Leçons sur la topométrie et la cubature des terrasses: comprenant des ...

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LEÇONS

' SUR LA

TOPOMÉTRIE

Br LA

CUBATURE DES TERRASSES,

COMPRKIiANT DfiS NOTIONS SOMMAIRES BB NOMOGRAP^IB,

PROFESSÉES A L*ÉCOLE DES PONTS ET CHAUSSÉES,

PAR

l^aurice d'OCAONE,

lofénfeur de» Pôot» et Cliausfé«»,

Chef du Serffce des canes, pl&iii ei instrameou de prêc|fion

da département des Traraux publics,

RêpoUteur k l'École P«lyteebBt<(ue.

PARIS,
GAUTHIER-VILLARS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE

DD miRBAU DBS LONGITUDES, DB l'bcoLE POLYTECHNIQUE,
, Quai des Graads-Augiistins. 55.

1904

LEÇONS

SUR LA

TOPOMÉTRIE

CUBATURE DES TERRASSES.

•2 PRBMIEHB partie. — TOPOMBTRIE.

Si l'on ne possédait qiie des instruments de mesure d'angles sans
pouvoir évaluer les Idbgùeurs, il serait facile, on le reconnaît sans
peine, de construire uàè figure semblable à la projection horizontale
du terrain à relever, mais sans y mettre l'échelle. Bien donc que dans
la plupart des méthodes employées en planimétrie les deux opérations
se poursuivent concurremment nous envisagerons d'abord la mesure
des angles qui définit, en quelque sorte, la similitude de la pro-
jection horizontale, puis la mesure des distances, qui définit sa gran-
deur.

Nous débuterons par quelques indications sur les organes princi-
paux des instruments (*).

( ' ) Dans le Traité de Topographie qu*il a écrit pour la Bibliolhègue du Con-
ducteur de Travaux publics, M. Prévôt, conducteur des Ponts et Chaussées, attaché
au Service du Nivellement général de la France, a bien voulu, sur le conseil qu'il nous
en avait demandé, adopter l'ordre même de nos Leçons. Il sera donc facile au lecteur
des présentes Leçons de se reporter à cet excellent Ouvrage pour les délaiis relatifs
aux dispositions pratiques, à la rectification et au mode d'emploi des instruments
dont nous ne donnons ici qu'une description rapide, nous attachant seulement à
mettre en relief les idées essentielles.

On trouvera d'ailleurs un historique très savant et très développé du sujet qui nous
occupe dans les Recherches sur les instruments, les méthodes et le dessin topogra-
phiques du colonel Laussedat, parues en 3 volumes chez Gauthier- Villars ( 1898-1903).

CHAPITRE I.

ORGANES PRINCIPAUX DES INSTRUMENTS.

2. Supports, — Les supports peuvent se réduire à un simple bâton
fiché en terre sur lequel certains instruments reposent par l'intermé-
diaire d'une douille. Mais le plus souvent ce sont des trépieds dont
chaque pied, terminé par une pointe, est muni d'une pédale qui en
facilite l'enfoncement {Jig* i ). Afin d'amener plus facilement à l'hori-

zontalité le plateau sur lequel repose l'instrument, quel que soit
l'enfoncement des trois pieds, on a parfois recours au dispositif à
calotte sphérique {fig. 2). En général, un évidement taraudé dans
l'embase de l'instrument reçoit une tige filetée sollicitée par un
ressort placé dans un corps de pompe qui est fixé au support, de
façon à immobiliser l'instrument.

PREMIÈRE PARTIE. — TOPOMÉTRIE.

Afin qu'il soit possible, une fois la mise en place effectuée,
d'amener exactement le centre de l'instrument à l'aplomb d'un point

donné, le plateau est combiné de façon à pouvoir recevoir un mouve-
ment de translation par rapport au trépied.

3. Vis. — L'embase de l'instrument repose sur le plateau dont il
vient d'être question par l'intermédiaire de trois vis calantes per-
mettant d'assurer la verticalité de son axe principal de rotation suivant
le procédé qui sera indiqué plus loin.

Les vis de pression permettent de solidariser temporairement les
unes avec les autres diverses parties de l'instrument qui, par cons-
truction, sont mobiles les unes par rapport aux autres.

Les vis de rappel ont pour objet, lorsque deux parties d'un instru-
ment ont été rendues solidaires au moyen d'une vis de pression, de
permettre d'imprimer à l'une de ces parties, qui porte la vis de
rappel, un très petit déplacement par rapport à l'autre qui porte son
écrou (*).

Les vis de réglage permettent de modifier légèrement la situation
relative de deux organes de l'instrument, destinés à rester fixes l'un
par rapport à l'autre, en vue d'assurer la réalisation aussi rigoureuse
que possible de certaines conditions géométriques.

4. Niveau à bulle ou nivelle (2). — Le niveau à bulle se compose

(*) Il faut éviter de pousser une vis de rappel jusqu'au bout de sa course. Aussi,
après plusieurs rotations successives de même sens, doit-on avoir soin de la ramener
en arrière d'une quantité à peu près équivalente avant de s'en servir de nouveau.

(') Le nom de nivelle, donné par le colonel Goulier à l'instrument communément

CHAPITRE I. — ORGANES PRINCIPAUX DES INSTRUMENTS. 5

essentiellement d'un tube soigneusement rodé en forme de tore de
g^rand rayon (20" à 3o", parfois 5o™, dans les bons instruments
de topométrie; jusqu'à 100" dans les instruments d'astronomie)
dans lequel on a enfermé de Téther liquide avec une petite masse
gazeuse, la bulle. Les déplacements de cette bulle se lisent sur une
échelle graduée que porte la partie supérieure du tube, et dont le
zéro, placé dans la partie médiane, sert d'origine à deux graduations
disposées symétriquement de part et d'autre. On appelle lecture de
la bulle la moyenne des lectures faites en ses extrémités (*). Quand
cette lecture est zéro, c'est-à-dire quand le milieu de la bulle est au
zéro commun des deux graduations, on dit aussi que la bulle est entre
ses repères.

Dans les instruments topométriques, le niveau à bulle est surtout
appliqué à la rectification des axes verticaux. L'axe fait corps avec un
bâti reposant sur son support par l'intermédiaire de trois vis calantes.
A ce bâti est fixé le niveau invariablement lié, par conséquent, à
l'axe, mais pouvant, grâce à une vis de réglage, être mis, relativement
à cet axe, dans la position requise pour l'application du mode de rec-
tification tel qu'il va être indiqué. Afin de rendre plus précis le prin-
cipe sur lequel repose ce mode de rectification, nous aurons recours
à un mode spécial de représentation géométrique (*).

5. Réglage du niveau. — Appelant cercle moyen du niveau le
grand cercle d'équateur du tore auquel appartient la fiole de ce niveau,
considérons une sphère de centre C {Jtg^ 3) ayant même rayon que
ce cercle. Menons par le centre C la verticale CZ, la parallèle CA à
l'axe qu'il s'agit de rectifier, et enfin un plan parallèle au plan moyen
du niveau (plan de son équateur), qui contiendra la droite CA, si le

appelé niveau à bulle, est entré dans les habitudes courantes du langage, au Service
du Nivellement général de la France. Il a l'avantage d'éviter le double emploi, avec
le nom de niveau donné aux instruments munis de nivelles, qui permettent la mesure
des altitudes. Pourtant le nom de niveau à bulle reste de beaucoup le plus usité.

(*) Il va sans dire que les cotes de Tune des deux échelles doivent être affectées
du signe +, les autres du signe — . On peut, en outre, au lieu de confondre les zéros
de ces deux échelles au point médian, les écarter de part et d'autre de ce point d'une
même quantité. La moyenne des lectures aux extrémités de la bulle, que Ton sup-
pose dépasser de part et d'autre l'intervalle non gradué, reste la même lorsqu'on
tient compte des signes.

(>) Nous avons, pour la première fois, développé cette théorie géométrique dans
le Bulletin astronomique, t. XX, 1903, p. 5x.

PREMIÈRE PARTIE. — TOPOIIÉTRIE.

plan moyen est, par construction, parallèle à Vaxe; ce plan cou-
pera la sphère suivant un grand cercle NAN', égal et parallèle au cercle

moyen du niveau, et sur lequel le zéro de la graduation sera marqué
en O. L'arc AO est dit Yécart du zéro. Le niveau est réglé lorsque
cet écart est nul.

Voyons d'abord comment ce réglage peut être obtenu :
Lorsqu'on fait tourner le niveau autour de l'axe à rectifier, le
cercle AN tourne sur la sphère autour du point A et le zéro O décrit
un petit cercle 00' de pôle A. Pour chaque position du cercle AN la
position du point B -correspondant au milieu de la bulle, c'est-à-dire
le point le plus haut sur ce cercle, s'obtient en abaissant de Z
sur AN le grand cercle orthogonal ZB. Le lieu du point B est donc
une biquadra tique sphérique (B) passant par A et Z et symétrique
par rapport au plan ACZ. Pour deux positions directement oppo-

Fig. 4.

sées AN et AN' du cercle moyen, alors que les positions O et O' du
zéro sont symétriques par rapport à A, la position B de la bulle est
la même.

CHAPITRE I. — ORGANES PRINCIPAUX DES INSTRUMENTS. 7

La lecture de la bulle (moyenne de celles qui seraient faites aux
extrémités de la bulle sur le niveau) est proportionnelle à Tare OB du
cercle AN, compté, avec son signe, à partir du zéro O jusqu'à la
bulle B, le sens positif étant, par exemple, celui de O vers A. Dans
la position AON, la lecture de la bulle est / = -+- OB ; et dans la posi-
tion AO'N' (le sens positif étant devenu dans le retournement celui
de O' vers A) /'=4-0'B. On a, par suite, A étant le milieu

de 00\{ Jig. 4) n,

^„ O'B-OB /'-/
Ar> = = •

•2 2

Imaginons donc que Ton fasse tourner le cercle moyen sur lui-
même (mouvement que Ton produit au moyen de la vis de réglage du
niveau) jusqu'à ce que le zéro O' soit venu au point A, auquel cas
(l'écart du zéro étant annulé) le niveau est réglé; la lecture X de la
bulle restée en B sera alors donnée précisément par AB, et l'on a,
d'après la formule précédente,

a

De là, le procédé employé pour le réglage du niveau.
Puisque la position initiale est quelconque, plaçons le niveau paral-
lèlement à la ligne de deux des vis calantes et, en agissant sur ces vis
simultanément et en sens contraire, amenons la bulle entre ses
repères (ce qui revient à faire / = o) (^).

Faisons maintenant tourner le niveau d'une demi-circonférence
autour de l'axe. D'après ce qui vient d'être vu, si la lecture de la
bulle est alors /', il suffît, pour régler le niveau, d'amener la bulle,

au moyen de la vis de réglage, à la lecture —

6. Rectification de Vaxe auquel est lié le niveau, — Le niveau
étant ainsi réglé, c'est-à-dire le zéro O, sur l'image sphérique, coïn-

O'B -4- OR

(*) Si le point O était eolre A et B, on aurait AB = • Mais, dans ce

a

caS| d'après la convention faite, il faudrait prendre / = — OB, et le résultat serait le
même.

(*) Lorsque la lecture initiale de la bulle est nulle, c*est que, sur la représenta-
tion sphérique donnée par la figure 3, les points O et B coïncident ou, en d'autres
termes, que le petit cercle 00' et la courbe (B) se coupent sur le grand cercle AN.

PREMlàRE PARTIE. — TOPOMÉTRIE.

cidant avec le point A, si le point B est amené en coïncidence avec O
(c'est-à-dire si la bulle est mise entre ses repères au moyen des vis
calantes), les points A et B sont confondus et le cercle AN est tan-
gent en A à la courbe (B) que décrit Tirnage de la bulle (/î^. 5).

Dès lors si, à partir de cette position, on fait tourner le cercle AN
(c'est-à-dire le niveau autour de l'axe à rectifier) d'un angle droit, il
vient se placer dans le plan de symétrie de (B), qui est perpendicu-
laire à la tangente en A à cette courbe, et prend, par suite, la posi-
tion AZ; la bulle vient donc, en Bo, se confondre avec le point le
plus haut Z. Si alors, au moyen de la troisième vis calante, on fait
basculer l'axe CA dans le vertical CAZ jusqu'à ce que le zéro O
(confondu parle réglage avec A) vienne coïncider avec la bulle B©,
l'axe CA vient s'appliquer sur la verticale CZ.

Pour mettre en coïncidence la bulle et le zéro dans la position ini-
tiale AN, il suffit, une fois le réglage effectué, de placer le niveau
parallèlement à la ligne de deux des vis calantes, et de mettre, au
moyen de ces vis, la bulle entre ses repères. On fait alors tourner le
niveau d'un droit en l'amenant, par rotation autour de l'axe, à être
parallèle à la ligne abaissée du pied de la troisième vis perpendiculaire-
ment à la ligne qui joint les pieds des deux premières. Et, dans cette
position (qui correspond à l'image AZ), on amène le zéro en coïnci-
dence avec la bulle en mettant celle-ci entre ses repères au moyen de
la troisième vis.

Remarque [. — Lorsqu'on suppose le plan moyen du niveau
parallèle au vertical de l'axe [ce qui correspond, sur la représenta-
tion sphérique, à la position AZ {Jig. 5)], on voit immédiatement
que, si Ton déplace l'axe CA dans ce plan vertical, la différence des

CHAPITRE I. — ORGANES PRINCIPAUX DES INSTRUMENTS. 9

lectures de la bulle qui reste, en Bq, confondue avec Z, mesure la va-
riation de l'inclinaison de l'axe.

Dans le procédé classique pour établir le réglage du niveau, on se
place dans cette hypothèse dont la démonstration ci-dessus donnée
est affranchie.

Remarque II. — Un niveau étant placé sur une ligne inclinée PQ
de façon que son plan moyen coïncide avec le vertical de cette ligne,
et la bulle étant amenée entre ses repères, ce qui revient, sur l'image
sphérique, à faire coïncider le point O avec le point Z {fig» 6), on

Fig. 6.

voit que si l'on retourne le niveau bout pour bout, ce qui revient,
sur l'image sphérique, à amener le point O dans la position O' symé-
trique de Z par rapport à la perpendiculaire CA à PQ, la lecture de
la bulle mesure alors l'angle O'CZ, double de l'angle HGQ que la
ligne PQ fait avec l'horizon. Si donc on fait varier l'inclinaison de la
ligne PQ jusqu'à ce que la bulle soit revenue entre ses repères, c'est-
à-dire jusqu'à ce que GO' soit venu sur CZ, le rayon CA sera venu
dans la position CA| symétrique par rapport à CZ, et PQ dans la po-
sition P«Qi symétrique par rapport à l'horizontale CH.

7. Manière pratique d* opérer avec le niveau. — Dans la pra-
tique, les conditions théoriques que nous, avons supposées remplies
(exact rodage de la fiole; paraUélisme de son plan d'équateur et de
l'axe principal, etc.) ne sont pas rigoureusement atteintes. 11 s'ensuit
que le procédé théorique ci-dessus décrit ne réussit (et même, le plus
souvent, seulement après plusieurs reprises) que si l'écart initial à
corriger est assez faible (*).

(') Sur remploi du niveau pour les opérations de haute précision, on peut con-
sulter VEtude sur le niveau à bulle, de M. GœdseelS; administrateur-inspecteur de
rObservatoire de Belgique (Bruxelles; 1900).

10 PREMIÈRE PARTIE. — TOPOMÉTRIE.

On assure cette condition en se servant, avant toute opération, du
niveau comme s'il était réglé pour placer Taxe verticalement.

En fait, son dérèglement est toujours assez faible, et l'on ne commet
ainsi qu'une erreur à peu près négligeable.

L'absence de cette précaution, dont se dispensent la plupart des
opérateurs peu expérimentés, a souvent pour effet d'augmenter le
dérèglement que l'on se propose de détruire.

En résumé le mode pratique d'opérer peut se scinder en trois opé-
rations :

I** Calage approximatif de V instrument. — Se servant du
niveau comme s^il était réglé, on le place d'abord en mn parallè-
lement à la ligne joignant deux des vis calantes A et B {fig- 7) et

l'on tourne ces deux vis en sens contraire de façon à amener la bulle
entre ses repères (*); puis on place le niveau perpendiculairement

à AB {Jig. 8) et l'on agit sur la vis C de façon à amener . encore la
bulle entre ses repères.

(') Pour savoir dans quel sens il faut faire tourner les vis A et B il suffit de se
rappeler que la bulle se dirige du côté de celle des vis calantes que l'on visse (c'est-
à-dire qu'on fait tourner de gauche à droite). Le sens de ce relèvement est inverse
avec la vis de réglage du niveau.

CHAPITRE I. — ORGANES PRINCIPAUX DES INStRLMENTS. II

2*^ Réglage du nà'eau (*). — Ayant ramené le niveau dans la
position mn (Jig, 7) ^^ ^g^^ encore sur les vis A et B pour mettre la
bulle entre ses repères, puis on fait tourner le niveau de i8o* autour
de Taxe O, ce qui lui donne la position m'n' (/ig> 9); on corrige la

moitié du déplacement de la bulle au moyen de la vis de réglage du
niveau.

3** Rectification de Vaxe, — On ramène la bulle de la seconde
moitié de son déplacement en agissant sur les vis A et B, puis on place
le niveau en m|/i, {fig* 8) perpendiculairement à la ligne ABetTon
agit sur la vis C de façon à ramener la bulle entre ses repères.

Lorsque l'axe est suffisamment rectifié, la bulle ne s'écarte pas
sensiblement de ses repères dans un tour complet du niveau autour
de cet axe.

8. Viseurs, — Pour les visées sur des objets rapprochés on se sert,
en général, de deux pinnules percées l'une d'une fente très mince
contre laquelle on applique l'œil, l'autre d'une fenêtre dans l'axe de
laquelle, parallèlement à la fente de la première, est tendu un crin très
fin. Cette fente et ce crin déterminent le plan de visée.

D'après le colonel Goulier, la visée par bissection à travers deux
fentes opposées donne une erreur de pointé moitié moindre.

Dans les instruments plus précis, le viseur est une lunette astrono-
mique. Le plan de visée est celui qu'engendre Taxe optique de cette
lunette lorsqu'elle tourne sur ses tourillons.

Il faut avoir soin, aS'ant de se servir de la lunette, de la mettre exac-
tement au point. On commence par mettre l'oculaire au point sur les

(*) Dans la pratique courante le réglage du niveau ne s'efTectue pas en toutes les
stations, mais seulement de temps en temps, par exemple au début d'une série con-
tinue de stations, de sorte que, en général, on se borne, en se mettant en station, à
effectuer la première des trois opérations ici décrites.

12 PREMIÈRE PARTIE. — TOPOIIBTRIE.

fils du réticule, en dirigeant la lunette sur un fond uni et clair, et
agissant sur le porte-oculaire jusqu'à ce que les fils du réticule donnent
une image bien nette. On met ensuite au point pour l'objectif en
visant un objet offrant des détails précis, une mire par exemple, et
agissant sur la crémaillère du porte-réticule jusqu'à ce que l'image
ait atteint son maximum de netteté.

La façon la plus rigoureuse de s'assurer que le réticule et l'image
de l'objet visé, fournie par l'objectif, coïncident aussi parfaitement
que possible consiste à abaisser l'œil devant l'oculaire et à observer
s'il n'y a pas de parallaxe dans ce déplacement. Suivant le sens de cette
parallaxe on se rend compte s'il faut enfoncer ou retirer l'oculaire.

9. Division des cercles, — Jusqu'au siècle dernier on ne s'est
servi que de la division sexagésimale dans laquelle la circonférence
est fractionnée en 36o parties égales nommées degrés^ puis en soixan-
tièmes de degré ou minutes et soixantièmes de minute ou secondes.

Lors de la création du système métrique, le principe de Ja division
centésimale fut admis pour les angles. Dans ce système, chacun des
quatre quadrants de la circonférence est divisé en cent ^rarfe^, subdi-
visés eux-mêmes en décigrades, centigrades^ milligrades, déci-
milli grades (*), etc. Les calculs de la Mécanique céleste de Laplace
et ceux de la triangulation de la France sont tous effectués avec cette
unité angulaire. Mais l'existence des anciennes Tables Irigonomé-
triques, particulièrement de celles qui sont entre les mains des navi-
gateurs, a fait obstacle à la généralisation de la réforme dans la pratique
et l'on continue à fabriquer des instruments à division sexagésimale.
Aujourd'hui, le public dispose d'excellentes Tables trigonométri-
qucs(^) fondées sur la division centésimale de la circonférence; aussi
les instruments en usage dans les grands services géodésiques ou
topographiques (Armée, Cadastre, Nivellement général) sont-ils
gradués d'après le système centésimal.

Quelle que soit l'unité employée, les angles sont comptés positi-
vement dans le sens direct, c'est-à-dire contraire à celui dans lequel
se meuvent les aiguilles d'une montre, qui est dit rétrograde.

(*) On donne aussi aux centigrades et décimilligrades les noms respectifs de
minutes cente'simafes et de secondes centésimales,

(') Le Service géographique de TArmée a publié des Tables à 5- décimales pour les
usages courants de la Topométrie et de grandes Tables à 8 décimales pour les calculs
de haute précision. Les Tables de M. Sanguet, d'un format commode, et qui sont aussi

CHAPITRE I. — ORGANES PRINCIPAUX DES INSTRUMENTS. l3

10. Limbe et alidade, — Tout instrument de mesure d'angles ou
goniomètre peut être réduit schématiquement aux organes suivants :
deux parties mobiles l'une par rapport à l'autre, autour d'un axe
commun, et mises en contact le long d'un cercle décrit autour de
cet axe. L'une de ces parties, appelée alidade^ porte un viseur déter-
minant soit une ligne de visée perpendiculaire à l'axe commun, soit
un plan de visée passant par cet axe; c'est cette alidade que l'on
déplace de façon à faire passer la lig^e ou le plan de visée successi-
vement par les divers points à relever; l'autre partie, laissée fixe pen-
dant l'opération, est le limbe (*).

L'appareil étant en station en un point O, si l'on vise successivement
deux points A et B (Jig* lo), l'angle des droites OA et OB sera

mesuré par l'arc ab, compris entre les deux positions Oa et 06 du
plan de visée, sur le cercle suivant lequel le limbe et l'alidade sont
en contact.

Pour permettre l'évaluation de cet arc le cercle est muni, sur l'une ou
l'autre des parties en contact, d'une graduation en degrés ou en grades,
tandis que l'autre partie porte un index au droit duquel se fait la
lecture. Le plus souvent la graduation est portée par le limbe, et l'index
par l'alidade. Il suffit alors de lire la division du limbe qui est en face

à 5 décimales, contiennent, en outre, une foule de renseignements mathématiques et
astronomiques des plus précieux ainsi qu'un grand nombre de problèmes numériques,
complètement traités, qui peuvent être d'un grand secours, à titre d'exemples, pour
les calculateurs peu expérimentés.

Toutes ces Tables sont en vente à la librairie Gauthier-Villars.

(') On remarquera que nous employons ici les termes de limbe et d'alidade dans
un sens plus général que d'ordinaire afin de réduire à un type schématique unique
tous les goniomètres décrits plus loin (voir notamment n<* 20).

li PREMIÈRE PARTIE. — TOPOMÉTRIE.

de rindex, dans les deux positions de l^alidade et de faire la différence
des deux lectures pour avoir Tangle cherché.

Si la seconde lecture se trouvait alors plus petite que la première
qui doit en être retranchée, il suffirait d'y ajouter une circonférence
entière : soit, suivant le cas, 36o° ou 4oo^'.

Parfois la disposition est inverse, c'est-à-dire que la graduation est
portée par Talidade et Tindex par le limbe ; la lecture se fera encore
de la même façon, mais les angles devant toujours être comptés dans
le sens direct, la chiffraison portée par l'alidade sera dans ce cas éta-
blie dans le sens rétrograde.

D'ailleurs, afin d'éviter la différence à effectuer entre les deux lec-
tures, l'instrument est généralement disposé de telle sorte qu'on puisse
très aisément faire correspondre le zéro de la graduation «à la visée
initiale. A cet effet, ou bien le limbe est muni d'une ligne de visée
spéciale correspondant à son zéro et que l'on peut diriger sur le
premier point, ou bien il peut être rendu temporairement mobile par
rapport à l'embase de l'instrument, et solidarisé, au contraire, avec
l'alidade de façon à être entraîné avec celle-ci, une fois l'index mis au
zéro, lors de la visée sur le premier point.

11 . Vernier, — L'index où se fait la lecture ne tombe généralement
pas juste en face d'un trail de la graduation. Il s'agit alors d'évaluer,
avec une certaine approximation, l'écart existant entre cet index et le
trait qui le précède immédiatement sur la graduation. Le dispositif
employé le plus communément à cet effet, dans les instruments topo-
métriques, est le vernier (*). Son principe est le suivant : à partir de
l'index où se fait la lecture, on a pris sur l'alidade un arc égal kn — i des
plus petites divisions du limbe et l'on a divisé cet arc en n parties égales ;
dès lors, si le trait p du vernier coïncide avec un trait du limbe, la
fraction de division comprise entre l'index et le trait du limbe qui
le précède immédiatement, fraction que l'on appelle Vappoint de la

lecture, est -•

La figure 1 1 montre notamment un vernier au ^ mobile le long d'un
limbe gradué en grades. Le vernier donne donc directement le double-
centigrade, et le centigrade à l'estime. Sa chiffraison est d'ailleurs
faite pour les centigrades. Pour la position représentée sur la figure,
on lirait i6^,32.

(*) Du nom de son inventeur, géomètre franc-corn loi.s (i63o).

CHAPITRE I. — ORGANES PRINCIPAUX DES INSTRUMENTS. l5

Si l'appoint n'est pas un nombre exact de -> il n'y aura pas un seul

trait du vernier en coïncidence exacte avec un trait du limbe, mais il y
aura une division du vernier, limitée aux traits p etp-h i? qui sera
tout entière comprise à Tintérieur d'une division du limbe. L'appoint

sera alors compris entre - et ^— — • Pour l'évaluer d'une façon plus

approchée, il faut, entre les traits marqués sur le vernier et sur le limbe,
en intercaler d'autres par la pensée et chercher à se figurer celui

Fig. II.

Limbe

d'entre eux pour lequel a lieu la coïncidence. Avec un peu d'habitude, un
bon observateur arrive à évaluer ainsi le } des intervalles du vernier.
Pour faciliter la lecture on peut alors quintupler les chiffres inscrits

sur le vernier. Pour la coïncidence du trait /^, on lira ainsi ^> pour

celle du trait /> + i, -^ — -y et dans l'intervalle, par estime, -^ — ^ >
5/? -h a 5/7 -f- 3 5/? -K î

— r > z > r •

5/1 j/l D/l

M. Sanguet a imaginé, pour le cas où l'on procède à une telle inter-
polation à vue, un dispositif fort ingénieux permettant d'obtenir une
vérification immédiate de la lecture effectuée. Ce dispositif, qu'il a
adapté à son tachéomètre autoréducteur (n** 35), est celui des vernlers
complémentaires.

Imaginons que l'alidade porte deux verniers dont les origines soient
distantes d'un arc arbitraire pris généralement égal à i5^ et qui soient
établis l'un au ^, l'autre au -pj, mais à chiffraison quintuplée, c'est-à-
dire donnant par estime l'unie -^ de grade, l'autre le 5*5. Si les lectures
à ces deux verniers sont respectivement j^i etXj, on a pour l'appointa:

4^ 55 100 ^ ^

Il suffit donc de faire la somme des lectures pour avoir le nombre
des centigrades de l'appoint.

l6 PKBMlèRB PARTIE. — TOPOMÉTRIE.

Voici maintenant la vérification. On a :

Xi= 0,45 (a:, -f- a:,),
3^1= 0,55 (a?i -4- art).
Donc

a?,— xi = o,i {xi-hXf).

Par suite, si les deux lectures de vernîer ont été correctes, leur dif-
férence doit être précisément égale au ~ de leur somme.

Dans ces derniers temps^ M. l'Ingénieur en chef des Mines Lallemand
a proposé la suppression du vernier, l'évaluation de l'appoint pour
chaque lecture étant faite au ^ par la simple estime, moyennant le
grossissement obtenu par un microscope disposé à cet effet.

12. Erreurs systématiques. Leur élimination par les lectures
multiples. Verniers opposés, — La figuration schématique qui vient
d'être donnée du procédé général employé pour la mesure des angles
suppose d'une part que le limbe et l'alidade sont exactement centrés
l'un sur l'autre; d'autre part que la division du cercle gradué est
parfaitement régulière. S'il n'en est pas ainsi, on démontre que chaque
lecture u est entachée d'une erreur e développable en série de Fourier
de la forme :

(i) 6 = aisiii(a-4- Ci)-h aisiii(2W-i- C|) -h -f- a«sin(/iw -*- c«)-f-. . . ,

les coefficients a^ étant des quantités très petites, de l'ordre de peti-
tesse marqué par leur indice.

Cela dit, supposons que l'alidade, au lieu d'un seul index, en porte
p placés aux sommets d'un polygone régulier. Si ua ^^ <^a ^ont les
lectures initiale et finale faites à l'un quelconque des p index et si (o
est l'angle mesuré, on a, en supposant que les erreurs qui viennent
d'être définies n'existent pas :

(•2) W = Mi— MA,

et, par suite, aussi en étendant le signe S aux/? index :

(3) ci> = .

P P

Si, maintenant, nous tenons compte des erreurs systématiques,
nous allons voir que, chacune des lectures étant entachée d'aune

CHAPITAE I. — ORGANES PRINCIPAUX DES INSTRUMENTS. I7

erreur du i^^ordre^ leur moyenne ri! est entachée que d"^ une erreur
du p^^"^^ ordre.

Le terme général du développement de cette erreur est, en vertu
de(i),

T« = ^- 2 sin(/iMjt-f- Cn)

ou

^.=.

(A:— 1)9. TU

somme des sinus de/> arcs en progression arithmétique dont le pre-
mier est nW| + Cn et la raison •

p

On a donc, pour ce terme général, en vertu d'une formule bien
connue,

^ ^ '^ -■ sin —

et Ton voit que ce terme général est nul sauf lorsque n est égal à /> ou
à un multiple de/>. Le premier terme non nul du développement de
Terreur sur la moyenne est donc lejo'®"®, qui est de Tordre/? de peti-
tesse.

Donc, alors qu'en Tabsence de toute erreur systématique les for-
mules (2) et (3) sont rigoureusement équivalentes, elles cessent de
Têtre lorsque interviennent de telles erreurs : ces erreurs sont, en
effet, du premier ordre avec la formule (2) et du jd**"** ordre seule-
ment avec la formule (3).

Il suffit de savoir, pour l'opération qu'on a en vue, à partir de
quel ordre elles peuvent être considérées comme négligeables. Cet
ordre, qui est le sixième pour l'Astronomie de position et le quatrième
pour la Géodésie, peut être abaissé au deuxième pour les opérations
courantes de la Topométrie, ce qui conduit à l'emploi de deux index
diamétralement opposés, munis chacun d'un vernier; aussi dit-on
dans ce cas que l'instrument est à verniers opposés,

La lecture correspondant à chaque visée est alors la moyenne des
lectures faites aux deux verniers opposés. Remarquons d'ailleurs qu'il
suffit de lire sur le limbe le trait qui précède le zéro d'un seul des
deux verniers que nous appellerons le premier vernier.

En effet, lors de la première visée, on a, en appelant t le trait qui
D»0. a

l8 PREMIÈRE PARTIE. — TOPOMÉTRIE.

précède le zéro du premier vernîer, a et ai les appoints lus sur les

deux verniers

fi = / -4- a,

Ui = / H- 20O<« -I- «1 .

De même, pour la seconde visée,

U'=r /'-f. a',
U\ = /' H- '200^ -t- a'i .

La formule (3) donne donc, dans ce cas,

(D = t!-{ i — ( 'H ^ »

•2 \ 9. /

ce qui montre que la lecture correspondant à chaque visée peut être
réduite à celle qui est faite au trait du limbe précédant immédiatement
le zéro du premier vernier, augmentée de la moyenne des appoints
lus sur les deux verniers.

13. Méthode de la réitération, — Bien que, nous le répétons, la
précision donnée par l'emploi de deux verniers opposés soit large-
ment suffisante pour les besoins courants de la Topométrie, il n'est pas
inutile d'indiquer comment, le cas échéant, la méthpde de la réité-
ration permet d'accroître cette précision.

Supposons la graduation liée à un dispositif qui permette de faire
correspondre à la première visée une lecture sur le limbe fixée
d'avance. S'il en est ainsi, réitérons r fois les deux visées nécessitées
par la mesure de l'angle, en plaçant successivement le zéro du premier

vernier en contact avec les traits o, -> — > • • • <• ^ du limbe.

r r r

Si nous prenons ensuite la moyenne des r déterminations ainsi faites,

il est clair que cela revient au même que si nous n'avions mesuré

Tangle qu'une fois en prenant pour lecture correspondant à chaque

visée la moyenne de celles qui sont faites aux r positions qui viennent

d'élre définies des deux verniers, c'est-à-dire aux 2r sommets d^un

polygone régulier. Dès lors, l'erreur systématique, d'après ce qui

vient d'être vu, est réduite à l'ordre 2/'.

En particulier, si l'on fait une double opération, en plaçant le zéro

du vernier pour la première visée successivement en face du trait o

et du trait -> on a une précision du quatrième ordre.

CHAPITRE I. — ORGANES PRINCIPAUX DES INSTRUMENTS. 19

On voit d'ailleurs, comme précédemment, qu'il suffit de lire le trait
du limbe qui correspond au zéro du premier vernier dans sa position
initiale pour Tune et l'autre visée. Ce trait est o pour la première visée,
/ pour la seconde. Si donc a et a' représentent respectivement les lec-
tures faites à l'une quelconque des positions des verniers pour la
première et pour la seconde visée, on a

. Sa Sa

co = /'h .

2 /• ir

Quant au mode opératoire qui permet d'effectuer cette réitération,
il varie selon le dispositif de l'instrument qu'on a entre les mains.

Le dispositif le plus simple est celui qui consiste à permettre au
limbe gradué de tourner autour de l'axe alors que, la ligne de visée
restant fixée sur le même point, l'alidade qui en est solidaire et, par
suite, l'index où se fait la lecture restent immobiles. Lorsque l'instru-
ment est disposé de la sorte, il est dit réitérateur. Tel est le cas de la
plupart des instruments géodésiques, mais non des instruments topo-
métriques. En revanche, nombre de ces derniers, dits répétiteurs^
sont construits de telle sorte que le limbe puisse être rendu mobile
autour de l'axe principal (par desserrage d'une vis de pression P),
lout en étant rendu solidaire de l'alidade (par serrage d'une autre vis
de pression P|). Voici alors comment on peut réaliser une réité-
ration :

La vis P étant serrée, P| desserrée, on amène le zéro du premier
vernier de l'alidade en face du zéro du limbe etl'on serre lavis Pj (en
achevant d'amener les zéros en coïncidence au moyen de la vis de
rappel R| correspondant à P|). Desserrant alors la vis P, on
dirige la ligne de visée sur le premier point A. A ce moment, on serre
P, et l'on achève l'exactitude du pointé en agissant sur la vis de
rappel R correspondante. Desserrant alors P|, et le limbe cette fois
restant fixe, on amène la ligne de visée sur le second point B; nouveau
serrage de P| et achèvement du pointé à l'aide de R|.

Pour la seconde opération on recoïnmence de même, en se servant

cette fois, pour la première visée, du trait - au lieu du trait o du
limbe, et ainsi de suite.

14. Erreurs accidentelles, — Indépendamment des erreurs systé-
matiques qui viennent d'être examinées, chaque lecture est entachée

V.O PREMIÈRE PARTIE. — TOPOMÉTRIE.

d'une erreur accidentelle tenant à l'imperfection avec laquelle sont
faits le pointé et la lecture. Cette erreur accidentelle dépend évidem-
ment, dans une certaine mesure, de l'habileté de l'opérateur. Pour-
tant, avec des opérateurs suffisamment exercés, l'erreur moyenne
quadratique à craindre (c'est-à-dire celle dont le carré est égal à la
moyenne des carrés des erreurs faites sur un grand nombre de lec-
tures) est à peu près constante avec un même instrument. Nous la
représenterons par ej. Dès lors, si un angle co est donné en fonction
des lectures u et u! par la formule

l'erreur moyei^ne quadratique accidentelle à craindre sur la valeur
de to esl.(')

■^r

En particulier, si l'on opère au moyen de deux verniers opposés
sans réitération, l'erreur moyenne quadratique sur la valeur de. w esl
précisément la même que celle qui correspond aux lectures faites
isolément sur le limbe.

Nous aurons soin, par la suite, de faire connaître, chaque fois que
nous le pourrons, la valeur de e^ correspondant aux di^rs types
d'instruments étudiés. Il en résultera, comme on le verra plus loin,
un moyen de contrôle de la valeur des opérations effectuées au
moyen de ces instruments.

IS. Aiguille aimantée. Déclinatoire. — Afin d'orienter les di-
rections prises au moyen d'un cercle horizontal, il faut joindre à ce

( ' ) Conséquence de cette formule : Si l'erreur moyenne quadratique sur les valeurs
de a?, ^, -5, ... est donnée par e^, l'erreur moyenne quadratique sur la valeur
de ox -I- 6/ -f- es -h . . . est donnée par

Ici, parmi les coefûcients a^ 6, c, . .., au nombre de ip, affectant les quantités u

et li', il y en a /? (affectant les u!) égaux à -» /? (affectant les u) égaux à — --;

P P

il vient donc, pour l'erreur moyenne résultante :

"\/m"'\^-"\/i-

CHAPITRE I. ~ ORGANES PRINCIPAUX DES INSTRUMENTS. 21

cercle une aiguille aimantée mobile sur une rose des vents, dont
la ligne de foi soit repérée par rapport à la graduation du cercle.
Elle sera, par exemple, parallèle à la ligne o — 200®. Dès lors,
lorsque l'instrument sera placé de telle sorte que Taiguille aimantée
se dirige suivant la ligne de foi, les angles comptés à partir du o
du cercle divisé se confondront avec les azimuts magnétiques (*)
(comptés à partir du Nord vers l'Ouest, de o à 4oo^).

Lorsque l'aiguille aimantée sert ainsi simplement à orienter l'ins-
trument, il est inutile de lui laisser beaucoup d'amplitude autour de
la ligne de foi. On peut alors l'enfermer dans un cadre rectangulaire.
On a ainsi ce que l'on appelle un déclinatoire.

Le déclinatoire prend aussi la forme d'un tube fixé à la base de
l'instrument dont l'axe, parallèle à la ligne o — 200® du cercle divisé,
est pris comme ligne de foi. L'aiguille aimantée porte en chacune de
ses extrémités une pointe verticale très fine. L'instrument est orienté
quand ces deux pointes se projettent l'une sur l'autre. Pour que l'œil
en puisse mieux juger, M. Sanguet a eu recours à l'ingénieux dispo-
sitif que voici : un petit miroir placé au milieu du tube, perpendicu-
lairement à son axe, renvoie l'image de la pointe antérieure à une
distance de l'œil égale à celle où se trouve la pointe postérieure.

Pour juger de la coïncidence de cette image et de cette pointe, il
n'est nul besoin, d'ailleurs, de placer l'œil dans l'axe du tube (posi-
tion dans laquelle la vue est gênée par la chape de l'aiguille aimantée).
On voit, en effet, que, si le plan des deux pointes est perpendiculaire
à celui du miroir, l'image directe de l'une des pointes et l'image
réfléchie de l'autre coïncident pour toute position de l'œil.

De son côté, le colonel Goulier a employé pour le même objet une
lentille échancrée d'une distance focale égale au demi-rayon de l'ai-
guille {voir ses Éludes sur les levers topométriques, p. 402).

16. Mires, — Les mires sont des règles en bois, ordinairement
graduées en centimètres.

Les unes, dites à voyant, portent une plaque dont le centre appa-

(M Les Tables données dans V Annuaire du Bureau des Longitudes permeltent
d'en déduire les azimuts vrais comptés à partir du méridien géographique pour un
certain nombre de localités. Comme ce nombre est relativement restreint et que,
d'autre part, la déclinaison varie avec le temps^ il est préférable, quand on recherche
une certaine précision, de déterminer directement, au mo^en de la boussole dont on
s'est servi pour le lever, la déclinaison locale.

PREMIERE PARTIE. — TOPOMËTRIE.

rail comme le sommet commun à 4 quadrants distingués par des cou-
leurs différentes ( * ) {^fig* 1 2 ). Ce voyant est fixé à un curseur muni de

Fig. 12.

V

i

©

J

J^

1."

m—

.i—

Tcrnier qui glisse sur la graduation lue par la personne qui tient la
mire.

Les autres, pourvues de graduations rendues bien apparentes par
remploi de couleurs diverses, se lisent à distance, au moyen du
viseur de l'instrument qui sert à les observer. Ce sont les mires par-
lantes {fig^ i3). Les lectures faites sur ces mires s'effectuent géné-
ralement par couples de deux dont on prend la moyenne; on a
recours, en ce cas, à des graduations doublées, sur lesquelles les centi-
mètres, décimètres, etc. sont remplacés par des doubles-centimètres,
doubles-décimètres, etc.; chaque lecture est alors moitié de ce qu'elle
devrait être réellement, et, au lieu d'avoir à faire la moyenne des deux
lectures correspondant à une visée, on n'a qu'à en faire la somme. 11
faut avoir bien soin si, avec une mire de ce type, l'on se contente
d'une seule lecture pour chaque visée, de doubler le chiffre lu. La
lecture unique équivaut, en effet, alors à deux lectures égales.

(') En vertu du principe que la bissection donne une plus grande précision que U
coTncidence, le colonel Goulier a préconisé des voyants de couleur (rouge, de préfé-
rence) à bande centrale blanche que Ton bissecte au moyen de la ligne de visée

CHAPITRE I. ~ ORGANES PRINCIPAUX DES INSTRUMENTS.

a3

Pour les opérations de haute précision, le colonel Goulier a établi
(les mires compensées, c'est-à-dire munies d'un thermomètre bi-

mol
ï

21

^gi r

II.

Fig. i3.

Su

srs

E. I

La

L4

-

S I

: 2

- 3

r §
y'

3

m. z.,

IV.

^h^

V.

VI.

VII.

I. Type du commerce.

IL

» Goulier.

III.

» Durand-Claye

IV.

» POITO.

V.

» N. G. F.

VI.

» San guet.

VII.

. Prévôt.

métallique de Borda faisant connaître, à chaque instant, la correction
à apporter à leur lecture.

Afin d'assurer plus exactement la verticalité d'une mire, on peut la
munir soit d'une petite nivelle sphérique fixée à une console perpen-
diculaire à la règle tenue verticalement, soit d'un petit pendule, dit
perpendicule, logé dans une rainure de cette règle.

J

CHAPITRE II.

PLAMMÉTRIE.

I. — Mesure des angles.

17, Pantomètre, — Nous nous occuperons d'abord de la mesure
des angles horizaniaux. L'instrument Je plus simple propre à cette
ilëtermination est le pantomètre (*) {Jig> i4). H est formé d'un

Fig. i4.

cylindre de laiton sectionné perpendiculairement à son axe, et dont
la partie supérieure A, servant d'alidade, peut tourner par rapport à
la partie inférieure L servant de limbe, grâce à un bouton B agissant
sur une crémaillère intérieure.

L'instrument peut, au moyen d'une douille D. être placé sur un
pied que l'on fiche en terre et que l'on dispose verticalement, soit au
jugé, soit au moyen d'un fil à plomb.

Chaque cylindre est muni d'un plande visée déterminé par l'axed'une
fenêtre étroite et un fil tendu suivant l'axe d'une seconde fenêtre, plus

(*) Désigné aiissi| dans le service du Génie, sous le nom de goniasmomètre, étymo-
logiquement plus exact, mais d'un usage moins répandu.

CHAPITRE II. — PLANIMÉTRIE. 25

large, diamétralement opposée à la première. En outre, le cylindre limbe
portant la graduation, le cylindre alidade est muni de deux verniers
opposés. Afin que la lecture correspondant à la première visée soit
zéro, ainsi qu'on Ta dit plus haut, le limbe est muni d'un plan de
visée correspondant au zéro de sa graduation. Il suffit alors de faire
passer le plan de visée du limbe par le premier point, puis celui de
l'alidade par le second, pour que la lecture faite au zéro du premier
vernier, augmentée de la moyenne des appoints lus sur les deux ver-
niers, fasse connaître l'angle cherché.

Sur un pantomètre de o", lo de diamètre, la graduation du limbe
est en degrés, et chaque vernier de l'alidade est au ^^ ce qui donne

une approximation de ^ = 2'.

Un tel pantomètre comporte une erreur moyenne quadratique
de o^^'jOÔ à 0^,07 (3'3o" environ) pour chaque lecture (*). Ce sera
aussi, comme nous l'avons vu au n** 14, l'erreur €2 que comportera la
mesure des angles si on lit chaque fois les deux verniers; si on n'en
lit qu'un, l'erreur 62 des angles sera 3'3o"x y/2 = 5' environ.

D'après le colonel Goulier cette erreur est réduite environ de moitié
lorsqu'on vise par bisseclion à travers deux fentes au lieu de viser par
une fente et un crin.

18. Graphomètre. — Le graphomètre, dont l'usage tend à dispa-
raître, se place généralement sur un trépied. Il est parfois muni d'une
boussole permettant d'orienter le plan du limbe. Cette boussole peut
encore servir à assurer approximativement l'horizontalité du limbe.
En efTet, l'aiguille de la boussole étant construite de façon que, sous
l'action de l'inclinaison magnétique, son état d'équilibre soit horizontal
(grâce à l'allégement de sa pointe Nord), il suffit de faire en sorte que,
dans ses oscillations, elle reste parallèle au plan du limbe (^). Le
limbe est d'ailleurs réduit, en vue du moindre encombrement, à un
demi-cercle AMB {fig. i5) et porte aux extrémités du diamètre de
ce demi-cercle deux pinnules permettant, comme pour le pantomètre,

(*) Ces chiffres, ainsi que tous ceux qui seront donnés dans la suite, nous ont été
communiqués par M. Prévôt. Ils proviennent soit de ses expériences personnelles,
soil de celles de M. Sanguet.

(*) Il faut noter toutefois que les variations de l'inclinaison peuvent faire qu'une
aiguille équilibrée en une certaine région ne le soit plus du tout dans une autre. Les
aiguilles des instruments plus précis portent une masselotte qui peut glisser le long
d'une des moitiés de l'aiguille de façon à permettre le réglage en chaque région.

26 PREMIÈRE PARTIE. — TOPOMÉTRIE.

d'annuler la lecture initiale par une visée faite sur le premier point.
Deux graduations de sens contraires sont Iracëes sur la deini-circon-
fërence du limbe. L'alidade est constituée par une lame diamétrale CD

portant à ses extrémités deux verniers disposés en sens contraire ei
qui s'appliquent chacun à Tune des deux chiffraisons du limbe (*).
L'instrument a, en effet, été combiné en vue du mode d'emploi suivant.
Si, lorsque l'on a visé le premier point A au moyen des pinnulesdu
limbe (Jig> i6), le deuxième point B se trouve du côté du limbe, on lit

Fig. i6.

l'angle AOB compté dans le sens direct au moyen du vernier dirccl
enaô; si le deuxième point se trouve du côté opposé en B', on lil
l'angle AOB' compté dans le sens rétrograde au moyen du vernier
inverse en dV , Ce procédé prête à la critique; il complique les lec-
tures, en introduisant des angles comptés, les uns dans le sens direct,
les autres dans le sens rétrograde, ce qui peut amener des confusions,
et, d'ailleurs, est tout à fait inutile. On peut, en effet, dans tous les
cas, se servir de la seule graduation directe de o à iSo"*; pour un
point tel que B', après avoir fait la lecture au moyen de cette gradua-

(') Gomme on ne peut, pour chaque risée, se servir que de l'un des deux verniers,
il n'y a pas ici élimination des erreurs systématiques (n* 12), ce qui est un sensible
inconvénient.

CHAPITRE 11. — - PLAMliÉTRlE. ^7

lion, il suffit d'y ajouter 180°. On évitera toute pspèce d'erreur avec
ce procédé en employant le moyen mnémotechnique suivant : ajouter
ou non à la lecture faite sur la graduation directe un appoint de 180®
suivant que, lorsqu'on vise un point, on est ou non par rapport à la
ligne OA du côté où se trouve le demi-cercle constituant le limbe,
demi-cercle qui matérialise en quelque sorte les 180® de l'appoint.

Sur un graphomètre de o™, 20 de diamètre, les plus petites divisions
du limbe sont des demi-degrés ou 3o' ; le vernicr au j^ donne donc
la minute.

Avec un tel graphomètre. Terreur moyenne quadratique €2 sur la
lecture est de o''',o4 {2' environ), ce qui correspond à une erreur
moyenne de 2' X V 2 = ^' environ sur la mesure des angles, puisqu'on
ne peut lire ici qu'un vernier pour chaque visée.

19. Goniomètres à lunette. — Les goniomètres à lunette (*),

Fig. 17.

dont l'emploi s'impose dès que l'on aborde les levers de quelque

(') Rappelons que l'introduction des lunettes dans les instruments de ce genre
est due à un Français^ l'abbé Picard, l'un des fondateurs de la Géodésie au
xvii» siècle.

a8 PREMIÈRE PARTIE. — TOPOliÉTRIE.

ampleur, sont dits par les constructeurs cercles d'alignement ou cer-
des géodésiques (*), suivant que la lunette repose sur deux montants
verticaux par Tintermédiaire de deux tourillons (Jig* 17)? ou qu'elle
est montée en porte-à-faux à Textrémlté d'un montant unique, au
delà duquel elle est équilibrée par un contrepoids {Jig* 18).

Au reste, on retrouve dans ces instruments les parties essentielles

Fig. 18.

définies au n® 10 : un limbe en forme de couronne circulaire portant
la graduation, un cercle alidade portant deux verniers opposés et un
viseur qui est Taxe optique de la lunette se mouvant dans un plan
passant par Taxe principal de l'instrument, le tout reposant sur le
support par l'intermédiaire de trois vis calantes.

Au cercle alidade est d'ailleurs fixé le niveau à bulle permettant
de rendre vertical cet axe principal, ainsi qu'il a été dit au n® 7.

Une vis de pression (complétée par une vis de rappel) permet de
fixer ou non le limbe à l'embase de l'instrument, une autre vis de
pression (complétée aussi par une vis de rappel) de le fixer ou non à
l'alidade.

L'ensemble de ces deux vis de pression permet de faire corres-

(0 Cette appellation ) conforme à un usage commercial, ne répond nullement à la
deslinalion de ces instruments. Les cercles effectivement employés en Géodésie ont
une tout autre disposition.

CHAPITRE II. — PLAMUÉTRIE. 29

pondre à la première visée la lecture zéro sur le limbe et aussi, le cas
échéant, d'opérer par réitération, suivant le mode indiqué au n** 13.

L'axe optique de la lunette doit être réglé. Il faut, en premier lieu,
qu'il soit rendu perpendiculaire à la ligne des tourillons, sinon, dans
sa rotation, il décrirait un cône. Pour effectuer cette rectification on
vise une mire éloignée placée horizontalement. On soulève la lunette
et l'on interchange les tourillons (ou, si l'on a affaire à un cercle géo-
désique, on dévisse la lunette et on la revisse après l'avoir fait tourner
d'une demi-circonférence autour de son axe géométrique). Si le
centre du réticule tombe sur un autre point de la mire, l'écartement
entre celui-ci et le précédent correspond au double de la déviation à
corriger. On agit alors sur la vis de réglage du réticule de façon à
ramener son centre sur le point médian entre les deux points succes-
sivement visés.

L'axe optique de la lunette étant ainsi perpendiculaire à l'axe des
tourillons, il faut encore que celui-ci soit perpendiculaire à l'axe
principal de l'instrument, de façon à être horizontal quand l'axe prin-
cipal est placé verticalement, sinon le plan de visée serait incliné. On
■ vérifie cette condition, après avoir placé verticalement l'axe principal,
en suivant avec la lunette un fil à plomb situé à quelque distance, et
l'on effectue le réglage correspondant en modifiant, à Faide d'une vis
ad hoc, l'angle que la ligne des supports des tourillons fait avec l'axe
principal de l'instrument. ■

La graduation des cercles-du type le plus courant est faite en tiers de
degré ou 20' ; les verniers sont au ^ et donnent, par suite, la demi-
minute, ou les So".

Pour les cercles à lunette de o™, 1 6 de diamètre, l'erreur moyenne e^
sur la lecture est de 0*^,018, soit de i' environ. Rappelons encore que
cette erreur est la même sur la mesure de l'angle quand on se sert
des deux verniers.

20. Boussole, — La boussole {fig- 19) diffère des instruments pré-
cédents au point de vue de la disposition générale en ce qu'elle se
rattache à la seconde variété du type schématique décrit au n® 10,
celui où c'est l'alidade qui porte la graduation et le limbe qui porte
l'index. On doit, en effet, considérer ici que le limbe est réduit à
Taiguille aimantée, l'index pour la lecture étant constitué par la pointe
Nord de cette aiguille. La différence des lectures faites en face de cette
pointe donne l'angle des deux visées ; chaque lecture indique d'ail-

3o PREMIÈRE PARTIE. — TOPOUBTRIE.

leurs Tazlmul magnélique de la direction dans laquelle on vise.

Le viseur est généralement fixé sur un des côtés de la boîte et

l'instrument est placé sur un pied par Tintermédiaire d'une douille

Fig. 19.

munie d'un genou à coquille qui permet de le disposer horizontale-
ment. Si l'on veut avoir les azimuts des alignements relevés par rap-
port à la méridienne, il suffit de tenir compte de la déclinaison magné-
tique du lieu où l'on se trouve. La graduation étant portée par
l'alidade (c'est-à-dire la partie mobile avec la ligne de visée) doit,
selon la remarque énoncée au n** 10, être l'aile en sens rétrograde.
Ses plus petites divisions sont le demi-degré ou le quart de degré. Par
Testime, on obtient aisément la moitié de cet intervalle, soit environ
les 7'.

Il y a lieu, pour les petites portées, de tenir compte de l'erreur
d'excentricité provenant de ce que le viseur W ne passe pas par le
centre G de l'instrument {fig- 20). Lorsque le viseur VV passe par le
point A, on lit pour l'azimut magnétique de ce point l'angle OCN,
alors que sa vraie valeur serait l'angle ACN égal à OCN — a. Or,
Tangle a sous lequel, du point A, on voit le demi-côté BG de la boîte,
ne dépend que de la distance AB. On peut donc dresser une table des
corrections a correspondant aux diverses valeurs de AB. Par exemple,
si BG = o™, I o, pour

AG = 10"', 'loT, So", 40", 5o"
on a

G = 10»,

•20"-,

3o-,

40-,

« = 3.',',-2,

'■'.

II', 5,

8',5,

Les angles n'étant lus qu'avec une approximation de 7', il n'y a pas
lieu de tenir compte de cette correction au delà d'une distance
de 5o".

CHAPITRE II. — PLANIUÉTRIE. 3l

Afin d'éviter celte correction, certaines boussoles sont munies
d'une luiielle fixée en porle-à-faux à une colonne (comme sur les

Fig. 20.

cercles géodésiques) et placée de telle façon que le vertical décrit par
l'axe optique passe par le centre de la boussole.

21. Equerres. — Les divers instruments de mesure d'angles peu-
vent inversement servir à reporter sur le terrain un angle donné.
Mais lorsqu'il s'agit d'un angle droit, ce qui est de beaucoup le cas
le plus fréquent, on a recours à des instruments spéciaux qui sont les
équerres,

La plus simple de toutes est Yéquerre d'arpenteur {fig. 21),

constituée par une boîte, généralement cylindrique ou octogonale, où
des plans de visée rectangulaires sont délfe^minés par des fenêtres
minces verticales. On se sert aussi volontiers aujourd'hui de l'^^rwerre
Coutureau. Cet instrument est fondé sur le principe de la double

32

PREMIÈRE PARTIE. — TOPOUÉTRIE.

réflexion : Lorsqu'un rayon lumineux RR|R2Rs tombe successive-
ment sur deux miroirs^M I M', et M^M'^ {fiS' ^^)î 'angle des rayons
incident et réfléchi est égal au double de Fangle des miroirs. Il est
facile de le constater en considérant les normales R|N| et R2N2 aux

deux miroirs, dont Tangle est égal à l'angle a de ces miroirs et qui
déterminent pour chacun d'eux un angle d'incidence égal à l'angle de
réflexion. On voit dès lors que a=P-f-Y, el :r = ap H- 2^, d'où
^ = 2 a.

Si donc a := ^ droit, x = i droit.

Cela dit, l'équerre Coutureau se compose d'une petite boîte métal-
lique {fig^ 23) contre une paroi de laquelle est fixé un premier mi-

Fig. 23.

roir N percé de deux petites ouvertures O et O'. En face de celui-ci
sont disposés deux autres miroirs M et M' plus petits, inclinés à 45°
sur le premier, et, par suite, rectangulaires entre eux.

CHAPITRE II. — PLÀNIUÉTRIB. 33

Ces petits miroirs renvoient donc dans des directions rectangulaires
les images réfléchies des points situés de chaque côté de l'instrument,
l'un pour ceux qui sont à droite, Fautre pour ceux qui sont à gauche.
Ces images sont reçues par Tceil, placé près de l'arête verticale VV, à
la hauteur de la flèche à côté de laquelle on lit le mot visée, et qui
aperçoit le terrain situé en avant, à travers les ouvertures O et O'. Sui-
vant que l'instrument est placé en P^ en arrière de l'alignement AB
(fig. 24), en P^j, en avant, ou en P sur cet alignement, les images

Fig. 24.

réfléchies des points A et B sont écartées, avec ou sans inversion,
ou confondues. En vertu de cette remarque on peut, au moyen de
l'équerre en question, obtenir un point P sur AB, en faisant coïn-
cider les images réfléchies de A et B et avoir en même temps sur le
terrain la direction PA'', perpendiculaire à AB, ou encore obtenir le
pied. P de la perpendiculaire abaissée d'un point extérieur sur AB,
en cherchant la position de l'équerre pour laquelle l'image directe
de ce point extérieur vu par les ouvertures O et O' coïncide à la fois
avec les images réfléchies de A et B.

L'erreur moyenne des directions données par cet instrument n'est
pas inférieure à o^, o5.

22. Éclimètres. — La mesure des angles verticaux intéresse,
comme nous allons le voir, la planimétrie, en raison de la réduction
des distances à l'horizon. Après avoir examiné les dispositions géné-
rales applicables à la mesure des angles horizontaux, nous allons donc
aborder immédiatement celles qui se rapportent à la mesure des
angles verticaux.

Les instruments servant à la mesure des angles verticaux se rangent
d'O. 3

34 PBBMIÈBB PARTIE. — TOPOMÉTBIB.

dans deux grandes catégories suivant qu'ils donnent ces angles eui-
mémes {écUmètres) ou leurs tangentes (ciisimêires).

Pour les premiers (^^.25) le principe est le même que pour les
goniomètres que nous venons de passer en revue, à celle différence
près qu'ici la ligne de visée reste parallèle au plan du cercle gradué

Fig. 25.

et que l'origine des angles est prise invariablement dans une des deux
directions zénith ou horizon. Cette convention donne lieu à une
petite rectification lorsque le o de la chiffraison dans le premier cas,
la division 90" ou 100^ dans le second, ne correspond pas exactement
au zénith. Il suffit, pour effectuer cette rectification, d'appliqu«*r la
méthode du retournement : après avoir rendu l'axe de l'instrument
aussi exactement vertical que possible, on vise un point très éloigné
une première fois, puis une seconde, après avoir fait tourner la
lunette d'une demi-circonférence autour de l'axe vertical de l'inslru-
ment.

La bissectrice de l'angle des directions définies par ces deux visées
sur le cercle gradué vertical est celle qui correspond au zénith. Si
elle ne se confond pas avec la direction o dans un cas (90 ou 100 dans
l'autre), sa différence avec celle-ci fait connaître le double de la cor-
rection dont devrait être affectée chaque distance zénithale. Le limbe
vertical, qu'il porte la graduation ou l'index (comme c'est le cas sur
la /ï^. 25), est muni d'un dispositif permettant de lui imprimer un
léger déplacement angulaire sur lui-même. Ayant alors visé de
nouveau le point qui a servi pour la reciification, on fait tourner
le limbe vertical au moyen de ce dispositif jusqu'à ce que la
lecture correspondante soit corrigée de la quantité qui vient d'être
déterminée.

CHAPITRE II. — PLANIMÉTRIK. 35

23. Clisimètres, — Si l'on cherche seulement la tangente de l'angle
qu'une direction fait avec l'horizon, on emploie les clisimètres ou
niveaux de pente. Le plus classique de ces appareils est le niveau
de Chézy{Jig. 26), qui se compose d'un axe vertical porté par trois vis
calantes et muni d'un niveau à bulle N, et d'une règle AC horizon-
tale portant à chacune de ses extrémités une pinnule munie d'un œil-
leton et d'une croisée de fils, chaque œilleton correspondant au centre

Fig 26.

de la croisée de la pinnule opposée. Les deux lignes de visée ainsi
déterminées sont très rapprochées et parallèles. L'une des pinnules A
est fixe, l'autre B, actionnée par une crémaillère, est mobile dans un
cadre vertical portant une graduation qui fait connaître la tangente
de l'inclinaison de la ligne de visée sur l'horizon. Celte lecture se fait
d'ailleurs au moyen d'un vernier porté par la pinnule mobile. Pour
une rampe, on vise par l'œilleton fixe, pour une pente par l'œilleton
mobile.

Pour que l'instrument soit réglé, il faut que, pour la lecture o, la
ligne de visée soit horizontale. A cet eflet, après avoir rendu v.ertical
l'axe principal au moyen du niveau N, on met le vernier au zéro et l'on
vise une mire tenue verticalement à une certaine distance. On fait
ensuite tourner l'instrument d'une demi-circonférence autour de son
axe. Si le point lu sur la mire n'est pas le même que dans le premier
cas, on agit sur la pinnule fixe, au moyen de sa vis de réglage, jus-
qu'à ce que la ligne de visée passe par le point médian des deux pré-
cédents.

L'échelle le long de laquelle se déplace la pinnule mobile est gêné-

36 PREMIÈRE PARTIE. — TOPOMÉTRIE.

ralement graduée en 0,0 1, et cette pinnule est munie d'un vemier
au -^ donnant par conséquent une approximation de 0,001.

Le constructeur Berthélemy a, sur les indications de M. Durand-
Claye, inspecteur général des Ponts et Chaussées, modifié cet instru-
ment {Jig- 27), en constituant le viseur au moyen d'une lunette et en
reportant la graduation des tangentes sur un limbe circulaire, ce
qui permet de mesurer des angles d'une amplitude plus grande et
avec une précision supérieure à celle que l'on obtient au moyen de
l'instrument précédent.

Cette graduation en 0,01 permet encore d'obtenir le 0,001 au

Fig. 27.

moyen d'un vemier. Afin d'éviter les lectures négatives, le o a été mis
en correspondance avec la ligne plongeante à 45", de sorte que, pour
avoir la pente à partir de l'horizon, il faut, de la lecture faite, retran-
cher l'unité.

On trouvera incidemment plus loin d'autres types de clisimètres
(n"* 32 et 35).

CHAPITRE II. — PLANIMÉTRIE. 37

24». Théodolite. — Le théodolite {/ig- 28) est l'instrument con-
stitué par la réunion sur le même bâti d'un goniomètre horizontal
et d'un éclimètre. Il suffit de rapprocher ce qui a été dit précédem-
ment du réglage d'un axe vertical au moyen du niveau (n" 7), du
réglage de la lunette des cercles d'alignement (n** 19), de l'usage des
cercles horizontaux (n** 19) et verticaux (n**22), de l'orientation au
moyen du décHnatoire (n^* 15), pour avoir une théorie générale de
cet instrument.

Il est inutile, pour les besoins courants de la Topométrie, d'entrer
dans plus de détails. Nous croyons toutefois devoir signaler le type

Fig. 28.

nouveau de théodolite imaginé par M. l'ingénieur en chef des Mines
Lalleinand, en vue des besoins du Cadastre {^fig. 29). Dans ce théo-
dolite, les cercles, divisés en décigrades, sont lus au moyen de mi-
croscopes à réticules d'un grossissement suffisant pour permettre
l'estime au -j^ et donner par suite le centigrade. Ces microscopes, au
nombre de trois, deux pour faire les lectures opposées sur le gonio-

38 PREMIÈRE PARTIE. — TOPOMÉTRIE.

mètre horizontal, et un pour réclimètre, sont coudés pour permettre
à l'opérateur de s'en servir pour la lecture dans la position même qu'il

Fig. 29.

occupe pour la visée. L'éclimètre est d'ailleurs réduit à un secteur per-
mettant d'atteindre 3o^ au-dessus et au-dessous de l'horizon.

II. — Mesure des distances.

26. Mesures au moyen d'étalons de longueur. — Le procédé
qui se présente tout d'abord à l'esprit consiste à porter successivement
un certain nombre de fois une certaine unité de longueur entre les
deux points dont on cherche la distance. Il faut en ce cas jalonner
préalablement la ligne que l'on a à mesurer. On emploie à cet effet
des jalons en bois ou en fer que l'on fait placer par un aide, soit en
les alignant à l'œil sur les deux jalons extrêmes, soit en se servant du
cercle d'alignemen lorsqu'on a all'airc à de grandes distances. C'est

CHAPITRE II. — PLAMMÉTRIE. Sq

sur la ligne droite ainsi déterminée qu'on reporte l'unité de longueur
choisie (qui est généralement le décamètre), matérialisée sous forme
de chaîne de fer, de ruban (T acier ou de règle de bois et que l'on
a soin de tenir horizontalement.

Pour les mesures très précises, on se sert de règles en sapin por-
tant à leurs extrémités des languettes graduées permettant d'évaluer
de très petites fractions de la longueur de la règle.

L'emploi d'une règle de sapin de 5™ donne sur la mesure d'une dis-
tance de 5o" à I So" une erreur moyenne relative de ^irôô-

Lorsqu'on emploie la chaîne d'arpenteur ou le ruban d'acier, l'opé-
rateur et son aide tiennent chacun une extrémité de l'instrument.
Pour chaque portée, l'aide, qui marche en avant et que l'opérateur
aligne sur le jalon suivant, tend la chaîne et plante une fiche que
l'opérateur ramasse à la portée suivante; le nombre de fiches
ramassées donne le nombre de décamètres mesurés. Lorsqu'on opère
en terrain incliné, la mesure se fait par cultellation, c'est-à-dire par
portées horizontales; l'aide tend alors la chaîne horizontalement et
laisse tomber de son extrémité une fiche plombée dont il marque le
point de chute au moyen d'une fiche ordinaire.

Sur une distance de 5o"* à i5o" la chaîne d'arpenteur donne une
erreur moyenne relative de ^ à 7^; le ruban d'acier, plus facile à
tendre, construit plus soigneusement, donne, dans ces conditions,
une erreur de —^.

Les fils Jaderin, sous tension constante, construits en acier au
nickel pour rendre négligeable l'influence de la température, et qui
ont déjà rendu de si bons services en Géodésie, sont évidemment
appelés, moyennant quelques simplifications, à entrer dans les usages
de la Topométrie, pour les opérations de quelque précision.

26. Procédés optiques, — On a plus volontiers recours aujourd'hui,

Fig. 3o.

R

au moins pour les levers d'itinéraire, à la mesure des distances par
les procédés optiques au moyen des instruments dits stadimétriques.

4o PRBMIBRE PARTIE. — TOPOMÂTaiB.

Tous ces appareils reposent sur le principe suivant :
Supposons que d'un point O ^fig» 3o), on vise successivement
dans deux directions faisant entre elles un très petit angle et qui
interceptent sur deux lignes parallèles des segments AB eta6. Soient H
et h les longueurs de ces segments, D et rf les distances du point O
aux lignes parallèles AB et ab ; la considération des triangles sem-
blables Oa6, OAB conduit à la relation

D = ^-

C'est sur cette égalité qu'est fondé le principe de tous les instruments
stadimé triques.

On peut en tirer parti de plusieurs manières :

I® Connaissant H et h on peut rendre d vartaé/e/ c'est-à-dire
qu'en visant une. longueur H située à la distance cherchée D, on
déplace un curseur portant deux repères espacés de A, sur une règle
graduée jusqu'à ce que les rayons visuels OA et OB passent par
ces repères; on lit alors la distance d sur la règle graduée et l'on en
déduit la distance D. Cette méthode est appliquée pour les besoins de
l'art militaire dans quelques télémètres.

2** Connaissant H et d on peut mesurer A, c'est-à-dire qu'en
visant une longueur H connue, à la distance cherchée D, on évalue
la longueur interceptée par les rayons visuels extrêmes OA et OB
sur un axe ab placé à une distance d de l'œil. 11 existe aussi des
télémètres fondés sur ce principe.

Si l'on veut obtenir une certaine précision^ on opère au moyen d'un
réticule à fils parallèles, l'un fixe, placé sur une des lignes de visée,
l'autre mobile amené sur la seconde. Une vis micrométrique action-
nant ce fil mobile permet de déterminer la grandeur de son dépla-
cement à partir du fil fixe.

Les instruments fondés sur ce principe sont délicats et peu
répandus, au moins en France. Nous aurons néanmoins à en citer
un exemple remarquable (n** 32).

3° Connaissant hetd on peut enfin se proposer de déterminer H.
Dans ce cas, c'est la ligne AB qui sera graduée. On appelle la règle
qui porte cette graduation une stadia. Le procédé de la stadia est
couramment employé en Topométrie; aussi allons-nous le décrire
avec quelque détail.

CHAPITRE II. — PLANIMBTRTE. 41

27. Stadia. — D'une façon générale, le procédé consiste à maté-
rialiser les longueurs rf et A ; on forme ainsi une espèce de viseur
réduit sur la figure 3o à une représentation schématique. On vise sui-
vant Oa et Oi une stadia placée à la distance cherchée. La diffé-
rence des lectures faites sur cette stadia donne H d'où on déduit D.
Il y a lieu toutefois de remarquer que, pour les besoins de la plani-
métrié, cette distance doit être réduite à l'horizon.

Or, cette réduction s'effectue de diverses façons suivant la dispo-
sition donnée à la stadia.

En premier lieu, on peut la disposer horizontalement {^fig. 3i);

Fig. 3i.

la distance D, fournie par la formule précédente, étant celle du point O
à la stadia, il faut, pour avoir la distance horizontale Do, connaître
l'inclinaison i A\\ rayon visuel sur l'horizon; la distance D© est alors
donnée par

(«)

Da = Dcost.

On préfère généralement, au moins en France, placer la stadia ver-
ticalement (*) (/î^. Sa). Du point O on vise alors deux points A

Fig. 32.

et B de la stadia, non situés sur une parallèle à ab\ ce qu'on lit c'est
la longueur H de AB, mais ce qu'il faudrait connaître pour avoir D,

(') Cette disposition a l'avantage de permettre d'effectuer à la fois la détermi-
natNin de la distance et le nivellement trigonométrique (n* 5t).

il PREMIÈRE PARTIE. — TOPOMÉTRIE.

c'est le segment AG intercepté par OA et OB sur une parallèle à ab,
c'est-à-dire sensiblement, vu l'extrême petitesse de l'angle jen O, sur
une perpendiculaire à OA. Dans ces conditions, l'angle BAC est égal
à l'inclinaison i de la ligne de visée OA sur l'borizon et comme,
d'autre part, toujours en raison de la petitesse de l'angle en O,
l'angle ACB est très voisin d'un droit, on peut écrire, sans faire d'er-
reur sensible,

AG = H cost.

Donc la longueur OA est donnée par

UA = —7- cost,

et la distance horizontale cherchée Do, par

Do= -^ co8*t.

Si l'on convient d'appeler encore D la quantité -r- qui représen-
terait la distance OA dans le cas d'une visée horizontale, la distance Do
sera donnée par la formule

(1) Do=Dcos*i.

En général, on préfère calculer la correction e = D — Dcos^i, à
apporter à la valeur D, correction qui est donnée parla formule

e = D 8in*«.

Parfois enfin (et c'est plutôt la méthode allemande), au lieu de
tenir la stadia verticalement, on l'incline de façon à la rendre perpen-

Fig. 33.

diculaire à OA (Jig- 33). Il suffit pour cela que cette stadia soit
munie, à une distance quelconque K de son pied, d'un collimateur
qui lui soit perpendiculaire. En visant le point O à travers ce colli-

CHAPITRE II. — PLANIUÉTRIB. 4^

inateur, Taîde placera la sladîa dans la position voulue ; l'opérateur
n^aiira, dès lors, qu'à faire passer l'une des lignes de visée OA par
par l'axe du collimateur.

La longueur OA est, dans ce cas, égale à -t-> et la distance horizon-
tale Do du point O au pied de la stadia se compose de la longueur
0'A'=OAcos«, augmentée de la distance A'P = Ksinf. La dis-
tance Dq sera donc donnée par la formule

(3)

Do = Dcosi -H Ksint,

/ étant l'inclinaison deOA sur l'horizon.

Dans tous les cas, on a, comme on voit, besoin de connaître l'incli-
naison i de la ligne OA sur l'horizon, ce qui exige que l'instrument
de visée soit muni d'un éclimètre (n° 22).

28. Lunette stadimétrique, — Le procédé de la stadia doit, pour
être substitué avantageusement aux procédés de mesure directe,
comporter des pointés précis; d'où la nécessité de faire les visées au
moyen de lunettes pour amener à la même distance de l'œil l'image
des traits de la stadia et celle des fils du réticule. Il s'agit de voir
comment l'introduction d'un objectif sur le trajet des rayons visuels
va modifier la formule servant à calculer D.

La longueur h sera ici l'écartement de deux fils horizontaux tendus
dans le plan du réticule de la lunette {fig- 34). Moyennant cette

Fig. 34.

F

1

0» !

1

1

Jlr»

1

1

-i —

_ \<UJi

B-.-

f-4-

1

1
1

-•|i

*.

.--4

A

légère addition, toute lunette astronomique devient une lunette stadi-
métrique.

Soient donc a© et 60 les traces de ces deux fils réliculaires sur le plan
de la figure, ab l'objectif dont F est le foyer antérieur. En suivant la
marche des rayons lumineux parallèles à l'axe en arrière de l'objectif,

44 PREMIERE PARTIE. — TOPOMÉTRIE.

on voit que l'on a

d'=/h,

D' étant la distance de la stadia non pas au centre O de l'instrument,

mais au foyer antérieur F de t objectif .

f
11 suffit que, par construction, le rapport X = ^ ait une valeur simple,

comme loo par exemple, pour que, de la lecture H effectuée sur la
stadia, on conclue immédiatement et sans calcul la distance D'.

L'angle aF6 = w est dit V angle s tadimé trique. Comme il est très
petit, on a sensiblement

tango) = '1 tangOFa = 2 — % = r->

et, par suite,

H

D' =

tango)

Mais le point du terrain où l'on est en station correspondant au
point O situé sur l'axe vertical de l'instrument, c'est à partir de
celui-ci que l'on doit compter les distances.

Si nous appelons C la somme de la distance d de l'objectif au

point O et de la distance focale /de cet objectif, nous avons pour la

distance D du point O à la stadia AB supposée normale à l'axe OF de

la lunette

D = G-hXH.

La constante G est d'ailleurs appelée correction de Reichenbach.
Si la stadia est verticale et si l'axe OF est incliné de £ sur l'horizon,
on aura, d'après ce qui a été vu au numéro précédent,

D = G-t-XHco8«.

Donc, la distance Dq réduite à l'horizon sera donnée, si la stadia
est horizontale ou inclinée normalement à la ligne de visée, par

(1) Do = (G-hXH)cost

et, si la stadia est verticale, par

(2) Do = Gcost -h XHcos*«.

En pratique, on se contente en général d'incorporer la correction G
dans la distance lue sur la stadia et de réduire à l'horizon par la

CHAPITRE II. — PLANIMÉTRIB. 45

formule

i'xhis) Do = (C H- X H ) cos« i.

On trouve ainsi .une distance trop courte de la quantité
(3) ADo = Ccos«(i — cos*).

L'angle i de la visée est généralement assez petit, et, par suite,
cos £ assez voisin de i pour que cette correction soit négligeable. Si
nous supposons C voisin de So*"" (ce qui est conforme à la réalité) et
si nous considérons comme négligeables les écarts inférieurs à 5*^",
nous voyons qu'il n'y aura lieu de tenir compte de la correction (3)
qu'à partir de la valeur de i pour laquelle on aura

cos«( i — cos*) = o, I.

Or, pour I = 3o^, on a

cos{(i — cosi)= 0,097.

Ce n'est donc que pour des valeurs supérieures à 3o^ qu'il convien-
drait de tenir compte de AD©. Il serait d'ailleurs bien facile de dresser,
d'après (3), la Table des valeurs de ADj, en fonction de «,- pour un
instrument dont on connaît la constante C.

29. Stadia du colonel Goulier, — Le colonel Goulier s'est pro-
posé de faire en sorte que la lecture faite sur la stadia] donne direc-
tement la distance D comptée à partir du point O, et qui s'exprime,
comme on vient de voir, par

D = G-^XH,
formule qui peut s'écrire

d = x(h.^).

H est donné par la différence des lectures aux points A et B, c'est-
à-dire des lectures que l'on fait sur les fils du réticule aux points a et 6
du plan focal de l'instrument. Pour obtenir D il faut, avant de mul-
tiplier par le rapport simple X, apporter à la hauteur H la correction

additive e = T'

Or, cette correction est fort petite. Si, par exemple, comme nous
l'avons supposé ci-dessus, â=ioo, et si 0=50*^™, on voit que

46 PREMIÈRE PARTIE. — TOPOMÉTRIE.

£ = 5""*. Et, pour faire en sorte que H soit augmenté de e, iJ suffit
que la lecture supérieure sur la mire soit trop forte de e, ce qui sera
réalisé s'il existe sur la stadia, entre les points A et B, une division
trop courte précisément de cette quantité e, ce qui est possible vu la
petitesse de e. C'est à cet artifice qu'a eu recours le colonel Goulier
dans la construction de sa stadia, antérieurement à l'invention de
l'anallatisme. lien résulte, comme on voit, pour l'opérateur, la sujé-
tion de comprendre toujours la division réduite entre les points A et B
visés, et aussi l'inconvénient de ne pouvoir, le cas échéant, utiliser la
stadia comme mire pour le nivellement. Enfin, ainsi qu'on l'a vu au
numéro précédent, la stadia étant tenue verticalement, on commet,
en réduisant la distance à l'horizon par la formule (2 bis)^ une erreur
donnée par la formule (3).

30. Lunette anallatique de Porro, Tachéomètre. — Pour ces
diverses raisons il est préférable d'introduire dans la lunette un
dispositif propre à rendre inutile tout calcul de correction en rame-
nant Je point à partir duquel se mesurent les distances en coïncidence
avec le point O. Un tel dispositif a été imaginé par l'ingénieur pié-
montais Porro qui a donné aux lunettes ainsi modifiées le nom de
lunettes anallatiques. Voici comment est constituée une telle lunette
{Jig- 35) : en arrière de l'objectif ab plaçons une lentille «i 6», dite

Fig.l35.

— H

lierre anallatiseur, qui soit située entre ab et son foyer postérieur.
Alors les rayons ao^^ et bob^ parallèles à l'axe, après avoir passé par
le foyer F, du verre anallatiseur a» 6,, se réfractent suivant a A et bB
qui convergent en un point O, dit centre (Tanallatisme^ situé en
arrière de ab et qu'on peut, comme on va voir, placer sur l'axe ver-
tical de l'instrument.

Appliquant, en effet, la formule des lentilles aux rayons issus de F|,

CHAPITRE II. — PLANIMBTRIB. 47

dont O est le conjugué par rapport à a 6, on a

^" 8^-3 = 7'

On peut donc disposer de S de façon que d soit précisément la
distance du centre optique de l'objectif à l'axe vertical de l'instru-
ment.

La figure montre ensuite que l'on a

et

d'où en multipliant
ce qui donne

H D
h!'' d

h*
h

,1^..

H

D(S-/,)

D =

Hrf/,

" A(8-/,/

on tire

d

d d-\rf

7^'- / ■

Portant cette valeur dans l'expression de D, en posant, comme
ci-dessus, d -h/= C, on a

■'-«^-

On peut disposer de la constante h de façon que le rapport

ait une valeur simple, loo par exemple. D s'obtiendra alors immé-
diatement; si la mire est graduée en centimètres la différence des
lectures faites sur les fils du réticule donnera, en mètres, la distance D
du point situé sur l'axe vertical de l'instrument à la stadia. Il ne reste
plus qu'à réduire à l'horizon par une des formules ( i ), (a) ou (3) du
no27.

Sur la mesure d'une longueur de 5o™ à i5o™, cet instrument donne
une erreur moyenne relative de jj^-

En rendant anallatique la lunette d'un théodolite, de façon que cet

48 PRBMIKRU PARTIE. — TOPOMÉTRIE.

instrument permette de déterminer les distances en même temps
que les angles, on obtient un tachéomètre, La correction à apporter
aux distances par suite de la non-horizontalité des visées se déduit
de l'inclinaison lue sur le cercle vertical.

Le premier instrument de ce genre a ^té construit par Porro.

Depuis lors, d'autres modèles ont été établis, en particulier par
Moinot, qui fut, en France, le vulgarisateur de la méthode tachéo-
métrique (*), et par Brunner.

Le tachéomètre Goulier, construit par Brosset, est employé exclu-
sivement par le Service géographique de l'Armée pour les levers
actuels au j^,

31. Diastimomètre Sanguet, — Le principe de la méthode stadi-
métrique consiste, en somme, à prendre la longueur d'une mire, com-
prise, à la distance que l'on veut évaluer, entre deux directions fai-
sant entre elles un angle constant très petit. Cet angle est déterminé,
dans le procédé ci-dessus décrit, par les rayons visuels rencontrant
deux fils horizontaux tendus dans le plan du réticule. Un autre dispo-
sitif, imaginé par M. Sanguet, qui lui a donné le nom de diastimo-

mètre, consiste à faire naître cet angle constant au moyen de la
déviation du rayon de visée, produite par un prisme d'angle très aigu
enchâssé dans une monture que l'on peut adapter à l'objectif de la
lunette d'un théodolite quelconque {fig. 36).

Si H est la différence des lectures faites sur la stadia, au fil hori-
zontal du réticule de la lunette, sans prisme ou avec le prisme rabattu
sur l'objectif, et si r est la déviation produite par le prisme, on a

D=-»-.

tangr

Il suffit donc que, par construction, tangr soit un nombre simple,
-j^ par exemple, pour que la lecture H fasse immédiatement con-

(*) J. Moinot, Lèvera de plans à la stadia, 3* édition. Paris, Dunod, 1877.

CHAPITRE II. — PLANIMÉTRIE. 49

naître D. 11 faudra toutefois ajouter à cette distance celle du prisme V
à l'axe vertical de l'instrument.

Il résulte d'expériences faites par M. Prévôt que la précision donnée
par le diastiinoraètre est au moins égale à celle obtenue avec une
lunette stadimétrique.

La correction de réduction à l'horizon devra, bien entendu, ou-
jours être appliquée. Toutefois, M. Sanguet a complété le diastimo-
mètre d'une façon extrêmement ingénieuse, de façon à obtenir auto-
matiquement et sans calcul cette réduction à l'horizon.

Supposons d'abord le diastimomètre disposé de façon que l'arête
du prisme soit horizontale (position qui s'obtient en faisant tourner
la monture de ce prisme autour de l'axe de la lunette, jusqu'à ce que
le rabattement du prisme sur l'objectif ne produise aucun déplace-
ment de l'image du fil vertical du réticule). Si la différence des
lectures faites sur la stadia tenue verticalement est H, on a alors pour
la distance réduite à V horizon de l'objectif à cette stadia

Do= looH cos'i\

ou, si le théodolite donne directement (comme l'a supposé l'auteur) la
distance zénithale z de la ligne de visée,

Do= iooH sin'^.

Si, alors, nous inclinons l'arête du prisme d'un angle a à partir de
sa position initiale, horizontale, la déviation produite par le prisme
dans tout plan vertical est multipliée par cosa. En effet, le point vu
d'abord en P {fig. 3^) est dévié par le prisme d'arête A.V, normale-

Fig. 37.

ment à celte arête en Pj. Donc le trait horizontal PQ, qui coïnci-
dait d'abord avec le fil horizontal du réticule, a été dévié en P|Qi,
et l'écartement par rapport à PQ est bien donné par PP,cosa.
Si donc la différence des lectures était H quand l'arête AA' du
d'O. 4

5o PREMIÈRE PARTIE. — TOPOMÉTRIC.

prisme était horizontale, elle est maintenant

H'= H cosa.

Il suffit, par suite, qu'on prenne Tangle a tel que

cosa = sin's
pour que l'on ait

Do= looH'.

De là rartifice de M. Sanguet, qui consiste à marquer, sur la
lunette et sur le manchon du diastimomètre, deux index qui se pro-
longent lorsque l'arête du prisme est horizontale et à porter sur le
manchon, à partir de son index, la graduation définie par

a = arc cos (sin^s).

Les choses étant ainsi disposées, ayant lu la distance zénithale z de
la visée que l'on fait, on n'a qu'à tourner le manchon du diastimo-
mètre jusqu'à ce que le trait z de sa graduation coïncide avec l'index
marqué sur la lunette, pour que la différence des lectures faites sur la
stadia donne directement la distance réduite à l'horizon (*).

32. Tachéographe Schrader, — Dans le tachéographe imaginé
par M. Schrader, le distingué chef du service géographique de la
maison Hachette, le principe énoncé au n** 26, pour la mesure optique
des distances, est appliqué sous la forme de sa seconde variante.

A cet effet, sur la mire, tenue cette fois horizontalement, le
segment H compris entre les deux points visés [déterminés par les
axes de deux voyants carrés à bande centrale blan'che {fig* 4î*)]cst fixe,
et, dans la lunette, la distance entre les fils parallèles (ici verticaux),

(') Nous ajouterons, pour n'y pas revenir, que la différence de cote entre le centre
de l'objectif et le point visé sur la stadia étant donnée par lOoH sin^ coss, il suffit
de placer aussi sur le manchon la graduation a définie par

cosa = sins cos s

a = arc cos

/sin^aX

pour que la différence des lectures données par le prisme placé dans cette nouvelle
orientation fasse connaître la différence des cotes.

CHAPITRE II. — PLANIMÉTRIE. 5l

tendus dans le plan du réticule, est variable. On a obtenu ce résultat
en rendant l'un d'eux fixe et l'autre mobile (* ).

Si l'on se reporte au n® 28 et à la figure 34, on voit qu'on a, pour
la distance D' ^u foyer antérieur de l'objectif à la stadia,

(0

-^-

j étant la distance focale de cet objectif et h l'écartement variable des
fils. Dès lors, la figure 38 étant supposée faite sur un plan mené par

Fig. 38

A'

y

—

F

F'

-^

JC

l

A

1

r

l'axe de rotation AA' de la lunette perpendiculairement au plan du
réticule, dans lequel R et R' sont deux points, l'un fixe comme le
fil F, l'autre entraîné ipar le fil mobile P, portons sur la perpendi-
culaire RA à l'axe de rotation le segment AT égal à une fraction

simple de la distance D', par exemple •

Si nous posons

RA = a, RF = 6, R'F'=6', RT=a7, RR' = j^,

nous avons

x-=ia-\ y y^b — b — h.

lOOO "^

Si donc, y et H étant ici constants, nous posons, en outre,

/H = loooc^

nous voyons que l'équation (i) devient

c
b — b ^ y

(O On pourrait mesurer l'écartement de ces fils au moyen d'une vis micromé-
trique commandant les déplacements du fil mobile. Tel est le principe d'un instru-
ment qui ne semble guère employé en France et qui a reçu le nom de chorismo-
mêtre.

52 PREMIÈRE PARTIE. — TOPOMÉTRIE.

OU, en posant encore b — b' = p,

(2) (37— a)(^— P)h-c = o.

Imaginons que, par rapport aux axes Tx et Tj/-, liés au point T
lorsque celui-ci parcourt la droite RA, on construise la courbe
d'équation (2) qui est une hyperbole équilatère 3C. Alors, lorsque le

D'

point T sera à une distance de A éerale à > Técartement des fils

^ ^ 1000

étant celui qui correspond à cette distance D', l'hyperbole DC passera
par la position correspondante du point R'. Inversement, si cette
hyperbole ^ est matérialisée sous la forme d'une came s'appuyant con-
stamment sur le point R' tandis que son bord rectiligne glisse le long
de RA, lorsque les fils F et ¥' seront à V écartement voulu (c'est-
à-dire lorsqu'ils bissecteront les voyants de la mire) le point T lié à

cette came sera à une distance de Vaxe AA' ésale à

^ 1000

En vue de la réalisation de ce dispositif, le fil (ou plutôt le trait)

mobile, est marqué sur une glace fixée à demeure sur un chariot qui

en assure le déplacement rectiligne, perpendiculairement à l'axe

optique de la lunette, en s'appuyant constamment par l'arête vive

d'un couteau c (^fig^ 89), en acier trempé dur, sur la came C, de même

Fig. 39.

métal, qui réalise l'hyperbole 3C de la figure 38, et qui, par son côté
rectiligne, s'appuie sur l'extrémité trempée d'une vis en acier a.

Supposons maintenant que, par construction, le point T, variable
le long de AT, glisse en même temps le long du côté vertical VH
d'une équerre VHl {Jig- 4o) entraînée par lui, et dont le côté IH
glisse le long d'une règle horizontale H H'.

Si l'on inarque sur cette règle la position Iq que prend le point I
lorsque le côté VH de l'équerre coïncide avec l'axe vertical VoHo de
l'instrument, on voit que la distance IqI, égale à HoH, fait connaître
la projection horizontale de AT, c'est-à-dire, à l'échelle du 75V0Î '*
projection horizontale de la distance D'. Une graduation convenable

CHAPITRE II- — PLANIMÉTRIE. 53

placée le long de HH' fera donc connaître directement cette dis-
tance DJ, réduite à l'horizon.

Si, comme précédemment, nous représentons par C la somme de
la distance focale de l'objectif (o'",3o) et de la distance de cet

Fig. 4o.

H' I, H, 1 H

objectif à l'axe de rotation de la lunette (o°*, 17), nous aurons, en
appelant i l'inclinaison de la ligne de visée sur l'horizon, la formule

(3)

Do = D' -+- C ces i

pour la distance horizontale du centre de l'instrument au point sur
lequel est placée la stadia. Vu la petitesse du terme correctif, et le
peu de différence entre cost et i, l'instrument ne permettant pas les
visées au delà de i=: 3o^', on a substitué à cette formule la formule
approchée (^)

(3 bis)

Do=Di-f-G,

et rendu dès lors la lecture de D© immédiate en reculant l'origine lo ci-

C
dessus définie de la quantité = o"*'",47.

La figure 4i montre la disposition de l'instrument. L'axe principal
placé au centre d'un plateau sur lequel, au moment de l'opération,
se fixe un disque de zinc, peut être rendu vertical, grâce aux indica-

(>) L'instrument étant construit pour donner les dislances à 5"" prés, il ne fau-
drait pas que l'erreur commise en trop

ADo= C(i — ces*) = 47*'"(» — cost)
dépass&t cette limite. La valeur de i correspondante sera donnée par

47(1 — cosi) = 5,
d'où Ton tire

i = 3oG environ,

ce qui est précisément la limite des inclinaisons permises par l'instrument.

54

PREMIERE PARTIE.

TOPOMÉTRIE.

lions d'un niveau à bulle, à l'aide d'un système de trois vis calantes.
Cet axe principal porte l'axe de rotation horizontal de la lunette
que l'on peut fixer sous une inclinaison quelconque, de o*^ à 3o^, au
moyen de la vis de pression P et de la vis de rappel R. La came hyper-
bolique, vue par la tranche en c, amène dans la position voulue, sur

Fig. 4i.

une ligne parallèle à l'axe optique de la lunette, le point désigné
par T sur la figure 4o, qui, sur la figure 41? se projetterait au centre
du cercle P' (représentant la tête d'une vis de pression adaptée au
coulisseau mobile le long de la règle verticale V). Un traçoir vertical T
permet de marquer la projection horizontale de ce point sur le disque
de zinc qui reçoit, par conséquent, le report des points au fur et à
mesure qu'ils sont levés (*).

Le bord du plateau horizontal formant limbe est divisé en grades,
et le long de cette graduation se déplace un vernier au j^ (donnant
par conséquent les 5*^^) qui est lié à la lunette.

Un éclimètre, également lié à cette lunette, fait connaître son in-
clinaison sur l'horizon avec la même approximation.

L'échelle de la règle horizontale HH fait connaître les distances en

(*) Il suflit. sur le disque employé en chaque station, de repérer les directions des
stations voisines, pour rattacher les uns aux autres les levers obtenue sur les diiïé-
rcnts disques.

CHAPITRE 11. — PLANIIIETRIK.

55

mètres (représentés sur cette échelle par des millimètres). Unvemier
au Yô permet d'avoir Tapproximation des 5**".

On amène d'ailleurs les fils du réticule à l'écartement voulu en
ag^issant sur le bouton B qui, par l'intermédiaire d'une crémaillère,
imprime à l'équerre V des déplacements horizontaux que la came
hyperbolique transforme en déplacements correspondants du fil
mobile.

.La manœuvre est donc celle-ci : la lunette étant dirigée sur la mire
horizontale {/ig- 4^), on serre les vis de pression P et r (fig* 40?
puis, ayant amené, au moyen de la vis de rappel R, le fil horizontal

Fig. /Î2.

V

«=saSP

SE

frT^-T*^-^^^^■.1^ |.' ^TT^

■T^ -*-■ *'-i''* PT\,\iU 4

^— — -g^

du réticule en coïncidence avec l'axe de la mire, on agit simultané-
ment sur la vis de rappel R' pour bissecter l'un des voyants V avec le
fil fixe, et sur le bouton B pour bissecter l'autre voyant V avec le
fil mobile (*). Il suffit, à ce moment, d'appuyer sur le traçoir T pour

(') Pour le fil mobile, il y a deux voyants, V et V* {/ig. 4^), Tun servant pour
les distances de ao" à Se*", Tautre pour les distances de So*" a 120'" (limite de la
portée à l'échelle du -,'oVo)' -^ chacun des intervalles déterminés sur la mire par ces
voyants correspond, bien entendu, sur la came, l'arc d'une hyperbole différente; ces
deux arcs se font, d'ailleurs, iminédiatemcnl suite. Si l'on veut changer d'échelle, il
faut, pour la même came, faire varier en raison inverse les intervalles de la mire;
par exemple, pour l'échelle du Y^oSi i^ ^^"^ prendre entre les voyants des intervalles
doubles des précédents. Les lectures de distances faites sur l'instrument doivent aussi,
bien entendu, être doublées.

56 PREMIÈRE PARTIE. — TOPOMÉTRIE.

marquer le point relevé sur le disque de zinc. On peut lire, en même
temps, son azimut sur le limbe, sa distance sur la règle horizontale H H
et même sa cote au-dessus du point où l'on est en station sur la règle
verticale HV (*),

33. Mise au ftoint automatique, — La rigueur des résultats
fournis par le tachéographe Schrader dépend évidemment de l'exacte
mise au point de l'image de la mire. Il faut que celle image se forme
exactement dans le plan du réticule contenant les deux fils pour qu'on
puisse, avec ces fils, bissecter les deux voyants de la mire. Or, pour
simplifier le mécanisme dont la came hyperbolique est l'organe essen-
tiel, on a dû immobiliser le réticule de la lunette; c'est donc l'objectif
qui a dû être rendu mobile. M. Carpentier, le constructeur de l'in-
strument, qui en a étudié avec grand soin tous les détails mécaniques,
a conçu un dispositif fort ingénieux qui assure automatiquement la
mise au point, c'est-à-dire qui place l'objectif à la distance du réti-
cule convenant à cette exacte mise au point lorsque les fils de ce
réticule sont à l'écartement voulu. Le principe de ce dispositif peut
être ainsi exposé :

Soient R le centre du réticule fixe {fig. 43), O le centre de Tob-
jectif mobile avec ses deux foyers F et F'. Si la mise au point est

Fig. 43.
R r H K A T

r'

D'

^^--^.4*

effectuée, c'est-à-dire si Timage de la mire située à la distance D' du
foyer F' se fait dans le plan du réticule distant de d du foyer F, on
a, /étant la distance focale de l'objectif,

f^d ' f^D' f

(') Pour obtenir celte difTérence de cutc, il suffit de placer la mire horizontale à
une hauteur, au-dessus du pied de la règle verticale qui la supporte, égale à la hau-
teur de Taxe de rotation de la lunette (auquel correspond le o de la graduation de
l'échelle HV) au-dessus du point où l'on est en station. Il va sans dire que, comme
pour les distances horizontales, si Péchelle est prise au ^^Vï? '^^ cotes lues doivent
être doublées.

CHAPlTRIi II. ~ PLAMMÉTRIE. 5y

OU

(I) iyci=/^.

B étant un point fixe par rapport au réticule, il esl facile de faire
déplacer, sur la parallèle à Taxe de la lunette menée par le point B, un
point S entraîné par le point T de. la figure 4^? et tel qu'on ait con-
stamment, A étant (comme sur làjig. 4^) Taxe de rotation de la
lunette,

BS = AT = -51.

lOOO

Au point S sera fixé un doigt SI, perpendiculaire à BS, dont l'ex-
trémité I sera constamment en prise avec un côté Bl d'une équerre
de sommet B (*), mobile autour de ce sommet. L'autre côté BK de
cette équerre sera constamment en prise avec un bouton K lié inva-
riablement à l'objectif (qui, par conséquent, déterminera sa distance
au réticule), et tel que la distance FK de ce bouton au foyer posté-
rieur F soit égale à la distance fixe du réticule R à la projection H du
point B sur l'axe de la lunette. Si Ton pose BH = A, SI = A", on
voit que

h "" BS

ou, puisque FK = RH, et, par suite, HIv = RF,

D'
RF X -^^ = A/ ,

lOOO

si donc, par construction, hk = — — ^ on a

RFxD' = />,

ce qui, par comparaison avec l'équation (i) ci-dessus, montre que
RF = rf, c'est-à-dire que le foyer postérieur F de l'objectif, et, par
conséquent, cet objectif lui-même, est à la distance du réticule qui
convient à la mise au point exacte pour la distance D' considérée. On
peut remarquer que cette mise au point fait varier la distance du foyer
antérieur F' à l'axe A, c'est-à-dire la constante C du numéro précé-

(') Cette mise en prise a lieu par Tinsertion d'un bouton, dont le centre coïncide
avec le point I, dans une rainure dirigée suivant l'axe BI du côté correspondant de
Téquerre, boulon et rainure qui sont visibles sur la figure 4'» au-dessous de la
lunette.

58 PRKMIBRE PARTIE. — TOPOMBTHlE.

dent, mais cette variation n'étant que de 4"™ environ, quand D' varie
entre ses limites extrêmes (de 20" à 1 20*"), il n'y a pas lieu d'en tenir
compte.

34. Procédé de la variation de pente, — La mesure optique des
distances par le procédé de la lunette stadimétrique a l'inconvénient
d'exiger un calcul de réduction à l'horizon (*). Or ce procédé esl
fondé sur l'emploi de deux visées faites sous des inclinaisons dont la
différence est constante. Si, à cette différence constante entre les
inclinaisons, on substitue une différence constante entre leurs tan-
gentes trigonométriques, c'est-à-dire si l'on donne à la ligne de visée
une variation constante de pente, on obtient un dernier procédé
de mesure des distances, du à M. Sanguet, qui, grâce à quelques
perfectionnements de détail, a permis d'atteindre à une grande pré-
cision et dont l'emploi est très avantageux dans les opérations topo-
métriques parce qu'il fournit directement, sans calcul de correction,
les distances réduites à l'horizon.

Voici le principe théorique sur lequel est fondé ce procédé :
Supposons que l'on vise successivement avec un clisimètre deux
points d'une mire graduée placée verticalement (fig* 44)* Sous la

Fig. 44.

pente/? on fait la lecture H, sous la pente/?' la lecture H'. La direc-
tion de l'horizontale sur laquelle doit être comptée la distance D cor-
respondrait à une division inconnue x de la mire; on a immédiate-
ment les relations

H — X W-x H'-H

D =

P—P

(*) On a, il est vrai, dressé des Tables qui donnent immédiatement le résultat de
ce caicul^ construit aussi des tachéomètres ( tel, celui de M. Champigny ), opérant celte
réduction au moyen d'un mécanisme plus ou moins compliqué. Cela n'eoléve rien à
l'importance du procédé ici décrit qui donne les dislances toutes réduites à l'horizon
sans aucun calcul et sans mécanisme spécial.

CHAPITRE II. — PLANIMÉTRIR. ^9

Les pentes/? et/?' étant quelconques, on peut les choisir telles que
/?' — p = j^. Dans ce cas D=:ioo(H' — H), et Ton voit que ce ré-
sultat est indépendant de Tinclinaison de OH sur Thorixon.

Contrairement à ce qu'on est tenté de croire a priori, ce procédé,
simplement appliqué avec un niveau de pente ordinaire, n'est pas
d'une extrême rigueur.

Il résulte, en effet, d'expériences très précises de M. Sanguet que
l'œil armé d'une loupe juge, en général, de la coïncidence de deux
traits avec une erreur moyenne quadratique de ^ de millimètre. Gela
semble, au premier abord, constituer une extrême précision.

Mais cp qu'il faut apprécier, c'est Tinfluence de cette erreur sur
l'évaluation de la distance.

Supposons que le niveau de pente ait ao*^"* de long. En prenant
pour />' — p la valeur ^ cela correspond à une différence de 2"™ lue
sur l'échelle verticale de l'instrument; l'erreur e^ sur la coïncidence
des traits étant de ^^^ de millimètre, représente ^ de la longueur à
observer sur cette échelle; cela revient à dire que l'erreur moyenne
quadratique relative sur chaque lecture, dans les deux positions du
viseur, est de -j-—; sur la différence de ces lectures, elle sera donc

de -7- ou YTi» On voit donc que, sur l'évaluation d'une longueur

de 1 13"*, on aura une erreur moyenne quadratique de 1™. Cette pré-
cision est tout à fait insuffisante.

Le procédé pour acquérir toute sa valeur doit être mis en œuvre
d'une autre façon qui ne fasse pas intervenir l'œil dans l'appréciation
de la variation de pente de la ligne de visée. M. Sanguet a eu l'excel-
lente idée d'obtenir cette variation de pente au moyen de contacts
réalisés mécaniquement par des buttoirs dans l'instrument que nous
allons maintenant examiner.

3o. Tachéomètre autoréducteur Sanguet. — Comme les autres
types de tachéomètre, celui-ci comprend un goniomètre horizontal,
répétiteur, muni d'un niveau à bulle et d'un déclinatoire (du type
décrit à la fin du n" 15 1, et reposant sur trois vis calantes.

Le limbe est divisé en grades; les verniers complémentaires décrits
au n*^ H donnent l'approximation du centigrade.

Voici, maintenant, comment est disposé le clisimètre stadimé-
trique :

La lunette, mobile à une de ses extrémités autour de l'axe de deux

6o PREMIÈRE PARTIE. — TOPOMÊTRIE.

tourillons portés par une fourche, glisse par sa seconde extrémité le
long d'un coulisseau engagé à ses deux bouts dans les retours d'équerre
que porte la règle verticale F du clisimètre. Ce glissement se fait par
l'intermédiaire du curseur muni de vernier qui sert à la lecture du
clisimètre et peut être fixé au coulisseau au moyen de la vis de pres-

Fig. 45.

sion P'. Le coulisseau peut d'ailleurs recevoir, le long de la règle F,
de petits déplacements grâce à un levier L actionnant l'écrou de la vis
de rappel R' qui permet de rectifier le pointé dans le sens vertical
lorsque la vis P' est serrée. Ce levier, dont (sous l'action du poids de
la lunette, accrue de celle d'un ressort) le grand bras tend toujours à
se relever, peut buter contre quatre taquets, en métal très dur, qui
se voient sur le montant de la fourche et, lorsqu'il passe de l'un

CHAPITRR II. — PLANIIIÉTRIE. 6l

à l'autre, le coulisseau a des déplacements constants qui corres-
pondent pour l'axe de la lunette, quelle que soit son inclinaison ini-
tiale, aux accroissements de pente suivants :

Du i**^ au 2* taquet o , o i

» au 3* » o,oi8

» au 4* » 0,022

Si donc a, ^, y? ^ ^^"^^ '^^ lectures faites au fil de la lunette dans
les quatre positions du levier, on a pour la distance horizontale D,
en posant fJ — a=p,,Y — a = Yi, 8 — a = 8|,

D = P' = Yi _ Qi _. Ti-^-^i _ Pi-»-Ti-^Qi ,
o,oi o,oi8 o,o'22 o,o4 o,o5

La première de ces expressions fait immédiatement connaître la
distance D. Les deux dernières, d'un calcul également facile, offrent
un moyen immédiat de contrôle.

Mais on n'a pas recours à ce moyen de contrôle d'une façon per-
manente, le réservant pour les points qui doivent être déterminés
avec une précision particulière. Par exemple, s'il s'agit d'un lever
d'étude relatif au tracé d'une voie de communication, on ne l'appli-
quera que pour les sommets de la ligne de cheminement.

Il faut, en outre, remarquer que la distance D est comptée à partir
de l'axe de rotation de la lunette. Il faut donc lui ajouter la distance de
cet axe de rotation à l'axe vertical de l'instrument, qui, par construc-
tion, est égale à lo*".

La précision du stadiinètre Sanguet est telle que, sur une longueur
de loo" à iDo", on arrive, en ne se servant même que du premier
couple de buttoirs, à une erreur moyenne relative de j^ environ,
alors que, dans ces conditions, un niveau de pente ordinaire donne-
rait une erreur moyenne voisine de -^,

De façon plus précise, M. Sanguet estime qu'en se bornant à la

lecture ^i on a une erreur moyenne quadratique sur la distance D

donnée par

« , r>
4ooo

et, avec la somme des trois lectures ^i, y,, 8,

ej= o",o2-+-

D

lOOOO

6-2 PB EM 1ÈRE PARTIE. — TOPOMÉTRIE.

Avec un lachéomètre Sanguel et une mire (du type indiqué sur la
figure i3), on fait aisément à la fois toutes les opérations que com-
porte un lever topométrique, sans avoir à recourir à aucun calcul de
réduction. Le goniomètre sur lequel est monté l'instrument permet
de mesurer les angles horizontaux; le déclinatoire D (^fig- 4^) (d"
type décrit au n° 15) donne les azimuts, tandis que les lectures faites
sur la mire font connaître à la fois les distances horizontales et les dif-
férences de niveau, en se combinant, pour ces dernières, avec les
lectures faites sur le clisimètre, ainsi qu'on le verra plus loin (n®51).

III. — Méthodes générales de la planimétrie.

36. Principe des méthodes usuelles, — En combinant de façon
rationnelle des mesures d'angles et des mesures de distances, obtenues
parles procédés qui viennent d'être décrits, on peut lever la pro-
jection horizontale d'une certaine étendue de terrain.

La mise en œuvre de ces procédés s'eflTectue suivant plusieurs mé-
thodes qui correspondent aux diverses manières de définir les points
d'un plan au moyen de coordonnées vectorielles ou angulaires.

On peut notamment rapporter la position d'un point à deux axes
rectangulaires par son abscisse et son ordonnée {fig, 46). De là une

Fig. 46.

a. h c

méthode de lever qui consiste à abaisser, des divers points à relever,
des perpendiculaires sur un alignement droit au moyen d'une équerre
et à mesurer : i** les longueurs de ces perpendiculaires; a** les dis-
tances comprises entre leurs pieds, mesures qu'on effectue en général
à la chaîne ou au ruban d'acier.

Comme vérification, on peut d'abord mesurer directement les seg-
ments Oa, aè, 6c, . . . , puis chaîner de façon continue la base totale
OabCj . . . , en relevant au passage les points a, 6, c, . . . , on encore,
effectuer ce chaînage continu en revenant de c vers O.

CHAPITRE II. — PLANIMÉTRIE. 63

On peut employer aussi le système des coordonnées polaires, d'où
la méthode du rayonnement pour laquelle Temploi du tachéomètre
est particulièrement commode {fig- 47)- On opère par tour d'ho-

rizon en prenant pour chaque point visé l'angle d'orientation et la
longueur du rayon vecteur.

On peut enfin se servir des coordonnées bipolaires, en déterminant
un point A par la rencontre de deux lignes de visée partant de deux
points déjà reportés, c'est-à-dire par les angles a, a' comptés (tou-

jours dans le sens direct) à partir de la droite joignant les deux sta-
tions {fig' 48). C'est la méthode des intersections.

Comme vérification, il sera bon de choisir une troisième station O"
sur le prolongement de 00' et de mesurer également les angles po-
laires 7."^ ^'', . . ., des points A, B, ... vus de cette station O". Les
droites telles que OA, O'A, 0"A devront, lors du report du lever
sur le papier, converger en un même point.

Chaque point nouvellement obtenu peut être pris avec le précédent
pour la détermination du point suivant par le même procédé. On
obtient ainsi la méthode de la triangulation.

Enfin, on emploie une méthode dont le principe peut être rattaché
à la notion des coordonnées intrinsèques ; c'est la méthode du che-
minement. Elle consiste à mesurer successivement les côtés et les
angles d'une ligne polygonî^le ayant pour sommets les divers points à
relever, pris dans un certain ordre. D'ailleurs, chacun des côtés de
cette ligne peut être orienté par la mesure, au moyen du déclinatoire,
de son azimut magnétique que l'on corrige ensuite de la déclinaison

64 PREMIÈRE PARTIE. — TOPOIIÉTRIE.

pour obtenir l'aziinut géographique. On reviendra plus loin (n*** 39

et suivants) sur les vérifications à faire dans le cas du cheminement.

Dans les levers exécutés en vue des travaux publics, plusieurs des

méthodes ci-dessus indiquées interviennent simultanément (n" 46).

37. Lever photographique du colonel Laussedat, — Le colonel
Laussedat a eu l'idée de définir les directions intervenant dans la
méthode des intersections par leur trace sur un plan vertical cons-
titué pour chaque station par une plaque photographique; c'est-
à-dire que la méthode consiste à en'ectuer photographiquement la
perspective du terrain à lever, pour deux points de vue préalablement

P'g- 49-

déterminés. La chambre photographique destinée à cet usage est liée
à un goniomètre, muni d'un niveau à bulîe, qui sert à la mesure des
angles horizontaux (') {Jlg^ 49)- La ligne d'horizon est déterminée
par l'intersection de la plaque sensibilisée avec le plan horizontal

(*) Le colonel Laussedat a perfectionné progressivement le type de son appareil,
auquel il a donné le nom de phofothéodolîte. Pour les détails relatifs à la question,
consulter l'Ouvrage cité à la fin du présent numéro.

CHAPITRE II. — PLANIMÉTRIE. 65

passant par le cenlre de Tobjectif. Le point de fuite principal F est la
trace de Taxe de l'objectif sur la plaque. Ces éléments de repérage
sont marqués^ l'avance sur la plaque {fig^ 5o). Pour reporter sur le

Fig. 5o.

.A

F

A%

F'

a

œ

plan les points A dont on a la photographie sur les deux clichés,
voici comment on opère :

On abaisse sur le premier cliché les perpendiculaires A« sur la ligne
d'horizon et Ton relève le point principal de fuite F et les points « sur
le bord rectiligne d'une bande de papier qu'on vient appliquer le long
de la ligne d'horizon. De même, pour le second cliché.

Les directions OF et O' F' étant définies sur le plan par les angles o)
et w' qu'elles font avec la direction 00' {Jig* 5» ) (angles que donne

Fig. 5i.

le goniomètre de l'appareil), si l'on connaît la distance principale
OF, il suffît, sur une perpendiculaire élevée en F à OF, de reporter
les points a marqués, comme il a été dit, sur une bande de papier,
pour avoir, en joignant ces points a au point O, les directions Oa
des points A. En faisant la même opération avec le second cliché pris
du point O', on obtient les droites O'a' qui, par leur rencontre avec
les droites Oa, donnent les points A.

Il est même inutile de connaître les distances principales OF et O'F'
si l'on détermine, pour un seul point A, les azimuts a et a' comptés à
partir de OF et de O'F.

En effet, ayant tiré les droites OF, O'F', puis, grâce à la connais-
sance des angles a et a', les droites OA et O'A, on n'a qu'à placer les
échelles relevées sur les lignes d'horizon perpendiculairement l'une
d'O. 5

66 PREUIÉRB PARTIE. — TOPOMÉTRIK.

à OF, Fautre à O'F', en faisant en sorte que les points F et a tombent
respectivement sur les droites OF et OA, les points F' et a! sur O'F'
et 0'-\. Avec ce procédé, qui sera évidemment employé de pi'éfé-
rence, on voit que le retrait de l'image photographique, qui peut se
produire au cours des manipulations ayant pour objet de la révéler
et de la fixer, est sans inconvénient.

Vfin de n'avoir pas à y revenir, nous ferons remarquer que cette
méthode photographique permet, en même temps que le lever de plan,
d'effectuer le nivellement. Mesurant, en effet, sur l'épreuve photo-
graphique la hauteur \a = 5 de l'image du point A au-dessus de la
ligne d'horizon, on a pour la cote Z de ce point par rapport au plan
d'horizon choisi :

les longueurs Oa et 0\ étant mesurées sur le plan dont l'échelle est
connue, puisque la tase OO' a été mesurée sur le terrain.

Cette méthode est fort expéditive et très commode surtout dans
les pays accidentés offrant des particularités qui s'identifient faci-
lement d'un cliché à l'autre. Son grand avantage est de ne nécessiter
qu'un très court séjour sur le terrain; aussi son emploi se recom-
mande-t-il lorsque les conditions climatériques rendent difficile le
maniement des instruments ordinaires de lever. Elle peut rendre aussi
de grands services pour le lever des pays nouveaux, en cours même
d'exploration, puisqu'il suffit pour cela des vues photographiques
prises au moyen de l'appareil du colonel Laussedat et complétées par
les quelques mesures que permet d'effectuer cet appareil. La carte
d'une partie de la province d'\laska, au Canada, où, en raison des
brouillards, il était impossible d'aller sur le terrain plus de 3 mois
par an, a été complètement dressée par le capitaine E. Deville au
moyen de ce procédé.

M. Vallot a fait, au moyen d'un instrument différant un peu de celui
du colonel Laussedat et qu'il a appelé le phototachéomèire^ une
belle application de la méthode à l'établissement de la Carte du massif
du Mont-Blanc.

La mission chargée de la nouvelle mesure de l'arc de méridien de
l'Equateur emploie également le photo théodolite Laussedat pour les
levers expédiés des environs des stations.

Les levers photographiques, dont nous n'indiquons ici que le prin-
cipe, soulèvent une foule de problèmes (dont quelques-uns même

CHAPITRE II. — PLANIUÉTRIE. 67

olFrent un véritable intérêt géométrique; loc, cit., T. II, deuxième
Partie, p. loi à 1 16) à propos desquels est né cet art spécial, auquel
le colonel Laussedat, qui en a été l'initiateur, a donné le nom de
Métrophoto graphie. Relativement à cet art, on trouvera tous les
développements désirables dans le Tome II de l'Ouvrage de ce savant
officier, intitulé : Recherches sur les instruments^ les méthodes et
le dessin topo graphiques .

38. Relèvement . — Un point S peut être défini par les angles sous
lesquels de ce point on voit deux segments OA et OB pris sur les
côtés d'un angle à l'intérieur duquel il se trouve, les points 0,A
et B étant des points connus sur la carte.

Cette méthode, dite de relèvement, est surtout employée pour rap-
porter un point situé en mer à des points connus d'une côte voisine ( * ).
On a parfois à y recourir pour les besoins des travaux publics.

Soient a, ^ les angles sous lesquels sont vus respectivement les
segments OA et OB {fig> 52). Le point S se trouvera à la rencontre

des segments capables des angles a et ^ construits respectivement sur
G A et OB ; soient C et D leurs centres. M. Estignard, Ingénieur hydro-
graphe, a fait remarquer qu'on pouvait se borner à construire un de
ces segments, par exemple celui qui est capable de l'angle a relatif au
côté OA. Si, en effet, la droite SB prolongée rencontre ce seg-
ment au point I, on a, par la mesure des angles dans le cercle C,

OCI = 2 7C — 2 OSI = 27^ — 2(u — ^) =z ^^, Cela permet d'obtenir

(*) A l'élranger, et particulièrement en Allemagne, cette méthode est fort em-
ployée aussi pour la Topométrie à terre.

68 PREMIERS PARTIE. — TOPOUÉTRIE.

directement sur le cercle C le point I qui, joint au point B, donne sur
ce cercle le point S.

Mais on peut encore opérer d'une autre manière qui a l'avantage
(lorsqu'on dispose d'une |équerre et d'un rapporteur) de supprimer
tout tracé de cercle.

Si l'on prolonge les diamètres OC etOD des deux cercles jusqu'en
leurs secondes extrémités A.' et B', on voit que

AOA' = ASA^ = - — a et BOB* = BSB' = - - 3.

Il suffît donc de tirer les droites OA' et jOB' déterminées par ces
angles et de prendre respectivement leurs intersections avec les
perpendiculaires élevées en A et en B à OA et à OB pour avoir les
points A' et B' (*). Cela fait, [les angles OSA' et OSB' étant droits,
puisque inscrits dans des demi-circonférences, on a le point S en pre-
nant le pied de la perpendiculaire abaissée de O sur A'B',

39. Vérification des angles (Tun cheminement, — On doit s'ap-
pliquer, dans toutes les opérations topométriques, à se ménager des
moyens de vérification, soit en rattachant leurs résultats à ceux précé-
demment obtenus au moyen d'opérations exécutées avec une plus
haute précision (celles de la Géodésie), soit en fermant un cycle d'opé-
rations devant aboutir à un résultat déterminé d'avance par des
considérations d'ordre géométrique. Tel est, en particulier, le cas,
comme nous allons le faire voir, pour les angles aux sommets d'un
polygone de cheminement absolument quelconque (c'est-à-dire d'un
ordre de connexion quelconque) lorsqu'on le referme sur lui-même.

Si l'on distingue en chaque sommet, eu égard au sens du chemine-
ment, l'alignement passant par le sommet précédent ou alignement
arrière et l'alignement passant par le sommet suivant ou alignement
avant ^ on peut définir \ angle topo graphique eu ce sommet celui
dont il faut faire tourner l'alignement arrière dans le sens direct pour
l'amener sur l'alignement avant.

Remarquons tout de suite que, d'après cette définition, deux angles

( > ) Si Tun des angles, a par exemple, était obtus, la différence a étant négative,

il faudrait porter l'angle a -t k partir de OA vers Vextérieur de l'angle AOB.

CHAPITaE II. — PLANIUÉTRIE. 69

topographiques opposés par le sommet ont une somme égale à 4 droits
{Jig.Si).

Si l'on revient après un certain cheminement au point d'où l'on est

parti, la somme des angles topographiques, déterminés, comme il vient
d'être dit, aux divers sommets, doit avoir une certaine valeur que
nous allons obtenir.

Premier cas, — Le polygone, simplement connexe, est parcouru
dans le sens rétrograde {fig- 54). Dans ce cas, les angles topogra-

phiques aux divers sonmiets sont les angles intérieurs du polygone.
Leur somme 2 exprimée en angles droits est donnée par

S = an-4,
en appelant n le nombre des sommets du polygone.

Deuxième cas, — Le polygone est parcouru dans le sens direct
{fig- 55). Dans ce cas, ce sont les angles extérieurs qu'il faut prendre
et l'on a, en adoptant toujours pour unité l'angle droit,

4/1 — 2 = 2/1 — 4î
d'où

2=2/1 + 4-

70

PREMIERB PAHTIB. — TOPOMETRIE.

Affectant le polygone du signe -h ou du signe — suivant qu'il est
de sens direct ou rétrograde, et appelant excès angulaire du poly-
gone l'appoint de 4 droits précédé du signe du polygone, on peut dire

Fig. 55.

que, dans tous les cas, la somme des angles égale in droits
augmentés de P excès angulaire.

Troisième cas, — Supposons maintenant un polygone à connexion

Fig. 56.

H

multiple {Jig. 56), formé par une chaîne de p polygones à connexion
simple (*).

Soient /2|, /i^, /i^, . . . les nombres de sommets de chacun des
polygones composants, E|, E2, E3, ... leurs excès angulaires égaux
à -h 4 droits pour les polygones directs, à — 4 droits pour les poly-
gones rétrogrades.

{}) Dans la Note où, pour la première fois, nous avons fait connaître le présent
théorème {Comptes rendus de V Académie des Sciences, i*' semestre 1901, p. 818),
nous Tavons établi non pas seulement pour un polygone formé par une chaîne de
polygones à connexion simple, mais pour un polygone à connexion multiple absolu-
ment quelconque.

CHAPITRE II. — PLAMMKTRIE. 7I

Nous aurons

£,= 2/1,-1- Ej,

£3= -2/1,-1- £,.

Faisons la somme de toutes ces égalités.

En chacun des points de recoupement il y a deux angles topogra-
phiques opposés par le sommet dont, en vertu de la remarque faite
plus haut, la somme égale 4 droits. La somme S, -f- Sj -h S3H- . . .
égale donc la somme S des angles du polygone total, augmentée de
p — I fois 4 droits, ou

Si-hSjH-Ss-H ... = 2h-4(/>— ï).

Maintenant dans la somme /i| -f- «2 4- 'is -I- . . ., chacun des p — i
points de recoupement est compté deux fois puisqu^il appartient à la
fois à deux polygones simples. Par conséquent

/ii-f- /ij-H/ij-f- ... = /n- a(/?— i).

Enfin les résidus E|, E2, E,, ... se détruisant deux à deux, d'un
polygone partiel au suivant, il restera finalement pour la somme de
ces résidus -1-4? ^j ^^ — 4 droits, qu'on appellera Vexcès angu-
laire E du polygone total. On aura donc finalement

2-+-4(/>— = '2/n-4(/> — i)-+-K
ou

2:=:2/1-HE.

Ainsi, moyennant la définition qui vient d'être donnée de l'excès
angulaire du polygone total, la formule d'abord obtenue dans le cas
des polj'gones simples est absolument générale.

40. Tolérance sur le résultat JinaL — Dans la pratique, une
vérification comme celle qui vient d'être indiquée ne se réalisera
jamais rigoureusement. La somme des angles obtenus, comparée à sa
valeur théorique résultant du théorème qui vient d'être démontré,
fera apparaître un résidu p. La question se pose de fixer la limite de
tolérance que ne devra pas franchir ce résidu pour que les opérations
effectuées puissent être considérées comme acceptables.

Le goniomètre dont on s'est servi comportant pour la mesure de
chaque angle une erreur moyenne quadratique e^ connue, on en

72 PREMIERE PARTIE. — TOPOMETRIE.

déduira immédiatement Terreur moyenne quadratique é.^ de la somme
des n angles de la ligne polygonale refermée sur elle-même par la
formule

e\ = «, /»,

d'après ce qui a été vu plus haut (note au bas de la page 20).

Or, si h est la mesure de précision correspondante, on sait que la
loi de la probabilité des erreurs peut se mettre sous la forme suivante :
la probabilité P(x) pour que Terreur soit, en valeur absolue, infé-
rieure à X est donnée par

6 représentant la fonction bien connue

dont on possède les Tables.

Cherchons, par exemple, Terreur pour laquelle la probabilité
est égale à 0,999. La Table de la fonction montre que

e(2,33) = 0,999.

Il suffit donc de prendre

hx^ 2,33.

Mais on sait d'autre part que la mesure h de la précision est liée à
Terreur moyenne quadratique é^ par la formule

V2

On déduit donc de là que

a: = 2, 33 X /2 tf j = 3, 29. e'j.

Par suite, on peut dire qu'en admettant une tolérance égale au
triple de (erreur moyenne quadratique environ, on a une proba-
bilité de 0,999 po^^ ^^ le résidu ne dépasse pas cette tolérance. Ce
chiffre est considéré aujourd'hui comme offrant une suffisante
garantie.

Si donc le résidu p ne dépasse pas le triple de Terreur moyenne
quadratique é.^^ calculée a priori par la formule ci-dessus, on lient
Tensemble des opérations pour bon et Ton corrige chacun des n angles

mesurés de la quantité -•

CHAPITRE II. — PLANIMÉTRIE. 73

Supposons, par exemple, qu'aux i6 sommets d'un polygone se
refermant sur lui-même les angles aient été mesurés avec un gonio-
mètre pour lequel 62= 1'; alors e.^ = 4'j et si le résidu est inférieur
à 12' on le divisera par 16, ce qui donnera une correction inférieure
en valeur absolue à 45", qu'on appliquera avec son signe à chacun
des 16 angles mesurés.

41. Vérification par les azimuts. — On peut aussi procéder à
la vérification des angles d'un cheminement au moyen des azimuts
mesurés soit en deux stations extrêmes, soit même en tous les
sommets.

Premier cas, — Si, conformément à l'usage admis par les topo-
graphes, nous représentons par ôjy^, Or^, ... les azimuts des côtés AB,
BC, ... aux points A, B, . . . {fig- 07), et par la même lettre que

chaque sommet l'angle topographique qui y a été mesuré, nous voyons

que

Ôbc = 6ab -»- B — 200G,

6CD = 6bC -t- C — '200<^,

Supposons dès lors qu'après avoir déterminé rigoureusement le pre-
mier azimut 0^^ nous calculions ainsi successivement les azimuts des
côtés AB, BC, . . ., et que nous arrivions finalement à un côté HI dont
nous ayons aussi déterminé rigoureusement l'azimut. Si, entre cet
azimut et celui que donne le calcul de proche en proche qui vient
d'être indiqué, se manifeste un écart a>, on divisé cet écart par le
nombre n des côtés de la ligne polygonale commençant au point A
pour finir au point l et l'on corrige l'azimut du premier côté ou AB

de — > celui du deuxième BC de 2 -> et ainsi de suite jusqu'à HI dont
on corrige l'azimut de /i — ou w.

74 PREMIÈRE PARTIE. — TOPOMÉTRIB.

Deuxième cas, — On mesure encore rigoureusement le premier
et le dernier azimut; dans les stations intermédiaires on mesure
l'azimut approché en corrigeant de la déclinaison magnétique Findi-
cation donnée par le déclinatoire.

Supposons d'abord les stations extrêmes assez rapprochées pour
qu'il n'y ait pas lieu de tenir compte de la convergence des méri-
diens (*), et soient, aux sommets successifs A, B, C, . . . {fig- 58)

Fig. 58.

^ABî ^BC) ^CD) • • • les azimuts avant vrais, 8baî ^cb? • • • les azimuts arrière
vrais. Les mêmes lettres primées désigneront les azimuts apparents
donnés parl'instrument. Enfin nous représenterons par Cj^, Cr, C^, . . .
les corrections permettant, en chaque sommet, de passer des uns
aux autres.

Connaissant O^d, pour la première station, on en déduit Orj^ par la
formule

(0 6ba = 6ab — aoo<î.

Comme d'autre part on a mesuré Oba? ^^ ^ ^% P^r 1* formule
(a) Cb = 6ba — 6ba.

On peut alors corriger 8bc an moyen de la formule

( 3 ) 6bc = 6bc -h Cb.

(^) Lorsqu'on rapporte ainsi les azimuts en toutes les stations à la direction du
méridien de la première d'entre elle») on leur donne le nom d^orientement* par
rapport à ce méridien.

CHAPITRE II. — PLANlliÊTRIE. yS

De même en tous les sommets successifs. Cette rectification de
proche en proche de Tazimut porte le nom de transmission de
C or ien tentent. On arrive ainsi au dernier azimut dont on compare la
valeur donnée par ces transmissions successives à celle qui est obtenue
rigoureusement, par une détermination directe. Si l'écart est infé-
rieur à la tolérance admise, on le répartit, comme dans le premier
cas, par fractions égales à partir du premier sommet.

42. Convergence des méridiens, — Si la différence en longi-
tude A/ des points A et B est assez grande, les orientements en B,
rapportés à la direction du méridien en A, doivent être corrigés
de l'angle des méridiens en A et B pour donner les azimuts vrais
en B.

A l'échelle du jTnjôô» ^' suffit de tenir compte de cette convergence
des méridiens à partir d'une différence A/ de lo*^, ce qui correspond,

Fig. 59.

sous les latitudes moyennes, à une distance d'une dizaine de kilo-
mètres dans le sens du parallèle. A l'échelle du â^W» ^^ pour les.
échelles supérieures, il faut en tenir compte à partir de A/ = 1^^, soit
pour une distance dans le sens du parallèle voisine du kilomètre.

Appelant Aô cette convergence des méridiens, c'est-à-dire l'angle
que le méridien en B fait avec celui en A, on peut en faire comme suit
le calcul approché : soient a el b les points des méridiens de A et B
situés sur le parallèle moyen entre ces points. On peut prendre,
pour la convergence A6, l'angle que font les tangentes en a et 6 à
ces méridiens. Or, vu la petitesse supposée de l'arc aè, on a sensi-
blement

a6 = Ta.Ae = Ca.A/,

76 PaSlilÉEE PARTIE. — TOPOMÉTRIB.

d'où

A9 = =^.A/ = sinL. A/,
la

L étant la latitude du parallèle ab.

Le Service géographique de l'Armée a calculé les valeurs de A8 pour
les différentes latitudes L du territoire français en prenant A/== lo^.
Pour les mêmes latitudes M. Sanguet a donné, dans ses Tables
(p. XIX), les valeurs de Aô correspondant à une distance de loo*""
comptée dans le sens du parallèle. Pour les distances plus petites, les
valeurs de Aô leur sont proportionnelles.

43. Détermination du méridien. — La méthode de vérification
exposée au n^ 41 suppose la détermination exacte du méridien astro-
nomique en certains sommets. Pour les besoins courants de la Topo-
métrie cette détermination pourra se faire par une des méthodes
suivantes :

I** Par les points trigonométriques. — Si Ton fait en sorte que le
premier et le dernier sommet, où l'on a besoin de connaître rigoureu-
sement le méridien, soient des points du réseau trigonométrique du
Service géographique de l'Armée (* ) (ce qui, à moins de circonstances
exceptionnelles, sera toujours le cas pour les levers de précision), on
n'a qu'à mesurer la différence d'azimut entre la station suivante du
cheminement à parcourir et l'un des points trigonométriques visibles
de celui. A, d'où l'on opère. L'azimut géodésique de ce dernier point
rapporté au méridien astronomique (*) du point A étant fourni par les
Tables du Service géographique, on en déduit l'azimut vrai Oj^r de la
station suivante B vue de A.

(*) Les points de l'ancienne triangulation, à l'exception des clochers, ont généra-
lement disparu; mais le Service géographique a entrepris depuis 1899, en vue de la
réfection du Cadastre et de la Carte au ^y^, une nouvelle triangulation dont tous
les sommets sont établis sur une parcelle de terrain devenue propriété de l*État,
repérés par un cylindre en cuivre noyé dans un massif en béton de ciment, et indi-
qués par une plaque en fonte portant la mention « Triangulation du Service géogra-
phique de l'Armée ».

(') Il faut avoir bien soin de se rappeler que les azimuts géodésique* ^^ sont
comptés à partir du Sud vers l'Ouest, alors que les azimuts topographigues \ sont
comptés à partir du Nord vers l'Ouest. On a donc, à une circonférence entière près
(qui s'ajoutera pour un point visé à l'Est),

9,-1-6^= 200G.

CHAPITRE II. — PLANIMÉTRIE.^ 77

2** Par la Polaire (*). — Le mouvement en azimut de la Polaire
étant minimum au moment de sa plus grande digression, on peut
considérer qu'elle constitue alors un repère fixe pendant plus d'une
demi-heure. Or, ainsi qu'il est dit dans V Annuaire du Bureau des
Longitudes, pour les latitudes boréales comprises entre 3o** et 52",
l'instant de la plus grande digression orientale ou occidentale a lieu
environ 5 heures 54 minutes, temps moyen, avant ou après le pas-
sage supérieur, ou bien 6 heures 4 minutes après ou avant le passage
inférieur. \J Annuaire donne d'ailleurs les heures de ces passages
pour les différentes époques de l'année, et la valeur de la plus grande
digression pour les diverses latitudes comprises entre 3o® et 52". Cela
permet de se servir de la Polaire en digression maximum comme
on l'a fait des points tri gonomé triques dans le cas précédent.

3" Par le SoleiL — On peut, pour éviter les observations de
nuit, se contenter de viser à un instant quelconque le Soleil, au
moyen de la lunette d'un théodolite, en amenant l'image de l'astre à
être tangente à deux fils rectangulaires du réticule (^). On applique
alors à l'azimut (compté à partir d'un certain repère) et à la distance
zénithale lue sur l'instrument, les corrections données par les Tables
spéciales pour obtenir les coordonnées correspondantes 0© et ^ du
centre du Soleil. Connaissant, en outre, la distance polaire S du
Soleil et la colatitude \ de la station où l'on se trouve, on en déduit
l'azimut vrai 6 du Soleil par l'une des formules (^)

. /sin(5 — z)sin(5 — X) 6 , /sin* sin(5 — 8)

sin- = 1/ ^^ : — '—^-^ -S cos- = 4/ : V-r — ,

2 1/ sin^sinA i V sinzsinÂ

6 ^ /sin (5 — z) s.in(5 — X)
* 2 ^ V sir

tang- = 4/ i-: ^^^ — ^~r-

°2 \ sin 5 sin (5 — 0)

(^) Nous rappelons pour mémoire la roélhode de Francœur, consistant à viser la
Polaire à l'instant de son passage dans le méridien, cet instant étant déterminé par
Je temps écoulé depuis l'instant où la Polaire et l'étoile e de la Grande Ourse sont
dans le même vertical. Or, ce temps écoulé, qui était environ de i3 minutes à
répoque où Francœur en fit le calcul (i83o), atteint maintenant Sa minutes
3o secondes environ, ce qui est un peu long. D'autre part, c'est une mauvaise con-
dition de viser la Polaire au moment où son mouvement en azimut est le plus rapide.

(') Il est préférable, pour la facilité de l'observation, d'établir les contacts par les
bords qui y échappent, c'est-à-dire : en azimut par le bord oriental, en hauteur par
le bord inférieur ou supérieur, suivant qu^on est avant ou après midi.

(^) C'est la troisième de ces formules qui comporte la plus grande précision: mais
l'écart donné par l'une ou Tautre tombant au-dessous des erreurs instrumentales,
on peut faire le calcul au moyen de deux quelconques d'entre elles à titre de vérifi-
cation.

78
où

PREMIERE PARTIE. — TOPOMBTRIE.

25 = « H- X -f- $.

L'azimut du repère choisi par rapport au méridien est alors donné
par 8 — Ooî ce qui détermine ce méridien (* ).

44. Coordonnées des sommets, — Pour le report des résultats
d'un lever, on peut toujours avoir recours au système de coordonnées
auquel est liée la méthode ayant servi à exécuter ce lever (n® 36).
Mais il est préférable, dans tous les cas, d'obtenir (par un calcul qui
n'offre aucune difficulté) les coordonnées rectangulaires des divers
points levés rapportés à des axes bien définis qui seront, en général,
dirigés suivant le parallèle et le méridien de l'un des sommets.

Prenons, par exemple, le cas d'un cheminement. Chaque sommet
est d'abord rapporté à des axes rectangulaires menés, dans la direction
qui a été dite, par le sommet précédent.

Prenons en A les axes Ax et \y, en B, Ba/ et B^^', etc. (Jig. 6o).

Fig. 60.

If

y

^

C

A

^

^

*'•

V

L'angle polaire du côté AB par rapport à Aj: sera a = O^n-l- 100^,
celui de BC par rapport à Ba?', ^ = Ôbc"*" loo^*, etc., chacun de ces
angles étant diminué de 4oo^ s'il dépasse une circonférence, comme
ce serait justement ici le cas pour le dernier.

Cela dit, on a très simplement pour les coordonnées de B rappor-
tées à kx et Ay,

iP = ABcosa, ^ = ABsina,

pour celles de C rapportées à Bx' et By',

a:' = BC cos p, / = BC sin %

(') Voir^ dans les Tables de M. Sanguel, un exemple de calcul de ce genre ( p. 56*

à 58» ).

CHAPITRE 11. — PLAMMÉTRIE. 79

ces diverses coordonnées étant obtenues avec leurs signes. Pour avoir
les coordonnées par rapport à Kx et Ay, il suffit ensuite de cumuler
les coordonnées des sommets successifs, ce qui donne :

Pour B X y

Pour G 37 H- a?' y-^f

Pour D a: -4- rr' -H a?', y -^ y' ~^ y

On obtient ainsi pour le dernier sommet des coordonnées Sx et S^.
Or, ces coordonnées ont pu être obtenues directement lorsque, par
exemple, le premier et le dernier sommet appartiennent au réseau des
points trigonomé triques, si les opérations ont lieu en France, ou
lorsqu'ils ont été déterminés par une triangulation préparatoire. Si
l'on trouve ainsi les valeurs X et Y pour les coordonnées du dernier
sommet, les écarts en abscisse et en ordonnée sont donnés par
5j7 = X — Sj7 et 8^' = Y — Yty, Lorsque ces écarts ne dépassent pas
la tolérance admise, leur répartition entre les abscisses et ordonnées
partielles est délicate. On peut, d'une manière générale, répartir Sx
et 8y en parties proportionnelles, les unes à x, x\ j/', . . . , les
autres à y, y\ y, . . . , que l'on aflecte respectivement à ces diverses
abscisses ou ordonnées.

4o. Recherche des fautes. — La vérification des angles ou des
distances, telle qu'elle a été indiquée ci-dessus, accuse parfois une
faute de lecture qui se manifeste, en général, par un multiple simple
de l'unité employée, venant s'ajouter à un écart e de l'ordre de

A'

Fig. 6i.
B' D'

D

E'

A

ceux qui peuvent être mis sur le compte des erreurs fortuites (par
exemple io^-|-e, sur une somme d'angles, ou io'"-|-£, sur une
somme de distances). Si cette faute (ce qui est généralement le cas)
ne provient que d'une seule des lectures intermédiaires, il n'est pas
malaisé de retrouver où elle a été commise. Si, par exemple, on s'est
trompé dans la lecture d'un angle au cours d'un cheminement effectué
entre deux points bien déterminés sur la carte, on n'a, pour retrouver

8o PREMIÈRE PARTIE. — TOPOMÉTRIE.

le sommet où la faute a été commise, qu'à effectuer le tracé en par-
tant successivement de l'un et de l'autre point extrême. Si l'on a, par
exemple, commis la faute sur la lecture de l'angle C (^fig- 6i), on
trouve dans un sens le tracé A BCD'E', dans l'autre le tracé EDCB'A',
et ces deux tracés se séparent l'un de l'autre précisément au som-
met C, où la lecture a été erronée. La faute est alors égale à la valeur
commune des angles BCB' et DCD'.

De même si une faute a porté sur l'évaluation de la longueur d'un
des côtés, les deux tracés sont écartés l'un de l'autre par un glisse-
ment dans la direction de ce côté {^fig- 62). Dans l'exemple ci-contre

Fig. 62.

on a, d'une part, le tracé ABCD'E', de l'autre le tracé EDCB'A'. La
faute commise sur la longueur du côté CD est donnée par CC ou DD'.

46. Application aux levers dHtinér aires . — L'application la plus
fréquente, aux travaux publics, des méthodes qui viennent d'être indi-
quées (et qui, d'ailleurs, sont mises en œuvre concurremment avec
celles du nivellement dont il est question ci-après) concerne les levers
d'itinéraires, c'est-à-dire les levers des zones, relativement étroites, à
l'intérieur desquelles doit se développer le projet d'une route, d'un
chemin de fer ou même d'un canal.

Le cas aujourd'hui le plus fréquent est celui d'un chemin de fer.

La première étude se fait sur les cartes déjà construites à petite
échelle qui sont mises à la disposition du public. Les plus précises de
ces cartes sont pour la France celle au g^j^, dite d'Etat-Major, et,
pour certaines régions d'une importance particulière au point de
vue stratégique, comme les environs de Paris, celle au îôïïôô- ^^
carte au 50ÏÏÔÔ ï^'cst qu'une amplification photographique de celle

*" 80000'

Ces deux types de carte (gj^ et âôoôô) proviennent de minutes
d'échelle double (4Ô0ÔÔ ^^ 40000 ) dont le Service géographique de l'Ar-
mée fournit aux services intéressés des calques avec tracé des courbes

CHAPITRK II. — PLAMMÉTRIE. 8l

de niveau de lo"' en lo"* dans le premier cas, de 2'", 5o en 2'", 5o dans
le second.

En certains cas aussi, on peut avoir recours, pour la planimétrle,
aux tableaux d'assemblage du Cadastre à l'échelle du 70^ ou

Lorsque l'étude faite sur la carte, généralement complétée par une
reconnaissance rapide du terrain, a permis de fixer un premier tracé
répondant aux conditions multiples (techniques, économiques, stra-
tégiques, etc.) qui interviennent dans la question (^), il devient néces-
saire d'effectuer le lever d'une zone dont l'axe est constitué par ce
tracé et dont la largeur varie, en moyenne, de 200™ à 5oo™ pour un
chemin de fer, de ao'" à 5o"* pour une route. Ce premier lever, géné-
ralement eflectué à l'échelle du ;ï7j^, sert à l'établissement del'avant-
projet, puis à sa rectification en vue notamment des conditions tenant
à la compensation des déblais et remblais, dont il sera question plus
loin. Lorsque le tracé définitif est arrêté, l'axe est reporté sur le
terrain et l'on procède à un nouveau lever, cette fois à l'échelle
du ^j^„, ou même du ^^^ s'étendant à une zone un peu supérieure
à celle que délimite la plus grande largeur d'emprise, et qui fournira
les éléments du calcul définitif de la cubature du projet.

Les levers d'itinéraires se font d'ailleurs d'après deux méthodes
générales : la méthode des profils en long et en travers et la méthode
tac héo métrique dont nous allons dire quelcjues mots :

1° Méthode des profils en long et en traders. On marque au
moyen de balises, sur le terrain, les sommets de la ligne polygonale
constituant l'axe du tracé arrêté provisoirement par Tétude sur la
carte. On lève alors, par cheminement, la polygonale ainsi définie, à
laquelle on rattache la zone environnante au moyen de profils en tra-
vers, espacés de 100™ dans les pays moyennement accidentés, et
dirigés suivant les normales aux cotés de la polygonale. On a soin, en
outre, de lever un profil suivant la bissectrice de chacun des angles
de cette polygonale. Pour ce lever au âôlTôî toute longueur inférieure
à i*" étant graphiquement négligeable, on se contente d'une approxi-

(') Le Service géojïraphique de r.Vrniée est en train de levor une nouvelle carte
à l'échelle du poTôôi ^'^nt la publication se fera au Tô^irôi avTC courbes de niveau
de 2", 5o en 3™,5o. Cette carte est appelée à rendre les plus signalés services aux
ingénieurs.

(') Le détail de cctie étude rentre dans le programme de la partie technique du
Cours de roules ^ dont est chargé M. Tlnspecleur général Debauve.

d'O. 6

82 PREMIÈRE PARTIE. — TOPOMÉTRIE.

mation de o™, 20 ou o'",3o sur les 100", les angles étant déterminés
à 2' ou 3' (ou 5*^*^) près, les altitudes à o'", i près.

Lorsque, grâce à ce premier lever, on a fixé le tracé définitif, on en
reporte l'axe sur le terrain, cette fois avec toutes les courbes de raccor-
dement destinées à relier les parties droites successives et l'on pro-
cède à un nouveau lever, à l'échelle du j^^ du profil en long et des
profils en travers dirigés encore normalement à l'axe en des points
dont les distances à l'origine du projet s'expriment tous par des
nombres ronds afin de faciliter ultérieurement les calculs de cubature.
Ces profils en travers (qui, pour les chemins de fer, s'étendent en
moyenne à 5o"' de part et d'autre de l'axe) sont d'ailleurs définis par
des points assez rapprochés pour que leur ensemble donne une idée
suffisamment exacte de la surface du terrain. Leur écartement moyen
peut être fixé à 5™; on le réduit à 4"N 3"* et même 2"* dans les terrains
très accidentés; on l'étend, au contraire, jusqu'à 10"* pour ceux
qui le sont à peine.

2" Méthode tachéométrique. — La méthode tachéométrique con-
siste à faire le lever de la zone intéressant le projet au moyen d'un
cheminement qui n'épouse d'ailleurs pas nécessairement l'axe du
tracé, et chevauche, au contraire, de part et d'autre, de façon à per-
mettre le choix des sommets les plus commodes pour le lever par
rayonnement des points a voisinants.

Grâce à cette circonstance qui rend le lever indépendant de la
fixation du tracé définitif, on peut se dispenser du lever préparatoire
(à l'échelle du jôVô)? destiné, dans la méthode précédente, à cette
fixation, et dresser, immédiatement après l'étude sur la carte, le lever
au jj^ qui servira à la fois pour l'avant-projet et le projet définitif.
Le tachéomètre permet, en effet, d'étendre ce lever à une bande d'en-

viion 200" de largeur de part et d'autre de l'axe, ce chiffre répondant
sensiblement à sa portée utile.

Si d'ailleurs on ne peut pas déterminer directement au tachéo-
mètre la longueur d'un côté \B de la ligne de cheminement {fig- 63),
parc e qu'il dépasse la portée utile de l'instrument, on vise des points

CHAPITRE II. — PLAMMÉTRIE. 83

tels que H, H', voisins du milieu de ce côté el Ton a :

/ = AH cos A -+- BH cos B = AH'cos A' -h BH'cos B'

en appelant A et B les angles à la base du triangle AHB, A' et B' ceux
du triangle AH'B.

Quelle que soit d'ailleurs la méthode employée, on ne doit ^as
négliger, à titre de vérification, de relever les points déjà marqués avec
précision sur la carte ou appartenante un ensemble bien défini comme
le bord rectiligne d'une voie déjà tracée. Pour les levers faits sur le
territoire français, il est indispensable de les rattacher aux points
trigonométriques dont le réseau a été fourni par les opérations géo-
désiques du Service géographique de l'Armée, et qui constituent des
repères rigoureusement définis pour les opérations topométriques.

CHAPITRE m.

ALTIMETRIE.

I. — Instruments et méthodes.

47. Principe fondamenlaL — On suppose les deux points dont
on veut apprécier la différence de niveau assez rapprochés pour qu'il
n'y ait pas lieu de tenir compte de l'angle que font entre elles les
verticales en ces points. Soient xjq ^^ ^ l^s cotes de ces points A et B
{Jig* 64) au-dessus d'un plan horizontal de comparaison. Leurs verti-

Fig. 64.

cales Ka et B6 sont coupées par un plan horizontal quelconque en
des points a' et 6', dont les hauteurs au-dessus de A et de B sont
respectivement Aq et A ; on a

d'où

-3o H- /î-o = S -

Z — 3q = /Zq-

h,
h.

La cote du point z s'obtiendra donc en ajoutant à Zq la quan-
tité Ao — ^- Cela est absolument général, cette quantité /i© — h étant
prise avec son signe. Tout revient donc à déterminer les points a' ei b'
dans un même plan horizontal. On se sert pour cela d'un instrument
appelé niveau, donnant une ligne de visée horizontale que l'on di-
rige successivement vers A et vers B en plaçant des mires sur ces
points. Le point \, si l'opérateur marche dans la direction de AB, est
dit point arrière ;B est le point avant. Les lectures faites sur les

CHAPITRE III.

ALTIMÉTRIE.

85

mires correspondantes sont les lectures arrière et avant, La quan-
tité /io — Il est l'excès de la lecture arrière sur la lecture avant, et c'est
cette différence, prise avec son signe, que Ton ajoute, dans tous les
cas, à la cote du point arrière pour avoir celle du point avant.

48. Niveaux à visée directe, — Dans ces instruments la direction
horizontale est obtenue au moyen de la propriété fondamentale, soit
des vases communicants, soit du fil à plomb.

Le plus simple d'entre eux est le niveau d'eau {fig» ^)5), qui n'est

Fig. 65.

c-

k.

17 D

employé que lorsqu'cfti n'a besoin que d'une très faible précision. Le plan
du niveau de l'eau dans les deux fioles F, qui communiquent par un
tube T assez long, étant horizontal, on fait la visée suivant la tangente
intérieure commune CD aux deux ménisques.

Comme on ne saurait accommoder la vue à la fois pour la distance
de chacune des deux fioles et pour celle de la mire, la lecture sur une

Fig. 66.

mire parlante est impossible. Aussi cet instrument ne comporte-l-il
l'emploi que de mires à voyants.

Le niveau Burel est constitué par un pendule auquel est fixé,
parallèlement à son axe, un miroir rectangulaire G {^fig- 66). L'opé-

86 PREMIÈRE PARTIE. — TOPOMÉTRIE.

rateur lient l'instrument dans une position à peu près verticale, de
façon à voir l'image de son œil sur l'arête du miroir. La ligne qui
passe par la pupille et son image est forcément horizontale, le miroir

Fig. 67.

étant vertical, et peut être prise comme ligne de visée. Mais ici
encore se présente une difficulté d'accommodation, l'œil devant

Fig. 68.

regarder, d'une part, son image dans le miroir, de l'autre, le centre du
voyant.

Le colonel Goulier a remédié à cet inconvénient par l'invention
très ingénieuse du niveau à collimateur : Un petit collimateur est

CHAPITRE III. — ALTIMÉTRIE. 87

fixé à un pendule, de telle sorte que, par construction, lorsque le
pendule est vertical. Taxe du collimateur soit horizontal {Jig^ 6*;).
Un fil horizontal tendu en travers du collimateur et qui se projette
sur un verre dépoli est regardé au moyen d'un oculaire disposé

Fig. 69.

de telle sorte qu'il renvoie l'image de ce fil environ à 30™ en avant
de l'instrument, c'est-à-dire à la distance ordinaire des visées di-
rectes. La difficulté d'accommodation n'existe donc plus, ce qui per-
met d'employer une mire parlante sur laquelle l'opérateur lit la hau-
teur où se trouve l'image du trait du collimateur. Cette lecture est
guidée par des couleurs différentes qui distinguent sur la mire les
mètres et les décimètres les uns des autres {/ig- 68).

Pour une seule opération faite avec le niveau d'eau, l'erreur kilo-
métrique moyenne est d'environ o"",! ; elle est un peu moindre avec
le niveau Burel. Le niveau à collimateur réduit cette erreur à o"',o6.

88 PREMIÈRE PARTIE. — TOPOMÉTRIE.

Pour avoir plus de précision, il faut recourir aux inslrumenls à lunette.

En disposant le collimateur du colonel Goulier suivant l'axe d'un
pantomètre, autour duquel il est rendu mobile, et en substituant au
fd unique de ce collimateur une échelle des pentes (obtenue par
réduction pholographlque et dont l'image est grossie par la loupe),
M. Daniel, conservateur des instruments à l'Ecole des Ponts et
Chaussées, a constitué, sous un faible volume, un instrument dit
pantoaltlmètre {Jig^ %), très pratique pour les levers de détail
n'exigeant pas une très grande précision.

Le fil vertical servant à la visée du pantomètre est constitué par un
trait marqué dans l'axe de l'échelle des pentes; celle-ci, graduée
en centièmes, va de — o,3o à -|- o,3(). Le limbe du pantomètre est
gradué en degrés, et l'alidade est munie de deux verniers au ^ don-
nant, par conséquent, les & .

L'instrument, placé sur un trépied à translation d'une bonne dispo-
sition, est muni d'une petite nivelle sphérique fixée au plateau du
pantomètre, et porte à sa partie supérieure une boussole.

49. Niveaux à lunette, — En principe, ces instruments se com-
posent d'un axe vertical auquel est liée une nivelle (* ), et qui repose

Fig. 70.

sur une base à trois \is calantes, et d'une lunette réglée de telle sorte
(') Voir p. 4, Noie (M-

CHAPITRE 111. — ALTIMÉTRIE. 89

que, lorsque Taxe de rotation est vertical, Taxe optique de la lunette
est horizontal.

Le plus ancien de ces instruments est le niveau (TEgault, dans
lequel l'axe porte à sa partie supérieure une règle sur laquelle sont
fixées la nivelle ainsi que deux fourches supportant la lunette.
La lunette est munie d'un réticule dont le fil horizontal est dit le ^/
niveleur. Cette lunette peut être retournée bout pour bout sur ses
appuis, et sens dessus dessous autour de son axe géométrique, mou-
vement limité exactement à une demi-circonférence par des taquets
et des buttoirs.

Le nweau Bourdalouë {fig- 70) ne diffère du précédent que par
des dispositions de détail, dont la principale consiste en ce que les
colliers de la lunette sont prismatiques au lieu d'être circulaires.

Réglage, — Quel que soit l'instrument employé on doit le sou-
mettre aux rectifications correspondant aux causes d'erreurs sui-
vantes :

i" Défaut de coïncidence de l'axe optique de la lunette avec son
axe de figure ;

2** Défaut de perpendicularité de l'axe de figure et de l'axe de rota-
tion;

3" Défaut de verticalité de l'axe de rotation.

Les erreurs correspondantes étant supposées très petites, on pourra
considérer, en vertu d'un principe bien connu, que leurs effets
s'ajoutent et, par suite, chercher à les éliminer individuellement,
comme si les deux autres n'existaient pas.

Envisageons-les donc successivement.

1" Défaut de coïncidence de l'axe optique et de Vaxe de
figure. — r II se produit lorsque le fil horizontal (*) du réticule ne
rencontre pas l'axe de figure de la lunette (^). Or c'est l'axe optique

(') Ici, et dans les lignes qui suivent, nous supposons que Ton a assuré Thori-
zontalité effective du fil niveleur. Sans cela, il faudrait substituer au ternie « fil hori-
zontal » les mots « horizontale du point de croisement des fils du réticule ».

(') Théoriquement on devrait dire : Si le point de croisement des fils du réticule
ne se trouve pas sur Taxe de figure. Mais, quand il s'agit d'un niveau, il suffit que le
fil horizontal rencontre l'axe de figure. La position du point de croisement sur ce fil
est accessoire et, de fait, les instruments de nivellement ne sont pas pourvus d'un
dispositif permettant la rectification du fil vertical du réticule.

90 PREMIERE PARTIE. — TOPOMETRIE.

qui constitue la ligne de visée; on fait donc sur la mire la lecture L,
au Heu de la lecture L qui devrait être faite {^/îg. 71). Si l'on retourne
la lunette sens dessus dessous autour de son axe de figure en la faisant

Fig. 71.

tourner sur ses colliers jusqu'à ce que ses taquets, quittant les
premiers buttoirs, viennent heurter les seconds, Taxe optique prend
une position symétrique de la première par rapport à l'axe de
figure et l'on fait la lecture L^. On agit alors sur la vis qui porte
le réticule de façon à corriger l'erreur de moitié. Cette opération
doit amener le fil horizontal du réticule à rencontrer l'axe de figure;
mais, en pratique, on admet que ce réglage n'est pas parfait, et Ton
tient compte de l'erreur qui en résulte en faisant faire, pour chaque
opération, à la lunette, ce demi-tour sur elle-même.

2" Défaut de perpendicularité de Vcure défigure de la lunette
et de Vaxe de rotation. — L'axe optique et l'axe de figure sont
maintenant supposés dans un même plan avec le fil horizontal du
réticule et c'est dans la direction de ce plan qu'on fait une lecture L<,
difierente de la lecture L qu'on devrait faire par suite du défaut de
perpendicularité de l'axe OL, et de l'axe de rotation OZ. Faisons
tourner l'appareil d'une demi-circonférence autour de son pivot ver-
tical et retournons la lunette bout pour bout. La lecture est mainte-
nant L2 ; on amène alors la ligne de visée sur le point médian entre
Lj et La en donnant à -l'une des fourches, au mojen d'une vis ad
hoc^ un léger mouvement de relèvement ou d'abaissement par rapport
à l'autre. On admet encore dans la pratique que ce réglage n'est pas
parfait, et l'on y remédie par le retournement qui vient d'être indiqué,
lors de chaque opération.

3** Défaut de verticalité de Vaxe de rotation. — La nivelle (•)

(' ) Nous rappelons que ce terme désigne le niveau à bulle. Son adoption est ici tout
indiquée pour éviter le double emploi déjà signalé [page 4) note (')].

CHAPITRE III. — ALTIMÉTRIE. 9I

étant supposée réglée ainsi qu'il a été dit précédemment, on commence
par placer l'axe dans une situation aussi voisine que possible de
la verticale. Mais cette verticalité ne saurait être parfaite, et il est
indispensable ici de remédier à ce défaut.

Celui-ci étant censé seul exister, si l'on fait tourner la lu nette d'une
demi-circonférence autour de l'axe de rotation et qu'on la retourne
bout pour bout, la lecture L^ reste la même, mais la bulle de la
nivelle s'est déplacée de 2 a (^fig. 72). Si l'on a eu soin de placer deux

Fig. 7a.

des vis calantes sur un alignement parallèle à la ligne de visée,
lorsqu'on ramènera, au mojen de ces vis, la bulle entre ses repères,
l'axe de rotation prendra une position symétrique de la première par
rapport à la verticale (p. 9, Rem. II) et Ton fera la lecture L^. La lec-
ture corrigée sera alors la moyenne — ^•

En résumé, après avoir mis l'instrument en station et assuré aussi
exactement que possible la verticalité de l'axe, au moyen de la
nivelle supposée réglée, on fait une première lecture, la bulle étant
exactement entre ses repères, puis on fait tourner l'instrument d'une
demi-circonférence autour de son axe vertical et l'on retourne la
lunette à la fois sens dessus dessous et bout pour bout; on fait alors
une seconde lecture après avoir remis exactement la bulle entre ses
repères et l'on prend la moyenne des deux lectures.

Si l'on se sert de mires à graduations doublées (c'est-à-dire sur
lesquelles la chiffraison en décimètres s'applique en réalité à des
doubles décimètres), il suffit de faire la somme, au lieu de la moyenne,
des deux lectures, ce qui introduit une certaine simplification.

oO. Niveaux à nivelle indépendante. — Pour éviter la demi-
rotation autour de l'axe vertical, complétée par le retournement bout
pour bout de la lunette, on a eu l'idée de rendre la nivelle indépen-
dante, c'est-à-dire de permettre son retournement bout pour bout

92 PREMIÈRE PARTIE. — TOPOMÉTRIE.

sur les appuis qui la supportent, et, en outre, de rendre possible une
légère variation de la ligne des supports de la lunette par rapport au
bâti de Tinstrument {fig, 73), en la rendant solidaire d'une règle R

reliée par une de ses extrémités à ce bâti au mojen d'une articulation A
et reposant par l'autre extrémité sur une vis C, dite de fin calage^
dont l'écrou fait corps avec le bâti T.

Dans ces conditions, au lieu de retourner tout Tinstrument on n'a
qu'à retourner bout pour4)Out la nivelle et à agir sur la vis de fin
calage de façon à ramener la bulle entre ses repères pour que, en
vertu de la Remarque II qui termine le n" 6, l'axe de figure de la
lunette prenne la position symétrique de la première par rapport à
l'horizontale suivant latjuelle il serait dirigé si le réglage était parfait.

Cela n'empêche d'ailleurs pas de retourner la lunette sens dessus
dessous pour éliminer l'erreur provenant de la non-coïncidence de
l'axe optique avec l'axe de figure.

En résumé, avec un tel niveau, la manœuvre, une fois l'instrument
mis en station et son axe rendu vertical, se réduit à ceci :

Faire une première lecture après avoir exactement mis la bulle entre
ses repères; retourner la nivelle bout pour bout et la lunette sens
dessus dessous et faire une seconde lecture après avoir ramené la
bulle entre ses repères au moyen de la vis de fin calage.

Ici se place une remarque importante :

CHAPITRE m. — ALTIMÉTRIE. qJ

En agissant sur la vis de fin calage on fait varier la position de la
ni\elle par rapport à l'axe vertical de l'instrument et, par suite, si
dans sa première position la nivelle était réglée en vue de la vertica-
lité de cet axe, elle cessera de Tètre dans la seconde.

Il faudra donc, pour mettre l'instrument en station en un autre

point, la ramener dans sa première position. A cet ellet le bâti fixe
d'une part, et une languette B liée à la traverse mobile R d'autre part,
portent chacun un trait horizontal, et ces deux traits doivent être mis
dans le prolongement l'un de l'autre lorscpi'on procède au réglage de
la ni\elle et que l'on veut placer l'axe de rotation verticalement. Au
moment de chaque mise en station ces deux traits devront donc être

1

94 PREMIERE PARTIE. — TOPOMÉTRIE.

préalablement mis en coïncidence au moyen de la vis de fin calage.

Les dispositions du niveau à nivelle indépendante ont été nota-
blement perfectionnées, en vue des opérations du IVivellement gé-
néral de la France dont il sera question plus loin. Parmi ces per-
fectionnements on peut notamment citer les suivants {fi g 74) •

La verticalité de l'axe est plus rapidement assurée grâce à l'emploi
d'un trépied à calotte sphérique et d'une nivelle sphérique, qui per-
mettent, dès que l'instrument est en station, de placer très sensible-
ment son axe dans la situation verticale.

Le rajon de la nivelle est porté à 5o™.

Mais l'innovation principale consiste en l'adjonction d'un système
de prismes à réflexion totale (o, o, />,/>), imaginé par M. Klein, et
perfectionné par M. l'Ingénieur en chef Lallemand, qui permet de
voir l'image des extrémités de la bulle de la nivelle au moyen d'un
oculaire q placé à côté de celui C de la lunette. La disposition de
l'image ainsi obtenue est indiquée par le croquis qui accompagne la
figure générale de l'instrument.

Il convient de signaler aussi l'ingénieux emploi de taquets a, d^
grâce auxquels la nivelle retournée bout pour bout ne peut reposer
sur la lunette que si celle-ci est retournée elle-même sens dessus
dessous, de telle sorte que celte manœuvre complémentaire ne peut
pas être oubliée.

Cet instrument, d'une très grande précision, donne une erreur
moyenne kilométrique inférieui^ de o"',oo2.

51. Nivellement trigonométriqne , — On donne ce nom au nivel-
lement effectué à l'aide des clisimètres (n® 23). Ce procédé s'applique
surtout lorsque, dans un lever par rayonnement, effectué au tachéo-
mètre, étant en station en un point, on veut avoir par rapport à ce
point les différences de niveau des points environnants. Le principe
est d'ailleurs toujours celui qui a été énoncé au n" 47.

Supposons que du point O placé à l'aplomb de A {jig* 7^) ^ ^^^
hauteur k au-dessus de ce point, on vise sous une pente /> (*) une
mire placée verticalement sur le point B dont la distance horizontale d
au point A, donnée par une observation stadimétrique faite sur cette

(') Au lieu d'un clisimètre donnant directement la pente/?, on peut employer un
éclimètre donnant soit l'angle a, soit son complément, d'où p se déduit immédia-
tement.

CHAPITRE III. — ALTIUÉTRIE. gS

mire même, est connue. Si le plan horizontal du point b' coupe
en a' la verticale du point A et si Ton pose, comme au n" 47,
Ka' =z Ao, B6' == A, la différence de niveau de B par rapport à A sera

Fig. 75.

encore donnée par Ao — A- Seulement ici, au lieu de lire A©? comme
A, sur une mire, on calcule cette hauteur par la formule Ao=/?rfH-Â',
k étant la hauteur du point O au-dessus du point A.

On pourra d'ailleurs rendre ce calcul immédiat en prenant pour p
qui est quelconque une valeur s'exprimant par un chiffre rond. On
pourra aussi (ainsi qu'on le fait notamment avec le tachéographe
Schrader) fixer sur la mire un point de visée à une hauteur A préci-
sément égale à k. La différence de niveau est alors simplement égale
à pd. Nous avons d'ailleurs vu que, dans le tachéographe Schrader,
cette différence de cote se lit immédiatement sur la règle verticale de
l'instrument.

52. Nivellement par cheminement, — Les points à niveler sur
l'axe du cheminement étant espacés d'environ i4o" à i5o™ (quand la
déclivité du terrain le permet), on se met en station vers le milieu de
chacun des intervalles séparant ces points. Pour les mesures précises,
où l'on se sert simultanément de deux mires, on se place au milieu
de leur intervalle, à o"',5o près, au moyen de lectures rapides faites
sur ces mires à des fils stadimétriques dont, spécialement à cet effet,
est munie la lunette.

Cette station à égale distance des deux points dont on compare les
cotes {fig' 76) a l'avantage d'éliminer l'erreur provenant du défaut
d'horizontalité de la ligne de visée, et tenant non seulement à ce que
les rectifications signalées précédemment auraient été imparfaitement
exécutées, mais encore à d'autres causes sur lesquelles on n'a aucune
prise, comme l'inégalité des diamètres des colliers de la lunette.

96 PREMIÈRE PARTIE. — TOPOMÉTRIE.

Représentons, d'une manière générale, par R les lectures arrière
et V les lectures avant. Pour ces lectures, la mire donne directement
les centimètres ; les millimètres sont obtenus par l'estime.

Soient :
R,, \ 4 les lectures faites à la i" station;
Ra, Va les lectures faites à la -i^ station:
etc.

En partant d'un point de cote connue z^^ on aura successivement,

Fig. 76.

d'après la formule générale, pour les cotes des divers points nivelés

-i = 2oH-Ri-Vi,

-Sj = -S|-|- Rj \'2,

^n = ^/t-1 -H R/i — V„.

On tire de là : soit
soit

et l'on emploiera simultanément l'une et l'autre formule pour avoir un
contrôle des calculs.

Kn réalité, ainsi qu'on vient de le voir, on fait deux lectures sur la
mire arrière, deux lectures sur la mire avant.

Dans le cas où l'on dispose de deux mires, placées simultanément

Fi^. 77.

l'une sur le point arrière, Taulre sur le point avant, les lectures se
font dans l'ordre suivant :

D'abord une lecture i sur la mire arrière {Jig- 77), 2 et 3 sur la

CHAPITRE III. — ALTIMÉTRIE. 97

mire avant, enfin 4 sur la mire arrière, la rectification de la ligne de
visée étant opérée, entre les lectures 2 et 3 (par Fun des procédés
donnés plus haut, suivant qu'il s'agit d'un niveau à nivelle fixe ou à
nivelle indépendante).

Dans le cas où Ton ne dispose que d'une seule mire, on fait les
lectures i et 'x sur la mire placée d'abord au point arrière, 3 et 4 sur

Fi g. 77 bis.

3

la mire reportée au point avant, en opérant la rectification de la ligne
de visée une première fois entre les lectures i et 2, une seconde
entre les lectures 3 et 4 (A^- 77 his).

Pour l'inscription des lectures, le mode ne sera pas le même sui-
vant que l'on opérera avec des mires à graduation doublée ou à gra-
duation simple.

Dans le premier cas, en appelant r et r' les deux lectures arrière,
V et p' les deux lectures avant, on a

R — V = (r-hr') — (t'-Hi^').
On peut, dès lors, disposer le carnet comme suit :

I.

n.

in.

IV.

V.

VI.

VII.

?luméros

de»
piqaels.

r
r'

R

(/•H-r)

V

V

v'

R-V

(avec son signet

COTES

1

2

208,367

.,ii3
i,25o

2,5o3

,,3i.

0,667

0,654

-f-1,192

209,559

1 ,201

2,4oo

0,349

0,173
0,176

-h2,o5i

2

211,620

0,462
0,^59

0,y21

0,7^3

— o,5oi

4

""".; "'-"^

211,109

1

d'O.

PREMIERE PARTIE. — TOPOMETRIE.

Les numéros des piquets étant consignés dans la colonne I, on
inscrit les lectures arrière, faites sur le terrain, dans la colonne II,
les lectures avant dans la colonne V, en se servant, pour chaque sta-
tion, de la bande horizontale comprise entre les numéros des piqueU
arrière et avant de cette station.

Pour chaque bande horizontale, les nombres de la colonne II
donnent, par addition, ceux de la colonne III, et de même les
nombres de la colonne V donnent ceux de la colonne IV. L'excès du
nombre de la colonne III sur celui de la colonne IV s'inscrit, avec
son signe, dans la colonne VI. En l'ajoutant algébriquement à la
cote précédente de la colonne VII, on a la cote suivante.

Comme contrôle des calculs, on doit, en cumulant respectivement
les nombres inscrits dans les colonnes III, IV et VI, ces derniers
pris avec leur signe, vérifier que

2R — 2V = 2(R — V).

Dans le cas d'une graduation simple, la nécessité de prendre les
moyennes des deux lectures rendrait le calcul un peu plus délicat.
On le simplifie en remarquant, avec M. Lallemand, que la formule

R — V = ^'"^^' — '^'^^'

peut s'écrire

Voici, dès lors, comment on peut disposer le carnet, en ayant soin
de marquer d'avance les signes (imprimés en caractères gras) qui
figurent dans les colonnes II et V. D'ailleurs, les valeurs de r — r' et
de v' — V n'intéressant que les chiffres des millièmes, on se borne à
la seule inscription de ce chiffre sans qu'il en résulte la moindre con-
fusion.

Ici, encore, les lectures arrière et avant s'inscrivent respectivement
dans les colonnes II et V, à côté des signes imprimés (ici en gras)
d'avance. Pour chaque bande horizontale, la somme algébrique des
nombres de la colonne II s'inscrit dans la colonne III; la colonne V
donne de même la colonne IV.

Dans la colonne VI, au-dessous de la somme algébrique r — v des
deux lectures supérieures prises dans les colonnes II et V de la même

bande, on inscrit la quantité > prise avec son signe, qu'il est

CHAPITRE III. — ALTIMÉTRIE.

99

très aisé de former immédiatement au moyen des chiffres pris dans
les colonnes III et IV. Ce terme correctif s'inscrit d'ailleurs au des-
sous du chiffre des millièmes de r — v^ sur lequel il porte. Le Ta-
bleau indique comment on passe de la colonne VI à la colonne VII,
et de celle-ci à VIII.

I.

II.

m.

IV.

V.

VI.

VII.

VIII.

Numéros

des
plqaeto.

-r'

h— r — r'

(avec son signe)

8 = V'—V

(avec son signe)

— V

+ ^'

(avec son signe)

s

R-V

(.-.-?±«)

(avec son signe)

COTES

(S-|-R_V)

1

2

208,367

+2,5o6
— Q,5oo

+6

-6

— i,3i4
+i,3o8

+ 1,192

-f-1,192

209,559

+2,398

— a,4o2

-4

-f-6

-0,346
+0,352

-h2,o5a

-h2,o5i

3

2ii,6ao

+0,924
—0,918

4-6

-8

-1,4^6
+1,418

— o,5o2

— 0,5oi

4

211,109

Comme contrôle des calculs, on doit, en cumulant respectiviement
les nombres inscrits dans les colonnes II et V , pris en valeur absolue,
et ceux de la colonne VII, pris avec leur signe, vérifier que

2 I r + r' I — L I <

l = 22(R — V).

33. Vérification d'un nii>ellement. — Le procédé général de
vérification d'un nivellement consiste à le refermer sur lui-même
en revenant au point de départ, soit par le même cheminement (*),
soit par le pourtour d'un polygone fermé. La somme algébrique
S(R — V), étendue à tout le circuit, doit alors être nulle.

Connaissant l'erreur moyenne quadratique kilométrique €2 de
l'instrument dont on se sert, on en déduit l'erreur moyenne E2 = e^ \/n
pour le total de la ligne parcourue si elle comprend n^"". Appliquant

(*) DaDs ce cas on peut comparer les deux valeurs obtenues pour une même diffé-
rence partielle de niveau, à l'aller et au retour, ce qui fournit une vérification bien
plus complète.

lOO PREMIÈRE PARTIE. — TOPOMBTRIB.

ici la tolérance admise précédemment (n" 40) pour les opérations
planimétriques, on tiendra l'opération pour satisfaisante si le résidu
de S(R — V) ne dépasse pas 3Ea.

11 convient d'ajouter que cette tolérance est considérée par les spé-
cialistes français comme un peu large. Au Service du Nivellement
général, on s'en tient à 2,5 E2 qui parait une limite pratiquement
très satisfaisante.

Si h est la valeur résiduelle de S(R —V), et si les points nivelés,
y compris le point origine, sont au nombre de /?, on corrige la cote

du point qui suit immédiatement l'origine de — » celle du suivant
de — » et ainsi de suite, jusqu'au retour au point origine dont la cote

linale, réduite de />- ou A, est ramenée à la cote initiale.

En pays accidenté, on fait la répartition proportionnellement aux
différences de niveau successives.

Si l'on opère dans le voisinage des repères du Nivellement gêné-
ralj qui seront définis plus loin, il faut toujours avoir soin d'y ratta-
cher le point choisi comme origine (*).

Afin de n'avoir pas à y revenir, nous ajouterons que, pour rendre
le contrôle plus rigoureux, lors de l'exécution du réseau fondamental
du Nivellement général (^), on a eu recours à des mires dont la
graduation avait été altérée de façon tout à fait irrégulière, la lecture
vraie correspondant à chaque trait de division étant donnée par un
graphique, conservé au Bureau central, qui traduisait les résultats de
rétalonnage. Ce n'était donc qu'après avoir été corrigées à l'aide de
ce graphique que les lectures inscrites ne devaient engendrer que
des discordances tombant au-dessous de la tolérance admise. Les lec-
tures faites directement ne pouvaient conduire qu'à un résultat quel-
conque, dont il était même impossible de prévoir la grandeur. En
privant les opérateurs sur le terrain de tout moyen de contrôle, on
les mettait dans l'impossibilité matérielle de se laisser entraîner, le
cas échéant, à donner le moindre coup de pouce.

( » ) Pour les Services des Fonts et Chaussées, ce rattachement a été rendu obli-
gatoire par la Circulaire ministérielle du ai février igoS.

(-) Ce contrôle s'exerçait sur la discordance entre les deux différences de niveau
des piquets consécutifs, fournies Tune par l'opération d'aller, Tautre par celle de
retour.

CHAPITRE III. — ALTIMÉTRIE. 10 1

54. Tracé des courbes de niveau, — On peiil tracer les courbes
de niveau qui doivent accompagner tout plan d'étude en les filant
directement sur le terrain. Ayant placé le niveau en un point bien
déterminé dont la cote est Zq, et mesuré la hauteur Aq ^^ 1^ ligne de
visée au-dessus de ce point, on voit qu'on aura des points de la
courbe de niveau de cote z lorsque la mire, reposant sur ces points,
donnera au fil niveleur la lecture h telle que

Ao -4- >So = ^^ H- -3.

11 sera commode, pour cette opération, d'employer une mire à
voyant, ce voyant étant fixé à la hauteur h tirée de l'équation ci-
dessus. On fera déplacer l'aide portant cette mire de manière à
l'arrêter en des stations à peu près équidistantes, de lo™ en
lo", par exemple, pour lesquelles l'image du centre du voyant
de la mire reposant verticalement sur le sol coïncidera avec le fil
niveleur du niveau, et l'on relèvera ces stations par rayonnement.

Mais si les points dont les cotes ont été mesurées, lors du lever
général, ont été judicieusement choisis, de façon à faire apparaître
avec une suffisante netteté les principaux accidents du terrain, notam-
ment les lignes de faîte et de thalweg qui définissent son allure géné-
rale, on peut tracer les courbes de niveau après coup par une sorte
d'interpolation à vue pratiquée sur le plan relevé.

Chacune des deux méthodes a ses partisans, et l'on ne peut guère,
par des raisons théoriques, imposer plus particulièrement l'une ou
l'autre ; c'est affaire personnelle à l'opérateur, peut-être aussi ques-
tion d'échelle du lever.

55. Nivellement barométrique . — Pour se faire rapidement une
idée du relief d'un pays dont on ne possède pas la carte cotée, le plus
simple est de recourir à un nivellement barométrique fondé sur l'em-
ploi de la formule de Babinet

Z = 16000 I H -r 77'

L 1000 J A -♦- /l

qui fait connaître, en mètres, la difi'érence de niveau Z de deux stations
en fonction des pressions barométriques h et h! mesurées en ces stations,
le plus souvent au moyen d'un baromètre anéroïde, et de leurs tempé-
ratures t et t\ généralement obtenues à l'aide d'un thermomètre fronde.
Il convient que les données introduites dans la formule soient dé-

I02 PRBMIBRK PARTIS. — TOPOM1BTRIE.

terminées au même instant. Pour cela, un observateur, resté au point
origine, observe les variations horaires du baromètre et du thermo-
mètre, tandis que l'observateur ambulant note l'heure à laquelle a lieu
chacune de ses observations. Cela permet de retrouver les valeurs
correspondantes de h' et /'au point origine.

Pour l'application de la formule, M. Sanguet a donné des Tables
fort commodes {loc. cit., p. IV et V, i3* à i8*), et M. Prévôt a
construit, d'après la méthode du double alignement, un nomogramme
qu'on trouvera à la fin du présent Volume.

II. — Notions sur le Nivellement général de la France (N. G. F.).

56. Organisation générale, — La circulaire ministérielle du
l'j février 1877, qui met à la charge des Ponts et Chaussées la garde
et l'entretien des repères du N. G. F., rend utiles, pour les Ingé-
nieurs de ce corps, quelques notions relatives à ce Service spécial.

Le premier nivellement général de la France, d'un développement
de i5ooo''", a été effectué de i855 à i863, par Bourdalouë, conduc-
teur des Ponts et Chaussées, qui s'était rendu célèbre en opérant
le nivellement préliminaire au percement de l'isthme de Suez. Alors
que des opérations menées à la hâte, lors de l'expédition d'Egypte,
avaient accrédité l'opinion qu'il y avait, entre la mer Rouge et la
Méditerranée, une dénivellation d'environ lo*", Bourdalouë avait
établi que cette dénivellation n'existait pas, ce qui faisait apparaître
la possibilité d'ouvrir un canal.

Les points nivelés du réseau Bourdalouë sur |le territoire français
ont été indiqués au moyen de repères en fonte, en forme de disques
{fiS' 7^)' ^"^ lesquels est inscrite une cote qui est celle de leur plan

tangent horizontal supérieur au-dessus du niveau moyen de la mer à
Marseille.

CHAPITRE m. — ALTISIETRIE.

io3

Depuis lors, suivant un programme élaboré en 18^8, ce nivellement
a été repris et étendu, sous la direction de M. l'Ingénieur en chef des
Mines Lallemand (*), avec le contrôle d'une commission spéciale au
sein de laquelle, pour les travaux du début, tout au moins, le colonel
Goulier a joué un rôle prépondérant.

On a d'ailleurs incorporé dans ce nouveau réseau celui qui avait
été nivelé par Bourdalouë, dont les opérations ont été contrôlées
dans l'ensemble, sans toutefois avoir été reprises dans le détail.

Les repères principaux du nouveau réseau, placés sur les voies
ferrées, ont la forme de petites consoles munies d'une pastille
kfië' 79)5 c'est la cote du sommet de cette pastille qui est inscrite

Fig- 79-

sur le repère. Les repères principaux placés sur les routes sont cir-
culaires, comme ceux de Bourdalouë, mais de plus petit diamètre et
portant une pastille à la partie supérieure {fig- 80). Chaque repère

Fig. 80.

principal porte, en outre, une désignation matricule se référant au
Répertoire graphique publié parle service du N. G. F.

(*) Pour les détails, voir le Traité de Nivellement de haute précision de M. Ch.
Lallemand, Ingénieur en chef des Mines, Directeur du Service, dans V Encyclopédie
des Travaux Publics.

Io4 PREMIÈRE PARTIE. — TOPOMÉTRIE.

57. Réseaux des divers ordres, — La France est divisée en
42 polygones, dont Sa à rintérieur du territoire et 10 contigus aux
frontières continentales ou maritimes. Ce sont, en moyenne, des pen-
tagones ayant SSo*^" de périmètre.

Ils constituent le réseau de i*** ordre, et leurs côtés suivent, en
général, des lignes de chemins de fer.

Chacun de ces polygones est lui-même divisé en 5 ou 6 poly-
gones de 230*''" de périmètre en moyenne, constituant le réseau de
2® ordre.

De même un réseau de 3*^ ordre est formé par des polygones
d'environ 70*^™ de périmètre, et un réseau de 4* ordre par des poly-
gones d'environ 20*^™ de périmètre.

Le nivellement doit être complété par des courbes de niveau.

Voici un Tableau du développement des réseaux de divers ordres

au i*^*' janvier 1904 :

Longueurs
approximatives.

km
Réseau de i**" ordre (achevé) 11 700

I Lignes nouvelles i3946 ] \

Réseau de 2* ordre ; Lignes Bourdalouë uti-* f ^j. ^

(achevé). i Usées, rectifiées et ' '

incorporées 3229. ) / 17300

Voies diverses nivelées en 2* ordre pour placer des
repères sur édifices stables à proximité des che-
mins de 2* ordre « 338

Cheminements de 3* ordre, y compris 270c»''" de l'ancien nivel-
lement de Bourdalouë 25 800

Cheminement de 4* ordre, y compris 6300*"" de lignes Bourda-
louë et 5500""" de nivellements départementaux 20000

EInsemble 76000

La longueur totale du réseau de 3*" ordre sera vraisemblablement
de 40000''"* environ, celle du réseau de 4* ordre, de iSoooo''"*.

Un répertoire graphique a été publié pour définir les emplacements
et les altitudes des repères des différents ordres.

58. Aperçu des méthodes, — Les opérations du i^^ et du 2* ordre
ont été effectuées à Taide du niveau perfectionné dont il a été précé-
demment question {fig^ 74) et des mires à compensation imaginées
par le colonel Goulier à la suite de ses études sur l'action de la tem-

CHAPITRE III. — ALTIMÉTRIE. Io3

pérature et de rhumidité sur la longueur des mires. Par l'observation
du glissement relatif de deux réglettes, l'une en fer, l'autre en laiton,
placées à l'intérieur de la mire, on obtient la correction à apporter à
la longueur du mètre moyen nominal de la mire.

Le bureau central du Service contrôle chaque jour les opérations
des brigades réparties sur le territoire. Pour le réseau fondamental,
ce contrôle était entouré des garanties spéciales assurées par le pro-
cédé décrit à la fin du n" 53.

Les opérateurs touchaient d'ailleurs une prime d'autant plus
forte qu'ils produisaient mensuellement un plus grand nombre de
kilomètres de nivellement réalisant les conditions de précision
requises.

Pour les opérations du i*"" ordre, le niveau était placé, à o'",5o
près, au milieu de chaque intervalle à niveler, par le moyen des fils
stadimétriques de la lunette, et l'on faisait une double visée sur chaque
mire après retournement de la nivelle et de la lunette. Pour les opé-
rations du 2^ ordre, la tolérance sur la position du milieu avait été
portée à i'", et l'on ne faisait plus qu'une seule visée sur chaque
mire, sauf en deux ou trois stations le matin, au milieu de la journée
et le soir, afin de déterminer le dérèglement du niveau. Les deux pre-
miers ordres comportaient un aller et un retour sur chaque chemi-
nement. Pour les opérations du 3*^ ordre, la tolérance sur la position
du milieu étant portée à i'",5o, on supprime l'opération du retour,
mais on a un moyen de contrôle suffisamment efficace en faisant usage
de mires spéciales graduées sur les deux faces; la graduation d'une
des faces a son o au point de contact avec le sol, celle de l'autre, une
origine quelconque.

Depuis 1900, on emploie des mires sur lesquelles la seconde face a
une division systématiquement altérée. Le mètre nominal de cette

seconde face a pour longueur — de mètre. Si /| et L sont les lectures

faites sur les deux faces, à l'aide du fil niveleur, et si t^ est la lecture
correspondant au talon de la mire sur la seconde face, il est facile
de vérifier que l'on doit avoir

ce qui constitue un contrôle des lectures.

Pour les opérations du 4* ordre, on se sert de mires à une seule

I06 PREMIÈRE PARTIE. — TOPOVÉTHre.

face, et il n^y a pas d'autre contrôle que celui de l'écart de fermeture,
contrôle jugé suffisant en raison du peu de longueur des sections.

Voici, d'ailleurs, les valeurs des erreurs moyennes quadratiques
accidentelles kilométriques pour les réseaux des différents ordres :

mm

i" ordre 1,2

•i* » 1,5

3* » 6

4» » 8

o9. Altitude orthométrique et cote dynamique (*). — Il n'y a
pas lieu, pour des nivellements de peu d'étendue, de se préoccuper
de la courbure de la terre, mais, lorsque l'on opère sur un territoire
aussi vaste que celui de la France, il devient impossible de n'en pas
tenir compte.

La théorie admise pour le nivellement géométrique est fondée sur
l'hypothèse du parallélisme des surfaces terrestres de niveau. Or,
cette hypothèse n'est pas exacte, et son défaut se fait sentir si l'on
cumule djes différences de niveau partielles entre deux points éloignés,
le long de deux cheminements suffisamment écartés l'un de l'autre.
On devra donc sacrifier l'une des deux conditions relatives soit au
parallélisme, soit à l'égalité de niveau.

Dans une première théorie, proposée par M. Wittstein (^), on
maintient la condition relative au parallélisme. Ayant adopté une cer-
taine surface de niveau origine, savoir la surface moyenne des mers,
on définit \ altitude orthométrique de chaque point comme étant sa
distance normale à cette surface. Dès lors, tous les points de même
altitude sont sur une surface parallèle à cette surface origine.

Dans la seconde théorie, proposée par M. Helmert, on définit la
cote dynamique de chaque point par le travail effectué pour élever
la masse de l'unité de poids depuis la surface zéro jusqu'au point
considéré. Dès lors, tous les points de même cote sont sur une surface
de niveau, non parallèle, par conséquent, à la surface origine.

Pour obtenir, au lieu d'altitudes brutes, des altitudes orthométri-
ques, il suffit, avant d'effectuer les totalisations, d'ajouter à chaque
différence partielle de niveau une correction orthométrique e,

(») On trouvera des renseignements détaillés sur ce sujet dans le Chapitre I de
l'Ouvrage cité plus haut, de M. Lallemand.

(') Les Mémoires ici visés de MM. Witlstein et Helmert ont paru eo 1873 dans les
Astronomûche Nachrichien, n» 1939.

CHAPITRE III. — ALTm^TME. I07

donnée par

E =. — o,oo5 28 H sin 2 L dL,

H étant l'altitude moyenne de la station, L la latitude moyenne, dh
la différence de latitude entre les deux extrémités.

Quant à Mappoint dynamique Ç, qu'il faut ajouter à l'altitude or-
thométrique pour avoir la cote dynamique, il résulte de la formule

Ç = — 0,00264 H co8'2 L — 0,000000098 H*,

où H représente l'altitude orthométrique et L la latitude.

Au point de vue théorique, la définition dynamique est évidem-
ment préférable, le travail de la pesanteur étant ce qui joue le rôle
principal partout où intervient la notion de niveau. Mais, d'une part,
les résultats auxquels conduit la théorie dynamique manquent un peu
de précision, en raison de l'incertitude qui pèse encore sur les déter-
minations locales de la pesanteur et qui a forcé à calculer le terme
correctif ^ en se contentant de la formule de Clairaut-Bouguer ; de
l'autre, la théorie orthométrique a l'avantage de maintenir la défini-
nition habituelle de l'altitude et de n'entraîner, pour les résultats
bruts du nivellement, que des corrections relativement faibles et ré-
gulières d'allure.

Pour ces raisons, ce sont les altitudes orthométriques qu'on s'est
décidé à faire figurer sur les repères du N. G. F. Toutefois, une co-
lonne spéciale du Répertoire graphique fait connaître, pour le réseau
du i" ordre, l'appoint à ajouter à ces altitudes pour les convertir en
cotes dynamiques.

60. IMiveau moyen de la mer, — En France on a pris pour ori-
gine tant des altitudes orthométriques que des cotes dynamiques le
niveau moyen de la mer à Marseille. Le réseau du Nivellement géné-
ral permet d'y rattacher le niveau moyen de la mer en tout autre
point du littoral.

Le zéro du N. G. F., dit zéro normal, a été déterminé à la suite de
onze années (1885-1896) d'observations enregistrées au marégraphe
totalisateur de Marseille, installé à l'anse du port Calvo.

Il a été trouvé 7*^™ plus bas que celui qui avait été fixé naguère par
Bourdalouë (*).

(') Les observalions poursuivies depuis lors tendraient à le placer a'"* moins bas
environ. Néanmoins, comme on ne saurait faire varier les cotes inscrites sur les
repères, on maintient le zéro à l'emplacement fixé en 1896.

I08 PRBMIÉRB PARTIE. — TOPOMÉTRIE.

Pour déterminer en un point quelconque du littoral le niveau
moyen de la mer, sans avoir à recourir à T'établissement très dispen-
dieux d'un marégraphe, M. Lallemand a imaginé un appareil spécial,
le médimarémètre^ qui est fondé sur la propriété suivante :

Si deux vases communicants sont séparés par une paroi poreuse^
les oscillations du liquide dans V un d^eux se transmettent dans
Vautre avec une phase retardée et une amplitude' réduite, le
niveau moyen restant le même ( * ).

Suivant le degré de porosité de la paroi, on a un coefficient d'amor-

Pig. 8i.

^^^=^

tissement aussi fort qu'on le veut. Appliquant ce principe au système
formé par la mer, et la colonne d'eau placée dans un tube vertical

(•) La théorie mathématique de ce phénomène se trouve dans le Chapitre V de
l'Ouvrage cité de M. Lallemand.

CHAPITRE 111. — ALTIMETRIE.

communiquant avec elle à travers une paroi poreuse, on
arrive à amortir complètement à l'intérieur du tube les
petites oscillations (houle, clapotis) et à y réduire celles
de la marée à des dénivellations insignifiantes, de façon
à déterminer très aisément le niveau moyen.

L'appareil se compose d'un tube étanche S (^fig* 81)
fixé au moyen de colliers à griffes P, P', V\ à un mur
vertical en bordure d'une enceinte communiquant libre-
ment avec la mer. Ce tube est en relation, par un tuyau B,
avec un plongeur Q, immergé au-dessous du niveau des
plus basses mers et divisé en deux parties par la cloison
poreuse V. Le compartiment inférieur est d'ailleurs rem-
pli de sable, et son enveloppe latérale percée de trous
pour l'accès de l'eau.

L'observation se fait au moyen d'une sonde graduée
i^fiS' 82) sur laquelle on fixe latéralement, au moyen de
bagues mobiles B, B', munies de languettes-ressorts /, /',
une bande de papier sensibilisé au sulfate de fer et à la
noix de galle. On descend cette sonde à fond dans le
tube jusqu'à ce qu'elle vienne buter contre le dia-
phragme D (yî^. 81) et on la remonte une ou deux
secondes après. La partie mouillée du papier devient noi-
râtre, ce qui permet de lire facilement la cote de l'eau.

On prend la moyenne mensuelle des cotes ainsi déter-
minées.

Des médimarémètres de ce type ont été installés en
un certain nombre de points du littoral français, sur
la Manche, sur TOcéan et sur ta Méditerranée. Les
observations qu'on y a déjà recueillies permettent d'af-
firmer que, contrairement à une opinion longtemps accré-
ditée, il n'existe pas de dénivellation entre l'Océan et
la Méditerranée, les différences de niveau moyen entre
ports pris dans l'une et l'autre de ces mers étant de
même ordre que celles entre ports pris dans une même
mer, et de signe variable. Ces différences de niveau sont
même, en général, de l'ordre des erreurs possibles du
nivellement.

Des opérations analogues, exécutées d'après des mé-
thodes identiques, sont poursuivies en Algérie, par le Service géo-

IJO PREUtBRE PARTIE. — TOPOMBTRIE.

graphique de T Armée, le long des voies ferrées et des routes
principales. Des médimarémètres fonctionnent à Alger, Boue et
Tunis. Le zéro fondamental est le niveau moyen de la mer à
Bône où le médimarémètre est installé dans d'excellentes con-
ditions.

CHAPITRE IV.

THÉORIE GÉNÉRALE DES RACCORDEMENTS.

I. — Raccordements circulaires.

61. Report de Vaxe sur le terrain. — Lorsque les alignements
droits dont se compose Taxe d'un tracé ont été reportés sur le terrain
par des jalonnements opérés dans le plan de visée d'une lunette d'ali-
gnement, il s'agit de les raccorder par des arcs de courbe, des arcs de
cercle de préférence, dont les rayons dépendent de la nature de la
voie à construire et de la vitesse moyenne de circulation à laquelle
elle doit se prêter.

Sur les routes, l'expérience a prouvé qu'il convenait, pour une vi-
tesse de la""" à l'heure, de ne pas descendre au-dessous d'un rayon
de 3o"", et pour une vitesse de iD*"", ce qui est le cas ordinaire, au-
dessous d'un rayon de 5o™.

Sur les chemins de fer on peut, avec une vitesse de 80*^™ à 90*'"™,
passer dans des courbes de Soo*" de rayon. Ce rayon peut être abaissé
à 3oo" pour les vitesses de 60''™ à 80''™, à 25o"* pour les vitesses
de So''" (*).

62. Raccordements circulaires simples. — La solution la plus
simple pour le raccordement de deux alignements droits SA et SB
faisant entre eux l'angle 8 consiste à tracer un arc de cercle tangent à
ces deux alignements droits {fig- 83).

Le rayon R de ce cercle étant fixé par les convenances de la circu-
lation qui doit se faire sur la voie considérée, on a

SA = SB = Rcot-.
2

(') Brigka, Cours de chemins de fer ^ t. I, p. 4^.

112 PREMIERE PARTIE.— TOPOMETRIE.

Elevant en A et B des perpendiculaires aux alignements SA et SB,
on obtient le centre O du cercle de raccordement.

On peut reporter les points M de cette courbe sur le terrain par
divers procédés dont nous allons rapidement passer en vue les princi-
paux :

I** Le point M peut être rapporté, par abscisse et ordonnée, à Pali-
gnement SA {fi g- 83). On a

AP = MQ = Rsinu),

MP = OA — OQ = R(i — cosw).

Prenant les valeurs successives de (o croissant par échelons égaux,
on obtient immédiatement, par l'emploi des Tables des sinus et cosi-
nus naturels, qui se trouvent dans de nombreux manuels, les valeurs
correspondantes de AP et MP qui permettent, à Taide d'une chatneel
d'une équerre, le report du point M sur le terrain.

2* Les angles MAB et MBS étant égaux {fig^ 83) comme ayant

même mesure, il suffit d'installer en A et en B des goniomètres avec
lesquels on prend respectivement, à partir des alignements droits AB
et SB, des angles égaux, et de faire placer un jalon à Tintersection
des lignes de visée ainsi obtenues.

3" Le sommet G de l'arc AB {fig* 84) se trouve à la rencontre
de l'alignement SO et de la droite AC, faisant avec SA l'angle

•?. 4

De même la perpendiculaire élevée en G à SO rencontrant SA

CHAPITRE IV. — THÉORIE GÉNÉRALE DES RACCORDEMENTS. Il3

en T, on a le point D sur OT en faisant avec SA l'angle

SAC it - e

TAD =

"T"'

et ainsi de suite.

4° Plaçant un tachéomètre en A et faisant faire à sa ligne de visée,

Fig. 84.
s

avec Palignement AS {^fig^ 85), un angle a (qu'on prendra, comme le

montre la figure, égal à un sous-multiple pair de AOC si l'on veut
obtenir des points M divisant l'arc AG en parties égales), on aura la
distance AM correspondante par la formule

A M = 2Rsina.

Il suffit donc de faire déplacer la mire sur l'alignement AM jusqu'à
ce qu'on obtienne la lecture stadimétrique correspondant à cette dis-
tance. Afin d'abréger les tâtonnements, il vaut mieux, en pratique,
marquer le point sur lequel se trouve la mire lorsqu'on fait une lec-
ture voisine de celle qui serait faite en M, et reporter avec une règle
graduée le point M de la petite distance correspondant à l'écart entre
les deux lectures.

D'O. 8

Il4 PREMIÈRE PARTIE. — TOPOHÉTRIE.

5" Imaginons la corde AM et sa flèche PoP {fig- 86). Si de P^on

abaisse sur AS la perpendiculaire PQ, on a

PQ = PPo,
les angles PAM et PAQ étant égauiL comme ayant même mesure.

Si donc la corde AM et sa flèche Po P sont matérialisées sous forme
d'une règle, ou d'une chaîne, et d'une réglette assemblées à angle
droit, il suffira de diriger la règle suivant AS pour que l'extrémité de
la réglette tombe sur le point P. Plaçant alors la règle symétriquement
de l'auti-e côté du point P en amenant toujours la première extrémité
de la règle en A et l'extrémité de la réglette en P, on a le point M par
la seconde extrémité de la règle.

Amenant maintenant la première extrémité de la règle en P et
l'extrémité de la réglette en M, on obtient, par la seconde extrémité
de la règle, un nouveau point de la courbe, et ainsi de suite.

M. le Conducteur des Ponts et Chaussées Moreau a construit un
appareil spécial pour l'application de ce procédé.

63. Raccordements circulaires doubles ('). — Si les circons-
tances locales obligent à limiter les alignements droits, qu'il s'agit de
raccorder, en des points A et B inégalement distants de leur point de
concours S {Jig> 87), on peut, d'une infinité de façons, raccorder ces
alignements par deux arcs de cercle tangents entre eux intérieure-
ment et dont les centres a et é se trouvent respectivement sur les per-
pendiculaires élevées, en A et B, à SA et à SB.

(>) Nous avons, pour la première fuis, publié la solution reproduite ici dans les
Aouvelles Annales de Mathématiques, 3» série, t. XVII, 1898, p. 3 14.

CHAPITRE IV. — THÉORIE GÉNÉRALE DES RACCORDEMENTS. Il5

Soient M le point de raccordement des deux arcs de cercle AM
et BM, et CD la tangente commune en ce point.

Prenons le point de rencontre O des bissectrices des angles C, D, S,

Ki

ig. 87.

et traçons de ce point comme centre le cercle A, M, B| tangent à AC,
CD et DB. Nous avons, en considérant les tangentes menées de C
aux cercles AM et AiM^,

Donc

CA. = CM, GAi=GM,
AAi = MM,.
De même, en prenant le point D,

Par suite,

ou

et puisque SA| = SB<,

BBi= MM,.

AA, = BBi

SA — SA,= SBi— SB,

SA -h SB

SAi =

d'où

AAi = SA — SAi =

SA -SB

]l6 PREMIERE PARTIE. — TOPOMÉTRlfi.

On déduit d'abord de là que les points A, et B< sont fixes, par
suite aussi le point O ; donc la tangente commune CD a pour enve^
loppe le cercle de centre O tangent à SA et SB.

Maintenant Tégalité de AA,, BB,, MM« entraîne celle des triangles
rectangles OAA,, OBB,, OMM,, et, par conséquent, celle de OA,
OB, OM. Donc le point de contact M a pour lieu le cercle de
centre O passant par les points A e/ B.

Enfin la distance OH du point O à la ligne des centres ab étant
égale à MM|, Test aussi à AA, et BB, . Donc : la ligne des centres ab
a pour enveloppe le cercle de centre O tangent aux droites Puz
etBb.

Si l'on se donne soit cette ligne des centres (tangente au
cercle UV), soit la tangente commune CD (tangente au cercle A<B,),
on obtient immédiatement le point de raccordement M sur le
cercle AB.

Si l'on se donne le rayon et, par suite, le centre d'un des deux
cercles, on n'a qu'à mener dé ce centre, a par exemple, la tan-
gente a H au cercle UV pour avoir le second centre 6.

Une discussion facile montre, d'ailleurs, que Ton n'a un raccorde-
ment au sens pratique de ce mot, c'est-à-dire par deux arcs qui,
sans rebroussement en A ou B, soient tangents entre eux intérieu-
rement, que si le point M se trouve sur Tare du cercle AB qui, en
partant de B (point le plus rapproché de S), se trouve à l'intérieur de
Tangle ASB ( • ). Si l'on prenait le point M sur l'arc du cercle AMB,
qui est intérieur à l'angle ASB en partant de A, on aurait bien deux
arcs de cercle tangents entre eux intérieurement, mais qui donneraient
en A et B des rebroussements, circonstance inadmissible en pratique.

La ditt'érence des rayons, égale à la distance ab des centres, sera
minimum quand le segment ab de la tangente au cercle UV, compris
entre les droites fixes PA et PB, sera le plus court possible, ce qui a
lieu lorsqu'il devient perpendiculaire à la bissectrice de l'angle APB,
c'est-à-dire parallèle à la bissectrice SO de l'angle ASB, dont les

(') Si l'on se plaçait au point de vue de la Géométrie pure, on trouverait par le
même procédé un second point O, situé cette fois sur !a bissectrice extérieure de
l'angle ASB, qui serait aussi le centre d'un cercle, passant par A et B, lieu du point
de contact de deux cercles tangents entre eux et touchant respectivement SA et SB
en A et B. Mais, avec ce second cercle, si le point M était pris à l'iniérieur de
Tangle ASB, les deux cercles variables seraient tangents extérieurement. Quoi qu'il
en soi', géométriquement parlant, le lieu du point de contact se compose de deux
cercles qui, d'ailleurs, se coupent à angle droit.

CHAPITRE IV. — THÉORIE GÉNÉRALE DES RACCORDEMENTS. 117

côtés sont respectivement perpendiculaires à ceux de l'angle A.PB.
On aura donc les centres a et b correspondant aux cercles de rac-
cordement, dont la différence des rayons est minimum, en menant
au cercle UV la tangente ab parallèle à SO {située, bien entendu,
du côté du pointa).

Cette solution, fondée sur la considération du minimum de la diffé-
rence des rayons, qu'on pourrait être tenté d'adopter a priori, offre
généralement, en pratique, l'inconvénient de conduire, pour le plus
petit des deux rayons, à une valeur trop faible, tombant au-dessous
du minimum admissible pour les rayons des arcs entrafit dans le tracé
de l'axe.

Les rayons R et r des deux cercles de raccordement et leurs angles
au centre a et ^ sont, d'ailleurs, liés à SA = ^, SB = t! et ASB = 8
par trois équations qui déterminent deux de ces quantités si l'on se
donne la troisième.

En effet, on a

R = AUH-Ua = OAi^Ua

6 a

= SAi tang - 4- OU cet -

2 2

t-\-t' e t—t' OL

= tang - -+- cot - •

De même

Enfin

t^f e t — t' a

/• = tang cot - •

2 ^2 2 2

Pour les rayons dont la différence est minimum

a= 3 =

et il vient

R — r = (^ — ^')cot^î^^.

On peut remarquer, ainsi que nous l'avons fait dans les Annales
des Ponts et Chaussées (2® trim. igoS, p. 296), que, si l'on sup-
pose l'angle ASB droit, on obtient ainsi la solution la plus générale
du tracé des intrados en anse à trois centres.

Il8 PREMIÈRE PARTIE. — TOPOMÉTRIE.

II. — Raccordements à courbure progressive (i).

64. Relation entre le dessers et le rayon de courbure. — Si,
dans le cas d^une roule, il n'y a pas d'inconvénient à raccorder direc-
tement un cercle avec un alignement droit (*), il n'en va pas de même
pour une voie ferrée, la grandeur de la vitesse rendant non négli-
geable la considération de la force centrifuge.

Pour que la ligne d'appui de chaque paire de roues soit normale
à la résultante du poids du véhicule et de la force centrifuge qui le
sollicite dans le mouvement en courbe, il faut donner au rail exté-
rieur un surhaussement h tel que

e ^ gr'

e étant l'écartement des deux rails, v la vitesse du train, r le rayon de
courbure de la courbe parcourue, g l'accélération de la pesanteur, les
unités étant ici le mètre et la seconde.

Le rapport- est ce qu'on appelle le devers de la voie (qu'il ne

faut pas confondre avec le devers du rail). Il varie, pour une vitess^
donnée (vitesse moyenne des trains circulant sur la partie de voie
considérée) en raison inverse du rayon r.

Afin de faire varier progressivement ce devers depuis la valeur o
qui convient à un alignement droit, jusqu'à la valeur correspondant
au rayon r d'un cercle donné, il faut donc insérer entre cet aligne-
ment droit et ce cercle une courbe de raccordement dont le rayon de
courbure varie progressivement depuis la valeur infinie, en son point
de contact avec la droite, jusqu'à la valeur r, en son point de con-
tact avec le cercle. En d'autres termes, il faut insérer entre le cercle
et l'alignement droit une courbe de raccordement osculatrice au
cercle et admettant l'alignement droit pour tangente d'inflexion.

(*) Cette question a fait l'objet d'un Ouvrage très savant dû à un ingénieur autri-
chien, M. DE Lebrr : Calcul des raccordements paraboliques dans les tracés de
chemins de fer (Baudry; 1892). Nous y renvoyons le lecteur pour les développe-
ments d'une tbéorie dont nous ne donnons ici que le résumé essentiel.

(') Et encore le développement de l'automobilisme pourrait-il bien, à l'avenir,
rendre utile l'adoption pour les routes d'une solution analogue à celle développée
ici en vue des voies ferrées.

CHAPITRE IV. — THÉORIE GÉNÉRALE DES RACCORDEMENTS.

"9

De même deux cercles de rayons différents ne devront pas être
raccordés directement entre eux, mais bien par l'intermédiaire d'un
arc de courbe osculateur à chacun d'eux et dont la courbure varie
progressivement dans l'intervalle.

Nous verrons plus loin comment on peut faire choix d'une telle
courbe de raccordement. Voyons d'abord comment, en supposant ce
choix fait, on peut insérer entre les alignements droits et les cercles
des arcs convenablement limités de cette courbe.

65. Définition générale d^une courbe de raccordement F. —
Soit r une courbe présentant un point d'inflexion A (^fig* 88) et

Fig. 88.

dont, à partir de ce point, le rayon de courbure diminue progressi-
vement. Rapportons cette courbe à sa tangente d'inflexion Kx et à la
normale correspondante Ps.y,

Cette courbe sera représentée par des équations telles que

(I)
0^)

dans lesquelles on peut toujours supposer le paramètre t choisi de
façon à s'annuler au point A, ce qui, vu le choix des coordonnées,
exige que

X(o) = o, Y(o) = o, Y'{o) = o, Y'(o) = o.

On a dès lors, en appelant cp l'angle que la tangente au point (a?, y)
fait avec Aj;,

(3)

tg? =

X'(0

120 PREMIÈRE PARTIE. — TOPOMÉTRIB.

d'où Ton tire

(3 bis) <p = *(0.

Quant au rayon de courbure r au point (^, J^), donné par

3

Y'(t)X'{t)-\'(t)Y'(t)'
nous écrirons son expression

(4) r = R{t),

Pour les coordonnées Ç et y) du centre de courbure O répondant au
point (^, y) de la courbe F, la figure donne immédiatement

(5) ^ = a? — rsin ^,

(6) T^ =J^-^^cos<p,

OU, en remplaçant les quantités figurant dans les seconds membres
par leurs valeurs en fonction de t, tirées de (i), (2), (3) et (4),

{5 bis) Ç ='X.(0,

(6 bis) ^ = ?r(o.

Nous allons voir maintenant comment, ayant formé ces équations
pour une courbe F particulière, on peut insérer des arcs de raccor-
dement empruntés à cette courbe, entre une droite et un cercle ou
entre deux cercles.

66. Raccordement dans le cas <ïun cercle. — Dans le cas du rac-

Fig. 89.

cordement simple, tel qu'il se pratique sur les routes, on se borne,
ainsi que nous l'avons vu, à tracer un cercle de rayon donné OcA©

CHAPITRE IV. — THÉORIE GÉNÉRALE DES RACCORDEMENT». 121

tangent aux deux alignements droits qu'il s'agit de relier {fig> 89).
Partant de là, on substitue au cercle ainsi tracé celui qui sera relié à
chacun des alignements droits par un arc de courbe F en procédant
suivant l'un des modes que voici :

i^ Conservant le rayon du cercle primitif, on fait glisser son centre
sur la bissectrice des deux alignements droits de façon à permettre
l'insertion, entre ce cercle et chaque alignement, d'un arc convena-
blement déterminé de la courbe F. On a ainsi un raccordement à
rayon conservé. Tout étant d'ailleurs symétrique par rapport à la bis-
sectrice, il suffit d'indiquer la construction de l'arc de courbe F pour
l'un des alignements droits.

Soit donc O la nouvelle position dans laquelle il faut amener le
centre primitif pour que le cercle de rayon donné devienne oscula-
leurà un arc de courbe F admettant l'alignement SA comme tangente
d'inflexion.

Le rayon r étant ici donné, l'équation (4) ci-dessus, résolue par
rapport à t, fera connaître la valeur correspondante de ce paramètre.
Cette valeur, portée dans les équations (i), (2), (3), (5) et (6), four-
nira les valeurs correspondantes de x^ y-i^t Ç et 7|.

Ayant pris sur la droite SOo le point O dont l'ordonnée est-Tj, on
abaissera de ce point sur l'alignement droit SAo la perpendiculaire OQ,
à partir du pied de laquelle on portera QA = Ç. Prenant ensuite
AP = jr, PM =.>^, on aura M. Enfin, la valeur de ^ permettra de
construire la tangente MT en M.

Pour avoir les points de l'arc AM situés entre A et M, on donnera,
dans les équations (i) et (2), diverses valeurs à / depuis t = o jusqu'à
la valeur correspondant au point M.

2" Laissant fixe le centre Oo du cercle primitif, on diminue son
rayon de la quantité voulue pour qu'il puisse devenir osculateur à un
arc de courbe F admettant l'alignement SA comme tangente d'in-
flexion. On a alors un raccordement à centre conservé.

Le centre étant conservé, c'est alors tj qui est donné. L'équation
(6 bis), résolue par rapport à t, fait connaître la valeur correspon-
dante de ce paramètre qui, portée dans les équations (1), (2), (3),
(4) et (5), permet de calculer x, y, 'f , r et $. Le problème s'achève
alors comme dans le cas précédent.

Remarque, — Si, pour une certaine courbe F, on a construit des
Tables numériques suppléant aux calculs exigés par l'une ou l'autre

12*2 PREMIERE PARTIE. -- TOPOMÉTRIE.

des solutions qui viennent d'être exposées, on voit qu'il faudra, de
toute nécessité, avoir dans un cas la Table de Téquation (4), dans
l'autre, celle de l'équation (6 éw), pour connaître la valeur de t cor-
respondant au point de raccordement.

Les Tables des équations (i), (2) et (3) permettront en outre une
construction rapide de l'arc de raccordement demandé.

Quant au calcul de Ç, qui n'est utile que pour le seul point de rac-
cordement M, il se fait assez aisément au moyen de la formule (5)
pour qu'il sôit superflu de dresser la Table de l'équation (5 bis).

Remarquons en outre que, dans tous les cas, la solution est acquise
lorsqu'on a obtenu la valeur de / correspondant au point de raccor-
dement M. Cette valeur de t^ déterminée par celle de r dans le cas
du rayon conservé', par celle de r\ dans le cas du centre conservé,
pourrait tout aussi bien être prise elle-même arbitrairement,
pourvu que la valeur correspondante de r fût pratiquement accep-
table dans les conditions où l'on se trouve placé. On peut donc tou-
jours, lorsqu'on se sert de Tables numériques, adopter une solu-
tion dans laquelle les valeurs des éléments correspondant au
point de raccordement sur le cercle sont puisés directement dans
la Table et non obtenus par interpolation,

11 suffit, par exemple, de prendre la valeur de t correspondant à la
valeur r, inscrite sur la Table, qui est la plus voisine de celle que la
pratique conduirait à adopter, celle-ci n'étant pas rigoureusement
fixée à quelques mètres près.

67. Raccordement dans le cas de deux cercles. — Si le raccor-
dement se fait par deux arcs de cercle, chacun d'eux pourra être rac-
cordé avec l'alignement droit contigu par l'un des procédés ci-dessus,
avec cette difl'érence toutefois que ces cercles devront subir, en outre,
des déplacements parallèles aux alignements droits (en entraînant,
bien entendu, chacun sa courbe de raccordement avec l'alignement
droit contigu) de façon à pouvoir être raccordés entre eux par un arc
de courbe F osculaleur à chacun d'eux. La distance des centres de
ces cercles est, en eflet, liée dans ce cas à leurs rayons. Il suffit, pour
s'en rendre compte, de remarquer que les rayons ret r' de ces cercles
étant connus, et, par suite, les valeurs correspondantes t et /'du para-
mètre par l'équation (4)? les coordonnées $, tj et Ç', tj' des centres* de
courbure, rapportées au point et à la tangente d'inflexion de h\
courbe F de raccordement entre les deux cercles, le sont aussi par
les équations (5 bis) et (6 bis).

CHAPITRE IV. — THÉORIE GÉNÉRALE DES RACCORDEMENTS. l'iS

Il en résulte que la distance S de ces centres de courbure, donnée
par

(7) 3»= (?-«')»-^(^- »)')*»

est parfaitement déterminée, ainsi que l'angle x que la droite joi-
gnant ces centres fait avec la tangente d'inflexion de la courbe F en
question, angle t qui résulte de la formule

(8) tg,= ^^^-

Les deux solutions qui s'oflrent alors sont les suivantes :

i" Si Ton se donne les rayons /• et /•'(*), leur connaissance entraî-
nant, comme on l'a vu, celle de tj et V? les centres O et O' devront se
trouver respectivement sur les droites A et A', parallèles aux aligne-
ments droits S^ et S^', aux distances tj et V {fig^ 90),

Il suffira, en outre, que la distance 5 des points O et O' choisis

Fig. 90.

.A

— f^ \-

sur A et A' ait la valeur résultant de l'équation (7), ce qui permet
une infinité de choix. En général, on prendra la droite 00' parallèle
à la ligne des centres des cercles de rayons r et r^ qui, sans intermé-
diaire, raccorderaient les alignements Sx et Scr'.

Les centres O et O' étant alors fixés, les cercles de rayons /• et /•'
tracés, chacun d'eux sera relié à l'alignement droit voisin ainsi qu'il a
été dit plus haut pour le cas d'un seul cercle. Quant à l'arc de rac-

(*) Ces rayons seront ceux qui proviendront du tracé elTectué tout d'abord au
moyen de deux cercles tangents entre eux et raccordés directement chacun avec Tun
des alignements droits, par application de la solution générale développée au n<> 63.

124 PRBHIÈRE PARTIE. — TOPOMÉTRIE.

cordement reliant ces deux cercles, il suffit, pour le tracer, de con-
naître son point d'inflexion et la tangente en ce point. Ils s'obtiennent
en faisant tourner la tangente d'inflexion autour du point O jusqu'à
ce qu'elle forme l'angle t avec 00', ce qui donne la tangente A|a;«,
et portant sur celle-ci la longueur Q, A| = Ç. On n'a plus, en se ser-
vant de A, jp^ comme axe et de A| comme origine, qu'à construire la
courbe F entre les valeurs ^et /'du paramètre correspondant aux deux
cercles osculateurs.

20 On peut prendre pour les rayons des cercles de raccordement
les valeurs données par le procédé du centre conservé appliqué à
chacun d'eux pris isolément. Une fois ces rayons calculés, on achè-
vera la solution comme la précédente. Seulement, ici, on pourra,
puisque les droites A et A' passent par les centres des cercles de rac-
cordement primitifs, conserver l'un de ces centres.

D'une manière générale, aussi bien dans le cas d'un seul cercle que
dans celui de deux, on aura recours au procédé des rayons diminués
lorsque l'angle des deux alignements à raccorder sera très petit. En
se plaçant dans le cas limite de deux alignements parallèles, on voit,
en eff^et, bien évidemment, que le tracé à rayon conservé serait im-
possible, puisque le déplacement du centre n'éloignerait pas le cercle
de ces alignements.

68. Courbe V théorique. Emploi de la clothot'de. — Cherchons
maintenant à préciser la nature de la courbe F propre à l'application
qui vient d'être indiquée.

Reprenons l'équation du n" 64, qui donne le devers en fonction de
la vitesse et du rayon, et, pour nous conformer à l'usage pratique,
admettons que le surhaussement h du rail extérieur soit exprimé en
centimètres, le rayon /• en mètres, la vitesse v en kilomètres à l'heure.
Si nous faisons, en outre, e=i",5o, ^ = 9", 8, nous voyons que
cette équation devient

A= 1,18—.

r

Le surhaussement de l'axe de la voie étant - » si ^ est la longueur

en mètres, comptée sur cet axe à partir du point de raccordement
avec l'alignement droit, la pente correspondante de l'axe est donnée
par

h
p =

CHAPITRE IV. — THÉORIE GÉNÉRALE DES RACCORDEMENTS. 19.5

L'élimination de h entre ces deux équations montre que

__ 0,0059. p* _ C
"" ps "~ 5

11 faut donc, pour que le devers varie proportionnellement au chemin
parcouru (et, par suite, au temps, puisqu'ici le mouvement du train
est supposé uniforme sur Fétendue de ce parcours), que le rayon de
courbure varie en raison inverse de l'arc.

Avant d'aller plus loin, disons que la pratique a enseigné qu'on
pouvait, suivant le type du chemin de fer auquel on avait affaire,
donner à la constante C l'une des six valeurs

C = a4ooo, 12000, 6000, Sooo, i5oo, 760,

la première correspondant aux lignes parcourues par des rapides, la
dernière aux lignes d'intérêt local à voie étroite (* ).

Le choix de la constante G étant fait, cherchons à déterminer la
courbe pour laquelle

r = — •
s

Nous avons, en vertu de la définition même dç /•,

^ ^ C
d(^ s
ou

s ds ^ C d^^

d'où, en intégrant, et remarquant qu'à l'origine A {fig. 88), f = o.

Il vient maintenant

dx = cos^,ds = cos — ^ ds^

dy = sin ^.ds — sin -^ ds.

(') Voici commenl on peut fixer le choix : soit une ligne sur laquelle v = 3o''".
Si Ton admet pour le rail extérieur une pente de 0,00a, ce qui donne, pour Faxe
p = 0,001, 00 a

^^ 0,0059 X9°o^S3.o.

0,001

On prendra donc ici C = 6000, ce qui revient à abaisser la pente du rail extérieur
à 0,0016.

126 PRBMIBRK PARTIK. — TOPOMÉTRIIf:.

Si nous posons

(O) S^)/^,t,

ces diH'érenlielles s'écrivent

dx = i/ïTC cos — dt.
a

7-fî

dy = /tcC sin -^^ dt.

Si donc on pose

cos -;— ûr/ = G(^;, / sin — dt = S(t),

intégrales bien connues, que Fresnel a rencontrées dans la théorie de
la diflVaction, on a

(1) x = ,/^,e(t),

(2) r = ^/^.s{t).

Et l'on voit que la courbe F, définie par ces équations, n'est autre
que celle qui a été introduite par Cornu dans la théorie de la diffraclion
(/ig- 91) (*), spirale à points asjmptotiques, que les géomètres
appellent une clothoïde {^),

Les équations (i) et (2) ci-dessus correspondant à celles qui portent
les mêmes numéros au n" 65, on aura l'équation (3 bis) en rem-
plaçant, dans l'expression de f écrite plus haut, s par sa valeur (o),
ce qui donne

{3 bis) ^=—.

La même valeur de s portée dans l'équation qui a servi de point de
départ donne de même

Enfin, si l'on se reporte à l'expression (6) de r[ (n^* 65), on voit

(*) Journal de Physique, 1874, p. i et 44-

(') Sur remploi rie celte courbe, on peut consulter un IVtémoire de M. Tourtay,
ingénieur <ies Ponts et Cbaussées, dans les Annales des Ponts et Chaussées
(a* sem., i883, p. 387).

CHAIMTIIK IV. — THÉORIE GÉNÉRALE DES RACCORDEMENTS.

qu'on a ici

(6 bis)

127.

r, = v^,rC[s(0-^:^^cos^J.

Dans le cas du rayon conservé (n*^ 66, 1"), ^ étant tiré de (4), le
calcul peut être ell'ectué sans difficulté, mais dans le cas du centre
conservé (n® 66, 2"), / étant tiré de (ti bis)^ il est de toute nécessité

de posséder une Table des valeurs de r, en fonction de t. Ayant pris
le parti de dresser cette Table, nous avons pensé bien faire, par la
même occasion, en construisant celles de toutes les formules qui
interviennent dans la question (*), afin de pousser aussi loin que
possible la simplification des calculs.

(*) C'est M. Douzon, dessinateur aux Chemins de fer de l'État, qui, sur nos indi-
cations, a bien voulu se charger de l'ingrate besogne du calcul de ces Tables. Nous
tenons à lui en renouveler ici tous nos remerctinents.

Ajoutons que ces Tables ont été poussées plus loin qu'il n'était strictement néces-
saire pour les besoins des seuls chemins de fer afin de se pouvoir prêter à d'autres
applications.

•128 PREMIÈRE PARTIE. — TOPOMÉTRIK.

On trouvera donc à la fin du présent Chapitre :
I® Une Table des fonctions 6{t) et e(/) (*);

2** Une Table, dite générale, qui fait connaître les quotients de x^
y^ r, T, et s par y/C (ce qui fait qu'on peut s'en servir pour telle
valeur particulière de G qu'on jugerait à propos de choisir), ainsi que
les valeurs de o qui, elles, sont indépendantes de G.

3" Six Tables particulières correspondant aux sia^valeurs pratiques
de G indiquées plus haut (mais sur lesquelles on a jugé inutile de
reproduire les valeurs de © données dans tous les cas par la Table
générale).

69. Autres types de courbe F. Emploi de la lemniscate. — Pour
avoir une courbe F dont la courbure varie progressivement à partir de
son point d'inflexion A {jig> 88), on peut faire varier le rayon de
courbure r de cette courbe, non seulement en raison inverse de
l'arc 5 (ce qui conduit, comme on vient de le voir, à la clothoïde),
mais encore en raison inverse d'autres éléments qui varient dans le
même sens que cet arc.

Prenons, par exemple, un rayon de courbure inversement propor-
tionnel au rayon vecteur p compté à partir du point A,

C
r = -^

P

la constante G étant la même que précédemment. Si nous nous servons

de l'expression bien connue du rayon de courbure en fonction de la

dérivée du rayon vecteur par rapport à la distance p du pôle à la

tangente, nous avons

p^p _ C

dp '^ 9
ou

^^d^ = Cdp

( < ) Le calcul de cette Table nous a conduit à rectifier certaines erreurs qui s'étaient
glissées dans celle de Gilbert, classique parmi les physiciens. Pour rinterpolation,
on pourra se servir des formules de différences approchées que voici :

©(f 4- m) — G(f ) = — - 8in — i ^— sin — }

h{t-^u)- ^{t)= -^ l-COS -^ ^ .'4.COS— J.

CHAPITRK IV. — THÉOBIB GBNÉRALB DBS RACGORDEMBNTS.

129

d'où, en intégrant et remarquant que p et/> doivent être simultané-
ment nuls,

p»=3G/>.

d'où

Si Ton remplace p en fonction de p et de Pangle polaire w, il vient
p.= 3G— £î^=,

/9C*-p*

Intégrant, en remarquant que p et w sont nuls simultanément, on a

ou

• P*
9.0) = arc sm ^

p* = 3Gsin2b).

Telle est Téquation de la courbe cherchée. On reconnaît là une
lemniscate disposée par rapport aux axes comme l'indique la figure 92.

Prenant l'angle w pour le paramètre ^ du n" 65, c'est-à-dire posant
(o) p*=3GsiD2^

nous aurons immédiatement pour les équations ( i ) et (2)

(0
(•2)

a? = p cos/,
y = psin^

L'angle y est donné par

9 = <H-e,

8 étant l'angle de la tangente et du rayon vecteur donné par

d'O.

ùdt Q^dt p*

^ d^ pdp 3Gcos2< * '

l3o PRBMIBRB PARTIE. — TOPOMÉTRIE.

c'est-à-dire par

Il vient dès lors pour Féquatîon (3 bis) du n^ 6S
(3 6w) 9 = 3f.

Quant à Téquation (4) elle résulte de celle même qui nous a servi de
point de départ

(4)

-W-.

3sin2f'

Les valeurs (2) et (4) de y et r, portées dans l'équation (6) du
n" 60, montrent que l'équation (6 bis) peut s'écrire

(6*«) ,=^__(,^,sin./).

Pour avoir la valeur de t tirée de (4) dans le cas du rayon conservé,
de (6 bis) dans le cas du centre conservé, M. Paul Adam, ingénieur
des Ponts et Chaussées, a dressé les Tables numériques de ces deux
équations pour le cas (le plus fréquent dans les applications) où
G= 12000, Tables qui sont jointes au Mémoire dans lequel il pré-
conise l'emploi de la lemniscate ( ' ).

70. Solution simplifiée. Emploi de la parabole cubique (^). —
Comme, dans sa partie utile, la courbe de raccordement F s'éloigne
peu de l'axe des x^ on peut prendre aussi le rayon de courbure
inversement proportionnel à l'abscisse, au lieu du rayon vecteur. On
a alors l'équation différentielle

\'<m .

(*) Annales des Ponts et Chaussées^ a* semestre 1896, p. 383. Voici d'ailleurs la
correspondaoce des notations de ce Mémoire avec celles qui sont employées ici :

Notations Adam /, m, R, 9, u, R,, p, a.

Notations présentes a?, y y r, ©, Ç, i;, i\ — r, t,

(*) Cet emploi de la parabole cubique était proposé dès 1867 P^'' ^^* Nordling,
ingénieur en chef de la Compagnie d'Orléans {Annales des Ponts et Chaussées^
a* semestre 1867, p. 3i2).

CHAPITRE !▼. — THÉORIE GÉNÉRALE DES RACCORDEMENTS. l3l

Mais la tangente au point extrême de Tare employé faisant encore
avec Taxe des x un très petit angle (dans tous les cas, inférieur à lo**),
le carré de sa pente est négligeable auprès de l'unité, et Ton a une
solution très suffisamment approchée (^) 6n prenant

X d>y

ce qui, vu les conditions initiales, conduit à \^ parabole cubique

•^" 6G'

Si Ton prend l'abscisse x pour paramètre ^, il est facile de former
les équations du n^ 65 qui sont ici

a? = *,

<>
tang9=^,

(I)

(a)

(3)

(4)

(6*»«)

C / V- \i

D'après ce qui a déjà été vu plusieurs fois, suivant qu'on adopte le
raccordement à rayon ou à centre conservé, on doit tirer t de l'équa-
tion (4), ou de l'équation (6 bis),

M. de Leber ne s'est pas contenté de donner dans son Mémoire des
développements en série très rapidement convergents pour les valeurs
de t ainsi déterminées; il a encore dressé des Tables numériques

(^) L'intégration rigoureuse de l'équation ci-dessus (à l'échange près de l'abscisse
avec l'ordonnée) est donnée dans le Cours d'Analyse professé à VÉcole Poly-
technique, par M. G. Humbert (t. II, p. 3q3). Elle conduit à la courbe dite élas-
tique dont les coordonnées s'expriment en fonction elliptique d'un paramétre.

(') La rectification de l'arc de parabole cubique s'opère au moyen du développe-
ment en série

_ r / 2 G» 91 G< 285 C« 7475 C> \

*"" CV"^S r*"^ 144 /^"""aoS r«« "^ 2176 7^^'^'")

donné par M. de Leber. Geile de la lemniscate constitue, depuis les travaux de
Serret, un exemple classique d'application des intégrales elliptiques. Quant à celle
de la clothoTde, elle résulte simplement de la formule (0) du n* 68.

l32 PREMIÈRE PARTIE. ~ TOPOMÉTRIB.

fournlssanl immédiatement la valeur de t correspondant à une valeur
de r ou de 7| (*).

La figure 98 empruntée au Mémoire en question donne un exemple

Fig. 93.

de raccordement à deux cercles, avec emploi de la parabole cubique.
Un premier arc A M de courbe F ayant A-r pour tangente d'in-
flexion raccorde avec osculation cet alignement droit au cercle MN
de centre O. De même Tare A'M' de courbe F raccorde l'alignement
droit A'^' au cercle M'N' de centre O'. Enfin l'arc NN' de courbe F
(construit avec la tangente d'inflexion Si^Ti, obtenue en faisant
tourner Sj: autour de O de l'angle x défini par la formule (8) du
n° 67) raccorde entre eux, avec osculation, les arcs MN etM'N'.

(>) Les notations de M. de Leber sont les mêmes que celles de M. Adam (qui,
d'ailleurs, les lui avait empruntées) avec cette seule différence que l'ordonnée que
nous représentons ici par y, y est désignée par^'j au lieu de m.

C'est la quantité / de M. de Leber qui a été prise ci-dessus comme paramètre/.

CHAPITRK IV. — THÉORIK GÉNÉRALE DBS RACCORDEMENTS.

l33

TABLES

POrR L EMPLOI DE LA CLOTHOlDE DANS LES RACCORDEMENTS
A COURBURE PROGRESSIVE.

cos dt,et${t)=l sin dt.

t.

©(O-

«(O.

0,01

0,01000

0,00000

0,02

0,02000

0,00000

o,o3

o,o3ooo

0,00001

o,o4

0,03999

o,oooo3

OyOb

o,o5ooo

6,00007

0,06

0,06000

0,00011

0,07

0,07000

0,00018

0,08

, 08000

0,00027

0,09

0,09000

o,ooo38

0,10

0, lOOOO

o,ooo52

o,i5

o,i5oo

0,0018

0,30

o»»999

0,0042

o,a5

0,2498

0,0082

o,3o

0,2994

0,Ol/|l

0,35

0,3487

0,0224

0,40

0,3975

o,o334

0,45

0,4455

0,0474

o,5o

0,4923

0,0647

0,55

0.5377

0,0857

0.60

o,58ii

p,iio5

0,65

0,6220

0,1892

0,70

0,6597

0,1721

0,75

0,6935

0,2089

0,80

0,7230

0,2493

0,85

0,7469

0,2932

0,90

0,7648

0,3398

0,95

0,7760

0,3885

1,00

0.7799

0,4383

i34

PREMIÈRE PARTIE. ~ TOPOUÉTRIB.

II. — Table générale.

t.

X

v/c'

y

^

'h

s

?•

0,01

0,0177a

0,00000093

56,4i8948

56,4.8949

0,01772

0*. 0.32,4

0,02

0,03545

0,00000744

28,209Î74

28,209475

0,03545

0. 2. 9,6

o,o3

o,o53i7

0,000025

i8,8o632

i8,8o633

o,o53i7

0. 4.5i,6

o,o4

0,07090

0,000059

14,10474

14,10475

0,07090

0. 8.38,4

o,o5

0,0886a

0,000116

I I , 28379

11,28382

0,08862

o.i3.3o

0,06

o,io635

0,000-ioo

9,4o3i6

9,4o32i

o,io635

0.19.26,4

0,07

o,ia4o7

o,ooo3i8

8,05985

8,05993

0,12407

0.26.27,6

0,08

o,i4i8o

0,000475

7,05237

7,05249

o,i4i8o

0.34.33,6

0,09

o,i595a

0,000677

6,26877

6,26894

0,15952

0.43.44.4

0,10

0,17725

0,000928

5,64189

5,642.3

0,17725

0.54

o,i5

0,2659

o,oo32

3,7613

3,7621

0,2659

2. t.3o

O^AO

0,3543

0,0074

2,8209

2,8228

0,3545

3.36

0,25

o,44a8

0,0145

2,2568

2,2604

o,443i

5.37.30

o,3o

0,5307

0,025o

1,8806

1,8869

o,53i7

8. 6

0,35

0,6181

0,0397

1,6120

1,6219

0,6204

II. i.3o

0,40

0,7046

0,0592

i,4io5

1,4^54

0,7090

14.24

0,45

0,7896

o,o84o

1,2538

»»2749

o,797«

i8.i3.3o

o,5o

0,8726

0,1 147

1,1284

1,1572

0,8862

22. 3o

0,55

o,953i

o,i5i9

1,0258

i,o64i

0,9748

27.i3.3o

0,60

i,o3oo

0,1954

o,94o3

0,9898

i,o635

32. a4

o,65

1,1025

0,2465

0,8680

o,93o5

I,l52l

38. i.3o

0,70

1,1693

o,3o5o

0,8060

0,8838

1,2407

44. 6

0,75

1,2292

0,3703

0,7523

0,8475

1,3293

50.37.30

0,80

i,28i5

0,4419

0,7052

0,8198

1,4180

57.36

0,85

1,3238

0,5197

0,6638

o»7999

i,5o66

65. i.3o

0,90

1,3556

0,6009

0,6269

0,7866

1,5952

72.54

0,95

1,3754

0,6886

0,5939

0,779a

1,6838

8i.i3.3o

1,00

1,3823

o»77^9

0,5642

0,7769

1,77^5

90

CHAPITRE IV. — THÉORIE GÉNÉRALE DBS RACCORDEMENTS. l3^5

III. — G = 24000.

t.

X.

y-

r.

-n-

s.

0,01

2,7459

0,000144

8740,3880

8740,388.5

2,7459

0,0a

5,4918

0,001 i5o

4370,1940

4370,194,5

5,49,8

o,o3

8,a376

o,oo388a

a9i3,46a8

3913,4644

8,3376

0,04

10,9835

o,oo9aoa

a 185,097a

2185,1924

.0,9835

o,o5

«3,7i94

0,01797a

1748,0776

1748,0828

13,7294

0,06

.6,4752

o,o3io55

,456,73.3

,456,7392

,6,i753

0,07

19, "11

o,o493i6

ia48,6a68

,248,6394

19,3311

0,08

31,9670

0,07361a

109a, 5485

1093,5668

31,9670

0,09

a4,7ia9

0, 104812

97i,i54a

971,1808

34,7139

0,10

37,4587

0,143774

874,o388

874,0667

37,4587

0, i5

41,1880

0,4943

58a, 6935

583, 823 1

41,188,

o,ao

54,8900

1,1533

437,0,94

437,3080

54,9175

o^aS

68,59ao

a,a5i6

349, 61 56

35o,i843

68,6469

o,3o

8a,aii6

3,8717

291,3463

393,3,31

83,3763

0,35

95,7488

6,i5o8

349,7354

35., 3468

96,1056

0,40

109,1484

9»>7"2

218,5097

330,8.63

io9,835o

0,45

iaa,3a88

i3,oi54

194,3308

i97,5o36

133,5643

o,5o

135,179a

,7.7658

174,8078

179,3673

,37,3937

0,55

147,6456

a3,532,

158,9162

,64,8430

i5i,033i

0,60

i59,â6a8

30,3419

145,6781

153,3379

,64,7535

o,65

170,7934

38,195.

134,4675

«44,1584

178,48,8

0,70

i8i,i45a

47,a565

134,8637

.36,9336

,93,3113

0,75

190,4264

57,36i3

116.5385

,31,3936

3o5,94o6

0,80

i98,5a68

68,4547

109,3549

126,9964

319,6700

0,85

ao5,o89a

80,5091

102,828,

133,9354

233,3993

0,90

310, 0044

93,3o48

97»i'54

i3,,86o5

347,1287

0,95

ai 3, 0800

106,677a

92,004,

120,7139

36o,858i

1,00

ai4,i5o8

iao,35i7

87,4039

i3o,35i7

275,5874

i36

PREMIERE PARTIE. — TOPOMETRIE.

IV. — G = l'JLOOO.

i.

X.

r-

r.

Tj.

s.

OfOl

1,94*6

0,000102

6180,3872

6180,3873

1,94 16

0,02

3,8833

o,ooo8i3

3090,1936

3090,1937

3,8833

o,o3

5, 82^19

0,002745

2060 , 1 292

2060, i3o4

5,8249

o,o4

7,7665

o,oo65o6

1545,0968

1545,0986

7,7665

o,o5

9,708.

0,013708

1236,0776

1236, 0811

9,708,

Of06

If, 6498

0,021959

io3o,o6'|5

1030,0701

11,6498

0,07

13,5914

0,034870

882,9125

882,9214

13,5914

0,08

i5,533o

o,o52o52

772,5484

772,56i4

i5,533o

0,09

17,4746

0,074112

686,7097

686,7285

17,4746

0,10

19,4x63

0,101664

6i8,o388

618,0642

i9,4i63

o,i5

29,l24'^

0,3495

4l2,0258

412,1182

29,1244

0,20

38,8i3a

o,8i55

309,0194

309,2234

38,8325

0,25

48,5o2o

1,5921

247,2155

247,6176

48,5406

o,3o

58,i3a4

2,7377

206,0129

206,6959

58,2488

0,35

67,7044

4,3492

176,5825

177,6724

67,9569

o,4o

77. «796

6,485o

i54,5o97

i56,i4o6

77,665o

0,45

86,4996

9,2o33

137,3420

139, 6562

87,3732

o,5o

95,5864

12,5626

123,6078

1^6,7610

97,o8i3

0,55

io4,4oi2

16,6397

112,3707

ii6,56i6

106,7895

0,60

ii2,8a8o

2i,455o

io3,oo65

108,4262

116,4976

0,65

120,7693

27,0080

95,0829

101,9394

126,2007

0,70

128,0892

33,4i54

88,2913

96,8196

i35,9i38

0,75

I 34, 6520

4o,56o6

82,4o3i

92,8379

145,6220

0,80

140,3796

48,4o47

77,2548

89,8000

ii>5,33oi

0,85

145,0200

56,9285

72,7104

87,6286

i65,o382

0,90

148,4956

65,9765

68,6710

86,1684

174,7464

0,95

150,6704

75,4322

65,0567

85,3569

184,4545

t. 00

151,4276

83, ioi5

61,8039

85,ioi5

194,1626

CHAPITRE IV. — THÉORIE GÉNÉRALE DBS RACCORDEMENTS.

i37

V. - C = 6ooo.

t.

X.

y-

r.

T|-

s.

0,01

'»3729

0,000072

4370,1940

4370,19407

î,37a9

O,0î

2» 7459

0,000575

2185,0970

2185,09707

2,7459

o,o3

4,1188

0,001941

1456.7314

,456,7322

4,1188

o,o4

5,49'8

0,004601

1092,5486

1092,5496

5,49'8

o,o5

6,8647

0,008986

874,0388

874,0414

6,8647

0,06

8,2376

0, 015528

728,3657

728,3696

8,2376

0,07

9,6106

0, 024658

624,3134

624,:<,97

9,6106

0,08

10,9835

o,o3<>8o6

546,2743

546,2834

10,9835

0,09

12,3564

o,o524o6

485,577,

485,5qo4

12,3564

0,10

l3.72y4

0,071887

437,0194

437,0334

13,7294

o,i5

20,5940

0,2471

291 ,3463

291,4115

20,5941

0,20

27,4450

0,5766

218,5097

218,6540

27,4587

o,a5

34,2960

1,1258

174,8078

175,0921

34,3234

o,3o

4i,io58

1,9358

145,6731

i46,i56o

41,1881

0,35

47.8744

3,0754

124,8627

125,6234

48,o528

o,4o

54,5742

4,5856

109,2549

110,4081

54,9175

0,45

61,1644

6,5077

97,ii54

98,7518

61,782a

o,5o

67,5896

8,8829

87,4039

89,6336

68,6469

0,55

73,8228

11,7661

79,4581

82,4215

75,5ii5

0,60

79»78i4

i5, 1710

72,8366

76,6689

82,3762

o,65

85,3967

»9,0976

67,2338

72,0792

89,2409

0,70

90,5726

23,6283

62,4313

68,4618

96,io56

0,75

95,2i32

28,6807

58,2692

65,6463

,02,9703

0,80

99,2634

34,2273

54,6274

63,4982

io9,835o

o,85

102,5446

40,2545

5i,4i4o

61,9627

"6,6997

0,90

I05,0022

46,6524

48,5577

6o,93o3

123,5643

0,9^

106,5400

53,3386

46,0020

60, 3564

130,4290

1,00

107,0754

60,1758

43,70,9

60,1758

137,2937

i38

PREMIÈRE PARTIE. — TOPOMÉTRIK.

VI.- C = 3ooo.

t.

X.

y-

r.

T».

s.

0,01

0,9708

o,oooo5i

3090, 1936

3090,19365

0,9708

0,02

1,9416

0,000407

1545,0968

1545,09685

i,94>6

o,o3

2,9ia4

0,001372

io3o,o646

. io3o,o652

2,9124

o,o4

3,8833

o,oo3253

77^,5484

772,5493

3,8833

o,o5

4,854i

0,006354

6i8,o388

6i8,o4o6

4,854.

0,06

5,8a49

0,010980

5i5,o323

5i5,o35o

5,8249

0,07

6,7957

0,017435

44i,4563

441,4607

6,7957

0,08

7.7665

0,026026

386,2742

386,2807

7,7665

0,09

8,7373

o,o37o56

343,3549

343,3643

8,7373

0,10

9.7«8i

o,o5o832

309,0194

3o9,o32i

9,7081

o,i5

14,5622

0,1747

206,0129

206,0591

14, 5622

o,ao

19,4066

0,4077

I 54, 5097

154,6117

i9,4i63

0,25

24,25lO

0,7961

123,6078

123,8088

24,2703

o,3o

29,0662

1,3688

io3,oo65

103,3479

29,1244

0,35

33,8522

2,1746

88,2913

88,8362

33,9785

o,4o

38,5898

3,2425

77,2548

78,0703

38,8325

0,45

43,2498

4,6017

68,6710

69,8281

43,6866

o,5o

47,793a

6,28x3

61,8039

63,38o5

48.5407

0,55

52,2006

8,3199

56,i853

58, 2808

53,3947

0,60

56.4i4o

10,7275

5i,5o32

54,2i3i

58,2488

0,65

60, 3846

i3,5o4o

47,54i4

50,9697

63,1029

0,70

64,o446

16,7077

44, '456

48,4098

67,9569

0,75

67,3260

20,28o3

41,2026

46,4190

72,8110

0,80

70,1898

24,2024

38,6274

44,9000

77,665.

0,85

72,5100

28,4643

36,3552

43,8143

82,5191

0,90

74,2478

32,9882

34,3355

43,o84î»

87,3732

0,95

75,3352

37,7161

32,5a84

42,6784

92,2273

1,00

75,7i38

42,5507

30,9019

42,5507

97,o8i3

CHAPITHS IV. ~ THEORIE GENERALE DBS RACCORDEMENTS.

l39

VII. — C=i5oo.

t.

X,

• r-

r.

•^'

8.

0,01

0,6865

o,oooo36

2185,0970

2185,09704

0,6865

o,oa

1,3739

0,000288

1093,5485

1092,54854

',3739

o,o3

a, 0594

0,000970

728,3657

728,3661

3,0594

o,o4

- 3,7459

o,oo23oo

546,2743

546.2748

3,7459

o,o5

3,4323

0,004493

437,0194

437,0207

3,4323

0,06

4,1188

0,007764

364,1828

364,1848

4,1188

0,07

4,8o53

0,012329

3i2,i567

3i2,i599

4,8o53

0,08

5,4917

o,oi84o3

273,1372

273,1417

5,49'7

0,09

6,1783

o,o26ao3

342,7886

242,7952

6,1782

0|I0

6,8647

0,035943

218,5097

218,5167

6,8647

o,i5

10,2970

0,1336

.45,6731

i45,7o58

10,2970

o,ao

i3,7325

0,2883

109,25/19

109,3270

13,7294

0,20

17,1480

0,5629

87,4039

87,5460

17,1617

o,3o

20,5529

0,9679

72,8366

73,0780

20,5941

0,35

23,9372

1,5377

62,43i3

62,8167

24,0264

o,4o

27,2871

2,2928

54,6274

55,2o4o

27,4588

0,45

3o,5822

3,2539

48,5577

49*3759

30,8911

o,5o

33,7948

4,44i5

43,7019

44,8168

34,3234

0,55

36,9.i4

5, 8830

39,7390

41,2108

37,7558

0,60

39,8907

7,5855

36,4i83

38,3345

4i,i88i

o,65

43,6984

9,5488

33,6169

36,0396

44,6205

0,70

45,2863

ii,8i4i

3i,2i57 '

34,2309

48,0528

0,75

47,6066

i4,34o3

29,1346

32,8232

5i,4852

0,80

49, 63 17

17,1137

27,3i37

31,7491

54,9»75

0,85

51,2723

20,1273

25,7070

30,9814

58,3498

0,90

52,5oii

23,3262

24,2789

3o,465i

61,7822

0,95

53 2700

26,6693

23,0010

30,1782

65, 2145

1,00

53,5377

30,0879

2i,85io

30,0879

68,6469

i4o

PREMIERE PARTIE. — TOPOMBTRIB.

Vni. - C = 75o.

t.

a?.

y-

r.

7i.

s.

0,01

0/4854

0,000025

1545,0968

1545,09683

o,',854

0,02

0,9708

0,0O02o3

772,5484

77λ» 54843

0,9708

o,o3

i,456a

0,000686

5i5,o323

5i5,o326

I .4562

o,o4

1,94 16

0,001627

386.2742

386,2746

. 1,9416

o,o5

3,4270

o,oo3i77

309,0194

3o9,o2o3

2,4270

0,06

2,9124

0,005490

257,5162

257,5175

a,9«24

0,07

3,3978

0,008718

220,7281

220,7304

3,3978

0,08

3,8833

o,oi3oi3

193,1371

i93,f4o4

3,8833

0,09

4,3687

0,01 8528

171,6774

171,6821

4,3687

OflO

4,854i

0,025416

154,5097

i54,5i6i

4,854i

o.i5

7,2811

0,0874

to3,oo65

103,0296

7,2811

o^ao

9t7o33

0,2039

77,2548

77,3o59

9,7081

o,a5

12,1255

0,3980

61,8039

61,9044

I2,l352

o,3o

i4,533i

o,6844

5i,5o32

51,6740

l4,5622

0,35

16,9261

1,0873

44' 14^6

44,4»8i

16,9892

0,40

19.^949

i,62i3

38,6274

39,o35i

19,4163

0,45

21,6249

2 ,3oo8

34,3355

34,9140

21,8433

o,5o

23,8966

3,1407

30,9019

31,6903

24,2703

0,55

26,ioo3

1»»^99

28,0927

29,1404

26,6974

0,60

28,2070

5,3637

25,75»6

27,1066

29,1244

0,65

30.1923

6,7520

23,7702

^5,4849

3i,55i4

0,70

32,0223

8,3538

22,0728

24,2049

33,9785

0,75

33,663o

10,1401

2o,6oi3

23,2095

36,4o55

0,80

35,0949

12,1012

i9,3i37

22 , 45oo

38,8325

o,85

36,2550

l4,2321

18,1776

21,9071

41,2596

0,90

37,1239

16,4941

«7» «677

21,5421

43,6866

0,95

37,6676

i8,858o

16,2642

21,3392

46,ii36

1,00

37,8569

21,2754

15,45.0

21,2754

48,5407

SECONDE PARTIE.

CUBATURE DES TERRASSES.

CHAPITRE V.

CUBATURE PROPREMENT DITE.

I. — Éyaluation des volumes et surfaces des terrasses.

71. Définition d\ine terrasse, — L'axe d'une roule, ou d'une
voie ferrée, est complètement défini par le projet de cette voie qui
fait connaître la projection horizontale de cet axe ainsi que son profil
en long.

En chaque point de cet axe, la largeur de la plateforme (sur laquelle
doit être établie la chaussée, s'il s'agit d'une route, la voie proprement
dite, s'il s'agit d'un chemin de fer) est définie par une ligne AB hori-
zontale de largeur connue, normale à l'axe, sur lequel doit se trouver
son milieu {fi g- 94)-

Dans le plan vertical mené par AB, on donne enfin les lignes de
talus qui limitent latéralement soit le remblai, soit le déblai, le profil
comprenant, en outre, dans ce second cas, la section d'un fossé dont
la largeur s'ajoute à celle de la plateforme.

Suivant la disposition de la ligne du terrain naturel par rapport à
la ligne de la plateforme on a l'un ou l'autre des types représentés
sur la figure 94, les deux premiers étant dits ordinaires et le
troisième mixte.

Le volume engendré par le profil en travers ainsi défini, lorsqu'on

l42 SECONDE PARTIE. — GUBATURE DES TERRASSES.

se déplace le long de Taxe de la voie considérée, constitue ce qu'on
appelle une terrasse.

La projection horizontale de la surface engendrée par la ligne CD
du terrain naturel est dite la surface d emprise.

Fig. 94.

Les surfaces engendrées par les lignes de talus sont les ^wr/bcé^^rf^
talus.

Le premier objet de la Cubature des terrasses consiste dans l'éva-
luation : 1° du volume des terrasses soit en remblai, soit en déblai,
qui se rencontrent sur toute la longueur de la voie à construire, 2® des
surfaces d'emprise et de talus.

Remarque. — On donne une valeur constante aux pentes des lignes de
talus de remblai ou de déblai dans les divers profils. Cette pente est égale à

Fig. 95.

celle du remblai ou du déblai lui-méme| si Taxe de la voie est horizontal.
Il en diffère un peu si Taxe est incliné.

Il est facile de calculer la différence. Faisons une projection verticale sur le
plan qui contient l'arête (a6, a! h') de la plateforme {fig. 96 ). La ligne de

CHAPITRE V. — CUBATURB PROPREMENT DITE. l43

talus du profil en travers, en (6, b'), se projette suivant (bc, b'c'\ ac étant la
trace du remblai sur le plan horizontal passant par (a, a').
La pente de la ligne de talus est donnée par

b'c
P =

celle du remblai lui-même, par

p=-b^

bd étant la hauteur du triangle rectangle abc.
Or, dans ce triangle rectangle, on a

I _ I I

bd ab bc

Si donc/)' est la pente de l'arête (a6, a'b'), il vient

ou

P« — />« = />'».

Comme/?' est toujours très petit, on peut, sans erreur sensible, écrire

2/?

Prenons, pour fixer les idées, /?' = 0,02, /> = 1. Il vient alors

P — p = 0,0002.

Un écart de 0,0002 par rapport à l'unité est pratiquement négligeable. Aussi
peut-on sans inconvénient confondre, comme on est dans l'habitude de le
faire, la pente des lignes de talus de tous les profils en travers avec la pente
même du remblai ou du déblai correspondant.

72. Volume cTune terrasse. — Admettons d'abord, pour sim-
plifier le langage, qu'il s'agisse d'une terrasse toute en remblai. Si
nous appelons R la surface du profil en travers, / la distance hori-
zontale de ce profil à l'origine, comptée parallèlement à la projection
de l'axe, que nous supposons rectiligne^ l'élément de volume de
terrasse, correspondant à ce profil, sera donné par

dW^^dl,
et le volume total s'obtiendra au mojen de l'intégrale

V = r R dl,

[44 SECONDE PARTIE. — CUBATURE DBS TERRASSES.

étendue à loute la longueur de la terrasse. Or, la surface du terrain
n'étant pas définie géométriquement, il n'est pas possible d'ex-
primer R en fonction de /, ni, par suite, de calculer rigoureusement
l'intégrale précédente. Pour en avoir une expression approchée, ima-
ginons que, normalement à la projection horizontale de l'axe, nous
portions, en chacun de ses points, une ordonnée égale à la valeur cor-
respondante de R. L'extrémité de cette ordonnée décrira une ligne (R),
et l'on voit que le volume V aura même expression que l'aire limitée
par cette ligne (R) avec l'axe et les deux ordonnées extrêmes.

Or, si l'on ne peut obtenir une suite continue d'ordonnées R, on
peut, tout au moins, évaluer ces ordonnées pour une série de profils
suffisamment rapprochés pour que le polygone défini par leurs extré-
mités diffère peu de la ligne (R) dans laquelle il se trouve inscrit.

D'ailleurs, l'aire de ce polygone s'exprime, d'une manière générale,
par

Y _"V^ (R/t-l-i- R/t) Ig-i

ln-\ étant la distance des ordonnées R/i_i et R,,; telle sera donc aussi
l'expression approchée du volume cherché.

Désignant par les indices R et D les volumes respectifs du remblai
et du déblai, on aura par suite

\T V^ (Ç« i-H- R/») ^/l-l

^«^=2- 1

y ^V (P/i-l-t-D«) In-i

les signes S s'étendant à toute la longueur du tracé. Ces expressions
peuvent tout aussi bien s'écrire

Vr=2r« —

ln-\-^ln

1

La longueur -^^^ est dite la longueur applicable au profil

d'indice n. En pratique, on prend, autant que faire se peut, les dis-
tances /„ égales entre elles et à un nombre rond, loo™ par exemple,

parce qu'alors -^^ -= loo*", et les formules prennent la forme

CHAPITRE V. — CIBATURE PROPRKMENT UITR. 1^5

très simplifiée

Vr = ioo2R/., Vn = ioo2l>«-

En tout cas, si des circonstahces particulières obligent à donner à
certains intervalles /« une longueur différente de celle qui est admise
dans l'ensemble, on arrête toujours cette longueur à une valeur ronde
(5o™, 60"*, 70'", .. .) de façon à réduire la multiplication par Taire du
profil à une opération mentale immédiate.

Il n'y a, dans ce qui précède, qu'à remplacer les surfaces de remblai
ou de déblai par les largeurs d'emprise E,, ou les longueurs de
talus T;, pour avoir les expressions des surfaces totales d'emprise ou
de talus

<3) ^,=."^7, /"-'^^" .

73. Figuration géométrique. Points de passage. — Effectuons
la construction qui vient de nous servir à obtenir l'expression des
volumes de remblai et de déblai, en mettant en évidence à la fois,
dans chaque profil, et le remblai et le déblai. Pour cela, nous con-
viendrons de porter au-dessus de l'axe les ordonnées représentant deë
surfaces de déblai^ au-dessous celles représentant des surfaces de
remblai {Jig- 96), de façon que les aires figurant le remblai (indiqué

Fig. 96.

par un pointillé) et le déblai (indiqué par des hachures) soient
disposées par rapport à l'axe comme les terrasses correspondantes par
rapport à la plateforme.

Dans l'intervalle des profils ordinaires de même nom, comme entre
1 et 4 où ils sont tous en déblai, ou entre 5 et 7 où ils sont tous en
remblai, il n'y a pas de difficulté : on joint par une ligne polygonale
les extrémités de toutes les ordonnées constiuites. Point de difficulté
non plus pour les séries de profils mixtes, comme entre -j et 10 : on
D*0. 10

l46 SECONDE PARTIE. — CUBATURE DES TERRASSES.

joint par une ligne polygonale d'une part les extrémités des ordonnées
représentant les surfaces de remblai, de l'autre celles des ordonnées
représentant les surfaces de déblai.

Mais, entre un profil tout en déblai et un profil tout en remblai,
comme c'est le cas pour 4 et 5, il faut nécessairement intercaler un
profil 4 bis où a lieu le passage du déblai au remblai. Ce point de
passage s'obtient sur l'axe en tirant une droite entre les extrémités
des deux ordonnées de sens contraire contiguës.

11 divise la distance /.» des points 4 et 5 dans le rapport de D^ à Rj,
et l'on a, pour les distances respectives T^ et l\ du point 4 bis respec-
tivement aux points 4 et 5

^4 - ^ n ^ D ' ^ - '*

Dès lors, la longueur applicable au profil D^ est -^ -* , celle appli-

/» <_ l
cable au profil R5, -^ — -> Tout revient donc à introduire dans la série

des profils en travers utilisés pour la cubature un profil fictif d'aire
nulle en chaque point de passage, la longueur des talus d'un tel
profil étant également nulle, et sa largeur d'emprise égale à la largeur
de la plateforme.

Moyennant cette introduction, l'usage des formules (1), (2) et (3)
du numéro précédent peut être considéré comme absolument général.

L'évaluation des cubes étant réduite à celle des aires définies par la
figure 96 pourra s'obtenir à l'aide des planimètres ou intégromètres
dont il sera question plus loin. Il y a lieu toutefois de tenir compte
des échelles adoptées pour les abscisses et les ordonnées. Supposons
que sur l'axe des abscisses le mètre soit représenté par X"" et qu'en
ordonnée le mètre carré soit représenté par ix™" ; chaque volume
exprimé en mètres cubes sera alors égal au quotient par â|x de la
surface correspondante mesurée en millimètres carrés sur la figure 96.

74-. Parties courbes. — Nous avons raisonné jusqu'ici en supposant
la projection horizontale de l'axe uniquement rectiligne. Or cette pro-
jection se compose en réalité d'une suite d'alignements droits rac-
cordés par des parties courbes. Y a-t-il lieu, dans ces parties courbes,
de modifier le mode d'évaluation qui vient d'être indiqué pour les
volumes?

Considérons deux profils en travers infiniment voisins, normaux à

CIIAPITRK V. — GUBATURR PROHREAIËNT DITE. l47

l'axe. Ils se coupent suivant une droite verticale A. Soit, pour un de
ces profils, r la distance horizontale de la droite A à l'axe, c'est-à-dire
le rayon de courbure de la projection horizontale de cet axe, 8 la dis-
tance horizontale du centre de gravité du profil à l'axe. Le volume
élémentaire compris entre les deux profils infiniment voisins (supposés
en remblai pour fixer les idées) sera donné par

dix} étant l'angle infiniment petit des deux profils, et 8 étant afl'ecté du
signe 4- ou du signe — suivant que le centre de gravité est du côté
de la convexité ou de la concavité de Taxe.

Cette expression peut s'écrire, si l'on appelle toujours dl la dis-
tance des deux profils comptée sur l'axe,

dV ^Kdl±Kldia,

Si la ligne du terrain naturel est horizontale, 8 est nul et l'élément
de volume est rigoureusement le même qu'au n" 72. En tout cas, dans
la pratique, 8 est généralement assez petit pour que le terme correctif
soit négligeable. D'ailleurs, sur toute la longueur du tracé, on ren-
contre des parties où il est positif (celles où le terrain monte vers
l'intérieur de la courbe), d'autres où il est négatif (celles où le terrain
descend vers l'intérieur de la courbe), et il en résulte une certaine
compensation.

Quoi qu'il en soit, l'expérience a prouvé qu'il n'y avait nul incon-
vénient, pour l'estimation du cube, à ne pas tenir compte des termes
correctifs à introduire pour les parties courbes et, par suite, à faire
cette estimation en considérant l'axe comme rectlligne en plan sur
toute son étendue.

Il n'y a donc, après avoir déterminé les points de passage comme il
a été dit au n" 73, qu'à appliquer les formules du n° 72 qui supposent
qu'on a d'abord obtenu, pour chaque profil en travers, les aires R et D
de remblai et de déblai, la largeur d'emprise E et la longueur du
talus T. C'est à cette recherche que nous allons maintenant procéder.

II. — Évaluation des éléments des profils en travers.

Nous allons passer en revue les divers procédés proposés pour cette
évaluation. Ceux des deux premières catégories supposant qu'on opère
sur le dessin même des profils en travers, on y mesure directement la

l48 SECONDE PARTIE. — Cl'BATlJRK lïES TERIUi^SKS.

largeur d'emprise et la longueur du talus. Seule, Taire doit faire
robjet d'une détermination spéciale.

D'ailleurs, l'échelle adoptée pour le dessin des profils étant celle
de 5"'" par mètre, la largeur d'emprise et la longueur du talus se
mesureront au moyen du double décimètre, le. double du nombre de
centimètres lu donnant le nombre de mètres.

A. — Procèdes mécanioues.

7o. Houlette Dupait, — On place, sur le dessin du profil, un trans-
parent portant des parallèles équidistantes de 5"", perpendiculaires à
un axe que l'on fait coïncider avec la ligne de plateforme (/?^. 97).

^'^^î• 97-

SijKo JKa? JKs? • • • '^*^^^ ^^ millimètres les segments déterminés sur ces
diverses parallèles par le contour du profil, on a, pour la surface
évaluée en millimètres carrés, sur le dessin.

^^r^yj^yjL^^^

y-

Or, à l'échelle de ce dessin (5"'"* par mètre), i'"' est représenté

Fig. 98.

s:

par a5"""'. La surface du profil en mètres carrés est donc donnée par
Donc l'aire cherchée en mètres carrés est donnée par le cinquième

tHAPlTRK V. — CUB\TURR PROPflKMENT DITE. l49

de la somme des ordonnées y exprimées en millimètres. Celte somme
s'obtient au moyen d'un curvimètre quelconque et notamment de la
roulette Dupuit représentée ci-contre {^fig- 98), dont la circonfé-
rence, longue de 10^'", est ^aduée en millimètres, les tours complets
de cette roulette A étant enregistrés par le compteur B porté par le
mêmeëtrier que la roulette. Si, après avoir suivi toutes les ordonnées^
avec la roulette primitivement mise au zéro, on lit 3 sur le compteur
et 6a sur la roulette, en face de l'index a, on a

76. Planimètre et intégromèires, — Ces instruments sont tels que,
si l'on parcourt avec un traçoir qui leur est fixé le contour d'une
aire fermée, un enregistreur fixé à l'appareil fait connaître cette aire.

Le planimètre d'Amsler se compose de deux tiges OA et AB arti-
culées en A portant en leurs extrémités l'une une pointe O que l'on
fixe sur le plan, l'autre le traçoir B {Jig* 99). En outre, à la tige AB

f «g. 99-

est fixée une roulette R tournant dans un plan perpendiculaire à cette
tige sur le plan qui contient le contour v, roulette dont les tours et
fractions de tour sont enregistrés par un compteur spécial.

Considérons deux positions infiniment voisines OAB, OA'B' du
système, et menons A'B" égal et parallèle à AB. L'aire BB'B" étant
infiniment petite du second ordre, on a, en appelant d(j la difl'éren-

l5o SECONDE PARTIE. — CUBATURK DES TERRASSES.

tielle substituée à Taire infiniment petite ABB'A'

/«
d<i = Idh H doL.

l désignant la longueur A.B, dh la distance des parallèles AB et A'B^

rfarangleB"A'B'.

Si maintenant rfp est la longueur du roulement de la roulette

de R en R', on a

dçi = dh -h'kd^y

), étant la longueur AR.

Éliminant dh entre ces deux équations, on a

da = ldp^ /^—xArfa,

et, en intégrant pour tout le contour y,

a = /p^^^ ^\/\ Ç dx.

Or, si le point A est constamment extérieur au contour y, Finté-
rfa est nulle, et

a = /p.

grale /

L'aire est donc proportionnelle à p, et en graduant convenablement
le compteur on lira directement t.

Remarquons que si le point A décrit, aller et retour, un élément
de ligne quelconque, extérieur à y, lorsque le traçoir décrit tout le
contour y, le résultat précédent subsiste. En particulier, on pourra
faire décrire au point A un segment de droite. Tel est le cas pour
rintégromètre, imaginé séparément par M. Amsler et par M. Marcel
Deprez, dont le principe peut encore être exposé comme suit : deui
tiges AB et AC étant articulées en A {Jig. loo), la tige AC reste fixée
perpendiculairement à un chariot C astreint à parcourir une parallèle
à Oj: de façon que le point A se déplace sur 0;r, tandis que la
tige AB porte un traçoir B avec lequel on suit le contour v et une
roulette R tournant dans un plan normal à AB, et dont le roulement
est enregistré.

Pour passer de la position AB à la position infiniment voisine A'B',
la tige AB peut être amenée par une translation parallèle à Oa?, en A'^B";
il suffit ensuite d'amener A" en A' pendant que B" vient en B'. Dans

CHAPITRIS V. — CUBATURE PROPREMENT DITE.

l5l

ces deux déplacements la roue R a un roulement élémentaire. Mais,
lorsqu'en parcourant le contour y, le traçoir repassera du point S^ au
point B,, situés respectivement sur les parallèles à Ox menées par B'
et par B, les positions A'^ B', et A'B'J de la tige étant respectivement
parallèles à A'B' et A"B", le roulement correspondant au mouve-

ment de B parallèle à Oy sera égal et de sens contraire au roule-
ment analogue dans le passage de B' en B'. Donc, dans le parcours
total, les roulements élémentaires correspondant aux déplacements
parallèles à Ojr s^annulent et il n'y a lieu de considérer que ceux qui
correspondent aux déplacements parallèles à Ox. Le roulement
correspondant au déplacement parallèle à Ox dans le passage de B
en B' est donné par la distance dh de AB et A^B".
Donc

dp = dh = da; sina,
ou, en posant AB == /,

Par suite

dp =z dx^»

'=\J^ydx.

et l'aire o* est bien encore proportionnelle à p. Il suffit donc que le
compteur du roulement de la roulette soit convenablement gradué
pour qu'il donne directement <t.

77. Évaluation des moments. — Nous ne quitterons par ce sujet
sans remarquer qu'une légère modification de l'intégromètre permet
de lui faire enregistrer le moment de l'aire <t par rapport k Ox,

i^> SECONOK PARTIK. — CUBATURB DES TERRASSES.

Supposons que la roulette R soit liée à un système d'engrenages
planétaires, fixé à la tige AR et tel que l'axe RT de la roulette fasse
avec la direction de O^ un angle ^ {Jig- loi ) donné par

Le roulement élémentaire dp sera alors donné par RR« tel que
]V'Ri soit perpendiculaire à RR4, c'est-à-dire par

dp = dr sin ^

= dx COSJLOL

= — (I — 1 sin* a ) dar.
Alors

p = — / uar -h 2 / — dx.

La première intégrale est évidemment nulle pour le contour entier.

Fig. 101.

En outre, si [jl est le moment de or par rapport à O^,

/y^da;
Donc

^ /* '

et jji est proportionnel à la nouvelle \aleur de p.

Afin que l'intégromètre puisse servir tantôt au calcul de <t, tantôt à
celui de |ji, la roulette R est tenue par un étrier qu'on peut, au moyen
de vis ad hoc, fixer, soit à la tige AB, soit à l'engrenage planétaire
établissant entre les angles a et ^ la relation voulue.

CHAPITRE V. — CUBATURK PROPREMENT DITEt l53

B. — Procédés géométriques.

Dans les procédés qui suivent, on opère par demi-profils, la ligne
du terrain naturel étant d'ailleurs assimilée à une droite que défi-
nissent sa pente et la cote sur l'axe, appelée aussi, dans l'usage tech-
nique, la cote rouge.

78. Réduction à un segment de droite. Procédés Garceau et
Collignon, — Soit à évaluer le demi-profil OBDH. Menant par D la

parallèle DI à BH, on obtient le triangle OBI équivalent {Jig, 102).
L'aire de ce triangle est donnée en mètres carrés par

^ OB X 01

o = *

2

OB et 01 étant évalués en mètres. Soit b la longueur en mètres de OB
sur le terrain, Z la longueur en millimètres de 01 sur le dessin, (jl la
longueur en millimètres du mètre sur le dessin, on a

Supposons donc que l'on mesure 01 avec une règle graduée sur

laquelle l'unité de longueur comprenne -^ millimètres. Le chiffre lu

sur cette règle sera alors précisément égal à S. Par exemple, si 6 = 5™
et [JL == 5"", l'unité de longueur de la règle devra être de 2"*™. Ce pro-
cédé est dû à M. Garceau, ingénieur des ponts et chaussées.

l54 SECONDE PARTIE. — CUBATURB DES TERRASSES.

On peut, comme on va voir, y rattacher. le suivant qui a été déduit,
par M. rinspecteur général CoUignon, d'un théorème qu'on trouvera
plus loin (n° 94).

Prenons la figure homothétique de OID par rapport au point B, le
rapport d'homothétie étant |. A la droite 01 correspond la perpendi-
culaire MK élevée à OB en son milieu M, à la droite DI la parallèle
qui lui est menée par le milieu P de BD, ou, puisque DI est parallèle
à BH, la droite joignant le milieu P de BD au milieu N de HD. Cette

droite coupe la première au point K et l'on a MK = — > d'où, en appe-
lant Z' la longueur en millimètres de MK :

Il suffit alors de mesurer MK avec une règle graduée sur laquelle

l'unité de longueur est^- Par exemple, dans l'exemple précédent,

pour lequel [jl = 5 et 6=5, il suffirait de mesurer MK en milli-
mètres.

79. Procédé Willotte {'), — Soit ZOBT le gabarit d'un demi-
profil de remblai {fig- io3). Pour compléter chaque demi-profil, il

Fig. io3.

faudrait, sur ce gabarit, tracer la ligne HD du terrain naturel.

Si l'aire OBDH = R reste constante, il en est de même de l'aire IHD,

(') Annales des Ponts et Chaussées, 2' semestre i88o, p. 3o3.

CHAPITRE V. — CUBATURB PROPREMENT DITE.

l55

et, par suite, la ligne HD a pour enveloppe une hyperbole d'asymp-
totes IZ et IT. Supposons tracées un certain norahre de ces hyper-
boles cotées au moyen de la valeur correspondante de R. L'aire cher-
chée pour chaque demi-profil sera alors donnée par la cote de celle
de ces courbes à laquelle sera tangente la ligne de terrain HD corres-
pondante. Il sera d'ailleurs inutile de tracer cette ligne si l'on a
construit sur un transparent un rapporteur de centre O' gradué sur le
bord U'V suivant les tangentes des angles 6. Ayant placé le centre O'
en coïncidence avec le point H de OZ dont la cote z est celle du
demi-profil considéré, on n'a qu'à amener le point coté 8 du rappor-
teur sur OZ pour que le bord O'X' prenne la direction de HD. La
cote de l'hyperbole à laquelle ce bord O'X' est alors tangent fait
connaître l'aire cherchée.

Quant à la largeur d'emprise E et à la longueur du talus T, elles
ne dépendent que de la position du point D sur BT. Si l'on suppose
les valeurs de ces quantités inscrites à côté de chaque point D, il en
résulte le long de BT deux graduations, l'une pour E, l'autre pourT,
portées de part et d'autre de cet axe. Les cotes des points de ces gra-
duations par lesquels passe CVX' font alors connaître E et T.

La même disposition peut s'appliquer au déblai, et encore à cha-
cune des parties d'un profil mixte.

C. — Procédé algébrique

80. Formules préliminaires. — Cherchons les coordonnées e et A
du point de rencontre D des droites BD et HD (fig- io4) dont les

Fig. io4.

coefficients angulaires sont respectivement /n et 6 et qui ont, par
conséquent, pour équations :

(BD) y=m(x — b),

(HD) jr = z-h^X.

l56 SECONDE PARTIE. — CUBATUHE DES TERRASSES.

On a, en retranchant,

j:(m — 6) = m6-+-«,

d'oii, puisque au point commun, j: = e,

, . mb -h z

puis, d'après l'équation de BD,

('jt) h = m{t — b).

On déduit de là, pour la longueur X de BD,

1 — ^ — ^
"" cosB

ou

(3) ^ = /i-hm«(E— 6).
L'ordonnée à l'origine HD est donnée par

(4) 370 = — -Q-

81. Déjinition des divers demi-profils. Calcul de leurs élé-
ments. — Il n'y a lieu, au point de vue pratique, de considérer que
quatre types de demi-profil {fig* io5).

Ces divers demi-profils sont définis par les constantes suivantes :

b, largeur de la demi-plateforme,

b' j la même augmentée de la largeur du fossé,

t, pente du talus de remblai, prise en valeur absolue,

t', pente du talus de déblai,

F et (p, aire et contour du fossé.

Auxquelles il faut joindre les variables :

z, cote sur l'axe du terrain naturel par rapport à la plateforme

(remblai — , déblai -I-),
6, déclivité transversale du terrain prise avec le signe -h ou le signe —

suivant que le sol s'élève ou s'abaisse à partir de l'axe.

CHAPITRE V. — CCJBATl'RE PROPRKMKNT DITE. iSj

Les quantités à déterminer pour chaque demi-profil sont les aires
de remblai et de déblai R et D, la largeur d'emprise E, et la longueur
du talus T.

I «I

«•^.

m

-^<^^'

I. Demi-profil ordinaire en remblai
II. .!> mixte en remblai.

III. » ordinaire en déblai.

IV. )> mixte en déblai.

I. {Jig' 106). — On a ici m = — t.

Les conditions qui définissent le cas sont

ou, d'après (4)?

^ < o et - xy^ b
<« < o, ^ H- 66 < o.

l58 SECONDE PARTIE. — CUBATURB DES TERRASSES.

La largeur d'emprise est donnée, d'après (i), par

bt-'Z

E = e =

<-i-e '

et la longueur du talus, égale à A, d'après (3) par

T =

= /n-/*(e-
Fig. io6.
b

-6).

B

j """"

.__tr II:

.,_\

l^

"u

Quant à la surface, toute en remblai, elle est donnée en valeur

absolue par

R = OBD -»- OHD

ou, en tenant compte des signes de h et 3,

— bh — tz

R =

ou, d'après (2),

R =

2

bt{z-

-6)-

' tz

2

t(bt-

-z)

bu

a

2

(bt--

z)^

bu

II. (Jig' 107). — On a encore m= — t.

Fig. 107.
Ht-

Les conditions sont ici

>5 > o et xo<ib.

CHAPITRE V. — CUBATURE PROPREMENT DITE.

Cette seconde condition s'écrit, d'après (4),

l'iQ

ou, puisque 6 est négatif,
c'est-à-dire

-|<

On a donc les conditions

>3 > o, ^-h 66 < o.

Les longueurs E et T sont données par les mêmes formules qu'au
cas précédent. Quant à l'aire, elle se décompose en une aire de
déblai

D = OHP= ~z^, =-T^»

|0| représentant la valeur absolue de 6, et une aire de remblai

R = BDP = OBD -h OHP - OHD,

__ — bh z* tz

"■^i ^ 2Tëi"'T'

— bh — zz -s*

Le même calcul qu'au cas précédent transforme cette équation en

_ (6/ — ^)» b^t z*
K = '

Les conditions sont

-5>0

et, si 6 < o,

•

xo>à

l60 SKCOXDB PARTIE. — CUBATURE DES TERRASSES.

OU, en tenant compte, comme au cas II, de ce que 6 < o,

Donc, en résumé,

3 > o, -5 -f- ^B > o.

La largeur d'emprise est alors donnée par

et la longueur du talus, égale à la somme de A et du contour ^ du
fossé, par

T = v/n-*'*(e'— b') -h «p.

L'aire, toute en déblai, est donnée, y compris le fossé F, par

D

=

OBD-hOHD-hF,

=

•2

=

b't'(t'—b')^ZZ , „

=

z'{b't'^z) b'^t' ^ p

2 A

=

(b't'-^z)^ b'W

Les conditions sont

ou

z<,o et Tç^<b,
s <o, « -f- 66 > o.

La largeur d'emprise E et la longueur de talus T sont les mêmes
qu'au cas III.

CHAPITRE V. — CUBVTCJRB PROPREMENT DITE. l6l

La surface se décompose en une surface R en remblai donnée par

et une surface D en déblai donnée, y compris le fossé, par

D = PB'D^-F,
= O B' D -t- OPH - OHD -f- F,
b'h z^ —zb' „

b'h-^z'z z^

= — ; ^ TA -^ p»

Si '2

ou, par le même calcul qu'au cas III,

(b't'-^z)^ à'U' z*

Résumé. — Posant, pour simplifier les écritures,

be=:a, bt—a\ -— = c, —^ F = c',

puis

on voit que Ton a, pour les inconnues, dans les divers cas, les
valeurs ci-après :

E. T. R. D.

1 6 T a o

II Ê T <T-f-"f Y

III e' t' o (/

IV £' z Y <t'-4-y

Les groupes de formules (R), (D), (C) sont dits respectivement
les groupes du remblai, du déblai ei du terme complémentaire.

Quant à la distinction des cas, elle peut se faire par le procédé
géométrique bien simple que voici, qui a été proposé par Lalanne.
Puisque les éléments qui varient d'un demi-profil à l'autre sont 6 et 2,
d'O II

i62

SECONDE PARTIE. — CUBATURE DES TERRASSES.

on peut, en les prenant comme coordonnées d'un point, faire corres-
pondre à chaque deini-profd un point du plan rapporté aux axes 06
et O:; {l'g- » i^)»

Suivant que 3 > o ou z<i o, ce point est au-dessus ou au-dessous

Kig. 110.

u«ir-^

m (Do)

1

(Ro)

de l'axe Od, suivant que v-h69>o ou 3-|-6d<o, le point est
au-dessus ou au-dessous de la droite AB dont l'équation est ^ H- 66 = o.
Par suite, les points correspondant aux demi-profils des divers cas
sont répartis entre les quatre aires désignées sur la figure par les nu-
méros romains correspondants.

82. Méthode de cuhature simplifiée, — Avant d'examiner les divers
procédés qui ont été proposés pour le calcul rapide des formules des
groupes (R), (D) et (C), il convient d'examiner ce que donnent ces
formules lorsque la déclivité transversale du terrain est nulle dans
tous les profils.

Occupons-nous d'abord du remblai. L'aire de chaque profil est
égale au double de l'aire R calculée dans le cas I lorsqu'on y fait 6 = o,
ce (jui donne

-- — a6-3,

ou, puisque la cote est négative, si l'on prend pour z la valeur absolue
de cette cote.

Le volume Vr du remblai est alors donné, si l'on appelle / la lon-
gueur supposée constante de chaque entreprofil, par

v«=/2(7--^*i-i).

CHAPITRE V. — CUBATURE PROPREMBNT DITE. l63

qu'on peut écrire, en appelant n le nombre des entreprofils et L la
lonf^ueur totale,

'-■•f;2"-"*2^^]-

Il suffit, dès lors, pour avoir le volume, de calculer les moyennes
des cotes :; et de leurs carrés z-,

' Dans le cas du déblai, la formule sera la même moyennant le chan-
gement de ^ et 6 en /' et b\ et l'adjonction du volume des deux
fossés 2 FL.

Si l'on décompose le volume en entreprofils infiniment petits de
lonjçueur rf/, la formule peut s'écrire

VR = i fz^dl-^'xb J\z\<

0U

Si l'on considère l'aire balayée par les ordonnées s, la seconde inté-
j^rale représente cette aire S, la première son moment M par rapport
à l'axe, et la formule s'écrit

M

VK=.f^^6SJ.

Ayant donc, au point correspondant à chaque profil, élevé à l'axe
une perpendiculaire égale à la cote z, correspondante, puis rejoint
par une ligne brisée les extrémités de ces ordonnées, on n'a qu'à
déterminer, au moyen d'un intégromètre, la surface S et le moment M,
par rapport à l'axe, de l'aire ainsi déterminée pou-r avoir le volume
correspondant.

De même pour le déblai en ajoutant le volume iVL des deux fossés.

83. Réduction de la déclnulé du terrain à l'horizon. — Afin de
permettre dans tous les cas l'emploi de cette méthode, M. Boulangier,
ingénieur des Ponts et chaussées, a proposé de transformer géomé-
triquement chaque profil en un profil équivalent limité à une ligne
de terrain horizontale.

Soit CD' la ligne horizontale donnant la même aire que CD

i64

SECONDE PARTIE. — CUBATURE DES TERRASSES.

On a

ou, en projetant sur lO,

IG.ID = IG' ,

lcAd = lh .

Fig. m

Si donc le cercle décrit sur le comme diamètre coupe en K Phori-
zontale D rf, on a

IA = rK.

On pourrait éviter la construction en ti-açant d'avance sur un trans-
parent {Ji/^. I 12) un certain nombre de cercles F^ passant par I et de

Kig. 112.

A

B

/,

^

P

^

^/^.

c

""^^

cercles Fj de centre l, ces derniers étant cotés au moyen de la valeur
de OA correspondante.

Ces cercles pourraient d'ailleurs être limités à deux axes qu'on
mettrait en coïncidence avec OB et OH. La cote sur l'axe cor-
respondant à la ligne de terrain horizontale serait alors la cote du
cercle r2 passant par le point de rencontre de l'horizontale Drf et du
cercle F, aboutissant au point c de Taxe.

CHAPITRE V, — . CDBATURE PROPRBllBNT DITE. l65

Si l'on effectue cette construction sur des profils en travers pris
dans la réalité, on est frappé par ce fait que les points H et A sont
presque en coïncidence. Il en résulte que (sauf pour les parties, excep-
tionnelles en pratique, où l'on a affaire à des profils mixtes) l'on obtient
déjà une assez grande approximation en regardant partout comme
nulle la déclivité transversale du terrain.

On peut se rendre compte de cette approximation par le calcul.

Supposons que dans un profil en remblai la déclivité transversale du terrain
soit 6. Elle est montante pour un des demi-profils dont Taire at est dès lors
donnée par

descendante pour le second dont Taire 7^ est de même donnée par

Œj -h C =

'It \ t t*

Faisant la somme de ces deux égalités, on a, pour Taire totale en rem-
blai R,

Donc, lorsqu'on se place dans Tiiypothèse =■ o, on ne néglige en réalité

6*
qu'un terme de Tordre de -r auprès de Tunité. Ce terme est généralement fort

petit. Prenons, par exemple, 6 = o,o5, f = i , 3.

Nous avons, dans ce cas, — =

t- 900

HA, Tables numériques. — L'aire a* d'un demi-profil dépendant de
deux variables ;; et 6, on peut construire, pour des profils-types
donnés, des Tables à double entrée faisant connaître t. De telles
Tables ont été calculées par Goriolis d'une part, par Lefort de l'autre,
pour certains types de profils (*). xMais on ne saurait s'astreindre aux
calculs pénibles et longs qu'exige l'établissement de telles Tables

(') Dans les Tables de Coriolis, qui ne donnent 'Tailleurs que 9 (et point t etr),
c'est 2 qui sert d'entrée dans la colonne et 6 dans la rangée horizontale. C'est le con-
traire pour les Tables de Lefort qui donnent d'ailleurs e en même temps que 7,
puis T par une Table supplémentaire. Dans les unes et les autres, les colonnes cor-
respondant au remblai d'une part, au déblai de l'autre, sont accolées ensemble, et
chaque double colonne correspondant à une valeur déterminée de l'entrée supérieure
occupe une page. Dans les Tables de Lefort, on trouve, en outre, une colonne de
différences pour l'interpolation par parties proportionnelles.

itiO SECONDE PARTIK. — Cl RATURE DES TERRASSES.

lorsqu'on fait varier les types de proKls auxquels elles s'appliquent.
Les Tables graphiques dont il va être maintenant question, outre
l'avantage d'une exécution bien plus rapide, ont encore celui de per-
mettre d'obtenir les résultats intermédiaires entre ceux qui sont ins-
crits par une simple interpolation à vue. Enfin, plusieurs d'entre eux
jouissent de la propriété de fournir, par une même lecture, à la fois e,
T et T.

D. — Procédés nomograpiiiques ( ' \.

85. Principe. — Remarquons d'abord que si, sur une Table gra-
phique quelconque, on obtient une graduation faisant connaître s,
il suffira de placer à côté de celle-ci une seconde graduation pour t,
puisque t est une fonction de e seuItMnent, d'après la seconde formule
du groupe (R) ou du groupe (D) ci-dessus.

Nous n'avons donc à nous occuper que du calcul simultané de £
et de T, Reprenons les formules qui définissent ces quantités en fonc-
tion de w et 9 dans le cas du remblai. Pour le cas du déblai le calcul
serait le même. Ces formules sont

(0
(H)

a — z

Si l'on pose d'une manière générale
(I) a -z=^\j,

U et V étant deux fractions rationnelles du premier degré en x et y,
dont le rapport W soitau^si une fraction rationnelle du premier degré
(ce qui aura lieu si U et V ont même numérateur ou même dénomi-

(^) La théorie générale des abaques ou nomogrammes, applicables à des équations
quelconques, fait Tobjet du Traité de Nomographie publié en 1899 par Pauteur à la
librairie Gauthier-Villars. Les renvois à cet Ouvrage seront indiqués dans la suite par
les lettres T. de Y. On trouvera plus loin un résumé des principes fondamentaux de
cetlc théorie.

Le procédé Willotle, rattaché ci-dessus aux procédés géométriques parce qu'il uti-
lise le gabarit des profils, pourrait Tétre aussi aux procédés nomographiques comme
fondé sur l'emploi de systèmes cotés.

CHAPITRE V. — CUBATUne PROPREMENT DITE. 167

nateur), on a

i'i) e = W,

(4) {j-H c =

Si Ton fait varier z dans (i), 8 dans (2), e dans (3), o* dans (4),
«n obtient quatre systèmes de lignes cotées respectivement au moyen
des valeurs de ces variables et que nous appellerons les systèmes (s),
(6), (s) et (cr). Les trois premiers seront composés de lignes droites,
le quatrième de coniques.

L^équation (I) étant le résultat de l'élimination de J7et j^ entre ( i ),
(2) et (3), on voit que, si un système de valeurs de 5, 0, £, satisfait
à (I), les lignes cotées correspondantes passent par un même point.

De même, pour 5, 8 et o-, l'équation (II) étant le résultat de Télimi-
nation de x et y entre ( 1 ), (2) et (4).

Il en résulte que sur le Tableau ou abaque formé par Tentrecroi-
sement des quatre systèmes de lignes (5), (9), (e) et (cr), on a les
valeurs de z et <j correspondant à des valeurs données de z et ^ en
Usant les cotes des lignes des troisième et quatrième systèmes
passant par le point de rencontre des lignes des premier et
deuxième systèmes, cotées au moyen des valeurs données dezet 8.

Répétons que pour avoir t il suffit d'accoler une seconde gra-
duation à celle qui fait connaître e.

86. Abaque Davaine, — Si Ton prend pour U et V les fonctions

y

d'où

on a les quatre systèmes de lignes

(-5) a? -i-(z — a) = o,

(6) ^(0H-/; — a: = o,

(s) ^ — £ = 0,

(a) jy^ — t«(a-h c) = o,

qui constituent l'abaque auquel l'ingénieur en clief des Ponts et

i68

SECONDE PAHTIB. — CUBATURR DES TERRASSES.

Chaussf^es Davaine était parvenu en i845 (*) par des considérations
de pure géométrie et dont la figure 1 13 donne le schéma. On voit que

y

Kig.

ii3

H

«i

?

w

01

;

WVVN

/yxA/v

/

J^

A

/v

o^ \

M-

**

Aj

\

y(

^\\^8?

•4*-

/

^

C

/

\

\4

n

^/

X

/

S

«C-

**

j

J

A

/

Y

Y

f^

j

r

/

y

^

\

>

i

c«-

j

fi

V

/

f^î

\

1

^

V

J

i'/

>

^

/

1

&

?'

j

^

V

>

--

j

il

Va

>

2 3

[/

1

'i

\

c

) ^

T

"

"'

'(Z

/■

i

-*

-b

X"

les lignes (^) et (e) sont des parallèles à Oy et à O^, les lignes (9) des
droites issues de l'origine et les lignes (<t) des hyperboles équilatères
ayant les axes pour asymptotes.

Il est facile de voir qu'aucun choix de fonctions algébriques U
et V ne saurait donner quatre systèmes de lignes droites. Pour n'avoir
donc, dans ce cas, à tracer que des droites il faut construire à part un
abaque pour le calcul de e et un autre pour le calcul de a*. On a pour
chacun de ces deux abaques une infinité de variantes à lignes droites
en choisissant encore trois fractions rationnelles quelconques U, V, W
en jc et j^ telles que

et--en posant d'une part

de l'autre

w

, u

u =

= a — 3,

V:

= ^-h 8,

w

= e,

u =

(a-3)«,

v =

^(<-i-0),

w =

a-Hc.

(') Mémoires de la Société des Sciences de Lifte, i8'|5.

CHAPITRE V. — GUBATURE PROPREMENT DITE. 169

On voit que les abaques ainsi obtenus pour s et pour n sont à lignes
droites. Dans celte catégorie rentrent les abaques de MM. Massau,
Switkowski, Paulin, Lanave, Rouit (voir T, de N,, p. 268 à 276).

87. Abaque Lalanne. — Pour avoir s et t sur un 56«/ abaque uni-
quement composé de lignes droites, il faut prendre

U s lo»,
V s loT,

S et T étant des fonctions linéaires en x et^, ce qui donne pour les
quatre systèmes de lignes (5), (0), (2), (t)

6 -+- / = iqT,

OU, en prenant les logarithmes vulgaires,

S = log(a--5),

T = iog(e-f-o,

S-T=loge,
•2 S — T = log ( j-h c) -h log -2,

équations qui représentent quatre systèmes de droites, puisque S et T
sont des fonctions linéaires en x et j^. En prenant

9,

Lalanne ( * ) a obtenu les quatre systèmes de droites

a;-H^ = -2log(a— s),

^=Iog(e-f-0,
x--y = 2 loge,

ar = Iog(<T-Hc) -t- log-2,

(') Annales des Ponts et Chaussées, i" scm. i85o, p. 1*^3. Le principe de Tana-
morphoi^e ici appliqué par Laianne avait déjà éré énoncé par lui dans le même Recueil
( I" sem. 1846).

170

SECONDE PARTIE. — CUBATURB DES TERRASSES.

parallèles respectivement aux axes de coordonnées et à leurs deux
bissectrices {Ji g* 1 14)-

Fig. 114.

Tout ce qui vient d'être dit pour les formules du remblai s'applique
sans changement à celles du déblai.

Quant à la formule du terme complémentaire

où est pris en valeur absolue^ on peut la représenter au moyen des
trois systèmes de droites

X = alogz,
y = — loge — logi,
a7-f-^ = logY.

Ces divers abaques, par Tentrecroisement des lignes qui les com-
posent (d'où résulte promptement la fatigue de la vue), entraînent une
chance d'erreur tenant à ce que, soit en suivant deux lignes cotées
pour trouver leur point de rencontre, soit en suivant une troisième
ligne cotée, passant par ce point de rencontre, pour aller lire sa cote, on
risque de passer d'une ligne à l'autre. .\fin d'écarter d'une façon ab-
solue cette chance d'erreur, il faudrait n'associer, par le mode de
représentation adopté, que des points cotés et cela d'une façon qui ne
puisse prêtera aucune confusion. Cest un tel objet que réalisent, de
diverses façons, les modes de représentation dont il va être maintenant
question.

CHAPITRK V. ~ CUBATURE PROPREMENT DITE.

f7I

88. Profilomètre 5/e^/e/' (*). — Supposons que Ton ait porté,
avec une unité de longueur quelconque, sur Oy la graduation {z)
définie par

r = « — «»

sur la partie positive de Ox la graduation (6) définie par

ar = e -h/,
et sur la partie négative de Ox la graduation (t) définie par

Dès lors, si Ton place au point coté z l'origine O' de deux axes rec-
tangulaires O'^' et Oy, dessinés sur un transparent {^fig- i>5), et

Fig. ii5.

si l'on fait passer l'un de ces axes O'r' par le point coté (6), l'autre
axe O'x' passera par le point coté (<t) tel que

Pour avoir l'emprise il suffit, sur le transparent, de mener à Oy
une parallèle à une distance O'N' de l'origine égale à l'unité choisie,
et de porter sur cette parallèle la graduation définie par

y=e.

La similitude des triangles (VN'P et MOO' montre en effet que, si

(') Ann. des P. et Ch., i"scni. i88i. p. 98.

172 SECONDE PARTIE. — CUBATURE DES TERRASSES.

Taxe Oy coupe NP au point coté s, on a

a ■

Le même mode de représentation est applicable aux formules du
déblai et à celle du terme complémentaire.

89. Abaques hexagonaux. — La somme des projections d'un
vecteur quelconque sur les côtés d'un angle de 120" égale la pro-
jection de ce vecteur sur la bissectrice de cet angle, ainsi que cela
résulte de l'identité

\ / iz \

(OCOS - = COSU).

M X H- W j -t- COS ( - — O) I = '2 COS O) COS -

En se fondant sur cette remarque, iVl. Lallemand a proposé le type
d'abaque suivant : soient 0| J7<, Oj^a? O^x^ des axes parallèles aux
droites qui viennent d'être définies, axes qui forment un triangle
équilatéral {fig* 1 16). Premms sur ces axes des origines 0<, Oj, Os,

Fig. 116.

qui soient les projecticms d'un même point O du plan, et portons sur
ces axes, à partir de ces origines, les graduations respectives

a:, = 2log(a — 5),
Tj= — log(e-f. t),

Xz = l0g((T -h C) -f- log 2.

Si un transparent muni de trois index parallèles à 00«, OO2 et
OO3 est déplacé sur l'abaque, en conservant une orientation constante,
et si, dans une quelconque de ses positions, ses index coupent les

CHAPITRK V. — CUBATUKK PROPREMENT DITE. 178

trois ax.es aux points A<, A^, A3, on a, en vertu du lemme (par pro-
jection du vecteur non tracé OA sur 0|:r<, 0.^:^2, Oa-rj)

03A3 = O, A, -4-0, Aï,

et, par suite, d'après la construction des échelles,

iog((T -h c) -4- log '2 = 2 log( rt — z) — log(6 -h t)

qui est bien l'équation donnée.

Les index du transparent étant perpendiculaires aux cotés d'un
triangle équilatéral sont constitués par les diagonales d'un hexagone
régulier, d'où le nom d'abaque hexagonal.

On peut maintenir l'orientation de ce transparent en traçant sur
l'abaque des parallèles équidistantes, assez rapprochées (de 5"' en 5"
par exemple), à la direction que doit conserver l'un des index.

Fig. 117.

Pour le calcul de e la même échelle (0) pourra servir, mais il faudra
une'nouvelle échelle (s) définie cette fois par

x; = Iog(a — -8)

174 SECONDS PARTIE. — CUBATURE DES TERRASSES.

qu'on pourra disposer sur un axe 0\x\ parallèle àOi^Ti, Torigine O',
se Irouvanl encore sur OO^. La variable e sera alors donnée par la
graduation

portée sur un axe parallèle à O^x^ avec son origine O!, sur OOj.

Il faut donc donner au transparent deux positions successives pour
gbtenir t d'une part, e de l'autre, ainsi que le montre la figure i 17.

Cette circonstance constitue aii procédé de l'abaque hexagonal,
comme à celui de la règle à calcul indiqué plus loin, un certain désa-
vantage par rapport à ceux qui utilisent la même échelle (z) avec
la même échelle (6) pour le calcul de <j et pour celui de s.

On peut figurer sur chaque abaque les positions limites du centre
du transparent correspondant aux conditions

^ = o, z -h b% = o.
Le premier de ces lieux est la perpendiculaire élevée à^éc^belle (5)

Pig. 118.

par le point 5 := o, le second une courbe transcendante qu'on peut
construire point par point, mais qui, dans sa partie utile, diflère peu

CHAPITRE V. — CUBATURE PROPREMENT DITE. J75

d'une droite {fig* i i8). On limite ainsi les régions à l'intérieur des-
quelles doit se trouver le centre du transparent pour que l'abaque soit
utilisé seul, ou avec adjonction du terme complémentaire. On peut
même, à l'intérieur de cette seconde région, tracer les courbes que
décrit ce centre pour les diverses valeurs de y déterminées par

Dès lors si, pour une position du transparent définie par des valeurs
données de z et Ô, son centre tombe sur une courbe cotée y, on sait
qu'on est dans un cas mixte et que la valeur du terme complémentaire
est précisément égale à la cote de cette courbe. L'ensemble de ces
courbes (y) constitue ce que M. Lallemand appelle une échelle cen-
t ra le addit tonnelle.

Cet artifice est ingénieux, mais il faut remarquer que le tracé des
courbes (y) est assez long et délicat, que, d'ailleurs, la valeur de y
étant indépendante des données spécifiques a, t du projet, ce terme
peut être représenté plus pratiquement une fois pour toutes, indé-
pendamment de Taire (T qui varie avec a et / {voir notamment au
n*>91).

90. Règles à calcul. — Les formules de l'un ou l'autre groupe,
mises s<ms la forme logarithmique, sont susceptibles d'être repré-
sentées au moyen d'une règle à calcul.

On voit, en effet, que si les deux bords de la partie fixe de la règle
portent respectivement les graduations

x= '2l0g(a — 5),

et

X = Iog( a H- c) -t- log2,

et la réglette mobile la graduation

^ = iog(e-hO,

lorsque le point coté 6 de la réglette mobile sera amené en face du
point coté z de la première graduation de la règle fixe, l'origine de la
réglette indiquera le point coté o* sur la sect)nde graduation de la
r^gle {fig. 119).

De même, pour e, mais, ici encore, il faudra changer l'échelle {z)

en prenant

X = log(a — z).

176 SECONDE PARTIE. — Ct'BATURE DBS TERRASSES.

Lorsqu'il s'agit d'un projet d'une certaine importance on peut,
avec les valeurs d(îs constantes correspondantes, faire construire une
règle à calcul de ce genre. L'emploi en est évidemment ti*ès commode.

Pour la construction rapide d'une échelle logarithmique, on. n'a

Fig. 119-

L

(O 20

I I 1 I I

11)1

to

^9

-L

î (5)

(6)

I|I1IMI|MI

qu'à tracer une droite à travers une feuille de papier quadrillé loga-
rithmiquement (comme il s'en trouve maintenant dans le commerce),
cette droite élant menée par l'angle de la feuille servant d'origine
sous une inclinaison qui varie suivant l'échelle qu'on veut obtenir.

91. Nomogrammes à points alignés (*). — Les nomogrammes
qui vont être maintenant décrits, tout aussi simples qu'une règle
comme emploi, ont l'avantage d'un établissement des plus faciles.

Pig. lao.

Ils reposent sur le principe géométrique bien connu suivant :
Si par le point C {fig-^ 120) tel que

AC
GB

P
V

( ' ) La méthode des points alignés dont, pour la première fois, nous avons donné
le principe dans les Annales des Ponts et Chaussées {-i* semestre 1884? p. '3i) se
trouve exposée sou» la forme la plus générale dans le Chapitre III du T, de A'. Le
Chapitre V (g 1, B) du même ouvrage fait connaître son extension aux cas de plus de
trois variables.

CHAPITRE V. — CUBATURB PROPRKMENT DITE. 177

on mène la parallèle CP à AM et à BN, on a

(/? H-y)GP = ^AM -+-/?BN.

Si, en effet, par A et C on mène des parallèles AH et CL à MN,

GH _ AC CP — AM /?

BL •" GB' ^" BN — CP "Y

qui est la relation ci-dessus.

Supposons dès lors qu'on ait à représenter une équation de la

forme

/(^j)=/>/(>5r)-^-^/(^i),

OÙ /? et y sont des constantes.

Si Ton porte sur les axes parallèles Af^ et Bc, à partir des points A
et B, les échelles définies par

et qu'on prenne le point C tel que

AG _5
GB ■" q'

la droite joignant les points M et N de cotes z^ et z^^ déterminera,
sur la parallèle Gcv aux axes, menée par C, le segment CP tel que

(/? -*-^)GP = pf{z^) -h qff^z, ).
Si donc on porte sur C^v Téchelle

w — ,

la cote z^ du point P sera telle que

En particulier, ayant porté sur les axes Aa et Bt' les échelles

u = \og(a — z), V r= — .log(eH- ^),

on n'aura, sur les axes Cw et C'tr' tels que

AG _ r AG' _

GB "" 2' GB " ''
d'O. 12

17S SECONDE PARTIE. — CUBATURB DE8 TERRASSES.

qu'à porter les échelles

\os( ff -h r) -+- loe'2
w = — ^ 2_,

•2

pour avoir, en prenant un simple alignement entre les points cotés z
et 6 (de préférence au moyen d'un fil tendu), les valeurs de a et e
satisfaisant aux équations

) log(a + c)-hloga = 2log(a — ^j~-Iog(/-He),
/log6= Iog(a — -«) — log(/H-0).

Ainsi qu'on l'a déjà remarqué, il suffit pour t d'accoler une seconde
graduation à celle faisant connaître e.

On construit de même les nomogrammes des formules du déblai et
du terme complémentaire, écrites respectivement

i log(ff' -H c' ) H- log2 = alog(a' h- s) — log(^' — 6\
I logE'= logi^a' -hz) — Iog(r' — 6).

(D)

et

(C) logY-h log'2 = alog-z — logl e

Voyons comment on peut, sur de tels nomogrammes, figurer les
conditions limites.

La condition ^<;o ou z >o se traduit par le fait que l'index servant
à la lecture (le fil tendu dont il vient d'être question) coupe Taxe (:;)
d'un côté ou de Tautre du point coté o.

Reste la condition 5-|-66>o ou z -i- b^ <Co,

Si, à chaque valeur de 6 nous associons la valeur de z telle que

^ -h 66 = o,

nous avons l'ensemble des positions limites correspondantes de
l'index. Nous examinerons si, rigoureusement, ou du moins avec une
approximation suffisante, ces positions passent par un même point
que nous appellerons point d'arrêt.

Remarquons d'abord que ce point d'arrêt se trouve nécessairement sur la
droite qui joint les points z =: o et Q = o. Cherchons donc l'intersection d une
position limite quelconque de l'index avec cette droite.

Dans le cas du remblai : la distance Uq du point coté z au point coté ode

CHAPITRK V. — CUBATURE PROPREMENT DITE. I79

l'axe iz) est donnée par

Uq = log {a — z) — log a = log ( i \ >

ou, en remplaçant a par sa valeur de définition {a = bt) et z par la valeur
résultant de la condition limite (z = — 66),

wo = log( H-yj.

D'autre part, la distance t^o du point coté 6 au point coté o sur Taxe (6) est
donnée par

Po = - [log(/ -h 0) - log/] = - log(^i -+- ? j .

La position correspondante de l'index (droite joignant les extrémités des
segments Uq et i^o) divise donc la distance des origines des axes {z) et (0)
dans le rapport

«

c'est-à-dire passe par son milieu.

Autrement dit, il existe rigoureusement ici un point cCarrêt{\\x\ est le point
où la droite joignant les points ^ = o, 6 = coupe la parallèle équidistante
des axes (z) et (6) (point qui coïncide avec t = o).

Dans le cas du déblai : On a de même

et

„,= log(,+ j) = log(.-|l)
Vo= — log^i- pj.

Donc ici la position correspondante de l'index divise la distance des origines
des axes ( z) et (6) dans le rapport

"0

"• M.-\)

qui est variable, mais s'écarte fort peu cependant d'une valeur fixe qui s'obtient

comme suit : la quantité -> étant en pratique toujours assez petite pour que

son carré soit négligeable, nous avons, en remplaçant les logarithmes par leurs
développements de Taylor, limités aux termes du premier ordre.

60

îf^ = _

b't' b

e " b'

O SECONDE PARTIE. — ClJBATt'RE DES TERRASSES.

Le point ainsi défini, qui divise la distance du point s = o au point 6 ='o
-dans le rapport ,-, > sera, dans ce cas, pris comme point d*arrét.

Le point d'arrêt étant ainsi obtenu dans tous les cas, on voit que la
condition limitative correspondante se traduit par le fait pour Tindex
de rencontrer une parallèle aux axes, issue de ce point, que nous
appellerons barre d* arrêt (et que nous tracerons en Irait gras), tandis
que la condition de renvoi au terme complémentaire se traduit par le
fait pour Tindex de rencontrer la droite qui joint le point d'arrêt au
point 3 = 0, droite que nous appellerons barre de renvoi au terme
complémentaire (et que nous tracerons en trait interrompu).

92. Résumé pratique, — Nous donnons ci-joint (planche) les
'nomogrammes à points alignés construits avec les données suivantes :

6 = 5", 6' = 6",5o, '=3' *'=»i F = o'".5, ç = i-'.gi

qui servent dans les projets de concours des élèves de TÉcole des
Ponts et chaussées. Et, à ce propos, nous reprendrons, à un point de
vue pratique, la règle, résultant du numéro précédent, qui a été appli-
quée pour la construction de ces nomogrammes.

Nomogramme du remblai : Entre deux axes parallèles réservés
Fun aux cotes o, l'autre aux déclivités 6, on a tracé deux autres axes
parallèles aux premiers et divisant respectivement leur intervalle à la
moitié et au tiers à partir de Taxe (5).

A partir d'un axe des origines, Iransverse aux précédents (et qui ne
figure pas sur la planche), on a portérespectivement sur chacun d'eux
les graduations ( * ) :

A\e des cotes a = log(3,33 — z) (dez = — tAO à« = i,3)

Axe des déclivités.. p = — log(6,66 -h ft) (de/? = — o,'25 à/? = <»,'25)

A A r log((T-h8,33)H-log2 ,, , ,

Axe des surfaces... w =• — 2-i î- — '- î2_ (dg^y— — 3 ^(1 = 700)

Axe des emprises. . tv'=-— (dee = 5 àe = 55)

. Axe des talus fi = o,833T-h5 (dex = o àT=6o)

(*) Eiïectivement, il est iuutile de tnicer cet axe des origines. Il suffît de con-
struire, sur chacun des axes parallèles, la graduation correspondante, entre les
limites choisies, en ayant soin de placer sur un même alignement les points coiés

POl

rERpEBLAI

pi.r.

k>-H.

I — ~

fï^

-300
^200

100
90
CO
>0 g

— j— «0 cS

JI1_ 50 B

I -Ij, î^ a~z

ï'

-M
-

. 8 *^

7 "-a

c

* s

o

o

-~ 5

L. CourUw, 43, rue dg DonkerQu», Paris

J

f

l

A
A

A
A

8t

CHAPITRE V. — r.UBATURE PROPREMENT niTK. l8l

Le point d'arrêt se confond avec le point t = o. La barre d'arrêt
est la parallèle aux axes qui prolonge l'axe des t en dessous de ce
zéro. La barre de renvoi au terme complémentaire est la droite qui
joint ce point t = o au point 5 = 0.

Nomogramnie du déblai : Sur les axes choisis de même on a
porté les graduations : *

A \e des cotes w = log(6,5 -h 5) («lez= — 1 à -s = 20)

Axe des déclivités. . v= — Iog( i — 6) (deO = — o,i'> àô = 0,26)

A\e des surfaces. . . w = — 2 1 s^ {^^^^* -. — ^ aa=4oo)

Axe des emprises. . iv'= — |— (de s' = 6,5 àe'=35)

A\e des talus &'= 0,7071 t'-f- 5, i48 (deT'=2 àT' = 4o)

Le point d'arrêt se trouve sur la droite qui joint le point ^ = o au
point 9 = 0, et divise la distance de ces points dans le rapport de
5 à 6,5. Li barre d'arrêt est la parallèle aux axes qui, partant de ce
point, se dirige vers le bas des graduations; la barre de renvoi au
terme complémentaire, la droite qui joint ce point au point s = o.

Noniogramme du terme complémenlaire : Sur deux axes paral-
lèles et sur l'axe qui en est équidistant on porte respectivement les
graduations :

Axe des cotes M = '2log^ (de -3 = 0,1 à -5=1, 3)

Axe des déclivités. .. . f = — logO (de 6 = o,oo5 à 6 = 0, -25)

Axe de la surface com- ) __ logy-t-loga

, , . r w = — ^-^ ^— (de Y = o,o5 à y = 100)

plementaire ) 2 * ^ 1 /

Ce terme complémentaire est d'ailleurs indépendant des données
spécifiques du projet.

qui se correspondent pour un système particulier de valeurs des données (par
exemple : z = o, = o). Pour construire une graduation logarithmique telle que
log(a— z), il suffit de relever, sur un étalon logarithmique quelconque (échelle
d'une règle à calcul ; axe tra<é sur un quadrillage logarithmique à partir de son
origine) les points (a — z) correspondant aux diverses valeurs de z choisies. Pour
des graduations logarithmiques de modules égaux à la moitié ou au tiers du module
admis pour la première graduation (comme c'est ici le cas pour tv' et pour w)f «m
commence par relever ces graduations au moyen du même étalon, puis on les réduit
à la moitié ou au tiers en les prenant comme bases de triangles que l'on recoupe par
des parallèles à cette base à la moitié ou au tiers de la hauteur correspondante à
partir du sommet opposé. Toutes ces constructions accessoires ont disparu de la
planche ci-contre.

iSl SECONDE PARTIE. — CUB^TURB DES TERRASSES.

Mode d'emploi du Tableau formé par la réunion des trois
nomogrammes : On fait passer l'index (fil tendu) par le point cor-
respondant à la cote et le point correspondant à la dédiante. Cet
index coupe les autres axes aux points qui font connaître la surface,
V emprise et le talus.

Lorsqu'on est dans un cas ordinaire, on n'a pas à hésiter entre le
noinogramme du remblai et celui du déblai. Dans les cas mixtes on
pourrait avoir une hésitition; elle est levée, dans tous les caSj par
la condition que Vin lex ne doit pas rencontrer la barre d arrêt.

Si l'index rencontre la barre de renvoi au terme complémentaire
(toujours, bien entendu, sans rencontrer la barre d'arrêt), la sur-
face du même nom que le nomo^amme d'entrée esl ég;ale à la
somme des lectures faites sur ce nomogramme et sur celui du terme
complémentaire, la surface de nom contraire est égale à ce terme
complémentaire.

Ce n'est d'ailleurs là que le commentaire du Tableau qui résume
les quatre cas possibles à la fin du n"81.

CHAPITRE VI;

COMPKNSATION ET MOUVEMENT DES TERRES.

I. — Compensation des déblais et remblais.

93. Compensation approchée sur le profil en long, — On doit
évidemment s'efforcer de faire en sorte que, sur toute Tétendue de la
voie à construire, il y ait équivalence entre le cube total des déblais
et celui des remblais, de façon à éviter les terrassements superflus :
accumulation sous forme de cavaliers de dépôt des terres provenant
des déblais en excédent, ou extraction \\ov% Ae?> chambres d* emprunt
des terres nécessaires à constituer les remblais en excédent (*).

Lorsque cette équivalence a lieu, on dit que les déblais et remblais
sont compensés.

Ce n'est qu'une fois que le projet est terminé qu'on peut constater
si cette compensation est réalisée. On peut toutefois observer cer-
taines précautions pour l'assurer d'avance, au moins approximative-
ment.

Les parties en déblai et en remblai étant, sur le profil en long,
respectivement teintées en jaune et en rouge, on a un premier moyen
d'établir approximativement la compensation a priori en traçant la*
ligne du projet à travers ce profil en long, de façon à laisser d'un

(*) II convient de remarquer que les terres provenant du déblai permettent tout
d'abord de former un remblai de volume un peu supérieur à cause du foisonne-
ment. Par la suite, en raison du tassement qui se produit, les terres reprennent sen-
siblement le volume qu'elles occupaient dans la fouille d'où elles ont été extraites.
On admet ici quMI y a équivalence entre les volumes occupés par la même masse de
terre dans le déblai et dans le remblai une fois le tassement produit. S'il n'en était
pas ainsi, si, par exemple, les remblais présentaient un foisonnement permanent, il
y aurait, pour établir la compensation et, ultérieurement, pour étudier la réparti-
tion des déblais dans les remblais, à ne faire intervenir le volume des remblais que
pour la part équivalente au volume des déblais d'où ils proviennent.

l84 SECONDE PARTIE. — CUBATURE DES TERRASSES.

côté une somme d'aires teintées en jaune équivalente à la somme des
aires teintées en rouge de l'autre côté. Cette équivalence des aires en-
traînerait une compensation exacte des volumes si les aires des profils
en travers de déblai et de remblai étaient les mêmes pour une même
valeur absolue de la cote sur l'axe, ce qui n'a pas lieu. Néanmoins,
pour une première étude comme celle qui se fait dans l'avant-projet,
cette approximation est suffisante.

On peut, d'ailleurs, obtenir rigoureusement cette équivalence des
aires qui, sur le profil en long, correspondent respectivement aux
déblais et aux remblais. Considérons, par exemple, le profil en long
BqBi B2B3B, {fi g. 121) et supposons que la ligne L0L4 soit telle que

Kig. 121.

K

-^

1

\

...

y^^

T^

p

3

^

\Pa >%^^

A, A,

la somme des aires comprises entre le profil et cette ligne soit la
même en dessus et en dessous d'elle. 11 en résulte que l'aire du tra-
pèze A0L0L4A4 est équivalente à la somme des aires des trapèzes
AoBqB^A,, A,B, B2A2, AaBaBsA, et ASBSA4B4. Or on a

Aire A© Lq L^ A4 = Aq A^ x P^ p^,

ps étant le milieu de Ao A4. Il en résulte que la longueur de ^^p^ est
déterminée et, par suite, aussi le point p^, II suffira de mener, parce
point une fois marqué, une droite quelconque L0L4 (dont la pente
sera tenue inférieure à la limite exigée par la nature de la voie à
construire) pour qu'il y ait exacte compensation entre les aires laissées
au-dessous et au-dessus de cette ligne.

Pour cette raison le point P4 est dit le centre de compensation du
profil en long considéré.

Remarquons que si, au lieu de mener par ce centre une simple
ligne droite, nous menions une ligne quelconque symétrique par
rapport à ce centre , la compensation sur le profil en long serait en-
core obtenue.

CHAPITRE VI. — COMPENSATION ET MOUVEMENT DES TERRES. l85

94. Construction du centre de compensation, — M. l'Inspecteur
général Colllgnon a fait connaître une ingénieuse construction de ce
point ('), fondée sur le principe suivant :

Soient AqBqB, A, et A, B^ B^ A^ deux trapèzes contigus {fig- 122).

Fig. laa.

A.

L^

Bp

1
1
•

1

1

1
1

In

t.

A» *"» \Pi "H

Leur centre de compensation Pj se trouve à la rencontre de la
droite joignant les milieux: M 1 et Ma de BjB, et de Bi Bj, et de la
perpendiculaire élevée à A© A.^ en son milieu p^

La droite qui joint les milieux M« et Mj est une ligne de compen-
sation, car les triangles M, B060 et M| B4 6| sont équivalents, de
même que MaB, 6, et MaB^ôa. Donc le point de rencontre P, de cette
ligne et de la perpendiculaire au milieu p2 àe Aq Aa est le centre d«i
compensation.

L'application de proche en proche de cette construction permet
d'obtenir le centre de compensation d'une suite quelconque de tra-
pèzes. Par exemple, pour en revenir à la figure 122, on n'a qu'à
joindre le point Pa au milieu M3 de BaBj, et à prendre le point
de rencontre Pj de cette droite PaMj avec la perpendiculaire élevée
à A0A3 en son milieu /?s, puis à joindre Ps au milieu M4 de BjB4 et
à prendre le point de rencontre Pj de cette droite PsM4 avec la per-
pendiculaire élevée à Aq A4 en son milieu p^. Le point P4 est le centre
de compensation cherché.

93. Comparaison entre les profils de déblai et de remblai, —
La compensation sur le profil en long, qui vient d'être exposée, ne
serait exacte, avons-nous vu, que si à des cotes de même valeur
absolue en remblai et en déblai correspondaient des aires de profils
en travers équivalentes. Or, il n'en est pas ainsi. Cherchons à nous

(*) Annales des Ponts et Chaussées, 1" scm. 1897. "" C'est cette méthode de qua-
drature graphique qui a conduit M. Collignon au procédé d'évaluation des profils en
travers, rattaché plus haut (n* 78; par voie d'homothétie au procédé de M. Garceau.

|86 SECONDE PARTIE. — CUB.4TURE DES TERRASSES.

rendre compte de Técart entre les aires de deux profils de nom con-
traire correspondant à une même valeur absolue de la cote s, en
supposant, pour simplifier, la déclivité transversale 6 du terrain natu-
rel réduite à zéro, ce qui n'altère que de bien peu le résultat.

L'aire du profil en remblai est alors donnée, z représentant la va-
leur absolue de la cote, par

R = y -h ibz,

ainsi qu'on l'a vu précédemment (p. 162). De même l'aire du profil
en déblai est donnée par

D = -, -^ 2 6 ,s -h 2 F,
F étant l'aire de la section droite du fossé. On a donc

Si, pour fixer les idées, nous reprenons pour les diverses constantes
les mêmes valeurs que plus haut, savoir :

^ = |, t' = 1 b = 5">, b' = 6"», 5o, F = o"'>. *i.

nous avons

D— R=— -(5»— 125 — 2).

Le trinôme entre parenthèses s'annule pour

«1 = — o;i644 et zj= 12,1644.

Donc, puisque nous ne considérons ici que les valeurs absolues de 2,
nous voyons que, pour 3<Ii2,i644^ '^ trinôme entre parenthèses
étant négatif, D — R est positif.

Autrement dit, pour 5<;i2'" environ, l'aire du déblai Femporte
sur celle du remblai à égalité de cote. Le maximum de D — R a
d'ailleurs lieu pour la valeur de z qui annule la dérivée du trinôme,
soit z = 6". La valeur de ce maximum, obtenue en substituant cette
valeur à z dans

D— R=- i[2ï— 6^ — (65-h2)|,

CHAPITRE VI. — COMPENSATION BT MOUVEMKNT DES TERRES. 187

est donnée par

D~R = 33-hi = 19""*.

Voyons de quelle quantilé àz il faudrait relever la Iig;ne du projet
pour amener réquivalence entre les deux profils. On a, en négligeant
les quantités du second ordre, *

AR = ^(- -h b]lz,
lD=^'i(-i -h6'JA3,

puisque le relèvement \z a pour etï'et d'augmenter la cote de R et
de diminuer celle de D.

Or, pour établir Téquivalenne, on doit faire varier s d'une quan-
tité As telle que

A(R — D) = D — R

ou

c'esl-à-dire
d'oii

['(j-d

b'\iz = I9"'^

531^ = iç),
A^ = o'n,35.

Tel esl donc le maximum de la quantité dont on peut avoir à rele-
ver la ligne du projet, correspondant à la compensation sur le profil
en long, pour obtenir la compensation, exacte.

96. Compensation a posteriori. — Si, une fois la cubature de
Tavant-projet terminée, on trouve un excédent de déblai ou de rem-
blai que Ton juge trop considérable, on peut l'amoindrir dans le pro-
jet définitif en relevant ou abaissant d'une quantité convenable la
ligne du projet.

D'après ce qui a été vu précédemment (p. i44)? on a pour les vo-
lumes totaux V0 et Vr du déblai et du remblai, en utilisant les for-
mules données à la page 161, et en représentant par / la longueur
applicable à chaque profil en travers,

v=2[^T7^;-]'-

l88 SECONDE PARTIE. - CUBATURB DES TERRAS8EC.

Si donc on relève la ligne générale du projet de As, on a, en se bor-
nant aux quantités du premier ordre,

ou, en se reportant encore au même groupe de formules, et en dési-
gnant par s et e' les largeurs d'emprise,

AVr= ^tilz,
ou, si Ed et Er sont les aires totales d'emprise en déblai et en remblai,

AVr= ErA^.

Il vient donc, si l'on appelle E la surface générale d'emprise, égale
à En -h Er,

a(Vr-Vi,) = ea«.

Or, pour amener la compensation, il faut précisément faire va-
rier Vr — Vd d'une quantité égale à la valeur trouvée pour la diffé-
rence Vd — Vr à la suite de la cubature de l'avant-projet. On doit
donc poser

EA^ = Vi,-Vr,
d'où

^ Vp_Vr
A^=— g— .

Ainsi, le relèvement qiiUl faut donnera la ligne du projet pour
assurer la compensation est sensiblement égal au quotient de
V excès des déblais sur les remblais par la surj'OrCe générale
d^ emprise.

Si les remblais l'emportent sur les déblais, As change de signe et
indique un abaissement au Heu d'un relèvement de la ligne du
projet.

CHAPITRR VI. — COMPENSATION ET MOUVEMENT DBS TERRES.

189

II. — Mouvement des terres.

97. Cube réduit en vue du mouvement des terres, — Lorsqu'on
a définitivement arrêté les déblais et remblais destinés à l'établisse-
ment de la plate-forme de la voie, en s'efforçant, autant que possible,
d'assurer la compensation, il s'agit de déterminer le mouvement de
ces terres, c'est-à-dire de répartir rationnellement le long de la voie
les terres extraites des déblais pour en constituer les remblais, en
ayant en vue la plus grande économie possible (*).

Il convient tout d'abord de faire une remarque essentielle,, à savoir
que l'on doit, dans les parties mixtes, considérer que le volume du
déblai est employé sur place, par un simple jet de pelle, à constifuer
le remblai contigu, de sorte que, dans un entreprofil mixte, l'excès
du déblai sur le remblai constitue le déblai disponible pour le mou-
vement des terres ou, inversement, l'excès du remblai sur le déblai,
le cube à apporter.

AHn de déterminer, dans un tel entreprofil, quel est le cube à faire
intervenir dans le mouvement des terres, il suffit, ayant porté au
droit des profils P et P' {Jig. 128, laS bis et 128 ter) des ordonnées

Fig. ia3, 133 bis, laS ter.

PD, P'D', proportionnelles aux aires du déblai, PR, P'R', propor-
tionnelles aux aires du remblai, de porter sur RD et R'D', à partir de
R et R', des segments respectivement égaux à PD et FD'. On obtient

(') On néglige ici toutes les considérations accessoires qui peuvent venir modifier
le procédé rationnel que Ton va exposer. C'est uinsi que, dans le cas où les parties
en déblai traversent des terrains d'une consistance impropre à la construction des
remblais, il est préférable,. pour la construction de ceux-ci, de recourir à des em-
prunts effectués dans des terrains de meilleure qualité, s'il s'en trouve à proximité.
C'est aux ingénieurs de juger, dans chaque cas particulier, comment ils peuvent plier
les principes théoriques ici développés aux circonstances qui s'offrent à eux.

igo 8ËC0NDB PARTIE. — CUBATURE DBS TERRASSES.

ainsi, suivant le cas, un excédent de déblai {Jig. i23) ou de remblai
{fig> 123 ter) ou un excédent partie de déblai, partie de remblai
{Jig. 123 bis) faisant apparaître un point de passage fictif V" ,

Dorénavant nous supposerons toujours, dans la représentation
du déblai ou du remblai pour chaque entreprojil^ que cette
réduction à la partie intéressant le mouvement des terres a êié
opérée.

98. Segments de répartition. Principe de la méthode de
Bruckner. — Pour juger plus aisément de la répartition des terres à
enlever ou à rapporter tout le long de la voie on a recours à un autre
mode de représentation qui consiste à porter en ordonnée au droit
de chaque profil, et à partir d'une horizontale passant par Torigine
dft projet, les cubes cumulés à partir de cette origine jusqu'au profil
considéré, en comjpieinl positivement les volumes de déblai, négati-
vement les volumes de remblai (*).

Si donc on considère (ce qui est très suffisant pour les besoins
de la pratique) que le volume varie linéairement d'un profil à
l'autre, les variations de ce volume sont représentées par la ligne
polygonale qui joint les extrémités des ordonnées ainsi portées (*).

Soient, par exemple i^/ig. 124), >PoSo, Pi S|, p^'^^--* les ordonnées
qui représentent, au droit de chaque profil, les aires correspondantes
en déblai ou en remblai, réduites au besoin comme il vient d'être
expliqué. A partir d'une nouvelle ligne de terre parallèle à la première
portons des ordonnées P«C|, P2C.2, P3C3..., égales aux cubes cumu-
lés depuis l'origine jusqu'au profil considéré. Ainsi l'ordonnée P| Cj
représente à une cerlaine échelle (') le cube du déblai compris
entre /?« et/?«, c'est-à-dire l'aire du trapèze /?oSo S,/?,. A cette aire
s'ajoute celle du trapèze //« Si S2JO2, pour donner l'ordonnée P2C2, et

(') Celle convention, plus conforme à la nalure des choses, puisque les déblais se
trouvent au-dessus, les remblais au-dessous de la plaie- forme du projet, n'est pas
observée par tous les auteurs. Il est donc utile, lorsqu'on se reporte à un travail
relatif à la question, de s'assurer d'abord du sens adopié par l'auteur pour le report
des cubes de déblai et de remblai.

(') Plus exactemenl, si l'on joint par une ligne conlinue les extrémités désordon-
nées représentant les aires des profils, la ligne représenlant les varialions du volume
sera la courbe intégrale de la première el pourra être tracée au moyen d'un inic-
graphe. Voir à ce sujet l'Ouvrage de M. Abdank-Abakanowicz, Les in te' graphes ^
p. 87.

(•'') On sera libre de choisir cette échelle suivant le cas. Une échelle généralement
commode consiste à prendre 4'"* pai* hectomètre {f^) pour les longueurs portées en
abscisses et i***" par loo"*' pour les volumes portés en ordonnées.

CHAPITRE VI. — COMPENSATION ET MOUVEMENT DES TERRES.

»9»

ainsi de suite jusqu'au point de passage 7/4, au-dessus duquel l'ordonnée
PjiC^ représente tout le déblai cumulé de po à p^. X partir de ce point,
le remblai succédant au déblai, les aires de p^p^Si^ p^S^S^p^,,.^ se
retranchent successivement de l'ordonnée précédente pour donner
P5C5, PeCe, jusqu'à ce qu'on arrive à une ordonnée /f^ S^ (coïncidant

ou non avec un des profils en travers efiectivement relevés) qui donne
à partir du point de passage 774 un volume de remblai représenté par
l'aire />4/>TS7SflSj, équivalant au volume de déblai compris entre
Po et/>4. La ligne représentative des cubes cumulés depuis l'origine
atteint alors de nouveau en P7 la ligne de terre. Puisque dans l'inter-
valle de Po à P7 le déblai et le remblai se compensent exactement,
rendons-nous compte de la façon dont l'un pourra servir à constituer
l'autre.

On commencera évidemment à attaquer les terres qu'il s'agit de
déblayer au point de passage p^ pour les rejeter en remblai au delà
de ce point. Au fur et à mesure que le déblai s'ouvrira en s'éloignant
de/>4, le remblai progressera en sens contraire et il est bien facile de
déterminer les longueurs successives suivant lesquelles il jaura équi-
valence du déblai d'une part et du remblai de l'autre. Il suffit de
mener une horizontale quelconque DR en la limitant au polygone
représentatif des cubes cumulés. D'après le mode même de construc-
tion de ce polygone on voit que le volume de déblai compris entre
l'ordonnée du point D et celle du point C4 est égal au volume du
remblai compris entre l'ordonnée du point C4 et celle du point R, la
valeur commune de ces deux volumes étant donnée, à l'échelle du
dessin, par la portion HC4 de l'ordonnée du point C4 située au-dessus

19'2 SBCONDB PARTIE. — CUBATURK DRS TERRASSES.

de rhorizontale DR. Le déblai, représenté par le'fragment DCjC* de
de la ligne polygonale, servira donc à former le remblai représenté
par le fragment C4C5R de la même ligne.

Cette propriété ayant lieu quelle que suit la position de l'horizon-
tale DR à l'intérieur du segment PoC^Pt, on peut, en considérant
deux positions très voisines de cette horizontale, dire que la portion
très petite de déblai située à une extrémité de la bande horizontale
ainsi formée, et égale à la hauteur de cette bande, est transportée à
une distance égale à la longueur de cette bande pour fournir la portion
très petite équivalente de remblai située à l'autre extrémité.

La répartition des terres à l'intérieur du segment considéré étant
ainsi réalisée par des transports parallèles à l'axe P0P7, ce segment
peut être appelé un segment de répartition. La droite P0P7 qui le
ferme est dite la ligne de répartition. Quant à la ligne polygonale
qui le limite d'autre part, elle sera dite la ligne de Brucknery du
nom de l'ingénieur qui a le premier proposé son emploi pour l'étude
du mouvement des terres (*).

99. Moment de transport. Distance moyenne. — On vient de
voir que chaque élément dy du volume des déblais était transporté à
la distance DR = x pour constituer un élément équivalent du
remblai. Le prix de ce transport étant proportionnel au produit x dy^
on voit que le prix total du mouvement des terres à l'intérieur du
segment de répartition considéré sera représenté par l'intégrale f x dy
étendue depuis l'axe des j: jusqu'au point C. Or cette intégrale repré-
sente l'aire M du segment PoC^P?. Cette aire est dite le moment de
transport du mouvement des terres qui s'effectue dans ce segment.

(^) Lalanne avait auparavant donné un procédé qui peut se rattacher à celui de
Bruckner de la manière suivante : Ayant, au droit de chaque profil, élevé une ordonnée
proportionnelle à la somme algébrique des cubes cumulés depuis Torigine, au lieu
de joindre les extrémités de ces ordonnées par une ligne polygonale, on mène par
chacune d'elles une horizontale jusqu'à l'ordonnée voisine. On obtient alors une ligne
à gradins. Mais l'introduction de la ligne de Bruckner est incontestablement plus
rationnelle et. tout en reconnaissant la part d'invention qui revient à Lalanne, il nous
semble préférable de suivre la méthode de Bruckner. Sur les questions de détail que
peut soulever son application on pourra consulter la JVote sur l'application de la
méthode graphique au mouvement des terres de M. l'ingénieur en chef Strohi.
parue dans les Annales des Ponts et Chaussées ( i" semestre i884), ei la brochure
publiée par M. l'inspecteur général Henry, sous le titre de Théorie et pratique du
mouvement des terres d'après le procédé de Bruckner, dans V Encyclopédie des
Travaux publics.

CHAPITRE VI. — COUPENSATION ET MOUVEMENT DE8 TERRES. IQS

D'au Ire part le volume total des terres déplacées dans ce mouvenieiit
est donné par l'ordonnée P^C» = V du point le plus liaut. La dis-
tance A définie par

M = VA

est dite la dislance moyenne correspondante. C'est la dislance pour
laquelle le cube total transporté en bloc donnerait lieu à la même
dépense. On voit que cette distance A n'est autre que la base du rec-
tangle de hauteur P4C4 qui serait équivalent au segment PoC^iPy.

Pour déterminer l'aire de ce segment il suffit de le décomposer en
trapèzes par des horizontales menées par les divers sommets de la
ligne de Bruckner. D'ailleurs, les portions de ces trapèzes situées de
part et d'autre de l'ordonnée P4C4 pourront être sommées en un
rectangle de côté P4C4 par le procédé de M. Collignon rappelé
ci-dessus (n" 94), à propos de la détermination du centre de com-
pensation.

Dans le cas où il y a lieu de distinguer entre plusieurs modes de
transport, suivant qu'on reste ou non au-dessus d'une certaine limite,
il est très facile de déterminera part les moments de transport corres-
pondants et, par suite, les distances moyennes.

Admettons, par exemple, comme cela se fait en pratique, que les
transports sur une distance moindre que 90™ se fassent à la brouette,
les autres jusqu'à 200'" s'efTectuant au tombereau (*). Il suffira de
couper le segment de répartition par une horizontale représentant, à
l'échelle du dessin, une longueur de 90™. Supposons que ce soit
l'horizontale DR de la figure i •>./{• L'aire de la portion du segment
située au-dessus de cette horizontale fait alors connaître le moment
des transports à la brouette, l'aire de la portion située au-dessous, le
moment des transports au tombereau. Les distances moyennes corres-
pondantes s'obtiendront en divisant ces moments respectivement par
les cubes représentés par HC, et P4H. Autrement dit, ce seront les
bases des rectangles de hauteurs HC4 et P4H équivalents l'un à la
portion DC4R du segment, l'autre à la portion P0DRP7.

100. Segments à partie rentrante, — Nous avons supposé, pour
construire la figure i24i qu'il y avait, à l'intérieur du segment de
répartition, continuité des déblais d'une part, des remblais de l'autre.

(*) En réalité, aujourd'hui, les transports de terres se font plus généralement par
\\'agonnets traînés sur des voies Decau ville.

d'O. i3

■ 94 SECONDE PARTIE. — CUBATURE DES TERRASSES.

Il en est ainsi le plus souvent, mais cela n'est nullement nécessaire.
On rencontre parfois des dispositions comme celle de la figure laS
qui s'explique d'elle-même.

Dans ce cas il n'y a qu'à mener, par le point le plus bas Ce de la
partie rentrante, une parallèle AB à la ligne de répartition. On voit
alors que la portion de déblai comprise entre les points A et Cs four-
nira la portion de remblai équivalente comprise entre les points Cj
et Cfl, le volume commun de ce déblai et de ce remblai étant donné
par la portion de l'ordonnée du point Cj comprise entre ce point et
la ligne AB. De même le déblai de C^ en C9 donnera le remblai de
C9 en B. Quant au déblai de Pq en A il fournira le remblai de B en Pij,

Fig. ia5.

le volume commun de ce déblai et de ce remblai étant donné par la
cote de AB au-dessus de PoPia-

Pour ce qui est de la détermination du moment de transport il n'y
a rien à changer à ce qui a été dit précédemment. Il sera toujours
représenté par l'aire totale du segment PoCsCeCaPia- Mais il y aura
lieu de distinguer entre les distances moyennes correspondant aux
aires partielles Pq ABP^ai ACsCn et CoCqB.

101. Répartition dans le cas général. Lieux de dépôt ou d'em-
prunt obligés. — Nous nous sommes bornés jusqu'ici à envisager un
segment de répartition à l'intérieur duquel la compensation se fait
exactement. Si la compensation est obtenue pour tout l'ensemble du
projet, on trouvera une ligne de Bruckner oscillant autour de l'hori-
zontale du point d'origine pour aboutir encore finalement sur cette
ligne en formant de part et d'autre des segments de répartition à
l'intérieur desquels on détermine, comme on vient de le voir, les
moments de transport et distances moyennes.

CHAPITRE VI. — COMPENSATION ET MOUVEMENT DES TERRES. igS

Mais, s'il n'y a pas compensation générale d'un bout à l'autre du
projet, la ligne de Bruckner se terminera, au droit du dernier profil,
soit en dessus (s'il y a excès de déblai) soit en dessous (s'il y a excès
de remblai) de l'horizontale du point d'origine. La distance du point
terminal à cette horizontale mesurera d'ailleurs l'excédent du déblai
ou du remblai, devant donner lieu à un dépôt ou à un emprunt équi-
valent.

On conçoit d'ailleurs que ce dépôt, ou cet emprunt, puisse s'effec-
tuer en divers points choisis le long du projet. Si cet emplacement
est, par suite de certaines circonstances, déterminé d'avance, on va
voir que la répartition générale en résulte immédiatement.

Soit, pour fixer les idées, la ligne de Bruckner ABCDEFG (Jig' 1 26)

Fig. 126.

accusant de F en G un excédent de déblai dont le volume est mesuré
par GG'. Supposons que le lieu obligé du dépôt se trouve au droit du
profil du point B. La compensation sera rétablie moyennant le déver-
sement en B d'un cube égal à GG'. Cette diminution, à partir du
point B, du cube de déblai disponible se traduira sur l'épure par un
abaissement brusque en ce point de la ligne de Bruckner, mesuré
par BB' = GG'. La partie de cette ligne faisant suite au point B
prendra donc la nouvelle position indiquée en trait fort du point B' au
point G- où elle aboutira à l'horizontale du point A.

Cette ligne de Bruckner modifiée fait alors apparaître deux
segments de répartition s'étendant l'un du point A au point 1, l'autre
du point 1 au point C Le premier présente un angle rentrant de
sommet B'. Menant donc, suivant ce qui vient d'être dit, l'horizon-
tale HK de ce sommet, on voit que les portions AH et B'G de déblai
donneront respectivement les portions Kl et C'K de remblai, tandis
que le déblai extrait de H en B fournira les terres mises en dépôt au
droit du point B pour rétablir la compensation. Pour le surplus, le
déblai de E' en G' sera mis en remblai de E' en L

19^ SKCONDE PAHTIK. — Ot'RATtRE DES TERRASSES.

102. Lieux de dépôt ou d'emprunt arbitraires. Limites de
variation de la ligne de répartition. — Si le Heu du dépôt, ou de
l'emprunt, n'est pas obligé, on peut le faire \arier en changeanl do
ligne de répartition. Pour en revenir à l'exemple précédent, nous
avons vu (^/ig. 1 27) qu'en prenant comme ligne de répartition l'hori-
zontale du point A nous mettions en évidence de F à G un excès
de déblai donnant naissance à un dépôt dont le volume est mesuré
par la distance du point G à l'horizontale AF, la répartition ayant
lieu d'une part à l'intérieur du segment ACD, de Tautre à l'intérieur
du segment DEF.

Mais nous aurions pu tout aussi bien prendre comme ligne de
répartition l'horizontale de la seconde extrémité (t du projet. Dans

Fig. 127.

•

ce cas, nous aurions eu une exacte répartition respectivement à l'inté-
rieur des segments BCI et IKG, avec un excédent de déblai entre
A et B d'un volume encore égal, comme de raison, à l'écartement
entre les horizontales AF et BG. Le cube total des terrassements
restant le même, la différence de ce cas au précédent c(msiste en ce
que le dépôt serxant à réunir la portion de déblai en excédent est
reporté d'une extrémité à l'autre du projet.

Rien ne nous empêche d'ailleurs de choisir une autre ligne de
répartition, par exemple l'horizontale ST comprise entre celles qui
sont menées par les deux points extrêmes. Nous avons alors exacte
compensation à l'intérieur des segments SCJ et JET, avec deux dépôts
l'un pour le déblai de A en S, l'autre pour celui de ï en G, dont, par
suite, les volumes respectifs sont mesurés Tun par la distance entre
les horizontales ST et AF, l'autre par la distance entre les horizon-
tales ST et BG, ce qui donne bien encore pour leur somme la dis-
tance entre les horizontales AF et BG.

Mais, si nous prenions une ligne de répartition extérieure aux
horizontales extrêmes AF et BG, nous voyons que, la compensation
exacte ayant lieu cette fois respectivement à l'intérieur des segments
UCV et lEG, nous aurions non seulement de \ en B un déblai four-

CHAPITRE VI. — COMPENSATION ET MOUVEMENT DES TERRES. 197

nissant le dépôt obligé par la nature du projet et mesuré par Técar-
lement des horizontales AF et BG, mais encore un dépôt supplémen-
taire correspondant au déblai de B en U, et un emprunt supplémen-
taire de V en I, mesurés l'un et l'autre par l'écartement des
horizontales UV et BI. Il est clair que Ton augmenterait la masse des
terrassements en ajoutant à ceux que comporte nécessairement le
projet ceux qui correspondent à ce dépôt et à cet emprunt supplé-
mentaires d'ailleurs équivalents.

La conclusion qui découle de là est que la ligne de répartition doit
être nécessairement choisie à l'intérieur de la bande limitée par les
horizontales des points extrêmes de la ligne de Bruckner et que nous
appellerons pour cette raison la bande utile. Nous allons maintenant
chercher, entre ces limites, la position la plus favorable de la ligne de
répartition, c'est-à-dire celle qui correspond au minimum de frais de
terrassements.

103. Ligne de répartition la plus favorable. — Puisque cette
ligne doit, ainsi qu'on vient de le voir, se trouver à l'intérieur de la
bande utile, nous pouvons nous borner à ne considérer que la portion
de l'épure intérieure à cette bande {fig^ 128).

Appelons a:«, rj, ^3... les segments d'une horizontale quelconque

Fig. 128.

^^-.J^„_j^^

A, A3 a. A» A,

qui sont compris respectivement entre \, A, et A2A2, A2A2 et A3 A,,
A3 Ajj et A4 Aj, ....

Cette horizontale détermine avec la ligne de Bruckner des segments
de répartition dont les aires seront désignées par T|, o-j, Ts. . . .

{Remarquons que, si l'on élève l'horizontale choisie, certaines de ces
aires diminuent tandis que les autres augmentent. Par exemple, sur
(a figure 128, les aires Tj, 0-4, ... augmentent tandis que o-i, 0*3, ...
diminuent; et, si l'on représente par t l'aire totale, savoir

g r= (T, 4- (Tj -J- jj -h . . . ,

qui mesure le moment de transport total, on a

dfs = d^t -»- d^w -+- . . . — ( d(Sx -^ d^z -+-•••)»

198 SECONDE PARTIK. — CrBATURE DES TERRASSES.

OU

dv = dx[Xi-^x^-h.. .— (iPi-f-a7,-h., .)].

L'aire t (et, par suite, le moment de transport total) étant minimum
lorsque sa différentielle est nulle, il en résulte que ce minimum est
donné par Thorizontale pour laquelle

r j -h 3:4 -h . . . — ( a^i -h xs -4- ..) = o.

Si cette horizontale se trouve à r intérieur de la bande utile, ce
qui est généralement le cas, c'est donc elle qui fournira la position
la plus favorable de la ligne de répartition,

11 est d'ailleurs facile de déterminer cette horizontale sur laquelle
la somme algébrique des segments alternés, com[>ris entre les diverses
portions de la ligne de Bruckner, est nulle.

Si, en effet, à partir du premier élément A| A'^ de cette ligne, on
porte sur chaque horizontale un segment, dit segment sommatoire,
égal à la somme algébrique des segments de cette horizontale, alter-
nativement affectés du signe -h ou — , on obtient comme lieu de la
seconde extrémité de ce segment sommatoire une droite qui change
de direction lorsque l'horizontale passe par un sommet de la ligne de
Bruckner. Sur la figure 128 cela n'a lieu que pour l'horizontale qui
passe par le sommet A",. Si donc, sur les horizontales extrêmes d'une
part, sur celles qui correspondent aux sommets intermédiaires du
polygone de Bruckner d'autre part, on porte les segments sommatoires
correspondants, la ligne brisée obtenue en joignant les extrémités de
ces segments que nous appellerons ligne sommatoire {et qui se réduira
souvent à une seule ligne droite) fera connaître les variations de la
somme [x-i -+- x^ -h. . . — {xx -\- Xj 4-. . .)] sur toute la hauteur de la
bande utile.

Sur la figure 11% cette ligne sommatoire se compose des deux
droites aa" et a" a' , Lorsque, comme c'est le cas sur cette figure, elle
rencontre le premier élément A, A'^ de la ligne de Bruckner en un
point a« situé dans la bande utile, c'est-à-dire entre A» et A^, l'hori-
zontale de ce point fait connaître la position la plus favorable cherchée
pour la ligne de répartition.

Si le point a, se trouve en dehors de la bande utile, on prendra
l'horizontale de cette bande la plus voisine de celle qui correspondrait
au minimum absolu, c'est-à-dire celui des bords de cette bande utile
qui se trouve du côté du point a,. On voit, en effet, puisque la varia-

CHAPITRE VI. — COMPENSATION ET MOUVEMENT DES TERRES. I99

tion de Faire t est linéaire et, par suite, toujours de même sens à
partir du minimum de cette aire, qu'une horizontale donne une aire 7
d^autanl plus petite qu'elle est plus voisine de celle qui correspond au
minimum absolu.

104. Ligne de répartition en gradins, — Nous avons supposé
jusqu'ici qu'on adoptait une ligne de répartition unique sur toute la
longueur du projet. Or, il peut, en certains cas, être plus avantageux
de ne pas procéder ainsi et d'adopter, sur celte longueur totale,
plusieurs lignes de répartition de cotes différentes, formant alors des
gradins.

Soit, par exemple, aiaj {fig- 129) la ligne de répartition unique

Fig. 129.

A» Ai A^ Ag

correspondant au minimum, et qui a été déterminée comme il vient
d'être dit. Si, pour les deux premiers segments, on substitue à la
ligne aittj la ligne a'^a, telle que (t\(x^=z a'^a,, on obtient une dimi-
nution sur la somme o-^ -+- Tj en vertu de la remarque faite ci-dessus.
De même la substitution à la ligne tz^n^ de la ligne a^^a'^, telle que
a 3 a"^ = a'^ a'j , assure encore une diminution sur la somme o's+o'4.
Finalement, en remplaçant la ligne de répartition unique af ag par
les deux lignes a, a!, et a, aj, formant gradins, on diminue l'aire totale t
et, par suite, les frais de transport des terres. Cette substitution ne
change d'ailleurs pas le cube total des terrassements. Elle a simple-
ment pour effet de remplacer les dépôts antérieur au point «i et pos-
térieur au point as, que faisait apparaître la ligne a, as, par des
dépôts antérieur au point a', et postérieur au point a'^, plus un dépôt
situé entre les points a, et a',, le cube total de ces divers dépôts
étant le même dans les deux cas et égal à la hauteur de la bande
utile.

Mais il est essentiel de remarquer que ce remplacement de la ligne
de répartition unique par une ligne à gradins n'est pas toujours pos-
sible.

2«0 SECOND K PARTIE. — CUBATURB DES TERRASSK8.

Par exemple, clans le cas de la figure i3o, les lignes x\ a!, et a], a'3,
définies exactement comme dans le cas précédent, ne sauraient être
admises parce qu'avec cette disposition la portion de déblai située
entre a, et a, devrait fournir à la fois les deux remblais équivalents

Fig. i3o.

i\i - ^-^-^

A, A,A,

situés Fun au-dessous de a!, sur A2A!^, l'autre au-dessus de %^ sur

A, a;.

On peut, pour juger de cette impossibilité, considérer les deux
parties de la ligne de Bruckner, auxquelles correspondent les deux
lignes de répartition en gradin successives, comme soudées au point a.,.
Il faut dès lors que chaque ligne partielle se trouve à l'intérieur de la
bande utile correspondante. Pour la première partie, cette bande est
comprise entre Thorizontale Ai A3 du point de départ A, et l'horizon-
tale ai aj du point d'arrivée a,,; pour la seconde, elle est comprise
entre l'horizontale ajas du point de départ a3 et l'horizontale A, A^ du
point d'arrivée A'..

Dans le cas de la figure riy, les lignes partielles a^ n'.^ et a*, a* sont
bien à l'intérieur de ces bandes utiles partielles, tandis que dans le cas
de la figure i3o elles seraient à l'extérieur, d'où l'impossibilité cons-
tatée dans ce dernier cas.

ANNEXE.

NOTIONS SOMMAIRES DE NOMOGRAPHIE («)

103. Principe général de la représentation nomo graphique
des équations à trois variables, — Si les équations

(a,) F,(a?,^, ai)=o.

(«î) F,(ar,^;a,)=o,

définissent trois systèmes de lignes (a,), (a2), («a), cotées au moyen
des valeurs du paramètre correspondant, les cotes de trois de ces lignes
concourant en un même point satisfont a Féquation

(E) 4>(ai,a,, a,) = o

obtenue par l'élimination de x et^ entre les trois précédentes. L'en-
semble des trois systèmes cotés («i), («a)? («s)? {fig^ ''^0 constitue
donc une représentation graphique de l'équation (E). Cet ensemble
est dit un abaque ou nomogramme à entrecroisement de cette
équation.

Etant donnée l'équation (E) on peut choisir arbitrairement deux des
trois systèmes, (a< ) et (aj) par exemple; l'équation du troisième (as)
s'obtient, en effet, par la simple élimination de a, e\ aj entre les

(*) Pour plus de fiétails, se reporter au Traité de Nomo graphie de Tauteur,
déjà cité et désigné ici par les lettres T. de N.j ainsi qu'à son Mémoire plus récent :
Exposé synthétique des principes fondamentaux de la Nomo graphie, désigné par
les lettres E, .S.

équations (a,), (aj) et (E). Il faut toutefois que le résultat de cette
élimination donne des lignes réelles. On dit alors que l'on a disjoint
les variables a,, aj et as de Téquation (E).

On peut toujours, pour opérer cette disjonction, prendre pour (a,)
et (a2) les équations

(a,) a? — «1 = 0,

(a,) >' — a,= o.

L'équation (aj) est alors

(a,) 4>(a:,7,a,) =o,

et, si, comme c'est l'habitude, on fait croître les cotes a,, a,,, a, par

Fig. i3..

valeurs rondes, on obtient la disposition d'abaque représentée par
la figure 182 ('), désignée, en raison de la forme donnée dans ce cas
aux équations (a,) et («2)7 sous le nom à! abaque cartésien.

Mais, en vue d'avoir à construire des courbes plus simples, on

(') C'est de cette disposition en damier (âêa^ qu'est venu le terme d'o^o^u^
dont l'emploi s'est généralisé depuis lors pour toute espèce de tableau graphique
coté, indépendamment de cette disposition particulière ( T. de /V.). Ainsi qu'il arrive
souvent en pareille matière, l'usage n'a pas eu en cela souci de la logique de réijmo-
logie. Le terme de ;Vomo^ra/7/iie étant définitivement consacré par l'usage, M. Schilling,
Professeur à l'Université de Gôttingen, a proposé de donner aux tableaux graphiques
cotés en général le nom de nomogrammey en ne conservant celui d'abaque que pour
ceux, en disposition de damier, auxquels il s'appliquait primitivement. Nous nous
sommes rallié pour notre part à cette proposition.

NOTIONS SOMMAIRES DE NOMOGRAPHIK. 12o3

pourra, le cas échéant, recourir à un autre mode de disjonction des
variables.

Soit, par exemple, Téquation

/:*-♦- kp sincpcoso — ^ cos'ç = o,

dans la(]^uelle k représente le rapport de la base à hauteur d'un mur

Fig. iSa.

«

7

N

N

y

•

\

,\

l\

5

\,

xN'

^1

^

(at)%

A

\

^^N

s.

s-^

I^X

3

\

^

[Vs

~N^

X

"->>

^

N

2

S

S.

^

•^^

^

^

1

N

H

\

^*>

^

^

•^

V,

(a.t

I 23^50763

de soutènement à section rectangulaire, p le rapport du poids spéci-
fique de la terre soutenue à celui de la maçonnerie du mur, « Tangle
naturel de cette terre (M* Son abaque cartésien obtenu en posant

x = k, y = Py
comportera le tracé des hyperboles

y
ar' -f- xy sin «p cos cp — "^ cos' <p = o.

Or, la disjonction des variables de cette équation peut s'opérer au
mojen des équations

X

(k)

^1 ^ y\^ px = O,

7 — artangçp = o,

dont la première et la troisième représentent des droites et la

C*) Voir CoLLiGNON, Résistance des matériaux, 3' édition, p. 669.

204

ANNEXK.

deuxième des cercles passant par l'origine el ayant leur centre sur Oar;-
et le tracé de ces cercles est immédiat alors que les hyperboles
de l'abaque cartésien devraient être construites point par point. La

figure i33 montre cet abaque à droites et cercles (') réduit à sa por-
tion utile, vu les valeurs pratiques de p et îp.

106. Abaques à droites entrecroisées. Anamorphose. — Le cas
le plus intéressant, en raison de la simplicité de la construction de
l'abaque correspondant et aussi de l'extrême fréquence avec laquelle
il se rencontre dans la pratique, est celui où les trois systèmes (ai),
(aa) et (a,) sont des systèmes de droites.

Si alors les équations de ces trois systèmes sont

(ai)i
(«î)i
(«3)1

•^/i(ai)-t-r?i(2ti)-
^/ï(«l)-^-J^?î(aï)-

l'équation représentée, obtenue par l'élimination de x et y, peut
s'écrire (si l'on se contente de désigner les fonctions des diverses
variables par l'indice correspondant)

(K)i

Parmi les équations susce[)tiblos de prendre cette forme, les plus

/.

?i "Vi

/.

<PÎ ^t

/.

?« -v»

(') Pour la théorie des abaques à cercles, voir : T. de .V., p. ii3 el E. S., p. 18.
Pour la construction de Tabaque particulier donné ici en exemple, voir : T. de A.,
p. ii5.

NOTIONS SOUMAIRES DE NOMOGKAPHIK. '2o5

fréquentes dans les applications appartiennent soit au type

(E), /l/8-t-«?l?3-»-^'3=0,

pour lequel les systèmes («i), («a) et (aj) sont
(a,), ar— /i = o.

soit au type plus particulier encore

(E)s . /,-f-/, = /3,

pour lequel on prend

(a,)i 07— /, =o,

(«1)3 7—/i = o,

(«3/3 :r-4-^— /, = 0.

La représentation par des abaques à lignes droites des équations
des types (E)a et (E)» est due à Lalanne (*), qui a donné à la trans-
formation qui rattache ces abaques aux abaques cartésiens définis ci-
dessus le nom à'' anamorphose. Gomme exemple du type (E)3 on
peut citer les équations rencontrées précédemment (n" 87) qui font
connaître Taire o* d'un profil en travers et la largeur d'emprise e en
fonction de la cote z et de la déclivité 9. Les abaques de ces deux
équations, construits avec les mêmes systèmes de lignes (5) et (8), se
trouvent superposés sur la figure 1 14 (p. 170).

C'est en cherchant à généraliser l'anamorphose de Lalanne que
M. Massau a rencontré le type (E)| ci-dessus (*).

107. Transparent à trois index. Abaques hexagonaux. —
Dans le cas très particulier, mais très fréquent en pratique, où l'équa-
tion représentée revêt la forme (E)^, les trois systèmes de droites
(a, )3, (a2)s, («3)3, sont composés de droites parallèles. On peut donc
se dispenser de tracer ces trois systèmes de parallèles en conservant
les échelles perpendiculaires à leurs directions respectives pourvu que
l'on dispose d'un transparent, d'orientation constante, portant trois

( • ) Mémoire sur les Tables graphiques et sur fa Géométrie anamorphique
{Animales des Ponts et Chaussées, i" semestre iS^(i).

(^) Mémoire sur Vintégration graphique et ses applications { Annales de l' Asso-
ciation des Ingénieurs sortis des Écoles spéciales de Gand, 188^).

2o6

ANNEXE.

index concourants, respectivement parallèles aux directions des trois
systèmes supprimés. On obtient ainsi le type de nomogramme repré-

Fig. i34.

sente parla figure i34 où les index I|, I2, I3 |du transparent mobile
sont marqués en pointillé ( • ).

On voit que les échelles portées sur Ox^ Or et Oz sont respecti-
vement définies par

Si, tout en maintenant les index normalement aux échelles, on

Fig. i35.

2 3 h b 6 JC

(a,)

incline les échelles 0:r etO^ à 60"*, au lieu de 45®, de part et d'autre
de O^, on obtient la disposition de la figure i35 pour laquelle

(*) Celle iransformation a été proposée pour les abaques des déblais et remblais
de Lulannepar M. Blum {Annales des Ponts et Chaussées, i*' semestre 1K81).

NOTIONS SOMMAIRES DE NOMOGRAPHIE. 'AO7

on a

•*^=/l» ^=/î» -»=/»•

Ou oblient ainsi le type des abaques hexagonaux imaginés par
M. Lallemand (*) et dont on a donné plus haut (n" 89) le principe
sous une forme plus élémentaire en vue de leur application au calcul
des profils en travers.

108. Nomogrammes à alignement, — L^entrecroisementde trois
systèmes de lignes («i), («2)? («s) peut entraîner une certaine confu-
sion dans la lecture des cotes, confusion qui ne saurait être évitée
que si, sur Tabaque considéré, chaque cote ne s^ applique qu^à un
seut point au lieu de s'étendre à toute une ligne.

L'emploi du transparent permet de satisfaire à cette condition dans
le cas particulier du type (E)3. Voici, pour les équations du type (E)i
le plus général, un principe (*^) qui permet de réaliser le même desi-
deratum, et par un moyen beaucoup plus simple, puisqu'il n'y a plus
ici qu'un index au lieu de trois et point de sujétion d'orientation.

Il suffit, pour énoncer ce principe dans toute sa généralité, de
remarquer que l'équation (E)| ci-dessus exprime l'alignement des
trois points

l«.J

[«al

puisque, par variation des paramètres a^, a^, a, correspondants, ces
trois points engendrent des lignes graduées [a^], [a2])[tt3]- On obtient
ainsi le type de nomogramme représenté d'une manière absolument
générale par la figure i36.

(') Comptes rendus, i*' semestre 1886, p. 816.

(^) Énoncé pour la première fois, à l'occasion d'une application particulière, dans
une Note intitulée : Procédé nouveau de calcul graphique (Annales des Ponts et
Chaussées, a* semestre 1884, p. 53i), puis, sous une forme générale, dans une Note
intitulée : Méthode de calcul graphique fondée sur l'emploi des coordonnées
parallèles {Génie civil, 1890, p. 343). Ce principe a été développé depuis lors dans
le Chapitre IV de la brochure : Nomo graphie. Les calculs usuels effectués au moyen
des abaques (1891), dans le Chapitre III du T. de N. (1899), et dans E. S., p. ^o.

-il-

-£•

-g-

^08 ANNEXE.

On peut d'ailleurs appliquer à cet ensemble do points la transfor-

Kig. i36

,/ :i

mation homographique la plus générale en posant

X'/,+ iJi'<p, + v'i)/, '

va.,

X'/i-(-(j.'o,-l-v'iJ;,'

. ^ ^'/|-H|Jt'f»-t-v>i
X'/,-t-(ji'<p,-t-v'ii/j*

^' =

les paramètres X, ul, v étant quelconques mais tels pourtant que le
déterminant

X fX V

V II' v'

X' fx' v"

soit différent de zéro. La transformation revient, en eff'et, au point de
vue analytique, à la multiplication par ce déterminant de celui qui
constitue le premier membre de l'équation (E)|.

A. titre d'exemple, voici une équation qui se rencontre dans la
théorie des murs de soutènement : soient ABCD et MBGN (fig^ i3^)
les sections rectangulaire et trapézoïdale de deux murs de soutènement
de même hauteur et de même résistance. Si l'on pose

BM
BA

= /,

et si l'on appelle/? le rapport du poids spécifique de la terre soutenue

NOTIONS SOUMAIRES DE NOMOGRAPHIE. 209

à celui de la maçonnerie, on a

(i-hl)h^—l(i-hp)h-'^ ^^ ^ =0,

en remarquant que cette équation peut s'écrire

!i(/«— i) 3/(/-hi) -/(/ — I)

2(a/>-hi) 3(/>-+-i) —(p-hi)(^p-^i) =0,

h I — A«

et prenant des valeurs convenables pour les X, (x, v on obtient le

Fig. 137.

nomogramme de la figure i38 {*),

Pour le type (E)2, il suffit de prendre, / désignant une longueur
quelconque ( ^),

X = — /,

X = Ij

ar = /

?S^-/3

y = ?27

r =

?8-+-/»

(^) Pour le détail de la construction de ce Domogramme voir : T. deN., p. 198.

(>) Aux exemples donnés dans le T. de N. (Chap. III, Sect. II et III) pour
les équations de ce type et du suivant, qui se rencontrent à chaque pas dans la pra-
tique, il convient de joindre ceux» très nombreux et fort intéressants pour les
ingénieurs, que l'on trouve dans un important Mémoire de M. Soreau paru en
aotUt 1901 dans le Bulletin de la Société des Ingénieurs civils. L'extrême multipli-
ciié des applications de la méthode des points alignés ayant attesté sa valeur pratique,
le capitaine d'artillerie Lafay qui a, pour sa part, fait connaître plusieurs de ces
applications, et non des moins importantes, a donné un procédé pratique pour
mettre approximativement, entre les limites fixées à la variation des variables, une
équation quelconque à trois variables sous la forme (E), ou (E)^ {Bévue d'Artil-
lerie, 1901, et Génie civil, 1902).

d'O. i4

2iO ANNE X F.

Pour le type (K)», ou un peu plus généralcHient

Pf\ -^ ?/f =-/».

on prend de même

x^—l.
r = l.

„_ , 9—P
q-\-p

On retrouve ainsi le ty|)e de nomogramme déRni au n* 91 par un

Fig. i38.

U)

ai-:

) \

ae-i

a»-

I

procédé élémentaire, en vue de son application au calcul des profiU
en travers.

109. Échelles binaires, — Pour obtenir la représentation d'équa-
tions à plus de trois variables, la première idée qui se présente con-
siste à substituer, dans un des types de nomogrammes précédents, des
éléments à deux cotes aux éléments à une seule cote qui y intervien-
nent.

On peut d'abord, s'il s'agir, comme éléments cotés, des points d'une
échelle rectiligne, recourir à l'artifice suivant, qui a été proposé par
M. K. Prévôt pour les alxaques hexagonaux :

Si l'on accole au support de l'échelle pris pour axe Ox{fig, lâg >
les deux systèmes de courbes, définis par

on voit que la parallèle à Or passant [)ar le point de rencontre d'une

NOTIONS SOMMAI lES BB NOMOGRAPHIE.

!2II

courbe (a) et d'une courbe (P) donnera sur O^ un segment dont la
valeur

s'obtiendra par réiiraination de y entre les équations précédentes.

<A)

L'axe Ox muni du réseau des courbes (a) et (ji) constitue alors ce
qu'on appelle une échelle binaire de la fonction ^ (a, P).

Voici, à titre d'application, un abaque hexagonal à échelle binaire
{Jig' i4o) construit pour la formule de M. Boussinesq relative à la
poussée des terres ( * ),

7.

H. ^•"«'(^-1) •="*(!-!)

ces

[»-(M)]

dans laquelle

© désigne l'angle de frottement des terres sur elles-mêmes,

©I l'angle de frottement des terres sur la maçonnerie,

T«y le poids en tonne du mètre cube de terre,

H la hauteur en mètres du mur,

P la poussée en tonnes par mètre carré.

Pour la construction, de cet abaque on a mis la formule sous la forme
logarithmique, et l'on a groupé dans une échelle binaire d'une part
les termes en © et <p,, de l'autre les termes en H et rn.

En outre, les échelles d'un abaque hexagonal pouvant être déplacées
à volonté parallèlement à la direction des index correspondants, on

( *) Pour le détail rie la construction, voir : T. de A., p. 3i5.

NOTIONS SOMHAIIŒS DE NOMOGRAPHIB. 21 3

a fait subir un tel déplacement à une partie de réchelle de la
poussée P, fractionnée au point P = 5, en vue de réduire les dimen-
sions du nomogramme.

La position des index, marquée en pointillé, correspond au cas
numérique pour lequel on a

nr = a', H = 4"',5

s, = 3o», f , =« 35°.

L'abaque donne

P =5^,87.

HO. Points à deux cotes. — On obtient un mode d'extension plus
général du nombre des variables en substituant à des systèmes de points
à une cote, distribués sur des supports quelconques, des systèmes de
points à deux cotes, c'est-à-dire des réseaux de courbes à l'intérieur
desquels chaque point est considéré comme muni des cotes des deux
courbes qui s'y rencontrent.

Si, par exemple, dans les fonctions/,, «,, ^,, /27 Çs? '|'2) /s? ^s?
'^zt qui ont servi à définir le type général des nomogrammes à points
alignés, on suppose qu'il entre respectivement, au lieu des variables
uniques a,, as, as, des couples de variables a, et ^i, cl^ et ^^i ^s ^t
^8j on obtient le type de nomogramme à six variables représenté
schématiquement par la figure i4i-

Kig. i4i.

<oc«J

(at)

(p<)

«Xl)

Un type, très fréquent dans les applications, d'équations à quatre
variables est celui qui s'obtient en remplaçant dans le type (E)2 ci-
dessus les fonctions /a, cp,,, A3 d'une seule variable a.^ par des fonc-
tions de deux variables as et jJ». Les équations [a, ].2, [asjs, [aj]a.

I

»> •«! A» (21 (fr) W( ta) (

-•H2MiH3l-/l) tt» W W» (în»!

NOTIONS SOMMXIRfiS DE NOMOGRAPMIE. 2l5

donûées plus haut serviront encore à définir le nomogroinme, seule-
ment les deux dernières, contenant alors a;, et ^j, seront désignées
par [a:,, fi:,].j. Elles d^^finiront le réseau (a:,,^i), et, pour avoir sépa-
rément les courbes (I3) et (^s) de ce réseau, il faudra, entre ces
deux équations, éliminer successivement 3:» et a^.

Soit, comme exemple, l'équation complète du troisième degré

On voit qu'elle rentre dans le type précédent lorsqu'on prend

^\^P^ «2=<7i «3=^1 3ti=3.

Les équations définissant le nomo^ramme seront donc

[p\ T==— /, y-p^

[q] x^i, f^q,

[n^z\ T :^ l , r =

D'ailleurs la première des équations [/?, 5] ne contenant pas /i, on
voit que les lignes (3) sont des parallèles à O y. Si l'on se borne aux
valeurs positives de 3, on obtient ainsi le nomogramme représenté
par la figure 142 (*) dont le mode d'emploi est le suivant : Les
racines z sont les cotes des parallèles à O y passant par les points
de rencontre de la courbe {n) avec la droite joignant le point (p)
au point (q).

Les positions de l'index, marquées en pointillé, se apportent res-
pectivement aux équations

^*-+- '2-Z — 6 3= o,

^3_|- j»^ 31,163 — 3,2 a* O,

pour lesquelles le nomogramme donne 2 = i ,46 et 5 = 1 ,6.

m. Doub/e alignement. — Indépendamment de l'introduction
des éléments à plus d'une cote, on parvient encore à représenter des
équations à plus de trois variables en ayant recours à d'autres modes
de combinaison entre éléments à une seule cote.

(') Pour la construction de ce nomogramme, voir: 7'. de N., p. i33. Disons à ce
propos qu'à cet endroit les indices i cl 2 de la lettre / doivent être permutes entre les
furmules {p) et (9), ce qui, d'aillcarj, a été sans importance pour la construciion»
puisqu'on a pris /, = l^.

1l6 ANNEXE.

Kn raison du nombre des occasions qui s'offrent de l'appliquer,
nous citerons le procédé du double alignement (*) qui, borné au
cas le plus ordinaire de la pratique, peut s'énoncer ainsi :

Si l'équation à quatre variables peut se mettre sous la forme

et si chacune des équations

a = F(ai,a,),

a étant une variable auxiliaire, est représentable par un nomogramine
à points alignés, Yéchelle cl étant la même sur ces deux nomo-
grammes, il suffira d'accoler ces deux nomogrammes par cette
échelle (a) commune pour avoir un nomogramme de l'équation à
quatre variables, dont le mode d'emploi résultera de l'énoncé sui-
vant {fig- i4'^) • ^^ droite joignant les points (a^) et (aj) et la droite

Fig. 143.

joignant les points (aj) et {cl^) se coupent sur le support L de
l^ échelle (cl), qui est dit la ligne de pivot.

Dans la pratique cette ligne de pivot est d'ailleurs presque toujours
une ligne droite.

On peut alors mettre l'équation correspondante sous une forme
très simple qui a été remarquée par M. Soreau (loc. cit,) : si la ligne
de pivots rectiligne est considérée comme une ligne de terre, les deux
positions de l'index peuvent être prises pour les traces d'un même
plan. Dès lors les quatre points cotés, deux à deux situés sur ces traces,
sont dans un même plan. Or, si, la ligne de terre étant prise pour axe

(*) La théorie générale du double alignement se trouve dans le T. de A'. (Ghap. III,
Section V) et dans E. 5., p. 54-

NOTIONS SOMMAIRES DB NOMOGRAPHIE. '21 7

des o:, on prend respectivement dans chacun des plans de projection
un axe des^' et un axe des 5, les quatre points peuvent être définis
(en coordonnées homogènes) par les équations

(«0

^ =fu

J = ?|.

-5 = ,

/ = 4'i.

(«î)

^=/.,

r = ?i,

>s = o,

^ = 4'«,

(Ï3)

^=/3,

^ = o,

-2 = ?»»

^-+3,

(a*)

^=A.

r = o,

-5 = ?4,

^ = '^4,

Fig. i44.

et l'équation qui exprime qu'ils sont dans un même plan s'écrit

La forme particulière que prend le plus fréquemment cette équation
est d'ailleurs la suivante :

On la représente, en prenant la ligne des pivots comme axe des y,
d'O. i4.

■2l8 ANKBXE.

au moyen des systèmes de points cotés

(«0
(«t)

y = -fu

y- ^*

•^ Oj-f- 1

a7 = i,

y='-f^^

:r- ^* ,

y= /^

?*-

<p*-

Voici, comme exemple ijig- i44)? ^^ nomogramme d'une équation
donnée par M. Bazin pour l'écoulement de l'eau dans les canaux ( ' ) :

où U est la vitesse moyenne, R le rayon moyen, I la pente, y un coef-
ficient qui dépend de la nature de la paroi.

.-!:•'

.9-:

MM

^•5

Voici d'autre part {fig- i45) le nomogramme construit par

(») Voir : T. de A'., p. 23i

NOTIONS SOliliAIRES DE NOMOGRAPHIB. 219

M. Prévôt, d'après la même méthode, pour la formule du nivellement
barométrique (n** 53) lorsqu'elle a été mise sous la forme

Z _ 8000 -h 3a Q

Z désignant la différence de niveau entre les deux stations,

e la différence h — h' des pressions observées en ces deux stations,

(JL la moyenne de ces pressions,

6 la moyenne des températures.

Les positions de l'index, marquées en pointillé (*), correspondent à
l'exemple numérique pour lequel on a

8 = 24™'", 3, fx = 7io™'",4, e = i3%6.

Le nomogramme donne

Z = -288".

112. Idée de la théorie générale, — L'emploi d'index mobiles
[comme dans les abaques hexagonaux (n** 107), ou les nomogrammes
à alignement (n** 108)], voire même d'échelles mobiles [comme dans
les règles à calcul qui, abstraction faite de leurs dispositions maté-
rielles, appartiennent exactement à la catégorie des nomogrammes (^)]
devait faire naître l'idée de rechercher les modes généraux de repré-
sentation des équations à un nombre quelconque de variables, au
moyen des relations de position à établir entre éléments, les uns cotés,
les autres sans cote (ou constants), figurés soit sur un même plan,
soit sur plusieurs plans superposés (').

Cette théorie générale a d'abord été exposée dans le Traité de
Nomographie (Chap. VI, Sect. I), où elle apparaît comme la syn-
thèse de toutes les méthodes particulières décrites dans le corps de
l'Ouvrage. Elle comporte nécessairement un certain mode de classifi-
cation de toutes les méthodes concevables. Ce mode de classification

(*) Il faut remarquer qu*il y a deux échelles {z) accolées, ainsi que deux échelles
(e). L'échelle(^) de o à 180 correspond à l'échelle (e) de à 11, l'échelle («) de o
à 900, à réchelle e de o à 55. Pour le détail de la construction, voir : T, de A'.,
p. 228.

(=») r. de N,, p. 357.

(*) Un élément mobile peut toujours être considéré comme faisant corps avec un
plan mobile glissant sur celui où figurent les éléments pris comme flxes.

220 ANNEXE. — NOTIONS SOMMAIRES DE NOMOGRAPHIE.

repose, à l'endroit cité ( * ), siir-ia double considération du nombre des
plans superposés intervenant dans le type de nomogramme considéré
et du nombre des variables en présence. DriisV Exposé synthétique,
le problème général est abordé directement, et tous les types possibles
de nomogrammes sont ramenés, par la seule considération du mode
de répartition des éléments constants (c'est-à-dire sans cote), à i^ingt
types canoniques dont un à un seul plan et dix-neuf à deux plans
superposés (^).

II serait superflu de reprendre ici le détail de cette théorie géné-
rale (•*). Au moins avons-nous tenu à en signaler l'existence au
lecteur que le sujet peut intéresser.

(' ) r.de j\., p. 399.
(•-•;£•. ^., p. 35.

(^) On en trouvera un exposé élémentaire dans le Compte rendu du Congrès de
l'A. F. A. 5. tenu à Angers en 1903 (p. 180).

FIN.

TABLE DES MATIÈRES.

Paves.
Objet des leçons , v

PREMIERE PARTIE.

TOPOMÉTRIE.

1 . But de la Topométrie .

CHAPITRE L — Organe!» principaux des instruments.

2. Supports 3

3. Vis 4

. 4 . Niveau à bulle ou nivelle 4

5. Réglage du niveau 5

6 . Rectification de Taxe auquel est lié le niveau 7

7. iManiére pratique d'opérer avec le niveau 9

8. Viseurs 1 1

9. Division des cercles la

10. Limbe et alidade i3

11 . Vernier i4

l'2. Erreurs systématiques. Leur élimination par les lectures multiples. Ver-

niers opposés i6

13. Méthode de la réitération i8

14. Erreurs accidentelles 19

15. Aiguille aimantée. Déclinatoire ao

16. Mires ai

2'2'i TABLE DES MATIERES.

CHAPITRE U. — Planimétrie.
I. — Mesure des angles.

Pape»

17. Panlomèlre i^

18. Graphomètre 25

19. Goniomètres à lunelte 37

20. Boussole 29

21 . Équerres 3i

22. Éclimétres .^3

23. CUsimétres 35

24. Théodolite 37

II. — Mesure des distanoes.

25. Mesure au moyen d'étdlons de longueur 38

26. Procédés optiques 89

27 . Stad ia 'i i

28 . Lunette stadimétrique 4^

29. Stadia du colonel Gouiicr 45

30. Lunette anallatique de Porro. Tachéomètre 4<>

31 . Diastimomètre Sanguet 4^

32. Tachéographe Schrader 5o

33. Mise au point automatique 56

34. Procédé de la variation de pente 58

35. Tachéomètre autoréducteur Sanguet 59

III. — Méthodes générales de la Planimétrie.

36 . Principe des méthodes usuelles 62

37. Lever photographique du colonel Laussedat 64

38. Relèvement 67

39. Vérification des angles d'un cheminement 68

40. Tolérance sur le résultat final 71

41 . Vérification des azimuts 73

42. Convergence des méridiens 75

43. Détermination du méridien 4. 76

44 . Coordonnées des sommets 78

45. Recherche des fautes 79

46. Application aux levers d'itinéraires 80

TABLE BR8 IIATIÈIIBS. 22S

CHAPITRE m. — Altiiiétrik.
I. — lastfamentt et méthodes.

Pa^et.

47 . Principe fondamentai 84

48. Niveaux à visée directe 85

49. Niveaux à lunette 88

.50. Niveaux à nivelle indépendante. 9>

51 . Nivellement trigonométrique 94

52. Nivellement par cheminement 9^

53. Vérification d'un nivellement 99

54. Tracé des courbes de niveau ïoi

55. Nivellement barométrique loi

II. - Notions sur le NiTellement général de la France (N. G. F.).

56. Organisation générule 102

57. Réseaux des divers ordres io3

58. Aperçu des méthodes o4

59. Altitudes or 1 ho métriques et cotes dynamique» 106

60. .Niveau moyen de la mer 107

CHAPITRE IV. — TnfioRiB génèhale dbs raccordembn'm.
I. — Raccordements circulaires.

61 . Report de Taxe sur le terrain m

6'2 . Raccordements circulaires simples 1 f 1

63. Raccordements circulaires doubles 1 14

II. — Raccordements à courbure progressive.

64. Relation entre le dévers et le rayon de courbure 1 18

65. Définition générale d'une courbe de raccordement r 1 19

66. Raccordement dans le cas d'un cercle i3o

67 . Raccordement dans le cas de deux cercles 1 22

68. Courbe r théorique. Emploi de la clothoïde 1^4

69. Autres types de courbe T. Emploi de la lemniscate ia8

10. Solution simplifiée. Emploi de la parabole cubique i3o

Tables pour remploi de la clothoïde i33

214 TABLE DES MATIÈRES.

SECONDE PARTIE,

CUBATURE DES TERRASSES.

CHAPITRE V. — CuBATURE proprement dite.
I. — Évaluation des volumes et surfaces des terrasses.

Page».

71 . Définilion d'une terrasse i4i

72. Volume d'une terrasse i43

73. Figuration géométrique. Points de passage i45

74. Parties courbes i46

II. -^ Évaluation des éléments des profils en travers.

A. — Procédés mécaniques,

75. Roulette Dupuit i48

76. Planimètre et intégromètres i49

77 . Évaluation des moments i5 1

B. — Procédés géométriques,

78. Réduction à un segment de droite. Procédés Garceau et Collignon i53

79. Procédé Willotte i54

C. — Procédé algébrique.

80. Formules préliminaires i55

81 . Définition des divers demi-profiIs. Calcul de leurs éléments i56

82. Méthode de cubature simplifiée 162

83. Réduction de la déclivité du terrain à l'horizon i63

84. Tables numériques i65

D. — Procédés nomographiques.

85. Principe 166

86 . Abaque Davaine 167

87. Abaque Lalanne 169

88. Profilomètre Siégler 171

89. Abaques hexagonaux 17a

90. Règles à calcul 175

91 . Nomogrammcs à points alignés 176

92. Résumé pratique 180

TABLE DES HATIBRBR. 225

CHAPITRE VI. — Compensation et mouybment des terres.
I. — Compensation des déblais et remblais.

93. Compensation approchée sur le proGI en long i83

94. Construction du centre de compensation i85

95. Comparaison entre les profils de déblai et de remblai i85

%. Compensation a posteriori 187

II. — Mouvement des terres.

97. Cube réduit en vue du mouvement des terres 189

98. Segments de répartition. Principe de la méthode de Bruckner 190

99. Moment de transport. Distance moyenne 19a

100. Segments à partie rentrante 198

101. Répartition dans le cas général. Lieux de dépôt ou d'emprunt obligés.... 194

102. Lieux de dépôt ou d'emprunt arbitraires. Limites de variation de la ligne

de répartition 196

103. Ligne de répartition la plus favorable 197

104. Ligne de répartition en gradins 199

ANNEXE.

NOTIONS SOMMAIRES DE NOMOGRAPHIE.

105. Principe général de la représentation nomographique des équations à trois

variables 201

106. Abaques à droites entrecroisées. Anamorphose 204

107. Transparent à trois index. Abaques hexagonaux 2o5

108. Nomogrammes à alignement 207

109. Echelles binaires » 210

110. Points à deux côtes 2i3

111. Double alignement 2i5

112. Idée de la théorie générale 219

FIN DE LA TABLE DES MATIERES.

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