Skip to main content

Full text of "Leonhardi Euleri Dioptrica Volumen Posterius"

See other formats


LEONHARDI EULERI OPERA OMFTA 

SUB AOSPICIIS SOCIETATIS SCIENTIAKUM NATUEALIUM HELVETICAE 

EDENDA CUEAVJ RUNT 

FERDINAND RUDIO ADOLF KRAZBR PAUL STACKEL 



SERIES m OPERA PHYSICA MISCELLANEA EPISTOLAE VGLUMKN IV 



LEONHARDI EULEKI 



DIOPTRICA 



EMIL CHEEBULIEZ 



VOLUMEN P08TEEIUS 



CABNEGIE INSTITUTE 
OF TECHNOLOGY 




THE LIBRARY 



LEONHARDI EULERI 

OPERA OMNIA 



LEONHAEDI EULERI 

OPERA OMNI A 

SUB AUSPICIIS 

SOCIETATIS SCIENTIAKUM NATURALIUM 

HELYETICAE 



EDENDA CURAVERUNT 



RITDIO 
ADOLF KRAZBR PAUL STACKEL 



SBEI1S TEETIA 

OPERA. PHYSICA MISCELLANEA EPISTOLAE 

VOLUMEN QUAETUM 




LIP8IAE BT BEBOLINI 

TYPIS IT IN ABDIBUS B.G.TEUBNEBI 

MOMXII 



LEONHARDI EULERI 



DIOPTRIOA 



EDIDIT 

EMIL CHERBULIEZ 



VOUUMEN POBTBRIUS 



HPSIAE IT BEBOLINI 

TIPI8 ST IN AEDIBUS B.G.TEUBNERI 

MCMXJI 



ALL! BBCHTE, ECNTSCELIES8L10E BIS telESFTZmfG^ElOTTB, YOEBlEAIiTlN. 



DIOPTRICAE 

VOLUMEN POSTERIUS 

OONTINEN8 

LIBIU SKCT7NDI BECTIONEM TERTIAM ET APPENDICEM 

HBRUM TERTIUM 



DIOPTRICAE 

PARS SECVNDA, 

CONTINENS 

LIBRVM SECVNDVM, 

CONSTRVCTIONE 

TELESCOPIORVM 

DIOPTRICORVM 

CVM 

APPENDICE 

DE 

CONSTRVCTIONE 

TELESCOPIORVM CATOPTRICO- 

DIOPTRICORVM, 



A V C T O RE 

LEONHARDO EVLERO 

ACAD. SCIENT. BORVSSIAE D1RECTORE VICENNAL1 ET SOCIO 
ACAD. PETROP. PARISIN. ET LOND. 



PETROPOLI 

Academiae Imperialis Scientiarum 
1770* 



INDEX OAPITUM 
IN TOMO II GONTENTOBUM 

IN SECTIONS PBIMA 1 ) 

DE TELESOOPH8 PE1MI GENERIS QUAB LENTE OOULAEI CONGA VA 
IN8TKUCTA OBIEOTA SITU EEEOTO REPRAESENTANT 

Oaput I. Be Toloscopiis in genero. 

Oaput IL Do lontibus obiectivis componitis atque perfectifl. 

Oaput III, De diBtributiono Telescopiorum in tria genera praocipua. 

Oaput IV* Da Telascopiis primi generis, quao imagine vera destituuntur et 

obiecta situ erocto repraosentant. 

Cap nt V* De ultorioro Telescopiorum primi generis perfectione una pluri- 
lentibuB adiiciendiB. 



IN SBCTIONE SBOUNDA 

DR TELKSCOPIIS SECtJNDI OKNEBIS QUAK LENTE OOULAKI CONVEXA 
1NSTBUOTA OBIECTA SITU 1NVERSO EEPRAESENTANT 

Oaput L DB Telescopiis simplicioribus secundi generis ex unica vitri specie 

paratis. 
Caput II. De ulterior! horam Telescopiorum perfectione, quam quidem unicam 

vitri speciem adMbendo assequi licet, 
Caput in* Da ulterior! Teleseopiorum secundi generis perfectione diyersas 

yitri ipeciea adMbendo* 

1) Sectioiios prim a et seeundft la voluminc jniore insunt. F, E, 



INDEX CAPITUM IN TOMO II CONTENTORUM 



IN SECTIONE TERTIA 

DE TELESCOPIIS TERTII GENERIS QUIBUS OBIECTA ITERUM 
SITU ERECTO REPRAESENTANTUR 

Caput I. De Telescopiis simplicioribus tertii generis ex unica vitri specie 

paratis 7 

Caput II. De Telescopiis terrestribus communibus eorumquo perfoctione JJ5 
Caput III. De altera tertii generis Telescopiorura specie principal! eorvunquo 

perfectione (54 



IN APPENDIOE 
DE CONSTRUCTIONS TELESCOPIORUM OATOPTEIOO-D10PT1U(X)KUM 

Oaput I De imaginibus per specula sphaericji forntatiB oarmnqtio dif- 

fusione 101 

Caput II De compute confusionis, dum praoter lontes otiam Bpecula ad 

instrumenta dioptrica conficienda adhibentur ..,,!!!> 

Oaput III. De Telescopiis catadioptricis minore npoculo concavo iimtructlB VM 
Caput IY. De Telescopiis catadioptricis minore spoculo convexo mtrcfciH 154 



IIBRI SECVNDI, 

DE 

CONSTRVCTIONE 

TELESCOPIORVM 

SECTIO TERTIA. 

DE 

TELESCOPIIS TERTII GENERIS, 

QVIBVS 

OBIECTA ITERVM SITV ERECTO 
REPRAESENTANTV& 



CAPUT I 

DE TELESCOPES SIMPLICIORIBUS TEETH 
GENERIS EX UNICA VITEI SPECIE PARATIS 

PROBLEM! 1 

294. Telescopitim simylicissimum IVMMS generis, guod trifais ttwtwi constat 
lentihm, construere, (jaod obiecta secwnduni datam rationem aucta et situ crecto 
repraesentet* 

SOLUTIO 

Pro duobus interval I is, c^uae liic occurrunt, pouamus ut semper fractiones 
^ / > ot ' Q, et (juia hie dime imagiuos reales luibentur, qttarum 
altera in ]>riiiB mtervallum cadons et inversa, altora voro in poatoriuB inter- 
vallam cadons orocta, ita ut sit Bemidiameter illiuB <%</*, hnius veto 
*~*l}ot0 9 mubao littorao / > efc Q dobent esse nogativae, unde Btatuamus 
/*mmk at (^ A', ut eit multiplicatio m^kk f . Hinc elamenta nostra ita 

se habebunt: 

* a ,, Ba , JBoj 

*-* ^ Jb' ot C ~M' 
et distantiao focaloe 



turn vero bina infcervalla 



per se nnt posiiava, siquidem esse debet J? > ideoque et 8. Pro 



LIBEI SECUNDI SECTIO TERTIA CAPUT I 294297 [356358 



campo porro apparente, cum sit eius semidiameter <&=* ^ , ponamus 

n = i et n = 

denotante | maximum valorem, quern litterae n et n recipere possunt, et i 
fractionem unitate minor em , eritque 

*-- LIfi 
m 1 

atque hinc pro loco oculi fiet 

~ rt v _ m 1 Bet 

m i+ 1 mm 

quae distantia etiam per se est positiva. His positis aequationea pro Httem 
n, n supra datae dabunt 



unde 



qui valor debet esse unitate minor. Cum igltur Mnc valor ipsius i 
sit negativus et unitate minor, erit campi semidiameter 

*- *.* 

ft+l +( 1)58 

fc 

quae certe eo minor est quam * , quo ft est mains et quo minuB fc ^L 
Quo igitur campum maiorem obtineamus, in id est ineumbendum, ut Httonie 
ft quam minimus, litterae 93 vero quam maximuB valor conciliotur; ut cum 

ni 

sit B"**i^% t debeat esse B>0 ? Mnc evidens cat S3 non ultra unitatom 
augeri posse. Casu autem, quo fit 851, fit ^1 \ Turn vero ob JB csa 

flj W^M |JJ 

longitudo tubi fieret infinita. Diminutio vero numeri k quum parum con- 
ferat ad campum augendum, videamus nunc etiam, an margo coloratuB destrai 
possit, quern in finem esse deberet [49] 

A 2L - JL *[ J? r^ * 1 ^. 1 

u ~ ff 'jp '^ * "^' u ~t- js^kk" 

quae aequatio ob i < nullo modo subsisfcere potest; unde haec teleseopioram 
species vitio marginis colorati quam inaxime laborabit Ceteram pro 



358-359] DE TELESCOPIIS SIMPLIOIORIBUS TEETH GENERIS 

metro confusionis habebimus hanc aequationem [ 42]: 

1 ' 



- 
" 99ft W"" JS "r B*m~ ft 8 ' 

uride colligitur 



. 
qui sumto a; = dig. et [extra radicem] ft == 50 abit in hunc valorem : 

_ I 3 / 

a - m Y (A 



V 



in qua exprcssione cum omnia membra sint positiva, nullum est dubium, quin 
distantia focalis a multo jfiat maior guam casu duarum lentium. 

GOKOLLARIUM 1 

295, Cum iaxn sit animadversion, si 33 caporetur == 1, longitudinem in- 
strumenti in inftnitum excroscere ideoque SB capi debore minus unitate, se- 
cundum membruni in aequatione valda iucrescet pariter ac ultimum, ex quo 
(listiintia a augebitur, 

COBOLLAU1UM 2 

296, Sin autem huic incommode moderi vellomus augendo numerum ft, 
tune campus apparens rostringoretur. 

SOHOLION 1 

297, Nullum igitur eat dubium, quin haec prima istiusmodi telescopiorum 
species ponitus ait repudianda, non solunv quod nimis exiguum campum 
ostendat tubusque flat valdo longus, sed earn ob causam praecipue, quod 
rapraesentatio margins colorato sit inquinata; neque etiam reperimus huius- 
modi telescopia unquam usu fuisse reeepta. Interim tamen casum quendam 
in sequente exemplo proponamus* 



1) Sfot8a4ma ^rt Htte?i ft dtiiro kt^ra stqmtiomls iMttMtftm pkaa diffwre a qtxaatitate 
ft amistro Latere aoquationls posita. B, Ob* 

Ear-Mat Opao-a* omnift HI 4 IKoptrloa t 



10 LIBEI SECDNDI SECTIO TEETIA CAPUT I 298300 [359360 

EXEMPLUM 

298. Si sumatur S3 ~- et k 2, telescopium huius generis describere 
pro multiplicatione quacunque m. 

Cum igitur hinc sit J5 = 4 ? erunt elementa 



2 7 ' 7 M 

et distantiae focales 

2 



, 

a, q == ~ a et r= 
7 * 






et [intervalla] 



quorum summa -^a + ~ dat tubi longitudinein. 

IP* A 

Turn vero reperitur ia- v - rr - et semidiaineter cainpi </> ,. t * aou 

A ll-}-4;Wi A jl|**t;t 

S487 

in mensura anguli ^^'jij:^' wiinut, qui non malto est minor quam 
campus ordinarius. Pro loco oculi Tero erit 0-*^ -a. Denique vero 
pro distantia focali a habebimus 

'. 125 r 6 



ubi circiter est ^u 1 et ^ 6 ; quaro, si litteris Jl, A', A" valor minimus, 
scilicet 1, tribuatur, erit 



^ + ^ ) , 



hinc, si asset m25 erit 

^ . 26 f 50 ^-- 92,23 dig. 

Mncque tota longitudo erit 340 dig. 28 ped* 4 dig*, quae longitude ratione 
multiplicatioms utique iitm est magna, ut in praxi Bullo modo admitti 
etiamai vitium marginii colorati non adesset* 



360-361] BE TELESCOPES SIMPLICIORIBUS TEETH GENERIS 11 

SCHOLION 2 

299. Cum igitur hinc nihil in usum practicum traM possit haecque 
species simplicissima penitus reiici debeat, ad species simpliciores progrediamur, 
quae scilicet oriuntur, si tribus lentibus insuper una lens quarta adiungatur, 
ex quo variae species nascentur, prouti haec nova lens vel inter obiectivam 
et priorem irnaginem vel inter priorem et posteriorem vel inter hanc 
posteriorein et lentem ocularem. constituatur; quos ergo casus seorsim hie 
evolvi conveniet. 



PROBLBMA 2 

300. Si inter lentem olicctivam et jprimani imaginem nova lens ponatur, in- 
dolent Jiorun teleseopiorum indagare eorumqiue construction&n deserilere. 

SOLUTIO 
Cum hie quatuor lentes sint, statuantur ternae fractiones ut semper 

cc $ j\ *y 

h ' c d ; 

et quia in primum intervallum nulla imago cadit, retinebit P valorem posi- 
tivum, reliquae vero Q et It fient nogativae. 

Quare ponatur Q - Jc ot Ji>m^~ Jc\ ut fiat multiplicatio m ^ Pkk f ele- 
mentaque nostra sint 

& .* B d^ J --^ BCa 5 - 

"O ' 1t^ 2)* ' *& fa Tf f <VM ' ' 

JT JC rv J* fvfv 7rt> 



_... r _ .-. s._ BCa 
unde prodeunt intervalla 



fc f JL TD? T^Jf ^ iWi 

JT JT70 /T* 



sicque patet Jffa esae debere negativum. ut et JBCct, ideoque debet ease 
poeitivrim; unde, si a > 0, debet esse P > 1, B < et C Y > 0, sua autem < 0, 
debet esse P < 1, B > t <7> 0. 



12 LIBEI SEOUNDI SEOTIO TERTTA CAPUT I 300303 [362363 

ISFunc, cum pro campo apparente sit 



statuatur 
ut sit 



existente Jf^^+ii. 1 . Atque statim pro loco oculi sequitur 



= ~ - ---- 

0m "M mm 

quae distantia per conditiones superiores iam est positiva. Aequationes antom 
pro litteris n supra datae praebent 



-^-^. 

nude colligitur 

m 
^ 

ut maneat 95 indefinitnm, et 



quae quantitas cum debeat ease positiva, debot case vel i nogativum vel, BI 
esset i positivum, deberet CBBB 



a sve ~ 
seu 



1) > 0, 

tinde patet fractionem w negativam esso debore, ita ut hine campus apparent* 
diminnatur. 

Tideamns iam, an marginem coloratum tollere vel hmc aequatioiii aafcis* 
facere possimus; 



363-364] DE TELESCOPIIS SfflPLICIORIBUS TEETH GENERIS . 13 

unde colligimus 

A ^ . 1 T T, 1 1 

= co r + -jjj. adeoque Jtf = = - ~ == . , 

^ 



qui valor debet esse positivus adeoque Jew i < 0, de quo deinceps vide- 
bimus. Nunc adhuc aequationem pro confusione aperturae tollenda contem- 
plemur, quae sequent! modo exMbebitur: 



pro qua expressione hactenus sumsimus & = |^- dig. et [extra radicem] Jc = 50. 



COEOLLARIUM 1 

301. Pro diiudicaiidis litteris w et i, utrum valores habere queant po- 
sitivos, considerandae sunt hae duae formulae; 



ex quarum prima patet atnbas litfceras i et o; simul positivas esse non posse, 
quia alioquin (S foret negativurn, quae lifctora tamen valorem positivum habere 
debei Ex secunda vero evidens est fieri non posse, ut sit o>>0 et t<0, 
quia alioquin K prodiret negativum. 

COROLLAEIUM 2 

302. Ex his dnobus casibus sequitur litteram o> nunquam positivam sse 
posse, quae conditio ita enunciari potest, ut secunda lens semper campum 
apparentem imminuero debeat* 

OOROLLAE1UM 3 

803. Cum igitur ^ semper debeat ease n^ativum^ ponatur ct^w , ut 
sit ^^l P}M et J~ ~~~~-* Noitrae vero foarmulai, necessario 



14 LIBRE SECUKDI SECTIO TEETIA OAPUT I 303307 [364365 

positivae, erunt 



^ 
I 



II. V~ 

I -j~ /C 

unde, si sit i fractio positiva, debet esse %> (1 + PtyM. Sin autem i sit 
fractio negativa, puta i= y, per primam debet esse <(l + P7c)Jrf et 
simul > -f- 

COEOLLABIUM 4 

304, Praeterea etiam manifeatum est fractionem *** co nunquam ova* 
nescere posse; si enim sit i>0, debet esse >(! + P/^Jf. Sin autoin sit 
i < seu i = y , debet esse > ^ 

OOBOLLAJRIDM 5 

305, Quia casu * * ^ duplicem invenimus conditioning priorem 
< (1 + PfyM et posteriorem >y> ^x earum comparationo nocesso st, ut 
sit (i + Pfc) Jtf > |- seu y < (1 + Pfc)&ar. 

SOHOLION 

306, Tot autem casus diversi ideo potissimum habont locum, quod in 
solutione problematis non definitur, utrum lens obiectiva haboat Biiam distati- 
tiam focalem a positivam an negativam, Utrumque autoin UBU venires potowt, 
siquidem circa litteram P nihil aliud praecipitur, nisi quod sit positiva idooque 
eius valor a ciphra usque in infinitum augeri queat. 

Quamdiu autem littera P intra limites et 1 continetur, a valorem 
habere debet negativum seu lens obiectiva erit concava et littera B poaitiva 
ideoque et S3; unde fit >I^ P L* adeoque positivum. Sin autem etatuaiur 
P 1, quo casu binae lentes priores sibi immediate iunguntur, fit ** 0, qui 
casus y uti vidimus, penitus excluditur, ita ut leas obiectiva duplicate 
nequeat. At si sit P maior unitete, necessario fit a positivum seu lens ob* 
iectiva conveia; unde B fit negativum neque vero hinc deftnitur 8. At c}tiia 
novimus essa co negativum seu positivum, ob ^^Jl^ patet littanrat 



365-367] DE TELESCOPIES SIMPLICIORIBUS TEETH GENERIS 15 

33 negativam esse debere, hincque porro concluditur B esse unitate minus. 
Si denique P sit numerus infinitus, secunda lens in ipso loco prioris imaginis 
constituetur et ex ems distantia focali q concluditur 

=: p.JL co Mncque # = 1; 

atque sic contemplati sumus obiter omnes casus pro littera P, qui autem nunc 
diligentius perpendi merentur. Ante omnia autem notaii convenit sumi non 
posse P 0, quia iam primum intervallum fieret infinitum, nisi distantia a 
esset infinite parva, quod autem foret aeque absurdum, quia prima lens 
aperturani definitana admittere debet. 

I EVOLUTIO CASUS QUO P<1 

307. Pro hoc casu iam animadvertimus fore a<0; quae negatio ne turbet, 
ponatnus a a eritque 

, a Ba , BGa # 13 a Ca 

&_ p , c - w rf--, ft],, r--r 

unde patet ambas littoras I? et C debere esse positivas; unde litterae ger- 
manicae S3 et ( non solum erunt quoque positivae, sod etiam unitate minores; 
quare, cum wit 33 (1 P)Jlf, manifesto sequitur fore ^ > (1 
Deinde ob 

ot y _ i 



non solum esse debet = > Q 9 sed otiam r, 
clarius explicetur, duos casus examinari conveniet 

1. Si i sit positivum, ex valore (E nanciscimur has conditiones: 



conditio antem litterae $ sic sponte impletur, Quia autem iam mvenimus 
f > (1 P) M , nunc inde patet ess debere 



ideoqua i>~ 
id quod semper et mmm* dmmmodo i sit positrram, uti suppommus. 



16 LIBRE SECUNDI SECTIO TERTIA OAPUT I 307309 [367368 

2, Si i sit negativum, ponatur i = y eritque 



Inde igitur sequuntur hae conditiones: 

<(l + P*)Jf, >(l + Pft)Jf-y, hinc vero 
at supra iam invenimus >(! P)Jf, unde soquitur fore 

|- sive y < (1 

Isto igitur casu, quo P<1, fractio i tarn positive capi poterit qnam 
negative, ac si positive accipiatur, eius valor nulla limitatiouo rostrmgl 
Quare, cuia i unitatem superare nequeat, potorit sine haesitatione statim poni 
i==l, ita ut pro campo apparente fiat ^^^^^-^ dummodo ^ mm wuporot 
unitatem. 

Nulla autem ratio suadet caporo i negativum, quia tarn campus ninxium 
diminueretur. 

II EVOLUTIO OASUS QUO P > 1 

308. Quia Me est a quantitas positiva ideoque & nogativa, <lobot OBHO It 
negativum, at ut ante positivum. Doinde etiam vidimus osao S nogativuni 
ideoque J5<1; unde fit vJ"l-!L- adeoquo ponittvum, uhi tatituni nototur 
S3 tarn parvum accipi non debere ? ut suporet ludtatem. Doindo habetur 



ex quibus formulis plane eadem sequuntur, quao in caBU, praocodtnitc^ Bunt 
allata; unde videtur etiam statui posse i * 1 dumtuodo ox valoro pro ante 
dato sit 



8ive -<: ofc - 



III. EVOLUTIO CASUS QUO P-cc 
309. Hoc ergo casu, ut iam supra notavimus, erifc 

J3--1 et 8- ---- P? - 



368-369] 



DE TELESCOPES SIMPLICIOEIBTJS TERTII GENERIS 



17 



Nunc autem evidens est statui debere 
ex quo elementa erunt 



? ita tamen, ut sit 



r\ /Q n * a u .. a 

-0, /? = 0, c=, y--., <* = _ 






Deinde, cum sit $B=(1 P)Jf, babebitur nunc 
Dein.de binae nostrae formulae erunt 



et 



, unde 2 = 



ubi, cum nihil impediat, quominus ponatur ^ = 1, erit hoc casu &'=! et 

P7c :* <9 w, ita ut sit = (1 + m)M + ^; ex quo valor e hi limites 
colliguntur: 

t, > (1 + m}M, 'Q < (1 + 
at vero est 

*-0 



g 




., 
ideoque 

x 



1; 

. , 

ideoque 
u 



qui valor, etsi unitatem, superat, tamen in praxi locum habere potest, dum- 
mode littera in oadem ratione diminuatur, ita ut ^| non superet valorem 
4 ', siquidem -J- pro apertura maxima aecipiutur. Sin autem sumsissemus 
imm^ prodiisset Jtf~*2 hincque m** 



seu Q**** sicque haberemus 



et 



quia autem est JWT ^^l!i)? P r i r conditio dat 



ideoque multo raagis J > ~* * Ex quo patet campum apparentem ob valorem 
J magis imminui quam ob valorem i augeri sicque eum semper aliquaaato 
minorem fieri quam in tubis astronomicis conimunibus. Supra iam observa- 
vimus talem lentis locum in praxi vitari oportere* 

Optm ornitia IIU Dioptrica 3 



18 LIBEI SECUNDI SECTIO TERTIA CAPUT I 810-311^ __ J]369--37p 

IV. EVOLUTIO CASUS PBORSUS SINGULARIS QUO * = 
310. Cum sit 2 = et K unitatem superare nequeat, ob 



erit 

hincque P& 1; 



at est #=; ob Pkk' = m erit P/c=m& ideoque P w. Quare ille 
valor pro P7c inventus huic aequalis positus dabit 

m *~jlf ~ X 
hincque 

Jfeftw w ? 
ex quo porro habetur 

Mm 



quia vero est Af^^ ? nascetur 



j m l 1 rn$ 1 i f m(l J) 

et 

n j. /)/ w{;--i 

Pwt atque PA ; 

qui valores cum neutiquam a pondeant, hoc innigno lucrum iam Humua 
adepti, ut littera CpenituB arbitrio nostro relinquatur, Bicque officoro potorimim, 
ut posteriores distantiae determinatriceB ipsao<|uo lontos ])HtoriortH <jmu^ 
hactenus plerumque nimis parvae sunt reportae, nunc datao mugnittKiinlH fieri 
queant, in quo certe maximum commodum conBiBtit; quod demqtie ad littaran 
S3 et j& attinet, duos casus considerari oportet, prouti PtJ fuerit vel 
unitate minor vel urdtate maior. 

L Sit igitur w<l seu J<-^ et habebitur 



ibi autem vidimus S ease debars positivum et unitote minus; quoelrea faw 



370372] DE TELESCOPIES SIMPLICIORIBUS TEETH GENEEIS 19 



casu, quo <~, ob 85 = (-^j 1 ^ debet esse 

(1 m)(l Q < (m 1) sen w 3 2m + 1< 0; 

unde colligitur capi debere intra limites ~ et 

Cum autem litterae 7c et Jc necessario sint positivae, ad hoc necessario 
roquiritur, ut sit m>l seu fe>~; ob quara conditionem casus primus statim 
excludi debuisset, 

II. Sit igitur P(= m f ) > 1 seu ^> ^, prouti valores & et # postulant, 
atque ad casum secundmn recurrere debemus; pro quo cum iterum sit 



simulque nototur S3 esse debere negativum sine ulla alia conditione, nisi 
quod esse debeat <1, nti quidem ratio campi absolute postulat, ita ut 
iatn contineatur intra limites 1 et -, manifestum autem est expedire, ut t 

tn * 

quam minime limitcm ^ superet. Ex quo operae pretium videtur duo 
exompla adiungere, in quorum altero Hmiti priori 7 in altero vero limiti 
posteriori 1 propius accipiatur, 

KXKMPLUM 1 

81 L Pro casu postremo, quo i 0, si statuatur -^, telescopium inde 
oriundum describere. 

Hoc igitur casu habebimus 



Porro 

/. o T W t' 0-71^- W-2 

/' ^ 2 A- rt/ "- ftN , k^m 2, .flz- / 
* S(0t-- 2) m(m 

unde distantiae nostrae defcerminatrices ob a positivam erunt 



, 



20 LIBEI SECUNDI SECTIO TERTIA CAPUT I 311314 [372373 

et distantiae focales 

m 2 (m 2) 2 



=, -r, - TN? - T-r, - 7- - jr-- 

* * 4(w l) m(3m 4) m(3m 4) 

Turn vero intervalla lentium 



, 1 Q (m -2)(3m 4) m 5 

^ ~<~ = T ^ ' /+ C:== "~2^T(3^7^ ly """ a = ""aTwT 

et distantia oculi 

^ m 1 , 

~ " (3 "" "i^ 

et campi semidiameter 

*, m 2 u 



quae si in mensura angulorum desiderotur, Biimi potent 2J---85J) mm. ob | -^ l * 

Distantia denique focalis lentis obioctivao a clofituri dobot ex fonnula in 
problemate data [p. 13], ubi notandum est ipsius Jt' cofifticientom circitor 
fore 4, et ipsius h" coefficiens semper maior erit qnam 27; qui termini cum 
omnes sint positivi, evidens est pro a semper ingentom valorem repcriri y 
ita ut baec telescopia valde longa ovadant. 

EXEMPLUM 2 

312, Pro casu postremo, quo e0 ? si Bumatur L^ ^ tolcscopium incb 
oriundum describere* 

Hoc igitur casu erit 



unde distanidae determinatrices 

J_i? c ^^.^ ^^ 

m ? c 8 m - 4 ' ^ m8 m^i" f 8 w - 4 f 



373-374] DE TELESCOPES SIMPLIGIORIBUS TERTII GENERIS 21 

et distantiae focales 

m 2 (Sa m 2 



et intervalla 

m 2 
"T m ? 

et 

= mm'(8'm^^j ' 
nunc vero campi semidiameter erit tantum 

, 430 . , 
</> CB - -- mmnt. 

In formula autem pro distantia a detinienda notanclum est cofifftcientem. X 
fore -^ , ipsius vero ^>^? siquidem multiplicatio sit praemagna; unde 
patot pro # valorem multo minorem prodire ? ita ut hinc telescopia satis 
idonea obtinerentur, si modo campus non esset tarn exiguus. 

COBOLLABIUM 1 

318- Quia pro lente tertia sumsimus i hincque et n***Q, eius apertura ex 
formulis generalibus [ 23] definiri debet, cuius semidiameter erit ^ a > quae 
ergo pro priori exemplo fit ~*~$, pro secundo autem ~^-; undo, si sumatur 
x mm ^ dig*, hie semidiameter erit circiter ^ dig., quae ergo lens commodissime 
locum diaphragmatis tenebit* 

COEOLLAIUUM 2 

314, Si quasi medium eumendo inter duo exempla allata statuatur 

^ 9 

pmmYm et ftl ot A'K^, 

porro 

m (yw 1) i-- 

JQ mm - -* 



22 KD3RI SECUNDI SECTIO TERTIA CAPUT I 314-315 [374-375 

atque hinc 



/ m ' r 2m ' 2m 



,_ym : 
' 2m 

et distantia oculi 

quare longitude telescopii erit 



- . 

m \ ' 2m 
ac denique semidiameter campi 

/ 85 9 * i 

c/> , ,,. w . . . ,. . mmut, 

m 4- y w w^ + K w 
et semidiameter apertnrae tertiae lentia 

a? V m , . 
^y'm" 60 Ctlg ' 

SOHOLION 

315* Simili moclOj quo We casum i0 expeclivimus, etiam quaestio 
in genere pro quovis valore ipsius i resolvi poterit; ex aequatione enim 
Of t " (1 + PK) M -f " quum deducatur 



et qiaia est Jf ^l^i 



375-376] DE TELESCOPIIS SIMPLICIORIBUS TEETH GENEEIS 23 



Verum ob K = TTT? Grit etiam 

I -|- K 

TT\7 '*' 

P& = 

unde colligimus 



hincque 

7- 

et quia est 



/ i 

_ m ty -j- 



erit 

j/_._5L(L+JrJL-. . 

~ 1 J i 1 



Ideoque 

^i 1 ) ^ ,1 

- et 



quia nunc ^ debet esse quantitas positiva, necesse est, ut sit 



unde facto calculo semper reperietur esse P>1, ita ut, etiamsi non sit 
immQ 9 tamen solus casus secundus supra jnomoratus locum habeat, Quia 
autem hypothesis i tarn commodam et concinnam sappeditavit resolutio- 
nem, nulla plane est ratio, cur litteram i sive positivam sive negativam 
assumere vellemus, cum pro commodo nullum inde lucrum sit ezspectandum, 
Praeter concinnitatem calculi autem duo commoda, quae nobis ista hypothesis 
i*0 largitur, maximi sunt momenti, quorum alterum, uti vidimus, in hoc 
consistit, ut litterae K et C arbitrio nostro permittantur hocque modo nimia 
lenfcis ocularis parritas evitari queat; alterum vero commodum huic nihil 
cedere est censendum, propterea quod tarn exigua apertura lenti tertiae sine 
ullo sive campi sive claritatis detrimeato tribui possit, ut omne lumen pere- 
grinum tutius quam per diaphragmata ordinaria excludatur* 



24 LTBRI SECUNDI SECTIO TEETIA CAPUT I 316-317 [376-377 



PROBLEMA 3 

316. Si telescopium Mius generis ita ex quatuor lentibus sit componendum, ut 
Mnae mediae ambae inter imagincm priorem et posteriorem constituantur, indolem 
eius indagare eiusgzie constructionem describere. 

SOLUTIO 

Positis igitur ut ante nostris fractionibus 

p P ^ o V j> 

y~-^, ----, " rf - ^ 

hie litterae P et E debent esse negativae manente Q positiva; <[uaro si po- 
natur P== It et JR = 7c', ut sit m=*Qkk', olementa nostra ita so habobwuii: 

, a A Ba ~Ba -BCa , -JWcc -JIC* 

ass: -- p acssa -- (J essa - > - A/ 1 MESS --.. ^ a .*-. - asa 



> --.. .* 

Qk 9 ' Qk ? 
hincque intervalla 

ex + j mm a (I + v ) ideoque a > ? 



+ y), Mnc 
Pro campo apparent atatuamus 

ut fiat 
exlstente 

atque Mnc primo erit distantia oculi 

m jfefw 



377-378] DE TELESCOPIES SIMPLICIOEIBUS TERTII GENERIS 25 

deinde margo coloratus evanescet, si fuerit 

-?. + A. + _J_ sen 0- * 
P^PQ^PQR S6U U ~ fc 

unde concludimus 

i/ _ 1 p,f ^ _ @^ 

rt, - __, J-JL, w . _ 

& + ^Q -i + (^ 

turn vero considerari oporfcet sequentes aequationes: 

-v = i + *> + ~i 

SOU 

i B _(l 
et 



(juarmn evolatio commode generaliter institxii non potest, sed casus magis 
particulares contemplari conveniet. Verum casus extremi duo habentur, 
alter, quo lens in ipsam imaginom priorem, alter vero, quo in imagmem 
posteriorcm cadit. Illo scilicet fit ()(), hoc vero ^oo; inter hos autem 
quasi medius quiclam praecipue perpondi meretur oriundus ex valore ^1; 
quoB casus deincops seorsim evolvamus. Hie igitur tantmn superest formu- 
lam acliungere pro confusionc destruenda, ez qua scilicet distantia a de- 
terminatur, 



COROLL1EIUM 1 

817, Quoniam invenimus K / TTQ^ t ob ^ > evidens est ambas litteras 
et co simul nogativas esse non posse* Neque vero etiam ambae possunt 

positivae;* si enim a? asset positivum, foret 23 ideoque et B negativum 
hincque ob BC<0 deberet esse positivum ideoque et ( positivum ac 
proinde Si positivum , id quod fieri non posse ex valore pro t supra dato 
manifastum est. 

i) Confer, qum de vario ralo^ Htterae Jk p. 9 aduotaverirams. BL Ok, 

Emtm Optm omnla. Ill 4 Bloptdoft 4 



2 g LIBRI SECOTDI SECTIO TEBTIA 



COEOLLAEIUM 2 

318- Cum igitur anibae litterae co et i nee positivae Bee negativae esse 
queant, necesse est alteram esse positivam, alterani negativam. Si sit o> > 0, 
modo vidimus esse debere S < et B < liincque 6 r > 0. Sin autom sit 
co < 0, erit 83 > 0; de JS vero hinc iriML definite:. Ex altera vero aequatione 
posito CD erit 



unde intelligitur, si fuerit I > (1 + (^)>f, fore < > 0, sin autcmi sit 
^ <; (1 ^ g/c)lf ? fore S < 0. Prius autom evenit, si fuerit 1 + Jc> (1 H*- (>&)S3 
sen S < / J"i, posterius vero, si $ > ^t^J lloc i P^ autem posteriori caau 
cum siut et 6 Y negatiya ; debot esso 1^ positiviuu icleoqxu^ ^< 1, <^x <juo 
sequitur fore $ > 1 . 

KVOLUTIO OASUS PJHMJ QUO (> -0 

319. Quia est (/*(), erit socundxmi intorviiUuni - ^ -n i(l(MH|tto 
^^0, ergo vel JB vel & co. At priu fteri uociuifc; forot oniin ^)*^t) 
et g seu distantia focalis socundao leatis 0, quod osfc almurduin* Kontat 
ergo, ut sit ft oo, et cum Hit 7 a , ovit *' 7 cv> atque hhic // v,, . - J ^ 
Ex quo sequitur ob BC<0 fore 6 r >() et <1. Oam voro Bifc (>u^o oi 
&oo, prodacfcum ^A debot C^BBO timtum; quare tatuattir Qk*'l t ut wit 

6-0, /? 0, <; - Y , Y m T ' rf "" ^ t )0rrm l ue *" ji/I * 

Destructio veto margmis colorati powtuhit ^ t ; , ita ut. lain i <'<n-t Hit 
fractio positiva et * 4 Ambiw^ autom aoyuaitioneB uoHkiMj tuiulanmtttloH 
dabunt, prior 

rvt * ** A0^ *# * 1 

33 w WH /cfli MIVO " A A/ ideouuo 

* 

posterior vero 



quod cum debeat ease positivism^ oportet esHO " > 1 4* 1 iv '/ < ji'j" 
Quia eei < 0, scribatur u; J at UttoraB j et f in caiculo rotinoatnutf oriique 



380-381] DE TELESCOPES SIMPLICIOEIBUS TERTII GENERIS 27 

I = mi, q = ~. ac proinde &i = (1 + mi) M + . 

Unde, cum sit (>0 simulque (<1, nanciscimur hos limites: 

2. <l 



cum iam sit 

m 1 ' 
hoc valore substitute ex istis limitibus colliguntur sequentes: 



et 

9 ^ ^ * rt m * a. ( m ~~ ^ 

* ^i *^s "" * "* " ~T *" ---.. 

m w(l+t) 

ex quibus, si littera i pro lubitu capiatur indeque % debite assumatur, omnia 
pro telescopic onmt doterminata; quo autom molius de campo iudicaro possi- 
mus, loco soorsim utrnmque limitom substituamus, ac prior quidem limes 
dabit -M'= , alter vero limes maior .M= //-r-x; niter quos valores littera 

tn ' wi (i -f- 1) ^ 

M idooque et campus apparent continebitur. 

Pro dofinienda autem distantia a formula superior hanc induet formam 



De hoc autem casu iterum valet, quod supra [ 232] commemoravimus, sci- 
licet ob impuritates minimas lentis in loco imaginis constitutao repraesenta- 
tionem obiectorum inquinari 

De cetero autem campun semper maior OBt HemiBsi campi simplicis, 
quom vero deft^ctum nova lente adiicienda facile nnpplere licot. 

KVOLUTIO 01SUS QUO Q cx> 

320* Hoc ergo caau fit Becundum intervallum fi-\~G*^ B \ unde sequitur 
II positivtim ideoque negativum. Turn vero, quia c ~ u , erit c et 



1) Littera A ante mdieem dtiignat numarum 50? sigao # denotatur membrum jgjfjgf + yj 

8 00 t Jfe oo ? aifttiotrt. E* Ch 

4* 



28 LIBRI SECUNDI SECTIO TERTIA CAPUT I 320-321 [381-382 

Y = 0. Cum autem hums lentis distantia focalis sit r = c ? erit ( = oo 
Mncque (7 1, et quia B > 0, fiet $> at < 1. 

Cum porro sit m=Qktf neque vero Jfe = 0, necesse est, nt sit &'==0 7 

ex quo ponatur Qk'=l, ut fiat m = kl. lam vero ex margine colorato ha- 

bemus # TX^^TT; un( le sequitur o> = | hincque positivum. Cum autom 
33 sit positivum, ex prim a aequatione fundatnentali seqviitur 



unde oporteret esse o> quantitatem negativam; quod cum illi conclunioni a.d- 
versetur, manifestum est hunc casum esse impossibilem sou poiius hex** canu 
marginem coloratum destrui non posse. Oeterum hoc casu IOIIH fcortia in 
ipso loco secundae imaginis foret constituta; quod cum contradicfcionom in-" 
yolvat, hinc facile intelligitur tertiam lontein notahili intervallo anto hna- 
ginem posteriorem constitutam, esse clebere. 

EVOLUTIO CASUS PKOliSUS SINGULARS QUO Q - 1 KT Ml) II PKIt 
BINAS LBNTE8 PEIOBES TRANSM1SSI ITJflKUM P1UNT PAMLLKLJ 



321, Hoc ergo casu telescopium orit quani ex dnobua tnbiw 
compositum certo quodam intorvallo ab eodotu axe a so invicom roniotiw, ad 
quod genus vulgaria telescopia terrestria dicta Hunt referenda. Cum igit/ur 
sit Q****l, ne intervallum secundum /^ + c ob fl>*~~Qc cn f anonat, debot 
esse tarn /? quam c infinitum> id quod ovenirot, tain HI k ^ () t quam HI 
J?<x); prius autem hie locum habore nequit, qnia intorvallum priirtum otiatn 
fieret iBjfinitum; ex: quo necosse ost, ut Bit J?oo <^t SJ3L N ? t k atitein 
tertium intervallum evadat -wco, producfeum ,/K/ dobot OHHO quaiititan Hnit-a 
et negativa; quare statuatur J?6 Y ~~# idooque (7 ~^0* lit autom 
intervallum medium valorem finitum, puta ifa, obtimsat, quantitaa Jl non 
tanquam vere infinita, sed tantum praegrandis coneiderari debat, donee 
scilicet conditionibus praescriptia satisfecarimus, undo etiam valor ipmm Q 
aliquantillum ab unitate discrepare reperietur; quoniam enim c*eBe debat 

B f. 1 \ 

IF r ~ g/ ~ J ^ 
inde fit 

* 



382384] DE TELESCOPES SIMPLIC10RIBUS TERTII GENERIS 29 

turn vero etiam erit 

^^j .. --.. -~ v U vV " ! rti: : j-j OU xli* 1 ""'"" ~T> "~^j == ~ = '~~^: * 
1 "j~ JJ JL> JJ U JD 

PTis notatis nostrae aequationes fundamentals erunt 

. (/ (r . /j . 7 \ -n T" , 



, 
-~ -^--T. -^ et 



-_ 
in <]ua si loco cw ex priore substituatur valor iuventus, obtinebitur 



et none licebit pen ere y/co, 93 1 ? 6 r = (), ita tamen, ut sit BC*** 6. 

Destructio autem marginis colorati praebet // = -.- ,~ - , et ob Jck'***m colli- 

gotur y: + co -; qxiia deindo ost 3/ 1H "* + ^, fiet nunc Jkf -^+^, et si 

77* 7/4 "*~ 1 T((/(ftl ""* JLJ 

valoros pro i et a? invent! substituantur in formula i + ? * - , oriotur haec 
aequatio ; 



>m 9 

et pro Jf substitute valoro 

fl ( m ~ 1) ft fak* ~ (1 + *) (1 + <9)) (m + A') , 

undo colligitur 



et quia debet esse numerus positives, necesse est, ut sit // > ^ et quidem 
ita, ut non flat nimis exiguum; quandoquidein nunc elementa noetra ita 

cxprimentur : 

, a /> Ott * 9 a 



indeque distantia oculi 
atque distantiae focales 






30 LIBRI SECUNDI SECTIO TERTIA CAPUT I 321-322 [384385 

Distantia autem a definiri debet ex aequatione sequente: 



quare, ne valor ipsius a nimis fiat magnus, convenit Jc [sub radice] magnum 
assunii, turn vero 6 non multo minus unitate; quod ad prius attinet, etiaxn 
campus apparens suadet litterae k quam maximum valorem dare, quia turn 
M continuo magis crescit; verum probe notandum est in formula </> J/| 
pro littera | eatenus tantum valorem -^- assumi posse, quatonun littorae i 
et co unitatem non superant, ita tit, si vel i vel a) unitatem wnporarot, 
turn | in eadem ratione dimiimi. deberet. Quani ob causam maxhni inomcnti 
est in eum valorem ipsius Jc inquirore, uncle prodeat i~l, Posito suitem 
i == 1 reperimus 



cuius aequationis resolutio pi*aebet 

1 I t/C^ f *\\ 

Hie scilicet valor ipsius k nobis praebet / ^ 1 et 

VQ ssffiss js , 

qai valor oat negativus et unitato minor, undo pro campo apparonto hshol>ittir 



. 

m(m> 1) s 

sin autem k adhuc maioretn udipiwcoretur valorem, proclirofc qunimu / IIUUUH 
unitate, sed turn | ita mum doborot, ut floret i + 1 4 HOU | *^ 4 J , f HIC<JUO pro 
campo prodiret 1 ^*J^*.^; unde calculum inBtituenti innotoscit campum 
continuo diminui eo magis, quo valor ipwiuB k ilium torminain ftuperavcrii. 
Maxima igitur hie cnsus IUCTOBUS est, BI capiatur 

/;^.-. w 4^ /2w(w* t), 
imdo fit 

., + }/Sm(w- 1) 

Kmm m-> 

i) Vide aotam p, 0* E, Oh. 



385-386] DE TELESCOPIIS SIMPLICIOKEBUS TEETH GENERIS 31 

SCHOLION 

322. Quia in antecedents problemate casus maxime memorabilis est de- 
ductus ponendo i = 0, suspicari quis posset etiam hie talem positionem in- 
stitui eonvenire. Quamobrem Me ostendarnus in hoc problemate neque po- 
sitionem i neqjie co==0 locum habere posse. 

Prime enim si esset o)==0, ob K*=-~Q- deberet esse i>0; at ob 
to prima aequatio 

SQo> (1 + K)M 

subsistere nequit, nisi sit 3 = C\D ideoque .#* 1; iam ob J3C<0 debet 
esse C positivum ideoque ( etiam > 0, ex quo patet alteram aequationem 

i . _ (i + QtyM 

plane subsistere non posse; sicciue evictuni est sumi non posse co == 0. 

Him ill modo ostendetur nmnerum i evanescero non posse; turn enim 
ob // 3 - , / ;G) deberet esse o>>0 hincquo posterior aequatio 



nequit y nisi sit $i quantitas finita negativa idoo((uo ( cv>; itnde 
Jit C y ~l et hinc ob BC<() ttet Jf? > Hinmlquo S3 > 0, id quod primao 
aequationi 



manifesto coutradicit; ex quo perspicuum est etiam numerutn i non posse 
cupi ~ 0. 

Nequo ergo praetor tres casus hie eommenioratos ullus alias hie per- 
pendi morotur atquo postrexuus atleo tantis eommodis reliquos omnes antocedit, 
ut is solus diguuH videatur, qui in praxin dedueatur; non solum enim maxi- 
mum eampum aperit, sed etiam pro a valorem non niinis magnum largitnr^ 
quoniam in ilia formula radical! eubiea termini post A sequentes omries fiunt 
yalde parvi eoque minoroB, quo maior fuerit multiplieatio, quoniam proxime 
fit k mm m (1/2 1) * -j ^ * Turn vero hie etiam numerus & arbitrio nostro 
permittitur, quo efflcere poasumus, ut lentes postremae non fiant nimis exi- 
guae; sumto antem pro lubitu quantiiM ^j sequeuti aequatione definietur; 
quia emm supra immimm 



32 LIBKE SECUNDI SECTIO TERTIA OAPUT I 322-324 [386-388 



ob tnfyn 2) 2w>& -|- ft 2 ot w?. + /'== y2^(w 1) orit 

/} __ (flft 2 X; 1) 1/2 

hincque 

_ft + l 01/w(w 1) 

ex quo valore intervallum secundae et tertiae lentis imiotescil 

PROBLEM! 4 

323. Si telescopium hums generis ita &$ yuatiwr lent thus sU amipommdum, 
ut una lens inter imaginem secundam et ocularcM const ituatur, indolent diiw hula- 
gare eiwque constructionew descwberv. 

SOLUTIO 

Quia igitur hie prima irnago inter lentem primam et secundam, necuncla 
?ero imago inter lentem ^ecundam ot tertiam cadit, litterac^ I* <^t Q erunt 
negativae manente sola 11 positiva. (Juare ai ntatuatur pmm k ot Q^ *k\ 
orunt olementa nostra 

6 ft> /? /jt , ^""x-*" yM kk f et '*"*' *^ ** w 
Hincque interyalla 

+ L) ideoque a positivuirx, 



(l + ^), ergo // > o ** ^ > at flimul 4* < 



ergo 
Pro loco autem oculi erit 0** ^ quae tit ait poaitiva, debcit etwe rf>0, 



trnde haee no?a resultat conditio, nfc sit 6 f >, quac^ condifcio cum 



388389] DE TELESCOPIES SIMPL1CIOEIBUS TEETH GENEEIS 33 

coniuncta dat 1 ^ < ideoque R < I. Quodsi iam ponamus 

t ' * t /-vj" '' j* 
ut fiat 

existente 



w 1 ' 

aequationes nostrae fundamentals erunt 

$a> = (l + K)M et (* (1 + /c/c')lf co, 

ex quarum priore statim ob 8 > liquet fore w < 0. 
Destructio autem marginis colorati postulat, ut sit 



w P r PQ ^ PQR 
ideoque 

ut ergo li prodeat positiyum, i necessario debet esse numerus negativus. 
StatuamuB ergo co et i^m y, ut iam sit pro campo apparente 

JW -^^T" ideoque j/ + ^ < 1. 
Cum igitur sit 

U mm ^ - atque Mnc m - ^^ 

notandum est ob M < 1 et It ^ ~ ease debere M<f>m; hmc, quia est 
;// ~ 7^^+ m x*& y > 1 ideoque multo magis ?/ + C> 1; quod cum sit ab- 
surd urn, patet Imius problematis casum locum habere non posse* 

SOHOLIOF 

824* Cum igitur hoc problema penitus sit excludendum, cum aeque pa- 
rum condition! margims colorati satisfacere poesit atque primum tribus 
tantum lentibus adhibitis, relinquuntur nobis taatum problema secundum ac 
tertium, Quia autem ex secundo casus prorsus singularis ibi annotatus 

()pra oiwuia III 4 Dloptrica 6 



34 LIBEI SECUNDI SECTIO TERTIA CAPUT I 324 [389-390 

maxime reliquis omnibus antecellit, quemadmodum etiam ex tertio casus ul- 
timus prae ceteris maximam attentionem meretur, hinc constituemus duas 
praecipuas species telescopiorum tertii generis easque seorsim ita pertracta- 
bimus, ut primo ostendamus, quemadmodum utraque una vel pluribus lentibus 
ex eodem vitro adiiciendis, deincle etiam ex diverse vitro, ad maiorem per- 
fectionis gradmn evehi queant. Harum duarum vero speciermn posterior 
ideo potissimnm est notanda, quia tolescopia communia terrestria dicta quasi 
in se complectitur; revera enim ab iis ditfort plurhmim, quatenus a vitim, 
quibus haec instrumenta, uti vulgo fabricavi solent, laborant, est liborata; 
unde si etiam plures lentes in subsidium vocare nolimns, hinc regulao dari 
poterunt haec teloscopia terrestria ita perficiondi, ut maior porfoctio ox- 
spectari nequeat. Prior autem species, quao longo aliain lontiwn oculariinu 
dispositionem postulat, olim prorsus fuit ignota ac nupc^r dominn a. s 
tissimo DOLLONDO in praxin introduci est coepta. Qnatotuus Hcilicot 
minima apertura praoditis est usus; ncqne tamoti a sola oxjxu'iontia s 
perfectionis gradus, cuius haec species est cctpa-x, Bponui j>otorat. Hoc fsunou 
facile est animadversum, nisi innupor una Imn adiungatur, canipuiu ninuH 
fore parvum, quam ut oi acquioscere qitoanms* VidimuH oniin canipuni 
semper aliquanto esso minorein quam in ttibin (iHt/ronoiuicw vulgaribun, ad 
quod remedium etiam in soqrunitibus roourromuH. l)cmi(juo circa hanr, HjHuuam 
annotari convenit nos in postcruiu iiB mensuriB HHO unuroH, <juao in jwra- 
grapho 314 sunt statutae, ubi Bcilicot posuiinun t " / cul11 ^ n< l apU- 
simae ad praxin detorrniuationes obtinori vidoantur. 



CAPUT II 

DE TELESCOPES TERRESTRIBUS COMMUNIBUS 
EORUMQUE PERFECTIONS 

DBFINITIO 

325, Character Miusmodi telescopiomm in hoc consistit, quod radii per duas 
priores lenies transnissi iterum inter se fiant paralleli, ita ut haec telescopic ex 
duobus tubis astronomicis sint composite 

COROLLARIUM, 1 

828. Cum haoc teloscopia ex quatnor lentibus constent, quarum tarn 
biixae prioreB qtiam binae posteriores secundum rationem tuborum astrono- 
micorum sibi sunt iunctae, multiplicatio telescopii est in ratione composita 
ambarum multiplicationum> quas ambo isti tubi astronomic! producerent. 

OOEOLLAKIUM 2 

327. Scilicet si lentis prirnae ponatur distantia focalis jp ? secundae 
g ? tortiae r ot qtiartae 3, binae priores lentes ad intervallum "^j 



dispositae inultiplicationcm }>raebent * , binae posteriores vero ad inter- 
vallam r + $ dispositae multiplicationom -^ ; telescopium compositum 
multiplicationem producet p ^ 

SOHOLION 1 

B28* Stetim ab initio bina lentes posteriores inter se factae sunt 
et qtiidem eiiiidem distanM&e focalis ac lens secunda, quae tres 



36 LIBEI SEOUNDI SECTIO TERTIA CAPUT II 328 [392 

lentes oculares vocari sclent, ita ut turn tubus posterior nullain plane multi- 
plicationem producat ob r = s ===== q. Quanto autem interval] o hi duo tubi 
sive lentes sectinda et tertia a se invicem deboant osse remotae, auctot:ow 
non satis definiunt; plerumque autem hoc spatium fieri iubont = 2g, ita ut, 
cum etiam sit r = $ = $, tota longitude futura sit =^ + 5g f . Doiude autom 
artifices cbservarunt haec telosccpia meliorem effectmn producers, si tren 
lentes pcsteriores continuo corta ration diminuantxir, id quod egrogio 0,011- 
venit cum iis, quae supra de hoc tolesccpicrum genero annotavImiiB, ubi non 
solum multo' maiorem campum iis conciliaviinus, qua.m vulga.ris constvnctio 
suppeditat, sod etiam id inprimis offecimus ; ut margo ccloratus ponittts vvnr 
nesceret. Quocirca praecepta pro construction ante inventa hie ordino pro- 
poni conveniet. 

Oonstrnctio telescopiornm te.iTostri\itn 
ex quattior lontibus compositoruin pro qnavis tiniltiplic.a.fuoiio M 



Quanta statui debeat lontiB obiectivao diHtantia locality 
mus, quando pro singuliH lontibus Hequentibun inunoros /U A', A", X" assi^na,- 
verimus. 

I. Si igitur jp = a denotot cliBta-Titiam focaloin lontis obiw.tivao, OIUK 
figuram utiquo ex numero A 1 peti convoniot, ita ut, fti ratio 
sit wl,55, habeatur: 

anterioriH 
Eadius faciei 



pro eiuB aportura Bemidiaineter hactenus ponita <*wt ^* dig. Sin atiiotu vol 
maior claritas (lesideretur vol minor sufficiat, loco 50 vol uumoruH maior vol 
minor assumi poterit 

Intervallum lentifi Becundae a prima dobefe OBBS # -f*?* ubi valor 
ipsius <y mox indicabitur. 



IL Pro lente secunda, si SIUB diBtanfcia focalin ponatur q, m 
capita Tidimus sumi convenire ? J <^mt4mb & m + 1/2 w(w l); ot 
quia pro eius apertura dabat essn w ~ < I ll ^*!f W i ) + * > . qi valor pro niiiiors* 

bus multiplicationibus erit circitar en * f ancle haw apurtum nou fit 



394395] DE TELESCOPIES TERRESTRIBUS COMMUNIBUS 37 

maxima, etiam non opus est, ut haec lens fiat utrinque aeque convexa, sed 
sufficiet, ut pro ea sumatur A'=l, unde huius lentis constructio erit: 

anterioris = q = 5,2438 $ 
Radius faciei ^ 

posteriori^ = ' == 0,6145 q. 

Et aperturae semidiameter si capiatur =| ^ , conditioni praescriptae satisfaciet. 

Distantia autem tertiae lentis a secunda, quae supra est posita =7ja, 
delinita est 

7c + l oyw(m l) 
''""* + vfa '' 

ubi numerus 6 urbitrio nostro relinquitur, quern autem neque multo maiorem 
neque minorem imitate sumi conveniet. 

IIL Pro tertia lente, quoniam ea maxim am aperturam recipere debet ob 
i ra i idooqne utrinque aoque convoxa confici debet, erit A'' = 1,6299, et cum 
eius distantia focalis sit r J, erit rn-dius utriusque faciei = 1,10 r, cuius 
pars quarta dabit semidiamotrum aporturao. 

Ab liac lento distantia ad quartam e>st 



r + S ma /9 / 4- .^ ). 

1 \ & m/ 



IV. Quia quarta lens etiam maximam aperturam admittere ideoque 
etiam ntriuque aoqualiter convexa ease debet, pro ea etiam erit A'" 1,6299; 
unde, cum eius distantia focalis sit a -^, erit radius utriusque faciei 1,10s 
et * s dabit semidiametrum eius aperturae; turn vero distantia ab hue lente 

acl oculum writ 

$ s(w i) V(wi 1) 

""* /I/ w *~ '|/2 m (m - I ) ~ 1/2 w 

V, Hocque telescopium campum ostendet, cams semidiameter est 



sen in menstira angulorum 

. 1215 

<#> i r - min. 



38 LIBEI SECUNDI SECTIO TERTIA CAPUT II 328331 [395-396 

VI Tota autem hums instrument! longitude ad oculum usque erit 

+ 1) 2 0(w-l)/2(w- 
_ __ 



f 

VII. Pro distantia autem focali p, si desideretur claritas y = 50 dig. cfc 
pro gradu distinctionis A==50 1 ), ut sit Jcw = m, db litteram /n parum ab imi- 
tate deficientem debebit sumi in digitis 

ft (\ , 1 , 1,6299 /I , 1 \\ 

i, -!/(!+ j+^'g,- (j + J); 

ac si tain minore claritate, puta ?/ = 7 Q, ot minoro gradu dmt/nuvbioniH, puta 
ft = 35 ? acquioscero velimus, iste valor ipsius $ ad semissotu rculigi poterit, 

EXEMPLUM 

329, Si huiusmotli teleneopium tantum novies multiplicai*o deboat, ut nit 
m~$, reperietur /c*3 Wncquo 

/> -P ^ . # A! <? .. ejp 
^^ 8 ' r 8 8t S 9* 

uude erit totius teloscopii longituclo "^ + 27^^ ^ Bomidiamotor campi 



Tuin vero distantia focalis ) ita aBBimii dohobit 



y M 

sumto ergo #1 ut longitudo fiat "'*% 7 /> H *w propomodum * 3/^ roliigH 
-p 9 (/18,5196 BBU propomodum p ^ 24 dig., undo longitu<ic> ioi?t * 72 dig, 
(5 pod; qtiaa lotigitudo, uti animadvortimtiB 9 ad BomtBBrai nuhuu 



SOHOLTON 2 

.130, Vontm otiatn longitudo trium podum pro tam oxigtm 
enormtB vidobitur, praacipuo cum vulgo cnunmodi toloscopia c'iiiu 
multo breviora, magiaqua ampUHcantia* At praocipuu caunu huiun 
in campo apparente ost nita, <|uom maximum producers BUIIHIH rtmati; qui 

1) Hie valor attinet &<J oam litiaram k^ qua in formuU pro <* HHJ anU racitcnttt i^isi 
posita, 1, Ch, 



396 398] DE TELESOOPIIS TERRESTEIBUS COMMUNIBTTS 39 

sine clubio multo maior est, quam in vulgaribus eiusmodi instrumentis de- 
prehenditur. Interim tamen destructio marginis colorati non parum ad lon- 
gitudinem confert perinde ac insignis claritatis et distinctionis gradus, qui 
nobis erat propositus, ex quo instrumenta secundum haec praecepta parata 
plurimum antecellent iis, quae vnlgo circumferuntur et quae plerumque tot 
tantisque vitiis laborant, ut in praxi vix tolerari queant. Non mediocriter 
autem eorum longitudo diminui posset, si loco lentis obiectivae sive lens 
dnplicata sive etiam triplicata, quales supra ex principio minimi sunt inventae, 
substituantur, siquidem turn valor ipsius A priori casu ad -~, posteriore vero 
ad 2 ^ reduceretur; ita, si in nostro exemplo A fuisset = y ? invenissemus 
$ = 20 dig, et telescopii longitude adhuc ad 5 pedes excrevisset. Sin autem 
lento obiectiva triplicata usi essemus, ut fuisset A= , prodiisset ^ = 19y dig.; 
undo patet a lentibus illis duplicates et triplicatis, quales supra sunt de- 
scriptae, atque adeo a lentibus perfectis ; ubi foret A = 0, haud notabile decre- 
montuin longitudinis cxspectari posse ? saltern pro minoribus multiplicationibus, 
ubi post signum radicale cubicum termini A sequentes admodum sunt nota- 
bilos; pro maioribus autem m^ultiplicationibus maius lucrum esset futurum, 
quod vix tamen ad somissem redire posset Quare pro hac specie telesco- 
pi or am praeeipue in id est incumbendum, ut lens obiectiva ita duplicetur 
vel triplicetur, at non sol urn confusio ab ipsa oriunda, sed et ea, quae a 
soquentibus lentibus ernnibus nascitur, ad niMlurn redigatur; tarn, enim di~ 
stantiam j> maiorem statui non erit necesse, quam apertura ob claritatem 
roquisita postulat; quem casum in sequente problemate ita evolvamus, ut 
exiguum spatium intra lentes prieres admittamus. 

PKOBLEMA 1 

83L In hac telescopiorum specie loco lentis obiectivae eimmodi Unas lentes 
CT iwdrm vitro $amndas suhstitmre, ut onmis confusio etiam a religuis lentibm 
wiwida ad nikilwn redigatur sicque Ms telescopiis minima longitudo concilietur. 

SOLUTIO 
Cum igitur Me habeantur quinque lentes, statuamus nesteas fractienes 

|__ P , |__, I.* et J . 

Quarum litteranun prima P proxime erit 1; secunda Q erit ne^a-tiva 



40 



LIBBI SECITNDI SECTIO TEETIA CAPUT II 331 



[398399 



== &; tertia R etiam erit =1, sed ita tamen, ut intervallum tertiuin 
y -\- d fiat quantitas finita, scilicet rja; denique vero erit $== lc', ita at 
nostra elementa futura sint 



IL _ __ Bet j_BC*_ 

P ' c ~ P'k ' Pkli ~ 



Hincque intervalla 



Sa 



1. a 



BGx 



BCD* _ BOD* 

PltEk' ~ m ' 

BCDa 



uti supra [292] iatn assumsimus, ita ut sit 



ubi scilicet est C oo hincque ^ 



4 Quia orat 6 Y ^oo, debet OBSO ,/) infinite parvurn, itu ut nit 
eritque hoc interval! am 



existento multiplicatione m 

Quia autem fieri poaBet, ut tlintatitiani a tiogativam oapi oxpodiroi, 
statuatnus primiun intervalluni a + b^^^a flotcjuo r^ { 1 , ubi notundunu 
si a esflet quantitas nogativa, tani ^ <iuai t| lu^aiivo uruupi <lobtro; nompor 
autem necesao erit, ut sit -/Ja>0 sou /f<0 ofc />>(), uti initio ium 
fl, ubi poHuimus (/,/> * # 

Cum nunc pro cuuipo apparante sit 



itatuamus 
ut sit 



- 



Wl 1 

f n tf - 
ft) 4 2 



399400] DE TELESCOPIES TERRESTEIBUS COMMUNIBUS 41 

existente 



ex quibus pro loco oculi colligimus 

~ Mm 
existente 

-BO* 

f> ,, .,. ._..,. , . 

Consideremus nunc nostras formulas fundamentales 



2. (co*= (1 

3. 5D (1 + PJctyM v w, 

de qtiibns observari oportet fore primam 33^ = - -~ MI sicque valor v ob 
duplicem causam fiet quantitas minima, ita nt etiam mv adhuc sit valde 
parvum. Pro secmida autem, quia est C co, erit ^ ^^ =* 1 ^- ; pro 



fi ^^ f\ ___^__ S\ 

tertia atitem, quia est D seu potius 1) -^, erit SD * ^^^ * ^-; 
cleinde etiam hie recordari oportet esse 

7Z 



- 
BC 7 

quia igitur ex securida aequatione ob 1 + ^ est 



si hie valor in tertia aequatione substituatur, erit 

Q ,< , 



ubi, cum. termini finiti ee mutuo destruant, ex infinite parvis concluditur fore 



Bticaii Opara omuiu. IIU Diopirica 



42 LIBBI SECUNDI SECTIO TESTIA OAPUT II 331 [400-401 

unde fit 

__ ( 1 + J?/C ) J? _ ??_ _ ]3v 

- p*~ji*M 



ubi terminus ultimus tuto omitti potest. 

Destructio porro marginis colorati postulat hanc aequationem: 



P ' P (} ' P O A* ' P ^) 7^ iW 

jr j ij/ .x l^' J t J l^/jLtAJ 

quae pro nostro casu fit 



07 1,1 



unde neglecto ternnino prinio deducitur 



et ol) m = P/c// erit 

PA 

wi ^ , . 
# + 1 

Cum autoin sit 

o, (1 + /Vu)JI/ ut At - 
neglecto termino ?> fiot 



hincque 



2(1+ P*) i ^ 2 

, Tii ut<nio Jf-- t , 
m -h PA l w f - PA 



Quare, cum ait m^ , substituto valoro ipaitm (/; ol>tinomuB 



f#t , yi # "^^ / w 

m -f- PA 
hincque 



quae m* utrinquo addito pnw^bflt 2m(m - Ij f /* + m) f iclotujuo 

/ > A ^m+ |/2w(m 1), 
Hoc ergo valora pro fk anHumto pro oumpo apparent.!* ailipwnnnur tnaximunt 



401402] DE TELESOOPIIS TERKESTRIBUS COMMUNIBUS 43 

valorem, qui erit 

^3 = _ .? _______ t 

' 



et in mensura angulorum ob | == - - erit 



1718 



Nunc autem praecipuum opus superest in oo consistent, ut binae priores 
lentes ita definiantur, ut formula pro aemidiametro confusionis inventa penitus 
evanescat, unde sequens aequatio erit resolvenda; 



_ t fjj * 

~~ X 93 P MB* ^ J? 



sou 

1 ^ -7 ft f\tff 

n - 5 

A ~ 8 P ~ 1?*P* ~ J^'^Pft 

in qua aoquatione, ut ante iam vidimus, Bumi poteBt /T=l ? et quia duae 
postremae lentes debent esse utrinque aequaliter convoxae, erit pro vitro 
communi X" ' X fft ^ 1,6299. Ex hac vero aequatione vel A vel X definiri debet, 
prouti coefficient ipsius A' maior ost imitate sive minor, Ceteram notandum 
est omnes quantitates He praeter litteras I? et S3 satis esso determinatas, 
ita ut in hoc negotio tantum litterae // et SJ arbitrio nostro perinittantur; 
in quo duo casua Hunt perpendendi, alter, quo S3 est fractio unitato maior, 
puta 1; T, alter vero, quo est mutate minor, puta ?^. 

Primo si sit ^* 1 T\ erit J?- 1 i ideoque nurnerus negativus; 
quo ergo casu a debet esse positivum sen prima lens convexa, secunda vero 
concava, pro qua valor A' determinari debot et quidem ex hac aequatione; 



ubi Btimto A 1 evidens ast A' fieri imitate mains. 

At socundo BI sit SB-J * , orit B**i ideoque positivum; unde distantia 
a fiat negativa sive prima lens concava, secunda vero convexa, quo canu 
numerus A deflniri oportet per hanc aequationem; 



atque Me simi poterit A'<""1; A vero imitate maius flei 



44 LIBEI SECUNDI SECTIO TERTIA CAPUT II 331-336 [402-403 

Perspicuum igitur est simili fere modo, quo in priore casu T defiuitur, 
in secundo casu litteram A definiri, propterea quod proxime est P=l, quando- 
quidem invenimus P=^^-~] ubi notetur priore casu, quo a est positivum, 
sumi posse = ^)> ut sit p = ~; eodemque modo etiam 77 erit positivum, 
quemadmodum etiam nostra formula posito 7? = 1 I declarat, scilicet 



Pro altero autern casu, quo a est quantitas negativa, Hurai debot 
^= ^ ut sit P j^; ob eandemque ration em etiam ry fiob nogativum, 
scilicet 



OOROLLARIUM 1 

832. Cum tollendo marginom coloratum pervenorimus ad hunc 
tionem : 



qua ob /' datum valor ipsius k determinatur, hinc liabobimuH 

Jl/- y 2 efe 

Y%m(m 1) 

atque Mnc 



OOKOLLA1UUM 2 
333. Cum sit 6'-eo, /> et 6'J> #, iienfc nostra elemonta 



ft" p 

Mncque dista&tiae focales 



403--405] DE TELESCOPES TERRESTBIBUS OOMMUNIBUS 45 

turn, vero lentium intervalla 



ac denique distaritia oculi 



ubi notetur litteram $ arbitvio nostro permitti, quo caveri poterit, ne ultimae 
lentos fiant nimis parvae. 

COJJOLLAlttUM 3 

334. Ex his perspicitur, quo maior capiatur littera J9, eo maius prodire 
B(?>cundum intervallum cum soquentibus hincqxie longitudinem telescopii eo 
magis augeri; at littera Ji eo maior evadit, quo propius littera 95 ad uni- 
tatem accedit; sive enim sit SS-as 1 "^* sivo 93 x !^, aucto numero i augetur 
immorus J5; quare, cum littera 23 otiam nunc arbitrio nostro permittatur, 
noutiquam expediet earn unitati nimis propinquam statui neque tamen etiam 
conveniot pro / numerum valde parvum assumi, voluti dimidium vel fractionem 
adhuc minorem; turn onini ex ultima aequatione numerus vel A vel A' pro- 
diret nimi magnus ? scilicet adeo maior quam 27. Unde concluditur numerum 
i ad minimum unitate maioreia capi debere. 

OOBOLLABIUM 4 

835. Hie igitur coramodum cum incommodo compennatur; si enim i uni- 
tato minus caporefcur, obtinoremus commodum brevitatis tubi, contra vero 
nimiB inagnus valor numori A vel A' insigne esset incommodum; sin autem 
numorum i imitate' multo maiorem sumeremus, obtineremus quidem commo- 
dum , ut A vel A' parum unitatem excederent, contra vero tubus fieret nimis 
longus* 

COBOLLAEIUM 5 

SS6, Sk autem opiio detur inter valoree -t* et lg ^v pro SB asaumendos 
retinanta i in utexjua 0rn$em valorem^ tune A vel X eundem fere valorem 



46 LIBEI SECUNDI SEGTIO TERTIA CAPUT II 336-337 [405106 

nancisceretur. Yerum priore casu cum fiat B == 1 i, longitude tubi maior 
prodiret, quam altero casu, quo esset B ===== i] quam ob rem semper consultius 
est posteriorem casum eligere, quo lens prima est concava et secunda con- 
vexa, quam priorem, ubi vicissim lens prima esset convexa, secunda v r ero 
concava, 

SCHOLION 1 

t) 
337, Quae quo clarius perspiciantur, ponamus i = 2 et S3 8 -, ut fiat 

7? = 2; turn igitur erit P**-^ et elementa nostra sequent! mcxlo HO habebmit 
existente a quantitate negativa: 



50 PJc 



existente Pfc- w + I/2m(w 1); turn vero diHtantijio foealon onnit 



at intervalla lentium 



20* L'ffrt 

- w w Ww 

et distantia oculi 



quibus factis campi Remidiametor erit 

- 1718 



mm. 



Pro apertara aufcem tertiae lentta notandum mt aasa cn 
ut si m sit numerus satis mafnas, fiat o> ~ jj; unde, cum haw lims HOD 



406407] DE TELESCOPIIS TERRESTRIBUS COMMUOTBITS 47 

maximam aperturam, sed minorem, quae sit ad maximam ut 10 : 17, requirat, 
sufficiet pro hac lente sumsisse A"=l; guare, si et A' = l, at A'" = A"" = 1,6299, 
pro lente obiectiva inveniemus 



- 61 



200" 



existente ^ = 0,2326 pro refractione scilicet n = 1,55. 

Hinc auteiu invento numero A prima lens obiectiva concava ita construi 
debet ? ut fiat * 

anterioris = ..... -- 

cr r|/A-l 
< 

posterioris vero == - -----: 



r P 
radius taciei 



existente 9 0,1907, a 1,6274, r 0,9051. 
Pro secunda autem lente capi debebit 

... 2& 

anterioris 
radius faciei 

et posterioris 



axistente fe 50 a . 



2tf + p 

Pro tertia lente erit 

anterioris * 
radius faciei 

et posterioris 

existento c "^^ * 

Pro quarta vero lente 

radius utriusque faciei 1,10 $ 
et pro quinta lente 

radius faciei utriusque * I t 10 1. 

Ad inensuras vero absolutas inveniendas consideretur in constructione 
lentium primae et secundae miniinua radius, qui sit in a, cuius paxs quarta 
aequetur semidiameteo aperturae ob claritatem requisitae, quae sit 



48 LIBEI SECUKDI SECTIO TERTIA OAPUT II 337-338 [407-408 

j~ dig., hincque fit a = -^ 5 dig., quae mensura si forte dot ultimas lentes 



nimis exiguas, ut supra usu venit, tantrum. litterae 6 tribuatur valor imitate 
pro lubitu maior, cum hinc longitudo telescopii vix augeatur. Colligitur 
autem tota haec longitudo ad oculum usque 



J 3 2(1 + 2PK) , (m + Pfy* 

50 H "~ ~ 



EXEMPLUM 1 

erit m = 9 ? erit 
telescopii erunt 



338. Si fuerit w = 9 ? erit Vk^l] et k****f* oh P^f?; tmde elementu 



51 51 



et distantiao focales 
et intervalla 

203 



et distantia oculi 

n 46>^ 

(/ ew * 

2T 

Turn vero campi apparent!** 



Nunc vero habobimuK 

A - 3,4425 + 0,0410(5 
4- 0,1?^ 
3,f."204 
0,0416 



408409] DE TELESCOPIES TEERESTRIBUS COMMUNIBUS 49 

Sumarmis nunc 6 = 1, ut fiat 



A = 3,75255, A 1 = 2,75255 et r I/A 1 = 1,50162. 
Quare constructio lentis primae ita se habebit: 

' anterioris - 7,9491 a 



Eadius faciei 

posterioris W^r = 0,5909 a. 

Pro secunda autem lente erit 

anterioris 
radius faciei 

posterioris = ;rjrW ^ 0,5921 a . 

Pro tertia autem lente erit 

anterioris == yr^^ 3,4959 a 

posterioris rr;o^5^ *** 0,4097 cc . 
Pro lente quarta 

radius faciei utriusque 0,7338 a. 

Pro loute (lenique quinta 

radius faciei utriusque ? 2444 a. 

Tarn in duabus prioribus lentibus occurrit radius minimus 0/>909a, ut 
nit in 0/)909 adeoque 



radius faciei 



Undo H(Hj[iuHm prodibit constructio huius telescopii pro multiplicatione 
* 9, lontibus ax vitro communi factis, 

I. Pro prima lente 

, ,. * . . faatetioris 9,98 dig. 
Radius faciei < , , . AM .. 

Ipostenons 0,78 dig, 

Immn mm Btrtnx Opm onia III 4 BlopW^a 7 



50 L1BRI SECUNDI SECTIO TERTIA CAPUT II 338339 [409-410 

Cnius distantia focalis = 1 j dig. 
Semidiameter aperturae = 0,18 dig. 
Distantia ad lentera secundam = 0,025 dig. 

II. Pro secunda lente 

fanterioris 1,27 dig. 
Eadius faciei { ... , ,. 
I posterior^ = 0,74 dig. 

Cnius distantia focalis == ? 85 dig. 
Semidiameter aperturae ut ante =0,18 dig, 
Distantia ad lontem tertiam ~ > ? 3<S dig, 

III Pro tertia lento 

fanterioris -** 4,37 dig. 
Liadius faciei \ 

Ipostorioris - 0/>1 dig* 

Cuius distantia focalis 0,88 dig. 
Semidiameter apertnrao * 0,13 dig, 
Distantia ad quartam 2,78 dig. 

IV. Pro quarta lente 
KadiuH nkiuBijuo facial ^(U)2dig- 
Ouius distantia focaliB (),8;i dig, 
Semidiamotor aperturao 0,25 dig. 
Interval! urn ad quintani -^ 1,11 <lig- 

V, Pro quiniu loni< 
ItadittH tilriuBquo i\wm >* 0,*{0 <lig 
Cuins distantia focal IB ^ 0,28 dig, 
Bamidiametar aporturuo * 0,0? dig, 
et distantia ad ocultim f li)dig, 
sieque tota instrunionti longifctulo * 7,40 dig, 
et Semidiameter campi ~ 22ir. 

Hac ergo perfectiono adhibita te!cis0piniii f quoci ante unit (J pinl,, r*- 
ductam eat ad 7 * 



411] DE TELESCOPIES TEBRESTRIBUS COMMUOTBUS 51 

EXEMPLUM 2 

339. Si multiplicatio sit m = 50, erit Pfc = 20 et & = ^; undo elementa 
nostra erunt 

l^ ^L a /j =as _il = L 

5 a > P 25 a ' c ~ "To"' 7 ^? 

$ = _co <J=_^ > = _1^. 

et distantiae focales 



et intorvalla lentium 

, / l n , 107 



c, _ 3^5 

, i - 200 ' "T e ~ " 50 ~ 

atcjue dietantia oculi 

=sa= ~ 250 

et campi apparentis semidiameter erit =24^ min. 
Nunc vero prodibit 



+ 0,0063 
0,1779 

A ^1,6267 + ' 
Sumatur nunc ** 2 oritqxio 

A ** 8,B25, A -.- 1 2,6285 et rV(A ~ 1) 1,4674, 



undo Mot; 

L Pro prima lente 

anterioriB ~^ ~ 6,2500 a 
Kadius facial 

posteriorii V7:ro% "" 6081 * 

X*vOOl 
l 

r 



52 LIBEI SECUNDI SEOTIO TERTIA OAPUT II 839-340 [412413 

II. Pro secunda lente 

fanterioris = 1,0 155 a 
Uti ante radius faciei { . . _ Kr _. 

I posteriory = 0,55)21 a. 



Ill Pro tertia lento 
Radius faciei 



anterioris == = 0,5244 







postorioris < '; * 0,0615 

^ 1 j O .ft < 'i 

IV, Pro quarta lente 
Eadias faciei ntriusquo - 0,2200 a, 

V, Pro quinta lonta 
EadinB faciei ntimsquo (),O^K(). 

lam cum sit in duabus prioribus lontibiiH radiim nnnimus 0,5021 ft, vrll 
0,5921 adeoque ^ * BB "" - 5^ ^*? ^ u ^ ca 'l^ ponnot 7 dig, 
Unde sequens prodibit constructio huiim toloscopii pro iuuifcipru f .aiim 
50. 

L Pro ]>rima lento 

fanterioriB -*. -4*1,75 dig. 



_ -, , , . 
BadinB iaciei 

4,212 dig, 



Cuius distant! a focal Js **- ~ 7 dig* 
Stmndiamcter aporturuo *- 1,05 dig* 
Distantia ad lentom Bectindant ~ 0,14 dig, 

II* Pro HOC and a Ion to 

* * . fantorioriH * 7,H dig, 
faciei < 

^- 4,14 dig, 



Gums distantia focalis eat 4,76 dig* 
Semidlameter aparturao ut aiiti -* 1,05 dig, 

Intervallwm ad tertiani lantern ** 144)8 dig. 



413414] DE TELESOOPIIS TEEEESTRIBUS COMMDNIBUS 53 

III. Pro tertia lente 

_ ,. . . fanterioris = 3,67 die. 
.Radius faciei { 

Iposterioris = 0,43 dig. 

Distantia fo calls est ==0,7 dig. 
Semidiameter aperturae = 0,11 dig. 
Intervallum ad quartam = 3,18 dig. 

IV, Pro quarta lente 
Radius utriusque faciei = 1,54 dig. 
dims distantia focalis est = 1,40 dig. 
Semidiameter aperturae 0,38 dig. 
Inter valkiu) ad quintam lentem = 1,96 dig. 

V. Pro quinta lente 
Kadius utriusque faciei = 0,61 dig, 
Cuiutt cli&tantia focalis ~ 0,56 dig. 
Semidiameter aperturae, * 0,15 dig. 

Distantiu ad oculum = 0,39 dig* 

*> 
Sicque longitude tota 20 ^ dig. propemodum 

et Bemidiaineter eampi - 24 2 min. 

SCHOLION 2 

840. Hoc ergo etiam postreomm tolescopium facile per tubos dnctitios 
itn. pa;rari potost, ut commode quiB HOCUIH id portare possit, cum lento ilia 
(umcjiva. oniiHHii hoc tcloHCiopium ultra viginti podes oxcrevisset Circa tubos 
autom dnctitioB hi<* nofcari oportet, (lain ductus ad oculum accommodatur, 
Holum lontom ocularem mobilem ease debere, reliquas vero lentes omnes in 
loom hie aB&ignatis perpotuo consistere debere, id quod in perpetuum de 
cminibufl telescopiis, <iuaa Me tractantur, est tenendum; ceterum non opus est, 
tit perfoctioni, quaua variae vitri species largiuntur, caput peculiare tribuamus, 
ut hactenui fecimus, Bed solutio praeoedentis problematis paucis mutandis ad 
hum scopum accommodari poteat, uti in problemate sequente ostendemus. 



54 LIBRI SECUNDI SECTIO TEBTIA CAPUT II 341343 [414-416 



PKOBLEMA 3 

341. Si prima lens obiectiva concava ex vitro crystalline paretur, dwn reliquae 
ex vitro coronario conficiuntur, constructionem telescopii describere, in quo non margo 
solwn coloratus, sed etiam tota confusio a diversa radiorum refrangiUlitate oriunda 

penitus destruatur. 

SOLUTIO 

Hoc problema, ut hacteaus fecimus, ex principiis supra stabilitis si re- 
solvere vellemus, omnia plane eodem modo se essent habitura uti in proble- 
mate praecedente usque ad eum locum, ubi marginem coloratura sustulimus, 
atque etiam haec ipsa aequatio non esset discrepatura ab ea, quam in prae- 
cedenti problemate tractavimus^ quoniain in ea prima lens non in computum 
venit, ita ut Mnc etiam eaedem determinationes obtinerentur atque hucusque 
litterae $8 et B etiam nunc mansurae essent indeterminatae; iam autem demum 
ultimae aequationis, qua confusio penitus e medio tollitur, ratio erit habenda, 
et aequatio eo pertinens [53], si pro prima lente formulam differentialem 
^ littera N 9 pro sequentibus autem lentibus litteris N' denotemus per 
hasque aequationem dividamus, erit 

y\T 1 1 11 

0=47- 



N r 93P S&PJc SP6Jc B6m' 



in qua aequatione terminus tertius cum sequentibus prae duobus primis tarn 
eunt exigui, ut sine errore negligi queant, praecipue cum, uti iam saepius 
notavimus, natura rei non permittat, ut haec aequatio adcurate resolvatur 
neque id etiam scopus noster postulet. Quare sumtis tantum duobus terminis 

prioribus colligemus 

N' 

$Y\ J - Y 

f\J ~~~~ -iL-r- -- J 

NP 

scilicet ob hanc conditionem lentis primae e vitro crystallino parandae totum 
discrimen in resolutione in hoc tantum consistit, ut nunc, cum littera 35 ante 
arbitrio nostro mansisset relicta, definiatur; quocirca, quia ex DOLLONDI 
experimentis habemus N:N'=IQ:1 ac praeterea sit P = -, consequimur 

Of* n e ft 

nunc 35 = ^ 7 qui valor proxime reducitur ad hunc 35 = y sive etiam ^ 



qui est ipse valor, quern in praecedentibus iam exemplis ipsi 95 tribuimus; 



416417] DE TELESCOPES TERRESTEIBUS COMMUNIBUS 55 

quicunque autem valor ipsi 33 tribuatur, in aequationem ultimam, ex qua 
numerus A definitur, leve quoddam discrimen ingreditur; cum enim nunc 
primus terminus per ^, sequentes vero per /u sint multiplicand! , divisione 
per /u' facta haec aequatio fiet 

1 f *\ft <\nr >\riff r 

<i - __ A . 1 . I . I v 



p f ' ~ 93 3 P ^ IfPk ^ J5 8 3 P7c "T" B*6*m n 

ubi ut ante sumi potest X = 1 et A"=l; at quia lentes posteriores ex vitro 
coronario, quo n == 1,53, conficiuntur, pro duabus postremis lentibus, quae 
utrinque aequalitor convexae esse debent, erit A'"= A w == 1,60006, litterae autem 
eo portinentes erunt 

^ _ o,})87fl , / 0,2196 , (/ 0,2267 et a f = I ? (i601 , r = 0.9252 . 
Pro prima autom lonte crystallina erit 

^ 0,8724, ^ 0,2529, $ 0,1414, a 1,5827 et v 0,8775. 

COBOLLARIUM 1 

342* Nunc igitur denmm intolligitur, cur praestet primam lentem ex 
vitro crystallmo parare <|iiam socundam; si enim prima est crystallina, fit 
$ * ^ et 1 } 3 Sin autem secundam crystallioam facerenms , foret 

ft rj 

$ 5 et jf a Quare, cum omneB sequentes distantiae multiplicatae 
sint per &, eao ac proptorea tota longitude tubi prodiret posteriore casu 
imaior (juam prime idque in rations 7 : 5. 

OOKOLLAJMUM 2 

34& Si diKcrimon dinporttioniH ambarum vitri specierwra minuB esset, quam 
hie Hocundum DOLI.ONDI exporimonta assumimus, tune fractio pro 33 assu- 
monda propius ad unitatemi accedoret indeque B maiorem nancisceretur 
valorem nicque instramentum longiua evaderet; ex quo ad praxin plurimum 
expedit, ut duae vitri species ratione dispereioms maxima inter se differentes 
eligantur, siquidem hoe mode telescepia mnlte bre?iera redderentur, 



56 LIBRI SECUNDI SECTIO TERTIA CAPUT II 344-345 [417-418 

SCHOLION 1 
344. Quoniam igitur hie primam lentem ex vitro crystalline, reliquas ex 

s 

coronario fieri assuinimus, experimentis DOLLONDIANIS innixi statuamus 95 = y , 
ut sit J? = y, ac posito # = 2, ne lens ocularis fiat nimis parva, elementa 
nostra sequenti modo se habebunt: 

51 t 5dJ , } 5 a 

f > _ 51 / ., 5c^ 

et distantiae focales 

_ ^ ^ / * r> ^ _ ^ ^ / . '^ a 

hincque inter valla 

17 _ 5 (1 + /7c) ft ]/2 w(m J } 



et distantia oculi 

existente 

pjc */;/ 4. 1/2^,^4 ijj 

turn autem seinidiatnetor dam pi 

1718 



Ut igitur bine ccmstruetionem pro quavis multiplicationo w invosfcigoiuuH, 
methodo iam saepiuB adhibita uteutes priino ovolvamus casuiu f quo m2ri y 
turn vero casum, quo meo, 

BXEMPLUM 1 
345. Sit multiplicatio w - 25 ac reperietur 

T/2m (m 1) 84,64101 hiiicque PA - 9,64101 , 



418419] BE TELESCOPIIS TEEEESTRIBUS COMMUNIBUS 57 

unde intervalla ita se habebunt: 

a + b = 0,02<x, ft + c 2,80930a, y + d - 1,21770 a, 

<y 4. e = _ 0,71860 a 

et distantia oculi = 0,13844 a. 

His praeinissis quaeratur A ex aequatione supra data et invenietur 

A _ 3,16815 + 0,007514 + 0,001502 + 0,000579 + 0,14198 
seu 

A -=3,31972, 
unde fit 

rY(Z~ 1) 1,38648. 

Hinc igitur, si W et G- denotent radios anterioris et poster ioris faciei, 
habelmnus 

I. Pro priina hvnte crystallma 



II. Pro soeumla sratem letite (joronaria erit 



f,,' + a^ 4,4537 , 5a'+2,/ 8,7539 

conntroctio pro omni mxiltiplicatiotic^ valet. 

1IL Pro tertia lerite coronaria habebimuB 

*-;-, ,,4* 



ubi valores ponultinii pro omni mnltiplieatione valent, 

IV, Pro qmrfca lente itidem coronaria^ cuius distantia focalis 
erit 

y^a^ urn s - 



ubi valor penultimu0 pro omm mttltiplicaMoB valet* 

Opera omtaa HI 4 l)ioptri< i t 



58 LIBRI SECUNDI SECTIO TERTIA CAPUT II 345-347 [420 

V. Pro quinta lente etiam coronaria, cuius distantia focalis est t - w ", 
erit 

F = = 1,06~ -M = _ 0,212* , 

m 

ubi iterum forma penultima pro onini multiplicatione valet. 

EXEMPLUM 2 
346. Si fit multiplicatio m irxfimta sen praegmndin, erit 

}/2w(w 1) = ml/2 1,41421 w hincquo P/: == 0,41421 m, 
unde intewalla orunt 

a ~f ft ^ _ () 02, tf + r; - 2,55 (j,()85(> tf , 

I 9 9 f I ; 7 ^ J 

y 4. rf - 26,6425 ~ , <y + ^ , 17,0712 - a 
at distantia oculi 

n === _ % rw*,n , a .. 

I/ ssss {>^ T ; t >A/ * "" * 

His praemissis quaeratur A ax ao(iuationo data (%t habobitur 

A 8,16815 + 0,14108 8,81013, 
undo fit 

rl/^l) 1,3837; 
quare habebitur: 

L Pro prima lente 
& & & inirn /' tf ^ 

"""" y "i,8887 *"" 6,2490 ^ * * * """ ( -f 1,8887 ** 1,4751 ~* 

II. Secunda lens convenit cum exemplo praecedente. 
Ill Pro terfcia lente erit 



PA 



421422] BE TELESOOPIIS TERRESTKIBTJS COMMUNIBUS 59 

IV. Pro quarta lente erit 

7^ /7 .."" _>0ft -j C) 7QKJ a 

JU \JT TY^ J- A VdO ' * 

PJc m 

V. Pro quinta denique lente 

.ZY T = & = 53.-~. 

' ' m 

Elementa autem sequent! modo se habebunt: 

& = l,02cc, c = 6,0355- , dl cv>, e=== 5*~, 

m ' m 

/3 = _ 2,ft5a, y = cvo, c) N = 12,0710 -~ 
hincquo distantiae locales 

# a, 2 -= 0,72857 a, r = 6,0355 , 

s = _ 12,0710 a , # = 5- - * 

EXEMPLUM 8 

JJ47. Ex collatione praecedentium exemplorum pro quavis multiplicatione 
inaioro m constructionem huiusmodi tolescopiorura describere. 
Primo elementa aequenti modo expressa reperientur: 

J \ 

." , /I/ WDT CO , 



I - - 1,()B, fi - - 2,fi5, o - - (0,0855 + 

7 fr /^nA^7^A . 22.8500 \ 

d mm CVJ , ^ ~ 12,0710 + ' , C 

' \ J ' m / m 

hincque distantiao focaleB 

p - , f/ - - (),72KT)7 , r - -- ((J,03fi5 + 1 1 



at intervalla lentiutn 

^ -|- 5 0)02 of, ^ -|- c 2,55^5 (6,0355 -f- 

i ^ /V ^AK i 8 W , , ^ /17 A71 A j. 22,3500 \ e 

y + <$*. (26^6425 + i: J^ tf + 6 (17,0710+ J 

' \ M / $n \ m / yn 



60 LIBRI SECUNDI SECTIO TEETIA CAPUT II 347 [422423 

et distantia oculi 

0-- (3,5355- i^ 5 -)" 
\ m / m 

et tandem semidiameter campi semper est 

1718 



Lentium vero constructio ipsa ita se habebit: 

I Pro prima lente crystallina 

anterioris (4,0160 + - 1?14 ) a 

ry v if - - \ ' W / 

BacliuB raciei 

posterioris fo,(>779 0;032r 'V 

\ m / 

JL Pro secunda lento coronuria. 

, , b (anteriorly l,14 r )la 
Itadinfl faciei 

| postorioriH ~ 0,5820 a. 

Ill Pro tortia lento coronarla 

anterior^ (2,(i237 + 49>5J8 ) 
t> r , . . \ M / 

IiaduiB faciei < 



1Y* Pro quarta lento coronaria 

Itadius utriusque faciei ~( 12,7953 4- a8 ' 68 ) * . 

N ' m / m 



V. Pro quinta lente coronaria 
BadiuB utriusque faciei ~ 5,30- * 

None denique iudicandum restat f quantum valorem ipsi a tribui conveniat, 
Hunc in finem consideretur duarum priorum lentium radius minimuK, qui cmt 
0,5826 ^, cuius pars quarta 0,1456 a ponatur aequalm somidiametro aper- 



423-424] DE TELESCOPIIS TERRESTBIBUS COMMUNIBUS 61 

turae ~ 9 indeque reperietur a = ^, quo quidem valore quantitas a minor 
accipi non debet; quocirca sumatur a== y- atque obtinebitur sequens 
constructio hniusmodi telescopiorum pro quavis multiplicatione m. 

Posita igitur distantia focali a = ~ dig. impetrabiinus pro constructione 
quaesita sequentes mensuras: 

L Pro prima lente crystallina 

anterioris = ( 0,5737 m 0,16) dig. 
Radius faciei 

posterioris = ( 0,0968 m + 0,004) dig. 

Ouius distautia focalis = ^ dig. 

Somidiameter aperturae = ^ dig. 

lutervallum ad lentem secundam 0,00286 m dig. 

IL Pro Bocunda lente coronaria 

(anterioris 0,1 686 w dig. 
Radius faciei \ 

[posterioris 0,0882m dig. 

Ouius distantia focalis est - 0,10408 M dig, 

Semidiameter aperturae ^ dig. 

Intervallum ad lentem tertiam (0,8643^ + 0,86+ ^) dig. 

III. Pro tertia lente coronaria 

' anterioriB (s,80 + 7? -) dig. 

\ ytli f 

Radius faciei < 

posterioris fo,52 + j dig. 

Ouius distantia focalis ent (0,86 + ~) <% 
Semidiameter aperturae O f 18 dig, 

ad quartern (3,80 + fy dig* 



62 LIBRI SECUNDI SEOTIO TERTIA CAPUT II 347-348 ^ [424425 

IV. Pro quarta lente coronaria 
Badius faciei utriusque = (l,82 -f ^~) dig. 

Cuius distantia focalis est (l,72 + ^) dig. 
Semidiameter aperturae = ? 45 dig. 

($ O\ 
2,44 + ~J dig. 



V. Pro quinta lente coronaria 

Radius utriusque faciei * 0,7(5 dig. 

Cuius distantia focalis ==0,71 dig. 
Semidiameter aperturae = 0, 1 9 dig. 
Intervallurn ad oculum = ^0,50 ~\ dig. 

Tota ergo telescopii longitude inde colligitur luiec: 



unde patet, si m 100, longitndinom hiBtrumonti non OHBO Buporatunun 44 ^ dig, 
Remidiametor denique cainpi apparonti cuit 

1718 



quae ergo pro m UK) fiot 12 minut 

SCHOUON 2 

848. Haec ergo teloBCopia adhuc satin brevia forowt^ HI nuxlo in praxi 
lentea quam exactissima socunduni inenHurttB pnioHcriptan licorot olabontro ot 
si etiam utraque vitri spccios praocifto eandem rofractionem admittorot, quam 
hie aupposuhnus; par|ietuo autem tonendum et f HI vitri rafraetlo diHCi^poi ah 
ea, quam asBiiniBimiiB, tune totum outculum <lo novo eBHa irmtituondum, qtti 
scilicet ad formationern lentium spectafc; delude vero etiam httoc regula proho 
est observanda y ut, quo minus feiicissimum HUCCOHHUIU ab urtifico xpoct4irti 
queamus, mensurae Me praescriptae augeri atquo adeo dnplicari vol triplicari 
debeant; id quod commodissime flat, ni digit! raonsuram raulfco maiorotu ac- 
cipiamuts. Semper autem, etiamsi artifex sutiimam industriam adiribeat, vlx 



425426] BE TELESCOPIIS TERRESTRIBUS COMMtJNIBUS 63 

unquam sperandum erit, ut primum statim, quod produxerit, instrumentum 
voto respondeat; quin potius semper necesse erit, ut lentis primae concavae 
praesertim plura exempla elaborentur, ut ex iis optimum per experientiam 
eligi possit; quamvis enim eaedem mensurae retineantur, tamen semper usu 
veniet, ut plura exempla omnia inter se aliquantillum discrepent. Quin etiam 
saepe consultum erit ipsam mensuram pro constructione huius lentis aliquan- 
tillurn immutare, ita tamen, ut eadem distantia focalis conservetur, et pro 
quavis xnensura aliquot exempla conficere; scilicet si ex theoria radii facierum 
anterioris et posterioris istius lentis inventi fuerint F et Gr, hanc figuram 
saepo ita immutari conveniet, ut capiatur radius faciei anterioris ==.F+jP 2 co, 
posterioris vero = G + 6r*a), sumenclo pro o> tantillam fractionem, quae adhuc 
in praxi sentiri queat; tum enim in distantia focali nihil mutabitur. Denique 
otiam quaedam monenda restant circa diaphragmata in liuiusmodi telescopiis 
usurpanda; quia enim in iis duae imagines reales reperiuntur, in utriusque 
loco etiam diaphragma constitui poterit ? cuius apertura ipsam illani irnaginem 
capero debot. Primae autem iinagiuis semidiameter est 



est vero M in nostro casu - r -.,"....^, et J? ?- adeoque ista semidiameter 

1/8 w(w 1) 8 ? - 1 

erit . 5 * sumtoque a ut ante semidiameter ista erit 

4y t 2m(w 1) 7 

-L A' 



(m 1) 381/2 
nisi w sit numerus parvus. Secundae autem imaginis semidiameter est 



quare, cum sumsorimus 2, posteriuB diaphragma aperturam liabere debet, 
cuiufl Homi diameter sit duplo maior qnam antecedent, scilicet -- dig., a quo 
voro nullus tisus oxepaetari potent, cum postremae lentes ipsae multo minorem 
aperturam postulant, ita ut solum diaphragma prius utilitatem habere possit, 
cui etiam, si libtierit, micrometrum adplicari poterit, 



CAPUT III 

DB ALTERA TEETH GENERIS TELESCOPIORUM 
SPECIE PRINOIPALI EORUMQUE PERFECTIONS 

DEFINITIO 

349, Ad altcram Jtanc specicm referimus ca tekscopia, quae supra ttJO d 
guidem speciatim in subnexo cor (Mario 2, $ 814, sunt explicata, in (jiuhns scilicet 
lens secunda adtmc ante primam imaginem rcakm eolkeatur, tcrtia vero kns post 
hanc imaginem in eo loco, ull kntis primac instar obiccM considerate imago per 
secundam lentem proiiccretur; yni locus cum ante wmgln&n sccundam cadat? kn$ 
g/uarta ocularis in deUto toco eonstituitttr* tfpeciatim autMi, si primac Utntis 
distantia focalis ponatwr a, sccitnda kns II a statuitur, ut sit 6:-^ * sire 

1 \ ptH 

intervallum primae et sccundae lentis a ( 1 ) 

\ ymf 

OOJWLLA1MUM 1 

850, Cum igitur haec toloacopia quatuor conwtcnifc lonfcibim, pro HH 
nienta ita se habebunt: 



m- n , 

^ * 6V. A 

2m ? 



ita ut sit 

mm 2 VIH "" i + y$ 

et axbitrlo nostro relinquatur, 



428-429] DE ALTERA TEETH GENERIS TELESOOPIORDM SPECIE PRINCIPALI 65 

COROLLAEIUM 2 
351. Ex his elementis erunt lentium distantiae focales 

]/m 1 Vm1 ~ , T/w 1 ~ 

p = a, g-, L~- . a , r=* -- a et s ^ - ~ 

(l+ymjYm %m 

et lentium intervalla 



et distantia oculi 

^ m 1 

= ~- 
2mm 

ita at tota longitude fatura sit 



ubi tantuin monendum eat pro G numermn positivum accipi debere. 

COEOLLAEIUM 3 

352. Litterae autem maiusculae P 9 Q, li pro hac specie fient 

JP 1/m, Q^ l et It*-* Ym, 
ita ut liiric prodoat PQll~*m, uti rei natura postulat. 

8CHOLION 

353. Hie autem inprimis rationem reddere oportet conditionis in defini- 
tione commemoratae, qua diximus lentem tertiam ibi esse collocandam, ubi 
primao lontin hwiar obiecti consideratae imago per secundam lentem proiecta 
asset casura. Outri enim secundae lentis distantia focalis sit 



eius autem distentia a prima lente /I - l 'W, quae vocetur y, si prima 
lens titi obiectum coEsideretur, aims imago post secundam lentem cadet ad 

Ktrr-Ktir Opera omaia HI 4 Dioptrioa 9 



66 LIBEI SECUNDI SEOTIO TERTIA CAPUT 111 353-354 



distantiain 
est vero 



V m 1 T . <- T/m 

L- ------ a hmcque C = r 



cui praecise distantia tertiae lentis a, socunda aequatur. Haiic autem condi- 

tionem ideo in definitionem introduximus, quoniani eins ope locus tortiae 

lentis facillinxe per praxin assignatur. Ceterum supra [ 314] iam notavi- 

Q K Q 

mus semidiametrum campi apparentis fore </> = mm,, quae utique 

augmentatione indiget, cum has lentos perjficere conabimur. Demque ibidem 

quoque est ostensum soniidiamotrum aperturae tertiao lentis statui dobore 



60 

Pro secunda autem lente, quia posuiuiuB 

a a cu| et a) ~ ^ BZ* ' 

y 

semidiameter eius aperturae ease debet 

q ']/m 1 



FKOBLKMA 1 

354, Inter Unas jpostremas kntes huius tclem^wntm spceiei HMMM lent em 
inserere, ^m campus apparvns waf/iB amplific&tw\ 

SOLUTIO 

Cum igitur hie occurrant quinque lent6B ? statuantur iitmtma 
fractiones 



quarum litteraram duae debcmt osw nogativae y quaruiu prior iirifc ^ 



1) Notaodum st litter* g it* hao paragrapho duas pl*na differentoN ({UAntitotus 
*5! - rt a * B. Oh, 

9 m V |ff 



430431] DE ALTERA TEETH GENERIS TELESCOPIORUM SPECIE PRINCIPALI 67 

turque <? = &, altera vero erit E vel 8\ utram autem negativam statui 
conveniat, nondum definiamus. Hinc igitur elementa nostra erunt 



P ' ~ Pk ' 

ft ~~ Ba 

P P > 7 

distantiae autem focales 

. -BCDa 



/V) - /y /V ^ ; - _ ___ __ /V- . ., _________ o i _ , 

1 ' q P ' PJc ' S ~ PkE 

hincque lentium intervalla 



(juao cum esne debeant positiva et a iam sit positivum, necesse est, ut sit 
1, J?>1, 2- J5<0; 3. quod ad bina reliqua intervalla attinet, duos casus 
distingui convenit. 

Oasus prior, quo It > et 8 * If. Hocque casu debet esse 

jj)>0 et CJ9<0, 

quo ipso etiam fit 6 positivum. 

Casua posterior, quo Ii<0 seu R^ K et $>(), Hoc ergo casu esse 
debet C y > ideoque etiam 

(>0 at <1 et J)(l |)>0. 



Ut autem etiam fiat <?>(), debet esse D<0 ideoque 

Nunc igitur consideremus campum apparentem^ cuius semi diameter est 

-X+tf -!*?+#"' 

"""w^i ....... ' 

ac statuamus ut hactenus ai; co, st^O ex natura huius speciei, me" | 
et ^~|, tit fiat 





"**" 1 W X 



68 LIBEI SECUNDI SECTIO TERTIA CAPTJT III 354 [431-432 

atgue bine iam statim pro loco oculi prodit 

0= e = ( m '-^ e . 
Mm m(<n + 2) 

A equation es porro fundamentales erunt: 



1. = 1 i> sea = (1 

2. = (1 + /'/>) M m 

3. 3) = (1 + 
ubi cum ex prim a sit 



hie valor in secunda ubstitutus chit ()--= (1 -f /V.-)33 +/'-- 1, > l ( ^ so(|uitur 



ita ut 93 ac proindo etiam 13 Hit nnraorus nogativius; fit autoin 



tuni vcro ex terfcia erit 

t 5>/>k(l~~.J)AT\ 

litterao veto (/ et ( arbitrio nostro nuuionfc relir.ia^, Pro bin'm 
memorutis erit: 



Pro priore, <juo *?-'*', 3) /'*(! /i;J/. Hi c^rgo fuorifc ii> l f 
OHHO 6 >0 et /><(); at cum fiat 3)<0 f sponto ilia conditio /><r() i 
Bin autem nit R <l, erit 3) > 0, clabot autem enno 6V ot 7^ > 0, o 
quenter $D< 1 ideoque PA^(l /{) M < 1 , 

Pro posteriore CEBU, quo M~* tf 9 mi 2) l*k(l \-kf)M idooquo SD>0; 
ante autem vidimus hoc ciwm esaa dabero C'>0 adeoquo i>0 i^t (S<I, 
Turn vero D(l ) >0. Quaxe, emu asBe doboat < 1, erit J^-r O f undo ob 
D>0 colligitur 3)>L 



432-433] DE ALTERA TERTII GENERIS TELESCOPIORUM SPECIE PRDTCIPALI 69 
Nunc pro tollendo margine colorato habebitur haec aequatio: 



__ ___ __ 

P PkE PJcES' 
ex qua colligitur 



8l seu 
ubi ergo binos nostros casus distingui oportet. 

I. Si 8 W, habebitur Q=* !clc'E([ + PfyM k' +1, unde fit 



unde patet esse debere #'<!, unde, si prodeat E>1, debet esse (7>0 et 
7><(). Sin. autem prodeat R<\, debet esse I) ><), C'<0, S)>0 et 2)< 1 
adeoquo P^ (1 11} M < 1 . 



II Si 12 /<;', erit = fci^l + PK)M+ S+l, unde colligitur 



quao oxproHsio per se ost positiva,. Hoc autem casu supra vidimus esse 
debwc) C > adeoque ( > et ( < 1 et 1X0, ita ut hoc casu sumendum 
sit 6"<1. 

Denique Me meminisso oportet esse P/CjR6'== tn, quae conditio secun- 
dum binos casus considerari debet. 

Primo casu, quo H=* , ob ^"* B /^.' nostra aequatio dat 



unde colligitur 



ita ut esse debeat m(l + PfyM < P; ubi notetur, si prodeat JK>1, esse 
debere 0>0 et I><0, sin autem prodeat E<1, debere esse (7<0 et D>0, 
20 et S)<1. 



70 LIBEI SECUNDI SECTIO TERTIA OAPUT III 354-355 [433434 

Altero casu, si E = k', ut sit m = Pkk'S, nostra aequatio dat 

0---p(l 
unde colligitur 



ita ut esse debeat m(l + PK)M> P. Cum autem debeat esse 6 Y < 1, otiam 
esse debet m(l + Pk)M< 2/ } ; praeterea recordemur esse debere 0>0 adeo- 
que K>0 et <1 et D<0. 

Tandem circa has formulas probe observandum est ob valorem w in von- 
turn litteram M per reliqua element/a commode exprimi posse. Cum onim sit 
o> = (1 -f ptyM, aec^uatio 



dabit 

717 
7 7 

et 



ita ut pro campo apparonto prodeat 



, Si u , 1718 

,- TJI *S sou </> , r>7 inm- 

* 



Turn vero otiam pro loco oculi 

0- " 

vm 

QuibuB obsorvatis binoH cawus seorsim evolvanmn. 

L KYOLUTIO CABUS QUO ti^~k' 
366. Hoc ergo casu elementa nostra ita BO habebunt: 



P ' m Pk * ~* PkM* 



434435] DE ALTERA TERT1I GENERIS TELESOOPIOfiUM SPECIE PRINOIPALI 71 
hincque intervalla 



ubi ergo esse debet 

P>! et 8 .-lf^> 

Terbium vero intervallum dat hanc conditionem 6^1 i)>0 et ultimum 
01) < 0; est autem 



Destructio autem marginis colorati postulat, ut sit 



et 



quatnobrem debet esse 

P(m + P&) 
ideoque 



quare, cuin ilia quantitas maior debeat esse quam Jc, ob 2m >P debet esse 
P>2 ? ex qua etiam conditione patet semper osse debere M>1 adeoque 
6 Y >0 et !)<(), uti ex valore ipsius 1) manifestum esi Quo his conditio- 
nibus satisfiat formulaeque evadant simpliciores, statuamus PJk l/m, ut fiat 



ideoque 

^ 2 1718 

m 



72 LIBRI SECUNDI SECTIO TERTIA CAPUT HI 355-357 [435-436 

qui valor duplo maior est quam ante [ 314]. Turn vero erit 

a , == ~lI : L^l- 

m -f |/w 

i 1/1 

porro si capiatur P = 4ym, prodit 7c= ^ , JR^Sym et &'= a - hincquo 
Praeterea vero 



i .|.y 



w 



unde oinnia intervalla prodibunt positiva, duimnodo pro f/ surautur quantitas 
positiva. 

II EVOLUTIO OASUS QUO It-..-. // 
356. Pro hoc ergo caau dostructio marginis oolorat/i prac^lxit 



nnde concluditur 

, 2 >(! + PA) , 
P(*w-f /V,-) " ' 
ita ut OSBO debeat 

2w(I -f M) > l\m -\- 
turn vero ob A?< 1 debet P 



Statuamus nunc itorum ut ante Pk *^ Ym fiotxjuo *V a ^ w 1, ita ut mitw 
capi doboat P<21/w t P>Ym; littera autei A cjidot intra limits 1 t ^ 
Turn vero ob # aw 1 erifc 



436437] DE ALTERA TERTII GENERIS TELESCOPIORUM SPECIE PEINOIPALI 73 
Definite autem P erit 



1 + ym 



]/w 2*' 1 
sve 



qui valor cum sit positivus et unitate maior ? littera D sponte fit negativa, 
quemadmodum conditiones postulant, dummodo capiatur positivum. Quo 
an tern omnia plena determinentur, statuamus insuper P=y]/W ac fiet 



et ^> Y =v ? 

o 



quibus valoribus omnibus conditionibus satisfit. 

SOHOLION 

357. I En ergo duos casus huiusmodi telcscopiorum penitus determinatos 
pro data multiplicatione m, quorum eflfectus in praxi idem esse debet. Cum 
autem posteriore casu longitude inetrumenti minor evadat quam priore, eum 
merito Me praeferimus; quamobrem operae pretium erit in constructionem 
istorum teliscopiorum adcuratius inquirere. Notatis igitur praecipuarum 
litterarum valoribun, scilicet 

--2Z, 8- > 



__ . 

" Vm"+i ' "" syW 

EOLBEI Opera omnia III* Dloptrioft 



74 LIBBI SECUNDI SECT10 TEliTIA OAPUT III 357 [43? 

et quia C debet esse positivum, ponatur 

C=0, ut sit (= ~^ 9 
et elementa nostra ita erunt expressa: 

2 cc j 2 (3 ]/m 2) s 3 T/w 2 _ (3 yW - 2) 

~~~ sYm' 16w >OJ? "" 5w ' 5m 

(3 ]/w ~2) v _ - 2 (3 J/w - a) ( J/WA + , _ 2 tf (3 ]/w - 2) (S ]/w H- 1) ^ . 

Q/ == - ... 01 J --- .. -- - - .- .**- "~ / * CC y ts ^ " , y V " _y *Ctj 

hinc distantiae focales 

3 "|/m 2 03 ]/w 2 



s = / \ ^ et r- = ; \ - a 

et lentium intervalla 

8 + ^' ^ ' *> " 



. 

>w*w 

ot distantia oculi 

n ?(\ + ym) (i -|- ) 

(/ WK Kffl" - 

a]/w> 
uncle tota oritur longitude tolescopii 



2)(3 |/w -ft) ^ . 

_ ' ' ft * 

-t 



ita ut, HI m sit numoniH praemagnua, ha(c longitude fiat. 



et quia hoc casu fit e ** , HI Hcoret capere -* ^ dig,, niatui ronvoni- 
ret d 5, ut ultimas lantk clij*lantia focalia ftorofc circitor J dig.; 
autem a multo maiorEi obtinet VElorom, ftunlo ca|ii potorit W^L 



438-439] DE ALTEBA TERTII GENERIS TELBSOOPIORUM SPECIE PRINCIPALI 75 



II. Adcuratius etiam inquirere debemus, quantam aperturam cuique lenti 
tribui oporteat ? ac pro prima quidem lento semper sumi solet semidiameter 
aperturae x = ~ dig.; pro reliquis lentibus ex formulis supra expositis colligitur: 

Semidiameter aperturae secundae lentis 






semidiameter aperturae tertiae lentis 



rx 



50 



Quarta, autein et quinta lens inaximam aperturam capere debent; undo 
eas utrinquo convexas effici oportet. 

1IL (^uod nunc ad litteras A attinet, pro prima lento semper sumi con- 
vonit A 1 , (jui valor otiam pro socunda lento sumi posse videtur, siquidem 
tmmorus m non sit adrnodum parvas, de quo autem quovis casu seorsim 
orit dispicicndum, Pro tertia enim lento oh mini mam aperturam nullum est 
dubium, quin sumi possit A" I. Quoriiam voro quarta lens debet esse 
utrinquo aequaliter convexa, pro ea sumi debet 



A-- 1 + (7*)Yi-23))- 1 + pl-. 

1 V 2r / \ ; ' V 2r 

Pro quinta autetn lente erit A"" = 1 + 



IV. His igitur yaloribus pro A, A' ... stabilitis quantitas a ex sequento 
formula defmiri debet: 



jp$pk\& ^ a 

\ JL 

D 



ubi meminisse iuvabit sumi solera ^ M 50 Bt &*6Q, ut sit k%*^m. Interim 
tamen, si minore vel claritatis vel distinctionis gradu contenti esse velimus, 
pro k$ sumi poterit ^m Deinde etiain Mnc evidens est ob ilium praegrandem 



1) Vide notam p. $, i. Oh* 



10* 



76 LIBRI SECUNDI SECTIO TERTIA CAPUT III 357359 [439440 

valorem ipsius A'", qui scilicet quadratum (2 I) 2 involvebat, terminum 
inde Me oriundum iterum satis fieri parvum, cum is divisus sit per 3 ? 
praeterquam quod eius denominator ob Pfr//=3m per se sit satis magnus. 
Denique adhuc notari debet numerum A" multiplicari per quantitutem satis 
notabilem,, cum sit *$ propemodum 27 et ~ 9 > 1 ideoque ^ 8 g ultra 5 
assurgat atque adeo ad 40 usque, si sumeretur # = 1, ita ut Pk = y'm in 
denominatore liunc terminum vix infra unitatem diminuere possit. Oui in- 
comniodo remediuin afforri posset hanc lentem secundum praecepta in Libro I 
de lentibus compositis tradita duplicando. Hoc autem necesse non orit, quanclo 
ipsam lentem obiectivam ita duplicabimus, ut omiiis confusio a reliquiB otiani 
lentibus oriunda tollatur, 

EXEMPLUM 

358. Sumto m = 25 constructionem huiusmodi teleacopii descril)oro. 
I dim sit n 25, ei*it Ym * 5 indo^uo 

/'- 16 , b~* /, ; '^1D, H^ [ 

A 4f ' 

w 18 /> tB <$\ ui /> HJ . 
undo elemental nontra orunt 

/j $s - , /I a^ .. (I iaiat n^ ^*w 

16 7 ' 876* i^ 1 ? 185 7 

( "" 1875 ? ( "" I87fi **' ^ "*" oafi 

et diBtantiae focalon 

t f) 13 



el infcervalta ienfciuui 

18 . . IB 



ac distantia oculi 

.. 4S0 



440-442] DE ALTERA TEETH GENEEIS TELESOOPIORUM SPECIE PRINCIPALI 77 



ita ut tota longitudo futura sit a (|| + ~|). Campi autem apparentis 
semidiameter erit 



II. Semidiameter aperturae lentis primae = ~- dig. 

Semidiameter aperturae lentis secundae = -iW|~ + -), unde colligere 
licet pro hac lente dimidiam aperturam sufficere. 
Semidiameter aperturae lentis tertiae == ~ dig. 

Ill Deinde porro erit A 1, A'=l fortasse, A"=l, X"= I + 
ubi notandum, si vitrum commune adhibeatur, quo ^ = 1,55, fore 

r 1 + 0,6299 8 f ' 59,861 et r"= 1,6299. 
j 

Ex aequatione pro a colligere licet numerum sub signo radical! contentum 
circiter ultra 2ju,m excrescere, unde eius loco tuto scribere possumus 64, sicque 
obtinebimus a 100 dig. == 8 * ped. 

Pro maioribus autem multiplicationibus haec quantitas in ratione mYm 
crescet neque haec longitudo satis magna imminui poterit, nisi formulam pro 
Bemidiametro confusionis ad nihilum redigaums, id quod, uti ex superioribus 
liquet, facile praofltabitur, si his quinque lentibus adhuc lantern concavam 
praefigamus sivo ex eodem sive ex vitro crystallino parandam, 



PKOBLBMA 2 

359, Ham tclescopior%m speciem ante primam lentem praefigendo lentem con-' 
cavam ita perficere, ut confusio penitus tollatur sicque haec telescopic brevissima 
re4dantur servato campo ante invento, 

HOLUT10 

Cum igitur nunc sex habeamus lentes, quinque litterae erunt conside- 
randae 1\ Q f M 9 8, T ad lentium inter valla relatae, quarum prima P debet 
dare intarvallum minimum, quod ob a negativum statuamus 60 a, ut 
flat P~ j*j Deinde cum seqiaentia intertalla respondeant litteris Q^ R, S 9 T, 



78 LIBKI SECUNDI SECTIO TEETIA OAPUT III 359 [442-143 

quae ante erant P, Q, E, 8, nunc ponamus R = k et 8 = V oruntquo 
elementa 

a Bcc , BCa BCDa 



et 

/__ ~ JiODEa _ - BODE* 
'~ "PQKktf ~ ..... m"~ ' 

RK BGu 



unde interval] a colliguntur 

1. a + ft = a (\ p) ; quod fit sumto />* *" 

2. /? -f fl ^ ~ 7 j?(l o)> urL( ^ e < cum ^ ca P* ^ )0a ^ > U dobc^fc OHBO /^ 
positivum ideoque 33 > et < 1 . 

3. v + d = ll w (l + ?); undo 6 r dobet OBHO negativum. 

* A V \ # / 

4. (J -j. & *. * ' ^-"(l + i); unde J> dobot OHBO poflitiviun i<looqtio 3D , 

c w A/ \ AJ / 

et SD < 1. 

5. a + /** jt>Qbv*ft ~ r) un< ^ dobet OHHO /?(l ,],) ponitavuin, H<M! c 
et /* debeat osse maitis nihilo, debot OHHO J^J nogativum, orgo 7 T * X I. 

lam pro campo apparento pcmamus 
ut fiat 

existente 

m'-i' * 
unde pro loco oculi fit 

"-*.- 

Ex his autem forraabuntur sequentos aequationcis 

._(l_/*)Af 



2. 

3, $.0 (I + P^)Jf v o> 

4. -.-.(!- PQUK)M ~ t> w . 



443-444] DE ALTEEA TEETH GENERIS TELESCOPIOEUM SPECIE PEINCIPALI 79 
Ex quarum tertia statim habemus 

v + co~-(l + PQk)M; 
est vero etiam 

unde 

2 



m + PQJc 
sicque vicissim 

-PQK) 



1 m + PQJc 

Quia nunc prima aequatio dat 

v = ~~7 
secunda praebebit 



m + PQJc r 18(m + PQK) ' 
quare nunc fiet 

_u _^?iLn?I^ _ ?Q~~ f _Q) _"~" 2 ( 1 +j p W 

(/ p UJ ts=i ^yy /-jT> | />/)7*"\ (^ V-*M J- ~P /)1f\ "4 

quae aequatio reducta dabit 



quae ad fonnam lianc reducitur: 

1 



qtiae aequatio inservit relationi inter litteras B et definiendae. Littera 
aiitoni 1) arbitrio nostro manet relicta, dummodo capiatur positiva. Tandem 
vero quarta aequatio dat 

ffi 2 (1 ~~ PQM') 2 (i . 

" ' 



qui valor cnm sit poeitiyus^ debet esse 

V} > m + PQk sive PQk(l + 2#) > m. 



80 LIBRI SECUNDI SECTIO TERTIA CAPUT III 359 1 444-445 

Denique destructio marginis colorati postulat hanc aequationem: 

A V 4- ro 4- l 4- 1 

v p-r pg PQJ. -r p QW -r p 



quae substitutis pro v et CD valoribus abit in hanc: 

" a( 

sive 

= 

Ut huic aoqaatiom commodissime satisfaciamus, primo terminos factoro (1 - - /') 
adfoctos ob summam parvitatom roiiciamus, quanckxiuidoni non opua oat, ut 
in hac resolutiono aumraunx rigorem sequairmr, et habobimua 

%(l + PQk) I / 



1(1 -P) 2(1 -PQ) 
i + "P QK) (5 (m '+ P Qk] Q ~^~ i 


8(1-P) 
BS^ + 'PW^"^^ 


^+ 9i 


2 /(i-^d-g) 
Q(m + PQ'K)\ !B 


- 1 -'*)+ <,; 


1 

QI'VT 



ubi statim secnndum naturam huius Bpocun toloscopioruni Htipra Htiabili 
statuaiuus POk ]/;>/ et '/'-' ! ; undo fiat " ^,,,, hinc /*&' <J {; W Quia 

i y WA AA^ * 

nunc orit klc'T^ ^ m v '//>? ^a ut Bit PQ \ } Vm, <*b / x datum otiam ^ 
defimetur. Quia porro oat P(Jk***Vw, orit /**- * t hutequo //* 2J/^ Hi<ujuo 
valoros harum litterarum ita HO habebunt: 

p J^ , ,/*<y J )/ w . / r M :i , // ^* 2 |/w ot 7 f ' 
*) i > *i j 

hincque 

P(^* Vm , /*(?A^ - 2m oi 



Quod nunc ad reliquas littoras If, f.. attinefc, aoquatio supm data, w 
etiam factor 1 P reiiciatur, dabit; 



undo invenitur 



445-447] DE ALTEEA TERTIE GENERIS TELESCOPIORUM SPECIE PRINCIPALI 81 

Litterae autexn B et 33 arbitrio nostro permittuntur, ita ut, si prima lens 
concava ex vitro crystalline paretur, ut supra [ 342] vidimus, poni conveniat 
S3 = yj porro vero litterae 3) et D Mnc plane non determinantur, r^isi quod 
utramque positivam esse oportet, ex quo statuamus D = 6 Mncque 35 = 
denique vero erit 



hi ^ 

* w 

qui valores uni conspectui ita repraesentantur: 

-. _ e . et K _ 2 ( 

' s ~ et e -" 



hincque 



^-, D-s et JB-- 

2 7/m 1 + 31/m 



ex quibus elementa nostra penitus determinantur. 

NiMl igitur aliud euperest, nisi ut semidiameter confusiotiis ad mhilum 
redigatur, id (juod fit sequente aequationo; 



7?SB 



BI scilicet omnos lontes ex codem vitro sint factae. Sin autem prirna lens 
Bit crystallina, roliquae vero coronariae, valor ipsius A hmc inventus insuper 
jiniltiplicari debet per ^ [ ^]> q,uae fractio est fere ^ ? propius vero J^- 

Circa hanc vero aequationem observandum est sumi debere A^w^l, 
X' m* l t A'" L Pro quinta autem lente ? ut utrinque flat aeque conve%a, sumi 
debet 

A""- 1 + 0,60006(1 - 20-)*- 1 + ^O^iii^M'. 

(l + y >) 

Pro sexta vero A'"" 1,60006. 

KULKHI Opera umuia IIU Dioptrioa 11 



82 LJBRI SECTJND1 SEOTIO TEBTIA OAPUT III 360-364 [447-448 

COEOLLARIUM 1 

360. Pro his igitur teleBCopiis cum fiat N = * . , erit somidiaineter 

m -f V*n> ' 

i. T 1718 . 

campi apparentis <f> = -/ mm. 

COROLLARIUM 2 

361. Semidiametri autena aperturae singularum lentiuni ita dofiniuntur 
ex 23: 

Pro prim a = #, 

pro secunda ^, 

pro tortia = / + p'/, 7 

pro quarta asa O$+ p ^ k , 

A ** 
pro quinta 4 4 : ^ 3 

COKOLLAJLUUM 8 

362. Si in locis imagiuurn roaliutn vt^liniuB <lia.phragiind.il oouHtituoro, 

rcperitur [224227): 

/*</ 



Pro priori Homidiairu^tor aporfcuruo . 

r l w 4- \/m 4 



Pro poeteriore voro ^^^ . ". 

BCHOIJON 

3(13. En argo dupliccm porfocstionom huiuH genorin tolweojiioruni; altira 
scilicet Hpectat ad oanipuw apparcmtoni, quein faro duplo maiorutn riMididiintiK; 
altera veto conaiHtit in destructions confusioni8 qua effieitm% ut ncm opuH 
sit quantitatam a maiorom acclpero f qimni aporfcuni lantiB obioctivao ad 
claritatom requieita postulat, sicque longitude) iculoBCopii tantoporo contraltatur, 
quantum quidem fieri liccA- Cum hie (huii* lontw post ultimam 
reporiantur, quibuB campun duplo inaior ent factun, ita, HI iron pluroHvo 
adhibere velimus, campuin, quouHquo voIuorimuB, amplificaro licobit Quod 
cum vix maiorem calculuni poHtulot quaiu pra^codonn probiotitit, 
pretiuin utiquo erit hanc invoHtigationetn goneraiiin tu) 



448-449] DE ALTERA TEETH GENEBIS TELESCOPIORUM SPECIE PRINCIPALI 83 



PROBLEM! 3 

364. Praefixa ut ante lente concava plures lentes post ultimam imaginem 
realem ita disponere, lit campus apparens, quantum libuerit, amplificetur. 

80LUTIO 

Hie omiiia prorsus manent ut in problemate antecedents, quod scilicet ad 
elementa, distantias focales et intervalla lentium attinet, hoc tantum discrimine, 
nt ambae series litterarum B, G, D etc. et P, Q, k, tt, T etc. ulterms con- 
timiari debeant. Deinde littera M, qua campus apparens deflnitur ? alium 
nanciscetur valorem a numero lentium post ultimam imaginem inserendarum. 
Sit igitur harum lentium numerus = i eritque 



m 1 

Turn vero aequationes fundamentales se habebunt \it ante, nisi quod nlteritis 
progrediantur; post tertiam autem quamlibet sequentium ope tertiae definia- 

mus, uti sequitur: 

I. Sgv =_ (i p]M 



3. () : _ (l -|- jpQK) M. v 03 sive v + co = (1 + PQfyM, 
unde 

et 



4. @-. 
5. f? PQk(\ + KT)M I 
(5. PQk(\ + V T U) M 2 
7. l*Qk(l + KTUV)M H 

etc. 

Ex primis autem formulis colligetur ut ante 

P(1 g) + PQ(l + *) " 0> 



84 LIBBI SECUNDI SBOTIO TERT1A OAPUT III 364 [449-450 

unde, quia P proxime = 1 ideoque v pro nihilo haberi pctest, erit satis exacte 



unde colligimus 



Hie autem sufficit hunc valorem vero proxime definivisso, quia aporturao 
lentmm, undo litterae v 9 a) etc. pendent, summam praecisionom, respuunt. Quod 
cum etiam valeat in aequatione, qua margo coloratus deatruitur, habobitur 
loco M substituto valore 



3 /, . l . l . 1 
' ( l + T + TU + TJ 



m + PQJc 

quorum torminorum nnmeniH cum Bit i ot Bitigu]a(^ littcirao 7 T , U, V otc, 
imitate dobeant CBBO minoroB, RtatnamuB tarn coi)(;innita,tiM gratia, quam ut 
lontos postrenuK^ aoquis fere mtervalliB (li 



ut factor ipsiufj ^ Hat 



deindo etiam ut unto ponamun .t'Qk ]/m, ut. ptodoat 

4 1 ((1 j- /) 

y m ~ ft*' * a ' 
unde elicitut- 



Produetum vero roliquaruta littorarum 

TUV ..... ' ! ; 
erit 

^Tf/K...-"^ 1 "-.^ 
hincque ergo deducitur 



450-451] DE ALTEBA TERTII GENEBIS TELESCOPIOEUM SPECIE PBINCIPALI 85 
et quia P per se datur, Mnc Q deflnietur. Denique ob PQJc =Ym elicitur 

& = ^ et V=iVm. 

Lt If 

Hinc ergo valores omnes sequent! modo se habent: 



V=-- W etc 
, V 4 , KK ~ 5 CTC " 



im, P QkV T 

et 



O 

Circa litteras JE? ; 6 Y 7 ,D etc* prima B cum tertia D hinc non definitur; 
iam vero ostendimus esse 



fc) (i + 
et 

,- i J?^ _ 1 + 

t = .^^.^^_ ^ 

Ponamus igitur ut ante 

D-0 et S)- 

sequentes vero erunt 

^ B- i(l + iV'w) 
1 -{-]/ 



3(1+ y) 

- (4+il/w) Q 
*"'4(l+Vm) ' 

quarum litterarum penultima erit 



et ultima 1. 



86 LIBBI SECUNDI SECTIO TEETIA OAPUT III 364-367 [451453 

Has igitur quoque litteras hie coniunctim aspectui exponamns: 

23= ^ circiter .7?= '* vel circiter 

7 " 

/r "-(2tyw----l) f/ M T( 2 ^ w ""*"".?) 

~ (i + <)(i + yw) ' (1+801/ W 

25 = ^ J) * fl 

^1+0 

(g 2 " + ^ ^ m ] = ~ ( * + e ? ' ^ 

1 + T/w' J = (* - 1) (1 + (/ + 1) l/m) 

Hj ^ 2(i 1)+ (n l-2)Vm . T ^ -(2 (*!) + ( 1-2) ]/W) 

2(1+- ]7m) ~ (i 2) (2 + (/ + 2) 



(Sj = . 
' = 3(1+ )/w) (*' - 8) (3 + (i + 



yr_ (4 (/-3) +(^ 3-4) 
~ (/ 4)(4 | (?: + 4 

eta, 

ex quibus valoribus omnia elemonta secundum formulaa Batln coguitan 
possunt. 

Deinde vero \ii omnis confusio tx>llatur ; haec aoquatio orii. adimpionda: 



P 

1 / r " i r \ 

WWWPQkKT^W f /'^ / 

/r w , v \ f 

\ * + 06J J "*" ? 



ubi ufc ante notanclum ost, i lauB prima concava ox vitro c 
paretur, reliquae autam onmoH ex coronario, turn valorem hinc pro A invon 
tura insupor multiplicari clebere par fractionoin ^; quo COHU 



stetuafcur SB** 7 otiatn omnin coufuHio a divorat refningibilibito nuiiontnt 
orinnda tolli deberat, Beilicefc secundum DOLLONIU exp^rinumfca, (totarum, ufc 
iam monuimua, pro litfceris A', A" at A w tmitaH poni potartfc. Pro 



453-454] DE ALTEEA TEETH GENERIS TBLESOOPIORUM SPECIE PEDTCIPALI 87 

vero lentibus, quae omnes utrinque aeque convexae esse debent, statui debet 

X'" =1 + 0,60006(2 -I) 2 , 
r'" = l + 0,60006 (2$ -I) 2 , 
A""" 1 + 0,60006 (2 I) 2 etc. 

COROLLAEIUM 1 
365. Hoc igitur modo campi apparentis semidiameter erit 



<p = sive <> = 

m + yw, m + ym 

ac si pro lente ultima fuerit distantia focalis = , pro loco oculi habebimus 

= 
undo, si multiplicatio fuerit praemagna, erit = ^ - 

COROLLABIUM 2 
806. Semidiametri aperturae singularum lentium ita definientur: 

O " i. ^ , 1 

Pro pmna a?, pro qumta -- + -. -~x, 

r ' r ^ 4 "*- ^m ' 

pro secunda 1, pro sexta .+.. -oj 

r p r 4 i, ^ m ? 

pro tertia * T -I- ";> P^ Beptima ^ 4- ^* 

l/^ ^ ' * fyiym 4 " w iw 

pro quarta HS H * , ^tc. 

COKOLLAK1UM 8 

867. t/irca diaphragtnata eadetu est ratio ut in problemate praecedente; 
Bcilicet pro cliaphragmate hi loco prioris iraaginis collocando debet esse 
radius forammis * " -^, pro altero autein diaphragniate * ,...-?, 

unde patet haec foramina eo maiora fieri debere, quo magis campus 
amplittcetur. 



88 LIERI SECUKDI SECTIO TEETIA OAPUT III 368369 [454-455 

SCHOLION 

368. Hoc igitur problemate totum huncce de telescopiis tractatum fini- 
mus ? quoniam cuncta praecepta pro illorum construction e satis smit oxpowita 
neque hie constructiones generates commode exhiberi queant, proptoroa quod 
hie non solum quantitates dnplicis generis ut ante, ubi scilicet vel numeii 
absoluti vel per multiplicationem m divisi occurrobant, sed tnplicis adeo 
generis, scilicet praetor numeros absolutos quantitates primo per Vm vel 
etiain per m divisae, in computum suut ducendae, ita at ex comparutumo 
duorum casuum nulla conclusio generalis colligi queat, Nihil igitur aliud hie 
restat, nisi ut pro qualibet multiplicatione, quam quis postulat, atque otiaiu 
pro quantitate campi sen valore numori i calculus ah initio intttituatur, 
quern pro quovis casu oblato suscepisse ob rei dignitatem sine dubio opora-o 
erit pretium* In quo quidem negotio etiaiu littera 0, quao arbitrio nontro 
hactenus est pormisaa, cletorminari dobot, quam commode unitati aoqualem 
vel maiorem assuincwo licet. Videtur autem apfciBBimo poni J)OSH<^ r - 2, 
undo posteriora instrument! intorvalla non ninn a-ugcnitur, mniul vero valor 
pro A notabiliter minor prodit, (jimm HI easet tfl. Quo autom totun into 
calculus facilius suscipi et absolvi (jueat, aliquot (^xtunpla hie HulwmgaimiH, 



KXEMPLUM 

869. Sit m-4, ut Hit Vw ^7, et pro caiupo apparente i a, ita ut 

telescopium ex BOX lontibu nit compowmUum, <>t Humatur praetei'i^a t) U. 

L Primo colligantur Httorufl ./*, Q ot<^ 4f ut 



Log, p QJXmm bog. ' 9,025KMja 

Lofr /><?* 9,1549019 Log. ~ 8 t ()08778 

Log. - 8,8098088 



- J f tJQ - 9,853871!) // J t 

ff - JJ , U - O f 0177287(^) G'~ - JJ f 



I,S - 0,5740318 A'--", J. A 1 -0,18469841-) 



455-456] DE ALTEEA TEETH GENEEIS TELESCOPIORUM SPECIE PEINCIPALI 89 



Ex his logarithmis formantur sequentes: 

ISC = 0,1056837 (-) 
I B CD #= 0,5414121 (+) 
I.C& = 9,7254725 (+) 
IE = 0,7087297 (-). 



L BCD 0,4067137 (-) 
1. J523 = 0,2518118 (+) 
I D = 0,1249386 (+) 



II. Hoc quasi primo labore confecto colligamus nostra elementa, quae 

ita se habebunt: 



I = 1,02 a 

c = _)_ 0,26785 a 
d = 0,18221 
e = 0,02603 a 
/=_ 0,07099 a 



r = 0,13666 a 
<T = 0,36443 a 
a + 0,03549 a 



g= 0,72857 a 
Log. | = 9,8624713 (-) 

r= 0,27901 a 
Log. = 9,4456318 (-) 

s =_0,12148a 
Log. ^ = 9,0844942(-) 

(5 = 0,09762 a 
Log. ^ 8,9895188 (-) 

M ==_ 0,07099 & 



Pro oculo autem erit 







0,04057 a. 



III. Hinc iam lentium intervalla cognoscuntur: 

1. a _|_ b 0,02000 a 

2. /3-fc 2,28215 a 

4. 
5. 
6. 

Tota longitudo 3,08755 a . 
EOMBBI 0per omalfc III * Woptrioa 



c?.~ 0,31887 a 
e 0,39046 a 
f 0,08580 a 
0,04057 a 



90 LIBRI SECUNDI SECTIO TEETIA GAPUT 111 369 [456457 

Delude etiaxn diaphragmata ita definiuntur: 

Prius post lentexn tertiam ad distantiam y 7 13G6(> a ponitnr. 

Eius semidiameter foraminis = 0,0114 a 1 ). 

Posterius ponitur post quartam lentoin. ad distantiam $ == - 0,36443 a. 

Eius semidiameter foraminis = 0,0228 a 2 ). 

Porro vero semidiameter campi apparentis erit 30 3 minut 

IV. Nunc si&gulas lentes examinari conveniet, quarum non solum con- 
structio, sed etiam momentum confusioniB, quod quaelibet ad valorem A con- 
ferfc, est definiendum, ubi quidein prima lens ultimo loco, postquam scilicot 
valor A fuerit invontus, tractari debebit. Quoniam igitur BequontoB lonteB 
omnes ex vitro coronario fieri samuntnr, valores eo pertinontes orunt: 

v - 0,2196 , Log, v 9,3410323 , 

a ~* 1,(5601 ,, 



<r _ <, J >4m, Log. (a ~ $ 0,15ti8<>74 , 
r 0,9252. 

Nunc igitur singulas lenton post prlmum online ponsarraiuuH. 

Pro Icwtft 

anterior 
L Radius I 

posterior 

quae formulae ex Buperioribus facile eliciuntur. Hie vro st A' 1 ot cal- 
culus ita inBtituatur; 

1) Editio priacapi; 0^05690?, Oorraxit B, Gh, 

2) Sdltio prmeepi: 0)11880. Oonwit E, (!h. 



458459] DE ALTEEA TEETH GENERIS TELESCOPIOEUM SPECIE PEIFCIPALI 91 



- p ) = 0,1563674 
1 23 = 9,8538719 

0,0102393 

- e) 1,02386 



log. * = 9,8624713(-) 
log. denom. = 9,8035937 



o = 1,6601 
subtr. 1,0239 

0,6362 denom. radii anter. 
? = 0,2267 
add. 1,0239 



1,2506 denom. radii poster. 



9,8624713 (-) 
0,0971184 



0,0588776 (-) 
radius anterior = 1,14519 a 



9,7653529(-) 
radius posterior = 0,58257 a. 



2. Semidiameter aperturae requiritur 



3. Calculus pro momento confusionis: 



. 0,0086002 



U' 0,0000000 
I S3" =9,5616157 

0,4383843 
adde log. cofiffic. 0,0086002 

0,4465)845 

Ergo pars prior 2,79888 
posterior -=0,12543 

Momentum confusionis =2,92431. 
lento tertia 



1. Radius 



l v = 9,3416323 

0,2518118 

9,0898205 
0,0086002 

9,0984207 



anterior 



posterior 



ubi notetur M&Q A" 1. 



is* 



92 



LIBEI SECUNDI SECTIO TEETIA CAPUT III 369 



[459460 



l.(a ? ) = 0,1563674 
l( () = 0,0177287 

0,1740961 
((ff <>) 1,49313 



o = 1,6601 
+ 1,4931 

3,1532 
denom. anter. 



9 = 0,2267 

1,4931 

1,2664 
denom. poster. 



Log. r a = 9,4456318(~) 

Log. denom. 0,4987515(+) 

8,9468803(-) 



Ergo 



radius 



f anterior 



9,4456318(~) 
0,102570!) (-) 
!),343060S)(+) 

0,08848 a 



(posterior = -f 0,22032 . 

2. Scnridiameter aperturae roqnisita 

quam. aperturam haoc Ions utiquo sustin(M- pottwt. 

3. Calculus pro momonto confusionis: 

I * 9,02f)9(i32 ' /.A" - 0,0000001) 

J, C^f [ 

7,8361435 



i 7,7829574 ( -) i 

Ergo pars prior -f 0,(XH!0(! 
posterior ~ 0,<K) V 283 

Momentum confusionis - 
Pro lento quarta 



1. KadiuH 



anterior 



posterior 
ubi iterum aumatur A'" 1 . 



460-461] DE ALTEEA TEETH GENERIS TELESCOPIOEUM SPECIE PEINCIPALI 93 



? )_ 0,1563674 
Z.S) = 9,8239086 



I (a ?) = 9,9802760 
$) (a ? )= 0,95560 



<7 = 1,6601 
0,9556 

0,7045 
denom. anter. 



? = 0,2267 
0,9556 

1,1823 
denom. poster. 



log. ? = 9,0844942 (-) 
log. denom. = 9,8478810 

= 9,2366132 (-) 
anterior = 



9,0844942 (-) 
0,0727277 



radius 



9,0117665 (-) 
0,17243 a 
posterior = 0,10273 a. 

2. Semidiameter aperturae requisita = 7 -x, quam aperturam lens com- 
modo sustinebit; si enim minor radius lentis secundae, qui est 0,58257 a, sus- 
tinet aperturam %, Me radius minor, qui est 0,10273 , commode sustinebit 
aperturam 7 x. 

3. Calculus pro momento confusionis: 



- 0,1549019 
8 l.Ji (J~ 0,3170511 (-) 

8,8378508 



l. v = 9,3416323 
1. 3)D 0,1249380 

9,2166937 

8,8378508 

8,0545445 



U w 0,0000000 
3Z.S> y,4717258 

0,5282742 
8,8378508 

9,3661250 
Ergo pars prior 0,23234 
posterior -=0,01133 

Momentum oonfusionis =0,24367. 



Pro lento quinta 

1. Quiu haec lonn ut.rinque debet esse aeque convexa, ob eius distan- 

tiarn focalem 

* 0,09762 a 
erit 

radius utriusque faciei 1,06 1 0,10348 ; 

mrac vero erit A""- 1 + 0,60006 (2 -I) 1 ; at est 2@- 1-6,5, ergo 



94 



LIBEI SECUNDI SECTIO TEETIA CAPUT III 369 



[461-462 



et 



log. (2(51) =0,8129134 

log. (2 I) 3 = 1,6258268 
log. 0,60006 = 9,7781947 

1,4040215 
adeoque A"" =26,352. 

2. Semidiametor aportura.o hie per liypothesin out 
altera enim pars w nn > quain haec lens facillime patitur. 

3. Calculus pro mouiento con fusion! s: 

U"" 1,4208136 
,.(- 1,7220939 

9,6<)87197 
6,7886327 



0,02-140 a; 



3 Z. 7? 



1,2201411 

6,7886327 



9,3416323 

0,7087297 



1 6,4873524 I 

Ergo para prior -- 0,(K)031 
pOBtorior - ...... 0,(XKK)2 

Momotitum coufusioniH >-0,0(K>29. 



(>,788(!327 
5,421535:5 



I'ro lento 

1. Quia per hypothosin haec lonn utrinquo dohoi OHH(> aotjmi nonvoxa, 

oius disfcantiam focalom 

0,07099 
erit 

radiuH utr!uH(ju facku -* l,0(Jtt - 0,07525 ; 

turn ven> orii, ;""'-. 1,6(KK, 

2. Homidiatnotor aperturuo * ^ M (),0177f>. 

3. (JalcuhiH pro tnoinonto confusioniH: 

1. p g l kk . T H.JK >HX). ! iH ^. A'"" 0,204 1 ;5Ji 

3 /. n CD K 1 ,(!2428G8 6,(fifrf}7f 



Krgo momentam confuBtotuu O.OU077. 



462 463J DE ALTERA TEETH GENEEIS TELESCOPIORUM SPECIE PEINCIPALI 95 



V. His inventis colligantur omnia momenta confusionis in unam summam, 
quae erit 3,17227. Nunc autem duo casus sunt considerandi, prout primam 
lentem concavam vel ex vitro coronario vel ex crystalline parare volueri- 
mus, quos seorsim evolvi oportet. 

1. Pro prima lente concava ex vitro coronario paranda 
Pro hac ergo lente erit 

I = 3,17227, unde A 1 = 2,17227; 
hincque fiet sequens calculus: 

Log. (A 1) = 0,3369138 



ergo 
-l) = 1,3636. 



Log. V(A 1) = 0,1684569 
Log. t = 9,9662356 

0,1346925 



Nunc cum sit pro hac lente 



radius 



anterior 



posterior 



calculus ita se habebit: 



a 1,6601 
1) 1,3636 

0,2965 

/.0;2!)Bf) 0,4720247 

complementum 0,5279753 

sicque prodit 



V 0,2267 
1,3636 

1,5903 

1 1,5903 -0,2014791 
complementum 9,7985208 



radius 



anterior 3,37268 a 



posterior 0,62881 , 
semidiametro aparturae existente x ^ dig. 1 dig. 



LIBB1 SECUNDI SECTIO TBETIA CAPUT III 369 



1463465 



2. Pro prima lente concava ex vitro crystalline paranda 
Pro hac igitur lente erit 



I = .^ . 3,1 7227 sen A - 3,59080, 

et quia pro vitro crystalline est 

<> - 0,1414, o- 1,5827, r 0,8775, 
calculus ita se habebit: 

Log. (A 1) 0,4184339 
kg- 



Log. r <),<J482471 



orgo 



cr 1,5827 
subtr. 1,4124 

o,i7oa 

log. il,2;214(J 

oomplomentmu 0,7()87H54 
Bicque prodit 



rl/(A -1) -1,41242 

(> 0.1414 
a,dd. 1,4124 



radius 



anterior 



I (54H5H 



semidiametro aperturae axistente IB * ^ 1 dig- 

YL Quia binao prioran lentils coniunctim lantoni ohiaetivam conHtituunt, 
cuius semidiametor ttpc^rturat* * 1 dig*, statuatur eariuu minimuB nulhtH, cjtit 
eat 0,582f)7, >4dig, hincquo concludotur Bum! dohcro ^^05^1 ***# ' Mm 
est ~ a > 7 dig. vol Baltirn non iniriuB, ita ut, HI optimuH NUCCOHHUB H(i<mrt 
posset, accipere liceret ~ ft 7 dig, Sin atitein almrratio quimdant nit porti- 
mescenda, fcantum opug orit menHuram uniuB Higiti atigera (loinnHKlitittiB 
autem gmtia sumaruuB a - 10 dig,; undo wqiitmH prcKltt c<mHtrtirtt<i huiuN 
teleieopii datermiEate pro multiplication w 411 



465466] DE ALTERA TERTII GENERIS TELESCOPIORUM SPECIE PRINCIPALI 97 

1. Pro lente obiectiva 
quatenus ex vitro coronario paratur 

. ranterioris = 33,73 dig.) ' 

Jttadms faciei { } Crown Glass. 

Iposterioris == 6,29 dig.) 

(1). Pro lente obiectiva 
quatenus ex vitro crystalline paratur 

_ ,. fanterioris = 58,72 dig.) . , ^, 
Radius faciei Flint Glass. 

Ipostenoris = G,44 dig.) 

Ouius distantia focalis pro utroque casu = 10 dig. 

Semidiameter aperturae = 1 dig. 

.Inter vallum ad secundam = 0,2 = * dig. 

2, Pro lente secunda 

. ranterioris =11,45 dig.) 

llaclms faciei \ _ > Crown Glass, 

Ipostenons = 5,83 digj 

Cuius distantia focalis 7,28 dig. 
Somidiamoter aperturae 1 dig. 
Jntervallum ad tertiaiu = 22,82 dig. 

8. Pro lente tertia 

rt . fanterioris 0,884 dig.) ^ 
Eadius faciei { , , , ^ v ,. [ Crown Glass. 

IpOBtenoris 2,20 dig. J 

OUIUH distantia focalis 2,79 dig. 
Scmiidiamotor aperturae 0,3 dig. 
hifcorvalhun ad quarta/m 51,19 dig, 

4. Pro lente quarta 

, ranter ioris 1,72 dig,] ^ _,_ 

Eadiua faciei J_ . . . no ,, Crown Glass, 
Ipostenoris - 1,0<J digj 

OniiiB distantia focalis l ? 2l dig. 

Bemidiameter aperturae 7 dig, 
lutervallum ad quinteia 8^00 dig* 

Strut** O^tra amaift 1IU Dio|)kba 13 



98 LIBBI SECUNDI SECTIO TERTIA CAPUT III 369 [466 

5. Pro lente quinta 

Radius utriusque facial ===== 1,03 dig. Crown Glass. 

Cuius distantia focalis est 0,97 dig. 
Semidiameter aperturae * dig. 
Intervallum ad sextain == 0,3G dig* 

6. Pro lente sexta 

Radius faciei utriusque - 0,75 dig. Crown 0-lasw. 

Cuius distantia focalis 7 71 dig. 
Semidiarnetor aperturae 0,18 J dig, 
Distantia ad oculum uaque 0,40 dig, 

HuiuB igitur telescopii longitudo tota fiot 

30,87 dig. 2 J pod. 
et semidiamoter campi apparentis SO *^ inin. 



APPENDIX 

DE 

CONSTRVCTIONE 

TELESCOPIORVM 

CATOPTRICO- DIOPTRICORVM. 



CAPUT I 

DE IMA6HNIBU8 PEE SPECULA SPHAERICA 
FOEMATIS EAEUMQUE DIFFUSIONS 

PROBLEM! 1 

1 . Si a puncto lucido in axe speculi constitute radii aooi jproximi in speculum 
incidant ? invenire locum imaginis. 

SOLUTIO 

Sit PAP (Fig. 1) speculum sphaericum probe politum centro radio 
^f closcriptum, cuius axis sit recta AQE, in cuius puncto jE constitutum 




Fig. I. 



nit punctum lucidum, et ponatur eiue distantia USA a, unde radii in totam 
npeculi Buperficiem incidant, a quibus autem eos tantum hie consideramus, 
qtai axi sint proxinai Beu qui in pnncta a medic puncto speculi A proxima 
incidani Talis igitur radius incidens sit JE?a, et ad punctum a ex centre 
ducatur radius Oa-f; qui cum in speculum Bit normalis, erit !aO angulus 
incidentiite^ cui ab altera pa^rte ractee Oa capiatur angulus aequalis OaF t 
eritque recta &f radius reiaxus cum axe occurrens in puncto F> in quo 



102 LIBBI SECUNDI APPENDIX CAPUT I 1-5 [470-471 

puncto adeo omnes radii axi proximi e puncto E emissi concurrent, siquidem 
etiam radius EA secundum ipsum axem eraissns in punctum F reflectitur, 
ita nt punctum F sit imago puncti lucidi E per reflexionem formata, et 
cum a radiis axi proximis formetur, in hoc puncto erit imago principals, 
uti earn in tractatu de lentibus vocavimus. Ad locum igitur istius puncti F 
inveniendum consideretur triangulum EaF, cuius angulus EaF bisect us est 
recta Oa, unde notum. theorema geometricum praebet lianc proportionem: 

Ea: EO = Fa:FO] 

deinde, quia in triangulo EaO anguli ad E et ad a sunt infinite parvi, in 
triangulo autem OaF anguli ad et a, erit Ea *= EO + f ( "t Fa ** f OF, 
unde ilia proportio abit in hanc: 

JSO + f: EG f~ F : OF 
et coraponendo 



Cum iam sit JKO MA AO^a f\ fiet 



2a f 
sicque locus p\in<iti F Innotkwcit, <uiiun cliHtanfeia a ptmeto A 



OOBOLLABIUM 1 

2, Kx data ergo distantia puncti lucidi E a Rpocuio 'KA ** n invcmitnuH 
distantiam imaginiB principalis super aice A F; quam cum In lenfcibun Htt^ra a 
denignaverimuB, etiam bio eadem littera utamur, ita ut Bit 



|V m 



OOBOLLABIUM 2 

3. Speculum Me fcanquam ooncavum spectavimuH, euiiw ratiiiw 68efc 
f, unde valores positivi huiua litterae /"specula concava, valorm vero 



471473] DE IMAGINIBUS PEE SPECULA SPHAEKICA FORMATIS 103 

negativi specula convexa denotabunt. Turn vero etiam distantia a, quatenus 
valorem habet positivum, distantiam imaginis ante speculum indicabit; sin 
autem prodeat negativa, id indicio erit imaginem post speculum cadere 
eamque fore fictam, cum praesens sit realis. Hinc autem intelligitur 
imaginem fore realem, si fuerit &>--/*, siquidem sit f>Q; sin autem sit 
/'<0 seu speculum convexurn, turn imago semper post speculum cadet 
eritque ficta, non realis. 

OOEOLLARIUM 3 



4. Si puncti lucidi distantia AE = a fuerit infinita, turn distantia 
imaginis principalis a speculo erit AF=~ff, ita ut haec distantia AF '=> ~f 
pro distantia focali speculi sit habenda; bine, si speculi distantiam focalem 
ponamus = p, erit radius speculi f=2p. Turn vero in genere distantiae a 
et a ita a se invicem pendebunt, ut sit 

ap , . aa 

a = . -* hincque p == r 
a p u + a 

et 

i 1,1 



a 



prorsus uti in lentibtts usu venire supra vidimus. 

SOHOLION 

6, Hie notatu inprimis dignum occurrit, quod tres istae distantiae a, 
a et p eodem prorsus mode a se invicem pendent uti in lentibus; ex quo 
widens eat ratione calculi specula perinde tractari posse ac lentes, quae cal- 
culi convoniontia adhuc in sequentibus magis illustrabitur. Hie tantum 
notaBBO iuvabit lentibus convexiB respondere specula concava; uti enim lentibus 
convexin (listantiaB focales ponitivas tribuimus, quippe quarum foci stmt reales, 
ita etiam specula concava realem habent focum ibique aeque vi urendi pel- 
lent atquo leu tea convexae in suis focis; discrirnen tamen in eo situm est, 
quod In speeulis concavin focus ante a cadat, cum in lentibue convexis post 
eas formatur; atque siinili mode specula eonvexa ad lentes coacavas referentur, 
dum in utrisque focus tantum fictaa date, in quo scilicet radii non revera 
congregentar* Quando ergo da apeculis sermo erit, distantia focalis positiva 
Bpeculum eonca?um diitaatia vero foealis negativa speculum con- 



104 LIBBI SECUNDI APPENDIX OAPUT I 5-8 [473-474 

vexum indicabit, ac si distantia focalis evadat infmita, speculum erit planuin; 
simili modo, quo lens distantiam focalem batons infinitam est plano-planu. 
Praeterea vero etiam observasse iuvabit, si, uti in Dioptrica fecimus, statuamus 



et 8t =5S5 yi , 



turn etiam fore 



PEOBLEMA 2 

6. Si non amjolius lucidum punctmn M, sad oUectwu JWa cm specMti per- 
pendiculariter inslstat, ems imaf/inem, qme in jpuneto F situ inverse wprMuseM* 
tabitur, definire. 

SOLUTIO 

Ponatur iterum distantia huius obic^cti a npocmlo MA ^ a (Fig, 2) Bttquo 
eius magnitude JSs ~ ^, quippc^ qua clonornituitkmo nupru d(" loulibiiH HUIWIH 




usi, ita ut ^ Hamper nit quantitaH valdo parva roHpiwAu diHtaittiao 
seu aogulus jE?^t quasi infinita parvtis. Doindo nit ni a?ifc<* racHun 
OJf ? oius distantia focaliB jp, ito ufc Bit /'"*2;>, ofc dintaiitia 
principalis a Bpeculo AF^a } ita ut sit a ^ * HIB ponitiH fucih* tntolli* 
gitur imaginom quaesitam in punctum F incidera atquo acl controriom partont 
axis fore diroctara; ductti enim recta %A roforot radium incidtmtom* cm con- 
venit mdiuB reflexus A^ y qui ergo par imafinis eictreniitatein trausiro debobii; 
unde, ei in puncto F normaliter ad axem ducatur recta F^ ad radium rtv 
flexum A terminata, haec rocta ]?% imagmeni principalam oblecti oxhibebit; 
cinms ergo magaitudo ex similitudine triangulorum A KB at AJF ita 
it sit 



474475] DE IMAGHttBUS PEE SPECULA SPHAERICA FOEMATIS 105 

AF-Es a-t 



quod idem etiam hoc modo ostendi potest. Ex puncto e per centrum speculi 
ducatur etiam radius incidens e0a; qui cum sit normalis, eius reflexus in 
ipsum cadet transibitque etiam per punctum , unde similitudo triangulorum 
OEe et 0J?t dabit 



Est vero OF=f-~-a et OE=a f, ex quo fit 



Cum ex superiori problemato sit 

af T . / 2 ace 

a = ' -, hincque /= ~~ r -. 
2a / ^ ' a + a 7 

erit 

/* (a a) , y. (a a) a 

f a = ^ - et a / = 

a + a a + # 

hincque stibstitutiB his valoribus fiet 



ut ante; quo ipso confirmatur rectam F% axi recte normalezu. esse 
duotam. 

COEOLIARIUM 1 

7. Hie ergo etiam magnitudo imaginis principalis eodem plane modo 
ox obiocti magnitudine determinatur, quo in Dioptrica id fieri supra osten- 
H; unde, Bi, ut ibi fecimuB, statuamus a Aa, habebimus etiam hie 



OOKOLLAKIUM 2 

8. Quia iiOBtra figura speculum concavum refert, eius analogia cum 
lentibuH cunvexin etiam hie manifesto cernitur; quemadmodum enim lentes 
convexaa imagines inversaB post se repraesentant, ita specula concava ima- 
ginei itidam inyeraas ante se reformat; iam enim observavimus^ quae post 
lentes confcingirat, cum iis comparari debate, quae ante specula contingunt 

o^nia Ml 4 Dioptriea 14 



106 



LIBJil SEUUND1 APPENDIX CAPUT I 9 



[475-476 



PROBLEMA 3 

9. Si a puncto lucido E in axe speculi sito radii incidant in extremtatem 
speculi P, eorum cum axe concur sum in puncto f investigare indeque spatium dif- 
fusionis determinare.' 

SOLUTIO 

Sit iterum distantia JKA^a (Fig. 3) 7 radius speculi QA** ()>*** f* 2 p 
denotante p distantiam speculi focalem. Tarn tantuin sit speculum, ut sit 




Fig, 8. 

angulus AQP^Wy et cam porpondieulmn 1*X <lonot(^t Honii<iianiottuiu n. 
turae Hpeculi, sit haoc linoa PJ(a; ^rit<{UH # ^/ f Hin. (^ DmniHHn iaui 
puncto lucido M in radium J*0 procluctuni parpomlicmlo Kti <*b M ()*>'* a 
et anguluiu KOli o> erit 



hincque 

unde invanitur 

MP^ 



'Kli ^ (d /) Bin. 



It (H fj (t<m. ca 



2f(a f ) <m en) f 



(juae brevitatis gratia Bit 0, atque lano erit anguli incidontiae KI*O u 
atiam anguli reflexiomn OJ*f sinus 

Ktt (a-^/^iin.a? 



et cosinui 



476-477] DE IMAGINIBUS PEE SPECULA SPHAEEICA FOEMATIS 107 

Cum iam in triangulo OPf detur angulus OPf una cum angulo P0f=w et 
latere OP = f, si vocetur angulus AfP^y, ob yj = co + OPf erit 



f sin. o -f 2 (a f) sin. oo cos. 
sin. i// ===== - --- ^ - u 

r v 



atque hinc ex natura trianguli erit sin. ip : OP = sin. OPf: Of, ex qua analogia 
colligitur 



/'+ 2(^ 

hincque intervallum 

A* 

/I / r::. 1 .' 1 : 

1 . 

haocque est solutio generalis nostri problomatis. 

Cum autom in praxi angulus AOP nunquam tantus assumatur, ut non 
liceat potestates anguli co quadratica a/ltiores negligere, expressio inyenta 
commode ad formam simpliciorem sequent] moclo reducetur. Cum. sit 

cos. co = Y(l sin. a? 2 ) * 1 - 2 sin, co 2 , 

ob sin. a> ^ erit 

/ ^ 

cos. 



hincque ille denominator /* + 2 (a /* ) cos. a? fiet 



ex quo pariter proxime erit 



) cos.ro 2a _ / -_- 
Undo intervallum modo inventum fit 

f(a - f ') 



hinc intervallum, quod potissimum quaerimus, 






108 LIBBI SBCUNDI APPENDIX CAPUT I 9-14 [477-479 

Quare, cum ante locum imaginis principalis tf ita invenissemus, ut osset 
^L nunc innotescit spatium diffusionis 



JPraeterea cum etiam plurimum intersit angulum y> nosse, quo radii refiexi 
Pf ad axem inclinantur, ex formula supra inventa colligemus itidotu proximo 

(20 /> 

w = v - > 7 
/ af 

Quoniam enim potestatos ipsius M quadrate maioros tK^gligimus, tuimerator 
ibi invent us fit w a ~~') x ot in denominatore, ubi iam Ipnum quadratum ^ 
nogligere licet, tit simpliciter = a. 



1 



10. Quo haoc ad formulan pro lontibim datas acconnnodotiniH, uhi tantaim 
tantiiiw a 
; undo fit 



binas distantiiiw a ot a in computum itHluxiniuH, oh ^ J '-*"> rt . / lu 



a-" #)# , 2 a* 

v ot 2a / ^ . 
a 4- <^ a f* ofi 



atque hinc apatium diffusioniB erit 



quod ergo, perhuif* ac in lentibus UBU venit f quailmto Houudiatiu^ri aporturan 
^ 0nt proportionalo; quin etiam ipsum hoc Bpatium Iff in ounciom 
cadit ac in lentii 



OOItOLLAIUUM 2 

11. Simili modo poterimuB etiam angulum obliquitatiH ^ por 
distantiaa ^ at a itemque ^ exprimara; prodibit enlm 1/1** x * If tine aufcam 
aagulum supra in ealculo circa lantas mstituto aollicite 



479-480] DE IMAGINIBUS PEE SPECULA SPHAEETCA FOEMATIS 109 

SCHOLION 

12. Cum quaestio esset de lentibus earumque apertura maxima, quam 
capere possent, sumsimus x aequale parti quartae radii curvaturae; quodsi 
ergo hie idem institutum sequamur et sumamus x = ~f, hinc reperietnr an- 
gulus o> = 14 30', ita ut totus arcus PAP infra 30 capi debeat. Quando 
autem hoc speculum locum lentis obiectivae sustinet, eius apertura longe 
aliam determinationem postulat, quam scilicet ex mensura confusionis definiri 
oportet, unde huius speculi apertura ad multo pauciores gradus reducetur, 
uti in sequentibus docebitur. Nunc autem etiam opus est, ut ostendamus, 
quemadmodum radii a nostro speculo reflexi et imaginem diffusam formantes 
porro ab alio speculo denuo reflectantur et qualem imaginis diffusionem turn 
sint producturi, Hunc in finem bina sequentia lemmata perpendi conveniet. 



LEMMA 1 

13, Si distantia obiecti a speculo EA a particula minima da ulterius a 
speculo removeatur, turn imago principalis, cuius distantia a speculo erat AF=a, 
ad speculum propius accedet particula da, ita ut sit da = ""^, a > 

DEMONSTRATE 
Cum enim sit 

11^1^2 
a cc p f 

atque radius f idem maneat, utcunque distantiae a et a inter se varientur, 

differentiatio dabit 

da , dec A ^ -, a* da 

j- () unde aa= fi - 
a 3 <z* ' a 1 



LEMMA 2 

14, Hi radii iv spevulum imidentes ad awem Bint inclinati angulo <f> 7 in- 
wnire angulwn y, sub quo radii reflexi ad axem speculi erunt inclinatL 

SOLUTIO 

Sit igitmr imgnlus AMP * (Pig. 3, p. 106), quo radii incidentes MP ad 
axem speeuli incliBantur, eritque proiime * -^ ideoque % a*, Turn vero 



110 



LIBBI SECUNDI APPENDIX CAPUT I 14-16 



[480-481 



vidimus angulum, quo radii reflexi ad eundem axem inclinantur, fore 
ifj = ~~ ; quocirca erit y = a< a sen erit 

c l> : yj a : a 
sen reciproce ut distantiae a speculo. 



PRO BLEW A 4 

15* Si radii, postquam a primo xpeeulo reflexi imaginew diffusam formawrunt, 
in al'ktd speculum super eodem awe constMutum incidant, detenniware tarn iwaffiwW' 
principal em quam eius diffusionowi, ^M&W radii a secundo speculo reflexi &x* 
hibebunL 

SOLUTIO 

Cam jP (Fig. 4) sit imago principally a pritno H])oculo forrna.tji, qua,m 

in 



mvenimuB l^" a 9 sit eius distantia a secundo apeculo A7J-6 al.<ju(^ ipsu 



T 




Fig, 4. 



hoc speculum ita Bit comparatum, ni ah eiun rcfloxiono imago 
formetur G?j, sitque disfcantia B (?/? atcjue, uti iam viclimuH, roporiotu 



quae imago iterom erifc erecta atqua a radiis axi proximtB formata. Nune 
etiam consideremtis in gpatio diffusioniB dato eitremitatem f f unde radii tmimi 
cum axe faciant angulum i// * ; verwrn antequam huius obliquitatin 
rationem habeamus^ ftngamus punctum /* etiam radios axi proximoH emittore, 
et cum id a speculo B longius sit remotum quam F 9 eius radii concurrent 
in puncto huic speculo propiore y $ ad quod inveniendum referet hie db* Ff 
at dft Gy\ unde colMgitur {?y $* * JP/. Quare, si in f obioctum 



481482] DE IMAGINIBUS PEE SPECULA SPHAEEIOA POEMATIS HI 

esset constitutum, eius imago principalis caderet in y\ quatenus autem ex f 
nulli alii radii emittuntur, nisi qui cum axe faciant angulum =y>, ii denuo 
reflexi incident in axem in puncto g ipsi speculo B adhuc propiore quam y, 
ita ut hie casus similis sit praecedenti problemati, quo punctum f respondet 
puncto E, punctum y puncto F et punctum g puncto f, hoc solo discrimine, 
ut, quod ibi erat a et a, hie sit "b et {3; licebit enim utique hie pro distantia 
Bf sumere BF=b et pro distantia By sumere /?; hinc ergo per formulam 
supra inventam, si loco x hie scribatur y, fiet 



Quid autem nunc sit y, ex angulo ip facillime definitur. Ducto enim radio 
fQ sub angulo BfQ^y***^ erit y semidiameter aperturae huius speeuli 
QBQ ideoque 



quo valore substituto prodit 



Quocirca totum spatium diffusionis iam orit 



sou 

a a P* (* + *)(*-*?& * 

^ ffmm I* * 80 8 " " 

Nunc autem post secundam reflexionem augulus, sub quo radii extremi ad axem 
orunt inclinati, colligitur ex lemmate 2 



SCHOL10N 1 

Ul Cum igitur speculum, ad quod referuntur binae distantiae a et 
at cuiuB seinidiameter aperturae eat ai, gignat spatium diffusiords 



112 LIBEI SECDNDI APPENDIX CAPUT I 1618 [483484 

comparemus hoc spatium cum eo, quod lens sub similibus circnmstantiis pro- 
ducit, atque in prime libro ( 49) vidimus pro tali lente esse spatium diffusionis 



quod quidem iam est minimum, quod a lente ad has distantias a et a rolata 
cum apertura, cuius semidiameter est x, generari potest. Quo autem facilius 
hanc comparationem instituere valeamus, ponanms utrinque distantiam obiocti 
a esse infinitam atque e speculo nascetur spatium diffusionis 



quod autem a lente nascitur, erit 



ubi n:l denotat rationem refractionis, ot suinto n = 1,55 hoc spatium inventum 

est */ 7 9S8191 -* 1 - 
7 J tc 

Undo patot a spoculo multo ttiinorotn (lijfTttBiozu^ai oriri qiuun a lontc^ 
quandoquidem ilia erit arl hanc ii^ ( * : 0,{)H81S)1 , hoc est propcunodum tit 
1:7,505528 sou ut l-*?^; quae orgo proportio cum proprio in Hpoculw vol 
lentibus obiectiviB locum haboat, liino praoaipua cauna innotoHcHi, cur np<nila 
loco Itmtium obic^ctivarum Hui)Btituta multo brtwiora tohw-opia nuppcdiiavorint, 
quandoquidem ob minoroni confuBionem tlisfcuitiam ftnuiloia minortnu a<'cipore 
licet, ad quod acoodit, quod in hin fceloHoopiiH <*.alopirir.iH ra<lii in Npwulum 
obiecti?ma incidenteB prime ad altorum Bpomilum rott<u*.fciintur, inula thmuo 
per eandem viain revortnntur, antoquam par lenteB ocularon fcninMourit, ifca ut 
distantia amborum speculorum bis nit compuianda sicquo longiiudo inatru- 
inenti denuo fere acl semissem raducatur, Hoc ergo commodum apwrnla pnuv 
starent etiam sine tillo respectu ad eorum qualitatent habito, qua radii diver- 
sorum colorum a retiexiona non disperguntur, uti fit in refractions. Vorum 
tamen hie etiam insigne Bpeculorutn incommodum non out reticonduuiy in <> 
consistens, quod speculum etiam maxima politum temper multo pancioraH 
radios raflectet, quam per lantern eiuedem magnitudiniA transmittuntur. Att]tto 
haec causa est, quod telescopia catoptrica plerumque multo minoreni claritntiB 
gmdum largiantur* 



DE IMAGINEBUS PER SPECULA SPHAEEIOA FOEMATIS 113 

SCHOLION 2 

17. Quemadmodum hoc postrenium problema resolvimus atque etiam 
diffusionem imaginis a secundo speculo natam definivimus, ita eadem investi- 
gatio ad plura specula accommodari posset, nisi ipsa rei natura speculorum 
usum ad binarium restringeret. Quamobrem coacti sumus radios a secundo 
speculo reflexos ad lentes vitreas dirigere, per quas demum ad oculum propa- 
gentur, atque ob hanc ipsam rationem ipsum speculum obiectivum circa medium 
perforatum esse debet, ut radiis a secundo speculo reflexis transitus per hoc 
foramen concedatur, ubi simul a lentibus excipiantur. Quare, cum hactenus 
speculum obiectivum tanquam integrum simus contemplati, nunc superest, ut 
etiam foraminis, quo illud est pertusum, in calculo rationem habeamus, ubi 
simul erit disquirendum , quomodo speculum secunduin respectu huius fora- 
minis comparatum. esse debeat, ne scilicet nirniani radiorum copiam intercipiat 
ac tamen sufficiat omnibus radiis a primo speculo reflexis excipiendis; haecque 
ergo momenta in sequenti problemate accuratius perpendemus. 



PEOBLEMA 5 

18* SH in telescopic loco lentis obieetivae adhibeatur speculum concavum 
PrtAnP (Fig. 5, p. 114) in medio pertusum foramine nAn, cuius centrum sit in axe 
A /$, in quo ad distantiam guasi infinitam oUectum seu punctum lucidum concipiatur, 
&& guo radii axi paralleli in istud speculum PnnP incidant indegue refleaci ad 
speculum minus super eodem axe normaliter positum QBQ dirigantur ? unde porro 
ad lentem mtream prope foramen nn itidem super eodem axe normaliter sitam 
reflectantur, determinare imagines per duplicem refleocionem formatas earumque 
diffusionem. 

SOLUTIQ 

Sit Bomidiameter totius speculi obiectivi AP*e**$ et semidiameter fora- 
minis An*** ii) radius vero curvaturae speculi /' ideoque distantia focalis 
p mm * f 9 turn vero speculi minoris QB Q sit distantia focalis # et distantia 
horam speculoram AB^k* His positis, cum obiectum in axe AB ad distan- 
tiam inftnitam remotum concipiatur, radii inde axi parallel! ad speculum ob- 
iectivum PP pervenient; qui ergo ut totam eius superficiem reflectentem Pn 
quaqtaaversus adimpleant^ speculum QB Q mains esse non debet quam foramen 

Opera, omnia I1U Dioptrica 16 



114 



LIBEI SECUNDI APPENDIX CAPUT I 18 



[486487 



nn neque etiam id minus esse conveniet, quia alioquin radii ab obiecto directe 
in foramen lentemque ibi sitam ingrederentur et repraesentationem inquinarent; 
ex quo intelligitur semidiametrum aperturae huius speculi minoris esse clebere 




Fig, 5, 

g*~sy vol saltern eo non multo inaiorem. Quoniam igitur hie distant! a. 
obiecti, quae supra posita est * a, nostro casu est infinita, si radii axi proxhni 
in speculum incidere possont, iis formaretur imago prmcipalis in F, ita ut 
esset distantia AF***a*=*jp. Quia autem radii axi proxiuii oxcludvintur, nulla 
imago principalis formabitur, Prima ergo imago a radlin circa, oram (bra- 
minis reflexis formabitur in <T>, ita ut sit intervalluni /< T< /> : ^ ; <ii' hie 
est y, quod supra orat x, et distantia obiecti a ess. Imago autom oxtroma 
a radiis circa oram speculi / } P roftoxis formotitr in puncto f erit<juo int<n'- 
vallum J&/ ^ ; quare, cum ipna imago principaliB hie deHit, totum 
diffusionis hie tantum erit 



Interim tamen haee puncta 1 /T , 0, /* inter HO tarn orunt propinqua, ut in ntl- 
culo pro eodem haberi queant. dun ergo omnos radii a npoculo niaioro 
reflexi per punctum 1? transire Hint censendi y ut in Hpeouluni QttQ hicidaut, 
eius semidiameter BQ tanta osse debet, ut Bit 



unde fit 



quae eum ipsi y debeat ease aequalis, habebimua 

2,.. *--.* hincque *- 



487488] DE IMAGINIBIJS PER SPECULA SPHAERICA FORMATIS H5 

Sin autem minus speculum intra A et F (Fig. 6) esset constitutum, 
reperiretur 

2=*..v-y Mncque *- 



X 



nil 


f- 


?tn 


, * B 1 

U Q 



Fig. 6. 

quae vero expressio in superiori contenta est censenda, propterea quod radium 
foraminis y tarn positive quam negative capore licet. Cum igitur nnnc pri- 
mae imuginin 1? distantia a speculo secundo sit k a= ? J, quam supra 
vocavinms =Z>, ita ut sit 1=="^ , secunda imago a speculo QSQ reflexa cadet 



in punctum G 9 ita ut sit ##*/? &f , ita ut radii a speculo QBQ 
rellexi omnes per punctum hoc <? trannire sint censendi, siquidem hie ani- 
tnnm a diffusione iraagmis abstrahimuB. Nunc igitur insuper efficiendum est, 
ut isti radii onmes in ipsum foramen nAn ingrediantur, id quod, cum sit 
jf<y .4tt, eveniet, si modo punctum propius versus A cadat quam versus 
B, sen debebit esse /?> -A? Invenimus vero 



' fe^ uyqx x 

ita ut nunc esse debeat 

#( + #) T .. ^ a 
. > , A*f T.. . ; unde ontur # > 

3/ ff^ 2# * ^ ^? 

ex qua ergo formula distantia focalis speculi minoris deftairi poterit, quae 
ergo deterim&abitur per semidiametros foraminis et ipsius speculi maioris 
una cum foeali distantia speculi maioris p a; sin atitem speculum minus 
aonstituatur mtea 1" t ^i, iam vidimus fore ^J9& 2~il3 y et cum mmc 

15* 



116 LIBEI SECTOTDI APPENDIX CAPUT I 18-22 



sit distantia 6--^, distantia BG-fl-^ffrf qae ut maior sit quam 
-i-fc, necesse est fiat 2>J$|E; unde, si x sit > By, debebit esse g nega- 
tivum, ita ut sit 

^ K y( x ^j>>- 

1 > ~ x(x- Sy) ' 

at si esset x = By, capi posset # = oo sicque speculum minus fieret plantim. 
Quod denique ad diffusionem imagmis secundao in G repraesentatae attinet, 
ea iterum erit quasi truncata sna imagine principal.! ; quod si littoris G&g 
repraesentetur ad similitudincm litterarum F<Pf, totum spatium diffuaionis 
tantum erit censendum = <&g, cuius quantitas ex formula praecedentis pro- 
blematis reperietur, si loco a? scribatur X s ?/; unde ob a * eo erit hie 

__ ^ (^ - y*) (b ftp - W(<*-f) 
p y~-l* 8a" ~T~ ...... "".""" 8 2 &/i ' 

atque nunc radiorum in * concurrontimn obliquitas ad axom erit. ^~- K(1 ;'/, 
obliquitas vero radiorum in # = a ^ x. 

COKOLLAMUM 1 

19. Si ergo minus speculum ultra locum imagrnis F collocotnr, eiim 
distantia a primo spoculo dobot osso 



a? 



ita ut sit F ft****?, hocque ergo cami dintaintia /< // maior wit, qimm 
distantia focalis speculi principal IB; tiun VITU huitw Hoomuli Kpoculi diHti 
focalis esse debet 



COEOLL4EIUM 2 

20. Hie autem manifesto supponitur punctum <5 a puncto B versus /< 
cadere, ifca ut distantia ^ evadat positiva; si enim esset q > &, punctum 6* 
ad alteram partem speculi <?B^ eaderet radiique (}Q product! manifesto 
eitra foramen praetergrederentur* Quare hie pro q alteram limitem probe 
observari oportet, ut sit q < b awe g < */, turn vero atiam f > y^fy 



489-490] DE IMAGIKEBUS PER SPECULA SPHAEBICA FORMATES 117 

COEOLLARIUM 3 

21. Sin autem speculum QBQ intra focum F collocetur, oportebit esse 

distantiam 

A -n a(% y) y 

A H --- :: __ _ * ' ' - sv _ J . /v 
JLA. JLJ - " " - t ~~~"" ~~ tv . 

X X 

ita ut sit 

FS = -^ 

X 

tantoque intervallo prima imago post secundum speculum cadat fiatque 
1) = ?$ ? unde deducitur distantia 

X 

jB0-/9--^ ; 

<*y + qa> 

quae distantia semper est positiva seu versus A dirigitur, nisi forte % sit 
quantitas negativa; quae cum superare debeat ifc, debet esse 



jy(o5 y) + j(a? 
deberet ergo esse 

2a?y > #(# y) seu y > -a?. 

Quaro si, ut semper in praxi evenit, sit y < -y#, huic condition! satisfleri 
nequit, si scilicet alterum speculum, sit concavum, 

OOBOLLABIUM 4 

22. Hoc ergo casu necesse est, ut minus speculum sit convexum eius- 
que distantia focalis negativa. Statuatxir ergo gr q, ut fiat 
qui valor ob & a - abit in hunc : 

J. #; 



qui valor ut primo sit positivu8 ? debet ease 






dainde, ut flat 2/? > k, debet ease 



118 LIBRI SEOUNDI APPENDIX OAPUT I 22-23 [490-492 

ex qua fit 

(x y}>x(x 



unde pro q elicitur alter limes 

Q< 5fl^Zl). altero existente q>^-- 
1 x(x 3y) ' a? 

COBOLLAEIUM 5 

23. Sin vero praeter consuetudmem foramen tantum fiat, ut sit Sy>x<, 
turn speculo minori concavo uti licebit, dummodo eius clistantia focalis 
sit #>f 3 fZ^? quemadmodum ex corollario 3 est manifestxim, atque hoc 
casu, quoniam littera q nulla alia conditions restringitur, hoc* speculum adeo 
planum fieri potent. 

SOHOLION 

22. 1 ) Haoc duo specula ita hie sumus contornplati, quomuclmodum in 
telescopiis GBEGOEIAKIS usurpari sclent, atquo hie tantum ad obiocti punct.uiu 
medium in axe tubi situui Bpoctaviraus, undo radii axl paralloli iii Hpoouluni 
principale incidant; altcrum voro speculum ita hiHtrnximuB, ut ornticis ra<liu 
a priori reflexes rocipiat eosquo porro in foramtm proilciai (lum autom 
etiam parten obiecti extra ax em itao visui off err i dobeant, quoniam itide 
radii sub aliqua exigua obliquitate in speculum incidunt, tubum, in <juo haoc 
duo specula inseruntur, aliquantillutn divorgentom confici oportorofe vol, quod 
eodem redit, tubum aliquanto ampliorem offici convcmiot (ptarn oai <!iam6ter 
speculi; deinde ob eandetu rationom otiani Hpeculuin minuH ultra limi^w ipni 
assignatoB extendi doberet, ut otiain iston radion obltquon pont* rofloxiou^tu 
recipere posset; sod quoniam parum iaterewt, Bivc^ oxtiT*mitates obiecti pari 
lumine conspiciantur atque eius medium, sive niinore, hae ani]>liticationo 
facile eo magis carero pofcerimus, quod tota haac obliquitas non ultra aliquot 
minuta in magnis praesorthn multiplicationibus excreBcat. Longs aliter autem 
se habitura asset huiu rei tractatio, si etiam specula acl uxcm instrumaiiti 
oblique posita in usum vocarentur, quemadmodum in ipso huius mvantionin 
principio a NBUTONO est factum; sad quia reflexio radiorum oblique inciden* 
tium haud exiguam gignit confusioneni, hoc argumentum hie noutiquam 
attingimus, 

1) In cUtione prinoip loco numerorum 84 at qui saqtiuntur fako numtri 93 i qui saquuntttr 
scripti suat, Falioi paragrapborum numeros retinendoa MI putavimus. E. Oh. 



CAPUT II 

DE COMPUTO OONPUSIONIS 

DUM PRAETER LENTES ETIAM SPECULA 

AD INSTRUMENTA DIOPTRICA COOTICIENDA 

ADHIBENTUR 

PKOBLEMA 1 

28. Si loco primae et secundae Icntis specula usurpentur, invenire formulas, 
quae ob Jiaec duo specula in expressionem supra in Libro I inventam, qua scilicet 
semidiameter confusionis est inventa, introduci in calculum debent. 

SOLUTIO 
In primo libro ( 91) ostendinius a duabus lentibus oriri spatiura diffusionis 



quae expressio ponendo a 
abit in hanc: 



J56, turn vero etiam 

b / l f 
i -h 






atqtie si Me porro, uti dainceps in tractatu de telescopiis fecimus, ponamus 
?~mm,mm p 9 ista expressio induofc hanc formam; 



12 () 



LIBRI SECUNDI APPENDIX CAPUT II 23-27 [494-495 



Si nunc loco duarum harum lentium duo substituantur specula, ad quae 
litterae a, a, I, {3 cum x similiter sint relatae, in problemate 4 capitis prae- 
cedentis ( 15) invenimus fore spatium diffusionis 

^ (a + ) (a ~ ) V; , 
"""~ " 



quae forma posito = Aa, /? = Bl) et J = 1> induet hanc formam: 

/(I + A} (1 - ^) 2 _ (1 + If) (I - 

. ..... 



ex qua cum. superior! collata cognoscimus, si loco primae lentis speculum 
substituatur, turn in compute co'nfusionis loco formulae 

W 



8 A 
scribi clebero lianc: 



ac si etiam loco lentis secundae speculum, substituatur, turn simili inodo 

loco formulae 

/ T v \ 
'"'UV" 1 " IW 

scribi debere hanc: 



8 // !1 



ac si circumstantiao permitterent, ut etiaiu loco tertiao lenfciw spocuhun 
simile substitueretur, turn in compute confusionis loco formulae 



scribi deberet haec formula; 



unde satis superqua intelligitur, quomodo ,quantitaa cowfuBioni t&Btimari 
debeat, quando loco lentium specula adhibantur* 



495-496] DE OOMPUTO OOHTUSIONIS DUM LENTES ET SPECULA ADHIBENTUR 121 

COBOLLABIUM 1 

24. Quatenus autem speculum obiectivum forarnine est pertusum, cuius 
radius = y, eatenus in factore communi loco x? scribi oportet x* ?/ 2 , ita 
ut iam expressio pro spatio diffusionis inventa futura sit 



/(i+^)(i-^) 2 _ (i+I?Ki~-B) 2 \ 
\ 8 A* SA*B*P /' 



ubi notandum est formulam % 2 y 2 proportionalem esse superficiei reflectenti 
in primo speculo, prorsus uti x* proportionate erat superficiei refringenti 
lentis obiectivae. 

COROLLAEITJM 2 

25. Atque haec formula oc?y 2 etiam extenditur ad omnes lentes se- 
quentes, quotquot binis speculis insuper adiunguntur; ita, ex. gr. ? si duae 
lentes praeter specula adMbeantur, to turn spatiurn diffusionis li ita exprimitur: 



a 



/ /I ff \ 

I /* (I , V \ ft 

"" A'IPPQ \<S 8 ' "^ 0( / 2 s 8 G' f PQS V '> 



unde patet, quid propter specula in nostris formulis generalibtis immtitari 
dobeat. 

OOEOLLAEIUM 3 

26. Cum autem nostra specula tantum ad telescopia aceommodari 
queant, ubi est a ess, ,4 et ^(a-=a=>^, ex formulis vinculo inclusis 
denominator A* in factorem communem transfertur sicque pro spatio diflfu- 
sionis a binis speculis et duabus lentibus orto kabebitur haec expressio: 



M 
C/<5/ 



SOHOLION 1 

rt 

27, Quoniam autem pro secundo speculo tarn littera J?-*-|- quam 
.<*. 



p .<*. non amplius ab wbitrio nostro peBdet, sad earum valores iam ante 



Opera omnia HI 4 Dioptrica 16 



122 



LIBBI SECUNDI APPENDIX OAPUT II 27 



[496-498 



sunt definiti, videamus, quoruodo isti valores in computum sint introducendi, 
atque hie duos casus evolvi conveniet, prouti minus speculum sive ultra 
focum speculi principalis constituitur, sive citra. Quod quo ad nostras 
formas succinctius exprimi possit, ponamus in genere y = sx, ita ut sit 
# 2 _ y 2 = (l *)#*, ubi scilicet e denotat fractionem foraminis magnitudinem 
definientem. 

I. Primo igitur, quando distantia minoris speculi AS maior est qmtm 
distantia focalis p (Fig. 5, pag, 114), turn vidimus ( 19) esse hanc distantiam 
AS seu primum intervallum = (1 + s)a (1 + )#; quod cum per formulas 
nostras generates sit = Aa(l -A)=^(l ^ , erit -,- *. Deinde vero 
etiam vidimus esse b = $p et porro, si distantia focalis minoris speculi 
ponatur = q, erit ft = ^- hincque 



"^/ 5 ( i llil)UH valoribus 



At vero pro q hos declimus limites: g < $p ^ ff^* 
substitutis spatium illud diffusionis li ita exprimofcur; 



JT ^ 



II. Sin auttm distantia wocundi spoouli yJJ^ minor fuorit quuin }> 
(Fig. 0, pag. 115), turn primo orit haoc ipHa distantia (I - <;)jp; tjuao cutn 
sit jp(l i-), erit p = a. Deitido erit distuntia A= --p, ci quia attcuudutu 
speculum debet esse convoxura, poaito q ~~ q Het 



/?. 
' 



-I 

- 



verum pro q hos dedimus limites: q>|> et q<"j l ; g < /; quibus valoribuH 
substitutis spatium illud diftusionis ita exprimetur: 



8q 



498499] DE COMPUTO CONFUSIONIS DUM LENTES ET SPECULA ADHIBENTUE 123 

Quodsi lens in ipso foramine speculi obiectivi constituatur, turn insuper 
datur intervallum secundum, primo quippe aequale, ac primo quidem casu 
erit =(l + e)#- Quod cum per formulas gen&rales sit 



Q 
hinc reperitur 

I _ i _ 

" 
seu 

_1 _(2 + 
Q 

hincque 



ubi notandum est Q fieri non posse positivum nisi q contineattir intra hos 

limites : 

c(i + s}p , ^ (i 4-s)p 

*< i+V. et 2> iTsf ' 

Haec scilicet valent pro casu priore; pro casu vero posteriore reperitur 

1 fi (l 

3S?" ' 

Q 
et 

1 (2s 



ubi pariter notetur Q fieri negativum, si q capiatur intra hos limites: 

>:# et q< 5 t- 3 f- 

at vero Q fieri positivum, si capiatur intra hos limites: 

q <'--']* et q> 8 ^. 

JL *^^ d <J 

SCHOLIQN 2 

27. x ) Quae hie attulimus, ad spatia diffusionis ex speculis et lentibus 
quotcunque ortae pertinent Oonclusio yero, qnae in superiors libro hinc ad 

1) Ntimerus falius ditionls prbxoipia} vide notam p 118. B. Oh* 

16* 



124 LIBBI SECUKDI APPENDIX CAPUT II 27-28 [499-500 

semidiametrum confusionis ipsam determinandam est deducta, etiam hie 
quandam mutationem patitur. Quoniam enim semidiametrum confusionis ex 
ultimae imaginis diffusione conclusimus, notandum est etiam hoc ultimum 
spatium diffusionis sua imagine principali fore truncatum. Quoniam enim. a 
primo speculo nulla gignitur imago principalis ob defectum radioruiu axi 
proximorum, etiam sequentia spatia diffusioniB, quotcunque fuerint lentes, 
imagine principali destituentur ; unde cum horum spatiorum ultimum minus 
sit propter ipsam hanc mutilationem, inde etiam minor confusio in oculo 
orietur, quam ob causam etiam semidiameter confusionis, prouti earn in prime 
libro definivimus, minorem valorem adipiscetur; quam investigationem sequent! 
problemate suscipiemus. 



PEOBLBMA 2 

28. Data ultima imagine diffusa, guae tam per bina s$c,ci<la guom omnes 
lentes sequentes formatur, invenire confusionem in ipso wuk inde oriwidam, qua 
scilicet msio immediate afficitur* 

SOLUTIO 

Repraesentet LM ultimum spatimn diff'usionis tarn pc^r npccula (juain oninon 
sequentes lentes fownatum, quippo quod oat obiocturn hnniodiatum visionm, 




Fig. 7, 

unde radii immediate in oculura ingrediuntur; in quo npatio punctum L 
denotet locum imaginis principalis, ubi radii axi proximi concurrercmt, ni 
speculum obiectivum asset integrum; ob foramen autem hums speculi ista 
imago principalis plane deerit t imago diffusa demum in puncto A incipiet, 
ubi radii circa orain foraminis refiexi at per omnes lentes tranimissi concur* 
runt, alter vero terminus sit in l> ubi radii ab eatremitate speculi obiecfcivi 
reflexi ac per lentas transmissi umuntur. Quod mine primo ad magnitadmem 
huius spatii M attinet^ supra vidimus id esse proportionale formulae a^~j^ 



500502] DE COMPUTO CONFUSIONIS BUM LENTES ET SPECULA ADHIBENTUR 125 
sive posito y = sx huic (1 ee)xx, unde statuamus hoc spatimn: 



Deinde radiorum in termino A cum axe concurrentium obliquitas, quam supra 
ipsi y proportionalem esse vidimus, ponatur = %$y = e%$x; obliquitas vero 
radiorum extremorum in puncto I concurrentium erit = SJ#, ubi litterae V 
et 33 eosdem valores habent, quos in primo libro ( 165) assignavimus. 

His praemissis quaeramus eum oculi locum, unde haec imago diffusa 
minima cum confusione conspiciatur. Hunc in finem concipiamus punctum 
quoddam medium in imagine , a quo oculus ad distantiam suam iustam 
= sit remotus, ita ut sit = Z radiique ex hoc puncto emissi praecise 
in puncto retinae V congregentur. Hinc ergo puncta cis et ultra hoc punc- 
tum vel A vel I versus sita non in ipsa retina V, sed vel post earn in tf 
vel ante earn in v repraesentabuntur radiique in his punctis se decussantes 
in ipsa retina circellos sive maiores sive minores referent; atque nunc totum 
negotium hue reducitur, ut hi circelli quam minimi evadant, quia hoc modo 
in oculo minima confusio producetur. Primuin igitur videndum est, quanti 
huiusmodi circelli a punctis intra et A sitis in retina oriantur et quinam 
eorum futurus sit m axioms; quoniam enim hi circelli partim a distantia a 
puncto , partim a radiorum obliquitate pendent, quae a A versus pro- 
grediendo continue crescit, facile mtelligitnr ex puncto quodam medio, puta co, 
maximum circollum oriri, quandoquidem tarn ex ipso puncto L y ubi obliquitas 
est nulla, quam ex puncto nullus tails circellus oriretur, Deinde a ad I 
regrediendo continue maiores huiusmodi circelli orirentur, ita ut radii ex 
ipso puncto I emissi ab hac parte maximum circellum gignant; ex quo mam- 
festum est y si punctum ita fuerit assumtum, ut maximi modo dicti circelli 
ex punctis co et / orti flant inter so aequales, turn confusionem in ipsa 
visione natam omnium fore mimmam. Si enim punctum propius ad co 
moveretur, turn circellus quidem ab hac parte ortuB floret minor^ alter vero 
ex puncto I ortus tanto maior evaderot; atque contrarium eveniret, si punc- 
tum propius versus I caperetur. Ut igitur nunc tarn locum puncti quam 
ei respondents puncti ct investigemus, totum spatium LI, etsi id nostro 
casu parte Lh est truncatum, in computum ducamus ponamusque brevitatis 
gratia Ll~*f eritque ex principiis supra expositis 



f **%* et LlVtff 



126 LIBBI SECUNDI APPENDIX CAPUT II 28-29 [502-503 

unde fit, uti initio commemoravimus, 



Praeterea yero vocemus spatia . = et LCD = at, et quia radii ex hoc 
puncto (o egressi super retina maximum circellum producere ponuntur, ad 
hunc inveniendum obliquitatem radiorum in puncto lioc w nosse oportet. 
Quia autem obliquitas in L est nulla, in I vero %$x et in A = e$8$, ovideua 
est obliquitatem crescere in ratione subduplicata distantiae a puncto L; unde 

obliquitas radiorum in a? erit = $#|/y 

Radii igitur ex o> egressi concurrent post oculum in puncto v, ita ut 
sit per principia supra satis stabilita Fv = u ^ o> denotante u profunditatem 
oculi 0V. JRadiorum autern in hoc puncto v concurrentium oblicjuitas ex 
iisdem principiis erit 



ex quibus duobus momentis concluditur circelli in retina depicti radiiiH 



ass . L, (0 " KJ ^ I/ /. > 
4 f / 

et quia est to o>, erit radius istius circelli 

/'"' 

qui ergo at maximus evadat, spatiuin <w ita anftumi oportot, ut fiat 
(^ co) I/a; maxima, quod evenit sumondo a> 3 ^; quocirca tmtxinii huiun 
circelli erit radius 



Nunc vero ex altera parte radii ax altero puncto I in oculum incidents 
considerentur, qui ante retinam in puncto v colligentur nxiBtonto Rpatio 
Vvmm**%lmm u ^ (f Q ibique radiorum obliquites arit ^ 1Bxi undo circelli 
super retina depicti radius erit **(/ Q$B$, qui consequenter radio priorii 
circelli invent! aequalis statui debet; ex quo obtmabitur haec aequatio: 



503504] DE COMPUTO COKPUSIONIS BUM LENTES ET SPECULA ADHIBENTUR 127 
ex qua intervallum definiri oportet. Sumtis autem quadratis habebimus 



sve 



quam perpendenti mox patebit divisibilem esse per f -~; divisione autem 
facta prodit 



quae denuo per f\t, divisa praebet 



quia vero bini priores factores hie locum habere nequeunt, quia absurdutn 
foret esse = Bf, ultimus factor nobis verum praebet intervallum 



ita ut sit l****f et Lot * co i/*; his valoribus inventis circelli minimi in 
oculo desoripti radius erit ^/"SBo?, et cum sit f**=*Vx*, erit iste radius 

^ KSBsrA lam vero si in coelo circulum conspiceremus, cuius radius ap- 
parens - <l> ? eius imago super retina etiam esset circulus, cuius radius 

u<&i hoc ergo circulo illi aequali posito fit <!> -^ *- et singula imaginis 
nostrae puncta ab oculo cernentur tanquam maculae circulares, quarum 
semidiameter apparens sit ~p quam 

nominavimus semidiametrum confusionis. 



semidiameter apparens sit ~p quam expressionem supra [Lib. I, 193,194] 



OOEOLLARIUM 1 

29, In hac solutione assumsimus punctum w intra A et I cadere; si 
enim termino L propius esset quam punctum A, quoniam imago tantum 
per spatium LI est dijSFusa, istud punctum w prorsus non in compufram 
venire posset, sed maximus circellus in oculo ex hac parte ab ipso puncto A 
oriretur; atque pro hoc casu peculiaris solutio requiretur, quam mox sumus 
daturi, 



128 LIBRE SEOUNDI APPENDIX CAPUT II 30-33 [504-506 

COROLLARITJM 2 

30. Cum autem sit La> = y = ^Ll, pro termino autem A sit 
Lh = s8-Ll, punctum CD intra terminos I et A cadet, quoties fuerit La)>Lh 
ideoque quoties fuerit s < y, quamobrem, quia in praxi a semper assumitur 
<Y ? solutio problematis ad praxin utique est accommodata. 

COROLLARIUM 3 

31. Quoties igitur fuerit s< *-, turn certo affirmare licet ob foramen, 
quo speculum est pertusum, confusionem nullo modo imminui., sed semper 
tantam esse, ac si speculum asset integrum totaque sua superficie radio** 
reflecteret, ideoque aequatio genaralis supra inventa pro somidiamotro con- 
fusionis etiam pro speculis valobit, si modo, ut supra Jam invenimuH, loco 
formularum ad lentes pertinentium formulae ibi assignatae 23 *) substituantur. 

COEOLLAEIUM 4 

32. Atque Mnc etiam eognoscimus, si teloscopium ex merin lontihun 
constet, confusionem neutiquam diminui, etiamwi Ions o))ioctiva circa medium 
obtegatur, quemadmodura noninilli auctoros Htuuscrunt, nod optimum remedium 
confusionem diminuendi corto in hoc contat, ut lenn obiocfciva circa niargluoiu 
obtegatur, quippe quo pacto ipsa Homidiamotor aporturao ^ diminuitur ot 
confusio adeo in rationo triplicata minor rodditur, cum o contrario, HI U^nn 
circa medium obtogorotur, ne minima quitlem confuHioniH <Uiuitintio Hifc t*x- 
spectanda, nisi forte parti obtecta sotnisHOtu totiun lantin nuporot, quo pacto 
autem claritas nimium diminueretur* 

SCHOLION 1 

33. Sin autem sernidiameter foraminis y a$ semissewi totiuB apw- 
turae # superet, ita ut punctum c/> inter L et A cadat, probloma nostrum 
aliam solutionem postulat Cum enim nunc ex parte ^ inaximus circaliuH 
in oculo ab ipso puncto A oriatur sitqua LX aa/' ob !/!/* hincquo 
spatium ^A 5" ssf 9 spatiolum post oculum fiat Fv ^(f- %nf) ibique 



1) Pag, 119, ide notam p* 118, B. Ob. 



506507] DE COMPUTO CONFUSIOOTS DUM LENTES ET SPECULA ADHIBENTUR 129 



radiorum obliquitas = --$#, circelli hinc super retina format! erit radius 
==y( 8sf)%$x. At ex altera parte a termino I nascitur in retina cir- 
cellus, cuius radius = y(/' )$#; qui duo radii ob rationes ante allegatas 
inter se aequales sunt statuendi, ex quo consequiraur 

/--fi-fiV 
Mncque 

t-fSL+p-n-. + f).. 

hinc ergo erit 

f-t-e(l-e)f 

sicque semidianaeter circellorum in retina erit 



Oonsequenter hoc casu, quo a> * , semidiameter confusionis erit = fi ^^" 
quae casu praecedente, quo e<^ 9 6rat = ti"** quamdiu ergo est 



- 



semper valet formula 4? -as 3 , quao etiamnum locum habet ? si s == ^ ; verum 
statim ac jfit a > 6 ^ ; turn demurn confusio diminui incipit atque tandem 
prorsus evanescit, si fiat 1. Qxzia autem claritas quoque diminuitur et 
tandem evanescit, hinc nullum .plane lucrum in praxin redundare potest; 
siquis enim adhuc dizbitet ? utrum loco lentis solidae, cuius radius sit $, non 
adhiberi possit limbus vitreus paris superficial, cuius radius exterior sit q 
et interior ##, ita ut sit jp 2 j 9 (l ss) atque confusio istius limbi minor 
evadat, hoc dubium nunc facile erit resolvere; a lente enim solida nascetur 
confusio ut 4 jp 8 , ex lirnbo autem ut a(l $)g*i unde ob # #]/(! e) 
erit confusio ex lente solida nata ad confusionem ex limbo oriundam uti 
(1 + a; 1/(1 a a) : 4a ; quare, cum sit per hypothesin s> ^ (quia altero casu 
a < ^ ne dubium quidem exsistere potest), posterius membrum 4a manifesto 
erit maius quam 2; at quia simul * < 1, erit 1 + a <2 ideoque multo magis 
(1 + $)V(1 se) < 2, ex quo perspicuum est prius membrum semper esse 
mnlto miaus posteriore sive confosionem limbi multum excedere confusionem 
lentis solidae. 

Opem omiifa III4 Dioptries 17 



130 LIBRI SEOUNDI APPENDIX CAPUT II 34-35 [507-508 



SCHOLION 2 

34. Cum autem pro usu practice tuto sumere queamus < 2 , quo 
casu speculum obiectivum perforatum aeque magnarn gignit confusionem, ac 
si esset integruru, si in formula general! supra pro telescopiis exhibita, qua 
semidiameter confusionis exprimitur, loco duarum priorum lentium nostra 
specula introducamus, aequatio hinc nata sequent! moclo se habebit: 

l (i - 

j . p / r . v \ ii /r" . v \ , , 

^. ^ f j- - - . j ^ ^ , i - 8 -(- _ ) -~|- etc, 



ubi notari convenit, si forte lentos post specula adhibitao ox vario vitro con- 
ficiantur, turn pro qnalibet lento litteras p (rt> v ox oo vitri generic Buuii 
clebere ? ex quo Ions fuerit fiu*fea. 

Eeliqua autem praocopfca general ia pro txmstrurtione {'(^(ssr.opiorutn luillam 
mutationem ob spooul.it requirent, i^xceptis iis tantum formal is, quibuB t.am 
margo coloratus tollitur, quaui onnriB confuHio a divorna radiorum refrangibili- 
tate oriunda ad mhihrm rodigitur. Cum onim iti haw ibrniulan \\ 
pro singulis lentibuB Httoras N } N\ JV", A ?w otc,., quao littorao 
sunt sumtae ibniiulin difforontialil)us \, ( > n . ot.c., wi loco duarum priorum 
lentium Bpocnla substitmmtur, ob deibctiun n i fractioniH iHi.ao bhuto lU,i,ora-o 
prioren N ot JV' nihilo aequaloB suut ceuBcmdao; quo ol)H<rvato omnibuH iilin 
fonnulis gctnwalibuw pro Hpcculin porhulo uti poterimuB, uAt\\M in Bocuudo 
libro est factum, diunmodo, quao circa <listnntiaH fo<5al(^ Hpoculorum c^t cirra 
duo intervalla ]>riora in capita praocedeuta nunt allatai, prolrn obnorvowtur. 

SCHOLION 3 

35. Telescopia autem catadioptricu btiiua generiB Bponte a<l duo genera 
prlncipalia revocantur, Riquidom supra vidimus Beetmdum Hpoculum vol ultra 
focum primi conBtitui poa^a vel intra eum f att}ue priori casn Bocunclum 
speculum fore concavum, altero voro convexunu Deinde cum pro priori 
hos limites pro secundi speculi diBtantia focali q inveneriinas 



509510] DE COMPUTO CONFUSIONES BUM LENTES ET SPECULA ADHIBENTUE 131 

existente primo intervallo = (1 + s)p, cui secundum debet esse aequale, turn 
vero 

& = en et - == ~ ^ = B, 

* I b q 

quo hoc prius genus debite evolvamus, tres casus constitui conveniet: primo 
scilicet sumamus q = ep, secundo q=~Q^*^ p et tertio 2 = ^}"?^. Pro 
altero vero genere secundum speculum intra focum prioris collocabatur, ita 
ut esset 



ibique cum. distantia focalis q hoc casu evadat negativa, posito q q hos 
ibidem dedimus limites: 

q>jp et q<^^, 

unde iterum tres casus evolvamus: primo scilicet sumamus </ = ep, secundo 

"" > "" ' 



casu er ^ intervallum pri- 
mum (1 s).p, cui etiam secundum. aequale esse debet. 

Ceterum in priori genere erat ^ , ita ut in primo statim inter- 

vallo reporiatur imago roalis; in altero vero genere erat p = i?, ita ut in 
primo intervallo nulla occurrat imago realis; praotoroa vero, uti, inm xuonuimus, 
sumiintis hie semper s < a , undo postrcmus aclhuc casuB coiiBiderari mere- 
bitur, quo scilicet sit a J , quoniam turn secundum speculum planum ac- 
cipere licebit; quocirca secundum hos sop tern casus haec telescopia cata- 
dioptrica sumus pertractaturi. 



17* 



OAPUT III 

DE TELESCOPES CATADIOPTRICIS 
MENOKB SPECULO CONCAVO INSTRUCTS 

PROBLEMA 1 

36- Si ante speculum prindpak PP (Fig, 8) foramina nn yertumn ad 
distantiam J.J3 = (1 + e)jjp constituatur minus speculum concaww, QJ>Q, cams 
distantia focalis (t*^ep, ciefinire Unas kntes et D, if a ut quaevis ohiecta 
distincte repraesententur. 

SOLITTIO 

Hie denotat p distantiam focalem malorlB apeculi, CIUUH nemidiamet^r 
J.P M $ eiusque foraminis An y - fu?, ita tit radius curvaturae huius 




Pig, . 

speculi 2jp* Obiectorum igitur imago principalis ab hoc speculo repraesen** 
tabitur IE F, ut sit AF"*a~*p, cuius ergo distantia a rninore spacttlo debat 
ease, uti ajite est ostensum, J?J? ^jp f et semidiameter huiu^ speculi 
J5 ^ ^ mm e^ Gum igitur distantia focalis hums upeculi sit f 0$ JP*J5 
radii Mno reflezi inter se fie&t paraleli^ donee in lentem (/ mcidMit; pro 



512-513] DE TELESCOPIES CATADIOPTEICIS SPECULO CONCAVO INSTKUCTIS 133 



formulis ergo nostris generalibus erit -p = et FJ3 = b = ep, unde utique 
ob P = y fit P= -i- Deinde, cum fiat ft = ^- = < hincque 

/> * 

J5 = y CND, iam quia intervallum secundum in genere est 



hocque primo intervallo aequale est ponendum, flet Q = 1, sed ita tamen, ut 
sit S(l 1) = - Y - ; per formulas autem generates hoc secundum intervallum 

= /? + o = (1 + e)p ; unde ob /? = oo fit 

c = (l-f )jp _/:? = _ CSD ideoque <7==0 et ( 0. 
Quare posita lentis in foramine constitutae distantia focali = r erit 



unde, cum sit J5 = C\D et S = 0, vicissim colligitur 



atquo hinc pro quarta lente 8 DM habebimus distantiam focalem 5 ^ 
et intervallum 6 y D r (l j^) . Ut ergo postrema lens fiat convexa, lit- 
tera J2 debet esse negativa sive in intervallum CD incidit imago realis 
m puncto H atque ex data multiplicatione m formulae generales prae- 
bent PQXt m, quondam ob binas imagines reales repraesentatio erit 
erecta. Hinc ergo fiet R ^ - am ; ita ut nunc sit a - ^ et inter- 
vallum 6 V D r (l + - ) ^ 4 $; quandoquidem hie fit ex natura rei (7JI r 
et SD . 

Contemplemur nunc campum apparentem et secundum formulas nostras 
generales secundo speculo tribuamus litteram q, lenti (7 litteram t et lenti D 
litteram 8 et semidiameter campi apparentds erit 



134 LIBEI SECUNDI APPENDIX CAPUT III 36 [513 

sumto | pro fractione ~; litterae autem q, r et g ad summum unitati 
aequales fieri possunt. Posnimus yero [Lib. II, 265] brevitatis gratia 



ut sit 

* = Jtf |, 

atque formulae nostrae generales has suppeditant aequatkmes: 

93q - (P- 1) jf , Sr - (PQ ~ 1) M- q, 
quae ob valores iam inventos 

$^1, ^=-1 ot (S=-0 
praebent ambae 



Hinc autem, invenimus distantiam oculi post lentem 1), Bcilicot. 



quae distantia cum sit positiva, quandoquidom nihil impodit, qnowimiH ijmi $ 
valor positivus dotur isquo unitati aoqualin, margmom coloratnin tolh fc mu, 
si ob N'^Q et JV 7 'J\ rw (quandoquidom nowtrao duao* lonleH ex oodoin vitro 
parantur) huic aequationi BatisfaciamuH; 

^^4" 
quae ergo reducitur ad hanc; 

O-r-/^ 

unde colligitur 

. s 

quare, cum sit q (i-f -j-jjlf, erit 



514] DE TELESCOPES CATADIOPTBICIS SPECULO CONCAVO INSTKUCTIS 135 
unde sequitur 



m 



ita ut iam sit semidiameter campi apparentis 



Num autem hie pro unitas scribi queat, intelligemus ex lente C, cuius aper- 
tura nobis est praescripta et cuius semidiameter = y ===== ex. Iam per for- 
mulas nostras haec semidiameter esse debet 



ubi sufficit maiori membro uti ? ex quo sequitur esse debere r ^ < e#, unde, 
si statuamus g = 1 et | = 4 , necesse est, ut sit r < 4^m^;; si igitur velimus 
smnere r > 4 *#*#, turn g unitate minus accipi debet, ex quo campus 
apparens in eadem ratione climinuotur. Hie autem inprimis quoque ad 
ultimam lontotn attend! oportet, pro qua est s~ r , ita ut esse debeat 



f^ BIVO 6* < 4v/, undo patet foramen non nimis exiguum statui posse. 

Totam autem confuwioneia ox diversa radiorum refrangibilitate oriundam 
ope huius aoquationis: 



n N" 1 N 
quao abit in hanc: 



quod cum nullo mode fieri possit, etiamsi diverso vitro uti yellemus, hanc 
confusionem, quae semper est valde exigua, tolerari oportet. 

His observatiB cardo rei yersabitur in semidiametro confusionis ? quam 
insensibilem reddi conyenit ope huius aequationis: 



136 LIBRI SECUOT)! APPENDIX CAPUT III 36-39 [515-516 

quae aequatio abit in hanc formam: 



ex qua aequatione reperitur p\ verum quantitatem a; ta,ntam assumi convenit, 
ut inde sufficiens claritatis gradus obtineatur. In doctrina de telescopiis 
autem pro sufficiente claritatis gradu sumsimus o?=^dig.; quod autoin ibi 
erat x seu Vo; 2 , Me nobis est 1/(1 a 9 ) a/ 8 , ita ut hie habeamus 



siquidem eodem claritatis gradu frui velimus: unde foret x*^ m dig, 

60 Y(l ~~ e*) 

ideoque x > *'* dig. Quia vero specula non tantum radiorum rofloctunt, qua.ii- 
tum lentes transmittunt, tie hoc quidem modo tantum claritatis gradun) 
adipiscemur quam in telescopiis vulgaribus. Sin autism tninori claritatin 
gradu contenti ease velimus atque statuamue % ^ dig, sumaiu usque ut ibi 
ft 50, aequatio nostra erit 



ubi manifesto debet esse * f multo minus quam priiiB mombrwni |4 nivn 
r 8 > a 4 w 4 ideoque r multo maius quam &#tj/$#i; Btipra v^ro vidimuH C^HH^ 
debere r < 4 8 wa/; quod ut fieri posnit, <lobet OBHO 4 B w^ tuulto maiun (|uun 
Bmysm sive 4em> 5()]/ifm ideoque *> ^ f quod in magniw niultiplicationibuH 
effici posset. 

At si haec conditio non observotur, effectue in eo consistet, ut non 
amplius sit 8 1 hincque campus apparens multo minor existat quam 

<^ . * give * 869 min. 
m m 

OOBOLLABIUM 1 

37, Cum in telescopiis id semper inprimis sit officiendum, ut aoram 
longitude hincque praeciptie distantia focalis p qaam minima reddatur f in 



516517] DE TELESCOPIES CATADIOPTEICIS SPECULO CONCAVO I^STRUCTIS 137 

aequatione ultima confusio a lentibus oriunda tantopere diminui debet, nt 
prae confusione speculoram quasi eyanescat; quare, cum in ista formula ex 
primo speculo nascatur portio -*-, ex secundo vero y, necesse est, ut por- 
tiones sequentes ex lentibus oriundae multo fiant minores, ex quo littera r 
multo maior esse debet quam 2ep ideoque r vix minus capi poterit quam p. 

COROLLABIUM 2 

38. Quodsi igitur statuamus r=#, cum e, uti vidimus, minus esse 
soleat quam y, pro confusione definienda tuto uti licebit hac aequatione: 



unde colligimus 

Jcx^/ /., . N 
^ = y] / m(l + e); 

unde, si pro dato claritatis et distinctionis gradu capiatur ## = mdig. ? erit 

jp - 2 -mVW(l + a), 

quae quantitas circiter duplo minor est quam in telescopiis dioptricis com- 
munibus, ita ut hoc nxodo tota longitudo fere ad partem quartam reducatur, 

COBOLLARIUM 3 

89* Sumto autem r p pro campo definiendo littera 8 maior accipi 
nequit, quam ut fiat 



Mnc ergo pro exemplo speciali, quo a= ^ et w 100, colligetur 



ex quo patet hoc casu fore campum quinquies minorem, quam si capere 
liceret 8 1, sicque in genera patet hoc modo nimis exiguum campum obtineri. 

l) Bditio prinosps: %** ^-~ * oiroiter. Oorrexit E, Ok* 

Eur^ai Opora omnta III 4 Bfopfcriofc 18 



LIBEI SECUNDI APPENDIX OAFUTjn_ 40-42 [517-519 



COBOLLARIUM 4 

40. Sumto autem r=p pro construction huiusmodi telescopii distantiae 
focales sequenti modo se habebunt: 

v) - ~- wi/y yyi\\ I- s ) , o s^ 5 s*p * T ' === ' ip et> B :K== ~ " y 

jr 2 W 

turn vero intervalla lentium seu speculorum 

AB-(l + a)jp = JB(7, CD-r + 8~p(l + -/J 

et distantia oculi 

O s* 53 S s 85 ^ 7 

cm 

unde patet tubum arcae, in qua specula continents, adiungendum admoduin 
fore longum. 

SOHOLION 

41. Praeter iacommoda vero, qun,o hie iam commomoravimuH, huhiH- 
modi telescopia maxitno vitio iaborarent, proptcrea quod radii in lentmn C 
incidentes int(u- se snnt parallel!; tinn enim radii porogrini, qui ab obiwfciN 
viciuis directe in tandem l<uxtoin incidunt, quia (Attain Hunt parallel! inter B<^ 
in transitu pcjr LmtoH Hiiwili modo refrhtgtmfeur uc. radii proprii idooque cuun 
iis simul ad oculum deforentur, et quonium hi radii pon^griui mtdto Hunt 
fortiores quam proprii, siquidom hi duplicom rufioxionoiu iam Hunt paHni, in 
oculo irnpressionam intorum penituB oxtinguent Interim tuiwn f <juia radii 
peregrini ad axom magis Bunt obliqui afajuo otiam hi ri^ractiono imt-ioroin 
obliquitateua conservant, ab (gresu in oculum oxcludi poBBeitt ope oxigui 
foramintili, cui ocuhm adplicatur; hoc antom modo mm solum clarita nimium 
detrimentunx paterotur, nod otiam campus insupor restringorotur; quam ob 
causam in huiusmodi teleBcopiin inprimis cavendura eat, no radii peregrini, 
qui circa minus speculum praeterlabentes ab introitu in arceri nulIo modo 
possunt, cum radiis propriis aimilmn rofractionom patiantur. Quod prawtari 
potent, si modo radii proprii in lantern O incideritas fuerint vd divorgmte 
vel convorgentes, ut post refiractionem in alio foco congrogontur ac paragrini; 
turn enim diaphragma debito foraEiine in isto foco ccmstitutuin facile radioH 
peregrinos ab ulteriori progressu ad oculum excludefc. Perapicuum autem est f 



519520] DE TELESCOPIES CATADIOPTEICIS SPEOULO CONGA VO INSTRUCTIS 139 

quo hoc remedium certius succedat, illam sive convergentiam sive diver- 
gentiam satis notabilem esse debere, sive efficiendum est, ut per refractionem 
huius lentis C imago a radiis peregrinis formata multum distet ab imagine 
a radiis propriis formata, id quod in sequentibus casibus usu veniet. 



PKOBLEMA 2 

42. Si ante speculum principale PP (Fig. 8, p. 132) foramine nn pertusum 
ad distantiam A B ===== (1 + s)p constituatur minus speculum concavum QBQ, cuius 
distantia focalis # = ~y~^y #, definire binas lentes C et D, ita ut quaems obiecta 
distincte repraesententur. 

SOLUTIO 



Hie ergo ut ante est distantia AF^a^p et FS = b = sp hincque 
B ob AS = 1 - 



ita ut iam sit /? = (1 + )jp, quae distantia ipsi secundo intervallo BO est 
aequalis, sicque secunda imago in ipsam lentem incidet, undo fiet c 0; 
unde, cum posuerimus ^ - Q, fiet hie 



turn vero pro tertia imagine erit 



cr 



A 

y - - 0, 
/ c r 

ita ut sit 

(7 1 et (; 
Quare, cum sit 



vicissim adparet fore 





18* 



140 LIBEI SECUNDI APPENDIX CAPUT III 42-43 [520521 

His inventis distantiae focales erunt 

s(l + s] , J3 l+ i TW* r> 

P-P, ff t+aT^' r==T et 8mm PQR'*- -in*"* ob p U M - m - 

Intervalla vero ita erunt expressa: 

A B = (1 + s}p B G, CD = 1 + * p = s, 

V, I M m J. / 

uti rei natura postulat, quandoquidem ultima imago in ipsa Unite C nianot 
constituta. Oeterum patet hie duas occurrere imagines reales, aitoram in /', 
alteram in C, ideoque imagines situ orecto repraesentati ot rocto HOB assuui- 
sisse PQR = m. 

Pro campo diiudicando erit 

JMT- ( ! + t + *, 

m *1 

unde fit * = Jfefg; turn vero esse debet 



hinc 

et 
hinc 



Quia vero 

~<x> et ,. 
(f 
ent 



hinc ergo fit 

a + t + 

unde reperitur 

curca 8 autem nihil adhuc deflnitur, sed cum lentia C semidiameter aperturae 



521-522J DE TELESCOPIES CATADIOPTRICIS SPECULO OONOAVO INSTRUCTIS 141 
revera sit = ex, per formulas autem nostras esse debeat 



4s 



sive ipso campo introducto haec semidiameter erit = Q-~^ 8 ^ ) ~, quae cum ex- 
cedere nequeat BX, hoc non est verendum, nisi esset < = /rrrr- vel maius. 
lam ut margo coloratus evanescat, debet esse 



ideoque esse deberet 

a 

0; 



m 



unde patet hoc modo marginem coloratum evitari non posse, sed tamen eum 
fore minimum et vix sensibilem ob denominators PQ et PQli maximos. 

Sumta porro littera g, uti circumstantiae permittunt, pro loco oculi 
habebimus 

n &s 

\J ==9 ""-._ ' * 

Mm 
Denique conditio confusiouis tollendae praebet hanc aequationem; 

1 ma? ( 1 , (l + 2)\ 
A 8 """ jp" \8 + 8(l+) 8 / 

sequentibus partibus sponte evanescentibus, ita ut statui possit 



OOROLLARIUM 1 

43* Oum lentis in C positae semidiameter aperturae esse debeat 
^tr, ea vero revera sit aa?, hinc colHgitur r 4 ^. Veram ante inve- 
nimtis t-^*Jkf; Ms ergo duobus valoribus aequatis prodit 



142 LIBEI SEODNDI APPENDIX CAPUT III 43-45 [522-523 



unde, si esset r = l, foret r = 4#, turn vero r^-*~-', quia vero est 



habebimus nunc substitute pro r illo valore 



qui valor in ilia aequatione substitutus dabit 



GOROLLARiUM 2 

44. Quia autem S unitate maiuB esse ncquit, hoc valore unifatti 
aequali posito prodibit 

40*6*0 2(1 + s)p ~ 4a(l + a) a? 
hincque 



quae aequatio Bubsistere noqnit, nisi rrmltlplioatio m aliquot* millia e^ceclat, 
quod in praxi imnquam locum habero potest, 

4 

SOHOLION 

45, Huiusmodi vero telescopia duplici laborant ciefectu; priiuo aniin, 
quia lens C in ipso imaginis loco conatituitur, nisi 10ns ox purissimo vitro 
sit confecta repraeaentatio vehemonter erifc inquinataj ufci iam saopius obsei> 
vavimus; deinde etiam haud oxiguum vitium in ao consistit, quod margmam 
coloratum non licuit ad niMlum i 4 educere; quam ob causam haec teloscopia 
superfluum foret uberiua prosequi, sed potius eiusmodi casum evolvamus, in 
quo seeunda imago post lantern C cadat simulque raargo eoloratus feliciter 
tolH queat Quare, cum pro hoc praestando habeatur aequatio 



523-525] PE TELESCOPES CATADIOPTRICIS SPECULO CONCAVO INSTRTJCTIS 143 

necesse est, ut fieri queat r + -^ = 0, quod commodissime fieri poterit, si 
fuerit JS = 1; quia enim turn erit r = , maximum campum adipisci pote- 
rimus, si sumere liceat r = = l; turn enim fiet 



m 



et quamvis q sit fractio negatiya, tamen campus hinc orietur satis magnus; 
ut vero fiat It numerus negativus, secunda imago in intervallum CD cadere 
debet, ita ut Q maneat quantitas positiva, et quia multiplicatio dat m = P$JR ? 
ob P== s , si sumamus _R = 1, necesse est fiat $ = m; unde, cum sit 

Q = ~ 9 erit 

c , _ JL - 
$w ? 

at vero secundum intervallum 1? (7= /? + <^; quod cum prhno (1 -f s)p aequale 
esse debeat, elicimus 

/? = (! + e)$ c ===== - 
Cum vero sit 

sivc etiam 

1 i i 

hinc erit 
turn vero erit 

unde lit # 33&. 

Porro vero, cum sit rl6' ? erit 

( Mffi ,\ . x hincque 6 y 
^ (l +*)p a 

Pro intervallo autem (JJ), quod est ^ + rf~y + $, quia est 

quia vero etiam esse debet J8 -J - 1, hinc erit ay sicque inter- 



144 LIBBI SECUNDI APPENDIX OAPUT III 45-46 [525-526 



vallum (7D-2y-2a - (i+ . 

Quia autem porro est M = ~^ * sumto scilicet r = = 1 , erit 



hincque 

q + 2 - --feM!l- jf (m _ i); 

Mr \ /- 

unde sequitur 



ex quo vicissim concludimus 



Praeterea vero adhnc habetur haec acquatio (S -- f/ } ^ I) 7^7-- q, quao abtt 

in hanc: 

(^., ( w 

seu substitutis valoribuw 



undo concludimus foro 

2 (*>* (i-|-*)^'f 
f M ( w - - l)(w** + (l f 

hinc, cum sit - , roperitur 
7 #'* 



unde porro concluditur distantia oculi 

n $s sm*+(l -f )> ! 1 A , 1 f 



Quod autem ad cainpmn apparentom attinefc, quoniam Bumsimun r * ^ t , 
dispiciendum est, num etiam ponera liceat | J * Hoc jtutom patebifc ex 
lante C y , cuius semidiameter aperfcarae - |r excedera nequit aa?; posito Igitur 
|rw colliptur 



DB TELSOOpns CATADIOPTKICIS SPECULO CONCAVO INSTRUCTIS 145 



qui valor si fuerit minor qnam -, eo erit utendum, ita ut turn sit # 

sin autem ille valor prodeat maior quam ~, nihilominus sumi debet = 

Si tanquam exemplum sumatur 

e == , m=> 100, x = ~ dig. et p = 25 dig., 

revera prodit = -- , ita ut haec positio I = j parum a praxi discrepare 
videatur; unde operae pretium erit has determinationes coniunctim ob oculos 
ponere. 

EXEMPLUM TELESCOPII C1TADIOPTKICI 
46. Ex modo allatis prima elementa huius telescopii ita se habebunt: 



a 



^_ 

r- 

Bx quibus deducuntur sequentes valores: 



m 



Pec y-v 

._^_ v , ^_.J 

Ex his vero colliguntur distantiae focales 



et pro earum aperturis 

)w---l) 1 fi t 

' ' t "" 1 ' S " 



hincque 

"q + t + 8- 

VUV | \ J, | v J f*W *. 

EULKKI Opera oamia III 4 Dioptrics 19 



146 LIBEI SECUNDI APPENDIX CAPUT III 46-48 [527-528 

ideoque 

M = 5-T 



ex quo elicitiir seinidiameter campi apparentis <> M, ac si liceat sumere 

| _ A get 

4 ,, 1718 am . , 

<> r"T77"T"T"~ ' , nimut.; 
ew a + l+fi)M 1 



at pro loco oculi invenimus 

n 1 /' , 1 + t 

= - .$(1+ -^ 

2 \ $m s 

Superest igitur, ut ex conditions confusionis definiatur distantia focaliw p, 
quae reperitur 



ubi si tantam claritatcm desideromus, qualem supra teloaeopiiR tribuimuH, 
sumi debet ^"-^dig. et pro gradu distinctioniw A^fX), ut Hit l*x-^w, 

Sin autem minori clarifcatis gradu content! OHBO volimun, ibrtaHO suflioitil 



ponere -/ Uig. vol adeo 



CONBTBUCTIO HUIUSMOD1 TKLKS^OWI 
PEG MULTIPLJOATIONK w - 1(X) SUMTO * J 

47. Pro maiori ergo speculo, cuiua Bomidiamotor Bit ,r, tbraminiH 
semidiameter erlt ^, ems veto distantia focalis in genere ponatur pi 
ex qua sequentee distantlae focales ita deflnientur: 

f - y 



528530] DE TELESCOPIES CATADIOPTEICIS SPECULO CONCAVO TNSTKUCTIS 147 
Intervalla autem sequent! mo do definientur: 



2. JJ6 y ~j? = 

3. CD = 2s = 0,0671 p, 

4. = 0,5248 s = [0,0176#]. 

Praeterea uti speculi maioris semidiameter aperturae est ===== #, ita minoris 
erit = *#, cui etiam aequatur apertura lentis (7; lentis vero ocularis D se- 
midiameter aperturae poterit sumi = --$, unde campi apparentis semidiameter 
erit circiter <P = 16,368 minut. ? qui campus locum habet, nisi sit ~ x<~r seu 
a/ < y; hoc enim si evenerit, ut sit 35 < r, turn campus in eadem ratione di- 
minuetur atque in eadem. ratione aperturam lentis D diminui conveniet. 
At vero pro definienda distantia focali p habetur ista aequatio : 



19,45 + 0,0095,1* (r 5y) + 0,211 ^r), 

ubi, cum partes ex bims lentibus oriundae vix ad dimidium accedant, tota haec 
quantitas radicalis certe non ad 5 exsurget, ita ut tuto sumi possit j^ = ^ &$; 
supra autem notavimus esse circiter k 50. 

SCHOLION 1 

48, Quods! hie statuamus ft 50 et x 2 dig,, distantia focalis speculi 
obiectivi ex hac formula prodit p - 250 dig, ideoque raaius viginti pedibus, 
quod merito maxima inirum videbitur, cum talia telescopia circuraferantur, 
in quibuB p non suporat 24 dig, atque a? adeo duobus digitis maior reperitur 
ot quae nihilominus centies multiplicant; cuius ergo phaenoineui causam 
scrutari oportet Primo autem rnanifestum est earn non in hoc esse sitam, 
quod numerum k nimis magnum assumsimus; etsi enim pro microscopiis 
content! esse soleamus valore ft20, tamen fateri debemus confusionem 
turn satis esse sensibilem, qualem tamen in his telescopiis non deprehendi- 
mus, et quamvis pmeterea sumeremus ft 20, tamen adhuc prodiret 
p 100 dig* Evidens ergo est causam necessario in eo sitam esse debere, 

10* 



148 LIBET SECUNDI APPENDIX CAPUT HI 4849 [530-531 

quod post signum radicale cubicum binae priores partes ad specula relatae 
non solum multo sint minores, quam Me assumsimus, sed adeo nihilo aequa- 
les poni debeant. Interim tamen certum est, si haec specula haberent figu- 
ram sphaericam, uti in calculo nostro assumsimus, partes inde in confusionem 
influentes minores non fore, quam hie sunt definitae; ex quo tuto concludere 
possumus in his instrumentis specula non ad figuram sphaericam esse elabo- 
rata, sed iis ab artifice figuram parabolicam esse inductam, in quo Gel. 
SHORT*) gloriatur se modum invenisse specula ad figuram parabolicam ela- 
borandi, cui invento sine dubio exiguus valor litterae p tribui debet; quodsi 
enim post signum radicale binas priores partes omittamus, totus valor huius 

q o 

formulae radicalis sumto X' = X" =1 ob /LI = -^ circiter reducetur infra -^ ; 
sumto autem hoc valore sequitur fore p = 30 dig. prorsus fere, uti experientia 
testatur; facile enim licet Jc assumere minus quam 50; turn vero etiam aliae 
constructiones proferri possunt, in quibus haec duo membra posteriora adhuc 
minores sortirentur coefficientes. Quodsi ergo ambo nostra specula figuram 
habuerint parabolicam sumereque liceat p = 30 dig., existente x = 2 dig., erit 
r = 2,829 dig. eiusque aperturae semidiameter, quam scilicet foramen suppe- 

ditat, =#=y dig., unde utique sumi non licebit -| , sed tantum |~~, 

*t '-i 

et campus supra inventus diniinui debet in ratione : sive 17:12 sive 
suo triente propemodum, ita ut adhuc sit eius semidiameter <$ = 11 minut, 
Quodsi autem distantia focalis p naaior assumi debeat, turn pro | adhuc 
minor valor reperietur. 

SCHOLION 2 

49. Telescopia autem vulgaria huius generis non mediocriter discre- 
pant a mensuris supra descriptis, unde operae pretium erit mensuras talis 
telescopii, quod pro excellent! habetur, accuratius examinare. Erat autem 
speculi maioris distantia focalis duorum pedum seu p *** 24 dig., semidiameter 
eius # = 2y dig., foraminis vero semidiameter y A dig,, unde sequitur fractio 

3 speculum a maiore distabat intervallo A B 27 ^ dig., 



l) JAMES SHORT (17101768), Edinburgensis, telescopiis excellentibus fabrlcandis insignem 
laudem adeptus nonnullas etiam de rebus dioptricis dissertationes scripsit in Philosophical trans- 
actions a. 1753 et 1769, E, Ch. 



531-533] DE TELESCOPES CATADIOPTRICIS SPECULO CONCAVO INSTEUCTIS 149 

unde, cum sit AF = p = 24 dig,, sequitur distantia FB = b = 3~ dig. (Fig. 8, 
p. 132). Quare, cum posuerimus 6 = ^ ? Mnc non amplius fiet e = y, sed 
tantum s = ^ , ita ut in praxi recepta minus speculum propius collocetur, 
quam ratio foraminis postulat. Verum rationes non desunt a regula supra 
stabilita recedendi. Supra enim hoc speculum minus, quod etiam in praxi 
foramini aequabatur, ita constituimus, ut omnes radios axi parallelos, qui a 
maiore speculo reflectuntur, non solum reciperet, sed etiam ab iis quasi im- 
pleretur. Cum autem ob campum apparentem etiam radii ad axem obiiqui 
a maiori speculo reflectantur, quorum plures in nostra constructione minus 
speculum praetergrederentur, utique consultum erit istud speculum aliquanto 
propius admovere, ut etiam. hos radios recipere queat. Quamobrem conveniet 
litterae s duplicem valorem tribui, alterum ex ratione foraminis petitum, 
alterum vero ex loco minoris speculi, quos ne inter se confundamus, in po- 
sterum statuamus y = dx, at vero 6 = ep, ita ut hoc casu futurum sit 
d = y et e == 3 Neque vero hinc in nostras formulas alia mutatio infere- 
tur, nisi ut in locis, ubi formula ex seu y occurrit, eius loco scribamus dx, 
quod quidem tantum, ubi de quantitate foraminis et minoris speculi sermo 
est, occurrit; in reliquis vero omnibus formulis, ubi s cum littera p coniun- 
gitur ? nulla fit mutatio, ita ut nostrae formulae generales etiam hie valeant. 

Verum ut ad istud telescopium revertamur, distantia focalis speculi minoris 
erat ^ = 3 dig., unde concluditur distantia J? (? = /? = g^--^ 30 hincque 

2 

(7(?=2-g Hie autem probe notandum est, si vel levissima mutatio in loco 
minoris speculi fiat, turn in hoc intervallo CG- insigneru mntationem oriri; 

1 o o 

si enim loco 3y sumatur jFJ? = & 3-g- , ut sit BC= < 27-g-, reperietur 

q 
5(^=^^ = 27 hincque CGr = - Quam ob causam etiam minus speculum 

ita constitui solet ? ut eius locus ope cochleae tantillum immutari possit. In 
isto autem exemplo speculum minus ita est constituendum, tit inde prodeat 
=1^- dig. Unde vicissim verus valor ipsius & definiri poterit; quia enim 



fit J5G^~~, ob OB-24 + & erit a(? = ^~ 6 24; quae distantia ut 



fiat -y- dig., elicietur 

1/ " KOC ^.=.3,35041, 



150 LIBBI SECUNDI APPENDIX CAPUT HI 49 [533-534 

qui valor assumtum 3 y tantum superat particula ^ , ita ut in reliquo cal- 

^ 
culo sumi possit & = 3y 

Pergamus nunc in nostro examine, et quia lentis in G distantia focalis 
erat =4 dig. = r, ob c = y dig. fiet CH=y = l dig. Deinde vero erat 
intervallum CD = 3 dig. et lentis ocularis D distantia focalis s = 2 dig. sicque 
prodibit distantia HD = d = 2 dig. ideoque d = s, uti natura telescopii 
postulat. Quocirca singula huius telescopii elementa ita se habebunt: 

a = 24, 6 = 3,35041, c 1,33333, d 2, /? = 28,68374, ;/ = 1 
et distantiae focales 

p = 24, #==3, r==4 et 5 = 2 dig., 
intervalla vero 

AB = BC= 27,35041 , CD = 3 dig, 

Hinc vero reliquae nostrae litterae invenientur 

B = 4 - 8,5613, SB = 0,89541 , 



C = y~ 0,75, < = 3 

et 



ac denique 

P = ---- 7,1633, $ = - - = 21,51281, JB = - r . - - J - 

C <* ,2 

His inventis valoribns proprietates huius telescopii sequenti mode definiri 
poterunt: 

1. Quod ad multiplicationem attinet, quia est m***PQll, erit m^ 77,05. 

2. Ut nunc etiam campum apparentem definiamus, primo ex apertura 
lentis (7, cuius semidiameter est y = ^ dig,, sumto S -J" erit J rr * dig. 
ideoque r= ^ dig.; turn vero est 



similique mo do 

<r (j?(j i) M~ q -- 143,99 Jf 

hincque r=- 47,99 M. 



535536] DE TELESCOPIIS CATADIOPTRICIS SPEOULO CONCAVO INSTfiUOTIS 151 



Cum igitur ante esset r = ydig. ? hinc concluditur 



96,00 76,05 

unde elicitur 



qui valor, cum unitate sit minor, veritati erit consentaneus; si enim unitate 
maior prodiisset, turn litterae r valorem semisse minorem tribnere debuisse- 
mus. Quocirca semidiameter campi apparentis erit 

& _ jf g = -L M = 859 M min. = 8' 57". 

sive diameter campi erit = 17' 54". 

3. Videamus, an per hoc telescopium etiam margo coloratus destruatur; 
quae conditio cum postulet 

0= pV + p^ sive r=2 ' 

quod cum non multum a veritate discrepet, margo utique debebit esse in- 
sensibilis; interim tamen perfectius margo coloratus toller etur, si prodiisset 
exacte r*23; id qnod quidem levissima mutatione fieri posset. 

Tandem autem restabit, ut etiam investigemus, quam exacte aequatio semi- 
diametrum confusionis complectens hie impleatur, sive cum hie iam cognoscamus 
litteras m, x, p, B, G una cum ^ ? v et A ex indole vitri et figura lentium, 
definiemus inde litteram Jk, quam novimus vix infra 50 admitti posse. Sumamus 
autem primo ambo specula ad figuram sphaericam esse elaborata, quoniam 
facile erit facto calculo duos terminos priores reiicere, quando noverimus 
haec specula esse parabolica. Ex forma autem generali supra 34 data 
patet fore 



ob 

JL p_24 et w 77,05. 



152 JJBEI SEGUTOI APPENDIX OAPUT in 49 ___ [536-537 

Deinde cum sit 

6 = 0,1396, J? = 8,5613, 93 = 0,89541, = 3 et <7=-~, 

singuli hi termini ita in numeris evolrentur: 

4- = 0,222 f(l + 0,1216 + 0,000003,1* (A"- 12 v) + 0,00039^ A'"); 

/C 

hinc ergo colligimus, si primum speculum esset sphaericum, certe proditurum esse 

1 12 9 

, > 0,222 , hoc est -=- > ideoque Jc < - -, 
/j /c y ^ 

unde certe confusio enormis nasceretur; quod cum neutiquam fieri debet, 
necesse est, ut primum speculum sit parabolicum vel proximo saltern, ut 
primus terminus evanescat. Si porro speculum minus esset sphaericum, pro- 
diret adhuc -^> 0.1 11 seu A<9 ? unde confusio adhuc intolerabilis nasceretur, 

fc 

ex quo concludimus etiam a secundo speculo nullam confusionem nasci. 
Eeiectis ergo binis prioribus terminis habebitur 

4- - 0,222 f (0,000003 ^(r- 12 r) + 0,00039 ^r'), 

K 

ubi statim patet solum postremum membrum in computum venire; unde ergo, 
cum sumi possit ^^'"=1, prodit 



- 0,073 --.. 

sive 

A-=59 7 

qui valor iam tantus est, ut nulla confusio sit metuenda, atque hinc iam 
multo magis intelligimus summam sollertiam ad huiusmodi telescopia confi- 
cienda requiri, quae si ab artifice exspectari potest, nullum est dubium, quin 
species telescopiorum a nobis ante exposita his, quae passim reperiuntur, 
longe sit anteferenda. In paragrapho igitur superior! 46, ut earn ad mode 
examinatum telescopium accommodemus, sumi poterit a, quatenus ad p refer- 



537-538] DE TELESCOPES CATADIOPTRICIS SPECULO CONCAVO INSTRUCTIS 153 

tur, = y, quatenus autem ad x refertur, =-~, ut fiat y = ^-x, unde pro 
quavis multiplicatione huiusmodi telescopia formari poterunt, quae certe 
multo maiorem campum patefacient simulque marginem coloratura perfecting 
tollent. Verum si speculum minus fiat convexum, multo maiora commoda 
inde sperare licebit, uti in sequente capite ostendemus. Casum enim, qui 
hie adhuc desiderari posset, quo imago realis in intervallum SO caderet, ne 
quidem attingemus, quoniam tarn campum nimis parvum produceret, quam 
vitio marginis colorati vehementer laboraret. Cum enim turn esset jR>0, 
aequatio pro margine tollendo = r -f ^ subsistere non posset, nisi r foret 
negativum, et quia q etiam est negativum, campus fere ad nihilum redigeretur. 



20 
Opera omnia IHi Dioptrica 



CAPUT IV 

DE TELESCOPES CATADIOPTEICIS 
MINOBE SPECULO COWEXO INSTRUCTS 

PROBLEMA 1 

50. Constructionem Jiuiusmodi telescopiorum describere, quibus obiecta situ 
inverse repraesententur seu ubi unica imago realis occurrat, 

SOLUTIO 

Cum in hoc genere distantia amborum speculorum sit AB ~ (1 a)jp 
ideoque & = ep, ob a=p erit P = ^=4.^., ubi e designat fractionem 
aliquanto minorem, quam ratio foraminis ad speculum maius y designat, ita 
ut posito y==^ sit e<d ob rationem ante allegatam 49 ? qua scilicet ob- 
tinetur, ut etiam radii obliqui a minore speculo excipiantur. Interim tamon 
semidiameter aperturae minoris speculi maneat ==Sx^y, ita ut hoc specu- 
lum foramini aequetur, uti initio assumsimus. 

Nunc statim consideremus aequationem, qua margo coloratus destruitur; 
quae, si praeter specula duae lentes adhibeantur, reducitur ad hanc formam: 



undo, ut ambae litterae t et valores positivos habere queant, uti ratio 
campi postulat, conveniet litterae JB valorem tribui negativum et quidem 
uxdtate non minorem, ut sumto g 1 prior lens 0, cuius apertura iam per 
foramen determinatur, campum non restringat. Ponamus igitur JB ~ i, et 



540-541] DE TELESCOPnS CATADIOPTRICIS SPECULO OONVEXO INSTRUCTIS 155 

cum ex data multiplicatione m ob repraesenfcationem inversam sit PQR = m, 
Set hinc P<?=^ et <? ^ Est vero = |-,. et quia est 



hinc colligimus 



sm f ( 



quare, cum in genere sit = y + -j ? er i 



T. 

hincque g == 

^ a 



Porro ex valoribus 6 et /? colligimus 



p _ -m^-e) , _ -1-^i~-t; 
^ T~ w-t ^ (i- 2 *)m+; 

Deinde cum sit (7= ~ et (c = r, Mnc invenimus 



ideoque 



i(l fi)j{? + (^m f)r c 
ex quo porro colligitur 

Denique, cum sit R =* ^ = ~- ob s == ^, erit 

y y (1 

hincque tertium intervallum 



Nunc autem aperturae praebent has aequationes: 

1. , _ (?- i)M, mde fit q - ! 

2. , 



20* 



156 LIBEL SECUNDI APPENDIX CAPUT IV 50 [541542 

sen 

~ (w + Q(>0t--i) M 
sim 7 

unde elicitur 



smr 



unde, cum sit = it ideoque r + = (1 + i)r, erit 



v _L P \ _____/ ' v _ i vy- i yy* -vx- TT0- MY/iM 

L v === ~~ ~ " " JXL J-W- \titt . 

smr N 



sicque facta divisione per M inveniemus 



qui valor cum sit negativus, ex eo etiam prodibit intervallum CD negativum, 
unde patet hunc valorem in praxi locum habere non posse. 1 ) 

Verum cum saepenumero problemata duas pluresve solutiones admittant, 
idem etiam Me usu venit hocque problema praeter solutionem hie inventam 
insuper aliam complectitur, quam per divisionem ex calculo expulimus. Quod 
quo facilius appareat, calculum ita instituamus. Cum primo sit 



erit 

q + r + -- "~- - * JMT + (i + l)r = Jtf(m 1), 

unde colligitur 
ideoque 

altera vero aequatio dabit 



1) Haec supra diet a non generalitervalent: intervallum CD fitpositivum, quando $ <y^ ,-Vc 

"- 1) 



ac quando >>pjy? priore casu evadit r>0 slmulque CD>0, posteriore 
casu evadit r < simulque denominator valoris <7 JD negativus ideoque OD positivus, E* Oh, 



542-543] DE TELESCOPIIS CATADIOPTBICIS SPECULO CONVEXO INSTRUCTIS 157 

~ (m J)m(l + f)r i(l -f j)((l 2g)w + i)r 

Ur ~ *<ro a -(l-*>'-* 8 ? 

unde fit 

~ = (l+fr)( m + {)(>w~-fr). 
i(#& 2 (1 s)m i) ? 

supra vero iam invenimus 

ff _-(*-> 

e -T(r=r*>-' 

unde patet aequalitatem horum duorum valorum duplici modo obtineri posse: 
1. scilicet, si fuerit i = em, quo quippe uterque valor evanescit, 2. autem, 
quo facta divisione per em i fit 



w 2 (1 e) m i (1 $)j9 ' 

haecque est solutio incongrua ante inventa. 1 ) Statuamus igitur nunc i==sm 
fietque ( = 0, littera vero r hinc plane non determinatur et nostra solutio 
sequenti modo se habebit: 

T 

f}7l 

ubi notetur fore /? -f- c = (1 s)p. 
Hinc porro erit 

j5=:cv) SB==1 (7=0 (y Q 
turn vero 

p= , ^==1, jR = em, 



ita ut sit 

Quia vero ^-=00 et C=^ = ; productum in se manet indefinitum; 
verum cum sit 



hinc vicissim erit 



1) Hanc solutionem inoongrtLam noil esse Eota p. 156 indication est. E. Ch. 



158 LIBBI SECUNDI APPENDIX CAPUT IV 5051 [543544 

Praeterea vero erunt distantiae focales 

L T r 

g = $p et $ = $ = 

a -^ sm 

atque intervalla 

4JB - J3C (1 e}p et CD = r (l+ Y 

\ J-r \ m j 

Denique, cum sit 

(l + cm)(l )r , 
q = ^~ I A . ; et 
^ em 1 

erit 

,,- _ (gm + l)r 



em I 7w(fim 1) 

ideoque semidiameter campi apparentis 



ubi sumere licebit 8 = 1, si modo lens ocnlaris utrinque fiat aeque convexa. 
Oculi vero post hanc lentem distantia reperitur 

~ 

ft ..__ 



Quia autem lentis C semidiameter aperturae maior esse nequit quam y*==*dx, 
ponamus 

-r-ir = dx sive = J^;; 
4 Asm 

unde sumto = 1 definitur 

r = 4^emo? hincque s = 4(J"a;. 

Verum etiam ad aperturam minoris speculi est attendendum, CUIUB 
semidiameter revera est =3% et quae ob campum esse deberet J q^; quam 
ob causam necesse est sit 



ideoqne 



544-545] DE TELESCOPES CATADIOPTBICIS SPEOULO CONYEXO INSTRUCTIS 159 
Tuto igitur sumere licebit g 1, si modo fuerit 

> (1 a) (em 



Contra vero unitate minus accipi deberet. 

Tantum igitur superest, ut ex formula semidiametri confusionis definiamus 
distantiam focalem speculi principals p, quae ita reperitur expressa: 



s 



siquidem ambobus speculis figura sphaerica inducatur; at si ambo habeant 
figuram parabolicam, debebit esse 



ita ut iam aliter non definiatur nisi ex quantitate speculi , cum sine dubio 
semper esse debeat p multo maius quam ^. Quia vero iam ante definivimus 
r = Adsmx, habebitur nunc 



Cum nunc sit proximo ^ = 1 sumique possit A" = l et X" binario sit minus, 
k vero infra 50 capi non debeat, valorem ipsius s aestimare poterimus; tantus 
enim esse debet, ut numerus 



non minor prodeat quam 50; unde patet pro s sumi debere fractionem valde 
parvam; si enim esset <? -J- et m 100, colligitur circiter = 55- 

EXBMPLTJM 
51 Ponamus w 100, a? -2 dig., y \tt%. ideoque <> -j-, et ut 



160 LIBEI SBCUNDI APPENDIX OAPUT IV 51-52 [a] [545-546 

1 JM. 1 10 

satis magnum obtineat valorem, sumamus e = ^; sic emm prodit * ^~ 
seu fc>50; hinc ergo erit r = 10dig. et 5 = 2 dig. Deinde cum pro speculo 
minore debeat esse 8000 >57j?, erit 

8000 
P<~trf-' 



Unde tuto sumi poterit p = 25 dig. sicque erit y = - ~ dig. et intervallum 
AB = BC=23- dig. et CD = 12 dig. Oculi vero distantia = ~ dig., at 
campi apparentis semidiameter # = 12'53" ? ubi probe notandum hie ambo 
specula assumi perfecte parabolica. 

SCHOLION 

52. Quamvis autem haec constructio perfecte succedat, tameii tale 
telescopium tam insigni vitio erit praeditum, ut omni usu destituatur; cum 
enim radii a minore speculo reflexi iterum fiant inter se parallel!, radii 
peregrini circa hoc speculum transeuntes et in lentem incidentes cum illis 
refractionem communem patientur simulque cum iis in oculum deferentur, 
ita ut verum obiectum cum vicinis prorsus permixtum Tisioni repraesentetur, 
neque ullo modo separari poterunt. Cum igitur huius vitii causa in eo sit 
sita, quod radii a minore speculo reflexi fiant parallel! seu intervallum 
fi = <x>, ne hoc fiat, diligenter erit cavendum, quod fiet, si distantia fl minor 
fuerit intervallo B C, ita ut in hoc intervallum imago realis incidat litteraque 
Q negativum obtineat valorem. Praeterea vero, quia etiam 11 negativum 
valorem habere debet ob marginem coloratura, duae iam habebuntur imagineB 
reales et obiecta situ erecto cernentur. Neque vero duabus tantum kntibus 
adhibendis scopo nostro satisfacere poterimus, sed tertiam insuper lentem in 
subsidium vocari oportebit, quae commodissime ita instrui poterit, ut aper- 
turam quam minimam requirat, siquidem hoc modo segregatio radiorum 
peregrinorum felicissime succedet, quemadmodum in sequente problemate 
ostendemus. 



547] DE TELESCOPIES CATADIOPTRICIS SPECULO CONVEXO IKSTEUCTIS 161 



PROBLEM! 2 

52 [a] 1 ). Suiusmodi telescopium cum sjpeculo minore convexo et tribus lentibus 
vitreis construere, quod obiecta situ erecto distincte repraesentet. 

SOLUTIO 

Maneat ut ante y = dx et intervallum speculorum AS = (1 s)p = BC, 
ut sit fc = ep . lam cum debeat esse /3 < (1 s)p et tamen superare 



\\ 


s 


* 


;?r 




T 


u 


V J - 


C 


D 


E 


F 


4 


3t 




T 


U 



Fig. 9. 



debeat ems semissem -|-(1 e)jp, statuamns /3 = 
limites 1 et c contineatur; hinc ergo fiet 



s)p, ita ut ^ inter 



6- 



Turn vero erit 



Porro vero erit 



sicque habebimus 



Statuatur igitur praeterea JB = ft flatque 



1) Editio prinoeps falso pro numero 68 iterat numerum 52. E. Oh. 
Opera omnia lU* pioptriea 



162 LIBEI SECUNDI APPENDIX CAPUT IV 52 [a] [54754 

unde reliquae distantiae focales erunt 

(1 )(! 



- 

r = s , s = - 
et 



em 
reliquaque intervalla 



unde intelligemus esse debere C > ideoque E < 1 et (l -~) D > 0. U1 
vero fiat t>Q, debet esse D<0 ideoque S<1. 

Consideretur nunc aequatio pro margine colorato tollendo, quae est 



sive r = T + ;' 
ut iam secunda lens nulla apertura indigeat, statuatur = eritque 

r--L- 

r *8' 

aequationes autem pro litteris r, , t, posito 



m 1 
sunt 



1. Sq--. 



. ).,_,, 



Ex prima autem habetur 
Ex tertia autem fit 



548549] DE TELESCOPHS CATADIOPTBICIS SPECULO CONVEXO INSTEUOTIS 163 
qui duo valores inter se aequati dant 



Mncque 



Turn vero ob if=lliiM). reperietur etiam 



ex quorum valorum aequalitate ob m = .^^ - 8 reperitur tandem 

Y ^/ s 1 \ I / i / \ O y^ 1 * I y 



seu 

S'- 

unde concludimus esse debere 

c >^> + 6 sive 



Praeterea vero 7 ut ex secunda aequatione pro ( prodeat valor positivus, 
necesse est, ut sit q < ideoque etiam 33 < 0, unde speculum minus foret 
concavum; verum ut fiat 85 < 0, debet esse < $( + !) seu > ^f-j- Hoc 
vero non sufficit, sed insuper necesse est, ut sit 



seu 



unde sequitur e> l ^; quod cum nullo modo fieri queat, quia ^ intra limites 
1 et -J continetur et 8 unitate minus esse debet, nunc demum intelligimus 
hunc casum locum habere Eon posse, 



LIBEI SECUNDI APPENDIX CAPUT IV 53-54 [549550 

ALIA SOLUTIO 

53. Quondam igitur hoc incommodum inde nascitur, quod snmsimus E 
negativum, consideremus alterum casum, quo 8 fit negativum manente R 
positivo, et quoniam Q positum est negativum, ponamus 

Q = i et S= k, 
ut sit 



calculus autem commodior evadet, si littera i retineatur, et cum sit 

i = - et (3 -f c = (1 e)_p, evidens est capi debere i > 1 eritque 

unde fit 

5 = + A = _ i ( 1 ~~ ) et S + -r--^- 1 -^ 

hincque 

ififi a) 

xv . > / /n 



M _____.. 
Eeliquae vero distantiae focales erunt 



et duo reliqua intervalla erunt 



Ut igitur fiat # >0, debet esse OD negativum, quo ipso etiam ultimum 
intervallum fit positivum. Ut vero et penultimum fiat positivum, debet esse 
C(l -g-) positivum. 

Conditio porro marginis colorati sumto $ praebet r m sive 
t = Ekx, et cum sit 

LI* 






551552] DE TELESCOPES CATADIOPTKICIS SPECULO CONVEXO INSTEUCTIS 165 
satisfieri oportet his tribus aequationibus : 



3. 

Ex tertia ergo fit 



Mncque 

q + r (l + Rfy _ _ *.. jf + jsjr = Jf (m 1), 

unde colligitur 



simulque 



ex quo valor ipsius q prodit negativus; qui cum ex prima forma prodeat 
positivus, siquidem est 33 > 0, patet etiam hanc solutionem locum habere 
non posse, siquidem secundum speculum est convexum, uti assumsimus. 

TERTIA SOLUTIO 

54 Pro repraesentatione igitur erecta unicus tantum casus superest, 
quo sumto Q positivo ambae litterae E et S negatives obtinent valores. 

Statuamus igitur 

#= + *, R^ Jc et S*** V, 

ut sit 

PQR8-m~~t hincque ^-7"- 

Porro erit 

/^(Lz:*) CJ .(i-^. g , - 
0_ .__., c i _ i f , 

unde fit 

^JZ!^Z et - *^L-; 

(*!) (1 2a) + a 



166 LIBEI SECUNDI APPENDIX CAPUT IV 54 [552-553 

quare distantiae foeales sequent! modo se habebunt: 
-stfi-e) -(!-)( 

/y - _ i _ <_ . /vj /y - , ^ _ ' 

2~i(l-2i) + e P ' 
et 

-(l 



e -_ 

-l ' S ~ 



*(-!) 
Intervalla vero lentium erunt 



unde intelligimus esse debere C < et D > ideoque S) < 1 et 3) > 0. 
Nunc autem conditio marginis colorati dabit 



unde patet esse debere r < seu ob lentem G campum diminui. Ponamus 
ergo hie r = co, tit fiat t = wfc# = -^-o>, quandoquidem etiam hie assum- 
simus = 0; pro campo ergo apparente erit 



cui sequentes tres aequationes sunt adiungendae: 



1. 8q.Lpf.jf, 



2. eo,.*Z.i.j|f 





3. 0= 

Ex hac ultima ergo concludimus 

q M a, 



553554] DE TELESCOPES CATADIOPTRICIS SPECULO CONVEXO INSTRUCTIS 167 
addatur utrinque a> (~ ~J- l) eritque 



ex quo colligitur 



i(ms + ik) ' 
unde vicissim 

q ^ gm (a -- % ~- gj + i ^^ 

Ex prima vero aequatione fit 



quorum valorum aequalitas suppeditat hanc aequationem: 

aim(i ik 



seu 



ex qua aequatione mvenimus 

t sm(i* i(l c)~ c) 

= - - - - 



seu 



qui valor debet esse positivus; quern in finem sumi debet i>l et i<em. 
lam substituto valore ipsius k reperitur 



Ex secunda denique aequatione colligimus 

Securida vero aequatio 1 ) dat 

re m v + e )(*~~"" 1 ) 



1) SciHoet aequatio * ^ SSt^li , E. Oh. 



168 LEBBI SECUNDI APPENDIX CAPUT IV 54-59 [554-555 

qui valor ergo est negativus ideoque et (7<0, uti supra iam requirebatur. 
Litterae autem et D arbitrio nostro manent permissae, dummodo D po- 
sitive capiatur; quod tandem ad ipsam quantitatem p attinet, earn ex con- 
fusione definiri convenit ope formulae notae ? ubi inprimis dispiciendum erit, 
utrum speculis figura sphaerica inducta sit an parabolica. 

COROLLARIUM 1 

55. Si ergo littera t in calculum introducatur, quam licebit unitati 
aequalem sumere, pro campo apparente habebimus 



m(sim i(l s) s) 9 

quippe qui valor per 859 min. multiplicatus dat semidiametrum campi <. 
Yidimus autem litteram i intra limites 1 et em capi debere. 

COEOLLARIUM 2 

56. Si caperetur i = l, foret /? = oo et radii a speculo minor e reflexi 
flerent inter se paralleli, unde vitium supra memoratum oriretur, quod scilicet 
radii peregrini ita cum propriis permiscerentur, ut nullo modo separari 
possent; qui casus cum sit sollicite evitandus, litteram i unitate multo 
maiorem accipi conveniet, neque tamen alteri limiti em aequalis assumi 
potest, quia alioquin campus prorsus evanesceret. 

COROLLABIUM 3 

57. Calculum instituenti facile patebit maximum in hac expressione 
M locum non habere et eius valorem eo magis diminutum iri, quo maior 
littera i accipiatur. Quare, cum esse debeat i>l, si sumamus i 2, erit 



2) 

sicque pro magnis multiplicationibus Jf ^--t, qui valor etiam prodit, si 
capiatur i3 vel 4 eta, dummodo i sit multo minus quam em, qui campus 



555556] DE TELESCOPIIS CATADIOPTBICIS SPECULO CONVEXO INSTRUCTIS 169 

simplex censeri solet. Sin autem medium inter limites sumendo capiatur 
i W + 1 g e -|- 



et pro magnis multiplicationibus campus ad dimidium redigetur. 

COEOLLABIUM 4 
58. Idem etiam patet ex primitive yalore ipsius M, qui est 



_ 

m 1 

pro quo r = a> = ~^ Etsi autem q addi debet, tamen ex superioribus 
patet esse q < o>; erat enim ex tertia aequatione 



(iJ -, r 

q = 03 -!z M . 

n 



SCHOLION 1 

59. Circa campum autem inprimis est inquirendum, an loco t scribere 
liceat unitatem, quod iudicium ex prima lente G est petendum, cuius semi- 
diameter aperturae revera est = dx, ob campum autem esse debet ==~xr. 
Cum igitur sit r = ** et 

stn 

(1 ) 6 em (1 c) (f + *) 

_^r . J . - .A.. - -Z^."/ . -M 



iam supra autem mvenerimus esse 

c ^ j. ^^ swO'Ow + s-- 1) 

o // "r" d- /v - "^ *** """" " . .,~~~- -~ ---... 

*(6w *) 
quocirca erit 



unde ; nisi fuerit 

EULBBI Opera omnia III 4 Dioptrica 



170 



LIBEI SECUNDI APPENDIX CAPUT IV 59-61 [556557 

turn sumere licebit t 1. Contra vero t tanto minus imitate capi debebit, 
ubi notasse iuvabit esse <?>. Quoniam autem hae formulae nimis sunt 
complicatae, quam ut in genere omnia momenta pro constructione telescopii 
commode exprimi queant, statuamus i = -^-(sm-\-l}, ut intervallum CD 
minus evadat, etsi campus ad semissem 'redigitur; deinde enim videbimus, 
quomodo campus amplificari possit. Posito autem i = g erit 



qui valor abit in k = 2 pro magnis multiplicationibus. 
Deinde vero 



-~l) 2 _ T _ (gw + 2g + l)(m 1)1 ? 
1" 2 a L 2m+ lfiW + fi + i)J ' 



_ 
1)" 2 a) 

unde (7 reperitur. 

SCHOLION 2 

60. Quia vero valor i = ^ii merito nimis magnus videri potest, 
pro i potius medium geometricum sumamus sitque i = Yem, ac primo pro 
campo apparente fiet 



+ s 
Deinde vero habebimus 

, _ g + ysm 

A/ - ~~~. " 

yem 
hincque 

et 



Ex his, si ponamus J) = 0, ut sit S) ^?^, reperientur distantiae focales 

) 
> p, 



557558] DE TELESCOPHS CATADIOPTEICIS SPECULO CONTEXO INSTKUCTIS 171 
Intervalla vero lentium erunt 



2 sm 



( 
Pro loco autem oculi erit . . . 

n __ __ em + Yem + s _J^ , 1 , 1\ 
M m ~ am ' t ~ t \ L + y^ + W' 

Pro aperturis autem invenimus 

t , 

I, t - -- " - t/U & - \J . 



y , 

(fm+ K m + fi)]/ 
Licebit autem sumere t = l, nisi prodeat 



Lenti autem in D ? pro qua est g = 0, apertura tribui debet, cuius semidia- 
meter sit S==: P^ = ^ , ita ut huius lentis apertura sit tarn exigua, ut 



ad radios peregrinos arcendos apprime sit accommodata. Interim tamen, quia 
campus apparens hie nimis est exiguus, utique operae erit pretium huic 
goneri telescopiorum maiorem campum procurare, quod in sequente proble- 
mate praestabimus. 

PEOBLBMA 3 

61. Telescopiorum generi in problemate praecedente descripto novum gradum 
perfections addere, dum eius campus apparens amplificatur. 

SOLUTIO 

Fit hoc additione novae lentis, ita ut nunc telescopium ex duobus spe- 
culis et quatuor lentibus componatur. Maneat autem ut ante 

P -I, Q^i, R 



172 



UBEI SEOUNDI APPENDIX CAPUT IV 61 [559 



quibus accedente littera I sit 

ikVT 
- = m] 

c 

deinde sit etiam ut ante 



ex quibus distantiae focales ita formabuntur : 

. eBCD 



et 

sBODE BCDE 



et intervalla 






ubi, cum sit B < 0, debet esse C< 0, deinde D > 0. Porro ut fiat u posi- 
tivum, debet esse E<0 Mncque ob ultimum intervallum T<1. Nunc 
statuatur etiam t = co, = 0, et ut campus maximus evadat, ii = t, ut sit 



Ut vero margo coloratus evanescat, debet esse 



_ _*- + __ _ . t -/i+-M 

If IP If If ^p If If \ 1^ J ^ 

iv fu tv IV JL fu iv \ JL / 

et quia debet esse T<I> sumatur statim T=* J , ut sit m^*^ c hincque 



'= 2 -;~; turn igitur erit w-^'-t ac yicissim t s * 8 **; unde fit 



560-561] DE TELESCOPHS CATADIOPTEIGIS SPECULO CONVEXO INSTEUCTIS 173 
Nunc antem considerari oportet sequentes quatuor aequationes: 

1. 



e 



o A ik+ 

3. = 



4. (gt~ 





Ex tertia igitur habemus 



s 

addatur utrinque * gm<0 ac prodibit 



unde invenitur 



seu substitute valore ipsius co 



M-- 2 -t 

^K4L - "";" ~-~z~ i 



atque insuper ex eadem aequa^one erit 



at vero prima aequatio dat 
quorum valorum aequalitas praebet 
unde fit 



174 LIBEL SECUNPI APPENDIX CAPUT IY 61-62 [561-562 



qui valor ut sit positivus, debet esse 

i < em simulque i > (l e + Vl + e + 

o > 

Hinc autem valore ipsius k definite secunda aequatio dabit 

, 4 s m i* i(l g) a) 



_ 

= ____ _ _____ 

sive ex altero valor e ipsius q 



erit ergo ob (S<0 etiam C<0, uti requiritur; ex quorum valorum aequalitate 
idem valor pro k qui ante prodit. Notetur autem hie esse 



- - T-. -- w 

1 ^(4:sm 3z) 

unde fit 



2m (aim i(l g) g) 

Deinde vero littera D arbitrio nostro permittitur, dummodo sumatur positiva. 
Quarta denique aequatio nobis praebet valorem litterae 



~, _ 

-(1 g)i 



qui valor sponte positivus et unitate maior est; quare -2/<0 7 uti oporfcet. 1 ) 

1) Editio princeps: Quarta denique aequatio nobis jpraebct valorem litterae 

4,eim 2i(l e) 2 e 



a* 

8 

guare ut E prodeat negatimm, ojportet esse ( > 1 sive 

4:Siwi 2^(1 s) 25 > ^(gm + *&) 
ipsius em + iJc substitute 

(4csm 3i)(4gfm 2i(l g) 2g) > 4gm(gim i(l g) 
?a# necesse est sit 



gponfa cvewft, cwm certo sit i < g?n, Oorrexit E, Oh. 



562563] DE TELESCOPES CATADIOPTBICIS SPECULO OONVEXO HTSTRTTCTIS 175 
Tandem pro loco oculi habebimus 

ft = iu 2 (simi(L s) E) 

~ Mm ~ (4f-3i) U 
sive 



Superest porro, ut diiudicemus/ an pro t unitas accipi queat/ quod 
licebit, si fuerit 



seu 



Contra vero accipi debet t = ~-^~, quo casu campus in eadem ratione dimi- 
nuetur, in qua t ab unitate deficit. Quod autem ad quantitatem p attinet, 
ea ex aequatione nota definiri debet speculorum ratione habita, utrum sint 
sphaerica an parabolica. 

COROLLARIUM 1 

62. Quia lens in D, quam minimo foraminulo pertundi sufficit, a 
lente C distat intervallo 



radii autem peregrini in lentem C incidentes post earn colliguntur ad distan- 
tiam r 8 / -jp ? ut hi radii excludantur, necesse est, ut hae duae distantiae 
a se invicem discrepent, seu notabilis differentia esse debet inter has quanti- 
tates C7(l + -J") et (, hoc est inter 1 + y et 1 seu inter - et (. 
Est vero 

1 = _^!(ii?lZLl*) __ t Cf = ( 
k 7m(8i* 4i(l )!:) 3 

quare, cum. ratio inter has quantitates debeat esse admodum inaequalis, 
haec fractio; 



^_ 
w(Sr 

plurimum ab unitate discrepare debet; at differentia inter numeratorem et 
denominatorem satis est uaagna, ut aequalitas non sit metuenda. 



176 LIBRI SEOUNDI APPENDIX CAPUT IV 63-64 [563-565 



COB.OLLAKIUM 2 

63. Quodsi autem sumamus i = 2, fractio ilia ab unitate diversa 
evadet = Q ^ sm + * ?L 9 quae utique satis ab unitate discrepat, ut transitus 
radiorum peregrinorum neutiquam sit metuendus. Campi autem ratio maxime 
exigit, ut ipsi i tarn parvum valorem tribuamus, quam circumstantiae per- 
mittunt. Ceterum multo magis ille transitus u evitabitur, si capiatur i < 2. 

EXBMPLUM 1 
Pro multiplicatione w = 50 

i i * ... 

64. Ponamus Me $ = ~~ , = , et quia haec multiplicatio postulat 

#==ldig., erit 2/ = ~dig. Deinde statuamus ^ = 3; erit 

(i + 8 )(i 1) = 6,4, 3i 2 4i(l e) 4^ = 16,6, em = 10, 4=sm 3i = 31, 



JL^ \/ <Vx 

7 

166 



1,78s 1 ), [k = 0,595], em + iJc 15,355, 
= 0,6175, C 0,3817, @ = 2,4921, J5 1,6702, 
uncle elementa primitiva sequenti modo definientur ponendo 6 loco D, ut 



= 0,1526^, 



= 0,0855 dp?} e = 0,0229 0j, 
= _ 0,0382 ^i?, 8 ) /== 0,0764 ^j3 ; 



1 fifi 

1) Editio princeps: Jc Ob falsum valorem ^ et inaccuratam formulam pro @ (vide 
notam pag. 174) omnes numeri a k et @ dependentes in 6472 inacourati evadunt; quia 
autexa parvi naomenti esse videtur illos numeros accuratius induci, eorum emendatio hie omittitur, 

E. Oh. 

2) Hac in paragrapho littera $ duos differentes valores habet, alterum $ ~* , altarum 
S = ^D, i. e. distantia determinatrix posterior secundae lentis SS; similiter littera s denotatur 
modo 5 = ~T, modo distantia determinatrix posterior $***eE tertiae lentis TT+ E. Oh, 



565-566] DE TELESCOPIIS CATADIOPTRICIS SPECULO CONVEXO INSTRUCTIS 177 

ex quibus intervalla colliguntur 

AB = SC= 0,8 ;p, CD = 0,2381 #, J)E= 0,1084 ^jp, EF= 0,03S2tf^, 

sicque tubus foramini speculi annectendus erit circiter ^yjf?. 
Distantiae vero focales erunt 

q = 35& = 0,24 j9, r = &c = 0,247^?, s = Qd = 0,0855 p, 

t=& e = 0,0571 #>, u = f= 0,0764:6 p. 
Praeterea pro hoc casu habebimus 

M ~ 2?!o * = > 0339 i ( 8?53 7323 ) 
Turn vero 

q = 0,113 1, r co 0,45 1. 

Nunc igitur videamus, an pro t sumi possit unitas nee ne? Quern in finem 
consider emus valorem 

rr = 4:dx seu 0,111 jp t 1 dig., 

unde fit t = ^ ] Q^ = y, unde apparet, si p fuerit novem digitorum vel minus, 
turn sumi posse t 1, sin autem fuerit p > 9 dig., turn sumi debet t = - , et 
campus tanto fiet minor. Circa locum oculi vero notandum est esse 



Nunc vero restat praecipua investigatio distantiae focalis p, quae ex 
mensura confusionis colligitur, 

0,125 0,0283 + 0,00131 /* (A + y ( (1 
+ 0,003 1 /u ( ^ a + - $ ) H " 2^ ( A r/ + v @ (1 - 

Circa hanc expressionem vero sequentia observemus: 

L Si speculum principale sit parabolicum, primum membrum post 
signum radicale 0,125 omitti debet; ac si etiam minus speculum esset para- 
bolicum, turn quoque secundum terminum omittere liceret Consultius autem 

Opera omnla III4 Dioptrica 23 



178 LIBEI SEGUFDI APPENDIX CAPUT IY 64-65 _ [566-568 

videtur solum primum speculum parabolicum efficere, alter! vero figuram 
sphaericam perfectam inducere; turn enim sequentia membra ita instrui sive 
litterae A, A', A" cum littera 6 ita assumi poterunt, ut ista membra a secundo, 
quod est negativum, perfecte tollantur sicque tota confusio ad nihilum redi- 
gatur. Quod si successerit, sufficiet litteram $> ex sola apertura definire, 
sumendo scilicet p = 4# vel Qx vel 7#, prouti visum fuerit. Hoc ergo casu 
ob x = 1 dig. distantia focalis p tuto minor quam 9 dig. accipi poterit. 

II Cum igitur suini possit p < 9 dig., ponere licebit t = 1 et campi 
apparentis semidiameter erit = 859 M minut. = 29 minut. Turn autem binas 
postremas lentes utrinque aeque convexas confici oportet, unde ? si lentes ex 
vitro communi, pro quo est n = 1,55, parentur, erit 



= 1,6299, 

at 

r 1 + 0,6299 (1 2 () 2 = 10,9991 . 

III. Quia adeo capere liceret jp = 4dig., ne distantia focalis ultimae 
lentis fiat nimis parva, sufficiet statuere 6 = 1 atque hinc erit ultimutn 
membrum nostrae formulae =0,00055. Pro penultimo membro erit 



(g) 0,8649 
ideoque 

@)- 10,1342 



ac propterea totum membrum =0,00047. Quocirca ambo postrema membra 
iunctim sumta dabunt ? 00102. 

IV. Pro prima autem lente erit 

y ((! ()- 0,2323, 
unde totum membrum inde natum fiet 

= 0,00123^ 0,00028. 
Pro secunda autem lente erit 






568569] DE TELESCOPIIS CATADIOPTRICIS SPECULO CONYEXO INSTRUCTS 179 

hincque totum membrum erit 

= 0,0232 A' +0,00135. 
V. His ergo inventis litteras A et A' ita deflniri oportet, ut flat 

0,0283 = 0,00123 A + 0,0232 A' + 0,00209 
sive 

0,0262 = 0,00123 A + 0,0232 A', 

ubi notandum litteras A et A' imitate minores esse non posse; statuamus ergo 
A'-=l et esse debebit 0,0030 = 0,00123 A hincque 

; = > QQ3QQ = 300 ^ o 44. 
0,00123 ~ 123 ~ ' 

Hinc igitur consequimur sequentem constrnctionem: 

TELESCOPIUM CATADIOPTRICUM PEO MULTIPLICATIONE m = 50 
65. Ex iis, quae modo evolvimus, obtinemus sequentes determinationes: 

L Pro speculo principal!, quod exactissime secundum figuram paraboli- 
cam elaborari debet, distantia focalis accipi posset p == 4 dig. Interim tamen 
litteram $ quasi indeterminatam in calculo retineamus. 

Semidiameter aperturae huius speculi x == 1 dig. et semidiameter fora- 
minis yM^ojfiss dig. 

II. Ante hoc speculum ad intervallum ==0,8jp constituatur speculum se- 
cundum QBQ, pro quo debet esse distantia focalis # = 0,24j?, ita ut hoc 
speculum debeat esse convexum et ad figuram sphaericani exacte elabo- 
ratum. Kius aperturae semidiameter = 4 dig. 



III. Post hoc speculum in ipso foramine speculi maioris ad distantiam 
**** $0,8# constituatur lens prima ex v 
cuius distantia focalis sit r 0,247 j?, capiendo 



$0,8# constituatur lens prima ex vitro communi w*==l,55 paranda, 



A 
. u j 

t <^-cr->i?-l 

radium faciei < 

posterioris - 

ftr , 

23* 



180 LIBEI SECUNDI APPENDIX CAPUT IY 6566 [569571 

Semidiameter aperturae = ~ dig. ut foraminis et intervallum usque ad 

lentem secundam 

= 0,2381 jp= CD. 

IV, Pro secunda lente SDS, cuius distantia focalis s = 0,0427 p, ob 
3) = -i- et X = 1 capiatur 



radius faciei < 



anterioris = j = Q = 0,0469 7 p 

posterioris = ~ = 09090 = Q'^697^. 

Eius aperturae semidiameter 

: 0,037 dig. 



PQE 26,775 

et interyallum ad tertiam lentem 



V. Pro tertia lente, cuius distantia focalis t = 0,0571 jp, capiatur 

radius utriusque faciei = 0,0628 jp. 

Eius aperturae semidiameter ===== ~* # = 0,0142$ et intervallum ad qnartam 
lentem = 0,0382 p. 

VI. Pro quarta lente, cuius distantia focalis u = 0,0764 p, capiatur 

radius utriusque faciei = 0,0840 p. 

Eius aperturae semidiameter == * u 0,0191j> et intervallum ad oculum 
= 0,58^ = 0,0443^). 

VII. Tubi ergo anterioris ambo specula continentis longitudo aliquanto 
maior est quam 0,8^9. Tubi vero posterioris lentes continentis longitudo 
erit 0,4292 jp sicque totius instrumenti longitudo erit circiter 1,4292$), 
ita ut sumto p 5 dig. haec longitudo futura sit 7 dig, 



571572] DE TELESCOPES CATADIOPTEICIS SPEOULO CONVEXO INSTRUCTIS 181 

VIII. Campi autem apparentis semidianieter iam supra indicata est 
= 29 minut, quae pro multiplicatione m = 50 satis est notabilis. 

IX. Diaphragmatis sive septis in locis imaginum realium collocandis hie 
plane non erit opus, cum secunda lens tarn exiguam habeat aperturam, quae 
radios peregrinos omnes excludat. Interim tamen, si in loco primae imaginis 
realis, quae post primam lentem cadit, ad interyallum jr = ? 1526^> collocetur 
diaphragma, eius foraminis semidiameter sumi debet = 0,127^; hoc vero dia- 
phragmate vix erit opus, cum radiorum peregrinorum in lentem primam 
incidentium imago cadat post hanc lentem ad distantiam r = 0,247 p, dum 
ea radiorum propriorum cadit ad distantiam y = 0,1526 p, quod discrimen 
satis est notabile. 

X. Si quis metuat, ne a tarn exiguo speculo, cuius semidiameter est 
= 1 dig. quodque adeo foramine est pertusum, nimis exigua luminis copia ad 
oculum transmittatur, is tantum mensuram digitorum pro lubitu augeat; nihil 
enim impedit, quominus mensura digiti adeo duplicetur. 'Hoc enim modo 
claritas ad lubitum augeri poterit neque tamen instrument! longitude, quae 
per se est parva, ob hanc causam enormis evadet. 



BXEMPLUM 2 
Pro multiplicatione m= 100 

66. Statuamus hie $= r et -*-, ut sit m = 20. Turn vero su- 

4 5 7 

mamus i * 4, quo tubus brevior evadat, atque habebimus 

P- 1 = 5, (? - * - 4, JB - - ft = - J-| - - 0,63235 

DO 

ob 

O 

porro 
Unde fit 



20, PQR 12,647, PQRS^200 et 

Beliquae vero Htterae reperientur 



182 LIBBI SECUNDI APPENDIX CAPUT IV 66 ' [572-574 



J3 = - = -5,333, 

17.91 3^7 

( = i-L-li = 0,93211 (9,9694694) , C = ^ = 0,4824 (9,6834398) 

OOG * 4:U 



et 



= 3 ' 4755 (O' 5410119 ) 1 )' % = - - - U039 (0,1473490) 



unde colligimus 



log. B (E = 0,6964410 , log. J? (7 = 0,9514233 , 
log. S C = 0,4104114, log. BGE= 0,5577604 (-) . 



His praemissis elementa nostra erunt 



b = -^^ ~ 
l,0666jp, c = 0,2666^, 

= 0,1286jp, d 0,20344.p, 

= 0,20344 ^j>, e = 0,01286 tfj?, 

= 0,01806 dp, f= 0,03612 tfjp, 



unde statina obtinemus intervalla 



= 0,3320^, 
DE = 0,2163 dp , EF = 0,01806 dp . 

Distantiae vero focales ita se habebunt: 

2 = S$6 = _ 0,246 j>, r = ( c = 0,2485 jp, 
5 = 2)^ = 0,2034^-^, * (e- 0,044700, w / 1 0,036100. 

Praeterea vero erit w = 0,3t== r, unde aequatio 'rr 4da; abit in hanc 



1) Vide notam 1 p. 176. E. Oh. 



574-575] DE TELESCOPIES OATADIOPTEICIS SPECULO CONVEXO INSTOUCTIS 183 

0,07455 tp = x; quare, si sumatur x = 2 dig., hinc fiet t == Q7455 - Dummodo 
igitur fuerit p < 26 dig., capere licebit t = 1 binasque ultimas lentes utrinque 
aeque convexas fieri oportet. Verum si etiam Me liceat totam confusionem 
ad niMlum redigere, ob % = 2 dig. sumi adeo posset jo === 8 dig., etiamsi praestet 
ipsi p maioreni valorem tribuere; unde patet tuto assumi posse = 1. 

r*A 

Praeterea yero pro campo apparente habebitur Jf=^-^t; quare, si capi 
poterit t = l, semidiameter campi apparentis erit 

z- 859-34 



et pro loco oculi habebimus 

= 0,563^ = 0,02037^. 

Denique ut tota confusio evanescat, primum speculum perfecte parabo- 
licum confici necesse est atque turn esse debebit 



ubi ut ante, si refractio vitri sit n = 1,55, erit 

A'" 1,6299 

et 

A" = 1 + 0,6299 (1 2@) 2 23,308, 

unde aequatio nostra praebebit 

0,02864 0,000382 A 0,00016 

+ 0,034843 A' +0,00200 

- 0,00001 

+ 0,00015 

+ 0,00032 

sive 

0,02634 0,000382 A + 0,03484 A', 

quae aequalitas, quia A et A' imitate minores esse nequeunt, subsistere non 



184 LIBEI SEOCNDI APPENDIX OAPUT IV 66-67 [575-576 

potest. Quamobrem coacti sunms ipsi 6 maiorem valorem tribuere; sit ergo 
Q = 2 et nostra aequatio fiet 

0,02809 = 0,000382 A 0,00016 

+ 0,01143 A' + 0,00075 

- 0,00001 

+ 0,00002 

+ 0,00004 

sive 

0,02744 = 0,000382 A + 0,01143 A' 1 ). 

Ne hinc valor ipsius A prodeat nimis magnus, suraamus A' = 2 eritque 
0,00458 = 0,000382 A hincmie A = ^? = 12. Sin autem sumsissemus A'= 2 -\ , 

71 * 6a& o 

obtinuissemus ^ = 332 = 2. 

Utamur ergo his postremis valoribus A = 2 et A' = 2y existente = 2 
hincque = y ; unde colligitur sequens 



CON8TEUCTIO TELESCOPII CATADIOPTEICI PEG w 100 
67. Haec ergo constructio constabit sequentibus determinationibus: 

I. Primum speculum perfecte secundum jSguram parabolicam elaboretur, 
cuius distantia focalis sit =jp, quam ad minimum 8 dig. statui oportet; eius 
aperturae semidiameter = % = 2 dig., foraminis autem semidiameter J dig. 
et distantia a speculo minore AB ==0 7 8jp. 

II. Minus speculum figuram sphaericam. habeto, cuius distantia focalis 
sit # = 0,246$ et semidiameter aperturae = y dig. indeque distantia ad 
primam lentem 



1) Huius membri accuratus valor est 0,014G99^, aequatio autem 
0,02744 0,000382 1 + 0,0146991' 



existente A /s 2 praebet negativum valorem quantitatis X; 6 debet igitur surai maior, ex, gr. 
0-3. E. Oh. 



576-577] PE TELESCOPIIS OATADIOPTBICIS SPECULO CONVEXO INSTEUCTIS 185 
III. Pro prima lente, cuius distantia focalis r = 3 2485jp, numeri vero 

E = 0,9321 et Ji = 2, 
capiatur 

anterioris = = = o 1205p 

(fi p)it'^F (^ 1) 2j9666 0,9051 7 

radius faciei { 

posterioris = = = 1 0210 # 

? _ , /r/- .N-T- ^//^_ 1 > ) -1 ; 1486 + 0,9061 ' ^' 



Semidiameter aperturae foramini aequalis =y dig. et distantia ad len- 
tem secundam CD = 0,3320^ . 

IV. Pro secunda lente, cuius distantia focalis s = 0,1356 p et numeri 



capiatur 

radius faciei< 



3) 4 et ^'2,3333, 

o 



O 

anterioris == -- ---- - --- = - = 0,0791 v 

.-(.-rt .y (l '-i) 



0* 



Eius aperturae semidiameter = -~^ == 0,16 dig. et distantia a lente tertia 
DE = 0,4326 p. 

V, Pro lente tertia, cuius distantia focalis t 0,0894 jp, capiatur 
radius utriusque faciei = 0,0983 p. 

Eius aperturae semidiameter == ^ t = 0,0224jp et distantia ad lentem 
quartam 



VI. Pro lente quarta, cuius distantia focalis u 0,0722 p, capiatur 

radius utriusque faciei 0,0794 p. 

Eius aperturae semidiameter ^ u 0,0181 jp et distantia oculi 

0,563 w 0,0204jp. 

LUONHARBT EuLBEi Opera <mmia HE 4 Dioptrica 24 



186 LIBEI SECTJNDI APPENDIX CAPUT IV 67-68 [577-579 

VII. Longitudo ergo tiibi prioris aliquanto maior erit quam 0,8^ , tubi 
autem affix! longitude = 0,8211 p hincque totius instrumenti circiter = 



VIII. Campi apparentis semidiameter =15 min., et quae supra observa- 
vimus, praeterea etiam hie locum habent. 

EXEMPLUM 3 
Pro multiplicatione w = 150 

68. Maneant ut ante 3=*~ et = y, ut sit em = 30; sumatur autem 
i = 5, et ut claritate sufficiente fruamur, sit x === 3 dig., ut sit y = -|- dig., et 
hinc colligimus 

P = 5, ^ = 5 7 JB = A = 0,6652, 

S= # 18,040 et T-|; 

^ 

hinc 

P<? = 25, PQR = 16,63, P<?^^=300 et PQKST=15Q; 

inde vero reliquae litterae reperientur 

$B == A = 1,25, B = - 5, 



e = - ^ = - 0,9986 (9,9994001) (7 - ^g|| - - 0,49966 (9,6986742) , 



r+0' =d> 

-bo i ! 9 n = 3 > 5504 (0,5502750) l ), J? |4s ?/ 1,3921 (0,1436667) 

oo,o^u ^,5504 ^ ^" 

unde colligimus 

log B ( - 0,6983701 , log J5 6 y - 0,3976442, 
log J5 a - 0,9479192, log 5 C y J - 0,5413109 ( ) . 

His praemissis elementa nostra erunt 



1) Vide notam 1 p. 176. E. Oh. 



579580] DE TELESCOPIIS CATADIOPTEICIS SPECFLO CONYEXO INSTBTTCTIS 187 



, & = 0,2j>, /3=jp, c = 0,2j>, ^ = 0,099932^), 
d = 0,15023 p , c? = 0,15023 dp, e = 0,00833 dp , 

, f= 



unde colliginras intervalla 

^.g = o,8_p = # <7, CD 

DE = 0,15856 0.p, ^J^= 0,01159 0j>. 

Distantiae vero focales ita se habebunt: 

q == 0,25 j , r =- 0,19972^ , s = 0,15023 ^-^ p , 
t = 0,02956 6p et = 0,02318 dp . 

Porro est co = -i- 1 = r, unde aequatio rr = 4^0? dabit 

, 12 60 



Q 

dum ergo ^) sit < 60, tuto sumere licebit t = l, et quia turn erit -^ = = 166630 ^ 
hinc semidiameter campi 

<$ = 1Q A min. 

o 

et pro loco oculi 

= 0,555^ = 0,01285^2?. 

Denique si primum speculum conficiatur parabolicum, omnis confusio 
tolletur huic aequationi satisfaciendo 

0,0288 = 0,00030144 A 0,00013994 + 0,0036177 ^ 1 *^ > 

+ 0,00084146 i+? + - 
sive 

0,0289399 0,00030144 A + 0,0036177 - - A' + 0,00084146 - + 

3 

Hie patet statim sumi BOB posse 0-*l; tentetur ergo positio d y eritque 

0,0289399 0,00030144 A + 0,0167487 X + 0,00093495 + 0,0001013 
sive 

0,0279037 - 0,00030144 A + 0,0167487 A'; 

24* 



188 LEBRI SECTJNDI APPENDIX CAPUT IV 68-69 _ [580-582 

quare, si Me statuatur A'=l, fiet 

_ 0,01115500 = 11155 = 37 
"~ 0,00030144 ~ 301 ~~ ' 

sin autem sumamus A = 1 , fiet 

, 0,0276023 ^ 276023 _ -| g d g 

"" 0,0167487 167487 

Sin autem A statueretur 2 vel 3, valor ipsius A' vix inde mutaretur, unde 
pro usu practico praestare videtur, si ipsi A' certus quidam valor tribuatur; 
quia enim turn ob levissimos errores A multum variare potest, plures lentes 
pro variis valoribus A parari poterunt, ex quibus aptissimam experientia de- 

Q 

clarabit. Statuamus ergo A' = -~ ac ^eperietur 



~ 0,0003014 ~ 3014 ~ 7 

nnde in praxi ternae lentes parari poterunt ex valoribus A==8 ? ==9, =10. 

Posito ergo # = y, ut sit 2) = !-, sumatur A' = -|- et A = 9, unde colli- 
gitur sequens 

CONSTRUCTIO TELESCOPE CATADIOPTEIOI PRO m 150 
69. Haec constructio sequentibus determinationibus continetur; 

I. Speculum obiectivum accuratissime secundum figuram parabolicam ela- 
boretur, cuius distantia focalis minor non sit duodecim digitis^ quam hie 
littera p designemus. Eius aperturae semidiameter vero sit % = 3 dig,, fora- 
minis vero semidiameter ^ dig. et distantia ad speculum minus AI$*^Q$p. 

II. Speculum minus exactissime ad figuram sphaericam elaboretur, cuius 
distantia focalis sit j = 0,25 p, quippe quod est convexum, Eius aperturae 

Q 

semidiameter ~- dig. et distantia ad primam lentem BC ? 8$* 

III. Pro prima lente, cuius distantia focalis est r 0,19972$ numerique 
( , 0,9986 et A = 9, capiatur 



582583] DE TELESCOPIIS CATADIOPTEICIS SPECULO CO^TEXO INSTRUCTIS 189 



anterioris = * 7 - = nK ^ , = 0,39745 p 

5 g; (<y ? ) -j- T ys 0,5025 ' ^ 

posterioris = , ^ r N ^ , /g = ~^ = 0,lSiSlp. 



radius faeiei< 



Sin autem sumeretur A = 10, prodiret 

anterioris = /" = 0,57589 p 
radius faciei ' 

Y 

posterioris = = 0,13574p, 

JL tt J. O 

unde concludimus in genere sumi posse 

p . f anterioris = (0,39745 + 0,1 7844 co)p 
radium faciei{ ~ 

I posterioris = (0,15181 + ? 01607w)j?, 



ubi co per experierttiam definiri conveniet. 

Huius antem lentis semidia 
lentem secnndam CD = 0,25016 p. 



n 
Huius autem lentis semidiameter aperturae = -^ dig. et distantia ad 



IV. Pro secunda lente, cuius distantia focalis s = 0,090138 p et numeri 



o 



et A'= 1,5, capiatur 



. 
radius iaciei 



anterioris = -------- --------- ; = = 0,71880 p 

ty-5D(tf- P )r 1/0,5 0,1254 

posterioris --- - -- -. = - -- = 0,05325 jp 1 ). 

p -I- 2) (tf 9) T T ]/0,5 1,69281 ' 



Eius aperturae semidiameter = p^-g = ^ dig. = 0,18 dig. et distantia ad 
lentem tertiam D^7= 0,23784^. 



V. Pro tertia lente, cuius distantia focalis tf = 0,04434 p, sumatur 
radius faciei utriusque =0, 048774 p. 

Eius aperturae semidiameter - = 0,01108 p et distantia ad lentem 
quartam JE7JP* 0,01738^. 



1) Editio prinoeps: oSs"""" 2,8864^. Oorrexit E. Ch. 



190 LIBRI SECUNDI APPENDIX CAPUT IV 69-71 [583-584 

VI. Pro lente quarta, cuius distantia focalis u== 0,03477 p, capiatur 

radius utriusque faciei = 0,03824|>. 

Ems aperturae semidiameter === ~ u = 0,00869 p et distantia ad oculum 
= 0,555 w = 0,01929#. 

VII. Longitude ergo tubi prioris specula continentis aliquantum supe- 
rabit 0,8 p, posterioris vero erit = 0,52467jp, ita ut totius instrumenti longi- 
tude sit circiter = 1,32467^. Turn vero semidiameter cainpi apparentis erit 



10 minut. 

o 



SCHOLION 



70. Eemedium in subsidium praxeos, quod hie pro prima lente attu- 
limus ? etiam facile ad exempla praecedentia accommodative Ponamus enim 
pro hac lente inventos esse radios facierum f et g et nunc quaestio eo 
redit, quomodo hos radios variari oporteat, ut distantia focalis maneat 
eadem. Ponatur prior ==/ 7 +a;, posterior == g y et necesse est, ut fiat 



f + ff f + ff + x-y' 
unde sumto x pro lubitu sive negative sive positive capi debebit 



quare, cum x et y sint satis parva, erit y = ff .f sive 



ita ut posito # = /" 2 co futurum sit y^(fw. Pro lente ergo prima, 
cuius radii supra inventi sint f et g, alias successive substitui conveniet, 
quarum radii sint ff*w et g + g*to, Deinde hie etiam notasse iuvabit 
pro lente prima minorem aperturam sufficere posse, quam hie assigna- 
vimus foramini aequalem. Sufficiet enim apertura, cuius semidiameter 
- r r = jg r = 0,01248jp ; unde, si#=12 dig., ista semidiameter foret 0,1497 dig. 



y dig. circiter; ac si adeo esset #20dig., foret ista semidiameter 



584586] DE TELESCOPIIS CATADIOPTRICIS SPEOULO CONVEXO INSTBUCTIS 191 

ex quo concludimus sufficere, si huic lenti apertura tribuatur, cuius semidia- 
meter sit ~ dig.; quo pacto ingentem copiam radiorum peregrinorum ab in- 
troitu arcebimus sicque reliqui eo felicius a secunda lente excludentur, etsi 
eius apertura non tarn est exigua ut in praecedentibus exemplis, cuius rei 
ratio est, quod litteram i in multo minore ratione auximus quam multipli- 
cationem m\ quam ob causam in sequente exemplo litterae i multo maiorem 
valorem tribuemus, quia inde nihil aliud est metuendum nisi exigua dimi- 
nutio campi. 

EXEMPLUM 4 
Pro multiplication m = 200 

71. Manentibus litteris d = ~ et e = ~- capiatur i = 10, et ut suffi- 
ciens claritatis gradus obtineatur, sumamus ^ = 5dig., ut sit semidiameter 
foraminis = dx = ^ dig. et em = 40. Hinc ergo colliguntur valores 

p=5, Q 1Q, 2Z- ft = 0,8221, 
^ = ^= 9,7312 et T 4- 

6 

hincque 

41,105, PQRS=m et 



reliquae vero litterae ita determinabuntur : 

$ -J?- 1,2903, J? = -f = -4,4444, 

( = 1,0153 (0,0066052) ( ), C = 0,50381 (9,7022655) ( ), 

= 3,2841 (0,5164093) J ), E = 1,4377 (0,1576942) , 

un.de colliguntur sequences logarithmi: 

log. B (S 0,6544183 , log. BG= 0,3500786, 
log. BC& = 0,8664879, log. BOB 0,5077728 (-) ; 

hinc elementa sequenti modo definieatur: 



1) Tide notam 1 p. 176. B. Oh. 



192 



LIBEI SECUNDI APPENDIX CAPUT IV 71-72 



[586-587 



c = 0,0889 p , 
d = 0,054473 p, 
e = 0,005598 # , 

Gi /= 0,016096 6p, 

ex quibus colliguntur intervalla 

A B = 0,8j3 = B C, 
DE= 0,060071 ^j), 

distantiae vero focales 

q = _ 0,2581^5 , 



0,8889j), 
0,04478 , 
0,054473 0p, 
0,008048 dp 



CLD = 0,09925j?) , 
= 0,008048 dp, 



s = 0,05447 Y- 



r = 0,09025j) , 
< = 0,01838 dp 



et 



= 0,016096 dj). 



1 fiO 



Porro est o> = r = ~g-^! "^nde aequatio xr = 4:dx dabit t ===== - - dig., undo 
patet, dummodo $ minor sit quam 160 dig. ? tuto sumi posse t==l; at si 
liceat confusionera ad nihilum redigere, adeo sumere licebit p = 20 dig.; turn 
autem fiet M = ^ , unde semidiameter campi erit -^ min. === 7 6 min. Prae- 
terea yero pro loco oculi habebitur = 0,6^. 

Tantum igitur superest, ut confusionem ad nihilum redigamus, quod 
fiet hac aequatione: 



0,029074 = 0,00020418 A ? 0000972 + 0,0020329 



+ 0,00047286 - 






+ .- + O.OOW0116 



sve 



0,029171 = 0,00020418 A + 0,0020329 ^^ A' 
+ 0,0004729^'+^-^. 

0/ a 

ubi iam nihil obstat, quominus statuatur 6 1 ? hincque habebimus 

0,028113 0,0002042 A + 0,016264 /. 



587589] DE TELESCOPIIS CATADIOPTEICIS SPECULO CONVEXO INSTEUCTIS 193 

Ne igitur Mnc valor Ipsius A prodeat nimis magnus, Commode statui poterit 
^'=ly atque reperietur A = -^- = 18 proxime. Commodius vero erit su- 
mere A'=l-|-, unde flet A = ^ = 5. Eetineamus igitur valores 6 = 1, 
A'=ly, ut fiat A = 5, cui adiungere poterimus valores finitimos A = 4 et 
A = 6, quo praxi melius consulatur; atque hinc colligetur sequens 

CONSTEUCTIO TELESCOPII CATADIOPTEICI 
PEG MULTIPLICATIONS m = 



72. Statuamus hie ut hactenus distantiam focalem speculi principalis 
= jp, quam ; ut vidimus, minorem quam 20 dig. assuini non convenit. Prae- 
stabit autem earn haud mediocriter raaiorem assumere* 

I. Speculum igitur primum adcuratissime forma parabolica elaboretur, 
cuius distantia focalis sit =j?; eius aperturae semidiameter a? = 5 dig. et 
semidiameter foraminis y = \~ dig. Distantia vero ad speculum minus 
AB = 0,8jp. 

II. Pro secundo speculo minore convexo eius figura accuratissime sphae- 
rice elaboretur , ut sit eius distantia focalis = 0,2581 p. Eius aperturae 
semidiameter = 1 ~ dig. et distantia ad primam lentem in foramine 



III. Pro lente prima, cuius distantia focalis r = 0,09025# et numeri 
= 1,0153 et A ===== 5, capiatur 



anterioris ===== f r 



,. , . . ._.,,_ 8,0861 =F 1,8108 

radius facieiJ 

posterioris 



Mnc 

. f anterioris = 0,0707340 
radius faciei{ 

I posterioris =0,16639j). 

Sin autem sumeremus A = 4, prodiret 

anterioris . 



radius faciei< 

posterioris ^TofigHXTTfiT? = 0,30113 jp. 

LIOONHAEDI EULERI Opera onmia III 4 Dioptrica 26 



194 LIBRI SECUNDI APPENDIX CAPTJT IV 72 [589-590 



At si sumeretur A = 6 , foret 
radius faciei 



anterioris 39 -0,08496^ 



posterioris -_ 1>8680 r a>0289 -0,11940i>. 



Ex quibus casibus deducimus in subsidium praxeos sequentes conclu- 
siones: 

Prior: Si A = 5 co denotante CD fractionem arbitrariam, erit 

. ^ i anterioris = (0,07073 0,01129 a?) jp 
I posterioris (0,16639 -f 0,13474 co)jp. 

Posterior: Sin autem A = 5 + co, erit 

... . .(anterioris = (0,07073 + 0,01423 o>W 
radius faciei , J 

I posterioris (0,16639 0,04699 a>}p. 

Eius aperturae semidiameter = 1 -i- dig. et distantia ad lentem secundam 
CD = 0,09925^. 

IV. Pro secunda lente, cuius distantia focalis est s = 0,02723 jp et numeri 
S 1 et A' =1,6667, capiatur 

anterioris = S T = _ ?. 

radiu, facieij *<+<.)T,Xo,6667 o, 9 o 9 OTo,,39o 

posterioris = 



0,9090 0,7390 
seu 

..(anterioris =0,01652:2? 
radius faciei ^ 

I posterioris = 0,16018 jp. 

Eius aperturae semidiameter ^ = i dig. et distantia a lente tertia 
jD^= 0,06007 jp. 

Y. Pro lente tertia, cuius distantia focalis t 0,01838j), capiatur 
radius faciei utriusque =0,02022#. 

Eius aperturae semidiameter J * 0,00459^> et distantia a lente quarta 
i7 0,007798 jp. 



590592] DE TELESCOPIES CATADIOPTRECIS SPECULO CONVEXO INSTRUCTIS 195 

VI. Pro lente quarta, cuius distantia focalis u = 0,015596jp , capiatur 
radius faciei utriusque = 0,01715^?. 

Eius aperturae semidiameter = u = 0,0039# et distantia ad oculum 
= 0,6 u = 0,00936 p. 

VH. Hinc ergo longitudo tubi prioris erit quasi =jp, quia maior esse 
debet quam yj? ? posterioris vero lentes continentis = 0,17648 jp, ita nt tota 
longitudo futura sit circiter = 1,17648^. Campi vero apparentis semidiameter 
erit = 7 minut. 



6 



VIII. Si pro lente prima tantum ad claritatem spectemus, eius aperturae 
semidiameter deberet esse = ^ = dig., sin autem ad campum spectemus, 
haec semidiameter esse debet 



quae, si adeo esset p = 40 dig., fieret 

0,3384 dig. - -i- dig. 

Quare, cum semidiameter foraminis = 1 -j dig., tuto oram huius lentis obtegere 
licebit, donee eius aperturae semidiameter fiat = y dig., quo pacto radii pere- 
grini iam maximam partem excludentur. 

IX. Cum igitur ne opus quidem sit tantam magnitudinem primae lenti 
tribuere, ipsum foramen maioris speculi multo minus statuere licebit quam 
1-i- dig. hocque modo, dum ipsum hoc speculum maiorem superficiem adi- 
piscetur, etiam claritatis gradus augebitur, neque vero ideo necesse erit et 
minoris speculi magnitudinem imminuere, cum sufficiens radiorum copia 
in speculum cadere possit. Eadii peregrini colliguntur post lentem C in 
distantia r 0,09025 jp, radii vero proprii in distantia 7 = 0,0448#. 

X, Cum deinde prima imago realis post lentem primam cadat ad distan- 
tiam y 0,0448^, radii autem peregrini in hanc lentem incidentes suam ima- 
ginem forment ad distantiam r == 0,09025 j?, quae cum ilia plus quam duplo 
sit maior, neutiquam metuendum erit, ne radii peregrini ad oculum usque 
propagentur. 

25* 



DIOPTRICAE 

PARS TERTIA, 

CONTINENS 

LIBRVM TERTIVM, 

CONSTRVCTIONE 

MICROSCOPIORVM 

TAM 

S I MPLICI VM, 

QVAM 

COMPOSITORVM. 



A V C T O R E 

LEONHARDO EVLERO. 

ACAD. SCIENT. BORVSSIAE DIRE CT ORE VI CENNALI ET SOCIO 
ACAD. PETROP. PARISIN. ET LOND. 



PETROPOLI, 

Impends Academiae Imperialis Scientiarum. 

I77I- 



INDEX OAPITUM 
IN TOMO HI CONTENTOEUM 

INTRODUCTIO 

DE MICEOSCOPIIS IN GENERE 

UBI TRADUNTUR PRAECEPTA GENEEALIA P ag. 

CIECA CONSTEUCTIONEM MIOEOSCOPIOEUM 201 

SEGTIO PRIMA 
DE MICROSCOPIIS SIMPLICIBUS 

Caput I. De Microscopiis simplicibus unica lente constantibus 225 

Caput II. De Microscopiis simplicibus duabus pluribusve lentibus con- 

vexis inter se proxime iunctis constantibus 241 

Caput III. De Microscopiis simplicibus ab omni confusions immunibus . . 266 

SECTIO SEOUNDA 

DE MICEOSCOPIIS COMPOSITIS 
IN QTJIBUS NTJLLA IMAGO BEALIS OCCUEEIT 281 

SECTIO TERTIA 

DE MICROSCOPES COMPOSITIS 

IN QTJIBTJS UNICA IMAGO EEALIS OCCUEEIT 

QUO OMNIA MICEOSCOPIA HUCUSQUE USITATA SUNT EEFEEENDA 

Caput I De Microscopiis simplicioribus huius generis 323 



200 INDEX CAPITTJM IN TOMO HI CONTENTOEUM 



pag, 

Caput II. De ulterior! horum Microscopiorum perfectione, dum iis maior 
claritatis gradus plures lentes loco obiectivae substituendo 

comparatur 343 

Oaput III. De summa horum Microscopiorum perfectione, dum ope 
lentium ex alia vitri specie confectarum omnis confusio ad 

nihilum redigitur 390 

Caput IV. De ulterior! amplificatione campi huic Microscopiorum generi 

conciliandi 415 



SECTIO QUAETA 

DE MICBOSCOPIIS COMPOSITIS 
IN QUIBU8 DUAE IMAGINES REALES OCCURRUNT 

Caput I. De Microscopiis simplicioribus huius generis 433 

Caput II De Microscopiis huius generis magis compositis 464 

Caput III De Microscopiorum huius generis summa perfectione, dum ea 

ab omni confusione liberantur 516 



INTEODUCTIO 

DE MICEOSCOPIIS IN GKENERE 

VEL PEAECEPTA GENERALIA 

CIRCA CONSTRUCTIONEM MICROSCOPIORUM 

DEFINITIO 

1. Microscopium est instrumentum diqptricum, per quod obiecta propinqua 
multo maiora quam nudis oculis dare et distincte conspicere licet quodque una 
pluribusve lentibus super eodem axe constitutis constare solet. 

COEOLLAEIUM 1 

2. Quod ad magnitudinem visam attinet, constat quidem idem obiectum, 
quo propius oculo admoveatur, sub eo maiore angulo apparere, verum si nimis 
fuerit propinquura, nou sine maxima confusione conspici posse; quare ut ob- 
iectum distincte appareat, per microscopium ita debet repraesentari, quasi in 
iusta ab oculo distantia existeret. Hinc, quia oculus bene constitutus in di- 
stantia maxima distincte cernere solet, iustam illam distantiam, quam in 
primo libro posuimus = I, perinde ac in libro de telescopiis infinitam 
assumemus. 

COROLLARIUM 2 

3. Sive igitur microscopium una sive pluribus lentibus constet, eae ita 
dispositae esse debent, ut radii ex quolibet obiecti puncto per omnes lentes 
transmissi inter se reddantur parallel! ideoque pro lente oculari distantia 
determinatrix posterior fiat infinita; ex quo prior ipsi huius lentis distantiae 
focali erit aequalis, 

LEONHAKDI EUL^EI Opera omnia IE 4, Dioptrioa 26 



202 LEBKE TEETH INTEODUCTIO 4-7 [4-6 

COROLLAKIUM 3 

4. Multiplicatio autem, quam hie etiam litter a m indicabimus, ita in- 
telligi debet, ut obiectum, quod per micro scopium contemplamur, nobis sub 
angulo m vicibus maiore appareat, quam si idem obiectum ad certain distan- 
tiam = ~h remotum nudis oculis intueremur; quae distantia h vulgo octo 
digitorum assumi solet. 

COROLLAEIUM 4 

5. Turn vero etiam lentes ita dispositas esse oportet, ut repraesentatio 
obiecti flat satis distincta seu ut confusio certum quendam limitem non ex- 
cedat, quern in finem semidiameter confusionis supra in genere inventa infra 
certum limitem deprimi debet; praeterea vero etiam hanc repraesentationem 
a margine colorato liberari conveniet ac, si fieri potest, omnis plane confusio a 
diversa radiorum refractione oriunda tolli debebit. 



SCHOLION 

6. Quando autem insignis multiplicatio desideratur, vix ac ne vix 
quidem effici potent, ut claritas ad nostrum arbitrium determinetur, quera- 
admodum id in telescopiis est factum, sed plerumque pro maioribus inulti- 
plicationibus minore claritatis gradu content! esse debemus; cui defectui 
autem remedium adferri solet ipsum obiectum forti lumine illuininando, 
quod, quia obiecta vicina in nostra sunt potestate, sine difficultate fieri 
potest. Deinde etiam in id maxime est incumbendum, ut haec instrumenta 
perinde ac telescopia notabilem campum apparentem obtineant seu ut non 
nimis exigua portio obiecti obtutui repraesentetur; quae portio non simpli- 
citer per angulum ad lentem obiectivam formatum definiri potest, quia etiam 
minima portiuncula, si lenti obiectivae proxime admoveatur, ingentem angu- 
lum formare posset, sed vera semidiameter huius portionis visae, quam 
supra posuimus =^?, in computum duci debet; denique etiam, cum distantia 
obiecti a lente obiectiva, quam ponimus * a, ab arbitrio nostro pendeat, 
haec tractatio plurimum a praecedente discrepabit, slquidem non solum 
gradus claritatis, sed etiam campi apparentis indicium longe aliam investiga- 
tionem requirat. Quamobrem in hoc primo capite formulas generales in 
primo libro inventas ad has circumstantias accommodari necesse erit^ ante 
quam in ipsam constructionem microscopiorum inquiramus. 



67] DE MICEOSCOPHS IN G-ENERE 203 



PEOBLBMA 1 

7. Ex quotcunque lentibus microscqpium fuerit comyositum , singula elementa 
exhibere, quibus tarn lentiwn dispositio quam earum intervalla, et distantiae 
focales determinantur. 

SOLUTIO 

Distantias determinatrices singularum lentium sequent! modo conspectui 
exponamus: 



Distantiae 



obiecti a lente l ma = &, 
ab imagine l ma ad lentem 2 dam = I 
ab imagine 2 da ad lentem 3 tiam = c 
ab imagine 3 tia ad lentem 4 tam = d 



ab imag. penult, ad lent. ult. = I 



Distautiae 



a lente l ma ad imaginem l mam = a 
a lente 2 da ad imaginem 2 dam =/3 
a lente 3 tia ad imaginem 3 tiam =*y 
a lente 4 ta ad imaginem 4 tam = $ 



a lente ult. ad imag. ult. = A = 



Hie scilicet intelligendum est a singulis lentibus imagines proiici, sive 
eae sint reales sive fictae, quarum discrimen, uti iam observayimus, in eo 
est situm, ut imagines reales intra lentem, a qua formantur, et lentem se- 
quentem cadant, fictae vero extra hoc spatium. 

Deinde vero, quo commodius haec elementa inter se comparemus, litteras 
maiusculas duplicis generis introducamus: 

etc., 



T=- P - 4 i R > 4 

ubi litterarum A 9 B, C, D etc. ultima sit _L=c\s, litterarum vero P, Q, R 
etc. ultima sit = Z intervallo inter binas ultimas lentes respondens. 

His litteris introductis omnia elementa sequenti modo per primum a 
exprimentur: 

ABC , ASOD 



A AS , AEC ASOD , 

a etc. 

26* 



204 LIBEI TEETH INTEODUCTIO 711 

et litterarum I, c, d etc. ultima 

, ABO...K 
l ~+ PQR...Z' a 

et litterarum K, /3, y etc. ultima 

. ASC...L 



ex quibus intervalla lentium ita ordine repraesentantur: 

Primum a + & == Aa(l ~\, 
secundum /? + c = -- p- a(l -^-J, 
tertium + rf 



quartum d + e = --^^ - a (l J -) etc. ; 



quae cum omnia debeant esse positiva, etiam quodlibet per praecedens 
divisum quotum dare debet positivum sicque esse oportet 



-n 4 - 

8 RlTi >() ' 4 - "f"8~i 

etc. 



Quo denique distantias focales singularum lentium, quas litteris minusculis 
p, q, r, s, t etc. indicamus, concinnius exprimamus, litteras maiusculas ger- 
manicas 21, 58, S, S) etc. introducamus, ita ut sit 



hiucque vicissim 

^ ra __ ? ^"fir* (7== - g y j) aw ..., etc., 

ita ut pro ultima harum litterarum sit 

a^^A^^i K r ra f S 



8-10] DE MICROS COPES EST GENERE 205 



Ex his ergo litteris distantiae focales ita exprimentur: 

ABC 



= , = _-_. ? sSBB __. > 
ultimae autem lentis distantia focalis fiet ===== Z. 



, 

a e C '> 



COEOLLAEIUM 1 

8. Litterae ergo A, B, C, D etc. singulis lentibus, primae, secundae, 
tertiae etc., or dine respondent; at litterae P, Q, E etc. ad singula intervalla, 
primum, secundum, tertium etc., or dine referuntur; qnam ob causam numerus 
harum posteriorum litterarum imitate minor erit quam priorum. 

COEOLLAJRIUM 2 

9. Quatenus litterae P, Q, E etc. ut positivae spectantur, imagines 
erunt fictae, ita ut, si omnes istae litterae essent positivae, nulla imago 
realis in microscopio occurreret, sin autem omnes hae litterae essent nega- 
tivae, in singulis intervallis imago realis Teperiretur; unde quot fuerint ima- 
gines reales in microscopio, tot istarum litterarum valores sortientur negatives. 

COROLLABIUM 3 

10. Gum istae litterae P, Q, E etc. per bina elementa ad lentes sibi 
succedentes pertinentia determinentur, si huiusmodi littera fuerit positiva, 
binorum elementorum, ex quibus oritur, alterum erit positivum, alterum nega- 
tivum, sin autem talis littera fuerit negativa, ambo elementa, ex quibus 
oritur, erunt positiva, quippe quia omnia intervalla debent esse positiva. 



PEOBLBMA 2 

11. Ex quotcunque lentous microscopium fuerit compositum, singularum ima- 
ginum, sive sint fictae sive reales, quantitatem definire Uncque multiplicationem, 
quam instrumentum jproducit, assignare tarn pro repraesentatione erecta quam inversa. 

SOLUTIO 

Posita semidiametro obiecti, quatenus id per microscopium est conspi- 
cuum, == $ semidiametri singularum imaginum per ipsa elementa sequenti 



206 LIBBI TEETH INTRODUCTIO 11-13 [1012 

modo supra sunt expressae: 

Semidiameter imaginis primae = 2 = A z (inversa) 

QJ 

semidiameter imaginis secundae =*~-8 = ABz (erecta) 
semidiameter imaginis tertiae = ""& "^ = ^BCz (inversa) 

semidiameter imaginis quartae = < *^-~.# = ABGDz (erecta) 

etc., 

unde imaginis ultimae semidiameter erit =ABG...Lz\ quae imago erit 
erecta, si litterarum A, B, C,.,,L numerus sit par, inversa autem, si is sit 
impar; quae ultima imago, cum fiat obiectum visionis post ultimam lentem 
ad distantiam infinitam h = Ll cadens, quam oculus circa ultimam lentem 
constitutus ideoque in distantia LI contemplate, ei apparebit sub angulo 
ABC. ..-BT-y' TJt nunc hinc multiplicationem, quae sit =m, definiamus, 
istum angulum comparare debemus'cum angulo, sub quo ipsum. obiectum z 
ad distantiam = & oculo esset appariturum; qui angulus cum sit -, mani- 
festum est fore multiplicationem 



An autem haec repraesentatio futura sit erecta sive inversa, duo casus sunt 
perpendendi. 

I. Si numerus lentium ideoque etiam litterarum A, B, C } ... L fuerit impar, 
ultima imago erit inversa; quae cum post oculum ad distantiam infinitam 
cadat, earn oculus ante se in situ erecto conspiciet. Quare si in formula 
nostra pro w inventa numerus litterarum A, B> G, ____ K fuerit par, obiectum 
situ erecto cernetur, quatenus scilicet haec formula positivum valorem obtmet. 

II Sin autem numerus lentium ideoque etiam litterarum A, ft, G 9 J), < . . L 
fuerit par, facile iatelligitur contrarium locum habere debere. Quare si in 
expressione ipsius m numerus litterarum A, B, C,.,*K fuerit impar, obiectum 
situ inverso cernetur, quatenus scilicet ista expressio fuerit negativa, 

Quodsi vero in superiores formulas litteras P, Q, R etc- introducamus, 
mvenietur 



DE MICBOSCOPHS IN GENEEE 207 

semidiameter imaginis primae = a - 

$ 

semidiameter imaginis secundae = P/3 

$ 

semidiameter imaginis tertiae =PQy. 

semidiameter imaginis quartae = PQES~ 

o/ 

etc. 
semidiameter imaginis ultimae = PQE . . . Zh ; 



quae imagines omnes sunt inversae, siquidem istae formulae valores habue- 
rint positives. Quare cum hie omnis ambiguitas cesset haecque ultima 
imago ad distantiam infinitani = A post oculum cadat, oculus earn ante se 
situ erecto conspiciet sub angulo PQE. .. Z--~\ unde sequitur multipli- 
cationem fore 



pro situ erecto, si scilicet haec formula fuerit positiva; sin autem ea valorem 
habeat negativum, repraesentatio erit inversa; turn vero hoc casu ipsam litteram 
m negative capi conveniet. Facile autem intelligitur hanc posteriorem expres- 
sionem pro multiplicatione priori longe esse anteferendam, quia nulla ambi- 
guitate laborat, eaque in sequentibus perpetuo utemur. 

COEOLLARIUM 1 

12. Quodsi ergo in locis imaginum realium diaphragmata constitui con- 
veniat, ex his formulis statim intelligimus, quantum foramen iis induci opor- 
teat, postquam scilicet cognoverimus, quantam obiecti portionem, cuius semi- 
diarnetrum hie vocamus = #, instrmnentum spectandam oflferat. 

COEOLLAEITJM 2 

13. Si omnes litterae P, Q, E etc. fuerint positivae ideoque nulla plane 
imago realis occurat, tune instrumentum semper obiecta situ erecto reprae- 
sentabit; sin autem unica occurrat imago realis ideoque unica istarum litte- 



208 LIBBI TEBTII INTKODTJCTIO 1317 [1314 

rarum fuerit negativa, turn repraesentatio semper fiet situ inverse, quo casu 
ipsa littera m signo contrario in calculum introduci debebit; at si duae 
imagines reales locum habeant, repraesentatio iterum erit erecta. 

COROLLAEIUM 3 

14. Hinc adparet, quanti momenti sit introductio harum litteraram P, 
Q, E, S etc., cum eae tam perspicue distinctionem inter imagines reales et 
fictas commonstrent, praecipue cum hunc tractatum aeque ac praecedentem 
de telescopiis secundum imagines reales dividi conveniat, quippe in quo 
essentiale discrimen inter diversa microscopiorum genera continetur. 



PEOBLEMA 3 

15. Ex guotcunque lentibus microscopium fuerit compositum, si detur apertura 
primae lentis obiectivae, per quam radii ex obiecti quasi centro transmittantur, 
definire aperturas singularum lentium ad ulteriorem transmissionem necessarias et 
gradum daritatis, quo oculus obiectum contuebitur. 

SOLUTIO 

Ex principiis fundamentalibus supra satis expositis hae aperturae facil- 
lime definiuntur ex apertura primae lentis cognita, unde semidiametri singu- 
larum aperturarum sequenti modo per litteras P, Q, li etc. exprimentur: 

Semidiameter aperturae lentis primae = x 



semidiameter aperturae lentis secundae *= 






be i 

semidiameter aperturae lentis tertiae v - x == ^ ^ 
r /3 PQ 



' semidiameter aperturae lentis quartae - * & ss=ss ^Ar** 
r u apy PQR 

etc., 
unde concludinms pro ultima lente requiri semidiametrum aperturae 



1416] BE MICROSCOPIIS IN GENERE 209 

cum autem ante invenerimus 



erit ista formula 



_ 

00 

ma 



Tantam nempe aperturam lens ocularis ad minimum habere debet, ut radios 
per lentem obiectivam ingressos transmittat, et cum nunc radii inter se sint 
parallel!, ii quasi penicillum radiosum repraesentabunt, qui a centro obiecti 
in oculum intrat; ex quo, si semidiameter huius penicilli ^ semidiametro 
pupillae aequaretur, tune visio plena claritate frueretur; quatenus autem ista 
expressio minor est quam semidiameter pupillae, eatenus gradus claritatis 
evadit minor. Unde, cum supra gradus claritatis littera y fuerit expressus, 

7) A* ' 

erit hie y = ~ ; qui valor quoties fuerit minor semidiametro pupillae, quae 
circiter ~ dig. aestimatur, toties claritas minor erit censenda quam naturalis 
seu plena, vel potius in ratione duplicata, prouti per se est manifestum. 

COROLLARIUM 1 

16. Data igitur claritate y cum multiplicatione m reperitur #^-^; 
unde apertura lentis obiectivae innotescit, quae ceteris paribus eo maior esse 
debet, quo maior fuerit distantia obiecti a lente obiectiva sive a. Cum 
igitur x a distantia focali lentis obiectivae pendeat, hinc colligere licet, quo- 
modo haec lens ratione distantiae a debeat esse comparata. 

COROLLARIUM 2 

17. Tarn hinc quam ex praecedente problemate etiam patet, quomodo 
rnultiplicatio m ad distantiam illam h, quae vulgo 8 dig. assumitur, refera- 
tur, quandoquidem in hoc negotio multiplicationem m non absolute definire 
licet, sicque proprie id denotat, quod sub notione multiplicationis menti 
offertur. 

LKONHA.RDI EU&KRI Opera omnia III* Dioptrica 27 



210 LEBRI TEETH INTRODUCTIO 18 [16-17 



PBOBLEMA 4 

18. Ex guotcwnque lentilus microscopium fuerit compositum, momenta, quae 
a singulis lentibus ad campum apparentem conferuntur earumque aperturam defi- 
niunt, exponere locumque oculi assignare. 

SOLUTIO 

Ad hoc supra litteras peculiares in calculum introduximus; cum enim 
cuiusque lentis apertura ita ab eius distantia focali pendeat, ut certam eius 
partem superare non debeat, semidiameter aperturae cuiusque lentis post 
primam sequent! modo per eius distantiam focalem est stabilita: 

secundae = 71%, tertiae =n'r, quartae = n's, quintae = n't etc.; 

unde, si semidiameter obiecti conspicui sit = yoceturque ~ a = *, osten- 

dimus esse 

_ % -f d #" + a ff/ ft rtff etc. 7 

$ = a <P = - ; ----- -- #^ ? 

ma h 

quod intelligenduni est de situ erecto; pro inverso enim situ multiplicatio m 
negative accipi debet. 

Nunc autem ? quo facilius de quantitate campi iudicare queamus, sit 
aperturae maximae, quam quaepiam lens, cuius distantia focalis sit v. gr. 
= #, recipere potest, semidiameter =#, cuius scilicet haec lens foret capax, 
si esset utrinque aequalis, denotante | vulgo ; pro singulis lentibus, quate- 
nus minores habere possunt aperturas, introducamus novas litteras et ponamus 

n--q|, 7t'= + r|, TT"=-|, nT - + tg etc., 

ut fiat 

q + r + 8 + t etc. , fc 



in qua porro brevitatis gratia ponamus 



, 

ma h 
ut fiat 

sen <#> jbf 



17-18] DE MICKOSCOPIIS IN GENERE 211 

quibus positis novae hae litterae q, r, , t etc. sequent! modo ad ante intro- 
ductas referentur: 

1. q = (P l)Jf, 

2. (r = (P0 l)Jf q, 
3. '& = (PQE l)Jf-q_ t , 
4. (t = (P<2JSS l)Jf q r 
etc., 

quarum formarum differentiae etiam notatu dignae sunt, nimirum 



2. 2) r = P^(JJ l)Jf r, 

3. t S) = P^J?(5' l)Jf 

etc. 

Illarum igitur aequationum ultima ita erit expressa: 



Ante vero ostendimus esse fi = l; unde fiet 



quae est ipsa ilia aequatio, qua littera M determinatur. 

Nunc igitur superest, ut locum oculi seu eius distantiam post ultimam 
lentem, quam supra vocavimus ===== 0, definiamus; quod quidem primo se- 
cundum lentium numerum ex superioribus repetamus: 

Pro una lente 

Pro duabus lentibus 

q& h aq h 







Ma m M ma 



212 LIBBI TERTII INTRODUCTIO 18-23 [18-19 

Pro tribus lentibus 

ice Ji XT h 



^^-j-^) Ma m M ma 
Pro quatuor lentibus 



^ xjvu ju todi hi %s fi> 



it" yt'+rt & Ma m M ma 
etc., 



unde eoncludimus pro lentium numero quocunque fore distantiam oculi 



M ma 



COKOLLAR1UM 1 

19. Hinc igitur novas determinations pro apertnris singularum lentium 
sumus consecuti, quas scilicet adparitio campi postulat et quae non sunt 
confundendae cum superioribus, quas gradus claritatis postulat; cuilibet 
autem lenti ea apertura, quae est maior, tribui debet; unde sequentes for- 
mulae probe sunt observandae: 

Semidiameter aperturae pro prima lente = Qgp . . . &, 
semidiameter aperturae pro secunda lente = ' " 

semidiameter aperturae pro tertia lente = 

semidiameter aperturae pro quarta lente 

unde 

F) **p 
pro ultima lente ^$1 - . . 



ubi notetur litteras q, r, 8 etc. fractiones esse unitate minores ; quarum 
yalores unitatem superare nequeant. 

COROLLARIUM 2 

20. Si forte repraesentatio fuerit inversa, quo casu, ut supra iam monu- 
imus ? multiplicatio m negative accipitur seu m loco m scribi debet, eo 



19-21] DE MICEOSCOPIIS IN GENEEE 213 

casu quoque singulis litteris q, r, , t signum negativum tribui debet, ita ut 
turn fiat 



COEOLLAEIUM 3 

21. Quoniain circumstantiae quaedam postulare solent, ut pro utroque 
casu litterarum q, r, etc. una vel altera negativum valorem sortiri debeat, 
hoc praecipue, uti in telescopiis vidimus, in prioribus harum litterarum usu 
venit; posteriores vero semper positivae atque adeo ipsi unitati aequales 
tuto assumi possunt, ita ut earum ultima certo pro imitate haberi possit; 
ex quo perspicuum est distantiam oculi semper fore positivam, quoties 
postrema lens fuerit convexa; sin autem haec lens fuerit concava, turn etiam 
distantia prodibit negativa. 

SCHOLION 

22. Ceterum hie monendum est, cum in primo libro littera I usurpata 
sit ad iustam oculi distantiam significandam, quae hie perpetuo ut infinita 
spectatur, hie eandem litteram longe alio significatu adhiberi, siquidem hie 
semper significat distantiam focalem lentis ultimae seu ocularis, quae eadein 
est distantia penultimae iniaginis ante ultimam lentem; ex quo sequitur, si 
ultima lens fuerit convexa, penultimam imaginem certe ante earn reprae- 
sentari debere; quocirca ante ultimam lentem certe imago realis esset 
casura. Hinc igitur perspicuum est, id quod supra non tarn clare patebat, si 
nulla plane adsit imago realis, turn lentem ultimam convexam esse non 
posse ideoque pro loco oculi distantiam semper prodire negativam, pro 
quo casu etiain coacti fuimus peculiarem formulam pro margine colorato 
destruendo tradere, quae penitus diversa est ab ea, quae locum habet, quoties 
quantitas est positiva; quos ergo duos casus etiam hie seorsim tractari 
conveniet. 

PEOBLEMA 5 

23. JEb? quotcunque lentous microscopium fuerit compositum, si distantia oculi 
post ultimam lentem prodierit positiva , destruere marginem color atum, ex qua- 
eunque vitri specie singulae lentes fuerint paratae. 



214 LIBRI TEETH INTftODUCTIO 23-26 [21-22 

SOLUTIO 

Quoniam hie solutionem ita generalem postulamus, quae etiam ad lentes 
ex diversis vitri speciebus paratas pateat, rationem refractionis pro prima 
lente ponamus =n, pro secunda = w', pro tertia = n" etc., uti in superioribus 
libris fecimus; atque hinc statuamus formulas differentiates , quibus dispersio 
radiorum exprimitur, sequenti modo: 

dn -, r dn f , r/ dri' - 



~ , ~ -, ^ r ~~ 
1 w 1 n 1 





quibus notatis supra [Lib. I. Suppl. VII, p. 239] ostendimus pro destructione 
marginis colorati satisfieri debere huic aequationi: 



' 



quae aequatio, si tarn loco litterarum it, n etc. quam loco & ? c, d etc. 
valores ante assignati substituantur, transibit in hanc formam: 



P ^ PQ~^~ PQlK^ PQliS 
in qua aequatione terminus ultimus ita erit expressus: --**. 

COROLLARIUM 1 

24. Patet ergo marginem coloratum toll! non posse, nisi vel litterarum 
q, r, 8, t etc. vel P, Q, E etc. una pluresve fuerint negativae, quia alioquin 
omnes termini essent positivi eorumque aggregation nihilo aequari non posset. 

COEOLLARIUM 2 

25. Si ergo nulla adsit imago realis, quod evenit, si omnes litterae P, 
Q, R etc. fuerint positivae, turn necessario litterarum q, t, 8 etc, una vel 
altera debet ease negativa; quae autem earum fuerint negativae, iis campus 
apparens diminuitur, 



22-23] DE MICROSCOPES IN GENERE 215 



PROBLEMA 6 

26. Ex guotcunque lentibus microscopium fuerit compositum, si distantia oculi 
prodeat negativa ideoque oculus ultimae lenti immediate adplicari debeat, destruere 
marginem coloratum, ex guacunque vitri specie singulae lentes fuerint paratae. 

SOLUTIO 

Manentibus iisdem, quae in praecedente problemate circa diversitatem * 
vitri stint posita, supra [Lib. I. Suppl. YII, p. 239] pro hoc casu secundum 
lentium numerum peculiares formulae sunt datae, quae ad nostrum institutum 
translatae ita se habent: 

Pro una lente 

= 0. 

Pro duabus lentibus 



Pro tribus lentibus 

Q = N(A 
Pro quatuor lentibus 



Pro quinque lentibus 



Pro sex lentibus 



r) 



216 LIBEI TEETH INTEODUCTIO 2630 [2425 

Pro septem lentibus 
= N(A + 1}BCVEF* -((B+ I)CDEF* + q) + ((0+ 1) DEF* - r) 



quas formulas concinnius exhibere non licet ideoque iis quovis casu oblato 
erit utendum. 

PROBLEM! 7 

27. JEx guotcunque lentibus microscopium fuerit compositum, omnem plane 
confusionem, quae ob diver sam radiorum refrangibilitatem praeter marginem colo- 
ratum est metiienda, ad nihilum redigere, ex guacungue vitri specie singulae lentes 
fuerint paratae. 

SOLUTIO 

Introdnctis etiam litteris N, N' etc., uti in praecedentibus problematibus 
est factum, aequatio in libro prime inventa [Lib. I. Suppl. VII, p. 240), cui 
est satisfaciendum, sequenti modo generatim pro quovis lentium numero ex- 
pressa reperietur: 

" *" etc 

f 



_ _ 

A P AS PQ' ABO PQR' AS CD 

quae etiam hoc modo exMberi potest: 



vel etiam, si libuerit, hoc modo: 

ft _ Ar i_^i.^i #"' i 
~" '' ABC 



COROLLASIUM 1 

28. Cum productum omnium litterarum P, Q 7 R, $.,, multiplicationem 
praebeat, si haec fuerit valde magna, termini huius aequationis mox fient 
tarn parvi, ut sufflciat binos yel ternos terminos initiales assumsisse, ex 
quibus commode vel littera S3 vel & definiri poterit 



25-26] DE MICROSCOPIES IN GENERE 217 

COEOLLAEIUM 2 

29. lam supra [Lib. II, p. 292] autem ostensum est, nisi litfcerae N, N' etc. 
fuerint inter se diversae, haric nitimam aequationem nullo mo do adimpleri 
posse; unde eatenus tantum huic condition! satisfied poterit, quatenus lentes 
non ex eadem vitri specie conficiuntur. 

SCHOLION 

30. Istud quidem tantum pro telescopiis supra demonstravimus, idem 
autem quoque pro casu praesente demonstrari potest hoc modo. Ad hoc sci- 
licet utamur prima forma no strae aequationis in eaque litterae N inter se 
ponantur aequales, cuius singuli termini in duas partes discerpantur, ut pro- 
deat haec forma: 



A ASP ' ABCPQ ABCDPQR 



AP ^ ASPQ ABOPQE ^ ASODPQRS 
quae per a multiplicata censeatur, et cum sit ex elementis 

PQy 



AB AS ABC 



etc., 



hi valores successive in nostra aequatione substituantur et aequatio nostra 
abibit in hanc formam: 

etc - 
^' 



ubi cum numeratores intervalla lentium designent, denominatores vero omnes 
sint numeri quadrati, omnes isti termini necessario sunt positivi. Tantum 
de ultima parte solitaria dubium superesse posset; scilicet hie, quousque hos 
terminos continuavimus, insuper adiungi deberet terminus 



qui est casus quinque lentium, pro quo e quidem est oo; notandum autem est 
esse etiam jE7=co, cum sit s***Ee\ quo valor e substituto istum terminum 

LBONHA.EBI EtrLBUi Opera omnia IIU Dioptrica 28 



218 LIBKI TEETH INTEODUCTIO 30-34 [26-28 

insuper adiungendum sponte evanescere manifestum est. Ceterum, uti iam 
saepius monuimus, etiam diversa vitra adhibendo neutiquam necesse est, ut 
huic nltimae aequationi accuratissime satisfiat, cum iam satis praeclare nobis 
agatur, si modo eius valor satis exiguus reddi queat, id quod etiam de 
duabus praecedentibus aequationibus est tenendum; neque enim natura rei 
ipsa huiusmodi solutionem rigorosam permittit, cum nunquam sit sperandum 
per experimenta yalores litterarum N, N' etc. ita exacte definiri posse, ut 
non notabiliter a veritate aberreut; et quia unicam vitri speciem usurpando 
semper coacti sumus hanc ultimam confusionem tolerare, si inodo earn mino- 
rem reddere licuerit, id certe pro maximo lucro erit habendum. 



PEOBLEMA 8 

31. Ex guotcunque lentibus microscopium fuerit compositum, semidiametrum 
confusionis, quae a lentium apertura oritur, assignare totamgue Jianc confusionem 
infra datum limitem reducere, ut repraesentationi non amplius officiat. 

SOLUTIO 

Ad hoc praestandum novae litterae A, A' etc. pro singulis lentibus in 
calculum sunt introducendae, quemadmodum in primo libro sufficienter est 
explicatum. Turn vero, si singulas lentes ex peculiari vitri specie factas 
consideremus, expressio pro semidiametro confusionis supra [Lib, I Supplera, 
VII, p. 238] inventa litteris P, Q, H etc. adhibendis ad sequentem formam 
revocabitur: 

L\ _ Jf 
W A* 



A 



^ (? 
S V 



,@ a 
quae formula succinctior reddetur distantias focales introducendo; cum enim sit 



, ABO* -- etc., 

a a a 



Ms valoribus aubstitutis fiet nostra formula 



2829] BE MICEOSCOPHS EST GENERE 219 

Sit nunc limes, quern valor huius formulae superare noil debet, =^3, ubi 
notandum est pro telescopiis supra sumtum esse k = 50 circiter; quare, si 
brevitatis gratia ponamus 



debebit esse 

y -<4 "\. y rt J 

unde commodissime definitur semidiameter lentis obiectivae 

1_ -|V h 
k y ma A ' 

ac si licuerit formulam hanc A penitus ad nihilum redigere, tune hanc 
semidiametrum x nihil impedit, quominus tantam statuamus, quam figura 
lentis obiectivae permittit. 

COEOLLAEIUM 1 

32. Quando ergo hinc quantitas x fuerit definita, turn demum gradum 
claritatis assignare poterimus; ex aequatione enim supra inventa y = co- 
gnoscimus semidiametrum penicillorum radiosorum, qui a singulis obiecti 
punctis in oculum transmittuntur, quae ad pupillam relata gradum claritatis 
determinabit. 

COROLLAEIUM 2 

33. De telescopiis quidem vidimus sufficientem claritatis gradum produci, 
si modo y non multo minor sit quam ^ dig., in microscopiis autem nos 
plerumque multo minore claritate contentos esse oportebit. 

COEOLLAEIUM 3 

34. At si loco x valorem inventum substituamus, pro gradu claritatis 
habebimus 



y ~ ir \^^/ v ^f> 

28* 



220 LIBRI TERTII INTEOPUCTIO 34-37 [29-30 

unde intelligitur, quo longius obiectum a microscopic removere velimus, eo 
minore claritate obiectum esse appariturum, quae causa est, ut in omnibus 
microscopiis distantia obiecti a lente obiectiva tarn exigua capi debeat. 

COBOLLAKIUM 4 

35. Ex ultima forma nostrae expressionis manifestum est, si omnes 
lentes fuerint convexae seu litterae jp, #, r etc. positivae, omnes terminos 
litteras A, A', A" etc. continentes fore quoque positives; unde, cum litterae 
v, v, v" etc. sint valde parvae, quantitas ilia A nullo modo ad nihilum redigi 
poterit; sin autem una vel altera lens fuerit concava, turn utique fieri poterit, 
ut haec quantitas A evanescat. 

SCHOLION 1 

36. Haec igitur formula praecipue litteris A, A', A" etc. convenienter 
deflniendis inservit, quandoquidem reliquae litterae iam per conditiones prae- 
cedentes plerumque suas determinationes adipiscuntur. Meminisse autem 
oportet quamlibet lentem sibi adiunctum habere numerum A, qui quidem 
unitate minor esse nequit, ex quo cum binis distantiis determinatricibus 
ambae facies determinantur. Supra autem formulae pro radiis facierum iam 
sunt datae, sed eas in calculi commodum Me aliquantisper mutatas exhlbea- 
mus. Exemplo sit lens prima, cuius distantiae determinatrices sunt a et , 
numerus autem iis adiungendus = A, ex quibus binae eius facies supra 
[Lib. I, 55] ita sunt definitae, ut sit 

... act 

antenons 

radius faciei 

... ace 

posterions 



Cum autem sit a * Aa, fient istae formulae; 



radius faciei 

Jxy 

posterioris 



31 32J 



DE MICEOSCOPIIS 



GENEKE 



221 



Dividantur nunc numeratores et denominators utriusque fractionis per 

< 
= 81 ideoque $ia=p et x , A =1 81, nostrae for- 



cum sit 



mulae abibunt in sequentes: 



radius faciei 



anterioris 



posterioris = 



+ 81(0 



ubi litterae ^, or et r ex ratione refractionis, quae cuilibet lenti convenit, sunt 
desumendae, pariter atque litterae ^ et v 9 uti in primo libro [ 55] osten- 
dimus. Ne autem opus habeamus eas inde depromere, tabulam ibi [Lib. II, 
15] datam hie adiungamus: 



n 


? 


a 


r 


^ 


V 


JLIV 


1,50 


0,2858 


1,7143 - 


0,9583 


1,0714 


0,2000 


0,2143 


1,51 


0,2653 


1,6956 


0,9468 


1,0420 


0,2065 


0,2151 


1,52 


0,2456 


1,6776 


0,9358 


1,0140 


0,2129 


0,2159 


1,53 


0,2267 


1,6601 


0,9252 


0,9875 


0,2196 


0,2168 


1,54 


0,2083 


1,6434 


0,9149 


0,9622 


0,2260 


0,2176 


1,55 


0,1907 


1,6274 


0,9051 


0,9381 


0,2326 


0,2182 


1,56 


0,1737 


1,6119 


0,8956 


0,9151 


0,2393 


0,2192 


1,57 


0,1573 


1,5970 


0,8864 


0,8932 


0,2461 


0,2199 


1,58 


0,1414 


1,5827 


0,8775 


0,8724 


0,2529 


0,2206 


1,59 


0,1259 


1,5689 


0,8689 


0,8525 


0,2597 


0,2214 


1,60 


0,1111 


1,5555 


0,8607 


0,8333 


0,2666 


0,2221 



SCHOLION 2 

37. His principiis praemissis facile intelligitur, quomodo hanc de micro- 
scopiis doctrinam tractari et in sectiones subdividi conveniat Primo scilicet 
microscopia simplicia, qnae unica constant lente, contemplabimur idque 
duplici modo, prout hums lentis crassities negligitur vel eius ratio in calculo 
habetur. Deinde tria genera microscopiorum compositorum considerabimus ? 
protiti in telescopiie fecimus; in primo scilicet genere nulla prorsus occurret 



222 LD3BI TEETH INTBODUCTIO 37 [32 

imago realis sen omnes litterae P, Q, E etc. erunt positivae; in secundo 
autem genere unica occurret imago realis ideoque unica illarum litterarum 
negativum habebit valorem, quaecunque ea fuerit; in tertio denique genere 
duae imagines reales locum habebunt sicque binae illarum litterarum, quae- 
cunque eae fuerint, valores sortientur negativos. Plures autem imagines 
reales introducere prorsus foret superfluum. Notandum vero est tarn micro- 
scopia simplicia quam composita primi et tertii generis obiecta situ erecto 
esse repraesentatura, dum microscopia composita secundi generis ea situ in- 
verso referent. Quamobrem haec tractatio quatuor sequentibus sectionibus 
absolvetur. 



LIBRI TERTH 

DE 

CXDNSTRVCTIONE 

MICROSCOPIORVM 

SECTIO PRIMA. 

DE 

MICROSCOPIIS SIMPLICIBVS. 



CAPUT I 

DE MICROSCOPES SIMPLICIBUS 

IMICA LENTE CONSTANTIBUS 

TAM NEGKLECTA LENTIS CRASSITIE 

QUAM EIUS RATIONE HABITA 

PKOBLEMA 1 

38. Microscopium sim/plex conficere, quod obiecta secundum datam rationem 
aucta repraesentet neglecta lentis crassitie. 

SOLTJTIO 

Sit multiplicatio praescripta == m, quae scilicet ad distantiam pro ar- 
bitrio assumtam h referatur denotante ~h vulgo distantiam 8 dig., sitque p 
distantia focalis lentis, quae sola microscopium constituit. Cum. igitur esse 
debeat a = 00, erit quoque A = <*s; unde fit 21 = 1 ideoque a=p, ita ut 
distantia obiecti ante lentem praecise eius distantiae focali p aequalis esse 
debeat. Cum igitur sit in genere 



pro nostro casu, quo unica adest lens, iaec formula per omnes litteras 
P, Q, R,...Z debet dividi, ita ut fiat 



a 

ETJ&BBI Opera omnia HI 4 Dioptrica 29 



226 LIBEI TEETH SECTIO PEIMA. OAPUT I 3840 [3435 

quod etiaxn hoc modo facillime ostenditur: cum enim haec imago cadat ad 
distantiam a = Aa, eius semidiarneter sit Ass existente 2 semidiametro 
obiecti, haec imago ab oculo cernetur sub angulo ~- y dum idem obiectum 
ad distantiam h existens nudo oculo appariturum esset sub angulo = -|- , ex 
quo ille angulus per hunc divisus ipsam dat multiplicationem, ita ut sit 

h 

m = -> 

Quare cum haec multiplicatio m sit data, hinc colligitur #=$> = - 
sicque tarn distantia focalis lentis quam distantia obiecti ante lentem per 
solam multiplicationem praescriptam determinatur, ex quo constructio micro- 
scopii iam innotescit. Tantum igitur superest, ut reliquas conditiones eo 
pertinentes percurramus. 

Primo igitur sit semidiameter aperturae huius lentis = x 9 quam 
deinceps ex confusione determinari oportebit, et ex problemate tertio Intro- 
ductionis patet fore gradum claritatis y = ~ = # ob a = w , quod quidem 
per se est perspicuum, cum penicillus radiosus transmissus ipsi aperturae 
manifesto sit aequalis. Ex quarto problemate, cum praeter lentem obiectivam 
nulla alia adsit, litterae q, r ? $ etc. hie nullum locum inveniunt; at pro loco 
oculi hie habebimus = sive oculum lenti immediate adplicari oportet cam- 
pusque apparens hie plane non determinatur, ita ut yisus oculi nusquam ter- 
minetur. Ex quinto porro problemate intelligitur hie nullum marginem colo- 
ratum esse pertimescendum, quia is tantum a lentibus sequentibus producitur, 
Sextum vero problema hue prorsus non pertinet. Septimum dein problema hane 
dat aequationem = N* ~ ; quod cum jBeri nequeat, haec confusio tolli om- 
nino non potest, sed potius eo maior fiet, quo minus erit $ sou quo maior 
desideretur multiplicatio. Ex octavo denique problemate deducimns pro 
nostro casu hanc aequationem: 

max* 



quae ob A = c*> et ma = h abit in hanc: 



3537] DE MICROSCOPES SIMFLICIBUS TJHICA LENTE OONSTANTIBUS 227 

ex qua fit 



sicque apertura lentis innotescit simulque etiam gradus claritatis hocque modo 
omnia, quae ad microscopium pertinent, sunt definita. 



COROLLABIUM 1 
39. Cum igitur pro apertura lentis inventa sit eius semi Diameter 

3 / 

x = ^Y'i> evidens est, ut claritatem, quantum fieri potest, sine detrimento 
distinctionis augeamus, sumi debere A = 1, et quia /a non multum ab unitate 
differt, fiet x = y = |- ; unde, cum sit circiter k = 50, nullum est dubium, qidn 
lens hanc aperturam admittat. Ante autem vidimus esse p = 9 ita ut nunc 
habeamus x = y = ~ Quare si statuamus Jc = 48 et h = 8 dig., erit 
# = y = 6^- dig. sicque, statim ac multiplicatio m supra 8 excurrat, gradus 
claritatis minor evadet eo, quern supra telescopiis conciliavimus. 



SOHOLIOK 1 

40. Lens autem, quae tantum octies multiplicat, vix nomen microscopii 
meretur, cum distantia focalis p prodeat unius digiti; interim tamen hinc 
videmus sernidiametrum aperturae non ultra jg dig. augeri debere, si quidem 
tanto distinctionis gradu frui yelimus, quantus in telescopiis exigi solet. Ex- 
perientia autem constat huiusmodi lentibus multo maiorem aperturam tribui 
neque adeo ad mensuram definiri solere, at vero etiam indidem constat 
huiusmodi repraesentationes non mediocri confusione esse inquinatas; quod 
adeo etiam de omnibus microscopiis valet, quorum repraesentatio plerumque 
multo magis confusa est, quam in telescopiis tolerari solet. Quocirca videtur, 
dum de microscopiis agitur, litterae k multo minor valor quam 50 tuto tribui 
posse, quern adeo in quibusdam microscopiis non spernendis ne ad 20 quidem 
assurgere comperi. Interim tamen nullum est dubium, quin haec instrumenta 
multo maiorem utilitatem sint allatura, si a tarn notabili confusione liberari 
queant; quare hie quidem litterae k valorem 20 sum assignaturus, nullam 
tamen occasionem praetermittam, quoties fieri licuerit, hunc confusionis gradum 
diminuendi 

29* 



228 LIBRI TEETH SEGTIO PBIMA CAPUT I 41-43 [37-38 

COBOLLAEIUM 2 

41. Sumto ergo ft = 20 semidiameter aperturae microscopii debebit esse 
# = JLdig.; cui cum mensura claritatis sit aequalis, statim atque m superat 8, 
quo casu fit y = ~dig. 7 non amplius obiecta plena claritate videmus, sed 
quo maior fuerit ratio m:8, eo minore claritate content! esse debemus. 

COROLLAEIUM 3 

42. Quia autem ne tanta quidem claritas est exspectanda, nisi capiatur 
% = i 9 patet, quanti intersit lenti microscopicae debitam figuram tribuisse, et 
cum sit 21 = 1, hanc lentem ita construi conveniet, ut sit radius faciei an- 
terioris = et posterioris =-f- Si enim lente utrinque aeque convexa uti 
vellemus, confusio ultra dimidium fieret maior. 

SCHOLION 2 

43. Quo igitur constructio huiusmodi microscopiorum pro qualibet mul- 
tiplicatione facilius et clarius perspiciatur, tabulam hie subiungamus, in qua 
pro praecipuis valoribus litterae m primo distantiam obiecti a lente, quae 
eadem est eius distantia focalis, exhibeamus; deinde vero radios utriusque 
lentis faciei in digitis expresses duabus colunanis designemus; turn vero 
semidiametrum aperturae et gradum claritatis ita assignemus, ut posita clari- 
tate plena =* 1 et pupillae semidiametro = ^ dig. gradus claritatis per 

o 

2Qy = -~~ exprimatur, etiamsi proprie quadratum huius fractionis sumi deberet, 
quoniam claritas pendet non a diametro penicillorum, sed a tota eorum 
crassitie. Quod autem semel monuisse sufficit Pro refractione autem vitri 
sumamus n == 1,55, ut sit 

<;> = 0,1907, <y 1,6274, 
eritque 

anterioris 5,2438# 41,9504 - - 1 
radius faciei 

posterioris 0,6145jp 4,9160 - 



3840] DE MICROSCOPES SIMPLICIBUS UNICA LENTE CONST ANTIBUS 



229 



ob 



o f\ 

dig. = a; turn vero est semidiameter aperturae x = -=-- dig. et 



m 



mensura claritatis, ut modo vidimus, = ? unde facile sequens tabula con- 
ficitur: 



Muitipli- 
catio 


Distantia 
focalis 


Radius 
anterioris 


faciei 
posterioris 


Semidiameter 
aperturae 


Mensura 
claritatis 


10 


0,800 


4,195 


0,492 


0,040 


0,800 


20 


0,400 


2,097 


0,246 


0,020 


0,400 


30 


0,266 


1,398 


0,164 


0,013 


0,266 


40 


0,200 


1,048 


0,123 


0,010 


0,200 


50 


0,160 


0,839 


0,098 


0,008 


0,160 


60 


0,133 


0,699 


0,082 


0,007 


0,133 


70 


0,114 


0,599 


0,070 


0,006 


0,114 


80 


0,100 


0,524 


0,062 


0,005 


0,100 


90 


0,089 


0,466 


0,055 


0,004 


0,089 


100 


0,080 


0,419 


0,049 


0,004 


0,080 


120 


0,066 


0,349 


0,041 


0,003 


0,066 


140 


0,057 


0,299 


0,035 


0,003 


0,057 


160 


0,050 


0,262 


0,031 


0,002 


0,050 



Hinc evidens est has multiplicationes ulterius continuari non posse, cum turn 
radii facierum lentis nimis fierent exigui, quam ut in praxi elaborari possint, 
turn vero apertura tarn parva fieri deberet, ut ob defectum claritatis obiecta 
vix conspici possent. Ceterum cum apertura harum lentium tarn exigua esse 
debeat, eas quoque ipsas tarn parvas conflcere licebit, ut earum crassities 
prae distantia focali, quantumvis ea parva fuerit, sine errore negligi queat, 
quia scilicet in his lentibus eadem ac in maioribus ratio est; tenuissimas 
nempe has lentes elaborari oportet, ut margines circumquaque inter se quasi 
conveniant. Cum autem plerumque his lentibus multo maior crassities tribui 
soleat, qttae ad distantiam focalem satis notabilem teneat rationem eamque 
adeo superet, uti fit in globuUs vitreis, qui loco huiusmodi lenticularum usur- 
pari solent, operae utique pretium erit in determinatione talium microscopiorum 
crassitiei rationem habere. 



230 LIBRI TEETH SECTIO PRIMA CAPUT I 4446 [4041 



PEOBLEMA 2 

44. Si lentis crassitiem negligere nan liceat, microscopia conficere, quae obiecta 
secundwm datam rationem aucta repraesentent. 

SOLUTIO 

Ad hoc problema solvendum consideretur solutio problematis in Lib. I 329 
allati, cuius solutio hue transferetur statuendo = a -f- 1 = 0, ita ut sit I = a 
existente a==c\D, uti hie assuminms. Turn igitur, si distantia obiecti ante 
lentem sit = a, crassities lentis v, radius faciei anterioris = f et posterioris 
= #, introducta quantitate adhuc indefinita & has ibi invenimus formulas: 

/ = 
7 

quibus lens determinatur. Quodsi nunc ponatur *-^~ == i, definivimus ibi mul- 
tiplicatiouem 

1 h Jc + v h 

tyn y,-,. , __ . _ ^. irjtii ,.^ v ^_, w , _ , 

i a Jc v a 

Deinde si aperturae semidiameter in facie anteriorel sit a?, in facie posteriore 
ea debet esse non minor quam ix ^ "^ - ^ proditque gradus claritatis 



Postea vero pro semidiametro confusioais inventa est [Lib. I, 210] sequens 
formula: 



1 ^ 8 . -- 

4 * 2(n- 



cuius valor non superare debet limitem ante constitutum ^ existente k 20; 
reducitur autem ea lianc ad formam: 



41-42] DE MICROSCOPnS SIMPLICIBUS UNICA LENTE CONSTANTIBUS 231 

unde colligitur sequens aequatio: 

* 3 (n(k+v) , 4^+2 4^ + 8 

2(n-l) ' * Va s (&-v) "" a(*-tO ^ a& 2 ~*; 2 



ex qua quantitas x definiri poterit. Porro supra locus oculi ita erat definitus, 
ut nunc flat 



unde conspicietur in obiecto portio, cuius semidiameter 

na k v 

v k + v 

Ut margo coloratus tolleretur, deberet esse &=oo, siquidem 0>0; at cum 

prodeat 0<0, debet esse k> %a,-v y et cum pro hac confusione penitus 

tollenda deberet esse 

ob a = co evidens est hanc confusionem fore enormem. 

COROLLARIUM 1 

45. Cum invenerimus 

Jc + v h 

k v & 7 

ut hie valor sit positivus sive repraesentatio erecta, necesse est, ut quantitas k 
extra limites + v et v contineatur; si enim intra hos limites contineretur, 
multiplicatio m prodiret negativa ideoque repraesentatio inversa, dum scilicet 
imago realis intra lentem formaretur. 

COEOLLABIUM 2 

46. Duo ergo sunt casus considerandi, quibus multiplicatio m fit positiva, 
alter, quo non solum k>Q, sed etiam k>v; turn facies lentis anterior erit 
convexa, posterior vero concava et w> ; altero vero casu, quo &<0simul- 



1) Littera k designantur in hao aeq^uatione duae quantitates differentes; est enim dextro 
later aequationis Jc w 20, cum sit sinistro latere ralor numeri ft adhuc indefimtus, E, Oh. 



232 LIBEI TEETH SECTIO PEIMA CAPUT I 4650 [4243 

que k < 0, sive posito k = I si fuerit > v, erit 

--- (n- 

6 ~ " 



ideoque facies posterior semper convexa, anterior vero concava, nisi sit 



I > v + 2^0; nam si Z > t? + 2na, etiam anterior facies erit convexa hocque 
porro casu erit w < ~ 

COEOLLAEIUM 3 

47. Quod ad locum oculi attinet, pro quo est 

n ^ 

u ' 



quia JJT est quantitas positiva, scilicet =-'^-, erit 

_ ^__ 



ideoque semper negativus propter lentis crassitiem neque He valor evanescet, 
nisi simul lentis crassities fuerit evanescens, 

COROLLAKIUM 4 

48. Pro gradu vero claritatis haec expressio est notatu digna, quod sit 
m y = T ^eoque y = ~-, unde patet crassitiem lentis in gradu claritatis 
nihil mutare, si scilicet pro eadem multiplications m apertura $ eundem 
adipiscatur valorem. 

COROLLAEIUM 5 

49. Cum priori casu, quo erat 0, campus apparens fuisset indefinitus, 
hie ob lentis crassitiem ita determinabitur, ut sit 

nhx . nhx 

mz*^ - - - sive - , 
t? mv 

unde patet, quo minor fuerit crassities, eo maiorem futurum esse campum, 
ac si loco a? introducatur claritas y, prodibit ^f ^ ita ut pro eadem 
crassitiei ratione ad distantiam a semidiameter campi sit claritati proper* 
tionalis. 



4345] DE MICROSCOPIES SIMPLICIBUS UHICA LENTE CONSTANTTBUS 233 



SCHOLION 1 



50. Quoniam hie duo casus principales considerandi veniunt, alter, quo 
fc > t?, alter vero, quo l>v existente I = A?, pro priore aequatio confusionem 
reddens insensibilem in solutione est exhibita; pro posteriore vero ea ita se 
habebit: 

n 3 / n(l v) _ 4^ + 2 4n + 8 __ __ 162; \ _ _1_ 

2(>-l) 2 " ^ \a^lTv) ~ a\l + v) + a(Z 2 -^ + (Z_^)s(Z + v )/ ~ # * 

Quodsi nunc etiam multiplicationem m introducamus, litteram vero I vel & 
elimineixms, haec aequatio induet hanc formam: 



v 



quae, si brevitatis gratia ponatur ~~J na = 5? induet hanc formam: 



n 



quae porro mutatur in hanc: 



quae ad quosvis casus multo facilius adplicabitur. Ceterum cum inter binos 
casus memoratos quasi medius sit Jc = <ND, ponamus ft co eritque 



praeterea vero haec habebitur aequatio resolvenda: 



** 



nx 



unde colligitur 



ita ut hie valor notabiliter minor sit quam in problemate primo; quia in 
problemate primo facies anterior fere fuerat plana, hie casus inde oritur, si 
ilia lens inverteretur, quo facto ea sine dubio multo minorem aperturam pate- 
retur; ceterum et ideo est notatu dignus, quod crassities lentis neque in mul- 
tiplicatione neque in confusione quidquam mutet. 

Euom Opera omnia ffl* Pioptrioa 80 



234 LIBKL TEETE SECTIO PRBIA CAPUT I 51-52 [4546 

SCHOLION 2 

51. Quoniam nostrum institutum non est omnes casus possibiles per- 
tractare, sed eos tantum, quibus unam saltern, vel plures excellentes quali- 
tates lenti tribuere licuerit, Me unicus ille casus in problemate memoratus 
potissimum attentione nostra dignus videtur, quo marginis colorati est expers; 
quod, uti vidimus, evenit, si capiatur &== 2 a v. Interim tamen quaedam 
quasi necessitas nos cogit eum quoque casum evolvere, quo loco lenticulae 
globulus vitreus integer usurpari solet, quandoquidem huiusmodi microscopia 
facillime parantur et frequenter in usum sunt vocata; quamobrem his duobus 
casibus duo sequentia huius capitis problemata destinamus. 



PROBLEMA 3 

52. Non neglecta lentis crassitie eaque adeo data microscopium construere, 
quod in data ratione multiplicet simulque obiecta sine margine colorato repraesentet. 

SOLUTIO 

Cum ob crassitiem distantia oculi semper prodeat negativa ideoque 
oculum lenti immediate adplicari oporteat, ut margo coloratus ad nihilum 
redigatur, iam vidimus capi debere k = 2a 0; unde ambo radii lentis ita 
erunt express!: 

/, , (n 1) f , N 

f= a et ^ = k_^( a + ^) y 

ita ut prima facies sit concava et in ipso eius centro obiectum collocari debeat; 
unde radii in prima facie nullam plane refractionem patientur; deinde pro 
multiplicatione habebimus hanc aequationem m = ^~; unde, cum m detur, 
colligitur a + ^ = ~; pro claritatis autem gradu erit y==^t^.^; unde, si ut 
supra semidiameter pupillae aestimetur dig., mensura claritatis aestimari 

poterit 

20(a+w) 
v ; -x 



, 



cum scilicet x in digitis exprimitur. Pro loco oculi autem reperitur 

Q __ 



na 



4647] DE MICEOSCOPnS SMPLICIBUS UNICA LENTE CONSTANTIBUS 235 

quae cum sit negativa, oculum lenti immediate adplicari oportet. Quia aper- 
turae faciei anterioris semidiameter posita est =#, in facie posteriore ea 
erit = ^-^-#, qui est ipse valor ipsius y. Hinc pro campo apparente erit 

n(a + v) 
v ; 



Denique ut ex conditione distinctionis quantitas x definiatur, ntamur prima 
aequatione, quae ob 

A = TTT^ = < ~^- et k + v = 2a, k v = 2(a + v) 

KI ~p V Or ^ ^ 

hincque 



abit in hanc: 

n 



. 2(> -I) 2 a 3 # 
ex qua elicitur 

Jc V n 
ex quo valore reliqua omnia determinantur. 



EXEMPLUM 

Statuamus crassitiem v = a sitque vitrum commune, cuius refractio 
n = 1,55, ac reperietur 

0,73081.^ 0,03650 

\J 

posito scilicet Jc == 20 ut ante; cum autem multiplicatio m detur ideoque sit 

a =L> erit 

^=0,0183-; 

' m 

unde sequens constructio colligitur: 

ao* 



236 LEBEI TEETH SEOTIO PEIMA CAPUT I 5254 [4749 

I. Distantia obiecti a lente a = ^ - 
n. Eadius faciei anterioris = a = 
HE. Crassities lentis v ^ 

IV, Eadius faciei posterioris = ^ - ^ = 0,35484- A. 
V. Semidiameter aperturae anterioris = 0,0183 - - - 
VI. Semidiameter aperturae posterioris = 0,0366 
VII. Mensura claritatis == 0,732 seu sumto h = 8 dig. erit ea men- 

5,856 

sura =-^~- 
Vm. Semidiameter spatii visi in obiecto = 2nx = 0,0567 

Quae quo facilius cum casu problematis primi comparari queant, evol- 
vamus casum, quo multiplicatio m ===== 100, et sumto h = 8 dig. sequentes pro- 
dibunt determinationes: 

I. Distantia obiecti a lente = 0,04 dig. 
II. Eadius faciei anterioris = 0,04 dig. 
HI. Crassities lentis = 0,04 dig. 
IV. Eadius faciei posterioris = 0,0284 dig. 
V. Semidiameter aperturae anterioris = 0,0015 dig. 
VI. Semidiameter aperturae posterioris = 0,0030 dig. 
VII. Mensura claritatis =0,0585 dig. 
VIIL Semidiameter spatii visi in obiecto = 0,0045 dig. 



SCHOLION 

53. Haec ergo microscopia multo sunt inferiora praecedentibus, ubi 
Crassities erat minima, neque ergo cuiquam in mentem veniet huiusmodi 
microscopia conficere. 

PEOBLEMA 4 

54. Si loco lentis adhibeatur globulus vitreus, constructionem microscopii de~ 
scribere, guod datam multiplicationem producat. 



49-50] BE MICROSCOPIES SIMPLICIBUS UNICA LENTE CO^STANTIBUS 237 

SOLUTIO 

Hie ergo erit 1. f=*g, turn vero 2. v = 2f. Ex priore conditione statim 
colligimus 

v Jc 



unde sequitur 

** + knak = v 2 . 



Cum autem porro sit v = 2f, valor ipsius g dabit 






unde fit fc = -1-y, q u i valor in superiore aequatione substitutes praebet 
ita ut sit 



(w 1) . 2 

- fl 81ve a = 



Nunc vero multiplicatio m dat 

2 



" 

n a n f 

Ob 



unde nanciscimur 

n l) fe , 2 

- 



^ 

r 



n m n m 

hincque 





eu v === - 

w m ^ m 



ex quibus pro loco oculi reperitur 



quae distantia cum sit negativa, oculum lenti immediate adplicari oportet. 



238 USKL TEETE SECTIO PEBIA CAPUT I 5455 [50-51 

Ut nunc valorem ipsius x obtineamus, retineamus primo in calculo 
quantitatem a, et cum sit 

40 4(^ 1)0 



, 

' ~ 



2-n 

hincque 

a et ft + t; = 40 



et F-^ 



2 

hincque 

Jc-\-v 2 n 

Jc v n "2 n 

aequatio supra inventa induet hanc formam: 
quae porro reducitur ad hanc: 



ex qua elicitur 

^20 



Inventa igitur semidiametro aperturae in parte anteriore globi x, in parte 
posteriore erit ea =^-^.#, cui gradus claritatis y est aequalis; mensuram 
vero claritatis exprimimus per 20 y, dum scilicet distantiae in digitis expri- 
muntur. 

Turn vero semidiameter spatii in obiecto conspicui erit # == 4 /^_ <x. 
Quia autem distantia oculi prodiit negativa, ut margo coloratus evanesceret, 
debebat esse ft = 2a v sive 4a + 20 = 0; quod cum non sit, etiam 
evidens est marginem coloratura non destrui ? sed satis notabilem fore. Ex 
his igitur omnibus colliguntur sequentes regulae pro constructione huiusmodi 
microscopiorum, in quibus sit multiplicatio = m: 

I. Paretur globulus vitrets, cuius radius sit f= ^ ^ . ; cuius refractio 






si sit w = 1,55 et capiatur h = 8 9 erit f= ^ : dig. 

II. Ante hunc globum obiectuni exponi debet ad distantiam = 2 * 8226 dig. 

HI. G-lobulo autem in parte anteriore tribuatur apertura, cuius semidia- 

meter sit 

2(2 ~^) 






3w-~ n 2 



51-53] DE MICEOSCOPnS SIMPLICIBTJS UNIOA LENTE CONSTANTrBUS 



239 



quae expressio in numeros evoluta fiet 



X 



36 



3025 



dig. 



sen 



155m r 12475 

0,14483 ,. , . 0,15816 ,. 
_j fag 9 Mncque # == dig. 



In parte posteriore autem semidiameter aperturae debet esse 

2 Ji -i 3 (w I) 2 0,49887 ,. 

- ^-" ~ 



Cum nunc sit y = ix, habebimus mensuram claritatis 20 y 



? quae ergo 



maior est quam casu lenticulae simplicis, ubi tantum erat =~, quod autem 
lucrum neutiquam compensat vitium illud, quo obiecta margine colorato in- 
quinata adparent. Operae igitur pretium erit similem tabulam, qualem supra 
in problemate 1 dedimus, adiungere: 



MultipK- 
catio 


Distantia 
obiecti 


Radius 
globi 


Semidiameti 
anterioris 


3r aperturae 
posterioris 


Mensara 
claritatis 


Semidiameter 
campi 


10 


0,232 


0,568 


0,014 


0,050 


0,998 


0,016 


20 


0,116 


0,284 


0,007 


0,025 


0,499 


0,008 


30 


0,077 


0,189 


0,005 


0,017 


0,333 


0,005 


40 


0,058 


0,142 


0,004 


0,012 


0,249 


0,004 


50 


0,046 


0,114 


0,003 


0,010 


0,199 


0,003 


60 


0,039 


0,094 


0,002 


0,008 


0,166 


0,003 



quam ulterius continuare ob nimis exiguum campum apparentem non con- 
veniet; sin autem apertura maior sumeretur, confusio prodiret plane intole- 
rabilis. 

SOHOLION 

55. Ex his iam abunde intelligitur in hoc genere microscopiorum sim- 
plicium speciem primo allatam, qua lenticulae tenuissimae usurpantur, reliquis 
omnibus palmam longe praeripere; interim tamen et ista species duobus in- 
signibus incommodis laborat, quae hie fusius ob oculos ponamus, quo clarius 
appareat, quid potissimum in microscopiis perficiendum desideretur. Primum 



240 LIBEC TEETH SEOTIO PEIMA OAPUT I 55 [5354 

incommodum in nimia propinquitate, qua obiectum lenti admoveri debet, est 
situm, qua fit, ut pro maioribus multiplicationibus haec distantia fere penitus 
evanescere debeat, quae circumstantia in causa est, ut, obiecta si non sint 
laevissima, minimae inaequalitates vel a lente nimis magnam vel nimis parvam 
teneant distantiam ideoque suirmna confusione adpareant. Inprimis igitur in 
id erit incumbendum, ut pro maioribus potissimum multiplicationibus eius- 
modi microscopia inveniantur, quae non tarn exiguam a lente distantiam 
postulent. Alterum incommodum consistit in nimis parva claritate, quam ista 
microscopiorum species exhibet in maioribus multiplicationibus; ex tabula 
enim supra 43 exMbita videmus, si multiplicatio sit m = 100, claritatem ibi 
designatam esse 0,080, et cum ipsa claritas huius quadrato sit proportionalis, 
ea Set 0,0064 ideoque 156 vicibus minor quam claritas naturalis, quae quidem 
adhuc satis tolerabilis est, nisi ipsum obiectum sit natura sua valde obscurum; 
sed hinc intelligitur, si multo maior multiplicatio desideretur, tenebras non 
amplius esse ferendas. Isti quidem defectui remedium afferri posset aper- 
turam lentis augendo; turn autem confusio tantopere augeretur, ut penitus 
tolerari non posset, praecipue cum istam tabulam ita adstruxerimus, ut tantum 
esset ~k = 20, dum pro telescopiis poni solet Jc = 50, ita ut in his microscopiis 
gradus distinctionis iam quindecies sit minor quam in telescopiis, ita ut potius 
curandum sit, ut maiorem gradum distinctionis obtineamus. Illud autem 
posterius incommodum maximam partem lentem duplicando atque adeo tripli- 
cando e medio tbllere licebit, ubi autem non eiusmodi lentes nmltiplicatae, 
quales in primo libro descripsimus, usurpari poterunt, quarum scilicet inter- 
vallum penitus evanescens est assumtum; quamobrem in hoc negotio inter- 
valla inter istas lentes iam tanta assumi conveniet, quae in praxi locum 
habere queant; quod argumentum in sequentibus capitibus diligentius examini 
subiiciemus; in posterum vero perpetuo crassitiem lentium pro nihilo habe- 
bimus, unde maxime erit cavendum, ne lentes minus tenues elaborentur, quam 
earum forma et apertura postulant. 



CAPtJT II 

DE MICROSCOPES SIMPLICIBUS 

DUABUS PLURIBUSVE LENTIBUS CONVEXIS 

INTER SE PROXIME IDNCTIS 

CONSTAOTDBUS 

PEOBLEMA 1 

56. Si lens duplicata ex duabus lentibus convexis sit composita, pro data mul- 
tiplications huiusmodi microscopium construere, quod dbiecta, quantum fieri potest, 
dare et distincte repraesentet. 

SOLUTIO 

Quoniam hie binae lentes sibi proxime iungendae occurrunt, ex formulis 
nostris generalibus earum intervallum erit 



a + 6 = Aa(l p-); 



quod cum. debeat esse minimum, statuatur = r\a denotante r\ fractionem tarn 
parram, quam circumstantiae permittunt, atque Mnc colligemus 

P- A 
P ~A^' 

deinde, <juia utraqtie lens debet esse convexa seu utriusque distantia focalis 
positiva, tarn haec qnantitas 



quam ista 

2 = __a= -- (A rj)a 

LKONHARDI JEuLBBi Opera omnia m* Bioptrica 31 



242 LIBEI TEETH SECTIO PRIMA CAPUT H 56 [5657 

debet esse positiva ideoque SI > 0, at A < 0, id quod fit, si 2t > 1. Hoc notato 
multiplicatio nobis praebet 

__Pfr = A k_ 
a A if] a 

unde definitur distantia obiecti 

_^ A h 

A ^ in 9 
ita ut sit 



deinde si semidiameter aperturae primae lentis ponatur = #, secundae lentis 
debet esse.^1 ~W unde pro gradu claritatis fiet 



sen 

ma 



ita ut ob A < lentinm intervallum claritatem augeat. Deinde pro campo 

apparente ibi invenimus 

A T 



at hie q mains accipi nequit^ quam ut semidiameter aperturae secundae lentis 
fiat = (l j-)^ quippe quae apertura maior esse nequit; hinc colligimus 
q = 2^; unde concluditur 



Pro loco autem oculi est 



quae cum sit negativa, oculum immediate adplicari oportet, et quia lentes 
sibi sunt proximae ? hinc nullus margo coloratus erit metuendus. 

Nunc igitur potissimum considerari debet semidiameter confusionis, quae 
est [Lib. I, Supplem. VII, pag. 238] 



ubi posterius membrum ob A < erit positivum ideoque haec quantitas semper 



57-58] BE MICBOSCOPnS SIMPLICIBUS PLURIBUS LENTIBUS CONSTANTIBUS 243 

maior nihilo; quamobrem hie totum negotium eo redit, ut ista quantitas red- 
datur minima, id quod fieri potest, cum litterae A et 21 adhuc arbitrio nostro 
sint relictae. Ad hoc efficiendum statim patet litteris X et X minimum va- 
lorem, quern capere possunt, qui est 1, tribui debere, et cum quantitas P 
parum ab unitate diflerat, litteram 31 vel A ita definiamus, ut haec formula 

~W ~ ~A* + 



fiat minimum. Ante quam autem earn differentiemus, relationem inter 3t et A 
attentius consideremus, quae ita exprimi potest: 



unde statim liquet esse 



?P "" A* 
seu 

: dA = l 2 



quare, si ilia formula differentietur et nihilo aequalis ponatur, loco differen- 
tialium ^2t et dA scribere licebit eorum proportionalia 2l 2 et J. 2 , ex quo 
sequens aequatio resultat: 

3 _ 3 + v _L - o 

2l 2 Z 2 "*" SI "^ A ~ ' 

quae manifesto in hos factores resolvitur: 



ita ut vel unus vel alter horum factorum debeat esse nihilo aequalis; prior 
autem factor nihilo aequatus dat 



= seu 



quod cum fieri nequeat, alterum factorem nihilo aequemus et inveniemus 
1 + ~ seu A = 2 et 5t = 2. 



31* 



244 LIBEI TEETH SECTIO PEIMA CAPUT BE 5657 [58-59 

Quibus valoribus in aequatione nostra pro confusione tollenda substi- 

tutis habebinms 

. 1 v\ l 



^8P 4 /7s 8 

seu 



et quia est a = 



ideoque 

4 

=== 7" 

&? 

quo yalore pro & invento omnia, quae ad constructionem microscopii pertinent, 
determinantur sequenti modo, 

Constructio huius microscopii 
L Distantia obiecti ante lentem priorem 

2 h 
a 



2+17 m 
II. Pro lente priore est distantia focalis 

^ = 2a=-4-.- ? 

JL O I /i itfut 

A -\- T[ Wf 

et quia est A = 1, erit 

anterior ===== 
... 2p~ 

radius { 

posterior = 



cuius aperturae semidiameter debet esse = x. 

ILL Intervallura autem inter lentem priorem et posteriorem sumtum est 
= <r\a, -jrjp 9 ubi ij tarn parvum assured conveniet, quam proximitas lentium, 
ne se mutuo tangant, postulat. 



5960] DE MICROSCOPIES SBfPLICEBUS PLUEEBUS L1NTIBUS CONSTANTEBUS 245 
IV. Pro lente posteriore distantia focalis est 



et qnia est A'=l, fiet eins radius 

anterior == et posterior = ; 

V * . 

cui lenti apertnra dari debet, cuius semidiameter = /!-{- A 77) x ideoqne tan- 
tiHo maior qnam ea primae lentis, quod qnidem in praxi non solet attendi, 
nbi posterior lens tota aperta relinqnitur. 

V. Lenti posteriori oculus immediate debet adplicari et turn cernet in 
obiecto spatium, cuins semidiameter erit # = ?-i^.#, nnde intelligitur iterum 
pro 1} tarn paryam fractionem snmi debere, qnam circumstantiae permittunt, 

VI. Pro gradn claritatis invenimns y = (l +- ~r^\ x 9 nnde pro modo snpra 
exposito, quo claritatem mensnramus, erit mensnra claritatis 



COROLLAEITJM 1 

57. Eatenns haec microscopia praecedentibns, quae lente simplici constant, 
sunt anteferenda, quatenus hie valor ipsius x hie maior prodit quam ante; 
ante autem inveneramus 





'km 
nunc vero 



km 

ita nt neglecto ?? praesens valor ipsius x sit ad praecedentem uti V^^ 
ad 1, quae ratio ob v = y circiter reducitur ad hanc: 

: 1 = 1,70998 : 1 = 171 : 100 proxime 
sive nti 12: 7. 



246 LffiBI TEETH SECTIO PRTMA OAPUT II 58-60 [6061 

COEOLLARIUM 2 

58. Hinc ergo patet huiusmodi lentem duplicatam insigne lucrum afferre, 
cum gradum claritatis fere duplo maiorem largiatur sicque posterius incom- 
modum supra 55 memoratum iam notabiliter sit imminutum. Contra vero 
prius incommodum in proximitate obiecti situm Me aliquantillum augetur, 
sed tarn parum, ut differentia sit quasi insensibilis, neque etiam limitatio 
campi hie ullam moram faeesset. 

SCHOLION 1 

59. Pro omnimoda igitur horum telescopiorum determinatione inprimis 
perpendendum est, quam parvam fractionem pro ?? assumere liceat, quam 
quidem, ubi supra de telescopiis agebatur, usque ad ~ imminuimus; facile 
autem perspicitur in tarn exiguis lenticulis tantam diminutionem neutiquam 
locum habere posse, cum ratione distantiae focalis Ms lenticulis nullo modo 
tanta tenuitas dari possit quam maioribus lentibus. Cuilibet enim perspicuum 
erit, si distantia focalis duarum lentium fuerit 50 dig., nihil omnino impedire, 
quominus earum distantia unius digit! statuatur; at si duarurn lenticular um 
distantia focalis tantum sit ^ dig., nullo certe modo earum intervallum 
= ^ dig. statui potent; unde merito dubitandum videtur, num. Me litterae rj 
minor valor quam ~ tribui possit. Casu enim modo allato, quo binarum 
lenticularum distantia focalis == ~ dig., difficile erit eas tarn graciles elaborare, 
ut earum intervallum non excedere debeat ~ dig., ne scilicet se mutuo tan- 
gant; quam mensuram in sequenti exemplo adcuratius evolvamus. 

EXEMPLUM 

60. Sit igitur ^ = y et vitrum eius sit speciei, pro qua refractio est 
n === 1,55, litterae autem Jc tribuamus ut ante valorem = 20 et more solito 
sumamus Ji = 8 dig., unde pro constructione microscopii sequentes nanciscemur 
determinationes. 



62-63] DE MICEOSCOPnS SIMPLICIBUS PLURIBUS LEMTBUS CO]S T STANTIBUS 247 

Constructio huiusmodi microscopiorum 

7 OIJQ 

I. Distantia obiecti ante lentem a = dig. 

m 

II. Distantia focalis lentis prioris p = 14? ? 546 dig., 
unde eius constructio ita se habebit: 

anterioris - - - - 0,80257jp - - * 



5 m 

V. Lentis posterioris distantia focalis 

16,001 



,. 

dig. 
& 



radius faciei 

posterioris = -- = + 0,32636^ = + ~- dig. 

III. Nunc quaeratur valor ipsius x, qui erit 

__8_-i 3 / __ l _ _ 0,6510 ,. 
X ~~ 5m V 0,9381 X 3,2696 X 4,84 ~~" m g " 

sicque habetur semidiameter apertnrae huius lentis. 

IV. Intervallum autem inter hanc lentem et posteriorem 

l 1,455 



unde eius constructio ita se habebit: 

... # K c^oo 83,9065 ,. 

anterioris = 7-^ = 5,2438 q 8 dig. 

v/ J. i/ U i //Z 1 

... a nn-iAAn 9.8322 

posterioris = = ' 61447 ^ 



- . A . . 

radius faciei 



VI. Huic lenti sufficit aperturam dare tantillo maiorem quam praece- 
dentem eique oculum immediate adplicari oportet. 

71 6 

VII. Pro gradu claritatis inveDimus 2/ = - 1 dig.; unde, si claritas ut 
supra mensuretur, habebitur mensura claritatis 20 y 



m 



3,580 



VIII. Pro spatio autem apparente colligitur eius semidiameter = dig. 



248 LIBEI TEETH SECTIO PEIMA CAPUT II 61-62 [6364 

SOHOLION 2 

61. Hie igitur praecipua praerogatiya prae lentibus simplicibus in hoc 
consistit, quod claritas notabiliter maior exhibeatur; sin autem non desidere- 
mns maiorem claritatem ideoque aperturam nostris lentibus minorem tribua- 
mus ? tanto maiorem distinctionem percipiemus, quod commodum certe non 
minus est aestimandum. Cum hie hoc insigne commodum duplicatione lentis 
simus assecuti, facile inteUigitur triplicatione lentis multo maius commodum 
obtineri posse, quod lentem adeo quadruplicando adhuc ulterius augeri po- 
terit. Hie scilicet loquor de lentibus conyexis, quatenus eae sibi proxime 
iunctae, ita ut quasi unicam lentem mentiantur, in microscopio adhibentur; 
si enim etiam lentes concayas usurpare yelimus, confusio plane tolli posset, 
ita ut tune lentibus tanta apertura concedi posset, quantam earum figura 
admittit; quod argumentum in sequente capite adcuratius pertractabimus. 



PBOBLEMA 2 

62. Si microscopium constet trihus lentibus convexis proxime inter se iunctis, 
eius constructionem investigare, ut pro data multiplicatione et dato distinctionis 
gradu oUecta maxima, qua fieri potest, daritate repraesentet. 

SOLUTIO 

Cum hie tres lentes occurrant, bina interyalla inter eas ita exprimun- 
tur: prius 

a -[-& = 
et posterius 



quae cum esse debeant minima, utrumque statuatur = rja; unde colligitur 

1 _i _JL P A 
P~ A ' A-v' 

deinde 

- 3 * 

ld eoque Q - 



Cum porro omnes tres lentes debeant esse conyexae seu earum distantiae 



6466] DE MCBOSCOPHS SIMPLICIBUS PLUEIBUS LENTIBUS COXSTANTEBUS 249 
focales $, q, r positivae, adipiscimur has conditiones: 



unde primo patet esse debere St positivum; circa A autem nihil adhuc defi- 
nitnr. Considerentur autem binae postremae distantiae focales a et r, et 





cum sit -*- = -- ^ , debet esse ===== ^ 1 quantitas positiva ideoque 
SB > 1 et hinc B negativum, unde manifestum fore A<0 hincque St>l. 

Quod ad marginem coloratum attinet, quia hae tres lentes quasi unam 
lentem simplicem mentiuntur, nihil adeo erit metuendum. Quare aequationem 
pro semidiametro confasionis contemplemur 

v\ 



in qua omnes termini litteris A adfecti sunt positivi; unde efflciendum est, ut 
huic formulae minimus valor concilietur vel saltim valor a minimo non mul- 
tum discrepans ? quern in finem primo litteris A, A', X' valor minimus, qui 
est 1, tribuatur, et cum litterae P, Q parum ab imitate differant, earum 
loco quoque unitas scribatur et sequens formula ad minimum perducatur: 



Quaestio scilicet nunc eo redit, ut ambae litterae A et J5 ita definiantur, ut 
valor huius formulae flat minimus. Consideremus igitur primo solam litteram 
B, et manifestum est earn ita accipi debere, ut formula 



fiat minima, quae cum similis sit formulae praecedentis problematis, eodem 
modo reperietur 33 = 2 et J? = 2. His igitur sumtis valoribus nostra 
formula evadet 

1 i/ 1 t v 

i ~JW T~Is i J^jlP 



pro qua ex natura minimi litterae A et 3t supersunt investigandae, et cum 
sit, ut ante observavimus, 

-1-1+.1 

2t X ^ A 

Mncque 

d<&:dA=W:A* 

LEONHAEDI EULBRI Opera omnia III 4 Dioptrica 32 



250 LIBEL TEETH SECTIO PEIMA CAPUT H 62 [66-67 

differentiatio dabit hanc aequationem, quae facile resolvitur in hos factores: 



o 

id quod duplici modo fieri poterit; primo scilicet, si A = y ideoque 
9t = 3, turn vero etiam, si A = y hincque 1 = 1; ex quo intelligitur 
solam priorem solutionem locum habere. Quocirca pro solutione nostri pro- 
blematis statuamus 

t = 3, A = 1 atque 23 = 2 et J5 = 2 

fietque 

*' P= S + 2r]> ^ =B= ' 

Q 

2. vero etiam w = 3a, q = -a = (3 

jt ^ ^ 

Formula autem pro multiplicatioue supra data fit Me 

m = P.A = _J_.A, 

^ a 1 + 97 a ' 

unde deducimus 

p x-, J&_ 1 7^ 

m 1. -\- ri m 

Quibus notatis denuo consideremus aequationem pro confusione, quae Ms 
omnibus valoribus substitutis induet hanc formam: 

_(!_+ ,_____,_ 

-*---*-- 27 



quae porro ad hanc formam reducitur: 

(1 + ^Vw'a* /a , 5 . / , i 

-- ^ s --- (3 + - n - 4r (2 + T 

ita ut sit 



unde facile valor ipsius x colligitur, qui praebet semidiametrum aperturae 



6768] DE MICROSCOPES SIMPLICIBUS PLUEIBUS LEMIBUS COKSTANTIBUS 251 

primae lentis. Dims reliquas tuto tarn apertas relinquere licet, quam earum 
forma permittit. Hinc antem pro gradu claritatis habebitur 

llX /-< . N 

y = ( i + w x 

y ma v ' " 

Mncque mensura claritatis = 20 y, si scilicet x in digitis exprimatur. 

Denique superest, ut spatium in obiecto visum accuratius determinemus, 
cuius semidiameter supra in genere ita est deflnita: 



ma - 
posito 



erit autem 

17 



ma = 



i + n 
ideoque 

W (q + *)(l+g 

J.U. - - ----- 



ita ut mine q et t ut negativae spectari debeant; nune autem adiungi debet 
prima aequatio fundamentalis 



= (P l)Jf- 
hincque 



ubi si loco Jf valor substitnatur, erit 

i ,, 
r 1 ); 



quod ad litteram r attinet, eius loco unitas accipi posset, si ultima lens esset 
utrinque aequaliter convexa; cum autem hinc proditura sit fere convexo- 



1) Editio princeps : q .^^ r, unde etiam sequentes formulae huius paragraph! pro m et 

corrigendae erant. Correct E. Cb. 

82* 



252 LIBEI TEETH SECTIO PEMA CAPUT H 6265 [6869 



plana, eius apertura ad dimidium reducetur, ita ut statui debeat r = ^; 
unde fit 



Mncque 

(3 + 81?) (1+1?). 



quocirca sumto = -|- habebitur semidiameter spatii conspicui 

(8 + 212X1 






qui campus tantus est, ut de eo nemo rationem habeat conquerendi. Turn 
autem semidiametri aperfcurae binarum posteriorum lentium debent esse 



, l+ 3 +2t h 

secundae 



... 1 3 h 

tertiae = r = , 
8 8m 

siqnidem M valores sint maiores iis, quos claritas postulat, quippe qui sunt 
pro secunda 



efc pro tertia 



SCHOLION 1 

63. Obiectioni hie occurrendum necesse videtur, quod in praecipua huius 
solntionis parte non ipsam formulam, qua semidiameter confusionis exprimi- 
tur, ad minimum valorem perduxerimus, sed aliam formulam, quae ab ilia 
satis notabiliter discrepare possit, praecipue si, ut ante fecimus, statuamus 
rj = -y , atque hoc quidem statim lubenter concedimus nos hoc modo semi- 
diametro confasionis non absolute minimum valorem induxisse atque adeo 
minorem eo, quern invenimus, erui posse, si quis laborem suscipere vellet 
ipsam- formulam litteras P et Q continentem secundum methodum maximo- 
rum et minimorum tractandi; turn scilicet pro litteris A et B alios valores 



6970] BE MICROSCOPIES SIMPLICIBUS PLUEIBUS LENTIBUS CONSTANTIBUS 253 



a nostris aliquantillum discrepantes esset inventurus, qui certe molestissimis 
formulis forent implicati, ut neque operae pretium esset eos evolvere neque 
ab artifice perfectissima exsecutio sperari posset. Nos autem Me valore 
invento, qui certe iam satis est exiguus, etsi non sit omnium minimus, con- 
tenti esse poterimus, si quidem inde eiusmodi microscopia adipiscimur, quae 
vulgaribus sirnplicibus longissime sunt anteferenda, cum mnlto maiorem cla- 
ritatis gradum largiantur, pro data scilicet distinctione, ita ut, si aliquid de 
claritate remittere voluerimus aperturam primae lentis aliquantillum restrin- 
gendo, turn maximum lucrum in distinctione simus consecuturi. 

COEOLLAEIUM 1 
64. Cum pro prima lente sit distantia focalis 

r> 3 Ifl 



et numeri 21 = 3 et 



^ 1 +YI m 

L, erit hums lentis 

anterior = JT- 



radius 



sicque erit 



radius 



posterior =- 

anterior = 
posterior == 






JP 



36 2 



COEOLLAEIUM 2 
65. Simili modo, cum pro lente secunda sit distantia focalis 

2 =( 3 + 2^)a = V^- A 
* v ' u 1 + ^ m 

et numeri 35 = 2 et A'=l, erit eius 

/ 

anterior = 



radius 



posterior 



> 6 
g. 



254 LIBRI TEETH SECTIO PEIMA CAPUT n 6567 [70-71 

Pro lente autem tertia ob 



anterior = 



posterior = 



erit eius 

radius 



COEOLLABIUM 3 

66. Quod ad intervaUa inter has ternas lentes attinet, ea assumta inter 
se aequalia et mine utrumqne inventum est =7?a==3-r , dum scilicet 

* 1 -T- ri wi 

obiectum ante lentem primam collocatur ad distantiam a == 4 , quae 

1 -j- 7] m 7 ^ L 

distantia ergo aliquanto minor est quam casu lentis simplicis et duplicatae. 

EXEMPLUM 

67. Parentur omnes tres lentes ex vitro communi, pro quo est ^ = 1,55, 
turn vero statuatur 7? = y et sumatur Jc = 20 et Ti = 8 dig. atque hinc pro 
quantitate x determinanda habebitur ista aequatio 

^ f 0,9381 x 1,44 x 1,4105 = 1 , 
quae evoluta dat a? = ?9 ^ 795 dig., unde sequens oritur 

Constructio huiusmodi microscopiorum 
I. Distantia obiecti ante lentem primam 

a _^ 20 = 6,666 ,. 
~ 3m ~ m ^ 

II. Pro lente prima, cuius distantia focalis ==jp=~ 3 erit 

anterioris = - -- = _ 0,37276^ 1^52. dig. 



radius faciei 






posterioris = = + 0,22218^ = + 21 dig., 



7172] DE MICROSCOPIES SIMPLICEBUS PLURIBUS LENTffiUS CONSTANTIBUS 255 

cui lenti tribuatur apertura, cuius semidiameter 

0,96795 ,. 

# = dig. 

m & 

HI. Turn ad distantiam 

4 ,. 1,3333 ,. 

^-sSr**-- 1 !^- 

locetur lens secunda, cuius distantia focalis est 

22,666 ,. 
ff = dig., 

Wit 

eritque 

' anterioris = -j^L- = 0,80257 q = I0 ' ltuo dig. 

posterioris - f-== + 0,32636^ = + J^JIi dig.; 



radius faciei- 






cuius aperturae semidiameter sit / dig;, 

m & 

1 O O Q 

et distantia ad lentem sequent em ut ante = dig. 

u m & 

IY. Pro lente tertia, cuius distantia focalis est r ===== die., erit 

m & ? 



radius faciei 



/> 

cuius apertura tanta esse potest, ut eius semidiameter sit = dig., 
huicque lenti oculus immediate adplicetur. 

V. Turn vero, cum sit 

6 1,1615 ,. 



anterioris - J = 5,2438 r = dig. 

V/ 5 X7Ul 



posterioris = - = 0,61447 r = - dig.; 



erit mensura claritatis == ^ , quae semisse maior est quam casu praecedente. 



i ftft 

1) Editio princeps: ~- Yide notam p. 251. Correxit E. Oh. 



256 LIBEI TEETE SECTIO PEIMA CAPUT H 6769 [7274 

VI Pro spatio denique obiecti conspicuo habebimus eius semidiametrum 



85 7,7273 *) 

m 



SCHOLION 2 

68. We quisquam miretur lioc casu spatium conspicuum tanto mains 
esse inventum 2 ) quam casu praecedente, is observet in casu antecedente lenti 
oculari non maiorem aperturam esse datam, quam gradus claritatis postulat; 
quod ideo fecimus, quod priori lenti adhuc exigua apertura tribui debebat 
ideoque hoc casu consultum erat ambas lentes non maiores efficere, quam 
ista apertura postularet, ut scilicet earum crassities eo minor redderetur. In 
praesente autem casu res longe aliter se habet, cum iam prima lens fere 
tantam aperturam requirat, quantam eius figura permittit; ex quo hae lentes 
necessario tantum discum habere debent, qui faciei curvioris arcum triginta 
graduum complectatur; ex quo etiam birds reliquis lentibus multo maior 
apertura tribui poterat. Verum hie in genere notandum est etiam casu 
praecedente campum apparentem iam tantum fore, ut quilibet de eo contentus 
esse possit. Quoniam autem hie primae lentis apertura fere iam tanta est 
inventa, ut eius figura maiorem non pateretur, inutile videri posset hanc in- 
vestigationem ulterius ad quatuor lentes prosequi, quandoquidem calculum 
simili modo instituendo multo maiorem valorem pro x essemus adepturi; 
verum ob hanc ipsam causam ista investigatio maximi erit momenti; quia 
enim hactenus litterae k maiorem valorem non tribuimus quam viginti, unde 
admodum modicus distinctionis gradus nascitur, nunc huius litterae valorem 
multo maiorem assumere poterimus, quo his microscopiis summus certe per- 
fectionis gradus inducetur idque sine ullo claritatis detrimento. Quaecunque 
enim adhuc per microscopia vulgaria sunt observata, semper baud exiguo 
confusionis gradu erant inquinata; ex quo, si eiusmodi microscopia nunc pro- 
ducantur, quae obiecta multo maiore distinctione repraesentent, ipsa obser- 
vatione multa nobis patefacient, quae adhuc erant incognita, ita ut non 
amplius multo maior multiplicatio tanto studio sit desideranda. 



1) Editio priuceps : = ^ = Vide notam p. 251. Correxit E. Ch. 

2) Magnitude huius spatii conspicui tanta evasit ob inacouratam.computationem quantitatis 
q ( 62). Ceterom ETJLERI annotatio etiam pro accurate valore numeri 8 valet. E. Oh. 



74-75] DE MICEOSCOPnS SBIPLICEBUS PLURIBUS LENTIBUS -CONSTANTIBUS 257 



PEOBLEMA 3 

69. Si microscqpium constet quatuor lentibus convexis et proxime inter se 
iunctis } eius constructionem investigare, ut pro data multiplicatione et dato distinc- 
tionis gradu obiecta maxima, qua fieri potest, claritate repraesentet. 



SOLUTIO 

Cum hie quatuor lentes occurrant, tria inter eas intervalla ita expri- 
miintur: 

Primum = Aa (l p-J, 



secundum = 

jT 

, , . ABC 

tertmm = 



quae cum esse debeant minima, quodlibet statuamus =rja, unde obtinebimus 

1 _ 1 TJ p _ A 

r^r = JL -- ~r SBU JL - ~~ A 

P A A y' 

deinde 

1 , . P^ ~ ( 

= 1 +z4 seu <?=(A 

tertio vero 



seu 



Cum iam omnes quatuor lentes debeant esse convexae sen earum distan- 
tiae focales p, q, r, s positivae, has adipiscimnr conditiones: 



unde primo colligimus 



s ""' 

LBONHARDI EULERI Opera omnia III 4 Dioptrica 33 



258 LIBRI TERTH SECTIO PEIMA CAPUT II 69 [75-76 

ita ut esse debeat 

__ = (_ i 

positivum, unde fit > 1, hinc C negativum ideoque AB positivum. Deinde 
cum sit 



debebit esse 

-|--l>0; 

unde patet fore 33 >1 hincque B<0 simulque A<0; deniqae cum sit 

P _ gP 
2 ~ 
etiam esse debet 



ergo 

>1 et ^<0. 

Quod ad margmem coloratum attinet, de eo non est opus ut simus solli- 
citi, ut iam supra annotayimus. Quare pro semidiametro confusionis hanc 
contemplemur aequationem: 



\ 



\ 1 

J ~ ' 



in qua omnes termini litteris A adfecti sunt positivi; unde huic formulae 
valor minimus vel saltim a minimo non multum discrepans conciliari debet; 
quern in finem primo litteris A, A', A", X" valor minimus = 1 tribuatur, cumque 
P, Q, ab imitate parum differant, eorum loco scribatur unitas et sequens 
formula ad minimum perducatur: 



existente 



_ 4- JL_i w 
SI 3 ^ A 31 ^"^ 



- 
J593 



ubi evidens est hanc formulam W omnino similem esse illi formulae, quam 
in praecedente problemate minimum reddi oportuit, hoc tantum discrimine, 



7677] DE MICROSCOPES SfflPLICIBUS PLUEIBUS LEFTEBUS COISTSTANTIBUS 259 

quod litterae B et C Me adhibitae ante erant A et B. Quaie iam novimus, 
ut liaec formula W fiat minima, capi debere 

$ = 3, j? = A = 2 et <7= 2; 

A 

quibus valoribus substitutis formula TF" fiet 

W- 1 

^ T 27 

Quocirca formula nostra ad minimum revocanda erit 

1_ _v ___ !_/_!_ _ 8v\ 
P" t "31f~3 ! \9 27/' 

quae differeatiata propter ^3(:^J. = S1 2 :J. 2 praebet 



._____ 

3l a ^St^J. J. 2 \9 27 

quae porro reducitur ad hanc formam: 

" ~ + J + 92V 



in qua si loco -^- scribatur eius valor 1 + j, prodibit 



qui posterior factor resolvitur in hos duos factores 



quorum prior nihilo aequatus dat 



posterior vero 



A = ideoque SI 4, 

o 



4- hincque 

j6 



83" 



260 LIBEL TEETE SECTIO PRIMA CAPUT H 6971 [7779 

qui ergo nostro institute non convenit. Quocirca pro valore minimo obti- 
nendo sequentes nacti sumus valores: 



ex quibus yalores supra inventi ita exprimentur 



___ 

""4 + 377* 4 + 57?' 4+6*? 

et distantiae focales 



a et 
Formula autem pro multiplicatione supra data hie fit 

T* S\ T> k 4 A 

w = PQB> = --- , 

^ a 4 + 677 a 

unde colligitur 



His igitur substitutis valoribus aequatio pro confusione tollenda hanc induet 
formam: 



(Q \ g 
1 + yTjJ 



quae loco JP, ^, jR valoribus substitutis abit in hanc formam: 



64 ft 8 
ita ut sit 



-^rj r (20+ r i 

unde facile valor ipsius x definitur; qui nisi maior prodeat, quam ut prima 
lens tantam aperturam admittere possit, dabit huius aperturae semidiametrum; 
sin autem maior prodeat, turn valor k eo usque augeatur, quoad prima lens 
hanc aperturam capere possit, sicque patebit, quanto distinctionis gradu haec 
microscopia futura sint praedita; scilicet lentibus definitis pro % sumatur valor 
maximae aperturae respondens ac turn ex hac aequatione valor ipsius k 



7980] DE MICROSCOPES SIMPLICIBUS PLURIBUS LENTIBUS CONSTANTIBFS 261 
eliciatur. Hoc itaque modo definite x pro gradu claritatis habebimus 

Mncque mensura claritatis 



De spatio in obiecto conspicuo hie nihil definio, cum certe sit maximum, si 
quidem singulis lentibus maxima, cuius capaces stint, apertura tribuatur. 

COROLLAEIUM 1 
70. Cum pro prima lente sit distantia focalis 

A 8 h 

p = 4a = - - --- 

* 2 + 3^ m 

et numeri SI = 4 et A = 1, exit 



anterioris = ? -- 

9 
posterioris == - r- 

~ 



radius faciei 



COEOLLARIUM 2 

71. Eeliquarum trium lentium constructio erit ut in problemate prae- 
cedente; pro secunda scilicet erit 

anterioris = _ ^ __ . 
radius faciei 9 ^ 

posterioris = r^ - r 

* P + 3((5~ P ) 

existente 



* 2 + 3*7 

Pro tertia lente erit 



anterioris = ? 

radius faciei J * 
posterioris = r-^j- 



existente 

_ 2(4 -\ 

T 2^37? 



262 LIBRI TERTTI SECTIO PEIMA CAPUT II 7173 [80 

Pro quarta denique lente 

anterioris = 
radius faciei I 

posterioris = 

existente 

2(4 + 6-)?) h 47& 



2 + 3?? m m 

COBOLLAEIUM 3 

72. Quod ad intervalla attinet, omnia sunt inter se aequalia, scilicet 
*; eorum igitur quodlibet erit 



quia scilicet obiectum ante primam lentem collocari debet ad distantiam 



m 



EXEMPLTJM 



73. Ponantur omnes quatuor lentes ex vitro communi confectae, pro 
quo n = 1,55; turn vero statuatur iterum r] == -~ et h = 8 dig., at vero k adhuc 
indefinitum relinquamus; unde habebitur ista aequatio: 

3,9381 x 1,69 x ( 0,2776) = 1, 



32 



ubi signum calculum non turbat, cum hie de quantitate absoluta sermo 

sit; unde reperitur 

7 42,0692 

' 



m 



unde iam patet, si caperetur Jc = 20, valorem ipsius x proditurum esse nimis 
magnum; quare x ex figura lentium et turn hinc valorem ipsius Jc investi- 
gemus, ut gradum distinctionis adcuratius cognoscamus. 



8182] DE MICROSCOPES SMPLICIBUS PLUEIBUS LEOTEBUS CONSTANTIBUS 263 
Habetur itaque sequens 

Constructio horum microseopiorum 
I. Obiecti ante lentem distantia 

80 6 ; 1538 ,. 



II. Pro lente prima, cuius distantia focalis 

24,6152 

P= - - 

* m 

erit 



anterioris = f = 0,242750 = L - dig. 

4,1194 wi 



posterioris = + = + 0,16842^ = + dig.; 



radius faciei 



cuius aperturae semidiameter sumi poterit x == - dig. ; turn vero pro gradu 
distinctionis erit Jc = 41 circiter; quare cum distinctio sequatur cubum ipsius fc, 
hie distinctio octies maior erit quam in casibus praecedentibus, ubi # = 20. 
Turn vero ad lentem sequentem erit distantia = 1? ^ 08 dig. 

III. Pro secunda lente, cuius distantia focalis q = ^^ dig,, erit 

anterioris = ^ ===== 0,3727 q = dig. 

radius faciei ; 

posterioris = + ff == + 0,2222 q === + dig.; 

cuius apertura priore aliquanto maior sumi potest. 
Distantia ad lentem sequentem est ut ante. 

IV. Pro tertia lente, cuius distantia focalis est r = ^^ dig. , erit 

anterioris = . r = 0,8025 r = 



,. . . 
radius faciei { 



, 
1,2460 m 

posterioris - + - + 0,3264 r = 






cuius apertura iterum aliquanto maior quam praecedens et intervallum ad 
sequentem est ut ante. 



264 LTSBI TEETH SECTIO PRIMA CAPUT H 73-75 [82-83 

32 

Y. Pro quarta lente, cuius distantia focalis est s = dig., erit 

, . . S KO.OO 167,8016,. 

antenons = ^^ = 5,2438 s - - dig. 

radius faciei 19,6630,. 

posterions = ^-^ = 0,6145s = ^ dig.; 

cuius apertura denuo aliquantillum maior, eique oculus immediate adplicatur. 

YL Pro gradu claritatis est y = 1,3 a? 1| ^ 73 dig., unde mensura clari- 
tatis fit 26 ' 946 , ita ut, nisi plus quam vicies sexies multiplicare velimus, adhuc 
plena claritate frui queamus. 

SCHOLION 

74. En ergo speciem microscopiorum simplicium, quae maximam atten- 
tionem mereri videtur, cum sine detrimento claritatis obiecta multo distinctius 
repraesentabunt, quam vulgo fieri solet. Interim tamen fateri cogimur haec 
instrumenta non ad praegrandes multiplicationes adplicari posse; si enim mul- 

tiplicationem m === 100 desideremus, lentes quidem adhuc facile parari possent, 

/ 

sed distantia obiectorura fieret tantum ^ dig., quae distantia utique nimis 
parva fieri posset, praecipue si obiecta non fuerint admodum laevia. Ceterum 
multiplicatio ad 150 vel 200 fortasse posset urgeri, si summa necessitas 
postularet. Deinceps autem eiusmodi microscopia composita proferemus, quae 
non solum aeque clare et distincte obiecta repraesentent, sed etiam maiorem 
elongationem obiectorum admittant. Quoniam autem in hoc capite lentes 
tantum convexas sumus contemplati, nunc etiam lentes concavas introducamus, 
quibus adeo effici poterit, ut confusio penitus evanescat; sed aliud incom- 
modum exsecutionem turbabit, dum scilicet lentibus nimis exiguis erit opus, 
quemadmodum in capite sequente videbimus. 

ANNOTATIO 

75. In hoc exemplo singulari attentione dignum evenit, ut formula pro 
confusione prodierit negativa; evidens autem est earn sive maiorem sive 
minorem prodituram fuisse, si litterae ?? alius valor fuisset tributus; quin etiam 
haec confusio plane ad nihilum reduceretur, si rj ita acciperetur, ut fieret 
haec formula: 

4 + ^-^(20-, 



83-84] DE MICROSCOPIES SIMPLICIBUS PLUEIBUS LENTIBUS CONST ANTIBUS 265 



unde pro casu exempli sequeretur 



7 1 \ 



1,3040 
3,7436 



0,34833; 



hoc est propemodum, si sumsissemus 77 = y Praeterea yero alio modo haec 
confasio ad nihilum reduci posset, si scilicet pro prima lente numerum A non 
unitati aequalem, sed A = 1 + a) posuissenms; turn enirn in formula ilia primus 
terminus 4 particula a> augeri deberet, ita ut prodiret in casu exempli 
a> 0,2776, unde foret w = 0,2776 primaque lens ex numero A = 1 + CD = 1,2776 
construi deberet reliquarum lentium constructione eadem relicta. Pro prima 
igitur hac lente substitui poterit haec constructio ob rY(h 1) 0,4768: 



( anterioris 



radius faciei 



I posterioris 



seu 



radius faciei 



p p 

4^1194 0^4768" 3,6426 

P = P 
5,9375 0,4768 5,4607 

6,758 



anterioris = 0,27453 $ = 



dig. 



posterioris 



0,18312^ 



m 



quodsi ergo haec lens in exemplo allato loco primae lentis substituatur, 
reliquis omnibus servatis his microscopiis adhuc maior perfectionis gradus 
conciliabitur, praecipue cum iam prima lens maiorem aperturam admittat. 



LBONHAEDI EULEEI Opera omnia ]H4 Dioptrica 



CAPUT in 

DE MICEOSCOPES SMPLICIBUS 

AB OMM PLANE COKFUSIONE IMMUNIBUS 

SIVE EX EODEM SIVE EX DIVEESO VITEI GENEEE 

CONSTANTIBUS 

PEOBLBMA 1 

76. Si microscopium dudbus lentibus prior e concava, posterior e vero convexa 
proxime inter se iungendis constet, efficere, ut confusio ab apertura oriunda penitus 
destruatur. 

SOLUTIO 

Quoniam hie duae tantum lentes occurrunt, earum intervallum =Aa(l. 4 
latur 
cales sint 



statuatur minimum =rja hincque fiet P=- A ; deinde cum distantiae fo- 

A. 7] 



p = 3la et q = -^ ' a > 

ob lentem priorem concavam debet esse 31 negativum hincque etiam A < 0; 
quare secunda lens sponte fit convexa ob SB = 1. Multiplicatio porro ita ex- 
primetur, ut sit m = P ~ ; unde colligitur distantia 



ita ut distantia obiecti etiam minor sit capienda quam Nunc ut confusio 



86-87] BE MICKOSCOPIIS SIMPLICIBUS AB OMNI CONFUSIONE IMMDN3BUS 267 
ab apertura oriunda ad nihilum redigatur, huic aequationi satisfieri oportet: 

A , ^ ___ *L_ 

31 s 



siquidem ambae lentes ex eodem vitro conficiantur. Sin autem ex diverso 
vitro parentur, pro secrmda lente loco fjb scribatur /u et habebitur haec 
aequatio : 



21 s "" AV. 

Quern casnm hie evolvamus, quandoquidem casus vix fit complicatior, atque 
ex hac aequatione definire poterimus sive A sive A'; fiet scilicet 



ita ut littera 31 adhuc arbitrio nostro relinquatur, dummodo negative capiatur; 
quare hanc litteram ita definire licebit, ut etiam altera confusio a diversa 
refrangibilitate oriunda tollatur; quern in finem si, ut supra fecimus, pro 
prima lente statuatur _^ 1 = N et pro secunda ^^ = N', liuic aequationi 
erit satisfaciendum: 

= JV.|j .-, 
ex qua colligitur 



ita ut ob P = 1 proxime fiat 



qui valor cum esse debeat negativus, necesse est, ut sit N' < N. 

Sumamus igitur priorem lentem concavam ex vitro crystallino, posteriorem 

o 

vero ex vitro coronario confici et ob N:N'=W:7 fiet 21 = y, quo valore 
contenti esse possumus. Sin autem exactiorem desideremus, loco P eius 
valorem substituamus et nostra aequatio fiet 



268 LIBRI TEETH SECTIO PEMA CAPUT in 76-80 [87-88 

quae sumto ut ante rj = y dabit 



__ _____ 

~ 20 400 50' 

qui valor manifesto est imaginarius, ita ut huic condition! satisfied nequeat, 
nisi distantia ??a multo minor capiatur, scilicet sumi deberet ^<^; quia 
antem tantilla distantia in tarn exiguis lenticulis locum habere nequit, etiam 
hanc conditioners perfecte implere non licebit. Contentos igitur nos esse 
oportebit valore saltim prope satisfaciente, praecipue cum ipsa rei natura 
non permittat, ut huic condition! plene satisfaciarnus ; ac suniamus, ut ante 
repperimus 



l, ut sit A = -~ 



9 _fe = _3^ J^ 
* m ' 2 ~ 10 " m 



Mncque 

Mncque distantiae focales 



Pro confusione autem tollenda sumi debebit 

p' 10 3 3 + 107? .,,30 
A ^^ f ~7^' 3 / + 49^' 

in qua forma si sumatur A r = 1 et litterae ^, // et ?/ convenienter assumantur, 
reperietur 

0,9875 10 s 3 + 109? 30 ^ q qm / 10 \ 30 , 

'T^ 1 - 8 - - + ^ 0,2529 - 3,3001 ^1 + T ^ + 49 -0, 



= 3,3001 + 11,00037? + 0155 
seu 

A = 3,4551 + 11,0003 ??, 

ex quo constructio prioris lentis peti debet. 

COROLLABIUM 1 

77. Cum sit 

JL ft _ 3 ^ 
"" A T? *m~ 3 + 107? "m ? 



8890] BE MICROSCOPIES SIMPLICIBUS AB OMNI CONFUSIONS IMMOSIBUS 269 

patet distantiam obiecti notabiliter He minorem fore quain casu lentis sim- 
plicis, ubi erat a = ; nam si sumanms ?? = -|- ? prodit & = y-^; neque vero 
pro 7i minor valor accipi potent. 

COEOLLAEIUM 2 

78. Hoc ergo modo prius eorum incommodorum in vicinitate obiecti 
consistens, quae supra commemoravimus, hand mediocriter augetiir, posterins 
vero Me quidem penitus tolletur snblata confusione ab apertnra orinnda; 
verum distantiae focales lentinm tarn finnt exiguae, nt posito T; = -y prodeat 

9 h , 3 A 

<Y\ . p"h /v . 

* 35 m * 10 m' 

cnm pro lente simplici fuisset p = - 

SGHOLION 

79. Deinde etiam hoe non parum obstat, qnod, etiamsi dnas vitri species 
adhibeamns, tamen altera confnsio tolli neqneat atqne adeo ad valores ima- 
ginarios perveniatur; nnde hac specie repndiata ad alteram evolyendam pro- 
grediamnr, qua lens posterior concava assumitur. 



PROBLEM! 2 

80. Si microseopium constet duabtts lentibus, quarum prior convexa, posterior 
vero concava, efficere, ut confusio ab apertnra oriunda evanescat. 

SOLUTIO 
Posito lentium intervallo == t] a flet ut ante P A __ , et cum sint 

A 

distantiae focales p = Sta et q = p- a, tarn SI quam A erunt numeri posi- 
tivi ideoque SI < 1. Multiplicatio vero dabit 

T, h T> h Ah 

m = P - seu a = P - = - A 

a m A y m 

Confusio autem ab apertuifa oriunda, si ambas lentes iterum ut ex diver so 



270 LEBRI TEETH SECTIO PEIMA CAPUT HI % 80-83 _ [9091 

vitro factas consideremus, evanescet, si fuerit ut ante 
vel A-^.-^^-A'- 

oi r_ * f a 4- 
vei / -,- ( 1 _%y-*-t- M - - 

adeoque adeo altera confusio evanescit, si fuerit 

o-Ty.i-^.i 

u 2f P A 

hincque 



unde, quia 21 <1 et 1 21 <1, debet esse N'>N, qnamobrem Me lentem 
primam ex vitro coronario, secnndam vero concavam ex crystalline parari 
conveniet, ita ut fiat 1 31 = P, ad quod requiritur, ut sit ^P<1, quod 





ideo notari oportet, quia P>1; seu esse debet P < y ideoque ^-_r^ < y ? 
consequenter < ^ Huic igitur aequationi si adcurate satisfacere velimus, 
debet esse < ^5 unde, si sumamus -2- == --, fiet P=y t^ 110 ^ 116 1 8t = Jg 
et 21 = ^ ideoque J. = ^ et ^? = ^ ? ex quo distantia lentium prodit 

autem in praecedente capite assumsimus circiter 



intervallum 7ja==y- , patet tarn exiguum intervallum in praxi locum 
habere non posse, ita ut nostro casu alteram confusionem tollere non liceat. 
Prorsus igitur isti conditioni renunciare oportet, ita ut iam perinde sit, sive 
lentes ex eodem vitro sive diverso conficiantur; fiant igitur ex eodem vitro 
quocunque, ita ut sit [i'=[i, et pro prima confusione tollenda, quoniam 2t 
non nimis parvum sumi convenit, statuamus St = Y hincque -4 = 1; unde fit 

P=- - et a = ~ --- - et P = ~- ^ q = (l rt}a, 
1 ^ 1 y m Z 2 a \ u 

Quodsi nunc statuamus rja^^-p, sumi oportebit ^ = ^ sicque fiet 

P-" a = ^-A, jp.^.A et tf A. 

9' 9m yjr 9m ^ m 



91-92] DE MICROSCOPES SIMPLICEBUS AB OMNI CONFUSIOXE IMJfTJNIBUS 271 
Confusio prior itaque evanescit, si sit 

r = A4- 
unde facile erit lentes construere. 

COBOLLABIUM 1 

81. Pro lentium igitur construction, si vitrum adhibeatur commune, 
pro quo est ^ = 1,55 et v = 0,2326, si sumatur A = l, erit 

r = 9,406, unde fit rV(X 1) = 2,6242 x ). 

COEOLLARIUM 2 

82. Pro prima igitur lente, cuius distantia focalis est p = -| ^ = -^ dig. 

H 

ob ~h = 8 dig. numerique 21 == y et A = 1 , habebitur 

anterioris = g _^ g _ g) = ^K = L1001 p = ^ dig. 



radius faciei 

j. P P 

postenons = 



ita ut haec lens sit utrinque aequaliter convexa. 

COEOLLAEIUM 3 

nca 
numeri 35 = 1 et A' = 9,406, erit 



Q 

83. Pro altera lente concava, cuius distantia focalis q = dig. et 



radius faciei 

posterioris = , ^,1, - = -^=^ = - 1,00321 2 = + -- 



1) Editio princeps: 2,7758; hie valor autem non est T)/(>I' 1), sed ty^'. Correxit E. Ch. 

2) Editio princeps: j^g == 0,33710 3 = ^ dig. Correxit E. Oh. 

3) Editio princeps: fjjfj^ 0,87288^ =-^ dig. Correxit E. Oh, 



272 LIBRE TEETH SECTIO PRD1A CAPUT HI 8486 [9293 

GOUOLLAEIUM 4 

84. Intervallum inter has duas lentes statui ergo debebit 

1 h 0,889 ,. 



obiectura autem ante lentem priorem est collocandum ad distantiam 

80 ,. 8,89 



9m 



quod autem ad aperturam attinet, earn ex minimo radio ambarum lentium 
defirdri oportet sicque eius semidiameter sumi poterit 







Hinc pro claritate fiet y = = -^-, unde mensura claritatis, ut supra est 

Jr y ma 5^1' *> 



stabilita. = 

* 



SCHOLION 



85. His ergo microscopiis priori incommodo supra memorato medela 
affertur, dum obiectum ad maiorem distantiam removere licet; contra vero, 
quia lentes multo minores requiruntur ? quae propterea non nisi minorem 
aperturam admittunt, claritas minor prodire debet, qui defectus ea qualitate, 
quod confusio prior penitus tollitur, vix compensari videtur. Maximum vero 
lucrum. in hoc sine dubio situm esset futurum, si etiam alteram confusionem 
tollere licuisset, quandoquidem solis lentibus convexis adhibendis de hoc ne 
cogitari quidem poterat. Quoniam igitur hoc lucrum duabus lentibus obtineri 
non potest, examinemus casum trium lentium, inter quas tma sit concava, 
quae, uti facile ex praecedentibus intelligitur, ex vitro crystallino parari 
debet, dum reliquae ex coronario conficiuntur; turn vero etiam nullum dubium 
superesse potest, quin hanc lentem concavam loco tertio constitui conveniat. 



1) Editio princeps: # = dig. = - dig. Vide notam 2 p. 271. Oorrexit E, Oh. 

Yl O Wl 



93-94] DE MICEOSCOPnS SIMPLICIBUS AB OMNI CONFUSIONE IMMUNIBUS 273 



PROBLEM! 3 

86. Si microscopium constet tribus lenti'bus, inter quas tertia sit concava, binae 
anteriores vero convexae, efficere, ut confusio ab a/pertura oriunda penitus destruatwr. 

SOLUTIO 

Ponantur iterum bina intervalla inter has lentes utrumque ==77 a ac 
habebimus uti in problemate 2 capitis praecedentis 



" ~~ A -7i ' v (4 - 
Turn vero, cum distantiae focales sint 

AB 



, 
_ g= -- p--a et 

prime debebit esse 21 > 0, et quia est 



__ 
r ~ B ' 

ob q > et r < debebit esse 

S->0 sive 1 93 >0 sen 93 <1. 

X> 

His autem conditionibus duplici mode satisfieri potest: 

I. Si SC<1 ideoque A>0; atque fiet SB <0 et J5 < 0. 
II. Si 21 >1 hincque ^ <0, fiet B > et 58 > 0, attamen SJ<1. 

Priore casu prodit P>1 et Q>1, posteriore vero casu fit P<1 et 
$>1. Utrum autem PQ fiat mains an minns nnitate, non definitur. 
Mnltiplicatio m antem dabit a = PQ~, pro qua conducit, ut PQ notabiliter 



nnitatem snperet, qnod evenit casu priore, ubi est P>1 et Q>1. 

Nunc vero incipiamus a confusione posteriore ad nikilum redigenda, quae 
praebet lianc aeqnationem, quandoquidem assumimns N* = N pro vitro coro- 
nario, dnm N" ad vitrnm crystallinnm referatur: 



81 P J.S3 ^P$ JJ3 

LEONHARDI EULEBI Opera omnia ni4 Dioptrica 35 



274 LIBEI TEETE SECTIO PBIMA OAPUT HI 86-89 [9596 

Si igitur duae priores lentes convexae ex yitro coronario, tertia vero ex 
crystallino sint factae, ut sit N:N"=1:IQ, habebitur 



a PA%^ 1 PQAB' 
in qua si loco P et Q valores ante inventi substituantur, prodibit 



~~ ~ ~A*W ~~ 7 
qaae aequatio evoluta abibit in hanc formam: 



q O 

unde patet, si esset rj = 9 fore AB == y ideoque r = ^po'^? ^ a u ^ s ^ 
r<~a ob P$>1. Sed qnia casus 77 = locum habere nequit, dum 
potius b.uic litterae valor satis modicns tribui debet, tribuatur aequationi in- 
yentae haec forma: 



ubi eyideiis est litteram ?j maiorem esse non posse quam 

9 



siquidem haec altera confusio prorsus debeat eyanescere; qui limes cum sit 
yalde exiguus, statuamus 



28 (7 5 2 3^+ 10) 
Q 
fietque AB jj sicque r duplo minor quam ante, id quod praxi maxime 

obest. Cum autem non absolute necessarium sit istam confusionem prorsus 
ad nihilum redigere, res ita poterit propord ; ut posito AS = ~r pro 77 
tantus capiatur valor, quam circumstantiae permittunt, etiamsi is maior sit 
futurus limite hie praescripto. 

His observatis tandem prior confusio ad nihilum redigatur, id quod fit 
ope huius aequationis: 



. 

M 



ex qua numerus X' definiri conveniet sumtis >l = 1 et A'=l. 



96-97] DE MICROSCOPES SIMPLICIBUS AB OMNI CONFUSIONS IMMUNIBUS 275 

COROLLAEIUM 1 

87. Utcunque igitur intervallum rja assumatur, haec microscopia semper 
isto defectu laborabunt, ut tertia lens fiat nimis parva, scilicet fere quintuplo 
minor, quam si lente simplici uteremur. Quare cum parvitas lentis maiores 
multiplicationes impedivisset, Me casus multo minus erit aptus maioribus 
multiplicationibus producendis. 

COROLLABIUM 2 

88. Deinde etiam limes praescriptus pro r\ nimis parvum praebet valo- 
rem, quam ut in praxi locum babere possit, etiamsi littera B arbitrio nostro 
permittatur; valor enim ex illo limite deductus 

9 

maximum adipiscitur valorem, si capiatur .5 = ^, qui propterea erit ^^^TI 
seu proxime 77 = ~ , qui manifesto nimis est parvus ? quam ut in praxi ad- 
mitti possit. 

SCHOLION 1 

89. Parum igitur fructus baec microscopiorum species pollicetur, etiamsi 
utramque confusionem ad nibilum redigere liceat, cum, utcunque litter ae A 
et J5 definiantur, tam ipsae lentes nimis prodeunt exiguae quam lentium 
intervalla nimis parva. Sin autem confusionem a diversa refrangibilitate 
oriundam non curare velimus, egregia bine microscopia deducere licebit, inter 
quae sequens potissimum species nostram attentionem mereri videtur. 

Statuatur scilicet 81 = 1, ut sit A = c*o; sumatur porro J3 = ? ita ut 
sit AB = 6, hincque elementa nostra ita definiantur: 

P=l Q = . 

et 

ubi 6 facile ita sumi potest, ut hae distantiae focales non fiant nimis parvae 
atqne t\ etiam nostro arbitrio permittatur. Turn vero erit distantia 



_ 

& t] m 

35 



276 USBI TEETn SECTIO PEIMA CAPUT III 8998 [97-98 

Nunc autem perinde erit, siye omnes lentes ex eodem vitro sive ex diverse 

Q 

parentur; interim tamen si 6 non multum a valore supra dato abludat, 
non parum lucri consequemur, si tertiam lentem ex vitro crystalline paremus, 
dum binae anteriores ex vitro coronario conficiuntur, quippe quo facto altera 
confasio saltim diminuetur. Turn autem pro ipsa lentium constructione haec 
aequatio est resolvenda: 



unde sumtis /I = 1 et A' = 1 colligitur 

= 0,9875 4 A, _1\ 

0,8724 "0 97 V """ 0V' 

cuius solutionis exemplum afferre non pigebit. 

EXEMPLUM 

90. Sumatur ?? = y et sit # = 1; atque hinc habebimus 

p =1 Q = 1 = 5 ? 

? 1 ?? 4 ' 

= = = 4_ 

5 

existente a = -'' Turn vero aequatio resolvenda pro hoc casu dabit 

, //= ; 9875 A 28800- 

~" 0,8724 2 ~ ' } 

ex quo pro vitro crystalline colligitur 

rVr 1 1,1870. 
Unde obtinetur sequens constructio microscopii trilenticularis. 

I. Prima lens ex vitro coronario paratur; cuius distantia focalis cum sit 

_ _ JL A _ 12 <r 
4 m m ' 

et numeri 21 1 et A = 1, erit 

anterioris = = -~ = 4,4111 p = l dig. 
radius faciei< * ' m 

posterioris = = T~nr = 0,6024jp = ~ dig. 

o I,bo01 W 



99100] DE MICROSCOPIES SIMPLICIBUS AB OMNI CONFUSIONS IMMUNIBUS 277 

II. Pro secunda lente etiam ex yitro coronario paranda, cuius distantia 
focalis est 

5 7^ 10 ,. 
gr = a = ~ --- = dig. 
* 4 m m & 

et numeri SB = et A' = 1, erit 

fanterioris = = = 0,6024 , = dig. 



radius faciei I 

posterioris = == ^ = 4,4111 q = - dig. 

III. Pro tertia lente ex vitro crystallino paranda, cuius distantia 
focalis est 

4_ 1\ L _ 8^ 

5 mm 

et numeri K 1 et A" =2,8300, erit 

anterioris - __r__ = T ^ = OJ5278r = -^ dig. 

radius faciei 

' posterioris __ : J___ 7 ^_ 2,5272r ^ dig. 



IV. His lentibus confectis intervallum inter binas statuatur 

1 2 ... 
= a = dig. 
5 m 

et obiectum exponatur ad distantiam a = dig. 

V. Cum confosio prior sit nuUa, his lentibus tanta apertura tribui 
potest, quantam earum figura permittit; quare, cum minimus radius sit 
dig., statuatur semidiameter aperturae ^ = ~^ dig-> unde pro claritate erit 

~hx 4 1,20 ,. 

y = = x = dig. 
y ma 5 m G 

hincque mensura claritatis = 20 y = - denotante 1 claritatem plenam. 

SCHOLION 2 

98 l ). Si hanc speciem cum iis, quas in praecedente capite invenimus 
comparemus, haec species praerogatiyam meretur tam ratione distantiae' 

1) In editione principe loco numerorum 91 et qui sequtmtur falso niimeri 98 et qtii sequuntur 
script! stint. E. Ch. 



278 LEBRI TEETH SECTIO PBDiA CAPUT HI 98 [100 

obiecti, quippe quae Me est aliquanto maior, quam ob earn causam, quod 
Me etiam altera confusio non mediocriter diminuatur, quae ante ne in com- 
putum quidem est ducta. Verum si ad magnitudinem lentium attendamus, 
illae species, quae praecipue quatuor lentibus constant, longe anteferri 
merentur, cum ibi lentium distantiae focales multo sint maiores ideoque ea 
mieroscopia ad multo maiores multiplicationes accommodari possint, nisi forte 
nimia obiecti vicirdtas obstaret. Neque igitur opus esse censeo hanc tracta- 
tionem adhuc ad plures lentes extendere, cum vix maior perfectio in micro- 
scopiis simplicibus exspectari queat. Quare si quis maiores perfectiones desi- 
deret, necessario ad mieroscopia yere eomposita confagere debebit, quando- 
quidem hac compositione binis supra memoratis incommodis erit occurren- 
dum. Primo scilicet, ut non opus sit obiecta tarn prope admovere, deinde ut 
non tarn exiguis lenticulis indigeamus, etiamsi multiplicationem maximam 
requiramus; in hoc enim mieroscopia eomposita potissimum simplicibus ante- 
cellunt, ut eorum ope multiplicatio quantumvis magna produci queat. 



SECTIO SECVNDA. 

DE 

MICROSCOPIIS 

COMPOSITIS, 

IN Q.VIBVS NVLLA IMAGO 

REALIS OCCVRRIT. 



PROBLEM! 1 

99. Datis tarn multiplicatione m quam distantia obiecti ante lentem oUectivam 
microscopium ex duabus lentihus construere, quarum obiectiva sit convexa, ocularis 
vero concava. 

SOLUTIO 

Cum distantia obiecti a detur aeque ac multiplicatio m, casus duarum 
lentium statim praebet hanc aequationem m = P- ; unde definite 



Mnc distantiae focales ambarum lentium erunt 

or Ah 

<p = 2la, q = ; 

JT 73. m 

unde patet tarn 21 quam A esse debere positiva, ad quod sufficit, ut A sit 
positivum. Intervallum vero lentium erit 

li\ = A_ 

ma) m 



ex quo perspicuum est esse debere ma>h seu w>> \ alioquin enim huius- 
modi microscopia locum habere non possent. Deinde pro spatio in obiectis 
conspicuo habebimus eius semidiametrum 



ma 



Si igitur sumamus ^ = et q = l, qui est casus, quo lens ocularis maximam 

LBONHARDI EUL^EI Opera omnia III4 Dioptrica 36 



282 LIBRI TEETH SECTIO SECUJSHDA 99-102 [104105 

aperturam admittit ideoque utrinque aeque est concava, turn ergo erit 

all 



4 ma h 

Quod vero ad locum oculi attinet, ex superioribus formulis generalibus 
colligimus 

~~ Wa "m* 
est vero 

-b = = 

"~ P ~ m 

et 

w _ q 7 7 

J.KL ==:= ^ /& 

ma h 
sicque fit 

~ AJi(ma A) t 



quae distantia cum sit negativa, oculum lenti oculari immediate adplicari 
oportet; unde ut margo coloratus evanescat, satisfieri debet huic aequationi: 



quod cum fieri nequeat, perspicuum est marginem coloratura neutiquam tolli 
posse; multo minus ergo haec confusio posterior penitus tolli poterit; prior 
autem confusio insensibilis reddetur ope huius aequationis: 



A 
quae ergo abit in hanc formam: 



ubi cum lens ocularis debeat esse utrinque aequaliter concava, si pro ea 
vitri specie, ex qua lens ocularis couficitur, capiantur numeri respondentes 
?', o et J, erit A'=l + (~^-) 2 . Ex hac autem aequatione definiri debet 
semidiameter aperturae lentis obiectiyae x, erit scilicet 



105106] DE MICROSCOPnS COMPOSITTS UST QUTBUS NULLA IMAGO REALIS 283 

nisi forte Mnc pro x prodeat valor maior, quam lentis figura permittit; hinc 
ergo casus utilissimus foret, si fieri posset 



I*, 



ad quod idoneum valorem pro 2t vel A quaeri oporteret, quod quidem pro 
non adeo magnis multiplicationibus fieri posset; at si multiplicatio m esset 
praegrandis, deberet A(l -f- -4) 3 + vA(A + 1) aequari fraction! valde parvae, 
quod, cum A > 0, fieri non potest. Quicquid autem sit, invento valore ipsius 
x gradus claritatis erit y = ^- et mensura claritatis ^??_i?; unde eo magis 

7/6 C tit Of 

curandum est, ut x non nimis parvum adipiscatur valorem. 

COEOLLAEIUM 1 

100. Hinc patet, ut x maiorem nanciscatur valorem, plurimum conducere, 
ut litterae A parvus [tribuatur valor 1 ); sed hunc valorem nimis parvum assumere 
non licet, quia turn lens ocularis nimis fieret parva, ita ut A vix unitate 
minus accipi conveniat. 

C0ROLLAEIUM 2 

101. Cum formula A(l + -^) 3 + rA(A + 1) certe sit unitate maior, quia A 
unitate minus esse nequit, atque adeo ultra 8 exsurgere debeat, haec con- 
fusio penitus tolli non poterit, nisi haec formula ~"^~ quoque 8 superet, 

hoc est, nisi ob ===== 1 proxime fuerit 

> 8 seu m < 



ma ' Sa 

COROLLAEIUM 3 
102. Haec clariora fient, si posito h = 8 dig. sumamus a = -^ dig.; et cum 

o 

sit circiter A'=y, limes modo inventus daret m<6; quae multiplicatio tarn 
exigua ne huiusmodi quidem microscopiis produci potest, quare nunc pro 
certo affirmare licet -istam confusionem neutiquam tolli posse. 



1) Hoc falsum est; contrarium valet. Tide 103. E. Oh. 



284 LEBRI TEETH SECTIO SICUEDA 102a-102b [106-107 

EXEMPLUM 1 

[102 a] 1 ). Si distantia obiecti debeat esse -J- dig. et ambae lentes ex vitro 
communi w = l,55 parentur, turn vero statuatur A = l bincque $ = Y , 
babebimus primo distantias focales lentium 

p-a-idig. et 2 dig. 



lentiumque intervallum 



Spatium vero in obiecto conspicuum erit 

Wl 32 

Denique si ut hactenus sumarrras Tc = 20, postrema aequatio erit 

-32A') = ^ff 



Hie autem, nt iam saepe vidimus, est /= 1,6299; praeterea vero cum sit 
A = 1 et proxime /u, = 1, inveniemus 



_ 

20 r 16 ; 9304m 104,3136 

Si ergo fuerit m = 100, jfiet primo 

=di. et g dig. 



et lentium intervallum 

-i * 

= ioo g ' 
et 

*-^dig. f 

turn vero 

/p = 0,0043 dig., 

unde fit 

y ^1 a? 0,0014 dig. 
^ 100 

et mensura claritatis 0,028, quae circiter triplo minor est quam in'microscopio 
fere simplici 

1) la editione priacipe Jbiuius et sequentis paragraph! numeri omissi sunt, qnare hie numero 
praecedeatis paragraph! adiectis litteris a et 6 desigaantur. E. Oh. 



107-108] DE MICROSCOPES COMPOSITIS IN QUIBTJS MJLLA IMAGO REALIS 285 

E5EMPLTJM 2 

[102 b]. 1 ) Maneant omnia uti in exemplo praecedente, praeterquam quod 
litterae A valor multo maior tribuatur, ut videamus, quomodo confusio turn 
futura sit comparata. Statuatur ergo J. = 5 fietque 2l = y et distantiae 
focales ercmt 



quia ut ante manet 
et lentium intervallum 



5 - h 
a, a = 5 

6 * m 



p ma 

JL = -^ 5 

h 



5 , 
= (ma 



turn vero pro spatio conspicuo erit 

1 aJi 



fl - . 

4 ma h 

nt ante. Tit denique confusio non sentiatur, debet esse 

/21GAm . 6vm 8 A" \ 1 ^ 
-125" + -2^-125^^ 10 Va 



Sumto igitur iterum a = Y<iig'j A = l et A' =1,6299, siquidem ambae lentes 
ex vitro communi n = 1,55 conficiantur, et posito /u, = 1 habebitur 



1 



20 V 3,568m 0,8344 
Si ergo fuerit m = 100, fiet 



24 

et lentium intervallum 

_ 17 

~ 20 

et 





34 



1) Vide notam p, 284. E. Oh. 



286 LIBRI TEETH SECTIO SECUNDA 102b 104 [108110 

Turn vero 



unde fit 

y = 0,00226 dig. 



et mensura claritatis = 0,0452. 



SCHOLION 



103. Si haec duo exempla inter se conferamus, sequentia observanda 
occurrent : 

1. Videmus plurimum interesse, ut litterae A maior valor tribuatur, quia 
turn expressio pro confusione mnlto fit minor, ita ut littera x turn maiorem 
adipiscatur valorem, ex quo simul maior claritas obtinetur; quo maior enim 
littera A accipitur, eo propius littera 21 ad unitatem accedit, ex quo primus 
terminus ^- 8 yix unitatem superabit, qui, dum erat A = 1, ultra 8 exsurgebat. 

2. Deinde etiam valorem ipsius A augendo lens obiectiva fiet maior, dum 
eius distantia focalis p ad distantiam obiecti a continuo propius accedit. 

3. Maximum autem commodum cernitur in lente oculari, quae hoc modo 
ad lubitum nostrum augeri poterit, quantumvis magna fuerit multiplicatio. 
Fieri adeo potest, ut haec lens datam distantiam focalem adipiscatur veluti 
unius digiti; turn scilicet A- ponatur =1 dig. et ob Ji = 8 dig. capi debebit 
J. = ~; turn quidem longitudo instrumenti maior evadet, scilicet =~^(ma ti), 
sed vix unquam ea tanta erit, ut non facile tolerari possit. 

4. In his quidem exemplis assumsimus distantiam obiecti a = i dig,, 
sed nihil impedit, quominus hanc distantiam maiorem assumamus, quo ipso 
usus horum instrumentorum multo commodior redditur, dum praecipuum 
commodum, quod a microscopiis compositis exspectamus, in eo est situm, ut 
non opus sit obiecta tarn prope ad instrumentum admovere; quia enim 
littera a arbitrio nostro permittitur, earn tantam assumere licebit, quantam 
lubuerit. 

5. Verum quo maiorem hanc distantiam a accipiamus, fateri cogimur 
claritatis gradum inde diminutum iri; quod quo clarius appareat, perpendamus 
valorem litterae x reliquis litteris iisdem manentibus proportionalem esse 

o *> 

formulae yo? seu potestati a 8 , ita ut, quo maior distantia obiecti statuatur, 



110-112] DE MICROSCOPIES COMPOSITIS IN QDTBUS NULLA IMAGO REALIS 287 

etiam apertura lentis obiectivae maior sit proditura; quod in se spectatum 
pro non exiguo commodo est habendum; at pro gradu claritatis, cum sit y 
formulae proportionalis, claritas proportionalis fiet formulae ^-, ita ut 

a ya 

ea decrescat in ratione subtriplicata distantiae obiecti a; vernm haec ipsa di- 
minutio non adeo est pertimescenda, dum, si distantiam obiecti adeo octuplo 
maiorem accipiamus, claritas tantum duplo fit minor, atque ex bis perspicuum 
est, quantopere microscopia composita simplicibus antecellant et quanta com- 
moda ab iis exspectari possint. Interim vero haec species microscopiorum 
hie tractata adhuc ingenti defectu laborat, quod a margine colorato liberari 
neutiquam potest. Quocirca videamus, an unam pluresve lentes insuper adii- 
ciendo istud vitium tolli queat. 



PBOBLEMA 2 

104. Inter lentes obiectwam et ocularem praecedentis microscopiorum speciei 
novam lentem ita inserere, ut margo coloratus ad nihilum redigatur. 

SOLUTIO 

Quoniam igitur hie tres habemus lentes, earum distantiae focales ita 

erunt expressae: 

.493 AS 



quarum cum prima debeat esse convexa, erit t>0 ; et cum tertia debeat 
esse concava, erit AB<0 ideoque altera litterarum A et B positiva, altera 
negativa ; de lente enim media nihil adhuc definiamus ; iutervalla porro harum 
lentium erunt 

A ft i\ 4. j. A]Ba it 1 

prius = Aa( 1 -= 1 et posterius = --- p ( 1 ~^ 



unde patet esse debere $>1. Multiplicatio vero m dabit 

Nunc autem id consideremus, quod nobis est propositum, scilicet ut 
margo coloratus evanescat. Quoniam distantia oculi prodit negativa, satis- 



288 TTKRT TEETH SECTIO SECUNDA 104108 [112113 

fieri oportet huic aequationi: 

= N(A + l)Bx - ^ ((S + l)r + q), 

quern in finem spectetur spatium in obiecto conspicuum, pro quo est 

** 



ma 



in qua, si lens ocularis utrinque flat aequalis, ut maximam aperturam ad- 
mittat, capi poterit r = l; turn vero posuimus 



ut sit 

8 = Mag. 



Nunc igitur prinao videndum est, an, si ambae lentes ex eodem vitro 
parentur, scopum obtinere queamus. Posito igitur N=N' aequatio pro 
margine nobis dabit 



qui valor an cum conditione praescripta AB<0 consistere possit, videamus. 
Hunc in finem duos casus perpendamus, alterum, quo A>0 } alterum vero, 
quo non solum -4<0, sed etiam 1+^4<0 ? ut scilicet prodeat SI positivum. 
Priore casu erit P>1 ideoque in valore ipsius B denominator fit positivus 
sicque B positivum habebit valorem, cum tamen ob AB < negativum esse 
debeat; altero casu, quo A < 0, debet esse P<1 ideoque denominator 
(A + l)Pr x fit negativus, etiamsi A + 1 non esset negativum, ita ut valor 
ipsius B hoc casu certo prodeat negativus, cum tamen ob AB < deberet 
esse positivus. 

At si lentes ex di verso vitro conficiantur, fieri poterit, ut margo 
coloratus penitus tollatur idque duplici modo, quemadmodum in subiunctis 
casibus ostendemus. Postquam autem huic conditioni fuerit satisfaction, 
pro apertura lentis obiectivae indeque pendente claritate sequens habebitur 
aequatio : 

//r 



- 

AW A*P 



113-114] BE MICROSCOPES COMPOSITIS IN QUIBUS NULLA IMAGO REALIS 289 

ubi tantum notandnm est, ut lens ocularis maximam admittat aperturam, 
valorem A" inde esse datum; pro binis reliquis A et A' commode unitas as- 
sumitur sicque pro quovis casu problematis nostri solutio facile invenietur. 

COKOLLAEIUM 1 

105. Quod ergo hie diverso vitro uti oporteat, id inteUigendum est tan- 
tum de lente prima et secunda, ad quas litterae N et N r referuntur; pro 
tertia enim lente vitri ratio, ex quo conficitur, Me plane in computum non 
ingreditur, ita ut perinde sit, ex quonam vitro liaec lens conficiatur. 

COEOLLARIUM 2 

106. Cum igitur pro margine colorato tollendo habeatur ista aequatio 

N(A + l)5Pr - N'((B + l)r + q), 
hinc deduci debet valor litterae 



ubi notetur esse r = 1 et q + r necessario maius nihilo, ut scilicet valor 
ipsius prodeat positivus; turn iste valor comparetur cum ea conditione, qua 
productum AJB debet esse negativum, id quod fieri plane non posse, quamdiu 
litterae N et N' sunt inter se aequales, iam ostendimus. 

COEOLLAEIUM 3 

107. Totum ergo negotium iam hue redit, quemadmodum hae duae con- 
ditiones impleri queant, dum litterae N et N' diversos obtinent valores, 
scilicet ut dato valore litterae A altera littera B talem sortiatur valorem, ut 
earum productum AB fiat negativum, ubi perpendendum est formulam A(P 1) 
semper positivarn esse debere, ita ut sumto A positive sit P > 1, sumto autem 
A negativo capi debeat P<1. 

SCHOLION 

108. Quoniam igitur duabus diversis vitri speciebus uti cogimur, optan- 
dum sine dubio esset, ut hae duae species ratione refractionis maxime inter 

LEOKTHARDI EULBRI Opera omnia III4 Dioptrica 37 



290 LIBRI TEBTH SEOTIO SECTODA 108-109 a _ [114116 

se differrent; cum autem aliae adhuc eiusmodi species non sint cognitae 
praeter eas, circa quas DOLLONDUS experimenta sua instituit, easdem quoque 
nos hie adhibere oportebit. Hactenus quidem litteris N et N*, quae Ms 
duabus speciebus conveniunt, rationem 7 : 10 tribuimus, quae illis experimentis 
maxime videtur conformis, etiamsi ea satis notabiliter a veritate aberrare 
possit. Quamobrem ob calculi commoditatem hanc rationem hie potius ut 
2 : 3 statuamus, quippe quae ab ilia minime differt et aliquanto maius discri- 
men involvit; neque enim hinc aliud est metuendum, si forte error non satis 
esset exiguus, nisi quod margo coloratus non penitus tolleretur; yerum dum- 
modo is multo minor evadat, quam vulgo unicam vitri speciem adhibendo 
fieri solet, content! esse poterimus; quem in finem duos casus hie accuratius 
examinare conveniet, alterum, quo littera A positivum habet valorem, alterum 
vero, quo negativum, ut inde pateat, quanta commoda hinc in praxi exspe- 
ctari queant. 

EVOLUTIO PEIMI CASUS 
QUO LITTERAE A VALOE POSITIVUS TEIBUITUE 

109. Hoc ergo casu littera 81 valorem quoque positivum habebit et 
quidem unitate minorem; turn vero conditio lentis ocularis concavae postulat, 
ut littera J5 obtineat valorem negativum. Praeterea ob A>0 etiam esse 
debet P>1, ut intervallum prius fiat positivum. Nunc vero ob marginem 
coloratum tollendum valor litterae J? ita exprimitur, ut sit 



ubi igitur ob q + r>0 denominator seu formula N(A + l)P N' negativum 
habere debebit valorem; quod ut fieri possit, cum (A + 1)-? certe sit unitate 
maius, necesse est, ut fiat N'>N ideoque ut lens obiectiva ex vitro coro- 
nario, secunda vero ex crystallino conficiatur. Quare, cum hinc prodeat 
N:N'=2:3 hincque sit 



oportebit esse 

sive 



Cum autem sit P>1, manifestum est litteram A tarn parvam accipi debere, 



116-117] DE MICROSCOPIES COMPOSITIS IN QUIBUS I^LLA IMAGO EEALIS 291 



tit etiam nunc sit 



3 1 

ideoque A + l< hincque A<-~; 



C\(-\ \ A\ ^ AW2V^W.Vf -JL j J. \ JJULLL VV U.t/ .ZJL \ 

si enim esset A = -^, capi deberet P = 1 primumque intervallum plane 
evanesceret, id quod praxis non patitur; unde simul intelligitur lianc 
litteram A tanto minorem quam y statui debere, ut etiam nunc inter- 
vallum duannn primarum lentium ad praxin revocari "possit. Constituta 

o 

autem littera A litfcera P sumi debebit inter limites 1 et 2( . . ; modo autem 
vidimus minori limiti, unitati ? aequalem capi non posse, at si maiori limiti 
sumeretur aequalis, turn B fieret inJBnitum sicque longitude instrunaenti in 
infinitum extenderetur. Tarn prope igitur P maiori limiti admoveri conveniet, 
ut quantitas AS adhuc in praxi locum habere possit. Turn vero adhuc 
superest, ut postremae aequationi satisfiat, qua apertura lentis obiectivae de- 
finitur; circa quam aequationem sequentia nunc annotasse iuvabit: 

1. Cum J.<Y, erit 21 <y, unde ipsius A coefficiens erit >27; unde 
enormis confasio resultaret, nisi sequentibus terminis diminueretur. 

2. Verum cum pro secunda lente coefficiens ipsius %' fiat maior quam 
8 ob P = 1 proxime et quia B semper fit numerus valde magnus, 93 parum 
ab unitate differt. 

3. Pro lente oculari coefficiens ipsius A" tarn erit parvus, ut prae reliquis 
terminis quasi evanescat; unde adeo hoc commodi assequimur, ut tota haec 
confusio prorsus ad nihilum redigi queat, debite scilicet definiendo litteras A 
et A'; quare Me casus omnino meretur, ut aliquot exemplis illustretur. 

EXEMPLTJM 1 

[109 a]. 1 ) Cum debeat esse A<^, ponamus -4 = y fietque Sl = -j et 

O A A 

intra limites 1 et y Sit ergo 



fiet 



Consideremus nunc aeqaationem fundamentalem, quae est 

i q + r i 



1) Vide notam p. 284. E. Ck 

37* 



292 LIBEI TEETH SECTIO SECUNDA 109 a [118119 

Ponatur autem brevitatis gratia ~ = 1 + &> quandoquidem esse debet 
ma>h, ut haec microscopiorum species locum habere possit, eritque 33 = 9 ^- 
Gum iam sit ig- = l+|-> habebitur 



q + r 81(q + r)' 

unde elicitur 

80r 
q ~~ 7299-81 ' 

sicque prodibit 

7290 + 1 ,. <v, +729^1 

93 = 7200 



existente e = ~ I sive multiplicatio m = . Turn vero ob 



-- erit 



atque bine elementa pro microscopii constructione erunt 

1 A X 9f_ X _7290+l 7290-1 

1. ^-=3-, *"!"' 90-1 ' "~ 



7200 



2. Deinde distantiae focales lentium 

1 72919 + 1 , 7296 

*-7 a ' g= 2400^ ' a 6t r 

3. Lentium harnm intervalla erunt 

1 , . (7290 l)a 

prms = - a, posterns = -' 



4. Praeterea spatii in obiecto conspicui semidiameter erit 

729 0r~ r - 



(729 0~ 

quodsi iam hie sumamus r = l et l^^-' ^ q^od licet, si lens ocularis fiat 
utrinque aequaliter concava, erit 



7290 





3240(90-1) 



119-120] DE MICROSCOPIES COMPOSITIS IN QUIBUS NULLA IMAGO EEALIS 293 
5. Deniqfue consideretur haec aequatio: 



ubi commode usu venit, ut haec quantitas ad nihilum revocari possit, quern 
in flnem tertiam lentem uti primam ex vitro coronario fieri ponamus ? 
sumique debebit 

r 1,60006 et ^" = /^; 

turn vero sumatur A == 1, at A' ita, ut sit 

CA i 10 i 27-1,60006 
= 64 + 12 y + 



existente 

et "'- ' 2529 - 



Praeterea vero notetur pro maioribus multiplicationibus, quando scilicet 6 
fit numerus satis modicus, fieri proxime 

J5 = 81 et 35== + ; 

unde colligitur 

0,96341 X - 0,00308 + A- 66 fff 2 

IJi Z4bjd 

hincque 

X = 3,22503 et v V(X 1) = 1,3089 ; 

unde, cum huius lentis distantia focalis sit 

_ 729 _ 243 _ 

et S3 = |i , erit huius lentis 



radius 



1) Editio princeps; radJ. aw^er. 



rad. poster. -* Q 2 | 18 3,5486 #. 



Loco 1,3089 pro valore formulae t^Xl sumpsit BULBRUS 1,3189. Oorrexit E. Oh. 



294 LIBBI TERTII SECTTO SECUNDA 109 a 112 [120121 

Pro prima autem lente, cuius distantia focalis est p = -|- a et numeri 81 = -^- 
et A = 1, ex vitro coronario facienda erit 



. 

radius faciei < 



anterioris = _Jj __~\ = / mi = 0,76823^ 

posterioris = toty ^ = f* = l,70911_p 

atque liinc conficitur sequens 

CONSTEUCTIO HUIUSMODI MICEOSCOPIOEUM 

110. Posita distantia obiecti = a et multiplicatione w = (1 -f- $) erit 

I. Pro lente obiectiva ex vitro coronario facienda 

., . f anterioris = 0,1921 a 
radius faciei { 

I posterioris = 0,4273 a , 

cuius distantia focalis p = a, 

* 4 7 

semidiameter aperturae x = 0,0480 a 

et intervallum ad lentem secundam erit =^a. 

60 

II. Pro lente secunda ex vitro crystalline facienda 

. . . { anterioris = 0.2121 a 
radius faciei { 

I posterioris = 1,0409 a x ) , 

cuius distantia focalis est # = ~? a = 0^3037 a, 

semidiameter aperturae x = 0,0530 a seu indefinita relinquitur, quia maior 

est semidiametro aperturae primae lentis, 

/j 
et intervallum ad lentem tertiam =24,3-^- -a. 

111. Pro lente tertia ex vitro coronario paranda, cuius distantia focalis 

^ 729 27_ 

T ~ 27(0+1) ' a 5+1 ' a ' 

erit 

radius faciei utriusque = ^~TT" a ? 
cui lenti oculum immediate applicari oportet. 



1) Editio princeps: radius faciei \ m ^ ~~~~ S^rrr,^ Vide notam p. 293. Oorrexit E, Oh. 

\ pOSitw* = Ij0779 QI, 



121122] DE MICROSCOPES GOMPOSITIS IN QUEBUS ISTULLA BIAGO EEALIS 295 
IV, Spatium in obiecto cernetur, cuius semidiameter 



V. Denique cum sit 

0,0480 a, 
erit 



ix x _ 0,0480 

~~ma~~6 

Mncque mensura claritatis 



y ma 0+1 6 + 1 



0.960 



si scilicet distantia a in digitis exprimatur, quae mensura etiam ita exprimitur: 

0,960-- = 



m m 



COEOLLAEIUM 1 

111. Duae lentes priores cum earum intervallo plane non pendent a 
multiplicatione proposita ideoque pro omnibus multiplicationibus eaedem 
retineri possunt, ita ut tantum opus sit pro qualibet multiplicatione aliam 
lentem ocularem adMbere, cuius distantia focalis loco + 1 scrip to valore 

~ S ~ eilt r = -27A = _l^dig., 

m m & 

ita ut haec lens nunquam fiat nimis parva. 

COEOLLAEIUM 2 

112. Utcunque autem multiplicatio varietur, intervallum lentium secundae 
et tertiae parum admodum mutatur, praecipue in maioribus multiplicatio- 
nibus, cum hoc intervallum sit 

= 24,3- 



O + l 



ita ut tota instrumenti longitudo vix sit mutanda, ae si distantia obiecti a 
capiatur 1 digiti, longitudo instrumenti erit circiter duorum pedum. 



29 g LIBBI TEBTn SECTIO SEOTOTDA ' H8-118a _ [123-124 

SCHOLION 

113. Quod hie distantia obiecti arbitrio nostro permittatur, id sine 
dubio tamquam insigne commodum est spectandum, cum hoc modo maximum 
vitium micr-oscopiorum simplicium, quod in nimia vicinitate obiecti consistit, 
felicissimo successu evitetur, quoniam quantumvis hac distantia aucta ne men- 
sura quidem claritatis diminuitur, aeque parum ac spatium in obiecto conspi- 
cuum. Interim tamen contra hanc speciem obiiei poterit, primo quod duae 
lentes priores nimis inter se propinquae esse debeant; quod tamen vix ullam 
attentionem meretur, cum adhuc hoc iutervallum in praxi facUe observari 
possit, nisi distantia obiecti a nimis parva statuatur, quod autem nulla ratio 
suadet; altera vero obiectio maioris est momenti, quod, si distantia a, maior 
uno digito accipiatur, longitudo huius instrument! duos adeo pedes iam 
superet, quae merito incommoda videri potest. Verum mox ostendemus, 
quomodo et huic incommodo facile occurri possit. Prouti autem hanc 
speciem litteris A et P definiendis constituimus, id inprimis obiiei potest, 
quodsi diversitas numerorum N et N r tantillo minor merit quam in ratione 
2:3, uti hie assumsimus, turn determinationes ulteriores locum omnino 
habere non posse; si enim loco huius rationis substituamus earn, quam supra 
ex ipsis DOLLONDI experimentis conclusimus, scilicet uti 7 : 10, ut foret 

- io(q+r) 



turn sumto A = y et P = , denominator 7 (A + 1) P 10 fieret = ^ 10 
ideoque non amplius negativus, ut natura rei postulat; multo igitur minus 
haec positio locum habere posset, si discrimen vitri ratione dispersionis 
adhuc esset minus, quod quidem non parum probabile videtur. Quamobrem, 
ne hinc quicquam sit pertimescendum, litteras A et P ita assumi conveniet, 
ut formula (1 + J.)P multo minorem obtineat valorem quam casu exempli 
allati, pro littera scilicet A fractio sumi debebit multo minor quam T ; turn 
vero valor ipsius P tarn parum unitatem superet, quam lentium proximitas 
permittit, cui conditioni in sequenti exemplo satisfaciemus. 

EXEMPLUM 2 

[113 a]. 1 ) Sumamus igitur Me A=\- JSetque 2t = ~ et $ = -J- a, intervallum 
autem primae et secundae lentis -J-(l 1-); quod ut parti quasi septimae 

- 1) Tide notam p. 284 E. Oh. 



124-125] DE MICROSCOPES COMPOSITIS IN QUIBUS KULLA IMAGO EEALIS 297 
ipsius p aequetur, sumi debet P=^| = y sen ~ circiter; sumanms igitur 



P=-g- et quia etiam hie uti in praecedente exemplo litter a q vehementer 
fit parva prae littera r, ea neglecta erit 

J5 = 



et sumto N'.N'^T'.W erit substitutis his valoribus J5 = ~ sive JB = 18, 
qui valor adhuc maior prodiisset, si dispersionis discrimen adhuc minus 
foisset. Cum igitur satis sit verisimile hoc discrimen adhuc esse minus , a 
scopo vix aberrabimus, si statuamus B = 25, et si ullus error hinc resul- 
taret, is in eo consisteret, ut margo coloratus non perfecte tolleretur; quod 
cum ne sperari quidem possit, contentos nos esse oportet, si eum tantum 
satis parram reddiderimus, id quod hoc modo certo obtinebimus; sumto 
autem B = 25 erit 93 = ^ hincque ex aequatione fundamentali 



hincque 



unde colligitur spatii conspicui semidiameter 

25r 



quare, si sumatur 1 = 4- et r = l, quo casu requiritur, ut lens ocularis sit 
utrinque aeque concava, ac si ponamus ut ante ~p = 1 + &> er ^ 



25 
-iootf=IT a; 



reliqua autem elementa sequent! modo se habebunt: 



- * O- + - 



LBONHARDI EULEKI Opera omnia IH4 Dioptrica 



38 



298 KD3EI TEETH SBCTIO SECUNDA 113a-114 [125-126 

Mncque distantiae focales 

n^a a = a et r= r~^" tt=== 

* 6 > * 27 1 + 6 

et lentium intervalla 

I et H -^a, II et ni = 4Q ^ 9 ~ 45/ *- 

Faciamus nunc, ut etiain confasio ab apertura oriunda evanescat, et cum 
prima lens ex yitro coronario, secunda vero ex crystallino confici debeat, si 
tertia etiam ex coronario paretur, ut sit {*"*=*/*>, debet esse ^ = 1,60006; ijim 
yero pro lente prima capiatur A = l; habebitur ista aequatio: 



. _ fi* _L 3Q v 

7'"T~\25 3 25 2 / "^ 5* 

Est autem log. -^ = 0,0538214 sen 



-^ (98,304^ 42666^0 = 216 + 30^ 0,0128 -^ 

YfvCb 



sen , 

98,304 A' = 253,034 0,0145 -^- , 

W2- tt 

unde colligitur , 

A' = 2,5740 0,00015 - , 



ubi postremum membrum tuto omitti potest ob fractionem exiguam. 

Cum ergo sit 

X = 2,5740 et X 1 1 ? 5740 , 
erit 

'_i) = 1,1009; 



unde, cum huius secundae lentis distantia focalis sit 
erit 



5 , ,vt 25 

q = -a et numerus 35 == ? 

* 



radius faciei 



anterioris ---------- q --- T ~ f - ; = :-*- 0,8458 q 1 } 

' 



posterioris = -------- - - = j- _ 1 8457^. 

^ i 0,5418 * 



1) Editio prinoeps: jjl^" = 0,9072-^. Correxit E Ob. 



120127] BE MICROSCOPHS COMPOSITIS IN QUIBUS NULLA IMAGO REALIS 299 

Pro prima autem lente, cuius distantia focalis 

u O 

vitrumque coronarium, erit 

anterioris = ~ r = . ^ -- = 0,7036# 

,. . . (5 vi(6 0) 1,4212 L 

radius faciei 

posterioris = ^ _ -. == ^ =2,1478 j?. 

Hinc ergo conficitur sequens 

CONSTRUCTIO MICEOSCOPH COMPOSITI NULLAM CONFUSIONEM 

PAEIENTIS 

114 Constituta pro lubitu distantia obiecti = a habebimus 
L Pro prima lente ex vitro coronario facienda 

. f anterioris = 0,1173 a 
.posterioris =0,3579 a, 

cuius distantia focalis est -^ a = 0,1666 a ; 
aperturae semidiameter sumi poterit x = 0,0293 a, 
intervallum ad lentem secundam =~a==0^ 



radium faciei< 
( 



n. Pro secunda lente ex vitro crystallino facienda erit 

_ . . f anterioris =0,1566 a 1 ) 
radius faciei { 

{ posterioris = 0,3418 a , 

cuius distantia focalis = ^7 a = 0,1852 a, 
semidiameter aperturae =0,0392 a; 



intervallum ad lentem tertiam erit = ^4 = 4 -5- a 

<im y w 



1) Editio princeps: 0,1 680 -a. Vide notam p. 298. Correxit E. Oh. 

38* 



300 LIBEI TEETH SECTIO SECUBTOA 114-119 [127-129 

HI. Pro lente tertia oculari ex vitro coronario paranda erit distantia 

focalis 

__ 6h 

m 
hincque 

radius faciei utrinsque = 5,3 --- ; 
1 



in 



sin autem ex vitro crystalline paretur, utriusque faciei radius sumatur 
= _5 ? gA ? huicque lenti oculus immediate adplicatur. 

IV. Spatii autem in obiecto conspicui semidiameter erit 

25 

8 = 



1000 12 

existente 

ma 



h 



1. 



V. Cum capere liceat a? = 0,0293 a, erit y = 0,0293 et mensura clari- 
tatis = 0,586 -~ positoque fe = 8dig. fiet ea =^ 

COEOLLAEIUM 1 

115. Ne igitur primas lentes nimis exiguas confici oporteat, conveniet 
distantiam obiecti a tanto maiorexn assmni; ac si statnatur a = 8 dig. ? hae 
lentes satis commodam magnitudinem obtinerent et multiplicatio m osten- 
deret, quanto mains obiectum appareat per microscopium, qnam si idem ob- 
iectnm in eadem distantia nndis ocnlis spectaremns. 

COEOLLAEIUM 2 

116. Deinde si sumamns ^ = 8 dig., longitndo totins instrnmenti fiet 
circiter 35y dig., quae utiqne satis est magna; sed perpendi debet earn tan- 
turn esse 4y vicibus maiorem quam distantiam obiecti, eaque ad dimidium 
reducetur sumendo a = 4 dig.; quo casu constructio lentium adhuc erit satis 
ad praxin accommodata, quin etiam distantia obiecti commode adhuc minor 
assumi potent, ita ut longitudo instrument! ne pedem quidem integrum superet. 



129131] DE MICROSCOPES COMPOSITES IN QUIBUS NULLA IMAGO REALIS 301 

SCHOLION 1 

117. Non parum paradoxon videbitur, quod distantia obiecti plane non 
ingrediatnr in mensuram claritatis; nemo enim certe arbitrabitur, si distantia 
ad plures pedes augeretur, obiectum semper eadem claritate esse apparitu- 
rum idque pro eadem multiplicatione. Verum Me probe est observandum 
mensuram nostram claritatis ad eum claritatis gradum referri, quo idem ob- 
iectum in loco, ubi actu est, nudo oculo cerneremus. Si enim haec mensura 
prodeat aequalis unitati, intelligendum est nos per instrumentum conspicere 
obiectum eadem claritate, qua id in ea ipsa distantia nudo oculo esset appa- 
riturum; notum autem est, quo magis obiectum a nobis removetur, in eadem 
ratione eius claritatem naturalem diminui; quare, cum nostra mensura ad 
claritatem naturalem referatur, quae scilicet in ipso obiecto nudis oculis con- 
spicitur, manifestum est, quo magis idem obiectum removemus distantiam a 
augendo, eo magis claritatem naturalem diminui, ac turn nostra mensura tan- 
turn indicat, quoties claritas per microscopium visa minor sit naturali, atque 
ex hoc clare perspicitur claritatem visam maxime diminui, si distantiam ob- 
iecti a nimis magnam accipiamus, ita ut pro usu microscopiorum vix con- 
sultum sit distantiam obiecti ultra aliquot digitos extendere. Simili modo 
iudicium de multiplicatione est intelligendum , quam hie ad distantiam 
h = 8 dig. referimus ; quodsi ergo v. c. obiectum distaret 16 dig., id iam nudis 
oculis duplo minus appareret quam in distantia 8 digitorum; quare, si ob- 
iectum dicatur 100 augeri, id ita est intelligendum, ut obiectum ducenties 
maius appareat quam nudis oculis in eadem distantia. 

SCHOLION 2 

118. Hinc igitur facile intelligitur, si distantiam obiecti satis magnam 
statuamus, turn microscopium tandem in telescopium esse abiturum, qui 
transitus eo magis attendi meretur, quo maius discrimen vulgo inter telesco- 
pia et microscopia constituitur, quae quippe instrumenta ut plane heterogenea 
spectari solent. Operae igitur pretium erit eiusmodi exemplum subiungere, 
de quo dubium erit, utrum ad microscopia an ad telescopia sit referendum. 

EXEMPLUM 3 

119. Sit distantia obiecti a tanta, ut sumta pro SI satis exigua fractione 
productum 3ta=<# modicum obtineat valorem, seu sit 2l = ~~ fractio valde 



302 LIBRI TER/m SECTIO SECUNDA 119120 [131132 

parva hincque etiam 



His positis cum sit 

N' 10 



B 



-N' 7(1+A)P-10' 
sumatur P == ~ ut ante, et ne A penitus negligamus, ponamus 

(1 + A)P = | fietque B = 5; 

ac si forte discrimen inter litteras N et N' sit minus, ac ne litteram q 
penitus negligamus, sumamus B = 6, ut sit 23 = y; quoniam igitur loco 
litterarum a et A distantia focalis p in calculum introducitur, ut sit sive 
3ta=jp sive Aa=p, erunt reliquae distantiae focales 

16 , Qh 

$ = ^P e * ^ = --- P- 
15^ ma * 

Turn vero intervallmn 

prius -Ijp, posterius =y^(l- 
Praeterea vero reperitur 



et spatii conspicui semidiameter 



^ 12 , 

~ " 



ideoque angulus 



quae fractio per 3437 multiplicata exprimet angulum q& in minutis primis. 
Deinde semidiameter confusionis, si ex vinculo denominator SI 8 in factorem 
communem transferatur, ita se habebit: 



_ 

9 \ 6 3 367 



132133] DE MICEOSOOPnS COMPOSITIS IN QUIBUS MJLLA IMAGO EBALIS 303 

quae ad niMlum reducetur sumendo 

8 , /5 s ., 5v'\ . \i f X r li 

~o" P l3 o^T ' === P * 

y \o ot> / 



ubi prima lens ex vitro coronario, secunda ex crystallino confici debet, tertia 
vero etiam ex coronario paretur eritque A" = 1,60006 et /u,"=[i; turn vero 
capiatur A = 1 ac reperietur 

4(l,944 0,0144- ) = 2 7 2611 

l ' ' 9 



ma 



neglecto scilicet ob parvitatem membro ultimo, ex quo fit rV(X 1) = ; 98542; 
unde pro huius lentis constructione erit 

anterioris = - ^7 

-( 



posterioris = -- - - ^ - - - = 7 -^ == 1,1292 q . 
* 



Pro lente vero priore erit 

H\ 

' anterioris = == 0,6024^ 
radius faciei \ 

*D 

posterioris = = 4,4111 p 
9 

atque hinc deducitur sequens 

CONSTEUCTIO SIVE MICEOSCOPn SIVE TELESCOPE 
OMNIS CONPUSIOOTS E5PEETIS 

120, Hie distantia obiecti a tanta supponitur, ut prae ea distantia focalis 
primae lentis p vehementer sit parva et quasi negligi queat. 

I. Turn ergo pro prima lente ex vitro coronario paranda erit 

r anterioris = 0,6024^ 
radius faciei { ... 
I posterioris 

cuius distantia focalis =jp, 
aperturae semidiameter # = 0,1506 p, 
distantia a lente secunda =--. 



304 LIBBI TEETH SEOTIO SEGUM)A 120-124 [133-134 

II. Pro lente secunda ex vitro crystallino facienda erit 

. ranterioris = l,2721jp 

radius faciei { . . OA/i - 

I posterioris = 1,2045^ , 

1 A 
cuius distantia focalis = ^p? 

eique apertura tribui potest aliquanto maior quam primae, 
distantia vero ad lentem ocularem =-^-p(l 



III. Pro lente tertia ex vitro coronario facienda, cuius distantia focalis 
est r = jp, erit 

radius faciei utriusque = '- -p, 

7/lCl 

cui oculum immediate adplicari oportet. 

IV. Pro spatio conspicuo iam invenimus semidiametrum 

12 , 

= . ah, 

seu angulum 



a ISma 

priore scilicet modo aestimatur, si instrumentum ut microscopium spectetur, 
posteriore vero, si ut telescopium. 

V. Quia capere licet 

x _ 0,1506^ ? 

erit 

_ 0,1506 ft 

ma 

et mensura claritatis 

3,012 , 



si scilicet distantiae in digitis exprimantur, unde patet, quo maius capiatur #, 
eo maiorem prodire claritatem; sed meminisse oportet p valde parvum prae 
a esse debere. 



134-136] DE MICEOSCOPHS COMPOSITIS IN QUIBUS imLLA BIAGO EEALIS 305 

VI. Longitudo denique totius instrumenti erit 

5 p g p f 

9 ^ ma * 

COROLLARIUM 1 

121. Quodsi hoc instrumentum tanquam microscopium spectare velimus, 
primo quidem distantia a tarn magna esse debet, ut eius exigua portio suf- 
ficiat pro lente obiectiva construenda; turn vero sumi solet 7^ = 8 dig., ad 
quam distantiam multiplicatio m referri solet, atque ex multiplicatione hoc 
modo aestimata in calculum ingreditur - Sin autem ut telescopium spec- 
tare velimus et distantia a tarn sit magna, ut etiam valor p satis magnus 
accipi possit, turn sumi solet Ji == a nihilque aliud in formulis inventis 
mutandum occurrit, ita ut totum discrimen in varia ratione multiplicationem 
aestimandi consistat. 

COROLLARIUM 2 

122. Quo hoc clarius perspiciatur, statuamus ^ = , unde constructio 
plene determinatur; ac si instrumentum ut microscopium spectetur, aestimari 
solet multiplicatio m = ==^, sin autem' nt telescopium 1 spectetur, turn 
dicetur multiplicatio esse m = sicque totum discrimen ad diversitatem 
loquendi revocatur. 

COROLLARIUM 3 

123. Pro telescopiis mensura claritatis pro lubitu atque adeo usque ad 
unitatem seu claritatem plenam augeri potest; tantum enim opus est, ut 
capiatur p = -^^ = ~ Vulgo autem contenti esse solemus claritate = y, ita 
ut turn sumi debeat p = ^~- Pro microscopiis autem tantam claritatem ob- 
tinere non licet; quia enim ob Ji = 8 mensura claritatis fit ~ et fractio 
necessario valde est parva, quo maior multiplicatio desideratur, eo minorem 
claritatem prodire necesse est. 

SCHOLION 

124. En ergo praeter omnem exspectationem elegantem constructionem 
telescopii, quod in ratione quacunque obiecta amplificat et cuius constructio 
sequenti modo se habebit. 

EULEBI Opera omnia III 4 Dloptrica 39 



306 LIBRI TERTII SECTIO SECUIsrDA 124-125 [136137 

Proposita scilicet multiplication m capiatur distantia focalis p = -^ dig., 

2 

ut scilicet mensura claritatis prodeat = y 

Constructio telescopii ab omni confusione liberi 

I. Pro prima lente ex vitro coronario facienda erit 

f anterioris = 0,0803 m dig. 
radius faciei { . . 

Iposterioris = 0,5881m dig., 

distantia focalis = ^ dig., 

aperturae semidiameter $ = 0,0201 m dig. = ^ dig., 

intervallum ad lentem sequentem erit = ~| = 0,01481 m dig. 

II. Pro lente secunda ex vitro crystalline facienda erit 

anterioris = 0,16961m dig. 



radius faciei , . . ^ n ^^ 

posterioris = 0,16060m dig., 

cuius distantia focalis q = 0,1422 m, 

eique apertura tribuitur aliquanto maior quam primae, 

intervallum ad lentem sequentem = (0,7111 m 0,8) dig. 

HI. Pro lente tertia, cuius distantia focalis est 

= - | dig. = 0,8 dig., 

si ergo haec lens ex vitro coronario paretur, erit 

radius faciei utriusque = 0,848 dig., 

sin autem ex vitro communi, ubi n = 1,55, erit 

radius faciei utriusque = ? 88dig., 

sin autem ex vitro crystalline, erit 

radius faciei utriusque = 0,928 dig. ; 

cui oculus immediate adplicetur. 



137139] DE MICBOSCOPnS COMPOSITIS IS QUIBUS NULLA IMAGO REAMS 307 
IV. Semidiameter campi apparentis erit 



48m 53' 
in mensura anguloruin antein erit 

- 41244 . . 859 

<f> _ - -mm. gl v e proxime - - min. 
48m 58 * m1 

V." Longitude denique totins huius telescopii erit 

= (0,7259^ 0,8) dig. 

Hoc ergo telescopium non tam ob brevitatem est commendaiidum, quam ideo, 
quod constructio eius practica non tantis difficultatibus sit involuta quam 
raulto breviora, quae supra sunt inventa, propterea quod littera A' non nmltum 
ab unitate discrepat; quae ergo commendatio etiam pro microscopiis huius 
generis valet. 

EVOLUTIO SECUNDI CASUS (CONF. 108) 
QUO LITTEEAE A YALOE NEGATIVUS TEEBUITUK 

125. Hoc casu an littera SI habitura sit valorem positivum an negativum, 
incertum est; at littera B nunc debet esse positiva ? et cum ob eandem ra- 
tionem ut casu praecedente littera q prae r 1 ut evanescens spectari 
possit. erit 

B- 



ubi debet esse P<1, sicque multo magis erit (l+^i)P<l; ex quo per- 
spicuum est litteram N maiorem esse debere quam JV'. Quare primam lentem 
ex vitro crystallino, secundam vero ex coronario confici oportebit, ut sit 
j\r : .2\r=iO:7 ideoque 



-~ 10(1 

unde necesse est, ut sit P> i A simul vero P<1; unde sequitur esse 



debere 

7 < 10(1 + J.) seu 1 + A > 

Ponamus ergo A = a sumique debet a < ^ et quidem a notabiliter minus 

39* 



308 LIBRI TEETH SECTIO SECUNDA 125 [139140 

capi debet quam -^ , quia alioquin P nimis parum ab unitate deficere deberet 
et intervallum duarum priorum lentium prodiret nimis parvum. Cum autem 
a fractio sit satis exigua, fiet 1 = ^-^ hincque distantia focalis primae lentis 

cc 

<$ = . a,. 

* l-a 

Intervallum vero binarum priorum lentium 

l 



- 1 )- 

quod parti sive nonae sive decimae 1 ) distantiae ^-^' a aequetur, quod fit, 

Q W PT 

si sumetur P = y , ita ut esse debeat a < ^ , et ne tarn ansie huic rationi 
7 : 10 inhaereamus, si sumamus a = ~ , fiet J5 = ^ = 17. Capiamus autem 
potius tf = y fietque J?^ !!. Tuto igitur ponere poterimus 

5 = 12 ? ut sit $ = ; 
turn vero A = y et 91 = y hincque distantiae focales 



27 , 12 7^ 

^ et r = -' ; 



deinde lentium intervalla 



T JL TT 1 TT L TTT 27 

I et H=~rrfl, II et 111 

J 



, a ~ ---- 

56 J 14: 7 m 



Nunc vero ex aequatione fundamentali colligemus 



~~ lOSma 
Mnc 



unde deducitur spatii conspicui semidiameter 



1) Editio princeps: septimae sive octavae. Correxit E, Oh, 



140141] DE MICROSCOPES COMPOSITIS IN QTJIBUS NULLA IMAGO REALIS 309 



108 



108ma 



sumto scilicet r = 1 et = -^- 

Expressio porro pro semidiametro confusionis est 



_ // /T_ , i/ \ 
A*P W ^~ ~mi 



quae ad niMlum redigatur. Hunc in finem notetur litteras /& et v ad yitrum 
crystallinum, litteras yero p et v ad coronarium referri; turn vero capi 
poterit X = 1 , ac si tertia lens etiam ex vitro coronario fiat, ut sit $' = /u,', 
sumi debet A" =1,60006 hincque definiri poterit numerus A hoc modo; 



sive 

343-13-0,2196 343-1,60006 h 



192-144 216-1728 

quae evoluta praebet 

A = 0,0491 + 2,5709 + 0,0401 

neglecto termino ultimo seu 

A = 2,6601, 
unde colligitur 

' , !) = 1,1306. 



ft \ 
'mar 



_ g(tf _)- 1,1806 
radius faciei 



Hincque pro prima lente erit 

i anterioris = 
I posterioris = 

Pro lente secunda autem ex vitro coronario paranda ob 95 = j| et A' = 1 erit 

anterioris = ^ _ v = ^ = 2,9673 q 



radius faciei 

' posterioris - .?,. - T^ = 0,6452 %, 



unde habetur sequens 



310 LEBRI TEETH SECTIO SECUNDA 126-129 [141142 

CONSTBUCTIO MICEOSCOPIOEUM HUIUS SPECIEI 
PRO QUAVIS MULTIPLICATIONS m 

126. Constituta pro lubitu distantia obiecti = a habebitur 

I. Pro prima lente ex vitro crystalline facienda, cuius distantia focalis 
est p = y a, erit 

. . f anterioris ==0,2407 a 
radius faciei { 

I posterioris == 0,1615 a, 

cuius aperturae semidiameter sumi poterit # = 0,0404 a, nisi forte secunda 
lens minorem postulet. 

Intervallum ad lentem secundam = ^ a = 0,0178 a . 



II. Pro secunda lente ex vitro coronario facienda, cuius distantia focalis 

, 27 ., 

est j = 182 a > eri * 

f anterioris = 0,4402 a 
radius faciei \ 

\ posterioris =0,0957 a, 

cuius aperturae semidiameter maior esse nequit quam 0,0239 a; cui ergo etiam 
pro prima lente valor ipsius x aequari debet. 
Intervallum vero ad lentern. tertiam erit 

27 12 h 1 QOQR 12 7^ 
T-T a = 1,9285 a 

14 7m 7m 

III. Pro tertia lente, cuius distantia focalis est 

__^ ^_ 96 A* _ 13 > 71 



si ex vitro coronario paretur, erit 

radius faciei utriusque == ~ dig. , 






sin autem ex vitro communi n = 1,55 paretur, erit 

radius utriusque faciei dig. , 



m 



142144] DE MCEOSCOPnS COMPOSITIS IN QUIBUS NULLA MAGO REALIS 311 

at si ex vitro crystalline paretur, erit 

radius utriusque faciei = - dig. 
IY. Spatii porro in obiecto conspicui erit semidiameter 

dig. 



Y. Cum autem hie sit x = 0,0239 a, erit 

Jix 0,1912 ,. 
y = === dig. 

J ma m 

hincque mensura claritatis erit 

3,824 



COEOLLAEIUM 1 

127. Ne ambae lentes priores fiant nimis parvae, distantia obiecti a ne- 
cessario modicae magnitudinis statui debet; veluti si nolimus, ut uUus radius 
faciei minor sit parte decima digiti, posito minimo radio 0,0957 a = ^ fiet 
a = ^ seu distantiam a minorem uno digito capi non conveniet. 



COEOLLAEIUM 2 

128. Si ergo sumatur a = 1 y dig., quo casu primae lentes adhuc com- 
mode parari poterunt, longitudo totius instrumenti fiet circiter 3 dig., et cum 

1 3 71 

distantia focalis lentis tertiae sit -- L - dig., apparet multiplicationem vix 
ultra 100 extendi posse, quia alioquin haec lens fieret nimis parva; quod 
exiguum est yitium. 

SCHOLION 

129. Quodsi ingentes multiplications desideremus, onmia haec micro- 
scopia isto laborant vitio, quod lens ocularis nimis exigua requiratur, et inter 
ea, quae 114 in exemplo 2 sunt descripta, hac praerogativa gaudent, quod 
distantia focalis tertiae lentis sit dig., quae ergo ad multiplicationem 



312 LIBEI TEETH SEOTIO SECUNDA 129130 [144145 

m = 400 accommodari poterunt; at in primo exemplo, quod ob nimis magnam 
instrument! longitudinem reiiciendum videbatur, multiplicatio multo longius 

21fi 

augeri potest; cum enim ibi distantia focalis tertiae lentis asset dig., 
ea hoc lucrum nobis praestat, ut multiplicatio ultra 1000 possit augeri, ita 
ut hoc lucro illud incommodum maxime compensetur. Ex quo colligere licet 
ingentes multiplicationes huiusmodi microscopiis produci non posse, nisi eorum 
longitudo valde fiat magna, ad quod necesse est, ut littera B valde magnum 
obtineat valorem, id quod quidem facillime praestatur in priore praecipue 
casu, ubi neglecto q erat 



17 1 

hinc enim sumto A = y et P=-g- prodit B = 50, ac si manente A = y 

no 

capiatur P = ^ ? orietur 5 = 100, ita ut turn foret distantia focalis tertiae 

lentis 

20 h 160 

m m 

ideoque multiplicatio longe ultra 1000 augeri posset. Turn autem longitudo 
instrumenti foret 



quae quidem facile admitti posset. Verum hie perpendendum est, si litteris A 
et P isti valores tribuantur, facile fieri posse, ut valor litterae B revera non 
solum in infinitum usque augeatur, sed etiam positivus evadat, si scilicet 
vera ratio numerorum N et N' tantillo maior faerit quam 7 : 10. Quamobrem 
eo maiorem operani adhibeamus in microscopiis duorum reliquorum generum 
evolvendis. Interim tamen etiam maximas multiplicationes sequenti modo 
non incongrue producere licebit. 

PROBLEMA 3 

130. Microscopia huius generis construere, quae ad maximas multiplicationes 
proditcendas sint accommodata. 

SOLUTIO 

Cum to turn negotium eo redeat, ut littera B praegrandem valorem nan- 
dscatur, id duplici modo obtineri potest, prouti vel prima lens ex vitro coro* 



145 146] BE MICROSCOPES COMPOSITIS UST QUIBUS NULLA IMAGO BEALIS 313 

nario, secunda vero ex crystalline conficiatur vel vice versa prima lens ex 
crystalline, secunda vero ex coronario. Hos ambos casus seorsim pertractasse 
operae erit pretium. 

CASUS PRIOR QUO PRIMA LENS EX VITRO CORONARIO 
SECUNDA VERO EX CRYSTALLING PARATUR 

Cum hoc casu habeatur 

-r, 10 



10' 

denominator hie prorsus ad nihilum redigatur, ut valor ipsius B infinitus 
evadat; turn enim facile intelligitur praegrandein eius valorem scopo nostro 
etiam esse satisfacturum, praecipue cum etiam casu, quo vera ratio numero- 
rum N et N* a ratione assumta 7 : 10 parumper discrepat, valor litterae B 
tantum valde magnus erit proditurus. Ponamus igitur P==~ 9 quoniam ob 
necessarium binarum priorum lentium intervallum hie valor non commode 
minor statui potest; ac turn esse oportebit J. = ~; at si forte, uti probabile 
videtur, discrimen refractionis non sit tantum , uti assumimus, conveniet A 
aliquanto minus assumi; statuamus ergo A=*-^ 9 ut saltern valor ipsius B 
certe valde magnus sit proditurus, ita ut habeamus 






hincque erit 



1 793 ^ , B h 

-a, q = -- -a ) et r = ~ ---- 

6 ' * 40 ; 5m 



Hie igitur curandum est, ut lens tertia non fiat nimis parva, etiamsi multipli- 
catio m maxima statuatur; quare sumamus multiplicationem esse debere 
m = 1000, et cum distantia obiecti a vix -minor uno digito esse possit, ne 
primae lentes fiant nimis exiguae, sumamus a = 1 dig., et cum sufficiat sta- 
tuisse r = -^ dig., ob h = 8 dig. fiet hinc B === r-, qui valor certe est 



ft Oft / rj Q \ 

1) Editio princeps: g_ == ! -**"& Quern ob errorem (P = loco -y) ^ ^ ac e "^ * n sequente 
paragrapho valores pro g[ et pro quantitatibus a g dependentibus corrigendi erant E. Ch. 

LEONHABDI EULERI Opera omnia III 4 Dioptrica 40 



314 LIBRE TERTII SECTIO SECUNDA 130 [146148 

satis magnus. Statuamus igitur porro .5 = 300, ut sit 25 = |j^ ? eritque 

420 420 , 480 

seu " 6t '- 



Turn vero intervalla lentium erunt 

1 et n = ^ ^ 

TT 4. TTT PA/" 7 * \ A 05 480 \ /I- 

II et III = 60 ( --- 10 = I ~~- a -- ) dig. 
\8 ma / \ 2 m J & 

Circa spatium in obiecto conspicuum nihil fere in praecedentibus formulis 
erit mutandum; invenietur enim 



lah ,. t v 

g * ^ 



7ma-8h 



Pro apertura autem primae lentis definienda semidiametrum confasionis 
ad nihilum redigamus ope huius aequationis: 



.0 = ^(216A + 30r) -i-^(0,99/ 0,0008). 
Hinc si sumamus A = 1, erit 

0,99 A' 0,0008 + 4- 2,0351 = 2,3044 
adeoque 

X = 2,3276, ex quo fit r J/(A' 1) = 1,0111 . 

Unde huius secundae lentis constructio erit: 

Eadius scilicet faciei 
anterioris - ^-^-^-^ _ __ = 0,8713 s (9,9401715) 

posterioris = _ _ - 1 ?73 49 g (0,2392759). 



Pro prima autem lente ex vitro coronario ob $t = ~ et A == 1 erit 





anterioris 
radius faciei 



posterioris - - = 2,1478^. 



1) Sumpto 99 1 loco S3= B. Oh. 



148149] DE MICEOSCOPHS COMPOSITIS IN QDTBUS IsTULLA IMAGO REAMS 315 

CASUS POSTERIOR QUO PRIMA LENS EX YITRO CRYSTALLING 
SECTJNDA EX OORONARIO PARATTJR 

Cum hoc casu sit 



denominator iterum ad nihilnm redigatur, et cum P debeat esse imitate minus, 

7 "1 

sumatur P=-g- eritque A = -g-; at ob rationem supra allegatam sumatur 
A= y, ut sit 21 = ^-, hincque distantiae focales 

1 433 , B h 

! y. 2 5T' a et r = -y^- 

Hie iterum faciamus, ut pro multiplicatione m = 1000 prodeat cireiter 
r = dig., atque hinc prodibit J5 = 375. Sumamus igitur B = 300 ut ante 
fietque S5 = ^ ^t ob P = \ erit ^ = ^; atque hinc distantiae focales 

l 4 300 K & 



* 5 ' * 21 301 ' m 

Intervalla vero lentium erunt 



letn --. 



atque 

net HI 



Pro spatio autem in obiecto conspicuo erit 



-,. 

- _ . __ . _ Ctlfif, 

4 8malh ma 7 & "' 

quod spatium aliquantillo minus est quam casu praecedente. 

Pro apertura denique primae lentis definienda semidiameter confusionis 
iterum ad nihilum redigatur, quod fit hac aequatione: 



' 8 ' 216 



l/ I V ' \ 

+ 5s/ ? 



316 UBEI TEETH SECTIO SECUNDA 180-132 [149-150 

ex qua sumto A' = 1 colligifrur 

125A = 7,587 + ^- 246,857 1,0107 = 290,007 
Mncque 



I = 2,3200 adeoque rV(A 1) = 1,0082. 
Pro prima igitur lente erit 

_ anterioris = - ^ w/< jS = 7r5 f^- = 3,4942 # 
radius faciei 

posterioris = 1 ^ 7 4^ 77 - N = i -J^ = 0,6955^. 



Pro secunda autem lente, cuius distantia focalis est q et numeri 35 = __ e t 
A' = l, erit 



anterioris = =f r = ftft f <g = 4,3197 a (0,6354489) 

tf fQ ( d Q) 0.2olo x 

posterioris = . = -|- = 0,6041 q (9,7811232). 



radius faciei 



Quod ad reliqua momenta attinet, ea in sequentibus constructionibus accuratius 
definiemus. 

OONSTBUOTIO PEIORIS MICROSCOPII HUIUS GENERIS 

131. Posita obiecti distantia = a constructio sequenti modo se habebit: 

I. Pro prima lente ex vitro coronario facienda, cuius distantia focalis 
p = -^a, erit 

o 

. f anterioris =0,1173 a 
radius faciei { 

I posterioris =0,3579 a. 

Aperturae semidiameter sumi poterit # = 0,0293 a et distantia ad lentem se- 
cundam = ^ a = 0,025 a . 

II. Pro secunda lente ex vitro crystalline paranda, cuius distantia focalis 

# = ~2392 al ) J 6rit 

fl . . f anterioris = 0,1530 a 
radius faciei | 



posterioris = 0,3046 a. 



1) Editio princeps: = 2093 * a - "^ide notam p. 313. Correxit E. Oh, 



150-151] DE MCEOSOOPnS COMPOSITIS IN QUIBUS 5TULLA IMAGO EEALIS 317 

Eius aperturae semidiameter # = 0,0382 a; quae cum sit maior quam in prima 
lente, valor ille ipsius x valet et distantia ad lentem ocularem 

co i 480 ,. 
= 52 a dig. 

2 m ^ 

III. Pro lente oculari, cuius distantia focalis est 

480 ,. 
r = dig., 

m 

erit, si haec lens ex vitro coronario paretur, 

,. ..... 508.80 ,. 

radius faciei utnusque = '- dig. 7 

sin autem ex vitro crystallino conficiatur, erit 

radius utriusque faciei = dig. 

120 

Eius aperturae semidiameter sumi poterit # = dig., cui lenti oculus imme- 
diate est applicandus. 

IV. Spatii in obiecto conspicui semidiameter erit 

14 a ,. 
g * 



7 ma 64 

V. Pro claritate, cum sit x = 0,0293 a, erit 

Jix 0,2344 ,. 

y = = dig. 

* ma m 

hincque mensura claritatis = t 

VI. Ne priores lentes nimis fiant parvae, distantia obiecti a vix infra 
digitum sumi posse videtur, nisi forte artifex lenticulas adhuc minores exacte 
elaborare valeat; quo casu distantia obiecti uno digito minor sicque longi- 
tudo instrumenti contraM poterit. 

CONSTEIJCTIO MICEOSCOPn POSTEEIOEIS HUIUS GENEEIS 
132. Posita iterum obiecti distantia =a constructio ita se habebit: 

L Pro prima lente ex vitro crystallino facienda, cuius distantia focalis 
jj = i-a, erit 

* o * 



318 LIBEI TEETH SECTIO SECUNDA 132-133 [151153 

f anterioris = 0,6988 a 
radius faciei { , . . ^ ^ 

( postenons 0,1391 a. 

Eius aperturae semidiameter x = 0,0348 a, nisi lens secunda minorem 
aperturam postulet. 

Intervallum ad lentem secundam = 42^- 

II. Pro lente secunda ex vitro coronario facienda, cuius distantia focalis 

est 

4 300 400 



erit 

f anterioris = 0,8201 a 
radius faciei { 

I postenons = 0,1147 a. 

Eius aperturae semidiameter # = 0,0286 a, unde etiam prioris lentis 
apertura maior accipi non poterit, ita ut sumi debeat a? = 0,0286 a. 

Distantia ad lentem ocularem =57-=- a dig. 

7 m 

III. Pro lente oculari, cuius distantia focalis est r dig., si ea ex 
vitro coronario paretur, radius utriusque faciei esse debet 

424 ,. 
dig., 

m & ' 

sin autem ea ex vitro crystallino fiat, erit is 

464 ,. 

dig. 

m 5 

Eius aperturae semidiameter capi poterit x = dig. huicque lenti 
oculus immediate est applicandus. 

IV. Pro spatio in obiecto conspicuo reperimus eius semidiametrum 



V. Pro claritate, cum hie sit a> = 0,0286 a, erit y ' 2288 et mensura 
claritatis =^!!. 

m 

VI. Cum hoc casu lentes priores aliquanto sint maiores quam casu 
praecedente, respectu scilicet distantiae a, hoc casu nihil impedit, quominus 
distantia a uno digito minor capiatur, sicque longitude instrument! facile ad 
praecedentem revocabitur. 



153-154] DE MICEOSCOPHS COMPOSITIS IN QUffiUS NULLA IMAGO EEALIS 319 

SCHOLION 

133. En ergo duas adhuc huiusmodi microscopiorum species, quae supra 
allatis ideo longe sunt anteferendae, quod etiam ad maximas niultiplicationes 
accommodari queant. Ingens autem horum instrumentorum longitude merito 
non parum incommoda videbitur; verum si artifici succedat binarum lentium 
priorum elaboratio pro distantia a = y dig., longitudo duorum pedum facile 
tolerari poterit. Cum autem hie duplici vitro simus usi, operae quoque 
pretium erit investigare, quanta sit futura altera confasio praeter marginem 
color atum ex diversa refractione oriunda; quern in finem spectari debebit 
haec aequatio [27]: 

1 AT 1 TV" 1 

XT._Lj_ lv , I IV , - 1 

p ^ P 2 q ^ P*Q*V 

cuius ultimus terminus manifesto evanescit prae prioribus, ita ut haec con- 
ditio postulet 

*~P JP*"~2~* 
Cum nunc pro priore casu sit 

N=7, N'=W, $ = \a< et -? = y et ? = -^^ 1 ), 

haec formula fiet 6 -^^ 2 ) ; cuius posterior terminus quia fere priorem 
tollit, manifestum est hinc nullam plane confusionem esse metuendam. 
Pro altero vero casu, quo est 



formula ilia fiet 50 + -^- , cuius bina membra inter se tenent rationem 

A& 

25 : 24, hoc est tantum non rationem aequalitatis, ita ut se mutuo destruere 
sint censenda hocque casu altera confusio adeo penitus quasi evanescat, sicque 
priori casu confusio ex hoc fonte oriunda paululo minor erit quam casu 
posteriori; quod discrimen tamen nimis exiguum erit, quam ut in praxi alter 
casus alteri anteferendus videatur. 3 ) 



j Of\ 

1) Editio princeps: q = 0093' "^^ e notam p. 313. Oorrexit E. Oh. 

2) Editio princeps: 6 3Q? - Vide notam p. 313. Correxit E. Ch. 

3) Editio princeps: sicque posteriori casu confusio ex. hoc fonte oriunda multo adJiuc minor 
erit quam casu priori, ita ut ol hone potissimum causam posterior conditio priori anteferenda videatwr. 

Correxit E. Oh. 



SECTIO TERTIA. 

DE 

MICROSCOPIIS 

COMPOSITIS, 

IN CLVIBVS VNICA IMAGO 

REALIS OCCVRRIT; 

QVO OMNIA MICROSCOPIA HVCVSQVE VSITATA 

SVNT REFERENDA. 



LHONHARDI EULEKI Opera omnia III4 Dioptrica 



CAPTJT I 

DE MIOROSCOPnS SIMPLICIOETBUS HUIUS GENEKIS 

PRAEMONITUM 

134 Quoniam in hoc zoicroscopiorum genera obiecta situ inverso reprae- 
sentantur, in formulis nostris generalibus ubique loco m scribi debet m ac 
praeterea etiam litterae q, r, 3, t etc. omnes negative sumi debent. 

PKOBLEMA 1 

135. Microscopium Jiuius generis simplieissimum, quod tantum ex dudbus 
lentibus constet, construere eiusque qualitates describere. 

SOLUTIO 

Cum ergo Me duae tantum lentes occurrant inque earum intervallo 
imago realis reperiatur, habebit littera P valorem negativum, qui sit = Jc, 
ita ut pro multiplicatione habeatur m = seu k ===== ~ ; scilicet denotante a 
distantiam obiecti, a distantiam imaginis post lentem obiectivam et I distan- 
tiam lentis ocularis post imaginem erit quoque & = Turn vero intro- 
ducta littera A = ~ erit distantia focalis primae lentis 



et secundae lentis 

_ Aa _ Ah 

q ~ Jc ~ m 
harumque lentium intervallum 



Aa(l + 4- 
\ . ' ft 



ma 

41* 



324 LIBEI TEETH SECTIO TEETIA CAPUT I 135139 [158-160 



quod ergo ut sit positiyum, numerus A debet esse positiyus ideoque etiam 
1 = A , x erit positiyus, ita ut ambae lentes 
erit spatii in oMecto conspicui semidiameter 



1 = A , x erit positiyus, ita ut ambae lentes debeant esse conyexae. Deinde 



ma+'h 



ubi sumi solet = Y> e ^ u ^ ca P* P oss ^ 9 = 1? lentem ocularem utrinque 
aeque conyexam statui conyenit, ita ut habeatur 

ah 



4 ma 
Pro loco autem oculi invenienms distantiam 

o = -- - - = a (i + JL\ 

Ma m x\ ~ ma / 

quoniam hoc casu fit 

ob 



Quo coguito examinemus aequationem [ 23], qua margo coloratus destruitur, 
quae postulat, ut sit 

' L 

seu 



K ma 



quod cum fieri nequeat, eyidens est marginem coloratum hoc casu tolli non 
posse. Quodsi ergo hunc marginem tolerare yelimus, consideremus etiam 
aequationem pro altera confusione tollenda [ 31] 



war 



I 1 ) 



a*h V"V2P ^ AK1 ^ A*W ~ If 

quae ergo confusio ad nihilum redigi nequit; unde nulla ratio suadet duas 
vitri species adhibere; cum autem lens ocularis debeat esse utrinque aequa- 
liter conyexa, sumi debebit r=l + (^^) s ; deinde pro priori lente sumi 
conyenit A = 1, quo tota confusio minor reddatur hincque definiatur semi- 
diameter aperturae primae lentis a?; qua cognita erit y = et mensura 



1) Vide notam p. 9. E* Oh. 



160-161] DE MCEOSCOPHS SIMPLICIOEIBUS ETJIUS GENERIS 325 

claritatis = 2Qy = -^~-- Pro microscopiis quidem sumi solet & = 20. Verum 



hie niMl adhuc definiamus, cum sine dubio praestaret, si valor ipsius k ad 
50 usque augeri posset, uti in telescopiis feeimus, 

COEOLLAEIUM 1 

136. Cum sit 91 = A + I ideoque unitate -minus, manifestum est, quo 
magis 9t ad unitatem accedat, eo minorem fore confusionem ideoque pro x 
eo maiorem valorem inventum iri. Gum igitur hoc eveniat, si A sit numerus 
magnus, hoc casu insuper alterum membrum in expressione pro confusione 
fiet minimum. 

COEOLLAEIUM 2 

137. Cum igitur A adhuc arbitrio nostro sit permissa, eius valorem 
satis magnum assumi conveniet. Interim tamen longitude instrumenti pro- 
hibet, ne litterae A valorem nimis magnum tribuamus; longitudo haec scilicet 
est spectanda, quae proxime erit Aa\ quocirca ex maxima longitudine, quam 
admittere voluerimus, littera A definiatur. 

COEOLLAEIUM 3 

138. Cum deinde etiam distantia obiecti a arbitrio nostro relinquatur, 
ob rationem iam allatam non conveniet hanc distantiam nimis magnam 
statuere, sed potius praestabit earn tarn parvam assumere, quam circum- 
stantiae permittunt; videtur autem haec distantia a vix infra dimidium digi- 
tum commode diminui posse. 

SCHOLION 1 

139. Quodsi ad has circumstantias non attendamus, binae lentes pro 
lubitu assumi poterunt atque turn adeo earum intervallum definire licebit, 
ut datam multiplicationem producant; quod quo clarius reddatur, spectemus 
ambas distantias focales p et $ tanquam datas una cum multiplication m. 
Cum igitur sit #= ? inveniemus statim J.==^ hincque 8t 8ass ffl i J!?" 1 ^' Deinde 
cum sit p = 2ta, hinc elicimus distantiam obieeti 



326 LEBEI TEET3I SECTIO TEETIA CAPUT I 139-142 [161162 

Intervallum autem harum duarum lentium capi debebit 

A (.> . h \ . . 

Aa(l-\ )=JP + 9 r 

V ' maJ ^ a i 

Turn vero pro loco oculi erit 



et 

_^ 

^~~ 4 



Denique cum A sit numerus satis magnus, apertiiram lentis obiectivae tantam 
assumere licebit, nt sit ems semi diameter 



unde concluditur mensura claritatis 

-iV 
r 



unde intelligitur claritatem fieri eo maiorem, quo minor capiatur distantia 
focalis primae lentis p et quo maior capiatur distantia secundae lentis q. 

EXEMPLUM 

140. Posita distantia obiecti = a, quae sive sit unius digiti sive minor, 
arbitrio artificis relinquatur, ac ne pro maioribus multiplicationibus secunda 
lens fiat nimis parva, sumamus A = 40 fietque intervallum lentium 



ma 



turn vero erit 3l = , unde pro apertura lentis obiectivae habebimus hanc 
aequationem: 

my? f /4=1* 41 v\ pk'h \ 1_ 



ubi alterum membrum manifesto prae priori reiici potest. Sumamus igitur 



162164] DE MICROSCOPIES SBIPLICIOEIBUS EUIUS GENEKIS 327 

A = 1, et cum ft ^ + |^ sit proxime = 1, erit 

1 ~| / a" fl -, . rl i / rl 

x = -=- I/ hincque w = -~ [/ 
ft r m * * fcm r ma 

et mensura claritatis 

h 



= 
km 

Quodsi ergo nunc, ut in microscopiis fere fieri solet, sumatur Jc 20, erit 
mensura claritatis 



m r ma 



ita ut claritas decrescat in ratione m , cum in microscopiis simplicibus tan- 
tum decreverit in ratione m. Denique pro loco oculi erit distantia 



SCHOLION 2 

141. Diminutio claritatis, quae hoc casu prodiit, parum negotium turbaret, 
si modo distantia obiecti a satis parva caperetur; verum praecipuum vitium, 
quo haec microscopia laborant, in hoc consistit, quod obiecta insigni margine 
colorato cincta sint adparitura. Quare ante omnia erit curandum, ut ista 
microscopia ab hoc vitio liberentur, id quod alio modo praestari nequit, nisi 
insuper lentem introducendo, ita ut huiusmodi microscopia ad minimum 
tribus lentibus constare debeant, et quoniam vitri diversitas hie parum sub- 
sidii adferre potest, primo quidem omnes has lentes ex eodem vitro parari 
assumamus. Turn vero duos casus hie examini subiici conveniet, alterum, 
quo nova ista lens ante imaginem realem, alterum vero, quo post earn collo- 
catur; quos duos casus in sequentibus problematibus fusius pertractemus. 

PEOBLEMA 2 

142. Microscojpium compositum ita ex tri~bus lentibus conficere, ut margo colo- 
ratus evanescat et lens media ante imaginem realem cadat. 

SOLUTIO 

Hoc ergo casu cum habeantur tres lentes, litterarum P et Q prior P 
positivum retinebit valorem, posterior vero Q negativa statui debebit. Po- 



328 LIBBI TEBTH SECTIO TEBTIA OAPUT I 142 [164165 

7. - _ 

natur igitur Q = k, ut sit multiplicatio m = P&- ideoque PA -^-; unde 
distantiae focales lentium erunt 

AB ST> h 



r Jffc m 



Deinde intervalla lentium 

let II =Aal-, Uet IE _ 



quae ut ambo fiant positiva, primo A(l j-\ debet esse positivum, deinde 
etiam AB>0 sive AB quantitas negativa, ita ut, si A fuerit numerus 
positivus, turn debeat esse P > 1 et B < 0, sin autem sit A < 0, turn esse 
debeat P < 1 et B > 0. 

Nunc consideremus spatium in obiecto conspicuum, cuius semidiameter 
erit 



ita ut sit 



ubi sumi poterit r==l, si quidem lens ocularis utrinque fiat aequalis. Pro q 
autem habetur ista aequatio 35q==(P l)Jf. Deinde pro loco oculi fiat 
distantia 



quae ut fiat positiva, necesse est, ut r sit quantitas positiva ideoque AB 
quantitas negativa^ ut iam notavimus. 

Turn autem margo coloratus destruetur, si fuerit 



PJc 
adeoque 

7 r , 1 , . 1 

K = = ob r = 1 seu q 

q q ^ Jc 

Hie igitur praeter exspectationem novus modus se offert ista microscopia 
multo magis perficiendi atque adeo campum visionis duplicandi, id quod fit ; 
si litterae q valor unitati aequalis perinde ac litterae t tribuatur, ad quod 



165166] BE MIQBOSQOPIIS SIMPLIGIOErBUS HUIUS GENEEIS 329 

necesse est, ut tarn secunda quam tertia lens fiant utrinque aeque convexae; 
quamobrem ponamus & = 1 ? ut fiat q = r = l hincque 



ma + h 4 ma + h 



Turn vero erit P=^; unde, quia P>1, erit ^L>0 et 2I>0 et 8t<l 
ideoque S<0. Fiet antem 



fm a Ji\ -. f 2 (ma Ji) 

\ h / ma + li 



ob M = ma , h h, quo ob ^ numerum praemagnum erit proxime 
33 = 2 et J? = Y, plane ut requiritur. Tuto autem statuere poterimus 
3$ = 2; etsi enim tum q aliquanto minor imitate prodeat ideoque margo 
coloratus non perfecte tollatur, manente scilicet & = 1, tamen defectus prior 
in campo visionis vix erit sensibilis, praecipue pro magnis multiplicationibus; 
deinde iam saepius annotavimus non opus esse, ut margo coloratus penitus 
destruatur, quoniam locus oculi, ad quern refertur, non exiguam. patitur 
latitudinem. Pro loco oculi vero nunc habebimus 

~ r(ma + Ji) 

Cum igitur nunc sit 

SR 2 7? 2 p _ma , , 

2, T , ^ -j- et A? 1, 

littera vero A ita arbitrio nostro permittatur, ut tan tum positiva accipi 
debeat, distantiae focales lentium ita se habebunt: 

= 9r = 2Ah r = ^ Ah ^ i 

et distantia oculi 

^ A(ma 

ideoque proxime 



==- 
"^ 3m 2 r " 

L*EONHARDI EULBRI Opera onmia III 4 Dioptrica 42 



330 LEBEI TEETH SECTIO TEETIA CAPUT I 142-146 [166-167 

Intervalla autem lentium nunc reperiuntur 



I et E =Aa 1 ), H et HI = -f- 

x ma/ 3 m 



sicque tota longitude 



existente & = -r - r & - 

4 ma-f~ n 

Nihil igitur aliud restat, nisi ut aperturam primae lentis definiamus ex 
hac aequatione: 



J^ v , h /X_ _ 3v\ , 27l"h\ J^ 
W + A% + A*ma\S 4 / + ~&A*maJ ~ tf ' 



nbi notandum est ? quia ambae posteriores lentes debent esse utrinque aequa- 
liter convexae, fore 



et 



At pro A unitatem sumi convenit; turn ergo ob 31 = - baec aequatio com- 
mode ita transformabitur: 

_ 3i/\ 

4 / + 



Ponamus nunc brevitatis gratia 

79m '"=^ ? 



cuius valor unitatem non nisi parum superabit, dummodo pro A nunaerus 
modicus assumatur. Quare ? cum /a semper sit numerus ab unitate parum 
deficiens, ita ut snmi possit ^a^/=l ? quocirca habebimus 



=-" -- ; 

K r ma 



167169] BE MICROSGOPHS SB1PLIGIOEIBUS HUIUS GENERIS 331 

nbi pro Jc sumi potest 20 vel potius nnmerus adhuc maior, quo obiecta 
distinctius repraesententur. Turn yero erit mensura claritatis 



Jcma 



COEOLLAEIUM 1 

143. Cum adhuc littera A arbitrio nostro sit relicta, earn tantam assumi 
conveniet, ut distantia focalis r non flat nimis exigua etiam pro maximis 
multiplicationibus; scilicet ut pro multiplicatione m = 1000 distantia focalis 
lentis ocularis non infra dig. capi debeat, oportebit sumere A > 94; undo 



erit |4 = 100 et] - 



COEOLLAEIUM 2 



144. Neutiquam vero consultum erit litterae A multo maiorem valorem 
tribuere, quia turn longitudo instrumenti nimium excresceret; si enim posito 
A = 100 distantia obiecti a unius tantum digiti sumeretur, longitudo instru- 
menti octo pedes esset superatura; quare si velimus statuere J. = 100, necesse 
erit, ut distantia obiecti a ad dimidium digitum vel etiam ~ dig. reducatur. 

COKOLLAEIUM 3 

145. At si distantia a = ^- dig. nimis parva videatur, praestabit utique 
assumere A = 50, quo casu lens ocularis, etiamsi millies multiplicemus, 
tamen vix infra -j~ dig, sit reducenda, quae magnitude in praxi facile admitti 
potest, cum talis lens aperfcuram adhuc patiatur pupilla maiorem. 

COEOLLAEIUM 4 

146. At si tantum sumatur A = 50, turn erit 31 = 55, ita ut distantia 
focalis lentis obiectivae p tantillo minor accipi debeat quam distantia obiecti 
a, quam pro circumstantiis commode =y dig. sumere licebit. Praeterea 
vero valor litterae ^i multo propius ad unitatem revocabitur, dum bina po- 
steriora membra huius litterae plane pro evanescentibus haberi poterunt. 

42* 



332 LIBEI TEETH SECTIO TEETIA CAPUT I 147-148 [169170 

SCHOLION 1 

147. Haec microscopiorum species pleraque instrument^ quae hodie sub 
titulo microscopiorum compositorum circumferuntur, in se complectitur, quae 
igitur pro eo melioribus sunt habenda, quo minus a constructione hie prae- 
scripta discrepant. Praecipua autem proprietas in hoc consistit, quod di- 
stantia focalis lentis mediae triplo maior sit quam lentis ocularis haeque 
lentes ita disponantur, ut imago realis media interiaceat inter binas lentes 
oculares, sive, quod eodem redit, ut intervallum harum duarum lentium 
duplo maius sit quam distantia focalis postremae lentis. Quo igitur construc- 
tionem horum microscopiorum clarius ob oculos ponamus., primo considere- 
mus lentem obiectivam, quae tantum a distantia obiecti a, quam pro lubitu 
assumere licet, pendet, cuius constructio, si ex vitro communi, pro quo est 
^ = 1,55, paretur, ita se habet: 

Constructio lentis obiectivae pro data distantia obiecti a 
ex vitro communi parandae 

===== p 

Radius faciei 



posterioris = J^ ( _ -^ = p = 0,6255^; 



unde deducitur sequens 

CONSTRUCTIO HUITJSMODI MICROSCOPIORUM 

EX TRIBUS LENTIBUS COMPOSITORUM 

PRO QUAVIS MULTIPLICATIONE 

148. Singulae hae lentes ex vitro communi, cuius refractio est ^==1,55, 
parentur et posita obiecti distantia = a, quam commode = ~~ dig. assumere 
licebit, erit: 

I Pro lente prima, cuius distantia focalis est p = a, sumatur 

. , f anterioris ==4,4668 a 
radius faciei { 

I posterioris = 0,6130 a, 



eius aperturae semidiameter statuatur x = -f 98Qa 

yma 

et distantia ad lentem secundam = 50 a dig. 



170172] 



DE MIOEOSCOPnS SBIPLICIOEEBUS HU1US GE1STERIS 



333 



800 



II. Pro secunda lente, cuius distantia focalis est q = dig., sumatur 



880 



radius utriusque faciei = dig., 



aperturae semidiameter 



200 

m 



dig. 



533 



et distantia ad lantern tertiam = dig. 

tn, < ' 



III. Pro lente tertia, cuius distantia focalis r 



267 



dig., erit 



293 



et distantia ad oculum 



radius faciei utriusque = dig., 

dig. 
dig. 



eius aperturae semidiameter = dig. 

133 
m 



IV. Spatii in obiecto conspicui semidiameter erit g = 



dig. 



et instrumenti longitudo = 50 a 



atque mensura claritatis 



267 



dig. 



16 



m y ma 



Notari Me meretur primam lentem tantum a distantia obiecti a pendere 
eamque pro omni multiplicatione retineri posse, duas vero posteriores lentes 
tantum a multiplicatione pendere easdemque pro omni distantia obiecti a 
locum habere posse; unde tantum pro variis aliquot multiplicationis gradibus 
praecipuis duas has lentes construi conveniet, veluti tabella subiuncta indicabit- 



Distantia focalis 



Distantia 



m 


lentis IT 


lentis III 


H et IE 


oculi 


50 


16 dig. 


5,33 dig. 


10,67 dig. 


2,67 dig. 


100 


8 


2,67 


5,33 


1,33 


200 


4 


1,33 


2,67 


0,67 


300 


2,66 


0,89 


1,77 


0,44 


400 


2 


0,67 


1,33 


0,33 


500 


1,60 


0,53 


1,07 


0,27 


600 


1,33 


0,44 


0,88 


0,22 


800 


1 


0,33 


0,67 


0,17 


1000 


0,8 


0,27 , 


0,53 


0,13 



334 LIBEI TEETH SECTIO TEETIA CAPUT I 148-149 [172173 

Interim tamen deinceps ostendemus, quemadmodum etiam iisdem ternis 
lentibus retentis microscopia ad omnes multiplicationes accommodata construi 
possint. 

SCHOLION 2 

149. Formulae, ex quibus hanc microscopiorum constructionem de- 
duximus, ita sunt generates, ut etiam ad telescopia accomrnodaii queant. Cum 
enim turn sit a = c* et t# distantiam focalem lentis obiectivae denotet, 
evidens est statui debere 91 = ideoque etiam A = 0, ita tamen, ut sit 
tyia = p', quare ob li = a erunt distantiae focales duarum reliquarum lentium 

35 p , Bp Bp 

g = _ et r --^-- , 

sive ob 

33 = 2 et J5 = y 

erit 

, %P 2j? 1 

lentium porro intervalla 

I et II jp (l ), n et III = 4^~ = 2r 

^ \ m/ 3m 

et distantia oculi 



_ 
~ 3m 2 

unde longitudo telescopii tota 



Turn vero semidiameter campi visionis 



a 4 m + 1 

Denique pro apertura determinanda habebitur 

x = "T" v hincque y = ~ I/ 



w 
et mensura claritatis 



"km 



173175] BE MICEOSCOPnS SIMPLICIORIBTJS HTJIUS GENERIS 335 

Praeterea vero Me notasse iuvabit prirao semidiametmm imagiois realis; quae 
cum in genere sit =*ABz [11], erit ea = Trw^PlT' q 110 ^ ^nim in hoc 
loco diapkragma inseratur, eins foramen Mnc determinari debet; deinde cum 
sit semidiameter penicillorum radiosorum in oculum ingredientium 



7 

u Km 

quoniam in loco oculi operculum statui solet foraminulo pertusum, eius semi- 
diameter hinc determinabitur. NiMl autem impedit, quominus hoc forami- 
nulum maius statuatur. Cum vero in telescopiis detur x = my, erit 

p = JcmyYm. 

Hinc igitur, si vitro com muni utamur, cuius refractio est n = 1 ? 55, sequens 
nascitur 

Constructio telescopii astronomici tribus lentibus instrucia 

I. Pro prim a. lente obiectiva, cuius distantia focalis est p = kmyym 
ideoque datur, erit 

anterioris = 0,6145 jp 

radius faciei - 

posterioris = 

eius aperturae semidiameter x = my 



et distantia ad lentem secundam = p (l ) 

II. Pro secunda lente, cuius distantia focalis est q = , erit 

,. , . /> . . 11 HP 

radius utriusque taciei = 77;9 r = ~E > 
* 10 om 

eius aperturae semidiameter = -^ q 

et distantia ad lentem ocularem =3^ = -3-2 = 2r. 

III. Pro lente oculari, cuius distantia focalis est ^==3~ = y!?> erit 

radius utriusque faciei = r = -j^- = g', 

eius aperturae semidiameter = r 
et distantia ad oculum =^-ti-r. 



336 LIBEI TEETH SECTIO TEETIA CAPUT I 149-151 [175-176 

IV. Longitudo ergo hums telescopii erit 

3^V 



. , 
mmiit. 



et campi apparentis semidiameter 

-12 1718 

c> = --- = - 

4 m + 1 m + 1 



V. Si in loco imaginis realis, quae in medio puncto inter binas poste- 
riores lentes existit, diapkragma constitui debeat, ems semidiameter esse oportet 



P 



PKOBLEMA 3 

150. Datis tribus lentilus convexis, quarum tertiae distantia focalis triple sit 
minor quam secundae, ex Us microscopium cowvponere, quod ad omnes multiplica,- 
tiones prodmendas sit wptum. 

SOLUTIO 

Sit primae lentis, quae locum obiectivae occupat, distantia focalis =p, 
secundae lentis = q et tertiae lentis =r = ~q; quae omnes tres distantiae 
sint positivae et datae una cum multiplicatione =m; quare, si formulas in 
superiore problemate inventas contemplemur, ex birds posterioribus lentibus 
statim colligimus 

A = ^~ ideoque SI = "r^r 

Porro ex prima lente innotescet distantia obiecti 

n ^_ ;pM_|^ 



mq * \ mq/ 

Hinc nostrae lentes sequentia inter se intervalla tenere debebunt: 

T PI TT Qg 
i et n - 

II et III 



176177] BE MICROSCOPES SIMPLICIORIBUS HUIUS GENERIS 337 

Deinde ut hae lentes tarn eundem canapum producant, quein supra assignavimus, 
quam etiam eandem claritatem y circa has tres lentes datas insuper requiritur: 

I. Tit lens prima propemodum sit piano -convexa eiusque facies plana 
obiecto obvertatur, vel adhuc magis praestabit, si radius anterior sexies vel 
septies circiter maior sit quam posterior, 

n. TJt binae reliquae lentes utrinque sint aequaliter eonvexae. 
Turn vero spatii in obiecto conspicui semidiameter erit 

_ h mq + 2h 

~ 



~2m ' (mq 

pro quo requiritur, ut oculi a lente oculari distantia sit 

1 

=~ r r proxime. 
r 



7 - 
(mg 

Praeterea vero pro apertura lentis obiectiyae eius semidiameter reperitur 

9 lV 

~kY7. 



x-- 



ubi notetur, quo magis Jc numerum 20 superare accipiatur, eo minorem fore 
confusionem, atque sic inyento x mensura claritatis erit 



ma 



-x 



Pro diaphragmate in loco imaginis realis constituendo erit radius foraminis 



_ 

2 (mq+Ztyp + Tiq 



COEOLLAEIUM 1 

151. Quod primo ad distantiam obiecti attinet, ea semper erit aliquanto 
maior quam distantia focalis lentis obiectivae idque eo magis, quo minor 
fuerit multiplicatio. Sin autem multiplicatio adeo fiat infinita, sumi debebit 
haec distantia a=$>. 

LEONHARDI EULBRI Opera omnia HI* Dioptrica 43 



338 LIBEE TERTII SEOTIO TEETIA CAPUT I 152154 [177179 

COEOLLAEIUM 2 

152. Intervallum. vero lentium primae et secnndae potissimum a multi- 
plicatione m pendet, ita ut pro multiplicatione infinita hoc intervallum adeo 
infinituni sit capiendum. JSTe igitur pro maioribus multiplicationibus hoc 
intervallum nimis prodeat magnum, hoc incomrnodum evitabitur, si quantitates 
p et # tarn parvae accipiantur, quam circumstantiae in praxi observandae 
permittunt. 

COEOLLARIUM 3 

153. Cum loco x valore substitute sit mensura claritatis 



intelligimus claritatem eo fore maiorem, quo minor fuerit distantia focalis p] 
quam tamen tantam esse convenit, ut distantia obiecti a, quae ipsi proxime 
est aequalis, non fiat nimis exigua; praeterea vero etiam claritas proportio- 
nalis est isti formulae: 

\mcj[ + 2hJ ' 
quae circumstantia suadet pro q valorem non nimis exiguum. 

EXBMPLUM 

154. Surnamus tres lentes datas ita esse comparatas, ut sit: 

1. Lentis primae distantia focalis p y dig. eaque propemodum plano- 
convexa eiusque facies planior obiecto obvertatur. Sic enim distantia obiecti 
non nimis parva erit censenda. 

2. Secnndae autem lentis, quae utrinque sit aequaliter convexa, distantia 
focalis sit 2 = 1 dig., ut aperturam admittat, cuius semidiameter x = dig. 

3. Tertiae vero lentis ocularis itidem utrinque aequaliter convexae sit 
distantia focalis r = ydig., ut aperturam admittat, cuius semidiameter =^- dig. 
sive diameter y dig. 

His igitur datis momenta constructionis ita sunt comparata, ut quaedam 
neutiquam a multiplicatione pendeant, reliqua vero pro qualibet multiplicatione 
seorsim definiri debeant. Prioris generis sunt: 



179180] DE MICROSCOPES SBEPLICIOEIBUS HUTUS GENESIS 339 

1. Distantia tertiae lentis a secunda, qnae constanter erit -y dig. pro 
oculis scilicet valentibus, ita nt lens ocularis ab imagine reali distet inter- 
vallo = y dig., scilicet suae distantiae focali aequali In gratiam autem my- 
opum et presbytarum conveniet hoc intervallum mutabile reddi ope cochleae, 
qua lens ocnlaris circiter parte quadragesima digiti vel propins admoveri vel 
longius removeri possit. 

2. Distantia oculi a lente oculari itidem censeri potest constanter 
= r = y dig.; etiamsi enim revera ea paiilisper a mnltiplicatione pendeat 
et aliquantillo maior esse debeat, tamen locus oculi tantae praecisionis non 
est capax. 

Momenta autem pro varia multiplicatione variabilia sunt sequential 

1. Distantia obiecti a lente obiectiva, quae hoc casu erit 



sumto scilicet 7^ = 8 dig., ita ut haec distantia semper superet y dig. 

2. Maxime autem a multiplicatione pendet intervallum lentium primae 
et secundae; quod si indicetur littera L, erit i = J| dig., ita ut pro multi- 
plicatione m = 320 L tantum fiat decem digitorum et, si ad duos pedes 
augeatur, iam multiplication! m = 768 inserviat, ad quam mutationem produ- 
cendam evidens est tubo ductitio esse opus. 

3. Inprimis quoque a multiplicatione pendet apertura primae lentis, 
cuius semidiameter erit 

= 1 -i 3 / 2 T. 
X ~ 20 r w + 16 g * ? 

ubi sumsimus ft = 20. Perspicuum autem est, si valorem ipsius # minorem 
statuamus, confusionem in ratione triplicata diminutum iri. 

4 Quodsi in loco imaginis realis seu in distantia = y dig. post lentem 
mediam diaphragma velimus collocare, eius foramirtis apertura esse debebit 

= T" * *. _L *Z ^8- 5 



quare, si rnultiplicatio sit valde magna, haec semidiameter erit y dig. eiusque 
ergo diameter == y dig., quae mensura etiam minoribus multiplicationibus 
inservire potest, ita ut diaphragma mutare non sit opus. 



340 LIBEI TERTH SECTIO TERTIA CAPUT I 154156 [181182 

5. Quod ad foraminulum atfcinet, cui oculus est adplicandus, si necesse 
videatur eius semidiametrum ipsi y aequalem statuere, reperietur ea = 



quae ergo pro casu m = 112 prodiret =gjQ dig. Quoniam vero tantillum fora- 
minulum quasi sensus effiigeret, sufficiet praecepisse hoc foramirmlum quam 
minimum fieri. 

Hoc autem microscopio constructo, quemadmodum Me est description, 
eius ope in obiecto spatiolum conspicietur, cuius semidiameter erit 

_ 4 w + 16 ,. 
~ ~m' m+B2 %'' 

quae ergo pro maioribus multiplicationibus erit z = -^- dig. , quod spatium 
certe satis est notabile. Demque vero mensura claritatis, qua obiecta cer- 
nentur, erit 

320^ 16 -i s 2 



-i s / 
r 



cuius quadrato proprie loquendo ipsa claritas censenda est proportionalis. 
Quodsi ergo obiectum a sole collustretur et nos multiplicationem eo usque 
augere velimus, ut ipsa claritas centies millies adeo fiat minor (quandoquidem 
turn adhuc duplo maior erit, quam si obiectum a plena luna illustraretur), 
hoc eveniet pro multiplicatione m = 700; quae multiplicatio tanta est, ut vix 
unquam maior desideretur. 

PROBLEM! 4 

155. Microscopwm compositum ita ex tribus lentibus conficere, ut margo colo- 
ratus evanescat et lens media post imaginem realem cadat. 

SOLUTIO 

Hoc ergo casu cum tres habeantur lentes, litterarum P et Q prior P 
negativum habebit valorem posteriore Q manente positiva. Sit igitur 
P ===== /, ut sit multiplicatio 

7 r\ h i s\ mctt 

w) -- if i I __ con lc f i -. 

ft (/ i- j\]\eJ* OUUL tv 1<tf r . 

a h 

unde distantiae focales lentium erunt 

^ ABh 

' m 



182183] BE MECEOSOOPnS SIMPLICIOEIBUS HUIUS GENERIS 341 

et lentium intervalla 



unde patet esse debere A>0 ideoque etiam 1 > et 31 < 1, turn vero 
etiam B(Ql} > 0, ita ut, si B sit >0 ? turn esse delbeat Q>1, sin autem 
B < 0, torn Q<1. 

Nune consideretur spatium conspicuum, cuius semidiameter est 



ma 
ita ut posito 



fiat 



ubi sumi potest r = l, siquidem lens ocularis sit utrinque aequalis et q uni- 
tatem non superet, sive negative sive positive. Pro q autem hab^ebitur haec 
aequatio: 



Deinde pro loco oculi fiet distantia 

rr 







Ma ' m 



quae ut sit positiva, debet esse r > seu AB < adeoque B negativum et 
Q<I. Hinc igitur pro margine colorato tollendo habebitur ista aequatio: 



v-p-i 

unde colligitiir q = g-; quare, cum sit Q < 1, prodiret q non solum nega- 

tivum, sed etiam imitate maius; quod cum sit absurdum, evidens est hoc 
casu marginem coloratum tolli plane non posse; neque ergo opus est, ut 
hunc casum ulterius prosequamur. 

SCHOLION 

156. Hoc igitur casu reiecto istud caput, in quo simpliciora huius generis 
microscopia sumus contemplati, finiemus et, quemadmodum haec microscopia 



342 LISRI TEE/TIT SECTIO TERTIA CAPUT I 156 [183184 

ad maiorem perfectionis gradum eveM queant, indagabimus; praecipuum 
autem incommodum, quo haec microscopia etiamnum laborant, in hoc con- 
sistit, quod pro maioribus multiplicationibus claritas nimis flat exigua, cuius 
rei ratio manifesto sita est in parvitate aperturae x, quae autem maiorem 
valorem accipere non potest, nisi ipsa expressio pro semidiametro confusionis 
inventa minorem valorem adipiscatur; id quod duplici modo obtinere pote- 
rimus, priore scilicet, dum loco lentis obiectivae simplicis duae vel tres vel 
etiam quatuor lentes convexae substituuntur; quippe quo modo id lucramur, 
ut hae lentes maiores distantias focales consequantur quam lens simplex 
atque etiam maiorem aperturam adipiscantur. Deinde vero, si etiam lentibus 
concavis uti velimus, expressio iLa pro semidiametro confusionis adeo ad 
niHlum redigi poterit, ita ut aperturae primae lentis alii limites non prae- 
scribantur, nisi quos ipsa lentis figura postulat. Deinde vero ? etiam si diversas 
vitri species adhibeamus, adeo effici potent, ut etiam altera confusio a 
diversa refractione oriunda penitus tollatur; in quo etsi summus perfectionis 
gradus consistere videtur, tamen id adhuc incommodi se immiscet, quod 
lentes illae loco obiectivae snbstituendae multo fiant minores; quod cum 
priore modo secus eveniat, utique operae erit pretium hos ambos modos 
percurrere. Denique vero, etsi campus visionis hie est satis notabilis, tamen, 
ut argumentum hoc plene absolvamus, etiam monstrabimus, quomodo hunc 
campum adhuc magis atque adeo ad lubitum amplificari conveniat. 



CAJPUT II 

DE ULTEEIOEI HOEUM MICEOSCOPIOETJM PEEFECTIONE 

BUM nS MAIOE CLAEITATIS GEADUS 

DUAS PLUEESYE LENTES CONVEXAS 

LOCO OBIECTIVAE STJBSTITUENDO OOMPAEATUE 

PEOBLEMA 1 

157. Loco lentis oHectivae eiusmodi duas lentes convexas proxime sibi iunctas 
substituere, ut fiinis reliquis lentibus secundum praecepta in superiore capite data 
constitutis maior claritatis gradus obtineatur. 

SOLUTIO 

Cum He quatuor lentes sint considerandae, quarum binae priores minimo 
intervallo sint seiunctae, tertia vero ante imaginem realem cadat, littera P 
minirae ab unitate discrepabit, Q vero adhuc erit positiva, tertia vero E 
negativa; quam ob cansam statuamus jB = k, unde distantiae focales liarum 
lentium erunt 

, ASCa 

et 



Cum vero sit 
erit 

Intervalla autem lentium erunt 




m 



344 LIBEI TEETH SECTIO TEBTIA CAPUT H 157 [186187 



let II 
Iletm =_-fll_-i, 



Cum autem onmes lentes sint convexae, erit 

1. S>0, 2. ^23>0, 3. ^LB(>0 et 4. 
ideoqne etiam 

>0 sen 1+C>0. 

Eatione intervallorum autem tenendum est, quia primum debet esse mini- 
mum, litteram P parum ab unitate discrepare, ita ut, si hoc intervallum 
ponatur =ija, . futurum sit P== ^ existente rj fractione satis parva. 
Deiade debet esse AB(Q l] >0 et ABC>0. 

Consideremus mine spatium in obiecto conspicuum, cuius semidiameter est 

b ' 

ubi q tarn erit parvnm, ut reiici possit; deinde vero tarn r quam unitati 
aequales sumi poterunt, siquidem binae postremae lentes utrinque aequaliter 
convexae conficiantur. Hoc enim modo maxinms campus visionis obtinebitur ? 
uti in capite praecedente est ostensum. Ponamus igitur 



fietque 

unde pro loco oculi habebitur 



s h 

\S -- .- y 

Ma m 



quae, ut iam assumsimus, est positiva. Ex quo pro tollendo margine colorato 
reperitur haec aequatio 

Q_ 1_ I 

P 
cum autem sit 

q = et r = g = l et B 
habebitur 

= 1 T- seu Jc == 1 



187188] DE ULTEEIORI HOBUM MICEOSCOPIOfiUM PERFECTIONE 345 



ut ante, ita ut iam sit P$ = ^p? et quia proxime P=1 7 fiet proxime 
Q = ^ sive pro maioribus multiplicationibus erit Q valde magnum. His 
notatis aequationes fundamentales enint 



2. _g r _(p0_i;,jf_ qj 



quarum prior non amplius in computum venit, quoniam tam q quam P 1 
sunt valde parva; altera vero dat 



unde pro maioribus multiplicationibus concluditur 

C- 2 et (7- 4 

o 

quibus valoribus tuto uti licebit; etiamsi enim vel campus visionis parumper 
diminueretur yel etiam margo coloratus non perfecte tolleretur, id neutiquam 
turbare debet. Quare ? cum hactenus invenerimus 



et 
prodeunt distantiae focales 



4- 

.- et S -_ T 

ita ut sit s = ~r, et nunc apparet AB esse debere negativum. Intervalla 
autem ita exprimentur: 

/ 1 \ A. 

Primum = Ad ( 1 -p- ) = rja existente P = ._ , 

, AS A i\ 

secundum = -- p--al 1 ~y L 

quod ob J.jB<0 per se fit positivum, 



tertium = ^-AB< = 25 

3 m 



atque distantia oculi 



= 4~ . - = ^^ _ s proxime. 
Ma m 2ma 2 r 



LEONHARDI EULERI Opeia omnia HI 4 Dioptrics 



346 LEBBI TEETH SECTIO TERTIA CAPUT H 157 [188-190 

Tandem superest consideranda aequatio pro apertura x determinanda, quae est 



1 



Statuatur brevitatis gratia 



ut sit 

_ j. f/ a 2 /^ = a -i s / 
^ J V mA h V 



quae expressio ut eo maior prodeat quam casu praecedente, efficiendum est, 
ut valor A, quantum fieri potest, infra unitatem deprimatur, ad quod primo 
littera A = A / =1 capiatur; pro duabus posterioribus autem lentibus, quia 
utrinque aequaliter convexae esse debent, litterae X' et X" ita iam defi- 
niuntur, ut sit 



tantum igitur restant definiendae litterae A et B, quia propemodum est 
P=l. At circa litteras A et J? iam praescribitur esse 1. 21 >0 et 
2. AB<0 pariter ac ^B<0, ita ut sit -J>0 seu 1 + J?>0. Quamobrem 
omnia ilia membra pro A erunt positiva, ita ut eius valor ad nihilum redigi 
nequeat, sed tantum ad minimum sit revocandus. Pro primo quidem termino 
is eo minor reddetur, quo maior capiatur SI; quia autem turn A fit nega- 
tivum, littera B fiet positiva ideoque 23<1 ; ex quo secundum membrum 
solum iterum fit maius unitate. Simili modo, si SB statuatur numerus 
magnus, fiet B negativum et A capi debebit positivum; unde 21 fiet unitate 
minus, ita ut nunc primus terminus solus unitatem sit superaturus. Deinde 
vero etiam inprimis cavendum est, ne productum illud negativum AB fiat 
nimis parvum, quondam alioquin distantiae focales r et s quasi evanescerent, 
ex quo necesse est, ut formula AB non infra certum valorem deprimatur. 
Statuarnus igitur AB = 6, ita ut 6 denotet limitem ilium pro hoc pro- 
ducto observandum; qui cum ut quantitas constans spectari queat, dum 
litterae A et B pro variabilibus habentur, erit 

dA 



190191] DE ULTERIORI HOEUM MGROSCOPIOBTOr PERFECTIONS 347 

His ergo notatis expressio litteram A definiens erit 

1 _!_ , _v 1 v li /T _ 3v\ 27 hi'" 

^ \8 



in qua posteriora membra sunt constantia; unde ad minimum eius valorem 
inveniendum tantum opus erit priora membra differentiari, ubi quidem 
P=l. Hunc in finem notetur esse 

Mncque 

dM_dA_ , d$8_dB_ dA 
W~~A? 6t W~~&~~^B' 

ex quo aequatio differentialis prodibit 

= _ 35 3Jg 3_ _ (B_,B_ 2__ 1 \ 

Of 2 1 A 8 OQ- % A 9 Od 9 \ >< I OY" " A 9 CO. I t 9 TTV / j 

<JL ~A. 2c5 v4 vi \ /i VI >4 2/1 >4 /* / 

quae per 5 divisa dat 

= 3 f_J_ _ A _ 1 ^ _ v /JL i JL _ 2 1 \ 

atque hinc elisis litteris germanicis elicietur 

o-'Cra-OO + z + aaD + 'GpW + A-i- 1 )' 

\^!1. jLr / \ ^GL ^ilL Jjs \^CL JL) -/JL ..." ^L / 

quae ergo reducitur ad hos fact ores: 



ex qua, cum ob AB = 6 secundus factor evanescere nequeat, factor 
tertius praebet 

1 -i 

et 8 = 



44* 



348 LIBRI TERTII SECTIO TEETIA CAPUT n 157-160 [191-192 

sive etiam ambae litterae per 6 sequent! modo definientur: 

-n 1 ,co. 1 

*- et -?+i' 

delude 



1 

Ex his autem Yaloribus concludimus fore 
, i 1 



. 1 \ . * /r S* 

V 1 flP/" 1 " 8 ma \8 ~"4" 



ubi # plerumque erit numerus valde magnus, ut etiam pro maioribus multi- 
plicationibus distantia focalis s non fiat nimis esigua. Hinc igitur erit satis 
exacte 



et cum propemodum sit y = y, erit A~, ita ut tuto sumi possit 
== ; unde obtinebitur 



a 

ma 



qui valor eum, quern in capite praecedente habuimus, superat in ratione 
Y& : 1 seu proxime ut 17 : 10. Quare etiam claritas in eadem ratione hie 
maior obtinetur. 

COEOLLAEIUM 1 
158. Per numerum igitur 6 distantiae focales sequenti modo exprimuntur: 



, -., 

ita ut sit proxime q=p et exacte 5==yr; turn vero lentium intervalla 

2 ft / 1 \ 

primum = ^ - (^1 ^ Ja ?ja 
ideoque 

= adeo< l lie p<1 ' 



192-194] DE ULTERIOEI HORUM MICROSCOPIORUM PERFECTION 349 



secundum = 6 ( -=- ~p~n] a 



Ba 



m 



4 h 

tertium =d = 25. 
3 m 



COEOLLABIUM 2 

159. Quoniam interyallnm binarum lentium sibi proximarum convenien- 
tissime ex earum distantia focali definitur, ponamus esse 7ia=%p m , hinc 
definietur 

P ^ (0 + 1) 

(0+1) + 6(0-1)' 

quare, cum sit 6 numerns valde magnus, fiet -P=yTT' q^iare si capiatur 
^ = , flet P = , qui valor ad praxin satis videtur accommodatus, cum hoc 
intervallum adhuc exiguam mutationem permittat. Quod ad campum visionis 
attinet, spatii in obiecto conspicui semidiameter erit 

. ah 



ma-\-Ji 2 

eadem scilicet est uti in problemate 2 capitis praecedentis atque etiam 
distantia oculi perinde Me determinatur. 

SCHOLION 1 

160. En ergo iam insignem perfectionem eorum microscopiorum, quae in 
capite praecedente evolvimus, cum claritas hie inventa iam notabiliter maior 
sit quam ibi idque in ratione 12 : 7, et quia revera claritas secundum rationem 
duplicatam sentitur, hie triplo maior est censenda. Quocirca in his micro- 
scopiis multiplicatio multo longius proferri poterit quam in praecedentibus, 
antequam obscuritas fiat intolerabilis. Hinc si velimus, ut pro multiplica- 
tione m = 1000 distantia focalis lentis ocularis non minor fiat quam dig., 
oportebit assumere (9 = 47, ita ut sumto #==50 non sit metuendum, ut 
lente oculari nimis exigua opus habeamus. Hunc igitur casum in sequenti 
exemplo evolvisse operae pretium videtur. 



350 LIBEI TEETH SECTIO TERTIA CAPUT II 161162 [194195 



EXEMPLUM 

161. Statuamus igitur = 50 suratoque 7^ = 8 dig. et ? ut modo notavimus, 

P = -j pro data obiecti distantia = a nanciscimur sequentes distantias focales: 

100 110 800 ,. , 800 

^ = -5T a ' ? = -5r a ' r = -^T dl S- et s== 
lentiumque intervalla 

10 T -K 400 j. , , ,. 1600 ,. 

prmnprn. = a, secundum = 55 a dig. et tertium ===== dig. 

^cU VYIr / 



et distantiam oculi 

400 



^) di e- 



Quoniam porro est 21==^- et 23 = p ob A = l et A'==l constructio lentium 
duarum priorum, si quidem ex yitro commuru conficiantur, ita se habebit: 

I. Pro lente prima 
erit 

P P 



radius faciei 

posterioris = 



IL Pro secunda lente 
erit 



__ 70 

radius faciei 



-40486 g 



posterioris = - - 0,6365 ff . 



His notatis evolvamus valorem litterae JL, qui erit ^=0,221, qui per 
/4 = 0,9381 multiplicatus dabit ^^ = 0,2073; qui ergo a supra assumto ~ 
yix differt; hinc ergo colligimus pro apertura lentis obiectivae 



_ >4 _ 0^7099a 

X ~~ U ^Ta ^ 



195-196] DE ULTERIORI EOBTJM MICROS COPIORUM PERFECTIONS 351 

ex quo yalore prodit mensura claritatis 

= 160 _ 27,3584: . 

ma m * 

denique pro campo visionis erit 



ac si tandem in loco imaginis realis velimus diapkragma constituere, fora- 
ininis eius semidiameter debet esse 



undo conficitur sequens 



A -on 133a ,. 
A S Gz = dig- 
ma + 8 b ? 



CONSTEUOTIO HUIUSMODI MICEOSCOPIOEUM 

EX QtJATUOE LENTIBUS COMPOSITOEUM 

PEG QUAYIS MULTIPLICATIONE 

162. Singulae hae lentes ex vitro communi, cuius refractio est n = 1,55, pa- 
rentur et posita obiecti distantia =a, qnam iterum = y dig. assumi licebit, erit: 

I. Pro lente prima, cnius distantia focalis est p = ~a y erit 

_. _ . . fanterioris = 1,6482 a 
radius faciei \ 

Iposterioris = + 0,6520 a, 

eius aperturae semidiameter 

0,17099 

# = - -- a 
yma 

et distantia ad lentem secundam 



II. Pro lente secunda, cuius distantia focalis q = a, erit 

. . fanterioris =-8,7323 a 
radius faciei { 

Iposterioris =l,3730a, 

cuius aperturae semidiameter aliquanto maior quam praecedentis, 
et distantia ad lentem tertiam = 55 a dig. 

wi. O 



352 L1SRI TEBTII SECTIO TEETIA CAPUT H 162163 [196198 

III. Pro lente tertia, cuius distantia focalis est r == dig., erit 



QOA 

radius faciei utriusque = dig., 



aperturae semidiameter = dig. 

i T i . i i j j. 1600 -,. 533 T 

et distantia ad lentem quartam = -j dig. = dig. 



IV. Pro lente quarta, cuius distantia focalis = ^dig., erit 



radius utriusque faciei = ^- dig. , 
eius aperturae semidiameter = dig. 
et distantia ad oculum = dig. 

V. Spatii in obiecto conspicui semidiameter erit 

^^^ 

267 

et instrument! longitudo = 55,2040 # + dig. 

i i i j.- 27,358 

et mensura clantatis = -~i , 

my ma 

ubi observandum est ut supra 148, IV duas priores lentes pro omni mul- 
tiplicatione, duas vero posteriores pro qualibet obiecti distantia retineri posse, 
pro quibus eadem inserviet tabula, quam ibi adiecimus. 

SCHOLION 2 

163. Eaedem formulae, quas hie invenimus, etiam ad telescopia trans- 
ferri possunt; ubi cum sit a = oo et h = a, ne lentes in infinitum crescant, 
debet esse Q = 0, ita tamen, ut 6 a fiat quantitas finita; scilicet cum sit 

fk /n 

p = _^ . a? er j[-t Q a _ JL sicque reliquae distantiae focales erunt 

<p pi *p 

* P ' m 3m ' 

deinde lentium intervalla 

primum = (1 -^ }p, secundum = ~ --, tertium = ~ 
^ \ P/*' 2P 2m 9 3m 



198199] DE ULTERIORI HOEIBI MICROSCOPIORUM PERFECTIONS 353 

Quod nunc ad litteram P attinet, formula supra data Me locum habebit 

p _ + 1 

+ i+g(S-i)' 

quae hie dat 



quia autem Me de telescopiis agitur, sumi poterit =25, ita ut sit P=^i', 
tuna vero erit distantia oculi 

s^ l) = l / _1_X 
2w 2 \ j m / 

ita ut tota longitudo fiat 

_ A. __ i i i \ 

^\ 2P + 3m "^ 6aV 
ac porro semidiameter campi apparentis 

^11 1718 

= c^ = --- = - mm. 



Nunc etiam consideretur aequatio postrema ex semidiametro confusionis 
deducta, in qua membrum vinculis inclusum .per 8# s multiplicetur, factor 
vero communis per idem dividatur ; et habebitur 



i_^ y) ^ 

I P P ' m ^ J { m /' 



ubi, cum pro vitro communi sit ?/ = 0,2326, si statuatur P== et termini 
per m divisi negligantur, ob /a = 1 proxime fiet proxime 



1 mx* 3 

^ 

unde colligitur 



unde, cum claritatis gradus y dari soleat, ut sit x = my, turn vero assumatur 

&2/ = l ? siquidem statuatur 7/ = ^dig. et & = 50 ? uti supra est factum, habe- 

bitur 

-, 3 /3 ,. . 8 ,s/ 

p = m\/--maLg. sive jp = -rmKm. 

' 2 7 

LEONHARDI EULERI Opera omnia IU4 Dioptrica 45 



radius faciei 



354 LIBEI TEETH SECTIO TEETIA CAPUT II 163165 [199200 

Cognito autem P erit ^ = ~^>. Sumsimus autem hie A = l et A'=l, et 
cum sit 21 = et 35 = 1, constructio harum lentium pro vitro communi, 
ubi w = l,55, erit: 

I. Pro lente prima 

anterioris = ^- = 0,6145 p 
radius faciei 

posterioris =--=== 5,2438$> . 

II. Pro lente secunda autem erit 

anterioris = , /_ -y = -| ? = -f 0,3264 q 

posterioris = ~- ^ = = 0,8026 #; 

hinc ergo obtinetur sequens 

CONSTEUCTIO TELESCOPE ASTEONOMICI 

EX QUATUOE LENTIBUS COMPOSITI 

PEO VITEO COMMUNI n = 1,55 

164. Singula momenta pro constructione pro more recepto ita in ordinem 
redigantur, scilicet proposita multiplicatione m definiatur inde 

8 -?/ 
p = ~-r m V m . 

I. Pro prima lente, cuius distantia focalis =j?, erit 

. . f anterioris =0,61457? ' 
radius faciei { 

( posterioris = 5,2438 jp , 

eius aperturae semidiameter = ^ dig. 

et distantia ad lentem sequentem erit = ~-j9 = 0,04jp. 

II. Pro lente secunda, cuius distantia focalis est |^jp, erit 

. . f anterioris = + 0,3134p 
radius faciei { * 

\ posterioris = 0,7705jp; 



200202] DE ULTERIORI HOEUM MCROSCOPIOEUM PERFECTIONS 355 

apertura non definitur, dummodo sit maior praecedente, 



et distantia ad lentem tertiam = ~ v -- - 

20^- 2m 



- 

2m 



HI. Pro tertia lente, cuius distantia focalis est r = ~, erit 
radius utriusque faciei = 1,1 , 

eius aperturae semidiameter = -^ 

et distantia ad lentem quartam = ~~ 

IV. Pro quarta lente, cuius distantia focalis = ~- , erit 

radius utriusque faciei = 1,1 - ^~- , 
eius aperturae semidiameter = ~j 

r 12 m 

et distantia ad oculum = -j~ 

V. Tota ergo longitudo erit 



3m ' 

1 71 S 

et semidiameter campi apparentis < = ^ - min. 

YI. Si in loco imaginis realis, quae inter binas posteriores lentes medium 
interiacet, diaphragma sit constituendum, eius foraminis radius erit 

P 



PEOBLEMA 2 

165. lisdem quaternis lentibus retentis mieroscopium conficere, quod ad omnes 
multvplicationes producendas sit accommodatum. 

SOLTITIO 

Sint harum lentium distantiae focales p, q, r et s, quae, uti ex proble- 
mate praecedente perspicitur, ita debent esse comparatae, ut sit primo 
s = ~r, turn vero q = ^p] deinde etiam recordandum est ambas posteriores 

45* 



356 , LDBBI TEETH SECTIO TEETIA CAPUT H 165166 [202203 

lentes utrinque esse debere aeque convexas, de figura yero priorum mox 
videbimus. Formulas ergo supra inventas considerando erit: 



mr 



A a 

unde, cum sit ^ = ^rri* a > ^ nc colligemus 



* 2mr , 

quae ergo etiam a multiplicatione pendet, ita ut pro qualibet multiplicatione 
distantiam obiecti variari oporteat. 

2. Lentium intervalla ita se habebunt: 

Primum =, 



seu 



, T. r> 

secundum = - ~ -- p ~^r ob P 

^ 2 



secundum intervallum = j~ + i^P ^r 



, ,. 41 2 

tertmm ==~.~r = 



atque distantia oculi 



seu proxime = ys; sicque pro varia multiplicatione tantum secundum 
intervallum fiet mutabile. 

Porro vero erit spatii conspicui semidiameter 

1 (mr 

g . . 

2 m 



unde, si m sit numerus praemagnus, fiet ^== - 

Ut nunc figuram duarum priorum lentium definiamus, pro quibus supra 
sumsimus 4 = 1 et A'==l, perpendere oportet litteras 



203-204] DE ULTEEIORT HOETOI MICEOSCOPIOEUM PERFECTIONS 357 

Quia autem earum figura pro varia multiplicatione inutari non potest atque 
pro rei natura sufficit figuram tantum proxime definivisse, consideramus ni 
ut numerum praemagnum sumamusqne 21 = 2 et S3 = 1. Possumus etiam 
superioribus valoribns 1 ) uti, ubi erat = 50, quippe qui valor certe multipli- 
cation! magnae respondet; facile enim intelligitur turn eandera figuram tarn 
maioribus quam minoribus multiplicationibus satis exacte convenire; quare si 
vitrum commune adhibeamus ? habebitur pro lente prima 

f anterioris = 0,8406 p 
radius faciei \ ... 

( posterions = + 0,3325 p 

et pro lente secunda 

f anterioris = 4,0486 % 
radius faciei \ , . . 

( posterions = 0,6365 % . 

Denique pro apertura primae lentis invenimus eius semidiametrum 

0,171 a 
x = -^ - 
yma 

indeque mensuram claritatis nacti sumus 



y 



my ma 



, i mr4- Zh 1 

existente a == ^ p = -^p proxime. 



EXEMPLUM 
166. 1. Sumamus pro harum lentium distantiis focalibus 



r=ldig. et 






quippe qui valor es ad praxin maxime idonei videntur; ac si hae lentes ex 
vitro communi parentur, earum figura ita deternoinetur, ut sit 

2. I Pro lente prima 

r anterioris == 0,84 dig. 
radius faciei { ... ~ ftft -,- 

posterions = + 0,33 dig. 



- Tide 161. E. Ch. 



358 LIBRI TEETH SECTIO TERTIA CAPUT II 166-167 [204205 

II. Pro secunda lente 

anterioris = 4,45 dig. 



radius faciei , 

posterioris = 0,70 dig. 

III. Pro tertia lente 

radius faciei utriusque = 1,1 dig. 

IV. Pro quarta lente 

i fa.rvim iTf.vinsrmA = 

30 



radius faciei utriusque = dig. 



3. Quibus lentibus paratis prima et secunda ad intervallum = ~ dig. 

2 

firmentur, tertia vero et quarta ad intervallum = y dig., ita tamen, ut pro 
indole oculi quarta lens tantillum mutari possit; ambo autem paria eiusmodi 
tubis inserantur, qui pro lubitu ad maius minusve spatium diduci queant, 
quemadmodum multiplicatio postulat, siquidem intervallum inter secundam 
et tertiam lentem esse debet (~^~ dig. 



4. Simili modo etiam distantia obiecti aliquantum erit variabilis et pro 
qualibet multiplicatione esse debet 



16 



2m 
Deinde vero locus oculi ut constans spectari potest, ita ut sit eius distantia 

0-1 dig. 

5. Tertiae et quartae lenti tanta datur apertura, quantae sunt capaces. 

6. Primae autem lentis apertura maxime a multiplicatione pendet, cum 
sit eius semidiameter 

0,0855 



A* , 



unde mensura claritatis prodit 



27,S6 



206207] DE ULTEEIOEI EOEUM MICEOSCOPIOEUM PEEFECTIONE 



359 



7. Circa hoc microscopium baud abs re fore arbitror, si pro aliquot 
praecipuis multiplicationibus valor es momentorum variabilium, quae sunt 
1. distantia obiecti = a, 2. intervallum lentium secundae et tertiae, quod 
indicemus littera L, 3. semidiameter aperturae primae lentis x et 4. mensura 
claritatis =20y, adiunxerimus; quern in finem sequens tabella 1 ) est adiecta: 



m 


a 


L 


X 


Claritas 


50 


0,660 


1,669 


0,0292 


0,1871 


100 


0,580 


3,387 


0,0232 


0,0743 


200 


0,540 


6,825 


0,0184 


0,0295 


300 


0,527 


10,262 


0,0160 


0,0172 


400 


0,520 


13,700 


0,0146 


0,0117 


500 


0,516 


17,137 


0,0136 


0,0087 


600 


0,513 


20,575 


0,0128 


0,0068 


700 


0,511 


24,012 


0,0121 


0,0055 


800 


0,510 


27,450 


0,0116 


0,0047 


900 


0,509 


30,887 


0,0111 


0,0040 


1000 


0,508 


34,325 


0,0108 


0,0034 



PEOBLBMA 3 

167. Loco lentis obiectivae eiusmodi ires lentes convexas proxime sibi iunctas 
substituere, ut binis reliquis lentibus secundum jpraecepta in capite swperiore data 
constitutis maior claritatis gradus obtineatur. 

SOLUTIO 

Cum hie quinque lentes sint considerandae et imago realis in quartum 
seu ultimum interyallum incidat, litterae P, Q, E erunt positivae, sequens 
vero 8 ponatur k, ita ut sit P0JB& Hinc distantiae focales 



1) Nonnulli valores editionis prinoipis, praecipue pro $ et pro claritate, leres modifioationes 
passi sunt. E, Oh. 



360 LIBEI TEETII SBCTIO TEETIA CAPUT II 167 [207-208 

singnlarum lentium ita exprimentur: 

AB&a 



~~P~' '" PQ ' 

J, 

et t = - 



m 
Intervalla vero lentium ita se habebunt: 

I et II =Aa(l-^), II et III __^. a (l -i), 

III et IV - ABC ail M IV et Y - ABCDa 
III et IV - -a^i--^, IV et V ___ __ 



quorum cum duo priora sint valde parva ? litterae P et Q quam minime ab 
unitate recedere debent; quamobrem in expressione campi litterae q et r pro 
nihilo erunt habendae, posteriores vero S et t unitati aequales sumantur, 
siquidem binae postremae lentes utrinque fiant aeque convexae. Hinc ergo 
spatii in obiecto conspicui fiet semidiameter 



at vero littera 

Jf = 
ex qua distantia oculi fit 



^ 

proxime .==* 
ma/ ^ 2 

Aequationum porro fundamentalium prima et secunda omitti possunt, 
quia ob litteras P et Q proxime = 1 litterae q et r sponte fmnt minimae; 
tertia vero dabit 



_ -. _ m 
Jc(m 

unde pro maioribus multiplicationibus fit S) = ^ ; ex aequatione autem 
pro margine colorato, quae hoc casu erit 

l __ !_ _ A 
PQE PQEk~ ^ 

colligimus ut ante A 1, ita ut sit = _2 hincque D ?-; quibus 



208209] DE ULTEBIORI HOEUM MIOEOSCOPIOEUM PERFECTIONE 



361 



inventis distantiae focales erunt 



A 
-- >. a, 



-~ et 
m 



m 



unde sequitur 

St>0 ; A%<0, AB&>Q et ABC>0 

et intervalla lentium 

primum = Aa (I p-J , secundum = -- -=- -an. ^} , 

, * At>n % m 

I , quartum = J.^ (7 = 2t. 



, ,. ABO _< 

tertram = . - a 1 



m 



Denique pro apertura primae lentis seu littera x definienda habetur ista 
aequatio : 



in qua expressione numeri A w et A"" inde dantur, quod hae lentes debent 
esse utrinque aeque convexae; priores vero A, A' et A" habent coefficientes 
positives, quia [21 > 0,] -493 < [,J.J?(>0] ? cum ex hypothesi omnes lentes sint 
convexae. Quare cum to turn negotium nunc eo redeat, ut huic expression! 
valor minimus concilietur ? primo Ms litteris A, A' ? A" tribuatur valor minimus, 
qui est unitas; deinde vero litterae A, B, C ita definiri debent, ut haec expressio 
minimum adipiscatur valorem; quern in fiixem ante omnia notari convenit, 
ne binae ultimae lentes pro maioribus multiplicationibus nimis fiant exiguae, 
quantitatem ABC semper certum limitem superare debere; quare, cum ea 
positiva esse debeat, statuamus 



ita ut 6 tanquam numerus datus spectari possit; ex quo bina ultima membra 
per se determinants; restant igitur tantum tria membra priora, quibus, 
quomodo minimus valor induci queat, est investigandum, ubi quidem pro 
litteris P et Q unitatem scribere licebit. Cum autem iam supra huiusmodi 
investigationes saepins expediverimus, inde concludere possumus a scopo nos 

LOKBU.RJ>I UTOEJKI Opera oxn&ia III 4 DiopMca , 46 



362 LIBBI TEETH SECTIO TERTIA CAPUT II 167170 [209211 

minime esse aberraturos, si has tres formulas 51, A$d et AB& inter se 
reddamus aequales, ita nt distantiae focales p, q, r eatenus tantum a ratione 
aequalitatis recedant, quatenus litterae P et Q ab imitate discrepant. Aequa- 
litas autem primae et secundae harum expressionum dat 



= _ = 3l_l sen SS -- 
unde fit 



^ 2-~ 2+A 
Aequalitas autem secundae et tertiae dabit 



guamobrem habebimus 



at vero debet esse ABC =6, unde onmes hae litterae per 6. sequent! modo 
exprimentur: 



atque bine porro 

W- * 6 SB- ( 1 ~ 20 ) et K--^ 2 -^- 
*- T+T' ^--"r+F" et ^~ T+T' 

quibus valoribus adhibitis aequatio nostra ultima induet hanc formatn: 



_ 
27 ' 90 s "" " ~27i9P" 



Statuamus nunc brevitatis gratia expressionem uncinulis inclusam 



+ P- + A) - ^ (<- 1) + (2fl - 






211212] DE ULTERIORI HORUM MICRO SCOPIORUM PERFECTIONS 363 

quae formula, si 6 fuerit numerus praemagnus et litterae P et Q unitati 
aequales reputentur, praebet 



27 



qui valor utique multo minor est, quam si lens obiectiva esset vel simplex 
vel etiam duplicata; unde etiam x maiorem valorem sortietur, qui erit 



et dabit semidiametrum apertnrae lentis obiectivae, dummodo ea non fuerit 
maior ? quam figura lentis permittit. Invento autem x erit y ===== x et men- 
sura claritatis = --- x. 

ma 

COEOLLARIUM 1 

168. Hae formulae aeque patent ad telescopia atque ad microscopia hoc 
tantum discriinine intercedente, quod pro telescopiis, ubi a = oo et h = a, 
sit 6 infinite parvum, pro microscopiis autem 6 fiat numerus praemagnus. 

COBOLLARIUM 2 

169. Pro microscopiis igitur erit proxime 

2t = 3, ^t = _3 35 = 2, = 2, < 1 et Ooo 

JU 

seu numerus praemagnus; turn vero 

A ~ 27 v 1 + p PQ 



) ~^7V + py 



COROLLABIUM 3 

170. At si numeri huius praemagni rationem quoque habere velimus, 
habebimus adhuc propius 

a.s-l, A i-jf, 



46* 



364 LIBBI TEKTII SECTIO TERTIA CAPUT H 170173 [212213 

turn vero etiam adcuratius erit 

= + + 9fl V 1 + "P + P 



27 V P PQI 9fl 

_^f 6 + -W-^(i-- __ LY 

27\^P/ 90V 1 P P^/ 

COEOLLAEIUM 4 * 

171. Quod nunc ad intervalla lentium priorum attinet, si sumamus 
utrumque eorum esse debere = %p = $ia, valoribus prioribus proxime veris 
adhibendis reperiemus 



unde, si statnamus ^ = , erit 



et 



10 ' 

et Q == hincque 



1 14i/ . 7 



54 45 ~ 18 



COROLLARIUM 5 

172. Cum autem valor v a ratione vitri pendeat, notetur pro vitro co- 
ronario, quo est ^==1,53, esse propemodum v=*\- et pro vitro crystalline, 
quo w 1,58, esse v = -j-; Mnc ergo colligitur pro vitro coronario fore 

91 , 19 



_/i. 

1350 



Pro vitro autem crystallino erit 



135 ~ 720 



ex quo perspicitur plurimum praestare, si tres priores lentes ex vitro cry- 
stalline parentur. 

SCHOLION 1 

173. Quod nunc ad lentium constructionem attinet, quia pro tribus 
prioribus numeri A, X et X' unitati aequales sunt positi, ut scilicet singulae 



213215] DE ULTEKEOBI HOEUM MICRO SCOPIORUM PERFECTIONS 365 

minimam confusionem producant ? sufficiet litteris 8t, S3, ( valores proximos 
tribuisse, ita ut tuto capere liceat SI .= 3, 58 = 2 et = 1; unde secundum 
praecepta generalia singulae hae lentes pro distantiis focalibus datis p, q, r 
construi poterunt, ubi notasse iuvabit esse 

p 6 , 

2 = f = T JP et r 

licebit enim nunc distantiam focalem p tanquam cognitam spectare ez eaque 
distantiam obiecti definire, quae erit 



turn vero littera 6 commodissime definitur ex lente quarta, cuius distantia 
focalis s 9 si itidem ut cognita spectetnr, erit = ~, ita ut nunc habeatur 



Turn vero erit t^-^-s et intervallum ultimum =yS ? dum duo priora inter- 
valla sunt per hypothesin =^JP- Tertium vero intervallum maxime a multi- 
plicatione pendebit; erit enim id 

^ /13 h \ IBmsa 1 13mps . 13 1 

r-^ I y ft I ^_ _______________ _, I _________ _ . ___ _ __ o --,.---- _ ~ .. .. ,_, !_ _ _ tv\ _ ,, Q 

\10 wa/ 20fe 2 60A ^ 30^ 2 ^ 7 

ex quo patet ? quo maior multiplicatio desideretur ; eo magis instrumentum 
elongari debere; turn vero etiam apertura primae lentis inprimis a multipli- 
catione pendet; ex formula enim supra inventa, cum sit proxime 

1 7 

^ = 1 ? a^ ~p et ^= - pro vitro crystallino, 

O loO 

si, ut supra fecimus, sumamus Jc = 20, [&*== 8 dig.], obtinebimus 

1 Wisy ,. 1 

* 



O 7 D 



quare, si ut supra distantiam obiecti circiter dimidii digiti statuamus, ut sit 
# mm 1. dig., fiet 

2 " ft/ "** 0,1689 



366 USBI TERTH SECTIO TEETIA CAPUT H 173-174 [215216 

Porro autem pro claritate erit 

8 -. 135 



y 10m V Ima 
et mensura claritatis 

16 W 135 



et casu a = y dig* erit ea 

_ 54,060 
mym 

Ex his igitur statim poterimus eiusmodi microscopium conficere, quod retentis 
iisdem lentibus ad omnes multiplicationes producendas sit accommodatum; 
utamur autem ut hactenus yitro communi, pro quo est ^ = 1,55, ita ut va- 
lorem ipsius x aliquantillum imminui conveniat, uti cuique lubuerit; ac turn 
pro lente prima, cuius distantia focalis =jp et 31 = 3, erit 

anterioris = -_*_- = - -^JL^ = - 0,3728# 
radius faciei 

posterioris = ~^-^ = + 



quae ergo aperturam admittit, cuius semidiameter erit circiter 



~ 



f> 

Pro secunda autem lente, cuius distantia focalis q = -^ p, erit 
radius faciei (ob _ 2) 



anterioris = -- - J ------ r = ----- = 0,8026 a 

~^~^ 1 ' a46 



posterioris 

1 '% 

Pro lente autem tertia, cuius distantia focalis est r=~'jp, erit 



anterioris = ~ 5,2438 r 



radius faciei { 

r 



posterioris 

w 

Videtur autem Me commode sumi posse ^==ly dig., ut fiat circiter a dig, 
turn vero 5 = 1 dig., ut fiat ^ = y dig,; unde orietur sequens 



216217] DE ULTERIOEI EO&UM MIOEOSGOPIORUM PERFECTIONS 367 

CONSTEUCTIO MICROSCOPII EX QUINQUE LENTIBUS COMPOSITI 
AD OMNES MULTIPLICATIONS IDONEI 

174. Si omnes lentes ex vitro communi, pro quo est ^*=1,55, parentur, 
habebitur: 

I. Pro lente prima, cuius distantia focalis est p = ly dig., 

f anterioris = 0,5592 dig. 
radius faciei { 

Iposterioris = + 7 3333 dig.; 

cuius semidiameter aperturae posset esse x = 0,0833 dig., verum ob multipli- 
cationem datam m sumi coaveniet 

0,15 ,. 
x= ' dig. 

ym 
et distantia ad lentem secundam = 0,15 dig. 

"I R 

II. Pro lente secunda, cuius distantia focalis est 2 = dig., capiatur 

f anterioris 1,4447 dig. 
radius faciei . . . Krt ^ .. 

I posterions = 0,5875 dig.; 

apertura modo maior sit praecedente, 
distantia ad lentem tertiam = 0,15 dig. 

39 

III. Pro lente tertia, cuius distantia focalis est ?" = ^ dig., capiatur 



radius faciei | 



f anterioris = 10,2255 dig, 
posterioris = 1,1983 dig.; 



de apertura idem tenendum quod ante 
et distantia ad lentem quartam erit 



A 320 



1) BditiO princeps: - + % Oorrexit E. Oh 



368 LIBRE TEETH SECTIO TERTIA CAPUT n 174-175 [217-219 

IV. Pro quarta lente, cuius distantia focalis est s = l dig., capiatur 

radius utriusque faciei = 1,1 dig., 

aperturae semidiameter = dig. 

et distantia ad lentem quintam = y dig. = 0,67 dig. 

V. Pro quinta lente, cuius distantia focalis = y dig., capiatur 

radius utriusque faciei = 0,37 dig., 
eius aperturae semidiameter == -^ dig. 
et distantia oculi = -~ dig. = 0,17 dig. 

VI. Semidiameter spatii in obiecto conspicui erit # = y ma^f 

distantia obiecti 

1 A . 2&\ 1 /. . 16\ r ;n 

a = v(l-\ -- )= (in -- dig. 1 ) 

3 * \ ' msJ 2 V ' ml & J 

VII. Gum sit semidiameter aperturae lentis obiectivae 

0,15 ,. 
aj_ dig., 

ym 

fiet hinc 

Tix 2,40 

_ ? 



y 

ma 

et mensura claritatis 

48 



m ym 

Q -i 

ita ut, si fuerit m = 512, mensura claritatis futura sit ^^^^ 
34 vicibus maior est quam claritas lunae plenae. 

VIIL Subiungamus adhuc tabellam, in qua pro praecipuis multiplicatio- 
nibus m exhibeantur 



1. distantia obiecti a lente obiectiva #=4 (^ "+- ~i!~) dig- 9 )? 

2. intervallum lentium tertiae et quartae, quod sit I = (^ jjj ) dig. 3 ) , 



1 / 8 \ 

1) Editio princeps : -* y f 1 + ~-J Correxit E. Oh. 

2) Vide iiotas ad articulos III et VI pertinentes. Ob inaccuratas formulas pro a et I 
omnes valores in tabella editionis prinoipis oorrigendi erant. E. Ch. 



219220] DE ULTEEIORI HOKUM MICE-OSCOPIOEUM PERFECTION 



369 



3. semidiameter aperturae lentis obiectivae x 
4t. cian/cas " o * 



0,15 



et 



m 


*) 


z 1 ) 


X 


Claritas 


50 


0,660 


1,531 


0,041 


0,261 


100 


0,580 


3,563 


0,032 


0,103 


200 


0,540 


7,625 


0,026 


0,041 


300 


0,527 


11,688 


0,022 


0,024 


400 


0,520 


15,750 


0,020 


0,016 


500 


0,516 


19,813 


0,019 


0,012 


600 


0,513 


23,875 


0,018 


0,009 


700 


0,511 


27,938 


0,017 


0,008 


800 


0,510 


32,000 


0,016 


0,006 


900 


0,509 


36,063 


0,016 


0,006 


1000 


0,508 


40,125 


0,015 


0,005 



SCHOLION 2 

175. Cum formulae nostrae inventae aeque ad telescopia ac microscopia 
pateant, dum illo casu ponitur 6 = 0, hoc vero # = numero praemagno, 
operae pretium videtur adcuratius investigate, cuiiismodi instrumenta sint 
proditura et ad quemnam usum futura sint accommodata, si litterae 6 valor 
mediocris veluti 1 vel 2 tribuatur; hunc in finem sumamus ^ = 2, ut sit 



m 



et t- 



hincque m = ; 



turn vero sequentes habebuntur valores: 



ideoque 



et (70, 



1) Vide notam 2 p. S68 E. Oh. 

EULBEI Opera omnia III 4 Dioptrica 



370 LIBEI TEBTII SEOTIO TEETIA OAPTJT H 175 _ [220-221 

ita tamen, ut sit 



1 et 
ex quibus valoribus distantiae focales lentium priorum erunt 

2a 
jp 2a, ? --, 



et intervalla 

primum = 2a (l y) , secundum = oo (l -^- 

- et quartum 



manente distantia oculi = ^t. Ut iam fiat primum intervallum =^P, 
sumi debebit -P = n ? at ^ sem P er debet esse =1 ^ q^ntumvis secundum 
intervallum accipiatur; conveniet autem primo aequale sumi ? ita ut sit 
2 aetr tertiumque intervallum =2a(~ ^); deinde ut ante erit 



* = T 



Veruin nunc obtinebimus 



1 27 

qui valor pro casu ^ = y foret ^^20' at pro casu ^ = T foret "^ = so 
seu utroque casu proxime jL***~\ hinc ergo colligimus: 

i -. 8 / Q 

i-V : 

seu 

^""20 
indeque porro 

et mensura claritatis 



His notatis, quae ad instrument! constructionem pertinent, sequentia obser- 
ventur: 



221223] DE ULTEBIOEI HOBTBI MTCROSCOPIOSUM PERFECTIONS 371 

1. Si caperetur 5 = 1 dig., foret m = 4Ji dig. sen -^-dig., quern 
valorem ita interpretari oportet, quod instrumentum nobis obiecta m vicibus 
maiora repraesentet, quam si ea in distantia h spectaremus; unde patet 
obiecta nobis in eadem magnitudine repraesentari, quam si ea nudis oculis 
spectaremus in distantia = , ex quo perspicuum est instrumentum, de quo 
hie agitur, nobis obiecta eadem magnitudine esse repraesentaturum, quam si 
ea cerneremus in distantia = -j- dig. sublata scilicet summa confusione, qua 
obiecta tam vicina nos adficerent. 

2. Si distantiam focalem s maiorem vel minorem uno digito assume- 
remus, multiplicatio etiam fieret vel minor vel maior; praxis autem minorem 
valorem pro s vix admittit, propterea quod t = ^-s, minorem vero multipli- 
cationem nemo magnopere desiderabit; unde iste valor 8 = 1 dig. nostro 
scopo maxime accommodates videtur. 

3. Huiusmodi ergo instrumentum turn usum praestare poterit, quando 
obiecta ita spectare optamus, quasi ea in distantia = dig. intueremur, vel, 
quod eodem redit, 32 vicibus maiora, quam si ea in distantia octo digitorum 
aspiceremus, sicque hoc instrumentum idem praestabit, quod microscopium 
tricies et bis multiplicans. 

4. Quia autem in microscopiis distantia obiecti admodum parva sumi 
solet, hoc instrumentum turn potissimum usurpari poterit, quando ad obiecta 
non pro lubitu appropinquare licet; quamobrem, si distantia obiecti a ali- 
quanto maior fuerit, quam in microscopiis admitti solet, videamus, quomodo 
nostrum instrumentum turn futurum sit comparatum; statuamus igitur prae- 
terea a ===== 1 ped. = 12 dig. manente s == 1 dig. et distantiae focales lentium 
hoc mo do determinabuntur : 

p = 24 dig., q = 26,4 dig., r = 26,4 dig. , s = 1 dig. et t = dig. 
Deinde vero intervalla 

primum 2,4 dig., secundum == 2,4 dig., 
tertium = 25,9 dig., quartum = 0^67 dig. 

Aperturae vero primae lentis semidiameter nunc erit 



x _ -t l^-li* dig. - if 108 dig. - 0,238 dig. 



372 UBBI TERTH SECTIO TEETIA OAPUT H 175177 [223224 

hincque mensura claritatis = 0,099 sicque ipsa claritas 100 vicibus minor erit, 
quam si idem obiectum nudis oculis aspicimus, quae sola circumstantia hums- 
modi instrumenta ab usu practico excluderet, nisi longitudo eorum iam satis 
esset incommoda; quin etiam, si propius ad obiecta accedere liceat, nihil im- 
pedit, quominus microscopio ordinario utamur, praecipue si tarn exigua multi- 
plicatione contenti esse velimus; idem adeo praestaret microscopium simplex 
distantiae focalis = -j- dig. 

SCHOLION 3 

176. Easdeni igitur nostras formulas nunc etiam ad telescopia adplice- 
mus, ubi est a = cv> et sumitur h = a; turn igitur capi oportet = 0, ita 
tamen, ut da fiat quantitas finita; cum igitur sit 



ita ut sit 6a = -^p, unde erit porro 



P X P JL %P L J. 

% et r = -^~, at s = -r-^- et t = 
P PQ 3m 



turn vero intervalla lentium 

primum p (l -^-) , secundum = ~^~ (l ^) , 

A J.' P f * 1 \ J. 

tertmm = - -^^ ---- L quartum 
\ ^ 



3 \PQ m / ^ 9m 

pro loco oculi manente 



Paciamus nunc duo priora intervalla inter se aequalia ? et quia lentes ob- 
iectivae iam sunt multo maiores, statuamus utrumque ^-^jp 6t reperietur 

v 25 , n 12 , . . 25 

p-_ e t 0- hincque 

unde superiores yalores erunt 

24 , 22 

. et r- 



224226] DE ULTERIORI HORUM MICROS COPIORUM PERFECTIONS 373 

tertiumque intervallum 

1/22 1 \ 22 p 

= jp( ) = P 

3 \25 m/ 75 3m 

Pro eampo porro apparente fiet eius semidiameter 



* 2 * 2 1718 

_ __________ YYll n 



a $w + 1 4 w + 1 

Denique aequatio pro distinctione visionis etit 

// vn T^ /71 3fi 97 

M> // iX//4JL OD , .A 

p 3 \25 5~ y 



8m "" ~8^T~/ = F 



Hie iam proponi solet gradus claritatis. quo obiecta repraesententur, qui sit 
2/ = gQdig., sumique debet o; = m^ = ~dig. et capiatur etiam ut in libro 
superiore Jc = 50; quibus positis reperietur 



ubi, si vitro communi utamur, erit ^ = 0,9381 et v = 0,2326; at vero iam 
sumsimus A = A' I" = 1 , et quia binae postremae lentes debent esse utrin- 
que aeque convexae, esse oportet 

r" 1,6298 et r = 1 + 0,6298 (1 2 2)) 2 = 16,745, 
ex quibus valoribus colligimus 

p _ wf (1,0931 w + 188) dig. 

PEOBLEMA 4 

177. Loco lentis obiectivae eiusmodi quatuor lentes convexas groxime sibi 
iunctas stdbstituere, ut Mnis reliquis lentibus secundum jpraecepta superiora consti- 
tutis maior claritatis gradus obtineatur. 

SOLUTIO 

Cum hie sex habeantur lentes ideoque quinque intervalla, totidem quoque 
litterae P, Q, JB, S, T in calculum sunt introducendae; quarum tres priores 
P, Q et E unitati proxime sunt aequales, quia quatuor priores lentes sibi 



374 LIBEI TEETH SECTIO TEETIA CAPUT II 177 [226227 

proxime iunctae ponuntur; ultima vero T debet esse negativa sive T= k, 
quia imago realis in ultimum intervallum incidit, sicque habebitur 



deinde distantiae focales lentium nunc ita exprimentur: 

_ A58a _AB^a 
q ___, r ___, 

ABCSia, ABCD^a >_ i - nf ,- r ,-r, h 






Intervalla vero lentium ita se habent: 

Primum = A a ( 1 -=- J , 



secundum = ABa -- 



tertinm 

quartum = -AS CD a 

(1 J) \ 

^TTWcfH ---- )* 
PQES ma) 



^TTWcf 

PQES 
Distantia vero oculi erit ut ante 



2 
perinde ac spatii conspicui semidiameter 

_ 1 ah 

2 ma + 'h 

Ob hunc ipsum vero campum, ut tantus evadat, oporbet esse 2 Mnc- 
que -/= - Postea autem ut margo coloratus evanescat, debet esse 
^fc 2 ^!, ita ut sit P()JR$=^' Denique ut confusio ab apertura lentium 
oriunda prodeat minima, ex superioribus colligere licet hoc fieri, si istae ex- 
pressiones quatuor 

-ABC 



227228] DE ULTEEIOEI HOEUM MICEOSCOPIOEUM PERFECTIONS 375 

inter se aequales reddantur; unde colligimus has determinations: 

3. $) = ^- = g;_l = 2j;_3. 

Deinde vero ponatur ABCD=~d, ut fiat quintae lentis distantia focalis 

Ji 

m 
sextaeque 

= _2_ . _h ^ 

U ~ 3 "~m ~ ~3 

et inter vallum quintum =-~t = '2u. . 

lam in hac aequatione assumta ABCD = d loco litterarum A, B, C, D 
introducantur litterae germanicae respondentes eritque 



i al-sj i-ei- 

sive 



_ _ ___ 
i'-a? 4 -a' 

unde per 6 istae litterae hoc raodo definientur: 



_.__, ___ f -- _ 

ex quibus valoribus primo distantiae focales ita definientur: 



^_ 

et -^- 



20-2 0-3. 

et D----, 



L _5_ z5 = 2^. - et 



376 



LIBEI TEETH SECTIO TEETIA CAPTJT H 177179 



[228229 



similique modo lentium intervalla: 



Primum = - 

, 

seeuudum = - 

x , 

tertram = - 



40 



4=6 



1 \ 

~PQ)> 



quartum _ ( _ A) , 



. , 
qumtum ----a 



ma 



mas 

*.# .* 

3 w 



& W, 



Quodsi iam velimus, ut trium intervallorum priorum quodlibet fiat 



litterae P, Q, E et 5 sequent! modo determinabuntur : 

i ^ (sfl-i) P J^_i 

~ " f 



(60-6) 

" 



1+0 







His praemissis aequatio pro dato distinctionis gradu obtinendo sequent! forma 
exprimi poterit: 



l / 
jjT 



I" 



Pip 



pro qua brevitatis gratia ponamus 

l 
**"~ 

ita ut ji denotet quantitatem illam uncinulis inclusam, pro qua notetur 
litteris I, A', A" et A'" valorem 1 tribui convenire, ut scilicet haec quanti- 
tas minima evadat, et quia duae postremae lentes utrinque debent esse 



229230] DE ULTERIORI HOKUM MICEOSCOPIOEUM PEBP1CTIONE 377 

aeque convex ae, erit 



et 

x" _ i i 



2T 



Quantitas ergo A, si loco 1, S3, ( et valores inyenti substituantur, ita 
exprimetur: 

(1+0)* y (fl + i)( 5 g-6fl + 6) (1 + 0)2 (70 -5) o 
160 3 160 3 ^ - 

( 



Atque in hoc negotio id potissimum intenditur, ut valor ipsius A vel plane 
ad nihihim redigatur vel saltim tam exiguus reddatur, ut ex hac aequatione 
numerus k mnlto maior prodeat quam 20, etiamsi apertura primae lentis 
tanta accipiatur, quam eius figura permittit; turn autem hoc valore pro x 
assumto pro gradu claritatis hahebitur y = ^ et mensura claritatis flet 



ma ma 

COBOLLARIUM 1 

178. Quoniam pro microscopiis 6 semper est numerus satis magnus, nisi 
forte multiplicatio exigua requiratur, quern casum hie merito excludimus, 
bina postrema membra ipsius A manifesto tam sunt parva, ut tuto negligi 
queant, sicque hie valor aestimari debebit ex prioribus tantum membris 

-60 + 5) (l + 0)*(70 5) o. 



. - 

160 s *~~ 320 s 

i/(0 1) (7 2 180 + 23) r 
160 s '^ 

COROLLAEIUM 2 

179. Cum autem sit numerus praemagnus, haec expressio reducitur 
ad sequentem formam proxime veram: 

Opera omnia JH* Dioptrica 48 



378 MBBI TEETH SECTIO TEETIA CAPUT H 179182 [230-232 

v 1 * - 



16 16 ~ 32 b 16 b ^ 160 ~ 160 ! 320 * ' 160 ^ ? 

quae expressio si nihilo esset aequalis, verus valor ipsius A sine dubio tarn 
foret exiguus, ut litterae x maximus valor, quern lentis figura permittit, 
tribui posset. 

COEOLLAKIUM 3 

180. Quoniam littera v ab indole vitri pendet, cuius valor, prouti re- 
fractio ab ^ ===== 1,50 usque ad 1,58 augetur, ab y usque ad -- crescit. Sumto 

21 o , 19 



quae partes cum omnes sint positivae, patet, si lentes ex tali vitro parentur, 
valorem A ad nihilum redigi non posse. Sin autem fuerit v = -j- , habebitur 

w- L 4-11 _L_Lr + _H-.r 

64 ^ 64^^ 64 b ^64<9 b? 

qui valor utique nihilo aequalis esse poterit, quod scilicet eveniet casu #==00, 
si fuerit C^y, qui valor ad praxin satis est accommodatus; at si sumamus 

^7 1 

^==50, turn fiefc -^=0, si fuerit ^==393 seu ^=jj, quod etiam praxi 
maxime convenit. 

COEOLLABIUM 4 

181. Ut igitur valor ipsius A ad nihilum redigatur, vitro uti conveniet 
maiorem refractionem producente, cuiusmodi est vitrum crystallinum, pro quo 
n = 1 3 58; ac si forte praxis minus successerit, commode hie usu venit , ut 
lentium priorum intervallis tantillum mutatis scopo intento satisfieri queat; 
quod remedium in praxi eo facilius adhibetur, quod in ipsa lentium con- 
structione nulla mutatio exigitur. 

SCHOLION 1 

182, Quod 6 semper sit numerus satis magnus, ex supra traditis facile 
perspicitur; cum enim penultimae lentis distantia focalis t uno digito minor 

1) Editio princeps: A - ^ + ~ . J + ^ . Oorrerit E. Oh. 



232-233] DE ULTERIOEI HOEUM MICROSCOPIOEUM PEEFECTIONE 379 

statui nequeat ob Ifi = 8 dig., erit # = j| dig.; quare, cum multiplicatio m vix 
minor desiderari soleat quam 500 vel 480, habebitur hinc 6 = 30 dig.; maxi- 
mam autem multiplicationem, quam quidem ob defectum claritatis adhuc 
desiderare possumus, aestimare licet m = 960 ? quo ergo casu erit #==60 dig., 
ita ut valores ipsius 6 intra 30 et 60 contenti sint aestimandl Hoc autem 
notato si priora membra formulae ji fuerint = 0, facile intelligetur poste- 
riora membra neutiquam esse turbatura; haec enim ultima membra certe 
adhuc minora erunt quam -gs~-; unde, si priora membra actu evanescant, 
prodibit aequatio 

125 



sive sumto 6 = 30 erit 



30 



..* 
x V 125ft 



Nunc quod ad valorem ipsius x attinet, observemus, si lens obiectiva esset 
simplex ideoque eius distantia focalis p = a proxime, turn ob eius figuram 
capi posse x = ^-a vel certe non maius; etsi autem hie quatuor lentes con- 
vexae in locum obiectivae substituantur, quarum singularum distantiae focales 
sunt fere quadruplo maiores, tamen, quia primae facies anterior est concava 
ideoque posterioris faciei radius valde parvus, ea vix maiorem aperturam 
admittet quam lens simplex, ita ut etiam hoc casu x maius capi nequeat 
quam -g-#; sit ergo x -^a et sumto a = -^ semper erit &>90, quo valore 
indicator insignis gradus distinctionis, cum etiam pro optimis telescopiis hie 
valor non ultra 50 augeri soleat; ex quo concludere licet non adeo necessa- 
rium esse, ut etiam priora membra ipsius ^/ penitus evanescant, dummodo 
ea per m multiplicata non multum superent posteriora; turn autem priora 
membra fere penitus evanescere debebunt; at iis nihilo aequalibus positis 
valor numeri ita in genere determinabitur, ut sit 




4tv) f 



ubi inprimis cavendum est, ne littera nimis flat parva, quam ut inter- 
vallum jp commode in praxi locum habere queat, id quod obtinetur, dum- 
modo ^ next notabiliter minor prodeat quam ^; quamobrem operae pretium 



380 LIBEI TEETH SECTIO TEETIA CAPUT II 182-183 [233-235 

erit investigare, an etiam vitro communi ad hunc scopum uti liceat, quando- 
quidem iam vidimus crystallinum satis esse idoneum; cum igitur pro vitro 
communi sit n = 1,55 et v = 0,2326, fiet 

A 1 AQA 3 2326 3,2326 0,1630 

U,.LOOU 2i 2i2 r 



<- cr 0* 



i Q^Q . * 11,0366 2,8498" 

1,8718 + g --- 03 + 03 



Me autem primum observari convenit, si esset 6 = <^>, fore =~ circiter, 
qui valor utique ad praxin maxime esset accommodatus; at si sumamus 
6 = 30, orietur ? = jg, qui valor nimis est exiguus; unde patet pro 6 maiorem 
valorem accipi debere. Sumto autem = 50 reperitur ^^j^^^ P roxil ne, 
qui valor adhuc admitti commode poterit Sumto autein 6 = 60 eruitur 

<- 0,1082 1 r ...... 

= 2^407 " i8 LP r oximeJ, qui valor praxi egregie convenire videtur. Hunc igitur 
casum sequenti exemplo fusius evolvamus. 

EXEMPLUM 1 

183. Si omnes lentes ex vitro communi, pro quo est n = 1,55, confi- 
ciantur ac sumatur = 60, ut microscopium adeo ad multiplicationem 
w=1000 adhiberi possit, momenta constructionis sequenti modo se habebunt 

Primo scilicet habebimus 



: ~r proxime ? 



.-, --j, -- 
atque porro 



et quia modo vidimus sumi debere ^ = ^, erit 



P 



18 ~ 270 "" - 1 ' 2703 ' 
_ _ __. _ 



235236] BE ULTERIOEI HORUM MIOROSCOPIOEUM PERFECTIONS 381 

unde distantiae focales lentium erunt 

p = (4 _ _L) a = 3,93330, q = - = 4,57400, 
(0,5947571) (0,6602996) 



Turn vero 



4,99650, s = -^ - 5,20060. 

(0,6986634) (0,7160543) 



960 -,. , 320 ,. 

r. e t u = - dig. 





m 



Harum porro quatuor priorum lentium intervallum commune est 

= A^ = 0,21850. 



= 79,332 a dig. 

' m & 



Quartum vero intervallum erit 
Quintum vero 

A U^tLJ ~t 

= ^ u -=r dl ^ 

et distantia oculi 

l 160 n . 



Nunc igitur singularum lentium constructio est describenda. 

L Pro prima lente 
cuius distantia focalis est $ = 3,9333 a et numeri 



erit 

radius 



anterior -jz^z^ --4^86 ~ 0,97758 a 

- 



quae aperturam admittit, cuius semidiameter a? = 0,16833 a. 



382 



LIBEI TEETH SECTIO TERTIA CAPUT II 183-184 



[236237 



II. Pro secunda lente 
cuius distantia focalis est #=.4,5740 a et numeri 



erit 



radius 



anterior 



posterior = 



et 


SR = 3 _ - ~ 






15' 




1 


2 


-1,7682 a 


tf-23(e 


r 0) 2,5869 


1 


1 q \ 


L 1 0284. />. 



III. Pro lente tertia 
cuius distantia focalis est r = 4,9965 a et numeri 

A 1 et ( = 8t 2, 



erit 



radius 



anterior 



1,1502 



M _ 4,3440^ 



9683 



IV. Pro quarta lente 
cuius distantia focalis s = 5,2006 a et numeri 

A - 1 et 3) - 81 3, 



erit 



radius 



anterior - 



posterior = 
Hinc ergo deducitur sequens 



= 5J865- 18 ' 1522 
3,3955 a. 



1,5316 



CONSTRUCTS MICROSCOPE EX SEX LENTIBUS COMPOSITI 
EEFEACTIONE VITRI EXISTENTE n 1,55 

184. Pro hoc microscopic sumitur m numerus praemagnus arbitrarius, 
quippe a quo tantum binae lentes posteriores pendent. 



237238] DE ULTERIORI HOBUM MIOEOSOOPIOEUM PERFECTIONS 383 

I. Pro prima lente 
cuius distantia focalis p= 3,9333 a, erit 

anterioris = 0,97756 a 



radius faciei , 

posterioris = + 0,67332 a, 

eius aperturae semidiameter = 0,16833 a 

et distantia ad lentem secundam =0,2185 a. 

II. Pro secunda lente 
cuius distantia focalis q = 4,5740 a, erit 

anterioris = 1,7682 a 



radius faciei , 

posterioris = + 1,0384 a; 

apertura et distantia ad lentem sequentem sunt ut ante. 

III. Pro tertia lente 
cuius distantia focalis r = 4,9965 a, est 

anterioris = 4,3440 a 



radius faciei , ... rtrtrt 

posterioris = + 1,6833 a, 

apertura et distantia ad lentem sequentem ut ante. 

IV. Pro lente quarta 
cuius distantia focalis s ===== 5,2006 a, erit 

f anterioris == 18,15220 
radius faciei { . . 

I posterioris =* 3,3955 a, 

apertura ut ante; 

AQ(\ 

distantia ad lentem quintam vero erit = 79,332 a ~ dig. 

V. Pro quinta lente 

960 

cuius distantia focalis est t = dig., capiatur 

-,. , . . . . 1056 ,. 
radius utriusque faciei dig., 

* 7/1 

eius aperturae semidiameter dig. 

&Af\ 

et distantia ad lentem sextam - dig. 



384 LIBRE TEETH SECTIO TERTIA CAPUT n 184185 [239240 

VI. Pro lente sexta 

820 

cuius distantia focalis ^ = dig., 



radius utriusque faciei = dig., 
eius aperturae semidiameter = dig. 

1 60 

et distantia oculi = dig. 

VII. Spatii in obiecto conspicui semidiameter erit = Vg dig. et men- 
sura claritatis, qua obiecta repraesentabuntur, erit ===== 26 ^ 328 , quae, etiamsi 
multiplicatio statuatur m = 1000, adhuc satis est magna. 



Hoc tantum in hoc genere microscopiorum displicebit forte ; quod 
eorum longitudo, quippe quae fere aequalis est 80 a, tarn fit enormis ideoque 
minus commoda videbitur; sed cum distantiam obiecti facile ad digiti di- 
midium vel adeo trientem diminuere liceat, nihil impedit, quominus haec 
microscopia ad quosvis usus adhiberi queant. 

IX. Etiamsi hie quaelibet multiplicatio peculiares lentes quintam et 
sextam postulat, tamen facile intelligitur, si huiusmodi instrumentum ad 
certain multiplicationem fuerit accommodatum, turn idem etiam tarn pro 
maioribus quam pro minoribus multiplicationibus optimo successu adhiberi 
posse, dum scilicet eius longitudo sive minuitur sive augetur. 

X. Denique cum quatuor lentes priores maiores esse debeant quam 
apertura primae lentis, artifici praecipi poterit, ut disci harum lentium in 

diametro contineant ~|- a, ita ut, si fuerit a = dig., diameter horum 

i 
discorum sit y dig. 

EXEMPLUM 2 

185. Si omnes lentes ex vitro crystalline parentur, omnia momenta, 
quae ad constructionetn microscopiorum pertinent, describere, ita ut fiat 
^=0. Cum hoc casu sit # 1,58, erit v *=* 0,2529; unde ex formula supra 
data colligemus 

3,2629 3,2529 0,2646 

^ ' "" ~Q 0~ r "^ r ' 

6 ^ " 10,8226 ' "11,8689 " 

' - ~- "s~ t" 



240-242] DE ULTERIOBI HOKUM MIOEOSCOPIOBUM PEBFECTIONE 385 



iam si 6 esset infinitum, foret = ^^ = _L circiter; sin autem sumamus ut 
ante = 60, prodibit ^ = 5i?^f = _L circiter; unde patet, si ipsi minor 
valor tribuatur, turn A nactnrum esse valorem negativum, quern commode 
in nostrum lucrum convertere poterimus; cum enim turn ex aequatione prin- 

cipal! pro hoc casu flat 

, 0,2094 + 1,9068 
^ = 16 ' 

si ponamus ut in exemplo praecedente ^===~, fiet 

^ = 0,0065. 

Cum autem pro prima lente sumserimus A = 1, facile intelligitur, si huic A 
maior valor tribuatur, fieri posse, ut haec expressio pro A penitus evanescat; 
hunc in finem statuamus A = 1 + <*>> et cum in computo confusionis ex littera 
A = l nata sit formula ^, nunc ex valore A = 1 + co nascetur ^J^, ita ut 
nunc valor ^d augmentum accipiat 

CD *l + 

co, 



ita ut fiat 

^=0,0164 co 0,0065. 



Quare ; ut fiat _^ = 0, capi debebit co = gygj *= sicque pro prima lente 



statui debebit A = 1 + ~~ manentibus pro tribus lentibus sequentibus 
A'= 1 = A"= A /r/ ; quo effici poterit, ut prima lens aliquanto maioris aperturae 
capax reddatur. Cum igitur sit ut in exemplo praecedente 6 60 et ^ = ^ , 
tain distantiae focales quam jntervalla eosdem quoque valores retinebunt 
tantumque superest, ut singularum lentium constructio doceatur. 

I. Pro prima autem lente 
cuius distantia focalis jp == 3 3 9333 a et numeri 

et 21 = 4 i, 



erit 



anterior - r- = #- 1,1129 a 

<y . 8C (tf (>) + t y> 4,0865 + 0,5524 

posterior ^ = - ?- + 0,7480 a, 

r ^) -r)/a) 5,8106 --0,5524 



radius 



unde haec lens aperturam admittit ? cuius semidiameter rc 0,1870 a. 

KULSJEI Opera omma III 4 Bioptrica 4=9 



386 LIBRI TERTII SECTIO TERTIA CAPUT II 185188 [242243 

n. Pro secunda lente 
cuius distantia focalis est Q = 4,5740 a , erit 



anterior ^ = -1,7292 a 
posterior = + -- = + 1,0469 a . 



radius 



III. Pro tertia lente 
cuius distantia focalis r = 4,9965 a , erit 

anterior = J - = 4,1503 a 



- . 

radius 

posterior + -~ + 1 ? 



IV. Pro lente quarta .. 
cuius distantia focalis s = 5,2006 a , erit 

anterior = - - 21,8973 a 



radius 

o 

posterior = TT^T; ^ 3,4983 a . 

l,4obb 

Hinc ergo sequitur 

CONSTRUCTIO MICEOSCOPII EX SEX LENTIBTJS COMPOSITI 

186. Constructis ex vitro crystalline, pro quo n = 1,58, quaternis lentibus 
prioribus, quemadmodum modo est praeceptum, pro data obiecti distantia 
= a statuantur intervalla inter has lentes = ^j? === 0,2185 & et priori lenti 
tribuatur apertura, cuius semidiameter o?== 0,1870 a, et intervallum a quarta 
harum lentium usque ad quintam 

= 79,332 a ~~ 8 - dig. 

7 tm C) 



m 



V. Pro quinta lente 
cuius distantia focalis t = ~ dig. 

7W 

et quam una cum sexta ex vitro communi conficere licebit, capiatur 
radius utriusque faciei 1056 dig., 



243244] DE ULTERIORI HORUM MICRO SCOPIOBUM PERFECTIONS 387 

eius aperturae semidiameter = dig. 
et distantia ad lentem sextam = dig. 

VI. Pro lente sexta 
cuius distantia focalis ^ = dig., erit 

radius faciei utriusque = -^ dig., 
eius aperturae semidiameter = dig. 

IfiO 

et distantia oculi = dig. 

m 

VII. Spatii in obiecto conspicui semidiameter erit ==^-^-^dig.; at men- 

29 920 a 

sura claritatis fiet = ' , satis notabiliter maior quam in exemplo prae- 
cedente. 

Ceterum eadem hie erunt observanda, quae supra sunt allata. 

COROLIARIUM 5 

187. His duobus microscopiorum generibus inter se comparandis istud 
insigne commodum consequimur, quod, si forte vitrum occurrat, cuius re- 
fractio medium quodpiam teneat inter refractiones n = 1,55 et n = 1,58, turn 
per regulam interpolationum constructio lentium facile definiri queat. 

SCHOLION 2 

188. Accommodemus formulas, quas in hoc problemate invenimus, etiam 
ad telescopia, quandoquidem hie determinationes aliquantum differentes in- 
duximus. Cum igitur sit a = CVD et h = a, debebit esse 6 = 0, sed ita tamen, 
ut fiat #a= quantitati finitae, ponaturque ## = ; turn ergo fient elementa 

nostra 

9f -- A.Q jJQ == 1 (J = 2 55 == 8 et (< ===== 2 

hincque 

^4=4/9 7? JL n= ^ D^ l et J5J== - 

^ .**> ^~ 2' 3 ? 4 3 ? 

turn vero 

* i 'r _1 1 a ?- A 4- * 1 &f 

- f -\-Q, p~Q~ l d 6t 



388 LIBEI TERTn SECTIO TERTIA CAPUT II 188 [244246 

Quare distantiae focales lentium erunt 



o 7 9 7 

j. v 4_ 

== eti % === ~r~ ' 

m 3m 

et lentium intervalla 

primum = secundo = tertio = ^ 

, giL__ 3 



quartum = Zfl 6) -- , quintum 
^ v *' ^ 



ac denique distantia oculi 



Porro vero campi apparentis semidiameter 



t 1718 . 
= mm. 

a m + 1 



Denique aequatio pro sufficiente distinctione comparanda ent 



___ 
ft~ Z 8 116 32 16 

ubi quidem snmsimns A = A'= A"== A w = 1; turn vero mimeri A /w et A' w/ inde 
sumi debent, quod binae postremae lentes utrinque debent esse aequaliter 
convexae. Quodsi iam velimus, ut haec expressio penitus ad nihilum redi- 
gatur, poni oportebit 

m(l -|^) - my (5 ~ 23^) + 2(r'- 6y) + 64 A^- 0. 

Binas autem postremas lentes semper licebit ex vitro communi construere, 
ubi est ^ = 1,55; turn autem erit A"" 16,74y et A" w =l ? 6298 hincque bina 
membra postrema dabunt 118,7080 ? ita ut esse debeat 

m(l - |p - m^(5 - 23^) + 118,7080 - 0; 

quodsi iam etiam quatuor priores lentes ex eodem vitro communi parentur, 
ob ^==0,2326 reperietur 

~ 0,1630m + 2,8498 m + 118,7080 



246] BE ULTEKIORI HOEUM MIOBOSCOPIOEDM PERFECTION! 389 

adeoque 

<- 0,1630m 118,7080 f 1630m 1187080 



_ 
~ 2,8498m * 28498m 

Mnc ergo pro valor positivus non prodit, nisi sit 

1187080 

w > ., on 

IboU 



seu ^ > 728 circiter; 



tanta vero multiplicatio vim telescopiorum longe superat ac turn quidem 
deberet esse = ; cum tamen ^ superare debeat; quod incommodum etiam 
locum habet, si priores lentes ex vitro crystalline conficiantur, etsi fiat ali- 
quanto minus. Ex quo perspicuum est formulas hie inventas ad telescopia 
neutiquam tanto successu applicari posse quam ad microscopia, uti modo 
ostendimus. 



OAPUT m 

DE SUMMA MICROSCOPIORUM 
HUIUS GENERIS PERFECTIONE DIM OPE LENTIUM 

CONCAYARUM ET EX ALIA YITRI SPECIE 
CONFECTARUM OMNIS PLANE CONFUSIO AD NIHILUM 

REDIGITUR 

PEOBLEMA 1 

189. Loco lentis obiectivae duas lentes, quarum prior sit concava, substitmre, 
ut manentibus binis lentibus posterioribus confusio omnis tollatur. 

SOLUTIO 

Cum hie ergo quatuor habeantur lentes ideoque tria intervalla, litterarum 
P, Q, E ultima debet esse negativa; ponatur ergo J? = Jc, et ut margo 
coloratus tollatur, ex supra traditis manifestum est capi debere & = 1 ? ita 
ut sit PQ^i deinde ut simul idem campus comparator qui ante, debet 
esse (== 2 et (7==-; unde distantiae foca/les lentium erunt 

P in 3 m ' 

intervalla vero lentium 

primum Aa (l -^ j , 

secundum ===== -~ + AB* 
et P m 

tertium AB 2s 
B m 



248249] DE SUMMA MICROSCOPIOBUM HUIUS GENERIS PEKFECTIONE 391 

et ut ante distantia oculi 



quemadmodum etiam spatii in obiecto conspicui semidiameter manet 

i ah 



nunc autem cum prima lens debeat esse concava, necesse est sit 91 < 
ideoque et A < 0, quare oportebit esse P< 1; turn vero ob AB < debet 
esse S > ideoque etiam 33 quantitas positiva. Ponamus iam ut ante, 
quoniam duae priores lentes sibi debent esse proximae, intervallum primum 
= jp fietque 



Cum prima lens sit concava, sit ea quoque ex vitro crystalline parata, dum 
reliquae ex vitro coronario factae esse sumuntur, ita ut nunc n denotet 1,58 
e ^ n ' ^ i ? 53 = n " = n '" 9 quibus reliquae litterae independentes consentaneae 
esse debent. Quo posito aequatio omnem confusionem a diversa radiorum 
refrangibilitate oriundam tollens erit [ 27] 

0.^1 + ^.14 N' 1 . & 1 
seu 



ubi duo posteriora membra manifesto reiici possunt, et cum sit circiter 
~ ^ et P = 1 proximo, haec aequatio dabit 



10 j. 

u ~ 7 " 
adeoque 



qui valor ut fiat positivus existente 81 < 0, necesse est, ut 3 + 791 sit posi- 
tivum sive 91 < -f ; si autem non sit P == 1, adcuratius habebimus 



ubi tantum notetur esse debere S8 < 1, ut etiam B prodeat positivum. 



392 LIBEI TEETH SECTIO TEETIA CAPUT IE 189 [249-250 

Ponatur igitur 

2 1 



et addito utrinque -jzr oportebit esse 



Ne nunc binae priores lentes sibi nimium fiant vicinae, statuamus =4 
capique debebit 

1 _ 21 < _ 1+1/10 + ~ sen 1 8t < 1,217. 
Sumamus igitur 

1 91 - 1,2 = | 

u 

eritque 

-- 1 et A -- 1; 

turn vero ob y erit p = 55 hincque 



" 10 5 35 250 125 ~ 2 ~ 2 ? 

unde sequitur AB = 10-j-, qui valor sine dubio nimis est parvus, quia 
pro magnis multiplicationibus pro r nimis exiguum praeberet valorem; 
verum notandum est, si 1 $t tautillo maior caperetur quam ^ , ut discrimen 
in praxi sentiri non posset, tum productum AB quantumvis inagnum evadere 
posse; si enim ponamus 1 St==4 + co 



qui valor adeo infinitus evaderet, si tantum sumeretur ca = ^ proxime^ quo 
pacto valores A 9 ?! et 33 vix sensibiliter mutarentur, ita ut sumtis his^e 
valoribus 

91 _ l A _ \ ? I 1 

^^ - y ^^ ^ f y -^ 

ob 



250-251] BE SUMMA CHORDS COPIOBUM HUIUS GENERIS PERFECTIONS 393 

littera S adhuc ut indefinita spectari atque sine haesitatione ita definiri 

possit, nt littera r idoneum valorem nanciscatnr. Quamobreni habebimus, 
ut sequitur: 

p = a, # = 0,19212 a, r = 0- et s = -*-r, 

O ifl *J 

ubi 6 pro lubitu assumi potest; deinde vero intervalla erunt 

primum = p = a , secundum = =^ -- d , tertium = 2s. 

/ O t \J ju ift 

Nunc denique, ut etiam confusio ab apertura lentium oriunda evanescat, 
satisfied debet huic aequationi [ 31]: 



Quodsi iam hie sumatur A'=l, ob 

fi = 0,8724, v = 0,2529, ^= 0,9875, ^= 0,2196 

calculo facto reperietur 

A = 2,4137 + 0,0607 = 2,4744, 

unde colligitur rX(A 1) = 1,0655; quare pro lento prim^ ex vitro crystalline 
paranda, cuius distantia focalis est jp = -g-a et nnmeri 



erit 



81 = _A et A = 2,4744, 

5 
anterioris = 



. _ ^ w , . rv . -1) 1,8710-1,0655 

radius laciei 

. - - jP P 

posterioris 

unde fit 



9 + 8t (tf 9) T 1/(A 1) 0,1469 + 1,0655 

anterioris = -~^ == 0,2483 a 
v .- . . 0,8055 

radius faciei < 

posterioris = 7-7;?^ = 0,2177 a] 

U,i/lc)D 



quae ergo aperturae capax est, cuius semidiameter aJ = 0,0544 a, nisi forte 
secunda lens tantam aperturam non patiatur. 

LBONHARDI EULEHI Opera otnnia III 4 Dioptrica, 50 



394 LIBEL TEETH SECTIO TEETIA OAPUT III 189192 [252253 

Pro secunda autem lente ex vitro coronario, cuius distantia focalis 
q = 0,1 9212 a "et numeri 

5g = 123 ^ , 

erit 



arferioris -j-gt - (^L- 0,7697 a 

posterioris _ = = ' 1173 a > 



radius faciei 



cuius ergo apertura maior esse nequit quam # = 0,0293 a. Hinc autem 

colligitur 

Jix 0,2344 v 

y _ - = __2 - dig. 

^ ma m 

A. fiftft 

Mncque mensura claritatis = -^-, quae ergo fere sexies minor est quam in 
ultimo casu capitis praecedentis. 
Hinc ergo colligitur sequens 

CONSTRUCT!*) HUIUSMODI MICEOSCOPIOEUM 
EX QUATUOR LENTIBUS COMPOSITORUM 

190. Posita distantia obiecti ab instrumento = a et multiplicatione ===== m 
habebitur 

I. Pro prima lente concava ex vitro crystalline paranda, cuius distantia 
focalis est p = -~ a, 

. . anterioris = ? 2483a 
radius faciei 

posterioris ===== 0,2177 a, 

eius aperturae semidiameter ob rationes modo allegatas x = 0,0293 a 
et distantia ad lentem secundam = j-p = 0,0286 a, 

II. Pro secunda lente ex vitro coronario paranda, cuius distantia 
focalis est # = ? 1921a, erit 

r anterioris =0,7697 a 
radius taciei { 

I posterioris = 0,1173 a; 

apertura manet ut ante. 

Distantia ad lentem tertiam =Alwar !r, 

ooO 2 7 

ubi r denotat distantiam focalem tertiae lentis, quam pro arbitrio assumere licet, 



253254] BE SUMMA MICROS COPIORUM HUIUS GENERIS PERFECTION 395 

in. Pro tertia autem lente, cuius distantia focalis = r, si ex vitro co- 
ronario paretur, 

radius faciei utriusque = 1,06 r ; 

perinde autem est, ex quanam vitri specie haec lens atque etiam quarta 
parentur ; 

eius aperturae semidiameter = ~r 

et distantia ad lenteto quartam = ~r. 

IV. Pro quarta lente, cuius distantia focalis est s = yr ? capiatur 

radius utriusque faciei ===== 1,06s 

vel potius secundum indolem vitri, ex qua paratur. 
Aperturae semidiameter = ^- s 

et distantia ad oculum =-5-5. 

& 

V. Porro spatii in obiecto conspicui semidiameter erit ut hactenus 

_ 1 ah _ 4& ... 
= ' 2 ' ' 'ma^+'h = ma + 8 ^' 

VI. Claritatis autem, qua obiecta conspicienttir, mensura erit =-^^. 



COROLLARIUM 1 

191. Hie manifestum est, ne duae priores lentes nimis fiant exiguae, 
quam ut ab artifice adcurate elaborari possint ? necessario distantiam obiecti 
a multo maiorem statui debere quam hactenus. Videtur autem haec distantia 
a vix minor duobus digitis commode assumi posse, quod quidem in praxi 
pro lucro est habendum, praesertim cum claritas ab hac distantia non pendeai 

COROLLAKIUM 2 

192. Sumta autem distantia a = 2 dig. intervallum secundum evadet 
2^0 mr T r ^ qu&re si sumamus r==ldig., siquidem ob s==yf commode 



minus accipi nequit, pro multiplicatione m = 280 hoc intervallum erit 40ydig,; 

60* 



396 LJBRI TEETH SECTIO TERTIA OAPUT III 192-194 [254256 

sin autem multiplicatio desideretur duplo maior, m = 560, hoc interyallum 
get =81 dig. atque adeo mains pro maioribus multiplicationibus; quae 
enormis longitudo sine dubio maxime displicebit. 

SCHOLION 

193. Quod haec microscopia his incommodis sint obnoxia, causa in eo 
est sita, quod distantiae focales priorum lentium nimis sint exiguae, dum 
scilicet p et q tantum parti circiter quintae ipsius a aequari debebant, cum in 
easu postremo capitis praecedentis hae distantiae focales adeo quadruple 
essent maiores quam distantia a } atque hinc etiam factum est, ut mensura 
claritatis hie tantum inyenta sit =~^-, cum ante esset ~~ ? hoc est sexies 
maior atque adeo secundum yeritatem trfcies sexies maior. Quamobrem, 
etiamsi artifex in constructione horum microscopiorum omnem diligentiam et 
industriam adhibeat eique opus ex yoto succedat, tamen yehementer dubito, 
an haec microscopia ullam praerogatiyam prae antecedentibus mereantur, 
quamvis hie etiam secunda confusio a diversa refrangibilitate oriunda penitus 
sit sublata, quod in praecedente capite praestare non licuit. Hie quidem 
primam lentem sumsimus concayam, secundam yero convexam; yerum ex 
superioribus satis liquet nullum commodum exspectari posse, si hae lentes 
inter se permutarentur; quin potius hie ordo iam supra anteferri in praxi 
debere est obseryatus ideoque superfluum foret, si istum casum seorsim eyol- 
vere yellemus. Quamobrem nunc statim loco lentis obiectiyae tres lentes 
substituamus, quarum una sit eoncava binaeque reliquae convexae, et inqui- 
ramus praecipue, num. hoc casu distantia focalis harum lentium aliquanto 
maior fieri queat quam casu hie tractato et num. forte numerum lentium 
ulterius angendo maiora adhuc commoda sperari queant. 

PEOBLEMA 2 

194. Loco lentis obiectivae tres lentes sibi jproxime iunctas sitbstituere? gfuarum 
prima sit eoncava et ex vitro crystallino parata, linae autem reliquae convexae ex 
vitro coronario, ut wianentibus binis lentifius gostrewiis omnis confusio ad niMlum 
redigatur. 

SOLUTIO 

Cum hie quatuor habeantur interyalla, litterarum P f Q, JS, 8 ultima erit 
negativa et margo coloratus tolletur, si fuerit S*** 1. Binae vero primae 



256257] DE SUMMA MICEOSCOPIORUM HUIUS GENERIS PERFECTIONS 397 



litterae P et Q unitati proximo erunt aequales, ita ut sit PQE = ^. Quod 
ad reliquas litteras attinet, conditio campi postulat, ut sit 33 = 2 et 
D = , et cum prima lens sit concava, erit 21 negativum ideoque etiam 
A, ita tamen, ut sit A<1. Deinde ob q = -- p-*#, quia haec lens debet 
esse convexa, littera 33 erit positiva, et quia tertia lens, pro qua est r= A ^ -a, 
etiam debet esse convexa, esse debet B($, < 0, et quia porro fit 

. 2ABC 



1 PQE " m ' 

ne haec lens pro maioribus multiplicationibus fiat nimis parva, productum 
ABC aequari debet numero praemagno positivo, unde concluditur BC fore 
numerum magnum negativum. Cum autem sit etiam B&<0 hicque numerus 
non possit esse praemagnus, sequitur C esse debere numerum praemagnum 
Mncque ( unitati proxime aequale; quamobrem B debet esse numerus nega- 
tivus hincque 23 >1, contra vero (<1, sed differentia existente valde parva, 
ut prodeat C numerus praemagnus positivus. 

His notatis consideremus aequationem, qua confusio posterior penitus 
tollitur, quae erit 

_ 10 _l_ J._ * i 1 

U 7 * p + r>2^ -r 



ubi ob P$jR = bina postrema membra tuto reiicere licet, et cum litterae 
P et Q proxime unitati aequentur, habebimus hanc determinationem: 

= -U 4--i 
ita ut sit 

p 10 \ ~q **T/ 

sive substitutis valoribus 

A 7/1 1 \ 

"~~iovM "/' 
et quia proxime est & = 1, obtinebimus 

1 + A - - 7 - 

j^ ^-j^ :::__,,- 



398 LIBBI TEETH SECTIO TEETIA CAPUT m 194-195 [257-258 

adeoque 

A i ei f 

Cum autem sufficiat rem propemodum tantum definivisse, sumamus 31 = y 
et statuendo ambo priora intervalla 



fiet 

1 _ 17 , _!__ _ 17 3 

_ = _ et p-^ u 
Mncque 



58 



qui yalores substituti dabunt 



_ 20 8 3 

u --- 



_ 20 61 
U --- ^ 



_ __ 
14J5 14J5 S 
seu 

n _ 20 _L 51 _ 9 

u ~ ~ T" + 14 

ob ^ i 1 vel 



hinc ergo non enormiter aberrabitur, quicquid pro B accipiatur; quodsi 
autem aequationem ex destructione alterius confusionis consideremus, patebit 
non incongrue sumi posse 33 = 2 ideoque B 2, ita ut iam sit 



37 17 , 37 

' -- a et r== " 



turn autem aequatio adhuc resolvenda erit 



3 , /' 17-27,, A , f' 27-37-r 

^ + ---^- 



ubi poni potest tam A' = l quam A"=l, et ob 



258-259] DE SUMMA MICROSCOPIOBUM HUEUS GENESIS PERFECTIONS 399 

r = 0,2529 et */ = 0,2196 et ^' 1||? 

a 8724 

fiet 

A = 0,1897 + 0,3252 + 0,6322 adeoque A = 1,1471; 

unde colligitur 



r 1/(A 1) = 0,3365. 
Quare pro prima lente crystallina erit 

r mterior 

radius 



Pro lente secunda ex vitro coronario paranda erit 

anterior = ^-^f^ ^ =_ T ^-.= _ 0? 6708 < 
radius 

posterior = ^gg- _ + ^-JL_ = + 0? 2617 < 



Simili modo pro tertia lente 

anterior = ~ = ? = 3,8857 a 



radius 

posterior ~ = ^ = 0,5306 a; 



(5 

pro quarum lentium apertura sumi poterit ==0,0635 a, hincque sequitur 

CONSTBUCTIO MICROSCOPE EX QUINQUE LENTIBUS COMPOSITI 
ET OMNIS FEEE CONFUSIONIS EXPERTJS 

195. Hie tres res pro lubitu assumi possunt 

1. distantia obiecti = a, 

2. multiplicatio = m, 

3. distantia focalis quartae leutis s. 



400 LIBEI TEETH SEOTIO TEETIA CAPUT in 195196 [259260 

I. Pro priina lente crystallina, cuius distantia focalis $ = 0,5000 a, 

capiatur 

. f anterioris = 0,2542 a 
radius faciei { . . 

I postenons = + 2,0602 a, 

aperturae semidiameter # = 0,0635 a, qui etiam in duabus sequentibus locum. 
habet, et distantia ad sequentem = #. 

II. Pro secunda lente ex vitro coronario paranda, cuius distantia focalis 
Q = 0,8095 a, capiatur 

f anterioris = 0,6708 a 
radius faciei { ... 

I postenons ~ + 0,2617 a, 

distantia ad lentem tertiam jjfl- 

III. Pro tertia lente itidem coronaria, cuius distantia focalis r== 0,8809 a, 

capiatur 

f anterioris = 3,8857 a 
radius faciei { , . . 

I postenons = 0,5306 a; 

eius distantia ad lentem quartam =- -i-s. 

IV. Quartam lentem pro lubitu ex quovis vitri genere construere licet, 

o 

cuius distantia focalis =s; turn erit eius distantia ad lentem ocularem *= yS. 

V. Ipsius lentis ocularis distantia focalis erit ==^5 eaque pariter 
utrinque aeque convexa et distantia ad oculum usque -J-s. 

VI. Mensura claritatis erit - et spatii in obiecto conspicui semidiameter 



SCHOLION 1 

196, Si casum propositum ita iminutemus, ut binae priores lentes sint 
concavae et ex vitro crystalline factae, turn simili modo solutionem ador- 
nando omnia eodem modo definientur, nisi quod nunc anabae litterae 93 et B 



260262] DE SUMMA MICROS COPIORUM HU1TJS GENERIS PERFECTIONE 401 

debeant esse negativae; ac turn destructio alterius confasionis dabit hanc 
aequationem: 

-i . A 7 . 3 A 3,3 

i _i_ /j ^__ i c*m A i 

J. -p -a. -j- w ^m Sell M. -j 



unde, si sumatur 35 = 2 hincque S = ~, elicietur A = ~ ideoque 
2t = jj 7 qui valores praebent distantias focales 

= 9_ a = _ 9 . 3 

ubi est 



, 

sumsimus autem ( = 1 proximo, ut pro C numerus praemagnus prodeat et 
ponendo ABC =6 fiat s = 2<9- et ut ante t = ^-s ultimumqtie intervallum 

7/t O * 

===2#. Duo priora vero intervalla erunt per hypothesin = -^[ a > inter- 
vallum vero tertium =6a(^ -- V 

\PQ ma) 

Turn vero, ut etiam prior confusio evanescat, sequent! aequationi satis- 
fieri oportebit: 

(i-g)v r 



quae fit substitutis valoribus 

o = ; 18Qa/ a- 80QO (%_ _ *y\ _ j^_ 30 s /r _^\ 

U / 121 + 133lP\8 4/ ft *11 8 P W + OS"/ 7 

unde sequitur 



Si igitur hie capiatur A"=l et ponatur A'=A, ut scilicet pro utroque valor 
minimus reperiatur, habebitur ista aequatio: 

1000> 



unde facile patet valorem ipsius A multo maiorem esse proditurum quam 12, 
unde constructio harum lentium admodum lubrica evaderet. Interim tamen 

LBONHAEDI BULBBI Opera omnia W.4, Dioptrioa 61 



402 



LIBEI TEETH SECTIO TEETIA CAPUT HI 196-197 [262263 



s 5 
~ et = y> quibus positis aequatio nostra ad hos numeros reducetur: 



hunc casum diligentius evolvamus sumto ]y = y , 0= 12,] = g- , 

P ~ 4 

2581^ = 52888,492, 

ita ut sit 

^ 52888,5 

unde colligitur 

Hinc pro prima lente erit 
anterioris 



l) 3,8742. 



radius faciei 



posterioris 



2,7620 3,8742 
P 



unde fit 



radius faciei 



anterioris = 



_1) 1,0379 + 3,8742 ' 

= + 0,7356 a 



1,1122 

posterioris = + OQ ^ AQ = 0,2885 a. 
Pro secunda lente 

anterioris -,_ 8f ,_ o ^, vtt _^- 0|6911 
radius faciei 

posterioris- ., m/ _ N , w/ , . N - ^ 

J.,. 



= 1,9032 a 



Pro lente autero tertia ex vitro coronario erit 

r r 



radius faciei 



anterioris 



==2,1504 a 



0,2267 
posterioris = r - = -~^" **** 0,2937 a 9 ); 

C? l^DOUl 

/ v v 

2,1147- a 



sumendo 



l) Editio princeps: radius faciei I * T' ^^^ Qui falsi Taloros evenerunt 

y l * ' \ poster. .* 1.1033 -a, 

ft a . ft -^ ' 



-. <^ loco a = :A~-rtt. Oorrexit E. Oh. 

4 A 10 - 4 



2) Editio princeps*. radim faciei 



anter. 



T 

6,2888 



0,2949- a. 



Ob ffi- 1 



4* A* 

per hypothesin yalores harum fractionum sunt *~~ 9 - Correxit E. Oh. 



263-264] DE SUMMA MICRO SCQPIOBUM HUIUS GENEEIS PERFECTIONS 403 

quae tres lentes cum communem circiter aperturam exigant, eius semidia- 
meter sumi debebit x = 0,0721 a, ex quo fit y = ^^ dig. Mucque mensura 
claritatis = ^ , quae ergo fere triplo maior est quam casu praecedentis 
problematis. 

Hinc ergo deducitur sequens 

CONSTEUCTIO MICROSCOPn EX QUMQUE LENTIBTJS GOMPOSITI 

197. Hie scilicet primo datur distantia obiecti = a, deinde multiplicatio 
= m ac tertio distantia focalis quartae lentis = s; unde fit 



16 

I. Pro prima lente ex vitro crystallino paranda, cuius distantia focalis 
est p = 0,8182 a, erit 

_ . . f anterioris = + 0,7356 a 
radius laciei { 

\ posterioris = 0,2885 a, 

eius aperturae semidiameter # = 0,0721 &, quae et pro binis sequentib as valet, 
et distantia ad secundam lentem = 0,1125 #. 

II. Pro secunda lente ex vitro crystallino paranda, cuius distantia focalis 
est q = 1,125 a, erit 

. . f anterioris == 1,9032^ 
radius faciei { 

I posterioris = 0,9930 a 

eiusque distantia ad lentem tertiam ==0,1125 a. 

III. Pro lente tertia ex vitro coronario paranda, cuius distantia focalis 
r = 0,4875 a, erit 

. . r anterioris =2,1504 a 
radius taciei { . . 

[ posterioris = 0,2937 a, 

eius distantia ad lentem quartam 

3 h \ ISmas 1 
j -j^ s. 



404 LIBRI TEETH SECTIO TERTIA CAPUT 3H 197199 [264-266 

IY. Quartam lentem ex quovis vitro pro lubitu construere licet, cuius 
distantia focalis sit = s; turn erit eius distantia ad lentem ocularem =y5. 

V. Ipsius autem lentis ocularis erit distantia focalis =y$ eiusque ad 
oculum distantia =-g-s. 

VI. Mensura claritatis autem erit, ut vidimus, - spatiique conspicui 






semidiameter ut hactenus & = Vo dig. 

ma -- 8 



SCHOLION 2 

198. Quanquam autem haec microscopia praecedentibus anteferenda vi- 
dentur, tamen, uti iam innuimus, ea nentiquam commendare audemus, prop- 
terea quod eorum constructio summis difficultatibus est implicata, ut etiam 
a sollertissimo artifice exspectari nequeat; cuius rei causa manifesto in eo est 
posita, quod pro litteris A et JT tarn grandem valorem invenimus ; scilicet ad 
viginti assurgentem. Facile enim intelligitur, si iste valor fuisset unitate vel 
adeo binario maior vel minor, inde harum lentium constructionem non sen- 
sibiliter faisse mutatam, unde vicissim colligitur, etiamsi hae lentes summo 
studio fuerint elaboratae, turn maxime probabile fore valorem litterae I iis 
convenienteni non solum unitate vel binario, sed etiam magis a 20 esse 
discrepaturum; quod si eveniat, confusio inde orta adeo multo erit maior, 
quam si lens obiectiva simplex adhiberetur; ex quo manifestum est perfec- 
tam destructionem confusionis posterioris nullo plane modo sperari posse; 
quare, cum adhuc, ante quam diversa vitri indoles erat comperta, hanc con- 
fusionis speciem tolerare sumus coacti et sola destructione marginis colorati 
contenti esse debuimus, nunc etiam eo facilius huic conditioni renunciare 
poterimus, cum vitrum crystallinum adhibendo saltern hanc confusionem 
quodammodo diminuere liceat, quem in finem exempla quaedam subiungamus, 
quae ad praxin facile accommodari posse videntur, cum pro litteris >L valores 
unitate non multo maiores requirant neque tamen a praescripta in proble- 
mate conditione naultum abhorreani 

EXEMPLUM 1 

199. In formulis supra iaventis statuamus K ^ et 8 2 hmcque 
jfi^ e t B^ 2 manente littera aliquantillum minore unitate ? ut 



266267] DE SUMMA MICEOSCOPIOEUM HUIUS GENEBIS PERFECTIONS 405 

fiat numerus praemagnus. Turn igitur erit ex fonnulis superioribus 



unde distantiae focales erunt 



3m 3 9 ' m 

Ut igitur hinc prodeat s = l dig. circiter casu m=1000, debet esse (7=100 
ideoque ( = Intervalla vero lentium erunt 

primum et secundum = p = -^- #, 

, ,. 11 mas 1 , , 2 

tertium = ~ s et quartum = s. 

Commode autem Me sumere poterimus ? = y, nt sit 



Turn vero primam lentem concavam ex vitro crystallino parari ponamus, 
quandoquidem hoc modo altera confusio saltern diminuetur, secundam vero et 
tertiam ex vitro coronario; atque nunc prior confusio ad nihilum redigetur, 
si fiat 



sve 



. . .- - 

~ 4 p 32 8 IV >~ 512 V'' 100 

Cum nunc sit 

^ = 0,8724, v 0,2529 et /= 0,9875, v'= 0,2196, 
sumamus A' A" = 1 hincque fiet 



406 



LIBEI TEETE SECTIO TEETIA CAPUT III 199200 [267268 



0,1897 






-16,9622 



sen 

uncle fit 

Ex quo sequitur: 



A 1,2022, 
rY(l 1) = 0,3946. 

Pro prima lente 



radius faciei 



anterioris 



posterioris 
* 



~ 



1,9087 






0,2620 a 

2,7086 a. 



radius faciei 



Pro secunda autem lente 
anterioris ^^^ -^_ 0> 6906a 
posterioris = = + 



erit 



radius faciei 



Pro tertia lente 

anterioris = ~- /^-^ N , 
posterioris = - 



- 0,5514 a. 



Pro harum igitur trium lentium apertura communi sumi poterit 



unde fit 



hincque mensura claritatis fiet 



0,5240 



CONSTRUCTIO MICEOSCOPII EX QDINQUE LENTIBUS COMPOSITI 
ET AD PBAXIN MA.GIS ACCOMMODATJ 

200. Dantur Me distantia obiecti = a et multiplicatio m et quartae 
lentis distantia focalis = s hincque erit: 



268-269] DE SUMMA MICRO SCOPIORUM HTJIUS GENERIS PERFECTION 407 

I Pro prima lente ex vitro crystalline paranda, cuius distantia focalis 
est p = y a, capiatur 

. . . fanterioris = 0,2620 a 
radius faciei ] 

iposterioris == + 2, 7086 a, 

eius aperturae semidiameter = 0,0655 a 
et distantia ad lentem secundam = a. 

II. Pro secunda lente ex vitro coronario paranda, cuius distantia focalis 
est 2 = 0,8333 a, erit 

. fanterioris = 0,69060 
radius faciei { 

iposterioris =-(-0,2694 a 

eiusque distantia ad tertiam lentem ^fl- 

III. Pro tertia lente itidem ex vitro coronario paranda, cuius distantia 
focalis r = 0,9075 a, capiatur 

_ . . fanterioris =3, 7656 a 
radius faciei \ 

Iposterioris =0,5514 a 

eiusque distantia a lente quarta 11 ?^- ~s. 

IV. Perinde est, ex quonam vitri genere lens quarta conficiatur, eiusque 
distantia focalis arbitrio nostro permittitur, quae sit =s, dummodo haec 
lens sit utrinque aeque convexa, ut aperturam admittat, cuius semidiameter 

eius vero a lente quinta distantia statuatur =~|s. 

V. Lens denique quinta seu ocularis habeat distantiam focalem =s 

3 

et semidiametrum aperturae == r^s, 

siquidem est utrinque aequaliter convexa; turn vero distantia oculi erit 
i 



VI. Spatii in obiecto conspicui semidiameter erit ut hactenus L 

met J- o 

Mensura vero claritatis erit 



W, 



408 LIBEI TEETH SECTIO TEKTIA CAPTJT HI 201-202 [270 

EXEMPLUM 2 

201. Statuatur hie 21 = 1 et 35 = 2 Mncque A = y et .5 = 2 
sumaturque = -jf fietque 

= = l = 3 
P~~ 3' PQ 2 ' 

Quare flent distantiae focales 

4 3 rr c\ si "> 

p = a, 2 = -^, r = y(a, 3 = 20- 

ideoque vicissim 

n _ ms , , _ 1 
o = ^- et t 8 9 

intervalla vero 

. i l j. -L- Smas 1,2 

primum et secundum == =-y a ' tedium ^-^ -- Y 5? quartum = 5. 

lam nt confusio prior ad nihilum redigatur, satisfieri oportet huic aequationi: 

* - ' + f T <?- ^ + T 1 ( 1 ' 08r + i^o 



Statuatur iterum A' = A r/ = 1 et uti in praecedente exemplo calculo facto 
reperietur 

A = 0,5058 + -^-2,2960 
^ 

seu A = 3,1047; hinc ergo erit 



Ex quo erit 

Pro prima lente 



ius faciei 



:^ ___ *, ___ _ I -^ ___ .^^ A ^71 1 n 

. " *- - ^T^ " _, ."^ ..... V_/ I XJL W/ 

i 






1) Editio princeps; I = 3,0047, tr)/A 1 1,2424, Oorrexit E, Oh.' 

anter. - ^~ 0,5618* a 



2) Editio princeps: radius faciei 



Oonmit E. Oh, 



17,3913^, 



271272] DE SUMMA MCROSCOPIORUM HUIUS GENERIS PERFECTIONS 409 

Pro secunda lente 
erit uti in praecedente exemplo 

anterioris = ^ 

radius faciei I 

.Posteriori** = + 3^35 ; 



quare, cum hie sit # = 1,3333 a, erit 

radius 



f anterioris 1,1049 a 
faciei \ 

( postenoris = + 0,4310 a. 

Simili modo quoque pro tertia lente erit ut ante 



anterioris = 



radius faciei \ 

posterioris = I -^ r 

o 

Cum igitur hie r = -^ (a = 1,4850 a, erit 

( anterioris =6,1618 a 
radius faciei ... 

I posterioris =0,9023 a. 

Pro communi ergo harum lentium apertura sumi poterit 

x 0,1077 a, 
unde fit 

_ Q J 8616 
m 

et mensura claritatis = 17 ^ 232 - 
Ex quibus oritur sequens 

CONSTEUCTIO MICROSCOPE EX QUINQUE LENTIBUS COMPOSITI 

202. Hie igitur dantur distantia obiecti = a , secundo multiplicatio == m 
et tertio distantia focalis quartae lentis = s eritque ; 

I. Pro prima lente ex vitro crystallino paranda, cuius distantia focalis 

est p a, 

EULBEI Opera omnia III* Dioptrica 62 



410 LIBEI TEE.TII SECTIO TERTIA CAPUT III 202204 [272273 

( anterioris = 0,5711 a 
radius faciei { . . 

I posteriory = + 3/,3134a, 

eius aperturae semidiameter = 0,1077 a, 
distantia ad lentem secundam = y#. 

II. Pro secunda lente ex vitro coronario paranda, cuius distantia focalis 
q = 1,3333 a, capiatur 

. r anterioris = 1,1049 a 
radius faciei { ... 

I posterioris = + 0,4310 a 

eiusque ad lentem tertiam distantia =~a. 

III. Pro tqrtia lente itidem coronaria, cuius distantia focalis r = 1,4850 a, 
capiatur 

f anterioris = 6,1618 a 
radius faciei { . . ^ rtrt 

I posterioris = 0,9023 a 



et distantia ad lentem quartam == -^^ y$. 

IY. Perinde est, ex quonam vitri genere lens quarta paretur, eiusque 
distantia focalis in nostro arbitrio relinquitur, quae sit =5, modo sit utrin- 
que aeque convexa; unde aperturam admittet, cuius semidiameter = s; 

S) 

eius vero a lente quinta intervallum ===== | s. 

V. Lens denique quinta habeat distantiam focalem = ---$ et aperturam, 
cuius semidiameter ^jgS, siquidem est utrinque aeque convexa, et distantia 
oculi = -r-$. 

D 

VI. Spatii in obiecto conspicui semidiameter ===== ---- et mensura clari- 

A Witt -f-o 

tatis -=!. 

Wl 

COHOLLAEIUM 

203. Hoc microscopium ob duplicem causam priori anteferendum videtur: 
1. quod distantiae focales trium priorum lentium hie smt maiores quam 
ante respectu distantiae obiecti a; unde hoc commodum nascitur, quod, 



273-274] DE STOtMA MICEOSCOPIOEUM HTJIUS GENERIS PERFECTION 4H 

etiamsi distantia obiecti a hie duplo minor capiatur quam ante, tamen istae 
lentes non evadant nimis exiguae; unde longitude instrument! fere ad 
semissem reduci potest; deinde etiam 2. Me mensura claritatis fere duplo 
maior est quam casu praecedente. 



PROBLEM! 3 

204. Si loco lentis obiectivae guatuor lentes sibi proximae s^stituantur, qua- 
rum linae prior es ex vitro crystallino, posterior es vero ex* coronario sint factae, 
manentibus binis ultimis lentibus ut hactenus microscopium ita adornare, ut utra- 
que confusio penitus tollatur. 

SOLUTIO 

Cum Me occurrant quinque intervalla, quarum tria prima sint minima, 
litterae P, Q, E parum ab unitate recedent, littera T vero erit = 1, ita 
ut sit PQBS=< Litterarum vero A, B, C, D, E haec ultima E erit 



y ob @== 2, ut scilicet campus fiat ut hactenus 



ma j-s 
spectetur distantia focalis quintae lentis 

t = ABCD-- = 2ABCD- ; 

m m 

quae ne nimis fiat exigua, posito ABCD = 6, ut sit t = 2d-^, numerus 6 
debet esse praemagnus. Nunc autem solutionem ita instruamus, ut litterae 
A, B, C, D ex calculo elidantur, huncque in finem statuamus brevitatis gratia 

i _ i^ __ R 1 . 

P~ a > PQ~ py PQR r ' 

quae ergo litterae a, /?, y ab unitate non multum discrepabunt, ubi probe 
notetur has litteras cum iis ? quae supra sunt usurpatae, confundi non debere. 
Cum iam distantiae focales quatuor priorum lentium sint 



unde colligitur 

62* 



412 LIBBI TEETH SECTIO TEETIA CAPUT ILL 204 [274276 



_ i _ i ^ A m. L. L 

A 



yet 



_ ___ 

s~ ABC'S ~ ABO ABCD' 



manifestum ergo est fore 



Cum ergo sit numerus praemagnus, proximo esse oportet 

JL + ^ + ^. + JL = A 

P S r s a ' 

quae est prima aequatio probe notanda. Secundam aequationem nobis sup- 
peditabit destructio posterioris confusionis [ 27], quae^ si brevitatis gratia loco 
fractionis y seu quaecunque alia experientiae fuerit consentanea scribatur ^, 
hoc modo exprimetnr: 



p q r 5 

Tertia yero aequatio ex destructione confusionis prioris [ 31] est petenda; 
ubi cum expediat, ut litterae A, A', A", A"' non multum uoitatem superent 
earumque yalores ob litteras ^, v etc. parum adficiantur simulque, ut vidimus, 
litterae /u et ^ parum discrepent, neglectis terminis a v pendentibus statuamus 
A = X = A" = A'" 1 ac tertia nostra aequatio sequentem induet formam : 



atque nunc totum negotium eo est reductum; ut Ms tribus aequationibus 
satisfiat, ubi quidem est notandum primae aequationi satis adcurate satisfieri 
debere, pro duabus posterioribus autem sufficere, si iis propemodum fuerit 
satisfactum; quae resolutio quo facilius instituatur, ponamus porro 



x y v 

y 



p a q a r a s a 

ut tres nostrae aequationes prodeant 



II. > + &y + /?o? + yv 0, 
III / + ccy 3 + /3^ 8 + /^ 8 , 



276277] DE SUMMA. MICEOSCOPIOEUM HUIUS GENERIS PEEFECTIOKE 413 

in quibus duabus posterioribus litterae a, (3 et y sine notabili errore pro 
unitate haberi poterunt. Statuamus nunc, quo resolutio planior reddatur, 



et tres nostrae aequationes abibunt in has: 



i. f +*--!-, 



II. 
HI. 



Ex duabus prioribus colligimus 



q 

et quia proxime =Y> * am habemus lios duos valores: 



qui in tertia substituti dabunt 

_ 1 _3 2_L 27 j_ A 
unde concluditur 



ubi nihil imp edit, quominus k statuatur =0; interim tamen, quia ob litteras 
/? et y posterior pars fe(^ 2 +3^ 2 ) aliquantum augetur eaque etiam tarn ob 

terminos littera v adfectos aliquod incrementum capit quam ideo, quod haec 

/ 
pars insuper per multiplicari debet, quae fractio unitate est maior, mani- 

festum est sumi debere g > "j/-^- Convenientissime ergo sumetur g = 1 ; turn 

vero erit 

#=0, 2/ = 2, x = v*=*'h 

hincque 

oca 2 /) 4. 2 

jp = CVD? g ___ ? r = -^/3a et s yya. 



414 LIBBI TEETH SECTIO TERTIA CAPUT HI 204205 [277278 

Cum igitur hie primae lentis distantia focalis fiat infinita, idem est ac si haec 
prima lens penitus tolleretur locoque obiectivae tantum tres lentes substi- 
tuerentur, quarum sola prima ex vitro crystallino sit paranda; et quia hie 
fit a = l et SI y, idem plane hie habetur casus, quern iam supra in 
problemate 2 evolvimus, ita ut superfluum foret hoc problema ulterius 
prosequi. 

SCHOLION 

205, Hoc igitur problema ideo potissimum est notatu dignum, quod hie 
singulari prorsus methodo sumus usi eius solutionem investigandi, quae in 
aliis oceasionibus insignem usum afferre posse videtur, ex quo etiam per- 
spicuum est ne opus quidem esse quicquam insuper ad hoc caput adiicere. 



CAPUT IV 

DE ULTERIOEI AMPLIFICATIOKE CAMPI 
HUIC MIOROSCOPIOEUM GENERI CONOlLLiNDI 

PROBLEMA 1 

206. Cuiuscungue indolis fuerit lens obiectiva, post imaginem realem duas ad- 
Jmc lentes ita disponere, ut margine color ato evanescente campus maximus evadat. 

SOLUTIO 

Quemadmodum in superior! capite vidimus naturam lentis obiectivae, 
sive sit simplex sive multiplicata, nibil in lentibus posterioribus mutare, ita 
vicissim nmltiplicatio lentium posteriorum neutiqnam lentem obiectivam ad- 
ficiet; quamobrem considerabimus Me lentem obiectivam ut simplicem, guando- 
quidem determinationes, quas inveniemus, aeque ad omn.es multiplicatas quoque 
erunt accommodatae. Cum igitur iam habeantur tria intervalla, litterarum 
P, Q, E secunda erit negativa hincque ponatur ^ = Jc, ut sit m 

distantiae igitur focales erunt 



-. , 

= --^. a, r^-^^-^a et 

unde concluditur fore (>1, Mnc (7<0. Turn vero intervalla erunt 



prmum = 
secundum == A Ba( + r > 



416 LIBEI TEETH SECTIO TEETIA CAPUT IV 206 [280-281 

unde sequitur R<I. Cum porro pro campo apparente sit 



ut campus fiat maxiinus, debet esse q = 1, r = 1 et = 1, ut fiat 

_ Bah i. 

M 
ex quo erit 

5 

hincque aequationes fundamentales 



2. e = 
Pro loco oculi vero distaritia 



Ma m Ma m 3 V ' ma, 
Margo autem coloratus destruetur ope huius aequationis L23]: 

* _* ^__ 

^^ p/c2? ' 

unde invenitur 

*-!+' 

Quia vero debet esse R<1, statuamus jR===Y fietque 



If, Q /^4 

/I/ * tj Cu 

ita ut sit 

n 2i Wl Cb i % 7 .o '/rv v* 

p B-S e t PA == f. ? 
ex quo concluditur 



seu 

^ 6w# + 3A 

^ app _ __.. 

ma + A 



281-282] BE ULTEEIORI AMPLIFICATIONS CAMPI 417 

pro magnis igitur multiplicationibus erit ( = 5 Mncqne C= ~ Ex priore 
vero aequatione prodit 

a %ma\ 3h 

3h J m 



et pro magnis multiplicationibus 


Statuamus igitur 



_2 et 5 = -. 

o 



et C--, 

4 



dum est, ut vidimus, 
fientque distantiae focales 



5 Ah 



I *J JLJ./V JL 

w ' 3m 6m 2 

et intervalla lentium 

primum = A a (I - ), secundum = , tertium = 

x \ 2m&/ 3m 7 

Ne igitur distantiae focales posteriorum lentium fiant nimis parvae, necesse 
est, ut A sit numerus praemagnus ideoque St = 1 proxime, unde patet has 
determinationes lentem obiectivam non adficere et perinde valere, utcunque 
lens obiectiva fuerit comparata; quamobrem iam conveniet loco litterae A 
distantiam focalem q in computum introducere, ut sit A = |~, sicque fient 
distantiae focales sequentium lentium 

et intervalla erunt 

mqaf^ 3h \ mag 1 , 4^ j. .. 5a 

primum = -V 1 1 ^ ^ ~^r TT ? ? secundum = - , tertium = -r~- 
r 3A \ 2wa/ 37i 2 ^ 9 36 

et distantia oculi proxime 

"^IT^^'si"* 

LEON HARD i EULERI Opera omnia Til 4 Dioptrica 68 



418 LIBBI TEBTH SEOTIO TEBTIA CAPUT IV 206209 [282-284 

In omnibus igitur casibus antea tractatis loco binarum lentium posteriorum 
adhibere licebit has ternas lentes, dummodo intervalla hie indicata observentur, 
hocque modo id lucri nascetur, quod campus apparens augeatur in ratione 

2 : 3, siquidem hie est 

_ Bah .. 



COKOLLAKEUM 1 

207. Cum littera E arbitrio nostro permittatur, dummodo sit unitate 
minor, ponamus M = ^- eritque k== et ob PkR =-~ erit 

, -T, Sma 

(4- jJ 

CU JL ~~~^ '. 



unde sequitur 

hincque 

<7=-{ et = -~ 

COEOLLAEIUM 2 



208. Hoc ergo casu M = y jfiet # = hincque vicissim A = , unde 
sequentes distantiae focales fient: 



1 , 3 

et 8 -- 



et intervalla lentium 
primum 



~ o - q, secundum - q et tertium == >\ '- $ =*= ; ^ a. 



10 



SOHOLION 



209. Hie scilicet litteris %$ et & ex aequationibus fundamentalibus eos 
valores tribuimus, quos obtinerent, si multiplicatio m reyera esset infinite 
magaa, neque vero hinc nostra solutio erroris redargui potest, nequidem pro 
minoribus multiplicationibus; dum enim hoc modo a veris harum litterarum 
valoribus recedimus, nihil aliud inde est metuendum, nisi quod campus ap- 
parens non tantus sit proditurus, quam hie supposuimus; quod vitium facile 



284-285] DE ULTERIORI AMPLIFICATIONS CAMPI 419 

est condonandum, praecipue quoniam pro maioribus multiplicationibus nequidem 
fiet sensibile, quemadmodmn iam supra observavinms; quando autem in his 
determinationibus litteram m quasi infinitam spectamus, quoniam P earn quoque 
involvit ob M = -^- in eadem scilicet hypothesi, habebimus in genere 

ma " * 

* 



ma ma 



ubi probe notandum est hanc hypothesin m = oo tantum in his yaloribus ad- 
hiberi; deinde litteram A, qua numerus praemagnus indicator, ex calculo ex- 
trusimus eiusque loco distantiam focalem q introduximus, ita ut sit J. = ^, 
unde in genere reliquae erunt 



_ --- - - - - 

Jc ma ma 

Turn vero etiam intervalla lentium 

maa maq 
prunurn -- 



secundum = (JB + l)l + 2 = 
tertium = (l - ^)s = (1 



Cum autem sit P=r^|-, valores hie assignati sequenti modo multo con- 

flfC jtl 

cinnius exprimentur: 



3 



^-.-, .__, ____, 

Deinde distantiae focales 



ac denique intervalla 

primum - ~ - ^ , secundum - -^^~ , tertium - (1 - JZ) s 

1 

existente distantia oculi proxime 0==*^s. 



420 LIBBI TEETH SEOTIO TERTIA CAPUT IV 209-212 [285286 

Hactenus autem nondum rationem habuimus marginis colorati, cuius de- 
structio postulat 



imde formulae inventae in sequentes abibunt: 

3 3 3 . 



E 



et intervalla 



, 
secundum - 



tertium = (1 K) s . 

Has igitur determinationes cum singulis microscopiorum speciebus, quas in 
praecedentibus capitibus descripsirnus, combinare licebit sicque obtinebitur 
sequens 

CONSTKTJCTIO GENERALIS MICEOSOOPIOEUM HUIUS GENERIS 
QUA EORUM CAMPUS IN RATIONS SESQUIALTERA AUGETUR 

210. Hie iterum distantia obiecti a pro lubitu assumi potest perinde ac 
multiplicatio m; turn vero etiam distantia focalis q arbitrio nostro permit- 
titur, quam tantam assumi conyenit, ut postrema lens ocularis non fiat nimis 
parva; praeterea vero quoque fractio R ab arbitrio nostro pendet, dummodo 
ea unitate sit minor; hie autem accipiamus It = -~ , qui valor ad praxin 
maxime accommodatus videtur. 

I. Sive lens obiectiva revera sit simplex sive ex duabus pluribusve len- 
tibus proxime sibi iunctis composita, ea He ut unica spectetur, ita ut eius 
loco omnes constructiones in superioribus capitibus datae substitui possint, 
atque inde dabitur eius aperturae semidiameter = ^; turn vero eius a secunda 
lente distantia erit = ~~ y^r; quod autem intervallum ob indolem lentis 
obiectivae aliquantum immutari potest, cuius tamen ratio in praxi non attend! 
meretur. 



286288] DE ULTERIOEI AMPLIFICATIONS CAMPI 421 

n. Pro secunda lente notandum est earn aeque ac sequentes ex quovis 
vitri genere parari posse, dummodo sint utrinque aequaliter convexae, ut 
ipsis maxima apertura tribui possit. Sit igitur secundae lentis distantia 
focalis = eritque distantia ad lentem tertiam =4"<Z* 

m Pro tertia lente eius distantia focalis capiatur r = ~q et distantia 
ad quartam lentem =35^- 

IV. Pro quarta lente eius distantia focalis capiatur s = ^q et distantia 
ad oculum = yS proxime. 

V. Nunc autem spatii in obiecto conspicui erit semidiameter 

3 all , 3 ah 



4 ma 

et mensura claritatis eadem manebit ut ante, scilicet =20- , dum nempe 
mensurae in digitis exprimuntur. 

COEOLLARIUM 

211. Si ergo nolimus, ut lens ocularis minor fiat quam y dig., posito 
I fi 

5 ===== Y dig. sumi debebit q = y dig. hincque intervallum primum 



at si in superioribus lens ocularis etiam statuatur =ydig. ? penultima fit 
1 dig. et idem intervallum prodit circiter; unde patet praesenti casu longi- 
tudinem instrumenti notabiliter fore minorem. 

PKOBLEMA 2 

212. Guiuscunque indolis fuerit lens obiectiva, post imaginem realem tres adhuc 
lentes ita disyonere, ut margine colorato evanescente campus evadat maximus. 

SOLUTIO 

Cum hie habeantur quatuor intervalla, litterarum P, Q,. R, 8 secunda 
iterum erit negativa sitque ergo Q*= k> ut fiat Pfc$$ = ^- Distantiae 



422 LIBEJ TEETH SECTIO TBRTIA CAPUT IV 212214 [288289 

ergo focales erunt 






unde, si loco A littera y in calculum introducatur, ob A = -^j- erit 

BCDg 

' mEs 

Simili modo intervalla lentium per q ita reperientur expressa: 
primum = i + i-^ seciindum ^i + 



^ ,. 

=l-, quartum 



lam ut campus apparens prodeat maximus, statuantur litterae 
ut fiat M = ^-rj- campi semidiametro existente 

ma -f- r 



ma+h ma + h 

sumto = -j-; qui ergo campus quasi fit quadruplicates, dum in problemate 
praecedente erat triplicates, antea yero tantum duplicates. Hinc ergo aequa- 
tiones fundamentales dabunt 

Cum autem sufficiat his formulis proxime satisfecisse, quia parum interest, 
etiamsi campus aliquantem fiat minor, spectemus multiplicationem m cum 
numero P quasi infinitam ac turn istae litterae concinnius ita exprimentur 

ob M = ~~ : 

ma 

4& jP , S _ _ Jth 

ma JP ma 



ma ? ma 



289290] DE ULTERIOEI AMPLIFICATION CAMPI 423 

et cum sit P = h % 8 , tae expressiones etiam conimodius ita exprimentur; 



At ob conditioner*!, qua margo coloratus destrui debet, habebimus istam 
aequationem : 

ill i 

= P ~~Fk~ PkR ~ PJcRS' 
ex qua nascitur 

&=l + +, 

ita ut litterae E et 8 arbitrio nostro permittantur. Cum autem bina ultima 
intervalla fiant certe satis exigua, litterae R et 8 parum ab unitate discrepare 
possunt; unde litterae ( et 2) manifesto fient unitate maiores hincque G 
et D negativae, dum e contrario littera 23 ipsa ac propterea etiam J5 sunt 
negativae; quare, ut nostra intervalla lentium fiant positiva, evidens est 
esse debere $<1 et JS<1; qua conditione observata nunc omnia momenta 
facile determinari poterunt. 

COEOLLAEIUM 1 

213. Cum igitur tarn R quam S sint fractiones unitate minores, litterae 
Jc valor certe ternarium superabit, quoniam 

JL>i et -L>JL. 



COEOLLAEIUM 2 
214. Cum sit 

^P _ _ ma 

-g. _., 

erit primum intervallum 

maq ItES 

^_ * v 



cuius pars prior ^- minor est quam casu praecedentis problematic, ita ut 
hie longitudo instrument! adhuc minor sit proditura. 



424 LIBEI TEETH SECTIO TEET1A CAPUT IV 215218 [290-292 

COEOLLAEIUM 3 

215. Has ergo quaternas lentes etiam cum omnibus lentibus obiectiyis 
sive simplicibus siye compositis, quas supra descripsimus, combinare licebit; 
unde hoc insigne commodum assequemur, ut campus apparens prodeat qua- 
druplicates, cum in praecedentibus tantum esset duplicatus. 



EXEMPLUM 1 

216. Cum litterae E et S debeant esse unitate minores, consideremus 
casum quasi simplicissimum et ponamus E = y et S = y , ut fiat ES = y 

hincque 

& = l + 2 + 3 = 6; 

ex his igitur valoribus, qui -ad praxin satis accommodati videntur, colliguntur 
litterae 



deinde ex distantia focali q sequentes ita definientur: 

_ii _22 /_!! _ L 

denique vero interyalla lentium 

maq 1 ., 7 , ,. 11 1 , 

primum = -~ -- j, secundum = T^ g, tertmm == ~ g == - - c, 

, 11 

quartum = YOT?* 



EXEMPLUM 2 

217. Statuamus nunc tarn $ = y quam S=y ac prodibit 

eritque 



292293] BE ULTERIOEI AMPLIFICATIONS CAMPI 425 

et distantiae focales ita per $ exprimentur: 

15 90 . 36 

r =23^' S 

et intervalla 



maa 7 , 8 , ,. 15 
pnmum = q, secundum == q, tertium = q, 

, 18 

quartum =q. 

Quod tandem ad locum oculi attinet, hie in genere erit 

~ 1 . /. . h \ 1 . 

= 1{ 1 H = t proxime. 

4 \ ma/ 4 r 

PEOBLEMA 3 

218. Cuiuscunque indolis fuerit lens obiectiva, post imaginem realem quot- 
cunque adhuc lentes y quarum numerus sit = i, ita disponere, ut evanescente margine 
colorato campus maximus evadat. 

SOLUTIO 

Si operatio instituatur ut in problematibus antecedentibus, erit semper 
Q = k litterarumque sequentium It, 8, T etc. numerus erit i 1 sitque 
ultima Z; turn vero pro campo hie habebitur 

M* 
ideoque 



ma + 



Quodsi deinde etiam ut ante pro determinatione litterarum 33, K, 3) mul- 
tiplicationem m cum numero P ut infinite magnam consideremus, reperiemus 



ma ' ma 



_ 2 g = _ 3 etc. 

ma ' 

LBONHAKDI EULBEI Opera omnia III4 Bioptrica 



426 LIBBI TERTH SECTIO TEETIA CAPUT IV 218219 [293294 

Destructio vero marginis colorati dabit 

,-,1,1,1 l 

If ___ I | , l_ . L . . 

*" *- I T-> 1" TT r/ ~"j~ TDCX/77 TDO'F >7 ' 

JtlbJL 2t/jjL . . 



quorum terminorum numerus est i. 

Nunc vero has litteras ita definiamus, ut fiat 

* 4 
~*> 



_ - 

E~ ' ES ' BST~> RSTU" 

atque ultimus 



ESTU.,2 
ideoqne 

E = --> S = v ? ^ 7 = ~T' U=~ ac tandem Z=-^ 

2 o 4 5 ^ 

Cum igitur hinc prodeat 

fc = 14-2 + 3.-v + i, 
hoc est 



_ 
et cum sit EST ____ Z=4, erit 



hincque 

et hinc porro 
l 



PA iwa 3 PlcE ima' PJcES ima' PJcRST ima 
donee perveniatur ad 



etc., 



_ 
PJcRST. .Z~ ma' 

lam ex his formulis litterae nostrae germanicae SB, (, etc. reperiuntur 



, , - 

donee ultimus 3 fiat == 1 [hincque] 



, 



294-295] DE ULTEEIORI AMPLIFICATIONS CAMPI 427 

Ex Ms igitur valoribus poterimus distantias focales omnium lentium post 
secundam per huius ipsius distantiam focalem q definire, quod facile praesta- 
bitur sequenti modo: 

.0 * 

. === - AT*D*O V - - ft 

/y RZ- ^ j 2 -L a ' OJ -5 V o fi \ j ;t' 



i 9 i 2 + i 9 



i 2 + i~16 i 2 + i 16 

5M^=l8> erg tt -?+i=i2 

sicque ulterius 

i s + i 25 i 2 + i 36 

^ = ^ + ^-20-^ '-?+ f =80' t; 

Lentium intervalla denique ita determinabuntur: 

l r-n 
primum = - ^(P 



secundum = - . 2 . -r, 



tertium = (-B 
quartum -^-.(^- 



quintum - - | (T- 1) =-^ + ._ 16 -^, 
sextum -Z7-l-. 1 ^ etc. 



COEOLLARIUM 1 

219. Si igitur sit i==l, ut lens uuica post imaginem realem reperiatur, 
erit r = -z-q et intervalla 

-* 



primum = ^ 3, secundum = 2r 

2 rt 2 

et 



64* 



428 LIBRI TERTIT SECTIO TERTIA CAPUT IV 220223 [296-297 

COEOLLAEIUM 2 

220. Si i = 2, ut sint duae lentes post imaginem realem, earum distantiae 
focales erunt 

5 15 



5 , 

- q et 



turn vero intervalla 

maq 1 ,44, ^ 1 5 

pnmum -~ q, secundum = ~-r = q, tertmm = s = c 

D fi 2 o y .4 oo " 



et 

~~B 



COEOLLAEIUM 3 
221. Si sit i = 3, ut tres lentes post imaginem realem reperiantur, erit 

r = = =~ t = = 

turn vero intervalla 

maq 1 ,77 

pnmum = -~ ~~q, secundum = r = q, 

4A 2 * 11 18^ 
tertium = ~- s = - q, quartum == - t = q. 

Pro loco denique oculi 



COEOLLAEIUM 4 

222. Si sit i = 4, ut quatuor lentes post imaginem realem reperiantur, 
earum distantiae focales erunt 



418 



turn vero intervalla erunt 



297298] DE ULTEEIORI AMPLIFICATIONS CAMPI 429 

maq 1 , 11 11 ... 1 19 

prmmm = ^ y2, secundum = ^r = 2 , tertium = s == ^2, 



, 1 , 38 . , 1 

quartum = - 1 = , quintum = ~- u = 



209 



945 

et pro loco oculi 



COROLLAEIUM 5 

223. Si sit i = 5, ut quinqne lentes post imaginem realem disponan- 
tur, erit 

29 13 13-29 7 7-13-29^ 

^45^' 5= 14 r = l4T45^ * = ^ S ~ 8nT' 

7 , 7-13-29 1 7-13-29 . 



turn vero interyalla erunt 

primum =^ 1 2 secundum = || r = g 2 , tertium = A , 

1 13-19 . 1 13-29 






1 7-13-29 

sextum -^= 



ac denique 



= 

6 



SECTIO QVARTA. 

DE 

MICROSCOPIIS 

COMPOSITIS, 

IN QyiBVS DVAE IMAGINES 

REALES OCCVRRVNT. 



OAPUT I 

DE mcKOSCOPiis SIMPLIOIOEDBUS HTJIUS GENESIS 

PRAEMONITUM 

Cum microscopia ad hanc sectionem relata iterum situ erecto obiecta 
repraesentent, litterae q, t, , t etc. una cum multiplicatione m eadem retinent 
signa, quae in praeceptis generalibus sunt usurpata. 

PROBLEMA 1 

224. Microscopium hums generis ex trilus lentilus comjbonere eiusque quali- 
tates et defectus investigare. 

SOLUTIO 

Cum hie tantum tres lentes occurrant ideoque duo intervalla, in quorum 
utroque imago realis existit, ambae litterae P et Q statuendae sunt negativae; 
quamobrem ponamus P= Jc et $ = Jc, ut sit fc^'=~; distantiae vero 
focales lentium erunt 

-499 a ABa A ^ Ji 



intervalla vero lentium 

primum = Aa (1 + -=rj , secundum = r (1 + j^\ 

ita ut prima imago realis distet a prima lente intervallo == Aa et a secunda 
intervallo aaa "3p; posterior vero imago realis post lentem secundam cadit 

LBONHAEDI EULBKI Opera omnia ni4 Bioptrica 56 



434 LEBEI TEETH SECTIO QUARTA CAPUT I 224227 [302303 



intervallo = ~|~ efc ante tertiam intervallo = j~ ? a c si spatii in obiecto 
conspicui semidiameter sit = t, semidiameter prioris imaginis erit = As, quae 
est inversa, posterioris vero = ABz, quae iterum est erecta. Hinc igitur 
patet esse debere A>0 et B>0, nude quoque fient t>0 et 35 >0; ita 
tamen, ut sit SI < 1 et S3 < 1. Turn vero erit 



-. 7 

li ma h 

ut sit $ = Ma, unde nanciscimur 



ex quo perspicuum est, cum 93 sit positivum, fieri q negatiyum eoque ergo 
campum apparentem diminui; quare, ne is penitus ad nitdlum redigatur, 
tribui debebit litterae r maximus valor, qui est unitas, et posito q = co 
debet esse w < 1, cum sit 

1 CO , 



ma i 
deinde ob 



co co ma h 

quia $j < 1, debebit esse 



quae quidem conditio facile impletur, si fuerit 



et quia insuper est w < 1, ad hoc requiritur, ut sit ma > fe^ quae quidem con- 
ditio pro maioribus nxultiplicationibus sponte habet locum. Quodsi vellemus 
assumere w= ^"^ v 7 -, prodiret ^==1 hincque B ===== c\s et instrumentum fieret 

ma + hk 7 r * ^ . ^ 

infinite longum; ex quo perspicuum est necessario capi oportere ^>^j!L^* 

Nunc etiam videamus ? num margo coloratus destrui possit; quern in 
finem ante locus oculi examinari debet hac aequatione detenninatus [ 18]; 

s\ V M> i - 

Q m . _, O b r ^ 1 , 
m 



304305] DE MICROSCOPES SIMPLICIORIBUS HTJ3US GENEEIS 435 

Quoniam igitur r est positivum, utique erit 0>0, iinde pro destructione 
marginis colorati habebitur ista aequatio: 

rC KK 

quod cum fieri nequeat, manifestum est huiusmodi microscopia insigni vitio 
marginis colorati laborare, ita ut superfluum foret in reliqua constructionis 
praecepta inquirere. 

COEOLLAEIUM 1 

225. Cum ob duas imagines reales pauciores quam tres lentes adhiberi 
nequeant, constructio in problemate contenta utique est simplicissima, quae 
locum habere queat; quare, cum earn repudiare cogamur, ad minimum qua- 
tuor lentibus uti oportebit. 

COEOLLAEIUM 2 

226. Quoniam formula pro destructione marginis colorati duabus constat 
partibus positivis, ista confusio multo erit maior quam in telescopiis et 
microscopiis ex duabus tantum lentibus formatis ideoque multo minus tolerari 
poterit, 

SCHOLION 

227. Cum igitur tribus lentibus Me propositis unam ad minimum in- 
super adiici oporteat, id triplici modo fieri poterit; primo enim haec nova 
lens inter lentem obiectivam et primam imaginem realem, secundo insuper 
inter imaginem realem primam et secundam, ita ut in hoc intervallo duae 
lentes constituantur, tertio vero inter imaginem realem secundam et lentem 
ocularem cadere poterit. Verum hie tertius casus eodem vitio laborabit, quod 
hie est reprehensum; litterae enim P et Q eosdem retinebunt valores k 
et ft, quippe quibus tantum tertia litter a jR adiungitur, sicque littera q 
retinebit quoque valorem negativum, qui sit q = a?, unde pro margine 
colorato destruendo habebitur ista aequatio: 



K K> - 



quae neutiquam subsistere potest, nisi vel t vel capiatur negativum ? quod 
autem, cum iam q habeat valorem negativum, neutiquam expedit, quoniam 
alioquin campus nimis redderetur angustus, quocirca tantum bird casus priores 
nobis evolvendi relinquuntur. 



66* 



436 LIBEI TERTII SECTIO QTTARTA CAPUT I 228 [305-306 



PROBLEM! 2 

228. Microscopia hums generis ita ex quatuor lentibus componere, ut secunda 
adhuc ante prior em imaginem realem cadat, tertia vero inter ambas imagines 
ideogue sola ocularis post secundam imaginem, in quo id potissimum efficiatur, ut 
margo coloratus evanescat. 

SOLTJTIO 

Hie ergo habentur tria intervalla totidemque litterae P, Q et R, quarum 
duae posteriores debent esse negativae. Ponamns itaque Q == Jc et R = k f , 
nt sit P&&'=; distantiae porro focales harum lentium erunt 



. , ABC 

-----a et 8 __ 



__ r .-.- 

turn vero intervalla lentium 

primum = Aa ( 1 -p ), secundum = -- p- ( 1 + ~r J ? 

, ,. 
tertmm __ 



unde patet esse debere AB>0 et (7>0. Deinde notetur primam imaginem 
cadere post lentem secundam ad intervallum = ~p et ante tertiam inter- 
vallo = pj~ , posteriorem vero imaginem cadere post lentem tertiam 

intervallo == j^- et ante ocularem intervallo = pj#^ 9 p^&eterea vero 

imaginis prioris inversae radium esse = AB0, posterioris vero erectae 



existente 
hincque 



ita ut sit j&=,3fa, quae quantitas per hypothesin debet esse positiva; ex 
hoc autem valore deductae sunt sequentes formulae: 

Cr - - 



306-807] _ PE MEGEOSQOPnS S3MPLICIOBIBUS EUIUS GENERIS 437 

Ob conditionem <7>0 autem modo allatam debet esse ( > et <1 ? ex 
quo perspicumn est vel q vel r esse debere negativum. Utrnm igitur locum 
habeat, conveniet sumi positive atque adeo poni g = 1, ut sit 



ma li 
Hinc autem oculi distantia post lentem ocularem prodibit 



quia igitur s>0, haec distantia fiet positiva ideoque margo coloratus de- 
struetur ope huius aequationis: 



0-1-J 

U ~~ 



P P7c^Pfc" 

quae neutiquam subsistere posset, si esset r<0, unde necesse est, ut sit 
q < 0. Statuatur q = co eritque 

__*o> + r 
atque nunc novimus esse debere 

93 = ^ M et = 
qui valor cum esse debeat positivus, erit 

hincque 

0)> 

Cum autem sit 



= = P7c 

orietur haec aequatio: 



?(l + r)(P PA 1)& (Pft + 1) (1 + r)r > 0, 

quae aequatio conditionem continet ; secundum quam littera co debet definiri. 
Definitis autem convenienter litteris a? et r indeque deductis valoribus & et , 
saltim quam proxime ; reliqua elementa innotescunt; turn vero nihil aliud 
superest, nisi ut apertura lentis obiectivae ex aequatione pro semidiametro 
confusionis determinetur. 



438 LIBEI TERTII SECTIO QUARTA CAPUT I 229-232 [308309 

COROLLAEIUM 1 
229. Ponamus brevitatis gratia 

ma 

~F = JJ ' 

ut sit 



et habebimus 

"- 

et 



ex quo patet fore CD > r, ubi constat esse K > et K < 1. 



COROLLAEIUM 2 

230. Cum igitur co notabiliter maius esse debeat quam Kr, videamus, 
an fieri possit co = t; quern in finem ponamus o> = r et ultima aequatio fiet 



unde concluditur 



quod, cum esse debeat r > 0, fieri nequit sicque etiam certum est esse debere 

CD > r, ita ut campus ne ad valorem eius simplicem quidem $ = ~ , 

x * ma h 

augeri possit ob 1 w -f- r < 1. 

COEOLLABIUM 3 

231. Cum igitur sit co r>0, plurimum interest nosse, quomodo isti 
formulae minimus valor concilietur; quern in finem litteris co et r ut varia- 
bilibus spectatis hoc eveniet, si sit dco = die, cui regulae convenienter diffe- 
rentietur nostra aequatio 



309-310] DE MIOBOSCOPIIS SIMPLICIORIETJg HUIUS GENEBIS 439 

(co - r) (m - 1) = (3R (fcco + r) + 1) (1 - co + r) 
ac prodibit 

(l-e)(3R-l)- 
unde colligimus 

1 co + r 
ita ut sit 

Jf- 



quae formula praebet maximum campum, quern quid em obtinere licet. Hie 
autem campus maximus obtinebitur capiendo 



qui valor in nostra aequatione substitutes dabit 



ubi membra litteram r continentia se mntuo tollunt; relinquitur haec aequatio : 

(1 - C)(l + (Efc) + 3K(C + *)((* + 1) -0, 
quae reducitur ad hanc: 



quae cum sit impossibilis , sequitur hunc campum maximum ne quidem ob- 
tmeri posse. 

SCHOLION I 2 ) 

232. Parum vero refert, utrum campum ilium maximum obtinere que- 
amus necne^ cum etiam Me non desint remedia campum pro lubitu ampli- 
ficandi; quare relicta hac investigatione aliquot casus evolvamus, qui ad 



1) Hie in principale uncinulo deest tertius terminus ^, quamo"brem loco aequationis se- 
qnentis prodiret aequateo 



nikllommus EULEEI conclusio evidenter reman et. E. Ch. 

2) Scholion 2 invenitur p. 447. E. Ch, 



440 LIBR1 TERTII SECTIO QUANTA CAPUT I 232-232a [310-311 



praxin inprimis accomrnodati videntur, ac primo quidem apparet litteram P 
unitati non nimis yicinam assumi posse, quia turn secunda lens primae tarn 
esset propinqua, ut ambae tanquam una spectari possent; ex quo casus 
praecedente problemate tractatus resultaret, quern locum habere non posse 
vidimus. Quamobrem pro P numerum satis magnum accipi conveniet; deinde 
etiam, cum semper sit or ? e re erit r quam minimum accipere; denique 
etiam, ut ad campum maximum, quantum fieri licet, appropinquemus , con- 
veniet litteras Jc et ( quam minimas assumi. 

CASUS 1 

QUO P=CSD 

[232 a] 1 ). Hoc ergo casu fit intervallum primum = A a ideoque A>0 et 
21 <1 ac secunda lens cadet in ipsam imaginem primam; cuius distantia 
focalis ne fiat =0, debet esse 35 = co, ita ut sit 



hincque 

Aa 



Deinde cum sit r = -fi ; ob ^ = 00 fit J3 = 1 et ob (S<1 mani- 

JT K 

festum est esse debere & = 0, ut fieri possit Pk quantitas finita; at quia 
Jc = 0, erit y = r hincque Pk = 9ft r existente $ft ~~ ; ex quo erit 



r = -em 



unde pro magnis multiplicationibus esse debet (7 numerus praemagnus 
hincque ab unitate parum deficere. Reliqua vero intervalla erunt 

, Aa r 

secundum = -^- = -% 

et 

tertium =--(1 + r) = (1 + 0)r + s. 



Praeterea rero distantia oculi erit 



1) Tide notam p. 284. E. Oh. 



311312] DE MICROSCOPIES SIMPLICIOEIBUS HTJIUS GENERIS 441 

Nunc autem cum sit 

, r l CD + r 



' 



hunc valorem in birds formulis 33 <w et r non substituamus, sed in iis litte- 

ram M retineamus, quo earn facilius deinceps definire queamus; turn autem 
, p v ... 

ob sr = L, ex pnore mvenimus 

o 

es posteriore vero 

St = Jf 
sive 



hincqne 

_ (g i)Jf. 

r ~ 

hinc ergo colligimus 

co 

vel 

^ 

et ' 

, . 

l_aj + r 

quae expressio aequalis esse debet huic (9Ji l)Jf; unde nascitur haec aequatio: 



ex qua, cum sit proxime ( = 1, colligimus etiam proximo 



adcuratius vero erit 

- M = "2W + Vgjt(^^i + g) ? 
revera autem 



quo valore invento simul innotescunt litterae (a et r, unde reliqua omnia 
determinabuntur. Denique pro apertura lentis obiectivae determinanda, quia 

LBONHABDI EDLEBI Opera omnia III* Dioptrica *>b 



442 LIBRE TERTH SECTIO QUABTA OAPUT I 232a-235 [312313 

nulla ratio vitri diyersitatem suadet, satisfieri debet huic aeguationi ( 31): 



ubi terminus tertius sponte evanuit, quintus vero ob G numerum prae- 
magnum tuto reiici potest; unde, si Me factor posterior ponatur =-^ ? reperitur 



x 



COEOLLAEIUM 1 

233. Quia 3Ji est numerus praemagnus, loco factoris 9JI 1 + scribere 
licebit 3Jt, siquidem non fuerit numerus yalde magnus; nulla autem ratio 
suadet pro tantum numerum adhibere; sufficit enim, ut capiatur > 1 7 ne 
r vel evanescat vel adeo negativum evadat Turn igitur erit 



~ 2SR 
unde vicissim colligitur 



3 ttf 

m et 



COEOLLAKIUM 2 

234. Hinc ergo sequentes adipiscimur determinationes pro ipsa micro- 
scopii constructione: 

1. Distantiae focales lentium. erunt 



2. Lentium intervalla 



primum J.a, secundum 
et 

tertium =(! + C)r + , 
turn vero distantia oculi erit 0*=* s, 



313-315] DE MICROSCOPES SBtPLICIORIBUS HUIUS GENERIS 443 

3. Pro apertttra invenienda erit 

^_A + ^ :i; (i+() fi" v\ >'" 

21 s ^A SI ^ J. 3 (g 1) \ s ^ C@/ ^^ 



ubi membrum ultimum manifesto omitti potest. 

SCHOLION 

235. lam innuimus nullam rationem suadere, cur pro numerum satis 
notabilem accipere velimus; interim tamen terbium intervallum, quod est 

J.G(l + (S)g , AOa 
g=l h 2R ' 

fieri videtur nimis magnum, nisi unitatem multum superet, quoniam pro C 
numerum satis magnum assumi convenit atque etiam A numero satis notabiK 
aequari debet. Interim tamen semper praestabit maiorem instrument! longi- 
tudinem tolerare quam campum restringere. Verum etiamsi maius acci- 
peremus, izt mensurae prodeant ad praxin magis accommodatae, nullum aliud 
incommodum inde esset metuendum, nisi quod campus minor esset revera 
futurus, quam intendimus; quern vero defectum aliquot insuper lentibus 
adiungendis facile supplere licebit. At vero plurimum refert, ut numerus A 
satis notabilis accipiatur, ut 31 satis prope ad unitatem reducatur, id quod 
necessarium est ? ut A satis exiguum reddatur liincque maior claritatis gradus 
obtineatur; quern in finem sufficere videtur, dummodo statuatur JL==6; Mnc 

enim fit 2t = Y id 60 ^ 116 w = ^ti*> ^ valor sum ^ ^ = 1 norL inulti:lm 
superat y, qui per ^<1 multiplicatus certe infra y reducitur; unde iam 
satis notabilis valor pro x resultat. Si igitur statuatur A = 6, videamus, 
quantum sumi oporteat G 9 ne s fiat nimis parvum etiam pro insigni multi- 



plicatione m = 960. Quia itaque turn fit s = dig. = ~ dig., haec distantia 
non infra ~ dig. deprimetur, dummodo 0=5; quare, si statuamus (7=6, ut 
sit ( = -^- ? ex hac parte nihil erit metuendum; turn vero tertium intervallum 



evadit 1^-? omisso altero membro sive ~ r^F"^?; unde, si distantia 

7(f-l) ?-l 36 

obiecti sit dimidii digiti, hoc intervallum erit ^^ dig.; quod ergo sumto 
= 3 vel = 4= iam fit tain modicum, ut nulla possit esse ratio de eo con- 

querendi 

u * 



444 _ LIES! TEETH SEQTIO QTJABTA CAPUT I 235a-237 [315-316 

CASTJS 2 
QUO r=0 

^SSa]. 1 ) Hoc ergo casu erit -^ = ka> ideoque P = 9ft o>, turn vero 
M = i^^L" Hinc aequation.es ex campo deductae erunt 



n. 



Cum igitur P=3fto>, erit co = -J et l_a) = ^^; unde patet P minus 

esse debere quam 9ft. Hie autem valor in aequatione posteriore substitutes 
dabit 



unde, cum k>0, patet esse debere P>1; hinc autem porro sequitur fore 
A>0 hincque 21 <1; deinde vero reperitur 



unde J5 etiam negativum valorem obtinet, uti rei natura postulat Denique erit 



unde campus cognoscitur; hinc igitur patet, quo minus capiatur P, eo maio- 
rem proditurum esse campum ? et cum P unitatem superare debeat, semper 
erit M<^ His igitur valoribus inventis habebimus: 

Distantias focales 



et intervalla lentium 

primum = -4a l - ~ , secimdum 



1) Vide notam p. 284. E. CL 



316317] DE MICROSCOPES SIMPLICIORIBUS HUIUS GENERIS 445 

Turn vero oculi distantia erit 

s m ~ l 



ac denique spatii in obiecto conspicui erit semidiameter 



Aperturam vero lentis obiectivae ex aequatione nota definire oportet, pro 
aperturis vero sequentium lentium notetur esse a> = ^ et r = 0. Unde 
colligitur semidiameter aperturae 

lentis secundae *=-=-.# + 



lentis tertiae=^ + = 

lentis quartae = ^ + s. 



COROLLARIUM 1 

236. Quoniam campus postulat, ut P satis parvum accipiatur, pro maio- 
ribus multiplicationibus licebit P prae 5UJ negligere, unde, si P unitatem non 
multum superet, distantiae focales ita exprimentur: 

l) A& , 

.a, r---a et * 



deinde intervalla lentium 

A (* 1\ i Aa , i* ACa 

primum = A a ( 1 -=,- ) , secundum = -p- , tertium === - 



2P-1 

et distantia oculi = s. 

COKOLLARIUM 2 
237. Si ergo statuamus P==2, Sent distantiae focales 

~A&a et 5 .-^--a 



446 LIBBI TEETH SEGTIO QUARTA CAPUT I 237-240 [317-319 

et intervalla 



primum *=--Aa, secundum => tertium ==~ 



et pro campo 



COEOLLAEIUM 3 

238. Si, ut supra [Lib. II !>14] pro telescopiis focimus, statuamus 
p = y<$l (quoniam, quod ibi erat m, hie nobis est 3Ji), distantia'e focales ita 

exprimentur: 

w 

*-** ^ 



_ _ . 

r --- a ' s '~ 

et intervalla lentium 



.- A 

primum =- -- -- '-, socundum 



Pro campo autem apparente erit 

# = 
et pro oculi loco 



ym v ' yw 

SCIIOLION 

239. Casus in corollario ultimo evolutus apprioie convenit cum eo, 
quern supra in telescopiis tractavimus, ubi praecedentes casus, in quibus 
litterae P minores valores sunt tributi, penitus exclusimus idque ob earn, 
rationem, quia intervallam tertiura. onormiter magnum prodiisset. Cum enim 
pro telescopiis sit h = (i^c^ ? necesse est, ut sit ^l^O^yl, ita ,tamen, ut 
fiat $ia==Aap et 3jj = m. Turn autem in genere erit tertium intervallum 



319320] DE MICROSCOPES SIMPLICIORIBUS HUIUS GENEEIS 447 

quod, si P prae 2K quasi evanescat, fiet 

C 
2P-l'-P ; 

quare, cum C debeat esse numerus praemagnus, hoc solum intervallum multis 
partibus excessurum esset distantiam focalem p ideoque longitudo telescopii pro- 
diret enormiter magna; quos igitur casus merito supra exclusimus. Nunc autem, 
ubi de microscopiis agitur, haec ratio penitus cessat: neque enim. longitudo 
instrument ob tertium intervallum adeo enormiter magna evadit. Si enim, 
ut ante notavimus, pro magnis etiam raultiplicationibus sumatur J. = 6 et 

O f* ft 

(7=6, turn tertium intervallum erit = , ac si a, ut fieri solet, capiatur 

1 18 

Y dig., hoc intervallum fiet 2 p_ 1 dig.; unde, si modo sit P=2, id reducitur 
ad 6 dig., quod in praxi utique admitti potest. Quocirca in hac de micro- 
scopiis tractatione casum in tertio corollario evolutuin excludi conveniet 
servato eo, ubi erat P=2, siquidfem hoc modo campus multo maior obti- 
netur; quin etiam, si lubueiit, sunii poterit P=3, ut prodeant distantiae 
focales ^ 



et intervalla lentium 

primum 



secunduni = 
tertium = 



manente ===== s proxime et 



Nunc autem ne s pro magnis multiplicationibus nimis fiat exiguum, litterae 
C utique maior valor t-ibui debebit, ita ut iara nulla ratio suadeat, cur 
litterae P potius valorem 3 quam 2 tribuere ve^limus, quandoquidem ponendo 
p == 3 tertium intervallum vix diininuitur. 

SCHOLION 2 1 ) 

240. Evolutione horum duorum casuum attentius considerata poterimus 
simili modo solutionem geiieralem instituere; posito enim brevitatis gratia 



1) Scholicm 1 invenitur p. 4=39. E. Oh. 



448 LIBEI TEETH SECTIO QUAETA CAPUT I 240 [320321 



habeMmus statim co = 'QM; delude cum sit Pk = 3JJ (fo + r) , erit PA; = 9ft Jf A; + 9ft r, 
qui valor in altera aequatione, quae est 

(r = pf M PkM, 
substitutus dat 

6t = pf M 
ex quo reperitur 



_ 

~ 3)Uf+< 
hincque 



Cum igitur sit 

^ = 5j#_l > 

erit 

unde sequens suppeditatur aequatio: 



ex qua, nisi numeri et fc fuerint satis magni, ita ut eos prae 9)J tuto 
negligere liceat, sequitur fore saltim proxime 



quae in hos factores resolvitur: 

(SRJf 
unde manifesto colligitur 



quo valore, etsi tantnm prope vero, uti poterimus, quoniatn parum refert, 
utrum campus aliquanto sit maior minorve, quam calculus indicat. Probe 
autem haec conditio observetur, quod tarn quam k sint numeri satis 
exigui, saltim multo minores quam 9Ji, Si enim & tantus sit numerus, ut 
eum prae $0 reiicere non liceat, turn littera M multo minorem nanciscetur 
valorem quam -^ sicque campus insignem pateretur diminutionem, quae 
sola causa sufficit, ut maiores valores pro litteris et Jc penitus exclu- 



321-323] DE MICROSCOPES SIMPLICIORIBUS HUIUS GENEEIS 449 

dantur haecque regula stabiliatur, ut nunquam litteris et k valores tribu- 
antur, qui binarium superent, yel ut saltim & quaternarium non superet. 
Cum igitur sit PJcJc' = 3ft et k numerus ab imitate non multum discrepans, 
evidens est vel P vel Jc' esse debere numerum satis magnum vel adeo utrum- 
que. His ergo observatis, ita ut sit Jkf=- y habebimus 



g_ __ 

r ~" 



quibus valoribus substitutis fit 
hincque 



hoc igitur valore ipsius P notato erunt distantiae focales 
et lentium intervalla 



primum = Aa ( 1 -p-J , secundum = ^j^p-.iTPk (& + 
et 



tertium = ^^^ (^ + ^ 
et distantia oculi s ac denique 



JL JL 
4 ' 3K 



Datis ergo distantia obiecti = a et multiplicatione = m sive 3ft = ^~ 
arbitrio nostro relinquuntur sequentes quantitates: 

1. 31 , quam unitate non multo minorem assumi convenit; hanc enim 
conditionem claritas postulat. 



_ _ 

1) Bditio princeps: JPfc Jc + i j_ g; hi 



LBONHABDI EULEKI Opera omnia III 4 Dioptrioa 67 



450 LIBRI TEETH SECTIO QUABTA CAPUT I 240-241 [323-324 



2. Numerus , qui esse debet positivus ac tantus, ut -i~P 1 flat 
numerus positivus. 

3. Littera C, quam autem ita definiri convenit, ut distantia focalis ne 
fiat nimis exigua; sin autem haec litter a sit valde magna, evidens est 
litteram ( ad unitatem proxime esse accessuram. 

4. Littera denique Jc, quam, ut vidimus, admodum parvam accipi convenit. 
Eatione autem valoris P observari oportet semper esse debere 



deinde 1 ) haec conditio adhuc implenda erit 

1>0, 



quae est fere eadem quantitas, quam supra prae 9Ji negleximus; ex quo 
cavendum est^ ne ea aliquot unitates superet. 



PROBLEMA 3 

241. Si nova lens inter imaginem primam et secundam disponatur, omnia mo- 
menta ita definire, ut margo coloratus evanescat simulque maximus campus obtineatur. 

SOLUTIO 

Quoniam hie iterum quatuor habentur lentes earumque duae intra ima- 

ginem primam et secundam cadant, litterarum P, Q, JK prima et tertia hie 

erunt negativae; statuatur igitur P== Ik et E = K] unde distantiae 
focales erunt 



, ABC ABC 

- a et s - - a - ~ -- a 



ob 

cw\ *a 



Intervalla vero lentium erunt 



1) Editio prinoepjs: unde. Oorrexit B, Oh, 



324325] DE MICKOSCOPHS SIMPLICIOKIBUS HUIUS GENEEIS 451 



A (* , 1\ J -4J?0 A I' 

pnmum = A a 1 1 + -y ) ? secimdum = = II -^ 
hincque sequitur 



, ,- ABCa 
tertium = , ~ 



O et BG<0. 
Porro erit 



ut fiat 

Hincque distantia oculi 



ubi, ut campus reddatur maximus, sumi conveniet = 1, si scilicet lens ocu- 
laris utrinque aequalis paretur. Turn autem erit 

93q = _(l + ^)Jlf et (t = (1 + QJc)M q. 
Si hie ut ante brevitatis gratia scribatur 

1+1 r 
S3 ~ t " 

ut sit 

q 
tum igitur erit 



et 
hincque 



et 

nJ-rO-1 

q + r + 1 

Inde vero est 

q 4. r + l = jf (0J _ 1), 

unde sequitur 



ubi ergo haec quantitas 



| 






debet esse positiva et tarn parva, quam circumstantlae permittunt. 

57* 



452 LIBRI TEETH SECTIO QTJARTA OAPUT I 241 [325-326 

Deinde vero ut margo coloratus evanescat, habetur haec aequatio: 

| 

-T 



ex qua reperitur 

Y <?q + r, 

quae quantitas debet esse positiva. Cum igitur sit kQk'^lffl, erit 

hincque 



Antequam autem hanc formulam prosequamur, plurimum intererit investi- 
gare, num forte r possit poni =1. Statuamus igitur t = l, ut sit 



unde ob q = Jf fiet 

^-e-e 
q sw-i 

adeoque 

q = ~ SW 
hincque 



altera vero aequatio iam dabit 

2 5 2 -*- 



Deinde cum sit A^ == 50l^q + 9JI, fiet nunc 



unde invenitur Jc, dummodo sit 



Porro autem fiet 



326-327] DE MICBOSCOPHS SDIPLICIOEIBUS HUIUS GENERIS 453 

si igitur faerit S3 > 1, ut sit B < 0, sumi debet <?<!; turn vero C debet 
esse positivum ideoque etiam >0 et ( < 1; quocirca debet esse 



2. 



quae conditio illi, qua debet esse Q<1, manifesto repugnat. Debet ergo 
esse J5 >0 hincque Q>1, turn autem esse debet (7<0; quod eveniet, si 
faerit ( etiam negativum, id est, si fuerit 



quae conditio cum praecedente Q>1 facile consistere potest. Turn autem 
esse debet S3 < 1 ideoque ^ > 1 -f k. Tantum igitur campum obtinebimus, 
si capiamus ^ > 1 -f- k, litteram Q vero intra limites 



dummodo fuerit 
adeoque 



quia est &@ positivum; quod sponte fit per conditionem praecedentem, qua est 
Q < ^sn>~ Praeterea autem debet esse 



m 

quia autem esse debet > 1 + &> habebimus nunc 



unde sequitur haec conditio: 



quae conditio cum ilia @<yi|*L egregie consistit. 



454 LIBRI TERTII SECTIO QUARTA CAPUT I 241-243 [328-329 

Cum autem praeterea esse debeat > 1 + Jc, loco Jc substituendo eius 
valorem fiet 



unde concluditur esse debere 



quia autem modo vidimus esse Q< ( ~^^~> mc ^mes i110 debet esse maior ; 
unde colligitur 

^ + ^(4^ _ 3) + (3K 2 - 6^ + 3) > (m - I) 2 , 
unde patet, si SOt sit numerus praemagnus, esse debere > 1. Statuamus ergo 



unde fit 

r + 5m( - 2) 

hincque porro 

quod cum semper eyeniat, patet, dummodo ^>1, solutionem semper locum 
habere; ac si in illis formulis 9)i ut numerus praemagnus spectetur, limites 
pro Q erunt 



sumtaque Q his limitibus convenienter erit porro 



hincque reliqua elementa omriia facillime definientur. Ceterum in eyolutione 
sequentinm casuum haec clariora reddentur. Quod denique ad lentium aper- 
turas attinet, eas pro quovis casu ex cognitis formulis facile definire licet. 

OOEOLLABIUM 1 

242. Videamus vero, quomodo omnes hae conditiones clarius evolvi 
queant. Ac primo quidem, statiin ac statuimus t 1, fit 



329-330] DE MICROSCOPIIS SIMPLIGIORIBUS HUIUS GEISTERIS 455 

Posito autem 

l+ifc _ r 
~~a~~ e ' 
ut sit 

jY* 1 -p K 

25= g ? 
fiet q = ^Jf; qui valor ibi substitutus dat 

hincque 



deinde vero invenimus 



ubi valor ipsius q substitutus dat 



sive 

unde commode deducitur 

unde fit 

Cum igitur sit 

= Jf(t--^ 1), 
erit 

fy _2atte(e-i)-Ka+-i)(2-s+i) M 

^~ )k(50t + g-l) + 23 

seu 



COROLLA.RIUM 2 

243. lam ratione litterae S3 duo casus sunt considerandi, alter, quo 
^>1 ideoque B<Q, alter vero, quo S8<1 ideoque B > 0. Priori casu 
erit <! + &, et quia B est minus nihilo, ob secundum intervallum debet 



456 LIBEI TERTII SEOT10 QUABTA OAPUT I 243-245 [330-331 

esse Q< 1; unde fit 



id quod fieri nequit, cum sit 9Ji numerus valde magnus. 

COROLLAEIUM 3 

243 [a] 1 ). Gum igitur esse nequeat 23 > 1, statuamus 33 < 1 sive > 1 + fc, 
et quia iam B>0, debebit esse $>1; id quod sponte evenit pro maioribus 
scilicet multiplicationibus, ad quas hie solas attendimus. Turn autem esse 
debet C<Q, id quod evenit, vel si fuerit (<0 vel >1. Priori casu ? 
si (<0 ? debebit esse 



sive 



Ex ilia vero conditione ^>l + fe debet esse &<!; unde porro colligitur 
esse debere 



seu 



quod etiam semper evenit, ita ut littera arbitrio nostro relinquatur, dum- 
modo unitate maior accipiatur. Cum autem sit ^ ggqA^rj cam.pi magni- 
tudo postulat^ ut ^ quam minime unitatem superet. 

COROLLARIUM 4 

244. Examinandus restat alter casus, quo debet esse ( > 1; turn ergo 
esse deberet ante omnia numerator positivus seu 



ideoque 



1) Editio princeps false iterat numerum 243, E. Oh. 



331332] BE MICEOSCOPIIS SIMPLICIOEIBUS HUITJS GENEBIS 457 

deinde, ut etiam urdtatem superet, debet esse 



ideoque 

- 

quod cum sit absurduin ob ft > 0, indicio est hunc casum locuni habere non 
posse, ita ut nobis solus casus in corollario praecedente evolutus relinquatur. 

EXEMPLUM 1 

245. Quondam positio r = l ad campum maxime est accommodata simul- 
que solutionem tarn facilem suppeditat, ea utique sola meretur, ut ad praxin 
adplicetur, Hie auteni primum observari convenit nequaquam sumi posse 
g=l ? quia turn foret Jc = statimque priinum intervallum = co, ut reliqua 
incommoda taceamus, dum scilicet tarn, secunda quam tertia lens haberent 
distantias focales infantas. Ex quo necesse est pro sumi numerum unitate 
maiorem, ita ut excessus non sit niniis parvus, quia alioquin ad eadem in- 
commoda appropinquarernus. Quaniobrem, quo clarius appareat, quomodo in 
hoc negotio sit procedendum, sumamus ^ = 2 7 ut fiat M = m , x - Turn 
vero Jc contineri debet intra hos limites 



, , . , 4 

et vel l et 



Neque autem Jc ad unitatem nimis prope accedere debet, quod alioqtiin. B 
hincque secundum intervallum nimis evaderet magnum. Sumamus igitur 
]c = ; hinc erit 



Deinde vero erit 
ac denique 



- et 

4 



hincque C == jj ; unde pro microscopii constructione habebimus has distan- 

LBONHAEDI ETJLBBI Opera omnia III4 Diopttica 68 



458 LIBEI TEETH SECTIO QUARTA CAPUT I 245-247 [332-334 

tias focales: 

cw 3 A 6 , 6 Aa 

^ = 2la, # = Aa, r^^-Aa, s = - -^- 

et intervalla 

i * A (+ 9 \ 4. 4.- 60 

pnmurn =3Aa, secundrun = 6 J.a (1 ^J , tertmm = 

turn vero distantia oculi 



Pro campo autem apparente 

2#| 1 a 



___.__ T ' 

Quod vero ad litteram -4 attinet, quae ad priinain lentem refertur, curandura 
est, ut A tantus fiat numerus, ut lens ocnlaris non fiat nimis exigua; unde 
sequitur 81 esse debere fractionem parum ab imitate deficientem; cuius valore 
stabilito apertura primae lentis definiri debet ex aequatione nota 



sicque obtinemus noicroscopium satis notatu dignum, quod instar primi 
exempli spectari potest. 

EXEMPLUM 2 

246. Consideremus etiam casum %=3, ut sit M = ^z.^? et pi*o k 
habebuntur M limites 2 et ~ Statuamus ergo A==l, ut fiat 35 = J et 
5 = 2. Turn vero erit <? = y et #7. Porro vero erit & = ~ \ et 

2 

0= <p unde pro his microscopiis erunt distantiae focales 



et intervalla 



et 



/ 7 \ 32 Aa 

primum = 2Aa, secunduin =2Jta(l ) et tertium - " 

et distantia oculi 

2R4-2 i /- , a\ i 

3 proximo. 



334-335] DE MICROSCOPES SIMPLIdORIBUS HDIUS GENERIS 459 

Pro campo vero 

1_ a 

Z -y 



Circa aperturam modo allegata valent. Eatione autem litterae q erit casu 
exempli praecedentis q = gAri e ^ casu kui 118 exempli q = gor \ unde 
patet secundae lentis semidiametrum aperturae esse debere = -j~- = -|- ideoque 
priori casu ===== 2%, hoc vero = x. Binae postremae lentes autem fieri debent 
utrinque aeque convexae. 

SCHOLION 1 

247. Si haec ad telescopia referamus, quod nunc eo magis esfc neces- 
sarium, quoniam supra huius generis casum tantum maxime particularem 
evolviinus, qui ne campum quidem maximum, ut Me fecimus, praebebat, 
tantum faciamus a == CSD et $ffl = m ob h = a. Turn autem capi debet tam 
21 = quam -4 = 0, it a ut fiat 81 a = Aa=p; quare, cum reliqua omnia 
maneant ut ante, ex exemplo priore posita lentis obiectivae distantia focali 
= p erunt reliquarum lentium distantiae focales 



3 64. 6 P 

-^P, r = p et s r ' 
2^' m^ 11 m 



intervalla vero 



primum = 3p, secundum = 60(1 - ) et tertium = p 
* ^? >\ 2m/ llm * 

et 

= s. 
Turn vero campi semidiameter 

^11 1718 

<p = - . mm. 

2 w4- 1 w + 1 

Deinde vero ob 

distantia focalis p ex requisita apertura %==-m dig. definiri debet ope hums 
aequationis: 






Mi . o/ A ' 
A + M^ 



68* 



460 LIBRI TERTH SECTIO QUARTA CAPUT I 247249 [335337 

In casu autem alterius exempli erunt distantiae focales 

244 
q=-^-p, r = p, $ = - p 
* 3^' m*' 9w^ 

et intervalla 

(7 \ 32 

1 -)> tertium = -^Pl 
mJ 9 w* 

turn yero p ita definietur, ut sit 



reliqua vero erunt ut ante. 

Hinc igitur loco communium telescopiorum terrestrium nanciscimur ex 
casu posteriore sequentem constructionem, siquidem omnes quatuor lentes ex 
vitro communi, cuius refractio sit n = 1,55, conficere velimus. 

CONSTEUCTIO TELESCOPIORUM 
LOCO YULaAEIUM TEERESTEIUM SUBSTITUENDORUM 

248. Pro data multiplicatione m quaeratur primb lentis obiectivae distantia 
focalis =p, ex hac nempe formula, ad quam praecedens proxime reducitur: 

Q t 

j? = -w|/m dig.; 
deinde constructrio ita se habebit: 

o fl. 

I. Pro prima lente, cuius distantia focalis est ~^m ym dig., capiatur 

( anterioris = 0,6145 # 
radius faciei { 

( posterioris = 5,2438 # , 

eius aperturae semidiameter ^==^mdig. 
et distantia ad lentem sequentem - 2p, 

II. Pro secunda lente, cuius distantia focalis est q == ~p et numeri 
|- et X 1, erit 

anterioris - -J- - ,99662jp 
radius faciei 



posterioris ^--r 0,58047 j, 

X. J-TcOO 



337 338J DE MIOEOSCOPIIS SIMPLICIOEIBUS HUIUS GENERIS 461 

eius aperturae semidiameter = x = ^m dig. 

et intervallum ad tertiam lentem = 2p (l } 

HI. Pro tertia lente, cuius distantia focalis est r = ~p, quoniam ea debet 
esse utrinque aequaliter convexa, capiatur 

eius uterque radius = 1,1 r = 4.4 , 

* m 

eius aperturae semidiameter = 

r m 

QO 

et distantia ad quartam lentem =**-^p. 



~ 



IY. Pro quarta lente, cuius distantia focalis est $ = y ~, capiatur itidem 
uterque radius = -^ , 

* 45 m 



eius aperturae semidiameter =4"~ 

A y m 

et distantia ad oculum ^-s. 

j 

171 ft 

V. Turn vero erit semidiameter campi <& = m , 2 min. 

SCHOLION 2 

249. Telescopia haec utique insigni vitio laborant, propterea quod eorum 
longitudo fit plane enormis, maior scilicet quam 3_p. Huic autem vitio medela 
afferri poterit litterae k maiorem valorem tribuendo; turn vero etiam littera 
maior accipi debebit; unde quidem campus aliquantillum dimimiitur, qui tamen 
defectus in maioribus multiplicationibus vix percipietur. Sumamus igitur 
= 6, ut fiat M = ffzrj* e ^ cum limites pro k sint 5 et ~, sumamus fc=4 3 
ut fiat 35 = -^- et J5 = 5; turn vero erit Q = JJ et A;'=4 1 ) tandemque = y 
et (7= ~; hinc autem erit intervallum 

5 , 5 (. 16\ , , . 25 jp 2 ) 

pnmum == -p, secundum = jp 11 -- 1 , tertmm = ^ ; 
r 4^ ; 4-^V m/ ? 3 m ' 

unde longitudo prodiret quasi 2yj?, quae adhuc nimis magna videri potest. 



vn. Q 

1) Editio princeps: Q *=*-*' & fc'^Y" Correxit E. Oh. 



2) Editio princeps: 2 dum *~^-v(l<- } 3 Hum == ^ -- - Correxit E. Ok. 

x A 4. 4:\W/ OWI< 



462 LIBEI TERTII SECTIO QUARTA OAPUT I 249 [338-339 

Hanc longitudinem autem non mediocriter diminuere poterimus sumendo 
=12 et & = 9; hinc enim fit 33 = ~ et B = 5 ut ante; unde sequitur 

intervallum 

10 , j 5 

primum = $ et secundum = p, 

ita ut tota longitude quasi fiat lyjp, quae non excedit telescopia hiiius generis 
vulgaria. Si sumsissemus =12 et fc = 8, ut fiat S3 = -j- et j5=3, foret 
intervallum 

primum = p et secundum =-g-JP> 

ita ut tota longitudo quasi sit lyjp, qnae utique admitti poterit. Hie ergo 
casus meretur, ut plenius evolvatur. 

Fiet autem porro Q = j$ Mncque V =4. Porro = y et C= y5 
unde 

2-A y , r = 6^ et s = ^; 
11 32^ w w 

turn vero intervalla 

primum = jp, secundum = jp(l ), tertium =5 

O O\ ^W / ffl 

et pro loco oculi = 

.,. , . 1718 

semidiameter campi = m , u - mm. 

Sumto igitur pro apertura lentis obiectivae a? = ^ dig. et A = 50 capi 
debebit circiter 

p = wymj -= ~mf m dig.; 

unde conficitur sequens 

CON8TBUCTIO TELESCOPII COMMUNIS EX VITKO COMMUN1 

I. Pro data multiplicatione tn sumatur 

p == m]/m circiter sive etiam p = wl/w dig. 

II. Pro prima lente, cuius distantia focalis *=jp ; capiatur 

anterioris 0,6145 p 
radius faciei 

posterioris ~ 5,2438 jp, 



340] DE MICROSCOPES SMPLICIOKEBUS HUIUS GENERIS 463 

eius aperturae semidiameter =^ dig. 
et distantia ad lentem secundam = 1^. 

o 

III. Pro lente secunda, cilius distantia focalis est Q = ^p y capiatur 

anterioris = AK ^ Qn = 0,17053^ 



posterioris = _ 0,07388 p, 
eius aperturae semidiameter = -^-x = ^ dig. 

o / H*^\ 

et distantia ad lentem tertiam = -^p (I -^J - 



IV. Pro lente tertia, cuius distantia focalis est r = 6-~ 7 capiatur 

7J 

uterque radius = 6,6 
^- m 

eique apertura maxima tribuatur, 
distantia vero a lente quarta erit = 5 

V. Pro lente quarta, cuius distantia focalis s=|~, capiatur 

rtj 

uterque radius =1,1 
u 7 m 

eiusque ab oculo distantia =y(l + ^;)' 

VI. Longitudo erit i-lp_6y-J- 

1718 

Campi vero apparentis semidiameter erit = 'srqrir :m ^ 11 ' 

Hoc ergo telescopium vulgaribus terrestribus merito anteferendum videtur ; 
notetur vero id in praxi locum habere non posse ? nisi sit m notabiliter maius 
quam 32. 

Hie autem istud caput finimus ad sequens progressuri, ubi microscopia 
magis composita huius generis investigabimus. 



CAPUT II 

DE MICBOSCOPHS HUIUS GtENEKIS MAGIS COMPOSITIS 

PROBLEMA 1 

250. Microscopium huius generis ex quinqne lentibus construere, guae ita sint 
dispositae, ut prior imago realis inter lentem secundam et tertiam, posterior vero 
inter tertiam et guartam cadat. 

SOLUTIO 

Gum igitur prior imago in intervallum secundum, posterior vero in. 
tertium cadere debeat, litterarum P 7 Q, R, S secunda et tertia Q et JR debent 
esse negativae. Statuatur ergo Q = k et R^ V, ut sit 
existente 



- 

h 
Deinde vero sit 



ut fiat spatii in obiecto conspicui semidiameter 



Quare, ut campus evadat maximus, efficiendum est, ut litterarum q, r, 8, t 
tat fiant unitati aequales, quam reliquae circumstantiae permittunt; quod 
cum de omnibus statui nequeat, saltern pro postremis ponamus g 1 et 
t = 1, ut sit 



342-343] DE MICEOSCOPHS EUIUS GENERIS MAGIS COMPOSITIS 465 

Turn vero habebuntur sequentes aequationes: 

1. q (P l)Jtf, 

2. (r = (Pft + l)Jf q, 

3. 3> (P&AT l)Jf q-r, 

quibus adiungatur aequatio, qua margo coloratus destruitur, 

- 1 _ JL _i_ _L_ , _J 
P PJc ^ Pick' ~*~ 

ex qua deducitur 



r 



unde patet esse debere r>fcq. Antequam autem Mnc quidqnam definire 
valeamus ? lentium intervalla considerare debemus, quae sunt 

primuin = Aa( 1 -p J , secundum = -- ^- a ( 1 + jr) > 



, ,. ABC / 1 , 1\ , 

tertmm -_-_-. ( 1 + w ) , quartum - -- ^^ a (l - - 

quae omnia debent esse positiva; quibus adiungatur distantia focalis ultimae 

lentis 

ABOD ABGD 



quae etiam debet esse positiva, ut prodeat distantia oculi post earn, 

Q= tt 

positiva; unde ob t = 1 evidens est esse debere t positivum ideoque 
ABCD>Q. Quocirca, ut quartum intervallum etiam fiat positivum, necesse 
est, ut sit 1 -g < sive $<1, unde evidens est productum, PkU fore > 3Ji 
ideoque numerum praemagnum; unde tertia ilia aequatio, si loco M eius 
valor substituatur, dabit 



LEONHAKDI EULEHI Opera omnia III 4 Dioptric a 69 



466 LIBEI TERTII SECTIO QUAETA CAPUT II 250 [343344 

ubi cum Pick' et 9ft slut nunxeri praemagni et PkK > 9IJ, fiet proxime 
<-. PkTif f . . O x 2PM-' . , . ,/Pfcft' 



give ob P&&'=~ erit 



unde, cum q + 1 certe sit < 2, evidens est fore > 1 ideoque D negativum. 
Erit ergo ABC<Q t , hinc tertium intervallum sponte fit positivum. Quare, 
cum ob secundum intervallum esse debeat AB <0, oportet esse C>0 hincque 
( > et < 1. Unde ? si fuerit J. > ideoque P> 1 ob intervallum primum, 
debebit esse J5<0 Mncque vel 23 <0 vel 35 >1; unde sequitur fore priori 
casu q<0, altero casu q>0; uude ob q + Kr<0 fieret r<0 ideoque /^<0, 
quod est absurdum. Sin autem esset A < hincque P< 1, deberent esse 5 > 
ideoque $8>0 et 33 <1, unde iterum fieret q<0. Neque igitur etiamnum 
coBstat, utrum ambo isti casus consistere queant. Quia vero in utroque 
fit q<0, statuamus ut ante q = w, ut sit 



et ob secundam aequationem esse debet co Sr > 0; turn vero erit 



unde ob PJcK = ^ fiet 



_ 



Nunc igitur litteras o> et r ex calculo eliminemus, et cum sit aj 
ponamus brevitatis gratia 



ut sit 



344-345] DE fflCROSOOPHS HUroS GENERIS MAGIS COMPOSITIS 467 

deinde sit etiaru brevitatis gratia 

1 

fietque 



~ < 
Ergo porro 



- 



- 

j i TUT 2 -|~ t - O -j 

at cum sit Jtz = -^ , erit 

2 + r e = Jf(3R 1), 
unde concludimus fore 



quo valore invento erit 





ex quibus valoribus porro conficitur 



hincque 



(1+ S) ((5(501+ g 
ex quo definitur 



unde porro invenitur 



Quia autem fc debet esse positivum, in eius numeratore coefficiens ipsius 
debet esse positivus, unde sequitur 



69* 



468 LIBRI TERTII SECTIO QUAETA CAPUT II 250-251 [345346 

at vero vidimus esse ( < 1 sicque necesse est, ut sit 



ex qua conditione concludimus 



Novimus autem esse debere >??; unde littera % capi debebit intra limites 

, et n + fr-^ + g). 

ubi manifestum est esse debere rj > 1. Nostrum igitur problema sequenti 
modo resolvi conyeniet. 

Pro lubitu capi possunt litterae 8 et ??, dummodo observetur esse debere 
$<1 et ??>!, quia PJc = rj 1. Deinde littera capia/tnr intra limites ?? 
et 7? + (r? "" 1) 2 (1 + ^ ) - At ( capiatur intra hos limites 



unde simul (7 definitur. Turn vero capiatur 



ex quo habebitur 



" ' 



Postea capiatur 35==-"=--, unde definitur 5. Denique ob Pkk'=^ formula 
supra pro inventa dabit 



ubi substitute valore ipsius Jlf prodit 



346-347] DE MIOKOSGOPIIS HDIUS GENERIS MAGIS COMPOSITE 469 

o 

qui valor, cum sit 9Jt numerus praemagrms, erit proximo = -g- hincque 
adcuratius 



sive 



vel 



uncle saltern patet certe fore SD > 1 ideoque D negativum, ut supra iara no- 
tavimus. lam prouti fuerit P sive >1 sive <1, capi debebit vel A>0 vel 
^<0, ita ut nunfc omnia elementa sint determinata; habebutitur enina di- 
stantiae focales 

A AB& ABC , . ASOD 

2 = ---. , r = -- Jr -a, s = -- -a et --. 



deinde intervalla 

primtim = Aa( I -pj , secundum = -- p~(^ + T) ' 

, ,. ABCai. . 1\ , ABCDa 

tertmm - - -jjg-fl + j) , quartum = - 

turn vero erit 



et 



et apertura primae lentis ex aequatione notissima p- = - - definietur. 

COKOLIAKIUM 1 

251. Conditio, quam invenimus, ^>TJ Me plus non involvit, quam ne ^ 
minus quam 77 accipiatur. Nihil ergo impedit, quominus statuamus ^==^; 
etsi enim hie valor campum aliquantillum diminuit, tamen is adhuc satis 
prodit notabilis. Turn autem fiet r = sicque tertia lens quam minimam 
requiret aperturam, ita ut simul officium diaphragmatis angustissimi praestet. 



470 L1BEI TERTII SECTIO QUARTA CAPUT II 252-253 [348-349 

COROLLAEIUM 2 

252. Quodsi vero statuamus =17, sufficit capere ( intra limites et 1, 
unde simul C fit positivum. Turn vero capiatur 

(,-l)(l -l- 
K ~ 
ex quo habebitur 

p== 



ita ut pro maioribus multiplicationibus sit proxime 

5) p _ 2 

et ^" 



unde patet esse P > 1 ideoque A positivum. Turn vero erit porro 



ita ut sit tarn 35 < quam B < 0. Denique hoc casu fiet 



hincque 

aart 



atque 



SCHOLION 

253. Praeterquam quod hie casus ^ = 7? ad praxin inprimis est accom- 
modates , etiam hanc praerogativam complectitur, ut a littera ( reliqua ele- 
menta prorsus non pendeant, ita ut, quomodocunque ( accipiamus intra 
limites scilicet et' 1, reliqua elementa nullam inde mutationem patiantur. 
Hoc autem modo facillime evitari poterit, ne lens obiectiva nimis fiat 
exigua, quod vero insuper commodius per litteram A praestatur, nisi forte 
de telescopiis sit sermo, ubi -4a=#; superfluura igitur foret hie alios casus 
praeter istum ^==TJ evolvere, atque nunc inprimis operae pretium erit aliquot 



349-350J DE MICROSCOPES HUIUS GENEEIS MAGlS COMPOSITIS 471 

valores pro i\ considerare, ut inde intelligere queamus, quinam inde ad 
praxin maxime faturi sint idonei. Pro littera vero 8, quam unitate minorem 
esse debere vidimus, statuamus semper $=y, quia hinc satis idoneum inter- 
vallum inter binas lentes postremas oritur. Turn autem nostrae conditiones 
sequenti modo exprimentur: 



4. (S, ut iam notavimus, arbitrio nostro permittitur, dummodo sit intra et 1, 



Hinc itaque distantiae focales erunt 



, , BCD 

et ^ 



Deinde lentium intervalla 

!\ (41J 3)3Jl 
- = ^ - ; 



primum 

, TJ 

secundum = B 



tertium = - B C ~ + -~ Aa, 



, BCD 

quartum == -^m- 



Deinde ob M == m-r^-TT erit 



Pro prima lente semidiaineter aperturae erit = ^ ex aequatione notissima 
definienda; 



472 LIBEI TEETH SECTIO QUAETA CAPUT II 253-255 [350-351 

pro secunda autem ob 

0} = -~ 

erit semi diameter aperturae 



_ 

-l)~ P 
et ob r seinidiameter aperturae tertiae lentis 



x x 



duabus autem reliquis lentibus apertura maxima tribuitur, 



EXEMPLUM 1 

254. Sumamus t\ = 2 eritque &= - H , et quia tantum do rnaioribuH 



- Hy j t 
multiplicationibus agitur, sumi potorit fc = , liinc 



8 

-8( + l)" 3 
Porro 

33 = -^ et B--..^, 4 et /)--. J, 
unde distantiae focalos erunt 



et lentium intervalla 



5 n 

primum Q Aa f secandum . Aa> 1 }, 

' 



tertium - ^ (7 (l + ^J J a, ( ,uart 
et 



. 

o 

nm - J J 



et 



I) Editio prioeepsi u*^* Uorwrit K, Ob, 



351352] 



DE MICROSCOPES HUIUS GENERIS MAGIS COMPOSITIS 



473 



turn vero semidiameter aperturae lentis 



secundae = rmr + ~^% 

sUC -|- 1 o 



tertiae = x. 
Pro x autem inveniendo satisfiat huic aequationi: 



(juae aequatio cominodius ita repraesentabitur: 



COROLLAB1UM 

255. Si haec ad teloscopia transferantur ponendo 
; mm m, iient distantiae focalos 



6 
11 



10 1 G 

11 m 



, 
et 



20 



intervalla 



tertium 



6 , 6 

pranum g ; jp, secundum g 



, , 

at quartum - 



10 G 



mm. 



et semidiameter campi * m , , 

M/V | '- - 

Longitudo ergo erit propemodum ^P^ ii^JP 1 )- iir 1 ^^ autem 
aequatione ante data dejfiniri potent, ubi rit U - ob a <x>. 



et 



ex 



1) 



lo priiaotpss sf^ H^'^ Conwit 1 Oh, 
BO&IEX Opera omnia II 1 4 Dioptrica 



474 



LIBBI TERTII SECTIO QUARTA CAPUT II 256260 [35235 



EXEMPLUM 2 



256. Sit nunc 
sumi ergo poterit 



; erit 



9W+2 





-- 



_. 

2' 

33)1 + 2 

8(ffllTa) 



Hinc ergo fient distantiae focales 



___ 

arc + 2 

. 

- 1 ' ergo 

^ 

ergo J5 



et ^= 



et lentium intervalla 

primtim *=* Aa, secundum = ' Aa, 

4 o 

tertium G(l + ^}A.a, quartum 
hinc porro erit 



20 

^ 



<2 



hinc 



et 



turn vero semidiameter aperturae lentis 

secundae 
Cetera ae habent ut ante, 



1 a 
' 



tertiae 



COEOLLAEIUM 

257. Facta applicatione ad teleECOpia ? ubi tit A&**p, omniit elainanta 
facile determinantur ut ante; turn vero longitudo inetrumenti omiiiii partibna 
per $$ divisis erit ** | p + * Cjp, quae minor est qiiam casu praaeadanta 



353355] DE MICEOSCOPIIS HUIUS GENERIS MAGIS COMPOSITIS 475 

EXEMPLUM 3 

258. Statuamus t\ = 6, ut flat Jf==~j-^, eritque 

, 5 (3ft +5) 5 

= ~s P roxime > 



o co. - 5 7 

8 ' 8 = 5) = - 6' 



unde fit 

B f 8 , -4 et D -J 

unde distantiae focales prodibunt 

7 ^ 7 rt ^ 14 <? 28 

a-ja^a, r-^C^a, 

et lentium intervalla 

7 7 

primum =* Aa, secundum 

r* / w *t \ 1 >4 /*^ 

tertium lg (?( 6 + 2 m ) A<*> quartum 39 > ^ - Aa . 
Praeterea 

1 J. 

^- a -a + 5 ot 

turn veto semidiameter aperturae lentis 

secundae cm f . + c , ^ ^ tertiae - #. 

we + o o 5 

COROLLABIUM 

259* Translations igitur ad telescopia facta prodiret hoc casu eorum 
longitudo *Jjp + / 5 C r jp, quae longitude satis est exigua, ut etiam in aliis 
generibus vix minor sperari quaat 

SOHOLION 

260, Itai iste easus 1? Sa prs aummum msum praeatare videtur, 
temen etiam considerari eoaT^aitt quempiam casum, quo >% quandoquidem 

eo* 



476 LIBEI TERTII SECTIO QUABTA CAPUT II 260261 [355-356 

hoc modo campo quodpiam augmentum adfertur. Manente autem S y 
alter limes pro erat 



sive 



Huic atitem limit! ipsi aequari nequit, quia alioquin ( deberet esse = 1 
hincque C =00. Sumamus igitnr 



W & 

ac reperietur ( > 3 et ( < 1. Sumatur igitur ( = 4 , ut fiat 6 Y 3, 
hincque fiet 

hincque porro 

_ ^^( 18 ^ 7 ) + 30 (^ !) 

^ '"(3^Z"f)(2$i)li + 15 (q "l)) 

et 



Turn vero prodibit 

12 



cum antea fuisset 

Quodsi iam sumamus ut in exemplo secundo r/ "~ 3, fient haoc (lonumtu 

, ^ 2ft +16 , y^ 483)? 

hinc 

_ 47 3^4. 15 _ 47501+ 15 

^^ 4(2R + 15) ' 81STO+46 f 

turn 

- f , 6 f a, 35 4 tt 7> -* - - t ; 
4 ' 8 

unde singula momenta pro constructione deflniri possuni Quia vero Me 
tanti oecurrunt numeri, quos prae 8K iiegligere non ampliuB licet, in adpli- 
eatione ad eiempla sfcatim quoque pro 9R detenninatum valorem aisumi eon* 



356 357J DE MICROSCOPITS HUIUS GENEEIS MAGIS COMPOSITIS 477 

veniet. Praeterea vero hie ad specialiora non progredimur, quia adhuc lente 
obiectiva simplice utirnur, ita ut confusio aliter tolli nequeat nisi aperturam 
lentis obiectivae diminuendo; quod remedium cum praxis sponte oflferat, non 
opus erit litteram x molesto illo calculo definire; siquis enim microscopium 
secundum huiusmodi mensuras construxerit, ipse usus aperturam declarabit; 
quando autem in sequente capite per multiplicationem lentis obiectivae 
omnem confusionem ad nihilum redigemus, turn demum necesse erit com- 
pletas determinationes pro singulis momentis, uti hactenus fecimus, exhibere. 



PKOBLEMA 2 

261. Microscopium huius generis ex guingue lentibus construere, quae ita sint 
dispositae, ut prior imago reolis in intervallum secundum y posterior vero in inter- 
vallum quartum incidat. 

SOLUTIO 

Quatuor ergo litterarum P, Q, li, S secunda et quarta erunt negativae; 
undo ponatur Q k et ti^^tt, tit sit PkRk'*^ j* ** 9ft; Mnc erit ulti- 
mtw lontis distantia focalis 

. Alton ABCD 



quae debet esse positiva aeque ac lentium inter?alla ? quae sunt 

primnm A a (l ., J , secundum * p ail + /J ? 



A A - AJiO /- I\ , , AJiCD /- . l\ 

tertmm - - pk -a (I - R ), quartum - + pfcjft . - a (1 + J; 

ergo ut tain ultima lens quam ultimum mtervallum fiant positiva, debet 
ABC I) > 0. Hinc ut tertium quoque flat positivum, debet esse 



sicqua circa D whil definifeir* Ob secundum autem interrallum debet ease 



478 LIBRI TERTII SEOTIO QUAETA CAPUT E 261 [357358 

AS > et ob primum A(l y) > 0. Turn ergo debebit esse CD < 0. 
Statuatur nunc 



et quia campus maximus desideratur, statim sumi poterit 8 = 1 et t = 1, 
ut fiat 



hincque distantia oculi 

"" 



quae cum sit positiva, destructio marginis praebet 

= p. ^ p ^ R 4- . km 
un.de colligitur 



Mnc erit 



sicque patet esse 1 + TcR> qkE. Praeterea vero considerate debenaus 

sequentes aequationes: 

1. 

2. (t ~( 
3. $ -- (1 + 

Ponatur hie ut ante brevitatis gratia 

^-C et I 
fietque 

q fJIf ot t 
unde colligitur 



ex qua aequatione deducitur 



358360] DE MICKOSCOPIIS HUTOS GENERIS MAGIS OOMPOSITIS 479 

ex quo valore vicissim erit 



et 



Nunc ut marginis colorati rationem habeamus, erit statim 



Et ctwn ob Plc^rj l sit PfcJB (; 1)2?, erit 



is (7; - 1) E (m + - 1) - (T? - 1) ( - T?) JB - m (sp + c - 1) 

. 



Antequam autom bine vel fc vel JX determinemus, considerare debemus ratio- 
nem litterae 3) ex superior! tertia aequatione; cum igitur Phil sit sine dubio 
numerus magnus involvens ER, facile intelligitur litteram 3D esse negativam; 
unde etiam erit D negativum adeoque concludimus fore C > hincque G < 1 . 
Ob eandern vero rationem debebit esse JB>1, ita ut haec littera aliquatenus 
tanquam nota spectari possit; quaro ox ilia aeqnatione colligimus 






hincque P ^^^, ita ut sit 7? > 1. Quare ut valor ipsius A fiat positivus, 
debot esse 

^ 



ad quod prime requiritur^ ut quaatitas litteram JR multiplicanB sit positive 
et quia Wl est numerus praema^nus, ipsius coefficiens ante omnia debet esse 
poiitivus, unde colligimus 

unde concladitur 



480 LIBRI TERTII SECTIO QUARTA CAPUT II 261-265 [360-361 

quia igitur K < 1 ? erit 

2 ( T?) < rj 1 sicque < 3 ^ 1 
Qua conditione impleta debet esse 



atque hinc retrogrediendo omnia elementa determinabuntur. Keliqua vero 
expediuntur ut in praecedente problemate. 

COEOLLAR1UM 1 

262. Hie igitur littera E denotabit numorum magnum 3Ji involvontom; 
deinde conditio < --^- institute nostro maxime favet, cum oampi oonditio 
inprimis postulet, ne ultra necessitatem augeatur. Quare ; cum nompor nit 
7j>l, comm,odissime videtur statui posse 7/ uti in praecodonto problotuato, 
ita ut tertiae lentis apertura iterum fiat minima prodeatque 



COKOLLALUUM 2 



263. Sumto autem ^7; pro ( limitoH erunt (S < 1 oi. (S ,-('. I'orro 
capi debet It > ? __ t indeque Hot 



ot 

Praetarea vero erit 

.-^ 
w "" 

Denique vero reperietur 



361-362] DE MICROSCOPIIS HUIUS GENEBIS MAQIS COMPOSITIS 481 

sive, cum 9ft et E sint numeri praemagni, erit proxime 



qui valor certo est negativus, ut supra iam posuimus. 

COROLLARIUM 3 

264. Quin etiam statui poterit = 0; unde pro ( limites erunt ( < 1 
et ( > ~\; cui satisfit, dummodo K intra limites 1 et contineatur. 
Turn vero sumi debebit 



^ ^ 

sive ob 3Ji numerum praemagnum 



Verum hinc sequitur porro /c C\D et J > ; ita ut sit Pk *=*<ri 1 . Prae- 
terea vero prodit 

^ CND et # = 1, 

Denique vero ob 

A j. n^- 

q et r /r" 

erit 



ideoque ob 



qui valor ipsius M aliquanto minor est quam casu praecedeate, flet 



SGHOLION 

265* Quantumvis Me castis paradoxns videatur cum ob 8~cs3 turn 
?aro ob P 0, taraen revera est realis et ad ca&um in praecedente capita 
expositum redmeite; <jma enM -csd, secuudae lentis dktaaatia focalis est 

Opera, omnia HI 4 Dlopttioa 61 



482 LIBEI TEBTII SECTIO QUARTA CAPUT II 265266 [362-363 

infinita sicque res eodem redit, ac si secunda lens plane abesset, ita ut non 
amplius quaestio sit de eius loco; quare, etsi piimum interval lum prodeat 



et secundum 



tamen horum summa, quae sola nunc est spectanda, fit finita 

= - ^ > Aa. 



Cam igitur tantum quatuor lentes hie habeantur, hie casus ad praecedens 
caput est referendus* Interim tamen hinc incommoduin nasci debebit ? quando 
f Q prope ad accedit ? quia turn P etiam erit nnitato minus, ita ut A dobea,t 
esse numerus negativus et B > 0. Cum autem sit 33 == T " ', crit quidoni 
33 > 0, verum insuper necesse est, ut sit 1 P< *Q vel P> 1 - %, sivc P 
contineri debebit intra limites 1 et 1 t, seu esse debet ^<iHl; (jun,ro, 
cum 9Ji et E sint numeri praemagni, debebit esse 



quod sponte evenit ob ^<rj, si fuerit 

.sf) 

,) >2 

Sin autem sit e ,f ""?,?" 8 ,< 2, debet esse 

A "~" ~ ' 



qnibus observatis aliquot caaus fusius evolvaraus. 

1) Editio princeps: quare cum S0Z e/ /i xlnt mtmeri praemagni, flebrbit 



fturit 
(n 

5m autem sit 



1. Ok 



363-364] DE MICROSCOPES HUIUS GENERIS MAGIS COMPOSITIS 483 

CASUS 1 
QUO =77 

266. Hoc casu iam vidimus lentem tertiam nostro arbitrio relinqui, 
dummodo pro ea capiatur (<1 et (>0 ? ut C fiat numerus positivus; unde, 

si circumstantiae postulent, ut C sit numerus satis magnus, turn ( parum 

*$l 

ab unitate deficere debebit; deinde etiam notavimus capi debere JK>~^; 

unde, cum semper sit 77 >1, si etiam fuerit >2, tune commode sumi poterit 
j? = $JJJ. Notetur autem litteram 77 non nimis magnam sumi convenire, quia 
pro campo fit 

Deinde vero prodit 



quare pro maioribus multiplicationibiis tuto sumi poterit 



undo patet litteram "k eo fore minorem, quo minus E limitem praescriptum 
_ t suporet; undo tit 



Pro reliquis elementis primo prodit 

w - fo ~ i)_JB ((2^ - 1) m - n + 1) - SW (SK + 1? - 1) 

- -- , ( ( , _ i) - jj _ a) '(m + fl - 1)" " 

hincquo proximo 



qui valor manifesto est negativus, ex quo etiam B erit negativum. Deinde 
cum sit />>!, ob eandem rationem littera A debebit ease positiva; ex quo 
productum AB ob 

B - 



fit liepMimra, ptoi^iai ttM eondiMom^ praeieriptae postulant* Denique 

ei* 



484 



LIBRI TERTII SECTIO QUARTA CAPUT II 266-268 [364-365 






vero reperitur 
ideoque proxime 
nnde fit 



His definitis erunt primo distantiae focales 



ABC 



-1)1?+ 



deinde vero intervalla 

primxim ^ Aa(l ^ ) , secundum 

, cjuartum 



A Da (p + 



tertium - 

Distantia vero oculi fiet 
* t 



i i f y-"l\ t . 
-8*0+ SR ) ~ s ' Proxim 



Pro aperturis vero lentium primao quidem aportura tutisBime per oxporuwtmm 
definitur; raxde reperitur littera % ex eaque mensura claritafcin ^ f HI 
scilicet x in digitis exprimatur. 

Pro secunda vero lento cum Bit 






erit eius aperturae semidiameter 



a? i 



Pro tertia vero lente ob r sufflcit aperturae semidiamater "^ roli- 
quas rero lentes utrinque aeque eonvexas confici convenit. 



365-367] DE MICEOSCOPITS HUIUS GENERIS MAGIS COMPOSITIS 485 

COROLLARIUM 

267. Si sumatur jS = -^ i? ut fiat & = et P=cv> existente PA; =77 1, 
turn fiet 5g = i-~~?= oo et 5 = 1. Turn igitur secunda lens in ipsam 
imaginem realem priorem incidet ob primum intervallura = A a = a eiusque 
distantia focalis erit <y At vero secundum intervallum hoc casu evadet 

7] 



a 1 = = ="^ l ' Reliqua vero definiuntur ut in genere, si modo notetur 
fore 3) = 2 et D== *- 

6 

EXEMPLUM 1 

[267 a]. 1 ) Ponamus ij 2 et capi debebit JB>9)i. Mhil vero impedit ? 
quo minus secundum praecedens corollarium sumamus R = 3JZ ? ita ut turn fiat 
/c0 et I^e^co; quare primo distantiae focales ita exprimentur: 



Aa Af ~ $AC . . % C 

5 - - a et # = . 



Deinde intervalla ita so habebunt: 

primum -4a, secundum 



tertium C?fl ^J Aa, quartum - - ^ : - Act,] 
distantia vero oculi 



Pro valore ipsius a? sive per experientiam nive per formulam notam 
definite fiat secundae lentis semidiameter aperturae ^ ^ ^ et tertiae 

lontis in; semidiameter spatii conspicui erit ^~ ^ st mensura clari- 



,. 20 i 

tatis - 



COBOLLAE1UM 

268, Hae formulae quoque ad taleseopia accommodari poterunt sumendo 
p et W^m, Turn vero Buml debebit ipsa distantia focalis 



isiii teratubois sequentibES per Sft divisis. 
1) Vid Mtam p. 884, I. Oh. 



486 LIBEI TEETH SECTIO QUAKTA OAPUT II 269-272 [367-368 

EXEMPLUM 2 

Ofjfx 

269. Sit nunc r\ = 3, ut esse debeat jR> <r , sumaturque jR = 3ft, xmde 
fiet & = Y e ^ -P=12; quare reliqua elementa fient 

-" hincque J? = g et 3) = -4 et /)=* >, 
unde distantiae focales evadent 

1:t 11 C , , 22 (7 

et < ' 



atque intervalla lentium 



primum =~~-Aa y sectodum *=** 

12 24 



tertium ^ 6 v (l ^) Aa, quartum 
oculique distantia 



spatii vero in obiecto conspicui erit semldiameter 

a 



Definite x sive per experientiaiit sive per formulam notam orit Hcnuuliawotor 
aperturao 

secundao lentis - ' jL + x et tertiao ^ 



et gradus claritatis 

COEOLLAR1UM 

270. Hae formulae etlam ad telescopia accommodari possunt; erit mim 
Ad^p et ^fl^m. Turn vero lentia obiectivae distantia focalis dcfinitnr 
per hanc formulam: 



Longittido huius telescopii erit circiter 



368-369] DE MICROSCOPIIS HUIUS G-ENBBIS MAGIS COMPOSITIS 487 

EXEMPLUM 3 



271. Sit mine 17 6, ut esse debeat J2>y, et sumatur J3 = y ac repe- 
ritur k = -j- et P = 20. Bine porro fiet 35 = - et JB = -*| - Turn vero 
= 5 et D = y- Distantiae ergo focales ita se habebunt: 



et 

, 19 G 
^ = 30-^ 

et intervalla lentiuin 



29 ^ j 19 

pnmum = Jla, secundum = - 



tertium - ^ 6 Y (l - ^) ^ta et quartum 
oculique distantia 

^-i 

spatii conspicui samidiameter 



Definite dcniquo a? ut a,nte erit aemidiamtvbor aperturae lentis 

B x 1 

secundao . q + ,>A ^ tertiae ~ r a?; 

gradus autem claritatis manot ^f 



KXEMFLUM 4 
272, Sit ut ante y 6, sumatur vero JK SW ac reperitur A * et 

7 
S 



P-15. Mine porro fit ffl J et J0- ^ at 5D - - 10 et 



Dista&tiae ergo focalea erant 



488 UBBI TEBTII SEOTIO QUARTA CAPUT II 272-274 

et lentium intervalla 

primftm = Aa, secundum = Aa 9 

tertittm - ~ c(l ^) Aa, quarbum - J 6 ^ * Aa 
et distantia oculi 



pariter ac reliqua momenta se habet ut ante. 

COROLLABIUM 

273. Si haec ad telescopia transferantm* ponendo Aa*=*p ot 5WZ - w, 
casus hie posterior antecedent! praeferendus videtur, siquidein pra(^bot lon- 
gitudinem. parumper minorem, quippe quae neglectis terrain is per SDi divlsis 
erit (1 2 S 5 + &&)#> cum 6X ^emplo praecodente fuorib (l 60 4- ^ ^) JP* 
Oasu ergo ultimi exempli lentis obiectivae distantia focalis ita defmietur, ut Bit 



CASUS 2 
QUO Jl 

274 Cum sit ^1, limites pro ( oruut (J < 1 oli @ > -SJ, ifai ut 
aeque arbitrio nostro pcrmittatur ac ante* Turn vote OHBO <lcbobit 



+ i?- -o 

'V- n 



sea neglectis minoribus parti bun 



Statuatur ergo J! 3Jt suraeiido scilicet 

ff 



371372] DE MICROSCOPHS HUIUS GENERIS MAGIS COMPOSITIS 489 

Turn ergo fiet 

j c = S(q-* -i) + 2(i?-i) , p = 



l) l) + 2i(ij 1)' 
Hinc ergo fiet 

P _ 1 



qui valor erit positivus seu P>1, si fuerit 



Hoc ergo casu prodit 

= - 6((ij - 1) + 1) + 2 (ij - 1) . 

" 



qui valor cum sit negativus, etiam JB erit negativum et ob P > 1 debebit 
ease positivum, ut superiores conditiones postulant; sin autein esset 



turn foret P < 1 sumique deberet A negative ac prodiret 33 > 0; unde, ut 
etiam .B fiat positivum, insuper necesso est, ut sit 58 <1, quod manifestum 
mi, cum sit 33 1 P. Postea vero pro inveniendo nototur esse 

M 

J 
ot 

q^ ....... M et 

ex quibus prodit 

3D - fo ~ l) jtfSK - ~ 2i(7? - 1); 

illi vero valores abibunt in hos: 

2 



Hie valoribus inventis considerentur primo distantiae focales, quae sunt 



III 4 



490 LIBRI TEETH SECTIO QTJABTA CAPUT II 274-278 [372-373 

Turn vero intervalla 

primum = Aa (l ^ j , secundum = ABa (-p + ) , 
ASCa /, 1 \ . ABCDa ( \ . 



. .. 

terhoxn , ._ 

distantia vero oculi 

n 

u 



Deinde simili modo, ut iam ante notavimus, littera x sive per experientiam 
sive ex formula nota definiri poterit. Turn vero erit lentis secundae semi- 
diameter aperturae 

tertiae vero lentis 



reliquae vero lentes, quia sunt utrinque aequo convoxae, maximam aporburam 
admittunt. Pro spatio denique conspicuo erit 



i T ., , . 

et mensura clantatis 

OOEOLLAKIUM 1 

275* Si littera i contineatur intra lios liniitos, 



turn fit P>1 et litterae S ot B negativae, littera varo A sumi clabet 
tive; unde omnia elementa oiusdem aunt naturae titi in caBtt 

COBOLLAE1UM 2 



276, Sin autem adeo foerit $> .- ^ jj> t _ 4) , turn littera /* unitate fit 
minor hlncqua tarn littera S quam B flunt positivae; at varo littera A 



373374] DE MICROSCOPIIS HUIUS GENERIS MAGIS COMPOSITIS 491 

debebit negativa, id quod duplici modo evenire potest, altero, quo 2t>l, 
altero vero, quo 31 <0; quo posteriore casu lens prima evaderet concava et 
instrumentum multis incommodis foret obnoxium. 



COEOLLARIUM 3 

277. Sin autem fuerit i=, Ti^viT^TJv turn fiet P=l hincque 33 = et 
J5 == 0. Turn igitur, ne fiat # = ? necesse erit sumi J. = oo, ita tamen, 

ut sit 



Unde, cum sit 1 P=$B, erit primum intervallum 

Aa(l ~.^ = 
quare ob 9( 1 fient distantiae focales 



,- ,- seu 

et 

. C 1 !) . 2i(^ 1)0 g 

<-- . sou t. 



Intervalla voro lentium 

primum #, socundum ^ - <? tertium _,(l 

, 
quartum - - 

In roliquis vero momentis nihil mutandum occurrit. 

SCHOLION 

278* Probe autem hie est notandum oasua in Ms duobus postremis corol* 
lariis contantos nauMquaim ad telescopia traasferri posse. Pro telescopiifi 
emim ob a co neeetiario mmi dabet $C et A 0, cum in Ms casibua 
dobeat OBBO v4 vel infiDitum vel negatdvum. 

as* 



492 LIBKI TEETH SECTIO QUAETA CAPUT II 279-282 [374376 

EXEMPLUM 1 

279. Sumamus i] = 2, et quia C in iis tantum termini s occurrit, qui per 
9Ui sunt divisi, ideoque semper numerum praemagnum significare debet, pro Gf 
recte unitatem assumere poterimus; hinc ergo pro litter a R primus limes 
erit >y5 tit nostra instrumenta ad casum corollarii primi pertineant, sumi 
quoque debet i<\\ hinc ergo capiatur ^=^ ? ut sit E * 3ft; unde col- 

ligemus ft 4- et P 2, deinde 35 = 1 et J5 ~4 et 2) 1, hinc 

i 
^3= .- Hinc distantiae focale? erunt 



, . i A ,1 

et ^-j-gg-^ seu *--- 



Intervalla yero lentium erunt 

primum = ^4 a, secundum yia, 

j / Q \ 3 C 

tertium ( 1 ^JJ[a 7 quarfcum -^^ Aa 

ac distantia oculi 



semidiamotri deiiique aperturarum lentis 

-A 

<w iUC 



primae a?, secundae = -A + *^ ? tortiae -> 



BXKMPLUM 2 

280. Maneat ^~2, sumatur vero tl give M^*$ll at/qua erit k * I 
et P 1, turn vero S3 ~ J? et SD " 2 et 1) ^ ; imde ex corollario 
tertio nanciscimur 

mm mm 2 ^ 2 ^ 

Intervalla vero lentium erant 

(1 \ 4 f 

1 ^cjff, quarttim ^ *^*f* 
^y^/ jqf if/f 

i vero momenta perinde ac in praecedente eiemplo se habebani 



376-378] DE MICROSCOPIES HUIUS GENERIS MAGIS COMPOSITIS 493 

BXEMPLUM 3 

281. Maneat rj = 2 et sumatur i = 2, ut sit E = 23ft; erit ergo 
ft = -5- at P = , unde 33 = 4-, tine 5 = 4-; turn vero S) == 4 et JD -= -^- 

4 6 7 o 7 4 ' o 

Hinc ? cum A debeat esse negativum, statuatur 

A j. -i. or a ^ 

^L = a, ut sit Sl = -= -; 

7 I a a 1 

ex quo distantiae focales erunt 

cc 11 

cc 1 4 4 

= 1C t^^ 1 ? " # = ^5 

Intervalla vero erunt 

primum = . a a, secundum = r -aa, tertium - 

r 4 16 4 

quartum -Var^a. 



vero momenta Bunt iterum ut in exomplo primo. Hie autem probe 
iiotimdum oat, si capiatur a => 1, prodiro jp ro ideoque primam lentem plane 
roiici poBBO, Ita ut microHCopium ex soils lentibus posterioribus componatur. 
Quia autcm turn coufuBio procliret enormis, cum in formulis capitis praece- 
dentiH sumi deberet % J , hoc instrumentum merito reiicimus multoque 
niagiw ea, quae prodirent, BI asset <1. At si a unitatem haud parum 
Huperot, haec instruinenta in praxi tisum habero posse videntur, 

KXEMPLUM 4 
282* Bit nunc ?y~4, et cum primus limes sit i>-j> pro casu corollarii 



primi sumamus 

hinc I, B ^> 5D ^ ~ 1, 7) ~ y? unde distantiae focales enmt 



i < ; ait igitur i sumto U 1 eritqne Jb * s , P 2, 



r 






494 LBBEI TERTII SECTIO QUAETA CAPUT II 282-285 [378-379 

Intervalla vero lentium 

i , i 5 A A + CV- 6 

primum = J.a ? secundum = -r-4a ? tertium = 

3 (7 
quartum = ^ * Aa . 

Ocnli distantia 



Porro 



Semidiametri porro aperturarum erunt lentis 

i 1 # . 1 ... 3 r , 1 

pnmae = a?, secundae ===== -^ + -^ft, tertiae = ^ -^ + -$ #. 

EXEMPLUM 5 

283. Maneat T? = 4, at sumatur e ^ secundxiin corollarium tcrtium 
eritque k 3 et P = 1 ; unde colliguntur distantiac locales 

1 2^ y 2 C 1 

jp a, j j, r ~s 2> S ""SW' 2 ot < s'JW" 2 """ i 5 

et lentium intervalla 

primum q, secundum " ff> tortium ' 



quartum 







Distantia oculi 



et reliqua momenta omnia sunt ut ante. 

EXBMPLUM 6 

284. Manente TJ 4 sumatur i 1 eritque & 4 et P-*-, turn vero 
8 J et B -J et 3> 6, D J Cum igitur J/ sit positivum, 



379-380] DE MICROSCOPES HUIUS GENERIS MAGIS COMPOSITIS 495 

littera A negativa esse debet. Sit igitur A = a fietque 31 = ^-j ; unde 
prodibunt distantiae focales 



cc _ _ 

" a 1 * ? ^~ l$ aa > r ~T 

2(7 t#=~ 

"8 M 7 " SW ^ 7 



et mtervalla lentium 



prirniim = <xa, secundum == -aa, tertium = C\l wl) aa > 

, SO 

quarturn = ^, * aa. 

21 w/C 

Distantia oculi cum reliquis momentis eadeni ac ante manet. 

PKOBLBMA 3 

285. Mwrosco^wm ex sex lentibus construere, quae ita sint dispositae, ui 
prior imago reaMs in intervallmi seeundwu, posterior vero in quartum incidat* 

80LUT10 

Quhiquci igitur littorarnm P, Q, ti, N, T Becxnula et quarta debent ease 
nogativae; quare ponatur Q^ k ot N*~A\ ut Bit 



I line erit ultimae leBtiB diatantia focalis 

ABGDE 



debet asae pogitiva aaque ae lentium inter?alla^ quae sunt 
primum A a(l p j , seetiiidum ^ - (l 4- & 
tertium - y ^ ^ a(l ~ jj) , quartum ^ ^ a(l + 



496 LIBRI TERTII SECTIO QUARTA CAPUT II 285 [380-381 

Ob quintum ergo debet esse T< 1, ob quartum yero jEJ<0 bincque AS CD > 0, 
Ob secundum vero esse debet AS < Mncque etiam CD negativum. Statua- 

tur nunc 

q+r+3+t+u 
M _ m _^ , 

et quia campus maximus desideratur, sumi poterit g = JL, t==l et n 1, 
ut fiat 



Mncque 

et distantia oculi 



- Ma 

4 



mm ' 

quae cum sit positiva, destructio marginis colorati praebot 

"" P ~~ l>k ~ PkE + PkM "*" Pfc'Rk'T ' 
unde colligitur 



et quia constat esse T< 1, statuatur brevitatis gratia 

ut sit <9>2, hincque 

Tmm O-^i' 
ex quo habebitur 

ergo ob 

PkRV 

"0- 1 
fiet 





K 9 



381-382] DE MICROSCOPIES HTJIUS GENERIS MAGIS COMPOSITIS 497 

Praeterea iam considerandae sunt aequationes sequerites: 

1. q-(P-l)Jf, 

2. r = (l + P*)Jf q, 

3. > = (l + P7c.R)Jf q r, 

4. = (P&JKfc' l)Jf q r 1; 



pro quarum resolutions statuamus brevitatis gratia 

1 ~ P -= et l + Pft-ij, 



S3 
ut fiat 

q = M et 
ergo 



3 + q + r - - 8 . < L+ C l -5-. = jfOR - 1); 



undo concluditur 
undo viciBBitn 



e _i).. 6 + , ot rf 
Nunc ergo habobimus PftJIi (?/ l)Ji BOU 



tmcla ob rationen ante allagatas litteram k definire convenit; quern in finem 
notasso lavabit lifcteroH ^ et r/ una cum ^ semper prae multiplications 502 
fora valda oxigua^; alioquin enim campus praetar necessitatem diminueretur; 
contra vero R atiam fore numerum praamagnum; unde superior ilia aequatio 
induefc hanc formam: 



qua 

KtrwMu Opa omni* nii Dioptric* 



498 LIBRI TEETH SEOTIO QITARTA CAPUT II 285 ___ [382-383 

qui valor cum debeat esse positivus, debebit esse 



_ 

(<q - 1) 6 "- 8 (0-1) (g - 17 j 

existente 

(,-!)<?> 3(0- l)- fl ) sen C 

Cum vero ut in problemate praecedente esse debeat (<1, numerator illius 
limitis minor esse debet suo denominator hincque 



His ergo conditiombus observatis ponamus brevitatis gratia iterum ut ante 
JB = i9fft y ita ut esse debeat 



> 

habebimus inde 



pro quo valore duos casus considerari convent! 

Si P>1, turn debet esse J, > ideoque B < 0, quod quidem 
evenit, cum prodeat S8<0, Hoc ergo evenit, quando &<7/~l; ex quo con- 
cluditur 



qui limes manifesto maior est superiore, Sin autem littora i adeo hunc 
limitem superet ? tune fiet P< 1 ideoque A negative suml debebit^ efc quia 
33 prodit positivum, B oateuus tantum erit positivmn, uti requiritur, quatenus 
fit 85<1. Fit vero semper 83 <1, nisi fuerit %<1; atquo si etiam fuorit 
< 1 P) casus erit impossibilis. Deinde cum sit 

PWt-(^~I)aR, 

neglectis terminis prae Wl valde parvis ob WIM-^B proximo orit 

c 



Porro cum Bit 



383-384] DE MICROSCOPIIS HUIUS GENERIS MAGIS COMPOSITIS 499 

fiet eodem mode 

( = 30-4 et -E- seu ^- 



Hinc ergo distantiae focales ita se habebunt: 

A 



tfa l) . 

\ * / /y _ , _ 

lm " a "M 



(^' - 1 j + 1) (3 - h 

ubi notetur osse quoque 



f " ' '" ' ' 

^L5C? 

" 



ita ut sit g ad primum intorvallutn ut 1:^. Intervalla autem erunt 



prmwm 

Hocundnm -* yl 7^ a ( + ^ ) , 
tortinm -.-^^aa - ' """"^!*^ 1 ~ii)' 



. AllODaf I . t \ 8((i? !)+ --!'} 

quartern i. + _;-- 8 <_i itf-i' m ' a > 



, -- 2) 

qmntum - 



IHstentia voro oculi erit 



Spatii vero eonspicoi semidiameter writ 



SB* 



500 JUBBI TEETH SEOTIO QUARTA CAPUT II 285-289 



Turn vero semidiameter aperturae lentis primae est = x sive per formulam 
notam sive per experientiam definienda, lentis vero 



T 1 , # 3 g , x 

secundae = ~qq + ? ; j-^-2 + p 

, ,. 1 . a; 

tertiae = ~~xr + -r 



reliquarum vero lentium, quae debent esse utrinque aeque convexae, semidia- 
metri aperturarum erunt respective -^s, -^t et ^u, Denique autem mensura 
claritatis fiet = -^ - 

COROLLAEIUM 1 

286. Si statuatur = 0, pro secunda lento orit # oo, qui casua oodom 
redit, ac si haec lens plane abesset; turn aoitem orit k == cv> ot P == 0, 33 * * C\D 
et J5 = 1; unde, etsi primuin intorvallum fit = <x>, ob secimda.m louixuii 
deficientera intervallum primae et tertiae lontis fiet nihilominiiH finitum 



Deinde vero capi debebit 



Pro ( vero sufficit, ut capiatur intra limitoB 1 ot 0, quandoquidom C dohot* 
esse numerus positivus ob D<0- JJeliquao vero detorrniusitionoH uiaiumi ui 
ante, si modo notetur esse B 1 . 

COBOLLABIUM 2 

287* Quia hoc casu lens secunda tolUtur, hoc moclo nolutlo habebifcur 
problematis, quo microBCOpiuni ex quinque lontibus conBtructum <juaoriiur f 
quae ita sint dispositae, ut prima imago rcmlia in primum intervallum, pontwior 
vero in tertium incidat; cuius ergo problomatis solutio ofciam HUppodiitit 
campum triplicatum, 

COBOLLABIUM 3 

288. Quia in genera ob rationea ante allegatas littera O semper doBignare 

debet numerum satis magnum, m sciHeet lentes posterioree ftant mmm aiiguae f 



386-387] DB MICROSCOPES HURTS GENEEIS MAGIS COMPOS1TIS 501 

satis prope erit ( = 1 atque adeo in praxi tuto statuere licebit ( = 1 . Turn 
igitur sumi debebit 



e-i 

> - - 



deindo vero 



CA.SUS 1 
QUO = c^ ET 

289. Hoc orgo casu esse debet 



turn voro erit 



lit igitnr liat P>1, dobebit esse C>" 2 ^- ^ uare fiet ^ > >1> si capiatur ^ 
intra limittis 8l '~" 1 O t Sr) 2 """ 1 ; quo ergo casu J. sumi debet positive, et quia 



roporitur $<"0, spouto fit I?<0. Sin autem sit ^< 8lJ 2 ~-, tune eritP<l 
hittcqno A<(), ita nt dobout OHBO B>() hincque 33<1; erit vero 33 <1, si 
1 _ />." HIVO /'x- 1 C quod quidom semper evenit, nisi sit g<l. Superest 
ergo oxuiiiinaro CUHUIH ^<l, et quia turn OHSO dobet P>1 ^, oritur inde 
c, wlatio: 



undo patut mm debero 

^ ^"- J ~ * l/25?j" 

dmiotanto numentm queinpia-ra positivum sive 



. . 
qui ei^o limei pro f pendet ab 17, ifca ut somto j? 2 debeat esse 



502 LIBSI TEETH SEQTIO QUARTA OAPUT II 289291 _ [387-388 

sin autem fuerit r\ = 4, debet esse 

1 Q _ 1/2 73 < 5 

> - -r-J- -- seu proxime C > g - 

At si sit T? = 6 ; prodit 

29 1/705 . ^ 5 

Q > - ^ ------- seu proximo t > 8 

ut ante sicque patet nunquam infra y accipi posse. Nunc igitur pro- 

K O ,y. tf 

nuntiare poterimus limites, intra quos capi debeat, esse 8 et ' 2 ' 
His notatis distantiae focales erunt 



6 JJ/c 5 

s -^-a, -~ 2 -' W -^ w -~4' SW 
et lentium intervalla 

primxtm *=^Aa(I pj, secundum ** A j?(p + r _ 

5 ABO 



x ,. J,BO , 1 ^LB6 Y . . 

tertium = _,-, quartum e> * ^ -a, quantum 

Eeliqua momenta so habont uti in problomato, <^uippo quao a,b ?/ noti pt 

SCHOL10N 

290. Mirum Me videbitur, quod hoc casu tarn P maiua unitato 
minus unitate fieri possit, cum in solutione problematis ontendcrimtiB turn 
solum P fieri >1 7 quando littera i contineatur intra limites 

, (6 



quando vero i etiam posteriorem limitam superaverit, turn semper fore JP< I, 
Quare, cum He adeo sumserimus < eo f hine utique sequi ?idetur semper 
esse debere P<1, quod tamen, ut Tidimus, aacus evenit Ad quod dabium 
solyendum natura posterioris limitis accuratius perpendi debet; ai anim is 



388-389] DE MICKOSCOPIIS HUIUS GENERIS MAGIS COMPOSITIS 



503 



ipse iam fieret infmitus, turn certe mirari desinemus, si etiam sumto 2 = 00 
reperiatur P>1. Sin autem in hoc limite posteriore denominator non soluni 
evanescat, seel adeo negativus evadat, tnm ipse limes non tarn negativus quam 
infinite maior spectari debebit, ita ut positio i <x> adliuc inter illos limites 
contineri sit censenda. Nunc igitur manifestum est lirnitem posteriorem fieri 
= oo, si sumto ( == 1 fuerit 



snmtoque ^==3, uti fecimus, si fuerit *3~. Sin autem sit 

(semper autem esse debet %<^^~\, turn ille limes fit quasi infinite maior 

hiucquo i = 00 ipso minor; unde necessario fieri debebit P>1. Sin autem 

O yi ,,_ '1 

ait < ' , turn ille limes adhuc erit finitus ideoque valor i*=*co illo erit 
sine dubio maior; unde etiam Ms tantum qasibus fiet P<1. Hoc nota,to 
istum, casura aliquot exemplis illustremus. 



EXEMPHIM; i 

291. SumamuB <;?2, et cum pro * prior limes sit< ^, posterior vero 
^, BiunamiiK ^*2, ut cadat intra hos limites; unde fiet ft-"i et 

Jl H 

4, hiiic ^*--..^ et jff * ; utide distantiae focales erunt 

*! O 



8 



8 



96' 



et lentiiim inter valla 



B 



. 

primum * A a, secundum * ^ta tertium - CAa, 



, 
qmarfcum 



80 



, . , 

et quiritum 







ocul! - B n proxhne, * 4ffi , 

samidiametar aperturae lentia 

j #* 

priEiaa s seemndaa ^ g + ^ tertiae 

ae deiiq^a ^ aii semper* 



504 UBBI TERTII SECTIO QUARTA CAPUT II 292-295^ ^ [390--391 



EXEMPLUM 2 



292. Manente v\ = 2 aequetur ip si a l teri lindti, scilicet =- 4 > fietque 
k=*i et P=l; hinc ergo prodit 95 = et _B = 0. Quare, ne tarn secunda 
lens quam intervalla evanescant, sumi debet A = <x> ideoque St=l, ita ut 
sit JL33 sive AB = %, et cum sit 93 = (1 P), erit revera 1 P J33 
hincque 



Quare distantiae focales erunt 

, 5 



ubi secunda q arbitrio nostro relinquitur. Turn vero lentiuni intervalla 
primum = a, secundum 20, tortium Cq, 

* 4 

quartum - A *cm*2> quintum -<?. 

5s iUC * * $ >jj * 

Valores et & erunt ut ante, at semidiameter aperturae lentis 

, 15 . i j. j.- 9 , 

secundae ~ j ,. cm * ff T" # e * tertiae m , * r + . 
1 6 yjc i o juc 

BXEMPLUM 3 
293. Manente 77 = 2 sumatur < * , et cum osso deboat C> \ > uti <mtn- 

* W O J f| 

dimus, sumatur 4 eritque & 3 et P 7 ; wide fit $j ai hincque 
jj 16 ; qui valor cum Bit positivus, littera A negative cap! <lebefc f uii eiiani 
primum intervallum postulat ob P<L Sit igifcur A**~& ideoqtio 

eruntque distantiae focalea 

mm |G * M I6 ff 

8 .^-aa * S-^-aa 4- a *aa 



391-392] DE MICROSCOPES HUIUS GENERIS MAGIS COMPOSITE 505 

Intervalla lentium 

4 32 16 

primum = T aa, secundum = -~aa, tertium = ~- Caa, 

o 6 5 

8 C G 

quartum = -- ^ - aa, quintum 2 ~ aa. 

Keliqua se habebunt ut ante, ac si qua differentia in aperturis deprehenditur, 
ea in praxi attendi non naeretur; interim tamen semidiameter 

secundae lentis = --- ^ : + -x et tertiae = ^ + 0. 

iu JwC o lo vJC 



KXEMPLUM 4 

294. Statuatur nunc r/ = 4, et cum ease debeat ^ < ", posterior vero 
limes sit ", quo scilicet casus P>1 et P<1 distinguimtur, sumatur ^ = 3 
et erit ft J et P " Undo fit J JJ et W J*. Distantiae ergo 
focalos lentium orunt 

y Jla, jf " 

, 65 , 06 

'"58-a 
fntervalla vero lentium 



- 

primum ** Ja, secundum JAV-^^ terfcium 



. IB (J A . , 65 

quartum - . . ^ a , qumtum - 



Deniquo semidiameter aperturae lentis 



+ - ofc terfciae 

1 Q 



EXEMPLUM 6 
295. Mauente ^ 4 sit C-" ac erit A 8 efc P 1, unde 

!r F ^(i-p).o et 5-0. 

LMWMS&! Kuwwi Opwrn omnlft Hh Wopttle* 



506 LIBRT TEETH SECTIO QUAETA CAPUT II 295-297 [392-393 

Unde assumi debet A = , ita ut fiat 21 = 1; turn igitur introducto q in 
calculum fiet 



unde fit 



sicque distantiae focales erunt 



et lentium intervalla 



primum 8 g, secundum ^ ff, tertlum * g 
quartnm * --j et quintum -'ff' 



Semidiameter aperturae lentis 



1 , j. ,. 63 r 

secundae - ' + ^ tertme CT ' 



EXBMPLUM 6 

296. Manente adhuc r/ 4 sit ^** ^ ac roporitur A 2 4 9 et /'- ^j; undo 
fit g ^ et j^ ^ , ex quo tanto valore iam perspicuum est huiUHmocU 
microscopiis in praxi locum concedi non posse. 

CASUS 2 
QUO 7?4 ET 8 

297, Quoniam debet esse T? > 1 eiusque valor nimis parvim quibusdam 
incommodis est obnoxins, nimis magnus vero catnpo nocet f mediocri semper 
valore uti conveniet, cuiusmodi eat i^4; turn vero valor 8 sen T s 
idoneum intervallum inter ultimas lentas praebet; littera autein ( tarn parom 



393-394] DE MICROSCOPIES HUIUS GENERIS MAGIS COMPOSITIS 507 



praemissis pro limes erit <y- Pro ( vero habebimus 



ab unitate deficere debet, ut in nostris formulis liceat sumere ( = 1. His 

11 
2 

unde patet, etiamsi sit = Y, tamen fore ( = 1, ita ut certe sumi possit 
( == 1. Porro pro litter a i fiet 



Delude obtmebimus 
unde fit 
Hitic oritur 



Hie duos caBti8 diBtingui oportei Prior est, quo fit P>1; Mncque A 
valorem positivum habere debet, quod evenit, si 93 fiat <0 ideoque 

. 2 

* ^ 33-246' 

Bivo quando i continotur intra limitefi ?m _ 6t ot u _^^ atque hoc casu etiam 
/^ fit negativum, ita ut sit AB<Q* Alter casus, quo P<1, locum habet, 
BI fnwit *>3 8 .!*24j> ( l ll caBU -^ valorem habebit negativum; quo igitur B 
nancincatur valorem positivum, dobet esae 33 <1 hincque 



Cum igitur sit > 88 ^ S4 , id evenit, si fuerit 



ande sequewte C > 0. His igitur notatis distantiae focalee erunt 



508 LIBRI TERTII SECTIO QTJAETA. CAPUT II 297299 [394-395 

1 o ASC 

, r = - 



45* ^LJ50 , 454 ASC_ 



sive etiam erit 



et intervalla lentium sunt 

primum == Aa (I p] , secundum = ABa ( p + .-J, 

, ,. ABO /. 1 \ , 3(8 + 2) JL7?6 y 

tertium --- ... -.l-, quartom - - -a, 



_ -a. 

Deinde cura sit 



fiet 

et distantia oculi 



Semidiameter porro aporturae 

i j.- a -j. 3 , a? i , ,. 3 ('-- 4)r , I 

lentis secundae erit - A *L*a 4~ ^ et tertiao * - mt -f- j^s, 

4 sue * ' P 4 3)i ' 3 

Denique definite # erit mensura claritatis ^ - 



EXBMPLUM 1 

298* Sit 0, et cum esse debeat i>^ 9 praeterea vero pro /*>! Hit 
, statuamus ^~| 8 eritque P-^ sive P non determinatur, mode non 
sit minus imitate, adeoque S3 ~ ^Ir: 1 )^ ita ut SB semper ait eo, nisi capiatur 
P 1 . Primo igitur non sit JP 1; erit 8 co et J5 1, ita ut A sit 
maius nihilo; Mnc igitnr distaatiae focales runt 



395-397] DE MICROSCOPIES HUIUS GENERIS MAGIS COMPOSITIS 509 

p = 2la, gt = oo (seu, quod idem est, secunda lens tollitur), 



15 AC , 15 AC 

, ^, irir a et "-sTir 

et intervalla lentium 

= 



primum + secundum =Aa, tertium = ML 



, 72 AG , . , 1. 

quartum ^ - ^ - a et qumtum . ^ - a. 

Eeliqua ma-nent, nisi qnod sit semidiameter aperturae 

T 1 

lentis tortiae = 3 ^ + -^x. 

Sin antom caperetur J? = 1, utcnnque calculus instituatur, primum inter- 
vallum semper evanesceret; verum superfluum est ad hunc casum attendere, 
cum in prioribuB formulis littera P plane ex calculo evanuerit, ita ut illae 
formulae sul)Bistant ? quicunque valor ipsi P tribuatur atque adeo non solum, 
si ponatur Pl, sed etiam, si P unitate minus sumeretur; quod etsi nostrae 
hypothesi repugnat, tamen ob lentem secundam prorsus deficientem haec 
anomalia admitti debet. 

KXEMPLUM 2 

t> 
299, Maneat 5>** 0, sed capiatur i>^ 9 BI fieri queat, quo casu fiet 

P<1; quia autem hoc ipso casu iterurn ease debet ^<^ B , hie easus ad prae- 
cedontem redigitur, quern quidem iam notavimus aeque ad valores P<1 

quain ad P>1 patera. Interim tamen cum secunda lens plane deficiat, 

*) ^ 

posteinor limen i < m sponte cessat, ita ut nunc liceat assumere *> 3B ? uti 

iam obgorvavimus in corollario 1 problemati subnexo. Turn igitur erit 



qmm<M> (seu lens secunda deest)> 
A15, BIO . 46 < AO 45i AO 



Intervalla voro lentium 



primum H secimdum Aa, terianm 



. AC . . 46> AC 

quartum -jUJ^.^.a, qmntam - 



510 L1BEI TERTII SEOTIO QUARTA CAPUT II 299302 [397398 

Quod autem ad litteram i attinet, quoniam Jc non amplius in calculum in- 
greditur, ex aequatione, unde k definivimus, iam i definiatur eritque 



QQ f- QQ 

OO D L, OO 

Proprie autem hae formulae continent solutionem problematis, quo quinque 
tantum lentes postulantur ita disponendae, ut ambae imagines reales in 
primum et tertium intervallum incidant. 

EXEMPLUM 3 

300. Sit =y sumique debebit i>-^ fietque P> 1, si fuorit '*<$(', Bin 
autem sit i>^, simul fiet P<1. Hie vero sumamus i = ~ fietque P*--* 2 ? 
Mnc SB = 1 et B === * ; unde distantiae focales orunt 

2 1 

$ 3ia, a**** ~"'Acit, T T" 

o b 

, ^^ ^^M.^ - 15 A0 

et lentium intervalla 

l A , l w x i* i A^ f< 12 

primum -* -40, secundum yla 7 tertium ^- yl 6 a ^1 ^ qn 

, 27 .40 * 4. 15 AC 

quartern 00 - ^ -a, qumtum ^ 110 - cry> - ^' 

> Ji/C X JL * *t/C 

Keliqua momenta sunt ut ante, nisi quod sit semidiameter uporburae 

3 o *2 * !21 T I 

secundae lentis """o^cm + T # e ^ tortiae 8 "gn+* ^- 

Has formulas commode ad telescopia adplicare licet, quia posito A 
longitudo tantum fit 



ita nt ea non multnm superet jp, etiamsi pro tmmaras satis magntas 
capiatur. 



398-399] DE MICEOSCOPIIS HUIUS GENERIS MAGIS OOMPOSITIS 511 

EXEMPLUM 4 

301. Maneat = -|> sed sumatur i>^> et quia hinc fit P^i-. 
ideoque 85 JJ.^|, ut fiat S5<1, debet esse 21 i 2 < 15i 1 sive &'<" 
Oapiatur ergo i * fietque P = ~ et SB = \ , hinc J5 = | ; ergo -4 debet 
esse negativum. Statuatur ergo A = a et distantiae focales erunt 

<^ 10 5 n- 

P = a _ 1 a , 2 = - g a a , r = ^ - <x a , 

IS 6 Y , 225 <7 , 225 G 



et lentium Intorvalla 
primuin 



' a, secundum - ^ ^a ? tertium ^ f ^ 

^ lo 6 



, 285 6 y n . , 225 (J 

quartum -aa 1 ), qumtxim BBSa 



TUTU vero semidiameter aperturae lentis secundae et tertiae 

3 ? , w , 21 ,1 

^B'ait+ * ot -r f + s*- 

Has autem fornmlaB ad telescopia adplicare non Hcet ? quia A erat negativmru 



EXEMPLUM 



JJO& Sit ^~ U et cum sumi debeat ^> 27 atque, tit prodeat P>1 ? 
I < g , capiatur / - 4 J fiotque P l et 8 " et J5f - J * ; unde di- 
Btantiao focalos erunt 






6S G m G 



1) Iditio priEOtp: 14 *^^* CoiwMdt 1. Olu 



512 LIBEI TEETH SECTIO QUAETA CAPUT II 302-305 ^ [899-400 

et lentium intervalla 

11 i -, 143 - , ,. 11 * /-, 10 

primum =Aa, secundum 307^* tertium = ALa\l ^ 

, 253 AC . , 55 AC 

quartum - - w a, qumtum - ^ m a 

et seraidiameter aperturae lentis 

secundae - -| - J^ + ~ x, tertiae = j - ^ + j a?; 
quas formulas etiam commode ad telescopia transferee licet. 

EXEMPLUM 6 

303, Maneat ?=1, sed sumatur i= * fictque P 1 et S8 = 0, hmc 
^=^0; hinc A capi debet ===== CSD ideoque8t = l; turn autem esse debot 



uiide fit 



hinc distantiae focales erunt 



D C7 -50 60 

a-8- r a, - Fw -^ tt -ira^ 

et lentium intervalla 

primum g, secundum g^ ? tertium On 

, 40 . , 60 

quartum ^ . ^ . ? , qumtum - 12 - ^ * g 

et semidiametri aperturae lentis 4 

H yy ^ <** "t 

secundae T ' & 4* ^> tertiae " T ro + 

4 AVV 4 iUC o 



400-402] DE MICROSCOPIIS HUIUS GENEBIS MAGIS COMPOSITIS 513 

EXEMPLUM 7 

304. Maneat =1, sed capiatur i>l~, et cum sit 

9& 2 



quae fractio iam sponte unitate est minor, sumanms ergo i = 1; erit 
P***^ et 8J = 6 , jB = i8 , unde 
= a eruntque distantiae focales 



^ et 8J = 6 , jB = i8 , unde A debet esse negativum; statuatur ergo 



7 C r . 35 (7 35 

a -"G""9K- aa ' '"4o'W aa ' ^"so'K'" 
ot intervalla 

7 . 217 

primum . cca , secundum .., 

lo o!a4 

7 / 1 \ 1 7 G 

tertium fi4 6 Y a ^1 ^ j , quartum ~ * ^ - aa, quintum = - ^ * aa 
et Hoinidiamotri aporturao lentis 

secundao ^ ^ -f ^x 9 tertiae J-^ + J ^, 

EXEMPLUM 8 

306, Sit nunc ^4 17, et cum esse debeat i> J , ut autom fiat P>1 ? 
i < S 8 (qui limes ut infinite maior spectari debot; si enim sumsissemus S" 
minuB^ Bcilicot S"""" 1 ^* turn prodiisset *< ^, quod indicio fuiaset * quantum vis 
rnagnum accipi posse semperque fore P>1; quod autem de valore f j 
valet, multo magiB de maioribus valet), sit ergo i ^ eritque 

Oft O'} 

/-24 et S3 -- et B^ -- JJ; 

unde colliguntur distantiae focales 

, w as , 28 ,. 

j)-o, #-~ n Aa, r~ Bl A&a, 

K n AO M . us AO n it 115 AO 

t. f ,, w ., l-^-.^.a, - lu "' M - 
Kt/umi Opfetft omBlft HI 4 Diopkicn Oft 



514 LE3EI TERTII SECTIO QUAETA CAPUT II 305-307 [402-403 

et intervalla lentium 

23 . , 23 A , , . 23 n A /. 

primum =Aa, secundum = ~Aa, tertium = uAa (I 

, 23 AC . , 115 AC 

quartum - - - w - a, qmntum - ^ - ^ a 

et semidiameter aperturae leutis 

secundae = ^ + a? et tertiae = a?. 

EXEMPLTJM 9 
306. Maneat ^ = 4 et sit i = l; fiet 

^ 72 ^ 65 , . ^ 65 

P= 7 , ergo - M , hmc 5 ^; 

unde colliguntur distantiae focales 



65 ^1C 195 AC W5 AC 



et intervalla lentium 

65 . , 65 A ... 65 , ., /, 1 \ 

prmmm = - n Aa, secundum *** Aa, tertium -= ,-,. A(hi( \ ., , 

/* *lo -j7" \ zUi 

, 65 J.6' . , 195 AC 

quartum - 124 K a, qumtum - 4M w a 

et semidiameter aperturae lentis 

secundae "cm + ^o^ e ^ tertiae # 

iUC 7* a 

SCHOLION 

307. Horum exemplorum ea inprimis sunt notatu dign% in quibue flebat 
Pl, quia turn littera A abibat in inMtum eratqua % * L In casu igitur 
secundo, quern hactenus sumus eontemplati, statuamus in genera P^l ae 
sumi debebit < r ^ ^, Turn ergo erit 93 simulqua JB 0; unde sumto 



403404] DE MICROSCOPES HUIUS GENERIS MAGIS COMPOSITIS 515 



31 = 1 et .4 = c\D fiet = A$$a, Mnc vicissim J.S3 = A B = |-, ita ut 
nunc distantia focalis secundae lentis q arbitrio nostro penitus relinquatur; 
turn autem ad primum intervallum inveniendum ob 95 = ^~ erit 



atque bine in genere distantiae focales ita se habebunt: 

3 a 



15 6 Y 15 

seu 



Intervalla vero lentium erunt 



prim urn =^= ^ ; Becundum = , <?, 

V 



, - 2g) (/ . , 15 C 

qnartnm - ^--ff, qmntoxn 



ubi orgo manifestiwn eat nocessario sumi debero '< Turn vero erit aemi- 
diameter aperturae lentis 



8 



S 3 f t 4^ 1 

seeundae " ^ <n> Sf + ^ e ^ tartiae * ar> r ""^ "<j ^^ 

Oeterum hie manifestum eat istes formulas ad telescopia accommodari neuti- 
quaui poHHo, Cuiu igibur omnes casus, qui quidem in praxi locum habere 
l)Bflunt, adeo pro sex lentibus evolverimus iisque tantum campnm conciliar- 
verinuiB, quo maior deHiderari vix queat, huic capiti finem imponimus ad 
BfK|uens icl<|uo tiltimum progressuri, in quo ostendimtis, quemadmodum loco 
lantln obioctivae dnm pltiresve lentes sive ex eodem sive ei diverao vitri 
gaoara factes Bubstifcuendo omniB pkne coafusio tolli possit^ ut hoc mode 
mieroscopia omEibus numeris absolute nanciscamut. 



CAPUT in 

DB SUMMA HOEUM MICROSOOPIOEUM PEEFECTIONE 

DIM EA AB OMNI CONFUSIONE LIBEEANTUE 

PROBLEM! 1 

308. Si lens obiectiva constet quatuor lentibus convex/is proxime infer se iunctis, 
quales descriptae sunt supra in problematic 4 capitis secundi sectionis pracccdcntis 
[ 177], reliquae vero kntes ita sint dispositae, uti in capitibus praecedentibus Mius 
sectionis descripsimus, omnem confusionem a lentium apertura oriundam destruere* 

SQLUTIG 

Quatuor illas lentes in loco citato descriptas hie loco lontis obiotivao 
substitui assumimuB casque comunctim in calculo instar ttnicat^ lentin tracta.rnuH. 
Cum igitur littera A hie ad primam lentem pertinaat, quatonus <MI in (Jetor- 
minationes sequentium lentium ingreditur, idem significat, quod in loco citato 
per productum ABCD signiiicabatur. At supra hoc production designa* 
vimus littera (9 ? ex quo ad locum antecedentem regrediendo ibi idem erit, 
quod Me nobis est A, Ibi ergo quatuor illarum lentium distantiaB focalen 
designemus litteris p', p", $ m , p"", et cum cuilibet littera germanica conveniat, 

quae sit 81', $T, Sl w , St w/ , ex nostro A ob <9 - A habebimuB 

* 

' ' ""' 



atque ez his litteris germanicis, quatenus ad singuka quatuor lentes priores 
referuntur^ xina cum numeris A, qui pro singulis unitati aequales smnuntur, 
singulae hae lentes per formulas notas construi poasunt Antequain autem 



406-407] DE SUMMA HORUM MICEOSCOPIORUM PERFECTIONS 517 

has ipsas distantias focales assignare queainus, intervallum minimum inter 
has lentes spectare debemus; quod cum ibi positum esset =jp, ne haec 
littera in nostris formulis confusionem pariat, statuamus hoc intervallum 
= dp'\ unde litterae ibi usurpatae P, Q, It, S ita definientur: 

i _ 1 , 0* A- 

' 



unde ipsae distantiae focales erunt 

4J. 4 A 

*> P 

5 " 



His notatis, quod supra erat PQES, hie nobis sola littera P exprimitur, ita 
ut iam intervallum a lento obiectiva usque ad nostram lentem secundam sit 

Aa(l- 

quod ergo iam apoctatur ut nostrum intervallum primurtu Ob multiplicationem 
ergo lontiH obiectivae hoc primum intervallum quondam alterationem patitur 
a fractions $ natam; ni enim priina lens esBet simplex, hoc intervallum 
tantum esHet Aa(l~ p) nunc autem id erit 



Quia autom hoc augmentum plerumque est valde parvum, id facile negligi 
potorit. Heliqua autem mtervalla ordine atabilito precedent; erit scilicet 



secundum ^^ a \p^ po) 



PQ 
efc permde ac Bequantes distantiae focales, Bcilicet 

.u ft 

etc. 



Nunc igitur totum nagotimm hue redit f ut coufoiio a lentium aperfcura 
orto pamtus wi nlMlmm redigator, qmoi fit, uti loco citato mveaimus^ ope 
huiuH 



518 LIBEI TERTH SECTIO QUARTA CAPUT III 308-311 [408-409 

6 ^ 5 ) 4. *(L 

16 -4 s h 



16 A* 



ex qua aequatione fractio $, qua exigua intervalla inter lentes obiectivas 
determinantur, commode definiri potest, si modo littera A. numerum sati.B 
magnum veluti 60 denotet lentesque obiectivae ex eiusmodi vitri genera pa- 
rentur, pro quo sit v>^~- Supra [182] enim ostendimus, si sit A * 60 
vitrumque commune adhibeatur, pro quo sit n = 1,55, turn fieri < = ^ quoniam 
casu A = 60 partes a sequentibus lentibus ortae quasi evanescunt. Huius- 
modi igitur lens obiectiva composita cum, omnibus praecedentibus micro- 
scopiorum formis combinari poterit, in quibus scilicet inest littera A, enqne 
valor circiter 60 tribuatur. Quando autem hoc usu votiit, ne opus quidcuu 
erit in hunc valorem ipsius A anxie inquirere; constructs oniiu singulis 
tibus secundum praecepta cognita, id quod sine notitia litterae ^ fieri 
intervalla quatuor lentium obiectivarum indefinita rolinquantur oaquo <lomux 
per experimenta ita determinentur, ut confusio fiat quatn minima, nisi forte 
plane nulla fieri nequeat. Turn autem ex forma harum lentium sponte in- 
notescit semidiameter aperturarum % 9 cuius hae lentes sunt capaces, indequa 
mensura claritatis ^ existente 3Ji - m * lieliqua omnia autem niotnenfat 
prorsus eadem manebunt, uti in praecedentibus capitibus est axpoflitum. 

OOBOLLAEIUM 1 

309. Quodsi ergo fuerit -4 60 at quatuor lentes obiectivae ex vitro 
communi, pro quo est n 1,55, conficiantur, supra [ 188] sequontem harum 
lentium constructionem invenimus: 

L Pro prima lente 
cuius distantia focalis est * 3^9838 a , capiatur 

-. * . I anterioris - 0,97756 a 
radius faciei { 

I postenons + 0,67382 a, 

aperturae semidiameter ^ 



409410] DE SUMMA HORUM MICROSOOPIOBUM PERFECTIONS 519 

II. Pro secunda lente 
cuius distantia focalis =4,5740 a, erit 

anterioris = 1,7682 a 



radius facie! , 

posterioris = + 1,0384 a. 

III. Pro tertia lente 
cuius distantia focalis r == 4,9965 a, erit 

( anterioris = 4,3440 a 
radius laciei { 

( posteriori s = + 1,6833 a. 

IV. Pro quarta lente 
cuius distantia focalis #* 5,2006 a, erit 

anterioris *** 18,1522 a 



radius faciei , , . . OOAKP 
posteriory = 3,3955 a. 

Intervalla autem inter has quaternas lentes sumi poterunt 0,2185 #, ea 
autam praestabit por exporientiam deiiniri. Tuna vero semidiameter aper- 
turae capi potent #-0,16883a, unde colligitur mensura claritatis 

20 x 3,3666 a 26,9328 
^.--i ^ - ^ , 

si scilicet distantia a in digitis exprimatur, 

COEOLLAEIUM 2 

JJK). Facile intelligitur, etiamsi littera -4 si?e aliquanto maior sive minor 
caporotur ijuam 60 f tamen in constructione harum lentium vix ullam ori- 
turam ease variationam, quae quidem in praxi observaxi posset; id tantum 
hie notari oportet, quod si eeset A < 60, turn lentes istas non amplins tarn 
propo inter se const! tui posse, quam confusionis destractio postulat Sin 
atitem A > CK), turn bind negotium eo felicius succedet. 

SCHOLION 

81L In genare autem notetmr, quo maior foerit numerus A 9 eo feHcms 

cinttdoqMdem tmm mterralla harom lentium non 



520 LIBBI TEETH SEOTIO QUARTA CAPUT III 311312 [410-412 

amplius tantopere exigua reperientur; unde hoc commodi consequimur, si 
forte sequentes lentes adhuc satis notabilem confusionem pariant, ut etiam 
ea lentes has magis appropinquando destrui possit. In ultimo autem scholio 
praecedentis capitis [ 307] casus occurrit, quo fiebat ^ = 00 et SB = ? = 0, 
ita ut esset AS = ; ad liunc igitur casum nostra lens obiectiva quadru- 
plicata commodissime adplicari poterit; turn enim fieri debebit 

A * 5 I 7 > 7 V I a'*' I ? ft" I \ 4* 

= _ - v + * ^ _^ + _ r + .-^ + ^ etc, 

ex qua fractionem $ definiri oportet; turn autem distantiae focales quatuor 
priorum lentium erunt 



quae ergo utique etiam a fractione $ pendent, et ubi supra diximus lontcB 
construi posse sine notitia ipsius $ ? id tantum de eius valore adcurato ost 
intelligendum; in praxi enim sufficit eius valorem proximo nosso. Domde 
vero litterae germamcae ad has lentes pertinentes erunt 

omnes vero litterae A unitati capiuntur aequales. Si igitur sumamus omnos 
lentes ex vitro communi confici, pro quo est #*1,55, erit v 0,2326; siquo 
insuper sit A' 1 et yl/'l, ob *1 proximo aeqimtio nostra rosolveTula 
induet hanc formam: 

A ^ - 0,1680 + 1,8718 $ . 4 Q? 
""* 16 ^f/ 8> 

ubi sequentia membra , quae insuper per 2ft sunt divisa ? tuto reiicero licet; 
hinc ergo coUigimus 

tf -0,08708 11,897- a j; 

unde patet esse debere J> 6,0771. Si ergo sumamus y^ 10 a, flat 
$ _ 0,07569 4 3 Q sea proxime * ^ 

qui valor satis est ad praxin accommodates, quern in saquente eiemplo 
fesiua evolvemms* 



412-413] 



DE SUMMA HOKUM MIOEOSCOPIORUM PERFECTIONS 



521 



EXBMPLUM 

312. Si omnes lentes ex vitro communi parentur, ut omnis confusio tol- 
latur, sumi debet $ = jg et q = lOa eruntque distant iae focales nostrarum 
quatuor lentimn obiectivaruna 

/ 4 a, $"=* 4,923 a , //"= 5,538 a, /'"= 5,846 a; 

?r~4, sr~3, sr~2, sr"~i. 

Deinde intervsilla inter has quatuor lentes etunt ^ a = 0,3077 a. Deinde 
vero interval! um ab hac lente obiectiva ad secundam leatem principalem erit 
proxime I0a, ubi ^ adhuc nostvo arbitrio relinquitur, dumniodo sit %<[> 
r rui voro n^liquae 1 elites et reliqua nioinenta inanebunt prorsus, uti in 
Bcholio ultimo | 307) capitis praeoedontis sunt exposita. 3 fine igitur singulae 
lentes fonuari potornnt ac pro secunda ac tertia quiclaiu etiani poni debet 
A' 1 et A" 1.' 

Pro prima igitur liannn lentiuni obiectivarum, cuius distantia tocalis est 
y' 4tt et SI' 4, erit 



ranei { 






( V J71()la 



Pro Htxumda, OIUUH distantia foealm oat //' 4,95JJ)^ ot $1"** It, erit 

// // 

anterior IB * - w f, N f *- -- 1,8^51 //. 

.. * * , <t Vi (<y-* (>) z.6827 

radius faciei ,, 

posteriori B - ffl ^ f - 4 5008 TO ^ ^ () ^^^ 

Pro feuiia lente, cuiuB distantia focalis eat $"** 5,538 a ot ?I W 2, erit 

anterioris /"if-A * ~ 4,4447 

1 jIe4uU 
/// 

posterioris ^f" fi ^ 1 8WBS + If8074a* 
Pro quarts lente f cuins distantia focalis eat j? w ' 5,846a et ?[' w - 1, erit 

_ anterioris - ^f^ - + 80,6560 a 
fooiei 



radius faciei < 



Utiuuu 



t posterioris - ^ - + 

III* DioplHcik 



522 MBEI TEETH SECTIO QUAETA CAPUT III 312-313 [413-414 

Pro secunda vero lente principal!, cuius distantia [focalis] est arbitraria 
= 2, ob 35 = et A' 1, erit 

anterioris = ~ = 0,61448 q 
radius faciei 

posterioris = 5,2439 q. 

Pro tertia autem lente principal!, [cuius distantia focalis 1 est 



ob ( = 1 proxime et A"= 1 erit 

anterioris = = 1,7479 q 
radius faciei - 

posterioris = ~ r = 0,20483 #. 

Quibus inventis sequitur 

OONSTRUOTIO GBNBBALIS MICBOSOOPU 

EX NOVEM: LENTIBUS OOMPOSITI EX VITKO COMMON r PA.HANDIS 

313. Sumta pro lubitu distantia obiecti a constructio ita HO habebit: 

1. Pro prima lento 
cuius distantia focalis *4a, capiatur 

anterioris ? 97101 a 



radius faciei . 

poeterioris + 0,67370 a; 

quae ergo aperturam admittit, cuius semidiameter a? 0,1684 a, 
Distantia ad lantern secmxdain 0,3077 a, 

II Pro secunda lenta 
cuiua distantia focalis est 4,923 a, capiatur 

,, f anterioris 1,8861 a 
radius faciei 



posterioris -f 1,0988 a, 
cuius apertura est ut primae et dietantia ad leniem textiaxn 



d!4 415] DE SUMMA HORUM MIUEOSCOPIOKUM PEBPBOTIONE 528 

III. Pro tertia lente 
cuius distantia focalis = 5,538 a, capiatur 

... . . . f anterioris = 4,4447 a 

radius faciei ] 

I posterioris = + 1,8074 a, 

a.pertura ut primae et distantia ad quartam =0,3077 a. 



IV. Pro quarta lente 
cuius distantia focalis * 5,846 #, capiatur 

anterioris = 30,6560 a 
posterioris * 3,5922 a, 

apertura ut primao, distantia ad quintam #, ubi est numerus 

o " 

minor qnam - 2 , at f/ quantitas arbitrio nostro relicta. 



radius faciei I 



V, Pro quinta lente 
curds diBtantia focalis q, capiatur 

.. . . ( anterioris 0.6 1448 a 
radius faciei 

I posterioris 5,2439 g, 

oius aperturae semidiameter J-^^"^ 1 ^ 

et distantia ad lentem sextam t (7* 

<> * 

VI Pro sexta lente 
cnius distantia focalis ost r * $ 9 capiatur 

* . f anterioris ~>1,7479# 
radius faciei { , . 

I postenons 0,2048 j, 

eiua aperturae semidiameter 

8 (C 4) , 1 1 
-A.r -. 



ct dietantia ad lentem septimam 



68* 



524: LIBRJ TERTD SECTIO QUAETA CAPUT III 313-314 [415-417 

VII. Pro septima lente 

o /~1 

cuius distantia focalis 6 ' = w'<? 

et quae debet esse utrinque aeque convexa, capiatur 

radius utriusque faciei =*1,1$ 
et semidiameter aperturae == 4 s, 



distantia vero acl lentem octavam = j * ' 



VIII. Pro octava lente 
cuius distantia focalis t = if^lst'yt'^ 9 ca P^ur 

radius utriusque faciei * >. 1 9 \ t 
et semidiameter aperturae ===== 4 t, 

1 r' /*v 

distantia vero ad lentem nonam " ' </, 

4(17 8?) we J 

IX. Pro nona lento 

cuius distantia fbcalis u == 34^^^* ^'ff? capiafcur 
radius faciei utriusque l,lw, 

aperturae Bemidiameter * J w 

atque erit distantia ad oculum ^ -w. 

X. Turn vero wpatii in obiecto connpicui Bemidiameter erit x *** !** <|uod 



cernetur claritatis gradu, CUIUB mensura ent ^ a0tl! 



4$r 

wt ~ a>t * 



XI Hie autem ex multiplicafeione proposita w nascitur 2K ^ r * aumto 
A M g dig* ; per m igitur expressa mensura claritatis erit m ' m * 

XII. Praeterquam autem, quod litterae J et j ub arbitrio nostro pendent, 
etiam C pro lubitu assumi potest, dummodo nit numeras satis magims, aiqua 
fini inservit, ut ultimas lentes non fiant nimie exiguae, si Bcilioefc multipli- 



4 17-41 8 J DE SUMMA HOKUM MICEOSCOPIOEUM PERFECTIONS 525 

catio fuerit praemagna. Notetur autem, cum ob sumtmn A = oo hae formulae 
aliquantum a calculo discrepent, errores evitari posse, si per experientiam 
tam distantia obiecti quam intervalla quatuor priorum lentium debite deter- 
minentur. 

SCHOLION 

3.14. Quoniam hie casus, quo erat A. = co, moram facessere posset, appli- 
cemus nostraxn lentem obiectivam quadruplicatam ad casum in exemplo tertio 
casus secundi [ 300], ubi erat 

p-J, a)-~l et If-- J, 

<juoniam commode litterao A valor satis ma,gnus tribui poterit. Turn ergo 
fiequontium lentinm distantiae focalos manebunt, uti ibi sunt descriptae, 
perinde atque earum intervalla , nisi quod primum intervallum nunc debeat 

0880 

A f\ , fi(A - 1)tf 1\ * /'I , 6(yl 1)*\ A /I , /fc V A , . , 

Aa ( l + A + 1 P) ^ Aa (* + ^ -H a ) ~ Aa ( + ) LP roxi ^J; 

ad confusionom autom tollendam iani satisfiori oporfcet hide aequationi: 

(8^ r -6^ + 8) 

16 X 8 ' 

, A( ^A}*(1A - 6) *v(^-l)(7^ 8 -18-A + 28) 2 ,, , 8T 

wf " 88 A 8 " -.......^- . 16XJ| ... + g ^ 8 ^ &v) + ^ , 

ex qua fractionem <f definiii oportet; quod quo commodius fieri po^sit, ita 
tit pro ^ fractio non nimis oxigua reperiatur, omnes quatuor lentes obiecti- 
vam conBtituontos ex vitro crystalline) (Flint Glass) confici sumamus, ita ut 
nunc Bit y- 0,2529, atx|uo nunc etiam pro A non opus erit numerum adeo 
magnum ntatuare; si cnim stafcuamus yl50 f reperietur ista aequatio, post- 
quam scilicet per 16 J 8 fuerit multiplicata, 

- 24768 + 242679 rF + 48; 
and coliigiiur 

^ 24720 t 
<r "" S42679 " 10 I? 1 " * 1 " 16 ' 

qui valor ad pmxin asfc neoommedatus* Smmto i^tur ^t 50 et 



526 LIBEI TBBTII SBOTIO QUARTA CAPUT III 314-315 [418-419 

<? = -~ distantiae focales quatuor priorum lentium erunt 

y _ 3^922 a, p"=* 5,063 a, /"= 5,821 a, #""= 6,183 a, 
quibus iungantur numeri 

2T = 3,922, 2T = 2,922, 2C" = 1,922, 8l w/ - 0,922. 

Intervallum vero singular um harum lentiura est ^y^ 0,392 a, deinde vero 
intervallum a lente obiectiva ad lentem principalem secundam = 46,667 a. 
Ex his ergo quatuor lentes obiectivam constituentes sequenti modo construentur: 

I Pro prima lente 

cuius distantia focalis est #'= 3,922^ et numerus 2f= 3,922 4 13 
erit 

f r 

anterioris == - ^ - : -. = VT^T^' = "~ 0,9632 a 



radius faciei 

posterioris = - _ = + 57953 = + ' 6767 "' 



5,7953 

II Pro secunda lente 

cuius distantia focalis est jp" 5,063 a et numorus 2r 2,922 - 3 -- 1S 
erit 

anterioris 4 , A ; 1,9248 a 

-. . . 

radius taciei 

posterioris 

* 

III Pro tertia lente 
cuius distantia focalis est jp w 5,821 a et 2r - 1,922 , orifc 

w 

anterioris * ; ; 001 4,8958 a 

- * - , , 

radius facioi 



, 



posterioris + -;Wf ^ + t, 9981 a. 
j,yio^ 

IV. Pro quarts lente 

cuius distantia focalis /'" 6,183a et l w ? 922, erit 

*Ht 

anterioris /^* 24,5160a 
radius faciei( 

posteriorls 1*4710 "* 42007a, 



419-421] DE SUMMA HORUM MICROSCOPIOEUM PERFECTIONS 527 

Quod ad sequentes lentes attinet, nihil interest, ex quonam vitri genere pa- 
rentur, dummodo tres postremae utrinque fiant aeque convexae. Binis autem 
prioribus figura adeo quaecunque tribui potest, dummodo distantias focales 
assignatas adipiscantur. Ex his igitur colligitur sequens 

CONSTBUOT10 MTCEOSCOPII EX QUATUOE LENTIBUS OBIECTIVIS 
ET QUINQUE OCULAKIBUS COMPOSITI 

315. Quatuor lentes priores obiectivam constituentes ex vitro crystallino, 
pro quo est ^ = 1,58, parari surnuntur, reliquas autem lentes ex vitro quo- 
cunque conlicere licebit, 

Construct) o autem ipsa ita se habebit; 

L Pro lente prima 
cuius distantia focalis est 3,922 a, capiatur 

^ . . ( anterioris 0,9632 a 
radius laciei { 

( posterioris + 0,6767 a; 

cuiim apwturai^ Homldiametor sutrii poterit a;0,lGt)a et distantia ad 
"hurtem Becundam n( 



IL Pro secunda lente 
cuius distantia focalis 5,063 a, erit 

., . . r anterioris 1,9248 a 
radius faciei { 

I posterioris + 1,1628 a; 

euius apertura eat ut primae, distantia ad lantern sequentem quoque 
0,892 a. 

III. Pro tertia lente 



cuius distantia focalis 5,821a, erit 

- . . f anterioris 4,8963 a 
mdiae faaei I , , * 

I poatenons 1,9981 a, 

apartura ut et diateatia a^d quartam deEtio - 



528 LIBRI TEBTII SECTIO QUARTA CAPUT III 315-317 [421-422 

IV. Pro quarta lente 
emus distantia focalis = 6,183 a, erit 

( anterioris = 24,5160 a 
radius faciei < . . . 

Iposterioris = 4,2007 a, 

apertura ut priinae, at distantia ad lentem sequentem =*4 

V. Quintae lentis 

distantia focalis # = 33,333 a 

et semidiameter aperturae = g 3 ^ + - 3 # 
et distantia ad lentem sextani == 25 a. 

VI Sextae lentis 






distantia focalis sit r = . 

semidiameter aperturae * 8a + * r/ 

distantia ad lentem septimain ~ 8,333 cWl -- 

VIL Septirnae lentis 
quae utrinque debet esse aeqnaliter convexa uti et duae 

^ 750 

distantia focalis est s^ ^/^a et apertura maxima ot (liHtiinfcia jwl 



octavam 

wt ' 

VIIL Octavae leiitis 

distantia focalis sit i 20^80 * ^ * a s ) 
et distantia ad lentem nonam *6,70*^<a. 

IX* Nonae deniqtie lentis 
distantia focalis est u 13,40 - ^ * a 
et distantia ad oculum 1 . 

a 

1 78 *0 

1) Editio prinoeps: *^ *a, Oorrexit E, Ob, 

2) Bditio prineaps: ^-*85,2'^ -a, 00ir*i:it K. Oh 



422-423] DE SUMMA HORUM MICRO SCOPIORTJM PERFECTIONS 529 

X. Spatii autem in obiecto conspicui semidiameter erit ^, quod 
apparebit gradu claritatis, cuius mehsura est 

_ 3,38a _ 27,04 



SCHOLION 

316, In his microscopiis id desiderari poterit, quod eorum longitude fiat 
nimis magna, cuius rei ratio tnaximani partem in eo est sita, quod erat 

O 

PPM .. Quamobrem nostram lontem quadruplicatani ad exemplum octavum 
[ 305] accommodemus, ubi est 

P_24, --? et JS--g; 

unde patet, si iterum capiatur A 50, partes confusionis a lentibus S et C 
ortas magis evanescera quani casu praecedente; turn vero etiam littera $ 
eundem quern ante valorem retinebit; hinc ergo formari potest sequens 



UONSTUUOTIO M10KOSCOPII EX NOVEM I.ENTIBUS OOMPOBITI 

QUAKUM QUATUOtt PKIORES LKJNTEM OBIEOTIVAM OONSTITUKNTES 

EX VITRO ORYSTALLINO BINT FAOTAE 

317. In hac constructions quatuor articuli priores ad lentes obiectivas 
relati manent iidem ut in genera praecedente, nisi quod statui debeat 

IV, Intervallum quartae lentis ad quintam 76,74 a. 
Reliqui porro articuli erunt, ut sequontur; 

V. Quintae lentis 



distantia focalis sit g^^l 

et samidiameter apartume ||-f ifl? existenta $0 ? 

diitantla ad leu tern sextain 15,87 a* 



ill 4 



530 LIBRI TERTTI SECTIO QUARTA OAPUT HI 317-319 [423-425 

VI. Sextae lentis 

distantia focalis sit r = 14,20 a 
et semidiameter aperturae = g%, 

distantia ad lentem septimam = 14,20 Ca (l |^ 

VII. Septimae lentis 

quae utrinque debet esse aequaliter convexa ut et duae sequentas, 

o 
sit distantia focalis s == 127,78 - -^ a; cui lenti apertura tribuitur maxima 

et distantia acl lentem octavam =47,92*^* a. 

VIII. Lentis octavae 

o 
distantia focalis sit t = 79,86 ^ # 

et distantia ad lentem nonam = 19,97-^-a. 



IX. Nonae deniqua lentis 

u 39, 
et distantia ad oculum I 



distantia focalis est u 39,93 * a 



a 



X. Denique ut ante est spatii in obiocto conspicui 
quod apparebit gradu claritatis, cuius mensura est '* 1 * .* * 



. n 



SCHOLIQN 1 

318, Tarn in his duabus microscopiorum speciebus quam in aliis, quae 
simili mode in medium afferri possunt, id potisslmum inprimis uotatu dignuni 
occuiTit, quod eaedem lentes ad omnes plane multiplieationes, dummodo satis 
magnas, aeque adhiberi possunt Cum enim numerus (J plane ab arbitrio 
nostro pendeat, dummodo sit mediocriter magnus, ita ut S^j f^ ^ praxi 
pro unitate haberi queat, fractio ^ taiiquam data spectari pofcest veluti ~ ^ 
vel ^j ut postremae lentes non flant nimis exiguae^ ita ufc haae fractio 
multiplieationem non amplius continere sit censeBda* Hoc igitur noteto 
solum intervalluin lentiuui sextae et septimaa muitiplieationem detaiminabit, 



125-426] DE SUMMA HORUM MIOROSCOP10RUM PERFECTIONS 531 

ita ut manentibus tam iisdem lentibus quam reliquis intervallis solum istud 
intervallum pro varia mnltiplicatione mutari debeat, quae autem mutatio non 
adeo erit magna. *) Si enim desideretur multiplicatio m = 400, sumta di- 
stantia obiecti a = -~ dig. erit $1 = ~ 25 hincque istud intervallum 

12,48 Ca 6,24 Odig. 

ob a ===== g dig. Sin autem velimus multiplicationem m = 800, hoc inter- 
vallum erit 

= 13,35<?a = 6,67G y dig. 

Atque adeo si hoc intervallum sumeretur 

14,20 Oa^ 7,10 6 Y dig. 

tune multiplicatio infinita produceretur. Semper autem consul turn erit his 
instruments non nisi ad multiplications raaximas nti ? quoniam, nisi 5Di 
esset numerus valde magnus, littera tanta non foret, ut & pro unitate 
haberi posset. 

SCHOL10N 2 

31,9. VideamuB nunc etiam, an hae lentes obiectivae quadruplicatae ad 
eos casus adplicari posRent, ubi littera A fit negativa, ad quod investigandum 
Bitmamus Buperius exemplum septimum | 304], ubi erat P *|, atque ut 
intervallum 



prodeat positivum, posito A^ cc debebit esse ^ tg T^ positivura 
hincque 



ideoque multo magis rJ 1 < ^ 8 sivo <J < ^ , id quod in praxi locum habere 
nequit. Quia autem hoc non successit ob valorem jP-||> faciamus adplica- 
ttonem ad exemplum 8 casus 1 [| 298J, ubi erat P -*-, S i J? " 
Hoc oasu ergo positivum esse debet intervallum 



!} late aa*rUo inaocuraU aU E Ob* 

/ 



532 LIBBI TERTII SECTIO QUANTA CAPUT III 319-821 [426427 

unde pro 3 valor non nimis exiguus requiritur. Examinari autem oportet 
aequationem, qua confusio tollitur, quae per 16 A* multiplicata erit 

= _ ( a I) 8 + v (a l)(5a 2 + Qa + 5) 
, 16 / X v 

+ 180 + 23) 3 -f- 



cui quidem aequationi satis idoneis valoribus tarn pro a quam fi satis Jleri 
posset; sed quia haec microscopiomm species alii incommodo est obnoxia, 
quandoquidem una lens in ipsa imagine reali posteriori est constituta, undo 
repraesentationem non mediocriter inquinaii iam supra observavimus, non 
opus esse duco hanc evolutionem suscipere, sed potius formularum inventarum 
adplicationem ad telescopia ostendi eo magis conveniet, quod earum usus in 
microscopiis non tantopere desiderari videtur, quoniam perinde est, Bive ob- 
iecta inverse sive erecte repraesentantur; quae autem supra de teloscopiia 
huius generis sunt allata, ad duos tantum casus nimis particularos Hunt 
referenda. Quare ex hac ulteriori istius generis evolutione non contemnen- 
dum supplementum peti potest. 

ADPLICATIO HUIUS PBOBLBMATIS AD TELESCOPIA 

320. Cum distantia obiecti a-c\D, litteram A evanescentem sumi oportet, 
ita tamen, ut Aa distantiam finitam, quae sit Z, denote! Hinc igitur 
nostrarum quatuor lentium obiectivarum distantiae focales ita so habebunt: 

p' 4l t /' - 4(1 r% 



existente communi intervallo inter has lentes 4M. Litterae autom ger- 
manicae ad has lentes construendas adhibendae sunt 

r-0, r-l, 8T- 2, T" 3, 

dum alterae litterae A, X etc* omnes sunt 1. Turn vero inter vallum ab 



hac lente quadruplicata ad lentem sequentem erit (l 6f L\ I. Verum 
ad confusionem destruendam nunc iata habebitur aequatio: 

^ 
/ 



427-429] DE SUMMA HORUM MICRO SO OPIORUM PERFECTIONS 533 

quae, si lentes ex vitro crystalline conficiantur, ubi est v = 0,2529, abit in hanc: 

= ~Lr^ 5 _ 

"16 
Hinc ergo si duo postrema membra evanescerent, foret circiter 3 = ~ ; acce- 

13 

dentibus autem istis membris minor evadet, verum tamen haec membra tarn 
debent esse exigua, ut non superent ^~ 5 ; inter exempla autem in fine 
capitis superioris allata nullum occurrit, quod hie locum habere queat, cum 
confusionis partes ex his lentibus natae multo sint maiores; neque etiam 
formulae generates ibi datae ad hunc usum accommodari possunt, ita at 
huiusmodi lens obiectiva quadruplicata in hoc telescopiorum genere nullum 
plane usum habere possit. 

PROBLEMA 2 

321. Si lens ohiecti'va, constct trilms lentibus 9 quarum prima sit concava ex 
vitro crystalline*, duae (mtem rvliquae eonvcxae coo vitro coronario confectae, reliquis 
lentibus omnibus mancntibus, uti in capite praecedente sunt descrijptae, microsco- 
pium constnteret quod ah omni confusionc sit liberatum. 

SOLUTIO 

Hie in Bubmdmm vocetur problema 2 capitiB 111 HectioniB praecedentis 
[| 194], ubi pro tribus istis lentibus obiectivis in evolutione sequentes sumti. 
sunt valores: 

SI -.- 1 A\, S5-2, -~2, (-1 ofc C-eo 

AH t> 

sea potiuB (7 indefinitum, dum sit numerue satis magnus* Deinde 

1 17 1 87 



unde trium haram lentium distant tiae focalea, quaa Me litteris p' /', 
designemui, ita iunt detaitae: 

/. -- ia, iT-ga, ir-ga, 
interralla autem haram leatium ^a. 



534 LIBBI TBBTI1 SECTIO QUARTA CAFUT III 321-324 1 429 430 

Ut igitur has determinationes ad praesens institutum accommodemus, 

quod ibi erat ABC, hie nobis est simpliciter A, ita ut sit y(7= J., seu 

n 
quod ibi erat (7, hie nobis est yJ., et quia ibi C erat indefinitum, etiam- 

nunc hie A denotabit numerum indefinitum, dummodo sit satis magnus. 
Deinde quod ibi erat PQR, hie nobis simpliciter erit P, quod ideo etiamnum 
est indefinitum; unde intervallum a lente obiectiva hae triplicata ad lentem 
usque sequentem nobis hie erit 

'37 1 



Ut vero omnis confusio tollatur, si littera A referatur ad lentem primam 
concavam crystallinam, eui respondeant litterae ^ et v, pro sequentibus vero 
lentibus coronariis litterae A', A" ete. unitati aequales ponantur ae vitro coro- 
nario conveniant litterae /uf et r, littera A definiri debet ex hac aequatione; 



(*< 
existente 



Hie ergo ex supra evolutis exemplis ea eligi poterunt, in quibus A numenmi 
satis magnum denotare potest atque ubi p < ^ , Bicque plum huiuBmodi 
microscopiorum species omni confusione carentes inveniri poteruni Notetur 

autem ease 

p 0,8724 et v 0,2529 ; 
at vero 

^-0,9875 et v 0,2196, 
ita ut sit 

log. --0,0638214. 

r* 

Hinc ergo evolutione facta erit 

A - 2,2983 + 4,4698 + SS* - ^ (^ + ^) + ^ (^ + 



430-431] DE SUMMA HORUM MICROSCOPIORUM PERFECTIONS 535 

hocque valore invento erit 

A = 0,1897 + -^ 

o^t 

existente 

log. JL = 9,1507314. 

o^t 

COEOLLARIUM 1 

322. Hinc ergo patet, si mode capiatur A = 10 hincque in superioribus 
formulis 6 y =15 ? partes huius formulae posteriores tarn fieri exiguas, ut tuto 
negligi queant, dummodo litterae 33 et J5, quae sunt negativae, non fiant 
unitate inulto minores, quod facile obtinetur, si mode P unitatem notabiliter 
superet. Turn igitur habebitur satis exacte 

A *_ 0,1897 + 0,9664 1,1551 . 

COEOLLARIUM 2 

828. Quia in hac hypothesi pro superioribus formulis erat 6 V =15, cum 
tamen ibi sumsissemus (Sl, quo haec fiant accuratiora, debuissemuB ibi 
Burners ( JJj, unde pars ilia tertia 4,4598 aliquanto maior evasisset in 
ratkma 16 s :15 8 ; quo facto loco istius numeri Bubstitui debet hie 5,4125, ex 
quo concluditur A 1,2807. Turn vero pro tertia lento obiectiva fiat 
jT 0,826 a, 

GOBOLLAEIUM 8 

824. Ut autem aliquam rationem teneamus sequentium lentium, istum 
valorem ipsius A taatillum augeri oportebit eumque ergo sumamus A 1,29, 
Unde pro constructione primae lentis erystallinae fiat t X(A -~ 1) 0,4725. 

Mine pro prima lente obiectiva, cuius distantia focalis est #' -~ ^ a 
at numaras W , trit 



i) 1, 8 808 
facial { 

posterioris - ..... -~ ~- ; ~-~-~ - * "rrr "* -h 4,686 , 
r ~i) o,ioe? 



LIBBI TERTII SECTIO QUARTA CAPUT III 324-326 [432-433 



Pro secunda yero lente obiectiva ex vitro coronario, cuius distantia 
focalis est /'== ^^ = 0,8095 a , ob 33 = 2 supra inventus est 

. . (anterioris = 0,6708 a 
radius faciei \ 

Iposterions = + 0,2617 #. 

Pro tertia autein lente obiectiva, cuius est distantia focalis jp'"= 0,826 a, 
ob 



anterioris 

... . . 

radius faciei 

posterioris - - r ^ r ~ x = - ; x = 0,526 a, 
. r 9 + ((<r 9) 1,5705 

Quibus tribus lentibus, quarum intervalla sunt == ; . a == ? 071 a ? tribui potcrit 
apertura, cuius semidiameter o?^0^065a; unde nascitur claritas, cuius men- 

JL 10.4 

sura est ===== ~ - 

COBOLLAKIUM 4 

325, Quod ad reliquas lentes attinet, quoniam in calculum confusionis 
non ingrediuntur, perinde est, ex quonam vitro parentur et quaenam ftgura 
ipsis tribuatur, dummodo eae utrinque fiant aeque convexae, quae maximam 
aperturam habere debent; id tantum notetur intervallutn a tertia Umto ob- 
iectiva ad sequentem lentem esse debero = 10 a 

EXEMPLUM 1 

326. Adplicemus haec ad exempluin 2 postremi casus capitis praecedentis 
[ 299] ? ubi secunda lens plane tollebatur primumque et secundum intervallum 

in unmn coalescebat, quod nunc erit 16,54 a. Mine ergo sequitur 

* 

OQNSTKUCT10 MICEOSfiOPII EX SBPTEM LBNTIBUS OOMPOSITI 
Hie praeter dietantiam obiecti a multiplicatio m ut data assumitur, 
unde fit 3$ i ^ a * Turn vero etiam numeros arbitrio nostro relinquitur, 
dummodo sit praemagnus, quo effici poterit, ut postreEiae lentes non flaat 
nhnis axiguae. Conetruetio igitur ita se habebit: 



433-434] DE SUMMA HOKUM MICEOSCOPIORUM PERPEGTIONE 537 

I. Pro prima lente ex vitro crystallino paranda, cuius distantia focalis 
est p' = -i- a , capiatur 

_ . . f anterioris = 0,273 a 
radius faciei { 

I postenoris = + 4,686 a, 

eius aperturae semidiameter x = 0,065 a et intervallum ad lentem secundam 
= 0,071 a. 

II. Pro secunda lente ex vitro coronario paranda, cuius distantia focalis 
est jp" 0,809 a, capiatur 

, . , i anterioris = 0,671 a 
radius- laciei { , . 

Iposterions + 0^262 a, 

eius apertura ut primae et intervallum ad lentem tertiam etiam 0,071 a. 

III. Pro tertia lente itidem ex vitro coronario paranda, cuius distantia 
focalis est p'" *** 0,826 a, capiatur 

. ( anterioris 2,611 a 
radius racial { , . . 

Iposterions = 0,526 a, 

eiuB aportura etiam ut primae, at Lutorvallimi ad lewtoju quartan) 16,54 a. 

IV. Pro quarta lente perinde est, ex quonam vitro paretur, clummodo 
nit eius distantia focalis r ^(Sa sive proxitue r^3a, neque etiam multum 
refert, quaenam huic lenti figura tribuatur, 

Eius aperturae semidiameter ~ -^ + \ a et intervallum ad lentem 

quintain 

10 /. 



V, Fro quinta lante, quam utrmque aeque conve^am essa oportet, distantia 
foeaiii i 30**a eiusque apertura maxima* InteiTallum ad lentem 



mo 

l ^ 1 -* uj42i' 

17 ^ 



ornni* HI DioptrJo 



538 LIBET TERTII SECTIO QUAETA OAPUT III 326-327 [434-435 

VI. Pro sexta lente pariter utrinque aeque convexa distantia focalis est 



_ 225 ^ 9 15 ^ 9 

1 ~ "9T+T ' 3R ' a ~ T7~ * 3 " a 
et intervallum ad lentem septimam 

= _l?5i_ C 75 c 

~ 4(9i+ 1) ' Wt : " * ^ 34" " 2ft * a ' 

VII. Pro septhna lente etiam utrinque aeque convexa distantia focaliu est 

OOR,; r' i 7* /*t 

/ ua w J. , < U 

et distantia ad oculum = ;cu. 

6 

VIII. Spatii in obiecto conspicui erit semidiameter ^ .?*L et mensura 

claritatis ~ ~ 
//*< 

Hie igitur quantitas (7 arbitrio nostro relinquitur, duinmodo sit immeruw 

/Y 

satis magnus, ita ut fractio tanquam data spectari possit; cUundo patet 
etiam ease ^="3^^ sicque ipsis lontibus iisdem manentibus idem histruinen- 
turn ad omnes multiplicationes aptum reddi potorit, diaumodo iuiorvallum 
inter lentem quartam et quintain varietur, cum etiam reliqua inter valla 
maneant eadem ob fractionem ^ 

EXKMPLUM 2 

327, Lentem nostram obiectivam triplicatam etiam coniungere licebit 
cum superiori exemplo tertio [800], ubi erat P * et S3 1. Manebant 
igitur tres priores articuli uti in exemplo praeeedente, nisi cjuod in ttne 
tertii scribi debet: 

Intervallum a tertia lente ad quartern 

-6,65 a. 



435-437] DE SUM MA HORUM MIGROSC10PIOEUM PERFECTIONS 539 

IV. Pro quarta lente perinde est, ex quonam vitro paretur, dummodo 
sit eius distantia focalis 

2 = ~-_a=-6/7a. 

Q ,0 Q 

Eius aperturae semidiaxneter ass=: M "H T ^ 
et intervallum ad lentem quintam = 5#. 

V. Pro quinta lente, cuius distantia focalis est 

r . ~ &a 1,667 (a - 1,50 a 
*j 

ramto scilicet (S ^, Biquidem unitati prorsus aequari non potest, 



ciiiB aperturae flemidiamefcer ^ ^ + ^w, 

intervallum ad lentem Boxtam ^^Oa^l Q seu ? si ponatur ^^y, 
ut sit G^yffll, hoc intervallum erit * *^<ya(Wl'lty 9 ubi y ita sumitur, at 
lentes sequentes non fiant nimis exiguae, 

VL Pro sexta lente, quae cum sequentibus debet esse utrinque 
> diatantia focalis sit s ^^ 15 y &, 

apertnra maxima sou semidiamoier aporturae 
et intervallura ad lentem aeptimam *^ j/a 



VII Pro eeptima lente distantia focalis i * ~g ya . 

aperturae semidiameter ^ <, 

inter?allum ad lentem octavam -v^*lj 



VI1L Pro lente octara distantia focalis t< 
apertmrae semidiameter ^-w, 
distentia ad octilum 4 ^* 



u 



IX, Spatii in obieeto conspicni erit semidiameter ^ et mensurn 
el^iitatis 



m 



540 LIBRI TERTII SEOTIO QUAETA CAPUT III 328-329 [48T--438 

EXEMPLUM 3 

328. Superius quartum exemplum hue transferri nequit; ex quinto 
[302] autem, ubi P = y et S3 = y, nascitur haec constructio: 

Tres articuli priores manent ut in exemplo primo; iis autem aub- 
iungatur: 

Intervallum a tertia lente ad quartam = 0,325 a, 



IV. Pro quarta lenbe 



Distantia focalis a 



Bins aperturae semidiameter ~ 4 -^ + ^a;. 

715 
162 



Distantia ad lentem quintam -= t R o^-~ : 4,414 a. 



V, Pro quinta lenfco 

Distantia focaliB fl,83a. 

Eius aperturae semidiameter -- |*^+ ^'* 

Distantia ad lentem sextam 2,087^(^10). 

VI Pro aexta lente 

Distantia focalis s j^a 18,33ya. 

Aperturae semidiameter * s. 

Distantia ad lentem septimam 11^096^^, 

VII, Pro sepfcima lente 

Distantia focalis t ~ ya - 7,237 /a* 

Apertetrae semidiameter J L 

IntervaUum ad lentem octavam J^ya*- 1,809 y a- 



438 439J DE SUMMA. HORUM MICROSCOP10EUM PERFECTIONS 541 

YIIL Pro octava lente 
Distantia focalis u = ~~ t = 3,618 ;/&. 
Aperturae semidiameter = ^u 
et distantia ad oculum = ~t*. 

IX. Campus et claritas se habent uti in praecedentibus exemplis. 

EXEMPLUM 4 

329. Ex superiori exemplo octavo [ 305], ubi P=24 et $= , 
nascitur haec constructio: 

Tribus prioribus arfciculis manentibus at ante subiungatur: 

Distantia tertiae lentis ad quartam = 12,80 a. 

IV. Pro quarta lente 
Distantia focalis j^^a=.2,S96a. 
Aperturae semidiameter * ^| + ^M* 
hitervallum acl quintam lentem ^ g 1 ^ a ^3, 194 a. 

V. Pro quinta lente 
Distantia focaliB r ^\j, * K& 2,556^. 
Aperturae semidiameter **- B $* 
Intervallum ad aextam lentem 2,830ya(iJR 3). 

VL Pro Bexta lente 
Distantia focalia ^ * 25,556 ya* 
Aperturae semidiameter * s. 
Intervallum ad septimam lentem * 



VII, Pro septima lente 
Diitantia foealis I 15,972 /a, 
Apertame iemidiameter -j-'* 
Intervsllum ad lentem octavam ^< 8,998 ya, 



542 LIBKE TERTJI SEOTIO QUART A CAPUT III 320-330 [439-440 

VIII. Pro octava lente 

Distantia focalis u = ~t = 7,986 y a. 
Aperturae semidiameter = -j u. 
Intervallum ad Qculum = ~u. 



IX. Campus et claritas ut in praecedentibus exeraplis, 

EXEMPLUM 5 

330. Facta denique applicatione ad superius exemplum f 80fi] po~ 
stremo nascitur haec constructio; 

Tribus prioribus lentibus manentibus ut hactenus su})iungatur t.artio 
articulo: 

Intervallum tertiae et quartae lentis 12,24 a. 

IV. Pro quarta lente 

QOK 
Distantia focalia q *~ ^ a 2,257 a. 

Aperturae semidiameter * ^ + ^ x* 
Bietantia ad quintam lentem * 3,009 a, 

V, Pro quinta lente 

Distantia focalis r 2,097 a. 

Aperturae semidiameter ^-#. 

Intervallum ad sextam lentem 2,88ya(i0l~ t)* 

VL Pro sexta lente 
Distantia focalis #~ 20,97 fa, 
Aperturae semidiameter ** 
Interrallum ad septimam leatam * 



440] DE SUM MA HORUM MICEOSOOPIORUM PERFECTIONS 543 

VII. Pro septima lente 
Distantia focalis = 15,726 ya. 

Aperturae semi diameter -j-tf. 

Intervallmn ad lentem octavam = ~ t = 3,931 /a. 

VIII. Pro octava lente 
Distantia focalis w 7,868 y a. 

Aperturae semidiameter = w. 
Distantia ad oculum == j-w. 

IX. Campus et claritas se habent ut in praecedentibus exemplis. 



FINIS OPEEIS 



Date Due 



'o 293-5 



Verlag von B. G. TEUBNER in LEIPZIG und BERLIN 

Encyklopadie de?* Mathematischeu Wissenschaffcen mit EinschluB ihrer 
Anwendungen. Herausgegeben im Auftrage der Akademien der Wissensehaften 
zu G-ottingen, Leipzig, Miinchen und "Wien, sowie unter Mitwirkung zahl- 
- reicher Fachgenossen, In 7 Banden zu je 6 8 Heffcen. gr. 8. Geheftet und in 
Halbfranz geb. V. Physik, 3 Teile, red. yon A. Sommerfeld in Munchen. Unter 
Mitwirkung von M. Abraham, L. Boltzmann, G. H. Bryan, P. Debye, H. Dieselhorst, 
H. Dubois, Fr. Emde, S. Finsterwalder, R. Gans, F. W. Hinrichsen, E. W. Hobson, 
J.H. van 't Hoff, H.Kamerlingh-Onnes, M.Laue, Th.Liebiseh, H. A. Lorentz, L.Mamlock, 
G. Mie, H. MinkowsH f , 0. Miigge, J. Nabl, F. Poekels, L. Prandtl, B. Reiff, C. Runge, 
A. Schoenflies, M. Sehroter, E. Study, A. Wangerin, W. Wien, J. Zenneck. 

L Teil. 1. Heft. 1903. M 4.80. 2. Heft. 1905. M 4.80. 3. Heft. 1906. M 5.20. 
4. Heft. 1907. M 3.60. H. Teil. 1. Heft. 1904. M 8.. 2. Heft. 1907. jfC 3.. 

3. Heft. 1910. ^4.60. IH. Teil. 1. Heft. 1909. ^8.. 2. Heft. 1909. M 5. 

Bitte ausfuhrlichen Prospekt zu verlangen. 

Encyclopedic des sciences mathematiques pures et appliquees. Publiee 
sous les auspices des Academies des sciences de G-ottingue, de Leipzig, de 
Munich et de Vienne avec la collaboration de nombreux savants. Edition 
fran9aise, redigee et publiee d'apres Tedition allemande sous la direction de Jules 
Mo Ik, professeur a Funiversite de Nancy. En sept tomes, gr. 8. Geheftet. V. 6 vol. 
Physique, red. en francais par P. Langevin et J. Perrin a Paris. 

Vol. 1. Thermodynamique, 2. Physique moleculaire. 3. Principes physiques de 1'Electricite. 

4. Principes physiques del'Optique. 5. Electricit^ mathematique. 6. Optique mathematique. 



ALKINDI,TIDEUS undPSEUDO-EUKLID, DreioptischeWerke. Heraus- 
gegeben von Axel Anthon Bjornbo und Seb.Vogl. Mit 43 Fig. gr. 8. 1911. Geh. 

EBERT, Dr. H., Professor an der Techn. Hochschule zu Munchen, Lehrbnnh 
Physik. Nach Vorlesungen an der Technischen Hochschule Munchen. In 
gr. 8. Band I: Mechanik und Warmelehre. Mit 168 Abbildungen 
661 S.] 1912. In Leinwand geb 

GRIMSEHL, Dr, E,, Direktor der Oberrealschule auf der IJV 
Lehrbuch der Physik. GroBe Ausgabe. Zum Gebrau 
akademischen Yorlesungen und zum Selbststudium. 2., vi 
Auflage. Mit 1296 Figuren, 2 farbigen Tafeln und ein 
Tabellen physikalischer Konstanten und Zahlentabellen, 
1912. Geh. M 15. , in Leinwand geb 

KELVIN, Lord, Vorlesungen iiber Holekulardyna: 

Lichts. Deutsch herausgegeben von Geh. Regierungsrat 
stein in Berlin. [XVIU u. 590 S.] gr. 8. 1909. In 

LECHER, Professor Dr. E M Lehrbuch der Experiment 
und Biologen. gr, 8. [Erscheint im Herbst 1912.] 

LEIBNIZ, G-. W., nachgelassene Schriffcen physika 
und technischen Inhalts. Herausgegeben und mit ej 
versehen ron Dr. E. Gerland, Professor an der Kgl. B^ 
Mit 200 Figuren im Text, [VI u. 256 S.] gr. 8. 190! 




. 4 
Series 



Carnegie Institute of Technology 
Library 

Pittsburgh, Pa. 







II 



30 1O3