(navigation image)
Home American Libraries | Canadian Libraries | Universal Library | Community Texts | Project Gutenberg | Children's Library | Biodiversity Heritage Library | Additional Collections
Search: Advanced Search
Anonymous User (login or join us)
Upload
See other formats

Full text of "Leonhardi Euleri Commentationes Arithmaticae Volume MCMXV"

LEONHAEDI EULERI 

OPERA OMNIA 

SUB AUSPICIIS 

SOCIETATIS SCIENTIARUM NATURALIUM 

HELVETICAE 



EDENDA CIIRAVEIIUNT 



FERDINAND RDDIO 
ADOLF KRAZER PAUL STlCKEL 



SERIES PRIMA 

OPERA MATHEMATICA 

VOLUMEN SECUNDUM 



LIPSIAE ET BEBOLINI 

TYPIS ET IN AEDIBUS B. G.TEUBNEEI 

MCMXV 



LEONHAEDI ETJLERI 



COMMENT AT I ONES 
ARJTHMETICAE 



VOLUMEN PRIMUM 



EDIDIT 

FERDINAND -RUDIO 



LIPSIAE ET BEROLINI 

TYPIS ET IN AEDIBUS B.G.TEUBNEKI 

MCMXV 



V, 7- 






IKS IIKUAIWUKUKUK 



SV-* 5rM; i*r t ifN4 

fcM'M,, 4'-^ f il)ktttSK<^$r!|it/Sir!J| titiiff Tttt*t {'u 

vw ittwlf fiiIi-1^ !* if it I|T Kuril*. HUM 

**r ai-l '*> nit itftt\il4*r fUtt fliiitiii* kritti* iii$il*w Antrtlnuu{( 

AJ* *h-' t*v*t'V' 4^*i J*MH>% *it^f4f*i 

^,114 >j |\%l:^1l|^H% IVi'**rAllfv lift 1 /^-nwi*,'* //'*, '^v, 

ir.!i^i,',Hi Kili'iH ^in4 tiufit ilniiri iilti^ff^ir/J, iliil! ihn< Kin* 

fnl'.^H u riisn^ n^is Mufrnn'H ^Mi4t-tHi l*luit *inf 

\%4nf In 4i^4*"t l' l<"'t/ iuft^ 4*t 4ii^ Ur4'4ih*ii"4***itiiiw 



raw ^*-iM J4Mvh^i-iri4' H^r^^mM^r \M iti.^r-s fV*f 

a^ii iMi^f4^|iit*l*^ fiit 4ii*i 

il^i *lrt hut. 

li#rr 4t^r tf*r inii S 

*li iiiwt mi< wit 

fil ilir l?:tH wiir US titbit KIV 

it lilt iwl m*I l?rt n*M-li K 

firli iilitt in mil l^i nrf iW *!** Bw- 

fiiffi VlMI fl t f ? ttlld ftW? ullf* llli Illlf IW, iU All' 

!!, ll*;f tiiifl t?/, in iNi A*r 

uir! A m 1 in am 14 *-r ITftl) ' f| * ltw 

5 !* |rt Nvi Itlfiil-JIflll 1 ) fti ib-r HMWI UH 

*lr J*Jtil ttllw H* 



-I i^ i.i inAi It t l*i w ir*f*l Itairf 4w C 

Ui'ti mi Jftlir i*-^ -lw W l ** t * lfl 

4*1- t^^ft ^,P ^trli tlw 131, iff l*r iUU* 184. 

4i J* XX. 



INSTfflfi 

TECHNOLOGY i i;?N 



MS 



Bandes auch in der 

Uremkek EULBBS, dm Brtdem E E miA X, ft**, I**** 

Abkmdlimg 158 gefet aber Ihrem ^ *" r 

mvmowm MBt, und steht 1m writ ^ fc* <-, 

De jww6 ^w^wtt uad 584 Ik m w*,-* 

specie dotas. .Da diese beiden to in *!** * :?r "** ^*.%^"- 

so ist nieht recht zu verstehw^ dlu l'* *-.ii 

* BekanBtUcli soUta die row E II inl & Ft^^ 

mthmeticae nur deE Attftyaf f4t ^* ^ i? " 

land so erscMeE$tt sie demi W01i t+v*&k* - I''- 

coHecfe.' Ebenso ist bdaumt, AuM tlm &***&#*.? w 

und scUiefiliob: 1862 zait dar itef #*< K^*^ ^ 

Mifierfolg aber 3?nu6 dakbtr dUA 4fe- iU* 

wicttige -wisseESchaftliclie lit; Hit Iii ^^.J*-^ 

Zugang zu den imyerginglioben K.*,s:.^,* ^ 

erm^gliolit, ,dafi die 8oblta0 9 dto tit ilfi lit rit^^L 

niedergele^t skd, Gfmabagttt fbr lit i 

diese wiclttige JerSffetttliotoug Ufiel in 5 ^ 
zu der^eum Ausga.be m 

AuA k den 'Chtmmt, Iil ill* g 

Bach den Drnekjahr%,obw01il g|| |f **t^^^. 

ExMbiMoMdateiL DM f | if 

Etmg naeli d Din^ilum flfr ! w^^ 

6> " *' , .' * ,*vBw9ni w ||^ 

ammer, ; des AonMtaucwtt. V*aM*tom *S*\yi^* 

wfe a, %e^t wttfc .|fc| ^ limi ___ 

'hem*etea zft.Jwm 8a 4. HIB tf,?.w w || 4 ^^ 



SS^* 4 ^'' *^^ w 

'' <&\ o^ ^ . * - ' [ * ' 



'^ //!' ll'i/'^n *f^-^ | lif ,^ t- 

ig %'4,^ i^ ^ r^,?? *x* 

UllS, ^X ? 4 ft*^4^1 






^ 't*M/^;i? 






DK 



4iHii H, 

H-* *t.ivJi i'ii*i. /t%>K *i? *jr aiu'it ^.Im-hl *i*rtl<*n kfti 

In *I-n ,Un d 

ttkht x lltl | flllll lliail j n fr|l , Ul , h fllltir 

i,*i^Jitr.tmft ^in; in tint K|h'ii a j w ^i^ ^ flcwh ril , fl|ll 

illw 4rii Iiiiinil iii* r Mivilkttit^u Aliliiiiniluii^ti iittil wlmi Mi ii$^ 

iiit ,a* m4tr fbr /ii f ^|; r AVi/m^tw^ife*) hat 

4nifi rt ii/5i fitrf ("iirl^*tw lil^tm ilimi Hutnttmriott gv- 

MII^ win , ft, <fatt KII ilar AhhiuMlluttg S70, iliw 

ill fi4t!l tlil!'fft\ 

fii ! t\ II ,!. J.if^titl vom K/20. Nuv, 1847 itiiirltt 1\ II, 

iititff illn il f *r uttter tti*r Frwm iti*fhul!if 

mill Kiiirt, t> im IVtf ntjr tifm mil fliiiwi*litfifc*it 

ili iiurfi Mh* KiHt'lf, mni Kn,KK ^Ii w*t mnutr ittir 

il**iii it it* '/iiirii/* 1 Htn/u IN! fftK<*ti<lt*N m !> f *n 

!w* iS^tt .Htm! iit itt*ti t \tMwnit, Mm hi ullinii If! 

*H' iiiiSit riiniiii! "Iitiit!!i*Si iii'i ^igtiillir!4t' fliiiwHutiiigini atf frlllitn^ 
Ki'Mw* f*"lfns li.imirii Hiii! M %|wriirii*' Nuti/rn ;iiirr niitt gar ulrlit iwnrfiwi um 

civil /^-^:4iitifiili4ii|,f /iii^i'S'ii 4*-ii riii^'lnrn Aifliaiifiliiii|(nii i<rk!ut*ii /,u m 

r| ltiiA(^'f iVl^lrii"!^ lint jrfi AlillP^I lilijii*^!! tl^-1 %ll1i^l!iit'Ii ||ilfif|l*H | ibf 

n**'l> I, iff*- tr.|^4;^i mn.ipji ^'nuiMit, Jin IliiihitrL miif ilii* i*itMrm* Pn 

ulAn KMifirnviMtft HI, V'r/*khni uin Hrtil 

nnf lint 1^ feiip itU $4$|* iiinl ttiittklmrD 

imr *i^ uf Ariit4ti*ii f wi^iiii 

iir in ,i|rr HIM rllt NittlU'tt! UiM'h* 

tm| itw /n in /u flltrrtfiittpt 

in liulS tit flwt Ariti'iittts 

Mtt4 1,14 lift Wlll^ 

X*h/ 4 iiiitTi ir iiiif itirtii 

rtftf iliit ifer 

||"4I III /M|' 



i 4 Vr*ifi, If, I Will, AM-,, i*. 01 , 

V* t 4 , ua4 W, llrr i)lr, t jf, 4ft 

3 / srit mi4 

t\ff^^ii ititftiniMi*^ ^if, fiA'f^n 

i I 



X 



YOEWOW IB l 



ta A**. * - * rr iT . . - .>- - --' - - - 

auf die Hich Ann g* k^H llfl * /! *'*" " ' ! 



act er S cheiae, 

. * 

ieu 



tabett. Die Arbeit 
die 



** 



** 



doppelte 



tel 
Mm *r 



bezaehen, zugleioh in die ncn 



W. 



im Yordergrunde stAea ami drfwr dw 
so werdea dodi te 

mdere 



SCHOOTBN, 



mufitea tea 

,aaol!,deni (Jedichtois, ale 

bier Mn Mfiy gssclittt Bfld k4 

die .SWltffl^' and 

Zahleatheorie hervortretea au 



aan4elte/8 sick dabei urn Bilfe r 41* ill 

' 



gifet ttar 



*. t 



4 * ,' f, M , " t f, ' Ki "') - '*,""; 

*,*/,, ',,' . , ' >; ',, ii , |f l5 t''f;"; 

|M : h-u,,^' *,^. ! ". ?./'v 



:,', - ,?: ^'f ifi 

,'1' '\ ,,*',/ V;!;-;S' 'H 



WH WtvS.*^,, J t. ^'*,^^,^ 

>***.> ll'.* ^.t',,?,'^', /, * ,^ V! ; f |!^^ 






|%4%!i** ^* i^'C , * t , ' , .%, ,;it"/ >',^^f 
Itv? ,C, (fl { , || V ^^^.^'^^ih^'af 



VOUWUUT I>IW 



\m 

ilir 4nt v< 

itit'h 

mi V 

lin alb* Art iltirrlt btwrndiw Amttt>rkun#'tt 

w litli niii ltlir iitiwlii itiiniltiift 

y*n ilm ii*li Ui* Kt 

*irli tltiw iUi 14t I 

v**n niir *li* ilr*4 |aiw 

%nr*ii 

K* niih von 

iiltr 
In iliif wi*H i k iwhf>itt(, S 

li 

ttmi iiiir un li*Mii 

4r vurtii^tttt'U flattil^i unrti iiiif ^j*Sfi*i' 



MuwiKkripttt dr i*t4*ndwrgtr 

, unlor < 
art unit Sii) 



uml 

i !7l*l bin 17H.H) nitii*r fir 
nttnnrnta) lm\ Iii i 

dull iiit'ht nr <tif*i** Athwmrut t nn- 
wiw duvon <lor Auf-* 

Notion wwUm Iin 



ini in dn Attmor- 



iln 



tun im wi^iiti!lflii*ii urn 
uwvit m^lmi nktHrt, mil 



^ f r 






rill*' II 1 



rlnn I*r*ifc'i liirtit iiiittiltkfiltiliirii w*$|| Ul*rdt% 

kt if n Art I*} 4"9 U4*<ii4itt4t**|<}tt4h"t iM);tilr^*kU*b i!tii|?t*witwi t tliil! Ktribtt vim mdniu'tu 

ittit tttdb'ti, 

lit-* mi 'Xtslj'wii It ICfirri4ll*il i4iti*r Au 

itfJi '/, tf^ti bmlw mi i*Iinr 

In liiti ait Jitiini t*i; i^lfrlii 

stiir tirfj flint i|i fitir iimi 

|ti* iiiir it$ tWf im 

s,lir, tint pi 

W'Vi nit* tn vW KlffiKi tint wi<* 

rt mi nttr tlull it*b brt dt*r Ii 

ilir Art fiwt utii Hut* 

Jlpf ilritfSr fiii iltw 

mi t*t *b*r flit* Ft*iiJt>r MI 

1J lj fill fjjf? fll*f 

*}i(**$j#tfatt{* Af thnwtw* ili'f 4 

l| a ! I* in , I'" * r *"" i ft Sl # 1 !i I *l t , |i, I II I * 



die, 

eutstade* sind.') Mkr W * 



VOftWORT UK8 HWlA"*'*' il:S: 
* 



theoretische Fabler, *" ^'\ " ' , " ' ^ f 

in! niter l*w*t -^ ** v* u*v*<^ , 






gro^e *** die g ih , , 

" - 



erworbeu habea, darf die 

Brib 

. Die bbl 
die vieleu Stellen mi 
Erwabnmg der 0<mw<. flri. kwrfgfc* 

loh lioffe, da6 nicht anr te tw 
als korrekt in mm Mt 
tung imseres Arbeitspknw 
geber lergestellte Draokrorlage m m 
Bogen'Himdestens W, 0ft ftlw 
Eorrektureii Wird aiekt nur TWO 
imd auSerdem aoot ton 
manisten fttr di 
die au%ewaadte Mttk wlrd sich JwfottJiA lfji* 



nrfr ip ( ato i ** 1^* 



,iii toi, Ifriif m ** '.--vr 

HIS* to ii k M^ 



' ' ' 






*J^ ?f*/^tJ.#, -'-^ J^^^^e* 
k.^ts K.^',-* *cVU* ^^c^4'e 

BewpeMiiTm, fe |V^-f;j.,^,,'.^ * ,; f,i f ^^ fc ^, *^* 

,1ft m* m ' , i, ;;,, .'?, i ?v> 1 .ig 
'W, ibtte pi da **?, i ''i r> ;^ t v V.'-"'"- 

3tt 'Ji ir lrf 4}* ;**"' I, i^iu v* ^-n 



UK* 



| l! ' ni "^ mi '"i<"'*' u.n tlrr IWiit ;".! ( i h^it^n koniiftt, wtw alkrdingw 
m -l " r AliUiiJlimtf i;M winl t k<tttrit T mi*h an (tit* Friifiuig <|<r 

',?"' r t <4#MW;:*<7 Snt4iiii^ii ntiit iiuii finni r mil m1iltfjiimfif% gmn^r Mflho, 
Jrt .i- tluri-h *W nt.>> IW l(i'i*t ilrr AMumiiittitK Hi 

*!*-r %<m >ti*r L 1 *" J mut mlmm, nfnit* 

Air/,* mi, ifrr il!* r fcahh'ii tf |. ^ , , ^ t|f|| K0L| , ;|| 

. MH KMrt w- ..*** ilnivls |i iHllttir.V Ufa WHO*, tlto W) wwHlmwn ohtM 
ikll i*r int von wtwwtiltrfam VnUIg4miiiM' 

wur^ Vmii%i*iinniiwiii|fi*ii t <tii ihn*n Alwrhttitt twllMi 

rii*l i"ii4 in dent Hnt^ r foitttt'tt, tlwi wtr jwfxt in ilir Fwntt fl 1 ^ 41 I 

iiiiil ii^ r in f fi, r an lipwlwni ii. 

tit ili5i ^t fiiii HI!;! mmM M\ Knum m iltr 

i ilin 



it / 8 f 1^ } ii""^^ 

in Kr wigt, i%t*iiit mini innit liii^iiiig ki*init, kitimuN mil fllllft* tlw 

|i 9 i I +y* nitff*tiii!it*lt vi*lt tifltitigi*ii f**fnit*lt*it wwiipfi ktiaumi uucl dull illiw* 

i4in* tCi4nwii*iif4ffiriiil ititi4n*iittli s r ?i*rlimlii niiiii lit H 

Mr nil*' 7wi!itrii a " a, i% , t*H tilt* klriiint^n Uimmfftw tiiwr F 

ti|f f f l-~q* vuu tli^r %ir lit*tittt wt*wn, tiait H|I ftut KULKR rtiir irrtiint 

\Vi'i#r iiiil tlnit fl^f* ill Vi*rliiii4iiiig gliiw*lil wortlm int. Am Htthlueim* <l*r 

wiri wif limit mi(. rntorHurhungim iUli* Ttigtwiilmtiti'ti 

tittti tlim iiitii 

Ilii iliff SP titt utifn flitt AbhimtiiunK S7U aun dwii 4nltr J?r>H 

ilii* tfrii 4014 AucJi Jiinr iiiitiiliilt m Ut|i um die UfcfahtmR 

tur'-f'/i/^it^y, ilkt frflfitwii tJnti*riwliimgrii Itlmiiw, 

ir AU tlnti 41** fttr tlt* Iilinitiifi*!! g^Itwii t iinf Untmi lor llniork* ltr 

triaiffHti^ii ttitil t|i*r wii^ i*r pitt in tor /tttrutlwtw ( s 17*18) *ui 

tfe in iiiti^{ 



1 1 Ki,'i4Jii mil Wt*gii ilwi Fi]ini4i^titiKM wttl^rl^gl 1ml t * 

iuJWi in | lit,* JMI' 1*14, Er war 1 711*4 Im Ili^ito tl?H v<* ilt*it 

fiit^s+r**ii 4*r /*nIilM' S *"' ; I, u|> i?r iin* f t nrboit tmtftxt ilnw^i^i diililr l$afift t |ftlil i 

fepfv^r Ki tl^ii l$tnt^$/4 #|tiitfVit!>tH I?4*l f win strii atii ilri$fr an 

r||i1^ '^'k^ 4|* *| j*, XVlf| ( 

t 1 } 1,41 II X4)*l*ii *li* Hf-i4i i4 nU pitltktHMtuw tiiVJitfliiii4| ilm! 

i* iJ\W#ri dfl, >r, i I t I*?!, 3, t"t/^, | f ji, ftfij iii 
^n 



11 



Jxl V 



VOBWOHT 



fiib.ren lassen. Bei der tlntennchnng, . - , 

zl,n bctata, h ihr IWutt d.,i ll* .< ,U,-..,.. k - '"..'> '- 

al "'- * " ""' ..... '-""' 

irewesen 

b dot 

daher m seiaem KM^Mi (. AW,) m ir Am Or**j*f* 
sie 1st aber wohl viel Mhma U*u - 
dividbrt gr^o. ttw* 

, (. 



** 



KI>UCI fdr * K=MI* * 
*** ''*** * 



.1*8 



!* tt 
Fwil 



?, * 



Ilegel flr iwil Dhtaown nt 4 
Divisoron Merauf wrttddMluw UBt, 
Die folgende Abhandhmg 54, 
offentlicM wurde, bringt dm 
Teilbaikeit der Zaldea '- l - 
PrimzaM i). Der Beweis ttfttrt rinh 
Bmomalkoefflzienten, 1st do 
des FEKMATSCHBN Sakeu lifit 
imd 262, noch zwei weltere Bewi 
haaxdlung 271 den sobon erw&hntett 
zu begrflnden. Dafi BoLttit row dro 
Kematnis haben konnte, bedwf \swrn dr I 

Im'MoEm.fWMAW sfo&t wU dto iw .f*lr IIJW 
zum 6rstra. Male bel SOME dte upejtWfer Fll t w%mmnim i*ft*tt F*t ri*;. 
' deir UtnttSgUchWt, db (IWoliiiiig a" !*-** *" ' "-* 

' id htmdett' lidir hlw ttm '*4 f 
1676 FEitatcia :WB BKSSV <Ii Bwel8 g*ftlh 

ela Quadrat 
M^itadrai wto ktkwon, 
erne v^tee: .wsttuij '*r lr bertteitoi A,wnf}ittgj'tt f ! K 



in 



*k<ii ** fltt <** 



**** 



Bmerkuageu 

' " 



Siebe die Amnertiuig p. XXXiU. 



tt&tf 



DKH 



8* in cUr Ttmlt>ttHt>r Atitfgabft IhoHiAN'tt* voiu John* HI70 abgo- 

Hfo ln*i KiiLKE itiitl fifiluir aueh in unieraim Bande aim* grofit* 

IJittli** Ini liiifttiflt w swlt urn U liandbtimerknng, dio FKUMAT mi dan 

ftiii ItiM'tfKT swr It'tottwi Aufgabe do mnshHtwi Kuclu^ anguHchloHimn hat untl 

tile m<litwiAkligt*tt Dwiaok*, Amum Hfiten rationale Kahlen sind, kain 

iiieh datm ieitthti jone fiber die tiumme uad 

tl Dor TOII FiiKNiciirfB Kiiftlbrte Bewefe folgt genau dm An- 

din Itimdbomorkutig liiningiiffigt liat^ und er itfttet slelt iutib^on- 

nnf dim Int Imkannto und bmiutettt Methocli 1 ), die FKBUAT Methods 

clttr Abmtlitna **- to ou nenni Dinser lelban 

ttua fitted EOIJJI, um die UnuiSglicbkelt dar Oleichung 

n 4 :t; li 4 tm 8 g 11 olttti vou dar geomatriflohetx JEOinkloldung das Bakes Uebrauck 

w Iia Frtoilji tit daher dar HSiTLKitscurn Bawols nicht waRantlich verseliiaden voti 

dil gogttbwi hai Dafllr fUgfc aber EULKE nooh eina Belha varwandtar 

cite tieh bai FH^NXOLK niokt linden, i&dem er asuu&chst YOU elner groBen Zah,l 

? on Formata, die rich ana Riquadratan ^usammeBgaken, wia z.B. ma^db^*^ 2wa 4 2w $ ft 4 

u. a*, xeigt ? dall ia nicht Quadrate seln kSnxxan. Daraxi scbliefit sick der Beweis des TOE 

KKUMAT obenfalln in einer llandbainerkung ausgosprochenou Satasas, dafi keiaa Trigouahsalil 

aufiar i aiu Biquadrat m, iiowia d SatasuM, ciali aufier 8 keia Kubus um die Einheit yer- 

nieltrt an (uiitim tinsdrat gamacht warden kcmxwi. 

Die Abhaudiuug JW 1st dia erste, in der (Ua Method der unbegren^ten Abnahme bei 
JKtit^KE auflritt. FKHMAT hattti ant* diaaa Art der Bewairftthrung groBe Hoffiaungen, 

tmd wundarbara Fortuchritta in der Arithmatik (iniros in Aritbmeticis progreseus) 
von ihr arwwtel l)ie Hoflhtmgin ftind auoh nicht getluseht worden, dejm garada HULKU 
hat dar FKUMATMOIIKN Mtthodi bal altiar Eaiha TOE BewalsfUhrangen mit bestem Er- 
ft%it wie Mteh dia Abhandlungan ^28 ( 22), 250 ( 42), 272 ( 29) dieses Bande* 

^igiiiit Wir k0iaitt^tt darauf asurttok. 

Mil <ter Wfiiiiiit Abhtttidluug KH), dia 1747 In dan Nova aata eruditorum arachicm, 
botrifct Klll^K aln ftndanw ttebiat dar Zahlanthaorhv nltnlidi die Theoria der Bivisorau- 
!^ KU disr tu dttwmu Banda auoh nooh dl Abhandlungan lf>2 ? 175, 24% 244 gehoren. 
dm Abhandlutigan ItX) tmd 152 galtan der Thwrie dor befreundeten Zahlen. Die 
nitr droiBifitei umfaiwanda Abhandlung 100 besteltt, abgesaheu von einigen historisciliau 
Baiwrktiitft*n ibar DESCUETKW und SOHOOTBN, im woientlichen aus emer Tabelle TOE 80 
iithlett, ton, danan riot firailloh eines ^is unrichtig erwiesen hat Vor 



t) BMta Iiitmi die Bemarkangaii TOE G* EKMSTUOK, Bibliotk MathettL 14 81 1913/4, 



p* 847. 



XVI 



IRB 



EULEK waxen nur drei diesw 1'aai* bi'kuuttt ^w*wu. U AI>iM12n!-. f t &?.>, U, Si ; : 
den OpusfiMto varii argument! veroffwitlteht, atiw vrtwMi'h vir 1747 vwdOit wwi**, it 
77 Seiten die umfaugrarftBte dm gunxpu vrIi'gtHttn Ikmiv*. NVJn *! wtes Kf4.n4l'gw 
den Safasen Uber dio Divigorensummim itollt Kui.KK *iti* jrr8* TuiwUr af, in It r fiw 
alle Primzalilen n < KXK) die Divfeomtaumnitw Jw JM* tini! /w iSi, n4 f,wr in 
Primfaktoren ausgedrttekfc; fttr die kkiiwwn PHmmblnii bin KM kl pfat w uwli wRct)iv>it 
hSher. Bei der Herstelluiig dieser Tklwito tmt Kuuiti wimt iaiisrtJini ig MA *n 
reicheade Vorarbeit von WAUJH) bmutrt. Fttr db> Auffiinlnwf tef 
er nun einen gmeinsunou Divisor a vmt and eHtwiekvit j filwf 

Methoden, befreundete Zalileu am nnd w m gewitt WW , woi^ i,l, a Mnftn, tm) fan ffir 
gegebene Formen von m und nauh nw pMMatiro IVllw f ,*f r gt winl, !* i w irt* 
ergiebig erweist Zun Sohltura gibt KDLKK dan TftWk* mn <} I'anr^it Mrmnlrtrr 
Zahlen, von denen 41 in der Abluwdlung mflbt gftwrmRW wunU nit.4, wiliwwl V 
anderen 20 oline weitere BtgrOmlung raJtpteilt wmhw. Vcm <U**a l iWwi ln<l 
zwei verbesserungsbedflrftig und in !t ! W rfiblt tut stwii' 
auoh die Paare der Abbandlung 100, mit AwmliM w, r,w,it tt| 
Sl ch, dafi Ihnuu alias in allem geaw, et I w 
dmen, die vor ihm bekannt wartw, 50 BMM himagvlUgfc hat, 

Da die Bespreelu^ der beit guwmtiiR Abimng 176, 
erfolgt, gelangen wir Z u der Abhandtog 184 m dm M 1747, 
werter ist , * EUME hi er .urn ersto Male die Tlri dr 1U^ 
drafaschen, beriiH m der 6 r so Grofl eg g^t hfti I) itt AbbwH B wlw 

&m *""* 



244 
, 



*it*r 



,Jr 












VORWORT !)SS 



ft, 



I, 

if/ 

i 



un 



Aanwk 70) ' 



M, 



t'Snwt iM Jen ^(Unden xu habttn. 

nfer gc w igt h^, daB alb n gradm TVitar von + TOIl (!w Fom 
rr, lUB db> tm^ra,!,,, Tcltar vim + * in B H+ 1, ,li von + J" iu 



in d ,r Form S-^ + j enthalten sem 

Ab wirhtiffi Auwmlung ergab dob ihm daim die Folgerung, daB a 
Mm M.+ ! b*. kann, nd g el wi , ft., wie wir 

, til, 55ahlm -+ , 8d( , n Prim!!ahlem> m wWerlegcn< 

V<m bMondmr Wbhtfekrit rind nun dla folg^daa Thuowmo 10-16, wail Bie f ttr 
Ihm,ri dr qitidnUNluu d dor hBhewn BMto betdti due gwndhgwid. Badwtnag be- 
. Untar Benittssuug der von KULKR selbst in seinur Abhaadlung 242 oingofahrtn Ter- 
ogte MM fc R <lM Th r m 11: It, a (.juadratoch^r) Re 8 fc dr J'rizmahl p 
W M t ~I dateKjp teilbar/ >d,r moderMr au^drQcW, o it a V M + 
I>M Ihmrem 12 gibt dn uta,,,dida Sat, filr die kubiaehon Beste ,nd allgo 
OM Iheomu 18s It a .f (mod. ;,-, -,-,), 80 ^ B , + 1 (mod , p) . Die 
aiw UteH , bwrtm^ war Eut.Kit, wlo w mit <ler ilm oigonca Oflmbdt einge^oht 
n.K-h mcht, in ,1,-r l^ag,, Kr hat d,n Bw<,i R aber ,p&tar in dor Abhandhmg 202 ge' 
d dauut ,,,gl,i,h daH vollatandige Kritetam cmtwickeit, das den quadrati^ben 
r rtwr Zahl bwitinuut Wir wordm, dav<m noclt IU sprecben haben. Die Theoreme 
14 10 ,,1,111,1, vrUlgumin,m da Thon IB, Imlm die von der dureb p-mn + 1 teil- 

1) EH Hehint Mgiur, ]0 whon DWPBAHT diosw. Sate gekannt habe (siehe die Aumerkung 
p. 7 ), Wnuiggtcns war das di Ansioht FKKMATS, der die botroffende stark verstflmmelte Stall* 
ton DIUPHANT (V, 12) in diMom Sinn* rcuttauriert hat. 

Ich mflebta ncwh damuf aufmwtoam maelien, dafi die fioMidhniug V, 12 der Numerierun* 
YO KAOIIHT .,t 1> riht, die we* Wiwwmw beibohalten hat, TABLET hat andors numeriert und 
wt b,i ihm (I, p. 883) di. Attfg. 12 d* fllnfton Baches tl. Aufg. 9 be^eiohnet. Urn MiBver- 
UudiiiM* m V ,rm0idm, b*b* loh In deu folg^ndon Ataawkungw allenml boido Nummerungen 
HHlgi>twiU (siittko din Anmerkung p. 404). 

a) I>i Abhandlung 15)4 Ntammt aus dom Jahro 1747 und wurde 1748 dor Petenbniger 
Akademii* voqitdogt; KULMU hatto abwr anlnm Bwais sohon am G. Ma 1742 GOLDBAOII brieflieh 
iitgUilt, Owmimn&ume math, et yJtya. 1, p. 114. 

3) DlMan Bate Imtte BULK am 1 5. Oktober 1 743 QOLDBAQB mitgeteilt, Corresponds math. 
et ^%. r, p, af8. Danaob ist eine Bemerkung von G. ENKSTadM, Biblioth. Mathem. 7,, 1906/7, 
p. JJOH, wi v*>m)ll8ttadlgpn (sittlio auoh die Anmerkung p. XIH). 



Commentationes arithmeticao 



xvui 






V/J*t 



u#**M # yi'l 
k /, , - ' % 



r?H^%<i,, ,/*, 



s:H*'f- 
f'V,*^|4 



-<:!r IV 









taw f~* rij r 4;>f 

grim, Mi Awt A* 

^ 

Jalirn 1741 itt. Wit * c ^>n **** *- 

iitelil In <lte 

dir die ** 

U- 

IIS tter li ^ 

'^ 

iluktii in j Ife F **^^ w * l|kv " M|1 ^ : "" 

^ ff "* 45 

aim 

f in Vfrfi 

^* 5i 

riid nur *tti 

Till te W- 

% 4 I!*, 0* t*fc ^^ s !^' r/ fc-'*'^^ 

filll f III tlfe &* **** '^t|f ^t^/ti 11 

aif 4 &* l-^i*"- 

4a*fthl ton 4** **s* 

ito il*ftf l*,,VS4ft* | 

i 1740 tin IPS Jt.^4 I *'<*> ** ^ 

n4|l tttti 4%1 ^* ^ 

w* 

ill l*r iiif 4lf, l* 

, tf*i f 

W, iiS w^ *l*r *fe 

, ' '' - w *d 

. i -f, ft s -4 ^ s ,- w * .,. n ^ | 












, ; Wf tit '|;i 1 1% 

' 

' | , *) In 4tr ji in ii^ii mi 

'>) Jtft 

'MI, Irt ttiid' ^ 

'FiMlm^'AiHMM tlt^t 

( ' JM^ , , 



III, 'i 



* 



%*?* 4*ft 






VOKW0RT DKH IIRKAUtfOEBBKS 



XIX 



ilia math nwh in |ftt*ren Abhandhmgmi UUMCRS eiae wiebtige Rolle apieitj hangt mit der 
fttrtitiu mmmwitm iuKofrru 5fiusamim*n, aJ* die zu ibr rwdproke Rolb die Frag-a beimtwortet, 
auf wiwid vtwelutHhfflw Aden tiberbaupt mm Zahl in Toile aiertogt warden kikma 

Dits Abhandluug 158 it In ssweierlei Hinsidit benoiuterfl beaohtenBwert Brateng wird 
(lurch gift, von vmin*trtten Vorarboiten abgesebon (siuhe die Amnerkungen p. 257 imd 258), 
U Lt4ir von dw Partitio nutn&wrum cigentliob orst bqgrflndet Zwaltons aber cmthllt nia, 
iw Imi MuLBtt, dtw ernte limpid fflr die Bcnuteung von HOlftmitteln tier h3heren 
seu %iibUmthm>rotiiQhm Untewucbimgim. Wlch raieha Prfichte RpStarhin cler mathe- 
Wlg<mihnffc uuti dor Verbiudung ditwor beidwt DwJpliiwn orwochsen rfnd, bwiucht 
hier itioht waitar ausgefflbrt %u warden. 

KK haita die Abhandlung 158 aehon ain . April 1741 der Poteralmrger Akademie 

gedruokt aber wurde 0ie erst 1751, Insswischen war 1748 Kama Intmductio er- 
nebienen, dmm 10. Kapitel ebenfolla der Partiiio mmworwn gewidmet 1st Am 20. Jajmar 
1750*) lugte awn Mmmi der Peteraburger Akademie die grofle Abliandlmig 191 De parti- 
nnm0rornm tor, die 175S verflffantlicht wurde. Mit dieser haben wir uns jetzt m be- 
fassen. llmlich wie in der Abhandlung 15H, aber direkter, 18st EULKE jsunfteliBt die beiden 
J*robleine, die ihm YOU NAiittft gestellt worden waren, indem er aicli vrieder der frflheren 
Produktentwiekelnngen bedleni Dnnu aber vollssieht er eine wiclitlga Iteduktion, die aueh 
chon In der Introdudio anftritt, Indem at die beiden Probleine anf ein drittes 2itiriiekfCihrt ; 
nEmlich auf die Aufgabe, anKugebew, auf wieviel verBohiedene Arten irgond eine J5aM n ana 
den Zahlen 1, 2, 8, . * . m duroh Addition gebildet werden kBnne. Beaseiohnet mm dieae An- 
mht mit nW, so gibt asugleioh die Kahl (n-^ 4 " 1 -^ w, anf wleTiel Artea die ZaH n 
m m vewehiedene Telia aerlegt warden k'ann, wllhrend (n ni)M sagt, wie oft sich n llber- 
haupt in m Tell% m gleicbe oder ungleiehe, teilea BBi Fflr die Herstelliuag dieser 

SSabl<m n^ wwdeu ein&ehe and sehr aberslchtliche Iteelmungsvorsehriften entwickelt, die 
lediglieh auf fortgesetseter Addition beruhen und gegenflber der XnMuctio emeu nieht un- . 
wesentlichen Kortsehritt bedeuten, 

Niminehr weudet mil BULKK zu einem viertea Problem, indem er m beliebig grofi werden 
Mit nH beKeichnefc er demgem&fi, wie oft sioh n flberhaupt ohne Emschrankung aus 
Zalilen zusanunenseteen l&fit. Diese Aufgabo hatte BULKH am SoHuise der Abliand- 



1) Siehe indessen auch die AnmerkuEg p. 289, in der die Entstohung der Abhandlung 191 
in das Jair 1745 Terlegt wordea ist Die WaEl dieser 2ahl 1745 als Belspiel dttrfte wobl kaum 
auf emem KufaU beonihen. Auch bei BULBKS Sohue JOIXANK ALBEEOET stdBt man bei Zahlenbeispielen 
auf das Jahr der Abfassuag, Sieho das Exempel in 5 der Abhandlung A* (das EOTsradMSOHiN 
Verzeiohnisses): Aimmm Snaps Mmtwortmg einiger Arit/imeti$ehen Fragm, AbhandL der 
OhurfttrtL-bair. Akad, der WUs. 2, 1764, IJ, p*3; LXQNSARXH JSmmr Opera omnia, series I, 
ToL 8. 



s 



YOEWOET DES HERATTSGEBERS 



lung 158 gerade noch gestreift. Sie hatte ihn, wie wir gesehen haben, zur Entwiekelung des 
Produktes (1 #)(! # 3 ) (1 - 3 ) veranlaBt, die zu jener #-Reihe geftthrt hatte. Die 
Entwiekelung des reziproken Produces enthalt in ihren Koeffizienten die Lfisung der ge- 
stellten Aufgabe. Melir bietet auch die Introdwtio nicht zu dieser Prage. In der vorliegen- 
den Abhandlung aber entwiekelt EuLER erne Reihe wichtiger Forrneln fttr nM, uuter denen 
die Gleichung 

M = ( n - 1)H + ( n - 2)H - (n - 5)<"> - (n - 7)M + (n - 12)H + (n - 1B)M ---- 
wegen ihrer Verwaoidtschaft mit der ^--Reihe besonders zu erwaknen 1st. AuBerdem zeigt er 
wie man mit Benutzung der schon berechneten Zablen W, z. B. mit Benutzung von w (M) , zu 
einer stark abgekiirzten Berechnung der Zahlen < N ) gelangen kann, 

Wie in der Introductio scnlieBt sich daran die weitere Aufgabe, aimigebcn, wio oft sioli 
eine Zahl in ungleiche Teile zerlegen lasse, und es wird gezeigt, dafi dies tibonso oft moglich 
1st, als sich dieselbe Zahl aus nur ungeraden Zahlen, seion es gleiche odar ungleich, v.m&m- 
mensetzen lafit. Diese Aufgabe leitet daher zu solchen ttber, bei denen von don Siimnmudcn 
gewisse Qualitaten verlangt werden, z. B. der geometrischen Reiha 1, 2, 4, B, 1(5, 3a ate. an- 
zugehoren, wobei wiederum Gleichheit der Summanden ausgesohlossen odor autjlt siugiiliiKsen 
werden kann. 

Den Schlufi der Abhandlung bildet endUch eine grofie Tabollt) far die Zahlen n< m >, 
die fttr w = l, ... 59 und flr -l, ... 20 und m-oo zusammengestellt 1st und di zu- 
gleich aneh ihre Entstehungsweise erkennen laflt. Die entsprechendo Tabelle der Mrotiuotio, 
die nur die fertigen Zahlen bietet, reicht zwar bis n-69, aber dafttr auch nur bis w-11, 
ohne die Reihe m = oo zu enthalten. 

Mit der Abhandlung 164, die aus dem Jahre 1747 stammt, aber erst 1751 
licht wurde und zwar im letzten Bande der alten Commentarii, kehren wir wleder 
einem frttheren Thema zurilck, das mit der Theorie der quadratischen Reste smsammen- 
hangt. Ihrem Hauptinhalte nach besteht diese Abhandlung aus 59 gitera, die obne Bwei8 
mitgeteilt werden und die sich ,auf die Divisoren der Zahlen von der Form *) 
ziehen. 1 ) Wie EULEE spater selbst in der Abhandlung 598 sagt, hatto er dtese Hfito 



1) Es 1st schon frliher (siehe die Anmerkung p. VII) darauf aufmerksam gemuht worden, 
daB die aus demselben Jahre 1747 stammendo Abhandlung 134 im erstea Bande der neutm 
Ooxamentam erschienen ist. Dieser tlmstand und die Ahnlichfceit der TiW bolder Abhandlungra 
hat gelegentUeh zu MiBverstandaissen geftihrt (siehe die Bemerkungen von G. EMST.IOM, Biblioth. 
Mathem. 12 8 , 1911/2, p. 266). Zwischen den beiden AbhaadlungeE 134 imd 104 bestehen aber 
nur wemge Bteidmgen, denn von slmtlichen in 164 aaftretenden Fomen wird in 184 nur die 
erste, nSmkch a + & a , behandelt. Von den andern Formea hat ETOKE selbst flberhaupt nur nooh 
die Form a +36* erledigt, aber erst in der Abhandlung 272, wahrend er mit der Fonn a s 



VORWOKT DBS HERAUSGEBEKS 



XXI 



teils .nur durch Induktion gefunden. Um so wichtiger sind daher die hinzugefugten Anmer- 
kungen, die freilich auch nicht tiberall als beweiskraftig gelten sollen. Dazu gehort nament- 
lich, daB alle Divisoren von a 2 + j&, abgesehen von 2 nnd a in der Form 4qm + a ent- 
halten seien nnd daB sich diese Form fiir 2 -4-l anf 2qm + a reduziere; ferner daB 
pa* + qV keinen Divisor habe, der nicht zugieich Divisor von a*+pqtf ist, etc. Gegenstand 
besonderer TJntersueliung ist dann die Frage, welche Werte fiir a zulassig seien, damit 
4Nm + cc Teiler von a* + NV sei: a muB quadratischer Eest von 4N sein; sind x nnd y 
Werte von a, so gilt dies anch fur xy und allgemein fur &p etc., alles Satze, die EULER 
erst viel spater (in der Abhandlung 242) systematise]! behandeit und bewiesen hat. 

Die trotz mangelnder Beweise so inhaltsreiche Abhandlung ist ein merkwtirdiges Bei- 
spiel fiir die auBerordentlicbe Divinationsgabe EuLERS. 1 ) Ganz besonders aber zeigt sick das 
gegen den SchluB der Abhandlung. Denn bei den entsprecbenden Untersuchungen der Divi- 
soren von a 2 - Nl\ insbesonders bei der Beantwortung der Frage, welclie Werte jetzt far a 
geeignet seien, damit 4Nma Divisor sei, steUt sicb dem Autor freilicli noch unbe- 
wuBt das Eeziprozitatsgesetz der quadratischen Reste ein, das EULER mit aller Bestimmt- 
heit erst in der Abhandlung 552 ausgesprochen bat. KRONECKER war der erste, der dies 
bemerkt hatte. Ich. habe seine Erklarungen im Wortlaut (siehe die Anmerkung p. 217) mit- 
geteilt und glaube, nictts weiter binzufiigen zu sollen. 

ISTocli sei Mngewiesen auf die vielen interessanten Folgerungen, die EULER an seine 
Mitteilungen ankniipft und die sich auf Ausdriicke beziehen, die niemals Quadrate sein 
konnen. Als Beispiel mag die Formel 4mn m n gelten, mit der sicb. EUMR schon fruh 
besch'aftigt hat (siehe die Anmerkung p. 360). 

Die Abhandlung 167, die 1748 zugleich mit der Abhandlung 134 der Petersburger 
Akademie vorgelegt wurde ; gehort zu denen, die zahlentheoretische Untersuchungen in geo- 
metrischem Gewande enthalten. Einkleidungen dieser Art waren schon bei DIOPHANT sehr 
beliebt. Das ganze sechste Bueh seiner Arifhmeti'k ist mit zaHentheoretischen Aufgafren ge- 
fullt, die sich auf das rechtwinklige Dreieck beziehen, und so spielen derartige Unter- 
sucliungen denn auch in den FERMATSCHEN Eandbemerkungen eine groBe Eolle.- Ein Bei- 
spiel dafiir hat uns schon die Abhandlung von FR^NICLE geboten und auch die vorliegende 
Abhandlung EULERS verdankt ihre Entstehung einer solchen Eandbemerkung. Es sei gleich 

wie er in der Abhandlung 256 offea zugibt, nicht ganz hat fertig werden konnen. Den noch aus- 
stehenden Beweis fiir diese Form und die folgenden hat erst LAGBANGB gegeben. Siehe die An- 
merkung p. 194. *. 

1) Hierfur ist der Brief EULBRS an GOLDBAOH vom 28. August 1742, Oorresp. math, ei pfy/s- 
I, p. 144, von ganz besonderem Interesse. In diesem Briefe gibt EULBR bereits den Hauptinhalt 
der Abhandlung 164 und zwar mit prophetischen Worten. 



VOEWOET DES HEEAtJSGEBEES 



lung 158 gerade nocb gestreift. Sie batte ibn, wie wir geseheti habtm, zur Knlwiekuhmg ties 
Produktes (l-*)(l-s)(l-s*)... veranlafit, die m jener Mleibe grfdhrt htt. Die 
Entwickelung des reziproken Produces enthalt in ibren Koeffiziunten dl Uimmg der g~ 
stellten Aufgabe. Mebr bietet aucb die InfroclMckio nicht zu dieser Prage, In dw vrlig M1 , 
den Abhaiidlung aber entwiekelt ECLEK eine Eeibe wichfciger Fonaln fttr M, ut r i eae a 
die Gleiclxiuig 



*egen itrer Verwa^dtscbaft mit der WReibe besondors m erwiilmen ift AuBenlem /.%t r 
me man mit Baantenng der schon berechneten Zablen nW, /, B. mit BenutouDg vou "' ztl ' 
emer stark abgekiirzten Berecbntmg der Zahlen n<> gelangen kaan. ' 

_ Wie in der Introductio sehlieBt sicb daran die weitere Aufgab,, ausugab,,,, wi oft ,h 
erne Zabl in ungleicbe Teile 2er legen lasse, und es wird g^eigt, daB dl M ( ,beno ft u, %U d, 
.st, als S1 cb toelbe Zabl aus Mr mgeraden Zablen, 8 ei en glcicb 

o f u%abe ieitet daher - soMien ^ bd * 

Quahtaten verlangt werden, z . B. der geometoehe* Eeihe 1, 2, 4, 8, US, ft 
*"" auoh 



die fe , 

SictaulL'F ,7 < - 

Mit der Abbandlung 164, die aus dem Jabre 1747 stomt, aber erst 17M w fct- 

spater selbst ta der Abhandlung 598 



Oo, nt ii 



v ' r) 



12 



,, 



v O m*uugen von G, HNKSTK^M, Biblioth 

* - ^ ^ .,, -j tsssrs: - *** - - 



VOBWOET DES HERAUSGEBEBS 



XXI 



teils ,nur durch Induktion gefunden. Um so wlchtiger sind daher die hinzugefiigten Anmer- 
kungen, die freilich auch nicht uberall als beweiskr'aftig gelten sollen. Dazu gehort nament- 
lich, daB alle Divisoren von a? + gl\ abgesehen von 2 und q, in der Form 4:$m + cc ent- 
halten seien und daB sich diese Form fur g = 4n 1 anf 2qm + cc reduziere; ferner daB 
pa* + q keinen Divisor habe, der nicht zugleich Divisor von a?+pgl* ist ? etc. Gegenstand 
besonderer Untersuchung ist dann die Frage, welche Werte fiir a zulassig seien, damit 
4Nm + a Teiler von a^ + NP sei: a nmfl quadratischer Rest von 4N sein; sind x und y 
Werte von a, so gilt dies anoh. fiir xy und allgemein far &y v etc., alles Satze, die EULER 
erst viel spater (in der Abhandlung 242) systematise!), behandelt und bewiesen hat. 

Die trotz mangelnder Beweise so inhaltsreiahe Abhandlung ist ein merkwtirdiges Bei- 
spiel fiir die auBerordentliche Divinationsgabe EuLEKS. 1 ) Ganz besonders aber zeigt sich das 
gegen den SohluB der Abhandlung. Denn bei den entspreahenden Untersuclmngen der Divi- 
soren von a 2 Nl)* } insbesonders bei der Beantwortnng der Frage, welche Werte jetzt fur a 
geeignet seien, damit 4 Nm cc Divisor sei, stellt sich dem Autor freilich noch unbe- 
wiiBt das Beziprozitatsgesetz der quadratischen Reste ein, das BULBB mit aller Bestimmt- 
heit erst in der Abhandlung 552 ausgesprochen hat. KBONEJCKBB war der erste, der dies 
bemerkt hatte. Ich habe seine Erklarungen im Wortlaut (siehe die Anmerkung p. 217) mit- 
geteilt und glaube, .nichts weiter hinzufiigen zu sollen. 

Noch sei hingewiesen auf die vielen interessanten Folgerungen, die EULER an seine 
Mitteilungen ankniipft und die sich auf Ausdriicke beziehen, die niemals Quadrate sein 
konnen. Als Beispiel mag die Formel 4.mn m n gelten, mit der sich EULBB sohon friih 
beschaftigt hat (siehe die Anmerkung p. 360). 

Die Abhan'dlung 167, die 1748 zugleich mit der Abhandhing 134 der Petersburger 
Akademie vorgelegt wurde, gehort zu denen, die zahlentheoretische TJntersuchungen in geo- 
metrischem Gewande enthalten. Einkleidungen dieser Art waren schon bei DIOPHANT sehr 
beliebt. Das ganze sechste Buch seiner ArifhmetiJc ist mit zahlentheoretischen Aufgaften ge- 
Mlt, die sich auf das rechtwinldige Dreieck beziehen, xind so spielen derartige TJnter- 
suchungen denn auch in den FDBMATSCHEH Randbemerkungen eine grofie Rolle. Bin Bei- 
spiel dafiir hat uns schon die Abhandlung von FRferacLE geboten und aueh die vorliegende 
Abhandlung EULERS verdankt ihre Entstehung emer solchen RandbemerkuEg* Es sei gleich 



wie er in der Abhandlung 256 offen zugibt, nicht gam hat fertig warden k5nnen. Den noch atxs- 
stehenden Beweis fiir diese Form und die folgenden hat erst LAaiunaB gegeben. Siehe die An- 
merkung p. 194 

l) HierfOr ist der Brief EULIES an GOLDBAOH vom 28. August 1742, Oorresp. math. $ p^/s. 
I, p. 144, von ganz besonderem Interesse. In diesem Briefe gibt BULBR berets den Hauptinhalt 
der Abhandlung 164 und war mit prophetischen Worten. 



XXII 



VOEWOET DES HBRAUSGBBEBS 



Her bemerkt, dafi ETJLER aufier dieser Abhandlung 167 ncwh seelis antlera vwi'afit hat in 
denen DIOPHANTISCHE Probleme in geometrischem Gewande auftreten. Es siiul tltt Ahhand- 
lungen 451, 713, 732, 748, 754, 799. Von ihnen hatte einst JAOOIH') an Ki'88 grahrifau: 
,,Aber ich beschwore Sie, wenn es nicht schon geschehen ist, die Abh, 321 27, welch* ni0h 
unglucklicher Weise unter Geometrie verirrt haben, mit aufzunehmen, wdehe durehaus zu 
den DIOPHANTISCHEN Problemen gehoren. Denn diese zusamraen zu haben, iet erne wosent- 
liche Annenmlichkeit". 

In der Abhandlung 167 handelt es sich darum, ein rechtwinkligt Dreiwk in ratio- 
nalen Zahlen ausgedrttckt zu finden, so dafi jede der beiden Katheten urn den Fliwhtm- 
intalt vermindert eine Quadratzahl liefere. 8 ) FBRMAT hatte diese Aufgabe gasteilt i m AH- 
schlufi an eine ahnliche bei DIOPHANT und sie als sehr schwierig' bweiohueb KUMCK gibt 
zunactst drei Sonderlosungen, die er dixrch Zahlenbeispiele illustriert, urn dum sswr Holutio 
generalis iiberzugehen. Diese beruht wesentlich aof den Eigenschaften der Zahlen, li h, 
der Form 2<- oder *_2 enthalten sind. Zu diesen Zahlen gohOnm sunftohit alk 
Quadratzahlen, ferner nach Abhandlung 164 die Primzahlen 2 und 8 1 und ehlivBUnh 
die Produkte, die sioh aus aUen genamten bilden lassen. Dean so We die DMsoren tier 
Zahlen 2*- wieder von derselben Form sind, so ist auch das Produkt wir Zahlon 
dieser Art wieder von derselben Art. Auf Grand dieser Siitze stellt EOT.KR ffir d! In mnner 
Solutio generalis auftretenden Zahlen eine TabeUe auf, die sioh beliebig wait fbrinutmn 
iSBt und die ihm beliebig viele Dreiecke liefert, wie sie das Problem Terlaingt 

Wir kommen jetzt zu den Abhandlungen 175, 248 und 244, von danoa when fHlher 
ie Rede war, indem sie wie die Abhandlungen 100 und 162 der Theori* dr DiviMnm- 
summen gewidmet sind. Die franaSsisch geschriebene Abhandlung 176, dk a dn Jiihr 
1747 stanunt, ist 1751 in der wenig bekanntexBibliothique impartiala erschienen. Dtar 
Umstand erklart, dafi sie sowohl JAOOBI als auoh F08S unbekamt gAll** hi Dmn 
das Manusknpt, von dem JACOBI in seinem grofien Briefe an Fuss vom Mto/April 1848 ) 
spncht rttomt 2war im wesentMchen mit der Abhandlung 175 flberdn, ze igt ft br ,lo,h M 
v^eAbweichungen, daB es unmoglich als Druckvorlage dieser gadient h** kam, 1. 



3) SiAe P. Sric. a W. AHM, J)r 



.to, p . 59. 



YOBWOET DES HERAUSGEBERS 



XXIII 



ist denn auch 1849 in den Comment, artthm. und 1862 in den Opera postuma als ,,in- 
editum" abgedruckt 1 ) worden, oline daB die Herausgeber von der friiheren Publikation in der 
Biblioth&que impartiale Kenntnis gehabt hatten. 

Die Abhandlung 175 wird eroffnet mit einigen grundlegenden Satzen iiber die Divi- 
sorensummen Cn } Satzen, die sich im wesentlichen schon bei SCHOOTEN und WALLIS finden. 
Daran schlieBt sich eine Tabelle fiir die Divisorensmnmen der Zalilen n = 1, . . . 100, die 
namentlich illustrieren soil, wie diese Summen eine sclieinbar ganz gesetzlos verlaufende 
Zahlenreihe darstellen. Und dann kommt als tJherraschung die bertihmte Rekursionsformel 



-/( - 22) -/( - 26) + etc. 

Zu dieser Formel, die durch eine grofie AnzaH von Beispielen verifiziert wird, war ETJLEB 
geftthrt worden, als er bei seinen Untersuchungen tiber die Partitio numerorum in den Ab- 



kandlungen 158 und 191 das Produkt 

(1 - x) (1 - a? 2 ) (1 - a 8 ) (1 - x*) (1 - a 5 ) 
in die Reihe 

1 _ /v, _ yy2 i T 5 i nX _ r l _ r !5 I r 22 i r 26 _ ... 

X *~~~ vl/ """^ t/v \^ tfj ^\ iJU " ~ tjij """" & "~|~ ^o [^ tfj 

entwickelt hatte. Die Gleichlieit der beiden unendlichen Ausdriicke, des Produktes und der 
Reihe, hatte freilich. EULER, wie er selbst sagt, nicht durcli einen Beweis, sondern nur durch 
Induktion, wenn auch durch eine weit ausgedehnte, festgestellt. Unter der Voraussetzung 
aber, dafi diese Gleichheit bewiesen sei, leitet er aus den beiden Ausdrucken durch logarith- 
mische und gewohnliche DijBferentiation zwei neue Formeln her, aus deren Vergleichung sofort 
die Rekursionsformel hervorgeht. Abermals also sind es Mer wie in den Abhandlungen 158 
und 191 die Htilfsmittel der hoheren Analysis, die zu wichtigen zahlentheoretischen Ergeb- 
nissen gefdhrt haben. 

Die nach ENESTR6M wahrscheinlich 1751 verfafite Abhandlung 243 Ohermtio de 
summis divisomm, der ein sehr ausftihrliches Summarium vorausgeht, ist nur eine neue 
Redaktion der Abhandlung 175. Sie wurde von EULBJK am 6, April 1752 der Petersburger 
Akademie Torgelegt, wahrend jene schon am 22. Juni 1747 in der Berliner Akademie gelesen 
worden war. 2 ) Beide Redaktionen stimmen bis auf einige Kleinigkeiten vollstandig mit- 
einander ttberein, indessen ist die lateinisehe doch keine tJbersetzung der franzosischen, 8 ) 

1) Wenn in dera BNJBSTBSMSOHBN Vermehnis (p. 43) diese Abdrucke mit 175 a und 175b be- 
sseichnet werden, so ist dagegen nicbt yiel zu sagen. Aber der Ausdruck ,,Wieder abgedruckt 1 ' soUte 
nicht auf die Abhandlung 175 bezogen werden. 

2) Ihren Hauptinhalt hatte EULBH am 1. April 1747 GOLDBAOH mitgeteilt, Oorresp* math, ei 
$. L, p. 407. 

3) Sie ist auch keine tJbersetzung der Eedaktionen 175 a und 175b. Siehe Anmerkung 1- 



XXIV 



VOEWOBT DES HERAUSGEBERS 



Die folgende kurze, aber inhaltsschwere Abhandlung 244, deren Bxhibitionsdatnm uu- 
bekannt ist und die ENESTBOM daher in seinem Vereeichnis (zweite Abt.) uatwr dm Drnek- 
jahre 1760 aufgefuhrt hat, sie ist aber jedenfalls viel frilheren Daturas, da EUI.KH ihron 
Hauptinhalt schon 1750 GOLDBACH mitgeteilt hatte (sielie die Anmerkung p. 3<)0), 
bringt die Untersuchungen von 175 und 243 zum AbschluB, indem jetsst EOLBK den noch 
ausstehenden Beweis fur die Entwickelung des Produktes (1 x) (1 x 3 ) (1 a; 8 ) liefert. 
,,Ein Meisterstuck" sagt JACOBI bei der Erwahnung 1 ) dieser Abhandlung. Urn ihr inen 
selbstandigen Charakter zu verleihen, wiederholt EULKR zum Sehlusse auoh noch dcti 
friiheren Beweis fur seine Rekursionsformel, der nun nicht mehr auf Induktion, mndern 
auf gesicherter Basis ruht. 

Schon bei yerschiedenen Gelegenheiten, so namentlich in don Abhandlungen 134 
und 164, hatte sich EULEE mit den Eigenschaften der Zahlen von der Form o s + 6 y.u 
beschaftigen gehabt. Einer systematischen Untersuchung dieaer Aggregate ist die Abhand- 
lung 22 gewidmet, die 1758 veroffentlicht wurde. Nach ENKSTRMS V*eiehni stemmt sie 
wahrscheinlich aus dem Jahre 1749 und wurde nach einer Notiz auf der ersten Seite <U Muxu- 
skriptes am29.Marz 1751 der Petersburger Akademie vorgelegt; das Weseatliehste damut 
hatte EDLEE aber schon am 6. Mai 1747 GOLDBACH brieflioh mitgeteilt. 1 ) Nach einigm Vor- 
bereitungen beweist EULBE zunachst, dafi das Produkt weier Zahlen von der Form a + 6 
wieder als Sunme von zwei Quadraten darstellbar ist, und war auf doppelte Ari") Er beeilt 
S1 ch aber hinzuzufilgen, dafi daraus noch nicht ohne weiteres geschloswn wmkn dUrfe M 
musse nun auch umgekehrt, wenn ein Produkt pq und der eine Faktor p von der Form a+6 
men, der andere Faktor q gleichfalls diese Form haben. Die drastohe Art, wi Eui.KU di 8te 
SchluB zuriickweist, entbehrt nicht eines gewissen Humors und das anmntig* B*pW mit dm 
geraden Zahlen kehrt denn auch des ofteren wieder.*) Zunachst aber beweigt Eur,KK, di.fi 
dxeseTJnikehrung des Produktensatzes richtig ist, falls 9 eine Primal badraWk lit aber pa 
du fenme zweier Quadrate, wahrend q nicht von dieser Form ist, 80 ist auch p, Mi Prim- 
sahl, nicht von dieser Form, oder hat, falls zusammengesetzt, wenigstens einen Primfektor, 

1) Siehe P. STAOKEL und W. AHMBS, Der Briefwertsd etc., p. 68. 

2) Siehe die Anmerkung p. 295. 

^geschrieben und er fbM 8 ich 



der 
a 






wa 



A ' 

, 4) Siehe z. B. 19 der Abhandlung 272 (p. 566). 



VOKWORT DES HEKAUSGEBEBS 



XXV 



der nicht von dieser Form 1st. 1st ferner die Summe zweier Quadrate, die unter sich prim 
sind, durch eine Zahl p teilbar, so lafit sich stets eine andere Summe <? 2 + <Z 9 <lp 3 angeben, 
die auch durch p teilbar isi Hit Hfllfe dieser Satze gelangt EULER zu dem wichtigen 
Resultate, dafi die Summe zweier Quadratzahlen, die unter sich prim sind, keinen Divisor 
zulaBt, der nicht selbst Summe zweier Quadrate ist. Die Beweisfuhrung grtindet sich auf 
die Methode der unbegrenzten Abnahme, von der schon p. XV die Rede war. 

Obwohl nun EULER in der Abhandlung 134 bewiesen hatte, dafi die Summe zweier 
Quadrate, die unter sich prim sind, aufier der Zahl 2 nur Primfaktoren der Form 4n + 1 
zulaBt, so war daniit doch noch nicht bewiesen, dafi auch umgekehrt jede Primzahl der 
Form 4n + 1 Teiler einer solcher Quadratsumme sein miisse. Freilich sollte es mogHch 
sein, das zu beweisen, so war nach dem zuletzt gewonnenen wichtigen Resultate auch der 
beriihmte, von FEEMAT ohne Beweis ausgesprochene Satz gesichert, dafi jede Primzahl 4w + 1 
selber Summe zweier Quadrate sei. Diese Lticke auszuMlen wollte aber EULER damals trotz 
einem energischen Anlaufe noch nicht gelingen. Immerhin kam er bei seinem Tentamen 
demonstrations dem Ziele sehr nahe. Denn da nach FERMAT fur je zwei Zahlen a und Z>, 
die nicht selbst durch jp 4n + 1 teilbar sind, a 4w ~- & 4w (a* n & 2 ) (a 2w + 6 2 ) durch p 
teilbar sein mufi, so gentigt es, zwei solche Zahlen zu ermitteln, fur die a 2n W n durch p 
nicht teilbar ist. Fiir diese mufi danu a*"+ & 2 durch p teilbar sein und dwm folgt, dafi p als 
Teiler einer Quadratsumme selber eine Quadratsumme ist. EULER war zwar uberzeugt, dafi 
es fttr jede Primzahl 4n + 1 solche Zahlen a und 6 geben intisse^ er erklart aber offen, 
einen strengen Beweis daflir nicht leisten zu konnen. 

So.wendet er sich denn am Schlusse der Abhandlung 228 zu Fragen mehr praktischer 
Art und beweist die beiden Satze: Wenn sich eine Zahl 4n+ 1 nur auf eine elnage Art 
als Summe von zwei Quadraten, die unter sich prim sind, darstellen lafit, dann ist sie sicher 
eine Primzahl; wenn sich aber eine Zahl auf zwei verschiedene Arten in zwei Quadrate auf- 
losen lafit, dann ist sie sicher zusammengesetzt. Hieran schliefien sich einige durch ihre zweck- 
mafiige Anordnung ausgezeichnete und durch Beispiele illustrierte Rechnungsvorschriften zur 
Prilfung, ob eine Zahl von cler Form 4n + 1 prim sei oder nicht. Hit Recht hebt EULER 
hervor, welch grofie Brleichterung sein Verfahren gegenuber dem auf ERATOSTHENES m- 
rtickgehenden Divisionsverfahren darbietei In der Tat erfordert seine Methode nach einer 
einzlgen Subtraktion nur Additioiien einfachster Art. 

Als die Abhandlung 228 im Jalire 1758 im Druck erschien, war EULBE schon seifc 
neun Jahren im Besitze des noch fehlenden Beweises. 1 ) Die Abhandlung 241, die ihn enthalt, 

1) Siehe die Anmerkimg 1 p. 328. Hieraus und aus der Anmerkung p. 295 dftrfte bei-vorgehen, 
dafi die Abhandhmg 228 schon vor 1749 und ebenso die Abhandlung 241 vor 1750 verfaBt worden ist. 

LONHARDI EULBBX Opera omnia la Commentationes aritbmetieae d 



XXVI 



VORWORT DES HERAUSGEBERS 



wurde aber erst 1760 veroffentlicht. Der Beweis ist sehr einfach, Tim u xeigen, daB nicht 
alle Zahlen a 3n 6 2w durch 4n + 1 teilbar seien, geht EULER von der Reihe 



aus und bildet die Differenzen 

2 an _ ^ 32* _ 2"V 4> - 3 2w , . . . (4n) lfl - (4n - l) s *. 

Waren nun alle diese durch 4w+l teilbar, so mftfiten aueh ihre Differensen, d. h. die 
zweiten Differenzen der gegebenen Reihe, durch 4n + l teilbar sein, daan aber auch die 
dritten, rierten etc. Die Differenzen der Ordnung 2n aber sind alle gleich 1*2*8 ***2n 
und also durch die Primzahl 4w -f 1 nicht teilbar. 

Der Beweis, durch den es EULER endlich gelungen war, den bertthmtea FKKMATBCHRN 
Satz zti sichern, daB sich jede PrimzaU. 4n + l als Snmme zweier Quadrate darsMlen laitno 
oder dafi, wie man auch sagen kann, die Zahl 1 quadratiscker Best aller Primasahlen 
4^ + 1 sei, ist noch in anderer Hinsicht bemerkenswert. Demi mit diesem Biwcusa hat 
EULBK der Zahlentheorie ein neues allgemeines Beweismittal augeflihrt, nftmlich die Methods 
der Differenzen, ein Beweismittel, das sich in der Hand das Meisters als tin nbaiiio nflta- 
liches InstrumeEt erweisen sollte wie PERMATS Methode der unbegren^ten Abnahnw* Weitere 
Belege dafiir bieten die Abhandlungen 262 ( 72) und 272 ( 38) dieses Baudefl. 
An den Beweia, daB sich jede Primzahl 4n + 1 als Summe zwrier Quadrate 
laBt, schliefit sich nun auf Seite 13 desselben Baiides der Novi Commentarii eiiia 
Abhandlung an, aber ohne besonderen Titel Ware iiioht eine neue Paragrapheneinteihmg 
da, so mufite man, ohne das Summarium gelesen u haben, ronlchst gkubea, claB m nidi 
-nur um eine Portsetzung handle. Der Titel dieser neuen Abhwadltmg 242 ist von JAOOIII 
vorgeschlagen worden und zwar auf Grand des Titels einer Abhaadltuag, die mi 

17. Juni 1751 in der Berliner Akademie gelesen hatte. Da dieser Titel such in dat 
STROMSGHE Verzeichnis tibergegangen ist, so soil er jetzt bleiben. Besser aber wlro wohl die 
tJbersehrift Fundammta fheoriae residuorum quadraUcorum gewesen, dean der weitatis 
und wichtigste Teil der Abhandlung ist diesen Ghrundlagen gewiclmet und die Danrtellbarkeit 
der Zahlen durch vier Quadrate erscheint nur mm SohluB als Aaweadung* Damit iifc cltmii 
auch schon der Hauptinhalt der Abhandlung chaxakterisiert, Mit ihr erst beginat die 
Hche Theorie der quadratischen Eeste, wenn auch in den Abhmdlungen 184 ond 164 
wichtige Eesultate vorausgenommen worden waren. Durch lie warden die Awdrflekt Jtet 
und NiMrest als bleibende termini technici in die Zahlentheorie eingejRlhrt. Fflr juda Xahl p 
ist die Anzahl der Mchtreste wenigstens ^i oder ^J, j e naehdem p oder 

ist, 1st r ein Best, so sind auch alle Potenzen yon r Beste. Dafaer mufi m 
i<f geben, sodaB r durch j> dividiert den Rest 1 jmritckliii Das Pttfakb mn wai 
Besten ist ein Best, Dabei arbeitet E0I.EE bestandig imt dem B^riffe der Koi^teM In 



VORWOET DBS HERAUSGEBERS 



XXVII 



bezug auf den Modul jp ; ohne freilich dafiir eine besondere Terminologie einzufiihren. Unter 
Beschrankung auf ungerade Primzahlen p=**2gt + l wird dann welter bewiesen, daB es genau 
2 Eeste und gt Nichtreste gibt, ferner daB das Produkt aus einem Rest und einem Nicht- 
rest em Nichtrest, das Produkt aus zwei Nichtresten aber ein Rest 1st. Die folgenden 
Untersuchungen stiitzen sich auf den Begriff des Komplementes eines Restes r, worunter 
EULEE die Zahl p r oder r versteht. Kommt unter den Resten das Komplement auch 
nur eines einzigen Restes vor, so kommen die Komplemente aller vor. Die Anzalxl q der 
Reste muB dann gerade sein, also p die Form 4^+1 haben. 1st dagegen p yon der Form 4^1, 
so kann sich unter den Resten auch nicht dag Komplement eines einzigen befinden. Daraus 
ergibt sicb. z. B. leicht, da6 4m w m n niemals ein Quadrat sein kann, ein Satz, der bei 
EULEE oft -wiederkehrt (siehe p. XXI). 

An den Unterschied zwischen den Primzahlen 4 + l und 4n 1 schlieBt EULEE 
sodann weitere Anwendungen auf die Summen von zwei und drei Quadraten an, urn sich 
dann endHch zum Beweise des Satzes zu wenden, dafi sich jede Zahl als Summe von vier 
oder weniger Quadraten darstellen lasse. 1 ) Dieser Satz, der fur die ganze Abhandlung den 
Titel abgegeben hat, war vor FEEMAT schon von BACHET ausgesprochen worden (siehe die 
Anmerkung 4 p. 358). Ganz ans Ziel kommt EULEE freilich nicht, wie er auch selbst zugibt, 
aber bei seinem Yersuche, den Satz zu beweisen, gelangt er zu der beriihmten Identitat, 
nach der das Produkt zweier Summen von vier Quadraten wieder eine Summe von vier 
Quadraten ist. SchlieBlich beweist er, daB der Satz von BACHET richtig ist, wenn Brtiche 
nicht ausgeschlossen werclen. DaB der Sate auch in ganzen Zahlen gilt, hat zuerst 
LAGEANGE bewiesen, was dann EULEE veranlafit hat, sofort auch seinerseits einen Beweis 
zu geben, der die Mhere Bedingung nicht mehr enthalt, 2 ) 

Die Abhandlung 253 vom Jahre 1753, zu der wir nun gelangen, gehort wieder voll- 
standig dem Ideenkreise DIOPHANTS an. Sie handelt von Aufgaben, die scheinbar mehr 
als bestimmt sind, insofem als die Zahl der Bedingungen die Zahl der verfttgbaren Grofien 
tibersteigt, und die doch noch unendlich viele Losungen zulassen. Freilich mtissen diese 
Bedingungen mit einer gewissen Kunst gestellt warden. Welche Rolle bei derartigen Auf- 
gaben die Porismen DIOPHAKTS, ,,in quibus tota eolutionis vis continetur", gespielt haben 
und von welcher Art diese Porismen tiberhaupt gewesen sind, ist aus den sparlichen tTber- 
lieferungen (in DIOPHANTS AriffimetiJc kommen nur drei darauf beztgliche Zitate vor) schwer 
zu entscheiden. EULEE selbst bezeichnet als das Wesen der Sache, ,,daB, wenn gewissen 
Bedingungen auf eine gewisse Weise Geniige geleistet wercle, dann zugleich auch andere 

1) Urn diesen Sate hatte sich EULBE schon seit 1730 beuaftht. Den freilich noch nicht ganz 
vollsttodigen Beweis teilte er am 12. April 1749 GOLDBACJH mit. Siehe Corresp. math, et ptys. I, 
p. 21, 28, 35, 40 etc., 493, 505. 

2) Siehe die Anmerkung 2 p. 370. 



xxvm 



VORWOET DBS HERAUSGEBEItiS 



Bedingungeu gewissermafien von selbst erfiillt wiirden, sodafi es uicht niiti# mn, din Rw,h- 
nung noch besonders auf diese zu erstrecken." Sind also beispielBWuiso /', Q } 11 ot. () . nn<l 
W Funktionen von x, y, g etc., so warden alle Ausdriicke P s -(- a TF, ^ 2 -f- $ W'", Ji* 4- y H" ole. 
von selbst Quadrate sein, sobald nur far x, y, e etc. Werte gewahlt werden, ftir die* W > () 
1st. Mit Hulfe dieses Kunstgriffes lost B0LBE eine grofie Anzahl vori Aufgabwi, die ohao 
diesen Schlussel untiberwindliche Schwierigkeiten bieten wtlrden. 

Zu DIOPHANT gehort auch die folgende Abhandlung 255 aus dem Jahre 1754, die 
sicb. mit der Losung der Gleichung 

& -I- y* + 8* V s 

beschaftigt. E0LEE gibt zunachst einige spezielle Losungen, von dciieu sich eiin* schou hoi 
VIETA findet, um dann das Problem ganz allgemein zu loseu. Die LSaung beruht wiwentHoh 
auf dem Satze, dafi Z'atlen der 'Form p*+ 30* nur durch Zahlen deraelbeu Form getwlt 
werden konnen, ein Satz, der erst in der Abhandlung 272 dieses Bandea bcwiRSpti wird. 
Aus der aUgemeinen Losung leitet dann EULKR wieder eine grofle Anzahl besonderer Kftlle 
ab, wobei er sich einer vorbereiteten Tabelle der Zahlen m* + $n* bedient, die von m bis 
m = 32 und von n = bis n = 18 reicht. 

Der vorliegende Band enthalt noch eine Abhandlung, die sich mit DIOPIUNTMOHRH 
Aufgaben beschaftigt, namlich die kurze Abhandlung 270 vom Jahre 1755, tlbw die daher 
gleich hier berichtet werden moge. Sie stellt sich die Aufgabe, drei Zahlen x, y, m ttridan, 
fiif die die elementaren symmetrischen Funktionen 

x + y + z, xy + yt + sz, xye 

Quadrate sind. EULEB entwickelt hierfttr zunachst allgemeine Formeln, aui denon r diurn 
besondere FaUe ableitet. Die kleinsten Losungen, zu denen er ftir as, y, * kommt, ilnd 
12- und 13-steUige Zahlen. Es ist daher im hochsten Grade ilberraaohend, <M Ou der 
Abhandlung vorausgehende Summarium, das allerdings seine eigenen Weg wamblt, ijg 
Losungen drei dreisteUige Zahlen darbietet! DaB das Summarium von ETOKE la Ut her- 
riihrt, geht mit groBer WahrscheinHchkeit aus dem p. 520 erwShnten Briefe Euwsas an 
den damaligen Sekretar der Petersburg,* Akademie G. F. Mtfcu hervor (war hito mich 
EULER so ubertrumpfen konnen!), aber der klaffende Unterschied bleibt fcrote der TAache 
daB Abhandlung und Summarium durch einen Zeitramn von mehr * sechs Jahran ntnoat 
sind, immer noch sehr merkwtirdig. Es hat ubrigens den Anschein, als ob fe Summarium, 
das im vorliegenden Falle viel mehr bietet als die Abhandlung selbat, bisher g*a unl J 
kannt oder wenigstens der Unterschied zwischen Summarium und Abhandlung, auf de war 
im Summarium selbst hingewiesen wird, ganz unbeaohtet gebliebea sei.>) 

1) F. CAJORI z. B, dem wir die Referate aier Zahlentheorie im vierton Band* von 
Vorle^en verdanieu, hat seine* Bench!**, wie ich VOB ihm selber wei 6 , zdoht dTe^Mo 



VORWORT DES HERAUSGEBERS 



XXIX 



Die Abliandlung 256 vom Jahre 1753, von der jetzt zu sprechen sein wird, scblieBt 
sicb an die Abhandlungen 228 und 241 an, ztimal vom Standpunkte der Abhandlung 164 
aus. Wie jene die Aggregate a 3 + & 2 , so behandelt 256 die Aggregate 2a 2 + fr^ Entsprechend 
dem Titel Specimen cle usu obserwtwnwn in Mathesi pura berechnet EULER alle Zalalen dieser 
Form bis 500 unter der Voraussetzung, dafi a und t teilerfremd seien, und zwar so, daB 
er jede der Zahlenreihen 2 + Z> 2 , 8 + Z> 2 , 18 + 6 2 , ... 450 + 5 2 einzeln bis 500 entwickelt, 
um daraus die wichtigsten Eigensckaften dieser Zahlen zunaehst durcli Induktion zu ge- 
winnen. Erst dann folgen die Beweise. Grundlegend ist, wie bei den ZaHen a 9 + & 2 ? dafi 
sieb auch. das Produkt zweier Zahlen 2a 2 + 6 2 wieder in derselben Weise darstellen lafit, 
nnd zwar anf doppelte Art. Umgekekrt ergibt sich, daJ3 eine Zah.1, die auf doppelte Art 
in der Form 2a a + & 2 darstellbar ist ; nicM prim sein kann. Ist ferner 2a 2 + Z> 2 durch eine 
Primzabl derselben Form teilbar, so ist auch der Quotient von derselben Form. Unter Be- 
nutzung vereinfachter symbolischer Bezeiclmxingen beweist sodann EULER, dafi, wenn 2a 2 + ?> 2 
durch eine Zahl teilbar ist, die niclit diese Form hat, der Quotient weder eine Primzahl 
dieser Form noch das Produkt aus lauter solchen Primzahlen sein kann alles genau wie 
bei den Zahlen a 2 -f5 2 . Ist ferner 2a 2 + & 2 durch. eine Zahl P teilbar, ohne dafl a und "b 
einzeln dadurch teilbar sind, so laflt sich stets eine Zahl 2c 2 + <$ 2 <fP 2 angeben, die auch 
durch P teilbar ist. Daraus folgt weiter, dafi, wenn eine Primzahl, die in der Form 2$ 2 + Z> 2 
nicht enthalten ist, Teiler ist von einer Zahl dieser Form, aber ohne dafi a und 6 einzeln 
dadurch teilbar sind, stets eine kleinere Primzahl von denselben Eigenschaften gefunden 
werden kann. Hieraus aber ergibt sich wieder durch die Methode der unbegrenzten Abnahme 
(siehe p. XV) das Resultat, dafi eine Zahl von der Form 2a 2 + 6 2 , wo a und Z> teilerfremd 

sondern die Comment. aritJim, zu Qrunde gelegt und so sind ihm die Summarien tberhaupt un- 
bekannt geblieben. In dem Berichte, den A. AUBEY unter dem Titel I/oemre ariihm&igue d'Euim, 
L'BnseigEement math^m, 11, 1909, p. 329, verSffentlicht hat, ist die Abhamllung 270 gar 
nicht erwihnt und noeh weniger das Summarium. T. L, HEATH hat in seinem mehrfaeh zitierten 
Werko DK>I>MANTUS of Alexandria, Cambridge 1910, tlber die Abhandlung 270 sehr ausftthrlich 
berichtet (p. 351 364), aber das Summarium ist seiner Aufmerksamkeit entgangeiL Gan% urn- 
gekehrt verhalt sich ein Eeferat aus alter Zeit. Wio aus dem "VertMiclinis von ENBBTE(>M zu ersehen 
ist, haben die Acta eruditorum regelmUBig iiber die EULWRSOHBN Arbeiten kurz nach ihrem Er 
scheinoHL refariert. Iclx habe aber ixx di^sen Beriohten Bichts bemerkenswertes gefunden mit Atis- 
nahme eben der Abhandlung 270. Denn tiber diese berichtet der Eeferont sehr ausftthrlich iiidem 
er das Summarium, aber auch imr dieses, ohne weitere Benaerkungen vollstandig trad w5rbHcli ab- 
druckt (aiehe Nova acta erud. 1763, p. 247). Ob er auch die Abhandlung selbst angeseben hat, 
geht aus dem Eeferate nicht hervor. 

Mit der Abhandlung 270 h&ngen aufs engste ztisammen die Abhandlungen 427 rad 523 des 
uEchsten Bandes. Obwohl aber EULBE in, beiden die Abhandlung 270 ritiert, spricht er. mit keiner 
Silbe von dem damgehdrigen SumBaaritun und der darin enthaltenen einfachen L5sung. Es ist das 
fast noch merkwiirdiger als die Existenz dieses Summariums selbst. 



XXX 



VOBWOKT DBS HERAU8GEBERS 



sind, keinen Divisor zulaBt, der nicht selbst von dieser Form ist Als Anwsiulung folgt 
Meraus der Satz, da8, wenn eine Zahl nur auf eine einzige Weise in dor Form 5Ja* + 6* 
darstellbar ist und a und Z> teilerfremd sind, diese Zahl sicker prini isi 

Da die Zahlen 2a 8 +& 2 keine anderen ungeraden Zahlen als solche von dor Form 
8w + l oder 8w + 3 darstellen konnen, so konnen sie auBer der Zahl 2 auch Mw arulna 
Primfaktoren als solche von der Form 8n + l oder 8 + 3 besitztm. Ob nun ahw aunh 
umgekehrt jede Primzahl der Form 8n + l oder 8 + 3 Teller sei von einw Kahl art s -f-i 8 
und daher selbst eine solche Zahl, ist eine andere Frage. E0LKB gesteht oflbn, datt <>H ihm 
nicht gelungen sei, einen Beweis fttr diese Darstellbarkeit der Zalilt'n 8f 1 untl 
zu finden. Den Beweis hat erst LAGRANGffi 1 ) gogeben. 

Unter der Voraussetzung aber, der Beweis sei erbraeht, wendni dch BULRB, 
wie in der Abhandlung 228, zu einfachen und praktiseh angcd^ten KochnungtvorHohrifteii 
fur die Prttfung, oh eine Zahl von der Form 8n+ 1 oder H + 8 prim mi oder nicht EOI.KK 
war jedenfalls schon lange im Besitze dieser Methode, doim or hatta mit iliwr Httlfc m-hon 
in der Ahhaadlung 152, die aus dem Jahre 1747 stammt, fest^tdlt, ilafi di 
eine Primzahl ist. Zum Schlusse gibt BULHR noch einige Umfimniuwm tl 
Kritenen durch Einftihrung von Trigonalzahlen. 

Wie die Abhandlung 242 die Grundlagen ft, die Thaoda der quadtfad, 
schaffen hat, so bildet die Abhandlung 262>) die Grundlag* ffir dio Thaori. dr Pom 
Ihre Bedeutung beruht nicht sum wenigsten auf der Einfachhdt ihrr Vor a mutomgm. 



In der meWach erw^hnten Abhandlung Mercto 



( 8 i elie dto 






VORWOBT DES EDERAUSGEBEBS 



XXXI 



der Division der aufeinander folgenden Potenzen 

1, a, a 2 , a 8 , a 4 , a 5 , a 6 etc. 

durch die Primzahl p zuruckbleiben. Das ist das Thema. Und andere Hulfsmittel, als die 
Pormulierung dieses Themas erlbrdert, werden auch bei der Untersuchung nicht benutzt. Sehr 
rasch ergibt sich das Resultat, daB eine Potenz a* existieren muB ; die den Rest 1 liefert, 
und daB >l<jp ist. Ist (abgesehen von a = l) a 1 die kleinste Potenz, die das leistet, so 
geben auch alle Zahlen der Reihe 

1, a\ a 2 *, a 82 , a 42 , a u etc. 

den Rest 1 und sie sind die einzigen dieser Art. Die Zahlen 

1, a, a 2 , a 8 , ... a*- 1 

aber liefern jetzt lauter verschiedene Reste. Hieraus und aus dem Umstande, daB &<*p 1 
ist, folgt dann leicht, dafi fur den Pall Kp 1 sofort A^f^p- sein muB und fur A<-~ 
sofort 1^?~ etc. Daraus aber ergibt sich, daB I ein Divisor von p 1 sein muB, und 

-x TJ W 

hieraus, daB auch o^"" 1 durch p dividiert den Rest 1 zuriicklafit. Damit hatte EULER nicht 
nur einen neuen Beweis fiir den FERMATSCHEN Satz gewonnen, sondern zugleich den ersten, 
der auf rein zahlentheoretischen Betrachtungen und zwar auf den denkbar einfachsten 
beruht. Es scheint iibrigens, als ob auch der Beweis, den PERMAT selbst in seinem be- 
riihmten Briefe an FR^NICLE (siehe die Anmerkung 2 p. 34) andeutet, von ahnlicher Natur 
gewesen sei. 

Der zweite Teil der Abhandlung 262 ist nach Inhalt und Methode von etwas anderer 
Art als der erste, Ahnlich wie in der Abhandlung 134 und wieder mit Htilfe des binomischen 
Satzes beweist EULER in den Theoremen 16 18 von neuem die S'atze 10 14 jener frtiheren 
Abhandlung. Nun aber geht er einen wesentlichen Schritt weiter, indem er auch die Um- 
kehrung dieser Satze hinzufiigt, die er damals noch nicht hatte geben konnen (siehe p. XVII). 
Im Theorem 19 beweist er namlich: 1st a m 1 durch die Primzahl p^mn + 1 teilbar, so 
gibt es immer Zahlen x und y von der Art, daB ax n y* durch dieselbe Primzahl p teilbar- 
ist. Den Beweis dieses wichtigen Satzes fiihrt E0LER mit Httlfe der Methode der Differemen ; 
derselben, die es ihm in der Abhandlung 241 eraioglicht hatte, zu beweisen, daB sich jede 
Primzahl 4^ + 1 als Summe zweier Quadrate darstellen lafit (siehe p. XXVI). Bei dem Be- 
weise kann tiberdies x willkMich gewShlt, also z. B. auch gleich 1 genommen werden. 

Das Theorem 11 der Abhandlung 134 lautete: 1st a /" 2 (2m + l)a und 2m + 1 eine 
Primzahl, dann ist a m 1 durch 2m + 1 teilbar. Dafitr kann man auch sagen: Ist D qua- 
dratischer Rest der Primzahl p 2m + 1, so ist D T- sss + 1 (mod. jp). Das Theorem 19 der 
Abhandlung 262 enthalt ftir w2 (und #=-!) die Umkehrung davon und lautet: Ist a m 1 
durch die Primxahl p***2m + l teilbar, &o gibt es stets eine Zahl y der Art, daB a-f 



xxxn 



VOBWOBT DBS HERATJBGEBKRS 



^ teilbar ist. Dafttr kaun maa anch 
R est V0 n ,. Es daher die K 

J?-i 
D as 

die notwendige und liinreichende Bedintnui 



ie Kongruenz 



^ 



" * 



Art 



d 














bea der die Anzahl 

** i M. 

getodm niid, 



, 



' 



- 1st /- -Mr i 

' 



"' 



- 



von 



""" '"""'"' '" "* li *' ("- 



ttrj th 1(t ' i 



"""' di " ku "" 



, 



1,. 



_ ,. r 



VOEWORT DES HEBAUSGHEBERS 



XXXIII 



Reihe 1, x, x\ x* etc. eine Potenz auftreten mufi, die den Rest 1 zuriicklafit. Und ist x v 
die kleinste Potenz, die das leistet, so muB v entweder gleich der Anzahl n der paries primae 
von N sein oder gleicli einem aliquoten Teile dieser Anzahl. So gelangt denn EULEB zu 
der bertihmten Verallgemeinerung des FBBMATSOHBN Satzes, die aussagt, dafi x n 1 stets 
durch N teilbar ist, wenn x prim zu N und n die Anzahl der Cartes primae yon N ist 

Wie in den Abhandlungen 228 und 241 die Aggregate a 2 + & 2 und in der Abhand- 
lung 256 die Pormen 2a 3 + & 2 untersucht worden sind, so ist die Abliandlung 272 vom 
Jahre 1759 den Zahlen der Form a 2 +3& 2 gewidmet Eine Haupteigenschaft dieser Zahlen 
war schon in der Abhandlung 255, die sich mit der Gleichung x n + y* + z* = v* beschaftigt 
hatte, rerwertet worden. Dies mag EULER zu der Verwechselung gefiikrt haben, er habe 
jene Eigenschaften zum Beweise der Unmogliciikeit der Gleichung x* + y* == ^ benutzt, Wat- 
rend er tatsachlich. einen solchen Beweis damals noch nicht veroffentlicht hatte. *) 

Zunachst kommt EULEB nochmals auf die Gleichung x* + y* + #**=>v zuriick, urn 
der frttheren Losung eine neue Form zu geben. Dann wendet er sich zu den Zahlen der 
Form a B + 36l Der Gang der Untersuchung ist ahnlich clem, der bei den Zahlen a* + J a 
uncl 2a 2 + & 2 eingeschlagen worden war, sodafi wir uns hier ktirzer fassen konnen. Ahnlich 
wie frtiher und wieder mit Benutzung der Methode der unbegrenzten Abnahme (siehe p. XY) 
ergibt sich auch hier aus verschieclenen vorbereitenden Satzen, daJJ die Zahlen a 2 + 3Z> 9 , wo 
a und & teilerfremd sind, aufier cler Zahl 2 kerne Primfaktoren besitzen, die nicht selbst 
von dieser Form sind. Da nun alle Zahlen a 2 + W aufier der Zahl 3 die Form 6n + l 
haben, so entsteht die Frage, ob auch umgekehrt alle Priinzahlen 6n + l in der Form 
a 2 + 35 a enthalten seien. Den Beweis hierfflr leistet EULEB unter Benutzung der Iqui- 
valenz der Formen a a -f ^ und w s + mn + n* wieder mit Htilfe der Methode der Differenzen 
(siehe p. XXVI). 

Damit war nun auch fttr die Zahl 3 und infolgedessen auch ftr die Zahl + 3 der 
Charakter als quadratischer Rest festgestellt, so wie er frtiher in der Abhandlung 241 fttr 

die Zahl 1 gewonnen worden war. 



Bei der Herstellung dieses Bandes bin ich von meinen beiden Mitredaktoren in wirk- 
samster Weise untersttttat worden. Ihrer stillen, selbstlosen Mitarbeit verdanke ich weit mehr, 
als ich hier zum Ausdruck bringen kaan. Moge unserer gemeinsamen Arbeit der Erfolg 

1) Er hatte zwar schon 1763 an GOLDBAOH geschrieben, daB er einen Beweis fiir die Un- 
mdglichkeit der Gleichung ^ 8 + ^ s =$ 8 gefonden habe, aber der Beweis war nicht 0inwandfrei, 
wie ar selbst am An fang und am Ende der Abhandlung 272 liervorhebt. Den wirklichen Beweis 
hat EULB& erst 1770 in seiner Algebra geleistet. Siehe die Anmerkung 1 p. 558. 

KUL^BI Opera omnia Is Oommentationes arithnaeticae e 



XXXIV 



VOEWORT DES HERAUSGEBEES 



beschieden sein, den wir von ihr erhoffea, EULERS nie vcraltende Werke wdteRten Kreisen 
zuganglich zu machen. 

Zu aufrichtigem Danke bin ich a^ Herrn ENESTBcm verpfliohtefc, auf domen Hat 
und Hiilfe ich jeder Zeit zalden durfte. U n d schlieBlich gebQhreu Dank und Annrkonnun ff 
der Verlagsfmna B. G. TBOTNBR, die aUb Wtoschen de S Herausgebars stub ff ri5Bte Berdt- 
wilJigkeit entgegengebracht hat und far deren Leistnngsfahigkeit der vrli, ff aud8 Band, dw 
unter besonders schwierigen Verhaltm sseil entstanden ist, boredto Worte spricht 

Zurich, den 2. August 1915. 



FERDINAND KCJDIO. 



INDEX 

Iniunt in hoc volumme indicia BNESTROKMIANI commentationes 

26, 89, 36, 54, 98, 100, 184, 162, 168, 164, 187, 176, 191, 228, 241, 242, 243, 244, 263, 256, 266, 

262, 270, 271, 272, 279 

pag, 

26. Observations de th.eorema.te quodam FEBMATIANO alilsque ad numeros 
primes spectantibus 1 

Commentarii academiao scientiarum Petropolitanae (1732/3), 1738, p 103 107 

29, De solutione problematum DIOPHANTBOEUM per numeros mtegros ... 6 
Qommentarii academiae scientiarum Petropolitanae 6 (1732/3), 1738, p. 175188 

36, Solutio problematis arithmetic! de inveniendo numero, qui per datos 

numeros divisus relinquat data residua 18 

Commentarii academiae wientiarum Petropolitanae 7 (1734/5), 1740 ; p. 4666 

64. Theorematum quorandam ad numeros primos spectantium demori- 

stratio ,,.... 33 

Oonameatarii academiae soientiarum Petropolitanae 8 (1786), 1741, p. 141146 

98* Theorematum quorundam a4thmeticorum demonstrationes 38 

Oomioentarix aeademiae seieniAaram Petropolitanae 10 (1738), 1747, p. 125 146 

MX). De uumeris amicabilibus 59 

Nova acta emditorttm 1747, p. 267269 

134, Theoremata circa divisores numerorum . . , . P 

Novi oommentarii academiae seientiarum Petropolitanae 1 (1747/8), 1750, p. 2048 



OBSERYATIONES 

DE THEOREMATE QUODAM FERMATIANO 
ALIISQUE AD NUMEEOS PRIMOS SPECTANTIBUS 

Commentatio 26 indicis ENBSTKOBMIANI 
Oommentarii academiae scientiarum Petropolitanae 6 (1732/3), 1738, p. 103107 



SUMMARITIM 

Ex manuscriptis academiae scientiarum Petropolitanae nunc primum e$itum 

Percelebris erat superioris saeculi Geometra G-allus FERMATITJS in inyestigandis 
numerorum proprietatibus. Inter quaestiones vero, qtiae de numerorum proprietatibus for- 
jmri possunt, praecipua fere est ea, qua agitur de criteriis, quibus cognosci potest, utrum 
numerus propositus sit primus necne 7 i. e. ? an divisibilis sit per qtiendam numerum an 
secus; nee multo minoris facienda est quaestio de inyeniendo ntimero prinio quoYis date 
maiori Affirmabat autem FEKMATIUS onmes omnino numeros hac formula generali 2^ m + 1 
contentos esse primos, cuius theorematis ope altera dictarum quaestionum solvi posset. De 
hoc FEEMATII asserto dubitari fere non poterat, quod inter numeros ab imitate usque ad 
100000 progxedientes nullus datur eius formae, qui non sit n.umerus primus. Etenim si 
pro m ponatur suceessiye 1, 2, 8 et 4, prodeunt numeri 5, 7, 257 et 65537, qui reyera 
omn.es sunt numeri primi. Notayit yero celeb. EULBBXJS formulam FBRMATIANAM fallere 
noBnunquam ; id quod revera eyenit, cum pro n ponitur 5; tune enim prodit numerus 
4294967 297, qui diyisibilis est per 641. Hac autem occasione auctor 6 alia proponit 
theoremata ad hanc rem pertinentia, quorum quidem demonstrationes non daatur, quamyis 
eorum veritas tentando comprobari possit. 



Notum est hanc quantitatem a w + l semper Btabere divisores, qiioties n 
sit numeras impar vel per imparem praeter unitatem divisibilis. Nanaqtie 
dividi potest per a + 1 et a^ (2m+1) +l per a^-fl, (juicunque etiam 

EULEBI Opera omnia la Commentationes arithmefeieae 1 



OBSERVATIONES DE THEOEEMATE QUOD AM FERMATIANO [103-104 



numerus loco a substituatur. Contra vero si n fuerit eiusmodi uuiuorus, qui 
per nullum numerum imparem nisi unitatem dividi possit, id quod twmit, 
quando n est dignitas binarii, nullus mimeri a" + 1 potest assigtmri divisor, 
Quamobrem si qui sunt numeri primi huiug formae a" -f 1, ii oinnes compre- 
hendantur necesse est in hac forma a 3 '" -f- 1. Neque tamon ox hoc potest 
concludi a sm +l semper exhibere numerum primum, quicquid sit ; primo 
enim perspicuum est, si a sit numerus impar, istam formam diviaorem habi- 
turam 2. Deinde quoque, etiamsi a denotet numeram parent, hmumwi taruen 
dantur casus, quibus numerus compositus prodit. Ita haec saltern formula 
a 2 + 1 potest dividi per 5, quoties est a 51> 8, et 30 s + 1 potosfc dividi 
per 17 et 50 s + 1 per 41. Simili modo 10* + 1 habet divisorom 73, + 1 
habet divisorem 17 et 6 1S8 + 1 est divisibilis per 257. At huius format) 
2 2m + 1, quantum ex tabulis numerorum primorum, quae quidein non ultra 
100000 extenduntur, nullus detegitur casus, quo divisor aliquis locum haboafc, 
Hac forte aliisque rationibus FEEMATIUS adductus enunciare non dubitavit 
2 2 +l semper esse numerum primum hocque ut eximium theoroma WAUUHIO 
aliisque Mathematicis Anglis demonstrandum proposuit Ipse quidem fatotur 
se eius demonstrationem non habere, nihilo tamen minus asserifc eswe verissimuin. 
Utilitatem eius autem bane potissimum praedicat, quod eius ope facilu sit 
numerum primum quovis dato maiorem exhibere, id quod sine huiuamodi 
universali theoremate foret difflcillimum. Leguntur haec in WALUSII Om~ 
mercio EpistoUco tomo eius Operum secundo inserto, epistola peitultima.') 
Extant etiam in ipsius FEEMATH operibus p. 115 sequeniaa*): H 0um autem 
numeros a binario quadratice in se ductos et unitate auctos em& semper 
numeros pnmos apud me constet et iam dudum Analy8ti8 iiliug fcheoremafcii 
ventas fuent significata, nempe esse primes 3, 5, 17, 257, 65587 etc. in infinit, 
aullo negotio etc." 

Veritas istius theorematis elucet, ut iam dixi, si pro pona ta r 1, 2, B et 4; 
prodeunt ennn M numeri 5, 17, 257 et 65537, qui omnes inter numeros primot 
m tabula reperiuntur. Sed nescio, quo fato eveniat, ut statim sequens, Lmpe 
2 + 1, cesset esse numerus primus; observavi enim Ms diebus longe alia 



*> 



1698 ' 857 



* 



!', 



104106] 



ALIISQUE AD NUMEROS PRIMOS SPECTANTIBUS 



agens posse hunc iiumerum dividi per 641, ut cuique tentanti statim patebit. 1 ) 
Est enim 2 2 + 1 2 82 + 1 = 4294967297. Ex quo intelligi potest -theorema 
hoc etiam in aliis, qui sequuntur, casibus fallere et hanc ob rem problema 
de inveniendo numero primo quovis dato maiore etiam nunc non esse 
solutum. 

Considerabo nunc etiam formulam 2 n l, quae, quoties n non est 
numerus primus, habet divisores, neque tantum 2 W 1, sed etiam a n l. Sed 
si n sit numerus primus, videri posset etiam 2 n 1 semper talem exMbere; 
hoc tamen asseverare nemo est ausus, quantum scio, cum tarn facile potuisset 
refelli, Namque 2 U 1, i. e. 2047, divisores habet 23 et 89, et 2 28 1 dividi 
potest per 47. Video autem Gel. WOLFIUM non solum hoc in Mem. Matheseos^ 
editione altera non advertisse, ubi numeros perfectos investigat atque 2047 
inter primos numerat, sed etiam 511 seu 2 9 1 pro tali habet, cum tamen 
sit divisibiHs per 2 3 1, i. e. 7. Dat autem 2 w ~ 1 (2 n 1) numerum perfectum, 
quoties 2^1 est primus; debet ergo etiam n esse numerus primus. Operae 
igitur pretium fore existimavi eos notare casus, quibus 2 n 1 non est numerus 
primus, quamvis n sit talis. Inveni autem hoc semper fieri, si sit n = 4m 1 
atque 8m 1 fuerit numerus primus; turn enim 2 M 1 semper poterit dividi 
per 8m 1. Hinc excludendi sunt casus sequentes: 11, 23, 83, 131, 179, 191, 
239 etc., qui numeri pro n substituti reddunt 2 W 1 numerum compositum. 
Neque tamen reliqui numeri primi omnes loco n positi satisfaciunt, sed plures 
insuper excipiuatur; sic observavi 2 87 1 dividi posse per 223, 2 48 1 per 
431, 2 29 1 per 1103, 2 78 1 per 439; omnes tamen excludere non est in 
potestate. Attamen asserere audeo praeter hos casus notatos omnes numeros 
primos minores quam 50 et forte quam 100 efficere 2 W ~ 1 (2 W 1) esse 
numerum perfectum sequentibus numeris pro n positis 1, 2, 3, 5, 7, 13, 17, 
19, 31, 41, 47, unde. 11 proveniunt numeri perfectl Deduxi has observationes 
ex theoremate quodam non ineleganti, cuius quidem demonstrationem quoque 
non habeo, verum tamen de eius veritate sum certissimus. Theorema hoc 
est: a n b n semper potest dividi per n -f 1, si n + l fuerit mmerus primus atque 
a et b non possint per eum dividi;*) eo autem difficiliorem puto eius demon- 
strationem esse, quia non est verum, nisi n + 1 sit numerus primus. Ex 

1) Vide L. EOTJJRI Oommentationem 134 (indicia EOTSTEQBMUNI), p. 74 ( 32) huius volu- 
minis. F. E. 

2) OHB. WOLF, Elementa matihesm umversae, editio nova, Hala,e Magdeburgieae, II, 1730, 
p. 384; numerus autem 2047 etiam in editione norissima (1742) inter primos numerate. J 1 . E f 

3) Vide Commentationem 134 huins voltuninis, theorems 4 4 F. B. 




OBSERVATIONS DE THEOEEMATE QUODAM FERMATIANO ( 106-107 



hoc statim sequitur 2" 1 semper dividi posse per w-f-1, si f'uerit n + 1 
numerus primus, seu, cum omnis primus sit impar praetor 2 hicque ob ccm- 
ditiones theorematis, quia est a = 2, non possit adbiberi, potorit 2 s '" ~ 1 
semper dividi per 2w + l, si 2m + 1 sit numerus primus. Quare etiam vel 
2 m +l vel 2 m 1 dividi poterit per 2w+ 1. Deprehentli autem *2'"+ 1 posse 
dividi, si fuerit w = 4p + l vel 4p + 2; at 2'" 1 habebit divisorem 2m + 1, 
si m = ip vel 4p 1. Haec persecutes in multa alia incidi theoremato non 
minus elegantia, quae eo magis aestimanda esse puto, quod vel domotisteiri 
prorsus nequeant vel ex eiusmodi propositionibus sequantur, quae demon- 
strari non possunt; primaria igitur hie adiungere visum est. 



THEORBMA 1 

Si fuerit n numerus primus, omnis potentia eo$menti$ n 1 per n dimm vel 
nihil vet 1 rdinguit, 1 ] 

THEOBEMA 2 

Manente n nwnero prmo omnis potentia, cuiwt wpmens est W ~ I (M_I) 
dwisa per n m vel vel 1 relinguit. *) 



THEOKEMA 3 

^ 8mt m, n, %, 2 etc. nimm primi inaegwles s%we A minimm commnk 
dwiduus eorwn imitate mimtorwm, puta ipsonm 1, w 1, jp 1, ff 1 e ^ 
Ms positis dico omnem potmtiam exponent A wt a" dimam per mnpq etc mil 
wM r^wre, nisi a dividi possit per aMgum liorum nmmn* rn,n,p, y do. 



THEOEEMA 4 

n-j- 1 nmnerwnprmum potent S"-M dividi per Zn+1, * 
-va -6j + 3; at 3"~1 dMK poterit per 2n + l, S i sit 

bjp vel n = Qp 1. 




107] 



ALIISQUE AD NUMEROS PRIMOS SPBOTANTIBUS 



THEOBEMA 5 

3 W + 2 W potest dividi per 2w + l, si sit ,n = vel 12p + 3 vel 12p + 5 vel 
12j? + 6 vel 12p + 8. J^we 3* 2 n potest dividi per 2n + 1, si s^ w = wZ 
vel 12p + 2 t?eZ I2p + 9 w/ 12j? + 11. 



THBOEEMA 6 

Suit iisdem conditionibus , quilus 3 n + 2 W ; potent etiam 6 n + 1 
2n + 1 ; a^we 6 n 1 5w& iisdem, gruibus 3 n 2 W . ^ 



per 



1) Confer haec theoremata 46 nee non, c[uod occurrit in ipsa dissertatione , theorema de 
divisibilitate formnlarum 2 m + 1 et 2 m 1 cum theorematis 42, 43, 50 Commentationis 164 huius 
Tolnminis* Vide etiam theorema 11 Commeatationis 134 et theorema inversnm, quod in Commen- 
tatione 262 ( 72) hums voluminis contmetur. -F. R. 



DE SOLUTIONS PROBLEMATIC IMOPH A'NTEOROM 4 ) 
PER NUMEROS INTBGROS 

Oommentatio 29 indicia ENHHTHOKMIANI 
Commentarii academiae soientiaram Fetropolitanao ft (178*J/8), 1738, j>, 175 - IHrt 



SUMMARIUM 
Ex manuscriptis academtae scientiarum Ptr0poHtan&6 ntuia [rimmst 

Tit Arithmetica numerorum primum unlvenae Ifiitlwsttciii end ftuttUummttmi, I rf nltio 
proprietatum. numerorara, gpae altioris stmt indaglnis, praetdtintm qu*atltx}(M in illfHrillnrlinw 
calculis auxffium praestat. Hane ob oausam problcnaata DiwtiANTRi illcii, ijtiltirw Iiett 
ditae HTOerorum, proprietates erauEtur, magiai faiinaclii itmt; noil loliini |irit|ifir nii*fctw- 
dorum, quibus soltunttir, ekgaatiam et iEgemosa iwrtilei*! nml |in|iti*r *iirtiin 

rerum ia$tun per radversam Matheslm, 

Oelek Igitmr EXJLBRITB magno fitadio htdc td imnmwmAm lt\ in 

problematibus, DiopHANTjans praeeipue a^itor, ut in 

integxis. Ea rero i&lium problematum Mo eri^ ut 

mdetermmatajn.' '<mm detennifctatta oojdttactam, eoiiu loco num*rum (ni it! 

quidem poisaibfle esi) suktiteere talem, ut |t tiirn 

faciens diwatione quodancuaodo Inytairl oporte^ I quo alii tptttiftt, 

per quos problema mfiMti;s modis aoW poteii !cl erg Atwlor iifit, til 

ope oogaiio , mo numeroram sttiafMtaittam innumenibilaH ulli fu<l din 
Pomt ergo formulaic ai l '^5 + ^ qua debeal $i la ijus a, i 

integri; pro 'tco quoque nnthenw ti 

s it E^mem^ wlititiitni qun* 

ft l| 0g numeroi f a tifrc*i 

qiiwpdo, : litoim *j* nmtt^ri 

-qM ;g|a| i i 



'et'^ rant 
ergo iam 






175-176] 



DB- SOLUTIONS PROBLEMATUM DIOPHANTEORUM 



1. Quoties in problematis DIOPHANTEIS solvendis pervenitur ad formulam, 
in qua pins nna indeterminata non inest, maxime requiruntur nnmeri integri, 
qui loco indeterminatae positi qnaesito satisfaciant. Hoc vero quando fieri 
non potest, numeris fractis acquiescere oportet. Observatnm autem est, si 
in ilia formula indeterminatae maxima dimensio fuerit quadratum et ipsa 
formula debeat esse numerus quadratus, plernmqne infinites numeros inte- 
gros problema polvere, qui inter se certa lege cohaereant et seriem quandam 
constituant. Sed si formula vel debeat esse cubus aliave altior potentia, 
vel si indeterminata plures duabus habeat dimensiones, plus effici non potest, 
quam ut saltern numeri fracti eruantur. 

2. Ita autem huiusmodi problematum omnium ratio est comparata, ut 
unum numerum satisfacientem divinatione inveniri oporteat, ex quo deinceps 
infiniti alii reperiri queant. Neque enim ad primum detegendum regula pot- 
est tradi, cum casus possint occurrere, qui omnino nullam solutionem ad- 
mittunt, cuiusmodi est 3^ + 2, quae* formula nunquana fieri potest quadra- 
tum. Quamobrem in sequentibus semper ponemus unicum tantum casum 
esse cognitum, quo condition.! problematis satisfiat, atque regulam dabimus, 
qua ex illo innumerabiles alii eUci possint. 

3. Proposita igitur sit haec formula 

ax 3 + boo + c, 

quae debeat esse numerus quadratus. Sintque a, & et c numeri integri et 
requirantur quoque numeri integri loco $ substituendi Datus autem sit 
numerus n, qui loco $ positus reddat formulam a&*+1>x + c quadratum. 
Erit ergo an ^bn-^c numerus quadratus, cuius radix sit w. lam ad alium 
numerum satisfacientem ex hoc dato n inveniendum pono eum esse 



an 



huncque valorem loco a? substitutum reddere aa? s + 
r^dix sit 

dn + s + %V(an* + In + c). 



quadratum, cuius 



Perspicuum enim est ilium numerum loco ^ substitoejidum fore rationalem 
ob an* + 'bn + c quadratum; numeros auteto. integros toe modo reperiri, si 
modo sit n numerus integer, mox appaxebit. 



DE SOLUTION! PBOBLEMATUM DIOPHANTEOHUM 



[17fl--m 



4. Substituatur igitur CM + + yY(an* + In + c) loco # in 
hocque facto prodibit 



) 4. aft 9 4 f y 
4 (2a/n 4 2a/9y 4 6y) J/(a* 4 In + c). 

Sed quia hums radicem quadratam ponimuH <f44-f /(an'-j-ftw -f c), tnifc 
hinc etiam aa; !! 4&fl34c aequalis sequent* quaatitati 



4 &>> 4 e 4 c 
His duabus formis inter se aequatis habebuntur sequonttw 

4 a 8 / - (f> 4 a >, 2 a^ 4 a6y 4 ba . 2^ 4 

-f- 



4 ), 



quibus eHcitur 



substitutus dat 



e t 



, quae in ta rlvitur 
6 -a et ?-/. Harum autem posterior, nisi sit a quadntnm, locnm 

8 : rgo ^ et 

ln has resolvetur 



5. Sit^ iste numems, qui loco y substikks reddat ay+I 
aras radix ponatur 2 , ita ut sit 



ratum, 



his colligftar se^uens 



, 



f 

, ''I' 




177-178] 



PER NOMEROS INTEGROS 



THEOEEMA 

Si ax^+bx + c est quadratum casu, quo x=*n, erit quoque quadratum 
casu, quo 

x = qn + fc^ +pY(an* + bn + c), 
eiusgne quadrati radix erit 



Si ergo modo lp per 2 dividi pofcest, radix quadrati erit numerus integer "et 
propterea quoque valor ipsius x erit integer seu Iq b dividi potent per 2 a. 

6. Quemadmodum autem ex wvalore ipsius x dato inventus est alius 
qn + JL::* + p m posito m loco V(an*+bn + c), ita hac quantitate tanquam 
n tractatai, quo casu loco m sumi debebit ajpn + -j- + qm 9 eruetur denuo 
alius valor, qui loco x substitutus quaesito satisfacit, scilicet Me 



quadrati vero hinc orti radix erit 

2ajpqn + b$q 



m. 



Consideretur iam ilia quantitas ut n et haec ut m; habebitur- quartus valor 
ipsius x satisfaciens hie 



Et radix quadrati respondentis erit 



1. Valores ipsius x satisfacientes una cum radicibus quadratortim respon-* 
dentium ergo ita se habebunt, ut sequitur; 

LUONHAEDI EITLKEI Opera omnia I? Commentiitioiies avithiaelio^e 2 



10 



1)1 



I. 
II. 

III. 



Yalores 

n 

: % 



%f$~ ftl 



V. 



-fa 



eta, 



Huius ti 

A 

II 



Hae igite progrtswlonei, 



Valor*** 



I' if M 



f '.' 



*it -f v *m 
/ - Kr/*||| 

s * 



AH 

' 



/* 



Hboerii, tmtigiio lbttr* cutitintmittnr, 



8. 



/fieri 1 numeros i 
lores eront 
Ma fuerit, 
^ 1 3 ie. 
siat nnmertialegri 



9, 



06 



t J*MII a v- 

a; wn iw hc 



i 



si ftierlt bp ntititwnip jmr, Oimu** 
, si % |) rfiwlt |)t*rii j 

ititiiifri iu**ri, natn 
*m, tit jwnjitntw, j et f 
mbwdiiw cwt in tmininiA irti* ntinnt w 
nututlonniu rjtiw*4*j luplirl.nr. 



forte 



i|imiimtii, 
A/4-r v*l if*nm 



tmttom 



in ttunwrto 
qmulntttun 



! ^S>vfeS 



l^vMif: 



180-181] 



PEE NUMEEOS INTEGEOS 



11 



problems, solventibus praecepta tradere instituimus. Nam si a est quadra- 
turn, nullus numerus integer potest exhiberi, qui loco p positus efficiat 
op + l quadratum, praeter 0. Hoc vero casu omnes valores ipsius x ma- 
nent n nullusque ergo alias nisi is, qui divinatione est inventus, eruitur. 

10. Quoties autem a non est numerus quadratus, semper numerus inte- 
ger potest assignari, qui loco p positus efficiat ap* + l quadratum 1 ). Quam- 
obrem his casibus, si unicum casum elicuerimus, quo ax* + bx + c fit qua- 
dratum, simul quoque casus infinites exhibere poterimus, qui atf + lx + c in 
quadratum transmuteni Proposita igitur formula atf + lx + c hoc erit 
agendum: Primo coniectura detegi debebit valor ipsius x in integris, qui 
reddat ax*+bx + c quadratum. Deinde etiam quaeri debet valor ipsius p,- 
quo aj? 2 + 1 etiam fiat quadratum. Hisque inventis ope progressionum in- 
ventarum casus infiniti innotescent. 



11. Si c est quadratum, nempe =*dd, statim apparet casus, quo 
ax^+bx + d 2 est quadratum; is enim est, si x = 0. Ponamus ergo ^ = 
eritque m d et valores ipsius x satisfacientes constituent hanc seriem 



o, 



Quadratorum autem, quite hinc generantur, radices erunt 



d, 



, 



Harum serierum lex ut et priorum ( 7) perspicua est; sunt enim omnes 
recurrentes seu quivis terminus ex duobus praecedentibus est compositus. 

12. Sit J=Q et df 1, ut habeatur haec forma ax*+l, ad quam, ut 
ex praecedentibus apparet, generalis ax^lx + c maximam pattern reducitur. 
Huius ergo valores ipsius x respondentes in hac serie progrediuntur 

0, jp, 2jp^ 

1) Hano aequationem a$* + 1 %\ quae recte FJBEMATIAHA, noa PKLHANA appellari debet, 
EERHAIWS a. 1657 mathematiois resolvendam proposuerat Vide P. DB FBEMAT, Vwio, op&ra 
maMca, Tolosae 1679, p. 190; Oewres de FmMw, t, II, p. 333, &S4, 433. F, B. 

2* 



12 



DB SOLUTION! PROBLEMATIC DIOPHANTK01UJM 



radices vero quadratorum productorum erunt sequentes 



1 181 183 



X. 



Si ergo unions casus jp, quo ajp* + l Bit quadratura, ccmstatv huinmnodi nu- 
meri infiniti habebuntur, qui in tractationo genoralis formulae <*#* f h$ + 
loco p et q collocari possunt. 



13. Quo autem haec methodus ad qtiosvis posttii accommodari, 

videamus primo, quos numeros pro quoUbet ipsiuB a valoro ItiteriH p et 7 
tribui oporteat. Debet autem $ talis esse numerus, qni a/>*-fl wddafc ijiia*- 
dratum^ huiusque radix erit j, Perspicuum quidem cat, si tinicun pro ;> 
habeatur valor idoneus, simul quoque infinitoB haberi; attamon hie uimutm 
duiitaxat eumque minimum praeter adhiberi eonvonit, Nam rallcpii Hoqiian- 
tes, qui sunt 2jpg, ipgt* jp etc., solutionum numerum non multipliciuit, cum 
valores tantum sequentes ipsius a? in 7 praebeani Minimun 
p valor dabit omnes numeros ipsius $ satisfacientes, quod maioreB non faciuni 

14 Intelligatur igitur, quodsi feerit a e f 1, minimum f valo- 

rem fore 1 ipsiusque q ~e, deind si fuerit a** + l> et 

j 26 S +1. Atque si sit e& e^+^S, arit at g f 4 : l, Hainsmodi 

casus infiniti alii possunt deflniri, quorum hoe 

titeoremate: flB stt a 8 e >A 2ae 1 " 11 , Ht f ~e el f aa lfl 4l f ufti jro a 
etow numen fracti (tmpi posmnt, itti per e*~* l 

trmsmutentw., Simili modo etiani, ii sit a (ae*+ /?<**)* + 2^' Bi + 2/? ftl * t S 
erit p e et ^ - a/^ 1 + ft? +* + 1 itque si sifc a J 4 : n u* - $ 

erit jp * ^e et j iesFe*** + 1. 



t 
I 
i 
I 
' t 



4f 

15. Quoties igitur et st numwis, qii in istis formulis contraeatar, 
tim apparet valor ipsius jp et j. At si a huiusmodi ftierit numeraa, qui 
Biillo modo ad illas formulas potest reduci, peculiaris ad mvaniendft p efc q 
adMbeada est mtliodus, qua olim iam usi sunt PBLLnw 1 ) efe FKHU.TXU& 



1) Vide tamen, id quod ad Pumw attinet, G. BSUSTKOISM, 
G-Mcfamg", Bibliotk Matbe, ,, 1&02, p. 204, 



dm Uf*$rmg tier ttmm- 
F. R. 




182-183] 



PER NUMEEOS INTEGEOS 



13 



Haecque methodus est universalis et aeque succedit, queincunque numerum 
denotet a. Praeterea etiam ideo hie potissimum est commendanda, quod 
minimum ipsius p valorem, qui hoc loco requiritur, exhibeat. 

16. Methodus haec extat descripta in Operibus WALLisn 1 ) et hanc ob 
rem earn hie fusius non expono. Operandi tamen modum in unico exemplo 
ostendisse iuvabit, cuius inspectio ad quaeque alia solvenda perducet. Opor- 
teat nimirum determinari minimum ipsius p valorem, quo 31# 2 + 1 fit qua- 
dratum. Ad hoc efficiendum sequens instituitur calculus: 

]/(31 jp* + 1) = g, ergo q > 5p ; pctoatur itaque q = bp + a; 



6& s + l, a 



3) 
_ 



d 



- 3) 

" ............................. 



f+l, 
12^-5/ + l, 



6^ 4- V(31/ 4 1). 



Tamdiu scilicet hae operationes continuantur, quoad in media columna per- 
veniatur ad 1/(31/41) eiusdem forrnae^ quam habuit proposita )/(31 f 41). 
Perspicuum iam est, si ponatur ^ 0, fore /* !. Hincque retrogrediendo 
habebitur e 2, d 7, c 37, I 118, a 155, # = 273 atque q = 1520. 

17. Quo autem non' tanto opus sit labore ad valores ipsarum jp et q 
inveniendos pro dato numero a, sequentem tabulam annex ere visum est, in 
qua pro singulis valoribus ipsius a exhibentur minimi numeri, qui loco p 
substituti reddant ap* 4 1 quadratum. 



1) I WAJUMS, Opera, III, Ozoniae 1693, cap. 
p. 232-250. V. B. 



; p. 418429, Of. quoque cap. 5661, 



', 



14 



DE SOLUTIONS PItOBLEMATUM DIOPHANTKOHUM 



!t84 





a 


f 


1 


a 


# 


<y 




2 


2 


8 1 


37 


12 


?:$ 




3 


1 


2 


88 


6 


87 




5 


4 


9 


89 


4 


36 




6 


2 


6 


40 


3 


19 




7 


3 


8 


41 


820 


2049 




8 


1 


8 


42 


2 


18 




10 


6 


19 


43 


681 


84HS 




11 


3 


10 


44 


SO 


199 




12 


2 


7 


45 


514 


101 




13 


180 


649 


4(5 


8688 


34886 




14 


4 


15 


47 


7 


48 




15 


1 


4 


48 


I 


7 




17 


8 


33 


50 


14 


fit 




18 


4 


17 


51 


7 


50 




19 
20 
21 
22 
23 


39 

2 
12 
42 
6 


170 - 
9 

56 
197 

24 


53 
53 
54 
55 
56 


90 

9100 
015 
12 


640 

6824 9 *) 
48ft 
89 




24 
26 
27 
28 
29 
30 


1 
10 
5 

24 
J820 
2 


5 

51 

26 
127 
9801 
11 


57 
$8 
59 
60 
61 


20 
8574 ) 

4 
226168980 


1ft 
Ifil 

19808 

580 
31 

17683101)40 




31 


273 


1520 


69 


i 


as 




32 


3 


17 


6 


4. 


8 




33 
34 
35 


4 
6 

1 




23 
35 
6 


vW 

66 
67 
68 

~~ mm .-..II 


16 
8 
6967 
4 


129 

85 
48841 
S3 



-,- 



F E. 



185186] 



PEE NUMEEOS 1NTEGEOS 



15 



18. Hie statim occurrit modus perfacilis extrahendi quam proxime radi- 
cem quadratam ex numero quocunque non quadrate a. Quia enim est 
/ + l = 2 2 , erit 1/a^t^L 1 ) et, si $ sit numerus valde magnus, erit 
Xa = |- quam proxime. Sed loco p possunt poni singuli termini seriei 
0, p, 202, 4ptfp, ...A, B, 2 S B A et loco Q singuli termini respon- 
dentes seriei huius 1, 2 , 2^-1, 4 2 8 -3 2 , ... E, F, 2qFE ( 12). Sit 
huius seriei terminus indicis i = Q et illius terminus, cuius index etiam 
i est, = P; erit ]4 = |-. Quia vero, quo magis continuantur hae series, 
maiores quoque fiunt termini Q, eo propior reperietur Ya sumendis terminis 
serierum a primo longius distantibus. Sit exempli gratia a = 6; erit p = 2 
et 2 = 5 seriesque sibi invicem subscribantur, ut sequitur, posteriore loco 
superiore posita 

1, ^7525, 470449, 4656965 etc. 
" 



.. 
0, 2/20, " 198, 19667 1 9402; 1 92060, "l901198^ta 



Sumtis igitur ultimis terminis erit gj^g ita propinquum radici quadratae 



ex 6, ut plus earn non excedat quam hac fractione --------- - ______ Simili 

. 2(1901198) 2 l/6 ' 

modo patet radicem quadratam ex 61 fore proxime aequalem i 7 -^^ !?. 

r ^ 226158980 

Quae quidem radix vera aliquantuium maior est, sed excessus est minor 



quam 



2(226153980) s |/61 



19. ^Quaerantur omnes numeri triangulares, qui sint simul quadrati; 
debebit X -J ease quadratum. Qnadratum igitnr quoque erit 2x* + 2x, ex 
quo fit collatione cum formula ax^ + bx-\-d s ( 11) instituta a = 2 ; 6 = 2, 
e?=Q. Sed quia est a2, erit ex tabula superiore jp = 2 et <?=<3. Unde 
loco x substitui debebunt sequentes valores 0, 1, 8, 49, 288, 1681, 9800 etc., 
<l uo * 2 X fiat quadratum. Quadratorum autem hinc ortorum radices tene- 
bunt hanc seriem 0, 1, 6, 35, 204, 1189, 6930 etc. Vel quadrata, quorum 
radices continentur in hac serie, erunt numeri triangulares, Seriei quidem 
kuius posterioris termini fiunt duplo maiores, si formentur ex serie generali 
d, &$ + *, d(2g* l) + &j)^ eta; sed quia hi termini sunt radices ex 

, debebunt dividi per 2, quo habeantur radices ex . 

20. Numeri polygonales I laterum exprimuntur hac formula geaerali 

x denotat radicem numeri polygoEalis. Quo ergo 



16 



DEOLUTIONS PROBLEMATUM DlOl'HANTEOEUM 



1186-187 



huiusmodi numerus polygonalis sit quadratura, oportet 2(J 2j;r~.2(f 4W 
esse quadratum. Statim autem unus casus apparet, quo quaemto aafcislit 
scilicet si a = 0; fit enim ipsa formula -0. Quamobrom habebimus -o 
et w = et formula cum generali oar' + te + e comparata prodit a -2(7 -2) 
et 6 - - 2(1 - 4) atque c - 0. Fiat igitur 2(/ - 2)/ + 1 f / ; wunt 
* valores, quibus 2(^-2)^-2(^-4)^ sen huius para quart* ^~ 3 ^ t ;- 
i. e. ipse numerus polygonalis, fit quadrature, tteqaentos' " 



Sun^TaloreTf ^^ ^ ' > 4 ' "^ "^^ * ttllmeB aftirmat ' ivi ^ 

*\'Pfi'**v\r4.'I-M.i T\^*_^ Ji _ . i . '' ww* itlllll, * .-I, m|y 



r n 
affirmatm. Demde etiam n inventun ait namwu* negativus pro ,- ui it 

-*, potent numerus affirmativus dari, ,,ui eundom numnmm polygonalem 
.producat; ent nempe *+ " ; aed nisi sit J : J mimeru8 intl gt fr ,i 1 
men affirmatm fiunt fracti, quos hie X cludimua. Hanc ob rcl alt,rnl 

pVssionem, k 






Badices autem quadratae 



ez 



ppogredientur 



-- Bunl * D1 



187188] 

Ut si quaerantur numeri pentagonales quadrati, erit Z = 5 et a = 6 
atque q ent numerus ex hac serie 1, 5, 49 etc. et ipsius p valores respon- 
dentes erunt 0, 2, 20 etc. Quo igitur i^ fo- 1) - fe - 1) sit numerus 
integer, sumi debet ^ = 49 et ^ = 20. Eadices ergo numerorum pentago- 
nalmm, qui sunt quadrati, erunt 

1,81, 7921, ... A, B, 98^ ^-16 



qui numeri etiam in superiore serie (20) continentur, si accipiatur 2 = _5- 
erunt emm termini alterni affirmativi. Horum autem numerorum pentago- 
nalmm radices quadratae erunt 

1, 99, 9701, ... E, F, 98F-E. 

22 Quia est 2(Z-2y + l = ^ manifestum est ex praecedentibus, si 
luent 2/-4 quadratum, nullum numerum integrum loco p substitui posse. 
Mane ob rem vel omnes numeri polygonales erunt quadrati, vel tantum non- 
nulh. Pnus evenit, si Z = 4; nam omnes numeri tetragonales sunt simul 
quadrat!. Posterius vero, si sit 27-4=16 seu 36 seu 64 etc; bis enim ca- 
sibus alii non erunt quadrati nisi et 1. Si 2Z-4 = 16, erit I - 10 ideo- 
que numeri polygonales erunt decagonales, quorum forma est 4x*~-S x 
Nullusque numerus decagonalis est quadratus praeter et 1 in integris. 



LBOSHABDI BTOBEI Opera omnia I Oommentatioaes arithmetioae 



SOLTJTIO PEOBLEMATIS ABITHMBTICI 

DE INVENIENIX) NUMEEO 

QUI PEE DATOS NUMEEOS DIVISUS 

EELINQUAT DATA EESIDUA 

Commentatio 36 indicia ENEHTROBMIANI 
Oommentarii academiae soientiaram Petropolitanae 7 (1784/6), 1740, j>. 4666 



1. Eeperiuntur in vulgaribus arithraeticorum libris passim huiusmodi 
problemata, ad q[uae perfecte resolvenda plus studii et sollertiao requirifcur, 
quam quidera videatur. Quamvis enim plerumque regula sifc adiecfca, cuins 
ope solutio obtineri queat, tamen ea rel est iosufficiens soiiqae casai pro- 
posito convenit, ita ut circumstautiis quaestioms param imrautetis ea nallius 
amplius sit usus, vel subinde etiam solet esse falsa. Ita quadmtorum magi- 
corum constructio iam pridem ab arithmetics est itndita; quae autem cum 
easet insufficiens, maiora ingenia LAHIBH J ) et SATJWIEII*) ad perfttitmdnm nv 
quisivit. Simili quoque mode ubique fere occurrit istud problema, ufc in- 
veniatur numerus, qui per 2, 3, 4, 5 et 6 divisas relinquat uuitatem, per 7 
vero dividi queat sine residue. Methodus vero idonea ad huiusmodi proble- 
mata solvenda nusquam exhibeturj solutio enim ibi adiecta in hunc tantum 
casum competit atque tentando potius absolvitur. 

2. Si quidem numeri, per quos quaesitus numerus dividi debet, sunt 
parvi, prout in hoc exemplo, tentando non difficulter quaesifcus numorus tor 



1) PH. D B LAmM (1640-1718), Nomelks oonstnvOom et coHratiom mr 

wee ks d^mons^o&ons, M4m. de 1'acad. d. sc. de Puns 1705, p. 127. P K 

2) 3 SA^VBTO (1653-1716), Cowrin^ gtntrak <te qmrrt* magl^m, ![<. de l'od. 
a. sc. de Paris 1710, p. 92. f . E. 



,1 



47-48] SOliTflttO P&OBLEMATI8 ABETHMETICI DE 



tftJMEfeO 



venitur; difficillima autem foret istiusmodi solutio, si divisores propositi essent 
valde magni. Cum itaque ad huius generis problemata solvenda methodus 
etiamnum habeatur nulla genuina, quae ad magnos divisores aeque pateat 
ac ad parvos, non inutiliter operam meam collocatam esse confido, dum in 
huiusmodi methodum inquisivi, qua sine tentatione pro maximis etiam divi- 
soribus talia problemata resolvi queant. 

3. Quo igitur, quae hac de re sum meditatus, distincte exponam, a casu 
incipio simplicissimo, quo unicus tantum datur divisor numerusque quamtur, 
qui per iUum divisus datum relinquat residuum. Requiratur scilicet numerus 
a, qui per numerum a divisus relinquat p pro residue. Huius quidem quae- 
stionis solutio est facillima; erit enim s = ma+$ denotante m numerum 
quemcunque integrum; interim tamen observari convenit hanc solutionem 
esse universalem omnesque numeros satisfacientes complecti. Praeterea ex 
ea quoque intelligitur, si unus habeatur numerus satisfaciens, ex eo innumera- 
biles alios satisfacientes quoque posse inveniri, dum ille numerus quocunque 
multiplo ipsius a vel augeatur vel, si fieri potest, minuatur. Erit autem j> 
seu Oa+j? minimus numerus satisfaciens, hunc excipit a + p, quern porro 
sequuntur 2a+jp, 3^ + ^, ka+p etc., qui numeri omnes constituunt pro- 
gressionem arithmeticam differentiam constantem habentem a. 

4. Hoc exposito sequitur casus, quo duo divisores cum suis residuis pro- 
ponuntur, qui est praecipuus et sequentes omnes in se complectitur. Nam 
quotcunque propositi fuerint divisores, quaestio semper ad hunc casum, quo 
duo tantum proponuntur, reduci poterit, quemadmodum in sequentibus mon- 
strabo. Quaeri igitur oporteat numerum *, qui per a divisus relinquat p, per 
6 vero divisus relinquat #, sitque numerus a maior numero I. Cum ergo 
numerus quaesitus g ita debeat esse comparatus, ut per a divisus relinquat 
p, necessario in hac forma mo+j> continebitur eritque idcirco z = ma+!p. 
Deinde ex altera conditione, qua g per 6 divisus relinquere debeat q, erit 
*_ M ft-|-2- Quamobrem, cum sit ma + # = nb + q, determinari debebunt 
numeri integri loco m et n substituendi, ut sit ma+j) = wfe + 2; quifous 
inventis erit ma-\-$ seu wft + g numerus quaesitus z. 



5. Quia ergo est ma + p == nb + q, erit _ ma +P-z 



S6U 



erit n 



Hanc ob rem definiri oportet numerum m, ut ma + v dividi 



20 SOLUTIO PBOBLEMATIS ABITHMETICl DE INVENIENDO NUMKRO [48-60 

possit sine residue per b. Quia eat a > 6, ponatur a b + <;; erit 
^ = ^4-?^!!; oportet erg0j ut mc ^.. i; divisionem por b admit.tat; aunt 
autem a et c numeri cogniti, qui reperiuntur ex divisions ipnins a por ft; 
erit enim a quotus et c residuum. Ponatur porro "'+* M ^4; tlr jt m , Ab -*.' 
quare numerum ^ inveniri oportet, ut Ab v dividi queat per c. Si wvo- 
niat, ut v per c dividi possit, operatic iam potent firiiri; aumto onim J --() 
ent m = - e t * ^ +jp, quae expressio, etiamsi eviulat iwjgativa, taiaen 
ad infinites numeros affirmativos pro inveniendos it idonoa. 

6. Sin autem v per c non poteat dividi, quo Ab ;^ tJ.it uuiuoruH integer, 
pono J-/9c + d seu divido per c dicoque quotum -0 * mmduum -rf! 

(-./ll'f^ Ti/*T/*^ k"f*"IT "^ A & I ** ** ******* t? % % >l ij M 

v^UU JldtOlrU t/riv -.- ssa j^[p 4 jg^ MA flAbAKJ'f'Aliii Ul "*" tf ^ t 

f'.AD'A'T' Qlf 10 ,:,,.,.,,_ 1? ^A4 vl J<0"4-f ^ 

teger, sit is - , net A - ...j: . Si nunc per 4 dividi poterifc flwiu I/ ~ 
eritque -4 = 4-, et t * &. 

Sin autem^ per d non eat divisMe, pono porro c - yd + , eritque 

^ = j5j,_[ , Atque pono B '^" v mmC ut 5t w^-" <? 

, i r ^ i/, uc ore ,&!. .^ JH nunc ^ 

per e dividi potent, pono 0-0 eritque #_ et ^_^ at(j[TO 



pono 



7 



F - - ut 8it 



appono: "'vestigan Eolet, qnam opemtiowm Me 




50-51] QUI PER DATOS NUMEROS DIVISUS RELINQDAT DATA RESIDUA 21 



n = 



m = 



I 

Ab-v 
c 

Sc + v 

d 

Cd v 
e 



a, 



d 



a== ab -f c 



c = yd + e 



f 



9 



/ + 9 



f 



-F 



Ghv 



9 



m 



6 



k 



8, Haec ergo operatio, qua ad maximum communem divisorem nume- 
rorum a et I uti solemus, eousque est continuanda, donee ad residuum per- 
veniatur, quod dividat v. Quo invento sequenti modo investigabimus nume- 
rum m. Si v iam per I dividi poterit, fiet w = 0. Si v per c divisionem 
admittat, fiet ^t = et m ~- Si v per.rf dividatur, fiet JP = et Jt = ~ 

X w *V V B'V 1 T X 

atque m = ^ = ^ ob o - pc + a. Quo autem valores ipsius m facilius 
reperiantur, primo valor ipsius A per B, turn valor ipsius B per G et ita 
porro exprimi debet, unde nata est ista tabula: 



*i 

2. w 

3. m 

4. m- 

O. W ! 

6. n 



Ab-v 

___, 

gft + ./ 
d 

Cb- 



etc. 



g SgCOTQJPBOgg^TIS ABOTM1TIOI DI INVBNIBHDO NUlfKRQ [61-5* 

"~ " " " ' "" ' - ij^ 

De his valoribus est notandum signa ipsius v alternori hoc modo 
H 1 1- etc. Deinde coefficient ipsins v hanc tenant legem 



cuius progression quisque terminus est agregatum ex termino praeeedente 
m mdicem supra se scriptum multiplicato et termino hunc pneoedente. 

9. Srigitur , per 6 dividi potent, erit m-0; si V per c dividi potest, 
ent - _ propter A - 0; si per d dividi potent, fiat B - 'eritqu,, 
m= '-aP- Unde sequens oritur lex: 



Si est numerus 
integer 



v 
c 

V 

1 



V 

7 

V 

"g 

'D 



erit 



m -= 



5 



subatitua.tur, reperietur, 



52-53] QUI PER DATOg?UMEEQS DIVISUS EELINQUAT DATA EESIDUA 



Si est integer 

V 



erit 



bv 
c 



ad + yd 



~ 

i/ 



etc. 



10, Ad inveniendum ergo numerum a, qui per a divisus relinquat p et 
per & divisus relinquat q, posito # q = -y sequentem habebimus regulam: 

Instituatur operatic ad maximum communem divisorem inter a et 6 in- 
veniendum eaque eousque producatur, donee ad residuum perveniatur, quod 
sit divisor ipsius v, teneaturque quotas ex divisione ipsius v per illud resi- 
duum resultans, qui sit Q, ubi operatic abrumpatur. Deinde in serie scri- 
bantur quoti a, {3, y etc. in hac divisione orti ex iisque construatur nova 
series* 

1, , a/9 + 1, a/?^ + a + ^ etc., 



quae ex ilia quotorum serie formatur atque eousque continuari debet, quo- 
usque per illam seriem fieri potest. Sub hac nova serie scribantur signa 
alternantia -j --- 1 -- etc. ultimusque terminus cum suo signo multiplicetur 
per Q atque etiam per minorem divisorem propositum &; ad factum addatur 
residuum q divisori 5 respondens. Quo facto erit aggregatum numerus 
quaesitus. 



11. Invento hoc modo uno numero satisfaclente ex eo statim innuine- 
rabiles alii numeri satisfacientes reperiuntur. Kam si per a divisum p re- 
linquit et per "b divisum q, eandem propri^tatem habebunt quoque numeri 
ab + ^, 2afe + * et mob + 0, Multiplum quidem facti ab continuo adiici vel 



24 



1)1 INVBNIBNDO NUMBRO [53^55 



auferri potest, si a et 5 fherint inter se numeri 

nu meri co.positi, torn etia m sufflcit eonnn h 

se emus ^^ quodque adiectuffi ^ 

safastoentes; ut * minims commums dividuus fUrlt M, o 

-J+* onmes onuuno nutaeros q ua, S tioni aatistontes. Qukr^ e 



instituo 



57 



103 
67 



57 



operationetn ita 



81 



est 

'' 

57.30 



1 
1, 

f 



qui est 



29 dii 



co 



29 



tts 



1 
1, 



25 - 67 - 279 ; 



per 



di TOtw reliaquat 10 et per 
quod in diis 



s 



resMuo divisom 29 



^ DATA RESIDUA 25 



eritque a -41, 6 -.29, *-10 efc 2 1, unde erit v 
ergo ut ante instituo ita: 



11. Operationem 



29 



41 


1 


29 




12 


29 


2 




24 




5 


12 


2 




10 




2 


5 




4 


1 






- 1 1 __ 
J.J- 



l 
1, 



2 
1, 



2 

3, 



17 

+ 



Erit ergo + 17 11 187 atque numerus quaesitus -= 1 + 29 187. Sub- 
trahatur 29 . 4 . 41; erit is - - 1 + 29 23 - 666. Satisfacient ergo quaestioni 
omnes numeri in hac forma m- 41- 29 + 666 contenti, 

14. Compendium hurc.se prodit ad supra datam regulam adiiciendum, 
quod in hoc constat, ut, postquam numerus Q per ultimum seriei' formatae 
terminum est multiplicatus, factum per maiorem divisorem a dividatur atque 
residuum loco ipsius facti adhibeatur. Scilicet hoc residuum per minorem 
divisorem 6 multiplicatum atque residuo q auctum dabit numerum quaesitum. 
Atque iste numerus hoc pacto inventus erit minimus, qui satisfacit. Prae- 
terea hac divisione effici potest, ut residuum prodeat affirmativum, etiamsi 
dividendus faerit negativus. Ita in pximo exemplo 12 habebatur 279, 
qui numerus per 103 divisus sumto quoto =-3 relinquit +30, Ex quo 
numerus quaesitus minimus est 25 + 57 - 30 1735. 

15, Fieri deinde etiam potest, ut huiusmo4i e^empla prpponantu^ quae 
solutionem omnino non admittant, uti si quaeratur numerus, quj per 24 
divisus reMnquat 13, per 15 vero divisus relinquat 9; tails enim numerus per 
alteram conditionem deberet esse per 3 divisibilis, per alteram secus. Idem. 

BTOBRI Opera omnia la Oommentat iones aritbiaeticae 4, ' 



26 SOLUTIO PBOBLEMATIS AEITHMETIOI DE INVBNB8NDO NUMERO [56-58 

vero etiam ipsa regula ostendit; nunquam enim ad tale residuum exeepto 
devenietur, quod dividat v seu 4, uti ex ipsa operation videre est: 



15 



24 


1 


1L 




9 


15 


1 




6 


9 


1 




8 


6 




6 






Huiusmodi vero exempla exhiberi non possunt, mai divisorea a ot ft sint 
numeri compositi inter se; nam si fuerint inter Be prirai, semper numeri 
quaesiti exhiberi possunt. Sin autem divisores a et I fuerint numeri com- 
positi atque v non dividi potuerit per maximum ipaorum a et ft divisorem, 
turn semper proWema ad absurdum deducit. Hocqu est oriterium, ex quo, 
nunl problema solutionem admittat, diiudicari potest, antequam oneratio 
instituatur. 



16. Exposita hac niethodo universali, qua omnis generis huius probU- 
mata facile resoM possunt, ex ea aUa regula potest formari, quae quidem 
ad usum non est tarn facilis, at simpMtatis plus in se habei Oritur m 
autem, si in valoribus supra inyentis ipsius 9 ( 8) loco a, ft, Y etc, eoram 
vakres ex aequationibus a * ft + c, l-flo + A etc, subsMtuante Nam si 
mstituatur operatio ad maximum communem diyisorem inter a et & invenien- 
dum e* eaque innotescant continua residua e, d, e etc., dico fore numerum 



"ob 



etc.) 



serie oo B tinua tt da, donee , per fectorem aliquem denommatoris 
dividi queat. 

: J q^erate numeras, qui per 16 divisus relinquat 1 et per 9 

, erit a _ 16, J - 9, , - 1( - 7 et J_ 6 



DATOBjrmmpB DIVISTJS EEUNQTTAT DATA KESIDUA 27 



9 


16 


1 




9 






7 


9 


1 






7 






2 


7 3 






6 



Hinc ergo erit 



6<16 3-9-16 



3.16 



Satisfaciunt ergo omnes numeri w 144 -47 sen m- 144 + 97 eorumque mini- 
mus est 97. 

Superior formula generalis ipsius g etiam in hunc modum potest 
exprimi 



quae series fractionum eousque continuari debet, donee valor ipsius fiat 
numerus integer, 



17, Considerabo nuac quosdam casus particulars, in quibus a ad & datam 
habeat relationem; et primo quidem sit & a 1 seu a *= & + 1, residua 
vero ex divisione numeri quaesiti per a et I orta sint ut ante p et q. Erit 
ergo cl ideoque per rfegulam postremam 



a<v 



-f* 



Quae expressio, si ag'4- j p>aj?, dat miniinum nwmerum quaesito satisfacientem; 
at si a$-}-p<ajp, turn minimus numerus satisfaciens erit a* a~}-p ay-^'aq. 
Omnes vero numeri satisfacientes in hac formula generali ma* ma+jp ap+aq 
comprehenduntur, seu etiam in ista m&*-f ml ty -f lq + q. Quicquid nunc 
sit m, si haec quantitas dividatur per V "+ 6, residuum erit minimus uumerus 
quaesito satisfaciens. 



18, Quemadmodum hac ratione ope residuorum datorum, quae post 
divisionem numeri incogniti per divisores ?> et & + 1 remaiient, ipse numerus 



28 SOLUTIO PROBLEMATIS ABITHMBTIOI DE INVENIENDO NUMEBQ [59-60 

incognitus sit inveniendus, docuit STiFELius 1 ) in Commentario ad EUDOLH 
artem Cossicam. Kegula eius Ita se liabet; Si fuerit residuum numeri incog- 
niti per I + 1 divisi p et residuum eiusdem per & divisi q, iubet q multipli- 
care per 6 + 1 et jp per I* horumque factorum aggregatum per + & divi- 
dere; quod restat post divisionem, id prommciat ease numerum quaesitum, 
Fluit autem haeo regula ex nostra generali formula, si ponatur m*jp; turn. 
enim habetur Wp + (& + 1)0, quod per 5 s + 1 divisum relinquit minimum 
numerum quaesitum, 

19. Interim tamen minori opera minimus numerus satisfaciens reperietur 
sequenti modo: Kesiduum q, quod ex divisione quaesiti numeri per I oritur, 
multiplicetur per & + 1 factumque addatur ad numerum pronicum ipsius ?>, puta 
ad 6 2 + &, Mnc subtrahatur factum ex residuo j?, quod ex divisione numeri 
quaesiti per b -f 1 rernanet, ducto in &; si id, quod restat, fuerit < 6 s + 6, 
erit id ipse numerus quaesitus, sin vero faerit >& s + 2>, subtrahatur & s + 5 
eritque residuum numerus quaesitus. Ut si quaeratur numerus, qui per 100 
divisus relinquat 75 et per 101 divisus 37; turn addatur 10100 ad factum ex 
75 in 101 seu 7575, ut habeatur 17675, Mnc subtrahatur factum ex 87 in 100 
seu 3700; remanebit 13975; a quo si 10100 auferantur, prodibit 8876, qui est 
minimus numerus quaesitus. 

20. Si quaeratur numerus, qui per & divisus relinquat q et per nl + 1 
divisus p, erit iterum c 1 atque numerus quaesitus 

a # av $ ap + aq (n& + l)g nip 

ob a nb + 1, Itque omnes numeri satisfacientes continebuntur in hac 
expressione mw& 8 + m&-f (nb + l)gi n6jp, ex qua sumto pro w numero quo- 
cunque invenietur minimus numerus satisfaoiens, si ea expressio dividatur per 
n& a -f-&; residuum enim erit minimus numerus satisfaciens. 

21. Oasus porro notard mer^tur, quo residua jp et q, qtiae oriuntur ex 
divisione quaesiti numeri per datos divisores a et &, sunt inter se aequalia 
seu p *. q. HOG enim casu fit v ideoque invenitur numerus quaesitus 



1) K'SajufBL 1 (1487-1567), Die Oo$s CffRtmm Mmotm, KQaigs^erg 1668, M. 16*. 
Vide etitei M STML ^^ 1544, fol, 88^. f , B, 



BO-62] QUI PER DATOS NUMEEOS DIVISUS EELINQUAT DATA EESIDTTA 29 

#=jp. Si igitur sit M minimus communis dividuus numerorum a et &, omnes 
numeri satisfacientes continebuntur in hac formula mM+p. Eadem plane 
formula quoque satisfacit, si quotcunque fuerint divisores a, 1), c, d etc., per 
quos singulos numerus quaesitus divisus relinquat p, si quidem M denotet 
omnium divisorum minimum communem dividuum. Omnes ergo numeri 
huiusmodi quaestionibus satisfacientes ita sunt comparati, ut per M divisi 
relinquant p. 

22. Hinc satis tritum problema, quo quaeritur numerus, qui per 2, 3, 
4, 5, 6 divisus relinquat 1, per 7 vero nihil relinquat, solvi potest. Omnes 
enim numeri, qui per 2, 3, 4, 5, 6 divisi relinquunt 1, hanc habent proprie- 
tatem, ut per 60, qui numerus est minimus communis dividuus numerorum 
2, 3, 4, 5 et 6, divisi relinquant 1. Problema ergo hue redit, ut inveniatur 
numerus, qui per 60 divisus relinquat 1, per 7 vero sit divisibilis; erit ergo 
a 00, b 7, $> 1, q == et v *= 1 . Facta ergo operatione 

60 
56 




erit * 119 + 420w, et si m 1, erit 



801. 



23. Maiorem difficultatem habere videtur hoc problema, quo quaeritur 
numerus, qui per numeros 2, 3, 4, 5, 6 divisus respective relinquat numeros 
1, 2, 3, 4, 5, at per 7 dividi queat, propter residua propo'sita inaequalia, Sed 
haec quaestio congruit cum hac: Invenire numerum, qui per 2, 3, 4, 5, 6 divisus 
relinquat 1 et per 7 nihil, IIM iam condition! saMsfacit forma 60m 1; 
quare numerus quaeritur, qui per 60 divisus 1, at per 7 nihil relinquat; 
fit itaque a-60, 5 7, jp - 1, 2=0 et v 1 atque operatione ut ante 
instituta est 1, quod in 17 ductum dat -\~ll', hooque per & mul- 
tiplication dat 119, numerum quaesitum. 



24, Ex his duobus exemplis apparet, quomodo huiusmodi quaestiones, 
in quibus quotcunque divisores proponuntur, quibus autem duo tantum residua 












conditiombus sumaoms duas quas 
i s satiafacientes. 



operatic institute, uti sequitnr: 

7 



9 



. 
' 



(luatuw 

** * 



fietque 



a 



1 .4.7^34, 






fluit 



duae 



11 



68 
65 



mat Jk 



3 



1 *' 4 

1 -f- L 



per 63 divisi r 



84, 



trinm 



1 2 

5, 6, 17 



64-65] QUI PER DATOgT^^ 31 

Quo minimus numerus satisfaciens reperiatur, ponatur m = 4; erit 

* = 8 + 31- 11 = 349. 

Omnes ergo numeri satisfacientes in hac continentur forma 693m + 349 seu 
hanc habebunt proprietatem, ut per 693 divisi relin quant 349. 

27. Problema ergo tandem hue est reductum, ut definiatur numerus, qui 
pa 698 divisus relinquat 349 et per 17 divisus relinquat 1. Facio ergo 
a b 6, 6 = 17, p 349, # = 1 et ^ = 348 sequentemque iuxta data prae- 
cepta instituo operationem: 



17 



693 



348 



41 



697, 

41 



1, 41 

* 693. 17 -w + 1 + 41-87. 17. 

Quo minimus numerus satisfaciens prodeat, pono w = 5 eritque 

* - 1 + 102 - 17 1735, 

qui est minimus numerus quatuor praescriptis conditionibus satisfaciens. Omnes 
autem, qui satisfaciunt, hac continentur formula 11781m + 1735. Ex hoc 
exemplo orgo abunde intelligitur, quomodo ozones huiusmodi quaestiones sint 
resolvendae. 

28. Pertinet hue solutio problematis chronologici satis cogniti, quam, 
prout ex his regulis inveni, apponam, in quo annus a Ohristo nato quaeritur 
ex datis cyclis solis et lunae una cum indictione Eomana ilHus anni. Cum 
enim cyclus solis sit residuum, quod oritur divisione numeri anni novenario 
aucti per 28, cyclus vero lunae sit residuum, quod oritur divisione numeri 
anni unitate aucti per 19, indictio vero Eomana sit residuum, quod oritur, 
si numerus anni ternario auctus per 15 dividatur, sequens prodiit solutio. 
Sit # cyclus solis, $ cyclus lunae et r indictio Eomana; multiplicetur p. per 
4845, q per 4200 et^ r per 6916, haec tria producta cum numero 3267 in 
unam summam coniiciantur eaque dividatur per 7980; quod remanebit resi- 



32 SOLUTIO PKOBLEMATIS ABITHMETIOI DE INVENIENDO N0MEEO [66-66 

duum, erit numerus anni quaesiti. Si annus period! lulianae requiratur, turn 
operatic eodem modo institaatur, nisi quod numerus 327 nagligi debet;' quut> 
est regula iam passim tradita. 

29. Multam quidem operam requirit solutio pro pluribus divisaribus 
si quidem problema continue ad casum, quo divisorum numerus unitate mi- 
nuitur, ut in praecedente exemplo feoimus, reducitur; at ex ea i ps a operatione 
fadhor multoque brevior via sese prodit, qua statlm proposita quaestio 
quotcunque etiam fuerint divisores, ad casum duorum divisorum reduci potest-' 
quae regula ita se habet: * ' 

Inyeniendus sit numerus, qui per divkores a, b, a, d, e, quos numeroH 
inter se pnmos esse pono, divisus relinquat respective haec residua p, 
r, s, t. Huic quaestioni satisfacit iste numerus 



in qua expression A est numerus, qui per factum led, divisus nihil relin 
quat per vero divisus relinquat unitatem; B est numerus, qui p! r 
dm us relmquat mhil, per j vero unitatem; est numerus qui per 2 

W m<Ua 



Ver unitetem : * numerus qui 
hol rehnquat, per d vero unitatem; atque JS est 
M dmsusnM relinquat, per . vero unitatemi qui ergo 
lam pro duobus divisoribus datem mveniri possunt 



Oommentatio 54 indicia ENBSTROEMIANI 
Oommentarii academiae scientiarum Petropolitanae 8 (1736), 1741, p. 141-146 

1. Plurima quondam a FERMATIO theoremata arithmetica, sed sine demon- 
strationibus in medium stint prolate, in quibus, si vera essent, non solum 
eximiae numerorum proprietates continerentur, verum etiam ipsa numerorum 
scientia, quae plerumque Analyseos limites excedere videtur, vehementer esset 
promota. Quamvis autem iste insignia Geometra de pluribus, quae proposuit, 
theorematis asseruerit se ea vel demonstrare posse vel saltern de eoram veri- 
tate esse certum, tamen nusquam, quantum mini constat, demonstrations 
exposuit. Quin potius FERMATJUS videtur maximam theorematum suorum 
numericorum partem per inductionem esse assecutus, quippe quae via fere 
unica ad huiusmodi proprietates eruendas patere videatur. At vero quam 
parum inductionibus in hoc negotio tribui possjt, pluribus exemplis possem 
declarare; ex quibus autem unicum ab ipso FEEMATIO desumtum attulisse 
sufficiat. Loquor nimirum de iUo theoremate, cuius falsitatem iam aliquot 
ab Mnc annis ostendi, quo FEEMATIUS asserit omnes numeros hac forma 
2 s "-fl comprehensos esse numeros primos. s ) Ad veritatem autem huius 
propositionis evincendam inductio omnino sufficere videtur, Nam praeter- 
quam quod omnes isti numeri minores quam 100000 sint revera primi, demon- 
strari etiam facile potest nuUum numerum primum 600 non excedentem hanc 
^mulam 2 sn + l, quantumvis magnus etiam numerus pro w substituatur, 

1) Vide etiam Oonamentationes 184 et 262 huius voltuninis. F, R. 

2) Vide Oommentationem 26 hums voluminis. I 1 . E, 

LJSONIUIUH Bmunx Opera omnia Is Ooaunentationes arithiaetioae 6 



34 THIOREMATtJM QUOBUNDAM [142-148 

metiri. Cum tamen nihilominus constet hanc propositionem veritati non esse 
consentaneam, facile intelligitur, quantum inductio in huiusmodi speculation!- 
bus valeat. 

2. Hanc ob rationem omnes huiusmodi numerorum proprietates, quae 
sola inductione nituntur, tarn diu pro incertis habendas esse arbitror, donee 
illae vel apodicticis demonstrationibus muniantur vel ommno refellantur. Non 
plus etiam illis theorematis, quae ego ipse illi schediasmati, in quo de memo- 
rato theoremate FERMATIANO numerisque perfeetis tractavi, subieci, fidendum 
esse censerem, si tantum inductionibue, qua via quidem sola tuna temporis ad 
eorum cognitionem perveni, niterentur, Nunc vero, postquam peculiari methodo 
demonstrations horum theorematum firmissimas sum adeptus, de veritate eorum 
non amplius est dubitanduni. Quocirca tarn ad veritatem illorum theorematum 
ostendendam quam.ad methodum ipsam, qua demonstrationes has inveni, ei- 
ponendana, 1 ) quae forte etiam in aHis numerorum mvestigationibus utilitatem 
afferre poterit, in hac dissertatione meas demonstrationea explieare conatitul 

3. Propositio autem, quam Me demonstrandam suseepi, eat sequens; 

Significante p mmerwn primm formula a 3 *" 1 - I s&m/p&r per jp dividi 
poterit, nisi a per p dividi queat,*) 

Ex hac enim propositione demonstrata sponte reliquomm theorematum veritas 
fluit. Oasum quidem formulae propositae, quo est -:$, iam ab aliquo tern- 
pore demonstratum dedi 8 ); attamen turn demonstrationem ad generaleoi tbr- 
mulam extendere non licuit. Quamobrem primo huius casua probationer 
afferre conveniet, quo transitus acl generaliora eo facilior reddatur. Demon- 
strand a igitur erit sequens propositio: 

Significante p nwnerwn prmim 'mparem qmmcmgm fmnula 2'" 1 1 
semper per p dividi potent. 

1) In editione prinoipe manusoripti yerba gm Amom^aMmm hm in&mi, sayxmmditm, omiiaa 
sunt. B 1 . E. 



2) Hoc celebre theorema, quod ab iaventore theorema FBRMAT^WM aofflinari lolat, FIR- 
S epistola d, d. IS.Octobris a. 1640 cum FMWIOLIO siae demonstration oommunlea?ii Tide 
.BU IBTWA^, Varia opera tnctthe^aUc^ Tolosae 1679, p,102} Omwtis M^MMMAT, ill, p206, 

De demonstratione theorematis FBBMATIAOT ante IULKMJM a Limwmo date ?M G, YAOOA, 
Intorno alia prima dwosMow M m teortma di WZRMAT, Biblioth. Mathem. 8 S , 1894, p. 40, t 
D MAHNO, Lxaun mf der Suohe nadk einer allffemeinm mnMilgln^mg, Biblioth. Mattam. 
18 8 , 1912/3, p. 29. B-. B. 3) Vide p, 8-4, f, B. 



143-144] ABjgTOEBOS FBIMOS SPECTANTltJM DEMONSTBATlO 55 

DEMONSTRA.TIO 
Loco 2 ponatur 1 + 1 eritque 



-^ 

1-2 1-2-3 ~ 1 --^ r etc., 



cuius seriei terminorum numerus est '-.# et proinde impar. Praefcerea qui- 
libet terminus, quamvis habeat fractionis speciem, dabit numerum integrunr 
quisque emm numerator, uti satis constat, per suum denominatorem dividi 
potest. Demto igitur seriei termino primo 1 erit 



^ 

i- 1-2 ^ 1.2.3 +- ---- r^sT* 1 ^ + etc., 

quorum numerus est -# - 1 efc propterea par. Colligantur igitur bini quique 
termini in unam summam, quo terminoruni numerus fiat duplo minor; erit 



1-2 1/2- 3- 4 

JJfez^lfez?Kzif)( ) -- 6 ) _ 

, 1-2.3.4.5.6 -l 
cuius seriei ultimus terminus ob p numerum imparem erit 



1 2 3 



Apparet autem singulos terminos per p esse divisibiles; nam cum $ sit 
numerus primus et maior quam ullus denominatorum factor, nusquam divi- 
sione tolli poterit. Quamobrem si fuerit jo numerus primus impar, per ilium 
semper 2*- 1 ! dividi poterit. Q,, E. D. 

ALITEE 

Si 2 p - 1 1 per numerum primum p dividi potest, dividi quoque poterit 
eius duplum 2* 2 et vicissim. At est 

" i) 4. JP(P-l)(^-2) 

i ^ 12 3 T ' ' ' T'I -1-J-, ,, 

6* 



Quae series terminis primo et ultimo tnmcata dat 



Perspicuum autem est istras seriei quemra termiram par jp me dl?iaibilem 
siqindem f fuerit numeras primus, Qnamobrem etiam semper 2^-2 w , 6 r 
et propterea quoque 2^ 1 ^ 1 per j diyldi poteri.^ nisi sit jp - 2, Q. / D 



:; 'r-, g 2 " 1 ^- 1 P$r mimiram P rimttm impawm jp dividi queat, 
intdligitor per p quoque dMdi posse toe formulam S"-w_ i d ao 

-^ **a W e 
per nu e primum dividi 



Demo ns trato auac hoc theoremate eius ope 8 equ 6M quoque demon- 



strabimus 

TH10EEM4 



DEMONSTEiTIO 






et 

* 



_ 
At -~i semper 






US-U6] AD NUMEBOS^PBIMO^SPEOTAKTroM DEMONSTRATE 37 

Qnare 8'-'-l semper per , dividi potest, quote , fuerit nuraerus primus 
excepto 3. Q. E. D. 

6. Bodem modo ulterius progredi liceret ab hoc ipsius a valore ad sequen- 
tem mutate maiorem. Sed quo demonstration generate theorematis magis 
concmnam magisque genuinam efficiam, sequens praemitto 

THBOKBMA 

Denotante p numerum primum si a- a per p dividi potest, turn per idem p 
guoque formula (a + 1)* a 1 dividi poterit. 

DEMONSTKA.TIO 
Resolvatur (1 + a)* consueto more in seriem; erit 

(1 + a)'- 1 + f a + .?-.,+ fez^jr^ fl . + . . . + + ^ 



^ seriei singuli termini per p dividi possunt praeter primum et ultimum, 
si quidem p fuerit numerus primus, Quamobrem. (1 + a) p a p 1 divisionem 
perjp admittet; haec autem formula 'congruit cum hac (1 + a)^ a 1 a p + a. 
At a p a per hypothesin per p dividi potest, ergo et (l + a) p al. Q. B. D. 



. 7. Cum igitur, posito quod a? a per p numerum primum dividi queat, 
per p quoque haec formula (a + 1)' a - 1 divisionem admittat, sequitur 
etiam (a, + 2) a 2, item (a + 8)* a 3 et generaliter (a + &)* a - 6 
per jp- dividi posse, Posito autem a = 2, quia 2^ 2, uti iam demon- 
stravimus, per p dividi potest, perspicuum est formulam (6 + 2)^ 6 2 
divisionem per p admittere debere, quicunque integer numerus loco I substi- 
tuatur. 

Metietur ergo p formulam a* a et consequenter etiam hanc 1 ) a 1 " 1 !, 
nisi fuerit a****p vel multiplo ipsius p. Atque haec est demOnstratio gene- 
ralis theorematis, quam trader e suscepi. 

1) In editions prineipe manuscripti verba a v -a et oowegu&Mer etiawi hmc omissa sunt. F. B. 



THEOREMATUM 

DEMON8 



Oomnentatio 98 
Oorcmeatarii aoademiae .aoientiarum 



demonstratu difflcilis 
oopiam reliquit, 
asserat sibi'de 
est eius 






1) B, 



,. B. 



4 ,. d e 



am 

t. ; p. 340, tn, p. 431. TO, 
. f. Xrtk. tt * 18M 

' 



P.tropolitana, , (), , M7) p _ 



it a et 



Mp 8Uit ' etianisi 



a ' 






00 

99, t T, 1739, p. 137 

AWIAT ' 






attentio adhibeatur, vk perspicue intelligi possit. Hanc ob rem operae 
faum fore arbrtror, * harum p ropos it ionum demonstrations a * 
rectanguhs abstraxero easque analytice et clare proposuero. Eo mam 
autem hoc meum msfatutum afferet utilitatem, quo plura alia theoZI 
multo MBcdiora ez ns elici poS8unt . Hue scilicet pertiuet theore m aTud 
celebre FEEMATH, quo statait M l lum Mmeram tei P &lem egse 

dratum praeter umtatem, cuius demonstrationem ex illis formare Jhi contiMt \ 
Eo difflcilior autem is ta de.onstratio videtur, cu m propose Txt^nf si 
obnoxxa atque tantum ad nunjeros integros pertineat; Lad. *L feac 
mfimb, modB effia potest, ut ^-i) flat biquadratum. Ad hoc igitur aliaque 
nonnulla theoremata demonstranda necesse erit lemmata quaedam praemittere 
qmbus sequentes demonstrationes innituntur; ante autem monuisse oportet 
perpetuo omnes litteras mihi numeros iutegros designare. 



Factwn ex dudbus pluribusve mmeris inter se prmis nee quadratum nee 
nee ulla Ma pofestas me potest, nisi singuli factores sint S mdrata wl cnbi 
vel eimmodi aliae potesiaies. 

^Demonstratio hums lemmatis facilis est atque ab EuoMDE 2 ) iam est 
tradita, ita ut superfluum. foret earn hie exponere. 



Si a 9 + fuerit guadratum atgue a et b sint numeri inter se primi, erit 
a^pp^qq e t b^^pq emtentibus p et q mrneris inter se prirnis altero pan, 
altero impari, - 



DEMONSTRATIO 

Quia est a s -|-5 8 quadratum, ponatur eius radix 
in minimis terminis pono expressam, ita ut p et q sint numeri inter se prim! 



^, ubi fractionem & 



1) Vide p, 61, F. E. 

2) luoLrors Elmenta (ed, I. L, 
editioniim). F t B, 



, vol. II, lib. Til prop, 30 (- 32 aliarum 



!H D8MOMRTR ATf(>NR 



Facta autem aequatione erit a' + ft 1 a*-f 3rl6f + *** 



fit 



Numeri aatem ,,- et 2^ ? inter so v*1 pri.ui Hunt v,,l eammnwmi 



quia a et , I , nTnMri pointer inter SB pnmi, Oam, autem , 



r r et s nmaeri inter 



rr 



duorum quadratorum 

alters , ero n f " * ^ ^ * 

torum. Hoc est esse P fe0t w radloib ' Womm quad* 



Q, B . D . 



OOROLLAEIUM 3 



Quia porro numerorum , et a alter art par, alter impar, erit 5 numerus 
panter par seu per 4 d visibilis. Deinde si nee , nee a Lit per 3 divist 
necesse est, ut vel _ ' 



necesse est, ut vel ,_ s ve l + , divisionem 3 

sequrtur alterum nmerorum et I, quorum quadratorum summa faoit qua- 
dratum, esse per 3 divisibilem. Sl 

OOROLLAEIUM 4 



^ Cum sit a^pp-qq e t ft-2^, si aa + 5& constituat quadratum, facile 
mtel hgitur numeros jp et q minores esse quam a et ft. Quoniam enim est 

I maior quam * vel <?. Potiore ergo ratione^numeri I Tt7 mliTret erunt 
quam numeri p ei q. Fieret quidem - 0, si foret M , sed Me casus 
locum non habet, quia p et q ponuntur numeri inter se primi eorumque 
alter par, alter impar. 

SCHOLION 

In demonstratione hums lemmatis ex analogia a:b^pp~ qq-Zpq ideo 
sequitur esse a^pp-qq et ft - 2ftj, quia a et 5 sunt numeri inter se 
primi panterque numeri pp~~qq et 2pq. Si enim fuerit a:l~=c:d atque 
tarn numeri a et 5 quam numeri c et d sint primi inter se, necesse est, ut 
sit a e efc ft rf, prout facile ex natura proportionum constat, 

L1MMA 3 

Si fuerit aa ftft quadratum existentibus a et b numeris inter se primis, 
ent a-pp + qq et vel b^pp^qq vel b**2pq, ubi numeri p et q sunt inter 
se primi eorwmque alter par, alter impar. 

DEMONSTRATE 

Quia a a II est quadratum, ponatur a 9 W - c 2 eritque a 2 - & s + c 2 
atque 6 et c numeri inter se primi. Cum igitur per Corollarium 1 lemmatis 
praecedentis numerorum b et c alter par sit, alter impar, necesse est, ut a 
sit numerus impao*; b vero vel par erit vel impar. 

EOLBM Opexa omjiia la Commentftfeiones arifchmetioae 6 



42 THEOREMATUM QUOBUNDAM ARITHMKTUKWUM hKMONSTHATJONKK | t2fl-i80 

Sit primo & impar at e par; erit pw Unumn priUM'tuletiH & ^, ,. f , ( ^ 
o = 2jpg[ existentibus $ et r/ immoria minr n primin nltcro pari, altw> im- 
pari. Hinc autem fit a**pp-[>qq. A.t HI /> fuorifc par **t r impur, tu-it 
6 2j?e et c^pp qq, unde dwmo fit a-*-./)/; }.^. Qutirimt ni ./^ 
fuerit quadratum, erit 

B -J^4-^ atque vei b py gq vel b 
Q. E. D. 



Si ergo differentia duorum quadmtoruin wt nun*ni8 i|ualntf.ttH t ntiua 
quadratum debet ease numeraa impsir, ni quidwu ilk tjitHdnitn mtw HC^ 
fuerint numeri primi, 



Simili porro modo intelligitur immoroB p cfc v minor** IBH ({uam nu- 
meros a et 6, emu sit a-$p + qq a tqa ft vt*l -/^- wl -.r, 



^ Si faent aa~W-cc, unns nameroram a, 5, c semper per 5 divisibilis 
existit, Nam cum sit a^pp^^ l~pp- gg e t c-2pg, vel alter nume- 
rorum jp et gr per 5 divisibilis eat vel neuter; illo antem casu fit c ciivislbile 
per 5. Hoc vero casu erunt pp et qg numeri eiuamodi formae 6n + 1, 
ergo vel jpj - ^ ye l ^^ + ff ^ per 5 divisibile erit, 



THEOB1MA 1 



evanescat, 

DEMONSTBATIO 



demonstraildo ite versabor, nt OBtendam, ai nno caau 
tarn con* um ' antaviB etiam mapxi faerint numeri . et b, 

turn contomo nunores numeros loco a et J artgnrt posse atque tandem ad 



43 



minitnos numeros integros pervenm oportere. Cum atrtem in mimmis M me- 
ns tales non den to, quorum biquadratorum summa quadratnm constitueret 
ooncludendum erit neo inter maximos numeros tales extare 

Ponamus ergo + * 6SS e quadratum atque a et i inter- se esse nu- 
meros pnmos; ran enim primi forent, per divisionem ad primes reduoi 
possent. Srt a numerus impar, 6 vero par, quia necessario alter par, alter 
impar esse debet, Brit ergo 



et 



numerique ? et 3 inter S e erunt primi eorumque alter par, alter impar 
Cum autem sit aa-jpjp-^, necesse est, at* sit nnmerue impar, quia 
alias f p - ^ quadratum esse non posset. Erit ergo -p numerus impar et g 
numeruR par. Quia porro 2pq quadratum esse debet, necesse est, ut tain 
quam Sty sit quadratum, quia j> et 2 ff sunt numeri inter se primi. Ut vero 
quadratum, necesse est, ut sit 



, 

p = mm + nn et 



existentibus iterum m et n numeris inter se prirnis eorumque altero pan 
altero impan. Sed quoniam 2q quadratum est, erit 4mn seu-m* quadra- 
tum; unde tarn m quam n quiidrata erunt. Posito ergo 

m ajic et M = ?/ 
erit 

|) M W ^. W ;| ;l _^ ^4^ 

quod quadratum pariter ease deberet. Hinc ergo sequitur, si a 4 + Z> 4 foret 
quadratum, turn quoque ^ + / fore quadratum;" manifestum autem est nu- 
meros x et y longe minores fore quam a et 5. Pari igitur via ex biqua- 
dratis a^^i/ dermo minora orientur, quorum summa esset quadratum, atque 
pergendo acl minima tandem biquadrata in integris pervenietur. Cum ergo 
non dentur minima biquadrata, quorum summa efficeret quadratum, palam 
est ^ nee in maximis numeris talia dari. Si autem in uno biquadratorum 
pari alterum sit 0, in omnibus reliquis paribus alterum evanescet, ita ut 
hinc nulli novi casus oriantur. Q. E. D. 

OOROLLABIUM 1 

Cum igitur summa duorum biquadratorum non posset esse quadratum, 
multo minus duo biquadrata coniuncta biquadratum efficere poterunt. 



44 THBOREtfATUM QUORUNDAH ARITHMKTICORUM i>RMON8f IHTICW 

' ................................. " - - ' ***<** v\r,j 



Quamquam donunwtmHo luu,c <nium ,ui 
n stem pe, oa m couWtar, in fraHi* , llli(ltw ,,,, 1 
ben posse, quonuu suunn.i wwt .(uwlmtmn. Xm -i "' . *'>, , 
tarn, turn qaoqtie in intagrin <>( ' .,.*,* ,, lw ,lraJii.T.' ' ,f i 
per ipsam demoustrationo.n. J'wlttm. ,,,,| ,, m!1|llil 



et , ut um H w ,m, m,m,r,, B 

" *- fiim - 



OOROLUHIIIM 4 
Positis ergo p- aii e t 2 



.. , , , 

omnno nequit nt PP '!</ s* .!/'. 



7 .,,, 

ad pnorem recidit, * ' " r 



quod fieri nequit.' " Pr ' m S f)i " KuloK 'I" 4 ' 1 " 1 '* <lrteret, 

6 



SimiKter tales etiam numeri inter ia nri mi * , 
producerent 8fli(a-.jM quadratum q. ? , * Mn 
Saturn ert non dariil eros "t '", " " C r ilarto 8 ' ubi 
Haec Omnia auteai quoqueylnt L!' "^ ?> 2? ' 
adeo fractis per Corollarium 2 P nUme " 8 inter " non 






DEMONSTBATIO 

Theorema hoc pan modo demonstrabo quo praecedens. Sint igitur bi- 
quadrata lam ad minimos terminos reducta atque ponamus ^- esse qua- 
dratum; erit a numerus impar, & vero vel par erit vel impar 



OASUS 1 
Sit primo l> tmmerus par; erit 

a'jpjp + et & 2 = 2 



existentibus $ et g inter se primis eorumque altero p pan, altero q impari 
Ob & - 2-pff debebunt ergo 2jp et ^ esse quadrata. Quia porro pp + aq ipsi 
a s aequatur, erit 

nn et 



existentibus w ot % numeris inter se primis. Cum autem 2j? sit quadratum, 
erit 4ww, hoc ost mn quadratum; adeoque m et n smglllatim quadrata! 
Factis ergo 

m jr;* et n = w a 
fiet J 



ubi cum numerorum w et n alter sit par, alter impar, erit quoque numero- 
rum at et y alter par, alter impar, At ob q quadratum quadratum erit 
aJ* y*, ubi a) erit numerus impar, y vero par. Quocirca si fuerit a 4 ft 4 
quadratum, quadratum quoque erit ^ / 4 existentibus et y longe minori- 
bus quam a et &, Cum ergo in minimis numeris non clentur duo biquadrata 
differentiam quadratum habentia, nee in maximis dabuntur, saltern casu, quo 
minus biquadratum est numerus par, Q. B, Unum, 

OASUS 2 
Sit nunc I numerus impar eritque 



existentibus p et ^ numeris inter se primis eorumque altero pari, altero im- 
pari. Quia vero pp g[q est quadratum, erit p numerus impar et propterea 
# par, Ductis autem a 8 et in se invicem prodibit a'&'f-jp 4 - #*, quae 



46 THEOBEMMJM QUORM0AM AUlTiniKTU'OttUM 1KMUNSTWAT! >NKs | I3a _ l8 

expressio per casum primum quadratum twc idwitim* ipw W ai'nuuri mm 
potest. Differentia ergo duorum bi^uadratonun nullo nmdu CHM* jmi^t im a , 
dratum, nisi vel ambo sint aequalia voi minu *.(>. Q. & Altwtm 1) 

OOROLLIRIUM 1 

Gum sit a'~.jpjp + w et ^-2^ ifwwiuo r . Wlw ww H , , 

atque porro w-^ et -.y, or it o 8 f,i 4 | // H /, ..j/vi l - i/ J *" Kv 

quo habebitur 'a = as* + if et 6 2/.i/ | ; i / / ' '' ' 



Si ergo m numens exiguia nb y ttonitur talc^, , bi 
rum differentia constitueret (juudmtum, turn i*x ntitilm multu 
numeri eadem proprietate gaudcmten ot /; invoutri powcntt 



P P " 
0, novos casus n 

0, rode vis demonstrationis eo magii* piirdpitttr 



alterum 

alterum 0, novos casus non praebm; facto ,i m vd * . v w l v*- fit 

' " 



_ ^, g OTJRP + W quadrata. Poulto ergo * , 
potent esse quadratum ista fonua 4^4-i/ 



* 



uon 

,4 I .4 

T y 






13 il 135] EOR EMATUM QUOEUNDAM^BiraME^nO^EUM DEMONSTRATIONS 47 



I. a' 1 4- V 
II. a 4 46 4 

III. 4^ 6* 

IV. a6(aa4- 
V. 2a&aa 



VI. a*-6 4 

VII. 4a 4 4 6* 

VIII. 0,1(0,0, U) 
IX. 

X. 2 a 4 + 26* 



Decimam expressionem icleo adieci, quia eras veritas mox demonstrabitur. 



THEOBEMA 3 

ttmnma duorum Uguadmtomm Us sumta ut 2a 4 + 26* quadratum esse nequtt, 
nisi sit a I. 

DEMONSTRATE) 

Pono priino a at I numeros esse inter Be primes; nam nisi tales essent, 
formula per divisionem eo reduci posset. Facile autem perspicitur utrumque 
numerum a et 6 osse debere imparemJ si enim alter par esset, turn fieret 
2 a 1 4- 26* numerus impariter par, qui quaclratum esse nequit. Porro liaec 
forma congruit cum ista (aa + 66)' + (aa btif, quam ideo demonstrari 
oportet quadratum esse ^j on posse, nisi sit a 6. At ob a et & numeros 
impares orunt a* + 6* et a* // immeri pares, ille quidem impariter, hie 
vero pariter par, Perventum ergo est ad hanc formam ( aa t bb Y+ f a "~J' ft \ 2 , 

ua~\~b/> . aa ft& . , \ 2 / ' \ a / 7 

m qua 4 ] et a smt numeri inter se primi, ille impar, iste vero 
par; quamobrem si forma proposita esset quadratum, foret 

, aa 

gf et - 

unde reperitur a?^p%) -j-2jp^ gg' et b* *^pp 
num differentia est 

** aa 66; 



ideoque erit <* + &-*' et a &*', unde 



mp t nq , , 

" 4- - et 6 

n m 



*8_ KMOIttMATOM Ql'OBUNllAM AUITIIMKTU'oWM I.K 
Facta autem liac substitutione erii 



Oporteret ergo ease quadwtum 
nequit. Q, E. D. 



theorema fieri uoyuit, 



numeri . et 



* 

quadratum, si 



quod fieri nequit. 



mm 



' 1 " UtlwUl - 



E, 



v 

I A v"***J,0Q 



1""' 



- ...... i 



otbu. ai 



" Umma Unorura 

rf ia fiiorit ( 

quadratum, quadratum t Hut 



COBOLLABIOM 5 
, M 
+ * 4 quantum ease nequit. 



it 



d^entia eiuflm odi q uadratorumj 



COEOLLABIUM 6 



a e nequit, q uia est 

-+6+4aM, quorum quadratorum summa quadratum esse nequit 
quia eorundmr, dxfterentia ( + V _ 4aaM est 6qmt ' 



THBOEBMA 4 



differentiae dnorum Uqmdntorum ut 3a-3J* jprnraM MM 

^ a b . 



DEMONSTBA.TIO 



Ponamus a ot 6 uumeros inter se primes et 2a*~26* esse quadratum- 
erunt a ot fi rtumeri impares. Foret ergo 2(a~6)(+^ + W) qnadratum 
ideoque etiam ems pars decima sexta sen ( a 7" 6 )(^)( a - a -+-"); qui factores 
cum sint inter ae primi, smguli ease deberent" quadrata. Sit ergo 



a & 
a"' 
erit 



Cum igitur j* 4. g 4 quadratum esse nequeat, etiam ?5^ ideoque 2<t*~-2& 4 
quadratum esse nequit. Q. B, B. 



THHOEBMA 5 

Neque ma*>~~-m*b i neque 2wa 4 2w 8 ^ jpoto esse qwdrattm. 



DEMON8TJRATIO 

Ponamus a et "b esse numeros inter se primes atque m numerum esse 
nee quadratum nee per quadratum divisibilem; si enim m esset divisibilis per 

ETOBM Opera onraia Is Commentatiflne^ arithmeticae 7 



50 ..... tJHOWTNDAU AIUTIIMKTH'um M l,RM..SfSTIUTWIW [,_, 

quadratum, turn factor quadrat.* ,,,,- ,livism,,,m lulli ,,, ,, tm , l(m , 

* ease numorum tarn ml a ..uam 4 primum; ,nmt ,,1, ' " P01TO 



*o*- ** 
toti factores inter se primi id, 



iniiH modo ob *2Hia 4 ~ . *> W in ,/; , , ,. 

^ 



- "- 



istae formae +tt-.*tv of r ^wlu -W 

Ob factores auto, harul t nu rutt ' Z """ ' '"' ^ '"' S 
rent esse quadrata adoo^ et s v " IT"" ""' " V "' 2r " 

, U ad,ta esse o/pl , "J 



Huiusmodi igitur formae 



mn 



OOBOLLAJR1DM 2 

Si 



OOBOLLABIUM 8 



COROLLAKIUM 4 
Si ponatnr c-.|>jp + n M e t J-2^, sequentes obtinebuntur formulae 

(/ 



THEOEBMA 6 
2<*< 



DEMONSTRATE 

Dico pmno, si fuerit mp'-mg' quadratum, turn nee m^ + m> nee 
+2m^ quadratum ullo modo esse posse; fieret enim vel mW-^) 
yel 2m(p*-2*) qnadratum contra iam demonstrata. Faciamus autem 
mjf mf quadratum ponendo radicem eius ==^). erit m , WM=== 2 ~^ 

midA TA-nArifiTr /y JP( *&&) ., . ., . ' &6 ^ 

unac lepentui g-. - rt : p -^ ; . Sit igitur ^ = ^ + w ,^ ; erit ^^ a _ mV 
adeoque / + 2 8 - 2a' l + 2mV. Quadratum ergo esse non potent primo 
wy, +w^-2ma*+2w 8 &*, deinde 2m/+ 2m^=4ma 4 + 4m 8 ^ Ex Ms colli 
gitur neque ia* + ^ 4 neque 2ma< + 2m'&* quadratum esse posse. Q. E. D. 



COROLLABIUM 

In his igitur duobus theorematis evictum est nullos numeros in istis 
formis *a*w6* et 2wa 4 2iw'6* posse esse quadrates. In his autem for- 
mulis praecedentea omnes continentur. 



THEOREM! 7 

FEBMATIANUM 2 ) 
Nullus numerus trigonalis in integris potest esse Mquadratum praeter unitatem. 

1) Editio prinoeps nee non OommentaUones arifhrneticae (ed, P. H. et N. Puss): 

n ($ zfc 6wjpjp{<7-f-w <? 4 ) Gi 2w(j) 6 ^ ^npp^q-^n 3 ^}. Oorrexit E. B 

2) Hoe theorema FBRMATIUS sine demonstration posuerat in observationibus suis marginali- 
bus ad DiopHANnw BAOIIETI primum editis a filio S. FBRMATIO in libro, joi inscribitur DIOFHANTI 
Akxcmdrini Arithmeticorum Wri sex, et Ac mmeris muitangulis liber mus. Own Cowmentariis 
0. G-. BAQHETI V. Q. et observattonibus D, P. m FMRMAT Semtons Tolosani. Accessit Doctrmae 
Analyttcae irwentum novwn, colkctum ex write eiusdem D. DK FJSRMAT Epistolis. Tolosae 1670. 
Theorema hio traetandum invenitur in observations ad problema XX commentarii in ultimam 
quaestionem Arithmetworum DIOPHAHTI, p. 338; Oeuvres de FERMAT, t. I, p. 340, P. B. 



52 TBEQREMATUM QUORUNDAM ABITHMKTK'OierM DRMONHTftATIOXES [189-440 

D1MONSTMT10 

Omnis numerua trigimaliB hac forma "^ *' tumthwtur. Dwnoiwtrandum 
ergo hane foramlam T^' 1 ' nuuquam tBH< POHW bitjuudrutum, Hlqtmkmi loco 
x numeri integri substituautur oxcopto nwu /- 1. Nofawlum uut<*m ct vel 
esse numerum parem vel impamu; priori igitur amn ' i,r f !j, poKtoriori 
vero aj*^- 1 . esse deboro biquadratiuu ; in tjuonttu fnrtonuu utnujtw bini 4c- 
tores sunt inter so ptimi idiot{uo titerqun tst tlthon*< hiqujulruttnu. Sit 
igitur priori casu | -w* BOU je-^Jw 4 <Iol^hit<iuo a- | t ...Ji/H 1 f- 1 OBBB bi 
quadratum. Posteriori vero cau ait * ^* " J w< ui H it' ^" " w* - 1, quod iti- 
dem oportet sit biquadratum. Hatic oh nm hitjiunlnituni IHH doberet 

esse 4w d , lioc est quadratum, Supra autoiu dfmwuHtratum t*nt a 4 |-26 4 
adeoque etiam 2t 4 + 2 nunquam quadratum tHt* {IOHHU pnitt*r (nwutu -^ 1, 
Posito autem n 1 fit m vel vcl . t ubjuo / vil () vt*l * I. Nuilus 
igitur numerus integer date, qui loco JP ciulmtituttw rtidtknvt "'j l ' bitiiuwlrar 
turn, praeter casus 0-0 et o?-l, Quamohrwn in uit*'gri8 NwliuH extot 
numerus trigonalis, qui esset biquadratic pntc^T ititiif,ii H r-jphntm, Q. liD, 



Si ponatur **+*" y* wit 4flj* + 4.f 1 -.%* f- i * (*Jj- } if, B3x quo 
sequitur numeris integrie loco y aubfltituendis hanc formiutt HJ/ j 1 mtmmaw 

esse posse quadratum praeter easus y. -o <t |/ - - I, 

COHGLLAKIUM 2 

Si ponatur 8/ + 1 ^ fl e t IG V < * 3^ _ 2 Uuorirca *> ^ *> nimnufiiti 
, ' * *"* ** >ifUMt*i*utii AA< *s nuiiquam 

esse potest hquadratum, quicunque numonui intogor locn . HulmUluatur, 
praeter easus i 1 et # 3. 



8 



bisuadratonm, gmnm dm ma m mUa inter 
no* forma a* + 26 1 gwadraim me neqmt, nw sU b 1 0. 



53 

DEMONSTRATIO 

Ponamus a* + 2&* esse quadratum eiusque radicem a s + ^&, ubi tarn a 
et 6 quam m et n numeri emnt inter se primi. Facta autem aequatione 
erit 2n*tf = 2m wa 8 -f w a & a atque 



quae iractio vel simpliciasimam iam habet formam vel divisione per 2 ad 
simplicissimam erit reducibilis. 

Ponamus ^primo 2wn et 2^ m 3 numeros esse inter se primes, quod 
evenit, si m sit numerns impa,r, eritque 



et 



Hie duo evolvendi sunt casus, quorum alter est, si n est numerus impar, 
alter, si n est par; illo casu, quo n est impar, manifestum est ob m etiam 
imparem 2mn fieri non posse quadratum, hoc vero casu, quo n est numerus 
par, fieri nequit a* 2 8 w 9 seu a 2 + m 2 2w 2 ob a et w numeros impares 
et 2w R numerum pariter parem. 

Habeant igitur 2mw et 2w B ~-m 2 communem divisorem 2, quod accidit, 
si w sit numerus par, puta m 2ft, eritque n numerus impar; habebitur ergo 

6 a 4fcn 27m ,. OT , _.. . 

a*" 03 an 1 W"" n~2" ubl ^^ W e * n "*' f ' lumen erunt inter se primi. 
Hinc igitur ob 5 8 et a 3 pariter inter se primos erit 



et 



At hie 2ftw fieri nequit quadratum, nisi sit ft numerus par. Sit ergo ft 
numerus par atque tarn n quam 2ft debebunt esse quaclrata; fiat igitur n =* cc 
et 2ft=4d<?, ubi erit c numerus impar, hocque facto habebitur 



Quo igitur investigemus, an c^ Sd* possit esse quadratum, ponamus eius 
radicem esse c s &?d* eritque ^fd^^p^p^^ seu 

dd pa 

, ..... . , pVi 1 -""- 1 ; -. a .,.-~ZU,Jst-,^ 

dc FJP + 2 ^^' 
ubi iterum tarn c et dl "quam p et # sunt numeri inter se primi. Hie denuo 



54 THEOREMATUM QUOEUNDAM AlilTlIMiTfiTHIl'M HKMONSTUATIONKH j Mi_ 143 

duo casus aunt notandi, HIVO p nil. numorus tmpar *iu pur. Sit <rgo primo 
p numerus impar; habebitur oh pq tt jj/j } th/t/ tutttun'OM intr * priiuos 

dd ^f ot (<* -*' //) - 1 </#/. 

Necesse ergo est, ut tarn jp quam <y nit qmuiratum; quiimohn^u pono p. a? 
et <? = ?/ a prodibitque 

quare si a*4-2Zi 4 easet quadrakra, tuin tjuiujiu* fcirot .<* { U// 1 quatlrutum 
numerique x et ?/ vohomcnkr trunt miwnH ijimni n t*t, /*; PX timjui* tionuo 
minores inveniri possont, quod in int^ris ftori mnjuit. Pro scnnulo caHu, 
quo p est numorus par, ptmanuts p *Jr pritqut* '!'' ,. 8 " r t - - r f|r at 
ob j imparem crunt qr ot iirr-f gr/ nuiaeri intir w* primi, Krit ro" 9? 



quare nranerorum g et r utorquo (bhut TO* tumilrntuM; itcwiltH iiuttui* */* 
et r- fiet J / 



2/4- a? 4 ; 

unde patet, si 4 + 2& 4 asset qoadxatum, turn qnoqne in longi mi- 

noribus fore similem formam ^ + 2/ qnadxatum* o* 4- 26* qoadra- 

turn esae uequit, nisi sit & 0. Q. 1, 1), 



Quoniam inyemmns I^J^ poait^ a*w tiuudmto. 

-m) qmdratum e non 
substituantur, 



Facias ergo m-.> et n^f quadrnkm mm mfc haw forma 4v*-~2**. 
! aoao poaito 2 W et n-y- qnailmlum mm itrit ha.; fornia 

V qUQ t0 m ^^ Ot 2ftr ^ 4 
nequit. 



sen 

S6U a ~ nullo mode quadratum em potent. 



143-144] THEOBEMATUM QUORUNDAM ARITHMETICORUM DHMONSTRATIONBS 



55 



8i haec forma a* + W quadratum esse non potest, turn etiam haec forma 
2a 3 /3# t nullo pacto quadratum effici potent. 



DEMONSTRATIO 

Ponamus formam propositam &* + &&* esse quadratum eiusque radicem 
-' + &'; erit ftn'P - 2mna' + m'6" atque - -J^ . Quia ergo ^ + W 
quadratum esse nequit, turn etiam ^^, sen 2m^(/c^-m 3 ) quadratum ease 
non potent. Fiatw-aa? 8 et -/ty; prodibit 2/?(/ c /3y - a 2 ^) sen 
2fta/3V 2/9a?*. quae formula propterea quadratum esse non potest, quicun- 
que numeri sive afflrmativi sive negativi loco a et /? substituautur. Q. E. D. 

COROLLARIUM 1 

Fiat sive a sive ft negativum, ut prodeat haec forma Mfttf %~kap*y\ 
atque ponatur 2a 8 /?-jp'; erit /?^, made ilia forma transit in hanc 
jpV j^jj/ 4 . Quadratum ergo esse nequit haec formula a? 4 4/n/ 4 posito ii/ 1 

4?^' ^ x ^ ac er g formula ulterius sequitur hanc expressionem 
a/* H- $ka(3*if quadratum fieri non posse. 

COBOLLARIUM 2 

Ponatur in formula inventa 2A/?V 2a 8 /9a^ Map*=*$jp, ut sit a ; 



transibit ilia in hanc jpV a?*, ex qua sequitur a* W quadratum esse 
non posse; unde ut ante 2*^aJ* -f8A;a/?V quadratum esse non .poterit. 

OOEOLLABIUM 3 
Si ergo a* + ^^ 4 quadratum esse nequit, turn nee haec formula 

nee haec 

quadratum esse poterit,' quae posterior ex corollariis praecedentibus sequitur 
scribendo 2 a loco a, 



56 THEOBEMATUM QUORUNDAM AIlITHMKTItJOttUM !>KM< >N8TKAT!< WHS [144- 1 45 

"" .......... ................... " ..... ' ' ' ' ' 



Cum igitur a 4 ~j-&' 1 non posait ease quadratum, Htuiwnittw binao formulae 
tt'/^ + tfjflV et 2^y- 2a 8 jfita?* quadrata omnino non potenmt 

coaoLLABiiiM 5 

Atque quia a* &* quadratum osao nan potant % oriontur him duan novae 
formulae a'pat aftY & 2'0a!* -f 2/?y, quao nuil modo tiuatimlii rodtli 

possunt. 

GOEOLLABIUM 6 

Quoniam denique a*-|-2&* quadratum osso nequit, Intee quoquo formulae 
et 4/?V ~ 2ft 8 /?o!* noxi poterunt efflcl quaclrata, 



SOHOLION 

Ex iia igitur, quae hactonuH demonatravi, prodioruufc fii*x Htuiuouttw for 
mulae generaliores, quae nullo modo In quadrata i-nuwnuitttri jMHunt: 



II, of/Sat a&* 



III, 8 



IT, 
V. 
VI. 



Atque in his sex formulis omnes contiiMmtur, qnatt in 
formuhs tractavimus. Ex Ms autem formulw icMHcnt, ut, ium ant4 foci, for- 
mulae trmomiales elici, quas aeque cerium eBHcit quadratm noutiquam redcli 
posse; sod ris exHbendis supersedeo ad alia nommlla th(onmttta progmwurua, 
quae circa cubos versantur atque ex iafcis formuliH oxpodiri n 



THEOE1MA 10 

Nullm culm, ne guidem mmem fracfw m m e amtm 

efficere potest yraeter unicwn casum, gno mi a 

DEMON8TBATIO 

Propositio ergojmc redit, ut 1 4. 1 nunquam ess possit quadratum 
praeter casum, quo | ^ 2. Quodroa demonstrandum erit tac formulam 
a t> + 6 nunquam fieri posse quadratum, nisi sit a -26. 



^^ 



Haec autem expressio resolvitur in istos tres factores l(a+V)(aa-ab 
qui pnmo quadratum constituere possunt, si esse posset &(a + J) = aa~ab + M 
uncle prodit a - 26, qni erit casus, quern excepimus. Pono autem, ut ulterius 
pergam, + &~c sou a-<j-&, q ua facta substitutione habebitur 



quam demonstrandum est quadratum. esse non posse, nisi sit c = 3&; sunt 
autem 1> et <>. numeri inter se primi. Hie autem duo occurrunt casus con- 
siderandi, prout c vel multiplum est ternarii vel secus; fflo enim casu fac- 
tores c et c 3&C + 3&& communem divisorem habebunt 3, hoc vero omnes 
tres inter so erunt primi, 

Sit prime c non divisibile per 3; necesse erit, ut singuli illi tres fee- 
tores sint quadrata, scilicet h et c et cc 3&C + 366 seorsim Fiat ergo 

1 erit 



3 nn 

....... - 

3 n n 



cuius fractionis termini erunt primi inter se, nisi m sit multiplum ternarii. 
Sit ergo m per 3 non divisibile; erit vel c<**>&nn mm vel c=>mm 3nn 
et vel 6 Snn 2mn vel I 2ww 3ww. At cum 3ww mm quadratum 
esse nequeat, ponatur c-ww 3ww, quod quadratum fiat radicis m - p -n, 
hmcque oritur ~^ 8 ^ + p .? atque 2 



nn 



Quadratum ergo esset haec formula ^(8^ Sy^+pjp), quae omnino similis est 
propositae &c(35& 36c + cc) et ex multo minoribus numeris constat. At sit m 
multiplum ternarii, puta m 3A; erit -J- JJ" -J-?-J, uncle erit vel c = nn 3kk 

C Tfr ITS' """ \r K l\t 

vel c 3M nw; quia autem 3kk nn quadratum esse nequit, ponatur 
c-w-8AA eiusque radix n- 2-k, made fiet *L-,L4w sen 

fif * 8JP2 

atque 

5 , i _ 2 ..^ = l! 

nn n 



Quadratum ergo esse deberet ($p + $qq)(jp q)(p -3^). Ponatur p 



et jp Sg' w; erit g' <~ et p-*~~~2 illaque formula abit in hanc 



tu(Stt-~~ &tu + uu), quae iterum similis est priori 5c(36& 35c + cc). 

LEONHABOI Euiawu Opera onmia Is Oommentationes arithnaeticae 8 



THEOEEMATUM QUOKUNMAM AIUTIiMKTin W\f IKMXSTKATInXKs 

Bestat ergo poterior cuann, quit wf < inuittphtm *rnarii, jnit 
ossw debct * 



Priori, manifestum ent utroquo ciutu mmiiv mm J.CWM,*. tit funuula 
t qnadiatom. Qnamobrcmi praaUv eubum K tiltn* m in fmrtw 
, qui cum unitato iaciat quaclratum, Q. K. [). 



OOBOLLAJUUM ! 



Simili modo demonrtrari potesi, nuiltim cubum uiiltoto 
quadratum; hocque ne qaidem in 



Hinc seqdte nee ^ + y - Wt /^/ IW8 e. po^ , |Mlll lte nt*,u,. nullum 
tngonalem ease cubum pra^tw umtati> m , 



DE NUMEBIS AMICABILIBUS 1 ) 

Commentatio 100 indicis BNESTROEMIANI 
Nova acta eruditorum 1747, p. 267269 

Problemata, quae circa indolem ac proprietates nnmerorum versantur, hoc 
tempore, quo Analysis mathematica ad multo profundiores speculations aditum 
aperuit, fere penitus a Geometris derelicta videntur ac plerique arbitrantur 
contemplationem numerorum. nihil prorsus ad augmentum Analyseos conferre. 
Terum tamen certe investigatio proprietatum numerorum saepenumero multo 
maiorem sagacitatem requirit quam subtilissimae quaestiones geometricae 
atque ob hanc ipsam causarn quaestiones arithmeticae immerito istis post- 
poni videntur. Ac summa quidem ingenia, ojuibus maxima Analyseos incre- 
menta accepta sunt referenda, nnmerorum affectiones non indignas censuerunt, 
in quibus evolvondis plitrimum operae et studii collocarent. OARTISSIUM scilicet 
constat, etiamsi amplissimis cum universae Philosophiae turn Matheseos medi- 
tationibus esset occupatus, tamen non parum in eruendis numeris amicabilibus 
desudassej quod negotium deinceps SOHOTENIUS maiori studio est persecutus. 
Yocantur autem numeri amicabiles duo eiusmodi numeri, quorum alter, si 
eiua partes aliquotae omnes in unam summam colligantur, alterum pro ducat; 
cuiusmodi numeri sunt 220 et 284; prioris enim 220 partes aliquotae seu 
divisores ipso minores 



1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55,+ 
summam praebent 284 atque huius numeri 284 partes aliquotae 

1 + 2+4 + 71 + 142 

vicissim producunt 220. Nullum autem est dubium, quin praeter hos duos 
numeros plures alii atque adeo inflniti dentur, qui eadem proprietate sint 

1) Vide etiam Oonomentatioiies 162 et 798 in hoc vol. 2 et in vol. 5 contentas. F. E. 






ut 

M, 

ttiua- 



praediti; neque tiunon OAHTKWH ut post cum Si'imn.Mr* 1 . plura tfmim tria 
talium numerorum paria olirw'rmit, Hijtmni nun purum *tmUi ml 
eruenda hnponclwso vidwmtur. Ar mHh.!uH juiiltn. t t nu uti*r.|i *i 
ita est comparato, ut oiu opt* vi\ plum* minimi amiriitul,^ Invimiri 
assumserunt onini hniuBmodi ttiimwi tit hw^ormuH!* :f.ri/ H i>\- r 

sit primo ^^^-h^-h!/* *- l vt * ru ut < sH ** J " **'?** *"'- r ^ J 

Exponent! orgo t* succcHmvi* vitrhw <i*Uitfmt vulnr* 1 ?* ?t* pr MI 

modi indagaverunt numtTtm primM / t y, ui p**t*rti*ri H|u;iticmi 

qui si simul tales fuorint, ut /|/ j / < /r pm*lTi' uiuiaTum primum, ftnnulae 

assumtae 2"ajy ot 2"*- oxhUwbuut tuum*r*s wmit';<l*il*^, Ku^ilt* itut^m iutolli- 

gitur hoe motlo ad miaow* t^ponntt* priMitiuttu mu\ ml 

xyj^xj^y perveniri, qui utrmu priwi >it IVIM*, *lttt*irta 

cum tabula numororuui prhuoruin ultm \mw ittmtium )mtM*utttr 

Perspicuum aufccmi tl Imnt* tjum^liMsn'iit prat'f*-! 1 t 4 ***^ 
restringi, dum uumori nmi^ahil^H In hit* t^tttnm t*irmuli^ iiMHutntin itirltuli 
assumantur, Quod cum pwrptmdiwMi^ vitmti^ in uitaittitum titiiuiiillis trttficui 
ex natura diviBorum patitb plum ntiu nam^romiu uminit'Umm puria mim 
adeptus, quorum cum tribuii im im*i* triinfa hi** nwwwwnilto; **CH uut*m, 
quo eorum origo ot natttrii cl 
bebo Sunt igitur natuoii 



nmuorwH 



I. 



IL 



1) E, DBSCARTKH (1590 
1898, p. 93 
(1815 1660), J 

p. 419498, 

220~2 S -6.11 et 384** 3*. 7 1, 

et 9487056 ~2 ? ' 78737, 



2* R 11 
* I) * i 1 



" 



jt 



%< ? I* IV* *, 1,11, Pirii 
I fJ ;'.*-' F, v. 

i * IU% It!* V 



ti 



a. 1086 oum amieo 
oper a mathmailm, Toloiw 
terlaum a O^a-rumo 

2) Vide aotam 8 p, 104, F, 



268269] 



BE NUMEEIS AMIOABILIBUS 



61 



V. 



VI. 



vir. 



VIII 



IX. 



X. 



XI. 



XII 



XIII, 



XIV. 



XV. 



XVI 



XVII 



3 2 - 5 - 13 - 11 . 19 
3 2 - 5 13 - 239 

3 2 - 7 13 - 5 17 

3 2 - 7 . 13 107 

3 s - 7 2 - 13 5 - 41 

3 3 7 2 . 13 251 

} 2* 6 - 181 

2 s . 17 - 43 

2 s . 5 251 
2 8 . 13 107 

2' 17 79 

2 s 23 - 59 

2* 23 1367 
2* - 53 607 

2* 17 10303 
2* . 167 1103 

2 4 19 . 8563 
2 4 . 83- 2039') 

2 4 17 5119 

2* . 239 383 

2 6 - 69 -1103 

{ 2 s 79 827 

2 8 - 87 12671 
2 8 227 2111 

2 s 58 10559 

2 5 79 * 7127 



XVIII. 



XIX. 



XX. 



XXI. 



XXII 



XXIII 



XXIV. 



XXV. 



XXVI. 



XXVII, 



I 2 6 79 11087 
| 2 6 - 383 - 2309 

f 2 s - 11 17 - 263 
1 2 s - 11 - 43 - 107 

| 3 8 5 - 7 . 71 
| 3 s - 5- 17- 31 

3 2 - 5 - 13 29 79 
3 2 - 5 -13- 11- 199 

J 3 s - 5 13 - 19 - 47 
I 3 2 - 5 - 13 29 31 

f 3 1 5 13 19 37 1583 
{ 3 2 - 5 - 13 - 19 - 227 263 

f 3 8 5 -31-89 
[ 3 s 5 7 11 . 29 

f 2 5 7 60659 
{ 2 5 . 23 29 - 673 

f 2 8 31 11807 
( 2 8 11 . 163 - 191 

I 3 s 7 18 23 79 - 1103 
I 3 s - 7 - 13 23 11 . 19 - 367 



xxvm I 28 " 47 ' 2609 
xxvni | 2M1 , 69 . 178 



XXIX, 



XXX, 



3 8 - 5 . 23 79 - 1103 
8 8 - 5- 23 -11 .19-367 

3 9 5 s 11 - 59 - 179 
3 2 - 5 2 . 17 . 19 359 



1) Hos xmmei'Oi 2 4 ' 19* 8668 et 2 4 - 88 -2039 amioabiles non esse annotavit K. HXINKATH, 
Biblioth. Mathem, 10 S , 1909/10, p. 80. F. E. 



TIIEOREMATA (UHCA WVISOUKS NfMKUOKUAI 



i eoiumutttaru 



t , IV K 



Dockiumma haw tliwwtfitio iin * 
oporttmt, quilnw pruiit wlwm ijfit*tljiiii rvira* |uu<vuu, r. 
modi allatrM m p^mnml mtttiu^ 
meretur, tit hie In rtm|*Httt |rwUtt*Att, Ail 
assent plurimas iti natum ttwitt'mrnut |*f 
cognitio fltw^ Mathpii twin ii*dim'utrr w 
elomwutft refcriuit, ulitrr viitum ti* ? 
aufc vim AnalywwR rrtjuirat, Hu 1 Fr,n i j u ,n 
gentiiis in hw gtiwr wrttis pfri {minf 
evicfca ridatur, quam?i Hus Intuit it*wtt:iti. 



liabari sokat, dart tabi vnriUi**, 
nulla m Geomtrin wm 

eviaei atpeai 

F'orro deuaomtmt in 



eitts demonstratiouem ndttui 

Nee eum mor&to 



n 



nnf, |tii tlili- 



Arltlt- 



, row 



"tttutntn * 
w) 



86 20 87 ] THEOREMATA OIROA DIVISORES NUMERORUM 



ab UBTI popular! abliorrere videatnr, etiam veritates omnes, qnas nobis cognosces licet, ita 
inter se ease connexas, ut nulla sine temeritate tanquam prorsus inutilis repudiari possit. 
Accedit, si vel maxime propositio quaedam demonstrata nihil ad ntilitatem praesentem con- 
ferre videatnr, quod tamen methodus, qna eius vel veritas vel falsitas eruitur, plerumqne 
viam ad alias veritates utiliores cognoscendas patefacere soleat. 

Hand ergo iiratiliter operam ac studium in indagatione demonstrationnm quarnndam 
proposiiaonum se impendisse confidit Oel. Auetor, quibns insignes circa divisores numerorum 
proprietates continentur. 

Neque enim hone de divisoribus dootrinam onrni carere usu, sed nonnunquam in 
Analysi non contemnendam praestare ntilitatem affirmat. Non dnbitat porro Yir Gel. 
methodum ratiociuandi, qua ustis est, in gravioribus aliis investigationibus aliquando non 
pariun subsitlii alfurre posse, 

Propositiones, quas hie demonstratos exhibet, divisores nnmerormn respiciunt in laac 
formula ft"&" coutentorum, quarum nonnuilae iam ab ante memorato FBRMATIO, sed sine 
dttinoustratioue, sunt publicatae, 

De cetero oirmes alphabet! lifcterae Me cqnstanter numeros integros, indicare monet. 

Ex reliquis elogautibus meditationibus breviter notamus demon strationem theorematis 
quinti sibi peeiiliarem ease, pronti 20 ipse asserit Gel. Auetor. 

Porro, quod 24, 28, 81, H2 et 88 compendia quaedam insignia adducat qnodque 
citatum 32 problems difficillimum FKHMATU, quo numerns primus dato maior quaerebatiir, 
adhuc inanere iusolutum aftirmot et tandem, quod veritatos nonnullas, quas nogse, non aiitem 
demonstrare licet, 59 at (>1) et alias nonduin ex omni parte demonstratas 63 et 66 
adducat, 



Quovis tempore summi Oeometrae agnoverunt in natura numerorum 
plurimas praeclarissimas proprietates esse absconditas, quarum cognitio fines 
Matheseos non mediocrlter asset amplificatura. Primo quideni intuitu doctrina 
numerorum ad Arithmeticae elementa referenda videtur atque vix quicquam 
in ea inesse putatur, quod ullam sagacitatem aut vim Analyseos requirat. 
Qui autem diligentius in hoc genere sunt versati, non solum veritates demon- 
strata difficillimas detexerunt, sed etiam eiusmodi, quarum certitudo percipiatur, 
etiamsi demonstrari nequeat. Plurima huiusmodi theoremata sunt prolata 
ab insigni Qeometra FEEMATIO, quorum veritas, quamvis demonstratio lateat, 
non minus evicta videtur. -Atque hoc imprimis omnem attentionem meretur 
in Mathesi adeo pura eiuamodi dari veritates, quas nobis cognoscere liceat, 



64 THEOEEMATA OIUOA WVlriOHKS NTMKKollt'Nf j^O -21 

cum tamen eas demonstrate non vutoumus; aique hor ad*o in Arittnw*tica 
usu venit, quae tamon prae reliquus Muth<w<w partibus maxima ju'rtracrtafci 
ac perspecta habori solet; neqiw fadh* affirwan* annim, an siwiit's 
in reliquis partibus reporiantur. in (IwmHrht rt*rU" niilia ommt 
cuius vel veritas vel tulsitan firuHHHiiniH rationibus tnittri iHHjiit*nt, ihim igitur 
quaevis veritas eo magis abstrua coiwiuttir t qim nunuH u<l *iiw d** 
tionem aditus pateat, in Aritlimoticu oortis ubi uuiura nuim^ntruui 
ditur, omnium abstruswBimaa oontim*ri nogun 11 non luttiTitnuH. Non !cHiint 
quidem inter summoa MathcnnaticoH Viii, qni huiusniotli vt*ritat(%H prowus 
steriles ideoque non clignas hulujant, in quaruw invostigaliom* iilla opera 
collocetur; at praeterquam quod cogniiio omnis v^riiatis jn^r *st* sit <xc(UouH f 
etianxsi ab usu populari abhorrwo vidoatur, omiit^H voritaioH, ijuan nobin 
cognoscere licot, tantoporo inter HO fumncxitf* dt{in*hoiuinnttir, nt nullu mm 
temeritate tanquam prorsiiB inutilis ropndiuri ptmdi. iUinJt* **tHi ijuaopiam 
propositio ita comparata vidoatur, nt, mvo v*ra nit iv* talsu, itihtl inch* ad 
nostram utilitatem redundet, taauni ijma int'thoduH, quit inii^ vi^riian v 4 l tal- 
sitas evincitur, plerumque nobk viaiu ad alia** utllion^ v^ntuti'H r 
patefacere solet. 

Hanc ob rem non inutilitor urn o|it*riiiii ac niiidiuttt In 
demonstrationum quarundam propomtionuin tmpwuitBHt* fimfltli^ qutbtiH in- 
signes circa divisores numoronuu proprli*tat4*s eoiiiiin*i)tiif, NVijw* vi*ro hatic 
de divlsoribus doctrina omni atii^t UHU, Hinl tioumm<|u;u!i tit AtmlyHi rum 
contemnendam praestat utilitataiiu hnprimU vuro non tlnbito, ijitin inothodiw 
ratiocinandi, qua sum UBUB, in aliin gravloribiw mvwtigathmitmM uliqtiando 
non parum subsidii aiforre possit 

Propositiones autom, quan hie dwwtwtratst imbilHH^ n^pirttitii clivinuttw 
numerorum in hac formula a.| : /> contnutoruni, c^taruin mutnulhu) tarn ah 
ante memorato FKRMATIO, sad Bine donionHtratiimi% mint. (Hibliattiw^j Quomaui 
igitur hie perpetuo d numem integrin wrwo inHtittwtur, tmm^ uiphabcti 
litterae hie constanter numerou iutegr<> h 



1) Vide Oommentationem 54 Imlm voiundnui. R It, 



22-23] THKOKKMATA CIRCA DIVISOKEB NUMERORtM 



THEOREMS 1 

1. Si p /writ mnurm primus, (minis ttumcrus in hac forma 
contents divisihilis erit per p. 

DKMONSTKATIO 
Si biuomium ( -f- l>) p modo commoto evolvatur, erit 



qua oxproHaionn Hubtit(,a btnisiiuo tonniuis, qui easdem habent unciaa, 
coniuncti.H Grit 



(a .{- b)" - a" - b" - ab(a" + b> 

1 - + etc. 



Hie primo noiatuluiu ent onmon unchw, ciuamquam sub forma fractionum 
apparent, nihilomiauH numwoB intognm, cuiu exhibeaEt, uti constat, 

numeroB figumton. Quacdibai argo imcla, cum factorom habeat jp, divisibilis 
erit por p, IUBI Is aHcubt pcir iactorem deuomiuatoris vel prorsus tollatur 
vel dividatur. At ubiqtw omnon faetoran douominatorum minores sunt 
quam p, <juia ado n<m ultra s j> croncunt, ideoquo factor numeratorum p 
nuwjuani por diviniorit'in tollitur. Daincle cum p sit per hypothesin numerus 
primus, is numjuam par diviaioiiom minuetur. Quocirca singulae uEdae 
1"' **'?.7 I > i'/a^^^ a ^ W |lCi ! lie tota eipressio (a + ^ a^ 6^ per- 
petuo par numomm #> Biquidom fuorit numerus primus, erit divisibilis, 
Q, E. D. 

1 

2. Si ergo ponatur a 1 et &~1, erit 2^ 2 semper dwisibilis per p, 

si quidem fuarit # numoros primus. Cum iptur sit 2^ 2 = 2(2^ 1 1), 

Bouemx Opera o! It Cemwent&Monei arifchmeMcae 9 



66 THKUHKMATA t'llU'A IIVIHHKs Nt 'MKIioW M [.,.,, i 

- [>""" >jJ4 ; 

t 

alterum horum factornm jr ;; <iivi*ihilm ** n|.orM. At nisi nit w >'" 

prior factor 2 por p noti vi, divisibility, nSe wnuiiur turumtn *J ! " \ ,"' ^ 

petuo por y raw) diviaibiiwu, w /* furit futim-nis pri.au>, ',, rai ,t,, r iHuariuT 



COKOLLAHHIM -J 

3, Ponendis orgo pro ^ Hucawivo nutiifrts jtriiui,. t-rit. *J rf 

per 3, 2* 1 per f>, 2* I u w 7, i"" i t,,.,- II *(, ,,Ji 

* * * i" ' * * *'".. <jui HI imitoriDuti 

numeris per so fit jcr8pi('UHi ll , in m x i m i H utitnu JH- { H ^rit r.rtum Hir 
cum 641 sit nuinoruH primiw, istn HJJUMTUS ^ 1 m^Hwiri** per ill I iV 
divisibilis, sow si potaste 2* {W njj divi.tahir. I,M tiivi.,, '" ' 

residuum 1, 



THBJORBMA 2 
4. A itfrou Aorimi /i>r WM for w ' H fti- /, /*-, 

' 



, Q , trium f . 

A u fuent numenu prinma, divMMlfc, Q. K. I) 



OOJBOIMlilUM I 



5. Si ponatur 6 1, 
formula a* a 



COBOLUHIUM 2 

^+^if'r rr ta 

haec 



w>r 

ti ,,. ; 

eundem ntmenmi jtrimum p. * 

DKMON8T11ATIO 



CIRCA DIVISOKES 




THEOREM! 3 

7 Sip fuerit numerus primus, omnis numerus huius formae c-c per 
ent diwszbihs. ' P er $ 

DEMONSTRATIO 

Si in 6 ponatur a - 1, cum sit a* ~ a = per p divisibilis, sequitur 
has quoque formulas 2* -2, 8- -8, 4>-4 etc. et geLatim hanc T- 
fore per numerum pnmum p divisibilem. Q. E. D. 

COROLLARIUM 1 

8. Quicunque ergo numerus integer pro c assumatur, denotante p numerum 
pnmum omnes numeri in hac forma c~c contenti erunt divisibiles per p. 

COKOLLAEIUM 2 

9 Cum autem sit c'-c-cC^-l), vel ipse numerus c vel c- 1 -! 
dmsibihs ent per p. Utrumque autem simul per ,, divisibilem esse non posse 
manifeetum est. Quare si numerus c non fuerit divisibilis per p, haec forma 
c p ~ 1 certe per p erit divisibilis. 

COBOLLARIUM 3 

10. Si ergo p fuerit numerus primus, omnes numeri in hac forma con- 
tenti a"- _ 1 erunt divisibiles per p exceptis iis casibus, quibus ipse numerus 
a per p est divisibilis. 1 ) 

THEOEBMA 4 

11. Si neuter numerorwm a, et I divisibilis fuerit per numerum primum p, 
turn omnis nwnerus huius formae a"- 1 ^' 1 erit divisibilis per p. 

DBMONSTBATIO 

Cum neque a neque & sit divisibilis per p atque p denotet numerum 
primum, tarn haec forma a"- 1 I quam haec b*- 1 1 erit divisibilis per> 
Hinc ergo quoque differentia istarum formularum a*- 1 &*- 1 erit divisibilis 
per p. Q. E. I). 

1) ^Aliae huius theorematis PBBMATIANI demonstrationes inveniuntur in Commentationibus 54 
et 262 ( 49) huius vokminia. Vide etiam notam 2 p. 34. F. E. 

9* 



68 THKOBKMATA t'UU'A hlYWHWS NTMK 



UOKOLUUltIM I 



12. Cum omniH IMMWUH primus praolw hinuriimi. ruiun rutio divi<l>ntU 
per ae eat manifest*, nit impur, ponufur 2m f. I j, r /, attain pwapieuum 
erit onmes numeron in Ime forma " A 5 " 1 rmtHtn <*sw divwihilwi per 
jp aw-f I, siquidom ncxjuo wtjiu* /i ricfiwitn lumt |u- 2i .}. i divwihiMs. 



14. Quoniam oh 2m nuiuerum paroin formula // " fucturoK h-tbt 
(-?/)(' + 6"% iwceww^ ut horum tkd.u-u alir ait ,HvlHlWli 'per 
tm + l; ambo autem irnul pr uumprum Jim* I divWWh^ MI ndquo 
Quare S1 2 W + 1 f uw it numriiH primiiH t iie.^ lu^uc, /, aiviM| nit 
l, turn vel ar-ir vl - + ir mil lUvWWlw t r 3w -|- I. 



15. Si m sit numerus par, , , m , a 

sibihs per 2+i. 4 + I, turn ob m.uUm, mtimum, vd -A- 
ent per uumenuu primmu 4 -f I , 



THBOttBMA 5 



DEMONSTBATIO 

turn -~-.T rUS PrimUS n ^ U " rt fit ' * P- ilium Bint 
^- + M--TL ?* dlV ; 8 ! bile P W 4w J (IH) Wmujuo into formula 
+ * non ent divaOnto per 4*- I [| W J m , quo ^r^ ullus eius 



13. Quia b non cat, (UviwhiHw pr "2m { I, tiam fc* 1 ' 1 t **//"> 
sibile erit per 2w + I. Qunro w 2//' aildntur sui furmuliim ^" A'" qu u, 
est diviaibilis per 2 + l t prudibit fonuula 8 ' j //"', l|tl a,. ,* 2/ -f 1 non !' 

ent dtvisibilis, nisi uterquo tiumwuH l A WHU-HIIII pw 2w -f- I wit, diviwibilw I. 



OOEOLLAWUM 4 [ 



NUMEEOEUM 39 

cum 4n-2-2fen-l) sit numerus impariter par, formula 



n T 1 + W: q fieri nequit, ut iste factor 

aa + W , hoc est ulla duorum quaciratorum summa, sit divisibilis per 4-l. 
Q. Ei, ,D. J 

COROLLARIUM 1 

17. Cum omnes numeri primi vel ad hanc formam n + 1 vel ad hanc 
4n-l revocentur, si 4n-l non fuerit numerus primus, diyisorem habebit 
formae 4-l; namque ex meris numeris formae 4^ + 1 nunquam numerus 
fonnae 4n-l resultare potest, Quare cum summa duorum quadratorum 
per nullum mimerum primum formae in ~ 1 dividi possit, per nullum quoque 
numerum eiusdem formae 4-l, etiamsi non sit primus, dividi poterit. 

COKOLLARIUM 2 

18. Summa ergo duorum quadratorum aa + W> per nullum numerum 
hums seriei 

3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35 etc. 

est divisibilis. Omnes ergo numeri primi praeter binarium, qui unquam 
divisores esse peasant summae duorum quadratorum, continentur in hac 
forma 4 + l, aiquidem numeri a et 5 inter se communem divisorem non 
habent. 

COEOLLAEIUM 3 

19. Cum omnis numerus sit vel primus vel productum ex primis, 
summa duorum quadratorum nullum numerum primum pro divisore habebit, 
nisi qui contineatur in hac forma 4n + 1. Divisores ergo primi summae 
duorum quadratorum continebuntur in hac serie 

2, 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97 etc. 

SCHOLION 

20. Quod immerua huius formae 4% 1 nunquam possit esse summa 
duorum quadratorum, facile intelligitur. Numeri enim quadrati vel sunt 
pares vel impares; illi in hac forma ia, hi vero in hac 46+1 continentur, 

l) Alia huhw theoramatis demonstratio iuvenitur in Gommentatioae 242 ( 70) huius volu- 
ininis. F. It. 



70 



THKOKKMATA flWM lUVISOKKS NTMKUufZf 



Qaro at Humum <iuorm qua,ln.f,,rm .if , j HI| ,. lr , 
rfterum imor ^ . - " 



-39 



impor ^ lwri d.; hi,,,- oritur fnrma 1,, i , A , 1 ,, i , 
nulliw numenw hums formao 4n 1 !,.., i,, . " IW I t 

.. " " 



., dl , umm ,,,,. ,, 7"' ..... * 

admittat, 1, omnilnw wri^ril,,,., nirihl ^ . "," '.' "'"'" '"""" '* '' 

MA'), ,, Wlb , m Slmn ,,,,, nMwtn , liw ,,, m m ........ ' ; "-"I"" ** 

qmta. v,,o, lr primu. hu,,,. v,,.it,,t,,,,, ,,,,,,1!,,, ,! , w/ " '" '"""' 
i*J iliw /!,; 4-I c ,./ """"""' Atf m ., 

,,,, rf ., 

q^lratorum i 



, . lrtmititt 

Boil lk - 1 * - 



Til BO UK 








continebuntur. Cum onT hi T? "' '"" ft " !rillt< '" ]mf '""" + ' 
forma* 41 1 OC I nZt T^ !, """'" " hl '""" lnl( ''' """ "* 
3" + ! 1 ad ta. .T '^J l 1 + ! . ,: f ,, n ,, m 

" ltm - """ : '" f '''" iiulluni nuimnum f.irmiw 



1) P. DK FjOUMArT 

VAIJ Mt 164()J) ; 

hie tractatem eo gn088e . yw. qJS^i,^. !" risimiltl ^ ^.I-HAKTO. th,<, 



n ga; ,r 

HBXM Leipzig 1890, p. 2 Q6) neo aw'lCSIh T* AnBlwk "" f '^^ 

ne 2u et 22 

p . 312 et 



^vwww cma we /ifefer^ r /* ,/,, 'if * f W * /rW ' 1 * R'*MK'# lunik vJUMatk four I 

P- 300, imprimis p. 3H-3J3. p. "*"** * ttWrm " Bib '- UUm. II,, ww/ll, 



THEOREMATA CIECA DIVISORES NUMERORUM 



71 



8 - 3 ease posse divisorem summae duorum biquadratorum. Ad hoc demon 
strandum sit pnmo 8* -8 numerus primus atque per eum divisibilis erit 
haec forma '-*-&"-*, unde haec forma --* + &-* per numerum 8n-3 
prorsus non erit divisibilis [13], nisi uterque numerus a et 6 seorsim divisionem 
admitta,t, qm casus autom assumtione, quod ambo numeri a et I sint inter 
se primi, exclnditur. Cnra igitur forma a 8 "- 4 -f-& 8n - 4 =a *(2-i)_j_ ^ n -i) diyidi 
nequeat per 8 3, nullus quoque eius factor per 8-3 dividi poterit At 
ob 2 - 1 numorum imparem illius formae factor erit a 4 + &, qu i ergo per 
nullum nmnonim primnm formae 8~3 dividi potest. Hinc 'omnes numeri 
primi praoter binarium, qui unquam formam tf + 6* divident, erunt huius- 
modi 8 + l, Ex mnltiplioatione autem duorum pluriumve talium divi- 
sorum nunqnam nnmerns formae 8 3 oritur; ex quo sequitur nullum 
prorsus nnmonun hniuR formao Zn-3, sive sit primus sive compositus, 
summam duorum l)iquadratorum inter se primorum dividere. Q. E. D. 

OOROLLARIUM 1 

22. Cum omnes numeri irnpares in una harum quatuor formarum con- 
tineantnr 8-f 1 et 8w|-3, praetor numeros in forma prima 8w + l contentos 
nullus alius poterit osso divinor summae duorum biquadratorum. 



COBOLLARIUM 2 

23. Omnes ergo divisores primi summae duorum biquadratorum inter 
se primorum erunt vel 2 vel in hac serie contenti 

17, 41, 78, 89, 97, 113, 137, 193 etc., 
quae complectitur omnos numeroH primos formae 8 + 1, 

COEOLLARIUM 3 

24. Si quiH orgo numorus, puta 2V, fuerit summa duorum biquadratorum, 
turn is vel erit. prim UK VR! alios non liabel)it divisores, nisi qui in forma 
8n + 1 eontiuoantur; undo iuvostigJitio divisorum mirum in modum contra- 
hitur. 



72 THEOREMATA CIRCA DIVIBORE8 NUMKROHUM | 30 . 

COBOLLARHJM 4 

25. Nullus igitur numerus, qui <liviowm hahut non in forma 8 4. i 
contentum, erit sumnm duonun biquadratormn, m H i fort* hahcal, ,,uatLr 
divisores aeqtmloa, qui autom in consi(l f rati<tic hiquadratorum rtmci solwit 



THKORRMA 

26. Omnes divisores huiwmodi mmernmni 



tf ^ , 

se primi, sunt rcl 2 ,rf in hoc fonm Wn + ! ' 



, 



COROLLAJHUM 1 



OOBOLLABIUM 2 

lmiu " 

forma 

sit omnes rdiquos 



DEMONKTItATK) I 

Quia aet6 simnl Hunt biqnadwta, flrum aumma v f .tf {I .HOH non I 

admittet dmsorea, nisi qui in fonna 8 -|- i ocmlmwntwr. At, numori in W ^ 

forma 8n + 1 content! sunt vol l w + t vol ,, ... 7 . Sifc UJw , , ? ' | 



CIRCA DIVISORES NUMEBORUM 

.. .-- 



THEOREM! 8 

29. &NMNO ^rem Jmusmodi potestatum a* m + J", guamm exvonens est 
Mnarii, aim divisores non admWit, nisi q ui contineantur inlac form* 

U fw ""r 1 '" 1 .X 

DEMON8TKATIO 

Quemadmodum deinouatravimus omnes divisores formae a? + V in hac 
forma 4 + 1 contineri hmcque ulterius divisores omnes formae * + &* in 
8n+l ot, formae + ft" in 16 + 1 contineri evicimus, ita simili modo 
ostendi potent forrnam a" + 6" nuUoa alios divisores admittere nisi in formula 
32 + l contentoB. Dohinc porro intelligemus formas a 33 +6 33 , w +6* etc 
alios divisores habere IHHI posse, nisi qui in formulis 64n + 1 128 + 1 etc' 
includantur. Kicquo in gnoro patobit formae a 8 '"+7/" alios non dari divi- 
sorea, nisi qui in formula 2"' H -.f 1 contineantur. Q. E. D. 

COBOLLARIUM 1 

30. Nullus orgo numwus primus, qui in hac forma 2" t+1 w-fl non in- 
cluditnr, uiuiuam ease potesfc divisor ullins numeri in hac forma a 8 "' 4-V m 
contenti. 

COBOLLA1OTM 2 

81. Divisores rgo huiusmodi numeri a j '" + & s '" inquisiturus inutiliter 
operam miam consnraerot, si aim immoris primis praeter eos, quos forma 
2 M+I n4-l suppoditat, divisionem tentare vellet. 

SCHOLION 1 

32. FKRMATIWH siffirmaverat, otiamsi id se domonstrare non posse ingenue 
esset confeBHus, omnea numeros ox hac forma 2 s '" +1 ortos esse primes 1 ); 
Hncqtie problema alias tlifficillimum, quo quaerebatur numerus primus dato 
numero maior, resolvare <t conatus. Ex ultimo theoremate autem perspi- 
cuum (t, niai uuraoniR 2 s '" +1 sit primus, eura alios divisores habere non 

l) Vidfl OoiMinpntationfuu 2(5 huius volumiais. F. E. 

EUIKW ()i>r& omaia, Is CowiaeatetioneB arithmeticae 10 



74 THEORKMATA (TWA HIVIXOHKH NI'MKIu-m >i i ns .,, 

posse praeter tales, qui in forma 2"".j 1 i-onHmsmlur. dun iriiur vori- 
tatem hunts effati FERMATIANI pro rasit 2 M }. { fxaminnrv vilmssm j n ,, (> 
hinc compendium Hum noetus, dum divisiwirm alii* num*>ris priinw' prater 
eos, quos formula 4w -|- 1 BuppHlt s ionlaw non ps hahrluwn. Hue i K it' U r 
inquisitione veducta mox doprehftndi ptmtnulo H . 10 numonun prtmunr(Hl 
ease divisorem numeri 2-|.l, undo probiomn nioimiratmn. quo ,, 
primus date numoro maior nHjuirit.ur, Hinutiiuin uiand inwlufmn, 

SCHOLION a 

33. Summa duarum potesiattnm >iuwlnj gra.lus, nti '- .| h\ wmpr halwt, 
divisores algebraice assignabilcw, niw w sit ai K nit; W hj lmr ii N' m K ; m Hit 
numerus impar, turn H- ft" <>mpnr aivwomii haM. .|. /,, ,,f qmi H ; fu(irjt 
divisor ipsius m, turn qnoquo " + /," r on , Mlm ff ,,,. //n t , ivi ^ sh * ' 

sit nnmerus par, in hac formula a-p ronimobilur, iia ut ;, nit nnn^ im-' 
par, hocque casu 8 +/> s divisor erit forma, * .} (>'" 






n 
sores habere neqmt, ms i qui f OBnu l 



p, erit <juoqu ''-//' divisor fortaao '" //" 

_ ' * *" * A> tiliA/ ,. 

lift TAVtVI** tM JklM i** I 

T , . * " UDf iwixna a "-- /) iirit-aiw r i A uiiiim divi^irAm 

rr^^L^* *r - : - ?* .=" 



ll " 



h !' P "" <Hlm ()rii <Hvirtn>iliH - l* 

haboro potest, quos hie Hum invoH%ttmH. 



THKORBMA 9 

potesfatum aw ^ m 



!l7 36 J THEORKMATAJJIROA MVKOBB8 NUMERORTJM 

DEMONSTRATE 

Qnia 2 + l oat numorus primus, erit _&. divisibilis 2 
et cum per hypothosm a- -6- sit quoque divisibilis per L + l 
2-ai + <r sou gr sit residuum in divisione ipsius 
cum <"-*"* quoquo per 2 + 1 divisibilis, 
per '; ent -*.-** per 2 + l divisibilis; at porito + 
quoque --,/- p w S . + 1 divisibilis; a qua formula st 
hatur, resuluum ^--ft.-*..^^ quoque per 2% + 1 
Hmc cum ft per hypothewm diviHorem 2 + 1 non habeat, necesse est ut 
a ,_ ?/ / por 2w .,_ t 8it aiviaibila Ponatur porro m-ft + r, et cum utrlaue 
haec formula ^.-^.- ,t a--^ sit per 2, + 1 drvSibW Ttiptet" 
posterior por aT t a priori Hubtralmtur atque residuum MV-&0 seu 
a'-y paritor por 2n + 1 erit, divisibile. Simili modo patebit, si fuerit 
0-yr-f s, turn fbmiulam ' ft' per 2w+l fore divisibilem; atque si per 
humsmod] contiwuara divisionom valows litterarum q, r, s, t etc. investigen- 
tur, tandem porvom.'tur ad maximum communem divisorem numerorum m 
et 2n; qui ergo ni ponatur p, erit, a" -ft" divisibile per 2w + 1. Q. E. D. 

CORQLLABIUM 1 

M. Si igitur ; fiwrit nnnuvus ad 2 primus, maximus eorutu cornmunis 
divisor erit unitaH, ac propterea si '"-&' f uer it divisibilo pernumerum 
prmmm 2n -f- 1, turn quoquo ft per 2 + 1 erit divisibile. 

(K)EOLLAIUUM. 2 

36. Si ergo differentia numerorum a ft non fuerit divisibilis per 
2+l, turn quoque nulhi, huiusinodi forma a'" //", ubi m est ad 2n 
numerns prinmB, pttr 2n -f- 1 divisibilis ease potest. 

COEOLLA11IUM 3 

37. (inodwi hrgo m fuerit numeruH primus, forma a 1 " ft'" per numerum 
pnmum 2w -f 1 dividt non potest, uwi w sit divisor ipsius 2, posito quod 
a 6 nou sit divisibilo por 2i + 1, 



jo* 



7(5 



THBOHKMATA CIRCA WVISOUK* \TMKn|:M 

[36~87 

38. Kxifltanto wgo m miwm pritim lw.v forn " A- fn , H , h<r ^ 
Me divisontfi numori cuiiwiin m 'in hjii-'foriwu ''"' /" ".Vitlrr^". 111 "-*''' 1 ^ 



89. N!si ergo uunienw 2" 

, 



si hinc numeri non primi expungantur. 



THKORBMA 10 



DBMONSTBATIO 

utraque sent omLl iteSS nlff " h ^ mi ' thc>(1 coiwawtii wolvanfcur. in 



perapicnum est: si a . 



77 



37-38] THEOftBMATA ontOA DIVISORBS NUMEROEUM 

COROLLARIUM 1 

42 Si igitur "'4;1 fuerit divisibile per p, turn quoque haec formula 
a P) 1 P or # ri* divisibilis. 



COEOLLARIUM 2 

43. Si a' : M/> fuerit divisibile per p, turn quoque haec formula 
" "' per jp erit divisibilis. 



SOHOLION 

44. Kodom qnoquo moclo goneralitor demonstrari potest, si fuerit 
M> m divinibilo por ^ tuin <iuoquo luutc fonuam ^(a^)'"+J?(6 + ^)' 
fore per p divisibtloiu. Ilaocqiu^ vorito ao<iue locum iaveoit, sive p sit 
numorus prmuw siv(^ HOCUH. Quin otiam non opus est, ut utriusque potestatis 
idoiE sit. oxpontaw w, wl otiauiwi twsont inaequales, conclusio perinde valebit. 
Turn vort) quuquo, HI m fuorit, nunwruB par, ex divisibilitate formulae a m l m 
per numorum p divwibilitaH ot/iani huius formulae (j^ + a) m -f (ftp + fy m 
sequttur. Verum IUUM- aliiujuo Miiiulia ox algobroe elementis sponte patent. 



THKOKKMA 11 

45. Si fwrit a -// | : (2/w + 1) et 2m + 1 nwnerm primus, turn ista 
ex/pressia a'" 1 mt divisMis per "2m + I. 

DEMONSTRATE 

Cum nit %M -\- 1 muneruH primus, per eum dividi poterit haec formula 
/' 8m -l su h'uc (/'/)'" - 1. J line per thorema praecedens quoque ista for- 
mula (/*/* | (2> ..{- 1 !}"' . i erit divieibilis per 2w + l. Quare si fuerit 
o mmff ,.|. (2H- 1), formula '"--! per rminerum primum 2w+l dividi 
poterit. g. K. I). 

(JOBOLLAUIUM 1 

4C. Hi ergo fuerit vdi - (5i/w -f l) + 1 vel a (2w + l)a + 4 vel 
a -. (2; W 4- 1) -f. <) V( ,i TJ< (2w + I) a + 1(5 vel etc., turn formula a m 1 
semper erit divisibilia pw "2m + 1, si quidem 2m + 1 fuerit numerus primus. 



78 THEOREMATA I'lRCA WVWOJtKS NTMKIJoltrM 

-"* ...... 

COBOLLARIUM a 



46[a] 1 ). Cumeasus, qtiibun ipse numcruH * HvwiliH pr ** -f j 

cludantur, manifestum eat in formula ff I (2w } t| numwtuu /" u. r -> m L [ 

dmsibilem esao won poasa Him- pro /' UIIIIKV nuim*ri UHHUIIU imssunt Li 

per 2w -h 1 turn siiit divimhiloH. ' " ' qui 



47. Numeri orgo pro /' aHtmmunilt HU( 

(2m + l)* : fl, (2* + !)* ! 2, (2, ,. I 
m his enim 



omu muuori ,H,p 2 w . r I , HH , divlsihi i t , H ( , onf , im , ntw . 
Hmc sumendis quodrutia forma. ipnhiH , s i tj ui ( i,n part,* |MV tfw .,. j J 
sibiles m unam colligantur, orutit fUHiuntiH 



quarum numerus eat , 

COltOLUIUUM 4 

48. Ad jalores igitur ipHnw a Invmn^lm, at - 



t " Hi 

valor pro a, 



COKOLUIUUM 5 



eOBQLURWM 



1) In editione principe fcbo Bnawm 46 itomtur. p. It. 



39-41] THEOREMATA CIRCA DIVISORES NUMERORUM 79 

per 2-> + l remaueut; nequo tamon unquam numerus omnium diversorum 
valorum ipsius r inaior esso poterit numero on. 

SOHOLION 

51. Ut, UBUH huius thoorematis clarius appareat atque per exempla 
nnmerira illustniri poHHit, seqtumtia problemata adiicere visum est, ex quibus 
uon solum veritas theoromutis luculentius perspicietur, sed etiam vicissim 
patobit, quotioa a non habuorit valorem hie assignatum, toties formulam 
a"' I mm esse diviHibilom per 2w-f-l. Cum igitur haec formula a 2m 1 
semper .sit divhubiliH per 2w + 1, quoties a'-~l divisionem per 2w + 1 
non admittit, totiw '" + 1 per 2w + I tliviuibile ease oportebit. 



KXKMFLUM 1 
52. Jniwiira rulores ipsius a, ut a? \ fiat divisibile per 5. 

itemdua, quao (*x diviHione (juadraiorum per 5 remanent, sunt 1 et 4; 
hiuc nocosao (wt, ni Hit, vd a ** bp ~\~ l V el a = 5p -(- 4 sive a == 5_p 1. 
Priori CUHU lit, att 1 HOU (a I) (a + 1)^5^(5^ + 2), posteriori autem 
(fijp 2)5j>; utraqtu* orgo rtivisibilitaa per 5 perspicitur. Sin autem fuerit 
vel ar>jfH-2 v<l - />/;-{-!{, neufcro cusu formula aa 1 per 5 erit divi- 
sibilin. 

KXEMPLUM 2 
5i5. Jtivwiire. valorcs ipslm a, ^ //ac /bnwa a 8 1 fiat per 7 divisibilis. 

Tria resulua, tjuao in diviaiono omnium quadratorura per 7 remanent, 
sunt 1, 2, 4. Jlmc valonw ipsinH a Hunt 7jp + l, 7jp + 2 et 7j) + 4; sin 
autem fuerit vol -7;^ )-.'! vol 7;;-}-f> vel 7j)-f-(i, turn non formula propo- 
sita o 8 1, Bed haec * -j~ 1 per 7 fiet diviHibilis. 

EXEMPLUM 3 
54, Invmira vafanss ipsius a, ut haec forma a 6 1 fiat per 11 divisibilis. 

Numeri quadrati per 11 diviwi dabunt 5 diversa residua, quae sunt 
1, 3, 4, 5, 9, Him: formula 5 1 per 11 erit divisibilis, si fuerit a^llp + r 



80 TJ1BORBMATA fllUU !HVWK NTMKRORtfM r, ( 

" * r*l"-4j) 

denotante r unumquemque ox numwris 1, 3, 4, , r >, <. i n m ,{ m pm 
matur quidam ex Ins nunwriH 2, fi, 7, 8, 10 multiple* ,,U WU , MI , W j Nu . 
auctus, turn 6 + 1 per 11 crit, (liviaihil. ' ' 



THBOltKMA W 



55 m WH/W>W . 

/orwa a m -l fH^r (^ per Zm -f 1 <UmiMk. 



DEMON3THATIO 



( a w .|.i,\ ! 6rifc 
dmsibihs per 8+i. QuaTO B i mmrntur ,, 



. rnur ,,! . ! ) turn h 

formula a'-i erit per 3 + t divkihilk . J 



g. K . I). 
COBOLLAItlUM 1 



pro a. awttuiu fehit vulonma idoneom 

COBOLLARUJM 2 

-% 4, 6, 10, W, 14, 20, 22f 24, ^ 32 etc., 
- 7 ' 13 ' 19 ' M, 37, 43, , 6 7> 73, 7, 07 tr, 

COBOLLAMDM 3 



4243] 

"'"'" " "Z 81 

Divisores 



7 



13 
19 
31 
37 




1, 6 

1, 5, 8, 12 
1 7, 8, 11, 12, 18 
1; 2, 4, 8, 15, 16, 23, 27, 29, 30 
1> 6, 8, 10, 11, 14, 23, 26, 27, 29, 31, 36 
etc. 



In Ms residuis primp occurrunt omnes cubi divisoribus. minores, deinde si 

" ^ ^^ 3W + 1 ' tUm ^ Ue alLd ^ 



3, h S1 emm cubus f dederit residuum 

(j + 1 / ) dabit residuum r seu 3m + 1 r . 

SCHOLION 

f>9 Notatu hie dignum est numerum residuorum perpetuo esse = m si 
dmsor iuent -.<,.,+ ,. Semper ergo dantur tres cubi, quorum radices knt 
<dw + l, ex qmbus idem residuum resultat. Scilicet hi tres cubi 1' 2 s 4" 
per 7 diviHi idem dant residuum - 1 et hi tres cubi 2", 5 s et 6 s per 13 
dmsi idem dant residuum 8. Praeterea hie notari convenit, si pro a alii 
valorea praetor hos aaaignatos capiantur, turn a- - 1 non esse per 3m + 1 
dmubito; quod eM verurn ense facile deprehenditur, tamen eius demonstratio 
ex praecedentibus non aequitur pertinetque haec veritas ad id genus quod 
nobis nosse, non autem demonstrare licet. His ergo casibus, quibus V-l 
per 3m +1 non eat divisible, haec formula a 2 "' +rf-+l divisionem admittet. 



THEOEEMA 13 

60. & fuerit a /' (mn + 1) existente mn + l nwnero prim, turn haec 
forma a m 1 erit divisibttis per mn + 1. 

DEMON8TEATIO 

Ob mn + 1 numerum primum erit f mn - 1 divisible per mn + 1. At est 
/'- 1 (/; l, unde quoque haec forma (f (mn + l)) m - 1 erit divisi- 
biHs per mn -f 1. Quare si ponatur a - f (mn + 1), haec formula m - 1 
per mn + 1 dividi poterit Q. B. D. 

Opem omaia Is Commentationes arithmetioae 11 



exponents , quao per MM -f I divwa nslintjuat , 

8CHOL10N 

63. PropositioniB huius couv.mi, A mini muUt. wwSiu4ur. 
deprehend.tur; ita U t, quotto, ^1 Hit dlvWWfc in, ww ,. ,, 
valor p a m iomula r. + (m ,+ l)a Gimlh ^ m , Hflu |ol|w , 

testas / quae per m + i divha ndhmuat pro Wu. lta f ,t ob 
vasse m fonnulam 2^! OBB per 4l di^Wtem. ,, w .., ' ' ^"V W 
dahtur quoque potesto digniktin dcl, w , nuw |M , r <J4l aivtaa wlh mt 2 ' 
Atque revera humsmodi postern d^hondi ^ w. !'ra,t,r,n vllu 

L T* v V1S " PW Wl ' h C Ca8U " fc *"-" <* ->; tmlla -untur 
datur potestas dignitatis vice 8 ima, , ua p w 041 Ulvlm rdinuu, U .7 vSto 

harum propositumum convorsarum: geiliont w -~l f w if diviHihilo we r 



g6ner latius 



, 

82 THEORBMATA CIRCA MVldOKKrt NTMKltOl:jrt n, tl i 

.. ... ... ,. , . I ***>-" 44 |; 

f; t 
f 

COBOLLAIUUM t \ 

61. Si ergo potentates exponents |.or nuuuirtiiti printuiu WH { 1 divi ' 
dantur, singula ronidua vel ipaa vel muitipio ipsuw MM j 1 (junciiiunin aueta ? 
idoneos praebebunt valorw pro , ut " .-I fiat, ptsr mull tUviKibi^' * \ 

'\ 

!; 

U()1)1MJUUM 2 I 

i< 

62. Hinc si a'" - 1 mm fuorit pw w -f. I divwilnh., turn valor ' ' 
'" hac expressiono /'" i-tHw4-i) wm 



mentatione aftT P 8 ^ " !|* Wit in 



THEOREMA 14 



DEMONSTEATIO 

Cum ponatur formula f-e^ divisibilis per mn , erit quoque 
formula f~ * r , quae per 



;-. UmerUS Prmu8 ' P 6r eum ** erit haec 

forma /--,; unde quoque differentia ^-(^-1) seu ipsa formula <r-l 

per m + l ent divmbilis, propterea quod , per Ww + l divisionem admittere 
nequeat, nisi simul / per eundem esset divisibile, qui casus iu nostro ratio- 
cmio perpetuo excluditur. Q. JE. D. 



COROLLABIUM 1 

65. Si ergo tf--l per mn + 1 non fuerit divisibile, turn quoque nulli 
dantur numeri /' et g, ut haec formula /">-^ per mn + i fi at divisibilis. 

COBOLLABIUM 2 

60. Si superioris propositioiiis conversa demonstrari posset, turn quoque 
enctum foret, quoties f-a per mn + 1 dividi nequeat, turn ne hanc quidem 
formulam /-,//' divisionem per mn + 1 admittere posse; simul vero etiam 
pateret, si /' ...... <? s it divisibile per mn+l, turn quoque dari huiusmodi 

iormulam /' - , quae sit per mn + 1 divisibilis. 



THEJOREMA 15 

67. Si huimwodi formula af1>g fuerit divisMis per numerum primum 
mn+1, turn quoguc haec formula a m b m erit per mn + 1 divisMis. 

DEMONSTEATIO 

Si fuerit af* bg* divisibile per mn + 1, turn quoque haec formula 
per mn + 1 divisibilis. At ob mn+1 numerum primum 

11* 



84 THROUEHATA (WA OIVIWUKS STMBHOUrM ,4- 

I *lf"-47 



erit quoquo hac formula /'"" //""* MfHtqu** <i }KHV "/*'" ,ry'"' n . I 

divisibilis; subtrahatur haw ab iliu -/"" A"fl t 4 u.. n^luum ^^"U ' 

seu a'' 1 -//' 1 per +i orit divwiMk y. K. 1). ' j f 

s i 
I'' 

OOKDLURIUM 1 " 

* 

68. Si itaque "-&" non ftierit jwr MM | I iUvwitih s tuin 
tur numeri pro /' et ,</ Hulwlituondi, i hitiitMiiUili formulu n/'- 

wn + 1 divisibilis. 



2 



(.9. Hums proposition W nww. quiNl, *i tnwit formula // divim- 
per + !, Himul dontur iuu,ri /' rt , t /"* ^ Hut divi bi ! 
1, utcunque examiner, aiu.u 



, 
monstratio etiamnum 



iKJHOLION 



THBOKEMA 16 



D1MON8TBATIO 
Ponatur /-= o'' f / A * 

" e fona 1 */*"- V abibifc m 

, ut ft A+ I -^, habebitur -- 




COROLLARIUM 1 

72. Si ergo m et merint numeri inter se primi atque mn + 1 numerus 
pnmna, turn istae propositiones sunt demonstratae: 



d si ilia formula nutto modo sit dwisMis per mn + 1 
etiam haec non erit divmbilis. ' 

II. Si a" -6- fwrit divisible per mn + l, turn dciMtm nmierus hums 
aear^bg" per mn+1 divisibilis, atque si a-b>" per mn+l divisionem 
non admttat, turn nullm daUtur numerus formae of* -If per mn + l divisibilis. 

COROLLABIUM 2 

73. Si m it numerus par, turn b aeque negative atque affirmative accipi 
potost; hoc ergo casu si *-?/ fuerit divisibile per mn + 1, turn etiam ems- 
modi formula af+bg per mn + 1 divisibilis assignari poterit; id quod etiam 
mde patet, quod w ait numerus impar ideoque potestas p negativa fieri queat. 

COROLLARIUM 3 

74. Simili modo demonstrabitur, si fuerint ut ante m et numeri inter 
se primi atque haec formula a m b m sit divisibilis per mp + 1, turn quoque 
exm'beri posse formulam huiusmodi af n bg n divisibilem per mp + l. 



BE NUMEEIS AMICAB1 LI BUS 1 } 

Oommwitatio LM indiefe KNXMTXII:MIAMI 
Opuseula varii argamnti 8, 1750, p. 2,'J J(7 



DHPINITIO 

numeri 



, 



* 8unt 



fecinnt 284 et toins numeri 284 parta iliqmitaii 

1 + 2 + 4+71+U2 
prodncont priorem numerum 220. 



SCHOLION 

nui " crorui " 



paria te C o "" 

modare e s t conatus ^^^7 f" 
...... -- ........ "gnamqne tradidit, q mi trm talhim niimororum puia 

1) Cf, Oommeatationes 
0. W. Bum, 



, , ' 

a-nt acad. so. Petrop. 2 j 1W?^ tf ^ * dWw>l " **". ^ovi com- 



elicuit, neque praeter ea SCHOTENTTT 



o 

metrarum ad hanc quaestionem magis evolvendam operam impendisse repe- 
ntur. Cum autem nullum sit dubium, quin Analysis quoque ex hae parte 
mcrementa non contemnenda sit consecutura, si methodus aperiatur qua 
mnl o plura humsmod! numerorum paria in.estigare liceat, haud abs r L 
arbxtror, si methodos quasdam hue spectantes, in quas forte incidi, communi- 
cavero. In hunc finem autem sequentia praemittere necesse est. 



HYPOTHESIS 

3. Si n ttoutet numrmi guemounque integrwm positivum, cuiusmodi numeri 



, umo nume 

Ate smpcr sunt irieOwnM, omnium ems dwisorum summam hoc signo Cn m<ti- 
cd>o, ,to ut charter J nwmro cmpiam praefixus summam <mnium eiusdem 
nwnon (livmrum tlcntivt; sic erit A)c=,i-)_2 + 34-6==12 

COEOLLAEroM 1 

4. Quoniam inter divisores cuiusvis numeri Me ipse numerus refertur, 
partes aliqnotao aut^m (Mmsentur divisores ipso numero excepto, manifestum 
est Hummam partium aliquotarum numeri n exprimi per Cn n. 

/ 



COEOLLAEIUM 2 

5, Quoniam numorua primus millos alios divisores admittit praeter uni- 
tatem at e ipum, si n ait numerus primus, erit fn~=l + n. Cum autem 
casu n 1 Hit y I 1, patot unitatem non recte numeris primis annumerari. 



LEMMA 1 .-.- . '. 

6. Si m et n fwrint nwmri inter se primi, ut praeter unitatem nullum 
Jmheant diwsorem communem, twn erit Cmn^ Cm-Cn seu summa divisorum 
product i mn awjualfo est producto a? simmis divisorum utriusgue numeri m et.n. 

1) Vide notftm 1 p. 60* P. B 



88 HE NUMKRIS AMit'ABlIJHf'S 



Productum enim mn primo halwt shi^Ks divwonw utriuwiuo f-u-t, 
et n, turn vero inropor divinihilo <t par prodm-ia <* H 



, vno < par prom-ia <* Hmgulw divisoribn 

numen M in singubs divisoros numwt . Hi ven < n m u iiwiuK / divT 
sores mnctim prodoimt, sijw por/'w inultipHcHur. 



OOROLLAftltTM I 



7. Si unmeronim m ot uterqa sil primus !,,,* /' w , , m , 
=*l + n , erit summa divwonim producii " 



Si praeterea jp sit numoros primus divermw ah 



w c^i , 



COROLLARWM 2 

SCriOLION 

9. Nisi factores m. n n Hint .; * 

producti, prout per 1^'^;."!. mt T r . "V' nm !' MUmma <Iivi wum 
lemma singu! 
referantur, si 



a "" 8|liitm 

uumeri p rimi a-on T'' 6 ,- '' * 1 ' H " " 
.ed habebitur _ l'+" , ?' / "" "./ " '-/ -(' + )'- t + 2 + ... 
Cum igitur per loo Im, r. 6 * 1 "" ljlv "" n ' nl W poni eonvenit 

i * 



product, defimn raaur ' Cui " "I" 1 """'* ' iw 



I 



25 ~ 26 ' 1)E _NTJMEKIS_ AMICABILIBUS 

LEMMA 2 



K). ff *; 

H-4-M-M- 4 rt <7rtwwto 



i 



COROLLARIUM 1 

11. Oum Hit/H-l+n, orit/n'./n + f.' vel etiam /-! + A, 
8mli mode orit /-/ + ,,. vel 'etia m .! . 



> > ma 

dmiumim c.uusqu, pototatis w * facile summa divisorum potestatis sequentis 
n " aBHignatur, cnm ait; /*" ' W * + W H-I seu 



COROLLARIUM 2 
12. Quo snmmae divisorum facilius per factores exprimi queant, notan- 



(lum eat mm 



... (i + w , f n *}j\ yv - (i + + H 4 + 

Bicquo Hummao divisorum poteatatnm imparimn semper per factores exhiberi 
posaunt, at potetetum parium summae divisorum quandoque erunt numeri 
primi. 

COROLLABIUM B 

13. Hinc igitur facile tabula condi potent, qua non solum numerorum 
primorum, Bfld otiam potostatum ipsorum summae divisorum exhibeantur. 
Cuiusniodi tahiilant hie adiicre visum est, in qua omnium numerorum pri- 
morum railtonario non maiorum eorumque potestatum ad tertiam usque et 
altioroH pro minorihus numeris summae divisorum per factores expressae 
traduntur. ') 



1) IB eclitionn priaoij*** tabula aequens nonnullos errores continet, qui omnes etiam in Com- 
mmtatiomlms arilhmrtM* iwl. P. II. t N. FUSH) invcniuntur, hac in editione autem correct! sunt. 
Quae uorniotionm pwtiwnt, ad numoros 6 6 , 37 s , -U 8 , 149 s , 173*, 283 8 , 461 8 , 523 s , 563 8 , 571 s , 
018 , 76J) S , Ml i, H27. I'rat'tn a<Menda erant snmmae divisorum numerorum 79, 79 3 , 79 8 , quae in 
priorihuH ttdiUoniljus ornimae aunt (sod vide Prooemium Comment, arithm., p. LXXXI). F. B. 
Kvuwi Ojer omnia I* Ciommentfttiones aritbmeticae 13 



90 



DK HUMEE1S AMICABILIBIIB 



[87-88 



Num. 



Summa divisorum 



3 

7 
3-5 

31 

3 S *7 

127 

3-5-17 

7-73 

3*11*31 

23 - 89 

3 2 * 5*7.13 

8191 

3 -43 127 

7-31-151 

3* 5 -17- 257 

131071 

3 8 '719-78 

524287 

8*5*. 11-81-41 

7 s - 127* 337 

3-23*89-683 

47*178481 

8 f *5.7.18-17*841 

31-60M801 

3 -2731- 8191 

7-73-262657 

8*5 *29*48 -113*197 

233 -1103 *2089 

8 f - -7- 11- 31 -151. 831 



Num. I Kumma aiviwrwn Num. Humma dwH 



U 



, (j It 4 -ft -3321 

II* ; 48* 45319 

| 11 T ! 2*- 3* 61 ^7321 

U* J7*19-177293 

!l f iS 1 - .ft. 3221 *1 



18 2*7 

lit 1 3 *fii 

IS 1 ,3*n.7*17 

t8* '30911 

13* ,9*8-7'Q 

I8 f {5229043 



23-3851 

-7- IS* 73 
797161 

547*1093 



2801 

2*- 3* 19* 43 

29 * 4788 
5 s -1201 



3*5*17-257*65537 
7* 23 -89*599479 
3-43691.181071 
81- 71. 12.7-122921 



11 -191*8801 

829554457 



223.616318177 




t? 1 J307 

17* j2 f *3*'5-a9 

I? 4 |H74I 

17* ]8'3**7<-18<307 

i 

Ml l.6 
t* JS-IS7 

is* ;t s *s.it 

It 4 1161*911 

19 1 ;8 f -3'5*7*a27 

i 

23 j 51*. 3 

n* 7 . 7y 

23* |3 4 -3-5.|i}S 
JS92W1 

ia-s-ft 

13-67 

9*- 3*5- 481 



28] 



_ DE NTJMEBIS AMIOABILIBUS 



Num. 




1 

Num. 


" -"' _ ___ _ w ___ m ^_ mg> _ > _____ y JL 


Summa divisorunj 


, 
Summa divisorum 


j 

Num. 


. .__ 
Summa divisorum 


31 


2* 


79 


2*- 5 


= a = 
137 


2-3-23 


31 s 


3-331 


79 s 


S-T'-dS 


137 


7-37-73 


31 s 


2M8-37 


79 s 


2 8 - 5- 8121 


- 137 s 


2*- 3- 5'- 23- 1877- 


37 


2- 19 


83 


2'. 3-7 


139 


2 2. 5 . 7 


37 


2*- 6 -19 -137 

. 


83 s 
83 s 


19-367 


139 2 
139* 


3-13-499 
2 s - 5- 7 -9661 


41 2-3-7 


89 


2 f *4^ r 










M %> ) 


149 


2*3* 5 2 


41 a J1723 


89 s 


8011 . 


149 2 


7-31 103 


41 1 2*- 3- 7 -29* 


m " 


2 3 -3 3 -5-17-233 


149 s 


2*- 3 -5*- 17.- 658 


43 ;a*-n 


97 !2-7 2 


151 


2 8 -19 


43* J3-681 


97 s 3-3169 


151* 


3-7-1093 


43* 


2 8 - 5*- 11 -87 


97 3 ,2*- 6 -7*. 941 


151 s 


2 4 - 13 -19 -877 


47 


2 4 -8 


101 


2-3-17 


157 


2-79 


47 1 


87-61 


101 s 


10808 


157* 


3 -8269 


47 $ | 2*- 3 -6-13 -17 


101 s 


2 s - 3- 17- 5101 


157 8 


?* 5*- 17 -29 -79 


68 2 3* 


103 


2 s -13 


163 


2 2 -41 


53 s 7 * 400 


108* 


3-8671 


163 2 


3 -7- 19 -67 


63 s ( 2 t '8*-5*a8I 


108* 2* -6- 18- 1061 


163 8 


2 8 - 5- 41- 2657 


59 


T 3 - ft 


107 


2-3 s 


167 


2 8 -3-7 


59 f 


3541 


107* 


7-1JM27 


167 2 


28057 


J-.. 


S f * 8-6 -1741 


107 s 
I 


2" -3 s - 5" -229 


167 8 


2 4 - 3* 5- 7 -2789 


61 


2*31 


109 12-5.11 


173 


2-3>29 


61 s 


3 -13-97 | 


109* ,3*7*571 


173 2 


30103 


61 s 1 2*. 31 -1861 


109* 1 2*- 5 -11 -18* 457 


173 8 


2 s - 3- 5 '29- 41- 73 


67 .2*. 17 


113 2 -3 19 


179 


2.32.5 


67 s J3*7*"3i 


113 s ,13-991 


179 s 


-4603 


67 a 2*- 5 -17 -440 


118* 2*- 3*5 "19 -1277 


179 8 


8 -3 2 -5-37-433 


71 '2** 8* 


127 ;2 7 


181 


-7-13 


71 s J5113 


127* J8- 6419 


181 s 


79-139 


71$ i?: $f :? 68 L 


I27;a.5>1618 


181 8 


*-7-18-16881 


73 12*37 j isi : 2*,.ll 


191 


6 -3 


78 1 3-1801 131*1 17293 


191* 


rl3*-81 


73 s < **6-13*87*41 [ 181* J8 $ -8-ll*8581 


191 s 


7 - 3 -17- 29 -37 



I? 

I' 



92 



BE NUMERIS AMIOAIULIWT8 



Num. J Summa <Hviorum ' Num. ftmmm dtv 



2 3 53 

si si? 8 7.11101 



Summa divisora 



257 2-3-43 
257 s 61 -1087 



2 2 - 5* 97. 149 



2*- 3 s - 6 -11 -3881 



263 s 2*.3.6.11. 



- 5* 

3-13267 
2 4 -5M9801 



269 ; 

269* 13. 37.151 



53 
3-13-31-37 



271 2- 17 
271* 13.24571 



277 2-139 
277 3-7- 19- 193 
277 s 2- 5. 189- 7673 



281* 109- 727 



283 ; 2*-71 
283 s 1 3 78 367 



2*- 5- 71. 800ft 



293* 86143 

293 s j 2- 8- 5*. 7- 17- 101 



2 s - 8- 18 
19-5107 

' S " 



2 s - 11*. 113. 257 



43-1471 

2 8 -3- 7-17'- 109 




| 331 8.K3 

I ;};u* :t . 7 - fl!33 

337 2- 13* 

f| I | ti ii f > 
*l **> * C?f' l iil 



a 8 * 3*5*311' !*J04I 

S * 5 1 * ? 

19-8143 

St'-S^-T-fiOSOl 

'a.8.ft 

19-fi77 
a**it.A*!7.ftO-733 

a 8 * 3 s * if 

7-S7-499 

a 4 -8 1 - ft. 18*4957 

^ 4 23 

3-13*8468 

SM-Stt-UMitt 

^* II * 17 
8.7.13-73 
*J f *5- II -17*13918 



3- 61- 787 



2 T -8 
: 147073 
'S*. 3- 5- 14669 



29-30] 



M3 NUMEEIS AMICABILIBUS 



Nunu ' Summa divtaorum 

B89 |2-3-5'18 

389 1 '7-21673 

889* !2*-3-6'13-29-260 

897 2-199 
897* '8- 31 "1699 
397 s ; 2*- 6 '199 '15761 

401 |2 -8 -67 

401 s j7-23029 

401* J2 s '3-87-41 -63.67 

409 J2-5-41 

409 s l -667 

409* j 2*' 6 -41- 83641 

419 2** 3 -6* 7 
419 s 13 > 13687 
419 s ;3 8 '3-5'7.4l -2141 




421 1 



431 1 3*. 3* 
4B1 1 J7- r,7'37 
431 8 j 2* .3*. 893 -81 7 

483 ! 7- 81 

433 1 j 3 <37*103 

438 a j 8* *5*7 -81 18749 

439 ! 3* .6-11 



44,1 



443 s ;S*. 3 .5*. 87. 157 

449 {2 "8^5* 

449* 197 
449 s 'a* 



457 
457 1 



3-7-9967 



457* 1 8*- 6*- 839- 4177 
401 (a- 3- 7- 11 

461 s 1373-571 



8 f . 8- 7. 11- 106261 



461 s 

463 

463* 3-19-8769 

463 s j a 5 - 6 -13- 17- 29- 97 

467 !8**3*-18 

467 s j 19 -11508 

467 s ia*-3**l 

479 1 2 5 * 3- 5 

479 j 43* 5347 
479* 13*- 3- 6- 89 -1289 
4H7 '8* -61 
487* 4 8-7-11317 

487* |2 4 ' 5 "37-61 -641 

481 j 2*. 8-41 
491 s ^37*6529 
491* '3*- 8 -41 -149. 809 

jctci i *>t ft 8 

*f %f if j * f J 

409* 3-7-109* 

499 s 2* -6* -18 61-167 

i ...,>, 

603 !a*'8*-7 

608* ! 18- 19601 

603* ; 2** 3 s * 6 7* 25301 



193 



523 

523 2 

523 8 

541 



609* \ 43 - 60B7 

6(* ! a s - 3* 5- 17* 281 -461 



521 



;Sl*-383 

ig 1 * 8* -89 -135721 



541 8 

547 

547 2 
547 8 

557 

557* 
557 s 

563 

563 3 

563 s 

569 

569 s 

569 8 

571 

571 g 

571 8 

577 

577 2 

577 s 

587 

587* 

587 8 

593 

593 s 

59S 8 

599 

599 s 

599 s 



2* -131 

3 -13- 7027 

2 8 - 5- 17- 131- 1609 



2-271 

3-7*13963 

2*- 18-271- 11267 



2 2 -137 

3-163-613 

2 8 - 5- 137- 29921 

2-3 2 -3l ~ " 



31-10243 

2 8 -3- 5-29- 47- 1093 

2-3-5-19 ~~ 



2*. 8 -6- 19 -161881 



2*. 11-13 
3-7.103-151 
2 s -11- 13 -163021 



2-17 2 

3-19-5851 

2*. 5 -18*- 17*. 197 



2*. 8 -7* 
47-631 
s -3- 5 .7*. 34457 



63-2161 

*, 8* -6*- 11- IS -641 
______ 

51343 

* 3.- 6* -.17 -.61 -173 



94 



DE NUMERIS AMICABILIBU8 



[30-31 



Num. 


Summa divisorum 


Num. 


Summa divisorum 


Num. Humma divisorum 


601 


2-7-43 


661 


2-831 


743 ,2** 3 -31 


601 s 


3-13-9277 


661 s 


3-145861 


743 s i 652793 


601 s 


2^7-43-313-577 


661 s 


2 s 831-218481 


748* '2 4 *3.6**3l.l.i8t 


607 


2 5 -19 


673 


2-837 


751 ^-47 


607 2 


3-13-9463 


678 1 


3*151201 


761* '3-7-268SW 


607 3 


2 6 -5*-19-7369 


678 


2*- 6 -887 *4623 


751* 2* -17-282001 


613 


2-307 


677 


2 -3. 113 


7fi7 j 2* 3711 


613 2 


3-7-17923 


677 1 


459007 


767* IS- 13-14713 - 


613 8 


2 2 - 5 -53 -307* 709 


677 s 


2*-8 6 113 45833 

* 


7I>7 8 1 2 8 5 s 7*1 K7 n w ^ 










i * * % * *' * Of i" 


617 


2-3-103 


683 


2 sl -8 f *19 


761 J2-:M27 


617 2 


97-3931 


683 s 


7*66789 


701 s ! 679883 


617 8 


2 2 - 8 -5- 103 -88069 


G83 8 


2*- * 5 -19 -48849 


761 s J2**;M7- 127-17033 


619 


2 s - 5 -31 


691 


2* -178 


70 12 -6- 7* 11 


619 2 


3-19-6733 


691 s 


3-19-8889 


j 7811 s J3-3L-6367 


619 s 


2 8 - 5 -13 -31 -14787 


691 8 


2 s -173* 193*1287 


769 1 !a*-ft-7. 11-17-17398 


631 


2 8 -79 


701 


8-8*. 18 


773 :2-8**43 


631* 


3-307-433 


701 8 


492103 


773* ; 608303 


631* 


2 4 - 79' 199081 


7A1 & 


*lS ft | *> j 7 $7 4 j A ' 


mB i *|i *ai ft * *> ifti*7ft*i 








* O lit 1* ffl 1 4 J 


_ J * & * 44 * CKf f D*> 


641 


2-3-107 


709 


2-6-71 


7K? !2 f isrr 


641* 


7-58789 


709 1 


8-7.^8971 \ 


j 7B7 S 3. 37 s1 . 161 


641 8 


2 s - 3- 107- 205441 


709 s 


2 s 5*87*71'679;j j 


7H7* ,2.6- 197-241 -267 


643 


2 s -7- 23 


719 


- | 


797 ! 2*8* 7 -10 


643 s 


3 97- 1423 


719 1 


487 - 1083 1 


7&7 S UB7-4061 


643 s 


2* -5 s - 7 -28* 8269 


71tf $ 


2 5 -8*-6-58>4it77 


797 'a'-Stfi 7 14 fi'V>l 


647 


2 8 -3 4 


727 


2^7*18 


800 J2-8 4 -6 


647 2 


211,1987 


727 1 


8*178419 


809* ' 7- 13- 19- 379 


647 8 


2 4 -3 4 -5* 41-1021 


727 $ 


2 4 - 5-7-13. 17-8109 


809* 2*- 8*- 5 "229 -1429 


653 


2-3-109 


738 


2*867 


811 '2** 7 -29 


653 s 


7'13 2 -19* 


733 1 


8*10.9480 


8H* * 8.31*73*97 


653 8 


2 s - 3- 5 -109- 42641 


788 1 


2*- 5* 18 -887 -4188 


811* !2*- 7. 13 -29* 4.1 '817 


659 


2 2 -3"5-ll 


739 


2 s * 5- 87 


821 % J3*187 


659 2 


13-33457 


789 s 


8*7-26041 


B21* j 7* 229 -431 


659 8 


^3-5-11.17-53-241 


789 s 


2** 5 -87 278081 


mi n ! 2 s * 8 187 -887021 



N0MERIS AMIOABILIBUS 









- 




^5 

~~^~~^~ - 














Num. 


Summa divJsorum 



Num. 


" ' " ^ 
Summa divisoram 


J H 



Summa divisorum 


823 


2 3 - 108 


881 


2-3 2 *7 s 


947 


2* 3 79 


823 s 
828 s 


3-7-43-751 
2 4 * 5- 108 -67733 


881 st 
881 


19-40897 

2 s - 3 s - 7 8 - 888081 


947 2 
947 s 


7-277-463 
2 8 -3-5-79. 89681 


(1*> 7 


*>$, *jit *) 




"~""~*~~~~~-'-' - 


- ~~~_ 




O-a i 


iJ * %) * *3> 


883 


2 9 13 17 


953 


2 3 2 - 5^ 


827* 
827 s 


684757 
2*- 3*- fi- 13 -28' 6261 


883 s 


3-260191 

2 8 - 6- 18 -17- 77969 


953 2 
958* 


181-5023 
2 2 -3 2 -5-53-90821 


O ill t\ 


> f. O ) 




... 


~ 


~ .,.,_ _ 


82U 


4 * 8 J 


887 


2 8 *837 


967 


2 s -11 s 


829 1 
829 s 


3-211 1087 
2*- 6- 17*. 29- 41- 83 


887 s 


13-60689 
2 4 - 8-5 "29 -87 -2713 


967 2 
967 8 


3-67-4657 
2*-5-ll*- 13-7193 


839 


2 8 * 3 * 5 7 


907 


2 S '227 


971 


32.35 


839 s 


704761 


907 51 


37-39217 


971 2 


13-79-919 


839 s 


2*- 8 '5 -7 -109 -3229 


907 s 


2*- 5*- 227 -16468 


971 s 


2 s - 3 5 - 197 -2393 


853 


2-7*61 


911 


2*- 3 -19 


977 


2-3-163 


853 s 


3*43*5047 


911 s 


830883 


977 2 


7-136501 


858* 


S".6-7.13.Sl.OM9S 


911 


2^3- 19-29 -41- 349 


977* 


2*-8-5-63-163-1801 


857 


2*3-11*13 


919 


2*- 6 -28 


983 


2 8 -3-41 


857 1 


735307 


919* 


3*7.13-19*163 


988 1 


103-9391 


857 s 




A * lift 


l4 f rt* n 










y Itr 


o^3*37-101-118 


983 8 


2 4 -3-5. 13-41-7433 


859 


2M-43 


929 


2-8*6*31 


991 


2 5 -31 


869" 


3-246247 


929* 


157-5508 


991 2 


3-7-13 2 -277 


859* 1 


S*-r>-43-l37.2C98 


929* 


2 " ; 3 'f: 81j 431521 ^ 


991 3 


2 8 - 81 -491041 


863 


2 s 3 8 


1137 


J-7-67 


997 


2-499 


863 s1 


7 s - 15217 


937 s 


4*292969 


997* 


3-13-31-823 


863 s 


2 * 8 s . IMS* 17- 337 


937 


J f -6- 7. 67-87797 


997 s 


2 2 - 5 -499 -99401 


877 


2-489 


941 


J-8-167 






877 s 


3 "7-37* 991 


941 1 


811-1098 






8?7$ 


2^5-439*76913 


941 s 


2 f * 3* 18 -157 -34057 







SOHOUON. 

14 Usus huiuft tabulae st ampllssimus in quaestionibus circa divisores 
et paries aliquotas venwintibus resol?6E(iis, Eius enim ope cuiusque num,eri 
propositi Bumma divisorum faeiii negotio inveniri potest; qua reperta si i 



96' B"R NUMKBIB AMIUABlLffUiK [33-34 

ipse numerus propositus auferatur, romanobit MUH sunnna parthuu ailiquo- 
tarum. Ex quo statim constat huius tabulae 8ub*miio muueros am tea biles, 
quos sura traditurus, facile explorari posses utruni Hint iunti n<*cu& Quoin* 
admodum autem ope huius tabulae cumavla immwi Humnut <livtH<mim cognosci 
possit, in sequenti lemmate ezplicabo. 



II 

15. Proposito quocnnque mmew vms sumnut dwhuruM wt/MHtl mwlu culli- 
gitur. 

Cum omnis numerus sit v(l priimm vl produrtum ox jirimiH, renolvatur 
numerus propositus in suos factoren primo ot, qtii intw HP fmrint ao<jual% 
coniunctim exprimantur. Hoc inodo numwun proponituH HOiwpw ad huius* 
modi formam redigetur m^n^f**/*^ t*xitoiittlnw w, w, #, q ^ nmmmB 
primis. Posito ergo numero proposito ^ A' cum Hit A f < . w". n^$ y *(/-tiit\ at 
factores m a , if , f, tf eta inter se primi f wit /'A' ^< /V'/V./y./y.otc, 
et valores /V, y V, ff, fe etc, ex tahulu tuiiunctw, 1 patilimut 



: , EXIMPLUM 1 

Sit numerus prqpositus N Ml 

Besoluto hoc numero in suos factores priinoM uril A 1 2* -3* -5 i 

'/360 - fp.J 'y.j 5 TO ; { . ft . !:} . 2 . u 

ob /2 8 3 5, /8 1 - 13, jV> - 2 * 8. Uncle MB factoribu* oniiimtin flat 

2-8 f .6. 18-H70. 



2 

JSxplorentur numeri 2620 et 2924, trim* M 
Cum .sit 2620 - * 5 - 131 et 2924 2-. 17 . 43 f emman ita 



2620 


2924 


2 2 - 5 131 


2 s - 17 43 


7-6-132 


7-18-44 


5544 


5544 


2924 


2620 



?*~ 35 3 ....... .. 1)E NUMBMS AMlCABILIBtFS 

Numori propositi 
per faetoroH oxpronai 
:^ tiiviftorum 

HIVO 

.ao partium aliquotaruai 

Oum itfttir muutnno pa,rt,ium aliquotarum sint numeris reciproce aequa- 
IOB, patot proptwitoH nunioww <sso amioabiles. 

SCHOLION 

1. HiH igitur pnu'nuHHiH, < } uae ad inventiouem divisorum cuiusque 
numen portumnt, ipstnu pnihhwa de invertigatione numerorum amicabilium 
aggroduir atquc ncrui-abor, qmunadmodmn Imiusmodi numeros rations summae 
diviBonim il^r m (umiparatus ^HHO oportoat, quo deinceps facilius eorum in- 
ventio por nKuluH post tradt'udan suHcipi queat. 



PROBLKMA GBNBRALB 

17. ItiwHirr Hitmen* iimicabilt'f!, IKK: e$t dvos numeros hums indolis, ut alter 
actjuulis sit mmmup, imrtium aliqmtanm altmus. 

SOLUTJO 

Hint^ m it w duo huhwmudi nuiuori amicabiles et per hypothesin 
Jm utjn Huttumu! diviwiruju wrumlera. Writ numeri m summa partium 
aliqti(tirnm --_/ m ..... , ( ,i nuiiwri w Humma partium aliquotarum =*C n n. 
Hinc ex nutura tiutuoruruin aruicabiiium nascentur hae duae aequationes 



j'ni~~m-'ti et Cn n 

I m -- /* mm m 4- n. 
' / 



sive 



'i*go atnintbtlw m (it prirno habere debent eandem summam 
divisonnu, tiiwi v'm oporfi-t, ut hac communis divisorum summa aequalis 
sit aggregate ipHoruw nutnororimii m -f n. 

Kowtaj Opera omaiii la CaiiJWHtfttione arithmotioao 18 



1)E NUMEKIS AMKtAWUIU'tf [35. , 3fl 

UOitOLiiAltlUM 1 

18. Problema ergo hue roducitur, ut- quacraaiur duo oiantaodi ataaori 
qui habeant eandem divisonun numnnata haccqiK* atHjuulta sit aggmgato 
ipsorum numerorum. 

(JOKOLLARIUM 2 

19. Ipsa qaidein probloauitm ratio t*x%it t ut, biai auiut*ri quatHiti nint, 
inter se inaoquales. Sia auiam dcaidurt*atur a4*quaics t ut nit m w, Hot 

(n***%n et /w n n; huiua ncllkal atanori gf*nuiiiit4 ;i suintaa partiuai 

/ / * # 

aliqnotarum ipsi fiat aoqualin^ quati tHt propri^tan iiuim*ri {iHrfiH^ti* Krm> 
quilibet numeruB perfcctus raptifittiiH imitianw oxhilml aiaimbiloH, 

tJOHOLLAEIUM :i 

20. Sin autem numori amtcabilon m et w, ut anturu (jun^HtiotuB poatu- 
lat, sint inaequalos, manifestum mi alUiiiutt rrduaditatotn, itltartiui dofi- 
cientem; summa scilicet partium aliquoknua sillmus tpno t*rit, mnior, alte- 
rius yero ipso minor. 



21. Ex hac quidem general! projirii4nli! punu tuiiuiatmti c 
ad numeros amicabilen invoniaados, oo quod ktit AaalyHw 8pi*cu*H f caiuK ope 
aequationem jm^jn^n + n Iktmt, 4iUumuuttc peiiittw nit tncuita. 

Ob quem defectum formulas niiigiH parttcttlam* conU*mplari itogiiintr, ax cjua* 
rum indole regulas speciaks pro inv0ntio uutmiroruia atiuirabiliutn dwivaro 
liceat; quorsum etiam pertlnet OAHTIWIANA a 8<Jif>TKHii roaimi'tmiraU 1 ). 

Ac prime quidem, etiamsi non titruiu deiiiur utiinwi ttiiwibilw inter 

se primi necne, formulas Itn njatringam, ut nuint*ri auiinibilfB fito- 

torem communem obtineani 

1) Vide Oommentatiottam 100 huitw folvmiiiii. R II 



86 ~ 87 J 




PKOBLEMA PARTICULARE 



SOLUTIO 

Sit oommvmis factor numerorum amicabilium, quorum alter ponatur 
a, alter ~ ; .nt voro turn et a quam . et a num eri inter 
pnm, ut utrmBquo diviacarain .uima. per praecepta data reperiri queat 
Com igitur pnmo utriusquo ea,dexn ease debeat divisorum summa fiet 
a-ma' n idooue ' 



Ja' fn idooque 



Deindo veto no***, fc f ut Hit f..f m SQU f a .f n ipsorum 
aequalis aggregate am + an, undo habetur 

/ /n 

araa . BBB . "' 

,/a JM -f- w + w 

Positis ergo nunuu-Ls amicabilihuB am <* an prinio esse oportet 
turn veto roquiritur, ut sit (w -f- ) B fa . /V 

OOBOLLARIUM 1 

28.^ Si ergo pro m t imismodi imroori iam fuerint eruti, ut sit 
^jn, turn itumw-UH mvoHtigari dobot, ut sit ^-/^, seu ex ratione, 
quam HUIUWUH ad tmmmmn divworum auorum tenere debefc" ipse numerus a 
erit iuv<tigau<iuH. 

COBOLLAItlUM 2 

24. Si factor eommuuia luorit datua, quaestio ad inventkmem nume- 
rorum m ei, ro<iucitnt% qui yrouti vol primi vel compositi ex duobus plu- 
ribusvo prfmis anHuiuuntur; quoniam torn divisorum summae actu exhiberi 
possunt, rogulao Hi>ocial<5 ad WH inveniendos tradi poterunt. 



18* 



K NrMKItlt* AMK'AlilUH! 



25, Statim autem pwpjritur utrwii'tat* imtiitTtittt w H jriaaaa e 
non posse; quarn cttmw Hha|>Hei*iauirf i'\taf, >i altrr jnaw*. uit^r vt*ro pro 
duction ex duobuH muat'ris {jriiaU ;t*Nuawtur, Turn ul*<n}an proiiurtuw 
duobus pluribiiHV^ nuiMorin priiuis ^lufiii |Mi*rM, UIM!* 

speciales pro iuvouiendtH aunu*n^ aiiiifitiniiini^ >t*man { 



26, Diversao ergy ntittit^orunt smiicttbilitam luriiia**, tjuut* iitir iuwfimiiit; 
sequent! inodci ropnu^uniitari permit, St i utnu^juf nuutuuius furfur <*t 
, j, r f a tc, luuuori prttui y quorum ^ii iSiu/^tr rummuai^ fkriurb 

tque numororum amicabiliutti tbriiua* : 



atque numororum amic 

i* * t 

ionaa iiruiia I tnrum 

* 



t i i 4 * 4 ' 

lorma tortia I tumiit quurU loriua iiumtu 

S e f 



Quaaquatn uuineruH in i 

tauieu Mnc cxmclud&ro lit*t*i in hi^ 1*111111% 
Tietl Primum onitti, <lum liir litlvrai* /* 7, i. >, f i?r. miiii^rifi |*iinttw rtl- 
versos sigiiifiemt, mm f^riwiiiil^ ^t 1111111^1^^ aiah'ui<ili<x, in ijui- 

bus non oecurrant initHili^n |rinu, h*'ia*i^ jtitrili^r non 

constat, utrurat noa deittur ntiinvri uativ\Unii^ qai u4 aullum haltwtxit tiwto- 
reiu comuiunem a, vl iti quihtt^ lin*ur liir mm |i'trt*t* sit tl^in, vi*luti i 
darentur numeri liniimtiiliM htiitij* i?r/< 1^1 m y, m jmiju 

a Gift divonii v |4*ti|4lrri*i m Huj**rioiilm', nini ft*jtfiiii*r4ttt; 

etiainsi P at ty m m- flivt^Hk 1 ] 

Ex MB perspicitur iti? iiii^t*ihl*u:* hfi>.Him< 

eamque ob hoc Ipwiti tarn <*ii<t nt ^atiM*! rutu)iiMt;i w at x- 

pectaada, SolutiombuM njin^Mii iai*iunl>atii wt 

?arias ^methodon ujn? ^ rMnnuli** trailiii- 

amlcabiles mihi i; milu f jujaiiwu iiittu j*upp^ 

ditavit prout rrl lintm, a^uiuilur w! ipne 

quaeritw; In i 

1) Had fide twia LI 14 Ul p, t% 



PROBLEMA 1 



SOLUTIO 
Cum .p, q et r sint nnmeri primi atque/r-/p.^ seu 



ponatm- ;>+!-* et, y + 1-j, I1BBquo r^v-l T , 

esao oportoi, nmnorcw, nt tarn *~l e t w~i ' que * et y eiusm( >di 

prinri. I)aind<> at, <t(x - - 1)( ?/ _ j)' flt ^/^ _ n . qUam ^"^ sint ni ieri 

iinuH -jt'-ji I a] undo nanciHcii ' < ivisoium 



j: -.- ay 8eu y _ aa; 

(2 a -/a) x -a 

Sit, h^iM. grrta ^ yi _ ^ ot J 8it Ta[or ^^ ^ 

terminoH reductac oritquo **~Ja 



mule hal>el>iraus 

Oum igitur ^-6 at / - 6 Hint factxm^B ipsius U, quadratum cognitnm 

L^ 
fiai, pm d vm 

ri^i ? 

non iKjfeij 
utur, t-oi 



anctu 
: , inde omergentos ita sint comparati, ut 

r^i UmWi l>Hmi - QUa C nditi <l Uotie S Obti- 

non iKjfeijnt, ! M ,HMU pro quovw vdoro ipsius a assumto statim dispi- 
utur, t-oiH-H ohUnnhunlur uumori ainicabilcs, qui erant a(-l)(y-i) et 



COBOLLAEIUM 

a. Proiit, iffit,,,. pro a |ii llliiquo numeri accipiuutur) unde valoreg j 

et G innotHHcjint, n v ila.- im. W t, pariic.ilaros, quarum ope numeri amicabi- 
l (t , HI <jm in iu> ^onitnt iluntur, fncilu oruantur. 



29. Sit factor communs a 
/a-^'-'l ulooqtm L' j I. 'i- .'ril ^ " ^ *? .-I, jm.ptwoa 

2" et c 1. Hinc oritur 



u- 



Quare cum S?" alioB non Imto-at farJiu-i". iii.i iot ..... tai>* bitiarii, *<Hi 



>' i A i *' 



sen 



Qnocirca dispicienduui wt, an < k ttt 
numeri 



xy .- 



fiant immeri primi. 



fcrew 



RKUULA 1 

I 

UIH f(it;ftvitfit{iit* tiitmrii, jnifa n ^2*; ^ 



Vel sit n k^o m mi -"> m + ^' 

as - I 2"{a" 4- fi I <{, y l 
tjfl ,.,.^-r."*' 1 f '" . 

qui numori, quotioH fucrint primi, pra*'Mut 



JK). Sit ftn^l ot 
numeri fuerint primi 

3. 

Turn enim positis 



.jintji'n -^'i 



tws 



I 1 ! 42 -' ..................... .. I)R UMERIS AMICABILIBUS 

numeri amicabiles erunt 

y +l PS et 2-+V 

Ob n -=8 ttt -f- /** * W -4- 1 

-t- i. 




fvrriA /^4. . i /N 

cque est regula OABTESII a Sonomo tradita.') 
EXEMPLUM 1 



31. Sit m -- I critxjuo 

;> . ;j - a i , 5 nnmerug 

<7 = <>-2--l.ii numerus primus, 

r - -, 18 - 4 I _ 71 numerus primus. 

Hinc. <>rgo oriuntur numeri amicabil< 

V't-ll d, 2 3 -71 give 220 et 284, 

qui Hunt minimi omnium, qui oxiiilwri possunt. 

EXEMPLTJM 2 
-T2. Sit, M -a orit(,u<, 2'" 4 ot 2 ! "'=lfi atque 

;> -v, ;j. 4 ,_ i _ 11 numerus primus, 
({-'.-, <;. 4,_i ;3 23 numerus primus, 
r IH-ir, -I,.. 2K7 numorus non-primus; 
hinr,<|Ud iul<'o tiulli inimori atnicalulw oriuntur. 



KXEMPLDM 3 

.U Sit m :\ i.riiqiu" a-.. ot 2 8 "'o-(J4 atquo 
fi - ,1- -..-! ,r= 23 primus, 
7 fi- 8--l- 47 ])rimus, 
'" 1H (!4 ..... 1 a* 1151 primus. 
Ergo June numi*ri Jtmicahilcg want 

'J'.ln.47 H 2*. 1151 sive 17296 et 18416. 
I) Vid t'lmirowttntiouHH H10 hnins volumiais. F. B, 



IT, Nl' 



JJU 



34. Haw- 
loros fcrlbuuntur, i* 



nun 



Sit, - 1 '.' 

),' " It 



'''** 



2X7' tia! WV" 



Ubi numwi uu"irimi 
obtitntsir, 






2. 71 



, 



ttlllglll, Cjltlllll Ui *UfflMW*i 

numoromtit primoriiin 

1) ||ltl lit 

primut tl^ttiit P. tl 
SI Qui 
II Virtu l, W L, i 



n!;i7* 
trnti 



III Wliticillfl ft 

l) J, 11 llWII| Jl', 

UStpl id 31*1 Of JO, * tf) fti 

mil /ttr /M 

II ,P/m/,,. 

tlk nif / 

(SCI) li 

/I 

rfff 

SllW dttblO llti Kt 

ff8titffwf 

if 



E I, 



wjjivili H**t* li<vt , *j'.jMUuuu \d f u#"- tj*,"<tii"4 r i 

NH JliH4ll # >*;**? pHH'li },r> $M', TflhlU; 

ii!r4,i^ff;ir : i, u atu'u in^> |irn^i 

jni*'JiJ'' t h.>' jl ./' '" j 4ft'<^.' .4* ^r*',''.'* jj't:'^^'j,s'j s, 

Il4 3",U 5+* }-*U 41- U * ' ' ' M H ^..'.ri*.* ii"{.' ft9*Um | 

ftS 1 -! 1 '! 3 ! lvir<' si"f'; n M'.v: !-! , ; ( ,A ;, i > 'n *,/!', 1'; /*;N il'^fff* 
(j?M tfi* v 1 V', ito\& ?t# / iu * * . 14 '/, t M - II',, '. i /'f f,! '.!}*','! 

/ i/i'r** !'?'--, If^,',3' ( *l M,%v r , H, i >.-', - 5 i ;i ^.,11 


41iN flllllt 

U* liltlllfjllf 1 * 

r-Pli'^fi*) niti 

r*s Hiw lie 

iiii 
-i; f4f 

I'i'ili;* ||lil^ 

,n ti'ftft^kliwit' 
i*<iiut 



f ,:, , N? .,, A,} ].' l'>*l ( |f 

*Tm ,j --.-n,.^ I'jf^iX/jif 
^'-M-r wi J;^ i v i> t #ll** 






42-44] 



MS NUMEBIS AMIOABILIBUS 



CASUS 2 



35. Sit A- -2 ot valorem littorarnm ,, * r qui dphfi , 

/ tf, ', qm clebent esse primi, erunt 






OASUS 3 



3<>. J'onaiur 



m 


1 2 


*> 


4 


....,,,... . , n , ;^ 

5 


l> 


I {. *i/l^ 


71 


143* 


287* 


<l 


,, M;J* L >K7* 


r>75* 


1151 


2303* 


r 


25! (1 I0,%7 1|! 


41471* 


165887 


663551* 



Hinc ergo, quoiiiani ulU>riuM progrodi mm licot, nulli 
vonumtur. 



numeri amicabiles in- 



37, Ponatur k 4 ,.( H|unlflH taw nmnori dobobnnt esse primi 



hinc 



numeros 



OASUS 5 



Ponafcur It ,-, 5 t H^tiatos few numeri debebunt esse primi ' 
^ " ' ;u; ' -' " ..... ' . <? > ia% . 2"' - 1 , r - 34848 - 2"" 1 . 



I* ti ( 



106 



DE NUMERIS AMIOABILIHtTS 



1 44-45 



Ubi statim patet casum m 1 OSRO inutilom, cum <M p . . (15. Hit orgo m 9 
fietque # = 181, 4228* r~. 557807; ubi cum //nun wt primua ot, imiiores 
valores pro w ob defectum talmlarum numtrorum primorum oxamrni nubiid 
nequeant, neque hinc etiam novi numori amicabilas <rwwtur. At voro ob 
eandem rationem maiores valoros ipsi k trihuorts non lioot. 



39, Quoniam potestatea binarii pro a pomlao valorom ijwiuH <? In frac- 
tione 7 g-^ unitati aequalem rotltlidcrtinfc hinct|uo Holutionon ohtinore 
licmt, alios valores pro a, qui paritor ipwi r? valorom - 1 iudurant,, ptmam. 
Inter hos autem imprimis simt nokudi, qui cm Imr. fonna 2"f MJ -f e ) 
nascimtur, siquidem 2 n ' M H-a sit numoruH primus; turn mini fit 



si igitur e + 1 sit divisor 
itidem = 1 . 



2"(fc"' l>l + ), valor ipsiuR e fiet 



40. Sit factor communis a-2(2- tl -[-2* ~ 1), at i>' 1 + a* .,1 numenw 

net- nw4" ^1", I H CM- .| i* ft tt*fa*H ^ _1_ ** t\ 



primus; * erit ob e + 1 ' -. 2* fractio 

siquidem non sit * > . Hac ergo lijpothesi habebimus 



a g. .*^ 4. a* . - 1) 



Quadratum ergo && in duos eiusmocli factors f.-ft)(y-5) resolvendum est, 
ex quxbus non solum valores numeromm - 1 v,j, et y -1 - ^ sad etiam 
f y 7 . r . * numen P rimi Oniusmodi cuus si ernere lieeat, erant nu- 
men amxcaMes ^g et ar. Terum Me notendum est eos casiis reiicienclos 
es e, m qmbus ahqms numerorum primomm p 9 g } r prodit divisor ipsitis a 

' 



seu 



Sit 



J; erit 
_l et 



EltfS AMIOABILIBUS 

"" ' " " ' ' .......... - ......... ............ : ........................... _ ........... "107 

Ia,u ~ 



ntsit 



f 



qui tres uumori p, g, r debent ease 
PoBfcoriori modo rcsolutio fiofc ita 



Nunc ol) /" mimwurn prinmin nuinnnis 2"V/ t ' rl7ii^; i - 

factores roaolvrf-ur. " dnpllC1 modo m Sere in duos 

Priori niodo Hot 

(^ b) (>j - /A = 2"' " tt f . 2 W "i- f ' 

ideoquo ' ' 



vt!l vel 



" rodmmfc numeri prirni ' indo 

/I A ff'f J 

UASuS I 

41. Sit* ,l; ,.ril..,*."iS--M). 6-8-(S- + l) at 
qm iiiiniPnm i,l,H lw( . primus. (', ovgo ait, (*-6)(y-J_ 2 '-/y, erit 



u* 



108 



DE NUM1RIS AMICABlOlifTS 



'47-48 



Notandum autern est, ut 2 ffl + s -f 1 sit numwis primus, wcponentem m 
esse oportere potestatem binarii; valores ergo ipsiiw m ornnt 0, 2, a, 14 
At casus w reiici debet ob nullum valorem ipsius ' 



KXEMPLUM 1 

42. Sit ergo w-2, ut sit a-..i7 H h .4-I7 (M atqtw /' 
Com igitnr esse debeat ( - 6)fo - 6) , .J . 17, wit, n*H<>IuUoim in Ik 
instituenda; 



-17 



2 


4 | 


ft ; 34 


8-17 8 


llf>6 


S7H !!B 


70 


72 


7i! , im 


2880 


1224 


II4II jjt)4 


69* 

2379* 


71 
1223 


7B* i 1,01 
f'545* . 2011* 


166599* 


88127* | 


1 20807 



Hinc ergo nulli numeri amicabiles obtinentur. 



43. Sit 
(a, - % - j) 



ut 



257\ resolutio ita iiwtitui dolmbit: 

*- 16448 *,' 82-257 
y 16448 =- 128 




Valores ex reHquis factoribus oriundi adhuc 
pnmi smt necne, iudicari possit, 



igitur sit 



magis fiunt magni, quam ut, an 



48-49] 



AKIOABILIBUS 



CASUS RELIQUI 



44. Cum 



-_i j a ^ a *. 

prime caso. simpliciores, quibns it 
evolv,, Keoat. Hit. Tl " t 
m erunt 1, B, 4. Hit *- 8 ; erit /=, 
2, 4, (i. 0am, *- 4 eat f-2- + L ,"r 
progt-edi lie,*. +1 



IT 
+ 3 



109 



erutlt 



45. Ponamufi ergo * 
3 - 1H _ 38, uude flt (^ 



EXEMPLUM 1 
O t = ]; e rit 



et 



, 
1444 et resolutio dabit- 



re 



2 


4 


722 


861 


40 




7(10 


imp, 


89* 





Neuter scilicet factor 
assurni potest impar. 



Quiu hie mm j, on e.st primus, patet lunc nullos numeros amicabiles re- 
sultare. 



EXEMPLUM 2 

4(1, I'imamuH A- , 2 et m - 8, ut sit ^=67; erit a -82. 67 et 
ill - fi3(j fit a r> 586) 2 . 67 3 . 



17956 



580 

y 
y 



1072 
804 

1GOH ! . . . 

i 

H03* I 551* 



Beliqui valores pro p praebent numeros 
per 8 divlsibiles, quos propterea omisi. Se- 
quentia exempla ad nimis magnos numeros 
deducunt. 



NUMEBIS AMICABIUBUS 



REttULA 3 



47. Sit ut ante a 2"fil* M *} 2* H of *' i *>; i /* 
, . . A . 6 "-+4.* n " - 1 - / mimoruB primus, 

at m fractions A. 8 <' 2 " 1} sit * > 



ot. 



a 2" (2 n + 1 + 2 W + M ~ 1 1 h 9* + * i ii i . t ^ 

v r * A;, o * 4 -f- 4 I / {if, r 

unde haec habebitur aequatio 

(2 m ff - AV*>"" M 1,7 

^fl J,,' U)\& If ftj fyfy^ 



pive 



notandutn est hos ^uatuor numew, esse oportere primo 



1 

48. Sit m T 



i 
^equit, ut simul et f* ' 



OASUS.2 
49. Sit ergo m-2, ut sit 



atque necesse est. ut sit m^-wJLi n, 

numeri micabiles a^ etl ndlU,,il,,,B Hi HalMW, erunt 



6162 



Sequentes ergo quatuor numeri debent esse primi 



et 



/*. 8 . 2 !H ' 1 1 

' J 



n-i 



unde formantur haec exemplar 



1 


2 


3 


4 


-" 
5 


11 


23 


47 


95* 


191 


2 


5 


11 


. . 


47 


32* 


137 


563 


. . 


9167* 


98* 


827 


6767* 


. . . 





htocqut, ergo X ,-2 ot a4-23 nascuntnr numeri amicabiles 



4 23 . 5 137 

4.23-827. 



CASUS OBTBBI 

si m -i 5 vol 7 etc. Sit ergo m 4; erit 

/ "* -At * n^ff iWM *j * jf ('\ii tyt ^ 

* . r W fclf M " " Bt \ r 

unde formantur haoc 



et a== 



^; iim^ 
/ & ^^"'"X 


\ t 


4 


5 


6 


fmm 


! 35* 


287* 


575* 


1151 

TO 


it mas 








(6 

09070 


If 








O^O<4 


Jr mm 

ft 

y 




. . . 





82871* 



111 



Neque ergo hinc neque ex maioribus valoribus ipsi m tribuendis numeros 
amicabiles elicere licet 



f*t 



I- 



* 



Sit 



atque 



, 



ft.-5.ia et 



Sit <$16; erit 



, ergo ,_,. 
II. Ponamus n 2; erit 



atque a - 4fo - l}(h - 1), nnde seq^entes casus resultant: 
Hit d! 4; erit 



o ) * oU * o 10 undft n ~(A. I 

j>it A l f'b '*t t*f i /J M * 1 *i 1 7 

{L tL * I '\ I / $IT/SlHli * *u ji i . , 

* u> u ai}que ^ , ^.,_^ er g j^^.^ et c=s 
Sit ^ 8; erit 

(0 8)(& 8) 64 416, unde ^ = 12, ^ = 24, 

tt 4. * 1 1 9Q Q'f/^ll A " ' ^''^ ' *" ' i _, - 

a * . u ^5 atque -- - ~ , ergo 6 11 . 23 . et c 
Sit <l i 16 j erit 

C^~ -)(* 8) 72 6-12, unde ^ 14, ^ = 20, 

a 4-18.19 atque ^ i'lli^ 6 rgo ft = 13- 19 et c 4 

111 Ponamns 3, ut sit a - 8(^ - 1)(A l), oportebitque esse 



Sit d WES 4j orit 

(p-16)(A 16) -244-2. 122, unde ^-18, A -138, 
a - 8 - 17-187 et ? - il 1 !:! 8 !, . ergo ft - 2 . 17 . 137 et c - 1 

v "Mir 

Liomuu>i Eouuu Opera, omnlft it Commeatationes ftrithmetioae 15 



114 Dfi NUMEttW AMIOABILIBUS 

Sit d = 8; erit 

- 16)0 - 16) 248 - 2 . 124, undo // , , !H, 
a 8 17 . 189 et 

Sit $ * 16; erit 

(0 - 16)0 - 16) - 256 4 - 64, uncle $ ~ 20, 



8Q, 



et 



19-79 

16 ' ' : 



Sit iterum 



a-8-28.47 et 



et 



8 82; mule 



et 



BUmeri 



est, ut sit (ex ~ b)( cy - b) - fa 



x l ^ . 

l ' 



1XBMPLUM 1 

Sit a = 2 5 . 11- Arit, /. K n rr *. 

j u, ent ft^fi-li ^55 t c 2, unde liet 



x 

y 




5 
606 

80 
330 

29 
329* 




line ergo null! obtinentur 

numeri amicabiles. 




EXEMPLUM 2 



At Me numerus ft*. 18 s toon 
po, 4 divisn> il( ,; 



54. Kit 






EXEMPLUM 3 
, 4 IB . 17; erit J ~ 13 . 17 _ o ?1 of , 

.-.ia'.' SSS6<lue oportet 



{Xi "' 221 


18 


17 


169 


y '- 221 


( 3757 


. . . 


289 


a? - 1 


233 


237* 


389 


y - - 1 


3977* 


. . . 


509 


it -i 






1QQQQQ 



In reBolutaone ultima fit -i at y-i nmnerus prmms, qU aeBtio ergo hue 

it nnmerus prhnus necne, miamsi an em M 
eruiinum 100000 e.cedat, tamen demonstrare possnm eum 
primurn, unde numeri amicabiles eront 

4.13-17.389.509 
4- 13- 17. 198899. 



SGHOLION 

55, Nuinwum autcmi himc 198899 esse primum inde colligo, quod ob- 
servavl <*HBB UKKf)ii.,2.47 + 44l, ita at 198899 sit numerus in 'hue forma 
laa + bh ccmtemttm. Cortum autem est, si quis numerus unico modo in 
forma $aa + M ccmtincatur, turn eum esse primum, sin autem duplici vel 
pluwbua imxliB ad formam %aa + bl> redigi queat, turn esse compositum. 1 ) 
Quaesivi ergo, utrum a nainero hoc 198899 aliud quadratum duplum praeter 



1} Vide Ooomeniationem 258 huius Tolmninis, theorema 10. J. E. 



16* 



11(5 I)K Nl'MKWS AMK'AWUW ;< f ._ f 

1U [58-56 

47 8 subtraM queat, ufc residuum cvudut quu'iratum, nullnmtji milttlurto ral 
culo inveni; ex quo tutu rwtHiuM hum* immt*rtmt *m jirinuun k 
numeros inventos OSHO amiralnlw, K\ !vlt<{ui# uutMu valurHiUK a 
quos exhibui, nulli ropcuiuntur numwi arnicaM!!**. 



56, Possunt atiara alii iwmm hlomn j*n u tMwwm, ix quilws imineroa 
amicabiles eraare licoat, t'tim atiti'iit pro iin r%ul;i wncraH* frmli niHJiumt 
aliquos tantum hie ovolvanu ail t|uorm imtttitiotu*m n*i$ i*rit ilifllcil alios 
excogitare. 

I Sit ergo a*.fi.;U'i; rrifc | Li . i; . M nt ,,j, ^. f ,., JK . 1n flt 

/'* * * 

jaw8413 erit /"-<Jtti atijtir* ' -* !> , ;i * ** * a J& j 

6-15 et c-2. * r ' Ui '' sl n IS a 

H. Sit o-3. 7- 13; erit/tf^W-K. 14 ^H;.T. 1,1, mtdi* nh 2n^U 

/s *J<t O I %*"!* t 4 jfe ''l^^'t^ siS 

era ^a j a 2 7 < K> idoo(|tu^ .*.. ', '* . .. ^ 4 usttta /i it *?t f .* 



IE, Sit 
unde 2a 



IT, Sit a - 3. 5; wit J .*, f, , K . ti *, u; . ;| , ;,. Krp nh ;! , ^IH , :i . f, 
erit 2a-Ja2.3.fi hinoqno J-/', \---J 1*1 A ^ it ,*t r .,2. 

V. Sit a8.ri.ia.ii. urit ^/i^ni.ti.M.^^uj.a.ft 7.13 i ob 
2a - 114 . 8 5 ill et a . 



19 -57 et 



YI Hit a-8-.7-.I8.I0; t*rii /I- l.v;|, i. W ,,. - K .;i.;,.7 
et ob 2a-.48..M3.W srlfc ^- 






57-58] 



57. Bit b ;ir> (}***% erit q 



EXEMPLUM 1 
tioni (20 15)(2y 15) , 225. ^ " 5 ' 13 et satisfieri oportet huic aequa- 



Numeri ergo amicabiles ernnt 

3 2 -5- 13. 11-19 
3 s - 5. 13. 



2a?~ -15 


1 


5 


9 


ly 15 


225 


45 


25 


a? 


q 


10 


12 


?/ 


120 


30 


20 


a? - 1 


7 


9* 


11 


11 1 


119* 




19 


a??/ 1 












" 


239 



BXEMPLUM 2 

5R Hit b -,, f), e , 2; orit vel a -. 3 8 - 7 13 vel a 



aequatio re- 



f) 


8 


: fl 


27 


'* 


6 


.V 


18 


1 


5 


1 


17 


1 


107 



Unde cum sit a? -1.5, hie valor 
cum a3 8 '5 combinari nequit, Erunt 
ergo numeri amicabiles 



3 8 - 7- 13- 107. 



1XEMPLUM 3 



l 4I ! 
1 251 : 



M7 Q ui - * et y debent ease numeri pares, alia 
U i resolutio locum non habet, 
4 2 Ex hac ergo prodeunt numeri amicabiles hi 



8 s -7M3.5-41 
S 2 - 7 s . 13-251. 



118 



DE NUMKRIH 



58-59 



EXEMPLUM 4 



(20 



441. 



2# 21 


3 


7 


2y-21 


147 


63 


# 


12 


14 


y 


84 


42 


*-i 


11 


18 


4/ _ i 

t7 


83 


41 


0y 1 


1007* 


587 



Quia autem valor se. - I ta j am $ 
valore continottir, hinc nulli ohtinon 
tur numeri amicabilea. 



62. .Sit 



x 45 

x 

y 
y-l 



EXEMPLUM 5 



61. Sit 1 
-57)(2y~ 


) mm ,)7 t C " 

- 57) 8249, 


2a?- 


-57 


3 


2y- 


-57 


1083 




a? 


30 




y. 


570 


X 


i 


29 


y 


,, i 


569 


y 


i 


17099 



Hinc ergo oriuntur numari 
amicabiles hi m 



S f - 6. 13. 19. 29. 663 
8 f - 6 -18. 19- 17099. 



EXEMPLUM 
; exit <i 



et aequatio resolrenda 



Hinc ergo oriuntur 
amicabiles 



11-29- 
11- 



59-60] 



Sit 



~ 77) 49.121. 



BE NUMEBIS AMIOABILIBUS 

EXEMPLUM 7 
et c^%i erit rt==3 2 .72, 11 .1 



119 



2x ~~ 77 


7 


11 


% - 77 


847 


539 





42 


44 


'11 


462 


808 


tr. ' I 


41 


48 


a - 1 


461 


807 


r )/ 1 
','/ " * 


1940S 


18551* 



aequatio resolvenda 



Hinc ergo oriuntur numeri 
amicabiles 

(S 1 -^. 11. 13. 41. 461 
18' 7'. 11. 18. 1940s; 



1XBMPLUM 8 



resolvenda 



105 


8 [ 7 


15 


85 


105 


8675 | ... 


735 


. 


& 


54 1 56 


60 


70 


II 


IXfK) 


420 


, , 


,, | 


58 I 55* 


59 


69* 


- 1 


188,0 , . , 


419 


, . , 


_ i 


10205!) . . . 


25199* 





Cum 102059 sit numerus primus, 
quia continetur in forma 8a + 3' 
et unico modo ad formam 2a+&6 
reducitur, numeri amicabiles hinc 
orti erunt 



3 2 5 7 . 53 1889 
3 s - 5 N 7- 102059. 



65. Numeri ergo 
nms, eunfc 



SCHOLION 

, quos hactenus ex forma ap$, ar inveni- 



IV. 



1 



4 . 23 . 5 137 
4-23- 827 



2*. 28- 47 
2*- 1151 

[4.13.17.389.609 
U'18.17 -198899 



III. 



VI 



2 7 191 . 383 
2 7 . 73727 

3'. 5- 13. 11- 19 
3 2 - 5- 13- 239 



JfO DE NUMERI8 AMICARIUBOS 

Til ( 3 ' 7 ' 13 ' 5 ' 17 vm f 3* 7' 13 f> . 41 i ;!> . 5 , 1; , , ,| 

' U' - 7 - 13 - 107 VUJ - 1 . 7' . is - 251 IX | ;! . 5 . 1; , . , 

(3*. 5 11 . 29 89 ,;(' . 7 - 1 1 13 - 41 . il ,# . ,-, . 7 . r., 

X ' (^.5.11.2699 * 8..7M1.W.1M XI1 ' . 



' 7' . 11 . H . l< 140 'i ' , 

j i ii 1,1 UHHAS l,j> .5.7. 



PBOBLEMA 2 

66. 






80LUTIO 

_ Cum factor communis detur, quaotatur OX m, valor IVuUoaln 6 
an is terminis M ncq ue eri t a-.f^, , :84 ( ,, I)()im , () m 

* + 1 ^+ 1 )-("+0(. + 0, Po-tur U,n 1U e vale, 



Ubi manifestum est hos numeros >> ^ o, ,. 

> s fisnt r,,,w, " umeros a - P> x > y emsmodi ease debere, ut v 

r, s fcant mman pnnu, et numeri amioabiles erunt ' P> 



Praeterea vero ex natura numerorum amicabillum eaae debet 



ob 



rel 



6 !Z 68 L ..... . ......... . ......... .. ........ 

Unde fit 

fiCa '^-" ....... ''""f + ^ + ( + 

bG{1(a + (])y 

Quare satisfieri debet huic aequationi 




Numerus ergo W4- $?,,,_. 9/, /./? nnM . , 

sint P, ft Lw debS Bt posl "" " *" ^^ &Ctores ' 



"'' " ccif} 

hi numori * et i/ mm aolum fiant integri, sed etiam ax-l 3v-l 

et y-l numori primi. Erit i^tur ' 



o ...... " .......... "~" 

QnoviB orgo valore Ipsius a proposito, imde reperitur i.-JL- dispi 
clendum ast, utriiin earn nnmeri a efc /? ita asaumi turn resdutio* 



ita mstitul queat, ut valores modo tradlti pro p, % r et s fiant nnmeri primi 
eb tales^ qnidem, at factor communis a indium eornm involvat. Quoties 
autem his conditionibus aatisfleri potent, enmt numeri amicabiles a M et ars. 



COEOLLABIUM 



^ 67. Quoniam we noqnit ./?, pro Ms numeris a et /? ponantur nnmeri 
snnphcioreB hincque oriontur casus sequentes: 



I Sit n I, /* 2; wit 



et 



()j,a omnk It Commcnttttionei arithmeticae 16 



Sit 



T)E 



erit 



at 



III. Sit 0-2, /9- 3; erit 



^ 



IV. Sit 



. erit 



. Sit 



, erit 



VI Sit * 



; erit 



jj 



6 *~ SB| . DB NWERIS AMIOABILIBtJS 

___ 123 

VIII Sit IL 

,- ~, w* AU j- u, = K/, "^ __ 5Q6c et 



q J., > ES 

dc 6c 



IX. Sit ,4, V 5; erit PC-.8W-4Q&C et 



4c 

Bit ft " 1 , ijmmfi 



et 



XI. Sit a 5,. ft ^ 6; erit PQ M 12166 - 60&c et 



1 
1, a 



lib 



_1 

6c 1> 



faecundum hos igitur easus valores ipsius a iam ante adhibitos, qnia 
prae cetera ad uumeroa amicabiles inveniendos videntur apti, evolvam ex 
us autem potisBinmm eos eligam, qui actu ad numeros amicabiles deducimt 



68. Sit a 2 1 ; erit b mm i et c 1, Sumatur casus secunchis, quo ** 1, 
B wt numeri amicabiles sint ^pq et 2Vs, fierique debet 




16- 166- 4-232 

6-1 et 



3 

16* 



124 



DB NUMBBIS AMKIABILIBIIB 



[65-66 



Factores ergo nranen 282 ita debent esse corapamti, ut II! aucti fhnt n. <* 
aivisibilos. ' l i 



P- 2 

<? - 116 
P+16- 18 
Q + 16 - 182 

#* 5 

i? 131 
r~ 17 
43 



Alia reaolutio uulla Hitcealii; ni anim 
jp 8, liorot (; numoruH tmpur ni'quo in'go // 
s numori primi ease pofiont. I line 
nentur hi numori amicahilon 



1034 



1, 



16 a - 6 . 2 - 2'(2" - 3) 



1024-1, 



. B18 . 5 , 409> 



P + 1624 -1026 



341* 



r 1025* 



8 


20 


82 


80 


128 


320 




* * i 


1 


18088 


8180 


. 


1082 


1044 


1066 


1104 


1152 


1844 




. . , 


, , , 


14112 


9204 




343* 


847 




'867 


388 


447* 




* 


. . 


14111* 


9208 


if 


* 


1043* 


1055* 


1108 


1151 


1848* 


* * 


* * * 


. . . 


4708 


8067 


.. , , 



2304 



767* 



2808* 



Brunt ergo numeri tonicabites 



2". 1151- 8067. 



67-68] 



NUMERIS AMlOABILlBtTS 



125 



EXEMPLUM 3 
70. Sit - a et, - , * sumatur . .. 3 , . 6 . 13> ut g . t 6 _ ^ flt c _ j; 



pi 7K 
J. * I ' I 1 1 



1, r 



P+75 



nn^fectores PQ ei.smodi ease debent, ut ternario auc ti 



per 24 diyi- 



c.. 3 45 



to 

47 

&) 
111 



Aliae resolutiones non inveniunt 
locum; unde hinc numeri amicabiles 
prodeunt 



3 s - 5- 13- 29- 31. 



71, Sit 



et 



ofc 



1XEMPLUM 4 
et sumatur a3 8 -5, ut sit 

25.81- 8- 18 -9- 11. 19 



1, S 



et 



; erit 



1, 



unde /> i, <y tniwitHnli debent ease numeri, ut quinario aucti per 8 fiant 



/' 


,1 


19 


Q>-< 


(127 


, 00 


L r - 


48 


: 64 


\ii r r ' 


1572 


144 


;'"' 


5 


7 


v 


$$5* 


1 71 


r - ' 


SJ3 


' 81 


a " 


83 


! 17 



Hinc ergo oriuntur numeri amicabiles 

[8*. 5- 7- 71 
l8 a -5-31.17. 



126 I)R N'UMKKU* AMI* \WUWS 

. |88-80 

HHIUUOX 

72, Hae autem opmlloiiw mini* unit inrmian ;4r flHimtmw ,i 

frustra institauntur, unttunuuu mmurs umi'atUt<H .. oif,.,-,,,,* f i rfl8 

j j. , . , **'* uni, iiiltitir univ*i 

toret vehementor prohxim, HI Htngulis valtiril.im Ip^tH n, M OH <ttl i ( | f 
exhibui, per slngultm cmw littwanwii H ,* i*i-iv M nvr,/\.*Uiimv idmy 
raro evenit, it quatuor nmm ,m. ^. v . , H x r^ultm.i^ Nilim i lhl |t 
lum vero atiaiu inventio nmwmmm mmnMimu ^ ^in>mhmthmmi 

OH1S fiC ^Tl /J Tl 1 Y^l 1 M ^*/1itJ f"t*i i t^*^*$ i *v-* li i i 4 "*** - .. . ^ 

quibus ratio :/y tarn OH! <unjli<ata, nt nuihi prtji^hilt ri ; V"" 1 * W 
tuisset; cuiusmodi nirat nnmwi ainirufiiitK ^.isi-s^'j r t " ? s-^wT ' Kl 1W " 
hac via inyeuiondoa ratio :/! f i^umi ,Mmk,H\C; ;f! ^.VV-m' 'S!" 1 <IU . 8 

rem huic methotlo uiraia Hturiii tt tww* .ttmi.^ . M . ;,.'*' , UM 

immott)) , stMi aliaiu 

*1**H titiit huiuH HI*. 






73, 

W(M s , v . 

f /*i* in 



cunwtuiH* a 

HOitlTIfi 



est, ut sit l "' ' jr .* ' ' ""'n' 1 " "I 8 



1) Sed vide notam p. 61. 



AMICABILIBtJS 



seu 



Ponamus brevitatls gratia 



erit cfiaj 






Numerus orgo h 
resolvi debet ut 



numori mtogri, ium voro AJU 



bhgh + 

o , ,. 

S eiMlnodl fectores ' 



* P et <?, 



r",i . T 7" ullum 

; ' , " ,'n , ' rT ,' , i 

UK. UOH / ill ^ . 1 (!1)HO ( | obere 



OOBOLLAEIUM 1 



postuhi H ' {.f 1 
postulat, on, 

-** // H, i 



Unde cjwwri 



pro))toroa f= , h 
foA-8 aeu 



H 



211. 



- (it 



aupra meinoratis proprietatibus praediti, 
et v v 



75. His Igiter formulis ita uti conveniet, ut pro a successive alii atque 
ahi valorea ex iis, quos supra exposui, substituantur atque pro singulis lit- 
terae f varii numeri tarn prim! quam compositi substituantur, qui quidem ad 
numeros amicatks invenieados idonei videantur, 



128 



l! NUMKWH A 



tores 



76. Sit a~4 (ex vnlorc. wiim a ^j mi if tw 



ait 



Hincque eruaate numeri 



ex Ms darimtur Talon* 



77. Sit/, 
hypothesi 



*** 



Hit 



hiw ""- "- W 



**> 0, undo patet ex 



78. Sit 



r *** 



- 2y - 1 



et 



2 

64 


4 
32 


16 


16 




64 


Hinc prodeunt 


5 


6 








2 


numeri amicablles 


f\r\ 


w 




12 


90 


AC 




38 
14* 


22 
17 


14 
23 


10 

85* 


a 

68 


7 
107 


f4.17.48 
14- ft. 181 




43 
131 


27* 
111* 


19 
119* 


15* 

150* 


*eVr f 

ia 

251 


et 
f 4 18* 107 
U- ft. 351. 



71-72] 



1)E NtJMEEIS AMIOABILIBUS 



Ponatur socundo //!, h.~*(\ fietq-ue 





2 - * - 2 




2 : 4 


8 


16 


32 


64 


Q< 


G4 i 82 


16 


8 


4 


2 


X 


8 4 


6 


10 


18 


34 


y,,. 


44 28 


20 


16 


14 


13 


^(jj. . I r 


17 


28 


85* 


59 


107 


203 


, 101. 


43 


27* 


'19 


15* 


13 


12 


* * try 1 


181 


111* 


119* 


159* 


251 


441 



Sunt ergo hinc numeri amicabiles 

'4.17-43 



4 5 131 



et 



4- 13- 107 
4-fi. 251. 



129 



lidem ergo pro- 
deunt bini numeri 
amicabiles qui ante. 



79, Sit /" 7; erit 



Sit ergo primo g '- 2, 



EXEMPLUM 3 

8, e-28 24 4 et 



; erit 



x 



10 



1, g-2y-l, r 



p 


4 


8 


28 


56 


Q 


56 


28 


8 


4 


% 


8 


4 


9 


16 


y 


18 


11 


6 


5 


i 


11 


15* 


35* 


63* 


i 


35* 


21* 


11 


9* 


i 


63. 


43 


53 


79 



BTOIM Opera omaift Is Commentationes aritlimefcieae 



17 



130 



MS NUWBltW AMi<'AWMM?H 



Sit secundo 
*, *-M 



Q 



56 



3 j 8 
15 j 10^ 
23 j eg* 



y 

y-i 

*0-l 43 | 44* I 71) KM* 
ergo nulli prodeunt numeri 



80. Sit 



pro ,, 



81. Sit 



EXEMPLUM 6 



iam sunt inTen ti. 

p rimi 8tatuantu 

vel a B0rtie t ur valorem 



4-5.261 
4 . 13 . 107, 



[73-74 



1, 



Hiv autam hie 





lam patet 

08 amio 



pro f maiores 
, quonianl 



(8 



6 



16 84 + B2 - 64 - 64 . 53 

. 4 . ML Hinoque . n _ 



AMIOABILIBUS 




venietur in numeris primis p - 43, n _ 2267 et r - lia? 
amicabiles * '-1187, 

4 43 - 2267 

4 . 5 . 13 . 1187. 

CASUS 2 

80. bit tt = 2' <! =3 8* fiVlfi /J B=B 8 /> 1 . J. ! 

,-,/. ' Cs==1 ' tum P sltls 

et 8/r *tjf-yh erit e^Sf-Tg-h atque 



(ea; 8^)(6y - 8fc) 64^A + 8e(/-~ 1), 
undo casus Bitnt <%tioscendi, quibus Hunt numeri primi 

#"-7*0 1, 00 1 et' r = ^/ 1. 

EXEMPLUM 1 

84 Sit /' 11; erit 0ft 12, e=4 atque 

(4 - 8//)(4 ? / ~ 8ft) - G4 12 + 32 - 10 = 64 . 17 
sou 



Hinc autem nulli numeri amicabiles reperiuntur. 

EXBMPLUM 2 

85, Sit /* 13; erit 0ft 14, g 6 atque 

(60? ~ 80)(6|/ 8ft) - 64 11+ 48 12 64 - 23 
seu 

(30 40)(3y 4fc)-16-23; 
verum etiam haec hypothesis est inutilis, 



131 

erunt numeri 



is amicabilibus 



17* 



EXKMl'U'M ,1 



86. a 






prodeimt numeri aaicabil* 



75 



8-17.70. 



87. Magis foeourida est 
substitui 



seu 



aute, r e pflriratur 
8-383.1907 



numeris 
numeri 



- U) 



8 . 467 ,, 
8 .I 2 

U-2S> 



"'"' 



8-n.28.ieia 



fin 



n- 



formulis 



i cnmmodioreffl 



et ... fl* 



75-76] 

eliciuntur valores 




ee 



Sit ergo ob gJi Cf 
erit 



JP 



V IX 

et nnc quaostio eo reducitur, ut numerus i /? resolvatur m duos factores 
M et A, quorum uterquo quantitate iff and fiat divisibilis per * et u t 
quoti, luuo rosnlteatos unitate mirniti sint numeri primi. Denique oportet 

lit Bit V -4- 1 """- *"'*" '^T" ^in^Mi ' 

n "' ,/^ et r numerus primus. Hunc ergo calculum in non- 
nullis casibus illustrabo. 



CA.SUS 3 
89. Sit a-2 4 -16; erit 6 16, cl atque 

a^l,6f~l5/h ^-256/^+16^-1) et MN-Lff. 

Numeri igitur primi esse debent 



quibus invenias erunt numeri amicabiles %# et 16/r. 

EXEMPLUM 1 
90, Bit / -, 17; erit 

'//" 18, -2, i 1024-5 et JO" 1024. 5- 18 = 2 1 *- 3 2 - 5, 



sen sit JbT 2w, A f 2, ut sit ww-2 9 -3 2 -5; erit 

jp + 143 | n + 143 et r 8(w + ri) + 2431, 



134 __ ___ Dl NUMEWH AMIUAIUMIUW [76-77 



qui tres numeri debent ease primi, ut numeri amieabitew mil Htyy ( ,t Hj,i 7f 
Hoc autem succedit duobus modis, primo, Hi ttf-24, w WJO, t aocundo si 
m = 96 et w 240; unde numeri amicabiles proricnuii 



1(;M(7.1103 
16- 17. 10308 



Ergo 



01. Sit/- 19; erit 

//" -20, e 4 ? 128 40 et Jf tf . 512 5 . 4!J -. a . r> . 7 s , 



4 



III 



seu sit Jf-,4w et JV4w, ut sit 



Hinc, si m 70, n - 112, prodeunt named 

16 * 149 . 191 

16-19.1489, 



Q0 Q . A * , 1XEMPLUM 8 

92. Sit f-23; erit 

ff-U, e*B, Z-266.5-7 et 



; orii 



.. 

8 ' 84 



et 



Hinc tres casus oriuntur 



m - 56 
-60 



.%() 



78J 

et nnmeri amicabiles sunt 




^16-23.1367. 
EXEMPLUM 4 



03. Sit /* 31; orit 

31 et 



16 - 82 ^ 1fir?Wj. AA_L K^n m 

. 1 r __ 1 j^*Xr5Q + 512 47 
16 - - 1. 



Sit ergo M- - Um, JV16, ut sit w-2 6 .31," 

Hinc autem nulli prodount numeri amicabiles. 

EXEMPLUM 5 
04. Sit /V .47; erit 

ff4&, c^m et JD 1024-5.7 et 
unde 

Sit M^^tm ot JV 82, ut sit wiw 2** 3- 5- 7; erit 



Ergo + n debet ease nuraerus impariter par, ut { :( w + ) fiat impar, quod 
evenit, si vel m vel n ait impariter par. Sit ;w-'30, ^ = 56; eruut 



numer 



16 - 63 - 79 
16-47-89. 



136 



1)B NUMKUIH AMlCABIMWIfl 



[70 



MXKMPLUM 

94[a]*). Sit /W17.137; erit 

//"- 18. 188 -4. 27.^1 .LMKI, r 
- 256 . 2484 + 64 . 2328 - 61 2 8 7 * 73 ot AT A' 

j,.:t"JiW_i ^^'2484 ftl! 

4 ' j. ^ "" A s r < 

Sit Jf-4w, ^4^; erit *-. I2H.81 7.2'.7;i t. 

((7 S^B 41 ,L, MIJ-<f\ rtf . ;l /. .. 

;j '* | t/>'wi.l t*l,i / ** I fW 



HI > 7 ,^t 7 

* * **) f tj t 



in 



88709. 



Sed hie semper prodit valor ipsius r maior quatn IlXXXJO, Ite tit cliftlcilo rff 
discernere, utrum sit primus necne, 8lt 



95, Sit jr-17.161; erit 

j? 18 . 162 16 . 9 . 10 * 27ft, 
^^1024.1967-1024.7.281 a 



Sit 



Sit 



* + 1*7, ^. 
l ^^8y; erit ^.9-7.19. 
P- 2^ + 1887, j- 8^ + 1887, 



turn resolutiones locum Imbent: 



A* 

^ 


* 
3 . 281 
21-19' 


7-19 

9 - 281 


2L281 
57 


21 

57 . 281 


* 

68.281 
19 


* 

8 

33Q.9&1 



obser?atis tan- 



1 

1197-281 



1) In edition* pri^pe falao Mlnerus 



137 



80 ~~ 8l l HE NUMERTS AMIGABILTBUS 

quorum ii, qui naturiRciB Bimt notati, excluduntur ideo, ne p, g V el r fiat r>er 
7 divisibilo. Quarta rosolutio dabit hoa numeros amicabiles 

16 '1409- 129503 
- 17- 151. 66739, 

si moclo hie immnrus 129503 est primus, 1 ) 

EXEMPLTJM 8 
06. Sit f~ 17-167; m-it 

ff - . 18 - 1(18 16 . 27 - 7 - 3024, e 64, 
/, 2(M8 171)7 * , L>()4H , 3 509 et MN~= 2 1B - 3* . 7 . 599. 
Sit J/ 04 m , A r ^ , (M w ; erit mn 2 8 - 3* <-7 . 599 e t 



Sit w " 2/i n - 4 y\ erit ^i/ a 4 * 7 599 et 

755, 4^ -|. 755 ; r 



Ubi patet OH8e oportero /^-4~ I, ne r fiat numerus par, nee ^ = 3a f 2 
nee y-Be + L Hinc prodcmnt numeri amicabiles 

16 809 51071 
16. 17- 167- 13679. 

OASUS 4 
97, Hit vol ' 3 s - 5 vel a--H s .7.13, ut sit 6-9,-b 2; erit 

-l et 



qui numeri p t Sf> f 8<l fuwint primi, erunt numeri amicabiles 



t) lit totflffl Iafl5()3'.-. 11 (51*198 ideoque numeri correspondentes non sunt amicabiles. 

F. B. 

.Lio4ii Etn,wu (JHr imioift It tlommemtetiojieB arithmetjoae 18 ' 



138 DK NUMKWS A 

...... - ....... - ............... - ...... - ........ ............. - - 181-88 

KXKM1I*UM 
98, Sit ft, /y~8; mi 

fi-7, r,.2.27.W, .V.V I -:M!i 



,.. 

7 7 .- , .... . 



Unde posito .M"54, JV-152 : oriuntur nuroen 

a. 17. 81 itf.. 



HOLUTIO 



Altera vero proprietas 



et pro r substitute vaJore 



Ex factore commtmi a qnamtnr In minimi* tt<rmmi* fmrtii* h 
demde sit i ;f . M e t 03 



82 "1 BE NUMERIS AMIOABILIBUS 

........ "" ....... " ............... '- ..... .~. -------------- __ j. rfy 

Sit brovitatis gratia jp + 1 - a> j _j_ i 



. 

Ponatur brevitatifj 



eritque 

- __ s 

; 



sou 



Ponatur ergo ^.6^^ + n l>(h - ^)e . Jf 2V fietque 



a ** e ' n" a 

Qui tres numori p, q fit r si fuerint primi, erunt numeri amicatviles 
et ahr, dummodo utriusque factores sint primi inter se. 



1(X). Hi Hint g t h numwi primi, erit ^||; sit ergo g^ km let 

h -:- A- -- I ; aril j'h * /.', undo flet 



) - (2I c)kmn 

1)) (ey bn(km 1)) 



et 



, 1 1 A W 1 

^ i , g .. y . i atque r icw 1. 

n 



140 DE NflMEinS A 



1.01. Sit -w 1, w a, wgo <; -A- I. /* ;U- . . | W ii.i|iii 

e-'$ck 4h at- J/A* , n/i-,')6<A* I- 1 f 4 j/r' 
ideoque 

A/ 1 ^M* Ji Vi aA i( '. t 

r* S*"**-* 



ac denique jf) a: .......... 1 , y - ;/ - i H r ! j ;/ l , 

KXKMPU'M I 
102, Sit a t, ft- 4 e. 1; wife 

6 -'U* H of l/,\% , t;f !; a 

et 



Hie poni potest 

I *-fi floiquo // 



uncle mhi 



equitor, 

103, Bit a -8, 6-8, 
seu *3Ar.. t 



ne Mnc qwque qmcqtmm mdtidw0 
104 Sit t 



f 



84 - 85 -1 , DK NmiBBIS AMIOABILIBTJS 141 

EXBMPLUM 1 
105, Sit a 10, I 5, c 1; erit 

-8*-20 at 5((B*-l)--2*a).(a^5(8*-l))(a^5(8*^l)). 

Si hfc p,mtur *,H M 6 - 29 . 89 - (4a^ 115)(4 y - llfi). Undo prodit 
a; -30, ;//-(>7.i, ,-J #y (m K) ot numeri amicabiles erunt 



10-23. 29-673 
10 7 . 60659, 



106, Sit a tf.fi, /;:.-.! 9, c2; erit 

-. 8(8*-.!)) (|. tf y- 8(8* -I)).- 

Jam flat K ; ,H; mit . ,12 at 8 1523 - (4a? - 69)(4y - 69) hincque oritur 
$ '18, // , MiJH, ,V/y 2141)2 oruntque numeri primi g = 23, fc = 7, j) = 17, 
fif* -W, r .214JH cit uumori amicabiles 

8 1 .. 5. 28 -17. 897 



SCHOLION 

107, Kx his oxompliH UHUH huius problematis in inveniendis numeris ami- 
cabilibtiH Mul-iH lucuhm^r irpicitur; sod ob ipsam nimiam fingendi libertatem 
non par u in inoleHtum ( 4 nt Htcundum praecepta Me tradita omnes casus per- 
currwu (him igitur Hufficiafc hanc mothodum tradidisse eiusque usum mon- 
atraHHu, tn prolix iu non imnioror, sed ad ultimam methodum, cuius ope nu- 
moroB amicaliil^H oruoro licoat, (jna quidem sum usus, exponendam progredior. 
Nitihir a ittttwu HiugularibuB propriotatibus, quibus numeri ratione sumnaae 
diviBoruin gautiont, quaH oblata occasions explicabo 1 ), ne plurium lemmatum 
praemiHuio tacutiutn crfc, lia autem expositis non difficile erit plura alia 
problonmia ad hoc gormn pertinentia resolvere. 

1J Vid m, gr, (Jtmmetatiottn ^48 huius volumittis, F. K, 



142 !)R IWMKWrf AMU'AMUlirs 

- ..... --- ..... - .............. ....... . . (H5-H6 



PROBLBMA 5 
108. Inmiirv 



/ 



SCJLUTIO 
cum ( IHH<* tM* 



w(war 1) ti ^(iw/ I., 

ubi quidem renuirifcur. ut /wx I t4 r i ;* 

uuJi ^ dt^Lul^ .'. ; ' l 
ea sit aoqualiH H umnui 



. ,,, , 

netur ista aequatio ' ' ' tul " " ll1 ' 

,* - WjB ,'" a 

/ (Kfl-t-m^j- a t,' 

Quo iam ex hao aequaticm. vabr ipniu,, , ,, a ,-i ^ u *l. Jhirtiu "''" 

ad < temino S reducatur, tl u,u, nit ~ ' , iu ttt lmlll . (ltul . V I.'?' ,";* 



7, , nam-ir ccmtat omm, ,!;,-! )aw , 






aequale , { 

tionem ' ^ . ' lpWUH ' L (I " {'<', M wt, - / , 



. 



86-87] DE NUMERIS AMICABILIBUS 



b fa < 1 6t < 1 6rit < 2 ~ n 1 ) ide qUe mUlt m ^ is J, > {. ita ut * 
sit semper numerus deficiens. Hincque patet aequationem = semper ita 

fore comparatam, ut sit r g >~- sen s<2r. Unde si Qiifr^s, erit fr<2r, 
et si s > fr, erit nmlto magis Jr < 2r. Utroque igitur casu r erit numerus 
deficiens, Quocirca si x tanquam numerus incognitus spectetur, proposita 
aequatione ,* :. , w ,^ a - valorem ipsius a; ita determinari oportet, ut 

ij M (^ "y Wt *?J $* a " 1 * ^ ""*"" t* 

reducta fractione ;-^~-i a - n h ad minimos terminos -f fiat r numerus 

* Vfv tv "*["* e W J w " M ^ > W *""**" " o 

deficiens et ut sit vel s = jr vel s>Jr. 

Quibus conditionibus anirnadversis tarn r quam s in suos factores sim- 
plicea primes rosolvatur, ut prodeat huiusmodi aequatio 



tune autem successive vel A a vel altior potestas ipsius A ponatur factor 
ipsius seti ponatur z^P-A^ v ] Qnifr~=fA a+v -fP ^-/ ideoque 



Similique modo ponatur ulterius P*=B ft+ *'Q et hoc pacto procedatur, donee 
tandem perveniatur ad aequationem huius formae -^ =j~, ex qua habeatur 
Zu, Saepe quidem haec operatio successu optato caret, sed pro quovis 
casu oblato facilius erit operationem hanc per exempla docere quam per 
praecepta. 

EXEMPLUM 1 



109. Sit a = 3, & = 1; erit j = 4, b = 1 et m = 4, n = 1 ac numeri 

amicabiles erunt 

3( 1)* et (40 1)*, 

1) In editions prinoipe (nee non in Comment, writhm.) bic et in priori formula a & loco 
a+5 scriptum est Oorrexit F, R. 



144 M NTMKWS AMlt'.VHH HU ,- 

. ....... - ........ - .......... ....... . 

si sint $ ~ 1 et 4a? 1 mirnert prinil H 



Hie autem prime pattt, m 4 \ mmwntttuv tmn tuilatttr, fW* ?r 4,. A 
ob/4aj~7jk Krgo HWHW 't % ut *tt > I mim,. ru , t juir. i {m ltfc ur 
$*-4,p', erit 

* 4| 

,/* *|< I 

Nunc fiat 7jp I numtnw pur jwwwtn ;i--:fy j i; writ 

* _ :fi f j*/ 1 1 

,/J 1 if i 3 

et as 8^4.4 atque 



im*t tkrf4ir :i, Su i 
*. <t (fir t 

f** 

. * 3Jr 4 



2 rt JK.WI,,, ^., : j 



, 3!r I 

.'V " Kl, . 



ox 



* _ la* i 
/* ' 



Uncle ^ neqult mm* ntultiplum fwmtiii, j,r , t at |M , r ;| .iivi.iliih* Krit 
ergo vel ^3r +1 vei ^, 3r t; ^..ri CUMI lit - f . | . . ,;, , :| w . ( 

^ * 

^ t; ITII 



atque a 24>- 4, 



n-omemm imparem fiet quoque 
" bur 



ros primoH, ot diapiciatur, utrum aequationi J J.pJt satisfied 
Sit sr 7; (Tit, x I-.* Ml, 40 __ 1^1097 *. /"""la T 

u^j tJb .-.--=-.. . jL am 

debeat osao quadra turn, ponatur * 8S 2 ^; orit /i=367.'l9 fl ^ ^ 
Nunc uutonHpsius ,1 lud,or H Utni noqnit 19'ob /19' - 3 137; ptdiret 
a l.u-.U,r U.HU.H ,1: : allaonhuH v,:o potentates sum^dis mo x devenitm- 
numoruH tii.n unuidw, u(, liu-.ilo patoat opus eucoedere non posse. 

Kil, 1'J; erit, x I ., f)7| ( 4a!~r=2287 et -* -= ". 
notjuo 1,'i pro tiiutt.rilms ipniiiH iuismuendo rosolv/potest. 

NIMIIU. v,-ro ,.... ,-x uuuorilnui valoribns pro mihi quicquam prae- 
starts Itcuut, u ^ 

KXKMPLUM "2 

110. Bit - 5, & i ; erit Ji - (!, /^ i, w . e> n _ l et numeri ami- 
cabiles orunt 

habebiturquu 

f* n x o 



QUWJ uuquuitd t it jioHHilulw, nx immeratoro (i$ vel binarium vel ternarium 
tollre oiit>rt(i, qutu ulioqitin uumwator nianorot numerus redundans. Habe- 
bimuH rgu duon ciwiw ovolv<iuU)H. 



I. Tollatur ox numerafxire teraarius ponendo *8^; erit 



nmnc vero porro ponator f 3f -f 1 eritque 



Laonuwx StRjnu C)p omttis It Conma&totionei ftrithme : fcioae ' 19 



146 DJB 

....................................................... - ..... ........ 

et ob x - 9#-f3 numeri primi east* Mont 

U! ..Ir-^ty.f.JJ {4 ,1^ I .r^ , { ^ 

ubi patet q esse dohoru numwum imjmiviti. Sit cripi , . *, * 

* ** * 



qu a7 Hant 

1) r 1; erit 



Cum igitar hie sit 7-/4, erit ,. .4 ,* u,,,ri ilmi !>ilt , sw , (Ill 

l4-S.lt 

j j> | 

quoa quidem iam Snvenimus. 
2) r 2; erit 

a; l M, 20, (jiu . , | ^ , ||, f ^ * ^ ^ r, ^ 

At n- factorem 5 habere nequit ** * ' *** ** 

8) f 5 



Me 3 17 < A , 7, 
*/ 

4) r8; erit 



* 

unde P= 



414 
7 J7 



9091] 



AMIOABILIBUS 



147 



unde fit g = 4 23 et numeri amicabiles erunt 

4- 23- 5 -137 

4.23-827. 

Beliqui valor es, quousque quidem examinavi, nullos- dant nmneros ami- 
cabiles. 

II. Tollatur ex numeratore binarius ponendo # = 2j?; erit 



Nunc sit p = 2# + 1; erit 



fe lijp 3 



JL 

7* 



et numeri primi ease debebunt ob x 
a? 1 = 4 1 



-f 2 
1 240 + 



quare ease nequit ^^Sa l. Deinde cum z non esse debeat divisibile per 5, 
neque 2^ + 1 neque 4# + l neque 24^ + 11 per 5 debet esse divisibile, unde 
excluduntur casus g 5 + 2, 2-=5 + l. Eeiectis ergo Ms aliisque valori- 
bus inutilibus ipsius <?, qui pro x~~ 1 et 6a; 1' non praebent numeros primos, 
calculus ita se habebit: 



s 

3 
4 


13 
17 


fix x 


t. 


83 
107 


3<7 .,.! , 

.,_,,, m hi 1 f\ 

37 nmU d 

3 9 9 "9 
"is" *" 16 I' 


at. 


13 13 7 7 q 
^ _ ._ ^ } g y.i.\$ f 

~ , ergo & =* 27 - 5 ; Me autem valor ob 


, 9 27 

" .Io" 








a 6 est inutilis. 








Erunt 


ergo numeri amicabiles 










f 9 7 . 13 5 17 










(9.7.13.107. 



19* 



148 



I>E Nl'MKHIH AMtfMitf'UKf 



s 


x l 


601 


* 

x 


_______ 






fe 


9 


37 


227 


3- 18 . A 

10H nmil tlmt, 


10 


41 


261 


8-21 ^ | 3-7 ? 



7 f .ia.:,,4i 



in n 



24 



28 



34 



39 



45 



48 



73 



97 



113 



137 



157 



181 



193 



443 



587 



688 



827 



1168 



3.91 



;H , IM 

4.07 mlul 



4-T.t, 



X*r* ut 



49 
60 



648 



3- II s 

8-83 



9394] 



DE NUMEEIS AMICABILIBTJS 



149 



f 


/Y 1 mumronu. | 


6ic 1 


8 


69 


277 


1667 


3-139 
763~ 


79 


317 


1 ( )07 


3-159 53 








873 97 


84 


337 


2027 


3-169 __ 3 K>9 3-169 
928"" ~ 8-116" ~~ 32^291 


93 


373 


2243 


8-187 _ 3- 11- 17 
1027 ~~ 13~79~ 


100 


401 


2411 


3-201 3-67 3-67 
TloT ~~ 368 ~ 16^23 


244 


977 


5867 


3-489 3-163 103 3-41 41 3 2 3 2 13 13 7 7 








2688 128-7 4-41 32-7 2-3-7 16 13 16 14 8 8 








Ergo a = 3 a 7 13 41 163 et numeri amicabiles 

erunt 
J3 2 - 7- 13 -41- 163- 5 -977 








13*. 7 -13 -41 -163 -5867. 



Hinc ergo bini proclierunt novi. numeri amicabiles. 

EXEMPLUM 3 

111. Sit a 7, & 1; erit Ca = 8, A = l, wi=8, n = l et numeri 

amicabiles , , 

7(a? 1)^ et (8aj~l) 

existente 

Ac primo quidem x debet esse numerus par; ponatur ergo x 2$; erit 



et 



-~ 4 



quae aequatio est im.possibilis, nisi potestas binarii in numeratore deprimatur, 
quia 15 jp 4 < f*$p. Ergo fiat $> = 4^, ut sit 

80, 1 80 -1, 8a? 1 = 640 1 



^ _ 
___ 



DE M1M1II1S 



Nunc sit (i -a 2r -f- 1; erit 
et 



4ilir | n 

i:*f>f 7 



n. 



quorum numerorum ut neuter ml, F r rt tlivwihilw, n,u m ,. W tf r , 
neque r3ex, Sit ergo r^3* + I; orit 

<f 4(6,9 4* 



et 



' SOU 

19 

28, Hj- 



t n 



Nunc rel ternarius vol quatarnariiui n immmfw tlli <M,M *. , 
toll, nequit, quia denomhuOor , 1(<r ,, ^,, 1 ' , , f 
quaternarius, ad quod pono ,.. S /, "'-'>-. ("llutur 



nunc sit 



1 erit 



I- 11 



t? 



at est s 4w 2 i 



icleoque nnmarf print ram 



ft 


01 


8.-1 


T. 


5 


~~~_-_ 
887 


7103 


WS 

<w W W 

Pi 

M 


11 
13 
26 


2039 
2423 
4919 


16319 
19391 
39359 


8-5.17 

2 . 280 
3-101 
8-71 

8 -306 








1158 ' 



ttumnri 



erimi 



95-96] 



DE NUMERIS AMIOABILIBUS 



151 



atque 



EXEMPLUM 4 

112. Bit a = 11, b = 1; erit fa = m = 12, 

110 !>' et (120 



1, mmieri quaesiti 



12 



Hie ex numeratore vel 3 vel 4 tolli debet. 



et 



I. Tollatur 3; ponatur &<=3jj, erit 
= fia-~ 1 ; erit 





'/* 



et ob a? Oj 3 $ debet esse impar. Sit g = 2r + 1> ut sit 33=- 18 r + 6; erit 

*(6r 

yi ^6' 

et 



18r + 5, 120 1 216r 



r 


05 1 


120 1 




/" 








& 

' 





5 


71 


4. . - vi 14.11-5 
7 , ,0 = 4; numen amicabiles { 71 


2 


41 


503 


4-7 








"63" ' 


3 


59 


719 


...,,,.. ^ssa .-..."-- iixipossiune* 


6 


113 


1367 


j-~ impossibile. 


7 


181 


1583 


f '?.? M y -11 11 1 "~ , sed ob factorem 11 hie 
168 21 3-7 12 7 7 ' 








" valor ^ non vaiet. 



II. Tollatur factor 4 ac ponatur =4j?, ut fiat 



1)1 NTTMEHIS 



lam sit #4j-f 1; erit 



et ob ^ = % + 4 numeri primi ease debent 



Mac excludimtur valores 



s 


0-1 


120-1 


* 





3 


47 


a 

imtlrtftflihiln 








w **"**J.,(UCS0*OJ,Jftl l( 


1 


19 


239 


8-5! 5 H-a*jj3 








*-7|2-a 14 IS'H 








bilea emit. 


13 


211 


2/548 


8-58 08 j 81 








10 "19 MJ7j .lu 








Ergo .>*.' 





113, Sit a 5, km*! 1 ? K 

" > v ^^ * I . O 

j. 6(B0 Ik e 

ent v -v* * 

* __ 18* 



P debeat 



16* 



t *i ntori arnica- 



\\.\\\ 



"ta ta ? 



urunt 



ease numerus par, po na t ur x ,.,., , B . 



98-99] 



DE NUMEEIS AMIOABILIBUS 



153 



et ex numerator 18, vel factor 2 vel 3' tolli debet, ne S it numems redun- 
daoB. At factor 2 tolli nequit; tollatur ergo factor 9. Ad hoc ponatar 
JP "2 + 4 ut sit =, is^ + 8 et 



erit 



180 + 7 et 



322 + 13 



gf 


*// *******" ,Jt, 


ft/u _ i 


a 








7* 





7 


23 


r$ impossibile. 


2 


48 


131 


4-11 4. 

3I Pf 

7-11 7' 


4 


79 


289 


16-5 








3 47 


5 


97 


293 


2-49 








173 


17 


318 


941 


2-167 


19 


349 


1049 


2-6 2 -7 








27-23 


20 


867 


1108 


16-23 








668'""" 


24 


439 


1819 


8,5.11 , 
._ mutue, 











. 
et numen amicabiles 



4 -5 -131 

' 

4-17-43. 



8-5 



EXBMPLUM 6 



114, Sit a 87 et & 227; erit /a 88, A = 228 et 

t/ / 

numeri amicabiles sint 



= -r-; unde si 



fiet 



87(6fl? 1> et 



Jg 449 X 264 4490 264 

Ubi cum $ debeat esse numerus par, ponatur x = %$, ut numeri primi esse 

LIONHAJUW BuiiMBt Opera omnia Is Commentationes aritliraeticae 20 



154 



DE NUMERIS AMICABfLfRIFB 



[08-100 



efc 



debeant 

eritque 

f 449;)- i,rj 
Nunc ex numerators vel factor 4 vol factor :i lolli <Mut. 
I Tollatur factor 3; ad hoc jwiwlur ;> % itt nit 



nunc fiat gf*3r+l eritque 



t 

fa 449q -44 



* ( 4't!1(l!r f t) 


/* 449 r | J36 
et |9 -. 9r + 3 et 


a? 1 mm 18r -f- 5, f/ , . I , tllr - 1 ;i,\ 


r 


a 1 


6.-1 


4-19-7 
"1083 


2 


41 


261 


8 


59 


359 


4-19-10 4'," 

" 1482 rwW 3'13 


6 


113 


683 


3.28-41 


13 


239 


1439 


4- 19 -40 
4-1403 


17 


311 


1871 


""8-071 


22 


401 


2411 


~10018 ** 17-31 U.n! 3i 3 st' 








* - 1iJ C7 *x . f III iiT * *! 

-"Agu( o^ aiiiiiftri ftnttui>t}f*H I 


117 


2111 


12671 


^ 862 , M lift- u. w ^$a 








- 32 et numeri amlcahilw J |S * 37 * !26f l 
188-227.2111 



100-101] 



II. Tollatur factor 4; ponatur p 4g; erit 

__ jt-3-190 

. . 



atque 



mine sit (/ 4r -j- 1 ; erit # *= 16 r + 4 et 



7, 



1 = 192r 47 



449^4-104 



155 



r 


2 


4 

7 
71 


fritf - - 1 

47 
481 


J 


.'M9 19 3-5 6 3 8 "3\ 
ft -18 4^5 sT-18 2.3 13 13' 


V n 10 A 4- u-i [3 s -5 -19- 37-47 
n d* a iy et numen amicabiles 

13 2 - 5- 19- 227- 7. 


9 19 


8 
15 


268 


1583 
2927 


3-19-38 ^ 3 19 19 3 5 "T 3 J 3 1 13 13 . 
16-3-7-11 ""i6'.~7 F5 i"7 SM3 2~7 13 14 14 ' 


, os K 10 10 i - vn (3 a -5-13-19.37.1583 

n " if - 5 ID - 19 et numen amicabiles \ 

l3 2 .5.13-19-227.263. 


3-19-61 


23 


743 


4468 


9 '19 '81 81 
9- "l9- 61 "*61 


26 


839 


5039 


3-19-105 3.5.7.19 

2- 3 13- 151 M F-' TaT'iei 


80 


967 


5807 


3-19.11 
2-617 


41 


1819 


7919 


3-19-165^ 5-19 
9-121-17* 3 11-17' 



156 BE NUMKBIS AMICARIUBU8 



115. 'Sit a - 79, 6 - 11 1!) - W, Jtt . xn, J /i i ;.|0; frit m . i t fs 
et numeri amicabiles sint 



ot U-tfjr 

erit 



Sit a? ** 2j?; erit 

3 iao/ 

'i /V^ 

7 



et numeri primi esee debent SJM 1 ct J^ L Ntnic iiic*iH ox numwatore 
vel factor 8 vel 8 tolli dobot, 

I Tollatur factor 8; sit #-!); cni 



H 

et fiat gr^tSr 1, ut sit 

* ^ 4(8r 

n , f* "' 

9 et 



autem.ob 40 xramemm redundanteni v*l h vt*l 4 talli 
os) Tollatur 6 sitque r-fj| i 



n 8(is* -.4) 

* JV41 

/* aaa* RII 

et numeros primes nsse oportot c - . I , , 3711* - . 7:i, :\ r I - . K|II - "17 
Ac ne ternarius denuo in numeratowm intr,*, rxclirf^ii mint ramw ,,-.;i 1.', 
lime autem mhil mvenitur. 

fl Cum dt i _ iiL-l>, tellafcnr 



^, 1). 
J* 223s. -75 '"sas*-. 76 ! 



,,, 



157 



+ 1; erit 



*~ . i ! 1 !!,!. 2 ) ^ ? 

fa 223H-87 223 $+"37 



102-108] 
sit porro s 

Sit porro t 



et ob r IM-j-B <J2w 13 erit 1 1728 721, 30 l = 5184w 2161. 
At hos tmmeros non redclit primos minor valor ipsius u quam 16, unde fit 

1 est inutilis. 



; erit 



228M 93 



11. Ergo ex iioquatitme ^^l^n tollatur factor 8. Ponatur # = 8#; 

.t* ""* 223 



erit 

et uunc sit r/ 



1; or it 



. ..,,_ . . 
* 223 r 29 



at ob ju (14 r - H erit 

a? - 1 - 12rtr 17, 8 1 384r 49. 
Unde valores exluduntur r"84-l et r-*5a4-l. 



a.- - I 


*U> -,-, 1 

^*c* * 


s 
1* 










239 


71!) 


3.f 
139 










BIS7 


1108 


8*28 I 28 
lSi8 ,8-8 

TCttT 


8 1 ' 
1Q 


'I 1 18 
18 16 


IB 
U 


t 1, ergo 0*^3* 7- 18- 23, 

o o 






VvJJt 

.j ^a 

128 |8-3 


3 s 

i 


8 8 6 

8-8 ? 


.,,, 




, ergo jjf-.8'.5.28, 



et numeri amicabiles erant 



vel 



.7-18.28.11.19.367 (8 . 5* 28- 11-19.367. 



8 8 5 . 23 - 79 - 1103 



158 DJJ NUMEItIS AMICABlUitUS (103-104 I 

EXEMPLUM H i 

116. Sit a - 17 -19, I 11 fifl; erit fa -. IK . $i, ^/ >j * 1^ . t;i.) O t w 1 } 
w = 2. Si ergo numeri amicabilee ponantur 

17.19(2al 

erit 



Sit a; = 2$; erit 

g ., 

/f I a 95 ;i- "JHtJ 
atque 

j~l'.iiJ/; -1, i}j 1 -^..-1; 
quorum ut neuter sit divisibilis per 3 dl*fc tf ;< -%, ut nit 



I W 

et 

^ i * GQ' i,. ^^ '- 1 

Tollatur ex numeratore ftictor 16 sittpe q 

* ?j ( ?y}r 

f* I if Mr Hi 
rumc sit r 16a 1; erit 

ff 

, ' fe 

et 

a? 1^19SJ 
Sit s 1; erit a> ~ 1 M 179 ^ - 



> 1200 403 18-31 JU; III Ul 
Ergo ^3 8 -5 s et numeri amicabilw enmt 



Is^i^ll.fifi, 



AMICAB.TLIBUS 



SCHOLION 



a 

in hac factor co.n.nu 

gulari pineefamtiM genera 



emm .nothoduB suppeditat eiu smo di factores c 0m n meS) quos ad'uum pri 
or* Vix SU s pl oan hcuisset, prior V ero euggerit reliqno. factores huic nTti" 
xdoneos. Coteru.n cuncta, q uae hie tradidi, S peci me n continent 



' 



tndi ,' r e u 

tentandi mcerUndo restrmgeretur. Ooronidis ergo loco ultra 

numerornux anuoabilium paria B ubiungam, quo, his Lthodi, i. 



] 2 '' 5 ' 11 2*. 23- 47 

" IL 



-__ (* 'IJl'OOu /OS 90 r -< nrr 

111 TV I '^o-O-loY 

)7 i*fnpfs\iy XV. < 

U - ^d^/ l2 3 -23-827 

v> SM.lS.S-n . ^ |3 3 -5. 13- 11-19 

" 13 2 -5.13.239 



".7.13.a61 V1U ' 18..5. 7. 102059 



37-7-887 
-^*-^.198899 A ' (3 a . 5-19-37- 7103 

>(<>. i rf ^ * * ** / * Ow 

^- , * XII 

I l'i,f ( < 4 j.\i/'.* rfVA4. . _ 

7 2 - 11. 13- 19403 



XIII 

""" l8.a 

1S.41468.5.977 
" 3. 5867 12 8 . 23-59 



160 



DE NHMEU18 AMIC'AWUifl'H 



'105 



XVII. 

XIX. 

XXL 

XXIII. 

XXV. 
XXVII. 

XXIX. 

XXXI, 

xxxin, 

XXXV. 



2 4 - 23 4367 
2 4 -53-C>07 

2 4 -23-479 

2 A -89427 

2*. 17 -5119 

2 4 - 239 -383 

1 2*. 19- 1439 

,2*449491 

2 5 -3742G71 
2 5 - 227-2111 

2 B - 79 41087 
2 fi - 383 '2309 

2 s 41 47- 263. 
2 s 41. 43 407 

3 a - 543-29-79 
3*. 54341499 

3 a - 54349-374%! 
3 8 - 5 43 49.227'2:i 

3 i -549.87-47 
3 a -549.7,227 



xvui. 



** 



!^ 4 * IT-sii 



XXIV, 



xxvi. 



XXV.III. 



xxxi i 



xxxi v. 



xxxvi. 



^'Itl'Htll 



li' 



f;r-.fi 






*>* 



b''7.^i.4ta 



ot 



?' 18 19(11 S20499 



89 



106-107] 


__ ^E ttUMEBtS AMIOABlLIBtJS 


161 




3 a 


5.7-11-29 










XXXVII. 


(3 2 


-' ~L,JL, t~lts 

5-31-89 1 ) 


xxxvin. 


12 


5.23-29.673 
5-7.60659 




XXXIX. 


I 2 ' 

12. 


5-7-19. 107 
5.47.359 


XL. 


12 8 


11-163-191 
31-11807 




XLL 


,3* 
(3 2 


7.13-23-11.19.367 
-7.13-23.79.1103 


XLII. 


f 3 s 
[3 8 


5-23.11. 19- 367 
5.23.79-1103 


XLIII. 


(2 s 
(2 8 


11- 59- 173 

47. 2609 2 ) 


XLIV. 


|2 3 
12 3 


-11-23.2543 
383-1907 




XLV. 


l2 3 


11-23-1871 
467-1151 


XLVI. 


|2 8 
J2 3 


11 -23- 1619 
647-719 




XLVIL 


|2 8 
12 8 


11 -29- 239 
-191-449 


XL VIII 


|2 8 
12 8 


29.47.59 
17-4799 




XLIX. 


|2*. 


17.167-13679 




f2* 


23-47-9767 






12*. 


809-51071 


.LJ. 


12* 


1583-7103 




LI. 


(92 
2- 
2 s - 


5-13-1187 
43-2267 


LII. 


f3 2 . 7. 13-5- 17- 1187 
1 3 2 - 7- 13 '131- 971 


LIII. 


|3 fi . 


7". 13-53. 11-211 
7 2 . 13- 53- 2543 


LIV. 


l3 2 


-5 a .ll-59.179 
5 2 - 17- 19- 359 




LV. 


|3 8 - 


5.17-23-397 


i 


(3*.7-ll 2 .19.47.7019 




l3 8 


5-7-21491 


4-J T 4* i 




7.11 a .19.389. 


863 



1) In editione prinoipe (atque etiam in Comment. arithmJ) legitur 5 8 5 - 7 11 . 29 e t 
9 8 5 5i 55. Hi autem numeri non sunt amioabiles. Est quidem /7 11 29 2880 =/31 ,89 
at valores /8- 5 ./7 - 11 - 29 - 691200 et 3 i! . 5 (7 . 11 29 + 31 - 89) - 673920 inter se' 
discrepant, Ex aecjuatione autem g(7 11 . 29 + 31 89) ~*J0 -Jl . 11 . 29 seu 



18 



13 



* 2880 8-5 _ 3-6 
..._ ra g _ _ _.__. 

invenitur jg 3 2 . 5, p. B. 

2) In editione prinoipe (atque etiam in. Comment. aarvQm.) legitur 57 loco 47. Hoc autem 
par XLIII est idem atque par XXVJH tabulae p. 61, Falsum numerum 57 typographico tantum 
errore ortum ease manifestum est, F. B. 



BULERI Opera omnia Is Coinmentationes arithmeticae 



21 



162 



BE NUMEItIS AMfC 



LYII 

" 



9 479- 2087 



'" 



His adiicere lubet 1 ) duo puria 
praecedentibus, 



tint furttuio 



2Mf.4f!7 




1) Adiicere autem lubet etiam paria VIII <4 IX, qua* iit\ntuutitr tn Utmln p (H llw non 
m 68, 78, US liuius CommauktiomH, H w lntt ,,iim 1 Uw ilim ilU .(tiMuur, ,iu,,r.i, w iitio. 
nem facit P. H. PXJHS in Proowniq tkmmmt, ,M M . {{, XXVI rt J,KXXl. n, t Pttr X!U 
tabulae aon valet et par XXVIll congruit cnun ,,ri XLI1J imhw ttt inii t 

In >S umma igitor ButKuiw IHImi puritm* i,m.iwm, M,,arl,i|,, M { t , Higmli, Ml 
adieoit, siqmdem eim nota 1 p. 101 cHtm-tuH f>- t .u K itt,,fat >.* M ni,f*i,i,4iw n,t, R it, 



OBSERVATIONES ANALYTICAE VAEIAE 
DE COMBINATIONIBTJS 1 ) 

Commentatio 158 iiidiois ENESTROBMIANI 
Commeutarii aeademiae scientiarum Petropolitanae IS (1741/3), 1751, p. 6493 

1. Proposita nobis sit series quantitatum quarumcunque sive finita sive 
in infinituin ex cur r ens haec 

a, &, c, d, e, f, g, "h etc., 

quae litterae denotent quantitates quascunque sive inter se aequales sive in- 
aequales. Interim tamen qnantitates, quae diversis litteris indicantur, inter 
se inaequales , vocabo, etiamsi in exemplis earum loco numeros aequales sub- 
stituere liceat. 

2, Nnnc primo ex Ms quantitatibus formentnr potestatibus sumendis 
novae series, quarum sumnxae designentur litteris maiusculis A, JB, C, D etc., 
ut sequitur; sit scilicet: 

A*=> a +& +c + d -}- e + etc., 
j5 a 2 + V + c 2 + d* + e 2 + etc., 
0= a 3 + 6 8 + c 8 -f d 3 + e 8 + etc., 
D = ^ + tf + c * + d 4 " .+ e 4 + etc., 



etc., 

l) Vide etiam Commentationes 191 et 394 in hoc vol. 2 et in vol. 3 contentas nee non 
L. EULBRI Introductionem in analysvn infinitorim, Lausannae 1748, t, I cap. XVI; LEQNHARDI HJULERI 

Opera omnia. series I, vol. 8. F. R. 

21* 



164 OBSERVATIONS ANALYTICAL VAKUJB UK COMBINATION!!!!^ fm ,,,, 
i ^ ___ _ . . I* 1 ** mi 

quae series singulae erunt inHnitao, m numcniH ({uunttdttuiu a, &, c t d etc 
assumtarum fuerit infinite; sin aufcam ntmwruR harttnt t|uantitttlum ait fliiitua 
ac determinate, puta , tuiu singular wUu) wbn totulem tormmos com- 
plectentur. 

3, Deinde sequent! modo ax quonfcitatibuH twHumti //, r, 
ductis inaequalium smnondis i'orintjntiir Kerit'. I'rinw m*ilirf 
quantitates singulae, turn fucta <<x IHIUH intttMjuulibuH, inHio 1*31 tt*ruiH in- 
aequalibus, quarto ex quatoniia inat(ialihuM, it iiu inm; att|tit* line 
litteris graecis a, /?, y, d etc. indictmtur, ui n 



j3 &" ctb -f tts "| t 
y abc -j- aM - 
cl* aft erf + afae + bade -f etc.* 



quae series, si quaaititatum fuuumfewim a, ^ r .1 te, iniuwrtw fuorit i 
non Bolum omnes in infinitum oxcurhuil, MH! ^liitw ipnuriim HHHmtm hoc 
modo formandarurn uumerua wit infinitua Qmi tt t w n imiiiiiriw H u M ti- 
tatom a, &, c, d etc, fuerit fluitua, ptita - w , turn twin* nttititmbit tmv 
nunos, secunda series ft conntabit i ^^n twnttiik ti*rtia r i^ "'" lKtt '^ } 

terminis auart,!) rf nv ( !)(* K- s> . . , ' *'* 

1 q aita d ox 



. 

ad senem peryeniatur ex unico tennino con.HOu.tem, ,,unm Miumfa M UIUIU-B 
eranesomt tennmis ommno careuteH, Puwp^uu, t,, .l H W i,r,a, ( ,ua,, 



jj ' ' m,,u,. .umm unr,, oouH 

, nt p rod uctum OX ouuiibu, qunUtaUI,,w OMHUIIIUH , ft, ,-, rf, , ate. 



uiU 



ov 

n n , t!l1 '- w ' ri - ' 'I""'" 

non ut a^te wcludantur; hao e w H Wi(W ite m hfllm nmt: 



ANALYTICAE VARIAE DE "COMBIFATIONIBUS 165 



-f 



etc., 

$ a* + a'& + a 2 ?) 2 + a?lc + a&c^ + etc., 
<g a 5 + a 4 & + a 3 & 2 + ft s &c + a*bcd + etc. 
etc.; 

in Ms nempe seriebus omnes continentur quantitates, quae per multiplica- 
tionem ex quantitatibus assumtis a, 6, c, d etc. produci possimt. Oeterum 
notandum est, si numerus quantitatum a, ft, c, c? etc. fuerit finitus == % turn 
seriem primam 81 esse habituram w terminos; secunda autem 58 habebit 
^-+9 terminos, tertia habebit ^-^^ terminos, quarta 2) vero 

n(n+l)(-4~2)(M4-3) , . , ., 

- r -jf;2':8~.4 terminos, et ita porro. 

5. Tres hi serierum, quas ex quantitatibus assumtis a, I, c, d etc. triplici 
modo composuimus, ordines multifariam inter se connectuntur, ita ut uno 
serierum. ordine cognito bini reliqui ordines inde possint determinari. Atque 
in hoc negotio ad connexionis legem et rationem investigandam observatio 
atque inductio plurimum adhiberi solet; hocque pacto primum quidem cer- 
tissime constat esse A = a *> 21 ac de reliquis compertum est esse 

a = A, 

aA B 



"5 

etc. 



166 OBSERVATIONS ANAIATOAK VAUIAK UK n ,MBtXAT!M,xit!i'S 

.-ru-iunu-,. ..-.---r r^^^^ ]T J -; -,n. m - .....^ ,_.,., M _ JW1 ____ . u . ._!._. -,-.., -.^y .-...,, j. , L ., ..,,..,..; ........... ;... ,, c , 

item 



praetereaque 



etc. 



etc. 

cr u n . uiu - - e. 

n poterunt summa^ senerum, qua,, in .hulmH rHi^uw dHilmH wntinmitur. 



apent. pro 



f e etc, 



P- " + * + " . rf . , , 
i~M T i-i.ti- M +,.. ( , t + -f etc., 



68-69] _ OBSEBYATIONES ANALYTICAE VARIAE DE OOMBINATIONIBUS 167 

cuius singuli termini in progressions geometricas resoluti more solito dabunt 

P= + z(a -|-&-|-c+d+e + etc.) 



+ ^(a 8 + J 1 + c" + d 1 + e 8 + etq.) 
+ *>* + 5 4 + c 4 + tf + e 4 + etc.) 
etc., 

quae series omnes in priina classe continentur. Quare si eamm loco sumniae 
supra ( 2) positae scribantur, net 



P= Az + J5# 2 + <70 8 + Da* + JEJ^ 5 + etc., 
cuius idcirco seriei summa erit, uti sumsimns, 

-n a^f . "b% , c^f . c?^ . , 

P == -.-- ......... -f -- ..... =- + - ----- \- - r + etc. 

1 a0 ' 1 &0 ' 1 ce ' 1 c?# ' 

Siniili autem modo si fuerit 



erit per series primae classis 



7. Consideremus porro hanc expressionem. 

e^) etc.; 



cuius factores si actu in se multiplicentur ac termini secundum exponentes 
ipsius si disponantur, fiet coefficiens ipsius aequalis summae quantitatum 
assumtarum a, I, c, d etc. Coefficiens ipsius s erit aggregatum omnium pro- 
ductorum ex binis inaequalibus, coefficiens ipsius s erit aggregatum omnium 
productorum ex ternis inaequalibus, et ita porro; ex quibus sequitur fore 



E 1 + at + p* + Y^ + 3* H- ^ + etc. 
secundum defmitiones supra ( 3) datas. 



168 OBSERVATIONS ANALYTIOAE VAWA'K 1>K rOMMNATIONHWS 

____ . _______________________ ........ ............................ , ' 

Quodsi autem ponatur 



erit faciendo tantum a negati?o 



8. Ut series hae JS at ^ cum iimftcednntihu /* n{, ^ wnnpanmtur. no- 
tandum est esse 

^ - 2(1 + *) 4. Z(l .f M.|./(l | r^-f /f I I ,/-| | ,,!,., 
unde sumendis differentialibus erit 



, 
1 + a^* 1 " i + hi + i + w + j 4 , rfjl 4- etc., 

per . multiplicata dat illara ipmin ftxprnHBiimma, quam mmr 
vimus, ita nt sit 



Simili autem modo erit 



unde habebitur 



9. Cum nunc sit 



ideoque 



70 1 ...... ______________ ...... OBSE^ATIONE^A^ALYTIVAE DE COMBINATIONIBUS 169 



At ex aequalitate harum expressionum sequuntur sequentes relationes inter 
litteras A, B, C, D etc. et a, /?, r , d, B etc. 



A a, 

5 = 2/9, 
G= 



- D 4d, 
yB + pC aV + ^7 5e 
etc. 



Simili vero modo ex altera aequatione P=~~ sequitur 



+ W + D/ + Jtf + etc. 
-f 3yj 8 - 4(M + 6/' - etc. 



quae pariter easdem praebot determinationes, quas supra ( 5) tradidimus. 



10. Praeterea autem ex aequatione Q^ z consequhnur integrando 
* . IE, Quondam vero est Q = As Bz* + W D/ -j- etc., erit 



CQ&* A Kg? . Cz* D* , , 
J V ^ ^' - 1 ..... + T ~ -T + etc " 

cuius seriei valor itaque exprimet logarithmum huius seriei 

JB l + ajj + ^ + ^ + ^ + etc. ' 

Quemadmodum igitur est 

1(1 + a* 4- /3# 2 + y* 8 + etc.) A.* \ B/ -f j W ~ D/ -f etc., 
ita etiam ex aequatione J- -~~ Z^ erit 

1(1 ^ + /?/ yz* + etc.) .4* - J?/ j C I D^ etc, 

ETOBKI Opera orania Ij Commeufcationes iwithmeticae 22 



170 OBSERVATIONS ANALYTICAE VAUIAK DM ('nMlUNATluXfltrs i 7n 9t 

_________________________ ..... ......................... ................ . . . I MI "~ u 

Quare si k scribatur pro numoro, euma logurifhmus hyporbolicus mi i 
habebitur 

1 + a 4 {3/ + y/ + fa 4 + <*t,c. * 4 ' ' t "' ' i '"' 1 " - * -" 

et 

-.^4.^-. etc. -.r^J *''''''' ..... l"*'-^ 4 

11. Notatu praeterea dignao wnifc oxprttHKiuiuH harum It ei t v 
procae, nempe ^ et ^ , 1st vero 



- - 

8 "" (1 - ai)(l 

ad^cuius fractionia valorem por floriom, cuiiw termini mrunilum .> 

ipsius g progrediantur, wcprimotulum, puwpiruutu wi in HP invin*in multipli 
cari oportere cunctas has progroasiouoH Konu*tricuH 



4 c*4 

4 dt + cIV 4 rfV f | ( |V ~ it 



. , 

rt ito P 

' *' 



. 
His itaque littens mtrodactis liabebimiis 

5' ~ ! + tt* 4- / 4 J 1 + ^^ ate, 

atque simili modo valorem ipsins JJ 



- 1- 8C* 4 



ANALY TICAE VARIAE DE COMBINATIONIBUS 171 



12. Hae ergo series reciprocae suut earum, quas supra sub litteris R et 
8 ( 7) protulimus. Atque hanc ob causam erit 



f _|_ ,?/ _j_ etc .)(i _ % g + ^ 
pariterque 

1 (1 - a^ + 0* ^/ + $2* e tc.)(l -f 21^ + 2V + + 4 + etc.) . 



Ex utraque autem sequitur una eademque relatio inter valores litterarum 
St, 35, , 5D etc. et a, /?, /, ^ etc.; erit scilicet 

n a = o, 

SB - SC + /9 0, 



etc., 
quam eandem relationem iam supra ( 5) tradidimus. 

13. Quodsi ponamus -g- = T et 6( = V, ut sit 

etc. 



et 

T 1 + ^ -f $0 2 + (* + 3)0* + etc., 

erit 

dR _dT , dS __ dV 
_, -_. et ..... ^ ...... Y 

hincque fiet 

JL. 

et 



Qiiare cum sit 

et 

12 d J. rw c\ en. ..9 i o re -.8 A a\ .A r pj-x> 



habebimus loco P et $ valores debitos ex 6 scribendo has aequationes 

22* 



172 OBSERVATIONS ANALYTICAL! VARIAE !>K COMHINATIONUWH [78-73 



et 

Jl "**"'' %% J^ jf Jl^* &/ l|jjg ^1 

ex quibus eadem sequitur relatio intor lit,bru /f // t r f , /; e<| t *. 4 *|, \)| t 
3) etc., quam supra ( 5) dedimus. Krit 8r.ilicf, 



etc. 

14 Ex aequatiombns 12 datis seqnifcur fore 
(1 + ^f -h (^ + 



6u 

1(1 -** + pt- y t + etc.) 
His igitur ad 10 aocommodatis erit 

etc.) -,-. 



Hincque surnto ft pro numero, cuws bprith 
atque 



W + etc.) . A, + *. 



mm <**i t ari 

rtT ** Ti'** ^ Hr 

ouC " * 



OOMBINATIOmBTJS 173 



15. Si iam litterae $ et retineant valores supra assumtos ( 7), erit 
1 4- as 4- /?0 2 4- j/* 3 4- (J** 4- etc. = JB, 



4- $0 2 (* + SD* 4 etc. 4 



et 

1 ae 4- /?" ^ 3 + <?/ etc. S, 



s 

Ex quibus deducuntur sequentia consectaria 

2 

4-77/4- *# 9 4- etc. = , 

2 

4" %& 4~ 4)^ ~h etc. = 

hincque colligitur ista proportio 

\ j^ pup [_. $%?> _|_ 'Q$ 4. etc. : a# 4" j 7 ^ 15 4" e<eB 4~ 7 ?^ 7 H~ etc. 

4- etc. : ^.(0 4~ ^^ ~i~ ^^ 5 H~ ^^'4* etc. 



Cum praeterea sit 

^ _ i ^ a 4- /9^ 4- j^ 8 4- c)^" 4- etc., 

1 _ 1 . ^ - %jg* 4- (^ 8 $** 4- etc., 
jtt 

erit 

s 4- y^ 8 



"" S/T^nS? H- (5^ - ^ 4 H- etc. 
similique modo propter 

1 __, s = ^ . /?^'4- ^/ cJy 1 4- etc., 
1 1 % 4. JB^ 4. ( + S)/s* + etc. 

h 

erit 



etc> 

f ^ 4 "$8 4. g 55^-4 ..... gj; 



ANALYT10AB VAUIAK UK 



16. Deinde vero si ut supra ( f>) 

P-Ag + US+W 

Q _ ^ ~ /fjr ,| (/^ 

erit ex paragrapho 9 

ag + 20* 1 + 3 4 - 4 



similique modo ex paragrapho 13 habebitur 



Ex quibus sequentia corollaria iadla dorivanlnr: 



X 
V 



, 

' * 



Pro litteris igitur It et ^' habemu. uncHH valnm, !,, 



qmnque valorum 

possnnt, quas terni litter Mm 



etc, , , c 3 6t ^ Hcwt <<, //, f/, 

' 4 



, , , , 6t 

Me supersedemus. ' 4 ' 



ovolvendis 



76-76] OBSEEVATIONES AHALTTICAE VARIAE BE COMBINATlOMBtJS 175 

17. His, quae latissime patent, praemissis atque expositis ad magis 
particularia descendamus ac primo quidem pro serie litterarum a, 1), c, d etc. 
accipiatur progressio geometrica infinita haec 

n, n\ n*, n\ n*, n e etc.; 
qua in formulas superiores successive introducta habebimus: 

A. n -j- w 2 -f- w 8 ~j- w 4 -j- w 5 + etc. = 



T^T' 
nn 



B^ri*-i-n* + n 6 + n 8 + n w + etc. -22- , 

1 nn 



J) = w * + w 4: w M + n 16 + w M + etc. = -- 4 ; 
etc. 

lam ex 6 duplices pro litteris P et Q nancisciinur valores, qui erunt 



. , 

+ etc. 
Mncque ex inventis litterarum A, B, C, D etc. valoribus nascentur hi. alter! 

p M^ W 3 ^ 2 W 8 ^ 3 WV , 

^ _ .^.^ _|_ __._. _j_ _._. -^ T __ _ ^ etc., 

_ J 1 ' __, w ^ _i_ JL 3 ^! _ n ^ 4 i etc 
v 1 n 1 ww~ 1-w 8 lw 4 " 

18. Ex paragrapho porro 7 habebimus pro K et- ^ sequences expressiones 
JB (1 + wf)(l + ^#)(1 + w 8 ,s)(l + *j) etc., 
S (1 fw)(l - ^)(1 - ^ 8 ^)(1 - n*^) etc., 

qui factores actu in se multiplicati et producta secundum dimensiones ipsius 
is ordmata praebebunt pro M et 8 has series 

H 1 4. a0 4 (W + // -f (J/ + etc., 
5 1 * + fit yz* + ^^' etc., 



176 OBSERVATIONS ANALYTICAE VARIAE DE COMBINATIONIWJS (76-7? 



ubi litterae a, /?, y, d etc. ex aerie assumta , s , tr, *, w, , * etc, 
ita determinabuntur, ut sit; 

I. == summae singulorum terminorum; unde writ 

M # 4. n* + -f w 4 + 6 + * -i- f -f B te, f 

quae est ipsa progressio geometrica asaumtti, lit qua qimt*viH pottmttiH ipsius 
n occurrit atque coefficientem habet + ! 

II. /?== summae factorum ex binis tenninia; undo arit 

/? -. ! + n 4 + 2n' + 2n 6 + 8n' + Sn" 4^ 4ft 1 + 4w w -f tc. f 

in qua serie post potestatem tertiain omiuH wquwitw ijmiuH n poUwtatoH 
occurrunt; quaelibet autem potCHtiw tot.ie i occurrH, qimtit<H *x iuulUpli^atione 
binorum terminorum seriei oriri potwi Hum auicm uuiJtiplicutio pote- 
statum consistat in exponential*! axltlitiono, tun'fflr.tPiw cuiunqutt jwtroifcatiB 
ipsius n in serie ft ostendet, quot variw motUH fxptmtmH ijmitw n ptwHit in 
duas partes inaequales distribui HOU quotirn it4 oxpononK x additioiie 
duorum numerorum integrorum iiiawjualiutii prtnluri qm<at. Hie pt>t<Hlalis 
decimae n m coefficiens est 4, quia 10 quatuor nwtlin in dmw |>artt iuaa- 
quales distribui poteet, nempe 

1 A _ 1 L Q 1 A <t f t 
XU MM 1 "f" tr r IU *" a "f*' < 

10 2 + 8, 10 4 + 0. 

III. y summae factorum ex ternis tenniniii iimequalibus; 
unde erit 

yn 6 + n 7 + 2 8 +8n*+4 lu -f.rm"'f 7;*" f H f <^ t , 

in qua post potestatem sextain omnew atu|ttntw ipnitiH potimtatiw occwrnwt 
Cuiuslibet autem potestatis coofHcitmB iruiirttt, tjuut variiH nwxlin ^xponens 
distribui possit in tree partes inoequatoH mm qutiH iilinn <xptmH product 
queat ex additione trium numerorum intt<grarusn itttr no hmtHitialiutu. Bic 
potestas w 18 coefficientem habot 7, quia oxptmmw la wjilwij mocUfi in trns 
partes inaequales partiri potest, uti 



VAUIAE t>E 



12 = 1 + 2 + 9, 12 = 1 + 5 + 6, 

12 = 1 + 3 + 8, 12 = 2 + 3 + 7, 

12 = 1 + 4 + 7, 12 = 2 + 4 + 6, 

12 = 3 + 4 + 5. 

IV. d = summae factorum ex quatuor terminis seriei a inaequalibus inter 
se; unde erit 



3w 18 + 5 w + 6 w 15 + 9^ 16 + etc. , 

cuius prima potestas est n w , quippe cuius exponens est 1 + 2 + 3 + 4 sen 
numeras trigonalis quartus. Sequentium potestatum quaelibet toties adest, 
quoties eius exponens oriri potest ex additione quatuor numerorum integroram 
inter se inaequalium. Sic potestas sexta decima n u coefficientem habet 9, 
quia 16 novem modis in quatuor partes inter se inaequales dispertiri potest, 
quae novem partitiones sunt 

16 1 + 2 + 3 + 10, 16 = 1 + 3+4 + 8, 

16 =-1 + 2 + 4+ 9, 16 = 1 + 3 + 5 + 7, 

16 1 + 2 + 5 +8, 16 = 1 + 4 + 5 + 6, 

16 = 1 + 2+6+ 7, 16 = 2 + 3 + 4 + 7, 

16 = 2 + 3 + 5 + 6. 

Simili modo res se habet in sequentium litterarum e, r/ etc. valoribus, qui 
erunt 

e n 1 ' + n l " + 2 17 + 3w 18 + 5w 19 + 1n w + IGw 21 + etc., 

_ n n + n m + 2w M + Sn n + 5w 26 + 7w ao + lln 27 + etc., 
ty M n m + n w + 2w 80 + 3w 81 + 5w 8a + 7 n u + 11 W M + etc. 

etc., 

in quibus seriebus omnibus cuiusvis ipsius n potestatis coefficiens indicat, 
quot variis modis exponens ipsius n possit resolvi in tot partes inaequales, 
quota series est a principio numerata. Seu coefficiens cuiusque termini de- 
clarat, quoties exponens ipsius n oriri queat ex additione tot numerorum 
integrorum inter se inaequalium, quota ipsa series, ex qua terminus desumitur, 

EUMWU Opera oiiima la Commentationes arithmeticae 23 a 



&B8fiRnWONJ&S AtfAIOTOAK VABIAK Dfi OOMlilNATIOXimiS [78^79 



est numerando a prima a. Sic in Horie wptimu rooftidtmH jjottmiiiiis w 31 os 
11, quia nranerus 34 undeciin modin distrilwi potwt- in st*pttm purUm imu 
quales, quae distributiones sunt 

34 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 13, 
84-1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 7 + 12, 

84 1 + 2 + 8 + 4-M + 8 + 1 1 , 
84-1 + 2 + 8 + 4 + 5 + II + 10, 
84 1+2 + 8 + 4 + G + 7 + 11 * 
84-1 + 2 + 8 + 4 + G + H + 10, 
84 1 + 2 + 3 + 4 -}- i + 8 + JJ, 
34 M 1 -f- 2 + I! + f) + II + I + 11! i 
84.- 1 + 2 + 8 + 5 + 6 + 8+ fi f 
84 *-* i + 2 + 4 + 5 + + 7 + i! , 
341 + 8 + 4+ 5 + 6 + 7 + a 



Atque ex his natura serierum, quae hoc pro llttoriK . #, y, { y etc, 

prodeunt, facile perspicitur. 

19, Investigando igitur, quot variia modiri quwqui* IIUIIUTHH in jmrtea 
inaequales numero datas distribui poMHit, wriun intm* lifcti*ri , /^ ^ t *y tc. 
signatae formari poterant, quod mtton n\nm frit rtuiiHutJir(* uihatum. 
Vicissim autern ex his seriobuB aliuiidti Kygmti t fc*nutw rwl\i jit^wit 
problema hoc non inelegtos, quod milii a Tim (Uar. MAt:tir,f* s j |iro|KMiium ila 
se habet: 



Definbe, quot variw modis datm numerm jwWik'/ ^wvi/ rx aiMUhnr 
nwmerorwn integrorum inter se wmqudmrn* quorum MHWWW i/-/r. 

Sic Olariss. Propositor quaorit, quot yariw mudiM numwuM ait criri powiit 
ex additione septem numerorum integrorum inafutttaliutiu Ad cjnam quaMBti- 
onem resolyendam manifestum est in anbBidumi vocari clilTH iiriwii * in 



* i. r 

tembris 1740, Xanauni Xvuau Of era (mmia, mnm III ' p. It, 



AKALtTIClAE VAJEttAB M COMBItf Allotting 170 



qua coefficiens cuiusque termini indicat, quot v,ariis modis exponens ipsius n 
resolvi possit in 7 partes inaequales. Quare series ilia 



T? = w 28 + w + 2 ^ 30 -f 3w 31 + 5w 33 + 7^ 33 + 11 n u + etc. 

continuari debebit usque ad terminum, in quo potestas quinquagesima ipsius 
n continetur, cuius coefficiens, qui erit 522, ostendet numerum 50 omnino 522 
modis diversis ex additione septem numerorum integrorum inter se inaequalium 
produci posse. Ex quo perspicuum est, si modus habeatur commodus et 
facilis formandi illas series a, ft, y, d etc., eo ipso problema istud NAUDEANUM 
perfectissime solutum iri. 

20. Cum igitur supra ( 5 et 9) modus traditus sit inveniendi valores 
litterarum a, {3, y, 6" etc. ex cognitis valoribus litterarum A, B, G, J) etc., 
in praesenti negotio resolutionem facile expedire poterimus, propterea quod 
ex 17 cognitos habemus valores A, B, C, D etc.; atque praeterea est, ut 
sequitur, 

a = A, 



etc. 
Ex his igitur obtinebimus 



n 

.. _, 

1 n 



2/j J?*L _!!!L- 

P ===t i__ w I -u 



l-i-n f w 2 
yw /3w 2 


1 l-w 8 ' 

OJW 8 W 4 


i-w .i-w 2 


r j _ w 3 __ 



J^ /e A .fy 

etc. 



23* 



180 OBSERVATIONS ANALYTICAL VAttlAK IK <*OMIHNAftOXUtt |o . 8t 

Quodsi autem loco a, ft, y etc. successive Hulmtituaittitr vulum-t unto roperti, 
prodibunt 



,! 



etc. 
Ex his itaque intelligitur in hoc 



21, Lex liaec, qua miltmm litUminitn , ,^1 ;/ ( 4 H*% j*rgrt**!i ut i- 
venti, .compluribus fommlis ovohttiM tjii*rvI tir mt^u** \m-tt :t** nt^i jr induct!- 
onem adhac non constai Quo igitur \wt \nilm timtiuH nlini*'fur> m- 
yeniet eandem progressioniB lgim alio mutb iiiutu^iimi, i IJIHJ imtttctioni 
nullus locus relinquatur, licere. (, jta.j,,,* ltu hj u ruuinitum wt valn 
litterarum , /?, y , fi etc, inclagara, 



tit 



si fuerit, uti initio assmmsimiii, 



81-82] 01 ^ ERVATIE IOAE VARIAE DE COMBINATIONIBUS 



181 



notandum est, si loco scribatur ng, expressionem, cui modo E erat aequalis, 
mutari in hanc formam 



quae multiplicata per 1 4- n ipsam priorem expressionem producit. Quam- 
obrem recte concludimus, si in serie 

1 4- a# 4- /9* 8 4- j/ 3 + <V 4- s0* 4 etc. 
loco # scribamus nis, ut habeamus 

1 -j- &n# 4- j3n*#* 4 ywV 4* $^V 4- e^ 5 # 8 4 etc., 
hancque expressionem per 1 4- n& multiplicemus, turn productum, quod erit 

14* <^# 4~ /^^ ^ H~ y^ 8 # 8 4" <^%*^* 4" sn^as^ 4 tc. 
4~ ^^ 4* ^^ ^ 2 ~h /5w 8 ^ 4" yw^tf 4* $1^0 4* etc., 

aequale esse debere illi ipsi priori seriei 

1 4. a g + @0* -|_ ^jg* _j_ ^/ _}_ ^ _j_ etc> 

Quodsi ergo actu coefficientes terminorum homologorum coaequemus, nancis- 
cem,ur sequentes pro a, {3, y etc. determinationes 



_ n n 

a _ ..._ --_ : -. 



w f) 



/3n 8 



w 



10 

. . ^^ i 

etc. 



22. Hoc igitur modo invenimus summas serierum illarum a, {3, y, d etc. 
satis commode expressas, ex quibus vicissim ipsae illae series formari poterunt. 
Nam cum illae series secundum potestates ipsius n progrediantur, eae prodire 



182 



OBSEKVATIONES ANALYTIOAK VAIUAK I>K t^MillXATlOXffff'S 



debebunt, si istae expressions Humnuiruiu jr tltviHiuwm m<m conauoto 
evolvantur atque in series infmitaH awumlum pofoKtuij* ijmiuH ;/ |rnr<Mltnito8 
convertantur, Quae operatic cum divwiww ulwolvufur, munift'Htum tHi wtmaa 
illas series a, ./?, y t d etc.. ad id gewiw port-in w, <jwni nomine Huriwum re- 
currentium indicari solot; attpc adeo quililmt terminus tx uliijutit. 
tibus determinabitor, Tit aukmi pattat t|uomth in smgnltH his 
quisque terminus ex praocodcntibuB sit fornmtwhw, tl*'ntiniimturis illaruiu ox- 
pressionum pro litteris a, /?, f, ()' ttc. invtwfcarum jx*r niultiplhuif-uumm actu 
evolvi debent, quo facto habebitur 



A/ 

/ 
x 

Q 



10 



* 



n 



etc, 

Atque ex his denominatoribuH 

quisque terminus ex praeoedmitibiui nomjumt iumt. I jiriw^pla, miw da 
formatione serierum recurrentium habentur, in milmulmm vnwntwr. 



23. At ex forma eqmnionum pro littem , ^, r< ^ H.. invimUrum, 



n 
alms deduct modus sati idcmcm. qmivb , wtl .vfii ,rim 

qnentem myemendi Sic, cum aeries - , itj rmwiriffl 



per 
per 



i multiplier 



83-~8-i] 



VARIAE DE COMBINATIONIBUS 



183 



Ex serie porro ft hoc pacto inventa, si ea multiplicetur per 



producetur series y. Haecque multiplicata per 

n i 

= OT 4 ^ -\- n* + w 12 4- " 4- w 20 4- *"* + etc. 

J. ~"~ Tl/ 

producet seriem ^. Atque ita porro seriem cuiusque ordinis multiplicando 
per certain quandam progressionem geometricam reperietur series sequens. 
Hocque pacto non difficulter has series, quousque libuerit, continuare licebit; 
atque sic problema supra memoratum a Olar. NAUDEO propositum resolvetur. 

24. Facilius autem quaelibet series ex se ipsa ope praecedentis poterit 
continuaii , si ad modum respiciamus , quo valor cuiusque litterarum a, /?, y, 

o 

$ etc. ex praecedente determinate. Sic, cum sit j3 = ^-i, erit {3=(3nn+ann; 
quare si ad seriem @ per nn multiplicatam addatur series a per nn multi- 
plicata, ipsa series (3 oriri debebit. Cum igitur constet seriei ft primuin ter- 



minum esse n, ponamus 



eritque 



ft 
ftn* 



4- 



aw 



4- 



ew 4- etc., 



4- w* 4- W B 4- w 6 4- w 7 4- w 8 4- w 9 4- etc. 



A-equatis iam termims propter ft / 

(X Baa I? 

B 1, 

c a 4- 1 2, 

b B + 1 2, 



-}- ann habebimus 

6 s=s3 C 4" 1 === "> 

f b + 1 3, 



f 4- 1 



etc. 



Simili modo, cum sit y ^^ seu / = /w 8 4- ftn s , ex serie /? formabitur 
series y atque porro ex serie y ope aequationis $ = tfw 4 4- ^w* producetur 
series d] pariterque sequentes omnes conficientur. 



184 OBSEKVATIQNES ANALYTICAL VAHIAK UK rOMWN'ATlON'lW'S [84-85 

25. Quoniam in oxprossiono 

JjJ a 1 -j~ ag -j~ ^;' 3 .{- ^'^ 9 .{- $z { . J, ((c t 

valores litteraruni a, /S, j/, ^ etc, invmumuH nitipu* 

U -, (1 + n ) (1 + ^)(1 + j)(l - 1 , *;) 
convertetur productum hoc ex infinitis factoribiw confttwiH 



in seriem hanc secundum potestates ipsius & procodenfcom 



Atque summae huius seriei logarithmuB hyiwrholinw ox KJ trii 



nnif i 



Vel si & scribatur pro numero, cuiufi logarithintw 1 1 mi 



seu ista expressio exponentialis afe noqualw Httmituw illitw HWMM, In qusm 
valorem ipsius JB tranBmutavimus. 

26, Vemm ut ad propositum probh$ma rovorlaimur, quo (lnintlum mi 
quot , yarns modis datus mmmm m partlri qnaat in ,< ,mrtim hmiH,iml w int,r 
se et mtegras, indicemns huBc modoruiti nuinwum, i^m iinuorimwH, huiu- 
modi scnptione 



6 hldicufw ' 'I 1 " 1 " 1 " '""" ' 



auea Ou m m / Part68 Uln "* ualw 'I 
queat. Quod problema postea pari facilitate wlutllm 



dtotoibni 






DE OOMBINATIONIBUS 



185 



27. Iste ergo modorum numerus m erit coefficiens potestatis n m in ilia 
serierum a, ft y, $, e etc., quae a prima a numerata in ordine est tota, quot 
^ continet unitates. Huius seriei summa est 



1-2 



ideoque seriei, quae ex hac forma nascitur, terminus generalis est = 
Seriei autem, quae nascitur ex hac forma 



(i - nX 

terminus generalis erit 
terminus generalis - (m + 
atqne residuae expressions 



-" sen pro eadem ipsius M potestate erit 
. Subtrahatur prior expressio a posteriore 



^ 



terminus generalis erit 
terminus generalis est 



^ ^ ^ ^ ^ ___ _ _ 

mW*); huius autem eiusdem seriei 
quocirca habebimus 



unde hanc adipiscimur regulam, ut sit 

(m 



cuius ope, si constiterit, quot variis modis numerus m distribui possit cum in 
^ partes turn in ^u 1 partes inaequales, hos binos modorum numeros ad- 
clendo reperietur, quot variis modis numerus maior m + p distribui p'ossit in 
p partes inaequales. Atque ita resolutio casuum difficiliorum ad simpliciores 
reducitor atque tandem ad simplicissimos per se notos; quippe constat, si 
fuerit m < ^+^, turn fore w w ' = 0, et si fuerit m = ^l t turn erit m wt = 1. 



28, Cum formula m (ft)i n m sit terminus generalis huius expressionis 



n * 
EUMJRJ Opera omnla Is Common tationeB atithmeticae 



24 



186 OBSEBVATIONES ANALYTICAL VABIAR 1>1 OOMWNATIONnWR {80-87 

videamus, qualem seriem praebeat ista expressio 



l 



si evolvatur atque secundum dimenaiones ipms n disponatur. Ponamtw atitem 
prodire hanc seriem 

1 ~f- pn + qn? -f r 8 f s 4 4- ^ s -f. ttc.*), 

ex cuius generatione perspicitur coefficitmtem cuiuaquo poted-atia ipaiua n 
monstrare, quot variis modis exponens ipsius n per additiom'm produci tpioat 
ex his datis numeris 

1> 2, 8, 4, 5, 6, . . . j&\ 

hicque nee certus partium numorus praoflorihitwr, m quiluiK rt)inimaiiir t noc 
ista conditio ponitor, ut partoa smt mtt HH inai'cjtmle% Ilium tomm* oh 
causam^expressio m' siimil indioabit, quot variin omnino modfe immoniH 
m ~~ ............... 2 P er additionem produci quoat cx nuiwrw I, ft ,'!, 4, r, ,,./. Bic 

si quaeratur, quot variis modis numerua 60 dfotrilwi pOHHtt iti 7 'paritw in- 
aequales, propter - 50 et ^ - 7 qnaestio o mducitur, ut iuveHti^tttr, quot 
varus modis numerus 50^28 seu 22 oriri qucml pw additicmwu ox hin 
septem numeris 1, 2, 3, 4, 5, 0, 7, Hoc ergo pacfco duplicin g.iu.rin quaaHtionoH 
una eademque opera resolruntur. 

an J!' , D6fin i tis / C P acto litteris A r, * etc. pro cnsu, <|,, loco litter- 
arum a b, c, d etc. progressionem geometrieam n, , , ete i 

' 



, , 

: rd Plat> ut etiam in *'**" oriih ; a 

etc x 



s AdMbutos autem h M litteraa , 8 . ffi, otc . , 
8 Talonbus g et ^ aequalibus; aumsimus enim supra f| 11) mau 

* %l? / ' ' -.. 



et 

' B etc. 



1 87 



obtinentibus E et 8 valores primum assumtos, quibus erat 
JB - (1 + **)(! + w a)(i 4. n s^(i + w *^ eta? 
8 - (1 - *)(]. _ w ^(! __ w a^ __ n ^ etc< 

Intelligitur autem hino seriem | = 1 + ^ 4. sg^ + $j + %j + etc> oririj g . 
innumerabiles istae progrebsiones geometricae in se invicem multiplicentur 

i _n, ! + + w 2 / + w 8 s + w * / + etc., 

1 n s^ ra 1 H- ri*$ + w^ 3 + w 6 ff + w 8 ^ 4 + etc., 
i ~;~ ^ "" ! + ^ + w ^ + w 9 ^ 8 + ^V + etc., 

! -Irti ^ l + *^ + w^ 8 + w 13 ^ 8 + wV + etc. 

etc. 

Posito autem a loco * prodit simili modo series i- 

./I 

80, Ex ista harum serierum generatione manifestum est esse: 
I, ^m^n-}- w 9 -f ^ 8 + w 4 -f w 5 -f etc., 

quae est progressio geometrioa omnes ipsius n potestates complectens singulas 
per coefflcientem + 1 multiplicatas. 



n 1 + n + 2w 4 + 2w 5 + 3w + 3w 7 + 4w 8 + 4w 9 + etc., 

in qua coefficiens cuiusque ipsius n potestatis tot continet unitates, quot 
variis modis exponens ipsius n in duas partes sive aequales sive inaequales 
partiri potest. Sic potestatis w 8 coefficiens est 4, quia 8 quatuor modis in 2 
partes partitur 

8 1 + 7, 8 2 + 6, 8 3 + 5, 8 ==4 + 4. 
Ill i n* + n* + 2w 5 + M + 4w 7 + 5w 8 + 7w 9 + etc. , 



in qua cuiusque potestatis ipsius n coefficiens tot continet unitates, quot variis 

24* 



188 OBSERVATIONS ANALYTIGAE VARIAE DE OOMHINATIONIBUS [88-90 

modis exponens ipsius n in tres partes sive aoqualos BIVO inaequalfiK distribui 
potest. Sic n coefficientem habet 7, quia 7 inodin f) in iron partoa dispertiri 
se patitur: 

.__., 1 I _L ft (} ., 9 _L, O .X. ft 

9 1 + 3 + 5, 9-2 + a + 4, 
9 3 + 3 + 3. 

ubi cuiusque potestatis ipsius n coefflciems tot continot unitatoB, quot variia 
modis exponens ipsius n in quatuor partes siva aoqualoa HIVO inaotiuales re- 
solvi potest. Atque similis est ratio seijucmtinm Rorierum, cjuao pro litteris 
@, 3", etc. reperiuntur. 

31. Harum ergo sederum ope alterura prohloma, quod Himul cum j)rtuc,o- 
dente Vir 01. NiuBEus 1 ) miM proposuit, roaolvi potwit,, (juod ita Bn halmt:' 



writs modis datus numerm m yarHri ytmit ht ft pttrfrs tarn 
aequales guam inae$uaks, sive invmire, qmt write motli datm ntmtru* m per 
add^onem ^ nwnerorum integromn me c^mlmm *fa imegmttlmn pmlmn gmit. 

Quod problema a praecedente eo tantum diHcrdpnt, quod i,, pmocudinil-o 
partitao ad partes tantum inter se inaequalos it r^fcricin, Imnc autcmi narbtw 
quoque aequales admittai Ad nmnerum aufom omnium modorum in hoc 
problemate quaesitum signo exprimendum nimim hius fciritm 



quae so^cet declaret, quot variis m<,di B imtlfrm , J1!Mi i ri ,, nnia in 1)artt , H 
mtegras partom aliqnot aequalitote ncm oxchu*; qu^hnm! in i K ,, (l nu 

^^ ' tur, hifl 



P roblematis d tormaUonam Borierum , SB, 8, 



1) Vide notam p. 178, F, B, 



M^ ...... OBS^VATIONKS _ ANALYTIOAE VARIAE BE CQMBINATIONIBUS 189 

valores ox valoribus litterarum , /?, r , $ e tc. iam cognitis definiantur 
Quanquain autem iste modus est generalis et ex rei natura petitus, tamen 
non satis dilucido legem, qua hi valores progrediuntur, ob oculos ponit 
Quamobrem valores haram litterarum , 23, (, $, (g etc. via huic casui pro- 
pna mvestigabo, simili ei, qua supra ( 21) usus sum. 
Quoniam est 

>.= i 

S (i - n*)(i-l#"^ ' 

perspicuum est, si in liac forma loco e scribatur ne, turn prodituram esse 
hane formam 



I 



Ad ipsam autem hanc formam prior ~ perducitur, si ea multiplicetur per 
1 w. Hanc ob rem, cum assumserimus esse 



1 + i^ + fit 4. (j^ + 2)^ + (g^ + etc<> 

ponamuB in lute n loc.o ^ ImbebimuBque 

1 4. 8( W ^ 4. JBwV + (g w v + SDV -4- etc. 
lam priorom seriem ^ multiplicemus per 1 n# 

I + Uz + J8* 1 + (S^ 8 + S)^ 1 4- etc, 



etc. 
Quae forma cum illi OSHO dobeat aequalis, erit 



w 
-"J?)(i- n 8 )' 



etc. 



ANALYTICAE VAEIAE BE COMBIHAMONlBtJS 

,-*..-^. *., -".-- .**!*.,. ^, ..,.,,, ...,.,,..,.., ,.,.,, --------- s , . _ ^ 



33. Hinc igitur nova percipitnr relatio inter valorc.s littei-arum l % K 
^ eta rt litterarum a, ft, y, S etc., quae eo magia e B t notatu digL't cmo 
minus hx valores a se invicem discrepant. Collate enim g 21 intelligitur oL 



* sc, 

/? SB, 

y w w s (^, 

(f mm ft* 2) ? 

a o nf$ 
etc. 



0r e S , % c, S etc. omnino cam 
congruere totumque discrimen in expoiumtibus insm s 

- 



> ' et - 

KU 



^ -f- 
wi (3 ) ( w 4. 

w (4) (m4- 
et generaliter 

wW - (w + 
et vicissim 



Quoniam autem porro mvenimus [ 27] 



ease 



92-93] OBSERVATIONS ANALYTICAE VARIAE DE COMBINATIONS US 101 

> ..,,,,,,r .,. ,,..:.-.*., -.-... ........,.,., ,,.... mmraij ^,.^.^. rw , u . - . mw . -am|u ...__ MBWL ^ i _ ^ ^ ___ ^ J-t/JL 

erit reductione ad casum praesentem facta 



2 
seu commodius 



ex qua proprietate etiam facile series litterarmn $1, S3, ( etc. formabuntur, 
sicque hoc alfcerum problema resolvetur. 

85, Ad cxempluni huius problematis quaestionem Yir Olar. affert, ut de- 
terminetur, quot variis modis numerus 50 in septem omnino partes sive 
aequalea sivo inacquales dispertiri queat. Haec ergo quaestio ad prius pro- 
blema reducetur, ob m 50 et ,a 7, si quaeratur, quot variis modis numerus 
50-1-21 seu numerus 71 in septem partes inaequales parfciri queat. Utrumque 
autem fieri potest 8946 modis diversis. Praeterea vero hie idem numerus 
8946 indicat ( 28), quot variis modis 71 28 = 43 per additionem produci 
queat ex his numoris 1, *2, 3, 4, 5, 6, 7. Atque generaliter numerus modo- 
rum m w , (juibus numerus m in ^ partes sive aequales sive inaequales resol- 
vitur, simul ostondit, quot variis modis numerus m p produci queat per 
additionem ex his uumeris detinitis 

1, 2, 8; 4, 5, ... ^. 



36. B 1 inem hiiic dissertation! faciat observatio notatu digna, quam qui- 
dem rigore geometrico domonstrare mihi nondum licuit. Observavi scilicet 
hoc infinitorum factorum productum 

(1 n)(l n')(l - <)(! - n*)(l n) etc., 
si per inultiplicationem actu evolvatur, praebere hanc seriem 

1 _ n _ n + n t + tf _ w _ 4, W 4. W - ^,36 ^40 + ^51 + etc _ 1^ 

1) Haoo series, qnae apud EULBRUM primum hac in Commentatione 158 (exhib. d. 6. Apr. 
1741), deindi vero etiam in hulas volumims Oommeatationibus 176, 191, 243, 244 (ubi eyolu- 
tionis demonstratio datur) nee non ia EUUDRX Introduction (yide notam p. 163) invenitur, eo 
magis digna eat, quaa consideretur, quod iam exemplum praebet illarum functionum, quas centum 



ANALYTICAE VARIAE M COMmNATIONIWM 



ubi eae tantum ipsius n potestates occurrunt, quarum expommtt'H rontinoutur 
hac forma ^ . Ac si x sit nmnerus impar, potestates tnaiiw * mmo 

3 a; as + cc ' r * 

SUnt * 8 L*f ficientem habent -*; si attorn a; sit munwus par, turn 
potestates n 2 ~ coefficientem habent +1. 

37. Praeterea notari meretur series hums reciprocu, quae ovitur ox 
evolutione huius fractionis 



prodibit scilicet ista series recurren's 
1 + In + 2n* + 3n* + 5* + 
quippe quae per seriem superiorem 






r bei 

diese E ULERSai Eatdeckung eressie 8 e "**" 11 ' W * PIWI ^ ""^ 8 "^ fiir 

Keihen aufgetreten sind deL JtaTT f ^ ^ g<!W ' !8l! "' in 

auf diese Beihen is dt^^^ ^ -^ <** 

Die E ULERS o HB Formal 1st .HJfcU^ " ? TfaMOMMlM4 " W 
ist, ,as ie, in 



p " 



, Journal d eine < * 

^, Bd p Ml of ' i"" M> 18 '' P - 18S tt ' ; ' J ' J 

- Apr. 1742 ad ^ ^ data! SLS^ a ^ J3 " ! ^ ^ "41 et 
ou r g 18 , t. II, p 466 e 49oTr? , ? 
scripsit, ibdem ?, p 268 a LI 6D I ? , 
datas, X^ k^ ? 

s IIL ' ^1^^8,^55 

Mathem. 11,, 19 10/1, p. 220 Vide auLT ? ^^^^ /''^/^;^r, Biblioth, 
J netafuvMon, Bibliotk M.th. 9 Isi^'IS* ^ ^^"^ "** &> 

" 



, 
teg. a ,. Math.-ph ys . Kla.se 1912, Beih ip 8 10 



S3] OBSERVATION MS ANALYTICAE VAKIAE DE COMBINATIONlBtlS 193 

muitiplicata producit unitatem. In ilia autem serie coefficiens cuiusque 
potestatw ipsiuH lot ecmtinet imitates, quot variis modis exponena ipsius n 
in partcs disportiri potest; sic 5 septem modis in partes resolvi potest, uti 



ft --5, 5-^34-2, 

r > "-l 5 =n l 



uec nunicrus m:,iliwt. purtium hie praoscribitur nee inaequalitas. 



THEOEEMATA CIRCA DLVISORES NUMERORUM 
IN HAC FORMA *"/ <iW> CONTENTOKUM ') 



Ooinmontaiio 104 intiioiH ENKHTUOKMUNI 

Oommentarii academiae scionliarum Potropolitanan 14 (1744/0), 1751, p. 151- 181 



In sequentibus theorematis litterao a et J designant nnmww quoHcnnquo 
integros primes inter se seu qui praetor imitatwn imllum alhmi habeant 
divisorem communem. 



THBOBKMA 1 

Numerorum in Me forma aa + lb ctmtmtorum divisores pnmt (mines mnf 

vel 2 wl huius fornae im + 1 nwnerL 



1) Ad haec tlieoromata, quao EULKRUH v magttam partem ex sola inductions concluKit'* hitu|u< 
sine demonstratione proposuit, priino co8ulendao snnt Oommentotionos KM, 288, 241, 24L>, 25(i t 
262, 271, 272 huius yoluminis, deimlo veto praooipao hae duao (598 ot 610 indicis BNKHTIIOKMI.VNI): 
De insigni promotions scientlae mmerorum, Opimnla analytica 8, 1785, p. 275, ot N<nw dmon- 
strationcs area dlvmres numerorum format xx + nyy, Nova aeta acad. HC, Polrop* 1 (1788), 
1787, p. 47; LKONIUKM EVMRT Opera omnia, serios 1, vol. 4, Vidt* autem tiam L I. LA<HAH<*[ 
KechercJies farUJmffigue, Nouv. mini, do 1'acad. <L sc. do Berlin (1778), 1775, p. 265, t*t 
(1775), 1777, p. 323; Oeuvres de LAHRAMX, puMite par les soins de M. I.- A. HBHHRT, 1/IIL 
p. 695. 

Theoremata sequentia et annotationos ad ea pertinents eo magis cidorari merentur, quod 
in summa iam continent elegantissimum illud theoroma, cui 0. f . QAIWH in Msquimmmibm rA- 
meNc^ nomen theorematis fundamental dedit - M quia omnia fere, quao d residuiB quadratics 
dici possunt, huic theorematl innituntur**. Vide notam p. 217, F. Ji. 



151-152] THEOBEHATA CIRCA DtVISORBS JfUME&OEUM 



196 



THEOREMA 2 

Omnes numeri primi Jiuius formae 4m + 1 vicissim in Jiac numerorum for- 
mula a a + $b continentur. 



THEOREMA 3 

Summa ergo duorum quadratorum sen nurnerus Jiuius formae aa + II dividi 
nequit per ullmi numerum Jiuius formae 4m 1. 



THEOREMA 4 

Numerorum in hae forma a a + 26& contewtomm divisor es primi omnes sunt 
vel 2 wl numeri in hac forma 8m + 1 vel in hac 8m + 3 contenti. 



THEOREMA 5 

Omnes numeri jprimi in "hac forma 8m + 1 vel 8m + 3 contenti vicissim sunt 
numeri Jiuius formae a a + 2&6. 



THEOREMA 6 

Nullus numerus huius formae aa + 265 dividi potest per ullum numerum 
Jiuius formae 8m 1 vel huius 8m ~ 3. 



THEOREMA 7 



Numerorum in Jiac forma aa + 355 contentorum divisores primi omnes sunt 
vel 2 vel 3 vel in una Jiarum formularum 12^ + 1, 12m -\-l contenti. 



THEOREMA 8 

Omnes numeri primi in alterutra Jiarum formularum 12w + l ^ 12w + 7 
sive in Jiac una Bm + 1 contenti simul sunt numeri huius formae aa + 

25* 



196 ' THJSOKBMATA CIRCA DIVISOIIKS NUMEKOUUM llf>3~lf>;t 

THKORKMA J) 

Nullus numerus swe limns formulae 12w/ -- 1 swe huiu$ 12w 7, )we e.st 
nullus mwierus huius formae 6w- 1, est divisor ulliits niwwri in hue, fon 
a a + 3&& contenti. 

THKORKMA 10 

Numeronm in hue fimua aa-{-&lb MHttMtomm divisors prim twines* 

vel 2 vel 5 vel in una hanm 4 fvrmwum 2()w+l, 2()w + t1 f 
contenti 

THEOKEMA 11 

5? fuerint numeri 20t + l T 2()w-(-. ! 5, a()w + J), M)M + 



20w + 1 . an + r>66, 2 (2()w -f- ) a a -|- 5M, 
9 -= aa + 666 , 2 (20wi -f 7) , 



THKORKMA 12 

Nullus nwiwus in wta snyunttitiHi fanu-ulanm coati-ntux Win 1, 2(>/ -.1, 
20 w 9, 20m 1 yoteut ease divisor' -ultim wuwm hutm fttnmir mt } bbb. 



THBOKKMA 13 

Numerorum in hoc forma aa + 766 cwteutanm, di'invorcn primi MIH/CB mnl 
vel 2 vel 7 vel in una seguewtlwn 

sex formulamm sent in una hantm triwn 
28w+ 1, 28w+ll, 14m + 1, 

28w+ 9, 28m + 15, 14m + 9, 

28m + 25, 28w + 23 14m + 11 

contenti. 






153-154] . IN HAG POEMA paaql'b OONTENTORUM 197 

THEORBMA 14 

Si fuerint numeri in istis fornmlis 14m +1, 14w. + 9, 14m + 11 contenti 
primi, turn slmul in liac forma a a + 766 continewtur. 



THBOREMA 15 



Nullus numerus huius formae a a + 7M potest dividi per ullum mmerum, 
qui in una sequentium 

sex formularwn seu harum triwn 

28t+ 3, 28m + 5, 14t + 3, 

+ 13, 28H-17, 14i+ '5, 

+ 19, 28t + 27 14m + 13 

coritint'Mtur, 

THEORBMA 16 

Numeroruni, in Me forma aa + 11&6 contentorum omnes divisor es primi sunt 
vel 2 vel 11 vel continentur in una seguentiunt, 

10 formularum seu 5 formularum 
44w+ 1, 44m + 3, 22w+ 1, 

44^4. 9, 44m + 27, 22m + 3', 

44w + 37, 44w + 23, 22m + 9, 

44m + 25, 44m + 31, 22m + 5, 

15 22m +15. 



THEORBMA 17 

Si fuerint numeri in Us sive decem sive quingue formulis contenti primi, 
t-wn simul crmt vel ipsi vel eorum quadrupli nwmeri Tmius formae aa +1166. 



198 



THEOEEMATA CIRCA DIVISORES NUMERORUM 



[154-155 



THEOREMA 18 

NuUtts numerus liuius formae act + llll ft/test rf/r/Yft per ulhim ttumcnim, 
qui contineatur in una seguentium 

sive 10 formularmn sive 5 formularum 

44w+ 7, 44m + 29, 22m + 7, 

44m + 13, 44m + 35, 



44m + 19, 



13, 

22m + 17, 
22w + 19, 
22m + 21, 



THEOREMA 10 

Numerorum in hac forma aa + mb CMtmtom* mm* dtetom primi mnt 
vel 2 vel 13 vel continents in una seguentium 12 formularum 



52m + 1, 
52m + 49, 
52m + 9, 
52m + 25, 
52w + 29, 
52w + 17, 



52m + 7, 
52 w + 31, 
52m + 11, 
52 + 19, 
52m + 47, 
52m + 15. 



THEOREMA 20 



; for r aa+im - 

^ 



155156] IN HAG FORMA paaqbb CONTENTORUM 199 

THEOREM! 21 

Nit'ttus nmu'rw liniitu formae aa + 136?; dividi potest per ullum numerum, 
qui continent w in una seyuentium formularum 

52m + 3, 52m + 35, 

52m + 5, 52-/W + 37, 

52m + 21, 52w + 41, 

52m + 23, 52/w + 43, 

52w + 27, 52m + 45, 

52 + 33, 52m + 51. 



THEOREMA 22 

Numerorum in hac forma aa + 11 bb contentorum omnes divisor es primi sunt, 
vd 2 vd 17 vd in una seguentium formularum continentur 

68m + 1, 68m + 3, 

68m + 9, 68m + 27, 

68m + 13, 68m + 39, 

68w + 49, 68m + 11, 

68m + 33, 68m + 31, 

68m + 25, 68w+ 7, 

68m + 21, 68m + 63, 

68w + 53, 68m + 23. 

THEOREMA 23 

Omtu-K niiHH'ri primi, qui in priori liar-urn formularum columna continentur, 
Ml qiwK 2 refm-l Met, aunt format', aa + llll, vd ipsi guidem vd eorum non- 
cupla. Numarorum autem primorum in altera columna contentorum tripla sunt 
numcri formae a a -\-\lbh. 



200 THKOREMATA CIRCA IHVIHOUER NTMKKORUM |i:.~i'S7 

THKOUKMA 24 

Nulhs nmnerm hums formae <, + iUI> <lm<ii 
qw, contmeatur in aUgm scqucntmm formidurttM 



68wt~ 1, 
>~ 9, 

- w, mm an, 

68 w 4!), ' (j w Ji t 

68m 83, (IHw ,'U, 

-25, fiHw 7, 

'-21, K!w-.-fi,1, 

68 w fB, (}8 w ~ JW. 

THKOKBMA 25 



18 fornularum 

1, ?+ 5, 

25, 7 + 4, 

76m + 17, 76+ 9, 3 8m+ 7, 

76m + 45, 76m + 78, m . m + 9 ] 

76^ + 61, 76+ 7, 38+ii, 

76m + 35, 76m + 23, 38m +17,' 

76m + 39, 76m + 43, 88m + 23, 

76m + 63, 76m +11, tom + M, 

55 ? 76m + 47 88m + 86. 



157-1581 IN HAG FORMA paaqll CONTENTOEUM 201 

THEOKBMA 26 

Ovnies ivcmeri prlmi, qm In nna harwn forniulanm continentur, sunt vel 
ipsi vel saltew giutter wtmfi nmmri Jmitts formae aa 



THKOREMA 27 

NnUm MnHerus huim fonnae- an + 1966 dividi potest per ullum numerum, 
qui eonfineatur in aliqna wqwutwm 9 formularmn 



- 9, 38m 23, 

38 in - 5 , mm 11 , 38 t 25, 
7, 38w 17, 38 -35. 



Ilia igitnr tlioorema,tiB confcinetur imlolos fornmlarum aa + 366, si q fuerit 
nurnornH primus; ac primum quiclcm vidimus omnes divisoros primes huius- 
niodi formularuin OKHB vol 2 vol f/ vol in talibus expressionibus 4j m + a ita 
comprohondi poHBfj, ut inilluB divisor in iis non coiitineatur, turn vero, nt 
oomiB numoruB primus 4gm + a simul Bit divisor formulae cuiusdam aa + fiM- 
Deindo otiam hoc colligero licet, si uumorus primus formae kqm + a fuerit 
divisor cuiu8<juatu munori aa + qbh, turn nullum numerum formae 4gwi a 
divisorom OHHO poBo cjiusdem exproBsioniB a a -f 366. Cum igitur inter formas 
diviBorum formulae a a -\~qbh Hamper coiitineatur haec 4^2 + 1, manifestum 
ast nullum numerum aa*\-qbb dividi posse per ullum numerum formae 
4wff l, I)eni<iuc attondanti manifestum fiet, si g fuerit numerus primus 
formaa 4w 1 turn divisontm formas ad numerum, duplo minorem redigi 
posse, ita ut ad formulas 2<jrw + revocari queant, quod fieri nequit, si % sit 
numerufl primus formae 4w + t Bi igitur pro hac forma aa + (4 + 
divisor fuorit 4(4 w + l)w. + > * um nullus numerus formae istius 



potent ease divisor eiusdem expressionis da + (4# + 1)&6. Plures annotationes 
faciemus, cum etiam formulas aa + ff6&, quando 2 non est numerus primus, 
fuerimus contemplati. . ' 

Opora omwla Is Gommentatioaos arithmetical 26 



202 THEORBMATA OIWU WVISOKKS Nl'MKUoHI'M ({;,! lfiu 

THKOUKMA US 

Numerorwn in hoc furnw au [ <)//* /r/ //' L'IIH "IM ?Htrnti>ru>H 
primi omncs swit vcl 2 rel 'S tv/ /w $tiitnntinm /irtttttttiniH) f 

24 w I- I, 24m i V, 

iMw- . r , 1M> i 11. 



THKOHKMA l". 

jmnn format* >v/ *24w* I S "/ t.Mw { 7 runthHutttr hi 
pressioM aa -f- 6/lii!i ; <tt Mourn primi intnm famuim 2I? i .' Y uM; * U fmlir 
continentur in erprcsRumt' 2 } 3W*. 



THBOHKMA :io 



numerum, qui continmtur in nUqmt htitwii f'ttrttnttittum 

24*-. 1, 24 w r., 

24"-7, 24 w II. 

THKOKK.MA ,'tl 

Numrormi in JMC an \ Wftli rrl fair fntnm frm | fiA/ t-nt, ttn>nm iliri- 
sores primi omnes suni ad 2 jW 5 iW w/i.t m/trm/i'Mii /*.? 

40w-f. 1, 4i) M j. 7, 

4<)w+ if, 41 m f a.'$, 

40/4 11, 40 w i ;j7, 

4flw}.l! f tm.j i;. 



THKORKMA ;2 

iVwmen ^nm in j?mrl harum frrmifanim rulummi ti.Htntti mmtl mint 
numeri hums forma* .(. low . rf wwwrr/ /,r/wi in rtttriw 



160-1611 IN HAG FORMA $aaqll CONTENTOEUM 



203 



THEOREM! 33 

Nullus Mtwenut siw Jtuius f'ormae aa + 1066 sive luius 2aa + 565 dividi 
potcst per ulhiw mmvnm, qul in aliqua seguentium formuhrum contineatwr 



1, 40t 7, 

40m f), 4() m _23, 

40t 11, 40m Bl, 

40w--19, 40m 13. 



34 

hi hat', forma an + Ul>l> vd liac 2aa + 7fe6 contentorum divi- 
wrcs jtrimi ontcn fuwf, vcl 2 wl 1 vd in una sequcntium formuhrum continentur 



-\- I, 56m -f 3, 

>*+ H, 56m -j-27, 

flfiw* + 25, 56m + 19, 

+ 15, 56+ 5, 

+ 23, 56m + 45, 

f)()t + 39, 56m + 13. 

THEOREMA 35 

Nuttteri primi in priori haruw formularum columna contenti simul sunt 
numm vd Jiuiits format. a 4" 14 bb rd %aa + 76ft; qui autem in altera columna 
continentur, corum tripla demum in altera istarum formularum cotn/prehenduntur. 

THEOREMA 36 

xS'i in xtipcrioribtis fiirmulis siyna + in commutentur, turn nullus numerus 
in istis formulis cantentm dirisor erit vel formae aa + 1466 vel 2 aa -\-7bb. 

26* 



204 THKOiiRsrm ruu'A mvi-'HHKs si Mnnnim ||,>, , fi2 

THKOKMMA :7 

NnwrowiM hi IMC forum ci } I.*M n-l /.(ir *UM ; ;''//, u^^^t^^nn i/iV/- 
sores jpnwi rwiwc 1 ^ w/// tv 1 / 2 rrl *1 <>7 Ti r^f in w,>* wiwuthim fwwuhirnin 



} 17, (Mb* i 51, 
(J0#-f t!>, (if 



THKIHiBMA :IH 

l/l /W /riflM llll | 21 Wi ^"1 JWff ;^ltl ; i/*/* font* utw'HM rlll> 

6W^ jpn/w* o/wtw ///// /r/ 2 iW ;i i>7 V />7 in n 

contimntur 



I'.'ff, Hint } jy, 

K4/ {.,%, H-iw {II, 



1. 



THKOUKMA ;ii 



m te form aa+MU ,W fi,i i 7M, n^mtwttw ,tiri*>r<* 
pnmi omnes sunt wl 2 { ft nrf 7 /W w -wf ^n.tim, frnmUum f ,n- 

Uneniw 



162-103] IN MAC! FORMA paag1>b OONTENTOETIM 205 

vel liarutn 

140 w + I, 140*w+ 3, 70 m + 1, 

140/ + {), 140/H + 27, 70m + 3, 

140*w + HI, 140t+103, 70m + 9, 

140/M + 2!>, UO/M + 87, 70m + 11, 

UOw + 121, UOw + {}, ' 70m + 13, 

140w + 10!), I40wt + 47, 70m + 17, 

140w -\- 11, 140t+ 33, 70w + 27, 

140 in -\- S), 140w+ 17, 70m + 29, 

MO/w + 51, 140t+ 13, 70 + 33, 

140/w + 31), 140+U7 t 70m + 39, 

MOw -1- 71, 140 w+ 73, 70m + 47, 

140/w-i- 7J), 140*+ 97 70m + 51. 



THEOREM A 40 

in aliqm harunt fwwulwwn contcntorum 

aa + 'Mb, 2a + 1566, 
5aa+ 666 
i 5 vel *** Mwa seqwntium formularum 



49, 

37, 

17, 

120 w+ 101, 120W + 31, 

120w + 113, 120 + 43 

120-W+ 29, 120m + 79. 



206 THKOBKMATA (UKOA WV^ollKS XI MKKOIWM 11*53-164 

Theoremata haoc Buffictunt ail HtHftiHttts a limitations formandas, 
ex quibus natura diviaoruw hutUKWocii fortuuhirum JHW j ////A poaitius 
perspicietur. 1 ) 

AN'NOTATIO 1 

Formula paa + qhb nullnin Iial^i (Ii\Uur^m t <|uin sit mmtil ilivtMor fur- 
mulao aa-h#j/M* (hiiu quiclein rt*i rat in fu^il** jat**i; mini ijiti muu*ruH ot 
divisor formulae paa -f- q bb, iilmi i!ivii|i*i haur turniHiii />/*#/*/ }-/^//*ft, luir ast 
lianc aa+JP?^ pcmlto ci lom ;i. lfatr uh n*in MilMii^t istum uaicum 

in se complectitur. 

ANNOTATIO a 



Inter numortw priiiitiH, ipii tilliini liuti^riua in ha* f l 
contentum dividual prhmim orrurrit liuirius. Si fuim *V *\\ aumi*run impar, 

sumendis pro a ot 6 uunu A rb im|mril>uH forniuia n i AV*A fii*t JIH* 2 itivbt- 
bills; at si N sit mmwruH jm,f, Hiimtt |ri fttniiitlit )mf{iii* JMT 2 fit ilivi- 

sibilis. Deimle voro Ijwa nnmorus iV vt*l fii!ti*litw*t IIIIM jiarn a 
divisor formulae a 'I s A74 f jiitii{ Huimfiiio i - *V i^t 



AN'KOTATin a 

' n 



Ueliqui divkoren jirimi oinn 

sionibus 4JVm'f a tim{>wliiwll {ii^miiit, ifu ut -tinm viH^iiu 1*111111*8 itttmm 
primi in formis intift 4Nm^t$ mnlmll 4t uliuMurw funttulm' m \ A'&6. 

Praeterea si exproamo 4A f i | i? jnn*i*iit liiviHuri'H tMrtatiluM nu j- AM, turn 
nullus numeral hmuamodi 4 A 1 in u %*m* iliviMnr niliiw nuin^ri in 

formula aa + Nbb cotiteritL 

AKNOTATIO 4 

Habebit autom ijiinwlniii vulurf^ i|ui ah iiiituli* iitniit*rt A" pttii- 

debunt; ac semper quidiin nit r * % v;ilurihu?i ir, Turn vw>, 

quia da numeris primin IE fortuulu 4 Am f ^ *|tmt*Hti<* i*l t |ii*rnpl- 

ctram est nequa ullum numwum fitimi*rutu. ijni cum -V 

communem di * 



communem divinonntt, n 



i*ri' 



1) Ad siqwntes -4114! K I,M,I i^tiinisriitiiSiiiiir'i i'W rt 

598 supra (note p. 194) |\ JI, 



164-1051 IN HAG FORMA jpaa2&5 OONTENTORUM 207 

ANNOTATIO 5 

Valoros au tern ipsius omnes erunt minor es quam 4^; si enim qui 
assent maiores, pot diniinutionem numeri m minores quam 4JV" reddi possent. 
Hinc valores ipsiun a erunt numeri impares minores quam &N atque ad N 
primi Neque vero omnes istiusmodi numeri impares ad N primi idoneos 
pro a vaioroa exhibebunt, sod eorum semissis ab hoc officio excluditur, quo- 
niam, si x fuerit valor ipsiuH , turn x seu 42^^ eius valor esse nequit; 
vicLsRimquo HI & non fuorit. valor ipsius a, turn &N x certo eius valor sit 
futurus. 

ANNOTAT10 6 

NuinoruH igiiair valoruiu ipsius a, ita ut 4 JVw + a contineat omnes divi- 
BOHVH pruuoH fonnulao a/i |- AV;6, sequent! modo dejfinietur. 1 ) Sint jp, g, r, s etc. 
uunuui primi ini^r m divorai oxcopto binario, qui seorsim est considerandus, 

atque 

HI fuorit erit valorum ipsius a numerus 

A' a, 1, 

N --2, 2, 

A r --p t jp 1, 



A 1 .y</, CP 

A f - -2^/, ' 2 Op -1) (2-1), 



JNr-,$t>qr 2(p-l)(ff-l)(r-l) 

etc., etc. 

ANNOTATIO 7 

Quomadmodum autom imitas semper reperitur inter valores ipsius a, ita 
otiam quivis numonw quadratua impar ot primus ad 2V locum habere debet 
in valoribus ipniuH . Posito onim b numero pari 2c formula fiet aa-\-Ncc, 
quao, si ait nuinoruH primus, contineri debct in expressione 4JVm + a. Ergo 
a erit <t vl nwiduum, quod ex divisione ipsius aa per 42V" remanet. Simili 
modo hUr valonw ipfrius a roperiri debent omnes numeri aa + N vel quae 

1) Vide Commenlationeai 271 Uuius voluminis. i 1 . K, 



208 



THEOUKMATA t'IKC'A MVISnltKS STMKUoltr 



ex eorum per 4N ilivinume supwrunl nwitlua; pur-itu rnim b 2<,' }- 1 
aa + -A'/M- + A''-f-4N(<'e -j ri; tjui si l'u<Tii uuutt'ru.s primus, uVlwlut 
aa-\-N esse valor ipsiua . 

ANNOTATK) H 

Intelligitur etiam, si u; fuwit valor ipsiun K. tutu <pH{iu x,r i'qu(nl (iui- 
dem ex praocedente paM) ei; (nims omnimi jn>ti'w(nt.i" ijwius .r, puiu /', iiii(*r 
valores ipsius a locum hahmi dol.Mn. SJ<'iwli HI prui-icr .< quotjiu* // 
valor ipsius a, turn quoqw x// i g'iH'ni!if'r ry ihihit qun.jut' va 
ipsius a. Scilicofc si ^/" maiiw t'umt <|aiu 4,V, pr hoc iHvitiatur vi. resi- 
duum erit valor ipniuH , Kimili modo m iitnupin' ,: I'ticrit valur ipstiw 
turn etiam a>"/ ; orit valor ipmus , llim-qtn' x r<^niju utto vcl aliquot 
valoribus ipaius f'acili nogotio omww otitiunt citw vulon*.s invt'iiiuittur, 



ANNDTATH) ! 

Sit a; quicunque numwtiH primus ad I ,V ixji' minor atquc v*'l | 
vel. as valor erit ipsiuH . Hi i K iiur fuwit jc IIUHU^UH primus, -\ M^\W 
tabula intolligetur, quibiw canihuH j j- { uihtiMim> ,r vlorm ip.siitH 
praebeat: 

SI ,, r t 



t 



tt 



Aw J- 1 
f>w-|. 4 



7*+ 3 



> 



-{ 7 



166167] 





si 




lln+ 2 




lln + 6 


JV . 


11 + 7 




lln-f 8 




.Hn + 10 




flln+ 1 




lln+ 8 


JV - . 


U ,--(- 4 




H + r> 



209 



erit 



a == 







Si propoHitua ait; uumonu quicunque primus, qui! utrum signo + 
au --_ aflucluH valorem ipsiun praebeat, ita investigabitur: Bini casus 
debent ovolvi, alter, quo propositus numerus primus est formae 4w + l 
alter, quo t formao 4- 1. Priori casu erit a- + (4 + i), si fueri ^ 

> /' ' u J.V j r*t'W -j- 1)^ -] 5 p^ 

awn autem ont -|-(4 w _i) > s j[ 8 it JVzn(4% l)-i- t 

(4--.l), m A'=:,(4tt -!) + . Ubi notandum est, quemadmodum 

aigiutut luxjuaHUioiu donotat, ita signum =n aequalitatis impossibilitatem 
doMgimr^ Quodni auteta fuerit pro utroque casu ^=(4^ + 1)^4- Sj erit 
quoqu JV'-(4>/ I. I )> doiiotanto y numerum quemcunque integrum, 
uil tHta talwlla pro quibusvis numeris primis sine negotio construitur. 

AUNOTATIO 10 

Quoniam inter fonnaw diviKorum primorum ipsius aa + Nbl) habetur 
4A'i-j-l, (titdciu fxpnawio <w + Nbb per nullum numerum dividi poterit, 
qui coniiinutiur iu ha forma 4JVt 1. Simili modo cum Nm + tt exhibeat 
formuin divionn oxprcHstomH an -f Nbb, sequitur nullum numerum huius- 

modi 4A'w It JOHH <'KW, divinoram ullius numeri in hac forma aa + Nbb 

contenti, xiqtutli'in, quod Hompor pono, a ot b Bint numeri inter se primi. 
I lane, ob ivm iuipoKHibiHa wit ista aequatio (4Nm ^)M == aa -f Nbb ideoque 
wit 4A'iw- ttu~>~ A'W/:;:a, siquidom fuerint 4Nmu ttu et JVM numeri 
inter we primi; quod cum certo ovsniat, si J 1 et ^ 1, nanciscimur istud 

ttj mnia h {kmimTOtotionas ivrithraetioae 27 



210 THEOREMATA CIRCA. IHVlBOUKst Nl'MKKOKtlM 11*17-169 

CONSEUTAIUUM 

Nullus nwmerus liae formula 4 /><' /;<' ftmtmtits unqmtm nw putcxt 
guadratus. 

ANNOTATIO 11 
Si fuerit N numerus huius Format 4w 1. f.uin i'unuuo (UviHonuu ad 



numerum duplo minorem redigimtur* iUi ut in formalin UA'w }- 
dantur. Scilicet si fuerit 4A%i-f w diviMoruin tbniut, turn *fttoqitt 4 A'w-j-il 
exit forma divisoruiu. Quare cum 2jVi/if^ H ^- ibrnui divi.suruia t s^t 
nullum numorum 2jVw -/^ diviBormn tiMst* |um^<*i tommc f/<i } AV;//. Hiar, 
erit (2Nm~tfyunzaa + Nhh oxiatouU* ^V " 4w I, wa<lo tititur hor, 



OONSKOTAHIUM 



nimerw twins /ameif ^uln^'-fa - <,% W /v/ 6 rr/ c* /kf*ril 
impar 4n~l, mgwwu jpotest em* 



ANNOTATiO 12 

% 

Si fuerit N uumerus iuipar huiuHinodi -tw-j 1 v<l ciiam nunun-UH impa- 
riter par, turn divisoruiu fonnae atl uumurum (lupUi iiitnori*ni r<U K n ntji J HW - 
sunt. Scilicet si INn + a luorifc (Hviwir t'urnuw tin 1 XMt t (urn 4A'w j "JA'-| 
eiusdem formae divisor esso u<m poterit. Kim- 2(Lw IDA" }.// uni i-ril. 
divisor formae aa + Mb idooquo htux: awtjiiiiiio i22i/'-|. 1 1 A' j tt)u <t ( ffbb 
erit aequatio impossibilis, siquidtnu Hint. <t ot /^ titutitn-i priuii hir w t A' 
sit Tel numerus impar fonmio 4 + I v l auiuoruH impurHr par. Kx <juo 
sequitur istud 

CONSKOTAUIUM 

Nullus mmerus huius fomm 5Jk 6 + ^^v^ wiiwm* ///wn </ A 
veZ mpantor pan vd irnpari formae 4 + 1 M(/MW fcm - pfrtf (Jlt adnt(m. 

BCHOMON 1 

Quae Me sunt allata, sufficient dec.lawmt indohi divworum huiiMmodi 
tormularum aa + Nbb simulque inswviuut ud omum Uivworuia formus ex- 



169-170]^ m HAG FORMA paaqU CONTENTOEtJM 



211 



pedite inveniendas, quibns cognitis quoque eae numerorum formae mnotescunt, 
quae nunquam praebere queant divisores formulae aa + Nbb. Gum igitur 
haec pateant ad omnes valores ipsius N, sive sint numeri primi sive compo- 
siti, reliquum est, ut etiam casus evolvamus, qnibus N. denotet numeros 
negatives tarn primes quam composites; perspicuum autem est foramlam 
paa qll nullum, divisoreni habere posse, quin-sit divisor huius aa~pgl)l 
seu -jpgaa 66, undo sufficiet huiusmodi tantum formas aa NU evolvisse. 



THEOKEMA 41 

Nwnerorwn in Jiac forma aa lb contentorum divisores primi omnes sunt 
vel 2 vel 4m + I; nullus scilicet datur nwnerus, gui non sit divisor differentiae 
duorum (jfuadratorum. Vicissim autem omnes nmneri praeter impariter pares 
ipsi sunt differentiae duorum quadratorum. 

THEOEEMA 42 

Numerorum in hac forma aa %hb contentorum omnes divisores primi sunt 

vel 2 vel Jiuius formae 8m + 1. Omnesque numeri primi huius formae $rn + l 
ipsi infinitis modis in formula aa 2'bb continentur. 



w 



THEOEEMA 43 

Numerorum in Jiac forma contentorum aa 365 omnes divisores primi s^int 
vel 2 vd 3 vel "hums formae 12 w +, 1- Atgue vicissim omnes huiusmodi mtmeri 
primi simtd in hac forma aa Sbl vel hac 8aahb infinitis modis continentur. 



THEOEEMA 44 

Omnes divisores primi hunts formae a a 566 smt vel 2 vel 5 vel conti- 
nentur 

in altera hartm formularum vel in hac una 

20^ + 1, 20m + 9 10m + 1. 

Omnesque numeri primi in his formis contenti simul sunt divisores formae 
aa 566, 

87* 



MEOREMATA CIRCA DIVISOKBS NUMBROIUTM 



THBOEEMA 45 

Omnes dimores primi Jimus forma? aa 7/>/> MM* rcl 2 rr/ 7 wl m nna 
sequentium formularum continentw* 

28m 1, 28wJ 3, 2)w : | ; ; j; 

vicissim omnes nwneri primi in ki$ fonnis ctmtrHti shunt siwt rf/moms 



formae aa Tbh. I 

THBOEBMA 4 \ 

Omnes divisores primi Imins formm aa UfrA w/ rr/ 2 ref II ret /// w :' 

sequentium formarum continental' ! 

44^-4-1, 44^ + 5, 44t'l : 7 f 44w 1 t), 44 w I- i!>; 

a^(e vicissim mnes nwneri prim in It fa famuli!* twtfntti dmul mnt dimim^ 
formae aa 11^6, gum recipr&Cdtw in aMnibu# wtjwntibHi* tkntrctnatfa hewn 
habet. 

THEOE114 47 

Omnes divisores primi formM aa, ISbb .sww/ wl ii wl i'J wl in W({ti<')i(ihn$ 

formulis continentur 

ft rwocantitr wl 



I- n, 

9, 520H-25, 
a, 52m f : 17, 



THBORKMA 48 

Onmes divisores primi nunieroruni fntiua fwmae ati - Ylbb mnt ret ii wl 
vel in sequentibus formulis contincntur 

quac nwitcnntttt" ttd IIM 

68w+ 1, 68W+ 9, Mm+ I, 

68m 13, Q$ml<) f Mm I, i>, 

68m 88,' 68m + 25, ,14m M.H, 

68m 21, 68w + 15, 'Mm j : 15. 



171172]^ ^ IN HAG FORMA paaqll CONTENTORUM 213 

THEOREM! 49 

Omnes divisores primi numerorum huius formae act, 19&6 sunt vel 2 vel 19 
vel in seguentibus formulis continentur 



h 1, 76m 4- 3, 76m + 9, 
76w + 27, 7Bm 5, 76t + 15, 
76m + 31 , 76 m 17 , 76 m 25. 

THEOREM! 50 

Omnes divisores primi numerorum formae huius a a 66 b sunt vel 2 vel 3 
vel in Ms formulis continentur 

24w+_l, 24w + 5. 

THEOREM! 51 

Omnes divisores primi numerorum formae aa lObb sunt vel 2 vel 5 vel 
in Ms formulis continentur 



__ 40m + 3, 

40m + 9, 40m + 13. 

THEOREM! 52 

Omnes divisores primi numerorum huius formae aa 14Z6 sunt vel 2 vel 7 
vel in his formulis continentur 

56m + 1, 56m + 5, 56m + 25, 
-9, 56m + 11. 



214 THEOREMATA GIBGA DIVISOBES HUMKROliUM [172-173 

THEOREMA 5B 

' Omnes diviswes primi nummmmi linim fornae tta-- !M nunt rd 2 velll 
vel in Ms formidis continents 

88m + 1, 88m 4; 3, 8Hw 4; 9 f 

'88m 4-, 27, 88 w 4; 7, HHw -f.21, 

88iW"h.25* 88W-I-13, 8wi;l af), 

88/ 4; 2!l. 

THEOREMA 54 

Omnes dwisores primi vmmmwmn "hmm fitniuw a a Itihh Hunt wl 2 vel B 

vel 5 vel in Us fmnulis cmtmmtm 

Q$ m {, \ t 00 m 4-, 7, 60 >n 4; 1! * H()w : )- 17. 

THEOREMA 55 

Omnes dwisores primi niwwrvriiM huiitn fttrmtw aa "21 bh nwit ret 2 ret 8 

t?ei5 7 wZ w /wa formulis continmiur 

K rcvtiawtur ad 



84m 4: 1, H4w-l- r, 42 w I- I, 

84wi25, R4w 4-4i f 42 M I f, 

84wS7, B4tw M7, 42 w I- 17. 

THBORKMA 5 

dimsores primi mmcrmim huiwt format* an IMbb *unt vel 2 t>e2 3 
11 veZ in UB formifa cmtinmtw 

gum' mwattlur ad to 
132w 1, 182f i 17, mm I I, 

182m 25, I32W-129, (ilim I 17, 

18286, i:^w f 5, 
182m 49, mm -I 41, 
182m 37, 



173174] _ INJttA.0 EOEMA^aaffJ6 OONTENTORUM. 215 



THEOREMA.57 

Omnes divisor es primi numerorum huius formae a a 3566 smt vel 2 vel 5 
vel 7 vel in Ms formulis continentur 



1, 140m + 9, 140m + 59, 

140m + 29, 140m + 19, 140m + 31, 

140m + 13, 140m + 23, 140m + 67, 

14()m + 43, 140m + 33, l4Qm + 17.' 

THBOKEMA 58 

Onmes divisor es primi numerorum "huius formae aa SQbb smt vel 2 vel 3 
vel 5 vel in Ms formulis continentur 

120m + 1, 120m + 13, 120w + 49, 

120W + 37, 120w+ 7, 120m + 29, 
120m + 17, 120m + 19. 

THEOEEMA 59 

Omnes divisor es primi nwmerorum Jiuius formae a a 105 "b I sunt vel 2 vel 3 
vel 5 vel 1 vel continents in Ms formulis 

guae revocantur ad has 

420m + 1, 420m + 13, 210m + 1, 

420^ + 169, 420m + 97, 210m + 13, 

420m 23, 420m + 121, 210m + 23, 

420m + 107, 420m + 131, 210m + 41, 

420m + 109, 420m + 157, 210m + 53, 

420m + 59, 420m + 73, 210m + 59, , 

420m + 101, 420m +53, 210m + 73, 

420m + 151, 420m + 137, 210m 79, 

420m + 89, 420m + 103, 210m + 89, 

420m + 79, 420m + 187, 210m + 97, 

420w + 41, 420m + 113, 210m + 101, 

420m + 209, 420m + 197, 210m + 103. 



!16 THEOREMATA CIRCA DIVISOKBS NUMBHOttUM [174-176 

ANNOTATIO 13 

Numerorum ergo in formula aa~~Nb(> contentorum divisores primi omncH 
rant vel 2 vel divisores numeri N vel in eiuamodi forraulis 4Nma com- 
prehenduntur. Quodsi enim 4Nm + ct fuerit forma diviaorum, turn quoque 
ij\r m erit divisorum forma; seems atque in fonnulis aa + N'bb\ quarum 
si 4JVw + a fuerit divisor, turn 4JVw nullum unquam praabere potest 
divisorem eiusdem formulae. 

ANNOTATE) 14 

Posito ergo 4Nw4 : pro forma divisorum gtworali numororum in hac 
expressione aa Nhb contentonim littora a plwuiuquo plurea fiignificahit 
numeros, inter quos unitas semper continetur; tarn voro, <juia hie do divi- 
soribus primis sermo est, inter valonffl ipsiuH nulhiH t'rii nuinonw par noc 
ullus divisor numeri JV. Deinde etiain manifeHtum onfc oinncw valoroB ipHiue a 
ita ordinari posse, ut sint minores quani 2A r . Hi tmiiu Hit 4Nm -\-2N+ b 
divisor, turn posito w 1 loco m divisor orit 4 Nm (2 N - b), Krunt ergo 
valores ipsius a numeri impares primi ad N mitioroH quant 2Af horumque 
numerorum omnium imparium et primorum ad N ot miiwrum qumn 2JV* 
semissis tantum praebebit icloneos valores ipaiuH ; roliqui c*xhibbwnt fonnulaB, 
in quibus plane nullus continetur divisor, Poriiwtuo ftdlicab totidem habobun- 
tur formulae divisorum, quot aunt contrariae, olo oxcqito eau, (juo JV^ 1, 

ANHOTATIO 15 

Quod ad numerum valoram ipsius a pro formula divifiorunt 4A r w h 
attinet, quoniam ob signum ambiguum quaoviH formula mt dupbx, hie 
quoque eadem valebit regula, quam supra Annotatione CJ dodi, Hie in ultimo 
theoremate, quo erat IV 105 8*1) *7, numeriw valorum ipHiuH a orit 
2 -4- 6*= 48, seu cum quaevis formula sit gemino, nuittorua formularum fit. 
24, quot etiam exMbuimus, 

ANHOTATIO 16 

Sicut autem unitas perpetuo inter yalores ipsius m reperitur, ita etiam 
qnivis numerus quadratus, qui sit primus ftd 4,N, valorem idoneum pro a 



IN HAO FORMA paaqbl CONTENTORUM 01 7 

-- - - .. .,,. , "" * 

suppeditabit. 1 ) Posito enim & = 2c formula aaNbb abit in aa-4Ncc seu 
4Ncc aa, ex quo patet quemvis numerum quadratum aa, qui sit primus 
ad 4N, exhibere valorem idoneum pro a, sumendo scilicet residuo, quod jn 
divisione ipsius aa per 4JV" remanet. Simili modo ponendo I = 2c + 1 for- 
mula mi-na abit in 4N(cc + c) + _Y _ aa> lmde etiam omneg numeri 
JV-aa seu aa-N } qui quidem sint primi ad 4JV, idoneos valores pro a 
praebebunt. Deinde quoque notandum est, si sint a?, y, valores ipsius , 
turn quoque af, t/ 1 ', ^ itemque omnia producta, quae ex numeris a?, y, ^ 
eorumve potestatibus quibuscunque resultant, valores ipsius a esse exhibi- 
tura; uncle cognito uno vel aliquot valoribus ipsius a facili negotio omnes 
reperiuntur. 

ANNOTATIO 17 

Quo autem clarius appareat, cuiusmodi valores littera a perpetuo sit 
habitura, tabulam sequentem adiicere visurn est, similem eius, quae Anno- 
tatione 9 habetur. 

Erit scilicet si fuerit 

a 3 

-7- f> 
M _X_ O 



1) His EiJMM verbia L, KRQNBOKHR in Commentatione, quae insoribitur Semerfamffm eur 
GescMchte ties RwiprotiMtegesetgea , Monatsber. d. Akad. d. Wissensch. zu Berlin (1875), 
1876, p, 267, L. KRONKCKERS Wcrlw, herausgegeben yon K. HEUSJBL, Bd, 2, Leipzig 1897, p. 4, 
sequentia adiooit: 

,,Nimmt man nun die einfache Bemerkuug hiuzu, daB ftir eine Prirazahl N sclion die ersten 
|-(JV" 1) ungraden Quadrateablen, da sie mod, N unter einander inkongruent sind, so viel geeignote 
Werte (valores idoneos) fflr a liefern, als nach EUMR tiberhaupt erforderlioh sind, so ergibt sich 
onmittelbar das Eiciprooittttsgesetej denn ea folgt alsdann, dafl JY" quadratischor Rest yon jeder 
Primssabl sein muB abar aucb nur von einer solehen , welche, positiv oder negativ genommen, 
einem Quadrate mod, 4 IV kongraent 1st, 

BULBE selbst hat das Bedprocitatsgesetss in ganz entwickelter und vollendeter Form erst viel 
spater und zwar am Sohlusse $iner Abbtndlung aufgestellt, welche er unter dena Titel Observations 
circa dimsionem quadratorum per mmcros prims im I Bande seiner Oguscula analytica (Peters- 
burg 1788) pubUoiert hat," 

Dissertatio a KEONIOKME hie laudata est EULEEI Oommentatio 652 (indicis ENBSTROEMIANI), 
LKONHAKBI EUIKRI Opera omnia, series I, vol. B. F. E. 

Eutrnia Opera omnia la CoramentationeB arithmeticae 28 



218 



TEEOKEMATA CIRCA DIVISOUES NUMERORUM 

si fuorit 

JV 



erit scilicet 

A< r\ 



N 






n 



i 



I *' 

* 

'"*" I 

.. . *> 

i { 

-f f > 



[176-177 



*V - . It 



+ 3 

+ 4 



IS 



N - .13 



13 w 



I- 5 



177-178] IN HAG FORMA paagll OONTENTORUM 



219 



AOTOTATIO 18 

Ex hac igitur tabula numeri primi, qui idoneos valores pro a praebeant, 
facile dignosci. simulque inepti reiici possunt. Proposito scilicet numero 
prime p omnes numeri quadrati in huiusmodi formulis pn + comprehend! 
possunt, quae prodeunt ponenclo pro 6 numeros quadrates seu residua, quae 
ex divisione quadratorum per p remanent. Quare si N fuerit huiusmodi 
numerus pn + it, turn inter formas divisorum 4,Nm a formulae aa Nbb 
seu Nbb aa habebitur ajp; sin autem numeral non contineatur in 
forma pn + , turn nullus numerus in formula hac 4JVw p contentus 
poterit esse divisor tillius numeri hums formae aa Nbb. 



ANNOTATIO 19 

Si fuerit N numerus impar formae 4w + l, turn, expressionis aa Nbb 
divisorum formae 4JVw +. a ad duplo pauciores reduci possunt, ita ut exhi- 
beri possint hoc modo %Nma. Hoc scilicet casu, si 4Nm a fuerit 
forma divisorum, turn quoque 4:Nm(ZNa) erit divisorum forma; sic 
cum casu .AT 13 una divisorum formulae aa 136& forma esset 52m 3, 
erit quoque 52^ 4 : 28 forma divisorum,. 



ANNOTATIO 20 

Sin autem fuerit N vel numerus impariter par vel numerus impar 
formae 4% 1, turn ista formarum dividentium reductio ad duplo pauciores 
non succedit. Scilicet si hoc casu formulae aa Nbb fuerit iNm + a divi- 
sorum forma, turn 4,Nm (2N ) talis non erit, hoc est: Nullus numerus 
in forma 2(2w r h l)2V : f contentus erit divisor ullius numeri huiusmodi 
aa Nbb, Posito ergo cc^tt erit (2(2^ + 1)^+ tt)u^raa Nbb, Unde 
consequimur sequens 



OONSBOTAEIUM 

Nullus numerus in hac forma, %abc + c -f &. contentus unguam potest esse 
yuadratus, siguidem fuerit a numerus impar et b numerus seu impariter par seu 
impar huius formae kn 1 , 

28* 



220 



THEOEEMATA CIRCA D1VIROHES NUMKHOKUM [178-179 

SOHOLION 2 

Hniusmodi formulae magis specialty, quao nunquam quadrata iieri 
queant, innuinerabiles superioribus diuluei ponmmt (JotiHidoremus enim 
priorem formam aa+Nbb sitque 4A r w-M oiunmodi formula, ut mdlus 
numerus in ea contentns possit ease divisor fonnao a [< Xbb. Krit ergo 
aa + N1>bnz(ANm + 'A)ii denotante hoc Higno 'C iw^iuaUouom hupossibilem, 
ex quo oritur aa^&Nvm^ Ai*~-Nbb. Sii h . Ac', Iwt 



aa nr 4J/w + 

Ponatur porro w NAcc + ^ ointquo . ' ANNAnicr \< 4Nnnt \> Ad. Sit 
d^&NNn] erit aa in lOJV'wn -h 4A r A r J w/c -|- ANNAtt. Dividatur haoc for- 
mula per quadratum 4 ATJV ac ponatur ->! onixjuo 4.Vww-l- /lw -f -4w 
formula, quae nunquam potocit <wso <iuiulrutuni, Hitiuidom forma na^Nbb 
non possit dividi per ullum mimorum in hac formula 4Xni-\-A coniiontura. 
Ex superioribus ergo theoromatin colligplmuH nullum numorum, t|ui in una 
sequentium expressionum continoatur, fieri POHHO quadratum; 



(m + n), 

(m 4 ), 8m 
8(w4) 

(m. + w ) 

7 (m + *0 12 w 4 s 5(m 4 w), 

(m 4 ft), SJOmn 4 19 (m 4 ft ) 

S (m 4 n )i 20m 4 17 ( fw 4 ) 

7 (m 4 n ) i 20w 4 18 (* 4 *) 

9 (m 4 )> 20 wn 4 11 ( 4 ) 

v * / * * \ * / f 

(m 4 ) 24m n 4 28 (i 4 )? 

5(m 4 w), 24mn 4 19 (m 4 )i 

7 (m 4 n), 24fi 4 17 (m 4 n), 



179-180] POEMA P a <*> ^1 OONTEKTOKtTM 



24m n 11 (m + ) , 24m w -f 13 (m + ri) , 

28w (w-fw), 28 ww -f 27 (m + w), 

28mw 9(m + w), 28mw + 19 (m + n), 

28 ww 11 (w + ri) , 28 ww -f 17 (m + w), 

28mw 15 (m + w), 28ww + 13 (m + w), 



221 



28w?.w 25 (m -f w) , 28ww -f 3 (w + ri) 

etc. 

Notandum autem est in formulis alterius oolumnae numeros m et n respectu 
coefficientis ipsius m + w primos esse oportere. Hanc restrictionem requirit 
ea conditio, quara initio stabilivinras, ut in forma aa-\-Nl>l) numeri a et I 
suit inter se numeri primi; nisi enim haec conditio observetur, quilibet 
numeras posset esse divisor istius formae. Oetorum liac conditione observata 
ex praecedentibus perspicuum est', si 4JVww A(m + ri) quadratum esse ne- 
queat, turn quoque lianc latins patentem k'Nmn A(m-\- ri) r j-4JV>(m + ri) 
quadratum esse non posse. 



Oontemplemur iam expressionem aa Nb'b, cuius nullus divisor conti- 
neatur in formula hac 4JVm4 : A Brit ergo aa N'b'bin.kNmu^Au sen 
aa zc 4Nmu -\~ NA.A H- Au. Ponatur NA + w d seu u + d + 
eritque aa in 4 : 4Nmd + &NNAm + -4^. Sit <# + ANNn fietque 



16 ^%w + ANNAm 4NNAn nz aa, 



made patet nullum numerum contentum in hac formula kNmn +. A(m ri) 
quadratum esse posse. Neque ergo etiarn ullus numerus in hac expressione 
^ww^ A(m ri) 4 1 ^N(m ri) contentus quadratum esse poterit, si modo 
conditio ante memorata observetur, ut a et I sint numeri inter se primi. 
Hinc itaque ex theorematis posterioribus deducuntur sequentes formulae, quae 
nunquam numeros quadrates praebere possunt: 



222 THEOREMATA CIRCA DIVISOBES NUMKROEUM [l 80-18.1 



3 (m ri) , 8 w n H- 5 (wi ri) , 

5(w w), 12 ww + 7(w ), 

20mw + 3 (w w), 20ww + 17 (;. w), 

20 w w + 7 (m ri) , 20 w w 1 3 (w w) , 

24 mn + 7 (m ), 24wi : | : 17 (/w - ....... - w), 

24 m + 11 (w* w), 24ww -f : 1JJ (vw - - wj, 

+ 5 Ow n), 2Kww h 2!J (w w), 

11 (M ~ ), 2Hw/n : h 17(/// w), 

28 wm H 18 (/// ..... - w), 2Hw f 1A (/// w ) 

etc, 

Attendenti autem facile patebit arabos niuueros in fc w rospoclu coefticiontis 
ipsius (m n) primes ease debero; alioquin enim, si verbi gratia in formula 
12 mn 5 (w ri) poneretur m 5jp et w 5f/, prodiret 12 25jj$ + 25 (j> g) 
neque adeo haec formula I2$q : | : ($> f/) (iiuitlratuui OSBO ponsot; quod t.am(n 
est falsum, 



SOLUTIO PROBLEMATIS DIFPIOILLIMI 
A FERMATIO PROPOSITI 

Oommentatio 167 indicia ENESTHOBMIANI 

Novi coinmentarii acadeuviae scientiarum Petropolitauae 2 (1749), 1751, p. 4967 

Summarium ibidem p. G- 7 

SXJMMAEIUM 

Cum 1?BBMATltis proximo elapso saeculo, Galliae decus, pluriinum studii et operae in 
problematibus ad methodum DIOPHANTI pertinentibus felioissimo successu consumsisset et 
haec Aaalyseos pars post ems tempera aoa eadem cura ac reliquae praedictae disciplinae 
partes promota, immo a Geometrie, qui eum sunt secuti, fere neglecta sit, idcirco Gel. EULEKUS 
pattern liaao Aualyseos, quae circa inimeros est occupata et ad problemata indeterminata 
solvenda adldberi solet, vcsl ideo coleadam sibi sumsit, quoaiam plerumque summa ingenii 
vis in talibus hnius doctriaae problematibos, quae olim solutu difiieilia suat habita, oernatur 
atque ab Analysta nou medioeris ad ea sol,Yen.da requiratur sagacitas. 

Problema autem, quod sibi in hac dissertatioae inyeniendmn sumsit Gel. ETJLEEUS et 
quod a FERMATIO, qui id in aimotationibus suis ad DIOPHANTVM BACHETI proposuerat 
idque solutu diffioillimum iuclieaverat, est sequens: 

Invenire tnangulum rectangtilum m numeris rattonalibus expressum, cuius utergw 
cathetus area ipsius trianguli minutus producat mimerum quadratum. 

Postquam igitur Gel. Auctor praeparationeui ad solutionem praemisit, tres huius 
problematis solutiones particulars oeteris, quas elicere potuisset, omissis exhibet simulque 
yiam inonstrat, quomodo ex praeparatione ad solutiones supra traditas solutio quaedam 
generalis et concinna, quam in, dissertatione ipsa uberius exemplis illustrat, cleducta sit. 



flOltmO I'KOEMMATIS mWCILUM! A FEBMATtO l-ROPOMTI [49-60 

,.... ..... 

1 Qnamquam problomata, quo.' olim Holutu difflcilia mmt, haluta, hodie 
e ob fines Aualyscos tampon- ,-rmuotoH mhil v,l ,Mirm ddhcultatis 
nique tiuu omw, uao ml uwthodum 



,l~e ob fines Aualyscos p 

pierunique pruWcmutiuu uomw, quao ml uwthodum 

- - -" ^ """ Awiiv ' .^ post 



. . 

a, qui plurimnni rtudi. ot uFrut. m .-a , hosnuno omu 
it, non aolum M ^.lum ,ss, vuU.tuv, uuu 
to a Geometo, qui um H.H ',-,..,>, ,n- ,,,..utH ,,t, u, K leotum. 
Si autem ea Awlyeeo. parn, in -juu Malh,,,mU luuh, ,,,UHH,,,,um TV 
ob S ummam utflltatem. qiwm I r,UuuaH snontuus ai n u art copu>. 



sar o S 

SB aflert omni laude nmximo (Ug.m .-Kl hn.Mla. twiuti altenv quoquo 
TB quae in'numeriB t occu^ta l ud P ,hl,,nat t lu.Mmuinal* olv,mda 
!dMberi solet, idciroo minima ot caut-auum.!,, ,-un, . .* l- m,m., 
tagenii Tis oeraatnr atqu ab Analyntn rum m.dmcnH nugant^ m^rufair. 

2 Quae cum ita nt rinpttt, 'u liuhm ,* i.r..l.l.mmt*. quao a 
FEEMATIO Bummopero diffieilui *mt i,lirat,t. .wl..,., H. hd. mm nrngw iacto 
Lt facilia hincquo .tadium, qul U, ,,,, Hl,.t,... |..m,U,r mm male 
collocate. Propcmit aiitaui KBWATUIII in utumh.timulmH HU.K u<l lHneAsrvit 
BAOHBM') eequens probloma tan.piwu wutit .lifflnlhmiim: 

Inwmre triangulum wtaw f //wm in Mm,rk ruti^M^ .^n-mm, mm 

<<'' * "'' 



Huius ergo problomatiB .nquwiUw, .juiw ii.ihi i" ll "" '' lian "' ! cmlU 8 it| 
solutiones in medium alfcrru vtoiim w. 

I'llAJIPAKATK) AD XOUmoNKM 

&. Notum (wt trianguhtm mslwignlum in nuiwrtH ratiotmlUma ..xpriim, 
si ponatur cathetovum alter -. tab rt ulU* - **' * ';f I'~ 
hypotenusa oo + M.'J acneriilitm i-uthrti simlut |mni poswunl t i't , 
prodeunte liypotenusa -" + ". hmaui ut.in, .|nHiiu iwlnntm trinngnli 

1) Vide note. 2 p. 61, Vm]Anm hi' Iwtl.wluw ivnnlr lYti etarvttione ad 
quaestionsm XIV libri VI Uiunuurn, p. <; tleverrt ilr t'm.n, I I, j. a:i:i. I''- 

2) Vide Umm& 2 Comntatttiuni* fH, (, 8 hut volmnmn. t'. K 



^-Sl] ______ jOMlOjgOBL]!SMAM8 DMICILIMI A tfEEMATlO fcROfrOSM 225 

rectanguli ultimo loco in computum vocare expedit, 

2sf 

unum cathetum = , alterum cathetum = -^ 



* 
eritque area 



Ac prime per conditionem problematis hae quantitates 

r 2x xy 

1 7 ...... -yy seu 20* ay, 

TT !/ ^2/ 

II. T -^- sen ya-xy 

quadrata effici debent. Turn vero, quia hypotenusa fit ^l^fLtl^, haec 
quantitas 

III. &xx H- yy 
reddi debet quadratum. 

4. Quoniam hae ambae quantitates 2x0 xy et ya xy esse debent 
quadrata, earum productum pariter erit quadratum. Ordior ergo a producto 



quod quadratum reddi debet, ponoque eius radicem ^xy ^-ya t \i ex 
evolutione valor ipsius commode definiri queat; fiet autem 



xyy + xxyy a?a;// ~xyy# -j- 

Ac delete utrinque termino cornm.uni a3^2/2/ et reliqua aequatione per y# 
divisa obtinebitur 



xy^ ~xy 4- 

( 1 
unde fit 



LKONHAHDI Eutmi Opera omnia Is Commentationes arithmeticae 29 



^ 



5. Invento iam valore ipsius fiet 



Mncque porro habebitur 



dmnmodo communs 2 

mimncfinem 

ac divisione feota per as erit 



fr 



6 Sufficiet astern ad nostmm aotationom nonae wlaUonom int.r at et y, 
,uia in H to introductus eat *.* domlii^ r, ,.uu p<m 



licebit . 

x*m< et if 



j.M. ff 

Ideoque sparest tantmn, tit 4w 4^|/ mWalur quadraiuiii, undo 
sequens expressio clebet esse quadratum 



unde seqtientes solutiones parfciculares 



52-53] SOLtfTlO PROBLEMA^IS DWlOttiLlMl A DERMATIC PEOPOSltTl 227 

SOLUTIO PRIMA 

7. Quoniam igitur quaestio hue est reducta, ut pro litteris p, %, r eius- 
modi valores assignentur, qui lianc expressionem 4p* -\- ^(f 4##rr -f- r 4 
reddant quadratum, solutio generalis, quae onmes omnino valores idoneos 
harum litterarum complectatur, tradi neq\iit. Cum igitur solutionibus 
specialibus acquiescere debeamus, ponam primo radicem huius expressionis 
esse = 2pp + rr, ut termini 4jp* et r 4 utrinque se destruant, ac prodibit 
haec aequatio 



unde lit pp = -\- -~ (a a rr). et habebimus 
j. j. i j,j. \ j, j. /> 



vel p Y(qq rr) vel p = l/(rr 

J- if ' \-l--L / J- if \ 



8. Priori formulae p = T-yC^^ ^) satisfit ponendo 3 == cc -|- ^c? et 
r = 2cd, unde fit f ^.^ C ^ C -M.. EX Ms ergo valoribus 

. 77 a 7 (cc-\-dd}(cc 

y^cc + dd, r<=2cd, p -^ ^ 

sen 



r = 
erit 

' ~" 



x*=*pp, y~2qg? rr, y(4#$ + yy) sesa 
quibus inventis erit pro triangulo rectangul,o quaesito 

2 or *?/ 

I. cathetus = ~~, II. cathetus = J - 

8 

EXEMPLUM 1 

9, git c = 2 et d == 1 ac prodibunt hi valores 

p 5 . 3 = 15, ^ = 4-5 = 20, r^ 4-4=16, 

, 544-26 25-89 2225 



atque 

706, 

29* 



A TOIMATIO WtOPOSlTl ['63-54 

* ~-* + T rtiTA +vr/"\TT inn/I ATI X I I I 11 H I VJ LJUJUAAI*,* * V * *J *"' *****- L w v "* 

^^g SOLUTIO 



rmmerB 



conficitur hoc triangnlnm rectengnkm in 
I. cath. - S / - $, H ath - * - ^.M ' I 

area ergo erit - ? ^ et problemati ita atisflt: 

,4,1 144*411 /1S'7\ 

; L cath. - area -(5i- 89 -217(0- , 5 , B08 -(5,80)* 



4352 , R() ^ .._ 

II. cath. area 2f) 1 89 a (^ ~~ { ^ 25 s \ f> H9 



BXEMPLUM 2 
10. Sit e 3 et d 1 ac sequentes prcxiibunt valomi 

jp-10'8, g-B-10, r -.{) 
qui per 4 divisi ad minores terminos km roducuutur 

_i?20, {p"ir>, r '0, 

Ex Ms fit 

a; = 400, y-869 et *-**?*> ^4^-}-i/yi HKl, 



_ ,, 20 32-9 TT _,, y 81 41 ftt 

I. cath. ..... --, ILcath. -, HI. 



unde triangultwn. rectangulum erit 

u 81*41 *' * 

n* y , it* iivtitit. t 

*ij j 1 " 1 " & , tftf, 

** il f .4. i?4/ 

atque area ^~~~^] quare problemaii ita aatiBflt: 



T , . 16 ft f0$ttJ /4.3-77\ 

I. cath. - area - _ , U IK / ' 



81.41.186-16'81-41 HJ.41-U /41 

II cath. - area - M> m , m , IH6 , ^ fl 185 / 



' ' SOLUTIO 

11. Sumatur jex soluticme praecedmto &m\w poHU*rif*r ^ > ^ l^(/''* 
qui requirit hos valores 



5466] SOLUTIO PEOBLBMATIS DMICILUMI A FEEMATIO PEOPOSITI 



r - cc + dd, q - Zed, $ - 

^ cc + dd 



seu 



et ut ante z = x- 

rr 



Quia autem esse debet 2## > rr, erit 8cc<#d! > (cc + ^d) 2 et 2cd]/2 > cc + dd 
seu > cc 2cdy2 + dd, quod hue redit, ut sit dd > (c ^l/2) 2 ; ergo 

vel d > c d "1/2 seu - > ............ - ; 

1+1/2 



vel d>d% c seu 

c -j/2-1 



Ergo si d == 1, necesse est, ut sit vel c < 1/2 + 1 vel c> 1/2 1. At est 
c> 1, unde semper erit c> X2 1 et 2ggt rr fiet quantitas positiva. Erit 
itaque 



2x 



I oath. = x , II. oath. -- et III. hypot. = 

8 J1 



EXEMPLUM 1 

12. Sit c 2 et d = 1 ac provenient hi valores 

r 5-5 25, 2 4-5 20, # = 4.3-12 
hincque 

-1 A A -irrc ~\/fA I \ OOrr J. -i A A i 175-64 4048 

a? = 144, y 175, y(4ajaj + yy) 337 atque 144 + _ = ---- - 
Unde trianguli quaesiti erit 

2# 288-25 18-25 450 



, catn. 4043 253 



3CC 



26>176 4375 
4048 " = 4048 ' 



TTT hvr>nt - ' 8425 

AIX. nypuu. ........................... -~ .......................... - 8 - 



Area itaque erit 'T ~ " T r ' linc ^ e problemati hoc modo satisfit, 



e 

ut sit; 



230 SOLUTIO PROBLEMATIC DIFFIOILLIMI A FERMATIO PROPOS1TT [55-56 

;32- 253 -4375) 



-wi- 
. aiea - - " ......... - 16 . 258 , - 



II. cath. - area - ~ ~ 9 li?> - 25 ' 25 * 7 ' 28 ^ . 

253-4048 16-253 8 \ 4- 263 



EXEMPLUM 2 
13. Sit c = 3 et d = 1 ac prodibunt hi valores 

r 10-10, ff6-10, jQ^B-ti 
sea 

r 25, ^ = 15, $ 12 
hincque 

3/ 175, y(4*j + yy) 337; 



qui valores^ cum sint iiclem qui in example praecedente, hinc nulla nova 
oritur soliitio. 1 ) Maiores autem numeros pro c et d non substiimo, quod inde 
nimis complicati 'valores pro x, y et g prodeunt; praeoipua enim cura in hoc 
debet poni, ut triangula in minimis, quantum fieri potest, numeris ezpressa 
reperiantur. 

SOLUTIO TEETIA, 



14 Cum 4^ + ^4/+4^^4^rf + f* 0sse debeat quadratum, 
ems radicem- ponamus Me - 2pj 2 W , ut sit T/(4^ + yy) - 2* + 
atque prodibit haec aequatio 



unde fit = 

-f-f 

vel =.- vel 



Qma yero ob y-a Mr -r* e sse oportet 2 M >rr, prior valor erit inutilis 
habebimusque 



_rr et 



l)E e verae S ty 175. Ob valors F.E. 



56-57] 80LUTIO PROBLEM ATIS DIFPIOILLIMI A FERMATIO PROPOSITI 231 



atque ut ante g = x -f Z . Erit ergo 

I. cath. = -^-, II. cath. = !, III hypot. - 

B / J- 

Nunc ergo hue devenimus, ut 800 2rr reddatur quadratum. Sit eius radix 
= I( 2 <Z + r ) eri Ve 4(7 2r-.(20 + f) seu 4d<fy Udr = 2cc# + ccr 
hincque q*=>cc + Zdd et r=4c?eZ 2cc, 2<? + r = 8^ atque V(8qq 2rr)^8cd 
hincque P^^ d +j c --. Quare in integris multiplicando per 2dd-}-cc fiet 

cc), g (2<2d + cc) 2 , r = 2(2drf cc)(2dd + cc), 

x 



EXEMPLUM 1 

15. Sit c = 1, d***l; erit 



, y-126, l/(to + yy) - 130 et . - 16 + !-~^ - -_., 

rfo ^ 2 

T xi_ 64 TT ,, 252 TTT , , 260 

I Cath. - - > n - cath ' = 207' IIL hy]POt< "" 2of 



A .j 6<t 126 64 14 , 

Area vero erit -* ^ -^^^ g; ^ sicque fiet: 

T 4.1. 64 /00 ... 64 /8V 

I cath, - area - ^ (23 - 14) - -^ - ( 23 j , 

TT ,, 252 -23 64- 14 28-175 4-7 3 -5 2 /2 5 7\ 2 

II cath. - area - .................. ^ ............... = _-- s)ji - = -_ s , - (.-_.) - 

Hocque exemplum sine dubio in numeris minimis existit, uti deinceps 
[ 30] ostendam. 

EXEMPLUM 2 

16, Quia debet esse 2<?$ > rr, oportet, ut sit -| > 2 ]/2; nihilque refert, 
sive sit 2eW>ee sive minus, quia nihil obstat, quominus p, q, r esse queant 
numeri negativi. 



PB BL EMATIS DimCILLIMI A FERMATIO PROPOSITI [57-58 



Sit igitur d-2, c = 8; erit 2dfd ee -1, Zdd+cc<**l1 atquo 

.p--24.l-.-24, # = 17 17 = 289, r--2. 17 --34, 

a? -576, 0-2.7.4M7', V(4B + yy) - 2 . 5 68 313, 

2 ' 7 " 41 ' 17 s - 313 s 28118255 l 

~ 



. 

17. In his omnibus exemplis notari meretur perinde ease, sive littorarum c 
*>d valores capiantur affirmativi siv6 negativi; inde enim tantum valores p vel ./ 
rel r procleimt negativi neque propterea valores % et y alterantur. Verum valor 
psms g vanafaonem subit, ex quo pro n semper duplex valor aseignari poterit 
tor, qui iam est exhibitus * - + Ifcr^ alter vero fmm ' g , + ii^ff[ 
acque ob duplicem valorem ipsius singula exempla allata daplicabnntur. 

18. Huiusmodi solutiones particulares plures adhuc elicere licet, dum 
Jiae idoneae quantitates pro radice quadrata hums formae 4p*+4^4c<rrr4.^ 



hec 
sen 2 r r) 



nde patet signum inferius valere esseque 
cistente 



vel 



vel 



1) Editio princeps nee non Commentationes orfftmrffau: ^?i 98 ! T m // ; 2804 
ilsus numerator ipsius ex formula manca 2 ' ' 9 983 ' 



tus est, Oorrexit F. E. 



5859] SOLUTIO PROBLEMATIS DIFHCILLIMI A FERMATIO PROPOSITI 233 

quae formulae iam facile rationales redduntur. Hie ergo si ponatur r = 3 , 

*> 

p = l ? erit <i = -j- et in integris 

jp-4, g. = 3, r-12, 
8l6 f y 126, V(4a;a; + yy) 130, 
qui casus ob / negativum non convenit quaestioni. 

19. Quoniam cardo quaestionis in hoc versatur, ut haec expressio red- 
datur quadratum 4jp*+ (2^/r/ rr) 2 , potest hoc generaliter ita effici, ut eius 

radix ponatur - 2f/r/ rr -f ' 2 pp, unde fiet JJJP *-(2ff(/ ^) +^"^ sea 

rr et 



ywn(2 ag r f) i/ 2 0g rr 

............ > ....... ^ a ....................... ' == ww / ................ r .......... ........... \, 
nn mm ' mn(nn mm) 

cui condition! satisfiet eiusmodi numeros pro m et n quaerendo, ut sit 
mn (nn mm} numerus huius formae %ffgg- Verum haec solutio facilius 
obtinetur ex ipsa praeparatione ad solutionem tradita, quae, si recte tractetur, 
omnes solutiones non solum in se complectitur, sed etib%m solutiones in 
minoribus numeris omnes commode oxhibefc. Earn data opera evolvam. 



SOLUTIO GENEEALIS 

20, Assumtis cathetis trianguli quaesiti -y et |- ponatur statim, ut 
anguli recti ratio habeatur, x***a1>, y *** aa'bl) eritque trianguli 

I. cath. - **, II. cath. - ^-7-^, III. hypot. - -?- a 66 

8 " 

. , . , . T ., al)(aa Z>&) 

et area hums trianguli erit = - - - ~ 
Invenimus autem primo ( 4) 

sen - _ ~ 4. 

^ 



LBOMHABPI BUT.BRI Opera omnia la Commentationes aritinneticae 30 



_ DIPPICILUMI A WHWATIO 

' ' " - . . 

vel quia q tarn negative quam affirmative accipera licet, erit 



existente # = & et 



fl j , - 

f 

KM alM ei ,o efficient restat , nisi ut haeo aeqmtio 



- numerus huius formae 8 //_ w sou 

Pr et J iam W odi .alores ease erutos, ut sit 
a6 (a~W)~(2/-/-_ w ) 
Oum igitur ob * _ ab sit . . 



lime statim sponte se prodit 



h flf 
p /" et 



ergo ^^eri 



eruntqtie tria^guli rectanguli qua e 8 iti latera 



60-61] SQLUTIO PEOBLEMATIS D1FFICILLIMI A FEBMATIO PROPOSITI 235 



IT 4V* 

11. cam. 

ITT 
Ul. 



23. PoBSiint etiam ex huiusmocli valoribus ipsarum a et & quibusvis 
innumerabilia triangula rectangula, quae quaesito satisfaciant, erui. Posito 
enim jp& si sit a^aa 'b'b) ^(^ff gg)Mi>, erit 



rr. 



Ponatur 2 (A + ff) - (^ + r) eritqne A - 2 - I W* - *) et hinc ^perietur 

2 WM /^ (2 nn -h m w)/7i = (2 n w + w ^)^ 4= _m w A . 

............... 



vel in numeris integris erit 



r (2ww 4- mw^gh kmnfh. 
24. Inventis sic valoribus Ms jp, g et r erit 



atque trianguli quaesiti latera erunt 



, IL cath. - ^=. et III. hypot. - 

* 



1) Editio prinoeps atque etiam Comment, arifhm. denominatorem exMbent 

Oorrexit F. B. 
30* 



BLEMATIS DIWCILMMI A PKHMATIO 



unde pro singulis idoneis valoribuB ipsannn a ot /,, n t nit, W)t ,-.//' ,,,,, 



25. Qnoniam igitur totam negotium hue mlit, ut pn. ot. b oiu SI ,u )( li 
nunxen assumaatur, ut productum .. 6A !, " 






W V'' 8 Vt 1617 ' 18 ' 23 ' 25 ' 28 ' 81 > 82 ' 3 *. 8. . 46, 47, 






gem na fomag + ! con iM 

comprehenduntur PraeteL T " le0<1Ue in foma 

item eorum roducta " numerorlua P^orum dupla adaunt, 



non primos i 

ip S i At nu m en inl'd Tfoa 2* 1? Tf T 
>( + )(.-) eS8 e debeat nul u ^1^ Q \ Me CU P ro ^- 
* + 5, -6 Bint vel priiru inter S eyel a Tr ? taqM faCt reS ' J ' 

Uvisore habeant, qu i i pse fa Tfoma 2 T binMiUm pr Communi 

inguli factores a, \ Lj fT *""" C0ntmetur ' nec ^se eat, ut hi 
3uo cognito ex tabula ttad'ita 7on eri SS -f 8 " 6111 fomae 2 "-^ 
-cerpere, nt non sol a et J sed ^ a J ', ^ ne08 ! al0res P ro fl et & 
xistant. ' ed etlana + * -et a-J in eadem tabula 



63-64] SOLUTIO PEOBLEMATlS BIFHCILLIMI A FERMATIO PROPOSITI 237 



28. Quodsi autem a, I et -}-&, a I singuli sint numeri formae 
%tt uu, turn quoque eorum productum a<b(a-}-b)(a 7;) in eadem forma 
continebitur, quod generatim ita ostendi potest. Sint propositi duo numeri 
hums formae, velut 2aa~p/3 et 2yy dd', erit eorum productum 



-f ac 



Est enim generaliter 



- 22/2/ - 2 (a? 



ita ut hae duae formae %tt uu et tt %uu inter se congruant. Cum igitur 
productum ex duobus numeris formae 2tt ww facile ad eandem formam 
revocetur, etiamsi quotcunque numeri huius formae in se invicem multipli- 
centur, eorum productum in eadem forma comprehend! reperietur. 

29. Tribuatur ergo primo ipsi & valor quidam ex tabula numerorum allata 
( 25) et in eadem tabula facile dispicietur, utrum insint tres numeri a I, 
a, a + &> <iui differ ant illo numero &. Verum hanc tabulam inspicienti mox 
patet pro 6 vel numeros impares vel per 8 divisibiles tantum assumi posse, 
siquiclem a et I numeri debent esse inter se primi. Huiusmodi igitur 
valoribus pro 6 substitutis pro a sequentes prodibunt valores: 



I 

1 
7 
8 
9 

16 
17 



valores ipsius a 



8, 17, 63, 72, 127 

9, 16, 26, 144 

9, 17, 71, 81, 89, 161 

16, 23, 25, 32, 41, 73, 103, 112, 128, 137, 184 

25, 47, 63, 97, 137, 153 

64, 81, 144, 161 

41, 121, 144 

56, 72, 119, 128, 137, 144, 153, 169 



& 




31 


~^ 


32 


41, 


41 


72, 


47 


56, 


49 


72, 


56 


81, 


63 


64, 


64 3 ) 


73, 


71 


73 


72 


79, 


74 


89 


79 





81 


97, 



- ? TP ?. CttMMI A TORMATIO I'KOI'OSm [04 , efi 

valores ipsiua a 

63, 72, 81, 118, 144 

49, 81, 121 

103, 112, 153 

72, 79, 81, 97, 128, 144 

113 1 ) 

97, 137 

79, 136 

89, 127 



89, 97, 103, 119, 



*i-8, .a -66. 68, 6( 



a-W).. 8 . 9 . 7-4 . 9 . 14v 

- fl et 



i sublato communi divisors 2 erunt 



principe 






65-66] SOLTJTIO PBOBLEMATIS DIFPIOILLIMI A FEEMATIO PROPOSITI 239 



et 



4mm, g = V2mn ISnn 9mm, r = I2nn + 6mm SGmn, 
-f- # = 12mw Wnn 13mm, p -j- gt = 12mn %Qnn 5mm 



rr 



Hinc ergo innunierabiles prodeunt valores ipsius 0, ex quorum quovis confi- 
citur triangulum rectangulum 

I. oath. = , II. oath. = , III. hypot. = - 

Z ' ' J * & 

Casusque omnium simplicissimus oritur ponendo n == et m==l, unde fit 
* 6, J3= {i 5 3 et ^==8+ I'{IM> ergo vel = 2 ^ vel -~, quorum 
valorum prior est pro casu simplicissimo iam 15 exposito. 

EXEMPLUM 2 

31. Cum pro quibusque valoribus litterarum a et & infmiti exhiberi 
possint valores idonei ipsius ^, quorum inventio nulla diflicultate laborat 
per ea, quae 23 et 24 sunt tradita, hie tantum valorem 22 datum 

adhibere ' sufficiet ob a&aa-6& 



unde erunt trianguli catlieti I. = ", II. = J ^ - et kypot. = - 
Sit igitur &7 et a = 9; erit 
63, aa ll^ 32 et a&(aa . 66) 63 -32 = 16 9 - 14 = (2/'/' 



unde fiet fc-12, /'-3 et 0-2, ergo *-63 + ^ff'- seu ^63+ 9 ~ (7 f- 

ideoque vel e = ~ 7 - vel n = -I 15 ; consequenter triangulum quaesitum erit ut 
ante 

I, cath. ~, II. cath. ^ , III. hypot. 



___ 



EXEMPLUM 3 

32. Quo usus tabulae 29 exhibitae clarius perspiciatur, sumamus pro 
a et 5 maiores numeros sitque & = 41 et a 112, ut sit a& 7-16-'41, 
aa- 66 -71- 9- 17; erit al(aa- 66) - 16 9 - 7 - 17 - 41 .. 71 - (2ff-gg)M et 
fc 12 atque 7 17 - 41 71 2ff gg. At est 

7 => 3 2 - 2 1 s , 17 =- 2 3* - I 2 , 41 7 2 2 . 2 s , 71 - 2 6 a - I 2 , 



[fill 

unde fit 

7 - 41 - (21 + 2 . 2)' _ aili |7,, , n 3 . ,. . . ., . , f? JV 

P-') I -*<N-.V.-.-W ,','< ",.,^ ^ 
41 ' 71 - ' -^ 



ergo ' -^ . 8)' . 2(fll , ;lf)) , ...... .-^ , , , , ,,.,. 

7 17 . 41 Tl ~ S . 57;!' . fjr,^ 
Haec autem reduotio ad formtuu "/# i, ...... 

quorum simplicissimus eat hie T-lVj'- " '" """"" ' tari lmtat ' 

'-" Ergo ob A - 1 



86U 



* "* 16 7 . 41 + . 1 7 * n ( 4 * 7 ' 4 1 
vel 87 a? 



87. 37 



T rn J.T, 9184-1369 
* vciLii, == ~~--__Jlr v ' 7 

190915IF 

f , -^ 

190916H 



f 



DECOUVERTE D'UNE LOI TOUT EXTEAOEDINAIEE 

DES NOMBEES PAE EAPPOET A LA SOMME 

DE LEUES DIVISEUES 1 ) 

Cotmnentatio 175 indicis ENKSTROEMIANI 
Bibliotheque impartiale 8, 1751, p. 1031 

1. Les Mathematiciens out tach<3 jusqu'ici en vain a dgcouvrir quelque 
ordre dans la progression des nombres premiers, et on a lieu de croire que 
c'est un myste're auquel Tesprit humain ne sauroit jamais pe'ne'trer. Pour 
s'en convaincre, on n 1 a qu'a jetter les yeux sur les tables des nombres pre- 
miers, que quelques-uns se sont donn4 la peine de continuer au-dela de cent 
mille et on s'appercevra d'abord qu'il n'y regne aucun ordre ni r<gle. Cette 
circonstance est d'autant plus surprenante, que rArithm,etique nous fournit 
des regies sures, par le moyen desquelles on est en 6tat de continuer la pro- 
gression de ces nombres aussi loin qu'on souhaite, sans pourtant nous y 
laisser la moindre marque de quelque ordre, Je me crois aussi bien eloign<$ 
de ce but, mais je viens de d4couvrir une loi fort bizarre parmi les sommes 
des diviseurs des nombres naturels, qui, au premier coup d'oeil, paroissent 
aussi irre'gulieres que la progression des nombres premiers, et qui semblent 
m6me enveloper celle-ci. Oette re'gle,' que je vai expliquer, est a mon avis 

1) Oe m^moire a ^t^ ^galement publi^, comme ,,ineditum", d'apr^ss un manuscrit de 1'Acad^mie 
de Berlin dans les Commentationes arUJmeUcae 2, 1849, p, 639, et ensuite dans les Opera jpostuma 1, 
1862, p. 76, les e"diteurs, P.H. et N.Fuss, n'ayant pas eu connaissance de la publication anterieure, 
faite dans la Bibliotheque impartiale. Of. Comment, arithm. Prooemium, p. XVIII, No. 57, Suppl. 
Prooem., No. 1, et t. II, p. VIII; en outre P. STAOKBL und W. AHRENS, Der JBriefwechsel awischen 
0. Q-. J. JACOBI und P. li. VON Fuss ttber die Heramgabe der Werlce LMONHARD Emms, Leipzig 1908, 
p, 59 et 83. II faut remarquer que le texte de la Bibliotheque impartiale differe sur plusieurs 
points de celui des Comment, arithm, et des Op., post, Nous avons reproduit integralement dans notre 
Edition le texte de la Biblioth^que impartiale. Voir aussi le m^moire 243 de ce volume. F. E. 
LBONHAKDI EDLBRI Opera omnia la CommeDtatiorieB arithmetic ae 81 




BIWORDIHAIKK DW NOMBRES [u- 13 

a w K<*nrt iloni noun pouvons 



telles preuvos, qu'ou pourra pn^m, euv WllgW 
demonstration ngcnmu.HO. 

2 Les nombres premiers so distant do* aulm. nmubr,* co qu'ila 
d'autres diviseurs quo 1'uniUi ol ..ux-.m-mm A.n . *t un 
parce 



etme, est divisible par I! ot 5. Done ,m K.-u-rul, 1 mi1,, y 
et premier/fl Be sera dmsible quo par 1 ofc ir W m,H , l u., ,iob 
lp e, il aura, outre 1 et p, oncoro d'autn, div.H.n.n.; -t parUu,., Ju,H le 
Tmier cas, la sozmne des diviseurH Hra - 1 #. .1 ,!, luutro ,-H-, ,ai, m< 
plus grand; que - 1+j^ Commo meH Ul.xu,nH muvan ,H run ,ruut Hur la 
somme des dWseurs de chaque nombw, j m wrvmu . u n-rUuu .mnustote 
pour la marquer. La lettre / qu'on muplou. d I'tmtUyH, ,h m inu. pour 
Ldiqner les integrales, tut miso (levant .in uomlm., m- nmrquwa. la mutma 
de ses diviseurs'): ainsi /12 signillom la nmumo do IOUH U- divwj.uw du 
nombre 12 qui sont 1 + 2 + 3 + 4+ 6+lS. di- ,rt ' J"'"*- 
Oela posd, on verra que/60-lGH at J H - tS17. Moin, .mm.. Hunt, na 
d'autre diviseur qu'elle-m6mfl, on aura J 1-1. '' 1 ryphr,- , .-Uinl divi- 
sible par tout nombre, la valour do /'() w inlluu-. tVpwiriwit, .huw la Hiiite, 
je lui assignerai, pour chaquo can pr'opoK^, urn. v*lur d.^TiniiuV, coiivonablo 
a mon dessein. 

3. Ayant done ftabli ce signo /' pour mari|iti'r la tnniut> den divisumn 
du nombre devant lequel il est purf/il -Bt diur ijm> i> mitrini' un nombre 
premier, la valeur de A> sera - 1 -I- f, exccpM li> ras im ; - 1 , iliiiw Iwinal 
il.ya/1-1, et non pas/1-1 + 1; d'w'i Ton vt.it <[u'<m _ doit oxclure 
Tunite de la suite des nombres premier*, do norUt i|ii> 1'uiiili'- "tunt lu com- 



1) Voir les mimoitea 152, 348 et Sttrtoat 1 mteoira U4i il ro t.imn. Vuir ui 1 l(rtU 
EK i GOLDBAOH do 1" vr. 1747, 0T((drt mntfi, rf {iligi laibKfr far I'. It. ftim, 
St-Pitetsbourg 1848, 1. 1, p. 407, et In Wire <t'Kut.iw i.'Ai,KiiKr ila t& f*vrier 1T4H pulil* 
pr P. STAODI,, Biblioth. Mathem, 11,, 1910/1, |i. USO-, I.tu*Mi>l Hi-tt*i <* 
series HI. E. B. 



13-14] __ PA& EAPPOM A tA SQMME 1>E LEtJRS DlVlSE'UItg ^ 

mencement des nonibres entiers, n'est ni premier ni compose. Or, si le 
nombre p n'est pas premier, la valeur de fp sera plus grande que 1 -f^p. 
Dans ce cas, on trouvera aisement la valeur de fp par les facteurs du 
nombre p. Car soient a, &, c, d, etc. des nombres premiers differens entre 
eux, on verra aisement que 

fal = 1 -f a + I + a& ' (1 -f a)(l + 6) =fa ft, 
falc - (1 + a) (1 + 6) (1 + c) -fa *fl .fc, 

falcd -fa- ft -fc-fd, 

etc. 

Pour les puissances des nombres premiers, on a besoin des regies particulieres, 
comnie 



fa == 1 + a + a 2 
. ' 

et generalement 

/ n a w+1 -i 

n n __ __ __, _ 

J ~ a I 

Et par le moyen de celles-ci, on pourra assignor la somme des diviseurs de 
chaque nombre, tout compost qu'il puisse etre; ce qui sera clair par les for- 
mules suivantes: 



et ge*ne*ralement 

fa* .ftf -ftf .fd? -fe\ 



Ainsi, pour trouver la valeur de /360, puisque 360 se redout dans ces facteurs 
2 s - 3 2 - 5, j'aurai 

/360 =/2 8 - 3 2 . 5 =/2 8 ./3 2 -/5 = 15 . 13 6 - 1170. 

4. Pour mettre devant les yeux la progression des sommes des divi- 
seurs, j'ajouterai la table suivante qui contient les sommes des diviseurs des 
nombres naturels depuis Tunit^ jusqu'k 100: 

31* 



244 



SEflOUVEBTE D'UHE MI TOOT _EXMA01(I)INAIKE DEB NOMRKES [14-15 



/ 


1 


Ajl = 32 /"41 =* 42 


AJI- 62 

V 


/ 1 ^^ 


121 


/^ 


3 


A>9- 
j^- 


= 36 


J 42 - 


,96 


/(>2 OG 
*/ 


I 8 * 


12(> 


J 3 = 


4 


/23 = 


= 24 


/43- 


*44 


/to * - 104 

t' 


J* 88 - 


84 


/ 4 = 


7 


/24 = 


= 60 


/44- 


.84 


/Ul =127 


i H*'t'' *** 


^224 


/ 5 = 


6 


t/ 


= 31 


/45 - 


a 78 


yte * 84 


1 HI ) *BB 


10H 


*J 


12 


/ Cl/"* 


= 42 


;"> 
46 - 


- 72 


/(-.- 144 
*/ 


/' 8(5 . t 


- i;ia 


/** 


8 


/> 


= 40 


A-7 - 
/ 


- 48 


/* _ . 

/ t* 1 ? t!vi 

M)( ssra i)h 
*/ 


t / H7 & ' 


* 120 


'/8- 


15 


/28- 


-56 


y 48 - 


- 124 


/ * 
J ;>. M ,.. 


/' 88- . 


' iKO 


f9- 


13 


'/29- 


= 30 


/ 49 - 

V 


p 57 


/'(- mi 


./' H! - 


' ' )0 


>U>- 


18 


/30o 


= 72 


/60- 


- 93 


/ 70 -144 
*/ 


/'<}{}- 


^;u 




12 


/31 = 


= 32 


/51- 


- 72 


J' 71 ' ' 7 " 


,y" m "" 


112 




28 


/32 = 


-63 


j"52- 


- 98 


/W-lilf, 


J' 11 -" 


1(58 


/M- 


14 


/33- 


-48 


j"53- 


m 54 


J73 '- 74 


./* IKI " 


12K 


/- 


24 


/34- 


= 54 


/ 64 


-120 


JV;1 11^ 
J fe^ ^ J (fe|r 


J'!J4- 


'. 144 


/!5 = 


24 


jte- 


~ 4o 


/56 - 


* 72 


J'or. f o j 
10 f* 8 * i** 


J' 05 


' l - 


/16 = 


31 


/36 = 


-91 


/66 


-120 


/7C>-* 140 


/* fm 


, <>",* 

1 brft tM 


/" = 


18 


/37, 


38 


/57- 


- 80 


/ 77 r < !)U 

** 


J' 07 


ilK 


/18- 


39 


/38 = 


-60 


/58- 


- 90 


/*7H . 1(H 
*/ 


/' UK 


,171 


/19- 


20 


t/ 


=* 56 


/59 ' 


- 60 


y*7t)"" H{J 


/ m)r ' 


- Ifili 


/20~ 


42 




-90 


1 oO s 


-168 


/HO'-IHC; 

*/ 


jl(K)- 


.. 817. 



Je ne doute pas que, pour peu qn'on regiirfla la progr^Hmon do c* wombrea, 
on ne d^sespere presque d'y d^couvrir 1 uiuindro tmlro, vu qu rirn'sgularitd 
de la suite des nombres premiers s 1 y trouvo 0ntrmf*ltiB iollinsumt, qu'il HOHI- 
blera d'abord impossible d'indiquer quelquo loi cpti cits nomhruH 



15-17] PAE BAPPOBT A LA SOMME DE LEURS DIVISEUBS 245 

entre eux, sans qu'on sache celle des nombres premiers. II semble meme 
qu'il y a ici beaucoup plus de bizarrerie que dans les nombres premiers. 

5. N4anmoins, j'ai remarque 1 ) que cette progression suit une loi bien 
re'gle'e et" qu'elle est meme comprise dans Tordre des progressions que les 
Geometres nomment recurrentes, de sorte qu'on pent toujours former chacun 
de ces termes par 'quelques-uns des precedens, suivant une regie constante. 
Car si fn marque un terme quelconque de cette irre'guliere progression, et 
/( !), f(n 2), f(n 3), f(n 4), /( 5), etc. des termes pre'cedens, 
je dis que la valeur de j*n est toujours composee de quelques-uns des pre'- 
cedens suivant cette formule: 



fn -./( - 1) +f(* - 2) -f(n - 5) -f(n - 7) +/(* - 12) +f(n - 15) 

-f(n - 22) -f(n ~~ 26) + /( - 35) +f(n - 40) -f(n - 51) -f(n - 57) 

+/( 70) +f(n ~ 77) ~f(n - 92) -f(n - 100) + etc. 

Dans cette formule, il y a a remarquer: 

I. Que dans Talt^ration des signes ~j- et , chacun se trouve toujours 
mis deux fois de suite. 

II. La progression des nombres 1, 2, 5, 7, 12, 15, etc. qu'il font succes- 
sivement retrancher du nombre propos^ n, deviendra ^vidente, en prenant 
leurs differences: 

N. 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, etc. 
Diff. 1, 3, 2, 5, 3, 7, 4, 9, 5, 11, 6, 18, 7, 15, 8, etc. 

Car alternativement, on aura tons les nombres naturels 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc. 
et les nombres impairs 3, 5, 7, 9, 11, etc., d'ofc Ton pourra continuer la suite 
de ces nombres aussi loin qu'on voudra. 

III. Quoique cette suite aille a Tinfini, on n'en doit prendre, dans chaque 
cas, que les termes depuis le commencement oti le nombre mis apres le signe C 
est encore positif, en omettant ceux qui renferment des nombres n^gatifs. 

IV. S'il arrive que le terme J\) se rencontre dans cette formule, comme 
sa valeur est inddtermin^e en elle-meme, il faut, dans chaque cas, au lieu 
de y*0, mettre le nombre mfeme propose", 

1) Voir la lettre d'EuLER a G-OLDBAOH cit^e p. 242. F. R. 



246 DBCOUVEETE D'Uro_LOI_TOUT EXTBAOEmNAIKK TO5S NOMBHES [17-18 

6 Ces choses remarqu^es, il ne sera pas difficile de fiiire 1'application 
de cette formule a chaque nombre proposij et do se convaincro de sa vdritt, 
par antant d'exemples qu'on Youdra developer. Kt comme jo dofe avoaer 
mie ie ne suis pas en 6tat d'en donner une d&nonstration rigoureuae, j'en 
ferai voir sa justesse par un assez grand nombro d'exemples: 

/J-/0-1, 



6 _ J 5 4. y 4 -/ 1 - 6 + 7 - 1 - 12, 

J7-/6+/5-/2-/0-.12+ 6- 8-7- , 

/8-/7+/ - 6-/8-/l- 8 + 12- 4-1-15, 

-15 8^ 7-3-18, 



/11.-/10 + / 9 -/ 6 -/ 4 - 18 + 18 - 12 - 7 - 12, 

.^12 =/ll +/10 -/ 7 -/ 5 +/0 - 12 4" 18- 8 - - 4" 12 SJH, 

jl3-/12+/ll-/8-/6+/l-2H+12-l5--i2-|. 1 14, 



- 8 3 -24 + 14 - 1 - if -b 4 4 15 



+/15 -/12 -JlO +/6 + J'2 - M 4' 24 - 28 - 18 + G + 8 - 18, 

+/16-/18-jTll+y<5+/8-18 + 81 14-1*2 + 12+ 4-80, 

+ jfl7 ~/14 Jl2 + J7 + /*4 ^ 3B + IK - , 24 - 2H + H + 7 - 20, 

/20 - jflfl +/18 - Jl5 -/IS +/8 + J h T , 2() 4 ;m 4 *!4 14 |- 15 | fi - 42. 



18-19] PAR RAPPORT A LA SOMMB DE LEURS DIVISEURS 247 

Je crois ces exemples suffisans pour ne pas s'imaginer que c'est par un pur 
hazard que ma regie se trouve d'accord avec la verite". 

7. Si Ton doutoit encore, si la loi des nombres a retrancher 1, 2, 5, 7, 
12, 15, etc. e'toit pre'cisement celle que j'ai indique'e, vu que dans les exemples 
donnes, il n'entre que les six premiers de ces nombres par lesquels la loi ne 
pourroit pas encore paroitre assez etablie, je vai donner quelques exemples 
de plus grands nombres. 

I. Soit propose" le nombre 101 dont on veuille chercher la somme de ses 
diviseurs, et on aura 



- fm +/99 -/96 -/94 +/89 +/8G -/79 -/75 

== + 217 + 156 252 144 + 90 + 132 80 124 
+ 144 + 62 93 84 + 32 + 60 13 1, 

ou joignant deux a deux 

. + 373 396 + 222 204 + 206 177 + 92 14, 

ce qui donne^lOl 102, d'oti Ton connoitroit que 101 est un nombre premier, 
si on ne le savoit d'ailleurs. 

II. Soit propose* le nombre 301 dont on veut savoir la somme de ses 
diviseurs, et on aura 

differ, 1 3 2 5 3 7 4 9 

' f 300 + f 299 f 296 f 294 + f 289 + f 286 f 279 f 275 

' *' , / / / y / t./ 

6 11 6 18 7 16 8 17 

+ T266 + T261 T250 T244 + T231 + T224 T209 
./ / i,/ / <j / t/ 

9 19 10 21 11 23 12 26 

+/184 +/175 /156 T-/146 +/125 +/114 /91 

18 27 14 

+/54 



ou il est clair, comment par le moyen des differences, on peut aise'ment former 



248 DECOUVERTE D'UNE LOI TOUT EXTRAORDINAIRE DBS NOMIWK8 ['19-21 

cette suite pour chaque cas proposi Or, prenant ces sommea do divisours 
on trouvera 



= _j_ 868 1)70 4- 807 41(1 + 4HO 408 + 384 
+ 336 684 + 504 - 372 + 390 434 + 504 

240 + 360 - 392 + Ifi6 ~~ 112 + 120 24 

272 + 248-222 + 240 80+ 42 Ml 
ou 

1*301 + 4039 - 4587 352, 

d 1 ou Ton connoit que 301 n'est pas premier. Or, puiBquo .101 7 43, on aura 

/301 -/7 -/43 - 8 . 44 .< - 352 , 
comme la re'gle yient de montrer, 

8. Ces examples que je yiens de ddvolopor, otoront HIIIIH thmfco tout 
scrupule qu'on auroit pu encore avoir sur la vdrito do ma Formula. Or, par 
la mme, on sera d'autant plus surpris do eotto hollo proprioW, no voyant 
aucune liaison entre la composition de ma formulo ofc la naturo ckm (HviBeuirH 
sur la somme desquels roule la proposition, La progmwion <Uw nombrcs 
1, 2, 5, 1, 12, 15, etc, ne paroit non soulemwit avoir mil raport. au Hujot 
dont il s'agit, mais, comme la loi de cos nomhrw* ml intorrompttft ot qu'ila 
sont male's de deux progressions rdgulieros diflbronkw, k Bavoir 

de l; 5, 12, 22, 35, 51, etc, at do 2, 7, 15, 20, 40, 57, <k., 

il semble presque qu'une telle irr<%ularit( ne sauroit fcrouvw Him diuw Fana- 
lyse. De plus, le d4faut d'une demonstration n'tm doit pan pou augtmmtor 
la surprise; vu qu'il seroit presque moralompnt impoHiblc dn parvmiir a la 
d^couyerte d'une telle P ropri<fo, sans y avoir (M conduit par uitn m^iode 
certame qui pourroit tenir lieu cl 1 une parfaite domonBtratioiu J'uvouP auw.i 
que ce n'a pas ^ par un pur hazard que je mm toratu^ Bur wtto clcouverto; 
mais une autre proposition d'une pareille nature qui doit Mn> jug^ vraio, 
quoique je n'en puisse donner une demonstration, m'a ouvort Id chcmdn 
de parvemr a cette belle propri^, It Men qua cotUi ch<m m roule que 
sur la nature des nombres a laquelle Tanalyse den inflate no parc.it pa etre 



^PPORT^LA SOMME DE LEUES DIVISEUES 249 



applicable, c'est pourtant par le moyen des differentiations et plusieurs autres 
de-tours que j'ai ete conduit a cette conclusion. Je souhaiterois qu'on trouvat 
un ^chemin plus court et plus naturel d'y parvenir, et peut-etre que la con- 
sideration de la route que j'ai suivie y pourra conduire. 

9. II y a long-terns 1 ) que je considerai, a 1'occasion du probleme de la 
partition des nombres, cette expression 



^(1-^(1-^ etc. 

La supposant continue a Tinfini, j'ai multiplies actuellement un grand nombre 
de facteurs ensemble, pour voir la forme de la serie qui en resulteroit, et 
j'ai trouve" cette progression 

1 a? a?"4- OJ 8 + T a 12 a 15 + a 22 + a 26 - a 8B -~ *" + etc., 
oi\ les exposans de x sont les memes nombres qui entrent dans la formule 
pre'ce'dente; et aussi les signes + et se trouvent double's. On n'a qu'a 
entreprendre cette multiplication et a la continuer aussi loin qu'on jugera a 
propos, pour se convaincre de la vent<5 de cette serie. Aussi n'ai-je point d'autre 
preuye pour cela qu'une longue induction que j'ai du moins poussee si loin, 
que je ne puis en aucmie maniere douter de la loi clont ces termes et leurs 
exposans sont formes. J'ai long-terns cherche* en vain une demonstration 
.rigoureuse que cette sorie doit etre ^gale a 1'expression proposde 
(l-~a?)(l a3 8 )(l~~a; 8 ) etc. et j'ai propose' la meme demande a quelques-uns 
de raes amis*) dont je connois la force dans ces sortes cle questions; mais 
tous sont tombe*s avec moi d'accord sur la verite" de cette conversion, sans en 
avoir pu de'terrer aucune source de demonstration. Ce sera done une verite* 
connuS, mais pas encore demontr^e, que si Von pose 

8 - (1 - *)(! o^)(l a?)(l *)(! ^)(l --) etc., 
la m^me quantity s se pourra aussi exprimer de la sorte 

B = 1 x x s + ii? 8 rf a? 7 x x u + x**+ x n x 66 x* Q etc. 



1) Voir le m^moire 158 de ce voliame, sp^cialement la note p, 191. F. E. 

2) Voir les lettres d'EuLBB a GOLDBAOH du 15 oct. 1743, Corrcspondance math, et phys. 
lUa par, JP. H. Fuss, St.-P^tersbourg 1843, 1. 1, p. 265, et a NIC. BERNOULLI du l er sept, et du 

10 nov. 1742, Z. Evimi Opera postwma, 1 1, p. 527 et p, 533; les reponses de ces savants se 
trouvent dans la Correspondence cit&, t.I, p. 270 et ill, p. 698; LEONHARDI EULERI Ojpera omnia, 
series III. F* B, 

LKONHAKDI EULBW Opera onania Is Coimneutationes arithmeticae 32 



250 DECOUVEETE D'UNE LOI TOUT EXTRAORDINAIRE DRR N0MRIIBR [23^25 

Car chacun est en 6tat de se convaincre do catto vdriy par la resolution ao- 
tuelle a tel point qu'il souhaitera; et II paroit impoBBiblc quo la loi qu'on a 
d&ouverte dans 20 termes par exemple, ne floit point obBwrae dims tons 
les suivans, 

10. Ayant done ddcouvert qne ces demx ixpr<HHiowi inflmw mmt rfgalos, 
quoique I'dgalite' ne puisse etre d^montr^\ t,t)utt !< ctnchwi<uiH (juNm pourra 
d^duire de cette ^galit4 seront do ntfnw naturo, t^i\Hi-k-dir* vratoH natm fitrft 
d^rnontr^es. On, si quelqu'une de CC*H conolusioiiH junivaii ftro th'intmirdo, 
on en pourroit r&iproquement tor uno (lomouHtratioti tl< l^'galit^ inon- 
tionn^e; et c'est en cette vufi quo j'ai mania m pluniinirH inatutn'on <OH dwix 
expressions, par ou j'ai 4t4 conduit (ntro autran it, In <!inwvortt qtu* jt vioiiH 
d'expliquer, et dont la vMt^ doit (to auBHi cioHwino <|U(* tn^ll^ tli* i't*gn!iid do 
ces deux expressions, Voila de quollo manioro j*nt uj*nl <VH chmx oxpros- 
sions 4tant 4gales 



H. s 1 ~ 

pour d^livrer la premiere des facteura, j'on prantl Im logttrithtnoH, r{i j tire 
Is z(i 8) 4. ?(i ~a? s ) + 1(1 a^) -h /(I "*) "1" '0 J*) ^ tc. 

Maintenant, pour eliminer les logaritlimos, jNm prontln 1<* <IItr^r0titii4k*H r cjui 
donnera cette Equation 



t . 
-* -ir - / 

que je divise par d% et multiple par a*, jwur avir 



_ .,,__, fgg ,,__ ^., , , , . f 

sdu l-^^l-^^t-* 1 f I -jff* f I jr* ' l ' 
La seconde valeur de la mime quautitd 8 dcmne par In iUfri*rt*ntiatin 

da M fa 2^ 4. 5^ + l^dx ^/"rfjr 1 5/ w </.r | tte, f 
de laquelle, en la multipliant par a? et diviant par wlx i tiwm uno autre 



valeur de qui sera 



25 - 27 ] __ P^ RAPPORT A LA SOMME DE LEURS DIVISEURS 



251 



11. Soit la valeur de ~^- t, et nous aurons deux 'valours egales pour 
cette quan tite t 



, , , , 

+ IZ^5 + iZ^e + etc - 

II. 




De la premiere, je resous chaque terme dans une progression geometrique 
par la division ordinaire, et j'aurai 



+20" -f 



+etc. 



H-lOa? 



10 



etc. 



ou il est ais6 de voir que chaque puissance de x se trouve autant de fois 
que son exposant a de diviseurs, puisque chaque diviseur devient un coeffi- 
cient de la meme puissance de x. Ainsi, recueillant tons les term.es homo- 
genes dans une somrae, le coefficient cle chaque puissance de x sera la somme 
de tous les diviseurs de son exposant, Et partant, exprimant ces sommes de 
diviseurs par la proposition du signe f } comme j'ai fait ci-dessus, j'obtiendrai 
pour t la serie qui suit: . . 

* +/3 a? 8 +/4 - & +fr> . y* +/6 - x +fl . tf + etc. 

dont la loi de progression est tout k fait manlfeste; et, quoiqu'il semble que 
rinduction ait quelque part dans la determination de ces coefficiens, qu'on 
considers TexpresBion infinie prOcOdente, on s'assurera ais4ment de la 
de cette loi cle progression, 



32* 



252 DECOUVERTE D'UNE LOI TOUT EXTRAORDINAIRE BE8 NOMBRE8 [27-29 

12. Substituons cette valeur au liou do t dans la. m'Ctmdo oxproasion de 
cette m&me lettre t qui, 6tant delivree de fractions* so r&luifc on cotto forme 



50 s 7aJ 7 - 12^ ts - - W jr w f - 2/ 3 - }- 1MJ / M oto. o. 



Maintenant, la valeur prdcddente do t otant mino dutm c|,<o t'qtuition, nous 
trouverons : 

- 



Ici, il est ais4 d'observer que lea coofflciwm do dutqiw puiHriannt^ dt* / Hnt lea 
sommes des diviseurs, premierement do IVxpoHant ch* rt*itc* puiH*innc jnfu% tit 
ensuite des autres nombres plus pet-ita qui rtwulttmt MI Tim otn HitfrfHHivoinimt 
de Texposant les nombres 1, 2, 5, 7, 12, 15, *J2, Ufj, itlr, Knsuit\ HI lVx|UiH!int 
de la puissance de a? est c%al I, tin torma do wtto Hirio rtti*ritfiun alor m, 
m^me terme accompagne encore lea copfHciotiH. K troinii^mi* lion, INiniro dew 
signes n'a besoin d'aucun ^claircisaeinont. Ainni, on ^tmrlura on ginoral quo 
la puissance of aura ces coefficiena; 

/n-/(n-l)-/(-2)+/(n-5)+ i / > (n-.7) -/ IL. ^/Vi* -Ifij + ete,, 

jusqu 1 ^ ce qu'on parvienne k dee nombrtw nogtttife. Main, ni i|ih|u*uu do 
ces nombres devant lesquels se trouve Iti signo /\livit -.,, ulon* i! faut 
mettre en sa place le nombre n ratoia, do norto quo cinnH 1*0 cm, il y a 
== et le signe de ce termo suit Tordro g*tuVnl doK uwtro*, 



13. Puisque clone Vexproaaion infinio du ptvnftlonl daii ^tro ogalo 
k zero, quelque valeur qu'on donno li k quaiititi jr, it fmti tit* tu-twiwifcd 
que les coefflciens de chaqtie puissance fa, part, miioui %aux iii(wmhlt* k sstro, 
et partant, nous aurons les equations 



f?l!^ PAR J IAPI)ORT A LA SOMME DE LEURS DIVISEtTRS ORO 

_ , , __ _____ ___^^ oo 

I. /l-l-O, 



ou 

-2-0, 
IE. 



V. /5 -/4 - /3 + 5 _ 0, 

VI. /6-/6-/4+/1-0, /6-/5+/4-/X 

VII. 7-6_ 7 = 0, /7=/6+/ 5 -/2-7, 



etc - etc. 

et gfo&aleinent nous anrons: 

- 7) -/(n - 12) -/(-W) + etc. - 



et par consequent 

1) +/( W 2 ) -/(n - f,) -/(n - 7) +/(-12) +/(n~16) -etc. 



qui eat la mtoe expression que J 1 ai clonnee ci-dessus et qni exprime la loi 
selon laquelle les sommes des diviseurs des nombres naturels sont continues, 
Outre la raison des signes et la nature de la progression des nombres 

1, 2, fi, 7, 12, 15, 22, 26, 85, 40, 51, 57, 70, 77, etc., 

on voit aussi, par ce que je viens d'avancer, la raison pourquoi, dans les cas 
ou se trouve le terme/0, il faut mettre en sa place le nombre n mSme, ce 
qm auroit pu paroitre le plus (Strange dans mon expression, Ce raisonne- 
ment, quoiqtfil soit encore fort eloigne" d'une demonstration parfaite 1 ), ne lais- 
sera pas pourtant de lever plusieurs doutes sur la forme bizarre de 1'ex- 
pression que je viens d'expliquer. 

1) Voir 10 m^moire B44 de ce volume. F. B. 



DE PARTITIONS NUMEROIUJM ') 



CommentatiQ 191 indicia 
Novi coramentarii aeacbmiae seientiarum Patropolititrittis 8 ( I7hti/t\ 17fH, jt, 

Summarium ibidem , tf IK 



Problema de partitione nuraoronun Autorf tjuwutam a f*I, I'mfi-nstitv Hmlininw 
NADDEO fuit oblaturn, qni pro caau special? quwwivwftt, quit vitrii* nmlw mimwtw fo in 
septem partes clispertiri possit Probkma hoc prtmti luiuitu iU mmqmntium vublmtur, ufc 
aliter nisi per induottonem resolri nm possnt, quo fw moiln itlcnufiw jirWi*mttt iul iwiwn 
comMnatoriam pertinentia resolvi solent, Qui wllmi mm w!ntittiiu iufti<ipr<> vltf jirirao 
quaeret, quob variis modis quisque [numanw] In tlua parU'H diwt*rji |uit, ttht qtiidrm nuilnin 
difficultatem offendet; deinde procwlet ad dWaicmom hi ln ittrtn ( tjuiul ju*g41iii i-tiumnunc 
satis commode suooedet. In divisions in qnafcuor jmrtrK fttrttutnit km hiicrdrit HJU* tttalim 
perspiciet, quomodo numeras partittonum ouia numpm pwrtifiulo iniTwtirnt; intlttrtiojitt tiwtiMt 
fretus et tanc progressionis legem divinabii Quimjut^tirtitb ijiitl mm wnittreii (trwibit 
molestias, ac nisi omni circumspectione utatur, veremlww wit, iwluctitiwi, wtt certa 
ipsi Tideatur, nimis confidens in errorom inducmtur; quuU mi mutf* it iirtiwu'rilum in 
partitione in plures partes, uti etiam i\m prublt>mati Aurtor fuit tftluduir 4 }m cwm 
proposito in dirisione numeri 50 in septem parim |t UtvUjiwimon mtfuicM 
veritate aberravit; neque etiam alii tadgnw MaUiPmaUi>i iiw, VIA inn^ntm ub 
vindicare valuerunt. Qui autem aek omne partliiii tUnumrmr vwhwrit, unit 
immensum laborem se immergit, sed omni etiam aHtttir^ iwlliiliita vix iwitUit, it 

tur ho Problem* tarn iasigne i F dmt eimUnnii, qtiurn pwiirn in 



r t 804 in hue vl. U ct in ft 3 **** nwi non 

tnfrod^omm m <rn^ infirm, Immmnm 1748, L f n,,. XVI, 
&ULERI Opera ow/ma, series I, voi 8, f, B, 



18-17-1 

125 J DE PA&TITIOHE NUMERORUM 255 



ductioni vel maxime confirmatae sit fidendum, eo pluris est aestimandum Auctoris studium, 
quo certa methodo solutionem istius probleniatis investigavit, cum vix ulla alia via praeter 
inductionem ad earn patere videatur. 

Bhil igitur induction! tribuens Auctor ex certissimis Analyseos principiis eiusmodi 
formulas haunt, quae pro quocunque numero proposito statim ostendunt, quot ranis inodis 
is in tot, quot lubuerit, partes dividi possit, ita, ut etiam circa maximos numeros nullum 
dubium superesse queat. Problerna autern hie geminum tractat, quorum altero quaeritur, 
quot modis data numerus in tot partes inaequales tantum, quot requiruntur, dissecari possit, 
in altero vero partiuin aequalitas non excluditur. Ita in exemplo initio memorato inyenit 
numerum 50 onmino 522 modis in septem partes inter se inaequales distribui posse, 
aequalitate autem partium non exclusa numerum partitionum omnium esse '8946, qui ergo' 
numerus quaestioni prinram propositae satisfacit. 

l^luribus aliis modis problema variari potest, dum scilicet singulae partes datae indolis 
esse iubentur, veluti numeri impares vel quadrati vel termini progressionis geometricae 
duplae etc. partium numero vel praescripto vel secus; Auctoris autem method aeque 
patet ad omnia huiusmodi probleinata solvenda. 

Subiungit deuiquo Auctor tabulam satis amplam, ex qua responsiones ad plerasque 
huius generis quaestiones sine ullo labore depromere licet; quae multo longius est con- 
tinuata, quam in Auctoris Introduction! in Analysin, ubi idem argumentum iam tracta- 
verat, Mo autem studiosius expolivit. Ceterum haec Dissertatio referta est plmlrnis tarn 
egregiis artifieiis quam novis et notatu dignis observationibus circa natioram serieruin, unde 
eius UBUS multo latius patere videtur; neque ullum est dubium, quin ex eodem fonte plurirna 
alia arguments felicissimo cum successu expediri qaeant. *) 



1. Problema de gartitione numerorum primum mihi eat propositum a 
Celeb, Professore NAUD,i<] g ), In quo quaerebat, quot variis modis datus numerus 
integer (hie enini perpetuo cle numeris tantum integris et affirmativis est 
sermo) possit esse aggregatuni cluorum vel trium vel quatuor vel in genere 
quot libuerit numerorum, Sive, quod eodem redit, quaeritur, quot variis 
modis datus numerus vel in duas vel tres vel quatuor vel quot libuerit 
partes dispertiri queat, unde huic problemati aptissime partitionis numerorum 

1) IE editions principe Me sequitur index errorum, qui inveniuntur in commentation e, Qui 
orrores hac in ediMone correeti sunt. E 1 . B. 

2) Vide notam p. 178. P. E. 



BE PABTITIONB NUMRWOttt'M 

256 - ....................... - 



Biparfcitum aiifcnn hue proMtwm a Vim CVlob. pr 



f 

, in CUB us propoaitun r^ivitur, Hint mU* H, ..m^; turn 
vac inaequalitatis conditiono omtai mum* oinmuo jutrliticmiH ltw do. 
le uirit, Bive partes qnaepiam inter M ftwrint a^ua^ nm- umm* 
Perspicmn aim est hoc posteriori canu numwum imrtitimmm 
multo esse maiorem qua* priori, rum nm. Hulum ..rnrn^ imnit 
casui priori satisfaciunt, sinml ^.riomu rcw.lvaiit, h.-.l rimm 
plures alii accedant, in quibua parU* BiHjtmlfH nmtimnmtiir. 



2 Ut vis problematls Imiiw daritw pWNindafttn noiitutlnH riww .nimpli- 
cioresVafferaml qtii actual! partitioimm iniumomUuiH' ftu'iU* i-xpmliimtur. Si 
quaeratur, quot variis modia numorun fr in tltuu* pwU^ nw.iv> jKWHit. HlaUm 
apparet hoc tribus modis fieri JWHWS cum nit 

OB i 4. 5 *->* $ -h 4 - *! 4* 5, 

siquidem partium aequalitan nan wcrhwlatw. Sin auifiii jirt..h taiitum in- 
aequales desiderentir, ultima purtitio 3j-3 wt miiiltHnla hcirqur rmm 
numerus 6 duobus tontum modw in tlu imrtiH it.*r w iimnjuuU^ thnjirrhn 
potesi Quodsi numorua iropar, uti i), pn>iMimlur t 4it;w jatrl.-* .iiMrtlnunulum 
quatuor prodibunt partitions, qun Hunt 

, i 4. H 2 4- 7 -" 3 "f is I I .V, 

ubi cum partes aeqmles non oneurnutt, MUIUWIM M i|itittintr t*tH^in lumi 
partes dispertietur, sive parU'H uiH|[Uttli*M I'xrluitaiittir iv' M-mn Si jtlurtw 
duabus partes desiderentur, uti HI quai'mtur, *|tiMt variin tmMli-* nunwnw W 
in tres partes disperfciri poawit, hut* wijuiMtilnH tti tnn*lirt fli^r 

12 - 1 4- 14- W. ~ J 4- - i j , w - t i' : 



12 24-8+ 7, 12-^2 + 4 +1, 12 1* f ? i ?>. 
128 + 8+ 6, W^a-f 4 i :., W-4 i 4 i 4, 

Sin autem partes aquales excludutitur, n*jinUinlum 
tantum 7 modis in tres parto dbtrittui 



m - i28 l ^ PAMMIOND NDW&tetJtt 



nariu superet nume^ ^nZ f 

rationem actu instituendam difficillime obfT.v 

negotio inductioni multum estfldendl T eqM etiam in hoc 

aequalitate ipertiri pole^G Idl- P , P ^ eXClUSa partium 

remanebunt tantu m sTTJ^iT T^ ' 

in 20 " 



, quot variis modis datus 



numeruH in . r, , mos aus 

numeius n m p paHos, quarum nulla datum numerum excedat resolvi 

pont Parfamn qu0 que nun* omitti potert'), uti si qTeltr 

varus modis numems 6 ex his numeria 19 R j ^ quaeratnr, quot 

pos S it, quod .equontib,, lnodis fi ' " ^ 



1 + 1+2, 6-1 + 1 

2 + 2, 6l + 2 
2, 6-2 + 4', 

63 + 3. 



constant; uti 
esso yel numeri topares vel quadrati ,el triangulare vel 



r m sumina qu , u : r quaarat ram ' ^^ * ** ^ ^. 

P qU (IUe Partltl numwo "i omnium in partea, quaa sint termini 



LKOUIU>I EOWM Open omnia Is Commentatio ne s;arith me ticae 88 



Dfi VAUTITIONK Nl'MKHOUI'M 



tl>H 129 



MuBrogreBBionis gaomflbi^ 1, * 4, . I* .' Hr, t*l wM^* rt qui. 
Set nlmer.8 observatuB t uiiico tantum mod" ,-x hw tiuimw 1. * 4, H, 
16 32 etc. per additions comptmi p**, I'uiu* H ^mtH jumt hrimuiM') 
mentionem facit SoHOTRNiim'i iu HUIH termMwl***. uht .mU*n.Ut iondera 
1 2 4 8 16 32 etc, librarum BuWwri* ^IHJM* act t*rt'** uwtitrumtm' hhrurum 
p'onderandas,^) Neque ^ ml hoe uHt^Uiuium ..liu im-th.*!.. ,mr in, 
ductionem utite. Quamobrem mm aHn iv orit u<nhit'm hums Hluti n 
demonstrasse* 



5 Quemadmodum w 
teat hie eiusmodi motiiodum corlam a* tttfum i.rn|mam. ut in.luHtums cui 
vulgo ad solutionem itiu8moiU qmmtwmm jhmmuiu IriJnn HuUt, plane 
non sit opus, Utor ad hue m^imiil loniumU* itiHtmii: 



V | /;/ ! A*/' i Hr,, 



evohatur, ut hwmmodi forma 



^ coeffimns semndi termini A 

Coefficims vero M mi smnnm ynnlwimwa r/ MUM fat mm /i**w/tfrtfi i 
libm Coeffid&ns (J vrtt *mma itnxlwhvum ^ fruit* i'*/i*iwwi tjtMtttittttttm in* 
aegwdtiw; et cwffirim I) e-rll ?! prt*tuctwtttn f/ qtMtrnm AMIIW ntrwultm 
gmntitatm, et tta jporro. 

In huiusmodi enim productin ewlwn ijuautttiw. jmta vil *|^vw alia 
plus quam semel nusquam inwwe jiwiiwt. l'mt h*r tHtium milti ftttututw'iitum 
suppeditat ad partitiotimi in partHH i 



M, 



'.'* 3, ^t it 



r, v, 



F U 

It***' 1 ?, Ub, 



seetio TIE, p, 410, I 1 , E, 
8) Id qaod lam doeuit I 
Zerfftttmg gomvr ZtMen in &<mmm 



!$ 1 1* 1 1 i li M H i i* * - * J % I t 'J 3 | 

r, H. 



129-130] BE PARTITIONS NUMERORUM 



6. Sin autein aequalitas parfcium non excludatur, adhibeo hoc lemma: 
Si ista formula 



(1 - a*) (1 - &*) (l - eg) (1 

sive factorum denominatorem constituentium mmerus sit fmitus sive infinite post 
evoluhonem^ denominator ope multiplications factam per dwisionem in seriem ex- 
plicetur Jmius formae 



etc., 

turn erit A quidem ut ante summa quantitatum a + & + c-fd + e-fetc At 
coefficiens B erit summa productorum ex Unis Urum quantitatum non exdusa 
repetitions eiusdem guantitatis, erit scilicet 



Simili modo coefficiens erit summa productorum ex ternis harum quantitatum 
a, b, c, d, e etc. factoribus aeguaWus in quovis producto non exclusis Atgue 
eadem condUione adiecta erit coefficiens J) summa productorum ex quaternis Jiarum 
quantitaturn, et ita porro. 

Hincque istud lemma viam aperiet ad partiiaones, in quibus partium 
aequahtas non excluditur, absolvendas. 

7. Cum autem in problemate proposito non de productis, sed de summis 
numerorum quaestio instituatur, loco quantitatum a, 6, c, d, e etc, substituo 
potestates ^, x, #, x , x * e tc. Sic enim in productis ex binis eiusmodi 
occurrent potestates, quarum exponentes sint summae binarum ex serie p, q, 
r, s } t etc. Simili. modo producta ex ternis constant eiusmodi potestatibus^ 
quarum exponentes sint summae trium numerorum ex eadem serie p, q, r } s etc. 
Atque producta ex quaternis erunt potestates, quarum exponentes 'sint aggre- 
gata ex quaternis horum numerorum, et ita porro. Sicque, quae ante de 
productis sunt notata, nunc ad summas transferuntur et ita quidem, ut, si 
lemma prius adhibeatur, summae ex partibus tantum inaequalibus conflentur, 
sm autem lemma posterius in usum vocetur, partium aequalitas non exclu- 
datur. Hoc igitur modo ambo lemmata ad solutionem quaestionum ante 
memoratarum accommodari debebunt. 



33* 



$60 _ t)E PABTIT10NE NUMERORUM [180-131 

8. Aggrediamur ergo hanc primam quaestionem: 

Invenire, quot variis modis datus numems N possit dit^erim m p partes 
quae sint inter se inaequales. 

Quoniam hue omnes numeri integri affinnativi atl paries eonstituendas 
sunt idonei, pro serie superiorum exponentium accipienda est series numerorum 
naturalium 1, 2, 3, 4, 5, G etc, Formetur ergo secundum lemma pritis haec 
expressio 



8 - 1 + X g)(l + ^ a ^)(l + arV)(l + aJ**)(l + A) etc. in infinituin, 
quae multiplications actu instituta evolvatur in hanc sorioni 

8 = 1 + At + Bf + W + I^ 4 + AV + etc., 
entque 

A = a? 1 + + x s -f a? 4 + a? 8 4. ^ 4, etc,, 

quod est aggregatum omnium potestatum ipsius a:. Delude quia B est summa 
productorum ex binis terminis inaequalibus seriei A, erit B sinmna potestatum 
ipsms x omnium, quarum exponentes aint aggregate duorum numerorum in- 
aequalium; et cum eadem potestas saepius resultare possit, i unciwn 
habebit numericam indicantem, quot ea potestas modis sit procluctum ex 
duobus terminis seriei A seu quot yariis modis mm exponons posait enee 
summa duorum numerorum inaequalium, Binis autem terminis aeriei A re 
ipsa multiplicandis reperietur 



+ 4a; 10 + etc. 

Cuius seriei^quilibet coefficient indicat, quot yariie modis eiponena potestatis 
adiunctae in duas partes inaeqnales diapertiri poesit. Hac igitur 

i C nti ^ ata pe 10gi8 P st eru0Edae 

i casns, quo partitio in duas partes requiritur, 



oriunte 
constaWt ex 

inter iP *' r mm eXp0nente8 8unt raramae Wa numero- 

mter se naequahum, Atque eadem potestas toties in ista serie occur- 



potent, reperieturque 



131-133] DE PARTITIONS NUMERORUM 



261 



Quins seriei quilibet coefficiens indicat, quot variis modis exponens potestatis 
ipsius x adiunctae in tres partes inaequales dispertiri possit; sic ex termino 
8x u colligitur numerum 13 octo diversis modis in tres partes inaequales 
secari posse, quae sunt 

13-1 + 2 + 10, 13 = 2 + 3 + 8, 

13 1 + 3 + 9, 13 = 2 + 4 + 7, 

13 = 1 + 4 + 8, 13 = 2 + 5 + 6, 

13 = 1 + 5 + 7, 13 = 3 + 4 + 6. 

Ista igitur series G in infinitum continuata inserviet omnibus riumeris in tres 
partes inaequales dispertiendis. 

10. Quantitas porro D, cum contineat omnia producta ex quaternis ter- 
minis inaequalibus seriei A ~~x l + 0* + x a + a* 4 + etc., constabit serie pote- 
statum ipsius x, quarum exponentes sint aggregata qnatuor numerorum inter 
se inaequalium; et in hac serie quaelibet potestas eiusmodi habebit coeffi- 
cientem, qui indicat, quot variis naodis eius exponens per additionem quatuor 
numerorum inter se inaequalium resultare possit. Eeperietur autem 

D - a? 10 + x 11 + 2o? ia + 3x + 5o; 14 + 6a 1B + 9^ 16 + 11^ + etc. 

Haec igitur series in infinitum continuata ostendet, quot variis modis quisque 
numerus possit esse summa quatuor numerorum inaequalium. Ex termino 
quippe x u cognoscitur numerum 16 novem modis in quatuor partes inter 
se inaequales distribui posse. 

11. Si hoc niodo ulterius progrediamur, patebit litteram E fore seriem 
potestatum ipsius x ita comparatam, ut cuiusvis termini coefficiens indicet, 
quot variis modis exponens ipsius x in quinque partes inaequales dissecari 
possit. Brit autem 

E _ a?' 16 + x u + 2i 17 + 3a; 18 + 5ic 10 + 7x + 10x n + I3x** + etc. 

Simili modo valor litterae I^ 7 erit series partitionibus in sex partes inaequales 
inserviens et litterae G, H, I etc. pro partitionibus in partes septem, octo, 
novem etc. valebunt eruntque 



260 >E PARTITlOME NUMEBOHUM [l30~tSl 

8. Aggrediamur ergo hanc primam quaestionem: 

Invenire, guot variis modis datus numerus N posstt dispwtiri in $ partes 
quae sint inter se inaeguales, 

Quoniam hue omnes numeri integri affirmativi ad partes constituendas 
sunt idonei, pro serie superiorum exponentium accipiendu est series numerorum 
naturalium 1, 2, 3, 4, 5, 6 etc. Formetur ergo secunduin lomuia prius haec 
expressio 



s = (1 4. a*) (i 4. a'*) (i 4. fl.8^ (! + ^ Q + ^B 
quae multiplicatione actu institute, evolvatur in hanc sorioui 

s , i 4. A* 4- Be* 4- Of 4- JV + J&V + etc,, 
eritque 

-dL a? 1 4- x* + a? 8 4- 0* + x 4. ^ 8 4. etc., 

quod est aggregation omnium potestatum ipsius x. Deincle quia B ost summa 
productorum ex binis terminis inaequalibus seriei -4, erit B summa poteatatum 
ipsius x omnium, quarum exponentes sint aggregate duorum numerorum in- 
aequalium; et cum eadem potestas saepius resultare poesit, ea unciam 
habebit numericam indicantem, quot ea potestas modis sit productum ex 
duobus terminis seriei A sen quot variis modis ems exponens possit ease 
summa duornm numerorum inaequalium. Binis autem terminia seriei A re 
ipsa multiplicandis reperietur 

7^ = aj 4- j* 4. 2a; 5 4- 2a? 6 + 3 7 + 3o; 8 + 4 9 + 4ai 10 etc, 



Cuius seriei quilibet coefficiens indicat, quot variis modis exponens poteatatia 
ipsms x admnctae in duas partes inaequales diaperiari possit, Hac igitur 
sene m mfinitum continuata ope legis post eruendae reaolvitur problematis 
propositi casus, quo partitio in duas partes requiritur, 

9 . Quantitas deinde C, cum contineat omnia proclucta, quae oriuntur 
terms terminis inaequalibus seriei A invicem multiplicandis, conatabit ex 
sene potestatum ipsius x, quarum exponentes sunt summae trium numero- 
rum inter se inaequalium. Atque eadem potestas toties in ista serie occur- 
ret, quoties ems exponens ex tribus numeris inter se inaequalibus per addi- 
tionem resultare poterit, reperieturque 



+ 2^ + M + 4*" + 5 + 7^ + 8^ 8 + W^ + etc, 



131-133] DE PARTITIONS NUMERORUM 



261 



Ouius seriei quilibet coefficiens indicat, quot variis modis exponens potestatis 
ipsius x adiunctae in tres partes inaequales dispertiri possit; sic ex termino 
Sx colligitur numerum 13 octo diversis modis in tres partes inaequales 
secari posse, quae sunt 

13 = 1 + 2 + 10, 13 = 2 + 3 + 8, 

13 = 1 + 3 + 9, 13 = 2 + 4 + 7, 

13 = 1 + 4 + 8, 13 = 2 + 5 + 6, 

13 1 + 5 + 7, 13 = 3 + 4 + 6. 

Ista igitur series in infinitum continuata inserviet omnibus numeris in tres 
partes inaequales dispertiendis. 

10. Quantitas porro D, cum contineat omnia producta ex quaternis ter- 
minis inaequalibus seriei A = ^ + 3 + x* + a* + etc., constabit serie pote- 
statum ipsius x, quarum exponentes sint aggregata quatuor numerorum inter 
se inaequalium; et in hac serie quaelibet potestas eiusmodi habebit coeffi- 
cientem, qui indicat, quot variis modis ems exponens per additionem quatuor 
numerorum inter se inaequalium resultare possit. Eeperietur autem 

D _ 3.10 + 0u + 2 tf 18 + So; 18 + 50" + 6a 15 + 9a 16 + ll^ 17 etc. 



Haec igitur series in infinitum continuata ostendet, quot variis modis quisque 
numerus possit ease summa quatuor numerorum inaequalium. Ex termino 
quippe Qx u cognoscitur numerum 16 novem modis in quatuor partes inter 
se inaequales distribui posse. 

11. Si hoc modo ulterius progrediamur, patebit litteram E fore seriem 
potestatum ipsius x ita comparatam, ut cuiusvis termini coefficiens indicet, 
quot variis modis exponens ipsius x in quinque partes inaequales dissecari 
possit. Erit autem 

E x 15 + x u + 2;c 17 + 3a; 18 + 5a? 10 + 7x + 10^ 21 13^ 22 etc. 



Simili modo valor litterae F erit series partitionibus in sex partes inaequales 
inserviens et litterae $, II, I etc. pro partitionibus in partes septem, octo, 
novem etc, valebunt eruntque 



262 DE PARTITIONS NUMERORUM [133-134 



F yP + x 22 + 2# S8 4- 30* + 50" + 7a M -f 11 ai t7 + Ua? 18 + etc,, 
a = 28 + a? 4- 2a; 80 4. SB" 4. 5s 83 + 7ajM + llx u + ir)U . w + otc> 

etc. 

Unde perspicitur primi cuiusque seriei termini exponentem esae numerum 
trigonalem numeri partium propositi, turn voro tarn huius quam secundi ter- 
mini coefficientem esse 1. Cuius quidem ratio facile intelligitur; minimus 
enim numerus, qui est sumnia septem nuinerorum inter so inaequalium, 
necessario est-l + 2 + S + 4:H-5 + 6 + 7-J-7.8-. nuraero trigonali ipsius 
septenarii hicque numerus pariter ac sequoia unitate mtiior plus uno modo 
in septem partes inaequales dispertiri nequit. 

12. Totum ergo negotium redit ad commodam serierum .7?, 0, I), JK, 
^ T etc. formationem, ne id ipsum, quod quaeritur, scilicet parfcitiouum nu- 
merus, ad cuiusque seriei formationem adhibeatur. Ac primo quidem lex 
progressionum A et S est aperta, cum prioris coefflcientea sint omnes uni- 
tates, posterioris vero termini seriei numerorum naturalium geminati; sequen- 
tium vero serierum lex minus est aperta, et quousque eas Me continuavimus, 
coefficientes ex ipsis cuiusque exponents partitionibus oonatituimufl. AUo 
itaque modo valores istarum litterarum A, B, CJ, D etc, mrdstigari oportet, 
unde haec exoritur quaestio: 

Invenire valores IWeramm A, B, a, D, M etc., Ua ui mmrna Mm send 

s - 1 + An + B^ a + 6V + D/ + M/ + etc. 
aegualis fiat isti expressioni 

* - (1 + a>e)(l + x>z)(l + ^(1 + af^i + ^ ete _ 

Hunc in finem igitur perpendendus est nexus, qui inter has duas 
expre SS1 OBe 8 mtercedit, et quemadmodwn altera immutari debeat, si in altera 
mutatio rnstituatur. 



Ql f UtriUSqU f expressioai8 idem 6st val <* , ambafi inter se mane 
' - S1 9Ue bC ' 8CribatUr ^naeonnqw alia quantity Po- 



^ 
t = 1 + Axt + B X 'Z> + c'aV + 



134-135] 



BE PAETITIONE NUMEEOBUM 



263 



turn vero altera expressio transmutabitur in hanc 

t = (1 -f tfg)(i -+- a*g) (i -f ^)(i + tfg) etc.; 

qui posterior ipsius valor si cum posteriore valore ipsius s comparetur, 
quo erat 

s = (1 -f o*)(l + a?"*)(l -f 0**)(1 + 0**) etc., 

mox patebit esse s = (l-f xg)t. Quae relatio cum etiam in alteris valoribus 
ipsarum s et t locum habere debeat, nobis praebebit hanc aequationem 



+ Da* 4 ** + etc. 



(1 + <cjs)t 1 -f ^ + 



Unde terminis homogeneis inter se aequandis fiet 





l-f **^ 



etc. 



14. Series ergo, quae supra pro litteris A, B, C, D, E etc. prodire ob- 
servatae sunt, oriuntur ex evolutione fractionum, quas hie invenimus, unde 
constat seriem A esse geometricam, nempe A = x + * 4- %* + ^ + # 5 + e "fc c -? 
quae, quod quidem est planissimum, indicat quemque numerum unico modo 
ex uno numero integro constare. Reliquae vero series J5, G, D, E etc. 
sunt recurrentes, quarum scala relationis ex cuiusvis fractionis denominatore 
per multiplicationem evoluto patebit. Ad hoc ostendendum negligamus tan- 
tisper numeratores, qui sunt potestates ipsius a?,, quarum exponentes sunt 



264 JDE PARTmONK NUMKWWUM [185-138 

numeri trigonales, earumque loco scriburaus unitntom. Bit igitur 

' 



C j i rtr i /3W 8 1 HI 

. - | _1- ft ff. ~\~ M f ~4- V ; 

tf l ^ a X ^ P * ^' 



+ aj + + ^ + * + ^ -f ~ 3) , 

4- a v a; + /? v a; 8 + v ^ + cf r ^ 4. * v a; s + " -f *' v ^ -|- - i 



Jj> t . 

^ * ' 

etc* 



15. Solutio ergo quaoationis ad invwitiowm wri**rut 1 ^. (L i 
etc. reducitur, quas patet Hinguka OHH^ rtwurronti*. A* jiHmu tjuiliia 8i*ruH 
SI, cum sit $C -, mi atloo goomotrira, utujm* '!, ^' J, f^-\^ 
$'=~l etc., quod per se est perspicuum. Hurltw uuit*in Si rum nit 



erit recurrens scala relatiome existwntw 4- 1 | I , I ; until* wit 

*' i 

CK '- 1 1 



' etc, 

Simili modo series ^ ob 



( 





136137] 

erit reourrens et scalam relationis habebit -f- 1 -I- 1 n 
Unde erit ' ^ ' ' 

'" = !, 

P" = '"+!, 

/"=/?"' + '" + *, 



n - r + w + * - /" - /r + -; 

<r - if + r + * - <r - /" + /r 

etc. 

Eodein modo series sequentes perspicientur esse recurrentes singularum- 
que scalae relationis hoc modo assignari poterunt. Etsi autem hoc pacto 
istae series non difficulter formari possunt, tamen ista ratione relicta niox 
multo commodiorom modum exhibebo harum serierum quamvis ex praece- 
dente formandi, postquam observationbm maximi momenta communicavero. 

16. Cum sit ^^^-^^^ patet in serie evoluta 93 quamvis potesta- 
tem ipsius x toties occurrere debere, quoties ea ex potestatibus x l ^ 3 per 
multiplicationom oriri potest seu quoties eius exponens ex numeris 1 et 2 
per additionem produci potest. Ita cum sit 

ex termino 3 a; 4 intelligitur numerum 4 tribus modis. ex numeris 1 et 2 per 
additionem oriri posse, qui sunt 

41 + 1 + 1 + 1, 4 1 + 1 + 2 et 4 = 2 + 2. 

In genere ergo terminum V considerando coefficiens </' indicabit, quot 
modis exponens n ex numeris 1 et 2 per additionem produci possit. Cum 
jgitur sit j? !^ 3 , in serie B habebitur iste terminus </V+ 8 ; qui cum in- 
dicet numerum + 3 tot variis modis in duas partes inaequales secari 

LKONHAHDI EULKRI Opora omnia la Commentationes arithmeticae 34 



DB PARTITIONS NUMRmUWM [187-188 

nume- 
raodis 



posse, quot imitates coofflwrnw r" in HO rumpUM-tutur, nwmfwlum eat nume 
rum + 8 tot modis m duu purh* imu'qtwU'H tiMrUmi ptnw. qucit modii 
numerus n ex numeris 1 ot *J pw atWitimmm prmiun qut*at, 



17, Deinde cum ait ($ , 4 , a , rV ln*'t !' Kuril* (1 
vis potestatem ipaius # totiflH own-run* ilib**m qutit*s tnt ox |iot<8tatibus 
a? 1 , a; 8 , a; 8 per multiplieatimwra oriri tjucut m*u. tjuml itlwu t*Mf., tjtiuiwH oiua 
exponens ex numeris 1, 2, 3 per jtdtlitimmm inwttui jm>.sit. Jfa nun mi 

- 1 + ^ + 2^ + 8/ 1 I--U* I'f)/ ! T/ ! .- ! <"*/ f .... 

ex quovis eius termino 5^ s cogiuweclitr oxiumnt*m r ijtiiijtjm* iuotlin t^x nu- 
meris 1, 2, 8 per additiontttu pnnhifi ]HWH*% qui Mint 

5 14.1+1 + 14.1, 5-1 ! 1 ! t *J, f---i ! 1 | a, 



In genere antem tormraum r' H tf conMicl<*rnilti (triif(!rimiH 

variis modis iitmems n 01 numorin I, *2 1 jr ii44tti**iittii cjrtri tjmmt, Cum 

igitur sit 6 Y ^ 8 ) iti awio (7 haholntur inM* tortiittiitH i^V**, quo itlif,akr 

numerum n + 6 tot media, cjuot unii'dti^ ftmisnt*nittr in nji*f!ir4*nt ***, In 

tres partes inaequales dittpetiiri IKJHHI*. I'm!** rfinH*qtiiiur ntiniiTutu + 6 

totidem modia in trea partt inmujuattMt rltfitrihui fuiHHi*, tjuut 

w ex numeris 1, 2, 3 per actditimimn jiroduri 



18, Non opua oat, ufc hoc nittutimum U*ifrfwH jr<w*qttttir cum Mnc 
lain abunde perapiciatur <iutmviH nuint'rtmt n I W t**f vuriin tmti in qua- 
tuor partes inaequaltrc diKptrtiH inmm^ quttt mir!U win*nis ?i t*x IUB qua- 
tuor numeris 1, 2, 8, 4 per addittcmtmt prociuri iHhit. SimiU wiKlo tjuilihot 
numerus w + 15 tot variis mmlm m (|tunqu(* fwrti'H uiufquult*H ttinjinrtm po- 
tent, quot modis numoniH n m liw quitttiw nuirt<i I, 2 ;!, 4 fl fw ad- 
ditionem produci poteei C!ant*nttit irg< mumrtift n f ^ 3 ^ ir tat variiB 
modis in m partea inaequalea dbpfrtlrl jwlrril, qtiitt vurii UUH tiunmniB n 
ex Ms numeris 1, 2 3, 4 t . . . w jr aillitHM*ni urmturi ptittwl, Quodni 
ergo quaeratur, quot. vnriia mocliti mimwt* ,V in m jiurf^M tnniH|imlt*H tUnportiri 
possit, responsio roperietur, i omuum inmt*m* invHfiHnr, tiuibuH imnwrus 

jir W(w-j-l) 'I 

^v g ex numcns 1, 2, tl, 4, . .w jtr u<irittmm*m prtKinri 



138 - 14 ] DE PAETITIONE NUMEEOEUM 



267 



19. Hoc igitur modo resolntio quaestionis propositae de partitione cuius- 
que numeri in qnot hbuerit partes inaequales reducitur ad solutionem alius 
problematis mm supra commemorati, quo quaeritur, qnot variis modis quili- 
bet numerus ex aliquot terminis huius progressions arithmeticae 1, 2 3 4 
5 etc per additionem product possit. Hacque posterior quaestione resoluta 
smml prior resolvetur. Quod ut clarius explicemus, nova signa ad commo- 
diorem expressionem adhibeamus. Denotet ergo haec scriptio: 

n numerum casuum, quibus numerus n ex duobus numeris 1, 2 per 
additionem formari possit; 

w denotet numerum casuum, quibus numerus n ex his numeris 1 2 
3 per additionem formari possit; ' ' 

et nw denotet numerum. casuum, quibue numerus n ex his numeris 
1, J, d, ... m per additionem produci possit. 

Cum igitur valores huiusmodi characterum fuerint definiti, quod deinceps 
praestabimus, problema propositum ita resolvetur. Si quaeratur scilicet 
quot varns modis numerus N in m partes inaequales dispertiri possit, nu- 
merus casuum quaesitus exprimetur hoc charactere ' 



.... - 

quo indicator, quot variis modis numerus N-^ >n V ex his numeris 1, 2, 
3, ... m per additionem produci possit. 

20. Ad hanc eanclem quaestionem quoque reducitur solutio alterius pro- 
blematis a Celeb. NAUDKO propositi, quamobrem expediet et hoc problema 
ante resolvi, quam ampliorem characterum modo assumtorum evolutionem 
suscipiamus; sic enim tria problemata, quae inter se maxime videantur di- 
versa, una eodemque opera reeolvemus. Problema atitem ita se habet: 

Invenfre, quot mriis modis datus numerus N possit dispertiri in v partes 
partium aegualitate non exclusa, 

Quoniam hie partium aequalitas non excluditur, sequentem formam con- 
templabor, quae huius quaestionis solutionem in se continebit, 

6 "" (T-**)(r~i*f^ 
quae secunclum potestates ipsius * evoluta praebeat hanc seriem 



34* 



263 m PARTITIONS NTMKUUKPM lUO-Ul 

eritque, ut supra ( 0) iwiavitmw, rmftirii*us J summit mimhmi t<rmiwwim 
huius seriei a?, sc*, /, x\ /' itf. Htu A * / * .r 1 j ,i 8 f .i 1 j- A \ /,|. |4 ^ 
quae est eadem series, (juain In Holutittm* jr;u'i**I*iitiH pntltitttnutts pro littwm 



obtinuimus, 



21, Deinde vero eat ,B mmmm {irfidtirtoruin M\ htiiw ^rtuttH mH<*i 
quadratis singulorum tiirniinonnn nm ixrhtHH. Iliitr *rit /I xmtnu iimnium 
potestatum ipsius x> quarum tx|Hii*t*'H *ini ii^^rf^uta iiuorutu mwwrorum 
sive aequalium aive inatH|ualiui: ti rt i*ali*i pit+}t;H hoc wotio Hiu*piu 
resultare possit, oa undani hahilit tim*nrHt huitr.'mfout, <|tit *a {mt<.staH 
modia sit producfcum ox Innin ti*rtitU5t w*ri**i J ^ni ijunt vnrH iitudin Hug 
exponens possit 0aH aumma tluonuii mmtcrurum titut iiMtjualiutu tjuutn iime- 
qualium, Ex hoc fonte 



^ + sXl-S/-! '/ i a/- ! -*j* ? 4/ ? | Hi-, 



cuius seriei quilibefc coefffwMw infant, jm*i vnril^ moctix t<xtitimH 
ipsius a adiunotae in clua parte ll>*|rtlrl |^il, Hur iiciiur *irii* In in. 
flnitum continuata prtbltimati pro|uiwU rnnwH, i|itn jw1ifiw in titm* partiw 
requiritur, facile resolvitur. 



6 f , cum mmllnmt mimm prirt t t ni* uritmttir tw- 
minis terms seriei J m TO iwwquiimm* nivi. m^tialihiiH im-ionit miiliii*timmiiis 
constant ex mrie poimtatum iimitiM/. qunriim iat*miii^ ninl Mtmttmif frium 
numororum integrorum nfHritiitUvonim. At*n* ^t^i j,t^tw /' iuttt^ in 
sene^oecurrat, quofci^ mm mimmm m tritttt^ tittitiwh w 
sive maequalibus per mlditionum nwuttm !H it..se. Krit ; 



cuius seriei quilibet wa mm t, IJttot varii , mitt|u ( , OIM|U|I 

ip ms ^ adumctae m tmi part HIVIMM^UH^ ^ iim,mil<. .linprtiri 




Si ex temuno mirn rt. ,^i, l l% ^ l* partan 

secari posse, quae partition^ iim t 



141 142J _ .^ j.x^g.xj.xuiNJjj JNUMM-tUJttUM 269 

10-1 + 1 + 8, 10 = 2 + 2 + 6, 

10 = 1 + 2 + 7, 10 = 2 + 3 + 5, 

10 = 1 + 3 + 6, 10 = 2 + 4 + 4, 

10 = 1 + 4 + 5, 10 = 3 + 3 + 4. 

Ista igitur series C in infinitum continuata omnibus numeris in tres partes 
dispertiendis inserviet. 

23. Simili modo quantitas 7), cum contineat omnia producta ex quatuor 
terminis seriei A -*x + 2 + a; 8 + ^ + etc. eiusdem termini repetitione non 
exclusa, constabit serie potestatum ipsius x, quarum exponentes sint aggregata 
quatuor numerorum sive aequalium sive inaequalium. In hac igitur serie 
quaelibet potestas ipsius x eiusmodi habebit coefficientem, qui indicet, qaot 
variis modis eius exponens per additionem quatuor numerorum resultare 
possit. Eeperietur autem hinc 



jjmmx + x + AX + das' + 5ar + 6ic 9 + 9 a; 10 + 11 a?" + etc. 

llaec igitur series in infinitum continuata ostendet, quot variis modis quilibet 
nmuerus in quatuor partes dispertiri possit. Sic ex termino 9# 10 concluditur 
numermn 10 novem modis in quatuor partes dispertiri posse, quae parti- 
tiones sunt 

10 -1 + 1 + 1 + 7, 10 1 + 2 + 2 + 5, 

K) 1 + 1 + 2 + 6, 10 1 + 2 + 3 + 4, 
10 1 + 1 + 3 + 5, 10 1 + 3 + 3 + 3, 

10 1 + 1 + 4 + 4, 10 2 + 2 + 2 + 4, 
10 BBSS 2 I 9 I ^ i '\ 

24. Hoc modo ulterius procedendo patebit litteram E fore seriem 
potestatum ipsiua a? ita comparatam, ut cuiusvis termini coefficiens indicet, 
quot variis modis exponens ipsius x in quinque partes dispertiri possit. Brit 
autem 

+ etc. 



Pari modo valor litterae F erit series partitionibus in sex partes inserviens 
0t litterarum @ t H, 1 etc. valores pro partitionibus in partes septem, octo, 
novem etc, valebunt; erit autem 



270 DK f'AimTin\i: M MK!'o-r v 

..... - .............. ' IU3 



etr. 

Si hae s(das cum iilut rtwfmntur, .ua-* in * 

pro ilsdom lit 
tibus ipBi 

autem hie mductumi . . im .,,,, 4trill 

demonstrations eyincemu*. f w t|lll?Ittl 



11' 

ai loco i iibi qw , lmmittlr ^ 



t r/v 



25, Corisidoramtm tifc ltltst 



-- + ^, 

8 ' ** ? /uf j 1*1,1:, 

' /^ . ^l^t II I t 

TT 1 ** I ,!,} It if |||* 

^ 



*44--145] pB PARTITION NtTMERORUM 971 

~~" ' . -- '"--*-" - ,-,- , , , ._._.. M I J. 

26. Ex his fommlis intelligitur istas series uon solum quoque esse re- 
ourrentes nb supenores, sed etiam coefficientium utrinque eandem esse legem 
Quare si neglectis numeratoribus ponatur 

ut sit 



ec> > etc., 

partitio cuiusque nurneri in partes quotcunque sive aequales sive inaequales 
pendet a formatione serierum SK, , C, 5D etc., quae, uti ante observavimus 
indicant, quot variia modis quivis numerus ex aliquot terminis initialibus 
hums senei 1, 2, 3, 4, 5 etc. por additionem produci queat. Sic, cum sit 
B = 8^ 2 , quivis mimerus n + 2 totidem modis in duas partes dispertiri potest 
quot modis numerus n ex numeris 1 et 2 per additionem produci potest' 
Simili modo, cum sit G'- <a", numerus w + 3 tot modis in tres parfces 
dispertaetur, quot modis nmnorus n per additionem ex numeris 1, 2, 3 com- 
poni poterii Atque generaliter numerus n + m tot variis modis in m partes 
sive aequales sive inaequales dispertiri potest, quot modis numerus n ex 
numeris 1, 2, 8, ... m per additionem produci potest. 

27. Pendet ergo et hoc problema a solutione quaestionis, qua quaeritur, 
quot variis modis datus numerus ex aliquot terminis initialibus huius seriei 
1, 2, 8, 4 etc. por additionem resuitare possit. Si igitur ut supra [ 19] haec 
Bcribendi formula n (m} denotet numerum modorum, quibus numerus n ex 
numeris 1, 2, S, . , . m per additionem componi potest seu quibus numerus n 
in Cartes quotcunque distrtbui possit, quarum nulla maior sit numero m, 
huiusmodi characteribus et hoc problema propositum resolvi poterit. Scilicet 
w ( " indicabit, quot variis modis numerus n + m in m partes sive aequaies 
sive inaequales dispertiri possil Hinc si quaeratur, quot modis numerus N 
in partes m sive aequales sive inaequales distribui possit, numerum modorum 
quaesitum indicabit haec formula (Nm), Si igitur hoc problema cum 



272 BE PAUMIONE NtJMEftOUUM f.l45-Ud 

praecedente conferatur, perspicuum erit numerum n + m totidom modis in m 
partes sive aequales sive inaequales distribui posse, quot modis numerus 
n + ( m + *) in m partes inaequales dispertiri possit. 

28. Solutio ergo amborum problematic a GKL, NAXJDKO propositorum hue 
revocattir, ut definiatur, quot variis modis nununuia quir.uuqw! n t.x his 
numeris 1, 2, 3, ... w per additionem produci pOHsit, mm ut inveatigotur 
valor characteris n (m \ Quemadmodum ergo hoc novuin probltwia ox fornmlis 
iam ante inventis commodissime resolvi qutat, vidcamuB. Ac primo iiuidwn, 
si sit wl, quia quilibet numerus uuico modo ex inoriH unitatibus par ad- 
ditionem elici potest, erit 



quod idem prima formula E^^ 1 .^ nmi HMHOH irulo fornmta 

1 1 + a? + a + *r* + a; 4 + * R 4- otc. 
manifesto indicat. 

29. Quoniam series SB (1 _ -i _ ^ indicat, quot modw tjiuHqiu* 
ex numeris 1 et 2 per additionoin formari ptrnwit, in luw. Hc*rit jt>tcHtati a?" 
coefliciens erit w (S) ; haec oniin oxprt8i(j iwHuinia twt utl Higuifinindum, quot 
modis numerus w ex: numoriB 1 et 2 per additumuw orid poHnit. Hinc igiiur wit 



SB - 1 + 1 ( % + 2^ + S^^-f 4 ( V + fjWa: 11 + G w * 4- etc. 
atque ad similitudinem huius expressionis erit 

- 1 + iw + 2^% s + 8 ( %* + 4< V + fi* 1 ** 1 + U 



Deinde vero cum sit 8-.^ et 1 - (J wit .!,| undo 

sequens inter has series relatio oritur 



etc. 

4< V ~ etc. 



Quodsi Mnc ooaequatio termiaoram bomogeaeorum t&stituatur, erit 



30. Generaliter ergo erit 



n ( 



Cum igrtur sit - i el ,t _ ! + (n _ 2) . si coeffloientes 
ita determmabuntur, ut quisque terminus ultimus aequalis sit antepenul 
unitate aucto. Seu cum seriei 31 omnes coefflcientes sint unitates ex 
sequent! modo series SB forrnabitur: 

*l = 1 -f- iP -4- a; 3 -I- (r JL, *A j_ -vS i ^o i ? i Q . 



Scilicet cum senei SB duo termini initiales 1 + constent, subscribe ii 
sub_termim S terto et quarto seriei 81 hincque per additionem orientur ter- 
mini tertius et qnartus seriei ffl, qui porro terminis quinto et sexto seriei X 
subscript! et additi dabunt terminos quintarn et sextum seriei 58 hocque 
modo series quousque libuerit, facillimo continuatur. Patet autem Hnc 
esse M"' 2 (w + 2 ); scilicet si n est numerus impar, erit w=,l-( n + l) 
sin autem n sit numerus par, erit n m .-.( 



31. Cum porro sit (.- ..... -~-_-l____, AM -f 01 rv/i s\ i 

1 v (i-*)(ia>)(nr5rj-i er " to^^l x*), unde, cum 

seriei <g terminus generalxs sit nt V, sequens nascetur relatio inter series SB et < 

+ etc., 
+ etc. ' 
3 ( V etc. 



2< V 



Si iam hie aequatio inter terminos homogeneos instituatur, erit 

LBOMHAEDI EUWRI Opera omnia Is Commentationes arithnaeticae 36 



274 DE PARTITION! NtJMERORUM [147-148 



j[(8) ^ l(2) j 4(8) 4(S) ^. 1(8)^ 7(3) ^ 7(8) 

2 (8) , 2<*), 5< 8 ) _ 5 4. 2 (8) , H (S) K ( ^ 

3() = gro 1 6 {8) 



et generaliter 



Series ergo ( ex serie 33 suisque terminis anteccdentibua Btujuonti raodo facile 
formatur. Omittamus autem potestates ipsius x t quia totuin nogotium in 
coefficientibus yersatur; 

e = l + l + 24-24-3 + 8 + 44-44- &+ /) + 6+ 6 + etc. 

_ 1 + 1 + 2 + 3 + 4+ 5+ 7+ 8 + 10 + etc, 
($ i + 1 + 2 + 8 + 4 + 5 + 7 + 8 + 1C) + 12 + 14 + 1(1 + etc. 

Scilicet seriei 93 subscribatur series ( initium sub termino quarto faciendo, et 
prouti ILOC modo series S per additionem oritur, ita quoque sub serie 8 
contmuabitur. 



32. Quia delude d fc-p^n- ,(,....., erit S> (!-). 
Unde simili modo, qao hactenias sumus UBI, reporiofcur: 

iw 1^, 4W , 4(8) ^. i f 7(4) ,, ? cp) ^ |j(4) f 

2W 2W, 5^ 6 W + 1 (4) , gw^g^-}-4W | 
3(4) ^ 3(8) 6 ( 



et generaliter 

nw - w (8) + (n 4) (4) 

Pari modo ulterius progrediendo co]ligetur for 



etc, 
G-eneratim ergo hinc colligetur fore 



148-149] BE PARTITIONS NUMERO&UM 



ubi notandum est, si fuerit n < m, turn terminum (n - w) (7n) .prorsus evanescere, 
sin autem sit n = m, etiarasi sit n m = 0, tamen terminum (n w) (Hl) valere 
unitatem. Deinde si sit n w = l, quoque erit (n m) (n * = \ t grit ergo 
perpetuo tarn (m) = 1 quam l (m) = 1 et n w = 1. 

33. His relationibus inter series 21, 23, (, ) etc. notatis eae facillime 
formantur et, quousque libuerit, continuantur, quae operatic per hie adiunctum 
schematismum fiet manifesta: 



w 11 12 13 



1 + 1 ++++ 1+ i++i + 'i+ 1+ 1+ 1+ i+etc. 

Llll_^.lJdLi'Lj 5+6 + 6+ 7+ 7+ etc. 

2 + 2 + 3+3+ 4+ 4+ 5+ 6+ 6 + TTT+~~7T~8V~T+^ 

1J-1 + 2+ 3+ 4+ 5+ 7+ 8+10 + 12+ 14+ 16+ 19 + etc. 
2 + 3+.4 + 5+ 7+8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 19+ 21+ 24+ 27 + etc. 

____ Jd^^J_lJL_A_ ^+~Q^^J^^^ 
2 + 3 + 5 + 6+ 9 + 11 + 15+18 + 23 + 27 + 34+' 39+ 47 +~li4~+^S 

. _______ liJL_JjLjL_^ + etc. 



10 + 13+18 + 23 + 30 + 37 + 47+ 57 + 
_lJi-l+ 3 + 5 + 7 + 11+ 14+ 20+ 26 + etc. 



= 1 -(-1 + 2 + 3 + 5 + 7+ 11 + 14 + 20 + 26 + 35 + 44 + 58+ 71+ 90 + 110 + etc. 



5-I- 82 + 



- +.2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 15 + 22 + 29 + 40 + 52 + 70 + 89 + 116 + 

_^ __ _________________ _ __1A. 2+ 3+ 5+ 7+ 11 _j 1 eto : 

S - 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 15 + 22 + 30 + 41 + 54 + 73 + 94 + 123 + 157 + etc. 

_ _____________ _ _ _ _____ , ___ __^jHiJJi_AiL__iJi_^^ 

$ - 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 15 + 22 + 30 + 42 + 55 + 75 + 97 + 128 + 164 +~ei 

____ ______ __ ______ _______ __ __ 1+1+2+ 3+ 6 + etc. 

8-1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 15 + 22 + 30 + 42 + 56 + 76+ 99 + 131 + 169 + etc. 

_________ __ .............. _._._ ______ 1+ 1+ 2+ 3 jhete. 

Di 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 15 + 22 + 30 + 42 + 56 + 77 + 100 + 133 + 172 + etc, 

'. ....... _________ _ ________ __ __ : _ 1+ 1+ 2 + etc. 

-,1 + 1 -f. 2 +3 + 5 + 7 + 11+ 15 + 22 + 30 + 42 + 56 + 77 + 101 + 134 + 174 + etc. 

etc. 

85* 



PARTITIOHE NUMEHOHUM [149-150 



34 Hoc modo tabula Me adiuncta 1 ) per solum continuum mlditiononi est 
constructa atque ratio constructionia lain oslv purHj/unia ox iuHpoctiouo, ut 
ampliori explication non egeat. Opo JiuitiH tabulao igiiur iumutUat;o lusolvitur 
hoc problema, quo quaeritur, quot van in mwtis dtttus nu merits n ( } jc* his numeris 
1, 2, 8, ... m per additionem product yossit. 

Sic si quaeratur, quot variis modis numorus 10 ox hia numoris 1, 2 et 8 
per additionem oriri possit, erit n 10 ot m JJ atque ox tabula reperitur 
modorum numerus 14, qui modi stint 



10 .1-| H-S 

8, 10 -i + i i-i 

10-1+1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2, to. .i-i-a-ha 

10 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 3, 10- 'l-ttt + .' 

10 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2, tOr .2-|.2-|.5i 



Si quaeratur, quot variis . modis numorus 25 ox his numoris 1,2,3,4,5 
per additionem produci possit, facto n 25 cifc m 5 reperiotur ex. tabula 
numerus modorum -^877, 

Si quaeratur, quot Tariis modia numonw ft) t$x hia numtris 1, 2, t\, 4, 5, 
6, 7, 8, 9, 10 per additioneai rosultoro pOHsit, poHito n 5(1 ui, ;w -10 hivonitur 
modorum numerus 62740, 

Si vel numerus propositus vel nuiuoruH parfciiuu maim* H quam in tabula, 
turn nihilo minus casuum numorun ox tabula opw famuilanuu nupra invon- 
tarum colligi poterit. Uti si quaoratur, quoL mtidm uunit^nw 110 t*x bin nu- 
meris 1, 2, 8, , , , 20 per additionom reultar pOHHit, writ, n *> IK) ot w - 20 
quaeriturque valor formulae GO* 1 "*. Kwt voro ti() (W ^ (K) 1|w |- 40 |M) , at 



porroque 60 W - 6(F + 42 attj efc OO 11 ",- ()'"" h 4a" sicque 
deinceps, Unde tandem erit 



qui numeri ex tabula collecti 'dant 791181; totque modis nuraerus 60 ex nu- 
meris -1,2,3,.. . 20 per additionem elici 



1) Vide p, 290. In editions prfnoipe haw teMn aofinullog continl qui ornnas mm 

in Comment, cvrithm. cowecti swat F. E 



151152] DE PARTITIONS NUMERORUM 277 

35. Ope hums tabulae deinde ambo problemata Celeb. NATJDEI expedite 
resolvi possunt. Ac primo quidem si quaeratur, quot variis modis datus numerus N 
in m partes inter se inaequales dispertiri possit, hoc net, uti supra [ 19] ostendi- 
mus, tot modis, quot imitates continentur in hac expressione (N~^^^) (m \ 

V 2 / 

quam tabula indicat. 

Usum igitur huius tabulae aliquot exemplis ostendamus. 

I. Quaeratur, quot variis modis numerus 25 in 5 partes inaequales disper- 
tiri pOSSit. 

Erit ergo hie N=25 et m = 5, unde ^~t^15, et responsum conti- 
nebit formula 10 (6) , quae ex tabula est 30, ita ut partitio 30 modis institui 
possit. 

II. Quaeratur, guot variis modis numerus 50 in 1 partes inaequales disper- 
tiri possit. 

Hie est JZV 50, m = 7 et 'jV 2& = 22, unde numerus partitionum 
quaesitus est 22 (7) = 522. 

III. Quaeratur, guot variis modis numerus 100 in 10 partes inaequales 
dispertiri possit. 

Cum sit #100 et m 10, erit N&!1<=4& et numerus partitio- 
num reperietur 45 (10) *=* 33401. 

IV. Quaeratur, quot diversis modis numerus 256 in 20 partes inaequales 
dispertiri possit. 

Ob tf 256 et w 20 erit N ^!)===46 et numerus partitionum 
fiet 46 (20) 96271. 

Y. Quaeratur, quot diversis modis numerus 270 in 20 partes inaeqiiales 
dispertiri possit. 

Ob JV =270 et w 20 erit N 2& = w ideoque numerus partitio- 
num quaesitus fit 60 (ao) , cuius valorem ante invenimus esse = 791131. Tot 
ergo diversis modis numerus 270 in 20 partes inaequales dispertiri potest. 

36. Simili modo ex tabula quoque alterum problema resolvetur, quo 
quaerebatur, quot variis modis numerus N in m partes aequalitate partium non 
exclusa dispertiri possit. 



278 DE PARTITIONS Is'UMERORUM [152-153 

Supra [ 27] enim ostendimus partitionum numorum (j[uaositum contineri 
in hac formula (Nm) (m \ quern valorem we tabula dopromore Moot. Quae 
solutio quo facilius intelligatur, aliquot exompla adiicianms. 

I. Quaeratur, guot variis modis numerm 25 in 5 paries sire aequales sive 
inaeguales dispertiri possit. 

Hie est 2V =25 et w5, undo N~~ m > -~* UO, et partitionum numerus 
erit 2Q (5) - 192. 

II. Quaeratur, quot variis modls mmwrm f0 in 1 parks sive acqmles sive 
inaeguales dispertiri possit, 

Ob N '50 et w7 erit JV m4t'J ot partitionum nuimirus quaesitus 
fiet 43 (7) 8946, 



III Quaeratur, guot varUs modis numerux 50 in 10 jw^ szrc actjwtc& me 
inaeguales dispertiri yosnit. 

Ob JV=50 et m-10 erit Nm 40 et partitionum numerus erit 
= 16928, 



IY. Quaeratur, quot varm modis 60 in IS pnries mm mtjimks sin 

inaequaks disp&rtiri possit, 

Cum sit 2V*60 et m^l^ ) erit JV-w--'48 ot partitionum numerus 
quaesitus erit 48 (1S) - 74287, 



T, Quaeratur, quot writs morf/5 nwtwms BO / ao ^tfrfes- K//T twjuaks sive 
inaequaks dispertiri possit. 

Erit ergo JV8Q et t *20 undo A' *- m - 'GO, ot partilionum nume- 
rus erit 60 (M) - 791131, 



37. In seriebus horizontalibuH, quan tabula oxlulmi., noi4it,u digita ost 
convenientia inter terminos initialcm Iwmm Horicrum iitmt' <.o longiun proce- 
dit, quo maior fuerit numerus w; Hie Horii* tUwiiua quinia <|ttiiidncim BUOB 
terminos initiales cum omnibus soricbim Hiujiumtibiw habct, comnnuuiB. Hinc 
inveniri potent series, quae numoro m in inflnitum aurlo nwponth^t, ({uae 
ergo continebit valores Imma formulao w , qtmo ihniolni, cjmt variiH modis 
numerus n ex omnibas prorsus numrl mtogrw JUT niiitionm produci 
possit. Haec ergo quaestio digna vidotur, quito diltgontiiw c*volvatur. Cum 
n complectatur omn&s omnino partitionw nmri pro fjuonmnuo piirtium 



153-154] DE PARTITIONS NUMERORUM 279 

numero simul sumtas, erit n^ aggregatum ex numeris partitionum in 1, 2, 
3, 4, ... usque ad n partes sive aequales sive inaequales, quia numerus n 
in plures quam n partes secari nequit. Quamobrem erit 

M = ( n l)W + (n 2) (2) + 3) (8) + (n 4) (d) + ( 5) (8) + . . + (n ri) (n \ 

in qua serie tarn primus terminus (n 1) (1) , qui denotat sectionem in unam 
partem, quam ultimus (n n) (n \ qui denotat sectionem in n partes, est uni- 
tas. Hinc igitur series numerorum n ( ~\ quae in calce tabulae exhibetur, per 
additionem terminorum ex superioribus seriebus inveniri potest. Sic erit 

6<~> - 5 (1) + 4 (3) + 3 (3) + 2< 4 > + 1< + (6 ^ = 1+3 + 3 + 2 + 1 + 1 = 11, 
qui numerus in infima tabulae serie sub numero 6 habetur. 

38. Potest autem haec operatic contrahi ope lemmatis supra [ 32] rn- 
venti n (m) = n (m ~*> + (n m) (m \ unde fit n (m) n (m -*> = (n m) (m) . 

Cum enim sit 

W H = ( n 1)W + ( 2)^ + ( n - 3)< 8 > + (n 4)^ + ( n 5)( 5) + (n - 6)< 6) + etc., 
si ubique loco n scribatur n 1 , erit 
(n l)W (n 1) w -f (n 2) (1) + (n 3) + ( 4)^ + ( 5)<*> -f ( - 6) + etc., 

ubi ob uniformitatem praefigitur terminus (n 1) (0) , cuius valor .est =0. Si 
igitur inferior series a superiori subtrahatur, ope lemmatis prodibit 

n H _ ( i)(-) 

= ( 2) (1) + (n 4) (2) + (n 6) (8) + ( 8) (4) + (w 10) (6) + ( 12) (6) + etc. 



sicque terminus quisque W H ope praecedentis (w 1) H per additionem duplo 
pauciorum terminorum quam ante invenitur. Erit ergo exempli gratia 



8 (2) + 6^ + 4 (4) + 2 + (6) 

sive 

12H 56 + 1 + 5 + 7 + 5-1-2 + 1'= 77, 

qui numerus quoque pro valore ipsius 12 (M) in tabula reperitur. 



280 DE PARTITIONS NUMEROROT [154155 

39. Simili modo haec operatic ulterius contrahi potesfc; emu onim sit 

W H _ ( w _ 1)H _ (n - 2) ( + (w - 4f + (w - Of + - K) M) + (w -~ lOf > + etc., 
si loco n ponamus n 5J, habobimus 

( tt _2)M_(n .......... .a)M 

- ( 2) (0) + ( <) (1) + ( >f * -f- ( - ..... 8 P -f" ( - 10)w + etc,, 

ubi ob nniformitatem tornihuun (w 2) w f) prawniiiinuiH, Nunc hanc 
seriem a superiore subtraliendo opc^ lommatiH 



-tw 1^ 14 ' } (w laf'+ete, 
Haec ergo series si dicatur -* /* crii 



In. serie ergo quaesita ad dwfiniojuluni t^nniutuu quwnvw '"' pniotor valo- 
rem ipsius P nosse oportot tornoB tornunoH jrai(tttt3ttt*H. llw, imuhi proco- 
dendo tandem quantitas P ovancwcofc t cjitillh^i tt'niitnuH ittuH B(^rit*i per 
solos terminos praecodentos cloliijiitr, quao t jiropmtiiH Hurionuii rwmr- 
rentium. 



40, Hanc vero seriem rovam mm\ rr,tirrint*ut t*x inun g i jii* tmi mani- 
festum, cum oriate ex evolutiono ImiuH fnwticuH 



l 



Scala ergo relationis istiiw aerial bahubiiur, i inti* tli'iujminui^r at-tu per 
multiplicationem evolvatur, Instituta uut^nn Imc inulfinJirathmi* tlnr>iinator 
sequeiiti modo expresaua invenietur: 



^ .^.} rf .{ / / / f. etc. 1 ) 

Quae ipsius potestates quabm tonetut Iflgwu, * ipwi ftirmutwmn vix dofi- 
1) Tide not&m p, 101, p, g t 



155-156] DE PARTITIONS NUMERORUM 



281 



niri posse videtur; interim tamen ex inspectione mox patet, alternatim binos 
terminos esse affirmatives et negatives. Neque minus exponentes ipsius x 
certam legem tenere observantur, unde eius terminus generalis colligitur esse 
af (8w1):3 . Scilicet nullae aliae potestates occurrunt, nisi quarum exponentes 
continents in hac formula *! f e t ita quidem, ut potestates, quae ex nu- 
meris imparibus pro n assumtis oriuntur, habeant signum , quae vero ex 
numeris paribus formantur, signum -{-. 

41. Haec igitur forma nobis suppeditat scalam relationis seriei quaesitae, 
qua constat fore 



(-) - ( n 1)H -l- ( n - 2)M - ( n - 5)<~> - (n - 7)<~> + (* _ i2)<~> + ( n - 15)H 
(n - 22)<~> - (n - 26)<~> -f (n - 35)<~> + (n - 40)H - ( n - 5iy~> - ( n - 57)<"> -f etc. 



Hanc autem legem progressionis locum habere tentanti facile patebit. Sit 
enim n = 30; reperietur fore 

30 H = 29 H + 28 (N) 25 M 23 ( ^ -f 18 (co) + 15 ( ~> 8 M 4^; 
est enim Ms numeris ex tabula desumtis 

5604 = 4565 + 3718 ~~ 1958 1255 + 385 + 176 22 5. 
Atque hoc modo ista series, quousque libuerit, continuari potest. 

42. Quoniam vero series pro valore w*=20 iam est formata, ex ea ali- 
quanto facilius series quaesita pro valore m <=><*> erui poterit. Cum enim 
series n w formetur ex evolutione hums fractionis 

_ l ____ ___ 

.^-^^-^^ ' 

series vero n ( ^ ex evolutione huius fractionis 



~_ - _ 
_._ ^ _ ^._^_^__ i .. ._._... .___ t 

manifestum est, si haec series multiplicetur per 

(1 _ aj) (i _ ^ (i _ ^8) (1 _. ^ (1 __ ^ etc _ 

LKONHAKDI EOI.EKI Opei-a omnia Is Coxnm.entati.ones arithmetical 36 



DB PARTITIONS NUMRROWTM j 15G-157 



sen per 

1 - ^ - v* - - a" - *" - w - a j7 - 

4. a* 4. a<* 4. 2UJ 48 + 2#" -h 3a? 47 + ##" + 4,c 4> + 4^ f etc. 

_ x * _ of _ 2a jM SaJ" 40 70 5*" 7 M 8a: M 10* M etc. 

+ ^90 + a* + gaj 91 + Sib" + 50?" + * + ^ JS 4- 1 1 ^' l(1 -f- WjP + otc. 

__ gjii* _ ajtw _ 2^ 117 - 80 m 5a; ti8 7a; m tOa jaj - ........ !;i.f l ........... lHa: U3 etc, 

etc., 

turn prodire debere priorem, Hinc concluditur for 

w _ w _ ( tt _ 21 )H _ ( W , w j 1 ^ - . { w ' 23 / ' w 24 t l ' ' (k. 
4, ( W _ 43)H 4. ( n ^. 44)M 4. 2i - 4fi) M -}- 2t 4U' ! -f- ;if 47i<-> f- otc. 
_(^___ 66) M (n 67} w 2i'W' - Hi (0 - -3w mh'-^- 4iw- 7()i lH< - ate, 
+ (n 90) M H-( 91) M + 2//- fi2/- !: Mf' } I fnw Wi 1 " 1 h nk, 
(n 116) w 2(n IH/'" 1 ( -tI8'- M| '-. fHtr--UJh M - etc. 



quarum serierum coefficientos procodunfc Hotuuuhun Morion Muperioros pro par- 
titione numerorum in 2, *J, 4, 5, (> ate. partis I 



8, Denotet \n ^l) H Hinnmam omniutu 
est 

14,14,24. 3 4. 5 4. 7 4, u -J' tf | *w 4- M f - oto. 



usque ad terminum (n 21) H incltwtvo; Himiliqtw niodo wi gonoraliter 
]? H summa omnium terminoruin eiusdwn H^ritn uwjuc ud Ifi'mimim p ( * } in- 
clusive; quae Sttmmae cum Hucot?ivi faciln forinwittir, trif. 



otc. 



157-158] . DE PARTITIONS NUMERORUM 



<n 



Hincque adeo erit 

lH ^ (20) +/0 21) ( ~ } /O ~ 43) H -/(w 45) ( ~> C(n 47) (co) etc. 
4/0 66)<~> 4/0 - 68)H 4/0 ~ 69)-> 4 /O ~ 70)^ 4 etc. 
-/O - 90)^ -/O - 92)H - TO - 93)<~> - 2 TO - 94)^ - etc. 

t^ fy 



Huius formulae ope, nisi n .sit numerus valde magnus, ex serie pro parti- 
tione in 20 partes inserviente ipsa series n ( ^ facile constituitur hocque modo 
ea in tabula constructa exhibetur, cuni ubique excessus terminorum W H supra 
terminos w (20) sint assignati. 

44 Hac igitur serie constructa proposito quocunque numero definiri po- 
terit, quot omnino modis is in partes dispertiri possit. Sic patet numerum 
10 omnino 42 modis ex additione resultare posse; atque numerus 59 tot 
modis, quot indicat iste numerus 831820, per additionem produci poterit. 
Sin autem numeri maiores proponantur, turn tabula hie exhibita ulterius 
continuari vel pro quovis casu numerus desideratus per praecepta Me tra- 
dita investigari debet. In his autem partitionibus aequalitas partium non 
excluditur. Unde novum oritur problema, quo pro quovis numero proposito 
quaeritur omnium partitionwn numerus in partes inter se inaequales, quod pro- 
blema resolvetur ope huius expressionis 

(1 + a) (1 + x*} (1 -f ic 8 ) (1 + ^) (1 + ^ (1 + ^ etc. 

His enim factoribus in se invicem multiplicatis orietur series, in qua quili- 
bet coefficiens ostendet, quot variis modis exponens ipsius x in partes inter 
se inaequales dispertiri possit. 

45. Quodsi autem hoc productum actu evolvatur, reperietnr haec series 

1 -f x + x s -f- 2a? 8 4- 2^ + 3aj B + 4a? 6 + 5a 7 + Qx* + M + 10x lQ + 

4 27a 15 4 $%x u 4 ,38# 17 +.46aj 18 4 54^ 19 4 
4 etc.; 



quae cum sit productum ex factoribus infinitis tarn simplicem legem servan- 
tibus, omni attentione digna videtur. Ac primo quidem manifestum est 

36* 



284 BE PARTITIONS NUMERORUM [158-159 

coefficientes lioruni torminorum plormnqne esse pares et, cos solum esse im~ 
pares, qui sint cum, oiusmodi ipnius sr- potostatibus coniuncti, quarum expo- 
nentes in hac forma * nn & n contineantur; cuius pluumomeni oadem oat ratio 
atque illius, quod circa exponentos oiusdem format) * "'^ in evolutione pro- 
duct! (1 0) (1 x*) (I 8 )(1 a?*) etc. obsorvavimua, Cum autorn Bit 



apparet seriem ante inventam oxprimi hac friictloiia 



unde ea ad modum serierum recurrentium formari potorit. 

46, Facillime autem shio duliio haon HtM*if*H f'-oimtruittir ox ipnii, oiu i- 
dole, qua cuiuslibet termini oonffMerm Iiulifan* dobofc, quot vuriiH modw ox- 
ponens ipsius a in partes inao([ualoH disportm poaHiti, Hii A f nooflicioiiH po- 
testatis x n in ista serie eritque 

N - (n - 1) (1) + (n - 8) (s) + (n - 6) ( 4" (n - 10) w + (n - 15)W + fn - 21 )> + etc.; 



nam (w 1) (1; 1 indicat numorum unico moclo <*x una parto nonstaro, 
(w 3) (2) ostendit, quot mo(li numwiw n m duns iartt*H iiuwnjHiiloH, (w-6) w 
ostendit, qnot modis numoriw n in trtw ptirt,tH intuuiuulH difliribui 
possit, et ita porro; undo et haac Hcvion opo kbnhu^ dtita\ tjuctuHquo libuorit, 
continuari potest, Ceterum hie nt4ifcu diguum <*Mt, Hi nuim*ri pnriitiouum in 
partes numero pares negative capiantur, harm uxprflnmcwwn rtwiillanttwu 



semper esse =0, nisi faerit n uumenw ht Imc ftmnn (H*tnnkw *"*,* * Bin 
autem n in bac forma contmeatur, tuin illltw i*xj>rwMionw valorum rani vol 
+ 1 vel 1, prout fuerit xramerus vol Impar vl par.*) 



1) Id quod perapioftur, si aaoundum pamgraplmm 4(i 

-(l-aXl- 
oonsideratur, E, B, 



160-161] _ MJE>ABTIT10NE NUMEROKtJM 285 

47. Quemadmodum hactenus omnes numeros integros ad partes consti- 
tuendas admisimus, ita partium conditione limitanda numerus quaestionum in 
infinitum augeri posset; cui negotio, cum metliodus certa ad huiusmodi quae- 
stiones resolvendas sit tradita, non diutius immorabimur. Sufficiat ex praece- 
dente insignem proprietatem partitionis in partes impares annotasse. Cum sit 

(1 + 0)(1 + ic 2 )(l + <)(1 + 0*) etc. = -. ------------ ^ ----- -r, T _________ * ________ 

v. -r A T A -T AT ; (l-^)(l-a; 3 )(l-^)(l-^)(i_a;9)etc. 7 

quae formula ex aequatione in 45 exhibita sponte fluit, liinc sequitur quern- 
vis numerum totidem modis ex numeris solis imparibus per additioneni pro- 
duci posse, quot modis idem numerus omnino in partes inter se inaequales 
dispertiri possit. Sic cum numerus 10 decem modis in partes inaequales 
dispertiri possit, qui modi sunt 

10 = 10, 10 1 + 2 + 7, 

10 = 1 + 9, 10 = 1 + 3 + 6, 

10 = 2 + 8, 10 1 + 4 + 5, 

10 = 3 + 7, 10 2 + 3 + 5, 

10 = 4 + 6, 10 = 1 + 2 + 3 + 4, 

idem numerus 10 quoque decem modis ex solis numeris imparibus per addi- 
tioneni produci potest hoc modo 



, 10 = 1 + 3 + 3 + 3, 

10 = 

10 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 5, 10 = 1 + 1 + 3 + 5, 

10 1 + 1 + 1 + 7, 10 = 3 + 7, 

9, 10 = 5 



48. Eelictis autem Ms speculationibus progredior ad investigandum, quo- 
inodo quisque numerus ex terminis progressions geometricae 1, 2, 4, 8, 16, 
32 etc. per additionem formari possit. 1 ) Ac primo quidem si istae partes 



1) Vide notas 1-3 p. 258, F. R. 



BE PARTITIONS) NUMERORUM [1(51-162 



inter se debeant esse omnes inaequalea, qnaestio rosolvetur pur evolutiouom 
liuius expressionis 

8 - (1 + )(! + a? 1 ) (1 + a?*) (I . + a? H ) (1 + lfi ) (1 + S M ) otc. 

MiTltiplicatione enim actu instituta cuiusquo tormini cooflidonH indieabit,, quofc 
modis exponens potestatis ipsiua cr adhmchw ox mmum progrtwuumis gto- 
metricae 1, 2, 4, 8, 16 otc. por addiMuiit'in prodtu'i poHsil. Cum igitur qnivis 
numerus miico modo sic niaolvi POHHO aJwdrvitiius nil, (>Hi(niltnduiu OH!, in Imc 
serie omnes ipsius x potoHtatea occumrt^ oianiuimittt* tnuitlrin <HHH coofflci- 
entem unitatem. 



49. Ut hoc demonstremua, ponamus 



atque ad valorea coeffieientium , /^, ;% f5 v it<*. oru<nth>H potuunuM sx loco 
sitque valor pro a hoc modo rwulttmB / ^; crit 



ideoque fiet s (1 + )^- Qua rolationo in Hi*ri(hu,s rtmwtlraita oh 

/^: 4 f- yjf * f ej 1 j" } - f ,r' rt - f , H,R. 



habebitur 

(1 + )<- 1 + + *+'+ P&+0J + y^ + yd + ila j + l^: s f ate,; 
quae cum aequalis ease clebeat nmd a, cuiinpiiraiicj fwiliriwitium dabit 



y mm tt f ^ MM ^/ f | ,,r, () ^ ^ ., ^ 

etc., 
unde manifestum eat singnlos caeffldeaten OHRO unitati liequnltw ai* propii*raa 



* - a? 
quod idem per se perapictram st cum Hit 



162-163] DE PABTITIONE NUMEBOBtJM 287 

50. Sin autem quaeratur, quot variis modis qnisque numerus ex terminis 
progressionis geometricae 1, 2, 4, 8, 16 etc. partium aequalitate non amplius 
sublata per additionem produci queat, solutio petenda erit ex evolutione huius 
fractionis 

l 






-or 52 etc. ' 



hac enim in serie evoluta coefficiens cuiusque termini ostendet, quot variis 
modis exponens potestatis ipsius x adiunctae ex terminis progressionis geo- 
metricae propositae per additionem resultare possit. Ponamus xx loco x et 
valor ipsius s abeat in t; erit 

t = ___ (1 &) s; 

sit igitur 

s = l -|- ax 4- (3at+ yx*+ 8at+ Ba? 8 + Joj 8 -f ^ + 0x 8 + ix + etc.; 
erit 

(1 x)s = 1 + ax + /?ic 2 + j/o; 8 H- (?#*+ ea; 5 + ^ G + ??a; 7 + 0^ + ^ 9 + etc. 
1 a {3 y (J s - 77 etc. 



unde ex aequalitate terminorum homogeneorum obtinebitur 

aI =1, ?;= =6, V /LI =20, 



2, ^ = ^ 10, o 'I =26, 

4, ;'= t + ec =14, 7r=o + <9 = 36, 

4, A = % = 14, (> = n =36, 

6 ? ^crsa^-j-^ss: 20, (7 ^ + t == 46 

etc. 



51. Notatu digna est haec series, cum quod bini termini sint ubique 
aequales, turn quod ea facillime, quousque libuerit, continuetur. Ulterius 
autem continuata ita se habebit; 



" 



J(ft/ u J ;j;iK,r*4 ;J;|H;^" 



Ei hac wgu 0rio |>at*i * u Ni\nia et 

sex media ex tomtiniH jrngrt^i*ni^ ^'mrtri":n tluiU JT uil*liiiiu M m ,, to . 
duci posst. (Jotortuu attiiliati turilf puMn l*v'iu IHUU nniynjiMiniM null 
modo per ttrniiuuni 



cams scala rolatujnw in iiifttnttnu fntrmtitiir, lui.jj ; m t*iu h*r 
inflnitum 

(i /ji'i j*,*i .i 4 . t j- i ,i r j j"-, (ifl * jt 

si evolvatur, umlaut r*ltiti<itj<, M ^imm in\rwiii.him j.iuitur 
ductuiu ^ qiicul alt*at In i/ ,HI W< / mttuhir j*, 



seu f *,(! ,/^ stttlimtr 



|<r f 



wide per coaoi|atlciM forimiwntm *twiiitiiu t.l*tim>fur 



*i~ 



, 



JT-- 1 



164 J t>E PARTITIONS HUMEEOEUM 



289 



52. Coefficients ergo seriei p, quae ex evolutione hums product! 
(1 _ a) (1 - x 2 ) (1 - a? 4 ) (1 _ a*) (1 _ ^ 6 ) (1 _ a? 88 ) etc. 

nascitur, omnes sunt vel +1 vel 1 neque tamen legem obtinent solito 
more assignabilem; erit enim 



J 8 " + a; 80 a; 31 a; 32 + a; + a^ a? 85 + x x x + x -f 



x is a? 14 



a; 41 



ubi notandum est quamlibet potestatem exponentis imparis o? 3w+1 contrarium 
habere signum ei, quod habet potestas x* n , huiusque signuna peipetuo con- 
venire cum signo potestatis of; unde cuiusvis potestatis signum facile assig- 
nabitur, Uti si quaeratur signum potestatis huius x lu \ erit respectu ad sola 
signa habito 



a? 818 = a; 109 = 



a; 1 ; 



signum ergo potestatis x im contrarium est signo potestatis a? 1 ; quod cum 
sit , erit id +. 1 ) 

1) Seoundum EULBBI consuetudines etiam alibi notatas (of. ex. gr. notara p. 3 libri, qui 
inscribitur Vdllstllndige Avildtung awe Algebra, LMONHARDI Eujuuti Opera omnia, series I vol. 1) ex 
hoc exemplo 1745 concludere licet ETJLERUM has investigationes iam a. 1745 .conscripsisse. .1. E. 



LKONHAEDI EOT.BRI Opera omnia la Commentationes arithmeticae 37 



290 



DE PARTITIONS MlfMKitClWI&f 



[185 





Tabula indicans, quot. varan molis qtulil*t wtmwus n t\ wwwris 


1, 2, 8, 4, , . . m per additiowwi proilud jutmt , jttm t'xhttn*iw valorem 


formuhw ti' m \ 




*lcirtif tiiMttri n 


m 





1 


2 


J' 


4 j r i n ; i ; H ji jo n j ti> t;t M in 


1 


1 


l 


l 


1 ; l i ' l i . i i i i ' i i.i. / 









"i 


i 


j < * * 6 - & i 13 R ' 7 j " 7 


2 


1 


l 


2 


2 


8 ' 8 1 4 4 1* a ti n ; 7 7 H l I 

* * 1 I O 










1 


i a | s , $ i n tu u u ti IB 


3 


l 


l 


2 


3 


4 ' * ! ? H lt li! i4 IH HI 'J! 84* H7 

i S *^ t * 1 










M M a .' 5 y u u i mtf st 


4 


1 


1 


2 


8 i 8 " IS ; 9 H i* * w U3 a* 31 :i 47 1 f,4 


6 


1 


1 


2 


3 


M t y ft - t ; t* HI m rg : an 
7 ! iu 13 IK , an ' at? 37 ri v/ 7n* HI 


, 




"*" ~ 






i * * M r i u ft 4, 


6 


1 


1 


J 2 


JL 


w i * * s ' 4 * T u u, j m 

7 , it ( 14 ao an 3ft ^ 4i AH ?i ; ml a 


7 


1 


1 


2 


3 


r 9 ,. ,,' .I ' * " 6 , ' u lft ^ 
f} 7 j n ia at an UK ; IP & H a tuftj 131 


8 


1 


1 


, S 


8 


6 7 


n - is a* ', <** * i ^ a * ft J $ ! ; t6 


9 


l 


l 


2 


8 


ft 7 


| ' ,' I 1*3,8 & T r I i 
U 15 ; at! ' 30 41 ; &4 ' 73 Bl i ii*i lf,7 


_. 


1 


l 


2 


" 
3 


B 7 


^ * * ^ ' * ' ' ** i* '* 1 i o t* | 1 <l f 

J i i i , t jt ' ft 7 

|| 1 F* t*l 1 tf 1 ** ! f * r< ,, . , ,. , , 


i* io 44 +JII a i m 7ft j< y t yn J||4 

1 ] ^ 


i! 


1 


1 


2 


a 


5 7 


! i ' t I f ' a B 








"""jf" 






i' ' i ' . 
















_L 


1 


1 


2 


8 


5 7 


1 \ ', ^ J 1 ' 
11 j 18 , &a j 30 la [ &5 | T? ^tlM* i33 172 


18 


1 


1 


A 


, 8 


JLl 7 


1 ? i ' ' - ' i i !i 

U i 16 as ? 3U 42 : f, - 77 itiH '184 174 


14 


1 


1 


2 


8 


B 7 

i 


a is aa 30 i 4a / i 77 .101 ;tan na 




16 


1 


l 


2 


. 


I 


, , ) i ' M 
H IS j as 311 4H 6>77.tO! 136 17 






16 


l 


1 


2 


3 


ff 7 


! .! <*j 

11 d K* ; 2S ' 30 ia MJ 77 tni t35 170 


17 


1 


1 


3 


3 


5 _7 


it 1 *r ' n.j , t , '! ,, ! , ', 


18 


1 


1 


2 


3 


_6 ? 


H ! 15 j *J2 311 ] 42 S j ?? ' IMI ' UI5 ! 170 


~y . 


1 


1 


2 


J, 


5 ! 7 


n j is ! aa ' aw ] ia w 77 'toi *, 135! 170 


20 


1 


1 


A, 


8 


5 ^ 7 


n j u ;1 aa 30 ; I 4^ j j 77 Inn 1 13& ! ' 170 


CO 

"" - 


1 

'" jiin>ii 


l 


2 


8 1 5 ! 7 1 

* 1 """ 11 "i ., n,.. 


11 ' l& ' aa i 30 i 43 i 5| ; 77 ' 101 '13**' 170 



165166] 



DE PAETITIONE 



m 


16 


17 


18 


19 


20 


21 


99 

&& 


23 


24 


25 


26 


l 


1 


1 


1 


1 


1 


1 


1 


1 


1 


1 


1 


2 . 


8 
9 


8 
9 


9 
10 


9 
10 


10 

11 


10 

11 


11 
12 


11 

12 


12 
13 


12 
13 


13 
14 


3 


31 

30 


24 
33 


27 
37 


30 
40 


33 
44 


37 
48 


40 
52 


44 
56 


48 
61 


52 
65 


56 
70 


4 


34 
64 


39 

72 


47 
84 


54 
94 


64 
108 


72 
120 


84 
136 


94 
150 


108 
169 


120 
185 


136 
206 


5 


37 

101 


47 
119 


67 
141 


70 
164 


84 
192 


101 

221 


119 
255 


141 
291 


164 
333 


192 
377 


221 
427 


6 


36 
136 


44 
163 


58 
199- 


71 
235 


90 

282 


110 
331 


136 
391 


163 

454 


199 
532 


235 
612 


282 
709 


7 


28 
164 


38 
201 


49 
248 


66 
300 


82 
364 


106 
436 


131 

522 


164 
618 


201 
733 


248 
860 


300 
1009 


8 


22 

186 


29 
230 


40 

288 


52 
352 


70 
434 


89 
525 


116 
638 


146 
764 


186 
919 


230 
1090 


288 
1297 


9 


15 
201 


22 
252 


80 
318 


41 
393 


54 

488 


73 
598 


94 
732 


123 

887 


167 
1076 


201 
1291 


252 
1549 


10 


11 
212 


16 
267 


22 
340 


30 
423 


42 
530 


55 
653 


76 
807 


97 
984 


128 
1204 


164 
1455 


212 
1761 


11 


7 

219 


11 

278 


16 

355 


22 
445 


30 
560 


42 
695 


56 
863 


76 
1060 


99 
1303 


131 
1586 


169 
1930 


12 


6 
224 


7 
285 


11 
366 


15 
460 


22 

582 


80 

725 


42 
905 


66 
1116 


77 

1380 


100 
1686 


133 
2063 


13 


3 
227 


6 
290 


7 
373 


11 
471 


15 
597 


22 

747 


30 
935 


42 
1158 


66 

1436 


77 
1763 


101 
2164 


14 


2 

229 


3 

293 


6 
378 


7 
478 


11 
608 


15 

762 


22 
957 


80 
1188 


42 
1478 


56 
1819 


77 
2241 


15 


1 

230 


2 
296" 


3 

381 


6 
488 


7 
615 


11 
773 


16 

972 


22 
1210 


80 
1508 


42 

1861 


56 
2297 


16 


1 
231 


1 
296 


2 
383 


8 

486 


5 
620 


7 
780 


11 
983 


15 
1225. 


22 
1530 


80 
1891 


42 
2339 


17 


231 


1 
297 


1 

384 


2 
488 


3 

623 


5 
785 


7 
990 


11 
1236 


15 
1545 


22 
1913 


80 
2369 


18 


231 


297 


1 
385 


1 

489 


2 

625 


3 

788 


6 
995 


7 
1243 


11 
1556 


16 
1928 


22 
2391 


19 


231 


297 


386 


1 
490 


1 
626 


2 

790 


3 
998 


5 
1248 


7 
1563 


11 
1939 


15 
2406 


20 


231 


297 


385 


490 


1 

627 


1 
791 


2 
1000 


3 

1251 


6 
1568 


7 
1946 


11 
2417 


cv> 


231 


297 


385 


490 


627 


1 
792 


2 
1002 


4 
1255 


7 

1575 


12 
1958 


19 
2436 



37* 



292 



BE 



NtllliltOlltlM 



U08-1G7 



m 


27 


28 


29 


ao 


j .11 : - M -14 : .15 : .*, 


,17 


1 


1 


l 


t 


i 


! i : i i : i- i, , 


1 




18 


14 


14 


ir 


i l G ' I 10 U\ 17. i M 


18 


2 


14 


15 


15 


i 16 


HI ' n i; IH ' i8 i 


19 




61 


65 


70 


: 76 


HO Kb Wl fl toy i( tH 


114 


3 


75 


80 


85 


91 


! 98 j 102 HH 114 lad , 107 














** * xw 






150 


169 


185 


SOU 


: asft ; atw ;' itpy nut OM - 


878 


4 


225 


249 


270 


: 297 


821 351 3 V'H 411 441 ' 47 ' 


511 




255 


281 


388 


877 


i 487 ; 4HCJ , J 4u flt!t ! tJt-i ?4K - 


K81 


_JL 


480 


540 


G08 


a 74 


74H , nat tun ton iu;i 13^-, 


1342 




881 


801 


464 


6 US! 


; BIS i 7U >U U.H1 n>6 $'4i5 


I860 


6 


811 


981 


1057 


liilHi 












afc V M 1 


Jki*M V f 11 




2702 




864 


480 


62 8 


01H 


Taa : Mtit) itMiy tn/* iun? H*?y 




7 


1175 


1867 


1579 


1824 


{2003 U4WJ 2i3M 312i 353U 4U1 ' 


452(1 




858 


484 


f85 


088 


704 : UI9 It 18WV UiJ* tMOl 


11104 


8 


1527 


1801 


2104 


2462 


1 


fJtUK) 




818 


898 


4a 


flllM 


73tt ? ttt** ia! ifilH tHift- 


"J184 


9 


1845 


2194 


2592 


8000 


, * ** * * T- f ** w 4f^O lylUftif iWMf 


HH24 




267 


840 


498 


58U 


668 Hilt VH4 tSl4 141*1* IVOt- 


SSItS 


10 


2112 


2684 


8015 


8590 


4242 i 5013 6HhH M12 HdV IMIH' 


1 01130 




219 


278 


Sflfi 


44fi 


fiOO ' 8Sft HttS ilNHl t liftli , IftHfl 


1980 


11 


2881 


2812 


8870 


4085 


4802 UTiJK t'/&i 7li't2 Ki78 11(K)4 


i*J06 




172 


884 


iJ88 


sue 


450 ftna ?-J& ttuft i ji*i IHW' 




12 


2508 


8086 


8656 


4401 


5282 fI2i) 747 HH77 lc4M 12Hi | 


14652 


18 


184 
2687 


'm 

8210 


827 
8882 


390 
4091 


Its ' 47i J.yy 74? u;$* j U&H' 
B01J& ' 6781 H073 JH24 11424 t3* f 42 


1488 

16988 


14 


101 
2788 


186 
8345 


176 
4057 


8*9 

4920 


6m ,7m w? iimy lai'Hr't^"; 


118H 
17171) 




77 


101 


186 


170 


ISO fl& SMt 4H8- t5m ' 773: 




15 


2815 


8446 


4192 


5000 


(U5K 7494 Ha lu?lfr laKiit 15272! 


18J4H 


16 


66 
2871 


77 
8528 


101 

4298 


136 

6281 


170 sat si ana 4 S t>' 
0884 706I 22H llnH 13287 1&H02 


7BO 




42 


BO 


77 


101 


lUfl ' tlfi ' til aa" f iM4 




Hmr ^ rmanmfUawMt ^^, 


2918 


8579 


4870 


6838 


B460 ' 7841 ' tlfiH !illU! ! i;nra itS3H0 


I'lWl 


-JL. 


80 
2948 


'['2 

8621 


56 

4426 


77 
5409 


6670 ' 707U ' tM*35 11626 KJfiHtW 16765 


481 
20040 


19 


22 
2965 


80 
8661 


(2 

4488 


A a 

5405 


77 | 10 1 i $1?, nil 81 t| : 9V7 
0647 ! HO? 7 j if HO llKU3'f4l9<t 1V062 ' 


SSfi 


20 


16 
2980 


22 
8678 


80 
4498 


4',! 

^5607 


6 j 7T 101 ' ma n*^ am 

H i Cl*l fi 1 ^ R i ^114 T I n 1 1 *i ^1 T 1 A ^i *^ ^ f T*jCi*4 * 


S*i^*l> 




WIRE, 










;0i*2 




80 


46 


07 


^ ' fl"? ] 


|y , 1Q i ** 




CV> 


8010 

i 


8718 


4566 


5604 


o***s | rt*it^ j * III f,l i 1*4111 , I -iPl^iJ If if i'/ J 


11687 



167168] 



DE PARTITIONE NtJMERORUM 



m 


38 


QQ 
Ot/ 


40 


41 


42 


43 


44 


45 


46 


47 


48 


I 


1 


1 


1 


1 


1 


1 


1 


1 


1 


1 


1 


2 


19 
20 


19 
20 


20 
21 


20 
21 


21 

22 


21 
22 


22 
23 


22 
23 


23 
24 


23 

24 


24 
25 


3 


120 
140 


127 
147 


133 
154 


140 
161 


147 
169 


154 
176 


161 

184 


.169 
192 


176 
200 


184 
208 


192 
217 


4 


411 
551 


441 
588 


478 
632 


511 
672 


551 
720 


588 
764 


632 
816 


672 
864 


720 
920 


764 
972 


816 
1033 


5 


918 
1469 


1014 
1602 


1116 
1747 


1226 
1898 


1342 
2062 


1469 
2233 


1602 
2418 


1747 
2611 


1898 
2818 


2062 
3034 


2233 
3266 


6 


1540 
3009 


1729 
3331 


1945 
3692 


2172 
4070 


2482 
4494 


2702 
4935 


3009 
5427 


3831 

5942 


3692 
6510 


4070 
7104 


4494 
7760 


7 


2093 
5102 


2400 
5731 


2738 
6430 


3120 
7190 


3639 
8033 


4011 
8946 


4526 
9953 


6102 
11044 


5731 
12241 


6430 
13534 


7190 
14950 


8 


2462 
7564 


2857 
8588 


3819 
9749 


3828 
11018 


4417 
12450 


5066 
14012 


5812 
15765 


6630 
17674 


7664 
19805 


8588 
22122 


9749 
24699 


9 


2692 
10156 


8060 
11648 


3689 
13338 


4206 
15224 


4904 
17354 


5708 
19720 


6616 
22380 


7657 
25331 


8824 
28629 


10156 
32278 


11648 
36347 


10 


2634 
12690 


3016 
14663 


3690 
16928 


4242 
19466 


6018 
22367 


6888 
25608 


6912 
29292 


8070 
33401 


9418 
38047 


10986 
43214 


12690 
49037 


11 


2331 
15021 


2812 
17475 


3370 
20298 


4035 
23501 


4802 
27169 


6708 
31316 


6761 
36043 


7972 
41373 


9373 
47420 


11004 
54218 


12866 
61903 


12 


2068 
17084 


2603 
19978 


3086 
23334 


365 
27156 


4401 
31570 


5262 

36578 


6290 
42333 


747 
48849 


887 
56297 


1048 
64707 


12384 

74287 


13 


176 
18847 


2164 
22142 


263 
25971 


321 
30366 


888 
35452 


4691 

41269 


5635 
47968 


676 
55610 


807 
64370 


962 
74331 


11424 
85711 


14 


147 
2032, 


181 
23961 


224 
28212 


278 
33104 


334 

3879 


4057 
45326 


4920 
52888 


692 

61538 


718 
71509 


856 
8288 


10232 
95943 


15 


121 
21536 


160 
25469 


186 
3007 


229 

3540 


281 
41612 


3446 

48772 


4192 
57080 


609 
6663 


616 
7766 


748 
9031 


8932 
104875 


16' 


98 
2251 


122 
26694 


163 
3160 


189 
3729 


238 
4395 


2871 

51643 


852S 
60603 


429 
7092 


523 

8289 


633 
9665 


7666 
112540 


17 


78 
2330 


99 
2768 


123 
3283 


154 
3883 


191 
4586 


236 

54012 


2918 
63516 


367 
7450 


437 
8726 


633 
10198 


6469 
119009 


18 


62 
2392 


78 
2847 


99 
3383 


124 
4008 


156 
4742 


1926 
5594C 


2391 
65907 


294 

7744 


362 
9088 


442 
10640 


6409 
124418 


19 


49 
2441 


62 
2909 


79 
3462 


99 
4107 


124 
4866 


15 6f 
5750? 


198 
67846 


240 
7985 


296 
9385 


365 

11005 


4468 
128886 


20 


38 
2480 


49 
2958 


62 
3525 


79 
4186 


100 
4966 


125] 

58754 


156? 
6941^1 


194 
8180 


241 
9627 


298 
11303 


3673 
132559 


CVD 


121 
2601 


159 
3118 


208 
3733 


271 

4458 


360 
5317 


450' 
6326] 


676] 
7517 


733 
8913 


928 
10555 


1171 
12475 


14714 
147273 



294 



DE PARTITIONS NUMKRORHM 



[168-169 



m 



12 
18 
14 



49 



f)0 



51 



58 



5J) 



2 



20 
^225 

86 

1089 
2418 
3507 

4986 
8442 
8083 
16475 
11018 

8 I' ?I 493 

1888 

9 I' I 083 

1466 
5549 
1502 
7051 



14562 

8506 

1864 

_ 98609 118287 129888 

1218 



20 

28 

92 

115- 

2611 

376f 

542 

9192 

8946 

18138 

12460 
80588 
16224 
45812 
16928 
62740 
17476 
80215 



26 
81 
243 

971 
1215 

2818 
4083 

6942 
9976 



19928 
14012 
38940 
17864 
51294 
194(56 
70760 
20298 



l 

26 

27 

220 
252 

1088 
12B5 
8084 
4819 
6610 

10829 

11044 
21878 
15706 



i 

SO 

27 

984 



10H8, 



l 

S7 
28 

243 



r 

87 

a 8 



r 

29 



t, 



2H 
39 ' 



I 

aa 

SO 30 

ami 2 90 

310 830 

1496 1496 

1060 1735 1815 

8366J 8507 '7flf, 4033 481U 4QtO 4988 



38(' a90 300' 



J154 11 IR 



401(5 
7104 



fitt08 



77BO H44S 



76 



0747 
11710 



H72o ( taena 13702 HHOO iMM4 t?igo 18407 



19941 



18684 1406*1 



I H I 8 



918T8 



10780 
57358 

2S807 
79725 



MlSlO 140587 162381 



148703 



939(51 20320 IWOSS 31275 4082 37108 40340 

17874J 10HOA SS2 24W '274118 AO&HH 8M40 

4l36j 40081 50774 r,fii)74 iii7fi fi7flfl 74lao 

998flO ( ' 96881 8H83!> 3397H IJ8S47, 40B81 4fiJg 

04015; 7lfi*J 79403 88353 7!32 108527 130092 

250QH| S9S9S 8401 fJHCH? 48S14 4fl87 gfi4 84 
89fl38 ) 10005.II1380413ttaJHU4U3C157ft64 175680 

87189 81816 86048 4187,1 4?4a f4aiM ftj0 Q8 

3374 89 

fi4707 

aoam 

SOSflfl ft|8j 4iaiifi 47fiH' ftfifijtt H4370 

0*itintf j*iut i* *, A *. 

MawUti 02O877 25 1 274 28687332*1089 "IGRfiBfi 

8961 SHSU, S81H4 87t7 4M3fl' 6 A {&88 
""""223! 183689HI 200071 3:mfi0W6577' 428104 
S1B88 96469 I0a **,* j<**^ **.-^' u o { 

.349.'485184 
6164 



|J, B57395 

$9688 

086983 

144HI7 
831830 




DE NUMERIS QUI SUNT AGGREGATA 
DUORUM QUADRATORUM 1 ) 

Commentatio 228 indicis ENESTROEMIANI 

Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 4 (1752/3), 1758, p. 3 40 

Summarium ibidem p. 5 8 

SUMMARIUM 

Non frustra est, quod veteres Mathematici, uti ex scriptis BUCLIDIS ac DIOPHANTI 
liquet, summo studio numerorum indolem scrutati proprietatibus eorum hand mediocritef 
delectati sunt. Praeterito etiam saeculo primi ordinis Greometrae plurimum studii in ex- 
ploranda numerorum natura consuniserinit, inter quos FERMATIUS Senator Tolosanus ita 
eminuit, ut eius sagacitatem etiamnunc nemo sit assecutus. Mos tune invaluerat veritates, 
quas quisque investigasset, nude potius ad ceterorum ingenia exercenda proponere, quam 
demonstrationes docendi causa indicare; quo factum est, ut sublimes FERMATII meditationes 
in hoc genere adhuc hodie magis miremur quam cognoscamus, propterea quod post eius 
obitum scripta, quibus earum demonstrationes continebantur ; temporis iniuria maximo huius 
scientiae damno interierunt. 

Praestantissimus itaque Auctor huius dissertationis haud inutiliter operam suam collo- 
care censendus est, dum huiusmodi deperditas demonstrationes FERMATIANAS restaurare 
conatur, etiamsi nostro quidem aevo hoc studium, quod in numerorum natura investiganda 
consranitur, plane derelictum atque adeo a plerisque spretum videatur. Quanquam enim 
hoc quiclem tempore Mathematici in cultura Analyseos sublirnioris et partibus Matheseos 
applicatae, quae veteribus .inaccessae fuerunt, potissimum elaborare solent, nulla tainen 
veritas prorsus sterilis et omni usu destituta videtur. Quin potius numerorum proprietates 
plerumque multo niaiorem sagacitatem et ingenii vim postulant, quod vel ex eo colligere 

1) Vide ad hanc Commentationem epistolam ab EULBRO d. 6. Maii 1747 ad CHE. GOLDBAOH 
scriptam, Correspondence math, et pJiys. publice par P. H. Fuss, St.-Petersbourg 1843, 1 1, p. 413; 
LEONHARDI EULERI Opera omnia, series III. F. B. . 



296 DE NUMEEIS QUI SUNT AGGREGATA BIIDEUM QUAPKATORUM fs^g 

licet, quod in reliquis Matheseos partibue vix tilla.cognoseatur vtuitan, muu dtmicmstratio 
non ante iam fuerit perspecta, cum contra plurimae liabtnmtur imm<rorum prnpriutates 
quarum veritatem adliuc sine demonstrations wlmittcre eofrimur aurtorHtitt* potisfmnum 
FEKMATII inducti, qui se eas demon strasse palam et. proft'sstw. 

Ad hoc genus referendae stint plurea insignia proprietateg munerorum, qui aunt 
binoruni quadratorum aggregata, quarum demonatrationea CVL Aiu-tor in hac diaaertatione 
proponit, De Ms numeris, siquidem bina qumlrata eoa compmtentia fuwrint inter m prhna 
aeu communem divisorem non admittant, id proraus eat aingulare, quod nliog diviaorea non 
agnoscant, nisi qui ipsi eiusdem aint indolia, binorum acllivt't qiwtJratoruin Bumman cniiua 
rei demonstratio hand parum ardua hie auppeditatur. Dcindo cum mmim httiua gt-nerls 
numeri, si fuerint primi, imitate minuti per quaternurium sint dtviibihi aivo in Iwut forma 
4w + l contineantur, memorabile est viciaaim omnea nmnwcw prirnna huiua formae 4n + l 
aimul esse summas duorum quadratorum, cuiua demonatrationia autiu uotulum cmnpotem 
eese factum Cel. Auctor ingenue fatetur, etiamai eitta veritatcm xtro tlubium onllocaverit' 
in quo insigne conspieitur specimen etiam in mathwmatiei* muamatU tlttri voritateii, quaa 
sine perfecta demonstratione credere cogimur, In sequent! vohiminti Commtmtari'orum 
nostrorum plena eiusdem demonstratio apparebit, qua omnia, qtiM hine tlerfvuntur, panitus 
confirmabuntur. J 



Hie ex ista proprietate egregiatn doduxtt mthodum (iMnqui* mim Mlcnt , 

utrum numerus hums formae 4n + l, quantumvis funrit m^nm, primu it neona! 
Totum negotium hue redit, ut ttplowtur, nfcrum taliii nummtn prp t >mti In mimmam 
duorum quadratorum resolvi queat an minus; ubi irw mmm mini prrp w ,I,mII Prfmo 
si numerus propositus nullo pronug modo in duo qimelraU fc mnohtbili., P0rt mn i-i eum 
non esse primum, sed duos ad minimum factors Wn W fo nilllf , 4w t . fminrlo Hi nnlco 
modo m duo quadrata fuerit resolubilia eaque nfc prlma litter *,, l, w wr fum * indirtum 
numerum propositum esse primum; tertio ri i. plui 11110 mmb In to qu^l^ 4ie,rpl 
queat, neeessario erit oompprite. dniquo dMaon. iml wwignwi , )W , m i. V lga ftufcpw 
zudiemm, utrum mimems propositus it primti wene, hitiil pvnm moMi*.' imm >H 
n centena millia superet, Ad buno amm farmiimm wiqw, Jt^ntttr trtlmk, numi,rum 
pnmorum p assim obriae atque adeo 8 inid chwwtorfbuii xt w .-, Fra m .iortlm. utnn 
adhue alia ^ non pateit, niri ufc dlTW par , nnM.rt,i piiino. umiu. a 



quadratam ntimeri proporiti tatetar. Nunc, wtmn, dnm nummi. pn,poitu in 
tonna 4 + l eontineatur, totum negofcium multo mmora labor, t^.ohitur, ,$,, ph.ra ad 
odem to tractationis ta speoimina, quod ao *#. 
operako per diyisores instituatur. 

1) Vide Commentattonem 241 Iratos Tdnadnli, P 1 

2) Vide notam 8 p, 104. F, & 



34] DE NUMEEIS QUI SUNT AGGEEGATA DUOEUM QUADRATOEUM 297 

1. Naturam numerorum pluribus modis scrutari solent Arithmetici, dum 
eorum originem vel per additionem vel per multiplicationem repraesentant. 
Prioris generis sine dubio simplicissima est compositio ex unitatibus, qua 
omnes numeri integri per aggregationem unitatum oriri concipiuntur. Turn 
numeri quoque ita considerari possunt, prouti ex additione duorum pluriumve 
aliorum numerorum integrorum nascuntur, quo pertinet problema de parti- 
tione numerorum, cuius solutionem aliquot abhmc annis exposui 1 ), in quo 
quaeritur, quot variis modis quilibet nmnerus propositus per additionem du- 
oruni pluriumve numerorum minorum resultare possit. Hie autem constitui 
earn numerorum compositionem perpendere, qua per additionem duorum qua- 
dratoruni prodeunt; et cum hoc modo non omnes numeri oriantur, quoniam 
ingens est eorum multitudo, qui per additionem duorum quadratorum produci 
nequeunt, in eorum naturam et proprieties, qui sunt summae duorum qua- 
dratorum, Me inquiram. Quarum proprietatum etiamsi pleraeque iam sint 
cognitae et quasi per inductionem erutae, tamen firmis demonstrationibus 
maximam paxtem destituuntur; quarum veritati cum haud contemnenda pars 
Analyseos DIOPHANTEAE innitatur, in hac dissertatione plurium huiusmodi 
propositionum, quae adhuc sine demonstrationibus sunt admissae, demonstra- 
tiones adornabo, simul vero etiam eas commemorabo, quas mihi quideni etiam- 
nunc demonstrare non licuit, etiamsi de earum veritate nullo modo dubitare 
queamus. 

2, Primum igitur, cum numeri quadrati sint 

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196 etc., 

istos numeros, qui ex combinatione binorum quadratorum oriuntur, inspexisse 
iuvabit, quos propterea usque ad 200 Me apponam: 

0, 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20, 25, 26, 29, 32, 34, 36, 37, 40, 41, 
45, 49, 50, 52, 53, 58, 61, 64, 65, 68, 72, 73, 74, 80, 81, 82, 85, 89, 90, 97, 
98, 100, 101, 104, 106, 109, 113, 116, 117, 121, 122, 125, 128, 130, 136, 137, 
144, 145/146, 148, 149, 153, 157, 160, 162, 164, 169, 170, 173, 178, 180, 181, 

185, 193, 194, 196, 197, 200. 

1) Vide Commentationes 158 et 191 huius voluminis. P. R. 
LBONHAHDI EULBBI Opera orcmia Is Commenfcationes arithmeticae 38 



298 DE NUMEBIS QUI SUNT AGOBEGATA DUORUM QUADRATORUM [4_ 6 

Hi nempe omnes sunt numeri usque ad 200, qui ex additions duorum qua- 
dratorum proveniunt, hosque numeros cum omnibus in inlinitum sequentibus 
vocabo summas duorum quadratorum, quos idcirco in hac formula general! 
xx + yy comprehend! manifestum est, dum pro a? et y successive omnes 
numeri integri 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 etc, subatituuntur. Qui igitur numeri in 
Ms non reperiuntur, ii non sunt summae duorum quadratorum; qui ergo aunt 
usque ad 200: 

3, 6, 7, 11, 12, 14, 15, 19, 21, 22, 23, 24, 27, 28, 30, 31, 33, 35, 38, 39, 42, 
43, 44, 46, 47, 48, 51, 54, 55, 56, 57, 59, 60, 62, 63, fill, 67, 110, 70, 71, 75, 
76, 77, 78, 79, 83, 84, 86, 87, 88, 91, 92, 03, 114, 05, 06, 99, 102, 103, 105] 
107, 108, 110, 111, 112, 114, 115, 118, 119, 120, 123, 124, 126, 127, 120, 131, 
132, 133, 134, 135, 138, 139, 140, 141, 142, 148, 147, IfiO, 151, 152, 154, 155, 
156, 158, 159, 161, 160, 165, 166, 167, 168, 171, 172, 174, 175, 176, 177, 179; 
.' ' 182, 183, 184, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 195, 198, 199. 



Unde patet saltern usque ad 200 multitudinem numworum, qui non 
summae duorum quadratorum, maiorem esse quam eorum, qui- aunt summae 
duorum quadratorum, Oeterum inspicienti station pafcebit noutram istorum 
numerorum seriem certa et assignabili lege contineri atque ob hoc ipsum 
difficilius erit utriusque indolem investigate, 

3. Cum omnis. numerus quadratus ait vel par horqui* rtwu pt*r 4 divi- 
sibilis et in hac forma 4a contentus, vel impar \um\m rtwtu in ha forma 
8& + 1 contineatur, omnis numerus ax duobiw (juadratiH rumjHwiiuH wife: 

Vel primo summa duorum quadratorum parium ot ad hann formam 
4a + 4& pertinebit eritque ergo por 4 diviBihU'w; 

vel secundo summa duorura quadratorum all^riiw ptinn alfn^ritis imparis 
et propterea in huiusmodi forma 4a + 86+ 1 m\\ in hu 4 a |- I coiitinobitur; 
unitate ergo excedet multiplum quaternarii; 

vel tertio summa duorum quadratorum hnpariura irit<|uo itldreo buiua 
formae 8a.+ 1 + 86 + 1 seu in hac 8a + 2 continobitur; wit Hcilicot nu- 
merus impariter par et Mnario exeeclet multiplum octunnrii. 

Quia ergo omnes numeri impares vel unitato ojccmluut multiplum qua- 
ternarii seu huius sunt formae 4 + l, vel unitat* iMkmni a multiplo qa- 
ternam seu huius sunt foimae 4n-l, patot nullcm numi*rori imparis huhw 



6-7] PE NUMERIS QUI SUNT AGGEEGATA DUORUM QUADRATORUM 299 

posterioris formae 4^ 1 esse summas duoruin quadratorum; seu ex serie 
numerorum, qui sunt summae duorum quadratorum, excluduntur omnes nu- 
meri in hac forma content! 4w 1. 

Deinde quia omnes numeri impariter pares vel binario superant multi- 
plum octonarii, ut sint 8n + 2, vel binario deficiunt a multiple octonarii, ut 
sint 8^ 2, patet nullos numeros huius posterioris formae esse summas 
duorum quadratorum; sicque ex serie numerorum, qui sunt summae duorum 
quadratorum, excluduntur numeri huius formae 8n 2. 

Interim tamen probe observandum est neque omnes numeros in hac 
forma 4w + 1 neque in hac 8w + 2 contentos esse summas duorum quadra- 
torum. Illius enim formae excluduntur numeri 21, 33, 57, 60, 77, 93, 105, 
129 etc., huius vero isti 42, 66, 114, 138, 154 etc., quorum ratio deinceps 
investigabitur. 

4. Interim tamen numeri, qui sunt summae duorum quadratorum, ita 
nexu quodam inter se coniunguntur, ut ex uno huius indolis numero infiniti 
alii eiusdem naturae assignari queant. Quod quo facilius perspiciatur, se- 
quentia lemmata, quae quidem vulgo satis sunt nota, adiungam. 

I. Si numerus p sit summa duorum quadratorum, erunt quoque numeri ip, 
et generatim nnp summae duorum quadratorum. 



Cum enim sit p = aa -\~ &5, erit 

4p = 4flfl + 4&&, Qp<=$aa *+$%!), W# = lQaa-}- IQbl et nnp = nnaa + nnlb , 
quae formulae sunt pariter summae duorum quadratorum,, 

II. Si numerm $ sit summa duorum quadratorum, erit quoque 2p et yene- 
ratim 2 nnp summa duorum quadratorum. 

Sit enim p aa + bb', erit 2p = 2aa + 2&&. Sed est 
Zaa + 2&& (a + &) 2 + (a &) 2 , 



imde erit 

2j? - (a + &) 2 + (a - Z>) 2 

ac propterea summa duorum quadratorum. Hinc vero porro erit 

- nn(a + fe) 2 + nn(a &) 2 . 



38* 



300 BE NUMEBIS QUI SIJNT AGGR1GATA DrOlWM QMHEATOHfJM [ 7 _ 8 

III. Si numerus par 2p fiterit summa cliinnwii f uatiratvntm , wit ctiam eiw 
semissis p summa d^lorum qmidrat&rwn, 



Sit eniin 2p => #a H- &&j Grit uumortjriuu a of. utwiuo vol pur vt4 im. 
par, uncle utroque casu erit tarn fli j" qvuun a * a " * uunnru intngor. Knt 



quo valore substitute lit 



Hinc ergo omnes mimeri pares, qui aunt Hummus dmmtm i|u;ulmttjnu, pr 
continuam bisectionem tandem rovowinttu* at! nunun'tw iinpun'M iniwdom 
indolis. Quare vicissim si soli numori hnpurri, t|i suit! HUUUHHO dtuirtim 
quadratorum, cognoscantur, ex iis oinnw quot{Uf pur^rt JHM' tuwUwmm tlupli- 
cationem derivabuntur, 

5. Deinde notatu dignum est aequtmH tht'owaa, quo ntifcura unuvrum, 
qui sunt summae duorum quadratoruia, non mtKliumlw illitHtrutur, 



^ .jp eif gf swz5 <juo Mwwierl, porom ntm t m mi mtmma tltwum qutttlratarum, 
erit etiam eorm produetum $q sumnm dmnm qututratwum. 



Sit. p aa + 5& et q w + dl; erit 
j9^ = ( afl +. jj)( cc + r | e Q ^ aaflr 

quae expressio hoe modo repraosontaii potcwt, ut wi 



ideoque 
unde productum ^ erit summa doom* tj, E 1), 



8-10] DE NUMERIS QUI SUNT AGGREGATA DUORUM QUAPBATOBUM 301 

Ex hac propositione sequitur, quomodo'cunque plures numeri, qui singuli 
sint summae duorum quadratorum, invicem multiplicentur, producta semper 
esse summas duorum quadratorum. Atque ex forma general! tradita patet 
productum ex duobus liuiusmodi numeris duplici modo in duo quadrata 
resolvi posse. Si enim sit $> = aa + && et q = cc-^dd, erit tam 



quam 

#2 -.(ac &<*)*+ (ad 

quae formulae erimt diversae, nisi sit vel a = & vel c = d. Sic cum sit 
5^14.4 e t 13 4 + 9, productum. 5-13 = 65 duplici modo erit summa 
duorum quadratorum, 1 ) scilicet erit 

65 (i . 3 4. 2 2) 2 + (2 . 3 - 1 2) 9 ~ 49 + 16 

et 

65 _ (2 . 2 - 1 . 3) 2 + (2 3 + 1 2) 2 = 1 + 64. 

Atque si productum habeate ex pluribus numeris, qui singuli sint snmmae 
duorum quadratorum, id pluribus inodis in duo quadrata resolvi poterit. Uti 
si proponatur numerus 1105 5 13 17, eius resolutiones in duo quadrata 
erunt hae 



Quatuor scilicet hie resolutiones locum habent. 

6, Quanquam autem ita evictum est, si factores $> et gi sint summae 
duorum quadratorum, etiam fore productum. jp# summam duorum quadratorum, 
tamen huius propositionis conversa .hinc non sequitur, ut, si productum sit 
duorum quadratorum summa, etiam eius factores sint numeri eiusdem naturae; 
neque enim hanc conclusionem regulae logicae neque ipsa rei natura proba- 
rent. Nam numerus 45 = 36 + 9 est summa duorum quadratorum, interim 
tamen horum factorum eius 3, 15 neuter est summa duorum quadratorum. 
Magis autem firma videatur haec conclusio: si productum pg, et alteruter ems 
factor jp fuerint duorum quadratorum summae, alterum quoque factorem q 
fore summam duorum quadratorum. .Tametsi autem haec conclusio forte sit 
vera, regulis tamen ratiocinandi non confirmatur; neque enim, cum demon- 



_^ ^ ^^^ ^ ^ ^aeatione XIX libri HI DIOPHANTI Anffmutoonm (ed. 
j quae quaestio est quaestio XXII edition* BAOHETX) 5 yide notam p. 404 huius volumims. P. B. 



302 DE NUMBEIS QUI SUKT AGGREGATA DUORtJM QUADBATOBUM [tO-n 

stratum sit, si product! pq bini factores p et q Hint duo rum quadratorum 
summae, ipsum f q fore summam duorum quadratorum, bine lc*gitima conse- 
quentia inferri potest: si et productum pq ot alttr factor |; Bint Kimmiae 
duorum quadratorum, etiam alterum factorom g fore summam duorum qua- 
dratorum. Huiusmodi enim consequentiam non CHHK legitimam vel hoc 
exemplum evidenter evincet; Oertum est, ai bini factors p ct q Bint numori 
pares, etiam productum $% fore numerum parom; si (J;UIH aui.tnm hino rondu- 
dere velit, si productum pq et alter factor p Hint numori paran, etiam aliorum 
factorem q fore parem, is vehementer falloretur. 

7. Quare si verum sit, ut, cum productum pq et altor oiun factor 
fuerint summae duorum quadratorum, alter qmujuo factor r/ nit 
duorum quadratorum, haec propositio non cix autw dMnonHtraUpott 
sed peculiari demonstrations muniri dobt4 Haart autemi damoiwtrati 
tarn plana est quam praececlens et non nisi por plurw ambagm wmciimori 
potest; ac demonstrate quidem, quam invoni, ita comparata vidotur, ut non 
mediocrem vim ratiocinii requirai Hanc ob KIIU propoHitionw, ox 
tandem non solum haec veritas conficitur, ml otiam aliaii imi^im 
humsmodi numerorum, qui aunt snmmao duorum quiulratorum, cr 
cum suis demonstrationibus Me ordine propoiiam opwanujuo dabo, ut nihil 
qmcquam m rigore demonstrandi desiclerari queai Jfe auteiu, quiut liactonun 
de his numeris praemisi, uti stmt trivia et in vulgiw nota, ita iiwtar lam- 
matum in sequentibus demonstrationibus utar. 



PBOPOSITIO 1 



8. pvtoctom pq sit summa duomm Qritotianm si aller factor p Bit 
numerusprmus panterque dwrwn qmtrat^ a^ia, mt gmqm oft* firt* g 
summa duorum quadratorum. 

D1MONSTE1TIO 



c et n, .- ^ lla ^ e8t primus, erant 

c et d numen mter se primi, Erit itaque 



H_12] DB NUMEEIS QUI STINT AGGREGATA DUOEUM QUADEATOEUM 

et propterea ob q numerum integrum numerator a a + l)b per denominatorem 
cc + dd erit divisibilis. Hinc quoque per cc + dd divisibilis erit numerus 



cc(aa -j- &&) = aacc 
at cum etiam hie numerus 

aa(cc + dd) aacc + aadd 
per cc + dd sit divisibilis, horum numerorum differentia 

aacc -\-l)l)cc aacc aadd seu blicc aadd 

per cc -f dd divisibilis sit necesse est. Cum autem sit cc + dd numerus 
primus et 11) cc aadd factores habeat T)c-\-ad et &c ad, alteruter horum 
factorum, nempe frc + ad, per cc + dd erit divisibilis. Sit itaque 

&c + ad == mcc + mdd; 

quicunque autem numeri sint a et 6, ii ita exprimi. possunt, ut sit 7; = me -f 
et a == -f wd 4- ?/ existentibus as et y numeris integris siv'e affirinativis sive 
negativis. His vero valoribus pro I et a substitutis aequatio 

l)C + ad = mcc -f 
induet hanc formam 



wee -f" ex -j- wdd 4: dy = wcc - 
seu 

Hinc erit * + - , et quia d et c sunt numeri primi inter se, necesse est, 
ut sit x***nd et w = ~Fwc, unde habebitur 



a -j- wd + we et & 

huiusmodi scilicet valores habere debebunt numeri a et b, ut numerus 
j ? ^ ==s= ,aa + 5& sit divisibilis per numerum primum p ** cc + dd. Yerum istis 
valoribus pro a et "b substitutis net 



^ _ mmdd %mncd + wwcc 4- wwcc + 2mwcd + nndd 

seu 

jjgr ==3 (mm -f- ww) (cc -f- dd). 



304 



DE NUMEEIS QIJI SUNT AfHlRRUATA WJOHt'M qUAIWATOIWM 

................. ........................ , [12 13 



lam ob p = cc -j- dd erit 



ideoque si productum jp^r fuerit summit duoriuu ijuuiimtortmt tnt + bh efc u 
factor jp sit numerus primus pariterque duorutu qiwtlmlurum mmwn re ji 

necessario sequitnr etiam alterum factomii q f 0!V Hiiwnmm dmirum'ol/ 

s *& 



u 
orutu qiwtmurum mmwn re 

r etiam alterum facto ' 

torum, Q. E, D. 

COBOLLAKiUM 



_ 9. Si ergo summa duorum quailmtorum tlivWfillb H it i M r immm^n 
pnmum, qui ipse sit enmma duorum qiiadmtonm., <4wm ^ ", t ,1 J I!! 

resultans ent summa ^orum qnadratonim. Ita a! mm uL UuorumtlZ 
torum fnent divisibilia per quempiam ex Im nt,,rl primw ^ f n t 
37, 4, 53, 81, 73, 89, S7 etc,, q no te ea.par erit ' 



enim 6 it umm a H ?"' " mmmam ' lu " nmi 

e ^r a rr;:: m ;, iH '; " tm! ! krii 

Bumma duorum iaa ' """ ' BlU ' ln " m " 



si rod , "^ " nwwiMn 

r m 

?' qU 
factors 



P ro- 

quadratorum, fore etiam a lW,, m T?' qUOmm Hlnguli Hillt " duorum 

aJt 



13-15] DE NUMEEIS QtJI StNT AGGRE&ATA DUOEUM QtTADEATOEUM 

SCHOLION 

13. Regulae logicae non permittunt, ut haec propositio ita convertatur, 
ut, quoties alter factor q sit summa duorum quadratorum, etiam alter factor 
p pronunciari possit vel summa duorum quadratorum, si est primus, vel 
productum ex numeris primis, qui singuli sint summae duorum quadratorum. 
De hoc ipso enim nondum constat, utruni productum ex aliquot numeris 
primis, qui ipsi non sint summae duorum quadratorum, nequeat esse summa 
duorum quadratorum; quin potius contrario iam habemus casum, quo pro- 
ductum 45 = 3 8 5 est summa duorum quadratorum, cum tamen eius factores 
3 et 3 non sint huius indolis. Yerum propositio corollarii ultimi ita con- 
verti potest, ut a negatione consequentis recte ad negationem antecedents 
concludatur, quam conversionem utpote maxiini momenti in liac propositione 
complectar. 

PBOPOSITIO 2 

14. Si productum pq sit summa duorum quadratorum , eius factor autem q 
non sit summa duorum quadratorum, turn alter factor p, si sit numerus primus, 
non erit summa duorum quadratorum, sin autem non sit primus* saltern factorem 
certe habeUt primurn, qui non sit summa duorum quadratorum. 

DEMONSTRA.TIO 

Cum alter factor p sit vel numerus primus vel compo situs, utrumque 
casum seorsim perpendere convenit. Sit prime p numerus primus; cum igitur, 
si esset summa duorum quadratorum, quoque alter factor q foret summa 
duorum quadratorum, quod cum hypothesi adversetur, sequitur factorem p 
non esse summam duorum quadratorum. Sit secundo p numerus composite 
et ex praecedentibus liquet, si omnes eius factores primi essent summae 
duorum quadratorum, etiam alterum factorem q eiusdem fore indolis, Quare 
cum per hypothesin q non sit summa duorum quadratorum, sequitur non 
omnes factores ipsius p esse summas duorum quadratorum. Q. EL D, 

COBOLLABIUM 1 

15. Si igitur productum pq sit summa duorum quadratorum, eius tamen 
alter factor q in duo quadrata sit irresolubilis, alter factor p vel ipse non 

LBONHAUDI Euumu Opera omnia la Commentationes nrithmeticae 89 



306 ' BE NtJMERIS QU1 SUNT AGGREGATA DUOHUM gUADRATOIUJM [U-M 

erit summa duorum quadratorum vol saltern fuctowiu hahobit, primum in 
duo . quadrata irresolubilem. Uti si nit jp<^4 r > <fc q ^!, orit ^ ,m 15 ^ f a 
torem habet 3, qui non est summa duorum quadrat oruut, 

OOBOLLARIUM 2 

16. Hinc autem nondum concludes licet altwim ftwtown $ plane nun 

esse summam duorum quadratorum; quamvis mhn IMC. cwt-um nit r.anu, quo 

j0 est numerus primus, tamen id nondum eotwtat ciwu, qua ^ wfc numorus 

compositus, quia jp habere posset faetoram in duo nuatlratii im*Molubilai, 

etiamsi ipse numerus jp esset summa duorum 



17. Hoc autem colligere Hcet: Hi p wHofc numma tlmmim quadratwrum, 
turn uou solum unum, seel ad minimum duo* hubw-n cl*brw fatiorw primes' 
in duo quadrata irresolubiles, Sit enira p -**>*?& i $ fur-lor illo in duo 
quadrata irresolubiHs; perspicuum eat, si |i twtwt Humma tiuoruin tiuiulratorum 
deleto. factore <T ihsuper factorem roaiduum nfly fn^iurotu in ciuo quadrata 
irresolubilem habere debere, 



18. Cum de divisoribus ntxmororum, qui mmt Huiumao dut>rnm quadra- 
torum, quaestio instituitur, circa quadmtormu Hutmuaiu nn.fW auras hi 
probe sunt distinguendi, utrum haeo quadrate aa it 6ft umi aiirum mclicos a 
et^^sint numeri primi inter se necm Si tmlm a et 6 non nfc numeri 
prami inter se, sed habeamt communom diviwrem , ut Hit a^nc et b-nd, 
summa quadratorom erit **co + nndd ~ **(*e + dd) ** proptona diviaomn 
habebit w , hoc est, numerum quemcunquo, Bin autem mdlcm a efe ft fucrint 
numen primi inter se, turn summa quadratorum aa + hh plumi numeros pro 
dmsonbus non admittet; eyidens mm eet huinimodi mimmaiu duornm qrn- 
dratorum a, + && atoquam per 8 esse dM , m ^ Nftm |ft j th0sin 

utrumque quadratum seorsim non est per 8 diviaibila, cum alioquin non (brent 

d-i m 6 - S1 BU a aa + 5& 6886t P 0r S divislWlto, noutrum foretporS 
o^y bile. Ftriusque ergo radices futurw ewont M huitw fommo m + 1 yei 

' M S t SUmma Wusmodi ^oa qnftdwborum per 3 diyiaa 
readuum 2 relmquit ideoque per S nm^mm m^ dimMlie, Eodam 



16-17] BE NtlMEBIS QUI BTTKT AGGSE&ATA PtIOBtJM QUAt>BA^QBtM . SO? 

modo intelligitur summam duorum quadratorum inter se primoruxn aa -f- &6 
nunquam esse per 7 vel 11 vel 19 etc. divisibilem. Quinam autem sint in 
genere hi nnmeri, qui nunquam summae duorum quadratorum inter se pri- 
morum divisores existere queant, hoc modo non facile defmitur. Demonstrari 
igitur convenit propositionem alias 1 ) quidem satis notam summam duorum 
quadratorum inter se primorum alios divisores primes non admittere, nisi 
qui ipsi sint summae duorum quadratorum. Praemitti autem debet sequens 
propositio. 



PROPOSITIO 3 

19. Si summa duorum quadratorum inter se primorum a a + 11 divisibilis 
sit per numerum p, semper exhiberi poterit summa duorum aliorum quadratorum 
cc + dd divisibilis per eundem numerum p, ita ut ista summa cc-{-d,d non. sit 
maior quam --pp. 

DEMONBTEA.TIO 

Sit summa duorum quadratorum inter se primorum aa + && divisibilis 
per numerum p et a et 6 numeri quantumvis magni. Quia ergo neque a 
neque I seorsim per p divisibilis est, numeri a et I ita exprimi poterunt, ut 
sit a = mp + c et b np Hh ^, ubi numeros m et n ita determinare licet, ut 
c et d non excedant semissem ipsius p. Erit ergo 

aa -l- II = mmpp 2mcj9 + cc + nnpp -h %ndp + dd', 

quae formula cum et tota divisibilis sit per p (per hypothesin) et eius pars 
mmpp + 2mcp + nnpp 2ndp per se divisorem habeat p, necesse est, ut 
altera pars cc + dd, quae est summa duorum quadratorum, itidem per p sit 
divisibilis. At cum radices c et d non excedant semissem ipsius p, summa 
quadratorum cc + dd non excedet quadratum ^pp bis sumtum; ideoque 
summa duorum quadratorum cc -f dd exhiberi potest non maior quam ^pp, 
quae tamen sit per p divisibilis. Q. E. D. 



1) Vide 20 Commentationis 134 traiiis voluminis, imprimis notam p. 70. F. B. 

39* 



308 



20. Si igitur non detur summa duo-ram quadratorum inter m primorum 
divisibilis per numerum jp, quae non excedat -^PP nullae omnino dantur 
summae duorum quadratorum inter se primorum, quae per liunc numerum jp 
essent divisibiles. 



21, Sic cum milla detur summa duorum quadrat-wiim mtw HO primorum 
infra -*~-3 a seu infra 4y, quae sit per 3 divimbiliH, bine lu<utit>ntt*r Hequitur 
nullam omnino sunamam duorum quadratorum iutor a primurum pw 3 ease 
divisibilem. Similique modo pro numero 7, cum mm detur twmma duorum 
quadratorum infra ~7 S -24| per 7 diviaibiliB, wHjuifcur in maximis qui- 
dem numeris dari summas duorum quadratorum iitt^r HI* primorum per 7 
divisibiles. 



22. ^wmwa rfworww guadratotvrn inter m yriwrum dwidi nequit 
mmrum, gui 'ipse non sit mm/mo, tiwmm 



Ad hoc demonstrandum poaaraus swramam duorum quadratorum inter 
se primorum aa + 5& divisibilem per numorum y t t|ui mm Hit nuiniua 
duorum quadratorum, Ixhiberi ergo pomiet alia summa tluwtutt t|tiadratorum 
inter se primorum cc + dd non maior quam -J-jy, quae cliviHlbiliH perf. 
Sit igitur cc + ?^-.^g, e t cum p non sit mmnm cluonim quatlratorum, vel 
ipse numerus g non exit eiusmodi summa ml saltern factorttm habebit r, 
qui non erit summa duorum quadratorum, Quia voro pg<^p t wit f < Jjp 
et multo magis r< \$ t Q ua re cum ce + dtf quoquo divinibilut sit per 
r< ^, per propositionem praecedentem summa duorum quadratoram ee + ff 
per eundem numerum r divisibils exMberi poset qnaa non exooderat J rr 
neque multo magis r ^, Et cum r non ait summa duorum tjua4mtorum, 
sinnli^ modo procedendo continuo ad minorw aummaM duorum quailmtoruin 
devemretur, quae per numerum non-iummai duoram quadmtorum easent 



19-20] DE NUMERIS QUI SUSTT AGGBEGATA PUOBUM QUADRATOBTJM 309 

divisibiles. Quocirca, cum in mininiis numeris nulla detur summa duorum 
quadratorum inter se primorum, quae esset divisibilis per numerum, qui non 
sit summa duorum quadratorum, ne in maximis quidem numeris eiusmodi 
erunt summae duorum quadratorum, quae divisibiles sint per numeros, qui 
ipsi non essent summae duorum quadratorum. Q. E. D. 

COEOLLA.RIUM i 

23. Si- ergo summa duorum quadratorum inter se primorum non fuerit 
numerus primus, omnes eius factores primi quoque erunt summae duorum 
quadratorum. Quemadmodum igitur productum ex quotcunque numeris 
primis, qui ipsi sunt summae duorum quadratorum, pariter est summa 
duorum quadratorum, ita nunc huius propositionis conversa est demonstrata, 
ut summa duorum quadratorum (inter se primorum) ^per multiplicationem 
oriri nequeat, nisi ex numeris, qui ipsi sint summae duorum quadratorum. 

OOROLLAEIUM 2 

24. Omnes ergo numeri, qui sunt summae duorum quadratorum inter se 
primorum, vel ipsi in hac serie numerorum primorum continentur 

2, 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113 etc, 

vel ex duobus pluribusve numeris huius seriei per multiplicationem compo- 
nuntur. Omnes autem hi numeri primi praeter 2 unitate excedunt multiplum 
quaternarii seu in hac forma 4w + 1 continentur. 

OOBOLLARIUM 3 

25. Si igitur summa duorum quadratorum aa-j-bb divisibilis sit per 
numerum, qui non fuerit summa duorum quadratorum, hinc intelligetur qua- 
drata ilia aa et U non esse inter se prima neque adeo eorum radices a et b. 

COEOLLARIUM 4 

26. Cum autem, si a^nc eib^nd, summa duorum quadratorum 
aa + bb~*nn(cc + dd) per quemvis numerum n, qui non est summa duorum 
quadratorum, dividi possit, quoniam non solum per w, sed etiam per nn est 
divisibilis, evidens est, si summa duorum quadratorum divisibilis sit per 



310 DE NUMEBIS QUI SUFT AGGBEGATA DUORUM QUAIWATORUM [20-ai 

quempiam numerum, qui non est surama duorum quadratorura, turn earn 
quoque per quadratum huius numeri fore clivwihllem. Sic cum 45 8(> -j. 9 
sit divisibilis per 3, sinral quoque divisibilis est per 9. 



27. Cum nullus numerorum in liae forma lit -1 contontorum ait summa 
duorum quadratorum 1 ), manifestum quoque est nullam Hummam duorum qua- 
dratorum inter se primorum dividi posse per ullura numerum primum in forma 
4^ 1 contentum, qui numeri primi sunt 

3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 159, 67, 71, 73, !, 108, t7 etc. 



28. Cum omnes numeri primi, qui sunt summae duorum quadratorum, 
excepto binario hanc seriem constituent 

5, 13, 17, 29, 37, 41, 68, 61, 73, 89, 97, 101, 100, 113, 137, 149 etc., 

qui non solum in hac forma 4^-fl continents f HIM! ofinm, qtmntuuivis oa 
longe continuetur, deprehendemus in aa omn*H omntno tmmnnw primim huiua 
formae 4w + 1 occurrere, unde per inductumem ati proliabiHUv coacludwe 
licet nullum dari numerum primwn formae 4w + 1, tjui mm wmtit ait mimma 
duorum quadratorum. Interim tameri cum inductio quarittunvtH ampla vicem 
demonstrationis sustinere nequeat, hane veriteitem, quod wmm mmmm 
primus formae 4w-fl simul sit summa duormn quadraionim, otianmi nemo 
agnoscere dubitet, tamen adhuc damoaatratiii maihmoH vwitAtibuH Aimume- 
non^et. PEEMATius 1 ) .qddem profmuB mi m mm domoiwtiutiouem 

1) Vide 2Q Oommentatkmis 184 tains voluminia, iwprimig autftm p. 7, R ft. 
a) Boo celebre theorema f IEMAWS a. 1640 mm mum Unmrnm mm 

es 



a 

10 43 V- ** ( ^ m * ^M t- II, p. SSI, 

Em 



O 

et notam 2 p. 51 ^ O 



21-23] DE NUMERIS QUI STINT AGGBEGATA DUOBUM QUAPBATORUM 311 

invenisse; quia autem earn nusquam publicavit, asserto quidem huius pro- 
fundissimi Yiri merito fidem adhibemus istamque numerorum proprietatem 
credimus; haecque cognitio nostra mera fide sine scientia nititur. Quanquam 
autem ego multum in demonstratione eruenda frustra laboravi, tamen aliud 
argumentum pro hac veritate astruenda repperi, quod, etiamsi non summum 
rigorem snstineat, tamen cum inductione coniunctum demonstration pene 
rigorosae aequivalere videtur. 



28 [a] 1 ). Omnis numerus primus, gw unitate eoccedit multiplum quatermrii, est 
summa duorum g/uadratorum. 

TENTAMEN DEMONSTRATIONIS 

Numeri primi, de quibus hie sermo est, in hac forma 4w + 1 continen- 
tur. Quodsi ergo numerus 4w + 1 foerit primus, demonstravi 8 ) per eum 
semper divisibilem esse hanc formam a*>*-V n , quicnnque numeri pro a et 6 
substituantur, dummodo neuter seorsim fuerit per 4n + 1 divisibilis. Cum 
autem sit a 4 " 1 5 4w = (a* s & 8w )(a 2M -l- & 3n ), necesse est, ut alteruter factor, 
nempe vel a 2 " M rt vel a^ + V*, sit divisibilis per numerum primum 4w+l. 
Prout autem pro a et I alii atque alii numeri assumuntur, aliis casibus 
formula a?-V n , aliis vero formula a* n +V n erit per 4w + l divisibilis, unde 
assumere licet, etsi quidem hoc nondum firma demonstratione 8 ) evincere 
valeo, semper eiusmodi numeros pro a et I assignari posse, ut formula 
a*"!)** non sit per 4n + l divisibilis; iis ergo casibus altera formula 
fl 4.& necessario per in + 1 erit divisibilis. Sit a n = p et t" 2 habebi- 
turque summa duorum quadratorum pp + $q per 4n + 1 divisibilis, ita ut 
neutrum quadratum y>$ vel <w seorsim habeat divisorem 4w + 1. Ideoque 
etiamsi ' fortasse pp et ^ communem habeant divisorem mm, ut sit 
pp + W mm(rr + 88),- quia factor communis mm divisorem non habet 
4 + l, necesse est, ut summa duorum quadratorum inter se primorum 

1) In editione.principe falso numerus 28 iteratur. P. B. 

2) Vide Oommentationem 134 huius voluminis, imprimis theorema 4. 1. R. 

3) Firmam demonstrationem EULERUS paulo post dedit in Oommentatione 241 hums volu- 
minis. F. R. 



312 DE NUMEEIS QUI SUNT AGGBEGATA DUORUM QUADRATORUM [28-94 

rr + ss habeat divisorem 4w + 1. Consequents, cum .huiusmodi sitrama 
duorum quadratorum alios non admittat divisores, nisi qui ipai Bint aummae 
duorum quadratorum, necesse est, ut numerus primus 4 + 1 ait summa 
duorum quadratorum, 

COEOLLAIilUM 1 

29. Demonstratio haec igitur esset perfects, si modo demonatrari posset 
semper eiusmodi existere valores pro a et b substituendoa quibua formula 
a 2n ff n non fiat divisibilis per numerum primum 4n+l; iisdem. tmim caai- 
bus formula a? nj r'b sn necessario est divisibilis per 4w-f 1, 



30. Quodsi quis autem hanc rein por oalr.uhnn trnlnl., non modo Hcnnper 
plures casus, immo infinites, formulae ln ./)** rept*riot. quilnw ca pur tnimorum 
primum 4w -f 1 non est divisibilis, ml etiam pro b \\niii\imi pont^s licet, 
ita ut etiam haec formula simplicior a tM I sat^pouuintn'o pur 4w {- 1 non 
sit divisibilis. 

SOHOUON 

31. Oasus seu valores ipsius a t quibuH formula a 1 "! ctrto fit divisi- 
bilis per numerum primum 4n + l, facile asBigitari pownmt, Prlmo nim ai 
sit a^, formula a 1 " 1jp 4 * 1 Btnnpor ofit diviHibiliH per 4 + 1, dum- 
modo jp non sit 4w + 1 vel eius multiple), Beindo i a *~pp i (4 4. l) ff , 
formula a 1 *! quoque divisorem habet 4n-fl; rwolviiur cmim 



in seriem terminorum, quorum primus <*st #*", H^quAnicw wro omnoH aponte 
sunt per 4w + 1 divisibiles. Undo patet vnlorwi idouwm pro a <HMH onmia 
residua, quae restant, si numeri quadrati / pr 4n + l dmciunttir, s j llaec 
autem residua, sive pro a ponatur r sive 4n + l + r siv (4 + I)^-f f, 
prodeunt eadem, unde omnia possibilia residua obtimmfcur, i pro j> HucccMwive 
statuantur numeri 1, 2, 3, 4, 5, . . . usque acl 4; at valor 4n pro p poaitas 
idem dat residuum, quod valor 1, similique modo valortm 2 ut 4-l, item 
3^4w-^2, item 4 et 4^-8 etc, eadem dant residua. Uudo cum biria 

1) Vide Commentations 184 (imprto tam ft 11) * 34g tain, Tolutbta, P. R, 



24-26] DE NUMERIS QUI SUNT AGGREGATA DUORUM QUADRATORUM 313 

semper residua, quae ex numeris 1, 2, 3, ... usque ad 4w pro radicibus 
quadratorum sumtis proveniunt, sint aequalia, numerus diversorum residuorum 
resultantium tantum erit %n ideoque tqtidem dabuntur numeri ipso 4w + 1 
minores, qui non esse possunt residua ex divisione numerorum quadratorum 
per in + 1 emergentia; hique numeri pro a substitute semper formulam 
a 8 " 1 reddent non divisibilem per 4w + 1. Hoc quidem pariter demonstrari 
nequit; verumtamen, quia periculum faciendo, quotcunque etiam numeri hoc 
modo explorentur, ne unicus quidem casus occurret, quo haec regula fallat, 
eius veritatem agnoscere oportet. 

Quo haec clarius perspiciantur, exempla aliquot subiungam. Sit primo 
4^ + 1 5 et casus, quibus formula a* I per 5 erit divisibilis, habebun- 
tur, si pro a residua ex divisione quadratorum per 5 oriunda ponantur, 
quae residua sunt 1, 4. At si pro a ponatur vel 2 vel 3, formula a 2 ! 
non erit per 5 divisibilis; his ergo casibus formula a 8 + 1 divisorem 
habebit 5. Deinde si sit 4w + 1 = 13 seu w = 3, residua, quae ex divisione 
numerorum quadratorum per 13 restant, sunt 1, 4, 9, 3, 12, 10; unde 
si quis numerorum reliquorum 2, 5, 6, 7, 8, 11 pro a substituatur, non 
formula a 6 !, sed # 6 +l per 13 erit divisibilis. Porro si 4w-fl = 17 seu 
n <=* 4, quia residua quadratorum per 17 divisorum sunt 1, 4, 9, 16, 8, 2, 15, 13, 
si pro a statuatur quispiam ex reliquis numeris 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 14, non 
formula a 8 1, sed haec 8 +l erit per 17 divisibilis, Cum igitur haec lex 
perpetuo observetur, haec inductio vim demonstrationis fere induere censenda 
erit; hincque propositio tantopere confirniata videtur, ut eius veritatem non 
amplius in dubium vocare liceat. Interim tamen operae pretium esset eo 
maius, si quis rigorosam huius propositionis demonstrationem exhibere posset, 
quo magis de eius veritate sumus certi; nullum enim est dubium, quin eius- 
modi demonstratio tamdiu frustra quaesita ad plurimas alias insignes nume- 
rorum proprietates sit manuductura. Quanquam autem huius propositionis 
veritas extra dubium est posita, tamen eas consequentias, quae ipsi innitun- 
tur, diligenter notabo ab aliisque, quae rigidis demonstrationibus muniuntur, 
distinguam; ex hac autem propositione nondum demonstrata sequuntur haec 
corollaria, quae hoc nomine notata velim, 

OOROLLABIUM 3 

32. Si igitur numerus formae 4^ + 1 in duo quadrata nullo modo 
resolvi nequeat, hoc certum erit signum eum numerum non esse prim urn 

LKOKHARDI Butsaut Opera omnia la Commentationee arithmeticae 40 



314 DE NUMEEIS QUI SUNT AGGREGATA DUOHUM QC1ADEATORUM [86-97 

si.enim iste numerus 4 + l esset primus, certe in duo quadrat* resolvi 
posset. Sic cum numeri 21, 33, 57, 69, 77, 93 eta, qui in forma 4w + 1 con- 
tinentur, non smt summae duorum quadratorum, ex hoc ipeo patet eos non 
esse primes. 

COEOLLAJEaUM 4 

33. In serie ergo numerorum, qui sunt Bummuo duorum tjuadnitorum, 
omnes primp continentur nameri primi huiu format* 4 } I, cltnndo omuia 
producta ex duobus pluribusve huiusmodi numeriH primm, iuin producta x 
singulis Msce numeris in binarium et quoevia nunuro8 quadratoH. 

OOBOLLAHIUM 5 

34. Omnes numeri n, ex quibus fomuila 4w 4* 1 twadifc numerua primus, 
sunt summae duorum numerorum trigonalium. Gum iniiin 4n -f 1 alt summa 
duorum quadratorum, erit eius duplum Hw f 2 Hiunina duorum quadratorum 
imparium [ 4]. Sit ergo 

8w + 2 (Sto + 1)* + (2f + I) 1 ; 
fiet 

H|B .*+* , yy-fy 

T mm ^-v.i -,-.- ..-,.-,--,.', ne4m - % 

r a 

i ...... * A 

' !) 

Quare si n non sit summa duorum numerorum trigonalium, numerus 

in + 1 non erit primus. 



' :' . PEOPOS1TIO 8 

35. ~9i numerus formae 4n + 1 mm in duo tiuudrata infer 

resolvi queat, iim certe est nunmw j?rtim 



Quoniam enim bic numerus ost summa dworum qunilnittinim intar ae 
primorum, si non sit primus, singuli iuH factors irunt xummafl duorum 
quadratorum [ 22], Quare si hie numeroa non PHM* primtw, in huiunmodi 
saltern duos factores resolvi posset, ufc eaot 4n f 1 . (a a -f 66) (re + /Wj; hoc 

autem casu duplex resolutio in duo quadrate locum habiit [f !), acilicet 



27-29] DE NUMEEIS QUI SUNT AGGREGATA DUORUM QUADRATORUM 315, 



I. 4rc + 1 = (ac + U)* + (ad 
II. 4w l=; 



Haeque resolutiones semper sunt diversae, nisi sit vel ac + Id = ad + be vel 
ac _j_ fid = ac Id. Priori vero casu foret ac-{-bd ad be = sen 
(fl__&)( c $) = ideoque vel a = 6 vel c=*d; atqiie hinc vel aa + bb vel 
cc _(_ f ^ numerus par, quorum neutrum esse potest divisor ipsius 4^ + 1 ut- 
pote numeri imparis. Posteriori vero casu esset vel I = 0, vel d = ideoque 
4w + 1 vel = aa(cc + dd) vel *= cc(aa + &'&); unde haec duo quadrata non 
forent prima inter se contra hypothesin. Quibus casibus notatis sequitur 
numerum compositum 4w + l, si in duo quadrata inter se prima fuerit 
resolubilis, eundem ad minimum duobus modis in duo quadrata esse resolu- 
bilem. Quocirca si tantum unico modo. numerus 4n + 1 sit suinma duorum 
quadratorum, certe non erit oompositus ac per consequens erit primus. Q. E. D. 

COBOLLAKIUM 1 

36. Si igitur proposito quopiam numero formae 4w + 1 post institutum 
examen comperiatur eum unico modo in duo quadrata inter se prima resolvi 
posse, inde tuto colligemus eum numerum esse primum, etiamsi eius divisi- 
bilitatem per numeros primos more consueto non tentaverimus. Sic cum 
numerus 73 unico modo sit summa duorum quadratorum, nempe 64'+ 9, eum 
esse primum certo novimus, 

COROLLAKLUM 2 

37. Si ergo methodus expedita haberetur, cuius ope facile inquirere 
liceret, an et quot modis propositus numerus in forma 4w + 1 contentus in 
duo quadrata resolvi possit, exinde promte iudicare poterimus, utrum sit 
primus; si enim unico modo in duo quadrata sit resolubilis eaque quadrata 
fuerint prima inter se, is certe pro primo erit habendus. 

OOBOLLAEIUM 3 

38. Manifestum autem est, si duo quadrata, in quae numerus quispiam 
resolvitur, non sint prima inter se, eum numerum non esse primum. Si 
enim numerus propositus inveniatur esse = nnaa + nnbl , turn divisores 
habebit n et nn; quod idem est intelligendum, si numerus propositus ipse 
sit quadratum seu =aa + 0; turn enim divisorem habebit' a. 



40* 



Slfi DE NUMBB1S QUI SUNT AGGREQATA DUORUM QUADRATOIttTM [29-80 

SOHOLION 

39. Haec regula numeros primos explorandi fcantum acl nunwroH impares 
formae 4w + l est adstricta; numeri enim pares quandoqiw unico modo in 
duo quadrata resolvi possunt, cum tamen non Hint, primi; ita 10 unico modo 
est summa duorum quadratoram, etsi non ost primus, cuiiw roi ratio eat, 
quod in producto (aa + 66) (cc -f dd), cui huiusmodi numeri aaquanfcur, oat 
vel a & vel c = d, quo casu duplex reaolutio, qxiao gwiwatim immi videtur, 
ad unam redit, uti in demonstration oat animadvorBUtn. Noquo voro hac 
exceptione regula data infrmgitur, cum nutnerorum poriuni p^r H facilo sit 
iudicium. Numeri autem impares alterius formae 4 1 hinc Hponto oxclu* 
duntur, quoniam ii plane non in duo quadrata mmt n8oluhil(w. Do cotoro, 
si numerus 4^ + 1 vel plane non roaolubilw ait in duo qutwlrata ?B! pluribus 
modis haec resolutio succedat, pro priori cau iam notAVtnuiR eum nttmerum 
certe non esse primuin, etsi hoc nititur propoBitiono pra^cwiflnto non Hatis 
rigide demonstrata, Pro caau vero posteriori in tuxjuonti prcjpositione indicium 
aflferetur. 



40. Qui nwnerus dwbm $lwibwu& in duo 

potest, ilk non est primus, sed ex d'mbm ad ntinwmm l ) 

DMONSTBiTIO 

Sit numerus propositus N, qui duplioi modo in duo sit resolu- 

bilis, nempe 

JV" aa -f W cc + M t 

Quoniam haec quadrata non stmt aequalia, alioquin enim mmuru8 i per e 
non esset primus, sit a>b et c>d, et quia mwlutionw* fm dua<* unt 
diversae, neque erit a-c neque l> d. Bit igitur <*><:; wi b<d\ wnde 
ponatur ac + a; et d J + . Q uare o |, M bb^n-- dd flet 



y. Sit utraque forma asy*, quia aiterit, par x, altera 
per y est divisibilis; Set 



1) Hanc propositionem iam btovmrnm oognom flitter. Vidt p* 801. P. B. 



30-31"| DE NUMEBIS QUI SUNT AGGBEGATA DTIOBTJM QUADBATOBUH 317 

ye x , xz y 

c= ^__ > 6-.-, . - 

hincque erit 



Nisi ergo xx + yy per 4 sit divisibile, erit xx -f yy divisor ipsius N\ sin 
autem aa + yy sit per 4 divisibile vel numerus utcunque compositus, eius 
certe factor quidam erit divisor ipsius N. Cum igitur sit x = a c et 
y^d l, numerus propositus N=* aa + II = cc + dd divisorem habebit vel 
ipsum numerum (a c) 2 -f (d &) 2 vel eius semissem quadrantemve, et quia 
numeros a, "b et c, d inter se utcunque permutare licet, fact/ores ipsius N 
quoque erunt (a $f + (c - fc) 2 vel etiam, quia radices a, &, c, d negative 
assumere licet, (a c? -f (d 6) 8 vel .(a d) 3 + (c + &) 2 seu harum formu- 
larum semisses aliaeve partes aliquotae, Quare cum numeri plus uno modo 
in duo quadrata resolubilis factores adeo assignari possint, ille numerus certe 
non erit primus, sed compositus. Q. E. D. 

COROLLABIUM 1 

41. Cum igitur numerus N~* aa + W ~=cc + dd sit compositus, erit 
huiusmodi N~*(pp-{- w)(rr + ss). Hinc autem vicissim duplex resolutio in 
duo quadrata resultat; erit nempe 



et 

cps-k-qr, d^jpr g[8. 

Hincque ulterius obtinetur a ^2^s et c ,&*-2ffr, ande fit 7- 

C ~ & J* 

Quare si fractio ~ d ad minimos terminos reducatur, ut sit ^^T' ex 
hac fractione r - orietur numeri -N divisor -rr + s, nisi sit par; nam si 

S 

fuerit par, eius dimidium sumi debet. 

OOBOLLARIUM 2 

42. Simili modo, cum numeros a, & et c, <* inter ae P^ tare at( l ue 
adeo negatives ponere liceat, si fractionum harum ^~ vel ^ altera ad 
minimos terminos reducatur, ut fiat - f , erit rr + ss semper divisor numeri 
propositi N. 



318 DE NUMBRIS'QUI BUNT AGGREflATA DUOUIIM QUADttATOIMiM (31-83 

' . ' COEOLLAJilUM 3 

43. Quanquam autem hinc plurea duubiw divinoivH inmi vidtmtur, tamon 
diversae formulae ita ad oundeiu diviflowm dwlummt, ui mm plum? qmim 
duo eliciantur, siquidem numoriw propoBituH duohiui tut turn modfo in duo 
quadrata fuerit resolubilis. Sic si N> -<8fi ">< !) 3 -j- *j s *. > T *}* fl 1 , furmulao 
i Li } ms quatuor tantum fractiontM in mimmtH tTuai8 



nempe y, y, y, y, quarura. binao p<mtcriortH pro formula rr -}< xs tlupluin 
valorem tantum exhibent eius, qui ox priinw ontur; twdo pui(int fartoros 
esse bino's 2 9 + 1 s'5 et 4 s -f* 1 ra 17, HrovinMint* f^rgu hi furiowH invimituitur 
si tantum radices quadratorum paraa ot impurtw Hoornim invitunn c'umbhunttur 
et combinatio parium cum imparibua pwufcuH onutttttur, tjula hint: fnyifcioues 
orientur numeratorem et denominatorom imptinw halentM, 



PEOBL1MA 

44, Proposito numero guo&ungm 'fimnm 4n + I rspttmtrr. utritm primus sit 
necne. 

SOLUTIO 

Per operationem deinceps oxplicancitwut inviKiigi*iur uwnwuH prtipoHitus, 
utrum in duo quadrata resolvi powit mmn\ i4 ! jjonit t nu phw uno modo 
resolutio succedal Si enim rosolutionom in tiuti quutlnittt plani^ mm admitM, 
id per 32 cerium etit. Bignum numenim projuiHitum mm ww primum, 
etiamsi haec conclusio ex Propositions 5 mm at! ih*miwtrttU noquatur. 
Hoc, qmdem casU de eiw divisoribus nihil eonitiat; interim tattwn crto col- 
Ixgimus eum divisores primes habew forma* 4m - - I, tji tt< i ommm dua 
factores essent formae 4m + 1, is eerfce m duo qundiuU fomt nwluirilk At 
si numerus propositus umco modo sit m duo qiaulriOa nitoliiiiiliH, turn ia- 
tambiliter pro primo erit habendua, Hin autem molutio piuii tino modo 
succedat, turn non solum constabit sum mm mm primum, i,l 0tiam dun 
'divisores. ass^ari potent per 48, His mmmln W ili tnulam, 
ope resolubihtas m duo quadrata non diftteulte eipbrari pyterii 

^umerus^ropositus desinet vel fa i TO I fa, a m i * m 7 TOl lw !); , 
quo m 5 deamit, hie omitto, quia dwisor 5 turn *tt umaifimfcus t indicat 



33-34] DE NUMEEIS QUI SUNT AGGBEGATA DUOBUM QUADRAT'OEUM 319 

numerum non esse primum. Deinde numeri quadrat! incipiendo a maximis 
ipso numero proposito minoribus successive ab eo subtrahantur, ut pateat, 
utrum unquam numerus quadratus restet; quoties enim hoc evenit, toties 
resolutio in duo quadrata succedit. 

At cum numeri quadrati in nullum horum numerorum .2, 3, 7, 8 desinere 
queant, subtractio eorum numerorum quadratorum, qui residua dant in hos 
numeros desinentia, omitti potent. Hinc tantum opus est, ut a numero 
proposito ea quadrata subtrahantur, quae residua in 0, 1, 4, 5, 6, 9 desinentia 
praebent; nempe, 



si numerus propositus 
desinat in 

I 
3 

7 
9 



quadrata subtrahenda 
desinent in 

0, 1, 5, 6. 
4, 9 

1, 6 

0, 4, 5, 9 



et horum quadratorum 
radices desinent in 




Pro quolibet igitur numero proposito 4n + 1 JV tot operationes seorsim 
instituantur, quot radicum idoneae sunt terminationes. Sit igitur pp maximum 
quadratum huius indolis, quod a numero proposito N subtrahi debet; ac turn 
successive subtrahantur quadrata (p - 10) a , (p - 20) 2 , (p - 80)', (p - 4fl) 2 etc. 
Yerum residua hinc emergentia expedite per continuam additionem mvenm 
poterunt hoc modo: 

Numerus propositus N 

a quo subtrahatur pp 

N-PP 
Addatur 20jp 100 



Addatur 



-- 600 



320 BE NIJMEUW QUI SI'XT AiUW&iATV M'nlil'M gl AWatnttUM 

Numeri igitur successive acMwitli wmt 

100, 20;) . 'J/if :t, 'Jti ; , ... 



qui decrescunt in rations antliBit*ttfii |tr tittrt*rfutiat 

operatic pro singulia nunai*ria /i, ijiiurtmt quutinitu tmmr< |ni|tsitii 

sunt minora at qui tlcjainunt In niti|tit*iu ti^urarutn tai|*m iitiiiraturtim, igfci, 

tuatur neque ultanus couUnuMur, IJMUUI iiiw*f wl wun-wm tuH jrtoaiti 

2^ perveniatur. Hi euim nuiruH ,Y fiiMtii HUIIUUJI ituirutn ju;lrat(rmn 

alterum certo semiawi ipsiua iit 

operatione prodibimt quadrata, 

erit resolubilis, 

Hanc autem oporattonmn 
methodis Eumaros primcm oxp 
declarabuni 



3536] BE NUMEEIS QTJI SIM AGORMATA DtJOBtJM QUABRATORUM 



321 



EXEMPLUM 1 

45. Explorare, utrum Me numerus 82421 primus sit necne. 
Operatic per sex columnas sequentes instituetur: 



p 82421 
286 81796 


p 82421 
285 81225 


p 82421 
284 80656 


p 82421 
281 78961 


p 82421 
280 78400 


p 82421 
279 77841 


Q 625 
5620 


1196 
5600 


1765 
5580 


3460 
5520 


4021 
5500 


4580 
5480 


6245 
5420 


6796 
5400 


7345 
5380 


8980 
5320 


9521 
5300 


10060 
5280 


11665 
5220 


12196 
5200 


12725 

5180 


14300 
5120 


14821 
5100 


15340 
5080 


16885 
5020 


17396 
5000 


17905 
4980 


19420 
4920 


19921 
4900 


20420 

4880 


21906 
4820 


22396 
4800 


22885 
4780 


24340 
4720 


24821 
4700 


25300 
4680 


26725 
4620 


27196 
4600 


27665 
4680 


29060 
4520 


29521 
4500 


29980 
4480 


31346 
4420 


31796 
4400 


32245 
4380 


33580 
4320 


34021 
4300 


34460 
4280 


35765 
4220 


36196 
4200 


36625 
4180 


37900 
4120 


38321 
4100 


38740 
4080 


39985 


40396 


40806 


42020 


42421 


42820 



Cum igitur hie unicum occurrat quadrature 625 ideoque numerus propositus 
82421 unico modo sit in duo quadrata resolubilis, nempe <= 25 2 + 286 s , is erit 
primus. 

SOHOLION 

46, In hoc compute quatuor columnae, ubi numeri residui desinunt vel 
in 5 vel in 0, notabiliter contrahi possunt omittendis omnibus iis, qui non 
desinunt vel in 25 vel in 00, Quare in columnis, in quibus residua desinunt 
vel in 5 vel in 0, subtrahatur primo proximum quadratum, quod residuum 
praebet vel in 25 vel in 00 desinens, hocque quadratum dicatur pp, ut resi- 
duum sit ****N~~-pp", turn quadrata, unde residua simili modo desinentia oriun- 
tur, erunt ($ 50) 2 , (# 100) s , (# 150) 2 etc. ideoque haec residua obtinebun- 

LBONHAKOI Eirwsm Opera omnia la CoratnentationeH arithmeticae 41 



322 



DE mmi'iiuft gn *ux'r AIHSHNJATA 



tor,- si ad N ...... -pp tumtimui addanfur lit wim.'ri !"/* tf,w 

1000 12500 1 ), qui dt'wwumt urilhiw'tu't* sin-twlttm liUVnutiaw nwjtt 
5000; uncle ban colunmai' nwx al tii nH-iH-i'iitur, liitii .*;u mm ultra 
semissem numori proponili nmtimiari ojnw r;tt, lltr krttiir *H m |imlium 
locum habebit in numiTW wl in I v*t in I 1 ^l^iiMnitit.iH, t|tti 
etiamsi sex columnaa rwjutraiit, iluin ln n*HiuiM tprntmu- ^uit 

expedientur. 

KXKMl'U'M l! 



, 



47, Hlorurt't utrum hk nummts U*?M prim,*. 



310 

nun 



*"5 
JMIOU 



*jH4 HUfifiA 

asinw 



tl I *'* 



Gum ergo unicum occurrat quatlrnttmi 4'*ift?, p > iJJ; f tit IIKSWI ^^Jfi* f 114 s , 
erit hie numerus primus, 



1) Editto prim*!* (alijtw lw ti#&itt .inff.w *i >tH>rri th**|, ;?;****; J^ lTfiW)j 
- 126000 pi . , . (!arrut F !i 



37-38] DE NUMERIS QITI SMT AGG&EGATA DUORTlM QUADBATOHUM 323 

EXEMPLUM 3 

48. jExplorare, utrwn Me nwnerus 1000009 sit primus necne. 1 } 



p 1000009 
1000 1000000 


p 1000009 
78 956484 


p 1000009 
997 994009 


p 1000009 
95 990025 


3 2 = 9 277509 
19900 16900 


43525 
95300 


6000 
97200 


9984 285984 
19800 16800 


19909 294409 
19700 16700 


138825 
90300 


103200 
92200 


29784 302784 
19600 16600 


39609 311109 
19500 16500 


229125 
85300 


195400 
87200 


49384 319384 
19400 16400 


59109 327609 
19300 16300 


314425 
80300 


282600 
82200 


68784 335784 
19200 16200 


78409 343909 
19100 16100 


394725 
75300 


364800 
77200 


87984 351984 
19000 16000 


97509 360009 
18900 15900 


470026 


442000 


106984 367984 
18800 15800 


116409 375909 
18700 15700 


p 1000009 
972 944784 


p 1000009 
953 908209 


125784 383784 
18600 15600 


135109 391609 
18500 15500 


235 2 = 55225 
94700 


91800 
92800 


144384 399384 
18400 15400 


153609 407109 
18300 15300 

171909 422409 
18100 15100 


149925 
89700 

239625 
84700 


184600 
87800 

272400 
82800 


162784 414784 
18200 15200 

180984 429984 
18000 15000 


190009 437509 
17900 14900 


324325 
79700 


355200 
7780 


198984 444984 
17800 14800 


207909 452409 
17700 14700 


404025 
74700 


43300 


216784 459784 
17600 14600 


226609 467109 
17500 14500 


478725 




234384 474384 
17400 14400 


243109 481609 
17300 14300 
~ 260409 495909 
17100 
277509 






' 251784 488784 
17200 

268984 
17000 

285984 



Hie ergo numerus 1000009 duplici modo est in duo quadrata resolubilis, 

' 1) Sequentis computi errores, qui in editione principe inveniuntur, iam in Comment, arithm. 
correct! sunt, F. B, 41* 



324 DE NIIMKEIB Qtfl 8UNT ACHiHWATA w:oW*M gfAIWAToKl'M [ 8 8 

auitroe lOOO' + H'^LWiM-'tf" 9 * untlt* in mm frit jrimuH; factors vwo eras 

M. i ir ttiiKi J ls7 <J ... , 11 

reperientur ex Imc formula " m \ 8 <ul iiinumciM tmnuum rtMlurUi, nude 



oritur: 

' 



m:>r 

235 + 3 J43H UU 7 



- H 

!i2 ft i 3 



qtd factores facilius invenientur m formula 



1000 -O7a an M a 

aas 3 v ^:IH ' ' i ttt ' " it 



Novioras ergo OSHO 1(KXKX)!)-"'UJKJ'IW13, tjui furfurtw itwllit uliu u*thotlu tarn 
facile reperia fuieaent, 



38-39] BE NUMERIS QUI SUNT AGGBEGATA DUORUM QUADBATOKUM 3j5 



EXEMPLUM 4 



49. Explorare, utrum Me numerus 233033 primus sit necne. 



233033 

228484 



58309 
8260 

66569 
8060 

74629 
7860 



97609 
J7260 

104869 
7060 




118789 



Qnia ergo Me mimerns, etsi est formae 4n + l, n<m est summa duornm 
5 dratomm, vi PropositioniB 5 colligimus eum non esse numern^ ^ 
Ltores quidem eius Mnc assignare non licet internn ^. 
enm saltern duos habere factores formae 4m -1; qni mvesfagatx 
reperientur 467-499. 



326 BE NtJMERIS QUI SUUT AWRKtWA WttRf'M 



39-40 



EX1MPLUM ft 
50. EaqpkKarc, utrmn hie nunierwt >H:it>f7 primus 

262657 , 2fi2ltt7 : _ 'JttUfi;7 

511 s - 



132830 



ntrnr. 



Cum igitar Me unicum quatlnituwt iH'rurmt UUMJ 
modo 262667 12!) 1 + 4911 s , liitpw nttmm l*J!i i*t 
certmm est ntuneram 262657 ww {trtmtmt. 



10120 


HWH< lMit!o 


iUHU 


11656 
9920 


OHHO UH'jn 


l !I!?wi 


31678 
9720 


2a.'art u*u*u 


4 ''ftHO 


3129ft 
0520 


04 HO iii20 


a i:!w 


40810 
9H20 


4 SiIu l w 


ivau 


6ni aft 

0120 


,Mt/tl at 72 1 


H'JHO 


IMO 


ii nn* t n:i?it 

HHi , *'Jtt 


lu'ift*.!! 

HlKIJ 


GH178 

8720 


HttHU ' Hft*J* 


1 131 U 
H, '*< 


7fiH9ft 


THfilll 5 HttKI 


Tii 


864 Ifl H7t> ! HUOOJ 

8320 ' HUH H !*!*! 


^ilSu 


8120 HUHU will?** 


sy i -i i 


7980 ! 7HKi 7H'jit 


7V HO 


10977ft' tuaao U:MJI 

7720 ' 7H 7rtV*n 


11 Ji*. 


tl?40fi II9Utfl I'JI'JB! 
7630 74W* V'lVi 


1',!',!? 1*1 
* fwt 


1 2 50 1 6 12tUtlti I** <**<! 
7U"JIO i 7Stt 'j;f* 


I it* * I ft 1 



Ifit ut nit unico 
t inttr primi, 



40] 



DE NUMEBIS QUI BUNT AGGREGATA 



EXEMPLUM 6 

51. Explorare, utrwn liic numerus 32129 sit primus necne. 



32129 
L52 2 = 23104 


32129 
177 2 = 31329 


32129 
1752=30625 


95 2 = 9025 
12700 


800 
15200 


1504 
3400 


21725 


16000 


4904 
3200 


32129 
148 2 = 21904 

10225 
12300 


32129 
173 2 29929 

2200 
14800 


8104 
3000 

11104 

2800 


22525 


17000 


13904 
2600 

16504 



3229 
3300 

6529 
3100 



12529 

2700 

15229 
2500 



17729 

Hie Igitnr numerus qnoqne unico modo est in duo quadrata resoUrtrilM 
_%' + 152' sed-quia hi Tinmen 95 et 152 mm snnt prim! inter se, sed 
communem divfcorem habent 10, numerus proporitus non erit pmnns, Bed 
factorem habet 19' -361 estque 32129 -19" -89. 

SCHOLION 

52. Quanquam haec methoduB explorandi nnmeros, ntrom rint primi 
necne, tantum ad numeroB in hao forma 4+l conteatos ext^tur, Lam n 
aaepenumero in diindicandis nnmeris magnum subBKtam ~ P 0teS ! 
Quantum autem aliis regulis hoc idem praeBtanch antecellat ^^- ^ 

m abBolyet, dum ope huius regulae ipsi vix semihora opns 

erit. 



DEMONSTBATIOTIIKOHKMATIH FKRMATIANI 
OMNEM NUMEIUJM 1'KIMUM KOR.MAM 4 I- 1 
ESSESUMMAM DUOUUM QCADHATORUM 1 ) 



U< 514 1 hwlirw 

Novi coMoraorilarii acftdtmmo icit'titmnim l*t*irtjj4ItMtm*< ** i 174 .", 1 7u p Ji t:i 

Bimimtmttm Uwlrm - * * f * 



BUMMAHinf 



Da hots inslgat tlwartrnmte iwu in ttjHHri ftnut* 1 ! ti (VI, Atirlurr r|fr**|fiH* ohtrvtvl;i(jnti8 
sunt prolatae, quibua eius tritttH turn wilitlip rtli}w ftiit mmpiotmtH, nt itultutn <lubium 
relinqm Tidereiurj naqua ktwni*n Itin riitiwi* 1 !* vi'nn flrmi' t*"tj<trUti* wiufiitt'lmnt, lit 
hoe memoraMle oeniifctir ^mj>hHfl t'luwmtnti jit|*ili*ti$ip, t!* rntu vtritntt* dtthitaro uafas 
sit ; etiamsi eomplata dmontmtit>Hi cleititttitmuf, Ttdilnts itutvin jf|<iifitjlnw ntsquain 
minus quam in MatliMi locum reltnqui lg j*tititttr, In iiiti* firtnthi *l*mtmst 
iaonibus muaita yldontur. Vwuiu hem t4Iro tmttnm in ttm-trin* mtmi'rornm u*u vtniro 
depreliendimuB, in quontin itatara ttertittmtU Kt-:uM4ttt?K ilii rwltmf t qtiHin 
proprietates ckteierit atq i*titw (lfmunntm8t* uit |*rfitw, r|*!iiriii iibmmpi 
sin d0naoEiitri.tione verltati eo8et4iw8 sifnow'rr** tlfhwit!*; 4 in ntliijtiis Matheaaos 
partibus .ac multo magii ina aliitt mnc*ntiw* g"nfilP, <|UMinuu jir*}^ititmm tritiM nmi jiwr 
rigidas demoBstratioiwg nobin wt jpwpwt f tw* mcrttft utttqwHtai* vltlfri I4ti'itf t ruin tuleo 
pleramque, quandoquidem ras afcutrttitts iniurrl liwt, fekfw l'{ri'tH'nttmtun In HH ^n&m 
igitur imprimis istud theoninaa KKKMATIAWH, iu*Hl ointti iwitifrtw {irituu* furiniw 4-t-l 



1) DemonstratioHem lc ia ClHfttiWIn34! rtttoniai Ht'i.r.tr<t iarti in ('pintol* tl, 
1749 ad OHR, OOLIBAII seripta iipoifc, rm'ir-jjxtmfowr w*i*, *f |%i. /rti^iVf jwir 1*. / 
Si-P^tersbourg 1843, i I, p. 40S| Lmn4*M Ktwrtt O/imi owwrt. *i-fi**n HI, F, II 

2) Vide Oonmentatloittm SSE buius vtotutnmi't, F. fl, 



4-6] 



DEMONSTRATE) THEOKEMATIS FERMATIANI 329 



sit surama duoruin qnadratorum, studium Geometrarum fatigavit atque Auctor noster 1 ) in ems 
demonstrations investiganda multmn diuque desudasse videtur, cum in superior! tomo plura 
theoremata hue pertinentia ex profundissimis numerorum. inysteriis elicuisset neque tamen 
scopmn attingere potuisset. Tarn prope autem eo pertigerat, ut Me quasi reliquo spatio 
feliciter confecto tandem perfectam demonstrationem sit adeptus, quae, cum per tot ambages 
tantasque numerorum difficultates sit deducta, eo magis attentionem et studium Geometrarnm 
excitare debebit. Nullum enim dubium est, quin Ms arguments probe perpensis via multo 
brevier et planior eodem perveniendi aperiatur. Talis autem demonstrate brevior ac certe 
nobis planior aditum ad abscondita numerorum arcana esset patefactura, quae etiamnuni 
nonnisi quasi per tenebras contemplari licet. 

Versatur ergo memorabile theorema circa numeros formae 4w + l sen eos numeros 
impares, qni imitate exeedunt multipla quaternarii; qni sunt 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 
37, 41/45, 49 etc. In his distingirantur numeri primi 5, 13, 17, 29, 37, 41 a composite 
9 21 25 33 45, 49 ac de illis affirmatur singulos esse aggregata binorum quadratorum, 
veluti 5-1 + 4, 134+9, 17-1 + 16, .29-4 + 25, 37 = 1 + 36, 41-18 + 25 etc, 
quod eo magis mirum videtur, cum liaec quadrata nulla ratione procedant. Inter composites 
autem etsi alii ipsi sunt quadrata, ut 9, 25, 49 etc., alii yero etiam smnmae duorum quadra- 
torum, nt 45-9 + 36, tamen inter eos dantur, ut 21, 33, qui nullo modo summae duorum 
quadratorum a ) aequantur, unde propositio tantum ad numeros primos formae 4n + l restrin- 
gitur. Huius ergo yeritas mmc demum pro demonstrata est liabenda, siquidem demonstratio 
FEKMATIANA penitus intercidit. In praeoedente autem tomo demonstratio eo erat product*, 
ut ostenderetur, quoties 4n + l sit numerus primus, semper dari eiusmodi duos numeros 
a et I ut a 2w + & sn esset per 4n + l diyisibile; noc ipsum autem turn sine probatione 
.relinquebatur. Nune igitur negotium ita Auctor absoMt, ut, cum multo ante demonstrasset 
bane formam a*~~V seu prodnctum hoc (^-^)0 2 + & 2w ) semper esse per numerum 
primum 4n + l divisibile, doceret semper dari casus, quibus alter factor a*-V non sit 
diyisibilis per 4n + l? turn enim necessario sequitur alterum factorem a*-}-V hunc dm- 
sorem complect! Quod reliquum est, iam ante erat praestitum; quia enim a' + & B est 
summa duorum quadratorum simulque firma demonstratione eyictum est summam talmm 
binomm quadratorum nullos alios diyisores admittere, nisi qui ipsi sint duorum quadra- 
torum summae, necesse ert numerum 4n + l ease summam duorum quadratorum Hmc 
igitur liquet, quam subtilia et undequaque conquisita ratiocinia ad humsmodi demonstrates 
requiraaitur et quam longe adhuc a solida numerorum cognitione simus remoti. 

1) Secundum manuscriptum-, editio princeps: Oel EULERUS. F. B. 

2) In editione principe manuscript! verba ut 45-9 + 36, tamen . . . ^uadrator^ ormssa 
sunt. P. B. 

LKONHAKDI Euwm Opera cmmia la Commenfcafciones arifchmeticae 



330 DBMON8TBATIO THEOEEMATIS FBEMATIANI OMNEM NUMRHUM PR1MUM [B ...... 4 

1 Gum nuper 1 ) eos essem contemplate numwoK, qui ax additione 

duorum quadratorum oriuntur, plurefl demonstmvi proprbtatoH, quibua tales 

numeri sunt praediti; neque tamen mean meditations wwqua pcrducwo 

licuit ut hums theorematis, quod FKRMATIW S ) olhn (tooinHriH domonfltrandiini 

proposuit, veritatem solide ostondero potuiHH<m, Tontomw 1 ) tampji dmnon- 

strationis turn exposui, undo cerfcitudo huiiw theormnatiH inulto lucnlentiua 

elucet, etiamsi criteriis rigidao demonHtaiticmis diwiit-iuitur, utuiuo duhitaivi, 

quin iisdem vestigiia insistondo feindom (Unnonstruiio cloHidmtn faciluw 1>U- 

neri possit; quod quidem ex co tomporo mihi \\m UHU vonit, ita ui ten- 

tamen illud, si alia quaedam loviw conflidorat,it> iwrmlnf., in ri^duiu domciu- 

strationem abeat, Nihil quidoin novi in ban ro mo prniwUiwHo gluriari pew- 

sum, cum ipse FBRMA.TIUB iam domo8tmtitunn huiiw thoorwnai.iH licniiHHo 

se profiteatur; verum quod cam nwK(|imm \n\Um \\\m fonit,, HUH ianlura, 

perinde ac plurimorum aliorum ogrctfiorum huiim viri iuviiruin dlic.it,, ut, 

quae nunc demum de his dopordii.w rnluw ciuum m-upiTainuH, w on hniticv 

rito pro novis inventis haboawtur. (Hun wiini wmu umiuum t,ain folicitor in 

arcana numerorum penetraverifc quatn FRRMATHIH, oninw opera in han flchmtia 

ulterius excolenda frustra impondi vidotur, mm anfis tjtmt* nb hoc <xwilonti 

Viro iam fnemtit iiwestigata, quaBi de novo in lm*oi pwtrahautur. Ktsi 

enim post eum plures Tiri doofci in hor HtwUurum |icucro virw wins oxnr- 

ciienmt, nihil tamen plerumquo unt. conHWiU, tjuotl rutn itipmit* huhw Vlri 

comparari posset, 



2. Ut autem doinonatrafcioncnn thtnirenuifciH, quotl hir 
duas propositiones in Bitlmidium vocart opor^it, (pmrutn lit^ttunHfrattonnin lain 
alibi dedi, Altera est, quod omnoB numeri, qui HI${ diviH(*ri*H Kuttuuin* duorniu 
quadratoritm inter so primomra, ipi Hint. Hiimiu< diwruw qtmdrsHnruin; me 
si a et & sint numeri irite a primi atqu ntuniri <*x iin fornmtt 1 /'/' 
divisor sit d, erit quoque d umma duorunt quiidrutitnun; huiun tlwurnmatiH 
demonstrationem dedi in scripfco ante nuwiurafcu, quo iiumoroK, qui Hunt 
duorum quadratorum summae, sum ccmtmplatiw.*) Altera prttpositiu, qua 
demonstratio sequenn indiget, ita at? Itabet: Hi p mt nununm priinuH atque 

1) Vide Oommentatiottem 228 huitis voluaaiaii, F II, 

2) Videnotam 2 p, 810, P. B, 

3) Tide p. 811, P. B. 

4) Vide Oommentationem 228- hmw folwrniaii, isaprtiaii propoiifeionem 4, P. K, 



4_6] EORMAE 4w+l ESSE SUMMAM DUORUM QUADRATORUM 331 

a et 6 numeri quicunque per p non divisibiles, erit semper a p ~ l fr*" 1 per 
numerum primum $ divisibilis; demonstrationem huius rei iam dudum in 
Nov. comment, acad. Petrop. torn. I 1 ) dedi. 

3. Quodsi iam 4*4-1 sit numerus primus, per eum omnes numeri in 
hac forma (/ n & 4 " contenti erunt divisibiles, siquidem neuter numerorum 
a et & seorsim per 4w + 1 fuerit divisibilis. Quare si a et & sint numeri 
minores quam 4*4-1 (cyphra tamen excepta), numerus inde formatus 
ft * f/ sine ulla limitatione per numerum* primum propositum 4w + l^erit 
divisibilis. Cum autem <*** &*" sit productum horum factorum a lw + & 9 " et 
a _& 8 , necesse est, ut alteruter horum factorum sit per 4* 4 1 divisibilis; 
fieri enim nequit, ut vel neuter vel uterque simul divisorem habeat 4* + 1. 
Quodsi iam demonstrari posset dari casus, quibus forma <t 2n + & a " sit divisi- 
bilis per 4*4-1, quoniam a 2 " -f &*" ob exponentem 2* parem est summa 
duorum, quadratorum, quorum neutrum seorsim. per 4* 4- 1 divisible existit, 
inde sequeretur hunc numerum 4* + 1 esse summam duorum quadratorum. 

4. Terum summa a'" 4- ft"" toties erit per 4*-fl divisibilis, quoties 

differentia a*"- & 2 ' 1 per eundem numerum non est divisibilis. Quare qui 

negaverit numerum primum 4*4-1 esse summam duorum quadratorum, is 
negate cogitur ullum numerum huius formae a" + & 2w per 4* + 1 esse dmsi- 
bilem; eundem propterea affirmare oportet omnes numeros m hac forma 
fl " 6- contentos per 4*4-1 esse divisibiles, siquidem neque a neque & per 
4w 4- 1 sit divisible. Quamobrem mini hie demonstrandum est non omnes 
numeros in forma a**~V* contentos per 4*4-1 esse divisibiles; hoc emm 
si praestitero, certum erit dari casus sen numeros pro a et & substituendos, 
quibus forma ^-^ non sit per 4* + 1 divisibilis; illis ergo casibus altera 
forma or" 4- ft 8 " necessario per 4* 4- 1 erit divisibilis. Unde, cum a " et b ' 
sint numeri quadrati, confloietor id, quod proponitur, scilicet numeruni 
4^4-1 esse summam duorum quadratorum. 

5 Ut igitur demonstrem.non omnes numeros in hac forma a"-V* 
contentos seu non omnes differentias inter binas potestates dignitatis 2rc esse 



1) Editio princeps: in Comment, Acacl Petrop. Tom. VIII. Oommentatio autem conamemo- 
rata est Oommentatio iU hmus yolummis; vide ibidem theorema 4 F. R. 



332 DEMONSTRATE THEOE1MATIS FEHM ATIANI OMXKM NUMKIWM i'RIMUM [8-7 



per 4w + l divisibiles, conKidorabo Ht*rim hunuu potwiatum ah 
ad earn, quae a radice 4 formatur, 

i gSs ills A** r.t* {!** j'.twY 1 *' 

1, 4 , a , | > i w t * rt//^ 

ac iam dico non omnes diffortmtuts inUr him* twmiww hutim ncrun OHBO 
p er 4^ + 1 divisibiles, Si onim wnguhw iUtV<wntia<* iriniu 

2 s "*! 8"* 2'" 4 |M - -a 9 ", 5 s ~f% , , , >4> in l*4w 1) 8 ' 1 



per 4w+l assent divisibiloa, oMam tliffi 4 niitiiM hums jmignwuomH, quao amit 
differentiae secundae illiufl 8wi(*i t |r 4w f 1 pjwwit tliviMihilon; ntju ob 
eandem rationem differentiae f^^Mat*, efitariiMs quintnt* i*t*. nmiu^ fnnt per 
4w + l divisibiles ac doniquo otiam diffonnitiai* ortUiun i!w, <JUH nuut, tit 
constat, omnes inter RO aoquttlon. l)iffi*r^ittiiit* nuimu tirdinw U snnt 
=*l'28-4*"2w quao ergo por nuinorttm primum 4w | 1 nun Hunt divwi- 
biles, ex quo vicissim aoquifcur no mnww i|tii<li*i ttiflVrwiiistH priman ptir 
4w 4- 1 esse divisibiles. 

6. Quo vis nuius damouatraiiciniii wt*Uiw i*>rjiiriatur iwtamlum nHt 
differentiam ordinis 2w product <*x 2 f- 1 tormmtH Hiriin prttpoMiiitts qui, si 
ab initio capiantur, omnes ita mint compamti, ui hsnurum tiuonunvw diffe- 
rentiae per 4w + l diviaibilflB s (It'btmnt, HI IhtmrttttmiiB vt*ritit,H nog4r, 
Sin autem plures termini ad bane clifftwntUum ult-ttnnm (MniHUtuinttiam non- 
currerent iique ultra tormiuum (4w) le> prigrwi^rintur, <{Utntmiu tlitlVrtnitiae a 
termino sequente (44-l) 8w ortac^ ad ommdatH thiHirmimtiM non pwfcinonfc, 
clemonstra-tio nullam vim retmerot, llinc mttinn, qtwul tHffi**nt ia ultima, 
quam sumus eontemplati, tantum ah 2 i I twmiitiH jntii, rtjni'lttHio, quam 
inde deduximus, omnino oat loglfcima; iwl4Ui Bmjtatur *lii {UfftrtntiuH pri- 
mas, veluti a sw ~(a l) la , quae wm mt pw 4 }- 1 diviwhiltw atqut ita 
quidem, ut a non sit raaior quam %n -f- 1, lime auUm pnrrn rttcto infwrtur 
summam a stl + (a l) Sw idooque summam duortwii quailratorum pnr 4-fl 
necessario esse divisibilem idooque numnrum priiuuin 4n -\- I uminam 
duorum quadratoram, 



7, Quoniam differentia ordinis 2* ab 2 + 1 tt*nniiiiH mwi pottwtatum 
pendet, totidera tantum ab 



SUMMAM 



838 



differentiae primae erunt 



2 s * 1, 



>2 



4.**$* t 



cuius progressions terminorum numerus est -2. Ex demonstration 
itaque praecedente patet non omnes terminos huius progresses differen- 
tiarum esse per numerum primum 4n + 1 divisibiles; neque tamen hmc 
intelligimus, quot et qninam sint illi termini per 4 + 1 *on dwmbiles. Ad 
demoustrationem enim sufficit, si vel unions terminus, qnisqnis die sit, per 
4 + 1 non sit divisibilis. Quodsi autem casus speciales evolvamus, quibua 
4 + l est numeruB primus, ex differentiis istis, qnarum numerus est 2, 
reperiemus semper semissem esse per 4 + 1 divisibilem, alterum vero 
semissem non divisibilem; qnae observatio etsi ad vim demonstrates non 
spectat, tamen ad earn illustra n dam_non parum confert, qnare ahquot casns 
speciales ad oxamen revocasse iuvabit. 

8 Minimus numeruB primus formae 4 + l est =5 qui oritur,^si 
n-l; unde duae habebnntur differentiae 2'-l et 8--SP, 
non est divisibilis per 5, attera vero est divisibilis. Pro 
utamur si K no A ad eas differentia* indicandas, quae sunt divisAiles, at 
rnotemus, quae non sunt divisibiles; quae signa different pro quov* 
casu subscribamus: 



13 
17 



Differentiae 











d 







d 



2 8 l 3 8 2 8 , 4 8 3 8 , 5 8 4, b 

d ' J0_ _0_ l._ 

' d d d 



8> 



,3 



d 










semper per 
" if A 



334 DEMONSTRATE THEOBKMATI8 FKRMATIANI OMNKM NUMKUUM I'KIMUM [9-10 

9. Porro quoquo ad vim dim<mHtratumi pinatian p^rHpicitiuiam notari 
oportet demonstratitmom turn wlum lonim Iwbnv, si mtmww .|w-|. 1 sit 
primus, prorsus uti nattira thporomatw juwtulttt. N r nw HI 4w-|-t mm asnet 
numerus primus, nuquo do oo afiirmari punnet, quod nil numaai duoram qua- 
dratorum, neque forma a 4 " 6 U per cum wit wwHHurio clivisihiliH. Quin 
etiam ultima conclusio forot fatal, qua prommfiuivimiw lUffwutwH illan or- 
dinis 2, quae sunt l-a-a-4 "-2W, mm tvw^ pw 4-| I divwihUoH. Si 
enim 4w + l non ossot numonw primun, stui tacUrtH hahcrct, qtii (Hscnt 
minores quam 2, turn ulitiuo prtulucium 1 - fc J * iJ 4 - - Uw hew fariorcs con- 
tineret foretque idcirco per 4 -} I divintbilts At M 4w j 1 tsi muneruH 
primus, turn demuin affiramre licoi pwlud-um I -^ 3 -4 >w plant* non 
esse per 4w + l divisibilo, quia hoc pnnltiftitm pt*r millun altos 
dividi potest, nisi qui tanquam facioran ia iltud ing 



10, Cum doniqtio doimmsiratio Iradita bur nilalur fumluim^ito, 
seriei potestatmu 1, 2'", ii'% 4 s " ota tlUrtmiiiai urdintM 2w mat rua8taatH 
omnesque 1.2. 1 J'4 2u, hoc xUmrhw oxptiraailuni vidolur, wi-ni paHHim 
in libris analyticorum Holido c*xp(Hitum wp^ritt\ f j l*rimum igitur uotttndimi 
est, si seriei cuiuHcunquo torminuH gpnuraliH H<H in, tjui txjH)amiti iitddiaito ;r 
respondet, sit Aaf+Jl-jr ! + 6V" " |- /^ M * f /tf/* * |-tr., htirtr Hwiom 
ad gradum m reforri, quia wi tint oxpomnw tuaximu4 jmltvlttfix ijmiurt /, l)wnd 
si hie terminus gcneralin a noquenUi /l(/-hlf -f- W,<*' I' if ! -|"^V }' If 3 |'U% 
subtrahatur, prodibit terminus gtmuralin Htrtin ililfiri*utianitu, ia qua i^ptmwiB 
summae potestatis ipsiu tc (irit " m - 1 idtot|i* Hnt*.H iif!t*rtnUiirum ad 
gradum inferiorom w 1 pertinohifc, Furl modt> i*x t*nnit gii*ruli wrUri 
diilerentiarum pri manna aolligcinr t(*rtuintm git*ruliH w*riti diUVnmtiitrum 
secundarum, qui igitur ckmuo ad gnuiuin dt*prt*HtnH m - - *2 iirtit*bit. 



11, Ita si series propoaifca ad gradum m rof^ratar, M4^rit 
primarum ad gradum m I rftwiui% KtriiH |H*rti (iiifcmiiiarum wtcuu- 
darum ad gradum m v J, uorien ditrartniiiartuu tartiitrum utl gradum w 3, 
series differentiarum quartaruni ad gradtim m - 4 tl in gouont wriH diffo- 
rentiarum ordinis ad gradum m w poriinohit, I'utlH m*rit* dill^reniiarum 



1) Vide exempli gratia L, KULHUI Institutiuiw calculi li//rr* !!!, jmrliti |riurts mp I ot II 
imprimis 60 et 61, Petropoli 1756? LKUHMIKM Kvtutt ttytttt t^-wwVi, ttris I, vol. 10, K. It. 



10 _! i\ tfOBMAE 4 + 1 ESSE 3UMMAM: p-QOBtM 



ordinis m ad gradum -m-0 perveniet eiusque ergo terminus general, 
Mia summa ipsius * potestas est -rf-1, erit quantitas conrians ideoque 
Lies differentiae ordinis inter S e erunt aequales. Hinc senerum pnnu 
gradus, quaram terminus generalis est _^ + B, iam differentiae pnmae 
S inter se aequales, seriernm autem seonndi gradus, quae hoc termxno 
general! Ax'+Bx + C contmentur, differentiae secnndae snnt aequales, et 
ita porro. 

12. Quodsi ergo seriem quamcunque potestatam consideremus 
1, 2, 3, 4, 5",' 6", 7, 8'" etc., 

cuins terminus generalis est - f seu is, qui indici x respondet series diffe- 
relarum ordinis * ex terminis inter se aequalibus constab.t. At ser 161 dzffe- 
rentiarmn primarum terminus generalis erit 



q ui a sequente (* + %-(* + 
differentiarum secundarum, qui erit 

( + 2)" -2 ( + !)" + it"- 
Hinc povo seriei differentiarum tertiarum erit terminus generaliB 

(a + 3)" - 8( + 2) m + 3 ( z + V - ar; 
ac tandem seriei differentiarum ordinis . concluditur terminus geueralis 



&I^l)l^l(x + m 3) m -f etc.; 
J..2-3 v 

qni cum sit quantitas constans, idem erit, qnicunque numerus pro . substi- 
iU ^lZn^+ m ^^^ 

ubi in forma priori posuimus - 0, in posteriori * - 1. 



Ti VXI 



386 DEMONBTEATOTItKOHEMATK TOiM.l 

18 Evolvannw iam nwus hum*. *'ri.*i sji 
mis ad'altiurw aBCWitlttiutw. A* !*> I'" '" 
terminus gtmoralia diffwutittnim iriiurttiw i^ri 



M'MKUm IMUMKM [II , W 

^ *t H iotit!itilwH mini- 

li<irb4 l * - :I - 4 * <'< tc. 



Si 



, sera 



ial 1, *'. a 1 . 4-, 5' ^ .!iir.-r.-iitia* 



at est 2 s 



Sit w-8 et serit'i 

vel a 
at 



qua ex cami 

seriei I, 2* } {)* 4 4 



tin*' m-wnt 



t. 



at est 



14 Quo Me 
differentiae ordmia 
orcllms m 1 



>iit jt*Ti** t, '4"*, T, 4"*, r' 4 t*U', 
I, ^^'. .T' fl , r". ; Mt * H*\ tirtVmi!iw 



* M 



i P ex forma pteriwri itt- 4f i*t f*rt*irt jnii 
utmqun parkin w-r timm 

terxttinos eiprcwwrife I 1 mmi ! it**ritttf 



**t 



wti I 



12-13] tfO&MAE in + 1 ESSE gtMMAM frtOBUM 

est 

(m + l) ffl : (w + 
: (m -f- l) 



33? 



m 



: m 



._- 



Hanc ob rem erit 



15. Hino ergo patet fore 

seriei 
1, 2, 3, 4, 5 etc. 



etc. 



ideoque 



ergo 



? 

1 2 8 3 8 4 8 5 8 
1 9* 3* 4 4 5* etc, 

A*) ** ) J 7 



2 m 3'" 






differentias 
primas 1; 
secundas =1'2, 
tertias =1-2 -3, 
quartas ==l-2-3-4, 

" ordinis m 1 2 3 m , 
ordinifl 2w ==l'2-3---2w 



, . iij. 1 O2n Q2 /iSw R2 pi-j-n 

Atque ita quoque demonstravimus seriei potestatum 1, 2 ,A , 4 , etc. 
differentias ordL 2 non solunx esse oonstantes, sed etiam aequan prodncto 
1.8- 8 -2, uti in demonstratione theorematis proposita asromsmus. 



Oper* ornui. 



axithmeticw 



DEMONSTRATE THEOREM ATIS FHHMATIANI 

OMNEMNUMERUMH1VH INTKURUM SIVK KRAUTUM 

ESSE SUMMAM QUATUOR 1'AUOIORUMVK 

QUADRATORUM'i 



Common t&tio 248 iwHois 
Novi eommentariu academic HoieoUarum IVtrujjulitfcww* S tI7i4a)> 17UO, |> Kl fH 

ibidem jt, fi 7 



Efaio scripto pag-. 18 sine peouliwi tltulo wliuupittr wwtt tlIP8*rtnti I tpm riwidua, 
quae in divisione numerorum quatiratornm jmr qtuwvi* ttvtm^rtm rfmniu*ni, txtunini tub- 
iiduntnr, unde Iterum epegia numerorum prjtfit*tot tlwlwtniwtwr, vtl nmtiini} nmm nl 
iam quidem oognitae, Red ROTO moclo clwnoifritw, N**m ignnrnf umni** numro qa" 
dratos, qui per 8 dMdi uetjueunt, in ctivii<m* *n\iw imitotom f^Um^ww ntnjue ullum 
dari numerum qiadratum, qui pw S tlifiti duo rt4itjt, HtmiU modo uuUuit tlatur 
nwnerus quadrates, qui per 4 divius yl 2 vil rriimiuitt, *wt rraiduum t*rapr fc 1, 
nisi divisio suecedat, qtio eaiu rwicluum mwi'mlttm i*ii (, Utrfmtt* nutiuN ttnlur ttiimfrui 
quadrates, qui per 6 aivtaua wlmquat f trt f H! rosidiw *iiipr nuiit vrl vtl I wi 4 
Atque in genere per qum0unq0 mimttrnro ittii*ri t|utu)rttti tllvulwttwr, n rwidnis curtl 
irameri excluduntur, qwo CeL Auetor hte intprlmtit ruiiid*rt ri iww r*v*Wua ftppeliai 
Turn pro quoomque dWsore exlmlw propriUt4s turn Inter rwitltm qttiim noa-niduft 
obeerrat indeque plura egrogia tliioromato dm<mtrt; fi'lutl hnnqum i^wilre poww, ut 
haec forma Amn-m-n, quiounque etltw ituinwri pr w il it ttrttWitr, Hut itumeras 
quadrates, Hii specmlatioziibui iantum now ddiwiiur Ar tr tuwlnti H d il!t! rhgttliffiuni 
mms *Mn*m sini aggr^ta gwitmr ret JKIIKWIIW qwutrtttoruM, jud 



1) In edition prineipe (atq tt Ua in Comment, ertihm.) titaltH dl^t. Vidi P. 

und W. AHRBKI, Dw Stiefw^el a. <?, J, / Jrw ! |i, //, w F ^ U&rr i/lr 



tor W&rU MUOUM JBvuu, Ltiptig mm, p. 0*J f , xft (t,mwif & Utit U) tti *Uan 
p. 26 et 27, p, E, * ' * 



*-' 1 DEMONSTEATlO MOBElaTO FEBMAlMl 539 

J ^ ; __ 



13-14 



FERMATIUS ex profundissimis numeroram inysteriis demonstrasse affirmat et cuius demon- 
strationis iactura aeque est dolenda ac tot veterum seriptorran, quibus nos temporum inmria 1 ) 
privavit. Etsi enim Auctor in postremo theoreniate demonstrat omnem mmenm esse 
summam guatuor guadratorum wl pautiorwn, siquidem guadrata fracta non exdudantur, 
tamen haec adiecta coiiditio maximum discrimen inter hanc demonstrationem et earn, quam 
desideramus, facit. Superest igitur demonstrandum, gui numerus in fractis sit summa qua- 
twr guadratorum, eundem guogw in integris quaiuor qwriratonm summae aeguarl 

THBOEBMA 1 

1, Ex serie guadratorum 

1, 4, 9, 16, 25 etc. 

nulli numeri per numerum primum p smt divisibiles, nisi quorum radices sunt 
per eundem nwnerum p divisiUles. 

DEMONSTBA.TIO 

Si enim quispiam numems qnadratns a* fderit per numerum prirnum^ 
divisibilis, quia ex factoribus a et a constat, necesse est, ut alteruter factor 
per * Bit diviBibilis; quare numerus quadratus aa per numerum pnmum p 
divisibilis esse nequit, nisi eius radix a sit divisibilis per p. 

OOROLLAEIUM 1 

2 Numeri ergo quadrati per numerum primum p divisibiles nascuntur 
ex radils 9 , '& I ^ etc. suntque ergo , ^^J^ 
reliqui numeri quadrati omnes per numerum pnmum p non erunt divisibiles. 

COBOLLARIUM 2 

3 Si ergo numeri quadrati, quorum radices in hac progressive ^ 
metica 2. 8^, ^ etc. non continents, per numerum primum p dividantur 

-manebit, quod erit minus quam numerus p. 



SCHOLION 
Omusmodi Bint haec residua, qae ex divisions stognkxrau quadra- 

^ * nascmitur ' in hac dl8Sertatlone 



manuscriptum; editio prinoeps: tempos iactura. 



F. E. 



DEMONSTRATE THKOUEMATW KRHMATIANI 

diligentius investigate c'miBlilul Pluniiia, t*wm hir insignia 
occurrent, quorum oonHidttratiom* nutimi nmwrurum noii iiuMhounwr um- 
strata. Tarn eximia autom in dwtrina jauinrui udhiw luttntt mpieria, in 
quibus evolvendis opera non fruntra it|Hmli vhiitur. 



THBOUBMA 






5. Si series qwdratorunt In in/ittitm ctwlintMtu i mrntltnt 
guorum singuh ex $ Unnin'm tmtfent, Ar iw*^ 



, 4, - . -f 

* miwscnwgw mmhri termini iw///i 

residm eodemgw ordinn retwrrfut* 



Singulorum euim membroriim termini priitit 1, f> i f/ f^i I Ii f (a 
si per jp dividantur, Warn dahunt rtviduuiit I, SintiUt|ttt* imlo Unnmi 
secuncli 4 S (y + 2) 1 , (2j> + 2) f , (3^-|-*2? s Mr, jrr |i tliviM u**tjuali pruiluctmt 
residua 4, .siquidem nib f > 4, KniU*it)4iti mttl |tfi*t fruiw tt'ttioa 
aequalia praebero roidua itomtim* tjwart t ipiiiittfn itr. ,\t^u in gwiero 
si primi membri terminua (|U()tuHCU!ti|tu* it * nU|iri mwuttrttrum ter- 
mini analog! erunt (jp + w) 1 } (%p -I" / C% I ' ? *'4*'. |wi tnutthH j*r y divisi 
idem relinqumit residuum, qutul t4mumtH , In Mitgutw t^rgu uutmbris 
eadem redemnt residua oodeinqtus unlitm. 



6. Si igitur no?erimn8 mudua, tpiiwi 4*x t**nttttiw jriini intmthri iwcun- 
tur, sinral habebimus reaiduti, tjnwi i*x (tivtHtotit* timnittm r**!i*t>rmn wwa- 
brorum per numemm f 

a 

7. Quia poskemus cuiusqua m<*m!ri teniiiiitw fntr ttuittirutn /> divroibilis 
existit, residuum erifc 0, quciuu<iuiCMlum pritnt mining uwmlm tarmiai 



16 _17] OMNEM STOERUM ESSE SUMMAM QtTATUOB QUAPRATOBnM 341 

residuum est - 1. Secundorum vero terminorum cuiusqne membri residuum 
er it =4 et tertiorum =9, quartornm =16 etc., siquidem sit p>4 et p>\> 
et p> 16 etc. 

COROLLAJEflUM 3 

8. Quamdiu enim numeri quadrat! 1, 4, 9, 16 etc. mmores sunt qnam 
numerus g, flli ipi reridua constiteeat. Ex sequentibus^ vero quadrats 
numero j> maioribus residua emergent alia ipso nnmero p mmora. 

SCHOLION 

9 Ex divisionis natura constat residua semper esse minora divisore p, 
ac si 'forte per madvertentiam residuum relinquatur maius qnam dmsor^ 
S sub ratendo f, quoties fieri potest, ad numerum ipso f mmorem reducetur. 
Sic tTduuT^ + a et in geuere , + a, quod forte ex div^e per p pro- 

Tciritm esttoc tneorema vim suam retire, sive divisor , *. 
numerus primus sive secus. 



COBOLLA.BIUM 5 

,. 



342 ' DEMONSTRATE THROKKMATIH KKKMATIANI | 17 _ 18 

3 

12. Si omnes termini quadrafmim 

1, 4, 9, IB te. 

j?er numermi gumcunqw p dimdatitw m /r/*\ l/rr haec residua 

non omnes nwneri minores pciti p 

DBMONflTIUTK) 

Omnia enim residua, qu# qindom tx tliviwow* mimium qiwdratorum 
per nunierum jp oriuntur, ex IUH torminw rwtllunt 

1, 4, 9, 16, ... Q> ..4)", I> -:ij\ f)i J,, r/i i*. 

quorum terminorum numwus cwt i^' - t; it]((n|tti* imlt fotidmn WHulua 
proveniunt, Verum haec rcmiclua non omniu it**r w* HUH! tim^a; naiu kr- 
minua ultimus (p l) s |^ 2|j -f" ^ pt*r ;) ilivimw ri'Mitluutn Mimjmt i, 
idem scilicet, quod primus tonnimw t, Simili mutju {*nuitui.s j*nultimu8 
(p 2) . 2jp 4jp + 4 Mem pradwi rwltltniitt, jutil (**rmtUK wrmlu 4; 
et terminus antepeaultimus (p-~i\f iclwn ilut ri*tfliHit t i|iul twminua tor- 
tius 9. Atque in genere termimi ortlim , qui t iiiwn dat rtwiduum, 
quod terminus ordine |> , qui iwt A (-wm iiiitwr otunin miidua, 
quae ex Ms terminis 1, 4, !l . , , - I) 1 oriuntur i*t tjuorum ittuiiontB mi 
-*jp 1, non sint inter se diy^raa, in iw <m tnntit^ numi*H JJIMO p ntinorw, 
quorum numerus eat # I, occurrert* 



COEOLLAIilflM t 

13, Cum igitur bina roaidua smtp^r nit !w*jtiitlin 

residuorum ad semisaem f ' f ' 1 rotllgittir, MsquiiiMii hit ;i I tmmwuK par; at 
si j> - 1 sit numerua impar mm jp pan tutu nm*nw tiivfmtntm mrittuorum 
erit -|; hoc enim casu dabitnr rnI4uuitt mwlttim, tjw! uttl wf|Malp non 
habet. 

COEOLLAEIUM 2 

14, Cum igitur omnium Dunerorum Ipmi / mimirum immoriw nit / -I, 
patet semissem horum numerorum in rwiduk Iwtim htt!ti*rt*; diibiinturque 
ergo numeri, qui ex difisiona num^rorum {|umintiuntm f*r nuimrm / nun- 
quam relinquente sob exoepto cwu f i|tw p~.$, jtii |i I - ^ H,I. 



18-191 



COBOLLARIUM 3 

15 Quicunque ergo praeterea sit numerus p, per quern numeri quadrati 
dividantnr, ex numeris ipso p minoribus semper erunt ad mmimurn -y 
ve l 3 '- 2 numeri 1 ), qui inter residua non reperiuntur. Prior casus valet, si p 
est nmnerus impar, posterior, si par. 

OOBOLLABITJM 4 

16 Hinc igitur numeri ipso divisore g minores, quorum multitudo_est 
1 "ponte se in duas classes discriminant, quarum altera coutmet 
' inis locum habentes, a!tera vero eos qui in dasse re.duorum 
non occurrunt. Hos numeros non- residua hie appellabo. 

SCHOLIOH 

17 Quo haec clarius percipiantur, iuvabit nonnuUa exempla, in quibus 
residua et non-residua distinguuntur, inspensse. 

p ==> 6 
1, 4, 9, 16, 25 

1, 4, 3, 4, 1 

2, 5 



Sit 


Q 

fn mssst 


2>=-4 






1, 4 


1,4,9 


1, 


residua 


1, 1 


1, 0, 1 


1, 


non-residua 


2 


2, 3 

__' 


2, 




Sit 

residua 
non-residua 

Sit 

residua 
non-residua 




1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 

1, 4, 1, 0, 1, 4, 1 

2, 3, 5, 6, 7 




1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 

1, 4, 3 7, 7, 0, 4, 1 

2, 3, 5, 6, 8 



1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 

1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1 

2, 3, 7, 8 



e etia, 



DEMONSTRATE THEOREM ATIS PBRMATIANl 



Sit JP - ll 

1, 4, 9, 16, 25, 86, 49, 64, HI, l(X> 

residua 1, 4, 9, 5, 8, 3, 5, 9 ? 4, 1 

non-residua 2, 6, 7, 8, 10 



Sit j> 12 

1, 4 3 9, 16, 25, 30, 49, 04, HI, t(X), ttl 
residua 1, 4, 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9, 4, I 

non-residua 2, 8, 5, 6 ? 7, 8, 10, 11. 

Hinc perspicitur numerum non-resicluorum in twin m IHJU vtl |J 3 J 

prout jp fuerit numerus vel impar wl JH% inl<rtliun *HHI otiatn nii(rom, 

nunquam vero ess minorem, omnino uti tU'imwHt-rittw f!untrtnuaiiH 



THKOHKMA 4 

18. Ut omnia residua, qmm o$ divteum? qwitlrtiforum jtet* iittmrrwn yuem- 
cunque p resultare possunt, inwniantur t fanlum optt rat tfumtmttt tth wiifttte mfm 
ad terminum ^ ^ ml (*\ , jprwt p fumt rel nttmmm impar iv7 ;w*r, per p 
dimdere. 



Ante iam demonstravimns crania wwdwa provfrnirt* <*x divisions horum 
terminorum 

1, 4, 9, 16, ... OP-l) 1 , 

deinde vero vidimus seriem rosiduorum hinc natorum mm* rmprtwiim BOU 
ordine retrogrado scriptam random tnanon^. Qar nmdtm umnia, cjnatonuB 
inter se sunt diversa, reperientur, i huiu wwricn t4*nnini tantuni ati ineditv- 
tatem usque capiante, undo, si ^ git mimmiH imjmr ittwquw ;) -1 par, 
omnes numeri, qui inter residua occurrunt, prwdibunt t*x lii tirminw 



1) Sed ride notam p, 848, f , B, 



20-22] OMNEM NUMEBUM ESSE SUMMAM QUATUOB QUADBATOBUM 345 

Sin autem p sit numerus par, quia superior progressio habet terminum 
medium, qui retrogrediendo sibi ipse respondet, residua omnia ex his terminis 

orientur 

1, 4, 9, 16, ... (f) - 

COROLLARIUM 1 

19 Si igitur p sit numerus impar, puta j>-20 + l, omnia residua ex 
his tantum quadratis 1, 4, 9, 16, . . . W cognoscentur. At si p sit numerus 
par, puta *- 2 a, haec quadrata 1, 4, 9, 16, . . . n omnia producent residua. 

COROLLARIUM 2 

20 Si haec residua omnia inter se fuerint inaequalia, cum eorum 

* c\ i ~i 4- "1 ,, O'/y ml TY1 AT*im IT OH,** 

numerus sit g, casu priori, quo p 2g + i et^-i-^, " ^ 
residuorum erit - ff . Casu posteriori, quo p-Zg. &.P l ~^ ' 
nium non-residuorum numerus erit g. 1. 

COROLLARIUM .3 

21, Si a sit numerus quicunque non maior ^ f^ ^ f^ 



reTduum. At num_eri omnes o mn ino in forma ^ mcluduntur, ,ta nt a 
non excedat vel ^-j 



SOHOLION 

22. Quo indolem numerorum, qui sunt residua, facito explorare lice* 
seriena residuorum repraesentemnB MB littoris 1 a, ft, ^ *, % ? > Pro 
divisore jp, ita ut numerus horum terminorum srt vel -y- vel T , prout p 
S^i M. i-par .el pa, Prime igitur patet in hac sene 1 ft.* 
H . etc occurrere ordine omnes numeros quadrates \, 4, 9 16 etc., qui 

< 44 

m.Bx Opera oma Is Commentation es aritamettcae 



DEMONSTRATE) THEOREMATIS FBUMATIANl 



THSOEBMA 5 

23. Si in serie residuorum 1, a, ft, ?', ti etc. wvurrat nu writs quicunque f, 
ibidem guogue reperientur omnes potentates ipaiu* r s , r 8 , r 4 , r 8 tic. ww rcsitlua, 
quae ex karum potestatum dimsione per numerum ]n'^mi(mn /; msruntur. 



DEMONSTBATIO 

Bmergat residuum r ex quadrato a a, ita ni wit an - w;> 4- r; ot qua- 
dratum a* (wjp + r) 8 per jp divisum idem dabit wwluum, quod oritur ax rr; 
atque ex quadrato a?**(mp + f) 8 idem oritur rttwduum, cjutMl ox r"; Himilique 
modo residua quadratorum a 8 , a l a ts etc, convniotit r.uin remduiH it*rminorum 
r d , r s , r 6 etc. At residua ex omnibus quadratiH cjunntumviH tnagiUB oriunda 

(jj 1 \ 8 / t) \ ^ < 

i ) V<1 ^ Is) l( " im l ll 

continentur in serie resicluorum I, , /^ f, $ etc. BJrgo HI in hac. Hwrie oc- 
currit numerus r, ibidem quoque occurrent termini r\ r\ r\ r ft otc. mil 
residua, quae ex eorum divisione por diviort*m propowtutn ^ relinquuntur. 

OOBOLLAiroM 1 

24. Quae. igitur potestatum. r\ r 3 , r 1 , r s ate, fuerint mfnores qnam p t 
eae ipsae in serie residuorum 1, a, jff, y, tf etc. reperientur* At altiores 
potestates sua residua, quae. divisae per f relinquunt, ibidem iniroduceni 

OOBOLLABIUM 2 

25. Si sit f 1, quia omnes ems 1, ex its nonnisi 
.unicus terminus 1 in serie residuoram 1, , /?, y, .<f etc. naacitur. Neque 
ergo ex hoc casu, novus terminus in 

. OOEOLLAMUM 8 

26. Quia in serie residuorum plures non oocurmnt qnam vel 
^- yel |-, plura qnoque residua ex r 1 , r 1 , t* r r* etc^ 
etiamsi in infinitum continnentQr, prodire non Unde harom 
potestatum per $ divisae aequalia praebebunt 



23-24] 

COROLLAEIUM 4 

27. Praebeant ergo hae potestates r m et r* idem residuum atque earum 
differentia r rn r per numerum p erit divisibilis seu *-(*"-" 1). Unde si 
factor t* sit ad p primus, quod evenit, si residuum r fderit ad p pnmum, 
alter factor *"-"-l per p erit divisibilis ideoque potestas r m ~ n pw jp divisa 
unitatem relinquet. 

COBOLLARIUM 5 

28 Dabitur ergo potestas r, quae per p divisa unitatem relinquit, quae 
utique 'in eerie residuorum continetur, siquidem r sit numerus ad ^primus. 
Turn autem potestas r m dabit residuum r, potestas r + residuum r et r 
reskluum r 3 etc. sicque hae potestates altiores eadem residua reproducing 
quae potestates inferiores r, r 2 , r 8 etc. 

COBOLLARIUM 6 

29. Cum igitur plura residua diversa provenire_nequeant ^l^ 
vel f , patet dari numerum I non maiorem quam V ^ \> lta nt P testaS 
r* per jp divisa unitatem relinquat. 



SOHOLION 
SO Hinc er^o intelligitur, quomodo fieri possit, ut, etiamsi potestates 

neatur, turn exponentem I etiam mmorem fien quam T - ) 



* * 

fteorema FrnMATU* ae.ue hue P ti M n S mr 



e,t. Deiod C W o P ^ 

fit 



Of. porro huw yoluminis Oommentationem -262, 



348 DEMQNSTBATIO THEOHKMAT1S FKRMATIANI [24_ 86 \ 



THEOE1MA 6 

31. Si in serie residuorwn 1, a, ft, y, tf etc., quae ex dimlone nume.rorwn 
guadratonm per numerum p oriuntur, occur rant mmtri r ei .% ibidem quoqm 
ocGwret Iwrum numerorwn produdwn rs wl residuum, qmi e$ eim dwmmw. per 
numerun -p enascitur. 

DlMONSTEiTIO 

Proveniat residuum r ex quadrate a a et residuum a m quadrate Mr, 
erit aa - my> + r et II np + s; hinc fiet quadratum 

aabl mnpp + msp + nrp + rs, 

quod ergo per p divisum residuum rolinquot r, vol HI rs ,- ;>, idmn rlinqu(%fc 
residuum, quod oritur ex rs. Quaro cum rnHiduuiw <*x (juiulratti uM iiatauu 
in serie residuorum contmeatur, ibi quoquo r mm rusiduum iiulc^ orfcnm 
reperietur. 

OOEOLLA.E1UM 1 

32, In serie ergo residuorum 1, , /f, y % rF otc* HI occurruut tlua numori 
r et s, ibidem quoque- occurrent non Hohim pottwtitii^ ;% r", r 1 , r 4 f*tc. ^fc 
s, s 3 , s 8 , s 4 etc., sed etiam producta ei bini Iwiniiiw qitihuncutuiuo r, /*, 
rs 2 , r 8 s, r s s s , rs 8 etc. 

COBOLLIEIUM St 

33, Hinc igitur patet, si formula M * , in wwoivatur 

v* *' r/ i* " r j 

l + f + fi + rr + fs + wH-r 1 -!- rra -f- rsa -|- a*+ etc., 

singulos terminos huius seriei in 'eerie residuorum occuirere vel etiam residua 
ex his terminis divisions per p orta 

. . , " ^ GOEOLLiiroM 8 

34. Etiamsi autem horum terminorum numeran sit infinitiw, tamon con- 
stat plura ex iis residua di?eraa produei non poKwi i|utmi veil J \ 1 vd J, 
prout p fuerit numerus vel impar vel par* 



26-27] OMHEM ttUMEBTJM ESSEJMM^^ 

SOHOLION 

35 Quo claims appareat, quomodo ex his terminis numero infinitis 
tamen'residuorum diversorum numems finite eb quidem non niaior_^am 
*-*. vel f oriatur, evolvamus exemplum aliquod sitque j>- 19; erit ~s, 

2 * 

unde ex Ms quadratis 

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 
orienta residua ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ B _ 

Ex hac serie residuorum contemplemar hos duoa numeros 5 eb 6, ex quitas 

formemus prime series potestatum 

5, 25, 125, 625, 8125, 15625, 78125 etc., 
e] 36, 216, 1296, 7776, 46656, 279936 etc. 

Ex ilia serie per jp - M divisa prodeunt residua 

5, 6, 11, 17, 9, 7, 16, 4, 1;' 



numeri 6 haec prodibtoit residua 

4, , , , 

superiora muitipli.cen.tar et 



inferior series primo per 5, turn 

r . n q 16 1, 6, 17, 7, 4, o> 

per 5; n> y > -^ ' ' 

per 6: 17, 7, 4, 5, 11, 9, 16, ' 1, 6, 

peril: 9, 16, 1, 6 , 17, 7, 4, 5, 11, 

per 17: 7, 4, 5, 11, 9, 16, 1, 6, 17, 

per 9: 16, 1, 6,17, 7, 4, 5, 11, 9, 

rt A 5 11 9, 16, 1. 6, 17, 7, 

per 7; *? > J - L ' ' ' 

per 16: 1, 6,17, 7, 4, 5, 11, 9,16,. 

per 4: 5, 11, 9, 16, 1, 6, 17, 7, 4. 



350 DEMONSTRATE THEOEEMATIS FEIlMATtANI fo^g 

Perspicitur igitur, quomodocunque M nuraeri 1, 4, J), l<>, (, 17, 11, 7, 5 soriom 
residuorum constituentes inter se per nmltiplicationwu combiuontur, Hiquidom 
divisione per 19 facta infra 19 deprimantur, ooadom wmptr uumwoB reeur- 
rere neque unquam ullum numerum eorum, qui mm unt residua, nonipe 
2, 3, 8, 10, 12, 13, 14, 16, 18, prodire. 



36. Si ergo sit 1, , fa y t $ etc. series residuorum omnium, quae ex 
divisione quadratorum per numerum y resultant, in eadem siria quoque 
occurrent omnia producta ex binis pluribusve numerorum , ft t y, $ etc, 
Ergo si haec expressio (f^^^^^^^^^,^^. iri m ^ m ovolvatur, omnes 
eius termini in aerie residuorum occurrent. 



37. Si in serie residuorum 1, a, fa y, $ f/c,, qme f JP dimmrte quttdratwum 
per numerum $ jprodeunt^ reperiantur numeri r d ra qui aint wi p primi, qitorm 
ille hums est factor, tune in eadem rettidwrum mm dfam wwm-m a cmtmctiltm\ 



Proveniat residuum r ex quadrato ac* et r* m bb* t wit, tia-^mit^- r t 
U wjp + r s; unde fit "bl aaa wj? wp Hiequci /;^ s orit por ^ divi- 
sibile. At cum r et rs sint numeri ad p primi, ruut quoqu^ quadraU aa 
et && ad jp prima; unde si haec quadrata aa et bb itr a nun Hint prima, 
per communem divisorem quadratum atl prima reduci p(Uwuufc, ita ut 
65 a as maneat per p divisibile. Bint ergo b et a numwi ilcr w priuii 1 ), 
atque cum etiam haec forma (mjp^ft/ aa* nit pw |> tiivinibiliB, Hompor 
pro m eiusmodi numerus assignari potewt, ut fiat mp+.b multiplum ipiti a. 
Sit ergo w#&~ae; exit aacc am par i/ divimbile; quod cum sit 
*~aa(cc~s) alterque factor aa sit ad jp primus, uecowio i*it t ut alter factor 

1) Ad hoc autem obseryandttm wt aih.il plan iatmttt, utnun a it li Inter M slut pnmi 
neone, atque' ad aequationem mjpft00 onitttiittdam uunwna a 1 y twe 

primuin, P. E. 



28-30] 

,.,-s per p sit diviaibilis, unde quadratum cc per p divisum relinquet s, ex 
quo numerus s in serie residuorum 1, a, ft y, * etc. reperietur, siquidem ibi 
numeri r et rs occurrant iique sint ad p primi. 

COROLIARIUM 1 

38 Ut igitur veritas theorematis consistat, necesse est, ut numeri r et rs 
seu f et s sint ad divisorem p primi. Supra enim vidimus, si sit p - 12, m 
residuis reperiri numeros 4 et seu 4 et 12; nine autem posrto r-4 et 
r^l2 non sequitur nunierum S 3 in residuis reperiri, qma r et a non 

i- ac revera etiam numerus 3 inter non-residua conti- 



netur. 

COBOLLAEIUM '2 

89 Sin autem divisor jp sit numerus primus, quia turn omnia 
, ft r , # etc. ad eum sunt prima, si in iis occurrant numen r et ra, 
etiam certo in Us occurret numerus s. 



SOHOLION 
Ne ad huiusmodi 



respicere ogen u-* Divisor, 

er g o seriearesiduorumform^tur 



ex Ms terminis 4 9 ^ 16, .. 

to ut eora, numerus, quatenus ' 

quam j. Si igitur residua ex hoc 

r , * etc., in hac serie ^Tu ad , sunt prima, si 

a , p, r , S etc. occurrent, alitld 8it divisibile, turn etiam 



852 BEMONSTBAT10 THEOItEMATIS VRKMATIAN'I |3o-Sl 

THBOEBMA 8 



42 8i ex dwisore jpnmo jp2H" 1 
' aria rmctow 1, a. A r* *, i ^. </"' *< rtf . 



omma Jmec residua inter se ewtf i 



Primo patet nullum residuum in irar writ* I'M*** JIMM**' 0; nun wiim 
nascantur ex quadratis ipno gq nun maioribiw, iwllutn h*rmw qimdratorum 
per numernm primum jp.2fif+l tt clivwU.ilf; igifur ryphru it<*r rtwidua 
multo minus bis occuiroro pottdi PonnmuH nulfin dim rtwhm, quao 
quadratis aa et 55 oriuntur, cH8tt acqimlia i'rit4|tu* ititrimitia hnrum quatlra- 
torum aa W per divworom j> * 2y + l divihibtlt. At rum omnia haoc 
residua 1, a, @, y, 9 etc, ex quadratic minimiH, tjtu m mm i*\uitmt, uriau- 
tur, quadrata ilia aa efc 66 nan auiioritbttiit r/f wit*juf jmipt^nni IHIU o>j 
neque 5 > j neque idcirco a + b > ^, d* ci'rtii wit a | /* /*. i ? um igltur 
differentia qnadratoram aa bb ewwt p*r / divwiliiliH, Huiwtlim nmihm inde 
nata essent aequalia, et p ml mmmm jirimuM, vtl wtininit f h vi1 difftw 
rentia a 6 foret per jp (liviBibU'w; utrumiw aw twit th taui fc ^ / tjuaiu 
a + &<jp fieri nequii Ergo onmia rctaidim t|m* *x flivwitmi* t|tiattrattjrum 
1, 4, 9, 16, , , . 22 per numwum primwtw p~ttt I t n^ttltaut, iUr nnunt 
inaequalia, 

1 

43. Numeras igitur omuiuui rc^idimruui fUvt*wirui tjuan ix divwiono 
quadratorum per numeram primum f -^ay |- ! oriuittur, rirt i*Ht -f" anto 
enim ostensum est eum non mm mmmnn ijuam f hie aut*m virinma um 
non ease minorem quam g, 



44, Cum nuxaeras omEium ntimertiirettij diviMunt |* i!v 1 l wtuorom 
sit jp 1 2j, patet horum numt^rorutn mmuMmmt t;iituttt in H*?,rii 
duorum 1, , /9, y, $ etc, oceunrtire eaitiqu^ t:t*twlitiii*r*% itltirin i*r 
constituere seriem noE-residnomm idewjtw^ ni |i Hit ntimtirttH jrtmu, 
non-residuoram etiam ex g aumeiis 



32-33] OMNEM HUMERUM ESSE STJMMAM QPATUOB QTJADBATOBTO 353 

COBOLLA.BTUM 3 

45 Si ergo x sit nmnerus quicunque ex serie non-residuorum divisori p 
respondentium, certo affirmare possmnus, quicquid sit , nullum numerum m 
hac forma np + x esse posse quadrature 

SCHOLION 

46 Quia nunc investigations nostras tantum ad divisores primes diri- 
ei mus 'expediet tarn residua quam non-residua, quae minoribus numens pn- 
niis Respondent, He exhibere. In genere scilicet si divisor sri -.f, 
mridnoram per 1, a, A V, t etc. et seriem non-residuorum per , 6, e, d, e etc. 
S^LS; ^ quo facilius coniunctim tarn residua, quam non-readna 
referantor, hoc modo exponemus: 

j i, , A r, ^ etc - j 

I fit. (/ C/y v^J ^J / ? t/ / 



primis simplicioribus resultant, ita indicabuutur: 

(1) (1 4l (1, 4, 2l (1,4,9,5, 8 

3 ' ' 'e' U 6, 7, 8,10 



(1,4,9,16,25, 7,20, 6,23,13, 5,28,24,22 
29 2, 3; 8, 10,11,12,14,15,17, 18,19,21,26,27 



Kesidua Me eo ordine, quo ex quadrats 

m?ta:: W^ .m S er t e potent, ut 
-iduorum ante demonstratae exammentu, 

ftw OP- o m nia I, Co^eBtatton. axith-neticae 



THEOREM ATIB FEHMATIAK! [83-84 
554 - _ _ , .... - 

THEOKBMA 9 

47. & es dimsione gmdratorum i>cr nmtrum primum i> -2?-| 1 wwcato 

T 1 :* M A ftt 1 hiit't'um' Ht/vVs n<>n"n'xitluttnt))i a. ft. c, 

tec series remduorum I, a, p. ft " "' , , c, 

d efc aim * ^" ' "WWwWwww r;r/ ,.r S r, / n/rm fuagw 
occurred omnes hi numeri r, ,M ?''', *r *. iW . -/ Am, w ^ y 

reZicto. 

DEMONSTHATH) 

Qnicunque enim horum uumororum, ut r, vd in mni^ r^Hiduorum r.on- 
tinetiir vel in serie uon-roHiduorum. At rum in Hi*rit rt'M.luoruiu con- 
tineatur si r ibidem oontinorotur, mvtuwirio uwuiu** r in wrio iwiduurum 
existeret. Quare, cum por hypotiiwiu r ait imtamw tx wrio uon^Mtluurum, 
numerus r non erit in aorie wwiduorum; imtii ITK" r iciruxn in aorio 
non-residuorum, quod idom do luimwnH i^r, yr, &r itr. vuli*t. Quod itutoiu 
demonstravimus de Ms productiH [h\ yr t Ar itr., m nlnf mmt.ra t|imm ^ id 
mtelligendum est de rosiduiB, quao haec proikii'tii i*r /* HviH rHinquunt, 



48, Quia omnes nuinori t ft* f $ **t>r,,, 

sunt inter se diversi, sequitur quoqutt ommH IWH mmwnm n *, ^r, ?<r f <JV otc, 
esse inter se diversos; undo, si omma, nHida haluant.v\ i\ uuit-u utn-reHiduo 
cognito reldqua omnia non-residua de&auntur. 

COKOLLAIUUM * 

49, Dabit ergo serios r, ar, ftr, yr, $r **tc% oiimiji i*lanr non-n*Hitlua; 
continet enim j numoron divornoH t4itidmutjui^ *i nun |ltira *xiHtut non- 
residua, siquidem divisor # osfe nuic*ruH primus 

OQROLLAHIUM a 

50, Si ergo ex aerie non-residuorum 4uilil*t tilins uwwru* rujiitttur, 

... i 



eius producta as, f)8 t ys etc, alion tiutiwnw \m* wm"K^i*hn^* > wm 
nisi qui ex quovis alio r hoc modo wmt wpi*rti, 

l) Editio princeps (atque etiam C,mmmi, urilhrn.) 1 , if revl^w tWrrxtt I"* R. 



34-36] OMM3M HtMERtJM ESSH SUMMAM QtJATUOB QtJADBATOBtjM 



THBOEEMA 10 

51. Products ex Unis numeris seriei non-residuorum continentur in serie 
residuorum, siquidem ~haec residua nascantur ex divisione numerorum guaflratorwn 
per qiiempiam numerum primum. 



Sit enim p = 2# + 1 divisor primus atque series residuorum sit 1, a, ft 
y, .6 etc., series autem non-residuorum sit a, &, c, * e etc. Vidimus autem, 
si 'r sit non-residuum quodcunque, seriem non-residuorum hoc modo quoque 

exhiberi 

r, ar, fir, yr, or etc. 

lam productum ex duobus quibuscunque horum terminorum apr* constat ex 
duobus factoribus /9 et rr, quorum uterque in serie residuorum contmetur, 
quia omnia quadrata ac propterea etiam rr ibi occurrunt; unde perspicuum 
est productum ex binis quibusque non-residuis in serie residuorum contmeri. 

COBOLLABIUM 1 

52 Ut igitur productum ex duobus residuis dat residuum, ita' quoque 
productum ex duobus non-residuis dabit residuum. Sed productum ex residuo 
et non-residuo semper producit non-residuum. 

COKOLLARIUM 2 

53 Hinc etiam sequitur, uti residuum per residuum divisum dat resi- 
duum, ita quoque non-residuum per non-residuum divisum dare residuum. 
Yerum residuum per non-residuum vel vicissim non-residuum per residuum 
divisum praebet non-residuum. 

OOROLLAEIUM 3 

54 Quemadmodum bina non-residua invicem multiplicata residuum pro- 
ducunt* ita terna non-residua invicem multiplicata praebebunt non-residuum; 
quaterna vero non-residua iterum residuum producunt, at quina non-residuum, 
et sic deinceps. 45* 



sc 

' 



356 DEMONSTRATIO THEQBBMATIS FERMATIANI 



DBFINITIO 

55. Complementum residui est em defect a divwre, & gm a* w1uw< s 
si divisor sit jp et residuum r, erit cmpkmentom rmdui '# ,*. ' ' 

COEOLLABIUM 1 

56. Quia ratione resickoram onmes M numeri r, p + r 2 4, r et in 
genere np + r pro iisdem habentur, quicunque numerus pro * aumatur erit 
eorum complementum n _ r un( j e 8 J ftllTn t nv 4 . - A , ' ' . 
residui r erit ~r suinatui - 1, complementum 

COEOLLAIilUM 2 

; 57. Si n sumatur i, residuum r etiam per r-p eiprimi potest 
^ nt 81 t negatrjum. In dmsione enim si quotus nimls L^J$ 
ad residua negativa pervenitur Sic H ;,1,,,,m t - auupinu, 

residue negative ,_ dlmm """"^vum r aequivalebit 



COBOLLAE1UM 8 
58. Si sit r > |,, tnm hoc residuum negative exprimi potent par 

i a e ii s D r m ** ^ expr ~ es negi 

onmia rend per numeros exhiberi poterunt semisse 



, 3, 



COEOLLAEIUM 4 

59. Similique modo non-residua etiam per 
exhiberi poterunt erunt,ue pro diviaore . 

5, 7, 10) n, _ 9 _ 8 _ 



""" 






37-38] OMNEM NUMERUM ESSE SUMMAM QUATUOR QUADRATQRUM 357 

COBOLLABIUM 5 

60. Si hoc modo residua exprimantur, statim patet, utrum cuiuspiani 
residui complements in eadem serie residuorum contineatur necne. Nempe. 
si r sit residuum, erit - r eras complementum, et vicissim si - r sit resi- 
duum erit + r eius complementum. Quare nisi in serie residuorum idem 
numerus bis occurrat, affirmative scilicet et negative, eius complementum m 
serie residuorum non continetur. 

THEOEBMA 11 

61 8i in serie residuorum 1, a, ft y, 9 etc., guae ex dwisione quadratorum 
per numcrum primum *-2 ff + l generantur, unius termini oceurrat complemen- 
tum, turn simul omnium termnorum complements in eadem sene occurrent. 

DEMONSTBATIO 

Sit r id residuum, cuius complementum - r quoque in serie 1, , "ft 
y , d etc. occurrat. Cum igitur -r per r divisum det -1, in eadem^ne 
quoque numerus '-1 occurret sen valor cuiuspiam litterarum a p, r , ^ete. 
S?--l- Qnoniam ergo in eadem serie producta ex Mnis termm. simul 
eperiuntur, ibidem occurrent termini - , -ft -* - * etc. Oumsvis ergo 
2Si complem,ntum simul in serie residuorum repenetur, siquidem umci 
termini oomplementum in ea occurrat. 

COBOLLA.BI0M 1 

62 Si ergo tmici termini r complementum - r in serie reBiduorum 
contineatur, ttfm quilibet numerus huius seriei bis occurret pnmo sc^cet 
Irmative, turn vero etiam negative. In serie ^J^T l ' "' A 
y, 9 etc. etiam continebuntur termini 1, a, ft r> 

COBOLLABIUM 2 



-*- i -rrr pi",- - 

omnium termmorum est =4, ergo nisi H _(,.,. 

complementa residuorum simul in serie residuorum contmeantur. 



358 DEMQNSTBATJO THEOKEMATIS FERMATIANI |30-40 

COEOLLABIUM 8 

64 Si igitur q est numerus impar, puta gr 2w. + 1, ita ut sit 
jp=*4+3, in serie residuorum nullus plane occurrit numerus, cuius com- 
plementum simul in ea serie contineatur. Omnia ergo complements hoc 
casu in seriem non- residuorum ingredientur eritque utrinque tenninorum 
numerus impar = q = 2n + 1, 

SOHOLION 

65, Hinc ergo Bummum discrimen agnoscitur, quod inter numeroa primes 
p %gt 4. i intercedit, prout q fuerit numerus par vel impar, cum posteriori 
casu certo sciamus nullius residui complemontum in residuorum serie conti- 
neri. Quodsi ergo priori casu ponamus g 2tt, posteriori g M 2tt 1, illo 
casu erit numerus primus jp 4w + l, hoc vero jp4--l; unde patet 
omnes numeros primes binario excepto vol imitate suporare multiplum qua- 
ternarii vel unitate ab eo deficere sicque duas obtinemus numororum classes, 
quarum altera in forma 4w + l, altera in forma 4w l continetur. Prioris 
classis 4^ + 1 sunt ergo numeri primi 5, 18, 17, 29, 87, 41, 58, 61, 78, 89, 97 etc., 
posterioris vero classis 4n l hi 8, 7, 11, 19, 28, 81, 48, 47, 59, 67, 71, 79, 88 etc, 
Be numeris primis classis prioris FERMATIUS olim prommciavit singulos esse 
aggregata duorum quadratorum 1 ), cuius theorematis veritatem nuper tandem 
.post plures conatus demonstravi, 8 ) De numeris autem posterioris classis 
facile ostenditur nullum eorum esse summam duorum quadratorum; quin 
etiam mox demonstrabo ne quidem summam duorum quadratorum aa + && 
exhiberi posse, quae sit per eiusmodi numerum primum jp 4 1 divisi- 
bilis, nisi utrumque quadratom aa et U seorsim per earn divisibile 
existat. 8 ) De his tamen numeris FEEMATHTS afftrrnavit singulos vel esse 
trium vel quatuor quadratorum aggregata 4 ); ita videmus essi 8 1 + 1 + 1, 

1) Vide notam 2 p. 310, F, E. 

2) Vide Commentation es 228 et 241 hums yoluminis. 1, R, 

3) Hoc theorema alia quidem metnodo EUMBRUS iam in Commentation 134, 16, Imius 
voluminis demonstravit, ubi addere liceat BULBRUM illam demonstrationem iam epistola d, 6. Martii 
1742 scripta cum OHR. GOLDBAOH eommunicavisse. Vide Oorrespondance math, d pTiys, jptibW 
$arP.H.Fuss, St.-P6tersbourg 1843, tl, p. 114 5 LxoiraARDi JSuuuu Opera owma, aeries UI. F.B, 

4) Integra FERMATII afflrmatio haeo est: ,,Jio proposWonem $uhlwrimam et maxme gem- 
ralem nos primi deteximts-, nempe omnem mm&rum vel esse triangulwm vel ex duo"bw out trtiw 



40-41] OMNEM NUMERUM ESSE StJMMAM QUATUOB QUAPBATORUM 359 

7 = 1 + 1 + 1 + 4, 11 = 1 + 1+9, 19 = 1 + 9 + 9, 23 = 1 + 4 + 9 + 9, 
31 = 4 + 9 + 9 + 9 = 1 + 1 + 4 + 25 etc., verum nulmm existere huiusmodi 
numerum, qui non ad minimum in quatuor quadrata resolvi possit. Etsi 
FEEMATHIS eras demonstrationem se invenisse sit professns, tamen nusquam 
eara publicavit, ita ut cum ipso penitus interiisse videatur, neque demceps 
nuisquam inventus est, qui hanc demonstrationem, quae in analysi DIOPHANTEA 
rt universa numerorum. scientia maximi est momenti,_ repenre potuent 
Equidem He demonstrabo quocunque proposito numero pnmo 4 - 1 semper 
summam quatuor quadratorum,.quin etiam trium, exhiben posse quae per 
eum sit divisibilis. Cum igitur etiam demoustrari queat productum ex 
T bus numeris quorum uterque est summa [quatuor] quadratorum, etiam 
L quatuor quadratorum aggregatum, non procul a ^ Mtratioa6 m ^~ 
abesse videmur. Tantum enim superest, ut demonstretur, si summa quatuor 
a faerit divisibilis per numerum, qui etiam sit summa quatuor 

quotum quoque certo fore summam quatuor quadratorum. 

THBOEBMA 12 



e, 

oriatur series 

in hac serie residwrum continebitur, 

*-*-- 



. 

Co A v< (1659) scripts, quae note 2 p. 310 laudato .aunt quaes tioml>u s 

Ob.erva.aum .juid.m Mt to D C;"^. Theol, au tem ,, 

dm*. V qaadratis 



rfa 




forma primum a BAOBETO enuntotum est, ^ ^ riftflwKa , rlBI , {ari ei 

cdebri editions, quae i.scribitur ^^ ^ * ^^.^ oomme ntarii S i 
<a^ Wer . Nunc pnmum graeoe A atme ed* q ^^^ 

Auotore C. fl. BAOHO, bMte ft 21 - ^ ^Ueu id induction confir 
quidem demonrtratoe fflud tneor*n,a asseqm ".^^V ad 120 . Quitus 

~ 



360 DEMONSTRATE) THEOREMATIS FERMATIANI [41-42 

DEMONSTRATE 
Omnia residua 

1, a, fa y, d t , , . v 

resultant ex divisione horum quadratorum 

1, 4, 9, 1(5, 25, , . , (2w 1)*; 

numerus ergo horum residuorum est 2 1 ideoquo impar. At ai unius 
residui a complementum p a sen in eadem aerie extarot, turn simul 
omnium residuorum complementa ibidem occurrere doberent sicque, cum 
unumquodque residuum bis, nempe cum signo + et cum aigno adesaet, 
numerus residuorum esset par, Quare cum sit impar, fieri noquit, ut vel 
unici residui complementum simul in eadem residuorum serio continoatur. 



67, Si ultimus seriei residuorum terminus ponatur y, quia oritur ex 
quadrate, (3n - 1)' - 4n - 4n + 1 per 4n-l diviso, erit residuum 
v $ tt + i seu ^ n smnto quo to. n -i. Ergo eius complementum ~n 
seu 3n ~~ I m serie residuorum non reperitur. Numerus ergo -n seu 3n ~ 1 
certo erit in serie non-residuorum, 



COROLLARIUM 2 



68. Cum mp^n seu (4n-l)- n omnes numeros complectatur, qui 
per 4 i dms, residuum dant _,, p ate t nullum homm numeromm 
f(4ii-l)~n.Ben 4mn~m-n unquam esse posse quadraturn, A ) 



Commentations 164, 



42-43] OMNEM NUMERUM ESSE SUMMAM QUATUOR QUADBATORTJM 361 

COROLLARIUM 3 

69. Cum in serie residuorum occurrant numeri quadrati 1, 4, 9, 16 etc., 
in eadem certe non occurrent eorum complementa 1, 4, 9, 16 etc. 
Numeri ergo quadrati signo - affecti in seriem non-residuorum ingredientur. 

THEOBEMA 13 

70 Non datur summa duorum guadratonm, gwe sit dwisiUlis per numerum 
vrimwnformae 4n-l, nisi utrumgue quadratwn seorsim per eundem sit d^ms^- 
lile, seu non datur summa duonm gwtotonm inter se primorum per numerum 
priimwi 4w 1 divisiUlis, 

DEMONSTRATE 

Pomunns enim summam duomm quadratorum aa+W esse per numerum 
primum 4^ - 1 divisibilem neque tamen vel aa vel U Beo,: S im esse per 4, -- 1 
divisibile Sit ergo r residuum, quod in divisione quadrati aa per 4* l 
ZSr et s residuum ex divisione quadrati U ortum; atque tern r quam s 
? " Quorum 1, a, ft ^ * eba. occurr.t. lam summa quad,atorum 
.a + W Per 4.-1 divisa relinquet residuum ' + ^?*^ 

" 



quae sit per numerum primum 4n- 

OOROLLARIUM 1 

71 Non ergo datur Huiusmodi formae aa + 1 numerus ^ s ^ 
a. i>on w s aivisibilis Ad hoc enim opus esset, ut residuum 

numerum pnmum 4n-l dmsibilis Aa r res iduorum noi) 

ex quadrato aa ortum esset --1, qnod autem in 



existit. 



1) Vide notam 3 p. 358. F. B. 

Opera omnia I, Co^entationes ltoHca 



362 DEMONSTRATE THEORKMATIS PERMATIANT [43 15 

COKOLLARIUM 2 

72. Cum summa duorum quadratorum aa + W> per nullum numerum 
primum formae 4w 1 'sit divisibilis, etiam per nullum numerum compo- 
situm p, qui factorem primum habet formae 4 1, erit divisibilis; si enim 
per liunc numerum p esset divisibilis, ctiam per oius factorom 4w 1 diviai- 
bilis foret, 

THEOEBMA 14 

73. Sive numerus 4w 1 sit promts me cmpositus, nulla dutur summa 
duorum quadratorum inter se jprimmm per eum numerum 4 1 diviwbilis. 

DEMONSTRATE 

Si enim numerus 4w 1 sit primus, iam demonstrata est veritaa thoore- 
matis. At si 4n 1 non sit numerus primus, orit producfcum ax aliquot 
numeris primis et quidem imparibus, cum ipse numerus 4 1 ait impar, 
Omnes autem numeri primi sunt vel formae im + 1 vel 4m Ij sed omnes 
factores numeri '4w 1 esse, nequeunt formae 4m-f-l; quotcunque enim 
numeri huius formae 4m -f 1 in se invicem multiplicentur, productum semper 
erit numerus formae 4w + 1 seu unitate excedet multiplum quaternarii. Quare 
iiecesse est, ut numerus 4w l unum ad minimum habeat factorem primum 
formae 4 w 1, et quia per talem numerum primum nulla summa duorum 
quadratorum inter se primorum est divisibilis, nulla etiam datur, quae per 
numerum compositum 4^ 1 esset divisibilis, 

COBOLLiEIUM 1 

74. Cum nulla detur summa duorum quadratorum inter ae primorum 
per numerum 4w 1, sive sit primus sive composite, divisibilis, multo minus 
numerus 4n 1 ipse erit summa duorum quadratorum. Si enim esset 
4w !-. + &6, utrumque quadratum aa et U seorsim per 4n 1 diviai- 
bile esse deberet, quod, cum utrumque sit minus quam 4n 1, fieri nequii 

80HOLION 

75. Nullum numerum formae in -I esse posse summam duorum qua- 
dratorum etiam facillime hoc modo ostenditur, Si enim numerua 4n-l 



45-46] OMNRM NUMERTJM ESSE SUMMAM QUATUOR Q UADRA ^^___ 363 

esset sumina duorum quaclratorum, alterum esse deberet par, alterum impar. 
At omnia quadrata paria sunt numeri liuius formae 4f et omnia quadrata 
imparia numeri liuius formae 40 + 1. Sumina ergo duorum quadratorum, 
quorum alterum eat par, alterum impar, erit numerus formae 4f+4# + l 
seu 4w + l; ergo numerus formae 4w 1 nou potest esse summa duorum 
quadratorum, 1 ) 

OOBOLLAEIUM 2 

76. Nullus etiam numerus, qui factorem habet formae 4w 1, potest 
esse divisor summae duorum quadratorum inter se primorum; si enim esset 
divisor, etiam eius factor 4w 1 foret divisor, quod fieri nequit. 

COEOLLAEIUM 3 

77 Multo ergo minus liuiusmodi numerus, qui factorem habet 4w 1, 
esse potest summa duorum quadratorum inter se primorum. Ita impossible 
est, ut sit W (4n-l)a + ft&, siquidem a et I sint numeri inter se pmrn. 



THEOREM! 15 

78, mUm numerus in Me forma *mn- m - n contends, quicun^e numeri 
pro m et n capiantur, w^wm esse potest guadratum. 2 ) 

DEMONSTRA.TIO 

Cum nullus numerus, qui factorem habet 4-l, ease queat summa 
duorum quadratorum inter se primorum, seu quae praeter umtatem nullum 
habeant communem divisorem, sequitur fieri non posse, ut sit 



Emo non erit 

4m 



unde ne eius quadrans quidem 4m.-* nnquam quadratum esse potest. 

1) Of. 20 Coramentatkrais 134 hums voluminis. F. B. 

2) Of. 68 hmus Oommentationis, imprimis notam adiectam. I 1 . ^ 



364 DEMONSTBATIO THKOIiEMATIH PKKMATIAX 



THEOBE1A 16 

79. Si in serie residuorwn 1, a, ft, y, & etc., qmw w tlirittfant' 
per numerwn quemcmgue p resultant, cumqmm remclul CQMplemnttum In mkm 
serie residuorum occurred, turn, duo guadrata eMcri poftrunt, </urum Mtwma 'si 
per e^mdem numenm p dimibilis, eiimmi ncutrum twrtthn par p nit dimiMk, 



Praebeat quadratum aa residuum n quudratum auttnn W iwucluum 
= ~-r sen p-r, quod illius est complomontum, ita ut r sit id rwtkum 
emus complementum simul in serio residuorum contmontur. Imn miuuftmtuni 
est summam horum quadratorum aa + U fore por numorum y 

COBOLL1R1IJM I 

^ 80. Si p sit nmnerus primus, statim atcjutt uniuH rwitlui r 
m serie residuorum occurrit, etiam siugiilonmi rttduorum romnlmnonta 
ibidem merunt Sumto ergo quadrate quocmujuo . rulun miidtmrn nit 
-r, dabitur almd , cuius residuum erit ~ r , ita ufc ,r nit ncm mains 
quam y , atque summa aa + o;a5 erit per $ divisibilis. 



COEOLL1BIUM 2 
81. Si igitur detur summa duorum quadratorum aa + to par numerum 

T reSidUOTOm 6X M 6t W rte - alten J "E 
^ qUOCm ^ alio qto*o w orti complamentem 

qU qUe rep6 f ekr ' D 
per numerum ^) divisibilis. 



OOBOLLABIDM 8 

' P iT? t ntibUS 

* 



, quae quidem quadrata aiat inter m prima. 



4849] OMNEM NUMEBUM ESSE SUMMAM QUATUOB QUAPBATOBUM 365 

COEOLLARIUM 4 

83. Nulli ergo alii numeri primi relinquuntur, ad quos theorema hoc 
accommodari queat, nisi qui contineantur in hac forma 4w + 1. 

SCHOLION 

84. An antem omnes numeri primi formae 4^ + 1 hanc habeant pro- 
prietatem, ut in seriebus residuorum inde ortis cuiusque termini complemen- 
tunr sinml ibidem reperiatur, hie nondurn est denionstratum neque despe- 
randum videtur, quin ex his iisdein principiis demonstratio elici queat, etsi 
nondmn mihi quidem eo pertingere licuit. Series autem residuorum ex sim- 
plicioribus numeris primis huius formae ortae sequenti modo se habent, ubi 
quidem residua semisse cuiusque numeri maiora per numeros negativos exhi- 
bere visum est, quo facilius, quaenam sint aliormn complementa, appareat: 

5(1, -1), 13(1, 4, -4, 3, -1, -3), 17(1, 4, -8, -1, 8, 2, -2, -4), 

29(1, 4, 9, -13, 4, 7, -9, 6, -6, 13, 5, - 1, -5, -7), 
87(1,4,9,16, -12, -1, 12, -10, 7, -11, 10, -4, -16, 11, 3, -3, -7, -9). 

In his igitur seriebus perspicuum est cuiusque termini complementum simul 
in iis occurrere. Quod autem hoc necessario eveniat, si divisor sit numerus 
primus formae 4w~fl, demonstratio directa adhuc desideratur, quae hoc 
modo institui debere videtur. Prodeat ex numero primo 4^ + 1 haec series 
residuorum 1, , ft y, c? etc., quorum terminorum numerus est 2w; iam si 
quis neget horum terminorum complementa simul in eadem serie contineri, 
is dicere debet omnia complementa 1, a, (3, y, ^ etc. seriem 
non-residuorum constituere; quorum terminorum numerus cum sit 2w, se- 
queretur nulla alia praeterea dari non -residua; quare si assignari posset 
quispiam numerus in serie non-residuorum .contentus, qui non esset comple- 
mentum. cuiuspiam termini in serie residuorum contenti, simul sequeretur 
nullum plane complementum seriei residuorum in serie non-residuorum occur- 
rere. Hoc ergo si demonstrari posset,, haberetur demonstratio desiderata et 
quidem directa. Nam demonstratio indirecta iam inde datur, quod demon- 
stravi omnem numerum primum formae 4w + 1 esse summam duorum qua- 
dratorum; quare si sit 4w + 1 - aa + &6, residuorum ex his quadratis aa et 
1)1) ortorum alterum alterius erit complementum hincque porro recte conclu- 
ditur cuiusque residui complementum simul in serie residuorum contineri. 



366 DEMONSTMTIO THEQEEMAOT FEBMAT1AH1 I.49~$i 



THEOREM! 17 

85. Si in serie residuorum 1, <x, ft, y t & fife,, quac, ex dwMtme guadratorwn 
per numerum quemcunque p oriuntur, occurrat terminus, gui mt c&mptmmtwm 
summae d^lorum aliorum terminorwm t turn sumnm Mum quttdratvritm exliiberi 
potest per numerum p divisibilis, ita ut nuttms quadrati radix maim* sit quam ? . 



Sint r et s residua ex duo bus quadratm a a et bb oriumla, quorum Hunima 
==r + s eiusque ergo complementum # r ,v Htm * -s, lam HI hoc 
complementum in serie residuorum 1, a, $ y t ti ate, ropwiat-ur, tlabitur qua- 
dratum cc<pp, quod per p divisum relinquot -r *; wcquo mamftwtum 
erit summam horum trium quadratorum aa + bb-\ CG font ptr iwmorwu $ 
divisibilem neque horum quadratorum ullum maiua <WHC^ uuam L v 

* 4 -x*z * 

OOBOLLABIUM 1 

86. Si igitur in serie residuorum 1, , ft ^ <T etc. occurrat aliquis ex 
his numeris 2, l ^ -2, 1 ft a A 2/^. 1 v. -1- 
Py t _2^ l-^tf, _ a _^ etc,, semper suuima trium quadratorum 
exhiberi potest per numerum j? divisibilis. 

COBOLLAEIUM 2 

87. Atque si j sit numerus primus, aingulorum horum quadratimim 
radices , j, c , cum sint minores quam | , erunt aumwi at! /, primi 

OT*.! o wi i v\ r*r\ j-Miq-kJ3.. A J._._ .^ * 



1 * , i -- -P. W^^^^^,;^ % Mf* f jt#* ***** *\4f H/VI WW 

etiam lpsa quadrata; ac nisi ipsa hwc tria quadrate fuorint prima inter so, 
S ed dommuBem habeant divisorem qmdratum, qum hie nflcwnario ml 1 * 
pnmus, per eum quadrata Ula reducentur ad minora ,* ..rinm intor sit 
quorum summa pariter per p erit divisibilis. 

COEOLLARIUM 8 

f 8 ! Sl f.' sene residll orum singulorum terminorum complementa simul 
msmt, turn etiam summa duorum quadratorum Mtignari potest per numerum 



51-52] OMNEM NtJMERUM ESSE StJMMAM QUATUOR QUADRATORUM 367 

p divisibilis. Quando autem duorum quadratorum summa datur, multo magis 
dabitur summa trium quadratorum, cum forma a a + && contineatur in forma 
aa + W + cc. 

SCHOLION 

89. Simili modo demonstrate, si in serie residuorum occurrat numerus, 
qui sit complementum summae trium residuorum, turn summam quatuor 
quadratorum exhiberi posse, quae sit per numerum p divisibilis. Yerum si 
summae binorum vel ternorum residuorum capiantur, tot prodeunt numeri 
diversi, ut satis manifestum videatur eorum omnium complementa in serie 
non-residuorum contineri non posse. 



THEOREM! 18 

90. Proposito quocunque numero primo p si non duorum quadratorum inter 
se primorum summa per eum divisibilis exhiberi potest, certo semper summa trium 
quadratorum per eum divisibilis assignari potest, ita ut non singula seorsim per p 
sint divisibilia. 

DEMONSTRATE 

Sit 1, , ft y, d, e etc. series residuorum ex divisione quadratorum per 
numerum propositum primum p orta. lam in hac serie vel occurrit 1 vel 
non occurrit. Si 1 ibi occurrit, singulorum residuorum complementa simul 
ibi occurrunt ideoque pluribus modis summa duorum quadratorum per p divisi- 
bilis datur. Sin autem 1 non in serie residuorum contineatur, in serie non- 
residuorum reperietur, ubi simul complementa omnium residuorum occurrent; 
hoc ergo casu nulla dabitur summa duorum quadratorum per numerum p 
divisibilis, nisi utruinque seorsim divisorem admittat. Dari autem Ms casibus 
summam trium quadratorum per numerum primum p divisibilem ita ostendo. 

Primo notetur, si quis numerus r in serie residuorum occurrat, eius com- 
plementum r certo in serie non-residuorum esse, et vicissim si r sit non- 
residuum, certo fore r residuum. Ponamus iam negari ullam dari summam 
trium quadratorum per p divisibilem; et quia in serie residuorum primo adest 
numerus 1, numerus 2 ibidem non occurret (alias enim daretur summa 
trium quadratorum per p divisibilis contra hypothesin). Occurret igitur 2 
in serie non-residuorum ac propterea numerus +2 in serie residuorum. Iam 



368 



DEMONSTRATE) THEOKKMAW KKttMATlAN! 



53. 



cum in serie residuorum habeantur immm t ft l, minimal' tu,rum comply 
mentum -3 erit non-rofliduum idt'cu^ I * rwduum. Kn.lum modo ex 
residuis 1 et 3 concluditur foro -I ntm-nwluum m- jm.mtU. -| 4 rmduum, 
Atone in genera si residuum quodcunquo nit, r, Mwlnl r I 4W ium- 
residnum hincque 1 + f forot nwduuiu. Kx har W i hviuitlu'Hi mujuitur 
omaes plane numeros 1, k 2, 3, 4, fi, <J He, in *T' rm.ltiruia nmtinori 
sicque nullos plane numoroB pro wrii* U(n-rttimirtuti rthntii; H uod mua nit 
absurdum, concludes dobemtiB dari utUjut* triuui iiuuarutoruiu Htiimuum pr 
mimerum primum p diviflibilom, t\\wnmi ijuitUnii iiullum wMimm sit pwr ^ 
divisibile, Quae si forbo non fuwiut prmm InlH' m, jr i*ruirt maximum 
communem diviaorem ad prima di'primi iHlTunl, ijuitt iimvitttuti roinmunia 
divisor quadratorum cwrto tmt quad rat u, 



91, Simili ratiocinio c^virudtiu' inulto ntauin r'jmjfwm\ wi juw 
dari quatuor quadratormn aummam in* mmriu jirimuw tUviiihiloin. Krgo 
proposito numero quocunquo primo p Httj*r itithiiar mmmm tftutitiar tjuo- 
dratoram per eum divisibilis. 



tlOEOLLAHIUM *J 

92. Si numerus primiw y non nit divinur utlttw 
dratorum, tria ilia quadrata aa, W, tr, (|uorttnt 
per jp divisibilis, singula wrimfc minora ijuuwt 4 /f/>. 

aa + &&4-cc<Tjpj, unclp uuofciw, tint i*st iltvint 

i 

aa + ^ + cc P er f orifcur, ont < 4 1/ 



dtutrum jua 
itt /A -f rr jt 
Him* VK wit 
huius 



98. &* 



III 

quatuw tflitulrtifaritm prr 

mmnm pulwar 



Sit aa + 6ft + w + ^ 
per hanc summam qmteor 



DEMONHTHATIft 

Bumma quatttor ,|ti* 
fi/i f 

fill 4. f r 4 </</ 



/)<</fx 



sit 



53-54] OMNEM NUMERtM ESSE SUMMAM QtTA^tJOU QtJAD&AfOllUM 369 

qui, sive sit. numerus integer sive fractus, semper in quatuor quadrata saltern 
in fractis resolvi potest. Multiplicemus enim numeratorem et denominatorem 
per pp -f- qq + rr + ss, ut denominator fiat quadratus; erit quotus iste 

_ (aa + & & + e c 



G-IP + <?# + ^ + ss) 2 ' 

quodsi iam .numerator in quatuor quadrata resolvi queat, ipsa fractio aequa- 
bitur aggregate quatuor quadratorum. At numerator pluribus modis in qua- 
tuor quadrata resolvi potest; si enim ponatur 

(aa + lib -f- cc + dd)(pp 4- Q 2 -\-rr-\- ss) = xx + yy -j- ## + ^^? 
erit 

a; == ^ -}- &^ -)- cr + c?s, 

y = aq &j? + cs ^F <^r, 
^ = ar + &s cp + ^S', 

v === as db ^ f + c ^ ^J?> 

qui quatuor numeri, si singuli dividantur per communem denominatorem 
PP + QQ J r rr ~\~ ss > dabunt radices quatuor quadratorum, quorum summa 
aequatur quoto proposito. Nisi igitur hi numeri x, y, & et v sint divisibiles 
per ftp + g.g. ~\~ rr H~ ss > saltern in fractis assignari possunt quatuor quadrata, 



v i i -- dd 

quorum summa aequalis est quoto 



COEOLLAEIUM 1 

94. Quae Me de quatuor quadratorum summis sunt demonstrata, etiam 
ad summas trium vel etiam duorum patent, cum nihil impediat, quominus 
unus vel duo ex numeris a, &, c, d et j>, y, r, s sint aequales nihilo. 



94 [a]. 2 ) Si igitur summa trium quadratorum per summam quatuor vel 
etiam trium quadratorum dividatur, quotus certe erit summa quatuor quadra- 
torum. 



1) Hanc celebrem rolationem EULBRUS primum epistola d. 4. Mail 1748 scripta cum CHR. 
GOLDBAOH communicavit. Vide Oorrespondance math, et phys. pulltte par P. H. Fuss, St.-P^ters- 
bourg 1843, 1. 1, p. 450; LEQNSARDI EULERI Opera omnia, series III. T. B. 

2) In editione principe falso numerus 94 iteratur. F. E. 

LEONHAHDI EULEKI Opera omnia Is Cominentationea arithnjeticae 47 



THEOREMATIS FEUtf ATIAKf 

COBOLLAE10M 

95 Quia productum ex dualnw Hummw qmitum* .tumlrutunim t*l q 
summa quatuor qnadratorum, paii't, w omni* mimw primi nint nummae 
quatuor quadratorum vol ofciam paueiorum, turn ft mm omu* ummmi numoroa 
esse summas quatuor quadratorum wl Hlttm iiauriiiriuu. 

SOHOWON 

96, Si summa quatuor quadratorum [ M-f-rr } </*/ fti^rif tUviil)ili8 
per summam quatuor quadratorum W> i w ! ^ 5 .^. tuin quotum non 
solum in fractis, sed etitun in ititigriH iii* wnnnmiw ijuafutir quailratorum 
est theorema elegantissimum KBUMATII*), r-uhw UmHt ratio rum ijiwi uobis 
est erepta. Fateor me adhuc haiw dwwmBlmti(wm ivitiir* nun jmtuiBae, 
veruratamen hinc ?ia aporifcur ud thiiu*ma mjttrtiw tli'iiujiirttruudum, quo 
quilibet numerus summa quatuor quadraUmtw v'l jtauriurujn H>*Mi*rittir, caau 
scilicet, quo quadrata fraota mm txludutur; vti mu hr ihiir*ma in 
integris quoque semper verum ait*), tamn tm {mrutn mihi pniwtitisse 
videor, quod id eemota quadratorutn ittt^mruni rntim fiintttwatrnvmrn. 
Cum enim demonstratio adhuc pofc FKttHAtir *it frunira indagata, me 
proximo ad kunc scopim 



97, Omnis num&rm est sumnm qwtwnr quatiniturutn ret timm 
siyuidem qmckrata fracta non exdutlaniur. 



Theorema "hoc quidem ?erui tfc t titianiM i|ttuiirtttn 
FERMATIUS enim afftrmat omtunn immt^rum it*% r rttiti 

1) Sed vide notam 4 p. 858, F, 11, 

2) Hoc BAOHBTI tbaowma itiam l iat*gri wwj***r wrtttu t^* |*yiitti *lrtiu>taf%it I, L 

in Oommentatione: XMmwtiraifaH il'tttt Ibt'wiw tl'ttii&itto-ti'aui- NMW* *' 4c* l*ifti 
d. so. de Berlin (1770), 1772, p, 133? f)fwrrj rl# /,4'< **>., jmUiw'* |r IPS w> *4 M. I.-A. 
SBIIRET, t. Ill, p, 180, Hao dissttrtatiooA profwttw Kitt-itur^ 4rJit<.tnttiitvi>i;'fti MltnB$ Wit ia 
Commentationo 445 (indieis KHK8TitoBMf\j)t JV 
aota erud, 1778 p. 193; 

r, B. 



56- 7J OM&Ml isrtlMJERtM ES&fe StJMMAM QTJATtOft QlJADBAtOEtJM 37l 

quatuor quadratis integris vel etiam paucioribus, ego autem fateor me hanc 
demonstrationem nondum invenire potuisse; dabo ergo demonstrationem pro 
casu, quo quadrata fracta non excluduntur. lam notavi hanc demonstrationem. 
tantum ad numeros primos reduci, de quibus ergo sufficit theorenia demon- 
strasse. Quoniam igitur novimus numeros primos minores, ut 2, 3, 5, 7, 
11, 13 etc., omnes in quatuor vel pauciora quadrata resolvi posse, si quis id 
de sequentibus neget, ei dicendum est dari aliquem numerum primum mini- 
mum, qui non sit summa quatuor. pauciorumve quadratorum. Sit p iste 
numerus primus, ita ut onmes numeri primi ipso minores hincque etiam 
omnes compositi certo sint summae quatuor pauciorumve qnadratorum. lam 
per theorema praecedens datur summa trium quadratorum, quae sit 
aa _j_ 6&-J-CC, divisibilis per numerum istum p, ita ut singula haec quadrata 
sint minora quam -jpp\ unde erit 

3 
aa + ll -\- c,c < pp. 

Quotus ergo 

aa-\-"b'b-\-cc 

P 

erit minor quam ^p\ qui cum idcirco minor sit quam p, certe erit summa 
quatuor pauciorumve quadratorum; sit xso -j- yy + 0* + w iste quotus; erit 



ideoque ipse numerus p erit summa quatuor pauciorumve quadratorum, quae 
in fractionibus etiam assignari possunt. Cum igitur inter numeros primos 
non detur minimus, qui in quatuor vel pauciora quadrata dispertiri nequeat, 
nullus prorsus datur numerus primus, qui non esset aggregatum quatuor 
pauciorumve quadratorum; quod cum certum sit de numeris primis, etiam 
valebit de omnibus numeris compositis ideoque de omnibus omnino numeris, 
ita ut nullus omnino detur numerus, qui non sit summa quatuor pauciorumve 
quadratorum. 

COROLLABIUM 1 

98. Cum omnis numerus integer sit summa quatuor pauciorumve qua- 
dratorum, eadem proprietas etiam ad omnes numeros fractos patet. Sit 
enim proposita fractio quaecunque ~, quae transformetur in ~V lam sit 

= ^ + ^_t_li + ^ eritque 

~ ~ rr ~ ss ^ 



372 - DEMONSTRATE THBQUEMATI8 KKBMATIANr [57-58 

mn 'mm m ** + ^ "f* '*'* \ * ' 

ideoque oxnnis numerus fractus erit Bumma Himtuor pttunnnimv** tpiattmtiirum. 

coiiow^itniM % J 



99. Qucmiam, si de resolutions mimtwrum fmrUtrum in ijuailm^i nermo 
est, conditio ilia quadratorum integroruiu HjuwtP t'viimwit thtHn*ma in Miwi 
sensu ita acceptum, ut omnew plant! numwiw, sivi iiit^KriH vi frartim, in 
quatuor vel paaciora quadrate rosolubihw iliramiw. ^w* ulla n'Htrirliimi* rigide 
demonstravi. 



100. Cum igitur FBKMATIUH afilrmiuHnt mntM niruni intt'grum 
summam vel quatuor Tel paucioruiu quadratitrum tuti^rnrtitti, ititit 
hoc est demonstratum tie quadratis in gtmuw |i'rf*ttls. IriP'lH mm 
Quare ut FEEMATIO satisflat, auperBM^ ut tltnttcitr*niis ijui wwiorua 
in quatuor quadrata fieacfca rosolvi cjuimln imudinn tjuiuiun in tjwituor ml 
pauciora quadrata integra resolvi IKWHI*. In Atmlyi quitlmn iUiunfANrBA pro 
certo assumi solet nulkm numruui iuti^grtun tti ijuattwr |tiiwirate fracta 
dispertiri posse, nisi eius resolutio in quittuor t{tmrlnita iiitt^m v**l jwuciora 
constet; quod ergo si demonatrafcioiti* mmltntmtuni, wlul lr**t amplins 

desiderandum, Verum nuBquam adhur i*hwmii i*miuH(nttMiHMn invcml 
Quod autem ad theorema latisaiine pat*w attiiut hw vmbi,'* rnif**|tttiin 

Omnem mmnm mm integmm w- fractum ? wmnuim ytttttuttr pawio* 
mwwe qmdratonm, 

eius demonstrationem He tradidi ita rigrtrutmtu, ut in si nihil pl 
desiderari queat; hocqne ipso non tumtmmiintttntu jiftrt*tt n 
deperditarum miM equitl&iu videur rHtituijtt*, 



Commentatio 243 indicis ENBSTROEMIANI 

Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 5 (1754/5), 1760, p. 5974 

Summarium ibidem p. 7 11 



STJMMARIUM 

Divisores cuiusque numeri ii vocantur numeri, per quos ilium sine residue dividere 

licet; unde inter divisores cuiusque numeri reperitur primo unitas, turn vero ille ipse 

numerus, quandoquidem omnis numerus tarn per unitatem quani per se ipsum dividi potest. 

lam constat eos numeros, qui praeter unitatem et se ipsos nullos alios divisores admittunt, 

vocari primes, reliquos vero, qui praeterea per alios numeros dividi se sine residue 

patiuntur, composites; atque in Arithmetica vulgar! traditur metliodus omnes cuiusque 

numeri divisores inveniendi. Auctor igitur in hac dissertatione smnmam omnium divisorum 

cuiusque numeri contemplatur, non eo consilio, uti alias in investigatione numerorum per- 

fectorum vel amicabilium aliarumve huiusmodi quaestionum fieri solet, sed ut ordinem et 

quasi legem, qua istae summae divisorum singulis numeris convenientes procedant, exploret, 

qui certe maxirne absconditus videri debet, cum pro numeris primis summa divisorum ipsos 

unitate superet, pro compositis autem eo magis, quo plures factores primos in se com- 

plectuntur. Quoniam igitur ratio progressionis numerorum primorum adhuc summum est 

mysterium, in quod ne FERMATIO quidem penetrare licuit, horum autem ratio manifesto in 

summas divisorum ingreditur, quis dubitaret nas quoque nulli legi subiectas pronunciare? 

Eo maiorem igitur haec dissertatio attentionem meretur, quod ita lex ibi in lucem est 

protracta, etsi nonduni summo rigore demonstrata. Auctori autem Me idem usu evenit, 

quod ante in theoremate FERMATIANO, ut mox deinceps defectum demonstrationis suppleverit. 

Quod enim in demonstratione Me tradita adhuc desideratur, statim in sequent! dissertatione 

supplebitur. 

1) Tide Oommentationes 152, 175, 244 hums voluminis. F. E, 



a74 OBSEBVATIO DE HUMMUS MVISOUI'M [ 8 ^ 

Quo haec clarius exponi possint, utitur Auetor aiffiw / tl uumtiwm diviiwrum cufosque 
rmmeri, cui praefigitur, indicandam, Ita / iudimt nummttin omnium iliviimrttsu uumeri , 

unde intelligitur fore, ut sequitun 

y lral) fit -M u~i*, 

/2-1+2-3, /III -I I-'J f ! 4-| t! t I'J- :*, 

3-1+3-4, 



/ 5-1 + 6-6, tft 1 1 :| ' I !'- S'i, 

-1 + 2 + 3 + 6-12, /! ! t 1* i 4 1 H ! hi-IU, 

^1 + 7-8, /1 7 I T 17' -IM, 

/ 8-1 + 2+4 + 8-15, /IH^-l | *J ! It I fJ f U f iH-.aJ, 

/ 9- 1 + 3 + 9- 18, /Jt-l-fitl-at t 



quae summae ex cogmito prinoiplo, quod itimma fH?iniiit prosltwll mnpg t cwitw 

w, w, jp, g fiant inter se uumeri prixni> fttqasllf 11 prt<ltifto ex tlitiiiiruiti itagu- 

lorum seu 

/! * jf , 



pro maximis numeris facile deflairi poiimi It att 

H. 6 -. - *6~ If* 



Oonsiderat autem Auctor has diviiorum lumtnim, prwtf, w^rttmlttiii r<Un*m nuinworum 
naturalem, quifous respondent, progradiuntar hem wodcu 

uumeri 1, 2, 3, 4, f), 0, 7, 8, % HI, It, TJ til, 14, Jfc, 1 il*- M 

summae div. 1, 8, 4, 7, 6, 1% 8, 1ft, 13, IK, Itf, K, M S4, l'4 f Ut t*tr,, 

in qua progressions eerte nulla lex ipeeUtur, mm tut<l<* nittt wwiwr**!* ttl mittr*i*, modo 
pares modo impares, atque imprimin onlo numorontw firiinwiitti ! itmnifftito tmmifwtttnr} 
qui cum sit imperscrataMllfl, quis in hae writs lg*m ijiiirwi*liirV Istrriin tmiirn Actr 
docet hos nximeros oonstituero g0rien eiu gi*ttiri ( tpww n^ttrrmti> 4i*"i lit lla ut 
quilibet eius terminus ex aliquot pmatdentilmi nwuminm wrtwn i|twil.iiM ltyr* de^ 
minetur, Quemadmodum enim /n dmokfc wwtmititt tliv irt nmnm n, ifcn hum* wtrijitura 
/(n-a) denotabit summam dMiorum itutnwi a, ! Irviii*i i^i tlto uti 
iwenta ita se habet ? ut sit 



9_n] OBSERVATIO DE SUMMIS DIYISORTBI 375 



ubi ratione signorum tenendum est semper bina + excipi a binis ; mimeri autem 1, 2, 
5, 7, 12, 15 etc. continuo ab n subtrahend! ex differentiis facile cognoscuntur: 

irameri 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57 etc, 
differ. 1, 3, 2, 5, 3, 7, 4, 9, 5, 11, 6 etc, 
dummodo alternatim summantur. Commodius igitur ilia relatio ita repraesentabitur: 



_ 2 ) - /(* - 7) +> - 15) -/(n - 26) +/( - 40) - etc. 

Pro application autem huius formulae ad quosvis numeros sciendum est bos terminos eo- 
usque tantum sumi debere, quoad numeri post signum / script! fiant negativi, qui omnes 
sunt omittendi; turn vero, si occurrat terminus /(n-) seu /O, quia Me per se non deter- 
minatur, quovis casu eius loco ipsum numerum n scribi oportere. Per hanc ergo legem 

/21 =/20 +/19 -/16 -/14+/9 -f/6 
J 21==s 42 + 20 -31 -24 + 13 + 12 -87 -55 = 32; 

/22 =/21 +/20 -/17 ~/15 +/10 +/7 -/O 

/22== 32 + 42 -18 -24 + 18 + 8 -22 = 100 -64 = 36. 

Ad bane mirabilem progressionis legem deductus est Auctor consideratione kuius product! 



seu 

turn 

seu 



cuius factores in infinitum progredi concipiuntur; quod si per actualem multiplicationem 
evolvatur, obseryavit prodire bane seriem 



quousque scilicet operationem actu continuare licuit, unde legem buius seriei et exponen- 
tium progressionem tantum per inductionem conclusit, quod forte pluribus sufBcere yideatur. 
Verum Auctor ingenue fatetur bane obserratam convenientiam minime adbuc esse demon- 
stratam, sed eius demonstrationem etiamnum desiderari, quam autem baud multo post cum 
Academia commumcayit. Concessa autem aequalitate illius producti et seriei evolutae tbeo- 
rema memoratum Circa ordinem in sumrnis divisorum perspicue inde demonstrator, ut 



376 OBSBBVATIO PJJ StTMMfc* IHVWOItPM f" u 

-- , __,,. , ' f>9 ~0o 

nullum amplius dubium superesse possit, olmnwi logiirithmis l <UttVrtuHaUtw nit 

i **) 

quae res parum ad naturam, divworum {H'rtinw vuluuhm E\ lun> crg-rt ca*u 



licet, quam areto et mirifico nexu Analysis iuflmtorum nun wlnw cum Amtlviu vulo- ' 
sed etiam cum doctrina numerorum, quae ab hoe itubHmi ouU'uli gi'tro ntihurrr(t 
sit coniuncta. 



1. Proposito quocunque numero n donotH lm*v formtiJn / ummam 
omnium divisoram numeri . Ita ui umtiw pnutw w ipHtun uliitm mm 
habeat divisorem, erit/1-1; atquo PUIU numi*ruH prtuuw ttrnw tantum 
habeat diyisores, unitatem efc ao iimiim, HI n fmmt umnmin primiw, wit 
J -! + . Deinde cum numeruH pwfiwtiw ut*quaiiH nit mnunmi. miarum 
partium aliquotarum, partes aliquotao aufwn Hint (UvimireM i4tw praotiv ipwim 
nnmerum, manifestum est numori porfocti Hummttm divmorum it Itim fB0 
duplo maiorem; hino si n sit numoru* juvfwtuH. writ /w...a p orrn (|UO 
niam numeras redundans appollari H0H In, rutun Humnm partium alicm J 
tarum ipso est maior, si n sit rmmenia mlumlaiiH, wit j\i . i> w - ar ! w it 
numerus deficiens sen talis, cuius simma imrtium niitutitnruttt iimu ** 



2. Hoc igitor modo Moles nuramwum, ^imimm mimmn mftimn all- 
qnotamm vel dmsorum contdnetur, fkcil* m m h oxiirimitur. HI ,mm ftimfc 

at*' * Prim ' d it /*-^ l nit, 

ac s! nt 



referri 



* 



praeter unitatem null divin ? "'"""" mlW "" 

dtvigorem commuuem. turn umm dm- 



60-61] OBSERVATIONS SUMMIS DIVISORUM 



sorum product! pq aequale erit producto ex summis divisorum utriusque seu 
erit 



Hinc inventis summis divisorum numerorum minorum inventio summae divi- 
sorum non difficulter ad numeros maiores extenditur. 

4. Si sint a, 6, c, d etc. numeri primi, omnis numerus, quantuscunque 
fuerit, semper ad huiusmodi formam a a tfc Y d d etc. reducitur; qua forma in- 
venta erit huius numeri summa divisorum seu CcfWtfd? etc. 



' etc ' 
At ob a, &, c, d etc. numeros primos erit 

/V=14- + a 2 H ----- f-a tt =^ +1 ~ 1 

*J Oi 1 

ideoque 

1 i . etc ^ 

etc. 



Sufflciet ergo singnlarum potestatum numeroriim primorum tantum sunmias 
divisorum invenisse. 

5. Hanc autem indagationem ulterius non persequor, sed at ad id, quod 
hie tractare institui, propius accedam, numerorum secundum ordinem natu- 
ralem progredientium summas divisorum hie conspectui exponam. 



/l-l /5- 6 /9-13 /13 = U /17 18 

3 /6 12 yiO 18 /14 = 24 Jl8 39 

4 /7 8 /ll 12 /15-24 /19 = 20 

7 /8 15 /12==28 yi6 31 /20 42 



1) Has relationes, quae etiam inveniuntur in Oommentationibus 152 et 175 huius voluminis, 
iam a FR. v. SOHOOTEN et I. WALLIS (in alia quidem forma) traditas esse annotavit G. ENJBSTKOEM, 
Biblioth. Mathem, 6 8 , 1905, p. 408. Vide PR. y. SOHOOTEN, . Exercitationim matfiematicarum 
libri quinqm, Lugd. Batav. 1657, libri V sectio I, p. 378380, et I. WALLJS, A treatise of Algebra, 
London 1685 (Additional Treatise of Combinations etc., p. 122). F. R, 

LEONHAKDI EULKRI Opera omnia Ij Commentationes arithmeticae 48 



37g OBSEBVATIO BE flITMMW 



/2l = 


32 


/37- 


. 38 


/*53- M 


/(!! - ilfJ 

* 


/-,. 


108 


/ 22 ~ 


36 


/88- 


- 60 


J 5)4-120 


J7U 144 


./;* 


132 


/23 = 


24 


/39 


. 56 


t* 


| 7 1 - " 72 


./'" - 


120 


Jfc- 


60 


f4Q- 
/ 


- 90 


(kt2<) 

*' 


|*72 lift 


/w.., 


1HO 


/25 


31 


/ ^;l SB 


. 42 


J*57- HO 


/ Vi * i 

| f.i - <4 


_/'K!l ., 


no 


/26 


42 


/42- 


- 96 


/f)8~ IK) 


jVl - 114 


* * 


2:14 


/27- 


40 


j"43- 


* 44 


f50- * (i 
i/ 


/75^UM 


fm ~< 


112 


f28= 


56 


((_/ 


- 84 


J(^0 . - 168 


/ 7lt 140 


/ !t>1 ' 


168 


/29 


30 


/T| 


- 78 


roi 02 

*' 


/*77 l 

** 


/*! 

* 


12H 


/30 


72 


/46- 


. 72 


/* 


/*TW t j*wt 
(o "*"* *|j?\ 


_/-N.. 


144 


J31- 


32 


J47- 


. 48 


Jb-i(H 


J7!l- HO 


/'iir... 

*'* 


120 


A9B 

J ^ 


63 


/48- 


-124 


j # 


jki^tHi; 


** 


252 


/ 33 <=* 


48 


/49- 


- 57 


J*05- H4 


J HI ^ 121 


/' 97 ~ 

f, 7 


!IH 


J 34 = 


54 


/50- 


98 


AlG *' 144 


1* t 

i H^ *"** Itwf) 


/* *H ^ 

J *' **** 


171 


/35 


48 


/51- 


. 72 


J*87* IE 


jki HI 


j; nil ~ 


tM 


f36 


91 


/ 52 m 


98 


Al8 126 




/itw -,* 


217, 



6, Si iam contemplemur aariim horum nwm*rtjnit i, a, 4, 7, fi, 12, 8 t 
15, 13, 18, 12, 28 etc,, quam sumntae diviHorutn ntimorih imiuruH *nlm* pro- 
cedentibus respondentes coiwtituun^ non im titilln ti*x }rgriwHims patot 
sed ordo horum numerorum tanfcopBrci ant imrturhatiw, tt nulti irorww lt*gi 
adstrictus videatur, Quin etiam haec ri*H ordiiunn nuntwirtuu jriwrura 
manifesto implicat, cum tenaiuus indicin mnt /* ttf ml -f- 1, quo- 
ties ti est numerus primus; mmhi autem ttumi^rfM ^ritinw tttilli* tuihuc 
modo ad certam quandam progreH8ioni lgt*m nvt*uH puluwws <*um iuittm 
nostra series non solum numerorum primoruni, wnt rtkiti (tmtitum n*lijuorum 
numerorum, quatenus ex primis tmnt compoHltl, wtt<t$i*tH iiijiIiH:tnttir mm 
lex multo etiam difflcilior immkn yidefcwr qntm ipniuH i*rlf4 jjuiimrorum 
primorum, 



62-63] OBSEEYATIO DE SUMMIS DIVISOEUM ^ 379 

7. Quae cum ita sint, non parum equidem mihi scientiaxn numerorum 
promovisse videor, dum certain atque constantem legem detexi, secundum 
quam termini seriei propositae 1, 3, 4, 7, 6 etc. progrediantur, ita nt per 
hanc legem quilibet istius seriei terminus ex praecedentibus definiri possit; 
inveni enim, quod magis mirum videatur, hanc seriem ad id genus pro- 
gressionum pertinere, quae recurrentes vocari solent et quarum natura ita 
est comparata, ut quilibet terminus ex praecedentibus secundum certain 
quandam relationis rationem determinetur. Quis autem unquam crediderit 
hanc seriem tantopere perturbatam et quae cum seriebus recurrentibus nihil 
plane commune habere videtur, nihilominus in hoc serierum genere contineri 
eiusque scalam relationis assignari posse? 

$. Cum huius seriei terminus indici n respondens, qui indicat summani 
divisorum numeri w, sit = Cn, eius termini antecedentes ordine retrograde 
erunt f(n l), /( 2), f(n 3), f(n 4), f(n 5) etc. Quilibet 
autem terminus istius seriei, scilicet Jn, ita ex aliquot antecedentium confla- 
tur, ut sit 1 ) 

fn -/( - 1) +/( - 2) -f(n - 5) -f(n - 7) +/( - 12) +/( - 15) 

-f(n - 22) ~f(n - 26) +f(n - 35) +f(n - 40) /( - 51) -f(n - 57) 

+f(n 70) +f(n - 77) /(n - 92) ~f(n - 100) +f(n - 117) +f(n - 126) - etc. 

Yel cum signa + et altematim binos terminos afficiant, haec series com- 
mode in duas divellitur hoc modo : 



J[ n _ 1) - f( n - 5) +J> - 12) -f(n - 22) +J[n - 35) -f(n - 51) + etc. 
_ 2) .J[n - 7) +f(n - 15) -f(n - 26) +/( - 40) -f(n - 57) + etc. 



fn 



9. Ex hac posteriori forma ordo numerorum, qui in utraque serie suc- 
cessive a numero n subtrahuntur, facile perspicitur; utraque enim series est 
secundi ordinis differentias secundas habens constantes. Namque prioris seriei 
numeri cum suis differentiis tarn primis quam secundis sunt 



1) Tide p. 245. F, E. 

48* 



380 OBSERTATIO DB 

1, 5, 12, 22, 85, 51, 70, St 117 etc., 
diff. 1. 4, 7, 10, 18, 16, 19, 22, 25 etc., 
cliff, 2. 3, 3, % 3, 3* 8., 8 etc. 

* 



Unde illius seriei terminus generally rot -^ " nmtiiwtqwi adoo 
numeros pentagonales, Alfcera seriefl ent 

2, 7, 15, 26, 40, 57, 77, 100, i2 *tr,, 
diff. 1, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 2 <tc.. 
diff. 2, 3, 8, 8, 3, a. 3, II *'t?. 

ideoque terminum generalem habifc *% HC nwom numworum 
nalium retro continuatam continei 



10. Omnino Me notatu esfe dignuni Mfrit^m titim^rorutn pontngonalmm 
tarn ipsam quam retro continuakni atl t)t<lini*in H**rim titiiirtn (Uvisorum 
potissimum adhiberi, cum sano nullum wxttm intir !mi*rtw poiifagtinalra at 
summas divisorum ne suepicari quidem Urtmt, HI wm f*i<rii nunrorum 
pentagonalium tarn antrorsum quam rotrowum noutintmta ixiumtttttr hoc tiaodo 

etc, 77, 57, 40, 26, 15, 7, 2, 0, 1, 5, 12, 22, M, fit, 70, J# etc., 



formula nostra ordinem summarum diviorum cuuiplcwtinm Igni 
hoc modo ordinata 'exhiberi poterit 

etc, -./( - 15) +J\ n - 7) ~ ; /| - 2; f J J' ()| ; / r 

- 22) - * 4f - 0, 



quae series utrinque quidem in infinitum excurrit WH! qtt>vi wwu, 

ad usum nostrum rite adhibeafcur, determimito tnrmintirum nutnoro conalat 

11. Si enim ope formulae 



77) 



64-66] OBSEBVATIO DE SUMMIS DIVISOKUM 



summam divisorum numeri n invenire velimus ex cognitis divisormn summia 
nunierorum minoruni, plures terminos huius formulae accipere non oportet, 
quam quoad ad summas divisorum numerorum negativorum perveniatur. 
Omnes scilicet termini, qui post signum f numeros negatives continent, sunt 
reiiciendi; unde patet, si n sit numerus exiguus, paucissirnos terrninos suffi- 
cere, quo maior autem fuerit numerus n, eo plures terminos ex formula 
nostra generali ad usum adhiberi debere. 

12. Summa igitur divisorum numeri propositi n ex summis divisorum 
aliquot numerorum minorum, quas cognitas esse assumo, conflatur, quoniam 
quovis casu summae numerorum negativorum reiiciuntur. Quae cautio cum 
eo sit facilior, quod numerorum negativorum summa divisorum ne concipi 
quidem possit, insuper moneri oportet, quomodo operatic sit dirigenda iis 
casibus, quibus formula nostra praebet terminum f(n n) seu JO, qui, cum 
cyphra per omnes numeros sit divisibilis, vel infinitus vel indeterminatus 
videtur. Casus hie autem toties occurrit, quoties n est numerus ex serie 
numerorum pentagonalium vel ipsa vel retro continuata; his igitur casibus 
tenendum est semper pro termino f(n ) seu Jb ipsum ilium numerum , 
qui proponitur, esse scribenduni et quidem cum eo signo, quo terminus 
C(n ri) in formula nostra afficitur. 

13. His expositis praeceptis, quae ad usum formulae nostrae observari 
debent, exempla a numeris minimis inchoando apponam, quo facilius vis for- 
mulae nostrae perspiciatur simulque eius veritas agnoscatur, 



seu 



seu 

1 + 2 3 



seu 



382 GfiSEtlVAttO M DtVJSORUM 



/4-/S+/2 

ft 

I 4; s* 4 "4"" O SKJt 7 
t/ 



/6- 6+ 7 



seu 



seu 



seu 



seu 

e^ 

- 12 + 



seu 



seu 



sen 

jTlO- 18+ 15- G~. 4-1H 









/8- 8+ 12- 4- 1.,,-in 



/ll- 18+ 13- 12... 7~12 



/12- 12+ 18- 8-6+12-8 






, 
vewmdi ' lMn ' " .! pro jiti 



omnm 
mai oruia 8um ma8 diviwrum e.Uibui, undo veritas 



OfiSfifiVAWO Dfi StJMMlS DlViSOfttf] 38B 



nostrae formulae in numeris maioribus explorari poterit. Imprimis autem 
non sine delectatione reperiemus,' quoties numerus propositus fuerit primus, 
ex formula nostra pro eius divisorum summa inveniri numerum unitate 
maiorem. Evolvamus in mine finem exemplum, quo numerus propositus 
w = 101, quasi ignorantes exploraturi, utrum hie numerus sit primus necne, 
atque operatic ita constabit: 

/101 -/lOO +/99 -/96 -/94 +/89 +/86 -/79 -/75 
217 + 156 252 144 -f 90 + 132 80 124 
+/66 +/61 -/50 -/44 +/31 +/24 -/9 -/I 
+ 144+ 62- 93 84+ 32+ 60-13- 1. 

Colligendis ergo binis terminis erit 

JlOl + 373 396 

+ 222 204 

+ 206 177 

+ 9214 

S6U JlOl - + 893 - 791 - 102 . 

Eeperitur ergo summa divisorum numeri 101 unitate maior, scilicet 102, unde, 
etiamsi id aliunde non constaret, sequitur manifesto numerum 101 esse pri- 
mum. Hoc autem merito eo mirabilius videtur, cum nulla o'peratio sit in- 
stituta, quae ad rationem divisorum ullo modo referri queat; quin etiam 
divisores, quorum summa per hanc regulam reperitur, ipsi manent incogniti, 
etiamsi saepe ex consideratione ipsius summae concludi possint. 

15. Insignis haec proprietas, qua summae divisorum sunt praeditae, non 
minus foret memorabilis, etiamsi eius demonstrate esset obvia et quasi in 
aprico posita. Sin autem demonstrate admodum esset abstrusa atque nume- 
rorum proprietatibus maxime reconditis inniteretur, inde non mediocriter 
certe pretium huius legis progressionis repertae augeretur, siquidem earum 
veritatum investigate eo magis est laudanda, quo magis eae fuerint abscon- 
ditae. Yerum dura fateri cogor me non solum nullam huius veritatis 
demonstrationem proferre posse, sed etiam propemodum pro desperato 



384 - OBSERVATIO m MTlSOBUlf [0 a _ 69 

habere, nescio, annon ob hanc ipsam cauaam cognitio talia yeritatia amlto 
magis sit aestimanda, cuius demonatratio hobia esfc imperacrutabilia. Atque 
hanc ob rem istam veritatem pluribua exemplia confirmara viauxn eat, quod 
mihi quidem eius demonstrationem exhibere non Heeat 

16. Eximium igitur hie eiuamodi propoaitionum habemuH oxomplum, de 
quarum veritate nullo modo dubitare poaauuuiH, etutiuBt OUH dcinonHtruro non 
valeamus, quod plerisque eo magis mirum vidobitur. quod in matlu\si vukn 

O 

nullae aliae propositiones admitti putantur, mm <iuarutn v^ritan ox indubi- 
tatis principiis evinci queai Interim tamen non fortuity t quani tUvinando 
ad cognitionem hums veritatis perveni; cui onim in montom vonire potuiaset 
ordinem, qui forte in summis diviaorum locum babucrit, x natura Hi^rierum 
recurrentium ac numerorum pentagonalium per aolam C(mi(ctunu olicore 
velle? Hanc ob rem non abs re fore arbifcror, si raodum, qu< ad ct>gnitionom 
huius ordinis pertigerim, dilucide expoauoro, pra08wtim tium IH atlmotium ait 
reconditus ac longe multasque per ambagea conquiaituH* 

17. Deductus autem^ sum ad bane observationein pur conaiderationem 
istius formulae infinitae 



cuius valorem, si multiplication singalornm aotn evolvato 

ac secundum potestates ipsius disponatar, deprehendi in seriem 

convert! 1 ) 



ubi in exponentibus ipsius x iidem numeri occurrunt, quo supra desoripsi, 
nutnen sdlicet pentagonales cnm ipsi tarn retro confcinuati. Unde, quo ordo 
fadhus perspicmtur, haec series ita exhiberi potent^ at utrinque in mfimtum 

excurrat * 



1) Vide notam p, 191. I, 



63-70] OBSfiftVAWO DH SUMMIS DlVlsO&UM 

18. Aequalitas harum duarum formularum pro s exhibitarum iam est 
id ipsum, quod solida demonstrations confirmare non possum; verumtamen 
qui opus evolutionis formulae prioris 

s = (l_ a?) (1 - a 2 ) (1 x*) (1 ^) (1 - # 5 ) etc. 

in se suscipere hosque factores successive in se multiplicare voluerit, statim 
ad terminos primores alterius seriei 

s = i _ x %* 4. aj5_|_ 3.7 __ x __ gas + etc> 

perveniet neque difficulter perspiciet bina signa + et geminata se invicem 
excipere et exponentes potestatum ipsius x earn legem sequi, quam iam satis 
exposui. Concessa autem hac aequalitate inter binas istas formulas infinitas 
proprietas summarum divisorum, quam ante indicavi, rigide inde denionstrari 
potest; atque vicissim si haec proprietas pro vera agnoscatur, ex ea veritas 
consensus duarum haruni formularum evincetur. 



19. Quodsi enim pro demonstratb assumamus posito 

s == (1 x)(l - C 2 )(1 - ^ 8 )(1 x*)(l- a 5 ) etc. 
fore 

s = l x # 2 + x 5 H- a? ic 12 x 15 + oj 22 -f x 26 etc., 

erit logarithmis sumendis 

Is = l(i - x) + 1(1 - a; 3 ) + 1(1 - x s ) + 1(1 - a*) + 1(1 - x 5 ) + etc. 
et 



Sumantur utriusque formae differential eritque 
ds Ax 2xdx 



_____ _ ____ 

et 

ds dx 



, 
etc> 



__ l - a; - a: 2 + ^' 5 + i T - a; 12 a; 15 + # 2a + ^ 2e etc. 

XJEONIURDI EULBKI Opera omnia la Commentationes arithmeticae 



OlfflKRVATK* 

Multiplieetur utraque par t| / u< 



!** 



+4 



21, Si i 
habebittur 



ubi nmnifestum esfc 



20. Harum expr8ioimni int**r & m\immui <'<'itt*iu{tttnmtr primo 
priorem ae singulos tamtiiws tuon* i*it*uM in i^t^^ii *$*,* 
convertamusj quo factu 
secundum potestatw* ip*i 



1 1 
* 



potestatis af coefficifus wrlfc aivimirttm nt*tri ; ml ff 



fl-72] OBSERVATtO DE SUMMlS tHVtSOBOT 

is secundum modum signandi supra receptum = Cn. Hinc itaque series ipsi 
^ aequalis inventa ita exhibebitur, ut sit 



-f a B 5 + a e 6 + tfl -f- etc., 



sicque posito x = 1 prodit progressio summarum divisorum, qui singulis 
numeris ordine naturali progredientibus conveniunt. 

22. Designemus iam hanc seriem per t, ut sit 

T r -u. /V** / | -., I , .... /Y* i S .--.. I -n /V* I "\ . I . /Y* / A , I /Y* I 'S in I I /V* / t"\ ,-]--, /V* I / .-..J^, OT /^ 

|^ ..,... ^jy j^ i jj m j i ^^ ^ i j^ j *-j- -. .- ^j ^ 1 4^ I \J I ^X/ I | "* \^j \J\j u t 

t/ t/ */ t./ t/ fjf t/ 

et ob ^ ^ erit quoque 

setae * A 

/yfjL I O /yi* ^^^ R rt^*-) ^^^ *7 f 
iju l (X/ . t/ / ^^^ I ^ 

Jl ___ ' 

V ~~~ O . E , 17 

1 IY* __ /y>a _1_ rfO l_ /).( 

j_ ^ ^ _j_ ^ _j_ ^ 

Necesse igitur est, ut ex evolutione huius fractionis pro t series obtineatur 
aequalis illi, quam prior forma suppeditavit; unde manifestum est seriem 
illam pro t inventam esse recurrentem, cuius singuli termini per prae- 
cedentes determinentur secundum scalam relationis, quam denominator 
1 x x 2 -{- x* + $ e ^ c - indicate 

23. Quo nunc facilius indoles huius seriei recurrentis cognoscatur, binos 
istos valores pro t inventos inter se coaequemus atque ad fractionem tollen- 
dam uterque per denominatorem 1 x x 2 + $ + $ # 12 # 18 + etc. mul- 
tiplicetur, quo facto orietur terminis secundum potestates ipsius x disponendis 



^ 

- P- f*~ A- / 6 - / 6 - / 7 - /- / 9 - / 10 - 

- A A- A A- / 5 - A A / 8 - / 9 - 

3 + / 6 + / 7 
3 + / 4 + / 5 

aequale 
a; 1 +2# 2 * * ~5a; B * 7a 7 * * * * + 12a; 12 +etc. 



49* 



SI MMIS 



24 Cum lain eingularum luintwtatwn ij*r*tus ; r*H*tidtitt*^ MI* nmtuo 
destruere doboant, hiuc 



/I- 1, / '-/ '/' 

/2-/1 + 2, /"-./'" '/'' 



/6-/5 + /'4-/i, As-./'M /'to |'v /;, 

/ i/i/ */ v * * * *' 

quae manifesto redetrat ad 



tt 

7i* 
tl 7i 



|;^/u *. ^|!t :, jt 

: ju :., /ta 



^ ^ 26, Hie perspicuum Pfc numrtw t|iit r.utitiiittM 14 untune |irfi|*lti, mm 
divisomm summa qwMiritor, iiiiMnitti il4*iit, *#< tjr*>4 mmwn^ mmd 
1, 2, 5, 7, 12, 16, 22, 28 otc,, t*i quilm^ M t|ii*fViw iui **tini jtiiii*twli ijuuad 
ntunerum propositum non xmitutf.; at*jun fttuut aigmt i^m i*ui^ wtiimimi, 
quae supra est (bicripta, Mine wg in*iiuMtu tiutitri* iiitiM'ttnum* miuti* 
festum est fore 



15 



hoi termlaoi eousque ctmfcmuuntk,, dmtw nnmi>ri !>{.,. /' pm-thum lalwa- 
ws tout negafavi. Bimul ergo rigi, w . r i,4 buin* n*-urn<nti mtio 1'fttat, 
cur ista progressio quovu. euu ultoriuH mtJu H ri n,m .M^. 



7374] OBSERVATIO DE SUMMIS DIVISORUM 389 

26. Quod porro ad numeros absolutes attinet, qui in formularum inven- 
tarum aliquibus sub finem annectuntur, manifestum est eos ex numeratore 
fractionis, qua valor ipsius t expressus est inventus ( 22), oriri atque iis 
tantuni casibus legem continuitatis interrumpere, quibus numerus n est ter- 
minus huius seriei 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26 etc., quanquam ne hoc quidem 
casu lex signorum perturbatur. His autem casibus numerus absolutus in- 
super cum signo suo adiiciendus ipsi nuniero proposito est aequalis; atque 
si legem ante descriptam consideremus, hunc numerum utique deprehendemus 
respondere termino C(n n), unde ratio patet, cur, quoties in applicatione 
formae 

fn -J( - 1) +/(n - 2) -f(n - 5) /(n - 7) + J \n - 12) + etc. 



pervenitur ad terminum C(n n), is non omitti, sed pro eius valore ipse 
numerus n scribi deb eat. Hinc igitur regula supra exposita in omnibus 
partibus confirmatur. 



DEMONSTRATE THROttKMATIS CIKCA < WWNBM j 
IN SUMMIS DIVI80KUM OKSKlt V ATUM 'j i 

| ', 

u 



Itt 344 iHilins &**. 
i corameifttarii academifto ftpirottanmi P*tr<|t>hUnaf 8 

BttHHtumwtn ilti|fiii > 1 1 



HtlMMMUPM 



Hie Gel, Auefcor id, tpod to pr*ewbttf I$wt*ifi*$$i< mlnm* i'i>t*li^lhtr f r 
praestat et demonstratkaem convraiMitiiiii tiwi*l mfftuirutiw fiptliipwiit njniiii 
etsi Yulgaribus prineipiis lunitlttir, Uio^tt puiguotn fn^'titri |,f-n* ** frrr** vitiolur. 
Quod ad ipsum argumenkun ftttinet, itl im sup* ***t i^|l 



lam ab aliquo tempow ituudi in UuHtrwrnt, qim imturH nttmt^rarum non 
niediocriter ilkstrari eat visa, cum in 11* oniu rmiiiiitMtur, IJMMII tttimmae 
divisoram ex rameris aerie naturoH prmriHtt'ttiitniM itrtiw* ttit.*r m fwttwii 1 ) 
Ostendi enim, si aingalorum numerorum uattiriititim t, *, a, 4* !, ii 7, 8 ate, 
onmes divisores in nmm mmmmi roll^antttr li*i|ui *ttvif*rtit mnmmm In 
seriem disponantur, quae erifc 

1, 8, 4, 7, 6, 12, 8, 15, 13, IB, l% SH, 14, ^4. *24, at, 114 i^k,, 
1) Hano 



^ 

scnpta t , 

tl, p. 515, imprimis p. 621 (^iWdwB, p. 407, ^utoUw 4 1. A f *. 174? l dm. 

BACH scriptam); XUMJ JSffiM/ Ojtfm wnK HI, p. 
2) Vide Oommentftttoaii 176 fc 143 ttww fultttaiitw, R 



7576] DEMONSTRATED THEOREMATIS CIRCA ORDINEM IN SUMMIS DIVISORUM 391 

hanc seriem esse recurrentem eiusque singulos terrninos ex praecedentibus 
secundum quandam scalam relationis determinari. Atque Me ordo non solum 
ideo maxime notatu dignus est visus, quod vix quisquam suspicatus fuerit 
hanc seriem certae cuipiam legi esse adstrictam, sed etiam, quod istius 
ordinis nullaxn demons trationem firmam mi]ii quidem turn temporis reperire 
licuerit, etiamsi pluribus modis rem tentaverim. Perductus quidem fui ad 
huius ordinis observationem, dum sequentem formulam in infinitum productam 
sum contemplatus 



^ etc., 

ex cuius evolutione per inductionem conclusi fore 1 ) 

s _ i __ __ a* + ^ 4. 0'-. a;"-. a 15 + x + z 26 - x**~ a^+ etc., 

ubi exponentium ipsius x ordo eorum differentiis sumendis fit manifestus; 
erit enim series differentiarum 

1, 1, 3, 2, 5, 3, 7, 4, 9, 5, 11, 6, 13, 7, 15, 8 etc. 

Excerptis enim terminis alternis patet hanc seriem esse permixtam ex serie 
numerorum imparium et ex serie numerorum omnium integrorum, Yerum 
quod sit secundum hanc legem s = 1 x x*-\- # 5 + a? 7 a 12 # 15 ;f etc., 
siquidem fuerit s== (l-a)(l <)(1 x z )(l x^(1-x 6 ) etc., per inductionem 
tantum collegi neque aequalitatem harum duarum formularum solida demon- 
stration evincere potui. Quam ob causan^etiam ordinem ilium, quern in 
summis divisorum hinc elicui, firmiter demonstrare non valui, sed eius 
demonstrationem iam turn inniti declaravi demonstration aequalitatis inter 
binas illas formulas infinitas modo exhibitas. Cum igitur nunc istam demon- 
strationem sim adeptus, ordinem quoque ilium in summis divisorum detectum 
non amplius illis veritatibus, quae agnoscuntur neque tamen demonstrari 
possunt, accenseri conveniet, quemadmodum turn temporis sum arbitrate, 
sed iam merito ipsi locus inter veritates rigide demonstratas assignari poterit. 
Cuius rei ne ullum dubium relinquatur, singulas propositiones, quibus demon- 
stratio huius veritatis innititur, hie ordine apponam atque demonstrabo. 



1) Vide notam p. 191. F. B. 



productum hoc ex infinitis factonbm CMWttwa in stticm m/wwfr/N nnwrtitur 



DEMONKTE4TIU 



Gum enim seriei primus twmiiWB it (1 t* / ti stMM 
erit summa primi et socundi '-" ft })(! f- /ty i iuui mltkftir i^rtiun ter- 
minus y(l + )(l + j5), prmlihife (i f id -f-ijid | y t ; mMatnr in,-*uj*r ttr 
minus quartus, qui est <J (! + )(! 4 /Ml *I'JV l>r 



Atque sic in infinitum procadondo Humma tot-nut i*ritn ntni umntum eius 
terminorum perducetur ad hoc 



Unde manifestum est, si fuerifc 

a - (1 + 
fore vicissim 



PEOP08ITIO 



392 DBMONSTBATIO THKOBKMATW CIRCA OKWNKM [7 C _ 77 

. __,,._ .-. ^ 

PEOPOSITIO 1 

Si sit 



77-78] IN SUMMIS DIVISORUM OBSEBVATUM 



Si haec forma s = (1 x) (1 2 ) (1 a 8 ) (1 x 4 ) (1 # 5 ) etc. cum forma 
praecedente s = (1 + ) (1 + /?) (1 + ^) (1 + #) (!.+ s) etc. coinparetur, mani- 
festum est fore 

= _^ /? = _ x\ y = x 3 , $^ x\ e = x* etc. 

His igitur valoribus in serie ibi data, quae producto s aequalis est inventa, 
rite substitutis patebit propositionis veritas, scilicet esse 



s _ _ 3. __ x a _ a _ aj. - 



etc. 



8i fuerit 

fl^)(l-iB 7 ) etc., 



productum infinitum per multiplicationem evolvendo terminosgue secundum 
potestates ipsius x disponendo 

s = i __ aji__ 0-|- a* + a; 7 a; 12 a; 16 + ic 22 + x x X M + Bl + ^ 7 etc., 
cuius seriei ratio est ea ipsa, quae supra est exposita. 

DEMONSTKA.TIO 

Cum sit 

s^(l-~x)(l x*)(l x s )(l x*)(l a; 8 )(l o; 6 )(l-^) etc., 
erit 



Ponatur 

s = 1 x 

erit 

j. _ i _ 4. x (i __ a-) (i _ *) + x * (l - x) (1 - a; 2 ) (1 - # 8 ) + etc. 

LEONHARDI EULBRI Opera omnia la Commentation.es' arithmeticae 50 



394 DEMONSTRATE THEOEEMATI8 CIRCA ORPINBM [78-79 

Evolvantur singuli termini tantum secundum factorem 1 x ac sequent! 
modo disponantur 



) 1 ~ ) 1 ~ *} -|- etc. 

eritque terminis subscriptis colligendis 

^ = i - aj_ aJ(i - ^) - /(i - a^)(l - a? s ) - s(l ~ a; 8 )(l ^ (i ~ a; 4 ) 

Ponatur 

Jl 1 * 
erit 



)(! ~- *) + etc., 
in quibus terminis eingulis 1 ^ s tantum evolvatnr, ac fist 



denuoque terminis subscriptis colligendis habebitur 
J&-l-^-a?(l-a^-a^(i-^ 

Ponatur 

J5.l*. 

erit 



ubi in singulis terminis factor 1 ^ eTOivator, ufc fiat Hcribimdo ufc 



unde colligetur 

Ponatur 
erit 



Ax* = x 2 (1 - ic 8 ) Bx\ 
=a 7 (l ic 5 ) C^ 15 
=a; 15 (l a? 7 ). 



79] IN SUMMIS DIVISORUM OBSEEVATUM 395 

quae abit in lianc formam 

| -x* -x*(l-x & } x l2 (l~x^(l-x 6 ') -etc. 

3=8 (l + ^ 4 (l-a; B ) + 8 (l-a; 5 )(l-a; 6 ) + a; 12 (l~ic 5 )(l-a; 6 )(l-^) + etc., 

sicque erit 

D = 1 _ aj_ o^(l a 5 ) o? 19 (l x 5 )(l x) x^(l a? B )(l x^l-tf) etc. 

Quodsi porro ponatur 

. D = l x 9 

reperietur simili modo 

E^l x 11 
Mncque ultra 

F^l x^ G-x*\ a = l x 15 Hx, H=l x i7 Ix etc. 
Eestituamus iam successive hos valores eritque 



etc. 
Quamobrem habebimus 

*l x* ^l-^ 5 -^ 15 l re 7 ^ 6 1-^ 9 -^l-a 11 etc. 



sive id ipsum, quod demonstrari oportet, 

8 = i _ x ^_|-. ^ + aj_ a," flj + -aj"+ -_ a; 85 ^-f ^ 51 + etc., 

unde simul lex exponentium supra indicata per differentias luculenter per- 
spicitur. 

60* 



396 DEMONSTRATE THEOEEMATIS CIBCA ORWNEM [80-81 

PEOPOSITIO 4 

SBU 

THEOREM! PRINCIPAL! DEMONSTRANDUM 

Si Jiaec scribendi formula /w denotct suwmttm tunnium dinsttntm mtmeri n 

' 

similique modo numeronm minomm, wtuti n- f//w//w/'Mfw prr j\n -), 

summa dimsorwn nwneri n sou* In ltd pewMuf a sum mix f//r/wnf/ numnwum 

' 

minorww, ut sit 



fn -/(n - 1) +/(* - 2) -/( - 5) -/(n - ?) +/(n - 12) +/(n - 15) 

-/( - 22) -y*(n - 26) +f(n - 85) +/(n - 40) -/(it ~- 5! ) ^ /Its - 57) + ate, 

Ubi sequentia sunt uotanda: 

1, Signa + et geminata terminos huiua pnigroHHioniM alkwnatim 
afficere. 

2. Legem numerorum 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 2fi fttc. tx nortim tliflferimtiis, 
quae sunt 1, 3, 2, 5, 3, 7, 4 etc,, fieri mamfwtam; undo colHgilur luw nuinoros 
omnes in formula hac general! ! ff "^* 



3. Quovis caau istius progressionis OOB tautimi t^rmiiruw ab initio oase 
accipiendos, qui post signum f numeroa affirmatives *tin(aut; rolitiium vero 
omnes, quibus signumj numeris n0gati?w prat*%itur f cwtf <nittMula; ita 
si sit n - 10, erit /10 -/9 +/8 -~/5 -/ . 13 + 15 - - tl . 4 * IH, 



4 Quibus casibus occurrit temimiB f(n - i), quod wvonit, ni fuerit 
nmnerus huius seriei 1, 2, 6, 7, 12, 15 cite., ii cumtnw pm valon* huius ter- 
mini f(n n) seu fo assumi oportere ipsum numrum prcipitum ?/; nic Hi 

Ql T* /W nmmut 7 /\14 4 I T / /** ! f f*" *% /"**!, . w 

srt n-7, ent J7-.y6+y5-. ( /2-jO.l2H-.a-.7^ l et i sit 

12, erit /12 *jll -fjlo /7 ~-J*5 +/() ~ 1*2 + 18 - H - + 12 28, 



DiMONSTBlTIO 
Formetur series 



61-82] IK STTMMIS DlVlSOBtrM QBSERVATtJM 397 

ubi quaelibet potestas ipsius sc multiplicata sit per summam divisorum ex- 
ponentis eius potestatis. Quodsi iam singulae divisorum summae resolyantur, 
manifestum est hanc seriem transformari in hanc formam 

. * = l(x + a? + a? 8 + x 4 + x 5 + etc.) -f 2(V-f- ^ -f *' + s + ^ 10 + etc.) 
+ 3 (x s + # 6 + a; 9 + a 12 + a; 15 + etc.) + 4 (> 4 + a 8 + a; 12 -j- a5 16 + a; 20 + etc.) 
+ 5(tf 5 + a; 10 -+ o? 15 + o; 20 + ^ 25 + etc.) + 6(a3 6 + a?" + a; 18 + a? 14 + a? 80 + etc.) 

etc., 

quibus seriebus geometricis sumniatis fiet 



dx 



Multiplicetur haec forma per - ac producti integrale erit 



_ '- => 1(1 - aj) + ?(l - saj) + Z(l - ^ s ) + Z(! *) + K 1 - ^ 5 ) + etc - 
*/ P 

seu 

xl-x 5 l-x 6 etc.; 



quae expressio post signum logarithmicum cum sit eadem, quae in propo- 
sitione praecedente vocata est = s, erit ~J~2*=*ls ideoque alterum 
valorem pro s sumendo erit quoque 

m - a 8+ 0"+ a? 7 ^ 12 - a; 15 + aJ 22 + 86 - etc.), 

cuius differentiale per ~ divisum dabit alium valorem pro 0, nempe 

a; 2 5a; 5 7a? 7 + 12 a; 12 + 15 a 15 2 2 g 88 etc. . 



OD 



qui valor si. aequalis ponatur assumto et utrinque per denominatorem 
1 _ __ #3 _j_ a" _i_ # 7 __ a? 12 etc. multiplicetur, reperietur terminis secundum 
potestates ipsius a? disponendis omnibusque ad eandem partem collocandis: 



398 DEMONSTEATIO THEOBEMATB CIRCA ORWXKM IN WMM18 IWIHORIJM [83-8 j 

O-^jl+^+^/S+^H-^ I </**' </^-l ^/'iO+eto, 



/I- ./ 



Unde singularam potestatum ipsiua jc tf[it:imtibuH aihil ttinjuatiH wnjuitur 
fore 

A- i, /^u^/Vi-i./U A, 

/ *'*''' 

2, 



J4-/3+/2, 



atqne indolem ilHus aeqiatioais ?sl tevitor attamUwti |tUtit, t^na 

!L*i|^ Ja -etc, 



hac progressions quo?is casu iOique cotiiml, dwjrr jrvim$ttur ittl sura- 
mas numeroram negativorum, Ddwla pw wt jir*fwnwm numt*rtii ttbao- 
lutos 1, 2, 6, 7 etc, qui in illi farmulin etiipit*itiiit,wt% viftm twitw termini 
JO; unde concluditur in caaihiw, ^qulbtw |>ro Jn in |irgw<Kiww iUa rwpwrta 
occurrit terminus /( n) oou Jb valon^m dun f?mp*r tj?i immoru propo- 
sito * aequalem ease capiendum; gicciu lmbttttr ph*im AT. pirftcltt thwon- 
stratio theorematis propositi, quaa, cum pnwtor tmrtaiiutiHti Hiric<rum inflni- 
tarum per logarithmos t dlffereutialla promtet, miuu* Htiiihw imtumlw, sd 
ob hoc ipstim multo ma^s notabilis mi 



DE PROBLEMATIBUS INDETERMINATIS 
QUAE VIDENTUR PLUS QUAM DETERMINATA') 

Commentatio 253 indicis ENESTROEMIANI 

Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 6 (1756/7), 1761, p. 85114 

Summarium ibidem p. 1214 

SUMMARIUM 

Argumentum huius dissertationis omnino est novuni atque insignem promotionem 
Analyseos indeterminatae, quae yulgo methodus DIOPHANTEA appellari solet, polliceri vide- 
tur, siquidem summi BULEEI vestigia premendo omni studio uberius excolatur. Primum 
autem accuratius He definitam cernimus indolem problematum indetenninatorum, qualia 
quidem DIOPHANTUS pertractavit, quae vulgo perperam innumerabiles solutiones admittere 
videntur. Natura scilicet cuiusque quaestionis ex sua ipsius indole potius quam ex sola- 
tione, quae initio nondum constat, diiudicari debet. Ita dantur quaestioiies nullam plane 
solutiouem admittentes, quae tamen nihilominus ad indeterminatas sunt referendae; veluti 
si quaerantur duo cubi, quorum summa sit cubus, vel quatuor quadrata in arittmetica 
progressione. Postquam enim diu multumque in his solvendis fuerit elaboratum, turn 
demuro agnoscimus nullam solutionem dari, quod autem non impedit, quominus istiusmodi 
quaestiones pro indeterminatis habeantur. Simili modo dantur etiam eiusmodi quaestiones 
indeterminatae, quae plures una solutiones non admittunt, veluti si quaeratur cubus, qui 
unitate auctus efficiat quadratum. Melius ergo problemata indeterminata ita definiuntur, 
ut dicantur circa numeros rationales tantuni ac saepenumero integros tantum versari. 
Ita si quaeri debeant duo biquadrata, quorum summa faciat quadratum, quaestio omnino 
est huius generis, cum radix quadrata ex summa biquadratorum debeat esse numerus ratio- 



1) Of. quoque L. EULBB, Vollst&ndige Anldi-mg zur Algebra, St. Petersburg 1770, Zweyter 
Theil, zweyter Abscbnitt, Cap. 14; LEONSARDI EULERI Opera omnia, series I, vol. 1. F. E. 



400 



np i. 



etiamsi 

Boleut, ireiuti si ^ 

faoiat quadratum, ubi utjqt^ 
mocHs praestari poteat. Hm 
reitringetor 
wmma 



l 
- 



adiidanta non na, 



4 tnE etai Auetor 
numero iuflnlto. 

,.***, 



po 

* 

mentum 



Me 



^ r ,, u .m,,, ^ht 
m a,^iUt. 



lt|rrt!> . 4lim ,hif,i. 
' 



r 



" 



w 
i ti 
( quorum 



* u 

*ulw tti-w** ( 



Amlyaeoi 



t |,, lUMt , t ,, rliM uddatur, 
'u; W n ,,r ,ti inltaitis 
titui 1 , * ittibiu immtnu 
Wlntt n Htu-naitnr duo 
.U tim iii,;4; tit lita 
i* .I'wiwtnm, i|uwtto 






, 
l ^ 





- -" " >-' *-'- -* 



5-86] QtfAE VIDMTIJE, PLtJg QtJAM DE^JEBMlFATA 



Omnia problemata, quae in Analysi DIOPHANTEA proponi solent, ease 
indeterminata vel ipsa rei natura declarat; etsi enim plures eiusmodi quae- 
stiones occurrant, quae nonnisi unicam solutionem admittunt, veluti si quae- 
ratur cub us, qui unit ate auctus faciat quadratum, cui quaestioni praeter 
cubum 8 alius nullus satisfacere reperitur, tamen ne tales quidem quaestiohes 
ad problemata determinata referri convenit, propterea quod methodus eas 
resolvendi tota ex ratione problematum indeterminatorum est petita atque 
casui potissimum singular! tribuendum videtur, si unica solutio tantum locum 
habeat. Quemadmodum etiam non desunt eiusmodi quaestiones, quae plane 
nullam solutionem admittunt, quae tamen nihilominus quaestionibus indeter- 
minatis recte annumerantur; ante enim quam certiores fuerimus facti nullam 
dari solutionem, id quod operatic ususque methodorum demum declarat, eas 
pro indeterminatis omnino habere debemus nostramque investigationem perinde 
adornare, ac si infinita solutionum multitude daretur. Ita si quaeri debeant tria 
quadrata, quorum summa faciat septem, nemo dubitabit, quin haec quaestio 
indeterminatis sit accensenda, etiamsi deinceps investigatione peracta impos- 
sibilitas solutionis manifesto se prodat. 

Quando igitur hie de problematibus indeterminatis tractare constitui, 
quae plus quani determinata videantur, ne quis putet haec invicem pugnare 
fierique non posse, ut, quod indeterminatum sit, idem plus quam determi- 
natum videri queat, instituti rationem clarius exponi oportere sentio. Ac 
primo quidem nullum est dubium ; quin cuilibet quaestioni DIOPHANTEAE eius- 
modi insuper conditiones adiici queant, quibus ea non tarn determinata quam 
impossibilis reddatur. Yeluti si quaestioni, qua duo quadrata petuntur, 
quorum summa sit quadratum, insuper haec conditio adiiciatur, ut eorundem 
quadratorum differentia quoque sit quadratum, quaestio, quae primum erat 
maxime indeterminata, hac unica conditione adiuncta fit impossibilis ideoque 
merito pro plus quam determinata habetur. Simili modo tria quadrata quae- 
rere in progressione arithmetica problema est indeterminatum et innumera- 
biles solutiones admittens; statirn vero ac quatuor quadrata in arithmetica 
progressione requiruntur, problema non determinatur, sed prorsus fit im- 
possibile et plus quam determinatum. 

Ex his exemplis manifestum est quaestionem indeterminatam per addi- 
tionem unicae conditionis reddi posse plus quam determinatam ideoque im- 
possibilem. E contrario vero dantur eiusmodi quoque quaestiones, quae iam 

LKONUARDI EULERI Opera omnia la Commentationes aritlimeticae 61 



402 BE tKOBLEMATlBUS IKDETEHMINATIS r Qa 

- ...... - .................. ........ ..... . ...... . ..... * ............ ...................... ........ ...... , ..... ................. ...... ......... L < jo~~oo 

tot conditiones continent, ut imica nova, condition** Hup^r additu pad iuro ac 
commemoratae plus quam dotonniuatao itini ddmiv vutoantitir, quibuH tamen 
nihilominus nan una, sed pluroa aaopo conditions adiuugi portwmt, Ita ut iis 
non obstantibus Inflnitae adhuc solutions oxhilwri qutnmt; euinsmodi casus 
ex hoc problemate clarissime intelligetur: 

Quaerantur tres mmeri, ut 'bmorum jtrodmtvm addito terth flat, quadratom. 1 ) 
Scilicet vocando hos tres nuineros s, y, requiritur, ut sit 
xy + M quadrato, $* 4- y quadrate, yg -f * quadrato. 

Haec quaestio tentanti, nisi amgidaria arfcifichi adhibeaiitur, lain aolutu tarn 
difficilis apparebit, ut, si no?a conditb nupcir tuldorofcur, do eoiutiwm plane 
Bii^ desperaturus. Si enim ponat *y H- g ^ m % ut haboat s ., aa - >xy t auibae 
reliquae formulae quadratum efficiendae erunt 

-f y et 



quarum priorem si ponat W, habebit quidem y -"*!"; at hoc valore 
in tertia substituto quadratum reddi debebit haec ezprasio 

oi 6 - 2o3 8 + aa&& - (a*+ 6* 1) + aaW, 

quae certe lam est tarn complicata, ut omnem solntoria soltortiam requirat 
neque de novis conditionibus instiper adimplendie eit cogitandum. 
. Interim tamen huic quaestioni has insuper conditiones adUcere licet, ut 
bmoritm numerorum productum cum eorondem summa quoque faciat qua, 
dratum u 



+ _p.) 

adieotis problems pro- 
diflflJto fi6ri Pk8 um determinatum? Interim 






t 



88-89] QUAE tlDENTtfB LUS QUAM BETERMINATA 403 

Quin etiam insuper hae conditiones adiici possunt manente solutionum 
numero et quidem in numeris integris infinite: 1. ut summa produetorum 
ex binis sit quadratum, 2. ut eadem summa productorum ex binis una cum 
ipsorum numerorum summa fiat quadratum. 

Nee vero nunc quidem conditionum multitude exhausta est censenda; 
nam postulari insuper potest, ut trium quaesitorum numerorum vel unus vel 
adeo duo sint ipsi quadrati, et quidem. integri. Quodsi autem omnes tres 
debeant esse quadrati, ne nunc quidem problema fit plus quam determinatum, 
sed infinitas adhuc solutiones, etsi non in numeris integris, admittit; ac 
fortasse adhuc plures conditiones addi possent, quibus quoque satisfied liceret. 

En ergo problema, quod rnerito cuique plus quam determinatum videri 
debet: 

Invenire tres numeros integros x, y, 0, ut seguentes formulae omnes fiant 
quadrata 



xy + xz -f ye = D , 
xy 4- <cz + yg -f x + y + & = D, 

cuius simplicissima solutio sine dubio est 

x => 1, y = 4 et z = 12; 
turn vero etiam sequentes solutiones in promptu sunt 

1, y 12, a -24, 

= 4, 2/= 9, ^ = 28, 

8 = 4, ^ = 12, ^=33, 

8 = 1, y==24, ^==40, 

8=1, ^==40, -0 = 60, 

8 = 4, 2/ = 33, # = 64. 

Verum si haec conditio insuper sit adiecta, ut ipsi tres numeri quaesiti de- 
beant esse quadrati, in fractis ecce has solutiones 

51* 



r iii 



,t ' V 

i-* 



s 



Htuwwwli 



*twn 



plu8 qttnm 
tmorata 

COltHtftt 

Talia 



uuu |arwiii 



calcuinm 



> ibi l 

Vi4* ii* Iiw 



EdUUt tt 
801, 701, 



1907, p, 411 et 



ig 1874, ^ ig Hi, 
rlifn, r 4nj 



tad 



com* 



mn* 



I*- 



, j -t*., --I*', ; r , 3Jli 



89-91] ' QUAE VIDENTUB PLUS QUAM DETEBMINATA 405 

tinetur. Ostenditnr scilicet, si quibusdam conditionibus certo quodam modo 
satisfiat, turn simul aliis quoque conditionibus quasi sponte satisfieri, ita ut 
non opus sit calculum seorsim ad eas applicare. Ita pro quaestione exempli 
loco allegata, qua tres numeri 0, y et quaeruntur, ut conditiones prae- 
scriptae impleantur, porisma praemittendum itg, se habet: 

Si quaerantur duo numeri x et y, ut xy + x + y fiat quadratum, puta = uu, 
atque tertius numerus ita capiatur, ut sit = 1 -f x + y + % u > turn non solum 

hae formulae 

xg + x+.t et yt + y + t! - 

fient quadrata, sed etiam Jiae 

xy+0, x#-\-y et yz + x 
una cum istis 

xy + xz -\- y# 
et 

xy + %0 + V* + + y + 
sponte fient quadrata. 

Cum igitur huic unicae conditioni, qua formula xy -f x + y quadratum 
reddi debet, facillime satisfiat, ope huius porismatis quaestio tarn multis con- 
ditionibus circumscripta, ut plus quam determinata videatur, nullo plane 
labore infinitis modis resolvitur et quidem in numeris integris. Ponatur enim 



et cum sit 

xy + x + y + 1 = (x + 1) (y + 1) = uu + 1, 

pro uu tale sumatur quadratum, quod unitate auctum habeat factores; sit 
scilicet uu + 1 == mn et numeri problemati satisfacientes erunt 

x = m 1, y = n 1 et = m + n 1 zh^**- 

In huiusmodi igitur problematibus totum negdtium vertitur in inventione 
idoneorum illorum porismatum, quibus tota solutio ita contineatur, ut, statim 
atque aliquibus conditionibus satisfecerimus, simul reliquas adimpleverimus. 
Cum igitur ratio talium porismatum a nemine adhuc sit explicata, si earn 
accuratius exposuero, non exiguum incrementum universa Analysis DIOPHANTEA 
inde accepisse erit existimanda. Tota autem horum porismatum ratio se- 
quenti lemmati per se perspicuo inniti videtur. 






LKMMA 

1. Si inrenti ftterittt wtttrts iHlrnnum *r. /, J 1 '**., </&$ m-ffuulkmi IFs.0 
Stttisfiai emtmte If" fttttetinnr tjttttrunw a#*irww littrntntw ;% i/, .r t '/r,, 
P, Q, JR ^fr, mmmuU fufrittt tpMntitofw u! /* . If", ^/ * If, If j if r/ r 

padrala, <tw fMfw flfte /*iv ;; i/ / rlr, ttswwtia font */ww/n 
P,, Q t M etc, quadrate. 

Batio Imiiw limnutti* *t timifi"*ta, tjuiii |r* litt^nw *% ?/ 
valores ansuiui poitujttur, ut lint fr---!*; t4*u{|t* ;4 I 1 * IT, ^ * 
sint quadrtita, etiam t(imntttaii*M /* V- ^** ij* 1 *;*** i|tmtirttta Mini ittn' 



1 

2. Formulae quotjm* /'* ^, II i*tr. mUUwtur qwnlruta, *i fuorint 

g**!if H tiitiiiH ni iske 



p.|.fcif4Sir f , v + ftir j i ; ir' t 

faerint quadrate. 



3. iciHim 

lores, -at flat If **(), turn i4wm timm*^ laitiw xf*tti*rU 

tc. fiwtt 



4 Quodi wyt> aiHjtiiifintii If fi intimtt* iln-rm^ mtnUx jmtisf!iri 
torn iisclem moditt tmiww Itttiiw niwrui tWinuta** /'/'-}.>r, 

+ f IF etc, quitdrata *ffiiitiltjr, 



4 

^5. Cum igitur numftrtw liiittinnttli fontttihtrtitu ttt Intiiitltiiit augt*ri 
aaaifestam esb, quommlti rdndttUmfH |ira**^ r t(ii jrti^itit, qai 

onmi 
foent 



92-94] QUAE VIDENTUR PLUS QUAM DETERMINATA 407 

COEOLLAEIIJM 5 

6. Simili modo hoc lemma ad "cubes aliasve potestates altiores quas- 
cunque extendetur. Si enim factum fuerit "FF=0, turn quoque omnes hums- 
modi formulae P 8 + a W fient cubi et hae P^+aW biquadrata, et ita porro, 
quaecunque etiam quantitates pro P accipiantur, 

SCHOLION 1 

7. Eatio quidem huius lemmatis tarn est obvia, ut id nihil in recessu 
habere videatur; si enim P, Q, R etc. cum W fuerint functiones quaecunque 
litterarum 0,y,x etc. harumque valores quaerantur, quibus sequentes formulae 

PP+aW, QQ.+ ftW, RR + rWetc. 

fiant quadrata, statim utique in oculos incurrit his omnibus conditionibus 
satisfied/ dummodo haec una "FF=0 adimpleatur; verum plerumque ratio 
talis compositionis in formulis propositis tarn est occulta, ut difficillimum sit 
earn quantitatem W assignare, qua deleta partes residuae formularum sponte 
fiant quadrata. Quin etiam non adeo foret difficile hanc compositionem ita 
abscondere, ut eius investigatio iam per se arduum problema constitueret. 
Yicissim autem data aequatione TT=0 operam haud inutiliter collocari ar- 
bitror, si formulae simpliciores investigentur, quae turn in quadrata abibunt; 
hoc enim modo plurima insignia et concinna reperientur problemata, quorum 
solutio erit in promtu, cuiusmodi est id, cuius supra mentio est facta. Hunc 
in finem aequationem TT= talem assumi conveniet, ut litterae 0, y, x etc. 
in earn aequaliter ingrediantur atque inter se permutari patiantur; turn enim 
si PP eiusmodi fuerit quadratum, ut sit PP + a W quadratum, permutandis 
litteris 0, y, x etc. in PP, unde prodeant QQ, RR etc., etiam QQ + J3W et 
RR + Y W fient quadrata. 

SCHOLION 2 

8. Duplex ergo hinc nascitur tractationis nostrae partitio; primam 
scilicet constituet litterarum 0, y, x etc., circa quas quaestio versatur, nu- 
merus, prouti duo vel tres vel plures quaeruntur numeri, qui datis conditio- 
nibus sint praediti. Alteram partitionem suppeditabit dimensionum numerus, 
ad quern litterae 0, y, x etc. in aequatione TF=0 assurgunt; quae aequatio 
cum ita debeat esse comparata, ut resolutionem admittat, nullius quantitatum 



408 



DE PROBLlMATIttttB INOKTRRMWATW 



altior potostas quuiu iwnmtla wnirnw (U'lnt, tjuiu ulitHjuiu mnolutio in 
numeris rationalibuH absolvi mm juwHi't. ymttv giwrntw forma 
If . 0, quara Me tractabimiw, irit 



* a }- 
H- ^ -I- ?/J* I 



4" 



quandoquidem numori 
ha&c duplicem orgo 
inchoaturi, in 



4 y f 
t* 4 -' I d't 



otc., 



t\ n tit 



rnn(<nn|l(*tuur ab iis 



PROBLKMA t 

9, Ppai Aoe atqwlfaw rtwA 



qwe jutr nm tr 



Cum huic aoquatluni 
simnl hanc formam 



mMuntor 



(* -}- .v* firit Hutifffitrfmu. 



fieri quadratuna, qua<scanquft 
evaneBcere nequife, pouamuH fl~l, t 

sifcue 

I- /- -. a) - 



/* t M ttr 

i/ i*t s hnw 



tjwia ft 
wlabio 



wide sequentea GOBUM tiotatw W 

L Sit Jtf 2; rifc 



9596] QUAE VIDENTUR PLUS QUAM DETERMINATA 409 

Capiatnr P y 1 ; erit 

1) yy + 2* + 1 2a = D 
et permutatione facta 

. 2) *$ + 2y + l 2a= D. 
Capiatur P == y -f- # 1 ; erit 

'3) (t/H-*) 2 + l-2a=D. 
Oapiatur P=y a + 1; erit 



5) ( 2/ _^)2_|_4^_j_ 1 __2=n. 

II. Sit ^= 2, unde . 

PP 2y 2^ + 2a = quadrate. 

Capiatur P == y + 1 seu P = ^ + 1; erit 

6) 2/t/-2* + l + 2a=D, 

7) <s^ 22/-j-l + 2a=D. 
Oapiatur P=^-j-^ + l; erit 

' 8) (2/ + *) 2 +l + 2a=D. 
Capiatur P=y g -f- 1; erit 

9) (y ^) 3 4 + i + 2 .n, 

10) (y zf 4y + l-f-2a D. 

III. Sit Jf==2w, unde 

PP + 2w/ -h 2 2wa = quadrate, 

atque non solum formulae praecedentes, sed infinitae aliae orientur. 
Capiatur P = y n et P=z n\ erit 

11) yy + 2n # -}- nn -- 2na [3 , 

12) 00 -\- 2ny -}- nn 2wa=D. 

Capiatur P = y 2n et P = & 2n', erit 

13) yy 2ny -f 2w# + 4ww 2wfl=D, 

14) ^ 2n# -\-2ny -}- &nn 2nat3. 

EULBIU Opera onxnia 1 2 Commentationes arithmeticae 52 



, HA DK PROBLEMATIBU!* 1NPETERMINATIS [06-97 

AIM ' 

Capiatur P y + * *? eritl 

\f)\ (at j_ V -L ffft S2wrt Mi* 

/ \" ' / 

Capiatur P - y + it - 2n; erit 
Capiatur JP y a # 



18) (|/ ^) 2 + 4 I/ + w *" " - J 
IY, Sit Jf- !/ unde 

Capiatur J )f ^|/; erit 

19) ,,,,p + af/-" I K 

i 
Oapiatur P*y - a a; ni 

Oapiatur P |/ + i; orit 
22) ^ + y* + aj/*fK 

Capiatar JP yH-* -^a; tirit 

24) w + P + t tty -J tt* 

ftr-\ i i i 1 

25) |/|/ + y* 4* s ^^ "' s a // 

Y, Sit Jf f t mis 



\t 



Oapiatur P-y-j-* 

26) a^ + a^ 

Oapiatur Pf + 

27) aa ay ax * I J , 



97-98] QUAE VIDENTUR PLUS QUAM DETEEMINATA 4H 

Capiatur P = y $\ erit 

28) _4y* + a(y + *)-D. 
Capiatur P == y z -a; erit 

29) -- 42/0 + 200 + ~aa = D } 

30) 4^4- 2ay+ ~~aa= D. 
Oapiatur P=y ^-a; erit 

31) zz %yz + as-\- ~aa = D, 



32) 2/2/ 22/^-fa^ 






VI Sit M (2/ + * + a), tmde 

PP + (y + ^) 2 aa = quadrate. 
Oapiatur P ^/^ 1; erit 

33) 2/2/^-^ + ^2/ H~ ## + 1 ^^ "=* O 



VII. Sit ^=^(2/4-^ + ^), unde 

PP + w(y + -s) 3 naa quadrate. 

Capiatur P**=yz n; erit 

34) yyzis -\-nyy -{-nzz -\-nn naa=n. 



VIII. Sit M == (y + ^ + a)(y 2 + )(^ 2/ + ), umle fit 

PP if^ a 4 + 2yy## + %aayy + 2fla## = quadrate. 

Capiatur P=yy ^^; erit 

35) 2## + 2^ aa = D . 
Capiatur P=== yy -j- ^ + ^<*? erit 

36) 



IX. Sit M = 3(/ H- + a)(y -^ + a)(^ y + a), unde fit 

pp_ 3t/ 4 3/~ 3a 4 -j- Gyyzz -\- ^aayy + 6a^^ = quadrate. 



52* 



m DK rROBLEWATIWW IWETEKMINATIS 



Capiatur P 
37) 0*4 

Capiate P2yy-| 

gg A -j- 4*4. a 4 4- 14i/|/^ 



X, Sit gonoraliufl M*(nn -In// ! ^ !'> ^ ! < ; * - y 4- ), undeflt 
pp w IVV* 4- /4- 4 t v//-- -t'j/ t v iJ^flw) quatlmto. 

Oapiatur P 

41) j/* 

Oapiatur P 

42) 

43) j/*4-^4-*- 

44) y* + /4 a 4 



I 

10, Ex hi atw intt'lligifiir infinittw <\hitu*rt JMIJ*W frnvulitH, tjuan omnwi 
per eandom relatitmmti atniimtiotw* y I r-- ftutti'iitiua in mt*nm ijuwlrafcos 
abeatii Quotcunquo wgo fonuultw {trtipouuntur al juulmfn riuiuc!udae, 
clummodo illae in hit* orutw pnittliu^tifcwr* uitHittm^ mwul Htitil!i*t juniondo 



11, Ita si a ait -*! t*c|iiillii furmitUn 
yy4-4ir -U, yy * y ^ a*> : !, i/-| / - :, 

f 4- y LI, (t/ 4- ^j s -!-.;.', j ' i/,? 

%!/ f *>3 t " 

satisfit poneado y + g~*\ mn y - I i, 



99-100] QtJAE VIDENTUB PLUS QtJAM DETEBMINATA 413 

COEOLLAEIUM 3 
12. Imprimis Me notanda est forma 



quae in quadratum transit, si capiatur y = 1 a vel magis generaliter 
^ = 4-14-0. Solutio haec apud DIOPHANTUM frequentissime 1 ) occurrit, cuius 
fundamentnm in porismate quodam constituit, pluraque affert problemata, 
quae eius beneftcio resolvuntur. 

COROLLABIUM 4 

13. Simili modo haec forma latins patens 

yyzz -\- ctayy -\- 



redditnr quadratum ponendo y = ^- Atque haec eadem positio facit 
etiam hanc formam 

yyzz ~\- nyy -\- nisis -{ nn naa 

quadratum, quicunque numerus pro n assnmatur. Unde sia = l, haec forma 

yyzz -\- nyy -f- nzz + nn n 
sive haec 



fit quadratum ponendo 0<**y.l- Quod etiam est insigne porisma DIOPHANTI. 

SCHOLION 

14. Omni attentione utiqne dignnm est, quod tarn lev! opera pluribus 
conditionibus simul satisfieri possit, cum quaelibet conditio peculiarem ope- 
rationem exigere videatur. Quin etiam hie eiusmodi formulae, occurrunt, 
quae, si solae proponerentur, per methodos consuetas nonnisi difficulter 
resolvi possent, cuiusmodi est haec [formula 37J 

^ _f_ #* 4. a 4 + Hyysifs + Ikaayy + Haazz = quadrato, 



1) Of. exempli gratia quaestionem XV libri III et qiiaestiones III V libri V 
Arithmeticorum (eel TANNBKY); vide notas p. 402 et 404 huius volummis. P. B. 



mJa INDRTERMIMATW i lon 1A< 

' ..... ' "" " " ...... " ...... -...... ... . . . ^ I * ' " ' "*"*1U1 

cuius aolutio, ai moro cowmofco IwMur, mm t^uia diffmUlatihuH implicata 
deprekeaditur; ox quo, i praderwi alwi comlitww'H pruwrilmntur quilms 
simul satisfteri oporioat, quawtic) ntm imiuwito phw qimm do^nwinuVi u 
vires Analyseos triuwmidonH viclori dhot, Unntiadur t*rgo in ovolutiolw 
Iraius problematis ium porinma aiMpliHHinium, t|uod In Aimlpi DIUI' 
snmmum habet twum; quod cum natuni nit m jmHitumo HitnpHdHHiwm s 
ita formulae magis compositae noH tul iirofinuliom ac magin roroncHlu, 
mata manuducent. 



a 



15, Proposita Me aegwtttone r&sabmda 

+ ii 



tmwns 



Sumta reiatione kter nwneros.y et * ei liac aequatione y*- a(y + 4 + & 
naec forma generalis l ; 

P.P + 3f(yji a(|/ + K) 4. ^ 

evadet quadratum, cuius ergo species notabffiores eYolmmus, 
I Sit M**$,Mi habeatur 

PP + 2y* ~^ 2a(^ + ir) + 25 * quadrate, 
Capiatur P'***y eritque 



Capiatur P -. y 

2) yy + * 

3) yy + M 

II. Sit -Jlf-. 2, ut habeatur 

PP - 2^ + *a(y + ,) _ 26 ^ quadxato, 



101-102] QtfAE VIDENTUH PLUS QUAK t>ETERMlHATA 415 

Capiatur P = y + *\ erit 

4) yy + ^ + 2a(y+-) 2&-D.. 
Capiatur P = y + a; erit 

5) yy-}- 80'-}- aa 2ft =D. 

Ill Sit M = 2n, ut habeatur 

PP -j- 2y<3 %na(y + *) + 2w5 === quadrate. 

Capiatur P = y# n\ erit 

6) 2/2/## 2 M(y -{-#) + 2w& + w?fl = D . 
Capiatur P == y + ^ + no,', erit 

= D. 



IV. Sit .M" = 2/^ -f- a(y 4~ ^) h, u 

PP -f yy#0 aa(y + ^) 2 -j- (b fyys + a(6 + fe)(y + ^) &^ = quadrate. 
Capiatur P=m(y + ) + w, ut sit 



0} &A = D. 

Fiat mw = -^a(b + ^) et 2(mw aa) -f- & ^= sive ^ = "^~( aft 
et Ji -=a & + 2 (mm aa); erit 



8) 2/2/## + (mm aa)(yy + ^^) + aa ~ mw (&& + (aa 2&)(aa mm)) = D. 



16. Hinc in aequatione canonica yz a(y -{- #) -\-l> = Q litterae a et & ita 
determinari possunt, ut haec forma 



fiat quadrat um. Capiatur enim mm. = aa -\- cc et fiat 6&+. 26cc aacc = 
seu & = cc + cY(aa -f cc). Quare pro a eiusmodi sumatur numerus, ut 



_ ........ _ DE PKOBLEMATimJS INDKTERMINATIS [102-103 

aa -f cc fiat quadratum, tumque erit 



sve 



At vero hinc conflcietur 



ac 



COROLLABIUM 2 



. ^ 17. Ad fbrmam ergo w** + ccyy + (i C MM quadratum reddendam sumatur 
pnmum numerus a, ufc X(a + C e) flat rationale, eritque tern 



Haec autem aolutio simul praecedeutoni oiuB<hm fornuiH in HO comploctitur 
casu, ,00 a capitur Mmtnm; turn <mim oritur ^,-^. :tf , onmino ut auto, 
ideoque haec aolutio latins patet quam ilia, 

COBOLLAB1UM 8 

18 Si in forma (8) mlla limitatio flat, ita ut aequatio proposita 
yg a(y + ,; + &_o generatim valeat, ea etiam hoc modo referri potoat 



mm - aa) ( + mm a) ^ ^ (mm ^ a 
Quare posito mm-aa.p et 5+J-m- V(aa+j,) haec aequatio 



resolvetur hac determinatione 



dummodo pro a talip accipiate numemB, quo aa +f flat quadrate 



103-104] QTJAE TIDENTUB PLUS QUAM DETEBMIKATA 417 

COEOLLAEIUM 4 
19. Si statuatur -^ = g. seu 6== P -{- qV(aa +P), ut sit 

y0 a(y + g) p + gl/(aa + #) = 0, 
hac determinatione, si modo aa-}~p fuerit quadratum, satisfiet huic condition! 

(yy + JP) (** + p) = 
erit autem F= (y + 



COEOLLAEIUM 5 
20. Hinc si dato numero p quaerantur numeri y et , ut fiat 

(yy -f jp)( + p) = quadrate, 



posito ^ = huic conditioni satisfiet statuendo ^0 a(y-\-^) p = existente 
numero quadrate. Seu sumatur (y a)(# a) = aa -\-p, unde, si 
in factores resolvatur, commode ambo numeri y et definiuntur. 



GOEOLLAEIUM 6 

21. Si sit a = 0, forma (8) net 

yyssz + mm(yy + 00) H 2mml) = D , 

quae conditio ergo adimplebitur hac aequatione y# -f & ** 0. Facto ergo 
& == 2mm ista formula 

yyzz + mmyy -f- mm^ 

reddetur quadratum sumendo yz = 2mm, quod quidem per se est manifestum. 

PKOBLEMA 3 

22. Proposita aequatione resolvenda 



invenire formulas notdbiliores, quae per earn redduntur guadrata. 

EXJLKKI Opera omnia la'Commentationes arithmeticae 53 



DB PROULKMATUJUS IN'DBTBKMINATW r- 

"" ' ' ..... . .,.. ...... ,.., ..... ,_ ........ [106 

SOLUTIO 
Hinc ergo ista forma generalis erit quadrature 

PP + M(yy + M M ~ 2*y* a) - quadrato. 

I, Sit Jf 1 .. 



2) 2(n l)y* + Q. 



II Sit Jf et P^yM-^-mn; erit 
8) ^^41 + m ^y + mM _ ma 



HL Sit If 2nyjd et P 2nyji; erit 
4) 



IV. Sit Jf^^ w et P-.-w + n^ + l^. 8rit 

5) (*n 



OOBOLLAB1UM 1 
23. Si pommus a-mn^ pemmmus ad hanc fomam 



qnae ergo reddito quadratm per hanc aeqtmtionem 

yy + w 



unde fit 



ut - quadratuffl . 



1 

"1*0. Oorrexit F. B, 



105-106] OUAE vifiEflfruE PLUS QUAM BETEHMMATA 

COBOLLARIUM 2 

24. Quoniam hie numerus n arbitrio nostro relinquitur, sumatur tails, 
ut nn 1 prodeat quadratum; sic enim commodissime forma 



(nn - 
ad quadratum reducetur; capiatur scilicet w = ^ 

M K 



SCHOLION 

25. Hisce formulis, quae duas indeterminatas involyunt, fusius non im- 
moror, quoniam ex allatis perspicuum est, quomodo huiusmodi formularum 
investigationem in infinitum extendere liceat. Pergo ergo ad tres indetermi- 
natas, ubi plurima egregia porismata occurrunt, quorum praecipua Me expli- 
cabo. 



PEOBLEMA 4 

26. Proposita Jiac aequatione resolvenda 

a = x + y -j- z 
definire formulas notdbiliores, guae jper eius resolutionem guadrata redduntur. 

SOLUTIO 
Quadratum ergo generatim erit haec forma 

PP+M(x + y + 2 a). 
Sit Jf=2w, ut fiat 

PP+ 2n(x + y + g) 2na == D, 

Capiatur P = x ; erit 

1) xx-{- 2n(y -}- 0) + nn 2na= D/ ' 

2) yy -{- 2n(x-\- z) ~f nn 2na= D, 

3) z0 -f2w(ic.+ 2/) -f- nn 2na = D. 

58* 



DH PftOBLEMATIlWH INDOTKHMIXATM 1 Alt 

107 



Capiatur P a + y ; erit 

4) ( + yf + 2fw + nn 2na - LI , 

5) (a? 
6) 



Sit Jf-2wt/ et P^^i/ .m nij; erit 

7) flja^t/ + 2w^^ + nnxx + nnyy - f- Sn(n - - ajjy , f | t 

8) 

9) 



Sit Jtf-~- - P^aj + y^,. 6r!t 



10) aa 4ai* 4y*D, 

11) a 

12) aa 



Sit #- n(a + * + y + f ) et P-*y + ** + yf + w; erit 
13) (a^y + ** + y*)- ( + Jf ^ 



GOBOLLA1HJM 1 
27. Sit n - 2a et a M 1 a tq ue MS 



** + * + y-a, (y +*)+ u 

satisfiet ponendo a? + y + * M I , , 






COROLLABItJM 2 
28, Siln-.i* a tque Ms conditionibus 



00; + yy M Q , 
**** H-20y* + ? + ** -Q 



yy - 

satisfiet ponendo ^ 



108] QUAE VIDENTUE PLUS QUAM DETEBMINATA 421 

COKOLLARIUM 3 

29. Sit a = 2 atque his conditionibus 

1 xz yz = D , 
1 xy yz = D, 
1 xy xz D 

satisfiet ponendo x -\- y -j- 2 = 2. 

PEOBLEMA 5 

30. Proposita "hac aequatione resolvenda 

definire formulas notabiliores, quae per eius resolutionem redduntur quadrata. 

SOLUTIO 
Erit ergo in genere haec formula 

PP + M (xy + ## + y# a (# -j- 2/ + #)-&)== quadrato. 
Sit M 2, ut habeatur 

PP + 2(a;t/ + xz -f- yz) 2a(x -}- y }- a) 26 == quadrato. 

Capiatur P=o;-}-2/-j-# + a ; erit 

1) xx -\- yy -\- zz -\- k(xy -}- xz-\- yz) }- aa 21) = quadrato. 
Capiatur P=#-|-2/ z -}- a; erit 

2) ico? + yy + ^^ 4" 4iC2/ kaz ~\- aa 2& = D, 

3) xx-\- yy -{ 22 -\- 4## kay -{- aa 2& = D , 



4X4 



BE PBOBLEMATIBUS EtoETERMTATIS [100-101 



cunts solutio, si more consueto tentetur, non exiguis difficultatibus implicata 
deprehenditur; ex quo, si praeterea aliae conditiones praescribantur, quibus 
simul satisfied oporteat, quaestio non immerito plus quam determinata ac 
vires Analyseos transcendens videri debet. Continetur ergo in evolutione 
huius problematis iam porisma amplissimum, quod in Analysi DIOPHANTEA 
summum habet usum; quod cum natum sit ex positione simplicissima + 2/ = a, 
ita formulae magis compositae nos ad profundiora ac magis recondita poris- 
mata manuduceut. 

PEOBLBMA 2 

15. Projposita Me aequatione resolvenda 

yz a(y-f) + 6 = 
invenire formulas notaUliores, guae per eius resolutionem redduntur guadrata. 

SOLUTIO 

Sumta relatione inter numeros y et ex hac aequatione y0 a 
haec forma generalis 



evadet quadratum, cuius ergo species notabiliores evolvamus. 
I. Sit M = 2, ut habeatur 



+ z) + 2& = quadrate. 
Capiatur J?=y z eritque 



+ 2&= D. 
Capiatur P=y # + a; erit 

2) yy + #2 4a^ + 2& + aa==! DJ 

3) yy + en 4at/ + 26 + aa = D. 



U. Sit JT= 2, ut habeatur 

PP 2y# + 2a(^ + ^) ~ 2& == quadrato. 



101-102] QtTAE VIDENTUR PLtJS QUAM ftlTERMlNATA jtl5 

Capiatur P=2/ + #; erit 

4) yy + ** + 2a(y + g) 2& = D.. 
Capiatur P = y + * a ', eri t 

5) yy + ## + 2& = D . 

III. Sit Jf=2w, ut habeatur 

PP -f 2^2/# 2wa(?/ + z) + 2w& = quadrate. 

Capiatur P=yz n; erit 

6) 2/2/## %na(y + ^) + 2w& + nn = D. 
Capiatur P = # + ^ + ^5 erit 

= D. 



IY. Sit M = 2/-S + a(y + ^) fe, ut habeatur 

PP + i/t/^^ aa(y -f ^) 2 + (6 /i)2/-s 4- a (5 + fc)(y + 0) 6fe = quadrato. 
Capiatur P=m(y + 0) -f w > u t sit . 

yy0 + (mm aa)(y + -s) 2 + .(& % + 2mw(2/ -f- #) + ww 

+ a(& + fy(y +-0) &^ = D. 

Fiat mw = ~a(& -f- ft) et 2(mm aa) + & ^=0 sive w= -(aa mm &) 
et ^ = & -j- 2(mm aa); erit 

= D. 



COEOLLAEIUM 1 

16. Hinc in aequatione canonica y a(y _|- 0) -f & = litterae a et I ita 
determinari possunt, ut haec forma . 



fiat quadratum. Capiatur enim mm = aa + cc et fiat && -j- 2&cc 

seu & = cc + cV(aa -h cc). Quare pro -a eiusmodi sumatur numerus, ut 



416 BE PROBLEMATIBtJS INDETERMIKATIS _ [102-108 

a a + cc fiat quadratum, tumque erit 

yz a(y + e) cc + cV (a a + cc) = 
sive 

(y a)(g a) = aa + cc + c~/ (a a + cc) . 

At vero hinc conficietur 



COROLLARIUM 2 



17. Ad formam ergo yyss-}- ccyy ~\- cczz quadratum reddendam sumatur 
primum numerus a, ut Y(aa + cc) fiat rationale, eritque turn 



y-a 

Haec autem solutio simul praecedentem eiusdem formae in se complectitur 
casu, quo a capitur infinitum; turn enim oritur g = y + c, omnino ut ante, 
ideoque haec solutio latius patet quam ilia. 

COBOLLAEIUM 3 

18. Si in forma (8) nulla limitatio fiat, ita ut. aequatio proposita 
^0_fl(j/_|_#)_|-.& = generatim valeat, ea etiam hoc modo referri potest 



_|_ mm aa) (gg + mm act) -- - (mm aa -f 6) 2 == quadrate. 
Quare posito mm aa =p et I +.jp = w = /(a a +jp) haec aequatio 



resolvetur hac determinations 

^ a(y + g) $ 4- V(aa +jp) = .0, 
dummodo pro a talis accipiatur numerus, quo aa-+jp. fiat quadratum, 



103-104] QTJAE VIBENTUE PLtTS QtJAM DETEKMHATA 417 

COEOLLAEIUM 4 
19. Si statuatur ^i^ = # seu & = j? + qY(aa -f-jp), ut sit 

yz a(y + is) p + g]/(aa -f ^) = 0, 
hac determinatione, si modo aa+p fuerit quadratum, satisfiet huic condition! 



erit autem V *** (y -{- e)Y(aa + #) aq. 



COEOLLAEIUM 5 
20. Hinc si dato numero p quaerantur numeri y et 0, ut fiat 

= quadrate, 



posito # = huic condition! satisfiet statuendo ye a(y + #) p = existente 
aa-\-p numero quadrato. Seu sumatur (y a)(# a) = aa+j?, unde, si 
aa-}-jp in factores resolvatur, commode ambo numeri y et defmiuntur. 

COEOLLAEIUM 6 
21. Si sit a = 0, forma (8) fiet 

mm(yy + ^) && ~ 2mw& = D , 



quae conditio ergo adimplebitur hac aequatione yz + "b = 0. Facto ergo 
& = 2mm ista formula 



yyssz mmyy 
reddetur quadratum sumendo yz = 2wm, quod quidem per se est manifestum. 

PEOBLEMA 3 

22. Proposita aequatione resolvenda 



invenire formulas notabiliores, quae jper earn redduntur quadrata, 

LEONHABDI EULEJU Opera omnia la Commentationes arithmeticae 53 



418 



SOLUTIO 
Hinc ergo ista forma generalis erit quadratum 

pj> _j_ M(yy +.08 Znyts a) = quadrate. 

I. Sit M= l et P=~y0', erit 



2) 2(n l)y*+a D. 

II. Sit M=m et P=y0-\-mn', erit 



III. Sit ilf=2n^ et .P=2ny^ } erit 

4) %ny0(yy + ^) 2wa^/0 = D . 

IV. Sit M= M et P = ^ + w^ + yd 1 ); erit 

5) (nn l)yyzz + nayz + -^ aa == D . 



COEOLLARIUM 1 
23. Si ponamus a = www, pervenimus ad hanc formam 

yy## -}- myy -{- m#0, 
quae ergo redditur quadratum per hanc aequationem 

yy + ^^ 2wi/iS www == 0, 



unde fit 

^ = n v 

Quare pro 2/ talis xiumerus assumi debet, ut (nn l)yy + mww fiat quadratum. 



l) Editio princeps (atque etiam Comment, arithm.}: P*=&s -\-nyt-\- -^ a. Oorrexit F. E. 



105-106J QUAE VIDENCTH PLUS QUAM DETE&MttfATA 



COEOLLAEIUM 2 

24. Quoniam hie numerus n arbitrio nostro relinquitur, sumatur tails, 
ut nn 1 prodeat quadratum; sic enim commodissime forma 

(nn tyyy + mnn 
ad quadratum reducetur; capiatur scilicet n = 



SCHOLION 

25. Hisce fommlis, quae duas indeterminatas involvunt, fusius non im- 
moror, quoniam ex allatis perspicuum est, quomodo huiusmodi formularum 
mvestigationem in infinitum extendere liceat. Pergo ergo ad tres indetermi- 
natas, ubi plurima egregia porismata occurrunt, quorum praecipua Me expli- 
cabo. 



PEOBLEMA 4 

26. Proposita Jiac aequatione resolvenda 

a = ic + ?/-f-^ 
definire formulas notaUliores, quae jper eius resolutionem guadrata redduntur. 

SOLUTIO 
Quadratum ergo generatim erit haec forma 

PP + M(x-\-y + z a). ' 
Sit M*=*2n, ut fiat 

PP+ 2n(x + y 4- *) 2na - D. 

Capiatur P == x n] erit 

1) xx + 2(y + 0) + nn 2na = D , ' 

2) yy + 2w(ic -{- ^) + nn * 2**a = Q, 

3) ^^ -f- 2w(fl3,-|-y) + ^^ 2wa==D. 

58* 



420 DE PEOBLEMATlBtJS 



Capiatur P == x + y n\ erit 

4) (aj4-y)+2w + ww 

5) (x + #)* + 2ny -{- nn 2wa = D, . 
6). (y-|- ) 2 -|-2wa; + ww--2wa = D. 

Sit If = 2wa;2/ et P = xy nx ny; erit 

7) ^ajy/ + 2nxy0 + wwica; + MfW + 2w(w 

8) ^wica? ^^^0 2ww aa;^ = D, 



9) ww a = D . 



" -Sit JT= (a + x + y + z) et P=a; + 2/ *J 

10) aa 4^ y == D, 

11) aa4xy tyfi=*U f 

12) aa 4a?2/ 4a; = D . 

Sit jsf . (a + fl5 + y + ' 1 ) et P y + 0* + y* + *; erit 

13) (ajy + ^ + ^) 8 w^as + yy + ^ + ww + waa^ D. 

OOEOLLAEIUM 1 

27. Sit w = 2a et a = -^- atque his conditionibus 

a;a; + 2/+ D, + 2/) 2 -f ^= D > 
2/2/ + OJ+ 0= D, (0+ 0) 2 +2/= P, 
^^ + a; + 2/=D, (y + #) 2 + a = D 

satisfiet ponendo a: + y + * = T ' 

COEOLL1BIUM 2 

28. Sit ' n = 1 = a atque his conditionibus 



yyzz -f %xyz + yy -}- 00 
satisfiet ponendo x -\- y + => 1, 



108] QUAE VIDENTUR PLUS QUAM DETEEMINATA 421 

COROLLARIUM 3 

29. Sit = 2 atque his conditionibus 

1 x# y0=O, 
l xy yz=~ D, 
1 xy xa = D 

satisfiet ponendo x + y H- 8 = 2. 

PEOBLBMA 5 

30. Proposita two aeguatione resolvenda 

xy + xz + 2/0 ==, a(x + 2/ + ^) + & 
definire formulas notdbiliores, guae per eius resolutionem redduntur quadrata. 

SOLUTIO 
Erit ergo in genere haec formula 

PP + M (xy + KZ + ye a (x + y -j- ^) &) = quadrato. 
Sit Jf = 2, ut habeatur 

PP + 2 (ouy + a?^ + y#) 2a(o5 + y + ^) 2& == quadrato. 

Capiatur P=o3 + 2/ + ^ + ^; rit 

1) xx + 2/2/ + ** + 4(a?y + ^^ + 2/#) -f 25 = quadrato. 
Capiatur Px~\-y * + a; erit 

2) fljflj + yy + ^ + 4fljy 4a# + a 2&=D, 

3) cca; + 2/2; + 00 + 4a?^ 4a;z/ + a$ 2& = D, 

4) a;a; + 2/2/ + ^^ + 4## 4ao; + ^^ 26 = D . 



422 



DE PEOBLEMATIBUS USTDBTEBMINATIS [108-109 



Capiatur P = x y; erit 

6) xx + 00 + 2(x + 0)y %<*>(% + !/ + #)~~25 D, 



Sit Jfcf. 2 et P *** x + y + ^ a] erit 

PEOBLEMA 6 

31. Proposita hac aeguattone 



definire formulas siw/pliciores, gwte $er ems resohUmem guadrata redduntur. 

SOLUTIO 
In genere ergo haec formula erit 

PP + M(xx + yy H- M 2oj^ 2j 2y* a) quadrate, 

Sit Jf 1 ac ponatur P a + y 4" * 

a D . 



Sit Jf -I et Pa? + ^ ^ 

2) 4a3t/-fa= D, 

3) 4a;^ -f-a = D, 

4) 42/0 + a D . 

Sit J5f l et P a; |/; erit 

5) a + 2(a? -f t/) *# M D, 

6) a-|-2(a> + 0)y yy D, 

7) a + 2(y + )aj &a? D * 



109110] QUAE VIDENTUR PLUS QUAM DETEEMINATA 423 

COROLLARIUM 1 

32. Posito a 4w, ut sit 

## + yy + 80 = 2o?y + 2## -f- 23/0 + 4w, 
fient simul sequentes formulae quadrata: 

#2/ + n = D , 
x# -\- n=n, 

yz -f- w=- D 
et 

xy -}- X8 -{- y$ -{ n\3. 

Unde liaec elegans quaestio DiopHANTEA 1 ) resolvitur: 

Dafo nutnero quocungue n invenire tres numeros, ut producta ex Hnis singula 
illo numero aucta fiant quadrata; quibus conditionibus adiungi potest Jiaec, ut 
summa productorum ex binis eodem n\tmero aucta guoque fiat quadratum. 

GOEOLLARIUM 2 

33. Cum enim ex aequatione sit 

a = x + y 4- 2 V(xy + ri), 

sumantur pro x et y tales numeri, quibus xy -\-n reddatur quadratum, puta 
xy -f- n ww; indeque elicietur duplex valor pro numero #, scilicet 

j8i = a; + y + 2.*, 
quorum uterque cum x si y omnibus conditionibus aeque satisfacit. 

COBOLLARIUM 3 

34. Cum autem sit V(xy -{- n) u, erunt surnto tertio numero 
= x + y + 2w reliquae formulae 



l) Of. quaestionem X libri III DIOPHANTI Arithmeticorum (ed. TANNERY; quae quaestio est 
quaestio XII editionis BAOHBTI); vide notam p, 404 huius voluminis. Vide etiam L. EULER, Voll- 
stttndige Anleitung #ur Algebra, 1. c, 231 et 232. F. K. 



424 DE PBOBLEMAT1BTJS INDETERMINATE [110-111 






-f 



PEOBLBMA 7 

35. Projposita Jiac aeyuatione 

xx + yy 4- ## 22/ 4- 2 ^ + 2y + 2a(a? + y + ) + ^ 
definire formulas notabiliores, guae per eius resolution&tn redduntur guadrata. 

SOLUTIO 
In genere ergo quadratum erit haec forma 

PP + Jf (fljaj -j- yy + 00 2$2/ 2jc^ 2y 2a (a; + y + *) ~ ^) * 
Sit If =* 1 et capiatur JP + y -f * + tf > 



Oapiatur P=-a3 + 2/ + ' 8( - <* 

2) 4ajy + 4oj^ + 4^ + aa + & * D, 
Capiatur JP=#-f2/ ^ + fl ? erit 

3) 4iC2/ + 4a(a; + y) + aa + 5 D, 

4) 4## -}- 4a (a; -{- ^) + ^^ H- ^ "" D f 

5) 4p + 4a(2/ + 4f) H~ aa -f* 5 D, 
Oapiatur P***x-}-y a -a; erit 

6) 4a?2/ + 4a^ -f aa + & ** D > 

7) 4 + 4ay + aa + & D , 

8) 42/^ + 4a# + aa + & D , 



COEOLLiMUM 1 

36, Ad formulas has facillime solvendas ponatur 

aa 5 



111-112] __ QUAE VIDENTUB PLUS QUAM DETEEMINATA 425 

aequalis quadrate cuipiam uu et ob 4 (a? -f a)(y -f a) = uu b -f 3aa sen 

a) = (MM I -f 3aa) 



ex factoribus rnimeri -^ ( I -f 3aa) commodissime definiuntur numeri 
duo a? et /; tertius autem colligitur ex formae tertiae radice quadrata 
$ + V 2 + quae ergo est = u, unde fit #=x-\-y -\- a + u. 

OOEOLLAEIUM 2 
37. Si sit & = aa, per resolutionem huius aequationis 

v + 2/2/ + ** = 2iC2/ + 2^ +. 2^ + 2a(ic + y + *) ' aa 
sequentes formulae omnes in quadrata abibunt: 

xy -\-a(x + /)== D, <cy }- az = U, 
xz -fa(#+ )= D, ^+a2/==n, 



xy -f ^ + 2/^ -f a(aj + 2/ H- 0) = D . 
Satisfiet autem sumendo 

^ = fl? + 2/ + a4: 21/(ajy + a (x + y)) = a; + i/ + a + 2w 
posito (a? + a ) (y + a ) * uu + aa. 

COROLLARIUM 3 

38. In hoc corollario continetur illud ipsum problema, cuius initio fed 
mentionem, siquidem ponatur a == 1. Atque ex iisdem formulis solvi quoque 
potest quaestio, in qua ipsi numeri a?, y, is quadrati esse debent, cuius solu- 
tionem hie subiungam. 

LBONHJLRPI ETTT^KRI Opera omnia Is Commentationcs arithmeticae 84 



426 



DE PROBLEMATIBUS INDETERMINATIS [112-113 



QUAESTIO 

39. Invenire tres numeros quadratos, ut, ad prothidum himrmn sim eormd&m 
summa sive religuus addatur, guadratum prodeat atyue ut insurer tarn summa 
productorum ex Unis ipsa guam eadem, summa nwmerormn amta, fiat quadmtum, 1 ) 

Positis ergo xx, yy, tot quadratis, qui quaerantur, sequentes formulas 
qu'adrata reddi oportet: 



owns + xx -j- eft - D $$* ^-y 
-f yy + ^ "* D> yy#* 4* ^ 



xxyy -|- a/o;^^ + yyea + a? + 1/!/ 4" 
His autem omnibus satisfit, dummodo statuatur 
00 a?a? + ^ + 1 



Supra [ 12]' autem vidimus formam ia;|/^ -f a?a; 4- yy quadratum fieri, si 
ponatur y x -f 1. Sit igitur y a? + 1 eritque 



2 + 2 2 !(*+ 2 5 + 8^ + 2 4- 1) 
seu 

4(*aj 4- * 4- !) 

Tantum ergo superest, ut a?o? 4- 4- 1 reddatur quadratum, quod posita radice 
x + t praebet 



undo fit 



Quadratorum ergo trium quaesitorum radices aunt 



1) Of. q.uaestionem V libri V DIOPHANTI AritJimdiwntm (eel TAwnar); ?il notam p. 404 
huius Yoluminis, P, B. 



113-114] QUAE VIDENTUE PLUS QUAM DETEEMINATA 427 

Yel quo facilius pro t fractiones capi queant, statuatur 



eruntque hae radices 

x __ gg "r j.- i j, y ' "^ I - 2L2: -, ^ = 

unde sumto r = 2 et # 1' oriuntur hi valores 

3 5 



quibus solutio [prima] supra 8 ) .tradita continetur. Simplicior fortasse solufcio 

[quarta] est 

3 8 , 14 

X = - et *~' 



SCHOLION 

40. His praeceptis observandis facile erit numerum talium formularum 
pro lubitu multiplicare easque tarn ad quatuor indeterminatas quam ad 
formas magis compositas extenders. Quin etiam simili modo plures formae 
exhiberi poterunt, quae per certam positionem cubi redduntur; sed quoniam 
in iis non amplius tanta cernitur concinnitas, hanc meditationem finiendam 
esse censeo, cum id, quod mihi praecipue erat propositum, ut novum Ana- 
lyseos DIOPHANTEAE supplementum producerem, abunde explicaverim. 



1) Reote quidem ex substitutions t =- -y~~- oomputatur x = - , qui valor etiam. 

cum aequatione y = a; + 1 consentit. Quia autem hac in quaestione de quadratis solum nume- 
rorum #, ^, $ agifcur, signa numerorum ipsorum nullius momenti sunt. F. E. 

2) Vide solutiones p, 404 in numeris quadratis expositas. Solutio quarta obtinetur sumto 
r _5 et 1. F. E. 



54* 



SOLUTIO GENEEALIS 

QUOEUNDAM PEOBLEMATUM DIOPHANTEOEUM 
QTJAE YULGO NONNISI SOLUTIONES SPECIALES 
ADMITTEEE VIDENTUE') 

Oommentatio 255 indicia ESTOSTROBMUHX 

Noyi commentarii aoademiae scientiarum Petropolitanae e (1756/7), 1761, p. 185-184 

Summarium ibidem p, 1718 



StJMMAJKTOM 

Quanta utilitas a methodo DIOPHANTBA dicta, si uberius exeolatur, in uniyeraam 
Analysin sit redxindatura, a Cel. Auctore turns dissertationis iam aaepiui eit oommemo- 
ratum, tiade ipsum in liac Analyseos parte diu multumque desxidasse minime poemtet Hie 
autem imprimis observat omnia hums generis problemata, prouti adirae innt tneiata, ciuasi 
sponte in duas classes distribui. Yel enim problemata ita sunt compat% ut onmes omttino 
solutiones in iisdem formulis generalibus contineantur sicque tota solutio una quail opera- 
tione absolyatur, cuiusmodi problemata in unam dassem coniieienda videmturj rel proble- 
mata eius sunt naturae, ut omnes solutiones non in una expressions generali oomprehendi 
queant, sed tantum ex solutionibus iam inventis continuo noras alias elicere lieeat, etiamsi 
forte eiusmodi formulae exniberi queant, quae infinitas quidem solution!, fttteman non 
omnes in se complectantur; talia problemata alteram olassem constituent, 

Ad classem priorem pertinet exempli causa problema, quo duo quadrate quaemntur, 
quomm summa itidem sit quadratum, ubi constat omnium huiuamodi quadratorum radioes 
formulis generalibus exprimi posse. Ad classem vero posteriorem ex omnium Auofcorum 

1) Of. quoque L. ETJLBB, VoUsttMge Anldtmg $w Algebra, St. Petersburg 1770, Zweyter 
Theil, zweyter Abschnitt, Cap. 15; LEQNSMDI Eumm Opera owwla, series I, Yol. 1, P. R. 



155-156J SOLUTIO GENERALIS QUORUHBAM PBOBLEMATUM DlOmANTEOEtJM 429 

sententia referendum est problema de tribus cubis inreniendis, quorum summa sit quoque 
cubus, ubi quidem formulae pro radicibus liorum cuborum dari possunt innumerabiles solu- 
tiones suppeditantes, verumtamen semper iis aliae innumerabiles solutiones excluduntur aeque 
satisfacientes; at ex inventis iam tribus quibusque huiusmodi cubis innumerabiles aliae 
novae solutiones derivari possunt. 

Discrimen inter has duas classes etiam ita essentiale est visum, ut nullius quaestionis 
ad posteriorem pertinentis solutio generalis exhiberi posse putaretur. Hanc igitur opinionem 
Auctor in ista dissertatione evertit, dum ostendit idem problema de tribus cubis, quorum 
summa sit cubus, ita per formulas generales resolvi posse, in quibus omnes omnino solu- 
tiones contineantur; methodus autein, qua ad has formulas pervenit, prorsus est singularis 
ac plurima alia insignia incrementa huius Analyseos partis polliceri videtur. 



1. Analysis DIOPHANTEA, quae in problematibus indeterminatis per numeros 
rationales vel etiam integros solvendis versatur duplicis generis problemata 
tractare solet, quorum discrimen in ratione solutionis maxime est positum. 
Alia enim problemata ita sunt comparata, ut solutiones generales exhiberi 
queant, quae omnes plane numeros satisfacientes in se complectuntur; alia 
vero nonnisi solutiones particulares admittunt, vel saltern per methodos 
cognitas nonnisi tales solutiones eruere licet, ita ut praeter numeros, qui 
forte reperiuntur, infiniti alii problemati satisfacientes existant, qui in so- 
lutione inventa non contineantur. Ubi quidem in genere notari convenit 
prioris ordinis problemata multo facilius resolvi quam ea, quae ad alterum 
ordinem referuntur, quippe quae plerumque singularem sagacitatem cum 
eximiis artificiis coniunctam requirunt, in quibus maxima vis huius Analysis 
cernitur. Quare ob hanc causam problemata DIOPHANTEA in has duas classes 
distribui debere videntur, 

2, DIOPHANTUS quidem ipse omnium quaestionum, quas tractat, solutiones 
tantum specialissimas tradit numerosque, quibus unica solutio continetur, 
plerumque indicasse est contentus. Neque vero eius methodus ad has so- 
lutiones specialissimas adstricta est putanda; quia enim tune temporis usus 
litterarum, quibus numeri indefiniti designentur, nondum erat receptus, huius- 
modi solutiones latius patentes, quales nunc quidem exhiberi solent, ab ipso 
expectari non poterant; interim tamen ipsae methodi, quibus ad quaelibet 
problemata solvenda utitur, aeque late patent quam eae, quae hodie sunt in 



430 SOLtJTIO GENEKALIS _ [156-167 

usu; quin etiam fateri cogimur vix ullam in hoc Analyseos genere adhuc ease 
inventam, cuius vestigia satis luculenta non iam in ipso DIQPHANTO deprehen- 
dantur. Non obstante igitur hac apparente particularitate solutionum Dio- 
PHANTEARUM disparitas problematum supra memorata in ipso iam DIOPHANTO 
manifesto cernitur, siquidem ad niethodos eius respieiarnus; quarum aliae ita 
sunt comparatae, ut omnes omnino solutiones, quae problemati satisfacere 
possunt, suppeditare queant, aliae vero nonnullas tantum solutiones praebeant 
vel, etiamsi earum numerus in infinitum augeri possit, tamen in iis mnunie- 
rabiles aliae, quae aeque satisfaciunt, non contineantur, 

3. Exemplum problematis, cuius solutio generalis exhiberi potest, praebet 
quaestio vulgata, qua quaeruntur duo numeri quadrati, quorum summa sit 
quadratum, sive sumtis x et y pro radicibus istorum quadratorum ut xx -j- yy 
sit numerus quadratus* Sumtis enim pro lubitu tribus numeris a, $ et g 
haec habebitur solutio generalis 



et x 
ex Ms namque valoribus prodit 

y(xx + yy] 

De qua solutione tenendum est nullos plane dari numeros pro a; et y sub- 
stituendos, quorum quadratorum summa fiat quadratum, qui non simul in 
formulis datis contineantur. Atque haec generalitas non solum inde perspieitur, 
quod pro tribus litteris a, p et g numeros quoscunque accipere liceat, unde 
iam ipfinities infinita solutionum multitudo obtinetur, sed etiam ipsa haram 
formularum investigatio eyincit nullam plane dari solutionem, quae non in 
iis comprehendatur. At vero hoc posterius criterium longe certius est priori, 
cum saepe multae litterae indefinitae in solutionem ingredi queant neque 
tamen solutio propterea reddatur generalis. 

4. Investigations autem ratio in hoc exemplo nobis solutionis univer- 
salitatem plane ostendii Cum enim Y(xx + yy) debeat ease numerus ratio- 
nails, is certe erit maior quam #; statuatur ergo 20 -f- *. Turn vero, quae- 
cunque sit ratio ipsius y ad *, poni poterit &y neque hoc modo gene- 
ralitas positionis limitatur. Posito autem V(xx + yy) a? + &.y sumtis qua- 



157-158] QtJORUNDAM PROBLEMATIC PlOPHAKTEORUM 431 

dratis habebimus 



Delete utrinque termino xx ac residue per y diviso prodibit 



Erit ergo 



hincque a; et / sunt vel aeque multipla vel aeque submultipla numerorum 
P$ y.Q. et 2#g. Sumta ergo a pro indice general! give multiplorum sive 
submultiplorum nauciscemur 



y = 2apy et x = a(pp 



et ob #== 



a; - ^ = xx 



5. Problematis autem, cuius solutio per methodos cognitas generalis 
exhiberi nequit, exemplum esto quaestio de inveniendis tribus cubis, quorum 
sumrna sit cubus; sive quaerendi sint tres numeri x, y et #, ita ut sit 

%* + / + 2* cubo. 
Quod problema cum ab ipso DiOFHANTO 1 ) turn a recentioribus 2 ) pluribus modis 



1) Of. quaestionem II libri IV, imprimis autem porisma oommemoratum in quaestione XVI 
(= XIX editionis BAOHBTI) libri V DIOPHANTI Arithmeticorum (ed. TANNERY); vide notam p. 404 
huius voluminis. F. B. 

2) Vide FB. VIBTA, Zeteticonm liber IV, Zetetica 1820, Opera mathematica (ed. FR. 
v. SOHOOTEN), Lugd. Batav. 1646, p. 74 75. Vide porro BAOHETI commentarios in DIOPHANTI 
Arithmeticorum quaestiones nota praeeedente laudatas, imprimis autem FERMATII observations ad 
hos commentarios (of. notam 2 p. 51 huius voluminis), Oeuvres de FERMAT, 1. 1, p. 297 299 
et 315318. Vide etiam J. DE BILLY (1602 1679), Doctrinae analyUcae inventum novwm, 
collectim .ex variis D. DE FJSRMAT epistolis, quam collectionem FERMATIUS minor in DIOPHANTI 
Arithmeticorum editione tolosana a. 1670 publicavit (of. notam 2 p. 51 huius voluminis), Oeuvres 
de FERMAT, t. Ill, p. 325, imprimis p. 345346, nee non JUcoar DE BILLY Doctrmae analyUcae 



432 SOLtJTIO GENEEAMS [158-159 

extat solutum atque ita quidem, ut infinite multitude solutionum sit exhibita; 
neque tamen ulla solutio tarn late patet, ut omnes plane casus huic quaestioni 
satisfacientes in se complectatur. In hoc problemate etiam-vel unus culms as 8 
vel duo a 8 +2/ 8 tanquam dati spectari possunt, unde vel duos reliquos cubes 
vel unicum quaeri oportet, ut summa fiat cubus; quomodocunque autem 
solutio instituatur, tamen maxime particularis evadit 

6. Quod quo clarius perspiciatur, solutiones dari solitas hie breviter com- 
memoremus. Sint igitur primo dati duo cubi a a et b* tertiumquc* as* inveniri 
oporteat, ut omnium trium summa 



denuo fiat cubus. Manifestum iam quidem eat radictmi IHUUH cubi maiorom 
fore quam x\ sed etiamsi statuatur $ + v t tamtm awjuatio quadratina pro 
inveniendo x prodit sicque difficultas non dimiuuitur. I*<mi igitur Hlot 
x^p lj ut summa trium cuborum fiat 



atque hac quidem positions amplitudo solutionis non resfcringitur, Porro 
autem eiusmodi cubus assumi debet ? ut incognita p per aeqnatumem sim- 
plicem ideoque rationaliter exhiberi queat, Manifestum est hoc duplici 

modo fieri posse, Primo enim sumto v-* 



ubi cum termini a 8 et / se destruant, reiiquum per 8j* divieum dat 

* i 
66 fig mm aa -f aj? ideoqu >* 



inventum novum. FJBRMATS Briefen an Bat? sateommtn, nnd yon 

P. v. SOHAJDWBN, Berlin 1910, p, 19-20, 74-76, 120, CE qaoqttt sptteltf., qott ft, 1057/8 
BROUNCKBR ad WALLIS atque WAWUB et KtamtOLB ad KiwywoM Dior cripwnutt (spisi 
X, XVI, XXVI, XXVIH Gomnerdi ^Molm a WAJUMMO a, 1658 prime editl), t WALWI Ppra, 
i.II, Oxoniae 1693, p, 768, 777, 820, 824 5 Ommm to Wmma, t HI, p, 419, 47, 80, 587, 
imprimis p, 420, 486, 585, 588, Vide praettwa T* L. BUTB, Di*n**Tm of 
A study m the Mstory of greek algebra. Second iditba, With ft mpptomrat an Mooont 

of FBEMAT'S theorems and proWems oonaeoted with DIOHIAMTIMI walytis ud son* notation! of 
DIOPHANTINI problems "by Euosa, Cambridge 1910, p. 108, 318, 214, 3ii-8g4 f, B, 



159-160] QTJO&UNDAM P&OBLEMATUM MOMMTEOBUM 433 

unde fit x ==p & = a, quo casu utique fit 



7. Hanc autem solutionem maxime particularem esse ex assumtione 
valoris v = a + p evidens est, cum ubique fieri possit, ut quantitas 

a* + Stop 3bpp + p 9 

sit cubus, cuius radix non sit a+p, ita ut hac restrictione solutio maxime 
sit limitata, unde factum est, ut etiani unicum valorem pro p ac proinde 
pro x exhibuerit, qui adeo ne solutionem quidem idoneam suppeditasse est 
censendus, propterea quod invemmus a? = a, qui casus tarn est obvius sua 
sponte, ut ne pro solutione quidem admitti queat. Pro v igitur alius valor 
fingi solet, talis tarnen, ut inventio ipsius p ad aequationem simplicem per- 
ducat, quod usu venit ponendo v = a + p\ fiet enim 






Ck 

quae utrinque deletis terminis ft s +3&&jp per pp divisa dat 

seu , 






8. Cum igitur Mnc invenerimus 



erit 



quae est radix tertii cubi ad duos datos a 8 -f- & 3 addendi, ut summa fiat 
cubus. Erit autem summae radix cubica per hypothesin 

, && . 3a6 8 

= ^ = a -\ --- p = a 4- ~s rs 
.. ' aa* [ a 8 6 s 

sive 



a a 

LKONHAHDI EOLERI Opera omnia Is Commentationee arithmefcicae 55 



GfiNESAWS fl6Q-16l 



Quicunque ergo nraneri pro a et & fuerint assumti, hmc habobuntur tres 
cubi, quorum summa est cubus. Hi scilicet erant 1 ) 



Verum et hanc solutionem maximo OHSO spccialt'in ox ipu imwtiguUmto 
spicuum est, cum plane pro arbitrio nosfcro nielkom truim ruborum |nummaol 
nnxerimus a + -~i>, cum sino dubio iuttniUm quoqur uium vuionw rod 

C% Cv 

pere possit. 



9. Porro autem datis duobun cubw uuimm rtporiiur ifrtiiw rulniH, qui 
cum iis coniunctus producat cubum; laanifoHiuin uutiiu tt. intinitcm huius- 
modi dari cubes. Si enim sit a 4 ot 6^3, nulix twtii oubi hinr. 



465 
87 



Novimus autem cubum quinarii ad hos cuboa 4 8 "|-II 8 addituni quoque* produ 
cere cubum, scilicet senarii 1 ), sen ease 



qui tamen casus in hac solutions uon contiuotiir, Quun* si ml hor 
solyendum, ut sit 8 + 2/ 8 + / ** t; a , quiB diciat HUUU titlnv 

MJitf* f ^1 



tumque fore ^Ji hae formulao quidtnu HaUMtariunlt HIM! Hmmni ob 
duos numeros a et & arbitrio nostro roliaioB iufinitli^ tniiniti tnilionnn iw- 
niones hinc exhiberi possunt ? quorum Huiuma fatuai cubuiu, tmnMt intiniti 
alii existunt cuborum ternionoB idoiu praoHtiwitiw, qui ia istiH fonuuliH nou 
sunt contenti, veluti Me casus 8 T ^-4 tit **' 5, jir quo tit. P ( I5. 



l).Formnla sequens iam a, FE. YIBTA expoaita. wt\ virti* (1, **.) */fW,irtim JH, F. It. 

2) Btiam haec formula inTenitar aputl FK, VIBTAJ vic1 (1. r,j Xnt^ticum IK, 7t*'tici so- 
cjueatia continent praeterea formnlw 7 8 ~h 14 s -f 17 s - ^t) 8 t 2/i! J -f- 'J4 a ** * 8 I 3l& tf , <i*ntt 
prior infra ( 26) eUam ab BULIIIO expoaiftt ot. Ki funimla iif*t jw!4wlir* t*|iiritt Imee 
JAOOBI DI BILLT (ad. P. v. SOHAIWIS, p, 19 5 vide nolum ^ |t, 4UI ttuiiw vtluminiji v*rb*i ,,Nott 
satis caute negavit VIBTA numeram eompositum ox duolw* cuhti IOHH tlivtrti IM ullm dum eb" 
cum veritate non congrttere, F B, 



161-162] QUORUNDAM PBOBLEMATUM BIOPHAKTEOKUM 435 

10. Latius quidem patens reperitur solutio, si unicus tantum trium 
cuborum quasi datus assumatur, ita ut fieri oporteat 



Ponatur hunc in finem x =pu + r et y = qu r, qua quidem positione nulla 
restrictio inducitur, fietque 

ft 3 + 3rr(p + q)u + 3r(#j9 #) ww + (p* + # 3 ) w s v 3 . 



lam ut quantitas % hinc rationaliter definiri queat, fingatur v= a + (p-\~gr)u, 
qua positione utique solutio iam vehementer limitatur; ex ea autem obtine- 
bitur 



u 



Deletis ergo utrinque terminis & 3 + 3rr(^> + q)u et residuo per (j? + q)uu 
diviso emerget haec aequatio 



a 
ex qua eruitur 

,-g) 






11. Valore ergo hoc pro u invento erit 



g - 2 gg) H- 

M + 22) 
et 

// J_ rr _L a7 to-M + 22) - 

V = Ct -r- - 

i a 

Cum igitur quatuor litterae a, p, q et r pro arbitrio assumi queant, haec 
solutio utique infinities latius patet quam praecedens, ubi duae tantum litterae 
arbitrio nostro relinquebantur. Yerumtamen notandum est rationem tantum 
litterarum p et q in computum ingredi, ita ut hinc litterae arbitrariae ad 
tres tantum reducantur; nihilo vero minus et haec solutio ob limitationem 

55* 



iAA 
4ob 



SOLUTTO GEKERALm 1162-168 



circa radicem v adhibitam pro particular! <wt Imhomhi, ita ufc tfruionoa cu- 
Iborum existant in his formulis non ctmtontl Holutio uulom aulwwUuiH ex 
hac emergit sumto jp-0, ita ut haoc inttnitkw ilia Hit Kwuraiitr, 

12. Adhuc generaliorem autem obtint^bimua, HI nulium triuni cuburum 
tanquam cognitum assumamus seu in gouorci quuonuuiiH ;i% y ct x, tit nit 



In hunc finem ponatur 

t* et 



quibus positionibus niMl adhuc limitato; facta autoin HttbHtitutiunti oritur 



-f 

lam fingatur v 1 + u } unde quidem maxima limitalao naacitur, et uequation 
per Stu divisa reperietur 



seu 

-?- ..""H-p-f-gg 

u "" 1 4 s-pp-ppq * 

capi ergo poterit 

^ M n( f 22 + S'Q! +f ~" 1) 0t ( |*jw/ ~ pp 
made elicitur 



(p 4. j pp + q g ppg 

+ P 



Hinc autem fit g a? et * y,. qui 



163164] QUOBUNDAM PROBLEMATIC! DIOPHANTEORUM 437 

13. Sequent! autem modo solutio latins patens eruitur. Ponatur 

= nt--u et # = '-nt--ri& 



eritque 

j_ / _ m s f~\- Smmpttu 

+ Snnq + 3nqq + q* 



quae summa cum debeat esse cubus = v\ ponatur 

, , mmp-\-nn(q-i-r) 
Vs=mt-\ -- ^-^ - S ^ J -u 
mm 

eritque dividendo per uu 

3t (mpp + n(qq rr)) + ^(P 8 + 2 8 + r8 ) 
= ij (mmp + wwfe + r)) 2 + -(mmp + w^(^ + r)) 



- 8 

sicque neglecto communi factore, qui ab arbitrio nostro pendet, erit 

t == m*(p* + g 3 + r 8 ) (mwjp -j- ww(# + r )) 8 > 
w = 3m 5 (mmp -}-nn(q-{- r)) a 3m 6 (m^9 + n(qq rr)); 

quae formae si denuo per communem factorem g/ + r dividantur, prodit 



14. Hinc iam pro x, y, a emergunt sequentes erpressiones: 

qr + rr) 3w 6 wj% r) + 3m*nnpp mn\q + ^) 2 j 

rr) + Qm 5 nnpq 3wVj?j) + 3m 8 n 4 ^(g + r) 
3mmn*p(g[ + r) n 7 ^ + r) 2 , 

( qq 2qr +'2rr) + 6m*nnpr + 3wVpj9 

r) ~f- w 7 (g -f- r) 2 , 



438 SOLTJTIO CJKNKttAIilS 

quorum cuborum summa iterum est culms radicom habonn r t ufc mi, 



r) + 2m% -f if, 
Hi vero numeri etiam sequent! modo exhiberi poaHunt: 



4- 



-j- 






6m 



Quibus valoribus substitutis acbn fit 



15, Si singuli M ntimeri im\i\m |>r coyfticiimtmn hutoilmtwu multi- 
plicentur, hae formulae continolnmt BOX litt*rtw uh aHiitrin wuttro junulontoB, 
quae quidem ad quatuor roduceutur, untie WM laiiHHiuH* fwt<rn niiiui'Kquo 
omnino casus in se complecfci videntur; vtntttmin t*x ijwjt Htiluiitim, qua 
ipsi v valorem a litteris a?, y ($fc j pondoutern IriliuimuK, irjii(nfr IIUK for- 
mulas nonniei pro particularibuH liabtiri JHW*. CVfcnurt ijuiiijui* PIT alias 
positiones aliae eruuntur Bolutiones, quati pni corti u*ilu tungin Hint futura 
idoneae; turn etiam methodus hahelur m invimta Ktihtthtm* ijunruiu|u jwirti- 
culari alias solutiones particlar0H oliciendi. Urn taittfit tmmtfmtf tirtiftdiB, 
nisi in^Mnitum reiterentur, nulla UDlutio, quiw pro pwntH imltwi quoit* 
obtineri potest Qdn etiam in univenwm fora aclhuc, i*t rrttditum huiua 



165-166] QUOEUNDAM PEOBLEMATUM DIOPHANTEOEUM 439 

generis problemata natura sua ita esse comparata, ut solutionem generalem 
prorsus non admittant, ex quo sequens istius problematis solutio, quae 
revera est generalis, imprimis notatu digna et finibus Analyseos DIOPHANTEAE 
promovendis apta videtur. 



PEOBLBMA 

16. Invenire generatim omnes cuborwn terniones, quorum summa sit cubus. 

SOLUTIO 

Slut A, B, G radices ternoram cuborum et D radix cubica summae 
eorum, ita ut sit 

,4 8 -hJ5 8 + C= D 3 , 

cui aequationi haec forma tribuatur 

^L4.J5-D 8 (7 s . 

Ponatur iam 



qua positione amplitude solutionis neutiquam restringitur. Hinc autem fit 



et D 8 8 = 2s 3 -f Qrrs 



sicque erit 

= s(ss -j- 



quae aequatio subsistere nequit, nisi pp + 3$% et ss + 3rr communem habeant 
divisorem. Constat autem tales numeros alios non habere divisores, nisi qui 
eiusdem sint formae; 1 ) quod ut obtmeatur, loco quatuor -litterarum p, y, r et s 
aliae sex novae introducantur hoc modo 



= ax 



l) Vide Commentationem 272 trains voluminis, prop, 7. F. E. 



440 SOLUT10 GENERALTS [166-167 

unde multo minus amplitudini solutionis vis infertur. Hinc autem orit 



et 

ss -f 3rr 



ac nostra aequatio per x + Byy divisa induet seqwmtem formam 
(ax + 86y) (a a + 355) (3cy das) (dW + 3cc), 

qua id iam sumus consecuti, ut litterao $ et |/ unicam feuitum obtineant 
dimensionem ideoque rationaliter definiri quoant. Cum enim Bit 



'y ~" a(art + 3 ft 6) + d(dd + 3 re) 
ponatur 

a? =o 8 ^ 5 (a a + 3 /^ &) + 3 (dd 4" 3 <* ?) 



y wa 

Ex quibus valoribus litterae jp, q, r t 3 ita deftniuntur, ut Bit 
$ 8n(ac 



c arf)(d!^ + See) (a + 86ft) 1 , 



s 3 # (ac 
Atque hino tandem radices cuborum quaeeitorum X, B 9 C, JD ernnt 



n(8ae + 86c 

n 

quibus valoribus obtinetur, ut sit 



et cum solutio nuHa restrictione sit limiteta, utique patefc omneaqne 

caborum terniones complectitur, quorum iteraia eet cubue. 



167168] QUOKUNDAM PROBLEMATUM DIOPHANTEORUM 441 

COEOLLAEITJM 1 

17. Derivemus hinc formulas magis speciales ac primo quidem sit 
d = eritque 

A 2n(a + 6)c 3 n(aa + 366) 2 , 

B 9(a 6)c 3 + *(aa + 366) 2 , 
=== 9^c 4 3wc(a -f &)(aa + 366), 
D = 9^c 4 + 3nc(a 6) (a a + 366). 



Si hie ulterius ponatur 6 = a, fiet 
J. ISnac* 



et 

sin autem fiat 6 = a , eruetur 

A = 
et 



COROLLARIUM 2 
18. Ponamus nunc c = eritque 

^L = W (36 a)c? 3 n(aa + 366) 2 , 



= nd* wc?(36 a) (a a -f 3 66), 
D = *# H- d(3& + a)(aa + 366). 

Si ulterius ponatur 6 = a, erit 

\ B 



sin autem fiat a = 6, erit 

16 rib\ C^ 



EUJ<ERI Opera omnia Is Commentationes arithmeticae 56 



SOLUTIO GENBRAUR 



COBOLLAEIUM 3 
19. Sit nimc 5 = forrrralaeque nostrao lient 

A n3c d)(dd + cc) a 4 , 



I) n(dl(2 + 3 ccf + na*(c + rf). 
Quodsi iam praeterea statuatur rf c, erit 



sin autem fiat d5= c, erit 

A 16 ^a o 3 ft 4 , .B - 8 a c s -f * ^* r ' J ^ ' n f 



COEOLLiBroM 4 
20, Ponatur denique a atque obtinebimus 



B - 8w5(cl - c)(dd + 

C _ n((2d[ + Sec)* 9n6 f (c 4- rf), 



Si ulterius ponatur c? - c, erit 



sin autem sit <? d, habebitnr 



, JB 24^^4.9*16*, (/ 
D 



169-170] QUORUNDAM PROBLEMATIC DIOPHANTEORUM 443 

COEOLLAE1UM 5 

21. Si numerorum A, B, C unus fiat negativus, quod pro lubitu effici 
potest, veluti si fiat A= JE, erit J5 3 -j- C 3 = D 3 + E* sicque simul hoc pro- 
blema generalissime dedimus solution, quo bina cuborum paria" quaeruntur, 
quorum summae sint inter se aequales. Sin autem duae radices prodeant 
negativae, veluti A = E et J5 = F t erit (7 3 =*= D 3 -f- E* + F s sicque de- 
nuo nostri problematis solutio habebitur. 



SCHOLION 1 

22. Formulae specialissimae in Ms corollariis exMbitae ad binas has 
reducuntur, siquidem in Corollario 3 pro a scribatur 2 a et w = '^, et in 
Corollario 1 -^a pro a: 

J.==wac 3 no?*, A 

B = 2nac s + wa 4 , I? 

G = nc* na*c C 



quarum prior convenit cum supra ( 8) inventa; altera autem praebet hunc 
casum simplicissimum J. = 8, J3*=l, (7=6 et D==9, ita ut sit 

1 6 8 8 3 = 9 s . 



SOHOLION 2 

23. Primo intuitu formulae generales in problemate erutae non latius 
patere videntur quam formulae supra ( 14) exhibitae, cum utrinque quinque 
insint litterae arbitrariae atque istae insuper coefficientem communem reci- 
pere queant, ita ut etiam magis generales videantur. Interim tamen ipsa 
solutionis ratio declarat formulas in problemate inventas esse amplissimas, 
dum superiores insigni restrictione sunt limitatae. Quae restrictio quo clarius 
perspiciatur, ex 13 perpendatur positio 



, . mmy }- nn(q -\- r) , . . nn , , 

v = mt -\ --- - - J -- ii-L-^ == mt -4- VIA A -- (a 4- 
mm mm^ 



mm 

66* 



444 SOLTTTIO Q1NKBALP [170-172 

lam vero est mt -f $u a* at y -f * r ' 'H r % i{u ul pwitio mi 

, 

M* JK 4- 

i 



Quare, ut fiat a; 8 + / + ^ 8 -* 0", in ilk solutions twsmnitur t 

v "- x nn 



* 



uadrato; 



sicque ilia ad alios casus ncm patent, nini in quibtw nit v ^ wu *'*'}, rra- 
merus quadratus, Quoties igitur ; J ** new nit quadratum, i-aniw in supwio- 
ribus formulis non continotur; buinnmtuli aui^nn camiH dart v<l tx xwnplo 
1 ^. 6 8 4- 8 8 9 8 liquet, in quo nc^uo " f J IUMJUC* J ." Jj UIHJUO J , J ill, <|ua- 
dratum. Solutio autem problematiB tali roHtrioticum nan limHaiur, nmi sit 

D 8 pp \-Sqq _ a a |-,1/ft t 
f p 8$ I- Hfr (It/ I 8ff * 



unde ex solution general! ii tantum casns, quibus ' t niimortia qua* 

dratus, in formulis superioribus | 14 eontinentnr; ox quo Mumttm gcnwriilitas 
nostrae solutionis manifesto elueei 



24. Natura axttem hums probtomatia jiumt*roH inl*groH timtum pontulat 
et quidem tales, qui sint primi intor BO; HI imim fuiTii /I*-!- /^ | (* n ^J)\ 
turn problemati quoque satisfadont omnia lain im\m nuiltijila quani acqtie 
snbmultipla numerorum ^L, J (7, J); idotujuo Hiiftirici tuw tanittin notoHHO 
casus, quibus numeri A, B t 0, D finnt cum int*gri turn pritui intw HO. 
Hunc in finem sumtis pro a, b t c, d numoria quibuHCunqtitt mvo affinnativis 
sive negativis inde primum forinentur- 

a? Bn(c(dd + ace) b(aa + M\) t 

y 



ac pro M talis sumatur fractio, tit x et i/ flant et primi as. li 

his porro formentur 



172] QtrOMSDAM PBOBLDMATttM fclOPSAJOTOBtJM 445 

qui denuo per communem divisorem, si quern habent, deprimantur. Hinc 
denique habebitur 

A=p j r q_ ) B^=$> q, C=r s et D = r + s 

sicque fiet 

A* + B* + (7 3 == D\ 

Atque casus, quibus unus horum numerorum fit negativus, simul omnes solu- 
tiones praebebunt, quibus summa duorum cuborum aequalis est summae 
duorum aliorum cuborum. 

In hoc calculo conveniet copiam numerorum formae mm-^-Snn in 
promtu habere, unde deinceps formulae aa + 3&& et dd + 3cc desumi queant. 1 ) 



1) In editione principe tabula sequens nonnullos errores continet, qui omnes fere etiam in 
Comment, arithm. invenrantur, hac in editione autem correcti sunt. F. R. 



446 



SQHJTIG GEHEEAL1B 

Tabula numerorum formao mm -f 

Numerus n 



[173 



m 


1 





1 

3 
4 


2 

12 
18 


3 

27 
28 


4 

48 
49 


5 

75 
70 


6 

108 
109 


7 

147 
148 


8 

192 
193 


9 

' 243 
244 


10 | 11 j 12 13 14 16 16 

LlOo'aOJl' 132 507 '588 07f>'?f>H 
30 1 '36 1' 433 508 5H9 070 7i 


867 | 972 
868)973 





1 


2 


4 
9 
16 


7 
12 
19 


16 
21 

28 


31 

86 
43 


52 

57 
64 


79 

84 
91 


112 
117 

124 


151 196 
150(201 
160 208 


247 
>>nn 

M /*W 


304; 367 ; 436 511 592 071) 772 
!309 '372, 441 510 597,684 777 
310 37U 418 523 604 till I 7H4 


87 1! 970 
H76J981 
883:988 


3 


4 


5 


25 


28 


37 


62 


73 


100 


133 


172 


217 


208 


325 '388' 457 '532 613 700 7U3 


892 997 


6 


36 


39 


48 


63 


84 


111 

124 
139 
160 


1-14 
157 
172 
180 


IBS 
196 
211 

228 


228 
241 

250 

273 


*H!*} 

307 

324 


'336 SUiTiM 543 2i ill 804 903; 
349i4ia f 481 i 55r 3V,72i 817^10, 
'304 ( 427 t ! 49fi l 67i;5a 73U 832*931. 
U8 IJ444 513 fH8 WU 756;' 8 HI 1918' 


7 


49 


52 


61 


76 


97 


8 


64 


67 


76 


91 
108 


112 

129 


' 9 


81 


84 


98 


10 
11 


100 
121 


103 
124 


112 
183 


127 
148 


148 
169 


176 
190 


208 
229 


247 

2 OK 


292 
313 


343 

804 


4(10 4 03 '532 007 B88 7V5'8rt8 
421:484^:13 628 *0 VUfi'88i 


!Ui7i 

j 


12 


144 


147 


156 


171 


192 


219 


252 


291 


330 


387 


44 4 1 507 '576 661 732 Miu'jlta 


1 


13 


169 


172 


181 


196 


217 


244 


277 


310 


30 1 


412 


46 i 6aa^;oi U76 y;?*H-i4 0:1? 

1. 1 11 


1 


14 


196 


199 


208 


228 


244 


271 


304 


343 


388 


43 


F 




15 


225 


228 


287 


252 


278 


300 


333 


372 


417 


4 OH 


55ir.rHH;rHV/ 7:12 Hiiraoo.ima 


! 


16 


256 


259 


268 


288 


804 


331 


304 


403 


448 


4W 


650Vitu'88 703 K44;9t| 




17 
18 
19 


289 
824 
301 


292 
827 
364 


801 
386 
878 


816 
861 
888 


887 
872 
409 


304 
899 
438 


39? 
432 
489 


430 
471 
508 


481 

516 
553 


532 


6Hj;f,fla;7ai 76>77 utu; 




6<ji 

604 


F 


20 
21 
22 


400 
441 
484 
629 


403 
444 
487 
582 


412 
458 
496 

541 


427 
468 
511 
656 


448 
489 

582 
677 


475 
616 
669 
604 


608 
549 
692 
087 


647 

588 
031 
676 


! 

033 
076 ' 

721, 


684 7 -U |804' 873 U4K j 
727J784-H4r ; tWJ Ml. f " j 


23 


24 


676 


679 


588 


608 


024 


651 


6H4 


728 


708* 


81<JJ 


870 93 a 1 \ , ' : 




25 
26 


625 
676 


628 
679 


637 

688 


652 
703 


073 
724 


700 
751 


738 
784 


772 
828 


817 

808; 


86H 


92J&;08HJ i i 

U7fi! ' ; : 




27 


729 


782 


741 


756 


777 


804 


887 


878 


021 


1172: 


j , ? | 




28 


784 


787 


796 


811 


832 


850 


892 


m 076 ! 





i 




29 


841 


844 


868 


868 


889 


916 


949 


0H8 


1 








30 
81 


900 
961 


903 


912 


927 
988 


948 


975 




! 


i 

i 




1 >i i 




964 


978 



174-175] QUOBUNDAM PROBLEMATtJM D10PHANTEORUM 447 

SCHOLION 4 

25. Ex liac tabula iam pro lubitu numeri pro aa-j-3&& et dd -f-3cc 
assumi poterunt, unde valores litterarum a, &, c, d habebuntur, quos tam 
affirmative quam negative accipere licet. Quoclsi vero minores numeri pro 
A, B, C, D desiderentur, conveniet pro aa 4-36& et Scc-{-dd eiusmodi va- 
lores capi, qui communem habeant divisorem. Statuatur ergo 



aa -}- 3&5 = mk et dd 
Turn vero sit 

ac + 6t? = f et 3Z>c a 
Mncque fiet 

A = n(3f-{- g) mmlc, 



B = n(3f ^r) -j- 

C == nnk m(3f-{- g), 

D = nnJc + m(3/ > ^f), 

ubi notandum est, quicunque valores pro f et g fuerint inventi, eos tam 
affirmative quam negative capi posse ob numeros a, &, c, d ambiguos; 
unde pro quo vis casu sequentes nabebuntur determinationes 



vel f= + (ac -\- b<%)> 9 ~ fibc ad) 
vel / > =4:(c Id), g = + (3&c + ad). 

Patet autem, si manente g capiatur f negative, eosdem numeros ease prodi- 
turos ordine tantum pernmtato, unde sufficit pro f valores tantum affirma- 
tivos assumsisse. Praeterea manifestum est, si sit m = n sen 



aa -f 3&& = dd + 3cc, 

turn fore A=** C et D*=B, unde et hos casus excludi oportebit. Denique 
si /=0, fit A. = B et (7==J) 1 ); qui propterea casus quoque sunt omit- 
tendi. Saepenumero quoque evenit, ut vel pro a et I vel pro c et d vel 
pro utrisque plures valores oriantur, ex quibus solutionum numerus eo 
niaior evadit. 



l) Editio princeps (atque etiam Comment, arithm.): C D. Oorrexit F. E. 



448 SOLDTIO OENIlIiALIS 

EXEMPLUM 1 

26. Capiatur a + 3Wj = 19, orii 4 tl /;*'!, turn voru 

eritque 

rf ' 1 , r' * f> 

(/*' 7, r . ;i 



Turn vero tit w 1, w 4 et ^ 11), Pro f autem ot // Hwjnt0H prodi- 
bunt valores 

I./--. 21, ^-.-4:11, H. A-Ifi, // I If). Ill, f - ui, t f \ n, 

IV, /- 5, //li7, V, /% -!(!, // { aJ, VI. /* 0, /; i ;J H> 

unde tertius casus et sextim HUH{* oxcludnmU. At-qutt hinc rii 



6 f . .304 ~;i/' .-.*/, 
j> M *i04 4, n/ 1 "-^, 

Hinc ergo reperietur pro valoro primo f$l ot //-* -MI 



ergo 

pro sigais suporloribas pro slptin infmori 

^-277, Am, mm 

J5-227, J?-315 ( 

0-280, 6' -252, 

D 



176] QtrOHUNDAM tROBLEMATUM DlOPfiANTEOfeUM 

Casus autem II et III dividendo formulas per 19 ob f = I - 19 et g = + 1 19 
dabunt 

A = 11 4- 4, 

B = 13 + 4, 
C = 13 + 1, 
D = 19 + l, 
ergo 

vel vel 

A = 15, seu A = 5, A = 7, 

B= 9, ^ = 3, B = n, 

(7 = 12, (7 = 4, = 14, 



Casus IY, quo /*=5 et # = + 37, dat 

A*= 41 + 148, 
j5= 79 + 148, 

= 289+ 37, 
= 319+ 37, 

ergo 

vel vel 

A=> 189, seu JL= 63, A= 107, 

^= 69, ^=23, _= 227, 

0= 252, 0= 84, 0= 326, 

i;= 282 D= 94, D= 356. 

Casus V, quo f= 16 et # = + 26, dat 

^[ = 173 + 104, 
J5 == 211 + 104 ; 
= 256+ 26, 
D = 352+ 26, 

LEOKHARDI EULKRI Opp.ra omnia Is Commentation es aritlameticae 57 



450 
ergo 



tH** ll '* I '*. JM 

Uu . ** ***"* ** |i 



En ergo plum* nilmrum ti*ni*iMM v\ nnira ft*itium ( 



7" - 14 ; t J 



mide colligitur 

item 



27. Hit -} :!M .-' L*M; <<rj | 

vi*l <t '- 1 , it 

vel ii - 4 li 
VP! <ri Ti, l 

turn vero nit rlrl-f- for ,., H^; mt 



prudibunt 



177] QUOBtJNDAM J?EOBLEMATtJM 



I. f=14, # = 42, II. f= 4, # = 48, III. f=22, # = 30, 
IV. f=14, # = 42, V. f=28, # = 0, VI f = 26, # = 18, 

ubi notandum est hos valores, quorum I et IV conveniunt, oriri ex sola 
positione a = 1 et 5 = 3 et reliquas duas eosdem producere. Hinc ergo 

habebimus 

A= 9/\+3# 28, 

B= 9/ 1 3# + 28, 

*y t / 

= 252 3/ 1 #, 
D = 252 + 3/ 1 # , 

unde casus primus et quartus dabunt per 14 dividendo 

A- 7 9, 

= 15 + 3, 

D = 21 + 3, 

ergo 

vel vel 

^fj^ - JL \j <_} j tj. - j " *~~ U1 "" LI *' J JL 

5= 2 = 1, J5= 20= 10, 

= 12 = 6, 0= 18= 9, 

7) ___ 1 Q ___ Q T) __ O A , 1 

Oasus vero secundus per 4 dividendo dat 

^= 2 36, 
J5 = 16 + 36, 



ergo 



(7 





= 60 + 12, 








I) = 66 + 12, 






vel 




vel 




2Q 

OO = 


1Q /< 
1,7, *0- 


-34 = - 


-17, 


-20 = - 


-10, J5 = 


52= 


26, 


48 = 


24, (7 = 


12 = 


36, 


54 = 


27, D = 


78 = 


39. 



57 * 



Casus tertiuH per 2 tiiviaus ilut 



/;- IP 



Vl't 

-I l* - :!, 



II- - MI ?:!, /i 

Casus quintiw tiat i*r 2H 



Casus deniqut* Httthm jior i! tlivisin tai 



J *- J3 2 

& * af 4- ,(.& 

If * 141 -t ^ 



fill 
J ^ i;yi 

U Hl4.-.. 



174 



178-179] QUORUNDAM PROBLEM ATUM DIOPHANTEORUM 453 

Ex hoc ergo exemplo sequentes resultant formulae: 

14 6 3_j_ 8 3 = 9 3 ? et 13 + 12 3 = 9 3 41() 3 , 

343 _)_ 393 _|_ 65 3 = 7 2 3 , 1C 3 4 27 3 = 19 s + 24 3 , 

20 3 454 3 479 3 =87 3 , 17 3 4 39 3 = 26 3 4 36 3 , 

33 + 434 53 = 6 3 ? 

38 3 448 3 479 3 =87 3 

hincque sequitur 

87 3 79 s = 20 s 4 54 s = 38 3 4 48 3 . 

Patet ergo ex quo vis exemplo assumto plures huiusmodi formulas obtineri, 
inter quas autem eaedem saepius recurrent; quemadmodum casus 



in hoc exemplo et praecedente bis occurrit. 

28. En ergo solutionem generalem problematis, quo quaeruntur quatuor 
numeri rationales A, B, C, D, ita ut sit J. 8 + J5 3 + 6 r3 = D 3 , seu, quod eodem 
redit, quo quaeruntur quatuor numeri rationales p, q, r et s, ut sit 

P(P$ + %g) = s(ss + 3rr). 

Quae problemata cum methodis solitis nonnisi particulariter resolvi queant, 
manifestum est has methodos solitas adhuc insigni defectu laborare ideoque 
notabilem adhuc perfectionem desiderare. Turn vero, quod hie de unico 
problemate ostendimus, nullum est dubium, quin id in infinitis aliis pari 
successu praestari possit. In genere quidem patet simili modo huiusmodi 

aequationem 

-\- nqq) = {3s(mss 



vel etiam hanc latins patentem 

(ap 4- /?g + yr + $s 4 e)(mpp 4 nqgt) == (ap 4 ^ + cr + ^ s + e ) ( mrr H~ nss ) 
rationaliter generalissime resolvi posse ponendo 

p = n fx 4 gy, q = mfy gx 

et 

r = nhx 4 %, s =mhy ltx\ 



454 

* 



SW.l'W UKNf.HAUS 



fiet enim 
et 



unde aequatio diviwi pw 
turn (limwiHioniK, w i\\m 
rationalit(r 



i//. mnhh n,ij' \ mtfi/ 

w//.y i'uitUm*Jit m'i}nitas ./ it // uiuu ti 

naruw vjih) H 



2J. Nu immwiio i^i 
PHANTBORUM, quorum 



H a 



rt-n ,u m r*|rtitf 
' 



gwurni*H <ari tuijin* di. 

tionum gtmtMiilititti* rt fiarilntlitriiidi* pmitum ^,t **Hnntti;il^ : tnittt* 
quantft adhw iupn-inwila in Aimivj*i Itim-iuMn itivuili^Mittir. A! ijuut* H 
tmquam pono^arc* ranfigmt, nuUtini i-t liithitim, M uiu inii^ inlt*ixi AunlvKm 
tarn finitorum qimm iiifiiiitmi fount n^nnn^h mil^lli iti itrr.^feum 
Cum oiiim in culcutti iuivgnl* irairijtM Wm arfitianm in h,. v.T-.Mtir ( tit for- 
mulae (lilforimtlnlw irmtuwtttw in ratiaI-H imn'Smm-utw, hn* uHifirium 
ipsum uti ox Aimlyni DioniA^riM in hunt- ,-a|raluii r,t traimlutum ita ^hm 
mdidom maiora auxilia imril. *jH*rfai,tn , 

Analjw, utennquit KtnrilH iiliitn in ^ H,^it;i vi.I,Mfr. amjair.Iii i 
ditur, noutiquain mulilitw rollmuiri *->t r'* 



8a Ific porri) alia 
quod sa^ws m Atialy*! 
methodoe c 
haec Bol 
ben debeii t, ut 



, itt 



ita resolvate, tit ponafoir 



at,., t ti,*, M . ,u li;i flU | Uri MM%rHttr 
i prMl^nmt,, . W v,m,t. ,itm, M ,w 
.timtt,,,< vi.h.i,,r. rwit immn 
arfilH , B ,, W- 



a nit 



Fietemm 



180-181] QUORUNDAM PROBLEMATUM DIOPHANTEORUM 455 



et 

_ prr _ qrr 



Unde ut a? et y fiant numeri integri, statuatur r = w Q; 3 -f- (f) } ut habeatur 
a? == wwp ($> 8 -f- # 8 ) et y = nnq(p z -f <f), 



eritque 

ic 3 -]- ?/ 3 = w 6 (jp 8 .+ # 8 ) d = quadrate. 

31. Etsi autem ista solutio generalis videtur, tamen nulli alii nunieri 
pro x et y inveniuntur, nisi qui communem habent factorem p*-\-cf, ita ut 
hinc concludendum videatur nullos dari numeros inter se primos, qui pro 
x et y substituti quaestioni satisfaciant. Interim tamen casu, quo x = 1 et 
y = 2, perspicuum est fore x s -f y & 9 = quadrate. Tametsi autem hie casus 
ex formulis nostris derivari potest ponendo jp = l, q = 2 et w = -|-, unde 

12 

utique prodit a? == y 9 = 1 et y = y 9 = 2, tamen, ut hinc alii huius generis 
casus eliciantur, necesse est, ut pro p et q eiusmodi numeri accipiantur, 
quorum cuborum summa sit quadratum, puta = ss, ut deinceps poni possit 
n = -j, unde prodibit x =jp et y = q; quo pacto id ipsum, quod hie quaeritur, 
iam tanquam cognitum postulatur, ut scilicet duo cubi assignari queant, 
quorum summa sit quadratum. Quemadmodum ergo huic incommodo sit 
occurrendum, in sequenti problemate videamus. 



PEOBLEMA 

32. Invenire duos numeros integros inter se primos, quorum cubi additi 
faciant quadratum. 

SOLUTIO 

Sint x et y numeri quaesiti, ita ut ease debeat 

$? _j_ y s = quadrate. 

Debet ergo [esse] (x -f y) (xx xy-\- yy) == quadrato. At de his duobus factori- 
bus annoto eos esse vel primos inter se vel ternarium pro communi mensura 



456 _ SQLUTIO CIENKIULIS j , H t ..... 180 

admitfcere, unde solntip fiet bipartite, quae aufem ita in mmm rompht^f mr 
ut uterque factor seorsim -x + v/ ot ^.r - #y + ?/// vol qwulratum mo doboat 
vel triplum quadratum. 

I Sit primum uterque factor quadratic ac pouatitr 

xt - xii -f y?/ , (pp -.yq 
entque vel 



'j;*s*tyijM oil //-^/r/ M), 

Priori casn ergo oportet, ut ait ^.f ,^p .^ t/t/ quailratum. Qua. 
forma cum sit - 8j>j> - (p + 0)", 8 i pcmaiur rr, uporf^t o, w , 
d^-tp + ff ) +rr-. Btimmao duorum quadmtorum, 
Belmqnitnr ergo alter casus, quo 



cui satisfit ponendo 

1> 2mn et 

a? 



II Turn vero ponatur 

xx - xy + yy triple quadrulo 
cui triplici modo satisfit: 



in. 



OBJ j fit 



a; 2 ( 



QUORUNDAM PROBLEMATIC DIOPHANTEORUM 457 



Casu secundo fit x + y = Spy - C m = triple quadrate, ergo pp - 2pq = qua- 
drato, cui satisfit ponendo 

p = 2mm et q = mm nn, 
unde oritur 

# 3m'* -j- ftmmnn n*, 



Casu denique tertio fit a + v/ - Gp (1 -~3 qq = 3D et 2 M -^ = D, unde fit 

j^ = mm 4- ww et g = 2mm 
ideoque 

x = 3 w 4 + 6 W7w w + 4 , 
2/ = Sm 4 " -\-Qmmnn n*, 

quae cum illis congruunt. 

En ergo ternas solutiones problematis propositi: 



3m 4- w) , 

2; = (m n) (3m n) (3mm 4- nn) , 

x = 2 (m 4 2mn 2m n* -\- %*), 

4- 



I x = 3m 4 4- Qmmnn n 4 , 
I y = _ 3w 4 4- Qmmnn 4- ^ d , 

ubi quideni secunda forma in tertia, quae cum quarta convenit, contenta 
deprehenditur, ita ut secunda uti magis complicata omitti possit. 

COEOLLARIUM 1 

33. Si hae formulae pro x et y inventae per numerum quadratum 
quemcunque multiplicentur, eae quaesito aeque satisfacient; ita scilicet summa 
cuborum x*-\-y s fiat numerus quadratus, unde numeri quotcunque non primi 
inter se obtinebuntur. Simili autem modo si hae formulae communem ha- 
buerint divisorem quadratum, per eum divisae quaesito perinde satisfacient, 
unde numeri inter se primi pro x et y inveniuntur, quales hie proprie quae- 
runtur. G-erninas ergo pro hoc negotio habebimus formulas: 

LEOJUUKDI EULKW Opera oinnia Is Comineiitationes arithmeticae 58 



458 SOLUTJO OKNKKALIH gnmi'NUAM I'K<W,KMA'n'M JUOl'HANTKUHtrM fiat 

Li'"' 4 " " 

I If lilt 

,4 . - , m -i'l.wwiww w, 



COROWAHIUM 



34. KvidoiiH cst ilari iulinittw rasu.**, ijuihus alf4*nt harutu innlarum 
recipit valonuu n^at-ivtuti; (juul in jirirUu,'* *vHiit, si vl m sit iu^ativum 
vel w, vol contint'atur intra Hmifts m it ;/, in |>mfmi*ritm,s mtfinu, HI 
vel ^ Bit mama i ( uam :i f-2fll v.-l ^ mtiiiH ,jiia m ;l}';5 ;j, j !irt ( ,* rgn 
casibus duo rcpcriunlur cuhi, qutintiii iHHVri'atia t*Nt {Hiulratum. 

1) Editio princpiwt (atquc Hiwt f 'tnumttH ttrttiim : , IT| " w *M numi* t tttutm Hi i .4. iM 

^i^i , w*w ' v * r F /) 

8 (|/a I). 



SPECIMEN DE USIT OBSERVATIONTJM 
IN MATHESI PURA 

Corameiitatio 256 indicis ENESTROKMIANI 

Novi commentarii aeademiae scientiarum Petropolitanae 6 (1756/7), 1761, p. 185230 

Summarium ibidem p. 19 21 

STJMMARIUM 

Hand parum paradoxum videbitur etiam in Matheseos parte, quae pura vocari solet, 
nraltum observationibus tribui, quae vulgo nonnisi in obiectis extends sensus nostros affi- 
cientibus locum habere videntur. Cum igitur numeri per se nnice ad intellectum puruin 
referri debeant, quid observationes et quasi experimenta in eorum natura exploranda valeant, 
vix perspicere licet. Interim tamen Me solidissimis rationibus ostensum est plerasque 
numerorum proprietates, quas quidem adliuc agnovimus, primum per solas observationes 
nobis innotuisse, idque plerumque multo antequam veritatem earum rigidis demonstrationi- 
bus confirmaverimus. Quin etiam adliuc multae numerorum proprietates nobis sunt cognitae, 
quas tamen nondum demonstrare valemus; ad earum igitur cognitionem solis observationibue 
sumus perducti. Ex quo perspicuum est in scientia numerorum, quae etiamnunc maxime 
est imperfecta, plurimum ab obseryationibus esse expectandum, quippe quibus ad novas 
proprietates numerorum continue deducimur, in quarum demonstratione deinceps sit elabo- 
randum. Talis cognitio solis observationibus innixa, quamdiu quidem demonstratione desti- 
tuitur, a veritate sollicite est discernenda atque ad inductionem referri solet. Non desunt 
autem exempla, quibus inductio sola in errores praecipitaverit. Quascunque ergo numerorum 
proprietates per observationes cognoverimus, quae idcirco sola inductione innituntur, probe 
quidem cavendum est, ne eas pro veris habeamus, sed ex hoc ipso occasionem nanciscimur 
eas accuratius explorandi earumque vel veritatem vel falsitatem ostendendi, quorum utrumque 
utilitate non caret, 

58* 



n;iw ki^,* j*<' I V s , l*i i 









flffi^'f^iilW,! 
Ilinlfli 



tut j>roj^i*-la 

f^vi J' 

tlf04ti"l'^iiar rl lit itililfl|4^ 
*|i* fit iifjnt;il' 

l|ttt 

tfft, til, 41 *4l% H|f$^ *c,| i^i' 

Hi P^I rkli^sMt^^^u 

jrr rni^^^iiif ' 

I'I'J |^M%'l 

i*1 j-l 

l4i|^*jii;ii|| j^| 
alii^lfi^I 'o^'Mif 

1 1 M-^Miiivjn}^,!^, 4. | 4 i 4J i p fo< ^^- m ft^ 

*filirj* |'v,^ ^'ig ^<|lff, f IK 

fj 3;f# ,t ;?| | \ m , m i^'-^^vjito 

:t| fi4* 



t,<i my 



M hi; rsr OHHRHVATIONUM i\ f MATHKW FUIIA 



I'YuvvmMM, i'fiaw.i miiii nil,;! munim, |, ^innim^, tjuilmA itmita- 
halur, Misj.irari ii,<u'rit. tiitni multti fttkm* {iHlWtkttviti a' Imtg^ IsttittH pattUHHis 
A,f\i<rat Kiiim I'limnr* ^ i*\ <<d4*m fiinii* aUorum quoqtw Tlu'oivmatum 
Ifituhkm% iMiiiH iLMiu*riH nuitt, quttfi cimtiis niunortiH luli^or nil 
a imnriunuitvo iiiiiitwinwii triyftinuliiitu; itt^in titiml otniiin nuaioruH 

t|iiiiiijty* n*l |i;iiritiniiii laimt^iruiu j^ntitgiiiiiilittiti; item 
iriiiti lM*\a^nmlium. i*l itu irm do roliijuirt uiunwiH 
in,'. F 4? ii v *ru H.miiiHt rmi!iitiuti^it ruiuHqiti* nuuwri 
in i{ssiitiinf juu-'tfirau* *|iuilra?a ilt'miihlravi. laiui^u niiiiii^iii udhiu* oprram in 
r^liftii^ tlii^ufmafilor* i^inuiHfr)thdU iitufiltl^r nwHUMw tMnuo ullo 



|iiitti$, 






itt qiwluor pauriuravii 



M mult unit* 



H, 



^tfift^fiitiw |riipriKuliss urrt^itas rofe 

iiiti^in uh I 



il^li^iiitm, *",M tiiri*t{ii$ tit* iiiiiii 

m^itiM isllrniiii jirifr4|i 
*nl !'^iiii'/f 









i f tibi 



i* t 



M>* 

4 rpi^irir" iiii 

tn| ii.if ;P% 11! |*iiii^ a^mu^ f i tii 

it^2fi |t$* 

j*u*' |ii ,i i^it, i 

;i'/rr^^*'i'if, 4 4 riiiti u^ifai^ 

4*'^ni4i, ij^nliti* MiJa iii4it1ii in 

* 3ir "i|i'fii 

i** ^N,J* j^r.'4i*w't n^^iiiiit i!ii^f 

, Ji r**HH finfffitflii* fliilVi $ f'ililli* litllitlf 

rni4i J ftli tUOIlti*titt 

in tiMim habituru jiiitni- 



i 4 <tllfii 



I "n4^ r,. utH t } >:*'<>* I' ft 



" J ll*llt'>'i 



r 



F tt. 



4U2 



tar, us<w, ((unit !*' in 

Sllllt t'JUtll )' 



rant, 



IlltllUt 

tii, m 
mini* M 



t, 



,, 



' tiHtu.*riirttm 



|r ,.,., 



. n , m ,), ))Jut , <Jt ..^^ ^, ,, 



, l ,,,,,,,, ta ^ lm ^ t 

' 



>u 



, rt ,. ^, (< ,, rfr ,. , VMi 

- - 

m b, ,m* ,^11, 8M , w ^ f ^ 4n ^ 

torn,,, aiiMriw. vmtm^mm imm ^ ,, , r lt(|k ^ ,,, isr , 

1, tn^t *r mn ^mumtm ,h,^r, ^,.,|. lww f|WIM , rat vl H f< , f ,, 
fat* * "* 



IN HAO FUttMA 






t) Vt 



1HH- I SIWIMKN' |,K !W OIWRRVATHWJM IN UATHKHI J'UKA 

funaa, ;., 



* ,tu pnrru. hM > |U ,> ol.ti.u.hunttir H. tl ,at,H numomrum 



a M'" a , ii. IH. -7, :w, f,i. ni, H;I, i. l5 , 14( . 171t lw ^ 2f ,, 
'!, ;i;;i, .nt*. -st:!, .1x1;. 

'! A'*) J. IT, ;i\ 57, nit. iaj t 177i 2<u .j !)7i ;tt ., lt 44;t 

IH-f-AA) !!, W. ;, ta, , !7 , 82, UK, i: ft , | X7 , ai4. 274, WI7. TO, 41K. 
X' 1 U.i ;, H, J,7, l, It;!, IM. 2(| ( L .-, 7 , ;ttlt ,{ W| 47:l 

:- M> 51, .vi. :w. ;. w . w. ILL i,j, ,-,, UM> 2U , , 4( . ^ 

in, 4!<t. 

-' i '/ y;. t*7, m t i:;t, ^ii, ,-$i;j t ,$;a 
>* <-u, :!, u, n.y, IM, i-s, i;i 4( , IJtfi ITOi j, H( 21!rt ^ . J( , 7> ^ 

.W, tW. -I.V.i, .|J.H. 
18" J AA, !!. 1:17. j/ t:!> 177. ., aw, >7, ,'fcVi, 417, 4H<). 

HUf i w,, s*i;s, ik;, i7H, jM7. yjj, ^ r , :>i;2, a;. :wi, ;w. 418, .ir,i. 



u , M aw. SK a:,i. ix wv, ayn, n. am- s ;m, :M a. ,w s 411, w 47, 4m. 
aw , AA- >.>, ;jj;i, :7, *n, 4/7. 



. 4.'W, 4i, 4H2. 



nltSKttVAYK) I 







iM, r.',', -M. IX}, ;nr7, li;j t ;|, , W , :M7, XX, .Wl, 401, 

4|:, J;i'}, 44,$, 44!', 4."7. 47, 4!*l, 41K, 






I4 triWl^-' 

<*fj, 4l # ^t4^^ 

^^V' 

ffl? U 
sVil^" 



; fc ^ 

* < 



^ 
^r m 4^1 y il k>* 



,% ;; t- 



f*4 |f'| v ^.",f V^.M"^>1 ;. 
ft^ 
t'lflfWi 



f^r^vv.f i^^^^^n.^t ',', ,- ', 
f " " , | 



:1 nA ^ A ** : 

*1 l;| , J.fr , 

H i! 



" ^f*U 4^V, iA,^ ^^^-/ ^ > , V "V . *,' v.v% ^.^^^ ",*,! 



I ill W| SI'KCIMRN !>K FSU OltHRRVATIONUM IN MATHBRl WRA 4,55 

Hie iain olwrvo oumtti pr<<lurb ox numorifl primin torniao 2 + W per 
<iuainuu|u<* n> m t.ttmtit.!.in utiUi owurron, itti ut pmiw-tum ex 9 minin^ 

"-'> /";-* f AA Krw^r nit wwiwrw* / v w /r/w ^ r/^/ww qmtlratnm 

ilia, in- /rfws ynw/w o ,,/, rj - ,// <V r*M fwtoribm fucrit rou/ltitus. 



ituis uiit^ut hir aniituulvorlo in hi nunicTin mtupOHttiR nullon alios 
^ {trittuis tnvitnviT, nm qu i ij,i H - m t fomiao 2m }- A A, undo coltigo 



. w//f*. <i/.s ,/iri t m lulmittrrr primus, nixi tjiti i^i *i,tt hunts forwite 
| hl>. 



Htmtriaui i|uiili'iu viit *r ivwircH <n'<'umr<^ \nmi\ vorum cum 

/,/ fiiNU A~i i-t d-.. I liinnriiim |rwi'lut, Hium ijwuin hinarium in 
!ii j AA rjj|It'{i tJwf, 



nlWKHVATlO ii 

oiititift tiiiini'nth fnrnmt' tfn j A& rxiMUmtihuH tt tit / 
4 lti?tin'*"- j*i'itu> i*n nluutt.itt, nixj qui in ,s<ri<i nnn^roruni in 
pitiua I'Oul'ifitrum runtiiM^iiiur. nt i|wU tjuithna InnimuH odtuii- 
-irH int.*i uttttur>t!i {iriuuts ut^nrvu inim illoM ntillrw tiuttifnui iv 



^ WMWCM.-. ?,/ | f )}.) /*' J( 'Hi: Hw I r/ M .. ;) ufjlrmtw licet cos mm 

*!^W r'.'JM *58MKJ.. ;-;/;,*,,<*' ^ |JH f l^/,, / ^/,',iW W llh'inWfii f//W 

tiuiHfti f<^Mj*' ;' j A/, fiyauirin tt tt h aint primi Inter ar. 



r innniri primi, <jut Hint i!iviwr<' uu- 

!'i.inr.i> *!* v /,', m-ti ijtii it it**rwtra luirwui fwiimruta [ I vH 



j' I i'rl /?!,>.- 

Wit**}!! mi 
WJttin}Hittjr, Sisur u 



At, *jt*t| 



K I; 17, 41, I.i, . tv, u."., i;!, 
-Inl, MI, .Kin, 4<i:, 4,V<: 

K j.;}., a u, U', A ;:, ;. M, ij, i;u, 

;$oy, r,i, :ti7. :ii>, -ii!, -n;t, v,;, i: 



KM 4. 3 wMfffr at- ntftrtftt Mullen ,*$$ 

t-r^r 
4- ; 



tta mm 



*** 



, . II, 



104-19&1 l'fiOIMKN !>B UBtf OBflURVATlOMUM IN MATHtiHI PlfHA 4^7 



profundiHwnuw mdagim* Hunt iwiieandat\ cum Humma Bolltntla ad mm 
dwnoiwtrandaH Hit opux. Ad primum gomw rofwtmdao Hunt obHwvatiomw 
prima, Hocunda, tertia, quart a ot pan* prior noxtao; ad gwuin wxsundum 
uutiMu p^rthu'nfc ohKorvatiowH quintal, parn potm>r 8xtatt < % i f Boptiuiai, <{tuu> 
IH> nitlii PrtifuinIiHHunuo autoiu indaginin ot, olworvatiio octatva. FropriatafcaH 
auU*ia iHtao HimiUm suufc ii f qtuiH circa tmmmaH duortiiu quiulratonun pro- 
IHIMUI; qutinuu vritatii cum folicttor orui'ruu, opuram dah> t ui aliam !UIH 
i>roprUtat4m cilmt^rvatiiH Himilt iiiodo doinonHtraiionibuH eonfirmom. Incupiam 
ab obHorvatiunibuH facillimk 



THKOKKMA 1 

L Afi M fwrit mmwm fumw Uia -f AA, /na r/iiw/n^ i/n*i 

wit M 



DKMONHTRATK) 



Hit inuiu N - - "2mm \- 1111; rrti i> A' * ^ 4*ww - j- 8ww; piimilur 2#w - * ftatquo 
A'- **-}' a/*w Hir4jiiii 2A f wit, quoqu* iiuiuiTUH fwmaa SJwii }- W;. Q. K. IX 



l ! 



& Att i4t N pliirtbtw modi* uummut** forma** "Jcici^Ji/i, totidmtt 

fti^ tiiiiflii dttpium *2A r wii mimi'ruH fttriitiiii %tui>\-bb. 

2 



tut oh^rvuttoiiiM nittitilijtitt ratio pon<picitur v 

nir iiiiiit0r<*fiiiii t qua ttttw tmin^ritH formuo hb twpoHttoH bin 

qiitM|iii! iltiplii ibidom bin 



2 

4 Aff jmf 2A f iJnii'{-^li, linn 

rf t*ril 



is 



lKM<\'STIUTI 

J'ltMtu 1*,V- ') - r n, .jnit ",,'mwj ; *in , 

Utf tain '*t JW, |jt*r i-.ir r<4, Sit 4ll*'M |i,u 



jn*r L 1 i!$ul'l ttit'tu ,\ - ?,/ i ',*'*,. 

in furuui '*i t f^ 'M(if<<iiitH, y, I-;, u. 



***. Si i'I'ft |tlMU*ni^ A 

tutu Hktm >nn< ht)*jnh ;,\ 



7. tltiti: 
Imitttm it$l in 

:* 



n 



turn nmiiwwn 4tit*}**i 

M ;' 



THKOHK.M.V .1 

J, rf A 






l7 19HJ KPKftlMKN f>B IWll OlMKRVATIONUM JN MATHBRI PUtlA 4(;f| 

DKMONSTKATK) 
Sit ntim 

M 2<i + bh ot A" 2n* -J- r/</; 
wit wirum productum 

MN 

tuiiiattir ~ 4 



<hi|*lo 



, tit Hit 



altt* modo 



t|tiiifi* ni iil^fijtii^ ntttnorttH 31 <it A 1 fttorit fttnttao Uei f'/^, tnifc tjuoqun 

ttinliiiti tittinf^ruM iliiiii*iii Ibniiiiii 1|, R I), 



I 

Hi Oh fortattlaM tnvotttan priKltirtum J/A* wit dupiiiu mcwlo 

iiiiiii**rfi fiirmiii* 2 mi f. M. Si t*tilitt nit M 2/i f M tit A*^2cr* i- rfrf ac 

lionutur jiritiliiclitiit MN' i}^ ^ gg, wit 

vt*I |i -" ml - - rli tit q ^ *2r *|- hd 
Vi*I |l '- *lr/ '} rli tt f - > 2e " ftrf. 

2 

II. HI vt*I ml ^ r/i ftti 2r ftrf tntitiwiiH iii 4 gatiiis, pro /> i4 // 

<n formuliK 



47(1 nt: 1'^f w*t:ta ( u'v v 

tittle *li*Hv HruHM't jtnict t%'i e -4t |^ ^ -*^i 
N'ttmH'i iii^itlivi JIM*- w*'*! J*IH r^vi^iMi^ 

: 

l utm'foruir, 

in ivmkt |wtl!if, iii-'i t^it^ 

Ilfili rl4^i:|f, iu%| lls-l^ t*"J 

n4 *jw^lra<u'* i4 *i'^ 
M i 

IT! ^*i |*UUi5, '-M| H*A* |^v< l';/" ? ;r/i 

III :/4 - ^^s a^' .n5 f *t *';'V* 

*U*fiI^, fjnU^H i^lU*!' r^l ^'u*h'.UM^ 

'%^i{ii^r^;it f.4Ki^,>l^ 
1^1 V* 4 I I VttI *, 

- 

14 Hi Jl ' f t V Tr*'-4j % ** V, 

|4f, ||-^| f gf|t Jl II ?||? " '.|i 

Jl/ vl/ **" !S * t>* f I ftfc;'* *l*l l^ff^^rl^ ^,H< x'h^,^ 

i^f^ Hlii wd^! w-1 4i -- 

il*l 

l 

la ri | 

|" III jii * 

I to, i *M. 

it* t ! ff; nii 



HW flOOJ Sl'KOIMKX UK Wff omjRBVATIONUM IN MATHRHl PUKA 471 

urn ertfo, ni ponatur produotum LMN^^u^ + yy, wit quoquo duplioi modo 

vel r *- > - ^ - - f / ot */ * a * > - - > 



IHitc <rj{o iru tt r vaU)rilniH Ii 



,r - '2^irf. bit?~bcfa<lf at i/ - 2/if/r -j. 2(irf f- 2Ar< 
/ -^2nrr \> bde >" bi'f-}*tulf f^i // dnr/r - tiw f - afte 

/ -- 2 mr ' bdv -{ /ir/ *|- nr/f H ?/ - ^ 2cielr 2f/{- afte 

IIOEOLLAEltlM 7 

Ifl Kliiitli iiKiiiu culllgiiur productum f fc ,t ({tuiiuor nunioriH fbrt 
2nn [ Aft orto div^rmH modiH lit fonnutn t*uiuiom roHolvi POHMC^ aimm tiunon 
aunt fxri{4i*iidi s ifiiihtiH tnii*r uuuMTOH proposiU)H rt*pi*riuttur vt*l ai*qiial0 fitl 
miupliria tpiudrata vt*l (pmdraUi dupla; hin onim cuHihun vidhnuH 

fit;ii* in gWMW Hunt tllv**mti\ cottvouin*. 

HIHOLION 



I?* Quint !iiiti*iii it*! tM^tiluflititr^ aMiu<*t f t*iiriuti vU 

!if*t|ittt, ibniiiitniriiVi^riiiiiw ttttiti^rim primes plus ittio mode* in hac ittrtua 
anii \'bb f*niitiiii*rL Hi tttiin mimort pritnt pltirimm ituwlw wnput romdu*- 
liilw, cli* iiiiiiii*ri rompoHiiiH iittill 4ti*il!iit s t poHs^t, IIIHI tjuod adhur plu 

Itiiiiimiitiili ri^iltitliiiti^ inlmittant, <-uai iyttur pritna obntfrvaito 
IIOH ilitrut'rii ifiil <|ttldr*iii in tirdinii tiiiiitwurtiin fbrmsK* 

}- ftft eiitifiiii^itun tbitimtt <)f.eiirri*r<s tianc ipnam 



4 
i iVi } lift rmVri i 






472 



Sit \ 4'^/b, f JU'"" ; '-5, 



it|4 III 

Jrt-f* M^ ,4|f 



V ,' A 






;?<H -t ;| 



At iiM- 

|| 4 4 ||| t || 



\ 



Ill 



.V 

A* in 



V 



. 



202 21131 KPKOIMKN 1*K IMU OIWKUVATIOWW IN MATHRKI POHA 473 

OOltOlLAHIlFM 2 

m (tttteitnijw ergo mmwru* primuM wl piano turn ad formam 2<n/ I M 
mind jMttwt wl iifttfti lawtuw modo. (tuvcndum autoin, ne hinc VICIHBIIIEI 
rcmohuintttr <>mium imtiiwitiii, ({ui unico tnniutn moclo nit ww)lubiiiH, 
primum; huttiHinodi t^nliti ronduBio ragnlin rntiocitmndi lul 



a 

21. Hi fitwii idotu iiiimantH tfwVatt + hb il^mqiHi A^^2rr?^rM, wli 
hinc, tit vidimus 

- r i?) A f -. fe 

X f (rtrl 
A i ' 

/i <rr 

Hfiiwniii>r i*rgti hiiius friu^iionw new sohun jmr d^muniuntcinmi orit* divUt- 

nd iutijfnuu fk*ta simul iki*l4in^ numori 



22. I lor *fgn rHu nttniortm A* tioti Holttiu uon arii primus, HIM! nikm 
w larlon**4 I$in* farilf t'liltijfi^ifiir, Sir rum mimwiw 2(57 his intw 
2 | bh ocrurrnt* Hrilir^t 



SIJ7 -* 2 * i 1 -I- lit 1 t 57 - - 2 

till if - l t A*.-* i;t f r ... it i*f, rf-^ 



(,? -" It 'Hi } 1!) * I* 1H 






1*1 ASf *Jiin + III fibril |irr 

IHIIf |!|"|| 



1 1 st 






f^ 1 f 

rttm '. 






& %f 1!^ 
Ill 



li " ^ _ vw ^ -w 

IF| ' ''''* A ' '" ' *' ' '*' "*' / ' ( 'i 'I << 'V* 

'"'"' fl ' lf * aV " "''*; ' '' '/"f" !' -* - ** 






JW4 :mI SPK'IMKX I)H rU nlWMVATlONUM IN MATHKSf 



UA 47f> 

mi indolent horum nunuwrum dwrilumdo nimbi Ham proiixiw, 
rausa KHjuimtilmH nfaiiwr. Uonolont ergo iitMito Imtinles 

aiphiiMi maiuxruiai* -I, //. f\ /J, # Hr, p<rjM*tuo in pOBtaniin uututTOH 
furumr LNicj j 1*1* titijii** in K*nori\ sivo Hint prinii HIVO compoHiti; mmlmi 
foitmiut*- uotutm* /f, If, ( f \ I/, w ^ nmmmm In hac forina 
^ittiiM, xivt* jiniiiiiH MIV*' n!tiiK>HttiiH. Dinndii voro Htlonw iniiiakm alpha- 
timiuHtHthio , S (, D, IS ^i% mgmfiwiif; numonw tuntum 
iH fbfiiijii* i^ii'i | III*, i|ut *unt, lit Hupra vidimus, 3 t 11, 17, III, 41, 4% f>{l f 
7, II *t*'., qttttftttM initial KiuHhmi vwo Ititanwi conntmto 

miiafut* ft # f^ if t U\ If rti\ ili*ntifi*iil mmwnw priinoH in forma $tni'\<bh 
nail ftiiiiiiifii^ i|iii M^O Hiiiii fi 1, 1,^23, ^11, ; ( 37, 47, 5.1, fit, 71 t>te. 



l I 

tJ5, Unr iii*f;ifliii!fi fif^t^jifii I thooronmto 

litiii i*Ht t 4 J p^r niunonun i t cjuotum ewia font 

ntuiM*rum ll *4 N A anttrn tartf>nm ttiibimi II f iili^rttiii tolar^iii 

tun* /; f j^riltritf Uiw f- 6ft t Y**I ittiniii HI J fuwit nutnru8 

, i*tif, $?* II, 

L A It HIM 2 



2U, Si A ftt*r fitttiiwttttt t|itt*mptam /' divimtH prodnoat. 

If, Iwir 1*4 In Sfitf }'M iwiii coniwiiuiH, ttini diviHor 

I 1 it*ift *rit ft ni^ii non wit prttmtH ttuiiiiti* J!a '}-Wn Krit 

f*4 y<*l pliititt lion wtins funtmo 2dci # | ftft 

;i 

l!7, iitiiftiitii in thmiromaithuM pniwiidt^i- 

t : 

In SM * ll f 

in * *-'"* ll f 

lit J II *** CA 

in HI A ^ II mm nl tliipllel nitiiln in forma 

41 fittfi J^ff* 



ty ^ r fltl? f'l V'4 * , "< 

" ' ' " ? '' '''*'.' ;' " r ' /; V% f ; . ' % ^^ 



, t !U M 
,.. * 



i'r 






w " ' ; ""^" ...... 



*^^' 



.,,; 



I ? ,.. .^',; i -.^ ,';, '> 4^ ^ ^^ 



' - * 



- , HM . ^r,^,^,, ,, WI l , W(ftJr t - - - -. 






207 3M!1 SIWIMKS hi-t IMP OftHKUVATIONUM IN MATHBSI PlfHA 



477 



ftt 



? 

X*. S* fifftwfw \ hh tfuuutHMri* mm/am tttriwrm hahntrit 

I* ii ,/ /* /|i<tff i& r p MHt fiipJMbilw, tuw aliiM 

yututt I /*/* r/ni i#r cutukm din- 
l f ^il 



UKMONSTUATIO 

;,!iiif | Mi t)ui*iliiii |*r I 1 , 
raiiiri^ si H '*, **u** M*iu|>*r tin f 

*i - - ml 1 | r 

til r H il I 1 

ii / jirr I* ^if Hit t^rgn r > , * I 1 i*t 

# 

ifiin j /i/i iitiiiiii lit 
f iiiitl 1 !* * 



fu^riufc 



/'; aicnui UIH 

* 



i|ua* wit |n*r I 1 , i^4 iti 

I 1 ?it t^t i*t 

* t I 1 ! 1 , 

l* t tiiitior quant ^ /*/* ni in 

i|tti |w*r /' nit tiivimhiiiH. t| II I). 



quain 



i 



,1% I 1 ftum**ri J iltihilur 

i 






l lf * r I* itt Iii!i* 

t I*; qtiii nit II, HI /* hit ilivtHor ctiiiii{>Itiiti 

|'/*A fc i{!iti!{iiP intniontH ntiun minor ijiiiini 

4 '* *!'** tbritiitt* 5lii^h/ili, 

*J 

34 I 1 ! MI iiitw tiiifiion>H ftiriniia 

*Jti*i fill ^1*1* |iiif I* tltviHilriltA, tinii 

*Jfin | 6A fittr I 1 



Illllllrri ,-,|M..j.),,,,i 



|V 



. 

' 






.,.....,, 



,, , , 

V *.^ - -i,,-. 
-i."".' V e -In* 



<">,<>', w^f '^<% 



.Ii, 



ayi|| j 






3i> :MS| si'iyiMi;x IK rsr OHSBIIVATIOMIM IN MATHRHI PURA 



479 



."H. s iimitrnH .1 linn .{.A/, fuorit UvwHiIiM pw mmi<>rum pritmtm IH' 
* ti *i A JT (HUH stnt liivHihitw. minwri t>t A pro j.rimw intor HO 
i jiuli-rmit; Mi iiim tmtxwni roimuiuit'm fmstorwu, <<> suhkio nihilo- 
r;n'br'nf mtmcrum ^MM } A/* jnr VI' livisiiitU k m. 



IM 4 

;. At. i$ui'niM ,< -- ifrttt -f Aft *xinlontilui4 el /> intar HO primw 
*m (intent VI*. tutu i4ht itiuui*riiM // L'rr j <l<t minor qttain * Vl'Vl' 
i'xhiliri jt'rit |r t" tlivtHihilix. jia itt. r -f (/ Hint, htw H* primi. I'cwiio 
iMiiiu i w1?l' r rt / $' , rf 'H.'Wi niitiicri r it f/ wrt^ nou t-runi, JMT 
' iliviKt)itl!, ,-i ij't itliutn iiulwatii i'itittiinin<tu fjir.lwvm, puta r. > - */> ft 
it Av/, I'tiitw tyv ! yy jr Vt' itril ilivisihtltM (*xtMiin(iiitiM p ot // inter HO 

j f/ iittiuiN trit (jtintH J flt'ft'. 



iiitM lnM'<|t t' 



-l, ('inn i^i 



, tit 

* 



-it, Atjwr 
tain tijl i|ivi>l*ilJH w 



'ri jiiiiiii 



j*rnt$M '\h<1it*rt 



, hi* 



iviriihtli pw ft* <i rwlitnhus 
/I '* 2f- j <W minor qtiani 
primi, tjui sii <iutM|Uii p*i' ^t' divt- 
ptr nlium 



J 



Mill 



H* prmn 

printnw 5JV iniiurnt quain VI', iiul< noviw 
ijl' n|u*H|ut* ilivi^iiiitiH hwitm put wit. ifa ut f *,<f, /* 
' *?i |* tntiiiitt'iifi a iiiitiur quain ^ !6'5W'. 



THKOKKMA U 

4i? % 4* 6ft ii rl ft 

^ *|tii jtil |t s r in 



rt, ' 



rf 



t'l^sj $.,> # ? r ^!^!',.i4u- *,v," ^ 4 

M fc'vtrl'iil ^'anfc ' i,,. ;,,,,,-,, V< 

I'll," ,%'^Mi/^/,ri J 4*1 j> ; v ;- rfl ',,,<,,, 
t |^ >,f ( _ jf| ^ MJ f^, jV 4( *> *' f i 

ii |; , ; ; , y | 4 | , iSv 4 , f ,,, t ,*. ,' if t s 4> 

' 1 ' * 

^r v.1 |7 n ^ !5 V ; 4 , , s , 

I "' rf ' r " ' '" '' f[ '< J 



,, t t| , w . ^i,^,,. w j, . 

^ nts , r:; ,; m ;' 

' 



M 



44, 



- "* *, :%,/ *'&- ^ t , , 



sia ai:,| *mwM m im oiwuKVATiomiM IN MATHEHI WFRA 48 i 

- - -' v <ni tirillai ' tftf (> M/' rnqtiidoni a et A Mint numtirl 



, lum ,. ri 



. - 

mm .uMluhs N ,,, ,, ,, ,, ,,,,, llivi])| ..... 

"" ''">"<"> i''-'""" >> .iivMHi. uirii . ,, t 4 ,.,, , lia , 



4, Nol-tur |.n.| N . vis 

ir, miw,rih, w , IUMM , riH IIUUUH ... 

.ti,,,t.U,,iH ,.t A muittviH iuior H, primiH, qi Hit, diviHi- 
, Mmim pnmtuu i iniu f orilia 2*m-Mi muh,tm. 
4uui , in ttmlurihuH ,, t . in axi nt i H qu i,| wn Ilum ,, riH nu | UlH 
l|ttri . I"'*' ;*'li IUHMHWW prinuiH .livMI.Ui<H. Ihnuoiwtmvi onlm, M! in 
UUIM* IH!,N .l.. n .nuir i.iu,.,. r i. tmn t-tuun int.,- min., nw m*. tuiut.nn mh.mum 
l'fr.M ,,, lmW H-* w HiwlH,, hMlulk N H,UO ww , |,UH HH, ,! hauc ,l,uum- 
*.ti-Mti.!M.ii, ti.HH. i nuiitfrirt tniiiiiuw tiulkM, A lri lllMmWH fomuu , 2rttf , w , 
l-r M,..r IM prim,,,,.. ,, llon , jt H|wl|( , m fw||UMS (HviHihi , { , H . hw (t||lm 

tum !.u- . ,. h t ulMunluiti iniiumtH nintinuo cxliihiiri po** um.nw 
|tt , r , mi(lwul ,, , trlll , tUM |to|J O . uw , wtt 

wl. ui 

: -|> "-"in m,t foritim. a*.i | M, <,{,. , H . r imllum t, t .m*rua, minium a 
Hvt<t^iiiii ihvitii iuMjM'iii, 

t /, 



I,IMH'IIHIHII. alia furmtt 



^, tum 

MIH ,, itiiiiorcv iliiri iiiiiiuruM t i ( ui qmiqui* JHT nititiiTuiit {iriniiim 
I...H .'mmtvni r<irmi" liiiuri H iut ilivMbibui, Him tutu murimliw 



(ruiintn lu iwiintt furnw n ..n fitnti'iituin Hint (livimhiiiu VITIIIM ut 
fimilH i|>*jiiiii4trMtiu lui'iim hattrn* jo.wtt, mntiwn n*ft, ut " * l HOII Mil, 
mit. i|u tt iti J, ;di ( |, *. 'niinin'timta ? * H M ||,U,-iri iton juwwHt; tlt t,, 
liuiiiHUiM|i ili'tiiniHinitio unit vulMt tii>i in ihrtnw ^ 66, 2 } W> t 
.Itjii.i-^ft, : \t in hit* jHwtri'iitu, 4jtiul'ii fitritw <^ut*p(io)uuu fiu-it, UiviHur 2 i 
furtuit ;}ni * M $*i} nmftmtaM; but* tuiim own lit -* 1 H, 6-.> 1 wtu ! -f I 



I'M '^tW^^ 

* 
"|U?4|'4jt Jb>. 






If, m ,fvft 

f l> v| rf & 



M iu^i'i 

44 4iM4'i* |>|t;^V*/i 6 u 

ill, in ;, 4 m4KMA 



*t 

If X** '*,'' Jfll* 

at #i t A'' 



?. wit 



H. 

|rrw *i Ml A^.tfi,,, ^ 

I, ,V*^ 

II vVw 

III, X~ 



+* .(,* . .,, t nilBwll . ' . 7 "" '" " ....... "'" 



3lrt 317| SI-KCIMKN' UK UHU oiWKKVATlONtlH IN MATHKHI HJRA 



48 



COltOLLARWM 1 

4H. 1'n.poHih, <,rgo nmum> qmnsunqius q ttom t . oiuitat 
-*4-W. runtontim,, tt.db wit ..xplcmm,, utrum Hit primu*. nmu, onn- 
|I..tr ..mm immm ,t A; qui M i mm fuorint primi intw HO, Htatim 



l 






nur, an UHquaui q,IUim 6A rolin- 
.litatiir; M u. N | * pn^t.r rwum cH.gnitum non tmmiat, norto pnmunciuro 
< ituuunutt jirojHwKurit w t * primum. 



2 



4!. Hiu nulwu nuinimiH jn-.-pumtuH ih,H aim ,m)<U, in ,,uiMirtttum oi 
* |M .I ||UIM iwjltttm ftiurit n^tluhiliH, turn nan nolum novimun tmm non WHO 
priuiuui. ,| ,4mm ,iu fetiH'i^ it W i K ntyv , w Uvimiw mxiuttduut <ii> qiuui jt 21 



> q jt 21 

Mint. iwiUta, Ilir uftn itioitun uumuitM tmummmuli IMIAH oxiMKlito paettd 
i. wl. iNWn.li* nbitw g, i utlj IM[ lwturo 
ttiH*i minium 



THIfiOttKMA 1! 

rrf / / wr ;; >mft 
N//WU WWBm i /^ Mw . 2 
numrn jtrimi inter *t\ 

DKMONSTttATIO 



ntiUam numnuu wl fonitan H/i -1 vn \ Hw - 
uit>ittHi w jm,^ }',,rim tf } W>; ru 'im Itiuir forum !> > W , m |lo 
toljof. HdtnUtni iltvimin-*, i qui i bar ijm f,, r i Hint wmtwiti, nttttim ar 
vi'riiiHw ntillum tiunnrtim vI fomuu* H I v l 8.3 i u t 
fntiw.ri, Himul miutti ,rtt ne qttidom diviMorwn hum* format* 

^;j Hint immwi i 



, 

i,rm;i i'i -f M mimmw* imfum* {irotliicat; nmtiiffHiuut auU'iu wt 
km tmi nun MINM* iw ft it quo CHMU 



HW f i. Tiim vir nttttiwtw a v l writ par vttl impar; priori cum 
!*K bttitt* vuhtminin, im|ri8it 4*-~f2. F, It. 



-T> .' WS M! 



"^I'Hlf. >'?;a 
rljptr^KiM X.K<J 

?**** >M < ;t 

Ill'^l l|^/ii !Ss^(S 



U'\ 
* 

I' f 



J ;; 
*%*, 



fit, Si ^"i||u u rtf, I 

r|/| 411^'Kit^i^! 

k t |;i ;i ;j;i, ;*;-, 3 

4 

V 

|,\ ;|^ 3'^ rf - 



4! . 



*,-, 



9 , . 

, y ^ ; ^;. , .; ",;';/ 

'.',' ....... "" ..... '"** ' 

* w ^ 



si'.' '.'at'! si'KHMKM UK iw UBSHKVATIONUM IN MATHKW IHIUA 



4H f 



M. I'trimi auti'tn .muox uumm primi, qui in wriohuH mumwrum 
H f - x , a om.mmf, virksim Hint, mtmori formao 2 -|- 66, 4 uu<>Hi,io 
<* iiltmns m,lamni.s. ^munquo quidom mipm nmnonm priimm format 
lrt i W I'lmtiiumtimiH. vidimus in illix om.H'H phu.r tmmoroH prhnoH tarn 
hunt, ^rniai. s j 1 ,,, hui.w x | ; rc,,rn W . utnio ou.m (|U qu(i 
tiHHwn pruin n hU ituahiiN fnrmtilix cnnlonf] HJ.tiul in forma L>/ -| 66 con- 
tmrn ii<l.-i.tur: vi.riim hni.is vorihiti .Immitwl-nitio imtxitnc wi, 
\ijim ftuni'ii m! i-tini i;im m.n pmnim pnN'j.aravintus, dum clcinon 
omm.M .In i*,n-^ form;,,. y,i,, j /,A simui iwtt nutm^m iMuwhmi fornuio, 
Irm .1 i'l /i fuiTint iutM- .HI. priiiii; nani proptwiio niuiun-o prinm (iiituniiiqu^ /' 
nivn f.rntm s , t >iv*. w f ;| si ilfnuirtHirtm* potui>runnK dad <iuopium 
nitii.-riim Srt j a p w in,,,,, .livisihiloiu, il id- m^w a lu-tjuo 6 pur mim nii 



n 



STIfOUON a 

wulw (uttttiH itumt*ruit prhniw in itltin-utro hanim fonnularum 
Su i 1 ! a 15 nml^titiiM nmi*arw wit a^rn^nittin i>x ijuttdrato tt ltipio 
i|iitiilmtn t Mti id in nuinpriit miitorihiM :<K nun HupiranfitnjH wnurc vidhnim, 
*)utti>iii iiw nmtthim ili*ntiHt.mrf4 \mm* fiilwir 1 /; hivi { uft (toniDiwtmtio tuulto 
IH jtnlua vitlrtur i(utun . jtm prtitntvt <unnni nutncnun primum fannin* 
4 * I ;' suinittttni htnnifii |uu<lniffmiiti*). Cuttt auUm momonfciiitt in hoc 
vi'jwlMr, ii i!if!iun,^ritiir prp)j*tt t}Ut>nu|u* nuniru priiiui vcl I*trm 
! i v*l fortuui* H | ;| mttt|M>r thtri nttiiHTiiiii * j Itb pur inuu eltviHthi- 
IMH. it ti m!i*t*** t-t A i!i unmcri ttir w primi, opmtti i pwrdidorii, 
jil*)'iN intutr-rtirtiiit <i tt 6 jr w i*xprfsiw invt',Hligr volitorii, proptuwm 
hi tniiui'ri ttm funtnm wt pctttlctii, nf 'iiuni <a ratio, tjuml nuris 
I v'J HW f ;? mi |rin4, nir'<ssHi hi t'nmputum dud di'JM'nt, Nam i 
S v*! *$ 3 mm fii'rif priiiuw, i'Vwir itdun puiogi, ut nulluN 
sh divt*ifu{w, huti <qiii*liiii dt'mwwtrHvi ^r nu- 



f HI l*Jit I, L, lAJtAHt: in wlnliri tmu 
f* f"r*'^iiM^%Mi. F, R, 

",? t all ht* vwhimoiw, F, It 



4M|1 

H Ji**r 1'HW 

rU 

/**'* * II*"' <*# 4 I, j 

i 



lt,% H .Jt*ivh^?-' - ? ')^ 

\^|U<* ^Ilff^ tV K-A 

Mjii,^ ^uv 
i|f4l, 

i ft^f 



tl JSX 

ill I 1 -,,! rf 

Hi j4um \ 

Wtt fill f 1 S | t!^; 

IV, |, a||k 

tun f ft. Kin 4 , wn , 13 ^| 

fl l|l|4 

V, i n 4 | W| 

"Mil f !l ; 

VI m rf*W* 

%i| 

mi 

1 1L "^ 



.* 






3:* *M| rilWIMKN fK r.' OHSKKVATIONUM IN MATHBHI WIRA 487 



th,mvmatm llumwUK , qttmwq||0 Hhuw j t? contiimuiri 



,, H* (m nm|| 

nnutm ,.,H,tt, , H, ttttTll nummm qui^pium pnmu in hac forma 
/ , f ,W n,| W ,t,,H, uul, K.n.ntti.u M W |u,I W lin.t <m,nm nummm primm 
tm., l/^i ; ,, !, m ,m.r, w ,^1,,,,, forma, fan ^ ^ otianui !mc, HI /' 
* 5/ tiimnt imium oxixui, nmm itwo vi<titiir. 



M 4 -f,. *> -f (!7 

! m 4 l 7 ..... l<> '" l i;? ....... !>47 ' tvUiM ' t i ri w. <>" n forma fi<i f.2^ 

ti.rm, lm w , fti^r,, i in , t , ,, tm H{( 33 .^5.3..,. a . t -^ 



, ^ in md( , m formtl , C(m . 
t*;n. guiMlMt iiriiur tjui* mf4hc N |iini itmiifrit, htihiMmtKU tli^r<ntnia tntu in- 
v.|ii,'ih .(ttniu, in iu riqmt mi mt (KMiium, iliwotwimndi, in atrb* in 
l rum tiuinprtnn (tlurtmnm jr<t*Htiii*M ^rii ittdunmiua. 



itut*'iii hr pr|ritttU. iium<^nii prim<rnm in hw formula 
' T I tt H j :\ rMiil.nt,rui plum ulia hitic dmluci ptront 
J lu*tn*nititA, jttiruiu jHiHdtiit n{ji,wi iuvnhit, 



THKOKMMA 12 



., 



Hw f 1 w/ H-f ,'J 



DKMdXHTHATIO 



I'nr* Mfuntlii ,4 ti-rfiji **x mm tknituiwtnitiM mint nutnifwtttc. Hi 
ru'. pmpi^if UK tmint niMttii in forma ''<* } AA cautimilur. turn rU *Ht 
, MIJ plttrihtis fotpiMtui. gtunl uutt*m ltd pjtrim priumtti 



vi tiao tu > t; ntuit HI 



l pritnu, in fitniuiio 2ua.}>M nwilvi pH<4,; |iituKlo wrg tutnc muiln- 

ii, IH rirt4 ntm iwt primuM. Q. K. I>. 



Irl fofttiu*' 

i\'4'V 



^if^^'M 
l*f llfl 



, '* 

fcrj. 



It, 






!* 

\ 

'till* 

*^ 

i^. ( 



>. 

t4rl l 

ttill 






'! *I'WMKN !K t'Sl! ORHKKVATIONUM IN MATHKSI PURA 



Wf) 



,,,,,1,, ,,*,, W * l|ua , r aus i n , |Miri , MW 
uuttmri 



it. . 



V. 



t'<)IW}MAttlUM -I 
Sin >ittt**iM iiiitu,'niM H! furtimi* H.j . a, ittni tuiitiuu qutulrntu tut- 



;t 0j 7sSft nao 

4<l0t 400 

lit :-\ 4'.o, j>5A : H*', iv, ;H, MX, ww, 

i^xj 

V. UW, ?L"2, 



f 



; 



kiV 

*H! | 

rt 



W*l, *, *."!, 'i i,, 
'!<'"**'' ,,',*,'K,v1", ; 






4'HMfti 


, **'*** * *'>'> **>** i i*' r v $ 


;*;* 


5** **4 i^. f , iite ; r ^ f 




1 4,!H|s 4r^'^r /; / , - , 




* i p ij '^ 4 * t 


I^J 


* :t?f * *" i***i> **,. * #, 




: i;***ii *sj,i. iii^v ^ l(; , , f _ fo , 


H#* 


i *?'" "-'" I*,;,.,- '^ ,','/', ' "'"' 




>?*! t*y* ,?/,">' 4** 


Iff fit 


1 ^*'^' **-*'*'* {)''*' .-^,, ',-,," 




f* 4W? | t|*> , <ft Vi ^. 
' ^^^* ?*ki> i4*;*i . v ^ , / * 




***! U9 ,?i ? ,, W<V4 . 4 




*Si fi*'* | ' tti , H< '^ w ' '' t '^ t 




l tlff |v/'f 




* 3*^; ' 4^ ',^ to ^ **^ 




H*4I M5|* jiri, ,,, n u ^ $ 


inn 


4^jgrf'i ' 1^* i^, 

#***?* /- * a t a' 

/#f ^"*! 




' ^,*, i4 

Stlii ' ' '"" **- 



. 'yr*r|* 

fr * *"- 



W-: CUV OIWKRVATIONUM IN MATHKHI !>UKA 



491 



t'uw li 

t'tirutlarii *l 

ft 



KXKMPLUM ii 
nit 



,,ui,I,. m 



in forma K + I, Hubtrahanlur m.mm 
w II, III t IV hoc moclo: 



IIIIIMI 


31889 


111 -1008! ! 3028! 


IV. 40081 


! 3J|;i(J< 4 | 


Hi* 


iff til I 


200 


3000 


72 


! 2840 


tttHiii 


29129 


39881 


27281 


400011 


28529 


auo 


111 till 


Boo 


8400 


440 


1 3240 




SAlMitt 


892H1 


2J3881 


af>9 


i 
! 26289 


iiit* 


It j^f iif I 


iiino 


JIHIHI 


840 


3JO 


3X9!^ 


**"^4l i^l 


H281 


20081 


a72 


,! 2UM9 


It fit* 


II5II1H 


1 41 10 


42>0 


1*240 


; 4040 


lilfilfi 


IM-HS* 


3I188J 


15881 


374H9 


I709 


IftrtO 




IHOO 


4600 


1IJ40 


j 4441) 


:<*aiHi 




SflOHi 


H28t 


36819 


! U || fU | 


liitil* 




28CW 


mm 


2040 


4840 


3UWi 




8S8I 


S3H09 


i mn 


Mutt 


hi fill 


*J11I>|> i Ii4iio 


3440 


1 1*240 


:UH<! 


4I 


HHJ 


3I3B9 


3080 


ftif 


|iiiidfitiiitii raitiiiiwii. 


nuiucittiH propoHituK IHIII 



*^i 



i4, SV ^i 

Mw -f- J rrtlr mm rfil 



numtiro qutulrnfa 



Si ii In tiiir forma 1111 -|- * (hh -}- fej <*oulliiatiir f turn 

HW i- 1 in lint! 4* 4W; 4" 4li 4" 1 ccmtinotur; mm 

ml r{- f f mm wit primu, Q. R I>. 



it 11 



' / ^ \ $ " !, 4 4 i '* * '* 

jrnui,), 14C-.1 v*Majt'*stu v 

TIIK*i:KMV li 



*^J ^l 



Sl II Hi* "hit M;i it i^' ^^*'V*i 'i-j , 

^11 I' 3 H-i J| j( ^ I-i||;i^ t^^-i , ** i4 , ^ . 

in tiir i*>i , <nUn**Jn' ' 






jf^, t *t Nf^i 



Wl I 1^ 



'1IKOKKMATA OIliCA RKHIDUA 
MX DIVISIONS PomSTATUM RKUOTA 



(I7fiH, Iff, ITtll, ft, 



tit fttyttfmti liittw, ijiiiip ntit obttfantM nttmnio ittuctio, 

r*'i*ittti*ti^ In jiffij>ri4nfi* iiiiitit*ri>rtitii imiuiKivi'ruttt^ 

'Mifniit^, iiiiii wi*|titi?J i^f iitmiimtiifii; i|u<ul iut'riio IHI ttuigin iittruiit 
i|ii$i$ttiliilinti t^iiiliM rimt niiifirftin vi'Miiri milt^t, Hummu 

^ in rniliinlii fitfitttiliiiiiii, in w ftiitiwiittiim rntt' 

i'ii IUM i|^4iii4^itrf< tli^rHiM" <l fitihim mtii ijtmKi nmtinuituUit rntuini mi- 

i ( nt ii \mlrn ilrllrSiiw n^tt* ilirittir fVri^ jHliilln t 

ir! v*l tjtiiiiiriitii tiiiirfi'*|ijitiii ttiri fiit*tft vtl tVn* juir ?i*I 

<>i i|u^Iiii!^, I'l^I iiftiiirtttii inmn*ri vi*l vi*I i|uiwtrii<l nwjut* 

t*<Uit .4t, ^i *^u-i ii^tisiiiiL Kiilr$it r*** ^* tilling in ilivt^thllitiifi* ututi^r<rum t*t 

l*$ ^'4i|'ft f; KJ^M 44U'%iMn* lip't.i iriiiiiliriif, lit tjitltiilS lilillii riltiii <*uittinui tiHMtm illf**Itif* 
f^irtt, Jij.^ir*- ^''-'411 w^H^fii in An**!)** *i4Sni^ tnv^ntm 1 OHUM,^ uifiutii TOiitliitiifntli inttitimtur! 
rifr f|.(!i%!i'4 *i4 j**M|*M*"U*-a iniliiltriiiii^ iril mi !><*, pinniliHtlN Aim* 

l*^^ ^j*^-jiv* fr-|^ifi u/Mut, ^iiin i*l0iii**fitii t4iiiiiiiiift iiiilii Hunt ttiw^iiifil* 

In I*>f* $f it'd 4 i^^^m n jw*lwfiititti jH*r t!ivt^fri*M t(UOftf*utu|Uf n*liHi4 

^f^nu^i^^ I VI -4 f<l IP* pluru 11ii*t*i*iii4fii ii!li*rt f quorum tHt*ftitt' 

!^** MJ^U*>M kfl^ti^tl; in Sit*!* fft*tii*rw f^rltufrfi !!gittmt*i*rw 

I, ^|VHit^i4i f*v^r*i *^t riiiii'4 ri'i rsi*iii|ililiii lit qii$iiifiliifiliiW| iilii 



rum * 



!" ; > ;,, 

' I'-'i.-.rU, 



mm 



**, 



x '"&*)<}.& KM 



r-r 






,. ttM .^H,^,,,..., 

r ^ I4 ,^ 1 \,,^. s ,, t; ,,,, , 

f ^, ; w 

>l 



Ao M f * ;x WVWIOXB IWKSTAWM HKLICTA 495 

n.putHlur. lni*ri^ unlnn lo.jumdo omnia msidua mint numori |xmit,m 
* 'M*, \ tHuiiitiiitit^t otuim Huopottuiiu^ro couvouit ofc rc^nidmi 

?Hia rnl(<nt;d t iri; vylnli si r nit nwidunm ox divWom. cniiMpiiun nutmvi 
/^ rHu'tuw, tta ut HI! . r - p, ro.siduutn tinoiju< rit r i> ttutnoru *T I 
iw, ila ui, n>Miduiim iniMiitvum r amuivalwii, wlu' nt'gativo /'~- J >! 

I'Xi-iMlaiil,: naiit m ri'Mdnuin ttttlrnmWvuni r niaiuH fiwrit qiuun J j>, ouw loco 
rapiutiir n^idutiiu tifgntivuni r ft, qitod minim wit; quum 



-I. Uumiituti oittiiia ivniilua mini numori inlp K ri ii<ju^ tuinortw quani ;/, 
r |*luru iivi'mt iv^iituu oriri nun IKWW quant / I. Quatv cum 
ptt'-lri- i, ., .1', 3 , , ' .<., ox t.n-nuniH numm) infimtiH 
M, ut 



a 

f. Slid vi u' ittiii ntiMii>iti fmuiut, qtii idom pnutlHwit nwiduuut r 

ila it. n\, r mp \ > if, ' > r; 



IlJi'ri'iiti hrtrtiiu Uirmttiuruiii w" -' IHT j i*rit diviMiMliH. Innumtn'w 



4 



**, JJ imtt'Nta* i vt d*t t'*'*itmitn r, 

r f /<. jti* rjptii lt'iimj ri'stilitrtriini r ti 5 iiltwmu alitn-iiw HO rotn- 
]>i*itn<ium, hur (Ctt^u iiimiiut ftltnm ''>)* ptr iuiiruit /* orit tiivi- 

lit*. Twrn intuit ?*ii i- wj* ..}- r *i 



1, N I'^f^ti A |>'?> y $;".*'. |.' .'''// * 
<S ' " ' fi'^lbtlfn jnti'"!^ tf ** 

if* M^\'M ;H ,| $ 

Sif ir *-* wf ^ i < uf 1 - **}" " ^ 



^i ri' % """ |^-r i'. 

|^ ^illilfiiiirf^i^ |", 

t| ( J-; 



^ 4 '< Juf'4^ H' 'tf JA I I* 

H|| ti |^ *??* f | s^-i^I'M^ *; 
}/* f *t rfi|-irK;vrf'./,y 
, | 4" |^"^ |,< 

rflt fl|% 



11 ^ u*,',. .",.". 




II ; 

ft n^ |^^4^- 4 VC^,t /*' S M', , ri",":x*' ^r"'.^''- Ji^* -f 

li*" a^jjjlt^i^ *- M , |*,^ r ^j^.r w //' \ -. .-; , - , ,* ,,*. |f 4 -^ 

*l4 ,,,J r *^4 ^t0r, v/sg ^ '', i ( .'^ A ' i( / ,** I-? - v *-'/ f ?> - <fi '/* 

r' ite, ..* * 

', 

tli J( ,j* ifff<| f , ,i^, t ^, *,,.>,., . % , '! , , ^ ^ 

a * $ f 1 " "*" p * ; /l? f/ ,i ^ >'> 'f i 1 " , * ' ', ji, '4/' , (Mt, i>4> 

"' 



POTKSTATUM RELICTA 



at; fwtetat j H a , _ 



, w num< pur, v ,- 
}*( numi'niH impar. 

HCHOIJON 
II. 



7" 



por num.nun 



cum pofconks prima 7 rolinquai 7, 
<H vin 7 s , 7 s , r rolmquant 4f, 343* 
W, huius c|iuwlnituiu 7 H - 
w t timwlmt-um liuitw 
W wlini tw t 2HH mn 25f>. Himili tmxb 
quit aVft 1 wu 284 itt 
po(iHtfirt 7"* roHi.luum wit - 110 at 
i. x 7 IW uritttr U HOU ..... 7!), quod 
llttwm P*r -W inulti|ilicatum tiabii 
( ' 7 ** *lmn jHtHtot4H 7 IMIM 7 ll! ", quod wit 

7<s " I 4 mm 1, 



ivi<lniur t nultttnn torofi40 
m fom 4 1. Ew iri gimf , r( , 
,. r iui ,vii. nuMuuin arit v>l { 1, m w it immfmiM par, vol 



a\ *, *; ", ' r/r, 

ru rntitim l f 



t*r>iiiiimiti t:l inlinittM, pltuii jiutwn divoma r*idta 
oriri iin|tti-unt quant |i I, ntwrnuin ut plun t imiuo iaflnifei tminini 



ituum KtW'.t 
,<l ,-um 3* i 

H^^ 

ti- " pi | i!s 
M< ^ 

. * 
r|t\ |<*ff 






|3, ^Iti'/'A ^."^'<w 

III*' j^tir***^'* '<' 

*^''' ''^b"' 1 "* ^ 



I! 



14 |^ 

|^,^ 



Ift, K% | 

** J "'"^^'t #'%f'*'/"iv/ 

^ffj^'* *J/ 

^t <w* |^ <"Vi 

mvrU '''4% 
|0 j /l ^ 1*1 *" *"' |9 ^^s-V 1 k '^4 ^ 









lit, 

41 **f 



'l 4^W|, Mvt,*^'*. 



I' 1 ; 
^ 



! 



BX IHVIWONK IHITKHTATUM RBLK1TA 



DEMONSTBATIO 

Praohwit cnim pntwtitH aliud nwiduum, puta /, ot, cum potowtatiH 
" nwdiium sit r, wt potastutiH "' residuum ^rt, quod ipm acqui- 
vuliw iMwt. l-'oivi. .rtfo //:,*..{/;, Huiuidmn ponjumw rtwiduai r, < mwt 
ii. Uviwr ;i minnra, l-i^t wgo /..,,H.,|,^'; at cum a ot /; Hint, nurnori 
inter ,s* jn-itni, <uttnin nvulun, 4ua ox potiwtaUhuH i{Hhw <t por /> divisiH 
orhwtur, paritor 'runi ati /* pniiut, nini fori Hint, - 1, idooquo, ut 7 iiat 
nuiiHriw iuii'gor, iu-rwHt <Mt. ul " Hit nuitun-tiM iniogor, puU at, tonfoiVM 
/-* } wp tUwKjuc / >,v. qttaru i potiwtititH " nwduum mi ^ r t poto- 
H(ntin "" nwiduitni - r, hiatc HOijuitur pottwiatiM ' nwiduum fore a. 

tKHtULLAKU/M I 

IT, Si wgo x i HOU MI iluttH potwtaS-08 " ni M * idtnrt Iialwaut rtwi- 
duum r t j'i|uitur, .si inniur pr mimmuu divitlatur, quuto " nwpondoro roni- 
duuut I, tjtiu ipwi fUuiuMiHtrfttitj pnmciMUsutw th<H*(iniatiw innititur. 



IM. Hj r- l *i s- | MIU m tiuao pottwiate " t< /t"" 1 idm btthtnuit. 
rt'Htduiitn ~* 1 , t ftinut poti'Hlnn ', CUIUH oxpoiumK st difJVwmtia iilormn 
t*KpoiM*tttttim, pril'r n^jduum I Imbuhit. 



Ili*iiHtriifiii httittrt UttwrwwtliH 
pr p divwum ri'li 



moth* onll potwfc, 
i ittodo 



nitau*rtH '"* " <' - ) urit jw /< divmihiliH; at uliw factor " 
/i oi i'st tUvtHihiliN, KrK witur ' s orit pir ;/ divwtbitm, ct>nHiujutwitor 

jf<.tH tt' JUT /* thvwa fi'widtiujn duhtt. "- x, 



TfiKOUKMA f> 

^ii, ,Sii |**/ ttiritatrw a* ,( minima jxtMttx, ijtuur, per p d'mm unitattw *r- 

mt t tarn nttttttt* H/wt* 1 ptti>n<Mfis Mem ft^ittttttm I retittqumt, nim qum in 
fwufffitfit)Hf flfdmetrictt wHrftint 

J, \ fj , ", M i-te 



\' 



^Utivj^vi^ j.-'f^*'*!S'* 
<***!, < <*W "<'* w * W 

4 t||V l^ 1 !* *'%>^'>*'U 

ftlt *l >' Jt; ,| <! i;\4iii fj^atiu' <<m*w 

|**ir I'-i^' 1 

|IPI Hp* </ #i*!> ^Jr^'.^ 

'*f| ^' ^l! J^**^.^u J?'' 

|^^l"t'K'fi|f^ rl'4i5i;f f'^f< 
4. 

1 



JJL S> ^w*ifir, 

II |Ji*r |* 

I 



y 

^1, Si ^ f #4^ ^ 
I, rt\ ^ !*" i?tfc', u 4'||-'t^ 

-*| f lr 

^I t ilin 



5 

fli tit tf$ 

|* | 
ittmH 






It 

ic A it 1 ^ ; ,^ 

**t i tw 4 * | 

^ i tf i ^ , , 






: ' K >r>i 'l KX HIVISIONK POTKKTATUM UKUOTA 



501 



DEMONHTRATJO 



H inim r <wo riwidmtm, quod in divisions potcHfaitis " jwv uu- 
mwmu primuw /> rclhiquitur, oritqw jiofcwtatiH "" rtSHiduuni *rr, quod por 
h.vpothiwiii 1. ijuan wit, rr -, 1 f wp u t, // 1 - ,^ ; m ,a cum 
rr I -ir |- ljr - ti Hit, tlivisilnlo por /, aliwukum futonm r -{- 1 vd r 1 
Ir /* livUihtlf'm ww oporM, Priori *';mu wit, / -HI -'; ot / - ;> - 1 
hinri|itM ; I. INwloritiri CUHU irit r !=/> nt r -^-ft Uincquo 
r i I, Kro si jifi'tus n-Hiduum prachrot - -f 1, jxiixwtiiH <t" hahohit, 
\il tv>iiluttm i 1 vcl I, Hiqu'uUnu ;> nit rtumwu.s prii 



1 

*.T. Si iwitur ** Jtiorii miniuia jmtiwtnH, <(tu. pr nuiru^rtini primum # 
<liviH mniluuui tvliut}uif, -* -f < I, turn potminn " msidutim dalut . ....... I. 

Krjru MI iuinuna*' |*oti<s(iiiiH rr ri'Mulutan 1 prjuhn(,w ixp<intmH A nit. tni- 
iiM*ru*i jur, ifiin iitT >i(lu!t Uritiitturum progi-HsHioiitH g(H)mii,ricae I, , a 8 , 
w*. a* ottf. oiintti urrurrnt intrnwun -1. 



2 



'.*. Hin nt**iit mmmm<* jM>t,t*Httin tt* 
?*it, utiimrM imjmr, ttuit titillu uitttihto po^wtim residuum ritlitu|U(*t - - 1. Hi 
unim i|ii f i*]aitm |t'^tzn*, uti ". ditni wwiduum - 1, iuiu pokwiiiH *" 
hm ivHulinjiii j ! forctqttii idcin-n 2/n ./iA T t quia A wt, uuiuoruH impar, 
firtt ii -* iml ifi't*|tii ft *- iA. At, iKtHte8 " nHnquii wmiduum -j- 1 
fjtt wjf rtmiium I uHqunnt wccurrern potent. 



THKOKKMA 7 



If?, Ki n 1 ' n f /|iiiif |^r nttwwum y 

***- 1 1 f/ ( 



ml ti* wt/ir fr 



Si |**t*' 

j, **J*'i 

|i I^I^Mwj 

*.. 4 t 

flj^^m^ 



2^. tV| fe|' '.ffaW*i*W< | 

I 'fft|fif | t[ i ^| 
ff fc i| 5 % *I K , *** <*4 > 



fill III #. W&fff*/'/'4# 

/,;// 



|,/i;i^ 

*** 1 ft*-* uv 

C |*^ f| |^| |f | r ^ fWFJb^ 

l| f ^ f *^^V ( ^ r / { SAl 

** I * f ** r f4"t|.93>i^fjS^ 

*-* f i At Hfi in ii ^ ,^j, 

|f| iH| ~u*|, ^J-^ ,|,|* SA |, &r ^ r| 

If^ 4'tfll **|^ fc^rj^v *,, fi 4 

II *^ t| ' ! r t f| " ,^|r, t^W 






* J! n '-M KX WVISIONK POTKKTATUM ttKLKTA 5011 

OOHOLUHIUM 2 

;io. Si cairn proponatur tnrmhius <r f % CUIUH expoiumn ,r sifc numwuw 
quantumvi* nm^nus, k4m roHuluum facilo ropcr"utur. Iste miini oxponrns ^r 

fin Iiiiit** ttiritsaiit n), \ ;i rtMiuci pot^Htv ut- nit /i ' T :" A, atqiu* roHi<limm tentntu 

n ft iili 1 !!! i*tii quiul ii*riiiiiii d* 1 . 



;JL fllf *ntfpiti intiiiiniH /i niiitcir (juain 1 iavwitur* HI inunoruH x pw 
; ttitii i*iiiin ft*HliIittini t ejawl In liae <liviHiono rowmtiot, wit, hie 
i, ijtti 



i|iiif., riiiiiH t^pMfiiMH 1 minor nit tjiiiiin numoruH propoHiitm JM (| 15}, Bic 
ml ifiiuiiiiii! tt<rnummstn progroHsloniH giHitii^trlciiii invonhmda mm 

ttjitiit mi ultra tormtnttm n 1 * cotitinuaro. 

5 

Jil 8i it 4 it minima twrum. c|ii!in pw numonim p cliv iim 

tmitiiil iiiliifirw cjtiam n 4 <!ivorHii. 
in iiiHjin* plurts iifiipia paucioroH divom 

^ HI 1 mi minuM quam /> 1, non 

in mni quitlam uumori pinna nttuquam In clivtii 

1, f a*, ci 1 otc, romatu^ra pott*runt 

fl 



*l j i Si H|^ct(iiur, fiori potoHt, ut m 

ii wl duo ttintiitti 

T$*l Ht\ nunquam quam 11 1 locuin 

ri*iiiua, tutar cm ntmpw untt^us 



*it 



X^ A |- Jl'ff fl'IfWfffil' f 

f/, 

|ftT |; 

J* " > * -. 



Sit l 

Mlr ^, 



I * * - u - *f-- '*" r^* 



o* t, 



. wi ^ ^ ?i 

w wrttrwm,!, ^,4 1SW , WM( , Ht .,, KhlHr .,.,:. J,;- " ****' 

** r. qiMrf wt , Jw ttt , 1A * , t ; .r 1 -^'*- * '"*"' ^' 

IWMU, n* iBti.ttM,, ku|l<efrt r l<t ; r /; - M -^ ^i* * 

'^' i " 









''"' "'''' " S '"VISMISK HmWTATtTM UKUCTA 505 



'"",'"' '.' .It'Ti "''"" """ l ""' " llm " r """" "i" * '"'"'' -t 

.... ,-,,; /""IT" 

' ........ " "" ...... ' 'i, nm ,rm,, U.1 .mnimum 

r 



' ' 1 "" ...... ' i 



. , mim ) (( . . fl 



, 

Ml t;,!,., m,,,,,ru *j illm , liro , ; t jt ,.;,,, 

" ..... . * 



,,, ,.,. ^,,,,,,,,,,,. fim , t , t ,,, M ,,,...,,, 

' .."/.... .*, ,,,, r ,, iviHihi ,,, 

" ' ' ' ' 



. . 

"" ..... "" * ........ ". ..... ' .-"'. R. .,, * . 



, MW , S H. md,|u. At hi mnn.ri, quorum multi- 
Mint .HvwHi int^r M,; Wlim duo> vt , hlii ^ 4 (lt ^ 
in! t.li*u,.| IH . f. w i,| tt i, w r mhtmimtur, 



(a , n y^ (m .. w) 
vw , ' pr /, it divmihil,, i aM 
* ,; 



" ' , M . r 

. mm tm*t ol> /( < A -t H, i^r A - - 1 

u t- 4, ,j,,M4 v .t ntwimittm. Krg omiuw ill! numwi * k, *, A- f 
i *,,... i"'*, mluejiwlur, r.mt intfr HA divwm wmimqui) multitude) 
- L M titntimtttu irf tlimttir A ttnmori, qui in nwiiluiK locum nou 
, iiil*tn ait jt -;> j, 



t 



mudtm, 

ln-ir*i utiiuth, |>n nutt ^nnt rtwiltiw, intmmqii sini minonw qimm |>, illorum 

jfA maior <*HHO nmfuit qtutm y-1, quia non 
niittotv* qttnm p~~ I, 






|/ 'f 

> 



iiKMA II 

41, <SV > t 



* tttil*ifli 
r*littjnil jJit* in 
& hii* 



,1!^ hi HV** 41" * 
l 

rfif vr) * ** rf . 



\ 

40, || 1!*| -%|*''M-v*'Ui -*!!?,<* ,-MV/^,";" . n, ; ^;-.,, M . 

f lltd ^I^M. M^l > f '* . *"< i j I Su *;'^;*' 

**i A ' , /f I i *'MUWrt5K ^4U> v-,^ %i",' ,* ' >,'j ^ *' * 



per j 4 
non cfmtiiH$ri. liiw Mtttew (j^ivm a mtttt 



earn t A< , *rtt ^*, |, . j ,,,, 4 

mm 



KX "1VISIONB POTKSTATUM RKLIOTA 



r )07 



i( > non-muduorum oonti 
"mi. 



in 
sitqu <>tiiim in oiniH-s nuuifri 

. *, **, *, *, ... *' 

'' "runt n^lu,, hi< { u, Iimill , ri , uti h| prnw ^ ntft Uom(mBtrat,iono 

ulliu. otiiun h,ru, 



, . . 

Hi<|.u.i.<ro ,,H,.| . ,, ,,!,, him in priori m * w w ti nw t,r contra. 
tlH,, g,i,,. ir r tt , W i A . * ;' , ,i aniur ,, minimum ^^ ^ Mwm ^ 

Hunt r.lu;i, ,,. nun A l,H*, mw r,Hidua ,i 2A nou-rcmdua bin mcri 



W)nm| 









' 



nit ;. "/, ium rw{ , 
iviiiiit;t hiu< ftmilituntn i itovwitmrn turn 
( vl > .. '' a l V fl A*., 1 vul 



" *" ' 



, turn 






Si 



r4ti|iittt 



divim 
u <t rt"- 1 unitttt^ni 



I-J, ,S .4' KI/ 

.-m rtltnyHt. fwi%r 

tr/ A - ' rrt A - ** 



THKOKRMA Is* 

H, yum* JUT numcmm primum p tlivim 



, turn wrtv urn erit 



|uit*>itttttn* t 



DKMUNHTHATIO 

MUii*iiit r^t<luuriit liive 
prlmum jt 



, quae ex tlivixiono omnium 
, mt -*A 



Jii% m<**r 

*tti I - l ^ *!Miw 

hif* CIIIHJ 



i4 



'<('^ <"* 



flllli 

fl I; , lirrr 

^it I utiiai 

S 

ntttiitfi 



mm 



omnium 



hj 



4ft, 

tt I 



fc in 



* 






TUM RELKTA %$ 

THKOUBMA 13 



w 
tf i,,/, ,/ ' 



IKMONKTRATIO 

Nm...T.,K ,,-KM omnium tvm.luorum HvorHc,rui M -A. und UUIUC^UB 
'lr.tt n.ittt..rrm i, w , ;, Illinorttw , (}ui lwidua ^ ^ 

/' I /I a? !.' imiuoruM i?, ,t multiplum ijwiuB A, pitta A, ita lit 



/' 1 * A, Utlli> fit 



J I* i 

A, * 

I i 



;j - - 1 ; undo HI 
tii*it -MI A ji |, ri-iii' |mrti nuilum aliiiuuhu' tuiinwi u .\ 



THKOKBMA 14 
. Si /, ,vf wttmrrwi ^IWIMS */ primm ait V > Imn 







" ' 



triiittfttrt, 

DKMtiNHTKATIO 

ii, qiuti* t>w it (Hvitui unittiUtin 



tit v 

nunwri 

A 



M / 1, itrit / - I -,.A; at cum potuHttut ^ per 
Iwu* 



tvlhtqwmi 



fM I 
innnt*riti (trtimtm y divia tmitattim rwlin- 



** mm 



r *K Si 

Vt*ltlti r ', 



<"'" '"'-'"i" * s-i 



,M 

."tf. Si i Mit 



i|tnm A'- J 

l tiit *' A* 



W, Kn rr, , 

^ w 



l l .^ 

Mmn ,m| w KKW- W iH , lM|iw , IWM|> ^.^^^^^ rt , 

-it nnnnnrtM primiM, ^ |tllH f< , rilMJ j i(IIJ -# , , / " "* <i 4 ; ; * 

4KfcMI* !, , Swt(t ' 






5 PGTERTATUM RKL1CTA 5H 

DKMONSTIIATIO 

Sit <>min ' minima pottMtaN ipmiw , 41100 por numM'um primuta /> 
divi^i uiiitutfiii ivliiu{u:a, alitm* uullac alia*' pokwiatcH lute propriatato orunfc 
pnuHliSnt- iiisi a a> , a ', " 4 tt\ V^runt iiutli harum poU'Htaw <t'< poiiwfc OHH 
aiHjtuiHH, nUi sit A . l f nun ^/ wi numortw primun, idooqiu* UOCOHSO ot, ut 
nit '/A idwHjtu* ' ntimnia imtoNtiw, tpuu* per ^ divisa uniiaittMu roliiKiuifc, 
KxnjMttir uuh-iu WWMH, quit A ~, l MMI ipui ipno nuitiunw a \m p divmw 
unituti'tu ft'H|iit; hr nmn wwn oinuiH puttwtaH ", niv oiua ^xpommn 
hit utniun-us pritnu.i HIV o,ump<Hi.H iu divimom* ptn- ji iatntnida miiktoni 



/.". Si itrgu |KiU*Mt5iN ', rtiitiH x|MH'iiH iHt uuurn8 prhuuH, per iiumonuu 
< iliviMa utiiiuinit ri'lintpmt, turn >/ wit pai'H alitjuoU numwi }> I 
hi'|ii '}w runiuiltt - i PIT nttim't'tuii priuuuu ^ urit (iiviHibilw. 



; l f iti ja y cnt iiitittoritH priuiUH, {livMhilw wit pw 
jt"iii|tj ittiif4i*rnm (trituttitt /*, hiihtshit htr. ilivlnrtr Hotnpor huiuHmtHJi, forinatu 
/j </ i I, mi n /<*-i* l; Mum ii J tu*mpi*r twt diviwn' formulae a" - L 



M 3 

n- I i**ittnt<* */ ttumoro 

<i i iilin^ dniwrft"* \tnuwA mm iitlmittit, nini tjtii in hao tlortna (/-}- I 

itnpar, uini Hit ?/ * *2, 
, HI 



4 

fwtittiilii* 1 i** - 1 tlivimir 
.f it* * " * f * 4. . 



Ml? 



In 



^JU 

Iff. |^| 



^ ,4 4, ,* ._ , ^ I 






Hi, r% 

tf * 4 

||flt ifl 



* f 



if ^ 

^^ ' 



rtilili liiriw , l 

lnn !r * Ml 

- - i t ^ I 

MlHlM, ttini II -I J l4til|a ^ t 

i*mi,i W | ^ , , , i 

A 4 i* ' 

bmtttin in tun** s. v 1- 1 mut*^^, iw ^ rt ,, wrtw 

cum funu a V .f I w rtrnwnirt U| ,,^ i _ m . t . t ' / 



illti in f, ri>trt 



j 



wn <-, i ^ ,. * 

lulba. >p<ntutt t w.,1 ,, _/ ? ' ' " '" '" 



Tft| KX IMVIKIONK 1'OTKSTATUM KKUOTA 

THMORKMA 16 



** u, - ,,,- ,,, r t7/w lwrf '' tm > <' thlw 

t , f f r I' 



IKMON8TRAT10 

Si 



nun, ,,,,,,.H imiiiui ,,ri,|,. r j.Hmum ) M r j mint (Uvuiiliilm; ututo luuw (man- 
||r /, .livim i-lHu Min.|u4 nwitluiim, nc- N i *>IUH primiw tonninuH - 



run, 



W S> m M nn.m, , H r , .iMmoHHtnilio otJatit val^t, pro formula 
*' ^ /'"; !. ,*| XM ram, j.i !MII ftmiHila (/; )'" JHT ^ 
<|tut rfitiiltiutii , ,| t |iwt turuwlii "* Mintuil 






At * *n *itt ifitftitr, i|tiin fontmtu n ffl |wr ft itifina r*Hi- 

fwii- iif 1 



II 

M, ti ^ ^ Ii|i 4 |g||) || * |/ rr 

ill II //'"" I, 1 ) 

t* i:n is, F, 

Mv4M *t>rf* if 



fill 



*tt ** *'* . ^f f^%"dV4' 

;*v jufV*l4^ ; ' 
I*** ll |t*r /J- l^l" 

^Sf *~4 l1 " i *;|, ft 



1 ! 



4\ Kt It^^' fl^^ 

>^|^4ir| 
|* 



^F 



?* 



? 



ti |ft*r |i 

|l ill 3 

*l 



tutu 

M 



j 



ill, Si 



I 






i i, 



i "" 









I) 

fll^ | in r/ | 

|S| 






1'IVMIONK IWKSTATl'M HKUOTA r )15 

I'KMONSTKATU) 



mutatmn 



sit 



5tl ' Si *W' '/ ..... ; " * /*. M MI A- .r- Hiv <"'..,/, , H r nuiiioruiii 
, turn hu.v { .HJUH f,nituln ' ! t o r 



2 

>. rum |t i* MHWMTMH prttiitw. itunatur ^ w {-1, aixjUM HI toorit, 
hair tuniitilu /.' ,- ,- W fr- |)W ; , diviMibiltH, tum Htia|Il hiUM , f(|r||mltt 
" I |Mr taiiiionitit |rimuiu p wit tlivtMthtliM. 



,1 

71. Iitintmttito i*ri |iw & nt r thwiiWMli ituuutri <Umtur, tit 6" r HUU 
|it<r iniirtiii (irintuta /-w.f i wlmiitat^ tutu w 
" 1 JM- tninilwit ituttu*rtim priiiiiuit ? - mn |- 1 



TIIKOUKMA HI 

W, ,SV fwmufa tr I /wi-rf tlimikiti* per mtmrrHM priumiti j - mti -j 1, 

t / *| rinmwti, ut at* */" wV 



DKUONKTUATIO 
i "inn fiiim /* it ^" j^r j rlivii* itnittfci nilimiuitut, formula 



a ".it;'** y** *i+r i*rii r * <tvxn tuunno** IHHIHI * IMHJU ^ per 

w* 



',> t 






Ml U,:/ </ ',*>; 

^tffijpf *' 

Jtrti jr |4 i| |*i*'* ,j< 

ill |;*f it | tu*' v^ fu'( ^ 

|i I * IK* j. 

v* * 4 >r l ,/" ri N r 



fonntt Mttiw-i l*i ijttMtiif4t** ,1. If, i' 



ttnitttr wH|ui) wlw trm$iwi , M .,,,,,t. ;| ,,,, 4 |s 

|wttiti wiw< vahtf ijiMU* , t 



l'if' 4-;* , iW^ - , 

"' M * 



igiiwr . |M 

UWWIJHM wriwi j, n, f . |tj , _ $ t ,^ K ^ f ih ,, MM ^ s 
i _ 



|/H .,. 
inuJst INMT ' 



it* | 

"i 

\ \ 






MV1HIONK POTBHTATUM KELICT 



517 



T-l. Si 
!' ' 



viwrt 



ntuuitriiM 

,, nf 
titvi*itnitH. 






, M , r muumnn primuiu W/ ,., M 

ft ,,or /, mm diviwbilw. w >mir in- 
forum * ^ wm f/ , . , rtA - |Iat 

' 



Simili ni.i.11. M funiia - I ft tt ,rit 
i J jtUju,. ,,n. / -a)uthtr titiutorit 

uH .r. u(. h a , v f urmtt 



, w nanuvum primum 
<i p <!r p mt divimbiliH, 
r Mnl ^ fta; 



flKOUKMA 



IIKIIONSTKATIO 



numwum primum 

I ilhi^WIiH, luiti i4miit Jnr nuiii*rK <T I pur ountUtm nuninrunt 
jtrtiimm /-. f I wit flivirtihtliH ^ 71. Virnm K! n" I ptv / mi divii- 

n*iiT*t i|ti'tti(n */ jtcr ;* rum tlivwibili ilalntur numeruH *, tit 
JH ti/* /" v'l ftfwm haw /" y vl rf"- 
fin* *UfUtt< i*i- itum^ruiu irii * J t liviifoilm. 



77. 



*l I ni ibrmtitiM* tib* -r" 1 <Hvi*Kr Hit numoras primu 
mn I' !, ititn dalntm* imiwra-* f, nt vw! iiuw: fontm /U'*-- 1 vl a ..... JB 
*< Hsit r **tiil*ttj nttimrum primum /t Uvimt>iH, 





IJI 

rum 

nit 
rum 






,\ 



"' 



SOMTIO 1'itOBLEM ATLS 

I>K INVKSTKUTIONKTHIIJM NUMKRORUM 

tJHWrM TAM SmtMA (JUAM PUODUCJTUM 

NW NON SUMMA PROIHHTOKUM EX HINIS 

SI NT NI1MKIH QMADHATl') 



*J 70 K 

tVti'ii|*<*lifAtuit< H 

t, l*j. tl 



Kim liw< ^^tin iiiiitis ti*rllk viihmtur, (|UMt ut in 

ii* |.-uiii tH4m i$ipi,ri ti4tiit,n ttfiquit, quitt inilw in- 

Ar kvrt^ in iifi^ qitn mtiuN' 

fr^htliM tttittfif rnpjlti frtwtn li!itliit% IHI 

4 tn*v.'w>r*t, *^** ntiiitltiiwiiiiiiit. Ail luw ftutrai gi*niw 

ff,^t4 >r la^ intittn ttiekidfiitoti mm olum 

riwi-v^ ,i4 prvi'ittr^ liwt, tifi|>irili f t*4 itfintti mugni" 

!n*l^ iiHim,i <u4 quant |uitit*m Ntniitticm^m (,^L AuHor 

r. t^iittiii*tiif; frrtim hir> Htm jftumtit Iii' 

I'll^ivft^i^ ^4 ,||^.% JU.'** i|niiwfiiml 

nj^ii^ di*i !*'** /, f f HJF^ i$fc tmi iti* 

I- '-r < t * f- II, ^ /^ } n#)) HI, 
1 t ViS"*it*fs<, < M^i^!^,^i^*i^4^f 

**.***> \M% , -i^.i^ ; ^ J 8 f^fii i} a?#, ins, p. ai? %mi 

4*ti^;. i tf.,4 ;i | f ' |I 



SOLUTIO PEOBLEMATIS 



[13 U 



quadrates effici oporteat, prima et tertia conditio impletur sumendo 



* ^~~ et 



Ut autem secunda impleatur, statuit Auctor 



et 



turn vero dedueitur ad haoic aeqnafionem 



eqnitai __ capiergocm 

., . , . 4i)2 ' " ^F~' ubl num eros F et g pro lubitu assumere licet, 

xta ut h^c i^nerabiles solves obMneantur; i.ter quas sin.pHci.ixna videtur, quae oritur 
o-, u,de ft c = 1 ettt=1 , porro _ jy = ^ " ^ ^ 



*+/ + '-T -P^ -6-34 ex prima conditions sicq ne tres numeri satisfacientes 
minimi emnt 

L 9-34 = 306, IL 8-34 = 272, HI. 17-34 = 578, 
quorum summa est 

= 1156 = 34 s , 
summa productorum ex binis 



productum omnium 



8-9- 17-34 S =8'.3*.17*. 



1} AbMnc SiiiniBaraina disciretmt 
non inverter seq^tes 
P-tia explicate eo, <^ 
conscriptae nonnisi a. 1762 
stola d. 21. Sept 1762 ad. 0. 
meiBe Auszflge aus dem VHI Tom. SOT. 
Abhandlungen angeselm, ani a 
solches ftr nSthig erachtetem." .^ 
Leipzig 1910/3, p. 214; LmuouuuXmiu 



' HSSertatione ex P^tur, ubi imprimis 

discre ' 






senes HI. 



wovon einige als besondere 
kSn nten, wann Dieselbea 

8( ' kri f ten LEONARD Euixxs, 
P. B. 



jPg_gVE8TIGATIONE_ TBIUM NUMERORUM 521 

Hinc pronunciari posse videtur mimrnos numeros integros problenmti satisfacientes 

, , , , . 272, 306, 578, 

iractos autem lios 



esse 



1 4 ^ 

y IT* 34' 



Ceterum hie notasse iuvabit, si tres numeri integri x, y, g desiderentur, ut tantum 
haec formula xy + x* + y* fiat numerus quadratus, eos in genere ita exhiberi posse, ut sit 



, 
unde fit 

* + y + g = aa + bb + cc - al - be - ac + dd + ee + ff - de - ef- df 
ipsique numeri ita se habebunt 

x = (a - ft) ( a - (,-) + (d - e)(d - /), 
y-(6-c)(6-o) + (e-/)(_d 

unde fit '-(-")(- 6) + C/- 



^ + xg) = a(e - /) + b(f- d) + c(d - e), 
Vel simplicius haec solutio ita enunciari potest, ut sit 

x = lm + pq, y=* mn + qr) 3==n i + rp 
sumtis his senis numeris I, m, n et p, q, r ita, ut sit 



turn vero ent 



1. Etsi problemata huius generis, quae DIOPHANTBA appellari solent, parum 
utilitatis affere videntur, tamen certum est Analysin mathematicam atque 
adeo etiam earn partem, qiiae circa infinita versatur, ex methodo problemata 
DIOPHANTEA solvendi maxima incrementa cepisse. Non solum autem huius- 
modi problemata, si smt difficiliora, fines Analyseos plurimum amplificaverunt, 
sed etiam vim. ingenii mirifice acuere solent, ut etiam in aliis problematibus,' 
quomodo solutionem institui oporteat, facilius perspicere valeat. Quamobrem 

LKONHAEDI BoLiau Opera omnia Is Commentationes orithmeticae 66 



522 SOLUTIO PKOBLEMATIS 



[6466 



hums generis problemata, praedpue d mote 8 olvendi magis fuerit recon- 
** cor.temne.da esse arbitror. Bum enhn singularia artificia ad 



ve, A ,' 

versam Analj-sm ubenus excolendam expectare licebit. 

P * 13 referendum videtar problema pro- 
U 



mtnm Per Tarfa methodi D-OPH 
fere etiam de eius solutione penitus desperaverim 

t0 ' S ' ntiOIiem SUm 



eo magis 
auc satisfaci- 
' I"* * ^egrandes, ut roirum no n sit soluUonem tantis 

^ 



aculf 

Montm f ' BSe ^ QUare C methodo Bto ulari ^ to* - 

tataonem peringenm . amplioxem ejplicationem M n non ease carituram 

**" m d aUM 9UaeStlmeS mdt0 ^ - 



tee8 Rentes conditiones con- 



I. Ut eorum summa sit nmneras qoadtatus, 
D. at smnma produetorom ez bims sit numerus quadratus, 
HI. trt prodnctam omnium Worn sit numems quadratas. 

P '^ m0d """"^ P test > ut ^' ate aeqnatio 

'T 8 ^ ^^ habeile rationales, cuius 

' "' ** ^""^ ,-siti ao satisfleri 

I. TO sit n(a; 
n. ut ait 
111. ut sit n*xys sea 



66 ~ 67 J DEJOTOmSATIONE TBIUM NUMEROEUM 523 

At primae et tertiae conditioni satisfiet, si reddatur 

_, , vytfa + y + *) = quadrate. 

Ponatur ergo 

xyz(x + y + g) = wfo + y 4. *), 
unde per x + y + * dividendo erit xyg = vv(x + y + g) hincque 



vv 



Cum igitur hinc fiat sy ,*.<">&$, ut wa . yj , prod eat quadratum, capi debet 



Hisque valoribus pro * et n assumtis satisfactum erit primae et tertiae 
conditioni. 

5. Hinc itaque nostri tres numeri erunt: 

Primus nx = mmxxy(x + y)(a>y vv), 
secundus ny = mmxyy(x + y}(xy vv), 
tertius nz = mmvvxy(x-{-yf, 

ubi per numerum arbitrarium m fractiones, si quae forte occurrent tolli 
poterunt. ' 

Verum contemplemur iam secundam conditionem, quae ob ^= 
requirit, ut sit 



Ponamus in hunc finem 

xy vv*= uu, 
ut sit 



erit * uu 

xy^w + uu et x + y 

efficiendumque est, ut sit 



66* 



SOLTJTIO PROBLEMATIS [67-68 

6. Ponatur x = tv, ut sit y = !!!, esseque debet 



sen mnltiplicando per ttuu 



*( + I) 2 + mo ( 8 + 2) + ( + i) = qu adrato. 
Statuatur hnius quadrat! radix = w ( + i) + SWM; erit 



unde elicitur 



-8- = ( l uadrato - 



Sit porro s = # r et habebitur 



2 ^ - 2 (r -Hi) ' 
MultipHcetur numerator et denominator per 2rt-rr + 1, ut fiat 




ut hni 



1 - 2(3fr + 3r ~ l)f + ( 2r * + Brr 4. 2r _ 
2(3r 1)( 

erit definitis hinc ^ et r 
turn vero 



iinde mnneri quaesiti . i aii^m , ^ . 

, e pam ad istain aequationem 



525 



68-69] DE INVESTIGATIONE TEIUM NUMERORUM 

pertigimus, solutionem iam limitavimus positione xy vv = uu, quae restrictio 
probe est notanda, quoniam nullum est dubium, quin eiusmodi extent solu- 
tiones, in quibus xy vv non sit numerus quadratus, easque propterea hinc 
non reperiemus. Verum hanc limitationem ideo facere sum coactus, ut ad 
istam formulam quadrate aequandam pervenire licuerit, quippe quae ita est 
comparata, ut per cognita artificia resolvi possit. Sicque tota solutionis vis 
in reductionibus paragraph! praecedentis est sita. 

8. Pluribus autem casibus haec formula et quidem infinitis modis qua- 
dratum effici potest, quorum praecipui, et qui statim se offerunt, sunt: I Si 
coefficiens ipsius ?, scilicet 4r, seu r faerit numerus quadratus; II si ter- 
minus ultimus 2(r - l)(r + I) 2 seu 2(r - 1) fuerit numerus quadratus. Utroque 
enim casu per regulas cognitas valores idonei pro t elici, turn vero porro ex 
quolibet alii novi inveniri possunt. Sin autem simul et r et 2(r 1) raerint 
quadrata, una operatione plures valores idoneos pro t eruere licet, neque vero 
hie, ut plerumque fieri solet, solutio simplicior ' se offert; etsi enim, si 
2(r 1) = quadrate, satisfacit valor t 0, tamen inde prodit x = et y= oo, 
qui valores pro natura quaestionis plane sunt incongrui. Excluduntur enim 
solutiones, quibus unus trium numerorum quaesitorum evanesceret, quia turn 
quaestio esset facillima et circa duos numeros versaretur, quorum tarn summa 
quam productum esset quadratum. 

CASUS 1 QUO PONITUK r = 1 

9. Hie casus simplicissimus videtur, quia ultimus terminus nostrae 
formae evanescit primusque fit quadratus. Habemus ergo 

_. _ __ . 

Ad hanc aequationem solvendam statuamus 

5 
y _ _ _. 

eritque 

At hinc fiet 

u ^ 4^-5 = "173 ' 



*9 

~ _____^_J^^^ [69 _ 70 

unde habebimus v = 36, u = 173, = ~ 32 et 

9 

a ft; 128 indeque porro y ggj17gf _ 31225 = 25 1249 
Erit ergo 

a; + y = !I^? et g _ 36^4 7609 

ac tres numeri quaesiti erunt ob xy- vv =, uu: 
Primus 
secundus = 




tertius = _f_^28^25 1 l_249 47609 2 | 



10. Ad fractiones tollendas ponamnq , 128 4. 

as ponamus m = eruntque terni nostri numeri: 

Primus = 128M73M249 - 47609 - 128M73" 



secundus - 5M73M249 2 . 47609 



1249 

tertius = 36 J .12^.47609 S =36M7609 
quibus numeris evolutis erit 

primus =490356736-59463641, 

secundus = 934533025 . 59463641 , 

tertius = 61701264-59463641, 

quorum productum m^ifesto <* quadratum, quippe ' 

5*- 36*- 128- 173*. 1249*. 47609*. 
Summa antem reperitur 



et summa prodactoram ex 

^ 

cnius radix quadrafca st 



in 1249-47609, 



! 



70 ~ 71 J ___ DE INVESTI&ATIONE TRIUM NUMEBORUM 527 

11. Pro eadem aequatione resolvenda poni potest 



ut tres primores termini tollantur, ac prodibit 



_ ____ 9-207563 , v 144-173 

128- 17^ 32- 173 -16=- r 2 8Tl7F * IT " 



Sumi enim potest valor ipsius Q tarn negative quam positive. Statuatur 
ergo v == - 144 173, u = 207563; erit 



a, = 9. 81 = 729 et y = 



729 



unde urn manifestum est ad tarn enormes perveniri numeros, ut solutio 
praecedens prae hac multo simplicior sit aestimanda. Superflmim autem 
foret hmusmodi solutiones nimis complicatas ulterius evolvere, quia in huius 
generis quaestionibus solutione simplicissima plerumque contenti esse solemus. 

CASUS 2 QUO PONITUK r = - 3 - 

<u 

12 Hac positione ultimus formulae nostrae terminus fit quadratum 
eritque - "-? existente 



lam ad tres terminos ultimos tollendos statuatur 

eritque 

6**-f** = i^_ 7 *s et 60 

*. ID 4 19 

hincque 

= - + v 19 
v ___ e t ~ jj 

unde v = 19 et u = 14. Nunc igitur erit 

/r /^j A af ^ t?v + wte 557 ., 

x w bU et 2/ = - = ideoque 

iC oU . 



_ 



SOLUTIO PBOBLEMATIS 




______ [7172 

et tres numeri quaesiti 

primus = 



567. 4157- 



ergo hi numeri b parvitatem 

Primus = 705600-2315449, 
secundus = 109172-2315449, 
tertius ==1500677-2315449. 
Quorum numerorum summa est 

etproduetem =2315449* 

= 14 4 - 19*. 60 2 - 557*. 4157* 
sicque uterque numerus q uadrato, At summa productorum ex binis erit 

(14>.60>.14>.557 + 14>. W .19*. 4157 + ^.557.19^4157)231544^ 
quae reducitur ad hanc formam 

144 - 2315449 s eesm^usQ 

cu!us radix quadrata est owi*W49, 

14-2315449.81433. 
Sunt autem M M me ri circite, 15,00 ^ miuores quam primum inventi . 

CASUS 3 QUO P03SITUB r = 3 



14. Posito r - 3 fit 






' et 



lam ad ternos ultimos termisos to 



I 



TEIUM NTJMEEOBUM 




213601 928T 

ideoque v = _ 23 - 97 et u = 37 - 251, turn 

a - to - 23 24* et y = 



23 



CASUS 4 QUO PONITUE r = 9 



15. Posito 






QQ = 36^ - 538i 8 + 1716 - 520^ + 1600. 
Tollamus tetminos primum et duos ultimos ponendo 



et habebimus 



unde elicimus pro utroque signo, 

superior! 



-. 
16-23 



inferiori t = 5 ' 172 ? 

32-77 ' 



utrinque autem prodeunt numeri nimis magrii. 
Tollamus ergo tres terminos ultimos ponendo 



EL BB1 Opera omma I, Commentationea arithmeticae 



67 



tomrl^rim^r" 1 ^ ^ ""^ r6SUltant P 2 6 SS6t P rr pr bMs 

. ' onenais pom Q = Qtt jr-t + 40, verum hinc 

multo minus ad mimeros simpliciores perveniemus. ~ 



proble- 



posse 

esse eos, quos 13 
evolvantur, erunt; 



Primus = 1633780814400, 
seeundus = 252782198228, 
tertius = 3474741 058 973 . 



series 



Primns 

secuadus 

tertius 



^600 
2315449 

1^1, 

4157 



557 



At 



272, 306, 578, 



si 



desiderentur, li 
ut hi numeri 



5 Lnaum 






THEOKEMATA ARITHMETICA 
NOYA METHOBO DEMONSTRATA 1 ) 

Commentatio 271 indicia INESTROBMIAOT 

Novi eommentarii aoademiae scientiarum PetropoUtanae 8 (1760/1), 1763, p. 74-104 

Summarium ibidem p. 1518 

SUMMARITM 

Singulari omnino Auctor hie utitur metuodo ad plures insignes numerorum proprie- 
ties demonstrandas, quarum quidem nonnullas ia m alio modo demonstrate dedit; reliquae 
vero novae sunt habendae atque ad alias maiori adhuc attention dignas viam parare viden- 
u, Ipsa quidem m ethodus ita dilucide est exposita, ut nihil ad axnpHorem eins illnstra- 
faonem afferri possit; at rero praecipnas yeritates, quas Auctor feliciter investig-avit He re- 
censuisse iuvabit. ' 

Postquam is iam gemina*) methodo ezimium iUud Theorema, quod forma a^-l 
semper * ^msibilis per numerum p, Quidem is sit ^ us neque numerus a eum d -_ 
** possit, demonstrasset, He non solum tertiam demonstrationem ex aliis prtoipiis peti- 
tam adiieit, Terum etiam idem Theorema, quod ad numeros tantum primos erat adstrietum 
ad omnes plane numeros extendit. Proposito seilicet quoeunque numero N definit inde nu- 
merum n, ut forma a-l per ilium numerum N certe divisionem admittat; ubi quidem 
numerus a pro lubitu assumi potest, sed tamen ita eomparatus esse debet, ut eum numero 
N nullum habeat divisorem communem seu ut numeri N et a sint inter se primi quae 
quxdem eonditio semper est subintelligenda, etiamsi verbis non exprimatur. Demonstrat 
igxur Auetor expoaentem n semper ita pendere a numero proposito N, ut aequalis sit 

^ Slmi11 ad eum s ^ P*4 W quod exemplo 



1) Vide etiam Commentaticmem 564 (indicia ENBSTBOBMTAOT) : SpeculaUones tirca 
es proprieties nutnerorum, Aeta acad. sc. Petrop. 1780: II (1784), p. 18; 
Opera onwia, series I, vol. 4. p. E. 2 ) Vide notam p 534 F B 



67* 



532 THEOEEMATA ARITHMETICS [16-1? 

magis perspicuum reddetur. Sit igitur nuinerus pr op o situs N = 10 ; numeri autem eo mi- 
nores ad eumque primi sunt 1 7 3, 7, 9 ideoque quatuor, unde fit n = 4. Sumto iam pro a 
numero quocunque ad 10 primo, sen qui neque per 2 neque per 5 diyidatur, ac certo pro- 
minciare licet bane formam a 4 1 esse per 10 diyisibilem, hoc est, omnium huiusmodi 
numerorum biquadrata unitate minuta diyisionem per 10 admittunt. Veluti si a = 3, fit 
a* 1 80; si a = 7, fit a 4 1 = 2400, et ita porro. 

Quaeritur autem He ante omnia, quomodo pro quo vis numero N multitude numero- 
rum ipso minorum ad eumque primorum, cui numerus n aequalis est sumendus, commode 
definiri possit; ubi quidem perspicuum est ? si N fuerit numerus primus, fore n = N 1, 
propterea quod omnes numeri ipso minores, quorum multitude utique est = N 1 ? simul 
ad eum stint primi. Sed si numerus N non est primus, eius ratio compositionis ex primis 
est spectanda; ubi cum existentibus p } q, r, s etc. numeris primis omnes numeri ad bane 
formam p a qf r r s<* etc. revoeari possint, ab Auctore est demonstratum: 

Si sit N~*p*, fore 



gi N = p a (jf) fore 
si N*=*p a qPr y , fore 



-! seu n- 



sicque porro, ita ut pro dato numero N numerus n inveniri possit ex solis numeris primis 
in eum iagredientibus nullo ad eorum potestates habito respectu, quod in dissertatione non 
est animadyersum. 1 ) Ita si ^=120, qui numerus ex primis 2, 3 ? 5 componitur, inde fit 
n= 120- -j- j-~ = 32; atque forma a 32 ! certe erit divisibilis per 120, dum a nullum 
horum numerorum 2, 3, 5 complectatur. 

Verum Me insuper obseryare licet plerumque minorem potestatem eadem proprietate 
praeditain esse. Rationem enim liarum demonstrationum perpendenti mox patebit, si fuerit 
N=*p a qPrY, formam a n 1 per bune numerum fore diyisibilem, non solum cum n fuerit 
productum ex Ms tribus numeris J?' a " 1 0p 1), S^" 1 ^ 1) 5 r^^ 1 ^ 1), sed sufficere, si 
pro n minimus communis diyiduus horum numerorum accipiatur, quae obseryatio baud in- 
elegans in dissertatione est praetermissa. 1 ) Ita si sit N= 120 = 2 a -3-5, terni numeri pro 
exponente n inveniendo sunt 4, 2, 4, quorum minimus communis dividuus est 4, sicque 
pronunciare licet hanc formam a 4 ! semper esse per 120 diyisibilem, dummodo a ad 120 
fuerit primus. Simili modo si JV=63==3 3 -7, M duo factores dant numeros 6 et 65 quo- 



1) De buius dissertationis Sumraario similia valent iis, quae nota p. 520 de Summario Com- 
mentationis 270 exposita stmt. F. E. 



1718 -1 

74 7.5 J NOVA METHODO DEMCOSTSTRATA 



533 



rum Hiinimus communis dividuus cum sit 6, haec forma 6 -l erit per 63 divisibilis, si 
modo a neque ternarium neque septenarium eontineat. Sit JV= 32760 = 2 s 3 s 5 7 . 13, 'q u i 
factores inter se primi praebent hos numeros 4, 6, 4, 6, 12, quorum communis diyiduus 
est 12; ex quo haec forma a 1 *-! semper per 32760 dirisionem admittit, modo a nullum 
horum numerorum primorum 2, 3, 5, 7, IS.involvat; veluti si = 11, est 

a 12 - 1 = 3138 428376720 = 32 760- 95800 622, 

ubi aotari convenit esse 95800622 = 2-37.61.19-1117. Saepenumero autem erenire pot- 
eat, ut pro sumto numero a etiam minor potestas satisfaciat, sed talis diminutio ab indole 
numeri a pendet neque in genere minor potestas, quam Me est assignata, theoremati 
tribui potest. 



Praeter varias computandi operationes, quae vulgo in Arithmetica tradi 
solent huiusque disciplinae quasi partem practicam constituunt, eiusdem pars 
theoretica, quae in indaganda numerorum natura versatur, non minus iam 
olim tractari est coepta, quemadmodum ex EUCUDE et DIOPHANTO intelligere 
licet, ubi insignes numerorum proprietates erutae reperiuntur ac demonstratae. 
Quo magis autem deinceps numerorum indolem et affectiones Mathematici 
sunt scrutati, multo plures eorum proprietates observaverunt, unde pulcher- 
rima Theoremata numerorum naturam illustrantia derivavere, quae partim 
demonstrationibus sunt munita, partim etiamnunc iis indigent, sive quod 
eae ab auctoribus non sint inventae sive temporum iniuria deperditae; ex 
quo genere plurima passim occurrunt huiusmodi Theoremata numerica, quo- 
rum demonstrationes adhuc desiderantur, etiamsi eorum veritatem in dubium 
vocare non liceat. Atque hie insigne discrimen, quod inter Theoremata 
arithmetica et geometrica intercedit, non parum mirari debemus, quod vix 
ulla propositio geometrica proferri possit, quam non sit in promtu sive 
veram sive falsam ostendere, dum contra multae circa numerorum naturam 
notae sunt propositiones, quarum veritatem nobis agnoscere, neutiquam vero 
demonstrare liceat. 

Magna huiusmodi Theorematum copia a FEEMATIO relicta habetur, 
quorum demonstrationes maximam partem se invenisse affirmavit, quas 
cum eius scriptis interiisse in eximium huius scientiae detrimentum non 
parum est dolendum. Quot autem talium Theorematum demonstrationes vel 
sunt cognitae vel restitutae, in iis certe multo maior vis ingenii elucet, quam 



534 THEOREMATA ARITHMETICA [75-76 

vix in ullo alio demonstrationum genere deprehendimus ; unde in hoc negotio 
non tarn utilitas, qua scientia numerorum illustratur, est aestimanda, quam. 
maxima subtilitas, qua huiusmodi demonstrationes prae aliis distinguuntur. 
Atque ob hanc causam, cum iam saepius, quam plerisque aequum videri 
queat, in hoc genere laboraverim, operam mihi equidem non perdidisse videor 
neque etiamnunc Theoremata, quae hie propono, utilitate caritura confido. 

Eotatu imprimis dignum visum est Theorema illud FEKMATII, quo omnes 
numeros in hac formula a p ~ l 1 contentos semper divisibiles esse per nu- 
merum p, siquidem is fuerit primus neque tamen a per euro, divisionem ad- 
mittat, affirinavit, cuius Theorematis iam geminam 1 ) dedi demonstrationem. 
Eunc autem idem in latiori sensu contemplor atque in genere, si divisor non 
sit numerus primus, sed quicunque JV, investigo, cuiusmodi exponentem po- 
testati cuicunque tribui oporteat, ut expressio a n 1 semper sit divisibilis 
per numerum N, dummodo numerus a cum eo nullum habeat divisorem com- 
munem, Inveni autem hoc semper *usu venire, quoties exponens n aequalis 
fuerit multitudini numerorum ipso N minorum, qui sint ad N primi. M 
hoc ergo demonstrandum ante omnia huiusmodi theorematibus est opus, ex 
quibus proposito numero quocunque N cognosci possit, quot inter numeros 
ipso minores futuri sint ad eum primi, seu qui nullum cum eo habeant com- 
munem divisorem; quae theoremata iam ipsa multo ampliorem usum habere 
atque ad alias magis absconditas numerorum proprietates aditum parare vi- 
dentur. lis autem praemissis demonstratio veritatis propositae ita est com- 
parata, ut maiore attentione non indigna videatur. 



THEOEEMA 1 

1. Si per numerum quemcunque n termini progressions arithmeticae cuius- 
cunque, cuius differentia sit numerus ad n primus, dividantur, inter residua occur- 
rent omnes numeri divisore n minores. 

DEMONSTRATIO 

Sit progressionis arithmeticae terminus primus a et differentia d, 
quae sit ai n ntimenis primus seu quae cum numero n nullum praeter uni- 

1) Eeyera EtnLEBus adeq tres hurus theorematis PEKMATIANI demonstratioBes dederat, quarum 
diiae ^izidem priores ex eodem fonte flaunt. Quae demonstrationes inveniuntur in Commentatio- 
iiibus 54,134, 262 itiitis voluminis, F. E. 



76-78] NOVA METHODO DEMONSTRATA 



535 



tatem habeat divisorem communem, ita ut progressio arithmetica fntura sit 
a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + M, a + 5d etc., 

ac dico, si singuli termini per numerum n dividantur, inter residua omnes 
numeros ipso n minores occurrere. Ad hoc demonstrandum sufficiet huius 
progressions tantum n terminos considerasse, qui sunt 

a, a + d, a + 2d, a + 3d, . . . a + (n l)d. 

Quodsi ergo isti termini singuli per n dividantur, omnia residua inter se.di- 
versa esse oportet. Si enim duo termini, veluti a + /ud et a + vd existenti- 
bus p et v numeris ipso n minoribus, per n divisi paria praeberent residua, 
eorum differentia (v p}d utique per n esset divisibilis. Cum autem numeri 
d et n nullum habeant divisorem communem, necesse esset, ut v /u, divisio- 
nem per n admitteret; id quod esset absurdum ob v {t,<n. Quare cum 
omnia ilia residua sint diversa eorumque numerus utpote terminorum numero 
aequalis sit = n, in iis omnes plane numeri ipso.^ minores occurrent, scilicet 

0, 1, 2, 3, 4, 5, ... . 1, 

siquidem differentia progressions d sit numerus ad divisorem propositum n 
primus. Q. E. D. 

COEOLLABIDM 1 

2. Inter terminos ergo, progressionis arithmeticae cuiuscunque, quorum 
numerus est n, dummodo differentia eius ad n sit numerus primus, certe re- 
peritur unus, qui per n est divisibilis; turn vero etiam aderit unus, qui per n 
divisus datum residuum r relinquit. 

9 

COEOLLARIUM 2 

3. Si ergo numerus d ad n fuerit primus, semper numerus huius formae 
a + rd exhiberi potest existente a numero quocunque et v minore quam n, 
qui per numerum n sit divisibilis, atque etiam sub iisdem conditionibus 
semper tails dabitur numerus a + rd, qui per n divisus datum relinquat 
residuum r. 

COROLLAEIUM 3 

4. Datis igitur numeris a et d, quorum hie d ad n sit primus, semper 
invenire licet numeros p et i/, ut aequationi huic 



536 THEOREMATA ARITHM1TICA [7879 

a-\-vd 
vel etiam huic 



a -f- v d = fjun + r 
satisfiat, quicunque numerus minor quam n pro r assumatur. 

' SCHOLION 

5. Quod de progressionis arithmeticae terminorum numero n demonstra- 
vimus, id de tota progressione in infinitum continuata valet; termini enim, 
qui post illos n terminos sequuntur, eadem ordine reproducunt residua, si 
per n dividantur. Ita terminorum post + (n l)d sequentium, qui sunt 
a + nd, o-+(n + l)d, a + (^ + 2)rf etc., per n divisorum residua conveniunt 
cum residuis ex terminis initialibus a, a + d, a + 2d etc. natis. Atque si 
tota series in infinitas periodos distribuatur cuique n terminos tribuendo 
hoc modo 



termini cuiusHbet periodi eadem praebebunt residua eodemque ordine dispo- 
sita; omnium enim periodorum termini cum primi turn secundi et tertii etc. 
constanter paria dabunt residua. Quare si rationem residuorum cognoscere 
velimus, sufficit unicam periodum ezaminasse. 



THEOREMA 2 

6. In progressione aritJimetica, cuius terminorum numerus est = n, totidem 
termini erunt ad numerum n primi, qyot inter numeros ipso n minores dantur ad 
n primi, dummodo differentia progressionis fuerit ad n numerus primus. 

DEMONSTRATIO 

Sit enim a terminus primus et d differentia progressionis, quae sit ad n 
numerus primus, ideoque ipsa progressio n continens terminos 

Quoniam igitur, si hi termini, per numerum dividantur, inter residua occur- 
runt omnes plane numeri ipso n minores, ponamus ex termino quocunque 



7980] 





vd resultare residuum r ac manifestum est, si r fuerit numerus ad n 

bL qU qU V teminUm a + vd ad - fore P-, si* autem r cum 
habeat quempiam dmsorem communem, idem quoque erit divisor commu- 
ms numerorum n et a + vd. Quare quot inter numeros ipso n minores 
fuermt numen ad n primi, totidem quoque inter terminos progressions arith- 
meticae propositae habebuntur numeri ad n primi Q E D 



COBOLLABIUM 1 



7. Si n fuerit numerus primus, quia omnes numeri ipso minores ad ip- 
sum quoque sunt primi, quorum numerus ergo est aequalis n-1 in ilia 
etiam progressione arithmetica omnes termini praeter unum erunt ad n 
primi, quippe unus per n est divisibilis. 



COROLLABIUM 2 

8 Sin autem n fuerit numerus composites, inter numeros ipso minores 
dabuntur quipiam, qui cum eo divisorem habeant communem, totidemque 
veto etiam reperientur in progressione arithmetica, quibus iidem communes 



divisores cum n conveniant. 



COBOLLABIUM 3 



9. Ita si sit n = 6, quia inter numeros senario minores sunt duo ad 6 
primi, scilicet 1 et 5, in omni progressione arithmetica sex terminorum 

a, a + d, a + 2d, a + Sd, a + 4d, a + 5d 

duo tantum erunt ad 6 primi, dummodo differentia d sit ad 6 numerus pri- 
mus. Ita si capiatur a = 4, d-5, horum sex numerorum 4, 9 14 19 24 
29 duo, scilicet 19 et 29, ad. 6 sunt primi, unus 24 per 6 divisibili^' reliqui 
vero 4, 9, 14 ad 6 compositi perinde ac 2, 3, 4. 

SCHOLION 

10. Haec Theoremata in doctrina et contemplatione naturae numerorum 
msignem habent usum, hie autem ea solum adhibere visum est ad hanc 
quaestionem enodandam, proposito nwmro quocunque n, quot inter numeros ipso 

LBOHHARDI EULBEI Opera omaia Is Commentatioaes arithmetlcae 6 8 



538 THEOKEMATA AEITHMETICA [8082 

minores futuri sint ad eundem numerum n primi. Statim quidem patet, si n 
sit numerus primus, omnes numeros ipso minores simul ad eum fore primes 
eorumque idcirco numerum esse =w 1. Verum si n sit numerus compo- 
situs, multitude numerorum ipso minor urn ad eumque primorum est minor; 
quanta autem sit quovis casu, non tam facile assignari potest. Ita si sit 
n = 12, inter numeros minores tantum quatuor reperiuntur ad 12 primi, sci- 
licet 

1, 5, 7, .11; 

et si sit n = 60, numeri minores ad eum primi sunt 

1, 7, 11, 13, 17, 19, 23/29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 

quorum numerus est 16, unde reliqui 43 omnes cum 60 divisores habent 
communes. Moneri Me convenit unitatem ad omnes plane numeros esse nu- 
merum primran, etiamsi omnium sit divisor; id quod ex definitione est evi- 
dens, qua numeri dicuntur esse inter se primi, qui praeter unitatem alinm 
nullum agnoscunt divisorem. 



THEOREM! 3, 

11. Si n sit potestas guaecunque numeri primi p sen, n = p m , inter numeros 
ipso minores tot erunt ad eum primi, quot unitates continentur in 

.jp w > p*- 1 - > p*- 1 (p 1), 

DEMON8TEATIO 

Multitudo omnium numerorum potestate n=p m minor um est jp m 1; 
inter hos autem reperiuntur quidam, qui ad n non sunt primi, omnia scilicet 
ipsius p multipla minora quam n. nullique alii praeterea; ex quo sequentes 
numeri ad n non erunt primi 

'jP, 2j?, 3jp, 4p, . . . p m p, 

quorum numerus est p m ~ l 1; quo ablato a numero omnium ipso n*=$> m 
namonro relinquitur multitudo eorum, qui ad p m sunt primi, quorum nume- 
rus itaque est =*p m -^p m - 1 =p m ~ l (p . Q. E. D. 



82-83] NOVA METHODO DEMONSTRATA 539 

COEOLLAEIUM 1 

12. Hinc igitur primo s'equitur, id quod per se est manifestum, si sit 
= p existente p numero primo, numerum omnium numerorum ipso mino- 
rum ad eumque primorum esse =p~l, siquidem omnes numeri ipso mino- 
res simul sunt ad eum primi. 

COEOLLAEIUM 2 

13. At si sit.n=p*, inter numeros ipso minores multitude eorum, qui 
ad eum sunt primi, est =pj?-p-p(p-l); reliqui, quorum numerus est 
p 1, ad n=p 2 erunt compositi seu per p divisibiles. 

COEOLLAEIUM 3 

14. Proposita autem numeri primi potestate quacunque =-jp" inter 
numeros ipso minores, quorum 'multitude est -j)_i, reperiuntur p- 1 1, 
qui sunt per p divisibiles ideoque ad p m non primi; reliqui vero omnes, quo- 
rum numerus est -jf-jf- 1 =p^( p - i), a d p m sunt primi. 

SCHOL10N 

15. Si ergo numerus propositus n fuerit potestas cuiuspiam numeri 
primi, ope huius regulae assignare poterimus, quot inter omnes numeros ipso 
minores futuri sint ad eum primi. Quando autem numerus ex duobus 
pluribusve numeris primis fuerit conflatus, Mnc nondum ista quaestio confici 
potest; praecedentibus autem Theorematibus adhibendis istam quaestionem 
latius patentem resolvere poterimus. 



THEOREM! 4 

16. Si numerus n sit productum duorum numerorum primorum p et q seu 
n=pq, multitudo omnium numerorum ipso minorum ad eumgue primorum est 

DEMONSTEATIO 

Cum numerus omnium numerorum ipso n=pq minorum sit pq 1 

Mnc primum ii debent excludi, qui per p sunt divisibiles, deinde vero etiam 



68 



540 THEOEEMATA ARITHMETICA [83-84 

ii, qui per q; bisque deletis relinquetur multitudo quaesita. Notentur ergo 
ab unitate usque ad pq numeri, qui sunt ad p priini, hoc modo: 

1, 2, 3, 4, - . . . . p 1, 

, 2j9 + 2, 2p -f 3, 2$ + 4, . . . 3p 1 , 

5 3^ + 2, 8p + 3, 3jp + 4, . . . 4jp 1, 



, (2 l)jp + 2, (j- 1)^ + 3, (2 



atque iam ex his ii tantum eligi debent, qui simul quoque ad q sunt primi 
Considerentur ergo series verticales, quarum numerus est j9 1; quaelibet 
autem continet q terminos in arithmetica progressione crescentes differentia 
existente p, quae est.ad q numerus primus. In qualibet ergo serie vertical! 
omnes termini praeter unum ad q erunt primi (per 7); unde unaquaeque 
series verticals continet q I numeros ad q primos. Quare cum numerus 
serierum verticalium sit j> 1, in omnibus continentur simul (jp 1)(^ 1) 
numeri ad q primi iidemque igitur etiam ad productum pq erunt primi; 
consequenter inter omnes numeros ipso pq minores reperientur (p 
numeri ad pq primi. Q. E. D. 



COROLLAEIUM 1 

17. Cum multitudo omnium numerorum ipso producto pq minorum sit 
pq 1, inter eos semper sunt (p l)(j 1) =pq p q + 1 primi ad jpq, 
reHqui vero, quorum numerus est p + q 2, ad eum sunt . compositi seu cum 
eo communem habent divisorem vel p yel q. 



COEOLLAE1UM 2 

18. Hoc etiam inde patet, quod inter numeros ipso producto pq mino- 
res sint g 1 nunieri per p divisibiles, scilicet 



84 ~ 85 1 ___ _ NOVA METHODO DEMONSTEATA 



deinde inter eosdem sunt p-l numeri per q divisibiles, nempe : 



qui cum ab illis omnes sint diversi, omnino habentur 

Of l) + (p l)=J> + 2 2 
numeri, qui ad j)g non sunt primi. 

COBOLLARIUM 3 

19. Si ergo quaeratur, quot ab 1 usque ad 15 sint numeri ad 15 primi, 
ob jp = 3 et q = 5 regula docet eorum numerum esse 2-4 = 8 quippe qui 
sunt 

1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14. 

Simili modo ab 1 ad 35 ob $ = 5 et q = 7 multitude numerorum ad 35 pri- 
morum est 4 6 = 24 bique numeri sunt 

1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 13, 16, 17, 18, 19, 22, 23, 24, 26, 27, 29, 

31, 32, 33, 34. 

SCHOLION 

20. Quoniam hie quaestio est de numeris, qui ad quempiam numerum 
sint primi eoque minores, eos commode paries ad istum numerum primas 
appellare licebit. Ita si numerus propositus fuerit primus =p, numerus 
partium ad eum primarum est =p l; si numerus propositus sit potestas 
quaecunque numeri primi =y, numerus partium ad eum primarum erit 
=y <p n - l = <p- l (p i); a t si numerus propositus .sit productum duorum 
numerorum primorum disparium =jpq, numerus partium ad eum primarum 
est = (# l)(j 1); hocque modo ambages in loquendo contrahemus. Simili 
modo demonstrare possemus, si numerus propositus sit productum ex tribus 
numeris primis disparibus =pqr, numerum partium ad eum primarum fore 
= CP !)(<? !)(* 1); hocque adeo ad productum plurium extendere liceret. 
Verum sequens propositio omnes hos casus in se complectetur. 



542 THEOREMATA ARITHMETICA [8687 



THBOEEMA 5 

21. Si sint A et B numeri inter se primi et numerus partium ad A pri- 
marum sit = a, numerus vero partium ad B primarum sit = &, turn numerus 
partium ad productum AB primarum erit = al. 

DEMONSTBATIO 

Sint 1, a, /3, y, . . . 0} numeri illi ipso A minores ad eumque primi seu 
partes ad A primae, quarum igitur partium numerus per hypothesin est = a. 
Totidem ergo erunt numeri ad A, itidem primi erunt ab A ad 2 A, item 
a 24 ad 34, et ita porro. Hoc modo exhiberi poterunt omnes numeri ad 
A primi ab unitate usque ad numerum propositum AB, quos sequens schema 
exhibebit: 

1, a, . ft, . co, 

A + 1, A + a, 

24 + 1, ' 24+ a, 
34 + 1, 34+ a, 34 + /3, ... 34+ CD, 



/9, . . . (J3- 1)4 + o>. .' 

Hie singulae series horizontales continent a terminos numerusque omnium 
serierum horizontalium est =5, unde omnes series iunctim offerunt aB ter- 
minos, qui iam omnes ad A erunt primi. Inde ergo adhuc excludi debent 
ii, qui ad B non sunt primi, ut hoc modo relinquantur, qui non solum ad A, 
sed etiam ad B ideoque ad ipsum productum AB sint primi; sen ex Ms 
seriebus ii tantum termini numerari debent ? qui etiam ad B sint primi, 
Hunc in finem consideremus series verticaliter ; et cum numerus serierum 
verticalium sit = a, quaelibet series verticalis continebit B terminos in arith- 
metica progr^ssione auctos; quorum differentia cum sit A ideoque numerus 
ad B primus, per Theorema 2 quaelibet series verticalis tot continebit ter- 
minos ad B priinos, quot dantur partes ad numerum B primae; eorum ergo 
numerus est per hypothesin = 6. Cum igitur singulae series verticales con- 



87-88] NOVA METHODO DEMONSTEATA 



543 



tmeant & terminos ad B primes, qui propterea etiam erunt ad productum 
AB primi, numerus omnium terminorum ad AB primorum, hoc est partium 
ad hunc numerum AB prirnarum, erit = ab. Q. E. D. 



COROLLABIUM 1 

22. Si insuper tertius numerus C adiiciatur, qui sit ad utrumque prae- 
cedentium A et B seu ad eorum productum AB primus, et numerus partium 
ad C primarum sit =c, turn numerus partium ad productum ABC primarum 
erit =alc. Productum enim AB considerari potest tanquam unus numerus, 
cuius partium ad eum primarum multitudo sit = alt; et quia C ad AB est 
primus, Theorema hie habet locum. 



COROLLARIUM 2 

23. Cum igitur unusquisque numerus N resolvi possit in factores inter 
se primos, qui singuli sint vel ipsi numeri primi vel potestates primorum, 
ope huius regulae multitudo partium ad numerum quemcunque N primarum 
assignari poterit. 

COEOLLABIUM 3 

24. Existentibus scilicet p, q, r,s etc. numeris primis omnis numerus N 
in huiusmodi forma N=p*fr v s* comprehendetur, unde numerus partium 
ad N primarum erit 



- 1). 



COROLLARIUM 4 



25. Pro formis igitur numerorum simplicioribus multitudo partium ad 
eos primarum ita se habebit: 



544 



THEOREMATA AEITHMETICA 



[8889 



Numerus 


Multitude partium ad eum 


Numerus 


Multitude partium 


propositus 


primarum 


propositus 


ad eum primarum 


P 


p I 


2 


1 






O 


9 


PP 


p(jp 1) 


4 


& 

2 


pg. 


(p !)(# 1) 


5 


4 






6 


2 


P 3 


ppfp 1) 


7 


6 


" " 


/ -J^W ^\ 


8 


4 




>\J> }\! ) 


9 


6 


pqr 


(P 1)(2 1)(^ 1) 


10 


4 


* 


jp'Cp-l)- 


11 
12 


10 
4 


p*q 


JP 2 (P 1) (? 1) 


13 


12 


#Y 


J^GP 1)2(2 -") 


14 


6 


p*qr 


jpAp _ 1^(q l)(r 1) 


15 


8 


pqrs 


(p 1)(2 l)(r l)(s 1) 


16 


8 




' 


17 


1fi 


5 


JP 4 (jP 1) 


j. i 

18 


6 


4 


s f IV 1) 


19 


18 


Q Q 


^ (P )\SL ) 


20 


8 


P*2* 


p 2 (p 1)2(2 1) 


21 


12 


p*qr 


JP 2 (jP 1)(2 l)( r 1) 


22 


10 


p*q*r 


j>^ 1)2(2 1)(^ 1) 


23 


22 


p*qrs 


p fp ]_ \(g ^^ (y 1) (s 1) 


24 


8 


pqrst 


(^-l)(2 - !}(' 1)(* - !)('-!) 


25 


20 



COROLLAKIUM 5 

26. Hinc igitur proposito numero quocunque multitude partium. ad eum 
primarum expedite definietur. Veluti si proponatur 360, cum sit 360 = 2 3 3 2 5, 
erit multitude partium ad 360 primarum = 4 6 4 = 96. 



SCHOLION 

27. Haec circa multitudinem partium ad numerum quemvis primarum 
pro praeseuti instituto sufficete possuut. Interim tamen circa ipsas partes ad 



?!_^ ^VA METHODO DEMONSTRATA ^ 

quemvis numerum primas haec notasse iuvabit: Si numerus ^^7^ rii 

*. M.V/X JLU 



-.. , 

cunque , mter partes ad eum primas quoque occurrent M numeri') 



hincque multo facilius ipsae partes istae actu exhiberi poterunt. 



TPIEOEEMA 6 a ) 

28. A" numerus x fuerit primus ad N, turn omnes Restates ipsius Xfer N 
d'tmsae rehv q uent residua, quae erunt ad numerum N prima. 

DEMONSTEATIO 
"T * * ^*' mnes eius P otes ^e S erunt 

E ; deoque si per ^^ -^ ^ ^ 

COEOLLABIUM 1 

r,n f ; Me l reSldUa erg P testatum W * P^ ^ divisarum alii 
non occurrunt, msx qm sint partes ad N primae; quarunx numerus cum 
pro mdole numen^determinatus, innumerable existent potestates ipsfus" 
1 uae P er ^ diTosae aequalia relinquun^residua. 



1) Haec theoremata ad numeros compositos specfcantia falsa esse neque nisi pro peculiaribus 
numeris N et n valere satis dmonstrant exempla P pecuiianbus 



'o' -- -"-9, 60 + n -..*. RR . 

2) Confer ad disquisitiones sequentes Commentationem 262 huius voluminis p. E. 
EUI.EBI Opera omnia Is Commentationea arithmeticae 69 



546 THEOREMATA AEITHMETICA [90-91 

COEOLLAEIUM 2 

30. Inter residua autem ista ex divisione potestatum ipsius x per nu- 
merum N orta semper reperietur unitas, propterea quod inter potestates 
ipsius x etiam referri debet # = 1. Utrum autem praeter unitatem etiam | 
omnes reliquae partes ad N primae inter residua occurrant necne, mox f 
videbimus. 

. COROLLAEIUM 3 , . 

31. Si pro x capiatur unitas, omnia residua erunt unitates, quicunque 
numerus pro N fuerit assumtus. Deinde si sumatur = JV 1, qui numerus | 
ad N etiam est primus, in residuis ex divisione potestatum (N 1),. (JV I) 1 , I 
(N I) 2 , (-ZV" I) 8 etc. ortis nonnisi duo reperientur diversa, scilicet 1 et N 1 ? * j 
quae continuo se alternatiro. excipiunt. 

COEOLLAEIUM 4 . 

32. Prout igitur numerus x ratione ad N fuerit comparatus, utique fieri 
potest, ut inter residua omnium potestatum ipsius x non omnes partes ad 
divisorem N primae occurrant. 

COROLLAEIUM 5 

33. Si ergo omnes partes ad numerum N primae sint 1, a, 6, c, d, e,..., 
quarum numerus sit = n, inter residua memorata vel omnes istae partes oc- 
current vel quaedam tantum, inter quas autem semper unitas reperietur. 

COEOLLAEIUM 6 

34. Quodsi non omnes illae partes in residuis ex divisione potestatum 
ipsius x per numerum N relictis occurrant, illae partes in duas classes distri- 
buentur, quarum altera continebit partes in residuis occurrentes, altera vero 
partes in residuis non occurrentes. 



THEOREMA 7 

35. Si. series potestatum x, x\ x\ x\ x\ x* etc. per numerwm N, qui ad x sit 
primus, $widatw*, eousque residua prodibunt diversa, donee perveniatur ad potesta- 
i^ 



METHODQ DEMONSTEATA 



DEMONSTEATIO 



Quoniam serie potestatum 1, x , < ^ e tc. in infinitum continuata 
omma residua diversa esse nequeunt, necesse est, ut tandem quodpiam ex 
praecedentibus redeat; ac dico unitatem esse id residuum,' quod omnium 
pnmum sit rediturun, Quod si quis neget, sit ^ ea potestas, cuius residuum 
pnmum m sequentibus ex potestate *+ re deat; cum igitur potestates ^ et 
^ + aequaha praebeant residua, earum differentia x^ - & L ^^-1^ Der 
numerum N erit divisibilis. Verum producti ^ (a r-l) factor prior ad JT est 
numerus pnmus, ergo alter *-i P er> divisibilis sit necesse est. Hin 
autem potestas ^ per ^ divisa residuum daret =1 sicque unitas inter se- 
quenia residua *tms redibit quam residuum potestatis ^, quippe quod per 
hypothesm demum m potestate altiore #* recurrit. Ex quo evMens nullum 
residuum iterum occurrere posse, nisi ante unitas inter residua redierit. Q. E. D. 

COEOLLARroM 1 

36. Postquam divisio terminorum seriei 1, x , J, j t * etc . per numerum 
N ad x pnmum ab initio dedit residua diversa, puta 1, a, 0, r etc , tandem 
iterum occurret primum residuum 1; quod si oriatur ex potestate ^, numerus 
praecedentium residuorum diversorum erit *=r. 



COEOLLAEmM 2 

37 Quando autem potestas * residuum dat 1, idem, quod primus ter- 
minus ^, potestas sequens ar idem dabit residuum, quods'; et sequentium 
quaecunque tf + * idem, quod potestas sf. Cum enim differentia ar+'-af^affr-i) 
sit divisibilis per N, necesse est, ut ambo termini *'+" et tf per N divis 
idem praebeant residuum. 

COEOLLAEIUM 3 

38. Cum post potestatem of eadem residua 1, , 0, y etc. ordine recur- 
rant, potestas <F similique modo post earn potestates x s *, of; <* etc omnes 
per N divisae idem residuum 1 relinquent. Quin etiam omnes potestates 
*-, x^\ a^+", a^^, af+* etc. aequalia residua suppeditabunt 



69* 



548 THEOBEMATA ARITHMETIC A [9394 

COROLLABIUM 4 

39. Si igitur x v fuerit infima potestas, quae post o?=^=l iterum unitatem 
pro residuo praebeat, numerus diversorum residuorum erit v. Cum ergo 
numerus partium ad numerum N primarum sit =n, fieri certe nequit, ut 
sit v > n] erit ergo vel v = n vel y < n. 

COKOLLAKIUM 5 

40. Si ergo series potestatum 1, x, x*, x* etc. usque ad x n continuetur, 
inter eas certe una saltern reperietur praeter primum terminum 1, quae per N 
divisa unitatem relinquat. Plures fortasse huiusmodi potestates aliquando, 
sed pauciores una nunquam existent. 

SCHOLION 

41. Eesidua proprie semper sunt numeri minores divisore N, sed nihil 
impedit, quominus numeros etiam maiores tanquam residua specteinus, cuius- 
modi relinquuntur, si quotus nimis parvus accipiatur. Ita si in divisione 
cuiuspiam numeri per N relinquatur N-+a, hoc residuum aequiv^lens ipsi a 
censeri debet; Mncque, si de residuis sermo sit, omnes hi numeri a, N-\~a, 
2iV+a, 3j\r+a etc. instar unius residui a sunt considerandi. Scilicet mul- 
tipla quaecunque divisoris N sive adiecta sive demta a quopiam residuo a 
eius naturam non mutant atque hoc modo etiam numeri negativi commode 
inter residua referuntur; veluti a N pro eodem residuo est habendum ac a 
et residuum 1 aequivalet residuo N 1. Ex his conficitur omnes nu- 
meros,, qui per N divisi idem exhibeant residuum a, pro eodem residuo 
haberi posse; ex quo enim numero per divisionem quotum niniis parvum 
sumendo oritur residuum vel N+a vel 2N+ a vel 3N+a etc., ex eodem 
quorum plenum sumendo nascitur residuum a; turn vero indidem, si quotus 
capiatur nimis magnus, obtinebuntur residua negativa a N vel a 2N vel 
a SN etc., quae ergo etiam ab a non discrepare sunt censenda. 

THEOREM! 8 

42. Si, $um termini progressions I, x, x*, x\ x* etc. per numerum N ad x 
primum divitiantur, residua fuerint 1, a,b,c etc., in iisdem guogue occurreni 
tarn singulorum omnes potestates quam producta quaecunque vel Unorum vel ter- 
norum vel quotlibet in se mnltiplicatorum. 



95 ~ 96 J _ NOVA METHODO DEMONSTRATA 549 

DEMONSTRATE 

Nascantur residua a, I, c etc. ex potestatibus x*, < ^ etc. ac numeros 
etiam maiores quam N in residuis admittendo ex potestatibus a?" x* x *<* etc 
onentur residua ', ', a* etc., quae igitur etiam in serie residuorum 1 ' 
6, c etc. contmebuntur. Turn vero potestates aT+e, x a+ * x +?+r etc j^' 
quent residua at, ac, ale etc., quae ergo etiam in serie residuorum inveniri 
debebunt. Producta igitur quomodocunque ex residuis 1, a, b c etc per 
multiplicationem formata omnia in eadem serie residuorum occurrent, siquidem 
smgula per ablationem divisoris N, quoties id fieri potest, ad minimam for- 
mam reducantur. Q. E. D. 

COROLLARIUM 1 

43 Haec indoles residuorum eo clarius eluceret, si eorum loco 'ipsae 
illae potestates ipsius x, unde sunt orta, substituantur; turn enim manifesto 
non solum omnes potestates harum potestatum, sed etiam earum producta 
quaecunque in residuis occurrunt. 

COROLLARIUM 2 

44. Neque tamen ideo numerus residuorum indeterminatus evadit- quem- 
admodum enim iam vidimus ex innumeris potestatibus paria residua pro- 
venire, ita, si omnia haec residua ex mutua multiplication nata ad formam 
mimmam reducantur, ad multitudinem modicam revocabuntur. 

COROLLARIUM 3 

45. Ita si minima potestas, quae per N divisa iterum unitatem relinquit 
merit x\ ita ut numerus residuorum 1, a, b, c etc. sit -, turn in eodem 
numero omnia producta ex multiplication numerorum a, b, c etc. nata con- 
tmebuntur, siquidem ab iis divisor 2V toties, quoties fieri potest, auferatur. 

SCHOLION 

46. Unicum exemplum omnibus dubiis, quae forte circa hanc apparentem 
residuorum multitudinem nasci possunt, solvendis sufflciet. Sit igitur x = 2 
et pro divisore sumatur 2V- 15, qui scilicet ad 2 sit primus; iam singulae 
bmaru potestates .per 15 divisae sequentia relinquent residua: 



550 . ______^gg BEMATA ABITHMETICA [96-97 

Potestates 1, 2, 2 s , 2 s , 2*, 2 5 , 2 6 , 2 7 , 2 8 , 2 9 , 2 10 etc. 
residua 1, 2, 4, 8, 1, 2, 4, 8, 1,' 2/4 etc.' 

Potestas igitur, quae primum unitatem reproducit, est 2*, a. qua residua con- 
tmuo eodem ordine 1, 2, 4, 8 repetuntur, ita ut tantum quaterna residua 
diversa occurrant. Hie iam manifestum est, quomodocunque haec residua in 
se mvicem multiplicentur, nunquam nnmeros inde produci, qui non in eodem 
quaternione includantur, postquam scilicet ablatione divisoris 15 ad formam 
nmmnam fuennt reTOcata. In hoc quoque exemplo inter residua non omnes 
partes ad 15 pnmae occurrunt, sed inde excluduntur istae partes 7, 11, 13 
14 quae panter ad 15 sunt primae; unde distributio supra [ 34] facta inter 
partes ad ivxsorem primas, quae in residuis occurrunt et quae non occur- 
runt, illustrator, ad quam potissimum in sequentibus probe respiciatur. 



THBOEEMA 9 

i per divisorem ad eum 



'* ** ** t ad numerum 



quae residua constitutmt. 



DEMONSTEATIO 

Sit series potentate* 1, *, *, *, ^ ' * etc . et diyisor 
cuius partinm ad ^ primaraia ^^ ^ 
potestaa qua. per N divisa it unitatexn relinquit, ita ut 
mum dxversoruxn residuonnn sit =,; qiiae cum ^ sint 
pnm^ eorum numerus erit V el = , ve l zninor; priorique casu Mer 
utique omnes partes ad N primae occwreni 

Consideremus igitor casum, qo v < 

1> a, *', c, ^ etc. 
omnia residua ex divisions petestatwa 



per divisorem non omnes 



97 ~"] NOVA METHODO DEMONSTRATA 551 

ad N primae ibi occurrent. Sit igitur a huiusmodi pars in residuis non 
occurrens ac demonstrari potest nullum quoque horum numerorum 

aa, ab, c, ad etc. 

in residuis occurrere. Nam si aa esset residuum potestati * respondens 
quia a est quoque residuum ex quapiam potestate, putaV, ortum, foret 

\T n +Ua ! *- SN +* ideo ^ *-**- (A- a*)N- per N divi- 
sible. Cum autem at ad N sit numerus primus et ^-^==^-?_^ 

numerus *-c_ esse t per N divisibilis sicque potestas *-* par JV divisa 
relmqueret residuum contra hypothesin. Cum igitur , / a& , ac e tc 
quorum numerus est = v , sint numeri ad N primi atque divisione per N ad 
partes ad JV primas revocari possint, statim atque una pars a ad JV prima 
in residuis non reperitur, simul quoque v eiusmodi partes assignari possunt 
m residuis non occurrentes. Numerus ergo partium non occurrentium, nisi 
sit nullus, ad minimum est -, ac si praeterea fuerit pars ad JV prima & 
m his non-residuis non contenta, denuo habebuntur v partes novae in residuis 
non occurrentes, sicque porro. Quare si non omnes partes ad divisorem JV 
pnmae in residuis occurrant, numerus partium non occurrentium necessario 
est vel - v vel - 2^ vel = 3v vel alii cuipiam multiple ipsius v, hoc est 
numeri diversorum residuorum. Q. E. D. 

COROLLAEIUM 1 , 

48. Constitute ergo discrimine inter partes ad divisorem 2V primas eas 
quae sunt residua, et eas, quae non sunt residua, ex demonstration patet 
productum ex residue et non-residuo in classe non-residuorum semper con- 
tmeri. Ita si a sit residuum, non-residuum, productum aa certe non erit 
residuum. 

COROLL1RIUM 2 

49. Contra autem iam supra vidimus productum ex duobus pluribusve 
residuis in classe residuorum reperiri. Fnde sequitur productum ex uno non- 
residuo et quotcunque residuis in classe non-residuorum occurrere debere. 

SCHOLION 

50. Yis huius demonstrations isto nititur fundamento, quodsi inter 
residua occurrant partes 1, a, I, c, d etc. ad divisorem primae atque 



552 THEOBEMATA ARITHMETIC! 



[99100 



fuent etiam pars ad divisorem prima in his residuis non contenta, turn pro- 
ducta omnia aa, .J, , ad etc. non solum in residuis non occurrere quod 
quidem perfecte est demonstratum, sed etiam ea esse partes ad divisorem N 
primas omnesque inter se diversas seu, si ea per N actu dividantur, relinqui 
residua diversa. Illud quidem per se est perspicuum; cum enim tarn quam 
a, 6, c, d etc. smt numeri ad N primi, etiam eorum producta ad N prima 
smt necesse est. Quod autem producta aa, &, ac, ad etc. smt omnia ad N 
relata mter se diversa, intelligitur, quod, si yerbi gratia duo aa et at per ~N 
dmsa > pana darent residua, eorum differentia &- = (&_) per j\r 6S set 
dxvasibxhs xdeoque et i_ ; id quod hypothesi, quod a et 6 sint diversae 
partes ad N pnmae, repugnat. 



THEOREMA 10 

51. Exponens minima* potestatis #, guae per nvmerum N ad x primum di- 
msa umtatem reUnsmt, vel est ae^alis numero partvum ad N primary vel Mius 
numen setmssis aliave eius pars aliquota. 

BEMONSTRATIO 

Sit n numerus partium ad N prmarum; quarum cum * constituant re- 
sidua, ent numerus non-residuorum =n- v . Y idimus auteni hunc numerum 
esse vel =0 vel -,, vel =2^ vel alii cuipiam multiplo exponentis v. Sit 
ergo n-y-(_i) y| ita ut M denotet vel unitatem vel alium quemvis 
numerum mtegrum, atque Mnc obtinebimus n = mv et y--' unde patet 
exponentem minimae potestatis ipsius x , quae per JV divisa ^ itatem r P elin . 
qmt, esse vel -, si m = l, vel -i f si m==2 , vel ^ genere ^ 

exprimit 



COBOIiAKTOM 1 

52. Si feerit minima potete, ^ per numerum If ad * primum 

relin'uente" 



100-101] 



NOVA METHODO DEMONSTRATA 



553 



COKOLLARIUM 2 

53^ Exponens ergo huius potestatis minimae semper cum numero par- 
tmm ad dmsorem N primarum ita connectitur, ut sit vel illi ipsi vel cui- 
piam ems parti aliquotae aequalis. 

SCHOLIOF 

54. Quo haec ratio clarius perspiciatur, iuvabit nonnullos casus simpli- 
cxores perpendisse Sit igitur , = 2 et pro N sumamus successive numeros 
spares utpote ad a; = 2 primos atque exbibeamus minimam potestatem bi- 
naru, quae per quemque numerum imparem divisa unitatem relinquat 



Divisor 

2V 


Numerus partium ad 
eum primarum n 


Minima potestas 2", quae per 
2V divisa unitatem relinquit 


3 


2 


_ 
2 3 ergo 




v = n 


5 


4 


2* 


v = n 


7 


6 


23 


i 






?? 


V = ~~.yi 


9 


6 


26 


** 






,, 


v = n 


11 


10 


2 10 


v = n 


13 


12 


012 








^ n 


v = ^ 


15 


8 


2 4 


i 






i> 


2 


17 


16 


2 8 


1 






" 


^/ =5S ~~ ^ 


19 


18 


2 18 


,-, M 


21 


12 


2 6 


1 


23 


22 


2 11 


^/ = --.- ^ 


25 


20 


2 2o 


2 


27 


18 


2 1$ 


7/s=:^ 


29 


28 


2 28 

A n 


^/ = ^ 


31 


30 


O5 


1 



LEoiHAi>r EULERI Opera omnia Is Commentationes arithmeticae 



70 



554 . 



[102 



rum 
rum, 



THEOREM! 11 



>* 

umtate mmta semper ^r numerwi N erit 






1= 



DEMONSTEATIO 



=".= 



s: 



uti quiden, 



OOBOLLAHroM 1 



. T r mns * 



* 






COBOLLABTOM 2 



has formas 



___<t 



1) Casus speciales lwxm& iieoreiaalis 
mum celebre illud theorema 
Commentation e kuins 

2) Tide notam p. 534. 



f ore dmsibiles per 
p 



^ ' 

* ^ * 00m P lectitur ^ casnm specialissl- 
^uentem), EULERTJS iam in prima 



103 - 104 3 ffOVA METHODO DEMONSTEATA 555 

COKOLLABIUM 3 

58. Si x et y sint primi ad divisorem N, cuius partium ad eum prima- 
rum nuxnerus sit - , quia tarn *f-l quam jT-l ert divisibilis per *; 
erit etiam x"-y sempe r divisibilis per numerum tf, quod est Theorema 
^6H6r3jlius. 

, 

COROLLARIUM 4 

59. Proposito ergo numero quocunque N, cuius partium ad ipsum pri- 
marum numerus sit = , quicuuque numerus ad N primus pro x capiatur, 
formula x*-l semper erit per numerum N divisibilis. 

COEOLLAEIUM 5 

60. Saepenumero vero etiam evenire potest, ut huiusmodi formula sim- 
r, veluti a*'-! ve l ^'-1 vel ^-1 etc., sit per numerum N divi- 

siklis, quae circumstantia pendet a certa indole numeri x. 1 ) 

SCHOLION 

61. En ergo novam demonstrationem Theorematis PEEMATIANI. quod si 
fuerit jp numerus primus, omnes numeri in hac forma a^~l contenti sint 
per p dmsibiles, dummodo numerus . a non sit per p divisibilis Duas 8 ) 
autem xam dudum huius Theorematis dederam demonstrationes, sed ea, quam 
me exmbm, iis praestare videtur, quod non solum ad numeros primos ad- 
strmgitur. Quicunque enim numerus 2^ pro divisore accipiatur, dummodo a 
ad eum sit primus, hie numerus a-l semper per N erit divisibilis, siqui- 
dem n denotet numerum partium ad N primarum, quae propositio multo 
latms patet quam FERMATIANA. Ex quo eo magis utilitas Theorematum pri- 
morum elucet, quibus numerum partium ad quemque numerum primarum 
defimvi, quae sme hac application nimis sterilia videri potuissent. 

1) Vide etiam observationem ,,haud inelegantem", quae invenitur sub finem Summarii 
p. 532. F. E. 

2) Sed vide notam p. 534. F. E. 



70* 



_, . Commentatio 272 indicis m 

No. co mm entani aeadezniae acientiarum Petropolitanae 8 ( 17 e^ 1763) p. 10 5-1 28 

Summarium ibidem p. 18 _ 20 

SUMMARIDM 

I- 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 
D. 3, 12, 27, 48, 75, 108, 147, 192, 243 



= 



Bine prime eicerpmfar ttra i, 1t 

? ' 13 ' 1 ' ' H ^ 61, 67, 73, 79, 97 



f 

s'. 



SUPPLEMENTUM 

miATj TXT EORBM ^TUM ARITHMETICORUM 
QUAE IK NOMTOLLIS DEMONSTKATIOOTBUS 

SUPPONUNTUR ' p 



19 son 



^HEOEEMATUM AEITHMETICOBUM 557 



omnes numeri primi istius fonnae 6n + l sim ul in m O numerorum genere occurrant, veri- 
tas est multo magis ardua, cuius demonstrate maximas ambages postulat. Demonstrari 
scihce oportet semper dari numeros -, et *, ut sit 6+l-. JPJ , + 8 M , siquidem numerus 
61. + 1 fuent pnmus; ubi imprimis notari convenit, nisi Qn + l sit primus, bane proprie- 
tatem sae pl us fallere, uti fit in numeris 55, 85, qui etsi mnltiplum senaxii nnitate supe- 
rant tamen neutiq.am in forma W+ 3 M continents At si huiusmodi numerus 6 + l 
fuent pnmus, qnantumyis sit magnus, yeluti 20161, certo pronunciare licet duo dari qua- 
drata , et M ut sit 20161 - W + 8j 2; reperitur aute mjP = 31 et , = 80 neque plus 
uno modo hoc fieri potest. F 

En ergo summam Theorematum Me singulari prorsus modo demonstrator urn, quod 
omn is numerus primus formae 6n+l semper in bac forma Pp + ^ t idque unico 



t unco 

modo, contour, ex quo sequitur, si quispiam numerus formae 6 W + 1 vel prorsus non 
m forma 



C0 ntineatur vel plus uno modo, turn eum certe non fore primum 
Fundamentum autem barum demonstrationum in bac proposition est situm, quodsi numerus 
formae W + 3 W non fuerit primus, eum non alios admittere divisores, nisi qui ipsi in 
eadem forma pp+Bqq contineantur. 

His autem principiis Auctor iam olim erat usus, cum demonstrasset non dari duos 
cubos, quorum summa rel differentia sit cubus*), turn vero etiam nuper, cum nWa plane 
methodo problema de tribus cubis inreniendis, quorum summa sit cubus, solvisset quam- 
obrem, ut bic nibil amplius desiderari posset, omnino necesse erat Theoremata ista rigidis 
demonstrationibus confirmari. Ceterum ingenue fatetur Auctor has demonstratives ex 
pnnczpus nimis alienis esse petitas fo.tesque magis proprios dari eo deducentes, ex quibus 
F EEMATIUS hausisse videtur, cum inde se demonstrate asseveret bane aequationem 
generalem a J = c nunquam locum babere posse, statim atque exponens binarium 
superet, cum tamen EULERUS bane impossibilitatem tantum pro casibus n = 3 et n = 4 
demonstrare valeat; ex quo eo magis dolendum est FERMATIANA inrenta temporum iniuria 
periisse. s ) 

Cum nuper demonstravissem non dari duos cubos, quorum summa sit 
cubus, sine sufficiente probatione assumseram omnes numeros in hac forma 
contentos mm + mn + nn, quae forma facile ad hanc reducitur pp + Zaq 
nunquam alios admittere divisores, nisi qui ipsi in eadem forma continean- 
tur. Atque mnc conclusi, si forma mm + mn + nn fuerit cubus aliave po- 
testas, ems radicem quoque numerum eiusdem formae esse futuram; cui fun- 

1) Sed vide notam 1 p. 558. F. E. 2 ) Vide notam 3 p. 574. F. E. 



damento etiam tota democratic modo memorata innititur.*) Cunx del. 
metnodum novam et maxirnp mmAv*in > 

TI oxposuissoro. tres cubos ii 

1 omnibus 

eandem indolem numerorum in forma 
contentorum tanquam certam assumsi, sed 



mer 8 ~ 

to,anmn non taplicare, nisi qui e ss ent formae ** + !) Qnto 

primos 



T-2- 



etc 



, 

" 



formis 



in hoc Analyseos 



vel cw, v el post plurima tenuna 



. 

2) Vid Comm(itfiom 255 taiu 

3) Hoc 



p E. 



- * - 164, 
p. 466 



SUPPONUNTUR 559 

Ita si fa* cubi inveniri debeant, quorum summa sit cubus positis 
eorum radicibus x, y et a statuatur ' P 

tf + y* + z* = v\ 
Turn yero istorum cuborum radicibus sequentes formae tribuantur 



et quoniam loco quaternarum quantitatum x ,y, , et v quaternae novae 
Y et 2 m calculum introducuntur, his positionibus problema non 
est censendum. Cum igitur vi problematia esse oporteat 



sive 



per assumtas formas habebitur 



bisque valoribus substitutis obtinebitur divisions utrinque per 2m facta 



ubi cum termini medii se utrinque destruant, fiet 
(mm 



Hie igitur commodo usu venit, ut haec aequatio per ^_j dividi queat in 
quo lp so summa utilitas nostrarum positionum consistit; nanciscimur e^im 
nanc aequationem 

mm + 3nn = 3p(t f 

unde assumtis numeris w et cum altero reliquorum j, vel 9 pro lubitu 
alter sponte et qmdem rationaliter determinatur, quod eximium commodum 

Ci "Tf ,' ni8 l P Strema ae ^ atio d em P^ y- 2 s admisisset. 
Msi ergo fractiones evitare velimus, habebimus statim 



560 SUPPLEMENTUM QUORUNDAM THEOREMATUM AEITHMETICORUM [107-108 

Yerum etsi fractiones facile erui possunt, dum aeque multipla quaecunque 
radicuin x,.y, g et v pariter satisfaciunt, tamen ad expressions sinipliciores 
pertingemus, si muneros m et n statim ita assumamus, ut mm + Bnn primo 
divisibile evadat per 3, turn vero insuper duos contineat factores, quorum 
alter pro p, alter pro q aceipi queat. 

Primo igitur statuatur m = 3k, ut fiat 



et quia, ut mox demonstrabo, numeri formae nn + Bkk alios non admittunt 
divisores, nisi qui ipsi sint eiusdem formae, ponamus 

nn + Skk = (a a + 3bfy(cc + Sdtt), 
ut sit 

<p = aa + 31)1) et q cc + Sdd, 
eritque vel 

c + 3Jd, k bc ad, m=3t)c 
vel 



Hanc pluralitatem valorum per ambiguitatem signorum ita exhibere pote- 
rimus, ut sit 



ideoque diversi valores pro m et n sumtis pro a, b, c, d numeris quibus- 
cunque erunt 

L + -3(fcc4-a^^( ftC _3ft<r), m-- 3(6c + ad)-(ac- 3bd), 
II. m + n = 3(6 C + ^)-(ac-3W), m- * = 3(6c + ad) + (ac - 3bd), 



n - -r-- - - ad>+ (ac 



Hinc autem sequunter mlv&mm, ^m& iam dadum fusius exposui, quare ad 
propositum revertor seqp^tes proposftiones demonstraturus. 



108-110] QUAE^NOmULLISMMQH CTff .A^x TI p 17 . g^ 



PKOPOSITIO 1 



numerorum a et I. 



communis divisoris 



DEMONSTRATE) 

Sit enim m maximus commimis divisor numerorum *** * -. 
c et b^md existentibus iam c et d 






COEOLLARIUM 1 



COEOLLARIUM 2 



numeri primi inter se. Neque vero 

est d 



o ,t mt 



COROLLARIUM 3 
4. Deinde etiam patet formam aa 



COROLLARIUM 4 



LBO MABW Ku BI Opera omma I, Commentationes arithmetics 



71 



562 SUPPLEMENTS QUOBUgDAM THEOBEMATTJM AEITHMETICOEUM [110-111 

huiusmodi numeri fuerint pares, quaternarium tanquam eorum factorem sim- 
plicem considerare licet, etiamsi alias quaternarius utpote binarii quadratum 
non inter numeros primos referatur. 

COBOLLARIUM 5 

6. Si ergo numerus formae aa + BM sit primus, non solum certo con- 
stat ambos mimeros a et & esse primos inter se, sed etiam utrumque non 
ease imparem. Necesse igitur est, ut alter sit par, alter vero impar ' 



PEOPOSITIO 2 

7. Si numerus formae aa + Bll per ternarmm est dwisibilis, tune etiam 
gmtus est nwmerus formae eiusdem. 

DEMOFSTEATIO 



' necesse est ' 
q - a = 3c et 

/ /' ^ ^ 3 dlviSUS dat qu tum Sco + ftJ, qui utique est 
numerus eiusdem formae act + 3&&. 

SCHOUON 



esse num erum formae 






---iz s: 

' 



_ m _ + 

*- T '), .qno. ope, a M,^, M et alir faerit par alter 
forma mm + mn+'nn K) o<,^-3W redMtar. 






1 J2^?LJ*!^L2!^^ SUPPONTOTUE 

~ ~~ ' *" . i 

PROPOSITIO 3 

- , . vv $, -|~ 3J& per QUC 

quotus erit numerus eiusdem formae aa + 36& 

DEMONSTRATIO 

Divisio formae aa + 36& Der 4 qnrrp/Kf ^ i j- 
~ i * -j. , F succedit, si vel uterque numerorum 
a et o raent t>ar v^l imnQv TV;^^ j _ ^ .*"^wuiu 



9. nwnerus formae aa + 366 per guaternwium est dwisibilis turn etiam 



Casu 



Sn at 

Sin autem uterque numerus et J fuerit impar, turn eorum vel summa 

vel diifaairiaa certo erit dmsibiHs per 4. Namque cum tarn a + /qlm 
a-i sit numerus par eornmque summa sit 2, hoc est numerus impariter 



aa + 366 = 16cc 
unde divisione per 4 instituta prodit quotus 



COROLLARIUM 1 

10. Hie pariter notasse iuvabit ipsum quaternarium etiam esse numerum 
formae aa + 366 mde resultantem positis a-1 et 6 = 1 At ex forma 
mm + mn + nn quaternarius nascitur, si ponatur n = et m 2. 

COROLLARIUM 2 

11. Cum igitur viderimus dari numeros formae a + 366, qui tarn per 3 
quam per 4 siut diyisibiles, nunc demonstravimus quotes ex utraque diyisione 
resultantes etiam esse numeros eiusdem formae aa + 366. 

COROLLARIUM 3 

12. Quodsi autem ambo numeri a et 6 fuerint impares, turn quotus ex 
dmsione numeri aa + 366 per 4 nascens erit numerus impar. Vidimus enim 
quotum esse 4 CC 2&c + 6&, qui ob 6 numerum imparem certo est impar. 

71* 






SCHOLION 

13.^ Quod hactenus de divisione numerorum formae 

per 



per 3 et 4 



p 

forma esfc excludendus. 



m> quotum gdli t 

in finem ' ut 

P rimos * - + 8W, inter qnos 
sit Pri"^ P-pterea quod 



differentia 



luncquefiet 



PROPOSITIO 4 



DEMONSTEATIO 



oqe t 



formae. 



<!* + 8*0; 



Verum quia a est nnmems integer 



ut 



nnmerorum 



et 



- _ 

aa + 3bb per pp + 3qq foerit divisibilis, hinc obtinebimus 
aa + m = 3mpp + Qmmqq + 3nnqq + 



unde patet hunc numerum per numerum primum P-pp + 3 M divisum pro 
quoto dare nn + 3mm, hoc est numerum formae aa + 36 J. 

COEOLLABIUM 1 

15. Quoties ergo numerus formae aa + SM diyisorem primum habet 
P-lp + 3 M> quotus est numerus formae rcn + Smm. Yel, quod eodem 
redit, si numerus aa + m constet duobus factoribus, quorum alter sit pri- 
mus P-pp + 3 qg , turn etiam alter factor, sive sit numerus primus sive 
compositus, ent numerus formae nn + 3mm. 

COBOLLARIUM 2 



16. Si igitur numerus a + 3W duobus constaret factoribus, quorum 
alter non in forma nn + 3mm contineretur, turn alter certe non erit primus 
formae pp + 3qq. 

COBOLLARIUM 3 

17. Ex demonstratione patet, quomodo innumerabiles numeri aa + 3bl 
exmberi queant, qui omnes sint divisibiles per pp + 3 M ; eiusmodi nempe 
numeri obtinentur capiendo 

a = 3mq + np et b = mp + nq 

neque Me amplius opus est conditionem adiecisse, ut pp + 3qq sit numerus 
primus, quoniam his valoribus assumtis in genere fit 

aa + 366 = (pp + 3qq)(nn + 3mm). 
OOROLLABIUM 4 

/ 

18. Hinc igitur vicissim intelligitur, si duo pluresve numeri quicunque 
formae a + 3W in se invicem multiplicentur, productum semper fore 
numerum eiusdem formae. Quod enim de producto duorum valet, facile ad 
productum quotcunque talium numerorum extenditur. 



SOHOUON 



esse numerum eiusdem formae, 



numeris formae 
hinc per 



quae postenor condatw cum pnore necessario est connexa. 



PROPOSITIO 5 



erit 






DEMON8TEATIO 



ut sit 



' l 






1) Confer Commmm<mm 228 taims 



6. 



F. E. 



116-118] QUAE IN 




COEOLLAEIUM 1 
21 Si ergo numerus + 8W fnerit products ex numeris quotcunque 

rr8 ^oL ; ma ; ^ +% * et praeterea * ^ ^ 

aa + m-MPQB8ete., certo affirmare poterimus hunc numerum M esse 
emsdem formae seu Jf-=n B 



COEOLLAEIUM 2 

22. Quodsi igitur numerus aa + 36& unum habeat factorem 4 qui non 
sit numerus formae nn + Bmm, turn alter factor neque erit numerus primus 
formae pp + B M neque productum ex duobus pluribusve huiusmodi numeris 
.riijLiis 



COROLLABIUM 3 

23. Bodem ergo casu si ponamus aa + 366-^LJ? et A non fuerit 
numerus formae nn-+3mm, turn S unum saltern factorem primum complec- 
tetur, qui non erit hums formae. Nam si B est numerus primus, non erit 
formae pp + 9qq; sin autem non est primus, quia non ex meris numeris 
pnmis formae pp + 3 M constabit, unum ad minimum factorem continebit 
qui non sit eiusdem formae. ' 

COEOLLARIUM 4 

24. At si existente aa + BM-AB factor A non fuerit numerus formae 
n + 3mm, turn yel ipse erit numerus primus in hac forma non contentus 
vel saltern factorem implicabit primum in hac forma non contentunr si 
emm A ex meris numeris primis formae pp + 3 M esset conflatus, ipse foret 
numerus eiusdem formae. 

COROLLARIUM 5 

25. Hinc sequitur, si numerus aa + m unum habeat factorem primum 
in forma pp + 3qq non contentum, turn eum insuper certo adhuc alium fac- 
torem mvolvere, qui aeque non in hac forma pp + Bqg contineatur. 

COROLLAEIUM 6 

26. Ita iam ante vidimus, si numerus aa + Bbb sit par seu factorem 
habeat 2, qui numerus non est formae pp + 8 M , turn eum insuper eundem 
factorem 2 complecti seu non solum per 2, sed etiam per 4 esse divisibilem 



[H8-H9 



SCHOLION 



27. Exhiberi quidem possunt numeri formae aa + 36Z>, qui per numerum 
quemcunque N sint divisibUes, etiamsi N non sit numerus formae pp + Saa, 
dum scilicet pro a et I multipla quaecunque huius numeri N accipiuntur; 
itaosito aa + m - NN(mm + 3nn non solnm 



ennmerus aa + m - NN(mm + 3nn] non solnm 
per N Bed adeo per eius quadratum NN fit dmsibilis; hocque ergo casu 
utique dno adsunt factores N et N, quorum neuter in forma ^ + 8 M con- 

1 2 ndimU8 - V 8i - et 5 si nt numeri te ae prnni. 
locum 



. 

ie casus locum habere nequit, ex quo merito dubitamus, num . numerus inde 
formatus + 8 6J prater binarium ullum admittat divisorem, qui non sit 
forma. Pf + ^ De binario quidem hoc negafi ^ 

foermt numen zmpares ambo, divisio per 2 succedat; at yero turn insuper 

s dnr\r r . iu eoniunetus praebet fact rem 4 ^- -^m 

.dum. . Ddigentms xgitur examinandum restat, utrum, dum a et I sunt 



esse 



ren, 

bin^ii "^ " qU neg0ti aUtem * r be est ^ 

casus bmani, quern excipi oportet, in demonstration quicquam turbet. 



PEOPOSITIO 6 

28. 



+ ^ ^^^ 

aa+m m is a et b 



DEMONSTEATIO 

Quia .a et 6 son* imiteri prinii inter se et aa + m per ^ divisibilis 
pomtur, erunt I quoane urimi a ^ A <& ,-ir P aivisiouis 

posset P Sl ^ nUmen essent maiores 



ut numeri c et d, qui pariter tarn inter se 1 ) quam ad A 
forent semiasi ipsius A minores, scilicet c < ITet' 
primus est impar; casum enim et 

hac positione q 



hincque obtineretur 



mrn, in forma 
non erit numeras 
pri^m in hac f orma 
factor eritque certe B 



non 



emtentibus numeris o et <J inter se 



atque adeo 

numerus formae ^ + 3 M , necesse esset 
toren, prunur, ta fonna , + , 
co + 3 esaet per 4 , quod evenre, si 
e SS et unpar, us quadrans fa + tU) ad form am ee 
,nae cum per A etiamnonc foret divisMis, multo 
unphcaret ftorem primum impare^ in fonna 



, quia ^ utpote 
Prodiret autem 



esset per 

ur ^ Slt 



iff 
" 



iste etas 



Tel 



t 



29. 0ies 

- MT , i 

forma pp + 3^? contineantur. 



PBOPOSITIO 7 
i hums formae aa 



E ra m Opera onmia I, Commentatioaes arithmetioae 



72 



DEMONSTEATIO 

Si enim numerus quispiam formae aa + 3&6 haberet factorem primum 
quantum magnum A, qui in forma , + 3 M non contineretur, ex eo in- 
venin posset alius numerus primus J5 minor A ' f 

contentus, qui pariter esset divisor cuiuspiam^umeri formal *+**ll 



indolis inveniri P s ^nt haecque 
terminaretur neque etiam unquam ad binarium perveni- 

f ti numeroram i^egrorum continuo minorum invol- 

contradictionem, seqnitur prater binarium nullum dari numerum primum 

f l n C nteiltUm ' Pef ^ m ^ numerus formae aa 
exxstentibus a et & numeris inter se primis. 



COEOLLARIUM 1 



s formae 



., 



et 



formae 




contentes productum ex quotcunque huiusmodi 

semper ad formam + 3 5& revocari posse. Nnnc 

inversam demonstravimus, qua patet 

factores adhere, nisi 

assumsimus numeros a 

P^i, sea 

6-wd, turn numerus 

quadratum , cuius radix 



P o * o 
' 

" 

+ "* 

Hie quidem 

"" 



habebit 



nmnaraa formae 
hypothec, 



PROPOSITIO 8 



DEMONSTEATIO 



est, 



tadce, excepto scilicet te mari o ip ao , ciu S s 



OOKOLLAEIDM 1 



per 3 



COBOLLAEIUM 2 

36. Hinc omnes numeri primi formae 6 - 1, qu i sun t 
5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89 etc., 



72* 



572 SUPPLEMENTUM QUORUNDAM THBORBMATUM AEITHMETICOEUM [124-125 

ex divisoribus numerornm formae aa + 36& sunt excludendi seu nullns 
numerus huius formae a a + 3&&, dum quidem sint a et & numeri primi inter 
se, exhiberi potest, qui per ulluin numerum primum formae 6^ 1 sit divi- 
sibilis. 

SCHOLIOlsr 

37. Utrum autem omnes numeri primi alterius formae 6^ + 1, qui sunt 
7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97 etc., 

sint divisores numerorum formae aa + 3&6 seu, quod eodem redit, an omnes 
in forma pp + 3gg contineantur, ex allatis nondum affirmare licet. Inde 
enim tantum constat omnes numeros primos formae pp + 3gg simul in forma 
6^ + 1 contineri et propositio inversa peculiari indiget demonstratione; qnae 
ita concinnari debet, ut proposito numero primo formae Qn + 1 quocunqtue 
ostendatur semper quempiam numerum formae a a + 3&&, in quo a et 6 sint 
numeri primi inter se, exhiberi posse, qui per ilium numerum 6^ + 1 sit 
divisibilis; in quo negotio loco formae aa + 3&& etiam haec ff+fg + gg illi 
aequivalens accipi potest. Si enim numerorum f et g alteruter, puta g, fuerit 
par, erit 

ff'fg'+99-(fj9) + 



autem uterque sit impar, erit tarn f+g quam f g numerus par et 



Quodsi ergo exhiberi queat numerus ff+fg + gg per numerum primum 
6^4-1 diyisibilis, ita ut f et g sint primi inter se, simul constabit numerum 
6^-f 1 ease numerum in forma pp + 3qq contentum; id quod in sequente 
propositione demonstrabimus. 



1) Editio princeps (atque etiam Comment, arithm.}: 

f^f 
fff9' 



Correxit F, R. 



125-126] qPAJm^DggUIJJBJM^^ SDPPONUNTUE 

PROPOSITIO 9 



DEMONSTBATIO 



alterater hormn factoram per 6 + l ,it divisibilis necesae est. 
dentar casus, qa ,bs factor *-*. non a it divisibUis per . 

sit di Ms - Us 



, -, -, ... -i 

sint per 6 + 1 divisibiles, ubi qmdem pro a pnmes numeros ipso Qn + 1 
mmores xdeoque primes ad euxn assumi pono. Nam si omnes'hi i 
per 6 + l essent dmsibiles, eorum etiam differentiae cum primae Turn 
secundae et sequentes omnes per 6. + 1 assent divisibiles ideoque etam 
differentiae ordims 2n, quae sunt omnes constantes et hoc mode exprimunC 

2 2K -^.3 2 "+?^ 2n -. 1 ). A* 2(2-l)(2n-3) r3B 

1 * l-s 4 ~ ........ ............... 1.2:3 ............. - 1 5 2B +--. + (2 + 2 W ) 2 ", 

ubi, cum sit 2n + 2<Gn, nullae potestates numerorum per 6n + l divisi- 
hhnm mgrediuntu, Aliunde autem constat differentiam rdto 2 esse 



esse 

1.2- ^4... 2^; quae cum certe non sit per 6^+1 divisibilis, manifesto 
mdicat repenri adeo inter hos numeros ^testo 



1) Vid Commentationem 134 Luius volurainis, theorema 4. F. B. 



574 curr.TUM ofTfTRmmiir THEOEEMATUM AEITHMETICOEUM [126-127 




SCHOLION- 
C " demt tel 'tione theorematis non dari duos 



Um inveniendi 



CUnS ' -". i-> Ptaa rigide sunt 
. Assamaeram autem primo numeros formae aa + m B6 u 

M di 



6. 

umneros primos ta fomula 6 +1 



' a 

pro perfectis sunt habendae 



rr. ^^ e - - q = 

evaoiescat Dem numeros primos omnes 



n COnSi ^ alion6 differed versatto-, ctun 
262, 72, esposait f mutmbbra, qTias EDLBEI[IS ^ Coimnentationibus 241, 5, 

2) Se5 Tide aotam 1 p. 5&8. f . E. 

(ef."notam 2 p. 51 el aotem p , 404^ fliSvJv* T" ^^ H DIOPHA ^ TI ArWmuKcontm 
observatio masginalis haee esfc: ' SZK42> > * I, p. 291. Celeberrima FBRMATII 

daos cobos 

* 



formae Qn + 1 esse in formula 
de m on str are non ,icet nun 
W> + 2 M contineri, quod tamen 
stratum.') Successit 
4. + 1 sint omnes 
strare p OS81m omn es 
Pi> + 2 M contineri; verum 
possunt ae,ue vera, veluti 
20 + 1 vel 20+9 simul in 
Plum alia, ouae tamen nondum 



^ 




S 

a) 



164, 

F. B. 



DE RESOLUTIOKEFOEMULAKUM 

QUADBATICAEUM ItfDETERMESTATARUM 

PER NUMEROS INTEGROS 1 ) 



Commentatio 279 indiois 
Novi eommentarii aeademiae scientiarum Petropolitanae 9 (1762/3), 1764, p. 3-39 

Suffimarium ibidem p. 58 



SUMMAEIUM 2 ) 

Consideratio n^erorum, quamvis plerisque omni usu carere videatur, tamen per se 
non solum admod est iuc^da, 8 ed etiam aMxnnm ad veritatis indagationem non Idio- 

T 116 ^ ^ "^ ^^ MaXlme enim abundat doc ^ numeroruzn 
**^ qaar^ ^estdgafio et dexaonstratio ta.tam ingenii peuetratiouem 



P-o q uide m series nu m ero ram atu- 



-- 



., 



t """ ** 



_ 

ea, elici oportet, qme muneris rel saltern rationalrtm, ,el mtoam, torf , 
Cum, method! m per esemplum olarissime pe,ideto si . " i ' ">- 

deber, q orum , D .drat. 



ubi, quicunque numeri pro y accipiantur sive integri sire fracti 
numeri rationales resultant, quibus formula ' 



duplicetar , 

' 



affert, cum pro , et s einsmodi numeri ssnmi 
- 



taen ta eon ,, adiect. problem, eti^m reeipit ina,J, Ue, et 

pro a; assumendi hac lege procedunt 

0, 2, 12, 70, 4Q8, 2378, 13860 etc., 

ubi continuo sequens aequatur sextuplo ulti mi demto penulthno, cuiusn 1 odi series vocari 
solent recurrentes, unde evidens e s t et harum solution, Wtitudine. esseTnflZ 
et iamsi cont^uo rarius occurrant. Ideoque facUe inteHigitar m inventilL tul' 
magis esse arduam. wuiuuwu muno 

Gel Auctor Imius dissertations methodum peculiarem exponit huiusmodi problemata 
facile resolvend, quibus in genere Omnes numeri integri pro . assu^di quael 7t 
haec formula >***+ + ? evadat numerus quadratus, du m ., p, v den l nt 
quoscunque atos. Ubi pri mo quide, observat solutions non succedere, ni 
n m erus pos^vus non quadratus, turn vero necesse esse , u t una saltern solutio iam 

TT SOlUti " niCa Statim " SI FaeSt0 fU6rit ' ^znadznodunx inde o 
infimtum lnveiliri queant ergicue ^ ^ 

hie im pri m is natura. hni 



1) Scilicet in Commentatione 29 hums voluminis, R R 
H BUWRI Opera omula Is Commentationes arithmetioae 



73 



t 
578 BE EESOLUTIONE FOEMULAEUM [V 4 ! 

modi problematum accuratius perscrutatur et criteria elicit, quibus problemata huius generis 
impossibilia a possibilibus distingui possunt. Denotante scilicet a mimerum quemcunque 
positivum non quadratum, quia expressionem superiorem semper ad lianc formam aocx + y ,; 

revooare licet, ostendit, quinam numeri pro y assnmti problema reddant possible necne. I 

Veluti si sit a = 3, notum est has formulas 3xx + 2, 3## + 5 ; 3xx + 8 etc. nunqnam ! 

fieri posse qaadrafcas. In maioribus autem numeris pro a sumtis hoc indicium multo magis | 

fit arduum; verumtamen Auctor criteria certissima indicat, quibus in omnibus casibus ex- I 

pedite uti licet, ubi multa, quibus miranda numerorum natura non mediocriter illustratur, 
occurrunt, et quae in aliis quaestionibus usum insignem habitura videntur. 



PKOBLEMA 1 

1. Proposita formula irrationali 

Y(axx + fix + y) 
invenire nimeros pro x siibstituendos, gui earn rationalem reddant. 

SOLUTIO 

Ante omnia notandum est hanc investigationem frustra suscipi, nisi ixrms 
saltern casus constet, quo ea fiat rationalis. Ponamus ergo hoc evenire casu 
w ;==-a eoque esse 



ita nt & sit numerns rationalis. Huiusmodi autem casus unico cognito innu- 
alios ex eo derivare licet. Ponatur in hunc finem 



x == a + w# et V(axx 
et too aequatione quadrata fit 



+ aaa + 2amaz -f- ammzz == bb + 2nfi8 + nnzz. 
-,+ fta + fimz 

; H'., + ''* 

iaiE per hypothesin sit 66 = aaa + ^a 4- Y, reliqua aequatio per z 



*L_Q^ PER NTJMBBOB 

divisa dabit 

2ccma + /3m -f awws = 2nb + 
ex qua elicitur 



nn amm 



Quo valore substitute concludimus, si ponatur 
fore 



= (nn + amm)a 2 mnl + ftmm 



nn amm 



Quicunque ergo numeri pro m et * accipiantm-, ex casu cognito 

a -f j3a 



infinitis aliis modis 





eritque 



ww 



SCHOLION 

2. Ad hoc ergo problema solvendum necesse e 8 t, u t aliunde unus saltern 
casus S1 cogmtus, q,o formula proposita fiat rational Neque 4ro 
hmnamodi casu explorando ulla certa regula praescribi potest cum e 
dentur emsmod. formulae, quas nullo plane ^L^^' 
stratum eat. ft enim ver bi gratia haec formula ^, + 2 pr 
certum est nullum numerum rationalem pro inveniri posse, quo 

autem satis noti sun 



est capax, quippe. quod evenit, quoties in hac formh 
+(r + )(. + ) continetur, tame, hie non euro unt 
asus Ule quern cognitum assumo, sit haustus, sive certa quadamltiol 
sxve dmnatme mnotuerit. Verum cum cognito uno casu LJL tfin" 



78* 



580 



K KKSOMITIONK FtUtMt'I.AKUM 



torum aliorum imlla laboret diftirultub*. \nc {intwriimuin ml HolutioiWH, emae 
numeris integris absolvtmtur, nwpteio. Cum wiim vnloro* pro x invent! per 
fractionem exprimantur, nova iam oriiur quawtio. quouuxtu immrcw m et 
assumi oporteat, ut iutlo mnutni iittt k gri j)rt> j- ubtituuuitur. 



PEOBLEMA ^ 

3. Si a, ft, y sint nwneri hiti'tfri dati, invrnirc. 
smiendos, qui formvlam <xxx -f fix -f- y qmutratum 



nm itt<<iru pro x 



80LUTIO 

Iterum assumo unum numftruiu ititegruru 
faciat, ita ut sit 



, tjui quamtito 



ac modo vidimus, si sumatur 



fore 



Superest ergo tantum, ut rideaunu, ctiiasmodi numeroit im m ii amumi 
oporteat, ut hae formula integrae evadaat Quod quidem ntatirn flt^ri 
spicuum est, si uki^M dmomiofltor - itatiuinr uuibiti u 
Sit igitur 

-H-mM: M l wa --}- 1'} 
ideoque ' ' 

V(nwi + 1); 

nisi autem sit a vel wmems q^ratus nl negativus, htiic ftrnmibii somper 
aatisfien potest; s^ ^ * ve i grates vel negative, M proltena 



^ 



1) D hac 



If.. p. 



__ Ool 

venit. Sit ergo numoruB integer pos 

men rt afen.ii ^mit, \t 

modis ficiri pctoHf,, tanum Hufflcit m ini 11 u)s solos nosse 



nosse 
et *"-wow 



flic<iuo halwtur n<vu c 
quo is M . ot ft pnH 

H ho( , modo 



rw^mdcntiw VITII vnlonw funiiulao !'( H /* + y) aiiit 

*. ''' *". />'" <slr, 
ac ,u,nti 



. ,,,,, /,'",. 

Ot<% 

Hac igilur rail,,. ,,., ,,ll w iu ,m w ,,li !(,.(, 8ic , I110 

' 



OI 



1 

4 tit iri 



it , 5H modfa in ^ 
m M^t, m ^ w . ,,t .HUH it num quadratus 



fifc quailrafcum> 



ftf A| 
^M A 

ft. A* Mi f Ml *rj| ,, , MW jii VUH noll (!UJU i mtuHt turn primum quae- 

If* ililii # 4 i #*' !**< I*** uj* t i * // j *.. 



582 I>E KK80LUTIONK F 

- ............. 

potest 1 ). Quibus invontis ,si ponatur 

\f(*xir + fa + y) > . y 



atque iam cognitus fuorit casua qmwwtioni HaiMsictwiH, <jui xit .r . H VrM 
ex eo per primam operationora mm Holum IUIUM, HH! duo novi inwuiontur 
ob signi ambiguitatem. Krit quippo 



(ttrt -j- 
et 



)t 
OOliOLLAftlUM 



6. Si sumantur taatum sigiwram ambiguoritm Hiiiwriom, tit, continue 
ad maiores numeros satisfedentes pemniarnu, attjiHi valonm pro * hoc 
modo successive prodeuntes designenfcur pr , , , ', lv tc., valonw 
autem pro y respondentes per J, &' Z, n , 6 l , ft'* O tc., rit 



( N n 



a" 



; . , etc, 

OOHOLUMUM 4 

^ 



' * amftr -^mm atriuqne continaatio ab uteaquo 



ex biais praecedentibus. 



1) Vide F 



,-10! QtTADKATH^UM IK,,mBMm ATARDlf 

Veram ox valoro ipsiiw l OH t 2M&~'- 
ipsius 2*ww* ihi Hul>Htit,uto prohibit, 



At oh 



v, ___ 

;w P 



~ pmm, quo valore 



iit 



i. ('urn iKit-ur Hiniili tuotlo 



habentur - pri 



f fl 



etc. 



Pril 



ll ! IHl l ' n * r " iwio rm A, //, ^ ft etc. est 



. HI n 



a 



com- 



[10 
at ex valoro h 

fit Ob *, .. 



< II -f- 

(M -f 




ems radices 



COBOLLA1WM D 
J umxa 






10111 QTJAIWATIOARUM INDETBEMINATAttUM PER NUMKROS INTEQBOS 585 
alterius voro serial 6, l\ 6", b m etc. terminus cpictmqite per hanc 



sumto pro v numero quocuxujue intagro, 

111 Si hie pro 2v subsbituamuB successive omnes numeros integros 0, 
1, 2, 8, 4, 5 etc., utraquo progressio prohibit interpolate rains termini medii 
quaesito aeque satisfacient, dummodo fuerint integri. At reperiemus posito 



lr-0 



. ?f& 4. 



y "" 



eat recuxxexia scalam relationis habens 2n ? 1; ac pro 
priori ?aloram % , ttooi termini conseeutivi sint P, ^, E, erit 



Cv 



at si in progressione valorum ipsias y terni termini se ordine sequentes sint 



Quodsi ergo fwerit | (^^1) Eiimeras integer, omnes hi termini problema aeque 
resolTent sicqme dnplo plfees obtinebimus solntiones, quam methodus ad- 
hibita snppeditavei^l Quod autem plures locum habere possint solutiones, 

1} HM pW{Wi*wto ''leac 'eongruit cum ea, quae etiam in huius voluminis Commentatione 29, 

7, expoitt* ert ' ' : , 1 '% Bfc i : / ; '" 

ila la Commentationes arithmeticae 74 



MI -13 

qwwi mveninmii. in* (toto tnll^tm, , itt(H | |WM ,|r M f ,^ i{ ,^ m . 

PROULK&IA ;* 

SOLUTIC) 

+ r} **" hi 



non hwis fora 







ergo 



fit 



13-14 1 QUAIWATICAWM INUKTBRMINATAIUTM PER NUMEROS INTEGEOS 587 



ita ut sit 



Iteram igitm* 
ut sit jp 



$ -- eeqq ~\ 



et 



unto <>5c numoro a binos numcros 
-f !)* quilwH mvoiitis habebitur 



et ^ assignari oportet, 



ot 



Dtimmodo org<> fucirit a ^ (^ 1) rnunortw integer, hi valores satisfaciunt. 
Quia auttun nunioroH y ot </ tarn w>.gativo tiuaiu positive sumere licet, hae 
formulae iiwupor trfts alian Holutioiuis suppeditant 



, 4- 



a;. 



H" 1 ) ot y 



Bi porro horum bini quicunque pro ot & assumantur, ex quolibet 
quatuor novae Rolutiones oriontur. Hinc tamon non 16, sod tantum sex 
diversao oriimtur, inter quas acleo priraa cogiiita x a et y *=* & et, quae 
huic est affinis, *--a J ot y^-b cxmtinentur; reliquao vero quatuor, 
sunt 



ex quibus 



15 

vel etiaaa 
in 



novae 










- (RP 4- 
4- " 






soMi0nes 



I**;: 

... ,,.., ^^ 



, H|srt 

un<te valorem mmdwiinr IW M * * tltrt *|n nim 



17. Reioetm etgo cMi 



/iff- 



4 

ft t f , f 
i,, LUS"^*'" 1 P"* 1 "* " lnp " ta fu "l to 



.'i 



15-16] QUAtWATKlAHUM INDKTKEMINATAttUM I'KR NUMBHOS INTEGROS 589 

(K)ROLLAttlUM 5 

19. Hiiic igitur tluplictw sorioa pro valoribus numerorum x et y reperi- 
untur, quue wuttlom progmwiouis Ifigom tenebunt. Hi eiiim ponamus 

tf.-a, a 1 , a", IU , IV , v etc., P, Q, U, 
yb, l>\ /A //", /A t> v tc., , T, F, 

erit pro altera 

o 1 " pa ~\- qb -\~ , ( ji - 1) et b l go + ^* + ^-^ff 

et pro altera 

H 1 

f - - pa -- qt> -I- ., (^ "- 1) et 6' aqa pb + ^ 02, 

pro utraque vn> haoc cominanitt progrossionis lex valebit, ut sit 
U 2jw # - JF> + J (p - 1) et F - 2? T ~ 8. 

COEOLLABIUM 6 



20. Cum it pj) 

'. et 



hincque, si alterae series retrowam coatoettte, prodiboat alterae. Sufficit 
ergo pro altero casu has series ia0^atee f . qoae tarn antrorsum quam re- 
trotBum amtinuatae onraes soloMoaes ex ambigtiitate numeri b ormndas m 
se continebuni 

SOHOLION 

21 Si ergo foerit ^^0, it babeatur faaec formula ' V(axx + 7) = y 
rationalis redaeEda, cassqe ooa, quo sit >V + r) - ? sumtis numeris 
p et g ita, ut sit j>^y(0 + 1 )> ^mnerabiles aln valores satisfacientes 
continebunturto ' 



ubi iwcundi termini Un 



1 16 17 



;r 



,i, 



t< 



" tra """ 



""'">'' "I in K.-II.W It ..... _', 

''"- s4 ' * 



/. 



! IHt4lt Whlilw>w it, hin for 






pm 



Sit solijtit) 



a?*.a efc M 



******** ft ratio 









17-18] QUAmiATIOAttUM WWBTBRMIWATAIMJM PEE NUMEfiOS INTEGROS 591 

Cum igitur in 1!) sit 

j{ ,^ig , ./> + /;f ot, V~GT8, 

habobifflufi mqitatites nnim valorum Hatisfacientium, ,-et quidem integrorum, 
si ^ fuerit numru par: 

Valorem t|miuH ^ Yalores ipsius y 

ft.- ' dr : ^> 



1SZA+ 4/9, 24a+ 176 + 6/9, 

70*-}- v/*, 140a+ 99?;+ 35/9, 



B77 I- 408ft + 144/9, 816a+ 5776+ 204/9, 

.%*4i^M i t.\**Ht\t I 1(J* /) 

Hl : 2878J + 8 pf 

etc* 

Turn voro, cum y yalores, si pro ^ scribatur x Y , etiam 

hae Boluticmoa locum habebunt: 

Valores , Valores ipsius y 

J&U "*""" *Q*f J ' ' 

+ 996+ 35/5, 
+ 5776+ 204/9, 

^841/9 4756a + 33636 + 1189/9 

etc, etc - 



Etiamsi erf o |3 on ft 1 ^* numerus par, tamen in utroque ordine semissis 
valoram isio Mri* aumeri integri. 



I'K IMWOUmoNK mUMI'LAItl'M 







Pmebeat caaus oognitra * - t y - A, turn vwt b 3 eapiatur 
+ 1) eritque f . 1 t y - . Hi, c pro Mtcando auiu 



qmbus .fiMnuutnr bbae rtes neumnt.. ^wulim, h fiU 



unde 



. 

4; 26+ J/, 



974+ 



Praeterea vero sa&eftto-^*J;,jil\^ 

, '' , ;, ^Vt:-I^J:vpJf^bpj|s 



19 , 



M IKDOTKBM1MATAWW 1'KK NtTMEHOS INTMtOS 

Valor* ipsius y 



Vnlim* i|*u* / 






- 



ir.6 



. 

titt% 



BXEMPLTJM 8 



24. 



mm (mm fwrit 

i 

*i *JL M /f AT 4/ 

Pro casm cogmto sit - > y 
* b 2 , -ut sit jp 

solutio prodibit 



Cum ergo sifc 
' 



1209 

' 



etc. 



ftoui W go nun^ /I MriUb fuent p vel 3 nl 
plurw BolutioucB in integris eUciuntur. 



, * 



/, t ob a 5 quaerantur numeri 

s^ UU UM ** v T, - 

A et -9 et hmc secunda 



. 



75 



Ml 



H I U , s , . 1 'j, f, 



4* 



161* 



,; -; 



till 



UMMu.^ , te , % ,, lir i rt ^^ a*, 

. 



v|aji4^'tv, Ji^ f Uu , 



144, 



|flt. 






wiiite imlMUotinm numrti ti%iiiiir/^lttii*ii ** - - 

NittiplirlHMiiiin whitiu in tittuwrin il ;, I*- *', urn*. V.MVM ^ 





l'i4f,^'l 



.* ">, '* 



^ 

, ;;;;;TL n r: ' 

, ' '; " ...m,,| 

/ , uu*i, hi , .-. ,, 






! '. - ' .;. 



* J 

"* 



? < * / " ' i - *' i i at 

i ' ' -I ** ' ., * I , i 



it a \ h 



.*'!,*< ^..(.,r ',/,, j;.-u'" Mji i5?*jii,,f m jniiwri* intrgrist r*|ru}tur, 
"' * ' "'"' * ''' v ' /i;s<: 4* iii/*w3j'*.<'* '4 :t**yf4ittir; ijtju*! i|ttntttiii in 



hi 



* 



1*1! *'U*u,*3;rM 

43 ;y 

;<****** t ,fr y . , ^ ^j ^',;,n, T ,^ *}>* t|nn*'ti JT4' 

Ut 4t ' - f 4 H M -. I '.,: H ; 4 Tfdfis 

tllll 

i mil 4 nli ^.ii4 ^ 

il ^ i*I I/ ^ 

till! M $4 ft I4i 

tiin |, r r i| list ' 

III |iro 4 *MMr.;i^ini 

ii qua it 



Illll 'f fill lltcmfii^n |^ r * ^i| ff ^ml 

tul^ triplo irftim, amiiw , ,i, ifw |H ^ IMI wHkst!0 



-f 

. 



> . .... 



I 



'"* ' '"' v,.| ,v. v 
H H '-"...I n ,,n H f 



. 

. s 
' 

01 

n 



KuvH. si ,,,!, w t ,t, Hint mmmri ,, 
, ,, , . lw|(<||| ,,, w ^ ! 

t a , v on 



, 4S , 

i fiiri 
" 



. 
ttuiNtrihiM 

I'"""" 



, 
nuiuH 



M , 



S" 



funiui( . 



i<riti|itt 



ii ;, 


I ^ | tl 
1 HI ,, *| 


ti u 


11 ^ m >~ 1 1 1 


it ,*j , 


n i in _ ft 


' if! f * 


*~ '* in- 27, 


i? -" i jy , 


M MKNMk 


ri *~* i, f i t 


|| f.s,,,,,, 1 || , ^^^ * 


it "i** , M, 


- V m - ff , 


i. ... *;j. 


51 J'*-' w.. |.'itf,'|, 


ri ... <^^ 


ri " * *-'* lit " i!**t t 


f! ' | | 4 


fl > | M ^,,^ || 




11 | 


M - K\ 


^ "" ! in ICt, 



pro 



nn ,, 4J , riH i lll|mr ,,, % JIW 



t t'^H^^ }; j r^ ty* 



' -,'/*i*^^*ii 



I 4 It 






Sit" I JV*^t I'^liMn I'i? V, ,;| v * , 

f'4 Pi'n ,r r4 y, ^^nl.i rrl.ifi^^ui r"J J, I, ^?n^f, 



44, !*, 

a 

iSK *jt!uti** ji 

,|dl I 
J^ -* V 

* 

ft ml JW tfff 

f /I I 1 4- y * 



HA I't^r 4n 

t 4 

f il/l - 4f -tfi*/ * ;i' f 

^ x ^| 

|t| i ijill ! 

t| 

"I /I|l - I 

trtt to 4> 



f jmr, arf, iu,i 

fftjf 1 -f ifj 1 ** H|f f tfj -, ^ 

at | M p 

'"*i*;~** t 
i d 



'""'" l''"''""'-l"- I"'" < '""""< iM...,ri .v,,,,,,,,,,,,,, ,,,; , ,.,., , , 

'"X .::;'? ' ,;:?'" ", ';'"" """ -^ -i .i ^ 

'"""'" "' ! ' :1 "' :''""' ' "' " i i"l..,,i Kx ,,,,., ,.,. 

' " ""' 1 "'""" : ' ' r, ,,1, .,,. ,, a . ,' , 

i,,,,, 

. ,,, 

rn i,.UM''*T' );s5,')'i r-'--ltud ' 



HWUVATIO :? 

UK, HJJO ,,,, jivH, J ll} ,i w M jJ, n i)| n , lrUH ny^y,. 



,.,,. : prtttu 

I,,,-,,,,, j l:i | t , lv 



timm , m . 

i .,uiijctit 



, 



(Jill 



fi|; tt>rMM'H 






wit. 



t*t Ilil 4w|3v'* 



i 
3it s tijw 

Hi *i< 

Mi 









, 



ff 



$*$ ft #** if, 

| |f!| *-* f f 



W nit f *** i 

f *f| $l| f 

/ ^* Ir ;f nil 

t 



^ i f i-, r ,, W 






Vufci i t* tli , 4, 9* itM H $? 

|* || ***, ft 

Hi, 

Wi^ | te|l> l% |^ ,^ m . 

Mm, V* ^A ^ 

| i| f||i | %l ,^ tw ^ 



f 



till 



|l< 

| 

H4< I, 9, 



f ,^ HI 

^ ^ 



: -.'.-1 ,-r mi vi m , N! , : , 

*IU^r, j.n>'n|*u< HUnw 

,,,.. ..t. ,-;,.,.. ..... ,,- 

' 



"'"'" '" ""; 

H*vu^ 

f*iS 



. 



...... " 



........ m ...... , W 



rflf 



-I 1 -^ 4 it 



- ' 



| y, 
<lmtM t, -I, { 



41, j 47, i 71, 






1 t 
* 'J >** 

it Sit it - : i 

4 1 1 ! 






Sf, 



I* l ? f Ii 

II 



i i,, 









it, 



| Tl H -*l lf$ , ! "'4< 4 -a; 

iv. iii' in, ii *. /i * it^ 

f-l, -f I, ^ ii^ 4; f i t - <.,; # ^ ; 

' - yt t "> M, '**&, ii, !;!' ^ 

i '- ^J **i 4 '3 if* *< 

-I |lfi n 



V. Hit n| 

tl t ^2, ,f^ 4ffi t 
- 1 1 , . I, ^, tfi 4 , 4| ^ 

i -f *2 f^ 



iff mil 






m. * 
"HSKHVvno i; 



n ,, hl , ,, ont 

'""". "' I'""'-'" "=- ...... t.nli, -! , .< ,, mli ,,,, ri . , ' 



" " )<l1 "" '1 "*' '! I' I (t,<S, 



n ae 

/ ,4 {( nmp 



mimm impms ml 



mmili 

f ( H ,, ,jni, ,j M t'HUH MUlli fUvtTRt, SHl 

i ,,JMI., ( jt* * Mliiw uiinuvtM |>nntr 

(H | Wr , | t ut,|,. ruH W9)| 5 ftm J n 

fitntinm 



' J*1IU ll 

tumtfri funnttf 

viilrtur'j. 



Wl 4 M** 4, 
f, $.*, 



h 






i 1 t 



'4*^ H I , vf** '< :i' ( 






,;>, 



. J,3^ |: 4m M , rf ^ 

vK ^MkH, |v^\i/' 
|" 

|ft 

|- '^^^* ||frSl?! 

^/I'f^l^;^ |^ 

bit if, If; f 

^^ K f _ 









tU* 



f '* , '1 



21 



tlttll 



Mi. :, ,j, 41, 4!i, M, 
, UH. I,.;, u,, | Sli I 












ift |,f 
- |f | |f 






1) 

J i# || 4 






mifa*Ml |^4'*41 

to fi^iiirj/f* .' i *' l ji* < *'M ^, * !t ^ '( - ' i 1 ^ ' " r : \^, , ; t ,',- ^ wv,?^^^ 

limi'^l^ x'l I* 'te,< } ' f ^^^r:,'i \'', ] n> - ' ,',, >: "' : , 

:? . :i, ? '- ? ! x r /y ,i ; , - 1( 

,', .3 j -',,'<* * '- ' r , 



At Ip leii'iiirii |.|3|,fe ! i, -f| j*^f'l'^;i'4 ,Vr ; ^/ f ,4' -, < , ,,-, * , ' -, w' , , '' ,: 4 

!1* M-f ,!^, nW* fe fit !A:">, l-^ri;! ,/"*, ". - % - v; , ( k - . ' " k 

rV"*^'^^ d** '*.'*'& 4> ;i',' /,, ' - ' J * ; v "; ^ - , ', ' 

f fir, i ^ | 

,;|^$ *** ^^tftf-V. 1 ' * 

Iflt p<lr<|'^ J";^', ^./^.-^." 



1-4 |;i l&~*$\ 

iff *' 



"iisi:in,vnu M 



,. ,.. , 

. , """ 

'" 



. ....... '" ..... ' " W- r.mmU ,,,., 



r 



*H" 

J.^,/.i f '**.'*,* 



nun 



,!<.- 4, */ /' , , ' """""" *"*' ***' i (IIIiltOH HUill 

^ " <H ' ' '"' I4 * a ^ 1i ' 4llj "'''^ )^ ** l \ 



if*"'? I ^ 

"f4# | |#||| |? | 2^1 , f t|t| ^ 
If *U -I '$'(,' i'' </ i'" Hi > M < l'^" 1 



nun 



frmrii 

" '"""'*' ""' ' """ < ' 



n 



f J M'*; , v - .*t f <V^J A