignement  mathématique  (H.  Fehri.  318 

Allemagne  ;  Nominations 3-tl 

Une  fondation  à  la  mémoire  de  Fr.  London 3i3, 

Angleterre:  Nominations o^l 

Société  mathémathique  de  Londres.  Médaille  De  Morgan.      .      .       .  202 

Prix  Adams 341 

Autriche  :  Nominations  et  distinctions 341 

Etats-Unis  :  Nominations 341 

Société  mathématique  américaine 106 

Association  mathématique  américaine 106 

Fra.nce  :  Académie  des  Sciences 106,  341 

Académie  des  Sciences  ;  prix  décernés 319 

Italie  :  Nominations 341 

Norvège  :  Une  fondation  à  la  mémoire  d'Abel 342 

Suisse  :  Nominations ...       106,  342 

Société  mathématique  suisse,  réunion  de  Schuls,  8  août  1916       .      .  89 

Société  mathématique  suisse,  réunion  de  Zurich,  30  mai  1917      .      .  202 

Société  mathématique  suisse,  réunion  de  Zurich,  11  septembre  1917  321 

Nécrologie. 


A.  Bentèli 342 

Général   Bassot 106 

Gaston  Darboux  |H.   F.)       .  87 

Henri  Dufumier 106 

G.  Frobenius 342 


F.  R.  Helmert 3'f2 

D.  Kikuchi 342 

F.  London 343 

E.  Oit 342 

G.  Veronese 343 


384  TABLE    DES    MATIERES 

NOTES  ET  DOCUMENTS 

Pages 
Commission  internationale  de  l'enseignement  mathématique.  Liste  des 
publications  du  Comité  central  et  des  Sous-commissions  nationales, 

parues  depuis  le  l"'"  avril  1914  (H.   F.) 3j3 

Commission   internationale  de   renseignement  mathémati(|ue.    Compte 
rendu  des  travaux  des  sous-commissions  nationales  (25«  article)  : 
Suisse  :    Mathématiques  et  enseignement   secondaire  suisse,  d'après 
le  rapport  de  M.  K.  Brandenberger.  Par  G.  Dlmas  l Lausanne)       .      107 
Plans  d'études   mathématiques  de   l'enseignement    normal    primai le  en 

Bolivie.  Par  Constant  Lurqlin 345 

Cours  universitaires. 


Etats-Unis 349 

France 351 


Italie 351 

Suisse 352 


BIBLIOGRAPHIE 

Annuaire  pour  l'an  1917,  publié  par  le  Bureau  des  Longitudes.      .  112 

Bi.iDHFELDT  (H.  F.).  —  Finile  collineation  Groups 366 

BôcHER  (M.).  —    Leçons  sur   les  méthodes  de   Sturm    dans    la    théorie 

des  équations  différentielles  linéaires  et  leur  développement  moderne 

(A  Buhl) 203 

BucHERER  (E.).  —  Grundzûge  der  mathcmatischen  Géographie  (H.  F.)  366 
Carslaw  (H.  S.).   —  The  éléments    of  non-euclidean   plane   Geometry 

and  Trigonometry  (H.  F.) 367 

Fawdry  (R.  C).  —  Dynamics.  Part.  1  (H.  F.) 204 

FÔPPL  (A.).  —  Vorlesungen  iiber  technische  Mechanik,  I,  5.  Aufl.  .  .  113 
GiGLi  (D.j.  —  Lezioni  di  Aritmetica  e  di  Aigebra  elementare  ftîic. -Saa- 

tard) 367 

Gmeinek  (voir  Stolz  u.  Gmeiner) 367 

GoNGGRijp  (B.).  —  Logarithmische  en  gouiometrische  Tafels  en  Bijtafels 

(A.  Buhl) 112 

Grialou  (J.).  —  Cours  d'hydraulique  {A.  Buhl) 114 

Grossmann  (Marcel).  —  Elemente  der  darstellenden  Géométrie        .       .  368 

Hadamard  (J.).  —  Four  Lectures  on  Mathemalics  (M.  Plaiicherel) .  .  114 
Index    du    Répertoire    bibliographique    des    Sciences    mathématiques 

(ff.  F.) 365 

Lecat  (M.).  —  Bibliographie  du  Calcul  des  variations 368 

Mathematische   Bibliothek,    herausgcgebeu    von    ^^'.  Lielzmann    u.    A. 

Witting,  Nos  3,  10,  25  et  26             365 

.Meh.mke  (R.).  —  Leilfaden  zum  graphischen  Rechnen  I  H.  F.  I     .      .      .  203 

Michel  (Ch.).  —  Cours  d'Algèbre  et  d'Analyse  (A.  Buhl)  ....  369 
Miller  (G.  A.).  Blichfeldt  (H.  F.)  et   Dickson  (L.  E.).  —  Theory  and 

Applications  of  liuite  Groups  (II.  F.) 117 

Montessus  (R.  de)  de  Ballore.  —  Leçons  sur  les  fonctious  elliptiques 

en  vue  de  leurs  applications  (A.  Buhl.) 205 

Rey  Pastor  (J.).  —  Introduciôn  a  la  Matemâtica  superior  {H.  F.)  .      .  370 


TABLE    DES    MATIERES  385 

Pages 

Rey  Pastor  |J.).  —  ïeoria  de  la  Representaciô  conforme  {H.  F.)    .      .  370 

|Id.).  —  Fundarnentos  de  la  Geometria  Proyectiva  superior  {H.  F.j  .  370 
Salmon-Fiedler-Dingeldey.    —    Analytische    Géométrie    der    Kegel- 

schuilte,  I .  118 

Sanchez  Ferez  (J.  A.|.  —  Compendio  de  Algebra  de  Abenbeder      .      .  371 
Stohler  iH.I.  —  Mathemalische    Géographie    u.    sphiirische    Trigono- 
métrie {H.  F.) 366 

Stolz  u.  Gmei.\er.  —  Theoretische  Arithmetik,  II  (2>=  édition)  .  .  .  372 
Teixeira  (F.  Gomes).  —   Sur    les  problèmes   célèbres  de  la  géométrie 

élémentaire  (H.  F.) 118 

A'allée-Poussin    (Ch.    de   la).    —    Intégrales   de    Lebesgue.    Fonctions 

d  ensemble.  Classes  de  Baire  (A.  Buhl) 119 

^YIJDE^'ES  (P).  —  Logarithmen  en  Rentetafels  (A.  Buhll 113 

BULLETIN  BIBLIOGRAPHIQUE 

1.   Sommaire  ou  annonce  des  principaux  périodiques. 

Acta  Mathematica  (Mittag-Leffler,  Stockholm) 121 

American  Journal  of  Mathematics  f  Baltimore) 206 

American  mathematica!  Monthly  {  Springfîeld ) 373 

Annales  de  lUniversité  de  Grenoble 373 

Annali  di    matematica    pura  ed   applicata  (Bianchi,   Dim,  Jung,   Segre, 

Milan] 374 

Annals  of  mathematics  (Princeton  University) 121,  374 

Archiv    der    Mathematik     und    Physik     (La.mpe,     ^^^    Meyer,    Jahnke, 

Leipzig) 206 

Alti  délia  R.  Accademia  dei  Lincei  {Rome) 207,  374 

Bollettino   di   Bibliografia    e   Storia   délie    Scienze   matem.   (G.    Loria, 

Turin] 373 

Bollettino  di  .Matematica  (Conti,  Rome] 373 

Bulletin  de  la  Société  mathématique  de  France  (Paris i l'.M 

Bulletin  de  la  Société  physico-mathématique  de  Kasan 375 

Bulletin  des  Sciences  mathématiques  (Darbou.x,  Picard,  Paris).      .      .  376 

Bulletin  of  the  American  Mathematical  Socieiy  { New- York)   .  122,  207,  376 

Comptes  rendus  de  l'Académie  des  Sciences  {Paris}  ....  126,  376 
Conlribucion  al  Estudio  de  las  Ciencas  fisicas  y  matematicas  (Univer- 

sidad  de  la  Plata) 373 

Giornale  di  .Matematiche  di  Batlaglini  (Naples) 373 

Intermédiaire   des    mathématiciens)    Laisant,    Maillet,  Maluski,    Bou- 

LA.NGER,  Paris] 373 

Jahrbuch  iiber  die  Fortschritte  der  Mathematik  |E.  Lampe,  Berlin)  .  122 
Jahresbericht    der     Deutschen    Malhematikcr-Yereinigung    (Gutz.mer, 

Leipzig] 377 

Journal  de  mathématiques  élémentaires  (Paris) 373 

Journal  fiir  die  reine  und  angewandte  Maliiemalik   (Henskl,  Berlin]      .  377 

Mathemalische  Annalen /^Ze/p:/"'/ .       122,  378 

Mathematics  Teacher,  The  (VV.  H.  Metzler,  Syracuse,  N.  Y.)    .      .      .  378 

Nieuw  Archief  voor  Yiskunde  (Klcyver,  Kokteweg,  Schuh,  Amsterdam]  373 

Nouvelles  Annales  de  Mathématiques  (Laisant  et  Bkicard,  Paris)   .      .  122 


386  TABLE    DES    MATIERES 

Pages 

Nyt  Tiddskrift  for  Matematik  (Heegard,  Copenhague) 373 

Periodico  di  Matematica  (Lazzeri,  lAvourne]           373 

Proceedings  of  the  London  JVIalhematical  Society 125 

Rendiconti  del  Circolo  raatematico  di  Palermo 125,  379 

Revista  de  la  Sociedad  Matematica  Espanola  (Madrid) 373 

Revue  de  l'Enseignement  des  Sciences  (Paris) 123,  379 

Revue  de  Métaphysique  et  de  Morale  (X.  Léon,  Paris) 124 

Revue  générale  des  sciences  pures  et  appliquées  (Paris).      .      .       124,  379 

Revue  scientifique  (Paris) 373 

Revue  semestrielle  des  publications  mathématiques  ( Amsterdam I  365,  374 

School  Sciences  and  Malhematics  (G.  W.  Myeks,  Chicago)    ....  374 

Scientia,  Rivista  di  Scienza  (Rignano,  Bologna) 380 

Sitziingsberichte  der  K.  Akademie  der  Wissenschaflen  (Vienne)      .      .  126 

Unterrichtsblatter    fur    Malhematik   und   Naturwissenschaflen  (Berlin)  374 

Wiskundige  Ofgaven  I Amsterdam) 374 

Zeitschritt    fur    das    Realschulwesen    (Czuber,    Bechtel,     Walle.ntin, 

Vienne) 126 

Zeitschrift  fur  Mathematik  und  Physik  (Mehmke,  Runge,  Leipzig)  .  .  380 
Zeitschrift  fur  mathematischen  und  naturwissenschaftlichen  Unterricht 

ScHOTTEN,  LiETZMANN,  Leipzig) 124,  380 

2.   Publications  non  périodiques. 

Livres  nouveaux •      .      .      .128,208,  381 


TABLE  DE  NOMS  D'AUTEURS 


Cette  table  comprend  les  auteurs  d'articles  généraux  ou  d'articles  de  chronique,  de  lettres 
ou  notes  insérées  dans  la  correspondance  ou  de  comptes  rendus  bibliographiques. 
Les  numéros  qui  suivent  chaque  nom  renvoient  aux  pages  du  volume. 


Pages 

AuBRY  (A.) 280 

Baatard  (L.) 368 

Bays  (B.) 57 

BovET(P.) 192 

Braude  (L.) 276 

BuHL  (A.)  4,  112,  113,  ll'i,  119,  203 

205,  370 

Daniels  (M.  Fr.)        .      .      .      .  273 

Dumas  (G.) 107 

DuMONT  (K.) 218 

Du  Pasquier  (L.-G.)       ...  192 

Fehr  (H.).      ...      87,  117,  118 

204,  319.  3'i5,  365,  366,  367,  371 

Gérardin  (A.) 316 


Pages 
301 
199 
295 
129 


Gonseth  (F.) 

H.ï:ntzschëi.  (E.). 
Hansen  (H.  E. )     . 

KlENAST   (A.) 

LuRQuiN  (G.) 345 

MiRIMANOFF  (D.|    .       .       .          37,  209 

d'Ocagne(M.) 20 

Petrovitch  (M) 53 

Plancherel  (M) 113 

POMPÉIU  (D.) 151 

RooRDA  (H.)    .      .      .      .       68,  86 

Tiercy(G.)      ....     309.  314 

TuRRiÈRE  (E.).      .      .      .      159,  233 


L  ENSEIGNEMENT 

MATHÉMATIQUE 


L'Knsoign(!ment   ni.itlK'm..   2li'"  .-inncc';    1918. 


L'ENSEIGNEMENT 

MATHÉMATIQUE 

MBTHODOI.OCIE    RI'    OHG  ANI  SAI  1  ON     DK     I,  ENSEICNRM  ENT 

PHM.OSOl'HIE    ET  HlSIOlIti:   DIÎS   M  A  I  H  KMAIIQU  ES 

C  H  It  <)  M  Q  U  E     S  C  I  E  N  l'  1  F  I  Q  U  E    M  É  (.  A  N  C  E  S    R  I  lU.  I  ()  (;  Il  A  P  H  I  R 


REVUE    INTERNATIONALE 


p  A  U  A  1  s  s  A  N  T     T  ()  U  S    T,  K  S     I)  K  U  X     MOI  S 


DIRIGER    PAR 


C.-A.  LAISANT 


Docteur    es   sciences. 

ancien    Kxaininateui'    d'admission    à    l'Kcole 

polytBohniqiiP    de    Pans. 


H.  FEHR 

Docteur  es  sciences 

Professeur    à    l'Universilé 

de  fienève. 


AVKC     I.A      i;OI.I.AbORATION      UE 

A.   BUHL 


Docteur  es  sciences 
Professeur  à  la  Faculté   des  Sciences   de  'l'oulou.se. 


Organe  officiel  de  la  Commission  internatiuiiale  de  l' /-enseignement  mathématique. 


\  I  X  G  r  I  E  M  E    A  N  N  E  E 


1918 


PARIS 
GAl'THIKM  Vll,L.\n8  &(>,  ÉDITKUnS 


GENEVE 
(îliOnr,  &  C'«,   ÉDITEUKS 


J918 


GENEVE 
IMPRIMERIE   ALBERT   KUNDIG 


L'APPROXIMATION  DES  FONCTIONS 
D^UNE  VARIABLE  RÉELLE  ^ 


G.  de  la  Vallée   Poussin 

Professeur  à  1  Université  de  Louvain. 


1.  —  Le  problème  de  l'approximation. 

L'approximation  des  fonctions  de  vai-iables  réelles  a  fait 
l'objet  de  recherches  récentes  (1898-1913).  J'en  ai  suivi  les 
dernières  avec  d'autant  plus  d'intérêt  que  j'avais  contribué 
dans  une  certaine  mesure  à  les  provoquer.  Je  me  propose 
de  donner  ici  une  idée  sommaire  de  cette  nouvelle  théorie. 
J'espère  qu'elle  suiïira  pour  faire  saisir  les  problèmes  les 
plus  caractéristiques  (|ui  se  posent  et  la  nature  des  procédés 
mis  en  œuvre  pour  les  résoudre.  Je  me  guiderai  dans  mon 
exposé  sur  Tordre  histori(jue  des  découvertes;  mais  je  me 
bornerai  aux  fonctions  d'une  seule  variable,  iaute  de  temps. 
On  se  gardera  d'en  conclure  que  la  théorie  des  fonctions  de 
plusieurs  variables  manque  actuellement  d'intérêt  ou  de 
l'ésultats. 

Je  définis  d'abord  la  c|uestion  c|ui  va  nous  occuper. 

Il  s'agit  (rex[)rimer  une  fonction  sous,  forme  finie  avec 
|)lus  ou  moins  d'a|»proximalion.  Mais  les  recherches  actuelles 
ne  portent  que  sur  deux  modes  de  représentation  appro- 
chée :  La  représeiilation  par  polynômes  et  alors  la  représen- 
tation se  fait  dans  un   intervalle  («,   h),   oii   l'on  suppose  la 


'  Coniei-encu  laite  à    la  séanci!    de    la   Sociélc    nialhéniatiquc    suisse,   tciiiio    à    Fribourg    le 
2'i  lévrier  l'JIH. 

Les  numéros  dans  le  texte  renvoient  .i  l'index  bibliographique  à  la  lin  de  l'article. 


6  C.    DE    LA     VALLEE    POUSSIN 

foiKttion  continue;  la  représentation  trigonométrique,  auquel 
cas  la  fonction  est  supposée  continue  et  périodique  de  pé- 
riode 2tz,  la  représentation  s'étend  alors  à  toutes  les  valeurs 
réelles  de  r. 

Cette  représentation  trigonométrique  est  donnée  par  une 
expression  d'un  certain  ordre  fini  ;? ,  c'est-à-dire  par  une 
suite  limitée  de  la  forme 

^'o  +  ^']  ^^^^  •^'  +  ^^-^  ^^^  2,r  -|-   ...   +  a^j  cos  nx 
-f-  h^  sin  x   -\-  h.^  sin  'Ix   -\-   ...   +  ^„  sin  nx  , 

OU,  ce  qui  est  la  même  chose,  par  un  pol3'nôme  de  degré  7i 
en  sin.r  et  cos.r.  Il  y  a  lieu  d'observer  que  si  l'expression 
est  paire,  elle  se  réduit,  les  sinus  disparaissant,  à  un  poly- 
nôme de  degré  n  en  cos.r. 

Soient  f{,v)  une  fonction  continue  dans  un  intervalle  [a,  b) 
et  P„(.r)  un  polynôme  de  degré  /*  d'ailleurs  quelconque.  Ce 
polynôme  doit  être  considéré  comme  une  expression  appro- 
chée de  f{x).  Le  maximum  dans  [a,  b)  de  la  différence  ab- 
solue 

I /•(*■) -M 

est  l'approximation  fournie  j)ar  P„ .  Ce  polynôme  est  d'autant 
meilleur  comme  expression  approchée  qu'il  fournit  une  aj)- 
proximation  plus  petite.  Si  l'on  considérait  une  fonction 
{)ériodique  et  sa  représentation  trigonométrique,  l'approxi- 
mation se  définirait  de  la  même  manière. 

Le  problème  de  V approximation  consiste  à  former  une 
expression  de  l'un  ou  de  l'autre  de  ces  deux  types  dont 
l'approximation  soit  aussi  petite  qu'on  le  veut.  Le  problème 
est  possible  dans  les  deux  cas.  Il  y  a  là  tleux  théorèmes 
d'existence,  tous  deux  dus  à  Weierstrass  (1885),  et  qui  ont 
été  le  point  de  départ  de  la  théorie  (|ui  nous  occupe.  Il  y  a 
lieu  de  nous  y  arrêter  quelques  instants. 

2.  —  Les  deux  théorèmes  d'existence  de  Weierstrass. 

Weierstrass  a  démontré  les  deux  théorèmes  suivants  (1)  : 
I.  Toute  fonction  continue  dans  un  intervalle  (a,  b)  peut 


FONCTIONS    D    UNE    VARIABLE    RÉELLE  7 

être  développée  en  série  unifornicment  convergente  de  poly- 
nômes dans  cet  intervalle. 

II.  Toute  fonction  continue  de  période  Iv:  peut  être  déve- 
loppée en  série  uniformément  convergente  d'expressions  Iri- 
gonométriques  finies. 

Il  est  à  peine  besoin  de  faire  observer  que  le  problème  du 
développement  en  série  est  le  même  que  celui  de  l'approxi- 
mation indéfinie.  Par  exemple,  si  Ton  a  un  développement 
v.w  série  uniformément  convergente  de  polynômes 

f(X]  =  P^  +  P,  +    .  .  .    P^^  +    .  .  .    , 

ou  en  déduit  un  polynôme  aussi  approché  qu'on  le  veut  en 
sommant  un  nombre  sufïlsant  de  termes  de  la  série.  Réci- 
[)rof|uement,  si  Ton  sait  former  un  polynôme  P„  aussi  ap- 
proché qu'on  le  veut,  le  développement  en  série  s'obtient 
par  la  formule 

f{.r}  =  P,  +  (P^  _  Pj  +  (P3  _  pj  +  .  .  . 

Les  théorèmes  I  et  II  se  ramènent  réciproquement  l'un  à 
laulre.  J'y  insisterai  dans  le  paragraphe  suivant.  Mais,  depuis 
A\'eierstrass,  on  les  a  prouvés  directement  l'un  et  l'autre  de 
bien  des  manières.  Je  vais  signaler  quelques-unes  de  ces 
démonstrations  et  faire  quelques  observations  d'un  ordre 
général. 

La  plus  simple  peut-être  des  démonslrations  du  théorème 
Il  est  celle  de  M.  Volterra  (2):  On  peut  approcher  autant 
(|u'on  veut  d'une  courbe  continue  à  l'aide  d'une  ligne  poly- 
gonale. Une  telle  ligne  représente  une  fonction  qui,  n'ayant 
qu'un  nombre  limité  de  maxima  et  de  minima,  peut,  d'après 
Dirichlet,  être  développée  en  série  de  Fourier  uniformément 
convergente.  On  sommera  un  nombre  suffisant  de  termes 
lie  cette  série  et  l'on  obtiendra  l'approximation  demandée. 

Les  autres  démonslrations  du  théorème  II  se  rattachent, 
comme  celle-ci,  à  la  série  de  Fourier.  Elles  utilTsent  l'un  ou 
l'autre  des  divers  procédés  de  sommation  de  cette  série  qui 
assurent  la  convergence,  soit  le  procédé  de  sommation  de 
Poisson  comme  celle  que  M.  Picard  a  donnée  dans  son  Traité 


8  C.    DE    LA     VALLEE    POUSSIN 

crAnalyse,  soit  le  procédé  de  la  moyenne  arithmétique,  ce 
(|iii  est  préférable,  car  ce  procédé,  qui  est  celui  de  M.  Fèjer, 
donne,  du  premier  coup,  une  somme  trigonométrique  finie. 
Enfin  j'ai  indiqué  moi-même  (3)  en  1908  un  troisième  pi'o- 
cédé  qui  présente  le  même  avantage  que  celui-ci. 

Passons  au  théorème  I.  Weierstrass   le  démonlre  jiar  l;i 
considération  de  l'intégrale 


-    /  f{t]e  dt 


qui,  pour  n  assez  grand,  s'approche  autant  qu'on  veut  de  fix) 
dans  l'intervalle  («,  b).  Mais  il  vaut  mieux,  comme  M.  Landau 
Ta  fait  le  premier  (4),  définir  directement  un  j)olynàme  ap- 
proché par  la  formule 

P«'-^)  =y  f  f\t\[\-it-x)rdt  . 

0 

où  l'on  a  posé  -» 

0 

Nous  reviendrons  plus  loin  sur  ce  polynôme  P„,  que  nous 
appellerons /?oZ^«ô/;^e  de  Landau. 

Ces  démonstrations  font  appel  au  calcul  intégral  et  oui 
une  allure  synthétique.  On  doit  à  M.  Lehesgue  une  démons- 
tration, (jui  ne  va  pas  au  delà  du  théorème  de  Weierstrass. 
mais  qui  est  très  instructive  par  son  caractère  strictement 
analyticpie.  Elle  réduit  le  problème  à  ses  éléments  irréduc- 
tibles, ce  (|ui  permet  de  le  résoudre  avec  un  minimum  de 
movens.  Elle  a  été  publiée  (5)  en  1898,  dans  une  courte  Xotc 
la  première  qui  ait  été  écrite  par  l'illustre  mathématicien 
français.  Dans  cette  Note,  intéressante  à  plusieurs  litres. 
M.  Lebesfifue  ramène  la  démonstration  du  théorème  1  pour 
une  fonction  continue  f[uelcon(|ue,  à  la  démonstration  dutiit 
théorème  pour  la  seule  fonction  particulière  |.r|. 

M.  Lebesgue  emprunte  d'abord  à  M.  Volterra  la  réduction 


FONCTIONS    D'  UNE     VAR  lA  BLE    R  E  E  l.l.E  9 

de  Tapproxiination  d'une  foiiclion  continue  ((uelcoiK|iie  à 
celle  d'une  ligne  polygonale.  \'oici  maintenant  comment  il 
ramène  l'approximation  d'une  telle  ligne  à  celle  de  \x\. 

Soient  [.i\,  y^^  (.r.,,  y^^  ...  (.r„,  y,,)  les  sommets  de  la  ligne 
polygonale  dont  il  faut  représenter  approximativement  l'or- 
donnée entre  les  abscisses  .r,  et  a',,.  Remarquons  cjue  la  fonc- 
tion 

Of.ix)  =r  I  X    —  X/^  I  -f-  [X  —  X/^\ 

est  nulle  pour  .r  <  ,r^.  et  égale  à  2'.v  —  .r^j  pour  .r  >  .r^ , 
Posons 


F  {x]  =  n„  + 


'A-YA' 


OÙ  r/o,  r/^ .  ...  rt,;_i  sont  n  constantes  à  déterminer.  Cette  fonc- 
tion varie  linéairement  entre  deux  abscisses  consécutives 
.r.  et  .r  .  Donc,  pour  l'identifier  à  la  ligne  polygonale,  il 
suffît  d'amener  la  coïncidence  des  sommets.  Faisons  .r=z.r.^ 
nous  obtenons  ainsi  la  condition 

yi  =  s  +  ^2"'^-'''''  ^•'''^■'  • 

Ceci  constitue,  pour  i  ^^  i,  2,  ...  // ,  un  système  récurrent, 
qui  détermine  de  proche  en  proche  Oq,  «j  ,  ...  <7„_i .  Ainsi 
l'approximation  de  l'ordonnée  F(.r)  de  la  ligne  polygonale 
est  ramenée  à  celle  de  9^.(.^)  ou  de  |.r  —  .r^. |  et,  en  définitive, 
a  celle  de  |.c| . 

.5.  —  Réduction  des  deux  modes  d'approximation  l'un  à  l'autre. 

Les  deux  modes  d'approximation  se  ramènent  l'un  à  l'autre, 
l'approximation  par  polynômes  à  une  approximation  tiigono- 
métrique  et,  inversement,  l'approximation  trigonométric|ue 
à  une  approximation  [)ar  polynômes. 

Les  deux  problèmes  ont  été  résolus  dès  le  début,  mais  le 
problème  direct,  (|ui  a  pour  objet  de  déduire  l'approximation 
|)ar  polynômes  d'une  approximation  trigononiéti'ique,  est  le 


10  C.    DE    LA     V ALLÉE    POUSSIN 

plus  simple.  On  en  trouve  déjà  une  solution  très  naturelle 
clans  le  Traité  d'Analyse  de  M.  E.  Picard.  Elle  consiste  à 
remplacer,  dans  le  développement  trigonométrique  suffi- 
samment approché,  chacune  des  lignes  trigonométriques 
par  un  polynôme  suffisamment  approché  tiré  de  la  formule 
de  Taylor.  Mais,  malgré  sa  simplicité,  ce  procédé  n'est  pas 
le  meilleur.  11  en  existe  un  autre,  bien  plus  parfait,  qui  fait 
rentrer  Tapproximation  par  poh'nômes  comme  simple  cas 
particulier  dans  l'approximation  trigonométrique.  Il  est 
même  étonnant  (jue  ce  procédé  n'ait  été  utilisé  que  si  tardi- 
vement. C'est  M.  Bernstein  qui  en  a  montré  les  avantages 
dans  son  Mémoire  couronné  de  1912  (6j. 

Soit  à  représenter  une  fonction  continue  /"(.r)  par  des 
polynômes  dans  l'intervalle  ( —  1,  +  1).  Tout  autre  intervalle 
se  ramènerait  à  celui-là  par  une  substitution  linéaire.  Posons, 
avec  M.  Bernstein, 


ce  qui  transforme /(.r)  en /'(cos  tp),  qui  est  une  fonction  paire 
et  périodique  de  (p.  Je  dis  cpie  l'appro.riiualion  de{[\) par  des 
polynômes  en  x  et  celle  de  f((;os  tp)  par  des  expressions  frigo- 
nométriques  en  ç),  sont  deux  problèmes  complètement  équi- 
valents. 

Supjiosons,  en  effet,  que  nous  aj^ons,  avec  une  certaine 
approximation,  la  représentation  trigonométrique 

/■(cos  o)  =  a^  +  «j  cos  Y  +   •    •  +  ^'„  cos  n  y   ; 

et  remarquons  que  cos  A(j>  est  un  polynôme,  Tyi(cos(p),  de 
degré  k  en  coS(j9.  i\ous  aurons,  avec  la  même  approximation, 
la  représentation  ])ar  polynômes  que  nous  cherchons 

/■(.ri  =  a,  +  û,Tj.r)  +  ...  +  ^„T„(.r)   . 

Les  polynômes  T, (.r),  T.,(.r),  ...  sont  ce  que  M.  Bernstein 
appelle  des  polynômes  trigonométriques.  Ils  ont  été  consi- 
dérés, bien  avant  lui,  par  le  grand  mathématicien  russe 
TchebychefT  (7)  (1859),  qui  en  a  signalé  des  propriétés  de  la 
plus  haute  importance  pour  notre  objet.  M.  Bernstein  en 
a  tiré  le  j)lus  heureux  parti.  En  j)arti(ulier.  il  a  montré,  ilans 


FONCTIONS    D'UNE    VARIABLE    REELLE  11 

son  Mémoire  cité,  les  avantages  inattendus  (jiie  présente 
le  développement  de  f(x)  en  série  de  polynômes  trigonomé- 
triques,  et  il  appelle  ainsi  la  série  de  polynojnes  qui  se  déduit 
de  la  série  de  Fourier  de  /(cos  9)  par  la  transformation  précé- 
dente. C'est  ainsi,  entre  autres,  qu'il  a  efTectué  le  dévelop- 
pement de  \x\  en  série  de  polynômes  et  il  a  obtenu,  pour 
celte  fonction,  la  meilleure  représentation  connue  jusqu'à  lui. 

La  substitution  de  M.  Bernstein  possède,  au  point  de  vue 
de  notre  étude,  un  avantage  sur  Timportance  duquel  il  faut 
insister  :  elle  n'altère  pas  les  propriétés  différentielles.  La 
fonction  x  =  cos  o  est  continue  ainsi  que  toutes  ses  dérivées, 
de  sorte  que  si  les  dérivées  d'un  certain  ordre  de  /"(.i)  sont 
continues  par  rapport  à  .i\  elles  le  sont  encore  par  rapport 
à  (f.  Grâce  à  cette  continuité,  la  substitution  de  Bernstein  ne 
jette  aucun  trouble  dans  Télude  combinée  de  l'approximation 
et  des  propriétés  différentielles  de  /"(.r).  Aussi  bien,  plus 
tard,  quand  nous  ferons  cette  étude,  il  nous  suflira  de  parler 
de  l'approximation  trigonométrique.  Tous  les  résultats  peu- 
vent se  traduire  dans  l'autre  mode  par  la  substitution  pré- 
cédente . 

Le  pioblème  inverse  ne  présente  pas  les  mêmes  lacilités. 
Il  a  pour  objet  de  ramener  l'approximation  trigonométrique 
à  une  approximation  par  polynômes,  il  a  d'abord  été  traité 
par  M.  Lebesgue  dans  son  premier  Mémoire  de  1898  (5). 
Il  se  résout  naturellement  par  la  substitution  //  =  cos.c, 
inverse  de  ('elle  de  F^ernstein,  et  que  nous  appellerons  la 
substitution  de  Lebesgue.  Mais  celle-ci  se  heurle  immédiate- 
ment à  deux  oljjections. 

La  première,  c'est  c|ue  x  et,  par  suite,  /"(.r)  ne  sont  pas  des 
fonctions  uniformes  de  c.osx=u\  la  seconde  vient  de  la 
discontinuité  des  dérivées  de  .r  =  arc  cos  ?^  par  rapport  à  u 
aux  deux  limites  ±  1,  ce  qui  change  les  propi'iétés  dilleren- 
lielles  de  la  fonction. 

M.  Lebesgue  a  résolu  la  première  dillicullé  dans  son 
Mémoire  de  1898.  La  seconde  ne  se  posait  j^as  encore  à  cette 
époque.  Elle  a  été  résolue,  au  moins  partiellement,  par 
M.  I).  Jackson  dans  sa  dissertation  inaugurale  de  1911  (81. 
M.  Jackson   précise   pour  cela   la   méthode  de   M.  Lebesgue, 


12  C.    DE    LA     VALLEE    POUSSIN 

iiKiis  il  se  l)orne  à  la  considéi-atioii  tl\in  iiombi-e  limité  de 
dérivées  successives. 

Je  n'exposerai  [)as  ces  dénionslialions  telles  f|uelles.  Je 
v.iis  les  remplacer  par  deux  autres,  (|ui  s  inspirent  au  lond 
des  mêmes  idées,  mais  qui  me  paraissent  plus  simples. 

Voici  d'abord  commenl  je  modifierais  la  démonstration  de 
M.  Lebesgue,  en  vue  de  tourner  la  première  difficulté  seu- 
lement. 

Soit  /'(.r)   une  fonclion  conlinuc   de    période  2-r\    les  deux 

fonctions 

f[x)  +  A-.r)    ,  [/•(.r)-/-(-.r)]si„.r   , 

sont  des  fonctions  paires  de  période  2Tr,  doni!  des  fonctions 
uniformes  de  cos  .r  =  « .  que  nous  pouvons  désigner  par 
©(«)  et  tp(?/)  et  la  multiplicité  des  valeurs  de  arc  cos  .r  n'inter- 
vient pas.  Je  dis  (|ue  l'approximation  trigonomélrif|uc  de 
/"(.r)  revient  à  l'approximation  par  polynômes  de  9(w),  de  'h  u) 
et  de  deux  autres  fonctions  analogues. 

Soient,  en  elïel,  P„  (//)  et  Qn{ii)  des  |)olynômes  de  degré  n 
tels  qu'on  ait  approximativement 

ç(«)  =  PJ«)   ,         6ii,)  =  QJ„)  ■ 
on  aura,  avec  la  même  apj)roximalion, 

\f{-^)  +  /'( —  ■*■']  si'i"-r  =  P,,  (cos.n  siii-*-  , 
[/"(■*')  —  /'( —  •»  )]  siii-.»'  =:  Q^^  icos  .'/■)  sia  .r   , 

d'où  la  relation  approchée 

2/'(.r)  siii- .r  zr:  P^Jcos  .r)  sin^  .»•  -j-  O^^  (cos  .r)  siii  .r   .  (1) 

Remplaçons,  tlans  le  calcul  précédent,  la  fonction  /(.r)  par 
la  fonclion  f'(.v  +  ^j;  il  viendra  approximativement,  R„  «1  et 
S„(m)  étant  de  nouveaux  polynômes, 

-/(■*■  +  ^jsiu-.r=r  lî^Jcos  .»•)  sii>-.r  +  S^^  (cos  .»  i  sin  .r 

et,  en  (diangeant  .v  en  .r  —  -^  , 

2/(.>)  cos-.r  =  R^jlsin.»)  cos-.r  —  S^^lsin.»)  cos  j-  .  (2) 


FOA'CTIONS    D'UNE     VARIABLE    REELLE  13 

Il  suffit  d'ajouter  ineiiibre  à  membre  les  deux  relations 
approchées  (1)  et  (2)  et  l'on  obtient  l'expression  trigonomé- 
trique  approchée  de  /(.r). 

Il  n'est  pas  difficile  de  modifier  celle  démonstration  de 
manière  à  écarter  la  seconde  difficullé,  dans  la  mesure  même 
où  elle  a  été  surmontée  par  M.  D.  Jackson.  Voici  la  manière 
de  procéder  : 

Supposons  que  f\.r)  et  ses  dérivées  soient  conlinues  jus- 
qu'à Tordre  /'.  Il  s'agit  de  ramener  l'approximation  trigono- 
métrique  de  f[.v)  à  Tapproximalion  par  polynômes  de  cer- 
taines fonctions  de  u  ayant  des  dérivées  en  a  continues 
jusqu'à  l'ordre  /•.  Toute  la  difficulté  provient  de  la  présence 
de  sin.r  qui  s'annule  au  dénominateur  de  la  (ormule  de  déri- 
vation : 

d  _      d      _  \      d 

du         d  oos  X  siii  ,ï'  dx 

Il  suffit,  pour  la  faire  disparaître,  d'introduire  sin'".r  en 
facteur  dans  la  définition  des  fonctions  (p(«)  et  ^[a)  qui  pré- 
cèdent. Cela  permet,  en  effet,  de  faire  disparaître,  comme 
facteur  commun  aux  deux  termes  de  la  fraction,  celte  expres- 
sion sin.r  qui  provoque  la  difficulté. 

Posons  donc 

<?(«)  =  [/■(.r)  +  (-l)'Y(--»')]^in'-^  . 
.}(«)  =  \f[x)  —  (-  \)''f{—  ,*•)]  siu'"+',r    . 

.Soient  P,t(w)  et  Q,,(«)  des  polynômes  approchés  de  y(«)  et 
de  (p{u)\  on  aura,  comme  dans  le  cas  précédent, 

2f{x)  siu'^"'"   X  =  P^(cos.r)  sin  a:-  -|-  Q^j(cos  j^-)   ; 

ensuite,  toujours  comme  précédemment, 

2/'(j)  cos'^"'"  X  =z  I^^Jsinx)  cos  .r  -\-  S^j(sin.r)    . 

Or  on  peut  toujours  déterminer  deux  polynômes  A  et  B 
en  sin.r  et  cos.p  vérifiant  l'idenlité 

A  sin''+'.r  +  B  cos'+'.r  =  1    . 

On  ajoute  les  deux  relations  précédentes  multipliées  res- 


14  C.    DE    LA     VALLEE    POUSSIN 

pectivement  par  A  et  B,  on  obtient  la  représentation  trigo- 
nométrie] ne  cherchée. 

Ce  procédé  ne  résout  pas  la  difïiculté,  si  Ton  considère 
des  fonctions  indéfiniment  dérivables.  Gela  fait,  entre  les 
deux  problèmes  inverses  que  nous  venons  de  traiter,  une 
difFérence  qui  reste  profonde.  La  solution  du  premier  est 
j)lus  radicale  que  celle  du  second. 

4.  —  Dérivabilité  de  la  représentation. 
Ordre  de  l'approximation. 

Ces  deux  questions  sont  liées  par  d'étroites  relations,  qui 
n'ont  été  éclaircies  que  récemment  et  que  nous  approfondi- 
rons dans  un  autre  paragraphe  (6).  Cependant,  sans  que  leur 
dépendance  ait  été  aperçue  dès  le  début,  elles  ont  été  traitées 
dans  les  mêmes  Mémoires  et,  plus  tard,  on  en  a  fait  l'étude 
combinée.  Il  est  impossible  de  les  séparer. 

Nous  allons  donc  les  étudier  ensemble,  mais  en  nous  bor- 
nant pour  le  moment  à  la  seule  approximation  par  polynômes. 

La  question  de  représenter  f{x)  par  une  série  dérivable  de 
polynômes  a  été  posée  par  M.  Painlevé  dès  1898.  M.  Painlevé 
a  montré  que  si  la  fonction  fix)  a  des  dérivées  continues, 
elle  est  exprimable  en  série  uniformément  convergente  de 
pol^^nômes,  telle  que  les  séries  dérivées  convergent  aussi 
uniformément  vers  les  dérivées  de  f[x).  M.  E.  Borel  est 
revenu  sur  cette  question  dans  sa  Thèse  et  dans  ses  Leçons 
de  1905  sur  les  fonctions  de  variables  réelles. 

La  question  de  l'ordre  de  l'approximation  est  plus  récente. 
Elle  a  été  posée  en  1908  par  M.  Lebesgue  (lOi,  à  l'occasion 
du  polynôme  de  Landau, 

I 
P„  =  y    f  fM)[i-[t-x)rdt  , 

([ui,   pour  II    infini,  converge   uniformément  vers  f[x)  dans 
loiit  intervalle  («,  b)  intérieur  à  (0,  1). 

Le   maximum    de    \f — P„  | ,   ou    rap[)roximation   p^^^    tend 

vers  0  avec  —,    mais   quel  est  l'ordre   de  grandeur   de   o    ? 


FONCTIONS    D'UNE     VARIABLE    REELLE  15 

Telle  est  la  question  de  Tordre  de  rapproximation  (|ue 
M.  Lebesgiie  s'est  posée,  mais  n'a  traitée  que  très  sommai- 
rement dans  ce  premier  article. 

Je  m'étais  posé  la  même  question,  avant  la  publi(;ation  de 
la  Note  de  ^I.  Lebesgue,  et  mes  résultats  ont  paru,  |)eu 
après,  dans  un  Mémoire  étendu  (3)  de  l'Académie  royale  de 
Belgique  (1908).  Les  deux  questions,  dérivabilité  et  ordre 
de  l'approximation,  reçoivent  ici  des  solutions  plus  précises 
que  dans  les  travaux  précédents.  Je  prouve,  en  particulier, 
que  le  problème  de  la  dérivabilité  est  entièrement  résolu 
par  le  polynôme  de  Landau.  En  etYet,  une  dérivée  d'ordre 
quelconque  de  Pn  converge  vers  la  dérivée  du  même  ordre  de 
f(x)  au  point  x,  sous  la  seule  condition  que  celte  dérivée 
existe  en  ce  point.  C'est  là  la  supériorité  du  [)olynôme  de 
Landau  :  La  continuité  de  la  dérivée  n'est  pas  requise.  Les 
autres  procédés  que  nous  allons  étudier  seront,  sans  doule, 
beaucoup  plus  parfaits  au  point  de  vue  de  rapproximation, 
mais  ils  perdent  cet  avantage  :  les  conditions  de  leur  déri- 
vabilité exigent  la  continuité. 

C'est  encore  dans  mon  Mémoire  cité  de  1908  que  se  trouvent 
les  premiers  résultats  définitifs  sur  l'ordre  de  l'approxima- 
tion. Je  prouve  que  si  la  fonction  f(x)  est  lipschitzienne,  l'ap- 
proximation  obtenue  par    le  polynôme   de  Landau  est   de 

l'ordre  de  — =  au  plus. 
V" 
Cette  approximation  n'est  pas   la  meilleure   qu'on   puisse 

obtenir  dans  cette  hypothèse  générale.  M.  Lebesgue,  en  1910 

(11),  a  obtenu  l'ordre  ^^^  et  enfin,  en  1911,  M,  D.  Jackson  (8) 

a  obtenu  l'ordre     ,  qui  ne   peut  plus  être  abaissé.  Je  vais  3'^ 

revenir.  Cependant  j'ai  donné  moi-même  le  premier  exemple 
d'une  meilleure  approximation  dans  un  autre  Mémoire  (12), 
présenté  à  l'Académie  royale  de  Belgique  la  même  année 
1908  et  publié  le  mois  suivant.  Prenant  cette  fois  mon  point 
de  départ  dans  l'intégrale 


I     r         sin  n[t  —  x]    , 


16  C.     DE    LA     VALLÉE    POUSSIN 

(|iii  jouit  de  propriélés  analogues  à  celles  de  Dirichlet,  j'ai 
montré  que  toute  fonction  dont  La  déiwée  est  à  variation 
bornée  peut  être  représentée  par  un  polynôme  de  degré  n  avec 

1 
une  approximation  de  l'ordre  de  —  .  C'était,  je  pense,  le  pre- 
mier exemple  d'un  ordre  qui  ne  peut  plus  être  abaissé. 

Toutefois,  comme  je  viens  de  le  dire,  on  peut  assigner  une 
approximation  du  même  ordre  dans  l'hypothèse,  bien  plus 
générale,  où  hi  fonction  fi.v)  est  lipschitzienne.  Mais  ceci  n'a 
été  démontré  que  trois  ans  plus  tard  et  c'est  un  cas  particu- 
lier d'un  théorème  plus  général  que  M.  D.  Jackson  (8)  a  énoncé 
dans  sa  dissertation  inaugurale  de  1911.  M.  D.  Jackson  con- 
sacre un  chapitre  entier  de  cette  dissertation  à  l'approxima- 
tion simultanée  de  f[x)  et  de  ses  k  —  1  premières  dérivées 
dans  l'hypothèse  où  la  dernière  est  lipschitzienne.  Il  raisonne 
pour  cela  sur  une  combinaison  ingénieuse  d'intégrales  abso- 
lument convergentes  du  type 


/ 


\  k 
I    sm  nt  \    , 

f(X    +    Kt){ )    dt     , 


OÙ  X  et  k  sont  des  entiers,  ce  dernier  suffisamment  grand. 
Il  construit  un  polvnôme  qui  fournit   une  approximation  de 

l'ordre  de  -7.  et  dont  la  dérivée    d'ordre  /•  <  k  fournit,  poui- 
f'''\:i:),  une  approximation  de  l'ordre  de — ^^.  En  particuliei", 

on  obtient  le  résultat  énoncé  plus   haut  si  k  =-  i  :  l'appro- 

1 

ximalion  de  /"(.r)  lipschitzienne  est   de   l'ordre  de      . 

Ces  théorèmes  de  M.  D.  Jackson  sont  définitifs,  mais  pour 
les  fonctions  seulement  qui  n'admettent  (|u'un  nombre  limité 
de  dérivées  successives.  Ils  n'ont  plus  rien  de  commun  avec 
la  meilleure  approximation  quand  toutes  les  dérivées  existent. 

Si  la  fonction  /"(.r)  est  indéfiniment  dérivable,  la  méthode 
du  développement  en  série  de  polynômes  trigonométriques, 
que  M.  Bernstein  (6)  a  utilisée  dans  son  Mémoire  couronné 
(1912),  est  plus  simple  et  bien  préférable.  Ce  développement 
(jui,  comme  nous  l'avons  vu,  se  déduit  de  celui  de  /(coS(p) 
en  série  de  Fourier,  donne  la  meilleui'e  solution  connue  de 


FONCTIONS    D    UNE    VARIABLE    REELLE  17 

la  représentation  indéfininient  dérivable.  Dans  cette  hypo- 
thèse,  lapproximation  de  chaque  dérivée  est  indéfiniment 

1 
petite  d'ordre    supérieur  à  toute  puissance  de  — .  Récipro- 

<|uement,  Texistence  d'un  tel  degré  d'approximation  assure 
<'elle  de  toutes  les  dérivées.  Nous  en  reparlerons  plus  loin. 

5.  —  Approximation  minimum. 

Soit  f'.v  une  fonction  continue  dans  un  intervalle  (<7,  b). 
Parmi  les  polynômes  de  degré  donné  n,  il  en  existe  un,  P„ , 
qui  donne  la  meilleure  approximation,  tel  donc  que  l'appro- 
ximation soit  minimum.  Nous  appellerons  cette  meilleure 
approximation  approximation  inininuim,  et  le  polynôme  qui 
la  donne  est  le  polynôme  d'approximation  (ou  d'approxima- 
tion minimum). 

La  considération  de  ce  j)olynôme  remonte  à  une  époque 
déjà  ancienne,  elle  est  due  à  TchebychefF  (7)  (1859j.  Le  grand 
géomètre  russe  a  consacré  une  partie  importante  de  son 
œuvre  à  l'étude  de  Tapproximalion  par  des  fonctions  ration- 
nelles entières  ou  fractionnaires).  Mais  l'importance  des 
découvertes  de  Tchebycheff  pour  notre  objet  actuel  n'est 
apparue  qu'après  le  Mémoire  de  M.  S.  Bernstein  (1912),  Tant 
pour  la  valeur  des  matériaux  réunis  que  par  le  mérite  de 
l'invention,  la  place  qui  revient  à  Tchebycheff  dans  la  théorie 
c|ui  nous  occupe  est  encore  la  première. 

TchebychelT,  comme  cela  était  naturel  de  son  temps,  ad- 
mettait sans  démonstration  l'existence  du  polynôme  d'appro- 
ximation minimum.  Cette  démonstration  a  été  donnée  par 
M.  Borel  dans  ses  Leçons  sur  les  fonctions  de  i^ariables 
réelles  et  les  séries  de  polynômes  (1905)  (13).  M.  Borel  a 
montré  (jue  le  polynôme  d'approximation  minimum  dans  un 
intervalle  [a,  b)  est  unique  et  qu'il  est  caractérisé  par  la  pro- 
priété suivante  :  la  différence  /f.r)  —  P„  acquiert  sa  valeur 
absolue  minimum  avec  des  signes  alternés  en  //  +  2  points 
consécutifs  de  l'intervalle  f«,  b].  Ce  maximum  absolu  est 
Vapproximation  minimum  o,, .  Il  suit  de  cette  propriété  que 
le  polynôme  d'apjjroximation  est  un  polynôme  de  Lagrange 

L'Kiiseijjnoinenl  niiithi'in..  20'  année,    l'-MS.  .  2 


18  C.    DE    LA     VALLEE    POUSSIN 

qui  coïncide  avec  /(.x)  en  n  -\-  i  points  faii  moins)  de  linter- 
valle  («,  b).  J'ai  donné  en  1910  (14;  à  ces  points  de  coïnci- 
dence le  nom  de  nœuds  et  le  polynôme  de  Lagrange  est 
défini  par  ses  nœuds. 

Le  calcul  exact  du  polynôme  d'approximation  minimum 
n'est  possible  que  dans  des  cas  très  exceptionnels.  Mais  il 
existe  divers  procédés  de  calcul  qui  permettent  d'en  appro- 
cher autant  qu'on  veut.  Ces  procédés  sont  dus  à  M.  Horel  (13), 
à  moi-même  (14)  et  à  M.  Bernstein  6).  Ces  procédés  reviennent 
tous  à  former  successivement  des  polynômes  de  Lagrange 
de  plus  en  plus  avantageux  en  améliorant  progressivement 
le  choix  des  nœuds. 

Dans  l'état  actuel  de  la  théorie,  c'est  lapproximalion  mini- 
mun  qu'il  importe  surtout  de  connaître  plutôt  que  le  jiolynôme 
d'approximation  lui-même.  Faute  d'un  calcul  exact,  il  convient 
donc  d'avoir  des  règles  précises  pour  enfermer  l'ajiproxima- 
tion  minimum  entre  des  limites  suffisamment  resserrées.  Ce 
sont  ces  règles  qui  méritent  de  fixer  maintenant  notre 
attention. 

La  détermination  d'une  borne  supérieure  est  chose  immé- 
diate. Tout  polynôme  donné  Q„  de  degré  //  en  Cournit  une,  à 
savoir  le  maximum  de  |/  —  Q^l' 

La  détermination  d'une  borne  inférieure  demande  un  peu 
[)lus  de  réflexion.  Mais  j'ai  donné  dans  mon  ^lémoire 
de  1910  (14)  une  règle,  qui  m'a  paru  intéressante,  en  vertu 
de  laquelle  un  polynôme  de  Lagrange  de  degré  //  fournit 
généralement  une  telle  borne. 

Voici  d'abord  cette  règle  : 

Soit  Qn  un  polynôme  de  degré  n  ;  si  la  différence  i"(x)  —  Q,„ 
prend,  en  n  +  2  points  consécutifs  et  avec  des  signes  alternés, 
des  valeurs  absolues  <  p,  alors  p  est  une  borne  inférieure  de 
l'approximation  minimum . 

En  particulier,  si  Q„  est  un  jioiynôme  de  Lagrange  à  //  +  1 
nœuds,  ces  n  -{-  i  nœuds  partagent  (r/,  b)  en  //  +  2  intervalles, 
où  /' —  Q„  est  (sauf  exception)  de  signe  alterné.  Dans  chaque 
intervalle,  / —  Q„  passe  par  un  maximum  absolu  et  le  plus 
petit  p  de  ces  maxima  absolus  est  une  borne  inférieure  de 
l'approximation  minimum. 


FONCTIONS    D'UNE    VARIABLE    REELLE  19 

La  démonstration  de  notre  règle  est  presque  immédiate. 
Soit  P„  le  polynôme  d'approximation  et  p,i  l'approximation 
minimum  ;  si  l'on  avait  p„  <^  p.  le  polynôme  de  degré  //, 

n  •'Il  I  ^11  I  II' 

changerait  de  signe  //  +  -  'o'S  au  moins  dans  l'intervalle 
(rt,  b)  et  aurait,  par  conséquent,  n  -\-  1  racines  au  moins,  ce 
qui  est  impossible. 

M.  Bernsteina  généralisé  notre  théorème  dans  son  Mémoire 
(ronronné  de  1912  (6).  Il  l'a  étendu  au  cas  où  les  polynômes 
sont  formés  avec  des  puissances  de  .r  dont  les  exposants 
iont  partie  d'une  suite  de  nombres  positifs  (entiers  ou  non) 
(|ui  sont  assignés  d'avance.  Il  s'est  servi  de  ce  théorème 
généralisé  pour  trouver  une  borne  inférieure  de  la  meilleure 
approximation  de  |.r|. 

La  règle  précédente  présente  le  grand  avantage  d  avoii- 
une  efficacité  illimitée.  En  effet,  en  essayant  de  nouveaux 
polynômes  Q„,  on  peut,  théoriquement  du  moins,  approcher 
autant  qu'on  veut  de  la  valeur  exacte  de  l'approximation.. 
Il  existe  d'autres  règles  qui  ont  un  caractère  plus  particulier 
et  qui  épuisent  leur  efficacité  dès  la  première  application, 
mais  qui  n'en  sont  pas  moins  très  utiles,  parce  qu'elles  sont 
dans  bien  des  cas  d'une  application  plus  facile  que  la  précé- 
dente. Je  vais  en  signaler  deux,  qui  s'appliquent  directement 
a  l'approximation  trigonométriquo  et  indirectement  aux 
polynômes,  grâce  à  la  substitution  de  Bernstein.  Il  est  à 
peine  besoin  de  dire  (|-ue  les  considérations  précédentes  sur 
la  meilleure  approximation  par  polynômes  s'étendent  imitatis 
inutandis  à  la  meilleure  ap[)roximation  trigonométrique. 

Considérons,  avec  ^L  Bernstein  (1912),  le  développement 
de  /(.r)  en  série  de  polynômes  trigonométriques  ou,  ce  (|ui 
est  exactement  la  même  chose,  le  développement  de  /"(cosç 
en  série  de  Fourier 

/"icos  ç)  r=  r/p  -f-  a^  cos  ç  -\-  a.,  cos  '23+   •  •  • 

Soit  S„  la  somme  des  //  +  1  premiers  terjnes,  on  sait  que 


20  C.    DE    LA     VALLEE    POUSSIN 

les  valeurs  r/o,  «, ,  ...  (in  des  constantes  de  Foiirier  sont  celles 
qui  miniment  l'intégrale 


i    /   [/-(cosç)  —  SJ-^9 


Soit  donc  T„  la  suite  trigonométrique  d'ordre  //  qui  donne 
l'approximation  minimum,  on  aura 

■1-  in 

en  vertu  du  théorème  de  la  moyenne  p^^  étant  la  valeur  maxi- 
mum absolue  de  /' — T„;.  Mais  la  première  intégrale  a  pour 
valeur 

l      /'• 
-        [«,,+  1  cos  !«  +  lis  4-  «,,_^.^  cos  («  4-  2)9  +   .  .  .]-rf= 

«,' 

II 

=  «1+,  +  %+■>  +   ...    . 

De  là,  la  règle  de  ]M.  Bernstein  : 

Si  l'on  désigne  par  ao,  aj,  a.,,  ...  /e^  constantes  de  Fonrier 
de  f(cos  :p)  /«  meilleure  approximation  p^  de  f(xj  f/««5  l'inter- 
valle { —  1,  +  i)  satisfait  à  la  condition^ 

Il  est  claii-  trnilleurs  que  l'on  a,  d'autre  part, 

puisque  celle  apj)roximation  est  donnée  par  la  série  de  poly- 
nômes trigonométriques. 

La  seconde  règle,  qui  est  plus  importante  et  cjui  est  anté- 
rieure (1910  ,  a  été  donnée  par  M.  Lebesgue  dans  son  Mé- 
moire Sur  les  intégrales  singulières  (15).  ^'oi(•i  la  règle  de 
M.  Lebesaue : 


'  Nous  avons  iijoulû  sous  lo  imiIIimI  le  l'iicliMir       (pii  maïuiue  ditns  le  texte  île  M.  Hernsteiii. 


FONCTIONS    D'UNE    V  A  R  I A  B  I.  K    REELLE  21 

Si  la  somme  d'ordre  n  de  la  série  de  Foi/ rie  r  de  la  fonction 
périodique  f(x)  donne  une  approximation  (f  n),  l'approxima- 
tion trigonométrique  minimum  p^  satisfait  à  la  condition 

'  "  ^      log  n 

oii  k  est  une  constante  numérique  assignable  a  priori. 

La  démonstration  repose  sur  les  propriétés  de  l'intégrale 
de  Dirichlet,  mais,  si  simple  qu'elle  soit,  elle  ne  peut  trouver 
place  ici. 

Si  l'on  applique,  par  exemple,  les  deux  règles  précédentes 
à    la  fonction  |.r|,   la   règle  de   M.    Bernstein  prouve  que  ^o„ 

n'est  pas  d'ordre  supérieur  à ^  et  celle   de  M.  Lebesgue 

que  pn   n'est  pas  d'ordre  supérieur   a—; .    Dans    ce    cas, 

'  '  '  '  /(  log  II 

c'est  la  règle  de  Lebesgue  qui  l'emporte,  mais  il  n'en  est  pas 
toujours  ainsi. 

G.  —  Relations  entre  l'ordre  de  grandeur  de  la  meilleure 
approximation  et  les  propriétés  différentielles. 

La  meilleure  approximation  p^^  d'une  fonction  continue 
f  x)  par  un  polynôme  de  degré  /i  tend  vers  zéro  quand  n  tend 
vers  l'infini.  C'est  le  théorème  même  de  Weierstrass.  .l'ai 
posé  en  1908  (12)  la  question  de  déterminer  l'ordre  de  gran- 
deur de  p^^  pour  n  infini  et  M.  Bernstein  a  posé  en  1912  (6) 
celle  d'en  déterminer  la  valeur  asvmptotique  quand  elle 
existe. 

Aujourd'hui  des  résultats  définitifs  sont  acquis  et  répon- 
dent à  ces  deux  questions.  Ils  sont  dus  à  M.  Dunham 
Jackson  (1911)  et  surtout  à  M.  Bernstein  (1912). 

Un  premier  résultat  essentiel  est  qu'il  existe  une  dépen- 
dance étroite  entre  l'ordre  de  la  meilleure  approximation  el 
l'existence  des  dérivées  jusqu'à  un  ordre  plus  ou  moins  élevé. 

L'existence  d'une  dérivée  bornée  d'un  certain  ordre  assure 
une  approximation  dun  ordre  correspondant  et  c'est  M.  Dun- 
ham Jackson  (8)  qui  a  trouvé  les  théorèmes  les  plus  précis 


•22  C.DEI.AVALLEE    POUSSIN 

SOUS  ce  rapport.  Nous  les  avons  exposés  dans  un  article 
antérieur.  Mais  M.  Jackson  n'énonce  aucun  théorème  réci- 
proque et  Ton  ne  sait  pas  si  ces  énoncés  s'appliquent  h 
l'approximation  minimum.  Seul  M.  Bernstein  (6)  est  arrivé  à 
des  résultats  positifs  en  ce  sens  et  a  su  remonter  de  Tordre 
de  l'approximation  obtenue  aux  propriétés  différentielles  de 
la  fonction. 

M.  Bernstein  n'y  a  d'ailleurs  réussi  qu'en  s'inspirant  des 
travaux  de  Tchebycheff  et  nous  allons  exposer  de  quelle 
manière.  Nous  donnerons  d'ailleurs  une  idée  suflisante  de 
la  question  en  nous  bornant  à  l'approximation  trigonomé- 
trique  et  en  simplifiant  un  peu  les  données  du  problème. 

Faire  l'approximation  trigonométrique  de  /'(.r)  revient  a 
effectuer  un  développement  en  série 

f(.r]  =  P,  +  P,  +    .  .  .    P,^    f   .  .  . 

dont  les  termes  sont  des  expressions  trigonométriques 
d'ordres  croissants  et  nous  supposons,  pour  simplifier,  P„ 
d'ordre  //.  Admettons  que  les  termes  de  cette  série  soient, 
en  valeur  absolue,  inférieurs  à  ceux  de  la  série  positive  con- 


vergente 


^^+  h+    ■■■    +  'n  + 


La  rapidité  de  l'approximation  correspond  à  la  conver- 
gence plus  ou  moins  rapide  de  la  série.  D'autre  part,  l'exis- 
tence des  dérivées  de  fipc)  découle  de  la  possibilité  de  dériver 
la  série.  Or  cette  dérivation  est  légitime  tant  que  les  séries 
dérivées  sont  absolument  et  uniformément  convergentes. 
Tout  revient  donc  à  avoir  une  règle  pour  conclure  de  l'ordre 
de  grandeur  de  P,,  à  l'ordre  de  grandeur  de  ses  dérivées. 
C'est  cette  règle  que  M.  Bernstein  a  trouvée,  en  complétant 
certaines  recherches  de  Tchebychelf,  et  cette  règle  est  d'une 
simplicité  et  d'une  précision  inattendues.  La  voici  : 

Si  une  expression  trigonométrique  d'ordre  n  est  de  module 
<'h  et  que  l'expression  soit  formée  de  sinus  seuls  ou  de 
cosinus  seuls,  ses  dérivées  successives  d'ordres  1,  2,  3,  ...  sont 
respectivement  de  modules  <  nL,  <  n-L,  <  n^L,  ...  fl  su/fit 
de  double/-  ces  bornes  si  l'expression  trigonométrique  est  de 
la  forme  générale. 


FONCTIONS    I)    UNE     VARIABLE    REELLE  23 

On  voit  d'après  cela  que,  si  la  décroissance  des  quantités 
e,i  est  suffisamment  rapide  pour  assurer  la  convergence  de 
la  série 

1^,  +  2^,  +  ...  /^„  +  .... 

elle  assure  aussi  Texistence  de  la  dérivée  d'ordre  p  de  /"(.r\ 
Tel  est  réduit  à  ce  qu'il  a  de  plus  essentiel  le  raisonnement 
de  M.  Bernstein. 

Pour  mettre  en  lumière  la  nettelé  des  conclusions  aux- 
quelles conduisent  les  méthodes  de  M.  Bernstein,  donnons 
d'abord,  avec  cet  habile  géomètre,  la  définition  suivante  : 

Nous  dirons  qu'une  fonction  continue  (^[.x)  vérifie  une  con- 
dition de  Lipschitz  d'ordre  a(0  <  «  ^  l),  s'il  existe  une  cons- 
tante M  telle  qu'on  ait,  quel  que  soit  è  positif, 

-     |9|.r  +  0)  —  ç(.rl|  <  Mo''  . 

Considérons  maintenant  une  fonction  f{.r)  de  période  2jz  et 
son  approximation  trigonométrique  d'ordre  n.  Nous  avons 
le  théorème  suivant  : 

Si  f  (x)  admet  une  dérivée  continue  d'ordre  p,  laquelle  satis- 
fait à  une  condition  de  Lipschitz  d'ordre  a(0  <  a  <|  1),  alors 
on  peut  assigner  une  constante  Mj  telle  que  l' approximation 
trigonométrique  minimum,  p^,  satisfasse,  quel  que  soit  n,  à 
la  condition 

Réciproquement,  si  p  satisfait  à  une  condition  de  cette 
forme  oii  0  <^  «  <:^  l  [limites  e.rclues],  la  fonction  f  (x)  admet 
une  dérivée  d'ordre  p  qui  satisfait  à  une  condition  de  Lipschitz 
d'ordre  a. 

A  vrai  dire,  ce  théorème  est  énoncé  ici  pour  la  première 
fois  sous  cette  forme  stricte,  et  nous  en  publierons  ailleurs 
la  démonstration,  mais  il  est  dû,  dans  sa  grande  partie,  à 
M.  Bernstein.  Ainsi  (|ue  M.  Bernstein  l'a  déjà  remarqué, 
l'exclusion  du  cas  limite  a  =  l  est  essentielle  et  ne  fient  pas 
«i  une  imperfection  de  l'énoncé. 

Si  toutes  les  dérivées  existent,  le  théorème  perd  de  la  pré- 


24  C.    DE    LA     VALLÉE    POUSSIX 

rision  qui  en  fait  le  principal  intérêt.  Il  prouve  que  l'approxi- 
mation  décroît  plus  vite  que  toute  puissance  négative  de  u, 
mais  il  n'en  fixe  plus  Tordre.  Il  y  a  donc  lieu  de  faire  alors 
de  nouvelles  hypothèses  sur  la  nature  de  la  fonction.  La 
première  qui  se  présente  à  l'esprit  est  celle  à\inalycilé. 


7.  —  Relations  entre  l'ordre  de  grandeur  de  la  meilleure 
approximation  et  les  propriétés  analytiques. 

Lorsque  la  fonction /"(.r)  est  analytique  et  holomorphe  sur 
l'axe  réel  et  qu'il  s'agit  de  sa  représentation  approchée  sur 
cet  axe  seulement,  l'ordre  de  la  meilleure  approximation  est 
liée  aux  propriétés  analytiques  de  la  fonction  et  dépend 
avant  tout  de  la  situation  de  ses  points  critiques  s'il  en  existe. 
C'est  encore  M.  Bernstein  qui  a  étudié  le  premier  cette 
dépendance  dans  son  Mémoire  couronné  par  l'Académie  de 
Belgique  (1912).  Mais  il  est  revenu  sur  la  question  et  il  a 
publié  des  résultats  isolés,  mais  d'une  singulière  précision 
et  du  plus  grand  intérêt,  dans  un  second  iSIémoire  présenté, 
peu  après,  à  la  même  Académie  (1913)  (16). 

M.  Bernstein  s'est  occupé  de  l'approximation  par  polynômes. 
Mais  ses  résultats  prennent  une  forme  plus  simple  si  on  les 
traduit  dans  le  mode  de  représentation  trigonométrique,  par 
la  substitution  habituelle  x  =  co^u.  Les  parallèles  à  l'axe 
réel  du  plan  u  jouent  un  rôle  prépondérant  dans  l'approxi- 
tion  trigonométrique;  il  y  a  lieu  d'observer  que  la  substitu- 
tion .r  =  cos  «  leur  fait  correspondre  des  ellipses  homofo- 
cales,  de  foyers  zt  1,  dans  le  plan  .r.  Ce  sont  ces  ellipses 
qui  jouent  le  rôle  prépondérant  dans  l'approximation  par 
polynômes  et,  par  suite,  dans  les  énoncés  de  M.  Bernstein. 
Mais  nous  n'en  parlerons  pas;  il  nous  suffira  d'énoncer  les 
résultats  essentiels  de  la  théorie  dans  la  seule  hypothèse  de 
la  représentation  trigonométrique. 

Soit  donc  à  étudier  la  meilleure  approximation  trigonomé- 
trique de  la  fonction  (p '//)  de  période  27i  sur  l'axe  réel.  Cette 
fonction  est  analytique  et  holomorphe  sur  cet  axe.  Suppo- 
sons d'abord  qu'elle  admette  un  ou  plusieurs  points  critiques 


FONCTIONS    D'UNE    VARIABLE    REELLE  25 

imaginaires.  Alors,  en  première  analyse,  la  meilleure  approxi- 
mation dépend  de  la  distance  de  Taxe  réel  au  point  critique 
le  plus  rapproché. 

On  peut,  en  effet,  formuler  le  théorème  suivant,  dont  la 
première  partie  est  due  à  M.  Bernstein,  mais  que  je  complète 
par  renoncé  d'une  seconde  partie  dont  la  démonstration  n'a 
pas  encore  été  publiée. 

Si  une  fonction  ©(u)  de  période  2-  est  holomorphe  sur  l'axe 
réel  et  possède  son  point  critique  le  plus  rapproché  de  cet  axe 
sur  l'une  des  deux  droites  y  =  ±  h  (h  >  <>),  on  suppose 
u  =  X  +  yi?  alors,  quelque  petit  que  soit  s  positif,  la  meil- 
leure approximation  trigonométrique,  o^^ ,  de  (p(u)  sur  l'axe 
réel  vérifiera  constamment  l'inégalité 

—mh—B) 
?n  <   ^ 

à  partir  d'une  valeur  suffisamment  grande  de  n,  tandis  qu'elle 
ne  vérifiera  jamais  définitivement  l'inégalité 

quelque  grand  que  soit  n. 

La  connaissance  de  l'ordre  de  la  meilleure  approximation 
se  précise  davantage  si  Ton  suppose  que  (p(i/)  n'ait  d'autres 
points  critiques  que  des  pôles  sur  les  deux  droites  y  ■=!-+-  b 
du  théorème  précédent.  Je  suis,  en  effet,  en  mesure  de 
démontrer  le  théorème  suivant,  mais  qui,  je  le  pense,  pour- 
rait être  beaucoup  précisé  : 

Si  la  fonction  ©(u)  de  u  =  x  -f-  yi  a  ses  points  critiques  les 
plus  rapproches  de  l'axe  réel  sur  les  droites  y  =^  ±  b  (b  >  0 
et  que  le  point  critique  de  l'ordre  le  plus  élevé  parmi  ceux-ci 
soit  un  pôle  d'ordre  k,  alors  on  aura  constamment^  à  partir 
d'une  valeur  suffisamment  grande  de  n 

tandis  que  l'on  n'a  jamais  définitivement 


26  C.    DE    I.A     VALLEE    POUSSIN 

Mais  en  particularisant  beaucoup  plus  la  nature  du  point 
critique,  on  peut  aller  beaucoup  plus  loin  et  déterminer  la 
valeur  asymptoti(|ue  même  de  p^^.  C'est  ce  qui  a  été  fait  par 
M.  Bernstein  dans  son  dernier  Mémoire  de  1913  et  le  point 
de  départ  de  cet  habile  mathématicien  se  trouve  encore  une 
fois  dans  les  travaux  de  Tchebycheff. 

En  effet,  en  utilisant  une  formule  de  l'illustre  mathémati- 
cien russe,  M.  Bernstein  a  réussi  à  former  le  polynôme  d'ap- 
proximation d'ordre  ii  de 


dans  l'intervalle  ( —  1,  +  1),  a  étant  réel  et  >  1. 

Par  conséquent,  il  a  obtenu  en  même  temps  la  valeur 
exacte  de  l'approximation  minimum.  C'est  là  un  résultat 
extrêmement  important  malgré  son  caractère  particulier. 
Mais  nous  allons  traduire  ce  résultat  dans  le  mode  de  repré- 
sentation trigonométrique,  pour  le  rapprocher  des  précé- 
dents. On  va  voir  qu'il  prend  alors  une  forme  singulièrement 
instructive,  bien  plus  simple  et  plus  élégante  que  sous  la 
forme  considérée  par  M.  Bernstein. 

Par  la  transformation  de  Bernstein  et  en  posant  a  =;  Ch  b 
ou  b  est  réel  et  positif,  la  fraction  1  :  (.r  —  a)  se  transforme, 
à  un  iacteur  constant  près,  dans  l'expression  trigonométrique 


cos  u  —  cil  h 


qui,  aux  multiples  près  de  la  période,  n'a  qu'un  seul  pôle 
IL  =  bi  sur  chacune  des  droites  ?/  =  ±  />,  pôle  dont  le  résidu 
a  poiir  module  l'unité.  La  meilleure  approximation  trigono- 
métrique de  cette  fonction  sur  l'axe  réel  se  réduit  alors  à  la 
valeur,  exacte  et  toute  simple. 

Plus  généralement,  soit  (fia)  une  fonction  paire  et  de 
période  2t:.  Supposons  que  ses  points  critiques  lesplus  voi- 
sins de  l'axe  réel  soient  sur  les  droites  y  =-  zh  b.  Admettons 
encore  qu'aux  multiples  près  de  la  période,  ces  points  cri- 


FONCTIONS    n    UNE     VARIABLE    REELLE  27 

tiques  se  réduisent  sur  chacune  de  ces  droites,  au  seul  pôle 
simple  a  ^  zb  hi,  avec  un  résidu  de  module  a.  Alors,  par 
comparaison  avec  le  résultat  précédent,  on  obtient  immédia- 
tement la  valeur  asymptotiqiie  de  la  meilleure  approximation 
trigonométrique  de  o{u).  Ce  sera  nécessairement 

Si  au  lieu  de  cela,  le  pôle  était  d'ordre  h\  les  autres  condi- 
tions restant  les  mêmes,  on  aurait  la  formule  asymptotique 


où  UL  est  une  constante  qui  ne  dépend  que  de  la  fonction. 

Voilà  assurément  des  indications  bien  précieuses  sur  la 
manière  dont  il  faut  essayer  de  préciser  les  résultats  plus 
vagues  obtenus  tout  à  l'heure  dans  des  hypothèses  plus 
ofénérales. 

Pour  terminer,  je  dirai  encore  un  mot  du  cas  oîi  la  fonc- 
tion à  représenter  est  hoiomorphe  dans  tout  le  plan.  Ce  cas 
ne  parait  pas  avoir  été  étudié  jusqu'ici.  Mais,  dans  cette 
nouvelle  hypothèse,  la  question  de  la  meilleure  approxima- 
tion présente  une  analogie  plus  étroite  avec  celle  de  la  con- 
vergence de  la  formule  de  Taylor.  C'est  le  mode  de  crois- 
sance de  la  fonction  qui  devient  le  facteur  principal  dont 
dépend  la  meilleure  approximation.  ,Je  vais  me  borner  encore 
à  la  représentation  trigonométrique.  Les  conclusions  prin- 
cipales auxquelles  je  suis  parvenu  peuvent  alors  se  formuler 
dans  le  théorème  suivant  : 

Soit  f(z)  une  fonction  hoiomorphe  de  z  =  x  +  yi  et  de  pé- 
riode 2t..  Soit,  ensuite  qj'y)  la  plus  petite  fonction  non  décrois- 
sante de  y  positif  qui  satisfait,  quel  que  soit  y,  à  la  condition 

l/i.r±v/||^/''^^'; 

soit  •y.n)  la  fonction  inverse  de  gj,  c'est-à-dire  la  plus  petite 
solution  de  çfy)  =  n.  Alors,  quelque  petit  que  soit  e  positif 
la  meilleure  approximation  trigonome't/ique  de  f(x)  sur  l'a.re 
réel  satisfait  à  la  condition 

,        11— slH'L(«    "') 


28  C.    DE    LA     VALLEE    POUSSIN 

à   partir   d'une    valeur  suffisamment  grande   de   n,    tandis 
(ju'elle  ne  satisfait  jamais  définitivement  à  La  condition 

Dans  cette  trop  longue  analyse,  je  n'ai  fait  qu'eflleiirer  les 
sujets  que  j'ai  traités,  j'en  ai  passé  beaucoup  d'autres  sous 
silence.  Je  n'ai  rien  voulu  de  plus  que  ramener  l'attention 
sur  une  question  que  les  événements  actuels  ont  fait  oublier, 
mais  qui  paraissait  pleine  de  promesses.  Elle  ouvre  encore 
de  nombreuses  voies  qui  ne  paraissent  pas  trop  difficiles  à 
explorer.  Je  souhaite  que  de  jeunes  mathématiciens  s'y  en- 
gagent et  y  fassent  une  ample  moisson  de  découvertes. 


INDEX  BIBLIOGRAPHIQUE  (articles  cités). 

1.  Weierstrass.  JJeher  die  anahjtische  DarsteUharkeit  soge- 
nannter  willkiirlicher  Functionen  einer  reelleii  Verànderlichen. 
Sitzungsberichteder  Kg).  Preuss.  Akad.  der  Wiss.  1885.  p.  633-639, 
789-805.  Ueber  die  analytische  DarsteUharkeit  sogenannter  will- 
kiirlicher  Functionen  reeller  Argumente.  Werke,  Bd.  III  (1903), 
p.  1-37. 

RuNGE  a  démontré  le  premier  théorème  presque  en  même  temps 
que  Weierstrass.  Ueber  die  Darstellnng  willkurlicher  Functionen. 
Acta  Mathematica,  t.  YII,  1885,  p.  387-392;  Zur  Théorie  der 
eindeutigen  analytischen  Functionen.  Acta  Mathematica,  t.  VI, 
1885,  p.  229-244.  ' 

2.  VoLTERRA.  Siil  principio  di  Diiichlet.  Rendiconti  del  circolo 
matematico  di  Palermo,  t.  XI. 

3.  DE  LA  Vallée  Poussin.  Sur  V approximation  des  fonctions 
d'une  variable  réelle  et  de  leurs  dérivées  par  des  poli/nômes  et  des 
suites  limitées  de  Fourier.  Bull,  de  l'Acad.  loyale  de  Belffiqne 
(classe  des  sciences),  n°  3  (mars)  1908. 

4.  Landau.  Ueber  die  Approximation  einer  stetigen  Function 
dtirch  eine  ganze  rationale  Function.  Rendiconti  del  circolo  mate- 
matico di  Palermo,  t.  XXV,  1908. 

5.  H.  Lebescue.  Sur  l'appro.iiniation  des  fonctions.  Bulletin  des 
sciences  math.  2'"'  série,  t.  XXII:  novembre  1898. 

6.  S.  Bernstein.  Sur  Vordre  de  la  meilleure  appro.ximation  des 
fonctions  continues  par  des  polynômes  de  degré  donné.  Mémoires 
publiés  par  la  classe  des  sciences  de  TAcadémie  royale  de  Bol- 
gi(iue.  Collection  in-4",  2'"'"  série,  t.  IV,  1912.  Ce  Mémoire  présente 


FONCTIONS    D    UNE     VARIABLE    REELLE  29 

on  réponse  à  une  question  de  concours  posée  par  la  classe,  sur 
ma  proposition,  en  1910,  a  été  couronné  clans  la  séance  du 
15  décembre  1911. 

7.  TcHEBYCHEKi-.  Sur  les  questions  de  miniina  qui  se  rattachent  à 
la  représentation  approxiniati^>e  des  fonctions.  Mémoires  de  l'Acad. 
impériale  des  sciences  de  St-Pétersbourg,  sciences  math,  et  phys. 
sér.  6,  t.  VII,  1859.  Œluvres,  t.  I. 

8.  DuNHAM  Jacksox.  Ueber  die  Genaiiigkeit  der  Anniiherung 
stetiger  Fiinclionen  durch  ganze  rationale  Fiinctionen  gegebenen 
(j rades  iind  trigonometrische  Sumnien  gegebener  Ordnung.  Inau- 
gural-Dissertation. Gôttingen,  1911.  Ce  mémoire  a  été  couronné 
par  la  Faculté  des  sciences  de  Gottingue,  h  laquelle  il  était  pré- 

-senté  en  réponse  à  une  question  de  concours.  La  Faculté  deman- 
dait, en  particulier,  de  trouver  la  meilleure  approximation  d'une 
ligne  polygonale,  question  que  j'avais  formulée  dans  le  Mémoire  (12 
ci-dessous.  (Note  de  la  p.  403'. 

9.  Paixlevé.  Comptes  rendus  de  l'Ac.  des  sciences  de  Paris, 
7  fév.  1898. 

10.  H.  Lebesgle.  Sur  la  représentation  approchée  des  fonctions. 
Rend,  del  Circolo  matematico  di  Palermo,  t.  XXVII,  1908, 
p.  325-328. 

11.  H.  Lebesc.ue.  Sur  la  représentation  trigononiétriqne  appro- 
chée des  fonctions  satisfaisant  à  une  condition  de  Lipschitz.  Bull, 
de  la  Soc.  Math,  de  France,  t.  XXXVIII,  1910. 

12.  DE  LA  Vallée  Poussin.  Sur  la  com'ergence  des  formules 
d'interpolation  entre  ordonnées  équidistantes.  Bulletins  de  l'Aca- 
démie royale  de  Belgique  (classe  des  sciences],  n°  4  (avril),  1908. 
Le  Mémoire  se  termine  par  une  Noie  sur  V cippro.xiniation  par  un 
polynôme  d'une  fonction  dont  la  dérivée  est  à  variation  bornée. 

13.  E.  BoitEL.  Leçons  sur  les  fonctions  de  variables  réelles  et  les 
développements  en  séries  de  polynômes.  Paris, -1905. 

14.  DE  la  Vallée  Poussin.  Sur  les  polynômes  d'appro.vimation  et 
la  représentation  approchée  d'un  angle.  Bull,  de  l'Académie 
royale  de  Belgique    classe  des  sciences),  n°  12  (décembre  ,  1910.' 

15.  H.  Leijescue.  Sur  les  intégrales  singulières.  Annales  de  la 
Faculté  de  Toulouse,  sér.  3,  t.  I,  1910. 

I(i.  S.  Bernstkin.  Sur  la  valeur  asymptotique  de  la  meilleure 
iippro.iimation  des  fonctions  analytiques  admettant  des  singula- 
rités données.  Bull,  de  l'Académie  royale  de  Belgique  classe  des 
sciences),  n"  2  (février),  1913.  —  Cf.  Comptes  rendus,  20  nov.  1912. 


DEUX   RECENTS   OUVRAGES  DE  GEOMETRIE 


A.  BuHL  (Toulouse) 


C'est  uniquement  à  propos  de  deux  récents  Ouvrages,  dus, 
l'un  à  Gaston  Darbolx',  l'autre  à  M.  Maurice  d'OcAGNE  ^, 
que  ces  quelques  pages  sont  écrites,  il  ne  s'agit  pas  de  l'aire, 
(le  manière  originale,  une  nouvelle  apologie  ties  vues  géné- 
rales que  des  savants  français  ont  eues  sur  la  Géométrie  pro- 
prement dite,  mais  il  semble  excellent  de  signaler  avec  quelle 
facilité  chacun  pourra  s'y  initier  ou  se  les  remémorer  rien 
(|u'en  prenant  pour  guides  les  deux  Ouvrages  en  question. 

Susceptibles  d'être  éloquemment  rapprochés  quant  à  la 
manière  dont  ils  peuvent  se  compléter  l'un  l'autre,  une  coïn- 
cidence lortuite  les  a  fait  paraître  la  même  année,  en  1917. 
Représentant  l'un  un  enseignement  de  la  Sorbonne,  l'autre 
un  enseignement  de  l'Ecole  polytechnique,  établissements 
opposés  parfois  l'un  à  l'autre  dans  un  esprit  de  rivalité  où 
l'on  ne  peut  voir  heureusement  que  de  l'émulation,  ils  ré- 
sument deux  courants  issus  des  sources  les  plus  hautes  et 
sont  manifestement  appelés  à  donner  une  orientation  nou- 
velle aux  cours  des  h^u'ultés  et  des  classes  de  Mathéma- 
tiques spéciales. 

Beaucoup  de  choses  tendent  ;i  réunir  les  deux  livres.  Si 
nous  ouvrons  d'abord  celui  de  M.  G.  Darboux,  nous  lisons, 
sous  le  titre  du  premier  chapitre,  que  k  le  but  de  ces  Leçons 
est  l'exposé  des  principes  sur  lescjuels  reposent  les  décou- 


'  l'riiicipcs  de  (icoinétrie  aiiali/lii/ue,  1  vol.  iii-S»  di'  vi-ôlid  p.  et  27  fijj.  Paris.  Gaulhier- 
VlUars.  Prix  :  20  fr. 

"  ('ours  de  Géométrie  pure  et  appliquée  de  l't'.coU  polytechnique.  Tome  I.  Vol.  in-8»  d<' 
xit-;tTô  p.  et  133  (ig.  Paris,  Gaulhier-Villars.  Prix  :   16  Ir. 


D  E  UX  RÉCENT  S    O  U  VU  A  G  E  S    D  E    G  E  O  M  E  TR  I  E        31 

vertes  qu'on  doit  à  Monge  et  à  son  école».  Mais  si  Monge, 
dans  un  ouvrage  magnifique,  a  merveilleusement  appliqué 
l'Analyse  à  la  Géométrie,  il  est  aussi  le  créateur  de  la  (Géo- 
métrie descriptive;  sa  synthèse,  son  intuition  des  tracés  ne 
lurent  inférieurs  en  rien  aux  productions  de  son  analyse.  11 
est  aussi  grand  maître  en  Géométrie  analytique  et  en  Géo- 
métrie pure  a[)pliquée  ou  non.  Si  G.  Darboux  se  réclame  de 
Monge,  comment  imaginer  que  le  patronage  d'un  des  Ibn- 
daleurs  de  l'Ecole  polytechnique  ne  soit  acce[)té,  par  M. 
d'Ocagne,  avec  le  même  et  fécond  enthousiasme  ! 


La  clarté  exige,  en  général,  qu'on  ne  parle  point  de  deux 
livres  à  la  fois  en  les  entremêlant  page  à  page.  Mais,  en  ce 
qui  concerne  les  débuts  de  ceux-(d.  c'est  plutôt  la  séparation 
qui  serait  maladroite  tant  ils  s'inspirent,  avec  un  même  bon- 
heur, des  mêmes  idées  générales  f|ui,  appliquées  a  des 
exemples  différents,  se  renforcent  singulièrement  du  fait  de 
ces  deux  expositions  dont  chacune  est  également  originale. 

L'idée  fondamentale  est  celle  de  transformation;  la  trans- 
formation la  plus  simple  ne  fait  appel  qu'aux  formules  du 
premier  degré;  elle  est  Iioniograpliique.  Elle  change  les 
droites  en  droites  en  conservant  le  rapport  anharmonique 
de  quatre  points  alignés.  Voilà,  dira-t-on,  ([ui  est  banal  et 
fixé  dej)uis  fort  longtemps!  Eh  bien,  il  y  a  peut-être  déjà 
beaucoup  à  dire,  beaucoup  à  approfondir,  beaucouj)  à  liei- 
avec  les  régions  les  plus  modernes  de  la  Science. 

Quelle  est  l'origine  intime  du  rapport  anharmonique  ?  Le 
fait  de  juger  cette  notion  par  son  extraordinaire  fécondité 
ne  masque-t-il  pas  la  genèse  (|ue  M.  Darboux  tient  à  révéler 
tout  d'abord  ? 

A  quatre  points  alignés.  A,  ii.  M,  M',  attribuons  les  coor- 
données homogènes 


.'" 

\ 

z 

/ 

|A| 

x' 

v' 

z' 

/' 

|B) 

X   +    /..t.'     . 

r  +  >.v'    . 

z  +  >.r/    . 

/  +  >.<'     , 

(M) 

X    -\-    '/.'.l'     , 

y  +  '-'}'  ■ 

:.  +  Â'c'    . 

/  +  >.'/'    . 

iM'l 

:{2  A.     RUHL 

On  aura 

MA  _  _  .  l'  M'A  _        .,/' 

AÏB  "~  ~  ''  7  '  \Pb  —  ~  ''  7  • 

On  voit  que  de  tels  rapports,  même  s'ils  sont  géométri- 
([Liement  invariables  de  par  la  fixité  des  points  A,  B,  M,  M', 
varient  de  par  le  choix  des  notations;  il  n'en  sera  plus  de 
même  pour  Le  quotient  de  ces  rapports,  quotient  qui  ne  dé- 
pend plus  du  multiplicateur  t'  :  t. 

Et  ce  qui  vient  de  naître  sous  les  traits  d'une  telle  inva- 
riance, c'est  précisément  le  rapport  anharmonique  !  Peut-être 
y  a-t-il  là  l'exemple  le  plus  élémentaire  d'une  genèse  qui  se 
présente  dans  les  parties  les  plus  élevées  des  Mathématiques. 
Des  fonctions  elliptiques,  fuchsiennes,  etc.,  révèlent  préci- 
sément leurs  si  remarquables  propriétés  exactes  comme  quo- 
tients de  fonctions  0  à  multiplicateurs  se  détruisant  dans  la 
division. 

Mais  ne  nous  éloignons  pas  du  rapport  anharmonique  qui, 
tléfini  à  l'aide  de  segments  réels,  va  faire  un  bond  merveil- 
leux dans  le  domaine  imaginaire. 

Un  angle  AOB  =  o),  ayant  son  sommet  joint  aux  ombilics 
I  et  J  de  son  plan  donne  ainsi  un  faisceau  O .  ABU  de  rapport 
anharmonique  e-'".  C'est  là  une  remarque  faite  par  Laguerre 
alors  qu'il  n'était  que  candidat  à  l'Ecole  polytechnique;  il  ne 
fallait  qu'y  penser  tant  la  démonstration  est  simple,  élé- 
mentaire, immédiate.  C'est  la  possibilité  d'étendre  aux 
angles  les  transformations  et  démonstrations  projectives 
tant  travaillées  par  Chasles  et  Poncelet.  C'est  la  porte  ou- 
verte sur  les  géométries  non  euclidiennes  qui  naîtront  dès 
que  l'on  remplacera  l'ensemble  des  points  I  et  J  {)ar  une 
conique  quelconque.  Et  cependant,  au  jioiut  de  vue  didac- 
tique, cette  si  remar(|uable  définition  de  l'angle  n'avait  été 
accueillie  jusqu'ici  qu'avec  une  réserve  véritablement  injuste. 
E.  Duporcq  lui  avait  donné  sa  véritable  place  dans  ses  Pre- 
miers principes  de  Géométrie  moderne,  mais,  parmi  les  col- 
lègues immédiats  du  jeune  géomètre  si  prématurément  dis- 
paru, personne  n'en  avait  fait  une  des  bases  fondamentales 
d'un  ouvrage  pédagogique.  C'est  chose  faite  maintenant  et. 


DEUX   RECENTS    OUVRAGES    DE    GEOMETRIE        33 

quant  à  celle  inlroduction  dans  renseignement,  G.  Darboux 
et  M.  d'Ocagne  sont  admirablement  d'accord. 

Enormément  de  choses  resteraient  à  dire  quant  au  déve- 
loppement immédiat  de  tels  préliminaires.  Forcé  d'être  très 
bref,  je  signalerai  seulement  les  cooi'données  tétraéuriques 
maniées  par  Pliicker  et  Mobius  sans  adjonction  essentielle  à 
ce  qu'on  peut  tirer  de  l'homographie  générale.  La  dégéné- 
rescence de  l'homographie  en  homologies,  les  transforma- 
tions dualistiques,  sont  ici  et  resteront  toujours  les  plus 
vivants  exemples  de  ces  transformations  qui  relèvent  autant 
de  l'Analyse  que  de  la  Géométrie,  puisque  pour  en  saisir 
complètement  toute  la  puissance  et  toute  la  profondeur,  il  a 
fallu  poursuivre  dans  le  champ  imaginaire  tous  les  concepts 
nés  d'aljord  dans  le  domaine  réel. 


Séparons  maintenant  deux  Ouvrages  qui,  d'accord  sur  les 
points  de  départ,  ont  envisagé  des  problèmes  diflérents. 
X'oyons  d'abord  celui  de  Gaston  Darboux. 

La  Seconde  Partie  est  intitulée:  Définitions  métriques. 

Un  concept  des  plus  ingénieux  consiste,  étant  donnés  deux 
points  quelconques,  A  et  B,  à  considérer  le  quadrilatère 
ABU  ou  I  et  J  sont  toujours  les  points  cycliques  du  plan  ; 
en  tant  (|ue  (|uadrilatère  complet,  celui-ci  -a  deux  autres 
sommets  A'  et  \V. 

Avec  ces  segments  associés  xAB  et  A'B',  la  définition  de 
l'angle  due  à  Laguerre  et  de  faciles  calculs  d'exponentielles 
imaginaires,  on  reconnaît  que  les  deux  propriétés  du  cercle, 
comme  lieu  tlun  point  d'oîi  l'on  voit  une  corde  sous  un 
angle  donné  et  (tomme  lieu  d'un  point  dont  les  distances  à 
deux  points  fixes  sont  en  rapport  constant,  sont  associables 
d'une  manière  telle  (|u'on  peut  découvrir  des  courbes,  de 
lous  les  degrés,  où  ces  propriétés  sont  considérablement 
généralisées. 

De  telles  considérations  sont  aisées  à  transporter  dix  {)lan 
a   la   sphère.  Si,   sur  cette  dernière  surface,  on  met  en  é\  i- 

L"Enseignenient   mallii-in.,   20»  nnnt-c  ;    1918.  •  3 


34  ^      BUHL 

dence   les   génératrices   rectilignes    imaginaires,    au   moyen 
des  formules  bien  connues 

1  —  a3  .  1  -f  a:;  a  +  [5 


tout  déplacement  de  la  sphère  sur  elle-même  revient  à  une 
même  substitution  linéaire  effectuée  sur  a  et  /S,  soit,  par 
exemple, 

ma  -\-  n  ^^    m|3  +  n 

='.  =  p^^q    '  '^1  -  pp  +  q     ■ 

De  ce  théorème,  dû  à  Cayley,  on  peut  encore  s'élancer 
dans  les  plus  hautes  régions  de  l'Analyse.  Des  substitutions 
linéaires  en  litige  on  s'élève  aux  groupes  et  aux  fonctions 
polyédriques,  proches  parents  des  groupes  et  fonctions  mo- 
dulaires, des  groupes  fuchsiens  et  des  fonctions  fuchsiennes 
de  Poincaré.  Et  comme  des  substitutions  linéaires  de  même 
structure  définissent  l'homographie  rectiligne  avec  toutes 
ses  belles  conséquences  intuitives  et  construrtives  qu'on 
considère  d'ordinaire  comme  appartenant  à  la  Géométrie 
absolument  pure,  on  est  saisi  d'une  admiration  sans  bornes 
en  constatant  que  ces  diverses  régions  des  Mathématiques 
se  lient  et  se  déroulent  derrière  les  substitutions  du  type  si 
simple 

mz  +  n 

Les  points  associés,  signalés  tout  à  l'heure  dans  le  plan, 
se  retrouvent  aisément  sur  la  sphère,  car  deux  génératrices 
imaginaires  passant  par  A  et  deux  autres,  passant  par  B, 
forment  un  (juadrilatère.  De  cette  méthode  des  points  asso- 
ciés on  conclut  aussi,  sur  la  sphère,  des  courbes  analogues 
aux  courbes  algébriques  planes  qui  présentaient  une  géné- 
ralisation des  deux  propriétés  fondamentales  du  cercle  indi- 
quées plus  haut. 

La  Troisième  Partie  de  l'œuvre  de  G.  Darboux  est  consa- 
crée aux  théorèmes  de  Poncelet  sur  les  polygones  inscrits 
et  circonscrits  aux  coniques.  C'est  un  sujet  intimement  lié 
aux  précédents,  car  les  génératrices  rectilignes,  réelles  ou 


DEUX   RECENTS    OUVRAGES    DE    GÉOMÉTRIE        85 

imaginaires,  d'une  quadrique  donnent,  par  perspective,  des 
tangentes  à  une  conique.  Toulefois,  cette  remarque  faite,  il 
semble  préférable  d'étudier  les  choses,  dans  le  plan  même 
de  la  conique,  au  moyen  d'un  système  de  coordonnées  (|ui 
permet  d'étendre  certains  théorèmes  à  la  Poncelet  aux  cu- 
biques et  même  à  des  courbes  algébriques  de  degré  quel- 
conque. 

De  ces  préliminaires  on  passe  à  l'équation  d'Euler  et  aux 
théorèmes,  tels  que  ceux  de  Graves  et  de  Chasles,  où  inter- 
viennent des  arcs  d'ellipse,  mais  ce  qu'il  faut  bien  remarquer, 
c'est  que  tout  ceci  peut  contribuer  à  la  théorie  des  fonctions 
elliptiques,  sans  en  être  issu.  Ce  point  de  vue  est  celui  avec 
lequel  Halphen  commençait  déjà  son  Traité;  nous  le  retrou- 
verons encore,  tout  à  l'heure,  dans  le  Cours  de  M.  Maurice 
d'Ocagne. 

Gaston  Darboux,  dans  une  Quatrième  Partie,  traite  de  la 
Géométrie  cayleyenne.  \ 

Nous  avons  déjà  vu  comment  Laguerre  considérait  l'angle 
qui,  en  Géométrie  ordinaire,  reste  cependant  séparé  de  la 
notion  de  distance.  Il  n'en  est  pas  de  même  en  Géométrie 
sphérique,  les  distances  sphériques  étant  aussi  des  angles. 
Or  une  perspective,  centrée  comme  la  sphère,  permet  de 
définir,  dans  le  plan,  des  dislances  analogues  aux  dislances 
sphériques.  On  imagine  alors  aisément  une  quadrique  quel- 
conque, dite  absolue,  qu'une  droite  AB  coupe  en  M  et  N  et 
qui  permet  de  définir  la  distance  AB  par  le  logarithme  du  rap- 
port anharmonique  des  points  A,  B,  M,  N.  De  même  l'angle 
de  deux  plans  F  et  Q,  d'intersection  A,  si  l'on  mène  par  A 
deux  plans  tangents  U  et  V  à  l'absolu,  est  défini  par  le  loga- 
rithme du  rapport  anharmonique  des  plans  F,  Q,  U,  V. 

La  Géométrie  cayleyenne  ainsi  constituée  permet  aisément 
de  descendre  aux  Géométries  non-euclidiennes.  Elle  admet 
des  déplacements  et  une  Trigonométrie  générale  revenant 
aussi  à  des  combinaisons  simples  de  substitutions  linéaires; 
elle  a  ses  aires  et  ses  volumes  correspondant  à  l'invariance 
d'intégrales  doubles  ou  triples. 

L'œuvre  se  termine  avec  une  Cinquième  Partie  consacrée 
à  l'inversion. 


36  A.    BUIIL 

Un  des  points  jiréliniinaires  et  fontlanientaux  est  relalil'a 
la  définition  des  foetales  d'une  surface,  laquelle  généialise 
la  définition  de  Pliicker  concernant  les  loyers  des  courbes 
planes.  Les  locales  sont  les  lignes  doubles  d'une  dévelop- 
pable  cir(;onscrite  a  la  fois  à  la  surface  et  au  cercle  imagi- 
naire de  l'infini.  La  notion  de  développable  isotrope  joue 
également  un  rôle  puissant  et  curieux,  mais  ce  sont  les  mer- 
veilleuses coordonnées  pentasphériques  (|ui  constituent,  à 
coup  sur,  le  meilleur  moven  d'investigation  analytique  à 
associer  h  l'inversion.  Les  coordonnées  tétraédriques  se 
peuvent  facilement  interpréter  en  associant  à  un  point  ses 
distances  à  quatre  plans;  tle  même  les  coordonnées  penta- 
sphériques font  intervenir  les  puissances  d'un  point  par  rap- 
port à  cinq  sphères;  elles  donnent  entre  sphères  quelconc|ues 
des  formules  analogues  à  celles  de  la  Géométrie  analylitpie 
ordinaire  entre  plans. 

G  est  ici  qu'apparaissent  des  surfaces  de  (piatrième  degré 
aux  propriétés  extrêmement  nombreuses:  les  cyclides.  Etu- 
diées, au  point  de  vue  analytique,  par  Gaston  Darboux,  au 
point  de  vue  géométrique  par  G.  Humbcrt,  on  peut  très  sim- 
plement les  considérer  comme  enveloppes  de  sphères:  ce 
sont  peut-être  les  seules  surfaces  du  quatrième  degré,  de 
quel(|ue  généralité,  que  Ton  puisse  étudier  profondément  en 
coordonnées  cartésiennes.  En  coordonnées  peiitasphéricpies 
elles  sont  du  second  degré  et  se  laissent  alors  si  complète- 
ment manier  comme  des  quadriques,  qu'on  peut  construire 
un  système  triplement  orthogonal  formé  de  cyclides  tout 
comme  on  construit  le  système  élémentaire  formé  de  (|ua- 
dri(|ues  véritables. 

G'est  tout  particulièrement  dans  celte  dernière  Partie  que 
l'on  retrouvei-a  prescpie  tout  ce  (|ue  G.  Darboux  avait  déjà 
publié,  en  1872.  dans  un  Ouvrage  Sur  une  dusse  reiuar- 
quahle  de  courbes  et  de  surfaces  algébriques  et  sur  la  Théorie 
des  imaginaires.  Ouvrage  déjà  si  remarcpiabie  qu'il  en  était 
devenu  rarissime  malgré  une  i-éimpression  elfecluée  en  189G. 


n  E  VX    U  É  C  E  N  T  S    OU  VHAGE  S    D  E    G  É  O  M  É  TRIE        37 

Revenons  inainteiiaiit  au  livre  de  M.  Maurice  dOcagiie. 
Il  faut  une  gi-ande  origiiialilé  d'esprit  pour  occuper  digne- 
ment la  chaire  de  Géomélrie  de  l'Ecole  polytechnique.  Les 
besoins  pratiques  sont  impérieux  quant  à  tout  ce  c|ui  se 
traite  sur  épure,  mais  beaucoup  de  mathématiciens  consi- 
dèrent cela  comme  un  domaine  géométrique  monotone  où  la 
découverte  soudaine  et  sensationnelle  d'un  brillant  théorème 
ne  semble  pas  pouvoir  être  espérée.  La  conce|)tion.  nous  le 
verrons  plus  loin,  est  peut-être  étroite  mais,  (|uoi  (|u'il  en 
soit,  les  professeurs  de  l'Ecole  ont  élargi  le  champ.  Amédée 
Mannheim,  par  exemple,  s'illustra  avec  la  Géométrie  ciné- 
matique. Est-il  besoin  de  rappeler  (|ue  M.  d'Ocagne  est  un 
créaleur  en  matière  de  Nomograpliie  ?  Les  développements 
nomographiques  sont  surtout  réservés  à  un  Tome  11,  mais 
déjà  le  Tome  1,  aujourd'hui  publié,  contient  de  nombreuses 
amorces  à  ce  sujet;  les  j)i"éliminaires  relatifs  aux  transfor- 
mations en  témoignent. 

Quant  aux  transformations  praticpies,  il  fallait  naturelle- 
ment faire  une  grande  place  à  la  |)erspective.  11  est  clair  que 
le  trait  de  perspective  doit  pouvoir  résoudre  toutes  les  ques- 
tions susceptibles  d'être  rattachées  au  trait  de  descriptive, 
mais  c'est  surtout  là  une  remarcpie  théorique:  la  perspec- 
tive a  ses  méthodes  qui  demandent  (|uelque  élude  pour  elles- 
mêmes.  Et  il  semble  (|u'en  rattachant  à  la  [)erspective  des 
questions  plus  ordinairement  traitées  en  descriptive,  l'auteur 
a  lait  montre  d'une  première  originalité. 

Il  montre  l'importance  de  la  perspective  axonométrique 
en  laquelle  l'objet  à  représenter  est  lié  à  trois  axes  rectan- 
gulaires qu'on  projette  avec  lui.  Puis,  par  des  positions  plus 
particulières  de  ces  trois  axes,  la  perspective  devient  isomé- 
trique et  enfin  cavalière.  J'imagine  (|ue  des  lecteurs  n'ayant 
point  la  patience  de  faire  des  épures,  peuvent  cependant 
être  grandement  intéressés  par  l'élégance  avec  lacjuelle  de 
telles  vues  procèdent  du  général  au  particulier. 

Parmi  les  questions  les  plus  ingénieusement  traitées,  je 
signalerai  le  contour  apparent  de  la  sj)hère  (p.  61),  la  mise  en 
perspective  du  cône  circulaire  fp.  71),  l'image  d'un  point 
dans  un  miroir  quelconque  (p.  81,  l'ombre  intérieure  à   un 


38  A.    BUHL 

cylindre  circulaire  (p.  85).  Le  problème  de  la  restitution 
comprend  comme  cas  particulier  mais  d'une  importance  pra- 
tique capitale,  la  Métrophotographie   du  Colonel  Laussedat. 

La  Première  Partie  de  TOuvrage  ayant  été  consacrée  aux 
Transformations  géométriques,  notons  que  tout  ce  qui  con- 
cerne la  Perspective  et  forme  une  Seconde  Partie,  n'occupe 
que  78  pages;  c'est  d'une  condensation  fort  heureuse,  qui 
conserve  l'entière  beauté  des  méthodes  sans  les  disperser 
sur  une  multiplicité  d'exemples  empruntés  à  la  pratique. 

Une  Troisième  Partie  est  consacrée  à  la  Géométrie  infini- 
tésimale. 

Dans  la  transformation  infinitésimale  des  figures  planes, 
l'un  des  résidtats  les  plus  importants  est  dû  au  Colonel 
Mannheim;  il  lie  les  six  normales  aux  trajectoires  des  som- 
mets et  aux  enveloppes  des  côtés  d'un  triangle  variable  de 
position  et  de  Ibrme.  Avec  fjuelqnes  brefs  développements 
sur  la  variation  de  longueur  d'un  segment,  on  peut  aborder 
la  courbure  des  coniqjies  et  des  tractrices,  les  théorèmes  de 
Graves  et  de  Chasles  sur  les  arcs  d'ellipse,  la  courbure  des 
caustiques  et  des  podaires.  A  cette  Géométrie  différentielle, 
on  peut  adjoindre  sans  peine  certains  résultats  concernant 
les  aires,  par  exemple  l'aire  de  la  couronne  détachée  dans 
une  courbe  fermée  par  un  point  mar(|ué  sur  une  corde  de 
longueur  constante. 

Reaucouj)  d'éléments  dilférentiels  obtenus  jiar  les  mé- 
thodes précédentes  peuvent  s'annuler  de  manière  simple  ou 
symétrique,  d'où  de  très  élégants  théorèmes  de  maximum 
ou  de  minimum. 

Dans  l'étude  des  surfaces  développables,  M.  d'Ocagne 
arrive  au  développement  en  suivant  attentivement  la  défor- 
mation de  l'arête  de  rebroussement. 

L'étude  de  la  courbure  d'une  surface  autour  d'un  de  ses 
points  com[)orte  des  résultats  d'une  simplicité  étonnante  et 
cependant  peu  connus.  Ainsi  Mannheim  et  l'auteur  lui-même 
ont  donné  une  formule  liant  la  courbure  d'un  contour  appa- 
rent et  la  courbure  d'une  surface  en  l'un  des  points  de  con- 
tact avec  le  cylindre  projetant. 

Très  élégante  démonstration  géoinétricjue   pour  le   théo- 


DEUX   RECENTS    OUVRAGES    DE    GEOMETRIE        39 

l'ème  de  Mains  et  de  Dupin  sur  les  faisceaux  de  rayons  qui, 
avant  et  après  réfraction  sur  une  surface  quelconque,  ad- 
mettent des  surfaces  qui  leur  sont  orthogonales.  Puis  digres- 
sion des  plus  utiles  sur  la  notion  même  de  courbure  super- 
ficielle ;  sur  une  surlace,  l'idée  de  courbure  a  quel(|ue  chose 
d'arbitraire,  et  différentes  définitions  semblent  généraliser 
dans  des  voies  diverses  la  notion  qui  est  si  simple  pour  une 
courbe  plane.  C'est  ce  que  montre,  par  exemple,  la  courbure 
moyenne  quadratique  de  Casorati,  aisée  à  adjoindre  et  à 
comparer  aux  courbures  moyenne  et  totale  d'aspects  beau- 
coup plus  classiques. 

Les  lignes  tracées  sur  les  surfaces  nous  conduisent  aux 
lignes  de  courbure  dans  les  systèmes  triplement  orthogo- 
naux, aux  asymptotiques  et  à  leur  courbure  régie  par  le 
théorème  de  Beltrami,  surtout  à  ces  admirables  géodésiques 
qui  permettent  de  généraliser  la  Géométrie  plane  sur  une 
surface  quelconf|ue.  Les  lignes  de  courbure  de  l'ellipsoïde, 
si  simplement  déterminées  déjà  en  faisant  entrer  cette  sur- 
face dans  le  système  triple  orthogonal  bien  connu,  sont  aussi 
facilement  déterminées  comme  coniques  géodésiques  à  foyers 
aux  ombilics  de  la  quadrique. 

Soyons  brefs  pour  la  théorie  des  surfaces  gauches  en  nous 
bornant  à  signaler  une  représentation  géométrique  du  para- 
mètre de  distribution  due  encore  à  Mannheim. 

Le  conoïde  de  Pliicker  ou  cylindroïde,  étudié  par  MM. 
Appell,  Bricard,  d'Ocagne,  est  un  exemple  sans  rival  pos- 
sible. 

Après  les  surfaces  réglées  il  était  naturel  de  placer  ces 
multiplicités  rectilignes  plus  vastes  que  constituent  com- 
plexes et  congruences.  D'oîi  une  Quatrième  Partie  consacrée 
à  la  Géométrie  réglée.  Le  compbïxe  linéaire  y  tient  naturel- 
ment  la  place  principale  avec  ses  propriétés  de  polarité  qui 
olfrent  une  curieuse  analogie  avec  les  propriétés  de  polarité 
des  quadriques;  il  s'aperçoit  aisément,  en  bloc,  comme 
formé  par  l'ensemble  des  binormales  d'un  ensemble  d'hé- 
lices circulaires  de  même  axe  et  de  même  pas. 

La  Cin(|uième  et  dernière  Partie  du  volume  concerne  la 
Géométrie  cinématique. 


40  A.    BU /IL 

Cette  science  si  captivante  entrevue  par  Cauchy,  précisée 
par  Chasles  avec  la  notion  du  centre  instantané,  doit  encore 
ses  plus  admirables  développements  au  Colonel  A.  Mann- 
heim. 

Les  Principes  et  développements  de  Géométrie  cinématique 
constituent  l'un  des  plus  beaux  Ouvrages  dont  puissent  se 
glorifier  la  Science  française  et  l'Ecole  polytechnique. 

M.  d'Ocagne  a  réussi  une  exposition  fort  originale  et 
esthétique;  ainsi  il  est  banal  d'étudier  les  trajectoires  ellip- 
ti(jues  des  points  d'un  segment  dont  les  extrémités  glissent 
sur  deux  droites  rectangulaires,  mais  on  voit,  avec  un  vif 
intérêt,  qu'on  peut  rattacher  à  cette  question  la  construction 
d'une  conique  déjà  rencontrée  en  Perspective. 

Quant  au  mouvement  plan  le  plus  général,  il  aboutit  sur- 
tout au  théorème  de  Savary  qui  lie  la  courbure  d'une  trajec- 
toire aux  courbures  de  la  courbe  roulante  et  de  la  courbe 
rail.  Ce  théorème  est  ensuite  appliqué  et  mis  en  valeur  dans 
le  cas  des  épicycloïdes  ;  pour  ces  courbes,  le  lieu  des  centres 
de  courbure  des  éléments  de  trajectoire  correspondant  aux 
différents  points  du  cercle  roulant  est  lui-même  un  cercle, 
et  les  développées  sont  aussi  des  épicycloïdes.  L'auteur  a 
d'ailleurs  publié  des  recherches  originales  sur  ces  théorèmes 
et  d'autres  de  même  genre  dans  une  FAude  géométrique 
toute  récente  [Nouvelles  Annales  de  Mathématiques,  1915, 
p.  533). 

L'exposition  est  encore  d'une  clarté  particulièrement  sai- 
sissante dans  le  déplacement  d'un  solide  par  roulement  et 
glissement  d'une  surface  réglée  mobile  sur  une  surface 
réglée  fixe.  Dans  le  déplacement  instantané,  dans  la  viration, 
toutes  les  normales  possibles  aux  trajectoires  de  la  figure  en 
mouvement  forment  un  complexe  linéaire  attaché  à  un  en- 
semble instantané  d'hélices,  complexe  cjui  est  précisément 
celui  signalé  plus  haut  et  étudié  dans  la  Géométrie  réglée. 
Les  Géométries  cinématique  et  réglée  sont  ainsi  vivement 
éclairées  l'une  par  l'autre  et  à  propos  d'une  question  fonda- 
]nentale.  On  s'élève  de  là  a  des  complexes  non  linéaires 
formés  par  les  tangentes  aux  trajectoires  et  par  les  caracté- 
ristiques des  plans  en  mouvement,  mais  ils  se  confondent 


DEUX   RECENTS    OUVRAGES    DE    GEOMETRIE        41 

avec  le  complexe  des  droites  telles  que  leurs  conjuguées, 
par  rapport  au  complexe  linéaire  précédent,  leur  soient  rec- 
tangulaires. 

Aux  mouvements  à  deux  degrés  de  liberté  correspondent 
des  surfaces  trajectoires  dont  Tensemble  des  normales  est 
une  congruence  linéaire  commune  aux  complexes  linéaii-es 
correspondant  respectivement  à  deux  virations  particulières. 
On  en  conclut  immédiatement  que  ces  normales,  pour  cha(|ue 
position  de  la  figure,  rencontrent  deux  droites  ;  c'est  le  théo- 
rème de  Schônemann  et  Mannheim. 

Diverses  surfaces  hélicoïdales  illustrent  la  théorie  des 
mouvements  spatiaux;  vient  ensuite  la  surface  de  Tonde  non 
sans  des  préliminaires  très  généraux  sur  la  cinématique  des 
surfaces  apsidales. 

Diverses  Notes  terminent  l'ouvrage. 

Dans  des  Notions  complémentaires  sur  les  transformations 
géométriques,  sont  adjointes  aux  transformations  linéaires 
et  à  l'inversion  étudiées  dans  le  corps  du  volume  des  trans- 
formations analytiques  plus  générales,  notamment  des  trans- 
formations quadratiques.  Pour  des  quadriques  quelconques 
les  représentations  planes  sont  aisées;  pour  les  surlaces 
cubiques  la  chose  ne  saurait  être  sans  droites  existant  sur  la 
surface,  et  c'est  en  approfondissant  cette  remarque  qu'on 
peut  arriver  à  mettre  en  évidence  toutes  ces  droites  (|ui,  on 
le  sait,  sont  au  nombre  de  27. 

Avec  la  Note  Sur  un  procédé  de  mise  en  perspective  sans 
lignes  de  construction,  il  y  a  vraiment  de  quoi  s'étonner  et 
s'émerveiller.  Sur  une  épure,  des  faisceaux  homographiques, 
par  certains  rayons  imaginaires,  révèlent  des  rotations  cpii 
résolvent  alors  immédiatement  un  problème  de  perspective! 
C'est  d'une  synthèse  admirable  et  cpii  montre  bien  (ju'il  n'y 
a  plus  lieu  de  distinguer  la  Géométrie  prati(|ue  et  monotone 
des  atlas,  de  la  Géométi-ie  analyli(|ue  la  plus  abstraite;  tout 
cela  est  la  Géométrie  !  Et  soyons  reconnaissants  à  M.  d'Ocagne 
(jui  a  poussé  loin  l'art  de  nous  le  faire  comprendre. 

On  pourrait  d'ailleurs  en  dire  autant  quant  à  une  troisième 
Note  Su/-  un  procédé  de  restitution  perspective  fondé  sur  l'ho- 
niologie;  ici,  dans  un  problème  carlogra|)hique,   des  points 


42  A.    BUIIL 

éminemment  réels  sont  maniés  comme  intersections  de 
droites  isotropes. 

Pour  Gaston  Darboiix,  Timaginaire  doit  jouer,  en  Géo- 
métrie comme  en  Analyse,  un  rôle  explicatif  fondamental. 
M.  d'Ocagne  nous  montre,  en  outre,  que  dans  des  problèmes 
géométriques,  indéniablement  tenus  d'avoir  des  solutions 
réelles,  les  notions  imaginaires  peuvent  jouer  un  rôle  inter- 
médiaire des  plus  pratiques.  Une  telle  assertion  serait  banale 
en  Analyse  mais  combien  elle  est  plus  neuve  dans  le  domaine 
des  épures  ! 

Des  Exercices  complémentaires  relatifs  à  la  Géométrie 
infinitésimale  des  courbes  planes  exposent  les  élégantes 
recherches  de  M.  d'Ocagne  sur  les  adjointes  infinitésimales 
à  une  courbe  donnée.  Ces  adjointes  sont  telles  que  la  con- 
naissance d'infiniment  petits  du  [n  —  1)'°^  ordre  y  relatifs 
définit  les  infiniment  petits  du  «""^  ordre  relatifs  à  la  courbe 
primitive.  C'est  ainsi  qu'on  peut  avoir  des  propriétés  de 
courbure  relatives  à  une  certaine  courbe  connaissant  des 
propriétés  des  tangentes  ou  des  normales  de  la  courbe  ad- 
jointe. 

Une  cinquième  et  dernière  Note  Sur  l'attraction  d'une 
couche  ellipsoïdale,  montre  encore  le  secours  que  les  re- 
marques géométriques  peuvent  apporter  quant  à  l'évaluation 
de  certaines  iiitéofrales. 

Après  de  telles  citations  il  serait  superflu  de  faire  un  effort 
(.le  style  pour  écrire  quelque  conclusion  grandiose.  Félicitons- 
nous,  très  simplement,  d'avoir  vu  paraître  ensemble  deux 
Ouvrages  oii  apparaît  si  clairement  le  génie  propre  à  celte 
science  géométrique  dont  les  plus  beaux  développements 
sont  dus  à  des  oéomètres  français. 


REMARQUES 

SUR  LA  CONSTRUCTION  DES  COURBES  GAUCHES 

AVEC  APPLICATION  A  LA  PARABOLE  CUBIQUE 

PAK 

Gino  LoRiA  (Gênes). 


Pour  se  former  une  idée  exacte  de  la  forme  qu'a  une  ligne 
à  double  courbure,  dont  on  connaît  la  génération  et  par 
suite  la  représentation  analytique,  on  a  en  général  recours 
aux  méthodes  de  la  Géométrie  descriptive.  Toutefois,  pour 
bien  comprendre  les  épures  que  cette  science  apprend  à 
construire,  il  est  nécessaire,  et  pas  toujours  suffisant,  une 
habitude  considérable;  par  conséquent  on  peut  penser  que 
le  but  en  question  peut  être  atteint  d'une  manière  plus 
rapide  et  plus  sûre  en  traçant  réellement  dans  l'espace  les 
lignes  dont  on  veut  se  procurer  une  image  précise.  Mais 
comme  les  physiciens  et  les  chimistes  jusqu'à  présent  ne 
nous  ont  appris  aucun  procédé  pour  «dessiner  dans  l'es- 
pace »,  les  mathématiciens  doivent  chercher  un  expédient 
dans  l'ensemble  de  leurs  outils;  et- que  cette  recherche  ne 
soit  pas  stérile,  est  prouvée  par  les  lignes  suivantes. 

Considérons  la  courbe  F  qui,  à  l'aide  de  coordonnées  car- 
tésiennes orthogonales,  a  celte  représentation  paramétrique: 

Soient  Tx,  Fy,  F;  ses  projections  orthogonales  sur  les 
plans  2/z,  zx,  xy.  F;,  par  exemple,  est  la  base  d'un  des 
cylindres  (jui  projettent  la  courbe;  si  nous  développons  ce 
cylindre  sur  un  plan,  la  courbe  F  subira  une  déformation  et 
deviendra    une    courbe    [F]    parfaitement   déterminée.    Pour 


44  G.     LORIA 

définii- cette  courbe,  nous  la  rapporterons  à  un  système  car- 
tésien orthogonal  avant  pour  axe  des  abscisses  de  ligne  Tz 
rectifiée  et  pour  origine  un,  Q.,  de  ces  points  choisis  arbi- 
trairement. Alors  la  première  coordonnée  du  point  [P]  trans- 
formée d'un  point  quelconque  P  de  la  courbe  F  sera  donnée 

par  la  ("onction 

t 

fi  =    f  V^'-O  -+■  ■V^\t\àl  =  '.)(/!    ,  (2) 


rintégrale  étant  prise  de  manière  que  s  soit  :=  0  au  point  Ù\ 
tandis  que  la  seconde  coordonnée  sera  égale  |'/).  Par  suite 
la  courbe  [F]  rapportée  à  un  système  cartésien  peut  se  repré- 
senter par  les  éciuations  : 

?  —  (o(n    ,  ri  =  ■/_{!)    .  (3)  • 

A  l'aide  de  ces  formules  la  courbe  [F]  pourra  être  tracée 
sur  le  plan.  Si,  cette  opération  finie,  on  replace  le  cylindre 
projetant  dans  sa  position  originaire,  la  ligne  T]  redeviendra 
F  et  la  f|uestion  que  nous  avons  énoncée  au  début  sera  ré- 
solue. Dans  la  pratique,  il  est  bon  de  tracer  la  courbe  F;  sur 
une  table  de  bois  comme  un  sillon  qui  la  traverse  complè- 
tement et  de  dessiner  la  courbe  [F]  sur  une  lame  de  métal 
très  mince  et  très  flexible;  alors  l'opérolion  de  rej)lacement 
dont  nous  avons  parlé  n'offrira  d'obstacles  insurmontables. 

Mais  il  y  a  une  autre  espèce  de  difîiculté  qui  empêche 
bien  souvent  d'appli(|uer  la  méthode  dont  il  s'agit;  c'est  la 
détermination  de  la  fonction  &)(/),  car  en  général  elle  n'ap- 
partient à  aucune  classe  connue  et.  même  dans  les  cas  où 
cela  arrive,  c'est  une  fonction  si  compliquée,  qu'il  est  pai"- 
fois  impossible  de  tracer  avec  la  précision  nécessaire  la 
courbe  [F]. 

Entre  les  cas  où  cette  didiculté  |)eut  être  vaincue  il  y  en  a 
un  qui  me  jiaraît  digne  de  remar(|ue,  car  il  se  rapporte  à  la 
plus  simple  des  courbes  gauches  algébri(|ues  et  car  il  oflre 
une  application  de  la  plus  ancienne  des  courbes  planes  algé- 
briques rectifiables  à  l'aide  d'expressions  aussi  algébriques  : 
je  parle  de  la  cubique  gauche  osculatrice  du  plan  à  l'infini 
(ou  parabole  cubique)  et  de  la  parabole  de  Neil. 


CONSTRUCTIOy    DES    COURBES    GAUCHES  45 

Pour  démontrer  tout  cela,  il  est  nécessaire  de  se  rappeler 
que  la  plus  simple  des  paraboles  cubiques  peut  se  repré- 
senter, si  on  la  rapporte  à  un  système  cartésien  orthogonal, 
par  les  é(|uations  suivantes  : 

a-  =  /3  ,  V  =  <=  ,  z  =  t   .  (4) 

Par  suite,  ses  projections  sur  les  trois  plans  de  repère 
sont  les  courbes  : 

or  on  sait  que  les  deux  dernières  ne  peuvent  être  rectifiées 
algébriquement,  tandis  que,  au  contraire,  cela  est  possible 
par  rapport  à  la  première. 

En  efi'et,  on  j^eut  encore  la  représenter  par  les  équations 

X  =1  l^  .         y  =  i^  ; 
par  suite  on  a 

ds  =  /  V9?T^  dl   : 

changeons  de  variable,  en  posant 

yy/'  +  4  =  3« 

et  nous  aurons- 

ds  =  'Su^chi 

et 


•v  =  11^  -{-  coiist.  r=  (  /-  -j-  —  )    -\-  consl. 

vSi  nous  sujiposons  (pTon  ait  s=zO  pour  /  =  0,  la  const. 
doit  être  :=  —  —  ,  et  alors 


-  =  (  '^  +  9 


Tout  cela  prouve  (|ue  la  courbé  [F]  transformée  par  déve- 
loppement de  la  parabole  cubicpie  F  est  représentable  par 
les  formules 


?  =  ('^  +  ^)-.:.     .-' 


46  G.     LOB/A 

par  suite  elle  a  Téquation  suivante  : 


^+2- 


V  + 


(5) 


C'est  donc  une  courbe  du  6*  ordre  qui  passe  par  l'origine 
des  coordonnées.  Si  on  change  un  des  axes  en  se  servant 
des  formules 


?  +^.  - 


—  p' 


■ri  =  n 


on  a,  au  lieu  de  Téqualion  (5),  la  suivante  : 


cette  équation  prouve  que  la  courbe  [T]  est  symétrique  par 
rapport  aux  nouveaux  axes  ;  à  toute  valeur  réelle  de  •/}'  il  cor- 
respond un  couple  de  valeurs  réelles  de  Ç',  d'où  il  suit  que 
le  point  à  l'infini  de  Q.'^'  est  un  point  quadruple  (les  corres- 
pondantes tangentes  coïncident  avec  la  droite  de  l'infini  du 
plan)  ;  et  à  toute  valeur  réelle  de  |',  satisfaisant  à  la  relation 

I  ^' I  >  2^,  on  a  deux  valeurs  réelles  de  n' .  La  courbe  (comme 

le  montre  la  fig.  1)  a  donc  à  peu  près  l'apparence  d'un  couple 
de  paraboles  tournant  leurs  convexités  Tune  à  l'autre  et  sy- 
métriques entre  elles  par  rapport  à  Q.'yj' . 


/-o.     il' 


/ 


n{ 


\ 


Fig.   1. 


l'io.  -2 


LA     TOUPIE    GYROSCOPIQUE  47 

Remarquons  d'ailleurs  que  la  parabole  semicubique  .r*  =  ^^ 
est  une  courbe  de  troisième  ordre,  toute  située  au-dessus  de 
l'axe  O.r,  symétrique  par  rapport  à  Oy  et  dojit  l'origine  est  un 
point  d'arrêt  (voir  fig.  2)  ;  on  a  de  la  sorte  tous  les  éléments 
pour  se  former  une  idée  de  la  forme  qu'a  la  parabole  cubique  : 
cette  courbe  s'obtiendra  en  plaçant  le  plan  ^0/)  normalement 
au  plan  xOy  de  manière  que  Q.  tombe  en  0  et  la  droite  û| 
se  superpose  à  la  parabole  semicubique. 

Un  procédé  parfaitement  semblable  peut  s'appliquer  à 
toute  courbe  gauche  dont  la  projection  orthogonale  sur  un 
plan  convenablement  choisi  soit  rectifiable  par  des  fonctions 
simples. 

Gènes,  octobre  1917. 


THEORIE  ÉLÉMENTAIRE 
DE  LA  TOUPIE  GYROSCOPIQUE 

M.  Zack  (Odessa). 


Parmi  les  théories  de  la  Mécanique,  il  y  en  a  peu  qui  aient 
conduit  à  un  plus  grand  nombre  d'applications  directes  que 
la  théorie  du  mouvement  gyroscopique.  En  balistique,  en 
aéronautique,  dans  la  construction  des  machines  et  des 
navires  il  a  été  possible,  grâce  au  développement  de  cette 
théorie,  d'introduire  des  perfectionnements  qui  ont  eu  une 
influence  quelquefois  décisive  sur  l'évolution  de  ces  diverses 
branches  de  l'art  de  l'ingénieur.  Pourtant,  la  plupart  des 
théories  soi-disant  élémentaires.du  phénomène  gyroscopique 
sont  ou  fausses  ou,  au  moins,  inexactes.  Quelques-unes  seu- 
lement permettent  d'obtenir  des  résultats  |)urement  quali- 
tatifs. 


48  M.    ZACK 

Le  but  de  cet  article  est  de  montrer  qu'il  est  facile  d'étu- 
dier d'assez  près  le  mouvement  d'une  toupie  gyroscopique 
par  des  méthodes  élémenlaires. 

Les  formules  ainsi  oljtenues  peuvent  être  directement 
appliquées  aux  dilTérents  cas  qui  se  présentent  avec  une 
approximation  dont  le  degré  peut  être  rapidement  déterminé 
dans  chaque  cas  particulier. 

Les  résultats  sont  applicables  surtout  lorsque  le  mouve- 
ment de  la  touj)ie  autour  de  son  axe  est  entretenu,  par 
exemple  électriquement  on  de  toute  autre  manière,  indé- 
pendamment du  mouvement  de  l'axe  lui-même,  comme  cela 
a  lieu  dans  la  plupart  des  applications. 

§  1.  —  Considérons  un  solide  de  révolution  ou  plutôt  un 
solide  dont  l'ellipsoïde  d'inertie  est  de  révolution  autour 
de  Os.  Soit  O.ri/z  un  système  d'axes  trirectangulaires  mobile 
autour  du  point  O,  fixe  dans  Tespace.  Supposons  le  solide 
en  rotation  autour  de  Taxe  Os  avec  une  vitesse  angulaire 
relative  constante. 

Soit  &)  la  rotation  instantanée  absolue  du  système  Oxyz  au 
temps  t  et  soient/»,  q^  r  les  projections  de  w  sur  les  axes 
Ox.Oy.Oz. 

Les  équations  d'Euler  dans  ce  cas  s'écriront 

A^+  (C- Au/r  =  L  , 
A^^  +  |A—  C)pr=z  M  . 
C -r-  =r  N    ,      puisque  B  =  A  . 

On  peut  élutlier  le  mouvement  [M'opre  du  svstème  O.ii/z 
en  faisant  abstraction  du  mouvement  relatif  du  corps  par 
rapport  à  Oxi/z,  c'est-à-dire  en  regardant  le  corps  comme 
immobile  autour  de  Os,  à  condition  d'introduire  la  force 
d'inertie  relative  et  la  force  d'inertie  complémentaire  ^ 

ll^:^^\RQUE.  —  Si  la  vitesse  angulaire  relative  tlu  solide 
autour  de  Os  n'est  pas  constante  dans  le  système  /-éel  d'en- 


V.   M.  .ASTIKR,  Etude  sur  le  phénomène  gyroscopique.  R.  de  M.,   1909.  8. 


LA     TOUPIE    GYROSCOPIQUE  '.9 

traînement,  on  peut  toujours  imaginer  un  système  fictif  O.ri/z 
d'entraînement  dans  lequel  la  vitesse  angulaire  relative  du 
solide  serait  constante. 

En  effet,  supposons  que  la  rotation  relative  du  solide  autour 
de  O:;  soit  a  =  ft  -\-  y  où  /S  est  constant  et  y  variable. 

Soit  /',  la  rotation  d'entraînement  réel;  la  rotation  d'en- 
traînement fictif  sera  /•  =  /•,  +  y  et  la  rotation  relative  — /3. 

On  peut  immédiatement  (aire  une  application  de  cette 
remarque  au  calcul  du  couple  autour  de  Oz  des  forces 
d'inertie  provenant  du  mouvement  varié  relatif  autour  de  Oz. 

On  aura 


+^-ri=». 


puisque  dans  le  mouvement  absolu   il  n'y  a  pas  de  forces 
appliquées;  d'autre  part 

^  di  ~  ^'^  • 

puisque  nous  considérons  le  solide  comme  immobile  autour 
de  Oz  ^  en  introduisant  le  couple  X,^  des  forces  d'inertie. 
De  ces  deux  relations  on  tire 

'  dl  dt 

Revenons  aux  équations  d'Euler. 

Soit  M  un  point  pris  dans  le  corps  et  soient  r.  y,  z  ses  coor- 
données au  temps  t,  dans  le  système  O.ii/z.  Les  projections 
de  la  vitesse  relative  sur  les  axes  O.r,  Oij ,  Oz  sont 

d.r  dy  dz 

-T-  =  —  av   ,  -^  =  a.r   .  -r-  =z  0   .  2) 

dt  •  dt  dt  ' 

Soit  w  la^masse  du  point  M.  Les  projections  de  la  force 
d'inertie  complémentaire  sur  les  axes  Or.  O/y.  Oz  sont 

--'"Vfjt  -  'ij)  ■  --'"['■•dj-Pd-t)  ■  --"YTt-''it)  '  '•^' 


'  Nous  séparons  toujours  le  mouvement  propre   Hu   corps   autour  de   Oz    du   mouvement 
provenant  du  système  0j:.i/-;  c'est  ce  premier  mouvement  qui  est  supposé  nul. 

L'Enseignement  nialhém.,  •2(  •  année;   1918.  i 


50  M.    ZACK 

OU,  en  remplaçant  dx^  dy  ^  dz  par  leurs  expressions  '2), 

—  'Inip'xx  —  'IiiKjy.y   . 

Les  projections  sur  les  mêmes  axes  de  la  force  d'inertie 
sont 

}u  a-.r   ,  m  %-y   .  0  .  i  i 

En  faisant  la  somme  des  moments  de  ces  forces  d'inertie 
par  rapport  aux  axes  Ox,  Oi/  et  O:;  et  en  remarquant  que  ces 
axes  sont  les  axes  principaux  d'inertie,  nous  voyons  que  les 
moments  des  forces  d'inertie  relative  ont  des  sommes  nulles 
et  que  les  sommes  des  moments  des  forces  d'inertie  com- 
plémentaires se  réduisent  respectivement  à 

—  (jolC   ,         -\-  p7.C  ,         0. 

En  ajoutant  à  L,  M  et  X  ces  moments,  nous  pourrons 
écrire  les  équations  d'Euler  sous  la  forme  suivante  : 

A^+  (C  -  A)r//=L  -ryaC   , 

A^  +  (A  —  C)«r  =  M  +  paC   .  (5l 

at 

Ces  équations  nous  permettront  d'étudier  le  mouvement 
du  système  Ojcyz  autour  de  0  en  faisant  abstraction  de  la 
rotation  propre  du  corps. 

^2.  —  Supposons  d'abord  que  l'axe  instantané  dentraine- 
nient  est  constamment  situé  sur  un  cône  de  révolution  autour 
de  O2  et  de  plus  N  —  0. 

Des  équations  (5)  on  tire 

(.  -r  =  <•    .  d  ou  ;•  =  ;•     . 

dl 

L'axe  d'entraînement  fait  avec  0^  l'angle  cos  \  --  et 
puisque  le  cône  est  de  révolution   "  =;  C'*,  c'est-à-dire  o»  =  (^."'. 


LA    TOUPIE    GYROSCOPIQUE  51 

On   peut   donc   écrire  p'^  +  q^  =  iV^.    En  différentiant  cette 

expression  nous  obtenons  (6)  p-j-  +  q^^-j  =  0. 

En  multipliant  la  première  des  équations  (5)  par  p  et  la 
seconde  par  q,  en  ajoutant  et  en  tenant  compte  de  (6).  nous 
obtenons 

Lp  +  M(/  =  U  .  (7l 

Cette  dernière  relation  conduit  à  la  proposition  suivante  : 

Si  t'axe  instantané  d" entraînement  est  constamment  situé 
sur  un  cône  de  révolution  autour  de  Oz  et  est  constant  en 
grandeur^,  l'axe  du  couple  des  forces  extérieures  est  perpen- 
diculaire au  plan  passant  par  l'axe  de  rotation  propre  du 
corps  et  l'axe  instantané  d'entraînement. 

Cette  proposition  a  été  énoncée  pour  la  première  fois, 
croyons-nous,  par  M.  Clauzel-,  qui  Ta  démontrée  par  une 
méthode  géométrique  très  élégante,  sans  préciser  d'ailleurs 
les  conditions  de  son  application. 

Supposons  maintenant  Lp  -\-  ^\q  :=:  0  et  de  plus  N  =  0. 

En  remplaçant  L  et  M  par  leurs  valeurs  tirées  des  équa- 
tions (5)  et  en  faisant  les  réductions  nécessaires,  nous  obte- 
nons l'expression 

P  'di  +  '^^  =  "^       '''°''       l''  +  '/'  =  -""■■  •  '^* 

La  troisième  des  équations  (5)  nous  donne  /•=:/(,.  Nous 
arrivons  ainsi  à  la  proposition  suivante  : 

Si  l'axe  du  couple  des  forces  extérieures  est  nul  ou  est 
constamment  perpendiculaire  au  plan  passant  par  l'axe  de 
rotation  propre  du  corps  et  l'axe  instantané  d  entraînement, 
l'axe  instantané  d'entraînement  est  situé  sur  un  cône  de  réi'o- 
lution  autour  de  Oz  et  est  constant  en  grandeur. 

Cette  proposition  peut  être  regardée  comme  l'inverse  de 
la  proposition  de  M.  Clauzel. 

§  3.  —  Nous  étudierons  deux  cas  [)articuliers  du  mouve- 
ment d  une  toupie  gyroscopique  sous  l'influence  de  la  pesan- 
teur. Une  toupie  gyroscopique  est  généralement  constituée 


'   \m    seconde  condition    peut  èlru    renipl.icoc    par  la   condition    N  ^  0,   ce   qui    revient  ;iu 
nn-nie. 

*  11.   Cl.AUZlîL.    EU'cts  syroscopiqiies,   etc.   R.   d.    M.,   19li. 


52  M.    ZACK 

par  un  disque  assez  lourd  monté  sur  un  axe  auquel  on  im- 
prime un  mouvement  de  rotation  rapide  et  qui  repose  par 
un  de  ses  points  sur  un  support  fixe.  Les  deux  cas  que  nous 
analyserons  seront:  1°   le   cas   où   Taxe  de   la   toupie  forme 

avec    riiorizontaie    un   angle  voisin   de   ^,    c'est-à-dire    est 

presque  vertical  et  2°  le  cas  où  Taxe  de  la  toupie  forme  avec 
rhorizontale  un  angle  voisin  de  0,  c'est-à-dire  est  presque 
horizontal. 

Xous  introduirons   les  angles  ^  et  ^  qui   déterminent  la 
position  de  la  toupie  a  chaque  instant.  L'angle  9  détermine 

la  position  de  l'axe  0:;  par  rapport  à  l'horizontale  et  j  sera 
la  vitesse  angulaire  de  nutation  ;  Tangle  ©  détermine  l'azi- 
muth  de  l'axe  0:;  et  -7^  sera  la  vitesse  angulaire  de  préces- 
sion. Ces  deux  angles  définiront  complètement  la  position 
de  la  toupie  puisque  nous  la  considérons  (fictivement)  comme 
immobile  autour  de  son  axe,  à  condition  d'introduire  les 
forces  d'inertie. 


Les  seules  forces  réelles  qui  agissent  sur  la  toupie  sont  la 
réaction  au  point  O  dont  le  moment  est  nul  et  le  poids  ap- 
pliqué h  une  distance  a  de  O  et  dont  les  projections  sur  les 
axes  O.r,  Oy  et  Or.  sont 


L  =  0 


M 


Va  LOS  0 


à 


LA     TOUPIE    GYROSCOPIQUE  53 

Les  projections  de  la  rotation  instantanée  d'entraînement  o 
sur  les  axes  O.r,  Oy  et  Oz  sont 

p  :=  V-  cos  'J   ,  fi  =^  -—   ,  ;•  =  — -^  sin  0   .  (8) 

1°  Supposons  d'abord  l'angle  9  voisin  de  -^  pendant  tout 
le  mouvement.  L'expression  hp  +  M^  se  réduit  ici  à  Mry  = 
—  P«  cos  9  -7-  .  Or,  puisque  9  est  voisin  de  ^ ,  cos  9  est  voi- 
sin de  0;  d'autre  part  quand  9  s'écarte  le  plus  de  ^,  -5-  est 

nul  puisque  9  est  alors  minimum  ou  maximum.  Nous  pou- 
vons donc  admettre  que  pendant  tout  le  mouvement  M(/  est 
approximativement  nul  et  applicpier  les  résultats  du  précé- 
dent paragraphe. 

Nous  pouvons  écrire  p-  -\-  q"  -\-  r^  =^  w'  avec  /■  =  i^  oii  o),, 
et  i'q  sont  les  valeurs  initiales  de  la  rotation  instantanée 
d'entraînement  et  de  sa  projection  sur  Oz. 

En  remplaçant  p,  q  et  r  par  leurs  valeurs  en  l'onction  de  9 
et  y  nous  obtenons 

-r  I   +      -r      =  '■'  et  -7^  sin  0  =  /•„  .  (9| 

ill)  \dLj  0  dt  " 

La  dernière  relation  peut  encore  s'écrire 


dt         sin  f) 


(10) 


On  voit  donc  que   la  vitesse  angulaire   de   précession  -jj 

augmente  quand  sin  ^  diminue,  c'est-à-dire  quand  l'axe  de 
la  toupie  s'écarte  de  la  verticale. 

Choisissons  comme  position  initiale  la  position  dans  la- 
quelle 9  =  ~,  et  comme  instant  initial  le  moment  quand  la 
vitesse  angulaire  autour  de  l'axe  Oi/  est  négative  :  (— )  <  0. 

...  di  .  ,  ,"    ■     d<) 

9  ira  en  diminuant  et  -7^  augmentera  jusqu  au  moment  ou  j- 
dont  la  valeur  absolue  ira  en  même  temps  en  diminuant 
(équation  (9))  deviendra  nul,  à  cet  instant  -jj  sera   égal  à  c-iq 


5'i  M.    ZACK 

et  sin^, ,  sera  égal  à  /•(,.   y\près  cela  9  augmentera  de  noii- 

veau  jusqu  a  -^  pendant  que  ~  diminuera  jusqu  a  /q,  j  étant 

positif,  9  continuera  à  augmenter  jusqu'à  une  valeur  sin#, 

=  ^  et  j^  augmentera  jusqu  a  m^. 

On  voit  ainsi  que  la  vitesse  angulaire  de  précession  ne 
devient  jamais  nulle  et  oscille  entre  les  valeurs  /^  et  cj^,  que 
l'angle  9  varie  entre  deux  valeurs  symétriques  par  rapport  à 

Oz  définies  par  arcsin--  et  que  la  vitesse  angulaire  de  nuta- 

tion  varie  entre  0  et  zt  (/ w'  —  /'.  Du  reste  /,j  diffère  peu  de 

wo  puisque  9  s'écarte  peu  de  ~. 

Nous  avons  supposé  au  début  que  -r-  s'annule  rapidement 

quand  9  s'écarte  de  ^.  Cherchons  les  conditions  pour  qu'il 
en  soit  ainsi. 

La  deuxième  des  équations  (5)  prendra  dans  le  cas  qui  nous 
occupe  la  forme  suivante  : 

.  d-^^  .  ^,     „cosO  .  ^        cos  6 

dl-  0  siii  0  '  "^  sin  0 

Cette  équation  s'obtient  en  remplaçant  p  et  q  par  leurs 

d^ 
Ti 


expressions  (8),  /■  par  /„  et  -^  par  son  expression  (10) 


Multiplions  cette  équation  par  -r-  et  intégrons. 
On  obtient  : 

~(  y  j   =  —  IV/siiiO  +  Car,,  LogsinO  +  (C  —  A|r*  l,ogsiu6  +  D   , 

où  1)  est  déterminé  par  l'équation  suivante  : 

^(^4),^.. = - ''"  +  '^  •  ^^^'■'■''-^  "  =  ''"  + 1(^)! 

On  obtient  ainsi  pour  (^j  l'expression  suivante: 

/di)\-_  2iP«(l  -  sii.6)  +  [Cai-Q  +  (G  — A)/-;]rogsinO         /,/oy 
\dt)   -  A  +  [dl)„ 


11) 


(12) 


LA    TOUPIE    GYROSCO>IQUE  55 

L'équation  (12)  nous  montre    1"  que  si  a  et  /•,  sont  nuls, 

-T-  ne  s'annule  jamais  .et  augmente  lorsque  9  augmente  ou 

diminue  et  2''  que  plus  a  est  grand  ^  moins  9  s'écarte  de  ^, 

Jû 

puisque  -j-  s'annule  d'autant  plus  rapidement '. 

On  voit  donc  que  la  supposition  que  nous  avons  faite  au 
début  est  justifiée  par  un  disque  tournant  rapidement  autour 
de  son  axe.  Cherchons  maintenant  la  période  d'oscillation 
de  la  toupie  autour  de  l'axe  vertical.  On  y  arrive  facilement 
en  faisant  quelques  approximations. 

L'équation  f5')  peut  être  écrite  de  la  façon  suivante  : 

fjiij         (A  —  C)/-'cos  0  4-  P«  pos  0  siii  0  —  Ca/-   cos  0 

sin  0  -.,  -  H ? =  0   .      (5") 

d- 1  A  ^ 

Puisque  sin0,  pendant  tout  le  mouvement,  est  voisin  de  1, 
remplaçons  Prtsin^  par  Prt  et  posons  cos9  =  a. 
On  aura 

cos  0  =  »    , 

.    ,  </9         du 
—   sin  iJ  -;-   =  --     , 
dt         dt 

.    ,  d-l)  ,  /^0\-       d-'ii 

—  siu  'i  -r-5   —  cos  9     -^       =:  — —,     . 
dl-  \dlj  dt- 

Remarquons  que  cos6>(-7-j  ,  pendant  tout  le  mouvement, 
est  voisin  de  zéro,  négligeons-le  et  écrivons 

.    ^  d^H        d-ii 
dt-         dt- 

L'équation  (5  ")  deviendra  alors 

d-u  .,  ^  ,         Car,,  —  Va  +  |C  —  A)rJ 

—-^  -+-  III- Il  :=.  0  où  nr  = ;      (13) 

dl-  -  A 

la  dernière  expression  pour  «  assez  grand  est  positive. 

L'équation  '13)  nous  permet  de  calculer  la  période  T  d'une 


•  Nous  oe  parions   pas  de  r^^  puisque   (C  —  Al   peut  rtre   négatil'. 
'  lop;  «in  0  est  nul  ou  négatif  puisque  sin  9^1. 


56  M.    ZACK 

oscillation  simple  de  la  toupie  autour  de   l'axe  vertical.  On 

trouve  T  =  — .   On  voit  que  T  diminue  1"  lorsque   a  auff- 

mente  et  2"  lorsque  Y'a  diminue. 

2°  Passons  maintenant  à  l'autre  cas  où  9  est  voisin  de  zéro. 

Les  équations  (5)  peuvent  s'écrire  en  remplaçant/;,  q  et/' 
par  leurs  expressions  (8)  de  la  façon  suivante  : 


-^cos&  -  A^^-  4-  IC  -  A);.  ^  =  -  L.j^ 


A-i-r  +  (A  —  C)r„  --  cos  fi  =  —  Pa  cos  6  +  Ca  V  cos  0       (14» 
dt-  "  dt  '  dt 

d<D 

j-  sin  0  =:  Tq  puisque  N  :=  0   . 

Remarquons  que  r^  est  voisin  de  0  puisque  0  en  diffère 
très  peu.  Pour  la  même  raison  nous  pouvons,  au  lieu  de 
cos^,  écrire  1  dans  les  équations  (14),  c'est-à-dire  écrire 

A^+   [C(a+  r„)-2ArJ^^  =  0   . 

(14') 


A-^-[Cu  +  U)  -  A'-<J^+  Pa  =  0 


Posons 


_  C(a    KrJ-2A/-„  ,  _  C(a  +  ,-,|  -  Ar„ 

-  A  ei  «    _  ^^ 


m^  et  n^  sont  positifs  si  a  est  supposé  grand.  Posons  d'autre 

d<D 


part  -TT  =  u.  Les  équations  (14')  s'écriront 


du         ,^6 

^ ^  m-—   =  0    , 

<i/     '  dt 

(15) 
</-0  ,  Pa         , 

De  la   première  de   ces  équations   nous    pouvons    tirer  : 
:r;  = '.  j7  ;  portons  ceci  dans  la   seconde  équation,  nous 

dt  jn-  dt       ^  T 

obtenons  : 

d'- u  ,    ,  .,  F'« 

7-.,    +  iiriru  —  w —  zz:  0    .  (loi 

dl-  A  ^ 


LA    TOUPIE    GYROSCOPIQUE  57 

Posons 


P«  1       . 

Xir        m- If 


—^t 


L'équation  (16)  pourra  alors  s'écrire 

1      .,  .      -u  .      -tt  .,  P«  .,  Prt 

-^j-v?-A,,e     ■    4-  A,,e     "    -\-ih-— m- -—  =:  U   ,  (Ib  ) 

m- ir  "  A  A 

d'où  nous  tirons 

Ç-  -(-  /«-«-  :=  0    ,  d'où  ïj  =r  iHi/i  cl  ?î  =  —  """    • 

Nous  avons  donc 

Pa 

«  :=z  i  -|-  A,  cos  mut  -\-  A.,  siu  mut   .  (17) 

A/i- 

En  nous  servant  des  relations  posées  plus  haut,  nous  obte- 
nons successivement  : 

rf9  1    du        II  .       .  "   . 

-r-  :=.  —  —.^-r  ^=  —  A    siii  mut A,  cos  mnt   , 

a  t  m-  dt         m  m 

Ô  = s  A,  cos  mut  —  — :,  A.,  s^iu  ini,t  -\-  K'   , 

m^  m-     - 

P«  1    .       •  1     . 

c  :=  5/  +  A,  sin  mnt A.,  cos  mut  +  Iv 

Air  mil  mil     - 

En  nous  donnant  les  quatre  valeurs  initiales  (pour  /  =;  0^ 
de  ^'  ?'  j7  6l  ;77'  soit  6>g  \  (p^,  ^'^  et  w^,  nous  pourrons  écrire 

quatre  équations  pour  déterminer  les  quatre  constantes  A,, 
A^,  K'  et  K". 
Nous  aurons 


%  =  -   Ia,  +  K'  .  0;=  --A_ 


?o  = A.,  +  K"   ,  //„  =  — -  4-  A, 

'  nui     ■  Air 


1I8) 


On  en  tire 


m ,'  ,  Va 

A.,  =; 'J     ,  A,  =   //,, ;,   , 

/i-    o  ///-         Ain- II' 


(18') 


'   6.  doit  être  voisin  de  0. 


58  M.    ZACK 

Considérons  le  cas  particulier  où  Oq  =  ^o  =  "o  ^=  ^o  =^  ^^• 
(3n  aura  : 

A«-  A/rw- 

^  et  cp  s'écriront  alors 

u  =  5 — ;,  cosnint  —   - — ^ — ^  =  - —  rail  -  -  vo»  mut]   , 

An- ni-  A//-/H- 

On  voit  que  Taxe  de  la  toupie  décrit  une  cycloïde  ^ 
Remarquons  encore  que  si  a  est  très  grand  on  peut  négliger 

/'o  devant  a  et  écrire  /»-  =  /r  =  -.- ,  9  el  y  deviennent  alors 

P«    . 

8  = T  (  1  —  cos  m-t}   , 

A/;r 

P«         o  .         , 

o  =  -7 — j-  (/»-/  —  sin  in-l)   . 
'         Am* 

Plus  a  augmente,  plus  m  augmente  et  plus  la  cycloïde 
s'aplatit  et  la   période  d'oscillation    de    l'axe    de    la    toupie 

2- 

autour  de  l'horizontale  ^  diminue. 

m- 

Nous  avons  supposé  au  début  que  9  s'écarte  peu  de  0. 
Cherchons  les  conditions  pour  qu'il  en  soit  ainsi.  Il  est  évi- 
dent qu'il  faut  d'abord  que  9^  soit  ou  nul  ou  très  peu  différent 
de  zéro. 

Ecrivons  l'expression  générale  de  9.  On  aura 

,,  //,,  Vfi  1      .  //  Prt 

'i  = .,  (OS  ninl  -f-  - — ~ — -  cos  mnt  -\-  —  sin  innt  -\-   --, 7, — ^  4-  0,, 

ni-  An- m-  mn  nr         An- ni- 

f",,  P«     1r  1      '    . 

=:      — T, , — ï — 77  1 1 1  —  cos  /«/;/]  -1-    —  0   sin  mnt  -\-  0„    . 

L;/i-         An^m-y  -*         mn    »  " 

On  voit  tout  de  suite  que  pour  que  9  s'écarte  peu  de  9^, 
(qui  lui-même  est  nul  ou  très  petit),  il  faut  que  m  et  //  soient 
très  grands,  c'est-à-dire  «  très  grand. 

?i  '».  —  Cherchons  les  conditions  d'une  précession  simple 


'  Au  lion  (lo  0  et  c  il  laiit  considérer  les  coordonnées  —  //lO  et  «C. 


LA    TOUPIE    GYROSCOPIQUE  59 

(sans  nutation)  et  uniforme,  c'est-à-dire  les  conditions  pour 

que  pendant  tout  le  mouvement  ^  =  ©^  et  7^=  Uq  où  ^^  et  ^l^^ 

sont  déterminés  par  les  conditions  initiales. 

La  deuxième  équation  (14)  pour  ^  =  ^0  prendra  la  forme 

cos  OFAr,  —  Cia  +  /■il  -/    +  P«  cos  0  =  0.  (19) 

Cette  équation  admet  comme  première  solution  cos  e  =  0 
ou  /y  =  i9o  =  ^,    j  prend  alors  la  valeur  constante  u^  =  /(, . 

L'axe  de  la  toupie  étant  au  début  vertical,  reste  vertical  et 
la  toupie  tourne  autour  de  son  axe  avec  une  vitesse  angulaire 
constante  (x  +  f'o)-  ^«ous  avons  vu  plus  haut  que  la  toupie 
amenée  dans  une  position  légèrement  différente  de  la  ver- 
ticale oscille  autour  de  cette  position  si  a  est  suffisamment 
grand.  C'est  donc  une  position  stable. 

Passons  maintenant  à  la  seconde  solution.  L'équation  (19) 
peut  être  transcrite  de  la  façon  suivante 

[Ar„  -  Cia  +  ,0]  ~J  +  P«  =  0    .  (19') 

OU  en  remarquant  que  /•„  =  -jjswxo 

[(A  —  C)  II-  sin  (I  =  Cxii  —  I'«    .  (19") 

.de 

OÙ  -Tj  a  étéremplacé  par  u.  On  obtient  pour  sin  6»  l'expression 

suivante 

.    ,       C7.11  —  Prt 

sin  0  = ---^    .  (20) 

(A  —  L}ir 

Supposons  pour  plus  de  généralité  que  l'axe  de  la  toupie 
est  articulé  sur  son  support.  On  aura  alors  les  conditions 
suivantes  —  1  ^^  sin  h  -^X,  ce  qui  revient  à 

—  (A  —  Ci«-'  ^  Ca»  —  Va  ^  (A  —  C)«-   .  (2tl 

Supposons  A^zfrC.  Les  conditions  (21)  peuvent  «"tre  écrites 
sous  la  forme  d'inégalités  suivantes  : 

lA  —  Cw/-'    -    K'.xa  +  Va  ^  0   ,  (I) 

(A  —  Cl  «2  _^  Cx«  —  r<7  ^  0   .  (H) 


60  M.    ZACK 

Les  racines  de  (I)  égalé  à  zéro  sont 


—  C»  ±  Vc-«'  —  4Pa(A  —  Cl 

"—  2(A  — C) 

Les  racines  de  (II)  égalé  à  zéro  sont 


—  Ca  ±  VC-a2  _^  iPrtiA  —  Cl 


2iA 


Nous  ne  considérerons  que  les  ras  où  a  est  suffisamment 
grand  pour  que  les  racines  ne  soient  pas  imaginaires.  Soit 
A  >  G^  On  voit  tout  de  suite  que  les  rnrines  de  (I)  sont 
toutes  deux  positives,  et  puisque  pour  u  =  0,  (I)  est  positif, 
u  doit  être  situé  en  dehors  de  l'intervalle  des  racines.  De 
même,  les  racines  de  (II)  sont  Tune  positive  et  l'autre  néga- 
tive, et  puisque  pour  //  =  0  (II)  est  négatif,  u  doit  être  situé 
en  deJiors  de  Tintervalle  des  racines.  Il  est  facile  de  s'en 
convaincre  graphiquement. 

Soit  maintenant  A  <  C.  On  voit  tout  de  suite  que  les 
racines  de  (I)  sont  l'une  positive  et  l'autre  négative,  et  puisque 
pour  M  =  0,  (I)  est  positif,  u  doit  être  situé  dans  l'intervalle 
des  racines.  De  même,  les  racines  de  (II)  sont  toutes  deux 
positives,  et  puisque  pour  «^0,  (II)  est  négatif,  u  doit  être 
situé  dans  l'intervalle  des  racines.  Il  est  facile  de  s'en  con- 
vaincre graphiquement. 

On  voit  donc  que  pour  qu'il  y  ail  précession  simple  et 
uniforme  dans  les  cas  où  A  ^  C,  u  doit  prendre  une  valeur 
satisfaisant  aux  conditions  trouvées  plus  haut. 

Soit  encore  A  =  C.  L'équation  (19  ")  s'écrira 

CaH  —  P«  =  0   . 

d'où 

«    =    TT-     .  (22  I 

Ca 

On  voit  tout  de  suite  que  sin«  peut  prendre  une  valeur 
(juelcon(jue  tandis  que  u  est  déterminé  par  22). 

-^  5.  —  Etudions  maintenant  la  stabilité  du  mouvement  de 
précession  simple  et  uniforme.  Ce  mouvement  est  déterminé 


'  C'est  ce  qui  arrive  le  plus  souvent. 


LA    TOUPIE    G  m  ose  0  PIQUE  61 

par  «9(,  et  u^ ,  qui  sont  des  constantes  satisfaisant  aux  équations 
(14).  Supposons  qu'on  amène  Taxe  de  la  toupie  dans  une 
position  s  =  e^-^  +  r  et  qu'on  fasse  varier  sa  vitesse  de  pré- 
cession  d  une  quantité  -j- ,  de  sorte  que  -^  =  a^  -\-  -j-  .  Nous 


supposons  que  x  et  -j-  sont  des  infiniment  petits.  Cherchons 

s'ils  sont  des  fonctions  périodiques  du  temps.  Si  cela  avait 
lieu,  le  mouvement  serait  évidemment  stable. 

En  développant  cos«  et  sin -9  suivant  les  puissances  de  .r 
et  en  négligeant  les  infiniment  petits  du  second  ordre,  on 
obtient  : 

cos  0  =z  cos  0,1  —  X  sin  0,^   ,  (23) 

siii  0  =  sin  0|,  -|-  .r  cos  6,,   .  (24) 

D'autre  part,  puisque  e^  et  ?/o  sont  des  constantes,  on  peut 
écrire  : 

dH         d.r  d-()         d-.r  d-z         d-y 

;^     __  ■_     !_  (2'ïl 

dt         dl    ■  cil-  ~    dl-    '  dt-  ~  dl-    '  '     ■ 

Remplaçons  dans  les  équations  (14)  î\  par  -j^smfi  et  por- 
tons ensuite  dans  les  équations  obtenues  les  valeurs  (23), 
(24)  et  (25). 

En  négligeant  les  infiniment  petits  de  second  ordre  et  en 
remarquant  que  ii^^  et  «„  sont  des  solutions  de  ces  équations, 
on  obtiendra 

A  -^  ros  %  -  A,/,  sin  0,  ^J"  +  (C  -  Ai  »„  si;/  0,  -^"  +  C  a  ^^  =  0   , 

4  d'^x  dy  dr  |26i 

A  ^    +    I A  —  L)2ii^  ;y7  ®'"  ""^o  ^^^  ^o  —    ^^'■^'  «'"  <i^  —  C  tl -r- cos  1)^  ^ 

+  C  OLUi^x  sin  6,,  =:  0  . 

Posons  maintenant 

X  =  F  sin  le  /  4-  /■)  et  v  r=  G  cos  iol  +  f\   . 

On  aura  : 


dx  ,,  d-x 

—  z=  0 1-  cos  (0/  +  /)  .  -jjr  =  -  .'  '■"  ^'"  '.^'  +  /'i 

dr  d-y 

-J-l  =  —  c"^'  S'"  (P'  +  n  '  'dt^  =  ~  .'^^'  ''°®  ''-'  +  ^' 


(27) 


62  M.    ZACK 

En  portant  ces  expressions  clans  (26i  et  en  divisant  la  pre- 
mière équation  par  cos  Ipt  + /"j  et  la  seconde  par  sin  fo  /  +/ 
on  obtient 

—  A  p^G  cos  %—  hu^sin%r^F  +  (C  —  A  |  «^  sin  %  o  F  -l  C  ao  F  =  0 

-  -  A  c-  F  —  I A  —  C  )  2i(„  sin  6^,  cos  %  s  G  —  Pa  sin  %  F  ,  IS  i 

-f  C  a  cos  6y  G  G  -f-  C  a  h^  sin  0^  F  r=  0  . 

De  la  première  de  ces  équations  on  tire 

F  —  G  0  cos  0  — — — . 

"  C  a  +  (C  —  A)  11^  sin  0^,  —  Am„  sin  6^, 

Portons  cette  expression  de  F  dans  la  deuxième  des  équa- 
tions de  (28)  et  divisons  par  Gocos^^^,,  nous  aurons 

A-ç,-  +  [Ca  +  (G  —  Ai»,^si.i  ()„  —  Au,,  sin  f)J[(A  —  Cr2u^  sin  0^  —  CaJ 
+  APrt  sin  0„  —  ACa«„  sin  0„  =  0   . 

d'où 

2  _  [l A  —  Cl  «0  sin  6„  +  A»ç,  sin  %  —  Ca][.|A  —  Cii»,,  sin  %  —  C  a] 
^    —  --  ^, 

,     i29i 
Fa  sin  6„  Ca«^sinOg 


Pour  que  p  soit  réel,  c'est-à-dire  p^  positif,  il  faut  que  y. 

soit  suffisamment  grand  ;  .r  et  -r;  seront  alors  périodiques  et 

le  mouvement  u^,  o^  sera  stable.  Plus  y.  est  grand,  plus  p  est 

grand  aussi  et  plus  la  période  de  x  et  j  est  petite,  cette  pé- 

•1— 
riode  étant  égale  à  -.  =^  --  • 

Si  «  est  assez  grand  on  peut  écrire  : 

C-a-         Ca»„sinO„         Pa  sin  0„ 


A-      '  A  A 

Il  y  a  intérêt  à  ce  que  Va  soit  petit,  le  mouvement  est  alors 
plus  stable.  -  étant  plus  petit. 

Pour  ^y  =  0,  (29)  devient  p'^ -^  rf  et  on  retrouve  le  ré- 
sultat du  !^  3.  En  effet,  la  période  est  définie  pour  e^  =  i) 
par  -  =z—  où   0  ^=  — -  et  dans  le  ïJ  3  par  t  -=  ^^.  ce  que  pour 

•>-  ("  a  . 

«„  =  U  devient  ^^  oii  mil  =    '     puisciue  .'o  =  i^- 

"  mu  .\     '  '  " 

Zurich,  1917. 


CHRONIQUE 


Société  suisse  des  professeurs  de  mathématiques. 

Réunion  de   Baden.    li  octobre   1917.        ' 

Cette  société  a  tenu  son  assemblée  annuelle  à  Baden,  le  6  octo- 
bre 1917.  Une  quarantaine  de  personnes  étaient  présentes.  Le  pré- 
sident, M.  K.  Matteh,  professeur  à  Aarau,  rappela,  dans  son  rap- 
port annuel,  le  débat  de  lan  dernier,  relatif  à  la  réforme  de 
renseignement  moyen  ;  les  thèses  établies  alors  par  les  trois  rap- 
porteurs ont  été  unifiées,  puis  transmises  au  Département  fédéral 
de  l'Intérieur. 

L'objet  principal,  soumis  aux  délibérations  de  l'assemblée,  était 
la  préparation  des  futurs  professeurs  de  mathématiques.  La  «  So- 
ciété suisse  des  professeurs  du  corps  enseignant  secondaire  » 
Gymasiallehrerverein)  avait  mis  à  l'ordre  du  jour  de  sa  séance  du 
lendemain  la  formation  du  personnel  enseignant  secondaire.  11 
s'agissait  d'informer  les  Universités  et  écoles  supérieures  suisses 
des  réformes,  désirées  par  les  maîtres  secondaires  actuels,  rela- 
tives à  la  préparation  de  leurs  futurs  collègues.  Dans  ce  but,  les 
maîtres  enseignant  la  même  branche  avaient  été  invités  à  foimu- 
1er  leurs  désirs  ;  ceux-ci  devaient  être  discutés  dans  la  séance, 
pour  être  ensuite  adressés,  après  unification,  aux  établissements 
d'instruction  supérieure. 

Dans  le  but  de  préparer  la  réponse  de  la  Société  des  professeurs 
de  mathématiques,  son  président  avait  fait  une  enquête  auprès 
des  membres  et  condensé  les  réponses  obtenues  en  un  projet  de 
vœux  qu'il  demandait  à  l'assemblée  d'examiner;  celle-ci  a  adopté 
ce  projet,  après  l'avoir  un  peu  modéré.  Nous  faisons  suivre  ce 
compte-rendu  d'une  version  française  du  texte  adopté  et  nous 
bornons  à  quelques  observations. 

Rn  1012  déjà,  la  société  avait  demande  aux  universités  lititro- 
duction  d'une  préparation  pédagogique  prali(iue  des  candidats  a 
l'enseignement  des  mathématiques.  L'Lcole  polytechnique  fédé- 
rale, les  universités  de  Bàle  et  Zurich  répondirent  favorablement 


64  CHRONIQUE 

en  instituant  un  cours  de  méthodologie  mathématique;  les  uni- 
versités de  Berne,  Genève  et  Lausanne  firent  aussi  quelques  pas, 
plus  ou  moins  timides,  dans  cette  voie.  Un  premier  groupe  de 
vœux  réclame  des  établissements  d'instruction  supérieure  toute 
l'attention  que  la  question  mérite,  ainsi  que  la  considération  des 
résultats  déjà  obtenus  et  des  expériences  faites.  Plus  que  tout 
autre  enseignement,  celui  des  mathématiques  peut  avoir  sur  le 
développement  de  l'esprit  de  lenfant  une  influence  heureuse  ou 
néfaste  suivant  qu'il  est  bien  ou  mal  compris.  Le  jeune  maître 
doit  donc  être  averti  de  ses  responsabilités,  des  difficultés  qui 
l'attendent,  des  expériences  faites  par  ses  aînés,  qui  lui  en  épar- 
gneront de  pénibles  pour  lui  et  ses  élèves;  il  doit  aussi  être  exac- 
tement informé  du  but  à  poursuivre  et  mis  au  courant  d'une  ou 
ou  deux  des  méthodes  les  meilleures,  divergentes  si  possible,  em- 
ployées pour  atteindre  le  but.  L'assemblée  était  unanime  à  consi- 
dérer une  telle  initiation  comme  indispensable. 

L'enseignement  universitaire  actuel  donne  aux  futurs  maîtres 
une  préparation  scientifique  reconnue  comme  parfaitement  suffi- 
sante, en  général.  Cependant,  il  laisse  un  peu  trop  de  côté  la  re- 
vision des  principes.  Les  étudiants  ont  rarement  l'occasion  de  re- 
voir les  questions  d'arithmétique,  d'algèbre  ou  de  géométrie 
élémentaires.  Or,  l'enseignement  de  ces  matières  à  l'école  moyenne 
exige  que  le  maître  les  domine  complètement.  Il  est  donc  urgent 
que  nos  universités  organisent,  à  l'usage  des  candidats  à  l'ensei- 
gnement, des  cours  de  mathématiques  élémentaires  envisagés 
d'un  point  de  vue  supérieur  et  destinés,  dune  part,  à  donner  une 
vue  d'ensemble  sur  le  domaine  des  mathématiques  dites  élémen- 
taires, d'autre  part,  à  en  approfondir  les  chapitres  les  plus  im- 
portants, de  façon  à  pénétrer  jusqu'aux  principes  fondamentaux 
des  mathématiques  et  du  raisonnement  logique,  et  à  faire  entre- 
voir les  rapports  de  ces  principes  avec  la  théorie  de  la  connais- 
sance. 

Les  applications  des  mathématiques  tendent  à  jouer  dans  l'en- 
seignement un  rôle  de  plus  en  plus  important.  Imitant  leurs  col- 
lègues primaires  dans  les  leçons  d'arithmétique,  les  professeuis 
de  mathématiques  cherchent  aujourd'hui  à  établir  le  contact  entre 
leur  enseignement  et  la  vie  de  tous  les  jours  ;  leur  but  est  de  tenir 
en  éveil  l'intérêt  des  élèves  en  leur  montrant  le  rôle,  de  plus  en 
plus  grand,  que  jouent  les  mathématiques  dans  les  diverses  bran- 
ches de  l'activité  humaine.  En  conséquence,  l'enseignement  uni- 
versitaire doit  viser  à  donner  aux  futurs  maîtres  une  vue  d'en- 
semble des  applications  des  mathématiques  ot  les  initier  aux 
méthodes  des  mathématiques  dites  «  appliquées  ». 

Les  maîtres  actuels  réclament  donc  la  création  de  cours  et 
d'exercices  nouveaux  destinés  à  combler  les  lacunes  qui  viennent 
d'être  signalées.  En  revanche,   ils   demandent  la   suppression   de 


CHRONIQUE  65 

toutes  les  matières  du  programme  jusqu'ici  oblioatoires,  qui  ne 
contribuent  que  peu  à  la  préparation  scientifique  ou  profession- 
nelle des  candidats. 

Enfin,  et  c'est  là  le  vœu  qui  a  été  le  plus  discuté  et  modéré  par 
l'assemblée,  il  a  paru  à  beaucoup  que  certains  enseignements 
universitaires  devaient  être  réformés  dans  le  sens  d'une  plus 
grande  activité  des  étudiants.  Celle-ci,  dans  les  cours-conférences 
est  plutôt  réceptive,  alors  qu'une  active  collaboration  de  l'élève 
serait  plus  féconde.  Il  est  désirable  que  les  leçons  d'exercices,  les 
séminaires,  les  discussions  de  questions  d'actualité  ou  de  principe 
soient  rendues  plus  nombreuses  et  prennent  peu  à  peu  la  place 
de  beaucoup  des  leçons  dans  lesquelles  le  professeur  «  expose  » 
son  cours. 

Dans  la  seconde  partie  de  la  séance,  M.  Schuepp,  professeur  à 
Zurich,  présenta  un  intéressant  rapport'  sur  «  les  séries  infinies, 
objet  d'enseignement  à  l'école  moyenne  ».  L'auteur  développa  cette 
idée  que  les  applications  de  la  théorie  des  séries,  soit  au  calcul  des 
logarithmes  et  des  fonctions  circulaires,  soit  aux  sciences  natu- 
lelles  ou  techniques,  n'offrent  pas  une  récompense  suffisante  des 
efforts  qu'exige  l'étude  de  ce  sujet  sidilTicile;  seul  le  but  d'établir 
sur  des  bases  solides  la  notion  de  limite  en  serait  une  justifica- 
tion. Mais  alors,  l'enseignement  dépasserait  le  niveau  moyen  des 
élèves.  Ceux-ci  ne  pourraient  plus  être  actifs  et  la  valeur  de  cet 
enseignement  en  serait  considérablement  diminuée.  Le  mieux  est 
de  bannir  ce  sujet  du  programme.  Le  rapporteur  proposa  de  de- 
mander à  l'Ecole  polytechnique  fédérale  de  radier  de  son  pro- 
gramme d'admission  le  sujet  «  notions  sur  les  séries  ». 

Précisément  une  lettre  de  M.  Grossmann,  professeur  à  l'Ecole 
polytechnique  de  Zurich,  vint  annoncer  que  cet  établissement 
allait  reviser  ses  règlements,  en  particulier  son  programme  d'ad- 
mission. L  assemblée,  en  présence  de  l'importance  de  cette  ques- 
tion pour  l'avenir  des  écoles  moyennes,  chargea  son  comité  de 
faire  les  éludes  et  démarches  nécessaires  afin  que  notre  société 
puisse  faire  entendre  sa  voix. 

La  discussion  du  travail  de  M.  Schi'ieppfut  renvoyée  à  une  pro- 
chaine séance,  tandis  que  M.  Miîtîz,  professeur  à  Coire,  pi-ésenla 
une  étude  très  goûtée  sur  le  sujet  Ziir  Erkenntnislheorie  iiber 
Hciiim  itnd  Zahl.  (L'espace  et  le  nombre  dans  la  théorie  de  la  con- 
naissance. Nous  ne  pouvons  résumer  ici  cette  intéressante  con- 
férence, le  texte  en  sera,  du  reste,  envoyé  aux  membres  de  la  So- 
ciété. 

(].  .Iaccottet  (Lausanne). 


'  Hupi-odiiit  dans    le    'iGtes  Jahrbiuh  des   Verciiis  schweizerischer  fh/miiasiaUchrer,   Vorlag 
Siiuerliindcr  &  Cie,  Aarau. 

I.'F.nscijiiK'incnt  mathi'iu..  2()«  anni-e:  1918  5 


66  CHRONIQUE 


Propositions  reldlives  à  la  préparation  professionnelle  des  futurs 
professeurs  de  mathématiques, 

à  présenter  aux  établissements  suisses  d'instruction  supérieure 

de  la  part  de  la  Société  suisse 

des  professeurs  de   mathématiques. 

i.  I,a  plupart  des  universités  suisses  ne  donnent  pas  à  la  piépa- 
ration  pédagogique  pratique  des  futurs  maîtres  de  mathématiques 
la  considération  qui  lui  revient;  cette  préparation  est  indispensa- 
ble à  une  bonne  formation  du  personnel  enseignant  secondaiie. 
C'est  pourquoi  la  S.  S.  P.  M.  renouvelle  aux  établissements 
suisses  d'instruction  supérieure  l'appel  pressant,  qu  ils  veuillent 
bien  vouer  toute  leur  attention  au  vœu  déjà  ancien  des  profes- 
seurs enseignant  actuellement  les  mathématiques  dans  les  écoles 
moyennes,  savoir  :  les  candidats  à  l'enseignement  doi^'ent  être  ini- 
tiés à  leur  tâche  future  par  des  maîtres  capables,  expérimentés^ 
en  actii'ité  dans  les  écoles  moi/ennes. 

2.  La  S.  S.  P.  M.  désire  que,  dans  l'organisation  de  cet  ensei- 
gnement, les  expériences  faites  dans  les  deux  établissements  zu- 
richois soient  mises  à  profit;  ces  expériences  ont  fait  l'objet  d'un 
travail  de  M.  Brandenberger,  publié  dans  les  numéros  l'.],  14  et  10 
de  la  Schweizerische  Lehrerzeitung,  année  1!)17.  Nous  en  transcri- 
vons ici  les  points  principaux  : 

a)  La  préparation  pédagogique  pratique  doit  coïncider  avec  la 
seconde  partie  de  la  préparation  scientifique. 

b)  Cette  préparation  se  fait  par  le  moyen  de  cours,  deux  heures 
hebdomadaires  pendant  deux  semestres;  le  cours  du  premier  se- 
mestre est  consacré  à  la  didactique  générale  et  peut  être  suivi  par 
tous  les  candidats  à  l'enseignement  des  sciences;  celui  du  second 
semestre  est  réservé  à  la  didactique  spéciale  de  l'enseignement  ma- 
thématique. Le  but  visé  par  cet  enseignement  doit  toujours  èlie 
la  préparation  pratique  des  candidats. 

.">.  La  fréquentation  de  ces  cours  doit  èti'e  rendue  obligatoire 
pour  les  candidats  à  l'enseignement. 

4.  Les  établissements  d'instruction  supérieure  ne  donnent  aux 
futurs  professeurs  que  peu  d'occasions  d'approfondir  les  matières 
qu'ils  auront  à  enseigner  et,  parla,  d'arriver  à  une  compréhension 
parfaitement  claire  de  ces  matières  ;  il  manque  le  plus  souvent  :i 
ces  candidats  à  la  fois  une  vue  d'ensemble  et  une  pénétration  qui 
aille  jusqu'aux  idées  fondamentales,  en   petit   nombre  d'ailleurs. 

Avant  toute  autre  chose,  il  est  donc  nécessaire  d'organiser  un- 
«  Cours,  avec  exercices,  d^  mathématiques  élémentaires  envisagées 
d'un  point  de  vue  supérieur  «  cours  qui  devrait  comprendre  aussi, 
des  notions  d'histoire  des  mathematitiucs. 


CHROyiQUE  67 

I,a  pi'éparation  relative  aux  applicalions  nuilhèinatiqiies  est 
aussi  insuffisante.  Pour  satisfaire  aux  exigences  de  l'enseigne- 
ment, tel  quil  est  actuellement  conçu,  il  est  désirable  que  les 
universités  et  écoles  techniques  supérieures  de  notre  pays  organi- 
sent un  ou  plusieurs  cours  spéciaux  destinés  à  initier  les  futurs 
maîtres  aux  applications  des  mathématiques. 

Nous  pensons  en  première  ligne  aux  observations  astronomiques  avec  des 
moyens  rudimentaires,  à  la  connaissance  des  méthodes  et  des  instruments 
astronomicjues  les  plus  importants,  aux  exercices  de  topographie  en  vue  de 
l'école,  et,  surtout,  aux  exercices  de  travaux  manuels,  alin  que  les  futurs 
professeurs  puissent,  plus  tard,  guider  leurs  élèves  daus  la  confection  de 
modèles  divers,  etc.  Ici  se  place  le  désir,  maintes  fois  exprimé,  que  le  fu- 
tur professeur  de  mathématiques  soit,  par  luniversité,  mis  au  courant  des 
questions  économiques  et  politiques  en  rapport  avec  sa  branche  (comptabi- 
lité, affaires  de  bourse  et  de  banque,  questions  d'assurances)  de  façon  qu  il 
puisse  collaborer  à  l'instruction  civique  des  élèves.  Enfin,  il  faut  relever  le 
fait,  que  dans  plusieurs  universités,  la  piéparation  en  géométrie,  spéciale- 
ment en  géométrie  descriptive,  laisse  à  désirer  en  ce  que  les  étudiants  ne 
sont  pas  suQisamment  astreints  à  la  constructieu  d  épures  exactes,  sur  la 
planche  à  dessin. 

5.  La  s.  s.  p.  M.  se  rend  parfaitement  compte  que  la  réalisa- 
tion de  ses  vœux  n'est  possible  que  si  le  programme  des  études 
est  allégé  dans  d'antres  domaines.  Il  adresse  aux  établissements 
d'instruction  supérieure  la  requête  qu'on  veuille  bien  décharger 
les  candidats  a  renseignement  des  mathématiques  des  cours  qui 
n'ont  de  valeur  ni  pour  leur  culture  scientilique  mathématique,  ni 
pour  leur  vocation  future,  cela  en  vue  de  la  réalisation  des  propo- 
sitions qui  viennent  d'être  faites.  En  tout  cas,  seules  les  sciences 
mathématiques  et  les  sciences  exactes  voisines  devraient  faire 
partie  du  programme  d'étude. 

6.  La  S.  S.  P.  M.  recommande  aux  professeurs  universitaires 
d'accorder  plus  de  temps  que  cela  n'a  été  coutume  jusqu'ici  aux 
leçons  d'exercices,  et  moins,  aux  leçons  d'exposition,  dans  le  but 
d'introduire  les  étudiants  à  l'étude  directe  des  traités  existants  et 
des  mémoires  originaux.  L'enseignement  supérieur  devrait  consi- 
dérer comme  lâches  principales  :  l'établissement  solide  des  no- 
tions fondamentales  et  l'examen  des  problèmes  à  la  lumière  de 
la  théorie  de  la  connaissance  et  de  l'histoire. 


Nouvelles  diverses.  —  Nominations  et  distinctions. 

Daiicuiurk.  —  M.  P.  11i:i-(;.vai!d,  professeur  à  riniversilé  de 
Copenhague,  est  nommé  professeur  à  l'Université  de  Christiania. 

M.  T.  BoxxF.sKN  est  nommé  professeur  de  géométrie  descriptive 
.1  l'Ecole  polytechnique  de  Copenhague. 


(i8  CHRONIQUE 

France.  —  Avadèniie  des  Sciences.  —  M.  G.  Kœmcs  est 
nommé  membre  de  la  section  de  mécanique,  en  remplacement 
de  M.  H.  Lkauté,  décédé. 

Italie.  —  Acndéinie  royale  dei  Lincei.  —  M.  G.  Castelnuovo, 
professeur  à  l'Université  de  Rome,  a  été  nommé  associé  national. 
—  MM.  BoREL,  GoiRSAT,  Hadamaiîd  (Paris)  et  Lamb  (Manchester! 
ont  été  nommés  associés  étrangers. 

Académie  des  Sciences  de  Turin.  —  Ont  été  nommés  membres 
correspondants,  dans  la  section  des  mathématiques  pures,  MM. 
Berzolaiu,  (Pavie),  Maiicoloncjo  (Naples),  Pixcherle  (Bologne, 
Iiicci  et  SiîVERi  (Padoue)  ;  dans  la  section  des  mathématiques 
appliquées  et  sciences  techniques  :  MM.  Albenca,  Coi.onnetti  et 
Maggi  (Pise),  Reina  (Rome). 

Prii>al-docents.  —  Ont  été  admis  en  qualité  de  privat-docents 
M.  E.-G.  ToGLTATTi,  pour  la  géométrie  projective  et  descriptive. 
à  l'Université  de  Turin  ;  M.  A.  Veugeiuo,  pour  l'analyse  infinité- 
simale, à  l'Université  de  Bologne. 

Periodico  di  Matenialica.  —  La  direction  du  Periodico  di  Mate- 
matica  et  du  Siippleniento  annonce  qu'en  raison  de  la  guerre,  elle 
se  voit  obligée  de  suspendre  temporairement  la  publication  de 
ses  deux  périodiques. 

Suisse.  —  M.  E.  Hecke,  professeur  à  l'Université  de  Bàle,  est 
nommé  professeur  à  l'Université  de  Gœttingue. 

M.  H.  Wevl,  professeur  à  l'Ecole  polytechnique  fédérale  de 
Zurich,  est  nommé  professeur  à  l'Université  de  Breslau. 

Société  ninthéniati([iie  suisse.  —  La  prochaine  assemblée  an- 
nuelle aura  lieu  à  Lugano  le  10  septembre  J918. 


Nécrologie. 

Georges  Cantor.  —  On  annonce  la  mort,  survenue  le  6  janvier 
1918,  de  M.  Georges  Cantor,  professeur  à  l'Université  de  Malle. 
Fils  d'un  négociant  danois  établi  à  Pétrograd,  Georges  Cantor 
naquit  dans  cette  ville  le  3  mars  1845.  Il  fit  ses  études  à  l'Ecole 
p()lytcchni(|uc  de  Zurich  et  aux  universités  de  Gœttingue  et  de 
IJcrlin.  Admis  en  qualité  de  privat-docent  à  l'Université  de  Halle 
en  18t>9,  il  fut  nommé  professeur  extraordinaire  en  1872,  profes- 
seur ordinaire  en  1879. 

Doué  (\\\\\  esprit  inventif  d  une  grande  originalité,  G.  Cantor 
ouvrit  des  voies  nouvelles  aux  sciences  mathématiques.  Son  nom 
restei'a  indissolublement  lié  à  la  théorie  des  ensembles  dont  il  fut 
le  véritable  créateur.  On  sait  qu'il  resta  d'abord  ^sceptique  au 
sujet  de  la  portée  de  sa  théorie  et  qu'il  hésita  pendant  près  de 
dix  ans  à  la  faire  connaître.  Il  ne  la  lit   paraître  que  lorsqu'il  fut 


j 


CHRONIQUE  r>9 

persuadé  que  l'emploi  delà  notion  d'ensemble  devenait  indispen- 
sable en  Analyse.  Il  publia  ses  recherches  dans  les  Mathcin.  An- 
iKilen,  à  partir  de  1879.  Une  traduction  française  de  .ses  premiers 
travaux  parut  dans  les  Acta  Malhematica  iTome  II,  1883  . 

M.  E.-E.  Levi.  professeur  d'analyse  infinitésimale  h  l'Université 
de  Gènes,  capitaine  du  génie,  est  tombé  le  28  octobre  1917  à  Tàge 
de  34  ans.  Il  comptait  déjà  parmi  les  meilleurs  mathématiciens 
italiens.  Ses  recherches  pénétrantes  sur  les  équations  aux  déri- 
vées partielles  du  type  parabolique  et  sur  les  fonctions  analy- 
tiques de  plusieurs  variables  ont  apporté  des  contributions  de 
tout  premier  ordre. 

E.-K.  Neovius.  —  Le  26  septembre  1917  est  décédé  à  Copen- 
liague  le  mathématicien  finlandais  Edvard  Rudolf  Xeovius.  Xé  le 
14  novembre  1851,  à  Frederikshamn  en  Finlande,  il  fit  ses  études 
aux  Ecoles  polytechniques  de  Zurich  et  de  Dresde.  En  1876  il  fut 
nommé  professeur  de  mathématiques  à  l'Ecole  polytechnique  de 
Flelsingfors,  puis  en  1883  à  l'Université.  Il  porta  surtout  son  atten- 
tion sur  la  théorie  des  surfaces  minima  et  sur  les  problèmes  de 
statistique. 

Membre  du  parti  des  anciens,  Neovius  devint  ministre  des 
finances  en  1900.  Après  les  changements  politiques  survenus  en 
1905,  il  se  relira  à  Copenhague  dans  le  pays  d'origine  de  sa  femme. 

M.  Max  Simon,  professeur  honoraire  de  l'Université  de  Stras- 
bourg, est  décédé  en  janvier  1918,  dans  sa  74''  année.  Il  prit  une 
large  part  au  développement  de  l'enseignement  mathématique  en 
Allemagne.  On  lui  doit  aussi  d'intéressantes  contributions  à  l'His- 
toire des  mathématiques. 

M.  A.  ViTERBi,  professeur  de  géodésie  à  l'Université  de  Pavie, 
est  tombé  le  18  novembre  1917  sur  les  bords  de  la  Piave,  pendant 
qu'il  y  organisait  la  résistance  en  qualité  de  capitaine  du  génie. 
Il  était  né  à  Mantoue  le  27  septembre  1873.  Ses  nombreux  travaux 
scientifiques  se  rapportent  non  seulement  à  la  géodésie,  mais 
encore  à  l'analyse  et  à  la  mécanique. 


BIBLIOGRAPFUE 


Annuaire  du  Bureau  des  Longitudes  pour  l'année  1918.  —  1  vol.  in-I6  de 

x-870  p.  avec  33  lig-,  5  cartes  célestes,   3    planches  magnétiques  et  1  poi"- 
trail  ;  2  fr.  net,  franco  2  fr.  35;  Gauthier-Yillars  &  G»,  Paris. 

Cet  e.vcelieut  Recueil  renferme  celle  année,  après  les  documents  astrono- 
miques, des  tableaux  relatifs  à  la  métrologie,  aux  monnaies,  aux  heures 
légales,  à  la  météorologie,  à  la  réfraction  astronomique,  au  magnétisme 
terrestre,  aux  données  physiques  et  chimiques. 

Cet  Ouvrage  ne  se  trouvera  pas  seulement  sur  la  table  du  technicien,  du 
physicien,  du'mathématicien  ;  chacun  voudra  le  consulter  pour  avoir  sons 
les  yeux  la  liste  des  constantes  usuelles,  et  aussi  pour  lire  les  intéressantes 
Notices  de  cette  année  :  Les  cadrans  solaires,  par  G.  BtcouKD.^x  ;  Le  calen- 
drier égyptien,  par  G.  Bigourdan  ;  L'heure  en  mer,  par  J.  Renaud  ;  Le  Soleil 
et  le  magnétisme  terrestre,  par  M.  Hamy  ;  La  vie  et  l'œuvre  de  Gaston  Dar- 
houx,  par  Emile  Picard.  Le  Supplément  qui  donne  le  Calendrier  pour  Van- 
née I9U>  sera  vivement  apprécié  également  de  nombre  de  lecteurs. 

R.  FiETEK.    —  Synthetische  Zahlentheorie.   —   I    vol.   iu-Sc,  viii-271  p.; 

G.  J.  Gôschen,  Leipzig,  1917. 

La  théorie  des  nombres  est  peut-être  de  toutes  les  disciplines  mathéma- 
tiques, celle  dans  laquelle  les  traités  à  l'usage  des  étudiants  ont  le  moins 
été  renouvelés  par  les  progrès  de  la  théorie.  Un  véritable  fossé  y  existe 
entre  la  plupart  des  traités  dits  élémentaires  et  les  ouvrages  qui  traitent  des 
parties  élevées  de  la  théorie.  Aussi,  beaucoup  d'étudiants,  de  mathématiciens 
même,  n'apei'cevant  dans  les  parties  élémentaires  qu'un  agglomérat  de 
théorèmes  non  sans  beauté,  il  est  vrai,  croient  la  théorie  des  nombres  inor- 
ganique, sans  méthodes  ou  notions  générales  et  de  ce  fait  n'en  abordent 
guère  les  parties  supérieures. 

Montrer  que  la  théorie  des  nombres  est  un  tout  organique,  que  sa  lâche 
est  de  construire  des  doniaines  de  nombres  algébriques  (corps,  modules, 
idéaux,  layons,  etc.),  de  les  relier  entre  eux  par  le  calcul,  d'en  étudier  les 
relations  et  les  actions  réciproques  est  le  but  de  la  théorie  synthétique  de 
iM.  Fueter.  Synthétique  ne  s'oppose  donc  pas  ici  à  analytique,  mais  veut 
exprimer  la  tendance  du  livre  à  montrer  l'unité  de  la  théorie  des  nombres 
<lans  toutes  ses  parties,  élémentaire  et  supérieure,  liln  vertu  de  celte  concep- 
tion, M.  F'ucter  introduit  déjà  les  domaines  do  nombres  dans  le  corps  des 
nombres  rationnels  et  il  développe  les  éléments  de  telle  manière  que  les 
mêmes  conce|)ts  et  les  mêmes  méthodes  se  retrouvent  dans  tout  le  livre. 

Limité    par   les    conditions    de  la   rt)lleclion  dans  laquelle  parait    ce    livre. 


Hl  h  l.l  OGliAl'lIlE  71 

M.  Fueter  a  cm  préférable  de  renoncer  à  exposer  la  théorie  générale  des 
corps  algébiiqnes,  mais  d'exposer  par  contre,  le  plus  complètement  possi- 
ble la  théorie  des  corps  des  racines  /"*«*  de  l'unité.  Ces  corps  sont  eu 
effet  ceux  dont  la  nature  est  la  plus  simple  et  c'est  en  eux  qu'éclate  le  mieiix 
i  harmonie  et  la  belle  oi'donnance  de  la  théorie. 

Voici  d'ailleurs  la  table  des  matières. 

Introduction,  p.  1-3.  —  Chapitre  I.  Domaines  de  nombres  rationnels,  p. 
4-34.  Les  opérations  fondamentales.  Le  module.  Multiplication  et  division 
des  modules  et  des  idéaux.  Décomposition  uni%oque  des  idéaux.  Idéaux 
premiers.  Le  rayon.  Répartition  en  classes  d'idéaux.  Les  congruences.  — 
Chapitre  II.  Le  guide  d'un  idéal  premier,  p.  35-67.  Nombre  des  classes. 
Notions  fondamentales  sur  la  théorie  des  groupes.  Le  groupe  des  classes 
d  idéaux,  théorème  de  Fermât.  Nombres  primitifs,  calcul  des  indices.  Restes 
quadratiques.  —  Chapitre  III.  Les  racines  /'"«s  ^q  l'unité,  p.  68-96.  La 
fonction  exponentielle.  Les  racines  de  l'unilé.  Représentalion  géométrique 
et  théorie  algébrique  des  racines  de  l'unité.  Le  corps  des  racines  /•"**  de 
l'unité.  La  base  et  le  nombre  entier.  —  Chapitre  IV.  La  théorie  des  corps 
de  racines  /">«*  de  l'unité,  p.  97-132.  Le  module.  L  idéal.  Décomposition 
univoque  des  idéaux,  idéaux  premiers.  Rayon,  cougruence,  classe.  —  Cha- 
pitre V.  La  recherche  des  idéaux  premiers,  p.  133-162.  Généralités.  Les 
nombres  prehiiers  p  ^  l.  Recherche  des  idéaux  premiers  de  p  ^  l.  Le 
nombre  premier/ —  Chapitre  VI.  Les  unités,  p.  163-186.  Théorèmes  sur 
les  unités.  Unités  indépendantes.  Le  système  des  unités  indépendantes, 
[.■es  unités  fondamentales.  —  Chapitre  VIL  Le  calcul  du  nombre  des  clas- 
ses, p  187-209.  La  fonction  T.  La  fonction  X  généralisée.  La  racine 
(/ —  11"»*  de  l'unité.  Le  calcul  de  Çk(ï"1-  Simplification  et  transformation.  Le 
nombre  des  classes.  —  Chapitre  VIII.  Les  lois  de  réciprocité,  p.  223-257. 
Position  du  problème.  Sous-groupe  et  sous-corps,  qui  appartiennent  à  /. 
Le  calcul  de  Kj  i/j)  et  de  Kg  (/j).  Lies  lois  de  décomposition  dans  K2  (/j),  loi 
tie  réciprocité  quadratique.  Les  lois  de  décomposition  dans  K^  (/j).  Loi  de 
réciprocité  cubique. 

Je  ne  puis  m'étendre  ici  sur  l'ordonnance  du  livre  et  le  soin  apporté  à 
rendre  claires  et  précises  les  notions  fondamentales  de  la  théorie  des  nom- 
bres, à  illustrei'  le  livre  de  remarques  historiques  intéressantes.  Le  livre  de 
.M.  Fueler  se  lit  aisément,  le  texte  en  est  clair,  concis  saqs  obscurité,  la 
disposition  typographique  excellente.  II  est  de  plus  facile  à  consulter  grâce 
aux  nombreuses  tables  qui  le  précèdent  et  le  suivent.  Nos  étudiants  trouve- 
ront en  lui  un  guide  qui  leur  fera  voir  1  harmonie  et  l'ordre  qui  régnent  dans 
la  théorie  des  nombres.  M.  PtAiXcniiKEL  (Fribourgi. 

.l.-G.  Galk.  —  Matemàticas  Financieras,  primera  parte-,  Intereses  y  anna- 
lidades  ciertas.  —  1  vol.  iii-8"  do  231  p.  ;  A.  G.  Sanlos.  Buenos-Aires, 
1916. 

Ce  lrail(''  de  mathématiques  financières  est  en  queUpie  sorte  le  premier 
volume  d  une  nouvelle  édition  de  «  l'Algèbre  (inaiicicrc  «  du  même  auteur, 
parue  en  1910.  Celle  nouvelle  édition  est  notablement  augmentée  et  déve- 
loppée afin  de  satisfaite  aux  exigences  actuelles.  Il  se  trouve  eu  effet  que 
grâce  à  la  création  d  une  Faculté  des  Sciences  économiques,  cette  élude  a 
pris,  dans  la  République  Argentine,  un  nouvel  essor. 

Ce  volume  est  consacré  aux  notions  générales  relatives  ;i  I  iniérêl.  à  l'es- 


72  h  l  H  LIOGRAP  11 1  E 

compte  et  aux  annuités  certaines.  Les  questions  concernant  plus  spéciale- 
ment les  calculs  dépendant  d'événements  aléatoires,  tels  que  l'assurance  sur 
la  vie  humaine,  feront  ultérieurement  lobjet  d'une  seconde  partie.  L'auteur 
a  suivi,  dans  cet  ouvrage,  le  plan  assez  généralement  adopté  pour  ce  genre 
d'études.  Premièrement  l'intérêt  simple  et  composé  et  1  escompte.  Deuxiè- 
mement les  annuités  certaines,  soit  les  annuités  de  placement,  commence- 
ment ou  fin  de  périodes,  avec  intérêt  simple  et  composé  et  comparaison  des 
deux  méthodes;  les  amortissements,  les  annuités  temporaires,  différées  et 
anticipées;  les  rentes  perpétuelles;  les  annuités  variables;  enfin  les  em- 
prunts par  obligations  à  lots  et  sans  lots.  Un  appendice  d'une  quinzaine  de 
pages  donne  aussi  les  premiers  éléments  du  calcul  des  probabilités  et  des 
notions  sommaires  de  calcul  des  difféieuces  finies. 

Les  notations  employées  sont  celles  des  actuaires  anglais.  Ce  livre  est 
appelé  à  rendre  service  tout  spécialement  aux  débutants,  car  les  sujets  y 
sont  présentés  avec  clarté  et  simplicité,  mais  sans  grands  développements. 
Ils  n  exigent  pas  du  lecteur  des  connaissances  mathématiques  très  étendues 
et  de  plus  sont  accompagnés  d'applications  numériques  propres  à  les  con- 
crétiser. R.  .Masson  (Faris). 

Alfred  Pkingsheim.  —  Vorlesungen  ûber  Zahlen-  und  Funktionenlehre 
(Réelle  und  komplexe  Zahlen,  unendliche  Algorilhmcn).  Erster  Band. 
Zweite  Abteilung;  Unendliche  Reihen  mit  reellen  Gliedern.  —  1  vol.  gr. 
in-8o,  222  p.;  12  M.  40;  B.  G.  Teubner,  Leipzig. 

Le  fascicule  II  des  Leçons  de  M.  Pringsheim  est  entièrement  consacré  à 
la  théorie  des  séries  à  termes  réels  dont  il  fournit  une  étude  très  appro- 
fondie. Après  avoir  examiné  avec  soin  les  conditions  nécessaires  et  sufli- 
sautes  pour  la  convergence  et  la  divergence  des  séries  et  de  l'extension  aux 
séries  de  la  notion  de  limite  d'après  Canchy,  l'auteur  étudie  d'abord  les 
séries  à  termes  positifs  d  après  le  principe  de  la  comparaison  des  séries.  Il 
passe  ensuite  en  revue  les  différents  critères  de  convergence  qu'il  établit 
sur  des  principes  tout  à  fait  généraux.  Puis  viennent  les  séries  à  termes 
positifs  et  négatifs,  leur  convergence  absolue,  les  séries  semi-convergentes, 
le  calcul  numérique  et  la  transformation  des  séries.  Un  dernier  chapitre 
traite  des  séries  à  double  entrée  et  de  leur  application  à  la  multiplication 
lies  séries. 

Cet  ouvrage  constitue  une  excellente  introduction  à  la  théorie  des  fonctions 
d'une  variable  réelle.  H.  F. 

L.  Sel.me.  —  Principe  de  Carnot  contre  formule  empirique  de  Clausius. 
—  1  vol.  p.  in-8o,   148  p.,  4  fr.  50;  H.  Dunod  et  K.   Pinat.  Paris,   1917. 

Pour  tout  système  physique,  quelle  que  soit  sa  constitution,  il  existe  une 
fonction  de  létat  du  système,  appelée  entropie,  dont  la  valeur,  si  le  système 
est  isolé,  c'est-à-diie  complètement  séparé  du  reste  de  l'univers,  ne  peut 
être  diminuée  d  aucune  façon.  Voici  le  contenu  simple  et  clair  de  la  formule 
empirique  de  Clausius.  Il  n'y  a  pas  lieu  de  l'opposer  au  principe  de 
(Carnot  dont  elle  interprète  admirablement  bien  la  signification  mathéma- 
tique. Nous  ne  pouvons  donc  approuver  le  titre  choisi  par  M.  Selme  pour 
son  essai  sur  la  thermodynamique.  Les  deux  principes  en  question  sont 
absolument  équivalents   en  ce  qui  concerne  les  phénomènes  observables. 

Quanta  la  signification  profonde  et  hypothétique  du  principe  de  Carnot.  il 


BIH  I.IOGH  A  P  H  I E  73 

esl  impossible  de  le  ramener  aux  équations  de  la  mécanique,  si  l'on  admet 
l'existence  réelle  des  transformations  irréversibles.  Citons  à  ce  propos 
l'opinion  émise  par  H.  Poincaré  à  la  (in  de  son  traité  de  thermodynamique  : 

«  Toutes  les  tentatives  de  cette  nature  doivent  être  abandonnées;  les 
seules  qui  aient  quelque  chance  de  succès  sont  celles  qui  sont  fondées  sur 
l'intervention  des  lois  statistiques,  comme,  par  exemple,  la  théorie  cinétique 
des  gaz.  » 

M.  Selme  tend  à  tourner  la  difficulté  en  niant  la  réalité  des  phénomènes 
irréversibles.  Cette  manière  de  voir  étant  en  contradiction  manifeste  avec 
l'expérience  journalière  et  immédiate,  l'artifice  ne  donne  aucune  satisfaction. 
Ou  ne  peut  en  effet  se  contenter,  dans  celte  question,  des  raisonnements 
généraux  mais  on  doit  demander  des  preuves  ou,  à  défaut  de  preuves, 
des  modèles  mécaniques  impossibles  à  fournir,  comme  nous  avons  vu  plus 
haut. 

Malgré  ces  objections  de  forme  et  de  fond,  nous  avons  lu  avec  beaucoup 
d  intérêt  1  ouvrage  de  M.  Selme,  et  nous  y  avons  trouvé  à  côté  d'erreurs  ma- 
nifestes, beaucoup  de  vues  justes  et  d'idées  saisissantes.  L'auteur,  en  se 
proposant  d'amener  de  la  clarté  sur  certaines  questions,  simples  en  appa- 
rence, qu'on  traite  généralement  d'une  façon  fort  embrouillée,  y  a  réussi 
dans  beaucoup  de  cas.  C'est  dire  que  son  livre  mérite  d'être  lu  et  qu'il  sera 
lu  avec  proiit.  A.  Schidlof  (Genève). 

G.  YivANTi.  —  Nuovi  Eserclzi  di  Analisi  infinitésimale  tratti  dalle  Matema- 
tiche  applicate.    —    1  vol.  gr.  in-S",  520  p.;   20  lires;  Mattei  &  C»,  Pavie. 

Nous  avons  déjà  eu  l'occasion  de  signaler  les  Lezioni  di  Analisi  inpnite- 
simale  et  les  Esercizi  di  Analisi  publiés  par  M.  Vivant!.  Ce  nouveau  recueil 
<i  Exercices  vient  compléter  ces  ouvrages  en  tenant  plus  spécialement  compte 
des  besoins  de  l'enseignement  technique  supérieur  et  des  cours  de  matlu'- 
maliques  générales  destinés  aux  physiciens  et  aux  chimistes.  Il  est  donc 
appelé  à  rendre  de  grands  services  à  une  catégorie  toujours  plus  nombreuse 
d'étudiants,  et  il  sera  tout  particulièrement  bien  accueilli  par  ceux  qui  sont 
chargés  de  renseignement  pratique  des  mathématiques  supérieures. 

Les  problèmes,  au  nombre  de  300,  appartiennent  aux  domaines  les  plus 
variés.  L  auteur  les  a  groupés  par  branches  dans  1  ordre  suivant  : 

Cinématique.  —  Statique.  —  Théorie  du  potentiel.  —  Dynamique.  — 
Hydromécanique  et  Hydraulique.  —  Physique.  —  Chimie  physique  et  ther- 
modynamique. —  Technique.  —  Astronomie  et  Géodésie.  —  Calcul  des  pro- 
babilités, économie  et  statistique.  —  Problèmes  divers. 

Un  indice  systématique  donne  un  groupement  des  problèmes  suivant  les 
propriétés  mathématiques  sur  lesquelles  s'appuie  leur  résolution. 

Un  indice  des  termes  techniques  familiarise  l'étudiant  avec  les  principaux 
termes  qui  interviennent  dans  les  problèmes  de  ce  recueil.  H.  t. 

A.  N.  Whitehead.  —  The  Organisation  of  Thougt.  —   1    vol.  cari,  in-8"; 

vii-228  p.;  6  £;  Williams  and  IVorgate,   Londres,  1917. 

An  premier  abord  ce  volume  semble  être  d  un  contenu  disparate.  Les 
chapitres  qui  le  composent,  à  lexceplion  du  dernier,  ne  sont  pas  autre  chose 
que  des  discoui's,  présidentiels  pour  la  plu|)art,  dont  le  sujet  est  adapté  à 
des  circonstances  spéciales  et  dont  voici  les  titres  : 


74  B  I  H  I.IOGRA  l>II  I  E 

I.  Buis  de  l'éducation:  un  plan  de  réforme.  —  II.  Education  technique: 
ses  rapports  avec  la  science  et  la  littérature.  —  III.  Une  école  polytechni- 
que pendant  la  guerre.  —  IV.  Le  cycle  des  études  mathématiques.  —  V.  Les 
principes  des  mathématiques;  leurs  rapports  avec  l'enseignement  élémen- 
taire. —  VI.  L'oiganisation  de  la  pensée.  —  VII.  Analyse  de  quelques  idées 
scientifiques.  —  VIII.  Espace,  temps  et  relativité. 

A  les  lire  cependant,  ces  études  si  riches  donnent  malgré  leur  diver- 
sité une  impression  une  et  forte  qui  tient  à  la  personnalité  de  leur  auteur. 
.M.  \^'hilehead  est  non  seulement  un  savant  distingué  dont  les  travaux  sur 
la  logique  sont  universellement  connus  et  appréciés;  mais  c'est  un  homme  à 
l'esprit  et  au  cœur  largement  ouverts,  (]ui  comprend  dune  façon  remar- 
quable les  besoins  à  la  fois  simples  et  complexes  de  l'âme  enfantine. 

Aussi  le  petit  volume  que  nous  analysons  est-il  rempli  de  réflexions 
générales  du  pins  haut  intérêt  et  dont  la  valeur  pédagogique  est  incon- 
testable. 

Le  maître  doit  adapter  sou  enseignement  aux  besoins  de  lenfant   et  non 
.l'inverse.   «  Un   maître  d'école   est   en  fait   un  missionnaire;  les    sauvages  ce 
sont    ;<  les  idées  qui  régnent  dans  l'esprit  de  l'enfant  ;  le  missionnaire   man- 
querait à  sa  tâche  principale  s'il  craignait  d'exposer  son  corps  aux  attaques 
des  cannibales  »  (p    102|. 

Dans  cette  lutte  du  maître  avec  1  élève,  deux  commandements  essentiels 
doivent  être  observés  :  «  Ne  pas  enseigner  trop  de  choses  et  ce  que  l'on 
enseigne,  l'enseigner  à  fond  »  (p.  3).  Il  faut  en  outre  proscrire  impitoyable- 
ment les  idées  inertes,  c'est-à-dire  les  idées  qui  sont  reçues  d'une  manière 
passive  par  l'âme  de  1  enfant,  sans  pouvoir  être  utilisées,  ou  prouvées,  ou 
introduites  dans  de  nouvelles  combinaisons  »  (p.  4). 

Le  travail  enfin  doit  être  une  joie  pour  le  maître  comme  pour  lélève;  sans 
joie,  pas  de  travail  véi-ilable  ni  d'invention  féconde.  Le  proverbe  selon  lequel 
<(  la  nécessité  est  la  mère  de  l'invention  »  est  faux,  car  la  découverte  scienti- 
fique a  toujours  sa  source  dans  lexercice  joyeux  de  la  curiosité  scienti- 
fique (p.  32). 

Quant  àTinslructiou  |)ropremenl  dite,  on  peut  la  concevoir  sous  trois  types 
différents  :  littéraire,  scienlilique,  technique.  Chacun  d  eux  a  sa  place  mar- 
qnée  dans  le  développement  de  la  civilisation,  à  condition  de  ne  pas  être 
exclusif.  En  particulier  l'éducation  technique  bien  comprise  a  pour  le  déve- 
loppement de  l'esprit  une  importance  plus  grande  qu  ou  ne  le  croit  généra- 
lement. Il  y  a  Tine  coordination  incessante  entre  la  pensée  et  la  sensation  : 
leur  activité  mutuelle  se  conditionne  constamment.  Dans  rajustement  de 
la  pensée  au  réel  la  main  joue  un  rôle  de  premier  ordre  et  c  est  une  ques- 
tion de  savoir  si  la  main  de  1  homme  a  créé  son  cerneau,  ou  bien  lin-  J 
verse  (p.  42).                                                                                                                                     -^ 

Ce  qui  précède  suffit  à  montrer  dans  quel  esprit  M.  Whilehcad  aborde  le 
grave  problème  concernant  1  éducation  mathématique. 

11  faut  eu  soumettre  la  matière  à  une  rigoureuse  sélection  toujours 
adaptée  au  but  poursuivi  (p.  72)  ;  il  faut  pour  cela  s'en  tenir  aux  lois  prin- 
cipales et  aux  théorèmes   essentiels. 

L  enseignement  des  mathématiques  a  poui-  proniicr  but  d  apprendre  aux 
enfants  par  la  pratique  le  maniement  des  idées  abstraites  et  le  pouvoir  de 
déduction  logique.  Mais  c'est  à  1  expérience  de  fixer  dans  cliaque  cas  donné 
le  degi'é  d  abstraction  et  de  déduction  dont  l'esprit  de  l'élève  est  capable. 
Par  suite,  il  faut  souvent   renoncer  à  prouver  tout  ce  qui   logiquement  pour- 


BIBLIOGRAPHIE  75 

liiit  l'être:  il  faut  se  boiner  à  taire  comprendre  par  des  exercices  appro- 
priés des  propositions  dont  la  démonsti-ation  trop  délicate  surcliarijerait  inu- 
tilement le  cerveau  de  1  enfant. 

En  géométrie  par  exemple,  l'on  insistera  sur  l'idée  de  congruence  en 
montrant  qu'elle  se  ramène  aune  corrélation  point  par  point:  on  insistera 
également  sur  lidée  de  .similarité  comme  étant  une  extension  de  la  première. 
L'on  passera  ensuite  à  l'élude  de  la  liigonométrie  qui  permet  d'introduire 
l'idée  de  périodicité  (p.  84  et  sq). 

C  est  dans  le  même  esprit  que  l'on  traitera  la  géométrie  analytique,  l'al- 
gèbre et  et  les  éléments  du  calcul  différentiel  et  intégral.  Nous  ne  pouvons 
analyser  ici  le  programme  à  la  fois  rigoureux  et  clair  que  .\I.  \\'liitel)ead 
trace  de  renseignement  de  ces  branches,  ni  mentionner  les  conseils  judi- 
cieu.x  et  expérimentés  qu  il  donne  à  ce  propos. 

Les  pages  consacrées  aux  rapports  de  la  logique  et  des  mathématiques 
nous  paraissent  toutefois  mériter  une  mention  spéciale,  tant  elles  sont  sug- 
gestives et  originales. 

Dans  lélude  de  ces  rapports  on  peut,  nous  dit  M.  Whitehead,  distinguer 
quatre  sections  :  Arithmétique,  algébrique,  fonctions  générales,  analytique 
(p.   116  et  sq). 

La  l'e  section  eu  clfet  traite  du  rapport  des  propositions  entre  elles  exac- 
tement comme  V  arilhmétiffue  irahe  des  nombres  définis.  Soit  un  agrégat  de 
propositions  données,  p.  q,  r.  s,  etc.,  dont  quelques-uues  sont  posées  comme 
vraies  ou  fausses  :  le  problème  consiste  à  établir  par  le  moyen  de  ces  der- 
nières la  vérité  et  la  fausseté  de  toutes  les  auties. 

La  2'»e  section  ou  section  algébrique  comprend  des  opérations  qui  offrent 
avec  \  algèbre  une  analogie  frappante.  Comme  ou  le  sait,  1  algèbre  remplace 
les  nombres  par  des  lettres  (variables  ou  paramètres)  et  s'attache  surtout 
à  l'étude  des  formes.  La  fonction  propositionnelle  introduite  en  logique  par 
M.  Russell  tend  au  même  but.  Par  exemple  «  la  chaleur  spécifique  de  x  est 
de  0,033  »  est  une  fonction  propositionnelle  à  une  seule  variable.  Parmi  les 
valeurs  que  Ion  peut  substituer  à  .r  les  unes  transforment  la  fonction  pro- 
positionnelle en  des  propositions  dépourvues  de  sens,  telles  que:  «la  cha- 
leur spécifique  de  la  vertu  est  de  0.033  ».  Mais  il  en  est  d'autres  qui  abou- 
tissent à  des  propositions  vraies  ou  fausses.  Leur  ensemble  constitue  le 
type  de  largument  .r.  Enfin  la  série  de  valeurs  |et  celle-là  seulement I  pour 
lesquelles  f  |.r)  devient  une  proposition  vi-aie  se  nomme  une  classe.  Par 
exemple,  la  classe  des  corps  tels  que  le  mercui'e  dont  la  chaleur  spécifique 
est  0,033. 

Les  mêmes  i-aisonuements  s  appliquent  aux  fonctions  propositionuelles  à 
2,  3,  etc.,  variables. 

La  troisième  section  de  la  logique  est  constituée  jjar  la  théorie  des  fonc- 
tions générales.  Elle  s  occupe  du  passage  de  l'inlensivité  à  l'extension  ainsi 
que  du  problème  de  la  dénotation,  et  voici  comment.  Il  peut  arriver  que  la 
même  série  de  valeurs  satisfasse  à  deux  et  même  plusieurs  fonctions  pro- 
portionnelles à  une  variable.  Ces  valeurs,  comme  nous  l'avons  vu,  cousti- 
liluent  une  classe.  Il  est  donc  nécessaire  de  caractériser  celle  dernière  pour 
elle-même  et  indépendamment  des  circoustauccs  particulières  par  lesquelles 
elle  peut  être  obtenue. 

Dune  fa^on  analogue,  mais  plus  compliquée,  certains  problèmes  concer- 
nant les  l'ouclions  propositionuelles  à  2  variables  impliquent  la  notion  de 
«  lorrélalion  »    exactement   comme    les    fonctions   d  un    argument    impliquent 


:<•)  BULLETIN    m  B  Ll  OCUAP  II  lOUE 

des  classes.  Lorsqu  il  y  a  trois  variables,  la  corréialion  est  triangulaire  et 
ainsi  de  suite. 

Les  idées  mises  en  lumière  dans  cette  troisième  section  logique  sont 
essentielles  à  la  construction  des  fonctions  logiques  «  dénotantes  »  qui  ren» 
ferment  comme  cas  spécial  les  fonctions  mathématiques  élémentaires  (sinus, 
logarithme,  etc.)  et  c'est  pourquoi  celte  section  est  appelée  théorie  de 
fonctions. 

Y,A  seciion  analjlKjue  en{\a  i-echerche  les  pi'opriétés  des  constructious  logi- 
ques spéciales,  c'est-à-dire,  des  classes  et  des  corrélations  d'un  genre  spé- 
cial. L'ensemble  des  mathématiques,  ni  plus  ni  moins,  y  est  renfermé, 
mais  en  en  tant  qu  il  comporte  des  idées  qui  jusqu'alors  n  y  avaient  pas 
été  rattachées.  Il  est  impossible  d  expliquer  même  brièvement  comment  les 
mathématiques  se  développent  par  construction  au  moyen  des  concepts  de 
classe,  de  corrélation  simple  et  multiple  qui  ont  été  établies  dans  la  troi- 
sième section. 

Il  est  d'autres  sujets  non  moins  délicats  que  M.  ^^  hitehead  aborde  et  qu'il 
éclaire  d'un  jour  nouveau,  en  particulier  les  problèmes  relatifs  au  temps, 
à  l'espace  et  à  la  relativité.  Nous  ne  pouvons  que  rappeler  la  maîtrise  et  la 
perspicacité  avec  lesquelles  M.    Whitehead  les  traite. 

Il  serait  en  tout  cas  à  désirer  que  son  ouvrage  fût  traduit  en  langue 
française.  Par  sa  concision,  par  la  clarté  et  la  largeur  de  ses  vues,  par 
la  variété  même  des  questions  qu'il  aborde,  il  rendrait  des  services  im- 
portants à  tous  ceux  que  préoccupe  le  problème  d  une  éducation  qui,  sans 
rien  sacrifier  aux  exigences  d'une  pensée  rigoureuse,  serait  cependant 
adaptée  à  l'âme  de  l'enfant  et  aux  besoins  si  multiples  de  la  vie  moderne. 
Arnold   Rey.mond,  Université  de  Neuchàtel  |Suisse|. 


BULLETIN  BIBLIOGRAPHIQUE 


1.  Publication»!!  périodiqueiB«  : 

Acta  mathematica,  rédigé  par  G.  Mittag-Leiflek,  Stockliolm.  —  T.  il, 
lasc.  1  et  2.  —  A.  Wiman  :  Ueber  deu  Zusammenhang  z\vischen  dem  Maxi- 
malbetrage  einer  analytisrhcn  Funklion  und  dem  grosslen  Betrage  bei  gcge- 
benem  Argumente  der  Fuuktion.  —  Jean  Chazy  :  Sur  la  limitation  du  degré 
des  coefficients  des  équations  différentielles  algébriques  à  points  critiques 
fixes.  —  Fr.  Riksz:  Ueber  lineare  Funktionalgleichungen.  —  G.  Poi.ya  ; 
Ueber  die  Polen/.reihen,  deren  Konvergen/.kreis  nalùrliche  Gren/.e  isl.  — 
G.  H.  HAKDY-,and  J.  E.  Littlkwood  :  Gontributions  to  the  theory  of  the  Kie- 
nianu  Zcta-fuuctiou  and  the  theory  of  the  distribution  of  primes. 

American   Journal    of   Mathematics.   N'olnme    X.\XI.\,   N°8  3   et  4.   — 

'I'.  Goni  N  :  A  (^oniitaut  Gurvc  ui  the  Plane  Quartic.  —  \V.  C.  Gkainstein  : 
On  Iwo  Related  Transformations  of  Space  Gurves.  —  P.  R.  Rioek:  The 
Space    Problem    of   the    Galculus    of   Variations   in    Terms  of  Angle.    —  S. 


BULLETIN     li  I  H  L  lOGIiAPIIl  QUE  77 

Beatty:  Dérivation  of  ihe  Compleiuentat y  Tlieorem  from  ihe  Riemann- 
Hoch  Theorem.  —  E.  \V.  ('hittenden  :  On  the  Equivalence  of  Relations 
K^  ,  ..,  •  —  E.  Kirchek:  Some  Proiierties  of  (>erlain  Finite  Algebras.  — 
\V.  A.  Mannixg  :  The  Primitive  Groiips  of  Ciass  15.  —  B.  H.  Camp;  Mul- 
tiple Intégrais  Over  Infinité  Fields  and  the  F'ourier  Multiple  Intégral.  — 
G.  Greenhill:  ïhe  polential  of  a  Lens.  and  Allied  Physical  Problem.s.  — 
R.  D.  Carmichael  :  On  the  Asyraptotic  Characler  of  Functions  Defîned  bv 
séries  ofthe  Foriu  ^c^^gix  +  n).  —  G.  A.  Miller:  Possible  Characteristic 
Operalors  of  a  Group.  —  William  L.  Hart  ;  Linear  DifTerential  Equations 
in  Inliuitely  Mauy  Variables.  —  Howard  H.  Mitchell  :  On  the  Asymptotic 
Value  of  Sunis  of  Power  Residues.  —  .T.  A.  Blllaud  :  On  the  Sliucture  of 
Finite  Conlinous  Groups. 

Annales    de  la  Faculté  des  sciences  de  Toulouse.   3«  série,   tome  VI, 

année  1914.  —  S.  LattivS  :  Sur  une  forme  canonique  nouvelle  des  substitutions 
linéaires.  —  A.  Buhl  :  Sur  les  transformations  et  extensions  de  la  formule  de 
Stokes.  —  Ch.  RiQuiER  :  Sur  les  systèmes  partiels  linéaiies  composés 
d  équations  en  nombre  égal  .i  celui  de  leurs  fonctions  inconnues.  —  P.  Duhem: 
Sur  les  oscillations  électriques.  —  A.  Buhl  :  Sur  les  transformations  et 
extensions  de  la  formule  de  Stokes. 

Archiv  der  Mathematik  und  Physik.  26.  Band.  —  G.  Caratheodory  und 
H.  Radi:.machi;k  :  Ueber  die  Eindeutigkeit  im  Kleinen  und  im  Grossen 
stetiger  Abbildungen  von  Gebieten.  —  E.  .Magin  :  Die  stereographische  Pro- 
jektion  der  Kegelschnitle.  —  K.  Popoff  :  Sur  la  notion  de  l'aire  d'une  sur- 
face. —  E.  Jahnke  :  Zur  Théorie  der  vierdimensionalen  Vektorcn  und  Dya- 
den. —  H.  Du  Bois:  Gewisse  ebene  Blattkurven  und  dereu  elektromagnetische 
Bedeutung  —  L.  Braude  :  Ueber  die  Einhùllenden  gewisser  Kreis-  und 
Kugelscharen.  —  E.  Muller  .  Kreise  als  Loxodromen.  Fr.  A.  Willers  : 
Graphische  Intégration  einiger  gewôhnlicheu  DifPerentialgleichungen  erster 
Ordnung  mitlels  Slrahikurven.  —  K.  K.nopp:  Einheitliche  Erzeugung  und 
Darstellung  derKurven  von  Peano,  Osgood  und  v.  Koch.  —  W.  Blaschke  : 
Ueber  eiue  EUipseneigenschaft  und  ùber  gewisse  konvexe  Kurven.  — 
Th.  VVahlen  :  Beilrage  zur  Ballistik.  —  O.  Szasz  :  Ueber  arithmetische 
Eigenschaften  gewisser  unendlicher  Zahlenfolgen  und  zugehoriger  Potenz- 
reihen.  —  J.  IIorn  :  Analytische  Losungen  von  Summéngleichungen 
Rezensioncii. 

Atti  délia  Reale  Accademia  dei  Lincei.  Roma  2^  semestre,  1917.  — 
I/.  BiANcui  :  SuUe  superllcie  secondarie  nei  sistemi  tripli  ortogonali  pseu- 
dosferici.  —  Id.  :  Ricerche  sulle  congruenze  di  sfere  e  sul  rotolamento  di 
superficie  applicabili.  —  Id.:  Sul  teorema  générale  di  permutabilità  per  le 
trasformazioui  di  Ribaucour  dei  sistemi  N-pli  ortogonali.  —  M.  Bottasso  : 
Sulle  trasformazioui  asintotiche  délie  curve.  —  O.  Chisini  :  Osservazioni 
sui  punti  singolari  délie  curve  multiple  di  una  superficie  algebrica.  — 
A.  Del  Re  :  Hamiltoniani  e  gradienti  di  hamiltoniani  e  di  gradienti,  laplas- 
siani,  parametri  differenziali.  —  F.  Enkiques:  SuU'analisi  délie  singolarilà 
puntuali  délie  superficie  algebriche  mediante  divisioui  di  polinomi.  — 
R.  GioRDA?io  :  Ricerche  in  analisi  estensiva.  —  Itl.  :  Proprietà  invarianlive 
degli  hamiltoniani  e  dei  gradienti  nell"  analisi  générale  di  Grassmann.  — 
G.  A.  .Maggi  :  Nuove  applicazioni  di  una  formola  commulaliva.  —  R.  Marco- 
LONGo  :  Su  alcuni    operatori    suporficiali.  —   A.    M.  Molinari  :    Sulla  dériva- 


78  BULLETIN    R  1 H  L  I  O  ('.  H  A  P  H  K)  Il  E 

zione  ad  indice  qualunqiie.  —  (i.  Sanma  :  Le  série  di  hiiizioni  sommale  col 
inelodo  di  Borel  generalizzato.  —  F.  Scalizzi  :  Soliizioiie  di  alcuiie  equa- 
zioni  del  tipo  di  Abel.  — G.  Scorza  :  Il  rniigo  di  iina  matrice  di  Riemann. 
E.  Alma.nsi  :  L'ordinaria  teoria  dell  elasticità  et  la  teoria  délie  deforma- 
zioni  iinite.  — A.  A.nïoniazzi  :  Sopra  il  movimeiilo  di  rotazione  diurna  délia 
Jerra.  —  G.  Colonnetti  :  Su  certi  stali  di  coazioiie  elaslica  che  non  depen- 
dono  da  azioni  esterne.  —  O.  Lazzarino  :  Rappresentazione  ciuemalica  délia 
rotazione  di  un  corpo  nel  quale  sussistono  dei  nioli  interni  stazionari.  — 
Id.  :  Assi  pormanenti  nel  moto  di  rotazione  di  un  corpo  nel  quale  sussistono 
dei  moli  imtei'ni  stazionari.  —  Snlla  rotazione  di  un  corpo  di  rivoluzione 
nel  quale  sussistono  dei  nioti  inlerni  variabili.  —  T.  Levi-Civita  :  ds  eins- 
leiniani  in  campi  newtoniani.  —    Id.  :    Generalità  et  prima  approssimazione. 

—  G.  Armeli.i.m  :  Ricerche  sopra   le  perlurbazioni  de!    satellite    di  Nettuno. 

Bulletin  des  Sciences  Mathématiques,  rédigé  par  E.  Picard  et  P.  Appelé; 
secrétaire  de  la  Rédaction.  F,.  Lkbon.  l'orne  XL,  juillet-décembre  1917.  — 
E.  GouRSAT  :  Sur  les  transformations  ponctuelles  qui  conservent  les  volumes. 

—  P.  Drouin  :  Sur  l'impossibilité  d  une  certaine  généralisation  des  trans- 
formations de  contact.  —  E.  Picard  :  Les  Sciences  mathématiques  en 
France  depuis  un  demi-siècle.  —  E.  Delassus  :  Sur  la  notion  générale  de 
mouvement  des  systèmes  soumis  à  des  liaisons  d'ordre  quelconque.  —  Siek- 
piNSKi  :  Un  théorème  sur  les  ensembles  fermés.  —  N.  Kryloff  :  Sur  quelques 
Ibrniules  de  l'interpolation  généi'alisée.  —  H.  Vekg.ne  :  Sur  les  équations 
générales  de  la  Mécanique  analytique.  —  A.  Blul  :  Sur  les  sommes  abé- 
lienues  de  volumes  cyclidoconiques. 

Bulletin  de  la  Société  Mathématique   de  France.  —  Tome  XLIV,  fasc.  4. 

—  Heeoaard  :  Sur  l'Analysis  silus. 

Tome  XLV,  fasc.  1  et  2.  —  M.  Frecuet  :  Le  théorème  de  Borel  dans  la 
théorie  des  ensembles  abstraits.  —  F.  Tlrkièke  ;  Sur  la  détermination  des 
surfaces  par  une  relation  entre  des  segments  de  normales.  —  Globa  .Mik- 
hailenko  :  Sur  le  mouvement  d'une  bille  de  billard.  —  Maillet:  Sur  léqua- 
tion  indéterminée  «'"  -|-  B'"  ■=.  c'"  en  nombres  entiers  différents  de  zéro, 
quand  m  est  fractionnaire  et  sur  une  équation  analogue  plus  générale.  — 
M.  FoucHÉ  :  Sur  la  transformation  de  Lie.—  Ch.  de  la  Vallée  Poussin  :  Sur 
les  expressions  qui  s'écartent  le  moins  de  zéro  dans  un  intervalle.  — 
E.  Cartan  :  La  déformation  des  hypersurfaces  dans  l'espace  conforme  réel  à 
/i  ^  5  dimensions. 

Comptes  rendus  de  l'Académie  des  Sciences  de  Paris.  2"!*=  semestre  1917. 

—  'J  juillet.  —  -M.  Aki.moii  :  rriinsceiulaiiles  tle  Fuurier-Bessel  à  plusieurs 
vai'iables.  —  .'/  juillet.  —  A.  Thibalt  :  Sur  les  courbes  tautochrones.  — 
16  juillet.  —  J.  Priwaloee  :  Sur  la  convergence  des  séries  Irigonométriques 
conjuguées.  —  E.  Vessiot  :  Sur  les  équations  canoniques  et  sur  les  déve- 
loppements en  séries  de  la  Mécanique  céleste.  —  Amslek  ;  Sur  le  dévelop- 
pement en  fraction  continue  d'une    irrationnelle  quadralitjue.    —   'Jo  juillet. 

—  Leau  :  Sur  la  mesure  des  ensembles  linéaires. —  6'  août.  —  G.  Hu.mbert: 
Sur  la  fraction  continue  de  Stephan  Smith.  —  i3  août.  —  G.  Humuert  : 
Sur  la  réduction  (mod.  2)  des  formes  quadratiques  binaires.  —  E.  Cauen  : 
Sur  la  suite  de  meilleure  spproximation  absolue  pour  un  nombre.  — 
'J~  août.  —  G.  HuMBERT  :  Quelques  propriétés  de  formes  quadratiques 
binaires  indédnics.  —  3  .septembre.  —   G.  Re.moundos  :    Sur  la  dassiiication 


B  U  I.LKTl  y    BIBLIOGRAPHIQUE  79 

des  points  transcendants  des  inverses  des  fonctions  entières  ou  niéromor- 
phes.  —  G.  HuMBERT  :  Quelques  propriétés  des  formes  quadratiques  binaires 
indéiînies.  —  10  septembre.  —  H.    Dupokt  :  Sur  les  systèmes  orthogonaux. 

—  P.  HuMBEKT  :  Sur  les  ombilics  de  la  surface  piriforme.  —  M.  Frecuet  : 
Sur  la  notion  de  voisinage  dans  les   ensembles  abstraits.    —   Il   septemhie. 

—  M.  Petkovitch  :  Un  nouveau  procédé  d'évaluation  numérique  des  coeHi- 
cienls  de  séries.  —  7«r  octobre.  —  Axgklesco  :  Sur  un  procédé  de  somma- 
lion  des  séries  trigonométriques.  —  \\'.  Siekpinski  et  N.  I.,usin  :  Sur  une 
décomposition  d'un  intervalle  en  une  intinité  non  dénombrable  d  ensembles 
non  mesurables.  —  S  octobre.  —  W.-II.  Younc.  :  Sur  la  théorie  des  séries 
trigonométriques.  —  15  octobre.  —  G.  Scorz.\  :  Les  fonctions  abélienoes 
non  singulières  à  mniliplicalion  complexe.  —  >s'.  IjUsi.n  et  \V.  Siekpinski: 
Sur  une  propriété  du  continu. —  'J'2  octobre.  —  Sur  linlégration  de 
certains  systèmes  d'équations  dillérentielles.  —  S.  Bays  :  Sur  les  systèmes 
cycliques  de  Steiner.  —  H.  Lakose  :  Sur  le  inouveinenl  uniforme  d  un  lil 
dans  un  milieu  résistant.  —  M.  Erflouik  :  Champ  électromagnétique  d'un 
élément  de  courant  constant  dans  un  milieu  anisoirope  biaxe.  —  J  novembre. 

—  VV.  DE  Tanne.nbeko  :  Sur  une  équation  fonctionnelle  et  les  courbes  unicur- 
sales  sphériques. —  /?  novembre.  —  Maurice  Fkechet  :  Les  fonctions  pro- 
longeables.  —  !'.>  novembre.  —  W.-H.  Yoi.ng  :  Sur  les  séries  des  polynômes 
de  Legendre.  —  G.  Hi.mbert:  Sur  le  développement,  en  fraction  continue 
de  Stephen  Smith,  des  irrationnelles  quadratiques.  —  Pierre  Humbert  : 
Réduction  de  l'équation  des  jacobiens  critiques.  — Paul  Appici.l  :  Expériences 
de  M.  Carrière  sur  le  mouvement  aérien  de  balles  sphériques  légères,  tour- 
nant autour  d  un  axe  perpendiculaire  au  plan  de  la  trajectoire.  —  C.  Gui- 
CHARU  :  Sur  les  léseaux  C  tels  que  1  équation  de  Laplace  t(ui  y  correspond 
soit  intégrale.  —  Pierre  Humbert  :  Expression  de  la  fonction  de  Legendre 
de  seconde  espèce.  —  C.  Humbert  :  Sur  le  développement  en  fraction  continue 
de  Stephan  Smith,  des  irrationnelles  quadratiques.  —  '26  novembre.  — 
Félix  Ventre:  Théorème  sur  les  charges  i-oulantes.  —  Emile  Picard:  Sur 
une  équation  fonctionnelle  se  présentant  dans  la  théorie  de  la  distribution  d<* 
l'électricité  avec  la  loi  de  Neumann.  —  W.  de  Tannenberg  :  Sur  une  ques- 
tion d'analyse  indéterminée.  —  3  décembre.  —  J.  Bosler  :  Les  météorites  et 
l'excentricité  terrestre. — 10  décembre.  —  Séance  annuelle. —  //  décembre. 
P.  Fajot  :  Sur  les  substitutions  rationnelles.  —  E.  Baticle  :  Sur  la  déter- 
mination des  dimensions  les  plus  avantageuses  des  fjrincipaux  éléments 
d'une  installation  de  force  hydraulique.  —  Mes.nager  :  Sur  la  démonstration 
des  formules  rigoureuses  des  poutres  et  des  plaques.  —  '2'i  décembre.  — 
Hardy  et  Littlewood:  Sur  la  convergence  des  séries  do  Fourior  et  des 
séries  de  Taylor.  —  Guili.et:  Mesure  de  l'intensité  du  champ  de  la  pesan- 
teur: Pendulede  Galilée  et  tube  de  Newton.  —  Ul  décembre.  —  Hi.mbkrt: 
Sur  une  communication  de  G.  Julia  intitulée  «  Sur  les  substitutions  ration- 
nelles». —  G.  Julia:  Sur  les  substitutions  rationnelles.  —  Akimoii  : 
Transcendantes  de  Fourrier-Bessel  à  plusieurs  variables. 


tî,  Liivfcs  nouveaux  : 

Annuaire  pour  l'an  1918  piiblié  par  le  Bureau  dos  Longiludes.  Avec  tics 
notices  srienlifiquss  de  M  XL  Bigourdan,  Renaud  et  Hamv.  —  I  vol.  in-l<), 
676  p.  ;  2  ir.  ;  Gauthier-Villars,   Paris. 


80  BULLETIN    lit  B  1.  I  ()  C  H  A  P  H  IQ  l:  !■: 

\..  BiF.BKRBACH.  — Differciitial- uod  Integralrechnung.  I  —  1  vol.  iii-2; 
M.  8  (Teiibnor's  Lcilladen)  ;  B.  G.  Teiibnci-,  Leipzig. 

E.  BoREi,.  —  Leçons  sur  les  fonctions  monogènes  uniformes  d'une 
variable  complexe,  rédigé  par  G.  Julia.  —  1  vol.  in-S»,  166  p.  ;  7  fr.  50  ; 
Galilhier-Villars,   Paris. 

C.  Cauatiieodory.  —  Vorlesungen  liber  réelle  Fnnktionen.  —  1  vol.  g^r. 
iu-8",  704  p.  ;  28  M.  ;  B.  G.  Tenbiier,  Leipzig. 

E.   Flamakd.  —  Calcul  des  systèmes  élastiques  de  la  Construction.  — 

1  vol.  iiiSo,  197  p.  ;  12  fr.  ;  Gaiitliier-Villars,   Paris. 

ZoEL  G.  DE  Galdeano.  —  Tratado  General  de  Matemâticas  comprendiendo 
en  la  inlroducciôn  las  lecciones  il  a  la  20  del  cuito  de  extension  universi- 
taria  de  1915  a  1916  (Extension  Universitaria).  —  1  vol.  in-8o,  112  p.; 
2,50  plas.  ;  G.  Casanal,  Zaragoza. 

ZoEL  G.  DE  Galdeano.  —  Correlacioues  matemâtica-fisico-quimicas. 
lecciones  explicadas  por  el  profesor  en  los  cursos  especialcs  y  de  ampiiacion 
organizados  per  la  junta  de  la  Facultad  de  Ciencias  de  Zaragoza  eu  el  curso 
de  1915-1916  (Extension  Uuivarsitaria).  —  l.voi.  in-8o,  88  p.  ;  2  plas.  ; 
C.   Casanal,  Zaragoza. 

ZoEL  G.  DE  Galdeano.  —  Mls  Ultlmos  programas  de  Elementos  de  Câl- 
Culo  infinitésimal  y  ComplementOS  con  nociones  de  las  teorias  correspon- 
(lientes.  —  1  vol.  in-8",  116  p.  ;  4  ptas.  ;  G.  Casanal,  Zaragoza. 

L.  KoLLRos.  —  Géométrie  descriptive.  —  1  vol.  cari.  in-8o,  154  p.,  170  lig,; 
5  fr.;  Orell  Fûssli,  Zurich. 

Edm.  La.m)au.  —  Einfûhrung  in  die  elementare  u.  analytische  Théorie 
der  algebraischen  Zahlen  u.  der  Idéale.  —  1  vol.  in-8",  l'io  p.  :  6  M.  ;  B.  G. 

Teabner,  Leipzig. 

L.  Lecorinu.  —  Cours  de  Mécanique  professé  à  l'Ecole  polytechnique, 
tome  111.  —  1  vol.  in-8o,  668  p.;  25  fr.  ;  Gauthier-Villars,  Paris. 

W.  LiETZMANN.  —  Was  ist  Geld  ?  (Mathem.  Bibliothck.  Band  30.)  —  1  vol. 
111-8°,  55  p.  ;  1  M.;  B.  G.  Teubner,  Leipzig. 

M.  d'OcAGNE.  —  Cours  de  Géométrie  pure  et  appliquée  de  l'Ecole  poly- 
technique. Tome  II;  Cinématique  appliquée.  Slér-éométrie.  Statique  gra- 
phique. Calcul  graphique.  Calcul  grapho-mécanique.  Nomographie.  —  1  vol. 
in-S»,  iv-364  p.,  avec  170  fig.  ;  18  fr.  ;  Gauthier-Villars,  Paris. 

E.  Picard.  —  Œuvres  de  Charles  Hermite  publiées  sous  les  auspices  de 
l'Académie  des  Sciences.  Tome  lY.  —  1  vol.  in-S»,  596  p.;  25  fr.  ;  Gauthier- 
Villars;   Paris. 

L.  ZoRETTi.  -  Tables  numériques  usuelles  à  l'usage  des  ingénieurs,  des 
étudiants  des  Facultés,  des  élèves  dos  Lycées  et  des  Ecole  primaires  supé- 
rieures, etc.  —  1  vol.  in-8o,  52  p.;  3  fr.  ;  Gauthier-Villars,  Paris. 


SUR  LES  CONGRUENGES  LINEAIRES 

DE  GUBIQUES  GAUGHES 

DOUÉES  D'UNE  SEULE  GOURBE  SINGULIÈRE 


Lucien  Godealx  (Armée  belge). 


Dans  un  travail  publié  il  y  a  quelcjues  années,  j'avais  abordé 
le  problème  de  la  détermination  des  congruences  linéaires 
de  coniques  douées  d'une  seule  courbe  singulière'.  J'avais 
ensuite  pu  étendre  ma  méthode  au  cas  de  congruences  li- 
néaires de  courbes  planes,  sans  points  singuliers,  dotées 
<rune  ou  deux  courbes  singulières  (l'une  de  ces  dernières 
n'étant  pas  une  droite"-;. 

A  la  fin  de  mon  premier  travail,  j'avais  émis  l'idée  que  la 
même  méthode  pourrait  être  utilisée  dans  la  recherche  des 
congruences  linéaires  de  cubiques  gauches.  G'est  dans  cet 
ordre  d'idées  qu'est  écrit  le  travail  suivant.  J'ai  abordé  l'étude 
<les  congruences  linéaires  de  cubiques  gauches  dotées  d'une 
seule  (tourbe  singulière.  Le  résultat  auquel  je  suis  arrivé  est 
malheureusement  négatif,  en  ce  sens  que  j'établis  que  : 

Il  n'existe  aucune  congruence  linéaire  de  cubiques  gauches 
douée  cl  une  seule  courbe  singulière. 

J'ajouterai  que  la  même  méthode  peut  être  appli(|uée  à  la 
recherche   des    complexes    linéaires   de   cubiques   gauches. 


'  Hecherchts  sur  tes  systèmes  de  coniques  de  l'espace  (Thèse  prosentt'O  à  TUniversilé  de 
Liège).  Mémoires  de  ta  Soc.  H.  des  Se.  de  Liège,  1911. 

Je  rappello  a  cette  oc<  Hsioa  que,  p<ir  une  autre  iiK-tliode,  M.  Montksaso  avait  auparavant 
xléterniiaé   toutes  les  congruences  linéaires   «le    coniques    [lUiid.  II.  Accad.  di  .\apoli.    189ÔI. 

'  Salle  congruence  lineari  di  curve  piane  dotale  di  una  sola  curi-a  singotare  illend.  (ire. 
<ii  Palermo,  1912).  — .  Sur  les  congruences  linéaires  de  courbes  planes  [Bull,  de  t'Acad.  des 
Sciences  de  Cracovie,   1912). 

L'Enseignement  mathéin.,   20«  année;   1918.  6 


8  2  L.     a  ODE  AUX 

dans  un  espace  linéaire  à  quatre  dimensions,  comme  j'es- 
père le  montrer  dans  un  prochain  travail. 

La  méthode  employée  ici  ne  fait  appel  qu'à  des  propriétés 
élémentaires  de  Géométrie;  elle  est  presque  entièrement 
basée  sur  cette  remarque  que  dans  une  congruence  linéaire 
de  courbes,  une  courbe  de  la  congruence  ne  peut  rencontrer 
une  surface  engendrée  par  oo*  courbes  de  la  congruence, 
qu'en  des  points  singuliers. 

1.  —  Soit  1  une  congruence  linéaire,  irréductible,  de  cu- 
biques gauches,  dotée  d'une  seule  courbe  singulière  C, 
d'ordre  h.  Supposons  que  les  courbes  de  i  ne  touchent,  le 
lono-  de  (],  aucune  surlace  circonscrite  à  cette  courbe. 

Désignons  par  m  le  nombre  de  courbes  de  2l  s'appuyant 
sur  deux  droites  gauches,  ne  rencontrant  ni  l'une,  ni  l'autre 
G,  par  |u  le  nombre  de  ces  courbes  passant  par  m  point  de  G 
et  s'appuyant  sur  une  droite  ne  rencontrant  pas  G. 

Les  cubiques  de  2,  s'appuyant  sur  une  droite  d,  forment 
donc,  en  général,  une  surface  F^  d'ordre  m,  passant  a  fois 
par  G. 

Une  cubique  de  2,  n'appartenant  pas  à  F^,  rencontre  cette 
surface  en  des  points  situés  sur  G,  sans  quoi  2  ne  serait  pas 
linéaire.  De  plus,  ces  points  sont  en  général  distincts,  sans 
quoi  les  courbes  de  2  toucheraient,  le  long  de  G,  une  sur- 
face passant  par  cette  courbe.  On  sait  que  les  cubiques 
gauches  d'une  congruence  linéaire  ont  dix  points  singuliers. 
On  a  donc. 

::!hi  =  10  a    , 

c'est-à-dire,  e.  étant  un  entier  positif, 

m  =  I0£    ,  a  =  3c   . 

Deux  surfaces  F^,  F^/  ont  en  commun  la  courbe  G,  les 
in  courbes  de  2  s'appuyant  sur  les  droites  (Z,  d'  et  les  courbes 
exceptionnelles  éventuelles  tle  2.  De  plus,  Va  et  F^'  ne  se 
touchent  pas,  en  général,  le  long  de  G  ;  on  a  donc  pour  l'in- 
tersection de  ces  deux  surfaces,  une  expression  de  la  forme 

m'-  :=  '<hn  -\-  h  ■i'  -\-  i    , 


CUBIQUES    GAUCHES  83 

^  ^  0  provenant  de  l'existence  éventuelle  de  courbes  excep- 
tionnelles. 


Par  suite, 
On  a  donc 


=  (100  —  9A)£.2  -  m-c 

,100  —  9A|£  ^  30  , 


d'où  /i  ^  il. 

D'autre  part,  si  la  courbe  G  appartenait  à  une  surface 
cubique,  les  courbes  de  2l  rencontreraient  celle-ci  en  dix 
points  et  seraient  entièrement  sur  cette  surface,  ce  qui  est 
absurde.  Une  courbe  d'ordre  inférieur  à  sept  se  trouvant 
toujours  sur  une  surface  cubique,  on  a  donc  h  >  6.  Nous 
parvenons  donc  à  ce  premier  résultat  que  : 

La  courbe  singulière  de  1  a  l'ordre  7,  8,  9,  10  ou  il. 
2.  —  Les  courbes  exceptionnelles  de  2  peuvent  se  ranger 
en  deux  catégories;  celles  de  la  première  catégorie  sont  des 
droites  qui,  comptées  chacune  trois  fois,  forment  des  cu- 
biques de  2,.  De  telles  droites  ne  font  pas,  en  général,  partie 
des  surfaces  F^;  elles  s'appuyent  en  dix  points  sur  C  et  ne 
peuvent  par  suite  exister  que  si  //  =  il. 

Les  courbes  exceptionnelles  de  la  deuxième  catégorie 
sont  des  droites  ou  des  coni(jues  qui,  avec  x^  courbes  (co- 
niques ou  droites)  forment  des  cubiques  de  1.  Soit  /•  une 
telle  courbe.  Désignons  par  R  la  surface  lieu  des  courbes 
(|ui,  avec  /■,  forment  des  courbes  de  2i!. 

Il  ne  peut  exister  une  cubif|ue  de  i,  non  dégénérée,  s'ap- 
puyant  sur  r  en  un  point  non  situé  également  sur  C,  car  une 
telle  cubique  appartiendrait  à  toutes  les  surfaces  Fd,  ce  qui 
est  absurde.  La  surface  lieu  des  cubiques  de  2  s'appuyant 
sur  /■  se  scinde  donc  en  la  surface  R  et  les  surfaces  lieux  des 
courbes  de  i  passant  par  les  points  communs  à  G  et  à  /• 
(surfaces  d'ordre  //  =  3è).  Il  convient  d'examiner  en  détail 
les  différents  cas  (|ui  peuvent  se  présenter. 

<7  '  Supposons  que  /•  soit  une  droite  qui,  avec  gc^  coniques, 
forme  des  courbes  de  2.  Une  de  ces  coniques  ne  peut  ren- 
contrer une  surface  Va  en  dehors  de  G  et  de  /•,  par  suite,  si 
a  désigne  le  nombre  de  ses  points  d'appui  sur  G,  /•  est  mul- 
tiple d'ordre  2m  —  «u,  c'est-à-dire  d'ordre  20s  —  3aî  |)Our 


8'i 


!..    GO  DE  AUX 


Frf.  D'antre  part,  ces  coniques  étant  en  nombre  x',  doivent 
satisfaire  à  sept  conditions  dont  Tune  est  la  condition  de 
rencontrer  /•  et  les  autres  des  conditions  d'appui  sur  C.  On 
a  donc  a  ^  6,  d'où  a  =  6.  Il  en  résulte  que  /'  s'appuie  en 
quatre  points  distincts  ou  non  sur  C.  Soit  /S  le  nombre  de 
ces  points  d'appui  distincts.  La  surface  F/',  relative  à  /•,  se 
scinde  en  la  surface  R,  d'ordre  20e  —  3a£  =  2c  et  /5  surfaces 
d'ordre  fx  =  3î,  lieu  des  cubiques  de  2  passant  par  les  points 
d'appui  de  /•  sur  C.  On  a  dont; 

10a  =  il  +  r^i  . 

équation  impossible  en  nombres  entiers.  Il  n'existe  donc  pas 
de  droite  exceptionnelle  de  l'espèce  étudiée  ici. 

b)  Supposons  que  /■  soit  une  conique  qui,  avec  x'  droites, 
forme  des  courbes  de  2. 

On  trouve,  en  raisonnant  comme  plus  haut,  que  la  conique 
/•  s'appuie  en  huit  points  distincts  ou  non  sur  C  et  est  mul- 
tiple d'ordre  4e  pour  les  surfaces  F,^.  On  doit  donc  avoir, 
les  cubiques  de  2  s'appuyant  sur  /•  formant  une  surface 
d'ordre  2m  =  20-, 

2m  =  4;  +  ;3a  , 

/3  étant  le  nombre  d'appuis  distincts  de  /■  sur  C.  On  en  con- 

I  fi 

dut   /3  =  —  ,  ce  qui  est  absurde. 

c/  Supposons  enfin  que  /'  soit  une  droite  (|ui,  comptée 
deux  fois,  forme  avec  x'  droites,  engendrant  une  surface  R, 
x^  courbes  de  1.  On  trouve  cette  fois  que  ces  x^  droites 
s'appuyent  en  deux  ou  en  trois  points  sur  C. 

V  Les  x'  droites  s'appuyent  eu  deux  points  sur  C.  Alors 
/•  est  multiple  d'ordre  4e  pour  les  surfaces  F^  et  s'appuie 
en  huit  points  distincts  ou  non,  sur  C.  Si  /S  est  le  nombre 
d'appuis  distincts  de  /■  sur  G,  on  doit  avoir 

m  z=r  '*  £  +  [Ju.  , 

ou  /3  =  2.  La  courbe  C  a  son  ordre  au  moins  égal  h  10. 

2"  Les  x'  tlroites  s'appuyent  en  trois  |)oints  sur  G.  Alors 
/■  est  multiple  d'indice  e  pour  F^  et  s'appuie  en  sept  points 


CUBIQUES    GAUCHES  85 

sur  C.  Si  ,3  a  la  même  signification  que  tantôt,  on  doit  avoir 

d'où  6  =  3.  C  a  l'ordre  au  moins  égal  à  10. 

3.  —  Soient,  pour  fixer  les  idées,  j\  le  nomljre  de  droites 
exceptionnelles  multiples  d'ordre  4ê  pour  F^,  .v.,  celui  des 
droites  exceptionnelles  multiples  d'ordre  s  pour  ces  surfaces. 
On  a 

0  ^  (16.rj  4-  .r,)£-'   , 

le  signe  >  n'étant  valable  que  s'il  y  a  contact  entre  les  sur- 
faces Frf  le  long  des  droites  exceptionnelles. 
On  en  déduit 

(100  —  9A  —  16.r,   -  .r^]î  ^  30   . 

Si  Ji  =  7,  .r,  =  x\  ^0,  p  --=0  et  on  a  £  ^  —,  ce  qui  est 
absurde. 

Si  h  =  8,  .r,  ^^  x^  --  0,  ^  =  0  et  e  ^  —  ,  (;e  qui  est  im- 
possible. 

Si  h  =^  9,  .r,  =  j^._,  ;:=:  0,  p  =^  0,  £  :=  —  ,  ce  qui  est  impos- 
sible. 

Lorsque  h  =  10,  on  a 

(10  —  16r,  —  .rj;  ^  30   , 

d'où  .r,  =  0. 

Remarquons  d'ailleurs  que  x.^  ne  peut  être  supérieur  à  2, 
car  si  .r.,  =  3,  la  quadrique  passant  par  les  trois  droites  ex- 
ceptionnelles rencontre  G  en  21  points  et  contient  donc 
cette  courbe  et  par  suite,  toutes  les  cubiques  de  ^,  ce  qui 
est  absurde. 

Lorsque  h  =^  11,  on  a 

(1  _  16.,,  —  .r.^)t  ^  30  , 

d'où   .r-,  =  .r.2  =  0,    ^  =  0,    e  =  30. 

Nous  aurons  donc  quatre  cas  à  examiner. 
1"  h  =  10,  .r,  =  0,  ^  =  0. 
2°  h=  10,  .r2=  1. 
3»  h=  10,  X.  =  2, 
4"  /i=  11,  p  =  0. 


86  /. .     G  ODE  AUX 

4.  —  Lorsque  la  courbe  C  est  d'ordre  10  et  que  .r^  =  0, 
2  ne  possède  aucune  courbe  exceptionnelle.  On  a  nécessai- 
rement ^  =1  0,  £  =  3.  Les  surfaces  F^  sont  d'ordre  30  et 
passent  neuf  ibis  par  C. 

La  courbe  C  possède  certainement  des  Irisécantes,  car 
autrement,  en  la  projetant  d'un  de  ses  points  sur  un  plan, 
on  verrait  que  son  genre  est  égal  à  28  ;  mais  alors,  elle  appar- 
tiendrait à   une  infinité  de  quadriques,  ce  qui   est  absurde. 

Considérons  la  surface  F^?  lorsque  cl  est  une  trisécante 
de  G.  Frf  se  scinde  en  quatre  surfaces  dont  trois  sont  les 
surlaces  d'ordre  9,  lieux  des  cubiques  de  2  passant  par  les 
points  d'appui  de  cl  sur  C.  La  quatrième  est  par  suite  une 
surface  cubicjue.  Nous  avons  déjà  vu  que  C  ne  peut  se  trouver 
sur  une  surface  cubique,  donc  les  cubiques  de  1  s'appuyant 
sur  une  trisécante  de  C,  forment  une  surface  cubique  et 
s'appuyent  sur  C  en  des  points  fixes.  La  surface  F^  passant 
neuf  fois  par  G,  il  en  résulte  qu'une  surface,  lieu  des  courbes 
de  2  passant  par  un  point  de  G,  passe  trois  fois  par  cette 
courbe.  Mais  une  courbe  de  2,  n'appartenant  pas  à  une  telle 
surface,  ne  peut  la  rencontrer  en  dehors  de  G.  Or  on  trouve 
qu'elle  la  rencontre,  sur  G  en  10x3  =  30  points,  ce  cpii 
est  impossible.  On  est  conduit  à  une  absurdité  et  on  ne 
peut  donc  avoir  cl  =  10,  .r^  =  0. 

.5.  — -  Nous  traiterons  simultanément  les  cas  où  l'on  a 
h  ^  10,  j\  ^  1  ou  .r.2  =  2.  Nous  avons  vu  c|u'une  droite 
exceptionnelle  /■  est  multiple  d'ordre  c  pour  une  surface  F^. 
Les  plans  tangents  à  cette  surface  et  passant  par  /•  sont  les 
plans  comptant  les  e  droites  qui,  avec  /•,  forment  des  courbes 
de  2,  qui  s'appuyent  sur  d.  Ils  sont  donc  variables  avec  cl 
et  on  a,  par  suite, 

0  =  .r,£-   ,  c  esl-a-dire  s  =  7— . 

'  -  10   —  X, 

Or,  ni  pour  x.^  — -  1,  ni  pour  .r.,  =  2.  s  n'est  entier.  On  no 
peut  donc  avoir  h  =  10,  .n  >  0. 

On  en  conclut  que  si  1  existe,  sa  courl)e  singulière  G  est 
d'ordre  11. 


CUBIQUES    GAUCHES  87 

6.  —  Si  /i  =  11,  on  a  /5  ^  0  et,  par  conséciiient,  £  =  30. 
Les  surfaces  F^  sont  d'ordre  300  et  passent  90  fois  par  C. 

Considérons  un  point  P  non  situé  sur  C.  Par  ce  point  il 
j)asse  une  droite  s'appuyant  en  deux  points  sur  chaque  cu- 
bique de  1.  l^e  lieu  de  ces  points  d'appui  est  une  surface  (l)i, . 
Soit  II  la  classe  de  1.  c'est-à-dire  le  nombre  de  cubiques 
de  2  ayant  pour  bisécante  une  droite  arbitraire.  La  surface  tl>i. 
est  rencontrée  par  une  droite  passant  par  P,  et  en  dehors  de 
ce  point,  en  2ii  points.  D'autre  part,  tl>,.  contient  la  cubique 
de  2  passant  par  P  et  les  droites  projetant  celte  cubique  de 
P  sont  tangentes  à  t]>p  en  P.  Le  point  P  est  donc  double  pour 
<Pi.  et  cette  surface  est  d'ordre  2{n  +  !)• 

Les  cubiques  de  }l  passant  par  un  point  de  C  forment  une 
surface  d'ordre  90  passant  27  fois  par  C,  car  une  cubique 
quelconque  de  la  congruence  ne  peut  rencontrer  cette  sur- 
face en  dehors  de  C.  On  peut  encore  dire  que  pour  deux 
points  de  G  passent  27  cubiques  de  2.  Si  v  est  la  multiplicité 
de  C  pour  la  surface  <I>i. ,  cela  signifie  que  la  droite  joignant 
P  à  un  point  P'  de  G  est  la  corde  de  v  courbes  de  ]£  passant 
par  P'.  Il  en  résulte  que  la  droite  PP'  rencontre  la  surface 
lieu  des  cubiques  de  2  passant  par  P'  en  v  points  en  dehors 
de  P',  ou  encore  que  P'  est  multiple  d'ordre  90  —  v  pour 
('ette  dernière  surface. 

Considérons  une  courbe  de  1  et  soit  Q  un  point  où  cette 
courbe  rencontre  (pp,  en  dehors  de  G.  La  droite  PQ  ren- 
contre <]>p  en  dehors  de  P  et  de  Q  en  2.'i  —  1  points  dont  l'un, 
d'après  la  définition  de  «Iv,  est  nécessairement  situé  sur  la 
courbe  de  2  envisagée.  Gomme  il  n'y  a  qu'une  corde  de  celte 
courbe  passant  par  P,  cette  courbe  doit  rencontrer  <î),.  en 
deux  seuls  points  extérieurs  à  G.  On  a  donc 

6(«  +  1)  =  10  V  +  2   ,         ou         o//  -f  2  =  5v   . 

Considérons  maintenant  la  surface  F^  relative  à  une  droite 
f/ trisécante  de  G.  Elle  se  scinde  en  trois  surfaces  lieux  des 
courbes  de  2  passant  par  les  points  d'appui  et  en  une  sur- 
face Frf  lieu  des  courbes  de  2  s'appuyant  sur  d  en  dehors 
de  C,  si  toutefois  la  trisécante  d  ne  fait  pas  partie  d'une 
courbe  dégénérée  de  1.  Laissons  ce  cas  de  côté  pour  lins- 


88  L.    G  ODE  AUX 

tanl.  La  surface  F^  est  d'ordre  300  —  3  X  90  =:  30  et  passe 
9  ibis  par  C,  car  une  cubique  de  2  ne  p*ut  la  rencontrer  en 
dehors  de  G  sans  lui  appartenir.  Un  plan  passant  par  d, 
rencontre  encore  la  surface  ¥d  en  une  courbe  d'ordre  29, 
passant  8  fois  par  les  points  d'appui  de  d  sur  C.  11  y  a  donc 
cin(|  points  de  rencontre  de  d  avec  celte  courbe  en  dehors 
de  C.  Ces  points  peuvent  provenir  de  (tourbes  de  2l  s'ap- 
puyant  en  deux  points  sur  d,  ou  de  cubiques  de  1  passant 
par  un  des  points  d'appui  de  d  sur  G  et  rencontrant  encore 
r/,  ou  enfin  de  courbes  de  i  touchant  le  plan  choisi  sur  d. 
Dans  tous  les  cas,  comme  il  y  a  27  courbes  de  1  passant  par 
deux  des  points  d'appui  de  d  sur  G,  on  peut  écrire  que  la 
classe  de  la  congruence  est  n  =  3  X  27  +  .r,  x  étant  positif 
et  au  plus  égal  à  5,  ou  nul.  Portons  celte  valeur  de  n  dans  la 
formule  trouvée  plus  haut.  On  trouve 

V  =  49  +  -    . 

d'où   X  =:  0   ou   .r  =:  5,   V  :^  52. 

D'après  (;e  que  nous  avons  vu  ci-dessus,  il  en  résulte  que 
le  point  P'  de  G  est  multiple  d'ordre  90  —  y  ^  38  pour  la 
surface  lieu  des  cubiques  de  2l  passant  par  P'.  Mais  alors  une 
trisécante  de  G  passant  par  P'  rencontre  cette  surface, 
d'ordre  90,  en  2  x  27  =  54  points  sur  G  en  dehors  de  P'  et 
en  au  moins  38  points  en  P',  elle  fait  donc  partie  de  celte  sur- 
lace. Mais  cela  ne  peut  se  faire  que  si  la  trisécante  en  ques- 
tion fait  partie  dune  courbe  dégénérée  de  1,  hypothèse  que 
nous  avions  exclue.  Donc,  si  la  courbe  G  possède  des  tri- 
sécantes,  celles-ci  sont  des  parties  de  courbes  dégénérées 

de  ::£. 

Si  une  trisécante  fait  partie  d'une  courbe  dégénérée  de  2, 
elle  ne  peut  rencontrer  une  surface  F^  arbitraire  en  dehors 
de  C  ;  or  elle  rencontre  une  telle  surface  en  300  —  3x90  =  30 
j)oints  en  dehors  de  G.  Nous  parvenons  donc  à  cette  con- 
clusion que  la  courbe  singulière  G  de  2l  ne  peut  posséder 
de  Irisécantes. 

7.  —  Il  est  facile  de  prouver  qu'il  n'existe  pas  de  courbe 
gauche  d'ordre   11  ne  possédant  pas  de  trisécantes  pouvant 


CUBIQUES    GAUCHES  89 

nous  convenir.  Supposons  que  la  courbe  C  possètle  un  point 
Pi  multiple  d'ordre  .Ti  ,  un  point  P.^  multiple  d'ordre  .r„,  ... 
un  point  Pj  multiple  d'ordre  Xi. 

Projetons  la  courbe  d'un  de  ses  points  simples.  On  doit 
avoir 

i=  1 

Projetons  la  courbe  de  P, .  La  courbe  étant  rationnelle, 
on  a 

i 

i(10  -  .r,)(9  -  .r,)  -  l^-'''^-''  -  1>  =  0  ' 

d'où,  par  soustraction, 

x\  —  lU.r,  -f  9  =  0  . 

Evidemment  .r,  >  1,  d'où  .r,  =9  et  /  =:  1.  Mais  alors,  la 
courbe  G  est  sur  un  cône  quadratique  et  ce  cône  contien- 
drait toutes  les  courbes  de  2,  ce  qui  est  absurde. 

Ainsi  est  établi  le  théorème  énoncé  dans  le  préambule  de 
notre  article. 

Front  belo'e,  29  novembre  1917. 


SUR  LA  GERBE  DE  CUBIQUES  GAUCHES 
PASSANT  PAR  CINQ  POINTS 

PAR 

F.  GoNSETH  (Zurich). 


1.  —  On  trouve  dans  les  Memorie  di  Geometria  de  Caporali 
(p.  49-51),  une  suile  d'énoncés  concernant  la  congruence  des 
triangles  conjugués  à  la  fois  à  une  conique  c,,  et  à  une 
cubi(|ue  plane  Cg  (et  par  conséquent  à  toute  autre  cubique 
passant  par  les  points  d'intersection  de  c^  et  de  c^.  Je  relève 
en  particulier  les  suivants  : 

a)  Chaque  triangle  est  en  général  déterminé  par  un  sommet. 

b)  Font  exception  dix  points  A^,  dont  chacun  est  le  sommet 
d'une  simple  infinité  de  triangles  ayant  le  côté  opposé  com- 
mun, ciik.  Les  énoncés  suivants  montrent,  en  résumé,  que 
la  configuration  des  points  A,a  et  des  droites  ciik  est  sem- 
blable à  celle  qu'on  obtient  en  coupant  par  un  plan  les  dix 
droites  et  les  dix  plans  c|ui  passent  par  cinq  points  de  l'es- 
pace. En  fait,  je  veux  démontrer  que  : 

La  congruence  (T)  des  triangles  en  question  peut  être  obte- 
nue en  coupant  par  un  plan  7:,  arbitraire,  la  gerbe  des  cu- 
biques gauches  qui  passent  par  cinq  points  de  l'espace, 
M,,  ...  iNIs.  lien  résultera  naturellement  que  les  points  A,a 
et  les  droites  an,  sont  effectivement  les  intersections,  par  tt, 
des  droites  et  des  plans  passant  par  les  points  M,,  ...  M^ . 

2.  —  Je  nomme  A,a  le  point  d'intersection  de  7:  et  de  la 
droite  MjMa;  «a  la  droite  d'intersection  de  r.  et  du  plan 
joignant  les  trois  points  restants.  On  sait^  que  les  dix  points 


'  Skrrkt,   (icoinèlrie  de  situation. 


CVBIQ  CE  S    G  A  U  C HE  S  91 

i\ik  sont  les  pôles  des  droites  aïk  suivant  une  conique  F  [la 
conique  conjuguée  au  pentagone  gauche  M,,  ...  M^).  Celte 
conique  est  aussi  Tintersection  par  r.  de  la  quadrique  dont 
M,  ...  jNI^  est  un  tétraèdre  conjugué,  et  suivant  laquelle  M. 
et  TT  sont  pôle  et  plan  polaire.  Reye  ^  a  de  plus  remarqué  que 
toute  cubique  gauche  passant  par  les  ciiu]  points  ^U  perce  z 
aux  trois  sommets  d'un  triangle  conjugué  à  T  ;  en  particulier 
en  chaque  point  de  F  une  cubi(jue  touche,  et  en  si.v  points, 
Bi,  oscule,  le  plan  tt. 

On  déduit  facilement  de  ce  qui  précède  (|ue  : 

Si  les  quatre  points  M,  ...  M^  restent  fixes,  à  chaque  posi- 
tion de  M5  correspond  une  conique  F,  et  réciproquement 
(F  sera  la  correspondante  de  M5)  ;  si  M^,  prend  toutes  les  posi- 
tions possibles,  les  F  correspondantes  forment  un  système 
linéaire,  ponctuel,  de  dimension  3;  si  M5  décrit  une  cubique 
gauche  S  contenant  les  quatre  premiers  points,  la  corres- 
pondante décrit  un  faisceau  ponctuel.  Enfin  S  devant  percer 
-  aux  sommets  d'un  triangle  conjugué  à  la  correspondante 
de  chacun  de  ses  points,  on  arrive  à  l'énoncé  suivant,  dont 
la  démonstration  à  faire  découlera  : 

La  congruence  (T)  est  formée  des  triangles  conjugués  à  la 
fois  à  une  conique  fixe,  c^  et  à  une  conique  K'ciriable  dans 
un  réseau  (R).  R  ne  doit  d'ailleurs  pas  comprendre  c^. 

3.  —  Un  triangle  est  conjugué  à  une  courbe  plane  de 
3*  ordre,  C3,  lorsque  ses  trois  sommets  forment  une  courbe 
de  3"  classe  (dégénérée),  apolaire  à  ^3.  D'autre  part  un 
triangle  conjugué  à  une  conique  c,  l'est  aussi  à  toute  cubique 
formée  de  t'o  et  d'une  droite-.  Par  conséquent  les  groupes 
de  sommets  des  triangles  de  la  congruence  (T)  sont  compris 
comme  courbes  dégénérées  parmi  les  courbes  de  3''  classe 
apolaires  à  la  fois  à  c^  et  à  une  conique  variable  du  réseau  R. 
Je  m'en  vais  d'abord  faire  voir  cpie  ces  courbes  forment  un 
système  linéaire,  de  dimension  5.  Elles  sont,  en  effet,  com- 
prises premièrement  dans  le  système  linéaire,  de  dimen- 
sion 6,  des  apolaires  à  c., .  S'il  était  en  outre  vrai  que  le  sys- 


'   FtK.YK,   Ccometrie  dcr  t.age,   II,  ch.ip.  26. 
*  ('.A  POU  ALI,  ÎUetiiorie  di  Ceometria,  p.  Iô:i. 


92  F.    (.ON  SE  TU 

tème  (linéaire)  des  apolaires  de  3''  classe  à  c.^  et  à  une  conique 
à^'^  arbitraii'e  de  R,  el  le  syslèjiie  semblable  déduit  de  c„  et 
d'une  seconde  conique  é"^^  de  R,  eussent  un  faisceau  de 
courbes  en  commun,  un  raisonnement  très  facile  en  dédui- 
rait le  résultat  désiré.  Il  faudrait  donc  montrer  que  les 
courbes  de  3"  classe  a[)olaires  à  la  fois  à  r„,  é^^  et  6'^^^  Ibrment 
un  faisceau.  Or  une  courbe  de  3"  classe  est  en  général  apo- 
Jaire  à  un  réseau  de  coniques.  D'autre  part,  il  y  a  x*  réseaux 
de  coniques'possiblos,  et  il  existe  cc*^  courbes  de  3®  classe. 
Donc  : 

Les  triangles  de  (T)  sont  compris  clans  un  système  linéaire 
L,  de  dimension  5,  de  courbes  de  5"  classe. 

4.  —  Les  six  points  Bi  d'osculation,  dont  il  est  question 
au  paragraphe  2,  sont  des  courbes  spéciales  de  ce  système 
réduites  à  un  point  triple;  ces  courbes  sont  naturellement 
apolaires  à  c^  et  à  toutes  les  cubiques  qui  les  contiennent. 
Elles  forment  d'autre  part  une  base  sufîisante  du  système  L; 
et  comme  la  relation  d'apolarité  est  linéaire,  il  en  résulte 
que  :  Tous  les  groupes  de  trois  sommets  ties  triangles  de  (T) 
forment  des  courbes  de  3®  classe  apolaires  à  Cj  et  à  toute 
cubique  qui  passe  par  les  B/;  ou  encore  : 

Les  triangles  de  (T)  sont  conjugués  à  Cj  et  à  toute  cubique 
((ui passe  par  les  six  Bi. 

5.  —  M5  est  maintenu  fixe,  de  même  f|ue  c, .  Soit  <1)  une 
quadrique  passant  par  r.i,  et  pour  laquelle  M5  et  -  sont  pôle 
et  plan  polaire.  A  chaque  tétraèdre  polaire  de  (I)  correspon- 
dra une  congruence  de  triangles  (T).  Pour  f|ue  les  con- 
gruences  correspondant  à  deux  de  ces  tétraèdres  coïnci- 
tlassent,  il  faudrait  que  ces  derniers  fussent  homologiques, 
puisque  les  sommets  en  devraient  être  alignés  deux  à  deux 
sur  Mj.;  et  les  plans  se  couper  deux  à  deux  sur  le  plan  ::.  11 
faudrait  aussi,  par  conséquent,  que  la  quadri(jue  4>  fût  trans- 
(brmée  en  elle-même  par  la  même  homologie,  de  centre  M-,, 
et  de  plan  axial  -. 

Or,  parmi  les  homologies  admettant  même  centre  et  même 
plan  axial,  il  en  est  une  et  une  seule  qui  réalise  ce  dernier 
fait  :  c'est  l'homologie  harmoni(|ue.  .\u  tétraèdre  primitif 
M,M2M3M^   correspond    dans  cette  dernièie   un  second   té- 


TRAJECTOIRES    I)    U N    MOBILE  93 

traèdre  polaire  à  *!>.  qui  définit  réellement  la  même  con- 
gnience  (T)  que  le  premier. 

Il  existe  une  sextuple  infinité  de  tétraèdres  polaires  à  <I>  ; 
et  par  conséquent  une  sextuple  infinité  de  groupes  B,  peuvent 
être  définis  de  la  sorte. 

H  n'y  a  donc  aucune  relation  entre  les  points  Bi . 


SUR  LES  TRAJECTOIRES  D'UN  MOBILE 

SOUMIS  A  UNE  FORGE  CENTRALE  ET  A  UNE 

RÉSISTANCE  DE  MILIEU 

PAR 

C.  Cailler  (Genève). 


Je  ne  sais  si  une  propriété  mécanique,  extrêmement  simple, 
de  la  spirale  logarithmique  a  été  signalée  jusqu'ici.  La  voici  : 

Une  force  attractive  étant  donnée,  fonction  quelconque  de 
la  dislance  au  centre,  il  est  toujours  possible  de  lui  adjoindre 
une  résistance  fonction  de  la  vitesse,  de  telle  manière  que 
parmi  les  différentes  trajectoires  décrites  par  le  mobile  soumis 
aux  deux  forces  figure  une  spirale  loga/ithtnique. 

Soient  ///  la  masse  du  corps,  wR(/")  la  force  attractive,  nn'G{i') 
la  résistance;  R  et  G  désignent  ainsi  deux  fonctions  des  va- 
riables /•  et  ('  respectivement,  toutes  deux  positives. 

Choisissons  pour  variables  le  rayon  r  et  l'angle  /(|ue  forme 
la  vitesse  i'  avec  le  rayon  vecteur  prolongé,  de  manière  que 
ccos/  =  -7-.  Ecrivons  les  équations  des  aires  et  des  forces 
vives. 

Le  moment*,  relatif  au  centre,  des  deux  forces  agissantes 
est  égal  à 

—  ;Hf(i/'  sin  /    ; 


'   I.n  nionii'nt  est  conipti^  positif  dans  le  sens  où   tourne  le  ravon  vecteur. 


94  C.    CAILLER 

on  a  donc  d'abord 

d[vr  sin  i)  z=  —  vGr  sin  idt  =  —  G  tg  irdr  ; 

c'est  réqiiation  des  aires. 

En    second    lieu,    le   travail   des   deux  forces   réunies   est 
égal  à 


—  niRdr 
-  m  (Kdr  +  »'G 


y-Gdt  , 
d 


OU  encore 


par  suite,   débarrassée  du  facteur  /«,  réfjuation  des  forces 
vives  sera 

\  cos// 


En  résumé,  les  équations  cherchées  sont 

d         .    . 


'M 


+  }\  =  - 


Grtgi    , 
vG 


(Il 


elles  sont  du  premier  ordre  par  rapport  aux  inconnues  v  et  /, 
la  variable  indépendante  étant  /'.  Une  fois  intégré  le  système 
(1),  le  problème  du  mouvement  peut  être  considéré  comme 
résolu  :  en  effet,  9  étant  Tangle  polaire  du  rayon  vecteur, 
nous  aurons  encore 


d^ 


igi—  ,         di 


(2) 


Ces  forjnules  déterminent  la   trajectoire,  et  le  temps,  en 
fonction  de  la  variable  /•. 


Récrivons  le  système  (1)  sous  la  forme 


/</»•  G   \  /.  .di  . 

\dr         c'os// 


l3) 


et  supposons   que    la  trajectoire  soit    une    spirale  logarith- 
mique. Dans  ce  cas,  l  est  constant,  et  (3)  devient 

G 


ds-  G     , 

T  +  — ^^  H-  '•  =  ^'  - 


\ar         cos/, 


TRAJECTOIRES    D'UN   MOBILE  95 

OU  bien 

r        dr 

Si  raltraction  R  est  donnée  en  /■,  la  première  formule 
définit  la  vitesse  ie  long  de  la  trajectoire  spirale,  la  seconde 
détermine  en  fonction  de  /',  ou  de  f ,  la  résistance  G  capable 
dé  produire  le  mouvement  dont  il  s'agit.  Enfin  le  temps 
sera  donné  par  Téquation  (2),  qui  est  devenue 

di  = ~=  .  (5) 

cos  i  yrR 

Par  exemple,  dans  le  cas  de  l'attraction  newtonienne,  com- 
ment faut-il  choisir  la  loi  de  résistance  pour  que  la  spirale 
logarithmique  soit  Tune  des  trajectoires  possibles  ? 

Nous  avons  ici  R  ^  -;,  donc 
/■' 

/.2  A-2  k^ 


et  de  là,  d'après  la  seconde  formule  (4) 

cosi 

Et  comme,   sauf  le  facteur  m,  la  résistance  est  égale,  à 

vG{i>),  cette  force  est  donc 

cos  i 

elle  varie  comme  la  4"  puissance  de  la  vitesse. 

Nous  devons  avoir  F  >  0,  ainsi  le  mouvement  n'est  pos- 
sible que  si  cos  i  <^  0;  autrement  dit,  le  mobile  décrit  la  spi- 
rale en  s'approchant  de  son  pôle.  Le  temps  de  chute  est  fini, 
car  on  a 

0 

dl  =  ^  -, :  V7c//-  ,  <  =  -t-  -, .   f  ]/Vdr  = 

a:  cos  I  A  cos  i  J 


3  X-  cos  i 


Il  importe  de  remarquer  que  dans  le  cas  où  la  résistance 
F  =  Iv*  est  donnée  a  priori,  la  spirale  est  complètement 
connue,  à  l'orientation  près  ;  on  doit  avoir 


—  '21k' 


96 


C.    CAILLER 


et  ainsi,  pour  la  possibilité  du  mouvement  en  question,   il 
faut  que  les  coefficients  des  deux  forces  vérifient  la  condition 

Le  calcul  précédent  se  généralise  à  l'instant.  Faisons 

D'après  la  première  équation  (4),  la  force  R  ne  saurait 
jamais  être  répulsive,  il  faut  donc,  pour  la  possibilité  d'une 
solution,  que  a  soit  positif. 

On  trouve  alors  tout  de  suite  qu'on  doit  avoir 

1  1+p 


(l  — 


2p 


p  +  ^ 


1  l+y 


V  =  y  a  r 


(6) 


Mais  q  doit  être  positif  pour  que  la  force  F  croisse  avec;  la 
vitesse,  par  conséquent/;  ne  peut  pas  être  compris  entre  0  et 
—  1.  Alors,  suivant  que/;  est  s?  —  3,  la  quantité  cos  i  est 
^  0,  et  le  mobile,  quand  il  sera  placé  dans  les  conditions 
initiales  voulues,  s'approchera  du  centre  attractif  ou  s'en 
écartera  en  suivant  l'arc  de  spirale  logarithmique.  L'angle  i 
que  forme  cette  spirale  avec  ses  rayons  vecteurs  est  déter- 
miné par  la  seconde  formule  (6);  il  faut  donc,  pour  fju'il  3' 
ait  une  solution,  que  les  paramètres  a  el  b  des  forces  R  et  F 


vérifient  encore  l'inégalité 


2  h 


1 


<i'  . 


Ces  différentes  conditions  nécessaires  pour  la  description 
de  la  spirale  sont  assez  limitatives.  Quand  elles  ne  sont  pas 
remplies,  le  problème  exige  l'intégration  du  53^stème  (3);  il 
est  facile  de  voir  que  dans  le  cas  qui  vient  d'être  examiné 


R  ^  ai-P  , 


F  =  /m'P+' 


ce  système  peut  être  réduit  à  une  seule  équation  du  premier 
ordre. 


'  En  ten.int  coinpt';  des  dimi'nsions   des   qUftntitcs  a  et  h,  on  constate   aispiiienl  l'honio- 
'énéitc  de  cette  condition. 


SUR  CERTAINES  IDENTITES  VECTORIELLES 

ET  LEUR  INTERPRÉTATION 

DANS    LA    GÉOMÉTRIE    SPHÉRIQUE    ET    PLANE 

PAR 

M.-Fr.  Damëls  (Fribovirof,  Suisse). 


Nous  nous  proposons  de  démontrer  dans  cet  article  qu'on 
trouve,  en  utilisant  certaines  identités  vectorielles,  non  seu- 
lement des  démonstrations  simples  et  élégantes  de  théo- 
rèmes connus,  mais  que  ces  identités,  lorsqu'on  interprète 
différemment  les  vecteurs  qu'elles  contiennent,  conduisent 
facilement  encore  à  des  théorèmes  nouveaux. 

Dans  un  second  article  nous  traiterons  de  la  même  ma- 
nière certaines  identités  grassmanniennes. 

1.  —  Il  suffira  de  se  rappeler  : 

a)  qu'un  vecteur  (OR)  =  t,  le 
centre  de  la  sphère  étant  0, 
<létermine  sur  la  surface  sphé- 
rique  un  point  et  qu'un  mul- 
tiple positif  de  ce  vecteur-unité 
détermine  le  même  point. 

b)  qu'une  droite  sphérique 
ou  grand  cercle,  parcouru  dans 
le  sens  indiqué  par  la  llèche, 
est  déterminé  par  le  vecteur 
(OL))  =  i  normal  à  son  plan  et 
que  tout  multiple  positif  de  ce 
vecteur -unité  détermine  la 

même  droite,  parcourue  dans  le  même  sens. 

c)  que  le  vecteur  de  la  droite  passant  par  les  points  r  et  x^ 


L'Enseignement  mnlhém.,  20«  année;  1918. 


98  M.-Fli.    DANIELS 

est  le  produit  vectoriel  ou  externe  A'r,r,  vecteur  dont  la 
grandeur  est  sin«,  lorsque  a  est  la  distance  sphérique  mi- 
nima  des  points  en  question. 

d)  que  le  vecteur  du  point  d'intersection  des  droites  [  et 
f,  est  de  même  \.(,(,  la  grandeur  de  ce  vecteui*  étant  sin  a 
lorsque  a  est  l'angle  des  deux  droites. 

e)  que  le  vecteur  aX  —  a,ï|  appartient  à  un  point  P  situé 
sur  la  droite  déterminée  par  x  et  ï,  et  tel  que  sin  (PR)  : 
sin(PRJ  =  (RR,P)  =  «,  :  a. 

f)  que  le  vecteur  (îi  —  fi^iy  ap|)artienl  à  une  droite/?  pas- 
sant par  l'intersection  des  droites  l  {)_  et  /^  f,)  et  telle  que 
sin  [pi)  :  sin  [pl^]  ^  {ll\p)  =  ft\  '•  Q- 

g)  que  trois  points  sont  collinéaires  et  que  trois  droites 
sont  concourantes  lorsque  les  trois  vecteurs  correspondants 
multipliés  par  certains  facteurs  donnent  une  somme  nulle. 

h)  qu'une  droite  de  vecteur  i  ne  passe  par  un  point  de 
vecteur  x  que  lorsque  le  produit  scalaire  ou  interne  de  leurs 
vecteurs  est  nul. 

i)  que  la  droite  dont  le  vecteur  est  ^  ï(  passe  par  le  point  x 
tout  en  étant  normale  à  la  droite  dont  le  vecteur  est  (. 

I 

2.  —  Considérons  maintenant  les  identités  vectorielles  : 

Si  les  vecteurs  des  côtés  et  ceux  des  sommets  opposés 
d'un  triangle  sphérique  sont  U  et  Xi,  la  première  nous  ap- 
prend que  trois  transversales  angulaires,  pour  lesquelles  le 
produit  des  rapports  est  un  sont  concourantes  (1,  g).  Il  res- 
sort de  la  seconde  que  trois  points  appartenant  aux  trois 
côtés,  pour  lesquels  le  produit  des  rapports  est  un,  sont  col- 
linéaires. 

D'après  (1,  d)  le  point  d'intersection  dans  le  premier  cas 
est  déterminé  par  le  produit  vectoriel 

,   .     ,,   .  ,   ,  sin  A,  sin  A„  sin  A., 

Vl.3,t,  -  <-^,U][%^  -  ,3,f,)         ou         -^r.  +  -i^t,  +  -^U 

ri  i^2  f*3 


IDENTITES     VEC  T01UELI.es  99 

lorsque  les  angles  extérieurs  du  triangle  sphérique  sont  Ai. 
Les  coordonnées  barycentriqiies  du  point  d'intersection  sont 
par  conséquent  sinAj//3i. 

De  même  on  trouve  dans  le  second  cas  pour  la  droite  des 
trois  points  le  vecteur 


lors(|ue  les  cii  sont  les  côtés  du  triangle  sphérique.  Les  coor- 
données barycentriques  de  cette  droite  sont  l/a^.  Dans  le 
cas-limite  du  triangle  plan,  les  sin  Aj  et  sin  <7j  peuvent  être 
remplacés  par  les  cotés  cii  eux-mêmes. 

3.  —  a)  La  première  médiane,  dont  le  vecteur  a  la  forme 
/3ot>  —  ,63(3  passe  par  le  milieu  du  côté  opposé  f.,  -f  t^-  Le 
produit  interne  de  ces  deux  vecteurs  étant  par  conséquent 
(1,  1})  nul,  il  s'ensuit  : 

jî,  sin  /i.,  —  (j.j  sin  //,  =  0  ou  Jîj  sin  A.,  —  ,3,  sin  A.,  =  0 

lorsque  les  hi  sont  les  hauteurs  du  triangle  sphérique.  Les 
trois  médianes 

sin  A„f.,  —  sin  A„(^  ,    sin  A.,f;  — ■  sin  Ajf^  ,    sin  Aj  I,  —  sin  A.,f., 

sont  donc  concourantes;  de  même  les  trois  symédianes 

sin  A.,    sin  Aj  '    sin  A^    sin  A,  '    sin  Aj    sin  A, 

Les  premières  passent  d'après  le  paragraphe  précédent 
par  le  point,  dont  les  coordonnées  barycentriques  sont 
(1,  1,  1);  les  secondes  passent  par  le  point  de  Lemoine  ou 
Gricbe  (sin-V/,,  sin-<7.,,  sin^f/a)  qui,  dans  le  cas-limite  du 
triangle  plan,  devient  [a\^  a\,  a\  . 

h)  La  droite  dont  le  vecteur  t.-,  —  ^3  appartient  au  premier 
côté  du  triangle  est  par  là  même  normale  à  ce  côté;  elle 
passe  par  le  milieu  de  ce  côté  x.j,  +  X^^  vu  que  le  produit  sca- 
laire des  deux  vecteurs  en  question  est  nul  (1,  /i).  Le  point 
d'intersection  des  normales  concourantes 


100  M .  -  FR  .    I)  A  NIE  I.  S 

est  déterminé  (1,  cl)  par  le  produit  externe  de  deux  de  ces 
vecteurs 

Vrar.  +  V'r.r,  +  Vr,  r.  • 

C'est  le  centre  du  cercle  circonscrit. 

4.  —  Posons  maintenant  dans  notre  identité  du  para- 
graphe 2 

a,  =  t,  .(3  =  cos  rt,  a,  =  t■^  -fi  ^=  cos  «^  7.0  ^  t,  -to  =  cos  «.,    . 

Elle  prendra  alors  la  forme  ^ 

Vr.Vrot,  +  Vr.Vr.t,  +  Vr,Vt,r,  =  0  (II) 

ou  encore 

Vti ,  t.,  t.  +  Vro ,  t,  r,  +  Vr^ ,  ti  to  =  0 

lorsque  pour  éviter  une  accumulation  de  V,  on  n'écrit  que 
le  dernier  en  remplaçant  les  autres  par  des  virgules.  Or, 
Ytit-s  est  le  premier  côté  et  Vï, ,  tit^  d'après  (1,  i)  la  normale 
abaissée  sur  cette  droite  du  sommet  opposé  ï,  ;  l'identité 
nous  apprend  donc  que  dans  un  triangle  sphérique  les  trois 
hauteurs  sont  concourantes.  L'orthocentre  .Vi  étant  sur  la 
première  hauteur,  nous  avons,  en  écrivant  par  abréviation 
Si  et  Sj,  Ci  et  Ci  pour  sinr/j,  sinAj,  cosûi  et  cosAj  d'après 
(1,  h) 

(.r,r,  +  ^2 1.,  +  .Tjtil  .Vfj  .  t,t.  =  •'■a^'t-.t;  ■^'t.t,  —  -i^^'ht-i  -Vrit-j 

=  -r^  ••>,  5o  C.^  —  .r,  .Sj  A.,  Cj  =  0 

.Tj  :  X.2  :  x^  :=:  tangA,  :  lang  Aj  :  lang  A^    . 

5.  —  En  multipliant  l'identité  du  paragraphe  précédent  sca- 
lairement  par  le  vecteur  t^ ,  nous  obtenons  la  nouvelle  iden- 
tité: 

Vr,r4.Vrot3  +  Vr,,  tj .  Vr,  r,  +  ^'t^ti  .Vr,r.>  =  0  .  (ili> 

Elle  nous  apprend  d'abord  :  si  dans  un  quadrangle  com- 
plet (t:,t;.^t::,t:4)  sphérique  ou  plan  non  seulement  les  côtés  (ï.ïj) 
et  (t:,ï^)  sont  perpendiculaires  ou  conjugués  par  rapport  à 
une  conique  sphérique  ou  plane,  mais  encore  les  côtés  (ï-^r^) 


'   On  a  en  effet  t;!,  t...  —  t,  .t.  tj  =^  ^fi^    t,X, 


IDENTITES    VECTORIELLES  101 

et  (faïi),  il  en  sera  de  même  des  côtés  iX^X^)  et  (^,^5),  vu  que 
la  disparition  des  deux  premiers  produits  scalaires  entraîne 
celle  du  dernier. 

On  peut  évidemment  écrire  notre  identité  : 

M,  f, . AL (3  +  A  f, U  ■  ^  r. f.  +  ^'f:. h  ■  Vf, r,  =  0 

et  considérer  les  vecteurs  comme  appartenant  aux  cjualre 
côtés  d'un  quadrilatère  sphérique  complet.  Dans  ce  cas  les 
six  produits  vectoriels  déterminent  les  sommets  (j,  ci),  et 
l'identité  nous  apprend  :  si  les  distances  des  sommets  Vi!,i!4 
et  Xliti  et  des  sommets  XtiU  et  Vt^ti  sont  des  quadrants,  ou 
bien  si  ces  sommets  sont  conjugués  deux  à  deux  par  rapport 
à  une  conique  il  en  est  de  même  pour  les  sommets  ^'^.^,  et 

6.  —  Reprenons  encore  l'identité  I  et  posons-y  : 

Xj  —  Xt,  t .  \lt.  =  u  Al,  fts  =  ta .  Vf ,  fr., 
y.,  =  \x,  f .  Mt,  =  t, .  Vt ,  k,  =  t,  .  Vf ,  fr, 
X,  =  Vr,  f .  Vfr,  =  r, .  Vf ,  ft,  =  r, .  Vf .  fr,  . 

Nous  rappelant  ((ue 

t-i-x  t.,  —  r,,  *  tj 

est  le  produit  externe  des  vecteurs 

X       et       Yr2r, 

nous  voyons  sans  peine  qu'un  des  trois  termes  de  notre 
identité  avec  un  changement  de  signe  devient  le  produit 
externe  des  vecteurs  : 

Vt.tj    et    Vf,  fr, 
ou  encore  *  de 

f.    et    Vf,  f.  Lt,  . 

L'identité  toute  entière   prend   par  conséquent  la  l'orme  : 
Vf,  ,  f .  f ,  U,  +  Vf, .  f ,  f ,  fj-,  +  Vf, ,  f ,  f ,  f,t,  =  0  .       (IV) 


'  St-  rappeler  que  Vt.tj  =  ^i"  (',  f,  et  Vf, f ,  rz:  sin  A,  r,  •  On  iiiiilliplir 
donc  en  réalilé  par  le  module  du  triant^Ic  sphérique  des  rj.  c'est-à-dire  par 
sin  A,  :  sin  a, . 


102  M.-Fli.    DANIELS 

L'interprétation  géométrique  de  cette  identité  est  bien 
simple.  En  effet,  si  les  ii  sont  les  côtés  d'un  trilatère  sphé- 
rique  et  si  (  est  le  vecteur  d'une  droite  quelcoïKjue  Z,  on  a 
successivement  pour  le  premier  sommet  Aj ,  pour  la  nor- 
male p^  abaissée  sur  la  droite  Z,  pour  son  intersection  P^ 
avec  l,  et  pour  la  normale  q^  du  point  Pj  sur  le  premier  côté 
du  triangle,  en  appliquant  alternativement  (1,  d)  et  (1,  i) 

Aj  =  Yt,L,     /^,  =  Vt,t,f,  .      P,  =  Vf.t.t,r.     V,  =  Vf,  ,  t.  f.  CJ,  . 

Nous  obtenons  deux  droites  analogues  q«q^  en  partant  des 
deux  autres  sommets  du  trilatère.  L'identité  nous  apprend 
que  les  trois  droites  sphériques  qi  sont  concourantes.  Leur 
point  commun  est  l'orlJiopôlede  la  droite  spJiériqtie^.  D'après 
l'extension  connue  donnée  au  produit  externe  de  deux  vec- 
teurs, l'identité  IV  peut  encore  s'interpréter  de  la  manière 
suivante  : 

Si  l'on  mène  par  les  sommets  Ai  des  droites  pt,  conju- 
guées à  une  droite  quelconque  L  par  rapport  à  une  conique 
donnée,  les  points  d'intersection  étant  P^,  les  droites  qt,  qui 
passant  par  les  Pj  sont  conjuguées  aux  côtés  cii  du  triangle 
sphérique  passent  par  un  point. 

7.  —  On  trouve  les  coordonnées  barycentriques  Xi  de  l'or- 
thopôle  correspondant  à  la  droite  sphérique  Ui  en  formant 
(1,  d)  le  produit  externe  de 

c'est-à-dire  qu'on  a  d'une  manière  générale 

ce  qui,  multij)lié  successivement  par 


*  M.  J.  Nkubekg  a  énoncé  ce  ili('orènic  en  1875  dans  la  Nouvelle  Corres- 
pondance mathématique  (démonslr;uion  p;ir  H.  van  Aubel,  X.  C.  M.,  t.  II, 
|).  316,  el  par  E.  I.kmoink,  J.  M.  K..  I88i,  p.  50).  Il  a  élndié  la  correspon- 
dance entre  l'orlhopolaire  et  1  orthopôle  dans  la  ;V.  C.  M..  1878,  p.  3'y, 
(Voir  Mathesis,  t,  IV.  avril  1914.  p,  92.) 


IDENTITÉS     VECTORIELLES  103 

donne  pour  les  coordonnées  de  Torthopôle 

a\  :  .T.,  :  x^ 

=   *2«S--U    +    ''.■i='l--l2    +    ^1=<2--1S 

'.  otrt  et.,  Çl  .>  — |—  et.  y.  L-o-  ~!~  ^  3^.1  " 

si  Ton  pose  par  al)réviation  pour  les  coefticients  des  produits 

a, Cf.  s 

O^.^.  =  sin  a.  siu  a,^  cos  A.^.  =  Q^.  . 


II   suffira  maintenant  de   se   rappeler  que  A  étant   [f, f^Cs], 
nous  avons  : 

a,  =  Vr.I.Vfr.,  =  I.f.,    t.r-i  —  t.-t;    tl  =  -^'"2":)  —  «^os  a^Oi\uu]   . 

La  première  coordonnée  .x\  de  Torthopôle  devient  alors  la 
somme  de 

a,a,Q,.,  =  [A^  «j  </.j  J/j  —  l-{c^ii.^it^  +  c,»2"il~("")  +  c.^r,  Q- (//")!  .ï,-fjC, 
ot,  aqU,„  ^  [A^//^//, '/.,  —  A-(c,  »/,,«,  +  f.,  w.j»,'-- l""t   +  c, '"q --"("" 'Ia'i  •'f;  Co 

8.  —  Lorsqu'on  passe  au  cas-limite  du  plan,   les  termes 
qui  contiennent  la  quatrième  puissance  de 

A  =  sin  A^-  sin  A^.  sin  a-f^ 

deviennent  infiniment  petits  par  rapport  aux  autres.  II  ne 
reste,  lorscju'on  pose 

lim  A  =  lim  sin  Aj  sin  A^.  sin  rtj-^.  =  sin  Aj- sin  A^. .  rt^.  =  A     et    limcosrt=r  1 

qu'une  première  partie  qui  devient  à  la  limite 

—  l.a^[\a^C^  +  ^/.,  C,  )  f/.,  f/^  +  Irt,  +  "■.■S^-^)  ":>,"i  +  (''i  +  ''2Q'i'"i"2l 
OU 

A.  rt,  [rt,  II.,  //j  +  fl,  cos  A3 ,  //j  //,  +  (1^  cos  A, .  H,  //„] 

et  d'une  seconde  partie  du  même  ordre 

il{iiii)\<:,c^[l  —  f')  +  c,  r._,  (Cjf,  —  c^]  -{-  c^(:^{c\c„  —  c.,)]  = 
ii(«//)(Cj  Cj  —  ^3'(''i'^:i  —  '■'o^  =  --i"M|siu'rt,  sin  fl,  sin  ^3  cos  A.j  cos  A^ 


104  M.-FR.     DANIË  LS 

qui  devient  à  la  limite  a\a. ^a.^ co^ \.2Cos A ^.Qiiiu) .  Si  enfin 
nous  introduisons  au  lieu  des  coordonnées  iii  de  la  droite 
ses  distances  pi  aux  sommets  du  triangle  en  posant^ 
à.iii^VQ.[uu).pi,  nous  obtenons  comme  première  coor- 
donnée barycentrique  de  Torthopôle 

"i  l"i  «2  ^':!  Co  C3  +  «i/»2/^3   +   "3^-2  Pi  P".   +  ('i^?.PiP:i]    • 

Les  deux  autres  s'en  déduisent  par  permutation  cyclique 
des  indices. 

9.  —  Lorsqu'il  s'agit  inversement  de  trouver  la  droite 
sphérique  t{ui),  son  orthopôle  Xq  étant  donné,  il  suffira  d'ex- 
primer que  Xq  est  situé  sur  les  droites  (y^,  ce  qui  fournit  les 
équations 

roVf,  ,r,rr,  ^[froIJLr,  +  [r.r.tjl.f  :- 0 

r„Vf3 ,  r.  fr,  =  [ttolAl.t,  +  [l,toh]l.l  =  0 

du  second  degré  par  rapport  aux  lu.  Lorsqu'une  droite  lu 
satisfait  à  deux  de  ces  équations,  elle  suffira  à  cause  de 
l'identité  (IV)  également  à  la  troisième.  Il  y  a  donc  sur  la 
sphère  quatre  orthopolaires  correspondant  au  point  ï^  comme 
orlhopôle  ;  ce  sont  les  tangentes  communes  aux  courbes  de 
seconde  classe. 

Il  est  facile  de  trouver  les  six  foyers  des  trois  coniques 
sphériques^.  En  effet,  £.(  =  ilun)  --^  0  étant  l'équation  de  la 
courbe  absolue,  le  premier  terme  dans  chacune  de  ces  équa- 
tions égalé  à  zéro,  donne  l'équation  de  deux  foyers,  de  sorte 
(jue  les  six  foyers  en  cjuestion  sont  : 

r,  ,     Vr„r,  ;        r,  .     Vr„t,  ;        r3  -     ^tol^  ■ 

Trois  de  ces  foyei's  coïncident  avec  les  sommets;  les  trois 
autres  sont  situés  sur  les  côtés  du  triangle  à  des  distances 
77/2  du  point  Xo-  Lors(|u'on  passe  au   plan,  les  trois  derniers 


'  Soit  :  siu  Aj .;/,(,  +  s\n  A.,.u.,l2  +  ^'"■^:i-"3fa  =^  "4^  =  V'î'-(""lf-  Ï-" 
niultipliiuit  par  jj  nous  .-nirons  siii  Aj  siii /*,  «j  =  ii^s'inn^  ou  A. m,  :=. 
]/il{nu)  sin p^    et    A.f/,  :=  \^LÎ[iiu}  .p^ . 

-   «  Essai  (le  géoiiiéU'ie  spliériquc  m,  p.  250-251. 


IDENTITÉS     VECTORIELLES  105 

loyers  s'éloignent  à  l'infini;  dans  le  plan  les  t'onicjues  sont 
par  conséquent  des  paraboles  ayant  leurs  loyers  aux  som- 
mets du  triangle  et  leurs  axes  parallèles  aux  côtés  opposés. 
iO.  —  Si  dans  l'identité  IV  on  prend,  au  lieu  des  quatre 
droites,  quatre  points,  c'est-à-dire  au  lieu  du  trilatère  It  et 
de  la  droite  I,  le  triangle  Xt  et  le  point  t,  on  obtient 

Vt, ,  r  .  r .  t-r,  +  Vt, .  r  .  r  .  tir,  -4-  Vt, .  t ,  t  ■  r,  to  =  0  , 

identité  (|ui  exprime  simplement  le  théorème  réciprocpie; 
nous  n'en  parlons  pas. 

il.  —  Nous  arrivons  à  un  autre  théorème  (|u'on  pourrait 
appeler  le  théorème  semi-réciproque ,  en  gardant  dans  notre 
identité  les  côtés  du  trilatère  t,  mais  en  remplaçant  la  droite 
quelconque  i  par  un  point  quelcon(|ue  X-  Dans  sa  nouvelle 
l'orme  : 

Vf,  .  r  .  r  .  t,I,  +  VC, .  r  .  r  .  tj,  +  Vf, ,  r  .  r  .  f,!.,  =  0  ,         (V) 

l'identité  nous  apprend  :  Lorsque  par  un  point  quelconque 
P(ï!  d'un  tricingle.spliérique  ou  plan  A,  on  fait  passer  des 
droites  (|i  normales  ou  conjuguées  aux  droites  pi  ^  AiP,  leurs 
points  d'intersection  Qi  avec  les  côtés  correspondants  sont 
collinéaires  ^. 

En  effet,  on  a  successivement  pour  le  sommet  A,,  |)our  la 
4roite  p^,  pour  la  normale  y,  et  pour  son  point  d'intersec- 
tion Q,  avec  le  premier  côté  tlu  triangle 

A,  =  VC,r,  ,       p,  =  Vr.  t,r, 
V,  =  Vt,  r,  lÂ,  .        Q,  =  Vf,,  t,  t.  t,t^  . 

L'identité  \  nous  montre  que  le  point  Q,  et  les  deux  autres 
Qs  et  Q3  cju'on  obtient  en  partant  des  sommets  Aj  et  A  ^  sont 
bien  collinéaires.  {|.  e.  d. 


'  Voir  encore  ma  «  Noie  sur  la  géoméU'ie  du  triangle  et  du  tétraèdre  m 
dans  \'Ens.  Math.,  1917,  pp.  273-275,  à  propos  de  laquelle  .M.  A.  Kiefkk 
m'a  fait  reni;>rquer  que  pour  le  cas  spécial  où  P  est  le  centre  du  cercle  ins- 
crit, le  théorème  se  trouve  chez  Steiiier  parmi  les  «  Vermischle  Salze  und 
Aufgaben  »  {Ges.  fVerl;e,  Bd.  2,  S.  673)  et  chez  A.  KitiEK.  «  Ueber  eine 
Dreiccksaufgabe  und  beziigliche  Siilze  «  [Arcliiv  der  Mathematili  und  Pliysili, 
III,  Rcihe  XII,  Hell  I,  S.  30). 


106  M.-FR.    DANIELS 

12.  —  Si  les  coordonnées  Xi  du  point  X  sont  données,  il 
est  facile  d'exprimer  les  coordonnées  iii  de  la  droite  corres- 
pondante en  fonction  des.r,.  Nous  devons  en  effet  chercher 
la  droite  sphérique  qui  relie  les  points 

Q,  =  7..,ro  —  x.r3  ;        Qo  =  «3^3  —  «iti 
lorsque  les  coefficients  a^  sont  déterminés  par  les  équations  : 

Nous  trouvons  son  vecteur  en  formant  le  produit  vectoriel 
ou  externe.  Ceci  nous  permet  de  conclure  (2),  que  les  coor- 
données Ui  de  la  droite  cherchée  satisfont  à 

»,    :  ii„  :  11^  =  a,  x^  :  a,  aj   :  aj  7.,    . 

Quant  aux  coefficients  a^,  on  voit  donc  sans  peine  que 

Œj  =  Vtor  -^'r  X-.  =  r.r2  xx.  —  cos^,  r.r  =  o){x2)io{x^)  —  cosa^io{xx\ 

pourvu  que  ^^(.r,)  et  &)(.r3i  soient  les  demi-dérivées  partielles 
par  rapport  à  .r.,  et  .r-^  de  la  forme  quadratique 

X.X=  m{xx)  =  x^  -\-  xl  -\-   .i'  -|-  2cos  a^x^x.,  -\-  2cos  a^x^x^  -{-  2cos  0^x^X2 
^  \Xj  -\-  x.^   +  ^'3)"  —  '*■*■., j-3  sin-  — i  —  .  .  .  ^  /^  —  '*•*:>■*":;  sin--j^  —  ... 

13.  —  Dans  le  cas-limite  du  plan  la  valeur  trouvée  pour  «, 

(  'x  —  •^•*"i  ''*'""  -9^  —  ^.r,  sin-  -^  1  (  /^  —  2.J-.T  sin-  — '  —  2j-,  sin-— *  1 

f^  o   ■    "  "A  //2  /  •    "  '''1  '  •    •'  ""  \ 

—  Il  —  2sin-  -r-  j  I  /^  —  iXoX^  sin-  — i  —  ^•*'3''i  ^'"'  "ô^  —    *  •  •  ) 

devient 

etc.  Nous  pouvons  cependant  donner  aux  «,.  donc  aux  Hi  de 
la  droite,  une  forme  plus  simple.  Nous  avons  en  etîet  : 

a,  =  Vt., t  -^X  ti  =  —  sin  PA.,   sin  PA.5.cos<l>, 

si  nous  appelons  ^I»,  l'angle  formé  parles  droites  PA.,  et  PA^. 


IDENTITÉS    VECTORIEJ.r.ES  107 

De  celte  manière  nous  trouvons  pour  le  cas  de  la  sphère 

sin  PA,       sin  PA.,      sin  PA„ 

u.   :  IL,  :  II,  =  -^  :  z^  :  ;7-^ 

'         -        -^  cos  <t>j         cos  <1>.,         cos  q>.; 

et  dans  le  cas  d'un  triangle  plan 

PA,        PA.,        PA„ 

u,  :  11^  :  II.,  =  ~   :  ±-   :  j-    . 

cos  <Pj      cos  <P,      cos  <J), 

14.  —  Reprenons  l'identité  (V  et  multiplions-la  scalaire- 
ment  par  le  vecteur  quelconque  C4.  Dans  sa  nouvelle  i'orme^ 

Vr .  L  l, .  \t  .IA,  +  Vf  .  r,  l,  .  \t  ■  l,  U  +  \t ,  t,  i, .  \t  ■  t,,  l,  =  0     (VI I 

l'identité  nous  fournit  une  démonstration  très  simple  du 
théorème,  généralisé  pour  la  sj)hère,  de  Bodenmiller^  : 

Le  lien  géométrique  du  point  P  tel  que  les  droites  sphé- 
riques  qui  le  relient  à  deux  points  donnés  de  la  surface  sphé- 
rique  sont  normales  ou  conjuguées  est  une  conique;  les  trois 
coniques  qui  correspondent  aux  trois  couples  de  sommets 
d'un  quadrilatère  appartiennent  à  un  même  faisceau. 

En  effet,  lorsque  les  côtés  du  quadrilatère  sont  ii  (i=  1, 
2,  3,  4),  nous  aurons  en  XLtj  et  Vf, T^  deux  sommets  opposés. 
Les  droites  qui  le  relient  au  point  t  sont  Vï ,  £0(3  et  ^'ï  ,  t,  f, . 
et  ces  droites  sont  normales  (ou  conjuguées)  lorsque  t  satis- 
fait à  l'équation  de  la  conique 

vt.  r,f, .Vr,  r,r,  =  0  . 

Nous  obtenons  d'autres  coniques  en  partant  des  deux 
autres  couples  de  sommets  opposés;  l'identité  nous  montre 
que  les  points  communs  aux  deux  premières  satisfont  égale- 
ment à  la  troisième,  ou  bien  que  les  trois  coni(|ues  appar- 
tiennent à  un  même  faisceau. 


'   Il  csl  cil  ell'et 

f^ . vr, .  r .  r .  r,r  =  Vr ,  r .  LC, . vf.f,  =  -  Vr .  r.,f, . Vr ,  r,r, 

-  C.  Gi:df.kmann    Griindriss  (ter  analy:isc/ien  Sptidritc.   1830,  S.   138. 


108  M.-FR.    DANIELS 

il 

15.  —  Les  identités  étudiées  dans  le  chapiti'e  précédent 
sont  toutes  des  conséquences  de  Tidentité  (I  .  Nous  arrivons 
maintenant  à  une  relation  identique  entre  six  vecteurs  qui 
ne  peut  pas  être  ramenée  à  la  même  source.  Supposons  en 
effet  que  nous  ayons  quatre  vecteurs  quelconques  ïo-  ïi  •  ïai  ^3- 
Le  vecteur  composé 

est  nul,  vu  que  ses  projections  sur  les  trois  vecteurs  non- 
coplanaires 

sont  nulles.  Dès  lors  sa  projection  sur  tout  autre  vecteur 
VÏ4Ï3  disparaît  également,  et  nous  aurons  l'identité  : 

[ti  t,  rj  [r„  t4  ts  J  —  [r.  r,  toi  [f  1  f^r  J 

+  [tit„t,'\\x.,Xit-2  —  [r„r,r,,][r:;t4rj  =  0        (VII) 

qui  constitue  une  relation  entre  les  «  sinus  »  de  huit  parmi 
les  «angles  trièdres  »  qu'on  obtient  en  reliant  six  points  de 
la  surface  spliérique  au  centre.  Lorsqu'on  remplace  chacun 
des  produits  pseudoscalaires  par  le  déterminant  correspon- 
dant, on  retrouve  l'identité  bien  connue  entre  huit  détermi- 
nants de  Cayle.y . 

16.  —  Dans  le  cas  spécial  où  deux  des  six  points  en  ques- 
tion, ïo  el  t;  par  exemple,  coïncident,  l'identité  devient 

[rot,t4][r,r,r:j  +  [r„t,rj[r„r,r,]  +  [r„r,rj[r„r,r,]  =  0  .      iVIlI) 

Elle  établit  une  relation  entre  les  sinus  de  six  parmi  les 
angles  trièdres  formés,  lorscjue  les  sommets  d'un  pentagone 
sphérique  sont  reliés  au  centre  de  la  sphère.  Or,  un  produit 
pseudoscalaire  comme  \XxX.:X^  étant  égal  à  sin<7,r,  .ï,  ou 
sin  rt,  sin /i,  devient  dans  le  cas-limite  du  plan  j)roj)ortionneI 
à  l'aire  du  triangle  plan  correspondant.  L  identité  (VllT  nous 
fournit  alors  la  relation  bien  connue  entre  les  triangles  d'un 
pentagone  plan  de  Môbius'\ 


'  A.  F.  MoBiis.  (Jesammclte  Werke,  Bd.  I,  S.  202. 


IDENTITES    VECTORIELLES  109 

17.  —  Nous  allons  voir  maintenant  que  notre  dernière 
identité  admet  une  interprétation  toute  difl'érente.  En  efTet, 
soient  ï, ,  t., ,  X-i  les  sommets,  T, ,  L.  1^3  les  côtés  du  triangle 
de  référence  sphérique  et 

B,r,  +  B,ro   +  B,r,  =  jB  sinA,/.,t,   +  sinA^i/J.,  +  sinA^A^f,  =  6 

sinAjî/,f,  +  sinAjî/jt,  +  sin  A3;/3r3  =  I  x^t^  +  ■■*\_X.j,  +  -r^t-^  =  t 

si  nous  posons  comme  toujours  le  produit  pseudoscalaire 
{liUW\  =  A,  la  multiplication  interne  des  vecteurs  superposés 
nous  permet  décrire  : 

de  sorte  que  l'équation  d'une  courbe  sphérique  de  classe  ou 
d'ordre  «,  avec  la  convention  bibjbk  ...  =  bij^k...^  etc.,  peut 
s'écrire 

(^.I)"  =  0         (6. t."  =  0  . 

La  droite  sphérique  qui  relie  les  poinis  x'  et  x'  coupera 
la  conique  sphérique  (0.t-=:O  en  un  point  X  -\-  Ix"  pourvu 
que  /  satisfasse  à 

(6.t'+  /-r"!- =  (B.r'r  H-  2Ài6.r')i6.r")  +  À-ifi.t")- =  0  . 

Les  points  X  et  x"  sont  conjugués  par  rapport  à  la  conique 
lorsque 

(6.t')(6.r"i  =  0  . 

18.  —  Revenons  maintenant  à  l'identité  (Vlli),  que  nous 
écrivons 

mi^lhU-A  +  [hLU]m,l,^  +  [6tJJ[6I,f.J  =  0  . 

Dans  celte  forme  elle  nous  donne  le  théorème  connu  :  Si 
dans  un  quadrilatère  complet  de  sommets  Vr,r^,  Vr,t, ,  etc., 
deux  couples  de  sommets  opposés  sont  conjugués  par  rap- 
port à  une  conique  sphérique  ou  plane  (6.ï-=^0,  il  en  est 
de  jnème  pour  le  troisième.  Il  est  évident  f|u'on  obtient  le 
théorème  réciproque,  lorsqu'on  remplace  les  (, ,  {,,,  I,.  f . ,  6 
par  ï, .  r, .  r, .  ï,  et  '^. 

19.  —  On  peut  arriver  à  ce  résultat,  c|ui  d'ailleurs  a  déjà 
été  obtenu  nu  paragraphe  5,  d'une  autre  manière  (Micore.  En 


110  M. -Fit.    DANIELS 

effet,  si  f , ,  ^2,  Ï3  sont  les  points  diagonaux  d'un  quadrilatère 
complet,  les  sommets  seront 

et,  si  5  est  toujours  le  vecteur  symbolique  du  paragraphe  17, 
l'identité 

6 .{\ r,  +  \ tj  6 . (>-2t,  —  \. ta )  +  6 . (À., ts  +  >-, r, )  6 . (>.., t.  —  À, r, ) 

+  6.(X,r,  +  X,x'i\  5.(>-,r,  —  Àotz)  =  0 

nous  apprend  que  les  sommets  /,ï,  zhXiïo  sont  conjugués 
par  rapport  à  certaine  conique,  lorsque  les  points  ^^t.,  +  l^t-^ 
et  les  points  >.3i:3zhXiïi  le  sont. 

20.  —  Remarquons  encore  en  passant  que  les  équations 

(Y6f)-'  =  0         et         (V^r)'  —  0 

aussi  ont  une  signification  géométrique  bien  simple,  lorsque 
5  et  '^  sont  les  vecteurs  symboliques  du  paragraphe  17.  En 
effet  nous  trouvons 

=  s\  s;  s»  [(  h.,  u,  —  b^^  »2  )  r,  4-  (  />3  "i  —  l'x  "z  t  r.,  +  (  i>^  w,  —  ''-2  "i  '  ta]' 

ou  encore,  si  nous  remplaçons  ï/ïa,  c'est-à-dire  ùj,^.  par  w^w^., 
pour  la  première  équation 

Wi,(/^2":!  —   '^3  "2''  4-    •  •  •    +   2Wjo(/^"3  ■  -  f>.^u^){b^ii^  ''i^sl   +    •  ■  • 

—    [''^'''2"3 '^3  "2)    +    "'2(''3"^    ^'l"h^    +    "^3('-'l'"2    '^2'^'^l)]"   =^    ^    • 

Cette  équation  est  celle  du  lieu  géométrique  des  cordes 
de  longueur  ^  dans  la  conique  sphérique  ^.ï*=^0.  De 
même  on  trouve 

(V^r|2  =  [i\[B,x,  —  ^.^x.^  +  a(B^,.r,  —  B.xj)  +  QgfB.x.,  —  K,x,)Y  =  0 

comme  équation  du  lieu  géométrique  des  points  où  les  tan- 
gentes menées  à  la  courbe  sphérique  "^.(-  =  0  sont  nor- 
males '. 

21.  —  L'identité  (VIII)  entre  cinq  vecteurs  conduit  à  un 
autre    ihéorciue  connu  sur   les  quadrangles  complets,   lors- 


'   Géométrie  sphérique  en  coordonnées  projectiles,  p.  217. 


IDENTITÉS    VECTORI  i:  LLES  1H 

qu'on  y  remplace  t^  par  V^f.  En  tenant  compte  de  ce  que 

nous  trouvons  en  effet  qu'elle  prend  la  forme 

[6. Vf,  r,rJ[6.Vt,  t,t,]  +  [6. Vf,  r,rJ[6.Vf,  t.t,] 
+  [6 -Vf,  r.rJLô.Vf.  r.r.,]  =  0  . 

Or,  si  l  est  une  droite  spliérique  quelconque,  le  point 
d'intersection  de  cette  droite  avec  le  côté  \XiXk)  du  quadrangle 
complet  des  te  [i  =  1,  2,  3,  4),  point  que  nous  voulons  ap- 
peler Pja,  sera  Vf,  tiXk-  L'identité  nous  apprend  la  propriété 
connue  de  l'involution  des  six  points 

P  P     •        P         P     ■        P  P 

pourvu  que  D  soil   toujours  le  vecteur  symbolique  du  pai-a- 
graphe  17  correspondant  a  certaine  conique. 

III 

22.  —  Nous  arrivons  maintenant  à  une  identité  nouvelle, 
qui  admet  plusieurs  interprétations  et  qui,  peut-être  plus 
que  les  précédentes,  montre  tout  le  profit  qu'on  peut  tirer 
de  ces  relations  vectorielles,  non  seulement  pour  démontrer 
facilement  et  pour  relier  entre  eux  des  théorèmes  assez  dif- 
férents connus,  mais  encore  pour  en  trouver  des  nouveaux. 

C'est  l'identité 

[Vrta'\'66'Vcc']  +  [Vftc'Vca'Vûfi'j  +  [Vc6'Vac'V6a']  =  0  .     (IX) 

La  démonstration  en  est  simple,  quand  on  remarque  que 
le  second  et  le  troisième  terme  se  déduisent  du  premier  par 
permutation  circulaire  positive  des  vecteurs  tt,  6,  C  et  par 
permutation  circulaire  négative  des  ve(;teurs  a\  6',  c' •  Nous 
obtenons  ainsi  en  développant  les  trois  produits  pseudo- 
scalaires 

[aa'c'][6'6c]  —  [a'ac]|66'c'J 

L6c'6'][a'cal  -  [c'6û]  [cû'6'] 
[c6'a']  [c'afi]  -  [6'c6][ac'a'| 

dont  la  somme  est  identiquement  nulle. 


112  M.-FIi.    DANTE/.  S 

23.  —  Applications.  —  l.  Si  les  vecteurs  abc  déter- 
minent les  sommets  Ai  diin  premier,  o'.  b  .  C  les  sommets  B, 
d'un  second  triangle  sphéricjue  ou  plan,  les  produits  vecto- 
riels du  premier  et  du  second  terme  désignent  les  trois  droites 
AjBj  resp.  Aj 8/4.1,  etc.  L'identité  tout  entière  nous  apprend 
que  les  triangles  sont  triplement  perspectifs,  lorsqu'ils  sont 
doublement  perspectifs,  autrement  dit  :  lorscpie  les  droites 
(Ai-,  Bj)  et  les  droites  ''AiB,+i)  sont  concourantes,  il  en  est  de 
même  des  droites  :Aj,  Bj_i),  car  la  disparition  des  deux  pre- 
miers termes  de  l'identilé  entraine  celle  du  dernier. 

2.  Si  les  vecteurs  (ï.  b.  C  déterminent  les  sommets  A,  d'un 
premier,  û',  0'.  C'  les  côtés  a',  d'un  second  triangle  sphérique 
ou  plan,  les  produits  vectoriels  du  premier  terme  désignent 
les  normales  abaissées  des  sommets  A»  sur  les  côtés  r/.,  etc., 
et  la  même  identité  nous  apprend  que  deux  triangles  sphé- 
riques  ou  plans  sont  triplement  oi-tliologiques  lorsqu'ils  sont 
doublement  o.rthologiques,  autrement  dit  :  lorsque  les  nor- 
males abaissées  des  sommets  A,-  sur  les  cotés  a',  et  les  nor- 
maies  abaissées  des  sommets  Aj  sur  les  côtés  a'.  sont  con- 
courantes; il  en  est  de  même  des  normales  abaissées  des 
sommets  Ai  sur  les  côtés  a'._^. 

3.  Supposons  en  troisième  lieu  que  nous  ayons  deux  tri- 
angles sphéri(|ues  ou  plans,  dont  les  sommets  sont  A.,  A[.  et 
les  côtés  a.,  a'..  Supposons  en  outre  que  les  vecteurs  ù.  b.  C 
déterminent  les  sommets  du  premier,  û' b  c  les  n  milieux 
extérieurs  ^^^  du  second  triangle.  Dans  ce  cas  les  produits 
externes  du  premier  terme  de  notre  identité  sont  trois  droites 
par  les  A,-  et  «  parallèles»  aux  «[.,  de  même  ceux  du  second 
terme  désignent  trois  droites  passant  par  les  Aj  et  «  paral- 
lèles» aux  a'.  ,  ceux  à\\  troisième  terme  enfin  correspondent 
aux  droites  qui,  passant  par  les  Aj  sont  «  parallèles  »  aux  a\_^ . 

On  dit  que  deux  triangles  sont  simplement  métaparallèles. 
lorsque  les  trois  premières  droites  sont  concourantes,  dou- 
l)lement  lorsque  les  trois  droites  suivantes  sont  également 


'   IS'oiis    Piitendous    par    «milieu    extérieur»    du    côté   (f., ,   r,)   <i"    triangle 
spliôiicjue  le  point  t.,  —  t^  n"i  est  ;i  une  dislance  r.j'l  du    «  milieu  intérieur  » 

t.,     +    t:;  • 


IDENTITES    VECTORIELLES  113 

concourantes,  triplement  enfin  lorsque  les  trois  dernières 
le  sont  aussi.  Or,  notre  identité  nous  apprend  :  lorsque  deux 
triangles  sphériques  ou  plans  sont  doublement  métaparal- 
lèles,  ils  sont  aussi  triplement  méiaparallèles^. 

4.   Une  application  toute  différente  de  notre  identité  nous 
est  fournie  par  la  théorie  des  coniques.  Soient 

û    c'    5    û'    c    6'     01 

t>    x[    to    r^   r,    r,    ir...i 

les  vecteurs  des  côtés  et  des  sommets  d'un  hexagone  inscrit 
dans  une  conique  sphérique  ou  plane.  Dans  ce  cas  les  points 
d'intersection 

Voa'  ,       V60'  ,        Ycc' 

sont  coUinéaires  d'après  le  théorème  de  Pascal,  et  notre 
identité  (IX)  nous  donne 

[V6c'  Vco'  Vor]  +  [Vc6'  Vac'  Vfta';  =  0  . 

Or,  si  nous  remarquons  1°  que  chaque  terme  de  cette  équa- 
tion contient  les  six  vecteurs  une  seule  fois,  2°  que  0,  C',  etc., 
sont,  abstraction  faite  de  certains  coefficients  scalaires, 

Vt;t3  ,        \x.t[  ,        Vr;t,  ,       Vr.,r;  .        Vr;t,,  ,        \'r,r;  . 

3°  que  par  conséquent  les  six  produits  vectoriels  qui  se 
trouvent  dans  la  dernière  équation  peuvent  être  remplacés 
par 

\t[toX3\x\ .     [tit;t3]t; ,     [t,t2r;]r; 

—   [tlt'X^tt      .  —    \X[X.,X'^]X2     .  —  [«ïslt:, 

nous  voyons  sans  peine  que  la  dernière  équation  donne  pour 
la  sphère  comme  pour  le  plan  le  théorème  de  Pappus,  d'après 
lequel  pour  six  points  Xi  et  t.  d'une  conique 

\t[x.,x^][xXxMx,x.X][x\x'X]  =  [t,t;t;][t;r,r;][r;t;f3][t,r-t3]  • 

Il  est  évident  que  nous  obtenons  un  autre  hexagone  ins- 


'   Pour  deux  triangles  plans  voir  J.  Neuberc,  Mathesis,  1883,  i).  216,  1886, 
p.  13'»,  191i,  p.  92. 

L'Enseignement  inatliém.,  20»  .-innée  ;  1918.  8 


114  M.-FR.    DANIELS 

crit  dans  la  même  conique  en  soiimeltant  les  ï, .  r^,,  ïg  seuls 
à  une  permutation  circulaire;  dans  ce  cas  nous  trouvons  : 

[t\tzXA[x.Xx^][uX:^[][x\t.t'^]  =  [r2r;t;][r;t;.t;][r;r;r,l[r,r,t3]  • 

La  division  des  deux  dernières  équations  conduit  pour  six 
points  d'une  conique  sphérique  à  la  relation 

[x'.XnXs]  [r,r;tj  [r,  r.r;]       [t,  x'^]  [x[x.,x'^][x[x'X] 
[x[x,x,][x.XXi][x.x,x'^]  ~~  [r2r;r;j[t;t3r:][r;i:;r,] 

qui  n'est  autre  chose  que  le  ihéorènie  bien  connu  de  Carnol. 
Nous  interrompons  ici  les  applications  de  l'identité  pour  y 
revenir  au  paragraphe  30. 

IV 

24.  —  Les  identités  entre  six  vecteurs  des  paragraphes 
précédents  ne  sont  pas  les  seules  possibles.  Il  y  en  a  d'autres  ; 
ainsi  on  démontre  sans  peine  que 

±  Lu  6  c  ]  [\b'  +  \\c'    \c' -T  \\Ci'   \n'  +  v'y] 
est  identiquement  nul,  pourvu  cjue  l'expression  scalaire 

\  \  \  -\-  i^,  1^,  ;j.3 

ne  change  pas  en  valeur  absolue,  lorsque   les  tt,  6,  c  sont 
remplacés  par  les  û'ft'c'  et  inversement. 

25.  —  On  satisfait  déjà  à  la  condition  imposée  aux  1.  et  //^ 
en  prenant 

À,  =       c  û'        >o  =       û  6'        ''-3  =       bc' 
h  =  —  fiû'        u.„  =  —  cb'       [x^  =  —  ac 

et  c'est  ainsi  qu'on  arrive  à  l'identité 

[a'6'c'][Va'.  6c  V6',  ta  \('.  ab]  +  [a6c][Vû.  bc'  ve.  c'a'  \c   a'b']  =  0    (Xy 

Applications.  —  i.  Supposons  que  les  sommets  et  les  côtés 
de  deux  triangles  sphériques  ayent  les  vecteurs 

Ai  =  a    b    (  a|.  =  \b'c'  ;  \'c'a' .  \a'6' 

a-  =  \bc  :  yca  .  ^ûb         o\  =  a'  .  b'     c 


/nE.\TITES     VECrOIilELLES  115 

Dans  ce  cas,  les  droites  qui  relient  les  sommets  corres- 
pondants (A^.,  A|.)  et  les  points  d'intersection  des  côtés  cor- 
respondants (rtp  cQ  seront 

(A,.  Al)  =  Vu.  6'c'  (rti,  «i)  =  ^'a' .  5c 

etc.,  et  l'identité  (IX)  nous  apprend  : 

Lorsque  les  droites  (Aj,  A|)  sont  concourantes,  les  points 
d'intersection  ;a.,  a!)  sont  collinéaires  et  inversement.  C'est  là 
le  théorème  bien  connu  de  Desai-gues. 

2.  Lorsque  par  contre  les  sommets  et  les  côtés  de  deux 
triangles  sphériques  A^.  et  A',  sont 

A.  =  a    b    c  Aj  =  o';  b'    c' 

fl,  =  V&c :  Vca  .  Va6  a-  =  \b'c'  ;  Vc'a'  :  Va'6' 

la  même  identité  nous  fournit  un  théorème  de  Steiner'^  : 

Lorsque  les  normciles  abaissées  des  A^  sur  les  a!  sont  con- 
courantes, il  en  est  de  même  des  normales  abaissées  des  A! 
sur  les  a.^. 

On  le  voit  sans  peine  en  remarquant  que  ^■(t,  6'c',  etc., 
sont  dans  ce  cas  les  normales  abaissées  des  sommets  Aj  du 
premier  triangle  sur  les  côtés  a.  du  second.  Leur  produit 
pseudo-scalaire  est  nul  lorsque  ces  trois  normales  sont  con- 
courantes. 

3.  En  troisième  lieu  considérons  ensemble  les  identités  : 

ra6c][Va,6V  Vftc'o'  Vc,  û'a']  +  [tt'6'c'][Va',  6c  ^b'.an   Vc'.  a6]  =  o 
[tt6c][Va.  c'b'   V6,  6'û'   Vc.  aV]  +  [o'c'6'][Va'.  cb  \b'.  ba  W.  ac]  =  0  . 

La  seconde  s'obtient  de  la  première,  lorsqu'on  y  change 
6'  et  c'  en  c'  et  6'.  Or,  la  disparition  des  premiers  termes 
dans  les  deux  identités  entraîne  celle  des  seconds  termes, 
ce  qui,  en  supposant  que  les  tt.  0.  C  sont  les  sommets  d'un 
premier  et  û',  6',  c'  ceux  d'un  second  triangle  sphérique 
signifie  : 


•   Gesammelte  IFerke,  B<\.  I,  S.  155-162. 
-  Voir  par.  23,  2. 


116  M.-FR.    DANIELS 

Lorsque  sont  concourantes  les  normales  abaissées  de  A^, 
Aj,  A3  sur  les  côtés  a\,  a\.  a\  et  sur  les  côtés  a\^  a\.  a\,  il 
en  est  de  même  des  normales  abaissées  de  Aï,  Ai.  A^  sur  les 
côtés  r/, ,  r/.,,  a^  et  r/, ,  r/3,  r/.^,  en  d'autres  mots  : 

Lors(iue  les  deux  triangles  sphériques  A.  et  A.\  sont  cli- 
ortliologiques  en  A^^  ils  le  sont  encore  en  i\\. 


26.  —  Nous  pouvons  encore  dans  l'expression  Ibndamen- 
lale 

[rt'6V][À,6  4-  ;j.,c  ...]  ±  [aac][X;5'  +  'y.[c'  ••.] 

remplacer  les  vecteurs  arbitraires  a,  a'.  6,  ...  par  les  vecteurs 
également  arbitraires  VÔC,  V0'c',  Vc<ï.  ...  et  ensuite,  pour 
satisfaire  à  la  condition  imposée  aux  /^.,  a.  ...  ,  prendre 

Àj  =  a'.  6       Ào  =  6'  c       À.^  ^  c' .a 
jj-i  =  a',  c        [j-j  =  6'.  û        [K  =  c'.  6  • 

Dans  ce  cas  nous  avons  évidemment 

\^c<i  +  iA,Vû&  =  Va .  tt'.  5c 

etc.,  de  sorte  que  nous  arrivons  à  l'identité 

[tt'6'c'J-[Vû  .  0'.  6c    Vft.B'ca    Vc.c'.ûft] 
—  [û6c]-[Vtt'.  a  .  6'c'    V6',  6  .  c'û'    Vc'.  c  .  0'6'J  =  0  .  (XIi 

27.  —  Nous  allons  faire  de  cette  identité  deii.r  applications. 
—  1.  D'abord  elle  nous  servira  à  démontrer  un  théorème  de 
M.  R.  Bricard  ^  : 

Soient  A^.  et  A^.  deux  triangles  sphériques. 

Lorsque  les  points  d'intersection  (1  des  droites  (A.,  A!)  =  Pj 
avec  les  côtés  aj  du  premier  triangle  sont  collinéaires,  les 
droites  de  jonction  qj  des  points  (aj,  a!)  =  P.  avec  les  sommets 
A!  du  second  triamile  sont  concoui'antes  et  inversement. 


'  Nomellcs  Aniidles  de  Matliéiii(ili(/iu's.  1906,  p.  96. 


IDENTITÉS    VECTORIELLES  117 

En  efFet,  si  les  vecteurs  des  sommets  et  côtés  des  deux 
triangles  sont  : 

Aj  =  V5c  ;     Vcû  :     Vo6  A^.  =  û'  ;     6'  :     c' 

a-~  a  .     6  ;     c  a-  =  Vft'c'  ;     Vc'tt'  ;    Vo'6' 

nous  trouvons  pour  les  vecteurs  de  la  droite/;,,  du  point  Q, , 
du  point  P,  et  de  la  droite  q^ 

/?,  =  Vu',  &c  Pj  =  Va.  6'c' 

Q,  =  Va    a',  6c  </,  =  Va',  a .  6V  • 

Lorsque  les  points  Q^.  sont  collinéaires,  le  premier  terme 
de  notre  identité  s'annule;  le  second  terme  disparaissant 
alors  également,  les  droites  q.  sont  concourantes  et  inverse- 
ment, q.  e.  d. 

2.  On  peut  tirer  de  notre  identité  encore  la  généralisation 
pour  la  sphère  d'un  théorème  dû  à  M.  Constaiitiiifscu^ 

Soient  A^.  et  A',  deux  triangles  sphériques.  Lorsque  les 
normales  qj  abaissées  des  Aj  sur  les  côtés  a!  du  second  tri- 
angle coupent  les  côtés  aj  du  premier  triangle  en  trois  points 
collinéaires  O. ,  les  normales  q'  abaissées  des  A!  sur  les  a. 
coupent  les  côtés  a!  du  second  triangle  également  en  ti'ois 
points  collinéaires  Q!. 

En  effet,  lorsque  les  côtés  et  les  sommets  des  deux  triangles 
sphériques  sont 

A.  =  V6c  ;     Vco  :     VaD  A^.  =  Vfi'c'  :     Vc'a'  :    Vo'6' 

a-  =  a       h       c  «j.  =  a'  ;    6'  :    c' 

nous  aurons  successivement  pour  les  normales  y,   et  q[  et 
pour  leurs  intersei'lions  Q,  et  Q.,  avec  les  côtés  a^  et  a\ 

7,  =  Va'.  6c  (j\  =  Va,  6'c' 

Q,  =  Va    a'.  6c  q1  =  Va'  a    6'c'  ■ 

Lorsque  les  points  Q^.  sont  collinéaires,  le  premier  terme 
tle  Tidenlité  s'annule,  ce  qui  entraîne  la  disparition  du  se- 


.Vathesis.  1913,  p.  69. 


118  M.-FIi.    DANIEL  S 

cond.  Il  s'ensuit  que  dans  ce  cas  les  Qj.  aussi  sont  colli- 
néaires.  q.  e.  d. 

VI 

28.  —  Si  l'on  pose  dans  l'expression  fondamentale  du  par. 
24  pour  satisfaire  à  la  condition  imposée  aux  1.,  p..  ... 

>-,  =  [ca'r]       >-2  =  [û6't]       >-:j  =  [6c 'r] 
[j-,  =  [û'6r]       v-2  =  [6'ft]       ;j-a  =  [c'or] 
on  trouve  évidemment 

\  b  +  [j-i  c  =  vvfic  ^'ttt' 

etc.,  mais  si  comme  au  par.  26  on  remplace  les  vecteurs 
arbitraires  (ï,  d:',  ,..  par  Vfic.  VB'c',  ...  ,  cette  dernière  expres- 
sion devient,  abstraction  faite  d'un  facteur  scalaire,  facile  à 
déterminer 

Vu  .  t .  b'c' 

de  sorte  qu'on  aboutit  à  l'identité  entre  sept  vecteurs  quel- 
conques : 

[(»6c][Va    r .  b'c'     \b   v  .  c'a'    Vc ,  t  •  a'b'] 

(XIIi 

—  [a'0'c'][Vû',  r.  bc    V6'.  t.  ca      Vc'.  t.  ab]  =  o 

Cette  identité  nous  servira  d'abord  à  démontrer  pour  la 
sphère  un  théorème  de  Môbius  ^  : 

Soient  Aj  et  A!  cleu.r  triangles  sphé/iqaes  et  1  une  droite 
spJiérique  quelconque. 

Lorsque  les  droites  Pj  qui  relient  les  points  Pj  =  (1 .  a.)  au.r 
sommets  Aj  du  second  triangle  sont  concourantes,  il  en  est  de 
même  des  droites  p!  qui  relient  les  points  V.  ^  (I,  a!)  au.r 
sommets  A.  du  premier  triangle. 

Car,  si  le  vecteur  de  la  droite  sphérique  /  est  X  et  si  les 
vecteurs  des  sommets  A^.  et  A[.  sont  a,  0,  C  et  a',  0'.  C  nous 
aurons  successivement  pour  les  points  P.,  P'.  et  les  droites 

Pr  Pi  ■ 

P,  =  Vr ,  6c  P;  =  Vr ,  b'c' 

/j,  =  Vu',  r .  bc         p[  =  Va  .  r .  b'c'  ■ 


'   Crelles  .loitnud.  Bd.  :i,  1828.  —  Werke  I,  S.  Vi'i 


IDENTITÉS    VECTORIELLES  119 

L'identité  nous  montre  que  les/»^  sont  concourantes  lorsque 
les  p.  le  sont.   q.  e.  d. 

2.  Nous  pouvons  cependant  tirer  de  notre  identité  un  théo- 
rème tout  différent  en  interprétant  le  vecteur  t  non  pas  comme 
correspondant  à  une  droite  sphérique,  mais  comme  appar- 
tenant à  \\n  point  P.  Le  théorème  en  question  est  le  suivant  : 

Par  un  point  quelconque  de  la  surface  sphérique  P(ï)  on 
mène  des  normales  pj  et  p!  aux  côtés  aj  et  a!  de  deur  triangles 
sphériques  et  ensuite  par  les  sommets  A!  et  Aj  des  droites 
sphériques  q^  et  q!  normales  aux  pj  et  p|.  Lorsque  les  (\.^  sont 
concourantes,  il  en  est  de  même  des  q!. 

En  effet  on  trouve  dans  ce  cas  pour  les  vecteurs  des  droites 
y^i,  p[  et  ^, ,  q\  immédiatement 

fi  =  Vt ,  6c  />j  =  Vf  ,  6'c' 

Vi  =  Va',  r ,  6c  fi[  =  Va  .  r ,  6'c'  • 

Lorsque  les  q.  sont  concourantes,  le  produit  pseudo-sca- 
laire du  premier  terme  de  notre  identité  s'annule;  la  dispa- 
rition du  second  terme  qui  en  est  la  conséquence  montre 
que  dans  ce  cas  les  q'.  aussi  sont  concourantes  et  inverse- 
ment, q.  e.  d. 

3.  Dans  le  cas-limite  du  plan  nous  aurons,  quel  que  soit 
le  point  P,  la  droite  /?,  normale  à  a^  et  q^  de  nouveau  nor- 
male à  /?, ,  c'est-à-dire  ^,  parallèle  au  coté  a^  du  premier 
triangle.  Le  théorème  qui,  pour  le  plan,  est  dû  à  M.  /•  Neu- 
berg^,  peut  être  formulé  : 

Etant  donnés  deux  triangles  plans  Aj  et  A!  et  les  droites 
qj  et  q'.  menées  par  les  sommets  \'.  et  A.  parallèles  aux  côtés 
a.  et  aj  ;  lorsque  les  droites  q.  sont  concourantes,  il  en  est  de 
même  des  droites  (\.-. 

29.  —  Nous  arrivons  à  une  autre  identité  entre  sept  vec- 
teurs en  remplaçant  di,  rt',  ...  par  V6c,  \  6'c',  ...  ,  en  posant 
ensuite 

A,  =  [6ra']        \  =  [ctb'l       \  =  [ûtc'] 

;j-,  =  [cra']        ;a,  =  |ar6']       [^^  =  \btc']  ■ 


'  Mathesis.  1882,  p.   144,  1883,  p.  86,  1914,  p.  91. 
"  Voir  par  2.3,  3. 


120  M.-FR.    DANIELS 

Dans  ce  cas  nous  avons 

''^^i<x  +  ;jiV(j6  =  Va ,  ^■ta'V6c 
etc.,  de  sorte  que  nous  arrivons  à  l'identité 

[a'6'c']-[Va,  Vra'vec      V6,Vr6'Vca      Vc,  Vtc'Voft] 
+  [a6c]'[Va'.  VtrtVfi'c'       V6',  VtftXc'û'    Vc',  VrcVa'6']  =  0  . 

Nous  n'en  donnons  qu'une  seule  application.  Soit  P(t)  un 
point  quelconque  de  la  surface  sphérique;  soient 

A.  =  (ï,  6,  c  a|.  =  û',  5'.  c' 

a^^y\i(i,\l<X,^<!i.h         rt-  =  V6'c',  Vc'o'.  Va'6' 

les  sommets  et  côtés  de  deux  triangles  sphériques.  Les 
droites  sphériques  qui  relient  le  point  P  aux  sommets  du 
second  (premier)  triangle,  coupent  les  côtés  du  premier  (se- 
cond) triangle  en 

Q,  =  VVra'Vk       Qi  =  VVroVa'c' 

etc.,  et  l'identité  nous  apprend  :  lorsque  les  droites  (Aj,  Qj) 
sont  concourantes,  les  droites  (A^,  Q|.)  le  sont  également. 

On  arrive  à  un  autre  théorème  en  considérant  X  comme  le 
vecteur  d'une  droite. 

YII 

30.  —  Nous  revenons  à  l'identité  vectorielle  du  para- 
graphe 22  : 

[Vaû'  V66'  Vcc'J  +  [Vfic'  ^ca'  Varj  +  [Vc6'  \ac  vfia]  =  » 

qui  j)eut  nous  fournir  une  démonstration  très  simple  du 
théorème  suivant  : 

Soient  A,,  Aj,  A3  les  sommets  d'un  triangle  sphérique, 
P  un  point  qnelconiiue  de  la  surface  sphérique,  p,,  p»,  p^  les 
normales  abaissées  de  ce  point  sur  les  côtés  du  triangle  et 
coupant  ces  côtés  dans  les  neuf  points 

P  P  P     •        P  P  P     •        P         P         P     • 


IDENTITES     VECTORIELLES 


121 


soient  c|,,  q.,,  cjg  les  droites  qui  relient  le  même  point  P  aux 
sommets  du  triangle  et 

'Ju     '       <lvi     '       Vn     ■•  721     •        722     -        723     :  731     •        732     •        7:« 

les  neuf  normales  qui,  des  trois  sommets,  peuvent  être  abais- 
sées sur  les  droites  q, ,  q,,  qg. 

Il  y  a  en  général  sur  la  sphère  trois  points  P  tels  que  sont 
collinéaires  les  points  de  chacun  des  systèmes  : 

P         P         PP         ppp  p         P 

•  11     •        '  -JS    '        '  :!:î     •  '  12     •        '  23    •        '  31     •  '  13     •  '  21     ■  32 

et  que  sont  concourantes  les  droites  de  chacun  des  systèmes  : 
7n   •     722  '     733   :         7i2   ■     723  •     73i   =         7i3  •     72i   •         7:!2  • 

Dans  le  plan  il  n'y  a  qu'un  point  qui  possède  toutes  ces 
propriétés,  c'est  le  point  de  Tarry  du  triangle  N  (fig.  2  et  3). 


J-.^% 


31.  —  D'ailleurs  ce  théorème  se  trouve  comme  cas  spécial 
d'un  théorème  plus  général  encore,  qui  peut  s'énoncer  de  la 
manière  suivante  : 

Soient  AjAoA.,  et  A^A^A,  les  sommets  de  deux  triangles 
sphériques,  P  un  point  quelconque  de  la  surface  sphéricjue, 
P\PiP-^  les  droites  qui  relient  le  point  aux  sommets  du  pre- 
mier et  p\p\p\  les  droites  qui  le  relient  aux  sommets  du 
second  triangle.  Les  droites  /?, ,  /?2.  Px  rencontrent  les  cotés 
du  second  triangle  en  neuf  points 

P„     .       I',,    ,       P,3    ;  1^21     •       P22    .       I'23     ;  P:„     .       \\,    ,       P3,    . 


122  B.    HUBERT 

De  même  les  droites  p\,  p\.  p\  rencontrent  les  côtés  du 
premier  triangle  en  neuf  points 

P         p'        p'  p'         p'        p'  p'        p'        p' 

'   11     '  '    12     '         '   n     '  '    l'I      •         '  22     '  '   23     •  '  31      ■  '   32     '         'SS- 

II y  a  pour  tout  couple  de  triangles  sphériques  ou  plans 
en  général  trois  points  P  tels  que  sont  collinéaires  les  points 
de  chacun  des  six  systèmes  : 

P    P    P  •    P    P    P  •    P    P    p 

'  Il   •    '  22  '    '  33  '       '  12  •    '  23  '    '  31   '       '  13  '    '  21   '    "^32 

P        p'       p'  p'       P'       p'  p'       P'       p' 

'  11  •    •  22  '    ^•i•^    '      '  12  •   '23  '    '  31  •      '  13  ■    '21  '    '32  " 

Nous  revenons  sur  la  démonstration  de  ces  deux  théo- 
rèmes dans  un  article  ultérieur. 


PENSÉE    AXIOMATIQUE» 

PAK 

David  HiLBERT  (Gôttingue). 


Dans  la  vie  des  sociétés  la  prospérité  des  peuples  dépend  de 
celle  de  tous  ses  voisins  ;  les  Etats,  de  même,  ont  un  intérêt 
vital  à  ce  que  Tordre  non  seulement  règne  à  l'intérieur  de 
chacun  d'eux,  mais  existe  aussi  dans  leurs  relations  mutuelles. 
Il  n'en  va  pas  autrement  dans  la  vie  des  sciences.  Preuve  en 
soit  le  vif  intérêt  que  les  représentants  les  plus  remarquables 
de  la  pensée  mathématic|ue  ont  toujours  témoigné  à  la  struc- 
ture et  aux  lois  des  autres  sciences  que  la  leur  ;  ils  «l'ont  cessé 
avant  tout  d'étudier  les  mathématiques  (et  pour  le  plus  grand 
bien   de  ces  dernières)   dans  leurs  rapports  avec  les  vastes 


1  Axiomatisches  Denken,  conférence  faite  ;i  I.t  rennion  annuelle  de  la  Société  mathéma- 
tique suisse,  tenue  à  Zurich,  le  11  septembre  l'.MT.  —  Traduction  de  M.  Arnold  HKVMONn. 
professeur  à  l'Université  de  NeuchAtel. 


PENShE    A  XI  O  MA  TIQUE  123 

domaines  de  la  physique  et  de  la  théorie  de  la  connaissance 
qui  les  côtoient  de  plus  près.  La  nature  de  ces  relotions  et 
leur  foncière  lecondité  seront,  je  crois,  nettement  indiquées 
si  je  désigne  sous  le  nom  de  méthode  a.riomalique  la  mé- 
thode générale  d'investigation  qui  les  caractérise  et  (jui  dans 
les  mathématiques  modernes  prend  une  importance  de  plus 
en  plus  grande. 

Si  nous  groupons  les  faits  d'un  domaine  scientifique  dé- 
terminé, plus  ou  moins  étendu,  nous  remarquons  bientôt 
(ju'ils  sont  susceptibles  d'être  ordonnés.  Cet  ordre  s'eflectue 
constamment  par  le  moyen  d'un  certain  édifice  de  concepts  tel 
qu'un  concept  et  un  seul  corresponde  à  tout  objet  du  do- 
maine scientifique  et  qu'à  l'intérieur  de  ce  dernier  un  état  de 
faits  ait  pour  équivalent  une  relation  logique  entre  concepts. 
L'édifice  des  concepts  n'est  pas  autre  chose  que  la  théorie 
du  domaine  scientifique  envisagé. 

C'est  ainsi  que  les  faits  géométriques  s'ordonnent  en  une 
géométrie,  les  faits  arithmétiques  en  une  théorie  des  nom- 
bres, les  faits  statiques,  mécaniques,  électrodynamiques  en 
théories  de  la  statique,  de  la  mécanique,  de  l'électrodyna- 
mique,  ou  c'est  encore  ainsi  que  les  faits  de  la  physique 
des  gaz  se  groupent  en  une  théorie  des  gaz.  Il  en  est  de 
même  en  ce  qui  concerne  les  domaines  scientifiques  de  la 
thermodynamique,  de  l'optique  géométrique,  de  la  théorie 
du  rayonnement,  de  la  conduction  de  la  chaleur  ou  encore 
du  calcul  des  probabilités  et  de  la  théorie  des  ensembles. 
La  même  remarque  s'impose  enfin,  rpi'il  s'agisse  de  mathé- 
matiques pures  (théorie  des  surfaces,  théorie  de  Galois 
concernant  les  écjuations,  théorie  des  nombres  premiers)  ou 
de  sciences  sans  ra{)port  direct  avec  les  mathématiques  pures 
telles  c|ue  la  théorie  de  la  monnaie  ou  certains  chapitres  de 
la  psychophysique. 

Si  maintenant  nous  considérons  de  plus  près  une  théorie 
déterminée,  nous  constatons  invai-iablement  que  l'édifice 
des  concepts  doit  avoir  pour  base  dans  le  domaine  scientifi- 
que un  nombre  restreint  de  propositions  exceptionnelles  qui 
suffisent  à  elles  seules  à  construire  tout  l'édifice  d'après  des 
principes  logiques. 


124  D.    IIII.BERT 

En  géométrie,  par  exemple,  il  siiflit  d'en  appeler  unique- 
ment à  la  proposilioii  qui  concerne  la  linéarité  de  Téquation 
du  plan  et  la  transformation  orthogonale  des  coordonnées 
ponctuelles  pour  construire  ensuite,  et  parle  seul  moyen  de 
l'analyse,  la  science  cependant  si  vaste  de  la  géométrie  eu- 
clidienne dans  l'espace.  De  même  la  théorie  des  nombres 
s'édifie  entièrement  d'après  les  règles  et  les  lois  de  calcul 
(jui  sont  valables  pour  les  nombres  entiers.  C'est  encore  un 
rôle  analogue  que  jouent  en  statique,  le  principe  du  parallé- 
logramme des  forces,  en  mécanique  les  équations  difTéren- 
tielles  de  Lagrange  sur  le  mouvement  et  en  électrodynami- 
(jue  les  équations  de  Maxwell,  à  condition  toutefois  d'adjoindre 
à  ces  dernières  un  postulat  relatif  à  la  rigidité  et  à  la  charge 
de  l'électron.  Semblablement  la  thermodynamique  se  laisse 
en  entier  construire  sur  le  concept  de  la  fonction  énergé- 
tique et  sur  les  définitions  de  température  et  de  pression 
qui  en  sont  tirées  au  moyen  des  variables  (entropie  et  volume). 
Nous  trouvons  de  même  au  centre  de  la  théorie  du  rayon- 
nement la  loi  de  KirchhofFqui  règle  les  rapports  entre  l'émis- 
sion et  l'absorption,  dans  le  calcul  des  probabilités  la  loi  des 
erreurs  de  Gauss,  dans  la  théorie  des  gaz  le  principe  de 
l'entropie  conçu  comme  le  logarithme  négatif  de  la  probabi- 
lité d'un  état  donné,  dans  la  théorie  des  surfaces  la  repré- 
sentation d'un  élément  curviligne  par  une  forme  quadratique 
différentielle,  dans  la  théorie  des  équations  le  théorème  con- 
cernant l'existence  des  racines,  dans  la  théorie  des  nombres 
premiers  le  principe  relatif  à  la  réalité  et  à  la  fréquence  des 
zéros  dans  la  fonction  riemanienne  Ç(/). 

Tous  ces  principes  fondamentaux  peuvent,  à  un  premier 
point  de  vue,  être  envisagés  comme  \e?,  axiomes  de  domaines 
scientifiques  spéciaux  dont  l'extension  progressive  s'achève 
ensuite  d'une  iaçon  purement  logique  à  l'intérieur  de  l'édi- 
fice conceptuel  déjà  exécuté.  C'est  surtout  dans  les  mathé- 
matiques pures  que  ce  point  de  vue  s'affirme  avec  netteté,  et 
c'est  aux  travaux  qui  s'en  sont  inspirés  que  nous  devons  le 
développement  prodigieux  de  la  géométrie,  de  l'arithméti- 
(|ue,  de  la  théorie  des  fonctions  et  de  toute  l'analyse. 

Cela  étant,  et  pour  les  cas  dont  nous  avons  j)arlé,  le  j)ro- 


PENSEE    AXIOMATIQUE  125 

blême  relatif  aux  fondements  d'un  domaine  scientifique  spé- 
cial semblait  avoir  trouvé  une  solution  ;  mais  celle-ci  ne 
pouvait  être  que  provisoire.  En  fait  et  dans  chaque  domaine  le 
besoin  se  faisait  sentir  de  fonder  jusqu'aux  propositions  spé- 
cifiées plus  haut,  bien  qu'elles  fussent  considérées  comme 
des  axiomes  fondamentaux.  C'est  ainsi  que  l'on  s'efforça 
de  prouver  soit  la  linéarité  de  l'équation  du  plan  et  l'orthogo- 
nalité  de  la  transformation  qui  exprime  un  mouvement,  soit 
les  lois  du  calcul  arithmétique,  soit  le  parallélogramme  des 
forces  ou  encore  les  équations  du  mouvement  de  Lagrange 
et  la  loi  de  Kirchhoffsur  l'émission  et  l'absorption,  soit  enfin 
le  principe  de  l'entropie  et  la  proposition  relative  à  l'exis- 
tence des  racines  d'une  équation. 

Mais  l'examen  critique  de  ces  «  preuves  »  fit  reconnaître 
qu'en  soi  elles  n'en  sont  pas;  en  réalité  elles  ne  font  que 
rendre  possible  le  retour  à  certaines  propositions  plus  fonda- 
mentales encore  (jui  elles-mêmes  apparaissent  comme  de 
nouveaux  axiomes  en  lieu  et  place  des  lois  à  démontrer. 
C'est  de  celte  façon  qu'ont  pris  naissance  les  axiomes  ainsi 
dénommés  à  juste  titre  aujourd'hui,  de  la  géométrie,  de 
l'arithmétique,  de  la  statistique,  de  la  mécanique,  de  la  théo- 
rie du  rayonnement  ou  de  la  thermodvnamique.  Ces  axiomes 
forment  une  couche  sous-jacente  plus  profonde  en  opposi- 
tion à  la  couche  axiomatique  superficielle,  caractérisée  par 
les  principes  fondamentaux  posés  en  premier  lieu  et  que 
nous  avons  énoncés  pour  chaque  domaine  scientifique  spé- 
cial. Le  procédé  de  la  méthode  axiomatique,  tel  que  nous 
venons  de  le  décrire,  revient  donc  à  poser  plus  profondément 
les  fondations  qui  soutiennent  chacun  des  domaines  scienti- 
fiques spéciaux,  travail  analogue  à  celui  qui  est  nécessaire 
pour  rehausser  un  bâtiment  sans  en  compromettre  la  sécu- 
rité. 

Pour  qu'une  théorie  scientifique  représentée  par  un  édi- 
fice de  concepts  remplisse  son  but,  deux  exigences  sont 
avant  tout  requises  ;  la  première  concerne  la  dépendance  ei 
respectivement  l'indépendance  des  propositions  de  cette 
théorie,  la  deuxième  l'absence  de  conlradiclion  dont  ces 
propositions  prises  dans  leur  ensemble  doivent  témoigner. 


126  D.    niLBERT 

Occupons-nous  tout  (rabord  de  la  dépendance  et  de  l'in- 
dépendance des  axiomes. 

L'exemple  classique  dont  on  se  sert  pour  prouver  l'indé- 
pendance d'un  axiome  est  fourni  en  géométrie  par  le  postulat 
des  parallèles  qu'Euclide,  remarquons-le,  rangeait  déjà 
parmi  les  axiomes.  Par  là,  il  écartait  la  question  de  savoir  si 
cette  proposition  n'était  pas  elle-même  conditionnée  par  les 
autres  axiomes.  Aussi,  la  méthode  de  recherche  préconisée 
par  Euclide  est-elle  restée  typique  de  toute  recherche  axio- 
matique,  et  depuis  ce  grand  savant  la  géométrie  est-elle 
devenue  l'exemple  modèle  de  la  science  axiomati(|ue. 

La  mécanique  classique  nous  offre  un  autre  exemple  d'in- 
vestigation concernant  l'indépendance  des  axiomes.  Comme 
nous  l'avons  fait  remarquer,  les  équations  de  Lagrange  sur 
le  mouvement  pouvaient  être  envisagées  provisoirement 
comme  les  axiomes  de  la  mécanique,  car  elles  suflisent  com- 
plètement à  fonder  les  formules  générales  relatives  à  des 
forces  f[uelconques  et  aux  conditions  quelconques  qui  les 
accompagnent.  Mais  une  recherche  plus  approfondie  montre 
qu'il  est  inutile  pour  l'édification  de  la  mécanique,  de  postu- 
ler à  la  fois  des  forces  et  des  conditions  quelconques,  et  que 
par  là  le  système  des  postulats  peut  être  diminué.  Cette 
constatation  conduit  d'un  côté  au  système  d'axiomes  posés 
par  Boltzmann,  qui  ne  suppose  que  des  forces,  spécialement 
centrales  il  est  vrai,  mais  qui  n'exige  aucune  condition  addi- 
tionnelle, de  l'autre  au  système  d'axiomes  défini  par  Hertz, 
lequel  rejette  les  forces  pour  faire  appel  à  des  conditions, 
plus  spécialement  à  des  liaisons  rigides.  Ces  deux  systèmes 
d'axiomes  constituent  ainsi  une  couche  plus  profonde  dans 
l'axiomatisation  progressive  de  la  mécanique. 

Si  nous  considérons  maintenant  dans  la  théorie  de  Galois 
relative  aux  équations  l'existence  des  racines  d'une  équation 
comme  un  axiome  fomlamental,  celui-ci  n'en  reste  pas  moins 
un  axiome  dépendant;  car  il  peut,  en  tant  que  proposition 
existentielle,  être  dérivé  des  axiomes  de  l'arithmétique, 
comme  Gauss  l'a  montré  le  premier. 

11  en  va  de  même  si  dans  la  théorie  des  nombres  premiers 
nous  considérons  comme  axiomatique  la  proposition  concer- 


PENSEE    A  XI O  M  ATI  QUE  127 

nant  la  réalité  des  zéros  de  la  fonction  riemanienne  Ç  7)  :  pour 
creuser  plus  à  fond  la  couche  des  axiomes  purement  arith- 
métiques la  preuve  de  cette  affirmation  de  réalité  serait  né- 
cessaire, car  c'est  cette  preuve  qui  seule  garantirait  la  certf- 
tude  des  importantes  conséquences  que  nous  avons  pu,  en  la 
postulant,  établir  pour  la  théorie  des  nombres  premiers. 

Il  faut  signaler  comme  étant  d'un  intérêt  tout  particulier 
pour  un  processus  axiomatique  la  question  relative  à  l'indé- 
pendance des  principes  d'un  domaine  scientifique  par  rap- 
port à  l'axiome  de  continuité. 

Dans  la  théorie  des  nombres  réels,  on  montre  par  exemple 
que  l'axiome  dit  d'Archimède  sur  la  mesure  est  indépendant 
de  tous  les  autres  axiomes  arithmétiques.  Cette  constatation 
est,  comme  on  le  sait,  d'une  importance  capitale  pour  la  géo- 
métrie ;  mais  elle  me  paraît  avoir  aussi  pour  la  phvsique  un 
intérêt  majeur,  car  elle  nous  conduit  au  résultat  suivant  : 
d'une  part  nous  pouvons,  en  juxtaposant  des  longueurs  ter- 
restres, calculer  les  dimensions  et  les  distances  des  corps 
dans  l'espace,  c'est-à-dire  mesurer  les  grandeurs  célestes  par 
une  mesure  terrestre;  d'autre  part  les  mesures  métriques 
permettent  d'exprimer  les  distances  jusque  dans  l'intérieur 
des  atomes.  Ces  faits  toutefois  ne  sont  en  aucune  façon  une 
conséquence  logique  des  principes  concernant  la  congruence 
des  triangles  et  la  configuration  géométrique,  mais  unique- 
ment le  résultat  d'une  recherche  empirique.  Dans  le  monde 
physique,  la  validité  de  l'axiome  archimèdien  a  donc  be- 
soin selon  le  sens  indiqué  d'une  confirmation  expérimentale 
directe  à  peu  près  comme  la  proposition  relative  h  la  somme 
des  angles  d'un  triangle  au  sens  connu. 

D'une  façon  générale  je  pourrais  formuler  comme  suit 
l'axiome  de  continuité  en  ph^'sique  :  «  Lorsqu'un  degré  quel- 
conque de  précision  est  assigné  d'avance  à  la  validité  d'une 
formule  physique,  il  existe  de  petits  domaines  à  l'intérieur 
desquels  les  hypothèses  faites  pour  la  formule  peuvent  va- 
rier librement  sans  que  l'écart  d'avec  cette  dernière  dépasse 
le  degré  de  précision  prescrit.  »  Cet  axiome  ne  fait  au  fond 
qu'exprimer  ce  qu'il  y  a  d'immédiat  dans  la  nature  de  l'expé- 
rience ;  il  est  toujours  implicitement  supposé   par  les  physi- 


128  D.    HILBEIÎT 

ciens,  sans  avoir  été  jusqu'à  maintenant  formulé  d'une  façon 
particulière. 

Si,  par  exemple,  de  l'axiome  concernant  l'impossibilité 
d'un  «  perpeiiiiim  mobile  »  de  deuxième  espèce  on  fait  avec 
Planck  dériver  le  second  principe  de  la  Thermodynamique 
on  utilise  nécessairement  cet  axiome  de  continuité. 

Ce  dernier  est  également  indispensable  pour  fonder  la  sta- 
tique en  utilisant  l'axiome  du  parallélogramme  des  forces, 
ou  du  moins  en  choisissant  certains  autres  axiomes  qui  s'en 
l'approchent  beaucoup.  C'est  ce  que  Hamel  a  montré  d'une 
manière  très  intéressante  par  l'emploi  du  principe  relatif  à  la 
possibilité  pour  le  continuum  d'être  bien  ordonné. 

On  peut  de  même  déplacer  en  profondeur  les  axiomes  de 
la  mécani([ue  classique,  si  en  vertu  de  l'axiome  de  continuité, 
on  se  l'eprésente  le  mouvement  continu  comme  décomposé 
par  le  moyen  d'impulsions  en  des  mouvements  rectilignes  et 
uniformes  qui  se  suivent  un  à  un  avec  rapidité  ;  il  faut  alors 
utiliser  comme  un  axiome  mécanique  essentiel  le  principe 
du  travail  maximum  de  Bertrand  conformément  auquel 
après  chaque  choc  le  mouvement  qui  en  réalité  se  produit 
est  toujours  celui  pour  lequel  l'énergie  cinétique  du  système 
est  un  maximum  en  face  de  tous  les  mouvements  compatibles 
avec  le  principe  de  la  conservation  de  l'énergie. 

Quant  aux  plus  récentes  tentatives  de  fonder  la  physique 
et  spécialement  l'électrodynamique,  elles  reposent  complè- 
tement sur  des  théories  du  continuum  et  par  suite  elles  impli- 
quent dans  la  plus  large  mesure  l'idée  de  continuité;  je  ne 
les  examinerai  cependant  pas  ici,  parce  que  ces  recherches 
n'ont  pas  atteint  un  degré  de  perfection  sullisant. 

Passons  maintenant  à  l'examen  du  deuxième  problème 
dont  nous  avons  parlé  plus  haut,  à  savoir  la  question  concer- 
nant l'absence  de  contradiction  des  axiomes.  Cette  question 
est  de  la  plus  haute  importance,  car  la  présence  d'une  con- 
tradiction dans  une  théorie  en  compromettrait  toute  la  stabi- 
lité. 

Or  il  peut  arriver  que  la  notion  de  non-contradiction 
interne  ne  se  concilie  que  dilHcilement  avec  des  théories  de- 
puis longtemps  acceptées  et  (|ui   ont  fait  leurs  preuves.  Je 


PENSÉE    AXIOMATIQUE  129 

rappelle,  par  exemple,  dans  la  théorie  cinétique  des  gaz  les 
dilïiciiltés  relatives  à  la  réversibilité  périodi(iiie. 

Souvent  aussi  il  arrive  (jue  la  non-contradiolion  interne 
d'une  théorie  est  considérée  comme  allant  de  soi,  alors  qu'en 
réalité  de  profonds  développements  malhématicpies  seraient 
nécessaires  pour  la  prouver.  Pour  illustrer  ce  l'ait,  considé- 
rons le  problème  suivant  tiré  de  la  théorie  de  la  conduction 
de  la  chaleur  :  distribution  de  la  température  à  l'intérieur 
d'un  corps  homogène  dont  la  surface  est  maintenue  à  une 
température  déterminée  qui  varie  suivant  les  régions.  Cela 
étant,  le  postulat  relatif  au  maintien  de  l'équilibre  de  tempé- 
lature  ne  renferme  en  fait  aucune  contradiction  interne.  Mais 
en  théorie  il  est  nécessaire  de  prouver  que  le  problème  bien 
connu  concernant  les  valeurs-limites  de  la  fonction  poten- 
tielle est  toujours  résoluble,  car  seule  la  solution  de  ce  pro- 
blème montre  qu'une  distribution  de  la  température  satisfai- 
sant à  l'équation  de  la  conduction  calorifique  est  en  principe 
possible. 

Mais  en  physique  surtout  il  ne  suffît  pas  de  prouver  que 
les  principes  d'une  théorie  s'accordent  entre  eux  ;  il  faut  en- 
core montrer  que  ceux-ci  ne  contredisent  pas  les  principes 
d'un  domaine  scientificiue  voisin. 

Par  exemple  et  comme  je  l'ai  récemment  fait  voir,  l'axiome 
de  la  théorie  du  rayonnement  comporte,  outre  la  loi  fonda- 
mentale de  Kirchhoffsur  l'émission  et  l'absorption,  une  pro- 
position spéciale  sur  la  réflexion  et  la  réfraction  de  rayons 
lumineux  isolés  que  l'on  peut  énoncer  en  ces  termes  :  soit 
deux  rayons  de  lumière  naturelle  et  de  même  énergie;  ils 
tombent  chacun  d'un  côté  sur  une  surface  qui  sépare  deux  mi- 
lieux et  cela  suivant  des  directions  telles  (|ue,  le  premier 
après  son  passage,  le  second  après  sa  réflexion  suivent  la 
même  direction.  Dans  ces  circonstances,  le  rayon  qui  naît 
de  leur  union  est  de  nouveau  un  rayon  de  lumière  natu- 
relle et  de  même  énergie.  Cette  proposition,  comme  on  le 
constate  en  fait,  n'est  en  aucune  manière  en  contradiction 
avec  l'optique  ;  mais  en  sus  elle  peut  être  dérivée  comme 
une  conséquence  de  la  théorie  éleclromagnéli(|ue  de  la  lu- 
jnière. 

L'Enseifçneinent  niiithéin.,  "20' année,    1918.  ' 


130  n.    m  LUE  UT 

Comme  on  le  sait  les  résultats  de  la  théorie  cinélique  des 
gaz  sont  en  accord  parfait  avec  la  tlieimodynainique. 

De  la  même  façon  Vinertie  éleclroniagnéLiqae  et  la  gravila- 
lion  d'Einstein  sont  compatibles  avec  les  concepts  corres- 
|)ondants  de  la  théorie  classicpie  en  tant  f|iie  ceux-ci  sont 
envisagés  comme  les  cas-limites  des  concepts  plus  généraux 
{|ui  sont  à  la  hase  des  nouvelles  théories. 

Au  contraire  la  théorie  moderne  des  quanta  et  la  connais- 
sance progressive  de  la  structure  interne  des  atomes  ont 
conduit  à  des  lois  qui  contredisent  tlirectement  Télectrody- 
namique  édifiée  jusqu'à  présent  sur  les  équations  de  Max- 
well. C'est  pourcpioi  à  l'heure  actuelle  l'éleclrodynamique, 
ainsi  (jue  chacun  le  reconnaît,  a  impérieusement  besoin  d'une 
nouvelle  base  et  d'une  radicale  transformation. 

Comme  on  le  voit  par  lout  ce  qui  précède,  la  réfutation  des 
contradictions  qui  surgissent  doit  toujours  s'effectuer  par  un 
changement  dans  le  choix  des  axiomes;  la  difficulté  consiste 
alors  à  découvrir  un  choix  tel  que  toutes  les  lois  physiques 
constatées  découlent  logiquement  des  axiomes  choisis. 

Il  en  va  autrement  lorsque  les  contradictions  se  dressent 
dans  les  sciences  théoriques  pures.  Comme  exemple  classi- 
que d'un  pareil  événement  on  peut  citer  la  théorie  des  en- 
sembles et  le  paradoxe  de  l'ensemble  de  tous  les  ensembles 
dont  l'origine  remonte  déjà  à  Cantor.  Ce  paradoxe  est  si  pe- 
sant c|ue  des  mathématiciens  hors  ligne  comme  Kronecker 
et  Poincaré  ont,  à  cause  de  lui,  refusé  le  droit  d'existence 
à  toute  la  théorie  des  ensembles,  qui  est  cependant  l'un  des 
rameaux  les  plus  riches  et  les  plus  vigoureux  des  malhéma- 
li(|ues. 

La  méthode  axiomatiqtie  vint  heureusement  remédier  à 
cet  état  de  choses  précaire.  Par  la  mise  au  jour  d'axiomes 
ap|iropriés  Zerinelo,  d'un  côté,  restreignit  l'arbitraire  des 
définitions  concernant  les  ensembles,  et  de  l'autre,  limita 
avec  j)récision  les  énoncés  admissibles  en  les  reportant  sur 
les  éléments  des  ensembles.  De  cette  manière  il  réussit  à 
développer  la  théorie  des  ensembles  do  façon  à  en  faire 
tomber  les  contradictions  verbales  tout  en  lui  laissant,  mal- 
gré les  restrictions  imposées,  la  même  élentlue  et  la  même 
capacité  d'application. 


PENSEE    AXIOMATIQUE  131 

Dans  tous  les  cas  envisagés  jusqu'ici,  il  s'est  agi  de  con- 
tradictions qui  avaient  surgi  au  cours  du  développement  d'une 
théorie  et  dont  la  disparition  nécessitait  la  refonte  d'un  sys- 
tème d'axiomes.  Mais  il  ne  suffit  pas  d'éviter  les  contradic- 
tions qui  peuvent  se  présenter,  si  l'on  veut  rendre  aux  ma- 
thématiques par  elles  compromises  leur  réputation  d'être  le 
modèle  de  la  science  la  plus  rigoureuse.  Par  son  essence 
même  la  méthode  axiomati(|ue  a  des  exigences  beaucoup 
plus  étendues;  elle  doit  en  particulier  prouver  que,  dans 
chaque  cas  et  sur  la  base  du  système  d'axionies  posés,  les 
contradictions  sont  absolument  impossibles  à  l'intérieur  d'un 
domaine  scientifique. 

Conformément  à  celte  exigence,  j'ai  démontré  dans  les 
Fondements  de  la  géométrie  la  non-contradiction  des  axiomes 
posés  en  faisant  voir  cjue  toute  contradiction  qui  décoidait 
logiquement  d'axiomes  géométriques  devait  nécessairement 
se  manifester  aussi  dans  l'arithmétique  du  système  des  nom- 
bres réels. 

Pour  les  théories  physiques  elles-mêmes,  il  sufiit  non  moins 
évidemment  de  ramener  le  problème  de  la  non-contradiction 
interne  à  la  non-contradiction  des  axiomes  arithmétiques. 
C'est  ainsi  que  j'ai  montré  la  non-contradiction  des  axiomes 
indispensables  à  la  théorie  du  rayonnement  en  construisant 
pour  elle  un  système  d'axiomes  composés  d'éléments  analy- 
tiques indépendants,  ce  qui  suppose  la  non-conlradiction  de 
l'Analyse. 

L'on  peut  et  l'on  doit,  cas  échéant,  procéder  d'une  façon 
semblable  dans  l'édification  d'une  théorie  mathémati(|ue. 
Considérons  par  exemple  comme  des  axiomes  la  proposition 
qui  dans  le  développement  de  la  théorie  des  groupes  de  Ga- 
lois  est  relative  à  Ve.ristence  des  racines  et  le  principe  qui 
dans  la  théorie  des  nombres  premiers  définit  la  réalité  des 
zéros  de  la  fonction  riemanienne  Ç  (/)  ;  il  faut  alors  dans  cha- 
cun de  ces  cas  prouver  la  non-contradiction  du  système 
d'axiomes  envisagé,  et  pour  cela  démontrer  par  le  moyen  de 
l'Analyse  la  proposition  concernant  l'existence  des  racines, 
comme  aussi  le  principe  riemannien  relatif  à  la  fonction  Ç(/), 
car  c'est  seulement  de  cette  manière. que  l'achèvement  de  la 
théorie  est  assuré. 


132  D.    UII.BEHT 

De  même  le  problème  de  la  iion-contradiclion  diin  sys- 
tème d'axiomes  pour  les  nombres  réels  se  laisse  ramener  à 
un  problème  qui  regarde  les  nombres  entiers.  C'est  le  mé- 
rite de  Weierslrass  et  de  Dédekind  de  l'avoir  montré  par 
leur  théorie  des  nombres  irrationnels. 

L'axiome  des  nombres  entiers  et  les  bases  de  la  théorie  des 
ensembles  constituent  toutefois  des  cas  uniques  d'excej)tion. 
Le  chemin  qui  conduirait  à  un  domaine  scientifique  plus  spé- 
cial encore  que  le  leur  paraît  inaccessible,  car  en  dehors  de 
la  logique  il  n'existe  plus  aucune  discipline  à  laquelle  un 
dernier  recours  serait  encore  possible. 

Cependant  comme  le  devoir  d'établir  la  non-contradiction 
est  inéluctable  il  est  nécessaire,  semble-t-il,  d'axiomatiser  la 
logique  elle-même  et  de  prouver  que  la  théorie  des  nombres 
comme  celle  des  ensembles  ne  sont  cjue  des  parties  de  la 
logique. 

Cette  voie  a  été  depuis  longtemps  préparée,  surtout  par 
les  profondes  recherches  de  Frege  ;  mais  elle  a  été  finale- 
ment ouverte  avec  succès  par  Russell,  aussi  profond  logi- 
('ien  (|ue  mathématicien  j)énétrant.  Dans  Tachèvement  de  la 
tâche  grandiose  que  ce  dernier  a  entreprise  pour  a.rio/nati- 
ser  la  logique  on  pourrait  à  bon  droit  voir  le  couronnement 
de  l'œuvre  même  d'axiomatisation. 

Cet  achèvement  toutefois  nécessite  encore  un  travail  nou- 
veau et  multiple.  Une  réflexion  plus  approfondie  montre  en 
effet  bien  vite  que  le  problème  de  la  non-contradiction  dans 
les  ensembles  et  les  nombres  entiers  ne  se  sullît  pas  à  lui- 
même,  mais  qu'il  se  rattache  à  un  vaste  domaine  de  questions 
très  difficiles  qui  relèvent  de  la  théorie  de  la  connaissance 
tout  en  ayant  une  couleur  nettement  mathématique.  Pour 
caractériser  brièvement  cet  ensemble  de  questions,  je  me 
bornerai  à  une  simple  énumération.  Un  problème  mathé- 
matique comporle-t-il  toujours  une  solution  ?  Question  capi- 
tale à  la(|uelle  se  rattache  subsidiairement  la  suivante  :  le 
résultat  d'une  recherche  mathématique  est-il  toujours  con- 
ti'ôlable  ?  Dans  le  même  ordre  d'idées,  tprentendre  par  le 
critérium  de  simplicité  j-elatif  aux  preuves  mathémati{(ues  ? 
Comment  définir  dans    les   mathématiques   et   la  logique  le 


PEAS  ÉE    AXIOMATI  Q  UE  133 

rapport  entre  le  contenu  et  la  foi- me  ?  En  quoi  consiste  enfin 
la  détermination  d'un  problème  mathématique  par  un  nom- 
bre fini  d'opérations  ? 

L'axiomatisation  de  la  logique  ne  |)ourra  nous  satisfaire 
entièrement  que  le  jour  où  toutes  les  questions  de  celte  na- 
ture seront  résolues  et  éclairées  dans  leur  rapport. 

La  dernière  surtout  concernant  la  détermination  par  un 
nombre  fini  d'opérations  est  la  plus  connue  et  la  plus  fré- 
quemment discutée,  parce  qu'elle  regarde  au  plus  haut  point 
l'essence  de  la  pensée  mathéniati(|ue. 

Je  voudrais  augmenfer  l'intérêt  qu'on  lui  porte  en  m'atta- 
chant  à  quelques  problèmes  mathématiques  spéciaux  dans 
lesquels  elle  joue  certainement  un  rôle. 

Gomme  on  le  sait,  la  théorie  des  invariants  alg(''l)riques 
renferme  un  théorème  fondamental  d'après  lequel  il  existe 
toujours  un  nombre  fini  d'invariants  tout  à  fait  rationnels, 
grâce  aux(|uels  tous  les  autres  invarianis  semblables  peuvent 
être  représentés  d'une  façon  complètement  l'ationnelle.  La 
première  preuve  générale  de  ce  fait  a  été  donnée  par  moi; 
elle  satisfait  pleinement,  je  crois,  notre  besoin  de  simplicité 
et  de  clarté;  il  est  impossible  toutefois  de  la  transformer  de 
façon  à  pouvoir,  j)ar  son  moyen,  assigner  des  limites  au  nom- 
bre cependant  fini  des  invariants  qui  composent  tout  le  sys- 
tème ou  d'établir  réellement  ces  derniers.  Des  réflexions 
tout  autrement  conduites  et  des  principes  nouveaux  ont  été 
nécessaires  pour  constater  que  la  détermination  du  système 
total  des  invariants  exige  uniquement  des  opérations  dont  le 
nombre  est  fini  et  se  trouve  renfermé  dans  des  limites  qui 
peuvent  être  assignées  à  l'avance. 

La  théorie  des  surfaces  nous  offre  un  autre  exemple  de  ce 
fait.  En  eflet  la  géométrie  des  surfaces  du  quatrième  ordre 
soulève  une  question  fondamentale,  à  savoir  :  de  combien  de 
nappes,  séparées  les  unes  des  autres,  une  surlace  de  cette 
espèce  peut-elle  tout  au  plus  se  com[)oser? 

Pour  r(''poiulre  à  cette  question  la  première  tâche  qui  s  im- 
pose est  de  prouver  (|ue  le  nombre  de  ces  nappes  doit  être 
fini.  Il  semble- facile  iWn  donner  la  preuve  en  s'engageanl 
comme  suit  dans  la  théorie  des  fonctions.  On  suppose  l'exis- 


134  D.    IIILBEIir 

tence  de  nappes  infiniment  nombreuses  et  l'on  choisit  un 
point,  et  un  seul  à  l'intérieur  de  chaque  portion  d'espace 
limitée  par  une  nappe.  Mais  le  lieu  oii  se  condensent  ces 
|)oints  qui  par  leur  choix  sont  infiniment  nombreux  serait 
un  point  d'une  singularité  telle  qu'il  faut  l'exclure  pour  une 
surface  algébrique. 

La  voie  indiquée  par  la  théorie  des  fonctions  ne  nous  per- 
njet  donc  en  aucune  façon  d'assigner  au  nombre  des  nappes 
de  la  surface  une  limite  supérieure.  C'est  pourquoi  il  vaut 
mieux  avoir  recours  à  des  considérations  basées  sur  le  nom- 
bre des  points  d'intersection;  ces  derniers  nous  enseignent 
finalement  que  le  nombre  des  régions  recherchées  ne  peut 
être  supérieur  à  12. 

Bien  que  cette  deuxième  méthode  soit  si  différente  de  la 
première,  nous  ne  pouvons  cependant  ni  la  réduire  ni  la 
transformer  au  point  de  décider  s'il  existe  réellement  une 
surface  du  4""  ordre  à  12  nappes. 

JNIais  puisqu'une  forme  quaternaire  du  4""^  ordre  possède 
35  coefficients  homogènes,  nous  pouvons  nous  représenter 
intuitivement  une  surface  déterminée  du  4'"^  ordre  par  un 
point  situé  dans  un  espace  à  34  dimensions.  Le  discrimi- 
nant de  la  forme  quaternaire  du  4'""  ordre  est,  dans  les  cœlli- 
cients  qu'elle  possède,  du  degré  108;  égalé  à  zéro  il  repré- 
sente dans  l'espace  à  34  dimensions  une  surface  du  108'"" 
ordre.  Comme  d'autre  part  les  cœfiicients  du  discriminant 
lui-même  sont  des  nombres  entiers  déterminés,  le  caractère 
topologique  de  la  surface  discriminantielle  se  laisse  fixer 
avec  précision  d'après  les  lois  qui  nous  sont  familières  dans 
l'espace  à  deux  ou  trois  dimensions.  De  cette  façon  nous 
pouvons  être  renseignés  exactement  sur  la  nature  et  la  signi- 
fication des  territoires  particuliers  {|ue  la  sui-face  discrimi- 
nantielle découpe  dans  l'espace  à  34  dimensions.  Représen- 
tées alors  par  les  points  de  chaque  territoire  ainsi  défini,  les 
surfaces  du  4""'  ordre  possèdent  toutes  sûrement  le  même 
nombre  de  nappes.  Cela  étant,  il  est  possible  par  un  dénom- 
brement fini,  bien  que  très  fatigant  et  de  longue  haleine, 
de  confirmer  si  une  surface  du  4'""  ordre  existe  ou  non  avec 
des  nappes  en  nombre  n  ^  12. 


PENSEE    AXIOMATIQUE  135 

Les  considérations  géométriques  que  nous  venons  de  dé- 
velopper constituent  la  troisième  voie  à  suivre  pour  répon- 
dre à  la  question  posée.  Elles  permettent  de  le  faire  par  un 
nombre  fini  d'opérations.  En  piincipe  donc,  notre  problème 
est  largement  épuisé  :  il  se  trouve  ramené  à  un  problème 
d'un  ordre  à  peu  près  analogue  à  la  tâche  de  découvrir  le 
chiffre  de  rang  10  que  l'on  obtient  en  dévelo[)panl  -  sous 
forme  de  fraction  décimale.  Ce  problème  peut  être  manifes- 
tement résolu  bien  que  la  solution  en  reste  inconnue. 

En  fin  de  compte  il  vaut  mieux  utiliser  les  recherches  pro- 
fondes et  difficiles  que  Rohn  a  faites  au  moven  de  l'algèbre 
et  de  la  géoméirie.  Ces  recherches  en  effet*  nous  font  voir 
qu'une  surface  du  4'"°  ordre  ne  peut  pas  comporter  il  nappes: 
en  réalité  il  n'en  peut  exister  que  10.  Cette  quatrième  mé- 
thode est  donc  la  seule  qui  apporte  la  solution  comj)lète  du 
problème  posé. 

Ces  développements  spéciaux  indiquent  comment  diverses 
méthodes  de  démonstration  sont  applicables  au  même  pro- 
blème ;  ils  permettent  d'étudier  de  plus  près,  comme  il  le  faut, 
la  nature  en  soi  de  la  preuve  mathématique,  si  l'on  veut 
éclaircir  avec  succès  des  questions  analogues  à  celle  de  la 
détermination  d'un  problème  par  un  nombre  très  grand,  mais 
fini,  d'opérations. 

Tous  les  problèmes  essentiels  que  je  viens  de  caractériser, 
et  parmi  lesquels  celui  relatif  au  nombre  des  opérations  n'est 
que  le  dernier  traité  et  mentionné,  me  paraissent  un  champ 
important  dont  la  découverte  est  toute  récente.  Pour  con- 
quérir ce  champ  nous  devons,  c'est  là  ma  conviction,  consi- 
dérer comme  l'objet  d'une  recherche  à  part  le  concept  de  la 
démonstration  spécifiquement  mathématif|ue,  exactement 
comme  l'astronome  doit  prendre  en  considération  le  mou- 
vement de  la  station  oii  il  se  tiouve  et  le  physicien  la  théo- 
rie de  ses  appareils,  ou  encore  exactement  comme  le  philo- 
sophe est  tenu  de  critif|uer  la  raison  elle-même. 

La  réalisation  de  ce  programme  constitue  une  tâche  fjui 
pour  le  moment  est  certes  loin  d'être  achevée. 


'  Un  exposé  sommaire  en  a  été  fait  par  F.  Klein  dans  ses  n  Conférences  sur  les  mallK-mali- 
qiius  »  Paris,  Hcrmann.  p.  29.  (Note  du  traducteur.) 


136  CHRONIQUE 

Pour  conclure  je  voudrais  en  quelques  mots  résumer  ma 
conception  générale  sur  la  nature  de  la  métliode  axiomalique. 

Selon  moi  tout  ce  qui  peut  être  objet  de  pensée  scientifi- 
que est  acquis,  sitôt  f|ue  la  l'orme  en  est  mûre  pour  une  théo- 
rie, à  la  méthode  axiomatique  et  par  là  indirectement  aux 
mathématiques.  Plus  nous  pénétrons  dans  les  couches  tou- 
jours plus  profondes  des  axiomes  au  sens  indiqué  précé- 
demment, plus  nous  acquérons  sur  la  nature  de  la  pensée 
scientifique  des  vues  toujours  plus  profondes;  plus  aussi 
nous  devenons  conscients  de  l'unité  de  notre  savoir.  Dans 
l'édifice  des  sciences  enfin,  dessiné  par  la  méthode  axioma- 
tique, les  mathémalif|ues  paraissent  appeler  à  jouer  un  rôle 
directeur. 


CHRONIQUE 


Albert  Gauthier-Villars. 

C'est  avec  un  profond  regret  que  nous  avons  appris  la  mort  de 
M.  Albert  Gauthier-Villars,  l'un  des  éditeurs  de  L Knsei^^^nement 
mathématique.  Ancien  élève  de  l'Ecole  polytechnique  ipromotion 
1881),  Albert  Gauthier-Villars  avait  renoncé  à  la  carrière  militaire 
pour  continuer,  suivant  les  traditions  familiales,  la  direction  de 
la  célèbre  maison  d'éditions  scientifiques.  Engagé  volontaire 
depuis  le  début  de  la  guerre,  il  a  succombé  à  son  poste,  en  qua- 
lité de  capitaine  d'artillerie  lourde,  le  14  juillet,  à  l'âge  de  57  ans. 

En  annonçant  à  l'Académie  des  sciences  la  mort  du  savant  et 
sympathique  éditeur  des  Comptes  rendus,  M.  Emile  Picard,  Secré- 
taire perpétuel,  a  rappelé  la  haute  compétence  et  la  grande  amé- 
nité de  ce  savant  qui  ne  comptait  que  des  amis  dans  le  monde 
scientifique  français  et  qui  emporte  les  regrets  de  tous  ceux  qui 
l'ont  connu. 

La  mort  prématurée  d'Albert  Gauthier-Villars  laissera  un  grand 
vide  dans  la  maison  d'éditions  qu'il  dirigeait  avec  tant  de  distinc- 
tion. Que  tous  ses  collaborateurs  reçoivent  l'assurance  de  notre 
vive  sympathie. 


CHRONIQUE  137 

Nous  réitérons  ici  à  la  faiiiillc  Texpression  respectueuse  de  nos 
sentiments  de  regrets,  qui,  nous  en  sommes  certains,  seront  par- 
tagés par  tous  les  lecteurs  de  L' Enseignement  mathématique. 

La  Kédactiox. 


Académie  des  Sciences  de  Paris.  —  Prix  décernés. 

Mathématiques.  —  Prix  Poncelet ;  2000  francs  :  Sir  Joseph 
Lau.moii,  membre  de  la  Société  Royale  de  Londres,  professeur  de 
mathématiques  à  l'Université  de  Cambridge,  pour  l'ensemble  de 
ses  travaux. 

Prix  Francœur ;  1000  francs  :  M.  Paul  Montel,  maître  de  con- 
férences à  la  Faculté  des  Sciences  de  Paris,  pour  ses  travaux  sur 
les  suites  de  fonctions  analytiques. 

AsTKOxo.MiE.  —  Prix  Lalnnde ;  540  francs  :  M.  A.  Belopsi.kij, 
directeur  de  l'Observatoire  de  Poulkovo,  pour  l'ensemble  de  ses 
travaux  d'analyse  spectrale  appliquée  à  l'astronomie. 

Prix  Valz;  400  francs:  M.  Fr.  Sy,  astronome  à  l'CJbservatoire 
d'Alger,  pour  l'ensemble  de  ses  travaux. 

Prix  Janssen;  médaille  :  le  père  Stanislas  Ghevalieii,  directeur 
de  l'Observatoire  de  Zô-Së,  près  Shanghaï,  en  Chine,  pour  ses 
travaux  d'astronomie  physique. 


Nouvelles  diverses.  —  Nominations. 

Espaj»"iie.  —  El  Progroso  cienti/i<-o.  Nous  venons  de  recevoir 
le  premier  fascicule  d'un  nouveau  périodique  scientifique  fondé 
par  M.  Z.-G.  de  Galdeaxo,  professeur  à  l'Université  de  Saragosse. 
Cette  revue  semestrielle  qui  sera  consacrée  aux  sciences  mathé- 
matiques, physiques  et  chimiques,  contiendra  des  travaux  de  doc- 
trines, de  critiques  et  de  méthodologie  scientifique,  ainsi  que  des 
articles  bibliographiques  et  des  notices  sur  l'organisation  de  ren- 
seignement des  sciences. 

Etats-Unis.  —  M.  J.  L.  Cooi.id<;e,  professeur  adjoint,  est 
nommé  professeur  titulaire  à  l'Université  Harvard. 

Le  liiireau  of  Education  AVashington  D.  C.  vient  de  publier  un 
catalogue  des  périodiques  mathématiques  avec  l'indication  des 
bibliothèques  américaines  où  il  peuvent  être  consultés.  Elaboré 
par  .M.  Dav.-Eug.  S.Mrni  et  M""'  Caroline  iùistis  Sealv,  ce  recueil 
est  appelé  à  lendre  de  grands  services  aux  chercheurs. 

Fi-am-e.  —  M.  Dhach  est  chargé  du  cours  de  mécanique  ra- 
tionnelle à  la  Faculté  des  Sciences  de  Paris. 


138  CHRONIQUE 

Italie.  —  MM.  G.  Colowetti,  professeur  à  l'Université  de 
Pise,  E.  I^AURA,  professeur  à  lUniversité  de  Pavie,  et  R.  Marco- 
Loxr.o,  professeur  à  l'Université  de  Xaples,  ont  été  nommés 
membres  correspondants  du  R.  Istituto  Lombardo. 

Suisse.  —  L'Ecole  polytechnique  fédérale  a  conféré  le  titre 
de  professeur  à  M.  le  D""  C.  BiiAXDiîNBERr.Eit,  chargé  du  cours  de 
méthodologie  à  la  section  normale. 


Nécrologie. 

M.  J.-H.  GiiAF,  professeur  de  mathématiques  à  l'Université  de 
Berne,  membre  de  la  Commission  internationale  de  l'enseigne- 
ment mathématique,  est  décédé  à  l'âge  de  G(i  ans. 

S.  Lattes.  —  INI.  Samuel  Lattes  est  décédé  le  5  juillet  à  Page  de 
43  ans.  Depuis  plusieurs  années  il  enseignait  le  Calcul  infinité- 
simal à  la  Faculté  des  Sciences  de  l'Université  de  Toulouse.  Il 
laisse  de  nombreux  travaux  ayant  trait  aux  équations  fonction- 
nelles et  aux  transformations  géométriques  associées  à  de  telles 
équations,  travaux  liés  d'une  façon  remarquable  avec  les  recher- 
ches de  l'école  italienne. 

On  peut  ajouter  qu'il  vient  de  succomber  brusquement  à  une 
courte  maladie,  alors  qu'il  était  en  pleine  activité  scientifique;  il 
laisse,  en  effet,  des  travaux  inédits,  actuellement  soumis  à  des 
jugements  académiques  et  que  la  Faculté  des  Sciences  de  Tou- 
louse se  propose  de  publier.  Aussi  aurons-nous  vraisemblable- 
ment à  y  revenir,  dès  que  les  manuscrits  en  question  auront  été 
l^lus  complètement  examinés. 

Samuel  Lattes  laisse  d'unanimes  regrets;  il  était  d'une  nature 
douce,  timide  et  affectueuse,  d'un  esprit  subtil  et  parfois  finement 
ironique.  Il  laisse  une  jeune  femme  tiès  sufTisamment  mathéma- 
ticienne pour  comprendre  la  valeur  des  travaux  de  son  mari  et 
une  fillette  d'un  âge  beaucoup  trop  tendre  pour  se  rendre  compte 
du  deuil  qui  la  fi-appe.  A.  B. 

M.  P.  PiAZETTr,  professeur  de  géodésie  et  de  mécanique  céleste 
à  l'Université  de  Pise,  est  décédé  dans  cette  ville  le  14  avril  1918, 
à  l'âge  de  58  ans.  Il  est  l'auteur  dun  traité  très  apprécié  de  géo- 
désie et  d'un  volume  sur  la  forme  des  corps  célestes.  On  lui  doit 
en  outre  des  recherches  remarquables  sur  la  forme  des  surfaces 
de  niveau  proches  du  géoïde,  sur  la  théorie  des  moyennes  et  des 
erreurs  d'observation,  et  sur  les  corps  d'attraction  nulle.  11  appar- 
tenait à  l'Académie  dei  Lincei  et  à  beaucoup  d'autres  institutions 
scientifiques. 


NOTES    ET    DOCUMENTS  139 

M.  C.  Stéphanos,  professeur  de  mathématiques  à  l'Université 
d'Athènes,  membre  de  la  Commission  internationale  de  l'ensei- 
gnement mathématique,  est  décédé  à  l'âge  de  60  ans. 

Ch.  WoLF.  —  Xous  apprenons  avec  regret  la  mort  de  M.  Charles- 
Joseph-Ktienne  NVolf,  doyen  de  la  section  d'astronomie  de  l'Aca- 
démie des  Sciences  de  Paris,  décédé  à  Saint-Seivan  dans  sa  Di' 
année.  .Vppelé  en  1803  à  l'Observatoire  de  Paris,  il  devint  le  col- 
laborateur de  Le  Verrier.  Il  occupa  pendant  de  nombreuses  années 
la  chaire  d'astronomie  de  la  Faculté  des  Sciences  de  Paris.  Il  fut 
élu  membre  de  l'Institut  en  1883  en  remplacement  de  Uouville. 


NOTES  ET  DOCUMENTS 


Cours  universitaires. 

Année  1918-1919. 

ÉTATS-UNIS  D'AMÉRIQUE 

Columbia  University  I New-Yorkj.  —  T.  S.  Fiskk  :  Theory  of  fïmclious,  4. 
—  !•".  X.  CoLE  :  Alj^ebiii;  4.  —  James  Maclay  :  DifTereiitial  geomelry  of  sur- 
faces, 4,  first  half-year  ;  Applications  of  tlie  eiliptic  funclions,  3,  second 
half-year.  —  I).  E.  S.MtTii  :  Historyof  malhematics,  2;  Praclicum  in  the  his- 
lory  of  nialhemalics,  4.  —  C.  J.  Keysek  :  Pliilosophy  of  niatliemalics.  4.  — 
Edward  Kas.nek  :  Ballistics,  2,  second  lialf-year;  Seminar  in  differential 
geometry,  2.  —  \V.  B.  Fite  :  DifTerenlial  équations,  3.  —  Dr.  C.  A.  Fischer  : 
(lalculus  of  variations,  3,  second  half-year. 

Cornell  University  lllhaca).  —  J.  McMahon  :  Theory  of  probabililies,  3, 
Inlroduclion  to  acturial  science,  3.  — J.  H.  Tan.neu  :  Introduction  to  the  ma- 
lhematics of  finance.  2.  —  V.  Snydek  :  Descriptive  geometry,  3  (lirst  leimi  : 
Anaiylic  geometry  of  space,  3  (second  term).  —  F.  R.  Shakpe  :  Hydrodyna- 
niics,  3  (first  term);  Elasticity,  3  (second  terni).  —  ^V.  B.  Cakvek  :  Projec- 
tive  geometry.  3.  —  A.  Ramjm  :  Line  geometry,  3  (second  term).  —  D.  C 
GiLi.EPsiE  :  Diflerenlial  Equations,  3.  —  \\'.  A.  Hukwitz  :  DifTercnlial  équa- 
tions of  malhematical  physics,  3.  —  C.  I".  Ckaig  :  Funclions  of  a  complex 
variable,  3.  —  F.  VV.  Owens  :  Advanced  calculus,  3.  —  Dr.  .M.  G.  Gàba  ; 
Probicms  in  mathcmatics,  3. 

Johns  Hopkins  University  i /iollimore).  —  V.  Mouley  :  Higher  geomelry, 
3  (lirst  lermi  ;     'iieory  of  funclions,  3  (second  term)  ;    Dynamics  and  hydro- 


140  NOTES    ET   DOCUMENTS 

dynaniics,  2  (spcond  lerm).  —  A.  B.  Coble  :    Tlieoiy  of  coi-respoiidences,  2. 

—  A.  CoHiiN  :  Elemciilary  iheory  of  fnnclions,  2  ;  Apijlied  maUieinalics,  2 
I second  terni). 

University  of  Chicago.  Autumn  quailer.  —  E.  H.  Moore  :  Matrices  ii) 
gênerai  aiialysis,  3.  —  L.  E.  Dickso.n  :  Tlieory  ornunibers,  3.  —  E.  J.  Wil- 
czY.NSKi  :  Projective  differential  geometry,  o.  —  H.  E.  SLAtcnr  :  Differcn- 
tial  équations,  3.  —  A.  C.  Lu.nn  :  Heat  and  nioleculnr  pliysics,  3;  Electron 
tlieory,  3.  —  Winter  qitarler.  —  E.  II.  Moouk  :  Fniiclions  of  infinilely  many 
variables,  3.  —  L.  E.  Dickso.n  :  Algebraic  iiumbers,  3.  —  G.  A.  Bliss  : 
Delinile  intégrais,  3  ;  Dilferential  équations,  3.  —  E.  J.  Wilczy.nski  : 
Projective  dilferential  geometry,  II,  3.  — ■  A.  C.  Lu.nn  :  Thermodynamics,  3  ; 
Tlieory  of  sound,  3.  —  Spring  qtiarter.  —  E.  H.  Moore  :  Functious  of  inli- 
nitely  many  variables,  II,  3;  Limils  and  séries,  3.  —  L.  E.  Dickso.n  :  Linear 
algebra,  3;  Solid  analytics.  3.  —  G.  A.  Bliss  :  Fimctions  of  Unes,  3;  Partial 
differential  équations,  3;  Function  of  a  complex  variable,  3.  —  A.  C.  Lunn  : 
Géométrie  optics,  3. 

University  of  Illinois  iUvhana,  III.).  —  E.  J.  Townsend  :  F'unclions  of  a 
complex  variable,  3  ;  Difl'erential  équations  and  advanced  calculus,  3.  — 
G.  A.  Miller  :  Continuous  groups,  3  (second  terni)  ;  Theory  of  équations, 
3  (lîrst  terni).  —  H.  L.  Rietz  :  Actuarial  theory,  3.  —  J.  Stebbins  :  Least 
squares,  2  (lirst  term).  —  J.  B.  Shaw  :  Fundamental  functious,  3  (lirst 
terni);  Funclional  transformations,  3  (second  term).  —  C.  H.  Sisa.m  :  Inva- 
riants and  liiglier  plane  curves,  3;  Solid  aiialytic  geometry,  3  (second  term). 

—  R.  D.  Cahmich.vel  :  Elliptic  functious,  3.  —  A.  E.mch  :  Projective  geo- 
metry, 3.  — A.  R.  Ckathor.ne  :  Calculus  of  variations,  3.  —  Dr.  E.  B.  Lytle  : 
History  of  mathematics,  2  (second  term).  —  Dr.  G.  A.  Wahlin  :  Tlieory  of 
nunibers,  3. 

ITALIE^ 

Bologna  ;  Università .  —  BuRGAiTi:  Foudamenti  iiella  Meccanica  Céleste, 
3.  —  DoNAii:  Eleltrodinamica  ;  Elettrootlica  ;  Teorie  relativistiche,  3.  — 
ExKiQUEs  :  Principi  délie  Matematiclie  [I,  Storia  crilica  dei  concelti  :  Geo- 
metria.  Analisi  inlinilesimale,  Meccanica  e  Cosmologia  nell' anlica  Grecia. 
II,  Moderna  crilica  dei  principi],  3.  —  Pi.ncherle  :  Calcolo  funzionale  secondo 
Volterra  et  Fréchet  ;  Teoremi  di  esistenza  per  le  equazioni  diffei-enziali  ; 
Equazioni  integrali,  3. 

Catania  ;  Univers i ta.  —  Cipolla  :  Série  di  Fourier  ;  Problema  di  Diriclilel  ; 
Funzioui  sferiche  e  cilindriche  ;  Funzioui  di  variabile  complessa  ;  Funzioni 
ellitticlie  ;  Applicazioni  diverse,  4.  —  Damfle  :  E(|uazioni  dilferenziali  délia 
tisica  matemalica  ;  Applicazioni,  4.  —  Scokza  :  La  geomelria  iperspaziale  e 
alcune  délie  sue  applicazioni,  4.  —  Sevekim  :  Calcolo  délie  variazioni,  4  '/,. 

Genova  ;  UnU-ersUà.  —  Loria  :  Geometria  infinitésimale  délie  curve  e 
délie  superficie,  3.  —  Tedone  :  li!quazioni  a  derivale  parziali  con  due  varia- 
bili  indipendenti  c  loro  applicazione  alla  risoluzione  di  problemi  di  llsica,  3. 

—  N.  N.  :  Analisi  superiore,  3. 


'  I.es  cours  iondnincntaux,  tels  que  .Analyse  .il^ébriiiue  cl  indriitésiiiinle.  (icoinélric  anii- 
lytiqtie,  deseriptivc,  projective,  Mor,iniquc  rationnelle,  existant  dans  toute  université,  ne 
liguronl  pas  dans  la  liste. 


N  U  TE  S    ET    DO  C  UME  N  TS  141 

Messina  ;  Unh'ersitù.  —  Bottasso  :  Analisi  veltoriale  ;  Potenziitle  newlo- 
niano  e  problemi  al  contorno  :  Teoria  dell' elaslicilà,  o.  —  Gai.apso  :  Fun- 
zioni  elliltiche,  3.  —  Gia.mbelui  :  Geoinetria  analilica  degli  iperspazi  ;  Teoria 
geomolrica  dell' eliniinazione  algebrica,  3. 

Napoli  ;  l'niversità.  —  A.modko  :  Sloria  délie  Malemaliciie  [lîvo  antico 
<dalle  prime  epoche  al  1200i],  3.  —  Dkl  Re  :  Analisi  estensiva  ad  n  dimeii- 
sioui  con  applicazioni  alla  Geoinetria  differeuziale   ed  alla  Mcccanica,  4  '/.,. 

—  Maucolongo  :  Série  di  Fourier  ;  Funzioni  sferiche,  cilindriche,  di  I.anié  ; 
Applicazioni  varie,  3.  —  Montrsano  :  La  teoria  délie  trasformazioni  bira- 
zionali  dello  spazio  ;  Le  trasformazioni  birazionali  involutorie,  3.  —  Pascal  : 
Capitoli  scelli  di  analisi  malemalica,  3.  —  Pinto  :  Ollica  geomelrica,  3. 

Padova  ;  Universilà .  —  d'AiicAis  ;  Funzioni  di  variabile  complessa  ;  Equa- 
zioni  iutegrali,  4.  —  Gazzamga  :  Teoria  dei  numeri,  3.  —  Lrvi-Civita  : 
Campi  elettroraagnetici,  4.  —  Ricci  :  Calcolo  dirPerenziale  nssolnlo  con  appli- 
cazioni, 4.  —  Severi  :  Geoinetria  dilïerenziale,  4. 

Palermo  ;  Uni\'etsità.  —  Bagneka  :  Funzioni  analiliche  gênerai i  ;  Funzioni 
iiitcre  :  Equazioni  difTerenziali  lineari,  3.  —  Dt  Franchis  ;  Geometria  délie 
superlicie  algebriclie,  3.  —  Gebbia  :  Meccanica  dei  sistemi  conlinui  ;  Polen- 
ziale  newtoniano  e  logaritmico  ;  Idroslalica  et  idrodinamica,  4  '/-i-  —  Signo- 
itiNi  :  Complementi  di  meccanica  razionale  con  particolare  riguardo  alla 
teoria  délia  elaslicilà,  3. 

Pavia  ;  Unii-ersità.  —  Bekzoi.aki  :  Curve  e  superficie  algebriclie,  3.  — Ci- 
sOTTi  :  Idromeccanica,  3.  —  Gehbaldi  :  l'^unzioiii  di  variabile  complessa  e 
hiuzioni  elliltiche,  3.  —   Vivanti  :  Teoria  dello  funzioni  di  variabili  reali,  3. 

Pisa  ;  Unn-ersità.  —  Bektim  :  Geometria  sopra  una  curva  algebrica,  3.  — 
BiANCHi  :  Teoria  dei  gruppi  conlinui  di  trasformazioni,  4  '/.,  —  Dini  :  Degli 
sviluppi  in  série  di  Fourier  e  degli  ail  ri  più  gencrali  sulla  rappresenlazione 
analilica  délie  funzioni  di  uiia  variabile  reale  data  arbitrariamente  in  un 
cerlo  inlervailo,  4  '/o  —  Maggi  :  Teoria  dei  campo  elettromaguetico  fisso  e 
mobile,  4  */.,.  —  N.  N.  :  Meccanica  superiore,  3. 

Roma  ;  Uni\'ersità.  —  Bisco.ncim  :  Applicazioni  geomotriclie  dei  calcolo,  3. 

—  Bompiam  :  Trasformazioni  di  conlallo  nello  spazio  e  loro  gruppi  conlinui, 
3.  —  Castelnvovo  :  Fquazioni  algebriclie  e  gruppi  di  sostiluzioni,  3.  — 
('kudeli  :  Teoria  dei  gruppi  conlinui  di  Irasformazioni,  3  —  Su. la  :  I"]qna- 
zioni  differenziali  délia  diuamica,  3.  —  Voi.ti;rka  :  Teoria  générale  délie 
onde,  3;  Idrodinamica,  3. 

Torino  ;  Uni\ersitii.  —  BoGGio  :  Forme  d  ocjuilibrio  délie  masse  (luide 
vuotanli,  3.  —  Fuuim  :  Funzioni  modulari,  aiitomorfe,  fiichsiane  :  Fqiiazioni 
differenziali  ordinarie  a  coefficienli  razioiiali,  3.  —  Segre  :  Complessi  alge- 
brici  di  retle,  3.  —  So.migliana  :  Termodinamica  ;  Teoria  dei  gas  ;  Propaga- 
zione  dei  calore,  3. 

SUISSE 

Semestre  d'hiver  (octobre  1918  à  mars  1919). 


Bàle  ;  Unii-ersité.  —  W.  Mattiiies  :  Malh.-phys.  Seminar,  2.  —  X.  :  Ana- 
lylisc-he  Geomelrie,  4;    Ueber  ein  Kapilel  der  hcilicrcn  Malh.,  4  ;    Uebgn.  1  : 


142  NOTES    ET   DOCUMENTS 

Math.  Seminar,  1.  —  O.  Spiess  :  Differ.u.  Intcgralrechiiung  I.  Teil,  4;  Dif- 
erentialgleichungen,  besonders  die  der  Pliysik,  3  ;  Math.  Prosemiiiar,  1  ; 
Math.  Semiuar,  gemcinsam  mil  dem  Oïdinarius  des  P'aches,  1.  —  R.  Flatt  : 
Piidagogisehes  Seminar;  math.-naturwiss.  Abteilung,  I.  Teil,  3;  Projec- 
tive  Géométrie,  2  —  M.  Knapp  :  Prazessioii  und  Nutalion,  fur  Vorgerùk- 
tere,  2;  Spharische  Astronomie,  fur  Anfanger,  2;  Populare  Astronomie  I,  1: 
Lektùre  von  Plolmaus  :  Almagest,  als  KoUoquium,  1  ;  Praktikum  auf  der 
Slernwarte,  5. 

Berne;  Université.  —  G.  Hubkr  :  Tiieorie  der  hoheren  ebenen  Kurveu,  3; 
Elliptische  und  Thetafiinklionen,  2  ;  Math.  Seminar,  1.  —  Crelier  :  Integral- 
rechnung,  1;  Anaiytische  Géométrie  der  Kegeischnilte,  2;  Darstellende 
Géométrie,  2;  Aigebraische  Analysis,  2;  Anaiytische  Géométrie,  2;  Dar- 
stellende Géométrie.  1  ;  Nichteuklidische  Géométrie,  2.  —  Mauderli  :  Ein- 
fuiirung  in  die  astronomisehe  Beobachtungpraxis  ,  2  ;  Wiss.  Rechnen  mit 
besonderer  Berùcksichtiguug  der  Bediirfnisse  der  Astronomie  I  :  Beniitzung 
und  Herstellung  malh.-aslr.  Tafeln,  2  ;  Die  chron.  GrundbegrifFe,  Oster- 
rechnung,  Kalender,  1  ,  Astronomisches  KoUoquium.  —  Berli.ner  :  Hohere 
Algebra,  2;  Anal.  Zahlcntheorie,  1;  Addilive  Zahlenlheorie,  1.  —  Huber  : 
Synthetische  Géométrie  II,  1  ;  DifFerejitialgeometrie  :  Raumkurven  uud  Flà- 
chen,  1.  —  Moser  :  Math.  Grundlagen  des  Alters-und  Invalidenversicherung, 
2;  Ausgewahlle  versicherungswiss.  Kapilel  ;  Math  -versicherungswiss.  Se- 
minar, 2.  —  Bohren  :  Die  Technik  der  Uufallversicherung  und  die  schweiz. 
Unfallversicheaungsanslîilt,  2;  Méthode  der  kleinsten  Quadrate,  1. 

Fribour^  ;  Université.  —  Plancherel  :  Géométrie  analytique,  3  ;  Equa- 
tions dilTérentielles,  3  ;  Exercices  de  géométrie  analytique,  1  ;  Séminaire 
mathématique,  2.  —  Daniëi.s  :  DifTerentialgleichung,  I.  Teil,  4;  Uebungen 
zu  Differentialreclmung,  1  ;  Thermodynamique,  1''^  partie,  3  ;  Calcul  des 
probabilités,  2  ;  Die  Grassman'sche  Ausdehnungslehre,  1. 

Genève;  Université.  —  C.  Cailler:  Calcul  diff.  et  intégr.,  3;  Exercices, 
2;  Mécanique  rationnelle,  3;  Exercices,  2;  Compléments  de  calcul  diff.  et 
intégr.,  1;  Conférences  d  analyse  math..  Equations  intégrales,  2.  —  Fehr  : 
Eléments  de  math,  snp.,  3;  Conférence  d'algèbre  et  de  géométrie  analy- 
tique, 1  ;  Exercices  pi-atiques  sur  les  éléments  de  math,  sup.,  2  ;  Géométrie 
projeclive,  1;  Séminaire  de  math,  sup.,  Chap.  choisis  d'algèbre,  2;  Sémi- 
naire de  math,  élémentaire,  Méthodologie  mathém.,  1.  —  Gautier  :  Astro- 
nomie physique,  2. 

Privat-docenls  :  Mirimanoif  :  Calcul  des  probabilités,  2.  —  Tikrcy  :  Mé- 
canique physique,  Théorie  des  déformations,  1. 

Lausanne  ;  Université  et  Ecole  d'insénieurs.  —  A.msteix  :  Théorie  des 
fonctions,  3;  Complément  de  calcul  intégral,  2.  —  G.  Du.mas  :  Calcul  dilf".  et 
intégral,  5:  Exeicices,  II,  2;  Questions  d'analyse,  2;  Séminaire  mathéma- 
tique, 1.  —  Lacombe  :  Géométrie  descriptive,  4  ;  Epures,  4  :  Géométrie 
analytique,  2  ;  Géométrie  tle  position  avec  exercices,  3.  —  Mayor  :  Mé- 
canique rationnelle,  I,  4  ;  Exercices,  1  ;  Physique  mathématique,  2.  — 
L.  Maillard  :  Calcul  infinitésimal,  avec  applications  aux  sciences,  4;  Astro- 
nomie sphérique,  3  ;  Mécanique  rationnelle,  2.  —  S.  Du.mas  :  Calcul  des 
probabilités,  II,  3. 

Privat-docents  :  Ch.  Jaccottet  :  Fonctions  d  une  variable  réelle,  2.  — 
M.  Paschoui)  :   latroduclion  à  la  physique  mathématiqu^e,  2. 


BIBLIOGRAPHIE  143 

Zurich  ;  Uni\'Cisité.  —  F'uictkk  :  Einfuliiiing  in  die  nialhem.  Behandluug 
der  Aatarwissensclialiou,  3  ;  Uebgn.,  1;  Tlieorie  der  aulomoipheii  Kiiuk- 
lioneii,  4  :  Matiicm.  Semiiiar  mil  Prof.  Speiser,  1.  —  Speiser  :  Differenlial- 
uiid  Intogralrechiuing,  I,  4  ;  Galois'sche  Théorie  der  algebraischen  Glei- 
chungen,  3;  Uebgn.,  1.  —  Wolfer  :  Eiiileitung  ia  der  Aslrononiio,  3; 
Uebgu.,  2;  Bahnbeslimm.  v.  Planeleu  u.   Koiiieteu,  2. 

Prh'at-docerits  :  Gonseth  :  Aiigew.  Mallieinalik,  4.  —  Bernavs  :  Mengen- 
lehre,  3. 

Zurich;  Ecole  polyleclinique  fédérale,  sectiun  normale.  —  Hirsch  :  Hôh. 
Malheraalik  I,  6  ;  Repet.,  1,  Uebgn.,  2  :  111,3;  Uebgu.,  1.  —  Frakel  :  Mathé- 
mati({iies  supérieures,  I.  6  ;  Répét.,  1  ;  Exercices,  2  ;  III,  3  ;  E.\ercices,  1.  — 
Gros.^.man.n  :  Darstell.  Géométrie,  4;  Repet.,  1,  Uebgn.,  4;  Projekt.  Géo- 
métrie, 4.  —  W'eyl  :  Analyt.  Géométrie,  2;  Uebgn.,  1.  —  Kollkos  :  Géo- 
métrie descriptive,  4;  Répét.,  1  ;  Exerc,  4.  —  Meiss.ner  :  Mechanik  II,  4  ; 
Repet..  1;  Uebgn.,  2.  —  Hurwitz  :  Ellipt.  Funklionen,  4;  Hôiiere  Zahlen- 
tbeorie,  2.  —  HuRwnz  u.  Koli.ros  :  Math.  Seminar,  2.  —  Weyl  :  Théorie 
des  elektromagn.  Feldes.  4  ;  Integraigieichungen,  2.  —  .Meiss.\er  :  Schwing- 
uugs-  u,  Weilenbewegungen,  2.  —  B^schlin  :  Vermessuugskunde  ;  Hôh. 
Geodiisie,  3;  Repet.,  1.  —  ^^'oLFER  :  Einleilung  in  die  Astronomie,  3; 
Uebgn.,  2;  Bahnbestimmungen  von  Planeten  u.  Kometen,  2.  —  A.mbekg  : 
Matii.  der  Pensionsversicherung,  2.  —  Brandenbergek  :  Eiufûhrung  in  deu 
math,  naturw.  Unterricht  I,  2.  —  Pôlya  :  Einf.  in  die  Analy.sis  reeller  Grôs- 
seu,  2.  —  KiENAST  :  Analyt.  Mechanik,  2. 

Cours  libres.  —  A.mberg  :  .Matheni.  der  Pensionsversiclierung.  2.  —  Beyel  : 
Rechenschieber  mit  Uebgn.,  1;  Darstelleiide  Géométrie,  2;  Kegelschnittc, 
1.  —  BuENTANO  :  Elektronentiieorie  auf  optischem  u.  elektrischcm  Gebiet,  2. 
Gonseïh  :  Questions  choisies  de  mathématiques  appliquées,  2  ;  Die  Flaclie 
3.  Grades,  1.  —  J.  Keller  :  Ausgewiihlte  Kapilel  der  darslelienden  Géo- 
métrie, 2  —  Kraft  :  Die  Grundkrafte  der  Welt,  1  ;  Geometrische  Analysis. 
3  ;  Kinetik,  Bewegung  materiellei"  Système  uuter  der  Wirkung  von  Kralteii, 
3.  —  Pôlya  :  Geometrische  Anweadiniiren  der  Funktionentheorio,  2. 


BIBLIOGRAPHIE 


Emile   BoKii .  —  LeçoDs  sur   les  fonctions  monogènes  uniformes   d'une 

variable  complexe,  rédigées  pai-  Gaston  Jiilia.  iColleclion  E.  Borel.l  — 
1  vol.  gr.  in-8o  de  xii-164  p.  ;  Prix  :  7  l'r.  50.  Gaulhier-Villai-s,  Paris,  1917. 
On  peut,  dans  ce  nouveau  volume,  distinguer  au  moins  deux  grandes 
idées.  La  première  consiste  en  ce  qu'il  est  possible  de  trouver,  à  partir  des 
séries  entières  et  en  liaison  étroite  avec  celles-ci,  des  représentations  d'une 
fonction  nionogène  qui  ignorent  les  frontières  infranchissables  pour  les 
séries  entières  elles-mêmes.  La  seconde  consiste  en  la  possibilité  de  cons- 
truire des  fonctions  monogèues  non  analYtiffues,   c'est-à-dire   des   fonctions 


Ii4  BIBLIOGRAPHIE 

d  une  variable  complexe  dont  l'existence  n  est  appuyée,  en  aucune  région  du 
champ  complexe,  sur  l'existence  d'un  développement  taylorien,  cette  exis- 
tence même  étant  une  impossibilité  à  cause  du  caractère  partout  dense  de 
l'ensemble  des  singularités  de  la  fonction. 

Combien  de  telles  thèses  auraient  semblé  audacieuses  il  y  a  seulement  une 
dizaine  d'années  !  Elles  dépassent  d'une  manière  étonnante  le  point  de  vue 
de  Weierstrass,  pour  lequel  il  n'y  avait  pas  de  fonction  analytique  sans 
série  entière  convergeant  quelque  part  dans  un  cercle,  m;iis  elle  ne  dépasse 
nullement  celui  de  Cauchy.  sinon  par  de  nouveaux  développements  et  de 
nouvelles  précisions,  dont  les  intégrales  définies,  prises  suivant  les  contours 
tracés  dans  le  champ  complexe,  s  accomodent  parfaitement.  > 

M.  Borel  a  d'abord  dû  perfectionner  la  théorie  des  ensembles  de  mesure 
nulle,  ensembles  qui  ont  la  puissance  du  continu  et  se  construisent  à  partir 
de  points  fondamenlanx  formant  un  ensemble  dénombrable.  Ainsi  l'ensemble 
(les  points  à  coordonnées  rationnelles  est  dénombrable  et  d  ailleurs  dense 
dans  tout  le  plan.  Mais,  en  parlant  un  langage  sommaire  et  i-apide,  je  puis 
dire  qu'autour  de  tout  point  rationnel  il  y  a  une  infinité  continue  de  points 
irratioflnels. 

On  conçoit  maintenant  que.  à  une  variable  z,  puisse,  dans  de  tels  ensem- 
bles, correspondre  une  fonction  f[z]  ayant  pour  points  singuliers  les  points 
fondamentaux  dont  la  densité  empêchera  !  existence  de  tout  développement 
taylorien. 

De  même  —  et  c  est  le  sujet  ti-aité  en  premier  lieu  par  M.  Borel  —  on  peut 
imaginer  que  des  séries  de  polynômes,  valables  dans  tout  le  champ  d'exis- 
tence d'une  fonction  monogène  à  points  singuliers  en  nombre  infini  et  d  abord 
isolés  (telle  une  fonction  méromorphel,  soient  encore  valables  quand  ces 
points,  sans  cesser  de  former  un  ensemble  dénombrable,  viennent  se  ranger 
on  ensemble  dense  sur  une  certaine  ligne  singulière,  qui  de  ce  fait  ne  cons- 
titue en  rien  un  empêchement  au  prolongement  appuyé  sur  la  série  de  poly- 
nômes considérée. 

Et  les  séries  de  polynômes  ainsi  invoquées  sont  généralement  construc- 
tibles par  polynômes  extraits  d'une  seule  et  môme  série  entièi'e.  On  voit 
donc  que  Weierstrass,  tout  en  ne  disant  que  des  choses  dont  l'existence  ne 
saurait  être  contestée,  montrait  qu'il  les  voyait  d'une  manière  rigoureuse 
mais  étroite  ou  tout  au  moins  spéciale.  La  série  entière  a  une  souplesse  que 
le  géomètre  allemand  n'a  pas  complètement  mise  en  évidence  ;  ce  qui  est 
obstacle  pour  elle,  quand  on  veut  ne  la  voir  que  sous  une  forme  intangible, 
cessera  de  l'èlre  si  l'on  groupe  ses  termes,  suivant  des  lois  nouvelles,  de 
manière  à  en  faire  de  certaines  séries  de  polynômes. 

Je  crois  en  avoir  assez  dit  pour  montrer  le  1res  grand  intérêt  de  ces 
Leçons,  fort  bien  rédigées  d'ailleurs  par  M.  Gaston  Julia.  Félicitons-nous 
aussi  de  ce  que  MM.  Borel  et  Julia,  en  prenant  tous  deux  une  part  active  à 
la  guerre,  aient  cependant  pu  trouver  le  temps  de  mettre  au  jour  celte  nou- 
velle publication  si  propre  à  montrer  la  fécondité  des  conceptions  de  l'école 
française  créée  par  Cauchy.  A.  Buhl  (Toulouse). 

Ernest  Fi.amakd.  —  Calcul  des  systèmes  élastiques  de  la  coustruction 
(Encyclopédie  industrielle  fondée  par  C.  Lechalas).  —  1  vol.  gr.  in-8°, 
de  vii-200p.,  avec  171  fîg.  ;  12  fr.  ;    Gauthier-Villars   et  Cie,    Paris,  1917. 

L'auteur  établit  le  calcul  des    systèmes    élastiques   de  Ja    constriiolion  en 


BIBLIOGRAPHIE  145 

partaut  de  Ja  notion  de  travail  de  déformation.  Dans  le  /,/V;e  premier,  il 
donne  l'étude  des  théorèmes  fondamentaux  relatifs  aux  dérivées  et  au 
minimum  de  travail  de  déformation.  Il  en  tire  ensuite  des  règles  pratiques 
pour  la  résolution  des  problèmes  d'application  concernant  les  poutres  droites, 
les  poutres  courbes  et  les  systèmes  articulés,  qui  font  l'objet  des  livres  II, 
m  et  IV. 

M.  Flamard  a  résumé  dans  la  Préface  le  point  fie  vue  auquel  il  se  place 
pour  établir  ces  principes  fondamentaux.   En  voici  le  principal  passage  : 

«  Les  principes  fondamenlaux,  théorèmes  des  dérivées  du  travail  et  du 
travail  minimum  de  déformation  sont  dus  au  célèbre  ingénieur  italien  Alberto 
Castigliano.  Nous  avons  établi  ces  principes  généraux  d'après  le  mode  d'ex- 
position adopté  au  cours  de  noire  Thèse  sur  les  Méthodes  runn-elles  de  la 
statique  des  constructions,  nous  inspirant  par  ailleurs  des  beaux  résultais 
théoriques  mis  en  évidence  par  M.  Bertrand  de  F'ontviollant  dans  son  remar- 
quable Mémoire  sur  les  Déformations  élastiques  des  pièces  et  systènies  de 
pièces  à  fibres  moyennes  planes  ou  gauches.  » 

«  L'application  systématique  des  principes  généraux  dont  il  s'agit,  à  la 
recherche  des  déplacements  élastiques  absolus  et  à  celle  des  efforts  de 
liaisons  surabondanles,  met  en  jeu  les  seules  dérivées  premières  du  travail 
de  déformation  et  conduit  à  des  calculs  basés  sur  la  simple  notion  d'inté- 
grale définie,  susceptible  dévaluation  à  la  fois  graphique  et  analytique. 
La  méthode  du  travail  de  déformation  est  ainsi  caractérisée  par  la  généra- 
lité, la  précision  et  la  sûreté  de  son  emploi  dans  l'étude  complète  et  rigou- 
reuse des  systèmes  élastiques  de  la  construction.  Dès  lors,  au  moins 
équivalente  aux  procédés  ordinaires  de  calculs  fondés  sur  la  géométrie  des 
déformations,  relativement  aux  questions  usuelles,  la  méthode  préconisée 
leur  est  nettement  supérieure  dans  l'examen  et  la  résolution  des  nom- 
breux problèmes  complexes  qu'envisage  la  théorie  de  la  résistance  des 
matériaux.  » 

Cet  ouvrage  apporte  une  intéressante  contribution  à  l'étude  théorique  et 
pratique  de  la  résistance  des  matériaux. 

Œuvres  de  Charles  Hermite,  publiées  sous  les  auspices  de  l'Académie  des 
Sciences,  par  ICmile  Picakd.  Tome  IV.  —  1  vol.  gr.  in-8o,  de  596  p.  ; 
avec  2  planches,  reproduction  de  la  médaille  du  Jubilé  d'Hermite  et  un 
fac-similé  de  lettre  ;  25  ir.    Librairie  Gauthier-Villars  et  Cie,  Paris,  1917. 

Ce  volume  forme  le  quatrième  et  dernier  des  Œuvres  de  Charles  Hermite. 
Les  mathématiciens  sauront  gré  à  M.  Picard,  Secrétaire  perpétuel  de  l'Aca- 
démie des  Sciences,  d  avoir  pu  terminer  celte  publication,  malgré  les  difli- 
cullés  de  toutes  sortes,  dues  aux  circonstances  actuelles 

Le  Tome  IV  contient  les  travaux  publiés  de  1880  à  1901,  année  de  la  mort 
d'Hermite.  Ils  sont  consacrés,  pour  la  plupart,  à  la  théorie  des  fondions 
elliptiques  et  à  leurs  applications.  Mais  on  y  trouve  aussi  des  mémoires 
fondanientaux  sur  les  fonctions  eulériennes,  la  théorie  des  nombres,  les 
polynômes  de  Legendre,  les  fractions  continues,  les  fondions  analyti- 
ques, etc. 

Ce  volume  renferme  en  outre  des  notices  biographiques  et  des  discours 
prononcés  par  Hermile  dans  diverses  occasions.  «  Plusieurs  de  ces  pages, 
dit  M.  Picard  dans  l'Avertissement,  sont  d  un  haut  intérêt,  non  seulemenl 
ivu  point  de  vue  scientiliqne,  mais    parce  qu  elles  jettent  quelque  jour  sur  l» 

L'ICnsfignement  niathc'in.,  20«  ,-innée,   l'JlS.  10 


146  R  I  H  l.l  OGRA  P  II  1 E 

jjersonnalilé  si  oiiginale  d'Hermile.  Elles  sont  à  rapprocher  des  lettres 
d'Hermile  à  Stielljes  publiées  anlérieiireiDeut,  où,  à  côté  du  géomètre, 
apparaît  souvent  l'iioranie.  On  doit  d'ailleui's  considérer  que  cette  correspon- 
dance*, remarquable  à  tant  de  titres,  fait  partie  des  Œuvres  complètes 
d'Hermite,  comme  les  quatre  Volumes  dont  nous  terminons  aujourd'hui  la 
publication.  » 

L  œuvre  du  savant  géomètre  se  trouvait  dispersée  dans  un  grand  nombre 
fie  périodiques  français  et  étrangers.  Réunie  avec  beaucoup  de  soin  par 
M.  Picard,  elle  grandit  singulièrement,  et  forme  maintenant  un  précieux 
instrument  de  travail  pour  les  mathématiciens.  Ainsi  que  le  remarque  la 
Préface  du  Tome  I,  les  mémoires  d'Hermite  sont  courts,  à  peu  d'e.x<eptions 
près.  0  La  marche  générale  des  idées  y  est  toujours  mise  avec  évidence  ; 
mais,  surtout  dans  la  première  partie  de  la  carrière  d  Hermite,  la  rédaction 
se  présente  sous  une  forme  synthétique,  et  le  soin  d'établir  de  nombreuses 
propositions  intermédiaires,  dont  1  énoncé  seul  est  indiqué,  est  laissé  à  la 
charge  du  lecteur.  Quel  fructueux  exercice  que  la  lecture  d'un  de  ces 
Mémoires  fondamentaux  pour  l'étudiant  bien  doué  qui  cherche  à  en  rétablir 
tous  les  détails.  »  H.   F. 

L.  KoLLRos.  —  Géométrie  descriptive.  —  1  vol.  p.  in-S»  do  vin-154  p.,  avec 
170  lig.  ;  relié  5  fr.  ;  Orell  Fûssli,  Zurich,  1918. 

Ce  Précis  donne  un  exposé  clair  et  concis  des  principes  fondamentaux  de 
la  Géométrie  descriptive,  depuis  les  premiers  éléments  jusqu'à  la  photo- 
grammétrie  et  à  la  résolution  graphique  des  équations  linéaires.  C'est  un 
résumé  du  cours  professé  par  l'auteur  à  l'Ecole  poly'echnique  fédérale 
tle  Zurich,  où  il  est  complété  par  de  nombreux  exercices  théoriques  et 
pratiques. 

Nous  pouvons  nous  borner  à  donner  un  tableau  des  matières  contenues 
dans  ce  volume  qui  est  appelé  à  rendre  de  grands  services  aux  étudiants.  Il 
comprend  quatorze  chapitres  : 

I.  Projection  cotée.  —  II.  Affinité.  —  III.  .Méthode  de  Monge.  —  IV.  Axono- 
mélrie.  —  V.  Homologie.  Coniques.  —  VI.  Cônes  et  cylindres.  —  Vil. 
Sphère.  —  VIII.  Surfaces  de  révolution.  —  IX.  Surfaces  réglées. — X.  Sur- 
faces développables.  —  XI.  Hélices  et  hélico'ides.  —  XII.  Projection  cen- 
trale. —  XIII.  Cartes  géographiques.  —  XIV.  Géométrie  descriptive  an 
dimensions. 

Ajoutons  que  l'auteur  utilise  la  notation,  généralement  en  usage  en  Suisse, 
et  qui  consiste  à  représenter  les  points  par  des  lettres  majuscules^.  A,  B, 
G,  ...,  les  droites  par  des  petites  lettres  a,  h,  c,  ...  et  les  projections  par 
les  mêmes  lettres  affectées  d'un  indice,  A,  ,  A.,,  A^  ;  B,  ,  ...  C,  ;  a,,  a^.  a^  : 
/>,,...  t-3,...  "  H."  F." 

Edm.  I.A.Nn.vi .  —  Einfiihrung  in  die  elementare  und  analytische  Théorie 
der  algebraischen  Zahlen  und  der  Idéale.  —  1  vol.  in-8".  14:;  p.:  r.  .M.  . 
B.  G.  Teubner,  Leipzig. 

Ce  petit  livre  de  143  pages  est  formé  de  deux  parties  bien  dinTérenles. 
La    première    constitue    une    introduction   à   la  théorie  des   nombres    algé- 


'  (".orres|K,U(liinco  d'Ht-riiiito  ot  de  Slioltjos,  i  volumes,  Paris,   1905  [lied.). 


Bl  H  I.IOG  R  A  P  H  lE  147 

briques.  I>  autour  s'y  propose  essenliellenienl  de  démontrer  parle  plus  court 
chemin  le  théorème  fondamental  de  Dedekind  sur  la  décomposition  univoque 
d'un  idéal  en  idéaux  premiers.  Pour  lire  les  50  pages  qu'elle  contient,  il 
sudlt  de  connaître  qu'un  nombre  ordinaire  est  décomposable  d'une  seule 
manière  en  nombres  premiers,  qu'une  équation  algébrique  de  degré  n  a  n 
racines  et  qu  une  fonction  rationnelle  symétrique  s'exprime  comme  fonction 
rationnelle  des  fonctions  symétriques  élémentaires,  toutes  connaissances 
qu  un  étudiant  acquiert  dans  sa  première  année  d'études  universitaires.  La 
seconde  partie  se  propose  défaire  connaître  aux  mathématiciens  les  résultats 
les  plus  importants  de  la  théorie  analytique  des  idéaux,  en  particulier  le 
théorème  que  dans  tous  les  corps  algébriques  il  y  a  asymptotiquemenf  le 
même  nombre  d'idéaux  premiers.  L'auteur  avait  déjà  exposé  cette  théorie 
jadis  dans  son  Handbuch  der  Lehre  von  der  Verteiliing  der  Primzahlen. 
Depuis  lors,  la  découverte  importante  «le  Hecke  que  la  fonction  T  (s)  relative 
à  un  corps  algébrique  K  quelconque  est  prolongeable  analytiquement  dans 
tout  le  plan  et  satisfait  à  une  équation  fonctionnelle  simple  permet  de 
retrouver  d'une  manière  différente  les  anciens  résultats  de  la  théorie  et 
d'obtenir  de  nouveaux  résultats.  Aussi  le  commencement  de  la  deuxième 
partie  est-il  consacré  à  la  démonstration  du  théorème  de  Hecke.  La  lecture 
de  la  seconde  partie  ne  suppose  aucune  autre  connaissance  préalable  que 
celle  de  la  première  partie  et  celle  des  éléments  de  la  théorie  des  fonctions 
analytiques. 

On  retrouve  dans  cet  ouvrage  toutes  les  qualités  de  rigueur,  de  clarté  et 
de  pi-écision  qui  distinguent  les  travaux  antérieurs  de  M.  Landau.  En  parti- 
culier, il  ne  semble  guère  possible  de  ramener  à  plus  de  concision  la  pre- 
mière partie  du  livre.  Rien  ne  s'y  trouve  démontré,  qui  ne  soit  nécessaire 
pour  la  suite  et  tout  ce  qui  n'est  pas  nécessaire  est  élagué.  Ce  souci  de  sim- 
plification est  peut-cire  poussé  trop  loin  à  quelques  endroits  et  risque  alors 
de  rendre  plus  difficile  une  vue  d'ensemble  de  la  théorie. 

A  noter  la  composition  typographique  très  soignée  ;  aucune  table  d'errata 
n'accompagne  le  livre  et  je  n'ai  rencontré,  à  la  lecture,  aucune  faute  typo- 
graphique. .M,  Pi-.^NCHEKKi.   (Fribourg). 


L.  Lkcok.nu.  —  Cours  de  Mécanique,  professé  à  l'Ecole  Polytechni(|ue. 
Tome  IIL  —  I  vol.  gr.  in-S»  de  lV-670  pages  ;  25  fr.  ;  Gauthier-Villars  et 
C'«,  Paris,  1918. 

Le  troisième  volume  du  Cours  de  M.  Léon  Lecornu  traite  de  la  Mécanique 
appliquée.  Le  savant  auteur,  dans  une  courte  piéface,  n'ose  se  flatter  d  avoir 
su  passer,  sans  heurt,  de  la  Mécanique  rationnelle  des  deux  volumes  précé- 
dents, aux  applications  appuyées  sur  des  formules  empiriques.  Cependant  il 
sudit  de  parcourir  la  premièie  partie  du  présent  livre,  consacrée  à  la  résis- 
tance des  matériaux,  pour  être  complètement  rassuré  sur  la  solidité  et 
l'élégance  de  la  transition.  Après  avoir  rappelé  la  statique  rationnelle,  par- 
ticulièrement sous  la  forme  graphique  qui  relève  aussi  du  Cours  de  Géomé- 
trie de  l'Ecole,  il  entre  dans  le  vif  du  sujet  en  étudiant  les  relations  entre 
efforts  et  déformations  relatifs  aux  solides.  Il  sépare  soigneusement  les 
résultats  empruntés  à  la  théorie  de  l'élasticité  des  résultats  pratiques  venant 
les  simplifier.  Dans  le  même  ordre  d'idées  il  n'y  a  pas  que  la  théorie  élas- 
tique qui  donne  qxielqtie  chose  ;  le  simple  théorème  du   travail  virtuel  a  été 


148  RI  B  f.  10  GRAPHIE 

remarquablement  combiné,  par  M.  Bertrand  de  Fontviolant,  avec  les  principes 
de  la  résistance  des  matériaux. 

D'ailleurs,  si  l'on  examine  quelques  problèmes  particuliers  (poutres  encas- 
trées, posées  sur  appuis,  elc.)  on  est  frappé  de  la  simplicité  avec  laquelle, 
par  liutermédiaire  d'équations  linéaires,  on  retrouve  la  plupart  des  théo- 
ries de  Saint-Venant.  Je  conseillerai  presque  d'éludicr  d'abord  ces  ques- 
tions simplifiées  à  qui  voudrait  s  occuper  ensuite  d'élasticité  rationnelle;  et 
le  conseil  serait  vi-aisemblablement  d'accord  avec  l'ordre  historique.  Les 
équilibres  élastiques  de  l'anneau,  des  ressorts  en  lames,  en  spirales,  en 
liélices,  sont  des  questions  à  propriétés  géométriques.  L'équilibre  d'une 
plaque  est  beaucoup  plus  difllcile  mais  devient  cependant  relativement  abor- 
dable, par  des  moyens  élémentaires,  de  par  une  certaine  manière  approchée 
de  tenir  compte  des  conditions  au  pourtour.  Le  flamhement  ne  va  pas  sans 
(les  considérations  de  courbure  d'où  proviennent  encore  des  équations  li- 
néaires très  simples  quand  le  phénomène  tend  à  se  produire  après  de  petites 
défoi'malions. 

Les  systèmes  hyperslalUjues,  c'est-à-dire  surabondamment  équilibrés,  ont 
une  théorie  véritablement  grandiose.  Le  principe  du  travail  minimum  est, 
pour  eux,  ce  que  le  principe  du  travail  virtuel  est  pour  les  systèmes  de  la 
statique  rationnelle.  Les  systèmes  réticulaires,  les  poutres  à  plus  de  deux 
appuis  illustrent  facilement  le  pi-incipe  général. 

L'équilibre  des  massifs  de  terre  a  été  surtout  étudié  par  M.  Boussinesq 
qui  (Comptes  rendus,  1918|  poursuit  toujours  une  telle  étude.  Il  l'appuya  dès 
l'abord  sur  un  potentiel  logarithmique  spécial.  On  y  rencontre  d'intéres- 
santes familles  de  courbes  le  long  desquelles,  par  exemple,  l'éboulement 
tend  à  se  produire  et,  dans  les  cas  les  plus  simples,  les  murs  de  soutène- 
ment se  peuvent  étudiei"  par  des  lois  analogues  à  celles  s'appliqnant  aux 
dignes. 

Enfin,  à  ces  c(uestions  statiques  s'adjoignent,  dans  des  circonstances  géné- 
ralement peu  souhaitées  mais  qu'il  faut  justement  savoir  piévoir,  certains 
faits  dynamiques.  Un  système  destiné  à  I  équilibre  peut  être  ébranlé  par  un 
choc  ;  les  vibrations  des  barres  nous  ramènent  notamment  aux  équations 
aux  dérivées  partielles  ainsi  qu'aux  fonctions  aibitraires  et  aux  séries  de 
solutions  simples  qui  y  satisfont.  Une  très  forte  pression,  qu'on  peut  se 
représenter  de  manière  statique,  peut  entraîner  (effet  dynamique)  l'écrase- 
ment d'un  cruslier  ;  on  mesure  ainsi  la  force  d'expansion  d'un  explosif  et 
voilà  la  résistance  des  matériaux  rattachée  à  des  questions  de  balistique 
intérieure.  L'étendue  n'y  manque  pas  plus  que  l'originalité. 

L'Hydraulique,  image  simplifiée  de  1  Hydrodynamique,  a  des  équations  et 
des  explications  approchées  qui  ne  vont  pas  non  plus  sans  quelque  élégance. 
C'est  ce  que  Ion  pouriail  dire  du  mouvement  régularisé  par  vitesses 
moyennes,  du  ihéoi-ème  de  Bcrnoulli  complété  pour  le  cas  d'un  fluide 
visqueux  et  surtout  d'tui  cas  simple,  d'abord  ti'aité  par  M.  Boussinesq.  où 
l'on  explique  l'apparition  des  tourbillons  par  la  discussion  de  l'intégrale 
d  une  simple  équation  différentielle  linéaire.  Les  premiers  problèmes  paiti- 
culiers  ont  trait  aux  écoulements  par  des  orifices  de  formes  diverses  puis 
par  les  déversoirs.  Viennent  ensuite  les  pertes  de  charge  par  modification 
brusque  du  diamètre  ou  de  la  direction  d'une  conduite,  les  perles  lentes 
dans  les  longs  tuyaux  et  le  phénomène  si  curieux  et  parfois  si  désastreux  du 
coup  de  hélier.  Celui-ci  dépend  d'une  équation  aux  dérivées  partielles  du 
type  hyperbolique,  tout  à  fait  analogue  à  l'équation  des  cordes  vibrantes  et 


BIBLIOGRAPHIE  149 

s'inlégi'anl,  au  premier  abord,  de  la  niénie  manière;  mais  les  circonstances 
accessoiies  sont  nombreuses  et  compliquées.  La  présence  de  poclies  d'air 
dans*la  conduite,  loin  d'amortir  le  phénomène,  ne  lait  souvent  que  l'exciter. 
Dans  un  canal,  des  phénomènes  plus  ou  moins  comparables  peuvent  être 
observés  ;  ce  sont  le  ressaut,  d'abord  immobile  mais  transformable  en  ondes 
de  translation,  puis  l'onde  solitaire  dont  le  profil  a  encoi'e  d'intéressantes 
propriétés  géométriques.  Quant  aux  ondes  d'oscillation,  qui  ne  sont  jamais 
isolées,  leur  élude  se  ramène  assez  aisément  à  celle  des  mouvements  oscilla- 
toires les  plus  simples  c'est-à-dire  aux  mouvements  harmoniques. 

La  Pneumatique  reprend,  pour  les  gaz,  les  questions  déjà  examinées  pour 
les  liquides  ;  les  écoulements  gazeux  ne  diffèrent  des  écoulements  liquides 
que  par  la  présence  d  intégrales  prêtes  à  disparaître,  en  s'explicitant,  pour 
le  cas  où  l'on  reviendrait  à  l'incompressibilité.  A  signaler  ici  de  curieuses  et 
simples  formules,  dues,  je  crois,  à  Haton  de  la  Goupillère,  pour  le  temps 
nécessaire  ^u  remplissage  d'un  récipient  mis  en  communication  avec  un 
autre  où  la  pression  est  maintenue  cousianle.  Notons  encore  l'étude  des 
conditions  thermiques  dans  lesquelles  une  colonne  gazeuse  pourrait  présen- 
ter des  ondes  permanentes  analogues  à  1  onde  solitaire  liquide  puis  les 
ondes  coniques  qui  suivent  un  bateau  à  marche  suffisamment  rapide  ou  un. 
projectile  marchant  plus  vite  que  le  son  ;  ce  sont  des  ondes  singulières, 
enveloppes  de  familles  d'ondes,  qui  produisent  le  claquement  perçu  le  long 
de  la  trajectoire  d'une  balle. 

La  résistance  de  l'air,  d'une  élude  si  nécessaire  poui-  la  balistique  et 
l'aviation,  présente  d'étranges  paradoxes.  L'n  cylindre  cii-culaire,  tournant 
rapidement  autour  de  son  axe  et  placé  dans  un  courant  d'air,  a  un  déplace- 
ment possédant  une  composante  perpendiculaire  an  courant.  Certaines 
plaques  pouvant  tourner  autour  d'une  noi'male  fixe  ont  leur  rotation  entre- 
tenue par  un  courant  d'air  également  normal,  ce  qui  semble  invraisemblable 
par  raison  de  symétrie.  L'esprit  scientifique  simplement  curieux  peut,  à 
coup  sûr',  se  passionner  autant  que  le  technicien  pour  de  semblables 
questions. 

Une  remarque  tout  à  fait  analogue  à  cette  dernière  peut  être  faite  au  début 
de  la  Thermodynamique.  M.  Lecornu  nous  avertit  qu'il  va  être  brel  et  q>i  il 
n'a  en  vue  ({ue  ce  qui  est  nécessaire  pour  la  théorie  des  moteurs  ther- 
miques, mais,  heui'cusement,  il  ne  lient  pas  sa  promesse  de  manière  étroite. 
Je  relève  des  paragraphes  d'un  extrême  intérêt  sur  les  parties  quasi-philo- 
sophiques de  la  Thermodynamique.  On  sait  que,  dans  les  transformations 
réversibles,  l'inverse  de  la  température  est  un  facteur"  intégrant  pour  la 
variation  infinitésimale  de  la  quantité  de  chaleur  d  où,  par  intégration  alors 
possible,  la  fonction  entropie.  Cela  peut-il  s'expliquer  de  manière  purement 
mécanique  .'  M.  Lecornu  s'en  rapporte  ici,  très  élégamment  et  très  briève- 
ment, à  Helmholtz,  à  Lord  Kelvin  et  à  Henri  Poincaré  ([ui  a  recherché  la 
nature  des  mouvements  tourbillonnaires  n'altérant  pas  l'existence  d  une 
entropie. 

Dans  les  cycles  relatifs  aux  fluides  homogènes  on  rencontre  d'abord  ceux 
dont  l'aire  mesure  le  travail  ;  l'idée  de  conserver  celle  représentation 
entraine  la  constitution  de  diagrammes  cnlropiques  pour  lesquels  on  re- 
trouve, sous  sa  forme  générale,  le  problème  bien  connu  de  la  conservation 
des  aires  planes.  D'ailleurs,  ces  équivalences  de  mailles  constiUienl  une  clef 
intuitive  quant  aux  formules  subséquenles. 

L'équalion   caractéristique  des  gaz  parfaits  peut  ètie  rallachée  à  la  théorie 


150  Hini.IO  GRAPHIE 

du  viiiel  ;  cette  équation  et  les  formules  relatives  aux  diverses  trjinsforma- 
tions  de  ces  giiz  subissent  des  modificfitions  qui,  auliint  que  possible,  con- 
servent leur  aspect  quand  on  passe  aux  gaz  réels.  C'est  une  question  de 
termes  complémentaires  sur  lesquels  les  physiciens  n'ont  pas  toujours  été 
d'accord  ;  l'approximation  la  meilleure  est  généralement  du  côté  des  for- 
mules simples. 

L'étude  des  vapeurs  saturées  est  riche  en  résultats  géométriques  asymplo- 
tiques  à  ceux  concernant  les  gaz  parfaits  ;  Joseph  Bertrand  a  même  étudié 
ainsi  les  propriétés  qui  subsislent  dans  le  voisinage  de  la  saturation.  Les 
écoulements  des  fluides  élasti([ues  sont  maintenant  repris  en  tenant  compte 
des  phénomènes  thermiques  ;  la  relation  entre  la  vitesse  d'écoulement  d'une 
vapeur  et  la  température  correspond  encore  à  un  certain  cycle  dont  l'aire 
ligure  la  variation  de  force  vive.  Signalons,  à  ce  sujet,  les  si  curieux 
compteurs  de  vapeur  basés  sur  l'écoulement  de  celle-ci  au  travers  de  cei'- 
tains  ajutages.  La  propagation  d'une  onde  plane  demande  aussi  à  être  com- 
plétée au  point  de  vue  thermique;  le  complément  prend  naturellement  une 
importance  toute  particulière  quand  il  s'agit  de  la  propagation  des  flammes, 
des  ondes  de  déflagration  et  d'explosion  ;  là  encore  les  schèmes  géométriques 
gardent  leur  curieuse  simplicité  inluitive. 

Dans  les  généralités  relatives  aux  machines,  de  nombreuses  pages  sont 
consacrées  à  deux  organes  essentiels  :  le  volant  et  le  régulateur.  On  connaît, 
à  coup  sûr,  leurs  rôles  distincts,  mais  que  de  choses  intéressantes  à  noter 
quant  aux  différents  cas  ou  aux  différents  dispositifs  imaginés  par  des 
techniciens  ou  constructeurs  ingénieux.  Il  y  a  des  volants  élastiques  avec 
masses  portées  par  des  ressorts,  d'où,  pour  l'ensemble,  un  moment  d'inertie 
variable  ;  il  y  a  les  hélices  des  avions,  pour  lesquelles  le  couple  résistant 
est  fonction  nou  d'un  déplacement  angulaire  mais  d'une  vitesse  angulaire. 
Pour  les  régulateurs  la  diversité  est  plus  grande  encore  ;  ils  ont  une  théorie 
géométrique  en  tant  que  systèmes  articulés,  ils  utilisent  la  pesanteur  ou  des 
ressorts,  ils  deviennoit  isochrones  quand  ils  tendent  à  ramener  une  machine 
à  une  vitesse  angulaire  toujours  la  même  et  peuvent  alors  être  réalisés  par 
une  des  plus  simples  propriétés  de  la  parabole  à  axe  vertical,  lis  ont  aussi 
une  théorie  statique  et  dynamique  indépendante  de  leur  forme  et  susceptible 
d'une  interprétation  graphique  ;  tantôt  le  régulateur  tend  à  modifier  les 
régimes  d'une  manière  asymptotique  inlerpi'élable  par  le  parcours  d'une 
sorte  de  spirale,  tantôt  il  détermine  un  régime  cyclicjue  traduisible  sur  des 
courbes  fermées  ou  cycles.  Il  y  a  aussi  des  régulateurs  d'inertie,  des  régu- 
lateurs-volants, curieux  petits  monstres  qui  semblent  vouloir  vivre  de  la  vie 
de  deux  organes  que  la  théorie  s'attache  généralement  à  bien  séparer. 

Les  freins  peuvent  être  envisagés  aussi  à  des  points  de  vue  fort  divers. 
Tantôt  ils  absorbent  de  l'énergie  qu'il  s'agit  de  détruire,  tantôt  de  l'énergie 
(|u'il  s'agit  de  mosuier  (frein  de  Prony)  ;  ils  reposent  sur  des  frottements 
généralement  solides,  parfois  liquides,  comme  dans  les  pièces  d'arlillerie 
dont  il  faut  amortir  le  recul,  parfois  aériens  dans  les  moulinels  dynamo- 
métriques. 

Enfin  la  question  des  elforts  intérieurs,  dans  une  machine,  ne  peut  évi- 
demment être  tranchée  par  le  seul  théorème  des  forces  vives  suffisant,  pour 
lensemble  du  mouvement  considéré  du  point  de  vue  de  la  dynamique  ration- 
nelle. Il  y  a  ici  une  question  analogue  à  celle  des  systèmes  liypeislaliques 
avec  celle  complication  qu'il  s'agit  de  forces  appliquées  à  des  corps  en 
mouvement  ;  M.  Lecoruu  s'attache  à  traiter  des  cas  dont  l'élégance  est  d  au- 


BIBLIOGRAPHIE  151 

tant  moins  contestable  qn'on  peut,  toujours  et  encore,  l'appnyer  sur  de 
remarquables  constructions  géométriques. 

Je  ne  ferai  que  signaler  les  moteurs  hydrauliques  roues  et  turbines,  rap- 
pelant que  la  turbine  est  peut-être  due  à  Euler  et  présente  aussi  sa  curieuse 
géométrie.  Le  bélier  hydraulique,  utilisant  la  surpression  du  coup  de  bélier, 
est  vraiment  un  appareil  étonnant  et  même  de  première  apparence  para- 
doxal ;  M.   Lecornu  lui  consacre  un  schème  très  simple. 

Quant  aux  moteurs  thermiques  je  serai  également  bref,  signalant  surtout 
le  cas  de  la  combustion  interne  qui  nous  a  valu  l'aulomobilc,  le  sons-marin 
{moteur  Diesel)  et  l'avion.  Et  justement  des  notions  d'aviation  terminent  ce 
bel  et  grand  ouvrage  ;  j'y  relève  la  question  de  la  stabilité  automatique 
dédaignée  par  les  pilotes  mais  non  par  les  techniciens  justement  excités  par 
la  difficulté  du  problème. 

Peu  importe  quelques  citations  de  plus  ;  le  troisième  volume  de  M.  Lecornu 
termine  magnifiquement  un  Cours  de  Mécanique  qui  doit  pouvoir  atteindre 
à  toutes  les  applications  et  qui  y  atteint  effectivement  par  la  combinaison  la 
plus  sûre  des  formules  rationnelles  et  des  ti-acés  expérimentaux,  non  sans 
l'intuition  profonde,  et  toujours  exprimée  avec  le  maximum  d  élégance,  de 
la  géométrie  et  de  la  physique  des  faits. 

Encore  un  beau  guide  pour  les  jeunes  qui  demain  reconstruiront  la  France. 

A.   Blhi,  (Toulouse) 

Maurice  d'OcAONi-.  —  Cours  de  Géométrie  pure  et  appliquée  de  l'Ecole 

Polytechnique. —  Tome  II  :  Cinématique  appliquée.  Stéréotomie.  Slati(|ue 
graphique.  Calcul  graphique.  Calcul  grapho-mécanique  Xomographie.  — 
1  vol.  gr.  in-8o  de  364  pages  ;  18  fr.  ;  Paris,  Gauthier-Yillars,  1918. 

L'Enseignement  mathématique,  dans  le  présent  volume  (p.  301.  a  consacré 
un  article  de  fond  à  deux  grands  traités  de  géométrie,  publiés  à  la  même 
époque  et  destinés  à  faire  grande  sensation  dans  l'enseignement;  1  un  était 
dû  à  Gaston  Darbonx,  l'autre  à  M.  d  Ocagne,  dont  l'œuvre  s'achève  aujourdhui 
eu  un  second  volume  complétant  surtout  le  premier  au  point  de  vue  des 
applications. 

Ce  tome  II  débute  parla  Cinématique  appliquée  ;  le  souci  d'être  méthodique 
et  moderne  s  y  révèle  de  prime  abord,  ne  serait-ce  qu'en  ne  traitant  des  divers 
transformateurs  de  mouvement  qu  après  un  rappel  d'une  classification  géné- 
rale des  mécanismes  due  à  M.  G.  Kœnigs.  Je  me  permets  de  passer  sur  les 
diveis  types  d'engrenages,  mais  je  note  les  élégances  propies  aux  trains  épi- 
cyclo'/daux  susceptibles  notamment  d'associer  des  rotations  très  différentes 
sans  que  la  cause  de  celte  différence  soit  immédiatement  apparente  (paradoxe 
de  Kergusson).  Les  transformateurs  de  rotations  à  vitesses  variables  nous 
font  retrouver  des  coui-bes  roulantes  quelconques,  mais  avec  constructions 
intermédiaires  particulières  au  sujet  ;  on  construit  les  profils  roulants  en 
partant  de  courbes  dont  les  abscisses  doivent  s'enrouler  sur  des  circonfé- 
rences, ce  qui  est  l'occasion  de  faire  usage  d'une  consiruction  approchée 
concernant  la  quadrature  du  cercle. 

Toutefois  le  plus  grand  intérêt  apparaît  avec  les  tiansformaleurs  géomé- 
triques. Les  plus  simples  sont  des  quadrilatères,  dont  un  côté  est  inva- 
riable, ou  trois-harres  ;  on  peut  leur  rattacher  le  transformateur  de  Walt 
donnant  la  courbe  à  longue  inflexion,  c'est-à-dire  la  solution  approchée  de 
1.1    transformation    sans   guidage    du    mouvement    circulaire    en    mouvement 


152  BIRLIOGRAPIIJ  E 

recliligne.  II  esl  forl  intéress.ml  de  constater  que  cette  approximation  peut 
être  perfectionnée  par  divers  et  même  par  une  infinité  de  dispositifs  jusqu'à 
ce  que  1  ou  aboutisse  à  la  solution  rigoureuse  du  problème,  donnée  par  les 
inverseurs.  Et  comme  un  point  d'un  segment  glissant,  par  ses  extrémités, 
sur  deux  dioiles  décrit  une  ellipse,  le  fait  de  savoir  passer  du  mouvement 
circulaire  au  mouvement  recliligne  entraîne  que  l'on  sait  passer  aussi  au 
mouvement  elliptique  de  l'ellipsogiaphe  de  Hait.  Les  systèmes  articulés 
gauches  ont  pour  application  des  plus  remarquables  la  description  du  plan, 
ceci  par  la  combinaison  de  résultats  dus  à  G.  Darboux   et  à  M.  G.  Kœnigs. 

La  cinéinaliqtte  graphique  de  .M.  d  Ocagne,  qui  codifie  divers  procédés  de 
l'ingénieur  Mai-bee  et  des  professeurs  Perry  et  Smith,  ressemble,  en  effet, 
étonnamment  à  la  statique  graphique.  Les  vitesses  de  différents  points  d'un 
même  transformateur  s'assemblent  en  équipollences  d'une  simplicité  inat- 
tendue; ou  a  ainsi  des  cinêines  dits  du  premier  ordre  quant  aux  vitesses  et 
du  second  ordre  quant  aux  accélérations.  Et  l'on  peut  se  convaincre  de  la 
simplicité  de  ces  constructions  en  les  appliquant  aux  transformateurs  précé- 
demment rencontrés,  notamment  à  l'inverseur  Peauccllier. 

Je  serai  bref  eu  parlant  de  la  Stéréotomie,  faute  de  compétence  suffisante. 
J'y  aperçois  toutefois  de  jolies  épures  représentant  généralement  des  voùtts 
dont  certaines  sont  de  remarquables  surfaces  réglées  sous  lesquelles  un  géo- 
mètre aurait  grand  tort  de  passer  sans  lever  la  tète.  Même  le  fait  de  ne  pas 
s'occuper  elfeclivement  d  architecture  n  excuse  pas  l'indifférence  vis-à-vis  de 
surfaces  si  parfaitement  matérialisées  et  notamment  d'arrière-voussures 
non  moins  intéressantes  pour  l'analyste  que  pour  l'architecte.  D'ailleurs,  le 
cours  effectivement  professé  par  M.  d'Ocague  ne  comprend  que  deux  leçons 
de  Stéréotomie  ;  c  est  seulement  pour  laisser  le  champ  libre  au  choix  de 
beaux  cxem[)les  (renouvelés,  d'une  année  à  l'autre,  à  l'amphithéàlre)  qu  il  a 
donné  à  ces  leçons  nn  développement  relativement  considérable. 

La  Statique  graphique  est  une  géométrie  des  contours  polygonaux  ;  deux 
contours  principaux,  le  dynamique  et  le  funiculaire,  que  je  n'ai  point  à  défi- 
nir ici,  ont  des  aspects  ou  des  positions  diverses  de  par  le  choix  arbitraire 
d'un  pôle  ;  mais,  au  travers  de  ces  diversités,  il  est  aisé  de  reconnaître  de 
curieuses  propriétés  d'invariance  interprétables  d'ailleurs  au  moyen  de  con- 
sidérations spatiales  dépendant  d'un  complexe  linéaire.  C'est  un  nouveau 
rapprochement  des  plus  intéressants  entre  la  statique  et  la  géométrie  ciné- 
matique qui,  comme  ou  l'a  vu  dans  le  tome  I,  est  vivement  éclairée  par  l'in- 
troduction de  tels  complexes. 

Une  des  principales  applications  de  la  Statique  graphique  consiste  en 
l'étude  de  l'équilibre  des  systèmes  réticulaires,  qui  sont,  en  somme,  des 
systèmes  polygonaux  matérialisés.  Et  l'on  conçoit  aisément  tout  ce  qu'il 
peut  y  avoir  de  relations  directes  ou  réciproques  entre  les  segments  maté- 
riels qui  composent  de  tels  systèmes  et  les  segments,  plus  fictifs,  qui  repré- 
sentent les  forces  ou  les  momenls  des  forces  y  appliqués.  C'est  ce  que 
montre  ^L  d'Ocague,  toujours  avec  les  ressources  générales  de  la  géométrie 
des  ensembles  de  droites. 

Le  calcul  graphique  procède  de  l'idée  de  construction  géométrique  ;  appli- 
qué d'abord  aux  équations  algébriques,  il  donne  aussi  une  géométrie  des 
contours  polygonaux  qui,  pour  les  équations  uniques  de  degré  quelconque, 
sont  notamment  des  orthogones  qu'où  peut  Iracer  sur  un  transparent  à  orien- 
ter sur  un  quadrillage  fixe.  L'intégration  graphique  rappelle,  à  l'inverse,  les 
adjointes  infinitésimales  dont  M.  d'Ocague  nous  a  cntrelenus  dans  une  Note 


BI H  LIOGRAPIIIE  153 

terminant  sou  premier  volume  ;  dans  les  deux  c<ts  on  associe,  par  exemple, 
les  tangentes  d'une  courbe  C,  aux  ordonnées  d  une  C^  et,  s  il  sagit  d'inlé- 
gralion,  il  faut  évidemment  passer  de  C^  à  C,.  Les  diirérenles  constructions 
des  Cj,  en  partant  des  C^  ampliUent,  de  manière  très  méthodique,  diverses 
formules  de  quadrature  connues  depuis  fort  longtemps  mais  introduites  dans 
l'Analyse  de  façons  assez  disparates.  Les  Cj  correspondent  à  une  C,,  unique 
par  le  choix  arbitraire  d'un  pôle  ;  ces  Cj  sont  alors  liées  comme  les  poly- 
gones funiculaires  qui  dépendent  d'un  choix  arbitraire  absolument  analogue  ; 
on  voit,  à  nouveau,  les  remarquables  analogies  qui  s'élablissent  entre  des 
sujets  qui  jusqu'ici  ont  été  plutôt  traités  en  des  ouvrages  séparés,  mais 
qu'un  géomètre  habile  devait  réunir  dès  qu'il  lui  était  permis  de  s  affranchir 
des  soucis  immédiats  de  telle  ou  telle  spécialisation.  Ajoutons  qu'après  les 
quadratures  proprement  dites,  on  peut  étendre  la  notion  d'intégration  gra- 
phique aux  équations  difTérenticlles  et  que  certaines  méthodes  peuvent  être 
considérées  comme  la  traduction  du  procédé  d'approximations  successives 
dû  à  M.  Emile  Picard.  iS'ouvel  aperçu  synthétique  qui  n  est  pas  à  dédaigner 
pour  arriver,  par  une  voie  géométrique,  à  la  théorie  analytique  de  ces 
approximations. 

Le  calcul  grapho-mécanique,  comme  son  nom  l'indique,  mécanise  le  calcul 
grapiiique.  Son  but  principal  est  llutégratioii  et  plus  pai'liculièrement  l'éva- 
luation d  aires  ou  do  moments  attachés  à  de  certains  contours  fermés  ;  ses 
instruments  principaux  sont  les  planimètres.  lin  général,  les  mécanismes  de 
ces  appareils  sont  élounammcnt  simples  et  peuvent  aboutir  au  planimètre- 
hachelte  qui  n'a  pas  de  mécanisme  du  tout  ;  c'est  un  compas  invaiiable  poi- 
tanl  un  petit  fer  de  hachette  qui.  appuyé  sur  le  papier,  décrit  un  arc  pendant 
que  l'autre  pointe  décrit  le  contour  d'une  aire  à  évaluer.  Viennent  ensuite  les 
analyseurs  harmoniques  qui  calculent  les  coefiicienls  d'une  série  de  Fourier. 

Les  inté graphes  tracent  les  courbes  Cj  de  la  section  précédente  et  peuvent 
aussi  intégrer  les  écjnalions  ditTérentielIes  même  lorsqu'elles  ne  rentrent 
pas,  comme  l'équation  générale  de  Hiccati,  dans  les  types  élémentairement 
intégrables.  On  peut  en  dire  autant  pour  l'équation  du  mouvement  des  pro- 
jectiles dans  l'air  et  ^mènie  pour  les  très  modernes-équations  intégrales  dont 
^L  d  Ocagne  traite  un  cas  emprunté  au  type  de  Volterra.  Notons  encore  les 
intégraphes  polaires  avantageux  pour  les  intégrales  renfermant  des  fonctions 
trigonométriques  et  notamment  pour  l'intégrale  elliptique  de  première 
espèce  mise  sous  la  forme  normale  de  Legendre. 

Passons  maintenant  à  la  Nomographie,  qui,  représentée  dans  le  passé  par 
quelques  abaques  isolés,  doit  .^ou  développement  systématique  à  M.  d  Ocagne 
lui-même.  Il  semble  qu  ici  1  auteur  se  soit  plutôt  astreint  à  comprimer  sa 
pensée  pour  ne  pas  donner  à  ses  propres  travaux  une  plus  grande  place 
qu  aux  précédentes  disciplines  géométriques  ;  c'est  sans  s  éloigner  des  géné- 
ralités géométriques  qu'il  nous  présente  la  science  des  nomogrammes.  Un 
nomogramme  est  un  tableau  graphique  où  on  lit  des  résultats  provenant  de 
données  variables  ;  il  est  au  calcul  graphique  ce  que  la  table  numérique  est 
à  lopération  arithmétique  isolée.  Tout  calcul  suppose  au  moins  deux  nom- 
bi'cs  et  un  résultat;  le  nomogiamme  le  plus  sim[)le  suppose  trois  systèmes 
de  lignes  dont  on  recherche  les  entrecroisements  ponctuels,  généralement 
interpolables  à  vue.  Il  importe  évidemment  beaucoup  que  ces  lignes  ne  soient 
pas  absolument  quelconques  ;  on  peut  même  espérer  se  tirer  d'affaire,  dans 
beaucoup  de  cas,  rien  qu'avec  des  droites  ou  des  cercles  ;  de  là  l'importante 
noliou  de   la  transformation   ou   anamorphose   des   nomogrammes.   Mais   le 


154  BIBLIOGRAI'IIIE 

nomogr.'imme  à  PiitrecroiseiDent  peut  avoir  divei-s  inconvénients  résultant  do 
sa  trop  grande  densité  en  certaines  régions  ;  une  transformation  dualistique 
le  transformera  alors  en  nomogramme  à  alignement  sur  lequel  on  sei-a  ra- 
mené à  la  reclierche  de  points  alignés,  et  cette  transformation  présentera, 
en  outre,  le  très  grand  intérêt  de  permettre  de  constituer  des  monogi-ammes 
à  plus  de  trois  entrées,  ce  qui  est  un  fait  capital  pour  les  applications.  Il  y 
a  là  quelques  idées  immédiatement  séduisantes  par  leur  généralité  et  leur 
simplicité;  je  craindrais  de  les  gâter  en  essayant  de  plus  longues  descrip- 
tions ;    elles  intéressent  d'ailleurs  le  géomètre  pur  autant  que  le  praticien. 

M.  d'Ocagne  les  applique  à  la  résolution  des  triangles  sphériques  en 
s'astreignant  d'ailleurs  à  traiter  des  cas  couramment  imposés  pai*  l'astrono- 
mie ;  c'est  vraiment  la  table  graphique  à  la  disposition  de  la  science  qui 
utilise  le  plus  de  tables;  celles  qui  en  utilisent  moins  pourront  a  fortiori 
songer  aux  nomogrammes  qui  leur  seraient  le  plus  avantageux.  L'Ouvrage 
se  termine  par  un  nouvel  appendice  qui  ajoute  quatre  notes  du  plus  haut 
intérêt  aux  cinq  déjà  publiées  à  la  fin  du  tome  premier. 

La  Description  mécanique  des  courbes  algébriques  quelconques,  décou- 
verte par  le  géomètre  anglais  Kempe,  a  été  étendue  aux  surfaces  algébriques 
par  M.  G.  Kœnigs  ;  on  envisage  ainsi,  évidemment,  la  généralité  maximum 
des  systèmes  articulés. 

La  Statique  graphique  des  systèmes  de  l'espace  repose  sur  l'existence  du 
complexe  linéaire  formé  de  droites  de  moment  nul.  C'est  une  certaine  repré- 
sentation plane  de  tels  complexes,  imaginée  par  M.  Mayor,  de  Lausanne, 
qui  permet  maintenant  de  traiter  sur  épui-es  des  problèmes  statiques  spa- 
tiaux absolument  quelconques. 

L'intégration  grapho-mécanique  de  l'équation  de  liiccati  au  moyen  du  pla- 
nimètre-hachetle  donne  une  importance  nouvelle  à  cet  appareil  d'une  simpli- 
cité si  singulière.  On  peut  trouver,  par  quadratures,  le  contour  à  faire 
décrire  à  la  pointe  de  l'appareil  pour  que  la  hachette  décrive  la  courbe  inté- 
grale désirée.  Si  l'on  réfléchit  au  rôle  immense  de  l'équation  de  Riccati  en 
géométrie,  lequel  se  confond  d'ailleurs  avec  celui  de  léquation  linéaire  du 
second  ordre,  il  faut  convenir  qu  il  y  a  là  un  résultat  de  première  importance. 

Quant  aux  Applications  de  la  nomographie  à  l'intégration  graphique,  elles 
s'ajoutent  naturellement  au  précédent  sujet  et  atteignent  jusqu'à  1  intégration 
de  diverses  écpiations  différentielles  du  second  ordre. 

L'impression  donnée  par  le  premier  volume  de  l'Ouvi-age  se  maintient 
intégralement  dans  le  second.  Il  s'agit  bien  d'un  Cours  de  Géométrie  où 
l'on  voit  toujours  la  technique  des  hauteurs  de  la  science  pure.  J'ai  cru  rele- 
ver que  ce  passage  se  faisait  aussi  conformément  aux  grandes  tiadilions  de 
l'Ecole  Polytechnique  ;  j'ai  vu  que  des  aperçus  inattendus,  esthétiques  et 
profonds,  étaient  souvent  dus  à  des  ingénieurs,  qui  faisaient  ainsi  de  la 
science  appliquée  par  des  moyens  que  le  savant  à  l'esprit  le  plus  abstrait  ne 
pourrait  désavouer.  Bel  exemple  pour  la  jeune  génération  qui,  hélas  !  n'aura 
que  trop  à  travailler  dans  le  domaine  matériel,  mais  à  qui  un  tel  ouvrage 
peut  montrer  que  la  chose  est  possible  sans  perdre  de  vue  les  lumineux 
sommets  de  la  science  pure.  A.  Biiii.  (Toulouse). 

A. -S.  Ra.msey.  —  Elementary  geometrical  optics.  —  1  vol.  in  S>,  xi-173  p.. 

cart.,  6sh.,  G.  Bell  cl  Sons,  London,  l'il'i. 

La  partie  de  la  physique  qu'on  appelle  «  optique  géométrique  »  n'a  rieiw 
perdu  de  son  intérêt,  même  de  nos  jours,  quoique  la  notion  de  rayon  lumi- 


BIBLIOGRAPHIE  155 

lieux  ne  soit  pas  loul  ;i  fait  claire  dans  les  théories  acluellemenl  admises. 
Les  lois  expérimentales  de  l'optique  et  leurs  conséquences  géométriques 
restent  toujours  vraies,  quel  que  soit  la  manière  de  les  interpréter.  Il  est 
d  ailleurs  utile,  pour  les  raisons  didactiques,  entre  autres,  de  traiter  à  part 
i  étude  des  rayons. 

(^'est  à  ce  point  de  vue  qu  a  été  écrit  le  livi-e  de  M.  A. -S.  Ramsey.  Sous 
une  Forme  très  condensée  (173  pages,  dont  40  environ  sont  consacrée  aux 
exemples  cl  problèmes)  l'auteur  nous  expose  les  phénomènes  de  réflexion, 
de  rétraction,  de  dispersion,  étudie  les  miroirs,  les  lentilles  (minces  et 
épaisses,  ainsi  que  leurs  systèmes),  les  télescopes,  les  microscopes  et  l'œil 
humain,  ce  dernier  dans  la  mesure  de  ce  qu  il  faut  pour  comprendre  le  fonc- 
tionnement des  instruments  optiques.  Parfois  même  on  peut  reprocher  à 
1  auteur  de  trop  condenser  son  exposé.  C'est  ainsi  que  nous  aimerions  voir 
la  théorie  des  aberrations  traitées  plus  en  détail.  Il  est  à  regretter  de  même 
que  l'auteur  ne  sest  pas  consaci-é  assez  de  place  à  la  théorie  du  microscope, 
dont  l'exposé  n'occupe  qu'une  page  et  demie. 

Les  démonstrations  de  tous  les  théorèmes  sont  rigoureuses  et  ne  deman- 
dent que  la  connaissance  des  éléments  des  mathématiques  supérieures.  Il 
est  encore  à  noter,  à  l'avantage  du  livre,  que  lauleur  ne  se  couteute  pas 
d  énoncer  les  lois  expérimentales  qui  servent  de  base  pour  l'établissement 
des  théorèmes  de  1  optique  géométrique,  mais  qu'il  donne  encore  les  des- 
criptions des  expériences,  toujours  bien  choisies,  permeltant  de  vérifier  ces 
lois.  Par  contre,  en  décrivant  certains  phénomènes  optiques,  l'auteur  évite 
quelquefois  de  mentionner  leur  côté  physique,  qui  est  pourtant  de  toute 
première  importance.  Pour  ne  citer  qu'un  exemple,  1  auteur,  en  définissant 
l'indice  de  réfraction,  nous  dit  que  celui-ci  dépend  «  on  the  nature  of  tlic 
média  and  the  kind  of  liglit  ».  Ne  serait-il  pas  plus  simple  de  dire  explici- 
tement que  l'indice  de  réfraction  dépend  de  la  couleur,  d'autant  plus  que 
quelques  pages  plus  loin  l'auteur  établit  cette  dépendance. 

En  résumé,  le  livre  de  M.  Ramsey  contient,  malgré  son  petit  volume, 
beaucoup  de  problèmes  bien  choisis  et  bien  exposés  et  illustrés  par  de 
nombreuses  figures,  et  il  mérite  d  être  recommandé  aux  étudiants  qui  com- 
meucent  la  physique  et  qui  voudraient  approfondir  leurs  connaissances  en 
optique  géométrique.  A.    Tc.hekniavsky   (Genève|. 

L.  ZoRi-TTi.  —  Tables  numériques  usuelles.  —  1  vol.  in-8o  de  52  p.  ;  3  fr.  ; 
Gaulhier-Villars,  Paris,  1917. 

Ce  petit  volume  contient  deux  tables  principales  dont  I  usage  est  facilité 
par  un  système  d'onglets. 

La  Table  I  contient,  dans  les  colonnes  intitulées  1,  2,  3,  ...,  9,  les  pro- 
duits par  ces  nombres  de  ceux  qui  sont  inscrits  dans  la  colonne  1.  La  coloime 

intitulée  —  contient   les  inverses   des  mêmes  nombres,    ou    plutôt   les   (lualre 
n 

premiers  chiffi-es  significatifs  de  ces  inverses.  Le  symbole  10   "*  ou  10      placé 

en   tète    signifie   (lu'il   faut,    pour   avoir  la  valeur   de  —  ,    placer  la  virgule  au 
'  n 

cinquième  ou  au  sixième  rang  à  partir  de  la  droite.  La  valeur  inscrite  pour 

1 

—  est  exacte   à   une   demi-unité   près  de   l'ordre  du   dernier  chiffre  décimal 


156  BULLETIN    BIBLIOGRAPHIQUE 

La  colonne  n^  contient  le  carré  de  n,  ou  ce  carré  divisé  par  10  ou  pjirlOO, 
ce  qui  est  indiqué  par  le  multiplicateur  10  ou  100  placé  en  tête.  On  n'a  ins- 
crit que  les  quatre  premiers  chiffres  significatifs  de  ce  carré.  Le  nombre 
inscrit  est  donc  simplement  approché  avec  une  erreur  en  plus  ou  moins 
égale  à  une  demi-unité  de  l'ordre  du  dernier  chiffre  inscrit. 

La  colonne  log  n  contient  les  quatre  premières  décimales  du  logarithme 
de  n  (ou  du  produit  de  n  par  une  puissance  de  10).  L  erreur  est  toujours 
d'une  demi-uuité  du  dernier  ordre. 

La  Table  II  donne  les  valeurs  des  qnalre  lignes  Irigonométrique  des  arcs 
de  15'  en  15',  avec  trois  ou  quatre  chiffres  significatifs,  ainsi  que  les  valeurs 
de  ces  arcs  en  grades  à  un  demi-centigrade  près,  et  leurs  valeurs  en  radiaus 
avec  quatre  ou  trois  chiffres  décimaux  exacts.  Toutes  les  valeuis  inscrites 
sont  approchées  à  moins  d'une  demi-unité  du  dernier  ordre. 

Quand  le  dernier  chiffre  insciil  est  un  5,  on  a  indiqué  par  un  chiffre  spé- 
cial (5*)  le  5  fort,  c'est-à-dire  obtenu  en  forçant  un  4  dans  le  cas  où  le  pre- 
mier chill're  négligé  est  égal  ou  siipérieur  à  5. 

L'interpolation  appliquée  aux  trois  dernières  colonues  de  la  Table  I  per- 
met de  calculei*,  à  une  unité  du  dernier  ordre  près,  le  nombre  qui  correspond 
à  un  nombre  non  inscrit. 

La  multiplication  se  fait  au  moyen  des  neuf  premières  colonnes. 

La  dis'ision  se  fait  en  multipliant  par  l'inverse  du  diviseur  ;  on  trouve  cet 

inverse  dans  la  colonne  —  . 
Il 

Uélévation  au  carré  et  Vexlractioii  des  racines  carrées  se  font  au  moyen 
de  la  colonne  n-. 

Les  racines  ou  puissances  quelconques,  les  exponentielles  se  calculent  au 
moyen  de  la  colonne  log  n. 

Ces  quelques  citations  suffisent  à  montrer  que  ces  tables  peuvent  en  résu- 
mer beaucoup  d  autres  qui  seraient  peut-être  plus  complètes  ;  mais  ici  1  au- 
teur n  a  justement  voulu  conserver  et  présenter  sous  forme  maniable  que  ce 
qui  répondait  au  besoin  immédiat  de  la  pratique  courante. 


BULLETIN  BIBLIOGRAPHIQUE 


1.   l*ul>lieatioiiS!i  périodiques  : 

Giornale  di  Matematiche  di  Battaglini.  —  3me  série-vol.  45.  —  Janvier- 
août  1917.  —  V.  Segke  :  Sul  moto  di  una  correnle  liquida  in  un  canale  a 
ciclo  in  parte  scoperto.  —  R.  Occhipinti  :  Alcune  semplici  quistioni  sullo 
superficie  evolute.  —  Vr.  Thico.mi  :  Sull'  iterazione  délie  funzioui  di  linee. — 
Pio  ScATizzi  :  Nuovo  integrafo  per  equazioni  di  Abel  e  di  Riccali.  — 
A.  Ckespi  ;  Forme  di  spezzamento  délie  quaitiche  gobbe  di  1*  e  2"  specic. 
—    M.  Pannelu  :  Sulla  Jacobiana   di  una   rcte  di   superficie   aigebriclie.    — 


BULLETIN    BIR  LIOGRAPH  LOUE  157 

Kilippo  SiBiKAM  :  Sopra  la  collineazione  fra  piani  e  fra    spazi   so   vrapposti. 

—  Giuseppe  Usai:  Una  questione  di  aiialisi  combiiialoria.  —  G.  Usai:  Una 
qiiestione  di  analisi  combinatoria.  —  S.  W.  Reaves  :  Melrie  properties  ol 
flecnodes  on  ruied  surfaces.  —  V.  Gai.lico  :  SiiUe  condizioni  iniziali  che 
delerminano  gli  inlegrali  délie  equazioiii  diflerenziali  oïdiiiarie. 

Jahresbericht  der  Deutschen  Mathematiker-Vereinigung.  —  26  Band. 

1917.  —  R.  Meh.mke:  Dyadeii  iind  Koiilrajcklivilal.  —  F.  Ju.ng  :  Eine  ein- 
fache  DarstcUung-  des  Scliwung-  und  Draiigmomenlos  beim  slarren  Korper. 

—  F.  KôLMEL  :  Ueber  biialionale  diialislisclie  ïranstormalionen  und  Grass- 
niannscbe  Erzeugung  von  ebenen  Kurven  dritter  Ordnung. —  \^'.  Gaedecke  : 
Beitragc  znr  Théorie  der  Kissoide. — O.  Bi.u.mexthal  :  Karl  Schwarzschild. 

—  F,  Dingeldey:  Zur  Erinuerung  an  Sigmund  GundeKinger.  — A.  Loewy  : 
Eine  algebrische  BehanpUing  von  Gauss:  —  J.  v.  Szé  Nagy  :  Uebcr  eine 
rauniliche  Darsiellung  Riemannscher  Fliiclien  vom  Gesclilcchle  ^  mil  ^;  -)-  1 
Symmeirielinien,  — ■  L.  I'ejer-  Ueber  Kreisgebiete,  in  denen  eine  Wurzel 
einer  algebraischen  Gleicluing  Hegt.  —  F.  London  :  Die  Erzengniig  der 
Flachen  zweiter  Ordnnng  durch  Correlalionen.  —  E.   Study  :   Franz  London. 

—  Tli.  ScH.MiD  :  Gedenkblalt  fur  E.  Janisch.  —  Fr.  Schilling:  Die  bildende 
Kunst  und  die  Geomolrie.  —  H.  Mohkma.nn  :  Tangenlenquadrupel  einer 
gewundenen  Kurve  3.  Ordnung.  —  \V.  Blaschke  n.  G.  Hessenberg  :  Lehr- 
salze  iiber  konvexe  Kôrper.  —  W.  Blaschke  :  Ailes  und  neues  von  Ellipse 
und  Eliipsoid. — J.  Horn  :  Ueber  eine  iiichllincare  DifTerenzengleichung.  — 
Robert  KoMG  :  Die  Charaklerisierung  der  Riemannschen  Transzendenten 
und  andere  Théorème.  —  Fr.  Riesz  :  Ueber  Intégration  unendlicher  F'olgen. 

—  K.  Knopp  ;  Einfaches  Beispiel  einer*  sleligen,  nirgends  dilferenzierbaren 
Funktion.  —  H.  Hahn  :  Ueber  stetige  Funktionen  ohue  Ableilung.  — 
\V.  Weinkeich  :  Die  Fadenzeichuung  der  Hyperbei  mit  Bemerkungcn  iiber 
die  Gartnerkonstrukliou  der  Ellipse.  —  W.  Gross  :  Ueber  die  inipliziten 
Funktionen.  —  G.  Kowalewski  :  Eisifache  Herleitung  der  Eulerschen  Sinus- 
formel.  —  Alfred  Loewy  ;  Ein  Ausalz  von  Gauss  znr  jiidisclien  Clironologie 
ans  seinem  Nachlass.  —  \V.  Sternbekg  :  Entwicklur.g  w.illkiirlichern  Funk- 
tionen nach  linearen,  homogenen  Aggregaten  ortliogonaler.  —  G.  Klein  : 
Zur  Eulerschen  Losuug  des  isoperimetrischen  Problems.  —  M.  Bauer  : 
Eine  algebraische  Behauplnng  von  .Gauss.  —  St.  Jolles  :  Die  helikoidische 
Iiivarianz  des  linearen  Strahlenkomplexes  und  eine  nene  Définition  seines 
Paramelers. 

Mathematîsche  Annalen.  Band  78,  Heft  3  u.  4,  —  E.  Noether  :  Gleiehun- 
gen  mit  vorgeschriebener  Gruppe.  —  F.  SE!DEL.MA^^•  :  Die  Gesamlheit  dei- 
kubischen  und  biquadralischen  Gleichuiigen  mit  AfTekt  bei  beiiebigoin 
Ratioiialiliilsbereicl).  —  H:  Falckenberg  :  Zur  Tlieorie  der  Kreisbogen- 
polygone  II.  —  G.  Ha.mel  :  l^ine  charaktcrislische  Eigenschaft  beschrankter 
analytischer  Funktionen.  —  G.  Pick;  Ueber  die  Beschriinkungen  analytischer 
Funktionen  durch  vorgegebene  Funklionswerle.  —  R.  Jentzs.ch  :  Ueber 
Poteiizreihen  mit  endlich  vielen  verschiedenon  Koellizienten.  —  G.  Pôlya  : 
Leber  Potenzreihen  mit  endlich  vielen  verschiedcnen  Koedizienlcn.  — 
A.  Haar  ;  Die  Minkowskische  Géométrie  und  die  Annaherung  an  slelige 
Funktionen.  —  L.  Bieukkbach  :  Ueber  die  Einordnung  des  Ilaiiptsaizes  der 
Uiiiformisierung  in  die  NVeierslrassische  Fuiiklioncnlheorie.  —  \N'.  Gross  : 
Zur    Théorie   der    Dilferentialgleicliungcn  mit    feslen  krilischcn  Punklen.  — 


158  BULLETIN    fil  B  L  I  O  C  R  A  P  III  Q  U  E 

A.  LoEWY  :  Uebei-  Matiizen-  nnd  Differenli;ilkomplexe  II  u  III.  —  S.  Stkas- 
ZEWicz  :  Ueber  den  BcgrifF  des  einf;iclien  Kurvenbogens.  —  O.  Perron: 
Ein  neuer  Exislenzbeweis  fur  die  Inlegr;ile  eiiies  iystems  gewohnlicher 
Differeiitiiilgleichungen. — J.  Nielsex  :  Die  Isomoi'phismen  der  allgemeiuen. 
iineudlichen  Gruppe  mit  zwei  Erzeugeiiden. —  E.  Hecke  :  Ueber  ortliogonal- 
iiivariante  Integralgleichuugen.  —  D.  Hilbert  :  Axiomatisches  Denken.  — 
F.  Klein:  Bericlit  iiber  dea  Stand  der  Herausgabe  von  Gaiiss-\\'erken. 

Nouvelles  Annales  de  Mathématiques,  dirigées  par  C.-A.  Laisant  et  R. 
Bkicakd  :  4n'<=  série.  Gaulhier-Villars,  Paris.  TomeXYII,  1917. —  Picardat  : 
La  courbe  orthoptiqne  de  deux  coniques.  —  R.  Gookmaghtigh  :  Sur  les 
seize  sphères  tangentes  à  une  sphère  et  à  trois  plans  donnés.  —  A.  Auric  : 
Note  sur  la  Géométi-ie  du  triangle.  —  M.  Weill  :  Sur  quelques  équations 
homogènes  iudélermiuées  du  troisième  degré.  —  Hada.makd  ;  Sur  l'élimina- 
tion entre  équations  différentielles. —  R.  Gookmaghtigh  :  Sur  les  centres  de 
courbure  des  courbes  adlnes  d'une  courbe  donnée.  —  M.  d'OcACNE  :  Sur  le 
mouvement  de  la  manivelle  et  de  la  tige  guidée.  —  F.  Gonseth  :  Quelques 
propriétés  métriques  des  foyers,  des  tangentes,  etc.  —  J.  Lemaire  :  Sur  le 
problème  de  Pappus  généralisé.  —  J.  Haag  :  Sur  le  calcul  approché  des 
quadratures.  —  G.  Fontené  :  Sur  la  quantité  (DA)  (BC)  -f  (DB|  |CA)  -f- 
(DC)  (AB)  envisagée  dans  l'espace.  —  J.  Joffroy  :  Seconde  Note  sur  le  pro- 
blème de  Pappus  généralisé.  —  K.  Bkicard  :  Le  principe  de  relativité. 
—  Anciennes  questions  non  résolues:  1689,  1690,  1691,  1692,  1693,  1694, 
1695,  1705.1710.  1715,  1721,  1731,  1738,  1747,1751,  1754,  1761,  1762,1763, 
1776,  1777.  —  F.  Gomes  Teixeika  :  Sur  une  manière  d'engendrer  les  cubi- 
ques uniciirsales  et  une  classe  de  quartiques,  et  sur  une  relation  entre 
deux  transformations.  — ■  L.  Crelier  :  Faisceaux  de  cercles  relatifs  à  la 
puissance  d'une  droite.  —  F.  Gonsetu  :  Sur  l'orientation  d'un  gi'oupe  de 
droites.  —  M.  Chalaux  :  Tout  nombre' premier  de  la  forme  4/i  -\-  i  est  une 
somme  de  deux  carrés.  —  F.  BAtriKAND  :  Remarques  sur  un  article  de  M. 
Goormagliligh.  —  R.  Bouvaist  :  Sur  deux  propositions  de  Laguerre.  — 
Farid  Boulud  :  Recherches  géométriques  sur  le  centre  de  courbure  des 
trajectoires  d  une  famille  quelconque  de  courbes  planes  —  L.  Ckelikr  : 
Puissance  d'une  droite  par  rapport  à  son  cercle.  —  P.  Delens  :  Note  sur 
1  extraction  rapide  de  certaines  racines  exactes  d'indice  impair.  —  Cit. 
Michel  :  Mouvements  plans  dans  lesquels  la  tangente  a  une  vitesse  angu- 
laire constante.  —  E.-N.  Bakisien  :  Sur  les  paraboles  qui  passent  par  les 
pieds  des  normales  issues  d'un  point  donné  à  une  ellipse.  —  M. -F.  Egan  : 
[L-]  Foyers  et  asymptotes  des  coniques  el  quadriques.  —  A.  Myller  :  Sur 
les  surfaces  d'égale  pente.  —  F.  Gonseth  :  Sur  le  centre  des  moyennes 
distances  d  un  groupe  de  points  en  ligne  droite.  —  Adrien  Favre  :  Sur  les 
fonctions  homogènes.  —  J.-B.  Pomey  :  Sur  une  propriété  de  la  fraction 
rationnelle  du  second  degré.  —  Ch.  Michel:  Développantes  et  développées 
aréolaires.  — G.  Fontené:  Identités  à  démontrer. —  E.  Cahen  :  Remarques 
sur  un  article  de  M.  Mathieu   Weill. 

La  Revue  de  TEnseignement  des  Sciences,  Librairie  Alcan,  Paris, 
iï'"^  année,  1917,  —  P.  Lugol  :  Phénomènes  sonores  dus  au  déplacement 
très  rapide  d'un  corps  dans  l'air.  —  G.  Lapointe  :  Sur  la  suite  de  terme 
généial  sin  nx.  —  J.  Jumel-Renoy  :  Sur  les  moments  linéaii-es.  —  F.  Bra- 
chet  :  Sur    la  projection  d  un  angle    droit.    —    \\.  Beuakd  :  Construction  dn 


BULLETiy    li  1  h  I.IOG  RAPIIIQUE  159 

centre  de  courbure.  —  B.  Niewenclowski  :  Algèbre  et  géométrie.  — 
G.  FoNTE.NF.  :  Sur  les  tbéorèmes  de  l'angle  extérieur.  Sur  le  théorème  du  seg- 
ment capable.  —  l*.  MoNTEL  :  Sur  les  suites  récurrentes.  — -  R.  Bkrakd  : 
Mouvement  sur  une  sphère  dune  figure  de  forme  invariable.  — J.  Lemaike  : 
Sur  la  droite  de  Simson  généralisée.  —  Ch.  Michel  :  Sur  la  représentation 
paramétrique  des  coniques.  Sur  les  transformations  centrales.  —  J.  Jlhei.- 
Renoy  :  Sur  la  géométrie  descriptive.  —  L.  Clé.mkmt  :  Propriétés  corréla- 
tives des  coniques  démontrés  pà''allèlement.  —  X...  :  Sur  la  réduction  d'un 
angle  à  l'horizon.  —  G.  Fomene  :  Relations  métriques  dans  le  Triangle.  — 
P.  Montel  :  Sur  les  limites  de  fonctione  périodiques.  —  M.  d'Ocagne  :  Quel- 
ques réflexions  au  sujet  de  renseignement  élémentaire  de  la  géométrie 
desciiptive.  —  A.  Thesse  :  Problèmes  graphiques  relatifs  aux  surfaces  de 
second  degré.  —  A.  Yieili.eion  :  Application  du  calcul  vectoriel  au  déplace- 
ment d  un  corps  solide.  —  L.  Clé.me.nt  :  Note  sur  les  permutations.  — 
G.  BovLiGAND  et  R.  Bekakd  :  L'inversion  conserve  les  ligues  de  courbure.  — 
J.  Jliiel-Re.noy  :  Moyenne  et  extrême  raison.  Sur  1  emploi  en  descriptive  du 
second  plan  bissecteur  comme  plan  auxiliaire. 

Revue  de  Métaphysique  et  de  Morale.  Librairie  Colin,  Paris.  Année  1917. 

—  L.  CouTUKAT  :  Sur  les  rapports  logiques  des  concepts  et  des  propositions. 

—  A.  Reymond  :  L  éducation  et  la  pédagogie  expérimtmtales. —  Henri  Du  u- 
MiER  (Xécrologie).  —  V .  Enkiques  :  Sur  quelques  questions  soulevées  par 
l'iuiini  mathématique.  —  L.  Rouciek  :  I^a  symétrie  des  phénomènes  phy- 
siques et  le  principe  de  raison  suffisante.  —  F.  Le  Dantec  :  Encore  la 
dégradation  de  lénergie.  —  F.  Couturat  :  La  logique  algorithmique  et  le 
calcul  des  probabilités.  —  A.  Paooa  :  Des  conséquences  d'un  changcmcnl 
d  idées  primitives  dans  une  théorie  déduclive  quelconque.  —  L.  Sel.me  : 
Dynamique  généralisée  et  dégradation  de  1  énergie.  —  G.  Belot  :  Enquête 
sur  l'orientation  de  l'enseignement  secondaire.  —  L.  Rougier  :  De  la  néces- 
sité de  la  réforme  dans  l'enseignement  de  la  logique.  —  E.  Cramaussel  : 
Pour  un  enseignement  philosophique  nouveau.  —  A.  Rev.mon»  :  Les  ordi- 
naux ti-ansfinis  de  Cantor  et  loir  définition  logique. 

Sitzungsberichte  der  Kaiserlichen  Akademie  der  'Wissenschaften  in 
Wiea.  —  Batid  125,  1916.  —  K.  Federiiofer  :  Ueber  die  Stabilitiit  der  flachen 
Kugolschale.  —  R.  Fuerth  :  Ueber  die  Lage  der  \\'indungspunkle  bei  kon- 
former  Abbilduug  einer  Kreisscheibe  auf  eine  einfache  iiberdeckle  Kreis- 
scheibe.  —  A.  Kli.ngatsch  :  Ueber  eiu  Vierhôheu  problem.  —  Id.  :  Ueber  die 
gegenseilige  Orieulierung  zweier  Figuren.  —  G.  Koh.n:  Ueber  kontrajeklive 
Figuren.  —  F.  Kottlek  :  Beschleuuigungsrelative  Bewegungen  und  die  kon- 
forme  Gruppe  der  Minkowski'schen  Welt.  —  E.  Krvppa  :  Rekonsli'uktion 
einer  Schraubenliuie  ans  einem  Schragriss.  —  E.  Mui.lek  :  Schraubflachen 
und  Slrahlgewiude.  —  F.  Paiîi.is  :  ICrgiinznngen  und  Beispiele  zui"  Mecliaiiik 
von  Hertz.  —  A.  Pla.mitzek  :  Erzcngnisse  projekiivcr  Involutionen  hidieren 
Grades,  deren  Triiger  unikursale  Gcbilde  sind. —  R.  Schu.ma.n.n:  Bestimninng 
einer  Geraden  durch  Ausgleichung  der  beobachteten  Koordinalen  ihi-er 
Punkte  nach  der  .Méthode  der  kleinslen  Quadrate.  —  E.  W.ei.scu  :  Quater- 
nioneu  und  biniire  Formen  zu  den  Minkowski'schen  Gruudglcicliungen  der 
Elektrodynamik.  (IFI.  u.  IV).  —  Id.  :  Binaranalyse  dei"  vierdimensioualcu 
Vektori'aumes.  —  K.  Woi.r  ■  l.'eber  dan  Einfluss  der  l-]inspannung  ant  die 
Torsionsbeanspruchung  eines  Kreiszyliuders. 


160  hULLETiy    m  B  I.IOG  RAPIIIQ  U  E 

Zeitschrift  fur  das  Realschulwesen,  Wicn.  —  XLII  Jahrgang.  — 
O.  Danzek  :  L6sunt<  von  Aiifgabea  ùber  ebeiie  Kiirven  mit  Hilfe  riiumlicher 
Beliacfilungen.  —  l'raiiz  Hkul  :  Bemeikungen  zui-  Konstruklion  def  Ellipse 
und  der  Hyperbel  aus  koiijugrerlen  Durclimesseru,  —  Kiaiilz  Ratiischlixek: 
Ueber  eine  besoiidore  Schweipiinklslage  an  ebenen  Flacheii.  —  Joh.  Sciits- 
TEK  :  Eiuige  Bemerkungeii  iiber  das  Tetraeder.  —  Q.  Vettek  :  Einfûhrung 
der  Siitze  von  Pascal  iind  Brianchon  in  die  Mitlelschule.  —  P.  v.  Schaewen  : 
Ueber  pylhagoreische  Dreiecke.  —  P.  v.  Schaewen  :  Quadràzahlen  zu 
ermitleln,  dei-en  Somme  einem  Biquadralc  gleich  ist.  —  Prof.  W'anka- 
Bkau.nau  :  Kiiimmungsradien  in  elemeularer  Bchandliing.  —  O.  Danzer  : 
Ermilllung  der  Scheiteiki  ûmmengskreise  von  KegelschniUcn  mit  Hilfe 
raumicher  Belrachtungen.  —  E.  Czuber  :  Zur  Yoilendung  eines  gfossen 
Werkes.  —  P.  v.  Schaewen  :  <ix-  -\-  bxy  -\-  cy-  =  z*  in  rationalen  Zahlen  zu 
lôsen.  — •  F.  Schiff.nek  :  Ein  Beitrag  zu  den  praklischen  geomeliischen 
Scliûlei'ûbnngen  der  Unterstufe.  —  A.  Haltmeyer  ;  Zur  Behandiung  des 
Kraftepaares  im  Unterrichle.  —  L.  Baumgartner  :  Kennzeiclien  fiir  die 
Teilbarkeit  dekadischer  Zahlcii  durch  7  und  13. 


2»  Livres  nouveaux  : 

W.  Ahrens=.  —  Altes  und  Neues  aus  der  Unterhaltungsmathematik.  — 
1  vol.  in-8o,  206  p.:  5  .M.  60:  Julitis  Springer.  Berlin. 

G.  Candido.  —  La  Risultante  di  due  quadratiche.  —  1  fasc.  in-4o,  26  p.; 

Rafl'aello  Giusti,  Livorne. 

E.  CoHN.  —  Physikalische  ùber  Raum  und  Zeit.  .":!.  Auflage.  —  1  t'asc.  in- 
8o,  31  p;  1  M.  20;  B.  G.  Tcubncr.  Leipzig. 

Z.  G.  de  Galdeano.  —  Nociones  de  critica  matemàtica.  —  1  fasc.  in-S», 
76  p.  ;  2  pesetas  ;  G.  Casanai,  Zaï-ago/.a. 

Z.  G.  de  Galdeano.  —  Las  construciones  matemâticas  adaptadas  al  com- 

plementO  de  anâlisis  infinitésimal.  —  1  tasc.  in-8'\  76  p.  ;   2  pesetas  ;  G.  Ca- 
sanai, Zaragoza. 

L.  KiEi'ERT.  —  Grundriss  der  Differential  und  Integralrechnung,  II,  H. 
vermehrle  Auflage.  —  1  vol.  in-S",  932  p.;  Helwingsctie  Veilagsbnclihand- 
lung.  Hannover. 

M.  Li.NDow.  —  Differentialrechnurig,  2.  Auflage.  —  1  vol.  in-S»,  96  p.  ; 
1  M.  50;  [Ans  Natur  u.  Geistest\elt.  i\''  387i,  B.  G.  Tenbner,  Leipzig. 

H.  E.  Ti.MERDiNG.  —  Der  mathematische  Unterricht  an  den  hoheren 
Knabenschulen  nach  dem  Kriege.  —   1  tasc.  in-8'>,  22  p.;  0,80  M.;  B.  G. 

Tenbner,   Leipzig. 

Mathematisch-physikalische  Bibliothek,  —  Volumes  in-16.  de  50  à  60  p.; 
1  .M.  30,  B.  G.  Tenbner,  Leipzig  .  Bd.  2.  H.  ^\■IEI.E1T^ER.  —  Der  Begriff  der 
Zabi.  2.  Aufl.  —  Bd.  13.  p.  M;Ers.\ciii;.\.  —  Geheimnisse  der  Rechenkûnstler. 
2.  Aufl.  —  Bd.  28.  P.  LucKEY.  —  Einfùhrung  in  die  Nomograpbie.  L  Tcil  : 
Die  Funkiionsleiter.  —  Bd.  29.  A.  Barlch.  —  Die  Grundlagen  unserôr 
Zeitreihnung.  —  Bd.  30.  W.  LIET/MA^.^•.    —  Was  ist  Geld? 


NOTIONS  D'ARITHMOGEOMETRIE 

PAR 

Emile  Turrière  (Montpellier). 

i5<=  et  dernier  article)  ' 


L'arithmogéométrie  sur  les  courbes  et  les  surfaces  trans- 
cendantes. Généralisation  de  l'arithmogéométrie. 

101.  —  L'étude  des  arilhmopoints  des  courbes  ou  des  sur- 
faces transcendantes  est  assez  naturelle  après  les  considéra- 
tions qui  précèdent,  mais  les  principes  qui  permettent  de 
rechercher  certaines  solutions  des  équations  ordinaires  de 
l'analyse  indéterminée,  tels  que  ceux  qui  sont  à  la  base  des 
travaux  de  Fi:tmAT  ou  d'EuLEu,  par  exemple,  ne  sont  plus 
d'aucune  utilité  dans  le  domaine  des  équations  transcen- 
dantes. Ici,  plus  de  fil  directeur,  plus  de  généralités  pos- 
sibles sur  les  relations  entre  les  solutions.  Seules  quelques 
équations  très  spéciales  de  l'analyse  transcendante  ont  pu 
jusqu'ici  être  soumises  à  des  recherches  arithmotrigono- 
mëtriques. 

De  ces  très  rares  équations  indéterminées  transcendantes 
douées  de  solutions  rationnelles,  que  nous  connaissons  pré- 
sentement, les  deux   plus  anciennes  semblent  encore  avoir 


'  Voir  \'i:iiseiffiieintnt  mattiématiquc.  18«  année,  !.">  mars  191C,  pp.  81-11(1,  et  IJ  novcnilirc 
r.>16,  pp.  397-'«28;  19>=  année,  15  mai  l',U7,  pp.  159-191  et  jiiillet-septembrc-novenibre  1917, 
pp.  233-272. 

Voir  aussi  Le  prohlciiie  de  Léonard  de  Pise  et  de  Jean  de  Païenne,  dans  L'Enseignement 
Mathématique,  17"  année,  septembre-novembre  1915,  pp.  315-324;  et  une  "Sole  Au  sujet  d'un 
article  de  M.  A.  Gérardin,  dans  les  ynuvelles  Annales  de  Mathématiques,  ['i«].  t.  XVI II,  fé- 
vrier 1918.  pp.  43-49. 

L'ne  erreur  s'est  glissée  dans  mon  précédent  article,  à  l'occasion  de  la  démonstration  do 
l'impossibilité  de  l'équation  arithmotrigonométrique  sin  u  -j-  sin  t-  =  I  ;  le  résultat  est  exact. 
J'aurai  très  prochainement  l'occasion  de  revenir  sur  cette  question. 

L'Enseignement  mathém.,  2ii'  année:   1918.  •  Il 


162  E.     T  un n  1ERE 

été  primitivement  envisagées  par  L.  Elleh;  mais  il  ne  s'agit 
nullement  ici  de  spéculations  du  genre  de  celles  qui  font 
Tobjet  des  mémoires  dont  la  réunion  a  constitué  les  admi- 
rables Commentationes  arilhnieticœ ;  il  ne  s'agit  plus,  dis-je, 
de  questions  arithmétiques  et  c'est  dans  de  tout  autres  cir- 
constances que  ces  deux  équations  ont  été  mentionnées  par 

EULER. 

L'une  des  deux  équations  auxquelles  je  fais  allusion  est  la 
suivante  : 

arc  tang  .r  -\-  arctangi'  =  -^  ; 
-* 

1  1  . 

elle  admet  la  solution  .r  =  ^  et  ?/  =  —  ,  d'après  la  relation 
d'EuLER  : 

1  1  :: 

arc  tang  —  -|-   arc  tang  —  =:  —    . 

L'autre,  beaucoup  plus  importante,  est  l'équation  : 


elle  représente  une  courbe  transcendante  douée  d'une  infi- 
nité d'arithmopoints,  au  sujet  desquels  L.  Euler  s'étend 
assez  longuement,  dans  un  passage  qui  mérite  d'être  cité 
presque  intégralement  : 

«  Telle  est  la  courbe  comprise  dans  l'équation  : 


«  on  voit  bien  sur-le-champ  que  l'appliquée  y  est  constam- 

«  ment  égale  à  l'abscisse  .r,   de  sorte  que  la   ligne  droite 

«  inclinée  à  l'axe  sous  un  angle  demi-droit  satisfait  à  l'équa- 

«  tion.  Il  est  cependant  visible  que  l'équation   proposée  a 

«  une  signification  plus  étendue  que  celle  de  la  ligne  droite 

«  y  =  jo,   et  que  par  conséquent  celle-ci  ne  peut  exprimer 

«  tout  ce  que  contient  l'autre  .r'"'  =  z/*^;  car  on  peut  satisfaire 

«  aussi  à  cette  dernière  sans  que  .r  soit  égal  à  ;/.  Par  exemple, 

u  si  .r  =  2,  y  peut  être  égal  à  4  ;  ...  nous  aurons  : 

1  t 

.r=zt^'  ,-  =  /'^   .  .  . 


AlilTHMO  GÉOMÉTRIE  163 

«  II  y  a  donc  une  infinité  de  nombres  x  et  y  qui,  pris  deux 

«  à  deux,  peuvent  satisfaire  à  Téquation  .r;-' =  ?/^  ;    tels    sont 

«  les  nombres   suivants,  en   s'en  prenant  à  ceux  qui  sont 

«  iritionnels  : 


X  = 


0 


_  9 


:>■ 


6i  256 

'■  =  27   •  y=JÏ  ' 

625  3125 

•"=256  ■  ■^■  =  1024    '''■  ••• 

«  Quoi  qu'il  y  ait,  dans  ces  courbes  et  dans  les  autres 
«  semblables,  une  infinité  de  points  qui  peuvent  être  dimi- 
«  nues  algébriquement,  elles  ne  peuvent  cependant  être 
«  mises  au  nombre  des  courbes  algébriques,  parce  qu'elles 
«  renferment  une  infinité  d'autres  points  qu'il  est  impossible 
((  d'aligner  d'une  manière  semblable  ^  » 

102.  —  La  propriété  de  la  courbe  d'équation  .x^  =  y^  d'ad- 
mettre les  arithmopoints  semble  avoir  été  l'origine  de  deux 
questions  concernant  la  courbe  transcendante  représentée 
par  l'équation^ 

[X.  +  l)2'  =  .r''+'  +  1  . 

douée  des  arithmopoints  de  coordonnées  (.r  :=  1 ,  y^=^\.)^ 
■  .r=^2,  y  ^=.2)  et  de  tous  les  arithmopoints  de  Taxe  Oy 
(.r  =  0,  y  quelconque),  ainsi  que  la  courbe  ^  d'équation 

x"  =  v"-"  +  1   , 

c|ui  est  douée  elle  aussi  des  arithmopoints  de  coordonnées 
(x  :=-.  2,  y  =^  2),  [x  =  3,  y  =  2)  et  de  tous  les  arithmopoints 
de  l'axe  Or. 

D'autre  part,  la  relation  d'EuLER  : 

1  1        - 

arclang-;^  +  nrclan<r—  :=:  —   , 


'  Introduction  à  l'Analyse  infinitésimale,  par  Léonard  Eui.liH,  trad.  J.-H.   Lauky,  t.   M,  im- 
priiné  en  IT'JT,  p.  -297-298. 

'  Snuvelles  Aniialcx  de  Mathématiques,  [2),  t.  XV,  1876,  p.  l't'i  ot  i>.  5'i5-547. 
'  Ibid.,  [2],  t.  XIV,   1875,  p.  288,  et  [2],   t.  XV,  1876,  p.  'i'i-46. 


164  E.     TU  nui  EUE 

et  celles  analogues  de  Vég\  et  de  Machin  : 


1                 1      - 

2;n'f  tang—-  -f-  aie  laiig—  =  —   , 

(Véga 

1                                 1             - 
.arc  tang  .         arc  tang  23g  =  4    • 

(Macliin 

ont  donné  lieu  à  divers  tra.vaux. 

Une  question  posée,  au  sujet  de  ces  relations  d'EuLER,  de 
VÉGA.  et  de  ]\Iâchin  dans  Y  Intermédiaire  des  Mathématiciens  ^ 
a  provoqué  la  publication  de  toute  une  série  de  Mémoires 
importants  de  M.  Cari  Stôrmer^,  concernant  des  équations 
de  cette  nature. 

M.  C.  Stormer  a  notamment  démontré  que,  en  outre  des 
solutions  d'EuLER,  de  Véga  et  de  Machin,  l'équation 

1  1        ,  - 

m  arc  tang \-  n  arc  tang  —  =.  k  —   , 

n'admet  en  nombres  entiers  qu'une  seule  solution  nouvelle  : 

1  1        - 

iarc  tang—  —  arc  tang—  =  —   . 

M.  E.-B.  EscoTT^  a  d'autre  part  rappelé  l'existence  des 
recherches  de  Gauss  dans  cet  ordre  d'idées  et  il  a  en  outre 


1  Question  n»  377  (8.  tiravé),  t.   I,   I89'j,  p.  228. 

'  Cari  SriiRMiîR,  Solution  complète  en  nombres  entiers  m,  n,  x.  y,  et  k  de  l'équation 

1  1  7T 

m  arc  taiiK    -  +  n  arc  tansr —  ^  k —  . 
X    ^  .'/  4 

(Christiania  Vidensskabsselskabschrifter,  1895.) 

Sur  les  solutions  entières  K    ...  x^  ...  y.    ...  /„ ,  k,   de  l'cquàtion  : 

1      ,  1  '        1  TT 

a-j  arc  tang  —  +    ''2  •"''^  '"'"S  —  +  ••■  +  -J^/i  ■'>''<^  t'>ns  —  =  *' —   • 
'1  "2  'n 

(C.  n.,  t.  CXXIl,  27  janvier  189C,  p.  175-177.) 
(     »  »         et  3  lévrier  1896,  p.  225-227. | 

Sur  l'application  de  la  théorie  des  nombres  entiers  complexes  à  la  solution  en  nombres  ra- 
tionnels de  l'équation 

TT 
Tj  arc  tang  .r^  -\-   ...  -f  <■„  arc  tang  x„  —  k—    . 

(Archiv  for  Mathematik  og  Naturvidenskab,  t-hristiania,  1896.) 
Solution  complète  en  nombres  entiers  de  l'ci/uation  : 

m  arc  tang        -f-   n  arc  tang  -     =  k —    . 

(Bulletin  de  la  Société  niathcniatiqiio  de  France,  t.  X.WII,  1899.  p.   160-170.) 
s  L'Intermédiaire  des  Mathématiciens,  1896.  t.  3,  p.  276. 


J  n  ITHMOGÉO  M  É  TR  lE  165 

indiqué  une  ibrmule  intéressanle  : 

-  1  1,1  1 

—  ^^  22arc  lautî^r^  +  2arc  taiie -— -;r  —  oarc  lano-  -—--  —  10  aie  laue:— — -r—  . 
i  '^  28    '  ^445  "  ISyy  ^  11018 

Il  convient  enlin  de  signaler  ici  Texistence  d'ai-itliniopoints 
sur  la  courbe  logistique  :  cette  proposition  négative,  con- 
cernant Timpossibilité  en  noml)res  rationnels  de  l'écjualion 


a  été  établie  en  1882  par  F.  Li>df,mann  \  Elle  a  donné  lieu 
tout  récemment  à  un  très  intéressant  travail  de  ^IM.  G.  N. 
Bauer  et  H.  L.  Slobin  «  Some  transccndenlal  Curves  and 
Nmnbers  »  -. 

11  est  vraisemblable  que  la  liste  précédente  des  travaux 
où  se  trouvent  des  résultats  susceptibles  d'être  rattachés  à 
rarithmogéoniétrie  des  courbes  et  des  surfaces  transcen- 
dantes est  loin  d'être  complète;  en  tous  cas,  leur  nombre 
est  certainement  encore  restreint. 

103.     GÉNÉRALISATION      DE      LARITHMOGÉOM  ÉTRI E .      —      La 

même  remarque  s'applique  aussi  aux  recherches  faites  au- 
tour d'une  généralisation  importante  et  naturelle  de  l'arith- 
mogéométrie  dont  la  première  manifestation  se  trouve  dans 
des  travaux  de  Ang.  Genocchi. 

G.  Lamé^  avait,  en  1840,  publié  un  remarquable  mémoire 
sur  un  cas  particulier  du  dernier  théorème  de  Fermât  ;  il 
avait  établi  l'impossibilité  en  nombres  entiers  de  l'équation 

indéterminée  : 

■x'-  +  j'  =  ='  ; 

A.  Cauchy*.   m.  Lebesgue^  et  le    P.  Pépin*''   avaient  à    cette 


'  L'ebcr  die   '/.ahl  TZ,  Mathematische  Annalen,  XX,  1882,  S.  213-2i5. 

-  Rcndiconti  del  Circolo  mateniatico  di  Palemio,  XXXVI,   1913,  p.  327-337. 

^  (V.  La.mè.  Mémoire  d'Analyse  indctermiiice  démontrant  que  l'équation  X'  +  y"  =  7.'  est 
impossible  en  nombres  entiers,  Journal  de  Mathématiques  pures  et  appliquées  (de  Liouville», 
[l],  t.  V,   18.0,  pp.  19.V211. 

*  A.  Cauciiv.  Rapport  sur  le  Mémoire  précédent  (ibid.).  p.  211-21Ô;  cf.  aussi  C.  li.,  t.  IX, 
m  septembre   1839,  p.  359-363. 

*  M.  LicBKSQLK.  Démonstration  de  l'impossibilité  de  résoudre  l'équation  x' -f- y'  +  7.' =  0  en 
nombres  entiers  (Journal  de  Mathématiiiues  pures  et  appli<iuées  (de  Liouville),  fl],  t.  V,  1840. 
p.  27S-279. 

«  Le  P.  Fi;pi.N.  Impossibilité  de  l'rquation  x'  +  y'  -)-  /.'  =  0.  C.  R.,  t.  LXXXII,  187(;,  p.  67fi- 
<«79  et  743-747.  Cette  impossibilité  est  ici  rattachée  à  celle  d'une  équation  x*  -|-  ''y*  =  Q 
appartenant  à  une  famille  plus  étendue  d'équations  étudiées  par  Edouard  Lucas. 


166  E.     TVRHIEHE 

occasion  présenté  quelques  remarques  et  simplifié  la  démons- 
tration de  G.  Lamk. 

Poussant  plus  loin  l'analyse  de  cette  équation  particulière 
de  Fermât,  A.  Genocchi  établit  que,  non  seulement,  elle  est 
impossible  en  nombres  entiers,  mais  aussi  en  prenant  pour 
X,  y,  z  les  racines  d'une  même  équation  du  troisième  degré  a 
coefficients  rationnels  ;  celte  impossibilité  est  rattachée  à 
celle  de  Téquation 

1 

x^  4-  6.J-  _  -  =  □  , 

en  nombres  rationnels  \ 

104.  —  La  propriété  négative  de  l'équation  .?'  +  ?/'  +  r'  =  0. 
de  ne  point  posséder  non  seulement  des  arithmopoints,  mais 
encore  des  points  dont  les  coordonnées  homogènes  .r,  ?/  et  c 
soient  exprimables  par  les  racines  d'une  même  équation 
cubique  rationnelle,  doit  être  considérée  cqmme  le  premier 
théorème  d'une  généralisation  de  l'arithmogéométrie  :  cette 
nouvelle  branche  de  l'étude  géométrique  d'une  équation 
indéterminée  de  l'analyse  diophantine  aurait  pour  objet  la 
recherche  de  ceux  des  points  particuliers  d'une  courbe 
donnée,  représentée  au  moyen  d'une  équation  rationnelle, 
par  chacun  desquels  puisse  passer  une  courbe  de  même 
nature,  mais  d'un  degré  moindre  imposé  a  priori  :  les  points 
situés  sur  une  arithmodroite  seraient  précisément  les  arith- 
mopoints de  la  courbe  donnée;  les  points  situés  sur  une 
conique  constitueraient  une  seconde  famille;  la  troisième 
famille  serait  celle  des  points  situés  sur  une  cubique  d'équa- 
tion rationnelle. 

En  d'autres  tenues,  celte  généralisation  de  l'arithmogéo- 
métrie consisterait  à  substituer  à  l'ensemble  des  nombres 
rationnels  celui  des  nombres  quadratiques,  puis  celui  des 
nombres  cubiques  ou  plus  généralement  celui  des  nombres 
appartenant  à  un  certain  domaine  imposé  de  rationalité.  Le 
programme  d'une;  telle  étude  a  été  tracé  dans  un  mémoire 


'  A.  Gr.socciii.  !\ur  Viinpossibiliti  de  quelques  équations  doubles,  C.  H.,  t.  LXXVUI,  9  février 
1874,  p.  'i33-'iJ5.  —  Généralisation  du  thêorime  de  l.amé  sur  l'impossibilité  de  l'équation 
x;  +  y'  +  y.:  =  0,  C.  R..  t.   LXXXU,   I87t;,  p.  910-01:1. 


ARITHMOGEOMETRIE  167 

ile  H.  PoiNCARÉ  :  Sur  les  propriétés  arifhmélifjues  des  courbes 
algébriques^. 

Généralisation  par  voie  complexe. 

105.  —  Dans  les  derniers  paragraphes  ci-dessus,  j'ai  rap- 
pelé quelques  rares  essais  d'extension  de  Tarithmogéométrie, 
qui  se  rattachent  tous  à  l'étude  bien  difficile  des  arithmo- 
points  de  courbes  ou  de  surfaces  transcendantes  spéciales, 
ou  encore  à  celle  de  ceux  des  points  des  (tourbes  ou  surfaces 
algébriques  dont  les  coordonnées  sont  exprimables  non  plus 
rationnellement  mais  au  moyen  de  nombres  appartenant  à 
un  certain  domaine  imposé  de  rationalité. 

Ce  sont  là  deux  directions  bien  distinctes  vers  lesquelles 
Tarithmogéométrie  semble  devoir  s'orienter.  Le  grand  inté- 
rêt qui  est  actuellement  attaché  au  célèbre  théorème  de 
Fermât  ne  peut  que  provoquer  des  recherches  arithmogéo- 
métriques  autour  des  courbes  spéciales  d'ordre  élevé,  ou 
même  d'ordre  indéterminé,  plus  ou  moins  analogues  aux 
laméennes.  Les  belles  recherches  de  M.  C.  Stôrmer  sont 
d'autre  part  de  nature  à  faire  naître  le  désir  d'entreprendre 
des  études  semblables  pour  d'autres  types  d'équations  trans- 
cendantes. 

Ce  sont  là,  je  le  répète,  des  questions  qui  seront  certai- 
nement étudiées  dans  un  avenir  plus  ou  moirts  éloigné  de 
nous. 

A  côté  de  ces  deux  extensions  naturelles  de  l'arithmo- 
géométrie,  je  crois  devoir  signaler  enfin  une  troisième  géné- 
ralisation essentiellement  différente  des  précédentes,  car 
elle  consiste  en  une  prolongation  de  l'arithmogéométrie 
dans  le  domaine  des  grandeurs  et  des  nombres  imaginaires. 
De  même,  en  effet,  que  la  considération  de  ceux  des  élé- 
ments de  certaines  figures  géométriques,  qui  sont  repérés 
par  des  nombres  rationnels,  a  pu  présenter  un  certain  intérêt, 
de  même  Vétucle  des  éléments  réels  des  figures  complexes 
peut  parfois  conduire  à  des  résultats  qui,  s'ils  ne  semblent 


'  Journal  de  Malhiinaiiques  pures  et  appliquées  (de  Lioiivillc),  5«  série,  t.  7,  l'.Kil,  p.  lt;i-233. 


168  E.    TURRlElîE 

offrir  aiioune  utilité  immédiate,  sont  néanmoins  suffisamment 
curieux  pour  mériter  de  ce  fait  détre  mentionnés  ici. 

Le  sujet  de  cette  étude  des  éléments  réels  de  figures  ima- 
ginaires est  évidemment  immense,  en  raison  même  du  nombre 
illimité  des  figures  imaginaires  de  la  géométrie  plane  et  de 
la  géométrie  spatiale.  11  y  a  donc  lieu  de  limiter  les  dé»'e-' 
loppements  qui  vont  suivre  à  ceux  des  résultats  qui  paraissent 
tout  spécialement  les  plus  curieux. 

106.  —  Dans  tout  ce  qui  va  suivre,  les  figures  complexes 
considérées  seront  définies  par  des  points  dont  les  coor- 
données seront  des  nombres  imaginaires  de  la  forme  x  +  iy- 
L'n  point  imaginaire  du  plan  dépend  ainsi  de  c|uatre  nombres 
réels;  un  point  de  l'espace  dépend  de  six  nombres  réels. 

Le  principe,  qui  est  à  la  base  des  remarques  suivantes,  est 
que,  sur  toute  droite  imaginaire  du  plan  représentée  par  une 
équation 

(a  +  ia')\  -t-  (h  +  ///,Y  +  (c  +  ic')  =  0   . 

il  existe  un  point  réel.  Corrélativement,  parmi  toutes  les 
droites  pivotant  autour  d'un  même  point  imaginaire,  il  existe 
une  droite  réelle,  en  géométrie  plane  bien  entendu. 

Lorsque  la  droite  imaginaire  varie  dans  le  plan  [en  enten- 
dant par  variation  de  la  droite  imaginaire  celle  des  quatre 
paramètres  réels  qui  figurent  dans  son  équation  après  divi- 
sion par  c  -\-  ic\  par  exemple],  le  point  réel  se  déplace  dans 
ces  conditions  et  son  déplacement  est  parfaitement  déter- 
miné par  la  loi  de  variation  des  coefficients  de  la  droite  ima- 
ginaire. Toutefois  le  déplacement  du  point  réel  ne  précise 
nullement  celui  de  la  droite,  puisque  la  représentation  ana- 
lytique d'une  droite  de  celte  nature  s'effectue  au  moyen  de 
fjuatre  paramètres  réels. 

107.  —  DÉFINITIOX    DES    COURBKS    ORTHOPTIQUES.  La  loi  la 

plus  simple  de  variation  d'une  droite  imaginaire,  dans  le 
plan,  consiste  à  faire  dépendre  les  quatre  coefficients  réels  de 
l'équation  de  cette  droite  d'un  paramètre  réel  unique. 

Les  deux  droites  réelles,  représentées  par  les  équations 
respectives 

a\  +  AY  +  c  =  0  el  a'X  -\-  h'Y  +  c'  =  0   , 


ARITII.MOGEOM  ETHIE  169 

qui  déterminent  par  leur  intersection  le  point  réel  de  la 
droite  imaginaire,  enveloppent  alors  deux  courbes  réelles  du 
plan;  le  point  réel  considéré  décrit  un  certain  lieu  géomé- 
trique, réel  lui  aussi. 

Plus  particulièrement,  supposons  cpie  ré(|uation  de  la 
droite  imaginaire  soit  Téquation  canonique 

X  cos  ç  -f-  ^  ^i"  r  ■ — ^  05  =1  0  : 

3  est  ici  un  azimut  complexe  : 

z  =  t  -\-  i'V   : 

de  même  la  distance  fo  de  l'origine  des  coordonnées  à  celte 
droite  imao-inaire  est  un  nombre  imaoinaire: 

vo  =:  p  -{-  iP    : 

t  est  supposé  variable  et  pris  pour  paramètre  destiné  à  repé- 
rer la  droite  imaginaire  ;.T, /?,  P  sont,  en  d'autres  termes, 
quatre  fonctions  données  de  la  variable  réelle  t. 

Si  maintenant  ce  paramètre  t  prend  un  accroissement  réel, 
tout  se  passe  comme  pour  le  cas  d'une  x^  de  droites  réelles; 
le  point  d'intersection  de  deux  droites  voisines  de  paramètres 
/  et  ^  +  <://  a  une  limite  lorsque  dl  tend  vers  zéro  et  par  suite 
les  droites  imaginaires  considérées  enveloppent  une  courbe 
imaginaire  représentée  par  les  fondions  précédentes  T,  p 
et  P. 

Cela  étant,  la  tangente  imaginaire  considérée   est   douée 

d'un  point  réel,  défini  comme  intersection  des  deux  droites 

réelles  représentées  respectivement  par  les  équations: 

• 

p 

.»•  cos  t  4-  >■  sin  /  =     ,   „,   , 
en  1 

P 
—  xsinf  +  yKOst  =    ,  „,   ; 
sli  1 

celles-ci  sont  évidemment  deux  droites  rectangulaires,  qui 
enveloppent  deux  courbes  réelles  c,  et  c.  simplement  défi- 
nies par  les  équations  polaires  tangentielles  qui  précèdent. 
Ainsi  donc  : 


170  E.     rURRIKHE 

La  courbe  réelle,  lieu  des  points  réels  situés  sur  les  tan- 
gentes d'une  courbe  imaginaire,  peut  toujours  être  simplement 
définie  comme  l'ortlioptique  de  deux  courbes  réelles. 

Celte  proposilion  rattache  donc  la  notion  de  courbe  orthop- 
tique  d'une  courbe  réelle  à  celle  de  la  courl^e  réelle  d'une 
certaine  figure  iniaoinairc. 

108.  —  Droites  imaginaihes  de  l'espace  ayant  un  point 
HÉEL.  —  Alors  que,  sur  toute  droite  imaginaire  du  j)lan,  il 
existe  toujours  un  point  réel,  il  n'en  est  j)as  de  même  en 
géométrie  spatiale. 

Soit  une  droite  imaginaire  générale  de  l'espace.  Elle  part 
du  point  imaginaire  y.  de  coordonnées 

E  =  .*'i  +  '■*•,.    .  i-,  =  Vi  +  iy.i    ,  r  =  r,  +  iz.^   : 

sa  direction  est  définie  par  des  coefficients 

les  coordonnées  d'un  point  quelconque  de  la  droite  sont  : 

Z  =  ?  +  Àa   ,  II  z=  r,  +  Àf:;    ,  Z  =  Z  +  Ày   , 

le  paramètre  1  étant  rimaginaire  /,  +  ih-  Pour  que  ce  point 
courant  de  la  droite  puisse  être  réel,  il  faut  et  il  suffit  que 
les  parties  purement  imaginaires  des  expressions  des  trois 
coordonnées  E,  H,  Z  soient  simultanément  nulles  : 

X,  +  l^o,  +  /,.,,  =  0   , 
.r,  +  /j  h.,  +   /,,  /',  =  0   , 

--.,  +  l,c.,   +  /..r,    =0    ; 

t 

il  en  résulte  la  condition  suivante  d'existence  d'un  point  réel 
sur  la  droite  imaginaire  considérée  : 


x» 

T., 

«1 

/', 

<l.^ 

/'., 

=  0 


/,  et  /,  s'obtiennent  alors  par  le  système  linéaire  ci-dessus 


ARITHMOGEOMKTRIE  171 

écrit  et  les  coordonnées  du  point  réel  M  sont  alors  les  sui- 
vantes : 

X   =   .Ij    +    a,/j    «2 /.,     , 

Yz=.,-    +  /.,/,   -  bj.^   . 
109.   DÉFINITION   DE  LA  DÉVELOPPANTE  u'UNE  COURBE  PLANE 

RÉELLE.  —  Parmi  les  courbes  imaginaires  de  l'espace  ordi- 
naire, les  plus  remarquables  sont  certainement  les  lignes  de 
longueur  nulle.  Leurs  équations  au  moyen  d'un  paramètre 
réel  /  et  d'une  fonction  F(/i  de  cette  variable  réelle  sont  : 

?  =  /(l  —  1-)  V"'dt    =  {l  —  r-}  F"  +  2lh"  —  2F   , 
r,  =  ij\l  +  t'-\F"'dt  =  i\{[  +  Ih  F"  —  2/F'  +  11'   , 
r  =  ■IftV'dt  =  2/F"  —  2F'   ; 

F',  F"  et  F'"  désignent  les  dérivées  première,  seconde  et 
troisième  de  cette  Ibnction  générale  F(/).  Dans  le  cas  actuel 
on  a  donc 

'   .»•,  =  Il  —  t'\  V"  +  2/F'  —  2F   ,         .»•„  -  0   , 
.V,  =  0   ,  r.  =  Il  +  /-|F"  —  2/F'  +  2F   , 

;,   =  2/F"  —  2F'   ,  z.,  =  0   ; 

les  coefiicients  de  direction  de  la  tanoente  imaoinaire  à  cette 
courbe  imaginaire  sont  : 

rt,  =  Il  —  /2|F"'  ,         (,.,  —  0  . 

/',  =  0   ,  /.,,  =  Il  +  /-IF'"  , 

,-j  =  2/F'"  ,  c,  =  0   . 

La  condition  d'existence  d'un  point  réel  sur  cette  droite 
imaginaire  est  manifestement  satisfaite  (juelle  que  soit  la 
fonction  Fi/);  les  valeurs  de  /,  et  de  /.  sont  ici 

/,  =  —  r"'   .  /.,  =  û    , 

et  les  coordonnées  du  point  réel  sont  par  suite  : 
,    /F'  -  F 

1    +    t' 

y  =  0   , 

_        „    Il  —  «-H''  +  2iF 

'--'■  1+12-  • 


172  E.     TURBIERi: 

Ce  point  décrit  une  courbe  réelle  située  clans  le  même  plan 
que  la  courbe  (c,)  décrite  par  le  point  réel  de  coordonnées  .r^ , 
y,,  r.j .  Gomme  les  diverses  coordonnées  introduites  sont 
liées  par  la  relation  d.t\  +  dz\  =  dyi,  y.^  n'est  autre  que  l'ab- 
scisse curviligne  .v,  de  cette  courbe  réelle  (c,)  et  puisque  /,  est 

éo-al  à  — 7^^=^  — ■^' ,   les   coordonnées  du   point   réel  M  de- 


Viennent 


1           ,                 ,  d.r, 

X  =  ^^\>\y.,  -  .v,.r,i  =  .r,  —  ^\j^ 

V  =  0  . 

1          ,                ,  dz 


7  '-1^2   —    r2"l 


ds. 


ces  dernières  équations  prouvent  que  ce  point  (.r,  ?/,  z)  dé- 
crit une  développante  par  le  fil  de  la  courbe  réelle  (c,  . 

En  résumé  :  fou/es  les  iaiigentes  d'une  courbe  rnininia  de 
r espace  sont  douces  d'un  point  réel.  La  courbe  lieu  de  ces 
points  réels  n'es^  autre  qu'une  développante  de  la  courbe 
réelle  plane  (c,). 

Comme  la  courbe  plane  (c,),  dont  la  ligne  de  longueur 
nulle  peut  être  déduite  au  titre  d'hélice  particulière  du  cy- 
lindre de  section  droite  (c^),  est  absolument  générale,  cette 
proposition  définit  d'une  jnanière  inattendue  la  développante 
d'une  couulje  plane. 

110.  —  Plus  généralement,  supposons  que  la, droite  ima- 
ginaire de  l'espace  appartienne  à  une  x'  développable  :  les 
douze  paramètres  (.r, ,  ....  r ._,  .  V/, ,  ...  ,  r.,  sont  des  fonctions 
réelles  de  la  seule  variable  réelle  t  liées  par  les  relations  : 


d.v, 

dt  ■ 

^  =  %■ 

'.  =  ^ 

dt  ' 

'==^r 

■•.  =  ^ 

la  condition  d'existence   dun    point  réel  sur  une  telle  tan- 


A  R  I  T II M  0  G  E  O  M  É  T  H  I E 


173 


;-ente  imaginaire  à  une  courbe  imaginaire  est  alors 


oc., 


dx.. 

dx. 

dt 

dt 

dy. 

d?\ 

dt 

dt 

dz.. 

dz 

dt 

dt 

=  0    . 


On  se  donnera,  pour  y  satisfaire,  la  courbe  gauclie  réelle 
(Cj)  lieu  du  point  M,  de  coordonnées  .i\,  ?/.,,  z.,.  P  et  Q  étant 
deux  fonctions  de  la  variable  réelle  /.  on  posera  : 

</.«^  =  Prf(Q.r,i  . 
rfv,  =z  PrfiQiv  . 
dz,  =  Pc?|Q-,i   : 

la  courbe  (c^)  lieu  du  point  (.r, ,  ^/i  •  -J  est  alors  définie,  à 
une  translation  arbitraire  j)rès,  par  trois  quadratures  : 

.r,  =  ?Qx.,  —  fQx..dV  , 
r,  =  Pg.v,  —  J'QrjdP  , 
:,  =  PQ--,  --  fQz.,dP   : 

si,  par  exception,  la  courbe  (c./)  est  un  axe  de  coordonnées, 
l'axe  Oz  par  exemple,  la  condition  est  satisfaite  quelle  que 
soit  la  courbe  (Ci),  puiscjue  .r,,  y^^  -^''i  et  y'.,  sont  nuls;  /„  est 

nul  et  Z,  prend  la  valeur  - — —,  de  sorte  que  les  coordon- 
nées du  point  réel  M  sont  alors  : 


'-  dz„ 


"-  dz.. 


dz, 
dz. 


la  courbe  (Cf)  reste  indéterminée;  le  point  M  est  un  point  de 
la  tangente  en  M,   à  cette  courbe  réelle  (c,),  à  une  dislance 


dz 


M,M  =r  i^j-^l'-  du  point  M,  de  contact  de  la  tangente.  En  pre- 


dz. 


174  E.     TU  uni  ERE 

liant  plus  particulièrement  z^_  proportionnel  à  l'abscisse  cur- 
viligne .ç,  de  la  courbe  (c^),  z^  --  /r^, .  la  courbe  lieu  de  M  est 
une  développante  par  le  fil  de  la  courbe  fc^i.  Ce  résultat  cons- 
titue par  suite  une  généralisation  de  celui  qui  a  été  indiqué 
au  paragraphe  précédent,  à  propos  des  courbes  de  longueur 
nulle  (A'  est  alors  égal  à  Tunité  et  z^  est  nul,  aux  notations 
près). 


111.  —  Je  n'insiste  pas  sur  cette  question  qui  ne  présente 
qu'un  intérêt  de  curiosité.  Il  me  suffira  de  dire  que  les 
remarques  qui  précèdent  ne  sont  pas  les  seules  qu'il  est  pos- 
sible de  faire  dans  la  considération  des  éléments  de  cer- 
taines figures  imaginaires  du  plan  ou  de  Tespace.  C'est  ainsi 
que  des  transformations  rationnelles  bien  connues  peuvent 
être  rattachées  à  ces  mêmes  considérations  et  que  l'étude 
des  droites  de  l'espace  qui  sont  douées  d'un  point  réel  met 
en  évidence  certains  systèmes  rectilignes,  congruences  ou 
complexes,  bien  connus  par  ailleurs. 

Paris,  le  l*''  février  1918. 


SUR  LA  «VARIETE  MOYENNE» 
DE    DETX   VARIÉTÉS    CONVEXES 

PAR 

Georges  Tieugy  (Genève). 


.^  1. 

On  connaît  la  définition  de  «  corps  moyen  »  de  deux  corps 
convexes  donnés  :  soient  G,  et  C.2  ces  corps  donnés;  enjoint 
un  point  A,  de  C,  à  un  point  A.,  de  C,  ;  on  prend  le  point 
milieu  M  du  segment  (Aj  Ag)';  le  lieu  des  points  M  est  le  corps 
moyen  de  G,  et  G,- 

Les  propriétés  de  ces  «  corps  moyens  «  peuvent  être  éta- 
blies analytiquement  ;  il  sullirait  pour  cela  d'utiliser  la 
«  théorie  des  corps  convexes  »  de  MinUowski^ 

Les  démonstrations  deviennent  extrêmement  simples,  si 
Ion  procède  par  voie  géométrique.  Je  me  suis  d'ailleurs 
placé  d'emblée  dans  l'espace  à  n  dimensions;  en  cours  de 
route,  nous  examinerons  des  cas  de  l'espace  ordinaire. 
Gomme  cas  particulier,  nous  envisagerons  celui  où  toutes 
les  droites  servant  à  la  construction  de  la  variété  moyenne 
ont  une  direction  constante. 

§  2. 

Soient  donc  deux  variétés  convexes.  G,  et  G.j  ;  la  variété 
moyenne,  que  nous  désignerons  par  (G),  est  aussi  une  variété 
convexe.  Soit  //  le  nombre  des  dimensions  de  ces  variélés. 


'  MiNKOWsKi.  Cesammeltt  AbhaïuUungen.  H,  p.  i;!l-2»'i0. 


176 


riEIiC  Y 


Pour  conslruire  la  variété  moyenne,  procédons  de  la  manière 
suivante  : 

Situons  l'espace  à  n  dimensions  dans  l'espace  immédiate- 
ment supérieur  à  (/*  +  1)  dimensions;  concevons  que  la  va- 
riété C,  soit  située  dans  le  (/?  —  plan)  défini  par  l'équation  : 

tandis  que  la  variété  C,  serait  située  dans  le  in  —  plan)  défini 
par  l'équation  : 

^,,+1  =  -^  • 

Considérons  alors  la  plus  petite  variété  convexe  contenant 
les  deux  variétés  proposées;  et  coupons  cette  variété  à 
{n  +  1)  dimensions  par  le    n  —  plan)  défini  par  l'expression  : 

L'intersection  donne  une  variété  à  n  dimensions;  c'est  la 
«  variété  moyenne  »  de  C,  et  C^. 

Prenons  d'abord  quelques  exemples. 

a)  Premier  exemple.  Soit  le  cas  de  («^=1);  les  deux 
variétés  données  sont  donc  deux  segments  de  droite,  portés 
sur  une  droite  indéfinie  représentant  l'espace  à  une  dimen- 
sion. Situons  cette  droite  dans  un  plan,  l'axe  auxiliaire  étant 
perpendiculaire  à  la  droite;  la  variété  C,  sera  portée  par 
Taxe  des  x  lui-même,  tandis  que  la  variété  C.^  sera  située  sur 
la  droite  définie  par  : 

V  =  2   .  (avec     a  rr  li 


VARIETE    MOYENNE 


177 


La  plus  petite  variété  convexe  à  [ii  -\-  1)  dimensions  conte- 
nant les  segments  C,  et  Cj  est  le  trapèze  (A,  8,82  A.^.  Cou- 
pons ce  trapèze  par  la  droite  : 

j  =  1  ; 

■on  obtient  le  segment  (A8);  c'est  la  variété  moyenne  des 
deux  segments  proposés.  11  n'y  a  plus  qu'à  revenir  à  l'espace 
à  une  dimension,  par  une  simple  translation  du  segment  (A8) 
parallèlement  à  l'axe  des  y. 

On  aurait  obtenu  le  même  résultat  en  suivant  la  définition 
initiale  :  prendre  le  milieu  de  toute  droite  unissant  un  point 
•d'une  des  variétés  proposées  à  un  point  de  l'autre  variété. 
On  constatera  (fig.  2)  pour  ce  premier  exemple 


que  les  points  extrêmes  A  et  8  sont  les  milieux  des  droites 
joignant,  dans  l'espace  donné,  les  points  extrêmes  des  va- 
riétés Cl  et  Co  ;  et  cela  d'une  seule  manière. 


0 

X 

B^ 

-4      ^--~~,n 

1 

/     C, 

E7\ 

A, 

7    U7 

!      A   B. 
^■L3 

En  outre,  remarquons  que  la  valeur  du  segment  (C)  est  égale 

à  la  moyenne  arithmétique  des  valeurs  des  segments  C,  et  Cj. 

bi   Autre  exemple.  Prenons  le  cas  de  («  =  2);   et  consi- 


I. 'Enseignement  nialhcMn.,  20"  année;  191S 


178 


TIERC  Y 


dérons  deux  polygones  plans,  chacun  ayant  une  orientation 
bien  déterminée  par  rapport  aux  axes  de  référence. 

Plaçons  cet  espace  a  deux  dimensions  dans  l'espace  à  trois 
dimensions;  Taxe  auxiliaire  étant  perpendiculaire  au  plan 
des  polygones  donnés;  la  variété  C,  restera  dans  le  plan  : 

;  =  0    ; 

la  variété  C^  sera  située  dans  le  plan  : 


mais  elle  gardera  son  orientation  par  rapport  aux  axes  des  x 
et  des  y. 


Le  plus  petit  volume  convexe  limité  par  les  bases  C,  et  C, 
est  un  prismatoïde  ;  ses  faces  latérales  sont  des  trapèzes  ou 
des  triangles;  on  aura  un  trapèze  lorsque  les  polygones  C, 
et  C.2  présenteront  deux  côtés  parallèles;  par  exemple,  les 
côtés  (A,B,)  et  (AgBj)  fournissent  un  trapèze,  de  même  que 
les  côtés  (D,  G|)  et  (DjGg)  ;  quant  aux  triangles,  on  les  obtien- 
dra en  étudiant  Torienlalion  des  différents  côtés  des  variétés 
proposées  par  rapport  à  Tun  des  axes  de  référence;  on 
prendra  successivement  comme  bases  des  triangles  latéraux^ 
les  côlés  indiqués  [)ar  la  «rose  d'orientation»  (fig.  4)  ;  on 
comprend  ici  rim[)orlance  de  la  conservation  de  l'orienlalion^ 
respective  des  variétés  C,  et  Cj. 


VA  RIÉT  É    MOYENNE 
Coupons  ce  prismaloïde  par  le  plan  : 


179 


3=1; 

on  obtient  un  polygone  (ABB'GDD'E)  ;  c'est  la  variété 
moyenne  des  deux  variélés  proposées. 

On  revient  alors  à  l'espace  h  deux  dimensions  par  une 
translation  du  polygone  obtenu  parallèlement  à  Taxe  des  z. 
La  construction  est  facile;  il  suffit  de  la  faire  en  perspective 
cavalière  exacte. 

En  opérant  directement  sur  la  figure  (3)  à  deux  dimensions, 
d'après  la  définition  initiale  (qui  consiste  à  prendre  le  milieu 
de  toute  droite  unissant  un  point  de  C,  à  un  point  de  G,, 
dans  l'espace  oii  ces  figures  sont  placées),  le  lecteur  obtiendra 
le  même  résultat;  c'est  évident,  car  cela  revient  à  ne  consi- 
dérer que  la  j)rojection  orthogonale  de  la  figure  (4  sur  le 
plan  xy. 

On  voit  immédiatement  que  :  1"  les  points  extrêmes  de  la 
variété  solution,  ou  sommets,  sont  les  milieux  de  tlroites 
joignant  des  points  extrêmes  des  figures  données;  il  ne 
saurait  en  être  autrement; 

2°  la  longueur  du  pourtour  du  polygone  [C]  est  la  moyenne 
arithméti(|ue  des  longueurs  des  pourtours  de  C,  et  Cj . 

c)  Rkmarque  1.  Gomme  cas  particulier  de  ce  deuxième 
exemple,  considérons  celui  où  les  polygones  G,  et  G^  se 
réduisent  à  deux  segments  rectilignes,  concourants  ou  non. 
La  variété  moyenne  est  alors  un  parallélogramme,  dont  lun 
des  angles  est  égal  à  l'angle  formé  par  les  directions  de  C^  et  C.,. 

On  a  les  dessins  suivants  dans  l'espace  E.^  : 


iSeO/.  Ytony 


C-cmxoa' 


ta'vvC6 


180  G.     TIERCY 

Si  Ton  utilise  l'espace  à  trois  dimensions,  la  variété 
moyenne  cherchée  sera  l'intersection,  par  le  plan  [z  =  1), 
d'un  tétraèdre,  dont  l'arête  C,  sei-a  dans  le  plan  primitif 
(s  =  0)  et  dont  l'arête  C^  sera  dans  le  plan  :;  =  2)  ;  on  sait 
que  celte  section  est  un  parallélogramme,  dont  les  côtés  ont 

pour  valeurs  respectives  i-~\  et  (  ^"' )  • 

Remarque  H.  Ce  qui  précède  s'étend  immédiatement  au 
cas  où  les  variétés  C,  et  C^  sont  des  surfaces  planes  con- 
vexes quelconques.  La  variété  moyenne  sera  une  surl'ace 
plane  convexe;  et  le  pourtour  de  cette  variété  aura  pour 
valeur  la  moyenne  arithmétique  des  longueurs  des  pourtours 
de  C,  et  Cj. 

Revenons  au  cas  général  de  deux  variétés  convexes  C,  et 
C^  à  //  dimensions.  La  i-eprésentation  graphique  n'est  plus 
possible;  peu  importe;  le  processus  géométri(|ue  indiqué 
permet  d'établir  les  propriétés  fondamentales  de  la  variété 
moyenne. 

On  a  donc  situé  les  variétés  Ci  et  C.^  dans  l'espace  immé- 
diatement supérieur,  à  (n  +  i)  dimensions  :  la  variété  C, 
dans  le  [n  —  plan)  défini  par  : 

^„+.  =  0  , 

et  la  variété  C^  dans  le  (//  —  plan) 

en  conservant  leur  orientation  respective.  On  a  alors  consi- 
déré la  plus  petite  variété  convexe  à  [ii  +  J)  dimensions  con- 
tenant C,  et  Co  ;  et  l'on  a  coupé  cette  variété  par  le  (//  —  plan) 

•'■«+1  =  ^^  ■ 

L'intersection  donne  la  variété  movenne  cherchée,  variété 
convexe  k  n  dimensions. 

On  établit  alors  aisément  les  remarques  suivantes  : 


VARIE  TE    M  0  YEN  NE  181 

a)  A  tout  couple  de  points.  A,  de  C,  et  A.,  de  C.,,  corres- 
pond un  point  de  la  variélé  moyenne  (C).  Si  les  deux  points 
A,  et  Aa  sont  des  points  intérieurs  de  C,  et  Co,  le  point 
milieu  A  de  (A,Ao)  est  un  point  intérieur  de  la  variélé  (C). 

Inversement,  à  chaque  point  intérieur  A  de  (C)  corres- 
pond au  moins  un  couple  de  points,  A,  de  C,  et  Aj  de  C, . 

b)  Supposons  que  A,  soit  un  point  intérieur  de  G,,  et  que 
Aj  soit  un  point  frontière  de  C^  ;  le  point  A  ne  saurait  alors 
être  qu'un  point  intérieur  de  (C;.  En  effet,  imaginons,  tracée 
autour  du  point  A, ,  une  petite  //  —  variété)  convexe  V  entiè- 
rement comprise  dans  l'intérieur  de  C,  ;  et  considérons,  dans 
l'espace  à  [ii  -\-  1)  dimensions,  un  cône  de  sommet  A.,  et 
dont  la  base  serait  cette  variété  V.  L'intersection  de  ce 
[{n  -\-  1)  —  cône]  par  le  [n  —  plan) 


appartient  tout  entière  à  la  variété  (C),  et  contient  le  point  A 
dans  son  intérieur. 

c)  (Chaque  point  F  de  la  frontière  de  la  variété  (C)  corres- 
pond au  moins  à  un  couple  de  points  F,  et  Fj  des  variétés  C, 
et  Co,  F,  étant  sur  la  fi'ontière  de  C,  et  F^  sur  la  frontière  de 
Co.  En  effet,  tl'après  la  remarque  6  ,  aucun  des  points  F,  et 
Fj  ne  saurait  être  un  point  intérieur. 

d  Si  un  point  E  de  (G)  est  un  point  extrême  de  la  variété 
moyenne,  les  points  E,  et  Eo.  (|ui  lui  correspondent,  sont, 
non  seulement  des  points  «  frontière  »,  mais  encore  des 
points  extrêmes  de  Gj  et  G.j  ;  en  outre,  au  point  E  ne  cor- 
respond qu'un  seul  couple  de  points  E,  et  E., .  Gette  remarque 
résulte  immédiatement  de  la  définition  des  «  points  ex- 
trêmes ». 

GoROLLAiRE.  Si  l'ou  relie  un  point  frontière  F,  quelconque 
de  (],  à  un  point  frontière  F.,  quelconque  de  G.^,  le  point  mi- 
lieu de  la  droite  (F^  F»)  n'est  pas  forcément  sur  la  frontière 
de  (G).  Par  exemple,  dans  le  cas  de  [n  =  2),  si  l'on  prend  un 
point  de  G,  situé  sur  (E,  .A,)  et  un  point  de  G...  situé  sur  (B^Gj), 
le  milieu  de  la  droite  qui  joint  ces  deux  points  est  à  l'inté- 
rieur du  polygone  (G).  (Voir  fig.  3  et  4.) 


182 


G.    TIERCY 


l  3. 


Considérations  relatives  au  cas  de  in  =.  2)  et  au  cas 
DE  [a  ^  3).  Considérons  deux  courbes  convexes,  planes, 
orthogonalemeiit  symétriques  Tune  de  l'autre  par  rapport  à 
un  axe  (XY)  ;  traçons  toutes  les  (;ordes  (M^N,  N^M^)  perpen- 
diculaires à  Taxe  (XY)  ;  et  marquons  (fig.  6)  les  points  mi- 
lieux INI  et  N  des  segments 
(MiNj)  et  (NiMg).  On  construit 
ainsi  une  courbe  (C)  convexe, 
f|u'on  peut  appeler  :  courbe 
moyenne  de  C,  et  C^  relative 
à  la  direction  (XY). 

Celte  courbe  (C)  n'est  pas 
identi(jue  à  la  courbe 
moyenne  générale  (C),  défi- 
nie précédemment;  son  pour- 
tour est  plus  petit  que  celui 
de  (C),  et  elle  est  entièrement 
siluée  à  Tinté  rieur  de  (C)  ; 
nous  démontrerons  ce  détail  dans  la  remarque  I. 

D'autre  part,  d'après  ce  que  nous  avons  établi,  la  courbe 
(C)  a  le  même  pourtour  que  chacune  des  courbes  symé- 
triques G,  et  Cj  ;  en  eflet,  le  poui'tour  de  (C)  est  égal  à  la 
moyenne  arithmétique  des  pourtours  de  C,  et  C.,,  et  ces 
deux  derniers  ont  la  même  longueur. 

Si  donc  on  appelle  p  la  valeur  du  pourtour  de  chacune  des 
courbes  données,  ^î  le  pourtour  de  la  courbe  moyenne  (C) 
relative  à  la  direction  (XY),  et  P  le  pourtour  de  la  courbe 
moyenne  générale  (C),  on  à  les  relations  : 


'7  ^  P 


P  = 


'X  ^  p 


On  a  donc  établi  ((ue  le  périmètre  de  la  courbe  (C)  est 
plus  petit  que  celui  des  courbes  proposées,  ou  lui  est  au 
plus  égal. 

Or,  reinar(|uons  (|ue  la  courbe  (C)  n'est  pas  autre  chose 


VARIETE    MOYENNE 


183 


<jue  la  «  Iransforinée  de  Steiner  de  la  courbe  Ci  relativement 
i»  une  direction  perpendiculaire  sur  (XY;  ^  »  ;  on  Toblient  en 
portant  sur  toutes  les  cordes  (M,Ni)  prolongées,  de  part  et 
•d'autre  de  l'axe  (XY),  la  moitié  de  la  longueur  (M,N,).  On 
•démontre  ainsi  que  la  u  transformée  de  Steiner  relative  à  la 
■direction  (^M,N,)»  a  en  général  un  pourtour  plus  petit  que 
•celui  de  la  courbe  primitive  C, . 

Pour  que  le  pourtour  de  (C)  soit  égal  à  celui  de  C,,  on 
Yoit  immédiatement  la  condition  :  il  faudrait  que  la  courbe 
■C,  ait  un  axe  de  symétrie  parallèle  à  (XY). 

Remarquons  d'ailleurs  que  l'aire  de  la  courbe  est  conser- 
A'ée,  quelle  que  soit  la  courbe  convexe  C, . 

Remarque  1.  Nous  avons  dit  que  le  pourtour  de  la  courbe 
'(C)  est  plus  petit  f|ue  celui  de  la  courbe  (C),  et  par  consé- 
quent plus  petit  que  celui  de  chacune  des  courbes  symé- 
triques données.  Etablissons  ce  théorème,  géométriquement 
-et  par  le  calcul. 

Prenons  la  droite  (XY)  comme  axe  des  .r,  et  une  des  tan- 
gentes communes  comme  axe  des  y  (fig.  6'). 


Géométri(jueînenl  :   Cela  résulte  de  la  construction  même 
des  courbes  (C)  et  (C'j.  Prenons  en  effet  deux  petits  arcs  cor- 


»  Steinkk.   Œin'ies,  M,  p.  2r.'(-267. 


184 


TIERC  Y 


respondants  A,B,  et  A2B2  (fig.  6').    Si  on  les  assimile  à  des 
segments  de  droites  {{\g.  6"s  et  qiron  cherche  les  variétés 


(C)  et  (C)  déduites  de  ces  segments,  on  a  : 

ÂB  <  ÂJl  +  M  B  . 

On  étend  immédiatement  à  la  courbe  entière. 
Par  le  calcul  :  Soient 

y=y,(x}         et         r  =  Y^  (.r) 

les  équations  des  deux  branches  SjTj  de  la  courbe  C, ,  la 
fonction  Y,(.r)  se  rapportant  à  Tare  extérieur.  Les  équations 
de  la  courbe  Cj  seront  : 

^     r  =  Yjx)  =  —  yi(x)  . 

j      y=  rJx)=-Y,{x)    , 

Y^{x)  se  rapportant  à  lare  intérieur  S/F.,. 

On  a  alors,  en  désignant  toujours  par  />  le  pourtour  de  C, 
et  de  C2,  et  par  P  celui  de  la  courbe  moyenne  générale  (C)  : 

(  v  =  p  =iyi  +  ^yx  ^jyv^y^dx 

l  =  f\/\  +  y;v.,-  4-  f\/\T^ldx  . 


VARIÉ  TE    M  O  YE  NNE 


185 


Quant  à  la  courbe  moyenne  (C)  relative  à  la  direction  (0.x'), 
courbe  dont  le  pourtour  est  désigné  par  'T,  il  vient  : 


A)- 


AY,  +  AY, 


(fig.  6") 


Y    +  Y 


\fv 


1  + 


Y.  +  ^', 


dx 


On  vérifie  immédiatement  qu'on  a  : 

'•?  ^  P  . 
Pour  qu'il  y  ait  égalité  (5?  :=  P),  on  voit  qu'il  faudrait  : 

Y'(.r)  =  Y'(.r)   , 


c'est-à-dire  : 


Y,  (XI  =  Y,(.r)  +  K„ 


K  étant  une  constante.  Autrement  dit  :  les  courbes  C,  et  C.^ 
devraient  présenter  un  axe  de  symétrie  parallèle  à  [Ox). 
C'est  également  c^e  qu'indique  le  raisonnement  géométrique 
basé  sur  les  fîg.  6'  et  6". 

Remarque  II.  Plus  généralement,  toutes  les  fois  que  deux 
courbes  convexes  C,  et  Cj  sont  comprises  entre  deux  tan- 
gentes   parallèles    (fig.    7j,    on    peut    considérer   la    courbe 

X 


y 


moyenne  (C)   relative  à  la  direction  (XY)  perpendiculaire  à 
celle  des  tangentes. 


186 


G.     TIERCY 


Dans  ce  cas,  la  courbe  G')  n'a  pas  d'axe  de  symétrie  orlho- 
gonale. 

Application  de  cette  remarque  :  Considérons  le  cas  où  les 
courbes  Gj  et  G^  se  réduisent  à  deux  segments  de  droites 
concourants  (fig.  8).  Joignons  les  extrémités  A,  et  Aj.  et 
cherchons  la  variété  moyenne  (G')  de  G,  et  Gg  relative   a  la 

direction  (XY)  perpendicu- 
laire à  la  droile  (A,AJ.  Les 
variétés  proposées  ne  sont 
symétriques  Tune  de  l'au- 
tre par  rapport  à  aucun 
axe  (symétrie  orthogonale). 
La  variété  moyenne  (G') 
obtenue  n'est  alors  autre 
chose  que  la  médiane  (OA'j 
du  triangle  (OAj  Aj). 

Considérons  maintenant, 
dans  l'espace  E3,  deux 
cor[)S  convexes  quelcon- 
f|iie3  G,  et  G2.  symélrif|ues 
l'un  de  l'autre  par  rapport  au  ])lan  tt  (la  fig.  6  peut  encore 
servir;  il  sufUt  de  poser  que  le  plan  -k  est  représenté  par  sa 
trace  XY  sur  le  plan  du  dessin).  En  opérant  comme  dans  le 
cas  de  [n  =  2),  on  construit  un  volume  convexe  (G'i,  qu'on 
peut  appeler  :  «  Gorps  moyen  de  G,  et  C.^  relativement  au 
plan  7:  ». 

Ce  corps  (G')  est  tout  entier  contenu  dans  le  corps  moyen 
général  (G)  précédemment  défini  ;  cela  résulte  des  définitions 
mêmes  de  (G)  et  (G).  D'ailleurs,  on  vérifie  aisément  que  la 
surface  de  (G'j  est  plus  j)etite  que  celle  de  G,  ;  soient  en  eflet 
(fig.  6')  : 


=  Z,(j-.  1-1 


:,  '■»• .  .1  ) 


les  équations  des  deux  portions  S,T,  de  la  surface  de  G,,  la 
fonction  Z,(.r,  y)  donnant  la  portion  extérieure.  Soient  en- 
core : 

(      :  =  Z„  (.r  .   1)  =  —  r,  |.r  .  y)   . 
;  -  zjx.   y)  =  —  Z,  (X,   r)   . 


VA  RIÉ  TE    M  ()  YEN  NE 


187 


les  écjiiations  des  deux  perlions  S2T2  de  la  surface  de  C„,  la 
fonction  Z,(.r,  y)  se  rapportant  à  la  portion  intérieure. 

Désignons  par  s  la  surface  de  Cj  ou  de  C,  ;  et  c>  celle  de  la 
variété  (C;.  Posons  ensuile  : 


\ 


=  P, 


(^  =  Q. 


^1 


i  =  p 

'  =  '7 


i>Z 


-  =  Qo 


il  vient 


.  =  /* /'[(/l  +  p;  +  q;  +  p/i  4-  ^2  +  .,2  J^^^,. 

=,/;/'[K''  +  ï';  +  q;  +  /h-p;  +  q;j^-<v 


Puis,  pour  la  variété  (C)  : 


.'  _  Q,  +  Qo 


cS 


ir.rv/RH^' 


+  ,M-^)  .'.<r 


Or,  ce  corps  (C)  n'est  pas  autre  chose  que  le  «  transformé 
de  Steiner  de  la  variété  C,  relativement  à  une  direction  per- 
pendiculaire au  plan  n  »  i^voir  Œuvres  de  Steiner,  il,  p.  302); 
on  l'obtient  en  portant  sur  toutes  les  cordes  (M,Nj)  prolon- 
gées, et  (le  part  et  d'autre  du  plan  7-,  la  moitié  de  la  longueur 
du  segment  fM,N,).  Il  en  résulte  que  le  «transformé  de 
Steiner  de  la  variété  C,  relativement  à  une  direction  (MiNj) 
d'ailleurs  quelconque  »  a  en  général  une  surface  plus  petite 
<jue  celle  des  variétés  symétriques  proposées. 

Pour  que  la  surface  soit  la  même,  il  faudrait  : 


«'est-à-dire  : 


P,  =  V.,         ot         Q,  =  Q.   : 

Z,(.r.    v)  =  Zj.r,  y)  +  K    , 


^vec  K  :=  constante  ;  il  faudrait  donc  (|ue  le  corps  C,  pré- 
sente un  plan  de  symétrie  parallèle  au  plan  7:;  l'opération  de 
Steiner  reviendrait  alors  à  déplacer  le  corps  C,  en  Iransla- 
4ion,  |)erpendiculairement  à  son  plan  de  symétrie. 


188  G.    TIERCY 

Remarque  1.  On  verrait  facilement  que  la  variété  (C)  a  le 
même  volume  que  C,  ou  C^. 

Remahqle  II.  Pour  pouvoir  appliquer  l'opération  (C),  il 
n'est  point  nécessaire  (|ue  les  corps  C,  et  Cj  soient  symé- 
triques l'un  de  l'autre  par  ra[)port  à  un  certain  plan  tt  ;  il 
suffit  qu'ils  soient  convexes  et  inscrits  dans  un  même  cy- 
lindre. Mais  alors,  le  corps  moyen  (C'j,  relatif  au  plan  tt  nor- 
mal aux  génératrices  du  cylindre,  ne  présente  plus  de  plaj> 
de  symétrie  orthogonale. 

Remarque  III.  On  pourra  de  même,  dans  l'espace  E„  à  n 
dimensions,  construire  une  variété  (C)  correspondant  aux 
deux  variétés  C,  et  C^,  lorsque  ces  dernières  seront  ortho- 
gonalement  symétriques  l'une  de  l'autre  par  rapport  à  un 
certain  [n  —  plan)  ;:. 

§  4. 

GOMRINAISON  SOMMATOIRE  GÉOMÉTRIQUE  DE  DEUX  VARIÉTÉS 
C^    ET    Cj    DANS    l'espace    E„  . 

Considérons  la  variété  moyenne  (C)  générale  de  Cj  et  Co. 
Et  construisons  une  variété  semblable  (V)  avec  un  rapport 
de  proportionnalité  égal  à  2.  Cette  variété  (V)  présente  toutes 
les  arêtes  de  C,  et  toutes  celles  de  Cs,  en  grandeur  et  orien- 
tation ;  de  même,  on  y  trouve  toutes  les  faces  de  C,  et  celles 
de  C2  en  vraie  grandeur  (il  y  a,  en  plus,  d'autres  faces  «  de 
liaison  »). 

On  obtiendrait  le  même  résultat  si  l'on  cherchait  à  cons- 
truire directement  la  plus  petite  variété  convexe  possible 
présentant  toutes  les  arêtes  de  C,  et  toutes  celles  de  C,  en 
grandeur  et  en  orientation,  et  seidement  ces  arêtes  (elles 
peuvent  d'ailleurs  figurer  plusieurs  fois). 

Nous  pouvons  appeler  cette  variété  (V)  la  «  somme  géomé- 
trique de  C,  et  C^  ;  ou  plutôt,  afin  d'éviter  toute  confusion 
avec  la  terminologie  employée  dans  la  théorie  des  vecteurs, 
nous  dirons  :  «  Combinaison  sommatoire  géométrique  »  des 
variétés  Cj  et  C, . 

Exemple:  Si  on  a  deux  sphères  de  rayons  R,  et  R,,  la 
variété  (V),  qui  leur  correspond,   est  une  sphère  de  rayon 

(R,  +  R.). 


VA  B  lE  TE    M  O  YE  NNE 


189 


Il  est  évident  que  cette  variété  (V)  possède,  relativement 
aux  variétés  primitives  C,  et  C., ,  les  mêmes  propriétés  que  la 
variété  moyenne  générale  (C). 

On  pourra  construire  de  même  une  «  combinaison  soni- 
matoire  (V)  relative  à  un  certain  {n  —  plan)  7:»  chaque  fois 
que  les  variétés  C,  et  C,  seront  inscrites  dans  un  cylindre 
dont  les  génératrices  seront  normales  à  k  ;  cette  variété  (V) 
sera  semblable  à  la  variété  (C),  le  rapport  de  proportionna- 
lité étant  2, 

Exemple  (avec  n  =  2)  conduisant  à  la  résultante  de  deux 
vecteurs  : 

Soient  Ci  et  C.-,  deux 
segments  de  droites  con- 
courants (fig.  9)  ;  et  cons- 
truisons la  variété 
moyenne  (C)  relative  à 
la  direction  (XY)  ;  on  ob- 
tient la  médiane  (OD)  du 
triangle  (OA^  A,^,. 

Si  on  la  double,  on  ob- 
tient la  diagonale  (OE)  du  )(  z-^;  Y 
parallélogramme      cons  -                                           '  " 
truit  sur  OA,j  et  (OAJ. 

D'oii  l'énoncé  :  La  résultante  de  deux  vecteurs  (OA,)  et 
(OA2),  ou  somme  géométrique  ordinaire  de  ces  deux  vec- 
teurs, n'est  autre  chose  que  la  «  combinaison  sommatoire 
géométrique  (V),  relativement  à  la  direction  (XY),  des  deux 
segments  (CAJ  et  (OAj)  ». 

Genève,  juillet  1915. 


CONTRIBUTION 

A  LA  CONSTRUCTION  DES  ÉLÉMENTS  DOUBLES 

D'UNE  INVOLUTION  HYPERBOLIQUE 

HAR 

Fr.  Redl  (Zell  s/Ybbs). 


Une  involution,  de  sommet  S,  est  déterminée  par  les  paires 
de  rayons  ST,  ST'  et  SA,  SA'  de  la  fig.  1  ;  un  rayon  en  est 
représenté  par  H\  de  trait  plus  marqué.  D'après  une  pro- 
priété connue,  les  six  sommets  d'un  quadrilatère  complet 
(dans  la  figure:  TT'AA'21')  peuvent  être  placés  sur  trois  paires 
de  droites  correspondantes  d'une  involution.  Dans  notre  cas, 
deu.K  sommets  viennent  sur  le  ravon  double  11'. 


Fig.  2. 


La  conique  qui  louche  ST  en  T  =  (1 .2)  ;  ST'  en  T'=  (4.5) 
et  qui  passe  par  A  =  3  contient  aussi  A'  =  6,  car  11'  est  la 
droite  de  Pascal  de  l'hexagone  numéroté.  Maintenons  T,  T' 
et  A  fixes,  tandis  rpie  nous  Taisons  tourner  la  droite  de  Pascal 
autour  de  S;  le  point  d'intersection  de  !iT'  et  l'V  décrit  la 
conique  en  question,  et  vient  par  conséquent  aussi  en  A", 


IN  V  O  L  U  no  -Y    //  YP  E  RBO  I.IQ  LE 


191 


secoiule  intersection  de  SA'.  La  droite  de  Pascal  représente 
alors  le  second  rayon  double  de  l'involution. 

Réciproqiienienl  si,  au  lieu  d'un  rayon  double,  on  donnait 
la  conicjue  qui  louche  une  paire  de  linvolution  en  T  et  T', 
et  coupe  Tautre  en  A'  et  A"  (respectivement  A  et  A,  ,  on 
trouverait  les  rayons  doubles  en  construisant  les  points  2  i') 
et  v^  =  ATxA"T'  (X,  =  AT' X  A"T),  le  point  A,  conve- 
nant au  même  tiegré  (pie  A.  La  fig.  2  imlique  la  construc- 
tion. La  droite  TA  est  coupée  par  T'A'  et  T'A"  en  2,  resp.  2),  ; 
Si  et  S2,  sont  les  rayons  cherchés.  Comme  les  points  T  et  T' 
sont  arbitraires,  on  peut  admeti  re  (pie  la  conique  est  un  cei'cle. 

On  obtient  facilement  une  autre  construction  des  rayons 
doubles  (lig.  2)  avec  l'aide  des  points  R  et  R,  sur  la  polaire 
TT'  du  point  S.  R  et  R,   sont   choisis  conjugués  suivant  le 


Fig. 


cercle,  et  divisent  harmoniquemenl  le  segment  TT' ;  d'autre 
part  comme  points  diagonaux  du  quadrilatère  complet 
AA,A'A",  ils  sont  aussi  divisés  harmoni(piement  par  les 
côtés  opposés  SA  et  SA',  etc.  Nous  avons  ainsi  une  cons- 
truction des  éléments  doubles  pour  le  cas  où  l'une  des  paires 
embrasse  1  autre  :  par  la  paire  extérieure  (TT'j  on  décrit  un 


192  F.    REDL 

cercle  arbitraire,  et  Ton  déterniiiie  le  pôle  (S),  par  rapport  à 
ce  cercle,  du  support  de  rinvoliition.  On  joint  ce  dernier 
aux  points  intérieurs  par  des  droites  dont  les  interseclions 
avec  le  cercle  (A'A  "  et  AA,)  sont  à  joindre  entre  elles,  ce  qui 
conduit  aux  points  doubles  R,  R, . 

On  obtiendrait  linaleinent  une  troisième  construction  des 
rayons  doubles  en  se  servant  (dans  la  fig.  2,  du  théorème  sui- 
vant lecjuel  deux  points  diagonaux  du  quadrilatère  complet 
AAjA'A"  doivent  toujours  se  trouver  sur  une  diagonale  du 
quadrilatère  des  tangentes  aux  points  précités. 

En  généralisant  par  projection  la  dépendance  entre  les 
rayons  doubles  indiquée  dans  la  fig.  2,  on  peut,  selon,  les 
circonstances,  1  utiliser  pour  construire  un  rayon  double, 
lorsque  l'autre  est  donné.  Dans  ce  but  on  se  sert  habituelle- 
ment des  pi'opriétés  harmoniques  du  quadrilatère  complet, 
comme  d'ailleurs  ou  s'en  rend  compte  dans  la  fig.  2,  en  rela- 
tion avec;  les  points  R  et  R, .  Mais  comme  on  peut  aussi  arriver 
au  point  R  en  parlant  de  2,,  ceci  nous  conduit,  en  combi- 
naison avec  la  méthode  que  nous  venons  de  rappeler,  au 
procédé  suivant.  Si  l'on  mène  par  un  point  arbitraire  du 
rayon  double  intérieur  (extérieur)  deux  droites  dont  chacune 
coupe  les  cjuatre  rayons  de  l'involulion;  si  ensuite  on  consi- 
dère comme  correspondants  les  points  d'intersection  de  la 
première  droite  auxiliaire,  et  ceux  de  la  seconde,  par  les 
rayons  conjugués  de  l'involution,  les  droites  de  jonction  des 
quatre  paires  de  points  correspondants  passent  [)ar  un  même 
point  du  rayon  double  extérieur  intérieur). 

Inversement,  si  nous  partons  de  R(R,)  pour  gagner  2,(2), 
nous  trouvons  encore  une  seconde  solution  de  notre  pro- 
blème :  Si  l'on  mène,  pai"  un  point  arbitraire  du  rayon  double 
intérieur  (extérieur)  deux  droites,  dont  chacune  coupe  une 
paire  différente  de  rayons  de  l'involution.  les  droites  de  jonc- 
tion des  quatre  points  d'intersections,  convenablement  appai-' 
rées,  se  coupent  sur  le  rayon  double  extérieur  (intérieur). 

Pour  compléter  la  fig.  2,  nous  ajoutons  la  remarque  sui- 
vante :  Si  la  tangente  A'(A")  coupe  la  droite  AA,  en  P(P'),  et 
la  tangente  A  (A,)  la  droite  A'A"  en  Q(Q'),  PQ(P'Q')  passe 
par  R, .  De  même  |)our  le  point  R.  Si,  par  exemple,  les  tan- 


INVOLUTION    HYPERBOLIQUE 


193 


gentes  A'  et  A,  coupent  les  tangentes  T  et  T'  en  V  et  V, 
W  et  W,  les  droites  VW  et  WV  passent  par  R. 

Des  constructions  dualistiqiies  à  celles  de  la  fig.  2,  nous 
ne  relevons  que  la  seconde,  et  nous  l'etlectuons  dans  la  fig.  3 


qui  montre  comment  on  trouve  de  façon  très  commode  les 
points  doubles  d'une  involution  donnée  par  deux  paires  de 
points.  On  mène  par  une  des  paires  —  AA'  dans  la  figure  — 
un  cercle  quelconque  et  on  lui  mène  depuis  les  points  B  et 
B'  de  la  seconde  paire,  les  quatre  tangentes  possibles,  etc. 
Les  points  N  et  N'  conjugués  suivant  le  cercle,  divisent  har- 
moniquement  la  diagonale  BB'  du  quadrilatère  des  tangentes, 
et  sont  les  points  cherchés. 

Si  deux  tangentes  forment  un  angle  très  obtus,  leur  point 
d'intersection  c|ui,  de  plus,  peut  se  trouver  pi-ès  du  support, 
ne  peut  naturellement  pas  être  employé  dans  une  construc- 
lion  de  quehjue  exactitude.  Si  l'un  au  moins  des  points 
doubles  est  obtenu  avec  sécurité,  on  construit  l'autre  en  se 
servant  des  propriétés  harmoniques  du  quadrilatère,  ou  du 
pôle  du  support  suivant  le  cercle.  Mais  les  remarques  faites 
à  propos  de  la  fig.  2,  prises  dualistiquement,  donnent  aussi 
le  moyen  d'éviter  des  points  d'intersection  peu  favorables 
de  tangentes.  X  étant  un  point  convenablement  choisi  de  la 
droite  SS',  XA  coupe  BS(BS')  en  P(P');  XA'  coupe  B'S(B'S') 
en  Q'Q')-  r'Q(Jl^'Q')  détermine  alors  sur  le  support  de  l'invo- 
lution  le  second  point  double  N. 

Traduction  de  M.  F.  Gonseth  (Zurich). 


L"Enseignenipnt  inalhéni..  20»  année;   1918. 


EXTRACTION  DE  LA  RACINE  /i'^"'" 

D'UN  NOMBRE  RÉEL 

PAR  APPROXIMATIONS  SUCCESSIVES 

PAR 

Mladen  T.   Béritch  (Belgrade,   Serbie). 


Pour  extraire  la  n'^'^^  racine  d'un  nombre  réel,  il  y  a  différents 
procédés  par  approximations  successives.  Pour  obtenir  les  valeurs 
approchées  par  défaut  et  par  excès,  on  emploie  ou  deux  fonctions 
ou  une  fonction  dans  laquelle  on  fait  deux  substitutions.-  Dans  les 
deux  cas,  on  est  obligé  d'exécuter  deux  opérations. 

J'indique  dans  la  présente  Note  un  procédé  qui  fournit  à  la  fois, 
par  le  même  calcul,  les  deux  valeurs  approchées  (l'une  par  défaut, 
l'autre  par  excès).  De  plus  il  fournit  le  moyen  de  savoir  d'avance 
le  nombre  de  chiffres  communs  à  la  racine  cherchée  et  à  deux 
valeurs  approchées. 

Ce  procédé  pourra  être  généralisé  et  appliqué  au  calcul  des 
racines  réelles  d'une  équation,  ou  des  solutions  d'un  système  des 
équations  algébriques  ou  transcendantes,  ce  qui  fera  l'objet  de 

Notes  ultérieures. 

Il,— 
i.   —  Désignons  par  a  la  valeur  arithmétique  de  la  racine  V  \ 
et  considérons  la  fonction 

— ['4('-^)-"-fr'('-,^)l- 

La  fonction  (p  t  est  toujours  croissante  lorsque  /  varie  de  0  à 
-j-  00    (y'  étant  le  carré).  Pour  ^  =  0  on  a  (p{0)  =  —  x;  «juand  C 

croit  de  /  :=  0  jusqu'à  la  valeur  /"r^ar^i/-,-,    la   fonction   (p[t) 

croît  en  restant  plus  petite  ({uc  /;  pour  t  z=  a  on  a  y  «)  =  a; 
quand  t  croit  de  a  jusqu'à  a  ,  la  fonction  tp  t)  croit  en  restant  plus 
grande  que  /;  pour  ^  =  a  on  a  ^io)  =  a  ;  quand  t  croît  de  a  jus- 
qu'à +  X  ;  la  fonction  (p[t)  croit  en  restant  plus  petite  que  /:  pour 


APPROXIMATIONS    SUCCESSIVES  195 

t  =1  -\-  -j:  on  a  9'x)  =  X  .  Dans  l'intervalle  (a,  a)  celte  fonction 
satisfait  à  rinégaiité 

i  ^  çU)  ^  rt  (les  égalités  ayant  lieu  pour  t=z  oi  ei  t  =i  a]   ,         (1) 

et  dans  lintervalle  'a,  +  x;  la  même  fonction  satisfait  à  Tin- 
égalité 

t  ^  çl^l  ^  rt  (les  égalités  ayant  lieu  pour  t  ■=.  u]   .  (2) 

Donc  dans  lintervalle  «  -]- f ,  +x  l'égalité  t^=^tj  n'existe 
que  pour  /  =  (i. 

Donnons  à  t  une  valeur  positive  t  =  g,  plus  petite  que  a  et  plus 
grande  que  a;  cette  valeur  i  satisfait  à  l'inégalité 

^<g"<A    ,  .  (3) 

en  vertu  de  (1)  ou  encore 

g<o{g)<a  (1') 

n 

de  sorte  que,  g  étant  une  valeur  approchée  par  défaut  de  \/ A  , 
(p  g]  en  sera  aussi  une  valeur  approchée  par  défaut,  mais  plus 
rapprochée  de  la  valeur  exacte  a  que  g.   En   posant  y)lg]  =  g^, 

(p  g^^  =é'2'  •••  '  ^^  suite  :  g,  g^,  gç^,  ••■  fournira  donc  des  valeurs 

Il    

de  plus  en  plus  approchées  par  défaut  de  \/ A  et  convergeant 
uniformément  vers  cette  limite. 

De  même  donnant  à  t  une  valeur  positive  t  =  h,  plus  grande 
que  a  (qui  satisfait  à  l'inégalité  A"  >>  A  ,  en  vertu  de  (2)  on  aura 

a  <=(//)  <A  ,  (2') 

Il   

de  sorte  que,  h  étant  une  valeur  approchée  par  excès  de  \/ \  , 
<p  h]  en  sera  aussi  une  valeur  approchée  par  excès,  mais  plus  rap- 
prochée   de    la   valeur   exacte    a    que   h.    En    posant   ^[h]  =  A,, 

(p  h^)  =-  h.-,,  ...  ,  la  suite  h,  A,,  A.^,  ...  fournira  donc  des  valeurs  de 

Il    

plus  en  plus  approchées  par  excès  de  y  X  et  convergeant  unifor- 
mément vers  cette  limite. 

On  a  ainsi  deux  suites  de  valeurs,  obtenues  à  l'aide  d'une  valeur 
arbitraire  l  ^=  g  qui  satisfait  à  l'inégalité  (3))  et  d'une  valeur 
t  =  h  h"  >  A)  ;  elles  se  rapprochent  de  plus  en  plus  de  la  valeur 
exacte  a  de  la  racine  et  finissent  par  en  différer  aussi  peu  qu'on 
voudra. 

2.  —  Si  l'on  remplace  g^  (resp.  Ji^]  par  une  valeur  approchée  g^ 
(resp.  h.\  plus  grande  que  gj^  (resp.  plus  petite  que  hj}  et  plus  com- 


196  M. -T.    BÉRITCH 

mode  pour  le  calcul  à  cfTectuer,  deux  cas  pourront  se  présenter  : 

?'^V  >  g.  (resp.   si//.)  <  h'.)  [a) 

les  deux  valeurs  approchées  g^  et  g^^  (resp.  A^  et  A,)  sont  toutes  les 
deux  par  défaut  (resp.  par  excès), 

ç(g'.)  <  g.  Ii-fsp.    <pl//.)  >  h'.]  (b) 

la  valeur  g]  (resp.  h^)  n'est  plus  la  valeur  approchée  par  défaut 
(resp.  par  excès)  mais  la  valeur  approchée  par  excès  (resp.  par 
défaut)  puisqu'elle  satisfait  à  l'inégalité  (2)  (resp.  (1))  et  non  à 
l'inégalité  (2)).  Donc  il  faudra  écrire  g^  =  h  (resp.  A,-  =  g). 

Dans  la  pratique  on  pourra  procéder  de  la  manière  suivante  : 

Donnons  à  t  une  valeur  arbitraire  h  plus  grande  que  \/ \  (c'est-à- 
dire  telle  que  A"  >  A)  ;  on  calcule  y^'h],  on  pose  (p  h]  =  h^,  on 
choisit  un  nombre  h^  plus  petit  que  h^  et  plus  commode  pour  le 
calcul  de  y  (A)  ;  on  trouve  y^{h-)  plus  grand  ou  plus  petit  que  h'^. 
Dans  le  deuxième  cas  h^  est  la  valeur  approchée  par  excès,  dans 
le  premier  cas,  h^  est  la  valeur  approchée  par  défaut,  donc  h^  est 
une  valeur  désignée  par^. 

Si  l'on  a  ^{h^)  <^  h^  on  pose  (pi/i-)  =  h^  et  on  continue  de  la 
même  manière. 

Si  l'on  a  5p(/ij)  >  h-  on  posera  h^  =  g,  (p{g)  =  g^,  on  choisit  une 
valeur  o-j-  plus  grande  que  ^o-^  et  plus  commode  pour  le  calcul;  on 
calcule  (p{gi)  qui  peut  être  plus  grand  ou  plus  petit  que  g^^  qui  est 
d'après  cela  une  valeur  approchée  par  défaut  ou  par  excès. 

On  continue  en  choisissant  toujours  :  une  valeur  plus  grande, 
si  la  valeur  trouvée  était  la  valeur  approchée  par  défaut;  ou  une 
valeur  plus  petite,  si  la  valeur  trouvée  était  la  valeur  approchée 
par  excès.  De  cette  manière  on  se  lapprochera  de  la  racine  n  des 
deux  côtés,  la  valeur  exacte  de  la  racine  restant  toujours  comprise 
entre  la  plus  grande  des  valeurs  de  g.  et  la  plus  petite  des  valeurs 
de  h..  En  poussant  suffisamment  les  calculs,  on  resserre  cet  inter- 
valle autant  qu'on  veut. 

3.  —  En  supprimant  le  troisième  terme  du  crochet,  la  fonction 
^[t]  devient  la  fonction 


--'['-H'-^)] 


Cette  fonction  ^){t)  est  infinie  pour  ^  ^  0  ;  quand  t  croît  de  /  :^  0 
jusqu'à  t  ^=  a ,  \p[t)  décroit  ;  pour  t  =  a,  on  a  i/;;^i  =  a  ;  quand  / 


APPROXIMATIONS    SUCCESSIVES  197 

croît  de  t  ^=  a  jusqu'à  +^5  ^f{t]  croît;  pour  ^  =: -(-  x  ou 
i^(oc)  =  +  X  .   La  fonction  i//(/)  satisfait  à  l'inégalité 

|UI  ^  <  (si   /  >  0) 

l'égalité  n'ayant  lieu  que  pour  t=za. 

Si  t^g,  c'est-à-dire  si  t  est  une  valeur  approchée  par  défaut 
de  rt,  ^)\g]  l'est  aussi,  tandis  que  \p[g)  est  une  valeur  approchée 
par  excès.  On  aura  l'inégalité 

^<  r(^l  <  «  <  '\^S\   - 

donc  la  racine  cherchée  a  sera  comprise  entre  deux  valeurs  <p[g) 
etxpg]. 

En  connaissant  le  premier  chiffre  décimal  (ou  les  deux  chiffres) 

différent  de  zéro,  de  l'expression  1 y,  on  connaîtra  approxi- 
mativement la  valeur  du  terme  supprimé 

"^  (!-?!■ 

Le  nombre  des  zéros  cjui  suivent  la  partie  entière  de  la  valeur 
numérique  de  ce  terme  est  le  nombre  de  chiffres  communs  à  deux 
valeurs  approchées,  appartenant  en  même  temps  à  la  valeur  exacte 
de  la  racine  cherchée. 

En  effet  les  deux  fonctions  qui  donnent  les  deux  valeurs  appro- 
chées l'une  par  défaut  (la  fonction  y)  et  l'autre  par  excès  (la  fonc- 
tion rp]  ne  diffèrent  que  par  le  produit  de  (4)  et  de  t;  les  deux  cro- 
chets ne  diffèrent  que  par  le  terme  (4).  Donc  les  deux  crochets 
auront  les  mêmes  chiffres  quand  le  terme  (4)  contient  des  zéros 
qui  suivent  la  partie  entière  de  la  valeur  numérique  de  ce  terme. 

La  valeur  exacte  a  aura  des  chiffres  qui  sont  communs  aux  deux 
fonctions /"et  y;  donc  on  connaîtra  le  nombre  de  chiffres  exacts 
qu'on  peut  obtenir  de  l'opération  envisagée. 

Les  valeurs  approchées  peuvent  être  calculées  avec  autant  de 
chiffres  qu'on  veut,  mais  il  suffit  de  calculer  un  ou  deux  chiffres 
qui  suivent  les  chiffres  communs. 

Premier  exemple.  Calculer  \/ 1000;  on  a  ici  n  =^2,  A  =  1000. 

Posons  t='S2  =  h  32'^  >  1000),  on  trouve  (pih]  =  31,025  =  /l^  ; 
choisissons  un  nombre  plus  petit  que  h^,  plus  commode  pour  le 
calcul    h[  =  31,02  =  g    (31,02^  <  1000).    Le   terme    (4)    est   ici 

-g  0,0001 7^  =  0,000000004,   la  valeur  exacte  a  aura    huit  chinVes 

communs  aux  deux  valeurs  approchées,  on  calculera  ces  valeurs 


198  M. -T.    RÉRITCH 

approchées  avec  neuf  ou  dix  chiffres,  on  aura 

ç(^)  =  31,62277657  =  -,    ,         <p(?)^=  31,62277670  . 

Choisissons  un  nombre  plus  grand  que  gt  =  ^i^j  et  plus  petit 
que  ipig]  avec  lequel  il  est  plus  commode  à  calculer  y,  c'est 
^j  =  31,6227766   ig^  <iiOOO);    le  terme    (4    a  ici  la  valeur  à   peu 

près  :w;21,  la  valeur  exacte  a  aura  20  ou  21  chiffres  exacts,  com- 
muns aux  deux  valeurs  approchées  y  et  xp,  que  nous  calculerons 
avec  21  ou  22  chiffres;  on  trouve  ainsi  (en  calculant  22  chiffres) 

o{g[]  =  31.62-2  776  601  683  793  3  1998 
^(^;i  =  31,622  776  601  683  793  3  2001 

(on  n'a  ici  que  18  chiffres  de  la  valeur  exacte,  les  deux  valeurs 
diffèrent  en  quatre  chiffres,  mais  la  vraie  différence  nest  que 
0,0003  du  dernier  chiffre  commun'. 

5        

Deuxième  exemple.  Calculer  \/lOOO  ;  on  a  ici  «  =  5,  A  =  1000. 

Posons  t=^k  =  h  (4^  >  lOOOj  ;  le  terme  (4)  est  0,00004  et  il  faut 
calculer  avec  cinq  ou  six  décimales;  on  trouve  (p  •  t)  i=  3,98108  =  ^, . 
Choisissons  maintenant  h^  plus  petit  et  plus  commode  pour  le 
calcul,  par  exemple  K^  =  3,98.  Posons  t  =  h[  ^  3,98  =  g, 
(j^<  1000)  la  valeur  du  terme  (4)  étant  0,000  000  15,  calculons  avec 
huit  chiffres,  nous  trouvons 

çit]  =  3,9810717  =  g^   .         6{t)  =  3,9810723   . 

Nous  avons  trouvé  six  chiffres  de  la  valeur  exacte  a  =3,98107... 
(On  pourrait  prendre  aussi  g^  =  3,981072,  etc.) 


NOTE  SUR  LES  PERMUTATIONS  ^ 


A.  AuBRY  (Dijon) 


II.  —  Exercices. 

1.  —  I.  [>es  cluades  ab ,  cd,  e/'apparteiiant  à  une  certaine  per- 
mutation des  sept  premières  lettres,  la  déterminent  si  on  sait  en 
outre  que  ces  duades  encadrent  respectivement  une,  trois  et  cinq 
lettres.  (Voir  E.  M.,  1917,  p.  281.) 

II.  Les  duades  ac,  bd,  ce,  dfei  e^  déterminent  une  permutation 
des  mêmes  lettres,  si  on  sait  que  la  première,  la  troisième  et  la 
cinquième  encadrent  chacune  une  lettre. 

III.  [.es  duades  dg.  ad,  hf,  ae ,  c-o' déterminent  une  permutation 
des  mêmes  lettres  si  les  deux  premières  encadrent  chacune  deux 
lettres  et  les  deux  dernières,  chacune  trois. 

2.  —  Quatre  hommes  A,  B,  C,  D  et  leurs  femmes  a,  è,  c,  d  sont 
sur  une  même  ligne;  chaque  mari  est  à  gauche  de  sa  femme  et  de 
plus  il  y  a  une  personne  entre  A  et  a ,  deux  entre  B  et  Z>,  trois 
entre  C  et  c  et  quatre  entre  D  et  d.  Comment  ces  huit  personnes 
sont-elles  disposées  ? 

La  combinaison  de  C.,,c'  et  de  D.,,.c^  ne  peut  donner  que  lu  ne 
des  formules 

combinant  avec  B..i,  elles  en  donnent  six,  dont  deux  seulement 
permettent  l'introduction  de  k^a  :  on  a  ainsi  les  deux  solutions 
BCDbAcad  et  DXCoBdcb. 

Pour  cinq  ménages,  on  n'a  aucune  solution. 

3.  —  I.  Déterminer  les  permutations  des  dix  premières  lettres 
telles  que  les  duades  ab,  ef,  bc ,  fg,  cd  encadrent  un  même  nombre 
de  lettres,  ainsi  que  af,  ei ,  fj,  id. 


'  Voir  I.F.nseign.  Mathèrn.,  Tonit  XIX.  p.  280-294,  19i: 


200  A.    AU Bli  Y 

Des  deux  formules  a^b,e^f  et  Uyf  on  tire  2:v  -\-  z  -\-  2  =  ij ,  et 
des    deux    suivantes    ay.b.eyiyd    et    a^b^c^d ,    a;  -]-  z  -^  2y  -\-  3 

:=  3.r  +  2  ;  d  oii,  en  éliminaut  :; ,  y  ■:=!  se  -\ —  . 

I>a  valeur  x  =  0  donne  i/=:0,  solution  illusoire. 

Pour  .r  =  2,  on  a  ^==3;  et  pour  .r  =  5,  y  =  l,  résultat  inaccep- 
table. 

[.a  solution  unique  .r  ^  2,  ?/ =  3  conduit  à  la  permutation 
aehbf'icgjd. 

II.  Même  question  pour  les  douze  premières  lettres,  les  deux 
groupes  de  duades  étant 

cj   ,     ge  ,     kb  ,     al  ,     if  ,     lid         et         ke  ,      il>   ,     gj  ,     ad  ,     hf  . 

Soit  gfe,  hid^  f<H^-,  (^u^'^  ""^  même  permutation  ne  peut  don- 
ner les  chaînes  kge  et  had,  car  il  s'ensuivrait  dune  part  t<^ii  et 
d'autre  part  t^  u.  On  a  donc,  ou  bien 

kge  ,     ikh  ,     gcj  ,     ahd  ,     liif  ,         d'où         ajij^k^g^c^j  , 

ou 

gke   ,      kib   ,      cgi   ,      had   ,      t'/i/'  ,  d'où  Cyg^^k^^i^h^a.d  . 

V  et  /y  ne  peuvent  être  que  0  ou  1,  sans  quoi  la  permutation 
aurait  plus  de  douze  lettres.  De  là,  après  treize  essais,  les  trois 
solutions, 

ahikgcldfhe]   ,         alhdifkbgecj  ,         cgkihajebfdl  . 

4.  —  De  combien  de  manières  peut-on  disposer  sur  une  ligne  n 
animaux,  dont  un  chien  a  et  un  chat  b,  de  manière  que  le  chat 
ne  soit  pas  à  côté  du  chien  ?  Associant  les  deux  éléments  ab  et  ba 
aux  n  —  2  autres  lettres,  on  aura  les  2{n  —  2)!  [n  —  1)  permuta- 
tions où  a  et  è  sont  voisins.  De  la,  la  réponse. 

5.  —  Permutations  telles  qu'aucune  lettre  ne  soit  à  côté  de  sa 
voisine  naturelle. 

C'est  impossible  pour  trois  lettres.  Pour  quatre,  on  a  codb  et 
bdac.  Pour  cinq,  on  ajoutera  e,  à  toutes  les  places  possibles  et  on 
effectuera  les  permutations  tournantes.  D'où  vingt-deux  permu- 
tations. On  continuera  de  même. 

Ainsi  on  ne  saurait  placer  sur  une  ligne  deux  choux,  deux 
chèvres  et  deux  loups,  de  manière  qu'un  loup  (une  chèvre)  ne  soit 
pas  à  côté  d'une  chèvre  (dun  chou).  Mais  on  peut  placer  deux 
choux,  deux  chèvres,  deux  loups  et  deux  chasseurs,  de  façon 
qu'aucun  chasseur  (aucun  loup,  aucune  chèvre)  ne  soit  à  côté  d'un 
loup  (d'une  chèvre,  d'un  chou).  On  peut  ajouter  deux  gendarmes, 
qu'on  s'interdira  de  placer  auprès  des  chasseurs,  etc. 

6.  —  I.  Combien  peut-on  construire  de  tétraèdres  avec  six 
droites  égales  ou  avec  six  triangles  équilatéraux  égaux?  (Ferriot.) 


SUR    LES    PERMUTATIONS 


201 


II.  Combien  de  cubes  avec  douze  droites  égales  ou  six  carrés 
égaux?  (Mac-Mahon.) 

III.  Mêmes  questions  avec  des  droites  ou  des  carrés  de  deux 
couleurs,  deux  droites  ou  deux  carrés  de  même  couleur  ne  pou- 
vant se  toucher. 

IV.  De  combien  de  manières  peut-on  exprimer  le  cube  klàC\)dcbcû 

V.  Combien  de  trajets  ininterrompus  peut-on  réaliser  avec  les 
douze  arêtes  et  les  quatre  grandes  diagonales  d'un  cube?  Ou  bien 
avec  les  arêtes  et  quatre  des  petites  diagonales  ? 

7.  —  Les  permutations  de  ?i  lettres  fournissent  ensemble 
1 

■H-C;j,2«!   inversions.  (Stern.) 

8.  —  1.  Une  permutation  de  ii  lettres  et  ses  tournantes  d'ordre 
impair  sont  de  mêmes  ou  de  différentes  classes  selon  que  n  est 
impair  ou  pair.  Elle  est  toujours  de  même  classe  que  ses  tour- 
nantes d'ordre  pair.  Par  exemple  hcdea  provient  de  abcde  par  le 
renversement  des  quatre  duades  ab ,  ac ,  ad,  ae  :  elle  est  donc  de 
la  même  classe  que  abcde. 

II.  Les  permutations  de  ii  lettres  ab  ...  cd  et  de  ...  ba  sont  de  la 
même  classe  si  n  est  de  l'une  des  foimes  4,  4  -f-  1,  et  de  classes 
différentes  dans  les  autres  cas,  car  les  nombres  d'inversions  dif- 
fèrent de 

III.  Il  en  est  de  même  pour  les  permutations  de  2/i  lettres 

ah  ...  dAB  ...  D         et         a.KhB  ...  dD   . 

IV.  Les  permutations  de2n  lettres  ab  ..,dA.B...D  et  AB  ...  Dab  ...'d 
sont  ou  ne  sont  pas  de  la  même  classe  suivant  que  n  est  pair  ou 
impair,  car  les  n'^  duades  «A,  aB,  ...  b.\,  ...  changent  de  sens. 


0 


W\. 

u 


Fig.  2. 


9.  —  Les  habitants  des  maisons  m,  n  ((ig.  1)   veulent  changer 
de  logement  avec  ceux  des  maisons  M,  N,  en  se  servant  de  la  mai- 


202  •  A.    AUBRY 

son  actuellement  vacante  0  et  d'après  cette  règle  que  chaque  fois 
qu'une  maison  sera  vide,  elle  sera  réoccupée  par  l'un  de  ses  voi- 
sins, jusqu'à  exécution  complète  du  programme. 

1°  Désignant  par  a,  Z>,  B,  A,  les  habitants  actuels  des  maisons 
771,  n,  N,  M,  le  changement  demandé  s'opérera  comme  l'indique 
la  formule 

/yrtABflfcAB«^BA   ,  (a) 

laquelle  veut  dire  que  h  commencera  en  allant  en  O,  puis  a  en 
allant  en  /i,  puis  A  en  m,  etc. 

L'étude  de  ces  mouvements  se  fait  facilement  à  laide  de  jetons 
ou  de  simples  morceaux  de  carton  portant  les  indications  a,  b, 
B,  A. 

2°  On  peut  considérer  la  maison  vide  comme  un  jeton  0,  qu'on 
échange  successivement  avec  ses  voisins.  Dans  ce  cas,  la  formule  (a) 
indique  que  l'opération 

(O.  h)(0,  «iiO,  A)(0,  B){0,  fl)(0,  h)[0,  AiiO,  BmO,  ahO.  I>]{0.  BiiO.  A) 

appliquée  à  la  permutation  Oa^BA,  la  transforme  en  OABèrt, 

3°  Toute  autre  disposition  est  possible,  soit  en  faisant  mouvoir 
les  jetons  sur  le  petit  triangle  puis  sur  le  grand,  soit  inversement 
en  opérant  sur  le  grand  et  ensuite  sur  le  petit.  Les  plus  compli- 
quées de  ces  opérations  demandent  19  mouvements;  la  plus 
courte,  .3  seulement. 

4"  Opérons  de  même  avec  les  carrés  Om,  OM  (fig.  2).  On  a  à 
considérer  la  permulation  rticCBA  de  six  jetons  placés  aux  points 
/,  m,  n,  N,  M,  L.  Tout  mouvement  se  ramène  à  une  combinaison 
de  trajets  sur  les  périmètres  des  deux  carrés;  celui  des  jetons  du 
petit  carré  change  abcCBX  en  cahCBX,  et  sur  le  grand  carré  en 
ciCBArt.  Dans  les  deux  cas,  la  parité  du  nombie  des  inversions 
ne  change  pas  ;  donc  si  deux  permutations  sont  de  deux  classes 
différentes,  il  est  impossible  de  passer  de  l'une  à  l'autre  :  telles 
sont  abcCBA  et  ABCcba. 

Ainsi  on  ne  peut  échanger  à  la  fois  les  jetons  de  mêmes  lettres'; 
de  même  pour  deux  hexagones  ayant  un  angle  commun,  pour 
deux  octogones,  etc.  ;  tandis  qu'on  le  peut  pour  les  pentagones, 
ce  qui  demande  48  mouvements;  pour  les  heptagones,  ce  qui  en 
demande  96  ;  etc.  '^ 

10.  —  Appelons  nœud  du  n^  ordre  une  courbe  unicursale  à  n 
points  doubles,  feiniée  ou  non  et  figurant  un  fil  passant,  tantôt 
sur  lui-même,  tantôt  au-dessous.   Parcourant  le  fil  dans  un  sens 


'  Maïs  on  peut  changer  A  avec  U,  c'est-à-dire   transformer  ntrCBA   en  hacCAB  ;    il  faut 
28  mouvements. 
*  Voir  Ed.  Lucas  et  Housb-Uall,  op.  cit.,  plusieurs  jeux  basés  sur  des  règles  analogues. 


SUR    LES    PEU  MUTATIONS  203 

déterminé,  on  notera  chaque  croisement,  en  le  désignant  par  une 
lettre  accentuée  ou  non,  selon  qu'en  ce  point  le  fil  passe  dessus 
ou  dessous.  Le  nœud  se  notera  par  une  permutation  de  n  lettres 
accentuées  et  des  mêmes  lettres  non  accentuées  :  ainsi,  pour  trois 
croisements,  on  écrira  par  exemple  ab'c'a'bc.  Un  cas  très  remar- 
quable est  celui  où  le  fil  passe  alternativement  sur  et  sous  lui- 
même  '  :  dans  ce  cas,  le  nœud  est  indènoiiable. 

Le  premier  problème  de  cette  théorie  est  de  définir,  si  c'est 
possible,  un  nœud  d'après  une  permutation  donnée.  Avec  un  ou 
deux  croisements,  on  a  les  boucles  dénouables  aa' ,  ab'ba',  aa'bb'\ 
—  avec  trois  croisements,  le  nœud  simple  abcabc,  cjui  a  pour 
pseudo-axe  la  niédicnie  de  ne  (c'est-à-dire  qu'il  peut  être  dessiné 
symétriquement  par  rapport  à  la  perpendiculaire  au  milieu  de 
la  distance  ac)  ;  —  avec  quatre,  1"  la  permutation  obedbadc 
donne  le  nœud  double  ayant  le  milieu  de  bd  comme  pseudo- 
centre, 2°  deux  de  ses  tournantes  donnent  deux  autres  nœuds 
ayant  ab  pour  pseudo-axe;  —  avec  cinq,  on  a:  1°  la  permutation 
abcdeabcde ^  qui  a  pour  pseudo-axes,  ae  et  sa  médiane,  2"  la  per- 
mutation abedeadcbe  et  deux  de  ses  tournantes  ayant  pour  pseudo- 
axes, bcd,  dbc ,  eca  ou  ace  (cinq  formes  différentes  ;  —  avec  six, 
1"  la  permutation  abcdefdabcfe  (trois  formes  ayant  bd  ^tonv  pseudo- 
axes et  ses  tournantes,  2"  deux  autres  permutations  données  à 
l'exercice  suivant.  —  On  ne  tient  pas  compte  des  courbes  présen- 
tant des  boucles,  ce  qui  a  lieu  quand  deux  mêmes  lettres  se  suivent 
immédiatement  dans  la  permutation. 

Voici  quelques  autres  nœuds  d'ordres  plus  élevés,  obtenus  gra- 
phiquement : 

alndefgchadgfe     (axe,  méd.  de  ade]   ,  ahcdeahfdghefcgh     (axe.  ce)    , 

ahcdef'hgdlifûgche     laxe.  ef]   ,  ahcdefgahghijhfcdeij     |axe.  df)   . 

11.  —  1.  Peut-on  concevoir  un  canal  passant  alternativement 
sur  et  sous  lui-même  à  l'aide  de  ponts  de  mêmes  hauteurs,  c'est- 
à-dire  tels  qu'il  y  ait  même  différence  de  niveau  entre  l'eau  supé- 
rieure et  l'eau  inférieure  ?  Soient  les  lettres  a  ,  b ,  c  ...  l,  en  nombre 
impair;  on  a  la  solution  unique  abc  ...  labc  ...  /.  il  n'y  a  pas  de 
solution  pour  un  nombre  pair  de  lettres. 

H.  Peut-on  imaginer  un  chemin  de  fer  qui  se  croise  six  fois  lui- 
même,  successivement  par-dessus,  par-dessous  et  à  niveau  ?  On 
a  le  tracé  abcdefbafedc  ^qui  peut  prendre  quatre  formes  diffé- 
rentes, avec  comme  axes,  ab  ^  dcfe ,  cfed  ou  cdef)  et  ses  tournantes. 


'  L.T  ])ossil>ilili'  d'iiiie  telle  altern.-ince  est  déiiionliée  .V.  Œ.  (siippl.  de  juin  1913)  et  otcndiii" 
aux  courbes  iiiullicurSHics. 

Les  conditions  que  <loit  présenter  une  permutation  pour  qu'elle  figure  un  nœud,  pour  que 
celui-ci  soit  susceptible  de  symétrie,  qu'il  soit  cntiércmeut  denouable  i  tel  que  ab'c'a'bc)^  etc., 
posent  des  questions  d'anidysis  silus  sur  lesquelles  on  pourra   revenir. 


204  A.    AUBRY 

III.  Tracer  tine  route  se  croisant  six  fois  elle-même  en  deux 
hameaux,  deux  villages  et  deux  villes,  de  manière  à  rencontrer 
deux  fois  de  suite  un  hameau,  un  village  et  une  ville.  On  a  le 
tracé  abcabdefdefc  (qui  peut  prendre  six  formes,  susceptibles  de 
symétrie  par  rapport  à  ae  ou  la  médiane  de  ae)  et  ses  tournantes*. 

12. —  Numérotons,  sur  un  quadrillage  indéfini,  les  horizontales- 
1,  2,  3,  ...  et  les  verticales  1',  2',  3',  ...  Considérons  la  formule 
symétrique 

62'34'51':3'65'.56'37'15'43'26'   . 

qu'on  interprétera  ainsi  :  suivre  l'horizontale  6  jusqu'à  la  verti- 
cale 2',  qu'on  descendra  jusqu'à  l'horizontale  3,  laquelle  on  suivra 
jusqu'à  4',  et  ainsi  de  suite.  On  arrivera  à  un  angle  d'encadrement^ 
qu'on  peut  représenter  simplement  par  la  formule 

6234517365  . 
En  voici  d'autres  plus  ou  moins  heureux  : 

365124   .         6531724   .  624367154   ,  54824371632   .         63825487143 

537245876132   ,  437258761321678   . 

On  peut  ainsi  figurer  de  nombreux  motifs  de  grecques  et  autres 
ornements  d'architecture,  fermés  ou  non,  unicursaux  ou  non. 

13.  —  I.  Généraliser  le  problème  du  n°  6,  et  résoudre  le  pro- 
blème inverse. 

II.  Quatre  hommes.  A,  B,  C,  D,  leurs  femmes  a,  b,  'c,  d,  et 
leurs  enfants  a,  /?,  ;',  8  sont  placés  dans  cet  ordre  sur  une  ligne. 
Comment  arriver,  par  un  minimum  d'échanges,  à  ce  que  chaque 
enfant  soit  entre  ses  deux  parents  ? 

14.  —  I.  L'opération  [a,  b)  change  la  duade  ab  en  ba.  Elle  ne 
change  rien  aux  duades  ac  et  bc ,  mais  change  le  sens  des  duades 
ac  et  cb. 

II.  L'opération  (a,  c)  [b,  d)  ne  change  rien  aux  duades  ab,  cd  ou 
ad,  cb  et  change  le  sens  des  duades  ab ,  de  ou  ad,  bc. 

III.  L'opération  [a,  b]{a ,  c)  [b ,  c)  effectuée  dans  l'ordre  indiqué, 
laisse  b  inchangé;  de  même  {a  ,  b]  [a ,  c)  [a  ,  d)  (a,  e)  [b ,  c)  (b,  d) 
[b,  e)  (c,  d)  (c,  e]  [d,  e)  laisse  c  inchangé;  etc.  (Voir  exercice  37.) 

IV.  Quel  que  soit  l'ordre  dans  lequel  on  applique  à  une  permu- 
tation les  deux  opérations  a,  b)[c,  d)  et  [a,  c)  [b ,  d),  le  résultat 
est  le  même  que  si  on  lui  appliquait  [a,  d)[b,  c). 

15.  —  I.  Une  certaine  permutation  des  six  premières  lettres  pré- 


'  Autre  ([iicstion  du  iiièiiie  genre.  Selon  que  le  non\bie  des  fucus  d'un  prisme  est  pair  ou 
impair,  on  peut  ou  cm  ne  peut  marquer  les  arêtes,  des  lettres  a.  b.  e,  de  manière  que 
deux  arêtes  de  iiième  lettre  ne  se  touchent  pas  et  qu'on  puisse  tracer  sur  la  surface  une 
ligne  unicursalc  rencontrant  les  arêtes  dans  l'ordre  a,  b,  c,  a,  b,  c  ... 


SUB    LES    PERMUTATIONS  205 

sente  les  duades  be ,  efei,  après  avoir  effectué  l'échange  (è,  f],  les 
duades  bd,  fc.  Quelle  est-elle  ? 

On  a,  dans  la  transformée,  les  duades  fe,  eb ,  bd ,  fc ,  d'où,  sauf  a, 
les  quatre  formes 

fcehd   ,  fechd   ,  fehcd   ,  fchdc   , 

et  mettant  a  à  toutes  les  places,  24  formules  possibles. 

II.  Une  permutation  contient  les  duades  ab ,  ne,  cd,  cf\  on  y 
fait  les  échanges  [a,  d)[b,  c){e,/'),  après  quoi  on  a  la  nouvelle 
duade  ef.  Quelle  est  cette  permutation  ? 

La  transformée  est  définie  par  les  duades  ae,  ba ,  de,  df,  ef,  ce 
qui  ramène  au  problème  du  n"  1,  7".  [E.  M.,  1017,  p.  281.) 

16.  —  I.  Une  permutation  de  quatre  lettres  peut  subir,  de  96  ma- 
nières différentes,  les  six  échanges  de  toutes  ses  lettres,  sans  que 
finalement  elle  se  trouve  modifiée.  Ainsi  on  a  : 

(A,  h){B.  Cl)  {A.  B){(t,  h\[l).  Biirt.  A)  =  1   . 

Cette  solution  peut  se  figurer  par  un  quadrille  dont  chaque  per- 
sonnage change  de  place  avec  tous  les  autres  et  seulement  une 
fois,  en  ramenant  la  situation  primitive  : 

Aa         AB         ak         Xa 
bQ         Art  \M,         hB 

II.  Soient  n  entiers  1,  2,  ...  n,  disposés  en  cercle,  et  k  premier 
avec  n. 

1°  Echangeons  1  et  A:  -f-  1,  puis  1  et  'Ik  -\-  1,  puis  1  et  3/i;  +  1, 
et  ainsi  de  suite.  Après  n  opérations,  on  retrouvera  la  disposition 
primitive,  sauf  que  chaque  lettre  aura  tourné  de  k  rangs. 

2°  On  trouve  le  même  résultat  en  échangeant  les  nombres  1  et 
k  -\-  1,  puis  celui-ci  et  2k  -\-  1,  ensuite  ce  dernier  et  3A-  -j-  1,  et 
ainsi  de  suite. 

3"  Si  on  échange  les  nombres  occupant  actuellement  les  points 
1  et  A-  -j-  1,  puis  ceux  des  points  2  et  A"  -f-  2,  puis  ceux  des  points 
3  et  A  +  3,  et  ainsi  de  suite,  on  obtiendra  encore  le  même  résultat, 
mais  après  k(n  —  A)  opérations. 

17.  —  I.  Un  ouvrage  en  n  volumes  est  rangé  dans  un  certain 
ordre.  Le  ranger  dans  l'ordre  naturel,  avec  le  moins  de  déplace- 
ments possible. 

IL  Le  même  ouvrage  est  rangé  de  droite  à  gauche.  Le  ranger 
de  gauche  à  droite,  en  déplaçant  deux  volumes  à  la  fois. 

18.  —  On  a  une  pile  de  cahiers  numérotés  de  1  à  n  et  dont  le 
n"  a  renvoie  au  n"  b,  celui-ci  au  n**  c,  celui-ci  au  n"  d,  etc.,  les  lettres 
a,  b,  c,  d,  ...  désignant  les  nombres  1,  2,  3,  ...  n,  dans  un  certain 


206  A.    AUBRY 

ordre.  On  tire,  pour  le  consulter,  le  cahier  n°  h  qu'on  replace  sur 
la  pile,  puis  celui  auquel  il  se  réfère  et  qu'on  replace  de  même 
sur  la  pile,  et  ainsi  de  suite.  P'inalement  les  cahiers  sont  placés, 
en  partant  du  bas,  et  quel  que  soit  leur  ordre  primitif,  dans  l'ordre 
indiqué  par  la  tournante  de  abc  ...  commençant  par  h. 

19.  —  Un  quartier  de  la  ville  que  j'habite  possède  deux  phar- 
maciens, un  autre  trois,  un  autre  quatre,  un  autre  cinq  et  enfin 
un  dernier  six.  Ils  s'entendent  entre  eux  pour  fermer  certaines 
pharmacies  le  dimanche,  de  manière  qu'il  en  reste  toujours  au 
moins  une  d'ouverte  dans  chaque  quartier  et  que  chacun  d'eux  ait 
eu,  après  un  certain  temps,  le  même  nombre  de  repos  hebdoma- 
daires. Comment  se  fera  le  roulement  ? 

Il  faudra  120  dimanches  et  on  aura  : 

!«>■  qiiiii-tiei-    60  fois  1,2; 

2e  ).  20     »  12.   23.   31  .    1  ,   2  ,   3   ; 

3«         ).  15     »  123,   234,   341,  412,    1,2.3.4; 

4e         »  12     «  1234 .   2345 .  .  .   5123 ,1,2,3,4,5;' 

Se         ).  10     «  12345,   23456.  ...  61234.   1  ,   2,   3.   4,  5,   6   . 

20.  —  A  l'aide  de  déplacements  de  ses  termes  par-dessus  deux 
autres,  on  peut  toujours  ou  on  ne  peut  jamais  ramener  une  per- 
mutation donnée  à  la  permutation  naturelle,  selon  qu'elle  est  de 
la  première  ou  de  la  seconde  classe.  Ed.  Lucas  a  énoncé  ce  théo- 
rème sans  démonstration. 

1"  Si  les  trois  termes  successifs  f,  g,  h  sont  changés,  en  h,  /,  g  y 
la  duade  fgne  change  pas,  mais  les  deux  autres  fh  el  gh  deviennent 
hf  et  hg.  Ainsi  si  h  est  le  plus  petit  des  trois,  il  y  a  deux  inver- 
sions de  moins. 

Si  les  quatre  termes  /",  g,  h,  i  sont  changés  en  /,  g,  f,  h,  les 
deux  duades  fh,gh  ne  sont  pas  changées,  mais  les  autres^,/?, 
gi,  Ai  deviennent  ^Z",  if,  ig,  ih;  de  sorte  que  si  i  est  le  plus  petit 
terme,  il  y  a  quatre  ou  deux  inversions  de  moins,  selon  que  f^g. 

2°  Si  i  est  à  un  rang  impair,  par  déplacements  successifs,  on 
l'amènera  à  sa  place;  s'il  est  à  un  rang  pair,  on  l'amènera  à  la 
deuxième  place  et  on  déplacera  de  deux  rangs  à  droite  le  nombre 
qui  occupe  la  première  place. 

Si  2  esta  un  rang  pair,  on  l'amènera  à  sa  place;  s'il  est  à  un 
rang  impair,  on  l'amènera  à  la  troisième  place  et  on  déplacera  de 
deux  rangs  à  droite  le  nombre  qui  occupe  la  deuxième  place. 

Va  ainsi  de  suite. 

3"  Le  nombre  des  inversions  diminuant,  sans  changer  de  parité, 
si  primitivement  il  était  pair,  il  finira  par  s'annuler,  c'est-à-dire 


*  On  a  inissi  pour  ce  quartier,  la  solution 

123,  234,   ...  512,   12,  23,  3'i,  4.5,  51 


SUR    LES    PERMUTATIONS  207 

qu'on  aura  la  permutation  naturelle;  s'il  était  d'abord  impair,  il 
arrivera  à  la  valeur  1  et  on  aura  la  permutation  123...  [n  —  2)n[n—\), 
qui  est  irréductible  à  123  ...  n. 

Par  exemple,  on  peut  assurer  que  7365124  ne  peut,  parle  moyen 
indiqué,  se  transformer  en  1234507. 

21.  —  Deux  permutations  réciproques  (n°  5,  VII)  sont  de  même 
classe  iXetto).  Conséquence  de  ce  que  l'introduction  du  nombre 
71  +  1  entre  le  k'^  et  le  \k  -\-  if  termes  d'une  permutation  des  /?  pre- 
miers entiers  la  change  ou  ne  la  change  pas  de  classe  selon  que 
[n  —  kl  est  pair  ou  impair. 

22.  —  I.  Dans  une  permutation  de  2n  —  1  lettres,  on  intercale 
les  n  —  2  premières  entre  les  [n  —  1)  dernières.  Les  transformées 
successives  commencent  par  la  /i^  lettre,  la  (/i'^)*,  la  (/i"')*,  ...:  le 
nombre  k  des  transformées  est  ainsi  donné  par  la  relation  «^  =  1 
(mod  'In  —  1;. 

Les  cycles  de  la  substitution  conduisant  d'une  transformée  à 
l'autre  sont  de  la  forme  [a,  an,  an^,  an'^,  ...). 

II.  Le  f^  terme  d'une  permutation  étant  A,  on  remplace  le  chiffre 
h  parle  chiffre/".  La  l'''^  transformée  commence  par  le  2*^  chiffre, 
la  2''  par  le  4",  la  3"  par  le  8%  ...  de  sorte  que  le  nombre  k  des  trans- 
formées est  donné  par  la  relation  2=1. 

Les  cycles  de  la  substitution  sont  de  la  forme  [d,  b,  c,  d,  ...), 
b  désignant  la  a*^  lettre,  c  la  b",  d  la  c",  ... 

III.  Les  cycles  de  la  substitution  permettant  de  passer  d'une 
permutation  à  sa  réciproque,  sont  de  la  forme  {a,  b,  c,d,  ...), 
a  désignant  la  h*^  lettre  et  h  la  b",  b  la  A*'  et  k  la  c",  ... 

Les  permutations  qui  sont  leurs  propres  réciproques,  —  c'est- 
à-dire  celles  qui  restent  inchangées  par  la  transformation  d'Euler, 
—  se  trouvent  en  appliquant  à  la  permutation  naturelle  des 
échanges  différents  et  contenant  toutes  les  lettres  :  telle  est  la 
permutation  4761<S325,  obtenue  en  appliquant  à  12345(378  la  subs- 
titution   1,  4)  2,  7j  (3,  6)  ^5,  8). 

23.  —  I.  Considérons  la  permutation  P  formée  par  les  restes  de 
la  division  des  p  —  1  premiers  multiples  de  n  par  le  nombre  pre- 
mier/?; a  est  résidu  ou  non  résidu  de  p  selon  que  P  est  de  pre- 
mière ou  de  seconde  classe  (Zolotaref).  Conséquence  de  l'exercice 
8  I  et  de  ce  qui  suit. 

Soit  i{  une  racine  primitive  de  />  et  posons  g'^  =  «,  fi'^  ^  n  '• 
substituer  la  permutation  O'^i^'i,  ^^''+',  g''+'-,  ...  à  P'=  1,  g,  g^,  ••■ 
revient  à  substituer  P  =  r/ ,  2a,  3a,  ...  à  Q  =  1,  2,  3,  ...  ,  car, 
dans  les  deux  cas,  on  remplace,  par  exemple,  n  par  an  ;  or  Q'  est 
la  /V  tournante  de  P'  et  d'autre  part,  si  h  =  2/\  ou  a   gJ^^:a. 

IL  On  remar([uera  f[ue  les  cycles  de  la  substitution  (  j  sont 
de  la  forme  [k,  ka ,  ka',  ...j;  si  a  est  une  racine  piiiuilive,  la  subs- 
titution est  (1,  a,  a-,  ...  a^~  ). 


208  A.    AUBRY 

III.  Soient  Q  la  permutation  1,2,  3,  ...  p  —  1  et  P  celle  des 
valeurs  (niod  p)  des  puissances  de  la  racine  primitive  g;  si  ,4''*  =  h, 

on  a  :  (  )  =:  (1,  A,  A',  ....  Le  cycle  du  deuxième  membre  con- 
tient [p  —  1)  termes,  si  h  est  elle-même  une  racine  primitive. 

De  même,  a  désignant  une  racine  non  primitive  fournissant  une 
période  de  /"termes,  si  on  considère  la  substitution  S  =  (i,  a,  a^, 
...  a^)  et  qu'on  pose  a' =  b,  la  substitution  S  =  il,  b,  b,  ...  b') 
aura  également /"termes. 

Ainsi  soient  p  =  11,  o-zzr  2.  k  =  (3;  il  viendra  P  =  1,  2,  4,  8,  5, 
10,  9,  7,  .3,  6;  et  pour  /f  =  4,  P  =  J.  4,  5,  9,  3,  1,  4,  5,  9,  3. 

Soit  a  =3,  la  période  de  S  est  1,  3,  9,  5,  4  et  on  a,  pour  celles 
de  S^  S^  S\ 

1,9,4.3.5.         1.5,3,4,9,         1,4,5,9,3. 

24.  —  On  place  douze  jetons  numérotés  de  1  à  12  sur  les  numé- 
ros du  tableau  ci-contre.  On  relève  ces  jetons  colonne pa/-  colonne, 

1  2  3 

4  5  6 

7  8  9 

10  11  12 

dans  Tordre  1,  4,  7,  10,  2,  5,  ...  et  on  recommence  de  même,  en 
plaçant  les  jetons  par  rangées  et  les  relevant  par  colonnes.  Après 
cinq  opérations  de  ce  genre,  on  retrouve  la  disposition  primitive. 
Voici  du  reste  les  transformations  : 


1 

4 

r 

1 

10 

S 

1 

6 

11 

1 

5 

9 

1 

2 

3 

10 

2 

5 

6 

4 

2 

5 

10 

4 

2 

6 

10 

4 

5 

6 

8 

11 

3 

11 

9 

7 

9 

3 

8 

3 

7 

11 

7 

8 

9 

6 

9 

12 

5 

3 

12 

2 

7 

12 

4 

8 

12 

10 

11 

12 

Les  jetons  extrêmes  ne  changent  pas  de  place;  les  autres  se 
déplacent  suivant  l'un  des  cycles  (2,  5,  6,  10,  4)  ou  (3,  9,  11,  8,  7)  : 
le  jeton  3  par  exemple,  couvre  successivement  les  n°^  3,  9,  11,  8, 
7,  3,  ...  du  tableau;  inversement,  le  n''  3  du  tableau  est  successi- 
vement recouvert  par  les  jetons  3,  7,  8,  11,  9,  3,  ... 

Agissant  de  même  sur  le  tableau  disposé  comme  ci-contre,  on 
trouvera  également  une  période  de  cinq  permutations  dont  les 


1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

10 

11 

12 

cycles  sont  inverses  des  précédents. 


s  m    LES    PERMUTATIONS  209 

Ces  résultats  se  vérifient  ainsi  en  général:  soit  ab  —  1  = /?  et 
t  le  gaussien  de  a,  cest-à-dire  la  plus  petite  valeur  de  a;  qui  donne 
«^^  i  ;  t  est  aussi  le  gaussien  de  b ,  puisque  ab  =  1.  Après  k  opé- 
rations, le  jeton  placé  c^abord  sur  le  n"  n  du  tableau,  recouvrira 
le  n°  déterminé  par  la  formule  1  +  "  —  1  a^";  si  A-  =  t,  ce  n"  est 
égal  à  n  :  donc  la  période  des  transformées  en  contient  t. 

Réciproquement,  le  jeton  X  recouvrant  après  k  opérations  le 
n"  n,  sera  déterminé  par  la  formule 

«  =  1  +  iN  —  llrt^"  ,         d'où         N«^'  =  {n  —  1}  +  a^"  , 

et,  en  multipliant  par  a'—'''  et  se  rappelant  que  a^  =  1, 

„  =  1  +  (N  —  i\a'-''   . 

Substituer  le  deuxième  tableau  revient  donc  à  échanger  a  et  b; 
les  deux  formules  deviennent  ainsi  : 

1  4-  ,,i  _  1)//-  =  1  -^  ,,(  —  l)a'~''   ,  /!  =  1  +  (N  —  l)rt*'  . 

Pour  rt  =  4,  b  ="A,  p  =  11,  les  numéros  recouverts  par  les 
jetons  placés  d'abord  sur  5,  par  exemple,  seront  les  valeurs  de 
1  +  4.4^  pour  A-  =  0,  1,  2,  3,  4,  5,  c'est-à-dire  5,  6,  10,  4,  2,  5. 

De  même,  pour  les  tableaux 

3x2  4x2  5x2  6x2  4x3  5x3   6x3   5x4   6x4   6x5 

il  faudra 

4  3  6  10  5  6  16  9  11  14 

opérations. 

Le  cas  de  <?  =  /^  =  4  rappelle  un  tour  de  cartes  connu. 

25.  —  Aux  exemples  de  Cauchy  donnés  au  n°  9,  ajouter  les 
puissances  des  substitutions  circulaires  des  7,8,  9  et  10  premières 
lettres. 

26.  —  I.  On  a,  en  partant  de  la  permutation  quelconque  abcde 
et  lui  appliquant  successivement  les  trois  substitutions  indiquées 
au  premier  hiembre  : 

,        ,  ,  ,       I    ,  ,       ,  fabcde\  /hcade\  fdhcae\ 

(a.   /.,  c,.,«.   cl.,  d)Aa,  cub,  ^}  =[,,,,,)[,,,,,)[,,„,,) 

f;'')=ia,h.d,c)   . 
haucej 

De  là,  un  autre  moyen  de  trouver  le  produit  de  plusieurs  subs- 
titutions. 

L  Enseignement  mathém.,  2(i«  année  :   l'.MS.  li 


210  A.    AUBRY 

II.  On  a  les  relations  suivantes,  de  Caiichy  : 

(a  ,   b)[h  ,   c)  (c,   d)  ..  .   [k  ,   l)  =  (l ,   k  .  ..   c  ,   h  ,   à) 
[a,   l>)(a,  c|(rt.   d)  .  .  .   \a  ,   l)  ■=  {a  ,   h  ,  c  .  .  .  l]   , 

permettant  de  transformer  un  cycle  de  ii  lettres  en  substitutions 
de  n  —  1  échanges,  et  qui  appliquées  à  la  permutation  ...  abc  ...kl ... 
ont  pour  effet  de  déplacer  (n"  7i  /  immédiatement  avant  n .,  ou  a 
immédiatement  après  l. 

III.  L'inverse  du  produit  RTU...V  est  V-'...  L'-'T-'R-'  Cau- 
chy  L 

27.  —  I.  Effectuer  les  produits  [a,  ù,  Cj  .  a,  c,  b),  etc.  ; 
{a  ,  b) .  [a ,  b ,  c) .  [a  ,  b  ,  c ,  d) ,  etc.  ;   [a  ,  b ,  c] .  [b ,  c ,  d] ,   etc. 

II.  Faire  le  produit  de  [a,  b,  c ,  d,  e)  par  chacun  des  cycles 

{h  ,  c  ,  d\  ,  \h  ,  c ,  d  ,  e  ,  f]  ,  ih  ,  d)  ,  {a  ,  c ,  e)  ,  [a  ,  c  ,  e  ,  b  ,  d}-, 
et  de  '//,  b,  c,  d,  e,  f]  par  chacun  de  ceux-ci 

{h,   c,   d,   e,  /',   g)   ,      {a  ,   c  ,   e]   ,     {h  ,   d  ,  f)    ,     (a  ,   c  ,   e  ,   h  ,   d  ,  f]   . 

Donner  les  formules  générales. 

28.  —  1"  Il  y  a  toujours  une  substitution  X  qui,  multipliée  par 
la  substitution  donnée  H,  en  reproduit  une  autre,  donnée  égale- 
ment, S.  Ce  quotient  est  X  =  SR~'. 

2°  On  peut  aussi  trouver  aisément  la  ou  les  substitutions  cpii, 
appliquées  à  S,  produisent  une  substitution  semblable  donnée  T, 
ainsi  que  la  ou  les  racine.'^  n^"^"^  d'une  substitution  donnée.  Par 
exemple,  les  4  !  substitutions  qui,  appliquées  à  {a,  b){c,  d,  e\  f,g,  h,i], 
donnent  (a,  b ,  c ,  d]  [e,  f,  g]\[h,  i)  ;  ainsi  que  les  [n  —  1  !  /c""'  ra- 
cines /i*"'"de  la  substitution  formée  de  n  cycles  de  A' lettres  chacun. 

De  là,  la  solution  de  nombreuses  équations,  telles  que 

XKX  =  S   ;  RXS  =  SXR   ;  RSX  =  XRS   ; 

RX  =  S  Y  ,     RS  =  YX  ;       RX  =  SY  ,     RY  =  XS  :      RX  =  SY  ,    XR  =  YS  ; 

2"  Au  reste,  certaines  é(piations  n'ont  que  des  solutions  iniugi- 
naires.  Par  exemple,  pour  R  ^  [a,  b,  r,  d),  ni  X^  =  R.  ni  par 
suite  pour  X  ^  RY  ,  YRY  =  1,  n'ont  aucune  solution  ;  tandis  que 
XRX  =  R  en  a  une  et  RXK  =^  X,  quatre.  —  Plus  généralement, 
soient  ?i^  z=  1,  T  =  1  ;  si  X  est  une  racine  de  SXT  ■=^  X,  ou  de 
SX=rXT,   il  y  en   a  au    moins   ab ,    lesquelles    sont   de   la   foime 

29.  —  I.  Si  l'application  de  R  à  T  donne  le  même  résultai  ((u<" 
celle  de  S  à  T,  le  produit  SH~   est  échangeable  avec  T. 

II.  Si  R  appliquée  à  S  donne   T,  R~'  appliquée  ;i  T  donne  S. 


^^  U  R    I.  E  S    P  E  R  M  UT  AT  10  N  S  21 1 

III.  Si  R  appliquée  ^à  S  et  T  donne  S'  et  T',  appliquée  à  (ST), 
elle  donne  ^S'T'j. 

30.  —  Soient  deux  substitutions  circulaires  R,  S,  d'un  même 
nombre  de  lettres.  Pour  k  quelconque,  le  A*'  terme  de  R  étant/", 
le  k'  terme  de  S  étant/,'-,  et  celui  qui  suit  .^  dans  R,  le  même  que 
celui  qui  suit  /"dans  S;  l'application  de  R  à  S  donne  le  même 
résultat  que  celle  de  S  à  R.  P]xemple  :  R  ;=  (« ,  è,  r,  c?,  e, /"), 
S  ^  \c ,  f\  e  ,  h  ,  a  ,  d] . 

Si  la  lettre  suivant  ,«•  dans  R  est  la  même  que  celle  précédant/" 
dans  S,  on  a  :  RSR  =  SRS.  Donner  des  exemples. 

31.  —  Le  produit  des  substitutions  ((7,  ^)  et  S  a  un  cycle  de  plus 
ou  de  moins  que  S  selon  que  a  et  b  appartiennent  ou  _non  à  des 
cycles  différents  de  S.  Ainsi  les  produits  de  [a.  If,  c)[d,  e,  /",  g) 
par  [a,  d]  et  par  (e,  /')  sont  respectivement  («,  b,  c,  d,  e ,  f,  g)  et 
[a,  b,  c){d,  f,  g)(e). 

Il  suit  de  là  que  deux  permutations  sont  ou  ne  sont  pas  de  la 
même  classe  selon  que  la  substitution  qui  les  lie  contient  un 
nombre  pair  ou  un  nombre  impair  de  cycles  ayant  un  nombre 
pair  de  lettres.  Cela  tient  à  ce  que  les  substitutions 

{a,   fj  ,   .  .  .  c  ,  d  ,   e  ,   .  .  .  Il)         et         {a  ,   h  .   .    .   c)  {d  ,   e  ,   .  .  .  h) 

appliquées  à  la  permutation  ab  ...  cde  ...  //,  en  fournissent  deux 
autres  qui  n'en  diffèrent  que  par  l'échange  de  a  et  de  d.  C'est 
aussi  une  conséquence  de  26,  II. 

Ce  théorème,  dû  à  Cauchy,  permet  de  déterminer  la  classe 
d'une  permutation,  bien  plus  aisément  que  ])ar  le  dénombrement 
des  inversions. 

32.  —  Vérifier  analytiquement  l'assertion  de  l'exercice  9,  2".  Le 
produit  des  échanges  indiqués  est  en  effet  égal  à  [b ,  B)  («,  A). 

De  même,  la  formule  analogue  à  (a)  et  fournissant  l'échange  de 
A  et  de  B  est 

aXBhaXBhanixiBAhnBAh   ; 

il  s'ensuit  (jue  la  substitution  (O,  r/)  (O,  A)(0,B)  ...  ^O,  b)  appli- 
quée à  la  permutation  {OdbBA],  la  transforme  en  OabAB,  et  en 
effet  le  produit  de  ces  19  échanges  est  (A,  B). 

La  disposition  primitive  OnbBAa  devient  ObBA.a  en  exécutant 
les  opérations  représentées  par  la  formule  bBXab;  la  substitution 

(O,  h){0,  B)(0,  A)(0,  rt|(0,  A)  =  [h,   B,  A.  a) 

change  donc  la  permutation  OubBX  en  ObBXa.  On  voit  comment 
on  pourrait  résoudre  graphiquement  certaines  questions  de  subs- 
titution. 

33.  —  Un  objet  susceptible  d'une  définition  précise  F{a,  b,  c, ...  l) 
subit  une  opération  qui  change  sa  définition  en  (p  b ,  l,  c,  ...  a). 


212  A.  Auimy 

Pour  que  les  lettres  de  la  nouvelle  définition  soient  dans  Tordre 
naturel,  on  modifiera  celles  de  la  première  suivant  la  substitution 

ahc  ...   t^ 

IjIc   ...  rt^ 

Appliquer  cette  remarque  au  problème  suivant.  Un  carré  est  divisé 
en  4"  carrés  égaux  par  des  parallèles  aux  (-(^tés;  inscrire  dans 
chacun  de  ces  carrés  un  numéro  tel  que,  repliant  le  inrand  carré 
n  fois  dans  un  sens  et  n  fois  dans  1  autre,  on  obtienne  une  bro- 
chure qui,  coupée,  présente  ses  4"  pages  exactement  numérotées. 
34.  —  Un  cube  étant  désigné  par  la  formule  ABCDcUibc,  où 
ABCD  est  la  face  supéiieure,  et  DCcd  la  face  antérieure;  si  on  lui 
fait  faire  une  rotation  de  90°  autour  de  lune  des  aiêtes  bc ,  ba , 
ad,  de,  il  faudra  faire  subir  ;i  cette  formule  l'une  des  substitutions 

{A.  (I  ,   h,   B\{C,  B  ,  d  ,  c)   ,         \\,   B  ,  d  .  ai(B,   C,  c,   h)   ,  ) 

(a) 
(A,   B,  h  ,   a]{C,   c,  d  ,  \y)  ,         [A  .  a  ,   d  ,   B)  \B  ,   h  ,  c  ,   C)   .    ) 

Si  on  fait  tourner  le  cube  de  90°,  de  180°  ou  de  270"  autour  de 
Art,  les  substitutions  seront 


<.i) 


{A.   B,  C,  'D)(a,   b,  c,  d)   .         (A,   C)la,   c)(B,   Djii»,  d\   , 
(A,  D,  C,  B)(rt,  d ,  c,   In   . 

La  première  substitution    a   répétée  donne 

(A,   a,   h,  B)2(C,   B,  d,   cf  =  [A,   b\\B  ,  a]{C.   d]{B,  c\   , 

ce-  qui  représente  par  conséquent  la  position  du  cube  ayant  tourné 
de  180°  autour  de  hc ,,  c'est-à-dire  le  cube  /></r/<;CBAD  :  répétée 
encore  deux  fois,  elle  devient  =  1,  ce  qui  est  évident,  puisque  le 
cube  a  tourné  de  360°  autour  de  bc. 

Le  produit  des  deux  premières  substitutions  a  est  V7,B,D  b,C,d 
et  représente  la  substitution  qui  aurait  pour  elFet  de  faire  tourner 
le  cube,  d'abord  de  90^  autour  de  bc ,  puis  de  90°  autour  de  A*?. 

On  peut  ainsi  définir  sans  figures  divers  mouvements  de  la 
droite  et  du  cube,  ainsi  que  du  tétraèdre. 

35.  —  1°  Soient  les  n  égalités  RT  =  B'T' =  ...  =  R"T"' =  S, 
R  et  T  étant  échangeables,  ainsi  que  R'  et  T',  ...  ;  on  a  : 

KR'  ...   R"'ST"'  ...   T'T  =  S"+'    .  la) 

2°  Soient  les  deux  substitutions  échangeables 

R  =  (A,  D|(B,  C)|rt,   h){c,  d\   ,         T  =  (A,  Bi(C,  D)(fl,  </)(/>.  ci  ; 

posons 

IVr  =  (A,   (:)(B,   I))(rt,   c){h,  d)  =  S  ; 


s  un    LES    PERMUTATIONS  213 

une  relation  entre  cHIFérentes  substitutions  étant  indépendante 
des  lettres  qui  la  composent,  cette  relation  a  encore  lieu  si  celles- 
ci  subissent  une  substitution  quelconque.  Par  suite,  appliquons 
lA,  b,  C,  d  à  R,  T  et  S  :  il  vient  R'T' =  S.  en  écrivant 

R'  =  (A.  Cl  iB,  JhC.   fl)(D,   b)   ,  T'  =  |A  ,   a){B  ,  Ij)\C,  c)(D,   d\    . 

De  même,  si  on  applique  à  R'  et  T'  la  substitution  (A,  B)  (C,  D), 
il  viendra  R"T"  :=  S,  en  écrivant 

R"  =  lA,  d)\B,  c)(C,   /»(D,  a)   ,  ï"  =  lA,   hj{B,  a)  {C  ,  rf)(D.  c)   . 

On  a  ainsi  d'après  1"^  : 

RR'R"ST"T'T  =  S"  =  1   ;  (.S) 

donc  on  peut,  de  plusieurs  nianferes,  transformer  une  permutation 
de  huit  lettres,  par  échani^es  successifs,  de  manière  que  chacune 
d'elles  change  de  place  une  seule  fois  ai'ec  toutes  les  autres  et  que 
finalement  on  retro/(i>e  la  disposition  primitii'e.  Comme  à  lexer- 
cice  16,  I,  on  figurera  cette  solution  par  un  quadrille  comme  ci- 

A  B 

a  h 

d  c 

D  C 

contre:  les  sept  groupes  de  tnonvements  simultanés  jS  sont  symé- 
triques. 

3"  Le  tliéorème  a  lieu  pour  4/?  lettres  abcdefgli  ...  On  pose,  par 
exemple  : 

R    =  {a,  f)\b,  d)[e.  g)(f\  h]   ...  T    =  i«  ,  d){h.  c){e,  h)  if,  g\   . .  . 

R'  =  ifl,  e){b,  f)(g,  c){h,  d\  ...  *  T'  =  {a,  f)ib.  e}\g.  d)ih.  c)  .  .  . 
R"  =  \a  ,   gWb.   h]\e,   c)  {f ,   d'     ...  T"  =   {a.   h\\b,  g)[e  ,   d]{f.   <■)    ... 

S  =  (rt  ,   l>]\c  ,   d}[i-,  f)\g.   II]    ... 
do  il  ' 

RR'  ...   S   ...    1  "r  =  1   . 

4*'  Ce  théorème  a  encore  lieu  pour  une  \hn -\- ly  lelt'e./,  ce 
(pion  voit  en  remplaçant  n  des  échanges  n'ayant  pas  de  lettres 
communes,  (a,  b),  [c,  d],  ...  par  {a,J)  (a,  b)(b,  /i,  [c,j]{c,  d\{d,j],  ... 

'  UT  ^  S,  U' 1'  :=  s,  ...  puisque  yav  oxeniplo  i«.  <  .  /;.  d) .  ui.  <l\  i/i.  ri  =:  \a.  /i\  ic,  rf) . 


214  J  .    A  U BR  Y 

En  remplaçant  de  même  [n ,  b\,  ...  par  les  substitutions  équiva- 
lentes 

[a,j){a,   /Krt,    l){n,   m][n,   h)\h,   m)(h,   l)[h,   f,][h,j\   ,    ... 

et  ajoutant  la  substitution  'J,  k  l,  /n  (J,  l)(/c,m){f,  in)[k,  /),  on 
passera  d'une  formule  de  kn  lettres  ii  une  de  fkn-\-  4)  lettres,  ce 
qui  donne  une  nouvelle  démonstration  du  théorème  3". 

5°  Mais  il  n"a  pas  lieu  pour  ikn -\- 2]  ou  '4/i  +  3i  lettres,  car 
alors  la  permutation  aurait  à  subir  un  nombre  impair  d'échanges, 
ce  qui  ne  peut  donner  qu'une  permutation  de  classe  dilTérente. 

6°  On  remarquera  que   3   peut  se  remplacer  par  la  relation 

S|RT|(R'T'MR"T"|  =  ^*  —  i   , 

et  que  toute  subsfitution-unité  formée  d'échanges  seulement, 
peut  être  écrite  en  commençant  par  l'un  quelconque  des  échanges. 
De  là,  de  nouvelles  solutions  du  problème  de  2",  qu'on  multi- 
pliera encore  en  remarquant  que  si  l'une  d'elles  est  désignée  par 
9  A,  B,  ...),  y  A,  b-...  ,  par  exemple,  en  est  une  également. 

36.  —  I.  Soient  deux  groupes,  d'un  même  nombre  de  lettres, 
A,  B,  C,  ...  rt  ,  Z» ,  c,  ...  et  soit  efg^ ...  une  des  tournantes  de  celui-ci. 
Posons 

R  =z  (A,  rt)(B,   b)  ...    .         R' =  (A,  h){B,  c) 

T  =  i\.  e\  IB  ,  f)    ...    ,         T'  =  {A,  f){B,  g) 

La  substitution  \  =  a,  b,  c,  ...),  qui,  appliquée  à  R  et  T  les 
change  en  R'  et  T',  change  aussi  (RT)  en  R'T'  ;  en  outre,  à  cause 
de  la  symétrie  de  la  construction  de  RTi,  toutes  les  lettres  s'y 
trouvent  et  les  rangs  des  lettres,  dans  chacun  des  cycles  de  ce 
produit,  sont  en  progression  arithmétique  de  même  raison,  ce  qui 
fait  qu'ils  ont  même  nombre  de  lettres  :  donc  l'application  de  V 
à  RT  ;  ne  fait  qu'y  changer  les  cycles  les  uns  dans  les  autres. 
Ainsi  on  a:  RÏ  =  R'T'=z  ... 

II.  Soit  un  groupe  de  n  hommes  et  n  femmes;  faire  changer 
de  place  chaque  homme  avec  chaque  femme,  une  seule  fois,  de 
façon  que  la  disposition  primitive  se  retrouve.  —  Il  y  a  n'-  échanges, 
donc  /t  ne  peut  être  impair.  Soit  n  =  2i>:  avec  les  notations  de  I, 
si  e  désigne  la  ('"'  femme,  on  aura 

RR'Il"  ...  T"T'T  =  R'-r 

ce  qui  donne  une  solution,  si  c  est  pair. 

III.  De  là,  aisément,  une  troisième  démonstration  du  théorème 
de  l'exercice  35,  '.i'\ 

37.  —  Le  président  dune  société,  vouhuit  assurer  son  maintien 
à  la  présidence,  fiiit  èdicter  un  règlement  d'après  lequel  chaque 


UECTIFICATIOX   APPROCHEE  215 

sociétaire  changera  annuellement  de  place  avec  tous  les  autres. 
Comment  s'y  prendra-t-il  pour  être  seul  à  garder  sa  place  .' 

Pour  n  impair  quelconque,  les  solutions  sont  fournies  par 
l'exercice  14,  III;  d'autre  part,  toute  formule  relative  à  (2/j  —  1) 
lettres  a,  b,  c,  d  ...g  en  donne  une  pour  une  lettre  de  plus  /« ,  en 
remplaçant  \n  —  1  échanges  n'ayant  pas  de  lettres  communes, 
comme  //,  b^,  (c,  d  .,  ...  par  [a,  h)  a,  b][b,  h  ,  ic,  h)  [c ,  dld,  h],  ... 
et  ajoutant  à  la  fin  [g,  h). 

38.  —  Dans  un  groupe  de  n  hommes,  n  femmes  et  n  enfants, 
peut-on  permuter  chaque  enfant  avec  chacune  des  '2n  grandes 
personnes  et  une  fois  seulement,  de  manière  à  retrouver  la  dis- 
position primitive  .' 

Soit  n  =  3;  remarquons  que  ;A,  a,  a  =  (a.  A)  a,  a),  et  posons 

R  =  (A,  «,  ailB,  ^,  IîmC,  c-,  v)   ,         S  =  (A,  f,  [;)(B,  a,  y)(C,  h ,  a]   , 

T  =  (A,  />,  yhB,  c,  a)|C,  a,  f;i    ; 
on  aura  : 

RT  =  S~'   ,         d'où         SR'r  =  RTS  =  TSK  =  1    . 

On  sinspirera  de  ce  procédé  pour  les  autres  valeuis  de  n  mul- 
tiples de  3. 


SUR  LA   RECTIFICATION  APPROCHEE 
D'UN  ARC  DE  CERCLE 

PAK 

Ant.  Pleskot  (Pilsen). 


Dans  cette  Note  nous  présentons  une  construction  générale  de 
la  rectification  approchée  d'un  arc  de  cercle:  qiiehjues  construc- 
tions connues  en  forment  un  cas  particulier. 

Soit  (fig.  1  un  cercle  K  de  centre  O  et  de  rayon  /et  AH  l'axe 
correspondant  à  un  angle  au  centre  y. 

On  décrit  d'un  point  S  pris  sur  la  droite  AO  le  cercle  K,.  tan- 
gent au  cercle  K  en  .\  ;  soit  a  le  rayon  de  ce  cercle,  c'est-;i-dire 

r 
AS  =  rt  =  y   ,  {k  coiislaiilel. 


216 


A.    PLESKOT 


Sur  la  droite  \0  nous  prenons  encore  le  point  K,  dont  la  dis- 
tance au  point  0  est  donnée  par  l'expression 


OR  =  d  = 


i-lar  —  3/-2  —  8fl2 
3i-2  —  4a2 


12/c  —  3k-  —  S 
3A2  —  4 


(1) 


La   droite   RB   coupe  le  cercle   K,   en   C.   La   longiieiii-  AC  est 
approxiinaliveinent  égale  à  l'arc  AB. 


/^e.// 


A/^  /f  / 


Par  le  calcul  un  peu  long,  mais  simple,  on  trouve 

AC  =  rç  +  rz'-'\y.^  +  a,  ç  +  ...)    ; 

l'erreur  A  = /y  —  AC  est  proportionnelle  au  rayon  et  approxi- 
mativement à  la  5"'*  puissance  de  l'angle  ff. 

Suivant  le  choix  de  A*,  nous  obtenons  différentes  constructions. 
Elles  seront  simples  pour  k  <i  i. 

Construction  I.  —  Nous  laissons  le  point  R  coïncider  avec  le 
centre  0  ;  c?  =  0;  la  quantité  k  est  donnée  par  l'équation  (1)  : 


U- 


d'où  Ton  tire 


O  —  2  V3 


el 


\2k  +  8=0, 

■  =^(3+  Va; 


A- 


La  longueur  a  peut  être  facilement  construite. 

La  rectification  approchée  est  donc  la  suivante   ^(îg.  2)  :   De   S 

comme  centre  on  décrit  le  cercle  K,  de  rayon  AS  ^  7-(o  +  K  3)- 

Le  côté  ()B  coupe  le  cercle  K,  en  C  et  la  longueur  AC  est  approxi- 


RECTIFICATION   APPROCHEE 


217 


mativement  égale  à  celle  de  lare  AB.  La  longueur  AC  est  donnée 
par  les  équations 


AC= 2 ^'"2    • 


2  V  3  —  3    . 

<in  t  = sni  z> 


De  ces  équations  on  peut  calculer  les  erreurs  d'approximation  ; 
celles-ci  sont  inférieures  à  celles  que  1  on  obtient  par  la  construc- 
tion de  Cusanus. 

Construction  II.  —  Le  résultat  est  encore  meilleur  si  l'on  piend 
R  au  point  diamétralement  opposé  à  A,  c'est-à-dire  ?,\  d  .=  r. 

Pour  la  quantité  k  on  a  maintenant  l'équation 


12A- 


3/- 


Sk-  —  4 


d'où  l'on  tire 


k  = 


3  -   V^ 


a  =  j  = 


=  1  , 

3+    V3" 


3  '  k  2 

La  construction  est  la  suivante  ifig.  3)  : 


rF,ajJ 


(^>g  ^y 


Si  OJ  =  — ,  la  perpendiculaire  menée  du  point  .1  à  la  droite  ()A 

coupe  le  cercle  donné  en  K.  On  fait  JS^JK;  puis  le  cercle  Kj 
décrit  du  centre  S  avec  un  rayon  SA,  coupe  la  droit(;  RI3  au  point 
C  et  la  longueur  AC  est  très  approximativement  égale  ;i  l'arc  AB. 
On  peut  se  servir  de  cette  construction  pour  les  angles  de  0  à  00°. 
I^a  longueur  AC  est  donnée  par  les  équations  : 


AC  =  |3  +  V3  )  sin 


2 V3  —  3    .     o 
sin^ 


De  ces  équations   on  peut  évaluer  les  erieuis  A  d'approxima- 


218  A.     Pl.i:SKOT 

tion  ;    on    trouve,    pour    (y?  i=  00°,     /\  =:  0-0003/-,     pour    (jp^90°, 
A  =  0-00021/-. 

Cette  construction   résulte  de  la  première  si  l'on  rectifie  après 

la  première  construction  l'arc  d'angle  ~r  et  de  rayon  2r. 

Constrttclion  III.  —  On  obtient  une  construction  très  simple 
si  l'on  fait  coïncider  le  point  R  avec  le  point  S,  c'est-à-dire,  si 
l'on  pose 

.        d         ^ 

r  4-  a  z=  a    ,  dou  1-1-—  =  —   ; 

/•  k 

l'équation  (1)  devient 

12/- fi  

1  +  —^. ^  =  T   ■  o"  (3^-  -  2)^  =  0 

d'où 


12X  —  8  —  U-        1 

ou 

(3 

-|.     - 

a  = 

3 
2' 

La  construction  est  la  suivante  (fîg.  4)  :  Prenons  OR  =  — . 

Du  point  R  on  décrit  le  cercle  K,  de  rayon  RA.  La  droite  RB 
coupe  ce  cercle  en  C.  La  longueur  AC  est  approximativement 
égale  à  l'arc  AB,  Elle  est  donnée  par  les  équations 

,  r^  ,      ■     ^  .  2sin  o 

AL  =  .)/■  sin 


2  y5  -|-  4  cos  ç 

La  valeur  approchée  est  identique  à  celle  qu'on  obtient  par  la 
construction  donnée  par  M.  d'Ocagne. 

Knfîn  nous  posons  k  =  0;  d'où  a  =  x  et  c^  =  2/-:  le  cercle  K, 
est  remplacé  par  la  tangente  au  cercle  K  et  nous  trouvons  la  cons- 
truction de  Cusanus. 

Les  constructions  ci-dessus  permettent  aussi  de  résoudre  le 
problème  inverse:  porter  sur  une  circonférence,  à  partir  d'un 
point  donné,  un  arc  de  longueur  donnée. 


MELANGI^:S    KT    CORRESPONDANCE 


A  propos  d'un  problème  de  Lagrange 
sur  la  construction  des  cartes  géographiques. 

Lagrange  a  posé  dans  le  Tome  IV  de  ses  Q:]uvres  complètes  le 
problème  suivant,  qu'il  a  rencontré  à  propos  de  la  construction 
des  cartes  géographiques  : 

Etant  donné  trois  points  R,  R',  R",  déterminei-  deux  points  A 

^      ,  ,  RA      R'A      R"A        .  ,  , 

et  B  tels  ciue  les  rapports  ^-^  ,  T^nr ,  ttjtb    soient  entre   eux  dans 

*  *  '  Ko       K  h)        K    rJ 

des  rapports  donnés,  et  que  les  diflerenccs  des  angles  ARB,  AR'B, 
AR"B  soient  également  données. 

Dans  V Enseignement  Mathèniatique  du  1.")  janvier  1914,  nous 
avons  donné  un  procédé  approximatif  pour  résoudre  ce  problème, 
qui  avait  l'avantage  d'indiquer  une  méthode  assez  générale  pour 
trouver  la  solution  de  diflercnts  problèmes  de  géométrie  plane, 
et  qui  consistait  en  principe  à  remplacer  le  problème  proposé  par 
un  problème  de  géométrie  dans  l'espace  plus  simple. 

Au  contraire,  la  solution  suivante  est  rigoureuse  et  non  appro- 
ximative. Comme  nous  lavons  déjà  fait  remarquer  dans  la  pre- 
mière solution,  il  suffit  de  construire  une  figure  semblable  à  la 
proposée  ;  on  peut  donc  se  donner  arbitrairement  AB  en  grandeur 
et  en  position  et  chercher  à  construire  le  triangle  RR'R"  à  la 
condition  qu'il  soit  semblable  au  triangle  formé  par  les  trois 
points  donnés  R,  R',  R" .  Le  problème  se  présente  alors  sous  la 
forme  suivante  : 

Considérons  le  faisceau  des  cercles  C  qui  passent  par  les  points 
A  et  B  ;  si  l'un  d'eux  est  considéré  comme  lieu  du  point  R,  le  lieu 
du  point  R'   sera  un   autre  cercle   tel   que   l'angle  de  ces  deux 

cercles  soit  égal  à  la  différence  ARC  —  AR'B  ;  de  même  le  lieu  de 
R"  s.era  un  troisième  cercle  de  ce  faisceau.  Considérons  d'autre  part 
le  faisceau  de  cercles  C,  orthogonal  au  jjremiei,  constitué  par  les 
cercles  lieux  des  points  dont  le  rapport  des  distances  aux  points 
A  et  ii  est  constant,  si  l'un  d'eux  est  considéré  comme  lieu  du 
point  R,  le  lieu  du  point  R'  sera  un  autre  cercle  du  faisceau  et  de 


220  MÉLANGES    ET    CORRESPONDANCE 

même  pour  R",  ces  deux  derniers  cercles  étant  déterminés  dès 
que  le  premier  est  donné. 

Les  intersections  de  ces  trois  couples  de  cercles  deux  à  deux 
fournissent  un  triangle  RK'll",  mais  il  faut  que  ce  triangle  KK'K" 
soit  semblable  ii  un  triangle  donné.  Comment  s'arranger  pour 
arriver  à  remplir  cette  dernièie  condition.  Transformons  la  figure 
par  inversion,  le  pôle  d'inversion  étant  le  point  A  et  la  puissance 
d'inversion  étant  AB'. 

Le  faisceau  de  cercles  C  va  se  transformer  en  un  faisceau  de 
droites  C^  passant  par  B.  L'ensemble  des  trois  cercles  de  ce  fais- 
ceau dont  nous  avons  parlé  se  transformera  en  un  ensemble  de 
trois  droites  C,  passant  par  B  et  faisant  entre  elles  des  angles 
donnés. 

D'autre  part,  le  faisceau  des  cercles  C  va  se  transformer  en  un 
faisceau  de  cercles  concentriques  C\  ayant  pour  centre  le  point  B. 

Comme  un  calcul  simple  le  montre  aisément,  le  cercle  lieu  des 

points  pour  lesquels  TriT=^  ^  se  transformera  en  un  cercle  de  rayon 

ç  =  ^— ;  ceci   nous   montre  immédiatement  que   l'ensemble   des 

trois  cercles  de  ce  faisceau  se  transforme  en  un  ensemble  de  trois 
cercles  concentriques  dont  les  rapports  des  rayons  sont  donnés. 
Il  en  résulte  immédiatement  que  le  triangle  RjB',  R",  dont  les 
sommets  sont  les  inverses  des  points  R,  R',  R"  et  toujours  sem- 
blable à  lui-même,  indépendamment  de  l'orientation  du  faisceau 
des  droites  C^  ;  nous  pouvons  donc  nous  donner  arbitrairement 
l'ensemble  de  trois  droites  C, ,  ainsi  que  l'ensemble  de  trois 
cercles  C.,.  Nous  avons  ainsi  un  certain  triangle  i\f\i'\  par  l'in- 
tersection des  droites  et  cercles  correspondants  de  ces  deux  en- 
sembles. Il  faut  maintenant  détei-miner  le  centre  d'inversion  a 
tel  que  l'inverse  par  rapport  à  ce  centre  du  tiiangle  >\i\y\  soit 
semblable  au  triangle  RR'R". 

Si  les  longueurs  des  côtés  du  triaiigle  RR'R"  sont  leprésen- 
tées  par  «,  (5,  y,  il  faut  que  Ton  ait  (d'après  la  formule  qui  donne 
la  longueur  du  segment  limité  par  les  inverses  de  deux  points 
donnés) 


Ces  égalités  monlient  immédiatement  que  les  rapports 


CHRONIQUE  221 

sont  connus,  el  égaux  à 


Donc  le  point  a  se  détermine  par  l'interseclion  des  cercles  lieux 
des  points  dont  le  rapport  des  distances  à  /•, ,  /', ,  r'\  est  connu. 
Mais  si  Ion  connaît  un  de  ces  points  d,  relatifà  un  certain  ensemble 
de  trois  cercles  C,,  tous  les  autres  points  «,  relatifs  à  tous  les 
ensembles  de  trois  cercles  C„  seront  sur  la  droite  Br/  par  raison 
d'homolhétie.  Il  suiFit  donc  de  porter  sur  cette  droite  un  segment, 
égal  à  BA,  pour  obtenir  le  point  Aj,  ce  qui  détermine  en  défini- 
tive l'orientation  du  faisceau  des  trois  droites  C,  par  rapport  à  BA, 
cest-à-dire  justement  la  quantité  que  nous  nous  élions  donnée 
arbitrairement. 

Le  problème  est  donc  résolu. 

L.  Bai. I. Il"  ' Lorientl. 


CHRONIQUE 


Académie  des  Sciences  de  Paris. 

Pli  IX    DlicEHNÉS. 

Dans  sa  séance  annuelle  du  2  décembre  1018,  après  un  éloquent 
discours  du  Président  M.  Paul  Paixlevé,  l'Académie  a  décerné  les 
prix  proposés  pour  1918.  Nous  avons  déjà  mentionné  les  prix  attri- 
bués à  Sir  Joseph  Lah-mok,  à  MM.  Paul  Moxtel,  k.  BEi.oi>sLKi.r, 
Fr.  Sy  et  au  père  Stanislas  (^hevalieh.  Parmi  les  prix  concernant 
les  sciences  mathématiques,  le  palmarès  publié  dans  les  Comptes 
Bcndus  du  2  décembre  1918  contient  en  outre  les  noms  suivants  : 

Mathématiques.  Prix  fondé  par  l'Etat:  (i  ranci  prix  des  sciences 
malhématigues  (3000  fr.).  —  L'Académie  avait  mis  au  concours 
l'étude  de  Yilêration  d'une  substitution  en  rappelant  que  le  point 
de  vue  local  avait  été  seul  considéré  jusqu'alors  et  en  invitant  les 
concurrents  à  se  placer  au  point  de  \ug  général.  Trois  Mémoires 
ont  été  déposés  au  sccrélariat.  Le  prix  a  été  attribué  ;i  M.  Gaston 
.lii.iA,  ancien  élève  de  ILcole  normale  supérieure,  lieutenant  din- 
fanterie,  lauréat  du  prix  Bordin  en  1917.  Une  mention  très  hono- 
rable a  été  décernée  à  feu  Samuel  Latiès,  professeur  à  la  Faculté 
des  Sciences  de  Toulouse. 


222  C  II  H0.\  lO  LE 

MÉCAMOfK,  Pii.v  Henri  de  Paiville  1500  fV.).  —  I>e  prix  est  at- 
tribué à  M.  Emile  Bklot,  pour  ses  mérites  scientifiques  et  indus- 
triels. 

Fonds  de  hechf.uciiks  sciicm  m-iolks.  —  Fondation  (jegner.  — 
Un  prix  de  la  valeur  de  2000  fr.  est  décerné  à  feu  Samuel  I-attks, 
professeur  à  la  Faculté  des  Sciences  de  loulouse,  pour  ses  tra- 
vaux d'analyse  mathématique. 

Fondation  Jérôme  Ponti.  —  Un  prix  de  la  valeui'  de  2000  fr.  est 
attiibué  à  M.  Paul  Bai!I!ai(i\,  professeur  au  Lycée  Saint-Louis, 
pour  ses  travaux  sur  la  i^éométric  non-euclidienne.  — Un  prix  de 
la  valeur  de  1500  fr.  est  décerné  à  M.  Louis  FAiiitv,  astronome  ad- 
joint à  l'Observatoire  de  Marseille,  pour  ses  travaux  sur  les  éphé- 
mérides  des  petites  planètes. 

Fondation  Henri  Becquerel.  —  Un  prix  de  la  valeur  de  2000  fr. 
est  décerné  à  M.  Camille  Guttox,  professeur  à  la  Faculté  des 
Sciences  de  Nancy,  pour  ses  travaux  de  physique,  notamment 
ceux  qui  ont  trait  à  la  défense  nationale.  —  Un  prix  de  la  valeur 
de  2000  fr.  est  attribué  à  M.  Pierre  Fatou,  astronome  adjoint  à 
l'Observatoire  de  Paris,  pour  ses  travaux  sur  la  théorie  des  séries 
et  litération  des  fonctions  rationnelles. 

Questions  mises  au   concours. 

Grand  prix  des  sciences  mathématiques  (3000  fr.  .  —  Question 
posée  pour  1920:  Perfectionner  la  théorie  des  fonctions  d'une  va- 
riable, qui  sont  susceptibles  de  représentations  par  des  séries  tri- 
gonométriques  de  plusieurs  arguments  fonctions  linéaires  de  cette 
variable. 

Prix  Bordin  (3000  fr.).  —  Question  posée  pour  1921:  Perfec- 
tionner les  théories  sur  XanaUjsis  situs,  développée  par  Poincaré 
dans  des  mémoires  célèbres.  On  cherchera  à  rattacher,  au  moins 
dans  des  cas  particuliers  étendus,  les  questions  de  géométrie  de 
situation,  concernant  une  multiplicité  donnée,  à  l'étude  d'expres- 
sions analytiques  convenablement  choisies. 

Astronomie.  Prix  Damoiseau.  Prix  triennal  (2000  fr.l.  —  Ques- 
tion posée  pour  J917  et  reportée  en  1920,  aucun  mémoire  n'ayant 
été  déposé  :  Calculer  plus  exactement,  en  tenant  compte  des  résul- 
tats des  expéditions  récentes,  l'attraction  de  la  Lune  sur  le  bour- 
relet formé  à  la  surface  de  la  Tcri-e  parles  marées.  Examiner  l'elfet 
de  cette  attraction  sur  la  vitesse  angulaire  de  rotation  de  la  Terre. 

Question  proposée  pour  1920:  Perfectionner  en  quelques  points 
importants  les  travaux  de  Poincaré  et  de  M.  Liapounoff  sur  les 
figures  d'équilibre  relatif  d'une  masse  (luide  en  rotation,  soumise 
à  l'attraction  newtonienne.  L'Acadéniie  appelle  particulièrement 
l'attention  sur  la  question  de  stabilité  et  l'étude  des  oscillations 
infiniment  petites  autour  d'une  figure  stable. 


CHRONIQUE  223 

Les  conditions  générales  des  concours  sont  reproduites  dans  les 
Comptes  Kendiis  du  2  décembre  1918,  p.  922. 


Médailles  de  la  Société  Royale  de  Londres. 

Dans  sa  séance  du  30  novembre  1918,  la  Société  Royale  de 
Londres  a  décerné  les  Médailles  suivantes  : 

Médaille  Copie?/:  M.  le  Prof.  H.  A.  Lofiiî.ntz,  de  l'Université  de 
Leyde,  pour  ses  belles  recherches  de  Physique  mathématique. 

Médaille  Riiniford  :  MM.  Ch.  Fabiîy  et  A.  Pkkot,  pour  leurs  con- 
tributions à  l'avancement  de  l'Optique  efîecluéesen  collaboration. 

Médaille  Hughes:  M.  L  Laxcj.muifî,  l'éminent  physicien  améri- 
cain, pour  ses  travaux  de  Physique  moléculaire. 


Académie  Royale  de  Belgique. 

La  classe  des  Sciences  de  l'Académie  royale  de  Belgique  a  sus- 
pendu, pendant  l'occupation,  ses  réunions  olTicielles  et  ses  publi- 
cations. Des  membres  des  trois  classes  de  l'Académie  résidant  à 
Bruxelles,  Liège  ou  Gand,  ont  tenu  des  réunions  privées  dans  ces 
trois  villes.  L'armée  d'occupation  a  installé  un  lazaret  dans  les 
locaux  de  l'Académie  de  Bruxelles;  il  en  est  résulté  que  des  pic- 
ces  faisant  partie  des  collections  de  l'Académie  ont  dispaiu  et  que 
des  manuscrits  destinés  à  ses  publications  seront  probablement 
perdus. 

Etats-Unis.  —  Thèses  de  doctorat. 

Pendant  l'année  universitaire  1917-1018.  les  universités  améri- 
caines ont  décerné  les  doctorats  suivants  thins  le  domaine  des 
sciences  mathématicjues  : 

Unis'ersili/  of  California  Berkeley.  —  Frank  W.  Monins  :  Clas- 
sification of  involutory  cubic  space  transformations.  —  Mary 
Helen  Szxytkiî  :  The  hypersurface  of  the  second  dcgree  in  four- 
dimensional  space.  —  James  S.  Taylor  :  A  Set  of  (ive  postulâtes 
foi-  Boolean  algebras  in  terms  of  the  opération  «  exception  ». 

Catholiv  Universily  of  America  (Washington!.  —  Otto  .1.  RAMncit  : 
Threecuisped  hypocycloids  fuHilling  cei-tain  assigned  conditions. 

L'nii'ersili/  of  Chicago.  —  Israël  A.  BAiiXKrr  :  Differential  équa- 
tions with  a  continuons  infini  tudc  of  variables.  —  .lacol)  M.  KixNEY  : 
The  gênerai  theory  of  congruences  without  any  prcliniinary  inté- 
grations. —  Lrnest  P.  Laxe  :  Conjugale  Systems  with  indetermi- 
nate  axis  of  curves.  —  James  E.  McAtef.  :  Modular  invariants  of  a 
quadratic  form  for  a  prime  power  modulus.   —   William  P.  Ott  : 


224  CHRONIQUE 

The  gênerai  problem  of  the  type  of  the  biachistochrone  with 
variable  end  points.  —  Levi  S.  Siiively  :  A  new  basi's  for  the 
nietric  theory  of  congruenees.  — AVebster  G.  Simon  :  On  the  solu- 
tion of  certain  types  of  linear  difi'erential  équations  in  infinitely 
niany  variables. 

CoUiinhin  Unii'eisiti/  i}\e\v-\ovk\ —  Glenn  James:  Sonie  theo- 
renis  on  the  sumination  of  divergent  séries. 

Cornoll  Um\'eisity  Ithaca,  X.-Y.  .  —  H.  II.  Dai.akeh  :  On  the 
otomorphic  functions  of  the  groiip.  —  Anna  M.  IIowk  :  The  clas- 
sification of  plane  involiitions  of  ordre  tree. 

Universitij  of  Illinois  (Urbanai.  —  Raymond  Franklin  Boiidex  : 
On  the  I^aplace-Poisson  niixed  équation.  —  Ilobart  Dickinson 
Fraby  :  The  Green's  function  for  a  plane  contour.  —  Merlin  Grant 
Smith  :  On  the  zéros  of  functions  defined  by  honiogeueous  linear 
differential  équations  containing  a  parameter. 

Unii'ersity  of  Ppiisylvania  Philadelphia  .  —  George  II.  IIallett: 
Linear  order  in  three  dimensional  Euclidean  and  double  elliptic 
space.  —  Harry  M.  Shœmakeiî  :  A  generalized  équation  for  vibra- 
ting  membranes. 

Syracuse  Lniveisity  i\e\v-Yorkl.  —  Mrs.  Edward  Drake  Roe  : 
Interfunctional  expressibility  problems  of  syminetric  functions. 

J.-H.  Graf. 

11852-1918) 

Le  Professeur  J.-H.  Graf  a  occupé  une  place  trop  importante 
dans  la  vie  mathématique  suisse  pour  que  V Enseignement  mathé- 
matique ne  lui  consacre  pas  quelques  paroles  de  sympathie  et  de 
reconnaissance  au  moment  où  sa  mort  laisse  un  grand  vide  que 
nous  aurons  de  la  peine  à  combler. 

i\é  le  10  août  18r)2  à  Tciss,  près  de  Winterthour,  il  fréquenta 
les  écoles  primaires  de  son  village,  puis  les  écoles  secondaires  de 
Zurich.  En  1868,  il  entra  à  l'école  normale  privée  de  Muristalden, 
près  de  Berne,  et,  en  1871,  à  l'Ecole  polytechnique  fédérale  de 
Zurich.  Il  obtint  successivement  les  diplômes  de  maître  primaire 
bernois  et  zurichois  et  de  maître  secondaire  zurichois. 

Il  fonctionnna  (jiielque  temps  comme  maître  dans  une  des 
écoles  secondaires  de  Zurich  et,  en  1874,  il  fut  nommé  maître  de 
mathématiques  et  de  physique  au  Gymnase  libre  de  Berne. 

A  Berne,  il  profita  de  ses  loisirs  pour  suivre  les  cours  de  l'il- 
lustre mathématicien  Schlafli,  qui  enseignait  à  cette  époque  à  l'Uni- 
versité. Graf  présenta  sa  thèse  de  doctorat  en  1878  et  en  1879  il  se 
faisait  agi'éer  comme  privat-docenl. 

Professeur  extraordinaire  en  18l)U,  il  était  nommé  professeur 
ordinaire  en  1892,  au  moment  où  Schlalli  quittait  l'enseignement. 


CIIRONrOUE  225 

Doué  d'une  puissance  de  travail  prodiijieuse  et  d'un  sens  pratique 
merveilleux,  Graf  fit  une  carrière  brillante.  Professeur  très  écoute 
et  très  aimé  de  ses  élèves,  il  sut  donner  un  relief"  particulier  à  la 
section  mathématique  de  TLiiiversité  de  Berne.  Sous  son  in- 
fluence et  avec  des  collègues  émérites,  il  est  vrai,  cette  section 
devint  rapidement  l'une  des  plus  importantes  de  la  Suisse. 

Graf  fut  deux  fois  Doyen  de  la  Faculté  de  philosophie  et  Recteur 
de  l'Université  en  1905-00.  Il  était  également  membre  de  la  déléga- 
tion suisse  dans  la  Commission  internationale  de  l'enseignement 
mathématique;  il  faisait  partie  de  la  Société  mathématique  suisse 
et  de  la  Société  suisse  des  professeurs  de  mathématiciues. 

Très  connu  dans  les  milieux  scientifiques  pour  ses  divers  tra- 
vaux sur  les  fonctions  besséliennes.  eulériennes  et  sphériques,  il 
s'était  également  fait  une  grande  réputation  comme  organisateur 
des  caisses  d'assurances  pour  les  veuves  et  les  orphelins,  pour  les 
employés  des  services  publics,  etc.  Il  fonda  des  caisses  de  ce 
genre  à  l'Université  de  Berne,  dans  le  corps  enseignant  primaire 
et  secondaire  bernois,  il  collabora  à  la  création  de  telles  fonda- 
tions pour  la  ville  de  Berne  et  pour  les  C.  F.  F. 

La  mort  vint  le  frapper  en  pleine  activité,  le  17  juin  1918,  au 
milieu  de  la  sympathie  de  tous  ceux  qui  avaient  travaillé  avec  lui. 

Graf  laisse  une  œuvre  scientifique  et  économique  considérable. 
La  liste  de  ses  diverses  publications  comporte  122  numéros',  dont 
un  très  grand  nombre  traite  de  questions  d'assurances.  Plusieurs 
de  ses  travaux  sont  aussi  consacrés  à  l'histoire  de  la  cartographie 
suisse  et  d'autres  à  l'alpinisme  dont  il  fut  toujours  un  adepte  fer- 
vent. La  partie  la  plus  importante  de  son  œuvre,  en  dehors  de  l'étude 
des  fonctions  spéciales  dont  nous  avons  déjà  parlé,  se  rapporte  à 
l'histoire  des  mathématiques  en  pays  bernois.  Il  rend  là  un  écla- 
tant hommage  aux  Kiinig,  Crouzat,  du  Crest,  Tralles.  lluber,  Wolf. 
vSchlàfli,  Steiner,  etc.,  qui  ont  illustré  la  science  et  le  nom  ber- 
nois dans  notre  pays  ou  à  l'étranger. 

Nous  avons  également  retrouvé  les  titres  de  36  dissertations  de 
doctorat*  faites  sous  sa  direction  depuis  1893  à  1918.  Le  plus 
grand  nombre  des  sujets  sont  tirés  également  des  fonctions  spé- 
ciales sus-indi(iuées. 

En  s'attachant  à  cette  partie  de  la  théorie  des  fonctions,  Graf 
ne  faisait  pas  autre  chose  que  de  continuer  l'œuvre  dans  laquelle 
son  ancien  maître  Schlàfli  s'était  illustré. 

L'Université  de  Berne  en  particulier  et  la  science  suisse  en 
i^énéral  perdent  avec  le  professeur  Graf  un  homme  qui  les  a  hau- 
tement honorés  et  dont  l'activité  fi'conde  et  bienfaisante  a  rendu 
de  grands  seivices  à  la  science  mathémati(iue. 

L.  Citin.iKit    Berne"). 


'   Voir  les   iDmptcs  rendus  de  la  Société  heh'étiqiie  des  sciences  iiat.,    191S. 
L'Enseignement  malhéni.,  20«  annj-e  ;   I!US. 


226  Cil  ROM  QUE 

Nécrologie. 

M.  Maxime  Bùcheh,  l^ofesseiir  de  matliéniatiqiies  à  l'Université 
Maivard  (Etats-Unis  ,  est  décédé  le  12  septembre  l'J18,  à  l'âge  de 
51  ans.  Les  mathématiciens  américains  perdent  en  lui  l'un  de 
leurs  meilleurs  représentants.  On  lui  doit  une  intéressante  étude' 
réunissant,  à  l'usage  des  physiciens,  les  propriétés  des  dévelop- 
pements en  séries  employés  dans  la  théorie  du  potentiel.  Depuis 
une  vingtaine  d'années  il  s'était  attaclié  à  l'étude  des  équations 
différentielles  linéaires.  Rappelons  ici  la  belle  conférence-  qu'il 
fit  à  l'une  des  séances  générales  du  Congrès  international  des 
mathématiciens,  tenu  à  Cambridge  en  1912,  et  dans  laquelle  il 
exposa  les  progrès  réalisés  dans  les  problèmes  des  limites  qui 
interviennent  dans  la  résolution  des  équations  dillerentielles 
linéaires  assujetties  à  des  conditions  linéaires.  Pendant  l'hiver 
1913-14  M.  Bûcher  fît  un  cours  à  la  Faculté  des  Sciences  de  Paris 
sur  les  méthodes  de  Sliirin  dans  la  théorie  des  équations  différen- 
tielles linéaires  et  leurs  développements  modernes^.  Ces  leçons, 
recueillies  et  rédigées  par  M.  Gaston  Julia,  ont  été  publiées  dans 
la  collection  des  Monographies  de  M.  Emile  Borel. 

M.  François  Daxiëls,  de  Xymwegen  (Hollande  ,  Professeur  de 
mathématiques  à  l'Université  de  Fribourg  Suisse  .  est  décédé  le 
16  novembre  1918,  à  l  âge  de  58  ans.  Ses  nombreux  travaux  sur 
la  géométrie  veclorielle  et  sur  la  géométrie  sphériqne,  sont  bien 
connus  des  lecteurs  de  L' enseignement  mathématique. 

M.  Marcel  Depiœz,  professeur  d'Electricité  industrielle  au  Con- 
servatoire National  des  Arts  et  Métiers  de  Paris,  est  décédé  le  10 
octobre  1918,  après  une  longue  maladie,  à  l'âge  de  75  ans.  Le  sa- 
vant physicien  faisait  partie  de  la  Section  de  mécanique  de  l'Aca- 
démie des  Sciences  depuis  1886. 

Gaston  Milhaud.  —  Nous  apprenons  avec  regret  la  mort  du  ma- 
thématicien et  philosophe  français,  M.  Gaston  Milhaud,  décédé 
le  1"'  octobre  1918,  à  1  âge  de  60  ans.  Ancien  élève  de  l'Ecole  nor- 
male supérieure,  agrégé  de  mathématiques  (en  1881),  Gaston  Mi- 
lhaud a  enseigné  d'abord  les  mathématiques  dans  plusieurs  lycées 
tout  en  consacrant  ses  moments  de  loisir  plus  particulièrement 
•A  l'histoire  et  à  la  philosophie  des  sciences.  On  connaît  ses 
belles  études  sur  Yorigine  de  la  science  grecque.,  sur  \  histoire  de 
la  pensée  scientifique  ei  snr  Descartes  savant.  Chargé  d'une  sup- 
pléance dans  la  chaire  de  philosophie  de  l'L  niversité  de  Mont- 


*  L'ebcr  die  Heihencntwickliingen  der  Potcntiallhcorie.  258  p.,   B.  (?i.  Teubncr.  Leipzig,  1834. 

*  Boundari/  Problcms  in  oiic  Dimension,   Proceedinf^s,  vol.   I,  p.  163-196 

'  1  vol.  in-8o,  118  p.,  Gaiithier-Villars.  Paris,  i!M7.  (Analysé  par  A.  BuHL  dans  l'Enseigne- 
ment mathcmatique.  Tome  XIX,   N»  3,  ji.  2(»3-i(l'<.  1!M7.) 


NOTES    ET    DOCUMENTS  227 

pellier,  il  y  était  devenu  titulaire  en  1900.  Hn  lltOO  il  fut  appelé  à 
la  Soi'bonne  où  la  Faculté  des  Lettres  venait  de  créer  pour  lui  une 
chaire  d'«  histoire  de  la  philosophie  dans  ses  rapports  avec  les 
sciences  ». 

L.  Sylow.  —  Nous  avons  le  regret  d'apprendre  la  mort  de  M. 
Ludwig  Sylow,  Professeur  à  l'Université  de  Christiania,  décédé 
dans  cette  ville,  le  7  septembre  1918,  à  l'âge  de  85  ans.  Ses  belles 
recherches  sur  la  théorie  des  groupes  sont  devenues  classiques. 

On  lui  doit  la  publication  de  la  2*^  édition  des  Œuvres  com- 
plètes de  N.-H.  Abel,  éditée  en  1891,  à  Christiania,  avec  la  colla- 
boration de  S.  Lie.  Rappelons  aussi  sa  belle  Notice  sur  Les  éludes 
cV Ahel  et  ses  découvertes,  publiée  en  1902  dans  le  Mémorial  con- 
sacré au  Centenaire  d'Abel. 


NOTES  ET  DOCUMENTS 


Cours  universitaires. 
FRANCE 

Collège  de  France  {Paris).  —  Année  scolaire  1918-19,  à  partir  du  2  dé- 
cembre. —  Malhémaliqnes.  M.  Humbebt  :  Théorie  des  nombres  quadra- 
tiques (2  h.).  —  Mécanique  analytique.  M.  Hadamakd  :  Influence  de  la  forme 
du  domaine  dans  les  problèmes  de  physique  mathématique  (2  h.).  —  Phy- 
sique générale  et  mathématique.  M.  Bhillouin  :  Les  théories  des  géodésiens 
anglais  et  américains  sur  la  stabililé  gravilalionuelle  du  globe  terrestre  et 
les  faits  (2  h.).  —  Physique  générale  et  expérimentale.  M.  Langevin  :  Le 
principe  de  relativité  et  les  théories  de  la  gravitation  (2  h  ).  —  Philosophie 
moderne.  M.  Le  Roy,  suppléant  M.  Bergso.n  :  L  état  présent  de  la  philoso- 
phie mathéinatique  et  ses  rapports  avec   la  philosophie  de  l'intuition  (2  h.|. 


BIBLIOGRAPHIE 


L.  BiEBF.KBAcii.  —  Differential-  und  Integralrechnung,  lu.  II  iTeulmers 
technische  Leitfàdeni,  —  2  vol.  iii-16;  loU  et  lii  p.  2  .M.  80  et  3  M .  40  ; 
B.  G.  Teubiier,  Leipzig. 

Ce  petit  traité  de  calcul  didéientiel  et  intégral  fait  partie  de  la  collection 
des  manuels  Teubner,  destinés  au.\  étudiants  de  renseignement  supérieur 
technique  et  universitaire.  Il  fournit,  sous  une  forme  à  la  fois  claire  et  pré- 
cise, les  notions  essentielles  indispensables  dans  ime  première  élude. 

La  première  partie,  consacrée  au  Calcul  différentiel,  comprend  les  cha|)ilre6 
suivants  :  1°  La  notion  de  fonction.  —  2»  La  notion  de  nombre  :  nombres 
irrationnels.  —  3°  Les  séries.  —  4»  Fonctions  continues.  —  5°  Calcul  dif- 
férentiel. —  6°  Applications  géométriques  simples.  —  7"  La  formule  de 
Taylor.  —  8°  Formes  indéterminées.  —  9*^  Exemple  d'une  fonction  continue 
ue  possédant  pas  de  déi"ivées. 

La  seconde  partie,  intitulée  Calcul  intégral,  traite  des  objets  suivants  : 
1°  Les  pioblèmes  du  calcul  intégrai.  —  2°  Théorie  de  l'intégrale  indéfinie.  — 
3"  Intégrales  définies.  —  4°  Sur  le  calcul  numérique  d'intégiales  définies.  — 
5"  Longueur  d'arcs  et  courbure.  —  6°  Représentation  de  fonctions  par  des 
séries  et  des  intégrales  définies.  —  7»  Intégrales  doubles.  —  8"^  Usage  des 
nombres  complexes  ;  fonctions  analytiques. 

L  auteur  attache  avec  raison  une  grande  importance  à  ce  que  les  notions 
et  les  propriétés  fondamentales  soient  formulées  et  démontrées  d'une  niauière 
e.\acte.  Il  cherche  à  réagir  contre  la  façon  vague  et  souvent  très  incohérente 
avec  laquelle  on  présente  pai-l'ois  les  premiers  éléments  du  Calcul  infini- 
tésimal. H.  F. 

A.  R.  FoKSYTH.  —  Solutions  of  the  Examples  in  a  Treatise  on  Differential 
Equations.  —  1  vol.  in-8»,  249  p.,  relié,  10  sh.  ;  Macmillan  &  Cie,  Lon- 
dres,  1918. 

Comme  l'indique  son  titre,  co  recueil  i-onlienl  les  solutions  des  exercices, 
au  nombre  de  cent,  proposés  par  M.  P'orsyth  à  la  {{n  des  différents  chapitres 
de  son  traité  sur  les  équations  différentielles.  Entièrement  développés,  ces 
exercices  ont  été  préparés  avec  beaucoup  de  soin  par  1  auteur  dont  les 
ouvrages  sont  tous  caractérisés  par  une  gi-ande  simplicité  et  par  une  remar- 
quable clarté.  Ils  se  rapportent  à  la  quatrième  édition  du  Traité  1914.  Ce 
Traité,  qu'il  ne  faut  pas  confondre  avec  l'ouvrage  plus  complet  publié  par 
le  même  auteur  sous  le  titre  Theory  un  Differential  Equations,  s'adresse 
aux  étudiants  des  universités  et  des  écoles  polytechniques.  Il  se  borne  aux 
méthodes  classiques    ([ue    1  on    présente    généralement  dans    une    première 


Hl  H  I.IOG  RAPHIE  229 

étude.  Pour  les  posséder  en  vue  des  applications  ultérieures  il  est  indis- 
pensable que  l'étudiant  s'astreigne  à  taire  de  nombreux  exercices  d'inté- 
gration. Ce  recueil  de  solutions  est  donc  appelé  à  lui  rendre  de  grands 
services. 

Fr.  GrRBxi.Di  e  Gino  Lokia.  —  Scritti  Matematici  offert!  ad  Enrico 
D'Ovidio  in  occasione  del  suo  LXXV  genctliaco.  Il  a^oslo  1918.  —  1  vol. 
gr.  in-8o,  xv-386  p.,  30  lires;  Fratelli  Bocca,  Turin. 

Le  Professeur  Enrico  D'Ovidio  compte,  comme  on  sait,  au  nombre  des 
premiers  mathématiciens  italiens  de  l'époque  actuelle.  Par  ses  remarquables 
travaux  dans  les  domaines  de  l'Algèbre  et  de  la  Géométrie,  ainsi  que  par 
son  bel  enseignement  à  lUniversilé  de  Turin  (depuis  1872),  il  a  pris  une 
part  active  au  développement  des  sciences  mathématiques  en  Italie.  Ses 
disciples  et  ses  amis  n  ont  pas  voulu  laisser  passer  le  75"  anniversaire  de 
leur  vénéré  maître,  sans  lui  offrir  un  témoignage  durable  de  leur  recon- 
naissance, de  leur  admiration  et  de  leur  sympathie.  Ils  le  présentent  sous 
la  forme  d'un  bel  ouvrage  où  se  trouvent  réunis  un  grand  nombre  de  mé- 
moires appartenant  aux  domaines  les  plus  divers  des  sciences  mathémati- 
ques. La  liste  ci-après  des  Mémoires  donne  une  idée  de  l'inlérèt  scientifique 
du  volume  publié  par  les  soins  de  M.M.  F.  Gerbaldi  et  Gino  Loria. 

Corrado  Segre.  —  Su  alcune  classi  particol;ui  di  sislemi  continu!  di 
quadriche,  e  sui  rispeltivi   inviluppi. 

Francesco  Gerbaldi.  —  Le  frazioni  continue  di  Halphen. 

Gino  Loria.  —  Le  cubiche  gobbe  aventi  ciascuna  ail  ii.finilo  fre  punti 
réali  e  dislinli. 

Eugenio  G.  Togliatti.  —  Inlorno  ad  un  tipo  nolevole  di  sistcmi  lineari 
di  leciprocità  degeneri  tra  spazî  ad  n  dimcnsioni. 

Alessandro  Terraci.m.  —  Snilc  congruenze  W  di  cui  una  falda  focale  è 
una  quadiica. 

Guido  FuBiM.  — Alcune  osservazioni  relative  ai  problemi  secondarii  délia 
balistica  eslerna. 

Guido  Castf.lnuovo.  —  Sulle  curve  che  posseggono  una  infinità  continua 
di  corrispondenze  algebi'ichc. 

Luigi  Lo.MBARDi.  —  Le  oscillazioni  armoniche  nellc  antenne  radiotelegra- 
phiche  diretlamenle  cccitate. 

Francesco  Severi.  —  Sugli  integrali  scmplici  di  prima  specie  apparlenenti 
ad  una  supci-(icie  algebrica. 

Eniilio  Al.mansi.  —  Sopra  alcune  applicazioni  délia  teoria  dell  urto. 

Angelo  Pe.nsa.  —  Generalizzazione  di  una  trasformaziono  di  d'Ocagne. 

Guslavo  Sanma.  —  Estensione  e  studio  di  un  melodo  di  sommazione 
gcnerico  di  Borel. 

Ernesto  Laura.  —  Sopra  la  propagazione  di  onde  in  un  mezzo   indefînilo. 

Matlco  BoTTAsso.  —  Problemi  sulla  dcterminazione   délie  linee  sghembe. 

Beppo  Levi.  —  Riflcssioiii  sopra  alcuni  principii  délia  teoria  degli 
aggregati  e  délie  funzioni. 

Giuseppe  Beknardi  —  Nuovo  melodo  p<  r  la  lisoluzione  dirella  dell' 
equazione  ax -\-  Or  =^  c  in  numcri  intcri  e  posiiivi,  quando  i  ire  numeri  noti 
a,  h,  c,  sono  interi  e  positivi. 

Nicodcmo  Jadanza.  —  Un  intoressanlc  |jroblema  di  Goodesia  pratica. 

Giuseppe  Pea.no.  —  Resto  nelie  formule  di  interpolazione. 


230  BUt.LETIN    H 1  R  L  I O  G  R  A  P  H I Q  U  E 

F"iliberlo  Castellano.  —  Queslioiii  elemenlaii  di  massitno  e  minimo. 

Gino  F'ano.  —  Sulle  varietà  algebriche  a  tre  dimensioiii  a  superficie- 
sezioni  razîonali. 

Giovanni  Giambeli.i.  —  Introdiizione  alla  teoiia  délie  forme  in  piii  série 
di  variabili. 

On  trouve,  en  tèle  du  volume,  un  excellent  portrait  du  Professeur 
D  Ovidio,  ainsi  que  la  liste  des  publications  du  savant  géomètre.        H.  V . 

L.  KiEPERT. —  Grundriss  der  Diflerential-u.  Intégral -Rechnung.  Zweiter 
Teil  :  Integral-liecltniuig,  El  fie  vermelirte  AuHage  des  gleichnamigcn 
Leitfadens  von  M.  Stegemann.  Mit  186  Figurcn.  —  1  vol.  gr.  in-8o,  xxiv- 
1020  p.,  Heiwingsche  Verlagsbuchhandluug,  Hanovre,  1918. 

Nous  avons  déjà  signalé,  à  plusieurs  reprises,  les  éditions  de  ce  traite  de 
Calcul  différentiel  et  intégral  qui  est  très  répandu  dans  les  Ecoles  techni- 
ques supérieures  de  langue  allemande.  Il  nous  suffira  donc  de  mentionner 
cette  onzième  édition,  revue  et  complétée  une  fois  de  plus  par  M.  Kie|)crt. 
Les  additions  portent  principalement  sur  la  tbéoiie  des  équations  difïéren- 
tielles.  Rappelons  que  le  volume  contient,  en  Appendice,  une  table  de  près 
de  80  pages  comprenant  les  principales  formules  du  Calcul  intégral. 


BULLETIN  BIBLIOGRAPHIQUE 


1.  Pu]>licatious  périodiques  : 

Acta  Mathematica  :  Journal  rédigé  par  G.  Mittac-Leffler,  T.  41,  fasc. 
3  et  4.  —  S.  Wigert  :  Sur  la  série  de  Lambert  et  sou  application  à  la  théorie 
des  nombres.  —  H.  Jentszch  :  Untersuchungen  zur  Théorie  der  Folgen  ana- 
lytischer  Funktionen.  —  R.  Jentzsch  :  Forlgesetzle  Untersuchungen  ùber 
die  Abschnilte  von  Potenzreihen.  — A.  Ostrowski  :  Ueber  einige  Losungeu 
der  Funktionalgleichung  o(a)  .  ç(r)  =  oixy].  —  P.  Appeli.  :  Essai  sur  les 
fonctions  0  du  quatrième  degré,  II.  —  P.  Koebe  :  Abhandlungen  zur  Théorie 
der  konformcn  Abbildung,  lY  ;  Abbildung  mehrfach  zusammenhiingender 
schlichter  Bereiche  aiif  Schlitzbereiche.  —  R.  J.  Backlu.nd  :  Ueber  die  Null- 
stellen  der  Riemannscheii  Zelafuuklion.  —  T.  Cakle.man  :  Ueber  die  Fourier- 
koefi'izienten  einer  sleligen  Fuiiktion. 

Ânnals  of  Mathematics  published  under  iho  auspices  of  ihe  Princeton 
University  N.  J.  —  2">e  série.  Vol.  19,  N"  1.  —  J.  K.  White.more  :  Minimal 
Surfaces  Applicable  to  Surfaces  of  Révolution.  —  W.  D.  MacMilla.n  :  A 
Réduction  of  Certains  Differential  1-quations  oftlie  First  Order. —  Id.  :  The 
Function  VV  =  L  (r)  Dellned  as  the  Inverse  of  the  Funclion  /•  =  \V  —  log  W, 
—  H.  T.  BuRGEss  :  Solution  of  the  Matrix  Equation  X~'  AX  =  N.  —  (>.  A. 
Fischer  :  Linear  Funclionals  of  N-Sprcads.  —  G.  A.  Miller:  Subslilion 
Groups  and  Possible  Arrangements  of  the  Players  at  Card  Tournameuts.  — 


B  U  L  LETI  .V     H  I  H  L  I  O  C,  H  A  P  H  I  O  C  E  231 

I.  A.  Bakxett  :  Problems  oF  llic  Calculas  of  Vaiiitlions  Invariant  under  a 
Continuons  Group.  —  H.R.  Brah\.\\  :  A  Proof  ot"  Petcrsen  s  Tlieoreni.  — 
H.  R.  Taylok  :  Complète  Existential  Theory  ot'Bernslein  s  Set  of  Four  Pos- 
tulâtes For  Booloan  Algebras.  —  H.  B.  Fine  :  Ratio,  Propoi-tion  and  Measn- 
rement  in  tlie  Eléments  of  Fuclid. 

N"  2.  —  W.  OsGOOD  :  Fac(orizalion  of  Analylic  Fnurtions  of  Several  Va- 
riables. —  D.  Bafkow  :  An  Application  of  Fonrier's  Séries  to  Probability- 
—  J.  M.  Stetso.n  :  Conjugale  Systems  of  Curves  on  a  Surface  Bolli  of  W'hose 
Laplace  Transforms  ai'e  Lines  of  Gurvature.  —  A.  J.  Kempneu  :  A  Tbeorem 
on  Lattice-Points.  —  H.  L.  Smith  :  On  Continnous  Représentations  of  a 
Square  Upon  Itself.  —  I).  Jackso.n  :  Roots  and  Singular  Points  of  Semi- 
Analytic  Functions.  —  F.  Irwin  and  H.  N.  Wkight  :  Some  Properties  of 
Polynomial  Curves. 

N"  3.  —  R.  D.  Carmichaf.l  :  Comparison  Theorems  for  Homogeneous  Li- 
near  DilTereulial  Equations  of  General  Orcler.  —  H.  B.  Fine  :  Note  on  a 
substitute  for  Duhamels  Theorein.  —  J.  H.  Weaver  :  Some  Properties  of  a 
Straigiit  Line  and  Circle  and  Tlieir  Associated  Parabolas.  —  C.  L.  E.  Moore  : 
Motions  in  Hyperspace.  —  J.  R.  Kline  :  A  Définition  af  Sensé  on  Closed 
Curves  in  IS'on-Metrical  Plane  Analysis  Silus.  —  O.  E.  Gleen  :  Covariant 
E.xpausion  of  a  Modniar  Form.  —  G.  M.  Green  :  The  Intersections  of  a 
Straight  Line  and  Hyperquadric.  —  E.  T.  Bell  :  Xumerical  Functions.  — 
L.  P.  EiSEMiART  :  Surfaces  wliich  eau  be  Generaled  in  more  lliau  onc  way 
by  llie  Motion  of  an  Invariable  Curve. 

N»  4.  —  To.\iLi.\soN  Fort:  A  Class  of  Developmenls  in  Orlliogonal  Func- 
tions. —  Webster  G.  Simon  :  A  Fornàula  of  Polynomial  Interpolation.  — 
Gabriel  M.  Green  :  Plane  Nets  wilh  Equal  Invariants.  —  D.  R.  Curtiss  : 
Récent  Extensions  of  Descartes'Rule  of  Signs.  —  P.  J.  Daniell  :  A  General 
Form  of  Intégral.  —  T.  H.  Gronwall  :  Elastic  Stresses  in  an  Inlinite  Soiid 
willi  a  Spherical  Cavity. 

Bollettino  di  Bibliografia  e  Storia  délie  Scienze  matematiche,  pubblicato 

per  cura  di  Gino  Loria.  —  Anno  XX,  Série  II,  Vol.  1.  —  Libreria  scienti- 
lica  O.  Capozzi.  —  Avec  Tannée  1918,  le  bulletin  dirige  par  M.  G.  Loria, 
professeur  à  l'Université  de  Gênes,  commence  une  nouvelle  série  et  sera 
édité  par  la  librairie  scientifique  Capozzi,  à  Palerme. 

Le  premier  fascicule  de  celle  nouvelle  série  contient,  dans  la  première 
partie,  une  notice  historique  sur  la  Faculté  des  Sciences  mathématiques  de 
1  Université  de  Modena,  rédigée  par  le  professeur  E.  Bortolotti.  La  se- 
conde partie  renferme,  comme  à  l'ordinaire,  une  série  d'analyses  bibliogra- 
phiques. 

Bulletin  de  la  Société  mathématique  de  France;  publié  par  les  secré- 
taires. Tome  .\LV.  —  P'ascicule  IV.  —  E.  Cartan  :  La  déformation  des  hy- 
persurfaces  dans  l'espace  à  5  dimensions  (suite  et  fin).  —  E.  Cotton  :  Sur 
l'abscisse  de  convergence  des  séries  de  Dirichlet.  —  A\'.  Sierpinski  :  Dé- 
monstration élémentaire  d'un  théorème  de  M.  Borel  sur  les  nombres  abso- 
lument normaux  et  détermination  elfeclive  d  un  tel  nombre.  —  H.  Lekescue  : 
Sur  certaines  démonstrations  d'existence.  —  T.  Lalesco  :  Les  classes  de 
noyaux  symélrisables  —  P.  Appell  :  Sur  les  polynômes  se  rattachant  à- 
l'équation  différentielle  y"  =  6v-  -|-  .r.  —  G.  Valiron  :  Sur  les  chemins  de 
délerminalioii  des  fonctions  entières. 


232  nui.  LE  TI  y    lilHLIOCliAPIIIOUE 

Comptes  rendus  de  l'Académie  des  Sciences  de  Paris. —  1^''  semestre  1918. 

—  7  janvier.  — G.  Gikaud  :  Siii-K'S  Ibnclions  liypci-aliolieiines.  —  S.  Lattes: 
Sur  l'itéralion  des  substilulioiis  i-ationiiflles  et  les  (bnclions  de  Poincaré. — 
J.  Chokbate  :  Sur  quelques  propriélés  des  polynômes  de  Tchebitchelf.  — 
A.  Denjoy  :  Sur  une  propriété  tjjénéi-ale  des  fondions  analytiques.  —  P.  Ap- 
PELL  :  Moutenienls  aérions  gauches  et  splières  pesantes  légères.  —  74  jan- 
vier. —  G.  .IuLi.v  :  Sur  l'itération  des  fractions  ralionnelles.  —  M.  d  Ocagnf.  : 
Sur  les  surfaces  ganclies  circonscrites  à  une  svirfacc  donnée  le  long  d'une 
couibe  donnée.  —  R.  Soreau  :  Sur  l'origine  et  le  sens  du  mot  «  abaque  «.  — 
21  janvier.  —  R.  Gakmeu  :  Sur  les  singularités  irréguliéres  des  équations 
différentielles  linéaires.  —  I-.  Bloch  :  Sui  les  théories  de  la  gravitation.  — 
28  janvier.  —  A.  Buni,  :  Sur  certaines  sommes  abéliennes  d'intégrales  dou- 
bles. —  S.  Lattîcs  :  Sur  l'itération  des  substitutions  rationnelles  à  deux 
variables.  —  G.  Julia  :  Sur  des  problèmes  concernant  l'itéralion  des  frac- 
lions  rationnelles.  —  F.  Iveksen  :  Sur  les  valeurs  asymptotiquos  des  fonc- 
tions méromorphes  et  les  singularités  transcendantes  de  leurs  inverses.  — 
4  février.  —  P.  Bakbarin  :  Sur  le  dilemme  de  J.  Bolyai.  —  P.  P'atou  :  Sur 
les  équations  fonctionnelles  et  les  propriétés  de  certaines  frontières.  — 
O.  PoMPEiu  :  Sur  une  définition  des  fonctions  holomorphes.  — A.  Denjot  : 
Sur  les  courbes  de  M.  Jordan.  —  R.  de  Montessus  de  Balloke  :  Sur  les 
quartiqnes  gauches  de  première  espèce.  —  11  février.  —  T.  Lalesco  :  Les 
classes  de  noyau.K  symétrisables.  —  18  février.  —  P.  E.  Gau  :  Sur  l'intégra- 
tion des  équations  aux  dérivées  partielles  du  second  ordre.  —  Mladex  T. 
Beritch  :  Extension  du  théorème  de  RoUe  au  cas  de  plusieurs  variables.  — 
■2.5  février.  —  B.  Jekuowsky  :  Généralisation  du  théorème  de  Cauchy.  relatif 
aux  développements  en  séries.  —  R.  de  Mo>'tessus  de  Balloke  :  Sur  les 
quartiqnes  gauches  de  première  espèce.  —  E.  Vessiot  :  Sur  la  propagation 
par  ondes  et  sur  la  théorie  de  la  relativité  générale.  —  4  mars.  —  J.  F.  Ritt  : 
Sur  l'itération  des  fonctions  ralionnelles.  —  Yaliko.n  :  Démonstration  de 
l'existence,  pour  les  fonctions  entières,  de  chemins  de  détermination  infinie. 

—  C.  GuiCHARD  :  Sur  une  classe  particulière  de  courbes  plusieurs  fois  iso- 
tropes. —  11  mars.  —  Tr.  Lalesco  ;  Sur  un  point  de  la  théorie  des  noyaux 
Symétrisables.  —  18  mars.  —  Mladen  T.  Beritch  :  Sur  la  convergence  et  la 
divergence  des  séries  à  termes  réels  et  positifs.  —  A.  Buhl  :  Sur  l'interven- 
tion de  la  géométrie  des  masses  dans  certains  théorèmes  concernant  les 
surfaces  algébriques.  L.  Schlussel  :  Sur  la  mesure  des  actions  dynami- 
ques rapides  et  irrégulièrement  vai'iables.  —  B.  de  Fo.ntviola.nt  :  Théorie 
nouvelle  relative  aux  effets  du  vent  sur  les  ponts  en  poutres  droites.  — 
25  mars.  —  S.  Lattes  :  Sur  l'itération  des  fractions  ii-ralionuelies.  — 
de  PucciGNY  :  Sur  quelques  valeurs  de  la  quadrature  approchée  du  <"orcle. 
15  avril.  —  G.  Jui.ia  :  Sur  les  subslitniions  rationnelles.  —  R.  Gakmer  :  Sur 
les  singularités  irrégulières  des  équations  linéaires.  —  Valibon  :  Sur  le 
maximum  du  module  des  fonctions  entières.  —  de  Pullig  :  Quelques  remar- 
ques sur  la  quadrature  approchée  du  cercle.  —  G.  Humbert  :  Sur  les  repré- 
sentations d'un  entier  par  certaines  foiMues  quadratiques  indéfinies.  — 
2'J  avril.  -. —  L.  Lecornu  :  Sur  le  signe  des  rotations.  —  A.  Véronnet  :  Con- 
traction et  évolution  du  soleil.  —  'JH  avril.  —  L.  Roy  :  Sur  le  problème  de 
la  réflexion  et  de  la  réfraction  par  ondes  planes  péi-iodiques.  —  J.  Haag  : 
Sur  uue  application  de  la  loi  do  Ganss  à  la  syphilis.  —  6"  mai.  —  J.  PÉRi;s  : 
Sur  certains  développements  en  séries.  —  T.  Lalesco  :  Sur  l'application  des 
équations  intégrales  à  la   théorie   des   équations    différentielles   linéaires.  — 


BU  I.LKTI  y    ru  fi  LIOGIiAPIUQV  E  233 

M.  T.  Beritch  :  Un  procédé  intuitif  pour  la  recli(M-che  des  maxima  et  minima 
ordinaiies.  —  J.  Andrade  :  Sur  quelques  transformations  ponctuelles,  et  sur  le 
cercle  de  similitude  de  deux  cycles.  —  R.  Bricard  :  Sur  le  mouvement  à  deux 
paramètres  autour  d'un  point  fixe.  —  13  mai.  —  G.  Julia  :  Valeurs  limites  de 
l'intégiale  de  Poisson  relative  à  la  sphère  en  un  point  de  discontinuité  des 
données.  —  G.  Hu.mbekt  :  Sur  les  foimes  quadratiques  indélinios  d'Hermite. 

—  E.  Bklot  :  Le  rôle  des  forces  dominant  l'attraction  dans  l'architecture  de  la 
Terre  et  des  Mondes  :  modèle  mécanique  de  la  formation  du  système  so- 
laire. —  '21  niiti.  —  J.  Pérès  :  Quelques  i-emarques.  sur  certains  développe- 
ments en  série.  -  A.  Bukl  :  Sur  les  séries  de  polynômes  tayloriens  fran- 
chissant les  domaines  W.  —  G.  de  la  Vallée  Poussin  :  Sur  la  meilleure 
approximation  des  fonctions  d  une  variable  réelle,  par  des  expressions  d  or- 
dre donné.  —  27  mai.  —  G.  de  la  Vallée  Poussi.n  :  Sur  le  maximum  du 
module  de  la  dérivée  d  une  expression  trigonométrique  d'ordre  et  de  module 
borné.  —  3  juin.  —  G.  Giuald  :  Sur  une  équation  aux  dérivées  partielles, 
non  linéaire,  du  second  ordre,  se  rattachant  à  la  théorie  des  fonctions 
hyperfnchsicnnes.  — A.  Buhl  :  Sur  les  volumes  engendiés  par  la  rotation 
d'un  contoiii-  sphérique.  —  G.  Hv.mbekt  :  Sur  le  nombre  des  classes  de  for- 
mes à  indétern)inées  conjuguées,  indéfinies,  de  délerminant  donné.  —  10  juin. 

—  J  Pérès:  Sur  certaines  transformations  fonctionnelles.  —  de  Pulligny  : 
Sur  la  quadrature  approchée  du  cercle.  —  G.  Hu.mbekt  :  Sur  les  leprésen- 
tations  d'un  entier  par  les  formes  quadratiques  ternaires,  indéfinies.  — 
.M.   Brilloui.n  :    .Milieux    biaxcs.    Recherches  des   sources.    Les   amplitudes. 

—  17  juin.  —  H.  ViLLAT  :  Sur  certaines  équations  de  Fredholm  singulières 
de  première  espèce.  —  Philippe  E.  B.  Jourdain  :  Démonstration  du  théo- 
rème d'après  lequel  tout  ensemble  peut  être  bien  ordonné.  —  E.  Cahe.\  : 
Sur  les   séries  de   Dii'ichlet. 

Journal  fur  die  reine  und  angewandte  Mathematik   —  Band  148.  — 

E.  FiscuEK  :  Ueber  die  Did'ereuliationspro/.esse  der  Algcbra.  —  H.  Laudikn  : 
Entwicklung  willkiirlicher  Funkliouen  bei  einem  thermoelaslischen  Problem. 

—  C.  KosTKA  :  Schlussformel  zur  Hauptaufgabe  der  symmelrischen  Funk- 
liouen. —  Stackel  :  Arilhmetische  Eigenschaflen  ganzer  Funklionen.  — 
J.  KuRSCHAK  :  Ueber  spezielle  Funktionenreihen.  —  M.  Pasch  :  Ueber  qna- 
lerniire  L'uienkoordinale.  —  J.  ScnuK  :  Ueber  Potenzreihen,  die  im  Innern 
des  Einheitskreises  beschriinkt  sind  (Fortselzung).  —  R.  Komg  :  Riemann- 
sche  Funktiouen-  und  DilTerential-Syslenie  in  der  Ebene.  Arithmetischer 
Teil.  —  O.  SzAsz  :  Ueber  die  Approximation  stetiger  Funkliouen  durch  Ber- 
lioullisrhe  Polynôme. 

Proceedings  of  the  London  Mathematical  Society.  —  Séries  2,  Vol.  16. 

Lakmoh  ;  .\(i-ir(-ss  by  liic  Reliring  l'residcul.  —  The  Fourier  Harmonie 
Analysis  :  Ils  Fralical  Scope,  vvith  Oplical  Illustralion.  ^  J.  W.  Gampbell  : 
Periodic  Solutions  of  the  Problem  of  Three  Bodies  in  Three  Dimensions. 
^—  H.  S.  Carslaw  :  The  Grecn's  Funclion  for  the  Ivquation  V"«  +  k'H  =  0  (H). 
--  F".  J.  W.  WiiiPPLE  :  Diffraction  by  a  Wedgo  and  Kindred  Problems.  — 
C.  H.  Hardv  and  S.  Ra.mamjjan  :  Asymplotic  Formulae  for  ihe  Distribution 
of  Litcgers  of  Varions  Types.  —  G.  B.  .Ieii  eky  :  The  Relations  betwecn 
Spherical,  Cylindrical,  and  Splicroidal  Harmonies.  —  J.  G.  Leathe.m  :  Theo- 
rems  on  (Conformai  Repi'esenlation.  —  C.  N.  W'atso.n  :  Bcsscl  Funclious 
and  Kapleyn  Séries.    —    W.  H.  Younc;  :    On    Non-absoluly  Convergent,    net 


234  H  U  I.  LETI  X    H  I  li  L  I  O  C  II  A  l'  Il  l  Q  V  E 

necessarily  Conlinuous,  Inlegials.  —  M.  J.  M.  Hii.l  :  On  ihe  Classificalion 
of  tlie  Intégrais  oF  Linear  Partial  DifTerential  Equations  of  ihe  First  Order. 
W.  H.  YouNG  :  On  Multiple  Intégration  by  Pai-ls  and  ihe  Second  Theorem  of 
the  Mean.  —  H.T.  J.  Norton:  A  Problem  in  Dioplianline  Appioxinialion. — 

F.  J.  \V.  \A'hipple  :  A  Symmelrical  Relation  belween  Legendrc's  Funclions 
with  Parnmeters,  cosh  a  and  coth  a.  —  L.  J.  Rogkks  :  On  Iwo  Tlieorems  of 
Combinatory   Analysis   and    some   Allied    Identilics.    —    W.  H.    Youxo   and 

G.  C.  YouNG  :  On  tlic  Internai  Structure  ol  a  Set  ol  Points  in  Space  of  any 
Number  of  Dimensions.  —  P.  A.  Macmahon  :  Small  Contribution  to  Combi- 
natory Analysis. 

Archiv  der  Mathematik  und  Physik,  27.  Band.  B.  G.  Tenbner,  Leipzig. — 
R.  Stukm  :  Das  System  der  kubischen  Raumkurven  mit  drei  gegebenen  Tangen- 
ten  und  seine  Ausarlungen.  —  E.  Egervauy  :  Ueber  die  chai'akteristischen 
geomelrischen  Eigenschaften  der  Legendreschen  und  Tschebyscheffschen 
Polynôme.  —  A.  Kienast:  Elementare  Ableilung  des  Zusammenlianges 
zwischen  den  durch  konvergierende  und  durcli  asymplotische  Reilien  darge- 
stelllen  Fundamentalsystemen  der  Besseischen  Differeutialgleichung.  — 
L.  LiCHTENSTEiN  :  Ueber  die  Greensche  Inlegralforniel  der  Polentialtheorie.  — 
G.  Hamel  :  Ueber  einen  limitarperiodischen  Kettenbruch.  —  H.  Mohkmann  : 
Modiflkation  Ca3'leyscher  Formein  fiir  gewundene  Kurven  anf  einem  Kegcl 
2.  Ordnung.  —  A.  Willeks  :  Graphisclie  Intégration  gewohnlicher  Differen- 
tialgleichungen  1.  Ordnung,  deren  Slrahlkurven  Kegelschnitte  sind.  — 
A.  KoHN  :  Ueber  die  Anwendung  der  Méthode  der  snkzessiven  ÎN'alierungen 
zur  Lôsung  von  linearen  Integraigleichungen  mit  unsymmetrischcn  Kernen.  — 
O.  SzAsz  :  Determinanlendarstellung  einiger  Zahlentheorctischer  Funktio- 
nen.  —  I.  Schur  :  Ueber  die  Koëflizientensummen  einer  Potenzreihe  mit  posi- 
tivem  reeiiem  Teil.  —  G.  Polya  :  Zahlenlheoretisclies  und  Wahrscheinlich- 
keitstlieorelisches  ûber  die  Sichtweile  im  Walde.  —  H.  Pkufer  :  Xeuer  Be- 
weis  eines  Satzes  tiber  Permutalionen.  —  E.  Landau:  Ueber  die  Wigerlsche 
asymlolische  Funklionalgleichung  fur  die  Lamberlsche  Reihe. 

Atti  délia  Reale  Accademia  dei  Lincei.  Vol,  XXVII,  !«'  semestre  1918. — 
G.  Akmelmni  :  Sopra  lintegrazione  approssimata  della  equazioni  differen- 
ziali.  —  R.  GiORDANO  :  Enti  geomelrici  coordinati  a  certi  covarianti  simul- 
tanei  estensivi. — G.  Loria  :  Fasci  di  quadriche  rotonde  e  curvc  carlesiane. — 
U.  CisoTTi  :  Una  formola  per  le  detcrminazione  di  dislivelli  dei  corsi  d  acqua 
raediante  niisure  di  velocità.  —  L.  Bianchi  :  Sulla  inlegrazione  dell'equazione 
rt  —  4-  -\-  c  (p^  -\-  (f-)-  =  0.  —  Id.  :  Sopra  certe  forme  particolari  dell'  ele» 
menlo  lineare  sferico.  —  E.  Bompiani  :  Nuovi  criteri  per  lisonietria  di  due- 
superficie  o  varietà.  —  fd.  :  Le  transformazioni  punluali  di  una  varietà  che 
conservano  le  superficie  a  curvalnra  uulla.  —  C.  Blrai.li-Fokti  :  DifTeren- 
ziali  esatti.  —  Id.  :  Alcuuc  iinee  e  superficie  collegalc  con  una  linca  gobba.  — 
Id.  :  Sulla  superficie  i-igale.  —  U.  Cisotti  :  Derivazipnc  inlrinseca  uel  calcolo 
differenziale  assoluto.  —  G.  Darbi  :  Proprietà  cai'atteristiche  délie  equazioni 
di  grado  primo  p  risolubili  per  radicali.  —  E.  de  Cristofaro  :  Problemi 
dinamici  a  due  variabili  che  ammettono  un  intégrale  razionale  lineare  e  fratto 
rispetto  aile  compouenti  della  voiocità.  —  A.  del  Re  :  Haniilloniani  e  gradienli 
di  hamilloniani  e  di  gradienli  la})lasiani  paramelri  differenziali.  —  T.  Lalesco  r 
Les  équations  différenliclles  linéaires  d'ordre  infini  et  l'équation  de  Fred- 
holm.   —  E.   Laura:    Sopra   una   classe   di   nuclei   seiui-dellnili  positivi.  — 


BULLETIN     BIBLIOGRAPHIQUE  ^         -l'iù 

G.  Maklf.tta;  Di  una  classa  di  forma  dell  Si,  ogiuuia  rappreseatabile  nello 
coppie  di  un'iiivolnzione  dell'Ss.  —  D.  Montesano  :  Sulla  leoiia  générale  dello 
corrispondenze  birazionali  dello  spa=io.  — A.  Pensa:  Una  espressioue  difFe- 
renziaîe  vcttorialc  alteniata.  —  J.  Péhès  :  Quelques  propriétés  des  t'onctions 
<le  Bessel.  —  G.  Ricci  :  Sulle  varietà  a  Ire  dimensioui  dotale  di  lenie  princi- 
pali  di  congrnenze  geodetiche.  —  G.  Scorza  :  Sulle  curve  eliilliclie  siugolari.  — 
(i.  Sanma  :  Siille  série  di  potenze  di  una  variabile  soniinate  col  melodo  di 
lîorel  generalizzato.  —  V.  Vksix  :  Proprietii  del  ])rodolto  graduale.  — 
A.  A.NTOMAZzi  :  Sopra  il  movimenlo  di  rotazio  ne  diuriia  délia  Terra.  — 
U.  CisoTTi  :  Forma  intrinseca  délia  equazioiii  gravitazionali  nella  relatività 
générale.  —  T.  Levi-civita  :  d s^  einsteiniaui  in  campi  newioniani,  II.  Con- 
<lizioni  di  iutegrabilità  e  compoilamenlo  geometrico  spaziale.  —  R.  Serini  : 
Euclideilà  dello  spazio  completamente  vuoto  nella  relatività  générale  di 
Einstein. — G.  Akmellim  :  Ricerche  sopra  la  previsione  dell'urto  iiel  problema 
<lei  tre  corpi.  —  O.  Tedone  :  Sulle  ovali  di  Cartesio  coine  curve  aplanetiche 
di  rifrazione.  — Id.  :  Sulla  maniera  di  stabilire  le  formole  fondamental!  dellor- 
dinaria  teoria  délia  diffrazione. 

Bulletin  of  the  Américain  Mathematical  Society,  Volume  XXIV.  — 
G.  A.  Bi.iss  :  Intégrais  of  Lebesguc.  —  F.  IS'.  Coue  ;  The  Twenty-Fourth 
Summer  Meeting  of  ihe  American  Mathematical  Society.  —  F.  H.  Safford: 
Irralional  Transformations  of  the  General  EUiptic  Elément.  —  Dunham 
.Jackson:  Note  on  the  Parametric  Représentation  of  an  Arbilrary  Conlinuous 
Curve.  —  D.  E.  S.mith  :  John  \\'ailis  as  a  Crypfograplier.  —  T.  H.  Hildebraad  : 
On  Intégrais  Related  to  and  Extensions  of  the  LeBesgne  Intégrais.  —  C.  N, 
Mooke  :  A  Continuons  Fuiution  Whose  Development  in  Bessel  s  Functions  is 
Xon-Summable  of  Certain  Orders.  —  G.  M.  Greex  :  Xote  on  Conjugate  Nets 
with  Eqnal  Point  Invariants.  —  J.  F.  Ritt  :  On  the  Dilferontiability  ol 
Asymplotic  Séries.  —  R.  I).  Car.michael  :  Elementary  Inequalites  for  the 
Roots  of  an  Algebraic  Equation  —  H.  Bateman  :  The  Solution  of  ihe  Wave 
Equation  by  Meaus  of  Definite  Intégrais.  —  C.  J.  Keyser:  The  Rôle  of  the 
Concept  of  Inllnily  in  the  Work  of  Eucretius.  — A.  E.mch  :  On  the  Invariant 
Net  ef  Cubics  in  the  Steiuerian  Transformation.  —  T.  For-^:  Some  Theorems 
of  Comparison  and  Oscillation.  —  L.  Hart  :  Note  on  Infinité  Systems  of 
T^inear  Equations.  —  L.  D.  Cummings:  An  Undervalued  Kirkman  Paper.  — 
F.  Cajori  :  Pierre  Laurent  Wanlzel.  —  E.  T.  Bell  :  Some  Remarkable  Déter- 
minants of  Integers.  —  H.  Bi.lmbekg  :  ATheorem  of  Senii-Continuons  Func- 
lions.  —  F.  H.  Safford  :  Surface  of  Révolution  in  the  Theory  of  Lamé  s  Pro- 
ducts. —  C.  .1.  Keyser:  Note  Concerning  the  Number  of  Possible  Interpré- 
tations of  any  System  of  Postulâtes.  —  P.  R.  Rider  :  A  Theorem  of  the  Varia- 
tion of  a  Function.  —  C.  H.  Forsyth:  Tangeutial  Interpolation  of  Ordinates 
among  Areas.  —  W.  C.  Gkaustein  :  Note  on  Isogenous  Complex,  Fonctions 
of  Curves.  —  A.  A.  Bennet  :  An  l"]lementary  Dérivation  of  the  Probabilily 
Function.  —  G.  H.  Light  :  The  Intrinsic  Equation  for  Euler's  Résistance 
Intégral.  — J.  Pierpont  :  Ilerniites  NN'orks.  —  H.  Ha.ncock  :  Hc  marks  on  Elliptic 
Intégrais. 

Revue  générale  des  Sciences  pures  et  appliquées.  —  28"  année.  N"  23, 

<lécembie  1917.  M.  L.  Blocm  :  Relativité  et  (iravilal  ion.  —29*  année.  No  3, 
lévrier  1918.  P.  Oti.et:  L  avenir  du  catalogue  international  de  la  Littérature 
scientifique.  —   N»  'i    et  5.    .M.  H.  Varcollie r  :    Les    Déplacements   dans  les 


236  BULLETIN    B  I B  L  I  O  G  1{  A  P  II  I  O  U  E 

champs  de  vecleurs  et  la  Tliéoiie  de  la  relativilé.  —  M.  H.  Pakishlle  :  Ju- 
melles et  Télémètres  sléiéoscopiques.  —  Id.  :  Le  langage  scieiitilique  moderne 
et  la  rédaction  des  mémoires  scientifiques  français. 


2.  I^ivres  nouveaux  : 

W.  Ahrkns  —  Mathematische  Unterhaltungen  und  Spiele.  Band  II,  2. 
Anflage.  —  1  vol.  in-S"-',  'j'iô  p.,  15  M.  :  B.  G.    renhiicr.  \.v\\)/.\^. 

L.  BiEBERBAcii.  —  Differential-  und  Integralrechnung.  II  Integralrech- 
nung.  (Teuhners  techiiisclie  Leit/ac/aii ).  —  1  vol.  in-IG,  l'j'i  p.,  3.  40  M.; 
B.  G.  Teubner,  Lei|)zis;. 

W.  Bloch.  —  Einfûhrung  in  die  Relativitâtstheorie  jSammlung  aus 
Natur  u.  Geisteswell.  Xo.  GIS).  —  1  vol.  iii-16,  100  p,  relié,  1  M.  50; 
B.  G.  Teubner,  Leipzig;. 

E.  BoREL.  —  Die  Elemente  der  Mathematik  vom  Verfasscr  genehmigie 
deutsche  Ausgabe  besorgl  von  Paul  Stackkl.  Ersler  Band  :  Arillimetik  und 
Algebra,  ncbsl  den  Elemenlen  der  Diflérential-Recluuing,  2"^  Auflage  mit 
56  Textliguren  u.  3  Tafeln.  —  1  vol.  in-S»,  xvi-404  p.,  12  .M.  ;  B.  G.  Teubner, 
Leipzig. 

A.  Brili..  —  Das  Relativitâtsprinzip.  EIik^  Einfiilirnnt(  in  die  Tb  oric. 
Dritte  Auflage.  - —  I   vol.  in -S",  48  p.,  2  M.  ;   B.  G.  Teiibnci-.  Leipzig. 

P.  Ckantz.  —  Arithmetik  und  Algebra  zum  Selbstunterricht.  I  et  II. 
5.  u.  4.  Anflage:  (  Sainnilung  Aus  Nalur  und  Geisteswelt,  N"*  120  et  205). — 
2  vol  in-16,   114  et  110  p.,   relié  1.  50  M.  ;   B.  G.  Teubner,  Leipzig. 

W.  DiECK.  —  Nichteuklidische  Géométrie  in  der  Kugelebene.  —  (Samm- 

lung  Matheinatiscli-pliysikalifichc  /iihliolltek,  >''^  31 1.    —  1  vol    in-16,  51  p.. 
broché  1  M.  ;  B.  G.  Tcnhiifr,   Leipzig. 

W.  DiECK.  —  Stoffwahl  und  Lehrkunst  im  mathematischen  Unterrichte 

der  Unler-  und  Miltelslufe   hôlierer    Lehranslallcn.    —    1  vol.  in-8",  261  p., 
5  M.  ;  B.  G.  Teubner,  Leipzig. 
A.-K.  Forsyth.  —  Solutions  of  the  Examples  in  a  Treatise  on  Differential 

Equations.  —  1  vol.  in-H«,  249  p.,   10  sh    :   .Macmilian  and   C"..Ll(l.    Londres. 

R.  FiiicKE.  —  Lehrbuch  der  Differential-  und  Integralrechnung  und 
ihrer  Anwendungen,  1  et  II.  —  2  vol.  in-8",  399  el  413  p.,  relié,  15  .M.  le  vo- 
lume ;  B.  G.  Teubner,  Leipzig. 

F.  Gerbaldi  el  Gino  Loria.  —  Scritti  Matematici  offertî  ad  Enrico  D'Ovidio. 
—  1  vol.  in-8",  386  p.,  avec  nu  porliait  de  1)  Ovidio  ;  30  1.  ;  Fratilli  Bocca. 
Turin. 

Ph.  Lœtzbeyer.  — Vierstellige  Tafeln  zum  Logarithmischen  und  Zahlen- 
rechnen  fiir  Schule  und  Leben.  —  l  vol.  iu-8",  28  p..  1  .M.  40  ;  B.  G.  Teub- 
ner, Leipzig. 

A.  Lœvy.  —  Lehrbuch  der  Algebra.  Ersler  Teil  :  Grundlagen  der  Arith- 
metik. —  1  vol.  in-8'>,  398  p.  ;  12  .\1.  ;  Veil  &  C'e,  Leipzig. 

IL  lil.  TiMERDiNG.  —  Der  goldene  Schnitt  (.Mathematisch-physikalische 
Ijibliolhek,  Band  32i.  —  1  vol.  in-Ki,  57  |).,  1  .\I.;    B.  G.  Teubner,  lieipzig. 

International  Catalogue  of  Scientific  Literature  ;  fourteeuib  annual  issue. 
A.  MathematiCS    —  l  vol.  in-8",  163  p.,  15  sh.  ;  Gaulhier-Villars,  Paris,  1917. 


LES  NOMS  ET  LES  CHOSES 
Remarques  sur  la  nomenclature  malhémalique 

PAR 

Gino  LoRiA  (Gènes). 


Malitm  est  qiiocunique  defectu. 
(Axiome  logique). 


Les  progrès  continuels  d'une  science,  créant  sans  cesse  de 
nouvelles  conceptions  et  de  nouvelles  méthodes,  ont  comme 
conséquence  inévitable  le  besoin  d'étendre  et  quelquefois 
de  changer  la  nomenclature  en  usage,  en  introduisant  des 
mots  nouveaux  ou  en  étendant  la  signification  des  anciens. 
Si  ce  besoin  fut  ressenti  même  par  la  plus  jeune  des  sciences 
naturelles  —  la  chimie  —  qui,  sacrifiant  la  brièveté  à  la  clarté, 
a  fini  par  adopter  un  s\'stème  désormais  classique,  à  plus 
forte  raison  fut-il  ressenti  par  la  mathémathique  qui,  tant 
au  point  de  vue  de  l'antiquité  (jue  par  sa  tendance  cons- 
tante à  s'accroître  sans  cesse,  peut  bien  être  appelée  la  pre- 
mière de  nos  sciences.  11  est,  nous  semble-l-il,  intéressant 
et  instructif  d'examiner  de  quelle  manière  elle  à  jusqu'ici 
pourvu  à  cette  nécessité,  et  de  nous  rendre  compte  si  les 
procédés  employés  jusqu'à  présent  doivent  être  estimés 
satisfaisants,  ou  si,  au  contraire,  ils  ont  besoin  de  change- 
ments plus  ou  moins  profonds. 

Si  on  fait  une  revue  d'ensemble  de  la  nomenclature  en 
usage,  on  reconnaîtra  sans  peine  (|ue  ceux  qui  cultivent  les 
sciences  exactes  ont  en  général  montré  une  remar(juable 
répugnance  à  introduire  des  termes  nouveaux  et  une  ten- 
dance très  prononcée  à  utiliser  les  anciens  dans  des  accep- 

L'Enseigneinent  niathéin.,  20»  année  ;   1918.  16 


238 


J.OIilA 


lions  nouvelles.  C'est  un  système  sans  doute  commode, 
mais  qui  présente  une  menace  continuelle  pour  la  clarté 
et  la  précision  du  style,  et  qui  est  en  pleine  opposition  avec 
cette  condition  d'«  univocité»  de  la  correspondance  entre  les 
noms  et  les  choses  à  laquelle  ne  peut  se  soustraire  un  lan- 
gage qui  veut  être  scientifique. 

Les  coryphées  des  mathémati(jues  anglaises  pendant  la 
première  moitié  du  XIX"  siècle  —  Cayley,  Sylvester,  Sal- 
MON  —  résistèrent  pourtant  à  cette  tendance  générale,  car  ils 
lurent  des  créateurs  heureux  et  féconds  de  termes  nou- 
veaux. Cette  précieuse  qualité  s'est  montrée  dans  tout  son 
jour  dans  la  théorie  des  déterminants  et  dans  celle  des 
Tonnes  algébriques,  où  les  appellations  proposées  par  ces 
savants  furent  en  général  adoptées  sans  délai  et  définitive- 
ment. 


Parmi  les  termes  techniques  dont  on  fait  depuis  longtemps 
un  véritable  abus,  ceux  qui  méritent  la  première  place  sont 
les  suivants:  «ordre»,  «classe»,  «genre»,  «  espèce  >.  On 
parle  indifféremment  d'«  ordre»  d'une  courbe  ou  d'une  sur- 
face algébrique,  d'«  ordre  »  d'une  équation  différentielle  et 
d'w  ordre  »  d'un  groupe,  évidemment  en  des  significations 
tout  à  fait  différentes.  Une  courbe  ou  une  surface  algébrique 
ont  chacune  une  «classe»  de  même  qu'une  transformation 
plane  univoque,  ou  une  forme  quadratique.  Une  courbe  algé- 
brique a  un  «genre»  déterminé,  aussi  bien  qu'une  forme 
quadratique  et,  dans  certains  cas  bien  connus,  une  fonction 
transcendante  entière  ;  or  ces  trois  significations  du  mot 
«  genre  »,  ont  entre  elles  des  analogies  très  douteuses.  Enfin 
on  parle,  en  géométrie,  de  quartiques  gauches  de  «  1"^''  ou 
2™"  espèce»,  de  droites  imaginaires  de  1""*  ou  2'""  espèce», 
de  formes  géométriques  de  «  1'",  2'""  ou  3'"*  espèce  »,  en 
employant  évidemment  le  mot  dans  des  acceptions  bien  dif- 
férentes. Et  je  ne  prétends  pas  être  complet. 

Or,  s'il  paraît  naturel  que  ces  vocables  empruntés  à  la 
logique  aient  été  choisis  chaque  fois  qu'il  s'agissait  de 
dénombrer  les  éléments  d'une  même  catégorie,  il  fautrecon- 
naîlie  que  les  mathématiciens  les  employèrent  parfois,  faute 


LES    NOMS    ET   LES    CHOSES  239 

de  mieux,  dans  des  cas  où  cette  considération  n'a  aucune 
valeur.  Ainsi,  les  deux  courbes  gauches  du  quatrième  ordre, 
s'appellent  d'ordinaire,  l'une  de  1'^,  l'autre  de  2'""  espèce, 
uni(|uement  parce  que  la  première  a  été  découverte  avant 
l'autre.  Or,  les  considérations  historiques  n'ont  pas  le  droit 
d'exercer  une  influence  stable  sur  la  nomenclature,  car  elles 
n'ont  aucune  signification  pour  les  élèves,  qui  ne  connaissent 
pas  les  détails  des  découvertes.  C'est  sans  doute  pour  ces  rai- 
sons que  Cayley,  toujours  bien  inspiré,  proposa  de  donner  à 
ces  courbes  des  noms  qui  rappelassent  leur  génération  et  de 
baptiser  «  Quadriquadric  »  celle  qui  appartient  à  une  infinité 
de  courbes  du  second  ordre,  et  «  Excuboquartic  »  celle  qui  se 
trouve  sur  une  seule.  Je  pourrais  allonger  la  liste  de  ces 
emplois  abusifs  ;  je  m'en  tiens  à  cet  exemple. 

Un  autre  mot  dont  les  mathématiciens  ont  usé  et  abusé, 
c'est  celui  de  «  module  »  ;  on  le  rencontre  dans  la  théorie  des 
logarithmes,  à  propos  du  changement  de  base;  ensuite  dans 
la  théorie  des  nombres  complexes;  plus  tard,  dans  la  théorie 
des  fonctions  elliptiques.  Cela  ne  suffisait  pas:  on  l'emploie 
aujourd'hui  dans  la  théorie  des  formes  algébriques,  dans  une 
signification  aussi  éloignée  des  précédentes  que  celles-ci  le 
sont  entre  elles. 

En  continuant  notre  rapide  revue  de  la  littérature  mathé- 
matique, nous  rencontrons  dans  la  géométrie  analytique  les 
coordonnées  «polaires»,  dans  l'étude  des  courbes  et  des 
surfaces  du  second  degré  des  droites  et  des  plans  «  polai- 
res »,  et  dans  la  théorie  des  fonctions  analytiques  des  dis- 
continuités «polaires»:  trois  cas  oi^i  l'adjectif  «  polaire  »  est 
pris  dans  des  sens  bien  différents. 

Si  je  voulais  faire  ici  une  exposition  complète  de  ces  mots 
à  sens  multiples,  je  citerais  le  terme  d'«  involulion  »  que  les 
Anglais  emploient  dans  le  sens  d'élévation  à  une  puissance, 
tandis  que  dans  le  reste  de  l'Europe  son  emploi  est  restreint 
au  sens  géométrique  que  lui  a  donné  Desargues;  le  mot 
«  axe»,  auquel  on  a  déjà  donné  une  demi-douzaine  de  signi- 
fications ;  le  mot  «forme»  qui,  désignant  d'abord  une  des 
conceptions  fondamentales  de  la  géométrie,  a  passé  dans  la 


240  G.    LOIilA 

théorie  des  nombres,  puis  dans  ralgèbre  supérieure.  On  ne 
s'en  est  pas  tenu  là  ;  loul  récemment  on  Ta  mis  à  contribu- 
tion dans  certains  chapitres  de  la  géométrie  supérieure. 

Sans  avoir  la  prétention  d'épuiser  mon  sujet,  je  crois  bon 
de  faire  encore  mention  de  trois  autres  termes  techniques, 
auxquels  on  a  voulu  faire  rendre  plus  qu'ils  ne  peuvent. 

D'abord  le  terme  de  «  foyer».  Il  avait  une  signification  bien 
claire  dans  la  théorie  des  sections  coniques,  lorsque,  il  y  a 
un  siècle,  on  eut  la  malheureuse  idée  de  lui  faire  désigner 
le  point  qui  correspond  à  un  plan  donné  par  rapport  à  un 
complexe  linéaire.  Plus  tard  on  Ta  affecté  à  un  élément  im- 
portant dans  la  théorie  des  systèmes  de  rayons.  Comme  ces 
nouvelles  significations  se  trouvent  chez  des  auteurs  consi- 
dérés avec  raison  comme  classiques,  il  est  naturellement 
impossible  d'en  demander  désormais  le  bannissement. 

Le  second  mot  auquel  je  fais  allusion,  c'est  «réciprocité». 
Dans  la  théorie  des  nombres  (formes  quadratiques  et  cubi- 
ques) il  a  depuis  longtemps  un  sens  bien  déterminé;  mais  les 
géomètres  voulurent  s'en  emparer,  en  le  transformant  en  un 
synonyme  du  terme  «corrélation».  Ce  double  emploi  eut  la 
conséquence  fâcheuse  que,  dans  une  liste  de  publications 
relatives  à  une  théorie  fondamentale  de  la  géométrie  mo- 
derne, se  faufilèrent  des  travaux  relatifs  à  la  loi  de  récipro- 
cité des  restes  quadratiques. 

Enfin  le  terme  «congruence»  a  un  sens  bien  connu  dans  la 
théorie  des  nombres.  En  Géométrie,  il  en  a  deux  autres 
tout  différents  ;  d'une  part  il  désigne  la  relation  d'égalité  par 
la  forme  et  par  la  grandeur  de  deux  figures;  d'antre  part  on 
s'en  est  servi,  à  partir  de  Tannée  1868,  pour  désigner  la  tota- 
lité des  droites  communes  à  deux  complexes. 

Ces  exemples,  que  chacun  pourra  aisément  multiplier  en 
puisant  dans  ses  souvenirs,  prouvent  avec  évidence  que  le 
système  consistant  à  accumuler  des  idées  différentes  sur  un 
même  mot,  a  élé  déjà  la  cause  de  déplorables  désordres  dans 
le  pacifique  royaume  des  mathématiques,  mais  cjue,  s'il  reste 
en  honneur,  il  aura  comme  conséquence  l'impossibilité  de 
se    comprendre    entre    mathématiciens    appartenant    à    des 


LES    NOMS    ET   LES    CHOSES  241 

églises  difFérentes  ;  danger  extrêmement  grave  qu'il  faut 
avoir  continuellement  sous  les  yeux. 

C'est  peut-être  cette  perspective  chaque  jour  plus  mena- 
çante qui  poussa  les  mathématiciens  à  imaginer  et  em- 
ployer un  autre  procédé  chaque  fois  qu'ils  se  trouvaient  dans 
la  nécessité  de  doter  d'un  état-civil  un  nouveau  personnage; 
je  parle  de  Thabitude  d'unir  à  des  conceptions  nouvelles  les 
noms  de  leurs  créateurs.  C'est  un  système  inspiré  par  un 
sentiment  de  reconnaissance  et  de  respect,  dont  il  est  impos- 
sible de  nier  les  qualités,  au  moins  à  certains  points  de  vue; 
toutefois,  dans  son  application,  il  n'échappe  pas  à  certains 
inconvénients  sur  lesquels  on  me  permettra  de  m'arrôter  un 
instant. 

Le  premier  et  le  plus  grave  provient  des  difficultés,  quel- 
quefois insurmontables  qu'on  éprouve  à  «  unicuique  suum 
tribuere».  Si,  par  exemple,  on  doit  estimer  tout  à  fait  justi- 
fiées les  dénominations  «théorème  de  Pythagore  »,  «surface 
de  Kummer»,  «  problème  de  Plateau  »,  «  équation  de  Ric- 
cati  »,  «transformations  de  Cremona  »,  peut-on  approuver  le 
nom  de  «théorème  de  d'Alembert»,  donné  trop  souvent  au 
théorème  fondamental  de  la  théorie  des  équations  algébri- 
ques? En  effet,  qu'on  se  rappelle  que  la  propriété  de  toute 
équation  algébrique  d'avoir  une  racine  réelle  ou  complexe 
est  un  fait  auquel  on  parvint  par  des  expériences  répétées, 
à  l'aide  d'une  généralisation  hàlive,  et  sur  la  vérité  duquel 
personne,  pendant  longtemps,  n'éleva  aucun  doute.  En  con- 
séquence, c'est  un  mérite  incontestable  de  d'Alembert  d'avoir 
reconnu  qu'il  s'agissait,  non  d'un  axiome,  mais  d'un  véri- 
table théorème  qui  exige  une  démonstration  «  in  formis  »,  et 
d'avoir  même  essavé  d'en  foroer  une;  malheureusement  le 
raisonnement  qu'il  a  proposé  n'est  pas  conclusif  ;  et  on  doit 
dire  la  même  chose  de  ceux  qu'ont  imaginés  plusieurs  ma- 
thématiciens postérieurs  jus(|u'à  Gauss.  Or,  si  on  admet 
qu'une  proposition  mérite  le  nom  de  théorème  seulement 
le  jour  où  on  en  a  une  démonstration  à  couvert  de  toute 
objection,  il  est  évident  que  le  nom  du  célèbre  encyclopé- 
diste i'rançais  ne  saurait  être  attaché  à  cette  proposition. 

Encore  plus  étrange  et  moins  acceptable  est  la  dénomina- 


242  G.    r.ORIA 

tion  de  «théorème  de  Thaïes»  qu'on  applique  en  Italie  à  ce 
théorème  qui  affirme  la  similitude  des  deux  séries  de  points 
déterminés  sur  deux  droites  qui  se  coupent  par  un  faisceau 
de  droites  parallèles.  Thaïes,  le  premier  des  sages  de  la 
Grèce,  le  fondateur  de  l'Ecole  des  physiciens  ioniens,  n'a 
pas  laissé  une  seule  ligne  qui  nous  soit  parvenue.  Les  ren- 
seignements sur  ses  (;onnaissances  scientifiques  doivent  donc 
se  puiser  dans  des  sources  indirectes.  Or,  toutes  les  auto- 
rités les  plus  dignes  de  foi  font  apparaître  Thaïes,  au  point 
de  vue  mathématique,  comme  un  élève  des  prêtres  égyp- 
tiens et  comme  un  vulgarisateur  des  propositions  les  plus 
élémentaires  de  la  géométrie.  Pour  ce  qui  a  trait  à  la  simili- 
tude, tous  les  historiens  s'accordent  aujourd'hui  à  dire  qu'il 
n'en  connaissait  absolument  rien,  de  manière  que  l'on 
considère  comme  une  simple  légende  la  tradition  suivant 
laquelle  il  aurait  mesuré  la  hauteur  d'une  pyramide  par 
l'ombre  portée,  en  se  servant  d'un  couple  de  triangles  sem- 
blables. Partant  de  ces  considérations,  j'ai  été  amené,  depuis 
une  trentaine  d'années,  à  rechercher  longuement  les  motifs 
de  la  dénomination  «théorème  de  Thaïes»  et  je  n'en  ai  pas 
découvert  de  satisfaisant. 

Autre  exemple  :  Ceux  qui  ont  lu  la  Géométrie  de  Descartes 
ne  sauraient  trouver  justifiée  la  dénomination  de  «  coordon- 
nées cartésiennes  »,  car  ce  précieux  instrument  n'a  pas  été 
employé  par  l'auteur  du  Discours  sur  la  Méthode  '. 

J'ai  également  fait  depuis  longtemps  des  recherches  dili- 
gentes et  opiniâtres  pour  découvrir  pourquoi  Elgé  (c'est-à- 
dire  feu  G.  de  Longchamps)  donna  le  nom  de  «courbe  de 
RoUe»  à  une  certaine  courbe  du  troisième  degré;  malgré 
l'aide  que  m'a  donné  un  savant  tel  que  M.  F.  Cajori  ^  elles 
n'aboutirent  à  aucun  résultat. 

Ce  qui  est  absolument  injuste,  et  même  immoral,  c'est 
d'appeler  «  formule  de  Cardan  »  la  formule  de  jésolulion  des 
équations  cubiques,  que  le  fameux  médecin  milanais  a  volée 
à  Tartaglia.  On  peut  dire  la  même  chose  du  prétendu  «théo- 


*  Voir  ma  conununicatinn   Pour   une    histoire   de    la   géométrie    analytique   (Vcrhandl.  des 
III.  Matheinatikcr  Kongresscs,  Lelp/ig,   19(15,  p.  562-57ïK 

.    '  Voir  la  Note  «  Wliat  is  tlie  Origin  of  the  Nanie  ItolU-'s  Curvo?  ",  The  American  Monthly, 
Septembcr  1918. 


LES    NOMS    ET   LES    CHOSES  243 

rème  de  Guldin»,  qui  se  trouve  dans  la  Collection  mathéma- 
tique de  Pappus,  circonstance  qui  n'était  pas  ignorée  par 
Guldin  lui-même.  Enfin,  les  derniers  résultats  de  la  recherche 
historique  donnent  tort  à  la  coutume  régnante  d'appeler 
«  Ibrmule  de  Tarlaglia  »  l'expression  de  la  surface  d'un 
triangle  plan  en  fonction  des  côtés,  car  on  la  trouve  dans 
les  œuvres  de  Héron  d'Alexandrie,  établie  par  un  admirable 
raisonnement  qui  serait  digne  d'Euclide  *. 

Ajoutons  que  l'habitude  de  donner  une  certaine  paternité 
à  un  résultat  sans  des  motifs  suffisamment  sérieux,  a  eu  pour 
conséquence  de  fâcheux  désaccords  et  de  déplorables  mal- 
entendus. Ainsi,  dans  la  géométrie  infinitésimale  des  courbes 
gauches,  on  trouve  un  groupe  de  formules,  d'un  emploi  con- 
tinuel, qui  ont  été  découvertes  presque  en  même  temps  par 
J.  A.  Serret  et  par  Frenet,  En  conséquence  quelques  auteurs 
les  appellent  «  formules  de  Serret»,  tandis  que  d'autres  pré- 
fèrent les  nommer  «formules  de  Frenet»;  enfin,  dans  ces 
derniers  temps  on  a  introduit  le  nom  de  «  formules  de  Serret- 
Frenet».  Des  raisons  tout  à  fait  analogues  ont  fait  donner  le 
nom  de  «théorème  de  Descartes-Euler  »  à  celui  qui  forme 
la  base  de  la  théorie  des  polyèdres.  Mais  des  compromis  de 
ce  genre  ne  furent  pas  toujours  possibles,  d'où  des  confu- 
sions très  regrettables.  Par  exemple,  plusieurs  figures 
qu'on  rencontre  dans  la  géométrie  du  triangle  portent  sou- 
vent le  nom  de  géomètres  français  qui  les  découvrirent  ;  la 
recherche  historique  ayant  par  la  suite  mis  à  jour  de  nou- 
velles sources,  quelques  savants  remarquèrent  ces  mêmes 
éléments  dans  de  vieilles  revues  anglaises  ou  dans  des  publi- 
cations allemandes  qui  avaient  sombré  dans  l'oubli;  par 
suite  ils  adoptèrent  une  nouvelle  nomenclature,  (|ui  toute- 
fois ne  réussit  pas  à  détrôner  l'ancienne.  Une  seule  figure 
géométrique  se  trouve  ainsi  porter  deux  ou  même  trois 
noms  différents! 

Une  autre  imperfection  bien  grave  du  système  que  nous 
examinons,  provient  du    fait  que  le  nom  de  certains  grands 


'  D'aprps  1111    niileiir   arnbe,    cette    formule    aur.nit    été    découverte    par    Archimode.    (Voir 
SuTBK,  Biblintheca  mathein.,  III»  série,  T.  XI,   191(t-ll,  p.  17.) 


244  G.    J.ORIA 

mathémaliciens  est  uni  à  une  nuillitude  de  théorèmes,  de 
ibrniules,  de  fi^fures.  Pour  se  faire  une  idée  de  la  confu- 
sien  qui  en  résulte,  il  suffit  de  se  rappeler  à  combien  de 
proposilions,  d'équations,  de  lignes  est  rattaché  le  nom 
d'Eulerl  Remarquons  d'ailleurs  que,  tandis  que  certains 
grands  géomètres,  par  un  caprice  du  sort,  n'ont  laissé  dans  la 
terminologie  mathématique  aucune  trace  de  leur  passage, 
des  investiofaleurs  médiocres  se  virent  décerner  cet  hon- 
neur  :  en  conséquence  leur  nom,  au  lieu  de  subir  le  nau- 
frage redouté  (et  peut-être  mérité)  dans  l'océan  de  l'oubli, 
restera  dans  la  mémoire  des  générations  futures  «  per  om- 
nia  ssecula  saeculorum  ». 

Ces  remarques  —  qui,  je  l'espère,  ne  seront  pas  considérées 
comme  l'expression  d'une  tendance  maladive  à  «  chercher  la 
petite  bête»,  —  pourraient  être  multipliées.  ^  Mais  je  m'ar- 
rête, en  me  rappelant  le  mot  de  Voltaire:  «Le  secret  d'en- 
nuver  est  celui  de  tout  dire».  Qu'il  me  suffise  de  déclarer, 
en  finissant  cet  article,  que  ce  n'est  pas  l'espérance  de  deve- 
nir un  nouveau  Luther  en  prêchant  la  réforme,  qui  m'a 
poussé  à  l'écrire.  Pour  jouer  un  tel  rôle  il  me  faudrait  une 
foi  qui  me  manque  tout  à  fait,  car  je  sais  bien  qu'il  est  plus 
facilede  faire  accepter  une  théorie  scientifique  complètement 
nouvelle,  que  de  déraciner  la  nomenclature  généralement 
admise.  Le  seul  but  que  je  me  suis  proposé,  c'est  de  mon- 
trer que  les  critères  employés  par  les  mathématiciens  dans 
leur  choix  de  noms  nouveaux  sont  en  général  défectueux, 
comme  le  prouvent  plusieurs  des  applications  qu'on  en  a 
faites,  et  qu'en  continuant  sur  cette  voie,  nous  marchons  vers 
la  Tour  de  Babel.  Notre  science  se  flatte  avec  raison,  au 
point  de  vue  des  méthodes  et  des  résultats  acquis,  de  ne  le 
céder  en  rien,  et  peut-être  d'en  remontrer  à  toutes  les  autres. 
N'est-il  pas  légitime  qu'elle  cherche  à  soutenir  avec  honneur 
toutes  sortes  de  comparaisons,  même  se  rapportant  à  l'appa- 
rence extérieure? 

Gênes,  décembre  1018. 


'  Par  exempln  je  n'ai  pas  parlé  des  l'aiiUs  qu'on  a  commises  en  dérivant  de  nouveaux 
noms  du  grec  ;  voir  N.  J.  Hatz.idakis,  Sur  quelques  points  de  terminologie  mathématique 
(Bibliolheca  niathcui,  III«  tjcrie,  romc  2,   1901.   p.   1139-40). 


LES  ORIGINES  D'UN  PROBLEME  INEDIT 
DE  E.  TORRICELLI 

PAR 

Emile  Turrière  (Monlpellier). 


1.  —  M.  Gino  LoRiA  vient  tout  récemment  d'appeler  Tat- 
tenlion  des  lecteurs  de  V Intermédiaire  des  Mathématiciens^ 
sur  un  problème  d'analyse  diophantine,  dont  l'énoncé,  dû  à 
Evangelista  Torricelli,  est  resté  inédit.  La  question  sou- 
levée par  l'éminent  professeur  de  la  R.  Université  de  Gênes 
est  du  plus  grand  intérêt,  surtout  sous  le  point  de  vue  de 
l'histoire  de  la  théorie  des  nombres  au  XYIl*^  siècle  :  elle  est 
intimement  liée,  en  effet,  à  un  difficile  problème  de  Fermât, 
auquel  sont  en  outre  attachés  les  noms  de  Billy,  de  Leibniz  (?), 
de  Lagrange  et  d'EuLER. 


Le  problème  d'Evangelista  Torricelli  et  le  problème  de  Fermât. 

2.  —  C'est  dans  les  ternies  qui  suivent  que  M.  Gino  Loria 
a  posé  la  question  et  fait  connaître  l'énoncé  du  problème 
inédit  de  E.  Torricelli  : 

«  Dans  un  groupe  de  problèmes  énoncés  par  E.  Torricelli 
«  et  qui  verront  le  jour  dans  l'édition  actuellement  sous 
u  presse  des  Œuvres  complètes  de  ce  savant,  je  trouve  le 
«   suivant  : 

Trouve/-  un  triangle  rectangle  en  nombres  entiers  satisfai- 


'  L'Intermédiaire  des  Mathématiciens,   t.  XXIV,   1917,  pp.  97-98    (Question  n»  4755). 


246  E.     TU  uni  ERE 

sanl  aux  trois  concluions  snivtintes  que  :  1°  son  hypoténuse 
soit  un  nombre  carre  ;  2°  la  somme  des  deux  autres  côtés  soit 
carrée;  3"  la  somme  du  plus  grand  côté  et  du  côté  moyen  soit 
aussi  un  carré. 

«  Je  désire  savoir  si  celte  question  a  élé  posée  par  quelque 
«  autre  savant  et  si  elle  a  été  résolue.  » 

3.  —  En  ce  qui  concerne  tout  d'abord  le  côté  historique 
de  la  question  posée  par  M.  Gino  Loria,  il  y  a  notamment 
beaucoup  à  dire  au  sujet  de  ce  problème  de  Tohricelli. 

Dans  les  deux  premières,  en  effet,  des  trois  conditions 
simultanées  qui  constituent  ce  problème,  on  reconnaît  de 
suite  un  célèbre  problème  de  Fermât,  qui  offre  cette  parti- 
cularité que  sa  solution  la  plus  simple  est  formée  par  les 
côtés  d'un  triangle  rectançrle  dont  les  mesures  sont  des 
nombres  entiers  de  treize  chiffres  chacun  !  L'énoncé  se 
trouve  dans  une  des  Observations  sur  Diophante  : 

«  Invenire  triangulum  rectangulum  numéro,  cujus  hypote- 
«  nusa  sit  quadratus  et pariter  summa  laterum  circa  rectum. 

«  Triangulum  qugesitum  représentant  très  numeri  se- 
«  qu entes  : 

4  687  298  610  289  , 

4  565  486  027  761  . 
1  061  652  293  520  . 

«  Formatur  autem  a  duobus  numeris  sequentibusM 

2  150  905   ,  246  792  .   » 

La  lettre  de  Mersenne  à  Torricelli. 

4.  —  Nous  tenons  de  Fermât  lui-même  que  l'énoncé  de 
son  problème  fut  communiqué  par  lui  aux  plus  grands  géo- 
mètres de  ré[)oque.  C'est  ce  qui  résulte  nettement  de  la 
lettre  à  Mersenne  d'août  1043,  dont  j'extrais  le  passage  sui- 
vant ^  : 


*  Œuvres  de  Fermât,  t.  I,   1891,  p.  336    [observations  sur    Diophante,   observation   XLIV], 
t.  111,   18'.»6,  p.   270. 

*  Leitre  de  Fermât  à  Mersenne,  ?  aoiH   1C'<3,  Œuvres  de  Fermât,  t.  II,   1894,  p.  2t>l. 


PROBLEME    DETORRICELI.I  247 

«  Et,  afin  que  je  ne  vous  tienne  pas  plus  longuement  en 
«  suspens,  j'ai  résolu  toutes  les  questions  que  j'ai  proposées 
«  à  ces  messieurs,  dont  je  ne  vous  citerai  maintenant  qu'un 
«  exemple,  pour  leur  ôter  seulement  la  mauvaise  impression 
«  qu'ils  avaient  conçue  contre  moi  comme  leur  ayant  proposé 
«  un  amusement  et  un  travail  inutile.  Je  choisirai  pour  mon 
«  exemple  une  des  plus  belles  propositions  que  je  leur  ai 
«  faites  :  Trouver  un  triangle  duquel  le  plus  grand  côté  soit 
«  quarré,  et  la  somme  des  deux  autres  soit  aussi  quarrée. 
«  Voici  le  triangle  : 

4  687  298  610  289 
4  565  486  027  761 
I  061  652  293  520  .   » 

Nous  avons  aussi  à  ce  sujet  le  témoignage  de  Billy;  l'au- 
teur de  V Inventum  novum,  qui  s'est  personnellement  occupé 
d'ailleurs  de  la  questions  afTirme  que  Fermât  proposa  son 
problème  aux  plus  doctes  d'entre  les  mathématiciens^  : 

«  Invenire  duos  numéros  quorum  sunima  faciat  quadra- 
«  tum  et  quorum  quadrata  simuljuncta  faciant  quadrato- 
«  quadratum.  Istud  problema  idem  plane  est  superiori  quo 
«  quœrebatur  triangulum  rectangulum  cujus  hypotenusa  et 
«  summa  laterum  sit  quadratus,  aliasque  fuit  propositum 
«  plerisque  doctissimis  mathematicis  a  Fermatio  nostro  sine 
«  solutione...  » 

5.  —  Ma  première  pensée,  dès  la  lecture  de  la  question 
soulevée  par  M.  Gino  Loria,  fut  (jue  Torricelli  devait  avoir 
eu  connaissance  directement  ou  indirectement  du  problème 
de  Fermât.  Ce  problème  n'est  pas,  en  effet,  par  sa  solution 
ni  même  par  son  énoncé  d'une  simplicité  telle  qu'il  ait  pu 
se  présenter  séparément  à  deux  géomètres  contemporains. 
J'ai  trouvé  ultérieurement  l'explication  désirée  dans  un 
passage  d'une  lettre  de  Mersenne  à  Torricelli  en  date  du 
25  décembre  1G43,  d'où  il  résulte  que  Fermât  fit  proposer 
son  problème  à  Torricelli  par  l'intermédiaire  de  Mersenne. 


1   Doctrine  analyticsn  inventum  iiovitm,  l,   22,  25,   45  et   MI,  32. 
'  Doctrinse  analyticsc  inventum  novum,  I,  45. 


248  E.     rURRIERE 

Voici  ce  passage  de  la  lettre  de  j\Ii:rse>ne  à  Torricelli  '  : 

«  Clarissimus  geometra,  Senator  Tholosanus  Fermalius, 
«  libi  (perme),  sequens  problema  solvendiim  proponit,  quod 
«  tuo  de  conoideo  acuto  infinito  anjuivaleat.  Invenire  trian- 
«  guluni  rectangnhim  in  numeiis,  cujiis  latus  majus  sit  (jua- 
«  dratiim,  summaqiie  duorum  alionim  laterum  etiam  sit 
«  quadratum,  denique  summa  majoris  et  medii  lateris  sit 
«   etiam  quadratum. 

«  Exempli  gratia  :  in  triangulo  5,  4,  3  opportet  5  esse 
«  numerum  quadratum;  deinde  summa  4  et  3,  hoc  est  7, 
«  foret  quadratus  numerus,  denique  summa  5  et  4,  hoc  est  9, 
«   esset  quadrata.  » 

Il  est  ainsi  parfaitement  établi  que,  dès  le  début  de  Tannée 
1644,  l'attention  de  Torricelli  avait  été,  au  moins  par  l'in- 
termédiaire de  Mersenne,  appelée  sur  le  problème  de  Fermât. 

Leibniz  s'est-il  occupé  du  problème  de  Fermai? 

6.  —  Avant  de  pousser  plus  loin  l'examen  de  cette  ques- 
tion tout  spécialement  intéressante,  je  désire  ouvrir  une 
parenthèse  sur  un  autre  point  de  l'histoire  de  ce  même  pro- 
blème et  précisément  encore  sur  la  transmission  de  son 
énoncé  aux  contemporains  de  Fermât. 

L.  EuLER,  à  qui  l'on  doit  plusieurs  mémoires  sur  la  ques- 
tion et  qui  a  le  second  (après  Billy)  publié  une  démonstra- 
tion précise  du  résultat  simplement  énoncé  par  Fermât, 
attribue  ce  problème  à  Leibniz,  dans  une  première  pièce 
datée  du  15  novembre  1775^:  «  Hoc  problema,  a  Leibnizio 
«  olim  propositum,  eo  magis  est  notatu  dignum,  quod  mi- 
ce  nimi  numeri  sint  vehementer  grandi,  siquidem  posilivi 
«  desiderentur...  » 

Puis,  dans  une  seconde  pièce  du  18  mai  1780',  il  l'attribue 


*  DiscepuU  di  Galileo,  t.  XLI,  f»  9,  recto. 

Œuvres  de  Fermât,  t.  IV,  Paris,  1912,  p.  82-83. 

Voir  aussi  la  lettre  de  Torriciîli.i  à  Carcavi  du  8  juillet  16'«6  [Œuvres  de  Fermât,  t.  IV,  p.  88K 

'  Misccllanca  aiialytica  [Commentatioucs  arithmctica-,  t.  M  éd.  18^9,  pp.  44-52],  et  Opus- 
ciila  anali/tica,   Pclropoli,  t.   1.  1783,  p.   335. 

3  Ue  tribus  pluribusvc  numeris  iuvonicodis,  quorum  summa  sit  quadratum,  quadratorum 
vero  suuiina  biquadratum  (18  mai  1780).  Coinmcntationes  arithmctica',  édition  de  1849,  t.  2, 
p.  397-402. 


PROBLEME    DE    TORRICE  LIA  249 

à  Fermât  :  «  Célèbre  est  et  niiper  ab  illiistri  Lagrange  sin- 
«  gulari  studio  pertractuni  problema  a  Fermatio  olim  pro- 
«  positum...  »  Une  autre  pièce  de  la  même  époque*  attribue 
eiK'ore  et  très  nettement  ce  problème  à  Fermât. 

7.  —  En  raison  de  l'intérêt  tout  spécial  qui  s'attache  à  tout 
ce  qui  se  rapporte  à  d'aussi  grands  noms,  j'ai  recherché  des 
traces  d'une  pareille  étude  dans  l'œuvre  immense  de  Leihniz. 

La  question  de  priorité  entre  Leibniz  et  le  géomètre  de 
Toulouse  ne  se  pose  nullement,  puisque  l'énoncé  du  pro- 
blème fut  rendu  public  dès  1643,  c'est-à-dire  trois  ans  avant 
la  naissance  de  Leibniz.  11  est  même  douteux  (|ue  Leibniz, 
qui  n'avait  pas  atteint  sa  vingtième  année  à  la  mort  de 
Fermât  —  (naissance  de  Leibniz:  1646;  mort  de  Fermât: 
1665)  —  ait  pu  s'occuper  de  la  question  du  vivant  de  celui-ci. 

8.  —  Il  s'agit  seulement  de  savoir  si  Leibniz,  à  une  date 
quelconque  de  son  existence,  a  pu  apporter  une  contribu- 
tion plus  ou  moins  importante  à  la  résolution  de  ce  problème. 

Reprenons  la  solution  du  problème  de  Fermât.  A  un  fac- 
teur carré  près,  l'arithmotriangle  pjthagoric[ue  peut  être 
représenté  par  les  équations 

1  —  i"-  2/ 

rt  =  1   . 


dans  laquelle  f  désigne  un  nombre  rationnel;  ce  nombre  est 
assujetti  à  vérifier  tout  d'abord  la  double  inégalité, 

0< /< 1 , 


*  Soltitio  probleinatis  Ferniatiani  de  duobus  Dumeris,  quorum  sumina  sit  quadratuni,  quo- 
dratorum  vero  sutnma  biquadratum,  ad  mentem  III.  Lagrange  adornata  (5  juin  1780).  Coin- 
mentationes  arithmeticx,  édition   de  1849,   pp.  403-405. 

A  ces  références  d'EuLER,  il  convient  d'ajouter  une  courte  note  des  Opéra  postiinia  (Petro- 
poli,  t.  I,   1862,  p.  221)  dans  laquelle  Eulkk  établit  l'équivalence  des  équations  : 

^.x<-y*=U,  *'/'*  +  <?-  =  □• 

Ces  équations  ne  sont  autres  que  celles  que  forme  Laguangk  dans  son  étude  du  pro- 
blème de  Fermât.  (Sur  quelques  problèmes  de  l'Analyse  de  Diophante  citée  plus  loin.)  Voir 
aussi  au  sujet  de  ces  équations  : 

M.  Lkbksgue.  Résolution  des  équations  biquadratiqucs 

z*  =  X*  ±  2"'V  ,  c«   =   2"'a<  —  ,v*  ,  2c»  —  X*  ±  i*    ; 

Journal  de  Mathématiques  pures  et  appliquées  (Ab  Liouvilli'l,    [I],  t.  XVIll,    1853,  p.  73-86. 

Edouard  Llcas  a  étudié  les  équations  de  cette  forme  dans  ses  Recherches  sur  l'analyse 
indéterminée  et  l'arithmétique  de  Diophante. 

Le  problème  de  Fermât  est  résdlu  dans  cet  ouvrage  de  Ed.  Lucas. 


250  E.    TURRIERE 

assurant  les  signes  positifs  des  mesures  des  calhètes  et  à 
satisfaire  d'autre  part  à  léqualion  qui  traduit  la  condition 
imposée  Z>  +  c  =  □ .  Celte  équation  est  une  équation  de 
Bhaiimagupta-Fermat  du  quatrième  ordre  : 

(1  +  f-)\\  +  2<  —  th  =  □  . 

Si  le  second  membre  est  pris  égal  au  carré  de  l'expression 

1  H-  '- y''  • 

dans  laquelle  1  est  une  indéterminée  rationnelle,  cette  équa- 
tion devient 

(>.2  +  4)/2  _  4  ("a  +  2m  —  4(}.  —  1)  =  0  , 

et  la  condition  de  rationalité  de  t  est  alors  : 

>.3  +  8X  =r  G    • 

Telle  est   la  forme  canonicjue   à  laquelle  peut  être   réduite 

l'équation  indéterminée  dont  dépend  le  problème  de  Fermât. 

Le  problème  de  Fermât  esl  donc  réductible  à  l'étude  aritli- 

mogéométrique  d'une  cubique  harmonique  dont  les  invariants 

sont  : 

1 

F2  =  —  2  *^*         Fs  =  ^  ■ 

Les  conditions  d'inégalité  imposées  à  t  entraînent  la  condi- 
tion suivante  pourX:  ce  nombre  rationnel  doit  être  ou  bien 
compris  dans  l'intervalle  0  <  X  <  1  ou  bien  supérieur  à  8. 
Sinon,  c'est-à-dire  si  1  est  compris  entre  l'unité  et  huit,  car 
il  ne  saurait  être  négatif  en  vertu  même  de  l'équation 

>.3  +  8À  =  n  . 

la  solution  de  celle-ci  correspond  non  plus  au  problème  de 

Fermât,  mais  au  problème  pour  lequel  la  diilérence  et  non 

la  somme  des  cathètes  est  un  nombre  carré.  C'est  ce  qui  se 

I    •  ^         .  ^         '«y  1 

[)roduit  pour  /  ^=  l    ou    encore    pour  /  ==  —  ,   cas  auxquels 

12 
correspond   un  véritable   Irianole   t  =■  ^  de   côtés   169,    120 

et  119. 


PROBLEME    DE    TOIIRICELLI  251 

9.  —  Ainsi  donc,  le  problème  de  Fermât  dépend  analyti- 
quement  d'une  équation  indéterminée  qui  peut  aussi  être 
mise  sous  la  forme  : 

>,  +  !  =  □. 

Or  il  se  trouve  que  Leibniz  a  rencontré  ce  genre  d'équations, 

OÙ  figure  un  nombre  rationnel  a  (sans  rapport  avec  l'hypo- 
ténuse de  l'arithmotriangle  pylhagorique  considéré  plus 
haut);  il  reste  trace  de  ces  recherches  de  Leibmz  dans  les 
deux  pièces  suivantes: 

a)  Iiivenire  iriangulum  rectangidum  in  numeris  ciijus  area 
sit  quadraius  (29  décembre  1678j,  Leibiiizens  mathemalische 
Schriften,  Gerhardt,  [2],  III,  1863,  p.  120-125. 

b)  Exercilium  ad  ^romovendam  scieiitiam  numeroi'um, 
ibid.,  [2],  III,  1863,  p.  114-119. 

Dans  la  première  de  ces  pièces,  il  est  question  de  l'équa- 
tion particulière  : 

1       ^ 
X =  n  ; 

X 

tandis  que  dans  la  seconde  il  s'agit  de  l'équation  générale  : 

C'est  la  seule  trace  d'un  travail  de  Leibniz  sur  ce  sujet 
que  j'aie  pu  jusqu'ici  retrouver.  La  question  reste  donc  posée. 

L'origine  probable  du  problème  de  Torricelli. 

10.  —  Revenons  à  Toriucelli  et  à  son  problème  retrouvé 
par  M.  Gino  Loria. 

La  solution  donnée  par  Fermât  lui-même,  retrouvée  par 
BiLLY  et  j)ar  Ellkr 

a  z=  \   087  298  610  289  , 

/y  =  4  565  486  027  761  . 
c  =\   061  652  293  520  , 


252  E.     TURRIÈRE 

est  la  plus  simple  de  ioules  les  solutions  en  nombre  illimité 
de  ce  problème,  qui  peut  être  ralta('hé  à  rétude  arilhino- 
géométriqiie  d'une  cubique  plane  ou  d'une  biquadratique 
gauche  ^  Celte  propriété  est  l'orniellenient  énoncée  dans  le 
passage  ci-dessus  rapporté  de  la  pièce,  en  date  du  15  no- 
vembre 1775,  des  Miscellanea  Analytica  d'EtLER.  Ce  point 
fut  d'ailleurs  à  nouveau  établi  par  l'analyse  remarquable  de 
Lagrange^,  en  1777. 

La  somme  a  ■\-  b  des  valeurs  pré(;édentes  de  l'hypoténuse 
a  et  de  la  cathète  moyenne  b  est  un  nombre  (terminé  par  50) 
qui  ne  saurait  être  cari'é  parfait.  Cette  solution  la  plus  simple 
ne  satisfait  donc  pas  à  la  troisième  condition  de  Torricelli; 
d'où  il  résulte  cjue  le  problème  de  Torricelli,  s'il  est 
possible  en  nombres  entiers  positifs,  n'admet  pas  de  solu- 
tions de  moins  de  treize  chiffres.  La  condition  supplémen- 
taire imposée  par  le  disciple  de  Galilée  ne  fait  donc  que 
compliquer  un  problème  déjà  dénué  de  solution  simple. 

11.  —  Il  se  peut  pourtant  c|ue  Torricelli  ait  voulu  poser 
un  problème  qui  n'est  guère  différent  de  celui  de  Fermât, 
qui  lui  est  intimement  lié  et  qui  admet  une  solution  simple. 

L'étude  du  problème  de  Fermât,  lorsqu'il  est  soumis  à 
certaines  méthodes  de  résolution,  le  rend,  en  eflet,  absolu- 
ment inséparable  du  problème  pour  lequel  la  somme  des 
cathètes  est  remplacée  par  leur  différence.  C'est  ce  qui  se 
produit  notamment  dans  l'analyse  géométrique,  au  moyen 
d'une  cubique  plane  ou  d'une  biquadratique  gauche  ;  la 
somme  des  cathètes  n'est  pas  alors  nécessairement  la  somme 
de  leurs  valeurs  arithmétiques. 

Billy  a  parfaitement  rendu  compte,  dans  son  analyse, 
de  cette  circonstance;  il  a  le  premier  signalé  l'existence 
d'un  arithmotriangle  j)ythagorique  remarquable  dont  les 
côtés  sont  des  nombres  bien  simples  : 

a  =  169   ,  />  =  120  .         c  —  119   ; 


*  Voir  à  ce  sujet  mes  «Notions  d'arillimogoonu'li'ii- »  iliins  L'Enseignement  niathcntatiqiie, 
XIX»  année,  mai  1917,  p.   l(i7-lC8. 

*  Sur  quelques  problèmes  de  l'analyse  do  Diopliante,  Nouveau  Mémoire  de  l'Académie 
royale  des  Sciences  et  Helles-Lellrcs  de  Berlin,  1777;  Œuvres  de  Lagrange,  t.  IV,  Paris, 
18C9,   pp.  377-3U8. 


PROBLÈME    DE    TOURIC  E  I.I.l  253 

ces  nombres  satisfont  aux  rontlitions  siniiillanées  : 

rt  =  □  ,     />  —  f  =  n  • 

Pour  cet  arithmol ricin gle  pythagoiiqiie  la  troisième  condi- 
tion de  ToiuucELLi  est  satisfaite,  que  l'on  considère  la  somme 
ou  la  différence  de  l'hypoténuse  et  de  la  cathète  moyenne, 
puisque  les  nombres  j)i-éoéclents  vérifient  les  deux  conditions 

rt  +  /»  z=  289  =  n  . 

rt  —  fc  =    49   =  □   ; 

il  convient  de  remarf|uer  que  ces  deux  contlitions  simultanées 
se  réduisent  à  une  seule,  puisc|ue  le  produit  [a  +  l>)[(i  —  ^) 
est  égal  au  carré  de  la  cathète  c. 

La  véritable  signification  et  l'origine  du  problème  de  Tor- 
RiCELLi  se  rattachent  elles  aux  remarcjues  (|ui  viennent  d'être 
faites  ?  C'est  possible,  mais  peu  vraisemblable, 

12.  —  L'origine  plus  probable  du  problème  de  Torricelli 
me  semble  résider  dans  la  remarque  que,  si  la  somme  des 
côtés  a  -\-  b  n'est  pas  un  carré,  dans  l'exemple  donné  par 
Fermât,  par  contre  la  somme  de  l'hypoténuse  et  du  plus  petit 
côté  est  un  carré  : 

a  +  c  =  5-   748-  950-  903-   809  =  (2-   397  697)^  . 

Indépendamment  de  ce  fait  particulier  et  d'une  manière  plus 
générale,  un  triangle  en  nombres  (selon  l'expression  des  géo- 
mètres du  XVII*  siècle)  étant  représenté  par  les  nombres 
entiers  p  el  q ,   les  côtés  sont  exprimables  par  les  formules 

a  =  {p-  -{-  q-)  .X   ,  h  =  {p-—q-).A,  c  =  2pq.l, 

dans  lesquelles  1  est  un  paramètre  entier  de  similitude  :  ce 
sont  les  formules  de  Brahmagupta.  Les  trois  conditions 

a  =  n  .     rt  +  c  =  n  .     />  +  r  =  n  , 

deviennent  dans  ce  mode  de  représentation  : 

I,'F.nsoij;n<Mnent  m:ith(-in.,  20*  année  :  1918  17 


25'i  E.    TURRIÈRE 

la  seconde  n'est  antre  que  X  :=  Q  î  ^^  triangle  à  côtés  pre- 
miers entre  eux  semblable  à  un  triangle  de  cette  espèce, 
triangle  qui  s'oblient  en  prenant  /  :^  1  et />  et  ^  premiers 
entre  eux,  remplit  ipso  facto  cette  condition.  Abstraction 
faite  d'une  similitude  assez  banale,  il  y  a  donc  lieu  de  se 
borner  à  ce  cas  des  triangles  à  côtés  premiers  entre  eux, 
.triangles  que  Frénicle  a  nommés  triangles  primitifs. 

De  ce  qui  précède,  il  résulte  donc  que  dans  tout  triangle 
primitif  la  somme  de  Vhypoténuse  et  d'une  des  deux  cathètes 
est  toujours  un  nombre  carré.  Celte  propriété  bien  simple 
ne  pouvait  pas  être  inconnue  de  Tohricklli. 

Tout  s'explique  donc.  Dans  l'exemple  de  Fermât,  le  tri- 
angle primitif  dont  les  nombres  sont 

/)  =  2  150  905  , 
q  =       246  792   , 

c'est  la  somme  de  Fh^^poténuse  et  de  la  plus  petite  cathète 
qui  se  trouve  être  un  carré  parfait.  Cette  circonstance  se 
produit  toutes  les  fois  que  l'inégalité 

p-  —  ff  >  '^pq  . 

est  vérifiée,  c'est-à-dire  lorsque  le  rapport  —  des  nombres 

du  triangle  [p  étant  le  plus  grand  des  deux  nombres)  est 
supérieur  à  \/2  +  i.  Dans  le  cas  actuel,  cette  condition  est 

manifestement  remplie,  —  étant  de  Tordre  de  8. 

Le  problème  de  Torricelli  consiste  précisément  à  recher- 
cher un  triangle  primitif,  appartenant  à  cette  famille  des 
solutions  du  problème  de  Fermât,  mais  pour  lequel  le  rap- 
port —  des  deux  nombres  du  triangle  soit  inférieur  à  la  limite 

précédente  v'I  +  1.  El  nous  devons  conclure  que  la  condi- 
tion supplémentaire  de  Torricelli  est  une  simple  condition 
d'inégalitéy  le  problème  de  Torricelli  étant  analytiquement 
identique  ci  celui  de  Fermât. 


PROBLEME    DE    rORRICELLI  255 


Remarque  sur  les  deux  dernières  conditions 
du  théorème  de  Torricelli. 

13.  —  Laissant  de  côté  la  condilion  que  Thypoténuse  soit 
mesurée  par  un  carré,  prenons  Tensemble  des  deux  condi- 
tions : 


Il  n'est  pas  possible  d'ailleurs  de  leur  adjoindre  la  condition 


analogue  : 


si  dans  un  arithmolriangle  pythagorique  les  trois  sommes 
de  côtés  pris  deux  à  deux  étaient,  en  effet,  trois  nombres 
carrés  parfaits,  les  nombres  de  ce  triangle  satisferaient  aux 
trois  équations  : 

et  A  serait  simultanément  un  carré  et  le  double  d'un  carré. 
Reste  donc  à  étudier  le  système  des  deux  conditions: 

h  +  c  =  u  >       rt  +  c  =  n  ; 

la  seconde  permet  de  limiter  le  problème  aux  triangles  pri- 
mitifs (X  =  1)  pour  lesquels  elle  est  d'ailleurs  ipso  facto  rem- 
plie. Le  problème  est  ainsi  réductible  à  une  seule  équation 
de  Brahmagupta-Fermat  du  second  ordre 

p-  -{-  -Ipq  —  q^  =  [2    , 

dont  la  solution  générale  est 

1  —  2  ^  ~  ^' 

p  1  +  -t-  ' 

en  fonction  d'un  paramètre  rationnel  quelconque  x. 

On  peut  encore  prendre  pour  un  de  ces  arithmotriangles 


256  E.    TVRRIERE 

pythagoriques,  qui  ne  sont  définis  ciu'à  un  facteur  carré  près, 
celui  dont  les  côtés  sont  : 

a  =.  —  -\-  1  ,  t>  =  -, 1,  avec  c  =  ^ , 

X  restant  un  paramètre  arliitraire. 

Ce  problème  est  donc  de  ceux  qui  se  résolvent  complète- 
ment et  dont  la  solution  générale  peut  être  Ibrmulée  en  fonc- 
tion de  deux  paramètres. 

14.  —  De  la  solution  générale  qui  précède  de  cette  ques- 
tion bien  simple,  résulte  immédiatement  Téquation  dont 
dépend  le  problème  de  Torhicelli.  Il  suffit  de  poser,  à  un 
facteur  près  sans  importance, 

p  =  i  +  .i-   ,  7  =  2(1  —  .r)   ; 

et  de  résoudre  le  problème  des  arithmodistances  pour  Tarith- 
moparabole  que  représentent,  dans  le  système  de  coordon- 
nées rectangulaires  p  et  q^  ces  deux  équations  paramé- 
triques; l'équation  obtenue, 

(^2^  1)2  +  4(^_  rf  =  [j  , 
est  une  équation  de  Brahmagupta-Fermat  du  quatrième  ordre  : 

X*  +  6x-  —  8.r  +  5  =  □   . 

Les  solutions  acceptables  doivent  satisfaire  en  outre  à  des 
inégalités  qui  assurent  les  signes  positifs  des  cathètes  des 
arithmotriangles  pythagoriques  correspondants,  ainsi  que 
l'ordre  de  grandeur  c  >  Z>  ;  il  faut  donc  que  g  soit  positif  et 

que  le  rapport  ^  soit  compris  entre  l'unité  et  \/2  +  1.  Des 

trois  inégalités 

.,•  <  1  <  /  +  ^^   <  y  2~  +  1  , 

^       ^  2(1  —  a:)  ^    '       ^ 

il  résulte  que  le  nombre  rationnel  .r  doit  être  compris  soit 
dans  l'intervalle 

-  (V2"+l)  -  2\/\/2"+l  <.r<-(V2'+  1)   . 


PROBLÈME    DE    TORRICELLI  257 

soit  dans  l'intervalle  : 

V2"—  I  <  ^  <  -  -  (  V2"+  Il  +  2V/ V^+  1   • 

En  posant 

X*  +  6x2  _  8j-  +  5  =  (.1-2  +  1  —  2;j.)2   . 

cette  équation  indéterminée  devient 

(a  +  \]x-  —  2.r  +  1  +  a  —  ;j.2  =  0   , 

et  la  condition  de  rationalité  de  .r  fournit  la  forme  canonique 
suivante  de  Téquation  du  problème  : 

-j.--*  —  2a  =  □    . 

Le  problème  de  Torricelli  est  ainsi  rattaché  à  l'étude  d'une 
cubique  harmonique  d'invariants  ga  =  8,  gs  =  0. 

Cette  équation  u^  —  ^f/  :^  □  dérive  de  Téquation  déjà 
formée  V^  +  8>.  =  □  par  la  substitution  : 

,  _  2 


De  la  décomposition  de  certaines  équations 
de  Brahmagupta-Fermat. 

15.  —  Soit  tout  d'abord  une  équation  cubique  de  Brahma- 
gupta-Fermat, telle  que  le  polynôme  entier  cubique  de  son 
premier  membre  soit  doué  au  moins  d'un  zéro  rationnel;  si 
Xq  est  le  zéro  rationnel  du  polynôme  cubique  f{x)^  par  une 
transformation  x  =^  Xq  +  />?/,  celui-ci  se  change  en  un  poly- 
nôme y-giy)-,  produit  par  la  nouvelle  indéterminée  ?/  d'un 
trinôme  g{y)  du  second  degré. 

L'équation  de  Fehmat  f{x)  =  □  devient  ainsi  y  .g{y)  =  Q, 
ou  en  explicitant  les  coefficients  : 

j(Aj2  +  B,. +  ci  =  n  ■■ 

A,  B,  C  pouvant  toujours  être  considérés  comme  étant  des 
entiers  qui  ne  sont  pas  nécessairement  premiers  entre  eux, 


258  E.    TURRIÈRE 

mais  dont  le  plus  grand  diviseur  commun  n'a  que  des  fac- 
teurs premiers  à  la  première  puissance. 

P 
L'indéterminée  y  est  un  nombre  rationnel;  soit  j-  la  frac- 
tion  irréductible  qui   lui   est  égale.   L'équation   précédente 
peut  alors  être  écrite  : 

PQ(AP2  +  BPQ  +  ÇQ2)  =  n  • 

Sous  cette  forme,  on  voit  que  tout  facteur  premier  de  P,  qui 
n'entre  pas  sous  une  puissance  paire,  dans  la  composition 
factorielle  de  ce  nombre  P  doit  être  un  facteur  premier, 
sous  une  puissance  impaire,  du  coeflicient  C.  De  même,  tout 
facteur  premier  de  Q,  qui  ne  figure  pas  sous  une  puissance 
paire  dans  la  décomposition  de  Q,  doit  aussi  être  un  facteur 
premier,  sous  une  puissance  impaire,  du  coeflicient  A. 

Soit  donc  a  un  diviseur  quelconcjue,  à  facteurs  premiers 
simples,  du  coefficient  A  et  y  un  diviseur  quelconque,  de 
même  nature,  du  coefficient  C;  soient  A'  et  C  les  quotients 
de  A  par  a  et  de  C  par  y  : 

A  =  aA'   ,  C  =.  yC   ; 

en  se  bornant  aux  couples  a  et  y  de  diviseurs  qui  sont  pre- 
miers entre  eux,  il  y  aura  lieu  de  faire  les  essais  de  nombres 
P  et  Q  des  formes  suivantes  : 

P  =  Yp2   ^  Q  =  ±  y-q-  ■' 

dans  ces  formules,  p  et  q  sont  deux  entiers  qui  doivent  satis- 
faire à  une  nouvelle  équation  de  Bhahmagupta-Fehm.vt  : 

±  {A'yp*  +  Bp^-q^-  +  C'a 7*)  =  D   : 

cette  équation  est  bicarrée.  Par  suite  : 

La  connaissance  d'an  zéro  rationnel  du  polynôme  f(x)  du 
premier  membre  d'une  équation  cubique  de  Bhahmagupta- 
¥eï{U kl  permet  de  décomposer  l'étude  de  celle-ci  en  celles 
d'un  nombre  limité  d'équations  niCARRÉEs  DE  Brahmagupta- 
Fermat. 

L'intérêt  de  cette  proposition  réside  dans  l'importance  con- 
sidérable des  équations  bicarrées  de  Brahmagupta-Fermat, 


PROBLÈME    DE    TORRICELLI  259 

qui  ont  fait  l'objet  d'un  très  grand  nombre  de  travaux  géné- 
raux ou  spéciaux. 

16.  —  Un  cas  particulier  très  important  est  celui  pour 
lequel  les  coefïicients  A,  G  du  trinôme  du  second  degré  se 
réduisent  tous  deux  aux  nombres  +  1  ou  —  1.  Les  quatre 
cas  correspondants  se  réduisent  effectivement  à  deux  par 
un  simple  changement  de  signe  de  l'indéterminée  y.  Ce 
sont  les  deux  cas  : 

L'équation  correspondante 

PQ(P2-|-  BPQ  +  £Q2)  =  n  (£  =  ±1) 

ne  peut  être  vérifiée  qu'en  prenant  pour  P  et  Q  des  nombres 
rationnels  dont  les  valeurs  absolues  sont  des  carrés  parfaits  ; 
il  y  aura  lieu  de  poser 

V  —p-'  ,         Q--,'q^-         il'  =  ±  1) 

et  par  suite  de  rechercher  les  solutions  de  l'équation  bi- 
carrée 

^'{p*  +  t'^p'-q-  +  iq')  =  n    ■ 

Gomme  le  signe  de  s  est  déterminé  par  l'énoncé  même  de  la 
question,  il  suffira  de  considérer  successivement  les  deux 
équations 

p*  +  Bp'-q'-  +  ^^q*  =  \J   , 
-/  +  Bp-'q-'--.q*z=a    . 

Soit,  pour  fixer  les  idées  *,  l'équation  arithmotrigonomé- 
trique  sm  u  -\-  sin  (^  =  1;  elle  peut  être  mise  sous  la  forme 
équivalente 

sin  X  —  cos  Y  =:  1   ; 

par  définition  même  des  équations  arithmotrigonométriques, 
il  s'agit  de  rechercher  les  solutions  rationnelles  .r  =^  tang^  et 

y  =  tang  2^  de  l'équation 

2x  2 


1  +  x'       1  +  r' 


■■  Voir    les    .\otioiis    d'arithmogéomctrie,    paragraphe    74  :    I,' Enseignement    mathématique, 
1917,  p.  240. 


260  E.    TUIiRIÈRE 

OU  encore  les  arilhmopoints  de  la  cubi(|iie  d'équation  : 

r^  =  .r  -I 1    ; 

X 

cette  équation 

.r(a;2-.r  +  1)  =  D 

rentre  dans  la  catégorie  précédente.  Elle  ne  peut  être  satis- 
faite que  si  x  est  au  signe  près  un  carré  parlait.  Mais  comme 
lo  trinôme  x-  —  x -\-  1  est  dénué  de  zéros  réels  et  garde 
toujours  le  signe  positif,  pour  toutes  les  variations  de  .r,  il 
suffit  de  borner  les  essais  au  seul  cas  x^=^z^\  l'équation  bi- 
carrée obtenue  ainsi, 

-'  -  -■'  4- 1  =  n  . 

a  été  rencontrée  par  L.  Euler^  qui  en  a  établi  l'impossibilité, 
sauf  pour  les  valeurs  ^  =  0,   ±1,  ±  oo  .  Par  suite  : 
L'équation  arilhmotii'gonomé trique 

sin  II  -\-  sin  v  z=.  1 

est  impossible  et  n'admet  que  des  solutions  banales. 

17.  —  Considérons  maintenant  et  d'une  manière  analogue, 
une  équation  de  Bhahmagupta-Fermat  du  quatrième  ordre 
f(x)  =  □,  dans  laquelle  le  polynôme  f{x)  du  quatrième  degré 
est  ou  peut  être  décomposé  en  un  produit  de  deux  polynômes 
quadratiques  à  coefficients  rationnels.  Prenons  : 

f(x)  =  {Ax-  +  B.r  +  C){\'x"  4-  B'x  +  C)   ; 

les  coefficients  A,  B,  G,  A',  B',  C  peuvent  toujours  être  sup- 
posés entiers;  le  plus  grand  commun  diviseur  de  (A,  B,  C) 
et  celui  de  (A',  B',  C)  peuvent  tous  deux  être  supposés 
dépourvus  de  facteurs  aftectés  d'un  exposant  autre  q\ie 
l'unité.  Ces  deux  plus  grands  communs  diviseurs  peuvent 
en  outre  être  supposés  premiers  entre  eux. 

P 
En  explicitant  la  valeur  —,  supposée  fraction  irréductible, 

du  nombre  rationnel  .r,  l'équation  devient 

(AP=  +  BPQ  +  CQ2)|A'P2  +  B'PQ  +  C'Q^  =  Q  • 


'  Id.,  paragraplie  88,  p.  259. 


PROBLÈME    DE    TORRICELLI  261 

Tout  facteur  premier  de  la  valeur  numérique  de  l'un  des 
trinômes,  AP^  +  BPQ  +  CQ^  par  exemple,  qui  se  trouve 
engagé  sous  une  puissance  impaire  dans  la  composition  fac- 
torielle  de  ce  nombre,  doit  se  retrouver,  et  sous  une  puis- 
sance impaire,  dans  la  composition  factorielle  de  la  valeur 
numérique  de  A'P^  +  B'PQ  +  Cq\ 

Cette  remarque  peut  surtout  être  utilisée  avec  profit.  Sup- 
posons, par  exemple,  que  Péquation  à  étudier  soit 

{x^-  +  1)|3  — .r-)  =  □   , 
OU  encore 

(p-  +  Q-)(3P^-Q-)  =  n  • 

Un  diviseur  premier  commun  à  P^  +  Q^  et  SP''  —  Q^  devrait 
diviser  4P2,  c'est-à-dire  2P;  ce  facteur  ne  peut  être  un  fac- 
teur de  P,  car  il  devrait  diviser  Q  qui  est  premier  avec  P; 
ce  facteur  ne  peut  donc  être  que  le  nombre  deux  ou  Punité 
au  signe  près.  Mais,  le  premier  facteur  P^  +  Q^  étant  essen- 
tiellement positif,  la  question  de  signe  disparait;  il  ne  reste 
que  deux  alternatives  ;  ou  bien 

P2  +  Q-  =  D         avec         3P2  —  Q2  =  □   , 

ou  bien 

P2  -j-  Q2  =  2G         avec         3P-  —  Q^  =  2^   . 

Le  premier  système  contient  une  équation  impossible, 
3P2  —  Q2__[— ]^  puisque  le  nombre  trois  ne  saurait  être 
somme  de  deux  carrés  (théorème  de  Fermât);  il  reste  donc 
le  seul  cas  du  système  : 

P2  +  Q2  =  2n   ,  3P2  —  Q2  =  2n   • 

En  posant  alors 

P  =  a  +  ,3   ,  Q  =  a  —  fi   , 

ce  système  devient  le  suivant,  beaucoup  plus  symétrique  : 

«2  +  ;j2  ^  n  .     »■'  +  ■**?  +  r^'  =  n  • 

Ce  dernier  système  se  transforme  par  la  substitution  dé- 
finie par  la  relation 

2t         1  —  /- 


262  E.    TVRRIERE 

en  une  nouvelle  équation  unique  de  Brahmagupta-Fermat  : 

[e  -\- 1)2  +  8/(1 -/2)  =  n  • 

Ainsi  donc  Téquation  primilivement  considérée  a  été  trans- 
formée en  une  équation  du  môme  degré;  en  réalité,  la  ques- 
tion a  fait  un  grand  pas  vers  sa  solution,  car  alors  que  l'équa- 
tion donnée,  c'est-à-dire  l'équation 

3  +  2x-  —  .r^  =  n   . 

n'appartient  pas  à  l'un  des  types  connus  de  résolubilité,  à  la 
nouvelle  équation 

<4  _  8/3  ^  2/2  4-  8<  +  1  =  □    , 

au  contraire,  il  est  possible  d'appliquer  les  méthodes  de 
Fermât  et  cette  application  des  méthodes  générales  peut 
être  effectuée  pour  l'une  ou  l'autre  des  deux  termes  extrêmes 
de  l'équation. 

Le  mieux  est  d'égaler  le  polynôme  du  premier  membre 
au  carré  du  trinôme  /^  +  ^zl  +  1  ;  l'équation  restante,  du 
second  degré  en  ^, 

(s    +    l)/2   -f    2^2/   +    C   —    1    =   0    , 

ne  saurait  avoir  de  racine  rationnelle  puisque  l'équation 

^^  _  Z2   +    1    =    □ 

est  impossible. 

Ce  dernier  résultat  tient  au  fait  que  l'équation 

(■r^+  l)(3-:r2)  =  n 

est  transformée  en  l'équation 

X^  _  (2X  +  2)2  =  □ 

par  la  substitution  homographique 

...  =  ... |; 

l'équation  transformée  peut  être  traitée  par  la  méthode  de 
Fermât,  en  posant  : 

X^  _    ',  (X   +   1|2  =   (.\2   _   2X)2    ; 


PROBLEME    DE    TORRICELLl  263 

X  doit  satisfaire  à  l'équation  du  paragraphe  précédent  : 

X3  _  X2  +  À  =  D    • 

L'impossibilité  de  l'équation  considérée,  ou  encore  celle  du 
système  des  équations  simultanées  : 

X^  +  2X  +  2  =  □    ,  X2  —  2X  —  2  =  □   , 

est  équivalente  à  celle  de  l'équation  sin  a  +  sin  f  =  1. 

Application  des  considérations  précédentes 
au  problème  de  Torricelli. 

18.  —  Au  paragraphe  8,  la  solution  du  problème  de  Fermât 
a  été  rattachée  par  une  voie  toute  naturelle  à  l'étude  des  solu- 
tions rationnelles  de  l'équation  de  Brahmagupt.v-Fermat  : 

[\  J^f-)a^2t  —  t')  =  U   ' 

Cette  équation  est  du  type  qui  vient  d'être  considéré  à  l'ins- 
tant :  le  polynôme  du  quatrième  degré  du  premier  membre 
est  décomposé  en  un  produit  de  facteurs  quadratiques  à 
coefficients  rationnels. 

La  traduction  analytique  de  l'énoncé  du  problème  de 
Fermât  pouvait  fort  bien  se  présenter  à  Torricelli  sous  une 
forme  équivalente,  à  la  seule  condition  d'utiliser  les  for- 
mules de  DioPHANTE  et  non  les  formules  de  Brahmagupta, 
dans  la  représentation  de  l'arithmotriangle  pythagorique. 

Ces  formules  de  Diophantr, 

p2  _  Q2  _      2PQ 


P-  +  Q-       '  -  P2  +  Q2 

ramènent  la  recherche  des  ai  ithmotriangles  pythagoriques, 
jouissant  des  deux  propriétés  énoncées  «^Q  et  h  -\-  c  =  □, 
à  l'étude  des  solutions  entières  de  l'équation  indéterminée  : 

(P2+   Q2)^p2   +   2PQ-    Q=^)  =   D    • 

Tout  fac^teur  premier  de  l'un  des  deux  polynômes  quadra- 
tiques doit  être   un  facteur  j>remier  de  l'autre,  et  dans  les 


264  E.    TURRIERE 

deux  cas  sous  des  puissances  impaii'es;  or  tout  diviseur 
commun  des  deux  polynômes  quadratiques  appartient  aussi 
à  leur  somme  et  à  leur  différence  : 

2P(P  +  Q)   ,         2Q(P  —  Q)   ; 

P  et  Q  étant  premiers  entre  eux,  par  définition,  ce  facteur 
commun  ne  peut  être  que  le  nombre  deux. 

Comme  d'autre  part,  en  raison  de  la  présence  de  P^  +  Q*i 
aucun  doute  n'est  possible  sur  les  signes,  l'équation  se 
décompose  soit  en  le  système  : 

P2  +  Q2  =  n.  P^  +  2PQ-Q2  =  G, 

soit  en  le  sy'stème  : 

P2  -f  Q2  =  2Q   ,  P2  +  2PQ  —  Q2  =  2n   ; 

le  second  système  se  ramène  d'ailleurs  au  premier  par  la 
substitution  P  +  Q  =  2Pj,  P  —  Q  =  2Q,  ;  en  d'autres  termes, 

à  toute  solution  t^  correspond  une  nouvelle  solution  t=.    _,  / , 

ce  qui  résulte  de  la  symétrie  qui  existe  dans  les  rôles  des 
deux  cathètes. 
L'équation 

(P-  +  Q')(P-  +  2PQ  —  Q^)  =  n   . 

du  problème  de  Fermât  se  décompose  ainsi  en  deux  équations 
simultanées 

P2  +  Q2  =  D    .  P2  +  2PQ  —  Q2  ::=  □    , 

dont  le  système  lui  est  équivalent. 
iNous  avons  alors  : 

nous  retrouvons  ainsi  que  la  somme  de  l'hypoténuse  et  de 
l'une  des  deux  cathètes  est  un  nombre  carré  j)arfait. 

La  solution  générale  de  réc|ualion  P^ -|- 2PQ  —  Q^  =z=  Q 
étant  donnée  par  la  formule 

5=  2    ^  -  '' 

P  '  1  +  X-   ' 


PROBLEME    DETORRICELLI  265 

nous  sommes,  par  celte  méthode  et  en  utilisant  l'équation 
p2  _j_  Q2  __  j— ]^  ramenés  à  récjiuilion, 

(•»•-  +  ii'  +  '^(x  —  if^u  ; 
du  paragraphe  14. 

19.  —  Pour  terminer,  il  convient  de  remarquer  que  les 
considérations  générales  du  paragraphe  15  s'appliquent  pré- 
cisément aux  équations 

À--'  +  8X  z=  n         el         -x3  —  2a  =  □ 

des  paragraphes  8  et  14.  J'ai  déjà  signalé  que  la  seconde 
n'est  qu'une  conséquence  de  la  première  par  la  transforma- 
tion 

,  _  2 

qiii  implique  d'ailleurs  que  1  soit  un  carré  parlait. 
L'équation 

X3  4-  8À  =  □         ou         \\X-  +  8)  =  □ 

est  bien  de  l'espèce  considérée  au  paragraphe  15.  En  posant 

P 
X  =  TT,  elle  devient 

PQ(P2-f-  8Q2)  =  n  ; 

Q  ne  peut  avoir  de  fa»;teur  premier  à  une  puissance  impaire  : 
^  c'est  nécessairement  au  signe  près  un  carré  parfait.  Quant 
à  P,  il  est  de  même  de  l'une  des  formes  ±z  p^  ou  +  2p^.  Le 
produit  PQ  devant  être  j)ositif,  la  question  de  signe  ne  se 
pose  pas  et  il  suffît  de  prendre: 

P  =  2p'     ou     p-         et  (^  •=  q-  . 

La  première  hypothèse,  P  =  2/?*,  Q  =  q^  donne  : 

2{p'  +  iq*)  =  n  ; 

le  nombre  entier/?  doit  donc  être  pair;  soit/j  =  2/>' ;  l'équa- 
tion devient 

Y*  +  7*  =  D  ; 

et  la  solution  correspondante  est  A' =  8^  .    Ouant    à    la    se- 

1  fji        ^ 


266  E.     TURhlÈRE 

conde  hypothèse,  elle  donne  la  même  équation  : 

mais  avec  X  ^ —,.  Entre  les  deux  solutions  X  et  )/,  ciui  cor- 
respondent  ainsi  à  une  même  solution  de  Téquation 

existe  la  relation  //'  r=  8,  laissant  invariante  l'équation 

X3  +  8À  =  n  ■ 

En  résumé:  Les  solutions  de  celte  dernière  équation  sont 
des  nombres  rationnels  carrés  ou  doubles  de  carrés,  et  elles 
se  transforment  en  l'équation  : 

to"  +  8  =:=  □    . 

Nous  retombons  ainsi  sur  l'analyse  de  Lagraage  (pages  386 
et  387  du  mémoire  cité);  les  plus  simples  solutions  sont 
(d'après  Lagrakge)  : 

7  239 

20.  —  L'équation 

fx^  -  2a  =  D 

se  laisse  traiter  d'une  manière  analogue;  ^j.  est  au  signe  près 
un  carré  ou  le  double  d'un  carré  et,  suivant  les  cas,  cette- 
équation  se  transforme  en  l'une  ou  l'autre  des  équations  : 

2,r^  -  r^  =  D   .         •*•'  -  2j^  =  D  • 

Lagrange  (pages  378-379  de  son  remarquable  Mémoire)  a 
bien  remarqué  qu'alors  que  les  équations  .r*-f-^*^=n^ 
X*'  d=  4?/*  =  D'  ^(-^^  ±  ?/*)  =  n^  •^*'  +  -i/*  =  n  sont  im- 
possibles, d'après  Diophante,  Fermât  ou  Euler,  il  n'en  est 
pas  de  même  de  l'une  et  de  l'autre  des  deux  équations 


Ir^  —  r^ 


r-"  =  n   -         •«•'  -  2v^  =  n   ; 


PROBLEME    DE    TORRICELLI  267 

la  première  admet  les  solutions  : 

» 

X  =   1  >    =    1 

X  —  13  1-  =  1 

X  —  1525  y  —  1343 

x  =  2-165-017         r  =  2-372-159  ...   ; 

la  seconde  admet  les  solutions^  : 

.r  =  3  .r  =  2  I 

X  =  113  r  =  84 

X  =  57-123         r  =  6  214  ... 

Plus  loin  (p.  386  et  387),  Lagr.\nge  a  mis  en  évidence 
l'équivalence  de  chacune  de  ces  deux  équations  avec  l'équa- 
tion s*  -{-  8l*  =  \^  du  paragraphe  précédent.  J'ai  noté  au  pa- 
ragraphe 6  qu'une  pièce  des  Opéra postiima  de  L.  Euler  con- 
cernait également  l'équivalence  des  équalione  s^  +  8^*  =  □ 
et  2x'—2j'=U- 

Si  d'ailleurs  on  applique  à  la  cubique  d'équation 

x^  —  2x  =z  y^ 

la  méthode  de  dérivation  des  arilhmopoints  au  moyen  de  la 
tangente,  on  trouve  que  les  coordonnées  (.rj,  3/2)  du  nouveau 
point  d'intersection  de  la  cubique  avec  la  tangente  au  point 
(.r, ,  ?/i)  sont  fournies  par  les  formules: 

.r,  =  X,  +  2j.  p  ,         j,  =  j,  +  (3.r-  —  2)p   , 

avec 

_  16,r^  —  3/  _  4  4-  12.rZ  —  3x* 
^  ~        ^^f        ~  8p  ' 

la  loi  de  succession  des  abscisses  est  notamment  la  suivante  : 

'x\  +  2' 


*  Une  erreur  s'est  glissée  dans  rédition  des  Œuvres  de  Laorangb  (p.  378),  où  le  nombre  y 
de  la  troisième  solution  particulière  de  l'équation  x*  —  2;/*  =  □  est  égal  à  2'614  ;  alors 
que  la  véritable  valeur  de  ce  nombre  est  celle  ci-dessus  indiquée  (6*214). 


268  M.    PET  RO  VIT  eu 

la  cubique  admet  une  série  d'ai-ilhmopoinls  d'abscisses 


qui  sont  toutes  des  nombres  rationnels  carrés  parfaits. 

L'application  au  [)roblème  de  Fermât  des  principes  géné- 
raux relatifs  aux  équations  de  Bra.hmagupta-Fekmat,  soit 
cubiques  à  zéro  rationnel,  soit  du  quatrième  degré  à  pre- 
mier membre  décomposable  en  un  produit  de  facteurs  ration- 
nels du  second  degré,  permet,  en  résumé,  d'expliquer 
l'origine  du  problème  de  Torhicelli;  elle  ramène  métho- 
diquement, en  outre,  la  discussion  de  l'équation  de  ce  pro- 
blème de  Fermât  et  d'Ev.  Torricelli  à  l'anal^-se  de  Lagrange 
et  d'EuLER. 

Paris,  le  5  février  1918.  • 


REMARQUE  SUR  L'INTÉGRALE  juvdx 


M.  Michel  Petrovitch  (Belerade) 


Il  est  manifeste  qu'il  n'existe  aucune  fonction  u  de  la 
variable  x  telle  que  l'intégrale  définie 

<x 

I  =   Çuvdx  (1) 

0 

ait  une  valeur  finie,  déterminée  et  différente  de  zéro  quel 
que  soit  le  polynôme  v  en  x. 

Un  fait  curieux  est,  cependant,  à  signaler:  il  existe  des 
fonctions  u  de  x  pour  lesquelles  l'intégrale  (1)  a  une  valeur 
finie,  déterminée  et  différente  de  zéro  quel  que  soit  le  poly- 
nôme V  en  x  à  coefficients  nombres  algébriques  (entiers,  corn- 


SU/i    UNE    INTÉGRA  LE  269 

mensurcihles   ou    irralionnels    algébriques,    réels    ou    imagi- 
naires, posilils  ou  négalils). 

Tel  est,  par  exemple,  le  cas  de  la  (onction 

(2) 


^'x 


la  racine  carrée  \/.v  ayant  sa  détermination  positive, 
En  effet,  la  formule  connue 


4« 


•îii-\ 


B.„^  =  —^IA dz  (=  =  1.2.3,...)  (3) 

('2-\'     ô     e"—^ 

où  B.,,  B4,  Bg,  ...  désignent   les  nombres  de  Bernoulli,  par 
le  chançrement  Z'  =  x  se  transforme  en 


d'où  Ton  tire 


fXJ±_  ^  x,r?^n+^)   _  ^„  ^  0,  1,  2,  ...)  (5) 


ou 


0      /"-l 


>V,-2^"+"^'.  >-„  =  2B.,  =  i  (6) 


Si  donc 

V{X]   =   ^0   +    ^'l-^   +    "'2-'"   +    •■■    +    «;, 

est  un  polynôme  en  x  arbitraire,  on  aura 


/       ,-  dx  =  -Q(-2 


oii  Q(x)  désigne  le  polynôme 

Q{x]  =  «„/.„  +  «,).,.»•  -f  a^Kx-  +  ...  +  »p''p-i''  ' 

Lorsque  les  a^  sont  des  nombres  algébriques,  les  a^l^.  le 
sont  également.  L'écpiation  algébrique  Q(.x)  =^  0  ne  pouvant 

L'Enseignement  malhrm.,  20«  année;   1918.  18 


270  M.    PETROVITCH 

avoir  comme  racine  le   nombre  t:^,   l'intégrale  (7)  est  finie, 
déterminée  et  essentiellement  différente  de  zéro. 

On  peut,  à  l'aide  de  la  fonction  (2),  former  une  multitude 
de  fonctions  u  pour  lesquelles  l'intégrale  (1)  jouira  de  la 
propriété  précédente.  Il  suffit,  par  exemple,  de  se  rappeler 
Texistence  de  fonctions  u  de  x  telles  que  l'intégrale  (1)  est 
identiquement  nulle  quel  que  soit  le  polynôme  v  en  x.  Telles 
seraient  les  fonctions  signalées  par  Stieltjes 


-Vx     ■      \i—  1        V^x  *,_ 

U  =z  e  sin  yx    ,  u  rr  — ^^  e       cos  a/j^ 

y'x  ^ 


ainsi  qu'une  foule  d'autres,  pour  lesquelles  on  a 

00 

r  ux"  dx  =  0  pour  «  =  0,1,2,... 


En  désignant  une  pareille  fonction  (ou   une  combinaison 
linéaire  homogène  de  ces  fonctions)  par  U  et  en  prenant 


+  u  , 


e*^^  -  1 


l'intégrale  (1)  sera  finie,  déterminée  et  différente  de  zéro  quel 
que  soit  le  polynôme  v  à  coefiicients  nombres  algébriques. 


COMBINAISONS   DETERMINANTES 


Jean  Helmis  (Athènes). 


Considérons  un  tableau  de  jtt.v  objets,  ordonnés  en  v  lignes  et 
en  fi  colonnes  : 

*11         *12        *13     •••     *lfA 
'21         *22        *23     •■•     *2I* 


J'appelle  combinaisons  déterminantes  de  ces  fi .  v  objets  r  à  v  les 
différents  groupes  que  l'on  peut  former  avec  ces  fju.v  objets  en 
prenant  un  objet  de  la  première  ligne,  un  autre  de  la  deuxième  et 
ainsi  de  suite,  et  enfin  un  autre  encore  de  la  v'*"^,  cest-à-dire  les 
différents  groupes  de  la  forme 

a    -      a    ....    a     -  (1) 

OÙ  x^x.^  ...  x,^  représentent  une  permutation  des  indices  des  lignes 
1,  2,  .3  ...  V  et  AjA^  ...  A,^,  V  quelconques  des  indices  des  colonnes 
1,  2,  .3  ...  ^.  Dans  ces  groupes  on  n'a  pas  égard  à  la  disposition 
des  objets,  par  exemple  les  groupes  : 

*11        *2I        *3l     ■••     *Vi  ^^  *21        '11        *31     •••     *vj 

seront  les  mêmes,  ou  bien  on  ne  considère  pas  les  groupes  de  la 
seconde  forme. 

Pour  plus  grande  clarté  je  donne  aux  indices  x^x„  ...  x,^  de  la 
forme  générale  (1  ,  la  série  canonique  1.2.3  ...  v  lorsque  la  forme 
générale  des  termes  devient 

a  .       a,,      ...    a  .  (2) 

OÙ  AjAj  ...  A,^  représentent  v  quelconques  des  nombres  1.2.3  ...  fi. 


272 


HELMIS 

,'J. .  V 


Je  désignerai  en  général  par'  02;  le  nombre  des  combinai- 
sons déterminantes  de  ^i.v  objets  v  à  v,  et  je  chercherai  à  les 
trouver. 

Soit,  au  commencement,  |U.=:3  et  v  =  2,  savoir  soit 


le  tableau  des  objets  donnés;  il  est  évident  que,  pour  trouver  les 
combinaisons  déterminantes  de  ces  objets  2  à  2,  il  suffit  de  com- 
biner chaque  objet  de  la  première  ligne  à  chacun  de  la  seconde. 
Je  trouve  ainsi  les  groupes  : 


«11*21        "^11*22        *11*23 
*12  *21        *12  =^22        «12  «23 


a,,  a.,, 


a.io 


qui  sont  au  nombre  de  9,  savoir  3'^  et  par  conséquent 


OS'-  =  3- 


De  même  façon  je  traite  le  cas  où  j'aurai  /a  =  3  et  i';=3,  c'est- 
à-dire  lorsque  le  tableau  des  objets  donnés  est  le  suivant  : 


-^11         -^12        "^IS 
«51         «-25         «2.1 


savoir,  je  compose  au  commencement  les  combinaisons  détermi- 
nantes de  deux  premières  lignes  2  à  2  et  ensuite  j'ajoute  à  la  fin 
de  chacune  d'elles  l'objet  «gj ,  ensuite  l'objet  «,,  et  enfin  l'objet  «33  ; 
ainsi  j'aurai  9  -)-  9  +  9  groupes,  c'est-à-dire  3^. 

Je  dis  que  ces  groupes  sont  dillérents,  ceux  qui  résultent  de 
même  combinaison  déterminante,  difTérant  par  le  dernier  objet, 
et  ceux  qui  résultent  de  dilTércntes  combinaisons  déterminantes, 
différant  par  eux-mêmes.  Ces  groupes  sont  toutes  les  combinai- 
sons déterminantes  de  3.3  objets  3  à  3,  car  si  l'on  imagine  une 
manquante  et  si  l'on  retranche  d'elle  le  dernier  objet,  ou  aura 
une  combinaison  déterminante  de  3.2  objets  2  à  2.  Mais  elles  sont 
toutes  examinées,  celle  aussi  (jui  peut-être  manquait.  Par  suite 
on  a 

QV3-3    _    3.     _ 


'  Oi^,  c'est-à-dire  'Ooîî^ovt:?  iIuvS!aa[j.ot. 


COMBINAISONS    DÉTERMINANTES  273 

Considérons  maintenant  le  cas  où/w  =  4  et  v  =  2,  c'est-à-dire 
soit  : 

«n        «12        ^\3        *14 
«21        «22        *23        <^24 

le  tableau  donné. 

On  voit  comment  nous  pouvons  trouver  les  combinaisons  déter- 
minantes de  ces  objets  2  à  2  ;  il  suffît  de  combiner  chaque  objet 
de  la  première  ligne  à  chacun  de  la  seconde  ;  nous  trouverons  alors 
les  groupes  suivants  : 

«jl  «21        «11  «22        «11  «23        «11  «24 

«10   «oi  «lo    «OO  «10    «-53  «lO   «o^ 

«13  «21        «13  «22        «13  «2s        «13  «24 
*14*2I         *14*22        =^14*23        «14*24 

qui  sont  k -^  k -\-  k  -\-  ^t,  c'est-à-dire  4-,  d'où  O-^^^  :=  4^.   De   là  je 
conclus  la  formule  générale 

Pour  démontrer  cette  formule  générale,  je  démontrerai  que  si 
elle  est  vraie  pour  une  valeur  quelconque  de  v,  elle  sera  aussi 
vraie  pour  cette  valeur  augmentée  de  l'unité.  Et  pour  fi  aussi. 

Soit  donc  la  formule  ayant  lieu  pour  la  valeur  v — 1,  c'est-à-dire 
soit  que 

Si  j'ajoute  au  tableau  des  objets  donnés 


a,, 


'v— 1,  t     ^v— 1,2  •••  ^v— l,a 


une  ligne  encore,  pour  trouver  les  combinaisons  déterminantes  v 
à  V  du  nouveau  tableau,  il  suffît  à  la  fin  de  chacun  des  02'^^'     ' 
d'ajouter  le  premier  objet  de  la  nouvelle  ligne,  après  le  second 
et  ainsi   de  suite  jusqu'au  /u,''""";  ainsi  j'aurai  /tt.it/"  ,    savoir   |U 
groupes. 

Ces  groupes  sont  l'ensemble  des  combinaisons  déterminantes  des 
objets  du  nouveau  tableau  v  à  v,  car  chacun  d'eux  renferme  v  des 
objets  du  tableau,  un  de  chaque  ligne;   ils  dilTèrent  les  uns  des 


274  /.    HELMIS 

autres,  car  ceux  qui  résultent  du  même  0^\^_^^  diffèrent  par  le 
dernier  objet,  et  ceux  qui  résultent  de  différents,  diffèrent  par 
eux-mêmes;  enfin  ces  groupes  sont  tous  les  02'^'\  car  si  l'on 
s'imagine  une  manquante,  et  si  l'on  letranche  d'elle  le  dernier 
objet,  on  aura  une  de  02i'_^^  ,  mais  toutes  sont  examinées  et  à  la 
fin  de  chacune  sont  portés  successivement  tous  les  objets  de  la 
nouvelle  ligne.  Ainsi  celle  qui,  peut-être,  manquait  est  considérée. 
Par  suite 

osi;"  =  i-^  • 

J'établirai  maintenant  que,  si  la  formule  considérée  est  vraie 
pour  une  valeur  quelconque  de  ^,  elle  sera  aussi  vraie  pour  cette 
valeur  augmentée  de  l'unité. 

Soit  donc  la  formule  ayant  lieu  pour  la  valeur  fx  —  1,  c'est-à- 
dire  soit 

OS'  =([X—   Il       . 


Si  j'ajoute  au  tableau  des  objets  donnés  une  colonne  encore, 
j'aurai  : 


«n 

«12 

«13     • 

•    *l.;j.— 1 

«la 

*21 

«oo 

«23     • 

•  *-'.;j^-i 

«2  a 

«VI 

a,,2 

«V3     • 

■     ^V/J.—\ 

«va 

Je  cherche  à  trouver  l'ensemble  de  combinaisons  déterminantes 
de  ce  nouveau  tableau  r  à  v;  pour  cela  j'opère  comme  il  suit: 
Je  retranche  la  v'^°"'  ligne  du  tableau  donné  et  je  considère  dans 
le  tableau  mineur  l'ensenîble  de  combinaisons  déterminantes 
V  —  1  à  V  —  1 


à  la  fin  de  chacun  de  ces  groupes  j'ajoute  l'objet  a,^,j^,  j'aurai  ainsi 

[fi  —  !)''"  résultats.  De  la  même  manière  j'opère  pour  les  autres 
éléments  de  la  nouvelle  colonne;  c'est-à-dire  je  retranche  la 
(v  —  Iji*»"  ligne  du  tableau  donné  et  je  considère  du  nouveau 
tableau  mipeur  l'ensemble  de  combinaisons  déterminantes  »• —  1 
à  î' —  1  et  à  la  fin  de  chacun  de  ces  groupes  j'ajoute  l'objet  «,;_)  .j^. 

J'aurai  ainsi  (/* — 1)^~'  nouveaux  résultats,  et  ainsi  de  suite  de 
tous  les  éléments  de  la  nouvelle  colonne;  comme  ils  sont  r, 
j'aurai  V[fjt  —  1)"'~'  résultats. 


COMBINAISONS    DETERMINANTES  275 

Je  considèi'e  maintenant  les  diverses  combinaisons  de  la  nou- 
velle colonne,  qui  sont  — 7-^ — '  ^^  je  retranche  deux  lignes    du 

tableau  donné,  et  je  trouve  l'ensemble  des  combinaisons  déter- 
minantes V  —  2  à  V  —  2  du  nouveau  tableau  mineur  de  la  seconde 
classe,  qui  sont  [fi  —  l)'"';  à  chacun  de  ces  groupes  faux  places 
convenables)  j'ajoute  les  deux  éléments  correspondants  de  la  nou- 
velle colonne.  Ainsi  je  trouverai  — [fi —  1)''~^   résultats,  et 

ainsi  de  suite.  Enfin,  si  je  considère  les  éléments  de  la  nouvelle 
colonne  seulement,  j'aurai  encore  une  combinaison  déterminante  : 

^Ifi    '^■i\t.    *3U   ■•■    ^)'f*    • 

Donc  l'ensemble  des  combinaisons  déterminantes  du  nouveau  ta- 
bleau [fiv]  consistera  en  l'ensemble  des  combinaisons  détermi- 
nantes du  tableau  donné   ^i  —  i\''~^  et  en  les  quantités 

•■'-    «''-^   "'''  -  i-i.a - 1,''-^ ,  -'-'-/>':- ^>(.  -  ir^ 1 . 


y>  1.2       ''  1.2.3 

Donc   l'ensemble    des    combinaisons   déterminantes  du   nouveau 
tableau  sera  : 

+  i!iz_!Hi^„  _!,.-' +  ...  +  . 


ou 


[(^  _   1)  -I-  1]"'    ,  savoir  02;-'"'   =  a"' 


Je  dis  que  ces  groupes  sont  l'ensemble  des  combinaisons  détermi- 
nantes V  à  V  du  nouveau  tableau,  car  chacun  d'eux  contient  v  des 
objets  du  tableau  et  un  de  chaque  ligne  ;  ils  dill'èrent  aussi  les  uns 
des  autres,  car  ceux  qui  résultent  de  la  même  expression 

^^(,^_,|(v-A)  ,^.^1,  2.  3  ...v-1) 

diffèrent  par  les  autres  k  objets,  et  ceux  qui  résultent  de  difFé- 

rentes  02^'_i^  ^'        difierent  par  eux-mêmes.   Enfin  ces  groupes 

sont  toutes  les  combinaisons  déterminantes  de  jji.v  objets  va  v, 
car  si  l'on  imagine  une  manquante  et  si  l'on  retranche  d'elle  les 
objets  de  la  nouvelle  colonne  (de  la  /*'*"'),  qu'elle  contient,  on  aura 
un  groupe  de 


276  M.    ZACK 

mais  toiiles  sont  examinées  et  complétées  convenablement  par  les 
objets  de  la  nouvelle  colonne,  ainsi  que  celle  qui  peul-èlie  man- 
quait (celle  qui  peut-être  manquait  ne  peut  être  la  «jp^a^p  ...  a^^, 
car  celle-ci  est  en  évidence).  Nous  auions  donc,  en  général 

Et  puisque  cette  formule  est  vraie  pour  les  valeurs  /i  =  3,  v=.2 
et  que  si  elle  est  vraie  pour  une  valeur  de  fi  et  v,  elle  sera  aussi 
vraie  pour  cette  valeur  augmentée  de  l'unité,  il  suit  qu'elle  est 
générale, 

Athènes,  1915. 


SUR  LA  DÉTERMINATION  ET  QUELQUES  PROPRIÉTÉS 
DES  LIGNES  ÉLASTIQUES 

PAR 

M.  Zack  (Zurich). 


L'emploi  des  coordonnées  que  M.  Cesàro  a  introduites 
en  Géométrie,  dans  l'étude  des  questions  se  rapportant  à  la 
résistance  des  matériaux  présenterait,  à  mon  avis,  un  grand 
avantage.  Cependant,  cette  tentative,  à  ce  que  je  sache,  n'a 
jamais  été  faite  jusqu'ici.  Je  me  propose  donc  dans  les  lignes 
qui  suivent  de  montrer  sur  un  exemple  particulier,  celui  des 
lames  élastiques,  comment  l'emploi  de  ces  coordonnées  sim- 
plifie l'étude  de  ce  cas  et  permet  d'obtenir  des  solutions 
aussi  élégantes  qu'utiles  dans  la  pratique. 

Pour  déterminer  un  point  P  d Une  courbe  C'  correspon- 
dant d'après  une  relation  quelconque  à  un  point  A  d'une 
courbe  C,  M.  Cesàro  se  sert  d'un  sjjstème  rectangulaire 
mobile,  Taxe  des  x  étant  la  tangente  et  l'axe  des  y  étant  la 
normale  de  C  en  A.  Soient  x  et  ?/,  coordonnées  de  P,  des 
fonctions  de  l'arc  s  de  C,  A'  le  point  de  G  infiniment  voisin 
de  A,  P'  le  point  de  C'  correspondant  à  A',  .r  +  àx  et  y  -\-  $  y 


LIGNES    ELASTIOUES 


111 


les  coordonnées   de   P'   dans  le  système   de   A,    x  +  dx  et 
y  -\-  dy  les  coordonnées  de   P'  dans  le  système  de  A',  et, 
enfin,  A.r  et  A^y  les  coordonnées  de  A'  dans  le  système  A. 
On  aura  (fig.  1) 

0.-  -|-  5a-  =z  Ax  +  (x  +  dx)  cos  As  —  [y  +  dy)  sin  As  , 
y  -\-  oy  =  Ar  -\-   \x  -\-  dx)  sin  Aç   +  (.v  +  c?.>)  cos  A9   , 


Y     <^ 


Fig.   1. 


d'où,  en  divisant  ces  expressions  par  dsi^  \s),  en  remar- 


A.r 


Av 


et  lim  ^  =  0  et  en  négliofeant  les  in- 

A.V  »     " 


quant  que    linix-;  =  1 

finiment   petits   d'ordre   supérieur  on   obtient  les    formules 
fondamentales  de  M.  Cesàro, 


ô.r  dx         y 

T..  —  ~TZ  ^     I     ^ 


ov  dy 

ds         ds 


(1) 


OÙ  p  est  le  rayon   de  courbure  de  C  en  A. 

Rappelons  encore  brièvement  (|uelques  propriétés  des 
vecteurs  parallèles.  Considérons  un  système  de  vecteurs 
parallèles,  positifs  ou  négatifs,  mais  généralement  non  nuls, 
distribués  le  long  d'une  courbe  plane  OA  suivant  une  cer- 


278  M.    ZACK 

laine  loi  et  dirigés  norinalemeiil  à  ce  plan.  Soit  d'autre  part 
|U^  un  coefficient  attaché  au  vecteur  relatif  au  point  k  et 
déterminant  sa  grandeur  et  son  sens.  Pour  toute  portion  de 
la  courbe  OA  telle  que  OM  l'ensemble  des  vecteurs  peut  être 
remplacé  par  un  vecteur  unique  appliqué  au  centre  de  gra- 
vité de  L'ensemble  des  masses  y.^  correspondant  à  la  portion 
considérée. 

On  sait  que  la  variation  de  l'angle  de  courbure  en  A*  de  la 

fibre  neutre  est  donnée  par  l'expression  Ar/&)  =  prj-c<^5,   où  Ma 

est  le  moment  de  flexion  et  I^  le  moment  d'inertie  de  la  sec- 
tion A'.  Or,  Af/ft)  est  en  même  temps  la  rotation  de  l'élément 
considéré  par  rapport  à   l'élément  qui 
le  précède,  et  peut  être  représenté  par 
un  vecteur  normal  au  plan  de  OA  et  de 

grandeur  py-rf5  =  |Lf.^.<:/6'.    Pour   avoir  le 

Fis.   2.  .  .  ,  ,  .  1        •  1         n  r 

siège  de   la  rotation  relative  de  M  par 

rapport  à  O,  il  suflîra  de  composer  tous 

les    vecteurs    ^ids    correspondant   à    l'arc    OM,    c'est-à-dire 

trouver  le  centre  de  gravité  de  l'arc  OM   de  densité  |tx  et  y 

appliquer  le  vecteur  résultant  de  grandeur  (j  =  l[j.f.ds  ou  à 

S 

la  limite  o"  =  /  ^ids.   On  obtient  ainsi  pour  chaque  point  M 

un  vecteur  résultant  de  grandeur  a  appliqué  au  centre  de 
gravité  de  lare  OM  de  densité  ^  ou  de  masse  a.  xA.insi,  à  la 
courbe  OA  correspond  point  par  point  une  courbe  (G),  lieu 
des  centres  de  gravité  des  arcs  OM  de  masse  a.  La  connais- 
sance de  cette  courbe  (G)  permet  en  même  temps  d'obtenir  la 
ligne  élastique  de  la  lame  OA,  le  déplacement  d'un  point  M 
par  rapport  à  O  étant  une  rotation  a  autour  de  G.  Le  point  M 
décrit  donc  un  arc  de  cercle  de  centre  G  et  de  longueur  o-.GM. 
Or,  si  on  prend  pour  axes  de  coordonnées  le  axes  de 
M.  CesTvro,  c'est-à-dire  la  tangente  et  la  normale  de  OA 
en  M,  les  équations  qui  déterminent  la  courbe  (G)  s'écriront 

d>3.f  ay  (irjy  ax 

ds  çj  '  ds  p     ' 


LIGNES    ÉLASTIQUES 


279 


OÙ  X  e{  y  sont  les  coordonnées  de  (G)  par  rapport  aux  axes 
choisis  et  0  —  le  rayon  de  courbure  de  OA  en  M  '. 

Supposons  que  la  rotation  est  très  petite  (ce  qui  arrive 
généralement),  de  sorte  que  son  carré  est  négligeable  devant 
or.  On  peut  alors  confondre  l'arc  o-.GM  avec  sa  tangente  et 
les  équations  de  la  ligne  élastique  s'obtiendront  en  posant 
dans  (2)  ay  ^\  et  qx  =  —  yj,  |  et  vj  étant  les  coordonnées 
du  point  de  la  ligne  élastique  correspondant  h  M,  dans  le 
système  d'axes  choisi.  On  aura 


Si  (7  et  5  sjnt  données  en   fonction  de  <j),   les  écjuations  (3) 
s'écriront 

rfr)  __     rfs  _  j.  4  _ 

do  do        '    '  d'f 


(3') 


Dans  le  cas  particulier  où  OA  est  un  arc  de  cercle,  s  =  acf, 
les  équations  (3')  deviennent 


djri 
do 


Tzi  'ja  —  ç 


dl 


=  f\ 


(3") 


Remarquons  qu'il  suflit  de  connaître  une  courbe  (E)  (/iiel- 
conqiie  satisfaisant  aux  équations  (3)  et  un  seul  point  de  la 
ligne  élastique  correspondant  à   un   point  déterminé  de  la 


•  Les  équations  (2i  s'obtiennent  de  la  faoon  suivante  :   Les  formules   (1)  deviennent  dans 
le  cas  de  la  figure  3  : 

Pour  que  u  et  v  définissent  un  point  et  un  seul 
quel  que  soit  s-i,  il  faut  que  Ou  et  ôi'  soient  nuls, 
c'est-à-dire 


ù^i 


Posons 


(b) 


iJX   =:    I  tj.Hrf.ç,  et  <ji/   =    l'H'dSf    .  (l 


Fijî.  .». 


En  multipliant  [b]  par  arf.<., ,    en   intégrant   et   en    tenant    compte   de    (c),    on    obtient    les 
équations   (2i.   Le  raisonnement  subsiste  si  s     se  confond   avec   .<',. 


280  M.    ZACK 

courbe  (E)  pour  pouvoir  construire  immédiatement  la  ligne 
élastique,  car  le  segment  de  droite  reliant  deux  points  corres- 
pondants de  deux  courbes  (E)  est  constant  en  grandeur  et 
fixe  en  direction.  On  le  vérifie  facilement  en  posant  li  =  ^^ 
+  Picos^    et    ïjj  =  y;., -|- R  sin  ^;    des   équations   (3)   il   vient 

R  ^  const.  et  ^  = ,  ce  qui  démontre  la  proposition. 

Les  équations  (3)  permettent  de  résoudre  différents  pro- 
blèmes relatifs  à  la  ligne  élastique.  On  peut,  par  exemple, 
s'imposer  certaines  conditions  pour  le  déplacement  (|,  yj)  du 
point  M  et  déterminer  1  en  fonction  de  s  ou  de  ©,  pour  une 
forme  donnée  de  la  fibre  neutre  s  =zï[p)  ou  s  =  f(^)  et  un 
moment  de  flexion  M  :^  !^(s)  ou  M=(|;((p  donné,  de  façon 
que  ces  conditions  soient  satisfaites.  Inversement,  on  peut 
déterminer  la  forme  de  la  fibre  neutre  pour  un  I  et  un  M 
donnés  de  façon  que  le  déplacement  d'un  point  M  satisfasse 
à  une  certaine  condition.  On  peut,  enfin,  pour  une  forme 
donnée  de  la  fibre  neutre  et  un  1  et  un  M  donnés,  trouver  le 
déplacement  d'un  point  M. 

Considérons,  par  exemple,  le  cas  d'une  lame  droite.  Les 
équations  (3)  deviennent  dans  ce  cas  : 

^'  =  a  ,  -'  =  0 

ds  '  ds 

et  la  première  de  ces  équations  n'est  autre  que  l'équation 

d^y         M 

bien  connue -t4  =  ttt  •    Si    le   point   O   de   la   lame    est   fixe, 

I  ^  0  et  le  déplacement  est  normal  à  la  fibre  neutre. 

Appliquons  à  |  et  73  les  formules  (1).  On  obtient  en  tenant 
compte  de  (3) 

/  =  1  ,  T=^      ^^"       -J  =  -^  ■  '♦) 

ds  ds  ûç 

Les  tangentes  à  la  fibre  neutre  et  à  ta  ligne  élastique  se 
coupent  sous  un  angle  a.  tel  que  tga  =  a  ou,  puisque  a  est 
supposé  très  petit,  a=^(j.  On  [)ourra  donc,  une  fois  la  ligne 
élastique  construite,  trouver  sur  elle  le  point  qui  correspond 
à  un  point  M  de  la  fibre  neutre  par  le  procédé  suivant.  On 
mène  une  tangente  en  M  à  le  libre  neutre  et  on  la  coupe  par 


LIGNES    ELASTIQUES 


281 


une  droite  arbitraire  sons  un  angle  c  ;  la  tangente  à  la  ligne 
élastic|ue  parallèle  à  cette  droite  la  touchera  au  point  chepché. 
De  (4)  on  tire  encore  en  posant  ds'  =  vàc,^  +  à-n^ 


ou 


ds'  =  Kds         où  K  ^   \'l  -|-  3- 

a'  —  fKds  . 
En  négligeant  c-^  devant  1  on  obtient 


(5) 


(5') 


Pour  avoir  le  rayon  de  coiirbiire  p'  de  la  ligne  élastique 
on  remarquera  que 


0%         ds         di. 

a  -f-  '■-'«  =  "  +  «3^  +  a?  d  où  —  =  j^  -{-   — 


ds 


ds 


OU  enfin 


?~T  '^  Ts 


(6) 


En  négligeant  cr^  devant  1  on  oljtient 


1  _  1        </j 

c  '  0  ds 


M 


o'         p  ^  Et   ' 


(6') 


relation  bien  connue. 

En  éliminant  s  entre  (5)  et  (6)  ou  entre  (5')  et  (6'),  on  obtient 
l'équation  intrinsè(|ue  de  la  ligne  élastique. 

Les  équations  (3)  permettent  encore  de  résoudre  le  pro- 
blème, très  important,  suivant  : 

Supposons  qu'on  ait  construit  la  ligne  élastique  pour  une 
forme  donnée  de  la  fibre  neutre  s,  =i  f^(p,)  ou  s^  =  f^((f^)  et 
un  moment  de  flexion  M  et  un  moment  ifinertie  I  donnés, 
c'est-à-dire  un  a,  donné,  a,  ='^^  -Ç,^  ou  (u,  =  ^|',(<p,)-  Trouver 
pour  une  forme  de  la  fibre  neutre  .s\^=:fjp^)  ou  S2  =  f^{(p,),  le 
moment  d'inertie  I,  c'est-à-dire  un  (7j^^//,(^.)  ou  a^=^^i(fi), 
telle  que  la  nouvelle  ligne  élastique  se  confonde  avec  la 
première. 


282  M.    ZACK 

Les  équations  (3)  s'écriront  pour  les  deux  cas  : 

—  =cr— -î-       )  J^  —  ^_1       j 

"        y      (7)  et  t.       (8) 

Les  équations  (8)  peuvent  encore  s'écrire  : 


) 


dr^               ds^ 

?    ^^«^2 

Jç           r,  ds. 

ds^  ~  '2  ds, 

Po  '/■S 

ds,          &o  </«, 

d'où  en  comparant  (7)  et  (8')  on  obtient 


ou  encore 


ou,  finalement, 


1  d.i„  ds,, 

±-  J     ^^  <J   ^ 

p,  ds,    '  ^  ^  ds. 


1  1  ds, 

d'.,  =  do,  ^2  =  <^1J^  (9') 


^Ipl 

P2 


(9") 


OÙ  (po  est  l'angle  que  forment  entre  elles  les  normales  aux 
deux  fibres  neutres  à  l'origine.  On  voit  que  les  points  cor- 
respondants sont  situés  sur  des  normales  qui  forment  un 
angle  y^  entre  elles.  La  seconde  des  relations  (9")  permet,  par 
un  choix  approprié  de  o-j  qui  dépend  de  Mg  et  de  !«,  de  trouver 
les  conditions  pour  qu'une  forme  donnée  s.-,  soit  tautoélas- 
lique  à  une  autre  forme  s^.  La  forme  qu'on  prendra  de  pré- 
férence comme  forme  fondamentale  sera  un  arc  de  cercle 
s^  =  a^(p^  ou  p^  =  «,  avec  un  1,  constant.  Ou  aura  alors  pour 
les  différentes  formes  choisies,  comme  conditions  de  tauto- 
élasticité  les  relations  suivantes  : 
Pour  la  développante  de  cercle 

p.  ^=-  ^a„s„  ou  o„  =z  fl„c.,   ,  a,  = ' — , 


pour  la  tractrice 

p,=  o,y    e". -1 


c,  z=:  a„  ter  o,   ,  a»  =  ' 


LIGNES    ELASTIQUES 
pour  la  chaînette 

G,  =r  fl„  4-  —        ou  ?o  = —  ,  ' 

pour  la  chaînette  d'égale  résistance 
P2  =  --Ve"»  +  e">;         ou         p,  = ^, 

'  ^  ■'     ^  '  '  "  prie   T. 


283 


a,  fl,  COS2I?,  —  ?o) 


a,  rt,    COS  (Oj   0(j) 


pour  la  parabole 


<f 


v^ 


ou        Oo  = 


cos'  cpa 


a,  a,  cos'lçj 


Par  un  choix  approprié  de  (p^  et  de  r/o  on  pourra  toujours 
faire  passer  l'arc  de  la  courbe  en  question  par  les  deux  points 
O  et  A. 

Dans  tout  ce  qui  précède"  nous  avons  supposé  qu'on  con- 
naissait ^  pour  chaque  point  de  la  lame  OA.  Généralement, 
il  n'en  est  pas  ainsi;  cependant  la  méthode  est  toujours 
applicable.  Considérons,  par  exemple,  le  cas  de  la  figure  4. 
Supposons  d'abord  que 
le  bout  A  de  la  lame 
puisse  se  déplacer  le 
long  de  la  droite  OA  et 
que  la  lame  soit  arti- 
culée en  O.  Si  P  est  la 
résultante  des  forces 
verticales  appliquées, 
on     pourra     déterminer 

V,  et  \\  et  par  conséquent  p.  et  a.  On  pourra  donc  construire 
la  courbe  élasticjue  correspondante.  Supposons  maintenant 
que  la  lame  est  également  articulée  en  A  ;  deux  forces  égales 
et  opposées  M  s'introduiront  alors.  Il  est  évident  (|ue  ces 
forces  H  doivent  être  telles  que  le  déplacement  du  point  A 


Fig.  4. 


284  M.    ZACK 

correspondant  soit  égal  et  opposé  an  déplacement  corres- 
pondant aux  forces  Y, ,  Vo  et  P.  On  aura  donc 

OÙ  (ç  ,  >î  )  est  le  déplacement  de  A  dû  aux  forces  V,.  Y,  et  P 
et  (I  ,  yj  )  le  déplacement  de  A  dû  aux  forces  H.  On  aura 
alors,  en  remarquant  que 

r      -H     '       'H  r      ~i     '       '1    ' 

oïl  (11,  /ji)  est  le  déplacement  dû  aux  forces  1  parallèles  et 
de  même  sens  que  H, 


„=^^"  +  "" 


/e;  + ,; 


De  même,  si  la  lame  est  en  outre  encastrée  en  A,  il  s'in- 
troduira   un    moment   d'encastrement   M^    et    il   faudra    que 

(^j    provenant   de   V, ,  Yo,  P  et  H  soit  égal  et  opposé  au 
r^  j  *  provenant  de  M^i.  On  obtient  donc  pour  M^,  en  remar- 
quant que 


'J~  Jk 


s  —  OA 

^  I    El  * 


d'où         M.  = 


où  (7    est  dû  aux  forces  Y,,  Y,,  P  et  H. 

Dans  le  cas  oii  a"  n'est  pas  négligeable  devant  o-,  les  équa- 
tions (3)  ne  représentent  plus  la  ligne  élastique  et  il  faut 
revenir  aux  é(|uations  (2)  et  à  la  courbe  (G).  Remarquons 
encore  qu'il  sudit  de  connaître  une  courbe  quelconque  (F) 
satisfaisant  aux  équations  (2)  et  un  point  G  de  la  courbe  (G) 
correspondant  à  un   point  T  de  la  courbe  (F)    pour  pouvoir 


LIGNE  S    E  L  A  ST/Q  UE  S  285 

construire  la  courbe  (G  elle-même,  car,  comme  il  est  facile 
de  le  vérifier,  on  a  : 

dfi  1 

jR  =  consl.  et  -p  = 

as  p 

c'est-à-dire  le  segment  de  droite  qui  relie  deux  points  corres- 
pondants de  (G)  et  de  (Fj  est  inversement  proportionnel  à  la 
rotation  a  et  fixe  en  direction.  D'autre  part,  la  droite  GM 
qui  relie  un  point  de  la  courbe  (G)  au  point  correspondant 

de  la  fibre  neutre,  est  tangente  à  la  courbe  (G),  car  ^  =  — , 

comme  il  est  facile  de  s'en  convaincre  en  remplaçant  dans  (1) 

-f-  ^i  j-  par  leurs  valeurs   tirées   de   (2).   Ceci   permet,    une 

fois  la  courbe  construite,  de  trouver  immédiatement  le  point 
G  qui  correspond  à  un  point  M  donné  de  la  fibre  neutre. 

Le  cas  où  a  a  une  valeur  telle  qu'on  ne  puisse  plus  négliger 
<t'  devant  a  ne  se  présentant  généralement  pas  en  pratique, 
nous  ne  nous  arrêterons  pas  à  son  étude.  En  résumé,  je 
crois  avoir  montré  par  l'exposé  qui  précède  que  l'emploi  des 
coordonnées  de  M.  Cksaro  permet  de  résoudre  facilement 
diverses  questions  se  rapportant  à  la  ligne  élastique  des 
lames  de  diverses  formes,  questions  qui  seraient  plus  diflici- 
lement  abordables  par  une  autre  méthode. 


L'Enspigrnement  mathOni  ,  '20'  année,   1918. 


SUR  LES  ÉQUATIONS  TRANSCENDANTES 

QUI  SE  PRÉSENTENT 

DANS  LA  THÉORIE  DES  TIGES  ÉLASTIQUES 

PAK 

M.  Paschoud  (Lausanne). 


1.  —  Dans  leurs  Funklionentafeln  mit  Fonneln  iind Kiiiveii 
(Teubner,  1909),  ^DL  Jahnke  et  Emde  donnent  (p.  2  et  3)  les 
racines  de  diverses  équations  transcendantes,  parmi  les- 
quelles se  trouvent  les  suivantes  : 

cos  X  ch  .r  =  zb  1  et  tg  x  colh  o"  =  —  1    , 

OÙ 

,             e     -\-  e                                 ,             e     -{-  e 
cil  X  = ,         el         colh  X  = . 


Il  semble  intéressant  de  remarcjuer  (|ue  les  rac-ines  de 
l'équation  tg.r  coth.r  :=  —  1  se  déduisent  immédiatement  de 
celles  de  l'équation  cos.rch.r  =  l,  fait  qui  paraît  avoir 
échappé  à  MM.  Jahkke  et  Emde. 

Plus  généralement,  il  est  i'acile  de  montrer  que  des  racines 
des  équations  cos.r  ch.r  =  ziz  1,  on  déduit  celles  des  équa- 
tions 

tg  X  colh  x  zr:  ib  1    .  et  tg  .r  th  r  =  it"  1    • 

2.  —  Les  é(|uations  transcendantes  incli(|uées  ci-dessus  se 
présentent  dans  la  tliéoi'ie  du  mouvement  vibratoire  des 
tiges  élastiques. 

On  sait  (jtie  réf|ualion  du  mouvement  vibratoire  d'une  telle 
tige  est 


EQUATIONS    TRANSCENDANTES  287 

?/  est  l'ordonnée  d'un  point  d'abscisse  x .,  t  est  le  temps,  /r- 
le  moment  d'inertie  de  la  section  de  la  barre,  b^  =  E/^y.,  où 
E  est  le  module  d'élasticité  et  a  la  masse  de  la  tige  par  unité 
de  longueur. 

Pour  intégrer  (11,  on  pose 

y  ::=  u  cos  I  -p,  m-t 

Il  étant  l'onction  d'x  seul  ;  l.  est  la  longueur  de  la  tige,  ni  un 
nombre  à  déterminer.  En  portant  cette  expression  de  ?/ 
dans  (1),  il  vient  pour  n  l'équation 

^^  =  -F  "  •  *' 

Si  T  est  la  période  de  vibration,  on  a 

2-/2 


T  = 


kb, 


Pour  déterminer  complètement  u,   i!   faut   encore   indiquer 
les  conditions  aux  extrémités  de  la  tige,  qui  sont  : 
pour  un  bout  libre  : 

pour  un  bout  appuyé: 

u  =  0    ,  ^:  r=  0    ; 


dx^ 


pour  un  bout  encastré: 


(tu 

u   =  0     ,  -!-  =  0    . 

dx 
L'intégrale  de  (2)  s'écrit,  sous  forme  symétrique, 

.  /        iiix           ,  i)ix\         ,,  /        lux           ,  mx\         ^[  .    mx     ,      ,  mx\ 
«  =:  A  I  cos  — 1-   ch  — —  I  -|-  B  I  cos  — cli  —j-  1  +  C I  sin  — 1-  sh  — r-  I 

^ /    .     mx  ,    mx\ 

+  D(  sui— slï— r      . 


A,  B,  G,  D  soni  les  constantes  d'intégration  qui  se  détei 
minent  par  les  condilions  aux  extréjnités  de  la  tige. 


288  M.    PA  se  110  un 

Ces  conditions  aux  exirémilés  donnent  : 
pour  une  tige  libre  à  ses  deux  bouts  : 

cos  m  cil  m  z=.  \    , 

pour  nne  tige  encastrée  à  ses  deux  bouts  : 

cos  m  ch  m  :rr  1   , 

pour  une  tige  appuyée  à  ses  deux  bouts  : 

sin  /«  :^  0   , 

pour  une  tige  libre  à  un  bout,  encastrée  à  l'autre  : 

cos  m  ch  m  =z  —  1    , 

pour  une  tige  libre  à  un  bout,  appuyée  à  l'autre  : 

tg  m  colh  m  z=i  \    , 

pour  une  tige  encastrée  à  un  bout,  appuyée  à  l'autre: 

cos  m  ch  ;/t  =  1    . 

On  reconnaît  parmi  ces  équations  transcendantes  celles 
dont  nous  avons  parlé. 

3.  —  Les  deux  plus  importantes  de  ces  équations, 
cos  m  ch.ni  ^=:  +  1  ont  été  étudiées  par  Poisson  {Mécanique, 
2"  éd.,  t.  II,  p.  389  et  suivantes). 

Pour 

cos  m  ch  m  :=.  \   ,  (3) 

Poisson  remarque  que  lorsque  m  est  grand,  ch /;?  est  très 
grand  et  positif.  Donc  pour  que  (3)  soit  satisfaite,  il  faut  que 
cos  7W  soit  très  petit  et  positif,  c'est-à-dire  que  m  soit  à  peu 

près  de  la  forme  (2/i  -f  1)^- 

Pour  m  pair,  la  racine  m,,  correspondante  est 

m„<(2«-hl)|- 
et  pour  n  impair, 

"'„>(2«  +  ll|. 


ÉQUATIONS    TRANSCENDANTES  289 

Poisson  pose  alors 

OÙ  /3„  est  petit  et  positif  et  il  calcule  /3„  par  approximations 
successives.  Mais  les  valeurs  qu'il  donne  pour  les  plus  petites 
racines  de  cos  m  ch  m  =  1  et  de  cos  ni  ch  m  =^  —  i  ne  sont 
pas  exactes. 

Lord  Rayleigh  {The  Theory  of  Sound,  2^  édit.,  t.  I,  p.  277 
et  suivantes)  a  repris  le  calcul  des  racines  des  deux  équa- 
tions cos  m  ch  m  =  ±  1  et,  par  approximations  successives, 
il  calcule  les  valeurs  exactes  de  ces  racines.  Ce  sont,  pour 
cos  m  ch  m  =  i  : 

m,  =  0  /Hj  =  4.7300408 

^3  =  7,8532046     vi^  =  10,9956078 
m,  =   14,1371655    m.  =  17,2787596  . 


Au-delà,  avec  sept  décimales  exactes, 

m 

Pour  l'équation 


i(2«  +  l)-  . 


cos  m  cil  m  :=  —  1    ,  (■*) 

Lord  Rayleigh  trouve 

m,  =r  1,875104     m,  =  4,694098 
/».,  =  7,854757     m^  =  10,995541 
m,  ==  14,137168    ni^  —  17,278759  . 

1 
Au-delà,  JUn  =  -^(2«  —  l);:,  avec  six  décimales  exactes. 

4.  —  Des  calculs  analogues  à  ceux  de  Lord  Rayleigh  per- 
mettraient de  trouver  les  racines  des  équations 

tg  m  coth  m  :=  ^  l  et  tg  m  th  m  =  +  1    • 

Nous  allons  les  déduire  de  celles  de  (3)  et  de  (4). 

5.  —  Parlons  de 

cos  2/;j  ch  2/«  =r  1    ;  (5) 


290  M.    P  ASCII  OU  n 

cette  équation  s'écrit 

1  1 

(2  coswn  —  l)(2ch2m  —  1)  =:  1  ou  ^ 1-  -p^—  =  2 

cos^  m         ch^  m 

OU  enfin 

1  +  tg2  m  =  1  -f  th^^  m   , 

c'est-à-dire  tg  ni  coth  /;?  =  Hh  1. 

Les  racines  de  {h)  se  décomposent  donc  en  deux  groupes 
qui  sont  formés  respectivement  par  les  doubles  des  racines 
de  tg  m  colh  m  ^  1  et  de  tg  m  coth  m  =  —  1. 

On  a  ainsi,  pour  les  racines  de  tg  ;«  coth  m  =  1 

7.8532046      onaar^^o 
«jj  =  0  ,    /»3  =z rr  .5,926602.1 


et,  au-delà. 


14.1371655 

=  7,0685825  . 


'2,.+,  =  (2«  +  l)| 


Les  racines  de  Iq-ju  coth  /??  =  —  1  sont 


4.7300408        „  ,  10.9956078 

■ =  2,3650204   ,  m,  = =  5,4878039 

^  17.2787596  ^        3^3.^^ 


et,  au-delà, 


..,  =  (2«-i)î. 


Cette  dernière  équation  ig  m  coth;??  =  —  la  été  rencon- 
trée par  j\L  FÔPPL  dans  un  problème  concernant  les  vibra- 
tions propres  d'un  navire  [TecIiniscJie  MechaniJî,  4'  édit., 
t.  IV,  p.  268).  M.  FoppL  trouve  ses  racines,  par  tâtonnements, 
en  se  servant  de  tables  de  fonctions  hyperboliques  et  de 
fonctions  circulaires. 

6.  —  La  décomposition  des  racines  de  cos  2//?  ch /??  =  i 
en  deux  groupes  pouvait  être  prévue.  On  sait  en  elVet  qu'une 
tige  élastique,  de  longueur  /,  libre  à  ses  deux  l)outs  et  (|ui 


ÉQUATIONS    TRANSCENDANTES  291 

vibre  de  façon  à  avoir  un  nœud  en  son  milieu,  se  partage  en 
deux  tiofes,  de  long-ueur— ,   dont  chacune  vibre   comme  si 

elle  avait  une  extrémité  libre  et  l'autre  appuyée. 

Pour  la  barre  entière,  vibrant  de  la  façon  indiquée,  il  faut 
donner  à  m  les  valeurs  des  racines  /??^,  ni^,  /;?.  ...  de  Téqua- 
tion  cosm  ch /«  =  l. 

La  période  T  correspondant  à  ce  mode  de  vibration  est 


Pour  chacune  des  deux  demi-barres,  libres  h  un  bout  et 
appuyées  à  l'autre,  en  lesquelles  la  barre  totale  se  divise, 
la  période  de  la  vibration  est  la  même.  Puisque  la  longueur 

de  ces  barres  est  ^,  pour  que  T  ne  change  pas,  il  faut  que 

m    prenne   les  valeurs  -^  -,  -i  ^   tt  '  •••    ^^  ^"'^^  valeurs   seront 

des  racines  de  l'équation  \.gnico\\\m  =  i,  qui  doit  être  véri- 
fiée dans  le  cas  d'une  barre  libre  à  un  bout  et  appuyée  à 
l'autre  (n"  2). 

7.  —  Gomme  au  n°  5,  on  voit  que  l'équation 

cos  2m  ch  2m  =  —  1  (6) 

peut  s'écrire 

le  m  tli  ;»  z=  -(-  1    . 


Les  racines  de  (-6)  se  décomposent  donc  aussi  en  deux 
groupes  qui  sont  formés  respectivement  par  les  doubles  des 
racines  de  tg  m  th  m  =  1  et  tg  m  th  /;?  =  —  1. 

On  a  donc,  pour  les  racines  de  tg /;z  th /y?  ■=:  1 


14,137168        -  .^o-Q' 
=  /,068o8» 


et,  au-delà, 


'»,„+,  =  (2«  +  iU 


292  MÉLANGES    ET    CORRESPONDANCE 

Les  racines  de  tg  m  ih  m  =  —  1  sont 


4.69^098        „„,..,o                         10,995541         .,û7-7a 
=  2,34;049   ,         ^l>^  = =  5,497;70 


2 


et,  au-delà, 


''■^'.''^°^=  8,639379 


--ï)l 


8.  —  Si,  pour  plus  de  symétrie,  on  prend  pour  origine 
des  coordonnées  le  milieu  de  la  barre,  on  voit  que  pour  une 
barre  libre  à  ses  deux  extrémités,  m  doit  satisfaire  soit  à 
l'équation  tg  m  coth  /«  =  1,  soit  à  tg  m  coth  m  =  —  1. 

Pour  une  barre  libre  à  un  bout  et  encastrée  à  l'autre,  on 
trouve  de  même  que  ju  doit  être  solution  soit  de 

tg  m  ih  m  =  1   ,  soit  de  tg  m  tli  m  =  —  1   . 

Ceci  montre  bien  encore  les  relations  qu'il  y  a  entre  les 
racines  des  six  équations  transcendantes  considérées. 


MELANGES    ET    CORRESPONDANCE 


A  propos  d'un  article  sur  la  rectification  approchée 
des  arcs  de  cercle. 


Apres  avoir  indique,  dans  son  étude  sur  la  rectification  appro- 
chée des  arcs  de  cercle  (/i.  M.,  tome  XX,  p.  215),  une  dernière 
variante  de  la  construction  à  laquelle  il  a  été  conduit,  M.  E.  Plkskot 
ajoute  (p.  218  :  ><  La  valeur  approchée  est  identique  à  celle  quon 
obtient  par  la  construction  donnée  par  M.  d"Oca<;ne.  »  C'est  qu'en 
effet  les  deux  constructions  sont  elles-mêmes  identiques.  Il  sulFit, 
pour  s'en  convaincre,  de  compléter  la  lig.  4  de  la  page  217  en 
appelant  P  le  point  de  rencontre  de  la  droite  A(!!  et  du  cercle  K, 


MELANGES    ET    C  O  li  H  E  S  P  0  N  D  A  N  C  E  293 

M  celui  des  droites  AB  et  OP.  Les  trianirles  OAP  et  RAC  étant 
isocèles,  les  droites  OP  et  RC  sont  parallèles  et  l'on  a 

AM  _  AO  _  2 
AB"  ~  ÂH  "~  IT  ' 

ce  qui  est  bien  conforme  à  la  construction  que  j'ai  donnée  naguère 
[jSoin'elles  Annales  de  Mathém.,  1907,  p.  1). 

Paris,  21  janvier  1919.  M.  d'OcAGXE. 


A  propos  d'un  article  de  M.  C.  de  La  Vallée  Poussin 
sur  l'approximation  des  fonctions  d'une  variable  réelle. 

[E.  M.,  tome  XX,  p.  5-29,  1918.) 


m 


J'estime  qu'il  serait  de  grande  utilité  de  rappeler  un  exposé  du 
ème  sujet  par  M.  S.  Bernstein  dans  le  volume  I,  191.3  du  Con- 
grès de  Cambridge  de  1912  (p.  246-266)  :  Sur  les  recherches  récentes 
relatives  à  la  meilleure  approximation  des  fonctions  continues  par 
des  poh/nônies ;  avec  références  bibliographiques  dont  plusieurs 
ne  se  trouvent  pas  au  catalogue  récemment  donné  ici  i^tome  XX, 
p.  28-29]. 

Bar-le-Duc.  26  février  1919.  H.  Bkocahd. 


A  propos  d'une  Note  sur  les  permutations. 

Dans  sa  Note  sur  les  permutations  [E.  M.,  tome  XIX,  1917), 
M.  A.  AiiBUY  rapporte,  au  N°  3,  p.  282,  une  question  N"  .344  pro- 
posée par  M.  Bhl'n  dans  la  Nouvelle  (Correspondance  mathématique 
(tome  IV)  et  dans  \ Algèbre  de  Laisant  (p.  181.  Demeurée  long- 
temps sans  réponse,  elle  en  a  obtenu  une  dans  Malhesis  (1911, 
p.  187-188)  par  M.  Léon  Auhhy,  avec  une  remarque  de  M.  Paul 
Mansion.  La  question  344  avait  été  proposée  par  M.  Brux,  alors 
capitaine  d'artillerie,  devenu  Ministre  de  la  guerre,  décédé  le 
23  février  1911. 

Bar-le-Duc,  14  mars  1919.  IL  Biiocaud. 


CHRONIQUE 


La  collaboration  scientifique  internationale. 

Déclaration  et  Résolutions  votées  par  la  Conférence  interalmék 
DES  Académies  scientifiques. 


Plusieurs  Académies  et  Sociétés  savantes  se  sont  préoccupées 
des  conditions  auxquelles  il  y  aura  lieu  de  soumettre  la  collabo- 
ration scientifique  internationale  d'après-oiierre.  f>es  conditions 
relatives  aux  Institutions  internationales  d'un  caractère  officiel 
ont  été  examinées  par  la  Conférence  interalliée  des  Académies 
scientifiques  dans  ses  séances  de  Londres^  (9-11  octobre  1918) 
et  de  Paris  (26-29  novembre  1918).  Les  résolutions  adoptées  par  la 
Conférence  de  Londres  ont  été  présentées  à  l'Académie  des 
Sciences  de  Paris '^,  dans  sa  séance  du  21  octobre,  accompagnées 
de  la  Note  suivante  de  MM.  Kmile  Picard  et  Alfred  Lacroix. 


La  Conférence  interalliée  des  Académies  scietitifiques  à  Londres. 
Aole  de  MM.  Emile  Picard  et  Alfred  I^acroix. 

La  question  des  relations  scientifiques  internationales  d'après- 
guerre  appelle  depuis  longtemps  l'attention  des  savants.  La  Com- 
mission géodésique  française,  la  délégation  française  près  l'an- 
cienne Association  géodésique  internationale,  le  Bureau  des 
Longitudes  s'en  sont  occupés.  A  deux  reprises,  l'Académie  des 
Sciences  a  émis  des  vœux  à  ce  sujet,  d'abord  au  mois  de  novembre 
dernier,  et  tout  récemment  dans  la  séance  du  30  septembre.  Llle 
a  été  unanime  à  déclarer  que  les  relations  personnelles  sont  pour 
longtemps  impossibles  entre  les  savants  des  pays  alliés  et  ceux 


'  Hoyal  Socioty,   mai  et  oclohro  1918. 

*  Comptes  Kcndus  do  l'Académie  des  Sciences,  t.  UiT,  N»  1" 


CHRONIQUE  295 

des  empires  centraux,  et  elle  a  pris  diverses  résolutions  relatives 
à  la  reconstitution  des  Associations  scientifiques  internationales. 

La  même  question  fut  étudiée  dans  d'autres  pays,  et  la  Société 
Royale  de  Londres  proposa,  il  y  a  quelques  mois,  une  réunion 
interalliée  des  Académies  scientifiques.  Cette  Conférence  s'est 
tenue  à  Londres  les  9,  10  et  11  octobre  dernier.  Des  représentants 
de  l'Angleterre,  des  Etats-Unis,  de  l'Italie,  de  la  France,  de  la 
Belgique,  de  la  Serbie,  du  Brésil  y  assistaient;  les  délégués  de 
l'Académie  étaient  MM.  Emile  Picard,  A.  Lacroix,  Ilallei-,  Bigour- 
dan,  Baillaud,  Lallemand,  Moureu.  Des  décisions  importantes 
ont  été  prises,  et  libellées  sous  forme  de  vœux  à  envoyer  aux  gou- 
vernements et  aux  sociétés  savantes  des  pays  alliés. 

Quelques  considérations  générales  servent  d'introduction  aux 
résolutions  finales  adoptées  à  l'unanimité.  Elles  insistent  forte- 
ment sur  ce  point  que  les  guerres  antérieures  n'avaient  pas  détruit 
la  mutuelle  estime  des  savants  des  pays  belligérants  les  uns  pour 
les  autres;  la  paix  avait  pu  effacer,  après  peu  d'années,  la  trace 
des  luttes  passées.  Aujourd'hui  les  conditions  sont  tout  autres. 
Des  crimes  sans  nom  vont  laisser  dans  l'histoire  des  nations  cou- 
pables une  tache  que  des  signatures  au  bas  d'un  traité  de  paix  ne 
sauraient  laver.  Aussi  devrons-nous  abandonner  les  anciennes 
Associations  internationales  et  en  créer  de  nouvelles  entre  alliés 
avec  le  concours  éventuel  des  neutres. 

D'autres  mesures,  tendant  à  resserrer  les  liens  entre  les  pays 
alliés,  ont  été  discutées;  elles  ont  pour  but  d'établir  entre  eux 
une  collaboration  intime  dans  la  recherche  scientifique. 

Une  Commission  nommée  par  la  Conférence  se  réunira  pro- 
chainement à  Paris  pour  faire  une  étude  plus  approfondie  des 
futures  organisations  internationales.  Elle  aura  aussi  à  examiner 
des  propositions  faites  par  deux  délégués.  Ce  sont  des  vœux  for- 
mulés par  M.  Massart,  de  l'Académie  Royale  de  Belgique,  sur  les 
échanges  internationaux  et  la  création  de  recueils  bibliogra- 
phiques, puis  un  vœu  de  notre  confrère  M.  Bigourdan  sur  l'unifi- 
cation des  notations  bibliographiques  relatives  à  tout  l'ensemble 
de  nos  connaissances. 

Nous  donnons  ici  les  textes  de  la  déclaration  et  des  résolutions 
prises  par  la  Conférence  de  Londres  : 


Déclaration  votée  à  l'unanimité  par  la  Conférence 
pour  servir  de  préface  à  ses  résolutions. 

I^orsque,  il  y  a  quatre  ans,  la  guerre-éclata,  divisant  l'Flurope 
en  camps  ennemis,  les  hommes  de  science  pouvaient  encore 
espérer  que  la  conclusion  de  la  paix  renouerait  les  liens  rompus, 
et  que  les  ennemis  de  la  veille  pourraient  de  nouveau  se  rcncon- 


296  cnnoMQUE 

tier  dans  des  conférences  amicales  et  unir  leurs  elTorts  pour  le 
progrès  de  la  science.  De  tous  temps,  depuis  la  renaissance  des 
études  scientifiques  au  moyen  âge,  la  recherche  du  vrai  a  formé 
une  chaîne  assez  solide  pour  résister  à  Teflort  des  antagonismes 
nationaux.  Et  ce  lien  s'est  encore  fortifié  vers  la  fin  du  dernier 
siècle,  lorsque  le  développement  de  certaines  branches  de  la 
science  a  requis,  pour  leur  étude,  la  collaboration  de  toutes  les 
nations  civilisées.  Associations  et  Conférences  se  sont  rapidement 
multipliées  et  des  relations  amicales  de  plus  en  plus  intimes  se 
sont  établies  entre  les  savants  des  différents  pays,  en  dépit 
des  divergences  politiques,  volontairement  laissées  dans  l'ombre. 

La  guerre,  jadis,  a  fréquemment-arrêté  la  coopération  des  indi- 
vidus, sans  détruire  leur  mutuelle  estime,  basée  sur  le  sentiment 
de  la  valeur  de  la  science  ;  la  paix  venait  bientôt  effacer  les  traces 
des  luttes  passées. 

Si,  aujourd'hui,  les  délégués  des  Associations  scientifiques  des 
nations  alliées  et  des  Rtats-Unis  d'Amérique  se  voient  dans  l'im- 
possibilité de  reprendre  des  relations  personnelles,  même  en  ma- 
tière de  science,  avec  les  savants  des  empires  centraux,  tant  que 
ceux-ci  n'auront  pas  été  admis  de  nouveau  dans  le  concert  des 
nations  civilisées,  ils  le  font  en  pleine  conscience  de  leur  respon- 
sabilité, et  ils  ont  pour  devoir  de  rappeler  les  motifs  qui  les  ont 
amenés  à  cette  décision. 

La  civilisation  a  imposé  des  règles  de  conduite  aux  nations  qui 
entendent  servir  les  intérêts  de  Ihumanité,  et  qui  ont,  à  un  haut 
degré,  le  souci  de  leur  honneur.  Telles  sont  la  reconnaissance  du 
caractère  sacré  des  traités  (spécialement  de  ceux  concernant  l'état 
de  guerre]  et  la  suppression  d'inutiles  cruautés  envers  les  popu- 
lations civiles...  .V  ces  deux  points  de  vue,  les  puissances  centrales 
ont  enfreint  les  lois  de  la  civilisation,  dédaignant  toutes  les  con- 
ventions et  déchaînant  dans  lame  humaine  les  pires  passions 
engendrées  par  la  férocité  de  la  lutte.  La  guerre  est  fatalement 
pleine  de  cruautés,  et  des  actes  individuels  de  barbarie  ne  sau- 
raient être  évités;  il  faut  en  prendre  son  parti.  Ce  ne  sont  pas  ces 
actes  que  nous  visons,  ce  sont  les  horreurs  organisées,  encoura- 
gées et  itnaginées,  dès  l'origine,  dans  le  seul  but  de  terroriser  les 
populations  inofl'ensives.  La  destiuction  d'innombrables  pro- 
priétés privées,  les  violences  et  les  massacres  sur  terre  et  sur  mer, 
le  torpillage  des  navires-hôpitaux,  les  insultes  et  les  tortures 
infligées  aux  prisonniers  de  guerre,  laisseront,  dans  Ihistoire  des 
nations  coupables,  une  tache  que  ne  saurait  laver  Ta  simple  répa- 
ration des  dommages  matériels.  Pour  restaurer  la  confiance, 
sans  laquelle  toute  collaboration  fructueuse  seiait  itnpossible,  les 
empires  centraux  devront  désavouer  les  méthodes  politiques  dont 
l'application  a  engendré  les  atrocités  (pii  ont  indigné  le  monde 
civilisé. 


CHRONIQUE  297 


Résolutions  relati\'e.s  au.r  organisations  scientifiques  internationales 
votées  à  r unanimité  par  la  Conférence. 

1.  —  Aussitôt  que  les  circonstances  le  permettront,  les  conven- 
tions relatives  aux  associations  scientiliques  internationales  se- 
ront, conformément  aux  statuts  ou  règlements  propres  à  chacune 
d'elles,  dénoncées  par  les  groupements  compétents  des  nations 
en  guerre  avec  les  empires  centraux. 

Les  nouvelles  associations  reconnues  utiles  au  progrès  des 
sciences  et  de  leurs  applications  seront  établies,  dès  maintenant, 
par  les  nations  en  guerre  avec  les  empires  centraux,  avec  le  con- 
cours éventuel  des  neutres. 

2.  —  Certaines  associations  résultant  de  conventions  diploma- 
tiques, telle  la  Convention  du  mètre;  devront  faire  l'objet  dun 
examen  spécial  lors  des  négociations  de  paix. 

3.  —  Les  mesures  visées  ci-dessus  laissent  de  côté  les  accords 
concernant  exclusivement  les  relations  administratives  indispen- 
sables entre  des  seivices  publics,  comme  celles  réglementant  la 
navigation,  les  dépêches  météoi'ologiques,  les  chemins  de  fer,  les 
postes  et  télégraphes,  etc. 

4.  —  Il  est  constitué,  dans  le  sein  de  la  Conférence,  une  Com- 
mission d'études,  à  laquelle  pourront  s'adjoindre  des  délégués 
désignés  par  les  Académies  des  pays  en  guerre  avec  les  puissances 
centrales.  Cette  Commission  dressera  un  plan  général  d'organi- 
sations internationales,  pour  satisfaire  aux  besoins  des  diverses 
branches  des  recherches  scientifiques  et  industrielles,  y  compris 
celles  relatives  à  la  Défense  nationale.  Sa  Commission  se  réunira 
à  Paris,  cette  année  même,  dans  la  deuxième  quinzaine  de  no- 
vembre. 

5.  —  Chacune  des  Académies  représentées  à  la  Conférence  sera 
invitée  à  piovoquer  la  ci'éation  d'un  Conseil  national,  ayant  pour 
objet  l'avancement  des  recherches  mentionnées  au  paragraphe 
précédent. 

6.  —  Un  Conseil  international  seia  constitué  par  la  fédéiation 
des  Conseils  nationaux. 

7.  —  La  Conférence,  estimant  que  tous  les  progrès  iiulusliiels, 
agricoles,  médicaux,  reposent  sur  les  découvertes  de  la  Science 
pure,  appelle  l'attention  des  Gouvernements  sur  rimi^oitance  des 
recherches  théoriques  et  désintéressées,  dont  les  budgets,  après 
la  guerre,  devront  être  dotés  le  plus  laigement  possible. 

Elle  insiste  également  sur  la  création  de  grands  laboratoires, 
privés  et  nationaux,  de  sciences  expérimentales. 


298  CHRONIQUE 

La  deuxième  session  de  la  Conférence  interalliée 

des  Aeadèniies  scientifiques. 

Paris,  novembre  1918. 

La  Conférence  interalliée  des  Académies  scientifiques  a  tenu  sa 
seconde  session  à  Paris,  du  2G  au  29  novembre.  Elle  a  réuni  des 
délégués  de  Beloique  i3  ,  du  Brésil  (1),  des  Etats-Unis  {(»],  de 
Fiance  (13),  du  Royaume-Uni  (9J,  d'Italie  (5J,  du  Japon  (2),  de 
Pologne  fl),  du  Portugal  (1),  de  Roumanie  (4)  et  de  Serbie  (2).  Elle 
a  d'abord  décidé  de  remplir  provisoirement  le  rôle  du  Conseil 
international  de  recherches,  dont  la  création  a  été  votée  à  la 
léunion  de  Londres.  Puis,  elle  a  institué  un  Comité  exécutif  de 
cinq  membres,  MM.  Hale,  Lkcoimk,  E.  Picaijd,  Schcsteh  et 
X'oLTERRA,  chargé  d'étudier  dans  leurs  détails  les  questions  sou- 
levées à  la  Conférence  avec  le  concours  des  organismes  ou  per- 
sonnes les  mieux  qualifiés.  Le  Comité  exécutif  a  choisi  M.  Emile 
Picard  comme  président,  M.  Schi:sti;r  comme  secrétaire,  et  décidé 
que  le  siège  du  Bureau  administratif  sera,  jusqu'à  nouvel  avis,  à 
Londres. 

Les  associations  internationales,  rattachées  au  Conseil  inter- 
national de  recherches,  sont  fondées  avec  les  pays  en  guerre  avec 
l'Allemagne,  et  l'on  a  fixé  les  conditions  sous  lesquelles  les  neutres 
pourront  être  admis  dans  ces  associations  une  fois  constituées. 
La  Conférence  s'est  ensuite  occupée  particulièrement  des  associa- 
tions fermées,  ayant  pour  objet  la  réalisation  dœuvres  nécessitant 
une  coopération.  Telles  sont,  par  exemple,  l'Union  astronomique» 
s'occupant  de  toutes  les  questions  relatives  à  l'astronomie,  et  l'As- 
sociation géophysique,  qui  embrassera  la  géodésie,  la  sismologie 
et  la  météorologie  avec  le  magnétisme  terrestre  et  la  vulcanologie. 

De  nombreuses  propositions  ont  été  prises  en  considération,  et 
renvoyées,  pour  une  étude  plus  approfondie,  au  Comité  exécutif. 
Elles  concernent  la  création  de  diverses  associations  internatio- 
nales, la  bibliographie,  la  nomination  d'attachés  techniques,  les 
laboratoires  internationaux,  les  questions  de  brevets,  les  échanges 
internationaux. 

On  trouvera  dans  les  (^)mples  rendus  de  l'Académie  des 
Sciences  (séance  du  9  décembre  1918),  la  liste  des  délégués  et  le 
texte  des  résolutions  votées  par  la  Conférence  de  Paris. 

Société  suisse  des  professeurs  de  mathématiques. 

Jti'iinioit  de  Hùte,  le   'i  octobre  1018. 

1.  —  (Le  fut  la  XXL"  assemblée  de  celte  société.  Sur  la  proposi- 
tion du  président,  M.  K.  Matter,  professeur  à  Aarau,  l'assemblée 


CHRONIQUE  299 

nomma  membre  honoraire  M.  C.  Biîandenbeiu:!- li,  professeur  à 
lEcole  industrielle  de  Zurich  et  à  l'Ecole  polytechnique  fédérale. 
Cette  marque  de  reconnaissance  et  d'affection  fut  téléi^raphiée  à 
l'élu,  avec  un  message  de  sympathie  et  des  vœux  ardents  pour 
le  rétablissement  de  sa  santé.  Aucune  distinction  ne  fut  mieux 
méritée,  et  le  décès  récent  de  M.  Brandenberger  laisse  dans  la 
Société  un  vide  immense.  Promoteur  et  fondateur  de  la  Société 
suisse  des  professeurs  de  mathématiques,  il  en  fut  l'âme  dès 
sa  fondation.  Les  lecteurs  de  cette  revue  connaissent  son  très 
remarquable  rapport  sur  l'enseignement  des  mathématiques  dans 
les  écoles  moyennes  de  la  Suisse'.  La  préparation  de  ce  mémoire 
conduisit  l'auteur  à  établir,  pour  la  Société,  un  plan  de  travail, 
dont  le  but  est  l'élaboration  d'un  programme  normal  de  l'ensei- 
gnement des  mathématiques  dans  les  écoles  moyennes  suisses. 
Il  travailla  lui-même  avec  ardeur  à  la  réalisation  de  ce  plan  et 
suggéra  plusieurs  travaux  destinés  à  avancer  la  solution  de  cette 
question  dillicile.  Par  son  activité  au  sein  de  notre  Société,  pai- 
son  enseignement  pédagogique  à  l'Ecole  polytechnique,  comme 
aussi  par  l'exemple  qu'il  nous  laisse  d'un  maître  consciencieux, 
distingué  et  doué  d'nn  sens  pédagogique  exceptionnel,  C.  Bran- 
denberger  a  exercé  et  exerce  encore  sur  l'enseignement  des  ma- 
thématiques dans  notre  pays  une  action  heureuse  et  profonde. 

2.  —  Après  l'approbation  des  comptes,  l'assemblée  procède  à 
l'élection  du  nouveau  comité  :  MM.  C.  Jaccottet  (Lausanne),  pré- 
sident; P.  MicitciKR  (Genève),  secrétaire;  H.  Stohler  iBàlei,  cais- 
sier. Elle  discuta  ensuite  une  proposition  tendant  à  astreindre 
tous  les  membres  de  la  Société  à  faire  partie  de  la  Société  suisse 
des  professeurs  de  l'enseignement  secondaire  (Gymnasiallehrer- 
vereini,  société  à  laquelle  la  Société  suisse  des  professeurs  de 
mathématiques  est  affîliée.  Elle  prit  connaissance  d'une  proposi- 
tion de  la  Société  suisse  des  professeurs  de  sciences  naturelles 
nous  demandant  de  faire  paraître,  avec  elle,  un  journal  bi-men- 
suel  destiné  à  nous  communiquer  nos  expériences  d'enseigne- 
ment. La  réalisation  de  ces  projets,  intéressants  et  d'une  utilité 
incontestable,  aurait  malheureusement  pour  effet  d'augmenter, 
dans  une  forte  pi-oportion,  les  charges  financières  des  membres, 
par  suite,  d'en  diminuer  le  nombre;  aussi  l'assemblée  renvoya-t- 
elle  cette  réalisation  à  des  temps  meilleurs. 

■3.  —  Les  conclusions  du  rapport  sur  renseii^nement  des  séries 
in/inies,  que  M.  Schlepp,  professeur  à  Zurich,  avait  présenté  à 
Baden  l'an  passé,  sont  mises  en  discussion.  Celle-ci  fut  intioduite 
par  fiuelques  remarques  du  rapporteur,  dont  voici  la  substance. 
L'école   moyenne   s'occupe  d'analyse  dans  le  but  de  préparer  le 


*  Voir  le  compte    rendu   de    M.   G.    Dumas    dans    VEnscigneinent  mathcntatique,   19*    année, 
p.   107-111,   1917. 


300  CHRONIQUE 

cours  uiiiversitaiie  ;  le  point  de  départ  de  cet  enseignement  est 
l'étude  de  propriétés  particulières  de  fonctions  paiticulières. 
Tandis  que  l'étude  des  séries  ne  prend  toute  sa  sig-nification  que 
dans  la  théorie  générale  des  fonctions.  L'école  moyenne  est  dans 
l'impossibilité  de  donner  à  ses  élèves  une  vue  claire  de  l'impor- 
tance qu'ont,  pour  la  science,  les  séries  infinies;  les  applications 
que  l'on  peut  en  faire  (calculs  numéiiques  de  valeurs  particulières 
de  fonctions,  applications  aux  sciences  natuielles  et  techniques) 
ne  suffisent  pas  non  plus  à  obtenir  ce  résultat  (conclusions  1  et  2). 
I/étude  des  éléments  de  la  théorie  des  séries  ne  peut  être  con- 
servée que  si  elle  répond  à  d'autres  buts,  par  exemple,  celui  de 
rendre  plus  claires  certaines  notions  importantes.  Or  cette  étude 
est.  en  en"et,  en  mesure  de  jeter  un  jour  particulier  sur  la  notion 
de  limite  et,  c'est  là  le  but  qui  doit  être  proposé  à  cet  enseigne- 
ment Iconcliision  3).  De  plus,  la  méthode  doit  être  adaptée  au  but  : 
Si  l'on  veut  rendre  claire  la  notion  de  limite,  il  est  inadmissible 
d'utiliser  des  démonstrations  peu  rigoureuses,  qui  laissent  de 
côté  certaines  considérations  de  limites  trop  ditriciles.  Aussi, 
dans  le  développement  des  fonctions  élémentaires  en  séries  de 
puissances,  les  méthodes  c{ui  supposent,  sans  l'établir,  la  possi- 
bilité du  développement,  doivent  être  abandonnées;  elles  sont 
d'autant  moins  indiquées  qu'il  existe  des  procédés  élémentaires  à 
l'abri  de  tout  reproche,  tels  ceux  employés  par  Cauchv  dans  son 
Cours  d'analyse,  ou  par  Briot  et  Bouquet  dans  leur  Traité  de 
trigonométrie  (conclusion  U). 

Les  quatre  premières  conclusions  furent  admises  à  l'unanimité. 
Une  cinquième  proposait  de  demander  à  l'Ecole  polytechnique  de 
supprimer  de  son  programme  d'admission  le  sujet  «  Notions  sur 
les  séries  infinies  ».  (>e  programme  étant  en  revision  et  la  Société, 
appelée  à  donner  son  avis,  le  président,  d'accord  avec  le  rappor- 
teur, proposa  de  dire  simplement  que  la  Société  désire  voir  dis- 
paraître ce  sujet  des  plans  d'études  des  écoles  moyennes.  Après 
que  M.  Schiiepp  eut  insisté  sur  le  fait  que,  pour  lui,  l'essentiel 
n'était  pas  que  la  théorie  des  séries  lut  ou  non  enseignée,  mais 
que,  si  elle  l'était,  elle  le  fût  avec  un  but  convenable  et  des  mé- 
thodes appropriées,  l'assemblée  accepta  cette  proposition  par 
20  voix  contre  9  et  9  abstentions. 

Voici  le  texte  des  conclusions  du  rapport  de  M.  Schiiepp  adop- 
tées par  l'assemblée  : 

L  —  L'élude  des  séries  infinies,  dont  le  seul  but  serait  de  per- 
mettre te  calcul  de  n,  des  lof^arithnies  et  des  valeurs  des  fonctions 
circulaires,  n'est  pas  indiquée  à  l'école  moyenne. 

IL  —  Par  rapport  aux  autres  parties  des  mathématiques,  les 
séries  infinies  jouent  un  rôle  secondaire  dans  les  applications  aux 
sciences  techniques  et  naturelles  ;  ce  rôle  ne  suffît  pas  à  justifier  la 
présence  de  cet  enseignement  à  l'école  moyenne. 


CIIIiOyiQUE  301 

III.  —  Si  les  séries  doii>ent  cire  enseignées,  le  but  de  cet  ensei- 
(fnement  doit  être  de  donner  à  L'èles>e  une  vision  claire  et  une  com- 
préhension complète  de  la  notion  de  limite. 

IV.  —  Les  méthodes  de  déveloj>pemenl  en  séries  de  puissances 
des  fonctions  élémentaires,  dans  lesquelles  des  parties  essentielles 
de  la  démonstration  sont  laissées  de  côté,  ainsi  la  possibilité  de 
déi'eloppement,  sont  à  écarter. 

V.  —  L'enseignement  des  séries  infinies  ne  donnant  au.v  élét'es 
que  peu  d'occasions  d'actii^ité  personnelle  et,  pour  cette  raison,  le 
résultat  obtenu  n  étant  pas  en  rapport  ai>ec  le  tenips  nécessaire  au 
traitement  consciencieux  du  sujet,  la  Société  suisse  des  professeurs 
de  mathématiques  désire  voir  supprimer  du  programme  de  mathé- 
matiques de  ï école  moyenne  le  chapitre  des  séries  infinies. 

4.  —  L'influence  énorme  que  peut  avoir,  sur  le  développement 
de  nos  écoles  moyennes,  une  modification  dans  les  conditions 
d'admission  à  l'Ecole  polytechnique  fédérale,  saute  aux  yeux.  \a\ 
Société  ayant  été  appelée  à  collaborera  l'établissement  d'un  nou- 
veau règlement,  notre  président  avait  préparé  un  projet  de  pro- 
positions à  adresser  aux  autorités  de  cette  Ecole.  Ce  pi-ojet  se 
compose  de  deux  parties  :  vues  générales  et  matières  d'examen. 
La  première  partie  seule  fut  discutée  h.  fond  et  les  propositions 
de  M.  Matter  admises.  L'examen  de  la  seconde  partie  fut  renvoyé 
à  l'assemblée  de  1919,  l'accord  n'ayant  pu  se  faire  sur  divers  points 
importants. 

Le  projet  Matter  vise  à  remplacer  les  examens  d'admission  par 
l'institution  d'une  <<  maturité  fédérale  »,  dont  le  diplôme  donnerait 
droit  d'entrée  à  l'Ecole  polytechnique  et  dans  les  universités 
suisses.  Trois  formes  d'examens  seraient  instituées,  correspon- 
dant aux  trois  formes  de  gymnases  réclamées  par  la  Société  des 
professeurs  secondaires:  forme  classique  (pure  et  réale),  forme 
scientifique  —  ces  deux  formes  étant  celles  existant  actuellement 
dans  nos  gymnases  —  puis  une  forme  nouvelle,  qui  correspon- 
drait au  gymnase  langues  modernes  dont  on  demande  la  création. 
Les  certificats  de  maturité  délivrés  seraient  équivalents  quant  aux 
droits  accordés,  les  porteurs  seraient  admis  à  faire  des  études 
dans  n'importe  laquelle  des  facultés  de  nos  établissements  supé- 
rieurs d'instruction.  Cela  revient  «à  poser  en  principe  que  la  matu- 
rité nécessaire  à  de  l)onnes  études  supérieui-es  réside  moins  dans 
la  somme  des  connaissances  acfjuises  que  dans  la  faculté  de  savoir 
travailler  avec  fruit  dans  un  domaine  particulier,  quel  fju'il  soit 
d'ailleurs.  Les  examens  seraient  organisés  de  façon  à  apprécier 
surtout  la  puissance  de  travail,  les  qualités  de  l'intelligence,  la 
maturité  de  l'esprit,  c'est-à-dire  la  faculté  d'utiliser  les  connais- 
sances acquises. 

Dans  la  discussion,  des  craintes  furent  émises,  que  l'admission 
à  l'Ecole  polytechnique  d'élèves  insulTisaniment  piéparés  en   ma- 

L'Enseigiicmont  niiithc-ni..  iil-^  ;intiée,    191S.  20 


302  CIIRONIOUE 

thémaliqiies  et  en  sciences  ne  fasse  baisser  le  niveau  scientifique 
de  riicole.  Il  fut  répondu  que  les  candidats  —  tels  les  bacheliers 
es  lettres  —  qui  entreraient  insuffisamment  outillés,  bien  qu'in- 
tellectuellenient  capables  d'entreprendre  ces  études  —  le  feraient 
sous  leur  responsabilité  et  avec  l'oblii^ation  de  se  mettre  rapide- 
ment au  niVeau  de  leurs  camarades.  Le  raccordement  nécessaire 
entre  les  éludes  classiques  secondaires  et  techni(iues  supérieures 
pourrait  être  fait  soit  par  les  écoles  moyennes  elles-mêmes,  dans 
le  dernier  semestre  d'études,  soit  laissé  au  soin  de  l'établissement 
supérieur;  celui-ci  devrait  alors  établir  les  cours  nécessaires. 

.5.  —  Après  que  M.  Ciielieh,  professeur  à  l'Université  de  Berne, 
eût  remercié  le  président  sortant  de  charge,  M.  Matter,  de  son 
dévouement  et  l'eut  félicité  de  la  distinction  avec  laquelle  il  avait 
dirigé  la  Société  pendant  ces  trois  dernières  années,  la  séance  de 
l'après-midi  fut  levée. 

6.  —  Le  soir,  une  nouvelle  séance  nous  réunissait  avec  nos  col- 
lègues des  sciences  naturelles.  M.  Hi.m)ei!.manx  Bàle)  y  présenta 
son  «  orbitoscope  ».  Cet  ingénieux  appareil  permet  la  démonstra- 
tion des  particularités  du  mouvement  apparent  des  planètes;  il 
est  appelé  à  rendre  de  grands  services  à  l'enseignement  de  l'as- 
tronomie dans  nos  écoles  moyennes.  M.  Schips  Schwytz]  fit  une 
intéressante  conlérence  sur  l'emploi  des  mathématiques  dans  les 
sciences  naturelles.  Cette  première  prise  de  contact  entre  profes- 
seurs naturalistes  et  mathématiciens  sera,  nous  lespérons  bien, 
suivie  d'autres  tentatives  du  même  genre  :  elles  sont  destinées  h 
élargir  l'horizon  des  uns  et  des  autres. 

C.  Jaccottet    Lausanne). 


Nouvelles  diverses.  —  Nominations  et  distinctions. 

Alleiiiag"ne.  —  Le  Prix  Ackeriiiann-Teuhner  a  élé  attribué  à 
M.  L.  PitANDTL,  professeur  à  l'Université  de  Gœtlingue. 

La  Société  inalhéinatiqne  alleinande  a  désigné  couime  président 
INl.  le  Prof.  IL  v.  Man(;()ldt,  pour  l'exercice  1918-19.  Elle  a  décidé 
de  conférer  la  présidence  d'honneur,  pendant  cette  même  période, 
à  M.  le  Prof.  F.  Kleix,  à  l'occasion  de  son  70"  anniversaire  et  de 
son  50*^  jubilé  de  doctorat. 

AL  C.  CAiiATHÉoDoiîv,  professeur  à  l'Université  de  G(eltingue.  est 
nommé  pi'ofesseur  à  l'Univeisilé  de  Berlin. 

jNI.  s.  Fixsi  EitwALDEK,  profcsscu r  à  1" Kcole  technique  supérieure 
de  Munich,  a  été  nommé  professeur  de  Géodésie  à  l'Université  de 
Berlin  et  directeur  à  l'Institut  géodésique  de  Potsdam. 

M.  G.  FiiEcE,  professeur  à  l'Univeisilé  deléna,  prend  sa  retraite. 

M.  G.  Hamei.  est  nommé  professeur  à  l'Université  de  Tubingue, 
en  remplacemeiil  de  M.  le  Prof.  A.  v.  Biull,  qui  prend  sa  retraite. 


CIIROMQUE  303 

M.  E.  Jacohsthai-,  privat-docent,  a  éfé  nommé  professeur  de 
Mathématiques  à  l'Ecole  technique  supérieure  de  Berlin. 

M.  M.  Nœtheu,  professeur  à  lUniversité  d'Erlangen,  prend  sa 
retraite. 

Angleterre.  —  La  Britisli  Association  for  the  acU>anceincnt 
of  Science  tiendra  sa  réunion  de  1919  kBournenioath,  au  début  de 
septembre,  sous  la  présidence  de  Sir  Charles  Pahsons. 

Le  Prix  Adanis  pour  l'JlS  a  été  attribué  à  M.  le  Prof.  J.  L.  Ni- 
CHOLsox,  du  Kino's  Collège,  à  Londres. 

Belg'ic|ue.  —  La  Classe  des  Sciences  de  V Académie  de  Bel- 
gique vient  d'arrêter  le  règlement  d'une  nouvelle  et  importante 
fondation  lAi^alhon  De  Potier)  destinée  à  favoriser  le  progrès  des 
sciences  mathématiques,  physiques  et  naturelles,  par  voie  de  sub- 
sides, prix,  etc. 

Société  Roi/ale  des  Sciences  de  Liège.  —  M.  IL  Fehr,  professeur 
à  l'Université  de  Genève,  a  été  nommé  membre  correspondant 
étranger  de  la  Section  des  sciences  mathématiques  et  physiques. 

l>aneuiark.  —  A  partir  de  1919  la  Nyt  Tidsskrift  for  Mate- 
matik  est  ijubliée  par  la  Société  mathématique  de  Copenhague  et 
prend  le  nom  de  Mateniatisii  Tidsskrift.  La  série  A  [Mathéma- 
tiques élémentaires)  est  dirigée  par  MM.  I.  L.  W.  Jessex  et 
().  A.  SMrrH,  la  série  B  (Mathématiques  supérieures)  par  MM. 
llarald  BoHit  et  T.  Bonxesex. 

Etats-f  iiis  d'Amérique.  —  Au  L'"  janvier  1910  la  Société 
mathématique  américaine  {American  Malheniatical Society )  comp- 
tait 723  membres.  Pendant  les  séances  tenues  en  1918  il  a  été  pré- 
senté 137  mémoires.  M.  le  Prof.  Frank  Morley  (Johns  Hopkins 
Universily,  Baltimore)  a  été  élu  président  pour  1919. 

De  son  côté,  l'Association  mathématique  (Tl^e  Mathematical 
Association  of  America),  qui  poursuit  plus  particulièrement  le 
progrès  des  mathématiques  dans  les  collèges,  a  appelé  à  la  prési- 
dence M.  H.  E.  StAUGHr  (University  of  Chicago).  Le  Bulletin  pu- 
blié par  l'Association  sous  le  titre  The  Mathematical  Monthlij 
(20"  année)  sera  dirigé  par  MM.  R.  C.  Auchibald,  W.  A.  Ilunwnz 
et  IL  E.  Si.ALciiT. 

France.  —  Académie  des  Sciences  de  Paris.  —  M.  Edouaid 
Goi  USAT,  i^iofesseur  à  la  Faculté  des  Sciences  de  Paris,  a  été  élu 
membre  titulaire  de  la  section  de  Géométrie,  en  remplacement  de 
M.  Emile  PicAHo,  élu  secrétaire  perpétuel. 

Société  mathématique  de  France.  —  M.  Lebesgle  a  été  élu  pré- 
sident de  la  Société  pour  1919. 

M.  Chazv  est  nommé  professeur  de  mathématiques  générales  à 
l'Université  de  Lille,  en  remplacement  de  M.  Clairin.  décédé. 

M.  FnÉcHET,  professeur  à  la  Faculté  des  Sciences  de  Poitiers, 


304  Cil  HO  NI  QUE 

et  M.  lise  LA  x(;  ON,  maître  de  conférences  ii  rUniversilé  de  Fîor- 
dcaux,  sont  détaches  près  lUnivei-silé  de  Strasbonrif. 

M.  GuicHAiii),  professeur  de  Mathémaliqiies  générales  à  la  Fa- 
culté des  Sciences  de  lUniversilé  de  Paris,  est  nommé,  sur  sa 
demande,  professeur  de  Géomélrie  supérieure  à  la  dite  Faculté. 

M.  P.  Hu.MBEitT,  docteur  es  sciences,  est  délégué,  jusqu'à  la  fin 
de  l'année  scolaire  1918-10,  dans  les  fonctions  de  maître  de  con- 
férences de  mathématiques  à  l'Université  de  Montpellier,  pendant 
l'absence  de  M.  Denjoy,  détaché  prés  lUniversité  d  Utrecht. 

M.  LKiiESGui-,  docteur  es  sciences,  maître  de  conférences  d'ana- 
lyse mathématique  à  la  Faculté  des  Sciences  de  l'Université  de 
Paris,  est  nommé  à  la  dite  Faculté,  professeur  d'application  de 
l'analyse  à  la  géométrie  (chaire  vacante. 

M.  Roy  est  nommé  professeur  de  mécanique  rationnelle  à  l'Uni- 
versité de  Toulouse,  en  remplacement  de  M.  Lattes,  décédé. 

Italie.  —  M.  U.  Amaldi,  professeur  à  lUniversité  de  Modène, 
est  nommé  professeur  de  Géométrie  descriptive  à  l'Université  de 
Padoue. 

jM.  I^evi-Civita,  professeur  à  l'Université  de  Padoue,  est  nommé 
professeur  d'Analyse  supérieure  à  l'Université  de  Rome. 

I\l.  G.  Seveium,  professeur  à  l'Université  de  Catane.  est  nommé 
professeur  d'Analyse  infinitésimale  à  l'Université  de  Gènes. 

Privat-docents.  —  Ont  été  admis  en  qualité  de  privat-docents  : 
M""  Elena  Freda,  pour  la  Physique  mathématique,  à  l'Université 
de  Rome;  M.  0.  Lazzarixo,  pour  la  Mécanique  rationnelle,  à 
l'Université  de  Turin  ;  M.  L.  A'olta,  pour  l'Astronomie  sphérique, 
à  l'Université  de  Gènes. 

Prix  de  innlhè  ma  tiques.  —  La  Société  italienne  des  Sciences 
(dite  des  XL)  a  décerné  sa  médaille  pour  1916-1917  à  M.  U.  Amaldi, 
professeur  à  l'Université  de  Modène  (actuellement  à  Padoue),  pour 
l'ensemble  de  ses  recherches  sur  la  théorie  des  groupes  continus 
de  transformations. 

Académie  Roijale  dei  Lincei.  —  M.  F.  Pascal,  professeur  à  l'Uni- 
versité de  Naples,  et  M.  F.  Almansi,  professeur  à  l'Université  de 
Rome,  ont  été  nommés  membres  nationaux.  M.  G.  Fano,  profes- 
seur à  l'Université  de  Turin,  a  été  nommé  membre  correspondant. 

Circolo  Matematico  di  Palermo.  —  Le  Comité  a  décidé  de 
repiendre  la  publication  des  Rcndiconti  suspendue  pendant  la 
guerre.  La  seconde  partie  du  Tome  XLII  vient  de  paraître;  elle 
sera  suivie  sous  peu  du  Tome  XLllI. 

iVorvèg'C.  —  Sociélé  mallièmdliqne.  —  Le  2  novembre  1918  il 
a  été  fondé  à  Christiania  une  Société  mathémati(|ue  noivégienne. 
Son  comité  est  composé  de  MM.  St(>rme«,  président,  Rirkeland, 
vice-président,  Palmstrom,  secrétaire,  et  Solberc,  caissier.  La 
Société  publiera  un   bulletin   dont  la   rédaction   a  été  confiée  à 


CHRONIQUE  305 

MM.  Ai.EXANDER  et  HEEt;AARD.  Gi'àce  au  conconis  financier  d'une 
société  d'assurances,  le  prix  de  rabonnenient  annuel  ne  sera  que 
de  cinq  couronnes. 

Suisse.  —  M.  A.  Mohrmanx  a  été  nommé  professeur  ordinaire 
de  mathématiques  à  l'Université  de  Bàle. 

Nécrologie. 

Cr.  Alasia  de  Quesada.  —  Nous  eniegistrons  avec  regret  la 
mort  de  l'un  de  nos  anciens  collaborateurs,  M.  Cr.  Alasia,  pro- 
fesseur au  Gymnase  d'Alben<iO  [Italie],  décédé  le  19  novembre 
1918,  à  l'âge  de  49  ans. 

Léon  Ballik.  —  Nous  avons  le  regret  d'apprendre  la  mort  de 
notre  collaborateur  Léon  Ballif,  qui,  depuis  plusieurs  années, 
apportait  à  la  revue  des  travaux  scientifiques.  En  quelques  jours 
il  a  été  enlevé  par  la  grippe.  Ancien  élève  de  LKcole  Polytech- 
nique de  Paris,  admis  à  l'Ecole  Centrale  des  Arts  et  ÎNLinufactures 
et  à  l'Ecole  Normale  supérieure,  Léon  Ballif  servait  comme  ingé- 
nieur d'artillerie  navale  à  la  Commission  d'expériences  de  tir  de 
Gàvres,  près  Lorient.  .Vprès  avoir  commandé  au  front  comme 
capitaine  d  artillerie,  il  était  venu  reprendre  son  poste  d'études, 
où  il  avait  notamment  piéparé  les  tables  de  tir  des  canons  de  400 
et  de  520.  Entre  temps,  il  avait  suivi  les  expériences  d  inventions 
—  dues  à  son  initiative  —  d'attaque  des  torpilles  automobiles  par 
des  mitrailleuses  à  grenades,  de  stabilisation  automatic|ue  des 
projectiles  sur  leur  trajectoire,  de  mesure  de  la  densité  de  l'air 
par  l'observation  à  des  altitudes  successives  d'un  ballonnet  exten- 
sible. Auteur  d'un  certain  nombre  de  mémoires  présentés  à  l'Aca- 
démie des  Sciences  et  à  d'autres  sociétés  scientifiques,  il  avait 
écrit  avant  la  guerre  un  ouvrage  le  Combat  aérien,  étude  cinéma- 
tique, livre  prophétique,  qui  lui  avait  mérité  un  prix  de  l'Aca- 
démie des  Sciences. 

Léon  Ballif  disparaît  au  nioment  où  son  intelligence  scienti- 
fi(jue  était  en  plein  rendement  et  donnait  de  brillantes  espéiances. 
Nous  ne  j)ouvons  que  joindre  nos  regrets  à  ceux  de  sa  famille  et 
de  ses  nombreux  amis. 

M.  Matteo  Bottasso,  chargé  du  cours  de  mécanique  ration- 
nelle à  l'Université  de  Messine,  est  décédé  à  Turin,  à  la  suite 
d'une  attaque  d'influenza,  le  3  octobre  1918,  à  l'îîge  de  40  ans.  Il 
appli(pia  avec  beaucoup  d'élégance  le  calcul  vectoriel  à  plusieurs 
questions  de  géométrie  et  de  mécanique,  en  particulier  à  la  sta- 
ticjue,  à  laquelle  il  dédia  un  volume,  le  fiuatrième  île  la  collection 
«Analyse  vectoiielle  généiale  »  de  MM.  Buralli-l'Orli  et  Marco- 
lonco. 


306  CHRONIQUE 

C.  BiUNDENBERGER.  —  La  Société  suisse  des  professeurs  de 
mathématiques  vient  de  perdre  Tun  de  ses  membres  les  plus  actifs 
et  les  plus  dévoués,  M.  le  D""  C.  Brandenberger,  membre  fonda- 
teur et  ancien  président,  décédé  à  /.urich  le  2  janvier  1910,  dans 
sa  A6^  année,  des  suites  d'une  cruelle  maladie.  Possédant  à  un 
degré  très  élevé  les  qualités  d'esprit  et  de  cœur  qui  caractérisent 
le  véritable  éducateur,  il  s'était  désigné  de  bonne  heure  à  l'atten- 
tion des  autorités  scolaires  du  canton  de  Zurich.  Nommé  profes- 
seur de  mathématiques  à  l'Ecole  cantonale,  en  1890,  il  fut,  dans 
toute  la  force  du  terme,  un  maître  par  le  talent  et  par  le  dévoue- 
ment. Il  remplit  les  fonctions  de  prorecleur  de  1008  à  1017. 

Dès  ses  débuts  dans  la  carrière  de  renseignement,  il  s'attacha 
à  l'étude  des  questions  de  didactique  mathématique.  En  1901,  il 
prit  l'initiative,  avec  son  ami  Gubler,  de  la  fondation  de  la  Société 
suisse  des  professeurs  de  mathématiques,  qui  ne  tarda  pas  à 
grouper  la  plupait  des  représentants  de  cette  branche  dans  les 
établissements  secondaires  et  supérieurs.  Eors  de  la  création,  en 
1008,  de  la  Commission  internationale  de  l'enseignement  mathé- 
matique, la  délégation  suisse  trouva  dans  ce  milieu  un  excellent 
groupe  de  collaborateurs,  et  c'est  à  Brandenberger  quil  confia  la 
tâche  très  ardue  de  rédiger  le  rapport  su i- les  mathématiques  dans 
l'enseignement  moyen.  On  sait  que  son  exposé  compte  parmi  les 
meilleurs,  non  seulement  de  la  série  des  rapports  suisses,  mais 
aussi  dans  l'ensemble  des  monographies  de  la  Commission  inter- 
nationale. 

Au  nombre  des  questions  soulevées  par  la  Sous-commission 
suisse  et  mises  en  discussion  dans  les  séances  de  la  Société  des 
professeurs  de  mathématiques  figurait,  entre  autres,  celle  de  la 
préparation  des  candidats  à  l'enseignement.  Brandenberger  y  atta- 
cha une  attention  toute  spéciale.  Aussi,  grâce  à  sa  compétence 
dans  ce  domaine,  il  fut  chargé,  en  1012,  de  l'enseignement  théo- 
ricjue  et  pratique  de  la  méthodologie  et  de  la  didacticjue  mathé- 
matique à  la  section  normale  de  TEcole  polytechnique  fédérale, 
Cfui  lui  conféra  le  titre  de  professeur  en  1918.  Par  ces  nouvelles 
fonctions  il  eut  pu  exercer  une  influence  féconde  sur  les  jeunes 
générations  de  professeurs.  Si  son  action  directe  n'a  été  que  de 
trop  courte  durée,  l'impulsion  nouvelle  donnée  par  Brandenberger 
aux  progrès  de  l'enseignement  scientifique  persistera  longtemps 
encore. 

L'admirable  unité  de  vie  de  Brandenberger,  l'ardeur  désinté- 
ressée avec  laquelle  il  s'attachait  à  tout  ce  qui  est  utile  ou  géné- 
reux, laissent  entrevoir  ce  que  fut  Ihomme.  Il  fut  serviable  et 
bon.  Par  son  caractère  bienveillant  et  droit,  il  inspirait  une  grande 
confiance.  Ses  collègues  et  ses  anciens  élèves  se  lappelleront  tou- 
jours la  cordialité  et  la  franchise  de  son  accueil.  A  tous  il  laisse 
en  exemple  une  vie  féconde,  toute  tle  travail  et  d'énergie.     H.  F. 


CHRONIQUE  307 

Ulisse  Dixi.  — Sa  mort  est  survenue  le  28  octobre  J9i8  à  Pise, 
où  il  était  né  le  14  novembre  1845.  Il  y  fit  toutes  ses  études.  Très 
apprécié  par  Mossotti  et  de  Betti,  il  obtint  déjà  à  19  ans  le  titre  de 
docteur  en  mathématiques.  Il  se  rendit  ensuite  à  Paris  où  il  suivit 
les  cours  d'Hermite  et  de  Bertrand.  Dès  1867  il  enscii^na  à  Pise, 
d'abord  la  géodésie  et  l'algèbre,  puis,  jusqu'à  sa  mort,  l'analyse 
infinitésimale  et  supérieure. 

Ses  premières  recherches  de  géométrie  dillerentielle  lui  as- 
surent à  elles  seules  une  place  très  honorable  parmi  les  mathé- 
maticiens du  XIX*^  siècle,  mais  son  œuvre  principale  se  rapporte 
à  l'analyse,  qu'il  a  enrichie  par  ses  études  sur  les  équations  difTé- 
rentielles  et  sur  les  développements  en  série  de  fonctions  don- 
nées, et  dont  il  a  rebâti  les  fondements  d'une  manière  systéma- 
tique avec  une  généralité  qui  n'avait  pas  été  obtenue  par  ses 
devanciers.  Mentionnons  ses  écrits  classiques  intitulés  «  Fonda- 
menti  per  la  teoria  délie  funzioni  di  variabile  reale  »,  «  f^a  série 
di  Fourier»,  ainsi  que  son  traité  en  quatre  volumes  «  Lezioni 
d'analisi  infinitésimale  ». 

Maître  éminent,  sénateur,  président  ou  membre  de  nombreuses 
commissions  se  rapportant  à  l'instruction  publique,  il  exerça  une 
influence  profonde  sur  la  formation  des  mathématiciens  et  sur 
l'organisation  des  mathématiques  en  Italie.  Ses  grands  mérites 
ont  été  d'ailleurs  à  juste  titre  universellement  reconnus. 

Emile  Dimont.  —  Nous  apprenons  avec  regret  la  mort  de  notre 
distingué  collaborateur,  M.  Emile  Dumont,  professeur  à  l'Institut 
Michot-Montgenast  à  Bruxelles,  tué  à  l'ennemi.  M.  Dumont  est 
l'auteur  de  plusieurs  traités  au  nombre  desquels  nous  mention- 
nons ici  son  Arithmétique  générale,  dans  laquelle  il  fait  un  exposé 
méthodique  et  synthétique  des  principales  propriétés  des  nombres 
complexes,  des  ternions  et  des  quatcrnions. 

Emile  Lampr.  —  Le  4  septembre  1018  est  décédé  ii  Berlin,  dans 
sa  78*^  année,  M.  le  Prof.  D''  E.  Lampe,  directeur  du  JaJirbnch 
iïher  die.  Fortschritic  (1er  Matheincitik.  Par  le  dévouement  et  le  soin 
qu'il  ne  cessa  d'apporter,  pendant  plus  de  '.\'.\  ans,  à  la  direction 
de  cet  important  recueil  bibliographique,  il  a  rendu  de  grands 
services  aux  sciences  mathématiques.  Il  a  su  faire  le  sacrifice  de 
ses  recherches  personnelles  dans  l'intérêt  général  de  la  science. 
Depuis  1900  il  dirigeait,  avec  M.  le  Prof.  E.  .lalinke,  \' ArclÛK'  der 
Mathenifitik  niul  Phijsik.  11  faisait  aussi  partie  du  (Comité  de  rédac- 
tion du  Journal  de  C relie.  IL  F. 

A. -M.  LiAi'OiNoi  r.  —  La  revue  anglaise  Nature,  du  27  février 
1919,  annonce  la  mort  de  M.  A. -M.  Liapouiiolf.  membre  de  l'Aca- 
démie des  Sciences  de  Pétrograde. 


308  CHU  ON  [QUE 

Paul  Mansiox.  —  [.es  malliérnalicieiis  belges  viennent  de  perdre 
l'un  de  leurs  représentanis  les  plus  distingués,  ^1.  Paul  Mansion, 
professeur  éinérile  à  l'Université  de  Gand,  membre  de  l'Académie 
lloyale  de  Belgique,  décédé  dans  cette  ville,  le  18  avril  1U19,  à 
l'âge  de  75  ans. 

Ancien  élève  de  lUniversité  de  Gand,  le  savant  géomètre  exerça 
son  professorat  dès  1867;  il  remplit  aussi  dans  celte  haute  école, 
pendant  de  nombreuses  années,  les  fonctions  d'inspecteur  des 
études  à  l'Ecole  préparatoire  du  Génie  civil  et  des  Arts  et  Manu- 
factures, y  annexée.  Il  fut  nommé  professeur  émériteen  1910.  Par 
ses  remarquables  qualités  de  savant  et  de  professeur,  INI.  P.  Mansion 
laisse  l'exemple  dune  belle  cairière  scientitique. 

Ses  recherches  appartiennent  aux  domaines  les  plus  divers  des 
mathématicjues  pures,  notamment  à  l'Algèbre  supérieure,  jx  la 
Théorie  des  nombres,  à  l'Analyse,  à  l'Etude  des  fondements  de  la 
Géométrie  et  à  l'Histoire  des  mathématiques.  Parmi  ses  ouvrages 
didactiques,  nous  rappellerons  ici  ses  Eléments  de  la  théorie  des 
déterminants,  ses  Cours  d'Algèb/e  supérieure  et  d\A.noli/se  infini- 
tésimale, son  Traité  sur  la  théorie  des  équations  au.r  déri^'ées par- 
tielles du  i"  ordre,  ses  Principes  de  Métagéoniétrie,  etc.  Plusieurs 
de  ces  ouvrages  ont  été  traduits  en  allemand  et  publiés  par  la 
maison  Teubner  à  Leipzig.  En  1881  il  fonda,  avec  M.  J.  Neuberg, 
la  revue  MatJiesis,  qu'il  ne  cessa  de  diriger  jusqu'en  1915,  avec 
son  collègue  de  l'Université  de  Liège. 

Dès  sa  fondation,  V Enseignement  Matliématique  a  eu  le  privilège 
de  pouvoir  compter  M.  Mansion  au  nombre  des  membres  de  son 
comité  de  patronage.  H.  F. 

H.  G.  Zelihen.  —  La  Science  mathématique  vient  de  perdre 
l'un  de  ses  meilleurs  historiens,  M.  II.  G.  Zeuthen,  professeur 
émérite  à  l'Université  et  à  l'Ecole  polytechnique  de  Copenhague. 
Né  le  15  février  1839.  le  savant  mathématicien  danois  est  décédé 
le  15  février  1919.  Ses  travaux  se  rapportent  principalement  à  la 
Géométrie  des  courbes  et  à  l'Histoire  des  mathématiques.  Chacun 
connaît  son  bel  ouvrage  sur  V Histoire  des  matht'matiqiws  dans 
r Antiquité  et  le  Moyen  dge  (édition  française  par  .1.  Mascart,  Paris, 
1902). 

(Correspondant  de  llnslitut  de  France  et  de  nombreuses  sociétés 
scientifiques,  Zeuthen  était  l'un  des  vice-présidents  du  4*^  Congrès 
des  mathématiciens  (Rome,  1908);  il  faisait  partie  du  Comité  de 
rédaction  des  Acta.  Mathematica  et. des  Hendiconti  di  Palermo  et 
figurait  au  nombre  des  collaborateui's  du  liiilletin  des  sciences 
niathématiqucs  et  de  V E/tci/clopédie  des  scie/ices  mathématiques. 
Il  avait  été  chargé,  avec  M.  J.  H.  Ileiberg,  de  la  ])ublicalion  des 
Mémoires  scientifiques  de  Paul  Tanneri/.  H.  F. 


BIBLIOGRAPHIE 


Annuaire  pour  l'An  1919  publié  par  le  Bureau  des  Longitudes.  —   l  vol. 

ia-16  de  près  de  700  p.  avec  li  lig-.  5  cai'les  célestes  en  couleurs  el  3 
caries  muguétiques.  Broclié  3  Ir.  Cîautliier-N'illars  &  C"^,  55,  quai  des 
Grauds-Auguslins,  Paris. 

L'Aïuuiaire  du  Bureau  des  Longitudes  pour  1919  groupe  sous  un  petit 
volume  ua  grand  nombre  de  renseignements  numériques  qui  sont  épars 
dans  de  volumineux  traités.  Il  met  réellement  les  données  des  sciences  à  la 
portée  de  tous. 

Il  indique  les  positions  relatives  des  asti-es  (soleil,  terre,  luue.  planètes, 
étoiles)  pour  chaque  jour  de  lanuée  ;  les  concordances  des  calendriers  de 
tous  pays;  la  déclinaison  en  divers  lieux;  les  niesui-es  légales;  les  données 
statistiques  concernant  la  population  des  villes  de  France. 

Il   contient  des  tables  d'annuités,    de   survie,  d'intérêt  et  d  amortissement. 

C'est  donc  un  guide  pour  le  clierclieur  qui  veut  orienter  le  courant  de  ses 
études.  C'est,  pour  le  travailleur  un  ensemble  de  documents  précieux  sans 
cesse  tenus  au  courant  des  dernières  déterminations  île  la  science. 

Le  volume  comprend  en  outre  deux  notices.  L'une,  due  à  M.  I'.  Appki.l, 
traite  des  Figures  d'équilibre  relatif  d  un  liquide  homogène  en  rotalion, 
dont  les  éléments  s'attirent  suivant  la  loi  de  Newton.  C'est  un  résumé  liis- 
torique  et  vulgrisateur  d'une  difficile  question;  on  n'y  trouve  point  de  for- 
mules compliquées,  mais,  au  conti'aire,  d'ingénieux  graphiques  d'une  vue 
très  simple.  Une  bibliographie  termine  celle  note  si  pleine  d'originalité. 

Dans  la  seconde  notice,  M.  Maurice  Hamy  examine  Za  détermination  inier- 
férentielle  des  diamètres  des  astres,  en  reprenant  aussi  très  simplement  la 
tiiéorie  des  interférences. 

L'annuaire,  dont  certains  ont  niédil,  prouve  que  son  intérêt  peut  être  per- 
fectionné et  considérablement  augmenté. 

P.  Appf.i.l  et  S.  Dauthkvili.f.  —  Précis  de  Mécanique  rationnelle.  Intro- 
duction à  l'étude  de  la  Physique  et  de  la  .Mécanique  applii(iiff,  à  1  usage 
des  candidats  aux  certilicats  de  licence  el  des  élèves  des  lù'oles  lech- 
niques  supérieures.  2"  édiliou.  —  1  vol.  gr.  in-8"  de  viii-83<">  |).  et  230  lig.; 
30  Ir.;  Gauthier-Villars  &.  Ci^  Paris,  1918. 

La  seconde  édition  de  cet  Ouvrage  alllrme,  une  fois  de  plus,  un  succès 
déjà  établi  pour  maintes  autres  raisons.  Il  pouirait  être  représenté  dans  les 
termes  déjà  employés  ici  (tome  XIII,  1911,  p.  72)  lors  de  la  publication  de 
la  pren)ière  édition;  il  peut  èti'e  distingué  d'autres  ouvrages  pratiques  en 
ce  qu'il  observe  surtout  la  grande  symétrie  et  la  grande  généralité  analy- 
tiques mais  avec  des  formes  si   simples  qu'on    peut   immédiatement   inséier 


310  RIBLIOGUAPIIIE 

les  applications  les  plus  variées  que  d'antres  auteurs  traitent  laborieusement 
sans  toujours  laisser  transparaître  la  simplicité  des  principes  et  des  «  équa- 
tions universelles  ». 

A  propos  des  principes  notons  toujours  qu'aucune  définition  obligatoire 
de  la  «  force  »  n'y  ligure  et  que  la  composition  des  «  forces  »  concourantes 
n'est  pas  distinguée  d'un  principe.  Il  y  a  là  des  formes  qui  sont  très  vrai- 
semblablement d  une  simplicité  définitive  bien  que  les  principes  de  la  Méca- 
nique aient  toujours  un  certain  malaise  qui  vient  probablement  de  1  expé- 
rience, celle-ci  les  serrant  de  plus  près  qu  elle  ne  serre  les  principes  de  la 
Géométrie. 

Excellentes  sont  les  discussions  sur  le  choix  des  unités  et  Thomogénéité  ; 
quelle  source  de  perpétuels  scandales  il  y  a  là  pour  les  élèves  insuffisam- 
ment avertis  ? 

[.a  statique  de  la  première  édition  s'est  augmentée  de  statique  graphique; 
c'est  une  géométrie  des  contours  polygonaux  qui  est  excessivement  élémen- 
taire et  qui,  même  lorsqu'elle  nécessite  nn  complément  c;ilculé,  a  le  grand 
avantage  de  diriger  intuitivement  le  calcul. 

La  Résistance  des  matériaux  vient  également  s'insérer,  en  un  chapitre 
nouveau,  à  la  lîn  de  la  Statique.  Elle  est  débarrassée  de  toutes  considéra- 
tions relatives  à  une  exposition  préalable  et  laut  soit  peu  élevée  de  la  théorie 
de  l'élasticité.  Et  1  on  peut  remarquer,  une  fois  de  plus,  que,  dans  ces  con- 
ditions, on  n'en  arrive  pas  moins  à  nombre  d  élégantes  formules  (telle  celle 
du  flambage,  due  à  Euleri  apparues  d'ailleurs  dans  la  Science  bien  avant  les 
profonds  développements  tirés  de  l'analyse  des  équations  de  l'élasticité. 

C'est  avec  la  dynamique  des  systèmes  qu'apparaît  surtout  la  simplicité 
«  universelle  »  déjà  signalée.  A.  de  St-Germain,  dans  son  Recueil  d'Exercices 
disait  déjà  il  y  a  fort  longtemps  :  «  Les  méthodes  de  la  Mécanique  sont  loin 
«  de  présenter  les  difficultés  que  leur  attribuent  trop  souvent  les  débu- 
te tants;  elles  se  ramènent  à  un  très  petit  nombre  de  principes  généraux  et 
«  les  problèmes  de  Mécanique  sont  peut-être  ceux  qu  on  peut  aborder  avec 
«  le  moins  d  hésitation.  »  Ce  qui  semblait  déjà  tel  pour  A.  de  St-Germain 
est  devenu  de  plus  en  plus  vrai  ;  les  problèmes  dynamiques  holonomes  uni- 
formisés en  méthode  par  les  équations  de  Lagrange  ne  sont  pas  moins  uni- 
foimisables  par  les  équations  fondamentales  et  les  théorèmes  généraux  : 
c'est  un  des  principaux  mérites  du  présent  volume  que  de  montier  la  chose 
sur  les  plus  nombreux  et  élégants  exemples. 

Le  principe  de  d'Alembert  ainsi  que  les  équations  de  Lagrange  ne  viennent 
qu  ensuite. 

Rappelons  aussi  que  le  volume  est  parfaitement  complet  pour  le  niveau 
auquel  il  est  assigné  ;  il  renferme  les  fondements  de  la  théorie  du  potentiel 
et  les  éléments  de  la  mécanique  des  milieux  continus. 

Les  1res  nombreux  exercices  qui  l'accompagnent  ont  été  rajeunis  à  1  aide 
des  textes  des  récents  examens  et  concours;  le  retentissement,  tout  utili- 
taire, de  la  seconde  édition,  ne  sera  pas  moins  vif  que  celui  de  la  première. 

N'oublions  pas  de  mentionner  que  ce  nouveau  livre  est  dédié  à  la  mé- 
moire du  capitaine  d'artillerie  Albert  Gauthier-Yillars,  mort  à  son  poste  de 
commandement  le  14  juillet  1918  ;  les  auteurs  ont.  sans  doute,  voulu  rendre 
hommage  au  patriote,  engagé  dans  la  guerre  dès  la  première  heure,  ainsi 
qu  à  l'homme  éclairé  qui  fit  l'effort  connu  do  tous  pour  porter  l'impression 
matérielle  des  malhémaliques  au  plus  haut  degré  d  art  et  de  perfection. 

A.  Buiii.  (Toulouse). 


BIBLIOGRAPHIE  311 

Gustave  De  Pasquier.    —  Introduction  à  la  Science  actuarielle.  —   1  vol. 

in-8",  de  174  p.  ;  5  fr.  ;  Delacliaiix  ik  Niestié,   rs'eiicliàtel. 

L  auteur  de  cet  ouvrage  vise  à  combler  une  lacune  pour  les  Jecleui's  de 
langue  française  en  leur  fournissant  un  traité  élémentaire  des  principaux 
problèmes  relatifs  aux  assurances.  Au  reste,  nous  ne  saurions  mieux  faire 
que  de  reproduire  les  conditions  qu  il  se  propose  de  remplir  telles  qu'elles 
sont  énoncées  dans  sa  Préface  :  «  1"  être  à  la  portée  de  lecteurs  qui  ne  pos- 
sèdent que  les  premiers  éléments  d'algèbre  sans  aucune  connaissance  spé- 
ciale ;  —  2*^  exposer  les  notations  et  les  principes  fondameutaux  de  la  science 
de  l'actuaire;  —  3"  mettre  le  lecteur  à  même  de  calculer  le  prix  de  revient 
d'un  engagement  viager,  la  prime  d'une  combinaison  d'assurance,  la  réserve 
mathématique  d'une  police  prise  à  un  moment  donné  de  son  cours,  d'ana- 
lyser la  situation  financière  d'une  institution  de  prévoyance  basée  sur  la  vie 
humaine  ;  —  i°  atteindre  ces  buts  par  un  minimum  d'effort  sans  renvoyer 
le  lecteur  à  d'autres  manuels.  » 

Le  début  de  ce  traité  est  consacré  aux  définitions  et  à  une  exposition  îles 
notations  (internationales)  de  leur  signification  et  de  leur  origine.  Suit  un 
aperçu  des  bases  financières  de  la  science  actuarielle,  intérêt,  valeur 
escomptée,  actuelle,  acquise;  puis  des  bases  statistiques,  facteurs,  taux  et 
tables  de  mortalité.  Enfin  dans  le  chapitre  IV  1  auteur  aborde  la  question 
des  calculs  de  primes  unique  ou  échelonnée  des  contrats  usuels  d  assurance 
par  une  méthode  qu'il  intitule  méthode  eulérienne.  Le  point  de  départ  est 
le  même  que  celui  des  méthodes  classiques,  soit  le  principe  de  l'égalité  des 
valeurs  actuelles  des  recettes  et  dépenses  futures,  au  lieu  d  en  déduire 
seulement  la  prime  unique  et  d'obtenir  ultérieurement  la  prime  échelonnée, 
il  l'applique  d'emblée  au  cas  plus  général  où  l'assuré  verse  de  suite  une 
somme  P  et  à  intervalles  successifs  égaux  une  somme  a,  ce  qui  lui  donne 
une  équation  générale  de  laquelle  il  tire  comme  cas  particulier  la  piMnie 
unique  ou  la  prime  échelonnée,  selon  qu'il  suppose  a  ou  P  nuls. 

La  méthode  qui  consiste  à  établir  une  formule  générale  et  à  eu  déduire 
les  solutions  de  presque  tous  les  problèmes  comme  cas  particuliers,  est 
sans  contredit  la  meilleure  an  point  de  vue  logique  et  esthétique.  Quand 
on  se  rappelle  que  l'auteur  s'adresse  plus  particulièrement  à  ceux  pui  n'ont 
pas  une  préparation  mathématique  très  complète,  on  peut  cependant  se 
demander  s'il  n'eût  pas  été  préférable  de  présenter  premièrement  les  mé- 
thodes classiques  de  résolution,  moius  abstraites  parce  que  moins  géné- 
rales, puis  une  fois  le  lecteur  familiarisé  avec  les  formules  ainsi  obtenues, 
lui  en  montrer  la  synthèse  dans  la  méthode  eulérienne,  qui  ressort  alors 
avec  tonte  sa  valeur.  Mais  M.  Du  Pasquier  étant  professeur  de  science 
actuarielle,  a  sans  nul  doute  eu  l'occasion  d'expéi-imenter  les  deux  méthodes 
et,  dans  le  cas  où  il  n'aurait  trouvé  aucun  inconvénient  d  ordre  pédagogique, 
à  appliquer  exclusivement  la  méthode  eulérienne,  il  tic  nous  reste  qu'à  en 
admirer  l'élégance. 

Le  traité  se  termine,  outre  quelques  labiés  nuinér-iques,  par  un  bref  cha- 
pitre sur  les  réserves  mathématiques,  leur  nécessité  et  très  succinlement 
leurs  méthodes  de  calcul.  Etant  donné  l'importance  pratique  du  sujet,  il 
faut  espérer  que  M.  Du  Pasquier  y  reviendra  ultérieurement  dans  une  suite 
à  cette  introduction. 

En  attendant,  ce  manuel  peut  rendre  de  réels  services  tout  spécialement 
à  ceux  ayant   eu    l'occasion   de   se   familiariser  avec   la   routine   des   calculs 


312  H  I  li  I.IOG  I:A  P  IIIE 

acluariels  uniqiiemeiil  par  la  pratique,  ont  l'ambition  de  perfoclionner  leurs 
coniiaissances  et  de  comprendre  le  pourquoi  et  le  comment  de  leur  travail. 

R.  Masscn  (Paris). 

R.  FitK.Ki:.  —  Lehrbuch  der  Differential-  und  Integralrechnung  und  ihrer 

Anwendungen.    —  1  et  II.  —  2  vol.  iii-8'J,  399  p.   et   ilo  p.    relié,   J.j  .M.   le 

volume  ;  B.  G.  Teubner,   Leipzig. 

Après  une  loiigu<i  pratique  de  l'en-seiguemenl  à  l'Ecole  techui(|ue  supé- 
lieure  de  Braunschweig,  M.  Fricke  a  entrepris  la  publication  d  un  Traité 
de  Calcul  diflereiiliel  et  intégral  destiné  aux  étudiants  de  l'enseignement 
supérieur  universitaire  ou  technique.  Sans  rien  sacrilier  des  pi-incipes  im- 
portants, et  sans  renoncer  à  une  rigueur  légitime  et  à  une  exactitude  indis- 
pensable, il  a  su  donner  un  exposé  à  la  fois  simple  et  clair  et  renoncer  à  des 
délails  accessoires.  Une  bonne  éducation  malliématiqne  exige  des  habitudes 
de  rigueur.  On  peut  simplifier  l'exposé  lorsqu'on  s  adi-esse  à  des  élèves- 
ingénieurs,  mais  jusqu'à  un  certain  degré  seulement.  L  auteur  n  a  pas  dé- 
passé ce  degré-là. 

C'est  surtout  dans  les  applications  que  l'auteur  a  tenu  comple  des  besoins 
des  futurs  physiciens,  tics  futurs  ingénieurs  électriciens  ou  mécaniciens.  Ce 
ne  sont  pas  des  exercices  d'invention,  mais  des  problèmes  empruntés  à  la 
géométi'ie,  à  la  mécanique  et  à  la  physique.  L'auteur  insiste  aussi,  très  fré- 
quemment, sur  les  calculs  numéric|ues,  sur  l'emploi  des  procédés  graliiques 
et  mécaniques.  C'est  ainsi  ([u'il  initie  l'étudiant  à  la  pratique  des  plani- 
mètres,  des  intégrateurs,  des  analysateurs. 

Voici  une  rapide  énuméraliou  des  chapitres  dont  se  compose  les  deux 
volumes  de  ce  traité  : 

J'oine  I.  —  Introduction  :  Nombres,  variables  et  fonctions  (97  p.).  —  L 
Les  bases  du  Calcul  différentiel.  —  II.  Les  méthodes  du  Calcul  des  fonc- 
tions ;  théorème  de  Taylor  ;  séries.  —  III.  Applications  du  Calcul  dilféi-en- 
tiel  ;  applications  géométriques  ;  applications  à  l'étude  du  mouvement  dans 
le  plan  et  dans  l'espace. 

Tome  //.  —  IV.  Les  bases  du  Calcul  inlégral  ;  intégrales  indéfinies  ; 
intégrales  définies,  intégrales  multiples.  —  V.  Applications  du  Calcul  inté- 
gral. Applications  géométi-iques.  Applications  en  physique.  Séries  de  Fou- 
rier;  analyse  harmonique.  —  VI.  Equations  différentielles.  —  Appendice; 
Nombres  complexes  et  fonctions  analyli(|ues. 

Le  temps  consacré  aux  mathématiques  dans  les  écoles  techniques  supé- 
rieures ne  permet  pas  an  professeur  de  développer  toutes  les  matières  con- 
tenues dans  ce  traité.  Le  cours  oral  ne  doit  d'ailleurs  pas  faire  double  em- 
ploi avec  un  cours  imprimé.  Le  livre  permet  de  revoir  les  matières  traitées, 
de  retrouver  les  définitions  et  les  théorèmes  énoncés  avec  jjrécision,  de 
compléter  et  d'approfondir  certains  chapili-es  que  le  professeur  n"a  fait  que 
signaler  dans  son  enseignement  oral. 

Ecrit  pour  ceux  qui  doivent  savoir  appliquer  les  mathématiques  dans  les 
sciences  physiques  et  techniques,  le  Traité  de  M.  Fricke  sera  un  excellent 
guide  non  seulement  pour  les  élèves  ingénieurs,  mais  aussi  pour  les  étu- 
diants en  mathématiques.  H.   F. 

Rodolphe  GuiMAKAiis.   —  Sur  la  vie  et  l'œuvre  de  Pedro  Nunes.   —   Lue 

brochure  in-S»  de  87  p.  ;  Coïmbre,   Imprimerie  de  1  Université,  1915. 
L'Académie  des   Sciences  de   Lisbonne  avait,  mais  sans  résultat,  proposé 


RULLETiy     ni  BI.IOr.UAP  II IQUE  313 

comme  sujet  de  concours,  en  1875-1877-1880,  une  élude  de  1  œuvre  remar- 
qu;)ble  de  Pedro  Xunes,  l'inveuleur  du  veriiier  {noiùus). 

Dans  soii  important  ouvrage,  Les  Malliéinatiques  en  Poilugal,  M.  Ro- 
dolphe Gnimaràes  avait  déjà  donné  une  idée  de  celle  œuvre  et  tracé  les 
principales  lignes  de  la  biographie  de  Pedro  Xunes. 

Les  Annaes  scienlifîcos  da  Acadeinia  Polvtechnica  do  Porto  (vol.  IX  et  X| 
ont  récemment  publié  une  étude  plus  développée  du  même  auteur  sur  la  vie 
et  lœuvi-e  de  Pedro  Xunes.  Les  articles  de  M.  R.  Guimaràcs,  réunis  eu  une 
brochure  de  87  p.,  constituent  un  travail  déllnilif  sur  cette  impoilanle  ques- 
tion d  histoire  scientifique.  On  y  trouve  la  biographie  de  l'illustre  savant 
portugais,  un  excelleul  aperçu  de  sou  œuvre  complète,  ainsi  que  de  pré- 
cieuses indications  bibliographiques.  Emile  'rLiinikiiE. 

E.  GouKSAT.  —  Cours  d'Analyse  mathématique,  Tome  H  :  Théorie  des  fonc- 
tions analytiques.  Equations  clillV  rcMitieilcs.  3"=  édition  revue  et  augmen- 
tée. —  1  vol.  de  iv-670  p.,  avec  o9  lîg.  ;  oO  fi-.  :  Gauthier-Villars  &  C'*, 
Paris. 

Xos  lecteurs  connaissent  l'œuvre  magistrale  publiée  par  M.  Goursat  en 
trois  volumes  sous  le  titre  de  Cours  d  Analyse  mathématique.  Cet  excellent 
ouvrage  a  eu  un  grand  succès,  et  l'auteur  a  été  obligé  de  donner  une  3'=  édi- 
tion du  Tome  II,  après  avoir  publié  la  3*^  édition  du  Tome  I.  Il  nous  suiDra 
évidemment  de  signaler  celte  nouvelle  édition  qui  ne  diffère  de  la  précé- 
dente que  par  quelques  additions,  dont  la  plus  imporlanle  est  relative  à  une 
proposilion  célèbre  de  M.  Picard.  «  Ce  théorème,  dit  l'auteur,  a  fait  l'objet 
d'un  gi-and  nombre  de  travaux,  qui  ont  conduit  à  une  démonstration  presque 
élémenlaire,  ne  faisant  appel  qu  à  des  inégalités  classiques  de  la  théorie 
des  séries  entières.  Il  m'a  semblé  qu'une  démonstration  de  celle  nature 
avait  sa  place  marquée  dans  un  Cours  d'Analyse.  »  H.  F. 


BULLETIN   BIBLIOGRAPHIQUE 


1.  Publications  périodiques  : 

Annales  de  l'Université  de  Grenoble,  Tome  XXX,  Xo  2,  1918.   —  Gau  : 

Sur  la  déterminalion  des  caractéristiques   des   équations    aux    dérivées    par- 
tielles du  second  ordre  à  deux  variables  indépendantes. 

Annali  di  Matematica,  série  III,  Tomo  XXVII.  —  Bokdiga  :  Sul  modello 
niinimo  délia  varietà  délie  /i-ple  non  ordinale  dei  puuli  di  nu  piano.  — 
Pai.atim  :  Sulla  meccanica  délie  verghe.  —  Segke  :  Sui  complessi  lineari  di 
piaui  ncUo  spazio  a  cinque  dimensioni.  —  Toktokici  :  Nuovi  sludi  sulle 
superficie  rigale.  —  Segke  :  Snlla  geomelria  délie  sciiiere  rigale  o  rcgoli,  e 
in  particolare  sui  complessi  lineari  di  tali  cuti.  —  Bia.nciii  :  Le  Irasforma- 
zioni  di  Ribaucour  dei  sistemi  //p"  orlogouali  et  il  loorema  générale  di  per- 
mutabilità.  —  Nkncim  :  Sulla  classilicazione  arilujclica  di  Xolhcr  dei  sis- 
Icmi  lineari  di  curve  algebriciie  piane. 


314  BULLETIN    li  I B  L  I  O  G  R  A  P  II  J  Q  U  E 

Bulletin  de  la  Société  mathématique  de  France,  Tome  XLVF,  fasc.  1  et  2. 

—  1](1.    Mailiki':    Sur   ccrlaiiis    types    fie   fVaclions  continues  arilliniétiques. 

—  Amslkk  :  Sur  le  développenieul  eu  fi-aclions  conlinucs  d'une  irrationnelle 
quadratique.  —  P.  Li';vv  .  Sur  la  variation  de  la  distribution  de  l'électricité 
sur  un  conducteur  dont  la  surface  se  déforme. 

Mathematiscbe  ZeitSChrift,  herausgegeben  von  L.  Lichtensteix.  Yerlag 
J.  Spriijger.  Hcriin.  —  Le  besoin  d'un  nouveau  périodique  mathématique 
allemand  s'était  fait  sentir  depuis  plusieurs  années.  La  plupart  des  rédactions 
étaient  surchargées  d  articles.  Les  relards  que  subissait  la  publication  des 
mémoires  ont  engagé  quelques  savants  à  ci'éer  une  nouvelle  i-evue  intitulée  : 
«  Mathematiscbe  Zeitschrift  »,  qui  sera  consacrée  uniquement  à  des  mémoires 
originaux.  Elle  paraîtra  sous  la  direction  de  M.  le  prof.  L.  Lichtenslein 
avec  la  collaboration  de  MM.  les  prof.  K.  Knopp,  E.  Schmidt  et  1.  Schur.  Le 
Comité  de  rédaction  est  composé  de  MM.  les  prof.  \V.  Blaschke,  L.  P'éjer, 
C.  Herglotz,  A.  Kneser,  E.  Landau,  O.  Perron,  F.  Schur,  E.  Study  et 
H.  Weyl. 

Le  pri.K  du  volume  est  de  M.  24.  Il  paraîtra  deu.\  volumes  par  an.  Voici  le 
sommaire  des  tomes  I  et  II  ; 

Band  I.  —  R.  Landau  :  Ueber  einige  altère  Vernuilungen  und  Behauptun- 
gen  in  der  Primzahitheorie.  —  S.  Jolles  :  Die  Ermitthing  hyperbolischer 
und  elliptischer  linearer  Strahlenkongruenzen  ans  zwei  Paar  reziproker 
Polaren  fur  eine  F"lache  II.  Ordnung.  —  O.  Pekkon  :  Ueber  das  Verhalten  der 
Intégrale  einer  linearen  Diirerenlialgleichung  bei  grossen  Werten  der  unab- 
hangig  Variabeln.  —  G.  Pick  :  Ueber  positive  harnionische  Funktionen.  — 
\V.  Blaschke  :  Eine  isoperimelrische  Eigenschafl  des  Kreises.  —  E.  Hilb  : 
Zur  Théorie  der  Entwicklungen  wilikùrlicher  Funktionen  nach  Eigen- 
funktionen.  —  L.  P'ejék  :  Ueber  die  Eindeutigkeit  der  Losung  der  linearen 
partiellen  Differenlialgleichung  zweiter  Ordnung  —  J.  Horn  :  Zur  Théorie 
der  nichtlinearen  DilTerenzengleicIuingen.  —  H.  Hah.n  :  Ueber  des  Intcr- 
polationsproblem.  —  G.  Pôlya  :  Zur  arithmetischen  Untersuchung  der 
Polynôme.  —  O.  Szasz  :  Ueber  harmonische  Funktionen  und  L.-Formen.  — 
Id.  :  Ungleichungen  fur  die  Koeffizienten  einer  Potenzreihe.  —  I.  Sciiuk  : 
Ueber  endliche  Gruppen  und  Herinilesche  Formen.  —  T.  Caklema.\  :  L^ebcr 
ein  Minimalproblem  der  mathematischen  Physik.  —  E.  La.ndau  :  Ueber 
einige  iillere  Vermuluugoii  und  Beiiauptungen  in  der  Primzahilheorie  (Zweite 
Abhandlung).  —  G.  Hamel  :  L^eber  das  inllnitare  Verhalten  der  Intégrale 
einci-  linearen  Differentialgleichung  zweiter  Ordnung  wenn  die  Charakleris- 
tisciie  Gleichung  zwei  gleiche  Wurzeln  hat.  —  L.  Lichtenstein  :  Unler- 
su<Oiungcn  iiber  die  Gleichgewiclitsliguren  rotierendcn  Fliissigkeilen,  deren 
Teilchen  einander  nach  dein  Newtonschcn  Gesetze  anziehen  ;  I.  Homogène 
Fliissigkeilen.  Allgcineine  Existenzsiiize.  —  O.  Bluaienthal  :  Ueber  trigono- 
metrische  Polynôme  mit  einer  Minimunseigenschaft.  —  S.  Jolles  :  Eine 
besondere  metrische  Konstruktion  des  linearen  Slrahlenkomplexes.  — 
C.  Caratheodory  ;  Ueber  die  Foui-ierschen  KoelTizienten  der  nach  Rieniann 
integrierbaren  Funktionen.  —  R.  Courant  :  Beweis  des  Salzes,  dass  von 
alleu  homogenen  Mombranen  gegebenen  Umfanges  und  gegebener  Spannung 
die  kreisfiirmige  den  tiefsten  Grundton  besitzt.  —  A.  NN'i.ntermtz  :  Ueber 
dcn  Jordanschen  Kurvensatz  und  verwandte  Siitze  dei-  Analysis  silus.  — 
G.  Szegoe  :  Ein  Beilrag  zur  Théorie  der  Polynôme  von  Laguerre  und  Jacobi. 
—  E.  Hecke  :    Eine  iieue  Art  von  Zetafunktionen  und  iiire  Beziehungen  zur 


BULl.ETiy    B  l  H  l.lOGRAPIl  I  Q  UE  315 

Verleilung  der  Prinizahlen.  —  I.  Schur  :  Ueber  die  \'erteiluiie;  der  Wurzcin 
bei  gewissen  algebraischen  Gleichungen  mit  ganzzahligen  Koeflizienten.  — 
H.  BoHR  :  Ceber  Slreckentreue  und  konfoime  Abbildung. —  R.  Sturm  :  liiii- 
faclierei"  Beweis  fur  die  acht  Schnitlpunkte  dreier  Flachen  zweiter  Ordnung. 

—  Id.  :  Die  doppelte  Bedingung  fur  eine  Holalionsfliiclie  zweilen  Grades.  — 
O.  SzAsz  :  Berichligiiiig. 

Biind  II.  —  L.  BiKUEKBACH  :  Ueber  einen  Osgoodschen  Satz  ans  der  In(e- 
gralrechuung.  —  Id.  :  Zwei  Siitze  iiber  das  Verhalten  analytisclier  Funk- 
tionen  in  der  Umgebung  wesenllicli  singularer  Stellen.  —  Id.  ;  Zur  Théorie 
der  komple.Nen  Zahlen.  —  H.  Cramer  :  Ueber  die  NuUslelieii  der  Zetafnnk- 
tion.  —  P.  Epstein  :  Ueber  Mobiuskettenbriiche  und  Eleineularkellenbruclie. 

—  \N'.  Gross  :  Zuni  N'erlialten  analylischer  Fuiikliouen  in  der  Umgebung 
singnliirer  Stellen.  —  K.  Hiînsel  :  Eine  neue  Théorie  der  algebraischen 
Zahlen.  —  S.  Jolies  :  Der  rolalorischc  ciliplische  Ivomplexbiischel  und  die 
neue  Konstruktion  des  linearen  Strahlenkomple.xes.  —  Id.  :  Der  Buschel 
kubischer  Raumkurven  und  seine  autokonjugierte  Kurve.  —  A.  Kneser  : 
Kleinsle  Wirknng  und  Galileische  Relativitat.  —  P.  Koebe  :  Abhandlungen 
zur  Tiieorie  der  konformen  Abbildung  V.  Abbildung  mehrfaeh  zusammen- 
hiingender  schlichter  Bereiche  auf  Schlitzbereiche  (Fortsetzungi.  —  K  Knopp  : 
Ein  einfaches  Verfahren  zur  Bildung  stetiger  nirgends  differenzierbarer 
Funktionen.  —  E.  Landau  :  Ueber  Idéale  und  Primideale  in  Idealklassen.  — 
Id.  :  Ein  Satz  ùber  Riemaansche  Intégrale.  —  F.  Lukacs  :  Verscharfung  des 
ersten  Mittelwertsatzes  der  Integralrechnung  fiir  ratiônale  Polynôme.  — 
\V.  Fr.  Meyek  :  Ueber  die  Môbiussche  Figur  zweier  einander  ein-und 
umbeschriebener  Tetraeder,  und  die  Figur  einer  «inem  Tetraeder  umbe- 
schriebenen  geradiinigen  Fliiche  zweiter  Ordnung.  —  H.  Mohk.man.n  :  Ueber 
eine  besondere  Klasse  von  Linienkomplexen.  —  G.  Pôlya  :  Ueber  die  Null- 
slellen  gewisser  ganzer  Funktionen. — H.  Rade.macher  :  Zu  dem  Borelschen 
Satz  liber  die  asymptotische  Verteilung  der  Ziffern  in  Dezimalbrûchen.  — 
F.  RiEsz  :  Ueber  die  Fourier  KoefTizienteu  einer  sleligen  Funktion  von 
beschriuikler  Schwankung.  —  G.  Schrffers  :  Fliiclientreue  Abbildungen  in 
der  Ebene.  —  O.  Toeputz  :  Das  algebraische  Amalogon  zu  einem  Saize  vou 
Fejér.  —  H.  Weyl  :  Heine  Intinitesimalgeonietrie. 

Revue  de  métaphysique  et.  de  morale,  .\nnée  1918,  Xo  I.  —  H.  Bolrget  : 

Les  rnesui-es  et  notre  connaissance  du  inonde  exjérieur.  —  N°  2.  —  L.  Rou- 
ciER  :  Encore  la  dégradation  de  l'énergie  :  l'entropie  s'accroît-elle? —  N»  3. 

—  E.  Guillaume  :  La  théorie  de  la  relativité  et  le  temps  universel.  —  N"  4. 

—  C.  D.  Broad  :  Sur  la  dégradation  de  l'énergie. 

Revue  scientifique.  55,  me  de  Chàteandun,  Paris.  Année  1918.  —  X"  du 
29  juin,  6,  13  juillet.  R.  Chevassus  :  Les  papiers  logarithmiques  et  leurs 
diverses  applications.  —  31  août.  C.  Bigolrdan  :  La  vie  et  les  travaux  de 
l'astronome  Ch.  Wolf.  —  20-27  octobre.  Ch.  .Moikhe:  Les  causes  des  varia- 
lions  du  tau.x  de  l'intérêt. 

2.  I^ivi'cs  iiouvcî»ux  : 

Annuaire  pour  l'an  1919  publié  par  le  Bureau  des  Longitudes.  Avec  des 

Notices  scienti(iq".es.  —  1  vol.  in-16,  700  p.;  3  fr.  ;  Ganlhier-Villai's  &  C'"", 
Paiis. 


316  liV  I.I.E  ri  N     Hl  H  HOGUAPU IQUE 

P.  Ai'PKi.L  oiS.  Dautiievilli:.  —  Précis  de  Mécanique  rationnelle.  Iniro- 

diiction  à  l'éliirle  de  la  Physique  el  <lo  la  Méc:iiilqii(;  aiipliquro.  2''  édition 
revue  et  augmentée.  —  1  vol.  iii-8"  do  viii-73'i  p.  avec  230  (ig.  ;  50  Ir.  ;  Gau- 
thier-Villars  &  C'»,  Paiis. 

R.  C.  Ahcmiuali).   —  The  Training  of  Teachers  of  Mathematics  ot  ttie 

Secondary  Schools  of  tlie  CouiUi-ies  icprcsenled  in  liic  internai  ioiial  Com- 
mission on  llie  Teaching  ol'  Mathematics  (Bulletin  of  the  Bureau  of  Ivduca- 
tion  for  1917,  N"  27).  —  1  vol.  in-S»,  289  p.  ;  Bureau  of  Education.  Was- 
liington. 

P.  BouTRoiJx.  —  Les  principes  de  l'analyse  mathématique.  Exposé  his- 
torique et  critique,  Tome  socmid.  —  1  vol.  in-S'J,  .512  |).  ;  20  \r.  ;  A.  Her- 
mann  &  fils,  Paiis. 

M.  Cashmoke.  —  Fermat'S  Last  Theorem.  Thrce  Proofs  by  Elemenlary 
Algebra.  —  1  vol.  in-16.  .55  p.  •.  2  sh    6  d.  ;  G.  B(dl  c^  Sons,  London. 

Ch.  Davison.  —  Differential  Calculus  for  Collèges  and  Secondary  Schools. 

—  1  vol.  in-16,  309  p.  ;  6  sh.;  G.  Bell  &  Sons,  London. 

M.  A.  Trevor  Dennis.   —  An  Arithmetic  for  Preparatory  Schools.  — 

1  vol.  in-8«,  376  p.  ;  4  sh.  6  d.  ;  G.   Bell  &  Sons,  London. 

L.-G.  Du  Pasquikh.  —  Introduction  à  la  Science  actuarielle.  —  1  vol. 

..      * 

in-8'',  17'i   p.  ;  5  fr.  ;  Delaclianx  &  IS'iestlé,  Neuchàtel. 

R.  C.  Fawdkv.  —  Dynamics,  Part  II.  —  1  vol  in-16,  176  p.  ;  2  sh.  6  d.  ; 
G.  Bell  &  Sons,  London. 

E.  GoxjusAT.   —  Cours  d'Analyse  mathématique,  Tome  II  :  Théorie  des 

fonctions  analytiques.  Eqnalions  différenlielles.  3"  édition  entièrement 
refondue.  —  1  vol.  de  iv-670  p.  avec  39  fig.  -,  30  fr.  ;  Gauthier-Villars  &  C'^, 
Paris. 

Œuvres  de  G.  H.  Halphen,  publiées  par  les  soins  de  C.  Jordan,  H.  Poincaré, 
E.  Picard,  avec  la  collaboration  de  E.  Vf.ssiot.  Tome  II.  —  1  vol.  de  vii- 
5G0  p.,  avec  1  portrait  :   'lO  fr.  :  Ganthier-Villars  &  Ci"",   Paris. 

G.  KowALEvvsKi.  —  Einfûhrung  in  die  Infinitesimalrechnung.  (Aus  Natur 
und  Geisleswelt,  no  197.),  3e  édition.  —  1  vol.  in-J6,  100  p.,  avec  19  fig.  ; 
1  M.  60;  B.  G.  Teubner,  Leipzig. 

.lolin  Mii.NE.  —  The  Analytical  Geometry  of  the  straight  Line  and  the 

Circle.  —  1  vol.  in-lfi,  243  p.  ;  5  sh    ;  G.   Bell  (S:  Sons.   Lontlon. 

W.  P.  MiLNE  et  G.  ,1.  B.  Westcott.  —  A  first  Course  in  the  Calculus. 
Part  I.  Powers  of  .r.  —  1  vol.  in-16,  196  p.;  3  sh.  6  d  ;  G.  Bell  &  Sons, 
London. 

A.  Oi'PEHMANN.  —  Premiers  éléments  d'une  théorie  du  quadrilatère 
complet.  —  1  vol.  in-8'>,  76  p.  avec  26  f!g.,  avec  une  planche  hors  texte; 
4  fr.  ;  Ganlhier-Yillars  &  C"'',   Paris. 

L.  Sii.BERSTEiN.  —   Projective  Vector  Algebra,  an   Algebra  of  Vectors 

independent  of  the  Axioms  of  Congruence  and  of  Parallels.  —  1  vol.  in-8o. 
78  p.,  avec  29  fig.  ;  7  sh.  6  s.  ;  G.   Bell  &  Sons.  London. 

D.  E.  Smitu.  —  Numbers  Stories  on  Long  Ago.  —  1  vol.  in-16,  136  p., 
illustré;  48  cents.  Avec  un  su|ipl(''in('iil  inlilulé  :  .Xninhor  l'iizzles  hefore  the 
Log  Fire.  being  those  given  in  the  Number  vSiories  of  Long.Vgo,  14  p.  in-16. 
Ginn  &  G»,  New-York. 

Alb.  TvRc.  —  Introduction  élémentaiie  à  la  Géométrie  Lobatschews- 

kienne.  Ouvrage  poslliuine  pnl)li(''  d  après  les  notes  de  l'anlcni-.  —  1  vol. 
in-8o,  1743  p.,  78  (ig.  ;  3  \v.  50;  Librairie  scienlifiipic  Kinulig,  Genève;  Li- 
brairie IL  Gaulon,  Paris. 


SUR  UNE  TRANSFORMATION  ELEMENTAIRE 

ET    SUR    QUELQUES    INTÉGRALES    DÉFINIES 

ET  INDÉFINIES 


G.   Gaillrr  (Genève) 


1.  —  La  plupart  des  traités  d'Algèbre  élémentaire  consa- 
crent au  moins  (juelques  pages  à  l'étude  de  la  translbrmation 

y  =  ^T^y  ,  dans  la(|nelle  /'(.r)  et^(,c)  désignent  deux  polynômes 

quelconques  du  second  degré;  elle  offre  un  exemple  d'une 
détermination  d'extremum  sans  l'intervention  d'aucune  idée 
de  continuité.  En  dehors  de  celte  application  classicjue,  la 
transformation  précédente,  qui  constitue  en  Géométrie  la 
base  de  la  théorie  de  Tinvolulion  de  4  points,  joue  encore 
un  rôle  essentiel  dans  nombre  de  problèmes  d'Analyse  : 
parmi  ceux-ci  on  peut  citer  l'intégration  des  irrationnelles 
du  second  degré,  la  réduction  des  intégrales  elliptiques  à 
la  forme  normale  de  Legendre,  l'abaissement  au  type  ellip- 
tique de  certaines  catégories  d'intégrales  abéliennes,  etc. 
En   dépit   de   ces    multiples    applications    la    plupart    des 

auteurs,  en  s'occupant  de  l'éciiiation  // = -^-—  ^  s'en  tiennent 

'  1  ■'  g[x\ 

au  cas  où  les  deux  [)olynômes  /"et  g  sont  réels  de  même  que 
les  variables  x  et  y.  Or  le  cas  général  n'est  ni  moins  simple 
ni  moins  intéressant,  et  comme  il  est  peu  connu,  on  me 
permettra  de  revenir  ici  sur  la  transformation  dont  il  s'agit 
envisagée  dans  toute  son  étendue.  On  va  voir  avec  quelle 
facilité  la  discussion  peut  être  poussée  à  bout;  elle  s'appuie 
sur  la  transformation  circulaire  de  la  Géométrie  et  permet 
d'établir   aisément   la   correspondance  entre  le    plan    simple 

I/Enscigiienipnt  iiiathéni..  'M'  anni-e;   1918.  21 


318  C.    CAILLER 

de  la  variable  x  et  le  double  feuillet  de  Riemann  qui  est  le 
lieu  de  la  variable  y. 

A  cette  cjueslion  d'ordre  algébri(jue  j'adjoindrai  quelques- 
unes  des  applications  d'Analyse  mentionnées  plus  haut, 
formant  du  tout  une  espèce  d'exercice  d'Algèbre  et  de  Calcul 
intégral  qui  n'est  pas  peut-être  dénué  de  tout  intérêt  ^ 

2.  —  Soient  donc  f  ^\.  g  deux  polynômes  quelconques  du 
second  degré;  nous  les  supposons  seulement  premiers  entre 
eux.  Posons 

/■=  ff.x-  +  fi,  •*'  +  «o  =  «o  i»'  —  =t  I  (.r  —  a,)  , 

(1) 
g  =  ''o-^"  +  /^  '^'  +  ^>i  =  ''o  '•'^  —  ?i)  1-^  —  ?2'    • 

Pour  la  brièveté,  nous  ferons  encore 

•aucune  de  ces  quantités  n'est  nulle. 

Aux  polynômes  /"  et  g  est  associé  un  autre  polynôme,  éga- 
lement du  second  degré, 


hyx)=.  g''  ^^[^^  g{x)fyx]-f[x)o\x)  , 


<2) 


aux  racines  yj,  et  yj^.  On  s'assure  aisément  que  ces  racines 
sont  toujours  distinctes. 

Il  est  aisé  aussi  de  constater  le  caractère  invariant  de  la 
relation  existant  entre  f,  g  el  h,  vis-à-vis  des  transformations 

linéaires  (.r,  ^^  ,  ^,]  de  module  yd'  —  y'ù  égal  à  l'unité.  Enfin 

Vï-r  +  oy  '        '      » 

h{,x)  est  un  combinant  des  polynômes  fet  g,  c'est-à-dire  que 
ce  polynôme  se  reproduit,  sauf  un  facteur  constant,  toutes 
les  fois  qu'on  remplace  fetg  par  deux  nouveaux  polynômes,. 

F  =  /•/•  +  sg   ,  G  =  r'f  +  s' g   . 

contenus  l'un  et  l'autre  dans  leur  faisceau. 

Désignons  encore  par  G(y^   le  discriminant,   relatif  à  .r^ 
du  faisceau  précédent  écrit  sous  la   forme  f —  i/g.  G{y)  est 


*  Le  lecteur  est  prié  de  faire  lui-incine  les  figures  nécessaires  à  la  compréhension  du  texte. 


s  un    QUELQUES    INTÉGRALES  319 

quadratique  en  i/ ,  se  réduit  à  /'^{oci)  =  f'^ix^)  quand  y  =  {); 
si  donc  ses  racines  sont  désignées  par  y,  et  t/o.  nous  aurons 

G(j|  =  r(a.)(l-^)(^!-^^)    .  ,3) 

Dans  le  cas  de  réalité,  la  signification  des  polynômes  /i(,r) 
et   G(3/)    est    évidente;    les   racines   du    premier,    r^    et  •/?.,, 

déterminent  les   positions  des  extremas  du  rapport  —  ,   les 

s 

racines  du  second  définissent  les  valeurs  mêmes  de  ces 
extremas.  Il  est  aisé  de  préciser  davantage  les  relations  exis- 
tant, dans  le  cas  général,  entre  ces  éléments  h{.v)  et  G{y). 

Les  définitions  ci-dessus  montrent  en  efFet  tout  de  suite 
que,  sauf  certains  facteurs  constants,  les  polynômes  f — y, g 
et  /' —  i/.^g  sont  égaux  aux  carrés  (,r  —  y?,)^  et  (.r  —  y?.,)^  :  on 
détermine  les  facteurs  par  une  hypothèse  particulière,  par 
exemple  en  faisant  .r  ==  a,  ,  ou  .c  =  «^  et  Ton  obtient  ainsi 
immédiatement 

1^,1  —  -rr  _  (rij  —  x)- 


t  —?\g  =  —yi, 


'Il 


/•_V,o—  _v<.     (^12   -  --^r-   _    _    ,.    _      (^2 
/  J2r«    /201    /  „    ,2  .'21 


(r,,  —  a,>2  •-^-  (7)2  — aj2 

De  là,  des  formes  équivalentes,  1res  variées,  pour  la  trans- 
formation ?/  ^  ^-7^.  En  voici  quelques-unes  : 


1 

— 

y 

= 

1 

- 

y 

= 

puis 

par 

d 

ivision 

1 

1 

— 

y 

yi 

1 



y 

h  hi  —  x)^  _  gj  {-^i  —  xY' 

g(f\i  —  ^x)^  ^  (iHi  —  «î'^ 

?i  (^12  —  x)-  _  g^  (ria  —  xY 


l'^2  —  ='il"  o   t^2  —  «2) 


(5) 

(6) 

(7) 


'  On  voit  par  là  qu'en  exécutant  deux  transformations  linéaires  convenables  sur  les  va- 

riablcs  x  et  y,  la  transformation  v  =: peut  toujours  se  réduire  à  la  forme  simple  i/=zx^; 

cette  propriété  est  la  source  de  tout  ce  qui  suit. 

A  remarquer  également  que  .1/.  et  1/    sont  toujours  distincts,  c'est  une  conséquence  de  la 
même  formule  (7). 


320  C.    CAILLER 

Cette  dernière  formule,  la  plus  importante  de  toutes,  se 
généralise  aisément.  Désignons  par  y,  et  y.j  les  deux  rac'ines 
diin  polynôme  f —  cg  appartenant  au  faisceau  (/',  gj,  nous 
aurons 

c  '^' 

1  -  -1 

'^i2  —  Tl 


,  T.,   X 

Récrivons  les  formules  (5)  et  (6)  sous  la  forme 

.A     .'•  _  V^^.i  —  -»•         .A      y  _  Vgi^.2  —  ^ 

d'où,  par  multiplication. 


mais,  d'après  la  définition  (2)  de  h{x)^  nous  avons  /ra/i 
^=  gif  {<x^,  par  conséquent  la  dernière  formule  doit  se  lire 
simplement 

V^T7,  =  ^  .  (10) 

Comme  d'autre  part 


11) 


nous  avons  encore  l'identité 

dr  dx 


VG(v)         ?^^) 


cette  dernière  joue  le  plus  grand   rôle  dans  les  problèmes 
d'intégration  dont  j'ai  parlé  plus  haut. 

3.  —  Notre  premier  soin  consiste  naturellement  à  lever 
les  ambiguïtés  de  signe  qui  subsistent  dans  les  lormules  (8) 
et  se  répercutent  dans  (9).  Il  faut,  par  une  discussion  préa- 
lable, fixer  la  signification  précise  de  la  corrélation  existant 
entre  x  et  ?/,  ou  ce  qui  est  au  fond  la  même  chose,  avoir  une 
idée  claire  de  la  corresj)ondance  géométrique  entre  les  plans 
des  variables  complexes  .v  et  y. 


SUR    QUELQUES    INTEGRALES  321 

Commençons  par  une   remarque.    D'après  (5)  et   (6)  nous 
avons 


(a, - 

•  =^1 

)Vg, 

yi. 

-^ 

Vi, 

(a,  - 

«r 

>)Vc^ 

donc,  en  tenant  compte  du  fait  que  y;,  est  différent  de  yj,, 

formules  où  les  signes  de  \/^,  et  \/^2  sont  choisis  arbitrai- 
rement'. On  a  donc,  explicitement, 

r..,  -a,  =  '''^~'''^^    ,        (13) 

Reprenons  la  formule  (12)  et  rappelons  quelle  est  la  signi- 
fication géométrique  d'un  rapport  tel  (|ue  ^~— — ^  :    son    mo- 

dule  est  égal  au  quotient  des  distances  r^i ,  r.ao,  quant  à  l'ar- 
gument^, il  est  égal  à  l'angle  sous  lequel  le  segment  a^a.,  se 
voit  du  point  3,  angle  positif  ou  négatif  selon  que  z  est  à 
droite  ou  à  gauche  du  dit  segment. 

La  difl'érence  des  arguments  des  deux  membres,  dans  la 
formule  ,12),  étant  évidemment  égale  à  tt,  on  conclut  que 
les  quatre  points  «,,  «._,  et  y;,.  /;.,  appartiennent  au  même 
cercle,  et  que  les  deux  cordes  Joignant  les  points  de  chaque 
couple  se  rencontrent  à  l'intérieur  du  cercle. 

Mais  les  quantités  yj,  et  y^.,  restent  les  mêmes  quand  on 
substitue  au  polynôme  /",  un  autre  polynôme  du  faisceau 
/ —  yg.  Ainsi  donc,  d'une  manière  générale  :  si  l'on  consi- 
dère les  racines  y,  et  y.,  d'un  polynôme  tel  que  f —  cg,  elles 
forment  avec  celles  ^rt^,  y;.,  du  polynôme  h(x)  un  polygone  ins- 


'  Le  changement  des  signes  des  radicaux  revient  .i  permuter  les  racines  r,j  et  r^^ 
*  Supposé  compris  entre  —  ;:  et  +  tt. 


322  C.     CAILLER 

criplible  dans  un  cercle  et  Les  deux  cordes  se  croisent  à  l'in- 
térieur du  cercle. 

Il  y  a  plus.  D'après  (12),  les  modules  des  rapports  -^^—^ — - 
et  -^^— — -  sont  éffaiix. 

r,2  —  a,  " 

Par  suite,  si  Ton  définit  le  rapport  de  section  de  trois  points 
yj, ,  cz, ,  /j,  situés  sur  un  même  cercle  comme  égal  au  quotient 
des  cordes  y.^-c^  et  «^yja,  on  voit  que  les  deux  racines  a.  du 
polynôme  f,  ou  même  plus  généralement  les  deux  racines  y  du 
polynôme  f —  cg,  sont  conjuguées  harmoniques  sur  le  cercle 
correspondant,  ou  divisent  de  la  même  manière  le  segment  r,i-n.2. 

La  théorie  de  Tinvolution  dépend  essentiellement  du  poly- 
nôme h(x)  associé  à  f[x  et  g{x).  Ainsi  quand  on  envisage 
cette  théorie  dans  le  domaine  complexe  à  la  lumière  des 
résultats  précédents,  on  la  voit  se  résumer  dans  la  propo- 
sition suivante. 

Etant  donnés  dans  un  plan  deux  couples  de  points  «, .  a,  et 
(3^ ,  /3, ,  on  peut  toujours  tracer  deux  cercles  contenant  respec- 
tivement l'un  et  l'autre  couple,  de  telle  manière  que  les  points 
d'intersection  de  ces  deux  cercles  soient  réels  et  divisent 
harmoniquement  les  arcs  a,  a.,  ^t  !^\i^-2- 

4.  —  D'après  ce  qui  vient  d'être  dit  il  est  clair  qu'ayant 
mené  suivant  y),  et  ■/}.,  un  cercle  quelconque  C  tout  couple 
y^.  y.j.  placé  sur  ce  cercle  de  part  et  d'autre  de  la  corde  yj,  yj^, 

s'il  vérifie  d'ailleurs  la  proportion  des  distances  ^^— ^  =  -^^-^  , 

représente  un  polynôme  du  faisceau  f — yg ,  ou  une  valeur 
de  y .  Qu'on  change  le  cercle  C  en  D,  et  la  racine  y,  en  (î,  ; 
si,  par  exemple,  (5,  est  à  l'intérieur  de  G,  la  racine  $^, 
conjuguée  à  celle-ci,  et  qui  fournit  la  même  valeur  ?/ ,  sera 
nécessairement  à  l'extérieur  de  C,  car  ^,  et  d..  doivent  se 
trouver  de  part  et  d'autre  de  la  corde  yj,  yj^. 

Récapitulons.  Soit  C  un  cercle  fixe  mené  suivant  yj,  y;,.  A 
toute  valeur  .r  comprise  à  l'intérieur  de  C  correspond  une 
valeur  de  y  .  Réciproquement  à  toute  valeur  ?/  correspondent 

suivant  l'équation  quadraticiue  //  =^  -^  .  deux  valeurs  de  x. 


SUB    QUELQUES    INTÉGRALES  323 

l'une  à  Tintérieur  du  cercle  C,  l'autre  à  l'extérieure  Si  l'une 
des  valeurs  de  .r  est  sur  le  cercle  même,  l'auti-e  s'y  trouvera 
pareillement;  les  deux  seront  séparées  j)ar  la  corde  yjj/;., , 
de  telle  manière  que  quand  la  variable  x  décrit  l'arc  /j,  y;., 
situé  à  gauche  de  la  corde,  la  variable  y  engendre  dans  son 
plan  une  ligue  F  qui  ne  se  coupe  pas  elle-même  et  réunit  les 
points  y^  et  ?/o.  Cette  même  ligne  F  se  reproduira  en  sens 
inverse  lorsque  x  reviendra  de  y;.,  en  r^^  en  suivant  l'arc  de 
droite. 

Tout  l'intérieur  du  cercle  C  se  transforme  ainsi  dans  le 
plan  simple  des  ?/,  et  ce  plan  est  muni  de  la  coupure  F  deux 
fois  décrite  entre  y^  et  y.,.  La  représentation  est  partout 
conforme,  sauf  aux  points  yj,  et  y;,;  les  angles  tracés  dans  .r, 
autour  de  ces  points,  subissent  dans  la  figure  y,  une  dupli- 
cation autour  des  points  correspondants  y^  et  y.,. 

De  même,  l'extérieur  du  cercle  C  engendre  un  second 
feuillet  du  plan  ?/ ,  muni  de  la  même  coupure  F  que  le  pre- 
mier; les  deux  feuillets  se  traversent  l'un  l'autre  le  lono:  de 
F  de  la  même  manière  que  l'intérieur  et  l'extérieur  du  cercle 
G  communiquent  entre  eux  au  bord  du  cercle. 

11  y  a,  comme  toujours,  une  infinité  de  manières  de  cons- 
truire la  surface  de  Riemann.  En  changeant  le  cercle  G,  nous 
n'altérons  pas  les  caractères  généraux  de  la  représentation; 
la  coupure  F,  image  du  cercle  C  dans  le  plan  y,  variera 
naturellement  avec  le  cercle.   \  oyons  ce  qui  en  est. 

Soient,  comme  ci-dessus,  f —  cg  le  polynôme  relatif  au 
cercle  G,  j^i  et  y.-,  les  racines  correspondantes,  D  un  nouveau 
cercle  le  long  duquel  se  déplace  le  point  x.  Suivant  que  ce 
point  est  à  droite  ou  à  gauche  de  la  corde  y;,  yj., ,  le  quotient 

"  _  \  possède  deux  arguments,  qui  sont  constants  l'un  et 

l'autre,  et  d'ailleurs  supplémentaires,  11  résulte  dès  lors  de 

la  formule  (7)  que  le  rapport    '  _•   possède  un  seul  argument 

constant  quand  .r  se  déplace  sur  D. 


*  Il  est  aisé  d'obtenir,  sous  des  formes  équivnlcntes.  la  relation  existant  enlre  les  deux 
valeurs  de  x  fournissant  le  même  y.  Une  de  ces  formes  est 


^1  -«I    ^î  -  *. 
X    —  a„  a:,  —  a.. 


324  C.    CAILLER 

Ainsi  tout  cercle  complet  passant  aux  points  •/:,  et  v}.j ,  te! 
qu'est  le  cercle  D,  se  reproduit  clans  le  plan  y  sous  la  forme 
d'un  arc  de  cercle  F  limité  aux  points  extrêmes  ?/,  et  y.^.  On 
obtient  de  la  sorte  une  idée  très  nette  de  la  correspondance 
existant  entre  les  plans  .r  et  ?/  :  en  voici  l'essentiel . 

Considérons,  dans.r,  la  figure  classique  comprenant  tous 
les  cerc^ies  joignant  yj^  etyjj,  ainsi  que  les  cercles  C  ortho- 
gonaux aux  précédents;  cette  double  famille  de  cercles  se 
reproduira,  dans  le  plan  y,  d'une  manière  exactement 
pareille  et  nous  aurons  des  cercles  F  passant  tous  en  y^  et 
?/2  '  et  les  orthogonaux  F'  des  cercles  précédents.  Seulement 
tandis  que  les  C  sont  des  cercles  complets,  les  F  seront  des 
arcs  arrêtés  en  y^  et  7/.,;  chacun  de  Ces  arcs  peut  être  consi- 
déré comme  une  coupure  d'une  surface  de  Riemaiin  particu- 
lière. En  outre,  quand  x  décrit  une  seule  fois  un  cercle  C,  la 
variable  y  entoure  deux  fois  de  suite  le  cercle  correspondant 
F';  pour  obtenir  une  seule  description  du  cercle  F',  de 
manière  que  pai-tant  d'un  des  bords  de  la  coupure  F  on 
arrive  au  bord  opposé  sans  l'avoir  traversée,  il  faudrait 
limiter  le  cercle  C  à  la  portion  comprise,  soit  à  l'intérieur, 
soit  à  l'extérieur  d'un  certain  cercle  C. 

f 
5.  —  La  transformation  étant  écrite  sous  la  forme  y  .=z  ^  ^ 

pour  appliquer  ce  qui  précède,  on  prendra  le  plus  souvent 
comme  cercle  fixe  C,  celui  qui  contient  les  racines  «, .  a.,  du 
polynôme  /'.  Dans  ce  cas,  l'arc  F  qui  sert  de  coupure  con- 
tiendra l'origine  du  plan  y.  Si  l'on  clioisit  pour  C  le 
cercle  contenant  les  racines  ^, /S.,  du  polynôme  g,  le  cercle 
F  doit  passer  par  les  points  de  l'infini;  il  est  donc  devenu 
rectiligne  et  se  compose  des  deux  prolongements  de  la 
droite  3/,  j/a  •  Dans  l'une  comme  dans  l'autre  hypothèse  la 
coupure  est  connue  à  priori.  Adoptons  la  j)remière. 

Le  cercle  C  contient  ainsi  à  sa  périphérie  les  racines  «,  et 
a.,,   de   part   et    tlnulre  de    la   corde   7;,/jo;    en    outre    un    des 

pôles  /3,  du  (juotient   -^  se  trouve  à  l'intérieur  du  cercle,  l'autre 

étant   à    l'extérieur.    Joignons    les    points    a,   et   a.,    jiar    une 


s  un    QUELQUES    INTEGRALES  325 

ligne  ',^qiii  ne  se  coupe  pas  elle-même  et  ne  sorte  pas  du 
cercle  C. 

Il  résulte  immédiatement  de  la  conformation  de  la  surface 
de  Riemann  que  quand  v  décrit  la  ligne  C,  la  variable  1/ 
part  de  l'origine  pour  y  revenir  de  Tautre  côté  de  la  coupure 
r,  après  avoir  décrit  un  lacet  A.  Et  le  point  1/.  qu'enveloppe 
le  dit  lacet  correspond  au  point  r,.  qui,  relativement  à  la 
ligne  C,  est  situé  de  l'autre  côté  (|ue  le  pôle  /S,.  Supposons 
que  c'est  yj, . 

Il  est  maintenant  aisé  de  supprimer  les  ambiguïtés  de 
signe  que  contenaient  les  formules    8). 

Désignons  par  Vg^  la  valeur  de  la  fonction  \/g{x),  pro- 
longée suivant  la  ligne  J?,  à  partir  de  la  valeur  initiale  vgi 
dont  le  signe  sera  choisi  à  volonté. 

Les  valeurs  initiales  des  radicaux  i/l  —  —  eli/l  —  —  sont 

égales  entre  elles,  toutes  deux  à  l'unité.   La  valeur  finale  du 

premier    radical,    ou    ^~^- ^   doit    être    éoale   à  —  1,    la 

I  i/o-    r     1  ^ 

variable  7/  ayant  circulé  autour  du  point  y,.  Au  contraire,  le 
point  ^o  est  resté  en  dehors  du  circuit  A,  le  radical  \/ i  —  — 

reprend  donc  sa  valeur  de  départ  et  l'on  a  ^^ ~  =  ^-7=  • 

"Ho  '2  V  P2 

Ces  résultats  qui  sont  d'a(;cord  formellement  avec  les 
équations  (12)  en  précisent  la  signification  :  si  donc  v  g.-,  est 
le  prolongement  de  vgx  le  long  de  la  ligne  i?,  yj,  et  ^,  seront 
placés  de  part  et  d'autre  de  la  ligne  C.  r,^_  et  ,5,  seront  du 
même  côté. 

La  règle  pré(!édente  n'est  pas  changée  dans  l'hypothèse 
qui  peut  très  bien  se  rencontrer  où  les  six  points  «.  /3,  -n 
appartiendraient  a  un  seul  et  même  cercle.  Ainsi  que  nous 
savons,  les  points  de  chaque  couple  a,,  a.^  et  /5,,  /5.^  sont  de 
côtés  dilTérents  par  rapporta  la  corde  /;,/;.>,  et  les  proportions 

hl}i  —  hl}i^       et       h2ïi  =  h2}i^ 

«1  *l2  «2  ^2  ?I  ^12  ?2  ^12 


font  voir  (jue  les  cordes  «,«2  et  /3,/3.2  ne  |)euvent  pas  se  couper 


326  C.    CAILLER 

à  rinlérieur  du  cercle.  D'où  il  suit  que  /S,  et  [5^  seront  tou- 
jours du  même  côté  de  la  ligne  )S,  tous  deux  dans  la  région 
opposée  à  y;,  . 

Le  cas  examiné  à  l'instant  comprend  en  particulier  celui 
où  les  six  (juantités  a ,  /S .  •/) ,  seraient  toutes  réelles. 

Supposons  les  a  et  /5  réels;  il  résulte  de  ce  qui  vient 
d'être  dit  que  sfles  segments  rectilignes  a,  «a  ©t  /3,/3.2  empiè- 
tent l'un  sur  l'autre  les  r,  ne  peuvent  être  réels. 

Pour  la  réalité  de  •/;,  et  /^o,  il  faut  donc,  mais  il  suffit  aussi, 
que  les  dits  segments,  ou  n'aient  aucune  partie  (>ommune, 
ou  que  l'un  d'eux  soit  inclus  dans  l'autre;  les  deux  cas  n'en 
font  qu'un,  car  en  reliant  au  besoin  par  l'infini  les  deux 
points  appartenant  au  même  couple,  on  peut  toujours  se 
figurer  que  les  segments  réels  dont  il  s'agit  ne  possèdent 
aucun  élément  commun.  Et  alors  l'étude  des  extremas  du 
rapport  réel 


1',  fi-^)  _ 

{3C  —  a,  1  l.r  —  a,) 

«0  g\^') 

"   [X—  lî,)(a--  ?2l 

montre  à  l'instant  que  chacun  des  segments  a,ai.  /3,/Si  :  décrits 
comme  il  vient  d'être  dit,  contient  une  racine  -ni  et  yj,  du 
polynôme  h(jr). 

Dans  ce  cas  de  réalité,  c'est  l'axe  des  .r  qui  joue  le  rôle  du 
cercle  G;  les  parties,  intérieure  ou  extérieure,  du  même 
cercle  se  confondent  avec  les  demi-plans,  positif  ou  négatif, 
du  plan  complexe.  Et  l'on  voit  immédiatement  que  si  a,  et 
«2  sont  réunis  par  une  ligne  iT  tracée  sur  un  seul  de  ces 
deux  demi-plans,   le  lacet  A  correspondant,  qui  joint  l'ori- 

gine  à  elle-même  dans  le  plan  ;/,  entoure  le  point  jy,  ^  ^-^  , 

où  y;,  est  la  racine  de  ]i{.v)  appartenant  au  segment  a,a., . 

6.  —  Pour  terminer,  présentons  quelques  applications  se 
rattachant  au  calcul  intégral.  Considérons  d'abord  l'intégrale 


ffi-r) 
J      .     '"+1 


m—l 

dx  ,  (15) 


SUR    QUELQUES    INTÉGRALES  327 

nous  avons  idenliquement 


-f 


a,  )     (-ï^  —  «.>)  , 


ll6) 


.r  —  a,)     IX  —  a,  I  . 

—  a.» 


Mais,  à  cause  de  la  formule  (11), 

dx  dy  dy 


'n+l 


gw      Vg(v)      .  //i  _  i\/i  _  jX  ^''"t* 


la  première  des  intégrales  du  second  membre  de  (16)  s'écrit 
encore 

rx  —  a^  Hx  —  a,l|.r  —  apH"'"'   ^.r    _     rx  —  a^y'"-^  dy 

J  v^)L       ^^■''^       J     gi^-)~J  VÏI^)  V^îi) 

et,  de  même,  la  seconde, 

/x  —  x,  fix  —  a,)(.r  —  0,11"'"    rfx    _    /^x  —  oi^  r"'~^  dy 

D'autre  part,  les  formules  (8)  nous  donnent  évidemment 
avec  certains  coefficients  constants  A,,  B,,  A,,  B, 

Vg{x)  'V  V,  'V  r, 

Vg\x)  '\  V:  -V 

Par  suite,  en  transportant  ces  valeurs  dans  (16),  (17),  (18), 
nous  obtenons  un  résultat  tel  que  le  suivant 


où  P  et  Q  désignent  de  nouvelles  constantes. 


19) 


328  C.    C  AI  Ll.ER 

1 
Par  exemple,  si  Ton  fait  m  =:  — ,  on  trouve  immédiatement 

le  résultat  suivant  (|ui  est  bien  connu. 

Soit  X  =  f{x)g{x)   un  polynôme  quelconque  du  4''  degré, 

la    transformation    z*  =  —,   ramène    l'intégrale    abélienne 
^3"  à  deux  intégrales  elliptiques  appartenant  chacune  au 

z  . 

Vl  —  rt-" 

7.  —  Il  est  aisé  de  généraliser,  de  différentes  manières, 
la  formule  (19);  on  a,  par  exemple,  quel  que  soit  l'exposant  A\ 


|20| 
+  Q 


1 
Par  suite,  si  k  =  j)i  =-=  ^,  on  voit  qu'une  intégrale  hyper- 


elliptique  de  la  forme 

dx 


f 


^/fgiag  +  hf) 


(21) 


est  réductible  a  deux  intégrales  elliptiques  de  la  première 
espèce. 

Revenons  au  type  (19),  et  faisant 

aj   zzi  0    ,      ot,  =:  1    ,  ou  fix)  ::=  .r(  1  —  x)    , 

proposons-nous  de  déterminer  l'intégrale  définie 


/ 


(22) 


gix)         2 


où  le  chemin  d'intégration  est  rectiligne,  tandis  que  1  expo- 
sant m  est  supposé  supérieur  à  l'unité  pour  la  .convergence. 
En  ce  qui  concerne  g{.v),  nous  admettons  qu'il  ne  possède 


*■  UR    Q  UE  L  Q  UE  S    INTÉGRALE  S  329 

aucune  racine  réelle  entre  0  et  1,  et  nous  posons  go^=^g[^) 
Faisons  y  =^  - — r,  l'intéofrale  devient 

J  VgTT)  Vi^ 
Mais  les  formules  (8)  nous  donnent  ici 

V         .>i      Vo.  V        :!^.      V  g 

puis 

^  =  — vk__ (J7^- -  J'V^-) . 

V^-       K-^,lVn%^V  n       V  yj 

soit,  en  vertu  de  (12), 


(23) 


Il  convient  de  rappeler  que  \/ g^  est  la  valeur  finale,  obte- 
nue par  continuité,  de  la  fonction  \^ g[pc)  ;  le  signe  de  la  valeur 
initiale  v  g^  est  choisi  à  volonté.  De  la  même  façon  ?/'"  est 

la  valeur  finale,  au  point  77,,  de  la  fonction  (•^7—)    ,   dont  la 

valeur  près  de  Torigine  est  supposée  parfaitement  déter- 
minée. Et  quant  à  yj, ,  il  représente  celle  des  racines  du  poly- 
nôme h{.T)  qui  est  à  droite   du  segment  01  lorsque  ce  seg- 

A  /"  (  r) 

ment  laisse  à  sa  grauche  le  seul  pôle  de  -V-^  contenu  à  Tinté- 

^  '  g{.r} 

rieur  de  C  et  inversement. 

Soit  A  la  coupure  qui  correspond  au  chemin  d'intégration, 
nous  avons 
1 
2]/T    A"'(l  -■>■)'"- V.r^    f  r"'-'dy  f  y'"-' dy 

J  «I+--  J        /,  V        .'        /,         r 


330  C .    CAI LLER 

Mais  le  lacet  A  «ntoure  le  seul  point?/,,  par  suite 

1  'A 


-    /V'(l  -x)"'-'dx  _    f  y"'-'dy 
J  /«+i  J       I .        y 


et  en  i-ésiime 

1 


I  X    (1  —  .r|  dx         2       ml  {m  —  1)'    ,„  „,, 

/  i =  T7= — ^ïzrTi y,     ■  (24) 


1  4/~  I  '2/711' 


Changeons  dans  l'intégrale  la  variable  x  contre  la  variable 
1  — jc;  il  suffit  de  remarquer  que  ?/,  est  le  même  pour  les 
deux  polynômes  g{.jc)  et  ^(1  —  .x)  pour  trouver 


/■- 


■rdx         2-'"     m!(m-l)!^,„  _  ^^Si 


et  enfin,  en  additionnant  les  deux  résultats  précédents, 


"■":.-'" .  (26, 


Le  degré  d'homogénéité  de  l'élément  intégré  est  ici  égal 
à  —  2.  Nous  avons  donc  affaire  à  une  intégi-ale  du  type  hyper- 
géométrique  ;  pour  en  obtenir  explicitement  la  signification» 
calculons  y^  en  fonction^des  coefficients  du  polynôme 


On  a 
puis 

Mais 


X]  =  ax-  +  bx  -\-  c   . 
c   ,  g^  ~  a  -\-  h  -{    c 


.,  =  ^ 


/»"o  +  /^i 


SUR    QUELQUES    INTEGRALES  331 

d'où 

l/lT    l/tr  o-     a 

y  r^i  K  no oi  PO 

•  '  ""  (t  +  2fl,  ^/^  +  /V^  ~  l«  +  ^M/'  +  2c  +  2[/^[/^)  ' 

La  forme  définitive  de  (24)  est  donc 


/- 


1  —  cl'"-' 
dz 


0     |ac.2+  bz  +c)""*"5  ,27i 


2-"'/«!(/M  — 1) 


_L  A  +  2c-2t/oyg,Y 


(2/H)  !  ^] 

ou  encore,  moyennant  une  généralisation  évidente, 


0     ^az^^bz  +  c)    ^2  ,28) 


|/H 1 


.'(m  — 1)!        1        //,x  +  2c  — 2l/-y 


|2m):  l/^( 


/bx  +  2c-2^gy^\' 
\  b^  —  iac  J 


Comme  toutes  les  précédentes,  cette  l'ormule  est  valable 
pour  un  exposant  m  quelconque  :  la  seule  condition  qui  soit 
imposée  à  ce  coefficient  est  d'être  positif. 

Si,  en  particulier,  nous  le  faisons  entier,  on  peut  dériver 
m  fois,  et  alors  en  posant 

2oi  =  bx  +  2c  —  2\/7 \/JûF)  ,  (29) 

nous  aurons 


d 


(^7^)=l-'^--=^-'2m-   l,(^--«rj      -^.       130) 


C'est  là  une  identité  remarquable  relative  à  un  polynôme 
quelconque  du  second  degré  gLr).  Il  est  intéressant  de  la 
retrouver  par  une  voie  moins  détournée,  et  strictement 
algébrique.  C'est  par  là  que  je  terminerai. 


332  C.    C  AILLE  H 

8.  —  Avec  quelques  auteurs  représentons  par  le  symbole 
(.r'")  un  développement  ordonné  suivant  les  puissances  crois- 
santes de  X  lorsque  le  premier  terme  est  du  degré  m\  le 
nombre  m  peut  d'ailleurs  être  quelconque  positif  ou  négatif. 

De  la  même  manière  ( -r:  )  désisfnera  une  série  ordonnée  sui- 


vant   les   puissances    descendantes    de   .r   lorsque    le   terme 
initial  est  d'ordre  m  par  rapport  à  —  . 

Soit  m  un  entier  positif,  /T.r)  une  fonction  du  t^'pe  (-) 
c'est-à-dire 

/•(.n  =  a,„.r"'  +  ^„_,.r'"-'  +   ...   +  c,  +  ^'  +  ..     . 

Si  le  développement  est  sans  lacunes,  le  degré  des  diverses 
dérivées  /'(.r),  /"(.r),  ..  va  diminuant  d'une  unité  à  chaque 
rang.  11  y  a  toutefois  exception  pour  la  (//?  +  1)'"^  dérivée 
dont    l'ordre   s'abaisse   brusquement   de  m   unités.    Au    lieu 

d'être  du  type  (  — )  .   cette  [m  +  l)""'  dérivée  est  évidemment 

du  type  (~j        :  telle  est  la  simple  remarque  qui  me  sert  de 

point  de  départ. 

Soit  maintenant  g[x)  un  polynôme  quadratique  non  carré, 

g\X)  =    aX-    -\-    h.l    -j-    C     ,  h-    —    'irtf    ::=:    0 

et  /?,«(.r)   un   polynôme  quelconque  du  7;?'"*  degré,   de  sorte 
que  ~1  est  du  type  (.r"'~').   Alors,   comme  on  vient  de  voir. 

d'"    /  Piii\  /l   \"'+' 

la  quantité  — (  —L  )  sera  du  tvpe  (—1       .   D'autre  part,  en 
'  dx"\\'gJ  ''      \.rj  ' 

opérant  la  difierentiation,  on  trouve  directement 
j'"    /  I) 


dx'"  \^g  J        „,„+i 
f       - 

équation  où  figure  un  nouveau  polynôme  P,„.  Au  lieu  d'être 
du  degré  'lui  comme  il  le  semblerait  d'abord,  ce  polynôme 
P„, ,  suivant  la  remar(|ue  ci-dessus,  est  du  degré  m. 


.s-  UR    Q  UE  LQUES    I X  TKGRALES  333 

D'autre  part,  si  p,n  parcourt  l'ensemble  x  '"+'  des  poly- 
nômes du  wi'"®  degré,  P,„  décrira  aussi  le  même  ensemble 
dans  sa  totalité.  Dans  le  cas  contraire,  deux  polynômes  diffé- 
rents p^^  et  /?'„  ramèneraient  le  même  numérateur  P„^,  et 
nous  aurions  Téo^alité  absurde 


d' 


dx'"  \        \/] 


=  0 


Ainsi,  à  tout  polynôme  p,„  correspond  selon  l'égalité  (31) 
un  autre  polynôme  P,„  et  inversement.  Et  voici  la  consé- 
quence qui  se  déduit  de  là  ;  g(x)  étant  un  polynôme  du  second 
degré,  F  un  polynôme  quelconque  du  m'""  degré,  la  différen- 

P 
tielle  f  sera  toujours   intégrable   algébriquement   m  fois 

de  suite. 

9.  —  Pour  opérer  l'intégration  il  est  intéressant  d'exprimer 
l'un  par  l'autre  les  deux  polynômes  />,„  et  P,„. 

A  cet  effet,  prenons  un  cas  particulier,  et  posons,  a.  ei  (3 
étant  les  deux  racines  de  g'(.r), 

-       p{x)  =  {X-—  a)'"(.r  —  jj)'^  •       • 

avec  la  condition  ),  +  u  ^  /« ,  de  sorte  que  p{.r)  ait  le  degré 
voulu.  Je  dis  que,  dans  ce  cas,  P(.r)  est  divisible  par p{.r). 

En  effet,  puisque  g{:r)  =^  a[x  —  a)[x  —  /S),  la  quantité  -7= 

développée   selon    les   puissances    de    ix  —  a.)    est    du    type 

1 
((x  —  a.)')'    -  ,  ainsi  le  premier  membre  de  (31)  sera  de  la  forme 

((.r — a);     -       .     La    comparaison    avec    le    second    membre 
indique  le  degré  de  P,  qui  est  1. 

Autrement  dit,  P  est  divisible  par  (.r  —  a/^,  et  pour  la 
même  raison  il  le  sera  aussi  pour  (.r — /S)-"^.  En  particulier 
si  la  somme  des  indices  1  -\-  u.  est  égale  à  m,  le  polynôme  P, 
du  degré  /«  ,  se  confond  avec  [x  —  oLf{x  —  /3j'^,  sauf  un 
facteur  constant  A. 

I/Ënsi'ignenient   mathoni.,  id-^^  année;    l'JI'.l.  .  22 


334  Ç.     CAILLER 

On  obtient  sans  difTiciilté  ce  facteur  en  partant  de  Tiden- 
tité  (31)  qui  s'écrit  maintenant 

1  _i  -_  _L     ■        _  _i 

dx"'  \/a  ^  ^^,,,+  1  •      ^         ^ 

en  comparant  dans  les  deux  membres  les  plus  petites  puis- 
sances de  {x  —  ot),   ou  de  {x  —  /S),  nous  avons 


2  /  V       '2 


1\  /  3 


valeurs  égales  à  cause  de  la  relation  1  -\-  y.=zm.  Au  reste^ 
il  est  intéressant  de  remarquer  que  l'identité  (31"")  ci-dessus, 
obtenue  pour  des  valeurs  entières  de  X  et  jtz,  demeure  vraie, 
ainsi  qu'on  voit  sans  peine,  quels  que  soient  ces  paramètres, 
sous  réserve  de  la  condition  X  +  a  =  m  relative  aux  indices. 
La  formule  (31),  récrite  sous  la  forme 


dx"'  \/g^x)  ^  '^  m+\ 

g{x)       2 

comprend  en  réalité  [m  +  1)  cas  distincts  obtenus  en  faisant 
parcourir  à  X  la  série  X  ^  0,  1,  ...  m\  la  combinaison  de  ces 
cas  particuliers  redonne  le  cas  général.  Et  voici,  si  on  veut^ 
le  résultat  explicite. 

Posons,  pour  abréger,  f,  ■=r.  [x  —  a)  (.r  —  /3;!^,  et  mettons 
p„i  sous  la  forme 

Pm  =  ^'o/o  +   '•l/i  +   «^2/2   +   •••    +  '-'nJm    ' 

on  a  alors 

P,„  =  c,AJ,  +  c,AJ,  +  c,AJ,  +  ...  c,„A„,/„,    . 


Toute  la  question  se  réduit  à  développer  dans  la  forme 
indiquée  un  polynôme  quelconque,  ou  même  le  monôme  .r", 
avec  II  ^  m.  On  posera 

.r  —  3 
r  z=  m  —  n   ,  t  = . 


SUR    QUELQUES    INTÉGRALES  335 

et 

(3  _  al'«.r"  =  (,3(.r  —  a)  -  a  (.r  —  |j))"  [u  _  a)  —  i.r  —  ,i|J'"  , 

Si  donc 


d,t'   . 


le  coeflicient  de  f,n^k  dans  le  développement  de  .c"  se  trouve 
égal  à  la  quantité 


d,.  . 


Par  là  se  trouve  résolu,  d'une  manière  complète,  le  pro- 
blème de  la  correspondance  existant  entre  les  deux  poly- 
nômes p,„  et  P,„  qui  figurent  dans  (31).  Mais  cette  solution, 
assez  compliquée,  est  susceptible  de  simplification  dans  un 
cas  particulier. 

10.  —  Soit  .^o  une  constante  quelconque.  Par  l'extraction 
de  la  racine  carrée  vgi  on  peut  toujours  définir  un  polynôme 
du  V^  degré p^  et  une  constante  ^p,  de  manière  que  la  diffé- 
rence vs  =z p^  —  ({nV  g  soit  d'ordre  2  par  rapport  à  x —  a\,  ou 

^=P.-  %\/J=  {{^  -  •^■o))'  •  (32) 

Elevons  ttr  à  la  ;«™^  puissance,  nous  obtenons 

W"  =  p„,--  q,„_,  V/7  =  (i^  -  -roi)""  .  (33) 

équation  où  les  deux  polynômes  p,n  et  q,„—i  ont  un  degré 
égal  à  leur  indice. 

Par  suite,  en  dérivant  m  fois, 

d"'  /  P,n  \        d'"  /  œ 


d-r-^W  J       dx'"\x/- 


8      ' 

et  comme,   d'après   (32),   ce  résultat  doit  être  de  la   forme 
((.r  —  •^o))"'    ^^   polynôme    P„, ,    du    degré   m,    sera    égal    à 


336  C.    CAILLER 

(x  —  Xo)'"  sauf  un  facteur  constant  c.  On  a  donc 

rf'"    /  P.n   \  d'"    /  m'"  \  ^  ^(x-.r,r  ,33,, 


dx'"\\/J         d.r'"\\/J  „'"+ 

Il  est  clair  que  les  polynômes  p,,,  et  g„,-i,  introduits  à  l'ins- 
tant, dépendent  de  la  conversion  en  fraction  continue  de  la 

l 
fonction  — :=-.  En  effet,  la  relation  (33),  écrite  sous  la  forme, 

y  8 

=  ((.r  —  .rjj       ,  (34) 


\/7      '' 

montre  que  la  fraction  rationnelle^"^,  du  degré  /;? .  repré- 

P  m 

sente     Tirrationnelle    — ^:_    aux     termes     près     de     l'ordre 

\/  g 
{.X  —  -^0' '"'  c'est  la  caractéristique  d'une  réduite. 

Si  on  multiplie  (33)  par  la  quantité  conjuguée  p,„  +  q,n-\\/ g  ■> 
laquelle  est  d'ordre  zéro,  on  voit  que  y/^  —  &y!„-i  ^'^^  aussi 
d'ordre  2ni  en  x  —  .r^,  et  comme  ce  polynôme  est  du  degré 
2m,  nous  avons  l'équation  de  Pell 

^  "  4   1  \2"i  ,0-1 

La  constante  A,  de  même  que  cqui  figure  dans  (33""),  dépend 
évidemment  du  paramètre  laissé  arbitraire  dans  la  définition 
de  Pi  et  ^0  • 

Et  il  importe  de  remarquer  que  l'équation  ci-dessus  carac- 
térise aussi  les  polynômes /;„i  et  q,„—\.  premiers  entre  eux.  En 
effet,  si  (35)  a  lieu,  une  seule  des  quantités  p,„  —  ci„i-\\/  g 
et  p„, -\- q,„^\\/ g  doit  être  d'ordre  2/;?.  la  j)remière,  par 
exemple.  On  aura  donc 

ce  qui  suffit  à  établir  que  p„,  coïncide  avec  le  polynôme  étu- 
dié précédemment. 

Dans  l'équation  (32),  />,  est  un  polynôme  arbitraire  du  pre- 


s  un    QUELQUES    INTÉGRALES  337 

mier  degré.  Dès  qu'il  est  choisi,  le  binôme  x  —  x^,  selon  les 
puissances  duquel  on  effectue  les  développements,  est  déter- 
miné, car  on  a 

Ce  binôme  ne  diffère  donc  que  par  un  coefficient  constant 

du  suivant 

1    , 
t  =  p^g  —  2S  Pi  ■ 

Pour  trouver  le  coefficient  c  de  la  formule  (33"'*),  il  suffit 
de  faire  r  voisin  de  Tune  des  racines  de  gi-v),  en  comparant 
entre  elles  les  parties  principales  des  deux  membres.  On 
obtient  immédiatement  de  la  sorte 

J'"      /       n  \  l"l       /    rs">    \  /■'" 

'  ^    —  '  *    =    1  .  o  .  5  ...   |2m  —  1 


^-'"Vv/7/    ^-'"Vv/7/        ■  ■■  „'"4 

C'est,  sous  une  forme  légèrement  plus  générale,  l'équa- 
tion (30)  qu'il  s'agissait  de  vérifier.  Pour  obtenir  cette  der- 
nière, on  fera 

g{x\  =  «,r-'  +  hx  +  c  :       VgU)  =  V^ <-•  M  +   2^^-  H ^, -»■'  +  •••j 

p^(x}  =  c  +  —   ,         .»•„  =  0   . 

De  là 
et 


^=(.- 


SUR  L'INTÉGRALE  'i -J  ^\'_\'' dh  , 

0 


PAR 


Félix  Vaney  et  Maurice  Paschoud  (Lausanne). 


l.  —  Dans  un  mémoire  inséré  au  Bulletin  de  la  Société 
mathématique  de  France,  Laguerre  [Œuvres,  t.  I,  p.  415) 
considère  l'intégrale 

fz"e-t-^'''dz 

et  il  en  déduit  les  propriétés  fondamentales  des  polynômes 

U(.r)  d'HERMITE. 

En  partant  de  l'intégrale 


n 

,    fh"e~ 


h.r 

-r-  dit  , 


on  peut,  par  un  calcul  analogue  à  celui  de  Laguerre,  établir 
les  propriétés  essentielles  des  polynômes  P„  qu'il  a  obtenus 
dans  un  autre  mémoire  du  même  Bulletin  {Œuvres,  t.  I, 
p.  434),  et  qu'il  définit  [Œuvres,  t.  1,  p.  436)  par  la  relation  : 

hx 

eî^  h  h-  II" 

Tzr  =  Po  +  P.n  +  P22l+---  +  p«;r:  +  --  '^^ 

où  P„  a  comme  expression  générale  : 

^    .  ,  r.  n{n  —  l)    ,       ri(n  -  -  Wtn  —  2)    ,   ,  1        ,„ 


s  m    UNE   INTEGRALE  339 

Laguerhe    indique    les    propriétés    suivantes    des    poly- 
nômes P„. 

0 
re^P,„(j-)P„(.r)</x  =  0  pour  m  ^  n   , 

X 

0 

ainsi  que  les  relations 

P„+,  =  (v  +  2«  +  ]|P^_»^P,,_,   , 


On  voit  de  plus  que 


dx 


hx 

e     i^ 


II.  —  Posons  pour  abréger   =  T 

On  a 
d 


dh 


[hP[  l_  /j,2T]  =  phP-^T  —  {X  -\-  2p  +  X^hP'ï  +  \p  +  \]hP+^'Y  . 


En  multipliant  les  2  membres  par  dh  et  intégrant  de  0  à  /i, 
il  vient  : 

h  h  h 

(^_|_ll  fhP+^Tdh  =  hf{l  —  hf-T  +  {.r  +  2p  +  \\fhPTdh  —  pfhP-^Tdli  . 

(I  (I  0 

Si  Ton  pose 

h 

n  1        .' 

il  vient  entre  3  intégrales  définies  consécutives  la  formule 
de  récurrence 

ip+^  =  p'.hP{\  -fr-rï  +  (x  +  2p  +  []i^-p-^i^_^  .       (3) 

On  voit  de  suite  que 

I,  =  (1  -  A,2T  +  (.r  4-  1)I„_  I    . 


340  F.    VANEY  ET   M.    PASCHOUD 

et,  en  tenant  compte  de  cette  dernière  relation,  (3)  donne 
successivement  : 

pour  p  =  1   :    1,  =z  (A  +  .»■  +  3)(1  —  hfV  +  (X-  +  4.r  +-  '1)1^—  (x  +  3)  , 
pour  p  =:  2  :    I^  =  \2h-  +  \x  +  5)  /»  +  .r-  +  8x  -f    11]  il  —  h)-'ï 
+  (.*•'  +  9.f-  +   I8x  -t-  6)Io  —  [X-  +  8x  +  11)   . 

D'une  laçon  générale 

I„  =  fÔjA,  x)](l  -  Ar'T  +  P„I„  -  V„(.r)   .  (4) 

OÙ  9n{li,  .^)  est  un  polynôme  de  degré  \n  —  1)  en  h  et  en  x, 
.P„(jc)  est  un  polynôme  de  degré  n  en  x  et  V„(.r)  un  polynôme 
de  degré  [n  —  1)  en  x . 

On  a  en  outre  V„(.r)  =  ^„i^0,  .r). 

D'après  les  calculs  précédents  : 

ej//  .  x\  =  1    ;  ej/i  ,  x)  =  h  +  X  +  'à   : 

OglA  ,  X)  =  2h-  ■\-  \x  +  h\h  -\-  x'^  -|-  8.r  +  11    . 

V,  \x\  =  1   ;  \\{x)  =  ,r  +  3   ;  \^{x)  =  x-  +  8.r  -f  11    . 

P,  (x)  —  X  +  1    ;        P,  (x)  =  X-  +  4.r  +  2   ;        P,  (.r)  =  x^  +  9x-  -f  ISx  +  6   . 

De  plus 

En  dérivant  chaque  membre  de  l'identité 


^  Jix^  1 


par  rapport  h  x,  on  trouve 


Cette  relation  donne   pour  /?  =  0 

'  "~  <yj-      dx 

et,    en    tenant    compte    de    1,  =  (1  —  h]^T  +  {.v  +1)10""   ^' 
on  obtient 

^  =  1(1  -  /OT  -I-  I„-i  .  (6) 

expression  qui  sera  utilisée  dans  la  suite. 


SUN    UNE    INTÉGRALE  341 

III.  —  Il  existe  des  relations  de  récurrence  pour  les  poly- 
nômes 9,  V.  P.  Partons  de  la  relation  (3)  en  y  remplaçant 
\n  par  son  expression  (4),  il  vient  : 

[0„+i.<l-/H^T+P„^,I„-V„^,l-,.r  +  2,,  +  l,[0„.,l-^i^r+P„r„-VJ 

d'où  les  relations  cherchées 

9„+,  -  ,»•  +  -^n  +  1 1  0„  +  //=^0„_  ,  =  /.  :  h"  .                   (7) 

V„+i  -  (X  +  2/,  +  i,V„  +  ,r'V„_,  =  0   .  |8, 

P„+l-(^-+2«  +  l)P„+,r'P„_^=:rO   .  ,9) 

La  formule  (9,  montre  que  les  P„  sont  bien  les  polynômes 
de  Laguerre,  car  P,  =  .r  +  I  et  P^  =  -r^  +  4.r  +  -• 

La  formule  (8)  se  déduit  de  (7)  en  y  faisant  h  =  0\  elle  est 
identique  à  (9),  mais  les  polynômes  V„  sont  différents  des 
polynômes  P„,  car  V,  =;  1  et  V.^  =  x  -\-  3. 

IV.  —  Dérivons  les  deux  membres  de  (4)  par  rapport  à  .r  ; 
il  vient,  en  remplaçant  -j-*  par  sa  valeur  (6)  et  en  tenant 
compte  de  (5)  : 


(10) 


p„+l-(«  +  l)p„ 


f/V    ,  ,  fi\  p    ,  ,  —  in  +  liP„ 


d.f 


"  +  !'    -t:^+PJ  ''2, 


La  relation  (11)  s'obtiendrait  de  (lOj  en  y  faisant  h  =  0. 
De  (12    on  déduit  le  développement  suivant  de  P^^  : 

p;,  =  "p„_,  +  "1//  — iip„_o  +  ■••  +  "  !  Po  •       11-^» 


342  F.    VA  NE  Y  ET  M.    PASCHOUD 

De  (9)  et  (12)  on  tire  sans  peine  la  relation  indiquée  par 
Laguerre 

^•p1  =  «P.  -«'P„_i  (14) 

et  Téquation  différentielle 

^K  +  (^  +  1)PL  -«P„  =  0   .  (15) 

X 

V.   —  Posons   9„  =  eî^.  H„  . 

En  utilisant  la  relation  (14)  et  en  substituant  cette  valeur 
de  9n  dans  la  relation  (10),  on  obtient  : 

X 

(  dVi\         </H    ,,  ~\^h    P'  ,  , 

\    "  dx  J  dx  1  —  /j   n  4-  1  ^ 

La  relation  de  récurrence  entre  les  H„  est 

X 

H„+i  -  (x  +  In  +  1)H„  +  «2H„_,  =  n\h"e~'^h  .         (17) 
De  (16)  et  (17)  on  déduit  finalement  Téquation  différentielle  : 

+  (.r  +  1)--^_,,H 


dx"^  '  dx 

=  î^'i'L^^-2('  -Mp;, -"ir+'i .     (18) 

qui  ne  diffère  de  celle  des  polynômes  de  Laguerre  que  par 
la  présence  du  second  membre. 

Pour   /i  =  0,    H„(0,  .r)  =  e~^Y„    et   (18)    donne  l'équation 
différentielle  à  laquelle  satisfont  les  polynômes  V„ 

hx 
e     1 h 

VI.  —  La  fonction  y— -y,  considérée  par  Abel^  (Œ'Mcre^, 

t.  Il,  p.  284),  donne  naissance  à  des  polynômes  Q„  si  on  la 
développe  suivant  les  puissances  croissantes  de  h 

hx 


=  Q«  +  Qi^!  +  ^-^21  +  ••  +  ^",7^  +  - 


(20l 


'  Voir  aussi  Nijlanu,  Over  een  bijsondere  soort  van  geheele  functiù'n.  Utrechl,  1896.  (Thèse). 


SUR    UNE    INTÉGRALE  343 

OÙ  Q„  a  comme  expression  générale  : 

^   ,    ,           T.                ,    "("  —  1)    2        n{n  —  \){n  —  2)  "l 

Q„(^)  =  «  !  Il  —  «.r  +  -^T722— •*■ 12  22.32 -^    +   ■••]  •    '21) 

Abel   indique   en  outre  les    propriétés   suivantes   de   ces 
polynômes 

/  e~^Q„(.r|  Çl^^^{x]dx  =  0  ,         pour     m  zéz  n 
0 

X 

n 

En  partant  de  la  fonction  génératrice,  il  est  facile  d'obtenir 
la  relation  de  récurrence  des  polynômes  Q„ 

Q„+i  -  '2«  +  1  -  x,Q„  +  ,r'Q„_^  =  0   . 

ainsi  que  l'équation  différentielle 

•rQ;;  +  (1  --riQ;,  +  «q„  =  o  . 

Q„  s'exprime  encore  sous  forme  de  dérivée  n^^ 

Vil.  —  Le  développement  des  Q„  en  fonction  des  P„  peut 
s'obtenir  au  moyen  de  l'équation  différentielle  : 

P„  -  T  2P,,-  +      \,ï    '  2=P„-2  -■■■ 

<-  ir"''"-';;^;^^"--  +  "'rP_  - ...  I-  11"" i 2' p.]  . 

Comme  les  polynômes  Q„  se  déduisent  des  P„  en  y  rem- 
plaçant X  par  —  X  et  réciproquement,  il  est  possible  d'écrire 

P,.  =  (-  ■  I"  [q„  -  ^'2Q,_.  +  ^^'^  ^.Q,,,,  _  .  . . 

<  -  "^"''" ~  i'2;3'."..~ " ^  ''''^'^-r -  ■■  I-  ''""'^'Q.]  ■ 


344  F.    VA  NE  Y  ET   M.    PASCHOUD 

Ces  développements  sont,  à  l'alternance  des  signes  près 
et  aux  puissances  de  2  près  dans  les  coefficients,  analogues 
à  l'expression  générale  (21)  de  Q„  ou  à  celle  (2j  de  P„. 

Remplaçons  maintenant  dans  le  développement  20)  h 
par  j  et  multiplions  chaque  membre  par  e-^  on  obtient 

hx 

\  —  h  ~  (22) 

Ih         \\  h^        2\   h^  {n-il\k"        ni  li"+^  J    ' 

Ce  second  membre  représente  le  développement  suivant 
les  puissances  décroissantes  de  h  de  la  fonction  génératrice 
des  polynômes  de  Laguerre. 

De  la  même  manière,  on  tire  de  (1)  le  développement  sui- 


vant les  puissances  décroissantes  de  h  de  la  fonction  -r 


hx 


h    ' 


hx 

l  —  h 


^  ("Pp       II]:        Po  1  P„-i      1        P„  _1_  1 

Multiplions  chaque  membre  de  cette  dernière  relation  par 
n  \h"dh  et  intégrons  de  0  à  h,  il  vient  : 

h 

J    l  —  Il  L  "  i  «  —  1     2  !     ^  // 


Po      h  "-■- 


2     3 

-^'laZl^  ,    P»-i         h  1  123) 

,j_3    4!     -t-  ■'■  -t       ,      („_!,;  -t-  •••J  • 


VIII.  —  En   utilisant  une  méthode  indiquée  par  Hermite 

h 

/h"  fik 
(Œuvres,  t.  IV,  p.  169), 

0 

on  voit  que  les  polynômes  9„  et  \'„  peuvent  s'exprimer  au 
moyen  des  P„  et  des  Q„. 


SUR    UNE    INTÉGRALE  345 

Si  Ton  écrit  (4)  de  la  manière  suivante  : 

hx  hx  hx 

g\—  h  p  1 — h  g  1  —  h 

ÎZTTï  '„  =  '^„  \i'  ■  •'•>  +  Y=^,  ^\,  'o  -  î:3â  ^'n  . 
on  remarque  que  9n\h,  x)  l'orme  la  partie  entière  du  produit 


hx 


développé  suivant  les  puissances  décroissantes  de  h. 

Si  Ton  remplace  les  deux  facteurs  par  leur  développement 
respectif  (22)  et  (23)  et  si  Ton  multiplie  membre  à  membre, 
on  obtient  le  développement  de  9n{h,  .r)  suivant  les  puis- 
sances décroissantes  de  Ii 

"  |_     /(  \     n  n  —  1/ 

-^Xn.-r.  "^u/-l,.i:i:  ^  (n--2)  .2\.\)  ^24, 

A.   /PqQ^      ,  P.Q2  ,  P-2Q.  ,  P3Q0        \fn-'.      , 

"^  \/i.3:  "^  («-li.l!2:  ^  In  — 2)..2!1!  ^  (n  — 3i.3l/  ^  '" 


«  —  1 1.1  !(/  —  !)  ! 

^  (// —  2).2!|/  — 2i!^         ^  i«  —  ji./ I/"  J 

Le  développement  de  V„  est  formé  de  tous  les  termes  ne 
contenant  pas  li 


(25) 


1:         "    -    '  2: 

Un  autre  développement  de  ^^, ,  ayani   la  forme: 

V,  =  ^',P„_,+...  +  ^.P„_,  +  ...  +  «„  Po   . 

s'obtient   au   moyen    de    l'équation    diflerentielle   (19)   et   du 
développement  (13) 

V„  =  P„_,  4-  -l^n  —  liP„_,  -f  [n  —  2ri3,/  —  '*lP„_3 

+  •r-\„  —  2r-(/(  —  3)t»„_,,  +  (/)  —  31  (H  —  '.m5«-  —  25»  -f  32|P„_-^   -f-   ... 


346  F.    VA  NE  Y  ET  M.    PASCHOUD 

chaque  coefficient  s'obtenant  au  moyen  du  précédent  par  la 
formule  de  récurrence 


2n  —  r  -\-  \ 


['"-' ^- •''"'- +  (^J 


IX.  —  Eli  prenant  h  =  1,  comme  limite  supérieure  dans 
l'intégrale  I„  et  son  expression  (4),  il  vient  : 

1  j  Aa: 

an 
1  —  h. 

0  0 

ou  encore 

1  

n  Ih"      _  ^i-  ..  ^p      1-/1 

dh 


/>  nlh       — -—  re     1— 'î 

J   1  _  A  «  ^     "./   1  —  h 

t  0 

1 ^ 

/»  n  I  h" ^  rp     1— '^ 


Posons  z  =     _     ;   on  a,  après  substitution, 

X  "  0 

Le  premier  membre  peut  se  mettre  sous  forme  d'intégrale 

multiple  d'ordre  n  de  la  fonction  — 7-t\  ces  intégrales  mul- 

tiples  donnent  donc  naissance  aux  polynômes  P„. 

La  formule  (26)  est  celle  obtenue  par  Laguerre  [ŒuvreSy 
t.  I,  p.  432),  qui  en  déduit  que  P„  est  le  dénominateur  de  la 
réduite  d'ordre  n  du  développement  en  fraction  continue  de 

la  fonction  e^  j — dx,  le  polynôme  V„  étant  le  numérateur 

X 

de  celte  réduite. 

Enfin  on  remarcjue  que  l'intégrale  1„  se  transforme  par  le 
changement  de  x  en  — x,  en  une  nouvelle  intégrale  J„  qui 
donne  naissance  aux  polynômes  Q„  d'AsEL 

hx 
h  hx  \~h 

^•n  =fYz~h  ^^  ""'  =  L""'''  •  •'■>]<^  -  '"'r^TT,  +  Q«^o  -  ^^^'<-^>  ' 

0 

où 

Û„(A,x)  =  6j/j,  -.,)   . 

Q,.W  =  P„(--r)   . 
^V„^r)=  V„(-.-)   . 


EXTENSION  DE  LA  NOTION  DE  JACOBIEN 


M.  Stlyvaert  (Gand). 


1.  —  On  connaît  pour  n  fonctions  à  n  variables,  le  théorème 
de  J.Bertrand  relatif  au  déterminant  fonctionnel  ou  Jacobien 
J  de  ces  fonctions  \ 


J  =  j    d,fd.^o 


d„  X  d„  y 


les  lignes  du  dernier  déterminant  ci-dessus  étant  n  systèmes 
d'accroissements  des  variables  x,  y et  les  lignes  du  pre- 
mier déterminant  étant  les  différentielles  totales  correspon- 
dantes des  fonctions  f\  9,... 

L'égalité  ci-dessus  résulte  immédiatement  de  la  règle  de 
multiplication  des  déterminants,  et  peut  s'écrire  en  notation 
abrégée, 

J  ^  !>(/;•  /•2. •••/„> 

D(j-i,  j-j,  ...  J-,,1 

Le  Jacobien  joue,  à  l'égard  des  fonctions  de  plusieurs 
variables,  un  rôle  analogue  à  celui  de  la  dérivée  d'une  fonc- 
tion d'une  variable.  Ainsi  la  notation  précédente  conduit 
immédiatement  à  ces  deux  corollaires  : 

1"  Pour  les  fonctions  inverses. 


X 


=  1 


2"  Pour  les  changements  de  variables  i^ou,  ce  qui  revient  au 


•  Voir  p.  ex.  Nikwengi.owski,  Algèbre,  t.  II,  p.  176. 


348  M.    STUYVAERT 

même,  pour  les  fonctions  de  fonctions),  si  .r.=.c^.(y^.  ?/, 
on  a 


3/„)' 


D(.r,- vj 


•Jj 


D(.r, 


.../■)  Du-  , 

•  Il  '1 

X  

•••^„>  I^IJi.  Ta,  ...  r„) 


en  particulier  si  la  siibsliUition  qj  est  linéaire,  le  second  rap- 
port est  le  module  de  la  substitution  et  Ton  voit  que  le 
Jacobien  d'un  système  de  formes  algébriques  est  un  co- 
variant. 

Enfin  on  sait  que  si  le  Jacobien  est  identique  à  zéro,  il 
existe  une  relation  identique  entre  les  fonctions,  ou  bien 
l'une  d'elles  est  constante. 

2.  —  La  première  extension  de  la  notion  de  Jacobien  est 
relative  à  m  fonctions  de  n  variables  [m  ^  //),  mais  en  prenant 
toujours  les  dérivées  partielles  du  premier  ordre. 

Le  cas  de  772  =  //  ±  1  a  déjà  été  rencontré,  au  moins  pour 
les  formes  algébriques,  par  L.  Cremoxa  et  par  nous,  dans 
nos  Cinq  Etudes  de  Géométrie  analytique'^,  pour  quatre 
variables  homogènes  et  trois  ou  cinq  surfaces  algébriques. 

On  peut  évidemment  considérer  aussi  deux  ou  quatre 
courbes  algébriques  dans  un  plan  :  dans  le  premier  cas  on 
a  la  matrice 


^f 

^f 

^f 

Ox, 

^^2 

Ô.r3 

i^X, 

iiX- 

qui  s'annule  pour  des  points  du  plan  en  nombre  générale- 
ment fini;  si  /'est  de  degré  //  el  g  de  degré  //,  ce  nombre 
est 

(//  —  1  +  /(' —  1|-  —  {n  —  1  M// —  1)  =  //-  +  ////'  +  //'-—  o\n  +  n')  +  3  . 

Ce  sont  les  points  qui  ont  même  droite  polaire  relativement 
aux  deux  courbes.  Dans  le  cas  de  deux  coniques,  ce  sont  les 
sommets  du  triangle  conjugué  commun. 

Si    l'on    a    (|ualre   courbes    planes   f\.  /j ,   /à,   /^  d'ordres 


•  Gand,   Van   (îoothoiii,  lOOS,  p.  .W  et  siiiv. 


LA    NOTION   DE   JACOB/EN 


349 


//j,  //., ,  11^,  //,.  la  matrice  Jacobienne  représente  des  points 
isolés  en  nombre 

(H,  —  1  +  n,  --  1  +  »,  —  1 1  (//,  —  1  +  «.,  —  1  +  «^  —  1) 

—  (/(,  —  1  -|-  «2  —  Ir  -(-  (/;,  —  Il  !«.,  —  Il 

=:  — //j»„  —  oil//  -(-  (j    . 

Ces  points  sont  ceux  dont  les  droites  polaires,  pour  les 
quatre  courbes,  passent  par  un  même  point.  Parmi  ces  points 
figurent  les  points  communs  aux  quatre  courbes,  s'il  y  en  a 
(mais  non  pas  les  points  doubles  des  courbes  données). 

Pour  étendre  à  Tespace  ordinaire,  on  pourra  prendre  deux 
ou  six  surfaces,  et  les  matrices  ayant  alors  deux  colonnes 
de  plus  que  de  lignes,  s'annulent  pour  des  points  isolés  dont 
l'étude  est  analogue  à  ce  qui  précède.  Et  de  même  pour 
l'hyperespace. 

3.  —  La  matrice  jacobienne  étudiée  à  l'instant  a  un  sens 
pour  toutes  les  fonctions  possédant  des  dérivées  partielles 
et  non  seulement  pour  les  polynômes  homogènes.  Son  éva- 
nouissement identique  correspond  encore,  si  aucune  des 
fonctions  n'est  constante,  à  une  r&lation  identique  entre  les 
fonctions. 

Le  théorème  de  J.  Bertrand  est  applicable  et  donne  (pour 
fixer  les  idées) 


î>.r„ 


!    X 


d^ 

•'•. 

d,r. 

rfg.r, 

^^.r, 

dr 

•*2 

d,.i\ 

d.^.r.. 

d,.r. 

d. 

X, 

d,.r. 

^3  •*'.-! 

d^x^ 

dj  d,f  dj  dj 

d ^  o     d.^ ç     (/^ 3      d^o 

la  multiplication  est  à  droite  et  lignes  par  colonnes,  suivant 
l'usage  de  la  théorie  abstraite  des  matrices.  Ecrivons  ceci 
en  abrégé 

J  X  M  =  1)  . 
d'où 

.1  =  D  X  .vr'  . 


L'Enseignement  iii.ilhom.,   "2()«  ann^-e;  1919. 


350  M.    STUYVAERT 

CoROLLAiHE  poiii'  les  fonctioiis  inverses 


"^7    "ôô 


X 


jl     ./,/•     ^,/-      ^,/-      dj 
j]    c/,  ç     (Vg?     '^•':jr     ^^4? 


O'j    >'j  ^o.*i  ^^S'^'l  ^i"''\ 


cL  X, 


d,  .r.> 


en  abrégé 
par  suite 


K  X  O  =  M    .  d  où         K  =  M  X  D' 

J  X  K  =  D  X  M~'  X  M  X  D~'  =  1 


Corollaire  pour  le  changement  de  variables  :  si  les  x  sonJ 
fonctions,  par  exemple  de  ^,,  ^.2,  y^.  ?/,,,  y^,  on  a 


l)XJ 

5 

diï. 

4 

^.• 

dj2 

X 

^iJ^ 

= 

b.r3 

1 

d0\ 

1 

rf,.r, 

d,x. 

<s*i 

d,.r. 

C?j  ^2 

d^.r^ 

^3^-2 

di-^z 

d^X^ 

^•r*3 

^s-'S 

di-^s 

en  abrégé 

L  X  X  =  M  ou  L  =  M  X  N' 

M  ayant  le  sens  de  plus  haut.  D'autre  part, 


dû\ 

i 

;>/■ 

5 

dû2 

^^r,• 

dJ 

X 

di?z 

— 

i><p 

dû-. 

d.o 

^- 

•^  i 

1 

de?: 

1 

en  abrégé 


J'  X  N  =  1) 


LA    NOTION   DE    JACOBIEN 


351 


N  et  D  ayant  le  sens  de  plus  haut.  Or  on  a  aussi  J  x  M  =  D, 
d'où 

j  X  -M  =  J'  X  N 


ou  enfin 


J  X  M  X  N~'  =  J' 
J  X  L  =  J'  . 


4.  —  Pour  les  fonctions  u^  v,  ...  quelconques  (algébriques 
ou  non)  de  ûo,  y,  ... ,  on  peut  encore  généraliser  la  notion  du 
jacobien  en  faisant  intervenir  des  dérivées  partielles  d'ordre 
supérieur  au  premier.  Prenons  le  cas  de  deux  fonctions  et 
deux  variables,  pour  fixer  les  idées  et  posons 


&-« 

^2„ 

ô2« 

Ù.r2 

(>,r  dy 

^y' 

^2»' 

ô-t- 

fs^v 

r>x- 

5x^1- 

iM-2 

Cette  matrice  est  identiquement  nulle  si  l'une  des  foue- 


ts (/ 


tions  n,  V  est  linéaire   en  œ  et  ?/,  ou  si  —  est  une   fonction 

arbitraire  de  F  —,  et'—  une  fonction  G  de  —  ,  arbitraire  aussi 

sauf  la  restriction  que  la  dérivée  de  G  par  rapport  à  .r  soit 
identique  à  la  dérivée  de  F  par  rapport  a  y.  Nous  laissons  au 
lecteur  le  soin  de  vérifier  cette  propriété  et  de  la  généraliser. 
L'extension  du  théorème  de  J.  Bertrand  s'effectue  en 
multipliant  (à  droite  et  lignes  par  colonnes)  la  Jacobienne 
ci-dessus  par  la  matrice  carrée 


{d,xY 

d^  xdn  X 

(rf..>-)' 

M  = 

2d^.rd^j 

(/,  xd^  y  -j-  c/o 

rd 

iX 

'IdoXdoy 

id^yr 

d^yd-iy 

id.yr 

ce  qui  donne 

• 

D  = 

d  u         d  II  d^  Il 
d^v          d  vd^i> 

Puisque 

J  X  M  =  D   , 

on  en  conclut 

J  =  D  X  M"' 

352  M.    STUYVAERT 

Le  corollaire  pour  les  fonctions  inverses  ne  semble  rien 
donner  d'intéressant. 

Voici  un  corollaire  pour  les  changements  de  variables. 
Soient  X,  Y  les  nouvelles  variables,  J'  la  Jacobienne  pour 
ces  nouvelles  variables  et  N  la  matrice  carrée  analogue  à  M 
pour  X,  Y;  alors 

J'  =  D  X  N~'  , 
d'où  facilement 

J'  =  J  X  M  X  N~' 

et  de  même 

J  —  J'  X  X  X  M~'    . 

Cas  particulier  de  la  substitution  linéaire, 

X  =r  Àj  X  +  |J.,  Y 
y  =  /.,_,  X  +  ;i^  Y    , 

alors 

{d.xf-  =  À^U-Z^-Xl^  +  2À,;j.,^.Xo?.Y  +  [^lid.^f-  u  =  1,  2)  , 

d.xdir=\\td.Xr-  +  (\ix,  +  K-,iJ.^)d.Xd.^-  +  a,;j^irf^.Y)2  . 

d^  xd., X  =z  ( Àj  t/j  X  +  ;a.,  d^'\\\ \  d^X  -^  a,  d^  Y ) 

=  xVjXrfoX  +  ).ja,(rf,X(7,Y  +  d.^XdJ)  +  [J^d^d^Y  , 

</j  xd.^y  +  d.^xd^y 

=  {\d^X  +  a,(/jY||>.,  (/gX  +  'x.dA'\  +  (\d^_X  +  ;j.j  </,Y)  (/..«/j  X  +  [J^  rfjY) 

=  2Wd^Xd,X  +  (X,  [A,  +  À^aJIf^jXfl'.Y  +  d,Xd^\')  +  2  a^  «j,,  ^,  Y*/,  Y  , 

etc. 

Donc  jNI  est  le  produit  (à  droite)  de 


par 


K 

'■1  l-^i 

l\ 

2\\ 

l 

1 1-^2  +  ''•■>  :'i 

^^,;^.  ' 

ou  A 

K 

'■2  \^2 

^     i 

1 

(d,xr- 

d^Xd.,X 

id,xr- 

2d^Xd^\ 

^, 

Xd„\  +  </._, 

X^,Y          2 

d.,Xd.,\ 

{< 

^Y), 

d^\d.,\ 

(d,Y)^ 

LA   NOTION   DE   JACOBIEN  353 

cette  dernière  est  N,  finalement 

J'  =  J  X  A  X  N  X  N"'  =  J  X  A 

et  la  matrice  carrée  A  ne  contient  que  les  éléments  de  la 
substitution;  on  sait  que  le  déterminant  A  vaut  le  cube  du 
module  QiUo  —  X^u,^  de  la  substitution. 

5.  —  Si  la  matrice  proposée  est 


1^2  « 

î^^v 

Krhy 

dx  fiy 

i^hi 

i)^V 

by^- 


t\r- 


le  théorème  de  J.  Bertrand  est  encore  applicable,  mais  avec 
multiplication  à  gauche, 


donne 


d^xd.^x     d^.rd^y  +  d^xd^y     d^yd^y 
(d.-,x)'  2d^.rd.,y  (<^oV)- 


di  u  di v 

d^  itd.,  Il  f/,  vd^v 

3  2 

da  II  '    dzV 


X  K 


De  même  pour  le  changement  de  variables  et  la  substitu- 
tion linéaire,  mais  avec  multiplication  à  gauche. 

Un  cas  particulier  de  ce  qui  précède  (et  qui  correspond 
au  Hessien  dans  la  théorie  du  Jacobien)  est  celui  où  u,  f ,  ... 
sont  elles-mêmes  déjà  des  dérivées  partielles  d'une  fonc- 
tion f. 


Exemple 


H  = 


i\x* 


f>x'^ày 


dx^dy      àx-ày^      ôxôj* 

Le  théorème  de  J.  Bertrand  ne  semble  pas  avoir  ici  d'ana- 


354 


M.    STUYVAERT 


logue  simple,  mais  bien  le  corollaire  de  la  substitution  li- 
néaire :  le  dernier  résultat  ci-dessus  conduit  à 

ô    /ô^FN        ô    /   5'^F   \        &    /   ^^V    \       ô    /ô^F\ 
ôY\ôX3/      ôX  \f>X2ôY/      i>XVôXôYV      ôX  \ôY7 

ô    A^='F\      J^/    ô^F   \        ô    /   O^F   \      _ô_/ô^\ 

ôYl^ôX^y    ôTVSx^ôYy    ^VôXôYV    ivrl^ôY^y 

i>3F   \      ^/ô»F\ 

XôY^y    s^ Vf>Y^/ 


à   /ô^F 


Ô^F 
i>.r\ôX7      ô.r\ôX2  5Yy      b.rVôX( 

^A>3F\       ô   /   b^F   \        ô  /    i>^F    \        5  /d^F\ 


où  F  désigne  la  transformée  de  /',  c'est-à-dire 

f{\X  +  ÀjY    ,      ;ji,X   -1-  |j^Y)    ; 

et  la  dernière  matrice  ci-dessus  est  à  son  tour  le  produit  de 
la  matrice  initiale  par 

Al  Al A2  Al  A2  Aj 

3Ai;Xi  2AiA2a,  -|-  ÀiJJ^  2aiA,  ;j.2  -|-  ij-iAj  -iAjIJl, 

3),iai  1J.1À2  -|-  2Ài!i.ia2  Ài;j.j  +  2;j.i;a2Àj  3/.j;x, 

l^-i  HafAj  ;j-ii4  [h 

Dans  cet  exemple  donc,  la  transformée  s'obtient  en  multi- 
pliant la  matrice  initiale  à  droite  et  à  gauche  par  des  tableaux 
carrés  ne  contenant  que  les  éléments  de  la  substitution. 
Pour  le  cas  particulier  du  pol3'nôme  de  degré  4  (ou  en  géné- 
ral /i),  les  dérivées  partielles  sont,  à  un  facteur  constant  près, 
les  coefïicients  et  Ton  obtient  une  propriété  de  matrices 
invariantes  signalées  par  nous  dans  Y  Enseignement  mathé- 
matique (1910). 


SUR  LA  REPRÉSENTATION  PROPORTIONNELLE 
EN  MATIÈRE  ÉLECTORALE 

PAR 

G,  PôLYA  (Zurich). 


Dans  plusieurs  périodiques  non  mathématiques',  j'ai 
essayé  de  mettre  en  contact  ranal3'se  mathématique  avec 
l'énorme  diversité  des  opinions  émises  sur  la  question  de  la 
représentation  proportionnelle  en  matière  électorale.  La 
partie  la  plus  intéressante  de  la  recherche  est,  me  semble-t- 
il  :  trouver,  dans  une  littérature  de  controverse  qui  s'éloigne 
beaucoup  de  l'exposition  et  des  sujets  mathématiques  habi- 
tuels, des  principes  tangibles,  des  faits  susceptibles  d'une 
explication  exacte  et  les  «  mettre  en  équation  ».  Dans  les 
travaux  cités  j'ai  énoncé  plusieurs  résultats  mathématiques. 
Je  les  ai  vérifiés  expérimentalement  par  des  exemples,  j'ai 
tâché  de  les  rapprocher  du  bon  sens  sans  l'aide  des  formules, 
mais  j'ai  dû  omettre  les  démonstrations.  Dans  les  lignes 
suivantes  je  donnerai  l'analyse  exacte,  une  analyse  très  élé- 
mentaire d'ailleurs,  mais  qui  ne  sera  peut-être  pas  dépourvue 
d'un  certain  intérêt  pour  quelques  lecteurs. 

1.  —  Notations.  Soient  A,  B,  G....  L  les  nombres  de  suf- 
frages obtenus  par  les  listes  en  présence.  Soit  S  la  somme 
totale  des  suffrages  exprimés 

A  +  B-fC-f...  +  L  =  S.  (1) 

Soit  s  le  nombre  des  sièges  à  répartir.  En  partageant  s  unités 


'  Schweiz.  Zentralblatt  fiir  Staats- und  Gemeindever^Kaltung.  19111,  N»  1  :  Journal  de  statis- 
tique suisse.  1918,  N»  4;  Wissen  und  Leben,  N<"  de  janvier  et  février  1919.  Zeitschrift  fiir 
die  gesamte  Staatswissenschaft  (sous  presse). 


356  G.    POL  Y  A 

arbitrairement  divisibles  proportionnellement  aux  nombres 
A,  B,  G,...  L,  on  obtient  les  «  parts  exactes  » 

As  B.S  _  [,.s- 

a=-    ,      1.  =  -^   ,     ...     l=-    . 

On  a 

a  +  h  +  c  +  ...  +  l  =  s  .  (2) 

Les  parts  exactes  «,  b,  c,  ...  l  ne  sont  pas  en  général  des 
nombres  entiers.  Donc  si  l'on  décerne  aux  diverses  listes 
respectivement  a,  /3,  y,  ...  1  sièges,  on  commet  inévitable- 
ment des  erreurs.  Les  erreurs  commises  sont  respective- 
ment a  —  «.  /S  —  b....l  —  /pour  les  différentes  listes  et 

— T — ,  ^^-5 — ,  ...  ^—, —  pour  les  électeurs  des  différentes  listes. 

S  il  y  a  des  erreurs,  il  y  en  a  toujours  des  positives  et  des 
négatives,  la  somme  de  toutes  les  erreurs  étant 

a  —  r<   4-   ;;  —  /y  -f    .  .  .   4-  À  —  / 

On  a  proposé  un  très  grand  nombre  et  appliqué  effective- 
ment un  nombre  considérable  de  systèmes  différents  pour 
effectuer  la  répartition  des  sièges,  c'est-à-dire  pour  déter- 
miner les  nombres  entiers  a.  /S.  y,  ...  a  en  connaissant 
A,  B,  C,  ...  L.  On  peut  poser,  à  priori,  certaines  conditions 
très  plausibles,  que  tout  système  doit  remplir  pour  être 
admissible.  Premièrement,  si  l'on  a 

chaque  sj'^stème  raisonnable  doit  donner 

a  ^   >  ^  y  ^  .  .  .  ^  À   . 

Remarquons,  en  second  lieu,  que  chaque  règle  doit  devenir 
indéterminée  en  certains  cas  particuliers,  par  exemple  si  le 
nombre  s  est  impair  et  s'il  n'y  a  que  deux  listes  en  présence, 
les  deux  ayant  obtenu  le  même  nombre  de  suffrages.  Pour 
qu'un  système  de  répartition  soit  admissible,  il  faut  que  ces 
cas  d'indétermination  soient  exceptionnels.  Cette  condition 
sera  précisée  plus  loin.  Enfin  les  entiers  a.  /S.  y,  ...X  doi- 
vent  «  s'approcher  »  autant  que   possible  des  parts  exactes 


REPRÉSENTATION   PROPORTIONNELLE  357 

a,  Z>,  c\  ...  /  OU  plutôt  les  erreurs  commises  doivent  être 
«  les  plus  petites  possible  ».  Cette  condition  peut  être  pré- 
risée de  manières  très  diverses. 

2.  —  Traitement  égal  des  partis.  Considérons  d'abord  les 
erreurs  commises  pour  chaque  parti.  Quelle  est  la  réparti- 
tion les  rendant  les  plus  petites  possible  ?  Le  problème  est 
indéterminé.  En  effet,  si  des  erreurs  d'observation  étaient 
en  question,  nous  aurions,  après  tant  de  recherches  théo- 
riques et  expérimentales,  sinon  des  arguments  absolument 
décisifs,  du  moins  quelques  bonnes  raisons  d'appliquer  la 
méthode  des  moindres  carrés.  Il  s'agit,  dans  notre  cas, 
d'erreurs  d'ordre  juridique,  et  à  ma  connaissance  on  n'a 
proposé  jusqu'ici  que  des  raisons  de  sentiment  qui  parlent 
plutôt  en  laveur  de  la  méthode  des  moindres  carrés  qu'en 
celle  d'une  autre  méthode  quelconque.  Xous  allons  essayer 
plusieurs  méthodes  à  la  fois. 

Problème.  —  Soit  (f{\)  une  fonction  figurée  par  une  courbe 
convexe,  ©(0)  =  0,  a)(xi  >  0  pour  x  ^  0.  Etant  donné  les 
nombres  positifs  a.  b,  c,  ...  I.  satisfaisant  à  (2),  trouver  des 
entiers  non-négatifs  a.  /S,  y,  ...  À  satisfaisant  à  (3)  tels  que 
la  somme  (^[a  —  a)  +  (jd  /3  —  b  +  ...  +  ^(X  —  1)  soit  la  plus 
petite  possible. 

En  posant,  par  exemple,  33 '.r  =  -.rj*.  a  >  i,  on  cherche  la 
solution  de  notre  problème  de  répartition  d'après  la  méthode 
«  des  moindres  puissances  a~""^*  ».  On  écrit  la  somme  en 
question  comme  suit  : 

ï  I  a  —  rt  I  +  ç  I ,:  —  i)  +  .  .  .  +  ç  (X  —  /) 

=  çi—  a)  +  ç(—  h)  -\-  .    .  G(  ^    /) 

+  ((cp(l  —  a)  —  çl—  «))  +  (ç(2  —  a)  —  z\\  —  «l) 

+  ...  +  (r(5t  -  a)  _5,a-  I  —  a]) 
+  Cçll  —  /^)  —  ç(—  //i)  +  (çl2  —  /m  —  91I  -    In)  Cl) 

+  ...    +   (çi,3  —   /y,  _  5(^3  —   1  -   In) 

4-  (ç(l  -h-  ?|-  l\)  +  (?(2  -  /(  -  ?ll  -  /l) 

+  ...  +  (?|X  —  /)  -  ç(X  —  1  -   /l)  . 


358  G.    POLYA 


Désignons  le  nombre  des  partis  concurrents  par  p.  Le 
second  membre  de  l'égalité  (4j  comprend  p  -\-  1  lignes.  La 
Q-me  ligQe  se  compose  de  p  termes,  indépendants  du  choix 
de  a,  /S,  y,  ...  /,  c'est  la  longueur  des /?  lignes  suivantes  qui 
en  dépend.  La  première  ligne  ^  correspondant  au  premier 
parti,  comprend  «  termes,  la  seconde  ligne  /3  termes  et  ainsi 
de  suite  chaque  ligne  comprend  autant  de  termes  qu'il  y  a 
de  sièges  attribués  au  parti  correspondant. 

Quelle  est  la  grandeur  relative  de  ces  termes  dans  les 
p  dernières  lignes  ?  L'hypothèse  que  la  courbe  y  =  (^[x)  est 
convexe  (vue  d'en  bas)  entraîne^  que  la  fonction  ç,  .r+1)  —  <f[^) 
augmente  constamment  avec  x.  Donc  la  réponse  à  la  ques- 
tion :  quel  est  le  plus  grand  des  deux  termes  donnés?  est 
(l'hypothèse  en  question  remplie)  indépendante  de  «p  et  ne 
dépend  que  des  arguments.  On  voit  facilement  que  le  pro- 
blème, rendre  minimum  le  premier  membre  (ou  le  second) 
de  (4)  revient  à  ceci  :  choisir  dans  le  tableau  suivant,  à  p  lignes 
et  à  une  infinité  de  colonnes, 


1  —  a  ,   2  —  a  .  3  —  a,  .  .  .    [ci]  —  a  ,   [a]  -{-  l 
1  —  b;   2  —  h  .   3  —  h,  ... 

1  —  /,    2  —  /,    3  —  /.   ... 


(5) 


a  nombres  de  la  première  ligne,  (3  de  la  seconde,  ...  ^  de  la 
/?"®,  de  manière  que  les  a  +  /3  +  y  +  ...  +  À  nombres  choisis 
soient  les  s  plus  petits  nombres  de  tout  le  tableau. 

Dans  la  première  ligne  il  y  a  [a]  (c'est-à-dire  partie  entière 
de  a)  nombres  négatifs,  voir  1  —  a,  2  —  a,  ...[a]  —  ff,  le 
suivant  [a]  -\-  i  —  a  est  ^  1  et  les  suivants  sont  >  l.  On 
constate  que  dans  tout  le  tableau  (5)  il  y  a 

[«1  +  [I']  +{c]   +  ...+  [l\^  s   , 


*  Cette  ligne,  comme  les  suivantes,  a  été  partagée  en  deux  à  cause  des  difficultés  d'im- 
pression. 

'  Pour  les  notions  analytiques  utilisées,  voir  Jknsiîn,  Acla  Mathematica,  t.  30  (1906), 
p.  175-193, 


REPRÉSENTATION   PROPORTIONNELLE  359 

nombres  non-positifs  et  p  nombres  compris  entre  0  et  i. 
C'est  entre  ces  [a]  +  [b]  +  [cj  4  ••  •  +  [i]  +  P  nombres  que 
nous  devons  chercher  les  s  plus  petits  du  tableau  (5),  parce 
que,  évidemment, 

■V  <   [«I   +    l   ^  [/>]    4   1    +  .  .  .   +   [/]  +   1    . 

En  résumé,  pour  rendre  minimum  la  somme 

çla  —  a]  +  ?(,'':i  —  /m  +  .  .  .  +  ç(À  —  I] 

on  a  la  règle  suivante  :  attribuer  d'abord  aux  partis  respec- 
tivement [a],  [b],  [c],  ...  [1]  sièges;  s  il  reste  encore  des  sièges 
disponibles  (ce  qui  sera  généralement  le  cas),  attribuer  le 
complément  aux  plus  grandes  des  fractions  a  —  [a],  b  —  [b], 
c  —  [c],  ...  1 — [I].  C'est  la  règle  des  plus  grands  restes, 
comme  on  dit  couramment.  La  règle  des  plus  grands  restes 
ne  peut  être  indéterminée  que  dans  le  cas  oîi  deux  des 
nombres  a  —  [a],  b  —  [b],  ...  l  —  [l]  deviennent  égaux. 

Le  résultat  est  qu'une  infinité  des  méthodes,  par  exemple 
celle  des  moindres  carrés,  celle  des  moindres  bicarrés,  etc., 
appliquées  aux  erreurs  relatives  aux  listes  préconisent  la 
même  répartition  des  sièges.  Ce  résultat  peut  être  généralisé 
encore,  en  élargissant  les  conditions  auxquelles  la  fonction 
^(.ri  est  assujettie. 

Je  ne  veux  pas  formuler  les  conditions  les  plus  générales  ; 
on  voit  par  exemple  que  la  démonstration  s'applique  presque 
sans  changements  à  la  fonction  (pi^.r)  =  [.rj,  ce  qui  n'est  pas 
sans  intérêt. 

Le  problème  de  répartir  les  sièges  de  telle  manière  que 
le  maximum  des  écarts  |a  —  «|,  |/3 — ^|,..,|À  —  l\  soit 
aussi  petit  que  possible,  conduit  aussi  à  la  règle  des  plus 
grands  restes.  J'omets  la  démonstration,  parce  qu'elle  est 
facile  et  bien  connue. 

3.  —  Traitement  égal  des  électeurs.  D'après  la  nature  de 
la  question,  ce  ne  sont  pas  les  erreurs  relatives  aux  partis, 
mais  celles  relatives  aux  élec'teurs  qui  importent.  En 
essayant   d'appliquer   à   ces   erreurs-là   les   différentes    mé- 


360  G.    POLYA 

thodes  imaginables,  on  est  amené  à  rendre  minimum  l'ex- 
pression 

par  le  choix  convenable  des  entiers  a,  /5,  y.  ...  ).  de  la  somme 
donnée  s.  En  remplaçant  S9(^]  par  ^  .r),  on  peut  aussi  en- 
visager l'expression  suivante 


C'est  cette  dernière  que  je  rendrai  minimum  en  admettant  que 
la  fonction  (p  remplisse  les  conditions  énoncées  auparavant. 
On  a  l'identité  analogue  à  (4) 


«ç(--l)+/>?(^-l     +...  +/?    y-  ' 


=  rto(—  1)  +  /vç(—  J|  +  ...  +  /œl—  Il 


+  .,(.(i-i)-,i-i,)  +  »(=(|-i)-,(i-i 


+  «(o(— —  1)— ç( 1 


+  M?(l-i)-?(-i))  +  /'(?(i-i)   -?(j-  ' 


(6t 


+  ... +  Mç(-^-i)-ç('^^-i 


+  /U  --.-,(- l)+/U^-._  ç(^--. 


+  -  +  '(?(7-i)-?(^^-* 


REPRESENTATION  PROPORTIONNELLE  361 

La  0™^  ligne  du  membre  droit  donne  5(p( —  1).  Les  lignes  sui- 
vantes ^  sont  puisées  du  tableau 

,(l-l)_„.-„       o(f-l)-.(^-l) 

1  '  1  ' 

a  a 


<1-.:)-.-. 

Kl-') -a-) 

1 

1 

T 

1 
77 

--■) 

^(j—   l)   -  ?l-   1) 

Kt-O-Kt-) 

1 

T 

1 

T 

1     A 

•^[i    ';    -(,  / 

) 

1 

(') 


où  on  posera  /z  =  1,  2,  3,  ...  La  courbe  y  =  ©(.rj  étant  con- 
vexe, on  a,  par  de  simples  considérations  géométriques, 

h  < -h < H '^' 

pourvu  qu'on  ait  /  <  T,  0  <  //  <  M.  La  première  des  inéga- 
lités (8)  montre  que  dans  chaque  ligne  du  tableau  (7)  les  quan- 
tités sont  rangées  par  ordre  de  leur  valeur  algébrique  crois- 
sante. On  rend  donc  minimum  l'expression  (6)  en  choisissant 
dans  le  tableau  (7)  les  s  quantités  les  plus  petites  en  valeur 


'  Sont  partagées  à  cause  de  l'impression. 


362  G.    POL  Y  A 

algébrique,  et  en  attribuant  à  chaque  parti  autant  de  sièges 
qu'il  y  a  de  quantités  parmi  ces  s  prises  dans  la  li^ne  cor- 
respondante du  tableau  (7). 

En  appliquant  cette  règle  à  la  fonction  ç(j;)  =  |.r|  à  la- 
quelle la  démonstration  s'applique  aussi,  avec  de  légers 
changements,  on  retrouve  la  règle  des  plus  grands  restes. 
Ce  qui  est  évident  d'ailleurs  d'après  l'identité 

+   ...  +  /Î^Lii  =  |a-«|  +  \'^-h\  +  ... 


a  —  a 

,    ."i  —  ^ 

a 

+  '         U 

l 

+  |X-/|  . 

Le  lecteur  est  prié  d'appliquer  aussi  la  règle  à  la  fonction 
(j)(.r)  z=  r^.  11  retrouvera  ainsi  la  règle  des  moindres  carrés 
donnée  par  M.  Sainte-Laguë  dans  un  travail^  qui  constitue 
un  réel  progrès  de  la  théorie  de  la  représentation  propor- 
tionnelle, autant  que  cette  théorie  est  mathématique.  C'est 
la  méthode  de  M.  Sainte-Laguë  que  nous  avons  généralisée 
dans  l'analyse  précédente.  En  appliquant  la  règle  à  d'autres 
fonctions,  par  exemple  à  (p(,r)  =--  |.rP,  .r*,  |.r|^,  ...  l'on  trou- 
vera toujours  d'autres  méthodes  de  répartition  de  sièges^. 
On  peut  faire  voir  que  les  méthodes  ainsi  trouvées  sont 
réellement  différentes  en  recherchant  leurs  cas  d'indéter- 
mination. Si  notre  règle  ne  peut  pas  décider  à  qui  attribuer 
un  siège,  au  premier  parti  ou  au  second,  une  relation  de  la 
forme 


««^-)-K-^-0)-«l-0-K^^-0)' 


9^ 


doit  avoir  lieu.  Considérons  les  entiers  a,  /3  comme  donnés 
et  les  quantités  «,  b  comme  variables.  D'après  (8)  le  membre 

erauche  est  une  fonction  croissante  de  —,  donc  une  fonction 

décroissante  de  a.  Une  remarque  analogue  a  lieu  concernant 
le  membre  droit.   Il  s'en  suit  que  la  courbe  représentative 


1  Yo\r  Annales  de  L'Ecole  Normale,  3«  série,  tome  27  (1910),  p.  .i29.542. 

^  Ces  différentes  méthodes  pour  mesurer  la  petitesse  des  erreurs  peuvent  être  envisagées 
aussi  à  propos  d'autres  questions.  Par  exemple  le  polynôme  qui  s'écarte  le  moins  possible 
du  zéro  a  une  signification  qui  varie  avec  la  notion  de  Técart.  On  obtient  différents  poly- 
nômes d'un  degré  donné. 


REPRÉSENTATION   PROPORTIONNELLE  363 

de  la  relation  (9;  clans  le  plan  a ,  b  ne  peut  rencontrer  qu'une 
fois  une  droite  parallèle  à  l'axe  des  «  ou  à  l'axe  des  b.  Cette 
courbe  sera  différente  quand  on  remplace  <p(,r)  par  les  fonc- 
tions différentes  j.r|,  .ï-^,   \.x:\^,  .V*,   etc. 

Voici  encore  une  remarque  qui  me  parait  importante.  Sup- 
posons qu'on  ait 

A  ^  B  ^  C  ^  ...  ^  L 

OU  ce  qui  revient  au  même, 

rt  ^  />  ^  c  >  . . .  ^  /  . 

Il  suit  de  ces  inégalités,  en  vertu  de  (8),  qu'en  parcourant 
de  haut  en  bas  une  colonne  quelconque  du  tableau  (7),  on 
rencontre  des  quantités  toujours  plus  grandes.  Si  donc,  sur 
les  s  quantités  plus  petites  contenues  dans  le  tableau  (7)  il 
y  a  a  appartenant  h  la  i'*',  /3  appartenant  à  la  2™'',  ...  X  appar- 
tenant à  /?""^  ligne,  on  a  nécessairement 

Donc  toutes  les  méthodes  de  répartition  considérées  rem- 
plissent une  condition  évidente,  qu'on  a  posée  à  priori. 

On  peut  évidemment  choisir  entre  une  infinité  de  méthodes 
pour  mesurer  la  petitesse  des  erreurs  et  Ton  peut  se  poser 
une  infinité  de  problèmes  de  minimum.  ^lais  le  choix  n'est 
pas  tout  à  fait  arbitraire.  Les  problèmes  doivent  être  réso- 
lubles et  les  solutions  doivent  remplir  certaines  conditions. 
C'est  ce  que  nous  avons  montré  pour  les  problèmes  traités. 
On  verra  plus  loin  que  d'autres  problèmes  de  minimum, 
mentionnés  toutefois  par  plusieurs  auteurs,  ne  remplissent 
pas  les  conditions  posées  ci-dessus.  Il  est  intéressant  de 
constater  que  différentes  méthodes,  donnant  des  résultats 
divergents  quand  on  les  applique  aux  erreurs  relatives  aux 
électeurs,  convergent  au  même  point  quand  on  les  applique 
à  celles  relatives  aux  partis. 

4.  Rapprocliement  des  deux  points  de  vue.  Nous  avons  vu 
que  contrairement  à  certaines  assertions  un  peu  hâtivement 
émises,  la  règle  des  plus  grands  restes  traite  également 
tout  aussi  bien  les  électeurs  que  les  partis,   en  mesurant  la 


364  G.    PO  I.  VA 

petitesse  des  erreurs  par  une  mesure  simple  :  la  somme  de 
leur  valeur  absolue.  Est-ce  que  ce  système  est  le  seul  qui 
rapproche  ces  deux  points  de  vue?  Nous  allons  démontrer 
qu'il  en  est  ainsi,  sous  des  conditions  très  larges.  Nous  sup- 
poserons seulement  que  la  petitesse  des  erreurs  relatives 
aux  partis  soit  mesurée  par  une  expression  de  la  forme 

çia  —  a]  +  9(^;  _/>,  +  ...  +  çC/.  _  /)  (10) 

où  (p  désigne  une  fonction  continue,  ç)  0  ^=.  0.  ^(.r  >  0  pour 
.r  ^  0.  Soit  r  un  nombre  rationnel,  différent  de  zéro  et  n 
un  entier  positif.  On  choisira  successivement  deux  entiers 
positifs,  a  et  /3  satisfaisant  aux  inégalités 

puis  deux  entiers  positifs,  A  et  B  satisfaisant  à  l'égalité 

11%  —  ;•  n 

«  a  +  [5  ~  B    •  (11) 

C'est  seulement  le  quotient  B  :  A  qui  est  déterminé  par  (11). 
C'est  avantageux  de  se  figurer  k  et  B  grands  par  rapport  à 
a  et  iS. 

Supposons  deux  élections.    A    la    première,   il  y  a   /?  +  1 
partis  concurrents  qui  ont  obtenu  respectivement 

A,  A,  A,   ...  A,  B 

suffrages  et  auxquels  une  loi  quelconque  attribue  respecti- 
vement 

a  ,    a  ,    a  ,      .  .  a  ,    [3 

sièges.  A  la  seconde  il  y  a  deux  partis  obtenant  respective- 
ment n\  et  B  suffrages  et  /?a  et  /S  sièges.  Les  erreurs  com- 
mises au  détriment  ou  au  profit  des  électeurs  sont  absolument 
les  mêmes  dans  les  deux  cas.  En  calculant  à  l'aide  de  (11)  les 
erreurs  commises  pour  chaque  parti,  on  voit  que  l'expres- 
sion (10)  se  réduit  à 


(^)  +  K^-^tI«) 


REPRÉSENTATION   PROPORTIONNELLE  365 

dans  le  premier  cas  et  à 

dans  le  second  cas.  Si  révaluation  des  erreurs  doit  être  la 
même  en  envisageant  les  erreurs  relatives  aux  partis  et 
celles  relatives  aux  électeurs,  les  deux  dernières  expressions 
doivent  être  égales,  ce  qui  donne 

)   •  (12) 

En  vertu  de  ce  qui  a  été  dit,  le  nombre  rationnel  /•  et 
l'entier  positif  n  peuvent  être  quelconques.  L'é(|uation  (12) 
valable  dans  cette  étendue  entraîne,  suivant  des  raisonne- 
ments classiques,  (jue  (p;.r)  est  égal  à  une  fonction  linéaire  et 
homogène  pour  les  valeurs  positives  de  x.  Une  conséquence 
analogue  a  lieu  pour  .r  <^  0.   On  a  donc 

çi.i)  rr:  Cj   j .»' I    pour-  .r  >  0 
ç(.>)  =rr  r,  \.r\    pour  .r  <^  0    . 

<?i  et  C2  étant  deux  constantes  positives.  On  peut  réunir  les 
deux  formules  en  une  seule  en  écrivant 


La  somme  (10)  se  réduit  à 

'-^-^  (  I  a-rt  1  +  .  .  .  +  I  À  — / 1  I  +  ^-^'  ,a_  rt  +  .  .  .  +  X  -  /) 

c   +c  (1^) 

=  -*-^(|a-fl|  +  ...  +  lÀ-/|| 

en  vertu  de  (3).  Comme  nous  avons  vu,  c'est  la  règle  de^ 
plus  grands  restes  qui  rend  minimum  le  membre  droit  de  (13) 
c.  q.  f.  d. 

5.  —  Aspect  géométrique  de  la  question.  Je  suppose  qu'il 
y  a  trois  listes  en  présence,  dont  les  parties  exactes  sont 
.r,  y.  z  et  qu'il  y  a  s  sièges  à  distribuer.  On  a 

X  +  V  +  c  =3  .s-  ,  .r  >  0,    V  >  0  ,    r.  >  0   .  (l'i) 

Si  l'on  abaisse  d'un  point  intérieur  d'un  triangle  équila- 

L'Enscifrnement  m.Tthéni.,  20'"  annoe;   1919.  ■  -4 


366  G.    PO  I.  Y  A 

téral  de  haiileur  .v  trois  perpendiculaires  sur  les  trois  côtés 
de  longueur  x^  y,  z  respectivement,  les  nombres  x,  3/,  z 
satisfont  aux  relations  (14).  (Pour  démontrer  on  joint  le  point 
en  question  aux  trois  sommets  du  triangle  et  on  considère 
l'aire  totale  des  trois  triangles  partiels  obtenus.)  On  peut 
donc  représenter  toutes  les  répartitions  de  suffrage  essen- 
tiellement différentes  entre  3  partis  par  l'ensemble  des  points 
à  coordonnées  rationnelles  .r,  y,  z  à.  l'intérieur  d'un  triangle 
de  référence  équilatéral.  Les  nombres  des  suffrages  obtenus 
sont  les  coordonnées  homogènes  du  point  représentatif. 
Les  répartitions  des  suffrages  entre  deux  partis  concurrents 
peuvent  être  représentées  sur  un  segment  de  droite,  celles 
entre  4  partis  par  les  points  à  l'intérieur  d'un  tétraèdre 
régulier,  celles  entre  p  partis  dans  l'espace  h  p  —  1  dimen- 
sions. J'envisagerai  ici  de  préférence  le  cas  p  =  3. 

Les  différentes  répartitions  de  sièges  sont  représentées 
par  des  points,  dont  toutes  les  trois  coordonnées  r,  3/,  z  sont 
des  nombres  entiers.  Ils  sont  les  sommets  d'un  réseau  de 
triangles  équilatéraux.  Par  exemple  un  sommet  du  triangle 
de  référence  correspond  à  l'attribution  de  tous  les  s  sièges 
en  question  à  un  des  partis. 

Comment  interpréter  géométriquement  les  diverses  règles 
de  répartition  ?  Une  règle  quelconque  fait  correspondre  à 
chaque  point,  représentant  une  répartition  déterminée  des 
suffrages,  un  point,  différent  en  général  du  premier,  repré- 
sentant la  distribution  coordonnée  des  sièges.  Il  y  a  une 
infinité  de  répartitions  de  suffrages  qui  mènent  à  la  même 
distribution  de  sièges.  Leurs  points  représentatifs  remplis- 
sent une  aire,  entourant  le  point  représentatif  de  la  distri- 
bution correspondante  de  sièges. 

Prenons  par  exemple  la  règle  des  plus  grands  restes  qui 
est  la  plus  simple.  Soient  x,  y,  z  les  coordonnées  d'un  point. 
Ce  point  représente  le  résultat  dun  scrutin,  où  les  forces 
numériques  des  électeurs  de  3  listes  en  [)résence  étaient 
dans  le  rapport  .r  :  ?/  :  z.  Si  les  partis  obtiennent  a.  /3,  y  sièges, 
ces  trois  entiers  non-négatifs  doivent  rendre  minimum  l'ex- 
pression 

(a-.rp4-  (fi_j)2+  ly_c)3  (151 


REPRÉSEN  TA  IIOX   PROPOR  T  ION  NE  LLE 


367 


d'après  lin  ihëorème  général  précédemment  démontré.  (Le 
cas  particulier  qui  nous  intéresse  momentanément  fut  déjà 
donné  par  M.  Sainte-Laguë,  l.c).  Or  le  carré  de  la  distance  des 
deux  points  .r,  y,  z  et  a..  (6.  y  est  précisément  les  deux  tiers 
de  la  somme  (15),  comme  on  le  démontre  facilement.  Par 
conséquent,  la  régie  des  plus  grands  restes  fait  correspondre 
à  un  résultat  de  scrutin  .r,  y,  z  le  sommet  le  plus  rapproché 
du  réseau  considéré  ci-dessus.  Les  différents  résultats  de 
scrutin  qui  amènent  la  même  distribution  de  sièges,  sont 
représentés  par  des  points  plus  rapprochés  d'un  certain  som- 
met a.  /3,  y  du  réseau  qu'ils  ne  sont  à  aucun  autre  et  remplis- 
sent l'aire  d'un  hexagone  régulier,  dont  le  centre  est  «,  /3,  y. 
Les  cas  où  la  règle  des  plus  grands  restes  devient  illusoire 
sont  situés  sur  les  périphéries  des  hexagones  et  forment  des 
lignes  d'indétermination  séparant  les  cellules  qui  entourent 
les  points  du  réseau  (voir  fig.  1). 


Fig.    1.  Fig.  2. 

La  règle  des  plus  grands  restes  est  la  plus  simple  et  la 
plus  naturelle  au  point  de  vue  géométrique  comme  elle  l'est 
aussi  au  point  de  vue  arithmétique.  Les  autres  règles  engen- 
drent d'autres  divisions  du  triangle  de  référence.  Je  ne  peux 
ici  que  mentionner  certaines  propriétés.  La  règle  bien 
connue  d'HoxDT  est  figurée  par  un  amas  de  cellules  qui  ont 
toutes  la  même  étendue.  Entre  les  règles  de  répartition 
considérées  jusqu'ici,  il  n'y  en  a  que  trois  qui  donnent  nais- 
sance à  des  cellules  à  limites  rectilignes  :  ce  sont  celles  des 


368  G.    PO  L  VA 

plus  granils  restes,  do  cI'Hondt  et  de  Sainte-Laglk.  Les 
cellules  hexagonales  de  ces  deux  dernières  méthodes  ne  sont 
pas  régulières.  Les  différentes  méthodes  que  nous  avons 
mises  en  relation  avec  le  traitement  égal  des  électeurs  ont 
des  lignes  courbes  d'indétermination  (voir  formule  (9)  et  les 
explications  qui  sV  rattachent).  La  plupart  des  méthodes  en 
usage  pratique  ne  peuvent  invoquer  aucune  raison  théorique 
en  leur  faveur,  mais  elles  dépendent  toutes  des  opérations 
linéaires  et  les  cellules  de  leur  représentation  graphique 
sont,  par  conséquent,  limitées  par  des  segments  de 
droites, 

M.  Macquart  —  dont  les  mérites  pratiques  pour  la  cause 
de  la  R.  P.  ne  peuvent  nullement  être  diminués  par  cette 
remarque  —  adresse  à  la  règle  des  plus  grands  restes  le 
reproche  suivant  '  :  en  adoptant  cette  règle  de  répartition, 
il  peut  arriver  qu'un  parti  A  luttant  deux  fois  de  suite  contre 
des  adversaires  B  et  G  obtienne  à  la  seconde  élection  une 
plus  faible  partie  de  sièges,  quoique  ayant  une  plus  forte 
partie  de  suffrages.  Il  aurait  pu  adresser  ce  reproche  à  tous 
les  sj'stèmes  imaginables  de  répartition  proportionnelle. 
C'est  impossible  que  toutes  les  lignes  d'indétermination 
soient  parallèles  à  un  des  côtés  du  triangle.  On  peut  donc 
bien  dépasser  quelques-unes  de  ces  lignes  en  se  mouvant 
parallèlement  à  un  des  côtés  du  triangle  ou  même  passer 
d'une  cellule  à  une  cellule  voisine,  appartenant  à  un  sommet 
moins  élevé  du  réseau  en  suivant  une  direction  légèrement 
ascendante. 

•Notre  représentation  gra])liique  peut  élucitler  une  quantité 
de  paradoxes  et  réduire  à  leur  juste  valeur  une  foule  d'objec- 
tions semblables.  Arrivons  à  des  services  plus  importants 
([u'elle  peut  rendre. 

6.  —  Cas  d'indétermination  erceplionnels  et  non-excep- 
tionnels. Quand  les  points  d'indétermination  sont  situés  sur 
un  nombre  fini  d'arcs  simples  (c'est-à-dire  qui  ne  rencontrent 
qu'une  fois  une  droite  parallèle  à  un  des  côtés  du  triangle). 


•  Voir  Hevue  scientifique  (l'JOô),   H. 


REPRESENTATIOX   P ROP  O R  T l ONN E  I.  I.E 


369 


on  pourra  dire  à  bon  droit  que  les  cas  d'indétermination 
sont  exceptionnels.  C'est  dans  ce  sens  qu'on  peut  aflirmer 
que  les  méthodes  de  répartition  examinées  jusqu'ici  ne  don- 
nent lieu  qu'exceptionnellement  à  des  indécisions.  Tandis 
que  si  tous  les  points  (rationnels;  remplissant  une  surl'ace 
sont  des  points  d'indétermination,  l'indécision  n'est  plus 
exceptionnelle  et  la  règle  doit  être  rejetée. 

En  admettant  ce  postulat,  on  doit  rejeter  la  règle  suivante  : 
distribuer  les  sièges  de  manière  que  l'erreur  relative  à  un 
électeur,  la  plus  grande  en  valeur  absolue  soit  la  plus  petite 
possible.  Je  dis,  en  effet,  que  cette  règle  sera  indéterminée 
toutes  les  fois  que  s  sièges  étant  à  répartir,  5^6,  les  parts 
exactes  des  trois  partis  en  concurrence  satisfont  aux  inéga- 
lités 


^  <  ô        r  >  ô 


>3' 


(16) 


c'est-à-dire  quand  les  points  représentatifs  se  trouvent  à 
l'intérieur  d  un  certain  quadrilatère.  Au  lieu  des  erreurs 
commises    pour    chaque    électeur,   je    considérerai    comme 


auparavant  les  grandeurs 


ï 


qui   leur  sont 


proportionnelles    et    je    les    nommerai    simplement     «   les 
erreurs  ».   La  première  des  inégalités    16)  entraîne 


-  1  >  I    pu. 


1,  2.  3. 


En  attribuant  au  parti  avant  la  j)art  exacte  .v  0  sièges,  on 
est  sur  d'avoir  atteint  la  limite  inlerieure  de  l'erreur  maxi- 
male 

Le  nombre  des  sièges  étant  assez  grand,  on  pourra  trouver 
de  plusieurs  manières  deux  entiers  /5 .  y  satisfaisant  aux 
relations 


?  +  "  =  -^ 


':  < 


< 


;i7) 


En  attribuant  /3  sièges  au    parti  ;i   part  exacte  y,  l'erreur 


370  G.    POrYA 

commise  pour  chaque  électeur  est  en  vertu  de  (16)  (17) 

2  s  5 

—  1  <  '■ — ■-  < =  I . 

V  .s- 


On  trouvera  de  même 


T  — 


<1    . 

C'est  donc  de  plusieurs  manièi'es  que  Terreur  la  plus 
grande  en  valeur  absolue  peut  atteindre  sa  limite  inférieure, 
c.  q.  f.  d. 

M.  Equer^  a  proposé  de  réduire  à  un  minimum  la  diffé- 
rence entre  l'électeur  le  plus  et  le  moins  favorisé.  Cette 
diff'érence  est  d'ailleurs  égale  à  la  somme  des  valeurs  abso- 
lues de  l'erreur  positive  et  de  l'erreur  négative  extrêmes. 
Malheureusement  cette  règle  si  plausible  ne  remplit  pas  non 
plus  le  postulat  relatif  aux  exceptions,  au  moins  quand  il 
s'agit  de  quatre  listes  ou  davantage.  Représentons  les  diff'é- 
rents  rapports  possibles  entre  les  forces  numériques  de 
quatre  partis  par  les  points  à  l'intérieur  d'un  tétraèdre  régu- 
lier. S'il  y  a  20  sièges  à  distribuer,  la  hauteur  du  tétraèdre 
sera  de  20  unités  de  longueur.  Considérons  le  point  dont  les 
distances  aux  4  faces  du  tétraèdre  sont  respectivement 

.r=1.8  1=2,2  :  =  7,6  <  =  8,4  . 

Ce  point  représente  un  scrutin  où  les  forces  des  partis 
sont  dans  le  rapport  18  :  22  :  76  :  84.  On  peut  s'assurer  par 
une  discussion  numérique  que  j'omets,  qu'en  donnant  aux 
listes 

2  2  7  9 

OU  bien 

2  2  8  8 

sièges  respectivement,  la  différence  dont  M.  Equer  parle 
sera  la  plus  petite  possible.  En  j)oursuivant  la  discussion, 
on  pourra  montrer  que  la  règle  de  M.  Equer  sera  en  défaut 

'  Voir  Saimk-Laouk,  1.  c,  p.  535. 


REPRÉSENTATION   P  R  OP  0  HT  f  ON  N  E  !.  LE  371 

non  seulement  pour  le  point  considéré,  mais  aussi  pour  tous 
les  points  à  rintérieur  d'une  sphère  de  rayon  assez  petit, 
décrite  autour  du  point  en  f|uestion.  D'après  le  sens  du  pos- 
tulat énoncé,  les  points  formant  un  ensemble  de  même 
dimension  que  la  totalité  des  cas  possibles,  ne  peuvent  plus 
être  considérés  comme  non-exceptionnels. 

On  pourrait  aussi  considérer  le  principe  :  rendre  minimum 
l'erreur  négative  extrême  relative  à  un  électeur.  Cette  règle 
est  impuissante  de  choisir  entre  les  répartitions  différentes 
tant  qu'on  a  5  <C  p  et  engendre  la  méthode  dite  des  «plus 
fortes  fractions  »  (|uan(l  5^/>  {s  le  nombre  de  sièges,  p  le 
nombre  des  partis  comme  auparavant)  ^ 

Il  n'y  a  cpTune  règle  de  cette  sorte  qui  pour  chaque  combi- 
naison de  5  et  de  p  ne  devient  indéterminé  qu'exceptionnel- 
lement. C'est  la  règle  d'HoNDT,  qui  tend  à  rendre  minimum 
VerrexxY  positive  extrême^.  Ce  que  nous  avons  dit  sert  à 
justifier  dans  une  certaine  mesure  le  système  d'Hondt  et 
montre  que  bien  (|u'il  y  ait  une  infinité  de  principes  de 
minimum  possibles,  on  ne  saurait  en  choisir  un  tout  à  fait 
au  hasard, 

7.  Le  rôle  des  probabilités.  Les  élections  sont  un  jeu  de 
hasard,  comme  on  l'a  dit  souvent.  Est-ce  que  les  chances  du 
jeu  sont  égales  pour  tous  les  partis  ? 

Je  montrerai  par  un  exemple  simple  comment  on  peut 
trouver  ces  chances.  Envisageons  le  problème  suivant  : 

Dans  une  circonscription  il  y  a  cinq  sièges  à  distribuer, 
3  partis  qui  se  les  disputent  et  la  répartition  se  fait  d'après 
les  plus  grands  restes.  Quelle  est  l'espérance  mathématique 
d'une  erreur  en  faveur  du  parti  le  plus  fort,  du  parti  moyen 
et  du  plus  faible  ? 

Soient  les  parts  exactes  des  partis  en  question  x,  y,  z 

x>y  >  z  .  (18) 

Les  inégalités  (18)  délimitent  la  sixième  partie  du  triangle 
de  référence,  un  triangle  rectangle  aux  angles  de  90°,  GO^  et 
30°  (voir  fig.  l).  Il  y  a  autant  de  cas  possibles  que  de  points 


'  Voir  SAiNTK-LAGui;,  1.  c,  p.  535 
"  Voir  Saim  i;-LAOui:,  1.  c,  p.  53'i. 


372  G.    PO  L  Y  A 

rationnels  dans  le  dit  triangle  rectangle.  Je  suppose  que  la 
probabilité  de  révénement  qu'un  point  choisi  au  hasard 
tombe  dans  un  certain  domaine  est  proportionnel  à  Taire  de 
celui-ci.  Cette  supposition  est  la  plus  simple,  je  Tai  justifiée 
en  comparant  ses  conséquences  à  des  données  statistiques  et 
elle  peut  en  outre  être  fondée  théoriquement'.  Calculons 
par  exemple  la  probabilité  pour  que  le  parti  le  plus  fort  et 
le  parti  moyen  obtiennent  chacun  2  sièges  et  que  le  plus 
faible  en  obtienne  i.  C'est  la  probabilité  pour  ({u'un  point 
du  triangle  délimité  par  les  inégalités  (18)  tombe  dans  la 
moitié  supérieure  de  la  cellule  entourant  le  point  Q  (voir 
fig.    ij.    Elle   est  égale    au  quotient  des  aires   de    ces  deux 

domaines,  c'est-à-dire  à  -r^r  ,  comme  on  vérifie  facilement. 

Des  probabilités  analogues  sont  réunies  dans  le  tableau 
suivant  : 


us  fort 

moyen 

le 

plus 

faible 

Probabilité 

5 

0 

0 

1 
25 

4 

1 

0 

6 
25 

3 

2 

0 

6 
25 

3 

1 

1 

6 
25 

2 

2 

1 

6 
25 

Les   trois   partis  obtiendront  donc  en  moyenne  respecti- 
vement 

1.5  +  ti.'t+fi.3  +  6.3   +   6.2  77 


25 

1 

.  0 

+ 

6 

1 

+ 

G.  2 

+ 

fi  . 

1 

+ 

6 

2 

25 

1 

.0 

+ 

6. 

0 

+ 

6  .0 

+ 

6 

.  1 

+ 

6, 

1 

36 
25" 

_^ .  _    \Q_ 

25  ~  "25" 


1  Voir  PoiNCAnÉ,  Calcul  de  prohabilités,  2™«  édition,  p.  l23-ri6.  Lu  supposition  adoptée  par 
SAiNTK-LAOL'ii,  1.  c,  p.  ôil-5'i2,  est,  à  mon  avis,  incorrecte  et  en  tous  cas  ditlérente  de  celle 
adoptée  ici.  En  admettant  que  les  parties  d'égale  longueur  du  segment  de  droite  qui  repré- 
sente les  différents  rapports  de  la  force  numérique  des  deux  partis  sont  d'égale  probabilité, 
le  problème  traité  1.  c.  donne  le  résultat  -  .  Voir  pour  une  interprétation  de  l'hypothèse  faite 
ici,   mou   travail  cité  de   Zentralblatt. 


REPRÉSENTATIOy   P  RO  P  O  H  TIOXN  E  L  LE  373 

sièges.  La  proportion  moyenne  des  suffrages  qu'ils  oblien- 
dront  est  donnée  par  les  coordonnées  du  centre  de  gravité 
du  triangle  rectangle  (18),  c'est-à-dire  par  les  nombres 

1/5        5        5\        55         1  /-T    ,    ô    ,    ^\        25         I   /5    ,    ,,    ,    .\        10 
^U  +  T  +  TJ^rS         3  (3  +  2  +  ';  =  1-8         3(3+^  +  ^j  =  r8 

les  ti'ois  sommets  du  triangle  (18)  ayant  respectivement  les 
coordonnées 

^,    -,    ^;  ^   .    -.   0   ;  A.    0.0  . 

3   '    3   '    3  2        2  1 

L'espérance  mathématique  d'une  erreur  en  laveur  d'un  des 
partis  est  la  différence  de  sa  jiart  moyenne  en  sièges  et  en 
suffrages.  Les  espérances  mathémati(|ues  cherchées  sont 
donc  respectivement 

^  -  ^  =  4-  0.024  .    ^  _  p  =  +  0,051  .   1;  _  1^  =  -  0,075  . 
25    IS  25    1.S    ^         25    18 

C'est-à-dire  la  règle  des  plus  grands  restes  avantage,  au 
moins  quand  il  s'agit  de  5  sièges,  les  deux  partis  les  plus 
forts  au  détriment  du  troisième,  mais  l'avantage  est  assez 
médiocre.  Sur  100  élections  ayant  lieu  dans  des  conditions 
analogues,  la  perte  moyenne  du  parti  le  plus  faible  serait  de 
7  à  8  sièges.  Les  élections  ordinaires  ne  sauraient  déceler 
un  effet  si  faible. 

Ce  n'est  pas  inutile  de  mentionner  une  interprétation  géo- 
métrique des  trois  nombi-es  calculés.  Chacun  d'eux  est  la 
moyenne  d'autant  de  distances  que  le  triangle  (18)  est  partagé 
en  parties  différentes  parles  lignes  d'indétermination.  Consi- 
dérons dans  chaque  cellule  ou  portion  de  cellule  comprise 
dans  le  triangle  (18)  lé  centre  de  gravité  de  l'aire  et  un  axe 
parallèle  à  la  base  du  triangle  de  référence,  passant  par  le 
sommet  du  réseau  auquel  la  cellule  ou  la  portion  de  cellule 
en  question  est  rattachée.  Nous  compterons  la  distancée  du 
centre  de  gravité  à  cet  axe  positivement,  si  le  centre  de  gra- 
vité est  au-dessous  et  néofativement  s'il  est  au-dessus  de 
l'axe.  C'est  de  ces  distances  que  l'espérance  mathématique 
du  plus  grand  parti  est  la  moyenne,  mais  pas  une  moyenne 
arithméticjue  simple,  parce  que  chaf|ue  distance  a  un  «  poids» 


374  G.    PO  J.  Y  A 

proportionnel  à  l'aire  correspondante.  Les  espérances  mathé- 
matiques (les  deux  autres  partis  sont  les  moyennes  des 
distances  analogues,  les  axes  en  question  devant  être  tracés 
parallèlement  à  un  des  deux  autres  côtés  du  triangle  de 
référence.  Dans  le  cas  représenté  par  la  fîg.  1  (5  =  5)  le 
triangle  rectangle  (18)  ne  comprend  que  des  portions  de 
cellules.  Au  contraire,  quand  le  nombre  des  sièges  est  grand 
ce  sont  les  cellules  entières  qui  sont  en  grande  majorité. 
Mais  le  centre  de  gravité  d'un  hexagone  régulier  est  préci- 
sément le  sommet  du  réseau  auquel  Thexagone  est  rattaché 
et  la  distance  en  question  est  par  conséquent  zéro.  Ainsi 
pour  s  =  (jj  l'espérance  mathématique  d'une  erreur,  commise 
en  faveur  de  qui  que  ce  soit,  tend  vers  zéro.  C'est-à-dire 
quand  les  circonscriptions  sont  assez  grandes,  le  système 
des  plus  grands  restes  n'avantage  aucun  des  partis  concur- 
rents d'une  manièi'e  syslématique.  \'oilà  une  conclusion 
d'une  certaine  valeur  pratique  et  qui  peut  être  soumise  au 
contrôle  de  l'expérience  électoi'ale. 

Voici  encore  un  problème  de  celte  nature  : 
Dans  une  circonsc;ription  il  y  avait  originalement  3  partis 
qui  se  disputaient  les  .s-  sièges  à  pourvoir;  2  de  ces  partis  se 
décident  de  présenter  une  liste  commune.  Quelle  est  l'espé- 
rance mathématique  d'un  gain  ensuite  de  cette  réunion  si  le 
système  des  plus  grands  restes  est  en  vigueur? 

La  situation  originale  des  partis  peut  être  figurée  par  un 
point  (rationnel)  quelconque  '"?  du  triangle  de  référence. 
Soient  «  ?/ »  et  «s»  les  deux  partis  qui  se  réunissent.  La 
force  nuniéric|ue  du  troisième  parti  restant  invariable, 
menons  par  le  point  ^7  une  parallèle  à  la  base  du  triangle  de 
référence.  Cette  parallèle  rencontrera  un  des  deux  autres 
côtés,  par  exemple  celui  de  droite,  en  un  point  ^'.  Envisa- 
geons les  sommets  du  réseau  Q  et  Q'  qui  sont  les  plus  rap- 
prochés des  points  'V  et  'T'  respectivement.  Q'  se  trouve 
nécessairement  sur  le  pourloui-  du  triangle  de  référence.  Je 
distingue  3  cas. 

1.  Q  et  Q'  sont  à  la  même  distance  de  la  base.  Il  n'y  a  ni 
gain  ni  perte  occasionnés  par  la  réunion. 

2.  Q'  est  plus  rapproché  de  la  base  que  Q.   La  diflerence 


REPRÉSENTATION   PROPORTIONNELLE  375 

des  distances  ne  peut  être  que  d'une  unité.  Le  parti  «  x  »  a 
perdu  un  siège  ensuite  de  la  réunion  de  ses  deux  adver- 
saires. 

3.  Q'  est  plus  éloigné  de  la  base  que  Q.  L'éloignement 
est  d'une  unité  et  signifie  un  siège  perdu  pour  les  deux 
alliés. 

Les  régions  remplies  par  les  points  'î  pour  lesquelles  le 
cas  (2)  se  présente,  sont  désignées  par  le  signe  +  dans  la 
figure  2  (oii  s  =  3),  les  régions  correspondantes  au  cas  (3) 
par  le  signe  — ,  Désignons  l'aire  totale  des  premières  par 
Jl+,  celle  des  secondes  par  <.'!_,  l'aire  du  triangle  de  réfé- 
rence par  45^à.  En  considérant  les  aires  qui  jouent  un  rôle 
analogue  par  rapport  à  y  et  z  que  les  aires  dv+  et  0\_  par 
rapport  à  .r,  on  trouve  facilement 

L'espérance  mathématique  d'un  gain  par  l'alliance  est 

1 .  Ûl^  —  1 .  dl„  +  0   (4«2A  —  ol^  —  Ol_)         1 
4a-2A  ~  12.S 

C'est-à-dire  le  système  des  plus  grands  restes,  contraire- 
ment à  certaines  affirmations  légèrement  émises,  favorise 
les  alliances,  mais  dans  une  mesure  si  faible  qui  ne  compte 
pas  dans  la  pratique.  Je  remarque  en  passant  que  le  résultat 
serait  identique  pour  le  système  Sainte-Laguë. 

Je  renvoie  pour  de  plus  amples  résultats  numériques  et 
pour  des  vérifications  expérimentales  à  mon  article  paru 
dans  le  Journal  de  statistique  suisse.  C'est,  à  mon  avis, 
l'étude  des  chances  des  différents  systèmes  qui  constitue 
une  véritable  théorie  mathématique  de  la  représentation 
proportionnelle,  une  théorie  qui  peut  rendre  compte  de  cer- 
tains faits  observés  et  en  prévoir  d'autres.  Je  crois  avoir 
suffisamment  élucidé  les  |)rincipes  de  cette  théorie  par  les 
calculs  précédents.  Sapienlisal.  Le  lecteur  désireux  d'appro- 
fondir cette  théorie  pourra  envisager  des  distributions  non- 
uniformes  de  probabilité  ou  des  problèmes  oii  interviennent 


376  G.    POLYA 

4  OU  plusieurs  partis.  Il  sera  amené  à  généraliser  pour  des 
domaines  «  télraédriques  »  à  plusieurs  dimensions  la  formule 
des  trapèzes  qui  sert  au  cahuil  approché  des  intégrales  et 
à  étudier  certaines  divisions  «  semirégulières  »  de  ces 
domaines.  Il  rencontrera  une  foule  de  jolis  problèmes  que 
je  n'ai  pas  le  loisir  d'exposer  ici.  J'ai  hâte  d'arriver  à  un 
résultat  {|ui  me  semble  d'intérêt  principal. 

8.  Influence  minimale  de  la  division  du  pays  en  circons- 
criptions électorales  sur  le  résultat  total.  Je  me  permets 
d'extraire  le  passage  suivant  du  travail  plusieurs  fois  cité  de 
M.  Sainte-Laglë  :  «  La  répartition  des  sièges  dans  (chaque 
circonscription  peut  sembler  d'autant  meilleure  que  les 
résultats  globaux  auxquels  elle  conduit  sont  plus  voisins  de 
ceux  qu'aurait  donnés  la  répartition  directe  des  sièges  faite 
aux  listes  globales  obtenues  en  prenant^les  totaux  des  suf- 
frages pour  tout  le  pays. 

<i;e  critérium  semble  difficile  à  appliquer,  comme  le  montre 
l'exemple  suivant  : 

Supposons  qu'on  ait  seulement  deux  listes  en  présence 
A  et  B  et  que  les  deux  listes  réunissent  à  peu  près  le  même 
nombre  de  suffrages  dans  tout  le  pays;  la  règle  la  meilleure 
sera  alors  celle  qui  partagera  par  moitié  dans  chaque  cir- 
conscription les  sièges  entre  les  deux  listes  A  et  B  et  cela 
pour  aussi  disproportionnés  que  soient  les  nombres  des 
suffrages  recueillis  dans  la  circonscription  considérée.  » 

Contrairement  à  ce  que  semble  en  penser  M.  Sainte-Laguc, 
je  trouve  que  le  dit  (critérium  est,  bien  interprété,  parfaite- 
ment clair,  qu'il  touche  le  point  essentiel  de  la  question  et 
qu'il  mène  à  un  résultat  déterminé.  Pour  le  bien  interpréter 
il  ne  faut  pas  oublier  que  c'est  d'une  cjuestion  de  probabilité 
qu'il  s'agit.  Voici  d'ailleurs  mon  analyse  qui  est  un  peu 
abstraite  mais  très  simple  au  fond. 

Admettons  f|u'il  s'agit  do  la  répartition  de  s  sièges 
entre  p  partis,  dont  les  parts  exactes  sont  désignées  par 
.r, .  .To,  .Tg Vp.  On  a 

•*•,   +  ■*■■>   +  •»:,   +   •••   +  ■••/,  =  *    •  *'9> 


REPRÉSENTATION   P R  O P  O R  T /  0.^  NE L  LE  377 

Considérons   une   règle  quelcon{|iie   de  répartition.   Cette 
règle  lera  corres|)ondre  an  résultat  du  scrutin,  exprimé  par 

le  rapport  des  nombres  .i, ,  x.,,  .r, Vp  un  certain  entier  |j , 

fonction  de  ces  nombres, 

en  désignant  par  ^,  le  nom])re  des  sièges  attribués  par  la 
règle  en  t|uestion  au  parti  dont  la  part  exacte  est 
,r,  =  s  —  .r.,  —  .Tg  —  ...  —  .ïp.  La  fonction  /'est  une  fonction 
symétrique  de  ses  /;  —  1  variables  et  elle  caractérise  parfai- 
tement la  règle  considérée,  en  tant  qu'il  ne  s'agit  que  de 
p  partis  et  de  s  sièges.  En  eftet  on  attribuera  respectivement 

?2  =/"i.r,  .  .1-3,  .r^.  ...  .ry 
"^p=  /"i»-,-  -^-o'  -^3'  ■■-'^'p-x^ 

sièges  aux  autres  partis  en  présence.   On  a  par  conséquent 

?,  +  ?,  +  ?3  +  ...  +  ?^  =  ^  .  (20) 

La  fonction  /'  n'a  que  des  valeurs  entières  non-négatives. 
Si  la  règle  satisfait  à  un  desideratum  expliqué  plus  haut,  les 
points  de  discontinuité  de  la  fonction  /  seront  situés  sur 
certaines  variétés  p  —  2-dimensionales. 

Admettons  que  les  parts  exactes  .c, ,  .r.,,  .r^ Vp  varient 

conformément  à  une  loi  de  probabilité  quelconque  qui  n'est 
assujettie  qu'à  cette  unique  conditioij  :  elle  doit  être  la  même 
pour  tous  les  partis  en  question.  Nous  avons  considéré 
précédemment  la  loi  la  plus  simple  de  cette  nature.  Je  dési- 
gnerai par  €(iy)  l'espérance  mathématique  d'une  fonction 
quelconque  (j>  des  variables  .r,,  .r„ Vp  liées  par  la  rela- 
tion (19j.  Si  la  loi  de  probabilité  envisagée  est  continue, 
<Ê  (j)  s'exprime  par  une  intégrale  définie  p  —  2-tuple.  On  a 
par  raison  de  symétrie 


(£(;,  —  .>•,!  =  <£il,  —  .r,)  ...  =  (£(; 

1 

P 


'P  I 


378  G.    PÔLYA 

en  vertu  de  (19)  et  (20).  On  a  de  même 

(£(,?,  -  ,-/)  =  (£(iÇ,  -  ^v^j  =  .  .  .  =  €((?^  -  ay^) 
=  j^  €((î,  -  .r,)^  +  (?2  -  .rj^  +  .  .  .  +  (?^  -  x/)  =  h 

en  désignant  par   b    une  constante    [)Ositive,  dépendant  du 

système   de   répartition   et   de    la    loi    de    probabilité   qu'on 

envisage. 

Envisageons  un  grand  nombre  ii  de  circonscriptions,  dans 

chacune  desquelles  il  y  a  le  même  nombre  de  votants  et  le 

même    nombre  s  de   sièges   à    répartir.    Le    scrutin    donne 

pour    le   premier   des   partis  concurrents   les    parts   exactes 

.r',  x'\  x'\  . .  .  j^<"'  dans  les  différentes  circonscriptions  et  la 
1111  I 

règle  en  question  lui  attribue  4',  |".  |"',  ..  .  |""  sièges.  Le  cri- 
térium, formulé  et  contesté  par  M.  Sainte-Laguë,  exige 
évidemment  que  la  différence 


?,f  ?,+...  +  ?:"'-.»•    -.r,  -...-<"'  121. 

soit  la  plus  petite  possible  en  général.  D'après  un  théorème 
de  Laplace  ^  la  probabilité  pour  que  l'écart  (21)  dépasse  en 
valeur  absolue  une  certaine  limite  Ji  est 


dx 


h 

Vthti 


Cette  probabilité  décroît  évidemment  avec  b.  Le  principe 
en  question  exige  donc  que  b  soit  le  plus  petit  possible. 
Mais  puisque 


>o^. 


.r,)2  +  |?,   -.r,|2  4-  ...  +,ï^_.,-^,2) 


Pi 


\2 


c'est  la  (juantité  ^,  — x^^  -\-  |.,  —  .i\j^  +  •  •  •  +  (1/^  —  •* 
dépendant  de  la  règle  de  répartition  adoptée  qui  doit  devenir 
minimum.  Ainsi  le  postulat  que  le  système  de  répartition 
appliqué  dans  les  diverses  circonscriptions  doit  donner  des 
résultats  concordant  autant  que  possible  à  la  force  numé- 
rique des  partis  dans  tout  le  pays,  préfère  un  certain  pro- 


*  Voir   Théorie  analytique  des  probabilités,  Livre  II,  N»  39. 


REPRÉSENTATIOX    P  R  O  P  0  RT I OX  NE  L  L  E  379 

blême  de  ininimiuîT  aux  autres,  considérés  auparavant.  C'est 
le  problème  :  rendre  minimum  la  somme  des  carrés  des 
erreurs  relatives  aux  partis  dont  la  solution  est  donnée  par 
la  règle  des  plus  grands  restes.  C'est,  à  ce  qu'il  me  paraît,  la 
meilleure  justifuation  théorique  de  cette  règle  si  simple  et 
naturelle. 

Zurich,  avril  1919. 


MELANGES   ET   CORRESPONDANCE 


A  propos  d'un  problème  inédit  de  E.  Torricelli. 

Au  sujet  de  la  publication  de  mon  article  sur  Les  origines  d'un 
probVenie  inédit  de  E.  Torricelli  [L'Enseignement  mathématique, 
XX"  année,  1918  et  1919,  p.  245-2G8I,  je  dois  signaler  que  M.  Michèle 
CiPOLLA,  professeur  à  l'Université  de  Catane,  vient  de  faire  paraître 
une  importante  étude  sur  le  même  problème. 

Michèle  Cipolla.  —  I  triangoli  di  Fermât  e  un  problema  di 
Torricelli,  Atti  delV  Accadeniia  Gioenia  di  scienze  naturali  in 
Catania,  série  S'"*,  vol.  XI,  memoria  XI. 

Je  n'ai  eu  connaissance  de  l'existence  de  ce  mémoire  qu'après 
la  correction  des  épreuves  de  mise  en  pages  de  mon  propre  travail. 

2  août  1919.  Emile  Tlrrœiîe. 

A  propos  d'une  note  de  M.  Paschoud. 

Sur  les  équations  transcendantes  qui  se  présentent  dans  la 
théorie  des  tiges  élastiques.  [L'Tùiseignement  mathématique,  20, 
N«  4,  286,  1919). 

J'ai  lu  avec  intérêt  la  note  de  M.  Paschoud  qui  fait  remarquer 
que  les  racines  de  l'équation  tgo;  cth  .r  =  —  1  se  déduisent  immé- 
diatement de  celles  de  l'équation  cos  a;  ch.f  ^=.  —  1.  Ce  fait,  il  est 
vrai,  avait  échappé  à  M.  Emde  et  à  moi.  Mais,  déjà  en  1909,  nous 
avons    saisi    l'occasion    de    signaler   l'équivalence    de    lécpialion 

cos  .z-  ch  X  =  1  à  l'équation  tg  -^  cth  y  =  ±  1  .   dans   \Archi<>>  der 

Mathematik  nnd  Physik  (3),  15,  372,  à  la  suite  d'une  communica- 
tion de  M.  Gkeenhill. 

Berlin,  24  juillet  1919.  E.  Jaiinke. 


CHRONIQUE 


Académie  des  Sciences  de  Paris.  —  Prix  décernés. 

Mathématiques.  —  Prix  Fraucœttr  (1000  francs)  :  M.  Georges 
GiRAUD,  docteur  es  sciences,  pour  ses  travaux  sur  les  fonctions 
automorphes. 

MiicAMQUK.  —  Prix  Poncelet  (2000  francs)  :  Général  Prosper 
Chaiîboxxier,  inspecteur  général  de  l'artillerie  navale,  pour  ses 
travaux  de  balistique. 

Astronomie.  —  Prix  Benjamin  Valz  (460  francs)  :  M.  Félix 
BoQUET,  astronome  à  l'Observatoire  de  Paris,  pour  l'ensemble  de 
ses  travaux. 

Prix  G.  de  Pontécoulant  (700  francs)  :  M.  Arthur  Stanley 
Eddington,  professeur  à  l'Université  de  Cambridge,  pour  ses  tra- 
vaux de  mécanique  céleste. 

Prix  Petit  d'Ormoy,'  Sciences  mathématiques  :  10,000  fr.,  M. 
M.  Henri  Lebesgue,  professeur  à  la  Faculté  des  Sciences  de  Paris, 
pour  l'ensemble  de  ses  travaux  de  mathématiques. 

Fonds  de  Recherches  scientifiques.  —  Fondation  (îegner 
(4000  fr.),  M.  René  Baire,  professeur  à  la  Faculté  des  Sciences  de 
Dijon,  en  récompense  de  ses  travaux  sur  la  théorie  générale  des 
fonctions. 

Nouvelles  diverses.  —  Nominations  et  distinctions. 

Alleuiag'iie.  —  JNl.  R.  Baldus  a  été  nommé  professeur  oi'di- 
naire  de  Géométrie  descriptive  à  TRcole  technique  supérieure  de 
Calsruhe. 

M.  Battermann,  Directeur  de  l'Observatoire  de  Konigsberg,  a 
pris  sa  retraite. 

M.  J.  Bausciiincer  a  été  nommé  professeur  ordinaire  d'Astro- 
nomie à  l'Université  de  Konigsberg. 

M.  V.  Bi,^,ss  a  été  nommé  professeur  extraordinaire  de  Méca- 
nique à  l'Ecole  technique  supérieure  de  Darmstadt. 

M.  W.  Blaschke  a  été  nommé  professeur  de  Mathématiques  à  la 
nouvelle  Université  de  Hambourg. 

M.  P.  E.  B(>HMKR  a  été  nommé  professeur  ordinaire  poui-  les 
Mathématiques  des  assurances  à  l'Ecole  technique  supérieure  de 
Dresde. 


CHRONIQUE  381 

M.  K.  Heckk  a  été  nommé  professiMii'  ordinaire  de  Mathéma- 
tiques à  l'Université  de  Hambourg. 

M.  G.  Hesskxbekg  a  été  nommé  professeur  ordinaiie  de  Mathé- 
matiques à  l'Université  de  Tubingue. 

M.  W  .  Kii.i.i.Ni;.  professeur  à  l'Université  de  Munich,  a  pris  sa 
retraite. 

M.  K.  Kxopp  a  été  nommé  professeur  ordinaire  de  Mathéma- 
tiques à  l'Université  de  Kônigsberg. 

M.  Krause,  professeur  à  l'Kcole  technique  supérieure  de  Dresde, 
prendra  sa  retraite. 

M.  A.  LcEwv  a  été  nommé  |)rofesseur  oïdinaire  de  Mathéma- 
ticjues  à  l'Université  de  Fiibourg  eii-Br. 

M.  R.  V.  Mises  a  été  nommé  professeur  ordinaire  pour  la  Késis- 
tance  des  matériaux,  l'Hydraulique  et  l'Aérodynamique  à  IKcole 
technique  supérieure  de  Dresde. 

M.  J.  RAf)ON  a  été  nommé  professeur  extraordinaire  de  Mathé- 
matiques à  l'Université  de  Hambourg. 

M.  R.  ScHonn  a  été  nommé  professeur  ordinaire  d'Astronomie 
à  l'Université  de  Hambourg. 

M.  F.  ScHuii  a  été  nommé  professeur  oïdinaire  à  l'Université  de 
Breslau. 

M.  I,.  S  I  icKF.i.iji:iu;i:it,  professeur  à  lUiiiversité  de  Kribourg-en- 
Br.,  a  pris  sa  retraite. 

M.  H.  Tietze  a  été  nommé  professeur  ordinaire  de  Mathéma- 
tiques à  l'Université  d'Erlangen. 

Privat-docents.  —  Ont  été  admis  en  qualité  de  privat-docents  : 
M.  P.  Barxays,  pour  la  théorie  des  nombres,  à  l'Université  de 
Gœttingue  ;  M.  P.  Epsteix,  pour  les  Mathématiques  pures,  à  l'Uni- 
versité de  Francfort-s-M.  ;  M.  F.  Levi,  pour  l'Algèbre  supérieure, 
à  l'Université  de  Leipzig;  M"*^  K.  Xœtheh  et  M.  Scn.MEiDi.Eii,  à 
l'Université  de  Gcettingue. 

Angleterre.  —  M.  W.  H.  Young,  F.  R.  S.,  a  été  appelé  à  la 
chaire  de  mathématiques  pures  de  l'Université  de  ^Yales,  à  Abe- 
rystwyth. 

Autriche.  —  M.  K.  Cziher,  professeur  ordinaire  de  Mallié- 
matiques  à  l'Ecole  technique  supérieure  de  Vienne,  a  pris  sa 
retraite. 

Belgique.  —  Le  prix  décennal  de  malhémafi(|ues  pures 
(1904-H»l.i  a  été  décerné  à  M.  Alphonse  Démoli. i\  pour  ses  tra- 
vaux sur  la  géométrie  infinitésimale. 

La  Classe  des  sciences  de  l'Académie  de  Belgique  a  décerné  le 
Prix  F.  Deiuyts  à  M.  Lucien  Gooeaux. 

M.  J.  Faikon  a  été  nommé  professeur  ordinaire  à  l'Université  de 
Liège. 

l.'EnseigneiniMil   iiiiithùni.,   ïlt"  aniice  ;    l'.M'.l.  -  23 


382  CHRONIQUE 

MM.  Meki.in  et  Styuvaert  ont  été  nommés  professeurs  ordinaires 
à  l'Université  de  Gand. 

Danemark*  —  M.  X.  1'^.  Xorllnd,  professeur  à  IL  nivei-sité 
de  laind  iSuède),  a  été  appelé  à  l'Université  de  Copenhague,  dans 
son  pays  d'origine. 

La  nouvelle  de  la  mort  de  M.  Zeuthen,  que  nous  avions  repro- 
duite d'après  le  Bull,  of  the  Amer.  Math.  Soc,  est,  heureusement, 
erronée.  Le  savant  géomètre  danois  a  fêté  son  80'""  anniversaire 
le  15  février  dernier  et  nous  sommes  heureux  d'apprendre  que  sa 
santé  continue  à  être  excellente. 

France.  —  Académie  des  Sciences.  —  M.  Henri  Axdoyer  a 
été  nommé  membre  de  la  section  d'astronomie  en  remplacement 
de  M.  Wolf  décédé. 

M.  BoussiNESQ,  professeur  de  calcul  des  probabilités  et  de  phy- 
sique mathématique,  admis  sur  sa  demande  à  la  retraite,  est 
nommé  professeur  honoraire  de  la  Faculté  des  Sciences  de  Paris. 

M.  Chapelox  est  nommé  maître  de  conférences  à  l'Université  de 
Lille. 

M.  Gau,  professeur  adjoint,  est  nommé  à  la  chaire  d'analyse 
infinitésimale  de  la  Faculté  des  Sciences  de  Grenoble,  en  rempla- 
cement de  M.  Collet,  admis  à  la  retraite. 

M.  GoT,  professeur  au  Lycée  de  INlarseille,  est  chargé  d'un  cours 
de  mathématiques  à  l'Université  de  Nancy. 

M.  Janet,  agrégé  de  mathématiques,  est  nommé  maître  de  con- 
férences à  l'Université  de  Grenoble. 

M.  Kampé  de  Fériet  est  nommé  maître  de  conférences  à  l'Uni- 
versité de  Lille. 

M.  Leau,  professeur  au  Lycée  St-Louis,  est  chargé  de  cours  à 
l'Université  de  Nancy    Calcul  différentiel  et  intégral). 

M.  Emile  Tlrriîîre  a  été  nommé  maître  de  conférences  à  l'Uni- 
versité de  Montpellier,  en  remplacement  de  M.  Villat,  appelé  à 
Strasbourg  dans  la  chaire  de  mécanique  rationnelle. 

M.  Vessiot  est  nommé  professeur  de  mathématiques  générales 
à  la  Faculté  des  Sciences  de  Paris,  en  remplacement  de  M.  Gui- 
chard. 

IJniveisité  de  Strasbourg.  —  L'Université  de  Strasbourg,  qui  a 
été  réouverte  le  15  janvier  de  cette  année,  est  en  voie  de  réorga- 
nisation. A  la  renti'ée  prochaine,  elle  sera  en  plein  fonctionne- 
ment. Au  point  de  vue  mathématique,  grâce  à  ses  cinq  professeurs 
titulaires  et  à  ses  trois  maîtres  de  conférences,  ce  sera,  après 
Paris,  le  centre  mathématique  le  plus  important  de  France. 
L'Institut  de  mathématiques  y  offrira  un  grand  nombre  de  cours 
et  de  conférences.  On  trouvera  la  liste  dans  ce  même  fascicule 
(p.  386). 


CHRONIQUE  383 

Italie.  —  Le  H.  Istituto  Veneto  a  décerne  en  mai  dei-nier  le 
pri.v  Qiterini  Stdinpalin  (échéance  31  décembre  1917,  3000  Irancs; 
à  M.  G.  D.  BiRKHOFF,  piofesseiir  à  l'Université  Hai-vard  de  Cam- 
bridge, Mass..  pour  ses  deux  mémoires  :  «  The  restricted  problem 
of  the  three  bodies  »,  Rend  del  Circolo  Mat.  di  Falermo,  t.  XXXIX, 
1915;  «  Dynamical  Systems  witli  two  degrees  offreedom  »,  Trans. 
of  the  American  Math.  Society,  vol.  XVIII,  1917. 

M,  S.  PixcHEBLE,  professeur  à  l'Université  de  Bologne,  a  été 
nommé  membre  correspondant  du  K.  Istituto  Veneto. 

MM.  G.  Casïelnuovo  et  T.  Levi-Civita,  professeurs  à  l'Univer- 
sité de  Rome,  ont  été  nommés  membres  correspondants  de  l'Aca- 
démie de  Bologne. 

M.  E.  Laura,  professeur  extraordinaire  de  mécanique  rationnelle 
à  l'Université  de  Pavie,  a  été  nommé  professeur  ordinaire. 

Nécrologie. 

Antoine  Gob. —  Les  mathématiques  belges  viennent  d'éprouver 
une  perte  sensible  en  la  personne  de  M.  Antoine  Gob,  professeur 
à  l'Athénée  royal  de  Liège,  membre  de  la  Société  royale  des 
Sciences  de  Liège,  décédé  en  cette  ville  à  l'âge  de  51  ans.  ^ 

Ancien  élève  de  l'Ecole  normale  des  Sciences  de  Gand,  M.  \.  Gob 
a  publié  de  belles  recherches  de  géométrie  dans  Matliesis,  les 
Bulletins  de  C Académie  de  Belgique  et  de  V Association  française 
pour  l'avancement  des  Sciences.  Son  sujet  de  prédilection  était 
l'hypocycloïde  à  3  rebroussements.  Il  a  aussi  donné  des  soins 
efficaces  aux  dernières  éditions  du  Manuel  de  Géométrie  analy- 
tique de  Falisse. 

M.  E.  BorTCHEB,  professeur  à  l'Université  de  Leipzig,  est  mort 
accidentellement,  le  5  août  1919,  à  l'âge  de  72  ans. 

M.  0.  Daxzer,  privat-docent  à  l'Ecole  technique  supérieure  de 
Vienne,  est  mort  en   suite  d'un  accident,  le  26  mars  1919. 

.M.  O.  DzioBEK,  professeur  à  l'Ecole  technique  supérieure  de 
Charlottenbourg,  est  décédé  à  l'âge  de  ()3  ans. 

M.  F.  Gn.EFE,  professeur  à  l'Ecole  technique  supérieure  de 
Charlottenbourg,  est  mort  le  2  décembre  1918,  à  l'âge  de  (33  ans. 

M.  E.  Netto,  professeur  à  l'Université  de  Giessen,  est  moi't  à 
l'âge  de  72  ans. 

M.  K.  Th.  Rêve,  précédemment  professeur  à  IL'nivcrsité  de 
Strasbourg,  est  mort  à  l'âge  de  81  ans. 

M.  R.  Stlu.m,  professeur  à  l'Université  de  Breslau,  est  décédé  à 
l'âge  de  77  ans. 

M.  J.  Wellstein,  précédemment  professeur  à  l'Université  de 
Strasbouig,  est  mort  le  24  juin  1919,  à  \Velzlar,  dans  sa  SO^année. 


NOTES  ET  DOCUMENTS 


Cours  universitaires. 

Année  1919-1920. 

ÉTATS-UNIS  D'AMÉRIQUE 

Columbia   University  (Nc^-Yurk).  —  T.  S.  F"iskf.  :  Diff.  Equations,  4.  — 

F.  N.  CoLE  :  Invariants  and  higher  Plane  Cuives,  3;  Tlieory  of  Groups,  3. 
—  J.  Maci.ay  :  Theory  of  Functions,  4.  —  D  E.  Smith  :  Histoiy  of  Math.,  2; 
Pracliciim  in  the  History  of  Math.,  4.  —  G.  J.  Keyskk  :  Modem  Théories  in 
Geonietry,  4.  —  E.  Kasner  :  Seminar  in  Difl'.  Geometry,  2.  —  W.  B.  Fite  : 
DifTeienlial  E(|iiations,  3.  —  J.  F.  Ritt  :  'l'ranscendental  Functions,  3. 

Cornell  University  l  Ithacai.  —  J.  Me  Maho.n  :  Matli.  of  Insurance  and 
Probabililies  ;  Actuarial  Science.  —  J.  H.  Tanner  :  Matli.  of  Finance.  — 
V.  S.NTDER  :  Birational  Transformations  ;  Theory  of  Equations.  —  F.  R.  Sharpe  : 
Fourier  Séries  and  the  Potenlial  Fuuclion.  —  A.  Rani.m  :  Non-Euclidean 
Geonietry  ;  Theory  of  Numbers.  —  \V.  B.  Carver  :  Projeclive  Geometry.  — 
D.  G.  GiLLESPiE  :  Elenienlary  DifF.  Equations  ;  Calculas  of  Variations.  — 
W.  A.  HuRwiTz  :  Theory  of  Groups  :  Vector  Analysis.  —  C.  F.  Ckaig  : 
Theory  of  DifTerenlial  Equations  ;  Math,  for  Teacheis.  —  F.  \\  .  Owens  • 
Advanced  Calculus;  Mechaiiics.  —  H.  B.  Owens  :  Advanced  Analylic  Geo- 
flietry.  (Chaque  cours  de  3  iieures  par  semaine). 

Harvard  University  iCambridoe,  Massi.  —  W.  F.  Osgood  :  Diff.  and 
Integra!  Calculus  .  Iiiliiiile  Séries  and  Products  ;  Galois's  Theory  of  Equa- 
tions. —  G.  E.  Bouton-  The  Elementary  Theory  of  DiO.  Equations;  Diff. 
Equations;  with  an  Introduction  to  Lies  Theory  of  Continuons  Groups.  — 
J.  L.  CooLiDGE  :  Introduction  to  Modem  Gcomelry  and  Modem  Algebra  ; 
Projeclive  Geometry  ;  Non-Eudidcan  Geometry. —  Huntington  :  The  funda- 
mental  Concepts  of  Mathematics.  —  O.  I).  Kellogg  ;  Introduction  to  the 
Theory  ol  Polential  Functions  and  Laplace  s  Equation  ;  Vectoi-  Analysis.  — 

G.  D.  BiRKHOFF  :  Differential  and  Intégral  Calcnlus.  —  Tiie  analylical  Tlieory 
of  beat  and  Problems  in  clastic  vibrations  ;  The  partial  differential  Inéquations 
of  mathematical  Physics.  —  X  :  The  Theory  of  Functions  ;  Developmeuts  in 
séries;  Dynamics.  —  \^^  C.  Graustkin  :  DifTerenlial  Gcometiy  of  Curves 
and  Surfaces.  —  H.  C.  M.  Morse  :  Elliptic  Functions:  Avitomorphic  Fudc- 
tions.  —  I.  A.  Barnett  :  Intégral   Equations;   l'unctions  of  Lines. 

Professer  Kellogg  will  conducl  a  forlnightly  seminar  in  analysis  Courses 
of  research  are  also  offered  by  Professoi'  Osgood  in  the  Theory  of  Functions, 
by  Professer  Bouton  in  liie  Theory  of  Point  Transformations,  by  Professer 


.V  O  T  li  S    ET    DO  C  U  MENTS  385 

CooLiDGK  in  Geometiy,  by  Piofessor  Kellogg  in  Analysis.  by  Professor 
BiRKHOFF  in  ihe  Theoiy  o»'  Differcnlial  Equatious.  ;uid  by  Professor  Gkal- 
STEiiN  in  Geomelry. 

Johns  Hopkins  Dniversity  iBallimorej.  —  Prof.  Frank  MoRLEY  :  Higher 
Geoinetiy.  3  (fiist  terni)  ;  Theory  of  Functions,  3  (second  terni);  Seminar,  2. 

—  Prof.  L.  S    HuLBLRT  :    Projeclive  Geomelry  and  higher  plane  Curves,  3. 

—  Prof.  A.  Cohen  :  Elementary  Theory  of  Functions.  2:  Diff.  Equations  and 
Mechanics.  3.  —  Dr.  F.  D.  Mlk.naghan  :  Electricity  and  Magnelisni,  3  (Hrst 
termi;   Dynamics  of  a  rigid  Body,  3  (second  term). 

Princeton  University.  —   H.  B.  Fine  :  F"unctions  of  a  complexe  variable. 

—  L.  V.  EisENHART  :  Differcntial  Geomelry.  —  O.  Veblen  :  Seminar  in 
analysis  sittis.  —  P.  Boltrov.v  :  Linear  Differenlial  Equations.  —  J.  H.  .M. 
Wedui:kbvr.n  :   Higher  Algebra. 

University  of  California  (Berkeley).  —  Prof.  M.  W.  Haskeli.  :  Higher 
plane  Curves,  3  (firsl  term);    Advanced  analylic  Geomelry,  3  (second  leim). 

—  Prof.  C.  A.  Noble  :  Functions  of  a  complex  Variable,  3;  Elementary  Ma- 
themalics  for  advanced  Sttidenls.  3  (Hrsl  term).  —  Prof.  D.  N.  Lehmer  : 
Theory  of  IS'unibers.  3  (firsl  term):  Algebraic  Surfaces,  3  (second  term|. — 
Prof.  Florian  Cajoki  :  Hislory  of  Mathemalics,  2;  Hislory  of  Physics,  2 
(second  terni)  ;  Sentinar,  2  :  Teaching  of  .Malhemalics,  3  ((irsl  term).  —  Prof. 
T.  .M.  PuTNAM  ;  Solid  analylic  Geomelry,  3  ((irst  term)  ;  Theory  of  algebraic 
Equations,  3  (second  terml. —  Prof.  Frank  Irwin  :  Advanced  Calculus,  3.  — 
Prof.  B.  A.  Beknstein  :  Algebra  of  Logic,  3  Ifîrst  term)  ;  Theory  of  Probabi- 
lity,  3  (second  term)  ;  Logic  of  .Malhematics.  2.  —  Prof.  J.  H.  McDonald  : 
Analylic  Mechanics,  3;  Partial  differenlial  l-lquations,  3  (lirst  term). 

University  of  Chicago.  Autumn  Quarler.  —  E.  H.  Moore  :  Seminar  in 
gênerai  Analysis.  2  ;  Matrices  in  gênerai  Analysis,  4.  —  G.  A.  Bliss  : 
Theorv  of  Functions  of  a  rcal  variable,  4  :  Calculus,  5.  —  L.  E.  Dickson  ; 
Continuons  Groujjs,  4;  Elementary  Theory  of  Equations.  4.  —  A.  C.  Lunn  : 
Veclor  Analysis,  4;  Applied  Mathemalics,  5.  —  Winter  Quarler.  —  E.  H. 
MooRE  :  Seminar  in  gênerai  .\ualysis,  2;  Theory  of  Functions  of  infuiitely 
many  variables  in  gênerai  Analysis,  4.  —  G  A.  Hliss  :  Calculus  of  Varia- 
tions, 5;  Calculus,  5.  —  L.  E.  Dickson  :  Theory  of  algebraic  Invariants,  4; 
Solid  Analylics,  4.  —  H.  E.  Slaught  :  Theory  of  definilc  Intégrais,  4.  — 
E.  J.  WiLcziNSKi  :  Projeclive  Geomelry,  4.  —  A.  C.  Lunn  :  Applications  ol 
veclor  Analysis  in  the  Theory  of  Eleclromagnelism,  4  ;  Applied  .Mathemalics, 
5.  —  Spring  Quarler.  —  E.  H.  Moore  :  Seminar  in  gênerai  Analysis,  2; 
Theory  of  Functions  of  infinilely  many  vai-iables  in  gênerai  Analysis,  4.  — 
E.  J.  VViLcziNSKi  :  Higher  Geomelry,  4;  Projeclive  Geomelry,  4.  —  A.  C. 
Lunn  :  Tlie  Theory  of  Relalivity,  4;  Applied  .Malhemalics,  5.  —  J.  \\  .  A. 
YoL'Nc;  :   Liuiils  and  Séries,  4  ;  Calculus,  5. 

University  of  Illinois  fUrbana). —  E.  J.  Townsend  :  Differeutial  Equations 
and  advanced  Calculus;  Functions  of  real  Variables  —  (i.  A.  .Mii.lkk  : 
Theory  of  Equations;  Theory  of  Groups.  —  J.  B.  Shaw  :  Fundamenlal 
Functions;  Fnnclional  Transformations.  —  A.  B.  Coblk  :  Aulomorphic 
Functions  ;  Solid  Analylic  Geomelry.  —  R.  D.  Car.michael  ;  r.,inear  différence 
Equations.  —  A.  E.mch  :  Algebraic  Surfaces.  —  A.  J.  Ke.mpnek  :  .Modem 
Algebra.  —  \.  R.  Crathorne  :  Acluarial  Theory.  —  E.  B.  Lythe  :  Hislory 
of  .Mathemalics,  2.  —  H.  Bi.imberg  :   Projeclive  Geomelry. 


386  NOTES     ET    DOCUMENTS 

University  of  Pensylvania  iPhiladelpIna).  —  G.  H.  Hallrtt  :  Higher 
Calculus,  5.  —  H.  H.  Mitchki.l  :  Malliemalical  Theory  of  Probabilily,  5.  — 
R.  L.  MooRE  :  Introduction  to  the  Theory  of  Functions  of  a  complex  Vari- 
able, 5. 

Yale  University  fiVeii'-^aten,  Com.j.  —  J.  Pierpont  :  Elliplic  Functions. 

—  P.  F.  Smith  :  Foundalions  of  Geometry.  —  E.  W.  Brown  ;  Hydrodynamics 
with  Applications  to  aeronaulics.  —  W.  R.  Loncley  :  Theory  of  Differential 
Equations.  —  J.  I.  Tracey  :  Modem  Geometry;  including  diffeiential  Geo- 
metry. —  J.  K.  Whittemore  :  Differential  Geometry.  —  J.  R.  Kline  : 
Advanced  Algebra. 

FRANCE 

Université  de  Strasbourg,  Faculté  des  Sciences.  —  \"  semestre.  — 
Mathématiques  préparatoires  et  mathématiques  générales.  X...,  professeur 
(3  cours  par  semaine);  Dar.viois ,  maître  de  conférences  (2  conférences  par 
semaine).  —  Calcul  différentiel  et  intégral.  Valiron,  professeur  (3j  ;  Antoine, 
maître  de  conférenceè  (2).  —  Mécanique  rationnelle.  Villat,  professeur  (3|  ; 
Véronnet,  ciiargé  de  conférences  (2).  —  Astronomie.  Esclangon,  professeur 
(2).  —  Analyse  supérieure* .  Fréchet,  professeur  :  Calcul  fonctionnel  (2); 
Fonctions  d'approximations  (1). 

2me  semestre.  —  Mathématiques  générales.  X...  (1)  ;  Dar.mois  (2).  —  Calcul 
différentiel  et  intégral.  Valiron  (1);  Antoine  (2).  —  Mécanique  rationnelle. 
Villat  (1);  Véronnet  (2). —  Astronomie.  Esclango.n.  professeur  (2)  ;  Danjon, 
astronome  adjoint  :  Travaux  pratiques  à  l'observatoire.  —  Analyse  supé- 
rieure*.    Fkéchet  :  Calcul  fonctionnel  (3).  —   Géométrie  supérieure.  X...  (2). 

—  Théorie  des  fonctions* .  Valiko.\  :  Fonctions  entières  (2)  ;  Fonctions  ellip- 
tiques avec  applications  à  la  physique  mathématique  (2). 

1er  gt  2'"e  semestre.  Préparation  à  l'enseignement,  sous  la  direction  de 
M.  Villat,  professeur.  —  Mathématiques  spéciales.  Villat,  professeur  (1). 

—  Mathématiques  élémentaires.  M.  N.  (1).  —  Calcul  différentiel  et  inté- 
gral.  Anioine  (1).  —  Mécanique  rationnelle.   Dar.mois  (1). 

Travaux  pratiques  de  mathématiques.  X...,  directeur  du  laboratoire  de 
mathématiques;    N.,  préparateur  de  mathématiques. 

Institut  de  mathématiques.  Fréchet,  directeur.  —  L  horaire  des  colloques 
mathématiques  (destinés  à  encourager  les  recherches  originales)  sera  établi 
ultérieurement  suivant  le  nombre  des  chercheurs  inscrits. 


ITALIE' 

Bologna  ;  Université.  —  Buhgatti:  Meccanica  dei  corpi  deformabili  con 
applicazioui  ai  solidi  elastici,  ai  fluidi  peifctti  e  vischiosi.  3.  —  Donati  : 
Teoria  del  calore  (conduzione  e  radiazione  ;  lermodinamica  e  atomistica); 
Priiicipio    di    relatività    e    sue    ripercussioni    nei    vari    campi    délia    fîsica 


*  Les  cours  dont  les  titres  sont  suivis  d'une  astérisque  portent  sur  des  sujets  variables 
chaque  année  et  s'adressent  aux  étudiants  avances. 

*  Les  cours  fondann'ntaux,  tels  que  Analyse  algébrique  cl  innnitésininle.  (léométrie  ana- 
lytique, descriptive,  projeclive,  Mécanique  rationnelle,  existant  dans  toute  université,  ne 
figurent  pas  dans  la  liste. 


NOTES    ET    DOCUMENTS  387 

moderna,  3.  —  Enkiques  :  Inlegrali  abeliaui.  3.  —  Pi.nchickle  :  Teoria  degli 
aggiegati  di  punti  ;  Funzioni  di  variabile  reale  e  loro  inlegrali  ;  leoremi  di 
esistcuza  per  le  equazioni  difrereuziali  ordinaiie,  3. 

Catania  ;  Unii-ersità. —  CiPOLLA  :  Teoria  délie  (iiuzioni  ellilliolie  e  sue  appli- 
cazioni,  4.  —  Da.mkle  :  Teoria  matenialica  délie  vibrazioni,  4.  —  Picoxe  : 
Equazioni  inlegrali  :  Polenziale  ;  Applicazioni,  con  spéciale  riguardo  aile 
equazioni  totalnienle  elliltiche  délia  lisica  raalemalicii,  5.  —  Scokza  :  La 
geometria  sopra  una  cnrva  dai  punie  di  visla  algebrico-arllmetico  di  Dede- 
kind  e  W'eber,  3. 

Genova  ;  InU'ersità.  —  Loria  :  Geomelria  degli  spazi  a  più  diniensioni,  3. 

—  Si;vEKi^ii  :  Calcolo  délie  variazioni,  3.  —  Tedone  :  Fenonieni  otlici  d  or- 
dine  superiore  :  assorbinienio  e  dispersione  délia  luce,  3. 

Messina  ;  Università.  —  Calapso  :  Teoria  délie  funzioni  di  variabile  com- 
plessa  e  délie  funzioni  ellitliclie,  4.  —  Giambelli  :  'J'eoria  differenziale  délie 
singolarità  délie  curve  piaue  algebriche  secondo  il  inetodo  dellEnriques  ; 
Inlroduzione  alla  geomelria  proieltiva  degli  iperspa'zi  ;  Teoria  dei  nioduli 
ncgli  iperspazi,  4.  —  Lazzarino  :  I  fondamenti  délia  elellroslalica,  4. 

Napoli  ;  Università.  —  A.modeo  :  Sloria  délie  Scienze  inatemaliche  nell'  evo 
medio  (1200-1600),  3.  —  Del  Re  :  Analisi  eslensiva  ad  n  dimensioni  con 
applicazioni  alla  geomelria  dilTerenziale  ed  alla  meccanica,  4*/o.  —  Marco- 
LONGO  :  Teoria  délia  relalivilà,  3.  —  Montesano  :  Le  superficie  razionali  ; 
Le  corrispondenze  birazionali  fra  i  punti  dello  spazio,  3.  —  Pascal  :  Le 
funzioni  monogene,  3.  —  Pcnto  :  Ollica  geomelrica  con  la  leoiùa  degli 
slrumenli  ollici,  3. 

Padova;  Univ'ersità.  —  A.maldi  :  Litroduzione  aile  leorie  di  inlegrazione 
di  Lie,  4.  —  D'Arcais  :  Funzioui  armonicbo  ;  Fondamenli  délia  teoria  délie 
funzioni  di  variabile  complessa  :  Série  di  Fourier,  4.  —  Gazzamga  :  Teoria 
dei  numeri,  3.  —  Ricci:  Calcolo  differenziale  assolulo  :  Principi  e  teorie 
fondamenlali  délia  elaslicità,  4.  —  Severi  :  Geomelria  algebrica  e  in  parli- 
colare  délie  superficie  razionali,  4.  —  To^OLO  ;  Teoremi  di  esisteuza  ;  Sislem 
jacobiani,  4. 

Palermo  ;  Università.  —  Bagxkra  :  Calcolo  délie  variazioni  per  le  funzioni 
di  una  sola  variabile  indipendenle  ;  Equazioni  inlegrali,  3.  —  De  Franchis  : 
Geomelria  suUe  curve  algebriche,  3.  —  Gebbia  :  Elettromagnelismo  con 
spéciale  riguardo  aile  oscillazioni  elellriche,  4  '/„.  —  Signokini  :  Idrodina- 
mica,  3. 

Pavia  ;  Università.  —  Berzolari  :  Geometria  suUa  cui-va  algebrica,  3.  — 
CisoTTi  :  Elaslicità:  dislorsioni  e  deformazioui  linite,  3. — Gekbaldi  :  Teoria 
délie  funzioui  di  variabile  complessa  e  délie  funzioui  eililliche.  3.  —  Vivanti  : 
Teoria  délie  equazioni  algebriche,  3. 

Pisa ;  Università.  —  Bertini  :  Trasformazioni  cremoniane  nel  piano  c  nello 
spazio,  3.  —  BiANCHi  :  Geometria  differenziale,  3.  —  Maggi  :  Odica  fisica 
solto  il  doppio  aspetto  délia  teoria  elastica  e  délia   teoria    elettromagnelica, 

4  '/j.  —  N.  IV.  :  Meccanica  superiore,  3. 

Roma  ;   Università.  —  Bisco.ncini  :  Applicazioni  geomeiriche  dei  calcolo,  3. 

—  BoMiMAM  :  Geomelria  dell' applicabiiilà  délie  superficie  e  delle  varielà,  3. 

—  Cantelli  :  Calcolo  delle  probabilità  con  applicazioni.  3.  —  Casielnlovo  : 
Geomelria  non  euclidea  con  interprélazioni  fisiche,  3.    —    Ckl'dei.i.i  :    liitro- 


388  NOTES    ET    DOC  UM  E  N  TS 

duzione  agli  sUidi  superioii  di  elellrieitii  c  <ii  niagnelismo,  3.  —  Levi- 
CivuA  :  Curvc  definile  da  equazioni  diderenziali-soliizioni  periodicbe,  3.  — 
Perna  :  Teorie  elemeiilari  dcU'aiialisi  nialemalica,  3.  —  Sii.kiikstein  :  Prin- 
cipio  di  relalività,  3.  —  Silla  :  E(|uazioiiî  dideienziali  délia  dinainira,  3.  — 
VoLTHKRA  :   l"]qiiazioiii  délia  Hsica  riiatomalica,  3.  —  Relalività,  3. 

Torino  ;  Università.  —  Bogcio  :  iVleccanica  analilica,  3.  —  Skgki:  :  Gnippi 
d'ordiiie  liiiito.  3.  —  Somicliana  :  Teoria  dell' elettriciln  e  del  magnetismo, 
3.  —  N.  N.  :  Analisi  superiore,  3. 

SUISSE 

Seineslre  d'Iiiver  (octobre  1918  à  mars  1919). 

Bàle;  Unh'ersité.  —  VV.  Matthies  :  Mechanik,  4;  Uebiingeii,  1;  Elastizi- 
tiitsllieorie,  2;  Matli.-Phys.  Seminar.  2.  —  H.  Mohrmann  :  Di(f.-und  Integral- 
rechnung,  4  ;  Uebungeii.  I  ;  Kurven  und  Flachtn,  4  ;  Malliem.  Seminar. 
gemeiusam  mit  Prof.  Spiess,  1.  —  O.  Spiess  :  Iiilegralrechnnng,  III.  Teil 
(Anwenduugen),  3;  Fiuiklioiientheoi-ie .  II.  Teil  (Elliplische  Funktioiieii, 
lineare  Differenzialgleichungen  etc.),  3;  Gescliichte  der  Mathematik  im 
17.  Jahrhunderi,  1  ;  Malhem.  Seminar,  gemein  mit  Prof.  Mobrmanii.  I.  — 
R.  Flatt  :  Piidagogisches  Seminar.  malh.-naturvviss.  Abteilung.  4  :  Hepeti- 
torium  der  Géométrie.  2.  —  M.  Knapp  :  Asironomie  in  Babylon,  2  ;  Popnliiie 
Astronomie.  1  ;  Leklùre  der  Werke  Joh.  Kepplers,  1. 

Berne;  Université.  —  G.  Huber  :  Théorie  der  algebr.  Fliichen,  3;  Foii- 
rie  sche  Reihen  u.  Intégrale  mit  Anwendungen  auf  die  Pliysik,  2;  Di-ter- 
minantentlieorie,  1;  Mechanik  des  Himmeis,  2;  Mathem.  Seminai-,  1.  — 
N.  N.  :  Hohere  Analysis.  —  Ckelier  :  Algebr.  Analysis,  2  ;  Sphar  Trigo- 
nométrie. 2;  Integralrechnnng,  2;  Analyt.  Géométrie,  2;  Darsl.  G«'oaietrie, 
II,  2;  IV.  2;  Synth.  Géométrie,  2.  —  Bkrlinek  :  Zahlentheorie,  2.  —  .Mau- 
DERLi  :  Astron.  Phanomenologie.  II.  2  ;  Geogr.-astr.  Ortsbeslimmnng,  2  ; 
Einfûhrung  in  die  Physik  des  Himmeis,  î.  —  Moser  :  Math.  Grnndiagen 
der  Krankenversicherung.  2  ;  die  Makeham  sche  Funktion,  2  ;  Einfiihrung  in 
die  Lebensversicherungsrechnnng  ;  .Matli.-Versichèi'ungswissenschaftliches 
Seminai-.  1-2.  —  Bohken  :  Die  SoziaKersicherung  und  ihre  Grnndiagen,  2. 
—  Grunek  :  Vektor-Analysis  \\.  Polenlialtheorie,  2;  Mechanik  deformier- 
baier  Korper,  2.  —  Kœstler  :  Einfiihrung  in  die  theorilisclie  Mechanik.  1-2. 

Genève;  Université.  —  C.  Cailler  :  Calcul  dilf.  et  inlegr..  3;  Exercices,  2; 
Mécanique  rationnelle,  3;  Exercices,  2;  Conférence  d  analyse  (Fonctions 
elli[)ti(|nes),  2;  Compléments  de  Mécanique  i-alionnelle,  1.  —  H.  Fehr  : 
Eléments  de  mathématiques  sup.,  3  ;  Conférence  d  Algèbre  et  de  Géométrie, 
2;  Exercices  pratiques  sur  les  éléments  de  mathématiques  sup  ,  2;  Confé- 
rence de  Géométrie  sup.  2,  Séminaire  de  niathéni.  éiémenlairts  ;  .Métho- 
dologie math.,  1.   —  R.  Gautier  :  Astronomie  math,  générale,  2. 

Privat-docenls  :  A.  Beknoud  :  Histoire  des  Sciences  :  La  science  Hellène, 
1.  —  D.  MiRiMArsoEF  :  Eléments  de  la  théorie  des  ensembles,  1.  —  G.  Tiekcy  : 
Théorie  des  diflérents  modes  de  perspective,  1. 

Lausanne;  Université.  —  M.  Amstein  :  Théorie  des  fonctions,  3  :  Complé- 
ment de  calcul  intc-gral,  2.  —  G.  Dumas  :  Calcul  dilf.  el  iiilégr.,  6  ;  Exercices, 
2;  Questions  div.  d'analyse,  2;  Séminaire  math..  1.  —  Laco.mbe  :  Géoméirie 


NOTE  >•    ET    no  C  V  M  ENTS  389 

descriptive,  4;  Epures.  4:  Géoméirio  aiialyl-,  2;  Géoméirie  de  position 
avec  exercices,  3.  —  Mayok  :  Mécanique  rationnelle.  4  .  Exercices.  1  ;  Phy- 
sique niatliém,  2.  —  Maili.aku  :  Calcul  infuiilésimal,  avec  application  aux 
sciences,  4  ;  Aslrouoniie  sphérique,  3  ;  Mécanique  rationnelle,  2.  —  S  Dumas  : 
Calcul  des  probabilités,  2"^^  paitie,  3. 

Privat-docents  :  Jaci;ottkt  :  Potentiel  et  l-lijuation  de  l.aplace,  2.  — 
Paschoud  :  Introduction  à  la  Pliysiquc  niatli.,  2. 

Neuchàtel  ;  ['niiersité.  —  L.-G.  Du  Pasquiek  :  Théorie  des  surfaces,  2; 
Calcul  diir.  et  intégr.,  3:  Exercices,  2;  Algèbre  sup.,  1;  Equations  dilF. ,  1; 
Science  actuarielle  :  Calcul  des  piobabilités.  I  ;  Développement  de  la  notion 
d'espace  :  Quatrième  dimension  et  principe  de  relativité,  1  :  Séminaire  de 
math..  1.  —  L.  Gabekel  :  Fonctions  analytiques,  2  ;  Géométrie  descriptive, 
2.  —  E.  Legrandroy  :  Astronomie,  2,  Astronomie  icours  sup.l,  1;  Exer- 
cices, 1.  —  A.  Jaqukkod  :  Mécanique  rationnelle,  2.  —  A.  Reymond  :  Philo- 
sophie des  sciences,  1. 

Privat-docents  :  H.  Strœle  :  Méthode  des  moindres  carrés.  1.  —  L.  Auxdt  : 
Le  principe  de  relativité,  1. 

Zurich;  (.'nhersilé.  —  R  FuETKR  :  Einfùhrung  in  die  math.  Behandlung 
der  Xaturwiss.,  4;  Uebgu  ,  I  ;  Funktionenlheorie,  3  ;  Math.  Seminar,  1. — 
Si'EisER  :  DifF.-und  Integralrechuung  I,  4  :  Uebgn.,  1  ;  DifTerenlialgleichungeu 
der  Himmeismechanik,  3;  Uebgn.  zur  Yariationsrechnuiig,  1.  —  \\  oi  fkr  : 
Einleilnng  i.  d.  Astronomie,  3  ;  Uebgn.,  2  ;  Bahnbestimmung  von  Plaiielen 
u.   Koinelen,  2.  —  Pr.-Doc.  :  Gonseth  :  Angewandte  Malli.,  4. 

Zurich;  Ecole  pulylechni(ftie  fédérale,  section  normale.  —  Hiksch  :  Hoh. 
Mathematik  I.  6;  Repet.,1:  Uebgn.,  2;  111,3;  Uebgn,  1,  —  Fraxei.  :  Mathé- 
matiques supérieures,  I,  6:  Répét.,  1  ;  Exercices,  2;  III,  3:  Exercices,  I. — 
Gross.ma.nn  :  Darstell.  Géométrie,  4;  Repet.,  1  ;  Uebgn.,  4:  Ebeue  alg. 
Kurven,  2.  —  Weyl  :  Analyt.  Géométrie,  2  ;  Uebgn.,  1  ;  Diff.  Gleichuugen,  4. 

—  KoLKOSs  :  Géométrie  descriptive.  4;  Répét.,  1;  Exerc,  4.  —  .Mk'ss.ner  : 
Mechanik  II,  4;  Repet.,  1;  Uebgn..  2.  —  Hurwitz  :  Alg.  Gleichuugen.  4; 
Math.  Seminar.  2.  —  B.eschlin  :  Vermessungskunde  :  Hôh.  Geodiisie,  3: 
Repet.,  1.  —  WoLFEK  :  Einleilung  in  die  Astronomie.  3;  Uebgu  ,  2;  Bahn- 
beslimmungen  von  Planeten  u.  Kouieten,  2.  —  Ambkkg  :  Math.  Problème  der 
Sozialveisicherung,  2.  —  N.  N.  :  Einfiihrung  in  den  math,  natuiw.  Unter- 
richt. 

Cours  libres.  —  Beyel  :  Rechenschieber  mil  Uebgn.,  I  ;  Darst.  Géométrie, 
2;   Achsouometrie  u.  Perspektive,  2.  —   Gonseth  :  Calcul  «les  variations.  1. 

—  Equations  aux  dérivées  partielles.  2.  —    Kikkast  :  Elastizilatstheorie,   2. 

—  Kraft  :  Die  Grundkràfte  der  Welt,  1  :  Geometrische  Analysis.  3  ;  Analy- 
tische  Mechanik,  3.  —  Pôlva  :  Analytische  Mechanik,  2:  Einlnhrung  in  die 
Analysis  reeller  Grossen,  I,  2. 


BIBLIOGRAPHIE 


G.  BouLiGAND,  professeur  de  niiithématiques  spéciales  au  lycée  de  Rennes. 
—  Cours  de  Géométrie  analytique.  —  1  vol  in-8o,  Vll-i'»^!  pages  ;  préface 
de  M.  le  professeur  Cartan  ;   librairie  Vuibert,  Paris,  1919. 

On  pourrait  s'étonner  de  la  publication  d'un  nouveau  volume  sur  la  Géo- 
métrie analytique,  à  l'époque  où  nous  sommes  et  après  tant  d'ouvrages 
édités,  si  l'on  oubliait  que  l'enseignement  scientifique  ne  saurait  être  confiné 
dans  une  formule  étroite  et  rigide,  mais  qu'il  évolue,  se  transforme,  pro- 
gresse, qu'il  doit  au  contraire  présenler  tous  les  caractères  de  la  vie. 

C'est  la  pensée  qui  a  évidemment  inspiré  lauteur,  chez  lequel  on  aper- 
çoit aisément  la  sollicitude  constante  qu'il  apporle  au  développement  des 
intelligences  qui  lui  sont  confiées.  C'est  également  ce  que  met  en  pleine 
lumière  M.  Cartan,  dans  sa  remarquable  préface,  à  laquelle  je  me  permets 
de  faire  quelques  empi-unls. 

«  Il  semble  possible,  dit-il,  tout  eu  restant  dans  les  limites  du  programme, 
«  de  dégager  pour  les  élèves  l'essentiel  de  ce  qui,  dans  le  courant  des 
«  idées  géométriques  modernes,  peut  être  mis  à  leur  portée.  Plus  franche- 
«  ment  cela  se  fera,  plus  ils  en  tireront  prolit,  moins  grand  sera  l'effort  de 
«    mémoire  nécessaire  pour  assimiler  les  matières  du  cours... 

«  Le  but  qu'a  poursuivi  l'auteur  est  de  former  1  esprit  de  lélève  et  de  se 
«  servir  des  matières  à  enseigner  pour  l'aider  à  acquérir  une  culture  mathé- 
«   matique  proprement  dite... 

«  Un  autie  caractère  du  présent  livie  est  l'appui  que  s  y  prêtent  muluelle- 
«  ment  le  raisonnement  géométrique  et  le  calcul.  L  auteur  considère  avec 
0  juste  raison  que  la  Géométrie  pure  et  la  Géométrie  analytique  ne  sont 
«  pas  deux  sciences  rivales  dont  chacune  interdit  à  l'aulre  d'empiéter  sur 
«   son  domaine  ;   elles  gagnent  au  contraire  h  s'éclairer  1  une  par  l'autre... 

«  L'auteur  demande  beaucoup  à  la  collaboration  de  1  élève.  Cette  manière 
«  de  faire  préseule  des  avantages  certains  pour  les  bons  élèves,  mais  elle 
«  en  présente  aussi  pour  les  élèves  moyens  qui  seraient  guidés  par  le  pro- 
«  fesseur;  l'idéal  à  réaliser  est  d  ailleui-s  la  collaboration  simultanée  de 
«   l'élève,  du  livre  et  du  professeur.  « 

Ces  observations  très  justes  suffisent  à  caractériser  l'œuvre  de  M.  Bouli- 
gand,  à  en  montrer  la  grande  utilité  et  le  caractère  spécial.  Il  y  a  là  un 
effort  nouveau,  et  très  intéressant,  qui  doit  être  féi'ond  en  heureux  résul- 
tats. 

Une  autre  qualité  de  l'ouvrage,  ot  qui  n  est  pas  à  dédaigner,  c  est  sa 
brièveté  relative.  Faire  tenir  autant  de  matières  en  un  seul  volume,  dont 
l'étendue  n'est  pas  excessive,  et  cela  sans  nuire  jamais  à  la  clarté,  n'était 
pas  une  tâche  facile. 


BIBLIOGRAPHIE  391 

Pour  qu'on  puisse  s'en  faire  une  idée,  nous  reproduisons  ici  les  titres  des 
chapitres  composant  l'ouvrag-e. 

Introduction.  Rappel  de  notions  fondamentales  relatives  aux  \-ect('urs, 
aux  segments,  aux  angles,   aux  projections. 

Ch.  I.  Coordonnées.  Représentation  analytique  des  lignes  et  des  surfaces. 
—  II.  La  droite  et  le  plan.  —  III.  Eléments  de  l  Infini.  Eléments  imagi- 
naires. —  l\.  Propriétés  générales  des  lignes  et  des  surfaces  de  la  Géo- 
métrie réelle.  —  V.  Courbes  et  surfaces  algéhric/ues.  —  VI.  Des  lieux 
géométriques.  —  VU.  Etude  sommaire  de  quelques  transformations.  Notions 
sur  l'homographie.  —  VIII.  Corrélations.  Tangentes.  Enveloppes.  —  IX.  Lon- 
gueur d  un  arc.  Courbure  —  X.  Les  courbes  du  second  ordre.  —  XI.  4S«r- 
faces  du  second  ordre  ou  quadriques.  —  XII.  Intersection  de  deu.v  qua- 
driques.  —  XIII.  Courbure  des  lignes  tracées  sur  une  surface. 

Co.MPLFMiîNTs.  Application  des  déterminants  ;  coniques  et  quadriques. 
Détermination  des  figures:  notions  générales.  Détermination  des  coniques 
et  des  quadriques.   Invariants. 

Nous  avons  le  ferme  espoir  que  1  ouvrage  de  M.  Bouligand  obtiendra  le 
succès  qu'il  mérite.  Il  rendra  de  grands  services  au.x  professeurs  aussi  bien 
qu'au.v  élèves,  et  sera  un  nouvel  instrument  de  progrès  pour  la  science  et 
pour  l'enseignement.  C.-A.   Laisant. 

P.  BouTRoux.  —  Les  Principes  de  l'analyse  mathématique.  E.xposé  histo- 
rique et  critique.  Tome  fl  (l.a  Géométrie  algébrique.  Extensious  de 
l'Algèbre  et  constructions  logiques.  Développements  en  séries.  La  Méthode 
analytique.  Analyse  infinitésitnale.  Analyse  des  principes.  Analyse  de  la 
notion  de  fonction).  —  1  vol.  gr.  in-8"  de  512  p.  et  109  fîg.  ;  20  fr.  ; 
A.  Hermann,  Paris,  1919. 

La  guerre  a  beaucoup  retardé  la  publication  de  ce  second  volume  dont 
I  esprit  philosophique  et  scientifique  devrait  être  analysé  comme  il  a  déjà 
été  fait  ici  lors  de  la  publication  du  tome  premier  (t.  XVI,  1914,  p.  151). 

On  juge  encore  mieux  de  l'œuvre  maintenant  qu'on  l'a  sous  les  yeux 
absolument  au  complet.  Dans  son  ensemble,  elle  est  essentiellement  initia- 
trice et  contient  un  cours  très  complet  de  mathématiques  générales,  tout  en 
contenant  d'ailleurs  beaucoup  plus  avec  ses  pénétrantes  remarques  histo- 
riques, philosophiques  et  même  littéraires.  Et,  par  delà  ce  premier  pro- 
gramme, elle  conduit  le  lecteur  jusqu  au  seuil  de  la  moderne  théorie  des 
fonctions,  jusqu'aux  points  où  le  continu  a  été  disséqué  par  la  théorie  des 
ensembles  de  manière  à  laisser  apercevoir  son  squelette  arithmétique  d'une 
manière  aussi  simple  que  possible. 

Bien  remarquables  sont  les  pages  consacrées  à  la  construction  logique 
des  mathématiques.  Tout  en  signalant  les  dilllcultés  probablement  insur- 
montables de  la  question,  l'auteur,  en  ayant  recours  à  la  notion  de  classe, 
montre  qu'on  peut,  avec  elle,  concevoir  une  genèse  commune  aux  principes 
de  larithmétique  et  à  ceux  de  la  géométrie  ;  il  a  ainsi  une  occasion  simple 
de  parler  des  groupes  et  de  la  géométrie  uon-euclidienne. 

L'idée  de  construction  logique  conduit  aussi  à  quelques  pages  fort  inté- 
ressantes sur  les  logiques  mathématiques  dues  à  Peano,  Russell,...  logiques 
qui  sont  malheureusemcnl  d'un  mécanisme  plus  intéi'essant  que  fécond. 

Après  le  calcul  intégral,  les  limites,  bref  après  toute  I  étude  du  continu 
analytique,   M.  Boutroux    place   la   géométrie   dllférentielle,    où   l'on   s  élève 


392  RI  HLIOGRA  P  H I  E 

aux  propi'iétés  géométriques  finies  en  partant  «les  propriétés  infinitésimales, 
et  il  y  joint,  tout  naturellement,  la  raécanicpie  did'érentielle  qui,  en  somme, 
se  définit  tout  comme  la  géométrie  ainsi  qualifiée 

Et  quant  à  l'analystî  des  principes  conduisant  aux  extensions  mathéma- 
tiques modernes,  analyse  déjà  mentionnée  tout  à  l'heure,  elle  nous  fait 
pressentir  toutes  les  singularités  plus  ou  moins  bizarres  qui  naissent,  d'une 
part,  sur  les  notions  mêmes  de  continuité  et  d'analyticité,  d  autre  part,  dans 
les  fonctions  analytiques  elles-mêmes. 

Pour  celles-ci  nous  relr-ouvons  les  séries  fondamentales  l'I'aylor,  Laurent,...) 
et  des  exemples  très  explicites  empruntés  aux  fonctions  elliptiques. 

La  conclusion  est  que  la  science  redevient  hellène  et  le  savant  contem- 
platif. Les  Grecs  avaient  raison  quant  à  leur  idée  mystique  et  extérieure  de 
la  science  ;  celle-ci  n'est  pas  absolument  notre  œuvre  puisque  chaque  grande 
construction  scientifique  humaine  nous  révèle  des  choses  que  nous  n'avons 
pas  su  y  mettre 

Beaux  thèmes  de  discussion  pour  philosophes  assez  mathématiciens  pour 
parler  vraiment  des  mathématiques  en  connaissance  de  cause;  l'œuvre  de 
M.  Pierre  Boutroux,  tout  en  étant  utile  à  de  nombreuses  catégories  d'élèves, 
augmentera  certainement  le  nombre   de   ces   philosophes-là 

A.  BuHL  (Toulouse). 

F.-C.  Clapikk,  professeur  au  Lycée  Gassendi  (Digne).  —  Sur  les  SUrfaces 
minima  ou  élassoïdes,  thèse  présentée  à  la  Faculté  des  sciences  de  Paris 
pour  obtenir  le  grade  de  docteur  es  sciences  mathématiques,  mai  1919.  — 
Une  brochure  in-4"  de  63  pages;  Ganthier-Villars  &  Cie.  Paris. 

Le  Iravail  de  M.  F.-C.  Ci.apier  a  pour  objet  (l'apporter  une  contribution 
à  I  élude  des  surfaces  minima  on  élassoïdes.  [^'auteur  s'est  spécialement 
placé  sous  le  point  de  vue  de  A.  Ribalcour.  Un  premier  chapitre  est 
consacré  à  des  généralités  Sur  la  géométrie  de  ces  surfaces  remarquables  et 
à  l'application  des  foiinules  de  A.  Ribaucolk  Dans  les  trois  chapitres  sui- 
vants, les  surfaces  minima  sont  étudiées  dans  leurs  relations  avec  leur 
représentation  sphériquc  Enlie  autres  applications  intéressantes,  il  va  lieu 
de  relever  celle  de  la  délermination  des  surfaces  iiiiiiima  admeltaiil  pour 
leprésentat'um  spliériffiie  de  leurs  lignes  de  courbure  le  réseau  isotherme 
qui  correspond  aux  lignes  de  courbure  d'une  quadricfue. 

iM.  Ci.APii£K  montre,  en  outie,  comment  diverses  méthodes  géométriques 
permettent  d'obtenir  I  intégration  de  certaines  équations  aux  dérivées  par- 
tielles. 

Dans  un  cinquième  chapilie,  consacré  aux  trajectoires  orthogonales  de 
certains  systèmes  de  surfaces  minima,  l'auteur  revient  sur  une  question 
qu'il  avait  précédemment  étudiée  et  qui  parait  être  le  point  de  dépari  de 
ses  recherches  :  Sur  la  recherche  des  surfaces  minima,  dans  les  A'o(n-elles 
Annales  de  Mathématiques  \\),  t.  XIV,  août  191'!,  p.  359-363. 

La  méthode  indiquée  est  une  application  de  la  formule 


_1_         _1_  _  _  /^-  ^ 

R,    ^    R,   ~        l  .\>-   "^  77  "•"    c> 


0' 


exprimant  la  courbure   moyenne   d'une  surface   générale   en   fonction   de   la 
divergence  d'un  vecteur  unitaire  (c,  c' ,  c")  porté  par  la  normale.  La  surface 


H  I  h  I.IO  a  II  A  P  //  /  E  393 

minimii  de  Schekk  est  inuiiéiliiitemeiil    (léleriniiu'e    par   application    de    celle 
formult". 

Celle  formule  remarquable  (ainsi  qu'une  formule  analogue  également 
retrouvée  par  M.  Clapier,  pour  1  expression  générale  de  la  courbure  totale 
d  une  surface)  a  d  ailleurs  été  donnée  depuis  déjà  longtemps  par  Bokchakdt  : 

C.-W.  BoRCHARDT  :  Sur  la  quadrature  définie  des  surfaces  courbes,  Journal 
de  Mathématiques  pures  et  appliquées  (de  Liovvili.e),  t.  XIX,  1854,  p.  369- 
39i. 

Deux  théorèmes  de  M.  Bokchardt  sur  les  fonctions  symétriques  dune 
équation  algébrique  et  sur  les  rayons  de  courbure  principaux  des  surlaces. 
Nouvelles  Annales  de  Mathématiques,  t.  XIV,  1855,  p.  26-27. 

Cette  formule  peimettrail  de  rattaciier  le  pioblème  des  surfaces  ininima 
à  un  problème  de  la  théorie  des  tourbillons 

Emile  Tikrikre  i Montpellier). 

G. -H.  Halphe.n.  —  Œuvres  publiées  par  les  soins  de  C.  Jordan,  H.  Poi.ncaré, 
E.  Picard,  avec  la  collaboration  de  E.  Vessiot.  Tome  II.  —  1  vol.  gr. 
in-8»  de  viii-560  p.:  40  fr.  ;  Gaulhier-Villars,  Paris,  1918. 

Ce  second  volume  s  ajoute,  après  un  temps  fort  court,  eu  égard  aux  cir- 
constances actuelles,  à  celui  déjà  analysé  dans  cette  Revue  (1916,  p.  365).  Il 
ue  semble  ni  moins  riche  ni  moins  intéressant  que  le  premier  et  contient 
tout  d'abord  les  deux  ultimes  Mémoires  Sur  les  caractéristiques  des  sys- 
tèmes de  coniques;  cette  question,  rappelée  et  située  dans  la  précédente 
analyse,  considérée  comme  si  décevante  p:ir  Chasies  et  toujours  emplie  d  un 
malaise  de  non  rigueur  que  de  Jonqnières  ne  lit  qu'augmenter,  reçut,  comme 
on  sait,  une  solution  irréprochable  de  l'irréprochable  algébrisie  qu'était 
Halphen.  La  publication  du  Tome  II  de  ces  OEuvres.  complète  et  rassemble 
ainsi  tous  les  efTorts  faits  pour  résoudre  un  problème,  qui  mérite  une  célé- 
brité fort  comparable  à  celle  des  plus  fameuses  énigmes  édaircies  à  la  fin 
du  dix-neuvième  siècle. 

En  ne  citant  que  les  principaux  écrits,  nous  en  trouvons  ensuite  deux 
autres  beaucoup  plus  courts  mais  presque  aussi  réputés  que  les  précédents. 
Ils  étudient  le  mouvement  d'un  poini  sur  une  conique  et  montrent  que  la  loi 
de  Newton  est  indépendante  de  considérations  focales.  Il  importe  de  remar- 
quer qu'il  ne  s'agit  pas  là  de  quelque  fantaisie  analytique,  mais  bien  d  un 
problème  de  Mécanique  céleste  introduit  par  Tisserand  dans  son  grand 
Traité  el  qui  pourrait  coriespondre,  par  exemple,  à  la  justification  de  la  loi 
hewtonnienne  pour  des  systèmes  stellaires  doubles,  dont  1  observation  serait 
insulFisante  à  déceler  des  propriétés  locales. 

Voici  maintenant  la  profonde  proposition  d  algèbre  sui-  la  possibilité  de 
mettre  un  polynôme  à  deux  variables  sous  la  forme  As  -j-  B'|  où  ç  et  •}  sont 
donnés.  C'est  l'un  des  pivots  de  la  moderne  théorie  des  surfaces  algébriques, 
comme  on  peut  s'en  convaincre  en  ouvrant  le  tome  II  des  Fonctions  de  deux 
variables  de  .M.  Emile  Picard. 

Quel  mathématicien  actuel,  choisi  parmi  les  plus  savants,  pourrait  dire, 
à  brûle  pourpoint,  ce  qu'est  la  «  suite  de  F"arey  »  ;'  C'est  l'ensemble  des 
fractions  réduites  dont  le  dénominateur  ne  surpasse  pas  un  entier  donné. 
Elle  a  d  élégantes  pro|)riétés  qu'Halphen  généralise  et  elle  aura,  de  plus, 
pour  beaucoup,  !  attrait  de  la  nouveauté. 

Abordons  les  si  importantes  rec-herches   d'Halphen   sur   les    points  singu- 


394  Hl  RLl  O  GRAPHIE 

liers  des  courbes  gauches  et  les  lignes  singulières  des  surfaces  algébriques. 
La  notion  de  cycle,  déjà  bien  connue  poui-  les  courbes  planes  et  dont  l'im- 
portauce  n'a  fait  qu'augmenter  par  la  suite,  est  étendue  avec  une  grande 
habileté.  Il  faut  encoie  remarquer  l'emploi  du  théorème  égalant  le  nombre 
des  zéros  et  des  infinis  d'une  fonction  rationnelle  des  coordonnées  d'une 
courbe  algébrique  ;  il  intervient  avec  une  facilité  inattendue  dans  les  rela- 
tions liant  les  ordres,  les  classes,  les  rangs  relatifs  à  une  courbe  gauche. 
Les  covarlants  différentiels  des  courbes  gauches  naissent  en  cherchant  les 
points  de  celte  courbe  où  une  certaine  équation  différentielle  est  satisfaite; 
j'ai  déjà  signalé  le  problème  correspondant  pour  les  courbes  planes  en  ana- 
lysant le  volume  précédent. 

Sur  les  surfaces,  les  cycles  proviennent,  en  général,  de  nappes  et  non  de 
branches  ;  les  cycles  de  nappes  ont  des  propriétés  dualistiques  très  simples 
notamment  quant  aux  contacts.  Les  lignes  asymptoliques  jouent  ici  le  rôle 
de  lignes  singulières  à  rôle  simplificateur  et  toutes  les  belles  propriétés 
ainsi  obtenues  sont  finalement  vérifiées  sur  les  surfaces  de  révolution  et  les 
surfaces  réglées. 

Aux  covariants  différentiels  s  ajoutent  les  imariants  difl'érentiels  ;  c'est 
d'ailleurs  une  idée,  chère  à  Halphen,  qui  reparait  sous  des  formes  multiples. 
Cette  idée  a  d  ailleurs  été  quelque  peu  transformée  par  la  théorie  des 
groupes,  mais  je  crois  bien  que  c'est  encore  à  Halphen  qu  il  faudra  remonter 
si  l'on  veut  i-etrouver  toute  l'élégance  géométrique  du  sujet  primitif.  L'in- 
variant qui  fut  d'abord  nouveau  pour  l'auteur  provient  d  une  cubique  ayant 
avec  une  courbe  plane,  en  M,  huit  points  communs  confondus  d'où  un  neu- 
vième point  N  fixe  sur  la  cubique  et  qui  correspond  de  manière  univoque 
à  M.  Les  correspondances  dues  à  de  telles  surosculations  s'étendent  même 
aux  courbes  gauches  et  donnent  des  théorèmes  d'intégrabilité  pour  les  équa- 
tions différentielles. 

Les  fonctions  elliptiques  apparaissent,  en  nombre  de  pages,  pour  nous 
donner  sans  doute  quelque  idée  de  ce  que  la  mort  n'a  pas  permis  à  Halphen 
de  mettre  en  son  grand  Traité. 

La  relation  bien  connue,  dite  «  équation  à  trois  termes  »  pour  la  fonction  rs, 
s'écrit  aussi  bien  pour  la  fonction  H.  Elle  peut  se  vérifier  aussi  pour  des 
polynômes,  ce  qui  entraîne  lintégration  algébrique  de 

dr  _  3j(r  -f  1)  —  4.r 
dx  ~        .r(8j  —  1) 

H. 

Certaines  extensions  aux  équations  aux  dérivées  partielles  sont  possibles. 

Pour  en  revenir  aux  invariants  différentiels  des  courbes  gauches  il  faut 
évidemment  citer,  en  tout  premier  lieu,  le  travail  d'une  centaine  de  pages 
publié,  en  1880,  au  Journal  de  l'Ecule  polytechnique.  On  y  trouve  les  résul- 
tats les  plus  divers  appuyés  sur  des  considérations  d'apparence  élémentaire 
telles  la  recherche  des  lignes  invariantes  par  transformation  homographique  ; 
il  y  a  aussi  des  transformations  qui  changent  un  invariant  de  courbe  plane 
en  un  invariant  de  coui'be  gauche  ;  par  surcroît,  on  ijitègre  cliemin  faisant 
de  nombreuses  équations  différentielles... 

Le  dernier  tiers  du  volume  renferme  de  nombreux  petits  Mémoires  qui 
rappellent  beaucoup  ceux  d'Hermite.  Il  y  a  là  des  polynômes  à  propi'iétés 
curieuses,  des  équations  difTérentitlIes  élégamment  intégrables,  des  inté- 
grales définies  et,   tout   particulièrement,    des   études   concernant,  pour  des 


BIBLIO  (',  RAPHIE  395 

séries  abélieiiiies,  des  questions  de  validité   qui    ne  furent  point  traitées  par 
Abel. 

Je  n  ai  cité  que  les  points  les  plus  saillants.  Beaucoup  de  théorèmes 
d'arithmétique  s'imbriquent  sur  tout  l'ensemble.  A  tous  les  points  de  vue. 
ce   second   tome   peut   èlre  un  magnificjue  et  puissant  instrument  de  travail. 

Des  faits  récents  viennent  à  l'appui  de  cette  manière  de  voir  ;  les  surfaces 
et  surtout  les  courbes  gauches  algébriques  attirent  à  nouveau  l'attention 
des  géomètres.  Ces  sujets  sont  actuellement  repris,  développés,  prolongés 
ainsi  que  peut  en  faire  foi  la  Théorie  des  courbes  gauches  algébriques  pro- 
fessée en  Sorbonne  et  récemment  publiée  par  M.  R.  de  Montessus  (Paris, 
Croville-Morant,  1918).  Nous  aurons  l'occasion  de  revenir  prochainement 
sur  cette  nouvelle  publication  qui,  en  elFet,  et  comme  l'indique  1  auteur  lui- 
même,  s'appuie  tout  particulièrement  sur  lœuvre  d  Halphen. 

A.  BvHL  (Toulouse). 

A.  Lœwy.  —  Lehrbuch  der  Algebra.  Ersler  Teil  :  Grundlagen  der  Arith- 
metik.  —  1  vol.  in-8o,  398  p.,  12  M.  ;  Veit  &  C'e,  Leipzig. 

Ce  volume,  qui  a  pour  objet  les  principes  de  l'arithmétique  théorique, 
forme  le  tome  I  d  un  Traité  d'Algèbre  destiné  aux  étudiants  des  Univei'sités. 
Après  s'être  familiarisés  dans  renseignement  secondaire  avec  la  pratique 
des  opérations  arithmétiques  et  algébriques,  il  est  indispensable  que  les 
étudiants  eu  mathématiques  fassent  une  étude  approfondie  des  principes 
modei-nes  de  l'arithmétique  théorique  et  de  l'algèbre.  Ils  doivent  avoir  des 
connaissances  précises  sur  les  théories  fondamentales  concernant  les  notions 
des  nombres  rationnels,  nombres  irrationnels,  les  fractions  continues,  les 
puissances,  les  racines,  les  logarithmes,  les  limites,  les  séries,  le  dévelop- 
pement du  binôme,  les  produits  infinis.  Tous  ces  objets,  limités  au  domaine 
réel,  sont  étudiés  dans  ce  volume  dans  leur  enchaînement  logique  avec  la 
précision  et  la  rigueur  nécessaires.  Lauteur  a  tenu  compte  des  progrès 
récents  réalisés  grâce  à  rintroduction  des  notions  de  groupes  et  de  corps. 
Son  Ouvrage  sera  consulté  avec  fruit  non  seulement  par  les  étudiants  mais 
aussi  par  les  professeurs.  H.  F. 

R.  DE  Montessus  ue  Ballore.  —  Introduction  à  la  Théorie  des  Courbes 
gauches  algébriques.  Cours  libre  professé  à  la  Faculté  des  Sciences  de 
Paris,  recueilli  et  rédigé  par  M.  Vogt.  —  1  vol.  aulographié,  gr.  in-4» 
de  112  p.,  avec  figures,  12  fr.  ;  Croville-Morant,  Paris,  1918. 

C'est  presque  une  stupéfaction  que  de  parcourir  ces  pages  si  intéressantes. 
Quoi,  il  y  a  tant  de  choseé  dans  les  intersections  de  quadriques  dont  ne 
parlent  point  les  traités  qui  s'étendent  tant  sur  les  quadriques  elles-mêmes! 
Vraiment  la  lacune  était  regrettable  ! 

Le  point  de  départ  de  l'auteur  est  général.  Une  courbe  gauche  algébrique 
est  l'intersection  de  deux  surfaces  algébriques  ;  si,  entre  les  équations  de 
celle-ci,  on  élimine  z  puis  toutes  les  puissances  de  ;  sauf  z,  la  courbe  a 
pour  équations 

,  _  4- 1-»'  •  y) 


(x ,  j)  =  0  , 


■/.(•^'  y\ 


et  son  étude  est  celle  d'une  fraction  rationnelle   sur  la  courbe   ç  =  0.    C'est 
le  point  de  vue  utilisé  par  Cayley  et  Halphen.  Il  suffirait  à  imposer  la  géo- 


396  m  HI.IOGUAl'HI  E 

raélrie  sur  une  courbe  algébrique  qui  iulervienl  dans  les  plus  hautes  parties 
de  la  théorie  des  fouctions,  comme  il  ressoi't  des  li-avaux  de  M.  Emile  Picard 
et  de  ceux  de  l'école  italienne. 

Mais  M.  de  Montessus  n  a  voulu  faire  qu  une  introduction  élémentaire;  il 
manie  d'abord  les  courbes  gauches  les  plus  simples,  cubiques  el  quartiques. 
Les  cubiques  gauches  sont  unicursales  el  ou  peut  aisément  les  considérer 
comme  situées  sur  des  cônes  du  second  degré,  d'où  une  foule  d'analogies 
avec  les  coniques.  La  perspective  plane  de  la  cubique  est  une  unicursale  du 
troisième  ordre,  d'où  des  propriétés  d  osculation  qui  correspondent  aux 
propriétés  inflexionnelles  des  cubiques  planes.  Il  y  a  aussi  des  propriétés 
de  polarité  permettant  de  définir  des  tétraèdres  conjugués  par  rapport  à 
une  cubique  gauche. 

L'étude  générale  de  l'intersection  de  deux  quadriques,  S  el  T,  f|u'elle 
donne  une  cubique  ou  une  quarlique,  repose  sur  léquation  en  X  qui  ex- 
prime qu'une  quadrique  du  faisceau  S  -|-  AT  ■=.  0  est  un  cône.  Il  y  a  sept 
cas  à  distinguer,  dont  les  deux  der-niers  seuls,  coi-respondent  aux  cubiques, 
mais,  d'une  manière  générale,  l'examen  détaillé  de  cette  équation  en  À  cons- 
titue un  magnifique  exercice  d  algèbre. 

Les  quartiques  gauches  sont  de  première  espèce  quand  elles  sont  des 
intersections  de  quadriques,  de  seconde  espèce  dans  le  cas  contraire. 

Parmi  les  quartiques  de  première  espèce,  les  plus  simples  sont  unicur- 
sales, mais  les  autres  ne  sont  pas  moins  intéressantes  comme  se  prêtant  à 
une  élude  paramétrique  uniforme  de  par  l'emploi  des  fonctions  elliptiques; 
il  est  entendu  que.  c'est  un  résultat  bien  connu,  en  bloc,  mais  M.  de  Mon- 
tessus l'a  détaillé  avec  beaucoup  d  art  pour  montrer  élémentairement  que, 
de  même  que  l'étude  de  la  fonction  ^  de  Weierstrass  revient  à  létude 
d'une  cubique  plane,  l'élude  des  fonctions  sn,  en,  du  de  Jacobi  revient  à 
l'étude  d'une  quartique  gauche.  Et  l'analogie  se  poursuit  avec  la  géométrie 
de  la  quarli([ue,  avec,  par  exemple,  quatre  points  dans  un  menu-  plan,  les 
plans  bitangents,  leur  l'apport  auharmonique.  les  plans  osculateurs  ou  sur- 
osculaleurs,  les  polygones  gauches  inscrits  qui,  loi'squ'ils  se  ferment ,  géné- 
ralisent manifestement  les  théorèmes  de  Poncelet. 

Parmi  les  quartiques  de  première  espèce,  citons  les  ellipses,  hyperboles 
et  paraboles  logarithmiques,  i  ellipse  sphérique  et  plus  généralement  les 
cycliques,  iuler.>eclions  d'une  sphère  et  d'une  quadrique,  intimement  liées 
à  de  merveilleuses  surfaces  du  quatrième  ordre  :  les  cyclides. 

Les  quartiques  gauches  de  seconde  espèce  sont  des   courbes  unicursales. 

Un  court  chapitre  détermine  le  degré  minimum  de  la  surface  contenant 
la  courbe  gauche  la  plus  générale  de  degré  d  et  nous  reprenons  alors  les 
généralités  qui  préoccupèrent  tant  Cayley  et  Halphen. 

lies  formules  de  Cayley  sont,  pour  les  singularités  des  courbes  gauches, 
ce  que  sont  les  formules  de  Plûcker  pour  les  singularités  des  courbes  planes. 

Quant  à  l'étude  générale  de  ces  points  singuliers,  elle  s'appuie  sur  la 
représentation  de  la  courbe  au  moyen  des  surfaces  z/ [x ,  \\  ■=.  ij\x ,  \\  dont 
il  a  été  question  au  début,  c'est-à-diie  des  surfaces  monoïdes  de  Cayley. 

l]'est  ici  noiammeul  que  M.  de  .Moulessus  a  fail  une  exposition  fort  ori- 
ginale et  novatrice.  L  obtention  des  monoïdes  repose  sur  une  élimination 
dont  le  résultat  peut  dépendre  d'un  polynôme  arbitraire,  d'où  diverses 
formes  possibles  pour  la  surface  mono'ide.  F. a  question  d'algèbi"e  a  été  pré- 
cisée à  nouveau  par  un  théorème  élégant  el  t  lès  général  qui  appartient  à 
l'auteur. 


BIBLIOGRAPHIE  397 

Le  rédacteur  termine  par  une  courte  note  où  il  montre  que  certaines 
quarliques  unicursales  se  divisent  en  deux  sous-groupes  qui  s'accoraodent 
symétriquement  de  la  représentation  paramétrique,  l'un  par  les  fonctions 
circulaires,  l'autre  par  les  fonctions  hyperboliques. 

C'est  ici  l'occasion  d  attirer  l'attention  sur  ce  jeune  rédacteur  qui  montrait 
une  vive  intelligence  mathématique,  à  qui  l'on  avait  confié  la  classe  de  Ma- 
thématiques spéciales  du  Lycée  de  Montpellier  vers  le  début  de  1919  et  qui, 
hélas,  devait  mourir  peu  après.  Il  était  fils  du  professeur  bien  connu  attaché 
à  la  Faculté  des  Sciences  de  Nancy.  Le  fait  d'avoir  contribué  à  publier 
l'œuvre  si  remarquable  de  M.  de  Montessus  lui  assurera  au  moins  un  de  ces 
souvenirs  que  la  Science  accorde  aux  travailleurs  désintéressés. 

A.  BuHL  (Toulouse). 


Sir  J.-J.  Tho.mson.  —  La  théorie  atomique.   Traduction  de   Ch.  MouREu.  — 
1  petit  vol.  in-r2o  de  vi-58  p.,  4  fr.  80;  Gauthier-Villars,  Paris,  1919. 

Le  titre  de  ces  pages  passionnantes  aurait  pu  donner  à  penser,  il  y  a 
quelques  dizaines  d'années,  qu'elles  ne  s  adressaient  point  aux  mathémati- 
ciens. Il  en  est  tout  autrement  aujourd  hui.  II  s'agit  des  théories  relatives 
à  la  structure  corpusculaire  de  1  atome  et  l'on  sait  que  l'étude  de  la  dyna- 
mique de  tels  systèmes  corpusculaires  force  à  réexaminer  tous  les  principes 
de  la  mécanique  et  à  concevoir,  de  manière  nouvelle,  la  dynamique  ordi- 
naire. 

L'atome  apparaît  comme  un  système  planétaire  avec  des  électrons  satel- 
lites sur  lesquels  il  est  extrêmement  difficile  d'expérimenter  ;  pour  arracher 
ces  corpuscules  si  ténus  à  leurs  orbites,  il  faut,  en  général,  des  forces 
immenses.  Heureusement  on  peut  demander  ces  forces  aux  atomes  qui  se 
désagrègent  d  eux-mêmes  dans  les  substances  radio-actives,  aux  bombarde- 
ments cathodiques,...  bref  aux  agents  de  désagrégation  qui,  paraît-il, 
existent  daus  tous  les  milieux  et  qui.  convenablement  excités,  entraînent  à 
la  dissolution  les  congénères  du  caractère  le  plus  stable. 

Sir  J.-J.  Thomson  est  très  optimiste  quant  à  sa  manière  d  envisager 
l'avenir  dç  la  question.  Il  ne  nous  annonce  pas  encore  une  méthode  générale 
de  transformation  de  l'atome  qui  serait  la  transmutation  d'un  élément 
quelconque  en  un  autre.  Peut-être  finira-t-on  ainsi,  mais  il  n'est  pas  indiqué 
de  chercher  .î  commencer  par  là. 

Soyons  heureux,  pour  le  moment,  de  constater  que  nous  savons  déjà 
beaucoup  de  choses  sur  l'atome,  sur  ses  couches  les  plus  superficielles  et 
qu'il  est  fort  naturel  de  connaître  d  abord  celles-ci. 

Nous  connaissons  aussi  beaucoup  de  choses  sur  les  mouvements  corpus- 
culaires et,  merveille,  ceux-ci  ont  pu  être  rendus  visibles  dans  une  atmos- 
phère sursaturée  de  vapeur  d'eau,  car,  lorsque  des  électrons  se  produisent 
dans  une  telle  atmosphère,  l'eau  se  condense  exclusivement  sur  eux.  Et  l'on 
a  de  légers  semis  de  perles  qu'on  peut  étudier  à  loisir  I 

Comme  le  dit  M.  Charles  Moureu,  l'éniinent  traducteur,  on  ne  peut  lire 
quelques  lignes  sur  de  tels  sujets  sans  dévorer  le  volume  du  coup. 

Félicitons-nous  donc  de  cette  traduction  si  forcément  compréhensive  et 
exacte  de  par  la  personnalité  de  celui  qui  l'a  entreprise. 

Ajoutons  qu  un  problème  moral  a  été  poursuivi  parallèlement  à  l'œuvre 
de  propagande  scientifique.  Sir  J.-J.  Thomson  voulait  laisser  le  bénéfice 
matériel    produit    par    la    vente    de    l'œuvre,    à    la    Croix-Rouge    française, 

I.'F.nsoifîiicment  mathéiii.,  20"  anni-e  :  19ts  -  26 


398  KV  I.I.ETIN    fi  I  B  f.  I  O  C  R  A  P  H I  Q  U  E 

M.  Charles  Moiireu  voulait  l'offrir  à  la  Croix-Rouge  anglaise;  on  ne  put 
jamais  s'entendre  jusqu';iu  moment  où  l'on  convint  subitement,  de  part  et 
d'autre,  que  ces  bénrfices  iraient  à  la  Croix-Rouge  belge. 

Notre  Revue,  justement  parce  qu'elle  est  placée  en  pays  neutre,  peut, 
plus  que  toute  autre,  faire  des  vœux  ardents  pour  que  le  profil  en  question 
soit  aussi  grand  que  possible.  A.  Blhl  (Toulouse). 


BULLETIN   BIBLIOGRAPHIQUE^ 


1.  Publications  périodiques  : 

American  Journal  of  Mathematics,  Volume  XL.  —  J.  Eiesland  :  Flat- 
Sphere  Geometry.  —  J.  Vital  De  Porte  :  Irrational  Involutions  on  Algebraic 
Curves.  —  J.  R.  Musselman  :  The  Set  of  Eight  Self-Associated  Points  in 
Space.  —  J.  K.  Whittemoke  :  Associate  Minimal  Surfaces.  —  F.  W.  Reed  : 
On  Intégral  Invariants.  —  H.  F.  Price  :  Fundamentals  Régions  for  Certain 
Finite  Groups  in  S.  —  R.  D.  Car.michael  :  On  the  Représentation  of  Func- 
tions  in  Séries  ofthe  Form  Sc^^g'l.r  -(-  n).  —  L.  P.  Eisenhart  :  Transforma- 
tion of  Planar  Nets.  —  O.  D.  Kellogg:  Orthogonal  Function  Sets  Arising 
from  Intégral  Equations.  —  Ch.  H.  Rawlins  :  Complète  Systems  of  Conco- 
mitants of  the  Three-Point  and  the  Four-Point  in  Elementary  Geometry.  — 
A.  L.  Miller  :  Systems  of  Pencils  of  Lines  in  Ordinary  Space.  —  T.  Dantzig  : 
Some  Contributions  to  the  Geometry  of  Plane  Transformations.  —  P.  Spehry  : 
Properties  of  a  Certain  Projectively  Detined  Two-Parameter  Family  of 
Curves  on  a  General  Surface.  —  O.  D.  Kellogg  :  Interpolation  Properties 
of  Orthogonal  Sets  of  Solutions  of  Differential  Equations.  —  H.  B.  Philii-ps  : 
Directed  Intégration.  —  Lkpi>e  Hall  Rice  :  P-way  Déterminants,  with  an 
Application  to  Transveclants.  —  W.  Hakold  Wilson  :  On  a  Certain  General 
Class  of  Functional  Equations.  —  R.  G.  D.  Richardson  :  Contributions  to 
the  Sludy  of  Oscillation  Properties  of  tiie  Solutions  of  Linear  DilTerential 
Equation  of  the  Second  Order.  —  A.  B.  Coble  :  Thêta  Modular  Groups 
Determined  by  Point  Sets.  —  W.  Van  N.  Garretso.n  :  On  the  Asymptotic 
Solution  of  the  Non-Homogeueous  Linear  DifTerential  Equation  of  the  «-th 
Order.  —  C.  C.  Bramble  :  A  CoUineation  Group  Isomorphic  with  the  Group 
of  the  Double  Tangents  ofthe  Plane  Qnartic.  —  A.  E.mch  :  Proof  of  Pohlke  s 
Theorem  and  ils  Generalizations  by  Atlinity.  —  D.  N.  Li  hmer  :  Arithmelical 
Theory  of  Certain  Hurwitzian  Conlinued  Fractions. 

American  Mathematical  Montly  (The),  Lancaster,  P.  A.  and  Urbana.  Ili. 
—  Volume  XXV.  —  E.  V.  IIuntington  ;  Bibliographical  Notes  on  the  use  of 
the  Word  «  Mass  »  in  current  Texl  Books.  —  D.  E.  S.mitii  and  J.  Ginsrurg: 
Rabbi  Ben  Ezra  and  the  Hindu-Arabic  Problem.  —  A.  Johnson  :  The'Theory 
of  similar  Figures.  —  W.  H.  Metzler  :  Note  on  a  certain  Class  of  Déter- 
minants. —  VV.  H.  Rœver  :  Descriptive  Geometry  and  ils  Merits  as  a  Col- 
légiale as  well  as  an   Engineering  Subject.    —    E.  B.    Stovffer  :    Geometry 


BULLETIN     RI  RI.IOGRAl'  mqUE  399 

for  Juniors  and  Seniors.  —  F.  Cajoki  :  Origiu  on  tlie  Name  «  Mathematical 
Induction  ».  —  N.  Altshiller  :  On  the  I-Centers  of  a  Triangle.  —  K.  P. 
Williams  :  IS'ole  on  conlinuous  Funclions.  —  E.  W.  Chittenden  :  Note  on 
Functions  which  Approach  a  Limit  at  every  Point  of  an  Intervai.  —  H.  N. 
\N'kight  :  The  Nine-Point  Circle  Obtained  by  Methods  of  Projective  Geo- 
metry.  —  G.  A.  Miller  :  Définition  of  the  Discriminant  of  a  rational  Inté- 
gral Function  of  one  Variable.  —  F.  Cajori  :  What  is  the  Origine  of  the 
Name  o  Rolle's  Curve  »?  —  E.  B.  Wilson  :  The  Matliematics  of  Aero- 
dynamics.  —  W.  H.  Bussey  :  Fermât  s  Method  of  Infinité  Descent.  — 
J.  Nyberg  :  The  Exponential  and  Logarithmic  Functions.  —  Th.  Muir  : 
Note  on  Lagrange  s  Like-Producing  Quadrinomial.  —  G.  A.  Miller  :  Ma- 
thematical Encyclopédie  Dictionary.  —  E.  L.  Dodd  :  Fundamentals  in  the 
Matheniatics  of  Investraent.  —  E.  J.  Mollton  :  The  Content  of  a  Second 
Course  in  Calculus.  —  G.  N.  Baler  and  H.  L.  Slobiin  :  A  System  of  Alge- 
braic  and  Transcendenlal  Equations.  —  H.  T.  Bukgess  :  Practical  Solution 
of  Linear  Equations. 

Bulletin  of  the  American  Mathematical  Society.  —  Volume  XXV,  1918- 
19,  N»*  1  à  5.  —  W.  B.  Ford  :  A  Conspectus  of  the  Modem  Theory  of 
Divergent  Séries.  —  G.  A.  Bliss  :  Solutions  of  Differenlial  Equations  as 
Funclions  of  the  Constants  of  Intégration.  —  R.  M.  \Vinger  :  Involulions 
on  the  Rational  Cubic.  —  J.  E.  Rowe  :  Related  Invariants  of  two  Rational 
Se.vtics.  —  E.  R.  Hedrick  :  In  Memoriam  :  Elleiy  William  Davis.  —  E.  W^. 
Chitten'de^  :  On  the  Heine-Borel  Property  in   the  Theory  of  Abstract   Sels. 

—  P.  J.  Daniell  :  Intégrais  around  General  Boundaries.  —  G.  A.  Miller  : 
Déterminant  Groups.  —  C.  L.  E.  Mooke  :  Translations  Surfaces  in  Hyper- 
space.  —  J.  H.  Weawer  :  Some  Algebraic  Curves.  —  M.  F.  Curtis  :  On  the 
Rectifiability  of  Twisted  Cubic.  —  R.  D.  Car.michael  :  General  Aspects  of 
the  Theory  of  Summable  Séries.  —  Tsuruichi  Hayashi  :  On  the  Problem  of 
the  Résistance  Intégral  —  R.  C.  Archibald  :  Note  on  Editions  of  von-Staudt's 
Géométrie  der  Lage.  —  H.  Hancock  :  On  the  Evaluation  of  the  Elliptic 
Transcendants  tj,  and  r/ .  —  A.  E.mch  :  On  Plane  Algebraic  Curves  with 
Given  Systeai  of  Foci.  —  D.  M.  Y.  So.m.merville  :  Quadratic  Systems  of 
Circles  in  Non-Euclidean  Geomelry.  —  R.  L.  Moore  :  Continuons  Sets  that 
have  no  Continuons  Sets  of  Condensation.  —  M.  B.  Porter  :  Derivatlivcless 
Conlinuous  Funclions.  —  G.  D.  Birkhoff  :  The  Scientific  Work  of  Maxime 
Bôcher.  —  W.  F.  Osgood  :  On  a  Theorem  of  Oscillation.  —  Mr.  H.  S.  Van- 
DivER  :  Proof  of  a  Property  of  the  Norm  of  a  Cyclolomic  Integer.  —  J.  K. 
\N'hitte.more  :  Trajectories  and  Fiat  Points  on  Ruied  Surfaces. 

Comptes  Rendus  de  l'Académie  des  Sciences  de  Paris,  —  2^  semestre 
1918.  —  jer  iuillet.  —  J.  A.NDRADK  :  Sur  une  famille  de  déplacements  et  sur 
une  généralisation  du  dièdre.  —  P.  Hu.mbert  :  Sur  deux  polynômes  associés 
aux  polynômes  de  l.egendre.  —  8  juillet.  —  A.  Bigoirdan  :  La  vie  et  les 
travaux  de  Ch  Wolf.  —  G  Hu.mbert  :  Sur  les  représentations  d'uu  entier 
par  des  formes  quadratiques  ternaires,  indéfinies.  —  16 juillet.  —  E.Vessiot  : 
Sur  les  développements  trigouométriques  de  la  mécanique  céleste.  — 
29  juillet.  —  G.  Hlmbert  :  Sur  les  formes  quadratiques  ternaires  indéfinies. 

—  19  août.  —  R.  de  .Montessls  de  Ballore  :  Sur  les  courbes  algébriques 
planes  ayant  des  points  multiples  communs.  —  'JO  août.  —  P.  Appell  :  Sur 
l'intégration  des  équations   différentielles  simultanées   que   vérifie    le   poly- 


400  RULLETJN   li  I  li  1. 1  O  G  R  A  P  H I Q  UE 

nome  U^^  ^^  d'Hermite.  —  M.  Pla^chekel  :  Sur  l'unicité  du  développement 
d'une  fonction  en  série  de  polynômes  de  Legendre.  —  2  septembre.  — 
E.  Cartan  :  Sur  les  variétés  à  trois  dimensions.  —  9  sept.  —  A.  Denjov  : 
Démonstration  de  la  propriété  fondamentale  des  courbes  de  M.  Jordan.  — 
16  sept.  —  Emile  Picard  :  Quelques  remarques  sur  la  décomposition  des 
facteurs  et  le  prolongement  des  fonctions  analytiques.  —  Paul  Appell  :  Sur 
des  équations  linéaires  simultanées  aux  dérivées  partielles  et  sur  des  cas  de 
réduction  des  fonctions  liypergéométriques  de  deux  variables.  —  E.  Caktan  : 
Sur  les  variétés  développables  à  trois  dimensions.  —  Pierre  Hlmbekt  :  Les 
fonctions  électrosphériques  sous  forme  de  déterminants.  —  2.5  sept.  — 
J.  ScoRZA  :  Sur  les  fonctions  abéliennes  à  trois  variables  indépendantes.  — 
E.  Cartan  :  Sur  les  variétés  de  Beltrami  à  trois  dimensions.  —  P.  Appell  : 
Sur  une  équation  différentielle  ordinaire  liée  à  certains  systèmes  d'équations 
linéaires  et  homogènes  aux  dérivées  partielles.  —  7  octobre.  —  J.  Kampe  de 
Feriet  :  Sur  les  systèmes  d'équations  aux  dérivées  partielles  vérifiées  par 
les  polynômes  hypersphériques.  —  P.  Humbert  :  Sur  les  équations  aux  déri- 
vées partielles  vérifiées  par  les  polynômes  d'Hermite,  déduits  d'une  expo- 
nentielle. —  i4  oct.  —  E.  GouRSAT  :  Sur  le  problème  de  Backlund.  — 
E.  Cartan  :  Sur  les  variétés  de  Riemann  à  trois  dimensions.  —  21  oct.  — 
P.  Appell  :  Addition  à  la  note  :  «  Sur  une  équation  difTérenlielle  ordinaire 
liée  à  certains  systèmes  linéaires  et  homogènes  aux  dérivées  partielles  m.  — 
28  oct.  —  G.  GiRAUD  :  Sur  le  rattachement  à  la  théorie  des  fonctions  hyper- 
abéliennes  d'une  certaine  équation  aux  dérivées  partielles  du  second  ordre, 
avec  généralisation  à  un  nombre  quelconque  de  variables.  —  A.  Angelesco  : 
Sur  l'approximation  simultanée  de  plusieurs  intégrales  définies.  —  Riquier  : 
Sur  une  propriété  des  fonctions  analytiques  d'un  nombre  quelconque  de 
variables  imaginaires.  —  k  novembre.  —  E.  Gau  :  Sur  les  caractéristiques 
des  équations  aux  dérivées  partielles  du  second  ordre.  —  18  nov.  —  J.  Drach  : 
Sur  les  groupes  complexes  de  rationalité  et  sur  l'intégration  par  quadra- 
tures. —  T.  Lalesco  :  Sur  les  fonctions  polygonales  périodiques.  — 
R.  Garniek  :  Solution  élémentaire  du  problème  de  l'inversion  des  fonctions 
elliptiques.  —  R.  Goormaghtigh  :  Généralisation  des  théorèmes  de  Jamet 
sur  la  courbure  des  courbes  triangulaires,  des  courbes  et  des  surfaces 
tétraédrales  symétriques.  —  25  nov.  —  M.  Petrovitch  :  Détermination 
spectrale  des  fonctions.  —  P.  Humbert  :  Sur  les  surfaces  de  Poincaré 
d'ordre  6.  —  9  décembre.  —  J.  Drach  :  Intégration  d'une  équation  aux  déri- 
vées partielles  de  la  dynamique  des  fluides.  —  A.  Buhl  :  Sur  l'extension 
aux  intégrales  multiples,  du  théorème  concernant  l'échange  de  l'amplitude 
et  des  paramètres  dans  les  intégrales  hyperelliptiques.  —  A.  La.mbert  :  Sur 
certains  polynômes  se  rattachant  aux  coefficients  de  Laplace.  —  Q3  déc.  — 
C.  GuicHARD  :  Sur  une  série  de  surfaces  à  courbure  totale  constante  telles 
que  leurs  lignes  de  courbure  forment  un  réseau  du  type  ^A'  —  çB'.  — 
P.  Fatou  :  Sur  les  suites  de  fonctions  analytiques.  —  G.  Julia  :  Sur  les  sur- 
faces définies  par  une  propriété  cinématique.  —  30  déc.  —  E.  Vessiot  :  Sur 
un  invariant  intégral  de  l'hydrodynannque  et  son  application  à  la  tiiéorie 
de  la  relativité  généi'ale. 

Jahresbericht  derDeutschen  Mathematiker-Vereinigung.  27.  Band,  1918. 
L.  Heffter  :  Analyse  und  Synthèse  in  der  Géométrie.  —  E.  Kruppa  :  Ver- 
allgemeinerungen  des  Pohlkeschen  Satzes.  —  J.  v.  Sz.  Nag\  :  Ueber  alge- 
braische  Gleichungen  mit  lauter  reellon  NN'ur/.cln.  —  Id.  ;  l'ebcr  geometrische 


BULLETIN    BIBLIOGRAPHIQUE  401 

Relalionen  zwischea  den  Wurzeln  einer  algebraischen  Gleichung  uud  ihrer 
Derivierten.  —  J.  Horn  :  Ueber  nichtiineare  Integralglei(diiingen  von  Yolter- 
raschenTypus.  — G.  Kow\tEwsKi  :  Ein  funktionentheoietischer  Satz  Jacobis. 

—  A.  HuRwiTZ  :  Zu  Grassrnaniis  Note  :  «  Lôsung  der  Gleichung  x* -|-1* -|-  s' 
-[-«^  =  0  in  ganzen  Zahlen».  —  Fr.  IVÎeyer  :  Ein  grundlegender  Satz  von 
Poncelet  iiber  die  Brennpunkte  von  Kegelschnitten  und  seine  Ausdehnung 
auf  kubische  Rauinkurven.  —  R.  v.  Mises  :  Ueber  Kiirven  gieichniassigster 
Krûmmung.  —  L.  v.  Bortkiewicz  :  Dei"  mittlere  Fehler  des  zum  Quadrat 
erhobenen  Divergenzkoefllzienlen.  —  Robert  K()mg  :  Neue  Beilriige  zur 
Charakterisierung  dei"  Riemannschen  Transzendenten.  —  P.  Stackel  :  Grenz- 
ûbergange  in  der  Krûmmungslehre.  —  \V.  Blaschke  :  Mittclwerlsatze  der 
Potentialtheorie.  —  G.  Kowalewski  :  Bemerkiing  zu  nieinem  Aufsatz  iiber 
einen  funktionentheoretischen  Satz  Jacobis.  —  C.  Kostka  :  Delerminanteu 
und  symmelrische  Fuuktionen.  —  R.  Sturm  Ausgezeiclinete  Elemente 
projektiver  Gebilde.  die  ineinander  liegen,  und  Folgeruugcn  fur  die  Homo- 
logien.  —  Id.  :  Herstellung  von  Polaren.  —  M.  Pasch  :  Die  Mehrdeuligkeit 
von  Integraleii.  —  Id.  :  Ueber  die  Bedingung  der  Integrierbarkeil.  — 
L.  V.  ScHRCTKA  :  Ueber  die  Anordniing  von  vier  Punkten  einer  Geraden.  — 
H.  Hahx  :  Ueber  die  Vertanschbarkeit  der  DifTerentiationstolge.  —  A.  Loewy  : 
Inwieweit  kann  Vandernionde  als  Vorganger  von  Gauss  beziiglich  der  alge- 
braischen AuFlôsung  der  Kreisteiluugsgleichungen  x"  =1  augesehen  werden? 

—  A.  Voss  :  Gaston  Darboux.  —  F.  Kleix  :  Festrede  zum  20.  Stiflungstage 
der  Gôttinger  Yereiniguug  zur  Fôrderung  der  Augewaudten  Physik  und 
Mathematik.  —  M.  Pasch  :  Die  Fôrderung  der  Entscheidbarkcit.  —  Id.  : 
Ueber  die  Erweilerung  des  Grenzbegrilfs.  —  VViihelm  Blaschke  :  Ueber 
Kurven  gieichniassigster  Kriiniinung.  —  R.  v.  Mises  :  Benierkungzu  ;  Ueber 
Kurven  gieichniassigster  Kriiminung.  —  Angelegenheilen  der  Deutschen 
Mathematiker-Vereinigung.  —  Mitteilungen  und  Nachrichlen.  —  Litera- 
risches. 

Mathematics  Teacher  (The).  Published  Quarterly  by  the  Association  of 
Teachers  of  Mathematics  in  ihe  middle  States  and  Maryland.  Editor  :  W.  H. 
Metzler,  Syracuse  University,  Syracuse,  N.  Y.  —  Yolnme  X  :  Editorial.  — 
E.  C  MooRE  ;  Does  the  Study  of  Mathematics  Train  ihe  Miud  Specilically  or 
Universally  ?  —  Percey  F.  S.mith  :  Collégiale  Mathematics  in  Relation  to  the 
Changed  Proposed  in  the  Secondary  School  Course.  —  Elizabeth  B.  Cowley  : 
Comprehensive  Ex:iminations.  —  J.  Malc.olm  Bird  :  The  Mathematics  of 
Warfare.  —  W.  Betz  :  The  Teaching  of  Mathematics  in  the  Junior  High- 
School.  —  C.  B.  \Yalsh  :  A  Tentative  Program  of  Junior  High-School  Mathe- 
matics. —  H.  E.  VVebb  :  Conditions  \Yhich  Hâve  Led  lo  the  Establishment 
of  Junior  High-Schools.  —  L.  Northwood  :  Junior  High-School  Mathematics 
im  Trenton.  —  E.  G.  White  :  A  Connection  Between  Algebra  and  Life. 
Suggestions  by  the  Commissioner  of  Education.  —  J.  H.  Shipley  :  How  Can 
We  Minimize  the  Effect  of  Examinations  on  Secondary  Education  ?  —  R.  E. 
Bruce  :  Graphs  of  Explicit  Functions.  Are  Your  Teaciiers  Aids  or  Hindrances 
to  School  Progress  ?  —  Robert  R.  Goff  :  An  Outline  of  Plane  Gcometry  as 
Used  in  the  Durfee  High-School.  —  G  G.  Chambers  :  Some  Applications  of 
Mathematics  to  Educationa!  Statistics.  —  W.  Wiener  :  The  Place  of  Arith- 
melic  in  the  High-School  (^urriculum.  —  D.  E.  S.mith  :  Vocational  Courses 
in  Mathematics  for  Secondary  Schools.  —  \Y.  H.  Dooley  ;  Practical  Mathe- 
matics for  High  Schools.  —  E.  F.  Johnso.n  :   Is  the  Présent  Eutraïue  Requi- 


402  BULLETIN    hlHHOGRAPHIQUE 

reineul  in  Algcbra  Excessive  in  Amount  ?  Does  il  Expecl  loo  Greal  Malurily 
of  the  Sludent  ?  —  D.  C.  McMurtkie:  The  Duty  of  the  Employer  in  ihe  Re- 
construcliou  of  the  Ciippled  Soldier.  —  L.  M.  Webstek  :  Malhematics  o» 
Financial  Problems. 

Nouvelles  Annales  de  Mathématiques.  Quatrième  série,  tome  XVIII. 
1918.  —  (i.  Ko.NTENÉ  :  Nouvelles  identités.  —  R.  Alezais  :  Sur  le  système 
de  n  équations  du  second  degré.  —  Aurh:  :  Contribution  à  la  résolution 
géométrique  de  1  équation  du  troisième  degré.  —  G.  Fo.ntené  :  Conditions 
de  fermeture  d  une  suite  de  cercles.  —  Id.  :  Sur  les  cercles  de  Pappus. 
Formule  de  Pappus,  Formule  de  Schubert  généralisée.  —  P.  B.  Pomey  : 
Intégration  de  l'équation  différentielle  linéaire  à  coefficients  constants.  — 
L.  G.  Du  Pasquier  :  Sur  les  nombres  complexes  de  deuxième  et  de  troisième 
espèce. — E.  Jablonski  :  Sur  la  distribution  des  nombres  premiers  absolus. 

—  E.  TuRRiÈRE  :  Au  sujet  d'un  article  de  M.  A.  Gérardin.  —  T.  Hayashi  : 
Le  produit  de  cinq  nombres  entiers  consécutifs  n'est  pas  le  carré  d'un 
nombre  entier.  —  E.  Maillet  :  Sur  une  catégorie  d'équations  indéterminées 
n'ayant  en  nombres  entiers  qu'un  nombre  Hui  de  solutions.  —  J.  Bouchaky  t 
Analogies  entre  le  triangle  et  le  quadrilatère.  —  R.  Goormaghtigh  :  Sur 
rortho|)ôie  et  certains  limaçons  de  Pascal  associés  au  triangle.  —  Id.  :  Sur 
deux  points  d  un  triangle  et  sur  une  généralisation  des  points  de  Brocard.  — 
Y.  Thebault  :  Deux  théorèmes  de  MM.  Lemoyne  et  Fonlené  sur  l'orthopôle. 

—  Id.  :  Noie  sur  les  triangles  isologiqnes.  —  N.  Agro.nomof  :  Extension 
d'un  théorème  de  M.  S  Oùe.  —  F.  Balitrand  :  Sur  la  condition  pour  que  les 
tangentes  aux  pieds  des  normales  issues  d'un  point  à  une  ellipse  touchent 
un  cercle.  —  J.  Le.maire  :  Démonstration  géométrique  dune  propriété  des 
coniques.  —  J.  Bolchary  :  Sur  les  cercles  bilangents  à  la  parabole.  — 
P.  Appell  :  Groupes  de  points  sur  Ihyperbole  équilatère  ;  exercice  proposé. 

—  R.  Goormaghtigh  :  Sur  un  problème  concernant  des  groupes  de  points 
sur  l'hyperbole  équilatère.  —  M.  Weill  :  Propriétés  des  coniques  et  des 
quadriqiies.  —  R.  GooRiMaghtigh  :  Sur  les  faisceaux  de  coniques.  — 
R.  Bricard  :   Sur  une   propriété   caractéristique   des  coniques   homofocales. 

—  Id.  :  Sur  les  systèmes  linéaires  tangentiels  de  coniques.  —  H.  Lebe.sgue  : 
Sur  deux  théorèmes  de  Maiinheim  et  de  M.  R.  Bricard  concernant  les 
lignes  de  courbure  el  le^  lignes  géodésiques  des  qnadriques.  —  R.  Bou- 
vAiST  :  Sur  les  courbes  algébriques  planes.  —  C.  H.  Sisam  :  Sur  l'ordie 
des  surfaces  engendrées  par  courbes  d  un  ordre  donné.  —  M.  Weill  : 
Théorèmes  généraux  sur  des  systèmes  de  courbes  el  de  points.  —  R.  Goor- 
maghtigh :  Sur  les  troisième  et  (|uatrième  centres  de  courbure  des  courbes 
de  Cesaro.  —  J.  Juiiel-Re.noy  :  Sur  les  foyers  des  courbes  planes.  — 
P.  Appell  :  Sur  les  foyers  rationnels  d'une  courbe  algébrique  plane  ou 
gauche.  —  J.  Le.maire  :  Sur  l'hypocycloïde  à  trois  rebroussemenls.  — 
F.  Balitrakd  :  Note  sur  les  cubiques  circulaires.  —  A.  Myli.er  :  Surfaces 
parallèles  aux  surfaces  cyclides.  —  R.  Bouvaist  :  Note  de  géométrie 
inlinilésimale.  —  M.  Weill  :  Quelques  applications  géométriques  de  la 
théorie  des  inliniinent  petits.  —  R.  Bouvaist  :  Sur  deux  propositions  de 
Ribaucour  (questions  858,  859).  —  R.  Goor.maghtich  :  Sur  raflînilé  imagi- 
naire. —  F.  Balitrand  :  Relations  entre  les  rayons  de  courbure  de  deux 
courbes  affines.  —  J.  Arnovlievitch  :  Sur  les  théorèmes  des  projections  et 
des  moments  des  quantités  de  mouvement.  —  Questions  d'examens  et  de 
concours.  —  Correspondance.  —  Nécrologie.  —  Bibliographie.  —  Questions 
proposées.  —  Solutions  de  questions  proposées. 


RULLETIIS     BI H  LIOGRAP  H  [QUE  403 

La  Revue  de  l'enseignement  des  sciences,  12''  année.  Janvier-Oriobre  1918. 

—  H.  [-KBF.sGUE  :  Sui-  iiiio  question  de  niiniiiium.  —  N.  B.  :  Sur  le  tronc  de 
pyramide  triangulaire.  —  G.  Fomrné  :  Sur  un  problème  de  la  division  des 
arcs  par  2.  —  C.  Lapointe  :  Ligne  des  points  doubles  de  la  projecliou  de 
1  intersection  de  deux  quadri(|ues.  —  M.  Juuel-Renot  :  Sui*  les  polyèdres 
réguliers.  —  R.  Massard  :  Des  différents  systèmes  de  numération.  Pro- 
priétés des  nombres  dans  ces  divers  systèmes.  —  B.  Niewekglowski  :  Note 
sur  la  géométrie  du  compas.  —  G.  Fontené  :  Questions  de  langage.  — 
M.  D'ocAGXE  :  Sur  les  éléments  fondamentaux  de  la  géométrie  descriptive. — 
J.  Lemaire  :  Sur  le  mouvement  d  une  droite.  —  Ch.  Michel  :  Sur  les  séries 
de  Bertrand.  —  J.  Juhel-Re.\oy  Sur  la  projection  d  un  vecteur.  — 
B.  NiEWEKGLOwsKi  :  Classement  des  racines  de  deux  équations  du  second 
degré.  —  Ch.  Meinrath  :  Une  nouvelle  identité  générale.  —  A.  Decerf  : 
L'épreuve  écrite  de  mathématiques  à  la  première  partie  du  baccalauréat.  — 
J.  Juhel-Renoy  :  Sur  la  géométrie  descriptive.  —  J.  Lemaire  :  Projection 
orthogonale  d'un  cercle.  —  F.  Meyer  :  Sur  une  transformation  de  contact. 

—  R.  Bérakd  :  Sur  la  construction  du  centre  de  coui'bure  de  certaines 
courbes.  —   C    A.  Laisant  :  Fractions  arithmétiques  et  triangles  héroniens. 

—  J.  Lemaire  :  Sur  le  mouvement  des  aiguilles  d'une  montre.  —  Ch.  Michel  : 
Sur  la  fonction  e^ .  —  J.  Jlhel-Renot  :  Composition  des  vecteurs  parallèles. — 
G.  Bolligand  :  Le  cas  singulier  des  fonctions  implicites  et  les  enveloppes 
dans  le  plan.  —  Ch.  Bioche  :  Sur  le  dessin  géométrique.  —  G.  Lapoi.nte  : 
Sur  le  deuxième  principe  fondamental  de  la  méthode  infinitésimale.  — 
Ch.  Michhl  :  Notes  de  géométrie  analytique. 

Zeitschrift  fur  Mathematischen  und  Naturwissenschaftlichen  Unterricht 

aller  Schulgattungen,  49.  Jahrgang.  —  C.  Andriks.skn  ;  Der  Taylorsche 
Lehrsatz  im  Unterricht.  —  VV.  Bruiner  :  Zum  Nachweis  der  ZentrifugaK- 
kraft  der  Erddrehuug.  —  \V.  Dieck  :  Die  Entwicklung  des  Satzes  vom  voU- 
standigen  Vierseit  und  Viereck  zu  einem  Grundpfeiler  des  natùrlichen  Sys- 
tems der  Géométrie.  —  K.  Dof.hle.man.n  :  Nochmals  die  Hessesche  Normal- 
form.  —  H.  DôRRiE  :  Eine  Erganzung  der  Archirjedischen  Kreismessung. — 
VV.  FiNKE  :  Ueber  Rechenmaschiuen  und  Rechenunterricht  (Ein  Beitrag  zu 
«iner  Reform  der  Methodik  und  Schematik  auf  kinematischer  Grundiage). — 
E.  Haentzschei.  :  Bemerkungen  zu  den  vorstehenden  Zusiitzen  des  Herrn  E. 
Lampe  (siehe  Lampe).  —  Id.  :  Das  Bilden  von  kubisciien  Gleichungen  mit 
vorgeschriebenen  Eigenschaften.  —  C.  Ibrugger  :  Ueber  den  Zusamnicnhang 
der  Heronischen  Inhaltsformel  mil  einigen  Gleiciiungen  der   Kegcischnilte. 

—  O.  Knopf  :  Das  «  Petersburger  Problem  »  der  Wahischeinlichkeitsrech- 
nung.  —  K.  Kom.merell  :  Elementargeometrische  Behandiung  der  Dupinschen 
Zykiide.  —  E.  Lampe  :  Ergaiizende  Zusalze  zu  der  Arbeit  von  Herrn 
Haentzschel  «  Eine  von  Newton  gestellte  Aufgabe  ùber  Sehnenvierecke  ».  — 
R.  Loh.nstein  :  Die  Siebenzehn-Teilung  des  Kreises  in  elementargeome- 
trischer  Herleitung.  —  \V.  Lorey  :  Ueber  isoperimetrische  Problème  in  der 
Schule  und  in  der  Forschung.  —  P.  Llckey  Schulnomogramme.  — 
R.  Meh.mke  :  Ueber  Kriimmungen  verschiedener  Ordnung.  —  H.  Pfaif  : 
Ueber  harmonische  Kegelschnilte.  —  F.  Redl  :  Eine  fur  Ellipse  und  Hyper- 
bel  gleichlautende  Achsenkonstruktion.  —  C.  Schoy  :  Elementare  Théorie 
der  ebenen  Sonncnuhren  uebst  einigen  speziellen  Bemerkungen  zur  Gnonio- 
nik  der  Araber.  —  H.  Schi. mâcher  :  Vermessungskunde  im  Trigonometrie- 
«interricht.  —  E.  Staiger   geb.  Ki.ei.n   :   Ueber    die  Aiiwendung  beweglicher 


404  BULLETIN    BIBLIOGRAPHIQUE 

Figuren  im  geomelrisclien  Unterricht.  —  R.  Sturm  :  Ueber  die  Flachen- 
winkel  einer  dreiseitigen  Ecke.  —  W.  Weber  :  Zur  sleligen  Teilung  und 
zum  Fûnfeck.  —  H.  VVieleitner  :  Die  Aiifange  der  analytischcu  Raum- 
geomelrie.  —  A.  \A'itti.\g  :  Zur  Ortsbestimmung  eines  Fesselballons.  — 
K.  WoLLETZ  :  Berechnung  der  Einmal-Pramie  fur  eine  «  unterjahrige  »  Leib- 
rente.  —  H.  Wolff  :  Ueber  eiae  algebraische  Behandlungsweise  des  regu- 
laren  Siebzehnecks. 


S.  Livres  nouveaux  :  • 

w.  Ahrens.  —  Mathematische  Spiele.  (Aus  IS'atur  und  Geisteswclt).  — 
1  vol.  in-16,  cari..  121  p.;   1  M.  60,  B.-G.  Teubner,  Leipzig. 

G.  Bounr.AND.  —  Cours  de  Géométrie  analytique.  —  1  vol.  in-8",  421  p.  ; 
10  fr.  ;   Vuibert,  Paris. 

C.  BuRALi-FoRTi.  —  Logica  Matematica.  (Manuali  Hœpli).  —  1  vol.  in-16, 
483  p.  ;  9  L.  50;  Hœpli,   Milan. 

M.  F.-C.  Clapier.  —  Sur  les  surfaces  minima  ou  élassoïdes.  (Thèse 
présentée  à  la  Faculté  des  Sciences  de  Paris.)  —  1  fasc.  in-4°,  62  p.  ;  Gau- 
thier-Villars  &  C'«,  Paris. 

K.  Dœhle.mann.  —  Grundzùge  der  Perspektive  nebst  Anwendungen.  (Aus 
Natur  und  Geisteswelt).  —  1  vol.  in-16,  cart.,  105  p.;  1  M.  60;  B.-G. 
Teubner,  Leipzig. 

De  Calembirt.  —  Nouvelles  méthodes  de  résolution  des  Equations  du 

3^  degré.  (Compléments  d'Algèbre).  —  1  vol.  p.  in-8°,  22  p.  :  Vuibert,  Paris. 

G.  Karpinski.  —  Four-Place  Logarithmic  and  Trigonométrie  Tables, 
together  vvith  Interest  Tables.  —  1  fasc.  in-16,  30  p.  ;  30  cent.  ;  G.  Wahr, 
Ann  Arbor,  Michigan. 

E.  LoiFLER.  —  Ziffern  und  Ziffernsysteme.  L  Teil  :  Die  Zahlzeichen  der 
alten  Kulturviilker.  II.  Teil  :  Die  Zahlzeichen  iin  Mitlelalter  und  in  der 
Neuzeit.  —  2  vol.  in-16,  52  et  59  p.,  cart.;  1  M.  60  le  volume;  B.-G. 
Teubner,  Leipzig. 

O.  Mautz.  —  Zur  Basisbestimmung  der  Napierschen  und  Bûrgischen 
Logarithmen.  —  1  fasc  in-S»,  49  p.  ;  Kreis  &  Co.,  Bàle. 

Miciiel  Petrovitch.  —  Les  spectres  numériques,  avec  une  préface  de 
M.  Emile  Borel.  —  1  vol.  iu-S",    107  p.;  Gaulhier-Villars  6:  C'«,  Paris. 

A.  N.  Whitehead.  —  The  Principles  of  natural  Knowledge.  —  1  vol. 
in-8o,  XII-200  p.;  12  sh.  6;  Cambridge  Universily  Press.  C.  F.  Clay, 
Londres. 


ERRATA 


Tome  XX.  No  3.  P.  190,  2nie  ligne,  lire  :   un  rayon  double. 

P.  191,  5'n«  ligne,  omettre  (respectivement  A  et  A). 
No  4.  P.  308,  supprimer  la   notice   relative   à   AL   Zeutheu.    (Voir 
Chronique,  p.  ). 


SUR  L'ÉLIMINATION  ALGÉBRIQUE 
Ch.   RiQuiKH  iCaen). 


Le  présent  travail  a  pour  objet  la  recherche  des  conditions 
nécessaires  et  siifïisantes  pour  que  n  équations  algébriques, 
à  l'inconnue  r,  admettent  quelque  racine  commune  :  dans  la 
première  partie,  on  étudie  le  cas  fondamental  de  deux  formes 
algébriques  binaires,  et  on  rappelle  à  ce  sujet  la  méthode 
indiquée  par  Euler;  on  y  ramène  ensuite,  dans  la  deuxième 
partie,  le  cas  général,  en  exprimant  que  l'une  des  n  équa- 
tions données  présente  quelque  racine  commune  avec  toute 
combinaison  linéaire  des  équations  restantes. 


Première  Partie. 

Condition  pour  que  deux  formes  algébriques  binaires 
admettent  quelque  racine  commune. 

1.  —  On  donne  le  nom  de  forme  algébrique  à  un  polynôme 
entier  et  homogène  dépendant  d'un  nombre  quelconque  de 
variables;  le  cas  d'une  seule  variable,  n'étant  d'aucune 
utilité,    est   systématiquement    exclu,    et   la    forme  est   dite 

L'Enseignement  niathéni..  20'=     année;   1019.  27 


406  CH.    lilQUIER 

binaire,  ternaire,  quaternaire,  ...,  suivant  (iiTelle  dépend  de 
2,  3,  4,  ...  variables. 

L'adoption,  pour  les  équations  algébriques  entières  à  une 
inconnue,  de  l'écriture  homogène,  dont  nous  ferons  cons- 
tamment usage  dans  cette  première  partie,  repose  sur 
l'observation  suivante  : 

Nous  plaçant,  comme  l'exige  essentiellement  le  sujet  de 
notre  étude,  dans  le  monde  des  cjuantités  imaginaires,  consi- 
dérons tous  les  couples  de  valeurs  non  simultanénient  nulles 
(|u"il  est  possible  d'attribuer  aux  deux  indéterminées  x,  y  : 
ces  divers  couples  peuvent  manifestement  se  partager  (sans 
omission  ni  répétition)  en  une  infinité  de  groupes,  compre- 
nant chacun  une  infinité  de  couples,  et  tels  que  deux  couples 
(juelconques  pris  dans  un  même  groupe  forment  un  déter- 
minant nul,  tandis  que  deux  couples  respectivement  pris 
dans  deux  groupes  différents  forment  un  déterminant  diffé- 
rent de  zéro.  Dans  un  même  groupe,  l'expression  générale 
des  couples,  si  l'on  désigne  par  (.r',  y')  l'un  quelconque 
d'entre  eux  et  par  a  un  facteur  arbitraire  assujetti  à  la  seule 
restriction  de  n'être  pas  nul,  est  donnée  par  les  formules 

X  =  OLx'   ,         y  =  a  y'  ^   ; 

en  substituant  ces  valeurs  dans  une  forme  binaire  de  degré 
m,  F(.r,  3/),  on  a  la  relation 

F(ax',  a/)  =  a'"F(:r',/)   , 

en  sorte  que,  si  quelqu'un  des  couples  faisant  partie  du 
groupe  considéré  est  une  solution  de  l'équation  V [.t\,  y)  =  0, 
tous  les  autres  couples  du  même  groupe  jouissent  de  la 
même  propriété  :  le  groupe  dont  il  s'agit  est  alors  un  groupe- 
racine  de  l'équation  V [x ,  y)  =  0,  ou,  plus  simplement,  une 
racine  de  cette  équation,  ou  bien  encore  une  racine  de  la 
forme  binaire  F(.r,  y). 

Une  forme  de  degré  nul  se  réduit  à  une  simple  constante. 


'  Le  groupe  se  désigne  d'habitude,  abstraction  faite  du  faolour  arbitiairc  qui  figure  dans 
son  expression  générale,  par  l'un  quolcon(|uc  des  couples  .lont   il  se  compose. 


ÉI.IMiyATION   ALGÉBRIQUE  'i07 

Si  l'on  convient  de  ne  pas  considérer  comme  distinctes 
deux  formes  ne  différant  que  par  un  facteur  constant  non 
nul,  une  forme  binaire  de  degré  m  dont  les  coefficients  ne 
sont  pas  tous  nuls  est  déconiposahle,  et  d'une  seule  manière, 
en  un  produit  de  m  formes  binaires  du  premier  degré  dont 
aucune  n'a  ses  deux  coefficients  nuls  à  la  fois;  les  racines 
de  ces  dernières  fournissent  évidemment  celles  de  la  forme 
proposée. 

Etant  donnée  une  forme  binaire  F(x,  y],  on  dit  quelle 
admet  la  racine  {x\  y')  au  degré  p  de  multiplicité,  ou  bien 
encore  qu'elle  admet  p  fois  la  racine  [.r\  y').  lorsqu'elle  est 
algébriquement  divisible  par 


X  y 
x'y' 


sans  lêtre  par 


X  y 
r'  v' 


i/'+l 


Il  résulte  du  théorème  précédent  i\\\une  forme  binaire  de 
degré  m  dont  les  coefficients  ne  sont  pas  tous  nuls  admet  un 
nombre  limité  de  racines,  et  que  la  somme  des  degrés  de 
multiplicité  de  ces  racines  est  exactement  égale  «  m  ;  ce  qu'on 
exprime  souvent  en  disant  <:\\\elle  admet  exactement  m  raci- 
nes, distinctes  ou  non. 

En  conséquence,  si  une  forme  binaire  de  degré  m  admet 
plus  de  m  racines  distinctes,  elle  a  nécessairement  tous  ses 
coefficients  nuls. 

Lorsqu'une  forme  binaire  prentl  la  valeur  zéro  pour  toutes 
valeurs  attribuées  à  ses  deux  variables  .r,  y,  on  dit  c|u'elle 
est  identiquement  nulle.  Cela  étant  : 

1°  Pour  qu'une  forme  binaire  soit  identiquement  nulle,  il 
faut  et  il  suffit  que  ses  coefficients  soient  tous  nuls. 

La  condition  posée  est  évidemment  suHisante,  et  sa  néces- 
sité résulte  de  la  remarque  formulée  en  dernier  lieu. 

2°  Pour  qu'un  produit  déformes  binaires  soit  identiquement 
nul,  il  faut  et  il  suffit  (pie  quelqu'un  des  facteurs  le  soit. 

La  condition  posée,  évidemment  sullisante,  est  d'ailleurs 
nécessaire. 

En  cfTet,  si  le  produit  est  identi(|uenient  nid,  il  s'annule 
pour  une   infinité   de    couples  de   valeurs  de   x,  y  formant 


408  en.   lilQllIin 

deux  à  deux  des  déterininanls  différents  île  zéro,  d'où  résulte, 
puisfjue  le  nombre  des  facteurs  est  limité,  (jue  quelqu'un 
d'entre  eux  jouit  de  la  même  propriété  :  le  facteur  en  ques- 
tion, admettant,  d'après  cela,  plus  de  ra('ines  distinctes  qu'il 
n'y  a  d'unités  dans  son  degré,  ne  peut  manquer  d'avoir  tous 
ses  coeffi(rients  nuls,  et.  par  suite,  d'être  identiquement  nul. 

Nous  terminerons  ce  bref  rappel  de  propriétés  connues 
par  l'observation  suivante  : 

Lorsqu'une  forme  binaire  de  degré  m  a  tousses  coellicients 
nuls,  elle  est  algébrif|uement  divisible  par  une  puissance 
aussi  élevée  qu'on  le  voudra  de  toute  forme  binaire  du  pre- 
mier degré  n'ayant  pas  ses  deux  coefficients  nuls  à  la  lois; 
on  peut  donc  dire,  en  pareil  cas,  qu'elle  admet  telle  racine 
que  l'on  voudra  à  un  degré  de  multiplicité  infini,  ou  bien 
encore  cruelle  admet  une  infinité  de  fois  telle  racine  que  l'on 
voudra. 

2.  —   Soient 

A(.r,  ri  =  A„,r«  +  A,x«-\v  +  h^x^-'f-  +  ...  +  A„_,.rv«-'  +  A^ /  .  i 

(1) 
B  {x.  y]  =  B^.r"  +  B,  .r*"'  r  +  B,  x*""  v-  +  ...  +  B^_j  .*/-'  +  B^  v*  .  S 

deux  formes  binaires,  dont  les  degrés  respectifs,  «,  Z>,  sont 
tous  deux  supérieurs  à  zéro,  et  dont  aucune  n'est  identique- 
ment nulle  :  on  observera  que,  dans  les  notations  adoptées 
pour  ces  formes,  l'indice  dont  se  trouve  affecté  le  coefficient 
de  chaque  terme  est  égal  à  l'exposant  de  la  variable  y  dans 
le  terme  considéré;  cette  convention,  à  laquelle  nous  nous 
(conformerons  constamment  dans  l'exposé  de  la  première 
partie,  permet  de  formuler  commodément  une  importante 
propriété  qui  sera  établie  plus  loin  (N"  4), 

Proposons-nous  actuellement  de  déterminer  deux  formes 
inconnues,  de  degrés  respectifs  a  —  l,  b  —  1, 

F^  (.r  .  V)  =  a„.r«-'  +  «.  .»"--.v  +  ...  +  a„_,  v»"'   .  ) 
F3|.r.  V,  =  3,,/-'  +  ^y-'y  +  ...  +  ^,_,  v''-'   ,  ) 

par  la  double  condition  de  n'être  pas  toutes  deu.v  identique- 


E  1. 1 M I  y.  iTIO  N   A  L  r.  K  H  H I O  UE  409 

ment  nulles,  et  de  rendre  identiquement  nulle  la  forme 
composée 

A  (x ,  r)  F3  u  ,  v)  +  B(x,  y)  F^  {x  ,  y)   ,  (3) 

de  degré  a  -\-  b  —  1. 

Gela  étant,  pour  que  les  formes  (1)  admettent  quelque  racine 
commune,  il  faut  et  il  suffit  que  le  problème  posé  sur  l'expres- 
sion (3)  soit  possible. 

I.  La  condition  posée  est  nécessaire. 

Effectivement,  si  les  formes  1)  admettent  quelque  facteur 
linéaire    commun,   elles   satisfont  aux  identités 

AU,  j)  =  (H,.r  +  H,  vlQj^r,  ,r)   , 
B(.r,  r)  =  (H„.r  +  H.v)Q„(x.  ri   , 

oîi  Ho,  H,  désignent  deux  constantes  non  à  la  l'ois  nulles, 
et  Qa(.«7.  y)>  Qb(ï-,  y)  deux  formes  de  degrés  respectifs 
a  —  1,  b  —  1,  dont  aucune  n'est  identiquement  nulle.  L'iden- 
tité (|u'il  s'agit  de  vérifier  prend  donc  la  forme 

(H,.r  +  H,.v|Q^(.r,  r)F„(.r,  r|  +  (H„x  +  H,.v|Q„(.r,  y\\\{x ,  y)  =  0   , 
et  l'on  y  satisfera  évidemment  en  prenant 

F^  ix ,  y]  =  g^  (x .  j)    .  F^  (.r  .  y)  =  —Q^ix,  y)   . 

II.  La  condition  posée  est  suffisante. 

Tout  d'aboril,  au(?une  des  deux  formes  (2),  non  à  la  fois 
identiquement  nulles,  qui,  en  raison  de  la  possibilité  sup- 
posée du  problème,  rendent  l'expression  (3)  identiquement 
nulle,  ne  peut,  si  on  l'envisage  séparément,  être  identique- 
ment nulle  :  car  si  Fa  (t",  3/).  par  exemple.  Tétait,  le  [)roduit 
A(.r,  3/)FB(i^,  y)  le  serait  aussi,  et  par  suite  (N"  l),  puisque 
A(.r,  y)  ne  l'est  pas,  Fit(.r,  y).   Cela  étant,  l'identité 

A(x,  jlFglj-,  _vi  =  —  \Ux,  y)f-\{x,  y) 

montre  que  A  .r,  y)  divise  le  produit  lif.r,  y)FA(.^,  y  \  il  en 
résulte,  puisque  A(.r,  y)  est  d'un  degré  supérieur  à  FA(r,  y), 
qu'il  a  quelque  facteur  linéaire  commun  avec  B'.r,  y). 


410  (If.    RI  QUI  EU 

3.  —  En  écrivant  les  relations  auxquelles  doivent  satisfaire 
les  a  ■\-  b  coefficients  inconnus 

«0  •    «1 *a-l    • 

Po  •      l-"!   •     •  •  •     '      Vh—\ 

pour  que  l'expression  (3),  de  degré  a  ^  h —  1,  soit  iden- 
tiquement nulle,  on  est  conduit  à  poser,  entre  ces  a  -\-  b 
inconnues,  un  système,  2,  de  «  -j-  6  équations  linéaires  et 
homogènes.  Ainsi  qu'il  est  facile  de  le  constater,  le  déter- 
minant, d'ordre  a  -\-  b ^  qui  a  pour  éléments  les  coefficients 
de  ce  système  ne  contient,  dans  a  de  ses  colonnes,  que  des 
coefîicients  B  et  des  zéros,  et.  dans  les  b  colonnes  restantes, 
que  des  coefficients  A  et  des  zéros;  il  est  donc  homogène  et 
de  degré  a  par  rapport  aux  B,  homogène  et  de  degré  b  par 
rapport  aux  A,  et  par  suite,  si  Ton  suppose  «  >  0,  ^  >  0, 
homogène  et  de  degré  supérieur  à  zéro  par  rapport  aux 
coefficients  de  l'une  quelconque  des  deux  formes  (1)  :  on  lui 
a  donné  le  nom  de  résultant. 

Cela  étant,  et  en  supposant  qu'aucune  des  deux  formes  (1) 
ne  soit  de  degré  zéro,  il  faut  et  il  suffît,  pou/'  que  ces  deux 
formes  admettent  quelque  racine  conunune,  que  leur  résultant 
soit  nul. 

I.  Supposons  d'abord  qu'aucune  des  deux  formes  (1  ne 
soit  identiquement  nulle. 

Pour  qu'elles  admettent  quelf|ue  racine  commune,  il  est, 
en  pareil  cas,  nécessaire  et  suffisant  que  le  problème  posé 
plus  haut  (N"  2)  sur  l'expression  (3)  soit  possible,  c'est-à-dire 
que  le  système  2i  admette  quelque  solution  où  ses  inconnues 
ne  soient  pas  toutes  nulles  :  il  est  donc  nécessaire  et  sufîi- 
sant  que  le  résultant  des  deux  formes  (1)  soit  nul. 

II.  Affranchissons-nous  maintenant  de  toute  restriction 
relative  à  la  nullité  identique  éventuelle  des  formes  (1). 

Pour  qu'elles  admettent  quelque  racine  commune,  il  est 
évidemment  nécessaire  et  su  (lisant  : 

Ou  bien  que  l'une  au  moins  d'entre  elles  soit  identif|uc- 
ment  nulle  ; 

Ou  bien  que,  aucune  d'elles  ne  l'étant,  leur  résultant  soit 
nul. 


ÉLIMINATION   ALGÉRIUQUE  411 

Or,  ce  résultant,  élant,  d'après  une  observation  faite  au 
début,  homogène  et  de  degré  supérieur  à  zéro  tant  par  rap- 
port aux  A  que  par  rapport  aux  B,  ne  peut  manquer  de 
s'évanouir  si  quelqu'une  des  Ibrines  il'  est  identi(|uement 
nulle. 

La  condition  nécessaire  et  suffisante  pour  l'existence  de 
quelque  racine  commune  est  donc  bien  celle  que  formule 
notre  énoncé. 

4.  —  Le  résultant  des  deux  formes  (1),  homogène  et  de 
degré  b  par  rapport  aux  A,  homogène  et  de  degré  a  par 
rapport  aux  B,  jouit  en  outre,  par  rapport  à  l'ensemble  des 
coefficients  A  et  et  B,  d'une  intéressante  propriété  que  nous 
allons  établir  :  l'énoncé,  ci-après  formulé,  de  cette  propriété 
suppose  que  l'on  ait  adopté,  pour  l'écriture  des  deux  formes, 
la  convention  spécifiée  au  N°  2,  c'est-à-dire  que  l'indice  dont 
se  trouve  affecté  le  coefficient  de  chaque  terme  soit  égal  à 
l'exposant  de  la  variable  y  dans  le  terme  dont  il  s'agit. 

Considérons,  dans  le  développement  du  résultant,  un 
terme  quelconque 

63  X  a"o  a">  a"^  . . .  a;;»  X  b"o  b'i  b')  . . .  b;* 


("o  +  "i  +  U.  +  ...  +  u^  =  b  ,       *■„  +  ».,  4-  r,  4-  .  .  .  +  i- 


abstraction  y  étant  faite  du  facteur  numérique  'o,  nous  nom- 
merons poids  de  ce  terme  l'entier 

(0  .  «,  +  1 ..«,  +  2  .»,  +  ...  +  rt  .  «„)  +  lO  .  ,■„  +  1 .  ,.^  +  2  ..•.,  +  ...  +  A  .  r^)  . 

obtenu  en  effectuant,  pour  chacun  des  facteurs  A,  B  qui 
concourent  à  sa  formation,  le  produit  de  l'indice  par  l'expo- 
sant, et  ajoutant  ces  divers  produits. 

Gela  étant,  la  propriété  annoncée  consiste  en  ce  que  tous 
les  termes  du  résultant  ont  le  même  poids;  on  l'exprime  en 
disant  que  le  résultant  des  deux  formes  (1)  est  isobare  par 
rapport  à  l'ensemble  de  leurs  coefficients. 

I.  Le  système  2,  dont  la  considération  conduit  au  résultant 
des  deux  formes  (1),  s'obtient,  comme  nous  l'avons  vu  (N"  3), 


412  Cil.    RI  QUI  EH 

en  écrivant  que  l'expression  (3), 

A(.r,  r)F„(a-,  r)  +  B(.r ,  r)  F^(x,  j)   . 

est  identiquement  nulle.  Or,   le  développement  et  l'ordina- 
tion des  deux  produits 

K[x,r)V\[x,y]=  (A.x"  +  k^x^-'y  +  A^.r^-V  +  ... 


B{x,y)Vj^(x,  y)  =  {\\xb  +  B,.r*-'j  +  B^  .r*"  V  +  ... 

+  B,_j.r/-'  +  B,r*, 

X  («0»""'  +  *,-^"~-r  +  ...  +  a„_,r°~')   . 
de  degré  a  -]-  b  —  1,  donne  respectivement 

+  .r«+*-V(A,?,  +  A„?,  ) 

+  .,.a+*-3.r2(A,p„  +  A,[i,  +  A„p2  ) 


+  -'^'~'r"      (A„?o  +  A,_,?,  +  A„_,^,  +  . 


+  ./' 


*-2,.a+l 


A„        ?,   +A„_,?,   + 


a+é— 1 


Kh-x) 


et 


+  x''+"--y  (B,o<„+  B„a, 

+  x''+''-^=^(B,a,  +  B,a,  +  B„< 


Ba«,        +  B,,_,o(,  +  ... 


+  .r"-^''+' 


+  /+«-'  ( 


'/.^a-1' 


(4) 


ELIMINATION   ALGEBRIQUE  AÏS 

on  en    déduit  respectivement  les  deux   tableaux  de   coeffi- 
cients 

Ao  \ 

A,    A„ 
A„    A.    A 


2      "I      '0 


A„  A_,    .. 


(5) 


et 


B„    B,    B„ 


^b     ^b-l     ^b-2 
^b        ^b-i 


(6) 


OÙ  les  zéros  n'ont  pas  été  mis  en  évidence,  et  dont  la  simple 
juxtaposition  {l'un  à  droite,  Tautre  à  gauche)  donne  le  résul- 
tant. Chacun  des  tableaux  (5),  (6;  contient  a  -\-  b  lignes, 
puisque  les  produits  (4)  sont  de  degré  a  -{-  b  —  1  ;  le  pre- 
mier, celui  des  A,  contient  6  colonnes,  puisque  les  indéter- 
minées (3  sont  en  nombre  b;  le  second,  celui  des  B,  contient 
«colonnes,  puisque  les  indéterminées  «  sont  en  nombre  «. 
Si  Ton  considère  l'un  d'eux,  par  exemple  le  tableau  des  A, 
à  b  colonnes,  on  voit  immédiatement  que,  dans  une  colonne 
quelconque,  deux  éléments  A  ne  contiennent  entre  eux 
au(uin  zéro,  et  que,  lorsqu'on  parcourt  la  colonne  de  haut  en 
bas,  le  poids  ou  indice  de  ces  éléments  augmente  progressi- 
mement  de  1,  d'une  ligne  à  la  suivante  ;  puis,  de  même,  que, 
dans  une  ligne  quelcon(|ue,  deux  éléments  A  ne  contiennent 
entre  eux  aucun  zéro,  et  que,  lorsqu'on  parcourt  la  ligne  de 
gauche  à  droite,  le  poids  ou  indice  de  ces  éléments  décroît 


414  CH.    lUOl'IEH 

Tindice  des  éléments  A  aille  en  croissant,  au  lieu  de  décroître, 
quand  on  suit,  sur  une  ligne  quelconque,  le  sens  habituel  de 
l'écriture,  nous  conviendrons  désormais  de  renverser  Tordre 
des  colonnes  en  (*onservant  Tordre  des  lignes.  Nous  convien- 
drons en  outre,  ce  qui  ne  changera  évidemment  en  rien  les 
poids  respectifs  des  divers  termes  du  résultant,  d'afTecter 
chaque  zéro  d'un  indice  positif  ou  négatif  choisi  de  telle 
sorte  que,  dans  toute  colonne  parcourue  de  haut  en  bas  sans 
\  faire  abstraction  des  zéros,  Tindice  des  éléments  successifs 
augmente  progressivement  de  1,  d'une  ligne  à  la  suivante, 
et  que,  dans  toute  ligne  parcourue  de  gauche  à  droite  sans 
y  faire  non  plus  abstraction  des  zéros,  la  même  propriété  ait 
lieu,  d'une  colonne  à  la  suivante.  Ces  diverses  conventions 
étant  adoptées  et  appliquées,  si  Ton  remplace  ensuite  chaque 
élément  du  tableau  par  son  indice,  le  tableau  d'entiers  algé- 
briques qui  en  résulte, 


—  />  +  1 

-  />  +  2 

.  —  J 

0 

-h  +  2 

—  />  +  3 

0 

1 

—  /^  +  3 

—  />  +  4 

l 

2 

—  h  -\-  a 

+ 

1 

—  h  -f-  a 

+ 

2 

.  .   a  —  1 

a 

—  h  -\-  a 

+ 

2 

—  h  -\-  a 

+ 

3   . 

.  .   a 

«  +  1 

a  «  +  1  .  .  .   a  -\-  h  —  l    a  -{-  h  —  \    , 

présente  une  structure  telle,  que,  dans  toute  colonne  par- 
courue de  haut  en  bas,  comme  aussi  dans  toute  ligne 
paVcourue  de  gauche  à  droite,  les  entiers  croissent  progres- 
sivement de  1.  Et  il  va  sans  dire  que  si  aux  divers  éléments 
entiers  qui  le  constituent  on  ajoute,  comme  nous  allons  être 
conduit  à  le  faire,  un  même  entier  algébrique,  cette  pro- 
priété subsistera. 

Tout  ce  qui  vient  d'être  dit  au  sujet  du  tableau  des  A 
[tableau  (5)]  est  d'ailleurs  entièrement  applicable  au  tableau 
des  B  [tableau  (6)]. 

II.  Pour  faire  apparaître  la  nature  isobare  du  résultant, 
lecjuel  s'obtient,  comme   nous  l'avons  fait   observer,  par  la 


É  LIMITATION    ALGÉBRIQUE  415 

juxtaposition,  schémaliqiiement  figurée  ci-dessous,  des  deux 
tableaux  partiels  (5)  et  (6), 

a  colonnes  b  colonnes 


a  -\-  h  lignes 


Tableau 

Tiibloaii 

d'éléments  B 

d'éléments  A 

(et  de  zéros) 

(et  de  zéros  1 

(7) 


substituons  respectivement  aux  deux  tableaux  partiels  de  (7) 
ceux  que  forment  les  indices  de  leurs  éléments  :  nous  aurons 
ainsi  (I) 


—  «  -f-  1     —  rt  4-  2  .  .  .           0 
_rt  +  2    _rt  +  :j...          1 

—  hJ^\      _  A  4-  2  .  .  .           0 

h                    h-ir  \   .  .  .  l>  +  a—\ 

a                    rt  +  1  .  .  .  rt  +  />— 1 

(81 


En  augmentant  alors  de  b  unités  chacun  des  entiers  du 
tableau  partiel  de  droite  extrait  de  (8),  nous  aurons  le  nou- 
veau tableau 


—  rt  +  l     —  rt  +  2...  0 

—  rt-f2     — rt-j-3...  I 


/,  +  1  ...  h-\-a  —  \ 


/'  +  ! 


u  +  h   rt  -f  A  -f  1  .  .  .  a  -\-  ih  —  1 


416  CH.    RIQUIER 

progressivement  de  1,  d'une  colonne  à  la  suivante  :  afin  que 
ce  dernier,  dans  son  ensemble,  présente  la  structure  spé- 
ciale que  présentait  séparément  chacun  des  deux  tableaux 
partiels  de  (8),  c'est-à-dire  que,  dans  toute  colonne  parcourue 
de  haut  en  bas,  comme  aussi  dans  toute  ligne  parcourue  de 
gauche  à  droite,  les  entiers  augmentent  progressivement 
de  1.  Il  jouit  donc  manifestement  de  la  propriété  que  a  -\-  b 
de  ses  éléments,  arbitrairement  choisis  sous  la  seule  condi- 
tion d'appartenir  à  «  -f  è  lignes  distinctes  en  même  temps 
qu'à  a  -^  b  colonnes  distinctes,  ont  pour  somme 

[a  +   l>\[ —  rt  +  1| 
+  0  +  1  +  2  +  ...  +  (a  +  /.  —  1) 
+  0  -K   I   +  2  +  ...   +  l«  +  f;-l)    .        . 

OU 

{a  -\-  b]{—  a  +  W  +  \a  +  b]  (a  +  /,_!), 

ou  enfin 

h{a  -{-  b)    ; 

il  en  résulte  que,  dans  le  tableau  (8i,  la  somme  àe  a  -\-  b  élé- 
ments arbitrairement  choisis  sous  la  même  condition  a  pour 
valeur  b{a  -\-  b)  —  b^,  ou  ab.  En  conséquence,  dans  le  résul- 
tant (7),  le  poids  de  chacjue  terme  a  pour  valeur  ab  :  ce 
résultant  est  donc  bien,  comme  nous  voulions  l'établir,  iso- 
bare par  rapport  à  l'ensemble  des  coefîicients  A  et  B. 

5.  —  L'énoncé  de  la  propriété  isobarique,  qui  fait  l'objet 
du  numéro  précédent,  suppose,  comme  nous  l'avons  dit, 
que  l'on  ait  adopté,  pour  l'écriture  des  deux  formes  (1\  la 
convention  spécifiée  au  iN°  2,  c'est-à-dire  que  l'indice  dont 
se  trouve  affecté  le  coefficient  de  chaque  terme  soit  égal  à 
l'exposant  de  y  dans  le  terme  dont  il  s'agit;  il  va  sans  dire 
toutefois  que  cette  propriété  peut  se  formuler  de  la  même 
façon  si  ion  augmente  d'un  même  entier  (algébrique)  p  les 
indices  respectifs  des  divers  coefficients  A,  et  d'un  même  entier 
(algébrique)  q  les  indices  respectifs  des  divers  coefficients  B  : 
car  le  poids  de  chaque  terme  du  résultant  se  trouve  alois 
augmenté  de  l'entier  constant  bp  +  aq. 


ÉLIMINATION   ALGÉBRIQUE 


417 


6.  —  Exemples  de  la  formation  du  résultant  de  deux  formes 
binaires. 

[.   Résultant  des  deux  formes 

Ao-r  +  A,v   ,  j 

B,x'-  +  B,.rr  +  B^r-  .  î 

En  écrivant  que  l'expression 

(A,.r  +  AjVK.î^.r  +  \y]  +  (B^^^  +  B,  .rv  +  B^rl^o 
est  identiquement  nulle,  on  a  les  relations 

\h  +  Bo  a^  =  0    . 

A,?o  +  A,,:^,  +  B.a,  =  0    , 

ce  qui  donne,  pour  le  résultant, 

Ao  0  B„ 
A.A.B^ 
0  A,  B, 


OU 


b,a: 


A.(A„B. 


B,A,) 


II.   Résultant  des  deux  formes 

Ag-r-  +  A,.rv  -f-  Aj  v-   , 
B^x-  +  B,.rv  +  B.,.v2  . 

En  écrivant  que  l'expression 

(k^x-  +  A,JT  -t-  A^v'-llX-r  +  fJ,r) 
+  |B„a-^  4-   B,rv  +  B2r')|a,.r  +  a,.>| 

est  identiquement  nulle,  on  a  les  relations 

Ao?o                   +B„a„  =0, 

A,  1^0  +  Ao?,  +  B,ao+  B,a,  =0   . 

A,|io  +  A,.^,  +  B,a,  +  B,  a,  =  û   . 

A,  .3,                   +  B,  a,  =  0   . 


(9) 


418  CH.    RIQl'IER 

ce  qui  donne,   pour  le  résultant, 

A„  0  B,  0 

A,  A,  B^B, 
0  A^  0  Bj 

On  peut,  comme  il  est  facile  de  s'en  assurer  en  effectuant 
les  calculs,  le  mettre  sous  les  deux  formes  suivantes,  très 
fréquemment  usitées  : 

(A,B,  -B,A2)--(A„B,  -B,A,)(A,B,  -  BjA^I   ,  (10) 


et 


[2(A,B,  +  B„A,)  -  A,B/J2  -  (A^  -  4A„A,)  (Bj  -  4B,B2)  '  .    (M) 
111.   Résultant  des  deux  formes 

B„>->  +  3Bj.r2i-  +  SB^rr^  +  B^y^  .    \ 


*  L'une  et  l'autre  se  retrouvent  très  aisément  à  l'aide  des  calculs  mnémotechniques   que 
nous  allons  indiquer. 

Calcul  mnémotechnique  de  la  formule  flO). 
Posant 

Ag-r-  +  Aj.T)-  +  A,  1-2  =  A(.r,  y)   , 

B,x'-  +  Bj.rv  +  B,f-  =  B{x,r)   , 
on  remplace  le  système  des  deux  équations 

A{x,  y)  =  0   ,         Bix,  y]  z=  0 
par  le  système  des  deux  équations 

A,r,r)=0,    B,A,...r)-A,B(.r.r)^^; 
y 

dont  la  deuxième,  linéaire  en  a;  et  y,  peut   s'écrire 

(A,B,  —  B„A;)x  +  (A^Bj  —  B.Aolr  =  0  . 
ou 

•»• y 

A„B3_B„A,  --  |A„B,  -B,A,)   ' 

en  remplaçant,  dans  la  première,  x  et  y  par  les   quantités   proportionnelles  que  fournit  la 
seconde,  il  vient,  comme  premier  membre, 

AJA,B,-B,A2p-A,(A„B3-B,A,)(A„B,-B„A,i  + A,(A,B,-B„AJ=>  , 

AjA,B,-B,A,)2-(A„B,-B,A,i[A,(A,B,-BoA,;-A,iA,B, -B,A,|]   . 
ou 

A,|A,B,  -  B,  A^):^-  (A„B,  _  B„A,)  A,(A,  B,  -  B,  AJ  , 

ou  enfin,  après  suppression  du  facteur  Ao 

(A„B,  -  B^A^I^^  -  (A,  B,  -  B„  A,)(A,  B,  -  B,  A,)  . 

Calcul  mnémotechnique  de  la  formule  (11). 

On  résout  chacune  des  équations  quadratiques 

A,.r2  +  A,.rj+  A,)"  =  0   , 

B„x2  +  B,  .»•)•+  B,y"-  =  0 


É  1. 1  M INA  TION   Al.GÉ  B  U I Q  UK 
En  écrivant  que  Texpression 

+  (B^.r3  +  3B,.r2v  -f  SB^xv^  +  B^v^ia^ 
est  identiquement  nulle,  on  a  les  relations 

AoT^o  +     B,a„  =  0    . 

An%  +  A,,:.,  +  3B^a„  =  0    . 

A.?,  +  A„:i,  +  3B,a,,  =  0   . 

ce  qui  donne,   pour  le  résultant, 

A„  0    0    B,> 


419 


ou 


0   0   Aj    B3 

3A„A^(A,B.  -  A„B,)  +  A'^B,  -  A^B„ 


par  la  i'ormule  élémentnii-e  connue,  on  égale  entre  elles  les  deux  expressions  irrationnelles 

qui  en  résultent  pour  le    rapport  —   ,  ot  on  rend  la  relation  rationnelle. 

Si  l'on  pose  £  =  ±1,  £'  =  ±1,  cette  suite  d'opérations  donnera   d'abord    (sans   corres- 
pondance de  signes) 

-  A,  -  ^v/a;-  4â;â;  ^  -  ^1  -^  ^^v^^î  -  ^^0^ 

A,)  ^0 

puis,  en  isolant  la  partie  irrationnelle, 

A,B,  -  B„A,  =  sB„\/a:-4A„A,  +  h'A„V/bÎ  -  4B,  B,  . 

puis,  en  élevant  au  carré, 

(A„B,  -  B.A,,^'  =  W^[\\  -  4A„A3|  +  A^^B^-  4B„B.J 

+  2e='A,B„\/a:-4A,A,V/b;-',B,B,   , 
puis,  en  isolant  de  nouveau  la  partie  irrationnelle,  et  réduisant, 

2A„BJ2(A„B,  +  B„A2)-A,B,|=:2ec'A„B,\/aÎ-4A„A,\/b;-4B,B,  , 
puis,  après  suppression  du  facteur  2AoBo, 

2(A„B,  +  B.Ajl  -  A,B,  =  £e'V/AÎ-4A„A,V/B;-4B„B,   . 
puis  enfin,  par  une  nouvelle  élévation  au  carré, 

[2(A„B,  +  B,A,)  -  A,B,]2  -  (A;  -  4A,A,)(B;  -  4B„B,|  =  0  , 

relation  dont  le  premier  membre  est  précisément  l'expression  (II). 


(12) 


420  eu.    niQl'lEH 

IV.   Résultant  des  deux  formes 

k^x^  +  2A,a_)-  -|-  Aj}'   . 

B^T^  +  3B,.r2r  ^  ^^^xf  +  B,.r-  . 

En  écrivant  que  l'expression 

(A, -r-'  +  2A,  .rr  +  A^  r^)  (,%.r2  +  [i,  xy  -f  fi^r^) 
+  iB^x'  +  3B,.rn-  +  SBjXi-  +  BgV'')  (a„x  +  a,,r) 

est  identiquement  nulle,  on  a  les  relations 

Aofîo  +     B„a,  =  0  , 

2A,.^o+     A„[i.  +3B,a„+     B,a,  =0  , 

A,.%  +  2A,[J,  +     A,  ,3,  +  3B,«„  +  3B,a,  =  0  , 

A,f3,  +  2A,[J,  +     B,a„  +  3B,a,  =0  , 

AJî^  +     Bga,  =  0  , 

ce   qui  donne,  pour  le  résultant,  R,   des  deux  formes  (12), 

A,,      0        0       Bq      0 

2A,      A,      0     3B,      B„ 

A,    2A,      A„    SB,    3B, 

0       A2    2Aj      B3    3B, 

0        0       Aj       0       B3 

Le  produit  «^R  peut,  comme  on  le  vérifiera  en  effectuant 
les  calculs,  se  mettre  sous  la  forme  suivante,  avantageuse 
dans  certaines  questions  : 

[A^Bg  +  A^ISA.B,  -  2B„AJ  -  A,(3A„B,  -  B.A,)]^ 


-  (AÎ- A,A,)[(3A„B,-B„A,)2-4A„B3(3A,B,-2B,A,)]  ' 


(131 


*   Calcul,  mnémotechnique  de   la  formule  (13). 
Posant 

A„.r2  +  2A,.rv  +  A^.v-  =  A(.r,  r)   . 

B„.r3  +  3B,.r-.v  +  Vè.xy"-  +  B,^^  =  B(.r."r)   , 

on   roinpliice  le  svstéme  des  deux   équations 

A(x,  y\  —  0  ,  B(.r._r)  =  0 

par  le  système  des  deux  équations 

A(.r.r)  =  0.        A^(^--'l-'^o-^A(a-.r)   ^^ 


A„.t2  +  2A,.n  +  Aj.r-  —  0  . 
(3A„B,  -  2B,AJ,r2  +  |3A,B,  -  b'^AJ^jt  +  A^Bg.v^  -  0  . 

Si,  pour  former  le  résultant  des  premiers  membres  de  ces  deux  équations  quadratiques, 
on  applique  la  formule  (11),   on   tombe  immédlalement  sur  l'expression   |13). 


LE    VllîlEl.    DE    FORCES  421 

gbis.  —  La  première  paitie  de  notre  travail,  dont  nous 
venons  d'achever  l'exposé,  avait  pour  l)ut  tl'élablir  la 
condition  nécessaire  et  suffisante  pour  f|ue  deux  l'onnes 
algébri(jues  binaires,  aux  indéterminées  .r,  y,  admettent, 
conformément  à  la  définition  posée  au  n°  1,  quel(jue  i-acine 
commune  :  dans  la  deuxième  |)artie,  (pii  suivra  prochaine- 
ment, nous  établirons,  en  nous  appuyant  sur  ce  résultat 
fondamental,  les  conditions  nécessaires  et  suffisantes  pour 
que,  Il  équations  algébriques  entières,  à  Tinconnue  x,  étant 
données,  il  existe  quehpie  valeur  de  cette  inconnue  les 
vérifiant   toutes. 


NOUVEAUX  Tf^ÉOREMES  SUR  LE  VIRIEL  DE  FORCES 

ET  LEURS  APPLICATIONS  GÉOMÉTRIQUES 

ET  MÉCANIQUES 

PAR 

Farid  Bollad    au  Caire). 


e  : 

es 

xes 

s 


Clausil's  a  appelé  viriel  de  forces,  l'expression  suivanti 
V  =  X.r  +  Y^  +  Zc    dans   laquelle    X.   Y,    Z    désignent  1 
[)rojections  d'une  force  AP  liée  ^  à  un  point  A  sur  trois  axc» 
O.ryz  rectangulaires  en  un  point  0  dit  pôle,  et  .r,  y ,  z  les 
coordonnées  du  point  d'ap[)lication  de  cette   force  par  rap- 
port à  ces  axes. 

D'après  cette  expression,  le  viriel  dune  force  liée  AP  rela- 
tivement à  un  pôle  O,  n'est  autre  que  le  travail  effectué  par 
cette  force  agissant  toujours  parallèlement  à  elle-même,   si 


so 
ca 


son  point  d'origine  était  déplacé  du  pôle  O  au  point  d'appli- 
cation A  de  celte  force. 

Cette  même  expression  a  été  utilisée  d'abord  j)ar  Ci.alsius 

•  M.  AiM-Ki.i.   a  donne  le  nom   d'une  force  liée  «  /(/)  point,  a  une   force   W  appliquée  à  un 
l)oint  A  dd-terniiné  de  l'espace.   Nous   adopterons  celte  dénomination  dans   tout  ce   qui  snil. 


L'Enseignement  lualliém..  2(i«  anni'-e  :   l'JI'.t. 


422  FAIUD    nOUf.AD 

et  Yvon  Villahceau  dans  leurs  théorèmes  sur  la  force  vive 
(.Vun  svslème  malériel,  et  ensdile  introduite  sous  une  autre 
forme  par  M.  V .  Lucas,  dans  la  ihéoiie  du  mouvement  vibra- 
toire d'un  système  élasli(|ue. 

A  noire  connaissance,  on  n'a  encore  étendu  la  notion  du 
viriel  ni  à  l'étude  des  conditions  d'équilibre  des  forces,  ni  à 
celle  tlu  travail  virtuel  du  système  malériel. 

Mais  des  rec^herches  sur  celte  question,  qui  nous  a  tout 
|)arliculièr(Mnent  intéressé,  nous  ont  conduit  à  de  nouveaux 
lliéorèmes  sur  le  viriel,  dans  le  genre  de  ceux  (jui  onl  trait 
aux  moments  des  forces  |)ar  rapport  à  un  point.  Nous  avons 
cru  utile  de  les  exposer  dans  celle  noie  ave('  des  applications 
oéométrif|ues  ^  et  mécaniques  (jui  montreront  que  la  notion 
du  viriel  jouit  de  [)ropriétés  remar(|uables. 

Ces  propriétés  résidtent  d'ailleurs  des  points  suivants  : 
Le  vii-iel  d'un  couple  lié  a  une  valeur  constante  quelle  que 
soit  la  position  du  pôle  correspondant.  Le  travail  virtuel 
effectué  par  un  système  quelconque  de  forces  et  de  couples 
liés  pour  des  déplacements  virtuels  (|uelconques  imprimés 
à  leurs  points  d'application,  est  égal  à  la  variation  corres- 
pondante ou  à  la  différentielle  de  ce  système  par  rapport  à 
tin  pôle  quelconque.  En  outre,  le  travail  virtuel  d'un  système 
quelcon(|ue  de  forces  (F)  appliquées  à  un  point  A,  pour  un 
déplacement  virtuel  (juelconque  AA'  donné  à  ce  point,  se 
ramène  également  au  viriel  du  système  de  cou[)les  liés  formé 
par  l'ensemble  des  deux  systèmes  suivants  de  forces  :  Du 
système  de  forces  (F)  déplacé  en  A',  paialièlement  à  lui- 
même  et  de  celui  (|u'on  obtient  en  changeant  le  sens  de 
toutes  les  forces  primitives  (F)  appli(|uées  en  A.  Enfin  voici, 
en  résumé,  les  principaux  résultats  des  susdites  applica- 
tions : 

1°  Une  nouvelle  propriété  métri(|ue  des  polygones  réci- 
proques quelconciues  de  Chkmoxa  qui  s'énonce  comme  suit  : 
Dans  deux  polygones  récipi'otjucs,  la  sonmic  algébrique  des 
produils  qu'on  obtient  en  multipliant  chaque  côté  de  l'une  de 


'  Qu'il  nous  soit  permis  de  remercier  ici  M.  irOcAoNK  d'avoir  bien  voulu  nous  donner  des 
renseignements  sur  les  applications  fféoniétriques  exposées  dans  celte  note.  Nous  devons 
à  son  (iblijçeance  l'ctnde  de  ces  appli''ations. 


LE    VIRIKI.    DE    FORCES  423 

ces  deux  figures  pur  son  lioinologue  dans  L'autre  figure,  est 
égale  à  zéro. 

Le  signe  des  tei'ines  de  celte  somme  sera  défini  j)liis  loin 
dans  la  démonstralion  de  lette  |)ro|)riélé.  Nous  montrerons 
également  c|iie  cette  propriété  générale  olFre  l'utilité  de 
s'appliquer,  |)af  une  simple  diflerentiation,  au  calcul  des 
tensions  dans  les  barres  d'un  s\slème  articulé  staticjuement 
indéterminé.  En  particulier,  si  les  deux  polygones  ci-dessus 
sont  ileux  (piadrilatères  récipro(|ues,  on  a  le  théorème 
suivant  :  La  soniiue  des  produits,  eu  valeur  absolue,  qu'on 
obtient  en  multipliant  cJiaque  diagonale  par  son  homologue, 
est  égale  à  la  sonime  des  produits  de  chaque  côté  par  son 
homologue. 

2"  Le  viriel  peut  servir  à  la  démonstralion  d'un  grand 
nombre  de  ihéoi-èmes  géométriques  et  à  établir  des  rela- 
tions Irigonométriques.  Nous  nous  boinerons,  traprès  le 
conseil  de  M.  d'OcAGNE,  à  démontrer,  à  titre  d'exemple, 
les  deux  théorèmes  suivants  : 

Thkorp:me  de  (Iarnot.  —  Dans  tout  tétraèdre  la  somme  des 
carrés  des  deux  arêtes  opposées  égale  la  somme  des  cairés 
des  deux  autres  ai  êtes  opposées,  plus  deux  fois  le  produit 
des  arêtes  restantes  par  le  cosinus  de  leur  angle. 

Théorème  de  ALvschehom.  —  Dans  tout  polygone  plan  ou 
gauche,  le  carré  d'un  côté  égale  la  somme  des  carrés  de  tous 
les  autres  côtés  augmentée  de  deux  fois  la  somme  de  tous  les 
produits  qu'on  obtient  en  multipliant  de  toutes  les  manières 
possibles  deux  côtés  par  le  cosinus  de  l'angle  qu'ils  compren- 
nent. 

La  démonslralion  (|iie  nous  donnerons  [)lus  loin  pour  ces 
théorèmes  montrera  {|ue  le  viriel  offre  l'interprétation  méca- 
nique énoncée  ci-après  des  relations  algébriques  du  second 
degré  entre  les  éléments  linéaires  des  figures  polygonales 
ou  polyédriques. 

Toute  relation  algébrique  du  second  degré  entre  les  lon- 
gueurs et  directions  des  côtés  ou  arêtes  de  ces  figures,  est  la 
somme  algébrique  des  K'iriels  d'un  système  de  couples  liés 
formé  par  l'ensemble   d'un   certain   nombre    de  systèmes  de 


424  FAliH)    no  CI.  AD 

forces  en  équilibre  appliquées  aux  soiumets  de  ces  figures  et 
ayant  mêmes  directions  et  valeurs  que  celles  des  côtés  ou 
arêtes  de  ces  figures. 

3"  La  valeur  du  travail  virtuel  total  des  forces  extérieures 
et  intérieures  dans  un  système  de  points  matériels  assujettis 
à  des  liaisons  sans  frottement,  [)eut  être  lourni  au  moyen 
du  viriel  de  la  manière  suivante  :  On  ramène  les  forces  à  des 
couples  en  considérant  l'ensemble  des  deux  systèmes  sui- 
vants de  forces  :  1*^  Le  système  de  Ibrces  obtenu  en  chan- 
geant le  sens  de  toutes  les  forces  extérieures  et  intérieures 
appliquées  aux  divers  points  du  système  matériel  avant  la 
déformation  virtuelle.  2°  Le  même  système  primitif  de  forces 
appliqué  parallèlement  à  lui-même  en  ces  mêmes  points 
dans  leurs  nouvelles  positions  après  la  déformation.  11  en 
résulte  que  le  viriel  total  du  système  de  couples  liés  formés 
ainsi  par  l'ensemble  de  ces  deux  derniers  systèmes  de  forces, 
est  égal  au  travail  virtuel  effectué  par  les  fon-es  extérieures 
et  intérieures  du  système  matériel  ci-dessus. 

4"  Le  viriel  permet  d'établir  aussi  directement  l'expres- 
sion ayant  pour  différentielle,  le  travail  virtuel  total  ci-dessus 
des  forces  dans  un  système  matériel. 

Avant  d'exposer  les  théorèmes  annoncés  ci-dessus,  rappe- 
lons d'abord  en  (|uelques  mots  les  expressions  usuelles  du 
viriel  des  Ibrces  de  ces  couples. 

Définition  et  convention  du  viriel  des  forces  et  des  couples  liés. 

Désignons  j)ar  F'  la  valeur  absolue  d'une  force  liée  AP  et 
par  9  l'angle  (jue  forme  cette  force  avec  le  |)rolongement  du 
rayon  polaire  0.\  joignant  son  point  d'application  A  au  pôle 
O.  Le  viriel  de  celte  forcre,  délini  ci-dessus,  i-elalivement  à 
ce  pôle,  a  pour  expression  : 

V  =  X.r  -f  Yv  +  Zc  =  I' .  OA  cos  0   .  (1) 


Ce  viriel   sera  consiiléré  +  <^^"  —  selon   (jue   l'angle  9  est 

^u  ou  obtus. 

De  même,  considérons  dans  l'espace  un  couple  formé  par 


LE    VIHIEI.    DE    FORCES  425 

deux  forces  AP  et  BQ  égales,  parallèles  et  de  sens  contraire, 
liées  à  deux  points  A  et  B. 

Désignons  par  P  la  valeur  commune  de  ces  deux  iorces, 
par  r,i  l'angle  cjue  forme  lune  ((uelconque  de  ces  deux  forces 
avec  le  prolongement  de  la  distance  AB  de  leurs  points 
d'application,  et  par  /  la  projection  de  cette  dislance  AB  sur 
la  direction  de  ces  forces.  Appelons  longueiw  de  liaison  de 
ce  couple,  la  longueur  représentant  la  distance  AB  estimée 
suivant  la  direction  de  ces  forces. 

Relativement  à  un  [)ole  f|uelconc|ue,  le  viriel  de  ce  couple 
lié  est  constant.  Il  a  pour  valeur 

V  =  P.AB  eos'o  —  ±  p/  .  |2) 

Il  est  +  ou  —  selon  que  Tangle  o)  est  aigu  ou  obtus. 

Si  (,)  =  0  ou  2/7.  le  couple  lié  sera  formé  par  deux  forces 
directement  opposées.  Dans  ce  cas  particulier,  il  sera  dit 
rectiligne.  Son  viriel  est  égal  à  P.AB  en  considérant  P 
comme  +  ou  —  selon  (]ue  les  deux  forces  se  repoussent  ou 
s'attirent. 


Enoncé  des  nouveaux  théorèmes  sur  le  viriel. 

Théokéme  I.  —  Relativement  à  un  /nênie  pôle  O,  le  viriel 
de  la  projection  d'une  force  liée  AP  sur  un  plan  quelconque 
passant  par  le  rayon  polaire  OA,  est  égal  au  viriel  de  cette 
même  force  AP. 

Soit  AP'  la  projection  de  cette  force  sur  le  plan  considéré 
passant  par  OA,  et  soit  R  la  projection  commune  des  exti'é- 
milés  P  et  P'  sur  le  rayon  OA,  les  viriels  de  ces  deux  forces 
AP  et  Al^'  par  rapport  à  O,  ont  la  même  valeur  Vr=:  +  O.V  .  OR  . 

Thkohemk  II.  —  Le  viriel  d'une  force  liée  AP  relativement 
à  un  pôle  O  est  égal  au  viriel  de  cette  même  force  relativement 
à  la  projection  de  ce  pôle  sur  un  plan  quelconque  passant 
par  cette  force. 

Ce  dernier  théorème  resuite  de  ce  (pie  le  viriel  est  symé- 
tri(|ue  par  rapport  au  pôle  i)  et  à  lextrémité  P. 


426  FARII)    non. AD 

Théohkmk  III.  —  Pour  qu'un  si/stcme  quelconque  de  forces 
liées  dans  l'espace  ait  une  résultante  nulle,  il  faut  et  il  suffit 
que  le  viriel  total  de  ces  forces  relativement  à  un  pôle  0  soit 
constant  quelle  que  soit  la  position  du  pôle. 

En  ellet,  soient  .r,  y,  z  les  (^ooi'données  du  pôle  considéré 
C  par  lapporl  à  liois  axes  rectangulaires  Oxyz  fixes  dans 
l'espace,  (ti^^  b/^,  Ck  celles  du  point  d'application  d'une  quel- 
conque de  ces  forces  et  X/i ,  Ya  ,  Za  la  projection  de  cette 
force  sur  ces  trois  axes. 

Si  \'c  et  V()  représentent  respectivement  les  viriels  totaux 
de  ce  système  de  forces  par  rapport  aux  pôles  C  et  (),  on  a  : 

quel  que  soit  le  pôle  G,  cette  relation  donne  V,.  =  V^.  Mais 
comme  V^  est  constant,  il  faut  (|ue  Vc  le  soit  aussi.  S'il  en 
est  ainsi,  la  relation  ci-dessus  donne,  quel  que  soit  G,  la 
condition  suivante  : 

GoROLi.AiHE  I.  —  Si  les  points  d'application  d'un  système 
quelconque  de  forces  liées  de  résultante  nulle,  sont  les  pieds 
des  perpendiculaires  abaissées  d'un  point  M  de  l'espace  sur 
ces  forces,  le  viriel  total  de  ces  forces  est  nul,  quel  que  soit 
le  pôle  considéré,  et  réciproquement  pour  un  système  de  forces 
liées  dont  les  points  d'application  sont  définis  comme  ci- 
dessus. 

Remarque.  —  Dans  le  cas  particulier  où  les  points  d'appli- 
cation de  ces  forces  se  confondent  avec  le  |)oint  M,  on 
obtient  le  théorème  suivant  bien  connu  et  son  réciprO((ue. 
La  somme  algébrique  des  viriels  d'un  nombre  quelconque  de 
forces  concourantes  de  résultante  nulle,  est  nulle. 

Théorème  W .  —  Si  un  syslènw  de  points  libres,  dont  chacun 
est  sollicité  par  un  nombre  quelconque  de  forces  en  équilibre, 
est  tel  que  Vensemble  de  toutes  les  forces  tant  e.vtérieures 
qu'intérieures  (suivant  la  direction  des  lignes  de  jonction  de 
ces  points)  appliquées  au.v  divei-s  points  de  ce  système,  for- 
ment un  système  de  couples  liés,  la  so/nme  algéb/i</ue  des 


LE    VlIilEL    DE    l'OIiCES  427 

viiiels  de  ces  divers  couples  est  nulle  quelle  que  soit  le  pôle 
considéré. 

Ce  théorème  se  démontre  an  moyen  du  précédent. 

Thkohème  V.  —  Lorsqu'on  imprime  des  déplacements  vir- 
tuels quelconques  aux  points  d'application  d'un  nombre 
quelconque  de  forces  liées  et  à  ceux  des  forces  d'un  système 
quelconque  de  couples  liés  dans  l'espace,  le  travail  virtuel 
total  effectué  par  ces  forces  et  ces  couples  poui  ces  déplace- 
ments virtuels,  est  égal  à  la  valiation  correspondante  ou  à 
la  différentielle  du  viiiel  total  de  ces  foi-ces  et  couples  liés 
relativement  à  un  pôle  quelconque  fixe. 

En  effet,  désignons  respectivement  par  \?  et  V,  le  travail 
virtuel  total  et  le  viriel  total  de  ces  forces  et  couples;  par 
àx,  ^>j^  àz  les  projections  du  déplacement  virtuel  donné  au 
point  d'application  d'une  des  iorces  sur  trois  axes  reclanou- 
laires  Oxyz,  par  P  la  valeur  algéhrique  commune  des  iorces 
d'un  de  ces  couples  et  par  c^/,  la  variation  de  la  projection 
{longueur  de  liaison j  de  la  distance  des  deux  points  d'appli- 
cation des  forces  de  ce  couple  sur  la  direction  commune. 
Les  deux  relations  (1)  et  (2)  donnent  par  différenlialion 
Téquation  suivante  : 

dans  laquelle  l  sera  +  ou  —  selon  cpie  l'angle  w  du  couple 
correspondant  à  P  est  aigu  ou  obtus. 

Applications. 

1.  —  Aux  figures  réciproques  planes  ou  gauches  de  Che- 
MONA.  On  sait,  d'après  une  propriété  statique  de  ces  figures^, 
que,  si  rt  et  ^  sont  les  longueurs  des  deux  côtés  homologues 
de  deux  (igures  polygonales  récipro(jues  Cremona  (A)  et  (B), 
et  si,  aux  extrémités  d'un  côté  a  de  la  première  (.\),  on 
applifjue  deux  forces  égales  et  directement  q|)[)Osées  i couple 
lié  /■ectiligne)  ayant  pour  valeur  commune  la  longueur  b  et 
pour  sens  celui  du  polygone  fermé  dans  la  figure  (B)  corres- 


'  ('i>iir.<  de   ('•éométrie  de  l'Ecole  poli/techniqiie,  par  M.   (lt)(:AOM:,   t.   Il,   \>.   159. 


428  FABin  nour.AD 

pondant  à  l'une  des  deux  exlrémités  du  côté  «,  rha(|ue 
nœud  de  la  figure  fA  sera  sollicité  par  un  système  de  forces 
en  é(|uilibre  tel  (|ue  Tensemble  de  toutes  les  forces  appli- 
quées aux  divers  nctnids  de  celle  figure  forme  un  système 
de  couples  liés. 

D'où,  en  écrivant  en  vertu  du  ihéorème  I\^  que  le  viriel 
total  de  ces  deux  couples  est  nul,  on  a  la  relation  suivante  : 

i:i±  ah)  =  0   , 

dans  laquelle  le  signe  de  chacun  de  ses  termes  sera  celui 
des  deux  forces  opposées  appliquées  aux  extrémités  de  l'un 
quelconque  des  deux  côtés  a^  b  figurés  dans  le  terme  consi- 
déré. 

Application  de  celle  propriélé  au  calcul  cVun  syslème  arli- 
culé  inlérieuremenl  hyperstatique.  Considérons  un  système 
articulé  extérieurement  isostatique  à  lignes  surabondantes; 
concevons  qu'on  supprime  toutes  les  barres  surabondantes 
de  ce  système  et  qu'on  applique  aux  extrémités  A  et  B  d'une 
de  ces  barres  supprimées  deux  forces  répulsives  égales  de 
valeur  commune  F.  Désignons  par  (S)  ce  système  articulé 
sans  lignes  surabondantes  librement  dilatable,  par  /"la  lon- 
gueur de  la  barre  AB  et  par  f^  celle  d'une  barre  quelconque 
du  syslème  (S).  Soit  T;i  la  tension  produite  dans  la  barre  tk 
sous  l'action  des  iorces  répulsives  F. 

Cela  étant,  comme  on  sait  que  le  polygone  des  forces  de 
Cremona  c;orrespondant  aux  forces  F  et  aux  tensions  Ta  est 
un  polygone  réciproque  de  la  partie  du  système  articulé  (S) 
seul  influencé  par  les  forces  F,  on  a,  en  vertu  de  la  propriété 
ci-dessus, 

A  présent,  si  l'on  fait  subir  aux  longueurs  /"et  /^  des  varia- 
tions ou  dilatations  virtuelles  ^/'et  J/a,  on  obtient,  pai-  une 
diflei-entiation  de  la  relation  ci-dessus,  la  formule  suivante  : 

Tô/-- vt,5/a  =  ^» 

<|u'on  applifjue  fiécjuemment  au  calcul  du  système  articulé 
hyperstati(jue  ci-dessus. 


LE    VIRIEL    DE    FORCES 


i29 


2.  —  Démonslration  mécanique  des  iJiéorèmes  géométriques 
de  Carnot  et  de  Maschekoni.  Soit  un  tétraèdre  quelconque 
SABC  (fig.  1);  désignons  les  arêtes  du  trièdre  S  par  a,  h,  c 


F.g.1 

e1  les  arêtes  qui  leur  sont  respectivement  opposées  par 
a  ,  b\  c\  et  par  la  notation  (c,  c)  l'angle  formé  par  les  arêtes 
c  et  c'.  Démontrons  au  moyen  du  viriel  la  relation  suivante 
de  Carnot  : 


a-  -f-  d' 


b^- 


//-  —  2cc    cos  (f,  c')  =  0  . 


En  efTet,  il  est  aisé  de  voir  que  celte  relation  n'est  autre 
que  celle  qu'on  obtient  en  égalant  à  zéro,  d'après  le  théo- 
rème IV,  la  somme  algébrique  des  viriels  de  divers  couples 
liés  formés  par  l'ensemble  du  système  de  trois  forces  con- 
courantes en  équilibre,  appliquées  dans  la  figure  aux  som- 
mets de  ce  tétraèdre  et  ayant  pour  sens  celui  indiqué  par  des 
flèches  sur  la  figure,  et  pour  valeurs  et  directions  les  mêmes 
que  celles  des  arêtes  désignées  par  les  mêmes  lettres  que 
ces  forces. 

On  vérifie  que  les  trois  forces  appliquées  à  chaque  sommet 
sont  en  équilibre,  en  remarquant  que  les  arêtes  désignées 
par  les  mêmes  lettres  que  ces  trois  forces  forment  dans  la 
figure  un  triangle  fermé  (considéré  comme  polygone  des 
forces)  ayant  pour  sens  celui  des  forces. 

Il  convient  de  rappeler  (|ue  les  forces  d'un  cou[)le  lié  rec- 


430 


FAR  m    HOUr.AI) 


tiligne  sont  +  ou  —  selon  qu'elles  se   repoussent  ou  elles 
s'attirent. 

A  présent,  passons  à  la  démonstration  de  la  relation  sui- 
vante de  Maschehom 

a^  —  h-  —  f-  —  d'  —  ...  —  Ibc   cos  [h  ,  c)  —  ïbd  cos  {h,  d) 
—  Ihe  cos  (A,  e)  —  ...  ==  0  , 

dans  laquelle  a,  b,  c,  d,  e,  ...  désignent  respectivement  les 
côtés    AB,    BC,   CD,    ...    (fig.   2)   d'un   polygone   quelconque 


c/^      'e 


r/ci.2 


ABCD.  En  effet,  appliquons  au.x  sommets  de  ce  polygone 
les  systèmes  de  forces  en  équilibre  suivants  :  Au  sommet  A 
le  svstème  de  forces  a,  b,  c,  (/ ,  ...  ayant  pour  polygone 
fermé  de  forces  le  polygone  ABCD.  Au  sommet  B,  même 
système  de  forces  changé  de  sens.  Quant  à  chacun  des  som- 
mets C,  D,  E,  ...  ,  nous  appliquerons  un  même  système  de 
forces  formé  par  l'ensemble  de  couples  de  deux  forces 
égales  et  directement  opposées  ayant  mêmes  directions  et 
valeurs  que  celles  de  tous  les  côtés  de  ce  polygone,  sauf  le 
côté  a. 

En  remarquant  (jue  le  système  de  forces  appliquées  à 
chaque  sommet  est  en  équilibre  et  que  leur  ensemble  forme 
un  système  de  couples  liés,  il  suflit  d'écrire,   en  vertu  du 


LE    VIRTEL    DE    FORCES  431 

théorème  IV,  ((ue  la  somme  algébrique  des  viriels  de  ce 
couple  est  nulle,  pour  avoir  la  relaliou  ci-dessus. 

Remarque.  Un  angle  quelconcpie,  |)ar  exemple  tel  que 
(6,  rf  ,  figurant  dans  la  relaliou  ci-dessus,  est  l'angle  formé 
par  le  côté  d  avec  le  prolongement  de  b. 

3.  —  Détermination  directe  du  travail  virtuel  total  des 
forces  extérieures  et  intérieures  dans  un  système  de  points 
matériels. 

Considérons  un  système  quelconque  de  points  matériels 
A,  B,  C,  ...  M,  N,  ...  [Wq.  3)  assujettis  à  des  liaisons  sans 
frottement  et  dont  chacun  est  en  équilibre  sous  l'action  des 
forces  extérieures  et  intérieures  qui  les  sollicitent. 


-F 


M^ X«^ 


Désignons  par  F  la  valeur  de  la  force  extérieure  appliquée 
à  un  point  quelconque  A  de  ce  système  et  par  S  la  valeur 
commune  des  deux  forces  intérieui-es  (actions  mutuelles) 
égales  et  directement  opposées  qui  se  développent  [)ar  deux 
points  quelconques  M  et  N  de  ce  système  (S  sera  considéré 
+  ou  —  selon  qu'il  s'agit  des  forces  répulsives  ou  attrac- 
tives) et  par  5  la  valeur  absolue  de  la  distance  MN  entre  ces 
deux  points. 

Faisons  subir  aux  points  de  ce  système  des  déplacements 
virtuels  quelconques.  Soient  AA',  MM',  NN'  les  déplace- 
ments imprimés  aux  points  A,  M,  N.  Supposons  que  toutes 
les  forces  F  et  S  se  soient  déplacées  en  même  temps  que 
leurs  points  d'applications  aux  nouveaux  points  A',  M',  N'. 

Enfin,  appliquons  à  tous  les  jioints  primitifs  A,  M,  N,  les 
forces  primitives  F  et  S  changées  de  sens. 


'•32  FAian    BOULAD 

Il  en  résulte  que  rensemljJe  de  toutes  les  forces  ainsi 
obtenues  (—  F  en  Ai,  F  en  A'j,  (—  S  en  M  et  N)  et  {S  en  M' 
et  N')  forment  les  trois  systèmes  de  couples  liés  suivants  : 

F(A,  A'),    — S(M,   N)  et    +  S(M',   N').    Le   premier   de   ces 
couples  a  pour  viriel  : 

-|-  F  .  AA'  cos  ro  =r  Xô.r  +  Yo_>-  -|-  Zoc   , 

et  les  deux  autres  couples  ont  aussi  pour  viriels 

—  Ss  et  +  S  (s  -\-  os)   . 

En  totalisant  ces  viriels  et  en  égalant  à  zéro  leur  somme, 
on  aura  : 

T  =  SXox  +  SYo.v  +  SZor  +  ZSos  =  0  .  (3) 

4.  —  Etablissement  de  Vexpression  ayant  pour  différen- 
tielle totale  celle  du  travail  virtuel.  Considérons  le  même 
système  ci-dessus  de  points  matériels.  Gomme  toutes  les 
forces  concourantes  extérieures  et  intérieures  appliquées  à 
chacun  de  ces  points  sont  en  équilibre,  leur  viriel  total  est 
nul,  en  vertu  de  la  remarfjue  du  corollaire  I,  d'où  l'expres- 
sion suivante  cherchée  du  viriel  : 

V  =  SX.r  +  XYv  +  i:Z:  +  i:s.s-  =  0 

ayant  pour  difFérentielle  totale  l'écpiation  i'^)  du  li'avail  vir- 
tuel. 


SUR  LES 
FOYERS   RATIONNELS   D'UNE  COURBE  ALGEBRIQUE 

PAK 

Emile  'J'ihhikke  (Montpellier). 


Dans  une  lettre  adressée  à  M.  C.-A.  Laisant  el  publiée 
dans  les  Nouvelles  Annales  de  Mathématiques'^^  M.  P.  Appell 
a  récemment  appelé  l'attention  sur  une  question  qui  se  rat- 
tache à  mes  recherches  d'arithmooéométrie  :  h  certaines 
courbes  algébriques  du  plan  ou  de  l'espace,  peuvent  être 
associés  des  points  qui  jouissent  d'une  propriété  locale  des 
coniques;  la  distance  d'un  point  quelconque  d'une  telle 
courbe  à  un  tel  point  est  une  fonction  rationnelle  des  coor- 
données cartésiennes  du  point  courant  de  la  courbe. 

C'est  précisément  l'objet  du  paragraphe  19  de  mon  premier 
article  sur  les  Notions  d'arithmogéométrie  de  mars  191G-. 

Etant  donnée,  par  exemple,  une  courbe  plane  dont  le 
point  courant  M  a  pour  coordonnées  cartésiennes  .r  et  y,  le 
problème  des  arithmodistances  pour  cette  courbe  et  pour  un 
point  fixe  F  de  coordonnées  x^,  et  y,^  consiste  à  déterminer 
ceux  des  points  de  la  courbe  tels  cjue  la  distance  MF  soit  un 
nombre   rationnel.   Jai  indiqué   la  solution 

X  =z  .ïVj  H-   (1  —  t-if{l]    ,  y  =  vo  4-  2lf{t]    , 

dépendant  dune  fonction  rationnelle  arbitraire  f\t    du  para- 


*  p.  Ai'pELL.  —  Sur  les  fovers  rationnels  d'une  courbe  algébrique  plane  ou  gauche,  yoii- 
vetles  Annales  de  Mathématiques  [i],  t.  XVUI,  novembre  1918.  p.  401-402. 

*  Notions  d'arithmogéométrie,  L'Enseignement  mathématique,  18*  année  :  15  mars  I9ir>, 
p.  81-110,  et  15  novembre  1916,  p.  397-428;  19'  année  :  l-i  mai  191",  p.  159-191,  et  juillet- 
septombre-novenibre   r,ll7.   p.  233-272  :   2(i"  année  :  janvier   1919,   p     l('il-174. 


434  E.     TVnniEIiE 

mètre  t.  Ces  deux  éf(iiations  paramétriques  représentent  une 
arithmocourbe  plane  jouissant  de  la  propriété  indi()uée  : 

{X  —  x^f-  +  ir  -  y,f  =  [d  +  t-\f{l)]-  . 

L'éc|iialion  polaire  de  (;ette  courbe,  lorsque  le  point  F 
imposé  est  pris  pour  pôle,  est  : 

.=/■(....  1). 

/'étant  une  fonction  rationnelle  arbitraire  de  tang^^  . 

Dans  cette  t-atégorie  de  courbes  planes,  rentrent  comme 
courbes  particulières  les  conicjues  rapportées  à  un  loyer,  la 
strophoïde... 

De  même  pour  les  courbes  gauches,  il  suffit  de  prendre 

X  =  .r„  +  «/"(/)    ,  V  =  j,  ■\-  hf(l\   ,  z  =  :„  +  cf{t)   , 

«,  b,  c  étant  les  coordonnées  d'un  arithmopoint  de  Taritlimo- 
sphère  d'équation  : 

a-  +  h-  4-  c-  =  1  . 

Ces  coordonnées  «,  b,  c  sont  des  fonctions  rationnelles  de 
deux  paramètres  1  et  u.  : 

"  —   Y2   +    a-'   _|_    1     '  ''   —     X2    +    jj.'2   _,_    1     •  ^   —    >.2   _|_    jj,2   ^    1     ' 

il  suffît  de  supposer  que  ces  paramètres  /  et  u  sont  deux 
fonctions  arbitraires  d'un  même  troisième  paramètre  /. 

Les  coniques  sphériques  sont  un  des  cas  particuliers  les 
plus  remar(|uables. 

Une  observation  analogue  peut  être  présentée  au  sujet  des 
surfaces  que  représentent  les  équations  paramétriques 

"^  =  ■'■0+   u^^!^+if^"'   *''   • 
u-  -t-  f-  —  1     . 

=  =  --0+ „^th-~t/'"''''  • 

avec  une  fonction  rationnelle  arbitraire  /(n,  f)  des  deux 
paramètres  a  et  c  de  la  représentation. 


FOYEIiS    RATIONNE  LS  435 

Celle  nolioii  de  loyers  rationnels  est  susceptible  de 
diverses  généralisations. 

Le  foyer  rationnel  peut  être,  par  exemple,  remplacé  par 
une  courbe  de  direction  quelconque. 

Soit  t  le  paramètre  de  représentation  de  la  courbe  de 
direction;  si,  sur  la  tangente  au  point  M  correspondant  de 
cette  courbe,  on  porte  un  vecteur  M  u.  dont  la  mesure  est  une 
fonction  rationnelle  (|uelcon(|ue  du  paramètre  /,  Textrémité 
y.  du  vecteur  déci-it  une  courbe  pour  la(|uelle  la  courbe  de 
direi'tion  joue  un  rôle  analogue  à  celui  d'un  foyer  rationnel. 

Une  autre  extension  de  cette  même  notion  de  foyer 
rationnel  est  fournie  par  la  considération  d'une  des  plus 
importantes  congrnences  de  droites  :  la  congruence  de 
MiNDiNG,  formée  par  les  normales  d'une  famille  de  cyclides. 

Cette  congruence,  cpii  est  la  seule  congruence  de  nor- 
males dont  les  nappes  focales  dégénèrent  en  deux  courbes, 
a  été  primitivement  étudiée  par  F.  Minding  en  i83."S,  dans 
d'importantes  recherches  de  statique^.  Elle  joue  un  rôle 
tout  spécial  dans  l'étude  générale  des  systèmes  de  rayons 
lumineux.  Elle  a  été  l'objet  de  recherches  de  J.-C. 
Maxwell-. 

Soient 

|E)  .rj  =  a  cos  s   ,  ),  =  h  siii  s   ,  Cj  =z  0   , 

(H)   x„  ^  c   cil  fo   ,  v,  =::  0    ,  r,  =  //  cli  <<>   , 

les  équations  paramétriques  d'une  ellipse  (E)  et  d'une  hyper- 
bole ^H;  focales. 

La  congruence  des  rayons  joignant  un  point  quelconque 
de  paramètre  (j>  sur  l'ellipse  et  un  point  quelconque  de  para- 
mètre oj  sur  l'hyperbole  est    précisément   la   congruence  de 

MiNDING. 


F.  MiNDiNO.  —  Untersuchung  betreflend  die  Knigt-  nath  einein  Mittelptinkte  nicbt 
parnllelcr  Kriifte  ;  Journal  fiir  die  reine  und  angeuandte  Malhematik  (Joiirn.Tl  de  (Irellk), 
B-l  XIV,  1835,  S.  289-315. 

Ueber  den  Ort  siimtlichcn  Resultanten  eines  der  Dreliiin{j  uiit<>r\vorf«'ncn  Systcnies  von 
Kriiflen,   ebenda,   B-"  XV,   1836,   S.   27-38. 

Einige  Siil/.e  iiber  die  Veiiiiidei'ungcn,  wclchc  ein  System  von  Kriiften  diirch  Drehung 
derselbcn  erleidel  ;  nebst  eiiior  Aiiwondung  aul"  das  Seilpolvgon,  ebenda,  b''  XV.  1836, 
S.  313-316. 

*  J.-C.  Maxwell.  —  On  thc  cyclido,  The  quartcl^  Journal  of  pure  and  applied  mathema- 
tics,  vol.   L\,   18f,8,  p.   MI-1-J8:   ColUclcd  papei.<.  t.  II,   p.  Tii-lô». 


^i36  CHRONIQUE 

La  dislance  des  deux  points  focaux  de  chaf|ue  rayon  de  la 
oonoruence  est 

a  (Il  l'i  —  c  cos  c  =  —  .»■., X.    ; 

c     -         a 

celte   dislance  esl  donc   une  fonclion   ralionnelle  des  coor- 
données de  ces  points  locaux. 

Si,  d'autre  part,  /  reprcsente  la  distance  comptée  à  partir 
de  l'un  des  points  locaux,  le  point  de  l'ellipse  E  par 
exemple,  jusqu'à  lune  des  cyclides  orthogonales  aux  droites 
de  la  congrtience,  cette  distance  À  est  égale  à 

c 
A  =  —  C  COS  ç  -f-  oonst  = Xj  -|-  coiist   ; 

elle  est   donc  une  fonction  rationnelle  des  coordonnées  de 
l'un  ou  l'autre  des  deux  points  focaux. 


CHRONIQUE 


Société  mathématique  suisse. 

lAi^ano,  S  septeinhre  IVl'J. 

La  Société  mathématique  suisse  a  tenu  sa  neuvième  réunion 
ordinaire  à  Lugano,  le  8  septembre  1919,  sous  la  présidence  de 
M.  le  Prof.  Michel  FLAxcHEitEL  Fribourgl,  à  l'occasion  de  la  cen- 
tième assemblée  annuelle  de  la  Société  helvétique  des  sciences 
naturelles.  Le  programme  de  la  partie  scientifique  comprenait 
onze  communications  ;  en  voici  les  résumés  : 

1.  —  D'  Ed.  Guillaume  (Bernei.  —  Un  nouvel  aîiiorithine  :  les 
«  dérivées    honiogénes  »     et    une    nouvelle    opération     spatiale 


de  la  Physique,  qui  a  toujours  été  l'inspiratrice  de  la  Mathéma- 
tique. 

Il  faut  en  chercher  la  raison  dans  le  fait  que  la  Théorie  faisait 
intervenir  la  notion  fondamentale  île  temps  tl'une  façon  fort 
étrange,     découcerlant    complètement     linluilion.     Nous     avons 


L' II  HO  NI  OLE  437 

montré  ailleurs*  qu'il  était  possible  dintroduire  un  paramètre 
vinifjue  /  pour  représenter  le  temps  dans  la  Théorie  de  la  Kelati- 
"V'ité.  Voici,  très  brièvement,  les  résultats  auxquels  on  parvient, 
résultats  qui  introduisent  des  notions  mathématiques  nouvelles  : 
Dans  la  Théorie  de  la  Relativité,  on  rapporte  tous  les  déplace- 
ments à  des  systèmes  de  référence  qui  sont  des  trirectangles 
«Miclidiens  S  (x,  y,  zi.  Mais  un  changement  de  système  se  fait  :t 
laide  de  la  tiiinsforniation  de  Lorentz  qui  contient,  outre  les 
3  coordonnées  habituelles  .v,  y,  z  de  tout  point  P,  un  certain 
paramètre  // .  Pour  deux  systèmes  S,  et  S.^,  animés  dune  certaine 
translation  relative,  que  nous  préciserons  plus  loin,  cette  trans- 
formation est  la  suivante  : 

où  jS-  =  1  :  1  —  «-)  est  une  constante.  Or,  les  4  quantités  .r,  y,  z, 
Il  ne  peuvent  être  considérées  comme  les  coordonnées  homogènes 
d'un  point  P;  nous  voulons  dire  que  si  on  leur  attribuait  arbitrai- 
rement cette  signification,  on  ne  serait  nullement  conduit  aux 
résultats  de  la  Théorie  de  la  Helalivilé.  Si,  par  contre,  on  consi- 
dère ces  quantités  comme  des  fonctions  du  temps  t.  on  tombe 
immédiatement  sur  la  célèbre  règle  d'addition  des  vitesses 
d'Einstein,  qui  est  à  la  base  de  la  Théorie,  en  formant  les 
^juotients  : 


■T., 


Il; 


OÙ  les  dérivées  par  rapport  à  /  :  .r,  //,  r  sont  les  composantes -des 
vitesses  de  P.  La  dérivée  //  est  alors  le  scalaire  d'une  vitesse 
<;aractérislique  de  S,  qui  n'est  autre  que  la  vitesse  de  la  lumière 
dans  ce  système.  Nous  nous  trouvons  donc  en  présence  d'un 
nouvel  algorithme  qu'on  peut  appeler  «  vitesses  »  ou  «  dérivées 
Àoniogè/ies  >■. 

Pour  en  voir  la  signification  spatiale,  nous  nous  placei'ons 
<lans  le  cas  très  simple  où  les  deux  systèmes  S,  et  S,  se  réduisent 
aux  axes  O,  .r,  et  0.-,:v^,  glissant  l'un  contre  l'autre  avec  la 
vitesse  a;  P  est  un  point  en  mouvement  sur  ces  axes,  et  nous  le 
supposerons  —  ce  qu'on  peut  toujours  faire  —  lié  à  un  troisième 
axe  Og.rj  glissant  également  relativement  aux  premiers.  On  a 
^lors,  puisque  y^  =  //,  =  c,  =  -^  =  0  : 


1  -h  a  r-' 


'   Voir  Arihù'es  des  sciences  phi/s.  et  nat..  Oenevp,  dt-ci-nibre  191S  et  juin   1!>I9. 

I,  Kns»'i(;nenient   malhéni.,  i»-  année  :   191'.».  39 


438 


C  lIRoy  KJ  U  K 


expression  (lui  ne  dépend  plus  que  des  rapports  ^  ,   ce  ([ui  noujv 
permet,  en   chan^eanf    déchelle,  de   les   prendre   pour  vitesses. 


Posons 


nous  obtenons 


+  '! 


l  + 


(2) 


Comparons  cette  expression  à  celle  que  donne  la  Cinématique 
classique  pour  3  droites  glissant  les  unes  par  rapport  aux  autres- 
avec  des  vitesses  relatives  Vjo-  \23,  Vis  : 

Tandis  que  cette  dernière  relation  conduit,  à  tout  instant  /,  à 
une  configuration  unique  pour  lensemble  des  trois  droites,  la 
relation  (2)  donne,  à  chaque  valeur  de  f,  trois  figures  distinctes 
selon  le  système  où  Ton  se  place  pour  envisager  les  deux  autres. 
Si,  par  exemple,  on  se  met  sur  S,,  Sg  et  S3  sembleront  avoir  les 
positions  apparentes  S,.,  et  Sg.^  (voir  la  figure  .  Nous  dirons 
qu'il  y  a  «  aèe/vv/f/o/i  »."  Cette  désignation  se  justifie  par  le  fait 
que  l'expression  (2)  contient  en  particulier  laberration  astro- 
nomique. 


& 


5.^ 


5,,' 


t^ 


\^ 


■'3,;^ 


^2.,3 


fe 


La  Théorie  ne  faisant  connaître  tiuo  les  positions  apparentes, 
on  se  demandera  quelles  sont  les  positions  ^'laies.  Dans  toutes 
les  Géométries,  euclidiennes  ou  non-euclidiennes,  la  composition 
des  vecteurs  s'effectue   suivant    un    polygone  fermé.    La  règle  (2^, 


CHRONIQUE  439 

par  contre,  conduit  à  une  figiire  ouverte,  ce  qui  pioduit 
r«  aberration  ».  Pour  connaître  les  vitesses  vraies,  il  faudrait 
trouver  des  fonctions  des  vitesses  apparentes,  qui  s'additionnent 
suivant  une  fi(.;ure  fermée.  Il  y  a  deux  possibilités  :  1°  privilégier 
un  système  et  lui  attribuer  le  repos  absolu  ;  2°  prendre  pour 
vitesses  vraies  les  arguments  des  tangentes  hyperboliques  repré- 
sentant les  vitesses  apparentes.  Les  trajectoires  vraies  seraient 
alors  les  géodésiques  de  surfaces  à  courbure  négative.  La  vitesse 
vraie  de  la  lumière  aurait  uîie  valeur  limite  infinie. 

En  terminant,  disons  que  lintroduction  d'un  paramètre  unique 
t  pour  repiésenter  le  temps  dans  la  Théorie  de  la  Relativité, 
permet  d'éliminer  immédiatement  la  célèbre  «  contraction  »  de 
Lorentz.  qui  apparaît  ainsi   comme    une  entité  purement   fictive. 

2.  —  D""  Giov.  pEiiiu  (Lugano).  —  Sur  la  courbe  des  points 
brillants  de  sphères  concentriques. —  Soit  A  le  point  lumineux,  A, 
le  point  de  vue,  O  le  centre  des  sphères,  M  un  point  brillant  par 
réflexion  ,  situé  dans  le  plan  AA,0.  Prenons  un  système  d'axes 
rectangulaires,  0  comme  origine  et  l'axe  O.r  passant  par  le  milieu 
de  AA,.  Soient  alors  /; .  q  ;  p^,  —  q  ;  v ,  y  les  coordonnées  respec- 
tives de  A,  A,   et  ^L    Les  coefficients  angulaires  des  droites  AM, 

A, M  et  OM  sont  alors  respectivement  a  =  ' -•  a,  = ^.  — 

Le  coefïicient  angulaire  de  la  bissectrice  de  l'angle  AMA,  égalé  à 
celui  de  OM  donne 


a\/l-\-a\—    «j  \/  1  +  a-         .. 

Remplaçons  n  et  r/,  par  leurs  valeurs,  nous  obtenons  pour  le 
lieu  des  points  de  réflexion  sur  les  sphères  de  centre  O 

(/)  +/Jil(r='  + r-iv—  \p  —  p^Wx-  —  y-iq  —  ■2{(f-  -\-  pp^\xy  =  0  .     (!) 

Ce  lieu  passe  par  A  et  par  A, ,  il  a  un  point  double  en  O.  Il  y  a 
pour  toute  valeur  de  .r  3  valeui's  de // ;  Lune  d'elles  est  toujours 
réelle    et    positive.    Pour   .r  =  +  x  ,    on     a    asymptotiquement 

y  =     ^r^- q  parallèle  à  O.v.   Pour  foute  valeur  de  y  il   y  a  deux 
•^        p  +  p,  

valeurs  de. <■  qui  ne  sont  reelfes  que  lorsque    t/  ^ i ■ 

Lorsque  A   et  A,  sont  écpiidistants  de  O,  p  z=  p^  et  l'équation  se 
réduit  à 

[pix'  -\-f-)  —  ip-  +  r)x]y  =  0  . 

Le  lieu  est  alors  formé  de  Taxe  des  .r  et  de  la  circonférence 
.t'^  4- w^  —  — -—  o:  =;:  0  dont  le  centre  est  sur  Taxe  des  x  et  qui 


440  CHRONIQUE 

passe  par  0.  Quand  A  est  à  l'infini  :  p  =  y^  ,  l'équation  du  lieu  se 
réduit  à  (?/  —  g)  .r'-'  —  '^Pfi'l/  +  Ç  +  UJI/^  =  0,  qui  sl  jj  =  q  comme 
asymptote. 

l.a  construcLion  graphique  de  la  courbe  peut  se  faire  point  par 
point  au  moyen  des  tangentes  menées  par  A  et  A,  aux  circonfé- 
rences de  centre  0.  On  obtient  pour  chaque  circonférence  deux 
couples  de  tangentes  ayant  4  points  d'intersection  qui  sont  des 
points  de  la  courbe. 

Les  points  brillants:  d'une  sphère  s'obtiennent  par  l'intersection 
du  lieu  des  points  brillants  avec  le  grand  cercle  situé  dans  le 
plan  AA,  0,  donc  par  résolution  du  système  simultané  formé  par 
(i)  et  par  x^  -\-  y'^  =z  r'^.  On  obtient  pour  déterminer  x  et  i/  deux 
équations  du  4*  degré,  par  conséquent  4  points  qui  peuvent  être 
tous  réels  ou  dont  2  peuvent  être  imaginaires.  Notons  cependant 
que  dans  chaque  cas  deux  points  seulement  sont  des  points  de 
réflexion  de  rayons  physiques,  l'un  sur  la  partie  convexe,  l'autre 
sur  la  partie  concave  de  la  sphère.  Les  2  autres  points  répondent 
seulement  à  la  condition  géométrique  de  la  bisection  de  l'angle 
supplémentaire  des  2  droites  passant  par  A  et  A^ . 

3.  —  D""  K.  Merz  (Coire).  —  Métrique  dans  les  ovales  des 
courbes  algébriques.  —  Considérons  1  intérieur  d'un  ovale  comme 
l'image  du  plan  illimité  dans  une  transformation  quadratique. 
Admettons  dans  ce  plan  la  métrique  euclidienne  et  faisons 
correspondre  aux  segments  et  aux  angles  de  ce  plan  leurs  images 
dans  l'ovale  en  les  affectant  des  mêmes  nombres  comme  mesure. 
Nous  définissons  de  cette  manière  à  l'intérieur  de  l'ovale  une 
métrique  générale  non  euclidienne,  ayant  sa  réalisation  dans  le 
plan. 

i*''"  exemple'-,  f  =  {x"^  —  a^iix  —  bj  —  t/'-  =  0  possède 
lorsque  a  <i  h  un  ovale  compris  dans  —  a  ^  x  ^  -\-  a.   La  trans- 

formation  J"^  =  -jr ,  if=:.'—  fait  correspondre  aux  points  P^r,  ij)  de 

l'intérieur  de  l'ovale  les  points  P\^,  //)  du  plan  illimité.  Aux 
coordonnées  .r,  ?/  de  P  envisagées  comme  distances  aux  axes 
correspondent  dans  le  plan  ($,  rj]  un  arc  //  dune  courbe  du  S""" 
ordre  et  un  arc  d'hyperbole  i'  donnés  par 


•  Voir  l'exemple  des  Verhandtiingen  il.  Schweiz.  Naturforsch.  (ieseU.,  l'.MT,  II,  p.  135 


CHRONIQUE  441 

où  /■  =  —  ,  /",  =  '—  .   L'élément  d'arc  est  donné  par  ds-  ==.  dii'^  + 

d.^  -  Idud.  cos,  et  to-,  =  2/[.y,Tr/^-\^+jV./i  •  ''"'  ^"^^^ 
désiqnes  à  l'intérieur  de  lovaie  sont  des  arcs  de  comités  dn 
3'""  ordre. 

„'"'"'  exemple.  /'=  i.v'-  —  a-)  ix-  —  b'^i  —  //-  =  0  ;  a  <^  b  .  On  ne 
considère  que  les  valeurs  de  .r,  //  qui  sont  à  l'intérieur  de  l'ovale 
—  a  <i  X-  <^  -\-  a.  On  obtient 


/       /{a^h-  —  x^  —  j^l-  +  x^^2a:'  —  g-  —  //-)-  ^^. 

"      J  V  [(x^  -  «')  (-'^^^  -  l")  -  ff 

,  ^    r.    /.ry  +  (a:2-fl2,2(.^:2_/,2)■2^^ 

./  V    [(•*;-  —  «^)(^-^  —  b^)  —  v']'     ' 

[(x*  —  a»)  (x2  —  A»)  —  y^\(a^h-  —  x*) 

l^o  —  = ■ '■ — 

xr[x-*  +  y- —  a- h-  -\-  [x-  —  a-){x-  —  h-)i2x-  —  a- —  l>-\ 

Les  géodésiques  de  l'ovale  sont  ici  les  arcs  de  courbes  du  4'"" 
ordre,  images  des  droites  a^  -\-  (if^  z^  y .  La  distance  dans  l'ovale 
se  détermine  par  des  arcs  de  courbes  du  4""  oidre. 

4. —  Prof.  D' W.-ll.  YouNG,  F.  H.  S.  Lausanne  et  Aberytstwyth). 
—  Sur  la  notion  de  Uaire.  —  Plusieurs  mathématiciens  de  notre 
temps  ont  essayé  de  préciser  la  notion  de  l'aire  d'une  snrface 
courbe,  mais  avec  peu  de  succès.  L'auteur  aconsti'uit  une  théorie 
qui  s'applique,  non  seulement  aux  surfaces,  mais  aux  variétés  de 
n'importe  quelles  dimensions.  La  théorie  est  fondée  sur  l'idée 
de  Wnre  d'une  courbe  gauche.  L'aire  d'un  polygone  est  la  somme 
des  moments  de  forces,  représentées  par  les  côtés  du  polygone. 
Inscrivons  dans  une  courbe  un  polygone  ayant  tous  ses  côtés 
inférieurs  en  longueur  à  J  :  si,  en  faisant  tendre  S  vers  zéro, 
l'aire  du  polygone  tend  vers  une  limite  unique,  celle-ci  est  Vaire 
de  la  courbe.  Avec  cette  définition,  par  exemple,  chaque  courbe 
rectifiable  plane  possède  une  aire  donnée  par  la  formule 

A  —  -   I   ).»■(»)  r/v(«)  —  yii<)dx{ii)\    . 

Si  la  courbe  est  limage  du  périmètre  du  rectangle  Iti,  b;  a',  b'  ) 
dans  une  correspondance  continue 

X  =  x[u,  v)  ,        V  =  z{u,  v)  ,        \a  ^  X  ^  a' )  ,        h  ^  y  ^  l>'\   . 

le  problème  se   pose  de  transformer  l'expression    obtenue    dans 
l'intéi^rale  double  bien  connue 


a    b 


442  CHRONIQUE 

Prenons  maintenant  une  correspondance  continue  et  biuni- 
voque 

et  divisons  le  rectangle  fondamental  en  rectangles  partiels,  dont 
les  côtés,  parallèles  à  //  =  0,  ('^=0,  ne  dépassent  pas  (î  en  lon- 
gueur. Ayant  formé  la  somme  S  g  des  aires  des  courbes  images  de 
ces  rectangles  partiels,  nous  faisons  tendre  o  vers  zéro.  Si  X^  a 
une  limite  unique  S,  celle-ci  est  Taire  de  la  partie  de  la  surface, 
image  biunivoque  du  rectangle  fondamental.  Le  théorème 
principal  est  le  suivant:  Si  x(u,v),  y(u,v),  z(u,v)  sont  des 
intégrales  par  rapport  à  u ,  ayant  des  dérivées  partielles  par 
rapport  a  u,  qui  sont,  sauf  pour  un  ensemble  de  valeurs  de  u  de 
mesure  nulle,  toutes  inférieures  à  une  fonction  sommahle  de  \x,  et 
si  la  même  chose  est  vraie  quand  nous  changeons  u  en  v,  et  v  en  u  , 
la  surface  image  du  rectangle  fondamental  a  une  aire  A  donnée 
par  la  formule 

a     h 

Sous  certaines  conditions  l'auteur  arrive  au  même  but  par  une 
méthode  de  triangulation.  Il  faut  cependant  introduire  explici- 
tement Tordre  double  de  la  surface,  de  même  que,  dans  l'approxi- 
mation de  la  longueur  d'une  courbe,  il  est  nécessaire  de  tenir 
compte  du  sens  de  cette  courbe.  La  triangulation  est  obtenue  en 
joignant  convenablement  par  des  lignes  droites  les  points  de  la 
surface,  images  des  sommets  des  rectangles  partiels  de  longueur 
^  A  et  de  hauteur  ;^  ^  dans  le  plan  des  [u  ,  v\.  Pour  calculer 
Taire  nous  laissons  d'abord  k  et  puis  h  tendre  vers  zéro,  et  nous 
obtiendrons  le  résultat  voulu  dans  certains  cas  intéressants.  Sans 
donner  les  conditions  les  plus  générales,  nous  remarquons  que, 
si  xlu,  v),  ylii,  vl  et  z(u,  v)  sont  des  inténrales  doubles,  cette 
méthode  est  valable,  d'autant  plus  que  la  limite  obtenue  est  dans 
ce  cas  indépendante  de  la  manière  avec  laquelle  /.•  et  h  tendent 
vers  zéro. 

5.  —  i^rof.  D''  L. -Gustave  Du  Pasquieh  Neuchàtel).  —  Su/-  un 
problème  de  cinématique.  —  Une  barre  rigide  AB  de  longueur  /, 
peut  tourner  librement,  avec  la  vitesse  «', ,  autour  de  son  extré- 
mité A  supposée  fixe.  Une  seconde  barre  BC  également  rigide, 
mais  de  longueur  /.,  ^zf  /^ ,  peut  tournei-,  avec  la  vitesse  Cj.  libre- 
ment autour  de  Textrémilé  B  de  la  première.  Dans  ces  circons- 
tances, le  point  C,  extrémité  libre  de  la  seconde  barre,  décrit 
une  «  courbe  gp  »  dont  la  forme  et  les  propriétés  dépendent  : 


CHRONIQUE  443 

1°  des  lonorneurs  /,  et  /„  ; 

2"  du  rapport  des  vitesses  r,  et  c,  ; 

S**  du  sens  des  rotations  autour  de  A  et  de  B,  en  particulier 
lorsqu'elles  s'efTectuent  dans  un  même  plan:,  si  elles  ont  lieu 
dans  le  même  sens,  ou  non. 

Il  est  remarquable  que  ces  mêmes  courbes  gp  puissent  être 
engendrées  cinématiquement  d'une  manière  simple  parles  dispo- 
sitifs suivants:  Un  point  mobile  P  est  animé  d'un  mouvement 
donné  sur  un  segment  XY  d'une  droite  d.  En  même  temps,  d 
tourne  autour  de  l'un  de  ses  points,  F,  supposé  fixe  en  dehors  du 
dit  segment.  La  trajectoire  du  mobile  P  est  encore  une  courbe 
gp .  —  Un  point  mobile  P  parcourt  une  certaine  ellipse,  avec  la 
vitesse  i>^  (mouvement  de  circulation  ;  simultanément,  cette 
ellipse  tourne  avec  la  vitesse  v„  autour  d'un  pôle  fixe,  F,  qui 
coïncide  ;i  chaque  instant  avec  l'un  de  ses  foyers.  La  trajectoire  .s 
qui  résulte  pour  P  de  la  combinaison  de  ce  mouvement  de  rota- 
tion avec  celui  de  circulation  est  de  nouveau  une  courbe  ^■/>.  — 
Le  conférencier  déduit  les  équations  de  ces  courbes  dans  le  cas 
où  elles  sont  planes,  en  coordonnées  cartésiennes  et  polaires, 
puis  en  énumère  une  série  de  propriétés  et  indique  une  généra- 
lisation du  problème  à  l'espace. 

La  communication  se  termine  par  d'intéressantes  applications 
des  courbes  gp  à  quelques  mécanismes,  à  l'astronomie  et  à  la 
mécanique  de  la  relativité. 

(5.  —  Prof.  D'  A.  SpHisKit  i/urich  .  —  Siii-  les  lignes  géodési- 
^ues  des  surfaces  convexes.  —  Considérons  les  lignes  géodésiques 
d'une  surface  convexe  fermée,  issues  d'un  point  p.  à  partir  de  p 
jusqu'au  premier  foyer.  Elles  engendrent  une  surface  recouvrant 
la  surface  convexe  partout  au  moins  une  fois.  La  continua- 
tion de  ces  lignes  à  partir  du  premier  foyer  jusqu'au  deuxième 
engendre  de  nouveau  une  surface  de  recouvrement  qui,  quand 
certaines  conditions  sont  remplies,  couvre  toute  la  surface 
convexe.  Par  chaque  point  P  il  passe  donc  au  moins  une  géodé- 
sique  qui,  après  avoir  louché  l'enveloppe  une  seule  fois  rentre  au 
point  p.  On  démontre  que  la  plus  courte  est  une  géodésiquc 
fermée,  ce  qui  donne  une  démonstration  nouvelle  d'un  théorème 
de  Poincaré  (American  transactions,  t.  (>,  p.  2M  ,  à  savoir  que  sur 
■chaque  surface  convexe  fermée  il  existe  au  nutins  une  gèodésique 
fermée. 

7.  —  Prof.  D'  M.  Pi.ANCHEiiKL  (Fribourgl.  —  Sar  la  méthode 
d'intégration  de  Hayleigh-Ritz.  —  Le  procédé  de  Rayleigh-Hitz 
(Rayleigh  :  Phil.  Xlag.  (5  ,  47  (1809,  p.  566-72  et  (6i,  22  ^1911), 
p.  22:)-229:  Hitz  :  Gôtt.  Nachr.,  1908,  p.  236-40.  J.  reine  angew. 
.Math.,  1.35  (19081,  p.  1-61.    Ann.  d.  Phys.    'i>,  28    1909,  p.  7.37-786. 


444  Clin  UNIQUE 

Œuvres,  p.  192-316)  poui  rinlégration  des  équations  linéaires  aux 
dérivées  partielles  du  type  elliptique  qui  résultent  d'un  problème 
du  calcul  des  variations  prenons  pour  fixer  les  idées  l'équation 
J  Jii  —  P.// z=  0  exprime  la  solution  sous  forme  d'une  série 
Il  =  ^Sj^ifi  procédant  suivant  un  système  de  fonctions  données  y,- 
que  nous  supposerons  orthogonal,  fermé  et  norme  et  calcule  les 
coefficients  x\  comme  solutions,  au  sens  de  la  méthode  des- 
réduites, d'un  système 

-  "a-'^A- —  ^•■^■i  =  //  (1) 

k 

d'une  infinité  d'équations  linéaires  à  une  infinité  d'inconnues. 
La  méthode  de  Ritz  ne  démontre  la  légitimité  du  procédé  que 
dans  le  cas  où  Â  ^  0.  En  supposant  connues  l'existence  et  les  pro- 
priétés des  fonctions  fondamentales  de  J  Ju  — A»  ^  0,  il  est 
cependant  possible  de  prouver  que  le  procédé  de  Ritz  est  appli- 
cable pour  toute  valeur  de  À  qui  n'est  pas  une  valeur  fondamentale 
et  qu'il  permet  de  calculer  valeurs  et  fonctions  fondamentales  par 
la  résolution,  au  sens  de  la  méthode  des  réduites,  du  système 
homogène  correspondant  à  (1).  La  démonstration  se  base  sur 
l'étude  de  la  forme  quadratique  (non  bornée)  2aii^Xi.i\.  et  sur  le 
fait  que  cette  forme  possède  cependant  une  résolvante  unique 
K  7*  ;  .v)  qui,  elle,  est  une  forme  bornée  sauf  pour  les  valeurs  de  jU 
qui  sont  les  inverses  des  valeurs  fondamentales.  Ainsi  se  tiouve 
justifiée  l'application  qu'a  faite  Ritz  de  son  procédé  au  calcul  des- 
vibrations fondamentales  d'une  plaque  élastique  à  bords  libres 
(figures  de  Chladni). 

8.  —  D''  G.  PoLYA  (Zurich).  —  Quelques  problèmes  de  probabi- 
lité se  rapportant  à  la  u  pro/nenade  au  hasard  ».  —  Imaginons  ui> 
réseau  régulier  de  points  dans  l'espace  à  rf  dimensions;  relions- 
tous  ces  points  nœuds)  par  des  droites  parallèles  aux  axes  de 
coordonnées.  Un  promeneur  errant  sur  les  droites  de  ce  réseau 
se  décide  au  hasard,  en  chaque  nœud,  pour  une  des  '2d  directions- 

...    1 
possibles,  le  choix  de  chaque  direction  ayant  la   probabilité  5-;  . 

Pour  c?  =  1,  nous  avons  simplement  une  droite  indéfinie  divisée 
en  segments  égaux  et  le  problème  est  une  représentation  géomé- 
trique du  jeu  de  «  pile  ou  face  ».  Pour  ûf  =:  2,  le  problème  repré- 
sente la  promenade  au  hasard  d'un  piéton  dans  un  léseau  de  rues- 
et  pour  flf  =:  3  le  chemin  d'une  molécule  d'un  gaz  en  dilïusion  à 
travers  un  cristal  du  système  régulier. 

Les  applications  principales  du  calcul  des  probabilités  peuvent 
être  rattachées  au  schéma  de  la  promenade  au  hasard  ou  à  des- 
modilîcations  de  ce  schéma,  ([ui  s'introduisent  delles-mèmes, 
Des  problèmes  nouveaux  et  curieux  se  rapportant  à  la  promenade 


CIIROMQUË  Wh 

au  hasard,  nous  ne  citerons  ici  qu'un  seul.  Deux  promeneurs 
errant  dans  le  réseau,  partant  d'un  même  nœud,  allant  toujours 
avec  la  même  vitesse,  prennent  leuis  décisions  aléatoires  à  cha(|ue 
nœud,  indépendamment  l'un  de  l'autre.  La  piohabilité  pour  cpi'ils 
se  rencontrent  pendant  une  durée  t  déterminée  croît  avec  /.  dette 
probabilité  tend-elle  vers  l'unité  lorsque  t  tend  vers  l'inlini  .'  Otii, 
s'\  d  =  1,  '1  :   non,  si  d  =  3,  4,  5,  . .  .  . 

9.  —  Prof.  D''  l\.  FuETEit  (Zurich)  —  Snr  quelques  théorèmes  de  la 
théorie  des  idéaux  et  sur  leur  dénionstralion.  —  Soit  K  un  corps  de 
Galois  quelconque.  Hilbert  à  étudié  la  décomposition  dans  K  de 
chaque  nombre  premier  en  idéaux  premiers.  On  peut  comj)léler 
ses  recherches  en  considérant  l'ensemble  des  nombres  premiers 
au  lieu  de  les  considérer  isolément.  En  ell'et,  K  est  cyclique  rela- 
tivement au  corps  de  décomposition  des  nombres  premiers  qui 
n'ont  pas  de  diviseur  commun  avec  son  discriminant  :  on  peut, 
pai-  suite,  utiliser  la  théorie  que  j  ai  donnée  des  é([ualioiis  abé- 
liennes  dans  un  domaine  fondamental.  Les  résultats  suivants 
entrent  en  considération.  Soit  k  un  corps  fondamental,  K  le  coi'ps 
supérieur  cyclique  relatif;  soit /'un  idéal  de  A"  contenant  tout  idéal 
premier  du  discriminant  relatif  de  K  par  rapporta  A',  à  la  première 
puissance  quand  il  est  premier  avec  le  dei,n'é  relatif,  à  une  certaine 
puissance  lorscpi'il  est  contenu  dans  le  de<;ié  relatif.  Formons  le 
rayon  de  k  ayant /'comme  guide.  On  a  alors  les  théorèmes  : 

I.  Tous  les  idéa/i.t  premiers  d'u/ie  classe  de  rayons  niod.  f  de 
k  se  décomposent  de  la  même  manière  dans  K.  Deux  idéaux  de  k 
sont  dits  équivalents  fmod,  /')  lorsque  leur  quotient  ,  multiplié 
convenablement  par  des  unités  de  A,  est  égal  à  un  nombre  a 
totalement  positif  eV  véi'ifiant  la  congruence  a  =  1    niod.  /'  . 

II.  Tous  les  idéaux  de  la  classe  principale  de  rai/o/is  imod.  f  j  de 
k  se  décomposent  dans  K  en  un  nombre  d'idéaux  premiers  é<>al  au 
degré  relatif. 

Considérons  tous  les  nombres  premieis  du  corps  de  Galois 
donné  K  et  formons  avec  eux,  comme  plus  haut,  le  guide /'.  Le 
corps  d'inertie  de  tous  les  idéaux  premiers  non  contenus  dans  f 
est  encore  le  coips  K.  Ce  dernier  est  cyclique  de  degré  n  lelative- 
ment  au  corps  de  décomposition  d'un  idéal  premier  Ji  (c'est-à- 
dire  sa  norme  est/^",.  Soit  I,  c,  r-.  ...  ,  c"~'  le  groupe  (relatif I 
de  décomposition.  Parmi  les  consé([uences  des  théorèmes  l  el  II 
je  noterai  les  suivantes  : 

Le  groupe  de  déc(»mposition  I,r,c'-,  ...  r"~*  est  un  sous-groupe 
du  groupe  de  décomposition  de  tout  idéal  premier  du  coips  de 
décomposition,  lors((ue  cet  idéal  est  éf|uivalenl  niod. /')  dans  ce 
ooips  à   l'idéal   premier]).    Si   J,  z,  :•* ,  ...  ,  :"~'    n'est   pas   sous- 


4'i6  CHRONIQUE 

groupe  d'un  sous-groupe  cyclique  du  groupe  de  Galois,  tous  les 
idéaux  premiers  du  corps  de  décomposition,  qui  sont  équivalents 
à  p  (mod. /■),  ont  ce  corps  comme  corps  de  décomposition.  Si 
/i>  l,p  n'est  jamais  un  idéal  jîrincipal  (mod.  /';  dans  le  corps 
de  décomposition. 

Si  donc,  inversement,  on  prend  un  sous-groupe  quelconque 
\,z,  z'^,  ...  ,  3"~*  du  groupe  de  Galois  du  corps,  et  si  ce  sous- 
groupe  est  «  le  plus  grand  »,  c'est-à-dire  s'il  n'est  pas  sous-groupe 
d'un  autre  sous-grouj^e  cyclique,  formons  le  sous-corps  1;  appar- 
tenant à  1 ,  3 ,  s"-^ ,  .  . .  ,  z"~^  ;  alors,  tous  les  idéaux  piemiers  de  k 
qui  ne  sont  pas  du  premier  degré  se  décomposent  dans  K  en  n 
idéaux  premiers.  Tons  les  idéaux  premiers  de  la  même  classe  de 
rayons  [mod.  t)  de  k  ont  le  même  corps  de  décomposition. 

Les  démonstrations  des  théoi-èmes  I  et  II  n'ont,  jusqu'il  présent, 
pas  été  entièrement  publiées.  Trois  méthodes  peuvent  conduire 
au  but  :  celle  de  Furtwangler  basée  sur  les  lois  de  réciprocité, 
ma  méthode  des  classes  de  layons  et  de  la  répartition  en  genres, 
enfin  la  méthode  analytique  de  Hecke  basée  sur  son  équation 
fonctionnelle. 


10.  —  D'  S.  Bavs  (Pribourgi.  —  Une  question  de  Cayley  rela- 
tive (III  problème  des  triples  de  Steiner^.  —  Cayley  a  soulevé, 
lelalivement  au  problème  des  triples  ou  triades  de  Steiner,  une 
question  intéressante  et  diflicile,  jusqu'ici  neuve  encore  de  toute 

ie(;herche  :  Est-il  possible  de   répartir  les  — ^ j, triples 

de  X  éléments  en  N  —  2  systèmes  de  Steiner  ? 

Pour  7  éléments,  (;ette  répartition  n'est  pas  possible  ;  on  peut 
écrire  deux  systèmes  de  Steiner  de  7  éléments,  n'ayant  pas  de 
ti'iples  communs,  mais  pas  davantage.  Cayley  s'est  demandé  si  par 
exemple  les  ^i.55  tiiples  de  15  éléments  pourraient  être  disposés  en 
13  systèmes  de  Steiner.  Il  a  cru  donner  une  démonstration  très 
simple  que,  si  les  13  systèmes  existent  let  Cayley  dit  en  termi- 
nant qu'il  ne  le  pense  pas),  ils  ne  peuvent  pas  se  déduire  de  l'un 
d'entre  eux  par  une  peiinutation  cyclique  de  13  de  ces  éléments. 
Mais  sa  démonstration  repose  sur  une  j)rétcntion  qui  se  trouve 
être  entièrement  fausse.  Cayley  prétend  que  dans  le  rectangle  des 
couples  des  13  éléments  0,  1,  2,  ...  ,  *.),  ()'.  1',  2',  disposés  de  la 
manière  suivante  : 


•  Cavluv.  Mathcm.  Papcrs,  I.  p.  481,  on  l'iiilosoph.  Miiga/.ine,  37  (I8.î(i),  p.  50.  —  Voir 
iiiissi  NiiTTn.  Combinalorik,  1901,  j>.  20"2  à  2.15  l'I  piirticulieroinont  p.  228.  —  Ûiins  L'Ensei- 
gnement ntathêmatique  (N"  1-2),  l'.MT,  j'ai  clabli  que  pour  «  «Ii  inents  le  problème  du  Caylev 
est  possible  et  qu'il  a  2  solutious  dillorenlcs.  Ji'  donnais  en  ronimon(;aiit  la  démonstration 
do  Cayley  relative  au  cas  de  15  clém  'nts,  parce  que  intéri'Sr-ante  et  siniiile.  sans  songer  à 
douter  de  la  prétention  sur  laquelle  elle  repose. 


01 

12 

2:î 

3'i 

45 

56 

67 

02 

lo 

24 

35 

46 

57 

68 

o.s 

14 

25 

36 

47 

58 

69 

04 

15 

26 

37 

48 

5^ 

60' 

05 

16 

27 

38 

49 

50' 

61' 

0(i 

17 

28 

39 

40' 

51' 

62' 

CHliONIOVE  447 

78  89  90'  (t'r     l'2'     2'0 

79  80'  91'  0'2' 
70'     81'  92'  O'O 


ni       81       92       0': 


l'O 

2'l 

\'2 

2'3 

I'3 

2' 4 

l'4 

2'5 

il  n'existe  quun  seul  système  de  G  couples,  ayant  un  couple  clans 
chaque  ligne  et  renfermant  les  12  éléments  1,  2,  ...  ,  1',  2',  à 
savoir  le  système  suivant  :  07,  2'i.  58,  l'2,  49,  O'.'i.  Or  il  en  existe 
144  autres,  remplissant  les  mêmes  conditions;  ces  systèmes  vont 
par  couples  de  systèmes  cjue  j'appellerai  con/iigiuKs,  déductibles 
l'un  de  l'autre  parla  substitution     r,  N  —  .r  .  Le  système  1,  N  .  1  ; 

2,  X  .  2  :  ...  ;  — ^ —  •  — 9 —  '  donné  par  Cayley.  est  le  seul  iden- 
tique à  son  conjugué  ou  self-conjugué.  Poiu-  (Ui  -j-  'A  éléments, 
lorsque  (in  -\-  1  est  un  nombre  premier  (cas  de  15  éléments  de  la 
démonstration  de  Cayley  ,  et  pour  6/?  -|-  1  éléments,  lorsque 
()/?  —  1  est  un  nombre  premier  de  la  forme  4.r  —  1,  je  peux 
donner  un  système  général  de  couples,  remplissant  les  conditions 
demandées  par  Cayley,  différent  de  son  conjugué  et  donc  autre 
que  le  système  self-conjugué,  au  moyen  d'une  racine  primitive  a 
de  ()/?  +  1?  resp.  de  6/i  —  P.  Pour  9  éléments,  ce  système  avec 
son  conjugué  et  son  self-conjugué,  permettent  de  construiie 
immédiatement  le  système  de  Steiner  suivant  : 

780      713      726      745      815      823      846      016      025      034      124      356 

que  la  substitution  cyclique  Or2.'J45t)  transforme  successivement 
en  (i  autres  systèmes  de  Steiner  différents  par  tous  les  triples,  et 
renfermant  donc  avec  le  premier  les  84  triples  de  9  éléments. 

f>e  manque  de  place  ne  me  permet  pas  de  développer  davan- 
tage la   question  :    mais    le    problème    de    Cayley  :    licparlir   les 

'sl'S  1)(X  —  2) 

^ —    triples    de    \     éléments    en    N  —  2    si/ s  te  mes    de 

Steiner.  ou  en  d'auties  termes  :  troiwer  X  —  2  si/stemes  de  Steiner 
de  X  éléments  différents  par  tous  les  triples,  me  parait  se  poser 
au  contraire  d'une  manière  positive,  pour  X  =  6n  -f-  1  et  poui' 
X  =  (in  -\-  n  éléments,  X  ::=  7  étant  j^robablement  le  seid  cas  poui' 
lequel  il  manque  de  solutions. 


'  Ces  deux  systèmes  sont  respectivement  : 

Pour  6»  -I-  3  :    a"  a",   a' a"  +  ' a"-' a""-' .    x-"  r'"  .    a2"+l  3:'"  +  ! 

Pour  6»   +   1    :    'x''x\    a- x'' ,    ...    ,    a''"""' a'"'~'' ,    en    enleniliint    n.aurellemi^nt    p.ir 
l'élément  T.-'- .   le  plus  petit  reste  jiositit'  de  ce  nombre  ltii>d.  »>«  +  1    n-sp.    (Ui  —  I). 


'i'i8  Cil  HO  y  I  QUE 

11.  —  l^rof.  D'  I-.  Cuiii-iKit.  —  Interprétation  géométrique  ration- 
nelle des  quantités  imaginaires.  —  I.  Toutes  les  opérations  de  la 
«réométrie  aiialyti([ue  à  deux  dimensions  supposent  que  nous 
travaillons  sur  l'endroit  du  plan  fondamental. 

Si  nous  introduisons  le  concept  de  l envers  du  plan,  nous 
aurons,  avec  un  axe  commun,  celui  des  x  par  exemple,  de  nouvelles 
ordonnées  qui  correspondent  aux  valeurs  -f-  y  —  \  et  —  y  —  1 
ou  -\-  i  (i\  —  /. 

II.  Considérons  maintenant  une  équation  algébrique,  par 
exemple  ./"^  +  //-  ;=  16.  A  toutes  les  valeurs  de  x  correspondent 
des  valeurs  de  y;  entre  —  4  et  -|-  4  elles  viennent  sur  lendroit  et 
forment  un  cercle;  entre  —  ^o  et  —  4,  puis  entre  +  ^  et  -f-  oo 
elles  viennent  sur  l'envers  et  forment  une  hyperbole  équiiatère 
également  comprise  dans  la  formule. 

III.  Recherchons  les  points  de  coupe  de  la  droite  .f  =  5  avec  la 
courbe  x'^  -\-  if^=^  16.  Nous  trouvons  5,  +  -^0  ^^  (5,  — 3/).  Comme 
la  droite  est  également  représentable  sur  l'envers,  les  points  de 
coupe  sont  sur  l'envers,  sur  l'hyperbole. 

IV.  Passons  aux  points  de  coupe  de  la  même  courbe  avec  la 
droite  y  ^=  2x  —  16.  Nous  trouvons 

X  =  ^V  4  Vu  i       et        V  =  -  ^  ±  4  l/Fl   ,   . 
.■)  o  ■  0  0 

Pour  trouver  les  images  de  ces  points,  nous  avons  deux  moyens: 
a\  Nous  prenons  comme  nouvel  axe  des  x  le  diamètre  perpen- 
diculaire à  la  droite;  Téquation  de  la  courbe  ne  change  pas  ;  celle 

I  fi       — 
de  la  droite  devient  .v  -=:  -r  vô.  D'après  le  raisonnement  précé- 
dent nous  trouvons  les  deux  points  de  coupe  sui'  l'envers  du  plan 
et  sur  l'hyperbole  correspondante. 

b]  Oti  bien  nous  déplaçons  les  axes  jusqu'en  (  -r  ,  —  "f  )  comme 
nouvelle  origine  et  sur  l'envers,  à  cause  du  déplacement  des 
2  axes,  nous  avons  les   coordonnées   -+-  -^  yiii  et  H-  -^  yiii  ou 

les  points^  V/TÏ/,  ^  \/li/j  et  (—  t  \/rï/,   —  |  \/Tîij  . 

\  .  On  peut  opérer  de  la  même  manière  avec  une  conique  (juel- 
conque  et  nous  arrivons  aux  conclusions  suivantes  : 

a)  Les  points  de  coupe  d'une  conique  avec  une  droite  extérieure 
sont  les  intersections  de  la  droite  sur  l'envers  du  plan  avec  la 
conique  associée  qui  admet  la  direction  de  la  droite  comme  dia- 
mètre conjugué  secondaire.  Le  diamètre  principal  sert  d'a.ve  réel 
commun  aux  deux  faces  du  plan. 


CHRONIQUE  449 

b''  Les  i'alenrs  anabitiqties  x  =.  a  zt  bi  e^  y  :^  c  ±  di  t/oin'èes 
comme  solutions,  correspondent  aux  mêmes  points;  n  et  c  sont  les 
coordonnées  de  la  noncelle  origine,  sur  le  centre  du  segment  de 
droite  entre  les  points  de  coupe  ;  b  et  —  b  sont  les  abscisses,  tandis 
que  c  et  —  c  sont  les  ordonnées  de  ces  points  sur  Venvers  du  plan 
fondamental. 

12.  —  Dans  sa  séance  administratii'e,  la  Société  a  procédé  au 
renouvellement  de  son  comité  pour  1920  et  1921.  M.  le  prof. 
L.  Crelier  (Berne)  a  été  élu  président,  M.  le  prof.  0.  Spiess 
(Bàle),  vice-président,  et  M.  le  prof.  Gustave  Dumas  (l.ausanne) 
secrétaire-trésorier. 

La  prochaine  réunion  ordinaire  aura  lieu  à  Neuchdtel. 


Nouvelles  diverses.  —  Nominations  et  distinctions. 

Angleterre.  —  M.  G.  H.  Hardy,  F.R.S.,  du  Trinity  Collège 
de  (Cambridge,  a  été  nommé  professeur  de  mathématiques  pures 
à  l'Université  d'Oxford. 

Belgique.  —  La  Classe  des  Sciences  de  l'Académie  royale  de 
Belgique  a  élu,  membre  titulaire,  M.  Cl.  Servais  (Gand),  et  membre 
correspondant  M.  Th.  Dedonder  (Bruxelles). 

Questions  mises  au  concours.  —  La  Classe  des  Sciences  de 
l'Académie  royale  de  Belgique  a  mis  au  concours  les  questions 
suivantes  (séance  du  7  mars  1914)  : 

On  demande  une  contribution  importante  à  la  géomètiie  infini- 
tésimale des  surfaces  courbes.  —  (Prix  :  huit  cents  francs.) 

Résumer  les  tra^>au:v  sur  les  si/stémes  de  coniques  dans  l'espace 
et  faire  de  nouvelles  recherches  sur  ces  systèmes.  —  (Prix:  huit 
cents  francs.) 

Le  délai,  fixé  primitivement  au  l"  août  1913,  a  été  prorogé  au 
1"^  août  1920. 

France.  —  Collège  de  France.  Cours  publics  du  1""  semestre 
à  partir  du  1"  décembre  1919.  —  Nous  relevons  les  cours  suivants 
concernant  les  sciences  mathématiques  et  physiques  : 

M.  HuMBERT  :  Quelques  applications  des  fonctions  elliptiques. 
—  M.  Hadamard  :  L'œuvre  de  Poincaré  :  théorie  des  fonctions.  — 
M.  Brii.i.ouin  :  Propriétés  générales  des  couches  superficielles; 
en  particulier  des  couches  moléculaires  liquides  et  solides.  — 
M.  I-ax(;kvix  :  Les  aspects  successifs  et  les  confirmations  expéri- 
mentales du  principe  de  relativité. 

Académie  des  Sciences.  —  L'Académie  a  décerné  le  Prix  Bordin 
à  M.  S.  Lefschetz,  ingénieur  des  Arts  et  Manufactures,  professeur 
à  l'Université  de  Kansas. 


450  CimoNlOi'E 

Italie.  —  M.  \j.  Bicitzoï.Aiii,  prol'esseur  à  l'L'niveisilé  de  l'avie, 
et  M.  le  colonel  A.  Ciiocco,  de  llnstitnt  aéronautique  de  Rome, 
ont  été  nommés  menihies  coirespondants  de  l'Académie  Royale 
dei  Lincei. 

M.  E.  Damklk,  professeur  de  mécanique  rationnelle  à  l'Univer- 
sité de  Catane,  a  été  nommé  à  la  même  chaire  de  ILniversilé  de 
Modène. 

Youg-oslavic —  f.e  Gouvernement  du  Royaume  des  Serbes, 
Croates  et  Slovènes  vient  de  créer  l'université  de  Lioubliana 
(anciennement  Laibachi,  qui  comprendra  aussi  une  faculté  tech- 
nique. 

M.  J.  Pi.EMEL.r,  professeur  ordinaire  à  lUniversité  de  Czernowitz 
Roumanie),  a  été  nommé  professeur  ordinaire  de  Mathématiques 
à  l'Université  de  Lioubliana. 

M.  R.  Zoupantchitch',  docent  honoraire  de  l'Ecole  polytech- 
nique de  Vienne  (Autriche),  a  été  nommé  piofesseur  ordinaire  de 
Mathématiques  à  l'Université  de  Lioubliana. 


Nécrologie. 

Gustave  De.mahtrks  (l.S  mai  1848- 11  juillet  1919).  —  La  Faculté 
des  Sciences  de  Lille  a  ses  pertes  de  guerre".  Jean  Claiiun,  pro- 
fesseur de  mathématiciues  générales,  a  été  tué  le  26  août  1914  à 
Thun-Lévéque  (Nord),  comme  adjudant  au  26"'"  régiment  d'infan- 
terie territoriale,  après  une  carrière  universitaire  courte  et  féconde. 
Gustave  DEMAirrnEs,  professeur  de  calcul  différentiel  et  intégral, 
est  décédé  a  Lille  le  11  juillet  1919,  des  suites  des  souffrances 
physiques  et  morales  qu'il  endura  pendant  l'occupation  allemande. 

Demartres  était,  à  proprement  parler,  le  fils  de  ses  œuvres  : 
professeur  de  collège,  déplacé  d'un  bout  de  la  France  à  l'autre, 
seul  et  sans  autre  maître  que  les  livres,  il  est  reçu  à  la  licence  de 
mathématiques.  11  demande  un  congé,  vient  suivre  à  Paris  les 
cours  de  la  Sorhonne,  où  il  a  comme  condisciples  Paul  Appell  et 
Emile  Picard.  Les  cours  de  Daiboux  développent  chez  Demartres 
le  goût  de  la  géométrie;  une  fois  reçu  à  l'agrégation,  professeur 
au  lycée  de  Rennes  et  chargé  de  conférences  à  la  Faculté  des 


'  M.  H.  Suppantsehilch  nous  prie  île  mettre  désormais  l'orthographe  française  de  son 
nom  en  iiccord  avec  les  habitudes  de  ses  collègues  serbes  et  de  l'écrire  :   Zoupantchitch. 

'  Parmi  les  professeurs  non  mathématiciens,  la  Faculté  des  Sciences  de  Lille  a  perdu 
aussi  pendant  la  guerre  :  (lossi'i.in ,  doven  honoraire,  professeur  honoraire  de  géologie  et  de 
minéralogie,  membre  de  l'Académie  des  i^ciences  «le  Paris,  décédé  à  Lille  le  20  mars  1916  : 
LiiMoui.T,  professeur  de  chimie  générale,  tué  le  !••■  mai  19U'>  dans  l'explosion  de  la  poudrerie 
de  La  Pallice  (Charente-Inférieure):  Bkutkand,  professeur  de  botanique,  décédé  à  Lille  le 
l'I  août  1917:  BuisiNK,  professeur  de  chimie  appliquée,  décédé  le  19  mars  1918  .i  Milyganv 
(Russie),  oii  il  avait  été  enunené  comme  otage. 


CHRONIQUE  't51 

Sciences,  il  fait  une  tlièse  remarquée  de  géoinélrie  inlinitésiniale. 
Il  est  un  an  chargé  du  cours  de  mécanique  rationnelle  à  la  Faculté 
des  Sciences  de  Montpellier,  et  le  1'=''  novembre  1880  arrive  à  la 
Faculté  des  Sciences  de  Lille  comme  chargé  du  cours  de  calcul 
(litTérentiel  et  intégral.  Il  remplaça  M.  Boussinesq  dans  la  chaire 
de  calcul  différentiel  et  intégral  le  l*'"  mars  1888  :  il  vient  d'y 
mourir,   après   avoir  enseigné  presque  jusqu'à  son  dernier  jour. 

Par  son  labeur  solitaire  et  acharné,  il  avait  acquis  une  profonde 
érudition,  il  Ta  entretenue  constamment:  il  mettait  une  certaine 
coquetterie  à  se  tenir  au  courant  des  publications  les  plus  récentes, 
des  nouvelles  richesses  du  domaine  mathématique,  dont  il  aug- 
mentait lui-même  le  patiimoine.  Il  apportait  à  ses  études  et  à  ses 
travaux  un  esprit  fin  et  délicat,  un  souci  continuel  de  la  beauté  et 
de  lélégance.  qu'il  recherchait  toujours  dans  l'expression  de  ses 
pensées,  amoureux  des  belles  phrases  et  du  bon  français. 

Professeur  éminent.  «  il  a  formé  des  élèves  nombreux  et  enthou- 
siastes »,  a  dit  M.  Appell.  Son  érudition,  sa  remarquable  mémoire 
lui  permettaient  de  faire  des  leçons  sans  notes,  dans  une  langue 
châtiée  et  harmonieuse.  A  sa  suite,  ses  auditeurs  apprenaient  à 
admirer  et  à  aimer  les  mathématiques.  Il  avait  écrit  pour  eux  un 
«  Cours  d'analyse»  qui  resta  un  temps  le  seul  cours  complet  de 
cet  ordre,  et  fut  répandu  dans  toute  la  France  parmi  les  étudiants 
de  la  licence  mathématique.  On  n'en  trouve  plus  maintenant  de 
polycopies  :  par  excès  de  modestie,  il  n'avait  pas  voulu  le  laisser 
imprimer.  Puis,  pendant  de  longues  années,  il  avait  apporté  tous 
ses  soins  à  écrire  avec  amour,  à  retoucher  jusqu'au  dernier 
moment  son  «  Cours  de  Géométrie  infinitésimale  »,  qui  a  paru 
([uelque  temps  avant  la  guerre,  et  dont  le  succès  est  déjà  grand. 

Demartres  avait  l'amour  et  la  fierté  de  son  métier.  H  fut  quel- 
ques années  doyen  de  la  Faculté  des  Sciences  de  Lille.  Mêlé 
intimement  à  la  vie  de  notre  Université,  il  a  contribué  pour  Ijeau- 
coup  à  son  développement.  Il  a  été  en  France  l'un  des  partisans 
les  plus  ardents  et  l'un  des  créateurs  des  cours  de  Mathémati({ues 
générales,  dont  l'utilité  n'est  plus  à  démontrer  maintenant.  Il 
payait  de  sa  personne  sans  compter  :  resté  à  ■  Lille  pendant 
l'occupation,  soumis  à  des  vexations  continuelles,  torturé  dans 
son  patriotisme  et  dans  son  amour  familial,  il  abandonne  à 
soixante-huit  ans  son  enseignement  habituel,  qui  aurait  rendu 
service  à  trop  peu  d'étudiants.  Il  organise  un  cours  de  Mathéma- 
tiques générales  et  de  Mathématiques  spéciales.  Kn  permettant 
ainsi  aux  jeunes  reclus  d'aborder,  après  la  délivrance,  la  carrière 
rêvée,  il  leur  a  donné  un  niagnifi([ue  exemple  de  dévouemonl  qu'ils 
ne  pourront  jamais  oublier. 

Quant  à  son  patiiotisme,  l'ardeur  en  demeurera  légendaire. 
Pendant  l'occupation  de  Lille,  sa  foi  dans  la  victoire  française 
n'admettait  nulle  réserve.  La  fortune  (les  armes,  avec  ses  inévila- 


'i52  (11  no  NI  QUE 

blés  vicissitudes,  n'exerça  jamais»  la  plus  léj^ère  influence  sur  sa 
conviction.  La  victoire  du  droit  se  déduisait  pour  lui  de  considé- 
lalions  inébranlables.  Elle  lui  apparaissait  —  et  il  aimait  à 
employer  ce  mol  —  comme  une  cei'tifude  mathématique.  Cette 
magnifirpie  confiance  rayonnait  de  sa  parole,  gagnait  autour  de 
lui  tous  les  cœurs  et  prévenait  les  défaillances.  En  dépit  d'un 
deuil  cruel  et  glorieux,  il  aura  eu  du  moins  la  suprême  joie  de 
connaître  le  triomphe  de  cette  patrie  qu'il  a  si  profondément 
aimée.  Ses  coUegnes. 

A.  Iluiiwiiz.  —  M.  Adolf  Hurwitz,  né  à  llildesheim  en  IS.jO. 
professeur  à  l'Ecole  polytechnique  fédérale  depuis  1892,  vient  dt' 
s'éteindre  après  une  longue  et  cruelle  maladie  supportée  avec  le 
courage  d  un  stoïcien. 

Précoce  comme  tous  les  mathématiciens  de  génie,  il  s'imposa  à 
l'attention  de  ses  confrères  par  la  publication  de  sa  thèse  sur  les 
fondements  d'une  théorie  indépendante  des  fonctions  modulaires 
elliptiques  qui  restera  un  de  ses  plus  beaux  titres  de  gloire.  Ses 
nombreux  travaux  sur  la  théorie  des  nombres,  l'algèbre  et  la 
théorie  des  fonctions  ont  tous  un  cachet  de  suprême  distinction. 
Le  souci  de  l'élégance  et  de  la  perfection  y  est  poussé  à  un  degié 
qu'on  peut  rêver  d'égaler  mais  non  de  surpasser. 

Ses  recherches  sur  les  séries  de  Fourier  et  l'application  qu  il 
en  a  faite  au  problème  des  isopérimètres  sont,  en  particulier,  un 
véritable  joyau  dans  l'écrin  des  vérités  mathématiques. 

Ces  qualités  de  llurwitz  n'étaient  dans  l'ordre  scientifique  que 
le  reflet  du  caractère  de  l'homme,  fait  de  droiture  et  durbanité. 
dun  sentiment  très  élevé  du  devoir  et  dun  amour  ardent  de  l'har- 
monie sous  toutes  ses  formes. 

Ses  nombreux  élèves  et  ses  collègues  garderont  de  leur  cher 
maître  et  ami  un  souvenir  ému  et  reconnaissant. 

Zui'ich,  novembre  1919.  .1.  Fhani-i.. 

H. -G.  Zeuthen.  —  Le  savant  mathématicien  danois  M.  II. -G. 
/enlhen.  professeur  émérite  à  l'Université  et  à  l'Ecole  polytech- 
nique de  Copenhague,  est  décédé  subitement  le  (>  janvier  1920. 
dans  sa  81"""  année.  A  ceux  qui,  par  suite  d'une  erreur,  avaient 
annoncé  sa  mort  au  printemps  1919,  il  réj)ondit  par  l'envoi  de  sa 
récente  Note  sm-  l'origine  de  l' Algèbre,  publiée  par  la  Société 
loyale  danoise  des  Sciences  (1919,  fasc.  de  70  pages  .  'Voir  YEns. 
mnth.,  t.  XX,  p.  .308  et  382.) 


BIBLIOGHAPIIIK 


C.  Cakatheodorv.  —  Vorlesungen  ùber  réelle  Funktionen.  —  1  vol.  de 
704  pages;  prix  :  Marks  30:  Leipzig  et  Berlin.  B.  G.  Teubner,  1918. 
Alors  que  les  compatriotes  de  Georges  Cantor  étaient  attirés  par  les 
études  sur  le  trausfini,  sur  la  suite  des  aleplis  et  sur  les  questions  relatives 
aux  ensembles  ordonnés  ou  bien  ordonnés,  Borel  montrait  le  parti  que  1  on 
pouvait  tirer  de  la  théorie  des  ensembles  dans  létude  des  fonctions  de 
variables  réelles,  Lebesgue  créait  l'intégrale  qui  porte  son  nom  et  par  ses 
recherches,  auxquelles  il  faut  adjoindre  celles  de  W.  H.  Young  et  de  Ch. 
de  la  Vallée  Poussin,  il  donnait  un  essor  inattendu  à  la  théorie  des  fonctions 
de  variables  réelles  et  à  celle  des  développements  en  séries  trigonométriques. 
Aussi  s'explique-t-on,  dans  une  certaine  mesure,  que  jusqu  à  présent  aucun 
livre  ne  traite,  en  langue  allemande,  de  la  théorie  moderne  des  fonctions  de 
variables  réelles.  Le  livre  de  M.  Caratheodory  comble  cette  lacune.  11 
contient  dans  ses  704  pages  un  exposé  didactique  et  systématique  complet 
de  la  théorie;  plusieurs  chapitres  intéresseront  aussi  le  lecteur  déjà  fami- 
lier avec  la  théorie  de  Lebesgue  (chapitres  V  et  X  en  particulier).  L  ou- 
vrage ne  contient  pas  les  applications  de  la  théorie  aux  développements 
en  séries  trigonométriques  ;  il  se  contente  d'exposer,  avec  une  grande 
clarté,  la  théorie  proprement  dite  des  fonctions  de  variables  réelles  ;  il 
rendra  de  grands  services  aux  étudiants  qui  voudront  s'initier  à  cette  théorie. 
Table   des  matières.  Introduction  (1-18).  —  1.  Ensembles  de  points  (19-71). 

—  2.  La  notion  de  limite  (  71-120).  —  H.  Fonctions  (  120-191).  —  4.  Dis- 
tance et  connexion  (191-229).  —  5.  Aire  et  mesure  (229-307).  —  6.  .Multi- 
plicités linéaires  (307-369i.  —  7.  Fonctions  mesurables  (369-413).  —  8 
L  intégrale  définie  (414-469).  —  9.  L'intégrale  indéfinie  et  les  fonctions 
<1  ensembles,  additives  et  absolument  continues  (469-510).  —  10.  Fonctions 
d'une   variable    (510-620).  —  11.  Fonctions  de  plusieurs  variables  (621-688). 

—  Bibliographie  (689-692).  —  Table  des  exemples  (693-694).  —  Index 
(695-704|.  M.  Pi-ANCHEREL  (Fribourg). 

K.  W.  Woou.  —  Researches  in  Physical  Optics.  —  Part  II.  Résonance 
Radiation    and    Résonance    Spectra.     (Publication    ÎS'umber    Eight    of  thi- 
Ernest    Kempton    Adanis    Fiind    for    Physical    Research.)  —    1    fasc.  in-4o, 
184  pages,  10  planches;  Colunibia  l'niversity  Press.  >ievv-York,   1919. 
Ce  nouveau  recueil  de  mémoires  désormais  classiques  du   célèbre   physi- 
cien n'aura  certainement  pas  moins  de  succès  que  la  première  partie  de  ses 
recherches  sur  1  optique  physique  formant  le  N"  6,  actuellement  épuisé,  de 
la  même  collection.   Le  physicien  y  trouvera  les  méthodes  les  plus  récentes 
de  1  optique  expérimentale    moderne    et   le    théoricien   étudiera    avec  intérêt 
les    résultais    de    ces    belles    recherches    qui    ont    contribué    à    élargir    nos 
connaissances  sur  la  structure  des  atomes.  Les  sujets  traités  appartiennent 
sans  exception  au  domaine  de  la  spectroscopie  et   se   rapportent   plus   spé- 

I,'F.nspi|Tnenienl  niathém.,  20'  année  ;   1913,  30 


454  Hl  H  Ll  Oi.RAP  H  I E 

cialemenl  à  lélude  des  phénomènes  de  la  résonance  optique,  de  la  fluo- 
rescence, de  l'absorption  et  des  efïels  magnéto-optiques.  Un  certain  nombre 
de  chapitres  sont  consacrés  à  la  description  des  appareils  perfectionnés  el 
aux  procédés  techniques  ingénieux  qui  ont  permis  d  obtenir  un  si  grand 
nombre  de  résultats   remarquables. 

Il  est  impossible  de  donner  en  quelques  lignes  un  a[)erçu  «le  1  étendue  el 
de  limportance  de  ces  travaux,  effectués  en  partie  avec  le  concours  de 
collaborateurs  distingués  tels  que  MM.  Kimura.  Speas,  Ribaud,  Hemsalech, 
C.  F.  Meyer,  L.  Dunoyer  et  Mohler. 

Le  texte  est  accompagné  d'un  grand  nombre  de  figures  explicatives,  et  les- 
merveilleuses  planches  jointes  à  l'ouvrage,  contenant  des  reproductions 
extrêmement  réussies  de  clichés  speclrographiques,  forment  des  documents 
d  une  valeur  inestirn;ible.  '  A.  Schidlof  (Genève). 

Universitatum  &  eminentium  scholarum,  Index  generalis  :  Annuaire  géné- 
ral des  Universités,  The  Yearbook  ot  the  Uuiversilies.  publié  sous  !;► 
direction  de  R.  de  Montessus  de  Ballore.  —  1  vol.  in-16  de  768  p.  ;  relié 
fr.  21,  majoration  temporaire  50  "/o  ^  Gauthier-Viilars  &  C'*=,  Paris. 

Cet  Annuaire  général  des  Universités  est  destiné  à  remplacer  le  recueil 
publié  jusqu  en  1914  par  les  Allemands  sous  le  nom  de  Minerva.  En  entre- 
prenant cette  publication,  M.  R.  de  Montessus  de  Ballore  et  la  Librairie 
Gaulhier-Yillars  &  C'^  se  sont  imposés  une  lâche  considérable.  Leurs  efforts 
ne  manquei'ont  pas  d  être  couronnés  de  succès.  Nombreux  sont  en  elTet  ceux 
qui  auront  recours  à  cet  annuaire  ;  autorités  scolaires  et  sociétés  savantes, 
professeurs  et  étudiants,  éditeurs  et  libraires,  y  trouveront  des  renseigne- 
ments ufiles  concernant  les  Universités. 

Ce  nouveau  recueil  présente  une  innovation  très  heureuse.  Tandis  que 
dans  Minerva  les  renseignements  étaient  classés  par  ordre  alphabétique  de 
noms  de  villes,  VIndex  Generalis  groupe  en  seul  chapitre  les  Hautes  Ecoles 
d  un  même  pays.  On  y  trouve,  pour  chaque  établissement,  la  liste  des 
chaires  et  de  leurs  titulaires.  Pour  les  grands  pays,  ces  indications  sont 
précédées  d'une  Introduction  consacrée  à  un  aperçu  de  l'organisation  scolaire 
(conditions  d'immatriculation,  liste  des  grades  et  des  diplômes  délivrés, 
droits  à  acquitter,  etc.). 

Signalons  encore  une  autre  innovation,  la  liste  d  échanges,  où  peuvent  se 
faire  inscrire  gracieusement  les  savants,  professeurs  ou  non,  qui  désirent 
échanger  avec  leurs  confrères  les  Mémoires  originau.x  qu  ils  ont  publiés.  La 
désignation  des  sujets  qui  les  intéresse  précède  leurs  noms  ;  linscriplioi» 
est  limitée  pour  chacun  à  trois  catégories.  Cotte  liste  qui  s'allongera  chaque 
année,  fait  de  l'annuaire  une  œuvre  vivante;  elle  ne  manquera  pas  de  con- 
tribuer au  développement  des  relations  scientifiques  internationales  entre 
les  savants  qui  poursuivent  des  recherches  dans  un  même  domaine. 

11.    F. 


BULLETIN  BIBLIOGRAPIIIQLM^ 


1.  Publications  périodiques  : 

Académie  Royale  de  Belgique,  Bullelin  de  la  Classe  des  Sciences.  1919. 
rs'"^  1  à  7.   —  Hayez,    Biuxellcs. 

Annales  de  l'Université  de   Grenoble,    tntne   XXX.    1918    —   Gautliier- 

Villars,   Paiis  ;  Allier  frères,  Grenoble. 

Annaes   scientificos   da   Academia    polytechnica   do    Porto,    direcieur 

I'".  Gouies  Teixkika,  —  Vol.    12.  iiii[jit'iisa  «la  L'niversidade,  Coimbra. 

Bollettino  di  Matematica.  Giornale  scienti(ico-didaltico  per  l'incremento 
degli  Sliidi  maleinatici  nelle  sciiolo  medie.  Direlto  dal  IJotl.  Alb.  Co.nti. 
Anno  XVI.  1919.  Roma. 

Contribucion  al  Estudio  de  las  Ciencias  fisicas  y  matematicas.  —  Série 

.MateiiKitico-lisica.   \ol.   11,  .\"^  o  el    i,  191b.  —    Série    Tecuica,  Vol.  I.    No  6, 
1918,  La  Plata. 

Intermédiaire  des  Mathématiciens,  dirigé  par  C.-A.  Laisa.nt,  Ed.  Maillet, 

A.  Mallsky,  a.  BouLA.Nc.Kit.  —    Tuiiie  XXVI,  1919. —  Gaulhier- Villars  6:  C'^, 
Paris. 

Isis,  Revue  Internationale  consacrée  à  i'Hisloire  de  la  Science  et  de  la 
Civilisation,  publiée  par  G.  Sakto.n.  —  N"  6,  lonie  II  (l'asc.  2  et  dernier.. 
Bruxelles.  —  G.  R.   Kaye  :   liidian  .Mathenialics. 

Jahrbuch  ùber  die  FÔrtschritte  der  Mathematik,  Rand  4f,  Jahrgang  191^ 

(in  3  Helleni,  Hefl  o.  —  G.   Ri-i.mkr,  Berlin. 

Journal  de  Mathématiques  élémentaires,   publié  par  H.  Vubert,  i4'"e 

année,   1919-1920.  —  Librairie  Vuiberl,  Paris. 

Mathesis,  Qualrième  série,  lonie  IV,  septembre-décembre  191  t.  —  Hosle, 
Gand,  Gaulliiei--\'illars  &  C'*^,  Paris. 

Mathematical  Gazette  (The),  publié  par  (i.  Grke.nstkeet.   Vol.  IX,  1919. 

—  G.   Bell  iS:  Sons,   Londres. 

Nieuw  Archief  voor  Wiskunde,  publié  sous  les  auspices  de  la  Société  des 
Sciences  d  Amsterdam,  par  J.-C.  Kluyvek,  D.-J.  Kokteveg  et  K.  Si:HiH, 
2'»e  série,  tome  XIII,    No  1.    _   Delsman   en    Nolthenius.    Amsterdam,  1919. 

Nyt  Tidsskrift   for   Matematik.    Revue   dirigée  par  P.  Hkegaakd.  série  A, 

29"'e  ann('e  ;    série  B,  29""-  anni'e  ;    1918.  —  Copenhague. 

Rendiconti  del  Circolo  matematico  di  Palermo.    lome  XLIL  lasc.  II  et 

m.  —  G.   .Mamietta  :  Delle  superlicie  algebriclie  d'ordiue  6  con  un  fascio  di 
«ubiche   ellitiche.  —  G.  Prasau  :    On  tlie  Newlouian  potential  due  to  a  sur- 


'456  BULf.ETiy    B  I  H  I.IOa  HA  P  II IQUE 

face  dislribution  having  a  discoiiliiiuily  of  tlie  second  kind.  —  E.  J.  Wil- 
czYiNSKi  :  Intégral  invariants  in  projcclive  Geometry.  —  Bkusotti  :  Curve 
generatrici  e  curve  aggregate  nella  costruzioue  di  curve  piane  d'ordine 
assegnato  dotate  del  massimo  numéro  di  circuiti.  —  Eisenhakt  :  Certain 
surfaces  of  Voss  and  surfaces  associated  with  tliem.  —  N.  Lusin  et  W.  Siek- 
piNSKi  :  Démonstration  élémentaire  du  théorème  fondamental  sur  la  densité 
des  ensembles.  —  T.  Lf.vi-Civita  :  ?sozione  di  parallelismo  in  una  varielà 
qualunque  e  conseguente  specificazione  geometrica  délia  curvatura  rieman- 
niana.  —  P.  Xalli  :  Sopra  una  relazione  fra  la  teoria  délia  composizione  di 
prima  specie  et  lo  studio  délie  série  divergenli.  —  F.  Sfvfri  :  Sulla  curva- 
tura délie  superficie  et  varietà.  —  J.  L.  Coolidge  :  The  characteristic 
numbers  of  a  real  algebraic  plane  curve.  —  G.  Valikon  :  Remai-ques  sur  la 
sommation  des  séries  divergentes  par  les  méthodes  de  M.  Borel.  —  A.  Veu- 
<;erio  :  Sulle  equazioni  intégrale  di  prima  specie  a  nucleo  non  simmetrico. 
—  G.  Sanma  :  Nuovo  metodo  di  sommazione  délie  série  :  estensione  del 
raetodo  di  Borel.  —  E.  Ciam  :  Sopra  alcuno  gruppi  notevoli  di  trasforma- 
zioni  quadratiche  pinne.  —  V.  A.mato  :  Sulla  risoluzione  apiristica.  in  un 
corpo  quadratico.  délia  congrueuza  binomia  quadratica  e  di  una  classe  di 
congruenze  binomie  il  cui  modulo  è  un  idéale  primo  '2°  grado. 

Revista  Matematica  Hispano-Americana,  dirigée  par  J.  Rey-Pastok. 
Tome  I.  —  Madrid,   1919. 

Revue  scientifique.  Directeur  :  Ch.  MouREu.  —  57m<^  année.  1919.  —  55, 
lue  «le  Chàteaudiui.   Paris. 

Revue  semestrielle  des  Publications  mathématiques.  Tome  XXYII, 
l'e  partie,  1918.  avril-octobre.  —  2"'e  partie,  octobre  1918-avril  1919.  — 
Delsman  en  Nolthenius,  Amsterdam. 

School  Science  and  Mathematics. —  A  Journal  for  ail  Science  and  Mathe- 
niatics  Teachers.  Vol.  X^I1I.  1918.  — Smith  and  Turton.  Chicago. 

Unterrichtsblàtter  fur  Mathematik  und  Naturwissenschaften,  heraus- 
gegebeu  von  K.  Schwab  und  A.  Mavrek.  —  XXV.  Jahrgang,  1919.  Otto  Salle. 
Berlin. 

Wiskundige  Opgaven  met  de  Oplossingen.    Tome  XllI,    Delsman  en  Xol- 

tlienius,    Amsterdam. 

Zeitschrift  fur  das  Realschulwesen,  Wien.  XLlll  Jahrgang.  —  J.  Rada- 
KOviTs  :  Bestinimung  des  Restes  bei  der  Teilung  eiuer  Zabi  dui-ch  7.  — 
A.  Haltmeyer  :  Eine  einfache  Ableitung  der  Zentralkraflsformel.  —  F.  Dik- 
TRicH  :  Ueber  Cartesische  Kurven.  —  E.  Vogel  :  Die  Probe  zur  «  nicht  auf- 
gehenden  Divisions.  —  F.  Dietrich  :  Cartesische  Kurven  als  Normalrisso 
von  Raumkurven.  —  E.  Czuber  :  Sterblichkeit,  Tontine  und  Lebensversicho- 
rung.  —  A.  Lechner  :  Ueber  die  Einfùhrung  von  Triigheitsfaktoren  in  die 
Mechanik.  —  R.  Seelig  :  Ueber  doppelt  beriihronde  Kegelschnilte.  — 
J.  Opl  Darstellung  der  Parabel  ans  ihren  Bestimmungsstùcken.  — 
\V.  HoF.MANN  :  Kleiner  Beitrag  zur  Behaudiung  der  Glcichungen  in  den 
Oberklassen  der  Mittelschulen.  —  J.  Pollak  :  Geometrische  Ableilung  und 
Erweiterung  der  Newtonsrhen  Njiherungsniethode  fiir  die  Bestinimung  irra- 
tionaler  Wurzeln  einer  Gleichung  hôheren  Gi-ades.  —  H.  Beran  .  Zur  Teil- 
barkeit  der   Zahlen.    —   W.  Boc;k  :    Ueber  die    Erzeutfune    von    Fljichen  2. 


ti  U  L  I.  E  I  ly     H  l  H  l.l  O  G  11  A  P  II  I  Q  LE  'i57 

Grades  durcii  Druliuiii^  voii  Geradeo  imd  Ketfelschiiitten.  — J.  Radakovits  : 
Uiis  Umkehruiigs-  oder  Keversionspendel.  —  M.  Zdeiar  :  Ueber  die  Be- 
stimmuui^  der  Scliiiittliuie  zweier  Ebenen,  deren  S|)iirenschi»illpunkle  imzu- 
giiuglich  sind.  —  F.  Rf.dl  ;  Eiue  iieiie  Achseukoiislruktiou  fur  die  Ellipse.  — 
J.  Opl  :  Kin  funtter  meikwiirdigei-  Puukt  des  Dieieckes.  —  Poi'Per-Lynkkls  : 
Erweiterung  eines  Dreiecksatzes.  —  P.  v.  Schaewen  :  Ueber  pythagoreische 
Dreiecke. 

AnnalS  Of  MathematiCS  publlshed  under  ihe  auspices  of  the  Princelon  Uiii- 
versity  N.  J.  —  2'ne  série,  vol.  20.  —  G.  P.  Hokto.x  :  Funclious  of  liinited 
\  arialion  and  Lebesgue  Intégrais.  —  X.  Altshii.i.er  :  On  the  Tei.veira 
Construction  of  the  L'nicursal  Cubic.  —  G.  A.  Pfeiffek  :  The  Funclional 
l'[f\x)\  =:  g{x\.  —  M.  F.  CuKTis  :  The  E.xistence  of  the  F'unctions  of  the 
eiliptic  Cylinder.  —  T.  H.  Gkonwall  :  The  Gamma  Fnuction  in  the  Integra! 
Calculus.  —  O.  E.  Glee.n  :  Invariants  which  ai'e  Fuuclions  of  Parameters  of 
the  Transformation.  —  H.  Blimbeko  :  A  Theorem  on  Exhauslible  Sets 
Connected  with  Developments  of  Positive  Real  Numbers.  —  A.  Pell  :  Solu- 
tion of  the  DifTereiitial  Equation  d.r-  -\-  dy"  -\-  dz^  ■=^  ds-  and  its  Application 
to  some  Geometrical  Problems.  —  L.  L.  S.mail  :  A  General  Method  of  Sum- 
mation  of  Divergent  Séries.  —  L.  E.  Dickso.n  :  On  Quaternions  and  their 
Generalizatiou  and  the  History  of  the  Eight  Square  Theorem.  —  C.  E. 
Seely  :  Xon-Symmetric  Kernels  of  Positive  Type.  —  H.  E.  Bkay  :  Elemen- 
tary  Properlies  of  the  Stieltjes  Intégral,  —  J.  K.  VVhittemore  :  A  Kinema- 
tical  Property  of  Ruied  Surfaces.  —  L.  L.  Di.nes  :  Systems  of  Linear 
Inequalities.  —  T.  H.  Gko.nwall  :  On  the  Shorlest  Line  Betwcen  Iwo  Points 
in  Aon  Euclidean  Geomeiry.  —  E.  L.  Post  :  The  Generalized  Gamma  Fnnr- 
tions.  —  R.  L.  MooRE  and  J.  R.  Kline  :  On  the  .Most  General  Plane  Closed 
Point-Set  through  which  il  is  Possible  to  pass  a  Simple  Continuons  Ai-c.  — 
D.  C.  Gilles-Pie:  Repeateti  Intégrais. —  G. -A.  .Miller  :  Relations  between 
Absti-act  Group  Properlies  and  Substitution  Groups.  —  G.  ^V.  Clawson  : 
The  Complète  Quadrilatéral.  —  L.  P.  Eise>hart  ;  Tiiply  Conjugate  Systems 
with  Equiil  Point  Invariants.  —  T.  H.  Gro.nwall  :  On  a  System  of  Linear 
Partial  Differential  Equations  of  the  Hyperbolic  Type.  —  J.  H.  Weawek  : 
Some  Properlies  of  Circles  and  Reiated  Conics.  —  P.  J.  Da.mei.l  :  Intégrais 
in  au  Infinité  Number  of  Dimensions.  —  J.  F.  Ritt  :  On  the  Diderentiabilily 
of  the  Solution  of  a  Dilferential  Equation  with  Respect  to  a  Paranietei-.  — 
T.  H.  Gronwali.  :  Note  on  the  Derivatives  with  Respect  to  a  Paramater  of 
ihe  Solutions  of  a  System  of  DifTereiitial  Equations.  —  L.  E.  Dickson  :  On 
Quaternions  and  their  Generalizatiou  and  tiie  History  of  the  Eight-Si|uare 
Theorem.    Addenda. 

Bulletin   des  Sciences  mathématiques,  rédigé  par  .M.\l.   i:.   Picard  et 

P.  Appell.  2'>'e  série,  tome  XLII.  Paris  1918.  —  Bertrand  de  F'ontviola.nt  : 
Les  méthodes  modernes  de  la  résistance  des  matériaux.  —  G.  D.  Birkhoi  f  : 
Sur  la  démonstration  directe  du  dei-nier  théorème  de  Henri  Poiucaré,  par 
M.  Danlzig.  —  M.  Bottasso  :  Quelques  remarques  sur  le  système  vectoriel 
de  .M.M.  Burali-Forti  et  .Vlarcolongo.  —  M.  Bkilloiin  :  Sources  électro- 
raaguctiques  dans  les  milieux  uniaxes.  —  A.  Buhi.  :  Sur  les  sommes  abé- 
liennes  de  volume  cyliudroconiques.  —  .M.  Fréciiet  :  Sur  la  notion  de  voisi- 
nage dans  les  ensembles  abstraits.  —  F.  Gonseth  :  Un  théorème  relatif  à 
deux  ellipsoïdes  confocaux.  —  G.  Ji lia  :  Sur  les  valeurs  limites  de  linté- 
grale    de    Poisson    relative   à    la    sphère    en    un    point    de    discontinuité    des 


458  BULLETIN     B  I  B  L  I  O  (.  H  A  P  H I  Q  U  E 

données.  —  Th.  Lauesco  :  Sur  l'addition  des  noy:uix  non-orthogonau.\.  — 
M.  Petbovitch  :  L  aire  des  surfaces  de  révolution.  —  H.  Vergne  :  Théorie 
élémentaire  du  mouvement  de  précession  et  de  la  déviation  des  projectiles. 
—  H.  ViLLAT  :  Quelques  récents  progrès  des  théories  hydrodynamiques.  — 
C.  DE  Waard  :  Un  écrit  de  Beaugrand  sur  la  méthode  des  tangentes  de 
Fermai  à  propos  de  celles  de  Descartes. 

Bulletin  of  the  American  Mathematical  Society.  —  Volume  XXV,   >'<"> 

6-10.  —  C.  N.  MooKE  ;  Applications  ol  the  Theory  of  Summability  to  Deve- 
lopments  in  Orthogonal  F"unctions.  —  L.  E.  Dickson  :  Mathematics  in  War 
Perspective  Presidenlial  Address.  —  E.  T.  Bell  :  A  Partial  Isomorph  of 
Trigonomelry.  —  L,  D.  Cummi?<gs  :  The  Trains  for  the  36  Groiipless  Triad 
Systems  on  15  Eléments.  —  Hayasui  :  A  Theoreni  on  Areas.  —  G.  H.  Hal- 
LETT  :  Concerning  the  Defîuition  of  a  Simple  Conlinuous  Ai-c.  —  J.  E. 
Me  Atee  :  The  Transformation  of  a  Regular  Group  into  its  Conjoint.  — 
W.  F.  OsGOOD  :  The  Life  and  Sei'vices  of  Maxime  Bôcher.  —  H.  Blumberg  : 
A  Theorem  on  Linear  Point  Sets.  --  P.  J.  Damell  :  A  General  Form  of 
Green's  Theorem.  —  H.  Bateman  :  Rotaliug  Cylinders  and  Rectilinear 
Vortices.  —  A.  Emch  :  On  a  Certain  Génération  of  Rational  Circular  and 
Isotropic  Curves.  —  LE.  Wear  :  The  Self-Dual  Plane  Rational  Quintic.  — 
G.  A.  Miller  :  Groups  Containing  a  Relatively  Large  Number  of  Operators 
of  Order  Two.  —  P.  J.  Daniell  :  The  Derivative  of  a  Functional.  —  H.  F. 
Blichfeldt  :  Report  on  the  Theory  of  the  Geometry  of  Number».  —  L.  ¥.. 
Dickson  :  Applications  of  the  Geometry  of  Numbers  to  Algebraic  Numbers. 

—  A.  A.  Bennett  :  Product  of  Skew-SymmelriG  Matrices.  —  H.  S.  Yandiver  . 
On  the  First  Factor  of  the  Class  Number  of  a   Cyclotoniic  Field. 

Comptes  Rendus  de  l'Académie  des  Sciences  de  Paris.  —  1"  semestre 
1919.  —  6  janvier.  —  C.  Guichakd  :  Sur  une  série  de  surfaces  à  courbure 
totale  constante  telles  que  leurs  lignes  de  courbure  forment  un  réseau  du 
type  ^A' —  (p  T-  1)B'.  —  J.  Drach  :  Détermination  des  cas  de  réduction  de 
l'équation  difFérenlielle  d^r/dx-=z  [oix)  -\-  /i]y.  —  H.  Diport  :  Sur  les 
équations  aux  dérivées  partielles.  —  13  jamier.  —  J.  Chazy  :  Remarque  sur 
les  problèmes  des  deux  corps  et  de  trois  corps.  —  H.  Bolr<:et  :  Dévelop- 
pement algébrique  de  la  partie  principale  de  la  fonction  perturbatrice  sui- 
vant la  méthode  de  Cauchy.  —  '20  janvier.  —  R.  Garmer  :  Sur  les  singula- 
rités irrégulières  des  équations  différentielles  linéaires.  —  Riquiek  :  Sur  le 
prolongement  .malytique  des  intégrales  de  certains  systèmes  d'équations 
aux  dérivées  partielles  linéaires.  —  G.  Jllta  :  Sur  quelques  problèmes 
relatifs  à  l'itération  des  fractions  rationnelles.  —  P.  Levy  :  Sur  les  fondions 
de  lignes  implicites.  —  A.  Gui.dbkrg  :  Sur  les  eireurs  de  situation  d'un 
point. —  27  janvier.  —  C.  Glichard  :  Sur  la  déformation  des  quadriques.  — 
J.  Drach  :  Sur  les  solutions  algébriques  des  équations  différentielles  du 
premier  ordre.  —  P.  Mo.ntkt  :  Sur  les  polynômes  d'approximation  et  l'exis- 
tence des  dérivées.  —  E.  Maillkt  :  Détermination  des  points  entiers  des 
courbes  algébriques  unicursales  à  coedicients  entiers.  —  3  février.  — 
A.  Angelesco  :  Sur  les  deux  extensions  des  fractions  continues  algébriques. 

—  Edm.  Maillet  :  Sur  le  mouvement  graduellement  vai  ié  et  la  pro|)agation 
(les  crues.  —  11  février,  —  J.  Dkach  ;  Sur  lintègralion  par  cjuadralure  de 
1  équation  d^yjdx-r^z  F'I.r.  y).  —  ?i  février.  —  Arm.  De.njov  :  Sur  une  pro- 
jjriété   des    fonctions    do  variable  complexe.  —  .")'  mars.  —    H.  Garmer  :  Sur 


BULLETiy     BI  B  I.IOGRAPH  K,)  CE  i59 

les  siugularités  irrégulières  des  équations  différentielles  linéaires.  —  il)  mars. 

—  P.  Fatou  :  Sur  les  lignes  singulières  des  fonctions  analytiques.  — 
G.  JuLiA  :  Une  propriété  générale  des  fonctions  entières  liée  au  théorème 
de  M.  Picard.  —  A.  Buhl  :  Sur  l'échange  du  paramètre  et  de  1  argument  ; 
analogie  avec  la  réduction  des  intégrales  doubles  de  seconde  espèce.  — 
L.  Lecorxu  :  Sur  l'écoulement  des  fluides.  —  M.  Hamy  :  Sur  létude  des 
perturbations   de  l'axe   optique   d  Tine   méridienne  en  direction.  —  11  mars. 

—  R.  Gambier  :  Surfaces  applicables  l'une  sur  l'autre.  —  J.  Hada.makd  : 
Remarque  sur  l'intégrale  résiduelle.  —  Harald  Ckamer  :  Sui"  les  zéros  de  la 
fonction  ~(a).  —  M.  Petrovitch  :  Fonctions  entières  se  rattachant  aux  nom- 
bres premiers.  —  V.  Bku.n  :  Le  crible  d  Eratosthène  et  le  théorème  de 
<joldbach.  —  Emile  Cottox  :  Sur  la  formule  de  Bernoulli.  —  G.  Raveau  : 
Gomment  Garnot  a  calculé  l'équivalent  mécanique  de  la  chaleur.  Un  docu- 
ment inédit.  —  24  mars.  —  G.  Julia  :  Quelques  propriétés  générales  des 
fonctions  entières  liées  au  théorème  de  M.  Picard.  —  A.  Petot  :  Sur  la 
théorie  analytique  des  turbines  hydrauliques.  —  31  mars.  —  S.  Lefschetz  : 
Sur  lanalyse  situs  des  variétés  algébriques.  —  B.  Ga.mbier  :  Surfaces  appli- 
■cables  sui-  le  paraboloïde  de  révolution.  —  L.  E.  J.  Bkouwer  :  Enumération 
des  surfaces  de  Riemann  régulières  de  genre  un.  —  7  avril.  —  G.  Julia  : 
■Quelques  propriétés  des  fonctions  méromorphes  générales.  —  IV.  Kkyloff  : 
Sur  quelques  formules  d  approximation,  fondées  sur  la  généralisation  des 
quadratures,  dites  mécaniques.  —  li  avril.  —  P.  Levy  :  Sur  la  généralisa- 
lion  de  l'équation  de  Laplace  dans  le  domaine  fonctionnel.  —  E.  Bo.mpiani  : 
Sur  les  courbes  quasi-asymptotiques  des  surfaces  dans  un  espace  quel- 
conque. —  S.  Lefschetz  :  Sur  les  variétés  abélieunes.  —  22  avril.  —  G. 
Julia  :  Quelques  propriétés  des  fonctions  entières  ou  méromorphes.  — 
A.  Guldberg  :  Sur  la  loi  des  erreurs  de  Bravais.  —  28  avril.  —  Carle.ma.n  : 
Sur  la  représentation  conforme  des  domaines  multiplement  connexes.  — 
A  .  Denjoy.  —  Sur  la  vraie  valeur  des  intégrales  définies.  —  L.  E.  J.  Bkouwek  : 
Enumération  des  groupes  finis  de  transformations  topologiques  du  tore.  — 
J)  mai.  —  Defourneaux  :  Sur  quelques  propriétés  des  polynômes  électro-sphé- 
riques.  —  G.  Julia  :  Sur  les  fonctions  uniformes  à  point  singulier  essentiel 
isolé.  —  l'J  mai.  —  G.  Humbert  :  Sur  la  mesure  des  classes  de  formes  (jua- 
drati(|ues,  ternaires  et  positives.  —  L.  Lecorku  :  Sur  les  tourbillons  d'une 
veine  fluide.  —   E.  Belot  :  Sur  les  orbites  spirales  à  gravitation  équilibrée. 

—  19  mai.  —  G.  Julia  :  Sur  les  fonctions  entières  ou  méromorphes.  — 
E.  Kogbeti.iaxtz  :  Sur  les  développements  de  Jacobi.  —  C.  Guichard  :  Sur 
un  mode  de  génération  des  surfaces  isothermiques  à  lignes  de  courbure 
planes  dans  un  système.  —  G.  Humbert  :  Sur  la  mesure  des  classes  de 
formes  quadratiques,  ternaires  et  positives,  de  déterminant  donné.  —  96  mai. 

—  L.  E.  J.  Brouvvek  :  Sur  les  points  invariants  des  transformations  topolo- 
^iques  des  surfaces  —  2  juiti.  —  G.  Julia  :  Les  fonctions  eniièi-es  et  la 
•croissance.  —   E.  Kogbetlia.ntz  :    Sur  la  sommation  des  séries  divergentes. 

—  10  juin.  —  E.  BoRKL  :  La  théorie  des  ensembles  et  les  nombres  décimaux. 

—  P.  BouTROux  :  Sur  un  mode  de  définition  d  une  classe  de  fonctions  multi- 
formes dans  tout  le  domaine  d  existence  de  ces  fonctions.  —  H.  Gka.mek  ; 
Sur  la  distribution  des  nombres  premiers.  —  16  juin.  —  C.  Guichard  ;  Sur 
les  surfaces  isotheimiques.  —  E.  KogbktliajiTZ  :  Sur  les  séries  Irigouomé- 
triques.  —  2-5  juin.  —  A.  Egnell  :  Champs  vectoriels  à  directions  asymp- 
totiques  indéterminées.  —  G.  Re.moundos  :  Les  singularités  des  équations 
différentielles    et    les    séries    somniables.  —    G.  Humbkrt  :    Sur  les    formes 


/i60  HU  Ll.ETlN    H  I  li  I.  I  U  (,  H  A  P  II  I  Q  U  E 

(juadVatiques  positives  d'Herniite.  —  30  juin.  —  Pierre  Bouikoux  :  Sur  une 
famille  de  fonctions  multiformes,  intégrales  d'une  équation  difTérenti<'lle  du 
pi'emier  ordre. 

Mathematische  Annalen,  Band  79.  B.  G.  Teubner,  Leipzig.  —  s.  BER^- 
sTEiN  :  Quehjues  remarques  sur  l'interpolation.  —  H.  Beki,inek  :  Ueber  zwei 
neue  pi'ojektive  naturliclie  Geometrien.  —  H.  Dinglek  :  L'eber  wohlgeord- 
nete  Mengen.  —  W.  Schmeidlek  :  Zur  Théorie  der  primaren  Punktmoduln. 
—  R.  KoNiG  :  Die  Reduktions-  und  Reziprozitiitstheoreme  bei  den  Riemann- 
schen  Transzendenten.  —  H.  Bohk  :  Zur  Théorie  der  allgemeinen  Dirich- 
ietschen  Reihen.  —  F.  Hausdorft  :  Dimension  und  ausseres  Mass.  —  H. 
jMohkmann  :  Ueberdie  Grassmannschen  Doppelverhallnisse  von  vier  geraden 
Linien  im  Raum.  —  Th.  Reye  :  Die  Symmetrieachsen  des  Nullraums  und 
seines  linearen  Stiahlenkomple.xes.  —  W.  Gross  :  Eiue  ganze  Funktion,  fur 
die  jede  komplexe  Zahl  Konvergenzwert  ist.  —  J.  Brouwer  :  Ueber  die 
Jîrweiterung  des  Delinitionsbereichs  einer  stetigen  Funktion.  —  (lo.)  : 
Lebesguesches  Mass  und  Analysis  Situs.  —  L.  Lowenheim  :  Gebietsdeler- 
rainanten.  —  F.  CARI.so.^  :  Ueber  Potenzreihen  mit  endiich  vielen  vorsrhie- 
denen  Koellizienten  —  E.  Trefftz  :  Eine  neue  Méthode  zur  Ivôsung  der 
Randwertaufgabe    partieller    DiCFerentialgleichungen.   —    Félix    Bernstei.n  : 

Ueber  das   Fourier  intégral    I  e~^   cos  tx .  —   J.    Nielsen  :    Ueber   die    Iso- 

morphismen  unendiicher  Gruppen  ohne  Relation.  —  V.  Gkilen  :  Beitrag 
zur  Kloinschen  Théorie  der  Ikosaeders.  —  O.  Haupt  :  Ueber  lineare  homo- 
gène Dill'erentialgleiehungen  2.  Ordnung  mit  periodischen  Koeffizienten.  — 
A.  OsTROwsKi  :  Neuer  Beweis  des  Hcildersclien  Satzes,  dass  die  Gamma- 
funktion  keiner  algebraischen  DilTerentialgleichung  geniigt.  —  H.  Ver.meii.  : 
Bestimniuug  einer  quadratischen  Dill'erentialform  aus  der  Riemannschen 
und  den  Christofl'elschen  DifTerential  in  varianten  mit  Hilte  von  Xormal- 
koordinatPu. —  A.  HuRwnz  :  Ueber  die  algebraische  Dai-stellung  der  Norm- 
gebilde.  —  M.  Bauer  :  Bemerkungen  ûber  die  Différente  des  algebraischen 
Zahikôrpers.  —  G.  Szego  :  Ueber  trigonometrische  und  harmoiiische  Poly- 
nôme. —  H.  Rademacher  :  Ueber  partielle  und  totale  DifTercnzierbarkett 
von  Funktionen  mehrerer  Variabeln  und  ûber  die  Transformation  der 
Doppelintegrale.  —  A.  Ostrowski  :  Ueber  eine  neue  Eigenschaft  der  Dis- 
kriminanten  und  Resultanten  binarer  Formen.  —  E.  Landau  :  Ueber  die 
VVurzeln  der  Zetaf'unktion  eines  algebraischen  Zahikôrpers.  —  C.  Gara- 
theodory  :  Ueber  die  Studysche  Rundungschranke.  —  L.  E.  Bkouwek  : 
Nachtriiglichp  Bemerkung  ûber  die  Erweiterung  des  Delinitionsbereichs 
einer  stetigen   Funktion. 

The  Mathematics  Teacher.  Volume  XI,  1918-1919.  —  F.  F.  Decker  : 
The  New-York  State  Régents  Syllabus  in  Intermediate  Algebra.  —  E.  D. 
RoE  :  A  Géométrie  Représentation.  —  G.  W.  Evans  :  The  Reconstruction 
of  the  Mathematical  Requirement.  —  C.  E.  Stromquist  :  A  Géométrie  Illus- 
tration of  [..imils.  —  J.  L.  Green  :  (^haracter-Building  Content  of  Arith- 
metic.  —  H.  A.  Merrill  :  W  hy  Stndents  Fail  in  Mathematics.  —  R.  C.  Col- 
WELL  :  A  Solution  of  l-lquations  by  Standard  Curves.  —  W.  E.  Brec.kenridge  : 
War  Problems  in  Mathematics.  —  J.  H.  .Mi.nmck  :  Ai'ithmetical  Eri'ors 
made  by  High  School  Pupils.  —  W.  H.  Metzler  :  Some  Relations  Connec- 
ting the  Sums  of  tho  Coaxial   Minors  of  a  Circulant.  —  1).  E.  S.mith  :   Intro- 


hUI.I.ETiy    m  H  I.IOGHAI'  lIKjU  E  ',61 

diiclory  Course  in  Matliematics.  —  R.  R.  Gon  ;  Fiist-Ycar  Ali^ebra,  as 
Developed  in  the  Académie  High  School.  New-Britaiii,  Coiin  —  M.  O.  Tkipp  : 
liidelerminate  P'orms  in  Trigoiiomelty.  —  Pli.  A.  Boykk  :  The  Conrtis  Tesls 
in  Arithinetin.  —  Report  of  the  Comniittee  lo  Recommeiid  a  Suitable  Pro- 
t;ram  in  Matliematics  for  the  Junior  High  School.  —  Test  cl'  Maihematical 
Ability.  —  Their  Seope  aud  Signilicance.  —  Some  Suggestions  lor  Courses 
in  Malhematics  for  Non-College  Preparalory  Students.  —  N.  L.  Ingels  : 
.\  Statisfical  Study  in  Corrélation  of  Efficiency  in  Sccondary  Malhematics 
aiid  l'^fliciency  in  Other  High  School  Branches.  —  A  Malliematical  Récréa- 
tion. —  A.  L.  BoOTH  :  Some  Angles  of  the  Right  Triangle.  —  W.  P.  Webber  : 
A  Psychological  Basis  for  a  System  of  Education  with  Applications  to 
.Matliematics.  —  F.  A.   Forakek  :   Philosophy  and  Xon-Euclidean  Geometry. 

—  J.  H.  .Mimmi:k  :  Matheinatical  Tests  ;  Their  Relalioii  to  the  .Malhematics 
Teacher. 

Proceedings  of  the  London  Mathematical  Society.  —  Séries  2,  vol.  17, 
1918. —  \V.  H.  aud  Grâce  Ch.  Yol.m;  :  Ou  the  Inherently  Crystalline  Struc- 
ture of  a  F'unction  of  any  Number  of  Variables.  —  J.  Hodgkinson  :  An 
Application  of  Conformai  Représentation  of  certain  Hypergeometric  Séries. 

—  P.  A.  Mac  Mahon  :  Combinations  derived  fiom  m  identical  Sets  of  n 
diflerent  Lelters  and  their  Conne.xion  willi  (ieneral  .Magic  Squares.  —  W. 
BuKNsiDE  :  On  the  Efficiency  ol  a  Surface  of  Pressure  Discontinuitv  regai'ded 
as  a  Propeller.  —  D.  Bichana.n  :  Orbits  asymptolic  lo  an  Isosceles-Triangle 
Solution  of  the  Problera  of  Three  Bodies. — G.  H.  Hardy  and  S.  Rama.nljan  : 
Asymplotic  Formule  in  Combiiiatory  Analysis.  —  G.  N.  W'aiso.n  :  The 
Harmonie  Fuuclions  associaled  with  ihe  Parabolic  Cylinder.  —  M.  J.  M. 
HiLL  :  On  the  Singular  Solutions  of  Ordinary  Dillerential  E(|uations  of  ihe 
First  Orderwith  Transceiidenlal  Coefficients.  —  A.  E.  Joi.liffe  :  A  Propertv 
of  the  Pencil  formed  by  the  Tangents  froni  any  Points  to  a  Nodal  Cubic, 
and  some  Properties  of  the  Quadrangle  formed  by  their  Points  of  Contact. 

—  W.  H.  You.NG  :  Ou  the  Convergence  of  the  Derived  Séries  of  Fourier 
Séries.  —  W.  P.  Milne  :  A  Symmetrical  Condition  for  Co-Apolar  Triads 
on  a  Cubic  Curve.  —  G.  N.  Watso.n  :  The  Intégral  Formula  for  Generalized 
Legendre  Funetions.  —  J.  H.  Gkace  :  The  Classification  of  Ralional  Appro.Ki- 
niations.  —  Id.  :  Tetrahedra  in  relation  to  Sphères  and  Quadrics.  —  Ha.nu- 
.MA.NTA  Rao  :  On  ihe  Cui-ves  wliich  lie  on  the  Quarlic  Surface  in  Space  of 
four  Dimensions  and  the  corresponding  Curves  on  the  (^nbic  Surface  and 
the  Quartic  with  a  Double  Conic.  —  E.  B.  Elliott  :  E.vamples  of  ihe  Formai 
Analysis  of  Solutions  of  Dillerential  E(|uations  of  certain  Classes.  —  J.  H. 
Grâce  :  Note  on  Diophantine  Approximation.  —  J.  M.  Hii.i.  :  On  the  Conti- 
nuation of  the  HypiMgeometric  Séries.  —  Iv.  A.na.ndakau  ;  A  Xole  on  a 
Theorem  of  Mr.  Hai-dy  s.  —  \\.  B.  Stouffkk  :  On  Invariants  and  Covariants 
of  Linear  Honiogeneous  Equations. —  VV.  H.  Yoi  ng  :  On  Resiricled  Foiiiier 
Séries  and  the  Convergence  of  Power  Séries.   —  Index  of  Proceeilings. 

2.  I^îvres  nouveaux  : 

Universitatum  &  eminentium    scholarum,   Index  generalis  ;    Annuaire 

général  des  L'niversih's.  The  Yearbook  ol  ihc  l  iiiverMties.  publié  sous  la 
direction  de  R.  de  Mo.ntessis  oe  Bai.i.okk.  —  1  vol.  in-16  double  couronne 
de  768  p.  ;  relié  fr.  21,  majoration  temporaire  50"/^:  Gauthier-Villars  «.^  C'*". 
Paris. 


162  BULLETIN    H  l  B  1. 1  O  G  li  A  P  H  I  Q  U  E 

P.  Bachmann.  —  Das  Fermatproblem  in  seinei- bisherigen  Enlwickluni^. — 
1  vol.  in-8».  160  p.  ;  broché  12  Marks;  Yereinigung  wissenschaftlicher  Vei- 
leger,  Walter  de  Gruyier  &  C»,  Berlin. 

R.  BoNOLA.  —  Die  nichteuklidische  Géométrie.  Hisiorisch-kriiische  Dar- 
stellung  ihrer  EnUvickliing.  Deuisclii-  Ausgabe  von  Liebmann  ;  2.  Aufl.  (Wis- 
seuschafl  xi.  Hypothèse.  Band  IVi  —  1  vol.  in-8",  207  p.,  ;  broché  6  M.  40; 
B.  G.  Teubner.  Leipzig. 

H.  Brocard  et  T.   Le.moy.ne.   —  Courbes   géométriques  remarquables. 

Tome  I.  —  1  vol.  gr.  in-S"  de  vii-452  p.  :   18  Ir.  ;  Vuibert.   Paris 

G  Ci;ki.  —  Sur  les  transformations  des  équations  aux  dérivées  par- 
tielles d'ordre  quelconque  à  deux  variables  indépendantes;  ihtsc  présentée 
à  la  Faculté  des  Sciences  de  Paris.  —  1  vol.  in-4°,  104  p.  ;  Gauthier-Villars 
&  C'«,  Paris. 

A.MBAL  SciPiAo  GoMEz  de  Cakvalho.  —  A  Teoria  das  Tangentes  antes  da 
luvençâo  do  Calculo  Diferencial  (thèse).  —  1  vol.  in-8'J.  98  p».  :  Imprensa  da 
Universidade,  Coimbra. 

Karpinski.  Benedict  and  Calhoun. —  Unified  Mathematics.  —  1  vol.  iu-8', 
522  p.:  sh.  10/6;  George  G.  Harrap  &  C",  Londres,   \V.  C. 

W.  LiETz.MAN.-s.  —  Riesen  und  Zwerge  im  Zahlenreich,  2.  Aufl.  iMathe- 

matisch-Physikalische  Bibliolhek,  Band  25.  —  1  vol.  in-16,  58  p.  ;  cari. 
1  M.  ;  B.  G.  Teubner,  Leipzig. 

P.  Llckey.  —  Einfûhrung  in  die  Nomographie,  2.  Teil  :  Die  Zeiclmung 
als  Rechenmaschine  (Mathematisch-Physikalische  Bibliothek,  Band  37).  — 
1  vol.  iu-16,  63  p.;  cari.  1  M.  40;  B.  G.  Teubner,  Leipzig. 

A.  RûHKBFRG.  —  Théorie  und  Praxis  des  logarithmischen  Rechen- 
SChiebers,  2.  Aufl.  (Malhematisch-Pliysikalisciie  Bibliolhek.  Band  23i.  — 
1  vol.  in-16,  51  p.  ;  cari.  1  M.  40:   B    G.  Teubner,  Leipzig. 

C.  RuNGE.  —  Graphische  Methoden,  2.  Aufl.  iSammIung  math.-phys. 
Lehrbùcher,  18|.  —  1  vol.  in-S",  130  p.;  cart.  4  M.  80:  B.  G.  Teubner, 
Leipzig. 

Th.  ScHMiD  —  Darstellende  Géométrie  (Sammlung  Schubert  LXV), 
2.  Auflage.  —  1  vol.  in-8^  278  p.:  relié  15  M.  40;  Yereinigung  wissen- 
schaftlicher Verleger,  Waller  de  Gruyter  &  C",  Berlin. 

A.  SouREK.  —  Cours  de  Géométrie  descriptive  (en  bulgarei.  —  1  vol. 
gr.  in-8o,  relié.  XXIV-r)16  p.:  Solia,  191  i. 

Opère  di  Evangelista  Torricelli,  édite  in  occasione  del  111  centenario  délia 
nascila  col  C(jncorso  del  Conuiue  di  Faenza.  da  G.  Loria  et  G.  Vassira.  — 
3  vol.  in-4o  ;  fr.  60.  —  Volume  1,  1  :  Geometria,  407  p.,  373  fig.  —  Volume 
1,  2  :  Geometria,  482  p.,  567  (ig..  2  tables  lithogr.  —  Volume  11  :  Lezioni 
Accademiche  :  Meccauica  :  Scritti  vari,  320  p..  250  (ig.,  4  tables  lithogr.  — 
Volume  111:  Racconto  d'alcuni  prohlemi ,  Carteggio  scientifico ,  521  p., 
260  fig.,  quelques  fac-similé  et  autographes.  —  Amministrazione  degli 
Istiluli  Rinnili  l^ducativi,  Faenza. 

G.  VivANTi  —  Lezioni  di  Ânalisi  infinitésimale,  seconda  edizioue,  riveduia 
ed  ampliata.  —  1  vol.  in-8'J,  32(1  p.  :  L.  50:  S.  Lattes  &  C".  Turin. 

H.  G.  Zeuthen.  —  Sur  l'origine  de  l'Algèbre.   —   1   fasc.   in-8",  70  p  : 

Fr.  Host  &  Son,  Copenhague. 

Nomenclature  des  Journaux,  Revues.  Périodiques  français  paraissant  en 

France  et  en  langue  française  à  l'étranger,  publiée  ])ar  V Argus  de  la  Presse. 
1  vol.  in-8o,  329  p.  ;  Argus,  37,  rue  Bergère,  Paris. 


TABLE   DES   MATIÈRES 


ARTICLES  GENERAUX 
Méthodologie  et  Notes  diverses. 

Pages 
L'approximation    des    fonctions    d  une    vaii;ible    réelle.    Par   C.   de   l\ 

Vallée- Poussi.N ■^ 

Deux  récents  ouvrages  de  Géométrie.    Par  A.  Buhl 30 

Remarques  sur  la  construction  des  courbes  gauches   avec   application 

à  la  parabole  cubique  (avec  2  figures).   Par  G.  Loria ^-i 

Théorie    élémentaire    de   la  toupie    gyroscopique    lavec  1  figure |.    Par 

M.  Zack ...        47 

Sur  les  cougruences  linéaires  de  cubiques  gauches  douées  d'une  seule 

courbe  singulière.    Par  L.  Godealx 81 

Sur   la   gerbe    de    cubiques    gauches    passant    par   cinq    points.    Par  t. 

GONSETH "'-' 

Sur  les  trajectoires   d'un   mobile   soumis  à  une  force  centrale  et  à  une 

résistance  du  milieu.   Par  C.  Cailler .93 

Sur  certaines  identités  vectorielles  et  leur  interprétation  dans  la   géo- 
métrie sphérique  et  plane  (avec  3  figures).   Par  M.  Kr.  Damëls  .      .        97 
Notions  d'Arithmogéométrie  (5™e  et  dernier  article).  Par  E.  Tukriéke.      161 
Sur  la  «  variété  moyenne  »  de  deux  variétés  convexes  (avec  9  figures). 

Par  G.  TiEUCY l/.o 

Contribution  à  la  construction  des  éléments   doubles   dune    involulion 

hyperbolique  (avec  3  figures).    Par  F.  Redl 190 

Extraction  de  la  racine  n"'^  d'un  nombre  réel  par  approximations  suc- 
cessives.   Par  M.  T.  Bekitch '"* 

Note  sur  les  permutations  (avec  2  figuresi.    Par  A.  Aibky     ....      199 
Sur  la  rectification  ap])rochée  d'un  arc  de  cercle    (avec  4  figures).    Par 

A.  Pleskot -1' 

Les   noms    et    les   choses.    Remarques    sur  la    nomenclature  malhôma- 

tique.    Par  G.  Loria '^•^' 

Remarques  sur  1  intégrale    fu\cl.r.    Par  .\I .  Petkovitch 268 

Combinaisons  déterminantes.    Par  J.  Hel.mis 2/1 

Sur  la  détermination  et  quelques  propriétés  des  lignes  élastiques  (avec 

4  figures).   Par  M.  Zack '^'^ 

Sur  les  équations  transcendantes  qui  se  présentent  dans  la  théorie  des 

tiges  élastiques.   Par  M.  Pascuoud '-8" 


464  TABLE    T)  E  S    M  A  T I  E  R  E  S 

l'Hges 
Sur  une  traiisformalioii  élémentaire  et  sur  quelques  intégrales  définies 

et  indéfinies.    Par  C.  Caillkr 317 

Sur  une  intégrale.    Par  F.    V'^anf.y  et  M.  Pascholu o38 

l'xlension  de  la  notion  de  Jacobien.    Par  M.  Stutvaekï ■iil 

Sur  la    représentation    proportionnelle   en   matière   électorale   (avec  2 

figures).   Par  G.  Pôi.ya 355 

Sur  l'éliniinalion  algébrique  :   première  partie.    Par  Ch.  Riquier      .       .  'i05 
Noviveaux   théorèmes  sur  le  viriel  de  forces  et  leurs  applications  géo- 
métriques et  mécaniques  (avec  3  figures).    Par  Farid  Bollad        .      .  'i21 
Sur  les  loyers  rationnels  d'une  courbe  algébrique.  Par  Emile  Tl-kkii  rk  433 

Histoire  et  Philosophie. 

Pensée  axiomatique.   Par  D.  Hilbert 122 

Les  origines  d'un  problème  inédit  de  E.  Toricelli.   Pai*  E.  Tlrrif.re    .  245 


MÉLANGES  ET  CORRESPONDANCE 

A  propos   d  un   problème   de    Lagiange   sur  la  cousli-uction  des  cartes 

géographiques.    Par  L.  Ballif 219 

A  propos  d'un  article  sur  la  rectification  approchée  des  arcs  de  cercle. 

Par  M.  d'OcAG^E 292 

A  propos  d'un  article  de  M.  C.  de  la  Vallée-Poussin  sur  1  approxima- 
tion des  fondions  d'une  variable  réelle.    Par  H.  Brocard  ....  293 
A  propos  d'une  Noie  sur  les  permutations.    Par  H.  Brocard      .      .      .  293 
A  propos  d'un  problème  inédit  de  E.  Toricelli.    Par  E.  Turrière   .      .  379 
A  propos  d'une  Note  de  M.  Paschoud.    Par  E.  Jah.nke 379 


CHRONIQUE 

Articles  divers. 

La  collaboration  scientifique  internationale.  Déclaration  et  résolutions 

votées  par  la  Conférence  interalliée  des  Académies  scientifiques        .  294 

Allemagne  :  Nominations  et  distinctions 302,  380 

Société  Mathématique  allemande 302 

Angleterre  :    Médailles  de  la  Société  Royale  de  Londres      ....  223 

British  Association  for  the  advancement  of  Science 303 

Nominations  et  distinctions 381,  449 

Prix  Adams       ....             303 

Autriche.  —  Nominations  et  distinctions 381 

Belgique  :   Académie  Royale  de  Belgique 223.   303,  449 

Nominations  et  distinctions 381 

Société  Royale  des  Sciences  de  Liège        ...             303 

Danemark  :    Nominations  et  distinctions 67,  382 

.Matematisk  Tidsskrift 303 

l']sPAGNE  :   Nominations  et  distinctions  —  El  Proirresso  scientifico  .      .  371 


TA  RLE    DES    M  A  TIERE  S 


465 


I'Ztats-Uxis  :    dominations  et  distinctions 137 

Catalogue  des  périodiques          ...  137 

Thèses  de  doctorat.  1917-1918 223 

Americau    .Mathematical    Society.    —    Mathematical  Association    of 

America 303 

France:  Académie  des  Sciences  de  Paris  ;  piùx  décernés    137,  221,  380,  449 

Académie  des  Sciences  de  Paris  ;  questions  mises  au  concours    .      .  222 

Nominations  et  distinctions 68,   137,   303,  382 

Société  Mathématique  de  France 303 

Université  de  Strasbourg 382 

Italie  :   Nominations  et  distinctions 68,    138,   304,   383,  450 

Periodico  di  .Matematica ....  68 

Circolo  Matematico  di  Palermo 304 

Norvège  :  Nominations  et  distinctions.  —  Société  mathématique     .      .  304 

Suisse  :  Société  mathématique  suisse  ;    réunion  de  Lugano,  septembre 

1919 ....        68,  436 

Société  suisse  des  professeurs  de  mathématiques  :  réunion  de  Baden, 

octobre  1917 63 

Id.:  réunion  de  Bàle,  octobre  1918 298 

Nominations 68,  305,  138 

Yovco-Slavie  :   Nominations 450 


Nécrologie. 


Cr.  Alasia  de  Quesada 

Léon  Ballif 

Maxime  Bôcher 

Matteo  Bottasso       .... 

E.  Bôttcher  .  .... 
C.  Brandenberger  \H.  F.l. 

G.  Cantor 

François  Daniels      .... 

O.  Daiizer 

G.  Demartres 

Marcel  Deprez 

Ulisse  Dini 

Emile  Dumout 

O.  Dziobek    .      .  ... 

Albert    Gauthier-Yillars    I  l.a 

Réd  } 

F.  Gra>fe 

.1.  H.  Graf  (L.  CreliekI       138, 
Antoine  Gob 


305 
305 
226 
305 
383 
306 
68 
226 
383 
450 
226 
307 
307 
383 


136 
383 
224 
383 


A.  Hurwitz  (J.   Fkan 

S.  Lattes  (A.  B 

E.  E.  Levi     . 

Emile  Lampe  (H.  F 

A.  M.  Liapounoff 

Gaston  Miihaud . 

Paul  Mansion  (H. 

E.  R.  Neovius     . 

E.  Netto  . 

P.  Piazetti 

K.  Th.  Reye 

Ma.x  Simon 

C.  Stephanos 

R.  Sturm 

L.  Sylow. 

A.  Viterbi 

Ch.  Wolf 

J.   NN'ellstein 

HA.  Zeuthen(H.F 


308, 382 


452 
138 

69 
307 
307 
226 
308 

69 
383 
138 
383 

69 
139 
383 
227 

69 
139 
383 
452 


NOTES    ET   DOCr.MI'.NTS 
Cours  universitaires. 


lùtats-Unis. 
France  . 


.      139,  384 
227,  386.  4i9 


Italie l'iO,  386 

Suisse 1  '•  1 .  388 


466  TABLE    DE  S    MA  11 ER E  S 

BIBLIOGRAPHIE 

Pagps 

Annuaire  pour  l'an  1918,  i)ublié  p;ir  le  Bureau  des  Longitudes  .  70 
Annuaire    général    des    Universités,    Index    generalis,    publié    sons    l;i 

direction  de  R.  de  Mo.ntessus  de  Ballore.  Ilf.  F.) 45» 

Appell  et  Dauthevii,le   (P.  et  S).  —  Précis  de  Mécanique  rationnelle. 

(A.  Buhl) 309 

BiEREKBACH  |L.|.  —  Ui lièrent ia  1-  und  Integralrechnung.  IH.  F.j  .  228 
BoKEL  (E.).  —    Leçons    sur  les    fonctions    monogènes   unifoimes    d  une 

variable  complexe.   lA.  Biikl.) 14o 

BouLiGAND  (G.).  —  Cours  de  Géométrie  analytique.  (C.-A.  Luisant I      .  390 

BoiTkOLX  (P.).  —  Les  principes  de  1  analyse  mathématique.  (A.  Buhh  o91 
Caratheodoky  (C.|.  —  Yorlesungen  iiber  réelle  Funktionen.  iM.  Plan- 

cherel) 453 

Clapier  (F.-C).  —    Sur  les    surfaces    minima    ou    élassoïdes.    (E.   Titr- 

rière) 392 

Du  Pasquier  (G.).  —  Introduction  à  la  science  actuarielle.  iR.  Masson)  311 
Flamard  (E.).  —   Calcul  des  systèmes   élastiques   de    la   construction. 

(Encyclopédie  industrielle) 144 

Forsyth  (A.  R.|.  —  Solutions  of  the  Examples  in  a  Treatise  on  Diiï'e- 

reutial  Equations 22S 

Fueter  (R.).  —  Synlhetische  Zahlentheorie.  (M.  Plancheielj  ...  70 
Fricke  (R.).  —  Lehrbuch   der  Differential-  und  Integralrechnung   und 

ihrer  Anweudungen.   (H.  F.i 312 

Gale  (J.-G.).  —  Matematicas  Financieras.  iR.  Masson)  .  .  .  .  71 
Gerbaldi  et  LoRiA  (Fr.  et  G.).  —    Scritti    Malemalici  offerti  ad  Enrico 

d'Ovidio.  (H.  F.j 229 

GouRSAT  (E.|.  —  Cours  d'analyse  mathématique.   (H.  F.)       ....  313 

Gii.MAREs  (R.).  —  Sur  la  vie  et  l'œuvre  do  Pedro  Niines.     E.   Ticnière)  312 

Halphen  (G.  H.|.    —  Œuvres,  t.  II.  I A.  Buhl) 393 

Hkr.mite  (Ch.).  —  Œuvres,  t.  IV.  ^//.  F.  i    .      .             145 

KoLLROs  |L.).  - —  Géométrie  descriptive.   {H.  F.) 146 

Kiepert(L.).  —  Grundriss  der  Differential-  und  Integral-Rechnuug  .  230 
Landau  (E).  —  Einfûhrung  in  die  elementare  und  analytische  Théorie 

der  algebraischen  Zahlen  und  der  Idéale.   IM.  Plancherel !            .      .  147 

Lecormj  (L.!.  —  Cours  de  Mécanique.    (A.  Buhl) 149 

Lœwy  (A.).  —  Lehrbuch  der  Algebra.   (II.  F. l 395 

MoNTEssLs  DE  Ballore  (R.  de).  —  Introduction  à  la  Théorie  des  courbes 

gauches  algébriques.  lA.  Buhl) 395 

D'OcAC.NE  (M.l.  —   Cours  de  Géométrie   pure    et    appli<[uée    de    lEcole 

Polytechnique.   (A.  Buhl) 151 

Pringshei.m  (A.|.  —    Yorlesungen    iibcr   Zahlen-    und    Fnnktionenlehre 

IH.F.) '. 72 

Ra.msey  (A.  S.).  —  Elementary  geomelricai  optics 154 

Selme  (L.)   —  Principe  de  Carnot  contre  formule  cm  pi  li  que  do  Clausius. 

(A.  Schidlof.) 72 

Tho.mson  (J.  J.|.  —  La  théorie  atomique.  (A.  Jiuhl) 397 

N'ivANTi  (G.).  —  rs'uovi  Esercizi  di  Analisi  infinitésimale,  l II.  F.)    .      .  73 

VVhitehead  (A.  N.).  —  The  Organisation  of  Thoughl.  V-i.  Reyinond)   .  73 

WooD  (R.   W.).  —  Researches  in  Pliysical  Optics.   fA.  Srhidlofi     .  453 

ZoRETTi  (L.|.  —  Tables  numériques  usuelles 155 


TA  RLE    DES    MA  T  1ERE  S  467 

BLLLI-TIN   BIBLIOGRAPHIQLl' 
1.    Publications  périodiques. 

Pages 

Acla  matluMiiatica  uMittag-Lkflf.k,   Stockholm) 76,  230 

American  Journal  of  Matlieinalies  (  ^rt//(/Hore/ 76,  3^8 

American  matliematicai  Montlily  i  l.ancaster  et  Urhanai 398 

Annaes  scientifîcos  da  Academia  Polyleclinica  do  Porto  (Teixeikai.  455 

Annales  de  la  Faculté  des  Sciences  de  l'Université  de  Toulouse       .      .  77 

Annales  de  l'Université  de  Grenoble 313.  45o 

Annali  di  mateniatica   pura   ed    applicala   (Bianchc.  Dini,  Jung,  Segkk. 

Milam 313 

Annals  of  Malheuialics  (  Harvard  University,   Cambridge,  .Mass.)       230.  457 

Archiv  der  Matliemalik  nnd  Physik  (\V.  Meyek,  Jah.nki;,   Leipzig)      77,  234 

Alli  délia  R.  Accademia  dei  Lincei  {Rome) 77.  234 

Bolletlino  di  Bibliographia  et  Storia  délie   Science  malem.    (G.  Lokia, 

Turin)    ...             231 

Bolletlino  di  Mateniatica  iCo.mi,  Rome) 455 

Bulletin  de  la  Société  mathématique  de  France  {Pans)    .             78,  231,  314 

Bulletin  des  Sciences  malliématiques  (Appell,  Picakd,  Paris)     .         78,  457 

iiulletin  of  the  American  .Matliematicai  Society  i Xew-Yorkt  .    235,  399,  458 

Bulletin  de  l'Académie  royale  de  Belgique 455 

«Comptes  rendus  des  séances  de  I  .Académie  des  Sciences  (Paris)        79,  232 

399.  458 

Contribucion  al  Estudio  de  las  Ciencias  (  A«  Plata) 455 

-Matliemalische  Zeitschiift  |  Lichïe.nstei.n,  Berlin) 314 

Intermédiaire  des  Mathématiciens    iLaisant,    Maillet,    .Mallski,    Bou- 

LA.NGER,  Paris] 455 

Giornale  di  .Matemaliche  di  Battaglini  (Nnplesi 156 

Isis  (G.  Saktok,  Bruxelles) .  »55 

Jahrbuch  ùber  die  Fortschritte  der  Mathcmatik  ^^e;/i«/ 455 

Jahresbericht  der  Deutscheu  Mathematiker-Vereinigung  ^  Ae/^zj^;    157,  400 

.tournai  de  Mathématiques  élémentaires  (H.  Vlibert.  Paris)             .  455 

Journal  fur  die  reine  und  angewandte  Mathematik  (Hensel,  Berlin)      .  233 

.Malhematical  Gazette,  The  (Greknstreet,  London) 455 

.Mathesis  (Ma.>sio.\  et  Neuberg,  Gand) -455 

.Mathematics  Teacher,  The  (W  .  H.  Metzlkr,  Syracuse,  N.  Y.|  .       40l,  460 

.Mathematische  Annalen  (Leipzig) 157,  460 

Nieuw  Aichief  voor  ^Viskunde  I Amsterdam j 455 

Nouvelles  Annales  de  Mathématiques  i  Uaisan  r  et  Bricakd,  L^aris)     158,  402 

Nyt  Tiddskrift  for  .Mathematik  (Copenhague) 455 

Proceediugs  of  the  London  .Malhematical  Society 233,  461 

Rendiconli  del  Circolo  malemalico  di  Palermo  I Palerme )      .                   .  455 

Revisla  de  la  Sociedad  .Mateniatica  l"]spanola  (Madrid) '»5t) 

Revue  de  -Métaphysique  et  de  .Morale  (X.  Léon,  Paris)     .      .      .       159.  313 

Kevue  de  l  Enseignement  des  Sciences  ( Paris I 158,  40."{ 

Revue  générale  des  Sciences  pures  et  appliquées  {Paris)      ....  235 

Revue  scienliliqne  f Paris i 315,  456 

Revue  semestrielle  des  Publications  mathématiques  { Amsterdami  .  456 

School  Science  and  Mathematics  (G.    \N'.  Mveks,  Chicago)     ....  456 


'468  TABLE    DES    MATIERES 

Pages 

Silzungsberichlf  der  K.  Akademie  dcr  Wisserischaften  (  H'ien  )  .             .  159 

Uuterriclitsblatler  fiir  Malhemalik  iiiid  Nalurwissenschaften  (Berlin!  .  45f> 

\Viskuiidi<^e  Ofgaven  I Amsterdam j    .      .             456 

Zeilsclirift  fiir  das  Realscliuhvesen  (O.ubkr,  Bkchteu.  Gloser.  H'/en)  160,  'i56 
Zeitschritt  fiir  matliematisrheii  und  nalurwissenschafllichen  Unterriclit 

(Leipzig) 'i03 

2.   Puhlications  non  périodiques. 
Livres  nouveaux 79.   160,   236.   'A\h,   404,  461 


TABLE   DE  NOMS  D'AUTEURS 

Cette  table  comprend  les  auteurs  d'articles  généraux  ou  d'articles  de  chronique,  de  lettres 
ou  notes  insérées  dans  la  correspondance  ou  de  comptes  rendus  bibliographiques. 
Les  numéros  qui  suivent  chaque  nom  renvoient  aux  pages  du   volume. 


Pages 

AuBRY   (A.) 199 

BallifjL.) 219 

Beritch  (M.  T.l 194 

Boui.AD  (Faridl 421 

Brocard  (H.) 293 

BuHL  |A.)        30.  138,  143,  147,  151 

309,  391,  393,  395,  397 

Cailler  (C.) 93,  317 

Crelier  |L.  ) 224 

Daniels  |M.  Fr.) 97 

Fehr  (H.|     .      72,  73,  145,  228,  229 

307,  312,  313,  395,  454 

Fkanll  (J.  ) 452 

GODEALX  (L.)      .      .      .      .        81,  146 

Go.NSETH  (F.) I  90 

Jaccottet  iC.i    .      .      .      .       63,  298 

HiLBERT  (D.) 122 

Helmis  (J.) 271 

Jahnke  (E.) 379 

Lais.\.\t  iC.-A.I 390 


Page 

LoRiA  (G.) 43,  237 

Masson  (R.) 71.  311 

D'OcAGNE  (M.) 292 

Paschoud  (M.)   ....     286,  338 

Pi:tro%itcii  (M.)      .      .     .      .      .  268 

Plancherel  (M.)     .      .   70,  146,  453 

Pleskot  (A.) 215 

PÔLTA  (G.) 355 

Reymond  (a.) 73 

Redl  (F.| 190 

RiQuiER  (Ch.) 405 

ScHiDLOF  (A.|     .     .     .     .      72.  454 

Stl'yvaert  (M.) 347 

TiERCY  (G.j 175 

TuRRiÈRE  (E.)  .     161,  245,  312,  37^ 

392.  433 

De  la  Vallée  Poussin  (C.)  .     .  5 

Vaney  (F.) 338 

Zack  (M.) 47,  276 


ERRATA 

Tome  X.\.   X"  3.    P.   190,  2'»''  ligue,  lire  :   uu  rayon  double. 

P.  191,  5"'*  ligne,  omettre  (respectivement  A  et  A). 


Supplément  au  N"  6  du  Tome  XX  (1918-1919) 

Spécimen  de  langue  internationale  Espérantide  (conciliation  de  l'Espéranto 
et  de  rido),  offert  par  l'auteur  en  hommage  aux  lecteurs  de  L' Enseignement 
Mathématique.  ' 


SPACO 

DA 

René  de  Saussure  (Bern,  Swislando). 


I.  La  sep  fundamentan  figuron. 

En  spaco  existas  sep,  kay  nur  sep,  figuron,  kiun  estas  nur  pozician, 
t.  e.,  kiun  entenas  nenia  grando.    Lu  estas  (fig.  1): 

\.  La  punkto  (P).  Irg  ni  punkto  estas  nura  pozicio  kay  havas 
neni  amplexo  ;  punkto  povas  rotaci  omnimanere  sur  si  self,  ne  cestante 
esti  la  sama  punkto. 

2.  La  reglo  (R),  or  rekta  senfina  linio,  konsiderata  kom  spacelemento, 
kom  nedivizibla  tuto  (kay  ne  kom  serio  de  punkton).  Irg  ni  reglo  estas 
nura  pozicio  kay  enhavas  nenia  grando  ;  reglo  povas  gliti  or  rotaci  sur 
si  self,  ne  cestante  esti  la  sama  reglo. 

3.  La  edro  (E),  or  senlima  piano,  konsiderata  kom  spacelemento, 
kom  nedivizibla  tuto  (kay  ne  kom  surfaco  de  punkton).  Irg  ni  edro 
estas  nura  pozicio  kay  enhavas  nenia  grando;  edro  povas  gliti  omni- 
manere sur  si  self,  ne  cestante  esti  la  sama  edro. 

4.  La  sago,  or  figuro  PR,  konsistanta  el  un  punkto  P,  ligita  al 
sur  un  reglo  R.  Punkto  P  estas  la  origino,  kay  reglo  R  la  stango,  de 
la  sago;  ti  stango  posesas  senso  plusa  (indikata  per  sagpinto  sur  fig.  1) 
kay  senso  minusa.  Irg  ni  sago  estas  nura  pozicio  kay  enhavas  nenia 
grando;  sago  povas  rotaci  cirker  sia  stango  ne  cestante  esti  la  sama  sago. 

5.  La  shildo,  or  figuro  PE,  konsistanta  el  punkto  P  ligita  al  sur 
un  edro  E.  Punkto  P  estas  la  origino,  kay  edro  E  \a  folio,  de  la  shildo; 
ti  folio  havas  supro  (indikata  per  signo  -}")  ^^Y  '"fro  (indikata  per 
signo  — ).  La  ye  edro  E,  en  P  starigita,  ortanto  estas  la  axo  de  la 
shildo.  Irg  ni  shildo  estas  nura  pozicio  kay  enhavas  nenia  grando; 
shildo  povas  rotaci  cirker  sia  axo,  ne  cestante  esti  la  sama  shildo. 

6.  La  flago,  or  figuro  RE,  konsistanta  el  un  reglo  R  ligita  al  sur 
un  edro  E  (tio  signifas,  ke  reglo  R  estas  rekta  linio  markita  en  la  piano 
de  la  edro  E).  Reglo  R  estas  la  stango  de  la  flago  ;  ti  stango  havas  senso 
plusa  (indikata  per  sagpinto)  kay  senso  minusa.  Edro  E  estas  la  folio 
de  la  flago  ;  ti  folio  posesas  supro  k.  infro.  Irg  ni  flago  estas  nura 
pozicio  kay  enhavas  nenia  grando;  flago  povas  gliti  paralele  al  sia  stango, 
ne  cestante  esti  la  sama  flago. 

'  Pour  tous  renseignements  concernant  la  langue  internationale  Espérantide  s'adresser  au 
Centra  Oficeyo.  10  Hôteigasse,  Berne. 


7.  La  folyeto,  or  figuro  PRE,  konsistanta  el  un  punkto  P,  ligita  al 
sur  un  reglo  R,  siavice  ligita  al  sur  un  edro  E.  Punkto  P  estas  la  origino, 
reglo  R  la  stango,  kay  edro  E  la  folio, 
de  la  folyeto  ;  la  stango  havas  antro 
(indikata  per  sagpinto)  kay  postro,  kay 
la  folio  havas  supro  kay  infro  (indikatan 
per  la  signon  -f-  kay  — ).  Irg  ni 
folyeto  estas  nura  pozicio  kay  enhavas 
nenia  grando  ;  folyeto  ne  povas  gliti 
sur  si  self  ;  el  tio  seqas,  ke  se  al  folyeto 
PRE  oni  ligas  irg  nia  rigida  korpo  K, 
la  pozicio  de  ti  folyeto  plene  konigos 
tiu  de  la  korpo  K. 

La  sistemon  de  rigidan  korpon 
(korparon)  estas  do  reduktiblan  al  sis- 
temon de  folyeton  (folyetaron)  ;  or,  se 
oui  préféras,  folyeto  estas  nenio  alia, 
ol,  kio  restas,  kiam  de  ni  rigida  korpo 
oni  forprenas  la  formo  k.  la  grando. 

Résume,    el    la    sep    fundamentan  Foii'eho 

pozici-figuron     tri     estas    figuron    Unele-  Fig.  l.  -  La  sep  fundamentan  figuron 

mentan  (punkto,  reglo,  edro),  tri  estas 

duelementan  (sago,  shildo,  flago),  kay  un  estas  trielementa  (folyeto). 

II.    DiFINON. 

Poliserio  estas  plurople  infinita  serio  de  figuron  identan,  or  almeyne 
samspecan  ;  seqe: 

unopla  serio,  enhavanta  oo^  elementan  figuron,  nomivos  monoserio 
duopla      „  „  cxD-         „  „  „  biserio 

triopla       „  „  oo^         „  »  »  triserio 

qaropla     „  „  oo*         „  „  .  tetraserio 

&c.  &c. 

Exemple,  punktlinio  estas  monoserio  de  punkton  (or  punktara  mono- 
serio), punktsurfaco  estas  biserio  de  punkton,  reglosurfaco  estas  mono- 
serio de  région  (or  reglara  monoserio),  komplexo  estas  reglara  triserio,  &c. 

Du  figuron  estas  inversan,  kiam  lu  estas  simetrian  una  ye  la  alia 
relate  al  ni  pun'<to 

Du  figuron  estas  kontran,  kiam  lu  estas  simetrian  una  ye  la  alia 
relate  al  ni  reglo. 

Du  figuron  estas  reflektan,  kiam  lu  estas  simetrian  una  ye  la  alia 
relate  al  ni  edro. 

Du  figuron  estas  reciprokan,  kiai!  lu  estas  inter  su  ligatan  tiamanere, 
ke  una  el  la  du  figuron  naskas  lineara  poliserio  relate  al  la  alia. 

Omni  speco  de  geometrio  estas  fondata  sur  la  reciprokrelato,  kiu 
existas  inter  du  figuron.  Kiam  tin  figuron  estas  identan,  la  koresp  nda 
geometrio  nomivos  geometrio  iinsexa;  kiam  lu  estas  malsaman,  ji  nom- 
ivos dusexa. 

III.    La   TRIDIMENSIA   SPACO. 

La  tridimensia  spaco  havas  strukturo  duala,  or,  se  oni  préféras, 
dusexa,    kar    omnitempe    k.     omniloke    oni    bezonas    du    fundamentan 


—     3     — 

grandon  por  mezuri  spaco  :  la  longo  k.  la  angiilo.  Tin  grandon  estas 
nereduktiblan  una  ye  laalia;  lu  estas  geandran  grandon  kay  oni  povas 
diri,  almeyne  figure,  ke  la  unma  estas  vira,  dur  ke  la  duma  estas  virina. 

Al  la  longo  korespondas  la  punkto,  kar  longo  estas  la  grando 
kustianta  inter  du  punkton  (dupunkta  longo).  Al  la  angulo  korespondas 
la  edro,  kar  angulo  estas  la  grando  kushanta  inter  du  edron  (duedra 
angulo). 

La  figuro  formita  da  du  punkton  P,  P' ,  nomivas  diipunkto,  or 
punktparo.  La  figuro  formita  da  du  punkton  P,  P',  kay  da  la  rektopeco 
PP'  nomivas  diipiinktlongo,  or  segmento.  Fine  la  longo  PP' ,  kushanta 
inter  du  punkton  P  k.  P' ,  nomivas  punktlongo,  or  disto  de  tin  punkton. 

La  figuro  formita  da  du  edron,  E  k.  E',  nomivas  duedro,  or 
edroparo.  La  figuro  formita  da  du  edron  E,  E',  kay  da  la  faskopeco  EE' 
nomivas  duedrangulo.  Fine  la  angulo  E  E' ,  kushanta  inter  du  edron  E 
k.  E',  nomivas  edrangulo  (t.  e.  angulo  formita  da  edron). 

PU  jenerale,  la  figuro,  formita  da  pluran  edron,  nomivas  pluredro  ; 
exemple  :  triedro,  qaredro,  qinedro,  &c. 


La  fundamenta  geometrio  de  l'tridimensia  spaco  estas  dusexa,  kar 
ji  estas  fondita  sur  la  reciprokrelato  inter  la  du  geandran  spacelementon: 
punkto  k.  edro. 

Punkto  P  k.  edro  E  estas  reciprokan,  kiain  lu  plenumas  la  kondito: 

d  =  0, 
en  kiu  d  signas  la  interspaco,  or  disto,  inter  punkto  P  k.  edro  E. 

Efekte,  nu  supozu,  ke  edro  E  estas  fixa;  tiam,  por  plenumi  la 
ci-sura  kondito,  punkto  P  devas  movivi  en  la  piano  de  edro  E;  ji 
do  naskas  lineara  punktaro  (biserio  de  punkton).  Reciproke,  se  punkto 
P  estas  fixa,  edro  E  povas  movivi  nur  cirker  ti  fixa  punkto  ;  ji  do  ulsor 
naskas  lineara  edraro  (biserio  de  edron,  nomita  garbo  de  edron). 

La  punktedrara  geometrio  estas  triparametra,  kar  la  pozicio  de  un 
punkto,  or  de  un  edro,  en  la  tridimensia  spaco,  dipendas  de  tri  para- 
metron  (koordinaton). 

Kar  du  punkton  sufitas  por  difini  lineara  monoserio  de  punkton 
(punktara  rekto),  kay  tri  punkton  por  difini  lineara  biserio  (punktara 
piano),  kay  reciproke:  kar  du  edron  sufitas  por  difini  lineara  monoserio 
de  edron  (edrara  rekto),  kay  tri  edron  por  difini  lineara  biserio  (edrara 
punkto),  oni  konstatas,  ke  la  punktedrara  geometrio  estas  lineara  slo- 
karaktere. 


Ulter  la  punktedrara  geometrio  existas,  en  tridimensia  spaco,  alla 
fundamenta  geometrio,  nome  :  la  reglara  geometrio.  Ti  geometrio  estas 
unsexa,  kar  la  figuro  geandra  ye  reglo  ulsor  estas  reglo,  La  reglara 
geometrio  estas  fondita  sur  la  reciprokrelato  inter  du  région  (geandran 
figuron)  : 

Se  oni  elektas  konstanta  grando  c,  nomita  ^indico" ,  du  région 
R,  R',  estas  reciprokan  pcre  de  indico  c,  kiani  lu  plenumas  la  kondito: 

h  tang  (I)  =  c, 
en  kiu  h  signas  la  pley  kurta  disto.    kav  o  la  angulo,    inter  la  région 
R  k.  R'. 


Efekte,  se  una  el  la  du  région,  exemple  reglo  R,  estas  fixa,  la  alla 
reglo  R'  naskos,  konforme  al  la  ci  supra  kondito,  lineara  triserio  de 
région  (lineara  komplexo). 

Kar  tri  région  estas  necesan  por  difini  la  lineara  monoserio  (reglara 
hiperboloido),  qar  région  por  difini  la  lineara  biserio  (lineara  kongriienco), 
kay  qin  région  por  difini  la  lineara  triserio  (lineara  komplexo),  on! 
konstatas,  ke  la  reglara  geometrio  estas  qadratika  slokaraktere.  Tio 
ulsor  rezultas  de  la  fakto,  ke  la  reciprokrelato  inter  du  région  enhavas 
arbitera  konstanto  c. 

Kiam  indico  c  estas  nula,  la  région  R  k.  R'  plenumas  la  kondito: 
h  tang  o)  =  0  (t.  e.  :  /z  =  0,  or  (»  =  0),  kay  la  koresponda  lineara 
komplexo  farivas  speciala.  Oni  tiam  diras,  ke  la  du  région  estas  „reci- 
prokan  père  de  indico  nul",  or  pli  simple,  ke  lu  estas  «reciprokan", 
sen  mencii  ni  indico;  kay  tio  signifas,  ke  la  région  R  k.  R'  t  su 
renkontas. 

La  reglara  geometrio  estas  qarparametra,  kar  la  pozicio  de  omni 
reglo,  en  tridimensia  spaco,  dipendas  de  qar  parametron,  or  koor- 
dinaton. 


Omnin  geometrion  de  la  tridimensia  spaco  estas  sinteziblan  en  un 
sola  geometrio,  kies  spacelemento  estas  la  folyeto  PRE  ;  la  geometrio 
de  folyeton,  or  folyetara  geometrio,  estas  la  pley  jenerala  el  omtiun, 
kar  folyeto  estas  la  sintezo  de  la  tri  fundamentan  elementon  (punkto  P, 
reglo  R,  k.  edro  E).  Ti  geometrio  estas  sisparametra,  kar  la  pozicio 
de  irg  ni  folyeto  dipendas  de  sis  parametron,  or  koordinaton;  ji  estas 
unsexa,  kar  la  îiguro  geandra  ye  folyeto  ulsor  estas  folyeto  ;  fine,  ji  estas 
qadratika  slokaraktere,  kar: 

lineara  monoserio  de  folyeton  estas  difinata  per  S  folyeton, 

biserio  „  „  »  „  „     4         „ 

„        triserio         „  „  „  „  „     5         „ 

„        tetraserio     „  „  „  „  „     6         „ 

pentaserio    „  „  „  «  „     7         „ 

kay  reciproke  : 

2  linearan  pentaserion  e  su  sekcas  slo   lineara  tetraserio, 

3  „  „  „  n         „  ..        triserio, 

4  „  „  „  „         „  «        biserio, 

5  „  «'«„„«        monoserio, 

6  „  „  „  „         ,.     dufolyeto  (folyetparo). 
Cetere    la    qadratika    karaktero    de    l'folyetara    geometrio    estas   qik 

rekonibla  pro  la  fakto,  ke  la  fundamenta  reciprokrelato  inter  du  folyeton 
(geandran  figuron)  entenas  arbitera  konstanto  c.    Efekte  : 

Du  folyeton  PRE  k.  P' R' E'  estas  reciprokan,  père  de  indico  c, 
kiam  lu  plenurnas  la  kondito: 

h  tang  —  —  =--  c, 

en  kiu  h  estas  la  glitlongo  kay  <o  la  angulo  de  la  helicmovo,  per  kiu 
la  folyeto  povas  migri  de  la  pozicio  PRE  al  la  pozicio  P'  R'  E',  or 
reciproke.' 


•  Ti  remarkabla  foriiio  de  la  reciprokrelato  inter  ilii  folyeton  estis  unniafoye  siigestita  al  mi  da 
nua  bone  konafa  sainideano  Prof.  R.  Bricard,  el  Parizo. 


—     5     — 

Se  una  el  la  du  folyeton,  exemple  PRE,  estas  fixa,  la  alia  folyeto 
P'  R'  E',  konforme  al  la  ci-sura  kondito,  naskas  lineara  pentaserio. 
kiu  ludas,  en  folyetara  geometrio,  la  sania  rolo,  kie  la  lineara  komplexo 
en  reglara  geometrio. 

Kiam    indico    c   estas    nila,    folyeton  PRE   k.  P' R' E'  plenunias 

la   kondito  :   h  tang  — ^  =  0  (t.  e.  :  h  =  0,  or  (o  =  0),    kay  la   ko- 

responda  lineara  pentaserio  estas  speciala.  Oni  tiam  diras,  ke  folyeton 
PRE  k.  P' R' E'  estas  „reciprokan  père  de  indico  nul",  or  pli  simple, 
ke  lu  estas  „reciprokan",  sen  mencii  ni  indico;  kay  tio  signifas,  ke 
la  folyeto  povas  migri  de  la  pozicio  PRE  al  la  pozicio  P'  R' E'  per 
nura  rotaco  (sen  glitmovo),  or  reciproke. 

Remarko.  —  La  folyetara  geometrio  estas  identa  al  la  korpara 
geometrio,  t.  e.  al  la  geometrio  de  rigidan  korpon  en  spaco,  kar  nu  yam 
konstatis,  ke  folyeto  estas  figuro  eqalvalora  al  un  pozicio  de  irg  nia 
tigida  korpo.^ 

IV.  La  dudimensian  spacon. 

Existas  du  specon  de  spaco  dudimensia  :  la  plana  spaco,  or  piano, 
kay  la  cirkcrpiinkta  spaco,  or  angiila  spaco.  Omdu  tin  spacon  havas 
strukturo  duala,  or  dusexa. 

L  —  La  plana  spaco  or  Plano.  —  Existas  en  piano  du  funda- 
mentan  grandon  :  la  longo  k.  la  angulo.  Al  la  longo  korespondas 
la  punkto,  kar  longo  estas  la  grando  kushanta  inter  du  punkton  (punkt- 
longo).  Al  la  angulo  korespondas  la  reglo,  or  latro,  kar  angulo  estas 
la  grando  kushanta  inter  du  latron  (latrangiilo). 

Kie  en  la  tridimensia  spaco,  la  figuro,  formita  da  du  punkton  P 
k.  P',  nomivas  dupunkto  or  punktoparo ;  la  figuro  formita  da  du 
punkton  P,  P',  kay  da  la  rektopeco  PP',  nomivas  dupiinktlongo,  or 
segmento  ;  kay  la  longo  kushanta  inter  P  k.  P'  nomivas  punktlongo, 
or  simple  longo  PP'. 

La  figuro  formita  da  du  région,  or  latron,  R,  R',  nomivas  diilatro, 
or  latro  p  aro  ;  la  figuro  formita  da  du  latron  R,  R',  kay  da  la  fasko- 
peco  RR'  nomivas  dnlatrangalo ;  fine,  la  angulo  kushanta  inter  la  latron 
R  k.  R',  nomivas  latrangulo,  or  simple  angulo  RR'. 

Pli  jenerale,  la  figuro,  formita  da  pluran  latron,  nomivas  plur- 
latro,  or  plurangulo ;  exemple:  trilatro  or  triangulo,  qarlatro  or  qar- 
angulo,  qinlatro  or  qinangulo,  &.c. 

La  fundamenta  geometrio  de  1'  plana  spaco  estas  dusexa,  kar  ji 
estas  fondita  sur  la  reciprokrelato,  kiu  existas  en  ti  spaco  inter  punkto 
k.  latro  (geandran  figuron)  : 

Punkto    P    k.  latro   R    estas    rcciprokan,    kiam    lu    plcnumas   la 

kondito  : 

d  -=^  0, 

en  kiu  d  signas  la  interspaco,  or  disto,  inter  punkto  P  k.  latro  R; 
alivorte,  P  k.  R  estas  reciprokan,  kiam  P  situas  sur  la  rekto  koinci- 
danta  kun  latro  R. 

'  For  pluan  detalon  koncerne  la  folyetara  geometrio  vidu  divcrsan  artikion,  puhlikigltan  en 
la  Archives  des  sciences  physiques  et  naturelles,  Genevo  (1898-  1919),  kay  en  la  aC'"»  tomo  de 
la  Mémoires  de  la  Société'  de  Physique,    Genevo.    Ulsor  en  la  Intemacia  Scienca  Revuo,  1909. 


—     6     — 


So,  se  latro  R  estas  fixa,  punkto  P  naskas  lineara  monoserio 
(punktara  rekto).  Reciproke,  se  punkto  P  estas  fixa,  latro  R  ulsor  naskas 
lineara  monoserio  (reglara  fasko)  cirker  punkto  P. 

Kar  du  punkton  sufitas  por  difini  rekto,  kay  reciproke  kar  du  région 
sufitas  por  difini  fasko,  oni  Constatas,  ke  la  punktoreglara  geometrio  (en 
plana  spaco)  estas  lineara  slokaraktere  ;  ji  estas  duparametra,  kar  la 
pozicio  de  omni  punkto,  or  reglo,  dipendas  de  du  parametron  (koor- 
dinaton). 

Ulter  ti  geometrio  existas  en  la  plana  spaco  la  geometrio  de  sagon, 
or  sagara  geometrio,  kiu  estas  la  pley  jenerala,  kar  jia  spacelemento 
estas  la  sago  PR,  recevita  per  sintezo  de  la  du  fundamentan  elementon 
(punkto  P  k.  latro  R)  de  ti  spaco.  La  sagara  geometrio  estas  tripara- 
metra,  kar  la  pozicio  de  omni  sago  en  la  piano  dipendas  de  tri  para- 
metron; ji  estas  unsexa,  kar  la  geandra  figuro  de  sago  ulsor  estas  sago; 
fine,  ji  estas  lineara  slokaraktere,  kar: 

2  sagon  difinas  sagkrono        (lineara  monoserio  de  sagon)  (fig.  2), 

3  „  „       sagkronoido   (     „       biserio         ,,       „     )  (fig.  3)  ; 
kay  reciproke  : 

2  sagkronoidon  e  su  sekcas  slo   sagkrono 

3  „  „  „  „  un  sago. 
La  fundamenta  formo  de  la  sagara  geo- 
metrio en  piano  estas  do  la  kronoido ,  or 
lineara  biserio  ;  ti  biserio  posesas  un,  kay 
nur  un,  sago  PR  che  omni  punkto  P  de  la 
plana  spaco,  kie  e  ji  montras  figuro  3"ia  (j[ 
figuro  prezentas  la  flulinion  de  la  kronoido). 

La    sagkronoido    estas    difinata    per    la 
cia  reciprokrelato,  kiu  existas  inter  du  sagon  (geandran  figuron)  : 

Du  sagon  PR  k.  P'R'  estas  reciprokan,  kiam  lu  estas  „kontran", 
t.  e.  simetrian  una  de  la  alia  relate  al  ni  reglo  de  la  plana  spaco  (fig.  3). 
E  ti  kondito  oni  povas  expresi  per  la  relato  : 


Fig.  2.  —  Sagkrono. 


co 


co  , 


en  kiu  co  signas  la  angulo  kushanta 
inter  reglo  R  k.  rekto  PP',  kay 
(o'  la  angulo  kushanta  inter  reglo  R' 
k.  rekto  P'P. 

Remarko.  —  La  sagara  geo- 
metrio estas  identa  al  la  geometrio 
de  rigidan  korpon  en  la  plana  spaco 
(korpara  plangeometrio),  kar  en  ti 
spaco,  sago  PR  estas  figuro  eqal- 
valora  al  un  pozicio  de  irg  nia  rigida 
korpo. 

2.  —  La  cirkerpunkta  spaco 
or   Spaco   angula.  —  Existas   en 
la    cirkerpunkta     spaco    du     funda- 
mentan grandon,   kiun,   spit   ke   omdu   angulan,  estas  apartigendan  :    la 
reglangulo  k.  la  edrangulo. 

Al    la    reglangulo    korespondas    la    reglo,   kay  al  la  edrangulo   ko- 
respondas  la  edro. 


Fig.  3.  —  Sagkronoido  difinita  per  sian 
flulinion. 


La  figuro  formita  da  du  région  R,  R',  nomivas  dureglo  (regloparo), 
kie  en  la  plana  spaco.  La  ligiiro  formita  da  du  région  R,  R',  kay  da 
la  faskopeco  RR',  nomivas  dureglangulo.  La  angulo  kushanta  inter  du 
région  nomivas  reglangulo,  or  simple  angulo,  kie  en  la  plana  spaco. 

La  figuro  formita  da  du  edron  E,  E',  nomivas  duedro  (edroparo). 
La  figuro  formita  da  du  edron  E,  E',  kay  da  la  faskopeco  EE',  nomivas 
duedrangulo.  Fine,  la  angulo  situanta  inter  du  edron  nomivas  edrangulo, 
kie  en  tridimensia  spaco. 

Pli  jenerale,  la  figuro  formita  da  pluran  edron  (en  la  angula  spaco) 
nom'was  pluredrangulo ;  exemple:  triedrangulo,  qaredrangulo,  qinedr- 
angulo,  &c. 

Oni  do  vidas,  ke  : 
en  la  tridimensia  spaco  la  geometrian  Itorpoii  nomivas  pluredron, 

„    „    diidimensia  spaco  plana     „        „  »  «      pliirlairon  or 

plitrangulon, 
„    „    dudimensia  spaco  angula     „        „  „  „      pluredrangulon. 

La  fundamenta  geometrio  de  1'  spaco  angula  estas  la  regledrara 
geometrio  ;  ji  estas  dusexa,  kar  ji  estas  fondita  sur  la  reciprokrelato, 
kiu  existas,  en  ti  spaco,  inter  reglo  k.  edro  (geandran  figuron)  : 

Reglo  R  k.  edro  E  estas  reciprokan,  kiam  lu  plenumas  la  kondito: 

ô  =  0 
en  kiu  ô  signas  la  angula  interspaco  inter  reglo  R  k.  edro  E  ;  alivorte, 
reglo    k.  edro    estas  reciprokan,    kiam    la  reglo   kushas    en  la   piano  de 
la  edro. 

Efekte,  se  edro  E  estas  fixa,  reglo  R  naskos  lineara  monoserio 
de  région  (reglofasko).  Reciproke,  se  reglo  R  estas  fixa,  edro  E  naskos 
lineara  monoserio  de  edron  (edrofasko)  cirker  ti  reglo. 

Kar  du  région  sufitas  por  difini  reglofasko,  en  la  spaco  angula, 
kay  reciproke  kar  du  edron  sufitas  por  difini  edrofasko,  oni  konstatas, 
ke  la  regledrara  geometrio  cirkerpunkta  estas  lineara  slokaraktere;  ji 
estas  duparametra,  kar  la  pozicio  de  irg  ni  reglo,  or  edro,  dipendas 
de  du  parametron  (koordinaton)  en  ti  spaco. 

Ulter  ti  geometrio  existas  en  la  angula  spaco  la  geometrio  de 
flagon,  or  flagara  geometrio,  kiu  estas  la  pley  jenerala,  kar  jia  spac- 
elemento  estas  la  flago  RE,  recevita  per  sintezo  de  la  du  fundamentan 
elementon  (reglo  R  k.  edro  E)  de  ti  spaco.  La  flagara  geometrio  estas 
triparametra,  kar  la  pozicio  de  irg  ni  flago  en  la  angula  spaco  dipendas 
de  tri  parametron  ;  ji  estas  unsexa,  kar  la  geandra  figuro  de  flago  ulsor 
estas  flago;  fine,  ji  estas  lineara  slokaraktere,  kar: 

2  flagon  difinas  flagkrono        (lineara  monoserio  de  flagon), 

3  „  „        flagkronoido   (     „        biserio  „         ..     )  ; 
kay  reciproke  : 

2  flagkronoidon   esu   sekcas  slo  flagkrono, 

3  „  „         „         „     un  flago. 
La    fundamenta    formo    de    la   flagara   geometrio 

en  angula  spaco,  estas  do  la  kronoido,  or  lineara 
biserio;  ti  biserio  posesas  un,  kay  nur  un,  flago  RE 
sur  omni  reglo  R  de  la  angula  spaco,  kie  e  ji  montras 
figuro  4  «"a  (Ti  figuro  prezentas  la  flukonuson  de  la 
kronoido).  La  intersekco  de  flagkronoido  kun  kun- 
centra    sfero  formas  sfera  sagkronoido,  prezentita  sur       ^  oldo  diHnlta'pe" 

figuro    5  "la.  sian  flukonuson. 


La  flagkronoido  estas  difinita  per  la  cia  reciprokrelato,  kiu  existas 
inter  du  flagon  (geandran  figuron)  : 

Du  f lagon  RE  k.  R' E'  estas  reciprokan,  kiam  lu  estas  ^reflektan" , 
t.  e.  simetrian  una  de  la  alia  relate  al  ni 
edro  de  la  angula  spaco  (fig.  4).  E  ti 
kondito  oni  povas  expresi  per  la  relato: 

iO    =    O), 

en  kiu  w  signas  la  edrangulo  kushanta 
inter  edro  E  k.  piano  RR',  kay  co  la 
edrangulo  kushanta  inter  edro  E'  k. 
piano  R' R. 

Remarko.  —  La  flagara  geometrio 
estas  identa  al  la  geometrio  de  rigidan 
korpon  en  la  angula  spaco,  t.  e.  cirker 
fixa  punkto  (korpara  geometrio  cirker- 
punkta),  kar  flago  estas  figuro  eqalvalora 
Fig.  5.-  sfera  sagkronoido,  or    g]  jg  pozicio  de  irg  nia  rigida  korpo,  kiu 

intersekco  de  flagkronoido  kun  ^  ..  ^  i 

kuncentra  sfero.  pOSCSaS    UH    tixa    punktO. 


V.  La  undimensia  spaco. 

La  undimensia  spaco  konsistas:  l™e  el  omnin  punkton  P  lokantan 
sur  fixa  rektlinia  axo  S  ;  2"ie  el  omnin  edron  E  strekiblan  cirker  ti  axo. 
Existas  do,  en  la  undimensia  spaco  S,  du  fundamentan  grandon  :  la 
longo  (punktlongo),  or  interspaco  inter  du  punkton  P  k.  P' ,  kay  la 
edrangulo,  or  angula  interspaco  inter  du  edron  E  k.  E'. 

Kie  en  tridimensia  spaco,  la  figuro  formita  da  du  punkton  P,  P' , 
nomivas  dupunkto  (punktparo),  kay  la  figuro  formita  da  du  edron  E,  E', 
nomivas  duedro  (edroparo). 

Se  ji  existus,  la  fundamenta  geometrio  de  la  undimensia  spaco  5 
estus  dusexa,  kar,  en  ti  spaco,  punkto  P  k.  edro  E  estas  figuron 
geandran  ;  sed  ti  geometrio  fakte  ne  povas  existi,  kar  jia  fundamenta 
formo  devus  esti  fondata  sur  la  reciprokrelato  d  =  0,  en  kiu  d  signus 
la  interspaco,  ôr  la  disto,  inter  punkto  P  k.  la  reciproka  edro  E,  kay 
oni  facile  konstatas,  ke  irg  ni  punkto  P  estas  reciproka  de  irg  ni 
edro  E  de  la  undimensia  spaco,  tial  ke  omni  punkto  P  situas  en 
omni  edro  E. 

Sed  existas  en  la  undimensia  spaco  S,  alia  fundamenta  geometrio, 
nome  la  geometrio  de  shildon,  or  shildara  geometrio;  ti  geometrio  estas 
la  pley  jenerala  en  la  spaco  S,  kar  jia  elemento  estas  la  shildo  PE, 
formita  per  sintezo  de  la  du  fundamentan  elementon:  punkto  P  k. 
edro  E.  La  shildo  PE  truvivas  self  en  la  undimensia  spaco  S,  kar  omdu 
jian  elementon,  P  k.  E,  situas  en  ti  spaco. 

La  shildara  geometrio  en  spaco  vS  estas  duparametra,  kar  la  pozicio 
de  omni  shildo,  en  ti  spaco,  dipendas  de  du  parametron  (kar,  se  P  E 
estas  ni  fixa  shildo  kay  P'E'  ni  moviva  shildo,  la  pozicio  de  PE  relate 
al  P'E'  estas  difinata  per  la  longo  h  ^=  P  P'  kay  per  la  edrangulo 
oj  =^  EE').  La  shildara  geometrio  estas  unsexa,  kar  la  geandra  figuro 
de  shildo  ulsor  estas  shildo;  fine,  ti  geometrio  estas  qadratika  slokaraktere, 
kar  jia  fundamenta  formo  (shildara  monoserio)  estas  difinata  per  la  cia 
reciprokrelato  inter  du  shildon  (geandran  figuron)  : 


—     9     — 

Du  shildon  PE  k.  P' E'  estas  reciprokan  perc  de  indico  c,  kiam 
lu  plenumas  la  kondito  : 

h  tang  -^     =  c. 

en  kiu  h  signas  la  longo  P  P' ,  kay  co  la  edrangulo  EE'.  La  cheesto  de 
arbitera  konstanto  c  en  la  fundamenta  reciprokrelato  montras,  ke  la 
shildara  geonietrio,  en  spaco  S,  estas  qadratika;  seqe,  ke  3  shildon  estas 
necesan  por  difini  la  lineara  monoserio  (lineara  shildaro)  reprezentata  da 
la  ci-sura  relato  ;  seqas  anke,  ke  2  linearan  shildaron  e  su  sekcas  slo 
dushildo  (shildoparo). 

Kiam  indico  c  estas  nula,  shildon  PE  k.  P' E'  plenumas  la  kondito 

h  tang  ^r^  =  0   (t.  e.  :    h  =  0,    or    o)  =  0),    kay    la    koresponda 

lineara  monoserio  farivas  speciala.  Oni  tiam  diras,  ke  la  du  shildon  estas 
«reciprokan  père  de  indico  nul",  or  pli  simple,  ke  lu  estas  „reciprokan", 
sen  mencii  ni  indico  ;  kay  tio  signifas,  ke  la  shildo  povas  migri  de 
la  pozicio  PE  al  la  pozicio  P' E'  per  nura  rotaco,  sen  glito,  or  per  nura 
glito,  sen  rotaco;  alivorte,  tio  signifas,  ke  la  shildon  PEV..  P' E'  havas 
komuna  origino  P  (kay  malsaman  folion  E  k.  E'),  or,  ke  lu  havas 
komuna  folio  E  (kay  malsaman  originon  P  k.  P'). 

Remarko.  — -  La  shildara  geometrio  en  undimensia  spaco  vS  estas 
identa  al  la  geometrio  de  rigidan  korpon  (korpara  geometrio)  cirker  fixa 
axo  S,  kar,  en  ti  spaco,  shildo  estas  figuro  eqalvalora  al  pozicio  de  irg 
nia  rigida  korpo,  ligita  al  axo  vS. 

Oni  savas,  ke,  en  la  tridimensia  spaco,  al  du  irg  nin  pozicion,  K 
k.  A",  de  rigida  korpo  korespondas  un,  kay  nur  un,  axo  5  tia,  ke  la 
korpo  povas  migri  de  pozicio  K  al  pozicio  K'  per  nuran  rotaco  k.  glito 
ye  la  axo  ^\    seqe  per  movo  tute  entenata  en  la  undimensia  spaco  5. 

Oni  povas  do  vortigi  la  cia  teoremo  :  same  ke,  inter  du  irg  nin 
punkton  oni  povas  streki  un,  kay  nur  un,  rekto,  same  :  inter  du  irg 
nin  pozicion,  K  k.  K' ,  de  rigida  korpo  en  tridimensia  spaco  ont  povas 
streki  un,  kay  nur  un,  undimensia  spaco  S. 

VL  La  spacgrandon. 

l.  —  En  la  undimensia  spaco  ^S  la  fundamentan  grandon 
estas:  !«  la  longo  (punktlongo),  or  nombro  de  punkton  lokantan  inter 
du  punkton  P  k.  P'  de  la  rekto  S;  2^  la  angulo  (edrangulo),  or 
nombro  de  edron  lokantan  inter  du  edron  E  k.  E'  de  la  sama  rekto  .S\ 

2a.  --  En  la  dudimensia  spaco  plana  la  fundamentan  grandon 
undimensian  estas:  l'"e  la  longo  (punktlongo),  or  nombro  de  punkton 
lokantan  inter  du  punkton  P  k.  P'  de  irg  ni  rekto;  2^6  |a  angulo  (regl- 
angulo),  or  nombro  de  région  kushantan  inter  du  irg  nin  région  R  k.  R'. 

Ulter  tin  undimensian  grandon  existas,  en  piano,  un  dudimensia 
grando,  nomita  areo,  kiu  estas  la  nombro  de  punkton  lokantan  intre  de 
klozita  kurvo  C,  or  la  nombro  de  région  sekcantan  ti  kurvo,  kar  irg 
ni  plana  kurvo  estas  konceptibla,  cor  koni  punktaro,  cor  kom  reglaro 
(aro  de  la  ye  kurvo  C  tanjantan  région). 

2''.  —  En  la  dudimensia  spaco  angula,  or  cirkerpunkta, 
la  fundamentan  grandon  undimensian  estas:  1'"^  la  reglangulo,  or  nombro 
de  région  kushantan  inter  du  région  R  k.  R'  de  irg  tri  reglofasko  ;  2"ie  ]a 
edrangulo,  or  nombro  de  edron  lokantan  inter  du  irg  nin  edron  E  k.  E'. 


—     10 


Ulter  tin  undimensian  grandon  existas  un  grando  dudimensia,  nome 
la  konusa  solidangulo,  or  simple  konusangulo,  kiu  estas  la  limo,  al  kiu 
kuras  la  pluredrangulo,  kiam  la  nombro  de  lies  edron  kreskas  senfine. 
La  konusangulo  estas  la  nombro  de  région  R  kushantan  intre  de  ni 
klozita  konuso,  or  la  nombro  de  edron  t  sekcantan  ti  konuso,  kar 
konuso  estas  konceptibla,  cor  kom  reglaro,  cor  kom  edraro  (formita  da 
la  tanjantan  edron). 

Konusangulon  estas  mezuratan  per  la  areo,  e  kiu  lu  eltranchas  el 
sfera  surfaco  kuncentre  strekita  per  radiuslongo  1,  kar  la  punkton  lok- 
antan  sur  ti  areo  estas  évidente  samnombran,  ol  la  région  kushantan 
intre  de  la  konuso. 

3.  —  En  la  tridimensia  spaco  la  fundamentan  grandon  un- 
dimensian estas:  \^^  la  longo  (punktlongo),  or  nombro  de  punkton 
lokantan  inter  du  punkton  P  k.  F  de  irg  ni  rekto  ;  2^^  la  angulo  (edr- 
angulo),  or  nombro  de  edron  situantan  inter  du  irg  nin  edron  £  k.  £"'  ; 
3"ie  la  tordiva  angulo  (reglangulo),  or  nombro  de  région  kushantan 
inter  du  irg  nin  région  R  k.  R\  or  pli  precize,  inter  du  région  R  k.  R' 
de  irg  ni  orta  konoido,  kies  axo  estas  la  rekto  /  montrita  sur  liguro  6  "^a. 

La  tordiva  angulo  RR'  estas 
komplexa  grando  (reglara),  kar 
la  dureglangulo  RR'  estas  formata 
da  la  radiantan  région  kushantan 
en  la  planangulo  RR"  f=  d)  kay 
da  la  paralelan  région  kushantan 
inter  la  région  R"  k.  R'.  Se  nu 
nomas  L  la  pley  kurta  distance 
ab  de  la  région  R  k.  R\  la 
valoro  de  la  tordiva  angulo  RR' 
estos  : 

;.  =  {)  -(-  /  L, 

en  ki  valoro  la  Utero  /  signas  la  imaginara  uno  (  V^^)  uzata  en  algebro. 

Kie  en  la  kutima  reprezento  de  komplexan  qantiton,  la  pure  kom- 
plexa parto  (i  L)  staras  orte  ye  la  reala  parto  ê,  kar  la  piano  R"R'  staras 
orte  ye  la  piano  RR"\  kay  la  valoro  de  la  komplexa  qantito  (û -\- i  L) 
estas  sendipenda  de  la  voyo  seqita  por  migrigi  la  reglo  de  la  pozicio 
R  al  la  pozicio  R',  kar  ti  qantito  restas  la  sama,  irg  nia  estu  la  formo 
de  la  orta  konoido  kuniganta  la  région  R  k.  R,  kondite  nur,  ke  la 
konoidaxo  estu  la  komunortanto  /. 

Kar  la  du  membron  de  la  eqaluro  /  =  »9  -j-  /  Z.  devas  esti  homo- 
genan  (or  samspecan),  kay  kar  la  grandon  ?.  k.  i^  omdu  estas  grandon 
reglaran,  la  grando  /  L  ulsor  devas  esti  reglara  (efekte.  ji  konsistas  el 
la  paralelan  région,  kushantan  inter  R"  k.  R'J  ;  alilatre  la  grando  L  estas 
punktara  grando  (pley  kurta  disto  ab  inter  R  k.  R')  :  oni  do  konstatas, 
ke  faktoro  /  transformas  punktara  grando  en  samvalora  reglara  grando, 
or,  se  oni  préféras,  faktoro  /  transformas  punkto  en  reglo. ^ 

La  nombro  n  =  i  L  :d  estos  nomata  picho  de  la  tordiva  angulo  RR . 


Fig.  6.  —  La  tordiva  reglangulo. 


'  Por  pluan  detalon  koncerne  reglaran  grandon  en  spaco  vidu  artiklo  aperinta  en  .Revue 
Scientifique"  (23'>"'  Septembra  1905),  Parizo.  —  Ulsor,  pri  la  korespondo  inter  reglara  spaco  k. 
punktara  sfersurfaco  imaginara,  vidu  artiklo  titulita  Calcul  ge'omi'trique  réglé  en  ,The  American 
Journal  of  Mathematics"  (1895),  Baltimore,  Md.,  U.  S.  A.  En  ti  korespondo  la  imaginara  uno  /  ne 
plu  estas  difinata  per  la  eqaluro  /'  =  —  /,  sed  per  la  eqaluron  /  r=  o  kay  i'  —  o,  kie  e  tic  montris 
Prof.  C.  Cailler,  el  la  Geneva  Universitato. 


—    ii    — 


Fig.  7. 


La  dudimensian  grandon  en  tridimensia  spaco  estas  unme  la  oreo, 
t.  e.  la  nombro  de  punkton  lokantan  sur  ni  kurva  surfaco  intre  de  ni 
klozita  kuryo  C,  strekita  sur  la  surfaco,  or  la  nombro  de  edron,  kiun 
tuchas  la  surfaco  en  punkto  intre  de  kurvo  C.  Areo  estas  do  grando 
punktedrara. 

La    dua    fundamenta    grando    dudimensia    de    la    tridimensia  spaco 
estas    la   tordiva  solidangiilo    (reglara    grando),    or   nombro    de   région 
entenatan  en  difinita  parto  de  reglara 
biserio  (kongruenco). 

Nu  konsideru,  exemple,  la  kon- 
gruenco formata  da  omnin  région, 
kiun  e  si  apogas  sur  du  irg  nin 
kurvon,  C  k.  C  (fig.  7).  Oni  sa- 
vas,  ke  tin  kurvon  estas  la  fokusan 
kurvon  de  la  kongruenco.^  Por  limigi 
difinita  parto  de  la  kongruenco,  su- 
fitas  limigi  difinita  parto  de  la  foku- 
san kurvon.  Nu  unme  supozu,  ke  la 
fokusan  kurvon  estas  du  rekton  A 
k.  A  (fig.  8),  kay  nu  marku  sur  tin 
rekton    du    segmenton    mn   (=  dL) 

kay   m'iï   f=  dL')  ;    la   figuro    m  n  m' tï  estas    qaredro    tia,   ke  omnin 

région  R,  e  si  apogantan  sur  la  seg- 
/^  menton    dL    k.    dL\     kushas     intre 

de  la  qaredro.  La  région  R  formas 
tordiva  solidangulo.  kies  fokusan 
segmenton  estas  mn  k.  m'n.  La 
valoro  de  ti  solidangulo  estas  : 

dL  dL 

ûf  2"  = sin  co  sin  oi   sm  rp, 

r^ 

en  ki  formulo  eu  signas  la  angulo 
AR,  ùi  la  angulo  A'R,  rp  la  edr- 
angulo  inter  la  planon  AR  k.  A'R. 
Ti  formulo  estas  nenio  alla,  ol 
la  Gauss'a  formulo,  kun  la  sola 
difero,  ke  Gauss  ne  parolas  pri 
tordivan  solidangulon,  sed  nur  pri 
konusan  solidangulon;  efekte  la  tordiva  angulo  (mn,  m'n')  estas  eqala 
ye  la  konusa  angulo,  naskita  per  un  punkto  m,  kiu  migras  dey  m  til  /; 
kay  regardas  la  segmento  m' n' ,  or  per  fixa  punkto  m,  kiu  regardas  seg- 
mento  m'n',  migranta  ye  disto  dL  en  direkto  de  mn. 

Seqe,  se  P,  Q,  estas  du  irg  nin  punkton,  markitan  sur  la  fokusa 
kurvo  C,  kay  P' ,  Q',  du  irg  nin  punkton,  markitan  sur  la  fokusa  kurvo 
C,  la  koresponda  tordiva  solidangulo  de  la  kongruenco  estos: 

Q   Q' 

^     .^  r  dL  dL'    .       .    ,  . 

2.   =  I     I i —  sin  o)  sm  o    sm  cp, 


Fig.  8. 


'  jMi  elektis  kongruenco  posesanta  fokusan  kurvon,  kar  la  kompreno  estis  pli  facile  en  ti 
kazo,  ol  en  la  kazo  de  fokusan  surfacon.  Tamor,  la  aqerotan  rezulton  valoras  ulsor  por  omnin 
kazon. 


—      12     — 

kay  la  sumita  solidangulo  de  la  kongruenco  estos  recevata  per  integralado 
cirker  la  klozan  kurvon  C  k.  C  : 

r  TdL  dL'      .  .       ,     . 

Z  =^    \     I sin  co  sin  o)    sin  rp  =  4  kn, 


c    c 

en  kiu  k  signas  la  nombre  de  foyon,  ye  kiu  kurvon  C  k.  C  e  su 
krucas,  kie  chenunon  de  cheno. 

Ti  formulo    estas    aplikibla    al    la  teorio    de    elektromagnetismo    por 
kalkuli  la  interago  inter  du  elektran  fluon  C  k.  C. 

Fine,  la  fundamenta  tridimensia  grando  en  tridimensia  spaco  estas 
la  volumo,  t.  e.  la  nombre  de  punkton  lokantan  intre  de  klozita  surface 
6",  or  la  nombre  de  edron  sekcantan  ti  surface.  Volume  estas  do 
punktedrara  grande. 

Remarko  pri  la  simbolo  /.  —  Nu  diris  ci-sure,  ke  faktore  / 
(:=  y — l)  transfermas  punkto  P  en  règle  R;  aliverte  la  produto  de  / 
kay  de  irg  ni  punktlengo  L  estas  homogena  kun  reglangulo  ê,  or  /. 
Simile,  faktore  /  transformas  règle  R  en  edre  E,  aliverte  la  produto 
de  /  kay  de  irg  ni  reglangulo  d,  or  X,  estas  homogena  kun  edrangulo  /. 
Oni  de  havas  : 

(iL)  ==  (A)       kay       (iX)  ==:  (l), 
seqe: 

(l)  =  (ik)  =  (PL)  =  (-L); 

kay  tie  signifas,  ke  :  edrangulo  =  minus  longo,  '  or  :  edro  ■=  minus 
punkto.  Exemple,  se  n  estas  la  nombre,  kiu  mezuras  la  disto  inter 
du  punkton  P  k.  P',  kay  se  (L)  estas  la  lenguno,  la  longe  PP' 
(nombre  de  punkton  lokantan  inter  P  k.  P')  estes  :  nfL)  ;  se  oni  strekas 
du  région  R  k.  R',  paralelan  inter  su  ye  disto  PP',  la  nombre  de 
paralelan  région  kushantan  inter  R  k.  R'  estes  n  (kar  ti  nombre  estas 
la  sama,  el  la  nombre  de  punkton  inter  P  k.  P'),  sed  la  reglara  grando 
formata  da  tin  paralelan  région  ne  plu  estes  n(L),  sed  n(iL);  fine,  se 
oni  strekas  du  edron  E  k.  £",  paralelan  inter  su  ye  sama  disto  PP', 
la  nombre  de  paralelan  edron  lokantan  inter  E  k.  E'  ulsor  estes  n,  sed 
la  edrara  grande  formata  da  tin  paralelan  edron  ne  plu  estes  n  (L),  sed 
n  (i'^  L),  t.  e.  :    n  ( —  L),  sle  la  homogena  vidpunkto. 

Oni  do  ritruvas  ci  tiey  la  dusexece  de  spaco,  kar  punkto  aperas 
naw,  kom  plusa  (-|-  1),  or  vira,  spacelemento,  dur  ke  edre  aperas,  kom 
minusa  ( — 1),  or  virina,  spacelemento;  fine,  la  règle  aperas  kom 
hermafredita  elemento  (db  /),  kar  irg  ni  règle  estas  konceptibla,  kom 
rekte,  cor  punktara  cor  edrara. 


'  Oni  ne  mixu  minus  longo  kun  longo  minusa. 


w 


11 

E65 

t. 19-20 

Pliysicaj  & 
A^lj^d  Sci. 
Sériais^ 

Math 


L'Enseignement  mathématique 


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