Les principes de l'analyse mathématiques; exposé historique et critique

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LES PRINCIPES

DE

L'ANALYSE MATHÉMATIQUE

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LES PRINCIPES

L'ANALYSE MATHÉMATIQUE

EXPOSE HISTORIQUE ET CRITIQUE

PIESBE BOUTROnX

TOME PREMIER

Les nombres — ' Les grandeurs

Les ûgvxes — Le calcul combinatoire — Le calcul algébrique

Calcul des fonctions — L'algèbre géométrique.

PARIS
LIBRAIRIE SCIENTIFIQUE A. HERMANN 4 FILS

LIBBAIHBI DE 3. II. LE SOI DE SUÈDE

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AVANT-PROPOS

L'enseignement des mathématiquea a subi récemmont, preeque
en tous pay», une traneformalion remarquable. C'étaient naguère
la structure de U démonstration, l'enchaînement impeccable de»
propositions qui préoccupaient nos maîtres, fidèles en cela k la
tradition euclidienne. Aujourd'hui on vise, au contraire, à rendre
« intuitives » les conceptions nutbématiques, c'est-à-dire à les-
présenl«r sous une forme vivante et concrète : on ne les sépare pas
de leurs applications, et l'on espère ainsi faire voir qu'elles ré-
pondent è des besoins réels, qu'elles ne sont pas de simples échaf-
faudages de syllogisme, élaborés, en dea heures de désœuvrement,
par des esprits subtils et maniaques. Le point de vue des logiciens
et celui des întuîtionnistes présentent des avantages différents. Les
premiers font des Mathématiques une écolo sans pareille de rai-
sonnement déductir : il est vrai que l'art de raisonner n'est point,
pour une société d'hommes d'action, le plus nécessaire. Les se-
conds forliûent le lien qui unit la science pratique k la science
théorique et ils sauvent ainsi cette dernière du discrédit qui la
menace; ajoutons que, dans l'ensei^^nement élémentaire, la supé-
riorité de leur méthode paraît incontestable.

Il est un point, cependant, sur lequel logiciens et intuitionniste»
se renoontrent. Les uns et les autres ont en vue l'utiltté indirecte
de la culture scientifique — soit pour la formation de la raison,
soit pour l'éducation de l'ingénieur ou de l'homme en général —
et non pas l'étade désintéressée des notions mathématiques elles-
m£mes. A la valeur spéculative de ces notions, & la richesse de
leur contenu, k leurs afBnités, au rAle qu'elles jouent dans la
I rationnelle, ils ne prêtent qu'une attention secondaire.

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DiBiimd, Google

Vm AVAST-PBOPOS

Serait-ce donc que les tJées matliématiques ne valent que par la
manière dont elles sont enHIécs ou par l'usage pratique qu'on en
peut Taire ?

Ce n'est point là, certainement, ce que l'on a pensé ; mais la
science théorique, considérée en elle-mâme, — V Analyse pare,
comme on a l'habitude de rnp]>eler — n'est susceptible d'inté-
resser qu'une minorité d'individus dont les programmes d'études
ne peuvent point ou guère tenir compte.

C'est à cette minorité — non négligeable, il s'en faut — que
-s'adresse le présent ouvrage. Futurs professeurs de mathématiques;
■étudiants qui ont reçu une éducation principalement « intuitive »,
ou technique, et qui ont le désir de la compléter ; philosophes d'ori-
gine dont l'attention est attirée vers les sciences — il est, croyons-
nous, un certain nombre de personnes qui aimeraient à jeter un
-coup d'œil d'ensemble sur l'Analyse mathématique, qui sont cu-
rieuses d'en connaître la signîlication intrinsèque et l'évolution
historique. Peut-être pourrons-nous faciliter la tâche de ces per-
sonnes en cherchant k donner, sur un plan élargi, un pendant et
«ne suite aux Notions de Malhématiqaes de Jules ïannery (').

De l'Analyse mathématique nous avons surtout en vue le con-
tenu. Ce sont les faits mathématiques, étudiés objectivement et
pour eux-mêmes, qui retiendront notre attention plutât que les
procédés, souvent artificiels, par lesquels ces faits sont découverts
■et contrôlés. Aussi laisserons-nous de côté — tout en en faisant

(') Delapave, 5* édit., igto. — Il n'existe, croyons-nous, aucun ou-
vrage qui réponde d'une façon complète au besoin que noug eignalons
ici, mais il en eit d'excellents où les personnes déjà quelque peu au
-courant dei mathématique!, pourront apprendre beaucoup. Telles Bont
les leçons sur les mathématiques élémentaires fEltmtntarmaihemat.
■vont hôheren Standpunkt am] de Félix Klein, où l'on retrouvera la marque
de ce prestigieux talent qui rend l'enseignement de M. Klein si vivant
et attachant. Nous devons signaler aussi le récent ouvrage de M. Léon
Brunichvicg {Les étapes de la phUoaophie matiUmaiique, Aican, i()i i) qui
est sanB doute l'étude philosophique la plus complète et la plus sugges-
tive à laquelle ait donné lieu de nos jours l'Analyse mathématique. Noui
avons nous-meme mis fréquemment à prolit, dans notre travail, la lec-
ture de ce livre et les conseils que M. Brunsebvicg a bien voulu nous
-donner personnellement.

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connaître le principe quand faire se pourra — les démonstrations
de nombreuses propositions : propositions qu'une première ap-
proximation nous permeffie regarder commedesaiiomes évidents,
ou qui sont très élémentaires, ou, ne peuvent être obtenues ~~ au
contraire — ' que par des voies difficiles ou détournées. Nous passe-
rons également sous silence certaines tbéories spéciales, qui
peut-itre sont très utiles dans les mathématiques appliquées, mais
qui n'ajoutent rien à la physionomie de la science. La géométrie,
par exemple, devenue aujourd'hui une simple application de
l'Analyse, occupe dans eut ouvrage une place restreinte : elle devait
cependant y figurer & cause du rôle prépondérant qu'elle a joué
dans la formation des mathématiques pures.

A ces reslrictionB près, le présent ouvrage contient, ou peu s'en
faut, toutes les matières sur lesquelles porte le cours de mathéma-
tiques générales professé dans nos Facultés des Sciences. Il en dé-
passe d'ailleurs notablement le cadre, car il touche par quelques
endroits k certains chapitres de l'Analyse moderne la plus élevée,
et il reprend, d'autre part, la science mathématique & son origine,
i son principe, afin d'en présenter, autant que faire se pourra, un
tableau d'ensemble.

Mais, encore une fois, c'est uniquement le c6té spéculatif de la
science que nous allons envisager. Le lecteur qui voudrait sefami-
liariser avec les méthodes algébriques et analytiques devra recourir
AUX traités spéciaux ('), qui seuls pourront lui donner la technique
et l'habitude du calcul sans lesquelles il n'est pas de vrai ma-
thématicien.

(') Il ett ioutile d'énuméror les nombreux traiiéa de mathémaiiquei
génértiles dont disposent aujourd'hui ceux qui veulent étudier les prin-
cipe! de l'Analyie. L« débutant qui voudra s'aider du secours de la mé-
thode ( intuitive » pourra se référer au Cours de Mathimatiqtua de
H. Emile Borel (Colin, éditeur) ou au récent ouvrage de M, Sainte-
LiguB : Introduction au cours de Mathémaliques Lénirales (Hermann,
éditeur, igiSI. Aceux, d'autre paît, qui, dans le domaine des mathé-
maliques élémentaires, s'intéressent à l'enchaînement logique et à la
perfection formelle des propositions, on ne saurait indiquer de meil-
leurs guides que les Leçon» d'Arithmétique de Jules Tannery et les
Leçon» de Géomilrie de M. Hadamard (Colin, éditeur).

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X AVAnT-pnopot

Je n'entreprendrai point d'expliquer ici le détail du plan et 1»
division des matières que j'ai adoptés. Je me réserve d'en donner
la raison el de chercher k les justifier chemin faisant (') . En gros
l'on peut dire que le présent lome contient ce qui a trait aux
éléments de l'arithmétique, de la géométrie et de l'algèbre, y
compris le calcul des dérivées et la théorie élémentaire des équa-
tions dîBércntielIfls ; le tome II sera principalement consacré à la
géométrie analytique, eux quantités imaginaires et aux dévelop-
pements en séries, à la logique des mathématiques et au calcul
infinitésimal.

Pour réaliser mon programme, je devais évidemment accorder
une large place à l'histoire. Ici encore, cependant, il fallait me
résigner à être incomplet. Je n'ai guère pu donner que des apen;us
sur les tendances principales des diverses époques et des difTérentes
écoles de mathématiciens, sur les moments les plus significatifs,
— les tournants, comme on dit quelquefois — de l'évolution de It»
science. J'éclairerai ces aperçus par de nombreuses citations ori-
ginales, et j'insérerai c& et là quelques brèves indications sur
l'histoire des inventions et des découvertes les plus notables. Enfin,
l'on trouvera k la fin du tome II un Appendice historique contenant
une série de notes biographiques et bibliographiques sur les prin-
cipaux mathématiciens antérieurs à i85o (').

Un lexique général terminera cet ouvrage et permettra de re-
trouver facilement les diverses indications historiques, comme
aussi les définitions des termes techniques et les propositions fon-
damentales, qui y sont contenues.

C'est dire que si le présent livre prétend être un exposé syMé-

(') En particulier, dans le premier chapitre du T^oUiàme Livre qui le
trouvera dans le tome II.

(*) Les reniai céments relatif! aux mathëmaticieni d'importance se-
condaire ne figurant pas dans VAppendice historique seront donnés ou
rappelée dan* le lexique général qui terminera le tome II. Afin de per-
mettre au lecteur de se reporter facilement aux éditions originales des
onvragei anciens, nous indiquerons le plus souvent poaûbie |d«ns les
notée et dans l'Appendice historique) les cotes que portent les exem-
plaires de ces ouvrages conservés à la Bibliothèque Nationale de Paris.

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niatîque de la science, — et qui dit systématique, dit jusqu'à un
certain point subjectif, — si (nous l'espérons du moins) it remue
xjuelques idées et invite k la réfleicton philosopliique, son premier
objet n'en est pas moins de fournir des renseignements objectifs
et de servir de répertoire aux débutants en mathématiques.

Il me reste k remercier tous ceux qui m'ont aidé dans mon en-
treprise: M. Brunschvicg, M. Buhl, M, Rivaud, M. Turrière, qui
m'ont adressé sur de nombreux points des observations utiles;
M. Hermann, à qui je dois une reconnaissance particulière pour
«es aimables encouragements et les soins qu'il a apportés à la pu-
blication de ce volume.

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LES PRINCIPES
DE L'ANALYSE MATHÉMATIQUE:

EXPOSR HlSTOniQUE ET CRITIQUE

LIVRE PREMIER

CONSTATATION DES FAITS

CHAPITRE PREMIER

LES NOMBRES

/. — Le monde des nombres

1, - — « Il conviendrait. — Jit Platon au VU' livre de la
Rèpabtiqae, — il conviendrait de faire une loi et de [>ersuader en
même temps ceux qui sont destinés à remplir les premières
charges de l'Etat de se livrer \ la science du calcul, nou pas pour
en faire une étude superficielle, mais pour s'élever, par le moyen
de la pure intelligence k la contemplation de l'essence des nom-
bres (') ». Ce projet ferait sans doute sourire les politiciens d'au-

(') Et ainsi, giftcs à l'étude dos nombres, l'ftme sera conduite de la
■phère des choses périssables à celle de la vérité et de l'être [Réfiubliipte,
liv. VII, 5a5 bc).

BoDiaoDi. — ■ Ln Princip«) de l'Aoaljte mi Ih^mi tique. i

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3 LES NOMBRES

joiird'Ilui, mais it nous fait bien connaitre l'état d'esprit des
savants grecs à qui tl est donné de conleniplcr pour la premiùi'c
fois te monde merveilleux des nombres. Monde non pas fictif, mais
véritable, car les nombres, essences étemelles, ont une réalité plus
profonde que les objets épbémères perçus j>ar nos sens. Nous ne
conuli'uisonit pa.s, comme on pourrait croire, les théorèmes de
l'aritbmétiqus : nous les j-oyons grâce h tme mystérieuse faculté
de divination que nous trouvons en nous et que les philosophes
appellent <i intuition intellectuelle ><.

Tel était le point de vuo de l'Iaton, tel était plus anciennement,
celui des Pj thagoviciens qui furent, à proprement parler, les fonda-
teurs de la science rationnelle {').

Certes il n'est pas douteux que l'art du calcul avait déjà atteint
en Orient un haut degré de perfection lorsque les Grecs commen-
cèrent à s'y appliquer méthodiquement (au vu' ou au vi° siècle
av. J.-C). Des témoignages précis en font foi, dont quelques uns
remontent à une époque fort reculée : tel le Manuel d' A fîmes (-),
où nous est révélée la science égyptienne d'il y a quatre mille ans ;
telles aussi, peut être, certaines inscriptions babyloniennes qu'on
nous dit être du x.w* siècle avant l'ère chrétienne. Mais, quelles
que fussent ses ressources, la science des Kgypliens et des lïaby-
loniens n'était eu somme qu'un recueil de règles et d'artifices se
rapportant à des problèmes pratiques : c'est pourquoi Platon refu-

(<) Cf. Le Rationnel (iN<|H) et les autres ouvrages de M. G. Mii.iiaud.

(*) Ce manuel a été publié et traduit [d'aprùs le Papyrus Rhinrt du
Musée Britannique) par Eisenlohb : Ein malliematisches Ilandbuck der
ailen Mgypten, Leipzig, 1S77. On suppose qu'il a été écrit, entre auoci
el 1700 av. J.-C, pour de» architectes, des ing.'iiieura et dee arpenteurs.
L'auteur, Ahmei, se borne à énoncer des règles de calcul qui donnent la
solution des problèmes concrets les plus usuels : a règle pour calculer
nn fruitier rond », u règle pour calculer un champ ", problèmes de par-
tage, calcul du rendement en psin de certaine volumes de farine,
calcul de la nourrituro absorbée par les oies et les bccufi. Cependant
l'analyse de ces diverses règles nous donne une idée approximative des
connaissances théoriques du calculateur ég^'pticn. Il sait en quoi consistent
Ici quatre opération» quoiqu'il ne paraisse pas très expert dans la pra-
tique de la multiplication et surtout de la division ; il manie des fractions
de numérateur 1 ; il connaît les progressions ; il résout mémos certaines
équations du premier degré dont les coefficients sont des nombres entiers
ou des fractions [vide Dea.r. Liv.). En somme Ahmes connaît, de l'Ari-
Ihmétique, ce qui est indispensable pour la pratique du calcul; la
science spéculative el désintéressée lui est étrangère.

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LE HO^SE DES nOMBHES i

sail à CCS peuples le nom d'timis de ta science. A. Pytliagofc, et aux
philosophes grecs eu généra), revient l'honneut d'avoir distingué
et opposé l'uue à l'autre ï Arithmétique théorique et la Logistique
ou art du calcul.

2. Qa'Bst-oe qn'un nombre? — On a beaucoup discuté et
l'on discutera longtemps encore sur l'oiigine et la sigiiiScalioa
logique de la notion de nombre. Fort heureusement cette notion
est de celles qui se passent de définitions et de commenlairee.
Depuis l'époque reculée où l'humanité a appris à compter, le
nombre est devenu Tuoe des données fondamentales sur lesquelles
travaille notre pensée, donnée si immédiate, si claire h rinlelU-
gcnce, qu'en cherchant à l'analyser, nous ne roussissons tout
d'abord qu'à l'obscurcir. C'est pourquoi l'Antlimc tique a pu
s'édifier sur des définitions verbales et incomplètes, et n'en être
pas moins tenue dans tous les temps pour la science parfaite par
excellence.

Soit une collection d'objets, par exemple un tas de pommes de
mâme grosseur. Cette collection ou tas définit aaitombre cardinal,
lequel est plus ou moins grand suivant que le tas est plus ou moins
gros. Formons en particulier, et rangeons devant nous une lilc de
tas de pommes comprenant respectivement une pomme, puis deux
pommes, puis trois pommes, etc. Cette file de tas déhnit une suite
de nombres dont nous pouvons comparer les grandeurs relatives.
Chaque tas contient une pomme de plus que le tas précédent,
une pomme de moins que le las suivant. Chaque tas est plus
grand que tous les tas précticlenls, plus petit que tous les tas
suivants.

La suite de nombres que nous définissons au moyen d'un Us de
p<»nmes, nous pourrions aussi la déRnir au moyen d'un las de
poires ou d'un tas d'objets quelconques. C'est pourquoi nous di-
sons qu' « un nombre cardinal est une collection d'objets, distincts,
mais quelconques, de la nature desquels on l'ait abstraction ».
Nous conviendrons d'appeler » anitês » ces objets, sur lesquels
.nous sommes en état de raisonner lors mâme que nous les avons
dépouillés de toute qualité physique.

Nous appellerons u suite croissante des nombres cardinaux » la
suite des nombres qui comprennent res(>ectivemeQt une unité,

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i LES NOMBRES

puis deux unités, puis trois unités, etc. Cette suite contient tous
les nombres cardinaux, — que l'on désigne précisément par les
mots : un ('), deux, trois, quatre, etc. Chaque nombre est sapé—
riettr k tous les nombres qui le précèdent dans la Hiiite et inférieur
k tous les nombres qui le suivent. Chaque nombre surpasse d'une
unité te nombre précédent. Chaque nombre ne figure qu'une fois
dans la suite.

Dans la suite croissante des nombres cartUnaux, chaque nombre
a un raiif] qui est, par définition, le « nombre ordinal n corres-
pondant. Ainsi, un est le premier nombre, deux est le second
nombre, etc. ; [lar conséquent : au cardinal un correspond l'or-
dinal premier, au cardinal deux correspond l'ordinal second, et
ainsi de suite.

Le mot H nombre n non autrement spécifié, — ou h nombre
naturel » — sïgnilie en Arithmétique « nombre cardinal a, et
c'est en ce sens que nous l'emploierons dans les premiers para-
graphes de ce chapitre.

3. — Pour raisonner sur les nombres, nous les représentons
par des signes graphiques ou des figures. Mais ces symboles ne
sont que des images conventionnelles, images que nous substi-
tuons aux nombres abstraits afin de donner prise sur eux à nos
sens et de les fixer dans notre mémoire. Les propriétés des nom-
bres ne sont, en réalité, nullement conditionnées par les signes de
l'arithmétique, et elles restent immuables tandis que ces signes
variant suivant les habitudes, les préférences, la langue, des indi-
vidus ou des peuples.

L'arithméticien se gardera donc d'exagérer l'importance des
signes, et il ne leur attribuera pas d'autre vertu que celle de la
simplicité. C'est ainsi que les Pythagoriciens représentaient sou-
vent les nombres au moyen de files ou de groupes de points.

(') L'unitc, pendant iDOgtemps, ne fut point considérée comme ud
nombre, mais seulement comme l'origine des nombres. C'est ce que
TnÉoN DE Smvrse [auteur d'un ouvrage intitulé ; Ce qui en mathima-
liqut eit utile pour ta teeture de Platon, ii* siècle ar. J.-C.j exprime en

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LE UO:iDE DES NOUBRES

le pornt leur apparaissant comme l'objet le plus simple qui pAl
servir à figurer l'unité (').

Mais, derrière ces points assemblés, que de clioses ne voyaient
pas les Pythagoriciens ! On sait qu'ils attribuaient une significa-
tion mystique aux oppositions que nous révèle rAritlimcliqne : un
et multiple, pair et impair, carré et liétéromèqne ('). Pour eux,
les nombres sont des êtres, doués de qualités et presque de senti-
ments. Il y a des nombres parfaits : ce sont ceux qui sont égaux à
la somme de leurs diviseurs (ou parties aliquotes, iWtr n° 28) ;
ainsi 6=iH-2 + 3;a8=i-l- 2-1-4 + 74-1^. Il y a des
nombres amis (*) (ou amiables çf/.ui ôp-.Ojio;) : ce sont les couples
de nombres dont chacun égale la somme des diviseurs de l'autre ;
ainsi, 220 et aH4, puisque 220 ^^ i-i-a-+-4 + 7'-T- lia, et
384 = 1 +3 -H 4 -H 5 -H 10 + 1 1 4- 20 4- 32 4- 44 -t- 55 -i- no.
Mais, la merveille des merveilles, c'est le nombre dix. 1 Di.v ('),
— écrivait Speusip|)e, neveu et disciple de Platon, — dix est par-
fait, et c'est à juste titre, et conTormément à la nature, que les
Hellènes se sont, sans préméditotion aucune, rencontrés avec tous
les hommes de tous les pays, pour compter suivant ce nombre;
aussi possède-t-il plusieurs propriétés qui conviennent h une telle
perfecUon ». En elTet, le nombre dix renferme autant de nombres
pairs que de nombres impairs (cinq), il renferme autant de nom-

ces termes : ti'J't Sk i, [l'ivài; àpiQ^iqc âXXi ip'/i\ ôipiOfiiû. Dans l'Arilhmi-
tiipie de Simon Stevin, par contre, en ifiHb, nous trouvons une longue
discussion logique ayaut pour objet d'établir : Que l'unilé esl un nombre
(p. i-a). — Cf. La Logique de Port-Royal, 1(^2, IV< part., chap. v.

(') EucLiDE Kprésentait les nombres par des longueurs et déduisait
leun propriétés de celles des flgurci géométriques. L'Aritbmélique appa-
raît ainsi, dans son traité, comme une suite de la Géométrie. Ce mode
d'exposition, — en ce qui concerne, du moins, les nombres cardinaux, —
ne parait pae être conforme à la tradition pythagoricienne et platonî-

(*) Un nombre a est carré s'il existe un nombre n tel que a = n x n;
nn nombre a est hétéromèque s'il existe un nombre n tel que a=^nx (n -f 1 ) .
Noue verrons plus loin (i3 et i.i) que n' égalo la somme des n premiers
nombres impairs, tandis que n X (n + i) est la somme des n premiers
nombres pairs.

I*) Ces nombres étaient connus des Néo-Pythagoricîens, sinon de Pv-
THAGOHE lui-même.

(*) Cité, d'après les Thiologoumèiiea do Jamblique, par Pnul Tanneby :
Pour VhUloin de la Sciênai Hellène, p. tSe.

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bres premiers (i, 2, 3, 5, 7) que de nombres non-promiers ('1, 6.
S, g, 10); il est égal à la somme des quatre premiers nombres
(10= I -H a + 3 -)- 4) : et il 1 bien d'aulrcs proprîélés, dont
Speusippe fait rér.uméralion.

De tous temps l'étude des nombres enliers a eu des adeptes
passionnés : et, si elle donne rarement ticii à des applications
pratiquement utilisables, elle n'en a pas moins procuré les jouis-
sances les plus pures à ceux qui lui onl consacré, soit leurs loi-
sirs, comme au xth' siècle l'académicien eL poète Racbel de
Mé/.iriac ('), comme le conseiller au parlement de Toulouse, Pierre
de Fermai ('), — soit une part de leur activité professionnelle,
comme nos contemporains Charles Ilermite ou David Htibert.

2. — Les opérations tondamentales

4. — On dit qu'on effectue une opérulion lorsque, suivant une
règle déterminée, on déduit de plusieurs nombres donnés un
nombre ou un système de nombres ap[ielé lésulUit de l'opéra-
tion. Effectuer une opération, c'est calcuttr.

Toute opération se traduit par une éijaUlé : on écrit que le résul-
tat de ro[>ération (indiquée au moyen d'un symbolisme convenu)
éyale (=), c'est à-dire : a pour iitleur, tel ou tel nombre déter-
miné.

Comme les Grecs et, plus tard, les Hindous i/*), nous distin-

(') Vide infra, n" a:, ■^^.

(') Vide infra, ^ 4, pasaim.

H Par l'interiiiédîaire Hu montlc ariib«, les Hindous ont exercé (ur
notre arithmétique une influence d'autant plus grande que nous leur
avons emprunlé, ou à peu près, leur systcmc de numération (numération
de position, voir l'ii/ro, n° V-^)- i''^^ (■^■^ grands noms de i'aritfanK'liquc
hindoue sont ceux d'AnvABBAT* fnô en i;!) ap. J.-C), Dbahm*-
GOUPTA (ué en fii^H), Dhaskara (né rn tii^}. Parmi les savants arabei
qui initièrent l'Occident à la science liindoue, le principal est Mo-
BAMMED-tnN-MousA-AL-KiiWAnizui qui vccut à Bagdad et à Damas
dans la première moitié du ix' siècle. Ce savant connu surtout par sou
algèbre (nide infra, ifl 387). est l'auteur d'un traité d'arïlhmétique dont
une version latine {Algoritiimi de numéro indorum] a été publiée par
BoNCOMPAONi [Tratlati d'aritkmelicn, Rome, iS^^ ; le mot Algaritkmi est
une déformation du nom d'Al-Khouarizmi),

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LES OPERATIONS F0:<DAUE:<TALES 7

gnons six opi^ratioDs fondamenlalns : Taddilion, la soustraction,
la multiplicnlion, la division, l'élévation au:c puissances, l'extrac-
tion des racines. Ces opérations peuvent être elTecluécs îndifTé-
remmenl snr des nombres cardinaux quelconques. |Un calcul
dont le mécani^'me varierait uvec le clioiv particulier des nombres
sur lesquels on opère ne pourrait être qualiCé d'opération arilli-
méiique] .

I.es opérations fondamentales sont devenues si familières i
l'humanité que l'écolier le plus ignorant de la scif^nce des nombres
est rompu h leur praUqne. 11 nous snfTira donc de rappeler briève-
ment en quoi elles consistent (').

Etant donné, d'ailleurs, que les règles des opérations ne dé-
pendent pas de la valeur des nombres sur lesquels elles portent,
nous pourrons, dans l'énoncé de ces rè^es, désigner les nombres
par des signes convenus, par exemple par les lettres de l'alpha-
bel. Il sera entendu qu'une opération définie pour les nambres
a, b, c,... est une oi>érafion qat conserve un sens torstjaon rem-
place les signes a, b, c,... par des nombres arbitrairement choisis.

EW Addition. — Additionner deux nombres cardinaux a et 6.
c'est trouver un nombre « qui soit égal à la réunion, ou à la
somme, de a et de b. On exprime cette définition de a en écrivant
l'égalité C)

a^ a + h (a égale a plus b) ;

« el b sont dits termes de la somme et. — Additionner trois nom-
bres a, b, c, c'est trouver un nombre ^ qui soit égal k la somme
de a [somme de a et 6] et de c ; on écrira donc (') :

^ = a-hi-\-r = a-i-r=^{a + b)-i-c.

{') La pratique des opérationa a été en usage chez les plus anciens
peuplM cÎTilisOT. C(. I« manud d'AiiHEa {vide supra p. s, note 2).

C) DaBf eetle égalité, a eit le premier meinire, a + b t»t le aecond
membre. D'une manière générale, on appelle membre d'une égalité l'en-
semble des signea pincoa soit à gauche, soit à droite du signe = (égale).
Sur Torigine des signes +, — , etc., voir infra n" îfift.

I'*) Dans cette igaliti la parenthèse indique que l'addition de a et b est
tuppotie effectuée ; si, par exemple, a = 2, 6 ^ 5, c = 3, l'cgolité veut
dire que 3 + 5 + 3 égale par définition la somme (a + 5) + 3 ou 7 + 3.

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8 LES NOMBRES

De la mâme manicic, on définira l'addition d'un nombre <]uel-
conque de termes.

L'addilîon est dite opération unk'ogue, parce qu'elle conduit ù
un résultai unique parfaitement déterminé (deux nombres n'ont
qu'une somme).

L'addition est dite opération comnmtatioe parce qu'on obtient la
même somme toi-squc l'on additionne les mêmes termes en les
prenant dans différents ordres : exemple : a -j- (i ;= 6 -t- «-

L'addition est une opération associative |>arce qu'on ne modifie
pas la valeur d'une somme lorsqu'on remplace plusieurs de ses
termes par leur somme elTectuéc: exemple: {a+b)-hc^=a-^{b-i-c)
[voir p. 7, noie 3].

6. Sonatractton. — La soustraction est une opération inverse
de l'addition, Elle a pour but, étant donnés deux nombres iné-
gaux a et i (j'apiwlle a le plus grand, b le plus petit) de trouver le
nombre tl qui vérifie l'égalité a r= b -+- d. On dit que d est obtenu
en retranchant ou soustiavant b de a, et l'on écrit :

d =^a — b (d è(jale a ir.oiiis b).

iAi nombre (/ est appelé différence des nombres n et i. .«

7. Multiplioation. — Soient a et 6 deux nombres cardinaux.
l'Onsidéi'ons la somme obtenue en additionnant b termes égaux
h II, et soit a cette somme. Nous dirons que a est le produit de a
par b, et nous écrirons l'égalité :

a == a X fc (» égale a multiplié }>ar b),
OU, plus simplement (')

a = a.b;

l'opération qui nous fournit le nombre a est appelée multiplica-
tion ; le nombre a est le multiplicande de la multiplication, le
nombre & est le mulliplicftleHr ; le multiplicande u et le multipli-
cateur b sont appelés, aussi, /(ic/citrj du produit a.

(') Le eigno . dans le sens de X, s'emploie surtout lorsque les tncicii
du produit sont reprdseotés par des lettres.

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LES OPEKATIOriS FONDA MErtTAI.ES ()

La multiplicalion est une opcmlion commiilalipe, parce <]iic le
produit de a par b est égal au [troduît de h par a ; on a

a X fc = 6 X a.

Nous pourrons donc sans ambiguHé, appeler le nombre a : pro-
tluil des deux nombres a et b.

Le produit de trois nombres (ou trois facteurs) a, b, c, sera, par
définition, le produit du produit efleclué(') (a x b)[yar le nombre r.
On déiinîra pareillement le produit d'tin nombre quelconque de
facteurs.

La multiplication est une opération unwotfue (voir plus baiil ce
qui concerne l'addition). C'est une opération associative, car on a

(a X 6) X c = a x (6 X f).

On pourra donc définir le produit jS des trois nombres a, i, c,
par l'égalité sans parentliises ;

La multiplication est une opération dislribullve, — propriété
cipriméc par l'égalité (')

a X (6 + c) - (« X 6) + (« X <■).

8- Dlviaion. — On confond, sous le non de division, deux
opérations différentes, la division exacte el la division approchée.

Division exacte, — Effectuer la division cxacle d'un nombre a
par un nombre plus petit, b, c'est trouver un nombre y qui vérifie
l'égalité

q X b — a.

Si te nombre q existe {a est alors nécessairement supérieur i 6 et
à q), il est appelé quotient de a par b, ou rapport àeah b;\e
nombre a est appelé dividetide de la division, et Le nombre b
diviseur.

(■] La parenthèae a toujours la mime signilicalion, qu'il s'agisse d
produit ou d'une somme (cf. p. y, noU 3).

[') Celte «galit« montre comment peuvent être distribués tes tcrmca
produit.

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LES TiOMBRES

La division de n par i donne comme quotient le nombre n.
liii-mùme.

Le quotient de a par b, délitii par l'égalilé 5 x fc ^= a, est repré-
senté par Ic3 symboles

00 t'crira donc qu'il est étjal à ces symboles.

La division exacte n'est pas loujoura possible (caractère qui la
distingue des trois 0|>ération9 précédemment définies). En d'autres
termes, il n'eiiste pas toujours un quotient ij qui, multiplié par
un diviseur donné b, soit^gal k un dividende donné a supérieur
à /'. Nous exprimerons l'existence de q en disant que a est divisible
par b. Lorsque a est divisible par b, a est un multiple de b, b est
un fliriseiir de n.

Division approchée. — Soient a et b deux nombres qaelconijues
(a supérieur k b\ Effectuer la division approchée de a (dividende)
par b [diviseur), c'est trouver deux nombres y et r tels que

a — b X q + r.

r étant inférieur à b.

Le nombre q est appelé quotient de la division, et le nombre r
re>,te. Le quotient est le plus grand multiple du diviseur qui toit
contenu dans le dividende (').

9. Elévation aux puissances. — Lorsque les ractetiis d'un
produit sont tous égaux, la multiplication s'appelle èUvntion à une
puissance ('). Elever le nombre a à la puissance p, c'est former un
produit de p facteurs dont chacun est égal it a. Le nombre a
s'appelle base, le nombre p s'appelle exposant. Le résultat, que

Cl Exemples : La division de n^ par 3 donne comme quotient S, reste t<;
donc 2 \ est multiple de '{. La division de ^5 par 3 donne comme quotient H,

1^) Puissance [potentia) eat la traduction dii mnt grec S-Jvi;il; que les
Pythagoriciens et D(ophante employaient exclusivement dans le sens de :
puissance deuxième.

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LES OPÉR\T10:«S FOSDAMESTALES II

l'on écrit (') a', csl une puissance : c'est la puissance p^' de a.
Ainsi S est la puissance troisième de 2.

La puissance seconde d'nn'noinbre a est souvent appelée (') :
rarr^ de a; la puissance Iroisijtme est souvent nppelée (') : cude
'fea.

L'opération de l'étévalion aux puissances (pour une même base)
jouit de propriétés dislribulives remarquables. On a

of X a' = Œ''+' ; — ^= A''"*. si p est supérieur i q :

-, = ., Sip = q.

Ainsi, pour niulliplier Cane par Faaire ileux puissances de a, on
forme fa puissance de a qui a pour exposant la somme des deux
exposants donnés; pour diviser fane par l'autre deux puissances
de a, on forme la puissance de a qui a pour exposant la di^érence
des exposants donnés.

C'est à cause de cetle règle (relative à l'addilion des exposants)
que la puissance quatrième d'un nombre était appelée par Dio-
pbanle d'Alexandrie (et au xvii* siècle encore) puissance carré-
carrée (ou bicarrée) ; la puissance cinquième s'appelait puissance
carré'Cabe, et ainsi de suite (').

L'élévation aux puissances jouit de la propriété associative : ■

{ai')i — ai''^i = (a^y.

[') Celte notation [notation txponentieMe] permet — eu égaid aux pro-
priétés digtributives et aasocialivea énoncées d-rfessous ~ d'effectuer
MUS une loiine particulièrement eimple et élégante les calcule relatifs
aux puiisances. Elle fui introduite en algèbre par Descahtes [vidtDeux.
Liv.). Cependant on la rencontre déjà dans le Triparty en la science des
noml^et, de Nicolas CnucinET {i4S1] [éd. Mnrre. p. iSa]. Viète s'inspi-
rant du système de notation adopté par Diophante écrivait A fiMdr.,
A cub., pour A^ A^ Les Cossiates altemands [vide infra n^ '^7')) cm-
ployèicnt également pour représenter les puissances et les racines un
système de notations spécialeg qui fut simpliTié par Stifel [i486-i5ti7).

(') Quadralum, -ctxpxi^woi ou o^vïixiî (voir p. 10, noie s); cf. p. NU,

(>) Cuèu». xi^a*. __ .

(') A'jva[iti« in! duvafioSviaiiiv, dît Diophante, noiti xupox'j^ow
(éd. Tannery, p. 8). C'est la propriété distributive :

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13 LES «OMBRES

Ainsi, pour élever ai" à ta puissance ç*"" il safjil de malltplier
texposant p par q.

En revanclie, l'élévalion aux puissances n'est pas une opération
comrautative, car (en général) «'■ n'est pas égal à p".

La puissance première d'un nombre quelconque est ce nombre
lui-même. Toute puissance de l'unité est égale à l'unilé.

10. Extraction dearaoiQSs. — L'extraclion des racines est une
opération inverse de l'élévation aux puissances. On dit que le
nombre 6 est la racine p™" (ou racine à'onlre p) ila nombre a.
si b, élevé à la puissance p, est égal au nombre a (ainsi 2 est la
racine troisième de K) ; et l'on écrit

,., = .. «. {/,..!..

Dans celte dernière égalité, le signe i/ s'appelle ratUcal, a est le
nombre ou la (jaantité sous le radical. I/cxtractraclion des ra-
cines est. comme l'élévation aux puissances, une opération uni-
voque. La racine seconde est appelée n racinecarrée », et on l'écrit
d'ordinaire : (/ au tieu de ^' . La racine troisième est appelée
(I racine cubiqae ».

L'exlraclion ('} tTaiie racine n'est pas toujours possible, car, si
l'on se donne un nombre n et un oivire/t quelconque, il n'exis-
tera pas toujours un nombre /) tel que t*" ^= a.

11. Remarque :1e nombre zéro. — Dans lasuÎLcdes nombres
que nous avons dclinic au § / le premier nombre est tut (*).
Zéro, synonyme de rien, ne penl, logiquement parlant, ))asser
pour un nombre, et jusqu'au xvri* siècle il ne fut point considéré
comme tel. Mais, pour l'arithméticien, qu'est-ce qu'un nombre?
C'est un élément que nous combinons avec d'autres par le moj'en
des opérations. Il sera donc loisible de regarder zéro comme un
nombre h condition d'attribuer un sens (convenu une fois pour

('] Il s'agit ici de t'eictraclion praproment dite ou extraction exacte.
Nom déltnitons au n° ^8 ce qu'il faut entendre par les mol» a calcul
approché d'une racine ».

(') C!. supra, p. 4, note i.

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PROPRIÉTÉS DE L.i StTtTE CROISSANTE DEB NOMBRES l3

toutes) aux opérations où entre zéro. Les conventions adoptées i
cet eiïel sont les suivantes (zéro étant représenté par le signe o^. ;

a X o ^ o (rt fois rien ne donne rien),
et (en vertu de la commutaUvité)

o X a = o
Qp^o: (/o = o.

Quant k la division par zéro, et k Vélévalion à la puissance o, nous
nous réservons de les définir plus loin (').

3. — Propriétés de la suite croissante àes nombres.
Progressions arithmétiques et géométriques

13. — Nous avons vu (n" 2) que les nombres peuvent être dis-
posés suivant une suite (croissante) qui contient cliacun d'eux
une fois et une fois seulement. Cette suite s'écrit :

elle peut être prolongée aussi longtemps qu'on vent, et elle jouit
de la propriété suivante : chaque nombre de la suite est supérieur
k tous les nombres qui le précèdent et inférieur k tous les nombres
qui le suivent (*).

Pour pouvoir raisonner sur la suite croissante des nombres, il
laut que nous disions d'abord combien de nombres nous prenons
dans cette suite; si nous ne la limitions pas, en effet, la suite
serait in/tnie et ue se prêterait point au calcul. Nous n'envisagerons
donc que la suite limitée des n premiers nombres (n étant un
nombre arbitraire, aussi grand que l'on veut) ; et, r6mplai;ant par

[') On a remarque que Csuqwkt, dans son Trîparty (v, p. 1 1 , noto i )
p. i65, déclara impoitible t'équation ()i* ^ liz* qui est cependant salia-
faite si l'on dcnne jt« ta valeur a '. on conclut de li que Chuqvet ne con-
sidérait pas o comme un nombre. La lecture de la Summa de Paciuolo
(i4g4), que nous auroDi souvent occaiion de citer, conduit à la mémo
conclusion.

(') Sur les suites croisiantca de nombres, en général, voir infra, 39.

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l4 LES NOMBRES

des poinU les nombres aon écrits, nous ligurerons aiosî cette
suite :

1 1 3 ... »- 1 11.

\^ suite des n premiers nombres a ét6, de» l'antiquité, l'objet de
nombreuses recherches.

Proposons-nous de calculer la somme des n piemieis nombres
somme que nous désignerons par la lettre S.

Au-dessous de la suite écrite plus baul, écrivons une seconde
fois les /( premiers nombres, mais en renversant leur ordre, de
façon que le nombre n se trouve au-dessous de i , le nombre n — i
au-dessous do 2, n — 3 au-dessous de 3, ..., le nombre i nu-
dessous de II. Mous obtenons le tableau :

Additionnons deux & deux les nombres su{>crposés. Chaque
couple de deux nombres superposés a pour somme h -t- i, et.
comme il y a n couples, nous voyons que la somme totale des
nombres qui (igurenl dans notre tableau est égale à /i X (« -h i .
Mais, dans le tableau, chacun des n premiers nombres se trouve
deux fois. J'en conclus que la somme totale des nombres du
tableau a pour valeur a x S et que, par conséquent ;

3XS = nX("+i) ou S^" -^-'^-:*^i).

13. — L'expression de la somme S va nous servir à résoudre
un nouveau problème, l'roposons-nous de calculer la somme des n
premien nombtei pain. Nous désignerons cette somme par le
symbole (') S'.

On appelle nombres pairs les nombres <|ui sont divisibles par a.
Nous obtiendrons ces nombres, en formant la suite croissanle ;

2X1 a X 2 2X3...

qui contient manifestement tons les nombres pairs et ne contient

(i) L'accent qui 9uit la loltre S s'r)iionce ; priine ; lo symbole S' se lil
donc ; S prime.

I

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PROPRIÉTÉS DE LA SL'ITE CROISSANTE DES NOMBRES l5

qu'une fois chacun d'eux. Pour calculer U somme S', nous n'au-
rons qu'à appliquer les règles (le la multiplication. Les /( premiers
nombres pairs sool les nombres

a X 1. 2X1, .-■ a X ".

Leur somme S' est égale à

3 X (r -i- 3 H- ... -i- »() ou a X S.

S étant la somme calculée plus Iiaut. Nousavons doncl'égalilé ^') :

S' = 2 X S = n X (n-f-i).

. 14- — Priiposons'HOus maintenant de calculer la gomme des it
premiers nombres impsin. Nous désignerons cette somme par le
symbole ('} S".

On appelle nombres impairs les nombres qui ne sont pas divi-
sibles par 2. Pour obtenir la suite de ces nombres, nous n'aurons
évidemment qu'à i-etrancher de la suite croissante des nombres la
suite croissante des nombres pairs a, 4, etc.

Considérons en particulier la suite des (3 X ri) premiers nom-
bres

1, 3. ... 3 X ("— l), 2X1,

et la suite des n premiers nombres pairs

U est clair que tout nombre de la seconde suite figure aussi dans
la première, et que tout nombre supérieur aux nombres de la
seconde suite ne se trouve pas non plus dans la première suite.
J'en conclus que la seconde suite comprend loiis les nombres pairs
qui font partie t/e 2 X n premiers nombres ; il y en a h ; par con-
séquent, la suite des 'à xn premiers nombres contient aussi n nom-
bres qui ne sont pas pairs; ces nombres sont les n premiers nombres
impairs, dont la somme, par conséquent, égale la somme des

(') Le nombre n X (n + i) est.d'aprèa ta terminologie pythagorii
un sombre hétéromèque (et. supra, p. 5, note -j).

(') Le double accent qui euît la lettre S s'i-nonoe : seconde; le syni-
bole 5' ae lit donc : S eeconde.

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l6 LES NOHBRKS

(a X n) premiers oombres moins la somme des n premiers nom-
bres pairs.

Cela dît, pour avoir la somme des (•» x n premiers nombres,
nous n'avons qu'à remplacer n par 2 X /t dans l'expression de
S trouvée plus haut : nous obtenons :

Retranchons )a somme des n premiers nombres pairs, c'est-à-dire
n X in ■+- Il ou n' -t- n. Il reste le nombre :

a X «» -H n — ( n' -h r») = n*

qui est la valeur de la somme S'.

Ainsi, la somme ties ii premiers nombres impairs est égale au
carré du nombre n. C'est là une belle proposition qui excitait
déjà l'admiration des Pythagoriciens (cf. n° 3). Ils en avaient
donné la démonstration suivante :

Ueprésentons les nombres impairs par les groupes de points :
puis. Juxtaposons-les conforménient à la
figure 1, où chaque nombre impair est
* * 3 r> séparé du suivant par une ligne coudée

tracée en pointillé ('). On voit que, quel que soit le nombre des
nombres impairs ainsi juxiaposés (il y en a
quatre sur le schéma ci-contre), la fîgur.^ formée
e^t un carré dont le câté contient autant de
points que l'on a pris de nombres impairs. Sup-
posons que l'on en prenne n; le carré com-
prendra n lignes de n points, donc 'i* points en
tout. On en conclut que la somme des n premiers nombres
impairs est bien égale à h'.

16- ProgresBionB arithmétique*. — Après la suilc crois-
sante des nombres, celle des nombres pairs et celle des nombres

(') Le nombre impair sinEJ disposé était appelé < gnomon u-, c'est le
lom d'un instrument aBtroiiomique dont l'image du nombre impair imite

ti^i • i •

. . . .

Fij. ..

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PHOPHIÉTÉa UR LA SUITE CROISSANTE DES NOMBRES I7

impairs, les anciens ont envisagé d'autres suites de nombres qui
jouissent de propriétés analogues.

Considérons une suite de nombres satisfaisant aux condi-
tions suivantes (') i i* la suite est croissante, ce qui signifie que
tout nombre de la suite est supérieur au\ nombres qui le pré-
cèdent et inférieur aux nombres qui le suivent; 3° deux nom-
bres consécutifs quelconques pris au liasard dans la suile ont pour
différence un même nombre /* (cbaque nombre surpasse te précé-
dent de r unités).

l.oi-sque ces conditions sont satisfaites, on dît que la suite est
une <i progression arilhmél'ique » i^*) ; les nombres de la suite
sont les II termes u de la progression ; le nombre r en est la
« raison a (').

Soit a le premier terme d'une progression arilbmétique de
raison r : le second terme est a + r ; le troisième terme est
a~h 2 X r; ... le n*"" terme tst a -i- [n — t) x r.

Nous déduisons facilement de \k l'expression de la somme des
n premiers termes de la progression. En effet cette somme com-
prend :

n fois le nombre a.

(1) Cet déflnitioni subaisteront, sans modificationa, lorsque lea nombres
de la Buita ne seront pas des noDibrea entien {Vide infra, n" 38 et ii6).

(') Dan* le Papyrui Rhind [voir p. a, note î), l'Egyptien Ahmes
pose le problème suivant : ■ Distribuer dix mesures de blé entre dix
personnes de manière que chaque personne ait à ^^ mesure en moins que
la personne qui a reçu avant elle s. Les fractions de mesure de blé qui,
d'après cet énoncé, doivent revenir aux dilTérentes personnes sont respec-
tivement

Cette suite de quantilésest une progression arithmétique dont les termes
sont des fractions. D'autres problèmes traités dans le même papyrus nous
confirment dans l'opinion que les calculateurs égyptiens savaient manier
les progressions arithmétiques. Plus récomment, les progressions furent
familïires aux arithméticiens de la Grèce et de l'Inde. Lea Arabes les
firent connaître à l'Occident.

(=) Il résulte de ces déGnitions que la suite croissante des nombres est

une pn^restion arithmétique de raison i. La suite croissante des nombres

pain ou des nombres impairs est une progression arithmétique de raison a.

BovTnoui. — Lm princi|>M ds l'Aoïl)'» nulhfiutiquB. a

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i8 I

pias la somme (>;

r X J -+- 2 -\- ... -h [Il — 0]
qui (d'après le calcul de S fait au n° 13) a pour valeur

J'en conclus i^ue la somme cherchée est égale à

nombre qui est manifestement la moitié de

(M-hrX («-1)1 X n.

Mais l'expression entre crocliets n'e^t autre que la xomme da pre-
mier terme a et dit n*"* lermc |a + (n — t) X r] de la progres-
iion. Et ainsi nous aboutissons à la règle énoncée par Nicolas
Chuquet dans son Triparly{ifiS!i} : v ^j l'addition du premier avec
le dernierest multipliée par la nioittc (') du nombre des nombres,
la multiplication est égale h tous les nombres progressionnés en-
semble a (éd. Marre, p. 66).

lb. Somme dee pnisMuioes lemblaUe* dee termes d'ane
progreasioa arithmétiqne. — Considérons «ne suite de n nom-
bres formant une progression arilbniétique de raison r. Il nous
sera commode de représenter les termes de la progression par les
symboles suivants :

où les chiffres i, 2 n sont des indices {'; indiquant le rang

qu'occupent les dilTérents termes dans la pro;;rcssion .

Nous avons appris à calculer la somme des termes de la pro-

(') I.« crochet [ J a ici le même kiu qu'une parenthtee ; il indique une
opération elTectuce.

('] Cette moitié est une fraction si le nombre de* nombres est iiq>air.
Il faut donc connaitrc Ib calcul de9 fractions pour légitimer dans tous les
cas la règle de Chuquet.

(') Les symboles ni, a;, a> se lisent respectivement; a indicé i ;
a indice 2 ; a indice n.

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PnOPRléTÉB DE LA SGITB CHOI33ANTE DES NOMBRES 19

pression o, .^_a,-^- ... -t-a„. Nonspourrionsnouspn^ioserpitreille-
meat de calculer la tomme des carrés des termes de ta progression,
c'est-i-dire la somme

ou, pliu généralemeat, la somme des m*»» pnissanoes des termes
de la progression, c'esl-à-dire ta somme

où m est un nombre quelconque.

C'est là un problème qu! a joué nn rdle important dans le dére-
loppement de l'Analyse mathématique, et qui a, pour ce motif,
retenu l'altentKHi des savants les plus illustres.

Eniisageons en parlïcutier le cas où la progression arithmétique
est celle des n premiers nombres.

La somme des carrés des n premiers nombres était connue
d'Archimède (') (W siècle av. J.-C.}. La somme des cubes a été
é^alemeot calculée dans l'antiquité.

La somme des quatrièmes puissances est donnée sous une forme
imparfaite il est vrai, par Gtiiyalh addin al Kaski (') qui vivait à la
cour lartare, à Samarcande, dans ta première moitié du xv* siècle.

Johann Faulhaber ('), professeur de mathématiques k Ulm
(i58o-i635) effectua le calcul des puissances semblables des
n premiers nombres jusqu'à la onzième puissance.

Au ivu° siècle enfm, le problème fut résulu dans toute sa géné-
ralité. Il fut proposé à Fermât par le Pèie Mcrsenne, et Fermât
déclara en septembre i636 (lettre Ji Mersenoe, OHuv. de Fermai,
U, p. tÎ9) : a Problema lotius fortasse Arithmetices pulcherrinmm
constniiiniud, quo non solum in quavis progressions summani
quadrntorum et cuborum venamur, sed omnium omnino potesta-
tuni ininOnitum, methodo generatîssima, quadraloquadratorum,
qusdralocuborum, cnbocuborum^ etc. ».

(') iKp': DiiKun, X. Les nomLres élant rcprcseiiléa par dea grandeurs,
l'évaluation de la sommo de leuis carrés est, pour Archî mille, un pro-
blème de géométrie.

(') Ed. WœpcKE, Paris, iS53, p. 6u-6i.

(') Ilerrn Johann Faulhahera, continuatio seiner neuen Wunderkanste,
Zurich, 1617; cf. Cantob, Verleêuitgen, t. II, p. 7.^8.

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aO t.E8 NOMBRES

Biaise Pascal résolut ta même <]ucstion en i6bà> cl il exposa sa
méthode dans un traité latin intitulé Polestalum numerkarum
Siunma (').

17. — Nous allons, à titre d'exemple, elTecluer U calcul de la
somme des carres des n premiers nombres par une méthode qui
ne diKre pas au fond de celle de Pascal et qui se laisse facilement
étendre au cas des puissances supérieures.

Désignons par le symbole S la somme des n premiers nombres,
par le symbole (*) S] la somme inconnue des carœs de ces
nombres, par le sjmbole Sa la somme inconnue de leurs cubes,

Nous allons nous servir d'une formule que nous établirons plus
loin, mais dont il nous est facile de vérifici- dès maintenant
l'exactitude en effectuant deux multiplications successives ('). Dé-
signant par p un nombre quelconque, nous avons l'égalité

(i + p)' = I -H 3 X p -t- 3 X /»' -+- /)'.

Faisant successivement, dans cette égalité, p=^o,p=i,...,p = n,
nous obtenons le tableau :

(1 -H i)=^ I +(3 X i) + i3 X I
{,+,)3__,_^(3 X 3)+(3x =

(,+„)>==. -H (3 X ») -I- (3 X «') + «'

Additionnons colonne par colonne. A gauche des signes ^. nous
avons n -H I nombres cubes consécutifs dont la somme n'est
autre que : Sa + {i + n)'. A droite nous avons :

n fois l'unité,
plus le produit 3 X (i -H a -H ... + n), c'est-à-dire 3 X S ;
plus le produit 3 X (i* H- 2* -f- ... -i- n'), c'est-à-dire 3 X Si;
plus la somme i' -)- a' H- ... n', c'est-à-dire Sj.

(■) Traité posthume publié en iCC5, Œui'., t. III, p. 34r

Cl Ce BymLolc se lit S indice •?.

(') On vériDe la rormule en eflectuant le produit :

h + p) X (1 +p; X (i -i-p).

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PROPRIÉTÉS OB LA SUITE CRO<SSi:iTE DES >0\IRnrS ai

Nous pouvons donc, iînalement, écrire l'égalité

S, + (i -H n)' = n H- 3 X S + 3 X Sj + S.

ou, en retranchant des deux membres (c'est-à-dire des deux côtt's
du signe =) le nombre Sj qui est égal à lui-même :

(H- n)» = n + 3 X S -I- 3 X S,.
Mais je connais la somme S : elle est égale (13) à '—- ^^^—L
En la rcmplai;nn[ par celte valeur dans mon égalité et retranchant
des deux côtés du signe =, la somme n
tiens la valeur cherchée de S, :

3 X S, = (I + nj> -

_3 X n_X (n_+ l)

En appliquant les règles de la transformation algébrique que nous
étudierons plus loin, on mettrait l'expression de St sous ta forme
plus simple que voici :

_„ X (/.-(- i) X (ai+ i)
o, _ -g -

18. Nombres polygonaux. — Nous avons vu que la somme

n X (n -t- l)
nciens donnaient au nombre — ■ — ■ lo nom de « nombre

Irianijalaire », et ils justifiaient ainsi celte appellation. Considé-
rons un triangle isocèle formé de points, comme l'indique la figure
• ci-contre. Nous voyons, que si n est le nombre de points
que contient la base du triangle (/| sur notre ligure), le
.... nombre total despoints du triangle n'est autre que

I _f_ 2 -t- 3 -(- h n. c'est-à-dire — -■. Nous donnerons,

donc, des nombres triangulaires la définition suivante : Le nombre
trianf/alaire de rang n est égal à la somme des n premiers nombres
entiers.

La notion de nombre triangulaire avait conduit les anciens h
définir toute une série de classes de nombres qu'en raison de cer-

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2S US !IOMBREa

taines interprétations géométriques ÎIb a^^Uîent .1 nombret poly-
gonaux Il [ces nombres sont aussi appelés : nombres fiijwâs\.

Le nombre carré de rang n, en particulier, est égal à la somme
des n premiers termes d'iine progression aritlimétique de raison 3
commençant [Uir l'unité (<\

Le nombre pentagonal de rang n est égal à la somme des n pre-
miers termes d'une progression arithmétique de niison 3 commen-
çant pat l'unité ; le nombre hexagonal de rang ;i à lu somme des
n premiers termes d'une progression de raison /t. Et ainsi de
suite (').

Ces définitions sont données par Hypùkles, d'Alexandrie, qui
vivait probablement au 11' siècle avant Jésus— Christ. L'étude des
nombres polygonaux fut reprise et développée par Diophanle, —
également d'Alexandrie (iii'-iV siècle ap. J.-C.) — et elle occupa,
pendant des siècles, de nombreux savants. Etude vaine, peut-être,
si on prétend le juger après coup d'après l'importanoe de ses appli-
cations. Mais au nom de quel principe {lourrions-nons interdire à
l'explorateur du monde des nombres de porter où il veut sa
curiosité?

10. NombreB pyramidaux. Triangle arithmétique de Pas-
cal. — Le nombre poljf^onal n'est point le seul type de nombre
figuré que nous suggère la dérmition du nombre triangulaire.

>>ous avons dit que le nombre triangulaire de rang n est U
somme des n premiers nombres.

Formons maintenant un nombre égal h la tomme des n premiers
nombns trinnijulaires : ce nombre sera appelé » nombre pyramidal
de rany n ».

Les premiers nombres triangulaires étant i, 3, 6, 10, les pre-
miers nombres pyramidaux seront les nombres

I, i-h3~4. I -1-3 + fi = 10, Hr,

Les nombres pyramidaux ont été étudiés por tes anciens. Mais

(') Cf. la génération du enir^ donnée aa n" i^.

(*) Ainsi tes premiers nombres triangulaires sont i, 3, 6, 10, i5,... ; les
prenùers nombres carrés sont i, 4i >),■•■: 'es premiers nombre, penlago-
naux sont i, 1^, 13, 9.-2,...; les premier nombres hexagonaux sont 1, 6,
i5. a»,...

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PROPRIÉTÉS DE l.\ SUm CROlSSl^tTE DES :40UDRES

ni

ils fur^it, daoB les lemps modernes, le point <lfi départ d« nou-
velles généralisations, dont la plus remarquable est sans doute le
triangle arithmétique de Pascal (').

Pascal forme le tableau ci-contre, qui peut être conlinné aussi

om que I

I veut. Dans ce tabtean.

1

1

,

■

• \<

I

4

s

a

3 •

10

IS

^ 10

eo

7-

7-

■'

les nombres de la première H^nc sont

tous égaux à l'unité; les nombres de

la seconde ligne sont les nombres or-

«linaires ou « naturels » ; la troi-
sième ligne conlient les nombres
triangulaires; la quatrième ligne con-
tient tes nombres pyramidaux ; les
lignes suivantes contiennent de nou-
velles classes de nombres qui sont

toutes définies de la nrfme manière, le /i*™ nombre de ckaqw
classe élaat égal à la somme des n premiers nombres de la classe
précédente.

Le triangle aritbmétique jouit de nombreuses et fort belles pro-
priétés qu'il serait malheureusement trop long de rapporter ici
<Cf. n" 266).

20. Médiétéa. — Les arithméliciens grecs ont étudié sous le
nom de médiélés certaines associa lions remarquables de nombres,
qui relèvent i proprement parler de la théorie des proportions
(vide infra n" 06), mais que nous pouvons mentionner dès
maintenant.

Théon de Smyrme distingue dix sortes de médiélés pouvant
avoir lieu entre trois nombres a, /', m; il yen a trois qui sont
fondamentales (') :

I" Médiélé arithmétique, lorsqu'on a

3 X nt = a -+- b :

(') Voir le TraUi du triangle arilhmilique, cent par Pascal c
[Œuv., p. 4Î3 »uiv.) Les nombres de Paical avaient été donnés a
rcmem, avec une dinposition différente, par Michel Stifel. [Arith-
mrtica Integra, NûrenberR, i.iP) et par quelque» autres auteurs.

(•) Cf. MiLBAUD, Les philosophes géomètres de la Grèce, T<)oo,p. ga. Les

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i^ LES NOMBRES

m est alors moyen aritliméliijoe (moyenne, an sens usuel du mot)
entre a et 6.

a* Médiélé géoméinqae, lorsqu'on a

m est alors moyen ijiométrique (ou moyenne proportionnelle) entre
a et b; si a est divisible (') par m, on [>oiirra écrire

3" Médiété harmonique, lorsque l'on a (')

u X a X b = m X (a + b):

m est alors moyen harmonique entre a et b.

Les médiétés interviennent dans une foule de problèmes, aussr
bien en géométrie qu'en arithmétique. La médiété géométrique,
en particulier, permet de définir certaines suites de nombres
remarquables que l'on appelle « pro</ress!ons </éomélriques ».
Ces suites ont élé étudiées par les firecs, mais on en trouve déjà
un exemple dans le traité de l'Egyplien Ahmes.

définitions qui suivent subeislent BftDi modifications lorsque les nombres
a. b, m ne sont pas entiers {Vide injra, a<» 38 et i iC).

Si l'on connaît ia théorie des proportions, on pourra écrire comme il
suit les égalités qui définissent les raédiétés :

Midiiti ariihmitique :

Midiili géométrique :
Médiété harmonique :

(') Et dans tous les cas si l'on connaît le calcul des fractions.
(*) Si l'on connaît le calcul des fractions, on reconnaît, en divisant
chaque membre par m X a y. b, que cette égalité équivaut à

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PROPRIÉTÉS DE I.A SUITE CROISSANTE DES NOMBRES a5

31. Progressions géométriques. — On appelle ainsi une
suite (le nombres (dits termes de la progression) dont cliacun est
moyen géométrique entre ses deux voisins.

Représentons les lermes de ta suite par les symboles [cf. 16) :

«.. «1. o ",,.

et supposons que chacun d'eux se dtkluise du préciSdent en le
multipliant par un nombre (') b (toujours le même et dilTérent
de i).

Nous aurons, pour les lermes successifs de la progression, les
valeurs suivantes ;

o, : a, = n, X i ; a3 — aixb=a,xb':
a, = ff, X 6 — n, X (>'; ...; n, — n, xfc"-'.

el, par conséquent :

aj = o, X aj ; aj = o, x «i ; etc.
Le nombre b est appelé h raison » de la progression.

Proposons-nous de calculer la somme des n premiers termes
d'une progression géométrique dont le premier terme est a, et la
raison b.

La somme cherchée a pour valeur :

0, X (1 + 6 H- M H-.. . + 6—'}.
Pour simplilier cette expression, efTectuons la multiplication de la
somme (i + fc + ... -t- b"~') par le nombre b — i. 11 est
facile de vériHer que nous obtenons, comme produit, te nombre
6" — I , En d'autres termes, nous avons l'égalité

.-'-■■■ + '•- = ?--.

et il en résulte que la somme cliercliée a pour valeur le produit ('J

('} On déduit do là que

^* = "? = ?î , Ole.

{') • Soit, — dit Chuquet dana son Triparty [14RV. — 'e dernier
nombre multiplié par le dénominateur de la proportion [c.-à.-d. par la
raison de la progrea*ion], de laquelle multiplication soit 6tD le premier,
■oit I ou autre nombre quel qu'il soit ; et le résidu soit party Idivisé] par 1
moins que n'est le dénominateur d'icelle [la raison} •,

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LES TIOHBaES

4. — Problèmes divers relatifs aux nombres

aa. Dlviaeara et multiples. — L cliidc dcK nom]>rcs carcli-
nauK nous suggère une foule de quesUona d'ordres divers qui sont
généralement aussi ardues à résoudre qu'elles sont simples à
énoncer. L'effort que ces questions exige de nous n'a point peu
contribué, sembic-l-îl, i leur conférer ce caractère de beauté mys-
térieuse qui a de tous temps captivé les niatliématiciens.

C'est la théorie de la division qui a donné Iteti au plus grand
nombre d'investigations, et c'est d'elle que nous allons tout
d'abord dire quelques mots.

Nous avons vu (8) qu'un nombre b est dit diviseur d'un nombre
a lorsque a est divisible par 6 ; a est dit, en ce cas, muliipie de b.

Lorsqu'un même nombre en divise séparément den\ autres
a et 6, it divise évidemment leur somme et leur dltlërencc. Le
quotient est égal à la somme ou \ la ditlérence des quotients de a
et de b. D'autre part, pour qu'un produit de plusieurs facteurs soit
divisible par un nombre c, il suflit que l'un des facteurs du pro-
duit soit divisible par c.

L'application de ces règles (qui réstdtent de la tléiinition même
des ojiéi-aiions fondamentales) permettra de résoudre toute uae
tiérie de problèmes relatifs aux diviseurs et aux multiples de»
nombres.

Etant lionne un nombre quelœnifue, f/ncis soni les ilwisenrs 'li-
ce nombre ? Combien y en a-l-il ?

Etant donné plifsieurs nombres , (/nets sont les ilivisisenrs com-
muns à Cf'S nombres ? Quel est le plus (jranil de ces dii'iseurs com-
muns? QaeU sont les multiples communs aux plusieurs nombres"?
Quel est te plus petit de ces multiples ?

Ces diverses questions sont traitées, avoc autant d'élégance que
de vigueur, dans les Eléments d'Euciidc ride in frit 167).

Pour y répondre rapidement, il est comnKxIe de mettre les
nombres pro|(osés sous la forme de produits avant |>our facteurs
certains nombres que l'on appelle " nombres premiers » ou « fac-
teurs premiers n. Les nombres premiers jouent dans l'ArUliioé-

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PROBLKHES DITEU RELATIFS AUl \0MUBE5 27

tique tout enliÀre un râJe prépoodéraDt, kI leur îniportaDCe avait
«léià été mconnoe par ha Pytbagt>ncieas.

23. Décomposition en laoteors prenklsra. — Tout nombre
rt est divisible par i (le quotient est a). — Tout nombre est
divisible par lui-même [le quotient est i), — Un nombre qai
n'admet piis d'autre diviseur que iui-méme tt Cunité est aiipelé
'< nombre premier a. \insi les nombres i, 2, 3, 5, 7, ii, ill sont
des nombres premiers; les nombres A, 6, ij ne sont pas premiers.
Soit n un nombre quelconque : je dis que ce nombre [wut tou-
jours être mis sous la forme d'un produit dont tous les facteurs
sont des nombres premiers.

En effel, si n n'est pas premier, on démontre 1') qu'il admet
&ùremeot un diviseur premier, a. Appelant le quotient n, nous

n = n X n,.
/Il étant plus petit que n.

Si ni est premier, le théorème est démontré. Si Ri, n'est pas
premier, il admet un diviseur premier, b. Appelant ni le quotient

-,', j'aurai l'égalité :

i>i étant plus petit que fii.

Si ni est premier, le ihéorème est démontré. Si n^ n'est pas
{H^mier, on le décomposera comme n. nt, Ui. Et ainsi de suite.

Les nombres ni, Ri, n,, ... vont en diminuant ; il est donc
certain qu'après avoir répété un nombre sufïisant de fuis la même
opération, on tombera sur un nombre (') /i^ qui est égal à i ; on
s'arrêtera à ce momcnt-IA.

Amsi le nombre n peut ùlre mis sous la forme d'un produit de
lactenrs premiers a, b, .... I. En réunissant, s'il y en a, (confor-
mément à la définition des exposants), les facteurs premiers égaux
nous obtiendrons fmalement notre nombre n sous la forme (')

n=:a' X t^ X ... X 0".

)■) Voir Im traités d'arithmétique élémeataire.
(') L'indica p indique le aoinbre des divitiona elTectuécs.
('} Nous reinplaçmi par des pointe les facteun que hmu n'écrivons
point et dont nous ne précisons pas le nombre.

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aS LBS nOidURES

Dans celte expression, les Icltres a, b, ..., / désignent les fadeurs
premiers distincts (ces facteurs pourraient se réduire à un seul; ; les
lettres a, j'5, .... X sont les expounnls de ces facteura (s'ils sonl
égaax & I, on ne les écrit pas).

L'opération que nous elfcctuons lorsque nous mettons n sous la
forme indiquée est appelée « iléiomposUion du nombre n en fac-
leurs premiers ». Il n'y a point de procédé infaillible permellant
de trouver (') du picmîcr coup les (acteurs premiers a, b. ..., l
qui composent un nombre. On ne [leul effectuer la décomposition
qu'en tâtonnant, c'est-à-dire en recherchant successivement si le
nombre est, ou non, divisible par les nombres premiers de plus en
plus grands 3, 3, 5, 7, etc.

34. — IVevenons maintenant h la théorie de la division. Pour
qu'un nombre n soît divisible par im nombre m, il faut et il suffît
que chacun des facteurs premiers de /» se trouve |>armî les facteurs
premiers de n avec un exposant au moins égal. Cette remarque
nous permettra de former facilement tous les diviseurs d'un nom-
bre n dès que nous aurons décomposé ce nombre en facteurs
premiers.

Soient, d'autre part, ileux nombres n et m décomposés en fac-
teurs premiers. Nous calculerons sans peine leur plus grand com-
man diviseur et leur plus petit commun multiple.

I^ plus ifrand commun diviseur (' est le produit obtenu en pre-
nant [Kiur facteurs les facteurs premiers communs aux deux nom-
bres et aiïectant chacun d'eux du plus faible des deux e\pos:ints
qu'il a dans les décompositions des deux nombres.

(') Oq observera qu'en sujet de la décomposition en facteurs premiers
dtvx problèmes se posent ; 1° démontrer qu'il existe toujours un produit
de facteurs premiers égal à un nombre donné quelconque n , 3° trouvtr
elTectivcment ces facteurs. Il a été question ci-dessus du premier pro-
blème. Noua faisons maintenant allusion au second.

(■) Les arilhmélicicna démontrent, on le sait, que l'on peut obtenir le
plus grand commun diviseur de deux nombres en appliquant la régla
suivante ; On divise le plus grand nombre, a, par le plus petit, 6 ; si la
division se fait exactement, b est In plus grand diviseur cherche ; sinon
on divise b par le reste r de la division cITecluée ; puis on divise le divi-
seur r de cette nouvelle division par te reste qu'elle fournit ; et ainsi de
suite jusqu'à ce que l'on ait une division qui so fasse exactement; le
dernier nombre employé comme diviseur sera le plus grnnd ci
seur cherché.

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PnOBLËUES mvEKS RELATIFS ALI XOUItnES QQ

Le plus petit commun multiple de m et /i est le produit obtenu
en prenant pour facteurs tous les facteui's premiers de m et n et
affectant chacun d'eux du plus grand des ex]>osants qu'il a dans
les décompositions des deux nombres (ou, — s'il ne figure que
dans l'une des deux décompositions, — de l'exposant qu'il y n;.
Le nombre ainsi formé est le plus petit nombre qui soit divisible
par m et par n.

On définira scmblablcment le plus grand commun diviseur et le
plus petit commun multiple de trois nombres ou davantage.

Deux nombres qui n'ont pas d'autre diviseur commun que i
sont dits premiers entre eux.

25. Goagruences. ■~ On se sert souvent, pour étudier les pro-
priétés relatives à la divisibilité des nombres, d'une terminologie
spéciale, qui est due à Gauss (') et que nous allons indiquer.

Supposons que deux nombres dilTérents n et n', étant divisés
par un même nombre m, donnent un même reste, ^ou3 dirons que
les deux nombres sont congrus suivant le module m et nous
écrirons :

n^ n' (mod. m).

La relation ainsi écrite est appelée congraence.

Cette terminologie est avantageuse parce qu'elle permet d'ex-
primer en termes analogues un grand nombre de faits difTérents.

Ainsi, pour indiquer que /' (nombre inférieur à m) est le reste
de la division de n par ni, nous écriions :

n^ r (mod. m).

Pour exprimer que n est divisible par m, nous écrirons :

n^o (mod. m).

Les congrucnces jouissent, d'autre part, de propriétés fondamen-
tales dont l'énoncé est facile à saisir : Deux nombres congrus h un
troisième, suivant le module m, sont congrus entre eux; si l'on
ajoute un même nombre aux deux membres d'une congruence,

— ou si l'on multiplie ces deux membres par un même nombre,

— le résultat est encore une congruence, etc.

'^ Diiguititione* Arilhmeticae, Leipzig, iSoi.

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30 LES KOHBRBS

Ad lieu de constater que certains nombres sont congrus eotrc
eux suivant certains modules, on peut se proposer de déterminer,
— s'ils existent, — les nombres inconaus qui |>cuTent être con-
grus, suivant un module donné, h des nomlnes donnés.

Considérons, par exemple, la oongnience

a X a; =; (' (mod. b^

où a, b, c, sont trois nombres donnés. Noua ne connaissons pas
encore la valeur du nombre x, et nous ignorons même a priori
s'il existe un nombre entier x tel que le produit a X x soit congru
à c suivant le module 6. Si alors nous Iroavons un nombre x 'on
plusieurs) satisfaisant aux conditions^ requises, nous dirons que
nous avons « résolu la congnience » et que la valeur trouvée en est
une « solulion » ('). Si, par contre, il n'existepasde nombre x qui
en soit solution, nousdirons que la congruence est (i impossible ».
On peut projioser des congruences plus compliquées que la pré-
cédente, par exemple une congruence de la forme

aXx*-hbXr-i-r^o (mod. m]
ou une congruence do la forme

X- = a (mod. m).
où n est un exposant quelconque et x un nombre inconnu. La
résolution de ces congruences {à supposer qu'elles soient possibles)
présente souvent de grandes diliicuUés.

Los congruences ont été étudiées par les plus grands arithméti-
ciens modernes, Euler, Lejeune Dirîcblet, Legendre, Gauss.

26. Résolution des équetions arithmétiques. — Reprenons
la congruence

o X X ^ c (mod. b)

que nous avons écrite plus haut. Supposons la possiUe, et consi-
dérons la dtirérence des deux nombres a X x et c. D'après la
définition des congruences, cette différence est divisible par b :

(') Appelons d le plus grand eomman diviseur i)e a et 6. On démontre
que si c est divisible par d, le congruence proposée a plusieurs solulions
(elle en a d) ; si c n'est pas divbil>le par d, la congruence est impcasible.

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PBOeLÈues DiTSKS acLATirs aux noubiibs 3i

ap[K.-lons y le quotienl. Nous iDrcuis, suÎTant qaea X xtsi plus
grand ou pttis petit que c, l'une des égalités

a X 3r — c — b X y ou r = axx-\-bxy.

Ainsi, dans le cas où la congruence admet des solniions, it existe
des couples de nombres x et 7 BatisfaÏMot A l'une des égalités
écrites ci-dessui. tUciproquement, s'il existe un couple de nom-
bres X et y sattafaisant k l'une de ces égalités, le nombre j; de ce
couple est une solution de la congruence indéterminée,
t ne égalité telle que

et, d'une manière générale, toute égalité (équation) qui doit être
satisfaite lorsque l'on donne a x ety des valeurs que nous ne con-
naissons pas encore, est appelée « éqaalion arithmétique indéter-
minée » ('). A priori nous ignorons quelles sont les valeurs de x
et y; nous ne savons même pas s'il est possible de trojiver deux
nombres x et 7 véririant l'égalité donnés. Lorsque de (cis nombres
existent, ils sont appelés a sohilions de l'équation ». » Résoudre
une équitioa m, c'est en trouver les stdutioos.

Comnte le montre l'exemple que nous venons de donner, l'étnde
de* équations aritbmiétiquea est intimement liée à celle des con-
gmences.

37. — Les aritbméticiens ont étudié de nombreuses équations
iodélenninées (*), et quelques-unes de ces équations sont restées
célèbres.

(') Les roots ■ équaliMi ', t solution i, que notu employon ■ ici soot
emprunlés ù l'algèbre. Et en eftet l'égalité pr<q)osée n'eat autre qu'une
équation atgebriquc (voir D,ut. LiV.), Mais nous 11e rechercheront ici qiio
ocllei de* tolntions de l'équirtion qui sont des nombres entiers. L'équa-
tion algébrique a x x + b x y == c, k deux inconnues, n'aurait pas de
solutions dclerminées (elle puurruit être satisluite qutl que aoit x pourvu
que y ait une valeur convenabli^) : c'est pourquoi cette équation est
appelée, en algèbre comme en arithmétique, i équation indéterminée ».

(') DioraAMTa, fe grand arithméticien grec, qui vécut probablement ou
IV* siècle ap. J.-C, étudia de nombreuses équations indéterminées. Il
chercha en particulier dans quels cas l'équalionAx:r' + Bxv' + C = i/-, ou
A, B, C sont trois nombres entiers (ou, plus généralement, rationnctt,
vide injra, % V\ admet pour aolulions des nombres x tX y enlieis (ou

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la LES aOllBRES

Telle est l'équalion de Pjlliagore

Celle équalion est vérifiée par les valeurs x ^= 3, j z^ 'i. z ^ 5
(puisque Q -'i- \6 = 2b), et elle admet une infinité d'autres solu-
tions qui ont une signiflcntion géométrique simple. Si l'on cons-
truit, en elTet, un triangle rectjingle dont tes trois côtés aient
pour longueurs de^ nombres entiers, il résulte du fameux lliéo-
rèmc de P^tliagore sur le carré de l'Iiy^toténuse (109) que les
trois longueurs satisfont à l'équation x' + y* = z'.

Considérons maintenant l'équation

On savait déjà au xvit* siècle qu'elle n'a jxis de solution, et ce fait
fut démontré rigoureusement par Euler.

Fermât alla plus loin;'), et déclara avoir démontré que l'équation

est, pour m = 2, une équation u impossible en nombres différents
de zéro ». Mais Fermât se borna h énoncer ce résultat sans donner
ses preuves; et, si l'exactitude de la proposition a pu être établie
rigoureusement pour les valeurs de m moindres que i 000, la solu-
tion générale du « problème de l-'ermat » continue de se dérober
aux efforts sans cesse réitérés des mathématiciens du monde entier.
Nous voyons, par ces exemptes, que les problèmes qui se rat-
tachent aux équations arithmétiques n'aboutissent bien souvent
qu'à la constatation d'une impossibilité. Mais, s'ils nous causent
des déceptions, ils nous conduisent aussi parfois à de beaux théo-
rèmes auxquels nous ne nous attendions pas. En voici un, entre
bien d'autres, que nous n'aurions certes pas pu prévoir a

piuB généralement ralioDnelsj. 11 en est ainsi : 1° Si A et C sont nub ;
2« Si A est le carré d'un nombre entier (ou rationnel); 3« Si C est le
carre d'un nombre entier [ou rationnel). Cf. HRATa, Diophantua of Alexan-
drie, 2' éd. Canjbridge, igro, p. 67 etsuîv. — Les matliématiBions Wndous
{vide supra, aP 4 ot in/ra, Deux. Lif.) ont résolu également diverses
.équations arithmétiques.

[') Obaervationa sur Diophante, Œuc. de Fermât, t. 1 p. 291.

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PBOBLEUES DlVEnS RELATIFS AUX NOUDHES 33

l'avance ('). vTout nombre peut être considéré comme la somme de
cinatre nombres carrés (o étant compris parmi les nombres) » . .Vinsi

ai ;= 4" -4- 3' _|- 1* -+- o', aj ^ 4' + a* + i* H- i*,
a3 ::= 3' -H 3' 4- a» + i', etc.

as. Problèmes divers. — Parmi les problèmes secondaires,
auxquels on ne veut plus accorder aujourd'bui qu'un intérêt de
curiosité, il en est cependant qui ont un brillant passé.

Nous avons déjà parlé (3) des nombres parfaits cl des nombres
amis. Ces nombres, et d'autres analogues, auxquels conduit la
considération de la somme des diviseurs d'un même nombre, ont
provoqué, dès l'antiquité, de nombreuses recherches ■^^).

On appelle d'ordinaire « parties aVtquates » d'un nombre l'en-
semble de ses diviseurs (le nombre lui-même excepté, mais l'unité
comprise). Un nombre non parfait est, d'après la terminologie
pythagoricienne, abondant ou déjidanl suivant que la somme de
ses parties aliquotes lui est supérieure ou inférieure. Lu nombre
abondant égal à la moitié ou au tiers, ou au quart de la somme de
ses parties aliquotes, est dit sous-double, ou sous-triple, ou sous-
quadruple.

De là, une foule de questions. En i63i . Mersenne (') propose
de trouver un nombre, autre que i3o, qui soit sous-double. En
1637, Fermât (') adresse aux mathématiciens de toute l'Europe un
défi en règle, où il demande de trouver un cube qui augmenta de
ses parties aliquotes soit un carré, et un carré qui, augmenté de
ses parties aiiquoles, soit un cube.

Fort anciens également sont les problèmes relatifs aux carrés
magiques.

On appelle carré magique de rt' cases un carré où sont disposés
(comme sur un damier) /i' nombres, appelés éléments du carré,

{') C« théorème énoncé par Bachet dans ses commentairei sur Dia-
pltaute {Dùphanti arithmêticorum, lihri, IV, id. Bachet, Paris i63r. p. i8d)
a été démontré rigoureutement, par Lagbange (Nouv. mim. de VAc. de
Btriin. année 1770, p. ia3) et par Etiler (1777).

(*) Cf. d«tM VEncyel. de» Se. math., I, i5, le n° 23 rédigé par Paul

0 Œuc. dé Descartea, éd. Adam-Tannery. I, p. 339.
(') Cl, Œw. de Fermât, t. II, p. 33a.

BonnoDi. — Lci Principw d« I'AdiIj'm milhéauitiqas. 3

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Les NOURRIS

ilr- telle fsçon qite la somme des éléments de chaque li^e, chaque
colonne oa diagonale soit tonjoiirs b m£me. — Ainsi le carré

8 t 6

donné par le malliématicipn juif Ahraknm ben Esra (') (mort en
1 167) est un carré magique.

Les carrés magiqnei ont occni^é les Chinois ('), les tfindous,
les Arabes, et ont été de bonne heure connus en Occident. An
wii* siècle, Bachet (') attira sur eux l'attention des mathématiciens
françois. Pascal leur consacra un traité (aujourd'hui petduj,
et l'pxcellent arithméticien Frcnicle de Bessy en fit une étude
approfondie (*).

29. Théorie d«B nombres premiers. — Il nons reste à signaler
le chapitre de la théorie des nombres qui a pent-être donné lien
aux développements les plus remarquables, — le chapitre relatif
aux uombrcs premiers.

11 serait fort utile, — ne fût-ce que pour racilîter la décomposition
en facteurs premiers, — de délei-miner la suite des nombres [we-
miers et de savoir reconnaître rapidement si un nombre donné est
ou n'est pas premier.

On ne connaît malheureusement aucune méthode permettant de
résoudre ces problèmes h coup st'ir : force nous est de procéder
par tâtonnements. Ainsi, nous connaissons les pins pétris nombres
premiers i, a, 3, 5, 7, 11, i3, 17, if), etc. Pour avoir les sui-
vants, le procédé le plus rapide est encore celui que préconisait
Eratoslfiène de Cjrène (376-19 j av. J.-C.l (■;. Dans la suite crois-
sante des nombres, on hilTe d'abord tous ceux qni sont divisî-

(1) Enrycl. des Se. malh., I, i.i, p. (lî.

(') On H trouve un exemple de carré magique <Iani une table chinoise
vieille peut-être de quatre ou cinq mille ans.

(^) Problèmes plaisons et deleclables qui se /ont par U» nombres, i%\2.

(') Celte étude a été publiée, après la mort deFneMCLE.ap. Divers Ou-
vrages de Malh. M dePhijs, par MM. deiAiad. R. des sciences. Pari», i6gî,

(') Ce procédé appelé crible d' Erathoslliine est rapporté dtuis l'ETia-
Yiu'(ï| àp:fl|ji);TiKij de iSicomaqtie de Gérasr, livr. I, chap. xiii.

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PROBLÈMES DITEKS KKL.«TIFS AUX NOMBRES 35

bles par 3, puis tous ceux qui soni divisibles par 3, et ainsi de
suite : tout nombre restant, n'étant divisible par aucun nombre
inférieur, est un nombre premier. On peut, par cette méthode,
trouver tous les nombres premiers qui sont inférieurs â i ooo, ou à
loooo, ou à looooo; mais jamais on nepuisera la suite des
■ nombres premiers ; car celte suite, — comme Euclidc le démon-
trait déjà, — est une suite infinie.

Pour aborder d'une manière plus rationnelle l'étude de la suite
des nombres premiers, il convient de rechercher tout d'abord des
propriétés qui caraclérisent ces nombres et permettent de les dis-
tinguer des autres. Telles sont les propriétés formulées par deux
célèbres théorèmes appelés ihéorime de Fermai et ikéorbne de
Wikon. Le théorème de Fermai, énoncé (') sans démonstration
par le grand arithméticien, prouvé plus tard et généialisé par
Euler (1736), se formule ainsi : Si p est an nombre premier et a
un nombre non divisible par p, la différence ti'""' — i est divisible
par p ; en d'autres termes, on a :

ajr-i ^ I (niod. p).

Le théorème de W'ilsou, énoncé par Leibniz dans un manuscrit
inédit ('), attribué h J . Wileon par Warinf/ ('), s'énonce en ces termes :
Si p est un nombre premier, le nombre 1 x 2X3...x(p — ')-!-•
est divisible par p ; U n'en serait pas ainsi, au contraire si p n'était
pas un nombre premier.

On est parti de ces théorèmes pour s'attaquer aux pro-
blèmes suivants : Les nombres premiers étant supposés rangés par
ordre de grandeur croissante, quelle est, en fonction {') de n, r ex-
pression du n^<°* nombre premier >> Etant donné un nombre N arbi-
trairement grand, quel est, en fonction de N, le nombre des
nombres premiers inférieurs à N ?

L'étude de ces problèmes a entraîné les arilliméticiens modernes
loin des roules tracées par leurs devanciers. Gaass et Riemann
en particulier, ont reconnu, au début du xii° siècle, que les
« fonctions a déûniee par l'arithmétique sont étroitement apparen-

(') Lettre k Frenicle, i6iio, Œu^'. de Fermât, II. p. aog.

[ ) Cf. Enegd. de» Se. malh.. I, iS, p. n.

f) AfedilatUme» atgebraiem, Cambridge. 3* édit., 1770; préf. p. XLIII.

(') Sur le sens des mott 0 en fonclion de ■ vide infra Diux. Liv. ch. II.

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36 LES :(OMBRBS

l^s aux fondions qu'étudient les chapitres les plus nouveaux de
l'Analyse. Toutes les parties des malliémaliques arrivent ainsi n se
rejoindre tôt ou tard.

30. — Quelque joie qu'il y puisse trouver, le mathématicien ne
saurait s'immobiliser dans la contcmplalion des nombres cardi-
nam. En môme temps qu'une belle science, en effet, rarilhmétiquc
est une science pratique, tenue de satisfaire aux exigences inces-
santes de l'industrie humaine. De là vient que chef les plus an-
ciens peuples civilisés l'arithmétique dut s'engager dans des voies
secondaires, voie dont l'importance théorique ne fut reconnue qu'à
)a longue, k l'époque où la géométrie rationnelle commença à se
développer (').

L'une des opérations pratiques que l'homme a le plus souvent ù
accomplir est le partage d'une quantité donnée en un nombre
donné de parties égales. Celte opération est une dwisïon, mais
nne division qui n'est pas soumise aux marnes restrictions que
celle dont nous avons (ait plus haut la théorie. Soit, par exemple,
h partager le contenu de ■ 3 bouteilles en n lois égaux {n désignant
un nombre quelconque inférieur à la) : la «division exacte»
de 13 par n n'est pas, nous le savons, toujours possible; et, ce-
pendant, quelle que soit la quantité de vin dont nous disposons,
nous pouvons toujours diviser ce vin en autant de lois égaux que
nous voudrons; si la division ne se fait pas exactement, le.s lots
ne comprendront pas un nombre exact de bouteilles, mais on
pourra toujours les constituer en ouvrant une ou plusieurs bon-
teilles et en partageant le contenu. C'est ainsi que si nous regar-
dons le contenu d'une bouteille comme constituant r l'unité de
quantité de vin », nous pouvons être amenés à calculer, non pas
seulement sur des unités entières, mais sur des fractions d'unité,
c'est-à-dire sur des quantités plus petites que l'unité.

) Voir le chap. ii, La lhéori« des proportion) géométriques, en par-
lier {vide in/ra, a" qG suiv.) impotait aux mathématicieiu gna
■de systématique des fracliona.

l'i -

ticutier { _,..

l'ctude gystématiq

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PHAÇTIO<(S ÔJ

Les calculs relatifs aux fractions d'unité reposent sur le principe
suivant, qui est universellement admis : tout objet peut être
divisé en autant de parties égales que l'on veut, et, par consé-
quent, quel que soit te nombre cardinal m, H est possible de diviser
tunilé en m parties égales. Chacune de ces parties est uns
m^'^parlie de Cunilé; nous l'appelons /radron {de numérateur i),
et nous convenons d'écrire :

m*"» partie de l'unité := [égale) ~ ■

Soit maintenant M un nombre cardinal inférieur & m. Suppo-
sons que, parmi les m /n*°>*' parties de l'unité, nous en prenions M :
nous isolerons ainsi une collection de M m*<"* parties de Cunité;
cette collection sera appelée « fraction n, et nous conviendrons
d'écrire :

Uni^mu parles de l'unité ^ — •

Supposons enGn que nous disposions de plusieurs objets indis-
cernables ouuuités, et que nous divisions cliacun d'eux en m parties
égales. Nous obtenons ainsi une collection de parties toutes égales
entre elles. Isolons M de ces parties (M pouvant être celte fols
supérieur à m) : nous aurons encore une « fraction » (') que

de la fraction ; M est le numérateur et m le dénominateur de la
fraction.

Une fraction est égale h un nombre cardinal lorsque son numé-
rateur est divisible par son dénominateur. C'est le cas de toutes

les fractions de dénominateur i , et des fractions telles que ~ • ^ t Q'(^'
En effectuant la division, on « réduit • la fraction au nombre car-
dinal égal. Pour les opposer à l'ensemble des fractions, on appelle

(') Cette exteniion donn^ au aena du mot i fraction t, un peu cho-
quante au point de vue philologique, eit justifiée par ce fait que les
quantitfi que nous convenons d'appeler i fractions >, jouisient de pro-
prÏDtéi aeiublable* que leur numérateur soit ou non égal à i. Les
Egyptiens {vid« 3i) et lei peuples primitifs ne connaiisaient cependant
que les fractions de numérateur i.

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d'ordinaire les nombres cardinaux {et les fracUons i eux réduc-
tibles) : nombres entiers.

31. — Eat-il possible d'efiecluer sut les Tractions les six opéra-
tions fondamentales définies au S 2?

Oui, évidemment, pourvu qne nous donnions des règles non
ambiguës permettant de déduire de deux ou plnsieors fraction*
données certaines fractions nouvelles appelées somme, produit,
gaoliettt...des fractions proposées. Mais, nous venons de voir qu'il
y a des fractions qui sont des nombres cardinaux (nombres entiers).
Les règles des opérations eflectuées sur les fractions devront donc
être lelles qu'appliquées aux nombres cardinaux {plus exactement :
aux fractions égales à des nombres cardinaux) ellts se confondent
avec les règles propres à ces derniers nombres (règles du S ^) .

Le calcul des fractions remonte à une haute antiquité ('), cnr il
est formulé avec une assez grande précision, — du moins en ce qui
concerne les fractions de numérateur i, — dans le traité de l'égyp-
tien Ahmes {vi<U n° 1) ; il se développa en Grèce et aux Indes
(5', 6' siècle, ap. J.-C.) ; puis par l'intermédiaire des .\rabes, qui
le recueillirent de diverses sources, il fut transmis aux peuples
occidentaux. Le premier exposé rigoureux et complet du calcul
des fractions (appelées à cette époque : nombres rompus ('), numeri
rapti) se trouve dans V Arithmétique de Stevin (i585).

32. Règlea fondamentaJes du calcul des fractioiM. —
Les calculs relatifs aux fractions se font par application des
principes suivants, conséquences directes des définitions, et dont
on trouvera la démonstration dans tous les traités d'arithmétique.

Principe A. — Dans le cas oîi le numérateur d'une fractiou est
divisible par le dénominateur, la fraction est égale au quotient.

Principe lî. — On ne change pas la valexir d'une fraction lors-
qu'on multiplie ses deux termes i>ar un même nombre.

Principe C. — Si les deux termes d'une fraction sont divisibles
par un même nombre, on ne cliange pas la valeur de la fraction

(') Lea lystèmei de mesures adoptés en Chaldée reposent sur la division
de l'unité en 60 parties égales : il est donc probable que les Chaldéens
savaient clTcctuer des calculs sur les fractions de dénominateur Go.

{') Ou nombre$ rouU (et. Le Triparty deCnuQVET, Vide, p. 11. note r).

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PRACTlOnS 3f)

lorsqu'on divise ses termes par ce nombre. — Eflectuer uoe telle
opération sera, par définition simplifier ou réduire la fraction. On
dit qu'une Tnclion est irréiluetiblt lorsqu'elle De>p9ut pas £tre
rédnit«.

lje& deux teimes d'une fraction irréductible sont nécesMireoient
des nombres premiers entre eux. En effet, si ces nombres n'étaient
pas premiers entre eux, ils auraient un facteur premier commun
(23) par lequel on pourrait diviser les deux termes de la frac-
tion. Toute fraction peut évidemment âtre réduite en fraction
irtéiluctible.

Principe D. — Etant donné plusieurs fracltone oa pent toujours
les ré<luij-e aa même tlétiominaleur, c'est-à-dire les remplacer par
des fractions égales qui aient toutes le même dénominateur.

- deux fractions quelconques. La première

. Les

deux fractions ' — — — cl "—z,-~i: satisfont donc aux conditions re-
quises; d'ailleurs il est possible que ces deux fiaclions puissent
4tre réduites à deux autres, plus simiilfs, ayant également même
dénominateur ('). Soient données, maintenant, trois fractions

-r, - , - : nous pouvons Iss remplacer par les fraclioDS ëgaks :

L X w X fi M X i X K N X / X »»

ï X m X " ' ( X m X (i ' / X /Il X II ■

Et de même pour un nombre quelconque de fractions.
Cela posé, rappelons les règles bien connues qui définissent les
opérations relatives aux fractions.

33. Addltioa «t coiutraotion. — Considérons d'abord deux

M N
fractions — et ^ de même dénominateur, La somme, ri'suttal de

l'addition de ces deux fractions, est, par dérmition, une Jraction
fuiapoor ilénominaleur le dénominateur commun et pour immi'ni-

(<) D'une manière générale, on peut toujours réduire plusieurs frac-
lïoDS quelconques A un mfime dénominateur, qui est le plue petit a
multiple det dénominateurs de ces fracIioDS.

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$0 LES NOMBRES

teur la somme den deux numérateurs. [M wj*"" ^urlies de 1" unité
-h N m*™** parties = (M -+- N) m*"~ parties].

Si l'on considère, d'autre part, deux fractions de dénominateurs
dilTénnts, on les additionnera en les réduisant d'abord au même
dénominateur, et appliquant ensuite la règle énoncée ci-dessus.
Par exemple :

M ^ N _ M X n _^ N X m _ [M X ») + (N X m)

L'addition ainsi définie satisfait bien à la condition que nous
avons requise au n° 31.

Soit maintenant donné un nombre quelconque de fractions dont
chacune sera, pour simplifier, représentée par une seule lettre a
ou b ou c. Ayant défini la somme {a h- b), nous pourrons définir,
de la même manière qu'au S 2, la somme (ou l'addition) d'un
nombre quelconque d'éléments <i, b, c, ... L'addition sera toujours
une opération univwjue, commutalive et associative {vide n* 6).

La règ'le de la soustraction est analogue à celle de l'addition :

Pour soaslraire une fraction - d'une fraction - on réduit les deux
fractions ou même dénominateur ; puis on forme la Jraction qui a
pour dénominateur le dénominateur commun et pour numérateur
la différence des numérateurs. On obtient ainsi la différence :

m X n

L'opération n'est possible, bien entendu, que si, des deux fractions
réduites au même dénominateur, c'est la fraction retrancliée qui a
le plus petit numérateur.

34. HultipUoation et division. — L'origine de la notion de
fraction justifie immédiatement les règles suivantes qui satisfont à
la condition requise plus baut :

/-e produit (résultat de la multiplication) (t une fraction — par un

nombre entier a est la fraction '- yui a pour dénominateur le

dénominateur^ et pour numérateur le produit pur a du naméra-
teur M.

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FHACTIO.N3 J) I

Le fjuolienl (résultat de In division) (Cane fraction — par un

nombre entier a est la fraction — t/ai a pour numérateur le ntt-
méraleur M et pour dénominateur le produit par a du dénomina-
teur m. [Pour diviser, par exemple, g par 3, il sudit de diviser en
3 parties égales cliaqiie 5°" partie de l'unité et de prendre s des
(5 X 3) parties de l'unité ainsi obtenues.]

Remarque. — Le quotient d'une fraction -~ par un nombre

entier a est égal au produit de — par la fraction -■

Le produit d'une fraction -^ par une fraction ^— est une fraction

ayant pour numérateur le produit des niunéraleurs M, N, et pour

dénominateur le produit des'jlénominaleurs m, n :

La division se définit dans le cas général comme opération in-
verse de la multiplication. Le quotient (résultat de la division)

rapport des deux fractions — sera la fraction qui. multipliée

par — , donne — ; cette fraction est j^— - — ; on écrira donc

M N_nx M
■n'/.-Nxm'

et l'on pourra énoncer la règle suivante : Pour dioiser deux Jrac-
Haas tune par Vautre on multiplie la fraction dividende par la
fraction diviseur renversée.

Suivant les conventions du n" 8, le quotient de la division de a

par b peut être noté r au lieu de a : b. Cette notation est natu-
relle puisque le quotient est une fraction. Le même mode de no-
tation pourra encore être employé lorsque le dividende et le di-
viseur sont des fractions. On écrira :

j lieu de

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43 hTA 50HBKES

D'apris la règle qui précède, toute division de fraction se ramène
à une mulUpIicalion . La division d'une fraction est donc, comme
la muttiplîcatioD, une opénUon unîvoque el loujours possible.
Nous o'âvoiu pas à dialoguer, dans la théorie des fractions, ^tre
une division exacte et une division approchée, comme nous t'avons
fait pour les nombres entiers : le quotient d'une traction par une
autre est toujoun un quotient exact.

Considérons, en particulier, la division de i par la fraction - - Le
quotient est la fraction retournée a '■ on l'appelle inverse de la
fraction -- . D'après cette délinition l'inverse d'un nombre entier m
est la fraction - de numérateur i .

36. — Nous n'avons envisa^'é ci -dessus que la multiplication de
deux fractions. Soit maintenant donne un nombre quelconque de frac-
tions dont chacune sera, pour simptifier, représentée par une seule
lettre a, oa b, oa c, ... Ayant défini le produit (a X b) nous pour-
rons définir, de la mâme manière qu'au S 2, le produit ou la mul-
tiplication) d'un nombre quelconque d'éléments, a, b, c, ... la
multiplication sera toujours une oiiération cominutalive, assoria-
iii'e et iUstributii<e {vide sapra, n° 7).

36. Elévation aux puiaaanoes. — Nous ne définirons, pour
l'instant, que l'élévation d'une fraction (quelconque) h uae
puissance enlitrc.

Soit p un exposant entier. L'élévation à la puissance /* n'étant
qu'une combinaison de multiplications (n° 9) nons pouvons
déduire du n° 34 la rtgle suivante : la puixtance /»''" de la

fraction ~- est la fraction --^ : nous écrirons donc

On vérifle sans peine que les puissances des fractions jouissent
des propriétés distributivcs et associatives énoncées au n" 9.

37. Extraction des raoinea. — L'extraction des racines est
l'opération inverse de l'élévation aux puissances (vide supra, n" 10).

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^^-^

PKACnONff 43

D'où la règle : La racine p''™ ou racine tordre p de la fraclion '-

est la fraclion ^-j= ; on peut donc écrire
{/m

M.

L'extraction (eucle) de la racioo p*^*^ d'une fraction — est-elle
une opération toujours possible ? Pour qu'il en TAt ainsi il faudrait
qu'il existftt toujours une fraction dont la puissance ;>'*■• (M

égale 1 - . Or un exemple très simple va montrer que cela n'est
pas.

Je dis qu'il n'existe pas de fraction dont te carré soit é<jal
à 3 (d'où il résuite qne l'extraction exacte de la racine carrée
de 3 est une opération impossible). Supposons en eiTcl qu'il

existe une fraction i telle que xi = 3- J'ai '« «ï"""^'' *^^ supposer
(n** 33) que l'on a réduit la fraction â une fraction irréductible,
en sorte que a et 6 sont premiers entre eus (n' 24). J'ai, par
bjrpotlièse, a* = 36'; donc a*, et par suite a, est un nombre
pair ('); et, puisque d et 6 sont premiers entre eux, b doit

Hin un nombre impair. Mais appelons a' le nombre 7 (ce
nombre est entier puisque a est pair) : j'ai a' =; 3' x a" = ^ .a"',
et, par conséquent a.a'* = fr' ; donc 6' est pair, ce qui exige
qne h soit pair (note 1). Ainsi, en admettant qu'il existe une

fraction ^ égale i v^ï nous aboutissons à cette conclusion que le

nombre £ est i la fois impair et pair. Conclusion absurde qui nous
oblige à rejeter notre hypothèse.

La démonstration qui précède est donnée par Euclide au livre \
de ses Eléments, et s'il faut en croire Aristote (*), elle aurait déjà
été connue de Pythagore, Elle nous apprend qu'en général les

(') Le cane d'un nombre impair eit néceteairement un nombre impair ;
en eSet, la décompeeitioo de e* carré eu facteun premiera ne peut (pas
plus que le Dombre lui-même) contenir le facteur 3. Donc li a' est pair,
a l'est aussi.

(') Cf. Caktoii, Vorbfungen, I, p. 170.

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LES HOUBRES

rscines des fractions les plus simples ne sont pas, elles-mêmes, des
Tractions.

6. — Nombres ntloanels. Inégalités.

38. Nombres tractloimkirfls. Nombres rationnels. — Le

calcul des fractions a été créé, nous l'avons dit, pour répondre aux
bc!<oins de la vie pratique et de la géométrie. Cependant, le dû-
veloppement même de l'arithmétique théorique devait nous con-
duire h ce calcul et nous inciter h. le considérer, non pas simple-
ment comme une annexe, mais comme une partie intégrante de
de la science des nombres.

Les problèmes d'arithmétique que nous avons étudiés jusqu'ici
se résolvent tous, remarquons -le, de la même manière : en effec-
tuant sur des nombres proposés certaines opérations donnant
comme résultats de nouveaux nombres. Ainsi, lo monde des
nombres est essentiellement, [wur nous, une classe d'éléments
abstraits, sur lesquels nous ne supposons rien, sinon qu'ils se
prêtent A certaines 0{)érations bien définies : nous savons qu'en
combinant les éléments de cette classe suivant des l'ègles arrêtées
une fois [wur toutes, nous obtiendrons, toujours et exclusivement,
des éléments appartenant à la même classe.

Or, celte condition, qui équivaut pour nous à la définition du
nombre, les fractions y satisfont comme les nombres cardinaux. En
elTet, nous savons effectuer sur les fractions les mêmes opérations
que sur les nombres cardinaux, et, comme résultats des opérations
effectuées, nous obtenons toujours des fractions. C'est pourquoi
nous sommes tout naturellement amenés à assimiler les fractions à
des nombres ; nous conviendrons de les appeler : nombres fraction-
naires.

Mais nous savons que la classe des fractions comprend comme
éléments particuliers l'ensemble des nombres entiers. Nous préci-
serons donc notre langage en convenant de réserver le nom de
nombre fractionnaire aux fractions qui ne sont pas réductibles à
des nombres entiers, et appelant, d'une manière générale, • nombre
rationnel n un nombre entier ou fraclionnaice quelconque; nous

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:<OUBAES RATIOnNELS. I^lÉGAblTÉS .^5

disons alors que la classe des nombres rationnels comprend comme
sous-classes la classe des nombres entiers et la classe des nombres
fraction ita ires .

YoîUi donc que d'un trait de plume nous avons considi^rnblenient
accru le domaine de la science des nombres. La belle harmonie de
ce domaine n'y perdra rien, car nous pouvons étendre à la classe
des nombres rationnels beaucoup de propriétés — ks plus impor-
tantes, peut-être — des nombres entiers, .\tnsi la définition d'une
médiélé (n' 20), d'une progression arithmétique ou géométrique
{n" 16 et 21), Vexpression de la somme des n premiers termes
d'une telle progression (') peuvent être transportées, sans modiQca-
lion aucune, du monde des aombics entiers au monde des nombres
rationnels.

39. Nombres croissants on décroissants. — De deux nom-
bres entiers quelconques l'un est toujours pUis petit que l'autre.
Pour exprimer que le nombre a est plus petit que le nombre b.
nous écrivons

aÏDU 3 < 3 ;

pour exprimer que a est plus grand que b, nous écrivons

ainsi 5 > 4-

M N
Considérons maintenant deux fraclions quelconques,-. -■

Il résulte de la définition de la soustraction qu'une seule de ces
deux fractions peut être retranchée de l'autre ; ce sera la pre-
mière si N X m est plus grand que M X », la seconde si

(>) La lormule du a" 3i doanaat la lomme des n premiers tennei
d'une progretsiou géométrique, n'est toutetoU valable que si la raison b
ett tupérieure à i. Si b < i, cette formule doit être, ainsi que le montre
un calcul laciîe, lemplacie par la suivante : s, x ^■^"i' ('''''■ in/ra,
p. .54).

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LES NOHBKES

N X m est plus petit que M X n; ilaos le premier cas, dous

is écrirons

clans le second cas, nous dirons que - est pht grand que {supé-

N
rieur à)'-, et nous écrirons

Ainsi, <le <leux nombres rationnels (entiers ou fractionnaires)
({uelconques, nous saurons toujours dire lequel est le pliLs grand,
lequel est le plus petit.

J'ajoute que si (') a et t sont deu\ nombres rationnels quel-
conques, et si a < b, tons les nombres inférieurs k a sonl, a for-
tiori, inférieurs à b; tous les nombres supérieurs à 6 sont, a for-
tiori, supérieurs à a.

Soit maintenant une collection quelconque de nombres d, b,...,l.
Nous pouvons, toujours, d'après ce qui précède, ranger ce»
nombres à cûlé les uns des autres, de manière h former une suite

jouissant des propriétés suivantes : tout nombre de la suite est
supérieur aux nombres situés à sa gauche et inférieur aux

nombres situés à sa droite. L'ne telle suite a, b / est dite suite

de nombres croissants (ou suite croissante de nombres]. La suite in-
verso /, ..,, b, a est une suite de nombres décroissants.

Une suite de nombres rationnels croissants est analogue, on le
voit, à la suite des nombres cardinaux (voir n* 12), maïs au lieu
que deux nombres de celle dernière suite diffèrent d'une unité au
moins, les éléments d'une suile de nombres rationnels peuvent
être très rapprochés et ne dilTérer que d'une Iris petite fraction
d'unité {vide infra, n* 42).

(') Je représente chaque nombre rationnel par une lettre unique ci
je l'ai déjà fait au S 5.

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NOMBRES BATIOntBLS. i:iÉaA.LITÉS ^7

40. Inég»lités. — On Appelle inégalHi ia forninte qoi eiprime
qu'on nombre est supérieur on inférienr à un autre nombre. Ainsi
les formules

sont des inégalités auxquelles satisfont respectivement les nombres
4 et 3 et ks nombres j, -f- i, -t- a. Ladirecttoo du signe > ou <
indique le sens de l'inégalité. Les nombres on expressions qui
figurent de part et d'autre du signe > ou < sont les deux
(I membres n de l'inégalité (').

Lorsque deux nombres satisfont à une inégalité, les résultats
d'aoe même opération, effectuée séparément sur l'un et l'antre de
ces nombres, satisfont parallèlement à une inégalité correspon-
dante. On dit que celle inégalité est une transformation de l'iné-
galité proposée. Accomplir cette transformation, c'est « effectuer
une opération » snr l'inégalité proposée.

Les règles auxquelles obéit la transformation des inégatilés se
déduisent immédiatement des règles relatives aux opérations foa
damen taies.

Soit donnée l'inégalité a -< 6 et soit c un nombre quelconque.
Il est facile de voir que l'inégalité a < fc entraine les inégalités sai-
vantes :

aH-c<fcH-c. axe<6xc. "<-■

Si a est un nombre supérieur à i , son inverse - est inférieur
à I . Si a < 1 , on a - > I .

Si a est un nombre Irlfs yramî {'), - est un nombre Irh petit ; si
a est trhi petit, - est Irh grand.

(■) On combine souTent l«t s^es > ou < av«c 1« si^e = écrivant >
pour Mgnifier phu gnmd ou égal et <- pour signifier plu» petit ou égal.

(') Toutei ces propoutions »oirt des couséirnencM directes de fa défini-
tion des fractions. Ainsi si l'on divise l'unité en un très grand nombre
de partie», ctiaquo partie ou fraction est très petite, etc.

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48 LES NOMBRES

Soit, d'autre part, p un entier quelconque : si (') a > i, on a
fl'' > I ; si a < I, on a a'' < i ; si a < i, on a (') a'' < t»-; on en
déduit que si a < 6 on a ^'a < \''b .

Lorsque le nombre p est très ijrami, ta puissance a'' est un
nombre tris grand si a> i, un nombre très petit *(' a < i : el
plus p devient grand, plus a*" devient grand ou petit (').

41. Division par zâro. — Soit m un nombre rationnel très
petit. Le quotient par m d'un nombre quelconque a est égal au

produit de a par l'inverse - du nombre m, et cet invei-se est un
nombre très grand lorsque m est très petit. J'en conclus que, pour
un niùme nombre a, plus m est petit, plus le quotient — est grand.
Si m devenait nul, le quotient — n'existerait plus, et, en effet, ce
quotient devrait être un nombre plus grand que tous les nombres.
On convient de dire, pour rappeler ce fait, que « la dimion d'un
nombre quelconque a par o donne pour quotient un nombre infini i>

et l'on écrit symboliquement - ^ oo , le signe oo signifiant nombre
infini.

Que l'on ajoute un nombre quelconque à ce quotient, ou qu'on
le multiplie par un nombre quelconque, le résultat sera toujours
un nombre infini, car, comme le disait raritliméticien bindou
Bhaskara ('), h ù la quantité appelée quotient par zéro, ni addition,
ni soustraction quelque grande qu'elle soit ne peut faire éprouver
perte ou accroissement, pas plus qu'au temps sans fin et «ans
déclin des séries d'existence ».

(') Un produit Aa facteurs plus grands que i, est, en cfTet, supérieur
à I ; un produit do facteurs plus petits que i est inférieur i i.\

(*) Appelons c le rapport - qui est plus grand que i ; fr* est égal à
e' X a', où e' > i j donc 6' > a'.

0 En faisant le produit des facteurs (égaux) de plua en plus nombreux
et tous supérieurs à i on obtient un nombre de plus en plus grand ; si les
facteurs sont inférieurs à [ , le nombre est de plus en plus petit.

(') Cf. RoDET, Journal asiatigue, t. XI, p. 3o.

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l'ÉCKITUBB arithmétique et la. nUMÉRATlOK

- L'écriture arithmétique et la numératloa

42. Nous avons défini certaines opérations rondii mentales, c'est-
i-dire certaines règles conformément auxquelles on peut, de plu-
sieurs nombres proposés, déduire un nouveau nombre. Mais
comment, par quels artifices, faudra-t-tl procéder pour réaliser
pratiquement le passage des nombres donnés au nombre cher-
ché ? Question secondaire pour l'ami désintéressé des nombres,
mais capitale pour le calculateur et dont dépend, [>ar conséquent,
le progrès de l'Arithmétique.

Pour calculer aisément et rapidement, nous nous servons de
l'écriture : nous devons donc, avant tout, déterminer un s^'slème
de symboles simples (cf. 3) qui permette de figurer sur le papier
un nombre donné quelconque; nous devons adopter une écriture
(nolation) arithmétique, un système de numéralion.

Au cours des siècles passés, les hommes ont imaginé bien des
manières de figurer les nombres. Les Egyptiens représentaient les
premiers nombres au moyen de traits juxtaposés ('), les Grecs
employaient les I. ttres de l'alphabet ('), les Clialdéens, les Ctiinois,
les Hindous se servaient de signes spéciaux. Mais les symboles
adoptés sont nécessairement en nombre limité. Il faut donc
imaginer certaines conventions qui permettent de représenter tous
les nombres avec les mêmes signes, ré|>étés ou juxtaposés de ma-
nières diiTérentes (').

Ainsi les Bomains représentèrent tous les nombres à l'aide des
quatre signes I (ii«), X [dix), G {cent), M (mille) auxquels ils
adjoignirent plus lard les signes V (cinq), L (cinquante), D (cintj

(') Cf. la Ipadition pythagoricienne, voir n" 3.

ci La niiméFaliou des Grecs faisait usage de 37 lettres (les 24 lettres de
l'aiphebet grec, plus 3 lettres orientales). Neuf de ces lettres représen-
taient les t) premiers nombres ; neuf autres représentaient le* 9 premières
diïaines, et neut les 9 premières centaines.

CI Quant aux signe*-!-, — , X,elc., qui tiennent la place des mots
plu», moins, muUiplii par, etc., ils ne sont pus indispensables tt l'usage
ne s'en généralisa que lonque le calcul algébrique fut inslituù.

BovTioui. — Ld Principe* do VAoalj'te m*lliiinali(|ue. A

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cents) ainsi que des barres verticales ou horizontales dîsfkOsiSes
de diverses manières (').

Notre ^aitaBeactoclle, qai est d'origine otienlale, est caracté-
risée par cette propriété que les unités des différents ■ ordres »
(voir ci-dessous^ y sont figurées parles mêmes symboles (cft(^r<'x)('),
)a valflardeces chtlTres étant déterminée par ta posilion qa'ils occu-
pent dam lenoinbfe écrit. C'est poHrqDoi ï'<m dit que qme notre
numéralÎMt (notre sv'slènw d'écriture arîlfamétique) est fond^ tmr
io principe de pétition : c*eat iina numémtiftn de potitinn.

43. — Les diftéreati ordres d'aail^s seront définis de U muiiire
suivante. CoosidéroDs une collection de dix unités ; j'appellerai
celte collection une '//:a('/ie; pareillement j'appellerai r^n^j'/ie uœ
coUeclioa de cent unités, miHe une collection de mille unités, et
ainsi de suite. Cela fut, soit proposé un nombre quelconque inËÉrî«ir
k ioooo, par ex^iBple: je puis te regarder comme la somme tle
\ mille, plus B cenUiiiux, plus C ilLaïoes, plm D uaités, chacun des
nombres \, I), C, D. étant inférieur ou éijal à tj. Je pouiEai
donc représenter le nombre proposé par U combinaisondosigncs :
ABCD. Le dernier cbilli-c à droite rcpi-éstinlera un nombre d'unités
simples, le précédent un nombre de dizaines, etc.

Si le nombre donné que l'on suppose décomposé en uiiilés
simf^s, dizaines, centaines, etc.) ne contient pas de dizaioea, on
devra, en écrivant ce nombre, laisser en blanc la seconde place à
droite (afin que les divers cliiSi-es du nombre conservent leurs
position* reapecUves). On peut aussi (et c'est celte solution que
l'on a adoptée pour plus de clarté) remplacer les chiffres manquants
par le signe o {zérn\ signifiant u itfji u {^). Uc là vienlque les Uin-
dous appelaient le zéro : (i espace vide q.

ji) Pour figuni loinm, par exemple, on ccrivait X; pour figurer
lo X looooo on écrivait |K|. Primitivement, l'ordre des symboles n'in-
tervenait pas diins la numération romaine; mais plus tard on en tint
compte et l'on distingua par exemple, entre la combinaison MX qui veut
dÏTs milU dix et la combinaison XM qui signifia dis-mille. La numéra-
tion romaine parait avoir été empruntée en gronde partie aux Etrusques.

(') Lo mot cbi/jre (qui paraît élre d'oriitine arabe) ligniriait primitive-
ment zéro. Cette circonstance rappelle l'iniiKirlance ilu rôle que joue le
chiffre odana notre nuiuéralion.

{') Le signe o, n'est peutftre <iua la première lettre du tiiot grec viiiv
Irienj.

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l'écriture ARITnirfnQUB ET LA .NUMÉRATION 5l

Aioai, au moyen de neuf chiffra et du zéro ikms pognoiM, suis
ancnn signe acceMOÛe, représenter tout les Hombn». Notn n'au-
rons ((n'a apfiliqner les dens tèglcs suivmtei :

i" Le ilermtr chiffre à droite d'an nombre représente dea unités
simples : 2' Tout chiffre placé à fa tfamcke dan atitre re^rémnte des
uniirs dix /oïm plas grandes (c'est pourquoi noire nninénttion esl
«lile : déeimaie).

De nolte ruunéretion éa-ile dérinsit notre latoi&re d'énoncer les
nombres (numémlion parlée) et les règle» pratiques anivant les-
^oeilea nous calcalons (rigtetderaddîlioa, deknmltiplicktioD ('),
fie.,. Ces rigtcs sont trop connues pour qne nons ayons à les

a de poaitMo est nellement formulée dans l'Arîlh-
méliqne du savant hindou Aryabhoia (v* siède apr. J.-C] {sauf
«n ce qui concerne le rôle du zéro, qui n'apparaît qu'uMérieure-
ment, et que les Hindous ont peut-être emprunté aux Grecs|.
L'usage s'en ivpaodit cbei les Arabes, puis cbez les moines de
l'Occident (ven le X* siiclei. Au xi\* siècle la numération décimale
était couramment emplo^éeet la iignredBsdiffres était fnée d'nnc
manière fiweaqoB définitive.

4>k — 11 importe de remarquer que le principe de position, sur
lequel est fondée la numération décimale, permet de définir, tout
aussi simplement, une inQuité de systèmes de numération. Don-
nMks-noua, par exonple, trois chiffres ou signes o, \. 3. puis
faistHis les conventions suivantes : Noua appellerons unitét du pre-
mier ordre, et repi-ésenterous par ï, â les deux premiers nombres
(1. a). Le troisième ncmibre (3 sera l'unité du second ordie :
BOUS l'écrirons 10. Les quatrième et cinquième nombres ''t, 5)
«'écriront :

Une unité du a° ordre plus une unité du i" ordre =^ î i ;

[') A ces règles s'ajoutent certaines règles sacondairca permellnnl, par
«xemple, de reconnatlre rapidement si un nombre donné est divisible par
3,5, II. aie;— on peratettant d« vérifier aimplemcnt le résultat d'une
opératien (pMRtv par g, etc.). Ces rifles sont formulées dEtns tous les
traités d 'arithmétique.

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53 LES nOHDllES

Le sixième nombre sera l'unilé du troisième ordre : i oo; et ainsi
de suite. Avec ces conventions tous les nombres seront représentés
au mojen des trois signes!, a, o- Nous aurons un syslènie fie numé-
ration Je buse 3. — De la miîme manière, on pourra déûnir un
syitème de namératton de base n (n étant un nombre quelconque),
syslème employant, outre le zéro, n — i cbiiTres distincts — , Le
sjslème décimal ou système de base lO a seul été mis en pratique.
Cependant les Clialdéens paraissent avoir quelquefois employé
un système de base 60 (numération sexagésimale).

La définition générale des systèmes de numération k base quel-
conque a été donnée par Pascal, en iG54,dans le traité De numerls
multiplicihus (édité pour la première Tois en i663; GEav- de
Pascal, ni). Une théorie plus complète de ces systèmes fut exposée
par le jésuite espagnol Caranitiel y Lobk-ooilz dans la Malhesis
biceps ivtus et nova (1670).

46. Nombres déolinaux. — L'emploi de la numération déci
maie simplifie, avons-nous dit, tous les calculs relatifs au!(
nombres entiers. N'esl-il point possible de tirer parti du principe
de position pour obtenir de nouvelles simplifications dans les
calculs relatifs aux nombres fractionnaires?

C'est danii ce but que fut imaginée la théorie des nombres déci-
maux, théorie dont Viète parait avoir cii la première idée (') et qui
fut exposée systématiquement par Simon Stevin {Pratique d'Aritk-
métiijuc, i583; Stevin consacre au calcul des nombres décimaux
un chapitre spécial intitulé l,a Disme {*)). Rappelons brièvcmenl
la défmilion et les principales propriétés de ces nombres.

On appelle yrac((on décimale une fraction dont le dénominateur
est une puissance de 10. On adopte, pour représenter les fractions
décimales, une écriture particulière dans laquelle on introduit le
signe , (virgule).

Comme toute fraction, une fraction décimale est toujours la
somme d'un nombre entier (qui peut être o) et d'une fraction plus
petite que t : le nombre entier, est appelé partie entière de la

Cj Ttans le Canonmalliemalicu» teu ad Irîangala, Paria 1579 (cl. i.i;).
(') La Disme enseignant facilement expédier par nombres entier» mïm
rompus tous comptes se rencontrant aux afjaires des hommes.

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l'écriture ARlTStfiriQIJK ET LA >UUÉUATIO:< 53

fraction donnée ; la rraction inférieure à i (qui est décimale) est
la partie décimale (ou mantisse). Soïl, par exemple, la partie eo-
(ière égale à a et la partie décimale égale i ~ {b étant inférieur

i lo). La fraction — vaut b dixièmes dunîté. Noua conviendrons
alors d'écrire :

en regardant le premier chiffre & droite de la virgule comme repré-
sentant un nombre de dîïième» d'unités. Soit pareillement la partie

décimale égale à tôôô' ^ ^^''' "" nombre de trois chiffres ; nous
écrirons encore :

"par exemple --^ — = 3,756",
•■'^ «^ looo ' -

en regardant le troisième chilTre à droite de la virgule comme
représentant des millièmes (TuniU's ; le second chiffre h droite de la
virgule représente alors des dizaines de millièmes (c'est-à-dire des
ceiUièmes) ; le premier chiffre représente des centaines de millièmes
'ou dixièmes). Sî le nombre b n'avait que deux chiffres, il n'y

aurait pas de centaines de millièmes dans , j'écrirais comme

•^ lOOO •'

premier cliiffre à droite de la virgule le chiffre o; si le nombre b

n'avait qu'un chiffre, j'écrirais comme deux premiers chiffres à

droite de la virgule les chiffi-es oo.

Nous sommes ainsi conduits à adopter les règles suivantes pour
figurer les fractions décimales, qui, sous leur nouvelle forme,
seront appelées nombres décimaux :

1" Le chiffre placé immédiatement à gauche de la virt/ule repré-
sente des unités simples. Tout chiffre placé à ta droite d'an autre
chiffre représente des unités dix fois plus petites ;

a' S*// n'y a pas dunilés tfun certain ordre, on en marifue ta
place par an zéro, pour que les autres chiffres conservent leurs
positions respectives.

Il résulte de ces règles qu'on ne change pas la valeur d'une
jraction décimale lorsqu'on place h la droite de la partie décimale
autant de zéros que l'on veut.

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Lee t^lbes de la {lartie décimale s'« ppsUiwt décimal do ntHobiv
décima.

La repréaenlation des fractions décimales par des nombres
décimaux est extrtaiement avantageuse pour le calcul. En
eâet, ti fon faii abstraclion de« uirgalet. on peal opérer sur les
nombres décimaux exactement comme sur les nombres entiert. Une
fois les calculs achevés, on n'a plus qu'à placer, dans les nombres
trouvés, les virgulet qui doifent y figurar. On place ces virgules
conformément à des règles très simples, règles bien connues et
qu'il est inutile de rappeler ici.

8. — Calcul i^tpmché. Puissances tractionnalrts.

46- Valeur appraokée d'une fraction. — L'emploi de la nota-
lion décimale accélère considérablement, nous venons de le dire,
les calculs relatifs aux fractions décimales. Mais cette notation
présente un autre avantage qui n'est ])as moins i)récieu\ : elle nous
donne immédiatement une idée approximntÎTe de la grandeur' des
fractions auxquelles nous avons affaire.

Considérons par exemple la fraction 2,572. Sans faire ancun
calcul, je puis aHirmer que oetle fraction est comprise eatre a
et S, plus précisément enlrc 3,5 et 3.6, plus précisément encore
entre 3,57 et 2,58. C'est là une constatation importante pour
celui qui veut ap^iliquer l'aritlimélique aux problèmes de la vie
pratique. 11 est fort utile de savoir que pour connaître la valeur
approcliée d'un nombre décimal à un dixième prh, ou à un cen-
tième prts, ou à un millième près, ihu/fil de retenir à droite de la
virgak, dans l'expression du nombre décimal, un, deux ou trois
chiffres décimaux.

Partant de cette remarque, nous trouvons le moyen de re^iré-
senter par un nombre décimal la valeur approchée d'une fraction
non-déciinalequclconque.

Nous avons déjà observé qu'une fraction quelconque est la somme

d'une partie entière, R,etd'une fraction inférieureÀ I. Soit -- cette
dernière fraction. Elle est égale à dixièmes d'unité. Or la

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CALCCb APPROCHé. PUJSSAMCBS FRACnOKNAIREd 55

fraction ■■— ■ ■ tet «He-mènK la wonme d'une partie entière b M
d'une fraction iofSrieure k i. La Jraelîon proposée est donc éfjate à
la somme suivante :

« 4- fc dixièmn + fnKlion mfêrwtn A - ■

Nom pemoRs aller p(as hnn, et décompoeerta fraction proposée
(quelle qu'elle soit) en la somme d'un nombre décimal et d'une
fraction inférieure à — — ou h ~-~ , etc. Le nombre décimal trouvé

lOO lOOO'

sera la valeir appuocihêe de la fraction proposée k — - près, ou

— — près, ou, en général, k — -^ près [p étant un nombre entier
aussi grand que l'on voudra {arbilrairemenl grand) (')|.

Le procédé que nous venons d'emplojer pour trouver ia iradcnr
approchée d'une fraction montre que cette valeur est toujours
inférieure i la fraction proposée ; nous dirons donc que c'est une
valeur approchée par défaut. D'ailleurs, si nous «ogmantous d'uRe
unité le dernier chiffre du nombre décimal écrit, nous aurons une
valeur supérieure à la fraction proposée : ce sera la valeur appro-
chée par exch de la fraction (à - 1 — ^, ... près).

47. La grande utilité pratique qu'a pour nous la comidéralipn
des valeurs approchées tient au fait suivant : En remplaçant, dans
les cakub, les fractions par leurs valeurs approchées, on obtient
avec une « approximation arbitrairement grande » le résultai d'une
opération quelconque {*). J'entends par là que le résultat obtenu —
qui n'est pas le résultat exact, mais le résultat approché de l'ppé-

(') Lorsque p ett tiés grand, lo' est très graïul, et \ est très petit

(*) La notioa d'i approximation arbitrairement grande • est liée à la
BotiMi de < IcHite ■ à laqiMlla nmn ferona fréqueianMtt appel dans les
cbapitrea suivants : conùdéreni I«b valeurs an>r<KWw d'uae ffactÎMt k
p piiû, fiÊiM à — près, puis à —^ près, et aiiBi do suite : on dit qmt U

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56 LES NOMBRES

ration proposée — difl&re aussi peu que l'on veutdu résultat exact ,
h condition que l'on ait remplacé les fractions données par des
valeurs sulTiBaniment approchées. En d'autres termes, appelons
erreur commise la différence entre la valeur exacte et la valeur
approchée d'une fraction ou d'un résultat (l'opération ; puisque
les erreurs commises sur les fractions peuvent être rendues aussi
petites que l'on veut, il en sera de même de l'erreur commise sur
le résultat du calcul.

Soit, par exemple, i additionner deux fractions a et b. Je puis
écrire :

tt = A-H«. 6 = B+P,

A et B étant des nombres -décimaux et a. et ^ étant inférieurs k
l'inverse — ^ d'une puissance de lo arbitrairement grande. J'aurai
par conséquent :

(a -h 6) = (A + B) + (, + p)

(a -+- ^) étant inférieur à -t^ et étant, par conséquent, aussi petit
que l'on veut.

Soit maintenant k multiplier a par b. Je puis écrire :

ax6 = (A + '»)X(B + p) = (AxB)-t-(AxP)H-(«xB) + [,Xp).
Or j'aurai

J'en conclus que, lorsque l'exposant p est arbitrairement grand,
la différence

(» X t) - (A X B)

est arbitrairement petite.

T,a même remarque s'applique ù l'une quelconque des opéra-
tions fondamentales.

Ainsi, pourvu que l'on se contente d'une approximation déter-
minée — d'ailleurs aussi grande que l'on veut — on a le droit,
dans la pratique, de remplacer une fraction quelconque par un
nombre décimal. On exprime ce fait en disant qu'une fraction
^on décimale quelconque est réductible à une fraction décimale

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CALCUL APPROCHÉ. PUISSANCES FRACTIOrcXAInES .57

înimilée [le mot illimitée signifiant que, si l'on veut pousser de
plus en plus loin l'approïiination , on doit, dans le aonibre décimal
qui représente la ffaction, ajouter, indéfiniment, de nouvelles déci-
males] .

Les fractions décimales illîmiti'cs ont été étudiées par Cavalieri
{Trigonometria, i6i3, chap. xxiv) et, d'une manière plus com-
plète et plus précise, par Waliis {Algebra, lôgS, cliap. liixix).

48. Valeur approchée d'une racine. — L'idée de remplacer
k calcul exact par un calcul approximatif est une idée dont la
fécondité nous apparaîtra de plus en plus. Proposons-nous de
l'appliquer au problème de l'extraction des racines.

Nous avons vu (n' 37) que l'extraction de lu racine p'*'" d'une
fraction — n'estpas toujours uneopératîon possible. Je vais montrer
Ml revanche que, quelle que soit la fraction — , on peut trouver une
fraction dont la puissance p''"' diffère de •- aussi peu que l'on
voudra. Il sera dès lors naturel de dire que la fraction - est une
valeur approchée de la racine p''"" (/c— . Ainsi, quoique celle
racine p*^^ ne soit pas en générai un nombre rationnel, nous
pourrons la traiter comme si elle en était un et la rcprésenler par
sa valeur appprochée, que nous appellerons racine approchée.
Cherchons, par exemple, « la valeur approchée de la racine p''"'

sance p'"" difiire de ~ de moins d'une unité. Nous avons démon-
tré (n" 40) que, quel que soît l'entier p, si a et 6 sont deux nom-
bres quelconques, l'inégalité a < t, entraîne comme conséquence
i'inégalité a" < V. Ecrivons alors la suite des nombres

I. a', Sp. 4c, ....

Celle suite est une suite croissante de nombres de plus en plus
grands : j'en conclus qu'il y a. dans celle suite, deux termes consé-
cutifs a'', {a + ly, et deux seulement, entre lesquels esl comprise

la fraction - : je dois donc regarder la racine p""' du terme ae

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58 LES nOUD«ES

(c'est4-dirfi a) comme étant la racim p''** à une unité près par
'défaut de - ; (a H- i) est la racine p**" à une anilf près par

excès de' ■

Soi! demandé, maintenant, de trouver Is « vslear approchée de
a racine /<"""
des fractions

el la suite de leurs pnissances p

Il \ a dans celle dernière suite deux termes consécutifs -^i
■ — Fol'" ^^' Akmx seulement) cntic lesquels est comprise la frac-
lion - . Je dois donc regarder — et (quantités dilTérant d'un

dixième) comme étant les valeurs approchées à un dixième près,
pir défaut et par cicès, de U racine considérée.

l>c la même manière, on dëiinira la valeur a{^>rochée de Is

racine p''"' de -- à un dej^ré quclcoii<|UC d'approximation.

On remarquera que les racines appi-ocliées, calculées comme il
vient d'ôlrc dit, sont toutes des nombres décimaux.

49. — Ainsi, voilà une « expression » aritliméliquc, la racine/)''*'
(nu racine iFordre p) d'une fraction quelconque, qui ne repi-csenle
aucun nombre, et qui néanmoins se prête au calcul numérique.
Il y a, il est vrai, dans le calcul approclié, qnelque cliose d'artificiel
et d'imprécis, qui répu^oiaît au rationalisme gicc et incitait les
Pulingoriciens à rejeter ce calcul de la science, Cc(>endant, on
ne pouvait manquer de l'y introduire, ne fùl-ce que pour sa-
tisfaire les besoins de la géométrie ('), et c'est ainsi qn'.^r-

(') Voir le cbap. n, en particulier, n» f/J,

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APPROCHÉ. PLISUXCES FnACTIO:<:4AtRES Sj)

rJiimwle (387-313 av. J^-C.) consacca au calcul approcha de»
racines carrées quelquca-uns de ses ploB beaux travaux {'). \ux
environs de l'an 1 200, ral§;ébriste arabe, Omar al Kimyyam (') se
vanlaït d'avoir donné une méthode permettant d'eiïecliier l'exliac-
lion d'une racine d'ordre quelconque. A l'époque de I.1 Itenaiasance,
enfin, où de Tortes icndances utîlilaristes tendent à remettre en
lionneur l'Arithmétique pratique, le calcul approché est devenu
— déGnitivement celle fois — l'un des chapitres principaux de la
science des nombres.

60. OAnérallNttîon da la notion de pniasance. Erpt^OTif
traotionnairea. — Grâce aux conventions que nous avons faites,
toutes DOS opérations ont maintenant un aens, exact ou approché,
quels que soient les nombres (entiers ou rationnels) sur lesquels
elles portent. Seules les deux dernières opérations (élévation aux
puissances et extraction des racinee) sont encore soumises à une
restriction en ce qui concerne les exposants et I'h ordre des ra-
cines » ; en effet, les sj-inboles (f, \/a ; ne représentent des opéra-
lions légitimes que si le nombre ^ est un entier. Ne serait-il pas
possible d'imaginer une nouvelle convention qui confère un sens
à ces symboles daax le tas où le nombre p mi fraciioanaîre ? ^otce
arithmétique y gagnerait en unité et en clarté.

Nous réaliseroi» ce progrès en fondant en une les deux opéra-
lions de l'élévation aux puissances et de l'extraction des racines.

Convenons de poser, quels que soient les entiers m et n, et le
nombre a :

;.«=.■, v'."-«-.

Je dis que les « puissances à exposants fractionnaires n a" , a"^
jouissent des mêmes propriétés fondamentales que les puîsMnces
ordinaires, qu'elles se comportent semblablement dans les calculs,
et que, par conséquent, la cwivenlt<Hi en vertu de laquelle nous les
regardons comme des puissances est une convention légitime.

(') CL HuLTSCH, Die Nikarungawtrle irration. QuadrtOivurseln
AirMméde; Aik. d*r Kgl. GeêelUeh. d. \Vù$en£à. ai Géilingttt, iSjB.
(*) Cl. Troifke, Geteh. d. Et. Math., l, p. ai 1 «t in/ra, «<■ 373.

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WO LES nOHBRES

En eiTcl, les propriétés fondaiDentales des puissances k exposants
entiers (ont résumées (voir n" Oetse) par les égalités suivantesC) ;

{') af xa' = a^+*

(3) (rf')! = a»'-* == {ai-f.

Ilemarquons d'abord que la déGnition même des puissances a" ,
a^ donne

ce qui est conforme h lu propriété numérotée (3).

Je dis, d'autre part, que les puissances Tractionnaircs jouissent
de la propriété (i), c'est-à-dire que l'on a

quelles que soient les fractions (') —■ %. Posons, en effet

Je lire de là, par définition :

b" =a-', c"' = a"'; donc 6'-"' :z^ a"-"'. k"'-' = a"'-";

et, par conséquent

(fixe)';-"' =6""' X c"-"'^ a" ■"■ + "''-■'; d'où bxc = l

ce qu'il fallait démontrer.

Un calcul analogue nous permettra de vérifier que Ica puissances

(<) Les aifaea x et . s'emploient indistinctement dans le seni <■«
multiplii par {a° 7) ; par [o'j' j'entends i puissance 9*01» de a' 1.

{*) Les symboles m', n' se lisent m prime, n prime; je m'en ttn
pour représenter des nombres autres que m et n, mais jouant un rflc
équivalent (cf. p. i4, note i).

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CALCUL APPKOCHÉ. PDlSSAMCeS FIUCTIOXrrAIRES 6l

fractionnaires jouissent des propriétés (2) et (3). L'assimilation de
ces puissances aux puissances ordinaires est donc légitime (').

51. — I^ notation que nous venons d'introduire pour la repré-
sentation des racines s'appelle « nolation exponentielle • (parce
qu'elle repose sur l'emploi des exposants). Nous en trouvons les
rudiments dans V Ali/orismus propnrlioimin de Nicole Oresme
(i3o3-i383), évêque de Lisicux (') [Oresme emploie le mot " pro-
portion H dans le sens de « puissance »].

(') Remarquons en passant que, quelle que soit la fraction -, on a

a- > I, si (•> 1 i eneSot, d'après len^^fo. o*> 1 et par suite fa- > 1.
{*) Publié pour la première fois en 1868 par H. Cvrtze, Berlin.

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LES GRANDEURS

/. ~ Les grandeurs géométriques et le calcul

tS3. — Nous avons vu, dans les derniers paragraphes du chapitre
précédent, que l'analyse même de la notion de nombre, allant de
pair avec les exigences des sciences appliquées, nous oblige à élargir
le cadre primitif de l'arithmétique. A câté des calculs exacts nous
avons fait une place aux calculs approximatifs. Or c'est dans les
prohlèmcs de mesure géométrique que ces calculs se sont présentés
à l'homme pour la première fois. llim[iortedoncde nous demander
dans quelles conditions, au juste, la science du calcul peut <ftre
appliquée aux grandeurs géométriques.

Nous savons que les grandeurs sont, avec les figures, l'objet
d'une science théorique que l'on appelle yefomt'/nV. Cette science,
— qu'il ne faut pas confondre avec l'art empirique des géomètre^
orientaux ('}, recueil de recettes pratiques, plus ou moins exactes
(cf. n° 71) — , cette science spéculative et désintéressée, naquit ea
Grèce comme la science des nombres. S(rur jumelle de l'arithnié-
tique pythagoricienne, elle en partage la perfection et lui est si
semblable par la nature des facultés qu'elle met en jeu que l'on

(') Etymologiqueraent parlant, la gcomctrie, art de mesurer le sol, es!
l'arpentage. Mais, de même que la logistique (l'idc, p. 121, note i] l'ar-
pentage (qui porte le nom de géodésie] fut reieté par les Grecs hors de la
science proprement dite, et te mot " géométrie » prit le sens d'uétude spé-
culative des grandeurs et des figures i (cf. plîl).

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LES GHAKDEDRS OiOlféTIllQDES ET LE CALCLL 63

appelle sooTent du même nom ■< géomètres », cemqm s'adonnent
à l'une ou k l'autre science (').

Quels liens y a t-il entre les deux sciences srcars? C'est ce dont
nous allons nous rendre compte tp étudiant dans le présent cha-
pitre la tiléorie des grandeors.

Il nous faudra, il est vrai, supposer connues certaines pro-
priétés des fibres qui ressortissent en droit i notre cliapitre m.
Mais ces propriétés sont si simples et elles nous sont à tous si
familières que le lecteur voudra bien nous aatoriser à les regarder
comme acquises. En fait elles furent, plus ou moins consciemment,
utilisées par les hommes primitifs longtemps avant que ne s'ouvrit
l'ére de la démonstration et de la scimcs ratioimelle. Et les
géomètres grecs, eux-mêmes, ne clieccbèrent pas tout d'abord
i les analyser (•;, maïs les acceptèrent d'emblée comme point de
départ de leurs déductions. Il nous sera donc permis de les
admettre à notre loor, afin de pouvoir étudier toat de suite cette
pseudo-géométrie, prolongement direct de rarithniéliqiie, où la
figure n'intervient qu'à titre accessoire et sous une forme aussi
réduite que possible.

53. Longueurs rsotflignes. — Le type par excellence de la
grandeur géométrique est la longueur rectiligne, c'eat-J-dtre )a
longueur d'une ligne droite (') limitée, ou, plus précisément, d'un
segmeal recUligne (portion de droite) compris entre deux points A
et B. C'est à ce type de grandeur, le jJus simple et le plus clair,
que les mathématiciens s'efTorcent de ramener toutes les autres.

(') C'e»t ea ce gens qu'il faut intorpréter la phmae céKbre inscrite,
d'après la légende, au fronton de l'Ecole de Platcm : Nul n'entre ici s'il
n'ett géomètre.

('] Voir, *uT la définition logique des figures élémentaircB le Deuxième
livre, chap. v.

[^ C'est à denein que nous ne donnons, dans ce paragraphe, aucune dé-
GnitiOD do la ligne droite et du plan. Nous avons de ces notions premières
une vue intuitive, que nous ne pourrions qu'obscurcir en cherchant à en
donner prématurément une définition logique. Une droite, c'est une
règle sans épaisseur ; un plan, c'est, par exemple, un tableau noir ou une
feuille de papier. Euclidb lui-même ne nous donne, dans son système
de géométrie (voir ch. ni, § 4) aucune explication lopque des notions
premières et de leurs propriétés, mais se borne à spécifier quelles sont
«elles dont il a besoin pour édifier ses ■ Eléments s.

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6) LES GRA.Nt>ELnS

La notion de longueur rectiligne (') présente certains carac-
tères qui la rapprochent de (a notion de nombre.

Etant données deux longueurs (deux segments de droites) AB et
CD quelconques (fig. 2), on peut dire si elles sont égales ou iné-
gales: elles sont égales (ou congruentes) si elles sont exactement
superposables, c'est-à-dire si, en déplaçant l'une d'elles, on peut
K a l'amener à coïncider avec l'autre; lorsqu'elles sont
inégales, on peut dire laquelle est la plus grande ;

"^ " on peut faire la somme ou la tiifférence de deux

**' '' longueurs en les pinçant bout à bout le long

d'une même droite; enrmonpeutf/iVii^runclongueur donnée en un

nombre donné de parties égales. Ce sont ces caractères arithmé-

liques (>) des longueurs qui nous permettront de les mesurer.

Nous retrouverons les mêmes caractères arilhméliqaes (donnant
lieu aux mt^mes opérations) cliez les diverses grandeurs qu'étudie
la géométrie. Montrons-le par quelques exemples fondamentaux.

64. Angles. — On appelle aiti/le la figure formée par deux
demi-droiles {') issues d'un même point 0. Ces demi-droites sont
appelées cUcs de l'angle; le point 0 est appelé sommet. Marquant
sur la première demi-droite un point quelconque A, sur la seconde
demi-droite un point quelconque B, je puis regarder l'angle comme

(') On remarquera qu'une longueur rectiligne telle que AB est indé-
j)enilaiite do la position particulière qu'occupe dam l'cipace le aegment de

Hroite AS. Si nou» déplagona ce segment et lui faisons occuper des posi-
tions diverses, nom avons toujours affaire à une seule et mime longueur,
.\u contraire, par les mots " droito >, « segment rectiligne >, nous enten-
dons toujours une droite ou un segment sîtuii dane l'espace.

('I Nous passons aous silence les caractères fondamentaux qui sont,
pour le sens commun, inséparables de la notion de longueur, mois
qu'EvcLinii et les géomètres grecs prenaient soin d'énumérer sous forme
d'axiomes et que les logiciens contemporains ont analysés avec plus de
précision encore. Ainsi : Les grandeurs égales à une mime grandeur soni
égales entre elles ; ai à des grandeurs égales on ajoute des grandeurs égales,
Its louts seront égaux ; et ainsi de suite [les exemples que nous citons
sont les deuN premiers axiomes, ou notion! communes, >.i:ti\ èviodi
d'Euclide]. Nous reviendrons plus loin sur ces axiomes (voir D^uxirme
fil',, chap. v et Troisième liv., chap. 11).

(') Etant donnée une droite qui passe par un point O, cette droite peut
élrc prolongea indéfiniment de part et d'autre du point 0. J'appelle
demi droite la portion de la droite qui est située tout entière, soit à droite,
soit à gauclie du point 0.

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LES CRAKDBVnS fiÉOM ETRIQUES ET LE CAI.CLL 65

déûni par les trois points A, 0, B, puisque les deux points 0 et A
définissent une droite OA (le premier c6té de l'angfle), et pareille-
ment les deux poiots O et B une droite OB (le second c6lé de
l'angle) : je désignerai donc mon aogle (') par les trois lettres AOB,
la lettre relative au sommet étant placée entre les deux autres ;
mais je me garderai d'oublier que le clioix des points A et B sur
les c6tés de l'angle est arbitraire '^').

Fig. î- '■■'([■ à.

Ln angle est plus ou moins grand suivant que ses côtés sont
plus Qu moins écartés. Un angle est donc une grandeur.

Nous regardons comme le plus pelil ang]e possible cekiidont les
deux cdtés sont conTondus (Hg. fia) et comme le plus grand angle
possible celui dont les deux côtés sont dans le prolongement l'un
de l'autre (sur une même droite (fig. 4i}).

Deux angles sont égaux (congruepts) lorsqu'ils sont exactement
superposables ; il en est ainsi, par exempte, pour les angles AOB,
A'OB' (fig. 5), dont les côtés sont en prolonge-
ment les uns des autres; ces angles sont dits« op-
poiés par te sommel {') ». — Etant donné deux
angles inégaux, l'un est nécessairement plus grand
(jue l'autre.

On peut faire la somme de deux angles. En f'<s. h-
elTcl.étantdonnésdeuxanglesqucIcouques, nous pouvons toujours

(') Lonqu'aucune contusion n'est à redouter, on désigne souvent ua
angle par une seule lettre, celle qui se rapporte au sommet.

I') D'une manière générale, lorsque nous désignons une droite — telle
que OA — ' par deux de ses points, nous entendons parler de la droite
indéfiniment prolongeable. Lorsque nous ne prenons en cODsidération
que la portion de droite limitée aux points O et A, noua disons i seg-
ment OA > et non • droite OA •.

{'') En latin, les traducteurs d'EucUde, appellent ces angles i anguli
vtriicaUs ou ad verlicem i, c'est-à-dire i angles au sommet ». On peut, do
plusieurs manières, amener Ici deux angles AOB, A'OB' à coïncider. On
peut, par exemple, plier la feuille de papier, en rabattant la partie droite
de la figure 5 sur la partie de gauche autour de la > charnière ■ j^ (bissec-
trice) : OA' vient couvrir OA, OB' vient sur OB.

BoDiKoui. — Lea Principe! <ls I'AudI^k DialliJmiil>i)ua. 5

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66

LES GDAtDEinS

\ks juxtaposer de manière qu'ils aient même sommet O. on c&^
commun OB et soi«nt situés de part et d'antre de ce calé : les
deuxangtesocciipent «lors les positions i') AOB et BOC (iig. 6) :
on dit qu'ils sont ailjaeenta. L'sngle AOC formé par la réuaicn
des deni angles donnés pent être considéré comme leur somme.

On peut Taire la différence de deux angles. Pour cela, on justa-
pose encore les deux angles en leur donnant même sommet et un
côté commun, mais le plus i>elit angle est placé cette fois à l'inté-
rieur du plus grand. Ainsi fvoir la figure 5) la différence entre
l'angle A'OB (qui est le plus grand angle possible) et l'angle AOB
est l'angle A'OV : cet angle est dit suppléiuenl ou supplémentaire
de l'angle AOB.

Fig 6.

Fip--

Enfin, on peut diviser un angle quelconqne en un nombre quel-
conque de parties égales, \insi, sur la figure 7, l'angle AOB est
divisé en deux angles égaux, AOD et DOB : la droite OD qui [wr-
lage l'angle en deux en est la bixxeclrice ['). Les angles partiels
pourraient être divisés k leur tour, et ainsi de suite indéfiniment.

{') Nous faisout la figure en nous plaçant dans le cas où les deux
angles praposés sont aigus (voir ci-deasoua). Lorsque tes angles sont
obtu», il faut pour justifier pleinement la dérmilion de leur samme, faire
appel aux conventions de la trigonométrie que noua développerons plui

(') Si .

proton^ons au-delà du point 0 le* deux cAté» d« l'angle
nous fomu>ns quatre angles AOB, BOB', AOB,
AOA jfig. S) dont les bissectrices OD, OD',
OD,, OD,', sont en proIongeiBent deux à dans.
On démontre facilement que les deux droites
DOD, D.'OD, sont peipendiculaints l'une sur
l'autre (forment un angle droit, Toir ci-dei-
eoiis). En etTet, l'angk DOD'„ est U sonune de
DOA imoiUé de BOA) et de AOO', {moilié de
AOA'l; donc il est la moitié de l'angle BOA
nomme de BOA el AOA'l qui est le plus grand
angle possible \dtuji droits).

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LES GHt^UEUnS etoMÉmiQUES ET LE CALCIL €7

L'angle moitié do plus graocl nngle possible est ap|>el« nngle
droil '; fAOB sur U tig. 9). C'est pourt]iiot l'on dit que \e phis
grand angle posaible a pour grandeur deitx anffUs droits ou « deux
drmts II. Lesdeuv cdiés d'un angle droit et leurs prolongements
sont dits perptndiculaira l'on snr l'autre.

Ln angle plos petit (fa 'un angle droit est dît antfle aiga; nn
angle plus grand qu'un droit est dit antjU <A>Ihs.
La difliércace A'OB (voir la fig. 9 entre un angle
droit A06 el l'angle AOA' est appelée complément ou
angle compUmenUare de AOt).

Etant donné deax droites quelconques tracées dans
un même plan (par exemple sur une mdme feuille
de papier infiDÎment grande', et qui sont, l'une et l'autre indé-
Gnimcnt prolongées par les deux bouls, on admet qu'elles se leD-
contrent toujours à moins qu'elles ne soient «parallèles ». Elles
forment i angles (voir la fig. 5) deux à deux ëgaux ou supplé-
tnentaîres.

66- Diatlnction entre l'égalité de figure et l'égalité de
grandeur. Les aires. — >ious dérmissons comme égales ou
congruentes des ^/î^uref géométriques (telles que segments rccli-
lignes ou angles) qui sont su)M^rposables et nous admettons que
dem Égares soperposabtes ont même grandeur. Nous admeltons
aussi que, réciproquement, si dcHx segments ou angles ont mcme
gnndenr, ils sont nécessairement superposables. Ainsi, jwur ces
figures, il j a ccinddeoce entre l'égalité défmie au moyen de la
superposition et l'égalité de tfrandetir. Mais cette coïncidence ne
subsistera pas lorsque l'on anra affaire à des figures plus compli-
quées.

Prenons, par exemple, nn triamjle VBO, figure formée de trois
segments rectilignea AB, BC, C V (côtés du triangle) reliant deux
i deux trois points A, B, C (appelés sommets, donnés dans un
plan. Vénalité de figure (appelée aussi coiignience) cnire ce
tiiangle et un antre triangle A'B'C sera défmîe comme il a été dit
plos haut : les deux triangles sont égaux s'ils sont exactement

C) Les axprvuions aagutua reclui ou normtdU, aeabta, oblmua se
trouvent chez Boèce (v" b» " _ _ . . _

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68 LES GnA>DEUfl3

superposables (c'est le cas sur la figure lo). Que faut-il entendre,
d'autre part, par Véi/ali/é île grandeur, et tout d'abord qu'est-ce
que la grandeur d'an triangle ? Nous ne sommes pas actuelle-
ment en état de donner une définition rigoureuse de cette notion,
mais nous en avons une conception très nette. La grandeur d'un
triangle, c'est la grandeur de la portion de plan comprise entre
les côl-is du triangle (portion ombrée, sur la figure lo) appelée
surface du triangle. Et pour reconnailre, le cas écb&int. que les
grandeurs de deux triangles sont égales, il nous snlfira de remarquer
que la portion de plan limitée par un triangle peut être décomposée,
d'uneinQnité de demanières.enautantdcmorceauxqu'il nous plaira;

Fig. ,o. Fig. ...

ainsi sur la figure ii, l'intérieurdu triangle ABC est décomposé en
trois triangles partiels : il est la somme de ces triangles. Considérons,
alors, deux tiîangles, ABC et A'B'C , non superposa blés, mais
dont les surfaces peuvent 5tre respectivement décomposées en «n
même nombre de figures partielles, se correspondant d'un triangle
à l'autre, et superposables ; en ce cas, AlîC peut être regarde
comme la snnimc de figures partielles égales, chacune à chacune,
aux figures partielles qui composent A'BC ; nous exprimerons
ce fait en disant qu'il v a égalité de grandeur entre les surfaces des
denx triangles, on simplement entre les deux triangles .\BC et
A'B'C,

On pourra de la même manière — théoriquement tout au
moins, car pratiquement l'opération peut être difficile i réaliser
— reconnaître l'égalilé de grandeur entre la surface d'un triangle
el la siuface (l'inléneur) d'une figure plane (c'est-à-dire tracée
dans un plan) limitée par des segments rectilignes en nombre

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LES GHAXDEtlIlS GÉOHÊxniQLlES ET LE CALCUL 69

quelconque [une telle figure s'appelle polyrfone (')] ; et l'on pourra
reconnaître aussi l'égalité de grandeur de deux polygones quel-
conques (*).

Nous admettrons, d'autre part, comme évident le fait suivant :
De deux polygones qui ne sont pas égaux, tan est toujours plus petit
<]ue Caatre : nous entendons par là que l'un des deux polygones
(le plus petit) est égal à une partie de l'autre (le plus grand).

De ces diverses remarques nous concluons que les grandeurs
superficielles des polygones sont — théoriquement tout au moins
— des (I grandeurs comparables » : j'entends par là que l'on
peut effectuer sur ces grandeurs les diverses opérations défi-
nies au n" 53. Ainsi, l'on peut Tormer la somme ou la différence
des grandeurs de deux polygones : par exemple, sur la figure 12,

Hg. M. Fig. ,3.

la surface du pentagone (polygone à cinq cAtés) \C!ïB'C' est la
somme des surfaces des deux triangles, AliC, A'Ii'C accolés l'un
contre l'autre. On peut, d'autre pari, décomposer la grandeur
d'un triangle ou polygone en un nombre donné de parties égales.

56. — Considérons maintenant un cercle ou une courlio fer-
mée (') quelconque (fig. i3). Peut-il y avoir égalité de grandeur

(>) L'd polygone [;;oXùyi.>v''V, figure à plusieurs aDgles] est défîai par
n aomnuti A|,...A. reliés deux à deux par n côli», AjAt, A^Aj, A3A1,...
A.- 1 A.. Un polygone ù 3 côtôa est un triangle, un polygone à 4 cfitéa est
un quadrilatère, un polygone à .'i, G,... côtés 091 un pentagone, un heini-
p>ne, etc. Un polygone a autant d'angles que de c6Ua. On désigne un
polygone par les lettres qui désirent ses sommets.

('} Pour démontrer rigourcuacnient que les opérations dont il est ici
question sont théoriquement possibles et pour comparer effectivement
les grandeurs des polygones il faudra s'appuyer sur les théorèmes qui
font l'objet du § 1 de ce chapitre cl, en particulier sur cette remarque
que tout polygone est décomposable en une somme de triangles.

('^) On appelle ligne courbe ou courte toute ligne (ou composée de
droite?) qui n'est pas droite. Uno courbe fermée est uno courbe qui,
lonqu'on la parcourt à partir de l'un quelconque do ses points, aboutit
à son point de départ. Une courbe non fennca est dite ouverte.

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70 LES GB*!tl>B€lt8

entre la surface {partie ombrée) limitée par cette courbe et la sur-
face (l'un polygone? Il se peut qu'une telle égalité soit im|K>s-
sible à contrùlcr avec les instrumenta dont dispose le géomètre
(règle, équerie, compas). Comnieal, en effet décompoter la figui'e
courbe et la ligure i angles en morceaux qui puissent se recouvrir ?
En tliéorie, toutefois, nous pouvons loujoui's imaginer que la
(îgurc courbe soit lluide et que, sans en altérer la graodeur,
nous puissions en oiodifier la forme de manière à la ti'ansfonncr
en un polvgone. Nous en concluons que les grandeurs des deux
figures sont u comparables i> (vitU tupra).

Les grandeurs superficielles de» Cgures géométriques seront,
d'une manière générale, désignées par le mot « aires » ('). L^s re-
marquer qui précèdent montrent que les aires se prêtent aux
niâmes o[)érntions que les longueurs.

L'opération qui a pour but de délermincr un polygone, et plus
parti eu lioiement un carré, ayant môme grandeur qu'une surface
limitée par une courbe est aiipclée « ijutidraliue ».

57. Rectification des courbes. — l'orloos maintenant notre
attention sur le cnnioiir des trianjjles ou polygones, c'est-à-dire
sur la ligne brisée qui les limite icdtc ligne comprend l'ensemble
des cùlés du polygone). Ce conlour est une grandeur jouissant
des propriétés énoncées |)his iiaul (n° 63), car, si l'on porte bout
à boni l'ensemble des côtés du polygone, on obtient une lon-
gueur reclilignû; celle longueur est souvent appelée (') « péri-
mètre du polygC'ne ».

(^iiMsidéruns, sembloblemeni, le v conlour n d'une ligne courlx-.
(je contour a une grandeur qui est unr longueur, car, en théorie,
nous pouvons toujours imaginer qu'il soit redressé et appliqué

{I) Lh mol (.Biirfncc» est sou vent emiiloyi- comme synonyme il'gairo.
Cependant, il est préférable de réservi-r l'appdlatioii de • Burtace t à la
figure géométrii|ue dont la grandeur [i a dépendu nie de la figure) est
une aire. Remarquons qu'il ne rt'sulti: pas de là que qui dit i surface ■
dit litîure occupant dans l'espace une position n# varielur {et. p. 6', noie i).
Une surface qui se déplace eu conservant même grandeur et même
forme est toujours la même surface, a moins toutefois que l'on ne spc-
cilie le contraire comme il arrivera dans certains chapitre» de la science.

('i C'est, en réalité, la mexurede celte longueur qui devrait ètreappelée
périmètre. ~

„Google

LES GDAHDEURS BÉOMÉTBIQl'ES ET LE CALCUL J t

sur UD segoient rectiligne. L'opéralion qui a pour but de délcr-
miner le segmeul rectiligne qui a même longueur qu'une courbe
donnée s'appelle ; recliftcation.

58. — Nous avons admis que, viiluelleincni, une aire ou une
longueur courbe peut toujours être comparée k l'aire ou au contour
d"un polygone. Est-ce là nn pur postulat, ne pouvant vire justifié
que par des notions d'ordre pliysique telles que celles de défor-
mation ou de redressement? Non point : les tliéorèmes de la
géométrie rationnelle (>ermeltcnt d'effectuer en toute rigueur, et
sans laire intervenir aucune défornmtîon, la quadrature et la recti-
fication des courbes simples. C'est ainsi que les géomètres grecs
ont déterminé la grandeur du cercle à l'aide d'une méthode ration-
nelle dite méthode d'exhaaslion. Celle méthode, fondée sur le calcul
des longueurs, est purement géométrique en fait. Cependant, on a
avantage h l'interpréter dans le langage des nombres, en utilisant
la notion de mesure. C'est à ce point de vue que nous nous pla-
ceions pour en exposer le principe au prochain paragraphe.

60. Figures A trois dimensions. — Nous pouvons faire, sur
• la grandeur des figures tracées dans l'espace à trois dimensions,
des remarques analogues à celles qui précc^lent.

Considérons, par exemple, la fig\ire fonnce par deux demi-
j^ans (') limités A leur intersection, cVi.-j-tlire li la
droite qu'ils ont en commun ; cette ligure — dont on
se fait une idée en imaginant une feuille de [>apicr à
lettre, infiniment gnnde et ouverte — est appelée
tlitdi>e ou angle dièdre ; les deint demi-plans sont les
fncttt du dièdre, la droite commune est Varèle [voir
la figure i4, où les deux demi-plans sont représentés **' '''
par des parallélogrammes, que l'on suppose i-especlivement situés
dans ces demi-plans et ayant un côté commun sur l'arête],

L'n dièdre (*) est plus ou moins grand, suivant que ses côté»
sont plus ou moins écartés ; un dièdre est donc une grandeur.

(') Etant doDiié nn plan (voir p. 63, note 3) qui passe par une droite,
cette droite, indéfiniment prolongée dans lea deux sens, partage le plan en
deux régions que l'on appelle demi-plans.

(') On observera le pardléligme qu'il y a entre ces propositions et
celles du a" b^.

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•ja LES Gn.lNDECRS

Deui dièdres sont égaux (congruenU), lorsqu'ils sont exncle-
ment superposabics : il en est ainsi, par exemple, pour les
dièdres (') PQ, P'Q' dont les laces sont en prolongement les unes
des autres (je veux dire que les dem demi-pians P el P' ou Q et Q'
appartiennent au même plan) : ces dièdres sont dits « opposés par
taréle n (ttg. ih).

On peut faire la somme ou la difTéicnce de deux dièdres (') en
les Juxtaposant de manière qu'ils aient la même arête et une (&ca
commune : ainsi sur la figure iti, le dièdre PR est la somme des
dièdres PQ,QR; le dièdre PQ est la différence des dièdres PR
etQR.

Q'

^

f/^

[y^.

Fig. .5.

Ln dièdre est droit si ses faces sont perpendiculaires l'une sur
l'autre [exemple : le dièdre formé \mr le plancher d"unc chambre
et une cloison] ; deux dihires dont la somme est un dièdre droit
(exempte : les dièdres PQ, QR sur la fig. 1 7) sont dits complémen-
taires l'un de l'autre.

Le plus grand dièdre )K>ssible est la somme de deux dièdres
droits : ses faces, en prolongement l'une de l'aulre forment un
plan [PS sur la fig. 17] ; deux dièdres [tels que PQ et QS ] dont la
somme est un dièdre se réduisant â un plan sont dits sapplêmen-
laires l'un de l'autre.

Les définitions des dièdres aigus ou obtus, du plan bissecteur
qui partage le dièdre en deux dij.dres égaux, etc., se déduisent de
la même manière des diverses défmttions relatives aux angles.

60. — Considérons maintenant un corps solide, par exemple

(') Nousn
demi -plan.

(*] Voir p. Ut), note 1

dièdre par deux lettres dont chacune désigne 11

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LES GRA^IDELItS GÉOMÉTHIQUES ET LE CALCUL 7^

une pyramide Iriantjulaire ('), — c'est-à-diro la figure formée par
quatre triangtes ABC, ACD. ABD, BCD, situés dans des plansdtf-
férents et ayant, deux àdeux, un côlé commun (fig. i8) Lesquati-e
triangles (appelés /acë de la pyramide) Umilent une cerlaine porlion
de l'espace, portion intérieure h la pyramide, que nous appellerons
corps ou solide [m^iit cficz Enclide, oôij^a cliez Héron, voir p. gô,
note a). Ce corps a une grandeur, appelée volume {'), jouissant de
loutes les pro/j/'/Vtà aW/A/n^//yues que nous avons indiquées plus
haut.

En particulier les vohimes de deux corps différents sont rcgardûs
comme égaux (congruents) si ces corps peuvent — en théorie
tout au moins — êlre décomposés en un même nombre de corps
partiels pouvant être amenés à coïncider (*) (c'est-à-()ire occupant
exaclemcnt la même porlion d'espace). Si deux corps ont des
volumes incgaui, l'un est pins petit que Taulrc {nous l'admettrons
sans démonstration) c'est-à-dire égal à une partie de l'aulre.

h'aire de la pyramide sera, par définition, la somme des aires
de ses faces ; c'est une grandeur superficielle que l'on peut toujours
appliquer sur un plan et qui est i< comparable », par conséquent
{vide n' 66) à l'aire d'un polygone.

Le périmètre de la pyramide \BCD sera par définition, la
somme des côtés Ali, AC, AD, BC, CD. BD (arêtes
de la pyramide) : ce |>cnmètre est une longueur
(grandeur comparable à une longueur rectilîgne).

Nous pourrons de même comparer et étudier les s(-
diverses grandeurs déliuies |>ar les figures de l'es-
pace autres que la pyramide. Observons cepen-
dant, tout de suite, qu'il existe des figures géomé- "B- '*■
triques qui n'ont point de côtés ni de contour, partant point de
« périmètre » : ainsi la sphère (*), laquelle a seulement un corps et

(') Sur la pyramide, e/. infra Ha. Le mot tiuoïij;!; semble avoir été em-
pniaté par les Grecs aux Egyptiens

(*) De nombreux traité) de géomélric emploient le mot i^lume dans
ts mfme sens que le mot corps. Il est bon cependant do ne point con-
fondre IcB deux idées que noua exprimons par l'es mots.

[') ha coïncidence physique des doux corps ne pourrait itre rcolifiée
que si les corps étaient pénétrables : on peut toujours imaginer ihcoriqiic-
ment qu'il on soit ainsi [lea deux corps élaiit gazeux, pat exemple.)

(') Vide inlra, n» 87.

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■^i LES GRANDEURS

une surface (surface l'ecourbée, que l'on pourrait Ihéoriquenienf
appliquer sur un plan, et dont la grandeur est par ccHiséqucot
comparable à la grandeur d'une surface plane telle que celle d'un
carré, d'un jiolygone ou d'un cercle).

2. — Mesarts. Loagutar 4t la circonférence

61. Los mesures. — L'intcriH que présentent les carnctôres
de? grandeurs que notre S / a mis en lumière tient, comme on sait,
au fait suivant : on peut, gnke aux opérations que ces caractères
rendent possibles, (i mesurer » les grandeurs.

Considérons, par exemple, un segment reclîligne AB. Nous
nous attachons S celle grandeur parce que c'est la plus simple de
toutns (cf. n*S3). Mais tout ce que nous allons en dire pourra
être élcndu aux divers types de grandeurs géométriques tels que
angles, aires volumes, etc. (cf. $ 3).

Pour mesurer le segment AB, on prend comme unilé une lon-
gueur fixe, par exemple un mèlre et, â partir du point \, on porte
celte unité, bout h boni, autant de fois que possible sur le segment
\\i. II peut se faire qu'après n>oir [torlé l'unilc un nombre exact,
m, de fois, ou tombe exaclemeni au point B; on dit alors que la
longueur Alt égale m fois l'unité et qu't'Wt' a pour mesure, en
maires, le iiomhre m.

Supiwsons, au contraire, que la longueur AB soît plus longue
que m fois l'unité et moins longue (') que (m -\- i) fois l'unité :
nous dirons en ce cas que m est la memtre upprochàc par 'lèfnuf
en mètres) de .\B, et que im + ï ) en est la mesure appriichée par
e.vcès. Pour avoir de AB une mesure exacte, ou plus exacte, nous
devrons prendre une nouvelle unité, plus pelite que te mclre. par

(') Etant dnnnéc une longueur quelconque Alt, il existe évidemment
toujours un nombre m Il-I que ni foU l'unité soit moindre que AB tandis
que (m -\- i) jois l'unilé surpasse AB. C'est là une vérité intuitive que
nous ne saurions mettre en doute, mais dont nous ne pouvons cependant
domifr aucune démonstration. Celte vérité joue doue, dans les sjstàmcs
de géométrie, le rôle d'un axiome. Elle a été formulée en ce» termes,
vers i88'i, par le professeur autrichien Stolï, sous le nom d'cuiiom* d'Ar-
rftiViifiJe :< Si deux longueurs sont données, il y a toujours un multiple
[produit par un nonibre entier] de la plus |>etitn qui surpasse la plus

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UESL'RES. LOïHîUEtJK DE L.v ciiico:<f£ret(Cf; 75

exemple le centièmede mètre ou ceHlimétre |la lon§r)ieiir Ju centi-
mè Ire est telle que la mesure du niètre en centimètres soit égale
à 100] : nous obtiendrons ainsi, soit une mesure exacte (en centi-
mètres , soit une mesure approcltée à ua cenlîmèlre près de la
longueur A,B. Désignons par m cette OMsure : nous pourrons dire

que la mesure de Ail en ml-tres, est la fraction 'm centièmes

de mètres} : cette mesure est exacte ou approchée à — - près. Répé-
tons le même raisonnement en prenant pour unité auxiliaire, non
plus le centimètre, mais telle fraction du mètre qu'il noua plaira.
Si nous ponvons choisir le nombre entier n de manière que le
segment AB contienne un nombre enact de fois, — soit m fois, —
la n*"' partie de l'unité, la mesure du segment VB, en mètres, sera

donnée par une fraction - : ce sera un nombre ivlionnel ^'^. Dans
le cas contraire on constate, en raisonnant comme au n* 48, que,
quel que soit n, on peut former une fraction de dénominateur n

qui donne une mesure de AB, approchée h près. En prenant n

arbitrairement grand on aura la mesure du segment AB avec une
approximation arbitrairement grande.

62. Remarque. — St nous nous servons, pour représenter les
nombres, de la notation décimale, nous aurons avantage à n'uti-
liser que des nombres n qui soient des puissances de 10, c'est-è-
dire è toujours prendre comme unités auxiliaires (Jraclions de
Cunilé principale ou soas-unilés) le dixième, le: centième, \GmH(i!-me.
de l'unité piînctpale. La mesure évaluée par rapport à l'une de ces
sous-unités donnera en elVel, par rapporta l'unité principale, une
mesure exprimée par un nombre décimal. Ainsi une longueur de
'mij millimètres a pour mesures en mètres : 3.465.

(') Lorsqu'une jrrandeur a pour mesure un nombre rationnel un dil que
cette grandeur et l'unîtc sont commensurabU) (cl. Elclide, EUm.,
livre X : aj[i{Ut^i ^i-(iii-r^ ou que la grandeur est commenaurahle avec
l'unùé. Une grandeur non conimensurable avec l'unité est dite in-
commtnsurable (iiiiJiJitTiov) avec l'unité ■- Plusieurs grandeurs sont
dite* cemmenturables (entre elles) si chacune d'elles est coininensurable
avec l'une d'entre elles prise pour unité. S'il n'en est pas ainsi, les gran-
deurs sont incommenstirables (cnlre ellesl.

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Les Byatènies d'unités et sous-unitûs ainsi déliiiis, têts que le
système: l.ilomHre, heclomèlre, mitre, décimètre... . ouïe système :
kil'tfjrammc , heclntjramme, gramme, tléci<i ranime..., sont des sys-
tèmes de meauves décimales ; leui' ensemble conslilue ce que l'on
ai>{)ellc un « système décimal >le mesures ', ».

63. Hemras d^linies par des racinee. — La mesure que

nous venons de définir (comme nombre ralionnel) est exacte on

approchée. \ji dislinctinn ainsi étaMie entre deux soviea de mesures

A n'est point accidentelle, car il existe mnnifestemcnl

y^\^ des grandeurs qui ne [«uvent être exactement me-

/ \ surccs par rapport à aucune fraction de l'unité.

Considérons, par exemple, le triangle ABC (fig. 19}

P'S "J- qui est rectangle en A (c'est-^-dire où l'angle A

est un angle droit), dont les côtés \BetAC sont égaux, et qui a une

hypoténuse fcôté ItC op]K)sé â l'angle droit) égale k i mètre. Le

théorème de Pylhagore :') nous apprend que la mesure exacte

^cn métrés) de la longueur Alt ne pourrait être que la racine carré

dunombi-e-; or celle racine, comme celle de 2, n'est pas un

nombre rationnel (') (n" 37).

Nous {lourrions, il est vrai, en ce cas encore, attribuer un sens
aux mots « la mesui'c exacte » : celle-ci ne serait plus un nombre,
mais elle serait du moins définie 'déduite de l'unité) par une opé-
ration aritlimélique simple (extraction de racine qui peut élre
elTectuée, nous le savons, avec une approximation aussi grande
que l'on veut, n" 48).

M'est-il pas {>ermis de généraliser cette manière de voir et de

(') L« lytlime de tncaurcs adopte par la loi frauçaiso (système mé-
trique) «3t, en majeure partie, dceimal (>'i(f« injra, a" ia\).

CI Yid, i„l„. ,„.

[^) La longueur Ah et l'unité eoni, euivant Euclide, commcnsurablcs
en puissance, car aux termes de la dét. '.i du liv. X des EUmtnta, • deux
■egmenta sont commensurables en puissance si les carrca cousiruits sur
eux peuvent être mesurés [exactement] avec une même unité d'aire >. Le
contemporain de Platon, THÉÈTtTE d'Athènes, avait fait une étude apprO'
tondie des grandeurs — - définies par les figures géométriques claisiques ^
qui sont incommensurables avec l'unité. La clasEiTication qu'il en avait
donnée eat sans doute, ù peu de choseï prés, celle qu'expose Euclidb
au livre X des Elémenla.

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MESUKES. LONGUEUR DE LA. CHIGONFÉRENCE -J-J

définir la mesure exacte d'iine grandeur quelconque (longueur, ou
angle, ou aire, etc.) comme une quantité qui est le résultat d'opé-
rations arithmétiques (') eirecluées sur l'unité (c'esl-^-dire sur le
nombre ■)!> Si ces opérations sont toutes possibles, la mesure
exacte se trouvera être le nombre rationnel déilni nu n° 01. S'il
y a, au contraire, parmi elles, des en tractions de racines impossibles,
la mesure exacte ne pounii pas être calculée, et l'on devra se con-
tenter d'une mesure appi'ochce, laquelle sera, précisément, \ei
résultat approché des opérations qui déGnissent la mesure exacte.
Cette manière de présenter les choses est légitime dans certains
cas, mais non point dans tous, ainsi qu'on le constate, par
exemple, lorsqu'on cherche h déterminer la mesure d'une circon-
férence.

64. Eionguenr de la clrconlérenoe. — Cousîdérons une cir-
conférence (ou cercle) (*) dont le rayon ait pour mesure l'unité
(par exemple, i mètre). Comment mesurer cette circonférence?

Si l'on prend un mètre en ruban et qu'on l'applique sur te
contour de la circonférence, on constatera que la longueur du
contour n'est exactement égale à aucune fraction de mètre. Cette
longueur est comprise entre 6 et 8 mètres, plus précisément entre
a X 3,1 et 3 X 3,3, phis exactement encore, entre a X 3,i4 et
•i X 3,i5. Quelque loin, cependant, que l'on pousse la subdivi-
sion du mètre (en millimètres, dixièmes, centièmes de milli-
mètres, etc.) on n'obtient jamais une mesure exacte de hi cir-
conférence : on en a seulement des mesures de plus en plus
approchées.

Mais la mesure effective d'une circonfércnca an moven d'un
mètre Ûexîble est une opération physique qui ne présente aucune

(') Lortqu'une mesure ou une quantité est définie comme résultat de
tetlea opémlions, on dit qu'elle est calculable par radicaux.

(') On appelle circonjérence ou cercle la ligne formée par l'ensemble des
points situés à égale distance d'un même point appelé renire du cercle;
le segment do droite joignant le centre à un point quelconque de In cir-
coDtércnce s'appelle rayon [radiu»]. Il est bon de noter que te mot circon-
{irence désigne exclusivement le contour (iripi^ipîii) du cercle; le mot
cercle, au contraire, sert également à dcaigner la surface limitée par ca
contour. Le sèment [double du rayon) qui joint, en passant par le
centre, deux points opposés de la circontcrenoc (et la coupe en deux),
t'appelle diamètre.

„Googlc

^8 LEB GBANItEDRS

garantie. Nous avons déji dit qoe les géomètres ne pouvaient en
faire état et dfl%'aient avoir recours k une méthode théorique, seole
«nsceptible d'être rigoureaseflient précise. C'est pourquoi Us
imagiDèr«Dt la méthode d'rxAntuf/on (cf. n" S8), que l'on
appellerait aujourd'hui méthode do passade à la Htmte ('). En-
core, Euchde, le prudent, n'ose-t-il appliquer directement cette
méthode {*) au problème de la rectification du cercle dont les
termes mêmes ne lui paraissent pas logiquement recevables ;
car, pour seulement parler de la longueur du cercle mesurée avec
une unité rectîligne, il faudrait l'avoir définie, c'est-à-dire connaître
un procédé de coDstruction géométrique {vide infra, ch. m. % 5) qui
fournisse un segment « égal » à la circonférence du cercle : i)
faudrait donc avoir déjà résolu le problème de mesure que précisé-
ment l'on se pose. C'est le grand (géomètre sicilien Archimède (')
qui rt'solut, le premier, ou pIntAt trancha cette difficulté logique :
il comprit qu'en déterminant une mesure arhîtralremenl approcher
parexeès on par dé faut de la longueur dti cercle, on se trouve véri-
Gerpar surcrottque cette longueur ej:(s/c(') [j'entends : vérifier que
l'on pourrait, théoriquement, construire un segment vectîltgne
qui soit égal à la circonférence] (ce qu'au n° 67 nous avons admis
comme intuitivement évident).

86. — Considérons ("), — poiir appliquer la méthode 'f ejr/i«us-
lion — un carré .AiïCD (fig. 20) inscrit dans In circonférence

(') Voir sur le mot « limite 1 p, .î.'i, note r>. Le mot a cxhaustion u est du
XVII* aiècle. On le trouve en particulier chez Grécuike de SAinT-Vi^csTiT
(^irf.in/™. «71-

(') En revanche Euclidi> applique, par exemple, la méthode d'exbaus-
tion, à la démoDslratioi) du théorème suivant : Us aires de deux cercles
différents sont proportionnelles [fide n° ()K) aux carrés de leurs diamètres ;
ici, en eilet, l'assimilation de la circonférence à un contour rectiligne et
de l'aire du cercle à une aire polygonale n'est pat poetulé«.

(') Dans le traité inUtulé : xlxi.oj (Jii-:ï,3iî. a. Heath, Ths rtwA» 0/
Arckimedea, Cambridge, i8i)7, p. i)i,

[') Sur le» conditions auxquelles doivent aatiataire les valeurs appro-
chées pour que cette conclusion soit valable, voir p. So, note 3.

(') C'est la méthode suivie par Antifhon [û' siècle av. J.-C] qui l'ïm'
pire peut-être de la tradition pythagoricienne. Sur leti moyenià employer
pour construire le carré Inscrit ou ciiconscrït — et les polygones réguliers
dont il sera question plus loin — voir lo liv. Il des EUmtnt» d'Et'cuDi

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LonGtetm de la cibconpéhbnce

(c'est-à-dire intérieur i )» circonférence et ayant ses quatre som-
mets A, It, C, D sur son contour) : la mesure (exacte ou très
approcha) du contour do ce carré eil une mesure approchée
pBr défiiut (') de la longueur du cercle. (Considérons au con-
Intîre (fig. ai) le carré A'ICC'D' circnnscril (extérieur au cercle
et dont chaque côté est tangent au cwcle, c'est-à-dire le touche
en un seul point) ; la mesure du contour de ce carré est une

Fig

mesure approchée par excès de la longueur du cercle. Envisa-
geons enmite sur la figure 30, au lieu du carré ABGD, le
polygooe k huit côtés égaux {octogone ré^alier) AEIïKCtiDH
qui est inscrit dans le cercle (ses huit sommets sont sur le cercle) ;
la mesure du contour de cet octogone est une nouvelle valeur
approchée par défaut de la longueur du cercle, valeur plus appro-
chée que la précédente ; pareillement, sur la figure ai, la mesure
du contour de l'octogone régulier {*) A|B|C|D,EiF,G,H, est une
mesure approchée par excès (plus approchée que la valeur donnée
liar le carré A'B'C'D ) de la longueur du cercle.

Supposons, maintenant, que nous considéiions, non plus un carré
ou un octogone, maïs un polygone régulier ('), ayant beaucoup
plus de côtés, tous très petita, et dont la figure se rapproche par
conséquent autant que nous le voulons de la figure même du

(') Je regarde comme Avideat que le contoiu A'u/t carré ou polygone
inttril ett moiadra que le contour de )a circonférence, tandis que le con-
tour d'un carré ou polygone circonacrit eit supérieur. On le voit immé-
diatement sur la figure.

(*) Sur l'emploi des lettre* sflectées d'indices, voir p. ao, note 2.

(') Un polygone dont les cAtés et les angles
arrive pour l'octogone AEBFCGDH de la figur
réguUr (cl. EuctiDE, EtimenU, livr. IV).

a sont égaux (comme
1) est appelé polygùn

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8o t-ES GHANDECna

cercle (') ; œ polygone pcul Cire imcril dans le cercle (c'esl-â-di re
intérieur au cercle, ses sommets élant tous sur le cercle, exemple :
le polygone AlîCD... sur la figure aa) on circonscrit au cercle
;extéricur, cttacun de ces cAlés touchant
le cercle en un point, exemple ; le poly-
gone A'B'C'D' ... sur la iignre a); la
\ mesure du contour du polygone est toii-
I jours, dans le premier cas, une mesure
approcltùe par défaut, dans le second cas
une mesure approchée par excès de la
longueur du cercle; l'approximation est
d'ailleurs arbitrairement grande {vide
I que les périmètres des polygones réguliers
inscrits et circonscrits ont pour limite la longueur du cercle
lorsqu'on leur donne un nombre de ci\tés de plus en plus grand.

66. R«msirqad. — Pour jusllfier rigoureusement cesconclusions,
on prouve que la mesure dn contour d'un polygone inscrit et
celle du contour d'un polygone cîiconscrit sont arbitrairement
rapprochées Ctine de Cnutre lors<pic les polygones ont sullisam-
ment décotes; il en résulte que l'une et f autre donnent bien (•)
des valeurs arbitrairement approciiéea de la longueur du cercle.

(') En donnant au polygone de plus «n plu» dn câlpE nous ipuisona
prog resei Terne nt l'aire du cercle : d'où le mol « exhaustion ».

{-) pui3<)ue la longueur du cercle est comprise (voir p. 7(1, note 1} entre
les longueurs de ces deux contoura. — Que ce corn- ^

plument de démonstration, détaillé avec aoin par
Ahcbimède, soit cITectivenient nécessaire, c'est ce
dont on se convaincra si l'on fuit alicnliun au tait
suivant. De ce qu'un contour polygonal, auquel
on donne de plus en plus de eûtes, leiid vers une
ligne gcomélrique connue (c'est-à-dire a une
ligure qui diffère de moins en moins du cette
ligne) il ne resuite pas que la longueur du con-
tour ait pour limite la long;ueur de la ligne
connue. Donnons-nous, par exemple (fig. -ïi) un triangle équilaléral
ABC, et considérons successivement les contours polygonaux suivanls :

IJDEFC, à .\ cAlés [D, K, V étant le milieu des côtés du triangle) ;

UUHIEJKLC, à H cAtés (G, H, I étant tes milieux des cdlés du triangle
BDE et J, K, L les milieux des côtés du triangle EFC) :

puis les contours A iG,!lï,,.. côtés, qui se déduisent les uns des autres
d'après le même procédé.

Ci's divers contours ont pour limite la ligne BC. Cependant on démontre

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MESURES. LO:(GUEUII DE LA CIHCONPÉREKCB Si

67. — VoilJ comment ont raisonné les géomètres ('). Mais
c'est ici que surgit l'anomalie, ou, du moins, ce qui fut long-
temps considéré comme tel. Le contour du carré ADCD, celui de
Toctogone régulier AEBFCGDH, ou celui d'un polvgone régulier,
inscrit ou circonscrit, a^ant un nombre 3/1 de côtés, tous ces con-
tours ont des mesures qui peuvent étredéfmies fdéduitcs de l'unité)
au moyen d'opérations arithmétiques connues (') ; ainsi le contour
du carréABCDapourniesure exacte 4X /â (le sens de l'expression
« mesure exacte » étant élargi comme il a été dit au n° 63); le
contour du carré circonscrit V'B'C'D'a pour mesure S; le contour de
l'octogone AEBFCGDH (fig. 21) a pour mesure S x\/-2 — v a, etc.
Pourra-t- on, semblablemcnt, indiquer une combinaison d'o/)£fra((on«
connius dont le résultat définisse la mesure de la circonférence ?
La réponse est négative ('), mais les géomètres ont été longs à s'en
convaincre, et les tentatives faites, vingt siècles durant, pour trou-
ver une expression arithmétique de la longueur du cercle, se
comptent par milliers. L'une des plus célËbrcs est celle de Oréyoire
rie Saint- Vincent [auteur de i'Opus </eomelriciiin f/tiiitlratura:
circuli et sectionum coni, lô'iy ;. qui fut combattue par Descarles,
Pascal, Huygens. Aujourd'hui encore, les Académies Scientifiques
sont saisies presque chaque année de nouvelles solutions du pro-
blème de la B rectification » ou k quadratiuc » du cercle. Et
cependant, V impossibilité de la résolution de ce problème ('),
pressentie par Lcgendrc et Euler, a été prouvée en toute rigueur,

que leurs longueurs tant toutes igaUa entre elles et égales au double du côli
du triangle é^uitatiral.

(') Ils ont aussi imaginé de nombreuses méthodes indirectes qui con-
duisent à des résultats équivalents.

{*) Ce sont là des conséquences immédiates da théorèmes de la géo-
métrie métrique (voir chap. m, § 3).

0 Et cela, en donnant aux mots ( opérations connues » qui figurent
dan* l'énoncé de la queation, l'acception la plus générale qu'ils puissent
eompbrter. On ne peut former (vide infra, Deux_. Lif.) aucune équation
a^ + a.-i X.-1 + ... + aa= o de quelque degré que ce soit, dont les
coefficients a., a.-,, ... ag soient des nombres rationnels et qui ait pour
racine (valeur de l'inconnue x) la mesure de la longueur du cercle de

(*) Il existe par contre certaines courbes (autres que le cercle] dont la
longueur exacte est mesurée par un nombre rationnel pouvant Stre cal-
culé. De telles courbes sont dites reclipables.

BocTui'i. — Lm PtJDcipM de l'AnaljM nxlliinisliqua. 6

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Va LES GHAItlIEURS

Cil 1883, par le jn-ofesNcur Lindemanii (') de l'L'niversilé de
Munich.

Ainsi, la loeaure de la ciiconrérence par ca^iport an cavon (prfs
pour ufûtc) jie jieut i-tre définie au moj'en d'opéralioiM arithmé-
tiques que d'une manière approximative. Tout ce qu'en peut dire
l'arithméticien, cent, par exemple, qu'eUe est coinpriac entre (')
3 X 3,iiii3{)3riri.'ï5 et 3 X 3,1 ji^9aG.')3C, valetire que I'od
pourra toujours prû<:îfler en calculauL denouv^lee décimales.

La circonférence dont le rayon a pour meaurc un nombre r est
r fois plus grande. Sa mesure esl comprise entre »xrx 3,iAi5....&
et a X r X S.i^iT» ... (i.

Ajoutons qu'au lieu d'une [raclion décimale, on peut utiliser,
pour représenter la mesure du cercle avec ime approximation ar-
bilrairemeat grande, d'autres tvpes d'expressians aritltmétiques
dont nous nous occuperons plus loin (S^).

66. — La ilemi-hnyiicar île la circonférence de rayon i ext dé-
siijnécd'oriUnaire. par la lettre z. On exprime l'impossihilité de la
'< rcctificalion » du <-ercle (au sens dun°M' en disant que la
longueur 7: et le nombre qui la mesure sont transceiulantK {').

69. — Après les mesures de longueuit^, il convient d'étudier les
mesures d'aires et de volumes. Mais ici nous rencontrons une dtP
iicullé. Il est absolument impossible, en elîet, de mesurer les sur-
faces et les corps .«ans tenir comple de leurs figures et sans invo-
quer certains Eliéorèincs de fjéoniélrie pure dont nous ne nous
occu()erons que plus loin cliap. lu). '(Cependant, afin de ne p.is
séparer en deux tronçons la théorie do la mesure, nous avons cru

(I) BerithU der Derliner Akadfiiile. iNM:!, II.

(') Ces valeurs approchées oui été données par Viète (Variorumdenbiu
inalhematicis responaorum liber ^'I^, i<'i(i7, cbap. xv ; Geometrica xùkXoj
(jtiT^riTi;, btae prarima verae). AkchiuLde, dans sa xj/.Xqu fti'fir,a:i avait

indiqué les -valeure : a x ( ' + ' ) (approfhée par défaut] cl ^ X ( '' + ~ ) ■
Des valeurs tout aussi approvliée^ fureut données par lei joa^ématiaionc
hindous qui aani doute les trouveront iudùpendamment dee Grecs Itian
qu'ils vinssent sept siècles i>lus lard [LeiOns de calcul d'Aryabhata, «nul.
Rodet, Journ. asiatique, t. XII I, p. 'li)i) et suiv.).

('j Quanlilaa Iraitacendens dit LEianii, Acta eruditorum, 170'i, p. 90
{Continuatio analyseos quadratwarum] et Malh. Werk., V, p. 35.

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DIGBBSSIO» SUH LA MESUKE UES AUeS ET DES VOLUUES S3

devoir rappeler tout de suite, dans ua paragraphe spécial foraiant
parenthèse, les règles bien connues du u gystèjne métrique >i, quj
permettent le calcul des aires et des volumes. D'une part, eu eflet,
l'eiposé de ces règles n'offre au point de vue de b géométrie des
Ggures qu'un intérêt secondaire. Et d'auti'e part, il complétera
ulilement ce que nous avons dit et dirons encore du calcul des
grandeurs, en nous faisant voir nettement de quelle manière les
grandeurs géométriques peuvent se combiner suivant les lois de
. l'arithmétique.

- DJgres^»n sur fa nmirre ées alm et écM volumes

70. — Revenons d'abord un peu en arrière, et complétons par
quelques remarques les observations que nous avons présentées
touchant le problème de la mesure.

Soit à mesurer une aire pïane (n* 66). Prenant comme unité
d'aire le iiiHre carré — c'est-îi-dlre Taire du carré dont le côté
est long d'un mètre, — nous [louvons, lUéoriquement du moins,
placer sur la surface à mesurer (de manière à la recouvrir aussi
exactement que possible) un certain nombre de carrés égaux
à l'unilé ou de fractions de ces carrés (cf. n" 66). Mais comment
réaliserons- nous en fait, une semblable opération? Ou plutôt,
puisquelle n'est pas réalisable, comment, pourrons-nous en prévoir
le résultat sans l'effectuer. Telle est la question à laquelle ont dû
répondre les piemiers géomètres. La même question se pose au sujet
des volumes : cf. n" 60) lorsqu'on cberclie h les mesurer en prenant
pour unité le mèlre cube, c'est-à-dire le volume du cube dont le
côté est 1 .

71. — Le problème ainsi foimulé |)eut être étudié de deux
points de vuediiTérents. On peut œnoncerde prime abord à trouver
uae mesure exacte de la grandeur que l'on considère : c'est ce que
fait la géométrie empirique. On pent au contraire, — et c'est là ce
que veut faire la géométrie rationnelle, — chercher à établir qu'étant

.y Google

8\ tES OBA^IDEL'RS

sjHÎcifiée une forme de grandeur, la mesure d'une grandetirdc cette
forme est égale A la mesure d'une grandeur correspondante ayant
une forme plus simple : j'entends par là que, si loin que soil
poussée Capproxinialion. on trouvera le même nombre comme
mesure des deux grandeurs correspondantes ('); ce qui in-
dique — notons-le en passant — que, dans le monde idéal tics
èlrcs géométriques, les deux grandeurs jouissent d'une proprii'lé
commune, ont une parenté, totalement indépendante de nos jiro-
cédés de mesure et de leur plus ou moins grande approximation
(comparer le n" 88),

Les calculateurs égyptiens (') se plaçaient an point de vue empi-
A rîque lorsque, )>our avoir la mesure d'un triangle ABC

A où l'angle \ est petit (Hg. 3/1), ils faisaient le produit
des mesures de Ali et de ItC et divisaient par 2 ;
B H c ^^S^^ 1"' "'^*' '3'"^ '"^^ grossièrement approxima-
tive,^'). Legéomètregrec, au contraire (vide iit/ran' 76)
Fig. jj. — lorsqu'il démonlro que la mesure de l'aire du
triangle est égale au demi-produit des mesures de BC et de la
hauteur Ail (lig. 2'^] — se place au point de vue tliéorique. \ussi
son œuvre est-elle im|>i'-ri»sable : les instruments ont beau se per-
fectionner et nous permettre d'atteindre une approximation plus
(j:rande, la relation constatée par lui entre la grandeur d'une .nire
et celle de deux longueurs ne saurait être altérée.

72. — Comment maintenant, la géométrie rationnelle parvient-
elle à ses lins? lilllc n'elTectue pas de calculs numériques, maïs,
remontant à l'origine de la notion de mesure, elle « opère » direc-
tement sur les ligures des grandeurs en cherchant h y discerner
certains points, lignes ou surfaces auxquels elle puisse appliquer
les théorèmes connus (je veux dire : les théorèmes dont elle dispose
déjà). D'ailleurs, il lui faut d'ordinaire [>our pouvoir appliquer ces

(') Les unités avec lesqutlIcE sont moaurtcis les grandeurs étant sup-
posées clioUies à l'avance et une fois pour toutes.

(*) CI. lo Manuei du calculateur d'AiiuES : fiât EiSENLonn [tupra,
p. 2, note ■x). op. cit., p. i^.li aqq.

{') La métliodc éfçyptieiinc est en revanche partaitoment rccomman-
dable si l'impertcctioii des instruments dont nous disposons doit nous
faire perdre en tout cas te bénéfice que nous tirerions de li
d'une règle exacte.

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I LA. MESURE DBS AIRES ET DES VOLUUEB O'}

théorèmes, compléter ]es ligures sur lesquelles elle raisonne en y
adjoignant (par la pensée tout au moins) certains points, ou lignes,
ou surfaces auxiliaires. Les opérations qu'elle elTectut; reviennent
doue, en définilivË, à des consiraclions théoriques de certaines
ligures i^éométriqLiesqui sont en relation avec les ligures données
(sur le sens du mot consiruclion en géométrie, voir ch. m. S 5;.

C'est par de tels moyens, nous l'avons vu, qu'Arcliiniède a dé-
terminé la longueur de la circonférence. C'est également par de
tels moyens que la géométrie rationnelle enseigne h calculer les
aires et les volumes formés par les figures les pins simples.

73. Aire d'an rectangle. Produit de deux longueurs. —

Clierchons b mesurer l'aire d'un reclanyle ABCD (quadrilatère dont
les quatre angles sont droits) sacliant que les côtés AB et BC ont
respectivement pour mesures (par rapport ù l'uuilé de longueur)
les nombres a et 6.

Supposons, en premier lieu, que les nombres a et 6 soient entiers.

Nous considérerons d'abord le rectangle BCC,Bi dont les côtés,
BC et BB, ont pour mesures a et i
(fig. a5). Por|ant sur BC la longueur
BC de mesure i, je construis le carré
BGGiB dont la surface serfi prise pour
unité iC aire {n' dO). Or on voit immé-
diatement qu'autant de fois la longueur
BC contient la longueur-unité BG, "^ "■

auUnt la bande rectangulaire BCC.B contient de carrés égaux
k BGG,B. Donc l'aire de cette bande rectangulaire a pour mesure
le nombre a [a mètres carrés si l'unité de longueur est le mètre).
Cela dit, le rectangle ABCD contient évidemment autant de bandes
rectangulaires égales h BCC,B que le côte \B contient de fois la
longueur- uni té BBi : il en contient donc b. J'en conclus que le
rectangle proposé ABCD, contient a X 6 carrés égaux à l'unité
d'aire : i7 a pour mesure le produit a X b (').

Si les nombres a et b, au lieu d'être entiers, étaient simplement
rationnels, on parviendrait à la même conclusion n condition de

(<) C'est pourquoi le produit a X i de deux nombrei cardinaux est dit
nombre pian ; il reprëiente une surface (portion du plan), celle d'un rec-
tangle.

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86 LES GRA^DEtnS

prendre une unité auxiliaire contenue an nombre eiacl (entier) de
fois (') dans a et dans h.

Sapposons maintenant que les longnears AB et CD n'aient point
de mevares exactes (nombres rationnels) par rapport h l'unité BB,.
En ce cas nous ne pouvons donner du rectangle ABC ([wir rapport
à l'unilé d'aire) qu'une mesure approchée. Désignant par a, [i des
mesures arbitrairement approchées de AB et CD, noas pouTOns
constniire nn rectangle dont les cités aient pour mesure a et ^ et
qui reconvre arec une approiïmation arbitrairement grande le
rectangle donné. Plax les memres a et ,5 seront approchées, plas le
produit « X j3 sera une mesure approchée (la rectanijle .\BCD.

Ces remarques nous conduisent à regarder en tout cas la cons-
truction d'un i-eclangle dont les cités sont des longueurs données
AB, CD, comme une opération é'/aii}atertle à la mattiplicalion arith-
métique. Nou# dirons que Vaire <hi rectangle ABCD (rectangte
conutrail sur A It et CD) est le n produit ('} « des deux longueurs AB
et CD [appelées « dimensions » du rectangle]. Pour avoir une
mesure exacte ou approchée de ce produit, on n'a qu'à faire le
prodait des mesures exactes ou approchées des deux longueurs.

D'ailleurs, en conséquence des théoièmes de h géométrie, la
u construction >i d'un rectangle dont on connaît deu.x dimensions
est toujours réalisable avec la r(?gle et le compas ('). La multipli-
cation géométrique est donc une opération parfaitement et rigou-
reusement délinio.

74. — ^ Ces préliminaires posés, si nous démontrons d'une aire
donnée quelconque qu'elle est égale ; n° tUS) h l'aire d'un i-ectangle

CI Cela est loufoun possible puisque les'f raclions qui ont pour valeors
a et b peuvent toujours être réduilci au même dénomicatcur. Soit n ce
dénominateur : la n'-^""" partie de l'unité de surface sera l'Unité auxiliaire

{') Au lieu de dire que le rectanglt est un produit, les anciens emplo-
yaient le mot rerlan^lr. (rectangle de d. ux quantités, rectangle de deux
uombresj dans le sens où nous prenons le mot produit. Nous avons nons-
mSmes continué à appeler carré le produit d'un noiabre par lui-même.
Le carré d'une langueur Ai) est dëâigné par le symbole AB'.

(') Prenant sur une droite un segment AB ayant pour longueur une
dimension' a du rectangle, il faudra mener en A et B des perpendiculaires
i AB (sur lesquelles on prendra des longueurs égales à i) : or c'est là
une construction que la géométrie rationnelle enseigne k laire très am-
plement [vide in/ra, 2'tj)-

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niGRBssiox sun LA MEmaB Des aires et i>es volvmes 8^

ABCD que nous aaveDs construire, nous pourrons considérer la
menire de ei-tlw aire comme- théoriquemeRt déterminée et nous
dirons que l'aire est égale au b produit des deiix dimensions du
rectangle n.

Kappelons, comment, pour les ligures classiques les pttas
simples, le problème peut ùtre ainsi réfolu,

78- P&rallérograiiuneB. triangles, polygones ('). — On

appelle paraUéloi/ramme {') un quadrilatère {p. 69, note 1) dont
les côtés sont deux à deux parallèles.

Pourmesurer l'aire du parallélogramme ABCD /I ~/\

(fig, 26), abaissons des [X)ints A el D les per- bh ^^k

pendiculaires Ail el DK sur liC et son prolon- p- ^

gement. On démontre que (') les deux triangles
ABH, DCK sont égaux (superposables). Donc on a :

surface AHCl) -+- surface ADH = surface AHCD -h surface CDR.

c'est-à-dire :

surface du parallélogramme ABCD — surface du redaiigJe iMIKJ).

Appelons alors base (') [^à-ne) du parallélogi-amme le côté B€

(') Le lecteur trouTera dans tous les trailés de géomctric élémentaire
le» (UmanBtiatioDB des propositions que nous noue bornons à énoncer.
Ces démons Ira liant reposent sur lea déliniliona et propriétés tondamen-
tales des drviles perpendiculaires et parallèles, savoir ;

Une droite est perpendiculaire <ur une autre si elle forme avec elle
deux anflea droits (voir n" .^i).

Par un point A pris jw une druit« on peut mener une et une seule
(droite) perpendiculaire k eette droite. — D'un point H pris hors d'uue
droite on peut abaisser une perpendiculaire et une seule sur cotte droite.

Deux droites sont dites parallèles si elles ne se rencontrent pas quelque
lom qu'on les prolonife.

Par un point pris hors d'une droite on peut toujours mener une paral-
lèle a celte droite ; on n'en peut mener qu'une seule d'après le postulat
dit Poatulat d'Euelide {voir DaiKc. Uc., V, g g).

(') Do TtapiXÂriXoï, parallèle et ■•^a^ii.-f;, droite. L'n parallélogramme
dont les angles sont droits est un rfcUxngh. Un parallélo gramme dont
tous lea cAtés sont igaux est appelé losange (ou rhombe).

{') En appliquant les théorèmes de9 n"* i6fi, 173.

(') On peut naturellement prendre pour baae, au lieu da BC, un cité
quelconque du parallélogramme ; une démonstration semblable conduit

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8o LES GHA^DEUnS

(c'est l'un quelconque des ciMés du parallétogcamme) et hauteur
û'^o^j la longueur AH ou DK, c'cst-à-djre la distance des deux
côté» parallèles BC et AD. Nous pouvons dire que taire da paral-
Uloijramme eut éijale aa produit de la longueur de sa base ptw sa
htuleur,

78. — Soit maintenant proposé le triangle kBC {-ififwot). Le
trîanglepcutétreregardécommela moitic du parallélogramme ABCD
(Pig. 37) ; en ctl'et, on démontre que les deux triangles ABC, DC.V
qui composent ce parallélogramme sont égaux ( super posa bics).
Appelons alors, hauteur (') (relative au càté BG) la perpendicu-

Fig, 17. Kig )8.
laire AH abaissée du sommet A sur le côté o|>posc BC. Nous pou-
vons dire que l'aire du triangle \-~~z ) f'*' égale au demi-
produit de lu longueur de sa base par la longueur de sa hauteur.
fOn peut nalurettement prendre pour base un côté quelconque du
triangle ; à chaque cùté correspond une hauteur].

Hemarque. — Les conclusions sont les mêmes dans le cas
où le pied H de la hauteur n'est pas entre B et C mais bien sur
le prolongement de BC; ainsi dans la figure aS l'angle ABC est
alors obtus, tandis qu'il est aigu dans les figures 26 et 27.

77. — Considérons enfin un polygone quelconque (56), par
exemple le pentagone ABCDE. Prenant un point 0 à l'intérieur

aux inémes conclusions, d'où il résulte que. de quelque côté que l'on
parte, le produit de la longueur de ce cSlé par la hauteur correspon-
dante s la mitnt valeur.

(') Par te mot hauteur noua désignons en général une longueur [cf. u" jc),
8a, 8t, etc.]. Dana le cas du triangle, cependant [et dans le cas de la
pyramide, vide injra) le même mot i hauteur * désigne indiitinctement,
tantôt le segment de droite tel que Ail, lantfit la longueur de ce segment.
Il en sera de même pour te mot côté [cOté d'un triangle ou d'un poly-
gone) et, chez certains auteurs, pour le mot base (d'un triangle ou d'un
parallélogramme).

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SUR LA MESURE DES AIRES ET RES VOLUMES 89

de ce polygone et joignant ce point aux divers sommets (Hg. 3gi
nous décomposons le polygone en triangles. Evaluant séparément
les aires des triangles et Taisant leur somme, nous aurons laite du
polygone.

Exemple. — Soit à évaluer l'aire d'un trapèze ") (quadrilatère
don! deux côtés sont parallèles et inégaux, ((ig. 3u)). Appelant
de bases les deux côtes parallèles et /laufcur (du trapèze) la longueur
la perpendiculaire AU aux bases nous démontrons (en décomposant
le trapèze en deux triangles ADC. ABD) que Caire th Iraphe est
égale au Jemi-profluif de la ikmi-somme des longueurs de ses bases
par sa hauteur {').

Fig, 30.

7B. Stéréométrie. — La mesure des volumes des corps ou
solides géométriques (rctpb), — on appelle ainsi les ligures géo-
métriques tracé«s dans l'espace à trois dimensions et pourvues
d'un volume (voir n" 60), — est l'objet de la stéréométrie. Cette
science ne suivit que de loin les progrès de la planimétrie,
bien que l'on trouve déjà dans le manuel d'Abmes quelques
mesures approximatives de volume (comparer n° 71). L'igno-
rance où nous sommes, — opinait Platon dans les premières
années du iV siècle {Lois VIT, clinp. iit\ — par rapport b la
mesure des corps suivant leur longueur, largeur et profondeur,
convient moins à des hommes qu'à de stupides animaux : « j'en
ai rougi non seulement pour moi-même, mats pour tous les Grecs ».
Protestation sévère, mais qui porta ses fruits : car lorsque Platon
mourut en 348, les bases de la stéréométrie étaient d'ores et déjà,
grâce aux travaux à'Arckylas de Tarente et A'Eudoxe de Cnide,
solidement établies.

(I) Le mot ipanil^iOY a été employé par tas Grecs dans des acceptions
dÎTencs ; celte que nous indiquons a seute subsisté.

(*] Les hauteurs des deux triangles AH et DH| (voir fig. 3o) sont
égales.

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LES GnANDBURS

Pour mesurer les voiunies, noua raiaonnerons et procèd«ions
comme noua l'awoas fait pour mesurer les 9uifa«ea (' .

(') Je rappello les énoncés des propriétés fondamentales des plans sur
lesquelles reposent les définitions des figures aoUdea dont nous allons
nous occuper.

Par trois noints quelconque» deV espace, non $ittiis sur unt mime droite, il
pcuse un plan et un seul (nous nous dispensons de définir la notion de plan.
voir tupra, a° 5i). Ce plan conrient toutes les droites qui joignent l'un des
troispoini» (C sur la ligurel à unpoiniarbitnaire SI' de la droite indéfini-
ment prolongée qui passe par les deux autres points (A et B sur la (i^. 1 1 ).
Par définition, ta paraUèU k une droite AB menée par un point C est
C la parallèle CD (llg. li] menée k AB

par C dans le plan ilétorminé par la
droite AB cl le point C.
~~'vj) Dfiix droites qui se coupenl, telles que
CM, AB (fig. 3i) ou deuj: droites paral-
lèles telles que AB, CD détermintnl un
plan [c'est-à-dire qu'il existe un plan et
p. , un seul coiiLcnant ces deux droites,.

■ Si deux droites ne se coupent pas et ne

sont pas parallèles, elles sont dans des plans dillérenls.

Deux plané quekonquea se coupent suivant une droite l c'est-à-dire ont en
rommun une droiu, indéliniment
prolongeable dans les deux sens,
appelée intersection des deux
plans) et forment un dièdre (n" 5fl),
— ou sont paraUèlei |iig. 3-j; sur
la figuration d'un plan par un
parai lé logra

Kig. î..

Q hors de lui) i

est dit parallèle à une droite domiéc [s
droite parallèle à cette droite donnée.

- je le désigne par une lettre, soit P — 17111 e»! parallile à un
autre plan Q est parallèle à toutes les droites con-
tenues dans te plan Q.

Par un point esctérirur à

un plan donné P, il passe un

plan parallèle à P et un seul.

Quand deux plans sontpa-

''8- ^- ■ rallèles leurs interwclions par

un troisième plan quelconquesonideuj- droites parallèles.

Une droite BA (fig. 11) qui coupe un plan P au

point A est dite perpendiculaire sur ne plan si elle "■'"' ""'■

est perpendiculaire à toutes les droites du plan P qui passent par A.

Par un point A d'un plan P on peut mener une droite et une seule per-
pendiculaire au plan P.

D'un point B puis hors d'un plan P on peut abaisser une droite et une
seule perpendiculaire sur le plan P.

Deur droite» perpendiculaires à un mPme plan sont perpendiculaires.
Un plan Q (fig, 'i'v est dil perpendiculaire à un autre plan P s'il eon-

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DIGRESSION SUR LA HKSCTtK M» AIRES ET DES VOLUMES ^I

Nous GCMiiBaicetOBS ckmc par cannéérer les pofy^res, figures
de Tetpace ^î conesptHdcDt *ux fii^ufc» planes appelées poly^nes.

Un poiyMre {nsXosSp-J») est on lolide limité par des polygones
mloéa dsas des plans différents et ayant d«ax à deux un côté
oomauiB (exemple : fi^. 33). Les polygones sont les facn tlu
polyèdre, lenrs ciàéa en sont les arélen, leurs sommets en sont les
aammeU.

Le polyMre le plus simple est \c cab* i» >?•>:), corps limité par
six carrés égaux {fig. 36). Le cube qui a ponr face t'anîté de sur-
iace est, par déânitioa, l'anilé de volume. Ainsi le lotume da
cube dont faréle est i mètre a pour mesore un mètre ct^.

/lZvI

Fig. 35.

79. Volame du parsdlélépipède rectangle. Produit de troia
loDgaevrai.— On a ppel \epa rallélép i/tède rec ta riy /e( ica :s /■ > r, Xt i: inSov) ,
uivcorps limité par six rectangles, opposés et égaux
deux à dea\ (') {exempte : une boite, une cbambre,
gg. 37). On démoBtre que toutes les arèles du pa-
rallélépipède rectangle ABCDA'B'C'D' sont égales
soit & AB, soit h. AD. soit k AA' . Ces trois longueurs
sont appelées les trois dimensiona (^) du parallélépi-
pède : on peut regarder Ut longueur \A' comme
la haaleur et \B, A' B' comme les deux côtés (di- ■^■s-^-
mensions) de la base ABGD du parallélépipède.

On peut raisonner sur le parallélépipède rectangle comme sur le
rectangle plan. Supposons d'abord que ks trois dimensions \B,

tient une tlroile perpandJculaJrc à ce plan [il contient en ce cas une
infinité deleUcs droites).

Ce» diverses propositions, que noua dicte immédiatement notre intui-
tion peuvent être déduites logiquement d'un petit nombre de définitions
et postulats. Elles sont démontrées au xi* livre des EUmenU d'EuCLioE.

(*) Lea rectangles opposés lont situés dans des plans parallèles.

(=) On lea appelle souvent : ton pi«ur, largeur, profoHtUur [;ifnoc,i:> *=<);,
pi4'.>;, dit Evclide).

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ga LES CHA;tDEUHS

AD, AA' aient (par rapport k l'unité de longueur) des mesures
exactes 'nombres rationnels) a, b, c. On démontre que la mesure
du parallélépi{>ède {par rapport au cube-unité) est le produit (<)
a X t X c.Si, par contre, les trois dimensions n'ont pas de mesures
exactes, le produit de leurs mesures approchées donne la mesure
du parallélépipède avec une approximation arbitrairement grande.
Nous concluons de là que ta construction d'un parallétépipi'de
rectanijle sur trois tonr/ueurs données (c'est-à-dire r ayant pour
dimensions trois lonifueurs données) est ane opération équivalente à
ta maltiptication arithmétique de trois Jactettrs. Nous convien-
drons donc de dire que le volume du parallélépipède rectangle
MiCOkBCD' eslie produit des trois lon<fueurs kh. AD.AA'.

Cela dit, si nous démontrons d'un volume donné quelconque
qu'il est égal au volume d'un parallélépipède rectangle que nous
savons construire [voir au n° 60 In défmition de l'égalité entre les
volumes de deux corps] nous pourrons considérer la mesure de ce
volume comme théoriquement déterminée. C'est en ce sens que la
géométrie rationnelle résout le problème de la mesure des volumes.

80. Volante d'un prisme droit. — On appelle prisme (*)
droit un corps limité par deux polygones égaux
jj.^^--'T\^ situés dans des plans parallèles [ces jxilygones sont
lS.-!-td° les bases du prisme, AI3CDE et A'IÎ'C'D'E' sur la
fig. .'18] et par des rectangles joignant deux à deux
les côtés correspondants (parallèles) des bases (rec-
tangles Alî \'li'. BCIi'Celc, sorlalig. 38); l'cn-
Fig 38. semble des rectangles constitue la sur/ace latérale
du prisme; les côtés AV, IIB', etc., sont les
arêtes ; ces arêtes sont perpendiculaires sur les plans des bases et
leur longueur commune est appelée « hauteur o du prisme.

Lorsque les bases d'un prisme droit sont des parallélogrammes,
ce prisme est appelé parallélépidhle droit. En raisonnant sur un
tel parallèlépipivle comme sur le parallélogramme (n° 75), nous
démontrons que le volume du parallélépijiède AB(]DA'B'C'D'

('} C'est pourquoi le produit de trois nombres cardioaut, qui repré
lenlc le volume d'un solide, est appelé nombre solide.
(■) apiasm de T.plt--> scier, et. EucuDE, liv. Xt. dét. i3.

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DIGRESStO!! SL'It LA MESURE DES AIRES ET DES VOLUMES §3

(fîg. 39) est égal au volume du parallélépipède rectangle
AEFDA'E'F'D' qui a une bttse éi/ale et une hauteur éyale. J'en
conclus que ie volume de ABCDA'B'C'D' est éjal au produit de
l'aire de sa base par sa hauteur.

Le volume du prisme ilroU à base trianijulaire VBCA'IJ C'B'
(fig. 4o) est manifestement la moitié du volume du parailélépii>cdc

^

•tt

E

^

Fig. ^.

Fig. 40.

droit ABCDA'B'C'D' ; or la base de ce prisme (triangle ABC)

est la moitié du parallélogramme ABCO : donc le volume du

prisme droit à base triangulaire est encore le produit de Caire de sa

base par sa hauteur.

Cela dit, noua remarquons qu'un prisme droit quelconque tel

que ABCDE.VB'C'D'E' (fig. 4i) peut toujours

être décomposé en prismes droits i^ bases

triangulaires. [Ainsi, en mcnunt sur la figure ^i

'«îs droites AC, AD et A'C et A'U', nous dé-
composons notre prisme en trois prismes Ji

bases triangulaires ABCA'BC, ACDA'C'D',

ADEA'iyE'j, D'ailleurs tous ces prismes ont

mâfne bauteur et la somme des aires de leurs

bases est l'aire du prisme total. Donc le vo-
lume de ce dernier est encore égal au produit
de taire de sa base par sa hauteur.

81. Prismes obliques. — On appelle prisme

oblique un corps limité par deux polygones

/" égaux situés dans des plans parallèles (ce sont

les bases du prisme, AltCDE et A'B'C'D' sur la

Fig. 4i. fig_ ^2) et par des parallélogrammes joignant

deux i deux les côtés des bases (parallélogrammes ABA'B', etc.,

suriafig. ia); lescôlésAA', BB',... sont les arêtes da prisme. La

Fig. i>.

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LES catsDEL-ms

longueur Hll' d'un segmeal de droite compris entre les denx
bases et perpendiculaire à leurs plans est appelée u baateor »
du prisme (').

Ceci p(isô, on démontre que tout prisme oblique est 4galk bd
prisme ditMt ayant une base d'aire égale et une hauteur égaie. On
en conclut que le vnliune 'lu pritnu obliqne ait é^ai au prwiait <if
Faire de sa base par sa hauteur.

82- Pyramide trUDgulaire ou tMraédra. — Wms avons
défini au n"60 la pyramide triangulaire. Cette
pyramide est un polyèdre à quatre foces que
l'on appelle pour cette raison lélraidre {du grec
t[t;it^3ov). Construisons (fig. j3) le prisme
oblique ABCSDD qui a pour base inlérieiirc la
base ABC de la pyramide SABC et qui a une
liauleorégulBà la longueur delà perpendiculaire
abaissée du sommet S sur la face KMZ (hnntear
de la pyramide . Menons, d'autre pari, la droite AE qni est une
'/jVvi^ona^duparaltclogramme ACKD. On démontre qne la pjTa-
mide SABC a même volume que cliaciine des deui pyramides éqni-
valenlei*SADK, SACK.Onen concintqnelevotumedela pyTamide
c-l le tiers du volume du prisme et est, par conséquent, égal an
produit de l'aire de la base de la pyramide par ie tier^ de sa ftaatcar.
On peut naturellement traiter comme base du tétraèdre i'nne quel-
conque de ses faces.

Fig. 43.

83. Pyramide qneloonqne. — On donne, d'une manière géné-
rale, le nom de pyramide a on solide limité par un
]»ol¥gone (apiKtlé base) et par des faces trîanyu-
laires latérales ayant \\n sommet commun S et
pour côtés o|>posés ii ce sommet les dilTérents
côtés du {Wygonc-liase (exemple : la lig. kX)- E^n
décomposant la base en triangles (triangles \BC,
ACD.Al^E sur laligui-e ^i) on décompose U pyra- b c
niide donnée eu pyramides triangulaires qui ont ^'8- 4^-

(') Si Ict Iibscr sont elles-mimps des parallélogrammes, le prisme e
dit paralUlèpipide oblique .

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DIGKES£IO\ SUR L& MBSUBE BSfi AIRES ET DES VOLUUES QÔ

dc8 hauteurs égales ('), et dont Icg bases oat pour Gomme l'aire de
la base polygonale pi-oposée. On en conclut que le volume de la
pyramide est toujours le prodaît de faire fie sa base par le tiers de
sa hauteur (*).

84. Aire du cercle. — Nous oeDous sommes occupés jusqu'ici
que d'aires ou de volumes limites par des dioiles ou des faces
plaueB. C'est qu'en effet, quelque combinaison d'opcrations connues
{cf. n" 03) que l'on 0[)ère sur l'unité de surrace (.plane} ou l'Huilé
de voluoae. on n'obtiendra jamais comme résultat — si ce n'est
dans des cas très exceptionnels — nï une aire plane limitée par
une ligne courbe, ni un volume limité par une surface courbe {sur-
face non-plane). Les otcsures de semblables aires ou volumes ne
ponrront donc pas, en général, être ramenées par un procédé
théorique exact i^) i des mesures de longueurs recliligncs ainsi

{>) loutre ég^Hlee à la hauteur de la pj'raniide pioposce, c'est-à-dire à
la loDfïUGur de la perpendiculaire abaïasêe du BOEomet Eur le base [par
V<xpT«asion < hauteur de la pyramide ' nous drsiguona, suivant les cas,
c«tte perpendiculaire ou sa longueur, c(. p. H8, iiole i].

('] La découverte de coltc propoailion rat allriLuée à Ecditx'E du C^TI>E
(fitie supra, -a" 76). — Roppelsns qu'à l'étude la pyramide «e lattaclte
celle d'un corpa solide remarqunble qui a joue un grand râle en fcéomé-
irie : c'est la pyramide tronquée ou tronc de pyramide (Ttjpan'; xiÀ^jpo;
ou ri6;3.tTtjjvTj portion de pyramide comprise entre la bote et un plan
parallèle a la baae; ce plan ooupe les diverses faces b

latérales de ta pyramide suivant des segments de ,*-.

droites dont U Téunion lorme un polygone, appelé .' Z \

boM supérieure du tronc; la bswe de la pyramide en
* es' la base in/érieun; ainai, la figure' ABCAUC
ci-conlrc cat un tnmc do pyramide à bases trian-
gulaires. Le tronc de pyramide est ta diUireiice des
deux pyramides [sur lu figure: SADC, SA'B.CT ; il
a pour hauteur la différence SU-SH' .des hauteurs
des deux pyramides. Appelons h la mesure de cette
les mesures (exactes ou arbitrairement approchées) des aires des deux
bases [intérieure et supérieure) r la mesure du volume du t
niide est donncc en termes précis, au i" ou au 11' siècle ap. J.-C, par
Hébo.s d'Alexandrie {Sltreomelrica I, chap. 33, 3^, Metrica. liv, II) ;
elle a pour espressioti (exacte ou arbitrairement approchée) :

\ X [4 + f + »nrt).

(^) c'est-à-dire conduisant à la mesure exacte et uon pas seulement
à une mesure approchée. C'est pourquoi le problème de la détermination
des aires et vdiumes courbes est exclu des Elément» d'EucLiEE. Euclidc se
borne à des comparaimne de telles aires ou de tels volumes entre eux
(<'idïn''«4).

.y Google

qu'il a été requis au n* 72. Maïs, si l'on suppose connue la longueur
(l'une courbe, par exemple, la longueur du cercle de rayon i, on
peut <léduii'e de cette longueur la grandeur de nombreuses surfaces
ou volumes dans la Tigine desquels entre celle courbe.

Proposons -nous, tout d'abord, de déterminer l'aîre du cercle.
Inscrivons dans le cercle de centre 0, comme nous l'avons déjà
fait, an n' 66, un polygone régulier ayant nn ti-ès grand nombre
de très petits côtés égaux AB, liC, ... et dont le contour cs^t liés
voisin du contour du cercle. L'aîre de ce polygone esl la somme
des aires des triangles OAB, OIIC, etc. Tous ces triangles sont
d'ailleurs égaux (comme ayant leurs trois côtés
égaux, voir 173) et leurs bauteurs OH,
Oir, elc, sont par conséquent toutes égales (In
longueur commune de ces hauteurs est appelée
apothème). Si donc le polygone a n côtés, son
aire est égale à n fois l'aire du triangle O^B,
c'esl-à-dire à n fois le demi- produit de la lon-
gueurAB par la longueur OH, ou, si l'on veut, égale au ik'iiii'-prn -
duil (le la longueur OU par la lonijueur du périm'elre lia polygone
'ce périmètre égale n fois AI3). Cela dit, multiplions indéfiniment
le nombre des côtés du polygone, de manière que son contour se
rapproche indéfiniment du contour du cercle ; la longueur OH est
de plus en plus voisine de la longueur du rayon du cercle, et le
périmètre et l'aire du jiolygone se rapprochent de
plus en plus de la longueur et de l'aire du cercle, z' ^^
Nous concluons (') de là que Caire (- da cercle esl [ '^b
égale au ilemi- produit rie la lonijaeur de son rayon
par la longueur Je sa circonférence ('). '*' ''

La même démonstration établit que l'aire d'un secteur circulaire

Kig. V:

éd. lEeiberg I. p. ■^V.!] flâ,- zl-/.).!.; 'lo

[') Pouf rendre la démonstration rigourctise, il faut suivre la voie qui
1 clé indiquée au § u,

éme ; [K'Jxlou (le^piiiiî, Œufr,,

', i, iï TtE,;(|tEîpo; '.^ pisd. Toiil
eide est égal à un triangle rectangle, son rayon étant égal à un des eôli$
le langU droit et son périmètre à la base du triangle reclangU.

Cl Lorsque nous au
10 us pourrons dire i

c te nombre r est

li les nombres irratioanels et transcendan
l'aire du cercle dont le rayon
-, donc ït X r^ {voir n" 68).

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DIGRESSION SUn LA

) AIHE3 ET DES VOLUMES

97

(ou portion de cercle comprise entre deux rayons donnés OA,
OB, fig. ^7) est égale h la âemi-longaear de l'arc \R mallipliée
par la longueur du rayon.

85- Aire et volume du cylindre. — C'est par une méthode
semblable que nous parviendrons à la déQnition et k la détermina-
tion des aires et volumes des corps romls tels que le cylindre, h
cône, la sphère.

On obtient (on engendre) un cylindre (xùAivS^io; de /jXivSîiv,
rouler) — plus précisément un cylindre droit — en faisant tour-
ner un rectangle ABCD autour d'un de ses côtes AB pris comme
pivot (') de telle sorte que chacun des côtés AC et Bl> se meuve

Fig. 18.

Kg. '.9-

dans un plan et engendre un cercle. Si l'on remplaçait le rectangle
par un parallélogramme on aurait un cylindre oblique (fig. 1J9).

Le côté CD du rectangle (ou parallélogramme) générateur, ou
plutôt, les droites de l'espace avec lesquelles,' en tournant, ce
côté vient successivement coïncider, sont les génératrices du cy-
lindre ; il y en a une infmilé dont l'ensemble constitue la surface,
plus exactement, la surface latérale du cylindre. Les cercles en-
gendrés par les côtés AG et BD de la ligure génératrice sont
appelés bases du cylindre (')• Quant au côté .VU, si le cylindre est
droit, il est dit axe du cylindre (axe de rotation ou de révolutlori) ;
sa longueur est la hauteur du cylindre.

Pour évaluer l'aîre de la surface latérale et le volume du cy-

(■) C'eat là la définition du cyJindre quo donne Eucude [ElémeTtîa, liv.
XI. dé[. 3[). Cette définition — qui indique comment la fifpire eit en-
gendrée — est dite définition génitique.

[') D'api^ Ib terminologie adoptée dans la théorie génératc dei cylindres
le contour de l'un ou Je l'autre des cercles de base sera une " directrice 1.
du cylindre [courbe sur laquelle s'appuient les génératrices].

BouiiODi. — Lf Princîpei da I'AiuIjm madiémaliijue. 7

„Google

LES CftAHDBVftfi

Uadre droit, nous îiiicriroiH dans le cercle de ba»é inférieur uo
|x>lygODe régulier ABCD ... d'ua grand norabre de ctJlés (je ne
marque sur la figure ci-contre que les pmaierB sonfoets du poly-
gone). On démontre facilement que les points A', B', G', ... où les
génératricea AA', Bfi', CC, ... du cyJdodfe. ÏMwes dee points
A, B, C, ... rencoatreat le ceicle de base supérieur eout les som-
tnete d'un polygone régulier (inscrit dans ce cercle) égal (con-
gruent) au polygone ABCD ... ConstruisaiU ce

=^p- cy

polygone, nous constatons que la figure ABCD .
A'B'C'O' ... [polyèdre ayant pour arêtes les ctiiés
des deui polygones réguliers et les génératrices
qui joignent leurs sommets correspondants] c£t un
K t 1 prisme droit, prisme qui sera dit u inscrit dans le

i?* -■Tt cylindre >i. L'aii-e de la surface latérale de ce
tig. jo. prisme, — c'est-à-dire l'aire de la somme de

ses faces latérales, qui sont des rectangles égaux, — est égale à la
hauteur commune (') des rectangles (hauteur du cylindre), mul-
tipliée par la somme des longueurs des câtés \B, BC, ..., c'est-&-
dirc par le périmètre du polygone régulier inscrit dans la base.
Or, lorsque nous augmentons indéfiniment le nombre des ciMés
de ce polygone, son périmètre se rapproche indéfiniment de la
longueur de la circonférence de base. D'où c«tte conclusion :
taire de Itt sur/ace latérale tlu cylindre droit est égale au produit
de la longueur de la circonférence de base par la hauteur tlu cy-
iindre.

Pareillement, le volume du prisme inscrit est égal au produit
de sa hauteur (hauteur du cylindre) par l'aire do sa base. Aug-
mentant indélinimcnt le nombre des c<^tés de cette base, nous
constatons que le volume du cylindre est ét/al au produit de Caire
de sa base par sa hauteur.

86. Aire et volume dn cAne droit. — Le cône droit (xûvbo
est engendré |>ar un triangle rectangle ABC qui tourne autour

(■) Jo rcf^arde comme la hauteur «le l'un quelconque dei rectuiglet
oonsidérés la Jongueur de ceux de se» cotée qui sont des g«iijrath<«* du
cylindre. Cette hauteur est " commune > à toua lei rectangles (c'est-i—
dire est la m£me pour tous).

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DIGRESSION SLK L\ UESCmE AES URES ET DES VOLUMES ytf

d'un de «fia côtés, Autre que J'lij,|K>ténviBfi, pùscomoie pivot (<).
Le càté-pivot {ùg. 5i) est l'axe du cùae, sa iongueiir «n est la
haulear, son extcéaùté B on est le soinmel:^ les droites de l'espace
avec lesquelles vient successivement coïncider J'iiypoténuse tour-
nante sont les génératrices OM arêtes ; leur ensamble coDeliLoe la
sarjace latérale du cône ; le cercle engendré par le
oMé AC est le cercle de base.

Pour évaluer l'aire de la surface latérale et le
volume du cane, nous inscrirons encore un pol^-
gcoie régulier dans le cercle de base. Ce polygone,
avec les généEsti-icefi qui joignent ses sommets au
sommet H dn cdne, définit une pyramide qui est ^

« inscrite dans le cane ». Evaluant l'aire des faces ^'

latérales et le volume de cette pyramide, puis augmentant indé-
liaiment le nombre des faces, nous parvenons aux conclusions
suivantes : Faire de la sur/ace latérale da cône droit est éynle au
demi-produit de la longueur de la génératrice par la longueur de
la circonférence de base; le volante da cône droit est égal au tiers
du produit de la Itauteur par l'aire da cercle de base {^).

87. Sphère. — On appelle sphère (o^alpx), la figure découpée
dans l'espace à trois dimensions par l'ensemble des points situés
à la même dislmice d'un même point, appelé centre de la siihèn ;
'l'eDsenfble de ces poinlB confltttne la «urface de la «pbèrc; loas
les points de Pespace qui se trouvent à l'intérieur de cette surface
(plus rapprochée dn centi-e) sont dits intérieurs à la sphère; le
segment de droite joignant le centre à un point quelconque de la

i') Si le trûutgle (aurnBnt n'e«t pas rectaugla, màt pivote cependant

de telle sorte que le câto BC décrive un cercle, la figure engendrée est

, un cône oblique. On peut toujours définir ce cône comme

/ '-, la figure obtenue en joignairt tous les pointa d'une

\ cireonférence it un mime point titué hors du plan da

jC^~~~\ cettB circonférence.

/ \ {') La portion d'un cône comprise entre la base et

/- -.\ UD plan parallèle à la base (situé entre le sommet et

C. ^^ le plan de la base) est appelée Ironc de cône : les

'^ ; expreanons du volume et de l'aire d'un tronc de cône

^' ae déduisent des expressions aorrcipondantos relatives

AU tronc de pyramide [i'ide p. g», not« 3). . .

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surface àe la splièrc s'appelle rayon; deux rayons en protoDgemenl
l'un de l'autre forment un diamètre. — On obtient une sphère en
prenant nn cercle (voir )a fig. 53) et le faisant /ciurft^r autourd'un
de ses diamètres pris comme pivot (').

On démontre que tout plan qui rencontre une sphère en plus
d'un point la coupe suivant un cercle : ce cercle est appelé petit
cercle de la sphère si le plan sécunl (plan qui coupe) ne passe pas
par le centre de la sphère (p. c. sur la fig. 5'i), il est appeié granit
cercle de la sphère si le plan sécant passe par te centre (g, c. sur
la lig. b!i): on toit que tous les grands cercles d'une même
splièrc ont des rayons ô^anx et égaux au rayon de la sphère. —
Un plan qui ne rencontre une sphère qu'en un point lui est tangent.

Fig. 5S.

Comment obtenir des mesures (arbilrairementapprochées) de la
surface et du volume de la sphère? Nous allons indiquer un pro-
cédé qui permet de ramener la détermination de ces mesures à un
calcul d'aires planes et de volumes limités par des faces planes. Ce
dernier calcul, toulelois, quoique n'offrant pas de ditllculté théo-
rique, est assez long et pénible : aussi est-il préférable de parvenir
à la surface el an volume de la sphère par des voies détournées.
C'est ce que lit Vrcliimtde qui déploya dans la résolution de ce
célèbre problème {') toutes les ressources de son génie; nous trou-
verons plus loin l'équivalent des méthodes arcliimédîennes dans
le procédé moderne de l'intégral ion, procédé que nous pourrons
appliquer à la sphère sans avoir pour ainsi dire aucun calcul à
faire.

C) C'est ta la définition giiiélique de la sphère [vide, p. 1)7, note 1].
(') Akciiim^de dêlermine en même temps les mesures des aires et
volumes d'un graïul nombre de corps découpés dans la sphère par des

plans eéccnts dilTi-re

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RAPPORTS ET PROPORTIONS ICI

Bornons-nous, pour l'instant, k remarquer que l'on peut i/u-
crire dans la sphère ou circonscrire k la sphère un polyèdre avant un
nombre arbitraire de faces : le polyèdre estdit irumMansla sphère
si tous ses sommets sont sur la surface de la sphère ; il est dit cir-
conscrit à la sphère si toutes ses faces sont tangentes à la sphère
(la touchent en un point seulement et ne le traversent pas).

Cela pos'',, en raisonnant comme nous l'avons fait sur le cercle
au n" 84, on constate que si le polyèdre inscrit on circonscrit a un
très grand nombre de faces très petites, sa surface (ensemble de
ses faces) est une figure qui se confond presque avec la surface de
la splière, son volume est très voisin du volume de la sphère. Sup-
posons alors que nous puissions évaluer l'aire de la surface (somme
(les aires des faces) et le volume d'un polyèdre inscrit ou circons-
crit à n faces, — polyèdre dont la forme reste à notre discrétion
pourvu que les faces soient arbitrairement petites quand leur
nombre n est arbitrairement grand : nous aurons ainsi, de l'aire
et du volume de la sphèi-e des valeurs arbitrairement approchées.
Nous parviendrons ainsi aux résultats bien connus que voici (') ;
L'aire de la sur/ace de la sphère est te quadruple de taire (l'un
^ tjrand cercle. Le volume de la sphère est é'jal au produit de l'aire
de sa surface par le tiers de la longueur de son rayon (').

4. Rapports et proportions

88. — La mesure, telle que nous l'avons définie au % 2, indique
combien de fois l'unité est conlenue dans la grandeur mesurée.
Elle est donc relative à l'unité et variable en même temps qu'elle :
ainsi la longueur qui a pour mesure 1609 en kilomètres mesure

CI ^^'''pourraire, j'it-r' pour Je volume, avec les notations et dans
let conditions indiquées page !|6, nota 'i.

(') AncniMÈDE a présente ces faitt sous diverses formes; il énonce en
particulier comme il suit le théorème relatif au volume : à )C'JXivjpo< ô
pîlLV pev >)((uv *aï,v ivf \ii-ill'ip K'ixlifi tiûv vi tt, loafp^, ii>^Oi ol "oiv tïi
ô(ifiiTp()> t^; 9fi(,;»; i-i'riiî tt f,ii.:'iX:6: îitIv -.r,i loïlpci;, xx\ i, tmçivtia
(surface toi alo c'est-à-dire surface latéral plus surfaces des bases) TJ-.ti
t^ç ixiçaii-aï tr.ç «çiijwc (Hï?' a(pï(pï( xii v.\ikiiop',-j;, I prétaee). Sur
le tombeau d'ArcbimËde, un monument représentant la sphère et le cy-
lindre circonscrit (qui a pour base un grand cercle) immortalisa l'énoncé
de ce théorème.

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lOa LES GRANOeUR»

îooo en mitks anglaâ. Mais il y a quelque chose que ne modi-
fient pas les changements d'unités. Considérons en efmt deux
longueurs commensnrables quelconques donc Tes mesura
exactes aient été calculées par rapport à dbs nnitës dSflërentes : il
résulte des définitions du a" 81 qae le rapport (oa quotient) ((ex
mesures respectives des deux longueurs reste le- même lorsque Fort
passe d'une unité à une autre ; ce rapport, en d'atitres termes, ne
dépend que de la grandeur relative des deux longueurs et non de
l'unité qui sert à les mesurer. C'est pourquoi notre langage ne
prêtera h aucune équivoque si nous convenons d'appeler «' rapport
{ralin) des deux longueurs AB et CD jj le rapport de leurs mesures
eiiactes déterminées relativement à une unité qoefconqne ; nous
pouvons ajouter qu'en conséquence dB nos définitions [9\). lis

ra[^port '^ n'est autre qae le nombre {entier ou fractionnaire) qui
masure la longueur \lt qiuintl on prend la longueur CD poar unité.

Ainsi les roesares sxxiitea représentent des rapports de grandeurs
à grandeurs semblables («ar nous poumons raisonner anr des
pudeurs quelconques comme nous l'avons fait snr les longueurs).
et les calculs effectués sur les mesures ne sont que l'œtpreMion
numérique des comparaisons et rapprochements EmiqaelB éimnent
lieu les rapports de grandeurs.

Il en est ainsi du moins pour les grandeurs exactement mesu-
rables. En sera-t-il autrement pour les autres? — Sans doute,
dans le cas des grandeurs incouiroensurables, l'assimilaUon de la
mesure ù uu nombre Traction uaiie n'a plus qu'une valeur approxi-
mative. Mais la notion de rapport de grandeurs, — qui est, noua
venons de le voie, indépendante de l'unilé et par conséquent du
calcul, — est>ello nécessairement dépendante de la notion de
nombre ? Ne pourrait-on pas soutenir que nous en avons l'intuition
directe et qu'en conséquence nous sommes libres de l'appliquer k
toutes les grandeurs géométriques, indistinclementP

Nous allons voir qu'il en est ainsi en effet et que l'on peut consi-
dérer et étudier des « rapports » de grandeurs quelconques, se
prêtant tous k des opérations identiques (').

(') C'est EiTDOXE DE C:hiiie, contemporain de Platon, qui paraît avoir
constitué le premier une lliéonc générale des rapports géométriques,
et l'on a même attribué ù ce géomètre la paternité du V Hvre dw

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RAPPORTS rr PROPORTIONS io3

80. Rapporta de longnem. StmflHnd*. — Le géomètre se
fait do rapport de deax longoetin (on, plm généralement, de deux
grandeurs géométriques) une idée parCùtemenl neUe quoique difli-
cîle h formuler en termes rigoui-eux ('). Cette idée est liée à celle
de la simtUtude. ImaginoDS par exemple que nous fassions une
réduction ou un agrandissement d'une épreuve photographique :
nous dirons que la nouvelle image est lemblable h la première ; elle
a la même forme sans avoir la même grandeur. Traçons sur
l'épreuve primitive deux segments de droites arbitraires AB, CD,
et appelons (') A'B', CD' les « images » respectives de ces deux

KUa»*nl* d'Enclide, où m trowve l'«xp«*i de aett« théorie. Les propoiî-
tîoiu du V* livre Bimplifieut CAnaidérablemeut l'étude dei aina et volumes
(toit le para^apfae précédent] et redonnent, par unevoie doutsU^, le* ré-
MUtata auxqueU od a tout d'abord été conduit par la contidéra lion directe
da l'égalité ^ométrique. (Exemple: Le tkéofèaie de Pythagore, vnir igg).
M.Zevthen «uppose {HiaLtUt math, dmru l'antiqu.) que les difficulté* inhé-
rentes à la théorie de* proportions ne furent définitivement «urmontée*
que peu de temps avant Ëucude : e'eit p«urquoi celui-ci aurait tenu
k laisser une place dan* son systèiiM à la méthode ancienne à cAté de la
nouvelle.

(■) Le rapport [X'^^"'!) ^^^i ''■^ Eiicude, une certaine maaière d'être
(1C1113 'r/k'7\;, quaedanx habitudo) de deux gTSndeura homogènes entre elles
suivent la quantité [ElémenU, liv. V, déf. V. Mais Euclioe (ou Eudoxe,
voir la note précédente) ne se contente pai de cette affirmation : il
donne du rapport une définition indirecte et arithmétique qui ne diffire
guère an fond de celle que fournit la théc;ic moderne des nombre*
irrationnels exposée ci-degeou* au g 6.

Deux grandeur*, dit-il (déf 4], sont dites avoir une raison {ratio) entre
elle* lor*qiie eas grandeurs étant multipliées peuvent se surpasser mutuel-,
lement : en d'antres termes (en désignant les grandeurs par A et B), si
l'on peut trouver deux nombre* entien m et' n tels que m foi* A > B et
R foi» B > A. — Que deux grandeurs de mâme espèce (par exemple deux
longueurs ou deux airei) satisfassent à ces conditions (et aient par
conséquent un rapport), c'est l un postulat qui équivaut à l'axiome
connu tous le nom de postulat d'Archimide {vide, p. 7 j, note i).

La définition de* rapport* égaux est donnée en ces termes par
El'clidb ; ( De* grandeurs sont dites en même raison, la première à la
seconde et la troisième à la quatrième, lorsque des équimultiples [pro-
duits par un même nombre^ quelconques de la première et de la troisième
et d'autre* équimultiple* quelconques de la seconde et de la quatrième
sont tels que les premiers équimultiples surpassent, chacun k chacun, le*
second* équimultiples, ou leur aont égaux à la fois, on sont plus petits à
la toi*. ■ (trad. Peyrard).

(^ Le* *egmeiitB A'B', CD', ... *ont dits homologUM de* segment* A6,
CD, ... et proportiaTineli k ce» *egment*.

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104 LES GDA^DEIIIS

segments sur l'épreuve ràjuite ou agrandie. Nous dirons que le
K rapport » de AB à A'B' (rapport que nous désignerons par fe

symbole pip) est êijal(') au rapport de CO à CD' ; ce rapjXïrt
est donc indépendant du choix des droites AI5, CD considérées : il
caractérise le rapport des échelles ''} (rapport de réduction ou
d'agrandissement) des deux TiguresC;.

L'exemple le plus simple de figure-s semblables nous
est fourni par une construction qui était bien
connue des géomètres grecs du v* siècle (Hip-
pocrate de Chios et Arcbytas de Tarentc en par-
ticulier). Soit un triangle ARC et une droite
B'C. parallèleau côté BC, qui coupe les côtés A B,
AG aux points B' et C (fig. 55^ : les triangles
f'i- "- ABC et AB'C sont deux /î(fares semblables (*;.

en sorte que l'on peut écrire (voir la note i) :
AB' AC B'C

AB " AC "

BC

(') Nous écrirons di
ithmclicîcns

AB __ CD
"CD'

\ exprimant l'égalité par le même signe que

lei

(•) Terme emprunté à la cartographie ; deux cartes géographiques d'u
même paya sont des figures semblables dont les échelles peuvent être
dirtcrentea.

(^) La décoration des chambres tunérairea de l'Egypte ancienne était
laite d'aprè» un modèle réduit que l'artiste reproduisait à l'échelle vou-
lue : ainai la notion de similitude était déjà familière aux Egyptiens.

(') Détachons maintenant, de la figuro 5.ï, le petit triangle A'B'C: il
reste, dans toutes ses positions, semblable au triangle ABC; ainaî, les

A^

deux triangles de ta figure 56 sont semblables ; la figure ^7 nous offre
un exemple de pyramides semblables [les longueurs des arêtes correi-
dantes sont proportionnelles). La figure 5S nous montre deux figures

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RAPPORTS ET

Ce fait, — ou, du moins, l'égalité des deux premiers rapports cjiie

nous venons d'écrire — est exprimé par la proposition Huivanlc {' ) :

Une parallèle B'C à un coté BC d'un trianyle ABC ililermine

sur les deux aulres côtés des segments proportionnels aux loni/uearx

de ces ciblés, — c'est -à-dire des segments AB', AC tels que .g ^
\C' ^^ *^tte proposition on déduira immédiatement — en vertu
des propriétés des propoitions que nous formulerons au n° 96 —
que l'on a aussi les égalités :

AB _ AC AB' _ AC BB' _ CC

ÂH' ~ ÂC ■ B B ~ C G ' AB ~ AC '

Les mêmes égalités aont encore vraies lorsque la parallèle
i BC ne traverse pas le triangle et ren-
contre les côtés AB et AC sur leurs pro- V7 t.
longemenis (comme il arrive sur les /v «Ne
ligures Sg;. / \ PV

D'ailleurs, une fois acquise l'égalité ^L ^c »"' ^c'

j j . AB' AC ,, p. ,

de» deux rapports ^u et ^(.,, on démon- ''s -"o-

trera {') facilement, en s'appuyant sur les tliéorèmes de la gi^-

curvilignes scmblableB ; les points A', B', C, D' sont les images des points
A,B,C,D ; les segments AB, CD d'une part, et les segments o homologues ■
A'B', CD', d'autre part, sont proportionnels (ce qui veut dire que leurs
rapports sont égaux).

(') Ce théorème est souvent appelé théorème de Thaïes; mais il ne
semble pas que l'on soit autorisé à en attribuer la palornilé au géomètre
de Milet.

(') Menons CD' parallèle à AB (fïg. bS). Notre théorème, appliqué aux

cAt4s CA et CB du grand triangle donne l'égalité j^r = ^q • ou, si l'on
veut [d'après les propriétés des proportions mentionnées au
n" gri) l'égalité équivalente xp =°'~Hp- Mais la figure BB'C'D est un
parallélogramme, et par suite BD' k: B'C Donc «n a bien -, ^ = gp- . La
démonstration est semblable lorsque la figure est disposée comme sur les
figures .'19.

On démonirera aussi (voir chap. m, S 3) que le rapport -, j, est égal
au rapport de deux droites quelconques se correspondant dans les deux
triangles (par exemple deux hauteurs, ou deux bissectrices).

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LES GL^nOBUHS

mclrie, que ces rapports sont aussi égaux an rapport -^ comme
nous l'avons déclai-é.

M. — Mais cette égalité des rapports -r^, j^, qu'affiinie notre
proposition, peut-elle, elle-même, être itémontrée? On ne sauraîtia
prouver que par des considéra tionsarithniélii]u«s. Du point de vuede
la géométrie, il faut l'admettre a priori (ou admettre une proposi-
tion équivalente), ce qui revient à voir dans la conslruclion des
ijéombires ffrccs la définition même de ta similitude et de Féijalité
des rapports de hngaeurs. Nom dirons, en d'antres termes, que le
j p rapport de deux longueurs l

Fîg.fto.

t est égal au rapport de
deux autres longueurs n eip,
si cet longueurs satisfont â la
condition géométrique sui-
vante : Sur deux demi-droites
arbitraires Ox, Oy issues d'on
mâme point 0, je porte à partir

de 0 des longueurs égales A /, m, n, p [savoir OA ^= /, OB ^ m
sur Ojî, et OC — n, OD = p sur 0/| ; les deux rapports seront
dilséijaax si les droites AC et BD sont paralli'les (Cig. 60).

Semblable définition ne se trouve toutefois jusUiîée que par ce
fait que, dans le cas où elle est arîlhmétiqtiement contrôlable, —
c'est-à-dire lorsque les quatre segments /, m, n, p sont cxacle-
nieiit mesurables, — elle est en elTet véridique ''). De ce fait.

(') Supposons qu« l'uniti
nombre exact de fois dans AB' et dans B'B, par exemple a Ii
3 Fois dans B'B. Divisons AB en cinq segments #^ux à
l'unité, et parles extrémilës de ces segmenta, menons
les parallèles à BC qui coupent AC aux points C,, C,
C.„ Cl. Je démontr>> que les segmenta C,C', C'Cj, CXd,
QJC sont touB égaux â AC, : [menons C^D parallèle à
AB; la flsure B,B,C,D est un parallélogramme (n" 75];
donc CD -= fi,B:, = AB, ; d'aiUeurs les angle» dci
triangles AB,C| et C-jDC, aont égaux {^ide infra, i(18) ; Ï^g-C.

donc ces triangles sont égaux et l'on a C..C3 = ACi ; la même démonstra-
tion s'applique aux segments CiC, ..., C,C;. II résulte de U que le point C
est aux doux tiers de AC comme le point B' est aux deux tien de AB. On
raisonnera semblablemant si BC est faors du triangle (cavde» fi^uTM .■>{«).

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RAPPORTS ET PROPOBIIO^IS IO7

d'ailleurs on conclura, en raisonnaia comme au n° 01, que lors-
que les grandeurs tel m, n et p qui satisfonl i la condition énon-
cées sont incommensumiilss, les capporl« de leurs mesures ap-
prochées ont des valeurs d'autant ^lus voisines l'une de l'autre
que les grandeurs ont elles-mêmes ét^ mesurées av«c une ap-
proximation plus grande.

B2. — La coosImctioagéoiuétriqHe, faite comme il a été dit, per-
met de décider si deux rapports donnés sont ou ae sont pas égauï :
die psrmet également de classer par ordre de-grandcnr les rapports
inégaux. Soient en eOet considérées quatre longueurs /, m, n, p
que nous portons comme tout à l'heure sur les deux droites Ox,
Oy (tig. 66), savoir / et m sur Ox (0\ =^ l, OB = m), n et p sur
O7 (OD = p). Si l'extrémité db la longueur n tombe en C (point

de cencontre de Oj- avec la parallèle .\B à CD), les rapports ~ et ^
sont égaux (n° SI). Si cette eAtrémilé tombe en Ci (c'est-à-diM
si la longueur P est plus petite que OC), la second rapport est plus

petit que le premier. Si elle tombe en Cj, le rapport ^ est plus

i^rand que — ■

Ainsi, sans- pouYoir dire précisément ce que c'est qu'un rapport,
te géomètre sait comparer les rapports aa point de vue de leur
grandeur ; il sait, par conséquent, ranger un ensemble de rapports
domiés suivant une suite croissante, c'est-à-dire dans un ordre tel
que chaque rapport soit supérieur ou égal à tous ceo» qui le pré^
cèdent dans la suite.

U y a mieux. Le géomètre peut définir, sans ambiguïté, la
somme, la différence.. le prodml ou le qaolitnl de deux rapport»
donnés.

83, — Remarquons d'abord qa'étani donné le rapport de deux
longueurs qaelconquet, on peut toujours Irouxer wn rapport égal
formé de deux longueurs dont l'une est fixée à l'avance {par
exemple égale à tunité). Portons, en eflfet, les deux longueurs
donnée» sur Ox (fig. 60); elles prennent les positions OÂ, OB.
Prenons, d'autre part, sur Oy, la longueur OD égale k l'unité de

Tonguem' et menons AC parallèle à ED. Le rapport Qg satisfait h
la condition requise.

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lOe LES GRA^OEUnS

Cela dit, soll & faire la somme de deux rapports -rrir, , t-' (.'' -
Nous pouvons remplacer ces rapports par des rapports .v^^, -«<v '
qui leursontrcspectivementégauxet où EF est égala Yiinitéih ton-
'jueui: D'ailleurs les deux longueurs (segments) CD et C|D| ont
une somme bien déterminée qui est un certain segment G II (n°S3).

Nous considérerons alots comme somme des deux rapjiorts pp

,C,D, r , , .Ali A,B, -| ,

et vl-" ^t- p8' conséquent, comme somme de ^,1., et . ,., i I le

rapport ^.j,. .

94. — Passons au proiluU de deux rapports. Nous en |TOiivons
donner a priori la dérmition, définition que nous interpréterons
comme il suit. J'imagine qu'après avoir agrandi une L'preuve plio-
tograpliique, on opèi-e sur l'agrandissement un nouvel agrandisse-
ment ('). Finalement l'épreuve aura été agrondic dans un rapport
qui sera regardé comme \e piodiiil des deux rapports d'ugrandisse-
menl successivement adoptés. Considérons, en d'autres termes,
deux segments Alî, CD de l'épreuve primitive ; appelons A'B',
CD' leurs images sur la seconde épreuve, el (*) A'U', CD' leurs
images sur la troisième épreuve. Pur définition, ie produit des
, AB / Cl>\ A'B'/ C'D'\
deux rapports (d agrandissement), ■.,!.( (ou riy ) c* A'B'\°"CU')

.XI . AB / CI) \

est égal au rapport Vfn' l^u (^'j-

De cette délinition i-ésultc celle du produit des ropiiorls -. .gr.

-.'-Tj- , de deux couples quelconques de longueurs ; nous savons en

effet d'après le n° 93) construire une longueur AiBa don tlerapi>ortii

A|B, soit égal à -.,.,- ; le produit ; ,.,, X rTw- sera, dès lors, égal

, . AA A,B, , , A,Bi
au produit t n" X \~B '' ' "'^'"' '' A '\i ' '

Ayant défini le produit et la somme de deux rapports

(') Comme nous raisonnons sur V agrandissement, nom pourrions rai-
sonner sur la riduUion.

(') Les signes A', A°, ... se lisent : A prime, A «ecorulti, cf. «upro, 5i,

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«APPORTS ET

quelconques, nous saurons définir leur quotient et leur
différence en parliculier le quotient d'un rapport égal à i par un

rapport rrr sera le rapport vu dit inverse ou rapport inverse de
ABl

Cul"

D'iiilleurs. il serait facile de vérifier nous nous en dispenserons
pour ne point allonger cette exposition) que les sommes et pro-
duits de rapports jouissent de toutes les propriétés associatives,
commutatives et autres que nous avons énumérées en définissant
les o[]érations fondamentales de l'Aritlmiétique.

9S. Application dn calcul d«s rapport* an calcul des lon-
gueurs. — Ainsi, sans faire appel à la notion de nombre, nous
sommes en état de construire un véritable calcul des rapports
géométriques ('), calcul analogue au calcul des froctions (Cliap. I,
% 5), et qui coinciile exactement avec ce calcul dans le cas parlicu-
lier oà les rapports sont des nombres 'mesures exactes, voir n" 8S, .

D'ailleurs les 0[)érations eiïcctuées sur les rapports correspon-
dent toujours, aux termes mômes de leurs définitions, à dos opé-
rations elfectuécs sur les grandeurs ; il sera donc toujours possible
de transposer le calcul des rapports en un calcul relatif aux gran-
deurs elles-mêmes.

Convenons de remplacer un rapport (de longueurs donné quel-
conque par le rapport ét/al y^, où UNe^t la longueur unité; nous
savons toujours (n° 93) construire la longueur VB ; nous dirons
que cette longueur représente [est mesurée par\ le rapport donné.
Moyennant cette convention, les règles énoncées plus baut peuvent
être prises comme définitions des opérations fondamentales addi-
tion, soustraction, multiplication, division) eiïectuécs sur les lon-
gueurs. Les opérations ainsi définies ont ceci de remarquable que
les résultats auxi/uels elles conduisent sont eux-mêmes toujours des

('] Nous De nous ïotnmes occupes dans les paragraphes précéder
des rapports de longueun : l'étude des rapports d'angles, d'aires
volumes, conduirait manlfeatement aux mimes conclusions. Sur 1
paraiion de ces différentes sorte* d« rapport, vide infra, n" ^K.

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UU GR&NDEUaB

iongtuurs ('). Le quûLîent àes deux longueim AB, CQ, par

eiempU, eat le quolient de« deux rapporte r-^* ,,,, c'^Uà-^ire

le mpparl ^, représenté lui-même par uae longueur. Le produit

de AB par CD est également une longueur (voir la construc-
tion de Descartes, note i). Dans les paragraphes précédents, au
contraire, nous n'avions su définir le produit de deux longueurs
qu'en tant qn'il représente la surface d'un rectangle.

96. ft«parttoiw. — Pratiquement, le calcul des rapports sert
surtout à l'étude et i ta transformation des couples de rapports
égaux que l'on a coutume d'appeler « proportions n.

Soient données quatre longueurs que je désignerai par les leHres
majuscules A, B, C, D. Si le rapport „ est égal au rapport n, on
dit que le couple des rapports ., et r. constitue une proportion (').

(') Longueur! dêduiteB, au mojren d'une construction ^ométnque
(fide, chap. ii[. § .'>] , des longueurs sur lesquelles un opère. L'idée de
représenter par une longueur le résultat de toute opération eflcctuGO sur
des longueur*, — idée d'une portée considérable — s'est précisée daus
l'esprit de DsftCiiRTEG entre l'époque oùil èciivitlea Regulae ad dirtdiontm
ingenii (vers i6'M\] et l'année où il compoi^a sa Géométrie (1636-37). Dans
les i{«gula« (qui sont, il est vrai, inachevées), Descabtes représente encore
un produit par une aurface. Dons 'la -GimnitrU, au contraire, il s'exprime
ainsi (Œou. de Dtacartea, éd. Ad.-Tan., VI, p. Sjo) :

a Soit, par exemple, AB l'unité, et qu'il faille mul-
tiplier BD par BC ; je n'ai qu'à joindre les points A
et C, puis tirer DE parallèle à CA, et BE est le
produit de cette muhiplicatton. — Ou bien, s'il faut
diviser BE par BD, ayant joint les point* £ et D, je
" 0 • o tire AC parallèle à DE. et BC est le produit de cette

Fig. Gj. division ..

0 Et il cm à remarquer, BJoiMe phis loin Des-
CAHTBS, que par a' ou 6^ ou semblables, je ne conçois ordinaircmsnt que
des lignes toutes simples, encore que pour me servir des noms usités en
algèbre, je les nomme des carrés ou des cubes, etc. ■ Voir aussi sur le
calcul des longueurs. Deux. liv. ch. iii.

(') Le mot latin proportio a souvent été pris, autrefois, dans le sens
de rapport \ratio]. Ce n'est qu'au xyiii* aiàcle que son sens fut définiti-
vemenl Hx-é [Jacqufs Bernouilli en donne la définition suivante {Dr
ralionibut el proporlionibus (itiHtf) : a Si rationea xquale» invietm amrtpa-
ranlur, e.d3tit proportio 1].

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RAPPOBTS BT PROPORTIONS I I I

LieeloD^florsA, B,^, Osont appelées a teroMsdflU praporlion ».
Lorsque la pn^iortioD Mt écrite Bons Ja (orme :

A_C

B~l)'

on appelle souvent les termes A et D u termes extrêmes • ou a ex-
trames A, et les termes B et G it termes moyens n ou u moyens » (<).
Si B est égal à C, on dit que B ou G est moyen proportionnel
(ou moyenne proportionnelle) entre A et D [vide n' 30).

Nous trouvons, dans les Eléments d'Euclide (v* livre) une théorie
^nérale des proportions géométriques (vide, p. 103). Gelle théorie
noue enseigne & déduire, d'une ou plusieurs proportions données,
certaines proportions nouvelles. En voici les premiers principes :

La proportion b = î) ?«»' ^''"c retournée (âviiraXiï Xôyoi) ; en
d'autres termes, on a (comme conséquence de la projwrtion
donnée) :

B_D
A~C'

Les termes moyens peuwnt être intervertis (kitWiC) ; en d'autres
A B
termes, on a - r '^^ îï"

La proportion donnée entraîne également comme consê(juencf la

,. A + B C + D , _ ...
proportion — -g — ■ =^ — 'rj — (a-iiman >.(rfOi .

Le rapport ^ --^ est égal aux deux rapports g et u e/ jorme,
par conséqaent, une proportion avec chacun d'eux.
Soient données, d autre part, les deux proportions :

= E' C-P-

oa en dédail

Soient données les deux proportions :

n déduit

î- C = E^ «-.««m»,, j=p.

[') On dit auiii que l'u
quatrième proportionnelle ai

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113 LES GRANDEURS

Enclide établit toutes ces propositions parla géomélrie ; nous
ne le suivrons pas dans cette voie, car nous arriverons bien plus
rapidement aux mêmes résultats en emp'oyant les méthodes de
l'Arithmétique, k laquelle nous niions pouvoir ramener toute la
théorie des proportions; il nous sufTira, pour cela, de Taire subir à
la notion générale de nombre une nouvelle extension, hardie en
apparence, mais parfaitement naturelle au point où nous en
sommes.

07. I<es rapports sont des nombres. — Je dis que les rap-
ports de toiigueur (ou, plus généralement, les rapports de gran-
deurs géométriii<tes d'un même type quelconque) constituent iino
classe de pseudo-nombres sur lesquels on peut effectuer loulesks
opérations de TArUbmélique et qui renferme comme sous- classe la
classe des nombres rationnels.

Considérons un rapport n. Si les deux longueurs Aj D, son!
commensarables {t'ide a' 81), ce rapport jr , on l'a vu, doit être re-
gardé comme un nombre rationnel (rapport des mesures de A et
de K).

Supposons maintenant que \ et B soient incommensurables (' ' ;

le rapport « n'est plus un nombre rationnel, maison peut le repré-
senter avec une approximation aussi grande que l'on veut par
un nombre rationnel (dit valeur approchée du rapport): car, si l'on
calcule en choisissant convoitablement l'unité) des mesures a, ^
de A et It sunisamnient approchées (n* 61) le rapport z des lon-
gueurs mcsuréi'S par a et ^ pourra être aussi voisin qu'on le vou-
dra de j^ . D ailleurs nous avons vu que l'on peut elTectuer sur les
rapports de longueurs incommensurables toutes les opérations
fondamentales déCnics plus haut.

lin résumé les rapports sont parfois des nombres rationnels et
parfois n'en sont pas ; mais ils se prêtent toujours à des opérations

CI Ce cas Bc présente, par excmplo [d'après le n" fiî) si tes segment»
<le longueur A et B sont, l'un un cùlé, t'autrc l'hypoténuse d'uD triangle
rectangle qui a ses deux petits cSléa égaux.

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ET FROPOBTIOnS 1 1 J

bien déQntes, opérations qui coïncident rigoureusement avec les
opérations île l'arithmétique tiaiis le cas où les rapports sont îles
nombres rationnels.

Ces remarques nous încîtentà donner aux rapports de longueurs
le nom de nombres ; nous les appellerons « nombres aUjébriques n
et les qualifierons irrationnels dans le cas où ils ne sont pas des
nombres rationnels.

En particulier, sî nous prenons la longueur li pour longueur-
unité, nous regarderons le rapport >; comme étant le « nombre »
qui mesure la longueur \ : quidquid referlur ad unilnlem ut linea
recta ad aliam rectam, écrit en 1717 le professeur Ctirislian Wolf,
numéros dicitur (').

Les nombres irrationnels se prêtent exactement aux mêmes opé-
rations que les nombres rationnels.

08. Comparaison des rapports d« grandeur* hétérogàoes.

— Il importe de remarquer que si, au lieu de rapports de longueurs,
nous considérions des rapports d'angles, ou d'aires, ou de volumes,
nous nous trouverions toujours définir les mêmes nombres. En effet
00 peut toujours comparer entre eux deu:t rapports de grandeurs
hétérogènes (de tv|)es différents) et décider si ces rapports sont
égaux ou si l'un est plus petit que l'autre : un rapport d'angles,
par exemple, sera dit égal à' un rapport de longueurs s'il est le
même nombre rationnel ou s'il a la même valeur approchée (voir
le n* précédent) quelque loin que l'on pousse l'approximation; si
tes deux rapports ne sont pas égaux celui dont la valeur ap-
prochée est la plus grande (lorsque l'approximation est poussée
Irésloin) sera dit plus grand que l'autre, et ainsi de suite. Il est
dèa lors permis de dire que deux rapports égaux quelconques
sont égaux à un même nombre.

00. Nombr«8 proportionnels. — Revenons maintenant après
un long détour, à la notion de mesure introduite au n" 61. Nous

[■) EUnunta matluêaM univa-sm. Halle i7r7 t. I, p. ai, et. Netvton
[Arithmetiea univ0nalû 1707) : Per numerum abilradam quanlUatit
tu/iufù ad aliain ejuadtm generi» qwuUitaUm, quae pro unilalt liabttur,
n inietligimiu.

~ \m Piiacipw da I'AdiI^'h mttliéTniliquc. 8

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11 j LES aRtDDEons

concluons de }'étuile qui précède que, quelle que 90tt runité
choisie, toute longueur a, par rapjTOrl à celte tintlé, une mesnre
exactf qui est un rupporl lU loni/ueiirs, parlant un nombre ir-
ntîonnel ou rationnel. Considérons, d'anire part, «ne série de
longueurs \. B, C,... dont les mesures jiar rapport à deux nnités
différentes sont respectivement a, h. c,... cl a', b', c'... ; on a les
égalités

fait que j'exprimerai en disant que les nombres ;^irralioDaeU ou
rationnels' u, &,c... el a', h', c'... sont dei nomltres pritporlùinneU ;
en d'autres termes, (ont changement d'unité se traduit par la subs-
titution aux mesures anciennes de mesures proportionnelles.

Les égalités marquées (i) sont des pro/)oW/o/M luunériques. On
les énonce souvent ainsi : a ext à a' comme b est à b' , comme c esl
àc'. On peut aussi déflnîr. la proportionnalité en disant que les
nombres a, b, c,... se déduisent des nombres a', h', c',... en les
multipliant par un même facleui mon nul) qu'on appelle coe/)!cjVn/
fie proporUonnalilé ; ce coellicient est le nombre zi ■

Nous obtiendrons des nombres proportionnels lorsque nous tra-
duirons en nombres les proporlions géométriques.

Kemplaçous. en effet, dans La proportion a ~' i>> lu longueurs
A, B, C, D, par leurs mesures h, b, c. r/ (l'unité étant arbitraire);
nous aurons la proportion numérique :

A tonte (ransfonnalion de celte pntportion correspond une trans-
formation semblable de la proportion géométrique, et réciproque-
ment. Ainsi, tous les théorèmes euclidiens énoncés au n' 96 pour-
ront êtie vérifiés arithméliqurmcnt ('); ils résultent immédialc-
lenient des règles du calcul élémentaire, que l'on a le droit
d'appliquer aux nombres irralinniiels comme aux nombres ration-
nels.

rithméliquBs fait l'objet du livre VII des

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nAPPOItTB R PROPORTIO^NS Il5

Appelons m, pour simpliQer l'écriture, ie nombre t (Dombi-e
irralîonDel ou rationnel) : nousaTCHisa= fcxm etc=: «^xm ; il en
- ^ ^ ^ , vu - = j (interversion des
termes moyens) ; de même, nous avons :
a ^-fc ^ bK(m-h\} ^ ^ ^ , . ^+ ^ ^ dx(m-i-i) ^

d'où résulte la «ùvSea-.î Xdfou. Le lecteur fera sans peine les autres
vérifications.

Remarquons, d'autre part, qu'en multipliant par le produit
b X (/les deux membres de la proportion numérique, on obtient
l'égalité :

a X d= b X e.

où ne figurent plus de rapports ; on énonce ce résultat en disant
que dans loule proportion le produit des {termes) moyens est égal
au produit des extrêmes.

100. Application* de la théorie des proportions. — La
théorie des proportions numériques n'e\ige point, on le voit, une
étude s]>éciale. Historiquement ('), cependant, cette théorie n'a pas
joué eu arithmétique un moindre rôle qu'en géométrie.

Nous avons parlé au n° 30 des niédiétés de Théon de Smyrne.
Ces médiétés sont déCnies par des proportions.

Mais c'est surtout dans le calcul pratique qu'intervient la pro-

(<] Avant que la concBpliaa du nombre irrationnel ne te fût répandue,
on ne raisoimait arilhmiti^uetnenl que sur les proportions de nombres
rationnob, et In ré«uttats obtcous ne s'appliquaient aux frandeurs
incommensorable* que par approximation. Cependant les savants du
moyen-âge négligent parfois de formuler, au sujet des nombres qui inter-
viennent dans leurs raisonnements, les restrictions traditionnelles : ainsi
JoasANua Neuorasius (xiii* siècle), chez qui certains auteurs pensent
trouver la notion génitale de nombre [voir le Traciatua de numeri» datit
de Jordanui et les commentaires de Max Curtze dans le supplément
historique de la ZeiUch. /. math. u. pkys., XXXVI, rSgi]. Stevipj
(if48-iâ3(>) a une coDCcience plus nette de ce qu'il fait lorsqu'il aisimile,
dans les cal ula, les grandeurs incommensurables aux nombres rationnels.
Descastcs tut cependant le premier à dégager les raisons qui légitiment
cette assimilation (vide in/ra J f>).

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iiG LES gra:<deliis

jHX'lion. Elle est, en effet, le fondement d'un mode de raisonne-
ment fort ancien, qui çsl, aujourd'tiuî encore, familier h nos
é<:otiei's : la règle de trois ('en latin reijula de tribus itumerix, on,
par abréviation re<jala detri — règle dorée, dît un traité allemand

du w' siècle). Supposons que, dans la proportion . ^= -., les trois
nombres a, b, c, soient connus tandis que '/ est un nombre inconnu
que l'on veut calculer : nous dirons : ce que a est k b, i l'est i -

et a I est ■ ; donc a ^ •

Cette règle fut connue des calculateurs orientaux et des logisli-
ciens grecs depuis une haute antiquité. Nous en trouvons de nom-
breuses applications dans les traités d'arithmétique indiens. <' Si
Ion reçoit, — dit Bliaskara ('), — io4 nigbcas pour 63 palluis
du meilleur camphre, calcule et dis-moi, ami, combien on en

recevra pour la -r palhas. — Si une esclave de i6 ans est cédée
pour 32 nishcas, que coûtera une esclave de 20 ans? Réponse:
25 r nisbcas)! (la valeur de l'esclave diminue proportionnellement ii

ris»)-

Tous ces problèmes sont ramenés par leurs auteurs à des pro-
portions.

toi. Relations entra grandeurs. Homogénéité. — Nous
devons faire encore, avant de clore ce paragraphe, quelques re-
marques accessoires.

Nous avons vu qu<! nous étions toujours en droit d'assimiler les
proportions géométriques aux proportions arithmétiques. Plu»
généralement, il résulte de l'analyse qui précède et en particulier
des remarques feites au n" 9C que nous avons le droit de calculer
sur les longueurs, cL pareillement sur les autres grandeurs géomé-
triques, exactement comme sur des nombres.

C'est ce qui permet aux traités de géométrie d'énoncer h vo-
lonté les propriétés des figures sous forme de relations entre
grandeurs (voir la note i , p. 1 1";, ou d'égalités numériques entre

(') LilwaU apud Coi-EB^ooKE.Algebra tvilA arilhmelic and nutuuration
from Ihe tanacrit of Brahmagupta and Bhascara, 1817, p. 33, 3J,

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RAPPORTS ET PROPORTIO^fS II7

mesures de grandeurs. Le même trailé passe souvent, sans prévenir
le leclenr, d'un point de vue Ji t'autra. Aussi les mots longueur,
mesure ou valeur de hngaear, nombre, t/uantUé seront, à moins
d'indication contraire, regardés comme équivalents.

En revancbe. les égalités ou relations (') auxquelles conduisent
les calculs relatifs aux grandeurs présentent toutes un certain
caractère qui est une conséquence directe de leur signification
g^éométrique : ces égalités sont homnrjines.
Voici ce qu'il faut entendre par là.

La géométrie ne compare entre elles que des grandeurs de
même es[)èce. Ainsi, si le premier membre d'une égalité est une
longueur (ou une aire, ou un volume), le second membre doit
être pareillement une longueur (on une aire, ou un volume):
si le premier membre est une somme de termes (ou plus gé-
néralement une combinaison de sommes et dîlTérences telle que
A — B -I- C -H D — E), tous les termes doivent être des gran-
deurs de même espèce.

Désignons, par exemple, par A, B, C, D, ... des longueurs;
nous dirons [') que ce sont des [/raiideurs île dimension i. Tout
produit ou carré de CCS longueurs ('), A. B, A.C, ... ouA'.B',...
sera (ou pourraètre interprété comme) une aire (jr«/i(/eHr de dimen-
sion 3). Tout produit d'une grandeur de dimension 3 par une
longueur (exemple : A.B.G,A*.B,A.B', A*, ...)sera(ou pourra être
interprété comme) un volume (grandeur de dimension 3). Consi-
dérons, d'autre part, une grandeur telle que .j.C ou -^ (q"3~
Irième proportionnelle à A, B, C) ; cette grandeur est une longueur.
Il en est de même des grandeurs telles que

A* „ A.B „ A' „ ,

g,.C, p, .c. -p.C. elc.

produits d'une longueur C par un rapport de grandeurs de même

C) Par rttation, nous entendons une igalili dont chaque membre est
le réiuttat d'une combinaison d'opérations efTectuccs sur des grandeurs-

C) Ceci noua conduit k regarder les rapporta de longueura [et pareille-
ment les rapports de grandeurs quelconque do même espèce) — et, d'une
manière générale, les nombres — comme des grandeurs de dimeTision o.

{^) J'emploio ici le signe . dans le sens muUiplié par comme en
arithmétique {voir ■a" 7).

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lia LES 6RA1DEt;HS

espèce, c'est-à-dîfe par ua nombre. En conséquence les grandeurs

A.C r.r A.C.Dl A.C .,r A'. Cl .
P . D [ou —g— |. -g.- . V [on -g,-J etc.

sont des aires. Les grandeurs

sont des volumes, etc. Je dirai alors que les égalités

A+-J =-g-. A' + BC=-ï5î-

i/ui ont lieu entre ijrandeuvs de même espke sonl homogènes,
tandis que l'égalité

n'est lias homoijine.

Nous verrons plus loin par quels caractères |se traduit l'homo-
généité dans les relations entre mesures a, b, c, d, ... qui corres-
pondent aux relations établies entre lea grandeurs A, B, C, D, ...

102. Extenaioa de l'idée de mesure. — Nous avons déûni la
mesure d'une grandeur au n" 61 en parLint d'une longueur-unité
que nous supposons contenue un certain nombre (entier ou ra-
tionnel) de fois dans la grandeur à mesurer. La dcflnîtion ainsi
donnée s'applique immédiatement aux mesures de longueurs, de
^iurfaccs ou de volumes.

Soit, au contraire, ù mesurer une température. 11 est clair qu'on
ne saurait regarder une température comme contenant un certain
nombre de fois une température-unité. Cela n'aurait aucun sens.
C'est pourquoi l'on substitue à la mesure directe de la tempéra-
ture une mesure corresjtondante que l'on considère comme équiva-
lente; on se sert, par exemple, d'un thermomètre à mercure et
l'on mesure la longueur de la colonne mercurielle qui v repré-
sente 1) la température.

Il n'y a rien de commun, on le voit, entre une (elle mesure et
une mesure ordinaire de longueur ou de surface. Cependant on a
coutume d'employer le nitlmc mot h mesurer » [K)ur désigner les

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HAPPOnTS ET PROPORTIONS I I9

deux Opérations. De même on dit que, — dans ccrtoines limites
et à supposer que certaiues conditions physiques ne se modlSeut
pas. — les variations de tein|>érature août proportiosnelles aux
variations de la colonne de mercure, le mol proporlioniid n'ayant
point ici, il est vrai, le sens mathématique que nous lui avons
donné au n° 00.

Dans le domaine mâmc de la géométrie, il y a certaines gran-
deurs, les angles par exemple, que l'on a avantage à mesurer in-
directement en les comparant à des grandeurs proportionnelles
d'une autre espèce. Et iiri le mot >< proporli(Manelle » a toute »a
valeur, car nous avons vu [u" 08} que, dans le domaine de la géo-
tnétrie, nous pouvons donner delà /);Y)po/-(ion/ia?i7tf entre grandeurs
d'espèces dilTérentes une détinition matliématique précise.

f03 Masure dea anglca. — Considérons des angles aux-
quels nous donnerons, pour plus de commodité, un mente
sommet O.

Les angles sont des grandeurs mesurables directement. En
effet, ^nonsun angle-unité, l'angle
O' donné une fois pour toutes.
Dans l'angle a mesurer .^OB, nous
pouvons, Â partir du cdié O.V, placer
une série d'angles contigus tous
égaux (supflrposables) k l'angle 0' ;
œ sont les angles marqués i,i,3, ... y,^ ci.

sur la figure ; nous obtenons ainsi,

comme mesure de AOB, un nombre entier, rationnel ou irra-
tionnel.

Mais la mesure ainsi définie est aussi ma-
laisée à calculer pratiquement qu'elle est dif-
ficile à manier dans la démonstration théo-
rique. C'est pourquoi on préfère la remplacer
par une mesure indirecte.

De 0 comme centre, décrivons un cercle
dont le rayon a pour longueur l'unité, et
considérons divers angles de sommet O, soit les angles AOB,
COD, ... [les points .\, B, C, D, ... étant à l'intersection des
angles avec le cercle, fig. 64). La grandeur de ces angles est ma-

Fi|!. 64.

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■ 30 LES GRA^IDEURS

nifestement déterminée par la longueur des arcs de cercle AB,
CD. ... respectivement compris entre leurs côt<Ss, En eflTel. on dé-
montre(voir n' 187) qu'd lieax angfes éijaux correspondent des arcs
éijaux. Dès lors, nous pouvons regarder les mesures des arcs Alî,
CD, ... comme étant les mesures mêmes îles angles correspondants.

104. — On prend généralement pour unité de longueur de l"arc
dp circonférence (' , soit la 36o*"* partie (appelée degré), soit I.i
4oo*"« partie (appelée grade) de la longueur totale de la circonfé-
rence. L'angle droit (VOB'sur la figure 64) a alors [wur mesure

-, de circonférence, c'est-à-dire 90 degrés (on écrit : go") ou
100 grades (100* [le quart de la circonférence est appelé quadrant].
La division de la circonférence en degrés est, encore aujour-
d'hui, la plus généralement adoptée. Elle était familière aux
astronomes de Babylonc et l'origine s'en perd dans la nuit des
temps. On la complète en divisant le degré lui-même en fio par-
ties égales ap|>elécs minutes et la minute en 60 parties égales
appelées secondes ('). La division en grades i'"; que l'on rencontre
dés le x\iii' siècle dans certaines tables de logarithmes, est sans
contredit, la pins avantageuse pour les adeptes du système déci-
mal ; c'est pourquoi, depuis la Révolution française, elle fut préco-
nisée par de nombreux savants. Mais, pour qu'elle passât dans la
pratique, il faudrait que toutes les tables astronomiques, cartes
de géographie, horloges, instruments de physiques divers, établis
d'après le systî'me sexa/jésimol, fussent refaits à nouveau.

105. Mesure des dièdres. — La mesure des angles dièdres,
elle aussi, se fait au moyen d'un intermédiaire, et l'intermédiaire
est ici l'angle ordinaire. Considérons un plan quelconque K per-

('} On prend parfois aussi pour unité le radian, arc égal au rayon
[et. infra, iSo).

(') Pour écrire une meaure d'angle telle que l> degrés, ^0 minutei,
37 secondes, on écrit i>°, Tio', ^7'. Si l'on veut pousser plus loin l'approxi-
mation on divise la seconde en dixièmes, eentièmef,... de secondes confor-
mément aux principes de Bystème décimal.

(') Les grades sont eux-mêmes divisés en dixièmes, centièmes, millièmes,
et figurés au moyen de ta notation décimale. Ainsi l'on écrit 7'',''<67 pour
■igni&er 7 grade* -i- 567 millièmes de grade.

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co:<taosTATio:« du xomdre et ue la gra^ideur lai

I>cndiculaire à l'arête du dlMre en un poînl 0 (fig. 65). Ce plan

coupe les deux faces du dièdre (plan P et Q) suivant deux droites

qui se coupent en 0. soit OV et OB, et forment un angle plan,

dit angle plan du dièdre considéré. On

démonire facilement que tous les angles

plans répondant à celte dérinition pour

un même dièdre sont égaux, et que
deux dièdres dont les angles plans sont
égaux sont deu\ dièdres égaux (su-
perposa bles'<. Et l'on déduit de là que
l'on peut prendre comme mesure d'un
dîè<lrc la mesure de son angle plan. On
ilit que les dièdres aoal proporlionrtch k leurs angles plar

S. Cotttrotttatioa du nombre et de ta grandeur

lOe. — Nous avons cilé (97) la définition donnée par
Christian Wolf : Tout ce qui est rapjwrté à une unité comme un
segment de droite à un autre segment est appelé nombre.

Quelque naturelle que nous semble aujourd'hui cette défmttïon,
il lui fallut cependant de longs siècles pour se faire accepter. Les
Grecs avaient poussé fort loin l'élude des rapports (kifii) et l'élude
des nombres (àpiOfioi), mais ils ne lesavaienljamaisconfondus (').

CI Les savants grecs ne se préoccupent point des applications concrèies
de la science, et c'est pourquoi ils n'ont point comme nous modernes un
intérêt pratique immédiat à ramener les opératioca géométriques à des
calculs arithmétiques plus fai^ilcs à eflectucr. Pour comprendre leur point
de vue, il faut se rappeler quo les Grecs établissaient une distinction
absolue entre l'arithméLique théorique, ëtudu- des propriétés des nombres,
et la logUtique, qui est l'art de calculer numériquement aur des gran-
deurs concrètes. « La Jogistique, dit un scfaolic ancien, est la théorie qui
traite des dénombrables et non des nombres ; elle ne conaidère pas ce
qui est réellement le nombre, mais suppose ce qui est un comme unité
et ce qui est dénombrable comme nombre... Elle examine donc, d'une part,
ce qu'AncHiuËDE a appelé le problime dta bceufs, de l'autre, les nombres
m^tfw et phiaiila, les uns sur des fioles, les autres sur des troupeaux...»
[Scholie sur le Charmide de Platon, apud P. Tanmeby, La géométrie
grteqtu. Première partie, p. ^H], Ainsi, loin d'asaimiler les grandeurs aux
nombres, la tradition grecque interdisait de considérer comme de véri-
tables nombres les nombres qui mesurent des grandeurs : ce sont des

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LES aKA^DELHS

Et le rappittcliement si suggestif que nous avons établi enlre lea
opérationa arithmétiques et les opératioas faites sur des grandeur».
oe s'eslKtn pas bien longtemps appliqué à (e masquer au lieu de le
mettre en lumière ? L'un des plus grands algébristes du x vi* siècle.
Tartaglia ;'), reproclic à un traducteur d'Euclide d'avoir ïodiffé-
remmcnt eraplttjé dans un roâme sens les mots mattifilirare
et ducei'C, Il faut, dîl-il, distinguer enb« <x% deux mois : le pre-
mier se dira des nombres ainsi l'on regardera -x comme \e plus
petit mulliplicateur) tandis que tlaaere conviendra s'il s'ji^t de
grandeurs ^'éo métriques. Pareillement, potir déeigner i'opérali<Hi
de la division, on devra dire partire ou misarare suivant que l'on
parlera de nombres ou de grandeurs.

('inquante «ns plus lard, Yiète (*) considère encore la science
des nombres et celle des grandeurs comme a^ant des règles pa-
rallèles mais distinctes. C'est Jk Descarlcs que revient le mérite
d'avoir affirmé, sans restriction, l'identité du calcul numérique ef
du calcul géométrique {') :

« Et comme toute l'aritbmétique, — dit Descartes (') dans un
langage précis et délinilif, — n'est composée que de quatre opéra-
tions, qui sont l'addition, la soustraction, la multiplication, la
division, et l'citraction des racines qu'on peut prendre pour une
espèce de division, ainsi n'a-l-on autre cliose à faire, en géométrie,
touchant les lignes qu'on cl lerche, [wur les préparera être connues,
que leur en ajouter d'antres, ou eu ùter; ou bioi, en ayant

uombret phialites, ou ralatjfs aux floIeH, dei ooiubreii méiile», ou relalit»
aux Iroupeaux lou aux pommesi. Et c'eut pourquoi I«s problèmei concer-
nant les grandeurs i-laienténolicts soug lorme concrète et uonsoustoriue
théorique : ce qui est pour nous la i résolution d'une équation de tel
ou tel type > linfra, Deux, lie., chap. it était autrefois " la solution du
pioblème des bœufs e, du " problème des arbres ■, du 'i problème des
Upins ', du t problème des sept vieilles femmes i, du > problème des
oiseaux ï| voir Ll'ca Pacilolo, Summa ife /IrifAmetùa, pasaim). Semblable
terminologie se retrouve chez les Hindous et chez les Arabes, pendant tout
le Moyen Age et au début de In Itenaiasauce.

I-I General Trallato, liv. II, lil. 17. Cf. le début de l'Alfèbre
d'OiiAR AL KHAYVAU, cité au n^ 273.

{-I In artem analylicam Uagoge, i.>rti, ch. IV.

('1 Vide supra, p. 110, note 1. Sur l'hiMoire du calcul géométrîqueavant
Descartes, voir Deux. liv.. rh. 111. S 1.

Cl La Géométrie, liv. 1 [Œuv., t. VI, p. 3(k,l.

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CO:iFAONTATIOII DU NOUBVE BT DE LA GIIAKUEUR 1x3

une que je Dominerai l'uDÎté pour la rapporter d'autanl mieux aux
noaibies et qui peut ordinairemeat élre [H'ise k «lisci-élîoD, puis,
en ajant encore deux autres, en trouver une quatrième qui soîl à
l'une de ces deux comme l'autre est k l'uaité, ce qui est ^ même
que la mulliplïcatioo ; ou biea en trouver (') une quatiièmc qui
soit à l'une de ces deux comme l'unité est à l'autre, ce qui est le
même que la division; ou, entin, trouver une ou deux ou plu-
sieurs moyennes pr<^)ortionnelles entre l'unité et quelque auti'e
ligne (*). ce qui est le même que tirer la racine carrée ou cubique,
etc. Et je De craindrai pas d'introduire ces termes d'aritlmiétique
en la géométrie afin de me rendre plus int^ligible ».

Ces déclarations résument excellemment les conclusions
auxquelles nous ont conduits les premieit' paragraplies du présent
cbapilre.

107. — La résistance qui fut longtemps opposée aux vues
formulées par Descaries s'explique par des raisons profondes. Il
faut en chercher l'origine dans les piemici-es spéculations de la
science grecque.

La mathématique des Pythagoriciens se proposait un double
objet : l'étude des propriétés des nombres (voir I, S i) et l'élude
des propriétés des corps géométi-iques. Entre ces deux études il y
avait, à l'origine, une parenté étroite : les Pythagoriciens ne
r^résenlaieot-ils pas les nombres par des figures géométriques
formées de points (n* 3) et n'aflirmaîenl-ils pas que h toutes les
choses sont nombres^ » Mais voici que, tout d'un coup, surgit
une difficulté inattendue : l'existence des longueurs incommensu-
rables est reconnue et le théorème de Pylltagore sur le triangle

(■) Comment CM lignes frésultata des opérations) sont edecljvement
déterminëei, c'est là une queslion dont nous n'avons pas à nous préoc-
cuper ici. On Icj obtient très facilement en appliquant les théorèmes de
la géométrie rationnelle ainsi que nous le verrons au chapitre m du
Deuxième liTre.

a b

{*] TroBTer, par exemple, une langueur b telle que -, ^ - , a étant

connu (d'où a •= b', b ^ ^a), ou trouver deux longueurs A et c toit que

5 — ; — 7 (a ""'-''."- 7 - rt ' - V ")■

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I3/| LES GRA>DEtna

rectangle (') (n" 63 et 199) montre que ces longiieursserenconlrenl
dans les problèmes gtométriques les plus simples. Les P^tbagori-
ciens restent confondus ('); l'édifice de la science est ébranlé;
comment va-t-il âtre possible de le reformer ?

C'est ici qu'interviennent les fameux Arguments de Zenon
d'Elée. Il n'est pas vrai, dit Zenon, que les grandeurs soient
des nombres au sens pythagoricien, c'est-à-dire des assemblages
d'unités ou de points. En effet, le point, n'ayant ni grandeur, ni
épaisseur, ni volume, est le néant, et avec le néant on ne peut
pas former des assemblages. « Si (') en effet, on l'ajoute (le point)
<' à autre cliosc, il ne la rend pas plus grande; car, ajoutez une
'( grandeur nulle, vous ne pouvez augmenter la grandeur; ainsi
<' l'augmentation sera nulle. Retranchez au contraire, l'autre chose
" ne sera en rien moindre, comme elle n'était en rien plus grande par
Il l'addition ; ainsi l'augmentation et la diminution sont également
« nulles. M Par conséquent il n'est pas possiblede regarder les choses
réelles comme des « pluralités n de points. Réciproquement, si un
ùlreest,ileslncces3airementpourvu de grandeur et d'épaisseur. Sup-
posons alors que tout^tresoït une pluralité, c'est-à-dire soit composé
de parties; ces parties, pourvucsdegrandeuret d'épaisseur, seiont
donc elles-mêmes des êtres composés de parties lesquelles auront
h leur tour des parties ; <> ce qu'on a dît une fois, on pourra tou-
« jours le répéter ; il n'y aura jamais de la sorte un terme (une
« partie) extrême, où il n'y ait pas de parties dîlTéi-entes l'une de
« l'autre. Ainsi, s'il y a pluralité, il faut que les clioscs soient à la
« i'ois grandes et petites, et tellement petites qu'elles n'aient pas de

('] Ce théorème a-t-il été énoneé par Pythagore soiia la forme que
nous lui donnons aujourd'hui ? Noue l'ignorons. PnocLus, en tout cas nous
dit formellement {dans son Prologue du CommtiUaire dta EtémenU]
• C'est à lui (Pvthacohe) que l'on doit la découverte des iacommeruu-
râbles >.

(') S'il faut en croire un scholie ancien (voir Cantoh, Vorlea., i, i;r)
la légende racontait que l'auteur de la théorie des incommensurables tut
englouti dans un naufrage. C'est ainsi que le ciel punit celui qui avait
exprimé l'inexprimable, représenté l'infigurablo, dévoilé ce qui eût dû
rester toujours cache, o Tel était, ajoute le scholie, l'étonnement reli-
gieux où la théorie des Incommensurables plongeait res hommes
(les anciens géomètres) ».

I») Fragment de Simplicius. Pl.>ja. Dieig, i3(,. Voir Paul Tannery,
Pour l'histoire d» la science hellène, 18S7, p. ar.o et sqq.

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inr.iTiON DU :«0iiBnE et de la GRANDEun 1^5

« grandeur [puisque la fragmenta lion répéléc conduit & des parties
<( tle plus en plus petites] tellement grandes qu'elles soient inflnies
w [puisque chaque partie comprend une infinité de parties].» D'où
une contradiction qui condamne l'hypothèse pythagoricienne.

C'est peut être la même contradiction que Zenon cherche àmettrc
en lumière dans l'argument célèhi-c iVAchille et 'le la lorlae (').
Achille, courant après une tortue, ne la ratrappera pas ; en effet,
soit a l'avance de la tortue [c'est une longueur, donc une pluralité
de points, d'après la théorie a combattre]; lorsque Achille aura
parcouru la distance a, la tortue aura parcouru une nouvelle dis-
tance b ; cette distance il faudra qu'Achille la parcoure à son tour ;
l>endant ce temps, la tortue s'avancera de c ; et ainsi de suite indé-
fînimeat, la tortue restant toujours en avant. On volt comment se
peut expliquer ce paradoxe : le raisonnement de Zenon décompose
en une infmité de longueurs partielles, a plus b, plus c,... la dis-
tance au bout de laquelle Achille rattrappc effectivement la
tortue, et il imagine que, pour parcourir chacune de ces parties la
tortue emploie un temps appréciable. Ces hypothèses ne sont»j)as
conformes aux conditions physiques dans lesquelles s'effectue la
poursuite. D'où celle conclusion naturelle qu'il n'est pas permis
de regarder une dislance comme une somme de parties discernables
ou de points. Une pareille conception conduit à des conséquences
absurbes et rend impossible l'explication mathématique des faits
physiques.

108. — M. Milhaud résume en ces lermes ('), le rôle joué par les
philosophes d'Elée (Parménide et Zenon) dans l'évolution des ma-
thématiques. Pythagore a dit <i les choses sont nombres n. « En
disant : non, les choses ne sont pas nombres, Parménide et Zenon
rendaient bien plus facile l'application du nombre aux choses; car
rien ne s'opposait plus désormais à ce que le nombre s'y appliquât
indéfiniment dans les deux sens, rien ne s'opposait plus au concept
scientifique de l'inQnimcnt grand et de l'intinimenl petit u. La

(') Nous ne parions pas des conséquences que l'on peut tirer des argu-
ment* de Zékon relativement au mouvement. Pcut-êlre, d'ailleurs, la
question du mouvement n'est-elle que secondaire dans la pensée du
philosophe d'Etée. Cf. Pavl Tannery, toc. cit.

(•) Ltfvna *nr les origines dt la science grecque, iSijî, p. Sig.

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1X6 LES ORANHUKS

notion générale du nombre se tronTsil, en d'aatres termes, déli-
vrée de tonte entrave.

Nous admettron» donc que les grandeurs ne sont pas des
nombres. — Et si, pourtant, elles sont des nombres, et une
révolution s'impose, inverse de celle qu'ont accomplie les Kléales ;
comme l'a fort bien vu Descaries, les progrès Tutnrs des malhë-
sutiques sont à ce prix. Mais il faut bien nous entendre sur le
sens des mote ; U faut tirer définitivement an clair la déliniCÎon
du nombre îmtîoiMil et lui ôter le votle d'infinitnde (') qui
l'obscurcissait aux yenx des Grecs. Nous ft;rt>ns intervenir dans ce
but une notion fondamentale, dont no«M mmu sommes déjÀ occupes
incidemment lor^ue nous avons parlé d'a/ipranmaffon arbitrai-
rement tjrande en arithmétique (n* 47) et éTtakouslion en
géométrie : la nolion de llmile. Nous allons [H^iser te aeos de
cette notion et en donner, sans aucune préoccupation hislorîqae
déîiormais, unedonble interprétation, arithmétique et géométrique.

é. — DétinMoa rigoarease des aombrta Imtloanets

109. Suite de nombres ratioiuiela oonvergeant vers «ne

limite ratiomielle. — Considérons l'ensemble des nombres ra-
tionnels qui sont voisins d'un nombre donné c {positif, négatif ou
nul) et qui sont, soit tous infoncurs, soit tous supérieurs, à ce
nonibro. Il y a dans cbacunc des deux classes de nombres ainsi
déterminées, une inliuité de nombres de plus en plus rapprochés
de c. En eilet, nous savons que l'on peut former des fractions
arbitrairement petites (aussi petites que l'on veut), par exemple

la fraction — -, oii m est un nombre entier arbitrairement grand :
ajoutant ces fractions à c ou leit en relrancbant, nous formons des
nombres rationnels arbilraircim'nl rapprocbés de c {au sens du
n" 46).

Envisageons, en particulier, une série indéfînie de nombres,

|ii MiciiEi.STipEL,/lfi(ftme(ienintegni,Nflreinbctg, iS.Vi. Iib.II,p. loî
1 irralionalîs numerus non tel verus numerut, et laUt aub quadam infini-
iaCis nebula >.

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DêFI!4ITI0!l aiGOtraElISB DES NOMBRES IRRATIOHNEI.S l^J

tous inférieur» ii c, de {>lu8 en plas rapprochés de c ; numérotons
ces nombres dans l'ordre où nous les prénom, st désignons • les
par les symboles a,, ai, .... On, ... ; nous dirons que la suite des
nombres a a,, ... tend ou converge vers la limite ( pins pré-
cisément : limiU tapiriearé) c st, quelque petit qtu snit un nombre
donné e, on peal trouver an nombre entier N tel que h différence
c — On soit inférieure à e pour toutes les valeurs de timiiee n si^>é-
rieur à N.

.\insi, par exemple ('). st l'on fait

la suite a,. ..., an, ... tendra vers la limite c, puisque l'on
aura

et, par conséquent, pour /i > >" :

[où — est aussi petit que Ton veut si l'on a pris N assez grandj.

Lorsque la suite (d, ui, ... converge verse, nous disons que le
nombre a„ tend vers la limite c pour n infini, ou que la différence
c — fl„ tendvers o.

Prenons maintenant, et semblablement, une suite de nombres
6|, 6], ... b„, ... tous supérieurs à c et se rapprocbani de plus en
plus de c ; nous dirons que celte suite tend vers la limite (ou
limite inférieure) c si, quelque j>etit que soit e, on peut trouver
Un nombre entier N lelque la dilTérencc b„ — c soit inférieure à £
pour loules les valeurs de n supérieuies à N ; la différence b„ — c
tend alors vei's o pour n infini.

110. Remarques et géaéralisatlons. — On lemarquera que les
déltnitions qui précèdent n'exigent pas que la suite des nombres

I'} Au n" 6r> nouaaTODS défini une suite de polygones de 4.^t-..'>câté3
dont les périmèlrea ont pour valeur une suite de nombres tendant vers la
kmfueur du cercle de rayon i. Toutes les évaluations d'aires ou Ae vo-
lumes [ait«B par les géomètru BBci«n« (d'après ta méthode d'exhauslion)
reposent sur la censidération de semblables suites de figures.

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laS LES gra:*deuhs

Oi, .... <i„, ... aille loujouis, sans exceplion, en croîssanl. ou la
suile (tes nombres bi, .... b,,, .-. toujours en décroissant. Nou5
uffirmons seulement — en ce qui concerne les a, par exemple —
que, quel que soit un nombre a. moindre que c, a„ est sûrement
supérieur à a à partir d'une certaine voleur de n et ne redescend
plus au-dessous de la valeur a. quelque grand que devienne n .

On remarquera aussi que nous pouvons facilement étendre notre
dcOnilion de la limite au cas d'une suite de nomliics qui sont
tantôt plus petits, tantôt plus grands que c. Si lu lUJférencir des
nombres c cl u„ (dijprciice qui est c — <j„ oua^ — c suivani que
c '^ a^oa c < a„) tend vers lu limile o pour n aatjmentanl iruléjî-
nimeiil, nous dirons que la suite ai, ..., a„ a pour limite c.

111. ProgreaaioDfl géométriques infinies. — >ious allons
appliquer les définitions qui précèdent à un exemple remarquable.
Considérons la somme des n premiers termes de progression ^éo-
iiiéU'ique de raison r qui commence par l'unité, c'est-à-dire l.i

et supposons la raison r inférieure à i . D'après les n" 31 et î
(voir p. /|5, note i) nous avons

Considérons alors la suite indérinicdes nombres Sj..vt, ...,s„, ...
où n prend toutes les valeurs entières. Celle suite est croissante,
puisque chacun des nombres se déduit du précédent en ajoutant
un nouveau terme de la progression géométrique ; d'ailleurs les

nombres s, , s,, ... sont tous inférieurs à - ^;— •

Je dis que ma salie de nombres converge vers la limite _—. En
effet on a

Mois, lorque n > N, c" est inférieur à r" (puisque r est inférieur
à i), et la puissance r* est un nombre aussi petit que l'on vent
pourvu que N soit assez grand {n° 40). Donc est bien,

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DÉFIRITIO:) KIOOUREUSB MES DOUBIIES IRRATIO.f HELS ISQ

d'après la délinilion donnée plus haut, la limite de Sn pour n inilnî.
Nous exprimons ce résultat en disant que la somme de la progres-
sion géométrique indéfinie

est égale à ^_ . Ainsi la somme

prolongée indéfiniment est égale i - — ~ ou a-

C'est là un résultat qu'énonçait déjà explicitement Archimède
dans son Traité de la quadrature de la parabole, prop, 23.

112. AbBoisies. laterprétation géométrique de la limite. —

Comme type de grandeur, noua prendions de préférciiLe, avons-
nous dit, la longueur d'un segment géométrique (n° 63). Conve-
nons en particulier de toujours porter les segments sur une même
droite, dans une même direction, et à partir d'un même [yoïnl 0
appelé origine. La comparaison des segments entre eux est alors
particulièrement aîsée (').

X; 0 A A, A, An C Bn B, B, X

?ig. «6.

Imaginons, par exemple, que les longueurs soient portées du
cdlé droit {k partir de l'origine 0) sur la droite indéfinie (') \'0\.
(fig. 66) ; alors à toute longueur 0\ correspond un point A
(seconde extrémité du segment OA) situé k droite du point 0 :
nous dirons que la longueur OV est i'abscisse du point \.

(') La représentation des longueur! par des abacisses rend intuitives
toutes les propriétés que nous avons dit appartenir aux longueurs. Ainsi,
par exemple, étant données deux longueurs, on en aura l'abscisse de leur
somme en les portant bout à bout à partir du point 0. — Le produit de
deux longueurs pourra d'apràa le § i (n" 9J) être défini comme une lon-
gueur, partant comme une abscisse.

(*} Le point X, oaturollement, est quelconque sur la droite indéfinie ;
on peut l'éloigner autant qu'on veut.

BouiKot'i. — Ln Piincîpti de I'AdiIj'I* mithiinalique. <J

„Google

l3o ta» GBflMt'KS

Ceh dit, su[>fM>m>ns que ■oos tyom» bit dtois d'âne mvitë tir
loDgvew. Alors, 1 l«al nombre rsItonDt) a comeptmA one ton-
gueur (ayant ce nombre pour mesure) qa» no»» pnnvom porter
en abscisse sur la demi-droite 0\. A loiit nombre rationnel, en
d'autres termes, correspond une et une seule abscisse OA, un et
un seul point A que nous appellerons poàit représtntalt/' riu
nomlire a.

Revenons maintenant aux deux anites indélinies de nombres

« Il,,, . . et /'i. hj, ... Il,, ... dérinies au n" 109, Les nombres

de la première suite sont tous iulërieuraàc ; donc les poinls

Ai, A„ ..., \ qui les représentent (lig. 66) sont tous à gauche

du point C l'eprésentalif du nombre c ; d'ailleura lorî^que l'indice n
augmente înd^nnimcnl. la différence c — a^ tend vers o; donc
la distance du point A„ au |>oint C devient inférieure à toutes les
longueurs imaginables; c'est [X)urquoi nous dirons que le poln/
Ah tenfl (sur la droite 0\) vers le point C, ou admet pour limite le
point C [ou encore : que los points Ai. ..., A», ... tendent ou mn-
venjent vers le point C|.

Pareillement, les points B,, ..., Un. ... représentatifs des
nombres ^^i, ..., b, se rapprochent indéliniment de C (eu tes-
tant à limite de ce point) : nous dirons donc que le point B. tend
vi'rs le piiiiil C lorsque l'indice n augmente indéliniment.

Nous pourrions d'ailleurs également, en vertu des remarques
du n° 110, envisager une suite de points admettant pour limite
le même point G et situés cependant tantùt ù gauche, tantôt k
droite de ce point.

113. Suite de nombrM rationncto oonTargeuit -nru une

limite irratioimeUe. — Sur la droite U.V définie ci-dessos, con-
sidérons maintenant une longueur OC qui ne sotl pu mesurée
par un nonibie raLiouoel, Noua savons qu'es nous servitnt d'une
sous-unilé suffigamnicnt pclitc, nous (louvons donner de la ton-
goour OC une mesure arbitrairement approchée qui soit un
nombre rationnel; en d'autres termes, il existe des longueurs
approchant arbitrairement la longueur OC, soit par défaut, soit par
excès, el mesurées par des nombres rationnels. Considérons en
particulier une suite de telles longueurs 0\i, .... O.V., ■■-. toutes
portées en abscisses sur la demi-droite en OX, et jouissant de U

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DÉFISITIOS HIGOinnaiC UK* SWIŒBES IRHiTiOSNELS l3l

profgifié amnnttt : qndi^ae peirle g)i« «oil une lo«gu«ar dennée
de mesure (rationnelle) E, je suppose (jti'oB poiue tromer un
nombre entier N tel que la distance A.,C soil plus petite que celte
tcwgiieur pour tontei^ les vateors de t'indica n supérieures jt N.
S'il en «9t ain» nom liTrons qrw les pornls Ai, Pti, ... A„ leruient
ou eometr^emi ver» te point limite C hrs^m Findice n a,agmentê
iifUJliûmitKt.

Celle définitikifi esIé^skfMcnt ta>kilb^ ^e tes poÎMis Ai ^, -- .

soienl à ymehr da point C (comme sdf ta figvie ^ dont now
pouvons nous resservir ici \ ou qu'ils soient à drorfe de C (connue
béa points B|, ... Bn, ... de la fi^re 64>) ou qu'ib soiw«( tanrl^t à
gsucke UalAt à dioilc. il est donc isudâte de. apécillw qoe) est
celui de ces caa q«e aams comûlécona.

Longue les poiiil» Ai, ..., A„, .., couveront vers C, nous
^iroiiaqoe la 9aile(')des tongueura 0\i, ..., O.Vu, '-. eal courcr-
ffenle (') el admet poor tiitnte \» longueur 00. El Bons dirons
«mei ffotr la suite des noml^ss rationnels a^, ..., a„ ,.. qui sont
les mesures de OAi, ... OA,,, ... est ane n tmite concerffenle » {^).

114. — Ainsi donc, à loule suite convergente de longueurs
exactement mesorab^ correspond un-e suite conTcrgente 3e nom-
bres ratîonnefs. La suite des longueurs, par hypothèse, admet
toiçioura une limire qui est une longueur OC ; h soite des nombres
a^iet, elle aussi, une rîinite (mesure de OC) ihns te cas oà OG esl
exactement mesarabfe. \\ est donc indiqué d'adopter la convention
de langage suivante : Chaque fois que nous aurons une suite
convergente <Ie nombres rationnels (au sens âa n" 113), nous
dirons que cette snite admet une limite, qui eit la meanre de OG,
c[ à cette timite nous donnerons le nom de « nombre " ; si OC n'est

l') L« mot smiu mikqv» que le»l«iifue«rs sont ooiisidéréM BVCCMsive-
n«nA,, et bwi, biiB» antându, ((u'eile» icat juxtaposées.

I*) Si, au contraÎK, les points A A., ... ne tendaient pas vers un

point déterminé, nous dirions que la suite est diuergentt.

1^) Sites l«B^ii«un OAi, ... O.li, ... sont teutes wMtivone» à OC, tt de
pt\is en pins fiamfcs, l« suite coaTergente est dtte eroUtante. Si elles
étaient toutes supéiieutes à OC et de plus en plus petites, la suite serait
^eroiwamte. — St îes iMifueiir» OAi, ... OAn, ... ne tendent pai vers
nos longueur déterminée, la suite (i), ... a^, ... est dite ■ éivargtntÊ >.

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l33 LES GRA!IDP.[)K8

pas mosuré par un nombre rationnel nous dirons que la lïmile est
un nomlin iiratioiuiel.

115. — Cette définition du nombre irrationnel est toute conven-
tionnelle mais elle est [Kirfaitement légitime. De même qu'un
nombre fractionnaire n'est pas déûni directement, mais bien indi-
rectement par un couple de nombres entiers (numérateur et déno-
minateur), de même un nombre irrationnel sera déRni indireclc-
ineut par une suite convergente (indéfiniment prolongeabic) de
nombi-es rationnels.

Deux nombres irrationnels seront, par définition, déclarés égaux
ou iiiéi/aiLT, suivant qu'ils sont mesures de longueurs égales ou de
longueurs ditTércntes. Ainsi, deux suites converi/enlet a,, ...«„, ,,,

et il b„, ... déjiitii-onl le même nombre si les exlrimilés

Al, ..., A ('/ U|, ..,, B.„ ... des abscisses correspondantes

tendent vers un même poinl-limile. Considérons d'ailleurs, en ce
cas, (en supposant, pour fi\er les idées, les nombres b supérieurs
aux nombres a) la suite des nombres rationnels

(6, -«,).(/-,-<.,), ...,(ft„-a„),...

qui mesurent les longueurs AtBi, ..., AnB„, .., arbitrairement
l>elites pour fi arbitrairement grand ; cette suite est convergente
et admet pour limite zéro. Réciproquement, si la suite des dif-
férences (61 — a,), ... (b„ — a„), ... admet la limite o, les deux

suilcs'f , Rq, ... et 61, ..., 6 définissent le même nombre.

Ainsi, nous sommes en état de définir l'égalité (') de deux
nombres irrationnels sans faire intervenir à nouveau la notion de
longueur géométrique.

Il résulte des remarques qui précèdent qu'une suite conver-
gente de nombres rationnels définit un nombre (rationnel ou
irrationnel) et un seul, tandis qu'un nombre fjuelconquc peut être
considéré comme limite de plusieurs (') suites différentes de
nombres rationnels. En revancbe, Une correspond à un nombre

Cl Nous dirons indiiTé rem ment, sant faire de distinction entre ces deux
locutions, qu'un nombre est é^al à un autre nombre ou qu'il est le mim»

l'i On peut construire autant de suites convergentes que l'on voudra
qui aient pour limites le m?me nombre.

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DÉFi:i)TIO:< HIOOUREUSB DES ^(OMBHBS ltlltAT10>NELS iXi

quelconque qu'une seule abscisse OG el réciproquemenl [lorsque
l'on a choisi, une fois pour toutes, un ane et une ilirectton des
abscisses, une origine cl l'unité de longueur (n" W)]. Il y a coïn-
cidence exacte entre la notion de nombre et celle d'abscisse.

4.10- Opératioiu sfteotué«s but les nombres Irrationnels.

Pour avoir le droit de considérer les nombres irrationnels

comme formant avec les nombres rationnels une classe unique de
nombres, il faut que nousa)'ons déCnî l'addition, la soustraction,
la multiplication, la division, l'étévalion aux puissances des
nombres irraUonnels, et il faut que nos définitions satisfassent k
la condition suivante [cf. les remarques faites au n° 31 à proi>os
des fractions] : loutes les fois que les nombres sur lesquels nous
opérons se trouvent être rationnels, les opérations dé fin- es doivent
élre identiques aux opérations de C arithmétique élémentaire qui
portent le même nom.

Or cette condition sera remplie si nous défmissons les o|)éra-
lions fondamentales relatives auic nombres irrationnel comme
opérations correspondantes de celles que nous savons cffecluer sur
les longueurs (<).

La somme ou la différence, le produit ou te quotient de deux
nombres quelconques c et c' sera le nombre qui mesure la somme,
la dilTérence, le produit, ou le quotient des abscisses mesurées par
c et c'. Ij.i /luissance ni*"» ou la racine m*"" d'un nombre c (pour
m entier) sera le nombre qui mesure ta puissance m*<»* ou la racine
m"™" de l'abscisse mesurée par c.

11 importe d'observer que l'extraction d'une racine d'ordre p esl,
tlitns la théorie des nombres irrationnels, une opération toujours
possible. En eilet, nous avons vu (48) que l'on peut calculer des
valeurs (rationnelles) de plus en plus approchées {arbitrairement
Ofiprochées) de la racine /»*"• d'un nombre rationnel quelconque. On
démontre facilement que les longueurs mesurées par ces valeurs
approchées convergent vers une longueur-limite dont la mesure
sera la racine ;>*■" en question.

Après avoir défini les opérations fondamentales, on pourra

) Les produita et quotients étant délinis c
li qu'il s été dit au n" yh.

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l34 i^^ Ga.At'oaiit

éliendra au douuÎDe <Je« Dortibr<ji> îrralîoniMis fouler iet rè^iet de
catvui reialivfs aux fti-afx/ifiorui iM mxx fu-r^frestions ariikruélii/m£s
et ffèométn<fiuv ^comftatw b" as^-

i l'est li ua lait ffue le lacle«u' ^ablin tiaéiuent iÊa'i-aaêm^^

il7. DélinUtea triihmMÀqvB *m aambras tfrmUoosels.

— Pour tk'tùiir In suites conver^n(«£ de flombne rat«o<raels,
w>ufi aviMis «u recours k la Dotîoo d'abiciNe. Cet >|kpel i la f?ôo—
□aétrie n'eitt fK>înt îadÎBpeBuUe.

On peut donner, en eH«t, def suites iooi]\ergenlce crointanto* ou
df^croisMiileti une définition puiicsneof «ritliniétÀqwe, Une emdie fie
itnnthrft raUrutwk enùttifuUt ^foi reuttnl lotit iAfériews à tut aurtne
mnkbre fixe sera iHtf rvioivrifenie; de mfme mite saîle de OMnbrvx
UécmixsanU qui reêieut Ujox tii^)é rieurs à ub même WMwime fixe. CdM
jKiBé, on dira qii'tute saiLe conver^euie de >tMiil>r«f croassants
u a,„... et une suite de nombres tlycroissantsè,,... i^-.. «fi-
nissent un nombre si U dilTéreiKe h„— as est arbitrairement petite
pour n arbiti-airema^t gnnd i^').

Cette d^miliof) est d'accord avec im propriétéfi des nombra
rationnels qui ont été établies en aritlimétiqne. En el}«t, si la suite
«,.... a,„... {0116,,... ta,... {admet |>our liante uo nombre rationnel

— c'est-à-dire s'il existe un aooibi'e*' tel qnc iadiflerence « — con
hn — c devienne arbitrairement fietite {>oar a arbitrai renient ^rand

— les liy[>oU»t*e» <fue nous fai«>ii» sur ies deux suites indiqitent
qu'eJlo»' admettetit nÀrcsMiirei»ent la taèam liniilv : donc il leur
corrcsjwnd un nondirc r et un seul que wmt dirons être d^ini par
ces deux suites.

S'il n'existe, par contiie. aurun nombre rationnel qui soit limite
des d^nx S4iiie«, mmis dir^ms i{ur: ces siiitec ont poui' limite un
Humbre irralionitel.

fartant d^ li, nouf |»uionc ddinii' 1 priori et. 116) ies di-
ver^ts opérations relatives au« nombres irratiouoel* et démoatinr
que ces npcralions ooiocident btea avec les 0])énlioas ariliuné-
tiqiics de même nom dans le cas particulier on ^limiles 4tm
suites considérées sont des nombres rationnels.

) C'est-à-dire, si quelque pelU fiie mil un Munbre tlonoé i
ivcr un cnlier N iA que 6. ~ a, --^ ; pour « > N.

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EXPRESSIONS ABlTUMÉtlQCES CONVERGENTE». SÉRIES l33

118. BriMTipiii. — U tàot Temanjoer (ootefois que l'on np
peut légitimer complètement la délinition arithmétique du nombre
irrationnel et établir réqui%'alenoe de cette délinition et de celle du
n" 114 qu'en admettant â ;>n''>r/ certains ]>o3iulat£ iodémoBtrables.
Nous reviendrons sur ce point dans notre Deuxième Livre (clu|>. \,
S 7) et ferons connaître, d'autre pari, une nouvelle déOnlûoD du
nombre irrationnel qui est indé|>eiidanlc à la fois de U notion
d'absciue et de celle de limite.

119. Remarque sur le een* du mat alwoiM«. — ^olls
avons, au n* 113, diiini l'abscisse comme une longueur. Mais
étant donné l'analyse qui précède, les notions d'ebacisse et de
nombre sont pour nous rigoureusement équivalentes. C'est pourquoi
DOUB pourrons désigner désormais par le même mot abscisse, la
lon^eur définie au □' 112(/o/i^ii£(ir-a6sci££i?)ellamesui'edecetle
longueur inombre abscisse).

7. — Expressions arithmétiques convergentes. Séries {']

120. — Novs avons considéré le nombre irrationnel oommc Ta
limite d'une suite convergente de nombres rationnels. Il convient
de compléter nos définitions en montrant comment il sera efTecti-
vement possible de former de telles suites. Nous allons donc indi-
quer quelques-uns des procédés les plo* simples au ntoyen desquels
•H) pevt définir la saocessioo des nombres d'aue suite; j'entends
par ià : dé^nir la loi 4]ui permettra, àant considérée une snit«,
d'ee calculer aatast de tn-mes que ('on voudra. { Les noinbiTf de la
suite peuvent ici 6tre supposés irrationnels aussi bien que m-
lionnels.]

131. — RepceDons d'abord, et énonçons maintenant sous sa
forme la plus générale, la définition des suiUs otmverijeaieit.

(') Lei noiians de convergence et de série ne se préciaèrent tout à fait
dans l'esprit dea gâomètres qu'au début du xix" siècle, boue l'influeDce
d'Ammt. «t Cavcht, en particulier. (V«ir par exemple le Court d'analyse
al^brique de Cavchy, iSai). Cf. in[ra,Diux. Lie, ch. vi.

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IJU LES GHAIIDEIRS

Soit donnée une suite quelconque indéfinie de nombres rationnels
ou irrationnels :

c'osl-à-dirc soit défini un procédé permettant de détiuire chaque
nouveau nombre de la suite de ceux qui le précèdent. S'il existe
un nombre c tel que la difTérence de r et du n*"" nombre de la
«tiile, devienne arbitrairement petite pour n arbitrairement t/rand,
nous dirons que la suite est coneeryenle et admet pour Umifc lf>
nombre c; nous entendons par cet énoncé (cf. 110) que, quelque
petit i/ue soit un nombre iloniu' quelconque i. on peut toujours
trouver un nombre entier ^ ici que pour n > N, la différence de
c et a„ soit inférieure i i.

123, Sérias oonvArgentes. — Considérons, en particulier
une suite convergente de quantités de plus en plus petites
u,, u,, ... u„, ... ayant pour limite o. Posons :

Les nombres croissants .ti, s,, s„.... forment à leur tour une suite;
si cette suite est convergente elle définit un nombre rationnel ou
irrationnel c : on dit alors que le nombre c est la somme de la série
C'iuvcrijenle u, •+■ u, -+- ... +««-!-■.. et Von écrit (') :

les nombres u,. «„... «« étant appelés termes île la série.

Plus on considère de termes dans la somme écrite ci-dessus,
plus la valeur de celle somme est approchée de la valeur c. Ia
somme ii„4-, -i-ii„ii + ... différence entre la somme de la série
c et la somme Sn de ses it premiers termes tend donc vers la limite o
lorsque l'on donne à n des valeurs arbitrairement grandes.

Supposons, en i)arliculier, que u,, Ui.u,,,... soient respectivement
des fractions de dénominateurs i, lO, lo',.,. lo"-,... Alors la
suinme des n premiers termes de la série est de la forme :

: d'Iiabilude, ïet pointa.., tiennent i

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EXPRESSIO^IS ARITHUKTIQUBS C0XVER0B<l1Eâ. SÉKIES iS^

n,, u^, Qa étant des nombres entiers moindres que lo; celte

somme est un nombre décimal qui art — i ch'Jfres décimaux.
Ainsi un nombre décimal auquel on ajoute iiidériniment de nou-
veaux chifTrea décimaux est la somme d'une série convergente, —
somme qui peut être un nombre rationnel on un nombre irra-
tionnel.

Considérons, par exemple, la mesure de la longueur de la cir-
conTércDce de rajon i. Cette mesure est un nombre irrationnel
que nous appelons 2 .k et nous pouvons écrire, d'après le n° 67

ce qui est la même cltose que l'égalité

expression qui approcbera de plus en plus la mesure cherchée
lorsque nous en déterminerons un plus grand nombre de déci-
males.

Un autre exemple de série convergente est la progression géomé-
trique de raison injérieare à 1 que nous avons considéré au n* 111

Considérons encore la série suivante :

On démontre que cette série est convergente et l'on appelle (')
« !e nombre irrationnel qui est sa limite. La valeur approclifîe de
ce nombre est :

a.7i8s8i8i8459045...

Le nombrcfi jouit de remai-quables propriétés sur lesquelles nous
aurons à revenir. //(?rm/fea démonli-c en 1878 qu'il est transcen-
dant, c'est-à-dire qu'il ne peut être considéré comme le résultat

{>] Nom reiToas plui loin comment hiatoriquement lo nombro e
introduit en algèbre.

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(l'aucune combiausOD d'ofét^lions fioadaineatales eiTectuées kut
l'unilé (plus précisément; on ne peul foruxc aii«ine équation
polvooiiiale ayant pour coefficiants de% nombres rtlioni>els dont
le nombres soit raciiw, voir p. 81, aote 3). Pour t^tenir mie
exprosioo exacte du nombre e, il faudrait eflectuer une combi-
naison comprenant une inlinilé d'oi)érations.

133. — Les cou aidé rations qui précédait peuvent élre gi*i-
nlisécs. fia visa geous, d'une ouaièfe générale, une combittaisoa
coni(>osée dopérations dont le nombre («ut èlie augmenté indé-
finiment suivant une loi délerminée. Cette combinaison esf
appelée « expression arithmétique ». Si la suite des nombres qu'elle
repi-ésentc lorsqu'on multiplie indéâunient les opérations) ooa-
veige veia une limite c, l'expi-ession arithmétique est dile coiiver-
fjenle et le iiniiibi-c c est sa limite.

La série convergente défmie ct-dessus est le type le plos ssnpJe
d'expression arithmétique convej'genle, puisque c'est une cooiIm'
naison d'additions seulement. Une combinaison d'additions et de
soustractions sera égalâmeiit appelée térif : ainsi l'expression :

qui pent être prolongée indéfiniment suivant une loi bien ap))arenle

est une « sûiie convergente h . Leibniz (') a démontré qu'elle a pour

ra)'on 1).

Une autre expreuûon srilli nié tique convergonle est celle par la-
quelle Français ^ièl«!'') |Huposcdedéfiair le nombre n:

v/i. v/^-y^ v/^^W^y:-

C) Forûtriim (U rebut matlietaaticU rtsponstrttm itW' VIII, c1u|)l x

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EXPRESStO?iS AniTHHÉTIQtiBB OOKVBHGETITES. SÉRIES lî^

dans cette expression le aombte des cadKWu pMit «Ire indéfni-

uient multiplié; l'expression le^l convergente et a pour limite -

WaltisC) etioTdBrounckcr, d'autre part, l'ormèrenl — toujours
pour tlÉûnir le nombre s, — iee exprasuons ooover^nlM suî-

quiontresi)ectiveinenlpourlimites et - . La seconde expression {'),
composée d'une cascade indéfinie de Tractions est appcUe fraction
conlimu ifractio continua fmcta). Des expressions convcrgrenle»
de même forme avaient d^A fAé étudiées an \Tf siècle par l'jflgé-
farïste liombelti (^) de Bologne.

1^4. Expre—iann oonwrgenles «nk flgaire un nombre qui
mag^tent» iiidMiBiMCiit. — U existe des expressioTis a'nlhn)é-
tiqae> -convergentes qui se préienlent bous «tne forme antre i\v»
cdie dont noas Tenome de fMti«r.

Coasidérons une combinaison d'opùra4MQS <tftiecli>ées sur le
Bomlire «ntier oo rationnel n «t Mpposons (foe ce nombre prenne
(k» «^^urs «tUtraires de pht fK fitts ynuviei : si U suite d«i
nombres fournis par la combinaison oanvtiérie (pot<r les valeurs
successives de n) converge vers une limite c, la combinaison est
une 1- expreesion arîdiniiétique convergente » dont la limite est c.

(') Voir Wali.m. Aritlimttica înpnilorum, id't^, Opéra I, p. IfijrT^-

(•) La loi suivant laquelle celte expression est formée est manifeste :

les nombres i, 9, ^.1, ^9, Ri,... sont en effet les carrés des nombres impairs

successifs 1, 1, .'», 7, 9, etc.

C] L'Algebra, 1:179, p. V-,-1-; (Bibi. N. V. fi<,r<).

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l4o LES OKAXDEL'nS

Ainsi (') l'on démontre que le nombre :

où n est un nombre cnliri', se rapprocbe de plus, du nombre r
délini plus haut lorsque n prend des valeurs arbilraîrfîniRnt

grandes. Nous dirons donc que l'expression ( i f -) a'imct.pour
n infinimenl ijrami. In limite e, el nous écrirons :

i: ^= limite de ( i ■+ -j pour " Inlini,
ou siinplcnicnl :

L'expression :

où a est un nombre quelconque et n un nombre entier arbitraire-
ment grand, est également convergente : sa limite est en général
im nombp'C irrationnel.

Nous pourrions facilement allonger la liste deces exemples, car
la combinaison des opérations arithmétiques indéhnimcnt répétées
ou portant sur des nombres indéGniment croissants, oITi-e à l'ingé-
niosité du mathématicien des possibilités illimitées. Nous revien-
drons plus loin sur ce sujet cl nous étudiei'ons en détail certaines
expi'essions convergentes, les séries en particulier. Nons aurons
ainsi l'occasion d'insister sur les diflicullés d'une nature assez
délicate auxquelles donne lieu l'étude de la convergence lorsque
l'on cherche à l'approfondir.

(') Voir aussi sur les expresaiona de ce type, in/ra, Troit. Uv., ch. ii,

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LES »OMBRES KBLATIFS

- Les nombres relatifs

135. Abscisses des sens opposés. — Aprùs avoir réconcUié
de notre mieux les noliona de grandeur continue et de nombre
rationnel discontinu, nous allons poursuivre l'étude générale des
nombres (iiTationnels ou rationnels) qui représenlent des grandeurs.

Nous avons reconnu plus haut l'intérêt qu'il y a à représenter
les nombres sous forme d'abscisses ('). Cependant il y n, dans la
figuration géométrique des abscisses une dissymétrie choquante
qui semble en diminuer la valeur.

Sur la droite indéfinie {ou axe) X'0\ tous les points situés d'un
même côlé (par exemple à droi(e) de l'origine 0 ont des abscisses,
et sont, par conséquent, dêlerminês par des nombres (irrationnels
ou rationnels); au contraire les points situés ^ gauche de 0 n'ont
pas d'abscisse; il ne leur correspond aucun nombi-e.

Cependant nous pouvons désirer ^__^_
raisonner sur les points situés à ^t' a' o a x
gauche de 0 comme sur les points „. „

situes 3 droite; nous remarquerons

alors qu'il suivit de renverser la direction suivant laquelle les
segments- abscisse s sont portés sur \'X pour que les points de OX'
soient, k leur tour, définis par des abscisses. En indiquant, autre-
ment dit, non seulement ta valeur, mais aussi le sens du segment
OA, nous pouvons regarder tout point A de la droite X'X comme
défini par une abscisse. Par exemple, si la droite X'X est orientée
d'ouest en est, et si (') longtteur OA = longueur OA' = a
<ng. 67), nous conviendrons de dire que A est le point d'abscisse
H a, est K, et A' le point d'abscisse « a, ouest »,

Mais il ne suQit pas de distinguer deux classes dilTérentes d'abs-
cisses ; il faut apprendre k les comparer, c'esl-à-dire effectuer des
calculs qui portentà la fois sur des abscisses est et sur des abscisses
ouest.

(') Voirie n" 119.

[*] Nous Buppoïons l'unité de longueur fixée une foia pour toutes ; noua
pouvons prendre alors, pour abréger, l'expression i longueur OA • dam
l« lena de 1 mwure de la longueur OA * et regarder les mois • absciaes >
et ( nombre abicine i comme équivalents (cf. 1 19).

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lia Lift GR-mtecR»

Comment y parvenir? La qiicslton est délicate, car l'Aritlimé-
tique ne nous autorne à calculer qm sot «tes unités de niéme
espèce : il n'est pets permis, cninmc on dit vulgaireinciil,
d'adiJitionnei' des bottes avec des gendarrues. Ce|teudaiit, »» notis
aoEiKsoiialcs notions d'addilkw et de soaatraetioa géoniélcîqiacs
talroduJles au af 53, uoiu tieiiveraiu <)ue ces noUona conserveat
toute leur sigiiUicatioa lois même qu'on le» apfUque à iea aegmiantm
qui ii'iiat pas tous le même sens, «l que, par coaséqHeatr Us ^s-
L'isses de ^ens opposa aoat des t. jcvaBdeara eosiparabk» a a«k sens
du a" 55.

130. Opétft»— moM !•• liiiiij'uui" iiliiaiilBiiM — IWveooiis

à notre coaceptioapi-emière desabeciasea d^liuieacoiQBtesegtHeDls

o» longueurs ds segmenta, et coiuî -

~~0 B S A C dérons deu» alwcisee^ 0\ tk OB ili—

nV/^trsdeU vetsX^tig. tô)r>'enteBda
dire i>ai: U (^ let> eiktfûnùLés A
et tt sont entre 0 et X ; d'une manière générale, en cfbt, Hont
aUribaerons à un serment tel ffue OA on UU, ou OA', Qg. (17
/^ sens <iui i''i, ihi fiointO, nommé le premiu;. uer» lexlréimlé A
ou B ou V.

Désignons par 'i et b les loorgneiius de OA et Oit. Pouc t^oiiter
les abscisses a et b, noua devons menitestenieiU po«lev, à pavli* àe
\, et à draile de ce point (c'esl-àndire ilans le miv* 'lusetjmeui (■>!*}
une longueur égale à b. l'otir retrancbet 6 de h, nous devins è
pactÎF lie A, porter la nème longueur en sens inv«nse. Ainsi mr la
fig. 6S, la somme a + ^ est ]'abeci.sw 0C> la diliérenve \ — B
est l'abscisse OD.

Les opérations addîti\e ut soustraclive que nous définis-
sons ainsi ne supposent nullemeat, au poûil de lue géomcinque
toat au moins, q:ue b suit plu» petit que a. Ell«« sont encore po»~
sibtes si /> > a [k point D,. construit coiume il a été dit tombe
alors à ijaache du point 0], bien qu'en ce cas la différence a — k
n'ait plus de sens arithmétique.

Il y a plus. Nos opérations conservent un sens géométtiqae bien
déRni lo:3 même que les abscisses, ou tes segments OA et OB sont
de sens contraires (cas de la fig. 69.). Si nous portou». ea ce cas,
sur l'axe X'OV à partir du point A, un scgnienf égat'àC^B et dirigé

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LA.TIKS 1^3

dans te sens(*)d«ce9^ine«t (nlnéfwr conséquent Àganctteile \},
nous obtenons nnelongueor OC hiendétennimeqtfe notis pomr'fK
contÎHocr à appeler Jo/njB>ede»ab«cis5esOA et OB; lantbsque nous
appellercHis différtnee de ces abscnses l'abs-:isse OD obtenue*^
portnat à partir du point A un segment

égal & OB et dirigé dans le sem deB ^""J * J[ "^

Ter» O. ^^

La mattiplieation d'une sbscisae OA
oa OB par un nonbre n est ^temeitt une opération Ynen définie,
quel que »oit le sens de l'abecîsee; te résott»! est »ne abscisse de
mèvae sem que OA oa OB et égale i it fofs (') la tonfçueiif OA o« OU.
Gtiai étant, ne serait-il pas poesiUe d'étargir on pen le cadre
de la neill» acîtbnétiqm afin d'y introdwre ce calcul d'un
Bouman geire qm permet de conbrner des abscisses de sens
Ofipoeés^

137. AbaoiMCvov nomfa-es positifs on aégatifa. — Faisons
d'abord une convention de luigage qui est lïca naturelle après ce
que nous venons de constater.

Reportons-nous à la figure 67 et considérons le point A' siUié à
gaiiche de 0 à la distance OA' =^ a. Par analogie avec notre dcfi-
nilïon de la soustraclîon géométrique, nous conviendions de dire
que le point A' est obtenu en soustrayant la longueur OV de
l'abscisse {égale à o) du point O : pour désigner alors l'abscisse
du point A', appelée tout à l'heure « a ouest », nous dirons : zi'm
moins a ou moins a et noua écrirons : — a. Quant a l'abscisse du
point A. (fig. 67) nous la désignerons indiiTéremment par h- a ou
par la simple lettre a. Ces convenlions nous amènent ù appeler
*ni* poiilif le sens primitivement (et d'aillewrs arb'rtrairenienl)
choisi comme direction des segments définissant les abscisses (-ens
de O vecs \) : c'est le sens de l'addition ; le sens opposé scia
appelé xens néyatif : c'est le sens de la soustraction. En consi!-
quence, l'abscisse de tout point situé, par rapport à Torigine dans

(') C'«ab-4-<liN 1« MB» da O vers U (Vair ci-dessua].
{') Celte loculioa a on sobb \om- mène que n est irrarioTinel', pui3qiif<
le pcodait ée d«ux noiuhre* ivpatîonnels, n X longueur OA »u OB, a èxi

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ij^ LES GRANDEURS

la direction positive sera dile : abscisse positive; l'abscisse de tout
point situé de l'autve cùlé sera dite abscisse négative ( ').

D'ailleurs nous avons été conduits au S â, à considérer 1»
abscisses comme des nombres, Nous conviendrons donc de dire
que les abscisses i>ositi\es sont des nombres positifs et que le^
abscisses négatives sont des nombres néijalijs.

Celte terminologie est arbitraire, mais elle est féconde en
suggestions : le jour où elle a été universellement adoptée», une
grande révolution, dont nous verrons plus loin les efiets, s'est
trouvée accomplie dans la science du calcul.

Sans doute, il y avait longtemps que les arithméticiens savaient
distinguer, comparer et combiner des grandeurs de sens opposés-
Diophantc (voir n'VI, noie 2) raisonnait sur des grandeurs ajouléet
ou retranchées ('). Avec plus de hardiesse (voir Deux. L/iJ.,cljap. 1).
les Hindous avaient codifié, et iionsséfortloindanssesapplications,
le calcul dés biens et des liettes (propriétés et dettes, profils et flè-
clu-ls) {'), Et, trouvant comme solution d'un problème le nombre

— 7 ' , Nicolas Cbuquet (*) déclarait : « Ainsi ce calcul est vrai,
qu'aucuns tiennent impossible ". Cependant, lorsque Dîophaiile
parlait de grandeurs retranchées, il n'entendait point dire qu'elles
fussent inférieures h zéro et II s'arrangeait de manière qu'elles soient
toujours soustraites de grandeurs plus grandes ; au xvi' siècle
encore, Michel Stifel, — qui voyait clairement que raisonner sur
des quantités négatives, c'est raisonner ci sur des nombres moindres
qiico, c'est-S-dire moindres que rien », — Michel Stifel quali-
fiait ces nombres de nombres absurdes (') {numeri abstirdi) ;
Cardan {") les appelait nombres feints (nameri Jicli). Ce n'est

[^ On disait aulretois; poaiCif cl privatif oua/firmùtil el négatif. Un axe
sur lequel on a clioisi un sens iiosilit et un sens négatif est dit ■ dirige •

( j 'iTTï^'s:; et Xt'i^-ii;- Œuv. de Dioph., éd. Tannery I, p. la et Buiv.

(') Cf. RoDET, Journal asiatique, t. XI, 1K7S, p. a5 et la théorie des
équations, infra. Deux. I.iv.

{') Le Triparty. i\?.'\, supplément (voir p. ii, note ii, p. ire».
déf. i4 (?].

[*) Arilhmetica intégra Ifide, p. 'jU, note 1), p. aili.

(') Ara MagTUi, rS^Fi, chap. I. Œuv. IV, p. aal. Dans )a résolution des
équations algébriques {vide infra]. Carda» de même queSrE^iN [L'arîlh-
mitique, i585| n'Iiésitcnt pas h, utiliser ecrlaines transformations (vide
Deux. Liv., ch. 1, § r) qui iuiroduibcnt des nombres ncgatits.

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LES NOUBRBS RELATIFS 1^5

qu'après de longues hésitations que les mathématiciens se déci-
dèrent à ne point établir de différence de nature entre les lon-
gueurs positives et les longueurs négatives, et à considérer les
mesures de ces deux sortes de grandeurs comme ane seule et même
classe de lombres (comparer n°* 38 et 97). Aux cartésiens revient
te mérite d'avoir délinitivement consacré cette manière de voir en
formulant avec précision les définitions qu'elle suppose (').

138. — Nous avons vu tout à l'heure que l'on peut effectuer
sur les abscisses négatives, ou de sens opposés, des opérations
analogues à celles que nous avions déjà appris à faire sur les seules
abscisses positives. Partant de U, il nous est facile de constituer
a priori une théorie des opérations fondamentales, addition, sous-
traction, multiplication, portant sur les nombres-abscisses négatifs
ou positifs et négatifs. Nous n'aurons, pour cela, qu'à interpréter
les constructions géométriques du d° 126, et à satisfaire à la condi-
lioti générale suivante : Il faut (cf. 97) que, lorsqu'elles portent
sur des nombres tous positifs (nombi-es rutionnels ou itralionnels),
les opérations que l'on définit coïncident rigoureusement avec les
opérations déjà connues qui portent le même nom. Or celle condi-
tion sera remplie si nous convenons d'adopter les définitions et
règles que voici :

129. Nombres r«latlto. — L'ensemble des abscisses positives
et négatives sera regardé comme une classe de nombres, que l'on
appellera nom Ares relatifs.

Chaque nombre relatif est déGni par un nombre ordinaire
(rationnel ou irrationnel, appelé valeur absolue du nombre relatif)
et par un sitjne (le signe + ou le signe — ). Ainsi deux nombres
relatifs seront déclares égaux s'ils ont même valeur absolue et
même signe (et en ce cas seulement).

Un nombre relatif sera dit positif ou nêijatif suivant qu'il sera
ajjecté <la signe -h ou — . Les nombres jalionnels négatifs seront
représentés dans l'écriture courante, par leur valeur absolue pré-

(') Cf. p. 284.noteI. Au chap.I Ai- naWc Deuùhn Lk-rt (^6),
aurons occasion do signaler les célèbres recherches de Descarics si
racines négatives des équations.

UaiiTioui. — Le» Ptincipei de l'Annljie malhimiitlquo. lo

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1^6 LES GRA^njECnS

cé<lc«da signe — . L« nombres rationnels poâtîfs sont des nombres
raltonnels ordinaires ; on les représenlen donc par leur valear
absolue ; cependant il n'est pas interdît de placer le signe -i- do-
vanl cette râleur.

D'aitlcnrs, tonqne nous raisoimerons snr les nombres relatifs
en générsi, sans pr-éciser desquels i) estqnestion, nous pourrons
toujours représenter ces nombres par de simples lettres (*}
a. A, c, ... ; mais alors, quand nous remplacerons les lettres par
les valeurs miniêriques dunt elles tiennent la place, nous devrons
avoir soin d'affecter ces valeurs des signes qui leur reviennent.

Pour enimmcr qu'un nombre relatif représenté par une lettre a
est un nombre positif, nous écrirons a >■ o ; pour exprimer qne
le nombre est négatif, nons écrirons a <io; la valeur absolue
de a sera représentée par le symbole spécial \a\. Deux nombres de
mdme valeur absolue et de signes contraires sonl dits : nombres
opposés oa nombres é^aux et de signes contraires.

Qxw a représente un nombre positif ou négatif, nous désigne-
rons toujours par -h a le môme nombre qne a et par — a le
nombre opposé.

Les nombres non affectés de signes (et, par conséquent, tons
positifs), en tant qu'ils s'opposent aux nombres relatifs, sont
appelés : nombres absolus.

130. Addititm de* nombiw rtiatlfs. — La somme a -\- b de
deax nomlnvs relatifs a et b est an nombre relatif ainsi formé : si
les deux nombres sonl de même sUjne, on ajoute lears valears
absolues et on affecte le résultat du sir/ne comman ; si les deux
nombres sont de signes contraires, on retranche Vane de Faatre
leurs pâleurs abtelues (savoir : la pftts grande de la pbis petite) et
l'on donne au résalfat te signe da nombre qai a h plas grande
valeur absolue. Ainsi l'on écrit (*) :

(_ 3) + (_ a) = - 5. ;i + (^ a) - ., 1 + (_ 4) = - ..

La somme de Iroïs nombres relatifs est le résultat de Taddition

(') Vidt n» 266.

(') Nous metton« entre parenthèses l'engenibPe des signes et da nombre

absolu qui dvfiaîssent un nombre relatif.

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LBS ROMBRBS RELATIFS ijj

du troUiime nombre à la tomme des deux premiers. El ainsi de
suite.

Ces règles sont conformes à rinterprétalitm géoiuélrique de
l'atldittoa donnée au a" 126. De IJk réspite que celle opération
coïncide avec l'addition ordinaire lorsque les nombres additionnés
sont positifs ; elle jouit de plus des propriétés de commatalivilé et
à'a$$ocialivUê (cf. n' 5) : on a

a-hb=b + a et (a -h (>) -h c = a -{- [b -i- c).

On déduit de ces propriétés que pour calculer la somme de plu-
sieurs nombres relatifs, on peut procéder comme il suit : od addi-
tionne, d'une part les nombres positifs, d'autre pari les valeurs
absolues des nombres négatifs ; on retranche la plus petite somme
de la plus grande et on donne au résultat le signe des nombres qui
ont fourni la plus grande s

131. Sonstraotion. — Nous détintrons la soustraction dans
les mêmes termes qu'au n" 6. La diiïérence a — fc (n moins b) est
le nombre d tel que b ~+- d :^ a. D"où la règle suivante, consé-
quence de celle qui régit l'addition (') : pour soustraire {ou retran-
cher) un nombre, il suffît d'ajouter le nombre opposé, ijui a
mime valeur absolue et an signe contraire.

En d'autres termes, je dis que a — t ^ a -H ( — b). Et, en
eflel, si nous faisons la somme a + (— b) +■ h conformément
aux régies de l'addition, nous obtenons bien le nombre a.

II résulte de celle règle que toutes les différences peuvent être
remplacées, par des sommes et réciproquement. En particulier, les
symboles + ( — a) — (+ a), ou — ( — a), où a est un nombre
relatif, peuvent toujours être remplacés par les symboles — a,
— aou -\- a sans parenthèses.

(<) Braikhaha {Vijaganita, chap. I, trail. Colebrnokc, p. l'il] énonça
la règle en ces terme» r Régie de la soustraction : te bien passe à t'étal de
bien la ptrte, puis on fait l'addition comme il est dit. En particulier :
(ibid. p. i36) ; Dette retranchée de tira devient un bien, et bien devient une
dette, ce qui veut dire pour noua :

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laS LES CnA!IOEUR9

lia règle de l'addition est résumée par les vers suivaDls dans le
traité de Lucas Paciaolo {ii>)i) ■

Piu con ^u gionto fa sempre piu,

Meno con msno ponto fa aucor men

Piu con meno gionto «empre se abatte,

E fara la maggiore denominatione.

Meno con piu quello medesimo che pia con meno (').

133. MalUpUoation des nombres retatU*. — Soit à mul-
tiplier, en premier lieu, un nombre relatif a par un nombre ab-
solu n (voir 139) : la représentation géométrique du nombre-
abscisse a nous conduit à déGnir le produit a x n comme étant
le produit par n de la valeur absolue de a, ce produit étant afTecté
du même signe que a.

Soit maintenant à multiplier a par le nombre négatif — n. ^ous
convenons d'admettre que moins n fois le nombre a, c'est n fois
le nombre a retranché rfc o : en d'autres termes, nous posons :

(-„)x. = -(.. xa),
et nous sommes ainsi amenés â formuler la rigle suivante qui sa-
tisfait à la condition requise au n° 128.

Le produi la X b ou a .h de deux nombres relatifs a elb est un
nombre relatif f/ui a pour valeur absolue le produit (') |a[ x Ifc] des
valeurs absolues de a et b et qui est positij ou négatif suivant que
les lieux nomtires a et b ont même signe oa des signes contraires.

C'est la règle que l'on enseigne aux écoliers : Plus par plus
donne plus, plus iiar moins et moins par plus donnent moins,
mo(/i5 par moins donne plus; ou, comme disait Luca Paciuolo :

Piu via piu aempre fa piu

Meno via meno sempre fa piu
Piu via meno sempre fa mono
Meno via piu BÎmiliter anclie meno ('j.

(') 5iiinnia, fol. i lit. " Plus ajouté à plus donne loujours plus ; moin
ajouté à moins donne encore moins; plus ajouté à moins se retranche
toujours et le sif^ne est celui du plus grand nombre; moine et plus donna
la même chose que plus et moins o.

f'j II résulte de celte règle que Ion a Ia.61 = ifl| X |6I.

(-) Summa fol. ni, Cf. Chiujuet, le Tripartij, ii«'i, sec. part. chap.'V.
« NataUo à Eavoir : qui mulliplie plus par plus cl moins par moins, il
en vient plus. Kl qui mulliplie plus par moins vel a contrario, il en vient

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LES NOMBRES RELATIFS 149

Ainsi

5 X (~3)=-6: (—3) X (-a) = 6.

Le produit de a par o sera, par dérmilion, égal k o quel que
soit a. Le produit de trois facteurs a, b, c sera le produit par c du
produit a x b.

La multiplication telle que nous venons de la définir jouit des
propriété de commatativ'tlé, d'associalivilé, el de ilhli ibulmté
^n* 7) ; on a, en d'autres termes :

a.b = h.a. (a.b)x c:=ax(b.c].
ax(b-i-e}=axb + axc.

133. Di-Tlaionet traction*. — Nous appellerons inverse d'un
nombre relatif a le nombre relatif de même signe qui a pour va-
leur absolue l'inverse p- de la valeur absolue de a ; nous représen-
terons ce nombre par - -

Cela posé, le quotient a : h ou rdela division d'un nombre a par
un nombre b sera, par définition, le produit de a par le nombre r ■
Ce produit a pour valeur absolue (') .-A et est affecté du signe -t- ou
du signe — suivant que a et fc ont même signe ou des signes con-
traires.

l^orsque a et & sont des nombres entiers, le quotient . est une
fraction affectée du signe -h ou du signe — . Les règles de calcul
applicables aux fractions de nombres relatifs se déduisent immé-
diatement des règles établies pour les fractions ordinaires (chap. i,
S S) et des délînitioDS du présent paragraphe. Ainsi : on ne change
pas la valeur d'une fraction en multipliant nu aimsant ses deux
termes par un même nombre relatif (on peut p&v conséquent réduire
au même dénominateur plusieurs fractions données) ; pour ajouter
ou retrancher plusieurs Jractions de même dénominateur, il suffit
d'ajouter ou retrancher les numérateurs et de donner au résultat

{'] Il résulte de là que U = jii-

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le dénomiiialeur commun ; — leprodail Je deux /raclions , et t esi
le prwla'U *- - -, ; le quotient de r pnr j est la fraction .-rr- ■

134. — Le quotient d'un nombre a par un nombre positireiLré-
memeat petit «st un nomlH« positif extrèmemeat grand de nème
signe que a : nous exfH-iineroas œ fait en disant que lorsque le
dénominateur d'une fraction positive ou native se rapproche
indériniment de o, la fraction tend vers un nombre infini posïtîr
ou négatif (voir n* 41) et nous écrirons symboliquement (quel
que soit le nombre a) :

136. Puiasances et racines. — Ayant défini la multiplication
des nombres relatifs, nous pouvons définir, quel que toit It nombre
entier positif p, la puissance />*•"■ a', d'un nombre relatif a. Le
nombre a'' a pour valeur absolue (') \a\f et pour signe le signe -h
ou le signe de a suivant que l'exposant p est pair ou im)>air (').

Nous définirons, d'autre part, la racine d'ordre p du nombre a

Vv» ou «P/ comme un nombre b dont la puissance p*"" est égale
\i a. Y.\\i\,t'i-\\ toujours un nombre b jouissant de cette propriété,
et en existe-t-il un ou plusieurs "> Cela dépend du nombre entier p
et du signe de a ; en tout cas, s'il existe un nombre b, ce nombre
a pour valeur absolue le nombre positif \/|o|'' ; donc il y a nu plas
deux racines />*"»•• de a savoir : -f- \/\n\ et — \/\a\ .

Soit d'abord p im nombre impair : alors i^d'aprts la règle énon-
cée ci-dessus) le nombre positif Ç|û|'' a une puissance p*"» posi-
tive qui est égale à \a\ ; le nombre négatif — \/\â\ a une puissance
^»iDo négative égale h — \a\. J'en conclus que le nombre a admet

(') Onadoncia-l = |a]'.

(') Ed effet a' produit d« deux nombres positif ou négatif, e«t positif;
a' produit par a du nombre positif a*, a le ligue ds a; a*, produit de »
par le nombre a* qui a m£me signe que a, est positif, et Mi»i do suite.

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une et uiuttule racine d'ordre p, radme^ett égaie à + {'juj oa
à — (/|a| suivant que a est positif oa négatif.

Soit maintenant p un nombre pair : alors le nombre i)ositir
\/ \a\ et le nombre négatif — \\<'\ ^^^ ^0"^ deux une puissance
p*"" positive égale à \a\. J'en cancXua <\\ie, si a est posilif, ce nombre
a deux racines (Tordre p, respectivement égales à ~+-\^\ et — ^\a\\
si a est négatif, ce nombre n'a pas de racine d'ordre p, et l'extrac-
tion de I& racine ffi" de a est une opération impossible.

136. — Etant donné la pluralité possible des racines d'ordre p
d'un même nombre, il nous faudra soigneusement Indiquer — lors-
que nous parlerons d'une racine /)*■" — si nous entendons raisonner
sur l'une des racines en particulier ou suc l'une quelconque des
racines (sans préciser laquelle). D'une manière générale (') — dans
tout ce Premier Livre au moins — nous désignerons par le sym-
bole y/a ou flP , non précédé d'un signe, la racine p*"« de a qui a le
même signe que a ; la seconde racine (dans le cas où p est pair et
a > o] sera alors représentée parla notation — {/â.

137. Exposants ratiotiuelB poalUta oa a^gatifa. — CooTor-
méawot à U conveatùw du n° &0 Ia xaciae d'ordre n de a", c'est-

i-dîre y a" sera représentée par le sjmbole a" . On vérifie facile-
ment que, quels que soient le nombi'e relatif a et les nombres positifs
rationnels/) et 9, les égalités fondsmentales (1), (3), (3) du n° 60 :

a''.a*=aH-î; ^ = <i'"^« (mp> «ï); (a'')t = a»"*.

sont satisfaites (lorsque les puissances qui y figurent existent, voir
n» 135).

Cela dit, nous allons faire une convention nouvelle qui augmen-
tera encore llntérët de la « notation exponentielle > [vide

{') L« symbola ^|a| au jsl'', an particulier, repr^entera fou/'owj la
racine p'*»* positive du aambre enenliellement positif \a\. — La con-

„Google

n* SI). Convenons de poser ('), quel que soit le nombre posilif
rationnel k :

^ ^ o~' (ainsi '- = a-«. -'. = a~\ elc.)

et considérons a~' comme une puissance d'exposant néijatif. Nous
constaterons sans peine que, si celte définition est admise, let
puissances à exposants rationnels (') positifs ou négatifs jouiront
des mêmes propriétés fondamentales que les puissances à exposants
rationnels positifs.

En effet, soient d'abord p el q tous deux négatifs; posant
p = — p', q = — q' , nous avons par définition :

- = -.7 . al' ■= a^-r' ou -r, — ; = a''"'

On obtient les mêmes formules dans le cas où les exposants />
et '/ sont de signes contraires.

Ainsi, quels que soil les nombres rationnels positifs oa négatifs
p etqon a toujours les égalités fondamentales :

(i) a'' . al = al'+! . -^ = a''-) (rf')) = a""».

Remarque. ~ Il résulte de nos définitions qu'une puissance
quelconque (à exposant posilifou négatif) d'un nombre positif est
toujours positive.

138. Inégalités. — Etant donnés deux nombres relatifs a et b,
nous dirons que a est inférieur à /> si la différence b — a est posi-

[') On trouve dans le Trlparly de Nicolas Cbuçuet, ij184, le lymbole
ia'~ (équivalent à t2~') pris dans le sens de '- (éd. Marre, p. i5r-53).

(*) Jusqu'à nouvel avis nous devons supposer que lei exposants ne aoDt
pas nuls, car nous n'attribuons encore aucun icni au symbole a\

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LES aOUBBES RELATIFS l53

tive. Ainsi, un nombre négalifquelconque est inférieur & un nombre
posUïr quelconque, et de deux nombres négalijs te plus petit est
celui qui a la plus grande valeur absolue ; par exemple, on écrira :

— 3< — ï, — 3<o, _3> — 5.

La formule qui exprime qu'un nombre est inférieur ou supérieur
à un autre nombre est une inégalité (cf. 40).

T4ous déSnirons comme au n° 40 ce qu'il faut entendre par une
« opération eiîectuée sur une inégalité n et nous pourrons énoncer
les propriétés suivantes, qui se déduisent immédiatementdes rËgIcs
relatives auK opérations fondamentales :

Quels yae soient les nombres relatifs a, b, e, rînégalité a < fc
entraine a-i-c<:,b-i-cela — c < 6 — c. Sic est posîtij, a <^ h
entraine a.c < b.c, car le produit ex (i — a) est positif comme
la différence [b — a). Si c est nét/atij, o < fc entraîne o.c> b.c, car
le produit c X (b — a) a un signe opposé au signe de 6 — a.

Si p et q sont deux nombres rationnels tels que p <^ q, et si a ^i,
on a <ff <, a"!; posons, en effet f ^ p -^ d, nous avons a' ^= af.a'',
donca" — tf ^= a'' . {a"* — i) produit de deux nombres positifs (').
Lorsque p est un nombre positif très grand (a étant plus grand
que i), (f est un nombre positif très grand (cf. n' 40 in fine).
Lorsque p est un nombre négatif très grand en valeur absolue, a' est
l'inverse d'un nombre positif très grand : c'est donc un nombre
positif très petit.

130. Suites de nombrea. Progressions. Proportions. —

Puisque l'on peut toujours dire quel est le plus grand de deux
nombres relatifs donnés, on peut, étant propose un ensemble
quelconque de nombres, ranger ces nombres suivant une suite
croissante ou décroissante (cf. n" 39). Et, sur les suites croissantes
ou décroissantes de nombres relatifs, on iieut raisonner comme
sur les suites dénombres absolus. On peut en particulier étendre
à ces suites beaucoup de propriétés des suites de nombres entiers.
Considérons en particulier une suite croissante ou décroissante de
nombres relatifs dans laquelle deux nombres consécutifs quelconques
ont pour différence un même nombre r : une telle suite s'appelle

(■) D'aprii la note i (teU p. 6i l«8 pui»ance« a', a''sont)upérieurcsà i.

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i54

progreMÙui arithmétique de raisoH r(cf. n** 15. 38, IIB) ; si l'on
désigne le premier terme pir a, les lenne* suivants Mml a -t- r,
a -f- ar, a + 3r, etc. En raisonnant comme au n" IS, on démontre

que la aomme des n premiers termes est n.a -f- — ^-^^ ^—^ — -

CoDsiilcroDa pareillement une suite croissante ou décroissante
de nombres dans laquelle deux nombres consécuUfs quelconques
ont pour rapport (quotient) un même nombre b : une telle suite
s'appcUe protfression ijéoinélrique de l'aison fc(n*'31, 3S); si l'on
désigne par a le premier terme, les termes suivants sont a , 6,
a. &*, (1 .&',... et l'on démontre en raisonnant comme au n" 21

que la somme des n pr«uien termes est a . i quelle que

soit (*) la valeur de 6.

On étendra également à la classe des nombres retalifs les dëfini-
lions des moyens arithmétique, giomélriqiu et harmonique données
au n' 20, et toutes les règles qui régissent le calcul des proportions.

140. Suites convergentes- Limites. — EnGn on ponrra
délînir, comme on l'a fait avec les nombres absolus, des suites
convergentes de nombres relatîls; soit, par exemple, a,,... a,,...
une suite de nombres ndgalirs décroissants ou croissants : si la
suite (les nombres positifs, croissants ou décroissants, |<ii|, jati,.--
|n„I,... est une suite convergente dont la limite est un nombre c
(irrationnel ou rationnel), nous dirons que la suite des a,... a„,..-
est convergente et a pour limite — c. Celte déQnition est conforme
aux propriétés géométriques des abscisses et II la définition des
nombres négatifs irrationnels (').

On pourra, plus géoéraleraeni, étendre k la classe des nombres
relatifs, la d^nition de la limite (121) ; on dira qae la suite des
nombres Q],... a„,... tend vers la limitée si, quelque pelît que soit
un nombre posili/donaé i, la valeur absolue la» — c\ est inférieure
à E i partir d'une certaine valeur de n. Lorsque cette condition est

CI Aima, lotique l'on cannât les n
de dciuc loiiQuIeB dilTérentes pour désigner la somme d«a termes de la
progression suivant que la raison est snpërieure ou intérieure à i (voir
p. .{5, note i).

Cl Défiaitian réniUnt de la délîiutioD générale daaaéa au a" ni.

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LOGimiTHBEfl l55

sktiifoite lea estiémil^ des «bacmes comapondiBt ani nombres
a ,... a„... leadeatvGTsua point-limite.

Ayant défini la limite, on définira et étudiera comme au S 7 les
^ipicssioiis anthmétiqaes convcrgnriM et en particuiier Ifii séries.
La pcogranion gfamétriqoe a + a.r + a.r' + ..., par exemple
est ui» série qui est eonvergenle, quels que soient les aigoes de a et
r, si frj ■< I, dwergenie si |r| > i. [On le démontnen raisrauanl
comme aru n* 111 j.

y. — £«WU«*aes

141. — Supposons que nous voulions mesurer un mflt vertical
d'une grande élévation. 11 aéra impossible ou tria diHIcile d'appli-
quer directement un mètre le long de ce mât. C est pourquoi nous
prendrons une voie détournée. Nous mesurerons, par exemple,
l'ombre du mit, k une heure déterminée, et de la longueur de
l'ombre nous déduirons celle du mât. Ainsi — comme nous
l'avons déjà remarqué h propos de la mesure des angles (n' 102) —
les grandeurs difficilement accessibles peuvent parfois être rem-
placées dans les calculs par des grandeurs suppléantes {') plus
aisées i manier; pour que cette substitution soit légitime, il suffit
que ['on sache établîrune n correspondance univoqueetréciproquen
entre les grandeurs titulaires et leurs suppléantes, de sorte qu'à
chaque grandeur corresponde une suppléante bien déterminée et
lédproqaeramt. Dans ces condititHU, à tout calcul portant sar les
grandeuFs tïtnlairei conespond un calcul effisctué sur les grandeurs
BU[^)l^antes ; et le second calcul peut tenir lieu du premier.

Une semblable méthode paraîtra à première vue un peu artifi-
cielle et l'on sera porté à croire qu'elle ne peut avoir qu'un intérêt
pratique. C'est en effet dans un but utilitaire qu'elle fut mise à
profit par les initiateurs du calcul logarithmique, Jost BUrgi
(i553-i633) et John Neper (lôào-iôiy) et par les astronomes qui
posèrent les bases du calcul trigonométritjue. Cependant l'un et
l'autre calcul devaient bientât être appelés à jouer un rôle de prc-

{') Paacal diiait : rtpriMniaatu,

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IM LES GRANDEURS

mier ordre dans la science théorique, ainsi que nous le verrons
ultérieurement.

143. Définition da logarlthm*. — Prenons un nombre po-
sitif b, que nous appellerons bote des logarithmes (nous le choi-
siront supérieur à i) : j'appellerai logarithme de base b ('} d'un
nombre a l'exposant a de la puissance i laquelle il faut élever b
pour obtenir le nombre a, c'est-k-dire le nombre a qui est tel
que 6« = a.

Actuellement, cette définition n'offre un sens pour nous que si
h nombre a est un nombre rationnel positif ou négalif. En efTet,
noua n'avons défini la puissance 6" que dans l'hypothëse où son
exposant est rationnel (137). Mais, moyennant une convention
toute naturelle, il nous est facile d'attribuer une valeur déterminée
à 6" pour une valeur irrationnelle quelconque de a.

Soit en effet (n" 100 et 139) a,, ...,«„,... une suite convergente
de nombres croissants, inférieurs à a, qui admettent ce pour linnile,
etj^,, .... ,'Bn, ... une suite convergente de nombres décroissants
ayant la même limite. Les puissances

b''. 6"', ..., (."-. ...

sont de plus en plus grandes (puisque b~> i, vide, n<* 138) mais
elles sont toutes inféiieures (') i toutes les puissances

b?<. b\ .... b\ ...

qui sont de plus en plus petites. On en déduit, en raisonnant
comme au n" 117, que chacune des suites de nombres positifs

fc'', ... 6*", ... et l/', b^^ t^" est convergente: d'ailleurs ces

deux suites ont pour limites le même nombre, car la suite des
nombres

(i.'i-f').(t»'- 6"), ...(*'■ -!■"•)

(') Logarithme, de Xô-fo; et àpiS^ii; aignifie ; ■ nombre exprimant un
rapport > {numerus ralionem exponeni) ; le rapport i exprimé i est le rap-
port du nombre a à la base des logarithmes ; en effet, danila progretiion
géométrique définie plus bai, le rapport d'un terme quelconque au nombre
b sera connu dès qu'on connaîtra le rang du terme, où )e logarithme.

{*) Puisque les nombre* fl ^., sont tous plus grand* que Vm.

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LOOAIUTHMES 167

a pour limite zéro ('). La limite commune des deux suites peut
alors être regardée, par définition, comme la valeur de fc' {c'est-
à-dire comme le nombre auquel la puissance b' sera égale par
définition).

143. Détermination du iDgarithme d'un nombre. — Cela
dit. pour trouver le logarithme de base b d'un nombre quelconque
a, nous pourrons procéder comme il suit (') :

Appelons :

Ves termes d'une progression arithmétique de raison positive r pro-
longée indénniment dans les deux sens : j'entends par là que

tandis que a_i {terme d'indice — i) est égal à i — r, ..., Xn
i^lerme d'indice — n) est égal ti i — n . r, ..., etc. La suite de»
nombres croissants

est alors une progression géométrique de raison b' prolongée indé-
finiment dans les deux sens ; en elTet, nous avons :

b"i = 6'+- = b.b'\ (.«-' = 6'-' = ^. etc.

Supposons que la raison r soit très petite, égale par exemple à
io~'' oii p est un nombre entier très grand ; alors les termes de la
progression arithmétique sont des nombres très rapprochés, et il
en est par conséquent de même des termes de la progression géo-
métrique.

Dans ces conditions, soient 9 et ^ -H i les indices (positifs ou

(') Pour Us valeurs de l'indice n, arbitrairement grandes, a. et ^. sont
arbitrai remenlB Toiains de a, donc arbitrairement voisins l'un de l'autre;
donc b^' est arbitrairement voisin de i'''.

[') Noua n'entrons point ici dans le détail des opérations qui per-
mettrait au constructeur d'une table de logarithmes (n° i.^ôj de sim-
plifier SM calculs.

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l58 LES GBAnraDIll

né^titt) doatKHitaffeclésleideiixtBrmescoiuâcutiri de la progrès-

sioD géométrique entre lesquels est compris le nombre fi [c'est-à~
dire tels que A*" < a < fïn] : je dirai que a, est une valeur
approchée par dé/aal du logaritlime de base h de a, tandis que
a,^ , en est une valeur approchée par exch. Plus la raison r est
]>etite, plus a, est rapproché de a^i et les aombnB b'^, 6'a-^* du
nombre a : j'en conclus que, lorsque la raison r devient indéfînï-
ment Yoîsînedezéro, a, eta^^., se rapprocbeat iadéfinîment d'un
même nombre-limilc qui sera, par définition, le logarithme (exact)
du nombre a.

La définition ainsi formulée suppose bien entendu qu'il existe
dans la progression géométrique deux termes consécutifs b\
t"T+' entre lesquels est compris le nombre a. Pour qu'il en soit
ainsi, il faut et il suffit que le nombre a soit positif . En effet, les
termes de la progression géométrique, qui sont des puissances
d'un nombre posilif, sont tous positifs. Et nous savons d'autre
part, que si nous prolongeons indéfmiment la progression vers la
gauclie et vers la droite, nous obtenons à gauche des termes au^
petits que nous voulons, et k droite des termes arbitrairement
grands. Les tctmts de la progression sont d'ailleurs plus grands
ffue I ou plu* petits que i suivant que leur esposftut est positif ou
négatif : donc un nombre posilif a aura un togariUime positif ou
néijatif suivant qu'il est supérieur ou inférieur à i .

On pourra toujours, d'après ce qui précède, calculer le
logarithme de a avec une approximation arbitrairement grande.
Si. par exemple ce, et k,4 , diSkent de moins de io~'. ces nom -
bres seront des valeurs approchées du logarithme k numt de io~^
près : une valeur plus approchée, supposée écrite dans la notation
décimale ('), nedifférerait de n, et u^, qu'à partir dn hnilîème
cliilTre décimal ; c'est pourquoi nous dirons en ce cas que Us va-
leurs approchées a, et 0,4, da logarithme ont sept décimales
exactes.

En résumé, tout nombre positif posshle un logaritlime de base b,
loi/arithme dont on peut calciiler, sous forme de nombre décimal

I') Cf. 4^ ; a,, a,-^,. etc. étant posilïFs ou négstita, c'est leur valeur ab-
solue, bien entenilu, que- nous supposonii écrite dans la notation décimée.

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logahithmes i5g

{précédé du signe + ou — ), une valeur arbilraii-emenl approchée ;
nous désignerons par le symbole logta le logarithme de base b
du nombre a.

144. Utilité dtts loaaritluiMB. — L'aviDlage que l'on troirre
à prendre les logarithmes comme suppléants des nombres sur
lesquela on veut calculer, tieut aui circonslaBces auivantes : aux
opératiops ejfeciaées tur les nombres corretpondeni d'ordinaire,
pour les lagarOhmes, des opérations pliu simplet.

Soit par exemple, à faire le produit de deiu nombra positifs a
et c. ?ioua avons par déûnlLion

doù (nr 137) a.e= fc'^^'+'-e»'

ce qui ravienl à dire que

loyi, (a . e) = logj a -H log, e.

Ce résultat s'étend immédialement su produit d'un nombre
quelconque de facteurs. Ainsi, jt la maiiipUcatioa de deux ou plu-
sieurs nombres correqjood une addition, de leurs logarithmes ; le
logarithme dun produit est égal à la somme des logarithmes des
facteurs.

Noos coostatons de mÊme que

ou logi - ^ logt a — logi c ;

donc à la division de a par c correspond une soustraction des
logarithmes : le logarithme d'an quotient est égal à la différence
des logarithmes du dividende et da âieisear.
Nous aurons encore (d'après le n' 137)

d'où iogt (■'■ = /) . logi (t :

i télévalion d'un nombre a à la puissance p correspond une mal-
liplicilion pnc p de son logarithme.

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i GRA!«DEl'BS

»' = *''•■■■ ou 108.0'»= !°S^^

à Vexlraclion de la racine p'"^ de a conesfOttd une division par p
(le son logarithme.

Ces belles propriétés, auxquelles conduit directement la compa-
raison des deux progressions arithmélique et géométrique écrites
plus haut, ne pouvaient échapper aux arithméticiens qui ont appro-
fondi l'étude des progressions, Chaquel, Paduolo, Slifet ;^') les
ont remarquées. Mais pour qu'elles permissent efTectivenneDt de
simplifier les calculs. Il fallait que l'on sût déterminer rapidemenl
le logarithme d'un nombre donné quelconque et, inversemeni, le
nombre qui correspond à un logarithme donné. Or ce serait là
une opération assez compliquée s'il ne sufTisait, heureusement, de
l'accomplir une fois pour toutes. Supposons, par exemple, que
nous ayons calculé, avec 7 décimales exactes, les logarithmes de
tous les nombres décimaux k sept décimales qui sont inférieurs à
10000. ^ous pouvons noter ces logarithmes et les nombres
corre.>«|K>ndants dans une table clairement ordonnée, et lorsque
plus tard, au cours de nos calculs, nous voudrons passer des
nombres aux logarithmes ou inversement, nous n'aurons plus
qu'à consulter notre table : nous y chercherons le nombre ou le
logarithme le plus voisin de celui auquel nous avons alTaîrc et
nous prendrons le logarithme ou le nombre correspondant comme
valeur approchée du logarithme ou du nombre cherché. Voilà ce
dont se sont avisés i/iï/v/i et A'c/irr (Aupier) : en construisant les
premières tables de toijarithmes ('), ils ont été les véritables créa-
teurs du calcul logarithmique.

('] Arilhnutica intégra, Saernberg, ih\.^. lib. 1, fol. 35 : " i. Additioin
arithmclici» progressionibua respondet muUipliealioni in geomeiricis ;
it. Subsîraclio in arilhmeticis respondet in geomeiricis divïaioni, etc.

\'i BuHCi eut l'iilÉe le premier, mais ses tables « Arithmeliielie und
fifomelrische Progrelz-Tabutn n no parurent qu'en iRao (à Prague).
?iFi-En publia les siennes en iG:.i, sous le titre Mirifici logarithmorum
raiioiiisdescriptîûejuiqueusus in iilraqiie Irigonomelrica ni eliam in omni
logislica maOïrmalica amplisiimi, jai-iUimi et erpedilisaitni rxplicatio,
Kdiiiburgh lU. Xal. V. ruâli). Les didôrcnces que l'on pourrait relever
entre la marche suivie par Uûnci ou Ni:i-en et celle que nous csquis-

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i6i

14B. Tables. — La table du Baron John Neper, celle qui a
joué liistoriquement le plus grand ràle('), contient les logarithmes
dont la base est le nombre remarquable que nous avons appelé c
au n" 133 (on les appelle logarithmes népériens ou naturels) : nous
verrons plus loin pourquoi ces logarithmes présentent un intéi-t^t
théorique spécial ; pratiquement ils offraient au constructeur de
)a table des facilités particulières.

Mais, pour les adeptes de la notation décimale, les logarithmes
les plus avantageux sont ceux qui ont pour base lo (ou un mul-
tiple quelconque de lo). On constate en efTet qu'avec la notation
décimale, les ehiffret décimaux qui figurent dans la valeur appro-
chée du logarithme de base lo d'un nombre décimal quelconque
ne dépendent que des chiffres de ce nombre ; ils sont indépendants
de la situation de la virgule dans le nombre, et aussi des zéros
qui peuvent se trouver soit avant soit après tous les autres
ohilTres (') ; ces zéro^ et la situation de la virgule déterminent, en
revanche, la partie entière et le signe du logarithme. Si donc une
table donne le logarithme (arbitrairement approché) d'un nombre
entier tel que 3. '|68, elle donnera du même couples logarithmes
des nombres 3, 468, 3^, 68, 3468o,o,oo3.''i6d, etc.

C'est pourquoi, Henry Briggs (i556-l63o; ami et collabora-
teur de Neper, entreprit de construire une nouvelle table, conte-
nant les logari^limes de base lo {logarithmes vulgaires). L'année
même de la mort de Neper, il donna, avec 8 décimales, les loga-
rithmes dss looo premiers nombres entie» [Logariihmorum
Chiliat prima, Londres, 1617); en 162^, il publia IWrithmetica
logarilkmica (') qui donne, avec i4 décimales, les logarithmes des
nombres de i k 20000 et de go 000 à 100 000.

Les tables dont se servent les calculatcui-s contemporains con-

aoaa ci-demus (voir la note suivante) n'ont point d'importance théorique
et ne valent pas la peine d'Stro «ignaléea, non plus qu'une petite erreur
systématique qui entache lee tables de Nefeh.

(1) Lu tables de Nepeh sont, en tëalité des tables trî gonomé tri co loga-
rithmiques, cùia p. 173, note 3.

1^) En d'autm tennet, les chiffres décimaux (chiffres de la partie di-
cimaU, vidt \h) peuvent être 'déterminés dès qu'on connaît le produit du
nombre par une puissance entiire quelconque de lu, positive ou nëga-

(») BiM. N., ré». V ■-'■.8.

Bocraovi. -^ Lo* Priocîpa de TAnal^ie malhônulïquf, ii

„Google

109 i,KS onusamvMS

tienaenl, comme la table de Brîggs, les loganlfames de base lo.
On se fera une idée de leur dispoaiboa en ie)^rda»t les fac-similés
qui se troaveot (Uns les tniléa dkiaientaîm d'arithmétique oq
d'al^t^bre (').

146. LogaFftbines rmnarqasbles. — Il est un certain nom-
bre de logarittimes dont le calcul est immédiat. Vinsi la ba^edes
lo(?arithmes a ponr logarithme i ; son carré, son cube, sa racine

cariée,... ont respectivement pour logarithmes 2, 3, , etc.

Quel est, d'autre pari, le knjarilhmc île u»? ?Joo9 savons que,
quelque petit qoe soit l'exposant p, la puissance kf (pour fr >■ ■)
e»t supérieure à i ou inférieure à 1 suivant que /> est positifouii^*-
tif (40) ; d'ailleurs, si l'on prend successivement cooMBe exposants
de la base /' une suite de nombres qui décroissent indéfimment en
valeur absolue, hf se rapproche indëfinûneot de i. J'at conclus
que le logarithme (la nombre 1 esto: ce loçarithne est iadépeadMil
du choii de la base : <ptei qae soit te nonthre{*) l>, la puissance hf
liait être regardée comme égale à 1 .

Le logarithme d'un nombre positif très petit est compris entre
deux termes de la projrression géométriqitc qui sont trèa ^oij^Bés
vers )a gauche, c'est-à-dire négatifs et très grands en valeur
absohte. Lorsque le nombre décroit indéfi ni m eut, son logarithme
(toujours négatif) croit indériniment en valeur absolue; c'est pour-
quoi nous dironï! (<m nou.s i>ervant de la notation moderne qae
nous avons introduite au n* 134( qiic le logaritfime de o eal égaf
à — 00 (inoins tinfint quelle que soit la base.

Le logarithme d'un nombre positif arbitrairement grand esL
un nombre positif arbitrairement grand : nous dirons donc que /c
logarithme d'un nomhrc infini est -h 'X .

('1 Voir, par exemple : Bobei., Algihre, î« ryde, p. 344, «* •«»*.

Cl Nous avons supposé que b était plus grand que i ; db pArvient k la
même conclusion ei 6 esl inférieur à i. Posons en ce cas h =« i'-' i fc' > i) :
nous aurons, quel qae soit p, V ^ 6' -' et pour p ^ «, i" =; ft" = i.

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GRANDECHS TUGOROMÉTHIQUES

10. — Qran^urs tr^aométrlgues

1*T. — A leur tour, les géomèlres ou les astronomes qui ont
à faire des calculs sur des longueurs d'arcs de cercle ou sur des
grandeurs d'angles, trouvent avantageux de remplacer ces gran-
deurs par des grandeurs suji[itcantes, plus faciles à mesurer et k
combiner. Une teclmique spéciale, la trigonométrie ('), a été créée
daos ce but. Elle est d'origine fort ancienne, car on en trouve les
rudiments dans le Manuel du calculateur de l'égjpticn Alunes
{vide p. 3, note a). Les astronomes grecs ^-} la développèrent, ainsi
que les arithméticiens liindous. Avec les Arabes ('} Mohammad Ai
BaUaniAs Damas (»' siècle) et À bout H'a/"«,de Bagdad {9 '10-998) ,el
surtool avec l'asti-onome persan Aasîr adilîn Tousi(*) {1301 -ii-j^),
elle prit une forme systématique et commença à être cultivée pour
elle-même. En Occident, les principaux promoteurs de la trigono-
métrie furent liegiomonlanus (de son vrai nom, Joliann Millier,
i'i36-ii7G) et surtout Franfo/s Vible (').

148. Arcs orientés aur un cercle. Somme on diiférenœ
d'arcs. — Nous allons commencer par définir avec précision les
grandeurs auxquelles la trigonoméirie se propose de faire corres-
pondre des grandeurs suppléantes.

Cherchons tout d'abord à conipléler la définition des arcs de
cercle en nous inspirant de la théorie des segments portés sur une
droite orientée (137).

Représentons- nous un arc \B d'un cercle de centre 0, comme

I') Trigonomttrie sî^Se, à proprement parler t. mesure des angles
d'un triangk >. La partia da ta Irigonométrie qui traita des aagtra an
gëDéra), eit souvent appelée, avec plus d'exactitude, goiùamilrit.

i*) Piineipalement les astronomes alexaiidritis. Arialarqite de Samoa
a* ûèele av. J,-C.), Hippa^m de Nicé^ et PfoUmèe {■:' siècle ap. J.-C.i.

(■) Cf.. BraunkAbi^ V»Hê»mkgtnlAvGeatiùchttdtrTrigonoMarie,\.\.

(*) TraiU du quadriiaiér» atb-iltui à Nas*iruddin-eL-Tousay, trad. par
Alexandre Pascba CAiiATHii:oDoiiY,ConstantûiopIe, 1H91.

(*) La trifonométrie de Viète se trouve dan» le Canon maAematieua
$nt ad TrioMgiÊbt, pnMié k Paria en ib-jg.

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l64 LES URA^DF.L'RS

un ruban sans épaisscnr enroulé sur la ciiconféiencp,, h p.irtir ilii
poinl \, dans un sens ou dans l'aulre. Le point A sera re;iardt'
comme l'origine et le poïni B comme Cexln'mité de l'arc ; le sens
suivant lequel il faudra parcourir le ruban pour aller de A en B sera
appelé u sens de parcours n de l'arc; ce sens
sera conventionnellemenl regardé comme positif
\^ (sens de la flèche sur la (ig. 70) s'il est inverse
du sens des aiguilles d'une montre, et comme
négatif en cas contraire. La tont/aeur du ruban,
peiil être quelconque : si elle surpasse a X ~. le
■ ■^- /"■ ruban recouvre plusieurs fois tout ou partie de la

circonférence

L'arc ainsi défmi est dit nrc orienté. Il est, on le voit, entière-
ment caractérisé si l'on connaît : 1° son origine A elsonextiémitcn;
a* son sens de parcours ; 3° le nombre de tours complets qu'un
point mobile le parcourant devra décrire sur la circonférence avan(
d'atteindre le point B.

Un arc orienté sera designé par les noms de ses points extrêmes,
l'origine étant toujours nommée avant l'extrémité. Ainsi les arcs
AB et BA sont des arcs différents, de sens contraires.

Ces définitions données, il sera facile de faire correspondre à tout
arc orienté un nombre relatif et un seul que nous appellerons
cr mesure» ou «valeur de l'erc orienté ». Ce nombre sera In mesure
de la longueur de l'arc, affectée du signe + ou du signe — suivant
que le sens de l'arc est positif ou négatif.

146, — La correspondance ainsi établie entre arcs orientés et
nombres relatifs est évidemment, indépendante de la position
qu'occupe le point-origine B sur le cercle, .\insi, si l'on déplace
un arc orienté sur un cercle en le faisant glisser le long de c
cercle (sans modifier ni sa longueur, ni aon sens de
parcours), le nombre relatif correspondant à cet i
reste toujours le même.

Celte remarque nous permet de définir géomé-
triquement la somme de deux arcs orientés de valeurs
a et b. Faisant glisser le second arc le long du cercle de manîèi'e
h lui donner pour origine l'extrémité du premier, on obtient un
arc orienté, formé de la réunion des deux arcs donnés {dans lex

o

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GHA?IDEliRS TatGOTfOMÉTRIQl ES lC5

conditions (') indiquées au n" 126), qui a évidcmmenl pour va-
leur a + & : cet arc est la somme des arcs donnés.

On définira de même la somme d'un nombre quelconque d arcs
cl aussi la différence de deux arcs (en plaçant les deux arcs bout à
bout et renversant le sens du second).

150. AbaciBBes ourvlUgoes. — Ces préliminaires posés, con-
sidérons en particulier un cercle de rayon i (') sur lequel nous
prenons un point fixe A et choisissoos un sens posilir comme il a
élc dit plus baut. Nous appellerons abscisse curviligne tout arc
orienté d'origine A sur leconlour de ce cercle. Noua appellerons éga-
lement ainsi la mesure (') (positive ou négative) d'un tel arc c'est-
à-dire que, comme au S 6, nous entendrons iudiiïéremment par
u abscisse t une longueur ou un nombre.
Cette définition de l'abscisse curviligne appelle une remarque.
Nous avons vu que, sur la droite X'0\ définie au n° 127, à tout
point correspond une seule abscisse positive ou né-
gative et réciproquement. Il n'en est pas de même sur f __\"
le cercle. A toute abscisse curviligne ou négative cor- V J^,
rcspond bien encore un point unique (tel que B
ou B' sur la fig. 72). Mais k un même point B du cercle '^" ''"
il correspond plusieurs abscisses curvilignes. Appelons, en effet,
a la longueur de l'arc A6, longueur qui est, sur la figure, inférieure
au quart de la longueur du cercle, c'est-à-dire au nombre : le

(') La somme se définit exactement comme si iesarcs étaient des lon-
gueurs (de même sens ou de sens opposés) portées bout à bout sur un
axe ainsi qu'il a été supposé au n" 136.

(') C'<*t-i-dire dont Je rayon a pour Jongueur l'unité de longueur. Ce
cercle est souvent appelé cercle trigonoméirique.

(') Nous avons dit au a" loi que pour mesurer un arc du cercle
de rayon 1, on ne prend généralement pas comme unité le radian
(le rayon du cercle) mais bien la degré (la (60° partie du cercle) ou
le grade (la 4oo" partie du cercle). Rien ne serait changé aux considéra-
tions que nous développons ici si l'on adoptait ces unités, la mesure d'un
arc en degrés ou en grades étant aSectéee du mime signe que la mesure
rapportée au rayon : ainsi l'arc de 60 degrés (tiers de ta circontérence)

n'est autre que l'arc ou l'abscisse curviligne !j-; l'arc de 90 degrés ou
100 grades est l'arc - ; l'arc de — <|o degrés est l'arc -~ , et ainsi de

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i66

LES GII&^DEimg

nomtire positif + a est one abscisse cunilîgne de R; mais le
nombre a.n -t- a «n est une ansri ; car si ntnw enroulons snr le
cercle àana le sens positif un mban de longueur a.Tr -f- n (à
partir de K), ce ruban rewmvrc la cttconRrence entière pins
l'arc AB, et son exlrémitû tombe su point 6 ; les nombres ^.tz ~t- a,
6. Il + a,,., sont pareillement des abscisses curvilignes du même
point B. Je dis que le nombre — 2.T: — u ou — (2.r — a) est
aussi une abscisse curviligne de B : en effet, ri nous enroulons
sur le cercle, lians k gins néyntif, un ruban delongneur 2.7T — a,
ce ruban couvre une circonlërence entière moins l'arc AO et son
eitrémitc tombe au pointA. Les nombres — 3.n + a, — Ctt -+- a.
rtc., sont pareillement des abscisses curvilignes du point 6.

Ainsi, SI un point B lia cercle orienté a ane abscisse curviliffne
égale à un nombre a, i7 en a une infinité tTaalres, (/ni foifnenl
une progression arithmétique déraison a.î: : on convient de repré-
senter l'ensemble de ces nombres par la formule a + 2. fr.it; où la
lettre A-, représente un nombre auquel on peut donner une valeur
entière ou posiliv-c quelconque (à chacune des valeurs de k corres-
pond une abscisse curviligne du point B).

ISl. L'atmcissa oarviligne Murara d'un aagla en uw ^n*!-
canque. Angle orienté. — CoiLBidérons nuùuienaat un arc
appartenaatàiinc circouférence quelconque, ou ua augU quelceo-
quc : nous pouvons considérer que la grandeur
de l'arc ou de l'angle est mesurée indirectement
{Kir une abscisse curviligne.

Soit en effet A'B' un arc appartenant à une
circonférence de centre O (fig. 73) et de rayon
r. Appelons A, B les points de rencontre des
rayons OA', OB' avec la circonférence de centre C et de rayoD 1.
On démontre facilenieiil que le rapport {') des Untgaears des deax
arcs A'B' et AB est é'jal ou rapport des rayons des deux cercles,
c'est à'diiv an ittpport - oa r. Ainsi la longueur d'un arc quel-

l'i A l'angle de i degré can«ipand 1 , ,

circoofcrence, c'eat-à-dirB dans le cercle trigonométrique l'arc
-'-, dans le cercle donné l'arc de

longMaiB' ^^ de U

]ue l'arc de mesure

-â~ X r, Appelon* d'autre

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GRA!iuECKs Tnno!'(Méi'iitQi.Bs ifiy

: da oerdc «le rayoa r est proportioiîiuiUe » Ix^Bfweur île
Tare convspoïkdaBt <ki aesidedc nyoo i.

Si d'aalre fnrt, j'appelle A et B les points de reoooolre des deux
cotés d'un angle de sommet 0 avec le oeiiie de rayon t et^k
centre O, je sais que je p«is, d'aprte les oonveatiose du W 103,
pr«adre coatne neonre de i'aagle la longueur de l'arc Al) cora^s
entre Ub c6lés OA et Oit. Octte mesure est la valeur altsoJue
d'une aincisae curviligne du point M (la ^Im petiie f-urnii celles qme
noas avons définies -aun' 190; comptée à partir de l'oiigîae A.

La conneKion que noBs avons éul>lie eotcc la Dolioa d'as'c et
celle de mesure d'angle AOB nous permettrait d'ailleuis dcregai-der
la grandeur d'un angle comme une quantité ailecl<îe de signe et
susceptîUe d'avoir nne valeur ai1)Ur»ircnient grande [an lieu d'être
comprise entre o et a angles droits (n)j ; il suflira de définir la
rp-andeur de tangk comme étant celle Ae l'arc orienté compris
entre «s côtés sur te cercle tri^onométri^ae . Le côté de l'angle qni
passe par l'origine de l'arc sera appelé câté-origine
de l'angle et nommé le premier, — En particulisr, /v

la position d'une demi-droite quelconque OB («r ^^ — -^
rapport à une demi-droite fixe OA peut 6tre délintc
par Vanité orienté qu^OK (côté-origine) forme a\ec
OB : cet angle est Tangle dont il faut faire tourner OA dans te sens
posiLir(sensdcla flèche, lig.yii) pour l'amener iciSncider avec <rti;
i! est compris entre o et 2 ît, car, lorsque V to«mederang4ea.7:, la
droite OA balaye lent le plan de la figure autour <lu point O.

1B2. SinuB, oosIbus et tangents d'une abeciaBe curvi-
ligne. — Sur le cercle de centre 0 et de rayon i, choisissons
une origine que j'apjtellerai désormais A et un sens de parcours,
puis considérons an arc orienté AM, c'est-à-dire une abscisse

curviligne, que nous prendrons d'abord positive et inférieure à 7
(fig. 75). A la ^ndrar AM nous allons foire correspondre des

part, m U me«UM <le l'angle AOB en degrés (voir n" io't|; «eus avons ;
longueur de l'arc AB =m x -^i longueur de l'urc AB' = m x i, X r.

_ arcA'B'

OODC : -— -rw = r.

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LES GRA?tDEUKS

grandeurs snppléantes qui seront pour elle ce qu'est pour le ini^t
imaginé au début du n° 141, lonibre qu'il porte sur le sol ('). Ce
seront des longueurs recliiijnes, et, par conséquent, plus maniables
que la longueur curviligne AM.

La premiiTe idée qui vient a l'esprit est de prendre comme
grandeur suppléante de l'arc AM la coi-de qui sous-tend cet arc,
c'est-à-dire le segment de droite qui a pour exltémilés les points V
et M. C'est ainsi qu'opéraient les astronomes grecs de l'Ecole
d'Alexandrie^ et nous trouvons, par exemple dans la Syntaxe (')
de Ptolémce {%' siècle ap. J.-C.) une table donnant les conlcs des

arcs de-, i, i .,... degrés jusqu'à 1 80 degrés.

Il est toutefois plus avantageux de choisir comme grandeurs
suppléantes des longueurs toujours por-
tées sur les mêmes droites et à partir d'un
même origine, c'est-à-dire des abscisses,
pouvant être alTectées du signe + ou du
signe — .

Menons la droite X'OX qui passe [>8r le
centre du cercle et l'origine des abscisses
' curvilignes; sur cette |droîte, nous consi-

dérerons 0 comme une origine d'abscisses (reclilignes) et le sens
de 0 vers A comme le sens positif.

Menons également la droite Y'OY perpendiculaire sur \'0V
et appelons B le point de cette droite qui a pouc abscisse curviligne

-f- - : sur la droite Y'OY, O sera considéré comme une origine
d'abscisses et le sens positif sera le sens de 0 vers B,

Menons enfm la droite Z'AZ parallèle à Y"OY' (tangente au cercle
en A) : sur cette droite le point A sera regardé comme origine

{') C'est précisément à propos de la mesure d'un mât verticsl (mesure
dont ils déduisaient indirectement la hauteur du soleil) que les astro-
nomes arabes ont systématisé l'emploi des notions de tangente et do coUm-
gertte d'un angle ou d'un arc [vide l'n/ra) : ils appelaient ces lignes
trigonomélriques ombres [umbra stane et umbra entensa].

[') La Ut-jHr, aJvTïÇ^;, traité d'astronomie que l'on connaissait au
moyen-âge sous le nom arabe défiguré d'Almageite {de ^i jitjiaxT;). On
remarquera que la corde d'un arc tel que MAM.^ (voir ftg. 79I est le double
du sinus (voir les définitions données ci-desaoust de l'arc moitié AM. La
table de Ptolémét: équivaut donc a une table de sinus.

0'

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gra:idei'rs TRiconouéTaïQL ei

,6,

d'abscisses (recli lignes), et le sens positif sera le même que sur OY
(^sens OZ sur la figure).

Du point M, abaissons sur OX et OY les perpendiculaires MP et
MQ, puis prolongeons le rayon OM jusqu'à sa rencontre en T avec
la droite Z'OZ : j'appelle (') « sinus * de l'abscisse curviligne (ou
de l'arc) AM Vabscisse rectiligne OP du point P, « cosinus n de
l'abscisse curviligne (ou de l'arc) AM Vitbscîsse reclUigne OQ du
point Q, et « tangente » de AM [ou, plus précisément, u tangente
trifjonométrique (*) »] Yabscisse rectiligne AT du point T (').

Ces dclinitions ont un sens précis quelle
que soit la position du point M sur le cercle
el parconséquent quelle que soit la valeur de
l'abscisse curviligne AM. Ainsi (Qg. 76) si M
occupe la position M, entre B et A', l'abscisse
curviligne AM, a pûurï(nHs{positif)l'absci8se
rectiligne OQi, pour cosinus (négatif! l'abs-
cisse OPi, pour /anj^/ifc (négative) l'abscisse
ATi. — On vériGe de même, immédiatement,
que si le point M occupe une position telle que S
l'abscisse curviligne a un sinus et u

positive. — Si M occupe une ^Hisition Mj entre B' el A, le sinus et
la tangente sont négaliis, le cosinus positif.

Les valeurs et signes du sinus, du cosinus et de la tangente de
AM ne dépendent manifestement que de la position du point M
sur le cercle, .\insi les abscisses curvilignes (ou arcs) act a-i- a.A'.TT
ont même sinus, cosinus et tangente quel que soit le nombre entier,
positif ou négatif, k : c'est pourquoi nous pourrons toujours rai-
sonner sur le u sinus de l'abscisse curviligne du point M » sans
spécifier quelle est celle de ces abscisses que nous considérons.

Fig. 7G.
j entre A' et B',
inus négatifs, une tangente

(< Le mot êinuÊ e«t probablement la traduction latine d'un terme
emprunté aux Hindous par les astronomes arabes ; le préfixe co dans
ccsinus indique que le cosÎbub d'un angle est le sinus de l'angle complé-
mentaire (cidein/ra, iG[i). Les Hindous employaient pour désigner le sinus,
nu terme qui signifie pente.

C) La tangtnle ainsi définie est une longueur; il ne faut pas la con-
fondre avec la tangente géométrique (tangente à une courbe) qui est
une droite illimitée, déCiiie par sa position par rapport i une courbe.

I*) Il résulte de là que le sinui de l'abscisse curviligne AM sur la figure 76
est égal à PM et que son cosinus est égal à QM.

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Nom coavi«ndi<oni de repriienler, dau l'éarituie ooaraB4e, le àous

de AM |>ar le symbole « sin \M n, le cosians par « cos AM «i la
tangente par « lang AMDOu«%AMB.Sia désigae une ahacUse
curviligoe de l'arc AM, Doae écrirooB :

sin a. cos a. tang a ou tga-

153. BelaUoDs entre le dnaa, le coeinns et la l^asgente.

— Il y a enlre le sÏdub, le cosinus et la tangente de l'arc AM des
relations remarquables. En effet, le ihéor^me de Pjthagore (109)
applique au triangle rectangle OMP (fïg. 76) donne :

ÔM'^-Ôl'M 1>H*;

mais CM, rayon du cercle, est l'unile; OP est le sinus de AM;
PM, égal à OQ, en est le cosinus ; nous avons donc (en désîjfnanl
par a une abscisse curviligne de l'arc AM) :

(1) sin* a + cob' 0=1.

Les deux triangle* rectangles OPM, OATsont semblabes (cf. 1S5):
donc nous avons :

d*où

(3) taDgo^*-^.

Les relations (i) et {2) se trouvent ainsi démontrées dans le cas
oii l'extrémité M de l'arc Ali est située entre les points A et B. On
démontrera facilement que ces rclalîont sont encore vraies tt Cex-
IrèmHéde l'arc estsiliiée enlre lï cl A' (comme Mi sur la /i(/. 7(i),
ou enlre A' el lï', oa enlre IV el A.

154. Remarque. — On déduit aisément de la défmition du
sinus et du cosinus que le sinus ou le cosinus d'un arc quelconque
e&i un nomlire compris enire — 1 et 4- i, car ce Boaifare inesare un
segment moins long que le rayon du cercle tri gononi étriqué
(p. itiô, note 3) : il n'existe pas d'arc dont le sinus ou le 1
soit supérieur à i ou Infcricnrà — i.

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GHABDEDHS TUGOIfOUÉTIItQtES l^l

ISS. Onuidstm on lifliies tzigonométriquaa iondunen-
"talea. — Le sinus, le cosinus et )a tan^nle d'un arc AM sont
appelée d'ordinaire ■ ligoei triton ométritjues » de l'orc AM . V ces
trois lignes trigonom étriqués fûDdamentales on en adjoint d'autres,
qui sont des nombres positifs ou négalifs dont la valeur résulte
immédiatement des valeurs du sinus et du cosinus. Ainsi l'on
appelle colan<jenle (cotg) de l'arc AM (ou de l'abscisse curviligne <i)
l'inverse de la tangente; on appelle sécante (sec) de AM l'inverse
du cosinus; on appelle cosécante (cosec) de AM l'inverse du sinus.
En d'autres ternies :

<3} colg a — T — ^ ^^ , sec a = , cosec a ^ -

^ ' ° tga lin a' cos a s

156. IdgQ«8 tiigonométrlquefl d'an angle gtométrique.

— Lorsque Ton raisonne sur un angle Ici que MO^ (fig. 77) qui
n'est pas orienté, on n'a point de raison de considérer la longueur
de l'arc MNO (compris entre les côlés de cet angle sur le cercle de
rayon i et de centre 0) comme négative plutôt que comme posi-

.^^.

tive. Il en résulte que, k>rsqne l'angle est aigu par exemple
(arc MN < j)« 1« signe du sinus et de la tangente correspondant h
l'angle MNO n'est pas déterniiné. Nous convi^idrons de regaidcr
l'ace UN comme po&itif et d'appeler « lignes trigonométriques de
l'an^ 0 » les lignes trigonométriqucs de l'arc positif de longueur
MN. Ainsi le sinus, la tangente et le cosinus d'un anyle aigu sont
par définition, ceux d'une abscisse curviligne comprise raitre o et

-; ce «ont trois nombres pnsilijs. Le sinws, la tangente et le cosi-
Aus d'ua sngle aètus (dg. 78) sont ceux d'uoe abscisse curviligne
comprise entre - et n (comme l'abscisse AM, considérée plus haut,
Eg. 76) : le sinus est positif, la lanrjcntc et le cosinus sont négatifs.

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173 LES ÛRAXDELBS

157. Lignes trigonom^triqaes de osrtalna arcs. — 1 1 rcsuUe
des déiinitionB du n' 162 qu'une abscisse curviligne égale à o a
pour sinus o et pour cosinus 1 ; nous écrirons donc :

o
sin o ^= o, coso^^i, Ungo^^ ^ o.

Une absci.sse curviligne égale à ~ (ol, {>ar coiisûtiucnt, un angle
droit) a pour sinus 1 et pour cosinus o : nous avons donc :

la tangente de l'arc - esl le quotient de i i>ar o : c'est un nombre
infiniment yraml (x ); et, efTectivement, si, sur la figure 75, l'angle
MOA était droit, la droite OM serait parallèle à la droite AZ et ne
la rencontrerait en aucun point situé à distance finie.

Une abscisse curviligne égale à~ a pour sinus u cl pour cosinu.o
— I ; en d'autres termes :

ïin jc = o, co» 71 ^= — r, lang s =^ o.

Les théorèmes de la géométrie permettraient, d'autre part, de
calculer les lignes tri gn nom étriqués de nombreux angles remar-
quables. Ainsi l'on pourra démontrer que :

3~ 2 '

cos » = - , tg 3 = 4/3, etc.

168. Tables. — Comment passer d'une abscisse curviligne
quelconque aux lignes trigonomélriques de cette abscisse ou inver-
sèment? II n'y a qu'un moyen de rendre ce passage aisément pra-
ticable : c'est de construire une fois pour toutes des tables de
concordance (') où seront placées en regard une série d'abscisses
curvilignes très rapprochées les unes des autres et les lignes trigo-
nométriques correspondantes ; h des abscisses curvilignes très voi-

(') Pour construire ces tables on se servira des formules données aux
iGo et suivants, formules qui permettent de calculer les lignes

trigonométriqu«s d'une eérie indéfinie d'arc» de plus en plus grands (oi
de plus en plus petits) lorsqu'on connaît déjà certains arcs pris pour
points de départ.

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GRA:4DEUns TH[GO:*OMKTni.QL'ES I yS

sines correspondent maniTe^tiMiienl (6tant donné la d^Qnitlon
géométrique de ces lignes) des sinus, ou des cosinus, 1res voisins ;
SI donc, pour valeur approchée d'une abscisse curviligne a, dont
je cherche les lignes trigonomélriques, je prends celle des abscisses
tigurant dans la table qui est la plus voisine de a, les valeurs cor-
respondantes du sinus, du cosinus et de la tangente seront des
valeurs approchées des lignes trigonomélriques de a.

Des tables de sinus ont été dressées par les mathématiciens liin-
dous (*), en particulier par Arynbkata (>■ siècle, ap. J.-C.) et
par Bhaskara (ii* siècle). Les Arabes (*) Batlani et Aboul
Wafa [vide 147) ont composé des tables de cotangentes et de
tangentes. Au iV siècle Regiomontunus (') construisit une table
(publiée à Augsbourg en i49u) qui donne les lignes trigono-
métriques avec une approximation de io~^. Mais c'est à Joachîm
fthsticas, de Wittenberg (iBii-iGyô) que l'on doit les premières
tables trigonométriqucs un peu étendues : elles parurent à Leipzig
en i55i sous ie titre : Canon doctrinœ Irianguhrum nunc prt-
mum a Georgio loachimo Bhsetico in îacem éditas.

Lorsque les logarithmes furent inventés, te calcul logarithmique
et le calcul trigonométrique se prêtèrent naturellement une assis-
tance mutuelle. Aux tables donnant les lignes trig on orné triques
des abscisses curvilignes se substituèrent des tables donnant les lo-
garithmes de ces lignes (^). C'est de semblables tables que l'on se
sert encore aujourd'hui : les abscisses curvilignes y sont évaluées
soit en grades, aoitplus souvent, et conformément à l'ancien usage,
en degrés, minutes, secondes.

169. Arcs correspondant à uno ligne trigonométrique
dotwée. — Les tables Irigonométriques ou trigonométrico-loga-

(') Cf. Bbaunmûhl, lot. cit., p. Ï3.

Cl Ibd.. p, 57.

(ï) Regiomontanus (de son vrai nom, Johann MQlleb, i43fi-il76)
vécut en Italie, en Allemagne et en Hongrie. Il intitulait sa table tabU
iétonie t < faheliam... non injuria fœeuTidam appellare libuil, quod mullila-
rimn ac mirandam lUiUtatem intlar /ceeundte arborU parare aoleal s.

{') Les prenuàres tablei de logarithmes, celle* de Neper, font précisé'
mont des tables donnant le* logarithmes des sinus et non ceux des
nombres proprement dits..

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17^ LES GRA-^DEUKS

rithmiquea joQcnt )e même rôle que les tables logarithmiqses dont
nous avons parlé mi h* t4S. Il y a ctpeDdanl. entre ces deux espèces
de tables, une différence importante. A aa nombre correspoad
un seul logarithme et inversement. Au contraire, tandis qu'à une
abscisse curviligne (i un arc) correspond un seni sinus, il corres-
pond à un sinus donné compris entre — i et + i) une infiaité
B d'abociases curvilignes. De même poor oa

Wi.fCrrri^^^r^rjB-'l^ coainu» ou une tangente donnée.
/ ^'' Tv l>onnons-nous en effet rni ainas tjuel-

F T-7 ^ri* conque {') OQ : tout aie terminé an point M
JV' jÔ o" ■" P<Mi>t M, (fig. 79) aura pour sinus OQ.

^- ^ .\ppe)ons alora a la plus petite abscisse cnrvi-

^V- 79- ligne AM du point M, et, par conséqu«it (';,

t: — a la plus petite abscisse curviligne de M, : /es tdacUses
cun'Uiijnes a — i.fc.jt ci ~ — a + i.k.n, ou — a -+■ [i.k •+■ i)ïr
oh k esl un nombre entier qaekoiujae {positif oa né^tif) ont
toutes le même sinus OQ.

Donnons-nous pareillement un cosinas (jiidcoDquc {') OP : tout
arc terminé an point M ou au point Mg (Qg. 79) aura pour cosinus
OP. J'en conclus que les abscisses auviliffius a, — a et, é'ane
manière générale, a -\- a./i.x, — a--^ i.k.Tt, (nii k est wi nonAre
entier tfitelmn/jue positif ou nèijatif) ont toutes le même co-
sinas OP.

9o)t enfm AT une tanffente : tout arc terminé au point M ou as
point Mj (bg. 79) aura pour tangente AT. J'en coucloa que les
abscisses curvilignes n cl 1: -i- n (r: + a est une ahactase curviligOe
de l'arc AMïj et d'une manière générale les abscisses curvilignes
a + n.k.n, a + n -H ti.k.T:, ou, en d'autres termes, let abseisses
a -h k.-K, où kesiun entier positif ou négatif quelconque, ont toutes
la même tangente AT.

En résumé, nous pouvons écrire les égalités suivantes qui seront

I ' I Sur la figure 71) nous supposoog ce sinu» positif ; les coneluMoiu lont

les mêmes s'il est négatif, c'est-ji-dire si Q eitau-desioua de la droite OA.

1^,1 On voit immédiatement qoe l'arc AHi est égal 4 uns demi-circoi».

(') Sur la figure -C) nous supposons ce coêinus poùtif ; les conclusions
sont les roSmes s'il est négalir.

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ORANDEDBS TBIGOMOIÉÊIRIQIIES l~5

exactes, quel que soit le nombre relatif a, pour toute valeur eatièie
poûlive ou Bégalive de ft :

, $in a ^ ain (a ■+■ a.t.ii) ^^ ain [ — a -f- (a. A; -h i).Trj
■'4'l \ cos a r= cos (a + a.fc.it) =; cos j — a 4- a.fc.n'

tangn = Ung (a + k.v).

160. Arcs de aignea oontralres, arcs sappHmentairea. —

Les égalités relatives au cosinus montrent que l'on a en particulier ;'J
cos a ^^ cos ( — d). On voit d'autre pari, en se reportant à la
figure 79, que, si l'arc a est terminé en M, par exemple, l'arc — a
a pour extrémité le poiot Mi. situé sur la perpendiculaire MP à OA;
d'où résulte que l'on a (') : sin a ^= — sin { — a). Il en est de
mikne sî l'extrémité de Tare a est en Mi, en M; ou en Mi. donc,
que/ qae soit a. Divisant le sinus par le cosinus, on déduit Je là
que : tang a = — tang ( — a).

Les égalités (/r) relatives au sinus moûtrent que l'on a d'iuitre
part :

I>'iUteor3 si l'arc a. a pour extrémité M, l'arc n — an pour extré-
mité M,, d'où nous concluons tvoir fig. 79) que :

cos (ic — o) ^: — CO8 a ;

il eu est de même quelle que soit l'extrémité de l'arc a. donc
quelle que soit la valeur de a. — Divisant le sinus par le cosinus,
nous voyons que : tang Cîz — a) ^= — lang a.

Mnsi nous avons les égalités suivantes, valables quel que xoit le
nombre relatif a :

■ aina = — sin (—a); wn a = sin (ti -- o)

{^) cos a = coft ( — a) ; co* a ;= — cos (u — a)

lang a = — taag (— a) ; tanga=-— tang (:: — a).

Deux arcs [tels que AM et MV sur la fig. 80] dont la somme
«légale & TT sont àtls sapplcmentaîres ; leurs lignes Higonom étriqués

I') Ou le voit en doiuuDt à Je la valeur <> dans les formules (4)-
t*) Lei ûnuB soDt de signei contraires et l'on démontre que :
longDour MH -^ longiunr PU,.

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i-6 Les Gut^DEins

satisfont aux égalîlt's écrites ci-dessus; la dcaominatïon « sup-
plémentaire 0 rap|>e))c que les angles MOA et MO.V (fig. 80) sont
supplémenlaircs (n" 64).
^ N»* Il résulte de la dérinition des arcs siipplémen-

a( — ^— }* taircs que tout arc a a un aupplénientaîre et viw

seul (') et que, si h est supplémentaire île a, c

Fig. 80. supplémentaire de h.

161. Lignas trlgonométrique* de l'aro ';; + 'i). — D'après
la formule ( j) relative à la tangente, on a, quel que soit a :

tang (it + n) = tang a.

Pour avoir la valeur de sin z + a), noua pouvons observer que

sinus égal d'après le n° IBft à sin ( — n -\- a), donc, d'après )e
n* 160 i — sin rr — a), donc & — sin <i.

On démontre de même que cos (tt + «) = — cos a.

162. Arcs complémentaires. — On appelle arcs complémen-
laircs deux arcs dont la somme est égale à ^; tels sur la fig. 7f)
les arcs AM et Ml) i la dénomination « complémentaire ■ rappelle
que les angles AOM et MOB sont complémen-
taires (n° 54). /T^

Désignons par a et h les avcs complémentaii'es j { M

AM, MB, tous dcuï positifs sur la fig. 81. Abais- V J/*
sant MP perpendiculaire sur OA nous avons
sina=^PM,cosrt^ OP. ^''s- '^'•

Cela dit, supposons un instant que pour déterminer les lignes
trigonométriques de l'arc b, nous prenions, non plus le point \, mais
le point B comme orii/ine des abscisses curvilignes ; l'arc BM compté
à partir de celte origine est négatif et égal à — 6; il aura pour
sinus négatif; la longueur OP (alTeclée du signe — ), pour cosinus

PI Si l'arc ou abscisse curviligne a est un nombre compris entre oet
T., il en est de mémo de l'arc supplémentaire égal i n — a ; c'est le cas
qui se présente sur la ligure So. Si l'arc a est positif et supérieur à t:,
l'arc supplémentaire est négatif.

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CRANDEUaS TBtCOIlOHETniQUES I77

la longueur OQ. Mais QM n'est autre chose que le cosinus de a,
«t C>Q =^ sin a. Donc, nous avons :

sin ( — 6) = -.- cos a et cos { — b) = sin a ;

donc [puisque sin (— b) = sin b, cos (— b) = co»b]:

.(:-a) = cos<,; co,(^-a) = sir.

Ung (^-^ - a j = ^j— = colg a.

On démontre Tacilenient que ces formules sont vraies quelle que
soit la position du point M sur le cercle trigoDométrique (').

163. Colouls trigotiométriqn«B. — Pour que l'on ait effec-
tivement avantage à substituer les lignes ou grandeurs trigonomé-
triques aux arcs qu'elles représentent (voir n° 147), il faut que l'on
sache effectuer commodément sur ces grandeurs les opérations
qui correspondent aux opérations relatives aux arcs.

On y parviendra en appliquant certaines règles ou formules
générales, sur lesquelles nous reviendrons plus loin (Deux. LU'.,
ch, I, S lo).

Afin de faire comprendre la nature de ces formules, énonçons
dès maintenant celles qui sont relatives à l'addilion :

Quelles que soient les valeurs (nombres relatifs quelconques) des

{') Dei lormules des n°* prjcédeiits on peut déduire les eupressioas suï-
Tant«* de «d (' + 'f\' ■*• 1 a + 7 I.
Remarquant que

«n a, d'aprèi le n" itii,
ou, d'aprèi 160 et 162,

Boutuui. — Lca Principn da l'Anil^ie milbinuliqus.

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178' tes 0RA5ÏIE11H9

arcs ou abscisses curvilignes a 6t b. les vatenrsdes coxhita et strau-
de la somme de ces arcs — que nous désigneroirs par'leb symbole»-
cos (a + II), sin (a -t- It) — seront donnés par les égalité

«M (a + f-l = CM fl . cos 6 — sin

sin (a -f- 6) = sin a . cos fc -H cos

d'où

'on déduit

18(1 + 6) .-Iga.tgb

Ainsi, si l'on connaît les lignes trigonométriqucs de deux arcs
aetb on obtiendra par dc$ op^ations arithmétiques élémentaires
les lignes Irigonomélriques.

Nous ferons conoaitre dans notre Deuxième Livre diverses appli-
cations de ces formules. Il nous suffit pour l'instant d'avoir signalé
le prolongement que le calcul trigonométrique vient donner, k
son tour, à la science des nombres. De plus en plus cette science
déborde hors du vieux cadre pythagoricien pour s'engager, à la
suilc des géomètres, des astronomes et des calculateurs, dans de»
voies dont nous ne pouvons pas encore prévoir l'aboutissement.

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CHAPITRE m

LES. FJarRSB..

1. — Le mtmde des. notions géoaiétriqmts

164. Graadanm'St'flgnn».' — En rapfwocbaDt au.^biit:de
noire second chapitie la géométrie de t'arithmétique, en faisant une
étude comparée de ces deux sciences sueurs dans leur damaiae-
froalière, nous avonS'Vu .netlement ea quoi consiste le point de vue
propremeut g^oinétrique< ('). Les gra nde uns, , nous lavonB dit,
n'tntéressent^le géomètie qu'en tant qu'ellesontrelles-Biémes une.
figure. Ainsi, locsqi^eJe géomètre emploie le mot:u égalité: », c'est
toujours de l'égalité de ligvfe *\ai\ veut parlei {vide n* 65); la.
notioD d'égalité de grandeur ne satisfait son espfrit que.si, par;de8.
combiaaisons de figures, , il peut la ramener à la motion de super:-
poeitkin. De même,., une opériition effectuée sur des: granilcurs.
est toujours, pour le géomètre, une conaifact'ton (') : parlant
de ligures données, que l'on, relie entre elles au moyen de droites,
de cercles ou d'autres lignes connues, on construit une figure
nouvelle appelée réivdlat de l'opéfatian. L'élaboration d'une théorie
purement quantitative des grandeurs est le fail de l'arithméticien
et de l'algébriste, non. du géomètre. Dans une telle théorie, même,
convient-il, d'éliminer tout ce qui a trait à la figure P Doiton.el
peut-on raisonner sur des grandeurs ou quantités entièrement dé-
pouillées de forme géométrique ? Il serait audacieux de le prétendre

(') Sur le mot i géométrie >, voir p. 6â, note i.

(•) Supra, chap. n, § (, pasaim et infra, chap, m, § .i. Bien Entendu il
ne s'agit pai là d'une cooitiuction phytiquemtBt TéaHsêc, :mai« d'une
constiuclion idëale.

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l8o LES FIGL'KEa

après que nous sommes partis d'une no^oa de grandeur qui se
confond avec celle de longueur ou de rapport de longueur
^Chap. ti, SS/, J). Nous verrons d'ailleurs que l'algèbre resta
longtemps tributaire de la construction géométrique, si bien qu'on
en est encore k se demander si dans l'ouvrage intitulé La Géomé-
trie {*), £>escartes a eu pour objet principal les progrès de la science
du calcul ou ceux de la science des figures.

Cette dernière, aussi bien, reléguée naguère au second plan,
par suite du développement triomphant de l'Analyse, a repris
depuis un siècle une grande importance. Elle est et restera la plus
belle illustration des s|iéculations mathématiques et le point de
rencontre des diverses méthodes ipii leur sont propres. C'est
pourquoi, dans un livre où nous chercliona à mettre en lumière
les principes de l'Analyse, nous ne pouvons passer sous silence
les propriétés fondamentales des figures géométriques.

166. Figures géomdtriqaei at liaures concrètes. — En

quel sens la géométrie rationnelle étudie-t-elle les figures ? Ques-
tion d'ordre philosophique que nous n'entreprendrons pas de
traiter ici. Les tiiaugles, les cercles, les ellipses sur lesquels rai-
sonnent les géomètres ne sont point ceux que réalise la nature et
que nos sens nous font percevoir. Il n'y a pas, en efTet, de triangle
malérie! qui soit rigoureusement un triangle, c'est-à-dire qui n'ait
point d'épaisseur (pas de volume), qui soit parfaitement plan (non
gondolé), dont les côtés soient vraiment droits (non tordus).
Pourra-t-on, du moins, vérifier par une expérience indirecte
les propriétés que les géomètres attribuent au triangle ? Non pas
même, car toute expérience est, en dernière analyse, une mesure,
et aucune mesure n'est absolument parfaite (cf n° 58).
Ainsi l'on peut, au moyen d'observations astronomiques minu-
tieuses, é\alucr avec une grande précision les angles d'un triangle
dont les sommets sont des étoiles ou des points terrestres défmts
par des signaux lumineux ; mais ce serait un merveilleux
hagard que la somme des angles ainsi calculée fût rigoureu-
sement égale à deux angles droits comme le veut lo théorème

(') Vide infra, Deux. Uv., cl», iv, § 3.

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LE MO:iDE DES KOTio:(s géomÉthiques i8i

du n* 170('). En serrant la question de plus près, on constate
qu'aucune des propriétés (homogénéité, isotropisme (*), etc.)
attribuées k l'espace par le géomètre n'appartient & l'espace sen-
sible. Il faut conclure de là que le géomètre raisonne sur un
espace idéal, sur des figures idéales (*). Ces figures, où sont-elles,
d'ofi les tirons-nous? Elles nous sont, — disaient les géomètres
grecs et répétait après eux, Descartes, — révélées par l'intuition
(cf. n* 1 et n°* 53 et suiv.). Grâce à cette faculté mystérieuse, les
propriétés des figures géométriques nous apparaissent en bloc
dans leur entrelacement harmonieux; nous n'avons, pour com-
poser la géométrie, qu'à détailler ce que nous voyons dans l'ordre
que nous tenons pour le plus simple et le plus clair.

166- Faits géométriques et théorèmes. — Pour exposer
sous forme didactique (*) les vérités de la géométrie, nous les tra-
duisons en propositions {thA>rimes) que nous cherchons à démon-

(') On ne peut donc pas contrUer expérimentalement ce théorème
Remarquons d'ailEeun que pour l'astronome le c&té d'un triangle est un
rayon lumineux. Or quelle expérience peut prouver que la direction de
la lumière eit bien en efiet une ligne droite au sens de la géométrie ration-
nelle ? — Cf. Deux. Liv., eh. v, g 9.

(■) L'eapace géométrique eat dit homogène parce que tous se* points
sont identiques entre eux, itotrùpe parce que toutes les droites qui
passent par un même point sont identiques entre elles. Or il est clair
que, par rapport à nos sens, les points de l'espace, ou les droites qui
passent par on mtme point, ne jouent pas toutes le même rAle. L'espace
que noua percevons n'est pas non plus infini, et nous ne pouvons pas
infime vérifier expérimentalement qu'il a trois dimensions (cl. H. PoiNCAai,
La êcieneé et l'hypothèse, ch. iv).

(■) Cependant, pour faciliter le raisonnement abstrait et pour soulager
notre mémoire, nous pourrons nous aider de figures réelles et, par exemple,
de schémas tracés au tableau noir ou sur une feuille de papier. Telles sont
les • figures > qui illustrent les traités de géométrie [nous n'oublierons
pas que le mot ( figure * pris dans cette acception désigne tout autre
chose que la figure théorique, objet des spéculations du géomètre].

(*) Les premiers géomètres de la Grèce n'enseignaient peut-être point
leur science sous forme didactique : les propriétés des figures étaient
pour eux des secrets auxquels ils initiaient un petit nombre de disriples.
Noua trouvons chei Jaublique (De pylhagorica vita, SS), le renseigne-
ment suivant, d'ailleurs sujet k caution : ■ Voici comment les Pythago-
riciens disent que la géométrie fut rendue publique : l'aident des Pytha-
goridens tut perdu par l'un d'eux ; à la suite de ce malheur on lui
BLCcorda de battre monnaie avec la Géométrie. 1 (Voir P. Tah«ery, La
géométrie grecque, p. 81).

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iSs LBS FICUIES

irer, c'est à-dire à Jédaire^ la ua& das autres. .VÎDsi (isosnn tcait^
bien compose (cf. H) les théorèmes se succèdent. :chaLiioni par
chaînon, suivant une série l^giquAucnt ordonnée. .L'ordre jde celle
série a-t-il, cependant, ane valear absolue?. ObjecliYement ftar-
lant, les propriétés dont jouÛ6fiDt)fls.£tresinathéraatîqiiBa. sont des
faits qui s'impUquent mutuellement, mais dont aucun jt'est anté-
riaur à l'autre. Pnit-ftre est-il conmode dexlédûre.U propoeï-
lion B de la propoGitiiui A ; mais. iL serait souvent- tout. aussi léf;i-
tiflie de tirer la proposition A de. la proposition B. C'est à cause
des besoins de la démonstration que des faits, simultanés pour la
raison, sont traduits dans nos livcesi pan.des.tbéorèioeS'Succes&ifs.
Voulant simplement rappeler, dans ce chfpitre. quelques-unes
des propriétés dont jouissent les figures les plus simples, nous ne
nous astreindrons pas à rétabbr La. chaîne des xlémcinatraiiQais ique
l'on lixuivpt.i dans tuii& les traitésAle-géométrie. NonsiiUHia.borne-
loiis à ttignalei' le couteau objeclif.ilcaJtiéorèiiies. fosdamentiuix.
li sera temps cnMiile de porter notre attention sur la forme lo^que
dU'Svsli)mcc|ucces iLéofèmiea ooaatituent (vcùr $-'4.eL/)eux> Uv. /V).

2. — Qéométrte quatitatire des figures aimées

•'l'07. — Lorsque nous contemplons leiiTondc idéal 'des êtres
géométriques, nous sommes frappes .tout d'&bord par le spectacle
bacmonieiix «[uenous «ITreiit les.'fi^ies.ooiiràUré«si4fiBsileur
forme et 'abstraction faite 'de «leur grandeur. -Nous lobservoes
en effet qu'une ligure qui est remarquable . soit <par sa sim-
plioilé, .Boit par la symétrie qu'elle 'pvéaeatc, ^soiLi par .quelque
autre drccnstance, est' tonjours 'associée à d'autres figares'mnar-
qoables.. Il n'y. a pas,, autrement dit, de propriété qui ne traîne &
-M'-suite d^antres pioprié(és.jD'où:iuBe.«iullâlude ide ibéariraas,
dont l'ensemble conslitoe \3 tféoinétrie-fjnaHtaiivei').

^ous, allons, rappeler brièvement quelques-uns de ces théorèmes.

{') Nqui eniBDdont pak' là unq géométrie ou il n'est i question qno dttJa
forme .«les £gnreB et non <dei relations ^q nanti ta ti «es entre grandoim.
Nuia^erans tautolois rentier dani cette, géométrie laithcorie des fignm
igaUa en fayaiit égaid i ce fait que la notion d'égalité K^ométriqiw t«
.confond avec Ja jiMion de superposilion Icf. 53 et .^5). — Jl importe
d'ailleurs de remarquer que la distinction de la géométiie .qualitative et

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GÉOMÉTRIE QliAUKATITE DES FIGIHES SIMPLES l83

^'«nabre. d'entreeux. étaient ,^ns. doute déjà comms «les. premiers
^éomètrea-giecs (').et.eii.paitioulie[ ilea Pythagoriciens ; mais ces
savaotSinlABt. laissé. .aucun, traité écrit, «t peut-être. l'appareil de
la J*w;|innatratînii n.'était-il pBs asscz peffeotioiiué cliez eux pour
l«nr permettre d'enchaîner leurs théorimes d'iine.maniùre Eatis-
iaioBale. Nou9.n'jivoas .aon.pilu& aucune œuvre écrite des grands
.géomètres des V et iv* sièties, Archylas de Tarenie (réputé le der-
nier, pjithagoricien d'importaoce) , Hippocrate de Ckios, proles-
■SBDi.à Alhàœs au v* siècle, Piaion (iag-S^S), Eudoxe de Ciiide.
.Alais le tnoimmeiit.esaentiel.de Ja..géoniétrie grecque nous est,
«n ravanche, .familier à.tous; c'est le .traité (') de l'Alexandrin
.£uclide (noi^£lB,.'£'/dijni!/i{5,. composés vers l'an 3oo av. J.-C),
-tEaité.qui ast deneuré jusqu'au deraier. siècle la bible malliéma-
lïque.4& loas les. pays.

108. Proprl<iUs d'HiiglAs remarquables ('). — Traçons deux
droites parallèles VX, Y'Y et coupons ces droites par une Iroi-

de ilar g^MnMnmélrique il«tit il vera' qneatMii au § 3 Ht toute- relative,
et ^Helsjnal •qualitatif ■ a des accepti(Kis.(liTe(Be«. Unogéométtie qui
l'attacbe à la /orme des figures ne fait point complètement abstractïan
-dtt la grasdeuT'et par ooniéqueDt de la quatité. Si donc on entendait par
fualitoJi/ ce qnrn'Mt. à aucun degré qtitmlitatif, ilm'y aurait de qoali-
.tetib en.giomitrie .c^e las théorèmes qui raatetit vrais loiaqu'ou
idéforme Jei figures sans-sn alt^er la disposition gënéiale : ces théorèmes
sont 'ceux de' VAnalyait tibu dont naus parlerons ultérieuremeat.

(>] EuDÉKB (diactple-d'Aivteite), Osmitis [t" aiicde av. J.-C.} et
Paoci.(/s (4°aiiale.ap. J.-C.],.(aureaB poincipalea de nos ooiuiaiBaBnces anr
'1m origines de la géométria grecque (les deux premiers, d'ailleurs, ne uout
•ont connus qu'indirectement, leurs écrits étant perdus], attribuent i
Tbal&s la découverte de pluiiaati'théocinMSiquea'appaoprièrent eoEoite
Jet Pythagoriciens. II semble cependant que Tbalès n'ait guère eu qu«
des connaissances pratiques qu'il .tenait peut-être des Egyptiens.

{i) Il est impossible de déterminer exactement les sources de l'œuvre
d'EuGUDB. Tout porte ànmire oepaidant quUl ailngemant puisé dauslet
traités de géométrie antériDura auaian, et que. les. .ÂUmenls lant l'abou-
tisaement d'un travail collectit de plusieurs siicles. Les éditions anoiennes
ou modwsM ides EUmenta sont innombrables. La principale traduction
française est celle de F. Pxy a Jkan, Les iXuwva d'Eiididrii.gKeerenialin
.■«lan ^ancoû, 3 vol.,. Paris, 1B14-181S.

(') On trouvera dans tous les traités, de géométrie élémentaire les
^.démouliations que nous laissons de cAté. On pouira consulter, par
«xen^le : Hadakabd, Ltfont de géométrie éUmentaire, 3 vol.. Colin, 1898
et igoi ; Rouché et Combebousse, Traité de géométrie, n vol., Gautfaier-
Tillan, 7» édit., 1900.

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l8i LES FIGURES

sî&me droite Z'Z qui les rencontre respectivement aux points A et
B (lig. Sa). l.a droite Z'Z (appelée traïuversale) forme avec cha-
cune des droites X'X et T'Y quatre angles que je numérote : i . 3 ,
3, 4. D'ovi, en tout, huit angles (je les désigne respectivement par
les lettres affectées d'indices A.,, A„ A], Ai, B,, B,, B», B^) entre
les grandeurs desquels il y a des relations
remarquables (').

Les angles Ai, K^ (égaux comme op-
posés par le sommet, n* 64) sont égaaar
(superposables) aux angles Bi, B^ (opposés
par le sommet). Les angles Ai, A, sont
égaux aux angles B„ B,. — D'ailleurs les
angles A, et Ai, Bi et Bi, etc. sont deux
à deux supplémentaires (n' 54). Il en résulte que les angles \,
et B,, sont supplémentaires, de même les angles A, et B,, etc.

Lorsque l'on veut spécialement désigner deux des huit ang^les
.\i,... B^, l'un de sommet A et l'autre de sommet B, on emploie
une terminologie spéciale : on appelle alternes-internes (') les
angles (égaux) Aj, lï„ ou A;, B,, alternes-externes les angles A,.
B,,ou A,,B„ corr«5po/i(/a/ifj les angles A,, B,,ou Ai, Bi, ou A), Bj,
ou Al, Bi, intérieurs les angles A,, B,, ou A^, B,, etc.

Ces défmitionB sont naturellement valables lors même que le»
droites X'Xet Y'Y ne sont pas parallèles. Mais on démontre que si,
parmi les liuît angles que forme avec ces droites la transversale Z'Z
il y a un couple d'angles alternes-internes, alternesexlernes ou
correspondants égaux, les deux droites X'X
et Y'Y sont nécessairement parallèles.

tig. Sî.

169. — Il résulte des propositions ci-
dessus énoncées que lorsqu'un des huit
angles est droit, tous les autres sont droits :
ainsi, lors(]ue la droite Z'Z est perpendicu-
laire sur fune des parallèles elle est per-
pendiculaire sur l'autre. Réciproquement, si Z'Z est perpencitlaire
sur chacune des droites X'X, Y"Y, ces deux droites sont parallèles.

(') Cf. EUCLIDE, I, S7-3o.

(•) AUerni anguli, d'après les traducteurs d'EucLtoE.

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GÉOMÉTRIE QUALITATIVE DES FIGURES SIMPLES

C'est également des propositions qui précèdent que l'o
importants théorème* suivants :

Deux angles dont les sommets 0 et 0'
sont des points qiukonqaes, mais dont
les côtés sont parallèles chacaa à cha-
cun et dirigés dans le même sens sont
égaux ('). ^'8' *^-

Deux angles qui ont leurs côtés perpendiculaires chacun à chacun
sont égaux oa supplémentaires.

170. Tiiamglsa. Côtés. Somme d«B angles. — Un triangle
a 6 « éléments », savoir ses trois cdtés et ses trois angles.

Entre les trois c&tés d'une part, les trois angles de l'autre, U
y a des stations remarquables :

Dans un triangle quelconque un côté est plus petit que la somme
des deux autres. Sur la fig. 85, par exemple, on a ;

longueur BC < longueur AB ■+- longueur AC.
Cette proposi^on ne fait en somme qu'exprimer qu'entre les deux
points B et C la ligne droite est le plus court chemin.

Fig. 85. Fig. Bfi.

D'autre part, la somme des angles d'un triangle quelconque a
toujours pour somme deux angles droits (*) [voir au n' 54 la
définition de la somme de plusieurs angles].

En effet, menons (Fig. 86) par le point C la droite CD parallèle
i AB, et appelons CB' le prolongement de BC : l'angle A du
triangle est égal à l'angle ACD [alterne-interne, a' 168) ; l'angle B
du triangle est égal à l'angle DCB' (correspondant). Donc
la somme des trois angles du triangle est égale à la somme des

C) Le thJorime ett «ncore Tfd li [ei deux angles août situés dam des
plana diOJnnt* (e«t plans sont alors, d'aiUeuis, nécessairement parallèles).

C) EvctiDE, liv. I, prop. 32, Voir au sujet de ce théorème : ïn/ra,
Deuxièitu Lie, chap. v.

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LES FIGLHBS

aDgies BCA, ACD et DGB'.donc k l'angle BCK , plus gsaad .angle
possible, égal à deux droits (n* M).

La découverte de ce théorème capital est attribuée par Eudcmc
(voir p. iS3, note i) aux PjtliagoricieDS.

L'angle (tel que AGB') formé par un côté d*un triangle et le
prolongemeat d'unautrec6té est appelé ii/)jf/f£cf^n>ur(ix-c9c-r<uvtx).
Chaque angle extérieur est égal à la somme des deux. angles du
triaagle qui ne luLsont pas adjacents (').

Il résulte de ces propositions qu'un, triangle quelconque ne. pcnl
avoir plus d'un angle ohlus. Dans un triangle qui a un angle
droit, les deux angles non-droits (nécessairement. aigus) sont c/>m-
pUmeiitaires (n° 64).

171. — Signalons encore la propriété suivante confj^mant les
grandeurs relatives des côtés et des angles d'un triangle.

A {') lieux côlés iiiégaax iFun triangle correipondent des anylis
inégaux ; au plus grand côté est opposé le plus grand angle.

Ainsi sur la figure 85 le côté AB est plus grand que le côté BC.
On démontre qu'en coaBéqneiice4e3:ai)glesiVCB.eL'ABC. sont >né<
gaux et que le, premier ast fdus.gDtnd que le^noûnd.

A- {cot.

, /X Dei

m. Egalité des trianglas. — Deux triangles sont dits égaux

(congruenls) lorsqu'ils sont superposablcs (').

Deux triangles égaux (tels que les triangles

ABC, A'B'C sur la figure 87) ont des

angles et côtés correspondants qui sont

'^ ^' égaux dflux.à.deux :.dous dirons idoo g que

leurtèélémeniisantigaaxchaam.à chaoun ^*).,ftécif«iquemBtU.i'fiî

deux triangles ont Icnra six «léiBieiats égaux. ohacwi.à obacuiii^ils

sont su[>erpQaabUs.

(') cax il.aiiojme MijtpJûncHl^e.JavimcDaidAeGS.'^ajmlWf.aftaMr llan-
gle ACB.

l'I ETICl.IBE,-liv.' I, pvop. 19.

1*) £sla revient ij.dire qne le ttM)igIe'A'B'C''.'p'eut"Ctre'Avpi(jc^"de telle
manière qu'il vienne coïncider avec le triangle ABC. Cf. Deux. Liv.,
chap. IV, S II ; voir aussi n" 184

(*) Il en sera de m£i&e da toat les sfgmaotB .d« daoîtd&naiMMiés «bx
tnangles (tels que hauteunt bissectaicMi n" 177) qui'se.aoiie^ondeDt
deux à deux.

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GÉOUÉTRIE QUALITATIVE DES. FIGURES SIMPLES 187

Voilà — OU â peu près — touLce que nausiaucioBS à'ilîre.des
triangles : égaux, si JM>ua .iL'avion&. .d.'autre Ijut que.de décrire les
propriétés des figui'es. Mais nous ne devons pas DublîeE(cr. 166 et
■331) que les ihéocèmes de la géométrie ne.soat pas seulement
tenus d'apporter des résultats intéressants, .maïs .doivent aussi
servir d'instruments de démonstration pour la découverte de nou-
velles pr<^oaitions. C'est h ce titre que s'imposait la dcterminalion
des « cas (îégal'Ué des Iriarujles », qui est sans doute l'une des
questions les plus anciannement résolues par les géomètres
[^Eudèmeîoii remonter la déconverte de l'un d'eux jusqu'à TAo&.j
11 s'agissait de déterminer des condîlions suffisantes
entrainanlT égalité de deux Irianyles. En d!autres termes, — dési-
gnaut les .angles des deux triangles (fig. 87) par les noms de leurs
.sommets respectifs et les côtés opposés par les petites lettres cor-
.respondantes a, b, c, a', U, c', — écrivons les six égalités (')

A=A'. .B=!B', G = C', ffl^fl'. .fc^fc'. c^c'

.qui expriment que les. triangles sont saperposables. Si "ces six con-
<Iîlions. d'égalité sont satisrai tes,. les triangles sont si^rcment égaux.
Mais est-il nécessaire à& savoir déjà .qu'elles sont toutes six salis-
.faitea pour aiUrmer l'égalité des deux triangles ? Ne peut-il arriver
que, sici/if,QUfua/re, ou li-oisdea sixconditions sont remplies, les
dernières Je soient nécessairement ipso fuclo?. S' il en était ainsi,
nous dirions qoe les cinq, ou.quaire, ou ti-ois premières conditions
sont des «.conditions suffisantes » assurant l'égalité des deux
triangles.

De telles conditions suffisantes sont données par les ti-ois cas
ifégalité des triangles que des démonstrations très simples per-
mMtettt de 'déterminer.

t" cas. — Deux trianffles sonl'éi/aux lorsqu'ils o/itan angle
égU compris entre deux côtés éijaax chacun à chacun, ce qui veut
dire : il suffit que les deux triangles aient un angle égal (soit
'■A'^=i'A')fet>'las:Jnix:o6léa>:ODtrMpondaat9 égaux (soit' 6 =^ b' ,
«=;c' snr Iff-figm-eS^) pour que les deux triangles-' soient égaux.
^2™* eus. — .Deux trianglet sont égaux lorsqu'ils ont un coU égal

|')ill s'agit, ici tq\ijaar> d'Égalité géomàtriquea qua.nous exprimons
gyaiboliquemtM en empruntant le ngne ^ aux arithméUciene.

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..A\.

190 LES FIGURES

adjacent (attenant) à deax angles égaux chacun à chacun [par
exemple lorsque le côté a est égal au côté a', l'angle B & l'angle B',
l'angle C à l'angle G'].

3"' cas. — Deux triangles sont égaux lorsqu'ils ont leurs trois
ailés égaux chacun à chacun.

173. Remarque. — Aux trois cas énumérés ci-dessus on
pourrait adjoindre le suivant : cas où les deux triangles ont deux
côtés égaux et un angle égal non compris entre ces côtés. Maïs ces
conditions, nécessaires pour que les triangles soient égaux, ne
sont passurfisantes. Supposons en effet, qu'il soit su que les côtés
AI), AC et l'angle B d'un premier triangle ABC (fig. 85] soient

tespeclivement égaux aux côtés et à l'angie cor-
respondant d'un second triangle : ce second
triangle pourra être (fig. 88) le triangle A'B'C
égal k ABC ; mais ïl pourra être aussi le triangle
Pic 88 A'B'C, qui a même côté A'B', même angle B'

et où A'C est égal  A'C ; or ce triangle n'est
pas superposable k ABC. Ainsi les conditions données par
l'énoncé déterminent deux triangles dilTérents, dont l'un seule-
ment est égal au triangle ABC : pour conclure à l'égalité il faut
s'être assuré que c'est bien k celui-ci que l'on a alTaire.

Remarquons, d'autre part, que l'on ne peut jamais, déduire
l'égalité de deux triangles du fait qu'ils ont leurs trois angles égaux
cliacun à cliacun ('). Il est clair en elTet qu'un triangle très petit
et un triangle très gracd peuvent avoir des angles égaux.

174. Triangles rectangles. — On appelle triangle rectangle
un triangle dont un angle est droit. Dans un triangle rectangle,
le côté opposé à l'angle droit (côté BG sur la figure 89 est appelé

(■) Lm troia anglet d'un triangle quelconque ayant toujours la menu
■omme (n<* 170) nous ne dannons rien de plui en déclarant égaux
lei trois aDglei dea deux triangles qu'en supposant simplement
l'égalité do deux angles : en d'autrct termes, nous ne tormuloni que deux
conditions auxquelles satisfont les deux triangles : les eu d'égalité sup-
posent tous, au contraire, que trois conditions sont remplies [au sujet du
nombre de conditions qui déterminent un triangle, voir infra, Liv, Dtia.,
chap.iv. Si].

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CÉOMÉTHIB QUALITATIVE DES PIGURKS SIJiPLBS 189

hypoténuse (ixvtiNouM, qui sou»-tend), les deux autre* câtés sont
appelés côtés de l'angle droit ou cathitet (xàSiToc signifie : qui
tombe verticalement).

Les triangles rectangles, jouissent de pro- '^ f*

priétés exceptionnelles remarquables. L'énoncé N^ \^
des cas d'égalité de deux triangles, en parti- B c f^ n;>

culier, peut être simplifié lorsque les Irîangles Fi^. âg.

sont rectangles (').

170- Applloatlons diverses. — La considération de triangles
égaux permet de reconnaître l'égalité de segments reclilignes ou
d'angles remarquables associés & diverses figures.

Soient (fig. go) \'?C une droite indéGnie et Y'Y une autre

droite, perpendiculaire sur X'X au point H.

Tout segment rectilîgne tel que AB, mené

d'un point A de Y' Y à un point (quelconque) B

de X'X. est dit oblique par rapport h la

droite X'X; le point B est appelé n /jiW <f£

tobliqae » (*). Cela posé, on démontre que

deux obliques, issues d'un même point A et

dont les pieds sont étfalement distants du pied II

'(■ S"- ^ Iq perpendiculaire AH (s(ir X'X) sont des

segments égaax. Réciproquement, *i ces segments sont égaux,

leurs pieds sont également distants du point H.

Remarque. — On démontre (') que toute oblique est plus
longue que la perpendiculaire. C'est pourquoi la
distance da point h. à la droite X'X est définie
comme étant la longueur de la perpendiculaire AH.
Le pied H de la perpendiculaire abaissée de A /
sur X'X est appelé projection orthogonale ou sîm- ' '
plement projection du point A sur la droite \'X.

(') Deux triangleê rtctanglei tant égaux — dit-on ass£
— lor»qu'ila ont l'hypoténuse égale et une calkéle égale, — ou lor»qu'itt
ont l'/typolinuse égalé et un angle [aiUr« qut l'angle droit] égal.

(') Le mot oblique, employé comme substantif, est fëminia (droite
étant soiu-en tendu).

(ï) Nous venons plu» loin (aiS) qu« AH [c'est-à-dire la mesure de AH)
est égafe au produit de AC par uu nombre plus petit que i (cosiaua de
l'angle HAC].

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igO LES PIGCRES

Considéfcms mdîateBant la'bbsectriceOZXD" 54)' d'un- an^gle
dénné XOY (fig. 91). OH' déhrontre que les perptntHcataim
AB et AC abaissées dun point quelconque \ilé la bissectrice sar'
les cités 'le l'anyle sont ties segments égaax.-

170. Symétries. — Soit donnée uhe droite X'X. Deux points
quelconques \ et A' sont dits symétriques l'un de l'autre par rap-
port h cette droite s'ils sont situés sur une même perpendiculaire
à X'X et éq\iidistants de cette droite. — Deux li^^es quelconques
sont dites symétriques l'une de l'autre par rapport à X'X s! tous
leurs points sont deux à deuï symétriques. — On démontre faci-
lement que deux triangles — tels que ABC, A'B'C'ffig. 92) —
symétriques par rapport & une droite X'X sont des triangles égaux.
D'une manière générale, deux figures dé forme quelconque synné-
triquee par rapport à une droite sont congruentes (superpo-
sables ('),

B

B
Fis- <j'. Fig. aS.

Soit donné, d'autre part; unvpoint'O. Deux'poiatsqaelconc|iieB
A et A' sont *\\W symétriques l'un de -l'àutre'paiT^portàO s'ils
sont éqiiidistants de ce point et en ligne droite- aveclui ^(ig. gS).
Deux ligures quelconques sont A\i^:syivritriqaes.-ç«rra^^mikO si
leurs points sont symétriques^deuxà dettx: Ort'démontrefiue deux
telles figures sont toujours-congroentesf;

177- DrolteB remarquables aasoctées à on triangle. — On
peut associer à un triangle diverses droites qui jouissent de pro-
priétés i-emaïquables. Tarmi cea droite», celles qui sont le plus
fréquemirrcn* considérées sont les hauteare, lee médianes et les

bissecirices.

(') Voir à ce sujet Deux. Lîi:, cli. iv, § n.

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GÊOUÊTIIIE QUALITATIVE DES FIGURES 3IUPLES Igl

Ea hauteur {du- triangle ABC)' relative an côté B6 est là perpen-
diculaire AH abaissée da sommet A sur le côté BC (flg. gi) [le
poiol'II. pied dé la hauteur, n'est d'ailleurs pas nécessairement
sUoé entre B' et G; il peut êtte sur le prolongement de ce câté,
fig. ga].

La m^tfi'àne relative au cdté'BC'est la droite ^ui joint le sommet
A, opposé h BC, an miïieu M'dé BC*

La bissectrice relative à l'angle A' est la bissectrice AP de cet
angle (voir n* 54).

Tout triangle a trois hauteurs, trois médianes, Iroisbissectrices,
et l'on démontre que ces droites jouissent des propriétés suivantes:
Les trois hauteurs d'im triangle se coupent en un même point.
— Les trois médianes if un trixmgle se coupent en un mâmc point '
(appelé (') centre de gravité da triangle). — L£s trois bissectrices
d'un triangle se coupent en un même point.

On peut également démontrer que les perpendiculaires élevées en
leurs rnilieax sue /« ■ livis. calés dan triangle se coupent en un
même point. .

Cette. propositiiML.et celle qui concerne les bissectrices (*) ont
sans doute été connues des Pytliagoricîens. Les proposJLions rela--
tives aux hauteucs eL.aiu .naêdiaocs sont utilisées par ArchimÈik:

ITIliTiiiiMBlii iMiiMn Un triangle isoscèle (!3a9>u).>;c) est

UB tria^le'qui a dtax calés égaax (\B et AC sur la fi^rv i)0).
Ostle pEap^iélé^«n«nkrainQ-d'^utra^i en.partîculier lessuivantcs':

(M Ce point BotrenveétTffeireftrt poiwun tnangls homogène (c 'est'
i-dire uniforméineiit pesant dans toute son étendue) le centre de gravité
que l'on définit eo mécanique.

(') htk démonMration' de ces propositions résulte des irmarques que
noui ferons au n" igoh propos du cercle circonaciit et du cercle inscnt.

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LES PICUBES

Let onglet opposés aux côtés égaux (angles B et C sur la figure)
sont égaux.

La hauteur AH relative au IroisHme cûlé BC (appelé
base du triangle)) est, en même temps, la médiane
relative au mime côté et la bissectrice de Cangle A,
Ainsi, lorsque AB est égal à BG, les trois droites
AH, AM, AP de la figure qU coïncident.

Un triangle isoscèle qui a ses trois côtés égaux est
Kf ■ 9*- appelé triangle éqmlatéral.

A

A

179. QuadrUntéres remarqoables. — Nous avons déjà défini
aui n°* 75, 77, les quadrilatères remarquables que l'on appelle
parallélogrammes, rectangles, losanges, trapèzes. Ces quadrilatères
jouissent de propriétés que connaissaient ^

sans doute déjà les Pj'thagoriciens. /"\,^^^^_— — ^

Ainsi, dans le parallélogramme AB, CD ^^.^^"'m^-^-^ /
(fig. 97) les côtés opposés AD et BC, AB * "^

et CD sont égaux, les angles opposés A ' *'"

et C, D e^ B sont égaux. Les diagonales [droites AC, BD joi-
gnant deux à deux les sommets op[>osés (')] se coupent en leurs
milieux.

Dans an losange les diagonales sont perpendiculaires Cunc sur
l autre.

180. Oéométrifl dans l'espace (Btér6otn<tri«). — L'élude des
figures tracées dans l'espace à trois dimensions (Jigares solides) est
semblable, par son point de vue et par sa méthode, à l'étude des
figures planes.

Nous avons rappelé au n° 78, les définitions et propriétés des
droites et plans parallèles ou per^iendiculaires : ces propriclés —
nous l'avons fait observer — , encore qu'elles soient intuitives,
peuvent être rigoureusement démontrées moyennant l'admission
préalable d'un petit nombre de définitions et de postulats ; c'est
ainsi qu'elles se présentent au XI* livre des Eléments d'Euclide.
Mais leur vérité a évidemment été reconnue aux temps les plus

(') Dans un polygone quelconque, on appelle dîagonaU (du grec «ix
■ji!i-< 11^, qui aeclionne les angles) toute droite joignant deUK lommcU non
reliés par un cdté du polygone.

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GËOVÉTKIB QUALITATIVE DBS FIGURES SIMPLES igS

anciens et indépendamment de tout système de géométrie ration-
nelle.

On obtient d'autres propriétés — moins immédiates — des
figures solide» composées de droites et de plans, en suivant pas h
pas les propositions de la géométrie plane et cherchant ù les adapter
à l'espace.

Ainsi, pare\emple, nous avons au n° 175 signalé cerlaines pro-
priétés remarquables de la perpendiculaire et îles obliques abaissées
d'un point sur une droite. Ces propriétés se transiwrtent immédia-
tement il l'espace lorsqu'on remplace la droite par un plan :

Si d'un point A extérieur k un plan P on abaïssf: la perpendicu-
laire AH sur un plan P (fig. 98), on démontre :

1° Que deuK obliques — telles que Alï, AC — dont les pieds
(sur le plan P) sont & la même distance du
pied H de la perpendiculaire ont des lon-
gueurs égales.

, a" Que réciproquement, si deux obliques
— telles que AB, AC — ont des longueurs
égales, leurs pieds sont à la même distance
du pied de la perpendiculaire.

3° Que la perpendiculaire Ali est plus courte que toutes les
obliques abaissées du point A sur le plan.

./(" Que de deux obliques — telles que AB, AD — la plus
courte est celle dont le pied est le plus rapproché du point H.

La longueur de la perpendiculaire AH abaissée du point A sur
le pian P est appelée distance du point .\ au plan P.

Le pied H de la perpendiculaire Ali est appelé projerlioii (orlho-
gonale) du point A sur le plan P.

181. — Deux points .^ et A' situés sur une même perpendicu-
laire h un plan P et équidistants de ce plan sont
dits symétriques par rapport au plan P. — Deux
figures quelconques sont dites symétriques par rap-
port au plan P si leurs points sont symétriques deux
p. à deux.

La symétrie par rapport & un point se définit
dans l'espace comme dans le plan.

Bomiioti. — L» PriocipM de l'Aol;» mithtouliiju*. i3

V

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ig4 I-ES FIGURES

183. — A l'étude des fij^res planes limilées par des segnteaU

(le droites (on iitilyijones) correspond l'ëlude des fi^'urcs solides
limitées par des faces planes (ou polyèdres, cf. 78). Nous avODS
déjà déCoi au $ 3 les plus simples de ces corps. Nous en signale-
rons tout à l'heure quelques autres; mais nous allons, auparavant,
fixer un instant notre attention sur une figure connexe dont lea
propriétés rappellent, à un certain point de vue tout au moins,
celles des pol\g<Hies : je veux parler de VangU poiyidre.

183. — On appelle antfle polyèdre In figure formée par pta-
aieurs ilemi-drotles (trois au moins) intu-i d'un mime point S et
telle que trois quelconques d'entre elles ne soient jamais situées
dans un même plan.

Pour achever de carsctcriser on an^^le jwljèdre, on clablit entre
les de'rai-droltes qui le définissent an ordre de succession. Nons
numéroterons, par exemple, ces demi-droites à partir de i et les

désignons par SA,, SA , SA». Cela fait, noua appellerons /uce.

du jtolyèdre chacun des angles (angles ordinaires ou angle* platts)

.\,SA=. A,SA;i. A,,S.V A„_,SA„, A,SA,.

Les angles dièdres iormés par les plans de ces faces sont les
j, dièdres de l'angle polyèdre. Les demi-droites elles-

niômes seront appelées arêtes, le point S sommet
de l'angle polyi:dre. — Un angle polyèdre a au-
tant de faces et de dièdres que d'8réles(').

En particulier un angle trièdre ou trièdre est la
fignre formée par trois demi-droites SA, SB, SC
(fig. loo) non situées dans un mente plan. La
figure a 3 faces et 3 dièdres (ce sont les éléments du trièdre).

184. — La considération des trîèdres fournit l'exemple le plus
simple d'une particularité caractéristique (*) des figures de l'espace
qui ne se rencontrait pas en géométrie plane : c'est que deux

Cj L'angle polyèdre sera dit régulier s'il a toute* les tacea égales et
tous ses diMres égaux [comparer la définition des polygones régutiBn).

(-| Nous y reviendrons avec plus de détail nu Deuxième Lin., cliap. iv,
lorsque nous ëludierons la théorie des " (léplacemenU > des Tigurea «m
corps solides.

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GéOMÉTRIE QUALITATIVE DES FIGURES MHPLES !§&

toièdre» peuvent avoir lenn six éléuteoU corieapondaaU égaux
cliacuD à cliacun sans âlra cependant congruents (superpoMbles)
f^on a vu qu'au contraire deux triangles qui ont leur six éléments
^aax sont nécessairement snperposables].

il y a là an fait qu'il est essentiel d'étudier si l'on veut appro-
Tondir l'élnde de la congruence ou égalité géométrique.

Considérons par exemple le trièdre SAUC {^dont les faces seront
supposées in^les] (fig. loi) et I« triédra
SA'B'C obtenu en menant les 3 prolon- g, j ^

gements S\', SB', SC des trois demi- \ / /

droites SA, SB, SG. I^s faces du second ^\l'

trièdre sont égales chacune k chacune aux ' //^ '
faces du premier, car les angles ASB et /^ / \.

A'SB', ASC et A'SC, BSC H B'SC sont * A ■

égaux deux à deux comme opposés par le p.

sommet. D'ailleurs les <liklres des deux

trièdres dont les arêtes sont en prolongement l'une de l'autre sont
évidemment égaux : car les dièdres d'arèEe SA et SA', par exemple,
peuvent être considérés comme deux dièdres d'arête A A' opposas par
l'aréle {n° 69). — Et cependant, malgré l'égMité de leurs élé-
ment», les deux Itièdres ne sont pas superposables. On constate
en effet que si, d'une manière quelconque, on place la face A'SB'
•ur la iace ASB, l'arâte SC ne peut pas coïncider avec SG. Ainsi,
dans les trièdres représentés pai' la figure loi, les arêtes SA, SA',
SB, SB', sont supposées être dans le plan de la r];j;ure (tableau ou
feuille de papier), l'arête SC est supposée être au-dessus {'), tandis
que l'arête SC eat au-desaous. Imaginons que licliant une épingle
en S, perpendiculairement au plan du tableau, nous fa.s»ions
pivoter le trièdre SA'B'C autour de celte épingle, sans que l'angle
A'SB' quitte le plan du tableau. Nous pourrons ainsi amener
l'aogle A'SB' à coïncider avec ASB; mais alors SC qui reste
toujours au-dessous du plan du tableau ne coïncidera pas
avec SC.

Les deux trièdres SABC, SA'B'C i/ui ont leurs éléments éijtiax

i ■) L« plan de la figne (que noua etppelom pUn du taNeau poui
Im coufusÏDiis auxquollra peut ilonner lieu l'emploi du mot a figure >
supposé horizontak

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chacun à chacun et ne sont pax supeiiutsables sont dits tritdres
xymélriqaei .

185. — Ces remarques faites, énonçons quelques propriétés de»
trièdres qui sont démontrées dans les traités de géométrie :

Dans un trièilre une /ace quelconque est moindre que la somme
des deux autres.

Si dans ari Irihire deux angles dièdres sont égaux, les faces
•Hijiiisêes sont égales : à des dièdres inégaux sont opposées des faces
inégales ; la plus grande face est opposée au plus grand dièdre.

Aux cas d'égalité des triangles correspond l'énoncé des condi-
tions suffisantes sous lesquelles deux triÈdres ont leurs six éléments
égaux chacun à chacun, c'est-à-dire sont égaux ou symétriques.

Peux trièdres sont égaux ou symétriques : lorsqu'ils ont une
face égale adjacente (attenante) à deux dièdres égaux chacun à
chacun ;

ou, lorsqu'ils ont un dièdre égal compris entre deux faces égales
chacune à chacune ;

ou, lorsqu'ils ont leurs trois faces égales chacune à chacune.

186. Cercle. — Le cercle et la sphère sont les figures de prédi-
lection des géomètres grecs : par leurs propriétés merveilleuses,
en elTet, ces figures sont belles entra toutes comme le nombre
dix est beau entre tous les nombres. Ce sont elles, d'autre part,
que l'on est conduit A Otudier lorsque l'on considère le mouve-
ment des astres ou que l'on cherche k pénétrer le secret de l'har-
monie des mondes.

Les propriétés du cercle qui furent connues les premières sont
celles qui se rapportent aux arcs, aux cordes, aui tangentes, aux
angles et polygones inscrits ou ci'vonscrits.

Un arc est une portion de la circonférence (') limitée par deux
points appelés extrémités de l'arc. Une corde est le segment de
droite qui joint les deux extrémités d'un arc : ta coi-de sous-tend
l'arc : d'où le nom d'ûnotEÎïOjjK (sabstensa) que lui donnaient les
Grecs.

Toute corde sous-tend deux arcs formant à eux deux la circon-
férence tout entière. Un diamètre, en particulier {voir n" 64), est

(') Voir Ub définitions données au a" 6^, p. 77, note i.

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GÉOUÉTnie QUALITATIVE DBS FIGL'RES SIUPI^S

une corde qui passe |>ar le centre et sous-lend deux arcs égaux h la
moilîé de la circonférence.

Deux cercles sont égaux (superposables) lorsqu'ils ont des dia-
mètres ou des rayons égaux.

Dans un cercle (ou dans deux cercles égaux) des arcs égaux
^superposables) sont sous-tendus par des
cordes égales et réciproquement {exemple i
les arcs et cordes AB et CD sur la Hgure

lOS).

La perpendiculaire OP abaissée du centre
du cercle sur une corde quelconque AB
coupe celte corde en son milieu (c'est la
hauteur du triangle isoscèle OAB).

©

187. Angles an centra, angles Ineorita. — On appelle ivxjle
nu centre un angle qui a pour sommet le centre du cercle (tel
l'angle AOB sur la figure los). Si les arcs compris eniro les cotés
de deux angles au centre sont égaux, les deux angles sont égaux
et réciproquement. C'est en raison de cette propriélc que nous
avons pu considérer les mesures d'angles comme tenant lieu de
mesures d'arcs (n° 103).

On appelle angle inscrit l'angle formé par deux cordes qui se
coupent sur la circonférence (tel l'angle BAC
sur la figure io3). L'angle Inscrit BAC est la
moitié de tangle au. centre BOC qui coinpreiul
entre ses côtés le même arc BC (en effet l'angle
au centre BOC, somme (') des angles extérieurs
(170) des triangles isoscèles 0.\U, OAC, égale
deux fois l'angle OAB, plus deux fois i'an^'le
OAC). En conséquence ta mesure
'le Cangle inscrit sera la moitié
de tare BC. Deux angles inscrits qui comprennent
entre leurs c6lés le même arc seront égaux.
L'angle BA'C (fig. io3) qui comprend entre ses
côtés l'arc BAC est supplémentaire de l'angle BAC. ' '"' '""
L'angle inscrit qui comprend entre ses cillés une demi-cii-con-

Fig. ,

1') Au

s du n" H.

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■ 98

fércncc |ce«t-à'(lire dont !«« c/ilés cou|ient le cercle aux deux
extrémités d'un (Iianiètre| est un nii'jle <lroil {ûg. loj).

186. — On démontre qu'un angle tel que It.VC (fig. loj), qui
a son sommet àl'inl^rîeur de la circonrérence,
est égal k la somnie de deux angles ÎDscnl»
comprenant entre leurs cdtés les arcs ItC el B'C
respectivement (il a pour mesure la demi-sonuoe
de ces nrcs).

Ln angle tel que FEG ((ig. lo't , qui a son
sommet il'citérieur de la circonférence est égil
h la différence de deux arcs inscrils compre-
nant entre leurs côt^ les arcs Wt et F'G' res-
pectivement.

189. Tangente*. — L'ne droite est dite /ant/enfe h un cercle li,
ind'' fini ment prolongée dans les deux sens, elle touche le cercle
en un point et un seul (fioi/il île tunlael de la
tangente |.

Par un point donné d'un cercle on ne (Mut
menet' qu'une tangente ;i ce. cercle. On démontre
liie la laiiffenle qui luiic/i^ Je cercle de ceitire t) en
un fioint K (fig. io6) etl iterpentlictUaire nu
rayon 0.\ t/tii alioulîl en ce poin/.

Duo point II rx/irieiir au cercle on peut mener _. ^^^
deux tangenl^R au cercle (BC et liU sur la
lig. loti) : tes Keijmenlt île cex liunjenleii comin-is entre le luùnl B cl
les ftoinis tle conlticl C el 1> sont deux st^nwnlx éi/ititx (').

Par un point situé à l'inléiicur du cercle on ne |>cut faire passer
aucune tangente.

Toute droite qui renconlrc un cercle sans lui être tangente evt
une sécitnle par rap|>orl à ce cercle ; elle le cou|)e nécessairement
en deux points.

190. Polygones inscrits ou circonscrUs. — Lin polv^'onc

est " inscrit n dans un cercle lorsque Ions ses sommets sont sur ia

i': On dtmonlrc que la corde Cl>
ptrpendieulaire o In droite BO.

i joint Us poîiils de contact ">

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GÉOMÉTRIE QUALITATIVE DES FIGtRES SIMPLES I99

circonléreoce ; il est « circonscril » au cercle lorsque tous ses câlins
lui sont tangents. >Joua avons déjà eu l'oocasioa de considérer de
tels polygones lorsque nous avous cberclié à définir la longueur
du cercle par rapport au rayon(n''65). Sur la fig. io3 'vîtie supra)
le quadrilatère ABA'G est inscrit dans un cercle : il résulle, d^
lors, des propositions énoncées plus haut que dans un quadriiaiire
inscrit tes angles opposés, tels que A et A' sont sappUmentaires.
Nous voyons par là qtie tout quadrilatère n'est paa susceptible
d'être inscrit dans un cci'cle.

Au c(Mitraire, un triangle quelconque peut ëlro inscrit dans un
cercle (appelé cercle circonscrit au triangle) et circonsciit h un
autre cercle (appdé cercle inscrit dans le tiiangle). Le cercle cir-
conscrit au triangle ABC(fig. 107) a pour centre le point de ren-

contre O des perpendiculaires élevées aux milieux des côtés (voir
n* 177) ; en effet les droites OA, OB, OC sont égales, deux à deux,
comme obliques dont les pieds sont également distants des pieds
des perpendiculaires abaissée de 0 sur les trois côtés AB, BC, CA.
Le cercle inscrit (Gg. loS) a pour centre le point de rencontre 0'
des bissectrices du triangle i en effet (n° 175) les distances O'M,
O'N, O'Pde ce point aux trois côtés du triangle sont deux à deux
égales; donc les trois points M, N, P sont sur un même cercle de
centre 0' auquel les côtés du triangle (perpendiculaires sur les
rayons O'M, O'N, O'F) sont tangenU.

Remarque. — Le cercle circonscrit à un Irianglc ABC rectangle
en A (ayant son angle A droit) a pour diamètre rhypoténusc BC.
En effet l'angle inscrit BAC a pour mesure la moitié de la circon-
férence ; donc BC doit couper la circonférence en deux parties
égales (fig. io/|)-

191. Cerol»a tangents. — Après les questions relatives à un
cercle et à ses tangentes, une série de problèmes plus compliqués

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d?

se posent où l'on consîdèi'c {ilusienrs cercles stinullanéiiicnt. et en
])articuliei' des ccicles langents enlre eux.

Deux cercles (|uî se renconlrent se coo|>eiit en ^'énéral en doux
points ('). S'ils ne setoticlient qu'en un seul |>oint, \, ils sont dils
lanijeitls en ce [loint (%. loj)) : on démontre (ju'iU ont alors la
inème tangenle T'AÏ au point A (cette droite est perpendiculaire
sur In II ligne des centres » qui joint les centres des deux ccri'Ics).
Les problèmes relatirs aux cercles tangents furent l'objcl de
nombreux travaux dans l'antiquité et aux temps
modernes. Apollonias de Perr/e étudia ces pro-
blèmes dans un traité, aujourdtiui perdu, le
Kipi tTEioiûv [Des conlacts). Vîèle les reprît au
XVI* siècle dans un traité qu'il intitula ApoUonias
Fie lo. Gallas (') : il résolut en particulier le problème

suivant : Trois cercles étant donnés, trouver
!e centre et le rajon d'un quatrième cercle qui leur soit tangent
k tous trois. Descartes, Fermai {'), Pascal traitèrent des pro-
blèmes analogues relatifs à des cercles et aussi à des splièivs
tangentes entre elles se louchant en un seul poinl).

192. Oéomètrie aphériqae. — La (iéouiétrie de la sphère a
été cultivée de tous temps par les astronomes. Les Alexandrins en
firent une étude approfondie (') : les progrès des métbodes trîgo-
nométriqucs instituées par tes Arabes lui donnèrent une impulsion
nouvelle.

L'étude des Jl(/iircs Sjihériques en (larticulier, — ou figures
formées de courbes tracées sur la surface d'une même spbèrc —

(') On constate facilement que pour que deux cercles se coupent il faut
et il suffit que ia distance de leurs centres soit inférieure à la somme et
supérieure à la diftércncc de leurs rayons.

l'I Apollonius Gallus, ae\i exsusàtala Apollonii Pergaei T.ip\ ènasùc
geometria. Opéra, p. "ii^.

îRMAT résolut en particulier le problème suivant qui lui avait clé

propose par Descartes : Déterminer la sphèi
sphères données.

<') La géométrie sphcriquc des .\lexandi
ticulter par l'ouvrage de

J-C.) dont nous avons des traductions hébraiqi
la Grande Synlaxo (Mîyiî.'; ujvtoS'-;) de Ptolémée (■
Nous trouvons déjà les origines de la théorie dans
LYCVS. contemporain d'Euclide.

tangente à quatre

n latin : SphaerUa, i"' siècle après
arabes, et par
p. i6«, note a|.

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GÉOUÉTHIE QUALITATIVE DES FIGL'HKS SIMPLES 20 1

est-remarquable par l'analogie qu'elle présente avec la géomi'lrie
des lîgures planes.

Reporlons-nous k la définilion des grands cercles donnée nu
n" 87. Nous voyons que par thux fioi'its A c( li d'une s/j/iiVc
donnée îl passe un tjrand cercle, ei il n'en passe qu'un
seul, sauf si les deux points A et II sont les extrémités tTun
même diamètre ('). — En effet, par deux points A et It et le centre
0 de la sphère passe un plan qui est unique ù moins que les trois
poinU AOB ne soient sur une même droite; ce plan coupe la
spliire suivant un grand cercle qui passe par A et B {Cig. i lO .

Il résulte de là que trnis points A, B. C situés sur la surface
d'une même sphère peuvent être joints deux à deux jiar trois arcs
de grands cercles dont chacun est moindre qu'une demi -circonfé-
rence (exemple : la fig. m). Lafigure formée parces truis arcs est
appelée triant/le nphérique; les points A, B,C sont les soniinels de
ce triangle, les trois arcs en sont les côtifs; l'angle formé par les
deux droites respectivement tangentes en A aux arcs de cercles Alt
et AC est appelé angle du triangle spliérique au sommet A.

Les triangles sphérîques jouent sur la surface d'une sphère le
rôle que jouent dans un plan les triangles ordinaires, et possèdent
des propriétés analogues.

De la définition du triangle sphûriqiic on passe immédiatement
& la définition d'un polygone spkériqne ayant un nombre quel-
conque de sommets el de côtés,

193. Polyèdres régulisTS. — Nous avons défini au n" 87 les
polyèdres inscrits dans une sphère ou circonscrits à une sphère.

(') En ce cas les points A et B sont dita diamilràUmenl opposés.

D,B,t,zed.yGOOg[e

PaiTiii CC8 solides, les plus remarquables sonl les jtotyMra ré-ja-
lierx, dont toutes les faces sont dfis polygones réguliers, cl dont
tous les angles polyèdres sont réguliers (p. 19^, note i ) et cgaui
entre eux. L'étude des polyèdres réguliers — objet du Livre XIII
Acs Elt'mcittsiii'Eaclidi — était sans doute te couronnement delà géo-
métrie pythagoricienne et platonicienne, a Euclide, dit Proc}us('),
était platonicien d'opinion ; aussi s'ei^l-il propose comme but final de
SCS Elénienla la construction des figures appelées platoniciennes h.

Les polyèdres réguliers sont au nombre de cinq : le ctihe, le
lèlifièiii-e, i'iicinèdre, leilodéca^)h-e,i'icosti!-dre. Ils sont ainsi déflois
par Euclide (') au début du Livre \I des Eléments (déf. •î5-'2f)) :

In cube est un solide compris entre six carrés égaux.

Un télrai'drc régulier (tîTpwîpov) est une figure solide comprise
sous quatre triangles égaux et équilaléraux (178).

Un oclawlrc rcgidier (ixtiiSjov) est une ligure solide comprise
sous huit triangles égaux et équilatcraux.

Ln dodécaèdre (') régulier (ô(u?«ài8p'.v) e>t une figure solide
comprise sous douiie pentagones égauxéquilatéfaux(à côtés égaux)
et équiangics.

L n icosaèdrc régulier ([IstoiàtÔ^ùv] est une figure solide comprise
sous vingt triangles égaux cl cquilatéraux.

3. — Oéomitrie métrique

194. — Lu géométrie mcLriquc est fondée sur le calcul des
grandeurs et, plus particulièrement, sur le calcul des longueurs
(ou des rap[>orts de longueurs) dont nous avons exposé les prin-
cipes au chapitre i[ (SS f-^)- E^Hc étudie des relations aritlmiétiques
remarquables auxquelles satisfont certaines longueurs ou certains
rapports de longueurs associées aux figures géométriques fonda-
mentales : triangles, polygones, cercles, etc. Ces relations se tra-
duisent pardes égalités entre nombresdu moment où l'on admet que

IV D'nprèa Gesiinvs, Irad. Paul Tannery, apud La giom. grecque, p.fij.

[=) La définition du tétraMre ne figure psi dans le texte publié p*r
l'édition Heibehc.

(') D'apri-s une légende pythagoricienne, IIippAsoa aurait péri en
mer pouravoir divulgué la construction du dodécaèdre régulier.

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GËOMÉ-rRIS MÉTRIQUE 303

ie» rapports, et parâtlement les longiienn (une fois l'unité choisie),
Suivaient i des nombres irralionnels ou rationnels ; on les obtient
cependant, d'ordinaire, par des moyens (constructions) purement
g>éoinétTiques: aussi nous s«rn-t-il commode de nous exprimer, dans
nos énoncés et démonstrations comme si c'étaient les longueurs
elles- mêmes, et, par conséquent, les segments recttlîgnes qui
snbissaient les opérations avitliméliques, indiquées par nos énon-
cés. Nous avons vu au n' 95 que nous avions pHrfiiitement le droit
«le ^fi-océder ainsi et d'effectuer des calculs sur les puissances des
ktng^ueurs ou segments sons faire inlervenir aucune considéra lion
d'aire et de volume. Lorsqu'il sera nécessaire de spécifier que nous
considérons la mesure d'un segment AB et non le segment lui-
m9me, nous désignerons cette mesure par le symbole ÂB, ses puis-
sances par les symboles Ait', Alt*,... ; en cas contiaire, notis
emploierons simplement les notations AB, .\B', AB", etc.

105. Similitude d«i trlanglea. — Nous avonsdit au n'SO en

quoi consiste la similitude. La définition des triangles semblables

en particulier — si nous la rcduisonsau minimum indispensable et

en éliminons tout cequipcutéLrcdéiJuitdes tbéorèmes déjà connus

(cl". 172) — la définition des triangles semblables peut être présentée

comme il suit : Detix triangles ABC et A'B'C son! semhlabUs

lorsque leurs aUés sont firojiorlioniiels, c'esl-à-<iire lorsiiue les

, A'B' A'C lî'C . , , .....

rapjHtrls -ttt ■ -ttt > .,,. srml des rapiiorls éijuux (je désigne par

A'B',... BC les longueurs des côtés des dem triangles). Les côtés,
les angles ou les sommels des deux triangles qui se conespondeot
deux à deux sont dits /l'i/iio/o^iics (cf. p. ta3, noie a). Deux côtés
homologues sont n/i/i'U(=d à des angles liomologues.

196. — Nous avons rappelé au n" fiïHc théorème n dit théorème
de Thaïes b. On déduit de ce théorème que deux triangles sem-
blables pem-eni toujours être ilisimséx (comme li'x trininjles ABC et
-ADE surlajif/ure na) de fai;oii que deux <le leurs cités co'incî-
lient, les troisièmes côtés étwU parallèles. Il en résnite en parti-
culier que lieux triangles semblritili's on! leurs niif/les homologues
éf/atu: chiieun A chacun.

Kn effet les triangles, étant supposés placés comme \BC elADE

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304

LES FIGURES

sur )a ligure 1 13, ont mime angle A ; les angles ADE et ABC.
d'autre part, sont égaux comme correspondants formés par des
parallèles et de même les angles AED et A E'D'. Uéciproquc-
ment, si deux Iria/igles oui leurs angles égaux [il sufiit pour cela
qu'ils aient Jeux angles égaux chacun b chacun, les tmisièmes
angles étant alors égaux d'après le n° 170] ces deux Inangles sorti
semblables ('). En effet on démontre qu'ils peuvent
A ôlre en ce cas disjwsés comme les triangles \DE et
y~\t ABC de la ligure iia.

De la similitude des triangles, le géomètre passe
facilement à celle des [lolygones. Un polygone, en effet,
peut toujours être décomposé en triangles. Deux po-
seront, dès lors, dits semblables s'ils [)euvent être dc-
iposés en triangles semblables se correspondant deux à deux.

.^

Fip.

lygoi

197. Figures semblableB obtenues par projection ou pers-
pective. — Pour obtenir des figures semblables de Joimes queU
conques par un procédé régulier,
on [tourra o[>érer comme il suit :
Donnons-nous deux plans parallèles
que nous appellerons (dan 1' et
jdan V , et un point 0 hors de cts
plans. A un point quelconque .\ du ,
plan P, nous ferons correspondi-e le
point A' du plan P' obtenu en me-
nant la droite OA et la prolongeant
jusqu'à sa rencontre avec le plan P'
[le point A est appelé point homn-
l"gue, ou image, ou projection de
•nIreO, du point A]. Opérant de méin

fis- ■

3 pour tous les points d'un
segment du plan P, tel que AB ou CD, nous obtenons sur le

(') C'est ik le ■ premier cas de similitude ■ des tiiangles. Le second et In
troitiime cas de aimililude s'énoncent en ces termes : Deux triangles sont
semblables lorsqu'ils ont un angle égal compris entre deux c&tés proportion-
nets. — Deux triangles sont semblables lorsqu'ils ont leurs trois cMis pro-
portionnels [c'est la proposition que nous avons prise comme définition
au début du présent numéro : ei l'on adopte une autre déliailion (équi-
valente) de la similitude, cette proposition devient un théorème].

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GéOMÉTRlE MÉTRIQUE 305

plan P', un segment (') A'Ii' ou CD' image {homologue) de AB
ou CD. On démontre que deux figures correspondantes des
plans P et F formées de segments homologues sont des figures
semblables. Nous avons ainsi un mode de construction de figures
semblables (') qui s'applique à des ligures de toutes formes —
car à une ligne brisée ou courbe quelconque du plan P correspond
évidemment, point par point, suivant le procédé indiqué, une ligne
■ semblable » du plan P' — et qui se rattache immédiatement à
la définition intuitive de la similitude qui nous a servi de point de
départ au chapitre n. S ^^

198. Remarque : divers modes de projection. — Le mode
de projection que nous venons de déûnltesl la pivjection conitjae (')
ou centrale appelée aussi perspective (de centre 0). 11 existe, nous
le savons, d'autres sortes de proje'-tions.

La projection orthogonale, en particulier, ou pivjecHon tout
court — d'une ligne sur un plan P est la ligure formée par l'en-
semble des projections orthogonales des points de cette ligne
(voir n» 180).

Plus généralement soîl donnée une direction quelconque défmie

(') En elTet, le ibéorëmc du n» i)0 montre d'adord que tous lei rapports

OA' ob; oc , ■

OX' OB'' ÔC' '" '^^^ égaux entre eux, et, d auire part, que les rap-

AB' CD'
porls -Tg ■ -f.pt , ... sont égaux aux premiers.

(') Les figures aemblablEs ainsi obtenues sont dites figures homotkitiquea
par rapport au centre O. D'une manière générale, soit 0 un point ou
centre fixe, k un nombre positif rationnel ou non. On appelle point
homolbétique d'un point A par rapport au centre O dans le rapport k
le point A' de la demi-droite OA [indéfiniment prolongée) qui est tel que
l'on ait

longUBnr OA' „ ,

loDgu.Dr a\ -"■

On appelle figure homolhétique d'une figure donnée la figure formée
parles points bomothétiquesdespoints de la figure donnée. — Il résulte
de cette définition que, ai la figure proposés est tout entière située dans
un plan contenant le centre 0. la figure bomolbétique est également
plane et située dans le même plan. On a alors aRaire à une homùtktlU
dam le plan [Exemple : Sur la figure iia la droite DE est bomotbétique
de BC].

Cj Voir iajra, n" 239.

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206

LE* FIOL'BU

par yne droite (') (D)aoo parallèle au plan F. Oa appelle /tro/r-c/i/Mi

sur le plan P d'un point quelconque A jtumUtUmenl à la directuin

(0), le point de rencontre \' du plan P a%ec

''^7 la parallèle à (D) menée par A. D'où un nou-

/ ;* \eau mode de projeclioa d'une ligure quel-

. — j-. y conque (fig. ii/i).

/- / Le plan T sur lequel on projette est a[^l^

Fig. ni. dans tous les ca% plan de pmjection.

100. Théorème de Pythagore et théorèmes oonnexea. —

Soit ABC un triangle rectangle dont BC est l'hypoténuse {%. ii5) :
le carré de la hiwjueur BC esl ùjal à la somme des carrés den /on-
ijaeurs AB et AC; aulremenl dil :

ne-- AB'-t .\C^

Ce tliéorème est cummunéincnt appelé « théorème de Pytha-
j;ore '1. C'est après l'avoir démontré, — si
l'on en croit la légende — que Pythagore,
reconnaissant, aurait sarrillé un hœuF il Ju-
piter (voir p. lîi, note i).

Le théorème de Pjlhagorc peut ôtre dé- i.-ig. ir:..

montré de diverses manières. Si, conformé-
ment & la tradition ancienne (*), nous considérons le carré d'une
longueur comme la surface d'an carré (73), ta question reviendra
à prouver {') que les carrés numérotés s et 3 sur la ligure i lii
forment à eux deux une aire éf^alc h celle du carré numéroté i.

Nous suivrons ici, — pour établir le théorème de Pythagore et
les théorèmes connexes, — une méthode plus simple (^) qui ert
fondée sur la théorie dos proportions.

(') On dcsig:ne souvent une droite ou une courbe par une lettre entre
parenthèses afin d'indiquer clairement que cette lettre ne représente pal

{*) La propriété qu'énonce te théorème de Pylk«g<»« (ut ceTt«in«mMii
connue d«« arpenteur* égyptiens jdans des ca* p*rti«Bliena tovlauiKMiw;
par exemple, lorsque lliypotêDUB* est égale à 5, les catUtM à 3 «t .^,
voir p. i30, Dote 3) ; mais il est douteux qu'ib fuMent eapaUea de W dé-
montrer.

('I Cf. EucLiDE, liv. I, prop. I7. Vide injra. Deux. Hv., ch, m.

l') Cf. EucLiDE, liv. VI, prop. ïi.

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GÉOUÊTUE UiTRIQlB

AbaUsoDs du sommel A de l'angle droit la hauteur relative à
l'hvpol^Dse (Gg. I )5) et appelons II son pied. Le triangle U\C
est semblable au grand triangle
ABC; car il a même angle C, un
angle (droit) H égal à l'angle A,

un angle IIAC qui est égal à

i'angle B [puisqu'il est complémen-

taire (64) da même angle C]. Dans

les deux triangles semblables, les

càt^ homologues sont ceux qui

sont opposés aux angles égaux, et

l'on a, par conséquent, en écrivant

que ces côtés sont proportionnels :

co

AU ~AG~CH'

Les deux triangles ABC et IIBA sont, pareillement semblables
et nous donnent :

(a)

AC l(C AB

Nous allons tirer de ces proportions plusieura conséquences
remarquables.

Egalant, dans les deux derniers rapporis marques (i) le produit
des moyens au produit des extrêmes (cf. n" 98), nous obtenons :

AC" = ne X en.

Opérant de même sur les rapports (2), nous avons :

AB' = BC X Bll.
Additionnant il vient :
AB' + AC* = BC X Bll + BC X IlC =^ BC x (Bit + UC) =BC^
Le Uiéorème de Pythagore est donc démontré (').

C) On peut démontrer qu* riciproquemenl si les troi» c6tés d'un trians'"
■ont tels que AB' + AC = BC, ce triangle est rectangle (l'angleA étant
droit).

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308 LES FIGURES

200. — Considérons maintenant )c premier et le troisième rap-
port marqués (i). En égalant le produit des moyens au produit des
exlrdmes, nous avons :

(3) AU . AC = AU . Cil.

Opérant de même sur les rap[K>i'ts (a), noua obtenons :

AU .AB = AC.IÏI[.

AU'

BH

Multiplions membie à membre cette dernière égalité par l'c^a-
litc(3 : il vient :

AlP = Bll . Cil.

résultat que l'on peut énoncer ainsi : /a hauteur relative à fliy/io-
ténme est moyenne proportionnelle (voir n" 96) erilre les di-ax
xeijments qu'elle détermine sur fliypoténuse.

Ce même théorème peut être présenté sous une autre forme.

Considérons un cercle quelconque, un Jia-

.■^ I^^^ mètre AB de ce cercle et la perpendiculaire Mil

/ ,-•'' I 'A abaissée d'un point quelconque du cercle sur

^ 5 — i — 9 ce diamètre {fig. 117) : la longueur MH est

moyenne proportionnelle entre les deux seg-
ments HA et HB qu'elle détermine surledia-
nièlie ; en cfTcl, si l'on mène les droites AM et BM, le triangle \MB
est rectangle [puisque son angle M a pour mesure une demi-cir-
conférence (cf. n° i87)J et Mil en est la hauteur.

201. Calcul des oAtée d'un polygoa» régulier inscrit dana
un oerolâ. — C'est en s'appiiyant sur le théorème de Pytliagore
et les tliéorènuis connexes que les géomètres grecs ont déterminé
la longueur des côtés des polygones i-éguliers inscrits dans un
cercle {cf. n" 66, 190) ou du moins de cerloins d'entre eux.

Soit donné un cercle dont le rayon a pour longueur R. On
démontre que tout triangle équilalcrul inscrit dans ce cercle a des

côtés mesurant — - ; que tout hexagone ^polygone à C côtés) régu-
lier inscrit a des côtés égiuix au rayon It, etc.

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GÉOMÉTRrE MÉTRIQUE

209

203. Théorème T«latil aux biwectrioas d'un triangle. —
Soit (i!g. iiS) un triangfic ABC et AD la bîsseclrice relative à
Tangle A. Je dis que le rapport des côtés AB et AC est égal au
rapport des segments déterminés par la bissectrice sar le troisième
côté ('). En d'autre termes :

AB DB

AB AC

Menons, en effet, par G la parallèle & AD et soit E l'intersection
de celte parallèle avec BA prolongé. D'après les théorèmes du
n* 90 on a

BD AB
DC ~ AE'

Mais la longueur AE est égale ù la longueur AC, car le tt-iangl
ACE est isoscéle [en effet l'angle ACE et
l'angle CAD sont égaui comme allernes- ^^

internes formés par des parQlIcles, l'angle / \

AEG et l'angle BAD sont égaux comme / '.

correspondants; or BAD =^ CAD puisque / '<

AD est bissectrice : donc AGE^^AEC,
ce qui établit (n° 178) que le triangle AGE
esl isoscète]. Le théorème énoncé se trouve
ainsi démontré.

Nous parvenons à
un théorùmcanaloguc

si nous considérons, au lieu de la bissec-
trice AD. la bissectrice de l'angle GAIC
(fig. 119) qui est un angle exicriear du
triangle ABC. Appelons D' le point oîi
cette « bissectrice de l'angle exk'rieur A << rencontre BC. On dé-
montre que le rapport des segments DB, DC esl, lui aussi, égal
au rapport des côlés AB, \C. On a, en d'autres termes :

Fig. I

DB
U'C"

AIJ DR

(') EuGLiDE, livre VI, propoi. 1.

Bditioui. — Lm Princi|ict it l'AnaJ^ie mallitmatiqas.

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803. Diviaioa luuvoBlifaa. — Lu pointi B, C, D, D' que

nous avons coiuiiMréB au naméro pricédenl (&g. iig) dinisenl le
segment BC — c'est atnsi qua s'expriment les gà>mèlres — daits

le même rapi>orl I ra|iport j-pj et forment une « ifwisiofi harmo-
nique n sur la droite qui les joint ; ils sont dits u conjugaés harmo-
niques » par rapport aux points B el C. Tout autre point E de BC
ou de ses prolongements divise BC dans nn antre rapport

/, EB ... , DB D'B\

I le rapport ^r "« peut aire égal auK rapports égaux 0^ > qt^ )-

Des deux points D et D', l'un est toujours entre B «t C, l'autre
hors du segment BC, savoir du cdt£ de C si le rapport «lonné est
plus grand que i | c'est le cas de la fig. 1 1 9 : le rapport élant plus
grand que 1 , la distance D'B doit être supérieure à la distance D'CJ ,
du côté de B si ce rapport est plus petit que i. — D'ailleurs il est
c]air que si l'on se donne le segment BC et l'ii/t des deux poiotsD,
D', l'autre est par là-même détenniné. Ainsi nn point D' est entiè-
rement défini par la condition d'être conjugué harmonique tfun
point donné D par rapport à deux autres points donnés B et C (').

DB D'B

C) D ailleuis la proportion kt^ b> n^ entralneiToir n"* g6,f)^!

CD' ~ BD' '^^ '^^^ montre qu'a>x t«nnM (h notra AiBaitMaa, \m painti
B st C sont conjuguii barmoniquei par nppvrt bhk pointi D «t D'. Il
e*t facile de vérifier que la longiunr BC est ■> iem pythagoricien du
mot |n° 30) moyenne harmoniqut entre les longueun BD' et BD. Je dis
que In trois longueurs BD' BD, BC satisfont à la relation

par laquelle on peut définir la moyenne tMrmoivque (voir p. 34, note 2]. En

effet la proporuon dX = D C;P*"**^''""BC — ~BD'°BD- — BC" Eg*!»"!
le produit des moyens au produit des extrCmes, il vient BD .(BD'^BC]^
BD' . iBC — BDi, on BD.BD' — BD.BC = BD'.BC — BD'.BD, Ajoutait
BD.BC + BD'.BD à cfaoque membn (ce qui >e 4étrtùt pM l'ëgaliU). j'ai

iBD . BD' =0 BO' . BC + BD . BC;
divisant les deux membres par lamÉme quantité BD.BD'.BC, j'obtiens
enfin

iBP BD' _ BD' ■ BC BD ■ BC

BJ> . BU . BG ~ BIÏTBtfTBC "•" BD . BD' . DC
d'où on tire, en simplifiant les fractions, la relation écrite ct-dasiug.
La qualification t harmonique 1 est empruntée au langage musicsL Si la

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GÉOHéTfUE aéTRlQCE i\I

904. — Je dis que la cirooafiSrenoe àéciiie est DO' aamme dîa-
mèlre jouit de celte propriété remarquabla que le rapport des
distances de tan quelconque de ses points aux points B et C, est

A , . DB D'à ,. , , ,

égal aux rapports ■gg. 0*^^ : d où résulte que ce rapport est le

même nombre pour tous les points de la circonférence.

En eflet (fig. T19) le triaitgle ADD' est rectangle puisque
les deux bissectrices de l'angle BAC sont rectangulaires (p. 66,
note 3). Donc (187) le poiiU A est sur la circonférence de dia-
mètre DD'. Réciproquement si nous Joignons 11D point M — pris
«u hasard sur la circonférence — aux points D et D', nous
démonlFOKs que les droites MD, UD' sont respectivement bissec-
trice et bissectrice extérieure du triangle MBC.

Il résulte également, du théorème du n" 202, que si l'on conù-
dire deuK droites indéfiniment prolongées x'Xx, yky et les deux
bisaoctrices z'Az, u'Au des angles qu'elles forment, une droite
fpieloonque (A) les rencootm en quatre pointe qui forment une
division hamooiqae. — On dit que les quatre droites a/Ax, ïAy.
z'Az, u'Au Cor ment ua faisceau karmonigue ('). Dans ce faisceau
les deux droites z'Az, u'Au sont rectaogukirea (formeni un angle
droit). On démontre (') plus généralement que si quatre dmites
{non rectangulaires), concourant en un point \, forment une di-
vision harmonique sur une droite (BD') les coupant, elles formeni
des divisions harmoniques sur toutes les antres droites qui les
aoKpeat (eiem[^ : la droïlf B,0,C,D', sur la ligure 120). En ce

UBi(i«« ««t 4eii>âe par -une oorde de loDgaear BD' «t la quinte par une
eorée 4e langnavr BD, la Uoroe aeta dooBie par iino corda da longueur
BC.

(*] OrdomiaBDi! de droiUB, dît OssiBausi.

(') La déBMMutralâoB réaulte imaédiatomeiit du thiorime de Pappue
appliqué à un rapport anlkanuonique égal A i (Toir fin du d° ai u).

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313 LIS FIGIIRES

cas, encore, on dît que tes quatre droites issues de A forment va
faisceau harmonique.

306. Pftles «t polairea par rapport A un csrole. — A la

notion de division harmonique se rattachent quelques-unes des
propriétés les plus l>elles des courbes planes.

Si — dit Apollonius {') — par le i>oint de concours de deui
tangentes à un cercle on tire une droite
r ^ qui rencontre la courbe en deux points, et

^*^^g^,--^r la corde qui joint les points de contact des
^^^^^t^ 1- deux tangentes en un Iroisiènoe point, ce

\^ " j troisième point et le point de concours
>._^^^^_X des deux tangentes seront conjugués har-
moniques par rapport aux deux premiers.
En d'autres termes (fig. isi) menons
'"■ '"■ par un point extérieur à un cercle de

centre 0 les deux tangentes PM, P^ à ce cercle et une sécaiile
arbitraire telle que PD qui cou|ie la circonférence aux points C
et D et la droite MN au point Q. D'après le théorème d'Apol-
lonius, les points P et Q sont conjugués harmoniques par rap-
port aux points C et D, quelle que soit la sécante considérée.

206. — Nous nous dispenserons de donner la démonstration de
ce théorème qui sera établi plus loin par l'algèbre. Contentons-
nous d'en géncialiser l'énoncé et d'en indiquer quelques consé-
quences, qui furent le point de départ de la « théorie des po-
laires » ('). Cette féconde théorie, l'une des plus importantes de la
gi!'oniétrie. eut ^lour principal initiateur le mathématicien parisien
Philippe De la Ilirc {=).

Cl ArOLLOMus (m» siècle av. J.-C.), K.uv;iti. livr. III, prop. Sy Bui».,
a. Heiber^, p. io3 aqq. Apollonius démontre en réaliU ion th^orims
non seulement pour le cercle, mais pour une section cotiique (voir J 5)
quelconque. — CF. IIlath. ApoUoniu» of Perga. p. luG suiv.

I') Les propositions qui (ont l'objet de cette ttiéorïe valent pour un»
section conique quelconque (cl. note i). Nous y reviendrons dans notre
Deux. LU'r., chap. iv.

(') Seclionrs conicae, in novem libro» dislribulae. Paris, t&SK. Le pre-
mier livre, Ad sectioncs conicas lemmaticua, contient la théorie de la
division tiarmoiiiquo et des polaires relatives au cercle.

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GÉOMÉTRIE MË'l'HlQUB

3l3

Remarquons d'abord que lorsque la sécanle issue de P passe
par le centre 0 et occupe la posilion PAB, elle est perpendi-
culaire sur la droite WS. Nous pouvons alors donner du théorème
d'Apollonius l'énoncé suivant, qui est valable (<), non seulement
quand le point P est extérieur au cercle (cas de la fîg. i3i) maU
aussi (juand il est silué à t intérieur (cas de la fig. 1 22) :

Appelons AB le diamètre du cercle qui j>asse i>ai' le point
donné P, R le conjugué harmonique ^

du point P par rapport aux points A
et B, TT' la droite (indéfiniment pro-
longée) qui est menée ynt le point R
perpendiculairement au diamètre AB
^ou à son prolongement). Menons
d'autre part, par le point P, une
sécante arbitraire ; appelons C et D
ses points de rencontre avec la cir-
conférence, Q le point où elle coupe
Tl" I les points V et Q sont toujours conjuguas harmoniques par
rapport aux /toiiils C el D.

D'après une terminologie introduite au début du xii* siècle
la droite TT' est dite « polaire n tlu point P ; le point P est dit
«pôle» de la droite TT.

Pour obtenir le pôle, quand la droite TT' est donnée, il suiTit de
mener par le centre du cercle la perpendiculaire ABK sur TT et
de déterminer le point P de cette droite qui est conjugué harmo-
nique de B par rapport à .\ et à B.

207. — Je disque Icpôle de toute di-oile passantparun pot/ilP est
su/- /«yw/aireTT(/e ce /)oi/t/. Soit, en effet, LL' une droite quelconque
menée par le point P (fig. i33) [la démonstration est la même si
le point P est hors du cercle) et soit Q' le pôle de LL'. D'après ce
qui précède, le point Q' est le conjugué harmonique du point P
par rapport aux points C et D où la droite PQ' coupe le cercle. —
D'autre part, le point de rencontre Q de ta polaire TT' du point P
avec la droite PQ' est aussi le point conjugué harmonique ilu

(*) Cecirémlte de la démonatration du théorème (vide injra, Deux, liv..

„Google

ait LES Fiotim

point P par rapport à C et U ; donc les point! Q et Q' coiacidenl.

Par conspuent, le pâte de LL' est bien sur la polaire TT' de P.

On dimoatn de mime que. récîpco-
qnement, la polaire et loat fioint *U ta
droite TT' patu par le piUe P lie ceilt
rlroile.

Il résulte de cea remarques qtte si 3, ^
oa j, elc. pointM sont mut ane même dmttef
leurs iiehim centoareni (se rencontrent}
en un mfme point (qni est la pdaïre de la
droite); et rériproqnement .

208. — La proposition suivante, définit un procédé graphique
simple (exigeant seulement l'em-
ploi d'une vh^\^) qui fournit la
polaire d'un [loint donné quel-
conque.

Si (') i>ar ait poin I P ow mène
à an cercle ileux si-ctnfes quel-
Cfirt^Ui'S.PCD, PCD' qMCuapeiit
le cercle aux fxitnlx C et D, C
el D', /(' poiiil il<- concours M
des ilroiles CD , DC el le point
de ronc'iars N des deax drollex
ce, DD' sont loas deax sar la polaire du j>ninl P par rai>f>ort au
cercle, (la figure i2'i est faile dans rbyjiotlièse où le point P est à
rexléricurdu cercif).

flOft. Halations «ntre segmant» détemiiiiéa par des droites
qui a* coupent. — Le» propriétés si simples et remarquables
des pôles et polaires devaient inciter les géomètres à étudier, dana

{■] Ed etlet, soit Q le conjugué hanDOoique de P par rapport aux
points C ot D, Q' [e conjugué do P par rapport aux points C'D'. Joignons
P et Q à N ; les qnatre droitM NC, ND, NP, NQ faniMnt un laBceau
harmouiqne { lin du n" %i.^| ; done «lie* forment une ttiTision harmonique
sur la droite PC' D' ; donc ISQ passe par le conjugé harmonique Q' de P
par rapiiort à C et D'. On démontre de mEinc que la droite MQ passe
par Q'. Donc les quatre points M, Q. N, Q' t>unt bieu sur une mâme ligne

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GÉOM^Tacr MÉTKIQCJB 3I&

des cfts nouYeMU, les retaàicns numérîqiiea que l'on peut établir
cotre les segments déterminés par une droite ou sécante qui coupe
une Bgiire simple.

Considévcns, par ex«tnpfe, tm Iciaojle ABC et nue droite (que
l'oQ appelkni fraim'enaU) ,

(pn conpc les teon côté» du p^
trnng'Le aux trois poïnls a, b, c
(fig-. 135). Le géomètre et
astronome alexandrin Cbaule
Ptalémée (a* siècle ap. J.-C.)
établît (') la relation remar-
qoabte i laquelle satisfont les six segments aB, aC, bK, hC, cA,
cB déterminés par ki transversale sur les côlés du triangle. On a

cB 6C cA _
aC ■ 6S ■ cB ~ ' ■

Porur déoMmtrerce théorème, menons par A, B, C trois paral-
lèles à une mèotc direclton quelconque, et appelons a, ^, 7 leur»
ponts de rencontre avec la transversale. La siuùlitude des triangles
aBj5 et aCy, b\a et ACy, cAœ et chfi (voir théorème de Thaïes,
n" 90) donne :

ail _ B^ 6C __ Cv cA _ A«

aC ~ Cï ' 6Â Ai' cB ~ BV

Mnllipltanl ces trois égalités membre h membre, j'obtiens :

oB fcC cA _ Bg ■ Ct ■ A« _
ÔC • bA ■ cB ~ C7 . A.» . B> ~ ' ■

La réciproque du théorème de Ptolémée (savoir que si a, h, c
sont, sur les trois côtés iTun triangle, trois points tels guc :

aB fcC cA _
iC ■ bA ' cB ~ ''

(') La propontion ënoncée par Pto[.éh£e figure d'ailleurs expljcilo-
ment daui les Spharica (III, i) de Menelas (voir »upra p. su», note ^)
qui «ont du ■■' siècle. Nous considérons ici tous les serments comme des
longueurs (nombres positifs). La géométrie moderne affecte cea longueurs
des signe* + ou — conforatiment à certaines conventions dont nous ne
occuperons pas.

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ces trois points sont en liijne droite) est appelée lliéocème de Mené'
las (ou Menelaus) [voir la noie p. 3ij].

210, — Dans les Collections maihémattques (') de Pappus
d'Alexandrie (iV siècle), nous trouvons une proposition dont l'im-
porlance a été soulignée
par Cliasles (*) : Quand
quatre droites iCun pian
sont issuex d'un même point,
elles forment sur une droite
transversale menée arln-
Irairemenl dans leur plan,
quatre segments qui ont
entre eux un certain rapport
constant .

Ainsi, soient A, U. C, D
hs points où quatre droites
sont rencontrées par une transversale quelconque (fig. 126), et AC,
AD, BC, BD les quatre segments qu'ils déterminent : /f rapport

Ch ' DB ""'"" ^° même valeur quelle ijue soil la lranst'ers(Je (*).

(I) En grec : Z\iv^iia-[-r',.

('1 Chasleb, Aperçu tiittorique, elc. -î' éd. 1S75, p. 31.

Cl CoDsidcrons une lecondc transversale qui coupa noi droites en
A', B', C, D'. Menons par les points B, B' les parallèlsi Bcd, B'c'd' à OA
(voir fig. 136). Les triangles semblables COA, CBc et DOA, DBd donnent

CB '

Divitant membre à membre, j'obtiens :

CA DA

OA

Cb " DB ~" ^li

Ou démontrera do même que

CA' ll'A'
CB' ■ DU' "

Mais l'on a (Itiéorime de Ttiaiis\ :

OU

OB' '

m- -

donc [interversion dos moyens, ifi] „

CA DA
CB ■ DB ~
ce qu'il fallait démontrer.

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GÉOMÉTHIB MÉTRIQUE SI7

Ce rapport qui devait jouer im grand rôle dans la géométrie du
XIX.* siècle (vide Deux. Livr., cli. iv) porte aujourd'luiî le nom rap-
port aiiharmoiùque des quatre points a, b, c, d. Il est déjà sous une
forme plus ou moins explicite, à la base des travaux de Girard De-
aBrgaes{vide ln/ra,p. sA^.note i) ctde Biaise Pascal: ces (féomètres
font graviter autour des propriétés des li'anxversales une foule de
propositions exprimant des propriétés métriques ou qualitatives des
figures composées de droites, ou de droites et de cercles, ou, plus
généralement, de droites et de sections coniques [vide iiijra, S ^l-

Dans le cas particulier où le rapport an harmonique est égal à t.

on a ^ = r.D- Les points C et D sout donc conjugués harmo-
nique par rapport à A et B, et il résulte du théorème de Pappus
que les quatre droites forment de mâme une division harmonique
sur toutes les transvei-sales. Les quatre droites constituent alors un
fasceaa harmonique (n° 204).

331. Hexagone de Pappiu. — Parmi les corollaires tirée par
Pappus lui-même du tliéorèmeque nous avons énoncé nous signa-
lerons la suivante (ïjva-fufp!, liv. II, prop, iSg). Quand un hexa-
gone C) a ses six sommets placés trois à trois sur deux droites, les
trois points de concours de ses côtés opposés sont en Ugnc droite
{c'est-à-dire : sur une même droite).

213. Hexagone de Pascal. — C'est un résultat de mtïme
ordre, mais plus riche de conséquences, qu'apporte Biaise Pascal
dans le fameux placard, Essay pour les coniques, qu'il fit imprimer
en t&lio, à l'âge de seize ans {'). Il démontre que quand un hexa-

(') polygoDB à 6 cfitéf, il s'agit ici d'un hcxagODc quelconque, non
d'un hexa^ne régulier.

(*} Ce placard, d auggcïtit et plein de promesses, ne pouvait man-
quer d'attirer l'attention, venant d'un %\ jeune homme. Deacartes jugea
que l'auteur avait ■ appris de M. Desargues i. C'était la vérité, mais le
mérite de Pascal n'en est pas moini grand, a Je crois, — remarque lort
justement Leibniz, — que M. Desargues a eu raison de dire que le jeune
. Paacal, flgd de i6 ans lorsqu'il Ct son traité des coniques avait profité
dei pensées de M. Desargucs; il me semble que Pascal l'a reconnu lui-
même. Cependant il faut avouer qu'il arait poussé les choses plus loin >.
Ajoutons que Desei^ues, dont le génie créateur ne devait être reconnu
que longtemps après sa mort, s'exprimait dans une langue étrange et peu

.y Google

U» nOIlBKS

(fune etl iiucril da/u un cercle [c'est-à-dire a ns ûx sommeis sur
une mârae circonférence] la trois points de concourt des aMés oppo-
sét sont en htfne droite.

Ainsi, sur b %, 197, te points de concoars descAtés ABetED,
BC et FE, CD et AF de l'hexagone ABCDEF sont Iroi» points
L, M, N situés sur une mâne droite.

Pascal savait que le même théorème reste vrai si l'heuigone, mi
lieu d'être inscrit dan» im cercle, ^^ inscrit dans {*) une section
conique (cf. snpra, p. 3i3, note 1) quelconque. Il se propf>sait
d'établir complètement cette proposilion, — qui est de nature
puiement qualiUilivc — et d'en déduire une théorie géoérate des
sections coniques; mais le grand traité qn'il préparait ne vît ja-
mais le jour {').

intelligible. Pascal se distingue au contraire par la cli
de SCS vues et de son expose. Voir, sur Desargues, infr.

Le théoràme fondainental de Pascal est éaoneé en
['Estay pour lea coniques (Œui'. de Pascal, t. 1, p. ii'i)
MSQ.du point M partent les dcui: droites MK, MV ; et <
las daux droites SK, SV ; et que K sojt le concours de
et V le concours des droites MV, SV, et A l« eoneoun
SA, et 11 le concours des droites MV, SK; et qae par
points A, K, (IL, V, qui ne soient pas en même droite a
S, comme par les points K, V, passe par la circonféi
coupant les droites MV, MP, SV, SK es point O, P, Q,
droites MS, NO, PQ sont de m&ne ordre \c'iat-à-dire : c

(-( c'eat-à-Aire : a «en six sommets sur le contour do

(') Cf. CEui>. de Pascal, t. II, p. aa-S, sqq.

et la netteté
^M, noie .-
ces termes dajiB
: ■ Si dans le pl«n
u point S partent
I droites MK, SK
des droito* MA,
deux des quaitie
les painls M^

je dis tfm» le*

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GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE 3ig

Dans VEUsay poar les coniques de i6/|0, cependant, Pascal
énonce déjà [Jusieun coBBéqmtnoes retnarquaUes qu'il a déduites
deaon théorème, entre antres le théorème de Ptolémée (n* 300) el
one proposition équivalant an théorème suivant, qui est testé
connu sous le nom de tbéorénte de Desarj^iies (') :

Un cercle quelconque, les calés opposés el les diagonales d'un
quadrilatère inscrit /ions ce cercle délermiiienl sur une Iransversale
quelconque 6 points M e( M, P ei F, Q el Q' (voir fig. ia8) tek
que les rappoits anharmoniques îles points M, M', P, Q, rPaiie part
et W, M, P*, Q' iaalre part, soient égaux ; autrement dit :

(4)

PM QM _P^M' Q'M^
PW ■ QM' ~ P'M ■ Q'ia ■

On exprime cette propriété en disant que les trois couples de
p«Bte M et M', Q et Q', P el P' sont en involalion (*).

213- Puissance d'an point par rapport A un cercle. — Soit
donné un cercle quelconque et un point P dans le plan de ce cercle.
Menons par la point P deux sécantes quelconques (lig. 1 39) qui
coupent respectivement le cercle en A et Bet en C el D. Je dis que
l'on a l'égalité

(5) PA . PB = PC . PD.

l'J I Propriété, dit Pascal, dont le premierinventeureEt M. Desarguee,
IjOMuais, un d*s gisnds eapûta de ce tempe et das plus versés aux ma-
tUiaatii|uca > (cL Œuv. dt Demrgitei, éd. Poudra, t. II, p . '.'.6-]} Le tkéo-
rima reste vrai, ici encara^ si l'on remplace le cercle par une scetian
coDJque quelconque,

I*) D'une nutnière générale, supposons donnés deux couples de points
P, P' et Q, Q' sur une même droite (A). On démontre que, si l'on désigne

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LES FIGUaES

Supposons, [lar exemple, que le point P soit extérieur au cercle
et menons les droites AD el BC. Les triangles FAD et PCB sont
semblables puisqu'ils ont même angle P, et que l'angle D égal
l'angle B (ces angles ont même mesure d'après le n° 187). On en
déduit, en égalant les rapports des c6lés homologues :

PA FD
l'L "" PB

pro[X>rtioii équivalant à l'égalilc (.'>).

Ainsi le produit P V . PB est une grandeur qui reste la même
quelle que soit la sécantePAB (pourvu que le point Pet le cercle ne
changent pas). Cette grandeur, indépendante de la position de la
sécante, est appelée puissiincc (') tlu point P
par raiijKtrt au cercle (nous le désignerons
par y). Lorsque la sécante, tournant autour du
point P, devient tangente au cercle, les deux
points d 'intersection A, B de la sécante et du
cercle viennent se confondre en M ou en N ;
d'ailleurs on a toujours P.\ , PB ^ p et, par
Fi(i. lîo, conséquent, pour la position-limite de la sé-

cante, PM* = ;;. Donc la puissance du point P est égale au
carré de la tangente PM ou PN (PM est égal k PN). Joignons,
d'autre part, le centre 0 du cercle aux points P et M (Gg. i3o) :

par M un point quelconque de la droite (A) il existe s
point M' et un seul tel que l'on ait la relation (4),

r cette droite un

PM' ■ Q.M' "

QM-

Cette relation dt finit doue une correspondanco de point à point, laquelle
est appelée ini>olulion : à un point quelconque M de (A) elle fait corres-
pondre un autre point M' de la même droite. D'ailleurs cette oorreapon-
remplace M par M', on obtient comme corres-
^ar, d'après les règles du calcul des fractions,
conséquence l'égalité
. QM _ P M . QM

dance est réciproque; s
pondant de M' lo point M, i
i'égalitc (4) entraîne comme

On B d'ailleurs le théorème :

de paires de points dont chi
Oi, 0^ de la droile (&) une
■ont en involution.

{'] I, 'expression est mode

TAS DE TaBENTE.

PM ■ QM ~ PM' ■ Qil

livant : Soit sur une droite (1) un ensemble
une forme avec une même poire de points
ivision harmonique: ces paires de points

„Google

1 1

CÉOUÉTRIE MéTBIQLE 391

nous voyons que OP' = OM' ■+- PM' (puisque le IriaDgIe MOP est
rectangle). Donc la puissance {p ou PM') du point P égale le
carré 0P> de la distance de P au centre da cercle moins le carré
OM' da rayon.

On Jémonire pareillement que, lorsque le )>oint P est intérieur
au cercle. le produit PA . PB (puissance du point P par rapport au
cercle) reste invariable lorsque la sécante APB tourne autour du
point B ; ce produit est égal aa carré da rayon moins le carré de ta
distance de P au centre du cercle.

214. Figures inversea. — Bornons-nous h délinir ces figures.
Donnons-nous un point 0 (centre d'inver-
sion) et un nombre fi positif ou négatir; puis
considérons un point quelconque M du plan ;
k ce point M noua ferons correspondre un
point M' ainsidbfini(fig. i3i): i" le point M'
est sur la droite OM ou son prolongement,
savoir de même côté de 0 que M si k > o,
del'autrecâtési A-<u: 3" le produitdcs longueurs OM.OM' est égal

I fcl
à )a valeur absolue de A'; donc la distance OM' est égale à q-.-f (').

Aux termes de cette définition (si O et A" sont donnés) il corres-
pond à tout point M du plan un point M' et un seul. Cela posé,
considérons la figure formée par l'ensemble des points M' corres-
pondants à tous les points M d'une courbe ou ligne quelconque (C) :
cette figure est apj>elée Jif/ure inverse d» la ligne (C) ou Jlgiire
transformée de la ligne (C) par rayons vecteurs réciproques (*). Il
résulte immédiatement de noire définition que si (Ci) est la figure
inverse de (C), (G^ est réciproquement la figure inverse de (Ci).

On démontre que la ligure inverse d'une circonférence qui ne
passe pas par le centre d'inversion 0 est un cercle. En particulier,
au a" 213 le cercle de la figure est sa propre figure inverse par rap-
port au centre d'inversion P si l'on prend pour valeur de k le
nombre positif OP' — OM'.

C) Nous dëugnons par \k\ Ja valeur absolue du nombre k.

1*1 D'où le nom e rayons vecteurs réciproques ». On appelle rayon
vtiÀtur une droite telle que OM qui joint un point (ou centre fixe O) à
un point variable : ainsi, dans la théorie ds la lumlùre (à laquelle est
empruntée l'expresùon vecteur] un rayon lumineux.

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SS9 LES nSL'SSS

On démontre que 1« figure inverse d'une droite qui ne passe pas
par le centre d'inversion 0 est un cercle qui pme par le oodre
d'inversion.

216- Relations trlgonoanétrifues antre le* éUnaants d'tm
tiiumle reotangle. — Nous avonsdëftni «u q° 153 certaines ioa-
gueurs remarquables (grandeurs trigonométriques) que l'on peut
associa k un angle quelconque et que noas
avons appelées tiniu, cotiniu, tangente, . . ,
Entre les longueurs des cAlés d'un Iriaag^le et les
grandeurs trigonométriqttes r«lativ«s à ses
angles, il y a des relations métriques qui sont
fort souvent utilisées dans les calculs pratiques
(astronomie, géodésie, arpentage) et qui jouent {gisement un
r&le important dans l'atgëbre théorique. *

Considérons (fig. iJa) ie triangle rectangle AOB dont l'angle A
est droit. Portons sur OB une longueur OM égale i l'unité de lon-
gueur [sur la figure, cette longueur est inférieure i OB; il n'y
aurait rien i diangcr k nos raisonnements si le point M tombait
sur le prolongement de OBj et menons UP parallèle k BA. Par
définition, la longueur du segment OP est le cosinus (positif) de
l'angle 0, U longueur PM en est le sinus (posïtif) [le cosinus et le
sinus sont positifs, vide n° 156, puisque l'angle 0 esEaîguJ. D'ailleurs
les deux triangles OAB, OPM sont semblables, et l'on a :

OB _ AB _ OA OB AB OA

OH~PM-OP •*" i—naQ — ^ini'

d'où l'on tire :

AB = OB . sin 0 ; OA = OB . cm 0 ; J? = ?^ = tang. 0.
OA co» 0 *

D'ailleurs, puisque l'angle A est droit, les angles 0 et B du triangle
rectangle sont complémentaires (n° 170). Donc (n° 162)

ïin 0 = cos B, cos 0 ^ sin B.

Nous avons donc :

AB ^ OB . cos B ^ OB . sin 0 = OA . tg G,

résultats que nous énoncerons eu ces termes :

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GÉOMéTBIB MÉVaiQUB

x^3

Un côté de taii'jîe droit {calltète) d'an triangle rectangle quti-
conque etl égal au produit de l'kypaUnase par le cositMS de langle
^u' il fait mec Chypoténase ou par lésinas de t angle complémentaire;
it est aussi égal au produit de Tautre côté de t angle droit par la
tangente de tangle opposé (à lui-m£me).

316. Démoiutratioa de la JonBole doonuit cos (a + h). —
Nous avons annoncé au n° 163 une démonstration de la formule
qui fait connaltce le cosinus d'une somme, cos (a + h). Nous
allons exposer ici cette démonstration (*) en nous plaçant dans
l'hypothèse où les abscisses curvilignes a et 6 sont telles que

o<!a<-eto<Co-t-fc<;- {fig. i33, où a désigne lamesurede

l'an^ MOA et t la nwure de l'angle NOU). Appelant? la projec-

aon de N «ur OA. Q celle de N sur OU, R et

S les projections de Q sur OA et sar 1& pwal-

]^ k OA isenée par le point N, nous voyons

que l'on a (puisq\ie le cercdn Irigonométrî^e a

un rayon. ON, égal à i) :

dans le triangle rectangle OQN,

OQ = ON.cob6 = co8 6,
<st

NQ = ON.sin 6 = sin 6
OP = cas (a -)-- k) par défiiùlini ;

dans le triangle rectangle ROQ,

OR = OQ . cos a :

d'ailleurs l'angle NQS est égal à l'angle MOA — ou a — comme
ayant ses côtés perpendiculaires à ceux de cet angle (169) ;
donc dans le triangle rectangle SNQ,

Celapoeé,

NS = QN.sin SQN = ON.
<M»=<« — PR = OR —

NS-,

(') Dam cet énoncé nous écrivons, pour abréger, ■ cdté ■ au lieu de
( longDBur d'iM céli ■. Le mtme ésaneé s'applique aux danx ofités de
l'angle droit,

(*) Vqir«iiMi Dnuntaw Liv., elup. tv, % 9.

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.A.

334 t-ES FIGURES

donc

cos (a-h b) = OQ.caia — QN.sîn a = coi b . cma — un b . sina.
La même méthode de démonstration |>crmettra d'établir que
quelles que soient les valeurs des abscisses curvilignes a et h
(voir 163) on a toujours la même égaille

cos (a •+- b) ^ cos d.cos b — sin a.sin b,
les cosiims et sinus étant, dans cette égalité, positifs ou
négatifs suivant ks valeurs de a. h et {a M- b). Oa démontrera
d'une ma:iiùre analogue la formule qui donne l'expression de
sin (fl -H b).

Vil. Relations entre les élAmentB d'un triangle quel-
conque. — Soit ABC un triangle non rec-
tangle dont nous supposerons d'abord les angles
\ et C aigus (') (fig. i34)- Menons la hau-
teur BH. On a, dans le triangle rectangle CBH

(6) BC> = BH» + CIÏ»,

Fig. iV,.

dans le triangle rectangle ABU

BIP =. AB' — AIP ;

d'autre part. Cil est égal à la dîlTérence des longueui-s AC et AH,

et l'on a :

ai'-.{AC — AU) X (AC — AHi = AC» + AH'— aAC x AH.

Nous conclurons de ces égalilés que
(7)BC'=AB»— AH"+AC'-hAIP— 2ACxAH:-AB'-hAC^— aACxAIÏ

Remarquant cn.suite que. dans le triangle rectangle HAB, on a
AH = AB.cos A, nous pouvons remplacer l'égalité par la sui-
vante :
(8) BC* ^ AB' -^ .\C' — aAB . AC . cos A.

318. — Pour parvenir à ce résultai, nous avons supposé les
angles A et C aigus. — Supposons maintenant que l'un de ces
angles soit obtus, et d'abord l'angle C : la démonstration se fait

{ 1 1 L'angle B est supposô aigu sur la figure 1 1^ ; mais la de monst ration
serait la mémo si cet angle était obtus. Un seul angle peut être obtul
puisque la somme des angles du triangle ne peut dépasser deux angles droits.

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CÉOMÉTitlE IIÉTBIQUE 335

alors sur la figure i35 ; nous avons, cetlc fois, CH = Ail — AG
(au lieu de CH = AC — AH), mais nous tirons encoie de là

Cil» = AC + AH* — aAC x Ail,
et noua obtenons comme tout à l'heure l'égalité (7) que nous pou-
vons transformer en l'égalité équivalente (8). Soit enfin l'angle A
obtus ; la démonstration se fait alors sur la figure 1 36 ; nous avons
celte fois,

eu ^ AH + lie.

CH» = (AH + AC) X (Al! -h AC) = AH* + AC» + aAC x Ali.

Portant cette valeur dans l'égalité (6) [où BH' est remplacé
par AB» — AH»J, noua obtenons
(9) BC» = AB» + AC» 4- aAC.AH.

D'ailleurs le triangle ABH nous donne AH — AB . ces BAH,
et nous savons que le cosinus de BAH est égal au cosinus né-
gatif (') de l'angle A du triangle ABC (angle obtus supplémen-
taire de BAH). Nous en concluons que l'égalité (8) a bien encore
lieu.

Si au lieu de partir du côté BC du triangle ABC, nous consi-
dérons le côté AB ou le côté .\G, nous obtiendrons évidemment
une égalité ou relation semblable.

219. — La IroU cotés «Tan Irianjfle ijuelconfjue sont propoi-'
iionneh aux sinus des angles opposés.

Les triangles rectangles ABH, UHG nous donnent immédiate-
ment, quel que soit celui des trois cas de figure auquel nous avons
affaire :

BH = AB.5inA cl BH = BC . sin C

(•) Vid« n" i56.

BoDTMDi, — Le* PriDcipu iIb l'Analj'ia mtlhtoiliqaa. |5

„Google

73C l'E^ Fir.CMS

d'où résnite

Alt.sinA^BC.sinC on ^j^ C = siH^A"

Raisonnant semWablemonl sur la hauteur relative au sommet C.
nous obtiendrons

AR ^ AC
rin C rin B '
donc (')

liC AC Alî

'•°' .iâA = sinR = »mC-

220. — Soit maintenant AK la liautcur issue de A (voir Hg. i3i
où les angles A, 11, C sont nii/us). Les triangles rectangles K\B.
KAG nous donnent

ItK = AR . COI It. KG — AC . cos C ;
d'où

BC r-z BK -H hC = AB . cos B 4 AC . co« C.

On établira facilement la même égalité dans l'iiypotlièse où
le triangle a un ongle oliliix.

Les c6lé>> AB cl AC du triangle donnent lieu cliacun à une
relation analogue.

321. Réanmé des formules ralatlves aux trianglsa. —

Désignons, pour simplifier l'écriture, par a, b, c les longueurs des
côtés BG, AC, Ail du triangle, respectivement opiiosés aux angles
A. B. C.

Entre les Ci éléments 'i. '', c. A, B, C, nous avons les relations
suivantes :
1. angle A + ani>le B -I- angle C ^ i augles droits (n* 170^

n'r- h" -r-c- — afcccos A
U. J !-■' -^ c' -i- n= - ïcd cos B (n- 217-8)

'"• iiT,B^.in-B-=«„'cf"°^"'

« =- c cos B -h 6 CO» C

IV. J (. =: . rt cos C H- c cos A (n" 220)

c ^^ (i cos A -I- a cos B

i'} On démontre que la valeur commune des trois rapporta est la lon-
gueur du diami-irc du cercle circonscrit au triangle ABC (voir 190).

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l'édifice géohêtbiqiie et la démonstration

4. — L'i^UIctgéométriQneHIm démoaatrmtiaa

aaa. — ÎVou» axons dil (166) qoe, pour on entendement
parfait et dont ta puissance de compréhension serait infinie, Fa
■cience ne se déroulerait pas, comme ponr nons, en une longue
file de théorèmes. Ou point de voedc la raison, à qui le tempe
est îndïffêrent, il n'est point vrai qu'une proposition en précède
ou en jusIiGe une outre; tontes sont également primitives et érî-
dentes par elles-mêmes. Maïs la science humaine, imparfaite p«r
nature, ne peut saisir que l'une après l'autre, et au prix de longs
et laborieux détours, les propriétés des figures géométriques ;
« on rapporte, écrit Prodo» ('), que Plolémée demanda un jour à
Euclide s'il n'y arait pas pour la géométrie de roule ptos courte
que celle des Eléments ; il eut cette réponse : I) n'y a pas en
géométrie de chemin fait pour les rois ».

Le dwmin frayé jiar les géomètre» grecs, quelque roturier qu'il
siMt, n'en est pas moios une des phis belles cK-alîons de l'bomaailé.

Les Grec» ont eu de bonne heure le goût de la dialectique. For-
tifié par les sophistes, ce godl se répandit cheK les géomètres de
l'Académie, contemporains ou continuateurs de Platon. Les di-
rerses formes de raisonnements mathématiques furent snbtilcment
distinguées, classées, disséquées, et d'inlenninables discosaioDs
s'engagèrent sur des questions de méthode ou de lemiinologie.

233. Iltéorènias et proMAmes. — n Déjk (') parmi les an-
ciens, dit Proclus, les uns, comn>e Speusipjpe et Amphtnome,
proposaient de tout appeler théorème, p«isant que ce terme con-
vient mieux que celui de problème aii\ sciences théoréliques
'^contemplatives) et surtout traitant des choses étCTneiles; cai, pour
de telles choses, il n'y a pas de génération ; il n'y a donc pas de
place pour le problème où il s'ayît d'engendrer et de faire quel-
({ue chose comme si elle n'était pas auparavant : par e.\eTnple,
construire un triangle équilatéral, décrire un carré sur une droite

i') Cf. P. Tashebï, La giomib-ie grecque, p. G^.

(*) Voir P. Tahhery, foc. cit., p. lîy. Spcctippe était neveu de Platon.
Ahphinome n'est en tout cas pas antérieur à Aristotc.

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2^8 LES FIGURES

donnée... D';intres, au contraire, comme les malhématicicns <lc
l'&ole de Méneclime, étaient d'avis de loiit i-egarder comme des
profithnes, tout en en dislîngiiant deux formes : tantôt, en effet,
il s'agit de fournir (itopfiaaOn) quelque cliose de cKerché, lanlùl,
au coniraire, [>renant quelque cliose de déterminé, de voir ce que
c'est, ou quelle en est la nature, ou ce qui lui arrive, ou quelle esl
sa relation à autre chose ». La discussion se poursuit pendant des
siècles. Geminus{i"sîècleav,J.-C,) soutient que le théorème est pins
général que le problème. Au contraire, » Carpos (') le mécanicien,
dans son Trailé astroloijiijae,,.. dit que le genre des problèmes
précède dans l'ordre celui des tliéorèmes, car c'est |)ar les premiers
que l'on trouve les sujets auxquels se rapportent les propriétés à
étudier. L'énoncé du problème est simple et n'a pas besoin d'une
intelligence exercée : . . . construire un triangle éqiiijatéral, ou bien,
étant donné deux droites, retrancher de la plus grande une égale à
la nioindi-e; là, rien d'obscur, aucun besoin d'une attention minu-
tieuse. L'énoncé du théorème est au contraire pénible; il réclame
une grande exactitude et une critique savante, pour n'être ni trop
étendu, ni insuffisant par rapport à la vérité ». Proclus défend,
quant è lui, l'opinion de Geminus, et il conclut : v 11 est donc
frivole d'attaquer Geminus comme ajant dit que le théorème est
plus parfait que le problème; car si c'est d'après l'ordre que
Carpos donne la prééminence aux problèmes, c'est d'après le
degré de perfection que Geminus l'accorde aux théorèmes ».

234. • — Ces discussions ne sont pas aussi oiseuses qu'elles
paraissent au premier abord. Elles ont permis de dégager les
caractères auxquels se reconnaît la légitimité d'une définition ou
la rigueur d'une démonstration, et si l'analyse de ces caractères
est superflue dans les premiers chapitres de la science, où nous
sommes guidés par le bon sens, il n'en est pas de même dans la
suite.

Ainsi, en analysant la signification des problèmes, nous appre-
nons que toute définition doit être complétée i^r une discussion
(problème) établissont Vexistence de la chose définie {voir % S). Si,
par exemple, je proposais d'appeler triangle birectangleun triangle
dont deux angles sont droits, je donnerais unedélinition purement

(') Fragment de Phoclus, apud. P. Tannehv, loc. cit., p. i^S.

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GÉUMÉTBIQLE ET H DÉUO>:>'rRATIO^ ^29

^erLaleetsansvaleuv : ciieiTct le problème u construire un triangle
donl deux angles sont droits » n'a pas de solution, puisque la somme
des trois angles du triangle ne peutétre supérieure à deux droits.

Dans l'étude des théorèmes également (propositions énonçant les
propriétés dont jouissent [e:^ figures géométriques), les problèmes
jouent souvent un ràlc capital. Supposons, par exemple, que nous
énoncions le tbéorème suivant : Tout angle inserlt dans uit demi-
cercle (') est un angle droit ; cet énoncé ne sera satisfaisant que si,
d'unepart, il est exact en toutes circonstances et si d'autre part, il ne
contient aucune restriction superflue ('), c'est-à-dire si la condition
imposée à l'angle (d'être inscrit dans un demi-cercle) est bien une
condition nécessaire de sa rectitude. Or, pour s'assurer qu'il en
est bien ainsi, le procédé le plus sikr sera de résoudre le problème
suivant : inscrire dans un ceixle de rayon donné quelconque un
angle de grandeur donnée', on constatera alors que l'arc compris
entre les c6tés de l'angle inscrit est inférieur, supérieur, ou égal
à un demi-cercle suivant que cet angle est lui-même inférieur,
supérieur ou égal à un angle droit (cf. 187) ; et l'on conclura de
là que le théorème donné plus haut est correctement énoncé.

225. Traltemeot d'un problème. — Ainsi l'étude complète
d'une question de géométrie sera ramenée en général à l'étude
d'un problème ; étant données certaines ligures, construire une
nouvelle figure remplissant telles ou telles conditions déterminées.
C'est ce que nous voyons nettement dans les Eléments d'Euclide
(voir supra, p. i8.t, note a et infra, a° 228).

Le traitement d'un problème comprend buit pliascs ou parties :

I* L&protase (Tpà-c^ai:) ou énoncé ;

a* h'eclhhe (ËxOwtî) ou répétition de l'énoncé rapporté cette fois
au tracéd'un schéma dont les différentes parties (points, droites, etc.)
sont en général désignées par des lettres ;

3* Vf^agoge (à-»Y'«>T'!), qui transforme le problème proposé en
un autre problème plus simple : elle suppose, pour cela, le pro-

(') c'est-à-dire comprenant entre ses côtÉB une demi -circonférence.

Cl Je me garderai par exemple d'énoncer comme un théorème la pio-
posilion suivante : La i«mme de» angles d'un triangle rectangle est égale
à deux angle* droits. En efTet l'tgalitc énoncée a lieu lors mime que le
triangle n'e«t pas rectangle.

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3^ LES FtecKU

bUme résolu et, en s'appn^uit Bor do prcq>osilia(ts «onnoes. dk
montre que les coudilioos lequises (pour la ontstructioa <ie la
ligure inconnue) seront idirenMfit salUfaites b telles antres condi-
tions (pluâ simples) te sont ;

i' La résoimiiwi (rnÀusic) esl k oon&ontatioa ( i ) des oomSitoan
reqaises avec cdles qui sont données »nc les (coaditMiafl aiu-
qadtei Mtisfont les dunjtéft).

5" S'il y a éqaiviieace ealre ces conditions, ie proUème est
résolu. Uais il se peut qae l'éqaivaleace ait lîea «ulement Irocsqa on
ajoute auK donnëei quelques condilioM reslcictives sopplénii'O-
taires. None reviendrons donc à la proUse et h conplèferons par
le lUoritme (ciapKrtio:), énoocé des restrictioDS moyennant lesquelles
le proWme est pos&ible : cet énoncé ibroiule des propriétés
appartenantauK ligures que ton ooasid^ ; c'estdoncun ihéorhne.

Ces étapes franchies, il n'y a pins mainleDantqu'ivériJier que. par
l'iotermédiaire de l'apagoge, on pent eOecti ventent, i partir des
figaret données par la protase H le dtorisme, construire h liguie
demandée. La vcritlcalion comprend les parties soivantes :

Cl" La iwntrmc/JoM (Kmsx^api;) qai coinf4iie l'eclbèse ea tcnçaal,
ou du moins indiquant, les diverses lignes qu'il est nécessaire de
considérer [»our taire la dcoMMisti^tion ;

7* La (lêmonslralion proprement ilùe (nâôtiÇtc), qui déduit de la
OMistruction la figure demandée ;

H' L> roncltuion (ri^ipc9[x*), qui «IHrme qoe cette figure satts-
l'ait bien aux ccmditims requises.

2a6. — Lclairons celte théorie par un exemple.

Soit (protaxe) à construire un ttiangle isoscéle étant 4<uuiitx la
tanneur de la base ei la grandeur d'un angle adjacent k la base.

Il s'agit en d'autres termes (erlhise) de coaslniire un
triangle isoscèle tel que AIK'. où le côté DC et l'aoglc B aitfit
rcBpeclivcniejit |iuur grandeurs celles du segment fi'C et de
l'angle 0 rapFcsentés sur la ligure 137.

Al>nyo(fe : Si AISC esl le triangle demandé, l'angle ABC esl
égal à l'angte \CB (puisqoe le tmn^ est iso«oèie) ; érme les angles
B et C sont tous deux égaux ï O, BC clant d'ailleurs égala B'C.

Tel est du moins le sens doimé du mot àviijjiî par les géomètres
Platon l'entendait autrement.

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I.'ÉDIKICE CÉOMériUQ(.'E ET I.A IlÉUO.tSTHATloV' i'it

Donc (réaoUUiwt), ai l'on peut construire un tibogle ealbfaiaaut
aox conditions recpûses, ce triangle sera formé par une hase OC
et deux demi-droites U\,CV situées du même calé de BC et yàiiw/
chacune «vec BC un angle égal à 0 (Ûg. 1^7}.

Un Ici Iriangle n'existe eirectivement que ai les droites BV et GY
se coupent ; pour qu'il en soit ainsi il faut,
maaifeslement, et il sufiit (iliorismej que (es
tmglet égaux \BG ei YGli soient aiyuji. ^^^
Nous pouvons donc énoncer le théorèuM /
suivdiBt: Daiis un triangle isoscèle, les aiitf les 0 y
adjacents à la bote tonl aigus.

Cela [Htsé, nous pouvons conslniire le
trUngte ABC. I^renons (conslraclion) un .

segment BC égal à B'C, et, à partir des j-

pointe B et C menons, d'un même cùlé de
BC, des droites BX et CV Taisant avec BC ° '

des angles égaux à l'angle aigu 0. Ces droites (tléinorutration)
se coupent, et rorment |tar conséquent, avec BC, un triangle ABC.
Ce triangle satisfait bien aux conditions requises {cuiKlusion).

327. Analyse et •yntUae. — Faimi les pluiscs du raisonoe-
ment énamérées ci-dessus, la troisième et la qualnèiiie iKa^'uy)!
et sMA-j^i;) constilueut {'analyse, la sixième et la septième (lufciaxEi»!
et àiibSiiÇt;) constituent la synllihe. Il se peut que la sjntlièse ne
base que répéter l'analyse eo reuteitant l'ordre de l'expi^silion. En
ce c«s on a le droit (sans diminuer en rien la rigueur Je la déduc-
tion) de se borner, soit à l'analyse, eoit i la synthèse. U se peut au
contraire qn'anatysc et svnllièse soient toutes deux nécessairesi
l'analyse donnant des solulions qui satisleraienl anx condilions
requises $i elles existaient, mais qui j>ei]t-étre u'eibl«nt pas, la
synthèse, d'aatre part, fournissant des solutions toujours possibles,
mais ne donnant pent-^tre fas toutes celles que comporte le pro-
blème (').

(Jb rmisonnement qui se réduit à l'analyse on k la synthèse est

1') On aait, qu'en efTel, ud problème peut admettre plusieurs solutions
diffcrentei. Sait par exemple à comlruirG un triangle dont on couiuitt
deux côté» et un angle (non compris entre ces c6tés] ; nous avons tu «u
n" 173 que ce proMèmo a -i lotutioni.

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appelé raisonnement nnalylii/iie ou ratsonnemenl sytithéfitjue. Le
raisonnement analytique {>art du résultat à démontrer (c*est'à>dirfr
suppose le problème résolu} : le raisonnement svnthctïqiie (qui est
la démonstration sous sa forme normale) part, au contraire, des
doonées, pour aboutir au résultat requis.

Ainsi, parmi les huit parties dont se compose un rai-
sonnement complet, toutes ne sont {kis toujours explicitement
formulées. La marche du raisonnement varie suivant la nature des
problèmes et des théorèmes (la démonstration d*un théorème com-
prenant d'ordinaire moins de pailiea que la solution d'un problème).
D'ailleurs l'apagogc et la construction se présentent, suivant les
cas, sous des aspects très divers. D'où un grand nombre de types
de déductions que le logicien s'applique à définir. C'est ainsi que
Vii'le distingue entre l'analyse zétHlque qui fournit la solution
d'un problème et Vannlyse iton'stique qui fournit, non pas la solu-
tion, mais la démonstration d'une solution. Il y a lieu également
de distinguer entre l'analyse directe et l'anal vseindirecte telle qu'elle
est pratiquée dans la dèmonalraliun par l'absurde : au lieu de sup-
poser le problème résolu, imaginons aw contraire que les conditions
requises par l'énoncé ne soient pas remplies ; si nous déduisons de
celte hypothèse (par une apagogo) des conséquences absurdes (con-
tradictoires entre elles), nous en concluons que l'hypothèse est
illégitime et que, par conséquent, les conditions requises sont
srtremeDl remplies.

Mais nous ne pouvons prétendre approfondir ici l'étude logique
de la démonstration. Il importe davantage de nous demander
comment, par le moyen des démonstrations, nous pourrons dresser
l'édifice de la géométrie rationnelle.

228. Les âldmenti. — c< Le terme d'éléments (ixoixEîa), dit
Paul Tonnery d'après Proclus, s'applique proprement à ces
théon^nies qui, dans toute la géométrie, sont primordiaux et prin-
cipes de conséquences, qui s'appliquent partout, et fournissent le»
démonstrations de relations en grand nombre ; on peut comparer
leur rôle à celui des lettres, (également appelées otoi/sii) dans le
langage <>.

De nombreux Eléments ont été composés en Grèce (ceux
d'Ilippocratc de Chios, aujourd'hui perdus, furent célèbres) :

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l'édifice GÉOMéTniqt'E ET LA DÉMONSTRATION s35

cependant nous n'en connaissons point de plus anciens que ceux
de l'Alexandria Euclide.

Les Eléments d'Euclide jouent en même temps le rôle de
fin cl le rôle de moyen : fin, puisqu'ils sont destinés à faire con-
naître les théorèmes essentiels de la géomélrie; moyen, puisque
les solutions toutes préparées qu'ils nous ofTrent sont les instru-
ments dont on a besoin pour eflecluer l'apagoge (ou l'àmiSiitiï) des
problèmes nouveaux. Euclide adjoignit d'ailleurs aux Eléments un
second otiwagc, les Data, qui a pour objet direct de fournir des
instruments Ji l'analyse et à la synthèse ; b les propositions, dit
Zeuthen ('), y ont pour but de prouver que, certaines quantités ou
portions d'une figure étant données, certaines autres le sont aussi,
c'est-à-dire qu'elles se déterminent h l'aide des premières »,

339. — Comment sont composés les Elémenls ? Partant de défi-
nitions et d'hypothèses, le géomètre en déduit progressivement,
conformément aux règles de la logique, une série de propositions
rigoureusement enchaînées les unes aux autres.

Les définitions ('j.î'J!) déterminent les concepts qui sont à la base
de la science.

Les hypothèses sont (*), soitdcs//(M/«/a/sou demandes {3.\-é,\i.axi).
soit des notions communes ou axiomes (no.vji ^voiai, â;nû|iMi);
les postulats affirment (sans démonstration) que certaines cons-
tructions ('^ premières sont possibles ; les axiomes, que certaines
propriétés essentielles appartiennent aux grandeurs ou aux figures
les plus simples.

Il est clair — puisqu'aussi bien l'ordre logique n'est qu'un ordre
introduit après coup (n° 166) pour exposer des vérités simultanées
— que le choix des délinitions, postulats et axiomes reste à notre
discrétion. Entre plusieurs constructions ou propositions qui s'im-
pliquent mutuellement, nous avons le droit de choisir celles que
nous prendrons comme point de départ et renoncerons è démontrer,
et celles qu'au contraire nous considérerons comme dâiuiles. C'est

(') Zeuthen, Hisl. dtt molli, d. l'anttq., trad. J. Mascart, pp. 87-8(4.

I') La diitinction que les Grecs établissaient entre les postulats et les
«xiomes n'a pas été maintenue par les modernes. Sur les postulats, voir
"i/™, Dtux. Uv., ch. V.

(') Voir iT^ra S h.

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SM I-BS FIGIRES

[tourquoi les Mvanta modernes oal pu changer les bases àt la
géométrie euclidienne toul en contînuaDl k la preodre pour ua
modèle. Ce qui importe, du j>oint de vue de la lo^que, c'est
l'enchainenient des propositions. Or à cet ^aid il n'y a rten à
ajouter aux refiles poeéea par Kuclidc.

230. Les propositioDS (ihéorèim*) sont rangées dans l'ordre sui-
vant lequel elles se déduisent les unes des autres. Elles portent tle>
numéros ') afm qu'il »oit facile d'y renvoyer quand on les invoque
dans la démonstration des fwoposiliong ultérieures.

Les proposittoos d'importance secondaire sont souvent appe-
lées ■') lemmes lorsqu'elles sont destinées à faciliter la démonstra-
tion d'un tliéoivme k venir — contUaira lorsqu'elles exprinteol
des conséquences directes d'un lliéorèine que l'on \ient d'établir.

La démonstration des proposilioas se (ait suivant les règle* que
uous avons indiquées aux n" 235-27.

231 , — Le système de géométrie que nous ont laissé les ^lewao-
drins a traversé vingt-deux siècles sans ètie, pour ainsi diic.
ébranlé. Couronnement de l'cL-nvic minutieuse poursuivie pendant
trois cents ans par les dialecticiens greca. il n'eat pas loin d'atteindre
la perfection. l>e la nécessité où est l'iMMume d'exposer l'une après
l'autre les vérités géométriques au lien de les emlHïsser toutes du
même coup d'mil, il a tiré le principe d'niie méthode de décou-
verte et de déduction qui est l'une des plus |)récîeuscs possessions
de l'esprit litiniaîn.

Cependant, si les u EUmeiUt v ont conservé moyennant quelques
retouches {') toute leur valeur logique, ils ne jouent plus dans
l'ensemble de la science mathématique le rôle unique qui paiais-

l'i L'usai;c Beat répandu aujourd'hui de designer les propositions par
les noms de leurs inventeurs [ihcorème de Pythacore, Ibéorëmo de
De-^ARCUEs, etc.]. Beaucoup d« ces a[^>«ilaUaiH ««nt c«p«ndaot ditcd-
tables au point d« vue IiisUirique et il n'y faut voir qu'ua lubstitot <l«s
nu me roi d'ordre.

l') Ces distinclioDS ont été Bj-stématiqucment introduites par les com-
mentateur* d'EucLtDG.

C\ Sur le syttème euclidien comparé aux systèmea iogrque* de ^ainé-
trie, récemment constitués, voir notre D«ux. liv.,ck. V; an [traaveeintérH
SUT ce sujet : Klein, Elenienlarmalh. ii. hiik. Stanâp. avt, If, iijih),
p. 38.'> suiv.

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l'édifice GÉOUÉTMQVE et Lft DÉMO^STRATIO» l35

sail jadis lui êlre assuré. Sans doute, le sjsiènie euclidien — dont
la marclte a été réglée sJsâremeut — cstsusceplibled'unccxt^nsîon
continue et indélinle. Ce n'est poiat loulelois en le prolongeant
que la science a te plus progressé ; la raison en lient à une faiblcsso
du système qui ne s'est fait sentir qu'à la longue, mais que nous
pouvons dès maialaïuat apeiuevnir.

\ous avoas dît que les EUmeaU eofll fia miaot tci»|»s une iîn
jtoursuivie pour dle-ioèine et ua îastniateBt Je désKMLstralMn . 11
jr a cerl£8 ane gramle élégaiioe à aitHiiire du «ème conç Arax
iRMÙna iii£°peals : mais ost-fis hiea sûr J'y réusiir :* La gêtMnétrie,
en laat que Ga, eiU l'hériiièfe de Is sdeocc iiythagoncteane : eUe
Dote les plus belles (propriétés (W plus sûiplee. ies {>lua aagges-
tîwes) des fi^ares ies plus puiiites. SoaL-ce biea œt ntaetti pro-
priétés ^i rendroat le plus de services pour l'aMilysc et pour li
syntltèse? Il setait ïw^renaot qu'il « lût toujonn ainsi. L'admi-
rable unité que les Grecs avaient donnée h, ta science n'a donc pa«
pu être sauvegardée ('). Pour passer des données d'un problème à
la soluiioa il faut souvent recourir à des întera>êdiaii'«s qui ne
«ODt (MnatdigDeg d'occuper eux-wèn»M voe place dass l'cdifioede
ia science : constructions artiiicteUes, inharmonieufies. dépareillées,
qui souvent même sont choquantes pour la raison et lui paraissent
absurdes au premier abotd. C'est aiuû qu'i oû4é de la science
coateaplative, une leclunque a dû se déveloi>pcr, dont le but c^t
slriclenient utililaire et 4|uî vise seulenoeot i accroilrc, par tous
les moyens possibles, la puissance de la dém<»iEtration (voir
Deuxième Livre, chap. i, S '. chap. v, S /). A ne vouloir jamais
descendre des cimes splendides qu'elle prétend explorer, la science
se coadanuwnît e^e-iuànie i l'impuissaaoe.

Cl II Dit A maarqutr — a«iu ncYtcaJi*!» wr ce |^oint loraque nMl^
étut^icMiiis la gMUBétiM >lgébnq>e {Deux, Uc, chap. iv) — que, qiidquc
MTOBunciit qu'elle ait été «làcompasée et codifiée^ la mélhode de fcsaUi-
lutMD dei prablèmes employée par les géomitrci anciens est cxtrcme-
meat difficile k manier. Elle exige que l'an prcnae des voi
«ù l'an ne peut s'oneotv qu'à twce d'ingéuiosilé.

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- La construction en géométrie ratioaaeUc.
Sections planes du cône.

233. Râle d« la construction géométrique. — La « cods-
tmction » des (Igiiresfutcvidcniincnt, pour les premiers gcomèlres,
une opération teclmiquetjui se réglait sur des préceptes empiriques.
C'est ainsi que la com prenaient les arpenteurs de l'Orient et les
llnrpeiioiiafiles {') égyptiens en particulier {'). Tout autre est le
sens du problème do la construction dans la géonictrie rationnelle
des Grecs et, plus spécialement, dans la xnti^iu.»;.

La construction rationnelle a pour objet principal d'établir
W'j-Aslence théorique des ligures sur lesquelles on raisonne. —
Expliquons, afin d'éviter tout malentendu, ce que nous entendons
au juste |)ar là.

233. — On a vu, au s 4, que toute déPmition pose un
jirobliine d'existence, il nous faut revenir un peu sur la significa-
tion et le rôle de ce problème |H>ur ce qui a Irait à la définition
des figures.

Nous avons fait allusion à la discussion engagée par les écoles
de Platon et d'Eudoxe au sujet dos théorèmes et des problèmes.
Au fond de ce débat, c'est la nature même des vérités malliéma-
tiqucs qui se trouve en cause. Celles-ci ont -elles une réalité ohjcc-

[') Tireurs au cordeau. Vide supra, n" Sa.

(S) Signalons uno construction qui paraît avoir été connue dans tout
l'Orient et juaquVn Cbinc, et dont l'ori^ne est sans doute empirique
bien qu'elle soit une application du fameux théorème de Pxtbacoiie
(cf. MiLnAVD, Eludes sur la pensée scitnlifique, pp. ti^ et suit.). Soit à
mener au point A la perpendiculaire à la droite
AX (flg. itAi. Sur AX jo mesure une longueur AB
^gale à i unités; puis en A et B je fiche les extré-
mitcg d'une corde ACB longue de H unités sur la-
~X quelle est {ixce (à 3 unités de l'extrémité A, 5 de
p. ,^ l'extrémité Di un piquet C. Plaçons le piquetCde

manière à tendre complètement les deux portions de
corde AB et AC ; lorsque C est ainsi placé la figure ABC est un triangle,
qui est rectangle en A [d'après la réciproque du théorème de Pytba-
OOBB, car on a CC^ = Ali' ^- AC-]. Donc AC est perpendiculaire sur AB.

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LA CO-NSTRICTIOS EN GÉOUÉTniE nATION^ELlB a37

live avant même tî'être démontrées, comme le soulcnaicnt les
Platoniciens, ou n existentiel les au contraire qu'en vertu des
déductions et des constructions des géom^tresP La question, ainsi
posée, ne pouvait ^uùre diviser sérieusement les penseurs de la
Grèce, car il n'est pas douteux que les géomètres anciens n'aient
tous vu dans les notions mathématiques des entités objectives.
Mais l'art du logicien consiste pvécisément à feindre d'ignorer ce
que fori bien il sait, afin de te retrouver par de subtiles et rigou-
reuses déductions. C'est ainsi que dans un système de géométrie
digne de ce nom, ancune figure ne doit être introduite sans que
son existence ait été constatée logiquement — je veux dire sans
qu'il ait été reconnu qu'aucune contradiction n'est possible entre
sa définition et les autres défmitions et postulats préalablement
posés. Or lo moyen le plus simple de vérifier ce fait consiste &
construire elTectïvement la figure, ou plutôt à définir un procédé
ibéorique qui permettrait de la constmire si l'on savait parfaite-
ment dessiner.

Le problème logique que nous venons de formuler se pose,
remarquons le bien, au sujet des figures géométriques les plus
simples. Ainsi au début du I" livre des Etémenls, Euclide affirme (')
qu'il est possible de mener une ligne droite entre deux points, qu'il
est possible de décrire un cercle de centre donné et de rayon
donné. La possibilité de ces constructions résulte-t-elle
logiquement des définitions de la droite et du cercle ? Ou , tout au
moins, peut-oa prouver qu'elle n'est pas contradictoire k ces
déOnitious? Euclide ne soulève pas cette question, qui n'a été
approfondie que par les logiciens modernes. Admettons donc
— puisqu'aussi bien nous pouvons en cela nous fier à notre intui-
tion — que nous sachions, en toutes circonstances, tracer une
droite indéfinie dont nous connaissons deux points, et une circon-
férance dont nous connaissons le centre et un point .\ (ou,
si l'on veut, le cenlre et le rayon). Cela revient à dire, pour
parler un langage matériel, que nous savons en tous cas faire
usage de la règle et du compas. Pourrons-nous, cela admis, établir,
par voie de démonstration logique, l'existence des diverses figures
qu'étudient les géomètres ?

(') PoêluUxIa (altiiintj) i, a, ^.

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33^ L£9 PICIIU»

234. — La iiiétluMl«de déiaoBalfatifm qn'ît convient de suinc
ici parait tout indiquée : l'eiîsleacc de la figure sera pmavâ
El Von établit qu'il lerait pos^iUe de ki eoastrvWe en «Aectsml
une séi'ie d'opéiatioDS qui toutes »oat de» tncés de droites od de
cercle* doot deus |MÙats, ou le ceetre el un point, aoni conn^. —
C'est pourquoi lei traités de géonaétric wwia casei^nent que >< l'oa
léaerve le nom de coiuiractiom ijéomélriqaet aux cooatmctio»
eOectuée* av«c La règle et W cosapas » .

S'il fallait co croire Plularque, cette coaccptioB (■) de la « coas-
tructioD > aurait déji été expresnétnenl celle de Pklon, et ce gé»-
mètre aurait fait grief L l'Ecole d'Endoxe d'cnaployer, pour la
résolution des problèmes, des imlruments el des dt^aositifs méca-
niques (').

Quoi qu'il eu soii, tONtes les coastradioas planes qui sont spé-
cifiées dans les énoncés des propoûtions d'Ëndide on tjm înler-
vienneul dans la dcinanalralîoa de ces propoôlions sait et»
coiislruclions s'efTccluanl « par la droite et le cercle». — O*
trouvera, daoâ les traités de géométrie élétneabnre le» i^es qui
régisseat ces cooât eue lion».

Soit, par exeMple, à élever ane perpendie-itatre i ame droite Ait
en an point \ de cettt droite {'). Sur la droite ABel sorson prok»-

') Cf. P. Tam^ehv, ha giam. gwttque, f. 71^ Ottaim g^mètx» aal
clicrcbÉ à éviter systématiquciiieiit i'emploi du e«E«la et à eSoctiur tsctet
les uoDitructiona par la droîtv (par exemple Bhiancbon, Lea appliaUions
de ta tiiAorie des Inwuperjriei, Vatia 1Q18). D'anTrca, m contndn, m smt
proposé de cuiwtaBârc aTec t« sol coa^s (MASCKuani, Lm ^amt^im
del compasaa, Pavia, i7<(7).

l'p M. ZtVTHES décrit en ces termes iHUt. d.math.d. fantiq., p. 66} un
procédé de coaslmction mécaniqne qnr ftit pent-ètre reganlé, aix temps
sDcicBa, comme ayant me valei> dénMOStiatiie : il l'af^ Aa l'infarcate-
tûrn <Hi coiiatruction d'un segment dont lel extrémités bibA uir deux
droites données et qui appartient à une droite passant par un poiat
donné : 1 on peut, dit M. Zeuthe», oMenfr mécaniqnement ce aefment
au moycD d'une ligle (ou d'un morcean de papier plié) sut laquelle an a
fait préalablement deux marques à ime distance égale à la longueur dit
segment donné, puis en faisant tourner celte règle autour du point fixe
et la déplaçant en m*me temp* de sorte »jrte Tinio dos marques lam
exactement l'une des lignes doanées ; t'en contiuicca ■MWVemaitjaBqvli
ce que la deuxième marque se trouve sur la deuxième ligue ■.

1^) Dans la pratique, pourclcverla perpendiculaire AD sur une droite
AB, on se sert généralement d'une iquerre ; mais l'équerre n'est pas un
instrument rigoureusement précis.

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EN GÉOUÉTIIIB RATIONNELLE 33^

gement (fig. i3g) je porte de part et d'autre de K (avec le compas)
deux longueurs égales, arbitraires AC, \G' ; du point C comme
<%ntrc, ensuite, avec ua rovon arbitraire mois plus grand
que CA décrirons un arc de cercle ; du point C comme centre,
avec le même rayon, décrivons un second arc de cercle qui coupe
le premier en un point D ; entia (avec la
règle) joignons les points A et D. On voit
immédiatement que DA est perpendicu-
laire sur DB : en effet, DC = DC ; donc
le triangle DGC est isqscèle ; donc sa
B médiane DA se confond avec sa liauteur
Fig. .%. (n'178).

^

338. — Voici an autre exemple de conatrnction.

Soil à construire ia bissectrice d'un angle donné, AOli.
point O comme centre, avec un rayon arbi-
traire, je décris un arc de cercle qui rencontre
les côtés de l'angle aux points V et'B. De
ces points comme centres, avec un rajon plus
grand que la moitié de la corde Alt, je décris
des arcs de cercle qui se coupent en D. Je
joins OD, On démontre facileoient que la
droite OD partage l'arc AB en deux parties "^ '""'

égales et est, en conséquence, la bissectrice de l'angle AOB
(Cg. ,io).

Cette proposition prouve logiquement l'existence de la droite
appelée ■ bissectrice » que nous avons défînie au n° 54.

336. Conatruotion stéréométrique. — Les constructions
dont nous venons de parler appartiennent i la géométrie plane.
Quelles seront dans l'espace k trois dimensions les constructions
équivalentes, susceptibles de jouer le même riMe démonstratif? Ici
apparaît une didiculté : en efTet, que nous opérions sur le papier,
au tableau noir, ou sur le sol comme les géomètres de plein air
de l'antiquilé, nous ne réalisons jamais, en fait, que des flgures
planes : sommes-nous alore en droit d'ériger une construction
purement idéale, comme l'est une construction sléréomélrique, en
preuve de l'existence de la chose construite ? l'our lever cette diffi-

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H^O LES KICURES

culte, le plus simple serait — puisqu'aussî bien tous les dessins
sont des projections — de faire une étude sv^téniatiquc el rigou-
reuse de Ja projection (voir 198) : on apprendrait ainsi h rem-
placer toute construction stéréométrique par une construction •
strictement équivalente elTectuéedansIe plan. Ce|)endant la Diéoric
des projections n'a été faite d'une manière compli^te qu'à »w
€[xxiue toute récente; son initiateur fut Gaspard Monge, qui cn'-a
ta Géométrie descriptive (').

Les géomètres anciens, qui ne dîs|)OBaient pas de cet instru-
ment, en étaient réduils à admettre a priori la légîmité des cons-
tructions qui correspondent dans l'espace aux constructions ]>lanc$
faites par la droite et le cercle : construction d'une droite, d'un
cercle, d'un plan passant par trois points donnés, et aussi cons-
truction des corps ronds, cylindre, cône, sphire, qui sont engen-
drés respectivement par rotation d'un rectangle, d'un triangle,

I'} La GiomUrit descriptive, Leçont donnée» aux Ecoles normatea l'an III

de la République par Gatpard Monge, de l'Sntlitul National, Paris, an \'lï.

Le principe de la géomiitrie descriptive est le luivant :

Appelons H et V deux plans perpendiculaires l'un sur l'autre et xg

leur intcrtection indéBniment prolongée dans lei deux sens. Le plan H

sera supposé placé horiiontalement et dit plan

horitonlal de projection. Le pian V fera appelé

pion vertietd, la droite ly ligne de terre.

Va point quelconque M de l'espace a uns
projection orthogonale et une seule (i8u) tor
chacun des plans H et V [projection horizon-
taie m et projection verticale m']. Une ligne
I I quelconque de l'eapace a psireillcment une tl

' ] une seule projection horizontale, une et une

>- — _ I seule projection verticale.

Supposons tracées les projections des point*
^^' ' ''' ou lignes que nous voulons étudier. Puis,

laissant le plan horizontal fixe, faisons tourner le plan V de <)0 de-
grés dans le sens de la flèche {Rg. i.{[), autour de xy comme char-
nière, de manière à le rabattre sur le plan H. Après le mbattemt'nt, les
projections verticales et horizontales des points et lignes que nous con-
sidérons se trouveront figurées sur le même plan (même feuille de
papier ou même tableau). Leur ensemble constituera une figure planr,
appelée épure, dont la disposition fait connaître exactement la structure
de la ligur- de l'espace sur laquelle nous avons à raisonner. Toute cons-
truction relative à cette dernière figure équivaut à une construction faite
sur l'épure, conslruction que l'on peut réaliser avec la règle el le compas.
La géométrie descriptive a surtout servi les besoin* des architectes
«t des inRénieura. Tel était en effet le rôle que lui destinait Monce.

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SECTIONS PLANES DU CÔNE Q^I

d'un cercle autour d'un axe (') [voir les dérmïtions données aux
n-Stt, 86,87].

337. £«otiona planes du otoe. — Cette manière de voir — si
naturelle — a sur la géométrie plane, un contfe-coup inattendu ;
elle nous permet de regarder comme « construites » certaines
courbes planes remarquables que nous n'aurions pas obtenues par
la droite et le cercle si nous étions restés dans le plan. Ces
courbes soDt les ii sections coniques » : elles sont définies par
l'intersection d'un plan et de la surface d'un cane ou cylindie
droit; d'ailleurs, étant donnée l'une quelconque d'entre elleti, on
saura toujours (*) construire un cône droit dont elle soit seclion
plane (intersection par un plan : d'où le nom de seclion conique);
on pourra même toujours faire en sorte que le plan sécant soit
perpendiculaire k une génératrice du cane.

Les premiers géomètres grecs ('), et Arcbimède (') spécialement,
n'ont étudié les sections planes du ci^ne que dans cette liypothi'se
particulière. Ils distinguaient alors trois cas suivant que l'angle
ASB au sommet du cône droit est aigu, droit ou oblus ((ig. i43,
iM. 1^5).

Pour se représenter ces trois cas, il suflit d'imaginer que sur
les figures 143-/15 les génératrices SA et SB soient dans le plan
de la feuille de papier et que le plan sécant soit perpendiculaire
(debout) sur cette feuille, qu'il coupe suivant la droite xy, elle-
même perpendiculaire h SB. Traçons alor sur nos trois figures l'in-
tersection {lrace)iiu plan sécant avec le plan de la feuille de papier
[droite xy peipendicutairc à SBj el prolongeons dans le troisième
cas (cas de l'angle obtus, fig. 1 45) les génératrices du cône au-delà

l') Le» Grec» ont sans doulo connu d'autres corp» ronds angendréa par
rivolulion autour d'un axe, lo tore en particulier,
corps en forme de couronne que l'on obtient en fai-
lant tourner la surfsco d'un cercle autour d'un aKO
qui ne la coupe pas (lig. i.'i2). [Cf. Zeutiien, ioc.
cit., p. 199].

(') Ion même qu'elle est primitivement déflnic
comme intersection de cylindre. |

(1) On attribue à ME^El:HME, disciple d'EvooxE, la '

Recouverte de» sections cooiques (iv^siècleav. J.-C). """

|*J AftcHiuèDE, Sw les conoîdes H $pliéroîde$, éd. Hcîbci^, I, p. a^ti.

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du sommet S | nous remarquons en efict que, dans le trobivfse ca%.
la ilroile xy ne cou|)e la génératrice S\ que sur son prokwpe-
m(>ntS\'; les prolon^pnienls des génératrices forment un second

Fig. .«

cùnc qui est en quelque iotle « opposé par le âoaunct » au pre-

mierj. Il est facile de se rendre compte que la aecuon pLame

affectera les formes représentées ci-contre 'ig. i4t> '■ daos le trot-

siùaae cas on a denx braocbes

de courbe qui sont les aec-

tioDs planes respectives des

deux où ne s opposés par le

sommet]. La première courbe

est appelée eUipte {'), la se-

ooode fntrabole; la Iroiaièmc

(j'enlemis : l' ensemble des

rbe (*) qui constitue la IroiMèrae) est

deux
appeli

:lies M

238. — Les propositions d'Archiaiède furent complétées et

l'i Nous expliquerons plus loin lZ)eux.lii'.,ch.iii)laBignirication étyoïo-
logique de ces trois mots. Conformémeat à la conitruetioii que nous
venons d'exposer. Abchihède appelait les trais sectiona conique* ; mc-

tiùii» du cane à angle aigu, à angle droit, ou à angts oitu» [è^Jy■^tau ou

(') Ce n'est qu'à condition de regarder les devx branche» comno caaa-
tituant une seule et mfme hyperbole que l'on pourra établir entre Ict
propriétés de cette courbe et celles de l'ellipse et de la p«rabole un mp'
prochement précis. La possibilité de ce rappncbeBenI apparall d^
nettement à Apollonius i quoique ce géomètre désigne les denx branches
de l'hyperbole par un pluriel : AyperMcs caniuguêea). Elle s'affirma dêfi-
nitjvemeot au xvii< siècle avec DESAfKiT;Es.

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SECTIONS pla:<es du cûke 343

géDcraltséea par Apolkuiius de Perga, dont le Traité des Coni-
ques iKtaiixii, — l'un des plus beaux inoDumcnls de la géométrie
grecque. — Ht autorité jusqu» U lia du ivii° ùècle. Apollonias
étudia en cflet )e> intersections que détermîn» tur la surface d'un
cime ou cylindre droit (<), et plus généraleraent d'un cône oa
cylindre oA/i^Uf quelconque (voir p. q-j et gg). un plan disposa
d'une maoière arbitraire. Il dénftontra que es» coorbei ne dilTrent
pas de celles qu'étudiait Archimède — eu, en d'autres termes,
qu'étant donné l'une quelconijue d'entre aUea, il existe toujours ua
oW droit sur lequel elle peut âtrc plac^ de telle sorte que son
plan Boit perpendiculaire à une génératrice (l'itle supra).

339. — U ne noueeit pas possible de reproduire ici les démons-
tration» d'ApoUonius qui aont,

pour nous modernes, fort diltî- /\

ciles à suivre, habitués que nous / \

sommes aux voies rapides de la */--. \

géométrie algébrique. La méthode /\ "'-..N

de Descartes nous permet, en / ^^^^-^^Ab'

effet, d'étudier par le calcul / \

toutes tes propriétés des sections /,. -... \

coaiques sans sortir du plan, * C Jb

c'esl4>dire sans nous préoccuper ^ ■ — ""'^

du cône ou des canes dont ces ^'<s- ''•'•

courbes sont sections. Desargues et Pancal, cependant, plus
géomètres ijualgébrisles, se référaient encore à la définition pre-
mii-re des sections coniques. Ils surent en tirer un parti nouveau
pti approfondissant k cette occaBion la théorie de j« projection ou
perspective (197)-

<') On démontre «a partioulier que l'intervection d'un cône droit par
Vkplaa eit ; une ellipte u Ib plan mené pat le aoniinet du cAne parallè-
lïiwnt au plan sécant est extérieur au cène (dont on suppose la eurface
■ndéfînimeut prolongée de part et d'autre du sommet; ; une hyperbole si
U pian parallèle coniidéré coupe le cône [il le coupe alora suivant deux
■iroites, génératrices du cOnel ; une parabole si le plan considéré est tan-
gent au cAne (c'est-à-dire s'il ne le traverse pae, mais le touche, est en
toatact avec lui, le long d'une génératrice). Exceptionnellement si le
plan «écant passe par le sommet du cône, l'intersection se réduit à deux
'''°it«t (deux génératrices), ou à une droite, ou au seul sommet.

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3^ji LES FICl'HES

Considérons un cdne circulaire droit ou oblique et une
isectton de ce ci^ne, — hoîI par exemple une ellipse (fîg. ^i")- -^
chaque point de la section correspond un point du cercle de base,
savoir le point qui est sur la même génératrice du c6nc : ainsi A'
correspond à A, B' à B, M' & M ; nous dirons que ces points sont
les jirojeclions coniques de A, B, M. le centre (le projecHon élan! S,
et que le cercle et l'ellipse sont projections coniques l'un de l'autre.

Ces définirons données, on pRul demander s'il n'y a pasunr
certaine corrélation entre les propriétés de l'ellipse et celles de si
projection conique circulaire. Ne pourra-t-on pas, en d'autre?
termes, déduire certaines propriétés intéressantes de l'ellipse,
liyi>erbole ou parabole, du fait qu'elle a pour projection conique
un cercle, c'est-à-dire une courbe dont les propriétés sont connues?
— Tel fut le point de départ de la géométrie projective qu'inau-
gura Girai-d Desargnes (') et qui fut développée plus tard par ]es
géomètres du .\i\* siècle.

fctKlt

7

340. — S'il s'agît de l'ellipse, d'ailleurs, on peut ii voIoiiIl' U
considérer comme projection conique dii
comme projection orthogonale d'un ccrclf-
On démontre en effet que la projccli'in
orthogonale d'un cercle dont le plan n'est
pas parallèle au plan de projection est une
ellipse (cette ellipse peut être consîdew
comme une section plane d'un cylindre
""■ ""' oblique ayant pour hase le cercle ciwsi-

déré). D'oii un movcn de déduire des propriétés du cercle cer

laines propriétés cor res) rendantes de l'ellipse.

('i Voir § ). L'ouvrage principal de Desahoveï est leBrauiUonP""'
d'une Mlei'^le aux evenemens des rencontre» d'un cône avec un plan, «■■<i
Les a-uvres de Desarcves que nous possédons ont été réunir* *ii à''"
volumes par Poudra, Leiber, id„ iMH.

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I.IBUX GÉOMÉTRIQUES. ÉTIDE DES

L,ieux géométriques. — Etude des courbes

241. Lieux géométriques. — Su|iposoDS qu'î) soit demandé
<]e coDstruirc un point jouisBant d'une certaine propriété ^émué-
trique et que l'on reconnaisse la possibilité de construire, non pas
un tel point, mais une Injinilé de points jouissant de la mC-nic |iro-
f>riélé : si l'ensemble de ces points constitue une
courbe, cette courbe est appelée lieu ijânmélritjue
(toiioî) [ou, plus explicitement : lieu géométrique
des points jouissant de telle ou telle propriété].

Les théorèmes des paragraplics précédents dé-
terminent immédiatement un très grand nombre
de lieux géométriques qui sont des droites ou des
cercles : ainsi te lieu géométrique des points ^ijui-
dislanls île deux points donnés K et R est la perpendiculaire xy
élevée sur la droile \R en son milieu {rjg. 1S9) ; d'après le tbéorème
du n' 304, le lieu fféomélriqae des /.oints dont les distances à deux
points fixes \ et h est dans un rapport donné k [c'est-à-dire le lieu

MA
lies points M tels que «.. -- A] est an cercle dont le centre est

sur .\B.

Ces lieux géométriques, et tous ceux qui, comme eux, se
trouvent être des droites ou des cercles, sont appelés lieux plans

Fig. :

343. — Soit demandé, par contre, le lieu géométrique des
points tels que le produit de leurs dis-
tances à deux droites fixes, d'une part,
et le carré de leur distance k une troi-
sième droite fixe, d'autre part, soient
I ■' dans un rapport donné, 11 s'agît, en

I d'autres termes. étantdonnésles3 droites

' D, E, F et le nombre k, de trouver le

'*' ""' lieu des points M dont les distances

aux trois droites D, E. I'' (^lig. lôo) satisfont à la relation

-A-

y ■

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C'est le lieu à trois tlroilex (/'«(w ail lirx Uiiens), — ^ouvfnl
appelû lieu Je Pappus — mais déjà étudié par Aj>olkimus:
ce lieu est une xeclion ronii/ue.

Section conique (') aussi est le lieu à i/aafre ihitiles — lieu des
points tels que leur» distances rcs}McliveK x. j, z, u h tfmlre
droites données satisCiMent k la reJulion x.z =ii.y.u (A étant
un nombre donné I,

D'une manière générale, tous les liea\ g^n^iquc» qui w
trouvent être de» sectioss coniques iioirt ap(Mlcs lirux £i>{iiiet\'\

343. Propriétés d«B Umix aoUAu. — >oub i>ona m qir
pour donner des aeclions coniques une déiinîtioii rigowciue lis
géonlèt^>l)^ grecs CTOvaient devoir recourir i une oaustructuB sl^
réomélrique. Il est probable cependant que c'eat en étudÎMl (Xf
tains problèmes de f^'âoukétrie plute<''*) que]'<ui lut amené en iu/J

('i Apollonius et Papvv» traitent un problème plut génvnti m suppo-
sant que les distances du point M aux droites données ii« raient pn
- comptée» iuT les peqtandiculaires à «a diala>>

mais sur des segments faisant avec les droites
donM^» des angles donnés (dont \aT»\emiat
fixée une fois pour toutes). Soit par estwpl* '
un angle égal à l'angle donné (fig. l.iil: il^
l'une dn droites données, M un point dnliru.
la dirtancc de M à la dnàte {Di. dont il t»
question dans l'énoncé, ne sera pas Mlf, nMi'
. MK.

^S' '"■ Pour certaines positions exceplioiinellM J"

droites données, il peut arriver que le lieu féOBtétrique soit uacmie
ou une droite [ligne* que les modernes regardent comme des cas parti-
culiers de <iections coniques].

l'i Primitivement on donnait également le nom de lieux solidesâloulw
les courbes ilélîniM conune intersections de corps solides tetla qut '^
courbi's gauches dont nous paideions au n" nÂ'i. Mais Pai-pw ta'»"'
rentrer ces courbes dans la classe des /ieiu finénirej, laquelle comprend tous
les lieux qui ne sont ni droites, ni coniques ivide in/ra. ■>,>,X, cf, ilEirUi
Apottonius of Perga, p. XXXIl). Nous verrons d'ailleurs plu» loin (£(ui.
lit'., ch. uij quelle est la sigiiilicalion probable de t'cxpres^oni lieu so-
lide u et pourquoi elle ne peut s'appliquer qu'aux sec t ions caotquei.

I'' He*th suppose lApoOiyniii» ot Perga, p. XVII, sqq.) que c'et à
l'occasion du problème de la diiplic:atioa du cube (voirOsitr. (if., cti'l
que SIÊNEi'.iiME, le premier fiiln p. ■!\t, note 'il s'occupa des stclions
coniques.

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LIEUX GÉOMÉTHIQL'SS. ÉTUDE l>fiS COUHRES 3^7

s'occuper de ces oourbeB. C'est à titre de lieax (féomiiriifBes, en
tout cas, qu'elles interviennent le plus souvent dans la gôométrîc
grecque.

Un contemporain d'Euclidc, l'nthénicii Aristéc ('), avait com-
|>osé sur les lietix soVules un traité, malheureusement perdu, qui
semble avoir exercé une grande influence. ArchimèdeetApoUonius
allèrent plus loin dans la même voie. Ainsi fut constituée une
tttéorÎG générale des sections coniques qui occupa rapidement une
place d'honneur dru» l'édifice de la géométrie. Parvenue déjà à
un haut degré de perrectton dans l'antiquité, elle devait devenir,
avec les découvertes de Kepler sur le mouvemcnl des Astres, la base
de l'astronomie et de la mécanique céleste ; et c'est aussi par l'étude
des coni(|ues que s'essaja et s'affirma an xvu" siècle la nouvelle
méthode de géométrie Instituée par Fermât et Descaries.

Sans chercher à reproduire les démonstrations didiclles des
géomètres grecs, signalons quelques propriétés fondamentales
des coniques qui étaient connues d'eux et que nous retrouverons et
établirons plus loin par la géométrie algébrique.

244. Foyers de l'elUpae. — Voici tout d'abord une propriété
de l'ellipse qui sert souvent aujourd'hui à défmir cette courbe (*)
A l'intérieur de l'ellipse fc'est-à-dire d'une ellipse quelconque) il
a deux points appelés ^y^rs ('), jouissant de cette propriété que la
somme de leurs dislances à un point quelconque de la courbe est
constante (') (c'est-i-dire égale pour tous les points de la courbe).

\pprfons F, F' les foyers et A, A' les points où la droite FF' pro-
longée rencontre l'ellipse ; le segment \A' est dit jjrariil axe de
l'ellipse ; on a, par hypothèse :

AF + AF' = AT + .VF

i') Il publia, à la fin du iv« liècle, cinq livres sur les lieux golidet. Les
KbTiix^ d'EucLTiiE — qui De paraissent pas sToir apporté bcHocimp de
caBnaMtauoem iMnivedei, — Bont âgalenent perduei. — AjiCHiMi:t>e n'éai-
vit paa de traité d'cBsemUe sur les sBctions coniques, mais ses ouvrages
montrent qu'il en avait fait une étude approfondie.

(') Depuis De La Hire, Ntnivetiux élémeiu de» tectiona crmûfues, Paris,
1679, p. 36.

{'1 Le mot joi/er est emprunté à la théorie de la réflexion et des mi-
roirs courbes.

(*) A«>Li.OKivB, CTjovixà, Ht. III, prop. 52.

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2.^8 LES PIGL'RES

OU (puisque AF' =t= W -t- FK' A'F — A'K' + FF') :

aAF-,-l-F'^:3\T-i- FF.

donc Ai'"' — AF, el [>ar suite

AF -h AF' = AF ■+■ A'F = AV.

J'en conclus, que d'après la proprictc énoncée ci-dessus, on a,
g quel que soil le point M de la courbe que

l'on considère (lig. 102):

MF -h MF - : AF + AF -- A\'.

I^ milieu C du grand ane est dit centre
de l'cllipso, et le segment B'B de la per-
pendiculaire à AA' menée par G (limite à
l'ellipse) est dit l'clil iixc. Le point C étant milien de FI-"', on
voit immédiatement que le triangle Bl'l'" est îsosccle; donc que

BF = BF ; or BF t- Bl'' = AA' ; donc BF = ~ ---^ AC.
Le lliéorème de Puliagorc donne alors :

i)C :^ v'BI-"' — CF' = , AC"*""— CF*.

La lonf.'ucur FF' est ap|>elée iliskuire fw.ale. Les [joints A, A', B, B',
sont dits summels de l'ellipse. Les quatre morceaux (arcs) AB, B \'.
A'B', B'A de l'ellipse sont uianifcslemenl xymèlriqaes (176) les
uns des autres par riip|)Ort ou\ a\es A'A, B'B et au centre G.

De la propriété l'ondamentale des foyers de l'ellipse nos traités
de géi>niétrie déduisent ia règle de construction suivante : h Pour
tracer une ellipse d'un mouvement continu on prend un fil dont
la longueur est égale au grand axe, et l'on lixe les extrémités de ce
fil aux deux foyers V et F' ; puis avec lu pointe d'un crayon, on
tend le lil, et l'on fuit glisser la pointe du crayon sur le papier on
maintenant le lil tendu. D.tns chaque position la somme des dis-
lances de la pointe dn cr.iyon aux points fixes F et F' est
égale à la longueur du fil ; donc la courbe obtenue est bien une
ellipse ".

Pour les raisons que nous avons exposées pins haut, cette conn-
Irnclion luécunîque ne pouvait avoir une valeur théorique aux

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LIEUX GÉOUÉTRIQUES. ÉTL'UE DES

2Ï9

yeux des géomètres grecs ; elle est attribuée par un auteur arnbe
à trois frères ('), les (ils de Mousa Ben Châgir (n" siècle).

Dans le cas parliculier où les deux foyers de l'eltipse sont
confondus (la distance focale étant nulle), ces i)oints coïncident
avec le centre et il résulte immédiatement de leur propriété que
Veilipse se rédmt à un cercle.

345. Foyers et asymptoteB de l'hyperbole. — L'bypeibole
jouit d'une propriété analogue k celle de l'ellipse. 11 y a dans son
plan deux points (foyers) tels que la différence des distances d'un
point quelconque de la courbe à ces deuv foyers soit constante (*)
(égale pour tous les points de la courbe qui est. on l'a vu, com-
posée de deux bi'anches).

Soit .V et A les points (sommets) où la droite F'F rencontre la
courbe(fig. i53); le segment A'A
est dit nxe Ira/isverse de l'hy-
perbole ; la longueur FI'"' en est ta
'lislaiice focale, le point C milieu
de .\A' et de FF' en est le centre.
Par raison de symétrie, il est
commode d'attribuer à l'hyper-
bole comme 11 l'ellipse nn second .
axe ; cet axe est un sef^ment B'ii

porté sur la perpendiculaire en C à FF', ayant le point C pour
milieu, et dont la demi-longueur CF est par délinilion égale à

\/CF' — CA'.

L'hyperbole a comme nous l'avons vu quatre demi-branches (^' ,
qui s'éloignent indéliniment (branches infinies). En étudiant ces
branches, on démontre qu'elles sont respectivement asyniphlen k
des demi-droites passant par le centre C et se prolongeant deux ;i
deux. Voici ce qu'il faut entendre par là. Il existe deux droites IIH',
H,'ll„ se coupant au point C (fig. i53) qui jo'iiissent de la pro-
priété suivante : les demi-droiles Cil, CHi. Cil', CH', se rap-

C) Cf. WtEPCKE, Rtch. a. Ua ac. math, chez Us Orientaux, Journal a-
tique, 1855, p. 333.

Cl Apollonius, Conica, III. 5i.

I') Cm demi-branches sont manifestement ai/milriques les unes
autres par rapport aux axes AA', BB' et au centre C.

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3UO LES MGLBES

prnclient Je {)luseii ]ilus, lorsqu'on les|)roloiigc îndéfinîiueot, «le»
quatre (Iciui-faranclies d'il vpcrbole; |i1ub préciaénient, on {WuL tou-
jours trouver «ur cliAque deiui- brandie uopoinl assez éloîg^né pour
que sa Jislancc (') à la demi-droite correspoiulaate soit arhiirfure-
nu-nl pctile (c'est-à^irc inférieure i toul nombre que l'on se sera
doniit- ù l'avanceaussi |)ctit que l'on voudra). I^es droites U'II el
Il'ill, sont appelles iisymjilnles (àoùfintiu-ûi) de l'hyperbole [').

246. Direotrioea et exosatiiciU. — Les trois sections
coniques, ellipse, hj{>erljale et parabole jouissent d'une |>ro|>riété
^ commune remarquable ('). On déoMNitrc en effet :

i" (}u 'étant donDcs (fig. i5j) une droite ioAi—
^ finie IH>, et un point V, le tieu gêiimélri^tu des

\f itotn/s M h-is (/uc lerafiitort tirt ilisInnceslAH eliiV
(le M ait jiiiinl F el à la ihitile xoil constant el éyoi
à un luunhre ilmiiié etl une œcliim roniijue ;

■j* Que, réciproquementfétantdonnéeunesectioa

oonique quelconque, on iteal toujours Irowej' doux

son fihn aile ilniHr DD, et un jiiiiiil V tel qa£ U- raftfiorl ilfS '/«-

(•iiices il'un jinini M ite In caurbe n V el à 01), soîl rimxliutl (èynlà

un même ntimhre pour loiis les points île la courbei.

On établit de plu» que :

MF
.'S " Si le nombre ronslant auquel est égal !c rapport yii **' infé-
rieur à I, la setlion conique est une ellipse et i-éciproquement.

Si ce nombre val supérieur à i, la section conique est une
hyperliiilf el t-écipioquenicnt.

Si ce nombre est éijitl à i, la section conique est une jiamltole
el réciproquement.

i" Dans le Ciis de l'ellipse ou de l'hyperbole le point F se trouve
être l'un des )K)ints que nous avons définis plus bnut'et appelés
foYcrs. La droite DD, est appelée ilii-eclrire [*).

\ chacun des deux foxers K, V correspond une directrice, en
S'irte que la section conique peut êlre définie à volonté comme lieu

I ' I La distance d'un point à une droilc a été dérinie au n" 17.1.

l'i Apollonics, Cnnica II, prop. a.

iJ) Pappvs, r'jvavo,Yi!, liv. Vit, prop. -jtiK

l'i Recta DirKtrix, (De La Hibe, SeiiHtnea Conitm, Paru. 1 685, liv. II,

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MÉTIIIQL'ES. ETUDE DES COUHBES

l5ï

géométrique des poÎQls dont les dislances i F et DD, ou ooniine
lieu géométrique des points dont les dislaoces à b" et DD,', aoat
danR un rapport constant (Qg. lôô).

I^ rapport coDBlant est le ménac quel que soit celui des deux
foyers auquel on rapporte la courbe. On démontre que ce nijifiorl
est Inujoitrs éi/al au rapport lie la dis-
lance focak '/(' In section conique à la
lonijueuf de son grand itxc (cas de l'el-
lipse) ou de son axe Iransversc (cas de
l'hyperbole). On appelle ce rapport
(depuis Kepl^) exceidricilé de l'ellipse
ou de l'hyperbole (').

Dans le cas de la pai-abole, le point F
est encore appelé foyer et la droite DiD
directrice. U n'y a plus en ce cas qu'un
foyer et qu'une directrice, et la propriété énoncée ci-dessus équivaut

(') NoHi avons vu que 1« cercle est un cas particulier de l'ellipse. Il

rëaulte de la définitioD de l'excentricité que l'excentricité d'un cercle est

nulle, puisque pour le cercle U distance focale «t nulle

M ta" 9^4), les deux foyen étant oonfoudug au centw du

/' 7^\ cercle. Que devient alors la directrice ? Pour donner un

( /. ) sens à cette question, considérons d'abord une ellipse

y *' y dont 1b tormeserapprochebeancoup de celle d'un cercle

^- ^ (fig. i^-'\; U disUnce focale étant très polile, il (

de l'excentricité, don<

MF

rapport ^,^

défini ci-dessus pour un point quelconque M de la coorbe. Mais MF n'est
paa BétMMÎremBiit petit; il faut doive que MH «oit très grand, et cela
quel que soit le point M de la aiurbe que l'on considère. J'en conclus que
la directrice est une droite très éloignée. Plus l'ellipse se rapproche de
la figure circulaire, phis la directrice ost éhignée, Nou» exprimerons co
fait en disant que quand l'ellipse devient un cercle, la directrice est rejetie
à l'infini.

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353 LES FIGURES

à la dûlinition que nos traités «Je géomctrie donnent Iiabiliicllcnicnt
de la parabole : La parabo)e(lîg. i56) est le lieu des points d'un
plan équidistants d'un |)oint Qxe appelé fovei et d'une droite fixe
appelée direclrice. La parabole a une «jx'e/i/Wcf/c' égale à i,

IjC [loint de rencontre A de la courbe avec la perpendiculaire
abaissée du fo^er sur ta directrice est le sommet de la courbe : la
droite AF prolongée esL l'axe. Les deux parties de la courbe sont
symétriques par rapport h l'axe.

347. Diamètr«*. — Coupons une section conique, une ellipse,
par exemple — ninis les définitions et énoncés qni suivent s'ap-
j, pliquent à une conique quelconque — par tnic

série de droites toutes parallèles les unes aux autres
((ig. i5S). Ces droites coupent la conique suivant
des segments tels que LM, L'M', ... que nous ap-
pellerons ran /es de la conique (cf. n'ISe). — On
démontre que le lieu géométrique des milieux de
toutes les cordes (d'une même conique) iiaraltèles
à une même direction est une portion de droite
Hg. •:>". ^(jug ]■(,[, dit coiijuf/m'e k la direction considérée,
ou aux cordes qui ont cette direction). En particulier, si la coniqnc
est une ellipse ou une bvperboln, le lien est une corde EE' qui
passe par le centre C de la conique. Cette corde, et d'une manière
générale toute corde pas.sanl par le centre G, est apiielée iliam'elrc
de la conique.

.\ppelons, d'auli'e part, C C la corde (diamètre) parallèle à LM,
L'M' et passant (>ar le centre. On démontre que ce diamètre est
le lieu géométrique dos milieux de toutes les cordes de ta conique
qui sont parallèles au diamètre E'E (lequel est entièrement déter-
miné i>ar la direction de LM, L M', ... et par conséquent de G'(i).
— Ainsi le diamètre G G joue par rapjiort au diamètre E'E le
même rôle que EE par rapport à (i'G. Les ileiix diamètres sont

l loul ilimuèlre 'le la coiiii{ae correspoiiil un iliamHre rtinjugiii:

Le iliiimèfre conjwjaé il'uii nxe csl le xecnml oxe 'ie Incunique.

l),ins le cas de lu parabole le lien géométrique des milieux des

('l Apollonius, foniVa I, prop, i6.

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LIEUX GÉOMf^rritlQUES. ÉTUDE DES COtnBES 25}

cordes parallèles Ji une même direction est encore appelé rliamctre
(conjugué à la direction des cordes correspondantes). On démontre
que lous les diamètres de la parabole sont parallèles entre euv et
parallèles à l'axe de la courbe.

Nous aurons l'occasion d'exposer plus loin une remarquable
propiiélc des sections coniques qui joue un grand rôle dans le
traité d'Apollonius et où intcr\iennenl les diamètres conjugué»
(Deux. Lie., ch. in).

248. Lieux géométriqaas âéflnfsaant des oonrbea nou-
velles. — Les lieux plan.s et solides sont-ils les seuls lieux que
puissent considérer les géomèlres? N'est- il pas possible, en d'autres
tennes, de définir den lieux géométriques qui ne soient ni des
droites, ni des cercles, ni dos sections coniques, mais bien des
courbes nouvelles (non encore reçues en géométrie) auxquelles
leur qualité de lieu géométrique servirait précisément de définition?
Les géomètres grecs avaient été amenés de bonne heure, [)nr
l'étude de divers problèmes, à considérer de telles courbes.

Telle est la quarlrntrice. dont l'invention est attribuée ou sopblste
Hippias (v* siècle nv. ,L-C.) — Heu géométrique des points jouis-
sant de la propriété suivante : OX et 0\ étant
deux droites rectangulaires, B un point fixe sur
OV, M un point quelconque du lieu et l* sa
projection sur Olï, on doit
avoir

l>B_ angle XOM
OB ~ angle .VOY'

[la fig. iSg représente la por- '* '""■'"

**■ ' "■ tion de la courbe située dans l'oif^le XOY ;

elle coupe OY en Bj. — Telle est aussi la spirale d'Archinit-U- (')
(lig. i6o) lieu géométrique des points jouissant de la propriété
suivante : OK étant un axe fixe, k un nombre donné, M un point
du lieu, menons la droite OM : on doit avoir ((wur Inul point M
du lieu) :

longueur OM .
angFMO.V " "

l'unité d'angle étant par exemple le degré.

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L«a pmunEs

Ah II' siècle (av. J.-C). <1mix nouvelles courbes faranl définies,
la mnrk&iiie \tht NicnitiMe, la ri.ixnïiie par Koclès.

Soit donn^ nn a»e 0\ et nne [)erpen(ticalaîre ZBY à cet a\e
(lig. i6i). \ppelant M an point quel-
conque à droite de ZY, menons la droite
OM qui coupe ZY en P. La canchoïd*- es(
le lieu géométrique des points M tels que

distance PM soit
constante (et égale à une
longueur donnée). La
figure ci-contre indique
la li3rme de la courbe
qui a deux branches indéliolment prolongeables. i

Soit donné un cercle de centre C, un dia-
mèlre OA de ce cercle. Menons en \ la tangente
au cercli!, puis par tu point 0 une sécante arbi-
traire qui rencontre le ceccle en 1) el la tangente
en D. et prenons enfin sur cette sécante (lig. iG^)
une longueur OM égale à BD. On appelle ch-
siiidc {') le lieu géométrique des points M obtenus en faifiaot oc-
cuper à la sécante OD toutes les positions poasibles.

240. — Les diverses courbes dont il vient d'être question sont,
d'après la terminologie de Pappns, des -iaoi Ypij^jjtxoî (/ieux
tinéiiiirs ou mémniijurs, traduit Descartea). La forme générale de
ces courbes était facile k déterminer, mais pouvait-on cc|)enilanl
regarder leur délinition comme complète ? Leur existence était-elle
suflisammant prouvée i* Il y avait là une difliculté logique qui dut
pendant iooglem[>s gdner les géomètres. Pour expliquer et dis-
cuter leur point de vue nous ne saurions mieux faire que de citer
in-exleitso le magistral début du second livre de la Géoinélrie de
Descartes : De la nature 'les U>}iiex courbes :

u Les anciens ont fort bien remarqué qu'entre les problèmei de
la géométrie, les uns sont plans, les autres solides, et les autres
linéaires : c'est-à-dire que les uns peuvent être construits en ne

CI NicOHÈDE avait, parait-il, ii
décrire la cissoïde mécaniquonient.

1 appareil permettant d«

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LIEtX G ÉO 11 ETHIQUES. ÊTDDE DES C0I;RBES sSi

traçant que des lignes droites et des cercles ; au lieu que les autres
ne te {leuvent iln qii'mi n'y emptoie pour le moins quelque section
coiûqae ; ni enfin tea sntres qu'on n'v emplcm quelque autre ligne
plus cfMnposée. Mais je m'étonne de ce qu'ils n'ont point, outre
cela, distingué divers degrés entre ces lignes plus composées ('), et
je ne saurais comprendre pourquoi ils les ont nommées mécaniques
plutôt que géométriques. Car de dire que c'ait été à cause qu'il
est besoin de se servir de quelque machine pour les décrire, il fau-
drait rejeter par même raison les cercles et les lignes droites, vu
qu'on ne les décrit sur le papier qu'avec un compas et une règle,
qu'on peut aussi nommer des machines. Ce n'e&t pas non plus à
cause que les instruments qui servent h les tracer, étant plus com-
posés que la règle et le compas, ne peuvent èlre si justes; car il
Faudrait pour cette raison les rejeter des mécaniques, où la justesse
des ouvrages qui sortent de la main est déaiiée, plut6t que de la
Géométrie, où c'est seulement la justesse du raisonnement qu'on
recherche, et qui peut sans doute être aussi parfaite touchant ces
lignes que touchant les autres. Je ne dirai pas aussi que ce soit à
canse qu'ils n'ont pas voulu augmenter le nombre de leurs
demandes, et qu'ils se sont contentés qu'on leur accordât qu'ils
pussent joindre deux points domiés par une ligne droite et décrire
ira cercle, d'un centre donné, qui passât par un point donné : car
ils n'ont point fait de eciupule de supposer outre cela, pour tra^r
des sections coniques, qu'on put couper tout cdoe dcmné par un
plan donné. Et il n'est point besoin de rien supposer, pour tracer
toutes les lignes courbes que je prétends ici introduire, ùnon que
deux ou plusieurs lignes puissent être nues l'une par l'autre, et
que leurs intersections en marquent d'autres.... Mais peut-éUe que
ce qui a empêché les anciens géomètres de recevoir celles [les
lignes] qui étaient plus composées que les sections coniques, c'est
que Les jwemîères qu'ils ont considérées ayant par hasard été ta
spirale, b qnadralrice et semblables, qui n'appartiennent vérita-
blement qu'aux mécaniques et ne sont yms du nombre de celles que
je pense devoir ici être reçues, à cause qu'on les imagine décrites
par deux mouvements séparés et qui n'ont entre eux aucun rap-

: c'wt-à-diw d'un degré plus élevé, voir Deux, livr..

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2j6 les FIGt'RES

pui't qu'on plisse mcsurt^r exactement, bien qu'ils aient après
examiné la conclioîdc. la cissoïdc et quelque |)cu d'anlres qui en
sont, loutefols, à cause qu'ils n'ont peut-élic pas assez remarqué
leurs propriétés, ils n'en ont [>as fait plus d'étal que des pre-
mières (') I).

250. — Nous aurons occasion de sonlî^'ncr au chapitre ii I':'m-
porlance de la révolution qui, avec la Gmmélrie de ifi.'!^, acitèvcde
s'accomplir. Remarquons seulement pourl'instanl.que si un dernier
scrupule empèclie Dcscarles d'étendre à laquadratrtce (') et à la
spirale ce qu'il dit de la conchoïde et de la cîssoïde ('). nous
sommes aujourd'hui plus audacieux. Sans nous préoccuper lie
savoir par quel mécanisme une courbe ^géométrique peul £tre
tracée sur le papier, nous convenons de donner ce nom à Ioij(
ensemble de points formant une ligne continue et jouissant d'une
même propriété géométrique ['). Toutefois, en nous plaçant au
point de vue de l'algèbre, nous serons amenés à établir une distinc-
tion capitale entre la spirale et In quadratrice d'une part, la con-
cliuïde et la cissoïdc d'autre part : Icssecondcs sont des courbes algé-
briques, les premières sont transcendantes \vi(le Deux, lia., ch. iv].

351. Courbes enveloppes. — A la conception générale lie
la ligne courbe que nous venons d'indiquer les fiéoinètrcs ne de-
vaient pas même se tenir ; ils allèrent plus loin dans la voie ouverte
l»ar Descartes, et c'est ainsi qu'ils en vinrent à regarder comme
purfaitemcnt et rigoureusement définies des courbes qui sont Jé-
terminces, non plus par une |>ropriété de leurs |>oin(s, mais pnr un
ensemble {une inlinilé) de droites jouissant d'une propriété com-
mune.

('l Après CCS dcckrations, Ucscarles inlrotluit incontinent un graml
nombre de courbes nouvelles tjui sont des lioux géométriques se raiw-
chant au problème géni-ral de Pnppus (lieu à !i, ou 6, ou, plus générfllt-
ment, à uu nombre quelconque de droites) dont nous avons conEidprc
plus haut des cas particuliers.

l*f Les délinitions de la quadratrice et de la spirale, telles que noui
les avons données, ne soulèvent pas, remarquons-le, la question qut
pose ici Uescartcs, savoir pnr quelles combinaisons de mouvemenls ta
courbes pourraient être engendrées ; co ne sont pas des difinitiom f,ir,i-

l') En fait cependant on n'étudiera que les courlies dites analyli^ui
{voir Deux, tU:, ch. tv).

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UECX GÉOM^.TRIQl'ES. ÉTUDE DES COURBES 267

Considérons, par exemple, un ensemble de droites telles que
AB, A'B', A'B' (fig. i63) dont la longueur est la même et dont
les exlrémités sont sur deux droites rectangulaires données X'OX,
Y'OTf. On démonti-e que toutes ces droites
sont tangentes à une même courbe qui a la
forme représentée par la figure i6^ (chacune
d'elles toacke la courbe en un point et un

seul) : celte courbe se x' *"\
trouve entièrement dé-
finie par le caractère
* que nous en indiquons,
à savoir qu'elle est tan-
gente à toutes les droites jouissant de la
propriété cî-dessus énoncée : elle est appelée
hypocycloïde à quatre rebroussemcnts, et l'on
dit qu'elle est Venvehpi>e de l'ensemble des droites considérées.

D'une manière générale toute courbe déSnie par ce fait qu'elle
est tangente (en ses divers points) aux droites jouissant d'une cer-
taine propriété commune est appelée courbe enveloppe ou enveloppe
de ces droites. Nous reviendrons ultérieurement sur la théorie des
enveloppes, et nous nous rendrons mieux compte alors de l'évolu-
tion considérable qu'a dû subir la notion de courbe pour que cette
théorie devienne possible.

252. Coarbfls ganobes. — Toutes les courbes que nous avons
considérées jusqu'ici sont des courbes planes (situées dans un
plan). Il est clair cependant qu'il est facile de concevoir des lignes
continues (courbes) dont tous les points n'appartiennent pas à
on même plan. En elTet, il est manifeste que les surfaces de
deux corps solides se coupent en général suivant une telle ligne :
or nous avons vu que la dérmitîon d'une ligne comme intersection
de surfaces est considérée comme excellente par les géomètres grecs.

Ne nous étonnons donc pas de voir ces géomùtres étudier de
bonne heure certaines courbes de l'espace, — courbes que nous
appelons aujourd'hui courbes gauches au ù double courbure.

Ainsi Archytas de Tarente étudie (') des intersections formées

(■| Cette étude était restée naturellement fort incomplète. Elle fut
reprise au xrii' giècle, par P. Couhcier.

Boctaoui. — Le> Principe! tie l'Analjia mBlhimiliqos. 17

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35«

LES PIOURE8

par les surfaces de corps connu) tdi que cylindres, cônet, loret
(vide p. iài, note i). Vers la mtow époque, Eudoxe de Cnide
s'occupe d'une courbe appelée hippopède, qui est vraisembiableioral
l'intersection d'un cylindre et d'une sphère.

Une courbe plus simple et qui nous est plus familière est Vhilice
cylindrique (ih-X) étudiée par Archtoiède. Cette courbe eo forme
de vis est tout entière située sur ta surface d'un cylindre droit et
[>eut ôtrc définie comme il suit :

Flg. .lis.

Imaginons un cylindre creux ayant seulement une surface latérale,
en papier par exemple. Fendant le cylindre suivant une génératrice
AB, nous pouvons le dérouler et appliquer sa surface sur un plan;
la surface déroulée a la forme d'un rectangle .VA'BB', Dans ce
rectangle. trai,'ons une droite quelconque, par exemple la droite
BG, puis redonnons au cylindre sa forme primitive : la droite
BC enroulée sur la surface du cylindre devient une ligne courbe
BMC qui est est unr nplre d'hé/ice. L'hélice proprement diUse
comix)se d'une infinité do spires toutes égales entre elles et se fai-
sant suite (fig. i66).

L'étude systématique des courbes gauchos fut inaugurée au
xvm" siècle par le géomètre Clairaut.

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CHAPITRE IV

LE CAI.CUI. COMBIHATOIRE

253. — Le calcul combina loi re, bieo qu'il ait pour objet cer-
taines propriétés relatives aas nombres, ou plua exacleœent k des
assemblages de nombres, ne fait point partie iotégrao te del' Arithmé-
tique classitpie. C'est au \vi° siècle seulement qu'il prit figure, et il
fallait être déjà familiarise avec les notations algébriques pour
avoir l'idée d'en exprimer les règles par des formules symfoolî-
qoes comme nous le faisons anjourd'huj. Cette idée fut celle des
■avants de la Renaissance Pacîuolo ('), TartagHa ('), Cardan (').
Elle fut reprise au xvn' siècle par Fennat ('), Pascal (^), Fré-
nicle ('), Huygens ('), qui établirent sur des bases solides les prin-
cipes du nouveau calcul.

254. — Les questions qui relèvent du calcul combinatoire sont
de celles que nous avons journellement l'occasion de nous ix>ser.

{<) Summa de irùhmetiee, i^ijs. Part. I, dUt. 3, ir«cl. 5.

{*} GeneriU TraUtdo, iSSa, II', lîv. I, p. 17.

(1) Exaertion malhematieorum, l't'^, prop. 170. Opéra, t. IV, p. ^57. —
Od trouva également l«s piemièrcs formules du eaJcul combinatoire dans
un ouvrage (rançaii publié à Lyon en 1Ô59, la Logittica quae et arUhme-
tiee vulgo dicitur de Buteo (de goo vrai nom ; Bofbel), p, (oS-'Jag
jBiW. W.,V. igifla).

(*; Correspondance avec Pascal, i65:1. (Œuti. de Pascal, t. III,

p. 367 «iq-)-

{'"} Ibid. et dans le Traité du Triangle Arithm^ligue a^ec quelques autres
petit» traité» sur la mime matière, écrit par Pascal en ifili.'i (Œuv. HT,
p, (3Î «qq.J.

(•) Abrégé des combinaisons imprimé en 169?, ap. Dwers ouvr. de Math,
tt de Phys. par Messieurs de l'Ae. Royale des Sciences.

l'i De ratiociniis in ludo aleee, 1657, impiimé à la fin de Exercilationes
maihemalicae de Fhançois Scbooten {Bibl. N., V. fiaîg).

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36o LE CALCUL COMDi.WTOIRE

Déjà, s'il faut en croire PluUrque, le pliilosoplie Xcnocratc se
demandait, au iv* siècle av. J.-C, combien de syllabes on peut
composer avec les lettres de ralphabet. Plus précisément, cbcrcboos
combien il peut exister de mots composés de ttois ou de quatre
lettres (étant admis ou n'étant pas admis que la même lettre peut
figurer plusieurs fois dans le même mot}; demandons-nous de com-
bien de manières diUeren tes peu vent être placésdoiizc convives autour
d'une table; proposons- nous de trouver les diverses combinaisons
de chilTres que peut amener un joueur avec deux, ou trois, ou
quatre dés ; chercbons le nombre de boulels sphériques que l'on
peut placer dans une pile de forme pyramidale. Ce sont là des
problèmes qui se résolvent tous au moyen des mi^mes formules, —
formules simples, claires, et dont l'application se fait pour ainsi
dite mécaniquement.

Etant donné ces qualités, il n'est point surprenant que le calcul
combinatoire ait été considéré, dès son origine, comme L'un des
plus précieux instruments de la science mathématique. Quelles ne
furent pas les espérances suscitées par lui I N'est-ce point le calcul
combinatoire qui inspire au Pète Mersenne ce rêve insensé de
déterminer mathématiquement les plus belles des mélodies?

Mersenne est frappé de ce fait que toute mélodie est une com-
binaison de sons ou d'intervalles, de même qu'un discours est une
combinaison de mots composés eux-mêmes avec les vingt-quatre
lettres de l'alphabet. Ne pourrait -on, dès lois, formera l'avance
toutes les combinaisons fournies par les uotes de la gamme? On
construirait ainsi mécaniquement la totalité des mélodies possibles,
et parmi ces mélodies on recueillerait les plus belles. C'est ainsi
que Mersenne est conduit à écrire un chapitre intitulé : Dans
lequel il est traité des beaux airs et des beaux chants et montré s'il
est possible de faire un rhant sur an sujet donné gai soit le plus
beau de tous ceux qui paissent l'tre faits sur le même sujet (').

35S. — Passant du domaine de l'utopie à celui de la fantaisie,
nous trouvons le calcul combinatoire à la base des problèmes de
société auxquels on donne souvent le nom de récréations malhé-

||) La Vérité de* Sciences contre lea sceptiques tt pyrrhonùiu, i6a5,
chap. X [Bibi. ^'., R. i|Gf>H).

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LE CALCUL COllBIAATOItlE 201

mntiques. Un recueil en fut fait au ivii* siècle, qui fut complélé
par Mydorge et Henrion {'). Des recueils plus étendus, tels que
celui d'Ozanam, parurent au xtui* et xix* siècle [le dernier en date
est celui de Rouse-Ball et Fitz-Patrick (*)].

Ozanam nous propose par exemple les problèmes suivants (') :
Six personnes devant dîner ensemble, ii s'élève entre elles un com-
bat lie poii/esse (') ; en/în, quelqu'un, voulant terminer h contesta-
tion, propose de se mettre à table comme Ton se trouve sua/ à dîner
ensemble le lendemain ei les jours suivants jusqu'à ce qne fo/j ail
épuisé tous les arrangements (") possibles. On demande combien de
dîners devront être donnés pour cet effet. — Et plus loin : De com-
bien de maniires peut-on, en conservant la mesure, varier ce vers :
Tôt tibi sanl dotes virijo quot sldcra cœto ?

266. — Mais ce ne sont U qu'amusements et curiosités. L'inté*
rët véritable du calcul combinaloirc tient aux services émincnts
qu'il a rendus k Tal^^èbre et au calcul des probabilités. Il sera
question des premiers dans notre Deuxième livre, et des seconds
nous dirons un mot à la fm du présent paragraphe. Il nous faut
auparavant faire connaître et démontrer les formules combina-
toires fondamentales.

267. Permutations. — Considérons trois objets distincts que
nous pouvons désigner par une même lettre a affectée des indices
I, 2, 3 — c'est-à-dire par les symboles

a,, a,, a,.
Ecrivons ces 3 symboles (je- les appellerai » lettres » pour sim-
pliiîer le langage) à côté les uns des autres dans des ordres divers :
je puis écrire :
a,atai ou aiflio, ou atOiOi ou a^^ai ou a,a,a^ ou Oja,a,.

Cl 5» et dernière *d. en 1670 {Bibl. A'., V. têi<fi).

[-) Rieriat, mathim. (Irad. franc,, chez Ilermann, 3 vol., 3* ^dit.,
1 1)07-119).

(•) Rieriat. maihém., a» éd., t. I, Paris, 1778, p. goi etsuiv. [Bibl. X.,
V. i>f3i6).

i*\ « C'est probablement — remarque Oeanam en note — dnns quilque
ville de province éloignée de la capitale s.

(^) Le mot ■ arrangement a. est pris par Ozanam dans le sens de
< combinaison s.

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S63 LE CILCLL COMBCIATOIBE

Ces divers groapements des trois lettres a,. a„ a, écrites dans
des ordres diOiérents soat appelés permutations (') des trois leltres ;
ce qui veut dire qu'on passe d'un groupement à un autre en per-
mutant, on échangeant ealre elles, leslcttresa,,a,, a, : ainsi, pour
passer du groupement a,a,ii, au groupement a,(i,a,, je fais passer la
lettre o^ à la place qu'occupait a, et inversement.

Il est lacile de vérifier qu'il n'eiiste point d'autre ordre possible
.pour les lettres a,, a„ a, que les six ordres indiqués cï-dessiu ;
d'où je conclus que les trois lettres a,, a,, a^ comportent six per-
mutations.

On peut démontrer ce fait a priori en déterminant plus généra-
lement le nombi'c des fiermulalions de lettres en nombre quel-
conque.

Considérons m objets désignés par des lettres affectées d'indices

Nous appellerons permutations de ces m lettres tous les groupe-
ments que l'on peut former en plaçant ces m lettres h la suite les
uDes des autres dans îles ordres différents. Ainsi les groupements

UiCt ...•a„_ia„, oyitia ■■- im-i"»' etc.

sont des permutations des m lettres. — Cela posé, nous allons
démontrer le théorème suivant :

258. Théorème. — Le nombre des permutations de m lettres
est àgal ali produit des m premiers nombres, c'est-à-dire au produit
I X a x3 ... Xm.

Pour démontrer ce théorème, nous emploierons la méthode dite
récurrente ('), qui est devenue depuis Pascal l'une des plus impor-
tantes méthodes mathématiques : nous montrerons que .^i le
théorème est vrai jiour une certaine valeur de m, il est vrai pour la
suivante (or il est vrai pour m = i ; donc il est vrai quel que
soit m).

{') Le mot permutatio a été employé pour la première fois par Jacqves
BeiiNOtiiLLi, An Conjectandi op. poslhumum, Bâie, 1713, a* pert., ch. i
(p. 7il-

('I Le mathématicien sicilien Mal-holyco (i j<)4~'^7''>) avait déjà em-
ployé cette méthode.

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LE CALCUL COUBI>AT<

a63

269. — Sup|)0£ons donc qu'il ait été déjà âéinontié que le
nombre des permutations de m — i lettres est i x a ... X (m — i)
et désignons, pour abréger, ce nombre par P„,_|. Nous avons k
établir qoe le nombre — soit P» — des permutations de m lettres
est égal à m,P„_,.

Or on obtiendra évidemment toutes les permutations des
lettres ai, .... a» en procédant de la manière suivante ;

Plaçons la lettre a, en tête, et à la suite les (m — i) lettres

O] aH-i, a„ dans tous les ordres possibles. Nous obtiendrons

ainsi autant de permutations (de nos m lettres) qu'il y a de ma-
nières de disposer les m — i lettres ai, ..., a«. c'est-à-dire P_| -
Ce sont là toutesles permutationsdesmlettres données où u, occupe
la première place.

Considérons encore toutes les permutations des m — i lettres
a,, ..,, a^, et dans chacune intercalons a, à la seconde place (après
la première lettre hi gauche). Nous obtenons ainsi P«-i nouvelles ,
permutations des m lettres : ce sont toutes les permutations oti a,
occupe la seconde place.

Nous aurons de môme Pw-i permutations des m lettres, où «i
occupe la troisième place, et ainsi de suite ; finalement Po,-i per-
mutations où ai occupe U m'''"' (dernière place).

Les diverses permutations ainsi obtenues sont au nombre de
m fois Pn._( : elles constituent la totalité des permutations des
m lettres. Donc

(1) !>,.= ».?_,.

comme nous l'avions annoncé. Cette formule est valable pour toutes
les valeurs de l'entier m.

Mais une lettre n'a évidemment qu'une permutation, donc
Pi = I. La formule (i) nons donne alors

P, = a.P„ d'où Vt = 3

P,:^3.P,. d'où Pî = 3.3

et ainsi de suite ; finalement :

P.= ..a...(m-.).m.

300. Remarque. — Le produit i . a ... m (produit des m pre-

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LB CALCUL COMni^ATOlIlE

miers nombres enlîers) est souvent désigné (pour abréger l'écrituie)
par le symbole m ! qui se lit : « factorielle m » .

261. ArrBingaineiitfl. — Etaut données m leltres distinctes

on appelle arrangements de ces m iellres {> à p tous les groupe-
ments que l'on peut former en plaçant p de ces m lettres h la suite
les unes des aulies dans des ordres dîiïércnts (cette définition suppose
que (') p ■< m). — Deux arrangements seront regardés comme
distincts s'ils dilTèrent soit par l'nnlre, soit par la nature des
lettres qui y figurent. Dans le cas où p = m, les arrangements ne
sont autres que les permutations des m leltres considérées (d'après
la définition du n' 267).

Exemple. — Soient données quatre lettres «i, ai, ai, ai. Les
arrangements de ces quatre lettres deux h deux sont

aidi et a^a, ; a,as et a,a, ; a,ai et a^aii
a,ai et a^ai : a/i( et a^at ; 0,0^ et OiO] ;

CCS arrangements sont au nombre de is.

On démontre, d'une manière générale, le théorème suivant :

362. Théorème. — Le nombre des arrangements de m lettres p
à p est égal aa produit de p nombres entiers consécutifs décroissant
à partir de m. En d'autres termes, ce nombre d'arrangements, que
je désignerai (suivant une notation consacrée) par le symbole A^,cst :

W AÎ, = ™.(m-0...(».-p+i).

Pour démontrer ce tbéorcmc nous emploierons de nouveau la
méthode récurrente.

Supposons formés tous les arrangements des m leltres p — i i
p — I, dont le nombre est désigné par \^~'. Prenons l'un de ces
arrangements et écrivons k la suite l'une quelconque des m — (p — i )
c'est-à-dire m — />-*-> lettres qui n'y figurent pas (') : en opérant

(■] Voir sur ce signe, p. 47> note i.

(*J L'arrangement dont nous parlons ayant p — 1 lettres, ïl y a
m — {p — 1), c'est-à-dire m — p + 1 de nos lettres qui n'y figurent pas.

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LE CALCUL COUBINATOIRE 265

ainsi avec ces m — p -i- i lettres successivement, nous obtenons
m — /> -I- I arrangements de nos m lettres p à p. Faisant la même
série d'opérations à partir de l'un quelconque des arrangements
des m lettres/) — i k p — i, nous obtiendrons A„';~'yojs (m — p-i- i)
arrangements de nos lettres p àp, donc en tout A^~ ' . {ni — /> + i )
arrangements.

Je dis que les arrangements ainsi obtenus sont tous rUstincIs et
constituent la totalité des arrangements des m lettres /> à ^.

En effet: i°Deux quelconques des arrangements obtenus comme
il vient d'être dit sont distincts, car. ou ils sont déduits d'arrange-
ments des m lettres p — i h p — l qui sont distincts (et alors ils
diffèrent par l'ordre ou la nature de leurs p — i premières lettres) ,
ou ils diD%rent par leur dernière Lettre. — a° Tout arrangement
des m lettres p k p eal formé d'un arrangement des m lettres
/) — I k p — I suivi d'une dernière lettre dilTérente ; donc cet
arrangement est l'un de ceux que nous avons construits tout h
I heure.

Ainsi le nombre AJÎ~' .{m — /* -i- ') obtenu ci-dessus est le
nombre total A£, des arrangements de m lettres p k p, et nous avons
la formule

(3) Aî,= Ar'.(m-p+i).

qui est valable pour toutes les valeurs du nombre entier m.

Or le nombre des arrangements de m lettres ï & i se réduit évi-
. demment h m. Donc A» =" m. La formule (3) nous donne par
conséquent

.U = Ai..(m-.-Hi) = mx(m-.)

Ai. = Aî,(m - 5 -M) - AJ. . (m - a) = m X (m _ I) X (m - a)

et ainsi de suite ; fmalement

AS. = mx{m-i)x(m- a)...(m-p + a) X (m-p-Hi).

263. Remarque. — D'après la définition du n° 261, les lettres
qui figurent dans un mSme arrangement sont toutes distinctes. On
a quelquefois l'occasion de considérer des groupements de lettres qui
ne satisfont pas k cette condition : on comptera ces nouveaux grou-

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aôt LE CALCUL COMBU&TOIKI

pementa par des procédés analogues à ceux que nous venons d'em-
ployer. Ainsi l'on appelle arraiiyemenls awc répétilion de m lelti-es
P à p tous les groupements que l'on peut former en plaçant p lettres
au plus à la suite les unes des autres dans des ordres difTéienls.
une même lettre pouvant figurer plusieurs fois dans le même grou-
pement. On démontre que Jc nombre des arrangements ainsi déûnis
est égal aa ])roduU de /) iiombret entUrt consécutifs croitsanls à par-
tir de m, c'est-à-dire à m X {m -h i) ... X {m -t~ p — i).

Ainsi, par exemple, les arrangements avec répétilion de trois
lettres a, 6, c deux k deux sont aa, bh, ce, tib, ba, oc, ca, bc. cb,
aa, bb, ce ; leur nombre est 5 x 4 = 1 3.

364. ComblnelBons. — Etant données m lettres distinctes
di > Si, .... Gm, et un nombre ailier p, on appelle combinaisons de m
lettres p d/>tous les groupements que l'on peut former en prenant p
de ces m lettres (sans qu'il soit tenu compte de l'ordre dans lequel
on les range). Ainsi deux combinaisons ne sont regardées comme
distinctes que si elles diffèrent par la imiure des lettres qui y
figurent. Une même lettre ne figure qu'une fois dans chaque com-
binaison (').

Pour évaluer le nombre des combinaisons de m lettres p à /'
— nombre que nous désignons par C^ — nous raisonnerons
comme il suit :

On obtient tous les nrrangemenis de m lettres yi à p en considé-
rant successivement toutes les combinaisons de ces m lettres p ^ p
et formant pour chacune d'elles toutes les [icrmitlalions des p
lettres qui y figurent.

Il résulte de là que le pombre AJ, est égal à C^ fois le nombre
des permutations de [> lettres, c'est-à-dire (voir o° 259) à

c;;, X 1 Xï X ...XI'.

{') Si l'on écarte cette condition, on obtJont In combinaisons de m
lettres p à p aivc répétilion (comparer n" 3B3), On démontre qae le
nombre de ces c«inbtncit8on> est égal à

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LE CALCUL GOMBINATOUE 3t>7

Tenant compte alors de la valeur de A^ (n" ÎI62) cm voit que (')

(4) c;. ^ !nx(>»-.)-(m-p+.).

Pour m ^ />, U formule doDue

es-

'"("■-O-

Remarque. — On déduit aisément de la formule (i) que l'on a,
quel que soit m,

Cî.==CS-». Ci = es-', etc.

En eiTet, on a, par exemple :

" i.a ■ i.a...(m — a) i.a...(m— a)

DiTisant les deux termes de cette dernière fraction par le produit
3 . 4 ... (m — 3) ("» — a), il •«»*« i"» numéraleur m.{m — i) et
un dénominalenr i . 3.

266. — La règle qui fournit le nombre des combinaisons de m
objets/» k p paraît avoir été connue dn mathématicien hindou
Bhaskara (xii* siècle), dn moins pour le§ petites valeurs de m et
de p. Elle est très explicitement formulée dans un petit mémento
en vers latins (') qui fut composé par William Buckley (King's
Collège, Cambridge vers i55o).

Entrant dans plus de détails, Pascal déduit le nombre C^„ des pro-
priétés de son triangle arithmétique (n* 16). Il nous fait connaître,
d'autre part, è la fin de son traité des Combinaisons {'), la for-

Ci VoirLitauali (cf. p. 116, note i|, ch. rv, trad. Colebuooke, p. 4!r5i>
Bbaskara se demaodf par exemple de combien de manières on peut com-
biner diSérente gvAts, tels que les goûta aucré, piquant, amer, saH,
Scre, acide. — Il eheiche égalemout comment on peut déterminer lee
pennutations des diverses variétés de mitns usités en prosodie depuis
ï'uelâ (vers monosyllabique) jusqu'à l'uterUi (vers de 16 syllabes).

(*) Ce mémento \ArUhmetica msmoratii'a] a été imprimé à la suite de la
Diaiectic» d«SETON, Londres, i63<». iBibl. N., &. ioâ63).

CI Composé en i6j.^, Œuvr., t. ttl, p. 5r>6 tqq.

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268

^jtLCUL COUBINATOIRB

mule de G^qii! fut trouvée par l'un de ses amis M.deGagniëres(').
Cette formule est exactement, celle que nous avons donnée plus
haut.

Dalis numeris — dit Pascal {Œav. <le Pascal, t. III, p. Sgi —
I'. 1/., a, 6, i/ivenire qunl muilis i combinatur In H. — Assumalar
irujail (Gagnières), [irniji-essio tiaorum lermhiorum, qaia minor
namcrwt est a, inckoonrlo a majore 6, ac relroiji-ediemlo, seu detra-
heiido, anilalcm ex anw/itnf/ue Icrmino hoc modo ; 6, 5 ; deinde
assuinaltirallern proiftvssîo ùichoandn ab ipso minore a, ac simililer
retro^rediemlo hoc modo : 2, i. MullipUceiiliir iiwicem immeri
primœ progressionîs 6, 5, sifqiie productus 3o, Malliplicciilur et
numeri secundte pmijressionis i, i, silqae prodactas a. Didividatur
major productus per minorem : quodcns est qaaesUus.

266. Probabilité mathématique. — Le calcul des probabi-
lités est contemporain du calcul combinatoire : il a été créé de
toutes pièces, ou peu s'en faut, de i654 à i656, par Fermât,
Pascal et Htiygcns (voir les références données au n° 362). Nous
n'aborderons pas ici l'étude de ce calcul ; noua voulons seulement
indiquer et éclairer par un exemple élémentaire la définition sur
laquelle îl repose.

Soit une variété de cas possibles, dont certains sont favorables
k un événement, certains dcfavorables ; on entend par probabilité
de l'événement le rapport du nombre des cas favorables au nombre
total des cas possibles.

Supposons, par exemple, que nous jetions deux dés. Quelle est
la probabilité pour que nous amenions un 6P

Pour avoir le nombre total des cas possibles, appelons A et B
nos deu\ dés, et écrivons tous les couples de chiffres que peuvent
donner les deux dés, en plaçant toujours le premier le chitTre donné
par le dé A et le second le chiffre donné par le dé B : nous obtenons
ainsi 6 couples commençant par i (le second chiffre pouvant être
I, 2, 3, j. 5 ou 6) et de même 6 couples commeuçant par a ou
par 3, etc., donc en tout 6 X 6 ou 36 cas possibles.

Parmi ces cns, combien sont favorables h l'événement dont nous

(') Voir surGACMÊRES, au t. III desŒuv. de Pateal, l'Appendice II,

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LE CALCUL COMBIVATOIRE ^6g

nous occupons? Nous avons d'abord 5 cas favorables pour lesquels
le cbifTre 6 est donné par le dé \, le dé B marquant un aulre chitTre
(i, 2, 3, 4 ou 5) — de même, 5 cas favorables, pour lesquels
le cbifTre 6 est donné par le dé B, le dé A marquant un autre cliilTrc
— eniin un dernier cas favorable est le cas où nous amenons le
double 6. Le nombre total des cas favorables est donc 5 -H 5 + i

ou 11. J'en conclus que la probabilité cliercbée est jg-

Ce seul exemple suffît à faire pressentir la connenion qu'il y a
entre le calcul combinatoire et la théorie des probabilités. Le lecteur
qui désirerait poursuivre l'étude de cette théorie pourra consulter
l'excellent ouvrage de M. E. Borel : Eléments de la théorie des pro-
babililés (a* éd. 1910).

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LIVRE DEUXIEME

COHSTBUCTIOH

CHAPITRE PREMIER
LE CALCUL ALOÉBRIQUE

/. — Objet et ambitions de l'algèbre.

207. — Un savant de Bagdad, Mohamniad iba Mousa Al
Khwarizmt, composa au il° siècle tm traité qui eut uae fortune
remarquable : VAldjabr w'td moqabalak ('). Ce titre est le nom
d'une technique, ou méthode de calcul, que les Arabes avaient
tirée de sources grecques et indiennes. Deux opérations fondamen-
tales, efTectuées l'une et l'autre sur les sommes de nombres relatifs,
le caractérisent : la djebr, qui fait passer d'un membre d'une éga-
lité dans l'autre tous les termes affectés (précédés) du signe — , de
manière à ne laisser subsister dans chaque membre que des
termes affectés du signe -+- ; la mo<jabalah, ou réduction des
termes semblables {vide în/ra n° 281).

L'al'djebrou'al moukabalah est devenue l'algèbre moderne, et
le nom d'.Al-Khwarizmi, transformé en aliforilhmc (■) s'est per-
pétué comme nom commun. Ainsi, à défaut même d'autres té-
moignages — et nous en avons un grand nombre — les mots
suffiraient à attester l'origine orientale de notre calcul algébrique.

(') Ce traité a été publié avec une traduction anglaise par Bosen ;
Londres, i83i. Voir sur Khwaiiizmi, aupra, p. (i, note 3.

^'l On désigne aujourd'hui par le mot algorithme un système de nota-
tion symbolique quelconque.

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372 LE CALCUL ALGEBBIQliE

26B. — L'algùbre est, disons*nous, une technique ayant pour
objet le calcul ; cette technique nous promet plusieurs avan-
tages appréciables : gritco & la simplicité et h la fixité de ses procé-
dés, elle prétend opérer rapidement, sûrement, mécaniquement,
pertinemment.

En premier lieu, l'Algèbre sera rapide. Elle se servira donc
d'abréviations dans le langage et dans l'écriture. C'est niasi que
déjà Diophante d'Alexandrie employait des signes abrégés pour
désigner les puisssances (') et que certains géomètres grecs repré-
sentaient par des lettres de l'alphabet les grandeurs (*) ou nombres
qui reviennent plusieurs fois dans un même calcul. — Quant aux
opérations — effectuées ou à effectuer — elles seront indiquées
par des signes conventionnels (') (signes opératoires) : tels les
signes =, -H, etc., dont nous nous sommes servis dès le début de
cet ouvrage, et qui sont d'ailleurs — notons-le en passant —
d'origine as-scz récente [xvi' ou xvn' siècle, pour la plupart (')].

En second lieu, l'algèbre opérera k coup sAr, parce qu'elle réduit
les calculs à l'application de règles fixes et de formules données
une fois pour toutes.

D'où viennent ces règles et ces formules? Ce sont les dénnitions
mêmes des opérations fondamentales qui vont nous les fournir.

Le calcul arithmétique n'est autre chose, nous l'avons dit, que
la combinaison de certains nombres suivant des lois déterminées.
Cependant lorsque pratiquement nous avons à faire un calcul, nous
oublions dans notre hâte d'arriver au résultat, les nombres com-

(<) Vide êupra, p. 11, note i.

;); Les Grecs faisaient usage de ce langage abrégé dans les déinoDStra-
lions géométriques du type euclidien. Les modernes — Jordanus
Nemorarius en particulier (xiiiO siècle, voir p. ii5, noU i) — l'intro-
duisirent dans le calcul proprement dit.

{*\ Dans l'écriture égyptienne, une patte d'oiseau, orientée dans un
sens ou dans l'autre, jouait le râle de noj signes -{- et — .

(') On trouve les signes +, — dau» l'ouvrage de Wjdiian signalé plus
bas p. afto, note 1. Cependant la plupart des auteurs du xvi* siècle se
servaient des lettres p et m pour signifier plus ou moins. Le signe X
«pparatt dans le Clavi» mathematica d'OucuTnBD (Oxford, iG3i)' — Lo
signe = fut employé en Angleterre au xvii* siècle; cependant les mathé-
maticiens français du xvu*' siècle exprimaient d'ordinaire l'égalité par le
signe 3C ] (pcut-ftre un œ, première lettre du mot œgualit).

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OIUET ET AHBITIOXS DE l'aLGÈDRI^ 3^3

binés et la foçon dont iU sont associés : lëdilicc n'est pas plus t6t
construit que nous |)crdons de vue l'agencement des matériaux qui
nous ont permis de l'obtenir; et, ainsi. )ii résolution d'un problème
ne nous est d'aucim profit pour celle des probtcmes suivants. En
analvsant cette futblesse de l'arithmétique nous vovons comment
il convient d'y i-emédier. Pourquoi ne ferions-nous pas. avant
même de donner aux nombres sur lesquels nous opérons des va-
leurs déterminées, une étude formelle et n priori des différentes
combinaisons qu'engendrent nos opérations? Nous savons que ces
combinaisons sont susceptibles d'être obtenues île plusieurs ma-
nières (l'ordre dos opérations elfeituées |>onvant être modifié). Il
serait dès lors fort utile de savoir A tapaiice quelle est, parmi les
différentes formes d'une même combinaison, celle qui sera le plus
lacile à calculer. D'ailleurs telle forme avantageuse dans un pro-
blème le sera moins dans un autre. D'où l'intérêt d'une élude
systématique déterminant les diverses transformai ions auxquelles
se prêtent les combinaisons d'opérations. Il conviendra, en outre,
de nous mettre en mesure d'cITec tuer à première demande les trans-
formations utiles, en en définissant le mécanisme par des Jormtiles
immédiatement applicables.

26Q. — ^ous connaissons àé]h, remarquons-le. de telles for-
mules de transformation : celles, par exemple, «pii expriment les
premières propriétés des opérations fondamcnlates (nssociativité,
commntativité, distribulivité). Ainsi les égalités

a-fb==b-i-a, aXb — l>Xi. a X (li -i- <■) = ">( f>-i-tX c, etc.

définissent ilfs li-ansformatitms qui restent légitimes quelles que
soient les valeurs numériques figurées \inr les lettres n, h, c [la com-
binaison a -<- A est toujours écpiivalente i\ la combinaison b -h a,
la combinaison a X 6 à la combinaison b x a, ctc.J. En associant
CCS égalités nous obtiendrons de nouvelles transformations s'cxpri-
mant par autant de formules que l'on apjwlle » formules algé-
briques ».

Ces premières m formules » — j'entends premières en simpli-
cité, non en date, car on n'éprouva point tout de suite le besoin
de les écrire explicitement — ces premières formules mettent en

Donnoui. — Un Principci da l'Auly» inalhtmali^ae ilj

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a^^ I.E CALCUL ALOÉBHIQUE

évidence les caractèi-es fondanienUiix que nous retrouvons dana
toutes les autres.

Premier caracicre : les formules de l'algèbre, depuis françois
Vièto('). portent d'ordinaire sur des lettres, et c'est ainsi qu'elles
fournissent à l'avance des règles iavarial>tes. applicables i une
infinité de questions : autant de valeurs dillërentes on donne aux
lettres, autant l'on a de problèmes |>our lesquels vaut la m£me
règl..

Second caractère fundamenUl : l'analogie que l'algèbre établit
entre les nombres fournis par des problèmes différenls est une ana-
logie de structure. Imaginons, par exemple, que deux questions
fassent intervenir, chacune, une quanliti (■) délinic comme pro-
duit d'une somme de deux nombres par le carré d'un Irtusième :
l'algèbre notera cette ressemblance en écrivant les deux quantités
sous la même forme : a + &) x c* ou (*) {a -h b). c*. et elle ne se
préoccupera pas de savoir si les va/rur* des nombres a, £. e diUèrent
d'une quantité h l'autre.

Nous découvrons ainsi l'un des principaux sécréta de l'algèbre,
secret bien simple, mais dont encore il fallait s'aviser : Vaiytbre,
en principe, it'ej/erliw ptu les opérations : supposons, par exemple,
qu'elle ail à parler de la somme de a et de 6 : au lieu de calculer
cette somme ou de la désigner par une lettre a, elle écrit a -t- b
ou (a +- h) et ne clierclie pas plus loin. Dès tors, dans une formule
algébrique. In structure ou composition des nombres apparaît tou-
jours. Cela permet de voir du premier coupd'œil la connexion
qu'il y a entre une formule et tels ou tels problèmes, différents
par les nombres qui y figurent, mais semblables parles opérations
qui y interviennent. D'autre part, la formule est toujours prèle à
subir immédiatement de nouvelles transformations.

l'j En établissant une dtatiiiction Byilémalique entre la logittica numc-
roM tealcul nuroériquel et la logâliea npeciosa (calcul portant lur ilei
lettr»), ViRTE constitue l'algèbre iDodeme en tcience autonome. |Cf le
Cours matttématiqut (I'Hericone, t. II, ili3.^ où les dpux alf;èbrei sont
appeléaa : algèbre nombreute et algèbre npicieuie]. Sur le» symboles litté-
raux en alfèl>re, voir aussi p. 2S1, note 1 et n" 3Hi>.

l'j J'entends ici par le mot ■ quantité •: •TtMultat d'une opiviiant, ou:
t mesure d'une grandeur, al/ectée du signe + ou — •, par conséquent :
« nombre relaiij i. Voir ausiï infra. n^iu'.

I '1 Voir sur ccssignes, le Prtm. Uv., ch. i, j 2,

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OlUET ET A11DITI0?IS DE h ALGEBUE 273

270, — En Jofinilive, l'algèbre est une Rè^lc (lief/ulu, disaient
les atgébristcs de In Kc naissance* Ars ecrtis Ui/ibiis el pnccefilit
cimleiiln, disait un commtnialeiir de DMcariesC)) : c'est la règle,
ou, plus C!iactcineiil, l'ensemble des rèj^les d'après lesquelles on
elTectue certaines ti-nn s formation s ou combinaisons dilesal{^ébrtc|ues ;
ea général, ces combinaisons sont celles (jne déRnissent les opéra-
rations l'ondunien laies de l'aiitlimélique: mais rien ne nous înicrdi-
roil d'en imaginer d'autres (vide infra, chap. t, S I),

Ajoutons (|ue, comme nous l'avons dit plus haut (368) les
règles de l'algèbre visent ù devenir mécnnitjuet, c'est-à-dire ap-
plicables par tous et toujours, sans intervention de l'intelligence.
C'est pourquoi Descartes se croit autorisé à nous donner les pré-
ceptes de son algèbre sous forme de commandements, sans les
expliquer, sans nous demander de refaire t'elToit intellectuel qu'il
a lut-mâme accompli une fois pour touleset pour tous les hommes:
Il L'addition, dit-il (»), se fait par le signe -i- ... Comme pour
ajouter a à fc. J'écris n h- t. La soustraction se fait i>ar le signe — .
Comme pour soustraire a de b, j'écris (t — a. S'il est question
de multiplier des lettres l'une par l'autre, il les faut joindre
ensemble, etc. ».

Il ne faut toutefois p-is conclure delà que l'algèbre soit une règle
aveugle : c'eiit un art qui exige, chez celui qui l'exerce, de 1 adresse
et du savoir faire. En ciTet, parnii toutes les transformations pos-
sibles d'une formule, l'algébrisle doit choisir celle qui est appropriée
au calcul qu'il entreprend (•), et il peut faire ce choix plus nu moins
pertinemment. Pour résoudre une équation, dit l'Indien Ithaskara,
« on iiréjiare (iih-oilement deux membres en équilibre, en ajoutant,
retranchant, multipliant ou divisant » (*) : la régie n'en dit pas plus
long : à l'al^'ébriste de voir par lui-même comment il apprêtera son
équa^on {j).

(') Efaihius Bartholi^ls dan» ton Epltrc Dédicaloire de l'édition
la(in« de la Giomilrie 'vide infra, p. ')S{, note |i.

Cl CaUul de Moniieur Deacarlea, Œuv. ,'e Deicarle», t. X {vide infra,
ch. iii\ — Cf. le Cours malhémathitjixe d'IlEnicoNE cité ci-dessua.

(>| Excogilanda ab artifice — dit Viète {De recognitione aquationum
ap. Optra Malhem..Ley de, i6i6,p.ç)3l — et tendanda, quae tuo fini magie
iiuervire ronficiel figmtnia.

(*| Cité par RoDFT, Journal asiatique, t. XI, 1078, p. 17.

1') L'appr{t de l'équation (De emendalione atqualionum) joue un grand
rtle dan* t'algèbrc de Viëte. Cet apprêt »e fait au moyen de > tranafornut'

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i-jG LE CALCUL ALGÉBaïQUE

371. — Nous comprenons maintennnt quelles sont les conditions
aux<|iicllcs il faut satisfaire pour être un habile algél>ristG. Il faut
savoir outiller la si^niltca(ion d^es éléiiicnls combinés pour ne plu»
faire allcnlion qu'au mécenisnte de la combinaison. 11 faut consi-
dérer les formules comme des assemblage», que l'on retourne en
tous sens, que l'on compose el décompose de tputes les manières
— par la 'Iji'lir, par la innukalialah ou d'autres procédés — afin de
faire apparaître de nouvelles combinaisons intéressantes. L'algé-
briste jongle avec les formules; il les triture, il les pulvérise, sui-
vant l'heureufle expression employée par Brabmagoupta pour dési-
gner une métbode fondamentale de son atgèbie : h celui qui con-
• nailra l'usage de la métbode pulvéïisatiice, des cbilTres, des
u quantités négatives et positives, de l'élimination du terme mojen
a \lriiiisformiilioit ulîliséc dans la Ihèoric îles équalioiis], des sjm-
a bolcs et expressions [algébriques], celui là, dit Bratimagoupta,
I» deviendra un maître parmi les savants ('^ m,

272. — Ces remarques nous expliquent l'histoire de l'al^^èbrc.
IjCS savants grecs ne pouvaient pas être de bons algébristes : ils
prétendaient, en effet, saisir par l'intuition, voir d'une vue intel-
lectuelle directe, des âtrcs niatliéniatiqucs aussi réels ou plus réels
que les objets sensibles (n" 1 ) ; comment, dès lors, auraient ils
pu négliger ces êtres parfaits, et faire table rase de la réalité ])Our
y substituer des symboles? Les promoteurs de l'algèbre furent, en
Grèce, ces loglsticiens ou calculateurs, que Platon mettait au bon
de la science {siiprn, n" 1 et p. lat. note i), et l'une des princi-
pales innovations de 1 Alexandrin Diopbante — en qui l'on veut
voir le premier algèbriste — consista simplement à appeler nrllhmé-
fii/ite ce que Ion prenait avant lut [Kiur de la logistique ;*;.

lions » leWe que V'eipurgatio, la Iransmulatîo, Vanailrophr, Vantithisis, cit.
Mais les traiiarormations de Viètk sont en gétu rai fonJéea sur des coiisi-
ijprntioiis gêomêtriqiiea qui devraient reïler ûtrangcrea à l'algébrlile [vide

('! CoLEBHOOKE [Atgetra Iront tke sanicrU oj Brahmagupta and
Bbaakara, 1817, p. '(-(:>,

I*, 11 [l o, dit Paul Tannery '.La Gèamétrît artcque, i8ftS, p. ."io', inlt-
tulc son ouvrage ' \-:ffi.i-.:'.i, alors que ta maliore en avait été jusqu'à
lui considérée comme appartenant à la logistique. Celte innovation eit
plus qu'une simple altairc de mots ; elle révèle le ïenlinienl très juile
que la iiialiùre dont il s'agit appartient à la stiLnce abstraite et primor-

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OBJET ET AUniTIO^S Dt L AI-CEURE 377

An rebours des savants grecs, les Hindous furent avant tout des
calculateurs ( '}. Esprits pratiques, ils ne se préoccupaient point de
tendre leurs (liéories rigoureuses et belles. Il n'y a pas même cbe?,
eux de lliôorie scicntilïqnc à proprement |>ar)cr, mais seulement
des lèjfles. formulées en vers, le plus souvent, et sans démouslra-
tion. « Dis'moi (*). clière et belle Litavati — ainsi s'exprime
Bliaskar.1 — toi qui as les jeux comme ceux du faon, dis-moi quel
est le résnllat de la mulliplicallon. etc. ». Et In r<3pon.sc suit.
Itbaskara uoiia donne, sur ce ton, un ensemble de règles, qui
constituent » une facile métbodc de calcul, cbarmanle par son élé-
gance, claire, concise, douce, correcte, agréable n apprendre >. —
Un recueil de recettes et de formules, ïoilr\ donc ce qu'est la
science (tour les Hindous; c'est |X}iirrpioi ils furent de grands
algébristesO.

diale et non pa* à une icience appliquée et concrète n. — Selon une
remarque Uc JIanxel IZur Gtsch. d. Malhem. in Allerlum u. Millte-
iatUr, Lcipzîi;, 1S7V. le but de Diophakte clait moins J'cnscigner des
mêihodes que d'obtenir une collection de lésullale. Par là, le point
de vue du savant alexandrin se trouvait Fort éluignê du point de vue de
l'algèbre modcmc que noui venons de chercher â dûnnir. — II y a pareil-
lement (quoique pour d'autres raisons) divergence absuluc de Icndances
entre l'algèbre moderne et celte partie de la ecomctrie ^rcrque que l'on
a (ouvcnt appelco algèbre géométrique {l'ide injra, le chapitre m de ce
Deuxième Livre).

\') L.1 Beienco hindoue subit-elle indirectement des iniluences grecques ?
C'est \k une question obscure que nous ne saurions trancher: il est tort
possible que l'on ait eu aux Indes quelques cchos des travaux de

DiO PUANTE.

(') CoLEBBooEE, op. Cil. 'supm p. a7l>, noto i], p. 6. Le trallé intitula
Lilaoati (La charmante) est dédie à une femme à laquelle Bhaskaha
s'adresse.

(<| C'est ici le lieu de faire une remarque importante. L'aigèlire des
Hindous cl de leurj coniinualeurs, les Arabes, n'vst poinL une iilgèbre
spé ieuse au sens de Vicie : je veux dire que dans celte al^Ëbr les
nombres ne sont point systématiquement rcmplarés par des Icliros. Ce
caractère de la science hindiiue,est souligne parles histori ns des malhc-
matiques qui veulent voir dans l'emploi des symboles littéraux une con-
dition essentielle de l'algèbre [ol. Nesselmann. Geach. d. .Algtbra d.
Griechen, ptueim: voir auisi Heath, Diophanlua 0/ AUxandria. Cam-
bridge, 1910, p. ip]. Nous croyons cependant que l'absence des [or-

hiul ilcgrc lu] tendances fi.ir lesquelles nous avons défini plus haut
l'erprli alg brist'i. Aussi bien ne [audrait-il pas exan.'rer l'importance des
services rendus par les hltres dans le calcul. On peut Tort bien ctalilir
l.'S formul s générale* de l'algèbra lors même qu'on remplace les Icllros

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378 hE (CALCUL AI.GÉURIQUE

Lorsqu'au début de la Renaissance, les lendances praliqur-s e(
utilitaires s allièrent ii de solides études théoriques, l'algèbre prît
définitivement son essor |nous reviendrons longuement sur celle
époque au chapitre en]. Cependant bien des algébristes du xvi' el
du xv[i° siècle se trouvent encore gènes par les habitudes d'esprit
qu'ils tiennent de la tradition grecque. C'est le cas du grand mnllié-
malicien vendéen, François Viètc (t54o-t6o3).i\ qui l'algèbre doit
tant par ailleurs, et qui opéra, dans la tectiniqnc mt^nie de cette
science, les plus heureuses réformes ('). Les to'irs de passe-passe
des algébristcs hindous eussent été pour Viète des non-sens, cor il
Dejxiuvail pas raisonner sur les grandeurs sanssc les représcnler(').
Il ne combine que des objets de même espèce (des komoifh]es)et.
suivant In tradition diophnntine, il s'interdit de voir dans les quan-
tités négativesautrechoseqiiedcs grandeurs retranchées (riile 137).
Il se croît donc obligé de distinguer, et de traiter l'un après l'autre,
une longue suite de problèmes qui ne diiïèrcnt que par leur inter-
prétation concrète et ne feraient qu'un pour un algébriste mo-
derne.

273. — En somme, aux premiers temps de l'algèbre, ceux qui
ont réussi dans cette science sont ceux qui n'avaient pas de scru-
pules théoriques. Il fallait en être dépourvu, jiar exemple, pour se
permettre d'opérer sur des qiiontités inconnues exactement comme
si elles étalent connues. Or c'est U l'une des caractérisliques et,
pour beaucoup de savants, la caractéristique principale de l'algèbre.

Avec l'assistance de Dieu — ainsi débute l'algèbre d'Omar al-
Kliayjiam {') — et avec son concours précieux, je dis : « L'al-
« gèbre est un art scientilîque. Son objet, ce sont le nombre
<i absolu et les grandeurs mesurables, étant inconnus mois rap-
u portés h quelque chose de connu, de manière à pouvoir être
«déterminés; les choses connues sont des quantités ou des

par des nombres <irdinain.'S, A condition que l'on
moment Jo la dcmonstration, des valeurs partie
C'est ainsi que proi^èile encore Pascal ou xvii* siècle.

(') Vide supra, a" afig.

(*J Les symboles sont pour Viète les formes de chosot réulles {rerum

{') L Algèbre d'Omar Atkhayyami, traduel. Wcepcke, Berlin, iSr>i, p. .i.
Khajyam mourut à Bagdad en iiai- — Cf. n" ^i).

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OBJET ET AMBtTIOSS DE L ALGEBRE 379

• rapports individuellement déterminés {voir n* S7) ainsi qu'on
« le reconnaît en les examinant attentivement; ce qu'on t^erclio
« dans cet art, ce sont tes relations qui joignent les données dii
K problème^ r[inconnue|. qui de la manière susdite forme l'objet
n de l'algèbre (') ".

Supposons, par exemple, que l'on sache que le nombre 9, moins le
triple d'une quantité inconnue, égale cette même quantité, plus le

nombre v : nous désignerons la quantité inconnue |>ar la lettre x,
et nous écrirons l'ég^klitt: '^éqaalion)

Ajoutons, de part et d'autre du signe ^, une même quantité

3 5

d'où, en divisant par \. la valeur de ac ; x ^^ -« ■

Pour atteindre ce résuflat, qui paraît aujourd'hui si élémentaire,
le géomètre ou le pur arithméticien prend des voies détournées;
comment |H>tirrait-iI, en eiïet, introduire de but en blanc dans ses
raisonnements la soustraction, ou la division par i, d'une quantité
qui n'est pas connue? Au regard de l'intuition une semblable opéra-
tion n'a pas de sens. L'algébriste, lui, ne s'embarrasse pas pour si
peu ('), et il parvient instantanément à la solution du problème.

(') I. 'algèbre — dit plus rapidement Héricose 'Cours maihématiqtu,
I. II. ifitil — at l'art de trouver la Krnndeiir inconnue «n la prenant
li elle était connut) tt trouvant legalitc entre elle elle» longueurs

(*| Ainsi JoHANTfKS Widhann 'voir la r
pour ■dditio'-ner des ceuli rtsc des déniera , Tiotant ainsi Te premier prin-
cipe de l'Arithmfiique. Voici comment il s'exprime (Ca«hjh, Vorlra.
t. II, p. •k'in)-. Eyner hat hauf/t 6 Eytr — a S pro ^ S' f i eg. Su Ut die
frctg vit kupl ein ey. — Addir die geminderle Zal der S lu der furgetrgten
Zal der 3 Uni mbtrakir die zal de» dingeta \itKonRue ; res, Ding] von der
andern zal yrss gteychen. Vnd dividir die Uberige zal der 3 mit der iibrige
zal der gdraufflen war, und der aelbige teylung quocient berichl die frag.

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38o LE CALCUI: ALGÉBniQUE

274. — •• Il est d'habiludc, chez lesalgébiistes, — ainsi poursuit
« lalgèbredc Khayyam — de nommer dans leur. irt l'inconnue quon
ose propose de déterminer: chose ». — Celle habitude se conserva
longtemps. L'nlf^bre fut la Rè;/te tle h chose (Re'joln délia cosa,
en ilalien}, et il y eut en Allemagne nnc école d'algébrisles que l'on
appella Cosnisles {'). Kn latin, l'inconnue clait souvent désignée
par le mot « raïUx « et son carré par le mot » census • ('). Ainsi, dans
les relations où figurent l'inconnue et son carré {équations du. second
degré, vide iii/ra, i 6 ; les premiers algcbristcs ne dépassèrent
pas ce degré), on distingue trois sortes de nombres : radîx, census,
numeri simpllces (nombres ordinaires, connus). Quelle diiTérence
d'espèce y a-t-îl entre ces nombres !> C'est là une question que
Talgébriste conséquent avec lui-même ne se posera pas.

S7B. — L'alf^'èbie ne raisonne pas seulement sur des quantités
connues et des quanlités inconnues; elle opère également sur des
quantités variables ou indéterminées {'). El, en effet, les combi-
naisons on transformations (vide S 3) que l'algèbre fait subir à
une formule oii entre In lellre x (telle que 3.n.x + 2), sont évi-
demment indépendantes de la valeur donnée k x, et restent par
conséquent valables quelle que soit h valeur {variable indélenniitée)
de ta quantité x (cf. n" 26Q).

D'ailleurs, dans une formule telle que S.a.x -H 3, il est toujours
permis de supposer que la lettre a lient la place d'une quantité déler-
minée{')pttv exemple une longueur physique que l'on est à chaque
inslantcn état de mesurer) landisquex est une l'arint/e (par exemple,
la distance de la terre au soleil qui n'est ni mesurable, ni Gxe),
Pour les opposer aux variables, on dit que les quanlités déter-
minées sontyîxt's ou conslanles.

276. — La distinction des connues et des inconnues, desdéler-

l'I Le premier Cossislc qui ait laisec un nom esl Jobannes Widmann
d'Eger (magigter de l'iinivmité de Leipiijt. i^SS^ auteur d'un ouvrage
intitule : Behende undhubsche Rechnung auf alUn KaufjmannaehaH, Leipzig,

l'I Ces locutions sont employées dans les Iraduclioni latines de l'algèbre
de KnwAmïui ( Vide supra, n" 267). Voir en particulier la traduction
publiée par Lioni {UiiH. des ac. mort, tn Halit, t. I, i838, pp. M53-54}.

(■'( -rlfifl',; (iOliOlUV à6p:9-ll1, dit DiOl-HANTE.

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OBJET ET AMBITIONS DB LALGEIinE 331

minées el des indéterminées, des fixes et des variables, est essen-
tielle h qui se préoccupe d interpréter, jwr In géométrie ou <rune
anlrc manière, les résultats de l'algèbit. Al<iis h. lalgébriste pi-c-
premcnt dit, nous ne saurions trop le répeter, la nature des sym-
boles qu'il manie doit rester indifTércnte ('). Plus le mécanisme
combinatoire qu'est l'algèbre saura s'abstraire de la réulité, plus il
étendra sa portée et son cbamp d'appltcaliou. Une métliode uni-
verselle, une clef de toules les sciences, voîliï ce que, depuis )e
moine espagnol Raimond Lulle (xin* siècle), toute nne génération
de philosophes i-évait de constituer. Et, sî ces philosophes ont été
pourla plupart de médiocres mathématiciens, ils n'en sont pas moins
guidés par le principe même d'où procède l'algèbre. Cette dernière

(''. C'»t Taule d'avoir adopté fraFichemrnt cette attitude quo les a\gé-
bristes furent longtempii reianlés dans 'eur marclie en avant. L'histoire
du avinbotiame algébrique noiix en fournit la preuve. On s'habitua faci-
lement à reprceenter les indc terminées ou les vaiiables par des ieltre» (les
lettres tenant ainsi la place do nombres dont on ne connaît pas la valeur).
Hais u'Ëtait-ce pas pcehcr contre le bon-sens que de Tigurer par des lettres
lea quantités dont on pouvait écrire directement la valeur numérique ?
Viète eut le grand mérite de comprendre le grand avantage que présente,
en ce cas encore, l'usage des signes littéraux (voir cependant, p. 3K\,
note i| : en ne déterminant pas tout do suite le] valeurs des quantilis
connue*, on obtient des formules qui sont applicables quelles que
Eoien-. les valeurs (ddterminéesl que l'on donne ultérieurement à ces
quantités dans tel ou tel problème particulier. On appréciera l'im-
portance de ces formules où ent e uno pluralité d'indéUrminiei, si
l'on songe qu'avant Vièto c'est à peine si l'on pouvait considérer si-
multanément, dans un calcul, plusieurs quantités inconnues : pour
y parvenir, Stevik devait adjoindre aux signes figurant l«s puissances
successives de l'inconnue [signes 1, 2, 8, ... ou .'S). >%'. I^,-..] les mots
secundo, tertia, ... (ou, en abrégé, sec., ter., '...] indiquant qu'il est
question d s puissancead'une seconde ou d'une troûième inconnue. Il écrivait
par exemple (et. Zevthek, Gesch. des Math. i. xvi* u. xvii* Jakrh., p. i)fi) :
quoique» sec S) sont égale* à i l^ M sec. (J) -I- quelques '%, ce qui signifîe :
quelques premiireg puissances de la première inconnue [c'est-à-dire : un mul-
tiple détermina de la première puissance d'une inconnue y, ou, el nous adop-
tons le symbolisme de Viète : te produit a. y, dans lequel a désigne un
nombre délenniné quelconque] égalent la première inconnue (soit x) multi-
pliée par la seconde inconnue 'y , plus quelques x' [ou b.x', b étant un
nombre déterminé] ; nous écririons aujourd'hui tout simplement ;

a. y = x.y + b.x'.
Lorsqu'ils considéraient plusieurs inconnues simultanément, les Hindous
' ' I figurant leurs puissances avec des couleurs

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aS'J LE CALCUL ALOÉnitlQLE

nVt-clle pas élii appelée .4i's/;i»iyna comme l'Art de Kaimond Lulle
(art par excellence, arlîum an)? L'idée d'uito langue algébrique
universelle (') liante les esprits jusqu'ù la Tin du ivu' siècle (elle
n'a |)oint dis)>arti de nos jours), et le grand algëbrisle Leibniz s'en
est continuellement inspiré : l'Algèbre — qu il préférait appeler
Arl ou iSyfilhhe combiiialoire — est selon lui une carticférislique
universelle (■ ^uar a(/it île cnkuto in an'wersam »), c'est-à-dire un
langage symbolique perniettanlde réduire tous les raisonnements à
des combinaisons de formules (dans lesquell» pourront d'ailleurs
intervenir d autres o|>éralions que celles de rAritbntétique). a On
□ 'a plus, dit M. Coulnrat ('), k faire attention au contenu réel des
idées et des propositions ; il sullit de les combiner et de les Irans-
former suivant des K'glos algébriques ». Ce serait — si ce pouvait
âtrc — le triomplie du mécanisme inteltcclucl.

377. — Mais bornons notre ambition, et contentons- nous de
faire connaître, dans l'esprit que nous avons chcrcbé à défmir, les
règles et les formules de l'algèbre élémentaire. Pour bien mettre
en évidence le mécanisme et la souplesse de ces formnles tout en
respectant les exigences de la rigueur logique dont nous ne
saurions faire, nous modernes, aussi bon marché que les Hindous,
nous présenterons tout de suite les règles de l'algèbre sons la forme
qu'ona coutume de leur donner aujourd'hui. Cependant nous ne
devrons pns oublier que, comme nous l'avons dit plus haut,
l'algèbre ne parvint qu'après une longue élaboration à celte sim-
plicité, et surtout à ce degré d'abstraction, qui frappent tant le
lecteur des ouvrages modernes. I^ conception géométrique de
l'algèbre en particulier, fut un intermédiaire nécessaire (voir n" 372
et chap. III. $ [) entre les règles de calcul des Hindous et le symbo-
lisme abstrait de notre époqwe. Nous reviendrons longuement au
chapitre ni sur cette conception et sur le travail dq mise au
jmint qu'elle permit d'accomplir en algèbre au xvii° siècle.

(■) I Potj/graphia noja et uniueraali» ex combinatoria arle détecta t, t An
signorum. vulgo ckara-ler univer»alia et lingua phihiophica » disent les
tit csttodcuxouvra^fl (de KiRcnEHet Dalcarno) parui en i66S et 1661.

i') La logique dt Lribnis, p. tui.

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2. — Symboles et expressions algébriques.

278. — L'algébrisie, avonsnoiis dîl, éluilie les assemblages que
l'on peut fornur avec des nombres i-elalifs. ces nombres étant
cunniis ou inconnus, fiiLoaoïi variables. rcprL-^entts {tardes leltrcs
ou |iar des chilTi-cs, et reliés |>ar des signes opératoires convenus.
— Les assemblages de l'algèbre étant, conslniils de toutes pièces,
rien ne nous cnipùclie a priori d'en imaginer uulant qu'il nous
plairacn créantdc nouveaux signes opératoires (cl'. 270) ; cri>rndant
nous n'userons |uis, |>oiir le morncnl, de cctic liberlc; nous nous
contenterons d'étudier les combinaisons formées par le moyen- des
opérations nrllhmétiques Tondamentales, combinaisons que nous
contiendrons de nommer « expressions ali/èhrii/ties ».

270. — Nous appellerons plus parlicutièrement « expression nl-
géhrique rnlioniielle » touto&scmbliige de svmboles algébriques dans
la composition duquel n'entrent que des addlLions, des soustractions,
des multiplications, des divisions, ou clévaltons à des puissances
entières. Nous avons vu que moyennant certaines conventions
les cinq opérations énumérées cî-dcssus peuvent être efTectuées sur
des nombres relatifs quelconques ; donc toute expression nlijé-
hrigue ralionnelle. composée avec îles nombres relatifs, représente
un nombre relatif.

Il n'en est pas nécessairement de même des expressions algé-
briques non rationnelles (irrationnelles).

Considérons, par exemple, l'expression i/— a dans laquelle n est
un nombre positif; cette expression ne représente aucun nombre,
car il n'existe pas de nombre dont le cane soit un nombre
négatif (n* 135).

Cette circonstance — notons-le tout de suite — o été (mur les
premiers algébristes une grande source de dillJcultcs. Nous avons
dit en effet que l'algébristc de profession ne craint pas de raisonner
sur des nombres inconnus, ou, en tout cas. sur des nombres dont
il oublie momentanément la valeur. Or, s'il fuit abstraction de la
valeur de a, il ii/nnre si le symbole v'— « présente ou non un sens.
et il n'a point de raison d'écarter d'avance ce symbole. Ainsi, si
l'on n'y prend pas garde, l'algèbre se trouvera déborder hors du

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384 I.E CALCUL AI.GÉDUIQUE

dumuinc des nombres rcliilirs : on y rcncoii liera des expressions
qui cesseront occasionnellement d'être nombres ou le redeviendront
sans que rien soit cbangé pour cela ii leur mécanisme. Le mnlhé-
maltcicn soucieux de rigueur logique ne |)Cut raisonner sur de
semblables cxjiressions sans faire à leur sujet des réserves for-
meltcs. Aussi longtemps, du moins, que In llii^oric des nombres
imaginaires n'est ])oint constiluéc (voir cbap. v, $ ^), il lu! laut
exercer un contnMe sur les calculs où entrent des i-adnes alin Je
reconnaître et de rejeter les formules qui ne représentent | mi s des
nombres. A celle restriction près, cependant, les expressions irra-
tionnelles se prêteront aus'^î bien que les rationnelles à la combi-
naison algébrique.

280. Notations. — ^ous n'enlreprcmlrons [loint de faire ici
l'bistoire des notalions algébriques ; car il n'y a aucun lien direct
entre- le progrès de ces notations et les princij^es théoriques de
l'algèbre, l'armi les nombreux systèmes de notations qui furent
essayés, l'un peu A [wu se dégagea et so fixa insensiblement sous
la forme que nous lui connaissons aujourd'luiî. C'est de ce .système
seul qu'fi quelques exceptions pi-ès nous nous occuperons.

Suivant la notation moderne, imc expression algébrique se com-
pose de lettres et de nombres aritbniéliques, reliés {>ar les signes -i-,
— , X ("" ■)■ - (•"' l>t""re de fmction), et parfois alTeclés d'expo-
sants entiers ou fractionnaires (comme ilans n"). Les lettres sont
prises arbitrairement dans l'alpbabet grec ou latin. Cependant,
même ]>our le choix des lettres, nous {wuvons adopler cerlaïnes
conventions simples qui nous aideront à nous retrouver dans nos
formules. C'est ainsi que. depuis Descartes ('), on n coutume de
représenter par les dernières lettres de l'olpbabet x, y. z, h. i'. ic
les nombres inconnus ou variables et par les premièi'es lettras
a, b, c. etc., les nombres connus ou déterminés.

I') Sur Valgèbre apicieuse, voir p. n;i, note r cl aSr, note i. Pendant
longtemps on n'03.1 Tijurcr par dca letlrea quQ les nombres po^ilita qui seuls
reprcECnlent do véritaliloa ^rand 'ura. Les Cart'siena IlVDDE.De reduclione
sequationum, r6.'J7. trailé inséré dan! l'odilion latine de la Giomitrie :
Oeometria à Renabt DescarUa, 2' éd., t. I, Amsterdam, i6r>f|> furent les
premiers à dôsigncr indilToremment par des symboles littéraux non
airpclêa de aigno» ItcU que a. b. c. ..., 3-, ...) des nombres pouvant flrc i
volonté positif ou négatifs. (CF. Dfux Liv., ch, iv, J 1 .

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stmdoi.es et Ext-nF-ssio:i3 ai.gkdhiquer 38i>

Elant donnée une combinaison il opéi-a Lions, les pro[>riptés de
celles-ci (oommutalivité, ûssodnli\ ilé, etc.) pormetlenld'en modiner
l'ordre sans alléi'er lu valeur de l'expicssion qu'elles définissent.
Aussi une expression algébrique |ieul-elle être écrite de plusieurs
manières. L'algébrisle, dont le rôle consiste à retourner les for-
mules en tous sens, dtivra dés tors se demander quelle est, pour
telle ou telle expression, la forruelaplus ovonl.igeuse et comment on
passera nipidement d'une forme k une autre. Voici, à ce sujet,
quelques règles universellement adoptées en raison do leur
commodité.

281. HonftmesC). — On appelle fHo'<ùm« un produit de nombres
relatifs dont certains, tout au moins, sont représentés par des
lettres. Comme on a le droit d'intervenir les facteurs, on convient
de placer en tête du monôme tous les/aeteurs numériques (facteurs
qui sont donnés sous forme de nombres ordinaires) et en queue
tous les facteurs reprcscnlés par des lettres. Ainsi le monôme
5.n.( — ').li .a s'écrira : 5.( — 7). a.fc.n. D'ailleurs, on a l'ha-
bitude do réunir en une seule puissance les facteurs égaux {ainsia,
danx noire exemple) et d'elfectucr In multiplication des facteurs
numériques ; en sorte que le monôme délini ci dessus s'écrira
(— 35) .(j'./t. — Ces conventions failes nous remarquons que
nous ne donnons lieu k aucune confusion si entre deux facteurs
littéraux quelconques (facteurs représcnlés par des lettres), ou entre
un facteur numérique et un facteur littéral, nous omettons le
signe .on x. Ainsi nous }>ouvons convenir d'écrire ( — 3ô)'('6, ou
tout simplement, — 35n't (voir, sur la parenthèse, p. i46,
note 2) au lieu de (— 3ô) .a*.b.

Kn délinilivo, donc, tout monôme »ern composé de trois parties
juxtnposées : 1° un signe ( + ou — . le signe + pouvant élrc sous-
entendu); 3" un nombre arithmétique ordinaire (nombre positif,
rationnel ou inalionnel) ; 3' un groii|>e de lettres juxla[>osées,
qui [icuvenl être alVcctées d'cx|H)s.ints entiers, et dont chacune re-
pi'ésente un nombre U'Ievé étentuellemcnt à une puissance entière)
lequel nombre est fadeur du monôme (c'est-ù dire fadeur du pro-
duit qui constitue le monôme). Par exemple, les symboles
370.1', — 3a'/ic'

(',. ContraelioD pour mononomc (de .u-iv<,', unique cl Ô-i'iiJ.y, nom).

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aSiî I.E CALCUI. AI.G£BltlQI.E

rqil'ùsi'iiloiit dcM tnonâiiiHs. Si lo iiomlire aiiiliuiL'liqiic rsl <';:nl à
l'unité, on oincl de l'écrire {une Joà a = a). S'il cul nul, le
monôiiie csl nnl {o/ais a ^= o).

L'Ansfitnble (lu signe et ilii nombre artdiniétttfiic coiistiliiciit uti
nombre ruliitJr||i<>si(iron m'yalir; <\»'i csl ii|i|H.'lc coefl'ic'wnt (') du
iitonôniti. I.e ^toiii»! d>! IcUrcs csl \a /larlie litlvra'.c. l.e signe
(^ignc du coellicienl) est le sujne dont csl affecté le iiioni^inc.

Duiix monômes sont dit semblables lur^^qu'ils ne diflêrcnt
que par bura cuelllcienls. l-eiir somme ou leur dîHtitencc est
ulurs u:i nionôiiie seniblalilc à ibacun d'eux ayant |>onr coeili-
cient la somme ou la ditTércnce des deux cueflicicnls. Chaque fois
(|uc, dans une csnirossion, se Ironvcnt plusieurs monômes sem-
blables pouvant être ainsi i-éunis en un par addition ou soustrac-
tion, on ne manquera pas de les réunir en efTet; celle simplilîcation
s'appelle « rêdttclion dex termes semblables a.

Un monônic qni n'aurait pus de partie littérale serait un nombre
relatif ordinaire. Ainsi, par extension, on pourra regarder les
nombres relatifs eux-mêmes comme des monômes.

282. -^ Ces conventions et règles posées, nous sommes en droit de
considérer toute expression algébrique comme le résultat d'opéra-
tions ell'ectuécssurdes monômes L'algébriste, alln de rendre les for-
mules facilement lisibles, mettra toujours ces monômes en évidence
en en réduisant d'ailleurs ii nombre le plus possible : ainsi, par

, ..... -1 (oj- H- (te) + ax — (te . L- ,

exemple, il n écrira pas ,— - , -— . , , mais bien (ce nui

est la même cliosc : „ ;,— — ■

283. Polynômes. Polynôme* ordonnés. — Pour écrire les
expressions algébriques comjKisées de monômes, on suit certaines
règles, dont les unes s'appliriuent mécaniquement et sont imposées
par l'nsagc. lamlïs que les autres dépendent pins ou moins du flair
et de riiabilclé de l'opcriileur.

Soit à additionner (') plusieurs monômes afleclés des signes

I \ Le mot cotflkUru a éié employé par Viète 'Ad lûgigticem spteiotam;
Opéra, p. '(3 .

l'. Nous ptuvons toujours ramener la soustraction à une addition, en
changeant le signe du monôme soustrait.

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STMDOLBS ET EIPIIRSSIU.XS ALGÉDRlQtES 387

+ OU — . On les juxtapose en les séparant ileui h deux par les
signes -I- ou — , et on obtient ainsi une expression qui n'rsl autre
(d'après les refiles de l'addition des nombres reialiTs, que la somme
des monÔRtes, considérés et que l'on appelle polynôme (de -iX-j,
plusieurs et ov>><x«, nom). Les monômes sont dits • termes » de la
somme ou du pol^ nome.

Dans tout jiolvnome, l'ordre de «succession des lermes est
«rbitraire (en vertu de la commutativîlc des sommes). Cependant,
ni nous voulons mettre de l'ordre dans nos Tormules, nous ne ran-
gerons pas les termes au hasard. Nous les classerons d'après cer-
tains caractères, le plus souvent d'après leurs a degrés ».

Soit un monôme dont l'un des fucleurs est la icitrc x élevée à
une certaine puissance ('} p [les outres Tacleurs ne contenant
pas X d'après les règles adoptées plus liant pour la composition
des monômes] : nous dirons que le nombre p est le deijré du
monôme uar rapport kx ou eux. Ainsi le monôme 6a}bx' est
de degré 3 en x, de degré 3 en a. de degré i en b.

Considérons maintenant nn polynôme dont les termes, on dont
cerlbins termes, contiennent lu lettre x. Chaque terme contenant x
a un degré en x ; quant aux termes qui ne contiennent pas x, on
dit qu'ils sont de(/ei/r(.! oen a;. Convenons alors, lorsque nous écri-
vons un polynôme, d'écrire d'ubord les termes de degré O en x,
puis les termes de degré i et ainsi de suite. I^cpolynùmeainsi dis-
posé sera dit i< ordonné par rapport aux puissances croissantes de
X ». Si nous renversons cnsnitc l'ordre des termes et plaçons en
tète le ou les termes de plu% haut degré, nous obtenons un poly-
nôme B ordonné par rapport aux puissances décroissantes de x ».
Le degré en x du ou des lermes de plus haut degré est appelé
« degré en x du polynôme w .

Exemples. — Le polynôme 6 a;* -»- 3 x* — x -i- i e»t de degré
3 en .T et ordonné par rapport aux puissances décroissantes de x.
Le polynôme a-\- bx -t- Sx — c'x' -+- a bx* est un polynôme de
d«gré a en X ordonné par rapport aux puissances croissantes de x.

384. — Au lieu d'ordonner |>ar rapport à une variable, nous
pourrions ordonner par rapport 1 l'ensemble de deux ou plusieurs

('l Par déCnîtion, tous lee exposants qui figurent dans l'expression
d'aa taoaàme sont des nombres entiers posilits.

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388 LE CALCUL ALGÉURIQUB

variables. On a\i[»:\\e degré d un inonâme />ar rapporta deux l'a-
riables x et y (oii dei/ré en x et y) la somme des degrés du monôme
par rapport àxet par rapport ù y (le degré par rapport à une lettre
donnée étant considéré comme nul si le monûmc ne contient pas ta
dite lettre). Ainsi les monômes 13 x'y, axy', 3 ay' sont de degré 3
en X et y. On délinira scmblablement le degré par rapport à ud
nombre quelconque de lettres. Cela dît, tout polynôme contenant
les lettres x et y |ieut âtre ordonné en x et y suivant les puissances
croissantes ou suivant les puissances décroissantes. Ainsi te poly-
nôme

K -)- a6' -(- a x' — ry* ■+- cj"'

est ordonné en x et y par rapport anx puissances croissantes; il ne
contient pas de terme de degré i , Son degré en x et y est te degré
du ou des termes de plus haut degré (ici : 3). — Nous verrons au
cours des cliapiircs suivants, {Kturijnoi il est avantageux d'ordonner
les termes des polynômes d'après leurs degrés.

Remarque. — Une soHiHie ou une dijfcreiice de polynômes or-
donnés se présente de prime abuid sous la forme d'un iwlynome,
mais non jwint nécessairement d'un polynôme ordonné : on l'or-
donucra en modifiant l'ordre de ses termes.

28S. Produit*. Facteurs communs. — 11 résutle de la défi-
iiition du uionAmc que la uiultiplicatio.i d'un monôme par un mo-
nôme donne un nouveau monôme quu>nous savons écrire immé-
diatement. Ulea de nouveau à dire, par conséquent, sur celte
oi>ératioii.

Soit iiiaintcuant h multiplier un polynôme par un monôme ou
par un polynôme. Pour iiuliquer cette opération nous pou -
vons noua servir de la parenthèse () ou du crochet [], dans
lesquels nous enfermons les nombres qui sont euv-uii^uiL-s les ré-
sultats d'opérations supposées cirechiécs. Ainsi le symbole
[a + ax — /)'x'j.[3c' + i] signifie : produit de la somme sup-
posée effectuée (cca\.- à-d'tvQ du polynôme} 2 •+■ ax — b*x* par la
somme supposée effectuée (polynôme) 3 c' + i .

Nous savons qu'en vertu de la distribulivité de la multiplication
(n" 7), le pro'luil d'une somme de termes par un nombre est

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SYMBOLES ET EXPRESSIONS ALGËBltlQUKS sS^

^^al à la somme des produits des termes par le nombre (').
Ainsi, )« produit d'unpoljnomcpar un monâme est un polynôme,
el il en ost de mâine du produit d'un polynôme |)ar un polynôme.
Remplacer par un polynôme un produit qui est indiqué au moyen
d'une parcnliièse ou d'im crochet, ce sera, pour l'alffébrisle,
n effectuer la malliplkation n ou « développer le pioduit ». D'ail-
Jeurs, pour écrire convenablement le » produit développé [ou
* développement du produit a], il y aura lieu d'appliquer les règles
relatives n l'ordination des polynômes (n™ 383-4).

386. — Mais — et c'est ici qu'intervient le flair de l'algé-
fariste — il ne sera pas toujours avantageux, pour los calculs h
venir, d'elTectuer les multiplications, lin exemple simple va nous
en convaincre immédiatement.

Considérons l'expression (x' — xy + i).ai 3n'i, que nous
•écrirons • —-"u^i/T' '' '"■ En n'efTecluant pas la mniliplication

indiquée au numérateur nous mêlions en évidence celle circons-
tance que le numérateur est le produit de a par un autre nombre ;
or ledénominateur estégfllemenlleprodultdea parunautrc nombre
(3 ab) ; et, puisqu'on ne change pas la valeur d'une fraction en di-
visant les deux termes (nucnératcur et dénominateur) par un même
nombri-, la fraction peut ùtre écrite sous la forme simplifiée :

iâb

Ainsi, l'algébriste préférera souvent ne pas effectuer les multi-
plications de polynômes cl monômes II se contentera de juxtaposer
les fadeurs du produit (entre parenthèses ou crochets, si ce sont
<les polynômes) el de les séparer par des signes x ou des points;
ou. même, il conviendra dometlre les signes x ou ., en reniar-
quantquecctle omission ne l'expose fi aucune conl'usiou (cf. 281).

l't Nous exprimons symboliquement In propiiélé de distiïbutivjlc en
«cri vaut que {a + b, .e = ac + bc {n" l'ta;. Dans celle formule, Icb sj-ni-
bolc« a, A, c «ont des nombres relatif» quelcoiiquei ot, par coiiséquenl,
peuvent èlre remplacés par des expresions algébriques arbitraires; on
aura, par exemple, te droit d'écrire :

Sur la dispoiition que l'on donne aux catculi dans la pratique, voir
les traités d'algèbre élémentaire.

BotiTmiiii. — Lu Principu ds l'AnaljrH lulhimiliqiia. 19

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3Q6 LB CALt:tL ALGÉBnlQVE

Ainsi, |Mir exemple, les symlioles 3a\itb -t- c (i 4- '<'}].
(<i* + 6) (c + i(), i-epréMnleronl des protluiU :1a |ireinière exprès^
sioD est iin produit dont l'iin des facteurs est lui-mâme la somme
d'un iDonàmfi el d'un produit.]

Hemarijues. — Lorsqu'on écrira le produit d'un polynôme par
un monôme, on placera de préférence le monôme en tdtc. ou du
moins son coeflîcienl. Ainsi on ne l'écrira pas (6 + c)'6x, mais
3x(fr-t-c) ou3(i + c)x.

387. — L'alj^briste ne se contente iias de laisser non cITectnés
certains produits algébriques : il trouve parfois avantageux de rem-
placer un polynôme |iar un produit non cfTcclué.

,. ... , ,■ . oa-' — axy -\- a , , , ,
Considérons, par exemple. I cxpi-cssion j-jr .Lalgo-

bristc reniarcjue que le numéroteur n'est aulre que le produit
u(x' — xy -^ i);eii remplaçant le polynôme par ce produit, il
voit tout de suite que l'on peut réaliser la simplilicalion indiquée
au n° 386. Lorsque l'on substitue ainsi h une somme de termes le
produit d'un monôme par une somme, on dit que Fort met ce
mannme en fadeur commun (le monôme est n dans l'exemple
donné ci-dessus) : cet opération n'est possible, bien entendu, que
si a ttgiire comme facteur dans cbacun des termes de la somme.

288. Sommes et produits algébriques eu général. — Les

convciilious et icuiarqiics qui précédent ne concernent pas seule-
ment les poI\ nomes, mais, eu général, toutes les expressions algé-
briques QÎi entrent des sommes et des produits. Ainsi l'on écrit

a' h. a\\'b -h X- -i- f ponr signifier : produit île ai /vir b, pro-
dail de a par la somme \'b -h œ' -1- -■ Ce dernier produit pourifiit
s'écrire u\/b -i- x' -h- -.-. maïs i' peut être plus avantageux de ne
pas le //.h'ehppcr et de laisser a en facteur commun.

289. Fraotioua. — Toute expression algébrique dans la compo-
sition de laquelle entre une ou plusieurs divisions ('), sera écrite

('I Et par conaéquciit, toute expression pouvant ftrc raminée k cette
ToTmc par une tronsrormalîon algébrique |Voir g 3;.

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srHDOI.ES ET EIPREfSIOnS ALGJHRIQI'ES 3^1

80U8 la forme d'uno fraclioa (') ou <l une combinaison oii entrent
des fraclîona (Vrilgébrisle évile de ao servir du signe :). A ces frac-
tions on peut appliquer loulea les règles qu'enseigne l'arillimé-
tique; mais. |>our abréger les calculs, on aura soin, avant d'o-
pérer sur lea fractions, de les tintpUfier toujours le plus possible.
A supposer, par enentple, (ce qui est le cas le plus fréquent) que le
numérateur et le dénominateur de la friictron soient écrits sou»
forme de sommes, on cbercliera (confornaérnent k la remarque des
(n" 386-67) si les termes du numéraleur n'ont pas un facteur
commun qui soit aussi facteur commun des termes du dénomina-
teur: de tels facteurs communs peuvent être supprimés dans les
deux termes {haut et box) de la fraction (cl. 386).

Exemples : Im fraction ?*'LilJ?-^' est équivalente égale) h la
a*x' — ob

fraction "If^.^-.^'*'' ~ " '"'

«(a'^' - b)

aOO. Polynômes »n x. — La remarque du n° 387 conduit à
mettre un polynôme dont les termes contiennent la lettie x sons
une forme que nous utiliserons fréquemment. Ordonnons (n°383)
le polynôme par rapport anx puissances cioissantcs de .c et appe-
lons m son dpgrc l'/fi est im nombre entier positïl). Le polynôme
est nnc somme de termes monômes qui sonldistribticsen plusieurs
groufics snccssifs : i" monômes qui ne contiennent pas x; 3" mo-
nômes qui contiennent x h la première puii^sancc; 3* monômes
qui contiennent x' ; et ainsi de suite jusqu'il la m*""" puissance
x". Mettons la somme dn premier groupe de monômes entre pa-
rentbèses ou crochets ; dans le second groupe de monômes mettons
X en Jacleur CDiumtin (287), nlin que la somme des termes de ce
groupe apparaisse sous In l'oruie du produit de x par une somme
(entre parentliùses ou crochets); dans le /roisièfoe groupe, nie tlons ic^
en fadeur coninum ; et ainsi de suite. Noti-c (xilynonie prend alors
finalement la forme suivante :

(,) (...) +;...)! + (...).c= + ... -^(...K,

('I La traction , rrpiûjcntant pardûlinhian le résultat de la division

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3g3 LC CAtnUL AI.GÉBKIQUI

les parenthèses renrormant des polynômes oii montSmes qui ne
contiennent paax.

Cela fait, nous observons que |K>urqu'uneexpression algébrique
contenant diverses lettres x. a, b, c,... puisse être mise sous la
Torme ci-dessus, il n'est point néces!>aire que celle expression soit
un polynôme au sens du n" 3S3. Ainsi l'expression

(y/„(, 4- ;) + (sarî + a)r + 6.r'

n'est pas un polynôme (somme de monômes) : nous conviendrons
toulefois de dire que cette expression est un polynôme par rapport
à X ou un polynôme en x. D'une manière générale, nous appelle-
rons « polynôme en x » loule expression algébrique qui peut Sire
mise sous la {'] l'orme (i), oà les parenlhiset renferment îles
expressions algébriques quelconques ne conlunanl pas la lettre x.
L'cKposanI m de la dernière puissance de x est le flegré du poly-
nôme en x. Les expressions entre parenthèses sont appelées (par
extension du sent premier de ce mot) coefficients du polynôme
en X. Chaque produit d'un coelTicient par la puissance de xà
laquelle il se rapporte est dit terme dn |H>lynome. La première
parenthèse de lii formule (i) renferme le terme indépendant
de X ■ ou H <U degré o » [voir n° 283].

licmarqae I. — Le polynôme en x mis sous la forme (i) est or-
donné par rapport aux puissances croissantes de x ; on peut natu-
rellement, en retournant l'ordre de ses termes, l'ordonner por rap-
port aux puissances décroissantes.

Uemarque IL — Il résulte des dérmilions qni précèdent que la
somme ou le produit de deux polynômes en x est un polynôme
eu X.

201. Polynômes en r, j. ou en x, y, :,. — Comme on a dé-
(\m les polynômes en x, on ])0ilrra définirles polynômes en x nly
|l»lïnonie8 par rapport aux deux letti-es x et y], les [>olynomcs en
j:. y cl z, etc.

Considérons un produit contenant les lellrcs x et y, élevées h

(') J'entends par là : toulu cxpiossitin pouvant ïtre ramenée à coite
'orme par uuc transforma lion alijcluinue (voir § 1).

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SIMBOLBS ET EIPHBSSIOnS ALGÉBRIQUES ag3

certainei puissances entières m, n. Nous conviendrons de dire
(suivant une locution un peu incorrecte, mais commode) que ce
produit est une puissance de x et y ; l'ensemble des facteurs du
produit qui ne contient pas x el y sera appelé coefficient de la
puissance de x et ^; ainsi, si l'on désigne par une lettre A le coef-
ûcienl, la puissance de x et )* sera de la forme Kx"'y".

Deux puissances de x et }' ayant des coefTicients différenls, mais
affectées des mêmes exposants >n, n seront appelées /)uis5a/icfj sem-
blabkt de x et y.

Cela posé, nous appellerons polynôme en x et y toute itomnie de
puissances de a; et y alTectèes de coellicienU. Réunissant en un
terme (par addition et mise en facteur commun des expressions
telles que x" y) tout f^roupe de puissances semblables qui (îgureni
dans la somme, nous [wuvons toujours mettre le polynôme soiis
la forme

(...;-)-(...)3H-(...)r + (...)3:* -H {...)xy'^ (...)/'-(- terme» analogue»
où les parenthèses renferment dei expressions algébriques arbi-
traires ne contenant pas x et y. Les expressions entre parenthèses
sont les co^^cien/f du polynôme; les termes de la somme puis-
sances de X et ^j sont les termes du polynôme et ont respec-
tivement pour degrés la somme de leur degré en x et de leur
degré en y ]yide n* 384] ; le de<jré du polynôme est le plus élevé
des degrés de ces termes. Ces déQnitions s'étendent immédiate-
ment à un polynôme en x, y, z,.. ou, plus généralemeni, à un
polynôme |)ortant sur un nombre quelconque de lettres ou
quantités.

aS3. — Un polynôme du premier degré [par rapport a x et y
ou à un nombre quelconque de quantités] est dit linéaire. Exemple :
3x — j' -H i, ax -h by -t- cz -h d.

Un polynôme de degré quelconque ;i dont tous les termes sont
du même degré n est dit homogiae. Exemples :

.la:* + 13;/ — ly*. at* ■+- by^ + ci' ■+■ dry ■+■ eyi +_/:3.
polynômes homogènes du second degré ;
4 »■ -H x^y H- x:S
polynôme homogène du troisième degré.

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Un polynôme homogène du second degré est souvent appelé
Jorine qatulralique.

303. Formalas homogènes Application à la gâométria. —

Nous avons expliqué au n°101en quoi consiste i'Uomogénéitéd'une
relation élablie entie grandeurs gco m étriqués. Nous savons d'ail-
leurs qu'à une telle relation cont^spont) toujours une égalité numé-
rique CKpiimanl que la mesure d'une certaine grandeur est égale à
la mesure d'une autre gnuideur de même espèce l'Ius précisément,
si, ninsi qu'il arrive en gcouictrie. les grandeurs sunl définies
cjmme résultats d'opérations eRectuées snrdes longueiiis données,
et si l'on désigne par des lelli-cs a, b,.. les nombres qui mesurent
CCS longueurs, régalilé numérique à laquelle on a allaire se pré-
sente sous la forme d'nnc égalité entre deux expressions algé-
briques contenant les lettres a, 6, c. . . Supposonf, en particulier,
que ces cxpressiims soient des polynômes en a, b, c, ..., ce quia
lieu si la relation considérée alTiinie qn'une certaine somme (*) de
grandeurs de même espèce e«t égiile k une outre somme de gran-
deurs : il résulte de l'iiomogénéilé de )a relation géométrique que
les deux polynômes doivent Aire tous deux homogènts (') et de
même ilegré par rapport aux quantités a, b, c.

On dit aloi-s que la formule qui exprime l'égalité des deux poly-
nômes est une forniitlf homotjl'ne .

Remarque. — Les relations géométriques se traduisent, disons-
nous, par des formules homogènes. 11 en est ainsi du moins i con-
dition que les mesures de toutes les longueurs qui interviennent dans
la relation soient désignées pur des lettres. Si l'une de ces mesures
était donnée nuniéiiquement, — par exemple, si l'une des lon-
gueurs considérées était prise pour unité, auquel ras (il est facile
de s'en rendre' compte) sa mesure serait i, — la relation ne serait
pis nécessairement homogène par rapport aux mesures des autres
longueurs désignées par des lettres. C'est ce qu'observe Descartes,
lorsqu'il dit nu livre 1 de sa Géométrie ((j|-aiv. I. VI p. 171) : « Il
es', aussi k remarquer que toutes les parties dune même ligne se

{'1 Ou plus généralement une comLiii îsoii de BommeB ot diUéirncei,
<: '17 SI- à -dire une êommt algibrUfue (vide p. 387, note 1 ).

('; D'où le choix du mot t homogène > pour désigner le ca actire algé-
brique défini au n" précéilent.

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Tltl.tSFOnU Allons CLASSIQUES sgJ

doivent ordina ire ment exprimer par mitant tio dimensions l'une
qiiG t'aiili-o loi'sqiie l'unité n'est point délcrminéc en la question ;
mais ce n'est pas de Riéme lorsque l'unité est déterminée, i, cause
qu'elle peut-être aous-cnlendue partout où il v a trop ou trop peu
de dimensions ; comme s'il faut lii'cr la radne cubique de aa66 — b,
il faut [icnserquc la quantité aa66 est divisa une fois par l'unité, et
que l'autre quantité ù est multipliée deux fois (uu- In même, n

L'iioinogénéilé des relations géométriques se traduit encore par
ded conditions alfféljiiqucs précises dans le cas où ces relations s'ex-
priment \ar l'égalilc d'expressions al^''ébriques en a, b, c, ... autres
que des |>ol)'nomes. On peutdémonti-cr, d'ailleurs, qu'il est too-
jours |>ossible de Iraiisfornier une telle égalité en une égalité ài/ui-
valrnle [voir n"£94] dont les deux membres sont de» polynômes.

S. — Transtormations classiques

394. — Nous avons indique quelques-unes des règles et des
habitudes auxquelles sccooforme l'écriture algébrique. Ces règles,
cependant, et ces habitudes, n'imposent pas aux expressions de
l'algèbre une forme ne vttrietur. Toute expression peut ôtre iraïu-
formée de bien des manières, et telle forme qui est avantageuse
pour l'élude d'un problème particulier ne le sera pas dans d'autres
circonstances ('\ C'est pourquoi, après avoir écrit une expression,
l'algcbristc se demandi^ra quelles sont les expressions équivalentes
eu lesquelles il serait possible et peut-Stre intéressant de la trans-
former. Ce faisant, l'algébriste ne crée rien; il remplace le même
par le même, se bornant à modifier l'aspect des formules, la façon
de les présenter et de les dis[Kiscr. D'où vient que ce petit jen de
construction est si merveilleusement fécond? C'est que l'esprit
humain n'est pas doué d'une vue très perçante. Tel détail capital
pouvait nous échap|Krdans la formule d'une expression, qui nous
sautera immédiatement aux jeux lorsqu'on nous présentera l'ex-
pression sous une face nouvelle.

Pour écrii'e que deux expressions algébriques ne sont qu'une
seule et mèiue combinaison piéscnlÔB sons deux formes différcnles,

('; CI. supra, «" aG8.

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3g6 LE CAI^UI. AI4J^.BniQLE

l'alf^briste ^rît que ces expresMons sonl éi/alrt. Mais il s'agît ici
d'une éfïalité d'une nature spéciale, égalité iinlépeittlonle rU la valeur
nainériqae des expressions, ou. plus précisément, éffalil^ qui sub-
siste quelles que soient les valeurs numériques attribuées aux lettres
fiçuriinl dans les expressions (^) . Une seinblablecgalilé eslap|)elée
idenUlé {'). On l'exprime généralement par le m'me signe que l'é-
galité (le signe "=} : cc|>endant certains auteurs emploient un sym-
bole spécial, 5^, potir signilier : identique à.

Deux expressions identiques sont n équivalentes -; lorsque l'on
passe de l'one h l'autre on dit que l'on transforme la première
expression ou que l'on « elTeclue une transformation algébrique m.

295. — Nous avons déjà elTucliié au cours de cet ouvrage, de
nombreuses transformations algébriques. Kn ciTet Ic^ égalités s) m-
boliques qui expriment les propriétés fondamentales des opérntions,
commutalivilé, associnlivllé, disiributivitd. sont des identités, et
les plus importantes de toutes (cf. n* 360) :

En combinant ces identités, le lecteur en formera de nouvelles
en aussi grand nombre qu'il voudra. Nous nous contenterons
d'indiquer ici quelques identités classiques (^) qui sont d'usage
courant en algèbre; nous leur donnerons des numéros afm de
pouvoir facilement y i-envover par la suite.

296. PulsuiiosB «atières d'un binom*. — On appelle bi-
nôme un polynôme composé de deu\ termes on monômes). Pour
écrire rapidement les puissances entières d'un binôme (puissances
d'exposant m entier positif), il suffît de savoir écrire les puissances
de l'expression a -\- b; ou n — b ; cnr les iilentilés ainsi obtenues —
ayant lieu quels que soient les nombres a et /* — ont rncoi-c lien

('j Ces lettres sont nécessairement les mimes dans les deux expression!.

l'I Ainsi Jes expressions a'b et ia' sont égales lorsque i ■= 3 ; les exprct-
«îons a'b et ba' sont idtntiquea.

\'-'\ I^s mathcmaliciens grecs connaissaient un crand nombre do ce»
identités, maïs ili les concevaient comme des retatiom entre grandeurs
géométriques appartenant à une mCnie figure (voir p. 117, note 1). houi
reviendions sur ces relations au cliapitre m qu'il faudrait lire en même
temps que le présent chapitre si l'on voulait suivre l'algèbre dans sou
évolution historique.

„Google

TftAnS FORMATION s CLA3SrQ[IE.i HQr

lorsqu'on y remplace les ictlres a et fcpor des inoD<>ines quel-
conques.

Or en efiectunnt les mulliplications

(a + b) [a H- 6). [a - b) [a — b). elc.

nous parvenons aisément aux identités (') suivantes, dont les se-
conds membres sont les « déoeloppemenls » (voir 386) de 'a -+- b,^,
(a — by, elc. :

(I) (a H- (.,« = (a + 6) (rt + t) ^ a' -t- aaf. +6»

(II) (a ^ *)> = (« -(,)(«- t)-a'-3a6 + fc'

(III) (a + by = (a -t- 6)» (fl -t- 6; = a' -t- 3a'6 + iab^ + (.'

(IV) (a — (.)* = a' — 3a»fcH-3(i&' — 6'

(V) (a + è)' = a' +4ffl»6-i-6rt>6»H-4afc' -h 6'

On peut continuer ainsi indéfiniment. Mais n'y aurait-il pas
moyen d'écrire une identité symbolique qui donnât la formate de
la puissance {a ■+■ b)" quel que soit Cenlier m ? La formule deman-
dée sei-a l'acile ili obtenir si l'on utilise les symboles de l'urïtlimé-
tique combinotoirc que nous avons fait connaître à la fm de notre
Premier Liore. D'ailleurs les coeflicicnls numériques qui figurent
dans le déreloppemenl de {a -h b)'" ne sont autres que. les nombres
situés sur uoc même ligne diagonale (ou base) du triangle aritbmé-
tique de Pascal (n° 18) ; c'est là un fait remarquable qui était déjh
connu au xv' siècle [cf. en particulier, Stifri, Arithmelica in-
le</ra, 1043, p. /iC) et que Pascal a dérmilivement élucidé.

297, — Pour former le dévelop|)emcntde (n -f- b)", nous allons
tout d'abord nous demander quel est le développement du produit

P^in-i^b,](aH-b,)...{u + b...).

OÙ b,. b,, ... b,„ sont m nombres dilTérenl».

Ce développement peut évidemment être obtenu pur le procédé
suivant. Clioisissous une lettre ('i ou b,) d;ins le premier facteur,
puis une lettre (a ou b,) dans le second lacteiu-, et ainsi de suite

l') Los idrntilPt sont ordonnées pur rapport aux puissances décrois-
tantes do a, par rnpport nuK puissances croiisaules tic b.

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-390 LE CALCUL ALREBniQUE

jusqu'au dernier fadeur. Kntsant le produit do loutcR ces lettres,
nous obtenons un monôme qui est un terme du iK)lynome-produit.
Si nous recommençons ta même opération et la répétons autant
de fois que possîlile. sriiis jamais la rejaire deux fois et de la même
manière {']. nous nurons manifestement tous les termes dn pro-
duit V, c'est-à-dire l'cnsomiilc des monômes dont la somme
constitue le [tol^nomc P.

Les inonômcs formes comme il vient d'être dit ont tous pour
coefficient numérique l'unité; chacun d'eux est le pi-odnit d'une

puissnnce (') de n |Kir certains des nombres h,, b, 6„; d'ailleurs

ils diffèrent lous les uns dos autres par nn fadeur au moins (il
n'y en a pas deux qui soient formés des mômes lettres). Groupons
ces monômes ou lermes de manière à mettre leur somme sous la
forme noruialed'un (lolynome en u (n° 390^ :

De degré o l'n u, il n'y a qu'un terme : le monôme obtenu en
prcnnnt dans cliaquc facteur la Icllre i (monôme b,f>i ... bj).

Pour avoir un terme de degré i en a, tl faut pi-endrc lu lettre a
dans un facteur et la lettre h dans loiis les autres. Nous avons donc
m tenues de degré 1 en a (nombre des combinaisons de m facteurs)
savoir tes monômes

ab,0,...b„_,. aO,h, ... b„,_,b„. ...ab,b,..-b„

déduits du produit ah.fii ... b„-,, bm en y supprimant d'abord )a
lettre b„„ puis la lettre /)„, ,, ... enfin la lettre b,.

Pour avoir un terme de degré 1 en a. il faut prendre la lettre a
dans detix facteurs et la lettre b dans loas les autres. Nous obte-
nons ainsi les termes a'b,h, ... i^_i, etc. Le nombre de ces termes
est i^l, (nombre des combinaisons de m facteur a il 2, voir
n- 26»;.

Nous formerons ensuite les termes de degré 3, a'fc|ij ... fc,„_j, ....
etc., dont le nombre est C;^. l't ainsi de suite. Les termes do
degré hi — 1 seront au nombi-e de C^'~', c'est-à-Jircni (n''264).
Les termes de degré m sont au nombre de Cl!!, c'est-à-dîro 1 ; et

{') Je (lirnh qui l'opéralJoD cat rcEaJta do la même maniËro si nous
preuiont la mime Icltre /a ou h\) dans le premier fadeur, puis la mime
lc:trc 'a ou bi] dans le second facteur, etc.

l'j Si le moiidme ne conlieut pas a, il est de degré u en a : il est donc.

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r— -■ ■' ^^ "lo degré o e

le produit de a" {ou 1) par des fact«ur- *-

TK&ifsraauATio^s CLASMQUEs 399

il est clair, en etTet, que nous ne pouvons obtenir im terme con-
tenant a"' qu'en prenant la lellro n dans chaque factcnr du pro-
duit P, ce qui donne le terme unique a".

SOS. — Ces préliminaires établie, supposons que nous don-
nions la même valeur b aux ni lelti-es &,. b,, ... h„. Alors le
terme do degriS o en a devient 6"', les termes de degré 1 sont Ions
^gaux entre eux et égaux Ji 6'"~'a; leur somme est ml>"'~'a, puis-
qu'ils sont au nombre de ni. Les termes de degré 3 sont tous ^giiux
h a'b"""'; leur somme eslCf„fc"'"''a'; puisqu'ils sont au nombre de
C^ . Et ainsi de suite jusqu'au lermc de degré m qui est loiijmirs
unique et égal h a".

En conséquence, nous pouvons écrire l'identité ;')

(Vl) (a -t- b)" z= fc" -)- mb-^-^a -+• C'„fr"-»n» -v ... ■+■ C«-*fc'a--'

où le second membre est ordonné |Kir rnp)>orl aux puissances crois-
santes de la lettre a et par rapport aux puissances décroissantes de
la lettre b. Les valeurs des nombres C^. C'^. etc., sonldonnécspar
la formule (4) du n° 264.

Remarque. — Il est clair que le raisonnement qui précùde res-
terait valable si l'on échangeait les rôles que nous avions fait jouer
aux lettres n el 6, Ainsi l'identité (Vl) peut être écrite sous la forme
suivante :

(VI fcii) (a -4- bY = (6 -H «r = a" -+- ma-"- 'b -+- Cla-"-'h'
H-...4_C:-Vfi'"-^-Hmo6— ' -hb".

Nous voyons inimédialemcnt quccette égalité n'est autre que la
précédente dans laquelle on a renversé l'ordre des teinica du second

( ) Le développement de (a + t)- était connu des mathématiciens
alexandrins (du moins pour les première» valeurs de m; ; mah la forme
que nous lui donnons ici ne pat, bien entendu, être obtenue qu'après
la création du calcul combinatoirc; nous la trouvons, en p-trliculier, chez
Pascal \Usage du triangle arithmétique pour Inufer la puissance des bi-
nôme* et det apotomea, Œuvres, t. 111, p. ^gi)). — La formule (VI) o'cst
d'ailleurs qu'un cas parlicutier de ta formule générale établie par Newton
iformuU du binoTrte de Newton] qui donne le déve'eppcmcnt de (n -f i '^
pour m qadconqtie (noo nécessaire ment entier).

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300 LE CALCUL ALOÉBniQtE

membre : en elTet nous savoos (n* 264. Remarque) que l'on a :
Ci ^ C--', Ci, = C:-'. etc.

390. — De l'identité (V[ bà) nous déduirons immédiatement le
déœloppement de (a — 6)". Remplaçons, en elTet, fr par &' dans
cette identité : clic devient :

posons ensuite b' ^ — h, d'où résulte 6" ^ b', fc'* ;= — 6',
fe'' = ft', fc' ^= — fc', etc., nous obtenons :

(VII) (n — fc^- = a- — ma-'6 + C;;.««-'6' .... elc.

303. AppUoatioD de la formule du biaome an développe-
meat d'une puiaaaDca d'an polynôme. — La formule (VI bis)
'dite du binôme de Newton), qui doime la puissance m'^* d'un
binôme, fournit le moyen de calculer les puissances entières d'un
polynôme quelconque.

Considérons parcxemplc le |>olYnome & trois termes a -t- b-{- c:
nous écrirons en réunissant 6 et c

[a + 6-1- cl~ =. [a -H (6 -+. c)j« = a- H- ma"'"' (b + c)
+ 'îîf^îLzl) „«-. f6 ^,y_, .. + (fc . H «)-.

et nous développerons ensuite les puissances {fc -(- c)', ... (6 f-f)'"
d'après la formule (VI).
Ainsi :

[a + 6 + c'^a* ^ 4a' ((. -4- c) 4- 6a»((.' + abc-f-c')
1- 4 0 {(.' -H 3fc*c -h 3^6' -H 6') + (6' H- 4 b'e + 6 iV -h 4 te' -)- c')

301, DlvUlonsde a-*' _ i-' ' para — b. — Les formules sui-
vantes sont, (>our employer une locution clière k l'algébriste, des
• formules élégantes >. Ce sont des formules à surprise. Si je
o' -*- b* o' i- 6' .
clierclie, enefTet, à transformer les quotients - ■- 1- ou -■ — i ■ , je

n'obtiens que des fractions plus compliquées. Comment se fait-il
que la <II vision de u"' — b"' par a — b conduise au contraire à
un polynôme d'une simplicité et d'une symétrie remarquables i*

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TIIA?ISFOB>IAT1038 CLA8S1QITES 3oi

Rien ne le faisait prévoir; le limple arrive ici sans être attendu,
«t nous trouvons élégante son apparition inopinée.

Je dis d'abord que le quotient de a' — A' par a — b n'est aulre
que a + h. El, en efiet, le produit (a -4- b) {a — 6) se trouve égal
in' — i'. Notis écrirons donc l'identité suivante, identité capitale
en algèbre, et déjà bien connue des maltiématicicns grecs qui
la présentaient bous forme géométrique [ciWe J :

<VI1I) a' - f = (a - b) (« + b)

De la mdme manière nous obtiendrons les identités (') :

<1X) o' — 6' -- (a — b) (a' -hab-t- b')

(\) a"+i _ (,-+' = (a—b) <y -h a"-'b -t- a-~*b* -t- ... ■+■ b-)

Celte identité donne lieu à une application intéressante que nous
avons déjà indiquée plus haut. Faisons cnelTet a ~ 1; l'égalité (\'>
nous donne ia somme des n premiers termes de la progression géo-
métrique de raison b qui commence par l'unité :

<X»-) ,+6 + ...+6. = i^JÇ.

Remarque. — Ko appelant fc'lc nombre — b et remplaçant par
conséquent b par — b' dans les formules (VIII) ri suivantes, on
obtiendra de nouvelles identités. Ainsi :

303. Autras idantités. — En additionnant membre
tes identités (I) et (II) du n" adS, on obtient l'identilc

(Xll) (a + by + (-, - t)' :^ a {a- ^(- b').

{') On trouve cet idenlitéi dans In Practiea ArUkmelieK [i^'U)) de
JÉRÔME Cardan ichap. xxii, Opéra, t. IV, p. ii)'. L'idenlité (Xi"', par
exemple 0*1 énoncée comme il vuïl pour n = '( : 0 Si igilur dividerea 1.
eu. A. I. per i, co i[l. i. exibil 1. re. p. 1. i-o. p. 1 i>. Si lu divises le cube
de riocoonue (T. cubus) moiru i, par l'inconnue |i. cosa, voirii''a7i)
moint 1 , il viendra le carré de l'inconnue I r cenaus , plus l'inconnue là la
piemicre puissance), plus 1. L'égalité ,1X' inttrvienl déjà dans VAriOimi-
tique de UiornArtTB.

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30'J LE CALCUI. ALnÉRRlQtiB

L'neaiili'o ïdenltlé remnrquAblc, connue sons le nom d'identité
de Lagrange, rsl In suivante, aisée h v^ifier :

(MU) (a' + 6', (a» -H y) - (an -H 6^)» ^ (a^ - b^;^

Noua avons d'antre part :

(\IV) (a + t + c)' - {a* + f + c') = 3l<, + fc) (b + c) {c + a)

On trouvera dnns lea traités 9|>écianx d'algèbre un grand nombre
d'autres identités intéressantes.

303. Simplioation des expreationa contenant dea radicaux
— Les identités du n" 301' [icrmettent souvent de simpliiier les
cx|>reBsion4 algébricjncs où Hgurcnt des radicaux, c'est-Ji-dire
dans la compojilion desquelles entrent des extractions de ra-
cines (10).

Ainsi, nous avons [identité (VIII) où l'on remplace a et 6 par
V^;. \-'fi\ :

{\\)

D'où les l'onnulcs

ivons niissi ffl •+- \'t)) (a — \'6I = a' — b; d'où

Ces formules, fpiî éliûont connues des nlféliristes hindous |Mîr-
meltent de traiisfoiniPr les finclions de manière que les racicoui
qui V entrent ne ligui'ont que d.ins les numérntcurs {').

I,a translormation qu'e^|^^iment les identités (XV) est ainsi (or-
muUV par Blmskara [Vija-Ganila, cit. i. 3,'i-3i), Irad.Colebrooke,
p. I '17] : (I cliangc/ le stfriie, ])Ositil' ou négatif de l'un des radî-

('fL'iJentilt'iXVligelrtiuvedans l'^lrithm^liçuedet'ArnbeAi. Kalsaii,
qui vivait en Andalousie, au xv« siècle Ict. Ca.vtoh, VorUtungen, t. I,
a*, éd., p. j^'y. Elle est csalemcnt formulée par CniQVtT, Triparty, Stc.
Pari., thap. VI.

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TRAÏiaKORMATin^lS CI.tSSIQUES ioS

caiu du clénoniiaalcur, el |)iir le drnominateur ainsi modinô,
mulliplicz le numérateur et dénotuinateur primUifiii, répétant
ro|>ération (si cela est n<Sces<uiire) jusqu'à ce qu'il ne resle plus
qu'un radical au dénomtaateiir n.

Comme exemple d'ideolilé plus compliquée (oii entrent des
racines cubiques), citons la suivante

(t-{'c).((,+tw.^i-:)-t--î.

que Cardan t')allnbue ii son contemporain le milanais De Aralo-
ribus.

304. Trana formation des polynomaa du premier oa du
second degré ea x. — Considérons (voir 300} un polynôme du
premier degic en x. Pour abréger récrilure, nous représenterons
s^mbolîquemi^nt par des lettres o et & le terme indépendant de x et
le coeffinent de x (ce terme et ce coellicicnt sont, n" 200. des ex-
pressions algébriques quelconques ne contenant pas x\, le poly-
nôme se pi'ésentcra alors sous la forme d'un binôme en x inx -i- b-
Mnisjni évidemment

Posant alors - ^ a, je |>oiuTai énoncer la projwsitîon suivante :
Étant donné un polynôme P, quelconque, du premier deijré en x,
il existe une cxprexaioii de la Jorme a'x -\- a) \o'i a et i sont des
expressions ne contenant pan x] identique an polynôme P.

305. — Considérons maintenant un [lol^nomc d» second degré
en a; : j'écrirot ccjHjlynome sons lu forme d'im trinôme (polvnomo
à trois termes) on x, ax* -\- hx -^ c, trinôme dons lequel les lettres
a, b, c tiennent place itexpressions ahjébriques quelconques ne con-
tenant pas X. J'ai évidemment

['l Cardan, Pracliea Arîthmelicœ generatia, clinp. lt, g 17, Opéra, IV,

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$0à LE CALCUL AJLGÉDRIQUB

D'ailleurs l'identité (1 ) où je remplace a par a; et 6 par — me
donne :

/ A'i» — " A. j-/A\'_ II.'''' **' ■

d'où je conclus que

Réduisant les deux derni^-res fraclions au même dénominateur,
j'écris iînalcment l'identité

ixvi) «,.+ 6.^. = .[(, + ^'-)--t'-/"«].

Le trinôme du second degré |>ent être mis sous une autre forme
encore si le nombre i' — fiac est positif. Considérons, en elTel,
dans cette lijpolhcse, la racine carrée de fc' — 4 ac, que nous dé-
signerons par'/. I,'c\prccsioii entre crochets, dans le second nombre

de (XN II), est la diffcrcnce du carré (") de [x + — ) et du
cari-é de — . J'en conclus, d'après l'identité (VIII), que cette diffé-
rence est identiqne au produit x H — ) (x H + — );

j'ai donc :

identité dans laquelle le radical représente la racine carrée |>ositive
de fc'. 'lie (voir n° 136;

Ces diverses identités lurent formulées h l'occasion de la
théorie des équations polynomnlrs dont nous parlerons plus loin
(S 6).

b
\'} Le carre d'une fraclion - ut, eommc on «ait, le lapport du carré

[loitaP 36 j.

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FONCTIONS ET EQUATIO:*^

- Fonctions et équations.

306. Expressions et fonctions. — Les calculs du paragraphe
précédent accusent une imprécision de nolie langage. >ous appelons
expression alyéhrir/ue une combinaison de signes algébriques, et,
lorsque noua remplaçons celle combinaison par une antre (dite iden-
tique), nonsdisons que nous transformons l'expression. Or, ce qui
subit une transforniation. ce n'est point à proprement parler la
combinaison de signes, — laquelle disparaît pour faire place à une
nouvcllo combinaison : c'est plutôt le subslralum de la combi-
naison; c'est la cbosc signifiée par l'expression algébrique.

Poussons donc un peu plus avant noire analyse. J'observe
d'abord que quand je passe d'une expression algébrique à une
autre identique, quelque chose demeure : la valeur numérique
commune (positive ou négative) que prennent les deux expres-
sions lorsque ton attribue des valeurs numériques (arbitraires) aux
lettres qui y figurent. Voici, par exemple, une expression algé-
brique - ■■ ,ou t / — -r-- , ... où entrent quatre lettres a.b,c.d:

lorsque je donne k a, h, c, <l des valeurs numériques particulières,
l'expression prend aussi une valeur numérique; celle valeur varie
quand je modliic les valeurs de a, b. c, d; mais, en rcvancbe,
elle n'est point alléiéa par les transformations algébriques de
l'expression.

Celle remarque me cond<iit à caractériser comme il suit la
nature et le lùIc des expressions algébriques. Une expression al-
gébrique, où fifjtirent des lettres a, b, c, d, définit une loi de cor-
respondance suivant laquelle à des valeurs arbitrairement assignées
aux lettres a, b, c, d, correspond unecerlaine qanntilé (ou nombre)
déterminée {i<aleur de F expression). Cette quantité déterminée est
appelée fonction {') den, b, c, d, et l'on dit qu'elle a pour expres-
sion texpression algébrique considéré.^.

Parlant de cette définition (elle s'applique aux expressions

('I Jean Bernouiï.li «érable être le premier auteur qui ait tait un
emptoi systématique <lti mot • fonction >. Ce n'est pBs toutefois des con-
fidcrations développées dans le présent paragraphe que la noiion do
fonction, en [ait a été tirée [voir infra, ch. il, § i).

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3o6 i-s CALCUL i.ix.iiiniQL'E

contenant un nombre quelconque de lettres), nous pourrons dira
qu'une transformation algébriq^K quelconque consiste à substituer
-à une expression d'une fonclion une autre expression de la mënae
'fonction. La fonction subsiste, mais cliangc de forme ; l'expression
■est remplacée.

307. FortotioD algibrïqua de o«rtikin«B lettraa ou ▼arlaUaa.

— Désignons par une lettre, g, le nombre (variable lorsque les
valeurs de a. b, c, d varient) auquel est égale une expression
algébrique où figurent les lettres a. b. c, d. Pour déGnir par uiM
formule algébrique la valeur du nombre g, nous écrivons que g
égale (=) l'expression algébrique donnée, et nous disons que g est
Jonction al'jébrique des quatre leltrcs, ou des quatre (raUart ou
qaanliiés) i<ariables, ou des quatre argumenu C, b, C, d.
Ainsi une égalité telle que

5=a'l + .<l. ou a='^%7/'''

défiait y comme fonction de a, b, c, d.

Lorsque g est fonclion des valeurs a, b, c, d, nous disons que
<i la valeur de g est déterminée par les valeurs de a, b, c, d » ou
«ncore que u la valeur du g dépend des valeurs de a, b, c, d ». On
aura parfois intérêt ù signaler cette dépendance sans, pour cela, se
donner la peine d'indiquer cxprassémcnt comment g dépend de
a, b, c, d (c'est -îi-dire : quelle est l'expression algébrique i U-
-quelie g est égale . On se servira à cet elTel d'un symbole spécial,
composé d'une lettre, de parenthèses et de virgules, et l'on
écrira (') (en utilisant, par exemple, la première lettre, /, du mot
fonclion) : g = J (a. b, c, <l).

Nous pourrions d'ailleurs éviter d'introduire ici une nouvelle
lettre en écrivant tout simplement g =^ g (a, b. c, d), ce qui signi-
fie : .1 la valeur de g est déterminée par les valeurs de a, b, c, d ».

308. — Serrons la question de plus près encore. Lorsque nous
jjartons de » fonctions de a, b. c, d u, nous avons notre attention

(■) Cette notation a Été employée paur la première foi* par Eulir
{Commentar. Petropoli ad annoi, 1731.35, t. VII, Sl-Pétenbourg, ij^o.
f>. iK6}. Des signes anabgUM avaient déjà été employés par JbaN
Bebnouilli et Leibme.

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P0!tCTlO:«9 Et ÉQL'ATIOSS 3o'J

Cixéc sur celle circonstnncc que les valeurs de a, b, c, d sont
variables (') {arbîtrairemenl variabtex). C'est à cause do celle va-
riabilité que r^galité 3=7' (« b, c. (I) déHnit une intinilé de
nombres diiï>^renls, on, en d'autres termes, un nombre ij va-
riable. C'est pourquoi l'on dit que le nombre g est variable en
même temps que — oa variable avec — les nombres a, b. e, J.

Qu'est-ce, dis lors, en définilice t]ue définir une fonction ? C'est
établir aite correspondance enlre certains nombres i^ariables, tels
que, rt, b. c. d, et un autre nombre variable g qui dépend des
premiers. Les nombres n, d, c, d, son! appelés ; h nombres \a-
riabl^K indépendants n ou o variables indépendantes » (étant sous-
entendu le mot ijuaniilL- pris comme synonyme de n nombre po-
sitilou négatif 11); le nombre q est a[>|>elé « vnriabte dépendante n,

309. — Nous voici maintenant en état de bien préciser la 8t-
gnifîcation véritable des expretsions algébriques.

L'étude O'ime expression est au fond (et alors même que ce n'est
pas de la variabilité de celle expression tjoé Fan se préoccupe
momentanément) l'élude d'une quantité dépendonte, déterminée
par une Ou i^lusicurs autres quantités (variables indépendantes),
que l'on nomme [larfois arguments de la fonction. C'est afiQ de
manifester plus clairement, oti plus simplement, la dépendance
déiinîe pur une e:(prcssion que l'algébrisle se trouve amené à écrire
cette expression sous plusieurs formes dîlTérenles.

310. tflBtlnotioa des variables et des quauUUe llxts
(ooaataatfls ). — Il résulte de ce qui précède que l'étude complète
d'une expression algébrique peut être parlicula risée de diverses
manières, entre lesquelles il faut établir une distinction.

Dans rcxpression y :^ a'b ■+■ cd. faisons, par exemple,
6 ^ I . c = 2, J =^ I ; l'expression devient j- =^ a' + 3, égalité
qui définit y comme fonction de la seule variable a. Faisons main-
tenant i=3, c= — 1, </^^2; notre expression devient
y = 3a' — 2 et définit une nouvelle fonction do a. D'une manière
générale, nous voyons que st Ton attribue aux lettres b, c et d des

(') • A'unc in postea — dit Newton {Mtlhodua fluxioniun, opud Opiu-
eala, l. I, LaMsaniie et Genève, i-\i, p. 5^1 — Jluentes iiocabo quantiXaUa
ha* quaa contiderv tanquam gradatim et indefinili

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3oS LE CALCUL ALOÉBRIQUB

valeurs fixes {constantes , déterminées) quelconques, et à la lettre a
lies valeurs variahles. [égalité g = a'fc + cd définit y comme
fonction. île a. Cet ùnoncû est bien clair pour nous ; en eflet nous
avons dit (n" 375) que l'algèbre opère à la fois sur des nombres
(ixes (constants) et sur des nombres variobîes ; nous avons donc
tonjoiu-s le droit de figurer par h, c, d trois nombres fixes et par
a un nombre variable.

De la même façon, et suivant les hypothèses que l'on fera, on
pourra considérer que l'égalité ^^ a' b -H cd déûnit^ comme
fonction des deux variables a ùt b, ou comme fonction des trois
variables a, b, c, etc. Celte remarque s'applique, bien entendu, li
une expression al^jébrique quelconque.

Lorsque dans une expression algébrique on veut signifier que
certaines lettres représentent des nombres variables, on choisit de
préférence, ces lettres parmi les dernières de Talphabet (380).
C'est pourquoi, si nous voulons étudier l'expression g^= a' b -i- cd
en tant qu'elle définit <j comme Jonction de a, nous indiquerons
celte intention (') en remplaçant, par exemple, la lettre a par la
lettre x et la lettre </ par la lettre y.

Nous dirons alors que. quelles que soivent les valeurs de b, c, d,
la variable dépendante y définie par l'égalité y = bx* -+- cd est une
fonction de la véritable indépendante x.

Pareillement une égalité telle quez= ^"^ T^- ^^- définit r comme
^ ay' .-(- c

fonction de x et y.

Pour exprimer que y est fonction de x, nous écrirons souvent,
symboliquement : y := f [x) (la lettre / pouvant d'ailleurs être
remplacée par une autre quelconque, et. 30). Nous entendons parla
que la valeur du y est déterminée par celle de j; ; ce qui n'enipi^cbe
aucunement que l'expression algébrique de y ue puisse dé[)ondre
de certaines lettres n, b, c, d. ... qui tiennent places de valeure
numériques quelconques mais fixes.

311- Fonctions polynomalaa. Idantité d« deux polyaomes.

— Les plus simples des fonctions d'une variable x sont les l>oly-

l'j Nuus l'indiquerons aussi par la manièro dont nous écrirons l'erprej-
lion. 5i, par exemple, l'expression est un polynôme par rapport i a nous
le mcltrons sous la forma indiquée au n° iqo.

^Google

POMCTIOIÏS ET ÉQUATIONS Sog

nomes en x. que nous avons dcfinis au ii° 290: ce sont, dîrons-
nous, des fonctions enlilres ou polynomales {').

Pour com|>lélct' In dérinUion de ces fonctions, nous allons
montrer qu'une fonction {lolynoinalc de x ne L>eut êtie mise qce
^Fane seule manière sous la forme d'un poljnome ordonné comme
il a été dit au n° 200.

Considérons plus iiLCcisémcnt deux polvnomcs tlis licjirè n en x,
que nons écrirons

(J„x'' -h ... -*- a, a: + a». b^x" -h- ... -i- h,x -'-h,,

les Iclti-es «„.... a,., /*„,.. b^ représentant les coefficients (lesquels
peuvent être des expressions algébriques quetconqurs ne con-
tenant pas x). Nous ;dlons établir que ces polynômes ne peuvent
être identiques. c'e:st-ù-dire prendre tous deux la mcme valeur
(variable) pour toute valeur (variable) donnée à x que si leurs
coefGcienls correxpnndanls (de même indice) ont la même mleur (').

312. — Envisageons d'abord deux |K>]ynoti)es du premier degré
a\j: 4- a, et b^x ■+- b„. Pour qu'ils soient identiques, il faut qn'ils
soient en particulier égaux loi-sque x = o ; or. pour x^ o, ils se
réduisent ù a„ et /i„ ; donc a, et b, doivent avoir des valeurs égales,
netrancliant maintenant cette valeur des deux polynômes supposés
identiques, nous voyons que les monômes (j,x et bix doivent être
égaux quelque soit x ; ceci «xige que «i ^= h,.

Inverscmenl, si leurs coeiricients corres|x>ndants n'ont pas
des valeurs égales, les deux |)o[ynomes (on le constate immédia-
lenienl) prennent des valeurs ditlérentes iK>ur nne infinité de
valeurs données à x (').

Cl Si le polynôme est (tu premier dcgrc, il est dit foDClion linéaire
(cf. 3(,a'.

(') Y comprii les coerficienti de Jfl, c'c*t-à-dirc Ici termes indépendants
do X Tvoir n' afi'tj.

i') Bien entendu, les valeurs des polynômes que l'on compare deux à
deux sont toujours celJirs qui correspondent à une même valeur de :r.
La théorie des équations du premier degré permet (voir g 6) d'affirmer,
plus précisément, que deux polynômes du premier dc{;ré noa-îdr-ni iques ne
peuvent prendre la même valeur que pour une seule valeur de x. savoir
U racine de l'éguntion a,x 4- ai, = b,x + b„ fqui est i = ^'' {^'t'].

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3lO LE CALCUL ALGÉBIIIQUE

Considt-rons maintenant deux polynômes du second degré,
a^* -h a,x -)- a„ et h^x' ■+■ b,x -t- fco. et supposons les identiques.
Ils doivent être égaux pour x = o; d'>nc d, ^^ b^. Betrancliant.
d'autre part, des deux polynômes la valeur commune de Hg el 6,
nous voyons (jne les deux polynômes a^x* -f- b, x et h^t* -t- fc.x
doivent 4lre idcnliqucs ; donnons alors A x une valeur <]uelconque
non-nulle ('], «t divisons par x : les deux polynômes du premier
degré ii,x -^ a, et 6, a: -i- b, doivent ùtrc égaun (quel que
Boit X non-nul) ce qui ne peut «voir lieu, daprès ce qui précttle.
que si a, ^ b, et Ui =^ b,. Si ces con::'iliong sont «ntisriiiles les
deux polynômes du second degrd sont idcnliques; sinon, on
démontre Tacilenient qu'ils prennent des val.urs diiïéi-entcs pour
uïic infmilé du valeurs diverses données à ,r.

En poursuivant le même mode de raisonnement (raisonnement
récurrent, voir n° 358) ou étend les conclusions qui précèdent ti
des polynômes de degré quelconque [il résulte en particulier de ces
conclusions que les polynômes ne peuvent ùtre identiques que s'ils
sont de même degré].

Les [wlynomcs du second degré

ax* + /oÉ j- -h C et i*i' •+ X -i- a,

par exemple, seront identiques si l'on a n = 3, \ ab =^ i . c = a.
Un polynôme ne i>eut Sire iilentiijuemeiit nul — c'csl-i-dîre égal
à o pour toute valeur de la variable jî —que si tous se» coefficients
sont nuls.

313- — Les fonctions polyDomales do plusieurs variables — po-
lynômes en X, y, z... (voir n'291) donnent lieu à des remarques
semblables. Doux polynômes en x. y, z,.. ne peuvent être iden-
tiques (c'esl-à-dire égaux quelles que soient les valeurs données aux
variables x, y, z,..) que si les coejficients des termes semblables {')
dniis les deux polynômes ont deux n deux des valeurs éijales.

Ainsi les polynômes

(W-H by -t-ahxy + cv' et 5 r l-y + dr* ■+- t:r-y

(', Si ar ctail nul, 1.

t une opi-

ration imposaibte.

('; Voirn'':^,,:. Je

suppose ici. que toute» lei puissanccB i

semblablcs

d'un même polynonii

c mnl rOuaies «u un icul lerm-.

„Google

FOffCCKKM BT &QV<lTIOfl5 Sff

sont (den tiques »i l'on a a = 3,.b = i,o== tf, ab =eete^o,
et dans ce cas seulement.

314. Ramarquo. — 11 isB^Ete de noter qae l'on a coulwme die-
^ualiCec « ibnelioD polyoomale », — ou, pour abréger, » poly-
lUuae > — toute foDciioa de uns ou plusieurs variables dont l'ex-
pieasion peut être mise (aaos l'être aécessairemeut déjà) sous
forme de i>olynome ('pur vtùe de transtbrmaliisn. algébrique). La na-
ture d'uoc foactIoR doit élre-, eu ctHet. considécée comni« indé~
pendante d«s transfjormations que subit son expression, \insi l'on
dua qjie la fonctioa de x déiinte par le produit (.3x +- r) (or — s)-
est polynonale parce que le dàveloppemenl de ce produit (n" 38ff).
est un polynôme.

31B. Fonctions rationnellsB. — Après le polynôme, la fonc-
tion la plus simple est la fwiction {oa. fraction) rationnelle. Gn.
appelle ai Ji si le quotient de deu:t polynômes, ou fraction ayant
pour numérateur et pour dériomÎBflteur deux fonctions polvnomDles^
d'une on plusieurs vai'iobles. — Si les polyjiomes sont du premier
degrés W fonction, rationnelle est dite homograpkitfm.

Les polynôme» — que l'on, peut considérer comme dc»q»otiénlB-
de polynômes par te nombre i — sont compris dans la classe des
fonction», ratioanellea.

Toutn fonction' mn ration ne Ile. est dite irralionneUe.

3IÔ. I4l«ntit^'de>deax fonatioas. — >k>us allons complëter-
l'anolvs* fuite aux numéros précédents en expliquant, d'une-,
tnaaièr» généiule, en quoi consiste r/i/enf^^ de dcuK fonctiiins et.
daa&. qf lelles conditions celle identité peut être réalisée.

Coasîdérotis, pour fixer les idéesi. deux fonctions de troï»
variablas : /(x,. y. z) et 7 (at.. y, z).

b"- Si, las. expressions / ot y ne contiennent, outre les. lettres.
X.. y, z, que des noiiibi-es a rit luné tiques, las deux fonction»
seront identiques,, ou non. suivant qu'elles- prennent, ou. non,
toujpUFs la- loém» valeur (iv«i'Iable) lorsque l'on donne à ai, y, z-
des valeurs (variables) quelconques.

3" Si les expressions / et (/ contiennent des lettres telles que
a, b, .... représentant des quantités fixes (indépendantes de»

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3l3 LB CALCl'L ALGÉBItIQUE

variables), et si ces expressions sont identiques (au sens du n" 304).
quelles que soient les valeurs données auï variables, x, y, z, les
deux fonctions sont évidemment identiques, et cela quelles que
soient les valeurs attribuées aux quantités fixes a. h, c, ...

3" Si les expressions /et g contiennent des lettres telles que
/i, b, ... re|)résenlant des quantités lites, et ne sont pas identiques
au tiens spécifié ci-dessus, les fonctions/et fj ne ponnont pas être
■dentiquei quelles que soient les quantités a, b, c, ... mais seule'
ment pour certaines valeurs île ces quantités. Le problème se pose
alors de recberclier i quelles conditions doivent satisfaire les
nombres constants a, b, c, ... pour que les deux fonctions soient
identiqnes. C'est le problème que nous avons résolu dans le cas
oîi les fonctions sont des polynômes.

Une fonction identique à o est dite identiquement nulle.

3t1. — A ces remarques et définitions relatives it l'idenlilé,
nous ajouterons le théorème suivant, dont nous nous dispenserons
de donner la démonstration rigoureuse :

La condition nécessaire et suffisante pour que le produit de
plusieurs fonctions (définies /}ar des expressions algébriques) soit
identiquement nul est que fane des fonctions le soit{').

318. Eqaationa. — Dans les pages qui précèdent, la notion
de fonction vient de se présenter h notre réflexion comme le
support nécessaire de l'algèbre. Nous nous sommes demandé qu'elle
est la chose qui revêt, par l'effet de la transformation algébrique, des
formes difféi-enles.et nous avons trouvé que celle chose est la fonc-
tion. Cependant il ne faudrait pnscroire que l'idée de fonction soit
apparue dans toute sa netteté i l'esprit des premiers algébristes.
{Cf. p. 3o5, note I el ch. ii. S/). Les mathématiciens antérieurs
«u xvri' siècle n'cnvîsagcrcnt que l'une des a|)plications auxquelles
donne lieu l'étude des fonctions : la résolution des équations algé-
briques, ou calcul des Inconnues (voir S ') définies par des équations.

Supposons que nous connaissions une fonction de x, y=^f{3:),
et poson.s-nous la question suivante : l'our quelle ou quelles valeurs

C) On'iHit quo pour qu'un produit de facteure soit duI, il faut et il
•utfit que l'un des facteurs soit nul.

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FOSCTIOM ET ÉQIATI0:»9 3l3

<lex, la variable dépendante y prend-elle une valeur a donnée à
J'avance {') ?

On peut poser autrement le inéme problème en disant que l'on
cherche la ou les valeurs de x pour lesquelles a lieu l'égalité
f(x) -— a. Cette égalité est appelée équation (*) en a:. Pour écrire
■explicitement l'équation, on doit remplacer f{x) par rexpresB'on
algébrique dont le symbole /(x) tient iwiir nous la place.

Remarque. — L'équatiouy{a;) = a peut être écrite/(a;) — a — o.
Il est toujours possible, end*flutrcs termes, de mettre une équation
relative & llnconnue x sous lo forme (*) ;

(I) F(3-) = o.

c'est-à-dire s.ius la forme d'une égalité dont le premier membre
«st une fonction de x et le second membre zéro (la fonclton étant

d'ailleurs quelconque et pouvant amtenir des leltres a, b, c

^ui représentent des nombres connus).

On pourra mellre, plus généralement, sous la même forme (i)
toute égalité (') où Hgurent l'inconnue x et des nombres supposés
connus a, b, c, ... L'nc telle égalité pourra donc toujours être re-
gardée comme une équation; clic est parfois aussi appelée relation
{entre In quantité inconnue x et les [quantités connues a, fr, c, etc.).
Cette dernière expression est empruntée au langage géométrique
(p. 117, note l)].

Cl Rcmarquoni que li, tans connaUre x, noui voulons raisonner sur X
-et y, nous devons prendre soin de ne taire d'autres déductions que celles
qui restent valables quelle qus soit la valeur de l'inconnue x ; nous devons,
en d'autri'a termes, faire porter nos raisoiinemenls sur la fonelion f^x], en
-supposant provisoirement quu x-puisse prendre dai va'eurs quelconques.
Ainsi tout calcul portant sur des inconnues est, en rcalitc, un calcul
portant sur des varîabte». Cependant il n'eal point nécessaire d'appro-
iondir l'examen de la foticlion / x, si l'a» a simplement en vue la réso-
lution et l'étude des racines de l'équation correspondante.
(*) De Kquatio, égalilé ; en allemand, Cleichung,

{') t Ce sera, dit Descabtes, souvent le meilleur de les considérer en
«ette sorte [les équations) >. {La GionUtrie, Œuv.. t. VI, p. ^^^).
t*) Une telle égalité est de la forme

61. a. b. c, ...) =- i(X, a, b, c, ...)
[les symboles 7 et i!i qui figurent dans les deux mtmbrei désignant des
fonctions quelconques] : on peut l'écrire ;

f'x, a, b, c, ...1 — -y.x, a, b, e, ...) = o,
■où le premier inemhre est une fonction de x que je représente par ?(«),

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3l4 LR CALCUL ALGÉBKIQLE

La OU les valeurs (le x qui saiisfonl i l'égulil^ ou équation (t)
[qui «vériiienl» réqnationjsonta|)|ieléGs Ksolutions» «ou racines(')i>
de l'équation- Ces valeurs dépendent naturellement des lettre»
a. b, c, ... qui figurent dans l'équntion; orésoudre» l'équation, dis
lors, ou en trouver les solutions, ce sera li-oaver les expresgîoRS
algébriques formées avec les lettres a, i, c, ... auxquelles les ra-
cines sont éijales; on dît que ces ox presaiotis sont m leseiprressioit»
des racines en fondions des quantités a, b, «, ... ».

319- EzemplM. -- L'égalité a{x — b,^ — e = o est une
équation, qui est sntlsfaile quand {x — />)' est égal à - et par

conséquent quand x — 6 eut égal i la racine carrée de - : si donc-
est un nombre iiosilif, l'équation a deux racines :

r^t i

\/^ et ' = ^-^^-

L'égalité _^^i = I est une équation qui est satisrailc lorsque
'6 +Ut=x — b : on déduit de là qu'elle a pour racine le nombr»
a: ^ 3 + « + 6.

Nous retrouverons plus loin quelques cxentples simples d'équa-
tions algébriques. Mais, avant de quitter le point de vue générât
et abstrait oii nous nous sommes placés, nous voudrions indiquer
a priori, dans une esquisse rapide, comment se posent les prin-
cipaux problèmes relatifs aux équalians. Kous invitons de nouveau
le lectciu' qui trouverait tro[> aride l'exposition qui va suivre à s'aider
d'un Irailé d'algèbre élémenMirc : il "ponrra ainsi se familiariser
graduellement avec les notions qouvcIIgs que nous allons être
obligés d'introduire.

320- EquatloDS à plutleura ioconauoB. — Si daas l'expres-
sion F(a:) il n'enti-e qu'une ioconuuo, a;, l'équation F (x) = oert
dite équation h une inconnue. Soit maintenant P(x,y) une expres-
sion (fonction de x et y) qui contient deux inconnues a; et j" :

is vu (37^1 que Vineonnu* {coso) lut appcico radix par les
algcbrisl«s arabes.

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FOSCriOSS ET ÉgL'ATlOSS 3i5

nous (lirons que l'cgaljlé r(a:, y) = o est une ét/uation à deu.:^
incoiinaes .

Nguii dériniron» <te même Ica cqtialîons h 3, 4i etc., inconnues.
D'une manière générale, loutergalité [ou l'elalion, mie si(p/-n, 317]
où figurent des nombrcâ orOinaires, des lettres a, b, c. ... leprc-
scnlant des qnanlilés connues, el des Ictlies x, y. :, ... icprésco-
taiil des quantités inconjincs, est une équation; elle peut être mise
sous lu l'orme

{*) Vii.y.z, ..)=o.

On oiipellern syslhnc 'le solulioiis d'une ôqunlîon (a) tout en-
semble de valeurs (associées) des inconnues x, y, z, ... qui vé-
n'/îenn'équalion, c'est-îi-dirc lotit ensemble de nombres tels que.
lorsqu'on les mot h \i\ place de x, y, z, ... dans l'expression F,
celte expression se réduit à o

331. Equation déterminée ou in déterminée. — Si, en éga-
lant à o les expressions algébriques les plus simples, nous for-:
mons, ù titre d'exenqiles. des équations à une inconnue x, nous
constatons anssilôl que ces équations ne peuvent être satisrailes
par des valeurs quelconques de x (à moins qu'elles ne se ré-
duisent h des identités) (') : lenrs solutions — si elles en ont
— sont délerniiiiécs (') (c'est pourquoi nous dirons que les
équations elles-mêmes sont déterminées).

En sera t-il de même des équations îi plusieurs inconnues? Il
est facile de voir que non. Prenons ^nr exemple rrc)ualion

iT -h ^y — I = o:

{'} Si l'on SD doDno uns cgalitc do la (orme

ç j. a, ...) -• Y'- "> ■■■'■
il faut s'aMurcr, avant do trnitcr cette {ga)itc comme une cqiialion,
qu'elle ne se réduit p:ii à une identité ayant lieu quul que soit x. Ainsi
l'égalité

a lieu quel quo goit x (n° iliii) : elle n'a pas de « lolutîona délerroinées >.
(') J'enlend« : délerminies par les valeurs des nombres el des leUrti (repré-
sentant des quantilés connues) qui figurent dans l'équalion, ou encore :
calculables lorsque l'on donne aux lettres a, b. c, ... de3 valeura numériques
délerminies.

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3l6 LE CALCUL ALGÉDBIQtJe

«Ile pcul > être vérifiée par n {admelire comme soliilïon) n'imporle
4]uelle valeur de x pourvu que l'on donne k y une valeur corres-
pondante conveaabic : si, par exemple, l'on rartx= o. îl faudra

que 'ly ^ 1. donc y = -i; si œ^ i. il l'andraquoSj--*- a — i ^o.
c'est-à-dire iy = — i ou y = — q. etc. Ainsi, on ne peut sans
doule pas choisir arbitrairement les deux valeurs x 0/ y qui sa-
tisfont à ]'ik]uation, inais ou peut choisir In valeur de x on celte
- de j". L'équation, pour celle raison, est dite iinléfenninéc (') : elle
jidmct une infinité de solutions (il ciiste nne inQnilé de conplei de
valeurs x ely qui la vciifienl).

323- Syatémes d'équationa aimahauéea. — Nous serons,
par contre, en présence d'un [iroblènic en génériil déterminé si
nous nous proposons de trouver un couple de valeurs dexel y
<{ui vérifient à la fois (soient solntions de) deux équations

» G(r. v)^o.

En effet ('), coiisidi;ryns /)/'0ii(i0fVrni(7((Y comme connu : alors
l'équation F = o est luie équation en x. dont fa on les racines (si
on sait les calculer) s'expriment en fonclion de y et des lettres
a, b, c, ... (repréflentant des nombres connus) qui fi^furcnt dons F.
Il en ett ainsi quel que suit y. Mais nous voulons que y et la
valeur correspondante de x soient solutions de l'équalion G =^ o.
La lettre y doit, par conséquent, avoir une valeur telle que,
lorsque dans la fonclion G ou remplace x par imc des racines
</e F =^ o exprimées en Jonction de y, l'équation G ^^ o soit vé-

(') Les équations inilctormiiiccs ont lUé, depuis Diophakte (voir p. li,
note ■!], l'objet de nombreuses recherches : on s'est proposé en particulier
de trouver l«s valeurs enlicre» (nombres entiers' de x, y qui peuvent si-
tislaire à une équation indéterminée à deux inconnues x, y [et. 37 1. Ce»
mêmes cqualions indélerminécs se trouvenl, i:omme nous le verront
plus loin, à la hase de tn néomctrie analytique |voir chiip. iv, S %]■ —
Noior» que l'cpithèto inditerminée no p:iralt pas avoir /le employée
avnnt le xviii" siOcle [on la rencontre chez Lagba^ioe, et. supra, p. 3i,
note 1 1.

{*) Le lecteur qui voudrait éclairer cette déduction par un exemple
pourra se reporter tout de suite au n° 3^o.

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FOSCTIO.'iS KT ÉQUATIONS 3l7

nPiée. Or, lorsqti'on aubstilue à x une expi'ession fonction de y,
l'équation G ^= o devient une équation à ane inconnue. Sa ou se»
racines sont les valeurs cherchas de y : on en déduit les valeurs
correspondantes de x [données en fonction de y par l'équation
F = ooù j* est désormais connu]. Ainsi, les couples de valeurs
associées àe x cl y qui rendent nulles les dettx fonctions F et G
sont en général déterminées.

Remarque. — l^a mctliode que nous venons de suivre ponr
étudier le système F = o. G = o est appelée u méthode de sab-
slilalion » ; clic consiste, a-t-on coutume de dire h « tirer x de
la première équation n, puis à « porter l'expression trouvée dans-
lu secondb équation ».

323. — D'une manière générale, considérons un ensemble
d'équations.

[ V {.r, y. :. u....) = o

Gir.y.,.a...) = o

]Hix.y,:.u,...) = o

(3;

f

contenant plusieurs inconnues. St nous pouvons trouver un ensem-
ble de valeurs déterminées des inconnues, soit Ox,,, y,, t„ Ug,...
telles que toutes les fonctions, F, G, 11,., soient nulles lors-
qu'on y fait (') à la fois x = x^, y ^^ _Vb, otc, nous dirons que l'en-
semble des valeurs Xo. )*o, ^o. Un,... est un système fie tolations ou
de racines des équations (3).

L'ensemble des équations (3) est lui-mt^me appelé, système
d'équations simultanées. Si p est le nombre des équations, n le
nombre des inconnues, on précisera en disant que le système (3)
est un système de p équatinns simultanées à n inconnues.

Un système contenant autant tC équations qae iC inconnues est en
f/énéral (') déterminé (a des solutions déterminées, cf. n" 362-
67). — Un système contenant plus d'inconnues que déqualions

(') Cci valeurs — que je reprcsento par les lettres Xp, y„, z^, ... — sont
des nombres ou des cxpreHiODs algébriques ne dépendant qu det quan-
tités fixes isupposccs connues) qui ligureiit dans les équations.

|-) C'est-à-diro • lorsqu'on y donne à x la valeur x,, >, etc.

C\ Voir à ce sujet le $ 8 du présent ch.ipilre et le § 3 du chap. v.

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3lO I.C CAt.CIL ALr.KimtQUE

esl en ijèniptd'miiélerminé . — Un syslime coiilcnant plus iVéquiilluiis
*lflif iTinmnmtes nailnu'l en yéiiér.il pus de solutions.

334. Système* impoulbles. — Nous disons d'un sy^tèiiicJù-
(toiii'vn de solutions qn'il est Smjtusslble (il n'est alors ni ilclennini',
m iii'lélenninë). Celle circonstiince peut se prôacnlcr, lors même que
l'on n'n pas plus d'équations que d'inconnues, si les îquations du
système ox|ii-imcnt de"! faits contrailtclnire». — Ainsi le syMème
ajc -+- y = I , 'ix -t- y -^ 2 est impossible, car, quelles que soient les
valeurs dnnni^s Ji x cl a y. In so nmc "ix ~t- y ne j>eul pas èlre à la
fols égale à I et égale à a.

S. — Tr&nstormation des équations

33 1. Résolution d'un* équation. — Comment trouver la ou
les valeurs de x qui rà-i/îc/r/ une équation, par exemple l'équalion
à une inconnue

<,) F(T)-o?

I,es exemples donnés au n" 31B montrent que le problème col
parl'ois MVb à résoudra. Supposons, plus généralement que nous
Ayons niraice à une Tonction F(x) de la forme (')

\x — It). ou A(,r ^ U) ,x - C'. on A(a- - B)(.r — C; {x — D) ... :

remarquant qu'un produit de plusieurs nombres ne peut éiro nul
que si l'nti des facteurs est nul, nous vojons qu'il faudra et
sunira, pom- que V{x) soit nul, que a: = B, ou a: = C, ou
X ~-\) ...; donc les nombres B, oïl B et C, ou B, C|et D, ...
sritont des racines (et les seules) de l'équation (i).

Lorsque la fonction V (x) ne so présente pas sous l'une de»
formes indiquées ci-dessut. on peut clicrclier à l'y ramener

l'i II n'y aurait nalurt'llcmcnt rien à chanKcr aux coiiclutions quo
nous iillona ciionccr si, iJans l'exprofBion Aa F(x , les grandM lettm
A, li. C. ... étaient remplacées pnr Aes expressions al^briques que)-
<;oii([uu9 formées avec da lettres qui rcpréeentcnt tontes des nombres

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TIUNS»X)ftMATIO?l DES ÉQUATIONS 3l9

çat une traDsfonnntion algébrique(') (voir S J) : si |'ûi«illc trans-
formation est possible, l'équation |>eut èlic ■ résolue >i.

Mais les transformation!) que l'on sera en droit d'utiliser |)Our
résoudre l'équation (i) ne sont point seulement celles qui rem-
placent l'expression F (x) par une expression iilenli(jae (voir $3 et
S 4\ D'autres Iran s formations sont é^'iiletiient légitimes, qui sont
propres à la lliéorie des équations al{jcbriqiiei; c'est de celles-là
<]UG nons allons maintenant nous occuper.

336. EquationB équivale otea. — Soit V{x, y, z, ...) ^ o
une première équation dépendant des inconnues x, y, z, ... Nous
-dirons qu'une seconde équation G{x, y, :, ...) = o srl équiva-
lente à la premièrcâi /oui sys/è/ns de valeurs des inconnues x, y, z....
satisfaisnnl à Cane des iquaiions satisfait également à taalre.
Lorsqu'il en est ainsi, on a le droit de remplacer l'équation (*)
F =^ o par l'équation G = o : on dit alors qnc i'on elTeclue une
iransjormation de l'équation F = o.

La même terminologie s'applique aux équations qui n'ont pas
-été ramenées à la forme F =: o [voir p. 3i5, note 4j el qui se
présentent sous la forme

il) f{x.r.z....) = g'.x.y.z,...).

Toute équation ayant les mêmes racines que Téqualion f^: g lui

■est équivalente.

Signalons quelques transformations l'i-équemment utilisées {') :
i" Si l'on ajoute une môme quantité aux deux membres de

l'équation/ ^= y, on obtient une équation équivalente : ainsi les

équations 3« + aj- -(- i = 5 — x et iœ ■+■ ay -h i = ô sont

équivalentes.

C'est en vertu de ce principe que, lorsque les deux membres de

4'équation (c'est-à-dire les deux expressions / el g) sont des

(') Si, par exempb, F,x, ^ x' — a', on remarque que F,x, cat iden-
tique k {x — a] tx -f a , el l'on en conclut que li'qualion ( : i admet pour
nuànct a «t — a.

(*) J'éer», pour abréger, F ■>■ o au lieu de F,>, y. x, ...) m u.

l'i Toute* cet trani format) o m ont été pialiquOca, plus ou moins habi-
lamcnl, àtt let premien temps de l'algibre, mais elles ne trouvèrent leur
iormulo défi ni tl*a qu'au xviii'eiècle (dans l'œuvre d'EtjLER en particulier).

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SSO LE CALCUL ALGÉBBIQUE

sommes, on peut faire passer un terme qaelconqae d'un membre
dont taulre en en changeant le signe; l'opéi-alion ainsi efTectuée
est )a djeOr (367) [exemple : les équations ^x — y — z ^ o,
ou — y =^ 2 — ax sont éqiiivalenles|.

a* Les deux équations

Ffx.j.. I. ..) = o. A.V(x,y,z,...) = 0,
où A est un nombre constant (ou irne expression algébrique na
dépendant pas des inconnues) sont étjuivaten/es.

A' Considéi-ons l'équation à une inconnue F(x) =3 o et un poly-
nôme en X [que nous désignerons par 1* (x)] ne prenant la valeur o
poar aucune des valeurs de x qui sont racines de l'équation. Quelle
que soit la valeur Qnie (non inliniinent grande, n° 134) donnée
à la quantité j:, la valeur du polynôme P(x) ne peut pas être

F(r)
infiniment grande ('). Il en résulte que la fraction p-^ - ne peut

être nulle que si son numérateur est nul. Par contre, lorsque l'on
pi-cnd pour valeur de x une racine de l'équation l-'(x)^o, la
fraction est nulle. J'en conclus que les deux équations

Vyx) =

sont équivalentes (').

Ainsi, par exemple, les deux équations

sont i')r| ni va lentes, l'our i-ésoudre la première, il suflira de résoudre
la seconde, qui est manifi^stcmunt plus simple.

4° On peut eUectuer une transformation analogue sur les équa-
tions à plusieurs inconnues qui appartiennent à un système d'équa-
tions simultanées. Soit, par exemple, proposé le svstème

j V [x, y) ^ o
>G(r,y)--o.

('1 Puisque cette valeur est lo rcsullal d'une combinaison d'addi lions et
de multiplkiiijuiia elluctui^cs sur la quantité x et de« quanlitéi Dxei.

i') Il m cdt Jl- nidnii-, d'une manière gcuêrulc, si P x, est une {onction
quulconqui: qui n'est iiifinimcut grande puur aucune valeur de x et tello
que les racines de F x, ^ « ne soient pas racines de P,xj = o.

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TRAI^SFOBUATION DES ÉQtAT[0:tS 3ai

Appelons P{x,y) une fonction de x et y qui ne sott jamais
infiniment grande et ne soit pas nulle lorsqu'on y remplace x et ^
par un système de solutions du système proposé (voir 333) :
diors les équations

«ont deux h deux équivalentes.

327. Remarque sur les systèmes Indéterminés. — Les

remarques que nous venons de Faire sur les équations équivalentes
nous avertissent qu'un système de n équations à n inconnues
f)ourra exceptionnellement ne pas admettre un système de solutioni
.déterminées (voir n° 323). Supposons, en elTet, que les équations
i deux inconnues F (x, y) = o et G [x, y) = o soient éqaioalenles
[la fonction G étant par exemple le produit de F ]>nr un nombre \].
Eu ce cas, il revient au même de nous donner les deux équations
ou d'en donner seulement une ; les solutions du système F ^ o,
<j = o ne sont donc pas plus déterminées que celles de l'équation
unique F =^ o (voir n' 32l)-

338- Systèmes d'éctuatlons équivalents. — Ln système
d'équations tel que le système (3) du n" 323 sera dit équivalent k
un autre système dépendant des mâmes inconnues, si tout système
<lc solutions du premier système est système de solutions du se-
cond, et réciproqueinent.

Un système formé d'équations respectivement équivalentes aux
équations (^) est é\iiJcini!ient équivalent nu système (3); ainsi
Jes systèmes

'j-_v4-, et J^_ \^o

sont équivalents. — Mais on peut aussi obtenir des systèmes
équivalents au système (3) en combinant convenablement les équa-
tions de ce système.

Je dis par exemple, que le SYsli-nie de deux éqaaiionx à deux
inconnues

Boi'Tnoui. — Lfi priioipïi de l'Auil^M nutliiiotlique ii

„Google

'i^'Jl LE C.VLCt'L ALGÉBUIQUE

est équivalent aux systèmes

i K =: O 10^=0

'0F + 6G =0 \a? -\~bG=o

où les IctlrcE a. b répréaenlent des quantités connues (indéi>en-
danles de x et y).

Va\ cIVet, il est clair <]ue si. pour un cci-Uin système de valeurs
dex et y, les functlons V et G sont nulles, il en est de inêmc de la
fonction nV -•- Mi. Hiîciproquement si V et ni-' -+- 6G sont nulles,
la fonction oK est aussi nulle et )a difTcrcncc t>(i des fonctions
(aK-f-6(i)et a? est nulle; donc (J est nulle. Si G et «F -1- AG sont
nulles, F est nulle [tour la mi'me r.iison.

Plus gcnéraiement, uons constatons <)uc le système (.'t) est équi-
valent ati système (M

\n. l'(a;.T)-^ 6.G(j-.j'} = o
/ (î l-'{x. y) H- //. G (ar.j-j ^-^ o

où (1, b, h', b' sont des qtiantit^^s connues (').

L'élude d'un svstèmo d'équations dépendant de 3, 4, etc., incon-
nues nous conduirait à des conclusions analogues.

320. ËliminatloD d'une ou plusieurs quantités entre
plusieurs équations sixultsnées — Considérons un système
de deux cqualions.

:4) V t.r. y. .-, »....) = 0. fi (x.y. ;. «,...) = O

dépendiuit de plusieurs quanlilés inconnues ou varîublc!t x. y,
z, 11,... [système en général indéterminé, si le nombre des incon-
nues on variables est supérieur h a|. et applîqons à Ci système la
mHhoile dite de siiltsIiUtlion dont nous ayons déjà donné un

I ' I L'i-qitalion aV + >G ^ o est appelée combinaiaon iiniain de* équa-
tions 1-' 1= [I, G ^ <i |lc mot linéaire indique tvoir n" 'Jytl que la combi-
naison est un polynôme rlii premier degrû par rapport à F et pnr rapport

( ) Cea quanti Ips ne sont cependant paf absolument arbitrairca : iltast
que la qiianiiic ab' — bd ne soit pa nulle ; on constate en elTet que, si

ab — 6a' = I), le* doux nouvelles équ.itions sont ôquivnlcntcs et »e ré-
duisent à une in" l',!?).

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ATlOn DES ÉQUATIONS SsS

exemple au n° 322. INous tirons l'expi-ession de x de la première
équation (') ooitinie si v. z, u, ...étaient connus et nou» porlon»
cette expi-ession dans la seconde éqi'ation. Nous obtenons ainù
une nouvelle équation

Ci, (v. ;.«....) = o

qui ne conlieni plus Cinconiuie x.

Il est clair que l'équation G| = u, jointe k l'équation F = o
cunslilue un système équivalent an ayslème proposé. Mais il y a
plus : si l'on fait abstraction de la quantité x, Céqaatlon
G, {y, z,u)= 0 est à elle seiUe équivalente aa syslènie{^) ; en effet,
todt système de valeui-s de y, z, u,... qui salis/ail au système (4)
satisfait également ^ l'équation G, ^ o, et réciproquement. Non»
dirons que l'équation (i, = o, équivalente au systëme(A). eal
réquaiion obtenue, par élimination {') de x entre les deux
équation» V =^ o etC, ^ o.

Celte déTinition et les remarques qui l'ont amenée peuvent être
gcnéralisérs. Considérons, d'une manière générale, /> équations

(5) VJ.x.y,-..a,...)=-.o. F, = o,... F^ ^ o.

dépendant de n quantités inconnues ou variables x, y, z, u, ... et
soit le nombre n supérieur h p.

Appliquant la mélboile de substitution, tirons la première incon-
nue x de lu première équation et portons l'expression trouvée (c'est-
Jt'dircreiiipla<;oiis j;|iar celte expression) dans les autres équations;
noua obtenons un sjsLcme de (p — i) équations, éqaivalefit au
système (3), qui ne contient plus x, soit le système :

*i O", '."..) ^= o. fj^^O,,.. I",,., ;^ o.

Nous dirons que ce système est oblcnti par élimination de x
entre les/j équations (ô).

De la première équation du nouveau sysième, tirons y et por-
tons dans les uriircs. Nous obtenons un sysième de (p — 2) équa-

(') A BUpposer que cette opcralion soit possible [voir la fin du prëscnt

(*| Newton disait : exUrminalion fe^ilcrminalio) ; le mot élimination tut
introduit pur Euler.

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3ii I,B CALCUL ALOÉBUIQLE

t!onR équivalent au syslfcme (5), qui ne contient plus ni x ni y. Et
ainsi (Je suite. Nou^ahautisHons finalement à une équation unique
par élimination de p — i inconnues entre tes p équations (i) :
cette équation ne contient plus que n — /> + ' quantités incon-
nues ou variabies.

Remarque. — Il tm(>orte cependant de noter que le proche
tTéliminalion que nous venons de définir n'a le plus souvent qu'un
intérêt théorique (l'indication de ce pi'océdé sert à établir, d'une
façon simple, la possibilité de l'élimination). Dans la pratique, la
méthode de subslilulinn sera inapplicable si. comme il arrivera
fréquemment (voir n* 349), la première équation (b), F, = o,
considérée comme équation à une inconnue, ne peut pas être résolue.
On démontre cependant qu'il est toujours possible d'éliminer p — i
inconnues entre p équotions algébriques en combinant ces équa-
tions d'une manière convenable au mojcn d'opérations algébri-
ques ; nous ne pouvons exposer la méthode générale de calcul
qui conduit h ce résultat, mais nous en donnerons plus loin un
exemple au n° 371.

330. Changament d'inoonnue. — On peut regarder comme
une II transformation >i d'équation une o|>éralion dont l'algébristc
fait un fréquent usage, et qui consiste h « changer d'inconnues »
ou à Cl prendre une inconnue auxiliaire ».

Soit par exemple, à trouver la ou les racines d'une équation en x.
11 est clair que le problème sera résolu si nous savons calculer la
diirérencc j; — 3 ; de même, si nous savons calculer x' (les racines
del'équntion étant en ce cas les racines can-ées des valeurs trouvées
pour X*); pareillement si nous connaissions la valeur (dési-

gnoiisla par ii) de la fraction—- , nous en déduirions sans
peine la valeur inconnue de x, car nous aurions :

Ainsi nous pourrons, ai cela nous est commode, substituer à la
rccliurclie directe de l'inconnue x la recherclie d'une inconnue

auxiliaire telle que x — 2, ou x'.

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TIlA.tSPOHUATIO:! DES EQUATIONS 03&

Exemple. — Pour résoudre l'équation

on prend pour inconnue auxiliaire u i= ^ ~ ' ; on a :

(«— i)'.-=3; d'où « — 1=3* ou u=i + 3"';
on en déduit :ir= i^t^ — i-J: a w + 3 ' ) ^

331.— D'une manière générale le changement .d'inconnue
consiste à remplacer l'inconnue 2;, dans une équation donnée, par
une certaine expression algébrique dépendant d'une variable u,
c'est-à-dire foncliofl de u; l'équation se transforme en une nou-
velle équation qui ne contient plus x et dont l'inconnue est (') u.

La règle de celte transforma lion est appelée par Cardan
Régala de iluplice {') : Cardan s'en servit, en parl'tculier, pour
simplifier l'équation polynomale du troisième degré {vide infra
a^ZV! et 349 : le lecteur trouvera -là les exemptes les plus simples
de changements d'inconnues).

Lorsque l'on a alTaire à plusieurs équations simultanées, on
peut faire un ciiangement portant sur plusieurs inconnues (voir
plus bas, au n° 369 un exemple emprunté à Cardan).

332. — Ainsi nous voyons apparaître peu à peu les avantages
de celte trituralion, de cet » apprétement u des formules, qui est
la pierre de louche de l'algèbre (n° 371). « Mais si l'équation, —
disait Albert Girard (') — est désordonnée, prolixe et viliée, il la
faut préparer par la réduction, et, l'ayant polie, l'appeler équation
ordonnée ».

Cl La règle du changement d'il
l'aigébriite moderne : Posons x mt /u) ; si ui est une racine de l'équation
IranstoTiuéo, le nombre / U|) sera rncine de l'équation proposée.

(') Pratica arilhmetk» genertUU omnium copiossima et ulilùaima,
B. Nat., V. 191^8, Milan, i^Sg, ch. li. Opéra, t. IV, p. 86-

(') Iiwenlion iwuivUt en l'algè^, Amsterdam, iS^g.

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3^6 LE CAt.CtL AI.GÉDRIQUE

Le bon nlj^êbiîste est celui qnî transforme habilement ses équa-
tions sans s'inquiéter du sens concret des opérations qu'il efTectne.
Si, par exemple, au lieu de calculer directement le prix de loo
moutons, il trouve plus commode de ctierclicr d'abord le prix
de — loo. /a moutons, il prendra ce prii |>our inconnue nuii-
iiaire sans se préoccuper de savoir ce que cela («ut bien être que
— loo . \'j moutons. C'est ainsi qu'il [larvient h résoudre avec
■aisance des problèmes <pii graissaient inextricables aux anciens
Jogisticiens.

6. — Hésitation des équations polyitomales

333. £quattoQS polynoniKlsa. — Considérons une équation,
relative à une ou à plusieurs inconnues x. y, z ..., et mise sous la
forme (320)

(1) V.x.y.,...)=o,

oii F est une expression qui contient x. y, z, ... et aussi des nom-
bres arithmétiques ou des lettres a, b, c, ... représentant des nom-
bres connus. Nous classerons les dlITérenles équaliona (i) d'après
la forme qu'a tcvpression F par rapptirt aux lellres x, y, z ...
L'expression F [leut être, par exemple, un polvnomecn x, y, z ,...
(291) de degré plus ou moins élevé; elle peutaussî £tre définie par
des opérations plus compliquées, ain.ti qu'il arrive pour rc({UBlion
^ + (y -f- '')' — 1 ^ o : d'oii pluralité de tjjK^s d'équations
qu'il faudra étudier les uns après les autres. Quelle que soit,
ce^iendant, la l'orme première sous laquelle se présente une équa-
tion, nous cliercticrons toujours à la transformer en une < équa-
tion polynomale », c'cst-n-dirc en une équation F ^ o, oii F est
unpolvnomeeu j;, y, :, ... Comment cette transl'urmalion se trouve
<!tre possible, c'est là un fait que nous devons renoncer n expliquer
ici. Notons seulement qu'avec plus ou moins d'adresse, les algé-
bristcs surent de bonne heure ramener toutes les équations aux-
quelles ils avaient airuire(') à des équations polynomales: delà vient

l'I On peut tlémontrer rigoureusement que cette trantfortnation eit
toujours possible si F est uno expression algébrique au Mtu du n9 ^79

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nÉjOl.lTlO^ DES ÉQt'A1'IO:<9 PUMXOHALES 37f

que la résolution de ces dernières équations (auxquelles fut réservé
le nom d'équalions al>jâbri(]ues) (ni longtemps considérée comme
te problème Tondament^l de l'al^jèbre ((.<(V/e sapra S /).

334. — On dit que t'éqnalion giol^nomaie (') 1'' — - o est
nriloimée lorsque le polynôme F est lui-même ordonné (par
rapport aux puissances croissantes ou ttécioissantes de x, ou de x
et y, ou de x, y et ;, etc.). Le <le(iré de l'équation (en x on en x
et y, ...) rst le degré de F. D'ailleurs on reconnait facilement que
l'étude des équations est d'autant plus compliquée que leur degré
est plus élevé Nous commencerons donc par considérer les
équations ou syMèmes d'équations polynomnles de plus bas degré.

335. Équation du premier degré à une inoonniie. — J'ap-
pelle ainsi l'équation V {x) = o où V est un poljnonie du premier
degré en x. Hennissant dans le polynôme F les termes qui con-
tiennent X et ceux qui ne le contiennent |)as, je mets l'équation
sous la forme (')

égalité oîi a [coefficient de x) cl b (terme indépcndanl), peuvent
être des expressions algébriques quelconques dépendant de nombres
supposés connus (voir n° 304) ; les nombres a et b, considérés en-
semble, Boni dits coefficients de l'éi/ualion.

L'équation (i) adinet-cllc des solutions? On voit immédia-
teiuent quelle en admet toujours une et une seule, et r/ue cetU
solution est X ^^ — - .

(cf. in/ra p. 38G, note i]; les équations transccndiintes, dont noua f
leroni au § tii, uc peuvent pa», par contre, §lre tramlormies en équali
polyaomaUl .

l'I Si t'evpression de F ne contient pus d'auttca lettres quo celles
représentent les inconnues, l'équation F ^ o est dite numérique.

|-| Cette torme est In jorme générait de l'équation iii , laquelle :
souvent appelée équation générale de premier degré ; il sutHt de doi
& o et i ( d«g valeurs particulières pour qiio l'équation générale di
telle équaiion numérique du premier degré que l'on voudra. Aii
équations

1 -1- J - 1 , , ■

""ci" i — »îj = o, -I — (d-|-rf)J = o,

■ont des équations du premier degré écrites sous la Corme (:t).

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330 LE CAUIUL ALGÉBHIQUE

En elTet l'équation ox + 6 = o eat 'tdfinllque (304) à l'équation
aixA — ) = o, qui est e) le même équivalente à l'équation
X + ^ = o (n' 336), ou a; ^ — ^

336. — Ainsi nous obtenons d'un trait de plume la racine d'une
équation mise sous la forme {i). Comment se fait-il donc, b&
demandera-t-on, qu'il ail fallu tant de siècles (') pour dégager ce
résultat, et que l'cicposé en tienne lant de pages dans les ancirits
ouvrages d'oigébrei" La réponse est facile à donner si l'on se rap-
pelle ce que nous avons dit au S / du présent chapitre.

La diFTiculté n'était point, pour les premiers algébristes, de tirer
X r^ — - de ax -H t = o : elle portait sur la préparation que l'on

doit l'aire subir à une équation pour la mettre sous la forme (s).
Cette préparation, sans doute, s'effectue fort aisément grAce aux
règles de IransfnrmnUon que nous avons indiquées au S -4 : mais
nous avons supposé, en énonçant ces règles, que nous avions le
droit do traiter de la même manière, dans tous nos calcnls,
les nombres rationnels et les nombres irrationnels, tes nombres
positifs et les nombres négatila. Or, c'est làunelibertéque les disciples
des géomètres anciens ne se permettaient pas de prendre. C'est
pourquoi les règles de transformation étaient pour ces savants
beaucoup plus nombreuses et plus compliquées que pour nous (*) :
on pourra s'en rendre compte en lisant ci-dessous les n" 339
et 343.

l') La cuncpption nctle et définitive de l'ôqualion générale du premier

degré à racine positive ou négative, ne se dcpaf;pa qu'au xvu' siècle;
elle apparut dniis la Gêomilrie do Descartls (i<)'<7),

('] Nous avons vu d'ailleurs que la représenta lion par de» lettres de
quantités connues mais indcterminéei — telles que les coeffScleali
a, h do réqnalîon ax -\- h =■ n. — [quaniitcs dont la valetir numé-
rique n'est pas spécifiéo], était l'une des innovations introduites par
ViÈTE. Avant la fin du xvi< siècle, il pouvait £lre question de résoudre
des équations du premier degré, mais non de formuler des r^les appli-
caMes à Véquation générale. Comme, d'ailleurs, on ne réunissait pas
d'ordinaire les lermea en x en un seul ainsi que nous l'avons tait ci-
dessus, les équations résohies se pri' sentaient sons des formes diverses telles

3 I

que ^I + ■jx — 2X= I, aux + ^'~ \^ -f 2 = sa:, etc.

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nÉsoLUTiON DES £quatio:(S polIlNOu&les 3a^

Une Anthologie corn foséo au iti* ouiv* BÎëcle api-ës J.-C, nous a
conservé de curieux énoncés d'équations du premîei- degré résolue»
par l'école de Diophante (').

Unénoncé présenté sous rormcd'épitaphe nous dit, par exemple,
a que Diophante passa la sixième partie de son âge dans ta jeunesse,
un douzième dans l'adolescence, qu'après une septième partie de
son âge passée dans un mui-iage stérile, et cinq ans de plus, il eut
un iîls qui mourut après avoir atteint la moite de l'âge de son père,
et que celui-ci ne lui survécut que de quatre ans. Ainsi il s'agit de
trouver un nombre tel que son 6*"'«, son ia*"% son 7*™" avec 5, sa
moitié et 4. fassent ensemble le nombre tout entier('). » Appelant
X le nombre inconnu, nous avons l'équation

La solution est x ^Si.

Autre exemple : « Dis-moi, illustre Pythagoie, combien de
disciples fréquentent ton école et écoutent les instructions. Le
voici, répond le [iliilosoplic : une moitiéétudieles mathématiques;
un quart la musique, un 7" garde le silence, et il y a trois femme»

(■) Parmi lei mathématiciens greci quo noua connaiiions, Diophante
e*t le «eul qui ait posé lo problèmo de la résolution des équations eu
termes aritliméliques et iiongéamctriques [cf. supra, 372] ; Diophante ne
considéra que dct cquaiions numériques (33^) ; m^iia sea résultais n'en
oDt pas moins une portée générale (cf. p. 377, note il. Ajoutons que
Dioplianto avait surtout en vue la rectiercbc des soluliona entières ou
ralionnetlei {^itU tfi ■j6\.

(', Traduction MouKicla 'Hiat de» math., i7&fl. 1, p. 3iH:, Voici la tra-
duction laline du même énoncé donnée par Bachot de Méxiriac (Dio-
phanti Alex. quauL, 1670, I. v, p. ajo,.

Hic Diophantus habel lumulum, qui lempora cita

lUiua mira dénotât arlt libi.
Egit sexianlem jwenia, lanugine Tnalaa
Veatire hinc capit parle duodecima.
Seplanle uxori post kac socialur, et anno
Formogm qiiinio naaeitw ind« puer.
Semittem xtatis po»tquam attigit ilU paierna,

Infelix auhila morte peremptua obit.

Quatuor aatalea genitor lugere tuperatet

Cogitur ; hinc annoa illiua aaaequere.

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3:{o LE CALCUL ALGÉmirQUE

par dessus. Ainsi, il s'ugit de Ivoiivcr im nombre dont la moitié, le
quart, le 7" el 3 Tussent le nombre lui miïme u. On i) :

d'où l'on lire x = 28. — • L'Anessc cl le Mulcl faisaicril vovage
ensemble : l'AnL'ssc se phiign;iit. De quoi te plains- tu, dit IcMulcl?
Si lu me donnais une de les inesutes.j'en aurais le double de toi; et
si je t'en donnais imc, lu en aurais autant que moi. Combien en
avaient-ils cliacuii?(')i>. — Tels était les pmblëines qui se trans-
mirent pendant des siècles dans les écoles d arîlhmclique de l'Oiient
et de l'Occident. Ou remaïqiieia que tous ces problèmes ont pour
solutions des nombres posilil's rntionncla.

337. —Moins scrupuleux que les Grecs, les Hindous(') n'iiési-
tiient pas à introduire des noud)rcs relatifs dans ieurt calculs ; ils
avaient imaginé, d'autre part, un grand nombre de règles ou pro-
cédés pratiques qui fucilitent et accélèrent dans certains cas la
rechcrclie des racines des équations. Voici, ]t«r exemple, une de
leurs i-î-glcs usuelles, règle qui éUiit déjà familière aux calculateurs
de l'ancienne Kgypte | le Papyrus Uhind en fait foi] : c'est la règle
de la fausse position {feijula J(dsl) :

Soit A résoudre une équation de la loruie

ax -k- l-f -\- ex -i dx ^ t,

où, a, i. c, <l, e fonl des quantités connues (la règle est la même
quel que soit le nombre de ces quantités). Prenant an hasard un
nombre que nous désignerons para:,, on le i>orle à la place de x
dans le premier membre de l'éqiialion. Si x, était racine de
l'équation, la somme av, -t- bx, -+• ex, h dx, aurait pour va-
leur e ; mais, nu cas où x, n'est pas racine, celle somme se Irouve
avoir une valeur ci (que l'on calcule), diiTércnte de e. Cela |>osé,
la règle est la suivante : /a valeur inconnue 4e x est éijnle à texpres-

sion (' ' : en cIM, l'inconnue x, délinie par l'équation pro()oséc,

I'. Traduction MunUicl.i,
('j Voir aussi supra, n" i

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BÉSOr.VTIO^ oes iQUATtOSS POLT^OHALES 33 1

« évidemment pour valeur i-^- — ,-j; or. d'autre part, nous

AvoDs. par liypotlièse [a -{- b -i- c -*-</) x, = r, .

La valeur e — e»l facilemefit calculable lorsqu'on a déterminé

la valeur ei ; en choisissant convenablement le nombre arbitraire x,
on peut souvent rendre tes calculs très simples. La régula falsi,
cependant, n'est pins enseignée aujoui-d'liui. car, |)Our nous qui
connaissons la théorie générale de l'équalion du premier degré,
«lie n'a plus aucune \erlu spéciale.

338. Equation du aecoud degré à uno inconnue. — J'uppelle
«insi l'équation F(:c) := o oîi F est un p«)lynouie du second degi'é
en X. En ordonnant ce polynôme, je puis mettre l'équalioD sous la
iorme

(3) Oj' -i-hx -\- r :== O,

-égalité où les coefllcienta a. b, c (appelés roejfldenls de l'équalion)
peuvent être des expressions algébriques quelconques dépendant de
nombres supposés connus.

L'élude de l'équation (3) sera facile si l'on utilise les identités
<\VI) et (XVII) données nu n" 306.

1" Sup[>Qsons que le nombre t' — fiac soit positif, .\loi-a l'iden-
tité Wll) nous monlre que, pour que le trinôme nx' + frx + c

soit nul, il faut et il sullit que l'on ait : soit x -t- — =; o,

6 -t- /6' — 4 a'-
«Oit : X ■\- ■ ■ ^= o.

Nous en concluons que l'équalion {^) a deux racines ('} :

Remurques. — Pour abréger on convient souvent d'écrire que
les racmes de léqu.ition (4 ont pour valeurs , le

{'] Pour calculer, dans la pra ique, le^ racines 'l'une cquntion du
second de|[rë, il Burfira de mettre l'équation sous In forme (3). On aura
alon lei Taleurs <ie a, b, c et, en porlanl cea vaitura dans U» exprtuion»
4e» racinea donniea par ta formutea [\\ on aura les valeurs des racines x'

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•133 Ll CALCL'L AI.GÉDniQDE

symbole =b (qui se lit plus ou moins) indiquant que l'on peut
prendre devant le radical, M)it le signe +, soit le signe — .

Il réaiille immédiatenaent des expressions des racines que t»
somme x + x' est égale à ^^ . D'ailleurs, d'après l'identité ( WII)
et la défînitiou des nombres x' et x', nous avons l'idcntitc :
(5) ax* -h hx + e rr-. a ■> _ y) (i — x').

En développant le second membre, nous obtenons :
ax' -h bx -i- e = ax' — U'V + x'-a- + ax'x',

et nous concluons alors du n* 312 que — a{x' -i- x') est égal K fr-
et qiie ax'x' est égal à c. — Ainsi la somme des racines de téijaa-
tion (3) esl égale à — ; /eue produit est éjal à - ■

a" Supposons maintenant que le nombre fc* — ^ac soit négatif.
Alors, dans le second membre de l'identité (XVI) [n" 305}, l'ex-
pression entre crochets est la somme d'un carré (toujours positîl,
n" 135) et d'un nombre positif : cette expression ne peut être nulle
pour aucune valeur de x, et Véqualion n'a pas de racines.

'S" Soit enfin 6' — ^ac éi/al à zéro. Alors l'identilé (Wl) se
réduit à

ax'-i-bx-*-c^=aix-+- — ^ ■

Pour que le trinôme soit nul, il faut cl il sulTit que x soit égal k
— ■■-; donc l'équation a une racine unique. On dit souvent, en ce
cas (pour des raisons que nous expliquerons plus loin) que

et x'. Il Mt parfois commode d'uliliaer d'autres formule* que les for-
mules {i). Posons, par exemple, b =r 3b' : alon noire cqualion s'écrit
or' + aJ'x + c = 0,

eties formules (i) donnent pourcxpresaioiM dearacincs : — '

Divisons maintenant le trinôme par a et posons - ^ p, ~ =1 q : notre-
équation est évidemment équivalente a l'équaLion x' + px + j ^m o, qui

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( EQUATIO:«S POLIHOUALES

l'équation (3) a une racine double ou deux racines égales (ajant

pour valeur j : on peutalorscontinuer&déclarerquc la somme

■des racines (double de — — 1 eslégole i — -, et que leur produit
(cari-é r-î] est égal k - dans l'Iiypotbèse actuelle, - = r—j puisque
4ac — fc* = o].

330. — La résolulioR des équations du second degré donne lieu
aux mêmes remarques que celle des équations du premier degré.
Les formules (i) sont faciles à obtenir; elles étaient familières aux
Hindous (') et les Grecs en avaient l'équivalent ; mais l'interpré-

dil I Vi/o-Gaftiid, ch. v, trad. Colcbrooke, p. 3i8) que la
règle foumÏMant les daux rncinet a été lormulfo par l'algcbriste
{*ADHANABBA. La nature des problâmet qu'ils traitaient — problèmes
concrets peur la plupart — empîchaient cependant les algébriites hindous
-de regarder comme également acceptables deux solulioni ou racines de
lignes dilTérents, et ils ne retenaient donc que les racines positives. Voici
un exemple ilVquation du second defcré résolue par Bkasuara ILilavali,
cbap. III, trad. Colebrooke, p. B8 ; cUVija-Ganita, clmp. v, ibid., p. 3i2| :
-1 La racine carrée de la moitié d'un essaim d'abeilles s'est rendue sur
uae touEIe de jaimin, et les huit-neuvièmes de l'essaim s'y trouvent
aussi ; une femelle 8eulem<-nt est restée et bourdonne autour d'un inAle
qui hume une fleur de lotus dont le parfum t'a attiré. Dis, charmante
femme [Lilauati, vide, p. 377, noie KJ, quel est lo nombre des abeilles •. —

Appelant x ce nombre, nous avons t'cqualion ^ /f ^. _ j. a ^ x,

V -J 9
«u, (en retranchant - - -|- a des deux membres , l'équalion équivalente

\ / - m= 3. Si les deux membres de cette dernière égalité sont égaux,

■I en est de même de leurs ctrrési donc

jen vertu de l'identité (l) du a" agO, appliquée à / — ^) l- Nousen
déduisons l'équation du second degré

dont l'inceunuc x sera racine. Eu appliquant les formules [i] on trouve
que cette ^ualion a uue racine entière (ut uue seulement) égale à 7a.

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33i LB CALCUL ALnÉBniQL'B

talion de ces formuler pour toutes valeurs positives ou négative»
des cocfficienls a, b, c, ne pouvait pas être faile — ou du moins
rc^rdée comme ayant une valeur et une signification rationnelles —
avant Descartes et fermât. C'est pourquoi les traités classiques du
ivi' siècle, se confonnant en cela aux traditions de l'algèbre géo-
métrique {vide in/ra, n* 521 et suîv.) distinguaient, et étudiaient
l'un après l'aulre, plusieurs tvpes d'équations du sectHid degré :

i' Ef/aatinns r/ui se ratnhtenl à la forme A'x' -)- B'a: ^ C
(.V, IV, C étant des nombres [Kwitifs), ou, si l'on veut, à lajorine
X* -i-hx ^ C [car en divisant les deux membres de l'équation par
un même nombre A', on obtient une i^uation équivalente, et l'on

peut poser ^ — 'ï. y — C]. D'après la formule (4), oii l'on fait
(t = I, /> = B, c = — G. l'éqnatinn de la forme x' -h Bj: r= C a

- H

■i" Ei/aalions qui se lamèiienl à iti forme Bj; + C ^= a:' (B, C
{msilifs . l/éijtiiition de c^ttc forme a toujours une racine positive :

- - - . (In peut remarquer que cette racme est toujours
sn|)éricure i 1t.

3" Eijuation.1 i/tti se ramènent à lu forme x' -t~ C =■■ Rx. Trois
possibilité» se présentent alors. Si lî' > 4 G t'éqiialion a deux ra-
cines |)os>tivcs égales à — ~ — . Si li' = 4C, l'éqnation a

une racine unique . Si jC > 11*. l'équation n'apnsdcracines(').

340. Les trois types d'équations ainsi distingués par les Grecs
sont aujoui'd'luii foniliis en un seul type, et les formules (4) suf-
llscnt A l'algébrlsle nioilcrne gioiir calculer les racines d'une équa-
tion quelconque du .second degré. Mais ces formules ap)iellent une
remarque que nous avons déjà laite nu n" 279. Lorsque nous écri-
vons tes foruiides ./i), nous nous interdisons cie faire aucune hypo-
thèse sur la nature des nombres n, h, c. 11 se peut donc que nous
écrivions des choses dépourvues de sens, puisque si te nombre

{<) L'alfcébriïlt; moderne njouic qu'elle a aussi une racine négative.

l'i Voici comment Lvca Pacii-olo énonce loarèslea relatives à la réto-

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RésOLUTIO.f DES ÉQUATIONS rOI.T:40MALES 335

b' — liac est négalif, le symbole \f'b^ — ^c ne représente rien du
tout. Gelte éventualité no, nous em|>êclieru pas d'écrire les for-
mules ii) cttie les consîdéi'cr comme i-cprésentant en lout cas les
racines Je l'équation du second degié. Lorsque le symbole
^b' — liae sera dépourvu do sens, nous dirons que les racines sont
(c imaginaiies n, ce qui équivaut h dire qu'elles n'existent pas.
Grâce à ces conventions nous pourrons rassembler dans un seul et
même énoncé tous les cas qui peuvent se pix-scnler :

Qaeh //ue soient les cnefficients n, b, c, téqualion (3) a pour
racines tes nombres x' elx' donnés par les formules ('^). Ces nombres
sont réels et ilifférenls, réels et égaux, ou imaginaires smoanl que
la quantité b^ — liac {appelée discriminant 'le téquation) est post-
tire, nulle ou négative.

341. — Nous pouvons ajouter que les racines ont même signe
ou des signes contraires suivant que leur produit - (voir n° 338)
est positif OH négatif. Si elles ont même signe, ce signe est celui de
leur somme --

1 ilion do CCS trois types tl '^qua lions Summa de Arilhm., ■{i)'). toi. i4->)-
Primi camnis versus.

Si reii et census numéro eomquanlur. à rébus

Dimidio sumpla ceiMum producere debea,

Addereqite numéro, cu/iu à radke totiens

Toit* ternie rerum : cen-tas tatusque redibit. ^

Secundi canonii vert\ia.

Et ai eum rebtui dragma quadrato parée sint,

AdtU ticut primo numerum producio quadrato.

Ex rebue mediia. e/ueque radice recepta.

Si rebtu medîis addes. centue patefiet
Tertii canonis versus.

Al si cum numéro cenmia radiées tequabit,

Dragmaa à quadrato deme rerum medielarum,

Cujusque aupererit radicem adde trahere

A rehus mediis; aie censua coela noiescel.
Traduclion : Si l'inconnue [un multiple <lc l'inconnui^, Bx] et on
carré égalent le nombre connu iC', forme le carre de la moitié du
nombre di-i promicrcs puissances de l'inconnue jc'cst-à-ilire le carré
de B', BJDulo ce carré ou nombre connu |C', el de la racine carrée de
l'expression oblenue retranche la moilié des premières puissances de
l'inconaue (do B) : le résultat donnera le carré inconnu ix'f et son
ciité l.x' , etc. — Le mot dragma est synonyme de numerus et signifie ;
nombre connu (C;.

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336 LK CALCUL ALOéBHIQL'E

342. Équation du troUlémc degré — J'appelle ainsi l'équii-
tion F(x) = o, où F ost un polynôme du troisième degré en x.
Les Grecs et les Arabes (') ont étudié plusieurs équations du troî-
fiième degré qu'ils ont rattachées \t de» problèmes géométriques.
Mais c'est au xvi° siècle seulement que l'ut constituée la tbéorie
générale de ces équations (*).

Le savant italien Scipion Ferro.qui professa à Bologne de 1^96
k 1Û36, trouva l« moyen de résoudi-e algébriquement l'équation

(6) X* + A.T = B (A et B positif»)

et il en avisa quelques amis. Quelque vingt ans plus tard, Nico-
las Tartaglia de Brescia entendit parler du résultat obtenu par
Scipion Ferro el se proposa de le retrouver. Il résolut ('), ù son
tour, l'équation (6), puis le lendemain, nous dit-il, l'équation

<7) x' = Kx + B;

quant à l'équation

{8) 3;' -H B = At,

elle lui parut pouvoir être ramenée à l'équation (7) par une t^ns-
formation facile.

343. L'équation (6). — La solution que Tartaglia a donnée de
l'équatioa (6) est voisine de celles que formulentaujourd'huiencore
nos traités d'algèbre. Prenons provisoirement deux inconnues auxi-
liaires y cl z telles que y — z = Q et yz z= t \ . Ces deux
inconnues seront déterminées par une équation du second degré

('] Hn particulier Okak Al Kuavyam (ride aupra, p. 378, noie 3).

(-■) Nouï verrons plus loin U'" 3^7) comment loule cquatioii du troi-
sième degrû peut ôtrc IruiisFormée eu une équation (Oj, I7} ou |HI. C'est li
une propriélo qu'on avait «ans ilouto rumurquéede bonne heure et que
Cardan a précisée.

{") Lea recherches de Tirtaglia siirl'éqilution du troisième degré et «es
répEiques â Cardan \i'ide infra n° I.V'' se trouvent dans un ouvrage inti-
tulé : DeUi queaili et invenlioni diverse de Nieoh Tarlaglia Bresciano,
Venise, ib'!-, réimprimé de.ns ha Opéra del famoaUeimo Nicolo Tartaglia,
Venise. lUoli, Bibl. N., V. H-;!-,. [Voir le Liv. IX, sur l'Algèbre . et mai-
sime soprii le Regole de cosc u cubt cguali a numéro, dal présente Au tore
ritrovatcl.

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RÉSOLUTIOK DES ÉQUATIONS FOLTHOMALBS 337

que l'on sait r^oudre : en effet, si l'on remplace z par / — B dans
l'égalité y2 :^ ( j 1 , on a l'équation du second degré en y.

-^-(,7-

.*)

qui donne pour l'inconnue y une valeur (racine) positive supé-
rieurâ à B (voir q° 330, 3"); il en résulte pour z une valeur positive
{y — B). Cela posé, je dis que le nombre x' = \Jy — {/z est ra-
cine de téqaalion (6), Calculons en effet le cube de (\/y — \/z)
fou (y' — 2ï)l en appliquant la formule (III) du n' 206 ; nous
avons :

x" = y — Sj-T' -+- 3/^' — I = (_y — ;) — 3)-';'
et par conséquent 1 puisque y — ; — B, y» z^ = ^ | :
x" ^ B — \x! ou X-' + Ax' = B,
ce qui démontre la proposition énoncée (').

344. L'éqoRtion (7). — L'équation (7) peut être résolue, elle
aussi, par un procédé analogue. On détermine les valeurs de y et z
par les conditions

.*. = B, ..(^)-,

(') Tabtaclia résume dans les vers suivants la règle qui donne b solu-
tion de l'équation (6} {Opère del FamoaUsima -Vi'cab Tarlaglia, p. 266):

Quando che'l ctibo, con le rose apprtsio,

Se agguaglia à quaUhe numéro dUcrelo ;

Trovan dut allri, différend in ts»o

Dapoi terrai, queato per ainsueto,

Che'l lor produlto, sempre sia eguah

Al leno cubo, délie coae n«fo,

El reaiduo poi tuo générale,

Delli lor lati cubi, bene iostratti,

Varrà la tua Cote principale ;
ce qui signifie (traduction libre) : Si le cube [x^], plus un muliple [Âx] de
la chose [inconnue] est égal à un nombre B, déterminoDS, par les mé-
thodes habituelles, deux nouveaux nombres diSérant l'un de l'autre de B
unités et dont le produit soit le cube du tiers du coefficient de la chose g
alors la différence des lacines cubiques de ces deux nombres auxiliaires
elt la chose principale cherchée [l'inconnue x].

Bonraoni. — Lei Priacipaa de I'AdsI^h malhématîqus. . it

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338 LE CALCUL ALGÉBRIQUE

et l'on constate que le nombre x* = ^y + yz eat racine de l'équa-
tion (7).

Mais ici se présente une difliculté que Tartaglia n'a pas appro-
fondie. L'inconnue auxiliaire doit être racine de l'équation du
second degré

or, celte équation ne peut être résolue que si B' > 4(3) [voir
les remarques faites à la fin du n" 339 surl'équalionx'-t- C = Bir].
Lorsque B* est inférieur ^ i^ ( t ) , la valeur de y n'existe plus (est
<[ imaginaire a). Paut-il en conclure qu'en ce cas l'équation du
troisième degré {7) n'a pas de racine? Ce serait se tromper grave-
ment : non seulement l'équation a une racine positive comme au

cas où l'on supposait B' < i[^] > mais elle possède en outre
àeax racines négatives qu'elle n'avait pas alors. C'est ce que nous
allons vérifier en suivant la voie indiquée par François Viète (').
On déduit des formules de la trigonométrie que, si l'on désigne
par u un nombre positif quelconque, on a (')

(9) cos 3u = 4 cos' u — 3 cos u.
Mettons alors l'équation (7) sous la forme

(10) X* — Zr'x =^ hr*.

en posant r

= v/f '. = x. '«■'>'■*

(') froncMCi ViMmFotOmmentU D« sBqualionum rmsognitiime a emenâa-
tione I1591), publ. en i6i5, i At elegantîut, dit Viâtk (p. 13, cf. Optra,
éd. S<^oot«D, p. 91), et priMtantius ex analyticii Aagulartum sectionum
liujvw modi cequolitatum constitutto eruitur >. Et il indique oomment
l'équation Sotiz — x* = 43a, pu exemple, a pour racines les nombrei
^'^ ^^ et 9 — ^/Vj (la troiiiime racine est — iS) [guwn dio»tur 3oo Jf
(3oo fois le Nombre inconnu) — 1 C (Cube de l'inconnue) xquari 43a, /!«(
umu ruantrut 9 + /S? tri 9 — v^j.

(') On obtient cette égalité en appliquant à cos au, sin au, cos 3u, les
formules du n<* i63 donnant cos (a + b), sin (a + b), et remplaçant sin* u
par^i — cos' u (n» i53). — Ct infra, a" 382.

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RiSOLVTIOH DES ÉQUATIOUB POLTHOUALBS 33q

Dans l'hypothèse oùB'<4tr) , on a (Ar*)' < 4r*; d'où l'on
coBclut (en extrayant les racines carrées et divisant par r' les
deux membres de l'inégalité) : A < ar ; donc le nombre — est,
dans le cas considéré, inrérieur à i, et l'on peut toujours trouver
une abscisse cnrvilique v dont le cosinus soit égal à — ; nous
déterminerons celte abscisse curviligne au moyen d'une table tri-
gonométrique et nous remplacerons A par l'expression arcosu
dans l'équation (to). Cela fait, je constate que l'équation (lo)'
[équivalente k (7)] sera saltsfaile si je donne à a; la valeur

x=ir coa s-, j'aurai en effet :

x' — 3r*j: = 8r' cos' ^ — 6H cos ^ = ar' (4 cos' ï — 3 cos »];

or Ar*, égala ar* cos v par hypothèse, se trouve égal k sr' 14 cos'^
— 3 cos g 1 d'après l'égalité {9) ; j'en conclus que x" — 3r'a;
est bien égal & hr* comm« le demande l'égalité (10).

Tel est, traduit en notations modernes, le calcul effectué par Viète.
Ce calcul nous montre, si nous nous référons à la trigonométrie
moderne, que l'équation (10) possède (roM racines. Eneffet('),siun
arc V a pour cosinus le nombre — , les arcs v -\- aArTc et — 0 + afrrt
(ofi k est un nombre entier positif ou négatif quelconque) ont aussi
le même cosinus et peuvent remplacer l'arc v dans notre raisonne-
ment. Nous en concluons que toutes les valeurs

V ■+■ afrit . — u -+- sAtt ,,, V — afrn
ar cos — -^ et ircos ^ ou(') arcos —

«ont racines de l'équation (10). Ces valeurs se réduisent à trois :

(') Cette discuMÏOD ne put, bien entendu, être, faite que loDgtempi
aprts ViiTE, qui ne disposait pas de la notion généraie d'abscisae curvi-
ligne affectée de signe ; elle tut donnée par CLAinAUT, Elément d'algehre,
Paris, 1746, Part. V, chsp. vu, p. afiS-g.

(*) On sait, en effet, que, quel que loit l'arc u, en a cob ( — u) = cos u.

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3iio LE CALCUL ALGÉBRIQUE

ea effet tout arc " "^' " (où k est un nombre entier quelconque}
est égal à l'un des arcs 5 . .■ '" . —^ — plus ou moins un mul-
tiple de 2?r, et a par conséquent même cosinus que l'un de ces trois
arcs (') (cf. n" 169).

345. L'équation (8). — En cherchant à ramener l'équation (8)
& une équation de la forme (7). Tartaglia devait se heurter k des
difficultés plus graves encore que celtes dont nous avons parlé
tout à l'heure; aussi est-il permis de douter qu'il ait effective-
ment accompli la transformation qu'il indique (voir n° 343). Pour
mettre hors de doute l'existence des racines (positives ou néga-
tives) de l'équation (8) il faut employer d'autres méthodes que
celles dont disposait Tartaglia; on pourra, par exemple, suivre la
voie indiquée par Viète et recourir k un calcul trîgono métrique :
on constatera alors que, suivant les valeurs relatives des nombres
(positifs) A et B, l'équation (8) a une ou (rois racines.

340. Reoheroh«B de Cardan ; notations modernes. — C'est
en i535 que Tartaglia s'est occupé des équations du troisième
degré. Cependant il se refusa à publier, ou même à communiquer,
ses résultats; en i539, seulement, cédant k l'insistance de Jérôme
Cardan, il livra k ce savant les vers quelque peu énigmaliques
que nous avons reproduits plus haut, tout en lui faisant jurer de
ne jamais divulguer son secret.

Sur les indications qui lui furent ainsi fournies. Cardan se mît
au travail. Il montra comment toute équation du troisième degré
peut être transformée en une équation de l'un des types (6), (7),
(S); il approfondit l'étude de ces types avec son disciple Laigi
Feri-ari {ib22-JÔëù), el, en maniant sans scrupules — fort habi-
lement d'ailleurs — les quantités négatives et lataie imaginaires
(racines carrées de nombres négatifs), il surmonta certaines dîfti-
cultés dont certainement n'avait pas triomphé Tartaglia. En i5^5,

('] On peut remplacer le troisième par la valeur égale 3r c

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RÉSOLUTIOK DBS ÉQUATIO^IS POLTN0IUI,Ea 3^1

Cardan fit connaUre, danssoa Ars Magna{vide cbàp. xi et suivants,
p. 3o-s(]q.)t ce qu'il savait de l'équation du troisième degré. EsU-
mait-il que l'importance de ses recherches personnelles sur cette
équation lui en donnait le droit 9 Ou croyait-il savoir que le secret
de iSSg — qui, après tout, appartenait aux amis de Scipion Ferro
avant d'appartenir A Tartaglia, — avait, après six ans écoulés,
cessé d'itre un secret? Quoi qu'il en soit, Tartaglia accusa Cardan
d'avoir violé son serment, et il s'ensuivit une Apre polémique entre
les deux savants et leurs disciples (').

Après les recherches de Cardan, cependant, et, surtout après
celles de Vièle, les principales questions soulevées par l'équation
du troisième degré se trouvèrent résolues, — du moins résolues
autant qu'elles pouvaient l'être avant que fût constituée une théorie
rigoureuse des quantités imaginairet.

347. — ËnouQons les résultats fondamentaux qui furent le prix
de ces longs efforts.

L'équation du troisième degré a pour forme générale :

(il) ox" H- fcr' H- ex -t- d = o,

les coefficients a, b, c, d pouvant être des expressions algébriques
quelconques dépendant de nombres supposés connus.

Une transformation simple permet de passer de la forme (i i) \
la forme *

(il) a;' H-px' -\- q = o.

En effet, l'équalion (ii) est équivalente à la suivante :

(') Entre Taktaslijl et]FEiiBAtu, en particulier. Dans cette polé-
mique, Tartaglia n'eut pai toujours le beau rAle. Aumî ne manqna-
t-ou pas de l'accuser d'avoir fait passer pour sien ce quil tenait des
diadplM de ScmoN Ferro. —Les pièces principales de la pclémi que, qui
sont des lettres édiongées par Tartaglia et Ferrari, ont éti imprimées
(on exemplaire du recueil de ces lettres ae trouve au Briliah Muêtum,
B533, ihh, 17).

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343 LE CALCUL ALGÉBRIQUE

Faisons le chaDgement d*incoQnue x = t — 3-; l'équation
devient

('-èy-!('-è)'-î('-è)-

Développant le cube et le carré d'après les formules du a' 206,
et ordonnant par rapport k t, nous constatons que le coeffident
do tenne en 0 est nul, et noua obtenons l'équation :

\a 3aV \a Sa' 370*/
équation qui est de la forme (13) [l'inconnue s'appelant ( au lieu
dexj. Si donc on sait résoudre l'équation de la forme (12), on
saura, du même coup résoudre l'équation (ii). Nous pouvons, par
conséquent, nous borner k l'étude de l'équation (13).

L'équation (i3]a toujours une ou trois racines.

On démontre qu'elle a une racine lorsque 4p' -t- 37^' > o, et
trois racines lorsque 4/»' ■+■ 27c' < o.

Pour résoudra l'équation, en emploie d'ordinaire dans le second
cas une méthode trigonométrîque, telle que celle de Viète, et, dans
le premier cas, la méthode de Tartagtia, que l'on applique généra-
lement comme il suit (') :

Posons 7 -1-2 ^x, Syz^p.fxqiii revient à faire le changement
d'inconnue (n° 330) x = y + -f- . Remplaçant x par cette valeur
dans (12) on a une équation en y qui, si on y regarde y' comme
l'inconnue, est du second degré (cf. 344) ; on remarque que le
cube z' (z étant défini comme il a été dit) satisfait à la même

équation, en sorte que les deux racines — " -^V ^ "*" a^ ^'^ '^^'^
équation donnent les valeurs cherchées y* et s'; donc, on a :

Dans le cas où 4p* + ^79* = o, on constate que l'équation a
ane racine double (comptant pour deux) ; elle a en outre une ra-
cine simple.

(') Cf. une lettre de Huygens àScHOOTsN, Œw, deHuygms,!,» Hay«ï
(888, I, p, 33o.

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lUËSOLCTIL^ DBB ÉQUATIONS POLINOMALES 343

348. ProinriétéH de> raoinM. — Plaçons-nous dans l'bypo-
dièse où r^uation du troisiime degré, mise sous la forme (ti). a
trois racines et désignons ces racines par les lettres affectées d'in-
dice ;Xi, Xi, Xt, ■■■

On vérifie (') que (quelle que soit la valeur de x) l'on a l'iden-
tité :

(i3) ax' -h 61' + ftc -+- (( = a (x — x,} (x — Xi) {x — X|).

D'ailleurs, si l'on développe le produit du second membre, las
coefficients des mêmes paissancas de x sont nécessairement égaox
dans les deux membres (cf. 338) : on déduit de là l'énoncé suivant :

Quelle que soit l'équation proposée (ii) ta somme des racines

à deux {xiXt ■+- x^, ■+■ x^t) est égale à -, leur prodail (xix^a)
est égal à —— [cf. Cardan Ars Magna, chap. xvin].

340. — Nous n'étudierons pas en détail l'équation du qaatrUme
degré

ax* + bx' -i- ex* -i- dx -t- e = o.

Nous nous bornerons à indiquer (aux notations près que nous
modernisons) la première métbode de résolution de celte équation
générale qui ait été proposée, celle de Luigi Ferrari, élève de
Cardan (•).

Divisons l'équation par a et taisons le changement <f inconnue
x = t — 7- (cf- o" 347) ; un calcul facile montre que l'équation
transformée est une équation polynomale en /, du quatrième degré
et ne contenant pas de terme en ('. Ainsi, moyennant un change-
ment d'inconnue, la résolution de toute équation du quatrième degré

(■} Gett« vérification résulte des voleurs des racinen que l'on a caleu-
léM. Nous revieudroni d'aiUeun au g 6 sur Ild entité [i3) [que l'on
peut établir a priori] et sur ses coDiéqneuces.

(*) ( Qui Mm — dit Cardan — me rogante invenit > [Art magna,
ch. xxxiz, p. 73}.

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3ij LB CALCUL ALaÉBKIQUE

peut fttre ramenée k la résolution d'une équation du quatrième degré
de la forme

(i.i) X* ■+■ mx* + nx -h p ^ O.

Pour résoudre cette équation, je l'écris

(i5) 3;' =: — mx* — r*x — p

et j'ajoute à chaque membre la même quantité 2X*z -\- z*. z étant
un nombre que je vais déterminer (définir) dans un instant.
L'équation (i5) peut s'écrire :

{16) x'H-ax*z-+-z'= (ai — ni)x' — nx-(- {ï* — p).

Le premier membre est le carré de (x' + z). Cherchons alors \
déterminer z de manière que le second membre soit le carré de
l'expression v^ar — m x + \Jz* — p ; ce dernier carré a pour
expression (2 z — m)a!» + 2 ^{a z — m) (7' — i>) * + (î' — />) !
le nombre z satisfera donc k la condition voulue s'il est tel que

VC"-") (■■-?) = -"■

Cette dernière égalité détermine la valeur que nous devons
donner i z ; elle s'écrit, en élevant les deux membres au carré, puis
développant et ordonnant :

Sz* — 4m2' — 8pï -1- (4mp — n*) = o.

équation du troisième degré par rapport à l'inconnue z ; la valeur
requise pour z est une des racines de cette équation (on choisira celle
que l'on voudra). Une fois qu'on l'a calculée d'aprèsles méthodes
exposées aux n*" 343 et suivants, l'égalité (16) donne

i' = (v/:

ce qui exige ('), soit 3

(') D'une manière générale, pour que les canes A* et B* de deux quan-
tités soient égaux, il laut que ces quantités soiaut égales ou ^ales et do
signes contraires [puisque le carré de — A est égal au carré A* de + A],

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RfiSOLUTIOn DES ÉQUATIOTiS FOLTilOMALES 34^

Ces deux égialités (puisque z est connu) sont par rapport k l'in-
connue X des équations du second degré que l'on sait résoudre (').
Nous laissons de côté la discussion à laquelle donnent lieu les
calculs qui précèdent. Remarquons seulement que si les deux équa-
tions du second degré en x ont chacune deux racines, l'équation du
quatrième degré se trouve avoir quatre racines. ^

360. Equation de dogré quelconque. — Les algébrisles des
xvi" et xvn* siècles ont pu résoudre, comme nous l'avons vu,
l'équation du troisième degré ; ils ont résolu également l'équation
du quatrième degré ; mais ils n'ont pas réussi à calculer les ra-
cines des équations de degré plus élevé, et c'est qu'en effet la
chose n'était pas possible avec les moyens dont ils disposaient.

Nous comprendrons la raison de cette impuissance si nous réflé-
chissons au sens très particulier que les algébristes attachent à ces
mots : <( résolution d'une équation », Résoudre une équation
polynomale, c'est, par déCnilion, trouver l'expression algébrique
des racines en fonction des coelTicients de l'équation (n° 318) ; or
est-il certain que l'on puisse cfîectuer sur les coefOcienls d'une
équation quelconque une combinaison d'opérations algébriques qui
fournisse les racines de l'équation (')P A priori il n'y a évidemment
aucune raison pour qu'il en soit ainsi, et de ce qu'une chance heu-
reuse se présente pour les équations des quatre premiers degrés
nous ne saunons conclure que cette chance nous favorisera jusqu'au
bout. Et de fait, la proposition suivante, pressentie par Gauss, a
été démontrée en toute rigueur par le mathématicien norvégien
Abel (') : L'équation générale du cinquième degré
(17) a^x* ■+■ a^x* •+■ 0,3:' -+- a^x'^ ■+■ a,x -\-a^ = o,

(') n est un CBS où la résolution de l'équation du quatrième degré se
lamèue immédiatemoat à la résolution d'une équation ds second degré :
e'eet le cas où l'équation ne contient ni terme en a;^, ni terme en x, et eet
de la forme os* -)- &^ -H c ^ » : prenBnt pour inconnue auxiliaire y ^ x',
l'équation «'écrit ay* + 6y + c ^= o et est du deuxième degré. — L'équa-
tion de la forme oa;' -f. kc' 4- c >= o est dite biearrie.

(*) C'eit ce que fait observer Lcibmz à son ami Tschirnhaus, qui
faisait de* efiorte déseapérte pour trana/ormo' les équation* générales du
cinquième et du «ixième degré en équations susceptibles d'être réioluee,

(') Dil^mination de l'impoMibilité de la résolution algébrique des içua-
Uont générales qui paaeent le quatrième degré (1636J \Œuv. d'Abà, éd.
Sylow-Lie, t. I, p. 66].

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346 LB CALCUL ALGÉBRIQUE

étant donnée, il n'est pas possible de former (en combinant des
opérations effectuées sur les coefBcients a*, ... a^) une expression
algébrique qui représente une racine de cette équation ; il n'est pas
possible, en d'autres termes, de trouver une expression algébrique
des racines, qui soit composée de nombres arithmétiques, des
lettres a,, ai , ... a,, et des signes opératoires classiques -h, — , X , etc.

Nous comprendrons facilement la sigutïcation de cette propo-
sition d'Abel si nous nous reportons aux n°* 67 et 123 de notre
Premier Livre. Supposons, pour Rxer les idées, que les coefficients
Qg, ... a^ d'une équation (17) soient des nombres rationnels; les
valeurs des racines (') seront, — comme il arrive pour toute
équation, — déterminées par les valeurs des coefficients Ot, ... u, ;
mais, en général, ces racines sont — comme les nombres 1: et e —
des nombres qui ne peuvent pas être définis comme résultatsd'opé-
rations connues.

La recherche de critères permettant de reconnaître si une
équation polynomale donnée, de degré supérieur à 4 est résoluble
par radicaux ('), — c'est-â-dire a des racines calculables par
radicaux (voir p. 77, note i) — est l'un des prolèmes les plus
importants de l'algèbre. Pour en venir à bout il fallut recourir â
une méthode en apparence lort détournée, dont l'invention est due
principalement à un jeune mathématicien parisien du xi\* siècle,
Evariste Galois (*), mort à vingt ans en i832.

351. — Etant donnée une équation polynomale de degré quel-
conque, la méthode de Galois nous apprend, pourrait-on dire (*),
quels sont les nombres qu'il faudrait adjoindre aux nombres u or-
dinairei » (nombres rationnels et nombres calculables par radicaux)

(') Nous admettons que l'équation dont il s'agit a des racines. D'après
U a9 358, elle en a toujours au moins une.

(*) Précisant la question, on devra distinguer entre le cas où toutes les
racines et le cas où une partie seulement des racines de l'équation sont
calculable! par radicaux.

i^) Le mémoire fondamental de Galoib sur la théorie des équations ne
fut publié qu'en il^.^G '■' Mémoire sur les conditions de risolubilité des
équations par radicaux > (Journal de LiouviHe], La méthode de Galois
fait intervenir la théorie des groupée dont nous parlerons ultérieurement.

I') Nous ne pouvons pas préciser ici cette indication très vague. On
trouvera l'exposé de la théorie de Galois dans les traités d'algèbrs
supérieure.

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PROFAiItÉS FONDAI! but ALES DE L'^QUATIOn DE DEGRÉ /t 3^7

pour que les racines de l'équation puissent être exprimées par des
formules algébriques au moyen des nombres ordinaires et nombres
adjoints. Mais ce sont U des questions de haute arithmétique qui
dépassent de beaucoup le cadre du présent chapitre. Notons seu-
lement que l'étude de ces questions a conduit à préciser la défi-
nition du nombre algébrique : nous appellerons désormais ainsi
tout nombre relatif qui satisfait k une équation polynomale
(d'ailleurs quelconque) & coefficients rationnels, — c'est-à-dire tout
nombre a tel que l'on puisse former une équation polynomale

{l8) OnX" -\- a^^iX'*-' -H ... 4- OiX + o„ = o,

dont les coefficients a„ ... a, soient de nombres rationnels et qui
admette a pour racine. Si a n'est pas calculable par radicaux, ce
nombre ne pourra Aire racine que d'une équation polynomale de
degré supérieur & 4 ; on cherchera alors une équation [iS] de
degré 5 [n = 5] ; s'il n'en existe pas qui réponde à la question, on
cherchera une équation de degré 6, ou 7, ou de degré plus élevé.
Si, quelque grand que l'on prenne le nombre n, il n'existe
aucune équation polynomale de degré n & coefficients rationnels,
admettant a pour racine, le nombre a n'est pas algébrique ; on
dît alors que ce nombre est transcendant (^).

- Propriétés fondamentales de l'éqaatlon de degré n.
late.poiaUon.

362. — Considérons l'équation à une inconnue, de degré qael-
conque n, mise sous la forme générale

(■} On lemarqueTft que lei définitioiu et recherches auxquelles noua
faisons ici allusion ont un caracUre purement théorique. L'algébriite qui
a en vue la récolution da problimee pratiques n'a nullement besoin de
connaître l'expresiion algébrique exacte des racines d'une équation. II lui
suffit de déterminer du expreisiona algébriques, /onctûru des coeffieienU

a. Og, ^f repréaentent les racines de l'iquation avec un« approximation

arbitrairement grande. Nous ne noua occuperons pas ici dei procédés que
l'on peut employer pour former de telles expreasiona.

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3j8 LB CALCUL ALGÉBRIQUE

Nous avoos dit que, si n est supérieur à 4, il n'est en général pas
possible de calculer algébriquement, en fonction des coefficients
Q„ ... od, les racines de l'équation ( i ) . Cependant on peut énoncer
au sujet de ces racin«s, plusieurs propositions qui sont souvent
plus utiles & connaître que la valeur même des racines.

Et, tout d'abord, combien l'équation (i) a-t-elle ou peut-elle
avoir de racines? L'algébriste de Leyde, Albert Girard, fut le pre-
mier i déclarer, dans son Invention nouvelle en C Algèbre (Amster-
dam, 1 639) .que l'équation de degré n possède n racines ('), certaines
de ces racines pouvant d'ailleurs être u imaginaires ». Girard allait
un peu vite, et la signification des « quantités imaginaires » (voir
n° 340 et Cbap. t, S S) n'avait pas encore été, de son temps, suf-
fisamment tirée au clair pour que son théorème pût être rigoureu-
sement établi. Cependant on le pouvait déjà pressentir.

363. — Posons, pour abréger l'écriture,

(a) P(x) = a„jf ■+ ... -H a,x -f- a„,

et supposons que le nombre x, soit une racine de l'équation (i) :
je dis que Fon a FidenUli

(3) F(x) = {X - T,) . Q(r).

Q(a;) étant un polynôme en x île degré n — 1.

Faisons, en effet ('), le changement d'inconnue a: = x, + u
(voir n° 330 et comparer n" 347 et 349) : le polynôme P(x) devient
un polynôme en u 'de degré n) : b,u" -4- bn-iU""' -H ..--(- fiiu -t- fro.

[les coefGcients b„, ... fc, sont des polynômes en a Oo et a:,] ;

et ce polynôme en 11 doit être nu) lorsqu'on y fait u -- o, ce qui
prouve que b„ est nul |le lecteur vérifiera sans peine que l'expres-
sion de 60 est o„p-7 -4- a,_iJ-7~' -+- ... ■+■ Oo, quantité qui est nulle
puisque x, est racine de l'équation (1)]. Ainsi nous avons :

P{x) = b„u'-^... -H fc,H = u[M'''H-... -hb,].

('; « Toute» le» igualionii d'atgébre, dit Gibaud, reçoivtnt mUaitt dé tolu-
tiona que ta dénomination [degré] de la plus haute quantité [puisiance] li
démontre a.

(■) La mélhode exposée plus bas aux n°* 373-7? conduit aux memM
résultats.

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PROPRIÉTÉS FO!IDAME»TALES DE l'ËQUATION DE DEGRÉ ri 3^9

Remplaçant u par sa valeur x — Xy, nous transformons le cro-
chet en un polynôme en x de degré n — i, — polynôme que nous
désignerons par Q(a!) : nous obtenons ainsi l'identité (3).

Nous énoncerons ce résultat en disant que, si Xi est une racine
de l'équation P{a:) = o. le polynôme P{a:) est divisible (') par
{x — *,), le qttùtieni étant un polynôme Q(a:) de degré n — i .

Cela dit, appelons x% une seconde racine de l'équation (i). Les
deux membres de l'identité (3) seront nuls lorsqu'on y remplacera
l'inconnue x par le nombre sci. Mais (xî — Xt) n'est pas nul. Donc
le polynôme 0(x) est nul pour x ^ Xï [pour qu'un produit tel
que {x — X\) . Q{x) soît nul, il faut et il suffit que l'un des deux
facteurs soit nulj ; j'en conclus que x^ est une racine de l'équation
de degré n — i, Q{x) = o, et que, par conséquent

Q{x) = {x- X,) . B(x),

R{x) étant un polynôme de degré n — a. On a donc l'identité :

P{^) = ix-x,)(x-x,).R{x).

En répétant le même raisonnement, nous constatons finalement
que, si l'équation (i) ap racines x,. ... x^, on a l'identité

(4) P(x) = (,x-x,)....(x-x,).S{x),

S{x) étant an polynôme de degré n — p; on dit que P(x) est d/t'i-
sible parle produit (x — xi). ... (x — Xp), le quotient étant S(x).

364. — Il résulte de ces faits que IV^iwito/i (i) a au plus n ra-
cines: car si ellcenavaltdavantage, le degrédeS(j;) devrait être plus
petit que o, ce qui est impossible. Si elle en a n, savoir Xt ..., Xn,
le polynôme S(a;) est de degré o en a; : il se réduit donc à un
nombre constant, indépendant de x; d'ailleurs ce nombre, étant le
coefficient de s" dans le développement du second membre de (4),
est égal au coefficient a,i de la même puissance de x dans le po-

{') Cf. La Géométrie de Deïcartes, Uv. III iŒuv. de Deacartes, III,
p. 4^5) : « que la somme [le premier membre) d'une équation qui contient
pluBÏeura racines, peut toujours être divisée par un binôme composé de
la quantité inconnue, moina la valeur de l'une des vraies racines, laquelle
que ce soit... a.

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3&0 LE CALCUL ALGÉBKIQDB

lynome identique P{x) fioir ii° 313] ; par conséquent, on a
l'identité :

(5) P(x)=o^+...-+-a,3!-f-as = a„(x — «,)(^ — ^■- i* — ar„).

356. Relation* entre lea raolnee et lea ooetZiolents d«
l'équation. — En développant le second membre de (5) sous
forme d'un polynôme en x et écrivant (n° 313) que les coefficients
de a;', a;'"' ... sont les nombres a„ On-i ....j'obtiens les égalités
ou relations :

. . ( {an=^n. a,-.=— aji.(^i+ïi+---l-a:„); o,^,=a,(a;,iî4-x,x,-|-...);

le dernier coeHicient étant alTecté du signe + ou du signe — sui-
vant que le nombre des racines est pair ou impair [un produit de n
facteurs tous négatifs est en eiïet positif ou négatif suivant ta parité
du nombre n : on peut remarquer que le signe d'un tel produit est
le signe de ( — i)"; on écrira alors a^ = ( — i)* a„XiXi ... x^].

Les II relations » (') (6) permettent d'énoncer les propositions
suivantes [comparer a" 338 et348| : Si t équation {i)an racines,

X,, X Xb, la somme de ces racines est égale à • ^ ; la

somme de leurs produits deux à deux est égale à— r^, .,.; lear

produit est égala ( — i)" . — -

366. Racmes multiples. — En désignant par x,, ..., Xn les n
racines de l'équation (i), nous avons supposé implicitement que
ces racines étaient distinctes (différentes) (*). Il est cependant ma-
nifeste que les conclusions auxquelles nous sommes parvenus sub-
sistent inlégralemeot si plusieurs de ces racines sont égales, par
exemple si x, = xi ou si a:i ^ xi^= x,. D'une manière générale,

I') Ces relations sont formulées par Albert Girard {op. cit.).

(*) Cf. HuDDE, apud Geomelria à Renato Descaries \vijt êupra, p. aSj,
' note i], a< éd., Amsterdam, ifiSg, p. 4^3 : Régula qux modum docet
reducsndi omnem tequationem..., cujus încognila guanlitas... duos vel
plures esquales kabet valores, et plus loin p. 607-9.

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PHOPRIÉTÉS rOHDjUlBKTALES DE l'ÉQUATIOH DE DEOBÉ A 35l

tupposons que le polyaome P(x) ntufawe h une identité de la
forme suivante :

(7) P(ar) = ^{x- X.)'' {X - ï,)"' ..- (« - X,)''.

oà oci , A, . . . , o, tont det nombres entiers positifs dont la somme égale n
(oi + «■ + .■■ -h af = n). Il nous est loisible d'admettre que cette
identité n'est autre que l'identité (5) dans laquelle a, racines ont
la même valsur xi, a* racines ont la mime valeur 2^, etc. C'est
pourquoi nous dirons en ce cas, que l'équation (i) a n racines,
mais que, parmi ces racines, il y en a cti égales à xi, at égales à
Xt> ^Ic; les racines Xx, xi, .... seront dites « racines multiples > ('),
les nombres correspondants ai, Cd, .., étant appelés « ordres de
multiplicité » des racines ; en particulier une racine multiple
d'ordre i sera dite double, une racine multiple d'ordre 3 sera dite
triple ; une racine non multiple sera dite simple.

Moyennant ces conventions [c'est-à-dire : à condition de regar-
der une racine multiple comme consistant en plusieurs racines
confondues), les propositions énoncées aux n°* 3S4-S6 subsistent
dans le cas où les racines de l'équation ne sont pas toutes simples.

357- Raolne* ImsiginalrMi et théorème â'Baler. — Suppo-
sons maintenant que l'équation (i) ait moins de n racines [chaque
racine multiple étant comptée pour autant de racines que son
ordre de multiplicité contient d'unités] : alors, pour sauvegarder le
théorème de Girard, nous sommes amenés à dire que l'équation a
des « racines imaginaires n. Mais c'est là une locution qui actuel-
lement n'a pour nous qu'un sens négatif. Mieux vaut donc laisser
provisoirement de côté le théorèmede Girard (nous y reviendrons au
chap. v) et leremplacerpar le théorème suivant qui fut énoncé par
Euler (*) [nous omettons la démonstration de ce théorème, — dé-

(') Il réinlte de cette définition qu'une racine x, eitinul^ple d'ordre a,,
•iP{a:) taidifi*ibUpax[ie — Xi)'' ,h quotierU rj ' Jw étant un polynôme
en X de degré n — «i.

(') t Omntm exprettionem algehricam a + 9y + Y*' + °^ + '*'• *'*^-
— dit Euler — vel in factorea reaUa [non imaginaires] aimpliees p + qx,
itlialUnt in factorea realei quadraloi p -\- qx + rx* reaolfi poste. » [Corres-
pondance, éd. Fuii, St-Pétersbourg, i843, I, p. 171, lettre à Goldbach].

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monstratioo qui d'ailleurs n'est pas complète chez Euler et que
seule l'introductioD systématique des imaginaires en algèbre a
permis de rendre rigoureuse] :

Quel que totl le polynôme de degré n, P{x), ce polynôme satis-
fait toujours à une identité de la forme ci-âeuous :

(8)P(x)=<i.{a— «,)"'...(JC— ;r,)''(.r•4-3ia^-Hfc,)P'...{x*-^-3,a:-f-A■y■
oA les nombres «i, .... a,, j6i. -.., ^^ sorti des entiers positifs tels que

En d'autres termes, P{x) est le produit d'un nombre an par des
binômes de la forme (') (x — Xj) [ou par des puissances de ces
binômes] et par des trinômes de la forme (x' + g/c ■+- kj) [ou par
des puissances de ces trinômes] .

D'ailleurs, en écrivant l'identité (8), nous supposons que les
équations x* ■+■ giX ■+■ k, = o, x' -t- r/^ -i- fr, = o, elc,
n'ont pas de racines [et, par conséquent, que g', — iki < o,
g\ — 4^1 < o, etc.]. Si en effet, x' ■+■ g,x + k,=o, par exemple,
avaitdes racines, nous aurion* [en désignant ces racines par Xf+i,
x,,.,] : X» + <7,x -H fci ={x — Xf+,) (x — Xp+s)i S* (') wus rem-
placerions (x* -I- gix •+■ k,)^' par le produit

dans l'identité (8).

Chaque facteur tel que (x — x,)''' du second membre de (S)
fournit une racine multiple d'ordre a, de l'équation (i),ou (d'après
le n" 356) a, racines confondues. Convenons de dire, d'autre part,
que l'équation du second degré x' -i- gjx -h kj^= o a deux racines
imaginaires [voir n° 340] : il est alors naturel de considérer que le
facteur [j;* + j^j; -t- A-,)'''de l'identité (8) fournit a racines ima-
ginaires multiples de l'équation 'i) dont chacune a pour ordre de
multiplicité ,3 j ... Si l'on fait ces conventions, on attribuera fina-
lement a, -h v.t 4- ... -\- «p -f- 2,3i -+■ ... -+- a,^,, c'est-«-'/(rc n
racines à téquation de degré n.

['] J'écris xj pour aigoiiier : l'un quelconqiie des nombres x,, x, x,.

(*) Ce n'est, en d'autres termes, que lorsque nous y seroiw lorcé-
(gî — ik, étant négatif) que noua laisserons, dans l'ideatité (K), un tris
nome de la forme ù' + giX -•- k,^ au lieu de décomposer
un produit de deux binômes [x — .j;^^,) (x — x,+s).

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PnOPBlÉTÉS FO:(DA MENTALES DB l'ÉQI'AT10:( DE DEGRÉ 71 353

368. Critères reUtifs A l'sxlstenoe des racines rëolles. —
Etant donn^ une équation polynomale de degré n

a^x" -+- an-,»""' H- . . . + a, ^ o,

dont les coerQcîenls sont des nombres donnés quelconques, eiiste-
l-il des critères simples permettant de reconnaître rapidement si
cette équation a des racines réelles, combien elle en n et quels sont
les signes de ces racines P Le« critères ont été proposés en grand
nombre ; les plus imi>ortants sont ceux qui résultent des propriétés
des ■ dérivées » dont nous nous occuperons au chapitre ii du pré-
sent livre; bornons-nous pour l'instant 1 énoncer, sans démonstra-
tion, une règle classique que l'on appelle d'ordinaire rhfle ou
théorème de Descartes.

Laplace énonce cette règle comme il suit dans les leçons qu'il
donna à l'Ecole Normale en 1795 (Joarn. de l'Ec. Polytechn., 7*
cahier, p. 43j, « Deux termes consécutirs d'une équation qui ont
le même signe forment uaa permanence ; s'ils ont différents signes,
ils forment une variation. Par termes consécutifs, j'entends ceux
dans lesquels les exposants de l'Inconnue no diiïèrent que d'une
unité.

« Il ne peut y avoir dans une équation plus de racines réelles
positives que de variations; il ne peut y avoir plus de racines
réelles négatives que de permanences...

u De là suit que, si 'ouïes les racines sont réelles, il y a autant
de racines positives que de de variations et autant de racines né-
gatives que de permanences. C'est la fameuse règle de Dcscarl«s ».

Conjointement avec ce théorème, on peut établir nombre de pro-
positions relatives à l'existence des racines réelles et à leurs signes,
par exemple cellea-ci :

Une équation de degré impair a toujours au moins une racine
réelle [cf. p. 54o, noie 1].

Une équation dont tous les coejjtdenlt ont le même signe n'a pas
de racine positiee.

Une équation dont tous les premiers termes ont le signe H-, tous
les termes suivants ayant le signe — , a une racine positive et une
seule.

369. Baclnes d'un polynôme. — Observons, avant de quitter

BouTtoDi. — Lm Principe! d« I'AmIjM milhimitiqat. a3

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354 LE CALCLL ALGÊBHIQUE

la théorie des équatioiu, que les propriétés dont nous nous Gommea
occupés sont souveot pcésenLéei comme d« pcopciétfa dra pol}P-
nomes en x, sans que le mot a équation » soit prononcé. Ainsi les
racines de l'équation P{x) = o, dont le premier membre est un
(lolynome, sont souvent appelées simplemeot raciaa da pofynomt.

360. IntarpolaUon. — Le problème de l'interpolaticKi, <pii se
fattoche i> U théorie des équation» algébriques, est l'on de ceux
que l'on a le plus aouvcat l'occasioa d« irésoadre en ph;faiqH.
On peut l'énoBcec comme il suit . Traasâr un polynôme en x qni,
pour da valeurs donnéet de x, êoit p, q, r, i, ete., prenne rapetti-
i<ement des valeurs données P, Q, R, S, etc.

Newton résolut ce problème, mais la solution U plus sioiple en
fut donnée pai Lagrange à la lin du ivm* siècle.

«Soient, ditLagraoge ('), P, Q, B, S, etc. les valeurs des or-
-doBBéee du potipome (') y qui répondent aux valeurs />,f,r,«, tic
de» abscisses x.

Puisque y doit devenir P, Q, H, etc. lorsque x devient p, q, r,
«te. , il est aisé de voir que l'expression de y sera de cette forme,

j- = AP + BQ ^ CR + DS + ...

où les quantités A, B, C, etc. doivent ttre exprimées en x de ma-
nière qu'en faisant Xi= p.oa ail

A= 1, B = o. C = o. elc;

que, de mâme, en faisant x = t^, on ait

A = o, B = I . G = o, D = o. etc. ;
qu'en faisant x = r, on ait pareillement

A = 0. B =0. C= I, D = o, etc.;

(■) Leçon» UimmlàrM tvr lu matkimaAiquM donnée» à l'EeoU Normai»
«n 1 795 par J. li. Lacranse (Journal de VEe. polyteehn., cah. 8, tome II,
.8ia).

(■) LAORAnGEdéïignc parla lettrey le polynôme ÎDConnu qu'il s'agit de

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A =

PROPRIÉTÉS FORDAMEIlTALEa DE l'ÉQTIATIOK DE DEGRË ft 355

d'où il est facile de conclure que les valeHn de A, B, C, etc.
doivent âtrs de cette forme :

(» — IX» — r)(i--«) ...

(p~<l)'.p -'HP — ')-

(, _p) (5 _r) (,_,)...

(X - f) (»-,)(» -.)...
Ij = > .-,- • -.— ; T etc. n

Exemple. — Soït k trouver un [lolj'nome qui prenne respective-
ment ks valeurs a, i, j pour

Ce polynôme sera

^ _ 3 (» - a, (j - 3) (X - T^ (a: - 3) _^ ,(«_-- t) (a; - a

, = (T - a) {« - 3) - (ic - .) (a: - 3) + 3{» - i) (a: - a)

361 . — D'après la ràgle de Lagrang», on sait former un poly-
nôme y dont le degré *st inférieur d'une unité au nombre d«s
valeurs p. f^, r, s^ ... d« x indiquées par l'énoncé. Ce n'est
qu'exceptionnellement qu'on pourrait forma un ^yaoïne de
degré moindre répondant k la question. Il eiiste, en revaache, une
ïnfiaité de polynômes de degré supérieur f[ui salisfont aux condi-
tions requises. Ainsi le pi^^nome du troisième degré

ax' - 7a; + 7 + a{x - i) {x - a) (_x ^- 3).

où a a ane valeur qtteîconqae, satisfait comme aie* ■—■ yx ~l- 7 aux
coadhiMis énoncées dans l'exem[rie donné ci-dessus [en efiet,
l'expression ajoutée, a{x — i) (a: — 2) (x — 3), s'annule pour
jj=i,aî = aelx = 3].

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iOb LE CALCUL ALGEDRIQUE

8. — Systèmes d'iqaations simultanées.

362. Emploi d« U méthode de Bubatitntion. — Nous avons
montré (n" aoa et 339) comment, par la méthode dite de subsli-
tuiion, la résolution d'un sysiènie de n équations simultanées
[& n inconnues] peut être ramené à la résolution de systèmes de
n — I équations k n — i inconnues ('). Ainsi, par l'application
répétée de la même mélhode, on ))arvient de proche en proche à
éliminer toutes les inconnues sauf une et l'on est ramené à la réso-
lution d'équations qui ne contiennent plus qu'une seule inconnue.

La méthode de substitution, il est vrai, ne pourra pas toujours
être appliquée dans la pratique, ainsi que nous en avons fait la re-
marque à la Tin du n° 329. Mais elle nous montre immédiatement
que le nombre des solutions d'un système de n équations polyno-
males augmentera très rapidement lorsque les degrés de ces
équations iront en croissant. Ivn effet, supposons que la première
équation du système, traitée comme une équation en x, soit de
degré m par rapport à x, et ait m racines : j'en tirerai alors m
expressions différentes de x que je porterai successivemeni dans
les n — I équations restantes du système, et je ramènerai ainsi
la résolution de mon système à celle de m systèmes de n — i
équations h n — i inconnues; cela posé, si chacun des ni sys-
tèmes auxquels nous a conduits la première éllmirtalion (élimi-
nation de x) n'admettait qu'un système de solutions, le système
proposé en admettrait m; mais si les équations de ces systèmes
sont de degré/), supérieur à i, par rapport Ji la seconde inconnue
à éliminer, soit y, chacun d'eux se décomposera ft son tour, cl l'on
aura à envisager (après l'élimination de y) mp systèmes d'équa-
tions à (h — ■ -i) inconnues. El ainsi de suite. C'est pourquoi, dès
que l'on a affaire à des équations de degré supérieur û a, la té-^o-
lulion des syslèmes ne peut être en général effectuée exoc/cme/if^
parce qu'elle nécessiterait la résolution d'une ou plusieurs équa-
tions à une inconnue dont le degré surpasse 4 (voir n° 350).

Noui% considérerons exclusivement, dans les pages qui vont
suivre, d?s systèmes d'équations du premier et du second degré.

('( l'ii lel système est en général dittrmini (voir n" 333), ce qui ne veut
pas dire, bien entendu, qu'il admette un système de solutions uniques,
mais seulement qur l'on ne peut choisir arbitrairement la valeur d'au-

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STST^HES d'ÉQOATIOSS SIMULTARÉBS 357

363. — Dans la Géométrie de Descartes {CEav. de Descartes,
t. X, p. 673), les systèmes d'équations et la méthode éi suivre
pour les résoudre sont définis dans les termes suivants, qui l'é-
sument l'essentiel de ce que nous avons dit et allons dire sur eux :

(I Mais lorsque le problème proposé est tel qu'une seule lettre
inconnue n'a point assez de communicatioa avec celles qui sont
connues, en sorte qu'elles ne sauraient s'entraîder pour faire trouver
l'équation, ou bien que par la supposition d'une seule lettre, on
s'embarrasse dans un trop gros calcul, on se doit servir de plusieurs
lettres inconnues, et chercher aussi autant d'équations qu'on a
supposé de lelti'cs, et par le moj'en d'icelles équations réduire
toutes c?s lettres en une seule, qui porte la solution du problËme.
Et pour venir à bout de ces réductions, il est besoin de considérer
si, par une équation ou par la comparaison de deux ou plusieurs,
en les ajoutant ou soustrayant l'une de l'autre, on ne pourra con-
naître une lettre. Et si cela ne se peut ('), il faut venir à l'extraction
de la racine pour en trouver une; puis après, on doitôter cette lettre
de l'une des autres équations, et en sou lieu mettre la valeur
trouvée : et ainsi on sera quitte d'une lettre inconnue. Puis, com-
parant cette équation avec une autre dont on aura aussi Até cette
même lettre, si elle y était, on se défera d'une seconde; et ainsi
des autres, jusqu'à ce qu'il n'en rsste plus qu'une inconnue parmi
toutes les connues, dont on mettra les termes par ordre. Et on
connaîtra, par extraction de racine, quelle est la valeur, comme
devant; et ainsi le problème sera résolu. »

Les premières lignes de ce passage contiennent une remarque
utile à faire : c'est que c'est souvent de son plein gré, et pour la
commodité des calculs, que l'algébriate considère un système de
plusieurs équations à plusieurs inconnues au lieu de raisonner sur
une équation unique à une inconnue. Aînsî la résolution de
l'équation x* + -3. ^ 2 et celle du système

(') On voit que Descartes ne préconise l'élimi nation par lubttitulion
que comme un pis-aller. Il est, en revanche, partisan do la méthode de
réduction, que nous définirons an n" Zdb.

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356 LE Ci.LCDL AJAisaïQUC

sont deux proMfcmei équivalents [car ri l'on pow -= ^ ^, c'est-
i-dire i ^^ xy*, l'éguatioD devient «* + y = a].

D'une mani^ ji^néraie, toutes les fois que, pour résoudre une
équation, on introduit une variable auxiliaire, on se trouve rem-
placer l'équation par un système équivalent.

364. BystAm« da n éqnatloiu polynomales do premier de-
prA (M A n inoonanea. — J'appelle ainsi un système de n équa-
tions de la forme (*)

/ «11X1 -^ «iiXi •+■ ... •+- 4,Aii E= 6|

l «,«X, -H «.«X, -(- ... -+- a».X, « fc,

dont les seconds membres (dits termes constants) aont indépendants
des inconnues, tandis que les premiers membres sont des poly-
nômes du premier de^ par rapport auK n inconnues \i, ■■. X.
[nous représentons les coefficients par des lettres affectées de deux

(I) Un tel lysUnie ast appold linéaire {cowtparer n* 393)-
(*] L'Alexandrin JjtMBt,iQUB (m* ou it* siècle ap. J.'C.) noui a cmi-
Hrvé l'éoamoi «t U «olotion d'un pioUèmo qa'3 appelle Epanthim* ftleor)
et Tiyaiaivdaa «t qvi «ouût* dam U réiolutiou du sysi^BM tuifuit {In
Nicomachi ArUhmttUam Intnduetio, éd. Pistelli, p. 63 tqq.) :

/ X, + X, + ,. + X.-.#
V X, + X, - a,
-^ X, + X, — oj

X, + X. - ■..,.

Ce aystènie est facile k résoudre par la miithode de subititution Iî^oÎqc
ykii^vpitj^irri, mélhode trèi élégante, dit •lambKqne). Traitant prDT{M4-
remsut X, comme une quantité connue, nous tîtoni de la seconde équa*
tion et des auivantes :

X, = a, "X,. X., B=o.^ — X,, .., X,= a^, — X,.

Fartant ces valeurs dans la première équation, nous avons.

X, + .1, + a, + ...+(.„.,— (n~i)X, -s,

équation qui donne la releur de l'inconnue X|. L'auteur (TbtmavydasI
auquel Jamblique attribue la solution de cette question ne noua est pas
connu : ce paratt être un pythagoricien.

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ST3TÈHES d'équatious simultahéks Sbg<

indices ('), dont le premier indique le numéro de l'éqnatioD, et le
second l'indice de l'inconnue k laquelle est attaclié chaque coelB-
cientj.

En employant la méthode de substitution, on voit immédiate-
meat qoe la résolution du «yst&me (i) se nmine k la résdlutîoiv
d''BMs^ne d'équations du premier degré. On coaettte aîaù que
(sauf dans oerlaîna cas exceptionnels, c'est-i-dire pour oertams «jb-
tèmes eiceptioDoels de valeurs dea ooefBcientspouc lesquels le sys-
tème est indéterminé ou impossiblB (*)) U tystème déqualion* (i)
admet un et un seul système de solutions.

Nous reviendrons plus loin (chap. v, % 2) sur les systèmes (t), et
apprendrons & les résoudre par une méthode plus avantageuse que
U métboife de snhstitation. Bomons-nous, fXMr l'instant, i étudier,
1 titre id'eMUfJc, un système de deux éqaations écrit «ou* i»
forme

a, i, c, a*, h', t! désignant des expressions algébriques quel-
conques ne contenant pas les inconnues x et y.

366. BésolDtlon dnsystèm* (3). — Appliquant la méthode
de substitution, nous tirerons de la première équation :

(3) ax = — by—c; ^ = — ^y~'^,

portant dans la seconde équation, j'ai :

Résolvant, et rimpKfiant la fraction qni donne la valeur de y,
j'obtiens :

y—aU — y

I') L'emplin tyitématiqiM des doables indices, qvi lacflitmt et clari-
fient l'expoté de nombreux calculs, remonte à Lkibnie.
(*) Vide infra, n" 366, 367.

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360 LE CALCL'L ALGÉBRIQUE

Remplaçant y par cette valeur dans la seconde égalité (3), j'at
^M ■ eb'

et le système (a) est résolu.

Nous aurions pu employer, pour résoudre ce système une mé-
thode plus rapide et plus élégante. Nous savons (n* 328) que les
équations(3) sont respectivement équivalentes eus équations
,,, \ «(«a: H- 6j- -1- c) + ^[a'x ■+■ b'y h- c') = o

'*^ / «'(« -H 6j. + c) + p'idx +b-y-\-ti) = o

OÙ a, ^, a', ^' sont des nombres connus. Faisons en particulier

» = f . p = — 6; a' = — a'. p' = a;
alors le terme en y de la première équation {d), ayant pour coeffi-
cient (6&' — bb') va dtsparatire; de même le terme en x dans la
seconde équation {!\), et nous avons :

^ {aV — ba')x ■+ {cV —bc') = o
( (uf — ba')y H- {oc' — ea') = o,

d*où nous (irons, pour x et y, les valeurs données plus haut (■).

La méthode ainsi définie est souvent appelée méthode de ré-
duction (cf., p. 357, noie i). On en peut varier l'application en
variant les combinaisons des équations (3). équivalentes i ces
équations, que l'on substitue au système proposé.

366. Diaouaalon. — Les expressions trouvées pour x et qu'ont
un sens que si ab' — 6a' n'est pas nul.

Lorsque ab' — 6a' est nul, en efiel, ces expressions sont des
fractions de dénominateur o. En ce cas, si leurs numérateurs ne
sont pas nuls, elles ne représentent aucun nombre fini (non infini-
ment grand) et noua devons considérer que le système d'équations
n'a pas de solutions; ainsi, par exemple, le système

\"* y='

/ 4x -+- ay = 3.

(') ConaidéroDB par exemple le gystème dsi équations x -4- y = 1,
X — y = d. La méthode que nous indiquons, conduit immédiatement i

la solution x = — - — ■, y = -•

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STSTàMBS d'6quatio^s bimultarébs ^t

pour lequel a = a, 6 = i, a' = ^, 6' =3 {ab' — ba' = i — 4),
n'admet pas de solution [et il est clair, en effet, que si la somme
ax + ^ égale i, son double. ^3;+ 3^ ne saurait âtre égal qu'à 2 et
non i 3] (cf. n* 324). Supposons, d'autre part, que l'on ait à la
fois

a(/ — ètf = O, bc' — cb' = o.

On en tire — = g- ^ - et par conséquent cà — ac' ^ o, et
bd — c6' = o ; donc les expressions des racines xety sont toutes
deux de la forme ~ et n'offrent aucun sens. Mais il se présente en
ce cas une circonstance fort remarquable. Appelons^ la valeur des
trois rapports -- ■ r- ~- Notre système d'équation peut s'écrire :

iax -i- by -*' c =^ o

on voit alors que la seconde équation est équivalente k la première;
elle peut lui être substituée (n* 326). Ainsi nos deux inconnues,
liées en apparence par deux équations, ne sont en réalité liées que
par une seule (cf. n" 327).

Sans insister sur ces anomalies, nous retiendrons que les propo-
sitions générales énoncées au sujet d'un type donné de système
peuvent être en défaut dans certains cas exceptionnels : on ne sau-
rait, par conséquent, appliquer ces propositions à un problème
particulier sans s'assurer, chaque fois, par une n discussion i> des
données, que l'on ne se trouve pas précisément en présence d'un
tel cas.

3S7. Ssrstème de trois équations linéaires. — Soit è ré-
soudre le système

iax -h by -t-ez =d
(5) Ux -hb'y-+-dz=d'

(a'x-i-yy-i-<^z = <f.

Les méthodes de substitution et de réduction, appliquées è ce
syslème, conduiront aux résultats suivants (') :

(') Voir, pour plu* d« déuib la § 3 du cliap. v.

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36i LE CALCUL AlOfoalQDE

Appelons à la quantité

A = a^b't^ — ÈV) — o'(5c' — b'e) + e(bc' — frc).

dont la valmir «at déterminés par t«s valeun des coelBcieott des
mconnnes dans le système :

i'' Si la qaantiti A est non-nulle, le syrième (5) admet un sys-
tème de solutions uniques; dont les expressions sont

d(Vc-

- kV) - i'(l»' - 6'<) -H J-iW - 6'e)

JlVo'

d{a'(>'

a

ï* Si ^a quantité A ef< nuiU; ou bien le système n'admet aucun
système de solutions, et il est dit impossible (cf. n° 334) ; ou bien
il en admet une infinité, et il est dit indéterminé [en ce cas on peut
choisir arbitrairement la valeur de l'une des trois inconnues et
trouver des Taleurs correspondantes des deuK autres inconnues qui
satisfont à la fois aux trois éqoations (5)j.

36S. Examplea <U systèmes du ascoad degrA. — Pour ré-
soudre certains syitànies de degré supérieur au premier, sans intro-
duire inutile ment des équations de degré élevé, oulaisées i manîw,
l'algébriste emploie les Artifices les plus variés. Le« exemples sui-
vants donneat une idée des détours que parfois il est amené à faire.

Proposons- nous de résoudre le système :

(6) x-H / = t xj- = p.

Nous remarquons que les racÎDea de l'équation du second degré
X* — sX H- /) = o ont précisément (n' 338) pooT somme s et
pour produit p. Nous en concluons que, si elles existent, les ra-
cines, X, et X], de cette équation sont un système de solutions da
système (6). Il n'y a pas d'autre système de solutions [mais on
peut prendre à volontéaiégat àXi.y^Xj, oubienx=;Xi, j'^Xi].
Si ** — /><; o le système n'a pas de solutions (rf. n' 336).

Proposons- no us, d'autre part, de résoudre le système :

(7) x^ — y*t=a', xy=p.

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STSTÈMBS D'iQCATlOHS 81HUI,TAIIÉE8 36}

Nous remarquons (jdb (voir n' 296}

(t -h y]* 7= X* -î- j-* -<- aay = ri» + 4jj
«t

(a: — y)* = j:« -(_ j.i _ axj' = a* — ip
le Système (7) é^vmit liooc an uytlàat

qui ut du premin- de^ [Uc cooveUet ^imImhu n'oot un seas
qw à o* + 4p > o rt a» — 4p > oj.

369. Chongmnent d'inoomniM. — Nous avoiu définiaa a' 330
le changement d'inconnue dans le cas d'une équation unique.
Lorsque l'on a affaire i plusieurs équations simultanées, on peut
faire un changement portant sur plusieurs inconnues.

C'est ainsi que, voulant résoudre le système des deux équations.

«»-l-7» = «, arr + )r-t-j' = 4.

où « et 6 sont supposés connus. Cardan (') prend comme iacooDue
auxiliaire le produit xy, que nous désignerons par la lettre z ;
ajoutons nxy à chacun des membres de ta pnœière équation,
retranchons xy des meanbres de la seconde [ce qui no porte pas
atteinte aux solutions] : nous avons [puisquexy =^ z, par hypothèse]:
ic* -t- j-* -4- 3^7 = a + ai ou (jt + ^)» = a + ai:eta: -t- j- = i( — î,
d'où (a: H- /)' = (6 — î)' ; ainsi nous avons deux expressions dif-
fikentes de la mime quantité incomrae {x + 7)* ; ces deux
expressions devant représenter le même nombre, nous pouvons
écrire l'égalité

a -H a; ^ (6 — . z)', ou a -(- ai ^ b* — aèi -t- i',

qui est une équation du second degré [elle peut s'écrire z* —
a(6 -t- i)z -i- (fr' — a)=:o] déterminant, si elle a de» racines, le»
valeurs de l'inconnue 2 qui répondent à la question. Les valeurs
correspondantes de a; et y se calculeront ensuite comme il a été dit
au n° 368, étant donné que l'on connaîtra x -*- y et xy.

D'une manière générale, effectuer un changement d'inconnues

<') Lm. tit. utpra, p. 3a&, Dot , 3.

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36^ LE CALCUL ALC.ÉBBIQt'E

(ou variables) sur un système %( équation à. deux inconnues, c'est
remplacer ces inconnues x et y par deux fonctions connues — soit
J[x:, y") et f{a^ , y') — de deux iiomvUes quantités x', y'. Les
équations se transforment en un système d'équations relatif aux
inconnues y, y. Si l'on sait trouver deui nombres, x' = x\,
y ^Ji, solutions du nouveau système, les nombres x, = f{x, , y\ ),
y, = ç{x, , y\ ), seront solutions du système proposé.

370. Racine commune A deux Aquatlona dn lecond degré.

— Nous terminerons ce paragraphe en disant quelques mots des
systèmes d'équations simultanées i une seule inconnue, nous bor-
nant d'ailleurs aux équations du second degré. Soient

<8)

J Aa:'-i-Ba:-HC=o
( A'x' + B'x + C = o

deux telles équations. Il est clair que si l'on choisit au hasard les
coefTicients A, B, C, A', B', C, les équations n'auront pas de ra-
cine commune. Maïs nous pouvons nous poser la question sui-
vante : Quelle relation doil-il exister entre les six coefficients \,
B, C, A', B', C pour que Us deux équations (S) soient vérifiées
par un même nombre que nous appellerons x, ?
S'il existe un tel jiombre xi, nous aurons

{&'•>•) Axl -t- Bi, -1- C = o, A' a;; ■+- B'a;, -i- C = o ;

multiplions tous les termes de la première égalité par A', tous ceux
de la seconde par A el rctranchuns la première égalité de la seconde,
il vient :

(.3) (AB' — BA>, -H AC — CA' = o.

Multiplions d'autre part tous les termes delà première égalité (S*^)
parC, tous ceux de la seconde par G et soustrayons : il vient,
«n meltant Xi en facteur commun :

{10) '^{.^C' — CA')i, -f- BC — CB'] = o.

Le nombre x, ne peut pas être nul k moins que C et C ne
soient tous deux nuls [ce n'est qu'en ce cas que les deux équations

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9i8TàiiES d'Équations simultanées 365-

(8) soDt satisfaites par la valeur x = o]. Donc les égalités (9)
el (lo) prouvent respectivement que

_ AC — CA' , _ BC — CB'

''' AlV - BA' "* X, — — y^(yzrcKJ '

sif) toutefois (») AB' — BA' ;z; o et AC — CA' ^ o.

Ainsi nousa vous deux expressions dîfTéren tes de même nombre x,.
£iprimonH qu'elles sont égales ; nous obtenons une égalité qui
peut s'écrire

(I i) (AC — CA')' — (AB' — BA') (BC — CB') = o.

Telle est la relation à laquelle nous aboutissons, & condition tou-
tefois que, comme nous l'avons supposéchemin faisant, CetC'ne-
soient pas tous deux nuis et que AB' — BA'^o, AC — CA';^o.

Mais si l'une dos quantités AB' — BA', AC — CA' est nulle,
les égalités (9) et (10) nous montrent que les trois quantités
(AB' — BA'). (BC — CB'}, (AC — CA') sont sûrement nulles
toutes les trois [les égalités ne peuvent être satisfaites qu'à cette
condition] : donc la relation (11) est encore vériliée. Elle est vé-
rifiée également si C et C sont nuls, car alors tous ses tetnies
sont égaux à zéro. Donc, dans tous les cas, la condition nécessaire
et suffisante pour que les deux équations (S) aient une racine
commune est que l'égalité (11) ait lieu (').

;') Si leurs dénominateurs ëtaiunt nuU, les fractions n'auraient pas de

(*) Le tigne # aignifle : diffirtnt de tiro.

(*) Le premier membre de la relation (i t) est souvent appelé réauUanl
dos deux équations (S). On énonce alors la proposition suivante : Pour
que deux iquatione du second degré en x aient une racÎTte eommune. i[
faut et H ntlfit que leur riauHant êoit nul. Dans le cas particulier où l'on a,
k la foi* les égalités

AB' — iJA = o, BC — CB = o, AC — CA' = o.

ou constate immédiatement que l'on a les proportions A ~ B ~ C ' ^^'
pelons X la valeur commune de ces trois rapporte : la seconde équation
(S) qui a pour coefficients AX, BX, O. peut s'écrire X{Aa;' + Bx+ C) = 0
et eue a les mêmes ractaei que l'équation Ax' 4- Bx -f- C = o (n<> 326).
Donc, en ce cas particulier, ces deux équations ont, non pas une, mais
leurs deux racines communes.

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366 LE CALCCL ALGÉBKIQUS

371. Ramartiafl. — La question qae noas Tenons de trailer
peut être regardée, si l'on veut, comme nn problème A' élimination
(339) relatif à deux équations à deux inconnues (du second degré
par rapport i l'une des inconnues}.

Supposons en effet ('} que les coeilicietits A, B, ... C soient des
foncltons, d'ailleuri quelconques, d'une quantité y : alors les équa-
tions (8) constituent un système de deux équations i deux incon-
nues. Si un couple de nombres Xt, y\, est solution de ces équa-
tions, il en faut conclure que pour y = y,, les deux équations ^)
en X admettent Xi comme racine commune ; en conséquence, les
coefficients A, B, .... C doivent, lorsqu'on donneà y la valeurj'i,
satisfaire à la relation (ii). L« relatioa (ii) est, dès iors, une
équation en y qui admet y, cooiaie racine : c'est le néaultat de ïk-
liœinatioa de x entre les deux équatwos (S).

- DMsIoo des polynômes ea x et décomposition
des fonctions mtlonnelhs

373. — On peut faire de la division des pcdynomes en x une
théorie qui est tout à lait analogue k la tbéorie de la division
arithmétique. Appelons A(x) et B(x) deux polynômes en x dwit
les degrés soient respectivement n et m et supposons n supérieur
oa égal à m. ElTectuer la division de A(x) par B(x) ce sera, par
4âlinition, mettre A[x) sous la forme

(.) AM = B(«).QM + R(.),

Q(x) étant un polynôme de degré n — m (appelé <)aotient de la
division) et R(x) un polynôme de degré inférieur à m (appelé reite
de la division) ; ce sera donc, en d'autres termes, irottver deux
polynômes Q(x) et B(x) [l'un de degré n — m, l'autre de degré
inférieur k m] qui satisfassent, quel que soit x, à l'identité (t).
On démontra que, quels que soient les polynômes A et B, la

t')Cf.Bezovt,R»<Aerchtiêtirl«dtsriiesi<pMatiomtrémimUMi»l'étimonû-
««nunl det irtconnuM et iw ka moyen» pt'il eonvUnt d'unpla^r poar
.trouver cet iquatiotu, apud HUl. de l'Acad. de Paris, 1794-

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DIVISION DES POLISOUBS «H :iC, ETC. 3^7

<litecmiDatîoo des polynômes Q et R satisfaisant aux condiliona
reqDÎMS est toujours possible. Soient, ai eSet, \(x) etB(x) ordoa-
nés par rapport aux puissances décroissantes de as et mis aous la
forme

A(x) = a^ + a»_i^"' + ... -t- a, a: + 04

B(a:) = b^3f ■+ fc^_,x'"-' H- ... + 6i 3: -h V

Supposons, pour an instant, qae le polynôme Q ail été trouvé ('),
et écrivons-le sous la forme

QW = K-,^-" -t- ... -(- A.a; -t- X, ;

nous allons chercher quelles valeurs il faut donner aux coefficients

>«__ Xi, X«, pour que la supposition ainsi fait« soit légitime.

Remplagaot A, B, Q par les développements écrits cÏKlessug, for-
moDs la différence k[x) — 6(3;) . Q(a:), et ordonnons-la par rap-
port aux puissances décroissantes de x. Cette différence est un
polynôme de degré n, qui s'écrit

K - >>j^.^y^ + (<!„-. ~- ft™x . — 6«_,ï,^»]x»-< + ...

+ (oi — hi\ — b^i)x + (fla — bX)-

Exprimant que le polynôme est identiquement nid (312) égalan»
k zéro ('), les cocflicients de x", x"~', .... a:"""; nous avons
n — m -t- I égalités qui constituent un système de n — m + 1
équations polynomales simultanées du premier degré permettant

de déterminer les inconnues Xn-n. Xn-H~i Xi,Xo. J'en conclus

que ji je donne aux coefficients X les valeurs définies par ce sys-

(*) Cette méthode de démonatration n'eit autre que la méthode du
«otfiieimit» iniUermini» que noua appliqaeroiu lont 1 l'heure (11° 375) dans
uiB cas plus compliqué).

(») Egalant à zéro le coefficient de *", j'obtiens Â__ = t- ; portant
«etta valeur dam le coelficient de i^~' «t égalant ce coefficient i o,

j'obtiena X,_„_, ^ T- ( o._, '> "~ ) ; et ainii de suite. — Dans la

pratique, pour calcubr le quotient de la diviàon de A(x) par B\x], on
évite d'écrire les lettrea X,._ ..., \„ (représentant let coefficients inconnus
dudit quotient) en adaptant une disposition et des règles de calcul qui
rappdient celles de la division arithmétique (voir les traités d'algèbre
élémentaire).

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3U8 LE CALCUL ALGÉBRIQUE

lime, la différence A — BQ sera un polynôme en x de degré
m — 1 au plus. Appelanl R(a;) ce dernier pol]raome. J'obtiens ('),
comme il élait requis, uoe idenlilé de la forme (i).

373- DlviBlbllitA. — Coorormément h la définition de la divi~
sion des |>olynomes, un polynôme en x, K{x), aen Ht. divisible (')
jiar lin autre [lolynome R(x), de moindre degré, si le reste de la
division de \{x) par B(j:) se réduit h zéro.

Il est miinifeste que, si \{x) est divisible par Ji{x). to'ite racine
de h{x) [voir n° 3B9], est aussi racine de A(x). Plus précisément
supposons que A(arj et B(.x) aient été décomposés en produits sous '
la forme indiquée au n° 357 ; nous aurons
(3)A(xJ=a„(a;— x,)*"...(x— 3;,)'''{j»-+-3iX4-fc,)3t,..(x" + 5^+fc,)P<

avec a, t ... -+- a,, -t- a^i -i- ... -h a3, =; n. et une identité ana-
logue pour h{x). Convenons d'appeler /acteur premier de A(x) !^ou
de B(x)] tout facteur (') de la forme {x — xj) ou (x' + y^ + kj)
[l'indice y étant quelconque]; nous dirons alors que l'égalité (a)
donne )a décomposition de A(x) en facteurs premiers. Cela posé,
on peut démontrer que si A est divisible par ^ , tous les facteurs
premiers de \\(x] fujarent dans la décomposition de \[x) avec un
exposant au moins égal à celai ([u'ils ont dans la décomjiosîtiûii
de B (comparer n* 24).

374. Fonotton ratlonn«lla d» x. — Soit t - 1 le quotient de
dcuï polynômes, une fonction (ou fraction) rationnelle de x [voir
n" 315). Pour Taire l'étude générale dune telle fonction, on a tou-
jours le droit de supposer que le degré de B est inférieur à celui

l'I Exemple, ~ La divisioD âe î*' — Si' + 71 — 1 par x' + x + i
donne comme quotient 2x* — ix — b et comme reite ijz + 4- On a, en
effet : -ix^ — j;r' + 7* - r = ;x' + * + i) (21' — -ix — b] + iji + >,.

{'\ D'une manière générale un polynôme portant «ur un nombre quel-
conque de variables — par exemple un polynôme P<x, y, «) — en a, y, 1
est dit divisilile par un polynôme F,x, y, z , l'il exiite un polynôme
Q X, y, z, Ici que l'on ait

Q>, y, ïi.Fix, j,. I. «P(i,y, =■.

l'p Ces factours sont les polynômes les plu» simples par lesquels A x
soit divisible. Praliquement, pour reconnaître fi A(x, est divisible par un
polynôme donné do la lorme x — l.il sulfil do voir si lest racine de poly-
nôme, c'Mt-â-diru si Ion a ou non : a.f -I- ... + aj + a<, = o.

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DIVISION DES POLYNOMES ES X, ETC. 36q

de A. En elTct, s'il n'en était pas ainsi, nous pourrioDs effectuer la
division (') de B par A, et nous aurions B(i) = A(a;).Q(i)+ tl(x).

d'où Â^^QW-+-Â(f)' '^ *'''8''é de R étant inférieur à celiH
de A : la fraction proposée serait par conséquent la somme d'un
polynôme et d'une fraction dont le numéralear a sûrement un
degré inférieur au degré du dénominateur.

Supposons donc celte condition réalisée pour la fraction v^-? et
proposous-nous de simplifier l'étude de cette fraction en la décom-
posant en une somme de Jractions plus simples.

Les algébristes on t démon tré le théorème suivant (') ; Soit effectuée
la décomposition de \{x} en facteurs premiers sous la forme [t)
[n' 373; : on peut trouver des nombres [')

«"if "^H =1=1 '■pi. —I Op»,- ''il. < (/jp,. ',p|. ..«

tels que l'on ait l'identité {*) :

-.+■

1 ^"'

1

1

• ' {'-',

)..J

■• L«-.,- (I

-»,)

.+-+(,

—a:.

J

-[^^^M

t' + S

I+h)'^"-

"^ô

'.f.'

+ ',P, -

'+9

i+t.)''-

, r ■',,»+<,

, ".,

X-t-fi

'h

1

(') On remarqucTa qu'à l'inverae da Is i
gnona ici le diviseur par A.

(■) Ce théorème fut formulé par Euleh. Le cas où les racines de B(x)
sont toutes eimplcs (et réelies) avait été traité auparavant par Leibniz et
Jean Bbhnouilli.

{') Le premier indice dont sont aSectées 1«3 lettre! e, d, e, indique quel
cit le facteur {x — x,), ... ou [x* + g,x + It,), ... auquel se rapporte la
lettre ; le second indice es légal à i'eiposant de la puî«iance (dudit facteur}
h laquelle est associée la lettre considérée (voir sur le double indice le
n" 36/1).

(*) Exemples :

^ + ' 2— + _-^i + —^

(X — 1) [*— 2l(x— 3]-i— I ^a— 2^^— 3
■■jx^ + 2x + 1 . _ 3 _|_ X + I _

BoDTiaL'i. — Lei PriDcip« (la l'AuilyM malhimntiqa*. li

„Google

A(x)

370 LB CALCUL ALGÉBIIQUK

La possibilité d'une telle décomposition de la fracti<
BuUe des propositions que l'on établît dans la théorie de la divi-
sion. Noos admettrons ici, — pour abréger notre exposé —
que cette possibilité, — c'est-i-dire l'cxisleace d'une somme de
u fractions simples » répondant i la question, — ait déjJk été éta-
blie, et nous nous borneroos k indiquer comment on peut caieuUr
effectivement les valeurs des nombres d, etc. qui figurent au
second membre de (3); le résultat énoncé se trouvera ainsi vérifié.

None emploierons, pour faire cette vérification, une méthode fort
commode dont l'origine historique se trouve dans la Géométrie
de Doscartes (■), et qne nous avons déjï employée, sans le dire,
an n* 372 : la méthode de» coejjicients indéterminés.

375- Emploi de la méthode des oo«ffioieitt« tnâétermlnéB.

— Développons B(x) sous la forme

B[t) = b„_,x»-' ■+■ 6,_ii"-' + ... -t- fc,ï -1- 6,
polynôme dont les premiers coefTicients 6,^.1, 6„_i peuvent d'ailleurs
-être nuls [ils sont nuls si le degré de B(x) est inférieur de plus
d'une unité au degré de A(3;)].

Admettons, d'autre part, que la proposition cï-dessus énoncée
•oit exacte; écrivons l'égalité (3) où les lettres c,,, c,,, etc., dé-
signent des nombres (coejftcien(s) encore lOCOntMi {indéterminés)',
«t effectuons la somme indiquée au second membre de (3), en
réduisant toutes les fractions au même dénominateur. Le dénomi-
nateur commun n'est autre que A(a:) [rois sous la forme du pro-
duit (3) du n" 373j. Quant au numérateur, c'est un polynôme en
X de degré » — 1 dont les coellicients sont des polynonaes du pre-
mier degré par rapport eus diverses quantités encore inconnues
(ou coefficients indéterminés) c,i, ... e,a,- D'après l'identité (3) ce
numérateur doit être identique i B(.t), et par conséquent (q* 311)
MS n coefficients doivent être égaux chacun il chacun aux coelB-
<âent8 tii.,1, ... &i, 6g. Ecrivant explicitement qu'il en est ainsi, j'ob-
tiens un système de n équationsdu premierdegré dont les inconnues

(') 0 Mais je veus bien aussi vou» Hvertir, — dit Dbscahtk* (Ut. II,
Œw., VI, p, 4a3) — que l'invention de supposer deux équations de
mène forme pour comparer séparément tout 1m tenues de l'un à ceux
de l'autre... n'est pas l'une des moindres de la méthode dont je me serai.

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DIV18IO:i DIS POLTSOMES K5 X, ETC. Syl

sont Cl,, ... e^«,. Or ces inconnues sont précisément au nombre de
n. En eiTet, les c de premier indice i sont au nombre de a,, les c
de premier indice 2 sont au nombre de cCi, etc. et il y a par consé-
quent {a, + C!» + ... -H a,,) lettres c; on voit de même qu'il y a
{pi + ... + j3p) lellres d et autant de lettres a; donc le nombre
des inconnues est («i -t- ... + «, + 2JS1 -(-... + 3j3,), c'est-à-
dire n [voir 367]. On voit par \k que le système d'équations simul-
tanées Tormé comme il a été dit est un système de n équations liné-
aires h R inconnues. Ce système admet un sygl^e de solutions
«nique ('^ qui donne les »a/eiirsc/iercA^esrfescoey(yîc(e«/s Cl,, etc. (*).

376. Rédaotton das fonction* rationDelIos au même déno-
minateur. — 1^ composition d'une somme de fonctions ralion-
oelles de x en une fraction unique (rationnelle) est l'opération in-
verse de la décomposition. Pour l'effectuer, il sulTira de réduire
les fractions au même dénominateur ; après quoi on formera la
fraction qui a pour numérateur la somme des numérateurs des
fractions données et pour dénominateur le dénominateur commun.

La réduction au même dénominateur se fait en algèbre comme
en arithmétique. Comme dénominateur commun on peut toujours
prendre le produit des dénominateurs donnés. Mais, si ceux-ci ont
des facteurs communs [c'est-à-dire si dans leur décomposition fi-
gurent des facteurs identiques de la forme (x — a:j)ou {x'+gx-hk)]

C) Eu énonçoiit cette conclusion, nous admettom que nous ne noui
trouvons pas en présence du cas exceptionnel où un syitème d'équa-
tions linéaitea est indéterminé ou impoisible. On peut démontrer a priori
que ce cas ne «aurait se présenter ici- On le constatera, d'ailleurs, im-
médiatement, li l'on effectue les calculs.

(*) On vérifiera facilement que'pout déterminer les cocfricicnta que nous
avons appdés e,^ , e,, ,..,, derniers dans chaque crochet, on peut appli-
quer la rigle suivante :

Désignons par Q{x) l'ensemble des facteurs autres que (r -~ Xij'i dans
Je produit (3), expression de A(x) : le coetHcient c,, a pour valeur

^- v, rapport des valeurs prise» par la polynôme» B;xj et Q[J'] hriqu'on
y donne à x la valeur Xi.

Les coefficients c,^, c,,, ... des puissances d'exposant— 1 de (x — x,),

{x — Xj),... sont souvent appelés résidu» de la fonction rationnelle x7~ par

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;: CALCUL ALGEBRIQUE

on pourra prendre un dénominaleur commua de degré moins élevé,
savoir un produit

(i-.r,)"(i-x,)'. ...(.■+9,. + /.)'. ....

oîi l'on fera figurer tous les facteurs qui se rencontrent dans le»
dccom positions en produits des divers polynômes dénomlniiteurs,
avec un exposant au moins aussi élevé que celui qu'ils ont dans
ces décompositions. Le produit ainsi déQni sera appelé plus petit
commun multiple des dénominateurs.

10. — Fonctions et équations transcendantes.
Calculs trigonométriques.

377. — En définissant au n" 142 le logarithme de base b d'un
nombre posiUf a quelconque, nous avons attribué un sens au
symbole fc" pour toute valeur positive de 6 et pour toute valeur
positive ou négative de a; nous avons en d'autres termes déQni
une expression, que nous convenons d'appeler v puissance d'expo-
sant a du nombre b », que nous écrivons 6*. et qui a une va>
leur déterminée, variable en môme temps que les valeurs de b et a
(6 >■ o). Si nous nous reportons à la terminologie du S ^. nous
serons dès lors conduits à dire que ta valeur de b' est une variable
dépendante, qui varie en fonction des variables 6 et a : 6' est une
<i fonction » des nombres b et a. AQn, cependant, de rap[>e)er la
différence qui sépare la fonction 6> des fonctions définies au S 4.
nous dirons que la fonction 6* est une fonction transcendante [le
mot transcendant s'opposant k algébrique (')].

l') La dcfinitian du mot transctrtdaat est purement négative : eet trans-
cendante uiie quantité ou une fonction dont la valeur ou l'expression ne
peut pas Stre définie par la combinaison d'opérations arîtlimé tiques ou
algébriques connues [cl. supra, n" fiS, lâo]. « Les fonctions, dit Eui.eh
ilnlr^vctio in Analysin infinitorum, i7ilS. ch. i) — se divisent en algé-
briques et transcendantes ; les premièrea so forment parles opérations de
l'algèbre, et on obtient les secondes en faisant entrer dans leurcompoi^ilion
des opérations transcendantes u. Nous préciserons plus loin cette distinction
en étendant et complétant la définition de la classe des fonctions algé-
briques dans laquelle nous ferons rentrer, non leutemeot les fonctions

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F0:»CTI05S ET ÉQUATIONS TRANSCEIfDAnTES 378

Ici comme au s 4, il nous est loisible d'étudier l'expression &'
pour des valeurs variables des deux nombres b et a ou, au con-
traire, de laisser ûxe (déterminé) un de ces nombres (') et de con-
sidérer b' comme fonction du seul nombre b ou du seul nombre ce.
En particulier, si nous donnons à 6 une valeur positive détermi-
née, l'expression b" considérée comme fonction du nombre positif
ou négatif a sera appelée /o«c/(o;i (transcendante) exponentielle^*).

378. — Los remarques que nous venons de faire ne s'appliquent
pas seulement à l'expression b", mais en général, aux divers sym-
boles que nous avons défmis aux $$ 9 et 10 du chapitre u de notre
premier livre pour représenter certaines grandeurs « suppléantes »
correspondant h des grandeurs variables.

Ainsi le symbole logt a peut être considéré (pour une valeur dé-
terminée, positive, de b) comme une expression dont la valeur est
une/onclîon transcendante du nombre variable a : cette fonction a
reçu le nom de fonction logarithmique.

De même les symboles sin a, cos a, tg a, cotg a, sin - , sin au,
etc. peuvent être considérés comme des expressions dont les va-
leurs sont àes fondions transcendantes de a : ces fonctions portent
le nom spécial de fonctions triyonomélriques .

ëtudiieB au S 4 *1b <=° chapitre, mais aussi les fonctions implicites définieg
par des équations algébriques {vide, cbap. ii, ^ il. II est ban d'observer
que lorsqu'on parle, non pas de fonction, mais d'expression algébrique,
on n'attache pas toujours à cette formule un sens restrictif spécial; il
pourra arriver qu'on l'applique, par extension, à un symbole tel que i>
aussi bien qu'aux expressions de fonction» algébriques. Cependant lanque
nous voudrons établir une distinction entre les fonctions transcendantes
et les fonctions algcbriques, nous dirons que leurs expressions sont, les
unes Iransceruianîet, les autres algibriquee proprement ditet.

{') Si a était remplacé par un nombre arithmétique rationnel, la fonc-
tion considérée serait une fonction algébrique oniioaire de b au sens
du S 4-

{*) L'expression guanlîta» exponenliatis a été employée par Leibniz et
parlesBERNOuii,Lt.JeanBernouilli avait dit'd 'abord tqvantitaspercurrenât,
«t il expose ainsi le point de vue qui justifiait cette dénomination :
< Exponentialem igitur quantitatem concipiebam ut médium quid intcr
algebraicnm et transcendentem ; acccdit enim ad algebraicam, eo quod
terminis finilis, utut indeterminalis, constat; ad transcendentem vero,
-quod nulla constructione algebraica exhiberi potest > {Principia caleuti
erpontntialium «eu percwrenlium, ap, Acla eruditorum, Leipzig, mars 1697;
Œuv, de J. BernouiUi, I, p. 181 sqq.).

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3-]^ LE CALCUL ALGÉBRIQUE

D'une manière générale, supposons qu'aux sigoes qui servent k
former le> expresiions algébriques ordinaires, nous adjoignions les
symboles introduits par la notation eiponenti^e (n" 137), le sym-
bole log et les symboles trigonométriques sin, cos, etc.. \ l'aide de
ces symboles, de nombres arithmétiques, et de (ettres a, b, c, ...
DOOft pouvons former des expressions ['] analogues aus cipresait»»
algébriques da S ^ nuis plus nombreuses; nous dirons que les va-
leurs de ces exiiressians (variables en même temps que les lettres
a, b, c, .,.) tout des fondions transcendantes {*).

379. Fonolions algébriques oa trauBcendantes de x. —
Désignons par f{x) une citpressioa transcendante (') dépendant
d'une quantité variable a; et de lettres a, b, c, ... représentant des
nombres fixes (supposés connus), La valeur de cette expression sera
une fonction de x, mais il importe de remarquer qu'elle n'est pas
nécessairement une « fonction transcendante de x ». Si, par
exemple, /'est un polynôme en x, dont les coefficients sont des
expressions transcendantes dé[>cnd8nt des lettres a, li, c, ..., la
fonction /{x) ne doit pas être regardée comme transcendante :
la fonction n'est (ranscenàante par rapport à x que si, lors-
qu'on suppose connues les quantités a, b, c, ..., la valeur de
f{x) ne peut pas se déduire de celle de x au moyen d'opéra-
tions algébriques (mais seulement au moyen d'opérations dont
certaines sont exponentielles ou trigonométriques, voir la note i ,
ci-dessous).

Lorsque la fonction /(x) n'est pas transcendante par rapport
k x, elle est dite algébrique. On peut en ce cas lui appliquer,
sang exception, toutes les propositions établies aux i 4 et suivants
au sujet des fonctions f(x) d'une variable x. Ces propositions, en
^et, sont indépendantes de la façon dont /{x) est fonction des
lettres qui représentent des quantités fixes.

|i) Nous dirons que cm expiessiom Mint oblonuH en cQecluant unt
oombiuaison A'opirationa algébriques, exponentielle* et trigo nom étriqués.

C) Ainsi les expressions cos ioA-bj, co»'y/a+ b'^c'ett-k-dirt (coeva + b'}' .
iog. \b + al, etc. sont des fonctions de a et de6 ou d'un seul de i
si l'autre a une valeur fixe (déterminéei.

{*! Voir la ËD de la note t, p. 2.

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FO:iCTIOH8 BT ÉQUATiOSS IRAMBCESDANTES 376

Dans le cas où f{x) est transcendante, nous pourrons encore
étendre à cette fonction les diverses considérations d'ordre général
que nous avons développées aux %i 3-9, en exceptant seulement
les définitions et propositions où il était spécifié que f(x) avait
une forme algébrique particulière (polynôme en x, ou fonction
rationnelle, etc.).

380. Equations tramoendantes. — Appelons f{x) une fonc-
tion qui soit elTectivemeot fonction transcendante de x. L'égalité.

(1) /W = o

est alors dite ûtre une étjualion transcendante (') par rapport k l'in-
connue X. La valeur, ou les valeurs (exprimées en fonction (') des
lettres a, b, c, .... figurent dans l'équation), qu'il Tant donnera
l'inconnue x pour que l'expression / prenne la valeur o, sont ap-
pelées Il racines » ou u solutions h de l'équation (on dit que ces
valeurs satisfont à l'équalion, cf p. Si^). One équation ndn-
Uanscendante est dite alfjébriqae.

If n'est en générât pas possible de caiculer cfTcctivement les ra-
cines d'une équation transccodanle de In forme (i), c'est-à-dii-e
qu'il n'existe pas d'expressions algébriques ou transcendantes,

composées avec des signes connus et avec les lettres a, b, c qui

soient égales à ces racines [comparer n° 3B0). On devra se contenter
de déterminer — par des procédés dont nous ne nous occuperons
pas, et à l'aidede tables logarithmiques ou lrigonométriques(n'"145'
et 16B) — des valeurs approchées (arbitrairement approchées) de»
racines de l'équation.

Cependant, il arrivera dans certains cas particuliers que l'équa-
tion (i) puisse élre ramenée à une équation algébrique ordinaire

{*) Toutes loa définitions et rigics générales du § 5 relatives aux traos-
fontutioot des équations, au changement d'inconnues, etc., s'appliquent
manife>teni«nt aux équations transcendantes comme aux équations algé-
briques. RMmpUa : L'équalion ax — log. x — '3 = o eat une équation
transcendante ; posona log, x ^t on ^ = e'; en cfTectuant ce changement
d'inconnue, nous obtenons l'équation ne' — 1 — 3 = o, équivalenU à

l'équalion en x. — Le* équations ^ ° — ~ = o et 3*' J- e' + a = o
(Ont équifolentet ; etc.

(*) C'eit-à-dire : mm forme de fonction de, voir n° 3i8.

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376 1-E CALCUL ALGÉBRIQUE

au moyen d'uD cfian(/ement d'inconnue (n° 330). Cette. circonstance
M présentera, par exemple, quand l'équation (t), outre les nombres
connue ou considérés comme tels, ne contiendra quedes lignes Irigo-
nométriques (i86) du nombre inconnu », ou des lignes trigonomé-
triques de x et de nombres qui sont en relation simple avec»,

comme ax ou - ou x + a (a étant connu). Nous étudierons tout
i l'heure, & titre d'exemple, quelques équations de ce type.
Auparavant il nous faut revenir un instant sur le calcul trigo-
nométrique dont nous avons plus haut posé les bases {Premier
Livre, Chap. 11, S '0) et montrer comment ce calcul donne lieu,
comme le calcul algébrique proprement dit, h des transformations
variées qui se traduisent par autant d'identités.

381.Rappel des formulas trigonométriquealondBinestales.
Addition et Boaitraction des arcs. — De la définition des lignes
trigonométriques nous avons immédiatement déduit les Tormulet
suivantes où a désigne un arc ou abcissc curviligne quelconque (*) :

f, iîn( — a) = — sino, sin(it^»i;^sîn(i. »in(:rH-ai^=^ — sina
1 cos{ — aj=cosii, cosiït — aj= — cosa, co» (« -i- o 1 =: — cosa
(31 , lg(— a;= — Iga, tgfit — a)= — tga, tg{7: + a) = lga

Nous avons déjà donne, d'autre part, les identités relatives à
l'addition des arcs :

/ cos (a ■+■ 6: =: cos a . cos 6 — sin a . sin b
1 sin [a -1- f.) = sin fl . cos 6 + cos a . sin 6

H convient d'observer ici que, si l'on suppose démontrée la pre-

l'I Rappelous aussi, que, queU que Eoîentle nombre relalit a et l'entier
poaitij ou négali/, k, on a
tin a = %in la + ykit], cos a^coa (a + 3fc>tl, langa— tang'a + îAri)

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F0:<CT10SS ET ÉQUATIONS TRANSCENDANTES 377

miàre de ces trois relations (^), les deux entres en résultent immé*
diatement en vertu des formules {^) el (3), car on a, par exemple

>m{a -h 6) = cos [^ - {« 4- b}] ou cos [(^ - aj + (- (.)];

doQC

sin (a + 6) = cos I - — a\ . cos (b) — sin 1 a\ sin ( — b)

= Una , coi b -i- cosa . sin b

Les identités relatives à la soustraction des arcs se déduisent de
la même manière des identités (d) : car, par exemple :

CO!

•(»-')=«»;■■ + (-

-'):

=

cos a.

cos (-6)

^

coso .

cos (> + s

on

obtient pareillement

.in(a-6)=:

= .ir

La

. cos 6

^ cos 0 .

lei"-

-Il

=

tgfl -

-Igb

r+"ïg

a.lgi-

Les formules (3), elles-mêmes, pourraient d'ailleurs inverse-
ment âtre considérées comme des conséquences des formules (4),
car ces dernières formules montrent par exemple que

sin ( — a) 00 sin (o — n) ^= sin o . cos a — cos o . sin a ;= — sîn a, etc.

382. Hnltiplioatlon d'an aro par un nombre entier. — Si

nous y donnons à t la valeur a, les formules (^) nous font con-
naître les lignes tri go no nié triques de l'arc 2 a, c'est-à-dire do Varc
a muUiplié par 3 ; nous avons :

(5) cosao^cos*a— sin'a; sinaa^^sina.cosa; tgaa= ° , ■

Si maintenant, nous faisons dans les formules (.'1) 6 = 2a, et
remplaçons cos 2 a, sin 211, Ig aa par les valeurs (5), nous obte-
nons :

et ainsi de suite.

Les formules ainsi obtenues [qui donnent les expressions de

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378 Ll CALCUL ALCÉBRIQ^JE

co« ne, BÏn na, Ig na pour toule valeur entière positive de n)
peuvent d'ailleurs èlre transformées de plusieurs maniÈTea. Ainù,
«n tenant compte de la relation sin* a H- cos' a^= i, on pourra
déduire de (5) les identités

que l'on peut écrire soas les formes

... I - 1 I - 1

|D) sm' a = - i — cos a o ; cas' a := - < 1 -h cos a a ,

Ces formules penveol Un généralisées en les suinntM (valables
pour toute valeur entière positive de l'exposant n). que noua éta-
blirons au chap. v du présent Livre :

cosna+ncoï'n— a'ja-t-CîcosiJi — iio + Ci cosfn — 6>a-l-,..
cos" 0 = ■■ ■ ■■ - ■ -■—, ^

les coefficients C^, C^, ... étant ceux que nous avons déjà ren-
contrés dans le développement du binôme de Newton (n° 298).

Si n est impair. le dernier terme de lu somme figurant au nu-
mérateur sera C ' cos a. Si n est pair, on arrêtera la somme au

terme C ', cos aa et on devra y ajouter le terme complémentaire

I -

^ C ' . On établira une formule sembiale pour le sinus :

cos na — cos 1 /i — a) g -h Ci cos (n — A) a — ...

383. Translonxtatioii* dea lomineB et produits de llgoe»
trigonométriques. — Les transformations qui suivent ont pour
objet de transformer un produit de lignes trigonométriques en une
somme ou inversement. Elles donnent lieu (nous le verrons plus
loin) à de nombreuses applications, de même que les formules (6)
qui en sont un cas particulier (').

En additionnant les expressions de sin (« + I') et sln (a — b),
de cos (a -f- b) et cos (a — b), puis en soustrayant l'une de l'autre

C) On obtient les formules [6] en taisant b ^a dans la ««coude et daiu
la quatniuM formule I7).

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FoncTiorta MU équitions tb au scen dattes 37<^

les expressions de sin (a — h) et sin (a -f- b), puis de cos (a — fc)
el cos (a + b), on obtient (toutes réductions faites) les formules
suivantes :

f a sin û eos b = sin (a + 6) + sin (a — b)
I 3 cos a co> 6 = CM (d -f- &J + cos fa — b)
y a sin 6 cos fl = sin (a -t- 6) — lin (a - b)
( 3 sin a sin 6 ^ cos (a — 6) — cos (a M- fc)

Désignons maintenant par p et ^ la somme d + 6 et la diffé-
rence a — 6; nous aurons (voir p. 36o, note i) a=:- 2.

h = — -^ et pourrons écrire les formules (7) sous la nouvelle

suivante :

.inp+Mn, = asir>£^î,

3

sin/.— sin?=asinS^

ccttS

cos /> -1- cos g = acos'-î-i-î

toj''^''

«,.p -«,, = ,. in t+-J

™t^.

384. ExpresaioDB des llguM trigonométriçpies de l'Bro a en
tonotion de tg-. — Nous avons vu que les lignes trigonomé-

triques d'un mJme arc a sont (onctions les unes des autres; en
d'antres termes toutes les lignes trigonométriques de a peuT^it Atre
exprimées sous forme de fonction* de l'une d'entre elles, par
exemple :

co»a = V« — "n'a. tga = -=;^-

Mais CBS fonctions sont en g^éral irrationnelles (leurs expres-
sions contiennent des radicaux). Delà l'intérêt que présente la
circonstance suivants : tes trois lignes trigonomélri(jues fondamen-
tales de rare a sont des fonctions rationnelles très simples de la tan-
gente de tare ~ ■

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38o LE CALCUL ALGÉBRIQUE

Nous avons en effet |d'après ('>)]

COI a ^= coï' —

Divisons les deux seconds membres par l'expression sin* - + coi' -
qui est égale à tunilé, et posons, [)0ur simplifier, - = & : il vient :

3 sinb ces b

divisons encore chacun des deux termes de chacune de ces frac-
tions par la mime quantité cos' b [ce qui ne change pas les va-
leurs des factions] ; nous obtenons

sin b ïin' 6

mois le rapport — t n'est autre chose tj- b ; d'où les formules

a iK fc I — to' îi , a ijï 6

(o sin a = ■ \ , ^' co9a = 1^', '8"= \~n.

y^' 1 -t- tg' 6 i + tg* 6' <* ) — Ig' b

385. Bqaatlons trigonométriqu**. — Après avoir signalé
quelques-unes des transformations les plus importantes de la tri-
gonométrie, voyons comment il sera possible de résoudre les équa-
tions transcendantes les plus simples où entrent des lignes trigo-
nométriques {cf. n° 380).

Cherchons, par exemple, i résoudre l'équation

(ro) a iin X -\- b <XM X z=: c,

où a, b, c sont trois nombres connus ; il est facile de transformer
cette équation en une équation algébrique ordinaire en faisant le
changement d'inconnue sin x^ a.
Nous aurons

COÏ X ^ v'i — sin' a; = /i — n' ,

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FO;fCTIORS DBS ÉQUATIOS TlttnSCEKDAKTES 38l

et l'équaUon (lo) deviendra,

aa-i-b v'T^^T' = e ;
on peut l'écvire

ou, en élevant au carré les dcuic membres :

6'{i — b') = c» — laca h a*a\

ce qui est, par rapport à u une équation du second degré. Mai»
nous pouvons aussi, pour résoudre l'équation (lo), employer une
méthode purement trigonométrique qui nous permettra de discuter
très simplement les solutions de l'équation, et aussi d'en calculer
facilement la valeur numérique (si les valeurs numériques de a, &,
c, sont données) au moyen d'une table trigonométrique.

Nous supposerons que a el & sont non-nuls (').

Déterminons d'abord un arc zr tel que tang ^ ^= - ; cela est jKts-
sible quels que soient a et b ; car quelle que soit la valeur de ~, il
eiisle loujoui-3 (') des arcs f dont la tangente a cette valeur (on
trouvera les valeurs de ces arcs dans une table, si a et 6 sont

r cos f = a, donc r sin ^ = a . tg ^ ^ 6, et par conséquent :
1 sin X + (t cos a ^ r(cos y sin x -+- sin f co» x) ^= r sin (<? -f- x).

L'équation (lo) se réduit donc à
(II) r sin (ç --i- r) ^ c.

Elle aura des solutions si — i -< - '< i : en eiTet dans ce cis

(') a et 6 no peuvent être tous deux nuls, car ai a =: 6 ^ o, il n'y a pas
d'équation; si a ou b est nul, l'équation se réduit à a uin x »i c, ou
b COI z ^ c, et se résout immédiatement au moyen d'une table donnant
l«s arcs dont les sinus ou cosinus sont connus.

(') Cela résulte immédiatement de la définition de la tangente qui
prend toutes les valeurs comprises entre — ao et + o> lorsque l'arc
prend toutes les valeurs comprises entre — ^- et -)■ ^ (voir a'» i5a, 157).

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{voir n° 154) il existe une iniinité d'arcs f + x ayant pour
«nus le nombre ^■

386. Autres «x«mpIeB d'équations trigonométrlqnea. -

Considérons l'équation

<ia)

2tgX

- b colg X

(a, b. e connut).

Pour la résoudre, remarquons qu'elle peut s'écrire (d'aprts la
définition de tg x et cotg x) : a -7;— -H * -— - -\~c ^^o, êqiKilinn
^uivalente k

on aura donc, d'après les formules (6) et (5) [n"382] ;

c sin aa; + ((» — a) «w aa: -4- n -h 6 = o,

équation qui est du type ( i o) par rapport à l'inconnue 3X et se résout
comme il a été dit plus liaut.

On trouvera dans les traités de trigonométrie de nombreux
exemples d'équations plus compliquées, que les (rfjn,î/"orma(/on*
indiquées dans ce paragraphe permettant de ramener i des équa-
tions non transcendantes.

Considérons d ailleurs une équation quelconque dont le premier
■membre soit un polynôme en sinx, cos x, tgx, égalé à o. En pre-
nant comme inconnue auxiliaire « ^ tg - et remplaçant sin x,
cos X, tg X par les expressions (9) du n° 384 [oîi l'on substitue x
k a] nous serons ramenés à la résolution d'une équation algé-
brique dont l'inconnue sera 11.

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CALCUL DES FONCTIONS

I. — Étude des fonctions d'aae variable.

3S7. — La théorie des équations n'est qu'une application par-
ticulière d'une théorie pins étendue qui a pour objet l'élude géné-
rale dea fonctions (n* 318). Chercher, en effet, pour différentes
valeurs de a, les valeurs de x qui sont racines de l'équation
/(x) ^ a, ou bien se proposer d'étudier les valeurs de y [définies
par l'égalité y ^^ f{x)\, qui correspondent aux différentes valeurs
de a;, ce sont là deux problèmes équivalents. Cependant l'état
d'esprit du mathématicien qui entreprend d'étudier les fonctions
pour elles-mêmes est quelque chose de nouveau en algèbre : il
ne s'agit plus de combiner des formules, mais d'analyser à priori,
afin d'en déterminer la sigaiiicalion et les lois, les divers modes
de correspondance qui peuvent être établis entre des quantités
variant simultanément. Nous reviendrons plus loin (Troisième
Livre) sur cette élude analytique de )a notion de fonction, qol
resta fort longtemps vague et imprécise, et ne devînt consciente
qu'an iix* siècle. Pour le moment, nous ne nous occuperons que
de la technique des calculs relatifs aux fonctions ainsi que des
quelques propositions d'ordre général qu'il est nécessaire d'établir
pour «tayer ces calculs.

C'est k l'occasion des problèmes posés par la géométrie et la
mécanique ('j quel'idée de fonction lit son apparition au xvn'sîècle,

(') Lm pr«iuiirea foDCtîoiu que Newto.n étudia se présentèrent dans
des problème! de m<cani<]ue: c'étaient des quantités variant ea fonction
du ûmp» (lequel, en mécanique, est considéré comme un nombre positif.

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3Sj CALCUL DES FO.fCl'IO^S

dans les écrils de Descaries, Leibniz, Newton. C'est pourquo
rinterjjrétalion géométrique (le la théotie des fonctions fut oiîgi-
naircmenl confondue avec la tliéorie elle-même. De nos jours
encore, la figure géométiique est, pour la plupart d'entre nous, le
vêtement obligé des relations fonctionnelles abstraites que notre
esprit ne parviendrait pas h saisir directement. Le lecteur |>eu fami-
liarisé avec la notion de fonction est donc invité h s'oider du cha-
pitre III de ce Li'f/'e s'il veut suivre facilement le présent paragraphe
et les suivants. Comme nous l'avons annoncé, nous irons ici droit
au but, rcnvovant à plus tard tout ce qui e trait à l'évolution
historique de la fonction.

38S. FonotloDB algébriques d'une variable x. — Soit /(x)
une expression qui est algébrique au sens des n" 278 et 379 par
rapport à x, et dépend d'ailleurs, d'une manière quelconque, de
nombres connus ou de lettres représentant des nombres connus :
cette expression est une fonction alijébriqtie de x,

Dans l'expression /(x), x est la u variable » ; les nombres con-
nus (ou fixes) qui ne varient pas avec x, et toutes les expressions
formées avec ces nombres, sont appelés constantes.

Nous avons défini aux n" 311 et 315 les fonctions /(r) les plus
simples : fontions enliî-res ou polynomalcs [polynômes en x dont

nombre de minutes ou de secondes ou do fraction; de secondes ccoulëei
depuis un instant initiul donné, cf. in/ra, d" 896 et TroU. Liv.}, Mais
Newton observa tout de suite que tous les résultats qu'il obtenait
lestent exacts dans le cas où la t-ariable indipendanU n'est plus le temp*
(qui intervient dans les phénomènes physiques), mais bien une quanV
tité variable quelconque dont dépendent d'autres quantités variables
(et, ch. I, § l\). s Idcirco in iis quic sequuntur, tempus jormaliUr non con-
sidero, sed suppono quod una ex propositis quantitatibushomogenacum
aliis crescat tequabili Fluxu, ad quam ceterce tanquam ad Tempus
referantur, quie ideo per Analoglam non inconcinne dici potest T'emplis.
Quoties igitur vox tempus in sequcntibus invenietur, .. hoc verbum
eumendum est, non quasi Tempus intellcxissem in sua formali sigiii-
licaliane, sel tanquam sij^nificans quantitatem illam à Tempore dî-
versam, cujus .'equabili Incrcmcnto vel Fluxu Tempus exponitur et
{Mellioitiis fluxionum, apud OpiuciUa AfaÙiemal., t. I, 174}.

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£tvde DBS FoscTioss d'cne vahuble 385

les coeDicients sont des constantes], et foncliont rationnelles [rap-
ports (quotients) de polynômes en x, cf. 374].

Considérons d'une manière générale une expression où n'entrent,
en fait d'opérations effectuées sur x [voir 379) que des additions,
soustractions, multiplications et divisions : il résulte des règles
de calcul données au $ 9 du chapitre i que cette expression peut
toujours être mise soua forme d'un quotient de polynômes (com-
parer n' 376) : elle définit donc une Jonction rationnelle.

Si par contre il entre, dans f{x), parmi les opérations effec-
tuées sur la variable, des extractions de racines (élévations k des
puissances fraclionnaïrea), la fonction y = f[x) est une fonction
algébrique non-rationnelle [exemple : la fonction y = ^x* + i J.

389. Conventîona relatives aux fonctions non-nttioimeUee.
— Nous avons fait au n" 136 la convention suivante : par le sym-
bole a ' , ou (/a (où q est un entier positif), est désignée celle des
racines d'ordre q du nombre a gui a le même signe que a.

Cette convention, fort naturelle dans le cas où a est un nombre
déterminé et connu, n'a plus de raison d'être si la quantité sous le
radical est une fonction d'une variable x ; une telle quantité, en
effet, n'a pas de signe déterminé quand x varie. C'est pourquoi,
lorsque nous écrirons (sans plus) le symbole \/f{x) ou [f{x)] ^, nous
l'interpréterons désormais comme pouvant représenter à volonté
{si q est pair) une racine positive ou une racine négative.

Lorsque nous écrirons, d'autre part, une identité où entre l'ex-
pression y//'(x) , il sera entendu que l'identité est valable quelle que
soit celte des racines ç"" de /(a;) que l'on y considère (à condition,
bien entendu, que, dans une même identité où l'expression figure
plusieurs fois, on ne lui attribue jamais qu'une seule valeur pour
une même valeur de x).

Quant au symbole(') ±(,'/(3:), nous l'emploierons quand noua
désirerons spécifier que nous considérons à la fois la racine posi-
tive et la racine négative de/(j7).

390. Fonctions algébriques explicites on Implloitea. —

En combinent les cinq oi)érQtions fondamentales, nous pouvons

(■} Le lymbole ± le lit plut ou moins (cf. a" 33R).

Boiiraoui. — Lm Principa da l'Aoïl^w nutUmaliqaa. aS

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iSH CiLCtL DE» PONCTIOK

coBitraîradM «iprasuoiM Jix), et par eoiw4qu«at dm fonctioiM
algébriques, en nombre infiiù et d'une eompledbï eroiM«te. Ct
h'mI point \k d'aUlMir* le seul moyen dosl Dom dispoiioBe pour
foroier des fonetioi», et la thMrie de« AcjuâlionB immis en engghn
MiHÎtôt un ealre.

AppeUnt ¥{x,jf^ une fonction de x et jr, écrWona t'Âgelîlé

(.) »>.;)= o.

Pour chaque valeur de x, celte ^Iît4 eet une équation en y
que noua suppoierons (mun-w (dn moins pour certaines valeur»
d« x) (Tune raeiiu au moine; cette racine eat une valeur de^,
déterminée par b valeur donnée k x, et <jttî varie lorsque cette va-
leur varie : c'est donc une «Jonclion b de x. Ainsi la relation

Vx •*■ i)y* — aj-/ -<- 3 =; o.
lorsqu'on U féuHit par raf^tort i riocannue y, définît lee roBctiow

V' J -+- <

Lorsqu'une ronctiop est délînie par l'^alilé y =f[x), aà f tâH
Mot expression dépeijdant de x, noua dirons que cette fonction est
défini* ej-iUieitement. Une fonction définie par une égalité t«l(c
que (i) est dite, par contre : fonction iléjinie implicitement, oo
fiinclinn déjtnie par une u felation implicite ». ou simplement
fonction îniplicitt.

On appelle, d'une manière générale, « fonction algébrique de x »
toute fonction (expliciteou implicite) définie au moyen d'une égalité
qui est formée d'expreMions algéU'ique* proprement dites (voii U
notei, de la p. 372) ('). Il importe de reourquorqu 'en partant aiosi,
on étend le sens que nous avons primitivtmeDt attribué su mol
V. fonctioD ». Au i 4 du chapitre i, en eSet, nous n'avons dé-
iini comme telles que \e& fondions qui sont écrites ou peuvent (<}

(' I On démontre d'ailleurs qu'il est possible de d^ftnir une quelconqu»
de ces fondions par une relation implicite P(x, y) = o dont le premier
meiobie est ub polynoaw ea z et y. Cela revtant 4 dJN qu« l'on pout tou-
jours transtuciner l'équalian V[x, j) == 0 en une équation équivalsate
dont lo premier membre est un polynôme. Cf. p. 336, note i, et infra.

['] Ces deux hypothèses sont équivaleatei puisque la fonction est, par
iléiinition, indépendasta de l'expresaMU qui la tsprtswta feh. I, $ 4)-

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ÉTUDE DBS FOnCIIOnS DV^K VARIABLE 3$7

itre écrites bous farine explicite. Or il est clair que loute foaction
implicite ne peut pas être écrite explicitement (<) : si, par exemple,
U relation ( i) est une équation du cinquième degré en y, nous ne
pouvons former aucune expression slgébiique qui représente les ra-
cines (en fonction des coetlicients de l'équation, et, par consé-
quent, de x).

Qu'une fonction, cependant, aoit explicite ou implicite, nous
pouvons toujours, lorsque nous en énon<,x)ns les propriétés, con-
venir de la représenter par le sjmbole f{x), — étant bien entendu
que J{x] ne désignera une u expression algébrique » que si la
fonction est définie explicitement.

391. Fonction définie dans un intervalle. — Des déOnîtioas
données pltis haut il résulte qu'une foaction est une loi de cor*
ref/KMidaA£e,suivantlaqu«lleà des valeurs variables indépendantes x
répondent des valeurs de la variable dépendante y.

11 se peut qu'une telle loi de correspondance soit définie pour
toute valeur dex; ainsi l'égalité 7 =^ 3x< — 1 détermine la valeur de
y quel que soit x. Mais U est possible aussi que U loi ne soit défi-
nie que lorsque X varie entre certaines limites : ainsi l'égalité
y = v'i — x' ne donne une valeur (') de y que si — 1 < a; <; i :
pour les autres valeurs de x, en effet, la différence i — «'est né-
gative et n'a pas de racine carrée.

Ainsi donc, si noua voulons étudier une fonction en détail, il
nous iaut d'abord spécifier pour quelles valeurs de x elle est défi-
nie. Nons dirons qu'une fonction y est définie ou a existe 11 dans
l'intervalle {') a, b, si elle est déGaie pour a < x < fc, c'est-à-
dire pour X variant entre les valeurs a et b. Une valeur de x à
partir de laquelle la fonction cesse d'exister (extrémité d'un inter-
valle ou la fonction existe) sera appelée valeur critique oa sin-
gulière.

(■} Vie» êupra, tf J&o.

(■) Elle en donne d«ux ai l'on ne spécifie pas le gigue dont on affecte
le radical /i — a«*.

(3) Lorsque noua disoDB BÏmplenient que nous iludiotu la foactioD dans
l'intervalle a, b, noua n'entendrons paa nécessairement dire par là que la
{•BclioB n'axiata que dans cet intervalle : ell« peut enster dADS ua iater-
Talls plus grand qne celui qu'il nous plaît da coDsidérer.

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388 CALCUL DES FOSCTIOfS

303. — I^ mot « intervalle » éveille dans notre esprit une
image physique : c'est qu'en effet ce mot, comme la plupart de
ceux qu'emploie la théorie des fonctions, (ait allusion à la repré-
santalioD géométrique des nombres -abscisses. Portons les valeurs
de X, a et 6, à partir d'une origine o, sur un axe orienté (n* 127) :
ces valeurs

sont alors des abscisses, et nous constatons que si a <; x < 6,
l'extrémité de l'abscisse x est située entre tes extrémités des abcisses
a et 6 : c'est [nurquoi nous disons que le point représentatif de x
est « dans l'intervalle a, h ». C'est encore par allusion à la figu-
ration des abscisses que nous dirons d'un nombre qu'il est n situé n
dans un intervalle ou « au voisinage n d'un autre nombre. Ces
locutions se comprennent d'elles-mêmes.

393, Fonction inv«ra«. — Soit y =:/(x) une fonction de x.
L'égalité qui la définit peut s'écrire y — fix) = o et il nous est loi-
sible, évidemment, de la considérer comme une relation implicite
définissant x en fonction de y. Ainsi la même loi île correspon-
(lance qui fait correspoiiiire une valeur ilc y à une valeur de x, fait
corresiHUulre inrersemeiil une valeur de x à une valeur de y : se
donner une fonction ydex, c'est se donner du même coup une
fonction (') X de j : cette fonction est appelée * fonction inverse «
de la fonction /(x) ou y{x). •

Exemples. — La fonction inverse de la fonction y = x* est la
fonction x ^ )/y. La fonction inverse de v = x' + x est

^ _ - I ± ^/T^=r^

Remarque. — Il importe de se garder d'une confusion k la-
quelle pourrait prêter notre langage. On sait que l'on appelle m-

verse d'un nombre a le nombre -; on appellera, semblablement.rn-

(') La fonction invene, naturellement, ne peut pas toujours (tre d
■oua la forme : x ^ expression algébrique de 5 (cl. n" 3go).

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ÉTUDE DES raTiCTIONS d'uHE VARIABLE SS^

verse d'âne fonction y{x) la fonction -.-r ; ainsi l'inverse d'un*
fonction et sa fonction inverse sonl choses tout à fait Jifférentes,

394. Fonction de fonction. — Soit y une fonction de x et
X fonotion d'une variable indépendante z. Il est manifeste que la
variable dépendante y se trouve élre fonction de la variable z. En
particulier, supposons que les fonctions y de x et a; de z soient
données explicitement : si dans l'expression dey je remplace (') x
par son expression en fonction de z, j obtiens Fexpression de y en

fonction de z. Ainsi, les égalités y r^ six, x — donnent

l'égalité y = V' Ï'6S fonctions définies do cette manière

sont appelées i< /oncf j'ofts de fonctions », ou « fondions compo-
sées ». Nous en rencontrerons de nombreux exemples dans la
suite de cet ouvrage,

3SS. Branoh«B de lonotlon. — Considérons l'égalité y :^f(x),
où f[x) est une expression algébrique quelconque contenant x. En
vertu de celte égalité, et dans certains intervalles toutau moins (voir
301), à chaque valeur de x correspond une valeur de y. Mais n'en
correspond-il qu'une seule ?

La réponse variera suivant la forme de l'expression /(a;). Si
y ^J\x) est une fonclion rationnelle, il est certain qu'à une valeur
de X ne correspond qu'une valeur de y. Au contraire l'égahté
y= \/x qui définit y comme fonction de x pour x > o donne
pour chaque valeur de x deux valeurs ditlérentes de y, égales et de
signes contraires. Nous dirons que nous avons là deux v branches »
différentes d'une même fonclion. La raison qui nous fait nous
exprimer ainsi n'est point seulement que d'après le h° 389, le
symbole général y'x signifie, pour nous, à volonté + /x ou — /x.
Nous remarquons que les deux a branches de fonction » y^ -H v'ï
ety = — /x sont fonctions inverses d'une même fonction, la
la' fonction x ^ y^ : c'est pourquoi nous regardons ces deux
brandies comme appartenant à une même fonction.

(') L'opération ainai eOecluêe est appelée a changement de variable
algébrique ■,

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3gO CALCOL nES FO^CTfO^S

Ainsi, nous lomnies avertis que l'égalité v = f\x) peut
définir une fonction pourvue de plusieurs branches. Mais nous
n'allons point, pour l'instant, nous préoccuper de cette circons-
tance. En eflet l'étude d'une fonclion ;y ^^y^a;) est principalement
l'étude de la variation concomitante des variables x et y à partir
de valeurs données : la variable x part de ta valeur x^, y part de la
valeur y^ [telle que j", =^- f{xo''\, et il s'agit de savoir comment
varie y à partir de y^ lorsque x varie à parlir de x^ ; la variable
dépendante y peut n'être qu'une branche de fonction, mais cette
branche est en tout cas déterminée d'une manière unique (du moins
dans un certain intervalle contenant x,) par les valeurs x». y, d'où
nous partons. Nous ne considérerons, jusqu'i nouvel avis, f/iu des
intervalles où il ne cesse pas Sen élre ainsi, c'est-à-dire des inter-
valles De oociteiunt aucune valeur de z pour laquelle ptusieure
branches de la fonclion peuvent venir se oonfondce (en prenant U
même valeur). Iln'y aura dèslors aucune ambiguîtédAnsDOtre lan-
gage si nous disons « fonction » au lieu de n branche de fonction n
en spécifiant que nous suivons la fonction, an voisinage de x^, h
partir des valeurs initiales x^, rg. La fonction sera dite uiùvoqae
[ou anifarme] dans les intervalles dont nous venons de parler.

396. Continuité. — Les fonctions algébriques sont, en géné-
ral (I), continues au voisinage de toute valeur Xtdex pour laquelle
elles existent. Nous entendons dire par là que ces fonctions y i&x
satisfont eui conditions suivantes : i° lorsque x (à partir de x*).
varie très peu, y (partant d'une valeur déterminée y*) varie égale-
ment très peu : 3* soit y, la valeur de y qui correspond à une
valeur x, voisine de xo : y prend au moins une fois, pour x variant
entre X| et Xi, cltacune des valeurs comprises entre y^ etyi. Une
comparaison va nous aider i comprendre ces énoncés. InnaginoM
que dans le cours d'une après-midi la température varie : BiOUS
pouvons alors considérer que la température à un instant quel-
conque est déterminée par l'heure qu'il «st, c'est-à-dire par le
temps écoulé depuis midi : elle se comporte comme si ella était
foiicliiin de l'heure. La température peut varier plus ou moins vit»,
mais nous admettons qu'elle se modifie d'une manière continue.

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ÉTUDE DBS rONCTIOSS d'uEIB VAAUDLG ^1

«lie De fait pas de sauU brUK(ue« {nalura non (mit tcdlms] ; ainsi,
pendant un temps très cotirt, par exemple — -— de seconde, la
température varie très peu ; et, d'autre part, sï d'un instant à un
autre la temjtérature est montée de i5 degrés k i5,02 degrés,
nous sommes certains qn'il y a eu au moin» an instant intermé-
diaire oà la températare a été dâ i5,oi.

La théorie de la figuration des fonctions, «jue nous exposerons
au chapitre m. ramène la notion de continuité à une notion géomé-
trique élémentaire et intuitive : Celle de courbe continue, ou courbe
pouvant être tracée sur le papier d'un trait continu.

Si nous voulons, par contre, rester placés au point de vue de
l'arithmétique et de l'algèbre, nous ferons appel — alin de pré-
ciser et de rendre tout à fait rigoureure notre définition de la con-
tinuité — à la notion de limite que nous avons introduite au S tf
du Premier Livre.

Nous dirons que la fonction ou branche de fonction y ^/(j;)
est continue pour la valeur x„ de x si, lorsque l'on donne à x une

suite quelconque de valeurs (en nombre infmi) ^i, x^ t„, ....

sc rapprochant de plus en [rfus de x^ et tendant vers la limite xa.
In valeurs cvrrespondantea de y forment une anite tendant ven
une limite déterminée {et toujours la même) y,,, égahihf[x„).

Ceci signifie, d'après la définition de la limite, que : quel que
soit le nombre donné, arbitrairement petit, î, on petit trouver un
nombre cf. assez petit pour que, si \ x„ — x,, ( < a [ce qui équi-
vaut & dire que », — k <3;„< «o -t- a], (7enrds«//e(') l'inégalité:
|/(a^,) —/(«») I < £. ou : r. — £ <f{x„) < yo -t- î.

Lorsque cette circonstance se présente, on peut (sans spécifier
quelle est la suite de valeurs Xi, x%, .... Xn, >■■> convergeant
vers Xo, que l'on donne à x) dire que y tend vers la n limite »
yt lorsque x tend vers x^.

Cette déPinilion de la continuité, est conforme à celle que nous
avons donnée pins haut, tes diverses propriétés qui caractérisent
les fondions continues en peuvent être déduites (').

Cela établi, nous dirons qu'une fonction y =:/(jc), d^inie

(■| Par f\Xm], /ze) noua déai^erons les valeun priies par/ pour x =• x,
(•) Voir ii^ p. 423, note a et Tnia. Liv., chap. m, § r.

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Sga CALCUL des fonctions

dans un certaÏD iatervalle a, b est continue dans cet inlervalle sî
elle esl continue pour toutes les valeurs de x comprises entre
a et 6.

397. CrolsMuioe «t déorolsBatioe des variables. — Pour
pouvoirp&rler de la continuité d'une fonction, il faut naturellement
que nous fassions varier d'une manière continue la variable indé-
pendante X. J'entends par là que, pour passer de la valeur Xo â
une valeur voisine 0^ + A, nous faisons traverser k x toutes le»

valeurs intermédiaires telles que œ«-i- -, x^ -h ^, etc. Le nombre h
peut d'ailleurs être positif ou négatif ; si A > o, on a rc -h A > xo,
et, de Xo en ocg -t- h, x va" en croissant (croit) ; si A < o, on a
X(i -t- A < a:o et I va en décroissant (décroît) de Xaen xo + h.

Cela poaéj nous voyons que dire d'une fonction ^ de x qu'elle
est continue, c'est dire que j'crott ou décroît d'une manière continue
à partir de j-o lorsque x croît ou décroît dune montre continue.

3QS. Pflles et Inlinia des fonctions. — Pour un esprit non
prévenu, la notion de continuité est intimement l^ée à celle de
fonction algébrique. Aussi ce que tout d'abord nous devons nous
attacher à comprendi-e, ce n'est pas qu'il y ait des fonctions
continues, c'est au contraire que la loi de continuité puisse souffrir
des exceptions.

Ces exceptions existent. EUe^ se présentent, en particulier, pour
les valeurs isolées de x pour lesquelles les fonctions algébriques
ont une valeur infinie.

Considérons la fonction y ^ • Cette fonction est bien dé-
terminée pour toutes les valeurs positives ou négatives de x. Pour
X ^^ o, ella n'a pas de valeur. En effel, lorsque x est positif et
se rapproche de o, la fraction - (tout en restant positive) devient
plus grande que les nombres les plus grands ; lorsque x est négatif
et se rapprocbe de o, la fraction est négative et sa valeur absolue
devient, elle aussi, infnimeiit grande. Nous exprimons ces faits
en disant que, lorsque x tend vers o, y devient infiniment grand
positivement ou négativement suirant que x est positif ou né-

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iTUDE DES FoncTto:48 d'u:(e variable 3gî

gatif ('). 11 y a, en ce cas, discontinuité de la fonction pour
x = o.

Afin de pouvoir regarder la correspondance enlre x et y comme
définie quel que soit x, nous conviendrons de dire que la valeur
de y correspondant ï a; ^ o est Vinjïni et nous écrirons :

j- ^ 00 (pour X ^ o).

La valeur a: =^ o, pour laquelle la ronction rationnelle y ^ -
est infinie et discontinue, est appelée '< jiùlc » de cette fonction.
On constatera semblable ment que les fonctions

■ 3j + 1 3-' — 33; -H 5 .

sont infinies (') et discontinues pour x ^ i . La valeur a; i^ i est
un pôle pour cliacune de ces fonctions.

D'une manière générale, pour la fonction rationnelle y == _^

[P et R étant des polynômes en x\, toute valeur de x qui annule R,
sans annuler P, rendy infini et est un « pôle ».

Nous parviendrions à des constatations analogues si nous étu-
diions, au voisinage de la valeur x ^ o, des fonctions non ration-
nelles telles que j-^ i~'.y^—, , qui deviennent ïnfi-

x^'icx-hd)
aiment grandes en valeur absolue lorsque x tend vers (se rap-
procbede) la valeur o. Nous dirons que, pour ces fonctions, la
valeur a; =^ o est un « injîni » (c'est-à-dire : une valeur pour
laquelle j"^^ oo)- [Jusqu'à nouvel avis, nous réserverons le nom
Ac pôle aux u inlîniu » des fonctions rationnelles (*)].

(') Remarquons en outre que, lonque x traverse la valeur o, en pas-
sant du signe — bu signe -|-, y saute brusquement d'une valeur négative
inCniment grande à une valeur positive infiniment grande, Nous dirons
«lors que y aaute de la valeur -I- ce à )a trieur -H u . Les choses se

passent autrement pour la fonction y = ^ qui est toujours positive (cl.
itifrm tfi 5{(î).

(') Pour z = T, les dénominateurs des fractions sont nuls tandis que
le* numérateurs ne le sont pas ; et l'on vérifiera facilement que, pour x
voisin de i et inférieur à i, les tractions sont négatives taudis qu'elles
■ont positives pour x voisin de i et supérieur.

(') Voir au Troii. Liv., cbap. iv la définition générale de* pôles.

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Sgi CAlXLfc DES rOMCTIOM

3M. CoDtiiiuité da« tonoUons algébrlqms. — Les pôle* «I
infinis étant ainsi caractérisés, on peut afTtrmer que : Dana Inui
inlervaUe oà eUe exiite, til univoque, ei cotueroe vme valaw finie
{c'eil^-dire n'a point de pôU ou infini), une fitnclion aigébrtqat
t/ae/conque àê la variable x est niceuairemenl conlinut.

On a pu démontrer ce théorème en toute rigueur en parlant
de la dérmition algébrique de la continuité donnée au n<* 396 (').
Nous noua conlentona. pour le moment, de l'énoncer.

400. Fonctions croiasantea on déorolaaanUs. Maxima et
minlma. — Poursuivons l'étude générale de la fonction algébrique
y^f(x), OU (') y{x), au voisinage d'une valeur quelconque x^
de X. De part et d'autre de Xg, nous imagiaons que x varie dans
un intervalle où la fonction est supposée être déTmie, univoque et
continue, et nous examinons commeot varie y.

Supposons quex, croissant d'une manière continue (voir n° 307)
passe d'une valeur inférieure à a:^ & une valeur supérieure : pen-
dant ce temps, y croit ou décroît et pas*e par la valeur y^ jiour
X = x„ : û y croit, nous dirons que la fonction est croissante
pour x=^ x^; si y décroît, nous dirons que la fonction est ilécrois-
satite pour x = x^. Une fonction croissanle est donc caractériaée
par cette circonstance qu'elle varie dans le ntéme sens que x. Une
fonction décroissante, au contraire, varie en sens inverse du sens
de j;.

Tl peut arriver qu'une fonction, qui est croissante, au voisiBagG
de xt, dans un certain intervalle j^i' < z < X|, cesse d'être crois*
santé pour la valeur xi et décroisse dès que iz > «i : nous diront

(■) Ce théorème s'applique aux tonctioni implicites austi bicD qu'aux
fouctîoni explicitée. Par contre, lea fonctioui trauceadaiitM défiaiea au
S 10 du chapitre i peuvent être diacoutinuet toat «n reteant 11 util

Considërans par ei^empte la fonction jr ^ sin ~. Potoiu x —a x-', d'où
{/ iK ain s. Etudier y, au voidnage de x ^s o, roTtent à étudier lin ■ pour
les grandes valeun de i. Or nous savons que lonqua « augmente hid4fi-
niment, sin ( oscille entre la valeur — i et «f i sans admettre aocvae
limite Ion aura, par exemple, ain i >k o pour ]«■ Taleut* »bitr«i*aDMnt
granilea i :» An (A entier), gin i =; i pour les valeun x^ — -i- kit {k en-
tier), etc.].

{'■) Je désigne l.i fonction ainsi pour abréger, cl. a? I07.

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ÉTUDE DE* Fonctions d'l'DS VARIABLE SgS

alors qae, i>oDr x =^ ^i k ronclkm pa$ie par ait maximum : le
maximum est la valeur y, qae prend y pour x = x, (valeur sap^-
rieare k toutes celles qae prend U fonction au voisinage de x = x,).
— Si, au contraire, U fonclion est décroissante pour x <[ Xi et
croissante pour x !> Xi , nous disons qu'elle passe par un minimum
pour x^xi. — Ainsi la fonction y = 3x* passe par un minimum
(égal à o) pour x = o, puisque cette fonction, égale à un carré
positif, ne peut pas descendre au-dessous de o. La fonction
y = — 3 (a: — i)' -h 3 passe, pour x= i. par un maximum
égal à 3.

401. Remaniafl. — Il est bon de remarquer qu'un maximum
ou minimum de la Fonction ^(x) est une valeur critique de la fonc-
tion inverse x(y) [valeur à partir de laquelle la fonction cease
d'exister, voir 391]. En effet, soit, par exemple, yi un maximum
obtenu pour x = X|. Pour les valeurs de y voisines de ^1 et tn-
férieures, nous avons deux branches de,la fonction x {y), dont l'une
a des valeurs inférieures, et l'autre des valeurs supérieures h Xi ;
niais nous ne rencontrons pas de valeurs de x correspondant aux
valeurs de y supérieures à yi (et voisines de y), puisque 7, ^st,
par hypothèse, la plus grande valeur possible de y pour la branche
de fonction considérée. — Pour la valeur critique y :^ yu nous
avons deux branches de fonclion x{y) confondues.

Ainsi, la valeur y — 0 est critKjue pour la ronction a: =1/^ •
ioTcrse de 3x'; la valeur y = 2 est critique pour la fonclioa
X = I -+- v/Ll^lJ' [fonction inverse de y = — 3 (x — i)' -t- a|.

402 Remarqfne. — Au cas où l'on considérerait la fonction y
daos un intervalle où elle n'est pas continue, il se pourrait que la
fonction possAt d'une grande valeur li une valeur plus petite sans
pour cela présenter un maximum. Celle circonstance se présente
po«r une fonction telle que - _ ■ dont la valeur Xo est un pôle,
et qui aauU de -t- » 4 — «o ; croissante (jusqu'à -+- «c ) pour
X <. Xo, ette est encore crMssantc (mais repart de (a valeur néga-
tive — 00 ) quand x dépasse Xg.

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3g6 CALCUL DES l-O.NCTlO^tS

403, — Ces remarques Taites, proposons-nous de poursuivre
l'élude de ta croissance ou de la décroissance d'une fonction algé-
brique. Four faciliter cette étude, nous allons être amenés h définir
une opéralton nouvelle, dont la portée est considérable : l'opéraUon
de la dirivalion.

404 Le rapport , . — Considérons (') une fonction de x, que
je dfîsignerai par le symbole y{x), qui soil égale à y^ pour x égale
à Xf, et univoque et continue au voisinage de x^. Jesuppose que je
fasse varier» avec continuité à partir de a:e(c'"397 sqq.) :cela re-
vient à donner à x un certain accroixsement h [H'ailteurs fiosillf ou
négatif) : la variable x, en d'autres termes, passe de la valeur a;, à
la valeur x — x,, -)- h. Pendant ce temps, la variable y subit, elle
aussi, «n accroissement k, positif ou négatif : elle passe de la valeur
yn k la valeur y ^ y» + h.

D'après le n*400, la fonction y est croissante ou décroissante
au voisinage de x^ suivant que les accroissements k et h sont de
même signe on de signes contraires, et, par conséquent, suivant

que le rapport . est positif ou néj^alif. Ainsi le signe de ce rapport
inillque le sent de Ui variation de la fonction. Ce n'est pas tout ; la
valeur absolue du rapport > peut être considérée comme donnant
la mesure de la rapidité aivc laquelle la fonction y est croissante
ou décroissante lorsque x varie de x^à x^-\- h. En effet, si ce rapport

(>) La notion de dérivée est, comme nous le Toirons au chop. m, % X
it liée à celle de tangente à une courbe, et c'est loui ce Ttte-
t géométrique qu'elle apparut d'abord dans la icience ; elte fut défi-
'emenl lirée au clair par Newton et Leibniz [voir injra, Troia.Liv.,
chsp. II]. C'eat de l'œuvre de ce dernier géomètre que procède hiatori-
quement lo calcul des dérivées tct que noua le pratiquons aujourd'hui :
les règles principales en sont exposées dans le traité t Nova meihodu»
pro maximù el minimit item^iu langentibua, qute née fractat nec irra-
tionales quanlitatti moralur, et singulare pro iltit ealeuii genus i qui fut
publié dans les Acta erudilorum en idH. Le mot derivare est introduit
par Leibniz dans sa A^ponse n .Ve*ton de ifijy (Mathem. Werk., t. I,
p. i:.,f6a;.

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DÉRIVÉES 3^7

est très ^and (en valeur absolue), c'est que l'accroissement de y
est très grand par rapport à celui de x : donc la croissance ou la

décroissance de y est 1res rapide. Si la valeur absolue de r est très
pelite, la croissance ou décroissance de y est très lente. A un double
point de vue donc, la connaissance du rapport t nous donnerait,
sur la variation de y{x), d'utiles indications.

Mais ces indications n'auront évidemment un ïntérttque si h (et,
par conséquent, k, d'après le n" 396) est ti-ès p«lit (positif ou né-
gatif), lin effet, si h n'est pas très petit, nous ne pouvons rien
dire de précis sur la rapidité avec laquelle varie y dans l'intervalle
x^ï.Xa-\-h. puisque cette rapidité est susceptible de varier elle-même
quand 2; parcourt (') l'intervalle. Ainsi, dans le coursd'une heure
la rapidité d'un train peut changer bien des fois, et si, parce que
le train a parcouru finalement 90 kilomètres, je dis qu'il a « fait du
90 ik l'heure » je ne définis ainsi qu'une vitesse moyenne et (iciive :
tantôt, en réalité, le train a fait plus et lantcU moins. Pendant une
durée très courte, au contraire, — par exemple un millième de
seconde, — je puis admettre que la rapidité n'a pas le temps de
changer, en sorte que l'espace parcouru par le train me donne bien
une idée de sa vitesse elTectivc. Plus l'intervalle k sera petit, plus

le rapport t indiquera avec exactitude la rapidité (') de la variation
de la fonction aa moment précis ot'i x passe par la valeur x^.

405. — Supposons donc que nous considérions des

(') Sur cette assimilation d'une variable x à un point (extrémité d'une
abscisse) mobile sur une droite, voir lupra n° '{93.

{*) C'est eu recourant ainsi à la considération du mouvement que
Nbwtom définiasait la dérivée, qu'il appelait /Iiuriori-Consiclcrant lc9 quan-
tités fonctions de x (qu'il appelait fluerUM) comme des points mobiles
(voir la note précédente) il en calculait les vitesses pour une variation
arbUrairtmant petite (et, à la limite, injinimenl petite) de la variable :
■ velocitatei quibus singulie Fluentes augentur per motum generantem
(quai vélo ci ta tes appello Fbixiona, aut simplicitet vtlocitatea vcl ceUrilates)
expnmuntur eisdem litteris puncto auctis, sic à, x. ^ et ï 'Ja variable
iniiiptndanUHaitdétignéepart\t {Mtlhodiu fluxionum, Opuscula Mathem.,
p. bi. Cf. supra, p. 383, note i). La notation que propose ici Newton
n'a point passé dans l'usage. — Sur la définition rigoureuse do la vitesse,
voir Troia. Liv., Qn du ch. 11.

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398 ClLLCUI. DM rO^CTIO!(S

ments&et A-deplusen phuti arbitrairement {')ptlit»: don, dans
la fraction r , lee deux termes deviendront plua petits que n'im-
porte quel nombre donné ; mais ta fraction j- pourra, quant à elle,
se rapprocher d'un nombre déterminé (ni infiniment petit, ni infi-
niment grand); etceoombre, alors, a limite de f^ pour h = o »,
sera la mesure de la vitesse de la variation de y. Coaunenl Is rap-
port 1 est en effet susceptible d'avoir une limite, c'est ce dont nous
nous rendrons racilemenl compte en remarquant que puisque y
est fonction algébrique de x, l'accroissement k est lui-même
fonction algébrique de h, et fonction égale k o pour h ^= o :
ainsi k est égal à une expression algébrique telle que par exemple :

aft k

fc= aA-4- 3A* ou A = --j--^,, etc. Les valeurs de r correspon-
dant k cen exemples sont :

aft
-3ft. '' "

S S ' A A I -1- k*'

on voit que.lorsqueAserapprochedeo, ces valeurs se rapprochent
d'une valeur déterminée, 3, bien que la fraction , dont les deux termes
deviennent arbitrairement petits, lende i prendre (si on ne la
simplifie pas) la forme dépourvue de sens -,

Lorsque la limite de r existe ('), eHe est appelée dérivée de la
fonction y pour x = x^. La valeur de la dérivée peut naturellement
varier, et varie en général, avec la valeur de x, : elle est donc
fonction de x^.

406. Exemptai do d6riré«*. — Conaidérons la (ianction
y = x*au voisinage d'une valeur quelconque Xg de x. Ptmrx^Xt,,
nous avons y ^^ j",, ^= x'. Pour x ^x, + h, nous avons

y s= y,, -*- k as {Xf, -¥- k)'.

{') Au SKnn de la page 55, oole [.

(*) Voir au n" {07 {Remai'que) ce qu'il faut au juste «nt«]idre par li.

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En conséquence:

k = (x« -+- h)* — x', ~. xr,h -I- A' ; , := 3x, -4- A ;

lorsque h tend vers o, le rapport i admet la lîmile 2x^ : celte li-
mite est la dérivée de la fonction pour x -^ Xg. D'ailleurs x^ est
une valeur quelconque de x : nous pouvons donc énoncer le résul-
tat suivant : pour tonte valeur rie X, la fonction y = x^ ailmel une
dérivée égale à 2X.

Considérons la fonction y =^- ^âr au voisinage de x^. Nous avons-

r» = v'ii- j-o -+-*■■ ^ /xpï^ s, k = A, -i- h — v'ï;

d'où l'on dédoit (') (d"apris le o" 303) * = -_=i _.

Lorsque h (end vers o, le rapport t admet une limite égale »
. Nous énoncerons donc le résultat suivant : pour toute vn~

leur de x, la fonction y = ^'x admet (ou a) une dérivée égale à
a ^x

4tn. Déttnitioa générale de la dérivée. Hotatioiu. — Noue
aviMB vu comment on déilnit la dérivée pour une valeur x^
de x; cette valeur étant quelconque, il est permis de la désigner
par la lettre x, sans indice, ainsi que nous l'avons fait dans les deux
énoncés donnés ci-dessus. On formule alors, d'ordinaire, la déQ-
nitionde la dérivée dans les termes et avec les notations suivantes :

Soit X une valeur quelconque de la variable indépendante (au
voisinage de laquelle la fonction est supposée uni voque et continue)
et ]' la valeur correspondante de la fonction. A partir de la valeur
xjo dfHine k la variable ind^ndante un accroissement (positif
on négatif) égal & ^Ib : il en résulte pour y un accroisaement Sy.

Si le rapport r - admet une limite (et une limite unique) lorsque

(') On !• voit en faitattt s == x« + A at ^ » Zg datie l'identilé-

i/â — t/3 = -r= ^ Qui se déduit immédiatement des ideatitéi (XV I

du n* 3o3.

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^OO CALCUL DES

Ax prend une suite quelconque de valeurs tendant ver» o, cette
limile est la dônWe de h fonction pour la valeur x de la variable.
Brmarqae. — Aux termes de cette définition, on suppose tou-
jours, lorsqu'on déclare que la fonction admet une dérivée, que la

limite du rapport v^ et la même que r accroissement \x tende
vers o par valeurs positives ou par valeurs néijatives.

On désigne généralement la dérivée de j par la lettre y affectée
d'un accent (o/i /// .y prime), ou pacy,. l'indice indiquant la variable
par rapport k laquelle est prise la dérivée : on l'écrit aussi (■) :

/ , symbole qui rappelle que la dérivée esl obtenue en prenant le
rapport de deux accroissements Sy, àx que l'on fait tendre vers u.
Si l'on veut rappeler que les variables dépendantes y et ^ sont
Gonclions de x, on peut, au lieu de y et y', écrire : y(x) et y'{x)\
ou bien, si l'on a posé y ^^ ({x), on écrira : y' =^ f (x).

40S- Dérivées d'ordre supérieur. — La dérivée y, étant
fonction de x, pentavoir elle même une dérivée : celte dérivée sera
appelée i( dérivée seconde n ou « dérivt'e d'or<lre 3 ■ de la fonction
^ : on la représentera par le symbole (') y' [y seconde], ou par le

symbole -.--j, symbole dont la forme sera justifiée ultérieurement.

La dérivée de y' (dérivée troisH^me ou d'ordre lrois)s'6ccity',OM
■,',. La dérivée d'onlre ^ s'écrit y'*' ou t-^ , et ainsi de suite.

Le calculde la dérivée d'une fonction peut être considéré comme
une opération effectuée sur l'expression de la fonction. Nous appel-
lerons cette opération : dériralion.

409. Dérivée d'une constante. — Une constante est une
quantité qui reste fixe lorsque x varie. Son accroissement est donc
nul quels que soient o; et A37 : j'en conclus que sa dérivée est tou-
jours nulle.

i'\ Ces notations — dont les très grands avsatages apparaîtront dan*
la suile — sont, à quelques modiftca lions prèi.cellea qu'employait LsiaMZ,
et qu'il définit dans son traite des Acia eruditorum, 168.I (vide tapra,
p. 'Ir|6, note i)-

('1 Si l'onaposé t/ = i/i)ouy= /x), on pourra écrire y' = j^;x) ou /■(«).

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DÉRIVÉES 4oi

410. Dérivée d'une aomnie. — La dérivée d'une somme esl
égak à la somme des dérivées des termes de cette somme. Suppo-
sons, en etTet, que la fonction y de x aott la somme de plusieurs
fonctions, par exemple {') de deux fonctions u et v. Appelons
Ay, Au, Au les accroissements subis par y, u, v, lorsque x s'accroît
de &X : nous avons évidemment :

âj- = An -1- Aj).

L'égalité subsiste lorsque nous divisons les trois accroissements
par àx : cela quelque petit que soit àx.

Si donc nous faisons tendre Ax ver» o, nous avons :

limite de -T^ =: limite de ^ h limite de -ï- ■ donc y' = u' + i/.

&x ax Ax -^

411. Dérivée d'un produit (*). — l' Le produit (Tune fonction y
par une constante a a pour dérivée le prodait a/. En eflet, lorsque
X s'accroit de A:c et y de A^, l'accroissement de ay est aAy et le

rapport de cet accroissement h Ax est d t~ -

2* La dérivée du produit uv de deux fonctions u et v esl égale à
u'd + v'u.

En effet, posons y = uv el appelons Au, Au, A^, les accroisse-
ments de Au, Av, Ay correspondant i l'accroissement Ax de x.
Nous aurons

Ay = (u -(- An) (ti -t- Au) — uv =^ vAu ■+■ nAv + Au. Au;

donc

&y A«^ iv^àii

Ax Ax Aa: Ax

égalité qui subsiste lorsque Ax tend vers o, et qui donne (Au de-
venant nul) :

<" Ê = ''E + "È = ~'+"'-

[<) La même démonstration s'applique & la lomme d'un nombre quel-
conque de fonction!,

(*) Leibniz énonce ces règles sous une forme un peu diSérente en
«onaidérant, au lieu des dériféea, les di^èrantieUt», dont nous parlerons
dans notre Trùisiima Livre, ch. ii.

BouTKxn. — Lm Principe» d* l'ABaljM milUmiliqaa. iS

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409' CALCIII, DBS FONCTIONS

41X XMrivéa lognrikkniqua. — On appelle dùmée log»-
rithraîque d'une fonction y 'vide infra 432) le rapport - . L'intérêt

de cette expression lient su ihéorème suivant :

La dérivée lo^arilhmiqae d'un produit est égale à la somme des
dérivées Inijarithmiques des facteurs du produit.

Considérons d'abord, en etîel, le produit y des deux Taleurs a
et i'. Nous tirons de l'égalité (i) [en en divisant les deux membres
yy] -V^^ b'^ v' ^"wlâroDS nainleiuDt laptodoitz =: iwui;
posant y =^ uv, nous avons z = yw, - ^ "^ — i — ; mais, d aprè»

I 13 y' "' "^ j ^ "' "' '"'

ce qui précède : - = — i — ; donc - = — 1

^ ^ y u v' t a V w

De proche en proche, nous démontrerons ainsi que le théorème

est exact, quel que soit le nombre des facteurs du produit.

413. Dérivée d'aae puissant» entiAre d» x. — Soit )' = x*>
une puissance entière de x. La dériva logarithmique de x" esl
égale à m fois la dérivée logaritlimique du bctaur x, : or cette der-
nière dérivée logarithmique n'est autre que - puia^vw la dérivée de
X est (') 1 . Donc nous avons :

y m ., . , mx" ,

■'-=-; a oo / = = mx*^^.

y X '' T

Dérivt'e d'un polynôme. — Un polynôme étant une somme de
puissances de X multipliées par des constantes, nous saurons cal-
culer la dérivée d'un polynôme. Ainsi la dérivée du polynôme

y =^ 3x^ ~~ x^ + ax -h ub' est y'^3.3x* — ix-t-a^=Qx' — ax-\-a.

414. Dérivée d*un quotient. — La dérivée du quatUnl - de

En ellet, lorsque x subit l'accroissement Ax, nous avons :
u -4- Au u.

(') L« mpport de t'a«ero)sae)iiMit iaét xk e«t acoroiasemeit — mlm»
«8t fg«I à I.

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oiRIVÉgS ^3

râjaisait an même ddoominateur, il vient :

Aii_ Au
, uAii — nAu A/ _^ Sic Aa;

•^ ~ 1.(1. -hàv}'- A» ~ u- -t- «A.. "

Lorsque Ax tend vers'o, le numérateur de la dernière fraction
se rapproche de plus en plus de vu' — av', tandis que le décomi-

nateur se rapproche de u'; donc t£ admet une limite qui est

41 IW ApplioatioB. — Soît & calculer t& dérivée dftl'inTeFaa 4' un»
poÏManca enliire, x", de x : neu» poserons it = r. v = 3"*. d'ab
u' = o, v' = mx"*'^, et nous aurons :

dérivée de-- = - — j— = —

En introduisant des exposants négatifs (n° 137), nous présen-
terons comme il suit ce résultat. Posons m' ^ — m (m' est alors

négatif) : nous «vous ~ = x-" = ai"' et-^^ = a^-*; aoum
constatons donc que la dérivée de x"' est m'x'"~^ : la règle qni
donne cette dérivée est celle mâma qiM donne La dérivée de x» pour
m entier positif.

Dérivée tTune fonction rationnelle. — Sachant calculer la déri-
vée d'uB quotient et la dérÎMée d'tm polynôme quelconque, non»
saurons calculer la dérivéo d'une fonction rationnelle quelconque.

416. Dérivée tfutM lonotiDn hiTwrsa. — Soitj^ (onction de- oi;

Ay
sa dérivée est la limite du rapport ^ lorsque Ax el Ay tendent

tods deux vers o. I>'aalre part, la dérivée de b EoDction invnae

(n° 303) X de ^ est la limite du rapport t- ■ Mais, quels que soient

Ax et Ay, on a j- = v-; cette égalité subsistant (') lorsque Ax

àx

1') Les théorèmea généraux sur les limites que noua inoncoroui «n
détail Aaat notre TroiaUi»* Livre, conduisent immédiateaaent à cette
concluriou.

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4o4 CALCLf. DBS FOWCTIO«

et ly tendent vers o, il en résulte : dérivée de x par rapport à la
variable y = inverse de la dérivée dey par rapport à la variable x,
ce qu'on écrit (l'indice indiquant la variable indépendante,
cf. n» 407) :

C'est ainsi que (comme nous l'avons vu au n* 406) la dérivée de
la fonction ^ = v^x est l'inverse — de la dérivée de la fonction de y.

Soit k calculer, plus généralement, la dérivée de y ^: x-, m
étant un entier positif ou négatif, (jette fonction est fonction in-
verse de la foncUon de y, x = y", dont la dérivée est x, = my^~'
(n* 413 et n* 416). Donc, on a

417. Dérivés d'une fonoUon de fonotioti (tonotlon compo-
sée). — Soit y fonction de x, et x fonction de z. Nous avons dit
(n* 364) qu'en ce cas y peut âtre considérée à volonté wmme
fonction de x ou comme fonction de z. Nous aurons donc aussi à
considérer deux dérivées de y : l'une, limite du rapport -.'-, est
la dérivée de y par rapport à la variable x ; nous l'écrirons
y, ou ■J^. L'autre dérivée, limite du rapport ^, est la dérivéedey
par rapport à z ; nous l 'écrirons y', ou t{ . Quant à la variable x,
qui est (onction de z, elle admet une dérivée par rapport i z,

. , dx
savoir X, ou t: ■

Cela posé, nous remarquons que, quels que soient ^z, Ax et A^,
nous avons

ây Ay ix,

ài~'&x' S?'

cette égalité subsistant lorsque les accroissements Ax, Ay, Az ten-
dent vers o, nous avons à la limite

dv dy dx
?.=)■.•'. ou jj = 3i-3j-

„Google

DÉaivÉss 4o5

égalité qui nous donne la règle de dérivation d'âne fonction de
fonction (oa fonction composée).

Application. — Soil k calculer la dérivée de y = /i ■+- x'. Je
poae I H- x' = u, et j'ai alors

y = v'û, d'où /„ = -^ (n'406), «', = dérivée de i -\~ x* = 3x,

3 vu

, . , , . ar X

av'ù \/t 4- x'

La même méthode permettra de calculer la dérivée d'une racine
d'ordre quelconque portant sur un polynôme en x ou sur une fonc-
tion rationnelle.

418. Dérivée d'une puisaanoe rationnelle de x. — Consi-
dérons la fonction y := x^ , où p el q sont des nombres entiers
quelconques positifs ou négatifs. Pour calculer sa dérivée, nous
poserons a;«^= u. Nous aurons d'apris les n°* 413, 416, 416 :

y ^ uc, d'où/. =ptt>'~'; u=:x^, d'où a', =^ - x\~*i

donc v' := " u^~'.3r'~' ^^c X i x« ~' ^: " x* ~'-

q q q

Posant dès lors^ =^ m, nous pourrons énoncer la proposition

suivante : Qaelque soil te nombre rationel (positif ou négatif) m,
ta dériuée de x" est toujours égale à mx""'. Cette règle ne diffère
pas de celle qui a été donnée au n' 413 pour m entier positif.

419. Signa de la dérivée. Haxima et mlnlma. — Nous
venons d'exposer les méthodes au mo^en desquelles on calculera
les dérivées des fondions algébriques explicites. Il nous faut voir
maintenant (ou commencer à voir) quel usage nous pourrons faire
de ces dérivées.

Soity uno fonction univoque, continue, et admettant une dérivée
continue dans un intervalle a, b {vide 391),

Il résulte de la définition même de la dérivée (n* 407) que si,
pourx = Xft, la fonction y admet une dérivée positive, elle est
eroiisante ; si elle admet une dérivée négative elle est décroissante.

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4o6 CALCUL nu F01CTI0:*8

Ainsi le signe de la d£riv^ fût coDBaltn le sene de la vadatian de
la fonction.

Supposons maintenant que, pour x = Xt, la fonction passe par
un maximum (n* 400) : elle cesse de CFoitre pour décroitre : donc
la dérivée /, qui était positive (au voisinage de Xi) pour x ■< j",,
devient négative pourx >- x,, et comme y varie d'vue otanière
continue, celle fonction est nulle pour x = Xi. Bécîproquemcnt,
si la dérivée y" est nulle pour x =^ x,. et ù elle pa&se du sigae +
au signe — lorsque x, en croissant, traverse la valeur x,, nous
sommes assurés que la fonction y présente un maximum.

Supposons au contraire que, pour x =: x,:ii fonction passe par
un minimum ; elle cesse de décroître pour croître ; donc la dérivée
s'annule et passe (lorsque x passe de x <. x, h x >■ x,) du signe —
au ugne +. Réciproquement, si la dérivée se comporte ainsi, la
valeur x == x, donne un minimum de la fonction (').

Cela étant, il nous sera facile de déterminer le sens de la varia-
tion de la fonction y(x) pour une valeur quelconque Xg de x. Si la
dérivée yi^Xi,) est positive, ta fonction, avons nous dit, est crois-
sante; si y'{x^] < o. la fonction est décroissante. Dans le cas où
y {x„) ^ o, considérons la dérivée seconde, y, poin- la valeur x,
de j;. Si y(xo) !> o, la fonction y{x) est croissante pour x ^= x,;
donc lorsque j^ passe de x <. x« i x > Xo, la dérivée y' (nulle pour
X = Xo) passe du signe — au signe 4- : donc y présente un mi-
nimum. Si, an contraire, y'ixo) ^ o, yix^) <; o, la fonction
.présente un maximum.

ftemarqae. — Ia régie ainsi formulée est en défaut si l'on
a en même temps y{Xf) = o, /"(ko) >= o. En oe cas la fonctioD
y', nulle pour x ^ x^, passe, pour cette valeur, parun maximnni
ou par un minimum, suivant que la dérivée seconde, y", est néga-
tive ou positive (en x^Xn). Si y passe paT un maximum, oetic
XoDClioa est positive de part et d'antre de w„ ; donc la fonction y ne
cesse pas de croître lorsque x traverse ta valeur x^. Si y' passe par
un minimum, la fonction y ne cesse pas dedécroltre. Dans le cas,

(') Sans nommer cxpreasément la dérivée — qui n'avait p«int sscore,
de iDD teKipi, été défiais ot éludiéo — Fermât indique trè> esactantEat,
dauB un opuEcule communiqué k Ueecartes en i63>t, la marche du calcul
qui conduit à la détermination des maxima et de» minima [voir in/ro,
p.5.,,.o».J.

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DÊUVÉES ^7

OÙ l'oa aaroit y'(x^) = o, y'ixa) =■ o, y'ix^) =.o,<m ferait inter-
vBQÎr la dérivée d'ordre 4 et mumï de suite (').

420. Théorime doa aoorolBBsmaiita liais. — L'application
que nous venons d'indiquer n'est pas la seule, loin de là, à laquelle
donne lieu le calcul des dérivées. Nous alloua voir, en effet, sans
tarder que la notion de dérivée joue un rôle de premier ordre dans
tous les problèmes essentiels de l'algèbre et de l'analyse. Mais, avant
d'aller plus loin, faisons tout d'abord une remarque qui se rat-
tache directement à la définition de la dérivée.

Nous avons dit que la dérivée mesure, en quelque manière, la vi-
tesse delà varîationde la fonction dans un intervalle Xg — h,X(,A- h;
mais ensuite nous avons restreint cet intervalle et, en fainant tendre k
vers o, nous l'avons rendu u infiniment petit ». Ainsi la connais-
sance de la valeur de la dérivée pour une valeur détermlDde x^dex
ne pourra, semble-t-il, rien nous apprendre k elle seule sur la
variation de la fonction dans un intervalle fiai (non infiniment
petit) con^nant x«.

Non, sans doute, nous ne pourrons rien déduire de celte valeur,
si nous choisissons au hasard l'intervalle et la valeur x^. Mais
nous pouvons démontrer la proposition suivante qui est, nous le
verrons plus tard, grosse de conséquences : Si /[x) est dans tinter'
voile a, b, une /onction conJinue pourvue (Tune dérivée, U existe
un nombre x» de f intervalle tel que tan a tégalîté

Ainsi le rapport, à l'accroissement 6 — a de la variable, de l'ac-
croissement correspondant de la fonction, est mesuié par la valeur
prise par la dérivée en un point (au moins) intérieur à l'inter-
valle a, b.

(>) La diacunion qui pTécède eat faite dans l'hypothèse où la fonction
|f(«) et »a dérivée, — la fonction y' = /[x) — sont toutes doux uni-
Toques et continues au voisinage de la valeur sct. Dans le cas oii il n'en
«•t_ pas ainai, une étude ipéciale est nécessaire pour voir comment le
comporte la fanctÎDn. AiDsi la fonction y -= x^x, dont la dérivée,

éfale k „ ^/î, s'annule pour x ^ ", ne présente, pour cette valeur de x
DÎ maxiiDum, ni minimum, et n'est ni croisBante, ni décroissante : elle
cesse d'exister pour x négatif et la valeur x ^^ o est pour elle une palsur
aitique au mus dv aP Syi.

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4o8 CALCUL DES PO^fCTlOHS

Pour démontrer ce théorème, nous ferons d'abord la remarque
suivante : Si une fonction P(x), tmivoqae, continue el admettant une
dérivée continue, dans Tintervalle a, b, t'annule pour x = a et
x = b, ia dérivée s'annule pour une valeur Xg, aa moins, entre
a et b.

En effet ('), si F{x) était constamment nulle lorsque x varie de
ak b, cette fonclion serait constante et sa dérivée serait nulle dans
tout l'inlervalle. Si F(a;) n'est pas constamment nulle, elle prend
entre a et & des valeurs positives ou négatives. Admettons qu'elle
prenne dos valeurs positives : devant redescendre vers o, lorsque x
s'approche de 6, elle prend nécessairement (*), pour une valeur
de x comprise entre a et b, une valeur positive plus grande que
toutes les autres ; elle passe, en d'autres termes, par un maximum,
auquel correspond une valeur nulle de la dérivée. Pareillement,
si F{x) prend des valeurs négatives entre a et 6, cette fonction doit
passer par un minimum. Dans les deux cas, F'(:c) est nulle pour
une valeur x, comprise entre a et 6.

Ceci dit, posons-^ ^ i _'^ — m, et considérons la fonction (')
de X

FW=/l.)--/(<.)-"(*-«)-

Cette fonction est continue et admet une dérivée continue de
même qnef(x). D'ailleurs elle s'annule (il est facile de le vérilîerj
pour X "= a et pour x ^b. Donc sa dérivée, qui n'est autre que
F'(x) =^f(x) — m, s'annule pour une certaine valeur x^ de x com-
prise entre a et 6 ; pour cette valeur on a

j[x,) — m— ^ _ ^ ,

ce qui démontre le théorème.

431. Raclnea multiples d'uae équation. — La consi-
dération des dérivées simplifie considérablement, comme nous

i'] Nouï nous bornons ici à esquisser une démonitration que «euls la
théorie complète de la continuité (telle que cous le présenterons dan*
notre TroUiènu Livre) permet de rendre tout à fait rigoureuse.

(*l Nous admettrons a priori ce fait qui parait intuitif ; il peut cepen-
dant et doit ttre établi par une démonstration.

(''} m est un nombre indépendant d« x ; c'est une constante.

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DÉRIVÉES ^OQ

Talions voir, l'élude des équations, polynomales ou autres, qui
ont des racines multiples.

Soi t /(x) ^ o une équation polynomale (' ) dont un nombre œ, est
racine d'ordre a (356). Noua avons vu qu» lorsqu'il en est ainsi, le
polynôme /(a:) eat divisible par {x — x,)' : nous avons donc

f{x'; étant un polynôme. Nous en déduisons, en appliquant la règle
de dérivalioQ des produits

f{x) == <a: - x.)«- ' . *{x) -^[x- x,)-^ . f'ix)
^(x- T,)'-' Iï?(:e) + (x - X,) ç'(ï)].

égalité qui montre que /'(x)estdivîsible par la puissance fj: — xi)^"'.
Réciproquement, si x, est racine commune aux équations
f{x) =: o et_/"{x) ^ o, cette racine est sArcment une racine mul-
tiple de f(x). En effet nous aurons f(x) = (x — j;i) . <?{x), f(x)
étant un polynôme. Donc, en dérivant :

f{x) = f(x)-^^ix~x,),f'ix);

mais on suppose /'(x) est divisible par {x — x,) ; donc f(x), reste
delà division dey(x) par {x — x,) [n* 372], est aussi divisible
par (x — ail). De U résulte que f{x) est divisible par [x — aci)'
et admet x, comme racine multiple (double au moins).

On parviendra à des résultats analogues si l'on considère les
racines imaginaires de/(x) (vide 367). Si le polynôme /{x) e"t di-
visible par l'expression (ac'-H g,x-hk,)^ [c'est-à-dire contient celle
puissance dans sa décomposition en facteurs premiers, vide n°373],
la dérivée /(ic) est divisible pat l'expression (j:'^- g,x -^- k,)^~ ' .

Nous exprimerons ces faits en disant que V équation J'(x) = o
— qui sera dite équation dérivée de l'équation J(x) = o —
admet, parmi ses racines toutes les racines, multiples, nielles ou ima-

I') Nous ne nous occupcTont, pour simplifier, que dea cquetion* poly-
nomaleg. Tout ce que nous allons dire dans ce numéro, pourra cependant
Stro appliqué à des équations transcendantes f x] — o dont le premier
membre est fonction univoquo et continue de x au voisinage des valeurs
Xu Xi, etc. : il suffira de remplacer partout le mot • polynôme • par lo
mot • (onction continue t (cf. a" 1(36).

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ÂIO CALCUL DU FONCTIOnS

^inairet de/{x) : plus pricisémant. ces ractoesunt, pour l'équatioa
dérivée, un ordre de mulliplicité inférieur d'une aoiièkoeiuiqu'eiie»
ont dans l'équalioa proposé».

Il résulte d« cette proposition que si «ui nombre x, est ane racine
mullipU d'ardre a {supérieur à t) de f équation J{x) = o, eUee$t
racine (d'ordre de mulliplictlé a — a) de f{x), racine {d'ordre
a — 3) de /"{x), ... et racine (fardre i) de la dérivée d'ordre
n— i,/i—i)(x).

422. — Considérons, plus généralement, la décomposition du
polynôme /{x), en produit de facteurs (vide 3S7), et, parmi ces
facteurs, ceux qui correspondent auK racines multiples, c'est-à-
dire ceux qui figurent dans la décomposition avec un exposant
supérieur i i . Soit

(x - X.)'' - (^ - ^0"* i.'^' ■+■ 9-* ■+■ ^-.l^' - i^' -1- J.^ + ^■■■■)^"
le produit de ces facteurs (').]

Il résulte, du numéro précédent (*) qnbf(x) est divisible par te
produit

;.(i)=(x -*,)■•"'. ■■(a^*+«.^ +''.)'''"' -.(«'+»-«-t-M^"'-
Ainsi les polynômes f(x) et f (x) sont tous deux divisibles par le
polynôme p(x).

D'ailleurs on démontre facilement (*) qu'il ne peut exister aucun
facteur polynomal autre que les facteurs de^(x) par lequel y(x)
ety(3;) soient lous deux divisibles; c'est pourquoi l'on dit — par
analogie avec la théorie arithmétique de la division — que le poly-
nôme p(x) est \e plus grand commun diviseur des polynômes y|j;)
elf(x).

I') Si toutes Ic4 racinea de f,x} étaient mulliplei, le produit que noui
oonsiiMToni coHicidnait avec /|z); dam t<Kn lea eai, f[x) en divisibla
par ce produit.

{■| Il est manifeste, en cITct, que û un polynôme est divisible par plu-
sieurs Iact«un premiers, il est divisible par leur produiL Comparor la
démons tratiou du n" 'S't'.i.

i'i C'est là, pour les {acteurs de la forme (x — Xi) use oonséqiieiiM
immédiate de la double proposition du n" ii:ii. On Étendra aitément cette
conclusion aux facteurs de la forme (x' -)- gx + kjP qui oorrespondent
il des racincï imaginaires.

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POSCTions TU-RscsmAinas classiques àït

423. — Las ncinH multiples de f{x) étant les racines da (*oly-
ooRie/» (x). on voit que, pourobtenir oes rtcines, il sufilra de/ormer
ef «fe réumdn rtquation p (x) = o. Or U fonnation de p{x) est
aisée : on l'obtient par une méthode de calcul simple qui est «xac-
temeat celle qui est urat^ en arithmétique pour la rechercbe du
plus grand commun diviseur (voir p. iS, note a) [nous nous dis-
penserons de l'exposer ici].

En appliquant cette méthode k l'équatitai donnée (quelconque)
/{xt = o, puis i l'équation /> (x) = o [au cas où elle a elle-oiètne
des racines multiples (')} et ainsi de suite, on pourra toujours fina-
lement ramener la recherche des racines multiples du polynôme
/{x) à la résolution déqaaiions qui n'ont que des racines simples.

3. — Ponctions transcendantes classiques

434. — Nous appellerons « fondions transcendantes classiques »
les dîCtéreale^ fonctions d'une variable x que les formules consi-
dérées au chapitre i (S 10) nous permettent da définir et d'étudier.
Ces fonctions peuvent toutes être obtenues par combinaison (■)
des fonctions algébriques et des fonctions fondamentales énumérées
ci-dessous :

Patasanoe traiiso«ncl«nte de x. — J'appelle ainsi la
fonction x", dont l'exposant a une valeur constante irrationnelle,
positive ou négative. Cetle fonclîon existe (est dé&nie, n° 391) pour
les valeurs positives de x. — La fonction inverse d'une puissance
transcendante est également une puissance transcendante, car si
l'on a j = x'", on en déduit x = y-.

Fonotloiu exponeotieUes. — J'appelle ainsi les fondions iF
oîi a est un nombre constant positif {').

CI Cm racines «nt, «n tant eu, d'apri* c* qui précède, ua oniM de
midtiplUiti moindre dans p{x] que dans f\X!.

(*] V«ir Isa exemples du n' .425.

(') La théorie des oombres imaginaires permettra de déCnir des fono
tiona exponeatielles s', où le nombre a est négatif. Le plus souvent,
d'aiU«ur«, aio*! que nous le venons plus loin, on ramène l'iitude des
fonctions «■ h l'étude de la fonction e" {voir n» (ag), qui est la fonction
exponentielle proprement dite.

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4l3 CALCUL DUS FO:(CTIO:<S

Fonctions loflaiithmiquea. — Ce sont les fonctions log^ x
(vide 143), inverses des fonctions exponentielles, que l'on dé-
finit comme on a défini les fonctions inverses des fonctions algé-
briques [si l'on pose y = log. x, on en déduit, par définition
X = a"]. Les fonctions logarithmiques existent pour les valeurs po-
sitives de X. — En particulier, les fonctions log, x sont des loga-
rithmes qui ont pour base le nombre e défini au n* 122 {logarilkmet
népériens, voir n* 145). On les désigne d'ordinaire, pour sim-
plifier l'écriture, par l'un des symboles log x, sans indice, ou Lx.

Fonotions trlgonométriques ou oiroulaires. — On appelle
ainsi les fonctions

•in X, COI X, tg z

et leurs combinaisons.

Fonotiona olrouUires (ou tri gonom étriqués) InveraM.
• — J'appelle ainsi les fonctions inverses des fonctions trigonomé-
triques (la définition des fonctions inverses étant toujours la
même).

Posons par exemple x =^ sin y; la fonction inverse de cett»
fonction de y est désignée par le symbole : y = arc sin x [qui
s'énonce : arc sinas x, c'est-à-dire : valeur (mesure) de l'arc ou
abscisse curviligne dont le sinus a pour valeur x].

Pareillement, la fonction inverse des cosinus sera appelée arc
cosinus (arc cos x).

La fonction inverse de la tangente sera appelée arc tangente (arc
tang x ou arc Ig r).

42B. — Les combinaisons des fonctions transcendantes fonda-
mentales et de fonctions algébriques seront, par exemple, le»
fonctions de la l'orme

oiiJ{x) est une fonction algébrique ou transcendante fondamentale
de X [exemples (') : e'*' , e''", sin (5 ir* — i), sin C, etc.].

l'j Ces fonctions peuvent être considérées eomme dei fonttioiu ùompo-
tiet {fonctions de fonction», n" 'i^i) : ce sont îles foncti.na [e* ou sin Uj d»
la variable u, laquelle est fonction connue de x.

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TO^CTIOMS TRA^SGBNDAItTBS CLASSIQL'ES il3

La fonction x' est, elle aussi, une fonction de celte forme. En
effet, choisissant arbitrairement un nombre positif fixe a, on
aura ('), pour toate valeur positive de x :

x=^ a'"»-*; donc ai' = (a^'S-')' = a' '"«''.

426. — Les définitions et théorèmes généraux des SS 1 et .2 se
laissent immédiatement étendre aux nouvelles fonctions que nous
adjoignons aux fonctions algébriques : définition de l'intervalle
d'existence et des valeurs singulières ou critiques, dérinition des
fonctions inverses, des fonctions de fonctions, des branches de
fonction, des fonctions implicites ; déSnitîon et propriétés de la
continuité; définition des pAles; définition delà croissance et
de la dérivée, des règles de dérivation des sommes, produits, quo-
tients, fonctions de (onctions, etc.

Remarquons en particulier que les fonctions circulaires inverses
sont des fonctions k plusieurs branches (à une infinité de branches).
Ainsi, il y a un arc sinus qui est nul pour x ^ o (car sin o := o)

et qui croit de o i - quand x croit de o à i (on a sin - ^: i) ; cet
arc sinus est une branche de fonction. 11 y a un autre arc sinus
qui part de n (car sin n ^^ o) et décroît de n à - quand x crott de
o Ji I ; un troisième arc si'ntu partde la valeur 2n(carsin 3;r:=o)
et crott jusqu'à — quand x crott de o ik i ; et ainsi de suite.

Les fonctions arc stn x et arc cos x, d'autre part, admettent les
valeurs x = — i et x^.+ i comme valeurs critiques ; elles
n'existent pas en dehors de l'intervalle — i, + i ; car il n'existe
aucun arc dont le sinus ou le cosinus soit inférieur à — i ou supé-

Nous allons maintenant apprendre k calculer les dérivées des
fonctions transcendantes fondamentales.

{') Voir auK n" iSj «t i44 'm règle* relatives au cstlcul des expouen-
tidiet et des logarithmes.

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4i$ CALCUL DS3 poneno\9

427. IMrlv4« (*) d« (H. — Sovt a an noinlKV poBÎIîf, que noDS
prendrons, pour ftxer les idées, supérieur il i. Affn d« eatcnler la
dérivée de la fonctioD y = cf, domoos à x, i partrr <f une valeur
quelconque de cette variable, an accroissement h. L'accroissement
k de y est

k = 0'+* — fl' = «'(a* — I), d'où

h^

Donc pour que la Joaclion a' ail une dérivée, iifaai et il suffit
<im U rapport — r — tend* ven wm Umiis iéiêftnaét hrtqae la
râleur Je k lend vert zéro (par valeurs positives ou négatives, wic
n* 407). Appelant (') l, cette limite (qor est constante par rapport

h X, puisque. — j — ne dépend pas de x), rwat auront pour expres-
sion de la. dirivéâ da a* :

y = i. . <.-.

Nous admettrons ici sans démonstration Vexistence de la lîniite
/a (ce qui revient si l'on veut, & admettre a priori (") que la fonc-
tion a' a une dérivée;. La valeur de l,, d'ailleurs, est nécessafre-
ment positive. Ea «iTet, supposoRs. par exemple, que A tnde
vers o en restant positif ; pour h >-o.onaa* — i >■ o; donc
le rapport ■ y ■ ■ ne cesse (') pas d'être positif.

I>) JcaoBBaNODiLi.] eotpove h règle <ta d^rivatÎMi 4m «zponeBCicJlM a,
dana le mémoire cité tupra, p. 376, note a. {Aela trudit, 1697, Œuf., I,
p. iH3 sqq.l

1*1 L'indice a rappelle que noui raisonnons sur une puisiaïue du
nombre a.

{*] A prion, reiîstfiBce de catt» timita n'est nallomcnt évidsnte ; mm
TWTOii* en effet ultérieurttraeiit qu'il existe dss lonotùas e«ndnuas qui
n'ont pas de dérivée.

(*] On démontre facilement que si A tend vers o en restant négatif, la

limite de —r — est la même ((.) que pour A positif. Posons, en effet,
& H — h' (en supposant h' > o) 1 nous avons

lorsque A' (positif) tend vers a
donc — , — tend auMi vers J..

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PO^CTTO^S TBAmCBKDAIITBS CtASStQDES itb-

428. Dérivée* d« «"' et d« a". — La dëméo cfe r ^ a*',
dérivée d'une fonclion composée, nt

.r' = ™.^' = n,.l.,,-.

l'our avoir la dérivée de y = a'*, posons a' = a'**-°' en dési-
gnant par log.o' le logaritlime de base a du nombre a' : nous-
aurons

y = i^' = o''*-"' ■ ' et ^' = (, . log, o' , a".

Remarque. — Au lieu de nous servir du nombre a pour cal-
culer la dérivée de a", nous aurions pu raisonner directement sur
a' comme nous l'avons Tait plus haut snr a*. Nous aurions ainsi
obtenu comme dérivée de a'', l'expression /»■ ■ a'', où L. eût dé-

signé la limite du rapport — , — pour A tendant vers zéro. Les
deux expressions /„. tog.o'.a'' et l,, .a" ont donc la même valeur^
et l'on a, par conséquent : U. ]og.a' = L , d'où l'on déduit : -

a^^'-'^ =:af^, ou a''- = o'-. ou a'^ = a''^.

Ea d'autres termes, les uakars dt Cexpretimn a** éd. indépen-
daaù du choie da nombre a daù Ton est pxrti (cetta valeur ne-
change pas si on remplace a par a' ao par tout aotre nombre)'.

420. La fonctions. — Le nombre a'* qui a, d'après ce qui pré-
cède, une valeur numérique déterminée indépendante da nombre a

est nppelé tf [d'où logaÊ = 7- 1 ; on trouvera (en effectuant le cal-
cul pour une valeur arbitraire de a)e = 2,']iS'i... Cenombre(')-
est eiacletnent celui que nous avons déjà introduit au n° 122 :
l'équivalence des deux déAnitions que nous nous trouvons ainsi-
donner du nombre e sera démontrée plus loin.

Proposons-nous de calculer la dérivée de e'. ?<ous pouvons
écrire :

y =«* = «''«■'•', d'où y == I».lQg«««'-

(') !■« symbole « a été introduit par Eulkh (Lettre à Goldbach i;?!..
Cmntpondartce, éd. Fnes, 1. 1, p. bB).

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4l6 CALCUL DES FONCTIONS

Mats, par définition, U-\og„e = i . Donc la dériva de la fonc-
tion e^ est 1& fonctioii é" olla-mAme.

430. Houvelle expression de la dérivée de a'. — Elevant à
la puissance /„ les deux membres de l'égaliu^ e ^= af,, nous oble-
nons a =-. el.; exprimant que les logarithmes népériens des deux
membres égaux sontégaux, nousavons (voir la notation inliotlaile
au n" 434) : log a ou La = L- Donc, d'après le n° 42B, la déri-
vée de a' est La . a'.

431. Dérivée de Lx fou log x). — Posons x = e'; cette fonc-
tion de y a pour dérivée a;', ^ e' d'après le n' 429. La fonction
y ^ Lx ou log X est la fonction inverse de x ^= e". Donc, d'après
le D° 410, sa dérivée est

Il ,1

•''- = ?; = *"» °" y-^i'-

Ainii, la dériTie de la fonction La; nt ~ .

432. Dérivée du logarithme (■) népérien d'une fonction
quelconque. — Soit y = L [f{x)] ie logarithme népérien d'une
fonction quelconque de y. En appliquant la règle de dérivalion
des fonctions componées, on obtient la dérivée

C'est, d'après la définition du n° 412 la dérioée hgarilhmique
de la fonction f\ • ''*'"' '® aora se trouve ainsi justifié.

433. Dérivée de la fonction ar'". — Considérons la puissance
transcendante de x. d'exposant irrationnel, x". Pour en calculer
la dérivée, remarquons que a; ^ e , donca'"=^e" . C'est là

') La dérivés du logarithme a été donnée par J«aaBERKOUiLLi dans uno
le inaéréeaux vlcbicrwjitorum en novembre 1694 (cf- Œw., t. I, p. i35| :
calcul effectué par Bebnouilli lui avait d'ailleurs peut-être été inspira
r une lettre de Leibniz (voir Acta erudilorum, avril iflgS).

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I TRinSCENDAnTKS CLASSIQUES à^J

une fonction composée : y = e", u = mLx, dont la dérivée est
«".u'j ou «" ■ z" ou m-, c'est-à-dire /rue"—'.

Ainsi l'eipression de la diJrivée de x"' est celle-là même que
nous avions déjà trouvée au n" 418 en nous plaçant dans l'hypo-
thèse où m était un nombre rationnel.

434. Dérivée de la fonction «iais. — Pour obtenir l'ex-
pression de cette dérivée, nous établirons d'abord un lemme.

Lemme. — Le rapport — - tend vers la valeur limite i,
lorsque la valeur de a se rapproche indéfiniment de la valeur o.

C'est là un fait que nous avons admis implicitement dès l'ori-
gine de nos spéculations sur la longueur du cercle ; car, étant
donné que 3 sin a est la longueur de la corde de Tare égal à aa
{vide supra p. i68, note i), notre lemmme n'affirme autre chose
sinon que l'arc de cercle infiniment petit est assimilable à sa corde
(qui est aveiï lui dans un rapport égal à i). ~ Le lenime pourra
d'ailleurs être dcmonlré de la fuçon suivante.

Considérons le cercle tri gono métrique de rayon i (n" 150) et
l'abscisse curviligne positive (voisine de o) AM = a (voir fig. 75,
p. 16S). Puis imaginons (le lecteur fera aisément la figure) que nous
menions en M la tangente au cercle (tangente perpendiculaire au
rayon OM) jusqu'à sa rencontre en N avec OA prolongé. Dans le
triangle rectangle MON, nous avons (n" 216) MN = OM . tg MCA
ou (puisque le rayon OM = i), MN — tg a. D'ailleurs (fig. 76)
OP = COB a, PM = sin a. Considérons alors les trois surfaces
suivantes : triangle OMP, secteur circulaire OMA, triangle MON.
La seconde contient la première et est contenue dans la troisième ;
donc

(1) aire OMP < aire OMA < aire MON.

Or, puisque les deux triangles sont rectangles :

air» OMP = - . OP . PM = - COI a . sin a.
•À a

aire MON = i OM . MN = - Ung . a.
D'autre part l'aire du secteur circulaire OMA est égale (n" 84) à

Bannoni. — Ln PrûcipM i» l'Aoïlfi* lUtliémjiliqiM. 37

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&l8 CALCUL DU» FOnCTtOM

la demi- tongaeur de l'axe AM, soit ~, multiplia par l'anité (lon-
gueur du rayon). L'alité (i) s'écrit donc

1 ^o ^ i . t lin a
- cota . un a<l <1 ~ iga ou ;

multipliant chaque membre par -j— — , il vient : cos a < ---- < .

Lcffique a se rapproclie indiSniment de léro, cos a tend vers la
valeur-limite i. Donc le rapport -. — , compris entre deux nom-
bres dont la valeur tend vers i , tend aussi vers i ; il en est de même
de son inverse — — 1 puisque r = ■■ ) ■

43S. — Cela posé, donnons h x, k partir d'une valour quel-
conque de cette variable, un accroissement A. L'accroisiMMnt k
de sin x est sin (x -t- A) — sin x, ou (d'après le n* 183}
un X COI k ■+- cos X un k — lin x ou tin x (cD> h — ■ ) + cos i lia A ;
donc, lorsque A tend vert o,

.. 1. .. A ,. ,, eoi A — I tin h

(a) liniile r ^ sm a; . limite r h cos x . — f— .

Je dis que la limite du rapport ■ — —r est zéro. En eilel

nou8avonsd'aprèsle(n''383)rideatiléco9A=i — 3 sin* -. Ooac
.A .h

Lorsque A tend vers o, la dernière fraction tend vers la limite 1
d'après le lemme du n* 434 (ovi l'on fait a == ~) : donc son pro-
duit par le facteur sin - , qui lend vers o, tend aussi *«rs o. —

Le rapport ""— , d'autre part, qui figure an sfoond terme du
second membre de (2), tend vers i d'après le lemme, donc :
tim j- = cos X. En conséquence :

L» diriTée «e la fonction v = sin x est / — oos x.

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FOSCTIOm TUnSCENDAKTES CLASSIQUES ^l^

436. Dérivée de ooB ar — Nous avons cob a: = sin {* — a:)-
Nous pouvons donc considérer le cosinus comme une fonction com-
posée : y^sîn II, u = - — X. D'où

/, = cos u . n', = — COI u, ou — cos ( ^ — x\: donc y' = — ùax
I« dWrés de cm ami — ito x.

437. Dérivée de tang x. — En appliquant la règle de déri-
vatioD des quoUeBisàla fonction )' — t9a: = ^t^^, nous obtenms

ce qw'on peut eutsi écrire (') / = i + tg* ar.

438. Dérivées dei tonoUoi» oironlsriree Inversée, — Posons
x=:nT>y: noaa byoqs x, = cos y. Le fonction ^ = an: sin a;,
fonction inverse de bïd y, a pour dérivée (n" 41S)

. I I I j^^ I

' ' y I — ïio' y y I — a:"

La MflTto de aniin a; eit donc ■ ■ ■ . Remarquons que cette

dérivée devient infinie pour les valeurs x= — ietx;=+i, pour
leaqufdles x* = i. Ces valeurs sont, nous l'avons vu, des valeurs
criHqae» pour la fonction arc ùa x.

Soit maintenant x = cos ^; nous en déduisons

x = 8ia( y\ donc y^^êrcûact,

ou v =: arc cos X = arc sin i.

■" a

Les dérivées de «rc sia x et arc coe x sont donc égales et de signes
contraires.

(') On a, «n eflei, ~î- = ''"' g»^ ''" ' - ' + T^rî'

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CALCUL DES PO:iCTiONS

Posantdemdme3; = tgy, nous aurons (n" 437) x,-.
U déliré* d4 la (onction y = arc tg :r «t donc

4. — Poactlooa de plusieurs variables. Ponctions tmplhhes

439. La théorie des fonctions de plusieurs variables (') suit pas
& pas la théorie des fonctions d'une variable, et nous ne nous y
arrêterons que brièvement.

?ioiif{x,y, z), par exemple,une expression algébrique dépendant
de trois variables indépendantes et de nombres connus ou de
lettres représentant des nombres connus {constantes) : cette expres-
sion définit une Jonction algébrique {explicite) des trois variables
X, y, z. Telles sont les fonctions entières polynomales (voir n° 381)
eties/oncfio/is ra/ion/ie//ej qui sont, par définition, des quotients
de deux polynômes en x, y, z. Une expression algébrique telle que

Vi' + j-' + î, ou (x+j-ï -(-ïr)t_

(*) t Le* quantitdi Tariablas que noui avons coniidji^M jusqu'ici ~~ dît
EuLBB llnlroductio in Anali/aininfimioram, i7JH,chBp.v] — avaieat entra
ellei une tells liaison qu'elle! étaieattoutetloDctiona d'une leule variable, et
que la détermination d'une seule emportait celle dei autn» ; mais nou(
alloot traiter à présent dei quantité! Tariablei qui n'ont aucune dépen-
dance réciproque, de manièru qu'en lubitituant i l'une d'elles une valeur
déterminée, les autres rctteot encore indétarminéei et variables. Ces
aortes de quantités que je représente par x, y, z, ne changent point de
nature quant à leur aignification, chacune renfermant comme à l'ordi-
naire toutes les valeurs déterminées ; mai* en les comparant on remar-
quera que si l'on met pour z, par exemple, une valeur quelconque déter-
minée, les autres x et y auront une lignificatioii aussi indéfinie qu'aupa-
ravant. La diETérence entre les quantités variablei dépendantes ou indé-
pendantes les unes des autres consiste donc en ce que, pour les premières,
U valeur déterminée d'une seule donne celle* dea autres, et que pourk*
dernières la détermination de l'une ne limite nullement la significatioa
de celles qui restent. — Donc une (onction de deux ou d'un plus grand
nombre de variables x, y, t est une expression composée de ces quantités
de qudque manière que ce soit >.

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FO^tCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES. FONCTIONS IMPLICITES ^3!

qui ne peut pas âtre mise sous forme de quotient de deux poly-
nômes, définit unijonction non rationnelle.

Si dans l'expression de la fonction entrent des puissances d'ex-
posant irrationnel, des logarithmes, ou des lignes trigonométriques
àt quantités variables (cf. n* 379), la (onction u^y(x, y, z) est
dite transcendanie.

Considérons, d'autre part, une relation ou égalité de la forme

(I) ¥{x,y.z.u) = o,

dont le premier membre F (x, y, z, u) est une fonction algébrique
ou transcendante quelconque des quatre quantités x, y, z, u. Cette
relation — qui est (lorsque l'on considère x, y, z comme connus)
une équation en u, — définit i>np/ii;j7«mc/i/(') une fonction «(Ronc-
hon implicite algébrique ou transcendante) des trois variables x,y,z.
Les fonctions explicites ou implicites d'un nombre quelconque
de'variables se défmiront exactement comme les fonctions de trois
variables.

440. — Une fonction {') u = /{x, y, z) des trois variables x,
y, z, n'est pas toujours définie pour toutes les valeurs de », y et z.
Avant donc d'étudier la fonction, nous devrons indiquer les inter-
valles dans lesquels nous faisons varier x, y et z. Si par exemple
la fonction est définie pour x, y et z tels que

a' < a: < a, 6' < y < 6, e' < 2 < c,

nous dirons que In fonction existe dans le domaine (a', a), (i', b)
(c', c), et nous pourrons nous proposer de l'étudier dans ce do-
maine.

Si j;, ^, 2 sont des fonctions de certaines variables, t), ... u>, la
variable dépendante peut être regardée comme une fonction com-
posée de ces variables {/onction de fonction). Supposons, en parti-

(*) Invertement cette relation définit implicitement x comme fonction
de y. 1, u, ou y comme fonction de x, i, u, etc. Ces fonction* sont ana-
logues aux fonctions inverses que l'on considère dans U théorie de* fonc-
tionB d'une variable.

I*) Je continue i prendre pour exemple une fonction de 3 variables ;
tout ce qui va être dit s'applique aux fonctions de n variables (quel que
soit le nombre n).

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4S3 CALCUL DEB FOHCtlOKB

ci^r, que les variafalei x, y, z soient toutes trois foDcUons d'une
même variable t ; alors a peut être regardée oomme fonctioa (com-
posée) de U variable unique t.

Use foncUon u = /{x, y, t) peot avinr pluaienr» branches ;
c'est le cas, par exemple, de la fonction ^/i -t-xyt. Une fonction
qui n'a qu'nne seule branche dans un domaine donné y est dite
mnivoque.

441. Continuité. - — La fonction u de x, y, z est continue an
voisinage des valeurs x,,, y,, 2, de x,y9lz lorsqu'elle satisfait aux
conditions suivantes : t" lorsque x, jr,; varient très pen à partir
de leurs valeurs respectives x„ y,, 2,, u (partant d'une valeur dé-
terminée Ut) varie également très peu ; plus précisément, si uoe
fonction u est contioM pour Us vaUars ou « pour le syttime det
valeurs » x,, y„ Zo, c'est que l'on peut d^inir un domaiae —
contmant le syslàme de valeurs x«, y^, et z, — tel que pour
X, y, z variant dans ce domaine, u — u, reste injérieare, en va-
leur absolue, d an nombre donné é aussi petit (ju' on \o\idtBi{')',
3° soient u^,. u, les valeurs prises par u pour x ^ Xg, y = ^,,
z = 2,, d'une part, et pour x = xv, y = ^,,z^z,, d'autre part:
lorsque (*), faisant varier x, y, z d'une manière continue (n' 307)
on passe du système de valeurs a^, /,, z, au système de valenn
X|, yi, Zi, la fonction u prend au moins une fois chacune de*
valeurs comprises entre u„ et Ui-

Si la fonction u, — égale i u, pour x = x„, y = y^, z ^^ z„
— est continue pour ces valeurs des variables, on dit qu'elle tend
vers la Cimife u^ lorsque x, y, z tendent respectivement vers les
valeurs x,, y„, ;„ (cf. 396).

{') Quelque petit que soït t, en d'autres termes, on peut toujoon
tronver unnombresaiaez petit pourque les trohiné^litéa, ] x — x, \ <i,
I y — yg I < a, I I — z^ | < a (euppMéei eatisfaiteB lintuL t animot) sn-
tratnent comme couttiquonce | u — u^ | < e (et. n° 396).

(') On peut démontrer que cette seconde propriété des fonctions con-
tÏDuei eet une conaéquence de ceDa qu'teonoe la note précidente, qui
nifflt, par oonséquenl, à définir lei fonctiona oentiniw* (voir TnU. lit^
ch. i). — 11 y a, remarqnODS-le, une infinité de manîèn* de p«M«rdM
valeurs Zg, y^, ig aux râleurs xi, i/i, Z[ : on peut, par exemple, faire d'aboid
varier zde x^kx, m laissant les quantités y et i égales à y,, ;^,pnîifnre
varier ea^uite ces deux quantité* seule* ; on bien on peut <
par faire varier y seul, etc. Notre énoncé t'applique à tous ees

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FOnCTIOng DE PLUBttCRS VARIABLES. FOMCTIOUS IKPLICITBS ^SS

Une fonclion qui est continue pour tous les systèmes de valeurs
intérieures & un certain domaine (a, a'), {b,b'), {e, (^ ) [vide n' 440]
«atdîte continue dam le domaine.

Les propriétés générales des fonctions conlinnes se laisient
étendre aux fonctions de plusieurs variables. On établira en pai-
ticulier que les fonctions polynomales sont continues pour toutes
valeurs (finies) des variables, (..es fonctions rationnelles (non poly-
nofsalM) seront, an contraire, discoatinues et infiniment grandes
pour certaine systèmes de valeurs de variables. Ainsi la fc«iction
u = aj + —zTi •"* «ofinie Uwtque y al z prennent des valeurs
égales quelconques. D'une manière générale, on peut démontrer
(cf. 3M) qne dans tout domtilne où elle exiite, est unlvoque, et
conserve une valeur finie, une fonction algébrique est nécessaire-
DMitt cMitînne (').

443. DdrlTéea partiellea du premier ordre. — Considérons ,
une fonction nsivoqua «t continae, u = /{x, y, z), auvoîainage
d'un système de valeurs de x, y, z. Supposons que, y et 2 ne
changeant pas, x subisse un accioissemant (positif ou négaUf) Ax.
La variable u subit un accroissement correspondant que je dési-
gnerai par (Au)j. Faisons tendre Ax vers o (en ne touchant ton-

jours pas à j- et z) et considérons le rapport -^ ■ Si ce rapport se
rapproche de plus en plus d'une valeur-limite, cette limite est

(') On dimontie, plus partlculiiremert, le théorème suivant, dont nous
nodi coatrotoni de donner l'énoncé (il l'appliqae aux lonctiona tnins-
Mndante* nomme aux lonotloia algébrique*).

Si la fonction u = f[x, y, i) ett cantinae dan* un domuine donné [a, a%
[b, b'], {e, e], et varie, dont ce domaine entre d et d, leê dictrjw fondions
imptieiteê [fonction x de y, i, u, fonction y de x, z, u, etc.], définies par la
relation u — / (z, y, i) = o, Minf eonlinum pour loua Im tyttimti de vtdeure
eorreapondani à ce domaine pour ItaqueSa elle* sont univoquea [nous ne
noua occuponi que de ces aystèmea de valeim-li, cbi nous n'avons défini
la continuité que de* aeuloa fonctions univoques).

C'est en partant de là que l'on étabUt par une démonstration rigoo-
reuse la continuité d'une fonction implicite définie par une relation
F (x, y) ^ o dont le premior membre est fonclion continue de x et y).

Plus particuli élément encore nous pouvons déduire de la proposi-
tioG qui ptécdde que l« fonctiiHi inverse d'ono («netioa eontiDue est
continue.

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^a4 CALCUL DBS POHCTIOHS

appelée : dérivée partielle de u par rapport à x ; c'est la dérivée de
la fonction de x que définit l'égaiilé u = f lortguon y laisse inva-
riables les quantités y et z. On désigne la dérivée partielle relative
i X par le symbole u., ou/,, ou ^avec la notation dite dijfférentieUe)

par le symbole (') r- ou ^ ■

On définira de même la dérivée partielle par rapport à y,
[que l'on écrira ù„j\, g^ ou — et lu dérivée partielle par rap-
port à z. Ces définitions s'étendent d'ailleurs au cas od la fonction
est fonction de variables indépendantes en nombre quelconque. Le
calcul des dérivées partielles se ramène immédiatement au calcul
des dérivées ordinaires, puisque, pour calculer f., il suffit dt>ns
l'expression f, de traiter y ai z comme des constantes.

Les trois dérivées partielles sont en général des fonctions dos
variables X, y, z (cf. n*407).

Exemple. — Pour un système quelconque de valeurs de x, y, z,
la dérivée partielle de la fonction u = --■— par rapport à xe»t

s/r + ï"

u, = — — ; la dérivée partielle de la même fonction par

rapport à j- est — -^(y -^ ^')~r ; la dérivée partielle par i-apport

-~l^{y-^-■•^) ' . a.-, ou -rîO--t-r'} » .

443. DériTés d'an* fonatlon composée. — Haisoonons, cette
fois, pour simplifier l'écriture, sur une fonction de deux variables,
a =J{x, y), considérée dans un domaine où la fonction u et ses
dérivées partielles sont des fonctions continues, et supposons que
xety soient toutes deux fonctions d'une mâme variable t :

x = i^{t). y = y{t): •

alors u est relativement h la variable l, une fonction composée.
Partons d'un système de valeurs correspondantes de t, x, y et u,

{') Dans ce symbole, nous arrondiasons le d afin de distinguer la déri-
vée partielle d'une dérivée ordinaire.

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POnCTIOnS DE PLUSIEURS TAIIIABLES.

et donnons h t an accroiBsement St : il en résulte pour x, y, n
des accroissements Ax, Ay, Au.

D'ailleurs, on peut évidemment poser :

(a) Au=^[/ix+&x.y-hliy)-/(.x-i-lx.yy-^:f(x+&x.y)-/{x.y)].

Appliquons le théorème des accroissements Gnis (n''4ao) à cha-
cune des difTérences écrites entre crochets. La première dilTérence
est égaie au produit de A^ par la valeur que prend la dérivée
/".(x -+- Ax, y,) pour une certaine valeur y^ comprise entre y et
y + \y : nous poserons y„ ^ 5\y, où 5 désignera un nombre
positif et inférieur à i . La seconde difTérenco est, pareillement
égale au produit Ax . f, [x + 6,Ax, y) où 0, est un certain
nombre compris entre o et i. Divisant alors Au par Af, nous
aurons

a = ^-f ■ <' + "•'• + ")■) ->■ ^f- <■' + »■■'»'. r)-

Faisons maintenant tendre Af verso ; les accroissements Ax, A/.
Au lendentalors tous verso; la valeur de la dérivée y.(x + S, Ax,r)
tend vers la valeur de la dérivée /*. (x, y) ; la valeur de la dérivée
y, (x -t- Ax^ y ■+- ÔAy) tend ver» la valeur de ia dérivée /, (x, y),
et l'on a, par conséquent, à la limite : dérivée de u par rapport à t,
ou : u, =y,(x, y) . x. -h/, (x, y) . y',, égalité que l'on peut
écrire ainsi

(31 i''. = ^^^^^J.

444. Dérivée d'une fonction implicite da x. — Considérons
la fonction implicite ^ de x définie par la relation F (x, y) =: o.
Nous plaçant dans un domaine où F (x, y) et ses dérivées par-
tielles sont continues, appelons A^ l'accroissement de y qui cor-
respond h l'accroissement Ax de x. Nous aurons, en défmissant
$ et $, comme au numéro précédent, C accroissement de F

A/ . F, (t -H Ax, y ■+■ «Ay) ■+■ ix . F, (x h- «.Ax, y).
Mais l'accroissement de F est nul, puisque In fonction F de x

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CALCUL DU FOnCTlOKB

«t y reste nulle lonque y est égale h la foDction implicite de « q
nous considérons. Donc nous avons, en dîvîiant par Ax :

O = ^^ . F, (a: + iar, >■ + i^y) + V. (i -(- 8,4x. j-).
- 8. AT. r)

4j- K, (x -h iJ.7 + 6i/)*

Lorsque Ax et Ay tendent Tera o, F', tend ven la valeur F. {x, y)

F, tend ver» la valeur F, [x, y). Si donc cette dernière valeur n'est

pas nulle, le rapport -^ a aussi une limite qui est la dérivée
/ [ou y,] de y par rapport à «, et l'on a (')

aF

,,. , — F, rfr 8x

{4) y = -1:-- , ou j^ = ^ï5- .

Si F, est nul sans que F, le soit, / est infini. [Voir, sur le cas
où F. et F, sont tous deux nuls le Ghap. iv, du présent Livre].

Exemple. — L'égalité x* -\- y* — i = o définit une fonction
implicite y de x. Pour avoir sa dérivée, posons F = œ* -t- y* — 1.

Vf : d'où

^^ = :

V ' - ^

, puisque y = \/i

445. DériTéas d'ordra aupArleur d'nna tonotlon de pla-
aieurs vaiiablaa. — Les dérivées partielles du premier ordre
d'une fonction u=/(x. y, z) sont en général des fonctions de x,
y, z ; elles ont donc, à leur tour, des dérivées partielles relatives
aux trois variables x, y, i.NousappelleronscesnouvellesdérivéeB:
dérivées partielles du second ordre de la fonction u, et nous les

I') Otte égalité vaut pour Bn« valeur queleonqiM de x, mais la valevr
<]u'i1 y faut doniMr k y n'est point arbitraire lorsque x e*t damé; y wt
en cITet la valeur de la fonction, laquelle Batiifait toujours à la relation
FIx, y) ^ o. Aiiui pour avoir explicitement la valeur de y' pour une va-
leur déterminée, z, dex, il faut : 1° calculer la valeur correspondante y,
de y (définie par la relation Fix, y\ — o] ; 3° calculer la valeur du s«aoad
membre de (^1 pourj:= x^eXy = i/o-

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FO^CTIO:iS DK PLl'SIBUBS VAHlâU-EI. FOHCTIOHS IMPLICITES 43?

désîgoeroas respectiTement : t° les dériva partiellea de/, par les
symboles (') :

f 4- ,• "*! »V *>V

3° les dérÏTées partielles de f, par les symboles :

/■,../.../-..

3" les dérivées partielles de f. par les symboles/*,,, ou r-]^, ...
De la même manière, nous déilniroiu les dérivées partielles
d'ordre 3, d'ordre i, ... de la fonction el qous les représeateront
parlée symboles /■<•,'. ... /'V. ... ou ^, ... -^4, .-■

446. —Je dis que, dans le calcul d'une dérivée partielle d'ordre
supérieur, on a le droit d'intervertir l'ordre des dérivations, c'est-&-
dire que l'on a, par exemple :

^^^. ^^..^= "'/ .etc.
tixfty Aybx bxuzbxùy ùx'byht

Démontrons tout d'abord ce théorème dans le cas où la fonction
a = y ne dépend que de deux variables x tKy : je dis qoe l'on a
en ce cas : f,, =J\,.

En ctTet, en considèrent f(x, y) comme fonction de », nous
avons, d'après le théorème des accroissements finis (n* 430) :

(5) ^>'--'^£--'<-^' =/,'(. + ., A..,)

OÙ o < Si < I (et., pour les notations, le n° 443). Considérons la
fraction du premier membre comme une fonction de y et appli-
(ptnns-lui le théorème des accroissements finis par rapport & celte
quantité, & laquelle nous doonone un accroissement Ay : nous oh-
tenons:

=/;,(n-«.i:r,yH-e4T)
{'} La lettra / peut {tre remplacée partout pBi la lettre u.

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iSaS CALCUL DBS poncTio;($

(avec o <; S < i), le second membre étant la dérivée par rapport
à ^ de la fraction figurant dans (5) [que l'on remplace, dans ce
dernier calcul ('), par la fonction égale /.(x -h 6i^,y)] prise pour
la valeur y ■+■ S^y de la variable.

Faisons maintenant le niëioe calcul an intervertissant les rôles
de X et y. Nous pouvons poser

/(;r.y + Ly)-f{x.y)

=/;(*./+ c'âj-) o" o<o'<i

Considérant le rapport du premier membre comme fonction de
X, et opérant comme ci-dessus, nous retrouvons au premier membre
la fraction qui figure aa premier membre de T égalité (6) et consta-
tons, cette fois, que cette fraction est égale ^ f,'.{x-\-fl, ÙLX.y ~\-V hy)
ou o < 0', < 1 . Ainsi/,',(a; -t- %,Lx, y ■+■ ôdj-) =//,(xh-6', 4x. y+ ffi/)
quels que soient les accroissements Ax et ^y. Faisant tendre ces
accroissements vers o, nous obtenons l'égalité

(7) //.(^.r) =S:À^.y)-

447. — La mâme démonstration s'applique, évidemment, au
cas oît y dépend de trois, quatre, ... variables, puisque, lorsqu'on
effectue des dérivations relatives à x et }', on traite toutes les autres
variables comme de* constantes.

D'autre part, on déduit de l'égalité (7) que, sï/est une fonction
de X, y, z,on a

nzàxiiy bzayix ' bxoybt byàxbz '
car la première égalité s'obtient en appliquant le résultat ci-
dessus démontré à la fonction ■^\ la seconde égalité s'obUent en .
dérivant par rapporta; les deux fonctions identiques—^ et 13^ ■
D'ailleurs les raisonnements faits sur a: et y peuvent être répétés

(<) Les deux membre* de (.S) étant des fooctioni ideatiquei, i«un Atn-
vées par rapport à y le soDt aussi et j'ai donc le droit, lorsque j'applique
le tbëorèms des accroisiemonts Gnis au premier membre, de remplacer
■a dérivée par celle du second membre.

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DE RLUSIBURS TABUBLES. FODCTIORS lUPLIClTES 4^9

sur X et z, sur y et z, elc. Nous reconnaissons ainsi que l'éaoncé
donné plus haut est bien exact dons le ces le plus général.

Ainsi toute dérivée partielle d'ordre n d'une /onction J\x,y,z)

pourra être écrite soas'la forme ^c fr:i< oà J>iî.'' ionl Irait
nombres entiers ayant pour somme n.

448. Formule des aoorolasements Unis. — On peut établir
une formule — dite des accroissements unis — qui est, pour les
fonctions de plusieurs variables, l'équivalent de la formule du
o° 430.

Considérons pour simpli&er, — lu démonstration est la m£me
dans le cas général — une fonction J{x,y) de deux variables, sup-
posée continue ainsi que ses dérivées partielles dans le domaine
(a, A), (6, B) [voir 440j. Je dis que l'on a l'égalité

(8) /{A.B) ~/«.6) = (A - «)/,(='.?) + (B - fe)/',(».P).

où les nombres a,j3 sont un certain système de valeurs apparte-
nant au domaine considéré, c'est-à-dire comprises : a entre a et A,
et p entre h et B.

Remarquons que, pour passer du système de valeurs a,b au sys-
tème de valeurs A.B, nous pouvons régler comme nous le voulons
la variation concomitante de x et de y. Réglons alors cette varia-
tion en introduisant une variable auxiliaire l et faisant

(9) i = « + (i-o)l; y = b + {K-b)l.

Lesnombresxet^sontencecasdesfonctionsdef : lorsque t varie
de G i I, X varie de a à A et }> de 6 ù B. D'ailleurs, quand on
remplace x el y par les expressions (9), u =^ J{x,y) devient une
fonction de (, que nous allons désigner par f{t).

La dérivée de Ji = y(/) est f, =f,{x,y')x, +J',{x.y)y, (n*443).
En remarquant que a;', = A — a et y, = B — 6, on aura

(10) .■, = (A-.l/-.+(B-ty,

oiij'. et y, sont des fonctions composées de / par l'intermédiaire
des variables x et y, soit : f'.ix.y) ^ »,(() /,(«./) = •i(')-

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430 CALCUL DKS POnCTIONS

Appliqnons A la fonction ^t) la formule des accroissemeats
unis (n' 430) relative i l'intervalle o,i : noua avons

(II) ç(i) — «(o) = ?'{•) avK o < 6 < I.

donc, d'après (lo) : •

?(>) - ÇH = {A - «)?.(») + (B - 6)?.(9).

Les valeurs a et jS de x et }■ qui correspondent k la valeur 9 de f
sont 3 = a + (A, — 0)6 et p = 6 + (B — 6)fl:

elles sont manifestement comprises respectivement entre a et A,
et entre & et B; d'ailleurs, par définition des fonctions f,, f, et f,

V.(«)=/.(».^). f,{<^) ==/.{'/?)• •(i)=AA.B), f(o)=/..6).

L'égalité (il) n'est donc autre chose que l'égalité (8). qae l'on
se proposait de démontrer.

- Htcbercbe ée* itmetinoM primUtivea

440. — L'étude d'une opéra^on algébrique appelle l'étude de
rc^>éT«tion inverae : aintî en a-t-il été ponr t'ad^tion et la «ons-
traction, pour la mulliplicatîon et la divimofi, pour rélération anx
puissances entières et l'extraction des racines ; nous ne pouvons
manquer de porter, pareillement, notre attention sur l'opération
inverse de la dérivation et de nous poser la question suivant* :
Peat-on toujours trouver une fonction F (x) d'une variable qui
admette pour dérivée une Jonction donnée {connae)f(x) ?

460- — Faisons d'abord une remarque préliminaire. Il ré-
sulte du a' 409 que si une fonction F (x) a pour dérivée /(x), la
fonction F (:c) -t- C, où C est une coiutante quelconque, a la
même dérivée. Ainsi le problème que nons noOs sommes posé ne
peut comporter une solution unique. •S'iY existe une/onction F {x),
il an exitte ane injiniii, différant Us wut des aatret par de» oatia-
tantes ajo^ies à leurs exprettioat. Ces foacttooa senxit «ppeléaa

.y Google

I FOHCTIOIIB PHIUITITES

Mr

a fonctions primitiuei > de U foncUoa/(s!^. On les appelle aussi
H fanetions itUégrale» » ou ■ intégrait u ; plus prAci»ém»nt, ri
F (x) Mt une fonction primitive dey (x), on dit que la fonction!
F (x) + C, — où G eat une coiutanle arbitraire dont je ne d^ni»
pas U valeur, — est l'intégrale indéfinie de la fonction / (x).
L'op^tion que oons «deoUtons lorsque nous formonH l'intégnile
indéfinie d'une ronction s'appelle : inléffration ou tfoadratare (■).

451. — Ces dérinitions données, nous remarquons que nous
pouvons immédiatement former les fonctions primitives (ou inté-
grales indéSnies) d'un ^nd nombre de fonctions : talant de déri-
vées, en effet, calculables d'aprës les règles dei SS 2 et 3, aatant de
fonctions primitives connues. C'est ce qui apparaît dans le tableau
suivant (*) où nous plaçons en regard les règles de dérivation élabliee-
plus haut et les règles d'intégration correspondantes :

Fooctû»)

DérivéM

F«^«

Fondion primitiTa

y~x"

y - "«"•-'

-l=J^^c

y ^Lxoulogs

y-'i

^ = i

■Ï-Li+C|>) 1

y-=iini

y'— «MI

V = cMir

Y_.iD. + C

!, = co«i

y — —iini

y^sin*

y=.t«l

ï'-ish.

y-s^i

Y = tg« + C

y -= arc sin x

^' = /:^^

"'^.-x.

Y_.rc«iii + C

y — arc tang x

i-'-r-fT.

!'-.+*•

Y=an!t«ig» + C

V-»'

»■-•'

»-••

Y-«»+C

(*) O mot l'opposa au mot àifféwttliation qui était employé au
XVII* aiècle pour déiigner l'opération de la dérivation (ou, du moins un»
opératîoa exactement équivalente, voir tupra p. ^oi, note a).

(*) Ce tableau eoniljtuo Im Canoam que Leibm» propoiait de
dreMor dit 167]. Cf. la fm du De Quadratura de Newtok.

(') Noua pouvons ausii écrire cette fonction primitive soug U (orme
Y = L[Ce), C étant une eontUnte «rbitwre; en eflet L(Gi) = Lx + LC
(cida n^ i44]. Or si C eat une toiultmU opbilratrwilenestdemémade IX.

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jSa CALCOL DES FO!tCTIO:*S

Les fonctions y considérées no sauraient d'ailleurs avoir d'au-
tres Tonctiona primitives que celles qui figurent dans notre tableau ;
en effet, soient Y, et Y, deux fonctions primitives d'une même
fonction y ; la différence Yi — Yi a pour dérivée y —~y< donc o ;
j'en conclus que \, — Y, est une constante par rapport â x, car
il n'y a que les constantes (dont l'accroissemenl est toujours nul)
qui aient une dérivée nulle.

463. — Pour désigner simplement les fonctions primitives, ou
intégrales indéfinies, on emploie souvent une notation spéciale
dont nous eipliquerons plus loin l'origine et la signiGcation
{Trois. Liv., chap.u) : cette notation est fondée sur l'emploi du signe

/'

{originairement un S;, que l'on Ut : intégrale ou somme,

et du signe dx, que nous avons déjà introduit dans la théorie des
dérivées. Ainsi le symbole

/^

représentera la fonction primitive def{x) : ce Bjmbole, par con-
fléquenl, ne désigne pas une fonction déterminée, mais bien une
infinité de fonctions différant les une des autres par des valeurs
constantes.

Nous écrirons en conséquence

/"

•dx =^ h C, I cos i . dT = »in i-i- C, etc.

Le lecteur traduira facilement dans ce nouveau système de nota-
tions les formules du n*461. Aces formules nous ajouterons les
suivantes que l'on obtient immédiatement en appliquant les règles
de la dérivation :

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HECUEnCRE DES FONCTIONS

En effet, dérivons les secoods membres. Nous avons par
exemple :

X dér. de{x-\-\/i-i-x*).

réduisant au même dénominateur la quantité entre crocliets, et
effectuant la mulltplication, nous obtenons la première formule
écrite ci-dessus. On vériGera semblablement les deux autres.

463. — Ainsi il nous sera facile d'allonger le tableau des inté-
grales connues à l'avance, mais nous ne serons pas pour cela beau-
coup plus avancés. Si en efTet nous nous donnons a priori certaines
fonctions très simples, telles que i/x' -i-~ï , (Lx)~', nous nousaper-
cevrons vite que notre tableau ne nous est d'aucun secours pour
trouver les intégrales de ces fonctions. Pourrésoudre effectivement
le problème de l'intégration, il faudrait donner une méthode directe
et régulière qui permit de former k coup sûr les intégrales des
fonctions connues, de même que nous en savons toujours calculer
tes dérivées. Malheureusement il n'existe pas de semblable méthode
et l'événement a prouvé qu'il ne saurait en exister ; si l'on se borne
en effet au domaine des fonctions algébriques et transcendantes
classiques (') — et, pour le moment, nous ne connaissons point,
noue n'avons aucun moyen d'étudier, d'autres fonctions, — si l'on
se borne, dis-je, âi ce domaine, on pourra aflirmer (nous l'avons vu
plus baut) que toute fonction a une dérivée, mais il ne xera point
vrai que toute fonction ail une intégrale : il n'existe par exemple
aucune fonction (algébrique ou transcendante classique) de x qui
soit fonction primitive de ^P -+- i. Ainsi les règles d'intégration
que nous pourrons trouver ne s'appliqueront jamais qu'à des cas
spéciaux, à des types particuliers de fonctions : elles ne sauraient
avoir la même généralité que tes règles de dérivation.

Nous déclarerons- nous satisfaits, cependant, lorsque nous aurons
reconnu que la fonction intégrale d'une certaine fonction donnée
est impossible à former? Aftirmcrons-nous, sans restriction d'uu-

('j C'est-à-dire des lonctions définies aux §§ i et 3 de ce chapitre.
BoDTKHii. — Lm Piiacipai i» VAot^yu intUiiaMtiqDf. iS

„Google

434 CALCUL DES FOSCTlOm

cune «orte, que la l'onction n'a pas d'inlégralc parce que cette
intégrale n'est pas exprimable au moyen des s) mboles et des signes
d'opérations dont noua disposons? Cela reviendrait k prétendre que
la science mathématique est incapable de définir et d'étudier
d'autres fonctions que les fonctions algébriques ou transcendantes
classiques. Or uue telle prétention serait plus que téméraire.
C'est une maxime banale que nul ne saurait assigTier des bornes à
la science ; et erTcctivement, nous rencontrerons bientôt un pro-
blème fondamental (le problème des aires) (') qui nous forcera à
accepter comme un fait l'existence de fonctions intégrales dont
nous ne savons pas former l'expression, et à faire entrer ces fonctions
dans nos raisonnements (videinfra, chaf>. m, S S, et surtout Trois.
Liv. cbap. 11).

Mais coatentona-nous pour l'inslaDt de cet avartiSBement et
bomoos-noui à indiquer les principales rc^^les et métbodes qu'il
conviendra d'appliquer pour elFectiier aussi commodément que
possible le calcul des intégrales qui sont des fonctions algébriques
ou transcendantes classiques.

454. laUgral» de la lonoUon a/{x). • — L'intégrale indéfinie
du produit af{x) oàa etl im nombre indépendant de x (une cons-
tante) positif ou néijalif est évidemment le prodail par a de
tintéijrale indéfinie defx). En d'autres termes :

j,S{':yl' = ajf(']dx.

4S5. latégrsde ladétinie d'une ■omme. — L'intégrale indé-
finie d'une somme de fonctions est la somme des intégrales indéfi-
nies de ces fonctions.

Ainsi

Et en effet, si nous aj^lons F(a;) et G(j:) des fonctions primi-

(') Nous constaterons (chap. m, $5] que cenouveau problème Mtexaot*-
ment équivalent au problème de la recherche desfonctions primitives. Cette
constatation, fut à la liD du xvii' siècle, le point de dipart du calcul
intégral.

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PRIMITIVES Hh

tives de/et g, la somme F + G a ponr dérivée J{x) •+- g{x), et
est. par conséquent, fonction primitive de cette somme.

Application. — L'intégrale indéfinie d'un polynôme en x est un
polynôme en x. Ainsi le polynôme oc* -+- 6a; -*- c a pour intégrale
indéfinie :

-^ — h — -i- ex -i- d, (d constante arbitraire).

4S6. Intégration par partis*. — Soient u{x) et v{x) deux
fonctions de x. Nous savons que le produit uv a ,pour dérivée
{a" 411) TexpresMoa u'u + v'u oi'i u' et v' sont les dérivées de u
et V. Il en résulte que Fintégrale indéfinie de la fonction u'v eit
égale au produit ou moins Cintégrate indéfinie de la /onction v'u.
En d'autres termes :

j u'(x).v(x).dx = u{x).v[x)-.J^{a:).u(x).dx.

Celte formule permet de calcaler commodément les intégniIeG
indéfinies d'nn grand nombre de fonctions.

Exemples. — Pour calculer l'intégrale de log x. posons « = œ
{d'oii u' = i) et u = log x ; nous aurons :

I logx.dx=:uv — I v'adx=xiogx — I x. - dx^xlogx — x + C,

Pour calculer l'intégrale de x log x, posonsu=^ — (d'oùu'=:x)
et u =; log X ; nous aurons :

/x' Cx' I
xlogx.dx=^ — log a; — 1 dx

On pourra calculer de mCme, de prochs en proche, l'intégiale
de x" logx, quel que soit l'entier m.

Soit encore à calculer l'intégrale indéfinie de xe'. Posons e' ^= u
(d'où u' = e") et x ^ D ; noue aurons :

I xe'dx = xe' — | fdx = xe' — e'.

D,B,t,zed.yGOOg[e

/l36 CALCUL DES F0:<CTI0a5

La mélhode d'intégration par parties a été employée pour li
premièi-e fois dans des cas partictiliera par Fermât ( ' ) et par Pas-
cal ('}, mais cette méthode se présentait chez eux sous une forme
géométrique qui en masquait la généralité. Comme les régie»
que nous allons donner aux numéros suivants, elle ne fut formulée
défiuivement qu'au xviii* siècle.

457. Changemsnt de variable. — Soit k calculer l'intégrale
indénnie d'une fonction y = J{x) ; je suppose que x soit fonction
d'une variable t, que je prends comme nouvelle variable o»
variable auxiliaire ; alors y devient une fonction composée de (.
Appelons Y = Y{x) l'une des fonctions primitives de J(x) ; la
variable Y sera fonction de (, et l'on aura (n" 4t7) :

et, par conséquent : Y', =^y .x,. J'en conclus que Y est fonction
primitive de la fonction de l, yx, .

En d'autres termes, lorsqu'on remplace x, dans J[x), par JOft
expression en fonction de l, on a (*) :

\-\- constante.

uj'f{x)dx^jlfi:r).x.]dl

Cotte formule permet de calculer l'intégrale indéfinie Y -i- C de
f[x) ; Y sera obtenue en fonction de t, mais pour In mettre sous la
forme d'une fonction de x, il suffira de remplacer t par son ex-
pression en fonction de x (*).

(1) Principalement dans le traité inlitulé De tequalionum loaUium
Irammulatione, dont la rédaction fut achevée «n iB'i; {Œuv, lU Fermât
t. I, p. j55-2jK(l.

('j En particulier dans le Traité de» irUignea et de lettre ongteta [i6liA).

(^) Si l'on se sert de la notation di fièrent iell« en posant x, = j-,
(voir 407I, on voit que (ouf » patte atmme ti dx et dt étaient des
nombres ordinaires, . une fraction, et f[x'.dx un produit : si l'on admet
cela, il est évident que f'^x) . dt = f[x]dx.

[*) On a supposé x fonction de t ; donc inversement ( est fonction de i.

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RECHBKCHE DES FONCTIONS PRIUITIVBS 4^7

458. ApplicatiODS. — Soit à calculer l'intégrale indéfinie de

,,. , où A-estuneconstante; jeprendsune variableauxiliaire/

vit* — i' •* "^

^gale à r ; j'ai alors x = h, x = k, et par conséquent :

J ^ETzrT, J * . /. '* V /' - '' j v^' - ''

L'intégrale indéfinie cherchée est donc arc sin l, ou (en rem-
plaçant t par T I, arc sin v ■

On utilisera le même changement de variable pour calculer les
intégrales indéGnies (') de

On aura par exemple :

Soit maintenant à calculer l'intégrale indéfmie de {ax + b)" où
a, 6 et m sont des constantes : nous poserons ax -\- b ^ l,

d'où ^ ~ ~ â "^ û' ^', = -f et nous obtiendrons {d'après

les formules du n" 451) - ^^^-^^"' ' si m est dififérent de — i ,

ou " log {ax -(-

Il m^^-

460. Intégrale d'une fonction rationnelle de x. — Pour in-
tégrer une fonction rationnelle de x, c'est-i-dire le quotient

TT^de deux polynômes en x. nous nous servirons de la formule
de décomposition qui a été donnée au chapitre i.

Nous supposerons que le degré de ^{x\ est inférieur au degré

(■) Jo désigne par K* un nombre constant positif : cette notation est
jiulifiéo par le fait que k'' est un nombre toujours positif (quel que soit
le signe de k].

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^38 CUiCUL DBS FOXnJOBâ

da \(x) [s'il d'«d était pas ainsi, on n'aurait qu'à retrancher
de la fonction un polynôme en x, quotient de B par A, pour avoir
une foncUon rationnelle qui satisfasse & la condition voulue (vmr
le début du n" 374 )J. Nous pourrons alors transformer notn fonc-
tion en une somme [voir la formule (3) du n" 374] et tout revien-
dra ft calculer les intégrales des termes de la somme, c'est-à-dire
1«8 intégrales des fonctions des types suivants :

[x-x,r

où x,, a, 6, ijaik sont des nombres constants, quelconques et n
un exposant entier /fOSi'Ji/ quelconque supérieur ou égal à i.

Voyons donc comment noua obtiendrons cas diverses intégrales.

460. — Nous avons vu i la un du n* 468 comment on calcu-
lera la première.

Pour obtenir la seconde, remarquons d'abord que, d'après
l'identité (xvu) (n°306) :

^ + gx +

"= -H-nVfc-2!.

Désignons par h le nombre constant /r — v et finsons le chan-
gement de variable x + ^ ^^ t, d'où .t', ^ i . En appliquant
la règle du n° W7, le lecteur vérifiera aisément que nous sommes
ramenés au calcul d'une intégrale de la forme | ^-^ ,.- dl,

{l et m nombres constants).
Cela posé, nous avons

nous sommes donc ramenés (d'aprôs les numéros 454-65) au calcul

Pour calculer la première, observons qu'elle peut s'écrire
- / ,-r* 1— ce qui n'est autre oboee que - i h C

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RBCBERCHB DBS FONCTIONS nttMITIVBS 4d()

comme oa la voit immédiatement eo prenant la dérivée de celte
dernière fonction.

Quant à la seconde intégrale, nous ne pouvons pas rassembler
dans une seuleetmSme formule les diverses expressions qu'elle aura
suivant les valeurs de l'exposant n. Mais nous allons indiquer la
méthode qui permettra de la calculer en établissant une formule
d'un type que nous avons déjà rencontré plus haut : le type
récurrent.

«i. Calcul de / .^, _^ ^., . — Désignont cette intégrale p»

!„, l'indice indiquant la valeur de l'exposant du dénominateur.
Nous aurons

'■=/,TT1 = /m- "(')'>« '» fr^.'"'<'-

Or nous avons appris au n* 458, k calculer oes deux intégrales.

Nous allons établir d'autre part une égalité ou relaUon formule
récarrenle] qui permet de calculer \„+i si l'on connaît fn.
Puisque nous connaissons Ii, cette formule (appliquée au cas où
n = i) nous donnera Ii ; ayant I„ nous saurons calculer U (en
faisantdan>laformulen^^)elainsi de suite; de proche en proche
nous pourrons calculer l», quelque grsnd que soit l'exposant n.

Appliquons k I» la formule de l'intégration par parties. En
posant

. = 1. d-od »' = .; » = ,Tr:^. d-oi. ■' = (ii=^. .
nous avons

Gela posé, on peut écrire

C l-dl _ C l' + h „ f it

J (!• + !>)•+• ~ J {'• + *)■+' J V + *)■+'

(') Voir lupra p. ^3-;, note i.

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hiO C4LCtL DBS FO^CTIOSi

ce qui n'esl auti-e chose (') que I„ — k I,^,. D'où la formule
- anl„ — anM,__,,

■ (/' + hr'

formule qui, comme nous l'avons annoncé, fait connaître l„^.,
lorsque l'on a déjà rex|>ression de I..

Ainsi, en cltectuant des calculs plus ou moins longs, nous sau-
rons toujours calculer l'intégrale d'une fonction rationnelle sup-
posée décomposée comme il a été dit au n° 374. Lorsque, par
contre, la décomposition de la fonction n'est pas pratiquement réa-
lisable Uoir n° 374], l'intégration en général, ne pourra pas être
faite.

462. Intégrale d'une fonction rationnelle de ain x, cotx,
tang x. — Pour calculer une telle intégrale, on emploiera en
général la méthode du changemcnl de variable. Divers change-
ments pourront être utilisés, qui se trouvcrant spécialement ap-
propriés aux diverses fonctions que l'on désirera intégrer.
Mais il est un changement de variable qui doit être distingue de
tous les autres, car, s'il n'est pas toujours celui qui conduit aux
calculs les plus simples, il présente l'immense avantage de pouvoir
servir en tous cas : c'est le changement

'sf='- O" ;r = aarctgl; d'où ar, = p-H--p.

En effet, sin x, cos x et tg x, sont tous trois fonctions ralion-
ncltes de tg - (voir les formules du n" 384). Remplaçant sin x,
cos X, tg X par leurs valeurs --,-jj, ■ — .j . ■ __ r, (n° 384)
dans la fonction rationnelle proposée, et multipliant parx,, c'est-à-
dire par -—-r,, nous obtenons une fonction rationnelle de /que
nous intégrons par la méthode du n' 450 : dans le résultat nous
remplaçons t par tg 7 .

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HBCHBRCHE DES FOnCTIO:<S PRIMITIVES 4'|I

Exemple. — Soit i calculer j -r^. Posanttg - :=(, il devient:

463. Intégrales des paissanoMetprodultadecoflinusetâe
slniu. — Pour calculer les intégrales

I cos"! . dx, I sîn

'x . dx.

oà l'exposant m est un entier positif, il est commode de se servir
des formules trigono métriques établies au n" 383. Les puissances
co8"'j;, sin^x, peuvent être remplacées par des sommes dont les
termes (') sont (à des facteura numériques près) des cosinus d'arcs
multiples de x, soitcosx, cos -ix, ... cos mx. Ainsi tout revient à cal-
culer les intégrales de ces dernières fonctions, ce qui est facile si
l'on prend pour nouvelles variables ax, 3x, ... au lieu de x.

Exemple. — Nous avons (382i : cos*a;= - [i -+- cos 2x]. Donc (')

"--^J'^-'-'J"

404. — Supposons maintenant que nous ayons à calculer l'in-
tégrale

/""■"

où m et p sont deux exposants entiers. Appliquant les formules du
n" 382, nous serons ramenés au calcul d'intégrales de la forme

(') Noiu ne parlons pas des termes qui sont
premieT terme dans la somme 5 + - cos 2 x égale à cos* x [voir n" 38a].

0 On a / cos3Z.iiz= ~ / cos sx.rf (3x),eii prenant -ix pour nouvelltt
variable (vu la simplicité du calcul, il est inutile de dérigner ici cette
nouvelle variable par une lettre spéciale) ; la nouvelle intégrale est
égale à sin 2X + constante d'nprès lo tableau du n* ^hj.

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443 CALCUL DES ro:4Cnoit8

I cas mz . un nx . (te, où m et n aont deux soliers qudconques.

Or, appliquons la première formule (7) du 11° 383. Nous avons

cos mx . sin (ir = - sin (m -h n) x -+-' - sin (n — m) x.

nous aommeB doDc ramenés au calcul d'inlégrales de sinus d'arcs
multiples de x ; elles se calculent comme les întégiale» des conniis
du n' précédent.

465. Fonction ratloonalls d« x et d'uiL radical portant snr
un polynôme du second degré. — Proposons- nous d'intégrer
une fonction de la forme

R {x, \/ax» ^ bx-h e)

qui M ptiwnta comme une fonctûn rationrulU de denz vsriablest
dont l'une est », el l'autre !a quantité \/a3^ -^bx -h e, où a, b, e
sont de» coeflîciwits constants. Cette fonction dépend de la seule
variable x, mais on peut la considérer comme une fonction com-
posée (440) en l'écrivant

R (*, y) avec y ^ \/ax^ + bx -i- e.

Voici comment l'on pourra, en tout cas ('), ramener l'intégration
de la fonction R à l'intégration d'une fonction rationnelle d'une
variable unique (4&9) :

Posons, pour simplifier l'écriture, p ^^ , g = -, en sorte que

=v'.(«'+^-.-°)=v/;.\/--H

puis faisons un changement de variable en posant

(.) j = v/«(i-.),

(') D'autrea méthodes pourront ttre plui rapide* dam e«rtaiii« cas pus
ticulien : oeUa quw noiu iodiquons a l'avantage d'ttre toujours appU-

„Google

RBCHERCUI DES FONCTIOTO PUUTIVES ^hi-

( I bis) \/sf> -h px -h q = X — u.

ce <j^ui revicDt k remplacer la variable x par la variable u q^ui est
liée à j; par la relation (i bis). Pour avoir x en fonction de u> nous
élèverons au carré les deux membres de (i bis); cela nous donne :
x' -hpx + (/ =x' — a ax + a», d'où l'on tire, toutes réductions faites :

X ^ __ — l ■ ainsi x est une fonction rationnelle de u : il en est
p-t-au

par conséquent de même de la dérivée x,, et aussi de y, pnisqne,

par hypothèse, y = ^a {x — a). Donc, lorsque l'on remplace ar

et y par leurs valeurs en fonction de a, l'intégrale k calculer

/'

{x. y).x. .(Ju devient une intégrale de fonction rationnelledeu.

466. Itttégxala* dillni*». — Noua noua contenterons ici de
donner une déOnitioD do l'intégrale définie dont nous nous occu-
perons k plusieurs reprises dans- la suite de cet ouvrage.

Soit F(a:) une fonction primitive d'une fonction f{x), et a, fr
un intervalle où cette dernière fonction QKista et est continue. On
appelle u intégrale défime, étendue à l'intervalle a, b », de la
fonction f{x) la dilïérence F (6) _ F [a) .

Cette différence remarquoos-le eat toujours la mâme quelle qne
soit la fonction primitive de /{x) que l'on considère. Soit, en effet,
G(x) une autre fonction primitive. On aura, G{x) = F{x) + C,
C étant une constante indépendante de x. Donc

G(fc) — G(û) = F{6) — F(a).

Nous conviendrons de représenter l'intégrale définie de f{x)

étendue à l'intarwlle (a, b) par la notation j f(x) dx.

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âd4 CALCLL DES F0IICTI0:<9

€. — EquaUoas àlttérentleHes

467. — La résolution des o équations dilTérentielles » ('), Unt
k cause des développements théoriques dont elle est le point de
départ qu'en raison des appplîcatîona géométriques et mécaniques
auxquelles elle donne lieu, est l'un des problèmes fondamentaux
de l'algèbre.

Soit 7 ou ^(x)uneronctioninconaued'unevariablex, et r',;^', ...
ses dérivées successives : %i l'on sait que lesquanttlés j:;,^, y', j*'...
— dont la variation est déterminée par celle de x — satisFont, quel
<]ue soit X, 6 une relation implicite (n° 430)

{') F(ï. j-, /./, ...) = o,

dont on connaît la forme, on peut parfois se servir de cette relation
pour déterminer la nature de la fonction inconnue y. L'égalité ou
relation (i) est appelée a tqaation différentielle entre y est a; n : la
fonction y [x) est une sohilion ou inU'grale de cette équation (') :
si l'on a trouvé toutes les solutions d'une équation différentielle, on
dit qu'on l'a intégrée.

Exemples. — Les relations

<3) y* — 3-y-ir- y' sin X = o

(3) y~yS{^)-9i^) = o,

où / et y désignent des fonctions connues de x sont des équations
dilTérentielles. La relation y' — fix) = o, qui ne contient pas y,
est aussi une équation diiïcrentielle, et d'un type particulièrement
simple : elle admet comme solutions les fonctions primitives de

468. — L'ne relation implicite entre /ilasieurs fonctions de x,
tours dérivées, et la variable x. sera, elle aussi, appelée équation
ilifférenlielle. Mais celle relation à elle seule ne suffit pas k déter-

['} Mot introduit par Leibnite, en même temps que le mot derinan,
dana une lettre à Newton, 1677, apud Malhemalh. Werk. I, [34-63.
(') On dit qu'elle ■aatiatait • à l'équation (i| ouf vériTie* cette équatiou.

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ÉQVATlO^tS DIFFÉRENTIELLES ^^5-

miner les fonctions qui y figurent, dans le cas où ces fonctions
sont toutes inconnues. Pour calculer plusieurs fonctions-
inconnues y, ;, u, .... au moyen d'équations diflérentielles, ii
faudra que l'on connaisse plusieurs équations auxquelles satisfont
simultanément (quel que soit x) les fonctions y, z, u, ... et leurs
dérivées. Ces équations forment alors [comparer la théorie des
équations algébriques ordinaires] nn systimc d'équations différen-
tielles simultanées.

Ainsi l'on peut trouver des couples de fonctions y etzde ar satis-
faisant aux deux relations simultanées :

j /-„ + »-^ = o

] z' -h z'y -\- i xy' = o

469. Ordre. — On appelle ordre d'une équation difTérenliclle
(relativement & une ou à plusieurs fonctions inconnues figurant
dans l'équation) l'ordre de celle des dérivées de ces fonctions q»t
se trouve avoir l'ordre le plus élevé. Ainsi l'équation (a) est du
second ordre (par rapport à la seule fonction inconnue qu'elle con-
tienne : y) : eu effet y figure dans cette équation et il ne s'y trouve
pas de dérivée d'ordre supérieur à a. L'équation (3) [qui ne con-
tient d'autre dérivée que y] est du premier ordre. Les équations (4)
sont respectivement du premier et du second ordre par rapport
aux deux fonctions y et z.

470. Béduolion d'nn système d'équations & nue équaticn
unique. — Nous nous^bornerons à considérer, dans les pages qui
suivent, des équations dilTcrenti elles à une fonction inconnue.
Nous en avons le droit, car on démontre que l'on peut toujours —
théoriquement tout au moins — ramener la résolution d'un syslhnc
de n équations différentielles à n inconnues à la résolution de plu-
sieurs équations séparées {d'ordre plus élevé, il est vrai) dont chacune
ne contient qu'une fonction inconnue (et ses dérivées).

Montrons, en nous plaçant dans le cas le plus simple, comment
se pourra faire la réduction du système. Considérons un système
de deux équations du premier ordre
<5) F{xo',=,/,î') = O. G(x.y,z.y,z'] = o

contenant deux fconctions inconnues de x et leurs dérivées.

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446 CALCUL DEB POKCTIOTfS

Des àeax équations (5) — tnitiea comme des équattoi» or-
dinaires ayant pour inconnues y' et z' — on tin (') certaines ex-
pressions de y et z' en fonction de x,y,z, soit :

(6) y=.J{x.y.z.). z-=g[x.y.z).

nouveau système d'équations dîffôrentielles qui équivaut évidem-
ment au système (5) 'voir le n* 470].

Baisonnons donc sur le nouveau système et écrivons que les dé-
rivées par rapport à x des deux membres de la première équation
sont égales ('). Nous obtenons (d'après la règle du n" 44S;.

^ ~ dT "*" ày '^ ~^ ai • •
0U| en tenant compte de la seconde équation (6) :

/ V . àf(r,y.:) , bffce.Y.!:) , hÏÏx.y.t) , .

(7) / = ->-'-^- + ^^-^ J + -^S- • '<"^-J'-')'

^ualion de la forme

(;M.} ï = -^{^.y.z).y' ^■\i.x.y.z),

ç et !|j étant deux fonctions de x, y, z. Noos devons satisfaire a la
fois à la première équation (C), y' ^=J{x,y,z), et à l'équation (7^).
Or regardons ces deux équations comme deux équations ordi-
naires par rapport aux quantités x,y,z,y',y' et éliminons z entre les
deux {voir a' Z2a) : nous obtenons, comme résultat de l'élimi-
nation, une nouvelle relation ou équation, oîi n'entrent plus que
les letties x, y, y' e.if : c'est une équation da second ordre

dont t intégration donnera les fondions y qui salisjont à notre pro-
blème. Une fois y (et par suite /) connus, U relation implicite

y =^J{x,y,z) fera connaitre z.

(') En d'autres termes, nous rëtolMuw le ayitiine àta ^)Mti«B (St par
rapport aux deux Jettrea ou quantités ^ et z' [voir chap. 1, §£ 4 *^ 8)-

(') Lee deux membres sont des fonctioni de x (puiiqu« les quantités y
et z sont elles-mêmes fonctions (inconnues) de x) et comme ib sont égaux
-quel que soit x, leurs dérivées sont égales aussi.

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ÊQUATIO?(S DIFPÉHE^TIBLLES il^"]

471. tatégrale géaénle. — L'équation difTérentielle y =f(x),
ou/ —f(x) = o, dans laquelle _/{x) est la dérivée d'une foncUon
F(a;).admetcoinme solutions (467), les fondions primitiveB de /(a7),
obtenues en donnant à la constante C, dans l'intégrale F(x) -+- C,
tontes les valeurs possibles [voir $ S]. Nous conviendrons d'appeler
intégrale générale de téqaallon l'intégrale indéfinie F(œ) + C,
(dans laquelle la valeur de C reste indéterminé), et intégrale ou so-
lution particulière toute fonction primitive particulière de J{x)
[obtenue en donnant à C une valeur déterminée]. Pour indiquer la
présence de la constante C (appelée constante d'intégration) dans
l'expression de l'intégrale générale, nous dirons que cette inté-
grale générale dépend d'une constante d'intégration arbitraire.

Considérons maintenant l'équation

/-/(«) = <> o" /=/(»)■

Elle nous donne (puisque y" est la dérivée de /) : y t= F(j;) + C,
où C est une constante arbitraire. Supposons que nous connaissions
l'intégrale indéfinie, F, (a;) + C,, de F(x) : nous saurons alors que
y, fonction primitive de F(a;) -(- C, a pour expression

F.(x) + Gr + C,

OÙ C et Cl sont deux constantes qui ont des valeurs arbitraires :
cette expression est encore appelée intégrale ^^n^ra/e de l'équation :
elle dépend, cette fois, de deux constantes d'intégration.

Nons étendrons facilement les remarques et déPmitions qui pré-
cèdent à l'équation d'ordre n, -r^ =/tar). Si l'intégrale générale

de cette équation est calculable, elle dépend de n constantes d'tnté-
gralion arbhraîraB.

472. — Cela dit, considérons une équation quelconque du pre-
mier ordre entre y et x,

(8) F(«.j-,y) = o;

si je trouve une fonction y àe x qui satisfasse à l'équation (6), je
dirai que cette fonction sn est une intégrale on solution par ticuiitre.
Si je trouve une solution dans l'expression de laquelle entre une
constante arbitraire C [c'esl-4-dire one fonction dépendant de

.yGoOgk

'iflS CALCUL DES l■■OSCTIO^S

C. qui laUifoiie à régnation qaelle tae loit la Talenr donnée i

cette taaatitéj, je dirai que celle solution {oàje laisse C indéUr-
miné) est V intégrale (féitérale de l'équation (8). On a prouvé rigou-
reusement, — mais par des procédés de démonstration que nous ne
pouvons pas exposer ici — qu'une équation différentielle no sau-
rait avoir plusieurs intégrales générales. Si donc une équation avait
d'autres solutions que les intégrales particulières déduites de l'in-
légrale générale en particularisant la valeur de C, ces solutions
seraient nécessairement en nombre fini (leur eipression ne con-
tiendrait aucune constante arbitraire, vide iiifra, n' 491).

473, — Il noua est facile d'illustrer ces définitioaa en formant
autant d'équations différentielles du premier ordre, qu'il nous
plaira, dont l'intégrale générale nous soit connue. Considérons en
effet une relation implicite quelconque entre y et x,

(9) /('.y.C) = o,

dans l'expression de laquelle entre une constante C.
Nous avons, par dérivation (n" 444), la relation

(io) /;+/,'./ -o.

où les dérivées partielles y^' et y/ dépendent en général de G : cette
relation est satisfaite, quel que soil G, lorsque l'on prend pour y la
valeur de la fonction implicite déCnic par (g).

Regardons alors, pour un moment, la relation (9) comme une
équation algébrique ou transcendante dont l'inconnue est C, et
supposons que nous aacblons éliminer la quantité C entre les deui
équations (9) et (10) : nous obtenons ainsi une relation entre x.y
et y qui est une équation différentielle (ne contenant pas G} : In
fonction implicite définie par la relation (9;, pour une valeur arbi-
traire de G, est l'intégrale générale de cette équation.

474. Exemple. — Considérons les fonctions y dex définies par
la relation y' — 2C1C r= o où G est arbitraire. En dérivant par
rapport à x, nous en tirons, — aC + ay/ ^ o; ou G = y/-
Portant dans la relation proposée, nous avons l'équation différen-
tielle.

y^ — axvv' =^0 ou SX/' — y ^ o.

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ÉQUATIONS DIPFÉRSHTISLIBS 449

dont la relation y* — aCœ ^ o définit l'intégrale générale. En
. donnant à C une valeur particulière, par exemple 3, nous aurons
une intégrale particulière y* — lix^oony = a /x.

47B. — L'intégrale générale d'une équation du second ordre (J
une fonction inconnue) sera, par déûnilion ('), une solution dans
l'eipression de laquelle entrent deax constantes d'intégration qui
restent indéterminées. En éliminant les constantes C et Ci entre
une relation implicite y(a;,}',C,Ci) = o et les relations obtenues
par dérivation {')

/.'+/.'■/ = », /■.. +/.■.■/+/•,. ■y+/,'-j' = o,

on forme une équation différentielle du second ordre dont l'inté-
grale générale est la fonction implicite y(j;) définie par la relation
d'où l'on est parti.

Exemple. — Considérons l'ensemble des fonctions définies par
la relation

(u) y = A(x + lix*)

où A et B sont deux constantes arbitraires. Les variables ^ et 3;
figurant ici séparément dans les deux membres de l'égalité, la déri-
vation par rapport à x se fait immédiatement sans qu'il soit néces-
saire de recourir k ta théorie des dérivées partielles. Nous avons :

/ = A(i -H2Bx) = A^-aABa;, /=aAB.

Etantdonnécetle valeur de aAB, nous pouvons écrire

y ^ A -+- yx ou A = j-' — y'x.

{') On démontre ici encore que cette intégrale est nécessaire ment
{') ha première dérivation se fait comme au a" 4/3. Je dérive ensuite
|iu rapport à x l'exprestion fi + fy y\ La dérivés do /', est f^^ [ou —^ >
TOrnOi^Sj. La dérivée du produit/^.!/' est égale à -^y' + f\ ^- Or
%=-=y, et- d'autre part, d'aprts la régie du »" 443 : j^'' =■ ^ + ^ î^ ;
OT ?£-' = -?V. _<• et "l^ = /V par définition.

Bdonoui. — Lu Prioeipw da l'AntljrM miUiiouHqiM. ig

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45o CALCUL DIS FOFCTIOIIS

Donc, en portant dans (ii) •.y = {y — /x) n-^ i*, ceqni

donne, toutei riductiona faites

/x' — a/a: -h ly = o.

Les fonctions {y) constituent l'intégrale générale de cette équa-
tion. Toute fonction {y) particulière, obtenue en donnant à A et B
des valeurs déterminées, — par exemple :

y = x — 7x' ou y =: 3 (x ■+- »«'),

est une « intégrale particulière ».

470. — On étendra facilement les considérations et délînitioDi
qui précèdent & une équaUon d'ordre quelconque. D'une manière
générale, l'intégrale générale d'une équation d'ordre n contiendra n
constantes arbitraires.

477. Condltioni Initiales. — On établit dans la Ibéorie géné-
rale des équations différentielles qu'une équation (8) du premier
ordre possède en général une intégrale particulière et une teule qui
prend une valeur donnée y* pour une valeur donnée x, de la
variable.

Nous ne sommes pas actuellement en mesure de démontrer ce
théoi-èmc qui d'oïlleurs — au point où en est notre théorie des
fonctions — ne saurait même être regardé comme \rai sans-
exceptions (voir 478) : noua pouvons, cependant indiquer la voie '
h suivre pour obtenir, en admettant quelle existe, l'intégrale de {Sy
qui satisfait aux conditions requises.

L'expression de l'intégrale générale est, d'après le d° 472, de la
forme y^f{x,C), l'expression de y dépendant k la fois de la va-
riable X et de la constante d'intégration G. Il s'agit donc de déter-
miner une valeur de G telle que pour a; = x, on ait y = y,, c'est-
i-dire telle que f (x^, C) =y^- Or cette dernière relation, où x^
et y, sont connus, peut être considérée comme une équation algé-
brique ou transcendante dont l'inconnue est C. Elle détermine
donc la ou les valeurs de C qui répondent è la question posée.

Pour exprimer que les quantités x^ et y^ "ont lea conditions qui
déterminent une intégrale particulière, on dit que ces valeurs ou

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ÉQDATIOns DIF»£aeNTIELLES j5l

quaDtilés sont des conditions initiales (cf. n* 306) définissant f in-
tégrale.

On démontrt paraillement qu'une équation du second ordre
(supposée intégrable) possède en général une intégrale particulière
et une seule qui prend une valeur donnée et dont la dérivée prend
une valeur donnée pour une valeur donnée Xg de la variable. Les
trois valeurs données, que je désignerai par exemple par ic,, y^, y\,
constituent les conditions initiales déQnissant une intégrale particu-
lière de l'équation.

L'étude des équations d'ordre quelconque conduira à des con-
clusions semblables.

478. Le preblème de l'Intégration. — L'intégration d'me
équation différentielle

F(x,y.y.y:...) = o,

oîi F est une fonction connue de x, y, y, y', ... est-elle une
opération toujours possible ? Non, évidemment : car la simple
détermination d'une intégrale indélinie n'est point, elle-mdme,
toujours possible. Ainsi nous sommes avertis & l'avance que nous
ne réussirons pas à intégrer toutes les équations différentielles que
nous pourrons imaginer. Il n'en est que plus intéressant de noter
et de mettre à part les équations que nous pouvons regarder conuDe
41 intégrables ».

Klais nous ne voulons pas répéter ici l'étude qui a été faite au
S S. Nous ne nous arrêterons donc point aux calculs d'intégrales
indé&uies que peut supposer l'intégiation des équations, et nous
nous poserons simplement la question suivante : Comment peat-on
ramener le problème de l'intégration d'ane équation différentielle
au calcul d'une ou de plusieurs intégrales indéfinies ? Si, pour un
type donné d'équation, nous connaissons un moyen d'atteindre ce
résultat, nous déclarerons que ce type est soluble ou intégrable ( ') :
nous ne pourrons, en effet, être arrêtés dans l'intégration d'une
équation de ce type que par une difficulté relevant du S S.

l'i On dît louvont en ptéciaant ■ intégrable par dsa quadratures ■, le
oot quadralwe signifiant ■ calcul d'une intégrale indéfinie ■ (45o).

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453 CALCUL DES FO>CTI0n8

479. TraoBlormation des dquationa dfHérantielles. —

Pour intégrer les équ.itions difTérentielIcs il faut en général, comme
il arrive d'ordinaire en olgèbre, prendre des détours : il est le plus
souvent nécessaire de commencer par transformer les équations
proposées en des équations éijaivalenles.

Deux équations difTérentielIcs relatives aux mêmes vaiiablet
[par exemple x et y\ sont dites équivalentes si elles admettent la
même intégrale générale (c'est-â-dire si elles sont satisfaites par les
mêmes fonctions ^ de x). Envisageons une équation de la forme
F {x, ;)'■/) = o dont le premier membre loit une fonction algé-
brique (') de X, y, y : il est clair que, si nous considérons pour un
instant celte équation comme une équation algébrique contenant
trois variables x, y, y, et si nous remplaçons cette équation par
une équation équivalente au sens du n" 336, nous obtenons une
nouvelle équation diltérentielle équivalente à la première. Nous
dirons alors que celle-ci a subi une transformation algébrique.

Ainsi les équations

y =xy*+y*. y — xy* ~ y* = o, 5 O'' — xy" — j-') = o

■ont des équations équivalentes.

L'une des transformations algébriques les plus usitées, dans le
cas où l'équation est du premier ordre, cat celle qui consiste Ji (')
« résoudre t'équation par rapport i / n , c'est-i-dire & former l'ex-
pression déjtendant de x et y 6 laquelle doit être égale la quantité
y pour que la relation F {x, y,y) = o ait lieu.

Ainsi l'équation

y -^ry 4-x'j' = o

(<) Nous nous borDom â ce eu pour simplifier notre exposé; on éten-
drait ajsémeiit le* Fonsidérationi qui vont tuîrre «u cai où F garait totie-
tioQ tramcendante; ai F était transcendante, il est vrai, on ne saurait
plus parler, au sens rigoureux des mots d'une c transtormation algé-
brique 1 de l'équation; cependant, pour simplifier le langage, nous nous
permettrons d'appeler en tous cai i algébrique ■ [par convention spéciale)
toute ■ transtormation i qui change l'équation en une équation équira-
lente au sens du n" 3i6.

(*) Ou ( tirer > y de l'équation, que l'on résout comnw une équation
algébrique dont y^ serait l'in

.y Google

ÉQUATIONS dipf£hehtielles 4^3

se transforme en

■' a

- Les équations difTérentielles d'ordre supérieur au premier se
prêtent à des transformations semblables.

Mais les transformations les plus fécondes seront (comparer le
n°335), des transformations indirectes, lesquelles font intervenir
des variables auxiliaires prenant provisoirement la place des va-
riables proposées (variables principales). Ces transformations sont
généralement dénommées h changements de variables h.

480- Cbang«m«ttt de Taiiablei. — Considérons an« équation
différentielle entre x et y, par exemple l'équation du premier ordre
ordre

(la) V(x,y,y') = o.

Un changement de variables relatif â cette équation peut porter,
soil sur la variable dépendante^, soit sur la variable indépendante,
soit sur toutes deux.

Supposons d'abord que nous conservions la variable x et pre-
nions comme fonction inconnue de x nne nouvelle variable v,
définie en tant que fonction de x et ^ par une relation connue,
v= g{x, y). Cette relation définit inversement y comme fonction
de V et de x. Supposons en particulier (le changement de variable
ne sera d'ordinaire praticable qu'en ce cas) que nous sachions ex-
primer expliciUmenl y en fonction de x et v : y s'exprimera par
une égalité de la forme

(i3) y = t{=^.'')-

Dérivons cette égalité par rapport & x, en nous rappelant que v
est une fonction de x dont la dérivée peut être désignée par v :
nous obtenons

(14) j-' = y-. +«V..

Remplaçant alors, dans l'équation (13) yet /parleurs expressions
(i3) et (i4) en fonction de x, v el i'' nous aurons une équation
difTérentiellc entre x el v, qui équivaut h l'équation proposée. Si

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454 CAI£OL DES

l'on trouve une Bolution de cette équation, il suffira âe remplacer
V par celte solution dans la relation (i3) pour avoir une fonction
ydexqui soit solution del'équation (la). L'opération »era donc
avantageuse toaies les fois qae tiqaation en x et v sera plat
simple qae téqaalion en x et y. Or la fonction f qui dd&nit le
changement de variable (iS) ast arbilraire. Le tout sera donc de la
choisir d'une manière convenable.

481. — Pour passer des variable* x et y & deux nouvelles va-
riables a et If, il faut se donner deux relations de la forme

(■5) '=/('.«)■ r = î(»..)

définiisaot x et y comme fonctions de u et u [et inversement u et »
comme fonctions de x et y]. Considérons, par exemple, la variable
u comme la variable indépendante : la dérivation des égalités (i5)
par rapport h u nous donne

X. = /. + 1//. . y. = ?'. -H v'o. .

Or y. = y.a. = I? . Donc :

Remplaçant, dans l'équation différentielle (la), x, y et y' par
lemra expressions en fonction de u, v, v' données par les égalités
(i5) et (i6), nous obtenons une équation différentielle entre x, v
et v' qui équivaut k l'équation (i3).

483. Cm d'une équation da eeooiid ordre. — On définira
de la même manière le changement de variable ou de variables
relatif i une équation du second ordre ou d'ordre supérieur.

Proposons -nous, par exemple, d'effectuer le changement de
variable (i3) sur une équation de la forme

(17) F{x,y,y.f) = o.

En dérivant l'égalité (i3), nous obtenons l'égalité (i4) ; en dé-
rivant celle-ci [d'après les règles du n° 443] nous avons :

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ÉQtlATIOnS CLjLSSIQVES DU PttBIltER OKDRE 4&&

L'iquation (17) ae transfonne donc en une équation du second
ordre

F[x. f(x. u), <f'. ■+- t/f'., f'., -+- ... ■+- iff',] = 0,

dont le praaùer tnembi* est devenu une Ebnciion de a, v, i/ et v*.
Tel est le principe de h méthode du ehengenMnt de variables,
dont le lecteur trouvera de nombreuset ap^ications dans les
deux paragraphes qui vont suivre. Ces para^aphes contiennent h
relevé des équations diSérentielles int^grables les plus classiques du
prunier oidre et d'ordre supérieur.

7. — équatioita ctasalqaea da premier ordre

483. Equations A variables aéparé«a. -- On appelle ainsi une
équation qui se présente sous la forme, ou qu'une transformation
algébriqueC) permet de ramener à la forme (*) :

{0 y •+0-) = ?(«).

f [x) et t}i {y) étant respectivement des fonctions de la variable
indépendante x et de la variable dépendante y.

Supposons que nous puissions former une fonction primitive
4) (x) de f (x) et une fonction primitive (') T {y) de la fonction de
y, <{/(y). D'après la règle du n* 417, le produit y . '^(y) sera la
dérivée par rapport à x de 'F (y) [qui est une fonction composée
de X, puisque, y est, par hypothèse, une fonction de x, solution
inconnue de l'équation (1)].

(') Je donne ici k la locution * transformation algébrique ■ le len* gé-
DJral qui a éU indiquj p. 45^, note i.

(') La procédé qui eoniitte k mettre une équation dîSéientioUe *oua la
forme (i) et à l'intégrer comme nom l'expliquons ci-deasoui, est appelé
par Jean Bn)NODii.i.i : léparation des variables [s^xiratioinitUrntinala-
rwn) [Aela gruditomm, novembre lâgj, Œuv,, t. I, p. i33-35].

(*) J'entends : fonction primitive par rapport à la variable y, c'est-

i-dire telle que la dérivée par rapport ^V* -t: soit égale il ^{y)^

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Le» deux fooctionB de a;, *{x) «t ^'(y), ayant des dérivée»
égales d'après (i), différent d'une quantité constante ; donc:

(a) «■(j.) = *(i)-f.C.

Toute fonction ^ de x solution d« l'équation (i) satisfera k la (')
relation (a) (quel que soit x) pour une cerlaine valeur par-
ticulière de C ; et réciproquement l'on vérifie immédiatement
que toute fonction y définie par la relation (3). (pour une valeur
particulière quelconque de G) est solution de (i). Donc, confor-
mément & la dérmilion du n° 473. nous dirons que la relation (a)
nous donne ^intégrale générale de l'équation (i).

Remarque. — Si l'on le sert des notstionsintroduitesaun'>4S2,
on peut écrire la relation (a) sous la forme

J+0')d/=J'

<p(r)<fa + C.

484. Exemple. — L'équation ^ := 3x* ■+- i a pour intégrales
les fonctions définies par la relation

Lj- = a;' + x -)- C (G constante aibitraire),
ou, si l'on préfère,
hy -h LC = x* -^x, (C constante arbitraire), d'où Gy ^ e*" "'"'^.

485> Equation homogèna. — On appelle ainsi une équation
qui, par transformation algébrique, peut être mise sous la forme

(3) /=/©.

le second membre étant une fonction connue du rajjport ^. On dé-
montrera facilement que dans le 4as où l'équation est mise sous
forme polynomale, soit

F(3:, y, y') ^ o. ou encore 9 (x, y, /) = i^x. y. y').

{'1 La relation (1) peut être regardée comme u
définiMant y comme fonction de x.

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ÉQUATIODS CLASSIQUES DV PREMIU ORDRE \5j

F, f, <^ étant des polynômes, il faut et suffit pour que la condition
énoncée soit remplie e/ae F soU homogène par rapport aux deux
variables x et y, ou qae ^ el'if soient tous deux homogènes (') par
rapport à x et y et de même degré. D'où le nom d' a ^uation ho-
mogène 11.

Pour intégrer l'équation (3) prenons comme variable auxiliaire
(variable v) le rapport ^ en posant y = i-x. Dérivant par rapport k
X, nous avons y = u -h an/ ; l'équation (3) devient donc
V + XV' =/(.) ou x./ =/{„) - V.

OU enCn t. .■ — _ - = - , équation h variables séparées qui s'intègre
comme nous l'avons vu au n* 483.

480. Exemple. — Considérons l'équation
(4) xy' ^ y -i- \/x* — y\

En divisant les deux membres par x, nous avons l'équation
équivalente

Effectuant le changement de variable ci-dessus indiqué, yi=sxv,
nous obtenons Téqualion

ir -t- aV = i. -4- /i — u" ou = - •

Appliquant à cette demiire équation In méthode du a" 483,
nous obtenons l'intégrale générale

arc sin V ^ Le -I- const. = LCx, (G constante) ('),

{<) Vide lupra, d* aga. Ainsi, dans l'example du n^ JA6, l'équation (4)
peut l'Jorire xy' — y ^ ^x" — y' ou, «n s'élevaut au carré : [xy -^ y,*
E3 X* — ^, équation dont 1m deux membrM sont doi palyaomes homo-
gènes du second de^ en x et y.

(*) Voir la remarque faite p- iii note 3).

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^58 cixcut DES FonCTions

d'où, d'aprte U difinitioo de l'arc sinus :

v=:»n{Cx) ou j- ^ a: 8111(01).

503. Type d'éqnatlon ■• rcmanant & ona équation hwno-
gèiw. — Soit proposée une équation de la forme

(«) ^'=^(„"+t>+^) [«•'. ■•■•■"'"Unl-l.

dont le second membre est supposé itre une fonction connue du
rapport i ■ ■ ^j-: j ■ Pour intégfrer cette équation, commençons
par délenniner les solulions du syitima d'équations linéaires à deux
inconnues

«a: + èj- 4- « ^ o. a'x + b'y -\- (^ ^ o ;

ce sont {') (voir n'SeS) « = =- = ^h' - U J' = P = ah' - ha' '• P""
effectuons le doubla changement de variable défini (cf. n* 481) par
les égalités

X=f(a,v) = a-t'a. y = ^{tt,v) = ^-^V.

Nous avons y. = i, »'. ^ o, /■. = ^l = o; donc, d'apris
la règle du n" 481, l'équation (6) devient :

u] + M3 + u) H

•^ - U'('-H")-i-6'(S+i.)H-c'J-

Mais, d'après la définition de ce et ^, la fraction entre crochets se

réduit k ~> I , ; nous aurons donc en divisant les deux termes

de catte derniàra fraction par la mdme quantité uu, l'équation ho-
mogène de forme (3) :

{') Nous nous plaçons dans l'hypothèse où )• syitèma des daux équa-
tions admet un et un seul gystèrae de solution! x ^ at, y s ^.

.y Google

ÉQUATIONS CLA36IQVE3 DE PKKMIU OHDRE ^69

604. Equations dilférentiellas llDé*lrs«. — Une équation
difTérentielle du prenaier ordre est dite linéaire si elle ae présente
ou peut être mise sous forme

(7) / ■/.(«) + J ■M'^) +/.(^) = o.

le premier membre étant un polynôme du premier degré en y et y",
dont les coefficients/, (a;),/, (x;),/i(x) peuvent être d'ailleurs des
fondions quelconques de x.

Posant tp (jc) ^ — Ti\ ' "l* (*) ^ — Tii ' "*"*' pouvons écrire
ainsi l'équation (7) :

(8) y =y .f(x) ++(*), ou:

Nous allons faire un changement de variable dé&nî comme il
suit. Posons

{9} y = "î-

a étant tel que

~^ = f(x). d'où log>i= j é.{x)dx, etparsuile u =. ef^^'Ux,

expression dans laquelle nous donnerons k la constante arbitraire
une valeur déterminée quelconque [ce qui revient à dire que nous
prenons pour Lu une fonction primitive quelconque de f{x)]. Dans
ces conditions, — u étant une fonction connue de x, — l'égalité (g)
définit un changement de variable [passage de la variable y & la
variable z] au sens du n° 480 ; d'ailleurs l'égalité (9), où l'on con-
sidère y, u, z comme trois fonctions de x, nous donne, d'âpre la
propriété fondamentale des dérivées logarithmiques (412).

Portant dans l'équation (8 bis), nous avons

„Google

460 CALCUL DES fo^ctious

ou. d'apràa b défiDÎlion de u et de z :

t y ai u

Ainsi nom connaiisons la dérivée de z puisque u est une fonc-
tion connue de x ; donc nous aurons z en calculant l'intégrale

JîiiJjx o»(.) J'[+w.,-/":'']ix.

Nous obtiendrons ainsi finalement (')

, = „ = Jf'--^ . J[t(x),-/'W]t.

48S. Equation d* Bwnoullll. — Jacques Bernouilli posa en
16^5, & propos d'une question de mécanique, le problème sui-
vant (') : Aequationem ay" = y .p + 6./* .9, — lùiiaet bquan-
tilalei datas et corutantea, n poltstatem quamvU literie y, pet q

{'I D'après la valeur de u et en noua rappelant que, quel que toit
l'expotant «i -a >= '~'-

0 Exemple. — Considéroni l'équation

6
ay + y — 001 x = o, *u ï= — -+cot«.

Je poi«

— = — -, d'où log u ^ — log *,
égalité à laqueUe on «atiafait en prenant u = «~'. Potant atori y =3 ui, j'ai

Intégrong par partiel (n* 4^6) en posant

/ X COI xdx =^ I u'cdz = X nn X — / 1

D'où y =

lin ïd* = xsia x+ cos * + C.
COI j + C

Un vérifiera facilement que tes fonctiana y ainn définiei aatiffont bien
à IVquation proposée.

1^) Acia erudilorvm, déc. i6i|fi, p. 553. Conlonnément k la notation
dilTérentJcIIe que nous expoieron* plus loin (Trois. Liv., chap. 11),
~ .1 écrit ady = ypdx -f tjfqdx.

.y Google

iQVATlOHS CLASSIQUES DU PRIMIER ORDHB 46 1

quantitates uteumqae datas per x dénotant — conttraere [c'est-
i-dire : résoudre l'équation ay' =: yp h- by'q, où a et & sont
deux constantes, y^ une puissance de y et p et ^ deux fonctions
de x]. Ce problème (') fut repris en 1697 par Jean Benouilli
[Acta eruditorum. Mars 1697) : on en ramène fort aisément la
solution à l'intégration d'une équa^on linéaire. En effet, l'équa-
tion de Jacques Benouilli peut s'écrire :

(■0) ''■^ = p(.^)-y-"-\-i>.'](x).

Faisons alors un changement de variable en prenant pour nou-
velle fonction inconnue la quantité z = y'^"* ; nous avons
z' = (i — n)y-'*y'; donc l'équation (lo) équivaut à

équation linéaire que l'on sait intégrer (n* 488).

400- Equation de RlooaU('). — On appelle ainsi les équa-
tions de la forme

(lî) / = ?«(«) -t- y -ÇiW +/-?.(»).

dont le second membre est un polynôme du second degré en y,
ayant pour coefGctents des fonctions quelconques de x. L'équa-
tion (13) n'est intégrable au sens du n<* 478 que ai l'on en connaît
déj& une intégrable particulUre ; en ce cas elle peut être ramenée &
une équation de Bemouillï.

Supposons en effet que nous connaissions une fonction a qui

(') Si l'on veut écrire la forme générale de l'équation de Bernouilli, il
est inutile d'y introduire dei coefficient! constanti a et b; on écrira :

y' = p{x]-y + î!*l-y.

p{x) et q[x) désignant deux foruliont quelconques de x.

(«) Le comte vénitien Jacopo Riccati (1676-1754I n'étudia en réalité
qu'niM équation particulière du type (i3), l'équation

oû m et n sont do* nombres connui [Animadi'ertmuê in mquationM diff*-
rentialM êieundi gradua, apud Aetorum erudilorum aupplêmenta, t. VIII,
i7a4,p. TÎl-

.yGoOgle

463 CA.LOOL DBS FOMCTIOHS

satisfasse & l'ëqualioa (la), et faisooE le chaa^emeot de vanable
y = u -I- z [c'est-à-dire passons de la variable y 4 la variable
t ^ y — u]. L'égalité (la) nous donne

y' = u! + ,! = T,(x) -H (u -f- ï) t,{x) + {« + r)' ^{3:).

Développant le dernier membre, et rentarquaat qoe

"' = To(') + " • Ti(*) + «' • ?i(*)-
puisque u est par hypothèse solution de l'équation, j'ai Boalement

' =ï ■?.(«) + a«ï ■ ?»{a^)+ï' • ?t(a:). ou : 1' =[ip,(x)+ an . T,(ir)]: -t-z> . ç«(i),
ce qui est, par rapport i z une équation de Bernouilli.

401. Equation de Clairaat. — Nous n'avons étudié jusqu'ici
que des équations rationnelles (') par rapport & y et résolues par
rapport i /, — où par conséquent ne figurait que la première
puissance de la dérivée y'. Il en est autrement de l'équation de
Clairaut, et l'étude de celte équation va nous conduire i, certaines
constatations nouvelles et intéressantes.

Considérons une équation de la forme (*)

{>3) y -»/=/(/)

où le second membre est une fonction arbitraire de la décivéc de
la fonction inconnue.

Dérivons par rapport & x, les deux membres de l'égalité (i3).
Remarquant que la dérivée de y' est la dérivée seconde y*, et que U
dérivée deyiy') par rapport k x est par suite (*) (y') , J'y', nous
obtenons :

y'-(a:/+/) = /'0")./. donc _ xr'=/'(/)./, ou

('4) y'-l^-^J'(y')] = o.

(') Je veux dire : des équations dont les deux membrei, eoruidirét
comme /onctions dt y seule, étaient fonctioD* rationnellea.

(') Cette équation fut étudiée par Claibaut en 1734 [Solution de plu-
sieur» problèmea où S s'agit de trouver des courbe» dont la propriili consiti»
dans une ttrtaine rdalion enlr» leurs branchât, exprimée par une équalioa
donnie, Mém. de l'Ac. Royale des Sciences, i734( p< '9S (uiv.].

^) En déngnnit par fty] la dérivée de f{y') par rapport ày', c'est-éMliie

.y Google

iqU&TIMS CLASSIQUES DU PREMIER OHDHE ^63

Toute fonction y àt x qui satisfait k l'équation (i3) satisfers
Bâcetaaîrement à l'équalion (i^). Quelles sont donc les solutions
de l'équalion {i^)f

Ce sont d'abord les fonctions y dont la dérivée seconde / est
nulle, dont par conséquent la dérivée première y" est constante.
II est facile de voir, que parmi ces fonctions, une infinilé vérifient
l'équation (i3). En effet si / ^ C {C constante)"û suffit que
y — Cx =y(C] pour que l'équation (i3) soit satisfaite. Donc les
fonctions y = Cx + /[C] où C est une constante arbitraire sont
toutes solutions de l'équation (t3) : elles en constituent TinUgrale
générale.

Mais l'équation (i^) n'admet pas seulement les solutions que
nous venons de considérer. Elle est encore satisfaite si y est une
fonction telle que x -y-fiy') = o : si donc l'on peut déterminer
une fonc^on y vérifiant à la fois les deux égalités

^ ' \ y- ^y" =/{/)■

cette fonction sera solution de l'équation (i3). Or considérons les
équations (i5) comme deux équations algébriques ou transcen-
dantes entre lesquelles nous éliminerons la quantité / [voir n° 320] :
il nous restera une relation entre x &ly (ne contenant d'ailleurs paa
de constante arbitraire) qui définit implicitement une intégrale de
l'équation (i3) : cette intégrale ne fait pas partie des intégrales déjà
trouvées (ces dernières sont des polynômes du premier degré en x,
tandis que la nouvelle intégrale sera en général une fonction bien
plus compliquée) ; elle est appelée « intégrale singulière n .

Nous voyons, par cet exemple, qu'une équation différentielle est
susceptible d'admettre d'autres solutions que celles qu'on obtient
en particularisant la valeur de la constante G dans l'expression de
l'intégrale générale.

On peut d'ailleurs démontrer que l'équation de Clairaut n'a pas
d'autres intégrales que son intégrale singulière et les intégrales

-4U. Exemple. — Considérons l'équalion

.y Google

464 CALCUL DES FOKCTIO!IS

OÙ a eBt une constante. D'après ce qui précède, celte équation
admet pour intégrale générale les polynômes y ^=Cx -h t,(C
quelconque). Elle admet pour intégrale singulière la fonction obte-
nue en éliminant V entre les relations

\ puisqu'ici f(y)=^, f(j-) = —^.
' y' 1
Or élevons au carré la seconde relation ; elle donne

Remplaçant y'* par sa valeur - tirée de la première relatioD,
j'ai la relation implicite cherchée :

J-* =: x*. — h ^ax -i-a* . -. ou y* ^ 40J-,

qui définit l'intégrale singulière.

8. — Equations classiques du second ordre
et d'ordre sapéHear,

493. Equations ne contenant pas y. — Les plus simples des
équations du second ordre (à une fonction inconnue) sont celles qui
ne contiennent pas la fonction inconnue)-, mais seulement ses dé-
rivées première et seconde, et qui, par conséquent, se présentent
sous la forme de relations entre x, y et y' :

<') F(x,j',/) = o.

Une telle équation peut toujours être regardée comme une équa-
tion du premier ordre relative & la fonction inconnue y, puisque
y" est la dérivée de /. Son intégration relève donc du paragraphe
précédent. Si la résolution est possible, nous obtiendrons y sous

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£QlJAT10:ig CLASSIQUES Dt SECOnD ORDHE, BTC. ^65

forme d'une fonction de x et d'une constanle arbitraire, soit
y = ç(x, C), et nous aurons par conséquent, y =; j y{x,C)rfiC.
Ce sera là l'intégrale génëi-ale {^') de l'équation (i).

404. Equations ne contenant pas x. — Une équation du se-
cond ordre ne contenant pas euplicitement la variable x est de la
forme

{»} F(j-,/./) = o,

le premier membre étant fonction dey et des deux premières dé-
rivées.

Nous allons effectuer un cbangemeut de variables en prenant
comme nouvelle variable dépendante la quantité y , que je désignerai
par 2, et comme nouvelle variable indépendante la variable y.

Si nous posons z^/, nous auront par définition t^ = / :

d'ailleurs si l'on désigne |)ar z, ou ~ la dérivée de z par rapport k

y, on aura z, z= z, . y,, d'après la i-ègle des fonctions composées
(n" 417) donc, d'après la définition de z :

/ = !•,■ -.

Remplaçons y' par celle expression, et y par z, dans l'équation
(a) : elle devient une relation entre y, z et :',, donc une équation
di£rérentielle du premier ordre qui définit z comme fonction de y.

(>) Exemple. — Contîdévan* l'équation

jy" '" — y' + X.

Par rapport i y, cetlB équation ut linéaire du premier ordre. On

trouvera, en appliquant la méthode du n'' 4SSi qu'elle a pour intégralf;

y' ™ -+ ~ [C constante arbitraire) j

y = i / «i* + C / ^ = ?^ + C log :r + C„

3o

D,B,t,zed.yGOOg[e

Ct étant une seconde eonstante arbitraire.

BoitTMUi. — La Principal il> l'AuIjts nutthimiliqui

4bb CALCUL DSa FO>CTIO.tS

Si l'on uit intégrer cette équation, oa trouvera une expression de
z de la forme

: = ffj, C), (C constante arbitraire) ;

on aura donc / ^ o(y, C) ou .■^ ,,, := i,

éqiuU<«i diffi&renttells A variables ■épatées par rapport k y H x
(n" 483) qui donne (*) [puisque la fonction primitive de i esta;]

f,:-kr

(C, constante arbitraire).

495. Exemple. — Considérons l'équation

>■ . = ..

(. +)■'■)•

Posant z =3 y', nous avons, d'après ce qui précède :

..(,+,•)-'•.,; = ,

or on vérifie sans peine que le premier membre de cette égalité est
la dérivée par rapport à ^ de la fonction — (' + z'}*' ; le second
membre est la dérivée de y ; donc (en remplaçant z jjar ^') ;

^ y ^ C (C constanU arbitraire)

v/. + y

on tire de li :

'J \/l - (J-

Q-

et l'on peut calculer l'intégrale indéfinie du second membre en
appliquant la méthode du n" 466.

Citons encore, à titre d'exemples, les équations

C) Voir la Remarque i la fin du ii° /t%X

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ÉQUATIOnS CLASSIQUES DU SBCOMD ORDRE, ETC. ^67

qui ont été étudiées par Newton ('). et intégrées par une méUiode
semblable h celle que nous avons indiquée ci-dessus.

496. Equations tinéairas. — Un troisième type d'équation
du second ordre que l'on peut quelquefois intégrer est l'équation

(3) y'/A^) + y /« W -!- r/.(^) +/i W = o,

polynôme du premier degré en )■, y, y' dont les coefficienta sont
dçs fonctions de x.
Telle est l'équatioD

j^-l-l^j-^o (;.t constante)

que l'on rencontre dans la théorie de l'attraction universelle et
qui a été étudiée par Newton. Nous ne nous arrêterons pas à cette
équation, car nous allons pouvoir étudier d'emblée, et tout aussi
simplement, les équations linéaires, plus générales, dont l'ordre
est quelconque. La théorie de ces équations est l'un des chapitres
les plus acbevés et les plus riches de l'algèbre, l'un de ceux qui
ont conduit aux résullats les plus harmonieux. C'est pourquoi
nous allons le développer avec quelques détails.

497. Equatlona linéairca d'ordre n. — Une équation dilTéren-
tielle cl 'ordre quelconque n «st dite linéaire (', lorsqu'elle est un po-

IM Philoaophite nalurali» Principia maAema&ica, 1686-H, De moiu cor-
porum, scct. II, p. ■>46 et suiv. Les deuxéquations déllnissent le mou-
Temeut d'un point pesant, d'ordonnée y, desccntloiit le long d'un axe
vertical Oy ilourtté vera le bas) dans un milieu résistant, la rcsistance
étant pToportionnelle à la vitesse y' ou au carré rie la vitesse [la viiriable
indépendante est ici suppoiée être le tempg, i, dont la position du mobile
— c'est-à-dire y — est fonction .

(') La théorie des équations linéaires tut consliluco, dans ses parties
principales, au cours de la seconde muilié du xviiie giccte. Son principal
artisan {ut Eulbr [voir les Jrutilutiones cakuli inlegralie, Volum. secund.,
St-P*t*f»bourg, 176(1, Pars aecunda, cap, 11 : De rraoliuione xgualionurn
huju» forma :

p. 375 et suiv.; voir auui Miacelianea lierolintnsia, i-;f\X. D'Alembert
étudia également les équations linéaires ivoir les Mémoires de l'Acadé-
mie de Turin, MiieeUanea Taurinemia, t-jm, p. 3Ro ot âuiv.).

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46o CàLCVL DES FO-iICTIO.NS

Ijnomc du premier degré par rapi>0Ft â la fonction inconnue et à
ses dérivées succesûves du premier, du second, ...du »■*">« ordre.
Une telle équation pcut-âlre écrite sous forme

où \ et les f sont des fonctions de x (appelées coefficients de l'équa-
tion).

Les équations linéaires jouissent de remarquables propriétés dont
quelques-unes apparaissent immédiatement.

Convenons d'écrire, pour abréger ;

(6) *!.!=/.(»). £^ + ... + /,(x).^+/,M....

égalité symbolique dans laquelle u peut désigner une variable quel-
conque fonction de x. De cette égalité nous tirons aussitôt les sui-
vantes :

(6) *{Cuj ^ C* [u{, *{u-(-vj = «juj + ♦ juj

* j c,«, -h C.U. -H ... -4- (:,u,î = c,4. ) „, j -t- c,* jii, ;■

où nous désignons par C, C,, ... C^ des constantes (indépendantes
de x) et par u, i>, u, u„ .., u^ des fonctions quelconques de x ; en
cITet, d'après In défmition du symbole 4> } J :

*|C«|=/.(x).C.j^ + ... +/.(T).C.«,

» 1 " + "1 = A W ■ (È! + È) + - +/.('> ■ (" + «)■ *■

Appliquées à l'élude de l'équation différentielle (j) les égalités (6)
conduisent aux constatations suivantes :

498. Propriétés générales d« l'équation linéaire. —
I. Supposons que nous connaissions une intégrale particulière, u, de
l'équation (4), et que nous ayons déterminé, d'autre part, une in-
tégrale, v{x), de l'équation

(:) Ȕ.'l

„Google

ÉQUATIO:<S CLASSIQUES DU SECOND ORDRE, ETC. ^69

Je dis ^ue la fonction u-4-v [ou, plus généralement, « -h Ci>,
C étant une constante arbitraire] est une intégrale de téquation (i).

En eJTel, le premier membre de (4) étant, par hypothèse, égal
à X pour y = u, nous avons * j u | = X et nous supposons d'autre
part que * îu| — o; d'ailleurs *ju + Cuj = *|«j + C*juj
donc * I u -f- C ti I = o.

L'équation (7) est dite m équation sans second membre corrcs-
]>ondant à l'équation (4) h.

II. Supposons que nous connaissions plusieurs solutions (') ou
intégrales parlicuiières, ;^i, yt, ... y^ de l'équation sans second
membre (7} : je dis que la fonction C,y, -H Ciyt + ... + Cpj',,
où C,, Cî, ... C, sont des constantes arbitraires, est elle aussi une
intégrale de Cégualion (7). — C'est là, en effet, une conséquence
immédiate des égalités (6).

III. — Supposons enfm que nous connaissions une intégrale
particulière, u, de l'équation (4) et p intégrales particulières,
yi, yt, ..., y, de l'équation sans second membre correspondante
(7) : alors la fonction u + C,y, ■+■ ... -t- C;,^,, oàC„ ..., Cpsont p
constantes arbitraires, est, elle aussi, une intégrale de C équation (i).

(■) Si nouB connaisêon» un» intégraU particulière y,, d'une équation de la
fornu (7), nous pouvonê effectuer un changement de variable qui ramène
cettt équation à une équation de même forme et d'ordre moins élevé. Si, en
effet, noua posons y = y^t, en supposant y, connu et appelant a une
fonction inconnue, noue avons :

^y —, ^y' j.,. ^

di - ' dx "^ ^' di'
d'y .. . . . r du. dz-\ d'y\ , ds dy, d't

d = denvee de [ï -^ + y. ^J = « ^ + 1 ^ -^- + y, ^, etc.

Remplaçant, dans l'équation (7], j;, ^i , j, ... par les valeurs ainsi cal-
culées, nous avons une équation différentielle en z, qui eat linéaire,
d'ordre n, et sans second membre par rapport à n. D'ailleurs, un calcul
facile montre que dans cette équation, le coellicient de z est 4i | ifi [ ; ce
coefficients est donc nul, puisque ifi est solution de l'équation 4i \ y \ ^ •>■
et l'équation en z est de la forme :

(.1 sJ'l . £ + S.-.1') . Ênl + -. + J.l-I ■%-'■

Si maintenant nous prenons pour fonction inconnue (= j^, l'équation (e)
devient, par rapport à (, une équation linéaire qui est de la mîme forme
que l'équation (7), mois d'ordre n — 1 seulement.

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^'JO CALCQE. DM FO^LTtOfl»

Cette propriété sst une conséquence des deoï précédentes.

De la proposition III nous déduisons la méthode qu'il convient
d« suivre pour IrouTer l'intégrale giénérale d'une équation linéaire
d'ordre n telle que (4). L'intégrale générale d'une telle équation
est, par définition, une fonction de x et de n constantes irbitraires.
Supposons alors que nous calculions, d'une part, une intégrale
particulière, u, de l'équation (.'i). et, d'autre part, n intégrales par-
ticulières yi, yt, ..., y» de l'équation sans second membre (7).
Alors la fonction

(8) H + c.r. + Co-, -H ... -H c^„

■en une solution de (4) qui dépend de n constantes arbitraires :
c« sera, sous certaines conditions que nous allons préciser, l'inté-
grale générale.

490. Intégrale gisArale de l'équellon sens seottnd membre.
JMntlona IndépendantM. — Supposons que. nous connaUsions
une première intégrale particulière, y„ de l'équation sans second
membre d'ordre n, équation que nous écrirons symboliquement
sous la forme (7). Une seconde intégrale ou solution, V], sera dite
indépendnnle de la première, si elle n'est pas de la forme Ciyi fc'est-
i-dire si elle n'estpas le produilde la fonction yi parnneconsUnle].
Une Irolsième intégrale y„ sera dite îndépendanle ries denx prf
mières y^ et y^ {supposées connues) si elle n'est pas de la forme
kiyt -+- Aiy, [où k, et ki sont des constantes]. Et ainsi de suite. —
D'une manière générale, nous dirons que les n solutions y i, ..., y^
sont in<lépcndantes [on dit aussi ; linéairemenl inilépendnnlet 011
distinctes], s'il n'y en a aucuns, parmi elles, qui soit égale à la
somme des autres (ou de certaines autres) respectivement multi-
pliées par des constantes ^1, k,, ...

Cela posé, on peut démontrer rigoureusemenl que si les n so/ii-
lions yi, y^, ..., y™ sont indi'jyendantes '') Texpression %) est Fin-
têgrale ijénêrale de l'équation (i).

{') It résulte des théorèmes du ri> 4<|8 V^ la fonction (S) est sûrement
intégralcde l'équation (4) : on dcmontreque, réciproquement, toute intégrale
de (^)e«t sûrement l'une des fonctions (ft) [obtenue en dvnnant aux nombre!
Crertainos valeurs particulières]. — On voit facilement que, sites n so-

.y Google

ÉQUATIONS CLÀSglQUKS DD SECOND ORDRE, ETC. 4?!

600. Equation sans eeoood navmbre & oeaHiolent* ooos*

tanU. — C'est une équation de la forme

où On, •■■, Oo soDt des coQatantefl (indépendaiites «l« ce). Nous aDons
montrer qu'il est possible de déterminer une constante r telle que la
fonction u ^ e" soit une solution de l'équatiou. En eOet, une telle
fonction u a pour dérivées succeasives :

du d'à , ,^ d'à ^

S ' Sx* S" ~"

J'en conclus que

»{.! = '"■♦('■).

011 <|'(r) est le polynôme de degré n en r :

4i(r) = a„r" + a„_,r^^ -+- ... + atr -h a,.

Pour que l'égalité e" . '^(r) = o ait lieu pour toute valeur de la
variable X, il faut et il suffit que le nombre r soit une racine du
polynôme <^(r).

Ainsi, si nous cônnaissonB des racines ri,'*,, ....r,,, du polynôme
'^r), nous en déduisons immédiatement les fonctions de x :

ï, = «"'*. Xi = "'*'. -, yr = ^'^'
qui sont autant d'intégrales particulières de l'équation (9).

bttiOBB y,, ... y> n'étaient pHi indëpendantet, la fonction (S) pourrait être
mite soufl la forme d'une fonction qui contiendrait moini de n conatontM
«rbitrairei. Suppoconi, en effet, que

|/.= K,!/, +Ktf, + ... + K._,y._,,
K|, Kt, ..., K._, étant des constantes ; en remplaçant y.par cette valeur
dana (8) et réuniiiant leïteimet en t/i, Ici termes en y^, etc., nous ob-
tiendriont

» = (C, + K,C)y, + JC, + K/:.)y, + ... + [C._, + K._,C,)y._,.
oxpreiiion de la forme

y = D,y, + Djy, + ... + D„_,y,_,.
qui contient seulement (n — i) constantes arbitraire^. Une telle ezpres-
ncm ne peut pas représenter l'intégrale générale.

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^•Ji CALCUL DBS P07ICT10RS

On démontre que ces intégrales sont indépendantes : elles Tour-
niront donc l'intégrale générale de l'équation (g) si loaiefoU elles
sont au nombre Je ii.

Il Y a lieu, dès lors, de distinguer trois cas :

1" Cas. — Le polynôme de degré n, \^{r), a n racines réellet
et disUncUs, savoir r,, r„ .... »■„. Alors la Tonction

y ^ C,/'' -t- Ce'*' -t- ... -H C^e"-',

dans laquelle Cl, .... Cn sont n constan tes arbitraires, est l'inlégrale
générale de l'équation.

Exemple. — Soit pro)>osée l'équation y* — y = o\ le poljnomc
ï{/{r) correspondant est r' — i ; il a pour racines >'■ = i etr«=i — l ;
j'en conclus que l'intégrale générale de l'équalion est Cie'' 4- Ci<"'.

2" Cas. — Le polynôme •\({r) a haies ses racines réelles, mais
il y en a qui sont multiples : en ce cas '^(r) est de la forme

■l{r) = (r-nf'{r-r,)P'...{r-r,f',

Pi. p , pi, étantdes nombres entiers positifs dont la somme est

égale an. Pour que les racines r,, ..., f\ nous fournissent /i intégrales
particulières de l'équation il faudrait que chacune en fournit autant
que son ordre de mnltiplicîté contient d'unités : il faudrait, en
d'antres termes, que la racine Ci pOt fournir /)i intégrales, que la
racine r-i en pi\t fournir pt, et ainsi de suite. Or il en est bien
ainsi car, si />, >■ i, il correspond à r, d'autres solutions simples
de l'équation que celle que nous avons indiquée. On démontre en
elfet que :

Si r, est une racine double de ■{'(<'). les deux fondions c'''* et xe'''
sont deux intégrales particulières de l'équation (g). — Si r, est
racine triple, les trois fonctions e''^', xc^*^ et x'e^'" soitt trois inté-
grales Je (g). — Et ainsi de suite.

l*our démontrer ce tliéortnic, il suffit de prouver que l'on a ;

* I x/'^ J ^-- o si i;(r|) = o et .|.'(r,) — o,
c'est-à-dire si r, est racine à la fois de l'équation 6 (r) ^ o et de

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ÉQUATIONS CLASSIQUES DU SECOND ORDRE, ETC. ij'i

l'équation dérivée t|''(r) ^ o [voir le théorhne du n° 421] ; — que
l'oQ a pareillement

*\x'e"i'\ = 0 « if{r,)=o, f(r,)=o et -V'(r,) = o;

et ^insi de suite. Or un calcul facile permettra de constater qu'il
en est bien ainsi.

Exemple. — On vérifiera sans peine que l'équation / + ai/
+ i^j- = o pour laquelle -).>) ^^ (r + i)' admet les doux intégrales
particulières y = e^" et j- ^^a-e""*.

3' Cas. — ■ Le polynôme 'j'(r) a des racines imaginaires.
Dans ce dernier cas la méthode de calcul qui conduira à l'inté-
grale générale ne pourra pas être aussi simplement défmie. Mais
il est inutile de nous arrêter à ce cas, car l'algèbre des quantités
imaginaires que nous exposerons au chapitre v (S 3) nous permet-
tra bientôt de traiter les racines imaginaires de (j^r) exactement
comme les racines réelles : nous pourrons alors étendre h tous les
cas les résultats énoncés ci-dessus.

Comme exemple d'équation pour lesquelles '^(r) a des racines
imaginaires, citons l'équation

nous avons ^|;(i-) = r' -t- m', équation sans racines puisque les
nombres carrés r* et m* sont tous deux positifs. On vérifiera faci-
lement que l'équation a pour intégrale générale

^ ^^ C, cos mx -+- C, aio nix,

C, et C, étant deux constantes arbitraires.

501. Equations A ooetliclents constants ayant pour second
membre nn polynôme. — Considérons maintenant une équa-
tion linéaire à second membre écrite sous la forme symbolique

{">) *}j-t = ^'

l'équation sans second membre corresiiondante étant l'équation (9).
— L'intégrale générale de (9) étant supposée trouvée, il nous
faut (n'488) pour avoir celle do (10) obtenir ane inlér/rale par-

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^7^ CALCDL DES Fn%TI0II8

licuiièrede (lo). La cboae ura facile si X est bd polTHome en a;,
Boit un polynôme de degré p,

(II) X = ft, + 6,a--t-... -t-6^r

En ce cas en cQel, on pourra obtenir pat la méthode des coefficients
indéterminés une solution particulière de (i) qui est aussi un poly-
nome de degré p. Posons a priori

(la) y = e„ -t- e,x -\- ... H- e^xi-,

d'où ^ = .,+«^-f-... -hp.^' '. ^ = :»(, + ....etc.:

remplaçons^, i\> ^j.... par ces expressions dans 4) \y\t ordon-
nons le résultat par rapport à x et eiprimmis que le pol^^nome
obtenu est identique à X (^i à \ quel que soit x). et par consé-
quent (n" 311) a pour coefficient» les nombres connua b^t b^, ... b^
(comparer le n* 375). Nous sommes ainsi condnita à une wrie
d'égalitéft(') qui déterminent les valeurs înconDues dec,, c,, ... c^
pour lesquelles l'ideatilé a lieu, c'est>&-dirc qui sont telles qui le
polynôme soit une solution de Céquation (lo).

602- Exemple. — Considérons l'équation

Posant a priori y = c^ + c,j + c,se*, j'ai

/ — J- = '■■,x* — e,T — co -+- 3c, ;
donc je dois choisir les coeflicients Cn, c, , c, de telle sorte que

— c, ^ I , — e^=^Q. ac, — Cfl ^ I :
c'eatUun système d'équations polynomales dont la solution est
c,—o, c, = — I. c„— — 3.

(■) Le nombre de cca égalités e<t égal au nombn des coefficient*
b„ >.■■ 6,1 c'eat-i-dire p + \, nombre égal au nombre da inconnue*
Cg, ..., Cp. Le lecteur vérifiira aisément que lei égalités obtenuei, linéaires
par rapport aux inconnues c^, ..., c„ permettent eftectiTement de déter-
miner un eystime de valeun de ces quantités.

„Google

ÉQUATIONS CLA8SIQCKS DU SECOND ORDRE, ETC. 4?^

Ainsi l'équation proposée a pour solution particulière le polynôme
y = — 3c' — 3, D'ailleurs {n* 500) l'intégrale générale de l'équa*
tion linéaire sans second membre est C,e' -h C,«~': donc l'inté-
grale générale de l'équation proposée est

j, -_. _ ^1 _ 3 ^_ r^ ^_ C,e-'.

603. Equations A oo»tnoient« oonstanU dont le seoond
membre eet une exponvntleUe de la forme \e". — Gonai'
dérons l'équation à coefficients constants

(l3) * \y i = Ae",

oij A et OC sont deux nombres constants. Je dis que cette équation
admet pour intégrale partitmlière la fonetion j-r-.e"; en eiïet,
appelant, pour simplifier, 6, le rapport de A à if(a), calculon»

nous avons (n' 497). quel que soit le nombre b :

* { fre" } = 6.* j e" },
et, d'après le calcul du n° 600 (où nous remplaçons r par a) :

Donc la fonction y = be" sera solution de l'équation (i3) si

b . ^(.) ^ A.

L'intégrale particulièie que nous mettons ainsi en évidence
cesserait d'exister toutefois si « était une racine du polynôme <if{r),

car alors y-, n'aurait pas de valeur finie. On démontre qu'en ce

cas, la fonction y ^ 5 ,,--; . xe" est intégrale de l'équation (i3), si

toutefois iJ^(k) ^ 0. c'est-i-dire si « n'est pas une racine double
de -ifir); si l'on a Jt la fois ■t(«) = o, ■}'(«) = o, mais i|y'(a) ?i o,

la fonction y ^ 7^7— ^ x^e" est solution ; et ainsi de suite.

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.^76 CALCUL DBS F0NCT10B9

504. Théorème général aur Iw équations pourvues de
seconda membres. — Considérons une équation linéaire quel-
conque dont le second membre soit une somme Je plusieurs termes,
c'est-à dire une équation de la forme

(i4) * f ^ J = X = X, + X. + ... -t- X^

oîi \i, ... \f sont/) fonctions de X. Supposons que nous sachions
déterminer p fonctions (dex), tti, ... u, qui soient res|>cctivement
intégrales particulières des /? équations linéaires

■t.}j-|^X„ *\y\ = X,. ... ♦ij'j=^X,.

Je lits que la fonction y ^ a, -t- u, + ... ^- «^ sera une intéijrnle
parlkulitre de féqualioit (lA). En effet, par hypothèse

*l''.l = x »!",! = v

Or, d'après le n" 497,

Il résulte de ce théorème que les méthodes des n" 601-502
combinées nous permettront de calculer une intégrale particulière
d'une é<juation linéaire à coefficients constants dont le second
membre est la somme d'un polynôme P(a;) et de plusieura expo-
nentielles Ac"Bc''^, etc. ;

605. liemaif/iie. — On vérifie sans peine que l'on {lourra cal-
culer facilement des intégrales particulières des équations à coeffi-
cients constants

(i5) * J j- j - Acosi, * 5 _)■ j =; A sin a;

où V est un nombre constant : plus précisément on peut (par la
méthode des coefficients indéterminés] déterminer deux nombres a
et b tels que la fonction y = a ces a: 4- A sin a: soit solution de la
première ou de In seconde équation (lô). Les formules d'Euler
— auxquelles nous conduira la théorie des nombres imaginuii-es —
nous permettront de considérer ce résultat comme une application
du théorème général du numéro piécéilcnt.

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ÉQUATIOHS AUX nÉBlVÉES PARTIELLES, ETC. j^J^

- Equations aux dérivées partielles,
tonctionnelles, Intégrales

506. Equations anx dérlvAes partivUas. — Aux équation»
diflërenlielles, auxquelles satisfont certaines Tonctions d'une variable
(fonctions inconnues, tant que les équations ne sont pas résolues)^
font pendant les équations aux dérivées partielles, auxquelles satis-
font certaines fonctions de plusieurs variables.

Soit, d'une manière générale, z une fonction inconnue de n
variables indépendantes x,, X|, ... x^. Si une certaine relation
implicite

— où entrent les variables, la fonction z et les dérivées pailtellesr
de divers ordres de z — , est satisfaite pour toute valeur de x, on
dît que cette relation est une équation aux dérivées parlietles
k laquelle satisfait la fonction z et qui définit cette fonction . Inté-
ijrer ou résoudre une équation aux dérivées partielles telles que (i),
ce sera trouver l'ensemble de ses intégrales ou solutions, c'esl-â-
dire toutes les fonctions z des variables x,, ... Xn qui y satisfont.
On appellera ordre de l'équation le plus élevé des ordics des dé-
rivées partielles figurant dans l'équation.

507. — Bornuns-nous à considérer, pour fixer les idées, une
fonction : de deux variables x et y, et posons pour simpliiler {ces
notations sont consacrées pour l'usage) :

dZ ''■ __ "'i _^1_ —:g ^ I

AI °' aj- "' ox' * oxd/ ' &/'

Toute relation implicite

(3) 1\X, V. Z, p, î) = O

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4:8

, DBS FOKCTIOnS

est (par rapport aux deux variables considérées) une équation aui
dérivées partielles du premier ordre ; toute relation implicite

f(^. ï- h P. q. r, », 0 ^ o

est une équation aux déiivées parUelles du second ordre.

Nous ferons ultérieurement une étude spéciale des équations du
premier ordre, dites linéaires, qui sont de la forme

(*) P • /i'- y- ^) + '/ . ?(«. .f . -) + ■'rt'*. y. -) = o.

équations dont le premier membre est un pol^rnome linéaire en /)
et q (les coeflicients decepoI}'nomeétaDtd«sfooctionsquelconques
de X, y, z).

Bornons-nous pour l'instant i montrer, par un exemple, quel'in-
léj^iation des équations aux dérivées partielles conduit à des résultats
fort dilTérents de ceux que nous avons rencontrés en étudiant les
équations différentielles. Àa lieu que, dans le cas de ces dernières,
la solution générale d'une équation dépendait d'une ou de plusieurs
constantes arbitraires {nous avons va aux n" 472-76 ce qu'il Jant
entendre par là), la solution générale d'une équation aux dérivées
parllelles dépendra d'une oh de plusieurs fondions arbitraires.

608. • — Considérons donc, par exemple, l'équation

■{4) xp-hyq=: o.

je dis qu'elle admet pour solution (') : z =if(^-\, où /est une

fonction quelconque, c'est-Â-dire une fonction arbitraire.da rapport

■- . En effet posons :

nous aurons

iBÎdérde n'admet pai

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ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PkSTIELLEg, ETC. ^79

multipliant respectivâtoeut par x et y, et additioDiunt, nous trou-
vons o, qaeVsque soil la fonction f {a) qae nous ayons considérée.
Aalre exemple. — Considérons l'équation s ^= ic, ou

<5} x^ —;

on conclut de légalité (5) que les deux uiembres soot les d^vées
partielles par rapport à x de deux fooctions égales ou plus géné-
ralement de deux fonctions diSérant par une coDatAate ou par une
fonction arbitraire de /, if(j') [car une ielle fonction a, par rapport
à X, une dérivée parjtielle nulle] ; donc

(«) — =- — \~ ?(y} [<? fonction arbiiraire]

Le mâme raisonnement prouve que les deux membres de (6)
sont les dérivées partielles par rapport à / de deux fonctions diffé-
rant par une fonction arbitraire de x, W{x) ; donc :

<7)

't = '+j9L')'iy + ■>■('}.

égalité qui nous donne J'expression delà foncUonr qui est solution
de l'équation proposée; cette expression, on le voit, contient
lieux fondions arbitraires.

609. Equationa fonoUonn allés. — La recLercbe d'une fonc-
tion inconnue d'une ou plusieurs variables satisfaisant à des condi-
tions données ne se présente pas toujours pour l'algébriste sous la
forme d'une équation différentielle ou d'une équation aux dérivées
partielles qu'il faut intégrer. La fonction inconnue peut être
définie, dans certains cas, par des relations algébriques où ne
figurent point de dérivées : d'une manière générale, on dira d'une
relation, lorsqu'elle n'est pas une simple relation implicite au sens
du n° 439, qu'elle est une équation fonctionnelle ; les fonctions qui
y satisfont sont les solutions de cette équation.

Une équation fonctionnelle (à une inconnue) se présente en
général sous la forme d'une égalité entre deux expressions algé-
briques contraiant : 1° une ou plusieurs variables a;, y,-.., 3* une
fonction inconnue qui figure plusieurs fois dans Céquation mec des

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i8o CALCii, nés fomctiotis

arguments différents (ces ar<jumenls, — quantités sur lesquelles
porte 1b fonction, voir n° 309 — étant des combinaisons des va-
riables X, y, ...;.
Considérons, par exemple, la relation

(7) 90- + T) + ^'y ~:r) = a?(x) . ç(j-).

Celle relation, étudiée par D'Alembert (') et ultérieurement par
Gauchv ('). est l'une des premières éqnations fonctionnel les qui
aient été considérée. Nous dirons qu'une fonction d'une variable ('),
^(u), est solution de l'équation (7), si les quantités r^iy + x),
<iiy — x), y{xl, ^(y), obtenues en remplaçant « dans y(«) par
y -f- X, y — X, xtiy respectivement — vérifient la relation (7)
quelles que soient les valeurs de x et de y considérées.

On démontre que l'équation fooctionnelle (7) a pour solutions

ç(h) :^r cos eu [e eorvtanle œ-bitraire)

et ?(u) = - (o" 4- «"") {a ci/nslanle arbitraire poûlive).

Considérons, en effet, par exemple, la fonction ^(u) ^ cos eu
Pour vérifier que cette fonction est solution de l'équation (7), il
faut montrer que l'on a, quels que soient x ely :

cos e{y ■+- x) -H coi c(y — a:) ;^ q cos ex cos cy.

Or celte égalité ne fait qu'exprimer la propriété des sommes de
cosinus que nous avons établie au n°383. On vérifiera pareillement
que

l (a^t-^ f a->-') + ; C«r^' + a-»^') == 5 1 (<.- + a-} i («k + a"»)-

MO- — Considérons encore l'équation fonctionnelle suivante:

(8) :.('):■ + [(.(!-')]■=..

1'; ^lim. de l'Acad. Royale des Sciencen de Paria, i;6(), p. a'/S et suiv.

V'i Analyse algébrique, p. 10'!, Œuu,, a" série, t. III, Paris, 1837, p- 98.

l'i Peu imporle, remarquons-le, la lettre par laquelle nous détignont
l'argument ou variable indépendante dont 7 est fonction (nout pouvens
l'appeler u aussi bien que x oui/] : ce qu'il faut trouver c'est l'expreesûm
alfiébrique (ou Irantcendanle] qui définit f lorsque l'arfument u prend uue
valeur quelconque.

„Google

ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES, ETC. ^8t

OÙ a est une constante. On démonlce facilement que cette équatioa,
qui a été considérée par Laplace, a pour solution (')

îw=\/5 +/(")-/(-:-«)

f étant une fonction arbitraire. En d'autres termes, quelle que
soit la fonction y(u), on a, pour toute valeur de x :

;+/M-/(f--) + 5+/(;— )-/(:-" + ')=..

Caucliy a étudié un grand nombre d'équations fonctionnelles,
par exemple, i'équalton

<9) ?'> -H V) ^ 9{x) -r •fO').

qui admet la solution ^(u) =^ aa {a constante arbitraire) ; l'équa-
tion

(lo) ç(a:-î-j):^?(a-).çi»

qui admet la solution f («) — C" [a constante arbitraire) ; l'équation

(,,) ?(-rr)-?.r).=(j')

qui admet la solution ç;(u) = u' (a constante arbitraire).

611. Équations intégrales. — Un grand nombre de problt;mes
de pli^sique mathématique — et niissi d'Analyse pure — dé-
pendent de la recherche de fondions inconnues qui sont définies
par des relations où entrent, non seulement la l'onction inconnue
^portant sur divers arguments dilTéront^, voir fui du n° SOQ),
mais aussi certaines intégrales dépendant de cette fonction. De
telles relations sont appelées é<juations intéijraks ; les fonctions qui
^ satisfont en sont les solutions.

Considérons par exemple l'égalité (■)

(1) Micaniqw célesU, t. I, Paris, an VII, p. .'>, Œuvres, t. I, 1878, p. 6
(') Voir, pour cette notation, lo n" iGS.

Bouraoui. — Lu Priaclpw d« l'Analj'X milbimitlqiu. Il

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483 CALCUL DBS FO^fCTIOIlS

F(x) étant une fonction connue et a un nombre conna compris
entre o et i . Cette égalité considérée comme une relation défi-
nissant les fonctions inconnues ^(u) qui y satisfont (') est une équa-
tion intégraU, Elle a été rencontrée par Abel en iSao danfi un
problème de mécanique (').

On démontre que l'équation (13) admet la sointioa

F(o) désignant la valeur de V{x) pour j; — o, el F'(j) étant
l'expression de la dérivée F'(x) dans laquelle on i-emplace l'argu-
ment X par s.

612. — La théorie des équations intégrales, qui est aujourd'hui
l'une des branches les plus importantes de l'analyse, prit un rapide
essor i partir de i8g6 bous l'impulsion de M. Vîto Voltcrra, pro-
fesseur à l'Université de Rome, qui entreprit avec succès l'étude
de l'équation

j>

(<Z) N(n).5(.)J. = FW,

OÙ y est une fonction inconnue tandis que les fonctions désignées
par les lettres N et F sont supposées connues (la première a pour
argument, dans l'égalité (i3), le produit xs).

Les travaux de M. Voltcrra furent suivis de beaucoup d'autres.
M. Fredholm en particulier étudia et résolut une équation

(<) C'est-à-dire lesfonatioiiso(u) telles que lorsqu'on y remplace upar*

et que l'on calcule l'intégrale dpfinie / — ^— . (b (ï étant traité, dans le

calcul de l'inlrgraU comme un nombre constant), la valeur obtenue pour
l'intégrale dt-finic soit égale à Fixi, et cela quelle que soit la valeur de s
que l'on congiUère. — Quand je parle des foncLïons ç, je puis désigner leur
argument ivoir p. 4^", noie 'S] par telle lettre qu'il me plait, par exemple
p«ti».

(') Aufliisurig einer mtckanischen Au/gobe, Jcurnal de Cnlle, i8afi.

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ÉgUATIOHS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES, ETC. ^83

intégrale qui est devenue célèbre sous le nom d'éqaation de
Fredkolm ('), l'équation

(i4) ?(^) +J^'n(i.)ç(.>/. = F{T),

où les Tonctions F et N sont supposées connues.

{') Voir, en partieulMr, Fmiibolm, Sur une claaae d'équatioiu fonction-
nellei, Aeta maOïtmatica, t. XXVII, 19113. On pourra couaulter sur la
théorie géoérale des équations iatégralea V Introduction à la théorie des
équations inUgralea de H. Lalbsco, Paria, Hermaim, 1913.

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CIIAPITHE m

L'ALGÈBRE GËOUËTRIQUE

/. — Représeatatlon géométrique

des quantités et des expressions algébriques.

Le calcul géométrique des Orecs.

S13. — Nous avons laît connaître, à la fin du dernier chapitre,
quelques-unns des lloraisons les plus récentes de l'algèbre. Il con-
vient malmenant de retourner en arrière, de remonter aux origines
de la synthèse algébrique et d'alTermir par des considérations
nouvelles les bases iiii^mes de l'édirice dons nous venons d'explorer
rapidement les étages successives.

814. — Dans son Epislolia Dedlcatoria, préface à l'édition
latine de la Géométrie ('), Erasme Dartholin loue Descartes
d'avoir vu le premier que l'on peut raisonner sur des quantités pu-
rement abstraites (-/«a/jd'/a/ejiHUHiyer.ftj/ieiaWrac/o) en les repré-
sentant par des lettres de l'alpbabet et sans s'aider d'aucune figure.
Mais tous les ulgébristes ne s'élèvent pas facilement à ce degré
d'abstraction. Aussi les commentateurs de Descartes ('), et Des-
cartes lui-même, nous recommandent- ils de nous représenter les
quantités algébriques sous forme de grandeurs mesurables en choi-
sissant de pi-L'Iércnce les plus simples de toutes. « Il nous sera très
utile, dit Descartes (liegulœ \vi, 1 13), de transporter ce qui se dit

(I) Vide supra, p. ^75, note 1, el p. aS.i, note i.

{'] Aillai ScHooTEN et Florimohd de Beaune, dans l'édilion latine
de la Géoméirie. Ct. notre travail sur \' Imagination et Im Matkémali^uei

teion Deacarlea (Alcan, 1900), passim.

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HEPHÉSEIITATION GÉOMÉTRIQUE, ETC. ^85

des grandeurs en général à l'espèce de grandeur qui se représentera
le plus facilement et le plus distinctement dans notie imagination.
Or cette grandeur est l'étendue réelle d'un corps, abstraîle de toute
autre chose que ce qui a figure >.

Ainsi, étant obligée d'habiller la quantité pour avoir piise sur
elle, notre imagination lui donnera le vêtement de la grandeur
géométrique. Suivant la même fiction, elle se représentera les cal-
culs algébriques comme des calculs eBeclués sur les grandeurs.
Une expression algébrique, c'est le résultat d'une construction
géométrique obtenue en partant de Hgures connues. Une identité,
c'est la constatation de ce fait que deuit constructions différentes
conduisent au même résultat ;h la même figure). Une équation,
c'est la condition qui détermine une grandeur inconnue dans une
figure connue. Et ainsi de suite.

En interprétant ainsi l'algèbre par le calcul des grandeurs, nous
ne faisons, en somme, que revenir au point de vue des anciens.
Nous avons vu que, pour tes Grecs, tout raisonnement ou calcul
matliémalîque qui n'a pas pour objet des nombres entiers, ou ra-
tionnels, porte sur des grandeurs géométriques. Nous avons vu (')

(<) Nous .ivonsdéjà fait observer qu'au xvii° siècle il n'était pat encore
possible de donner du nombre irrationnel une définiTion arithmétique
rigoureuse. Il semblait donc que, pour élever la logistique au rang de
science ihcorique il falIQt en rattacher les principes à ceux de la science
modèle, la géométrie classique. Ainsi ce n'est point par hasard que les
assise* définitives de l'édifice algébrique furent posées par des savants
qui avaient fait une étude approfondie des mathématiques grecques. (CF.
n"* .'>33 et suiv.). Il ne faudrait pas toutefois exagérer la portée de cette
remarque, comme on l'a tait quelquefois. L'appel à la figure pouvait fort
bien être évité si l'on renonçait à < déTinir • le nombre |0U bien si l'on
eu donnait, comme Wolf, une définition purement verbale destinée sim-
plement à signaler l'entrée en scène d'une notion nouvelle, cf. p. ii3,
note i), et si l'on posait a priori les règles des opérations comme autant
de difinitioru, sans chercher k les justifier. C'est ainsi que nous avons
procédé nous-mêmes dans cet ouvrage, et, si nous avons dû observer cer-
taines précautions (cf. a° 279) auxquelles tes premiers algébristes ne pre-
naient pas asseï garde, nous n'avons fait- cependant que perfectionner un
modo d'exposition qui est aussi ancien que l'algèbre cl qui fut couram-
ment employé par les cartésien |cf. le Calcul de Monsieur Descarlta,
précis d'algèbre rédigé par Descartes pour servir d'introduction à
sa Giomitrie {vide supra, a" 370; et aussi les traités publiés par. les
commentateurs de Descartes dans l'édition latine de la Géométrie], Si donc
l'algèbre reste géométrique chez la plupart des auteurs des xvii^ et

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486 l'AUïfcimB etOMÉTUQUB

■nsEJ que la oooceptioo moderne du nombre a\-ait en beaucoup de
peine k s'imposer et que l'on s'était lonf^lemps obstiné k étudier
•éparément les opérations effectuées sur les quantités irrationnelles
et les opérations de l'arillimétique (cf. Premier Livre chap.ll, S f)-
Aujourd'hui, certes, nous n'avons plus de raison de ripéler <]eui
ioit la même chose, et d'appeler de noms difTérents denx opéra-
tîoDB identiques; mais nous conservons toujours le droit de retn-
l^acer. quand il nous plaira, les calculs relatifs aux nombres par
des constructions géométriques ; et c'est de ce droit que nous vou-
lons présentement user.

Revenons donc sur nos pas, et voyons quelles ressources peut
oifrir i l'algébriste le calcul des grandeurs géométriques.

B15. — Le calcul des grandeurs géométriques (') fut originai-
rement fondé sur la théorie des aires et des volumes que nous avons
exposée au chapitre ii de notre Premier Livre ($$ IS). Ainsi
Dcus avons vu que le produit de deux longueurs pouvait être défini
comme rectangle, le produit de trois longueurs comme parall^é-
pipède. Conformément k cette conception de la multiplication le
théorème de Pythagore (n* 109) s'énonce ainsi :

Si ABC est un triamjU reclant/le, le carré construit sur Vhypolé-
nme BC est égcd à la somme des carrés coiulruils sur les deux caihiUs,
ce qui signifie (100) que l'on peut décomposer les deux derniers
carrés en figures partielles qui, étant juxlaposces d'une manière
convenable, seront exactement superposaUes au carré de cdté BC.

XTiii« lièclel, c'eat «nrlout, croyoni-noui — lonque ce n'est pas •iupl»'
BMDt par respect de la tradition clauique - — pour des raisoDi de com-
modité. Ces raisons sont invaquéea par tout les commenta teura d« ta
GiomUrU de Descartes (voir note 3, p. Soi).

[■) Le calcul géonétrique des grandeun (résolution des probUaMs ■té-
triques par la féométiie) a soarent ét£ appelé — par M. Zeittben en
particsilier — ■ algèbre gtemétrique des Greea >. Nous éviterons de notu
servir ici de cette expression, le mot alglbre itant pour nous connexe
d'une conception de la science du calcul (voir chap, i,% ij, qui est opposée
à oeile des Grecs. Cependant les théories que nous allons expoMr nm-
daient aux géomètres grecs des services analogues à ceux que nons ttrons
de l'algèbre ; elles fournissaient en cilet, une fois pour toutes, daa règle*
de calcul applicables à des grandeurs qaelconquee (non détarmioéas d'Orne
« particulière).

„Google

REPRÉSB!<Ti.TIO!l OÉOHÉTaïQUB, ETC.

48?

La décomposition dec carrés peut être fiiite de plusieurs ma-
oièras. On peut, par exemple, prolongeant la hauteur A H du triangle
jusqu'à sa rencontre en K avec le
côté DE du carré i construit sur BC
fig. 167), démontrer que le carré a
est égal BU rectangle BHKD el le
carré i, égal au rectangle HKEC.

C'est parune méthode analogue que
furent effectués — par les Pythago-
riciens peut-être, — les premiers
calculs théoriques (voir n' 71) relatifs
aux grandeurs.

Fig. 167.
ftlO. — Considérons par exemple
un carré ABB'A, la diagonale, BA de ce carré et deux parallèles
OK, rZ aux cdtés du carré qui se coupent en H sur la diagonale.
Si nous appelons a la mesure de la lon-
gueur \r, b celle de la longueur TB, nous
savons que les mesures des aires du carré
ABB'A, du carré eHAZ, du carr^ rBKH
el des rectangles Ame, HKB'Z sont
respectivement (a + by, a'. 6', ab, ab. La
figure 168 nous fournit donc une vérifi-
cation ou représentation de l'identité fon-
damentale :

.■■■' "

{« + 6}'

-b*-

^ab

que nous avons établie algébriquement au n* 390.

Voici comment Euclide énonce celle proposition en langage géo-
métrique (') {Eléments, liv. II, 4) :

[Profane] Si une droite est coupée à volonté, le carré de la
droite entière est égal aux carrés des segments et à deux fois le rec-
tangle contenu sous les deux segments.

[Eclhèse] Car que la droite AB soit coupée k volonté an point F:

(') Trad. Peyrard ; en grec : "Eàv tùOEla YpiiipT, TfiT.e^, i; U-j'/i-',
âiro TTii 51i,< TETpif"^*" ^'"^ *9^- ■''^''î ''^ '"O ■"»" TjJii'.niTWv TKpaYiûi
wti T^" ^'-î ^"^ ''^* t^lî"'"'^ Tctpityiojiiviu ipiafiu'''.^ ; etc.

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4S8 l'ai.cèbre géou éthique

je dis que le carré de AH est égal aux carrés jdes segments AI'.rB,
et à deux Toîs le rectangle contenu sous Ar,l~B... [Suit rapagiige,
etc., voir a" 2261.

617. — L'identité établie par la proposition suivante des Elé-
ments (liv. H, .'i) n'eBt pas moins importante :

(I Si, — dit Euclîde, — une ligne droite est cou|>éc en parties

« égales et en parties inégales, le rectangle sous les deux segments

« inégaux de la droite entière, avec le carré de la droite placée entre

n les deux seclions, est égal an

« carré de la moitié de la droite

0 entière.

(1 Car, qu'une droite .\B soit
« coupée en deux parties égales
« au point r, et en deux parties
« inégales au ]>oinl A, je dis
(I que le rectangle compris sous
« A.i, AB, avec le cairc de TA

A 8

Fig. lOr,.

H est égal au carré de l'U. :>

En d'autres termes, on a sur la Qg. 169 : reclaïujle AAHK (de
dimensions AA et AH érjale à AB) + carré ABHE (do dimension

Ae=-rA) = cfljwrB/.E.

Si donc nous appelons a la mesure de AA. b celle de AB nous
avons (puisque V est le milieu de AB)

--(^y-(^)-.

618. — En parlant de ces constructions fondamentales, les pre-
miers géomètres grecs pouvaient « résoudre » — dirions-nous en
langage moderne — divers types d' <■ équations du premier et du
second degré ».

Soit par exemple à trouver un carré égala (a différence île deux
carrés donnés [résolution de l'équation x'^ ti' — t'j : on résoudra
le problème on construisant un triongle i-cclangle avant l'Iiypolé-

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REPRÉSE^TATIO:! GÉOMÉTDIQLE, ETC. ^Sq

nuse et une cathète égales reapeclïvement aux cût^a des carrés
donnés ('),

Soit k trouver un carré égal à un rectangle de dimensions données
[résolution de l'équation x' =^ ab]; d'après la pro{>osition du
n" 617, la question revient k trouver un carré égal k la dîiïéi'eDce
de deux carrés connus^ lesquels ont respectivement [>our din
la demi-somme et la demî-dillërcncc des dimensions doi

nous nous trouvons ainsi ramenés au problème précédent.

619. — Soit mainlenant à trouver un rectangle dont l'une des
dimensions est donnée et qui soit éf/al à un rectangle donné [résolu-
tion de l'équation cx = ab, l'inconnue étant la seconde dimension
du rectangle clierclic].

On résout ce pioblème en s'appuyant sur la proposition sui-
vante : soit ABCD un rectangle et l''G,KL deux parallèles aux
côtés de ce rectangle se coupant en II sur la diagonale ItD. Ces
droites partagent le rectangle donné en quatre rectangles partiels,
dont deux {savoir ceux que ne coupe pas la diagonale) sont ét}aux ('>
(fig. 171).

D'où la construction suivante pour traiter le problème proposé
(fig. 1 72). Portons sur deux droites pei'pendiculaires en L les deux
longueurs LC.LH respectivement égales aux dimensions du rec-

(') Soient BD et AB les iongueuTS (connues) de ces côtés [la premUre
étant la plus grande : autrement I» construction
que nous allons faire serait impossible]: sur le
segment AB j'élève on A la perpendiculaire Ai
à AB. De B comme centre avec BD comme
rayon je décris un cercle, qui coupe Ax au
point C : le triangle ABC est rectangle et
BC = BD ; donc AC est le c6té du carré cherche
d'apris le théorème de Pythagore.

Fig. ,70.

(') Dans le cas où le rectangle ABCD serait un carré, la proposition est
immédiate (voir le n" 5t6 et la figure itiHl. Dans le cas général, on la
démontre en observant que rectangle AKIIF = triangle ABD — triangle
HKB - triangle HFD et rectangle GIILC = t'iangU BCD — triangla HGB
— triangle HLD. Or les triangles ABD et CllD, IIKB et HGB, HFD et
HLD sont égaux doux ù deux.

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&go

l'alg&bkb oéOHéTiuqui

tangle donné- ReportonB la longueur LH suivant CG sur la per-
pendiculaire en C à LG puis, sur le prolongement de GG, prenons
GB égal k la dimennoo connue du rectangte inconnu, et prolon-
geons la droite BH juaqu'i sa rencontre en D avec le prolonge-
ment de CL ; la longueur du tei"neal LD est la dimension cherchée i

Fig. I

Fig. .7..

011 voit, en eflét, en reportant la fig. 17a mr la fig. 173, que DL
égale FH et BG égal k IIK sont (es deux dimenBiong du rectangle
AKFH, égal au rectangle HGLC.

930. — L'énoncé du problème que nous venons de résoudra
peut être donné dans Ua termes saivanla: Appliquer (Tm?a.^iy.i.tiv)
à an segment donné AB un i-ectanyle étjal à an rectangle donné ;
d'après cette terminologie, « appliquer (sans plus) un rectangle!
un segment n, c'est constniire un rectangle dont ce segment soit
un cAté.

631. — La considération des rectangles appliqués déJaiUants ou

*| f— » « C B

Fig. ,-,3.

Fig. .74.

excédents conduit à la résolution de problèmes [ou équations] plus
compliqués.

Soit .VB un segment donné et ACVC. un rectangle ayant un
c6lé situé sur la droite AB (côtéAC), mais non égal au segment AB.
^ous dirons que ce rectangle est appliqué à la droite AB et dé/ail-
lant {ilefictcens, IXÀimov) ouexcéilent {exredens, i-Kta^iWw) suivant
que son côté applique. AC, est inférieur ou supérieur à AB. De

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REPRÉSENTATION GiOM^TniQUB, BTC.

O'

49.

(kçoa plus précise — constniisant le rectangle (AA'BB') appliqué
à AB dont la seconde dimennon (AiV') est celle du rectangle défaU-
lant ou excédent —, nous dirons que le rectangle ACA'C edt
dé/aillant du rectangle CBC'B' dans le cas de la figvre 178 et
excédent du rectangle CBC'B' dans le cas de la figure 17^.

523. — Proposons-nous alors la question suivante :
Construire an rectangle égal à an ^ n d

carré donné qui soit appliqué à un

segment donné AB et qui soit dé-
faillant d'un rectangle semblable à

un rectangle donné.

Traduisons cet énoncé en langage

algébrique en appelant a la Kiesure

de AB, b* celle de l'aire du carré

donné* x la seconde dimension (AA',

fig. 175) du rectangle appliqué

{ADA'D'), c et (^ les mesures des dîmensians du rectangle donné,

auquel le petit rectangle DBD'B' doit être semblable. Nous devons

avoir (*) - -- = — ,- := , ; j'en conclus que la mesure de DB est
j a et que celle de AD esl a — ^ x. Ainsi le rectangle ii
pour mesure x(a — A^)^ l'équation qui la détermine est

FiB->

(')

a: (a — .xj =1 b* ou

* = b*,

où a, j et & peuvent âlre des nombres positifs arbitraires.

La résolution géométrique de l'équation (i), je veux dire la
détermination du c<>té inconnu (mesuré pars), peut facilement être
déduite (') du calcul géométrique des aires (n° 516) lorsque c est
est égal à d [en ce cas, DBB'D' doit être un carre et le rectangle
inconnu est simplement assujetti à être égal k un carré donné et dé-
faillant d'un carré]. Dans le cas général, Euclide résout le problème

(M Par la aotation DU, j'eatenda < tne«ure de DB a. cf. 11° ig^.

(*) Cf. Zbtitbbn, Hitt. des Malh. dan» l'antiq., trad. Ma«cart, p. 37 ot

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jg3 l'aLCKDHE (iÉOMËTHIQUK

— et la question correspondante relative au rectangle excédent
{n" 623) — en utilisant des constructions qui i-eposent sur les pro-
priétés des figures semblables (Eléments dEucMe, liv. VI, 28 et
29, comparer n" 190) (').

B23. — La de terminât ion du rectangle excédent (égal a un carré
donné et excédent d'un rectangle semblable à un rectangle donm.')
équivaut h la résolution do l'équation

(., -(«+,»-

/.'

Les équations (1) et (a) sont, remarquons-le, les deux premiers
types d'équations du second degré distingués par Liica Paciuolo et
les algébristes du ivi* siùcle (n° 339). [Voir p. 5oi,note j, la réso-
lution géométrique d'une autre équafîon du second degré].

524. — Si, comme nous ravnnsdit(51Q), il parallétablique les
premières solutions rationncllcsdcsproblëmcsdcconstruction géomé-
trique furent fondées sur les calculs d'aires et de volumes ('), il ne
faudrait pas croire que les géomùlres grecs aient toujours emplové
des méthodes aussi détournées pour résoudre (') des problèmes qui

(') Ces constructions sont d'ailleurs applicables lor* mime que la figure
inconnue | figure à appliquer) n'est pas un rectangle, mais est simptement
assujettie à Itre un pa rail cl 0 gramme dont les angles sont connus (ont
des grandeurs donnôea). Euclide énonce donc en ces termes le problème
résolu par la prop. ^8 du liv, VI : rapi ■ci,i îoOîîaiv sùSiiav -ciy S'iQtvTt

Xt,'/.i-;'A-i'^i^ dejicien* paraVelogramma figui^', ô{iq!(|j tïf SoOK-i, c'est-
à-dire : A une droite donnée appliquer un parallélogramme qui soit égal
& une figure rcctiligne donnée et qui soit détaillant d'un parallélogramme
semblable à uii parallélogramme donné.

{*) La théorie de l'application est, dit le commentaire de Proclvs,
l'oeuvre de la muse pythagoricienne.

(') Nous parlons de l.i démonstration et non do la signification atta-
chée à l'énoncé des problèmes. La géométrie classique ne cesse pas, en
effet, do concevoir les produits do doux ou trois lungucurs comme des
rectanglcâ ou des parallélépipèdes (n** ^'i--^^]^, cela est nécessaire, en
enct, pour que de tels produits puissent être regardes comme extitonb lau
sens des n°* 2li, 3 H). — C'est ainsi que pour les anciens, le problime
de Pappus, ad î art .1 lineai (vide n° ai'*), ne pouvait être étendu à uo
nombre de lignes supérieur à (> ■ qnoniam non est aliquid contentum
pluribuB quam tribus dimensionibus • Itrad. lat. de Paffus, citée par
Descarti;» au 1" livre de la Gùomftri ; Œuf., t. Vt, p. 378).

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BEPR Es ENTAT lOS cioMKTHIQOB, ETC. ^gS

portaient en définitive sur ties longueurs ou segments rec-
tilignes. Nous avons déjà dît que la théorie des proportions nous
autorise i raisonner sur les puissances des segments sans faire
intervenir aucune considération d'aire : elle nous fournit un
mode d'interprétation très simple des propriétés métriques des
figures, en même temps qu'elle nous en fait connaître de
nouvelles.

Ainsi, nous avons, tout à l'heure, appris à construire un carré
égal k un rectangle de dimensions données [résolution de l'équa-
tion X* =. ab] : la question revient à trouver la longueur du côté
du carré, c'est-à-dire une moyenne proportionnelle entre les tlimen-
sions données. Or nous savons (n' 300) que si AB est le diamètre
d'un cercle et DH la perpendiculaire abaissée d'un point du cercle
sur AB, le segment DII est moyen proportionnel
entre les segments AH et HB. Ainsi donc, si l'on ^^ — p«.

porte bout à bout deux segments AH et IIB rcs- / \

pectivement égaux aux dimensions données, que a h b

l'on trace un demi-cercle de diamètre AB, et que Fig. 17G.

l'on mène la perpendiculaire en H à AB jusqu'à
sa rencontre D avec le demi-cercle, on obtiendra un segment DH
satisfaisant aux conditions requises.

N'est-il pas possible de généraliser ce mode de construction, si
simple, si clair, où n'intervient que l'intersection d'une droite et
d'une courbe?

526. — Le succès de la méthode que nous venons d'employer
repose en somme sur le fait suivant : le lieu géo-

I métrique des points D tels que la perpi-ndîcalaire

I 5 DH à AB soil moyenne proportionnelle entre les

deux segmenta qu'elle détermine sur celle droite.

Fig- '77- ^*' ""* circonférence de diamètre AB.

Imaginons qu'entre les segments DH, AH, HB
(fig. 177) il yait une relation métrique pluscompliquée, par exemple
que (AB étant donné) DII soit le câté d'un carré assujetti à être égal
à un rectangle, lequel est supposé appliqué à un segment donné
LM et défaillant d'un rectangle semblable au rectangle de dimen-
sions LKI et AB.

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V"'

^9^ LALCÈBKe GÉOViTKlQUB

On démoatre (') que lelwu géomctfique dea points Dqutaatîs-
font à cette condilioa est une elUjtse {lassant par le point A et ayant
pour grand axe le segment AB.

En langage algébrique, la propriété qui définît les points D du
lieu s'exprime comme il suit. Poions (*)

ÂB = 2fl, LM = ap, Ail = a-, HD = j- ;

nous aurons, d'après le n" 523 :

)-' ^; api — "^ ;r' ou y == ^px — i -

Ainsi à toute position du point TT entre A cl B (c'est-à-dire k
toute valeur de x) correspond un point D du lieu sur la perpendi-
culaire menée en H à AB, et ce [wint est à une distance de H égale i

■ — ^ a;* , ApolloniiM [rfaçait lo segment LM (égal à ;>) sur

la figure principale, perpendiculaire-
ment à AB au point A : c'est pourquoi
ce segment fut appelé lalas rectum
(oîté droit) ; la demi-longueur, p, du
lalus rectum est appelée aujourd'hui
paramHre de l'ellipse {').

L M

526. — Supposant l'ellipse cooa-
truitc ('), proposons-nous de nou-

(I) Apollonius, Conica, liv. I, prop. i3,éd. Heiberg,t. I,p. j8,Cf. Heath,
Ap^Soniua of Perga, p. 8 et suiv. ^ C«a propriétés de l'ellipse étaient
oouiuei d'AncBiMÈSE.

{i) 1« raisou pour laquelle on a coutume de désigner par des lettres a,p
les moitiii des segments AB, LM, plutôt que les longueurs de ces seg-
ments eux-mêmes, apparaîtra plus loin.

(^) Cette expression lut introduite dans l'usage courant parDe La Hire,
vide nipra, p. ai a, note 3.

(*J On pourrait procéder inversement et se servir au cqntraire de la
règle de construction du rectangle défaillant pour construire le point D
da l'dlipse correspondant à une position arbitraire de H sur AB; «n dé-
terminerait ainsi autant de points de la courbe que l'oxi voudrait (c'est
ce que l'on appelle aujourd'hui conalruire une eowb» par poinla). Hais
nous avons vu qu'au point de vue théorique une conique définie comme
intersection d'un oAne et d'an plan pouvait en taute ligueur ètr« regardés

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REPBÉ9BKTATIOT GéOMÉTniqUE, ETC. à^^

veau le problème du n" 523 (détennination du rectangle défail-
lant) en Adoptant les notations indiquées au début du n° 525. Le
carré donné a pour côté la longueur DH ; le rectangle inconnu doit
être appliqué à LM et défaillant d'un rectangle de dimensions LM
et AB ; alors, une fois construite la figure 178, comme il a été
dit au n' 525, l'inconnue x (dimension inconnue du rectangle k
construire) ne sera autre que la longueur AH (d'après les |)ropn6tés
qui définissent celte figure).

D'où ta construction suivante (pour déterminer AJI) : à une dis-
tance égale au câté du carré donné au-dessu» de AB menons la
parallèle Z'Z à .\B. Si cette parallèle coupe l'ellipse, elle ta coupe
en général en deuï points D et D'qui se projettent en H et H' sur
AB. Chacun des deux segments AH et A'H' satisiait aux condi-
tions du problème qui a, par conséquent, deux solutions.

Si Z'Z ne coupe pas l'ellipse, le problème n'admet aucune solu-
tion. Si ZZ' toucha l'ellipae en un point (lui est tangente) il y a
une et une seule solution.

Remarquons que si IjM = AB (p = a) le lieu géométrique du
point est un cercle d'après le n" 624 [on a alors y" = x{ia —'x)
= AU . HBl ; l'ellipse dêijéiûre donc en cercle dans ce cas parti-
culier.

Le nom de l'e/Zi/we (ïXXi[i{.i(,^ rappelle que cette figure est rela-
tive à la construction d'un rectangle défaillant (ÈXisinov).

527. Considérons maintenant le cas du rectangle excédent.

Les segments AB, DH étant
définis comme ci dessus mais II
étant cette l'ois hors de l'inter-
valle AB, du côté de A [voir la
figure 179 que nous disposons ici
de telle sorte que B soit à gauche
de A], supposons que DU soit le
côté d'un carré assujetti à 6tre égal Fig, 179.

à un rectangle, lequel est lui-même supposé appliqué à un segment
donné LM et excédant d'un rectangle semblable au rectangle
de dimensions LM et AB. On démontre que le l!eu géométrique du
point D (pour H quelconque sur le prolongement de BA) est une

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^96 L'ALCianE GÊOHÉtRIQL'B

tiemi- hyperbole (') passant par le point A et ayant |X)ur axo trans-
verse le segment AB,

En langage algébrique, si nous posons comme plus liaut

Al(~aa. I,M=a/». ÏIÎ = a-, Hb = y.
nous avons

y* ^ tpx -+- ° x'.

L'hyperbole, une fois construite, fournira une solution simple
du problème du n* 523 (la construction est le même que dans le
cas de l'ellipse).

Le nom de l'hyperbole (-Ji»pSoX){) rappelle que cette figure est
relative à la construction du rectangle excédent (\i~.if,6i>.X',y).

628, — Que si maintenant nous considérons l'application pure
cl simple {■KtpiSok'/,) d'un rectangle
à un segment (sans défaillance ni
excj.'sn''620), nous verrons inter-
venir la troisième section conique,

et nous expliquerons ainsi son nom

<lo parabole.

Conservant toujours les mêmes
, . notations (voir fig. 177), suppo-
sons que DU soit le câLéd'un carré
P'K '^"- assujetti à être égal ù un rec-

tangle que l'on imagine appliqué & un segment donné LM et de
dimensions AB et Ail. On démontre que le lieu géométrique du
l>oint Destune parabole dont AB est l'axe et A le sommet (Gg. 180).
I^n langage algébrique nous aurons :

le nombre p est dit paramètre de la parabole.

(') Grâce & l'iotroducUon des signes dans le calcul des abscUses la
relation j» = npx + ^ »' représentera en t géométrie analytique s l*hypei-
bolo tout entière : c'est l'équation de la courbe rapportée à deux axM
rectangulaires, d'origine A, dont l'un (l'axe des x) coïncide avec AB {vidé
infra, cbap. it).

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REPnÉSEIITATID.-t GÊOUËTRIQDE, ETC. ^97

529. — Ilest iiitéressanldenolerquelespropositionsquifontrob-
jel des n°" 526-28 ont été généralisées par Apollonius. Ce géomètre
établit en ellel que ces propositions restent vraies lors même que la
droite que nous avons appelén DU n'eï't plus perpendiculaire k AB
mais est simplement assujettie à être parallèle à une direction fixe
(la même pour toutes tes positions prises par D) arbitrairement
inclinée sur AU (comparer p. a46 note i ).

En d'autres teimcssoitT'TIn direction donnée, H un point de AB.
Sur la parallèle à T'T menée par H,
portons une longueur IID telle que

HD» = LM X AU — -^-MaHMc

lien géométrique du point D (pour

H variant entre A et B) est une ellipse

de(//«m(^/re AU, et pour laquelle T'T ^"'fi '"'■

est la direction des cordes conjuguées au diamètre AB [voir au

n" 247 la déOnition des diamètres et cordes conjuguées].

B30. — La construction des sections coniques, et les proposi-
tions des n°* 525'28 ronrnirent la solution d'un problème célèbre
qui occupa beaucoup les premiers géomètres grecs : le problème de
la daplicalion du cube.

Soit demandé du construire un cube égal (congruent) i un
parallélipipède droit donné. Appelant x la mesure du côté du cube,
a, b, c celles des dimensions du parallélépipède, on voit que la
question revient à résoudre l'équation du troisième degré

(3) x' = abc

et, par conséquent, à extraire une racine cubique. En particulier,
si le parallélépipède a pour dimensions a, a, a a, le cube inconnu
doit étie double du cube de tllmensic>n a : d'où le nom de dupli-
cation (') donné an problème.

La construction du cube égal à un parallélépipèdedroît quelconque

(■) On appelle parfois ce probtèrne problème dilien à cause d'un oracle
qui aurait prescrit de donner à un autel de forme cubique, dans l'île de
Délos, une grandeur double, <> sans en changer la forme >, (cf. Zeutben,
Hi»t. des Malh., trad. J. Mascart, p. GSj.

UouTioui. ~- Ln Pimcipe» de l'.^nilps initbéiiulique. 3]

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^9^ l'ilcèbke oéométsique

fut ramenée — peut-cire par Hippocrate de Chtos — a la résolu-
^on du problème suivant : déterminer <Uux moyennes propar-
tioiutelles à deux tegmenU donnés.

Etant connue!, en eiTet, les trois dimeosions a, b, c, nous pou-
vons, en premier lieu, construire un segment <^ qui soit moyen

proportionnel entre a et 6 (n" 96) donc tel que n;=roua.fc='f-
Le segment inconnu 2 sera aloi's défini par la relation x^^d^.e.
Je dis que, pour le calculer, il sufRt de déterminer deux segciienlaz
il y tels que

(4) i = '- = i,

^^' X y e'

En effet, écrivant que le carré du premier rapport {f^) est égal aa

d* X Y X

produit des deux autres rapports, nous avons 3:î=^c~è=ë'
d'où <P .c ^ x'.

On énonce la relation exprimée par l'égalité (A) en disant que x
et y sont deux moyennes proportionnelles entrée et <f (cf. p. i33
not« 3).

631. — Voici maintenant comment la détermination des seg-
ments xetj- peut être faîteaux moyens des lieux solides ou sec-
tions coniques [cette détermination est attribuée à Menechme (')] :

Des proportions - := -• = - , on déduit (*)

(5) x> = d . j-, y» = c . X.

Traçons ^fig. 18:1) d(^ux droites rectangulaires OX, OV et pro-
posons-nous Je trouver deux segments OM, ON, que nous portons
respectivement sur OX et OY, dont les longueurs x, y satisfassent
aux relations (5) [c et d étant des longueurs données]. Menons par

Cl Vide mpra p. 241, noie 3. Ct. IIeath, ApoUoniiu of Perga. 1896.

p, XIX.

(*) Une autre solution, également donnée par Hbnfchke, coniiste i
construire l'interaectioD de la parabole et de l'hyperbole dont les i/pia-
Itou* en coordonnas rectangulaires sont x*=(l.yet-=*^ (au sy = oi).

D,B,t,zed.yGOOg[e

FIGL'nATIO:< CAIITÉSIOXB DES FOIICTIOHS d'u:)E VAfllABLE llQQ

M lâ parallèle h OY, par N la parallèle â OX «t appelons Pie point
de renconlre de ces droites : nous avons

Le point P est sArement situé sur la paral)ole de sommet 0,
d'axe OX et de paramètre ~ : en
effet, d'après le n° 628, on a,
pour tout point P de cette
parabole, la relation MP' =
2 . ^ . OM .

Le point P est également
sur la parabole de sommet 0,

d'axe OV et de paramètre - ; -

car pour tout point P de cette ^'f- '8>-

parabole. NP' = 3 . - .ON.

Or non» savons corutraire ces deux paraboles ; nous pouvons
donc théoriquement déterminer leur intersection (il n'y en a qu'une
dans l'angle XOY), et par conséquent le point M.

C'est sans doute parce que les sections coniques servent ainsi h
résoudre des problèmes relatïTs a la déteraiinatîon de solides {se
traduisant algébriquement par des équations du 3* degré) que ces
courbes étaient appelées lieux solides par Aristée l'Ancien (cf .n° 243) .

2.-

■ Figuration cartésienne des tOactlons d'une variable (■)

532. — Les fondateurs de l'algèbre moderne, en Orient et en
Occident, étaient familiers avec la métbode de calcul des géomètres
grecs, et ils ne manquèrent point de faire usage, à leur tonr, des
constructions géométriques pour illustrer et interpréter leurs for-
mules et leurs équations, \tnsi procède Khwarizmt (^), ainsi

(') Sur la représentation des fonctions de 3 variables, voit tn/ra
p. 5o6. note 4-

(') Ed. Rosen [vide supra, p. 371, note i), p. i3-ig; cf. Lisni, HiêL
tus 5c math, en liai., t. I, cote i3, p. 2j3 et auiv.

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5oO L*ALfîËBnE GÉOUÉTniQL'E

Léonard de Pïse ('), qui s'esl inslmit h la double école de l'Inde et
de la GrËcect qui déclare le calcul ak'ébrique inséparnble de la
géométrie. Luc» Paciuolo, après avoir eii)iosé au [loint de vue
abstrait les règles du calcul algébrique, consacre un cbapitredesa
Samma ^ la démonstration géométrique de ces règles ('). Vièle
enfin com);ose un important ouvrage sur la construction des racines
des équations du second degré (*).

Parallèlement, d'autre part, l'habitude se généralisa de résoudre
par l'algèbre les problèmes de géométrie pure [voir à ce sujet
ctiap. IV. S /| : la solution nouvelle était conironlée avec l'ancienne
et l'on s'apercevait ainsi qu'il n'y avait point de l'une à l'autre
opposition de nature et que toutes les ii transformations algé-
briques elTectuées » avaient un sens géométrique bien déterminé (').

Et pourtant, les constructions géométriques des anciens n'ont
plus pour nous et ne pouvaient avoir dès le xvii* siècle qu'un inlé-
ri-t rélrospcclif (cf. p. 58"), note i). Sans doute elles fournissent une
représentation remarquable des formules de l'algèbre; mais il ne
parait pas qu'elles en puissent faciliter le maniement; elles l'alour-
dissent au contraire et elles ôtent k l'opérateur la liberté d'esprit

(') Dans la prétacc de son traité d'algèbre [liher Abbaci composiUis a
Leonarda filio Bonacci Piaana in anno lana], Léonard déclare : i Quare
amplectens atrictîuE ipsum modum Indorum et altenlius studens in eo. ex
proprio sensu quicdam addens et quxdam cliam ex sublilitatibus
Euclîdia geometria; artis apponent, aummam liujua |tibri... componere
laboravi... Dt quia arithmctica et geometriœ sclenlia: sunt coouexs et
Butiragatoriœ sibi ad inviccm, non potest de numéro plens tradi
doctrina niai inlcrsecantur feomctrica quidam vel ad geometriam
Bpactanlia quœ hic tamen juxta modum numeri operantur, qui modut
eat sumptus ex multîs probationibus et demunstrationibus quœ fîgurii
geometricis fiunt » (Linnl, foc. cit., t. II, p. 2^7 et Euiv.). On pourra
luivre l'exécution de ce programme au chapitre xv du VAhbacus repro-
duit par LiDRi (foc. cit., p. ^07 et luiv.) : u Capitulum quintum decimuia
de re^uLis geomctrin; pertinenlibus et do qujestionibus atgebr^e et almu-
chabili.' • — et aussi dans la Practica geomelrîa \i^ta).

(<) Summade oriAmetiea (i4fl1l : " Distinctio octava, tractatus secuD'
dus : demonstratio geometrîca dictarum regulanim a,

l'I Francisi Vielx Effectionum geomelrirarum eanonica rectnsio \ iht)V, :
ï Ellectionea geometricas quibus aiquationea omncs quœ quadratorum
metam non exccdunt commode cxplîccntur, ita canonice recenseo >.

(') Ce paralléliame est nettement mis en lumtâre dans les ouvrages de
Mariko Ghetaldi [iidt in/ra, ehap. iv, § il auquel certains historiens
attribuent un rdie important dans la création de la géométrie analytique.

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PIGL'RAXION CAHTÉSIEKNE DES POnCTIOItS ^'u^B VARIABLE 50I

dont il a btjaoin pour donner h l'appareil algébrique tout le jeu
(ju'îl comporte. Pour que la (iguralîon géométrique puisse devenir
avantageuse, il l'aut que le principe en soit couiplÂtement modifié ;
cette réforme nécessaire tut l'œuvre de DeacarlesC).

633. — Nous avons déjà vu que Descartes avait définitivement
exclu de l'algèbre cette représentation des produits par des aires ou
par des volumes qui embarrassait le calcul et en limitait si fâcheu-
sement le cliamp ('). Tonte expression algébrique, dît Descartes,
doit Être figurée par une ligne simple {') :c'e3t-à-dire par un seg-
ment reclilignc on longueur).

Ce n'est pas tout. Nous disions tout à l'heure que lorsque tes
quantités algébriques représentent les éléments d'une ligure, les
calculs etl'ectués sur ces quantités ont toujours une signification
géomélrique : de là résulte cette conséquence rcmai'quable que
toute transformation, tout calcul algébrique peut être suivi pas k
pas sur la figure et traduit immédiatement en langage géomé-
trique (^). Est-ce ainsi, ce[>endant, qu'il convient de procéder en

(') Sur le tAle historique de Descartes, voir chap. iv, § 3.

CI Voir en particulier p. ^1-2, noie 3.

{') Compendioate- (igurse, quœ modo tajfaiant ad cavtndum laptum, quo
treviores, to commodiore» exitlunt (cf. p, 110, note 1),

(') Monlrons par un exempli? comment se pourra faire cette traduction.
Supposons que l'on veuille trouver deux nombres z et t/ connaissant leur
sommes (nombre positif) et leur produit p' (nombre positif). Le pro-
blème [qui équivaut d'ailleurs, d'après le n» (tiS, a la résolution de
l'équation du second dcgr£ X- — aX -{- p* = n] peut être résolu comme
il suit. Appelant d la diRérence des inconnues x — y [nous avons tou-
jours le droit de supposer que c'est la plus grande inconnue qui est
appelée x] nous remarquerons que 1- J — |— ;— l = Jt/, donc

7- — -,- = p', ou d' = «^ — 4p'. d'où l'on tire la valeur de d{ le problème
n'est possible que si s' — .'ip' > o ou p < ^ ) ; on a ensuite évidemment
(cf. p. 36o, note r),

, = ? + :* = ? + ^.^E\\p' et î, = ? - ^ = * - ^jŒz^.

Ce calcul peut être suivi pas à pas sur une figure géométrique. Figurant
-sur une mfme droite (dans le même sens) deux segments OB, OA que

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5o3 l'algèbre GÉOUÉTRIQUE

effet? Descartes ne le pensait pas. Si l'image est, selon lui, in-
dispensable au mathématicien, elle ne doit cependant pas être
l'objet, ni même l'instrument de la démonstration. La représen-
tation des quantités par des segments n'est nécessaire qu'au début
de l'algèbre; ensuite des signes plus simples sulliaent, tels que les
lettres de l'alphabet afTeclées d'indices et d'exposants; et si nous
faisons do nouvean intervenir la figuration géométrique, ce ne doit
être qu'après coup, une fois le calcul ichervé, afin d'interpréter ce
calcul par la discussion (vifle, chap. it, $ i) ou ûmplement de le
vfcîfier et de te fixer dans la mémoire. A vouloir marcher de pair,
la géométrie et l'algèbre ne réussiraient qu'A s»; gêner.

Le mode de figuration géométrique qu'adopta Descartes se prèle
admirablement & cet usage discret et intermittent qu'il en voulait
faire. Sans prétendre èUe autre chose qo'one illustration de l'al-
gèbre, il a cependant puissamment contribué aux progrès de
celle-ci, et nombre de définitions et de règles de calcul, données
dans notre Chapitre i, ont été en fait suggérées par lui.

634. — L'algèbre géométrique de Descartes repose sur la repré-
sentation des fonctions au mojen d'un système de coonhnnées.

HMU suppocoiM iganx anx longueur* iBcoMnues x et y. Appelant H le
milieu de AB, nous avon* ividemment

La lefpnent OM représente donc - et le sèment BM vaut -. Cela poeé,
coDBtruûona un triangle rectangle ayant
pour hypoténuse OM (qui ctt connu) et
une cathète OC de longueur p [pour con«-
: triangle on procède «omme nous
) dit p. 4^9, note ij. Le carré de
" "" "la seconde cathète, CM», est égal k

donc égal à ( ~ 1 d'aprèt l'identité relative au produit de deux

B^r»entB [ici OA, OB) qui a iU établie giomitriquemtrU au nO 817. Ainsi
ae trouve déterminé CM si toutefois la conatrurtioa du triangle rectangle
eat possible, [voir p. 18(|, note 1}. Ayant CM, je décris de M comme
centre le cercle de rayon MC : ce cercle coupe la droite OM en deux
points qui sont les points inconnus B et A.

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FIGUnATIO"! CARTÉSieNRE DES FOKCTIOns d'uSE VARIABLE 5o3

Cette représeatation nous est aujourd'hui familière, car elle est
entKe dans ta vie pratique ('). Nous en faisons usage lorsque nous
traçons un graphique tel qu'une courbe de température ou une
courbe de variation de poids.

Supposons, par exemple, que tous les jours d'un même mois,
à la même heure, nous a^ons relevé la
température d'un malade. Pour rendre
sensible à l'œil la variation progressive
de la fièvre du malade au cours du
mois écoulé, nous tracerons te gra-
pbique suivant. Prenant une feuille de "
papier quadrillé (lig. i84) nous mar-
querons sur une ligne horizontale, aux i j -^

points de rencontre de cette ligne avec
les lignes verticales consécutives, les

dates 1,2,3, 4, 5, etc. Sur une ligne verticale (aux points de ren-
contre avec les lignes horizontales successives), nous indiquerons
les températures (') 37", 37°!, 37°a, puis au-dessous 36°9,
36'8, etc. ; cela fait nous figurerons la température du malade un
jour quelconque en prenant le point de rencontre de la verticale
de ce jour avec l'horizontale correspondant an nomhre de degrés
lu sur le thermomètre.

Si le thermomètre donne 37°! le i"du mois, -37^ le a, 36^9
le 3, les températures du i"', du 3 et du 3 seront représentées sur
lafig. 184 par les points Ï,,T,, Ta- Joignant ces divers points
par une courbe continue, nous avons ce qu'on appelle une courbe
de température.

Telle est, appliquée h un exemple moderne, la méthode de
représentation des grandeurs variables, qu'exposait déjA, — ou à
peu près. — l'évêque de Lisleux, Nicole Oresme. dans son TVac.
tatus de lalitudinibus formarum (1^80) (').

636. — C'est cette méthode que Descartes (*) systématise et

Cl Voir BUT les courbes empiriques lu cfaap. v dei Notion» de Mathima-
ligut» de Jules Tannbrv.

(') Le signe o signifie * degri i, vide u" to4-

p) Bibl. N, R6s, V. 884.

I') Sur les rapports de la méthode cartésienue dea coordonnées et de
U théorie des sections coniques d' Apollonius, voir le chap. iv.

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5o4 l'algèbre géouéthiqul

tratis^mite dans son al^'èbre. Les progrès de lu llit/orie du» nombres
relatifs y apporteront de nouveau |)errcctionncmcntsellui donnèrent
la forme dénnilivu sous Inquelle nous allons la présenter.

536. Coordonnées. — Considérons (ilg. i83) deux aies qui
se coupent, soit les axesVOX, Y'OY, cl adoptons une fois pour
toutes une unité de longueur fixe. Nous avons expliqué au n" 127
comnneiit, m l'on prend i>our origine le point 0, tout nombre relatif
X peut être considci-é comme l'abscisse d'un (>ointP de l'axe X'OX:
point situé à la distance 1j;| du point 0, ù droite ou ù gauche
de 0 suivant que x est positif ou négatif; réciproquement tout
point de V0\ tel que P a une abscisse positive ou négative. Sem-
blablement, nous pouvons faire correspondre à tout point N de
l'axe Y'OY un nombre (abscisse) y — positif ou négatif suivant
que N est sur OY ou OY' — et réciproquement. — Les deux axes
.\'0X et Y'OY se trouvent ainsi orientés.

Soit alors donné un couple de nombrbs ve]aii{s arbitraires, x ely.
Faisons corres|iondrc au premier, comme il vient d'ùtre dit, un
point P de X'OX et au second un point N de Y'OY ; puis, i»ar P
menons la droite parallèle à Y'OY, et par N la droite ])araUèle à
X'OX ; ces deux droites se coupent en un certain poinl M que nous
regarderons comme représentatif ilii couple de nombres x et y. —
On voit inimédiatement, en numérotant t,a, 3, j les angles XOY,
XOY',\'0\^, \'0^_(lig. i8(i)quelepointMest idansl'angle i,si
a: >■ o, y > 0, dans l'angle 2, si a; < o, y > o, dans l'ungle 3, si
■c < o, y < o, djins l'angle S, si a; > o, y < o.

L'abscis=e du point P sur l'axe orienté X'OX est appelée
abscisic du point M ; l'abscisse du point N sur l'axe orienté

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FIGURATION CARTÉSIENNE DES FONCTIONS d'lBB VAHIAIILE 5o5

Y'OV est appelée ordonnée (') du point M. Du point de vue de
l'algèbre, l'abscisse et l'ordonnée sont des nombres. Géométrique-
ment parlant, ce sont des segments auxquels nous convenons de
toujours donner comme origine le même point 0; l'abscisse et
l'ordonnée sont donc définies par leurs extrémités P et N.

II résulte de ce qui précède qu'à tout système (ou couple) de
valeurs de l'abscisse et de l'ordonnée correspond un point et un
seul, M, du plan. Réciproquement, soit M un point quelconque du
plan. Les parallèles ment'cs par M aux axes X'O.V, Y'OY coupent
ces axes en des points bien déterminés N et P ; donc k tout point
M du plan correspond un système de valeurs bien déterminées de
l'abscisse et de l'ordonnée.

h'abscis-ie et Vordonnée d'un point sont ses deux coordonnées.
Les axes \'0\ — axe des abscisses ou axe des x — et Y'OY —
axe des ordonnées ou axe des y — sont dits constituer un système
d'axes de coordonnées, auquel les points du plan sont n rup-
porlés H. Le point 0 est appelé nriijine (du svsloiiie d'axes ou des
coordonnées).

537. Ces définitions posées, soit y :^f{x) l'une quelconque des
fonctions que nous avons définies et étudiées au chapitre ii.

A toute valeur de la variable indépendante x correspond une
valeur de la variable dépendante y; au couple des valeurs corres-
pondantes x ely coirespond d'autre part {si l'on se donne un sys-
tème d'axes de coordonnées) un point M du plan de ces axes.
Lorsque x varie, le point M prend des positions variables; il
décrite) ""^ ligne (ou courbe)['), que l'on peut figurer approxi-
mativement en déterminant les positions du point M pour un très
grand nombre de valeurs de x, et joignant par un trait continu les
points obtenus : c'est là ce qu'on appelle « construire la ligne par

(M Le mot ordannée [ordinala] élait employé dans la théorie des scciions
couiquca (voir § i) par les traducteurs d'Apollonius. On le trouvi', en
français, et avec son sens moderne, dans le Cowa mathimalique d'HEBicONE,
t. VI, 16Ï7, p. 6:<. — Le mot abscisse vient du latin : ahacindere, couper.

(') Du moins si 1h fonction y = /x) est continue (n" 3j|61.

('1 Exceptionnellement, la ligne décrite par M peut élio une droite
{n'h^i)]; mais, pour simplifier lo langage, on prend d'ordinaire, sans
tenir compte du ce cas, le mot courbe dans le sens de ligne. On considère
alors la droite commo un cas particulier de ligne courbe.

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\

5o6 l'algèbre géo»étriqle

poiiitx a. fi Prenant — dit Descaries, qui considère dans cet énoncé
y comme la variable indépendante et x comme la variable dépen-
dante (') — successivement infinies diverses grandeurs pour la
ligne y, on en trouvera aussi infinies pour la ligne x, et ainsi on
aura une infinité de divers points tels que celui
qui est marqué C, par le moyen desquels on
décrit la ligne courbe demandée (*). »

Que si, au lîeu d'être donnée sous forme

explicite, la fonction y de x est définie par une

"** ' '' relation implicite F{x, y) = o, elle est encore

représentée par une courbe ; cette courbe se trouve caractérisée

par ce fait que l'abscisse x et l'ordonnée y de l'un quelconque de ses

points satisfont h l'égalité F(x, y) = o {cf. 300).

538. — Ainsi à toute fonction corre!ipond une ligne (que non»
appellerons ligne ou courbe représentative de lu fonction). Voilà, &
cela près qu'il n'envisageait que des coordonnées positives et se
bornait par conséquent à l'étude des coui'bes situées dans l'angle (') i
delafig. iS6, ce que montra clairement Descartes. Ce faisant ('), il
clarifia définitivement ce concept mystérieux de la fonction qui
était le support invisible et de toutes les combinaisons algébriques
(l'exposé de notre chapitre i a mis ce fait en évidence). Grâce à la
figuration cartésienne, tous les caractères, toutes les propriété
des fonctions allaient en quelque sorte sauter aux yeux. On n'avait
qu'à regarder pour les découvrir.

(>) Si l'on retourne ainû le râle des variables, la fonction représentée
•e trouve être la fonction x = arg /[)/), toaction inverM de /|x) [fide,
n" 3g3]. Il est bien évideat qu'une fonction Hx) et la fonction inv«TM
■ont toujours figurées par la mSme courbe.

{'') La Géométrie, Liv. I, Œuv.. t. VI, p. 38fi.

(') Descartes retournait d'ailleurs la fig^ure, eu aorte que l'angle i
était l'angle du bas à droite (fig. iHj).

(') Il s'agit uniquement — ici et au paragraphe suivant — de la figu-
ration des fonctions d'une variable. On aurait une figuration analogue
des fonctions de doux variables indépendantes, z = f[x, y) en considérant
■ = /(i, y] comme l'Équation d'une surface rapportée k trois axes de
ooordannéee Ivide infra, cbap. iv|. Mais cette figuration, qui ne peut
être réalisée graphiquement sur le papier, ne rendrait guère de service*
k l'algébriste.

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•\

CARTÉSIEi:ie DES FOTICTIO.IS d'uNE VARIABLE &O7

539. Reprénentatloii des fonctions simples par rapport &
des Rxes rectangnlslzsfl. — Pour réaliscret étudier la représen-
tation graphique des fonctions d'une variable x, adoptons une foi»
pour toutes un système d'axes de coordonnées
dans un plan. Nous choisirons — - pour nous
placer dans les conditions les plus simples —
des axes reclangutaires (perpendiculaires l'un
sur l'autre). Nous donnerons de plus aux demi-
axes OX et 0\, correspondant aax abscisses el
ordonnées positives, une disposition relative telle
qu' en faisant tourner OX d'un angle droit autour da point 0 dans
le sens positif trigonoméirique (sens de la flèche sur la fig. i88) on
amène ce demi-axe à coïncider avec OY.

Les coordonnées d'un point raj^orté k de tels axes sont souvent
appelées coordonnées cartésiennes [').

Fig. m.

540. — Cela dit, considérons d'ahord un polynôme en x du
premier degré, soit ax -h b (que je désigne par y), a et 6 étant

Fiff. iSg, Fig. .90.

deux nombres fixes arbitraires. Il est aisé d'effectuer la représenta-
tion graphique de cette fonction (") par rapport aux axes ci-
dessus défmis.

1° Le polynôme y =: ax est représenté par une droite qui passe
par torigine 0 et fait au-dessus de [axe des abctsses avec te demi-
axe OX un angle f tel que tj ^ ^-. a.

{'\ On dit aussi ; coordonnées rectangulaires. Si les axM ne sont paa
rectangulaires, iU ïont dits obliques : les coordonnées correspondante*
tout dites coordonnées obliques.

(') Nous verrons au § 3 du chapitre iv que Feuhat avait indiqua cette
reprcBentation d'une ntanière très nette quelques onoées avant Descartes.

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5o8

l'aLGÈDRE GKOMÉTniQLE

En eOet appelons Z'Z cette droite, qui sera (') dans les angles
\0Y et X'OV si a^= Ig <f est [losîlif, et dans les angles \'0Y et
Y'OX si (1 — tg ç est négaïU (fig. i8g ou 190).

Quel que soit le point M que l'on considère sur OZ ou OZ' oa
aura, en appelant P la projection de ce point sur l'aie des x (n° 215) :

PM

01> "

UngMOP;

or, les quanlllés PM, OP, tang MOP, essenliellemenL positives,

sont respectivement égales à|y|. \x\, |(ang9|:donc

observant, que ponr toutes les positions possibles du point M sur
Z'OZ, et tg f) ont même signe Tcar les deux coordonnées x ety
ont même signe ou des signes contraires suivant qun tg ^ >- o ou
ig f <. o j je conclus que l'on a dans tous les eus {') :

^ r= tang ç ^ a,

La droite Z'OZ représente donc bien le polynôme oj; ; c'est
pourquoi, j'ap^iellerai cette droite
« droite y rr= ax » {').

2" Appelant P un point quelcon-
que de l'axe des x, et M le point de
la droite y = ax qui a i>our abscisse
OP ^ jî, ajoutons à l'ordonnée PM
la longueur fc si t >■ o. ou rclran-
''* '' ' clions en la longueur h', égale à

— b, si b <_ o. Nous obtenons ainsi un point M, ou Mi qui

1') Quel que soit le nombre relatif a, il existe un angle o cocoprii
«Dire o et 1: dont la tangente est égale & a. Cet angle est aigu

(compris outre o et f^ j si o > d, oblus [compris entre -' et ::! si a < o,

1^1 Le signe ^- signifiant : plus ou moîna; je veux dire que l'cgalitc a
lieu au,c signes près.

[^j On arriverait plus rapidement à celte conclusion en se référant aux
discussions relatives aux signes qui ont été déjà laites en trigonomé-
trie (c'est ainsi quo nous profpdcrons au c-hap. iv pour licfmir les
«oordoiinoes polaires).

(') Nous dirons aussi (cf. ehap. iv) ; u droite d'cqualion y = oj: ».

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FIGDRATIO.X C4KTÉSlEaSE DES FOSCTIOSS O USE VAHIABLB 50(^

a pour coordonnées x et y ^ ax ~h li ou x al -y ^= ax — b'
^ax -T- b :

Ainsi — (!t !a constryclîon est la mtSme quelle que soit la t>osî-
tion do la droite y = ax [droite Z'OZ] — le point M, ou M^ est
un point de la courbe ou droite rcpiésenifllive du polynôme

ElTectiiunt lu cooslruclion pour diverses positions de P sur X'OX
soit pour les positions F, P'. P*"
(fig. 192) [je fah (a figure en
supposant tg y > o, i > o] on
obtient des points M',, M,, M',,
qui sont tous sur une /n^/Fie droite
parallèle k la droite y =^ ax [car
lesliguresM'M'M',M',.M'M°'M',M: ■""' "•"■

sontdesparallèlogrammes]. Ainsi la courbe représentative du po-
lynôme ax -h b oa y ^ ax -i- b eut une droite parallèle à ta droite
y ^= ax. Nous dironsque cette di-oi te est 0 la droite y =^ oa; + b a.

541. Coefficient angulaire. — Le nombi-e a est appelé coejji-
cient angulaire de la droite d'équation y = ax -l- b. Ce nombre
n'est autre que le nombre, lanj y, considéré plus haut, c'est-à-dire
la tangente de l'angle aigu ou obtus que fait le demi-axe 0\ avec
la parallèle menée par 0 à ta droite considérée {au-dessus de l'axe
des x), ou — si l'on veut — la tangente de Camjle aigu ou oilus
que fait le même demi-axe (prolongé) avec la droite considérée, au-
dessus de Caxe des x [ce nouvel angle est égal au précédent
d'après le n" 169].

642. Représentation du trinôme du second degré. — Soit
y =: ax* -i- bx -h e le trinôme considéré {'). On démontre les faits
suivants (voir la démontration au chap. iv) :

La courbe représenlatiiK du trinôme est une parabole ayant son

axe parallèle à Caxe des y et pour sommet te point d'abscisse — —
[') Voir, tut ce mot, supra a" 3o5.

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SlO LALCiBBE GÉOUÉTaïQVE

et d'ordonnée c — ï^ = '** btancheB(') de celle parabole sontdiri-
géeBverslehaut(s«nsdeOY)ouverale bas (sens de OY') suivant que
a>> oou a <o. D'où les divers cas de figures possibles (sur les figures
ci-contre nous ne figurons pas l'axe Y'OY qui se trouve à droite

•■■^",

t.'"

1

.jJ

'' \ y X

X'

^

X'

é>

X

FI..

/■~\

/

''^ë>y

On voit que la courbe rencontre l'axe des x en deux points —
et, par conséquent, que le trinôme a dewx racines (valeurs de x

pour lesquelles y = o) — si c — ïi ^* •* ^'*' ^^ signes contraires,
donc si le produit de ces quantités est négatif, donc si
iac — fc' < o ou fc* — Aoc > o.
Dans le cas particulier oi'i l'on aurait ^ac — 6* = o, la courbe
serait tangente à l'axe des x au point d'abscisse — — et le trinôme
aurait une seule racine (double, voir a" 336).

543. — Il est facile de se rendre compte de la forme approxi-
mative de la courbe avant même de savoir qu'elle appartient au
genre parabole en raisonnant comme il suit :

C) Ou dit que la ■ concavité de la couibe > est dirigée ven les y poii-
tiji daiia le premier cas, vers les y négatif» daae le second cas. (Cl. infra
.§6).

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I..GUUT10»

cartésie:).'

«E

DE»

FOSCTIOFS d'usé

D

'après

l'idenUlé (XVI)

du

n-;

305,

nous avons

<i)

'-<'

+

h

)■-

4o ■

Plaçons-nous dans l'hypothèse où a >■ o.

Lorsque x est négatif el très grand en valeur absolue, il en est

de même de x -i- — -; donc le carré Ix -f- -- 1 est positif el très

grand; cecarré ne cessede décroître, àpartir(')de-i-ao > lorsquex
décroît en valeur absolue; il en est donc de même de son produit
par le nombre positif a, et de même aussi de son produit par a,
moins un nombre constant. Donc y décroît, k partir de -h « ,

jusqu'à ce que la valeur absolue de a; + — devienne nulle, c'est-
à-dire jusqu'à ce que œ = — — ; cette valeur de x est un minimam
pour la fonction^ [qui prend, à ce moment, la valeur — ^ — 1.

On constate de mime que, lorsquea; croit de — -- à -H « , y va
en croissant jusqu'à -t- oc .

D'ailleurs il résulte de l'égalité (i) que deux valeurs de x égale-
fuentdistantesde [c'est-à-dire deux valeurs a/ et x' telles que

a* — I 1 =^ I ■ — 1 — a;'] fournissent la même valeur de y.

Dmic la courbe représentative du trinôme est symétrique (n* 170)
(MT rapport à la parallèle à l'axe des y et menée par le point cor-
respondant au minimum.

644. Rdwdatîoa de Finégalité du second degré. — Soit
proposé le problème suivant ; Troavtr Us conditions auxquelles doit
satisfaire le nombre x pour que l'on ait

(a) ax^ -i- bx ~h c > o.

a, b, c étant trois nombres donnés. La résolution de ce problème
est facile si l'on se réfère à la représentation géométrique du tri-
Dome

y ^ oi' _t_ fci _). c.
(<) Sur la notation -|- to , voir n" SgS.

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5l:2 L'ALGLItllE CÉOUÉTIIIQUK

Sii|)posons [njur fixer les idées que « soit posUi/ct distinguons
entre les trois cas suivants :

i" b* — ^ac ■< o : le liinomc, alors n'a pas de racines, et la
parabole représentative est toule entière au-dessus de l'aie des x,
(i" fig, igS) ; donc le trinôme, égal à l'ordonnée y. est / osili/ fioiir
loale valeur de x, et \'inéijalUé (a) est toujours satisrnile ;

2" t' — 4ic ^ o : en ce cas la courbe toiiclic l'ose des x on

point X ^= — et est au-dessus partout ailleurs : donc Cinéija-
lilé {-i) est vérifiée pour toute valeur de x. fxcejiliim folle pour la
vtilear x = , pour laquelle ax' + bx -^ c ^^ o ;

i" II' — f\ac > o ; en ce cas la parabole a la disposition repré-
sentée par la 2' figure i<)H : l'ordonnée y est négative pour les
valeurs de x comprises entre les racines x' et x', positive pour
toute autre valeur de x ; donc Vinéijnlité (a) est vérifiée pour
toutes les valeurs de x qui sonl extérieures à Vintervalle x', x".

On discutera de la même manière le cas où le premier coelG-
cieiit du trinôme a, est négatil'.

L'illégalité ax' + hx -h c <. o se trouve résolue en mime tem|is
que l'inégalité (a), puisque les valeurs de x qui la ^cri^le^t sont
celles pour lesquelles l'inégalité {1) n'est pas satisraitc.

545. Comparaison d'un nombr» donna aux racines d'une
équation du second degré. — C'est lu une question qui se pose
à l'occasion de nombreux problèmes, l^tant donné un nombre /. et
une équation du second degré ax- -H 6x -t- c ^ o, dont les
racines x' et x' sont suppo.sées exister, mais n'ont pas été cal-
culées, comment reconnaitre rapidement si le nombre À est
compris entre les deux racines, ou plus jyetit que la plus [>etite
racine (soit x') ou pins grand que la plus grande (soit x')}

On peut répondre immédiatement à cette question en calculant
la quantité a).' -h W, -(- c, valeur du trinôme pour la valeur X de a:.

Kn elVet, supposons d'abord a positif. L'équation étant supposée
avoir deux racines x',x\ nous sommes dans le cas de la 3' figure 19 '1 :
on voit qu'une valeur de x* ù laquelle correspond une ordonnée
négative est nécessairement inlérieare à l'intervalle x', x'.

Kn raisonnant de même sur le cas de la f\' figure ii)3 (a nét/atlf)
on parvient u la conclusion générale suivante :

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FICURATIOS C.lItT£SIE!I.NE DES l'OaCTIO:<S d'UBS VARIABLE 5l3

Le nombre ), est compris entre les racines (lu trinôme oa exlé-
rieur à rinteroalle de ces racines suivant qœ la quantité Of} + 6X -hc
a le même sî'jnc que a ou le signe contraire.

Dans le cas oii le nombre ), est extérieur à l'intervalle x', af, il
sera évidemment plus pelit que x' ou plus grand que 2;' suivant
qu'il sera inférieur ou supérieur à la demi-çoinme des racines (')

j.' _,_ y h

. Or celte demi-somme a pour valeur -~ , et l'on pourra

toujours lui comparer ). sans èlre obligé, pour cela, de faire le
calcul des racines x' et x'.

669. RepréHeatation de la fonction 7 ^ z ■ — On démontre

<]ue la courbe figurative de la fonction y ^^ - est une h'yperbole
qui a pour centre {n" 345) Vori-
tfine o et jjour asymptotes les deu\
axes de coordonnées. La figure
montre que pour x =^ o Vonlonnée

17= -j est infinie ; d'ailleurs -^...^ '

pour X positif et voisin de o. l'or-
-donnée est positive et ti'ès grande ; \ ^

()Our X négatif et très |>elit, l'or-
donnée est négative et très grande ''^' "'''''
«n valeur absolue : ainsi lorsque x, croissant d'une manière con-
tinue franchit la valeur o, l'ordonnée passe d'une valeur négative
infiniment grande à une valeur positive inliniment grande : on
Jit que y sau(e de -I- «) à — x (cf. 398).

547. Représentatioa de la fonction implicite définie par la
relation x' + y' = t, — Appelant M un point quelconque de la
«ourbe représentative, etP sa projection sur l'axe desx, nous dédui-

('), Car, quels que aoient les nombres relalils x' et x, on a néceisaire-
meut X < — - — < X puisque x < x ; donc ai, par exemple, \ est
inférieur à -—,--, il ne peut £tre plus grand que x'.

Boinmovi. — Lu Priodpai <!< l'Aniljis niatbtnuli^e. S3

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bii l'algèbre q£ométkiqi:e

ions dn théorèrao de Pylliâf^re appliqué an triangle rectangle POM
que OM' ^ i , donc OM =^ i . Ainsi la conrbe représentative de la
fonction [qui, sous forme explicite, s'écrit y^=\/i — x*] est com-
posée des {K>inls situés h \a distance i de l'origine :
I A c'est un cerrie.

Mous -trouverons au prochain para^aphe l'occa-
sion de signaler quelques nouvelles courbes figuratives
fif. i<y>. de fonctions.

548. InégallMs A (taux -variables. — Etimt donnée une fonc-
tion continue, ^x, y), des deux variables x, y, par exemple tin
polynôme en x et y, posons-nous la question suivante : QikIs
sont les sysU'mes de valeurs de x el y pour les</iiels celle fonction
est positive ? Qaeis sont les systèmes de valeurs jtour UsqaeUes elk
est néijalive ? La figuration cartésienne fournira souvent un moyes
simple de répondre à cette question : elle permettra, dira-t-on, de
H résoudre » H inéijalilé J{x , y) > o ouJ{x, y) < o.

Envisageons (fig. lyC) la courbe repré-
sentative de la fonction implicite y de x
déQnie par la relation y^x, y)^^Q oà. f est
un polynôme, et supposons, pour nous
placer dans un cas simple, que cette courbe
soit fermée et ait approximativcmenl la
forme d'une ellipse. " ''* "'

Considérons un point quelconque M (de coordonnées x et y}
que nous faisons varier à [tartir d'une position M, (de ^x»rdon-
nécs x^. y^) située à l'intérieur de la courbe. Supposons de pins,
pour fixer les idées, que le polynome/ait le signe -f- an pcànt M,,
c'est-à-dire que_/^io. y») > o- Lorsque M varie d'une manière con-
tinue, il en est de même de la valeur de la fonction /(x, ^) [en vertu
des propriétés des fonctions continues] : cette fonction, en consé-
quence, ne peui sauter brasguemeni d'une valeur potîtine à une
valeur négative. Positive elle est, et positive elle restera, tant que
le point M ne traversera pas une position [>oui- laquelle la fonction
soit nulle ; mais les points pour lesquels /{x, y) est nul sont, par
liypotlièsG, \es points de la courbe et ces points seulement : donc
la fonction conservera le même sîijne, tant que le point H restera à
antérieur de la courbe.

O

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l'étude an*patQiiB dks fouctions d'une variable 5i5

On démontrera de même que le polynôme f{x, y) a un signe inva-
riable pour toutes les positions du point M (de coordonnées x, y)
extérieure» à la courbe.

D'ailleiii's, il est facile de démontrer (') que si le polynôme /{x, y)
est posili/à l'intérieur de la courbe (c'est-i-dire ponr les positions
de M intéiieures à la courbe), il est négatif à [extérieur; et inver-
sement, s'il est négatif à fintérlear, il est positif à [extérieur.
Ainsi les syslimes devaleorsde x et ^ pour lesquels on ay^a^.j) >'0
«ont les coordonnées de tous Les points situés, soit à l'intérieur, soit
à l'eitérieur de la courbe.

L'étude des inégalités correspondant à des courbes de (ormes
plus compliquées sera souvent plus délicate, mais pourra être faite
d'une manière semblable.

3. — L'étade graphique des fonctions d'une variable.

549. — Noos avons dit que la mélbode cartésienne de liguration
permettait de trouver et d'interpréter très simplement les princi-
pales propriétés des fonctions d'une variable. Ltde fait, au fur at
k mesure qu'apparaissaient et se précisaient ces propriétés (au xvu*,
au xvur, et pendant la premièic moitié du xix' siècle), elles s'expri-
maient immédiatement en lang;ige géométrique. Gomment et sous
quelle forme au juste, c'est ce que nous- allons voir en suivant pas
i pas les définitions et les propositions du cliapitre u.

1^60. FoDOUOD (iéfiiiis dans un intervalle (cf. 391). Bmat^es
de fonction (cf. 396). — Dire qu'une fonction est dcEaie dans un
intervalle a, b, c'est dire que la courbe représentative est définie pour
les abscisses comprises entre deux valeurs a et b, et par conséquent
entre les paratièles à l'axe des y menées par tes points \ et h d^
Faxe X'OX, extrémités des (discisses aetb (fig. 197).

(') S'il n'en était pas ainsi, la loDCtion / x, y] se trouverait être posi-
tive ou nulle pour iaulea les positiona du point M dans le pian. Or ou
démontre que cette circonstance ne peut «e présenter pour aucun

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5i6

i.'alcèbhe UEO m étriqué

Lnc fonclion — explicite on implicite — y de x sera regardée
comme a^ant plusieurs hranclies s'il y a ans droites parallèles à
l'axe des y qui cou|>ent la courbe reprosenlalive en plusieurs points
[traduisons : s'il y a plusieurs points de la courbe qui ont même
abscisse, ou, en d'autres termes, si a une mc^me valeur <le a* (dans
certains intervalles to'.it au moins) correspondent plusieurs valeurs
de y (n° 395)|. Api^elons Mi cl Mi deux points d'une mtïmc courbe
représentative ayant même abscisse (segment OP) : lorsque l'extré-
mité, P, du se(.'ment-abscissc. se déplacera sur l'axe Jes .c, chacun
des |X)inls Mi et M, décrira une branche de la courbe (Cg. 198).

Fi^. .9;. ïïig. .08.

Exemple. — La fonction y = \/\ — x» [définie par la rela-
tion x' -\- y' — 1 - <), n° 647] — ou; |ioHr parler géométrique-
ment, la courbe qui représente cette fonction — a deux brandies,
ï une au-ticssus de Taxe des j:, l'autre (tH-/?csïOH5 : les deux branches
se rejoignent sur l'axe des j; aux jioints d'abscisses -h 1 et — i.

561. Intervalles où la fonctioa n'exiate paa. — Si aux va-
leurs de X situées dans un certain intervalle a, 6, ne correspond
aucune valeur de y, la foncliim n'existe pus dans cet inicn'alle : il
n'y a alors aucune branche de courbe entre les [Minlléles à l'axe
des y menées par les extrémités des abscisses aeih; et récipro-
quement.

Ainsi à la relation implicite j:' h- y* ^ o ne correspond géomé-
triquement qu'un point, l'origine des coordonnées : en effet la
Tonction y = / — x' n'existe que si a: — o (pour toute autre valeur
de X. — x^ n'a pas de racine carrée).

552. Continuité,
térisée au n" 396 —

- La continuité — telle que nous l'avons carac-
9t un attribut essentiel de la notion de courbe

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l'ÉTUOE graphique des fonctions d'une VAIlUnLE 5l7

géométrique : une fonction Je jc sera, par déTinilion, une fonctiou
continue dans un intervalle, si la courbe ou brandie de courbe
correspondante /jeu/ être tracée (tutt frai/ co/tf(Vi(t et si, d'autre part,
elle ne coïncide, dnns aucune de ses parties) avec imc parallèle à
l'axe des r (un segment parallèle à l'axe des v & la distance a de
l'origine représenlerail, en eiïet, une fonction qui, pour la valeurs
de X, sauterait d'une valeur à une autre) (').

563. Pôles et infinU [cf. 398). — Si une branche de ronction
devient infinie loi-squex, variant avec continuité, atteint une certaine
valeur (finie) x^, la branche de courbe cori'es|)ondante s'éloigne
indéfiniment en se rapprochant de plus en plus de la parallèle à
L'axe des y menée par l'extrémité de l'abscisse x, : elle est dite
asymptote a celle droite.

Si In fonction y ^=J\x) existe pour des valeui-s de x situées de
part et d'autre de la valeurdex„[quiestun/i'}/?oui/i/irM', voir398), il
jadcux brandies de courbes asymptotes à lanit^mc droite, à gauche
et à droite, comme il arrive dans l'exemple que nous avons consi-
déré au n°848)(').

Voici, d'ailleurs, d'autres exemples de fonctions qui présentent des
pùles ou infinis.

Fonction (^) y r^ -', '— -^ — w j '^ •, ■ Cette fonction devient infinie
(présente un j>ùle)Jorsque x prend l'une des vakurs o, i, a qui
annulent le dénominateur. La courbe représentative a la forme
repi'ésenlce |»ir In figure iQÇ) : elle a des branches asymptotes à
l'axe des y et aux parallèles ù l'axe des y menées par les points
d'abscisses -i- i et -i- 2.

{'I Noue verrons en Rcomêtrie analytique qu'une parallèle à l'axe des y
a pour équation x = a : \\ an lui correspond aucune fonction de x.

(') Plu» généralement la fonction y = cï~-PJ' '■""^'■"^ homo graphique,
dont les coefficients a, b. c, d sont des nombres quelconques, est repré-
sentée par une hyperbole dont les asymptotes sont parallèles aux axes
de coordonnées.

(') On peut écrire (en ellectuant l'opération indiqiée au a" 37<i)

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L'AiijiaBi g£ohétbique

Fonction y = ~^. Celle fonction a un pôle pour j; = o ; mais,
k l'inverse des précédentes, elle ne saute pas de + oo à — x
lorsque x traverse la valeur o : elle est en effet positive pour toute
valeur de X : la courbe a l'allure représentée par la figure 300 (').

664- Dérivée : ooeHioieat angulaire de la tangente & la
oourbe raprésentative. — Nous avons défini au, § 2 du Chap.ti,
B la dérivée d'une fonction de a; » pour une valeur quelconque de
la variable (pour laquelle la fonction est supposée définie, conti-
nue, univoque). En vue d'interpréter géométriquenient cette déri-
vée, reportons- nous h sa définition.

(') Les circonstanL'e* que noui venom d'indiquer te présenteront
pour touti'S les foDctiong rationnelles de n. Cunsid^root, en effet, une
fonction rationnelle quelconque, décomposée sous la formo l't) du n° iyi;
les pôles de la fonction sont évidemment les valears de x qui annulent
les dcuominateura dei Iractions simples Cgurant dans la dccompoM-
tion, c'est-i-dira les valeun x,, x,, ... i. du n" 374- Envisageona l'ime
quelconque de ces valeurs, soit xj, qui est auppasée racine d'ordre a,
de A{x), L'identité du aP 37^1 nous donne d'après la note i de la page 3fi\

B>x\ ^ c,„r...i

Ali) [x — x,ji,

où tous les termes entre crocheta aont nula pour x = x^ |cf I, 9, p. 6-7,
I conclut que pour lea valeurs de x 1

note). On

fraction . '^' [et par conséquent, aussi, la sommo de cette fraction et
d'un polynôme P^xi, qui conserve une valeur finie pour x^ x,] a pour
fipne le signe de la fraction (rè* grande en fofcur ah»oIu« -'il— , En

congûquence, la fonction saute de + aa à — ce (comme dans le cas de la

figure 1119) ou conserve au contraire le même signe (comme dans le cas
de la fig. 200) lorsque x traverse le pôle.

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l'ÉTDDE graphique DBS FO^tCTIOnS &U>-E VAHUBLE Slg

Soit M le point de la courbe représentative qn! a pour abscisae
X, et y l'ordonnée de es point. [Conformément k la remarque faite
au n' 407 je désigne par x, sans indice, une valeur quelconque
de l'abscisse ; sur la ligure je suppose, ^ ^

pour fixer les idées, x>o,y'>o].
A l'abscisse x ■+■ Juc vDisine de l'abs-
cisse X (voir pour les notations, le
n° 407) correspond une ordonnée
7 -4- Ay et un point M, de la courbe. _
Appelons P le point de coordonnées
x-i-Ax, y; puis menons la droite '

M|M et prolongeons-la jusqu'à l'axe
des X. Dans le triangle rectangle PMM,, nous avons (n* 31B) :

donc Â^ ^ tang f. en appelant f l'angle M|MP, égal à MN\,
qiii est (voir n* 541 ) le coefficient angulaire de la droite MM,.

Supposons maintenant que nous donnions à l'accroissement Aœ
des valeurs de plus en plus petites (cf. n* 407). Que devient
alors le triangle PMM, |^appelé par Leibniz triangle car acte ristiqae]
et en particulier la droite MM, ? Cette droite coupe la courbe
au point M et en un point M, quî est de plus en plus rapproclié
de M : à la limite. M, vient se confondre avec M et la droite ne
rencontre plus la courbe (au voisinage du point M) qu'au seul
point M : elle la touche sans la traverser ; elle est, dirons-nous
— en reprenant une expression qui a été employée de tous temps
dans la ibéorie des sections coniques — lanijeitte à la courbe.

D'une manière générale nous appellerons tangente à une courbe
aa point M /point de contact) la position-Hmite MT que vient occu-
per une sécante MM, (coupant la courbe aux points M et M,)
lorsque le point d'intersection M, se rapproche indérmiment du
point M el vient coïncider avec lui.

Supposant prouvée l'evistencu de la tangente ainsi dcfmie, nous
pouvons dire que, lorsque \x tend vers /ûta, le coefficient ariga-
laire de la droite MM, admet une limite, rjuiestlc coefficient angu-
laire de la tangente en M à la courbe.

En d'autres termes, la dérivée d'one fonction, pour an» Tslenr

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qualeonqae de la Tariable. ei t le coelficient anTolaire de la tao-
gente géométrique i') à la oonibe repréieatative, mvnéo ao point
qui cDrreipond i la valear coniidéièe de l'abioiese.

BB6. — Dire qu'une fonction admet une dérivée (Ktiir une va-
leur X de In variable, ou dire que la conrbe représentative admet
ime tangente au point M (coi'i'es|>ondant
à l'absci-'sc jt), sont deux pro|K)silions
équivalentes. [Par la seconde proposition
il faut entendre expi-essément que la sé-
cante MM, (supposée proloogéc) prend
la même position>l imite TMT' lorsque M,
se rapproche indéliniinent du point M
sur fan <m ratUrc des arcs de ta coarlu-
Fi(r. lui. ^«1 nboKllssenl au point M {ù droite ou à

gauche, Ggure 20-j) |.

Cette condition se trouve satisfaite, pour toutes les fonctions
— ou courbes — continues quétudie l'algèbre classique, et il est
clair, d'ailleurs, que, si nous cherchons à nous représenler une
courbe, nous ne {touvons guère l'imaginer que comme une ligne
ayant tout de son long des tangentes (sauf peut-être en certains
points exceptionnels).

Et, pourtant, nous verrons plus loin que le fait d'admettre une
dérivée n'est point, malgré tout, un atttihnt nécessaire de la
notion de fonction : on peut par certains procédés algébriques
défmir des classes de fonctions continues qui ne possèdent point
de dérivées. Mais ce sont là des cas excei^tioimels qui n'amoin-
drissent nullement l'importance considéinhle de In pro]>osition
du n" 554. En rattachant la définition de la dérivée h nne notion
géométrique aussi simple et claire que celle de tangente en un
point d'une courbe, nous donnons k la théorie de la dérivation U
base solide dont elle avait besoin pour se constituer délinitivemenl
et jouer en algèbre le riMe de premier plan que le Chap. u a mis
en évidence.

L'étude arithmélico-algébrique des accroissements Sx, Sy et de

l'i Noua disons > géométrique a pour distinguer la tangente cî-dessi»
définie, qui est une droite, de la laugrnte tri go do métrique qui eit un
nombre.

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l'étude GB.VPHIQUE des FO^ICllOXS D*UME VARIABLE 5ai

leur rapport devail nécessairement paraître un peu suspecte aux
mathématiciens du ivii° siècle qui n'étaient pas comme nous
liabitués h raisonner sur des quantités injiniment pelHes. Toute»
les dillicultés, disparaissaient, par contre, si l'on donnait^à ce rap-

(Kjrt ~ '"> sens géométrique préris parle moyen du Iriani/le caiac-
lérislique (554). Tel lut le point de départ de Leibniz, et c'est
là ce qui lui valut d'être considéré, au xviu' siècle, comme le père
de la tliéoric dos dérivées i'); le succès de sa méthode (') lient

{'l Vide, p. 3i)6 et iuv, notes.

(«1 Dans une leltre aiircasce h Tscbibnbaus [h décembre 1679; ap
B-efwechael mil Mathematikern, éd. GBitHAnOT, p. ^07 sqq.', Leibniz
explique conuoent il fat conduit à sa « méthode du triangle caractérii-
tiquc s. Il a lu les Iruitéâ g ùom étriqués de Pascal — dont i! a particu-
lièrement subi rinllucnce — et y a Uouvc, à propos dun problème spécial,
l'idée première, non développée il est vrai, du triangle caractéilstique.
Poursitivanl svs études el ses [éllexions il étudia la ei^ométrie carté-
sienue : " cœpi quœrero modum e.Nprimendi loca [lieux gconiélriquea,
vidt, II" :tji I seu curvas per calculum, et tum primum întellexi cit qux
Carteitus scnbit. Nam antea solebam calculare meo more, adbibitis non
littem sed nominibus linearum. Tum primum igitur Cartesium et Scbo-
teniuu alteutc Icgi, tiortante HugL-nio qui mihi diccbat modum c:>lcu-
landi ab ipsis adhibitum case coramodiorem. Ego interea, aperto semel
characteristici trianguli aditu, facillime innumera theoremata inveoie-
bam quibus plurimas tune cbartas adimplevi ; sed pleraque postea reperi
etiam Heuralio, Gregorio et Darrovîo ianotuisse >. EUectivemeiit. vau
Heubaet, puis Gregory dans aa GeomttrÏK pars uni^iertalia {i6f>f^] et
surtout Bahrow, dans ses Lectiones Geometricre [t&firf-ja^ , avaient traité
de Dombreuses questions, que nous résolvons aujourd'hui à l'aide des
dérivées, et qui ae ramenaient alors à la détermination géométrique des
taageutes k uno courbe donnée. Nf.wton (à l'instigation duquel Barrow
dît avoir rédigé la part-e de son livre qui traite spécialement du pro-
blème des tangentes) partit de là pour fonder sa méthode générale des

Plus <ic trente an» auparavant, Fermât avait propose une méthode
algébrique pour la résolution du problème des langenles, méthode à
la'quelle Leibniz et Newton ne font que rarement allusion dans leurs
premier* écrits, mais où l'on trouve cependant la conception très nette
de la di'iivéc et du triangle caractéristique. Celte méthode est indiquée-
doni un petit écrit, Methodu» ad diaguirendam maximum et minimam,
qui fut communiqué à Deacartis par Mersenne en janvier i8'!R : il s'agit
tout d'abord de déterminer d'une manière générale la ou les valeurs
de la variable indépendante qui rendent une Fonction maxima ou mi-
nima [voir lo n" TiSli] ; la recherche des tangentes [De langentibua cws>a-
rum linearum] se présente comme une application de ce problème général.
Dcscarles, trop absorbe dans l'application de ses propres méthodes, n»

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zn^

033 l'aLGÈBBE aÉOMÉTaïQUK

fi ri n ci paiement à ce fiit qu'il se rélère directement à la Ggnratîoa
carLésienne des fonctions et que aa théorie apparaît ainai comme
un prolongement naturel de l'étude générale des fonctions d'une
variable instituée pac la Géométrie de 1637.

566. Signe de la dérivée. Haxlma et mlnlma (Cf. 419- —
Les axes étant disposés comme sur la figure ci-contre il est facile
d'interpréter les propositions du n* 419. Si, pour une certaine
valeur delà variable, la dérivée est /)rt5(//«e, la fonction est crois-
sanle : donc la courbe monte lorsque l'extrcmité de l'abscisse se
déplace vers la droite ; si la dérivée est négative, la fonction est
décroissante, la courbe descendante (comparer a' S43'.

y Si la fonction présente un maximum

pour une valeur x, de l'abscisse (la dé-
rivée étant nulle et la dérivée seconde,
y, négative (voir n" 419). la courbe,
de montante qu'elle était, devient des-
cendante; la tangente géométrique au
maximum (c'est-â-dire au [wint M
d'abscisse x,, fig. ao3J est horizontale (parallèle à l'axe des x),
puisque son coefficient angulaire (égal à la dérivée) est nul.

Si la fonction présente un minimum pour x ^= xt (la dérivée
étant nulle et la dérivée seconde positive) la courbe a encore au
point M d'abscisse xt une Ungcnle parallèle à l'axe des x.

Si pour une valeur x, de x, les dérivées première et seconde,
y et y sont toutes deux nulles, la dérivée d'ordre trois, y", étant
non-nulle, nous avons vu '^419) que la fonction ne présente pour
X =^ Xi ni maximiini. ni minimum ; elle est croissante ou
décroissante suivant que /'(x,) < o ou y"'{x,) > o ; en ce cas la

comprit pas la pensée de Fermât et adresM à ce géomilre Les criliqaM
les plus injuites. Le traité d« Fermât ne Eut imprimé qu'en 1679 "'
n'exerça pour aînai dire point d'iafluencB. Cependant il n'est pas prouva
que Leibniz ne l'ait pas connu.

La mëtliode employée par Desc^rtes, dan^ la GéemUrie, pour déter-
miner algébriquement la tangenle à une courbe, n'est point ÎBunédiate-
ment liée à la notion do dérivée, et nous ne nous en occuperons pas.
Nous laisserons également de cBté la méthode de Roberval qui est fon-
dée sur des propositions de cinimaliqut

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l'étl'de onAPHiQUB DES Po:(CT[03S n'u^e takiable 533

courbe a toujours au poiot d'abscisse x„ une tanyente parallèle k
l'axe des x (puisque yfa:,) = o), mais elle traverse celle tan-
gente, continuant de croître ou de dé- y
croître (voir ûg. ao4). Un point où la
courbe traverse ainsi sa tangente est dit .. J .'^. ■-

• point d'inflexion a .

557. Application : sinusoïde. — ^^ '''

Considérons la fonction j- ^ sîn j;. Elle s'annule pour les valeurs
o, 7T, 2?r, ... et — JT, — 2Jt, — Stt de ta variable : donc la
courbe représentative coupe l'axe des a; aux points d'abscisses ....
— 371, — TT, o, 7î, 3Jt, ... (puisqu'en tons ces points l'ordonnée est
nulle).

D'autre part, nous avons y{x) = cos x et y'{x) ^= — sin se
[dérivée de cos x]. La dérivée s'annule pour les valeurs de x :

[puisque pour ces valeurs le cosinus est nul]. D'ailleurs on a :

sin- = i, sitt — = — 1, sin f- -f- 2i:)= 1, ... etc.
a ' a \a /

d'où l'on coDclut que la dérivée seconde, — sîn x, est :
négative pour les valeurs

positive pour les valeurs

donc la courbe représentative présente des maximn aux points
correspondant aux pieniières de ces valeurs et des minima aux
points correspondant aux secondes. Aux maxima l'ordonnée est

égale à i [puisque sin '■ ^ i, elc,]; aux miVi/ma elle est égale à — i.

De là résulte que la combe a l'allure représentée ci-conlre. Elle

est indéfiniment prolongeabic dans lus dcu\ sens et ses boucles, qui

.y Google

53^

l' ALGÈBRE GÉOHÉTHIQUE

se succèdent sur la figure à des intervalles de longueur 3ff, ont
toutes exactement mùme forme et même dimension puisque,
<juel que soit le nombre x, on a sin {x -t- ait) =--^ sin x.

La courbe représentative de la fonction sin a- est appelée sinu-
to'iiie.

Le cosinus est représcnlé par la même courbe géométrique,
mais difTéremnieut placée par rapport aux axes de coordonnées (').

^^Î^!/\A

658. Coarbfl exponsntleUe. — A l'inverse de la sinusoïde, la
courbe qui représente la fonction e*^ (n" 429) ne présente aucun
maximum ni minimum, puisque la dérivée e' ne s'annule pour au-
cune valeur de x. La courbe est toujours montante (l'ordonnée va-
rJe de 0 à -(- ac ) et a l'allure indiquée par la fig. 206.

Elle coupe l'axe OV au
point A situé k la distance i
{unilé de /on<7tifi{r)dcrorigine
puisque pour x ^ o, l'or-
donnée e" a jx)ur valeur 1.
Rlle est appelée courbe expo-
iirntiellc.

Suivant une remarque que
nous avons faile (p. 5o6, note i), la même courbe représente la
fonction de y,x=\ogy ou Lv, inverse de ta fonction y =^ e^.
D'où une mélliode graphique permettant — une fors la courbe
construite — d'obtenir immédiatement le logarillime népérien
■d'un nonibie quelconque. Désignant par N, sur l'axe OY

I On le constate en rappelant que

r^.^n(|-

„Google

l'étude graphique des FONCTIOfS DVVE VARIABLE 5a5

l'exlrémité de l'ordonnée égale au nombre proposé, menons par N
la parallèle à OX, qui coupe la courbe exponentielle en un
point M : le lotjaritkme du nombre est l'abscisse l =^ OP ila
point M.

En appliquant ce procédé graptiique, on aperçoit immédiate-
ment sur la figure les propriétés suivantes des logaritbmes (viile
n°14e) : Seuls les nombres positifs (ligui-és par des point de 0\ au-
dessus de l'axe des x) ont des logarithmes; — le logarithme est
positir ou négatif suivant que le nombre est supérieur ou inférieur
à I ; — le logarithme de o est infiniment grand négatif.

550. Etude de la variation d'une louction. — En résumé
l'étude de la « variation » d'une fonction unlvoque porte principa-
lement sur les points suivants : i* détermination de l'intervalle ou
des intervalles où la fonction existe [si la fonction existe pour toutes
valeurs de x, on dira qu'elle exista dans l'intervalle — oo , -!- « ];
2° détermination des valeurs de x (s'il s'en trouve) pour les-
quelles y devient infini ; étude de l'allure de la courbe au voisinage
de ces valeurs (n"653); 3° détermination exacte (ou, à défaut,
approximative) des maxima et des minima qui séparent les inter-
valles où elle est croissante ou décroissante (*); détermination
(exacte ou approchée) des valeurs prises par la fonction en ces
maximo et minima; 4° tracé de la courbe représentative. C'est par
cette série d'opérations que l'on parvient par exempte à la courbe
représentée par la lig. 199 que nous avons considérée au n° 553.

560. Dérivée infinie [*)■ — .Appelons y' la dérivée de la fonc-
tion y ^ f[x), et voyons ce qu'il advient si cette dérivée prend
une valeur infinie pour une valeur isolée, Xo, de la variable. Nous
supposerons qu'au voisinage de celte valeur, la courbe représenta-
tive présente — comme il arrivait dans le cas étudié nu n" 654 —
une branche unique et continue.

(■) Si U (onction, ou plutOt la courbe représeotative, présente des
points d'inflexion pour lesquels y et y' sont nuls, on déterminera ces
point» par la même occasion. La courbe peut d'ailleurs présenter A'autrt*
points d'inflexion où la tangente n'est pas parallèle à l'axe des z [pointa
où y' = o, !/' ^ o| : nous parlerons ulLcricuremcnt de ces points (chap. iv).

(■') Voir au chap. iv, § 6 la discussion complote à laquelle donne lieu la
déGnilion de la dérivée d'une fonction algébrique.

.ï Google

5a6 l'algèbre oiotttwKUivE

Considérons alon un point M de la oourbe cfue noua rapproche-
rons de plus en pins du point Mo correspondant à l'abscisBe x^.
Lorsque la valeur absolue de y est arbitrairement grande, la
direction de la tangente définie au n" BS4. ayant un coefficient
angulaire arbitrairwnent grand — se rapprTKhe arbitrairement de
la direction paraBèle à taxe des y. Nous en concluons qu'anx
points de la courbe représentative oà la dérivée a une valear infinie,
ta tantjcnle à la courbe est jtarallik à taxe des y.

4. — Les équMotu dltftmitiellea éa premier ordre

601. — Considérons une équations différentielle du premier

ordre {vide i12) :

ou, en résolvant (') par rapport à y :

[ibU) y=f(x,y).

Nous avoas vu que, lorsqu'elle est intégrable (voir47S) celle
équation a une infinité de solutioas ^ou iaiétfraUs particulières}
qui sont des fonctious de 2; : en parliculiar, si l'on se donne un
systùmc de valeurs (arbitrairiis) ^ ^y» ^^^ vaciables x et y, il
existe en générât une et une seule ronctioQ^ =^/(x) solution de
l'équation (i), prenant pour x ;= xa la valeur y = y, [intégrale
dél«rininée par les conditions initiales x„ y, (voir 477)j.

Pour interpréter géométriquement ces taits, envisageons la
courbe représentative d'une quelconque des fonctions y =:/(3e)
qui sont solutions de l'équation (i) ; on voit que celte oourfw peut
ôlre caroctérisée par la propriété smvanle ; k eoefficitnt anffuiaire
de la tanijeale en un point tjuclcom/ue de la courbe est déterminé
par les valeurs des coordonnées du point, conformément à la rela-
tion (i). Ainsi la courbe — que l'on appelle souvent, pour
abréger, courbe inUgrak de l'équatioa difféicnlidle — se trovve

.y Google

LES ÉQUATIOTIS DIFFÉBE!(TI ELLES DU PREMIER ORDRE 637

définie comme limi géométrique de {lotats jouiauDl d'une ménie
propriété.

S9S. — La délenninalion géométrique de la courbe intégrale
comme liea est le problème que l'on appelait au xtii' siècle pm-
blème inverse des tangentes. II s'ngit, non plus comme au n" S6&
de déterminer la tan^ntc en un point quelconque d'un point
d'une courbe, donnée, mais, inversement de déterminer la courbe,
étant coaniM la t»ngcfite en un point quelconque. Ce problànae fut
po>é par Florimoud de Beance en l'année lôSy «t chaque inven-
teur de u rè^«s ponr les tangentes • (') d'en chercher ausMtât les
u converses n (*). Malheureusement l'équation particulière dont
Beaune proposait spéciidement l'étude présentait uae dilïîculté
asseï! déconcertante.

C'était l'équation que nous écririons anjonrd'hui a' ^= (ee

appelant ulafonctioninconnuo). Opérant le changemeat de variable
y^u-ha — X, {vide n" 480) Descartes {') ta transforma en l'équa-

tîon V- ^ — , qne noos ponvons écrire :

En intégrant, nous avons : log y ^ — i "*" '' "^ °" l'intégrale

générale (') j- = Cj* ' , (c, constante urbitraïre).

Les fonctions y ainsi défmies sont, on le voit des fonctions
transcendantes, cl les courbes représentatives sont du type de la
courbe exponentielle.

Or ces courbes ne sont pas de celles que Descartes étudiait

(') Voir p. Sai.noto i.

()) Voir en particulier la lettr* de Debcautkb à Beaune du ao lévrier
1639 {Œuv. de Descarlei, t. II, p. 5io| et la note de PaulTannert,!*!!*.,
p. bio iqq.

{■) DciCARTBs remplace e» ootn la variable x par -la variable x„
éfda A ^3 s; imbs yMivoni noui diapenior de taire ce aecead cbanfenent
d* variable.

(*) Vide, n" 558 ; en particulier bî a = — i, l'intéfrale particulière pour
laquelle c, = i est représentée par la courbe mSme que noot avons
figorâe (fig. 2o6}.

.y Google

5^8 l'aLGÉBDE GÉOMÉTniQL'E

dans sa Càomélrie {vide n° 340); il y avait au surplus, semhlnit-il,
quelque diose de cliofiiiant à reprcsenler par une courbe ou fonc-
tion transcendante la solution d'un problème doot l'i^noncé n'im-
plique que des opérations algébriques; no convenait-il pas plutôt
de déclarer le problème insoluble? C'est, on se le rappelle, une
difficulté du même genre que nouR avons déjà rencontrée dans la
théorie des Tonctions primitives (voir n° 453 et înfra a' 670).

DOS. — Quoi qu'il en soit, le problème de Florimond de Beaune
ne tarda pas à Atre résolu dans des cas nombreux et unectnde sys-
tématique en fut faîte par Barrow le professeur de Newton dans ses
Leclioues ijeoinelrkx 11669-70) 'voir p. 52i, noie i\ L'identité
du problème inverse des tangentes et du problème des aires (ou
recherche des fonctions primitives) fut alors reconnue, et la théorie
des équations dilTérentielIcs — dont nous avons par avance posé
les bases au chapitre 11 en nous plaçant au point de vue de l'algèbre
pure — se trouva fondée.

664. Goaatraction graphique de l'Intégrale. — L'interpré-
tation géométrique que Darrow donnait des équations dilTércn lie Iles
ne sert pas seulement à en illustrer la théorie. Elle fournît un pro-
cédé pratique permettant de construire effectivement les courbes
intégrales des équations non encore intégrées, ou du moins des
lignes se rapprochant beaucoup (arbitrairement) de ces courbes
intégrales.

Parlons de l'équation

(>) /-/(',.v).

supposée non-intégrée, et proposons-nous de déterminer d'emblée,
par un procédé graphique, la figure approximative de la courbe
intégrale de cette équation qui est déterminée par les conditions
initiales iCo, y^, c'est-à-dire passe par le point M^ de coordonnées

Tout d'abord, le coefficient angulaire de la tangente à la courbe
clierchée au point M^ est connu : il a pour valeur [d'après l'équa-
tion (a) j : yà ---/(^e'y»)- L* tangente géométrique à la courbe en M,
est dune connue : appelons-la M<,Tg (fig. 307}. Admettons, main-
nnut, pour un moment, qu'au voisinage de M», la courbe cherchée

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LES ÉQUATIOnS DIFFÉRE:iTIELLEa DU PHEMIEH ORDRE 53()

soit rectiligne, ce qui revient h assimiler un petit arc de courbe
M(|M à un segment de la tangente M^Mi (assimilatioD d'autant
moins éloignée de la vérité quel'arcest plus petit) . En d'autres termes
prenons sur la tangente M^T» un point M, (de coordonnées xt, yi)
Y,

Fig.

Fig. :

très rapproché de M^, (fig. ao8) et admettons que notre courbe inté-
grale passe par ce point. S'il en est ainsi, elle devra avoir, en ce
point, une tangente dont le coelGcient angulaire est^-,' — . f[x,,y,);
soit MiTi cette tangente; prenons sur elle un point M( (de coor-
données Xi. >]), très lapproclié de Mi et admettons que notre
courbe inlégrale pass3 par ce point ; la courbe devra avoir, en Mj,
une tangente dont le coeHicient angulaire est;',' ^y((r„y,); et
ainsi de suite.

Nous obtenons ainsi une ligne brisée MgM,M,Mj, ... dont la
figure se rapproclie d'autant plus d'une ligne courbe que tes seg-
ments MgM|. MiMi, ... sont plus petits. D'ailleurs si nous regar-
dons cette ligne comme une courbe ayant pour tangentes aux
points successil's Mo, Mi, les droites MaTg, MiTi, .... cette courbe
satisfera bien en tous les points Mo, Mi, ... à la condition posée
par l'équation difTérenlielle (i). Nous pouvons donc la considérer
comme représentant approximativement (avec une approximation
arbitrairement grande) une courbe intégrale de notre équation (').

Observons d'ailleurs que te choix du point M„ d'où nous sommes
partis est abboluraent arbitraire. Nous pourrons donc construire

(<) Co mode de construction qui consiste à remplacer la courbe par un
contour formé de pelitsB lignes Uintolte] fut indiqué par Jean BEnNouiLLi
en i^ç).\ [Modus generalis conatruendi omnea mquationes difjerentialei primi
gradui, ap. Acia eruditorum, novembre itigl ; Œuv., t. I, p. lat et suiv.J.
Déjà Leibnig en avait eu l'idée dès 1675.

BoiTTHoui. — L«t PtiDoipn ils l'AniljH nulhinutiquc, iU

„Google

53o L'ALOàDKB BtOTàiltMXU*

une ÎQ&RÎté de courbe» iaiégttX». [Pluspcécia^meDl, par toutpout
dn pian nous en pouvons laîre pAiMc une].

565. — La cooatruction que noua mnoiu d'indiquer consttbie
ce que l'on appelle une méthode graphique de l'ésolution des équa-
tions difTérentielles. La simplicité de cette construction nous inspire
iininédiaten>eot une idée ; ne pourrail-onpassefonder'surelle.non
seulement pour représenter les intégrales des équations, mais pour
en tlémonlrer fexUleiicc? Il est, on l'a vu, un grand nombre
d'équations dilTérealietles que nous sommes incapables d'intégrer
(au sens du n" 478) : cela élant, rien, dans l'état actuel de nos con-
naissances, ne nous autorise à affirmer h l'avance que ces équations
ont elTectivemcnt des solutions ou intégrales; cependant nous
pouvons toujours leur appliquer la méthode de résolution gra-
phique décrite ci-dessus, et cette méthode nous conduira toujours
à une ligne brisée Mo, Mj, ... qui se rapprochera aibitraîrement
d'une courbe (') lorsqvie ses cAlés seront arbitrairement petiu,
[C'est unTailintuitivement évident qu'il en est bien ainsi, du moins
lorsquey^a;, y) est une (onction continue de x et y]. Ne pouvons-
nous, dès lors, considérer la poiItton-Umite prise par la lifne bri-
•éelI(,H,, ... (lorsque la longueur de ses càtésteud vers z^ro) oonune
■me oontbe intégrale, et démontrer rigoureusement que la fonction
représentée par cette courbe est une solution de notre équation?

Hâtons-nons de dire que ce mode de démonstration a été effec-
ttvement utilisé et qu'il est aujourd'hui passé dans la pratique
courante. Mais l'exemple du problème de Beaunc (562) nous
montre que des difficultés, alors insurmontables, devaient arrêter
au xvii° siècle ceux qui auraicntvoulu l'employer. Le raisonnement
que nous avons esquissé soulève en effet deux questions préalables
auxquelles il n'était alors pas possible de répondre : Sous quelles
conditions une ligne tracée sur le papier est-elle une courbe géo-
métrique, et sous quelles conditions une courbe représente- t-elle
une fonction P

(') Je prend» id le mot • courb« s <Uni ion leni le plus général
ligna tracée d'un trait continu.

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F0!)CT10!(S PRlMtTIVBS HSPRÊBBKTiBB t>Aft DBS AIRES

S. — Foactioas primitives représentées par des aires
(intégrales aéfinies).

666. — Déterminer la, ou, plus exaclement, les Jonetiom
primitives, d'une fonction y = ^^a:), c'est résoudre oa intégrer
l'équation différentielle / = /{x) [vide, 467] ; !e problème de la
recherche des fonctions primitives (ou calcul des inléijrales indé-
finies, voir chap. II, $5) n'est donc qu'im cas partîculierdu problème
étudié au S 4. — Mais l'on peut donner de la fonction primitive
une interprétation géométrique spéciale, fort avantageuse, qui n'a
point d'équivalent dans la théorie générale des équations différen-
tielles. Nous allons exposer cette interprétation, non point exacte-
ment telle qu'elle se présenta historiquement aux premiers algé-
brislesquienûrentusage, — carellefuttoutd'abord rattachée à des
considérations relatives aux « infiniment petits » dont nous ne
parlerons que plus tard {Troisième Livre) et qui ne feraient, pour
l'instant, que l'obscurcir k nos yeux — , mais telle que se la peut
imaginer le lecteur qui est en possession de la notion moderne
de dérivée.

B67. — C'était, nous l'avons vu, l'un des plus anciens problèmes
de la géométne classique que celui qui a trait k la mesure des aires et
des volumes, déterminés, dans le plan ou dans l'espace, par des lignes
ou des corps diversement situés. Archimède était passé maître en ce
genre de calcul, où il employait avec le plus grand succès ta /nd/Ao(^e
dited'exAfiujJio/i(cr. n°°58, 64). De oombieux géomètres des temps
anciens et modernes (') étudièrent Archimède, le commentèrent
et s'engagèrent sur ses traces.

L'une des questions le plus fréquemment posées était la sui-
vante : mesurer ou calculer une aire plane {segment plan) déter-
minée par une courbe connueet par deux droites rectangulaires, ou
bien par une courbe, deux droites parallèles et une troisième perpen-
diculaire [telles les aires 0MB et AMNB, couvertes de hachures sur
les iigures ci-contre] . Ainsi, Archimède avait déterminé la valeur de

('] Voir Troù.Ur., ch. ii § i.

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533 l'aLCÈDBE GÉOHÉTRIQLB

l'aire 0MB dans le cas {') où l'arc OM (sur la fig. aog) est un arc
de la parabole qui a pour sommet 0 et pour axe OB [celte courbe
est telle que les carrés des ordonnées de ses )>oinls sont proporlion-
nels (') aux abscisses : y* — 7px (vide D28) ; elle est donc repré-
sentative de la fonction y = ^/ipx]. Généralisant la question.
Fermât avait étudié le cas où la courbe OM ou MN est une pa-
rabole d'un genre supérieur : « J'ai quarré (') — écrit-il à Mer-
senne (*), en i636 — înGnies figures comprises de lignes

Fig. Jog.

courbes ; comme, par exemple, si vous imaginez une figure comme
la parabole, en telle sorte que les cubes des appliquées | oifhnnées]
soient en proportion des \proportionnelles aax] lignes qu'elles
coupent du diamètre (") [abscisses]. Cette ligure approchera de la
parabole et n'en dilîère qu'en ce qu'au lieu qu'en la parabole on
prend la proportion des carrés, je prends ici celles des cubes; et
c'est pour cela que M. de Beaugrand i qui j'en fis la proposition
l'appelle parabole solide m. La parabole solide est représentative de
\n fonction y ^= \/2px; Fermât « quarre >> semblablement les seg-
ments plans 0MB déterminés par des paraboles quarré-quan-ées,
quarré'SnUdes, etc., c'est-à-dire représentatives des fonctions
y^yjipx, y^='\/2px, etc. Or, en cherchant à quarrer les
segments plans définis par de telles courbes ou d'autres sem-
blables, on ne pouvait manquer d'apercevoir l'étroite conneiité
qu'il y a entre ces problèmes de quadrature et la notion de déri-
vée d'une fonction.

<'| Le segment plan est alors un «■ segment paraboliqu* t.

(^1 C'est-à-dire que le carré de l'ordonnée d'un quelconque des points de
la courbe ust égal à l'abscisse multipliée par un nombre constant.

(') Evalué l'aire de.

|»| Œuv. de Fermai, t. II, p. 73.

(') En parlant tout à l'heure de la parabole ordinaire, noua avons sup-
posé que OB (sur la fig. rioi)) n'était pas un diamètre quelconque, mais,
l'axe de la courbe. Les hypothèses de Fermât s'appliquent en réalité 4
un cas plus général. Comparer, n" 5si).

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PBIUIT1TES REPHÉSEHTÉES I

533

568. — Imagiaoas que, sur la Bgure aïo, où nous avons Iracé
deux axes de coordonnées rectangulaires. le point A reste fîxe
tandis que le point B est variable sur l'axe des x k droite de A :
appelons a l'abscisse constante de A, x l'abscisse variable du
point B. Supposons, d'autre part, que MN soit un arc d'une
courbe quelconque — représentative d'une foncUon y = f(x)
— compris entre les parallèles & OY menées par A et B : l'aire
du segment plan AMNB varie quand x varie (c'est-à-dire quand
B se déplace) et sa valeur se trouve (pour chaque position
de B) déterminée par la valeur de la variable x. Donc l'aire
du segment AMNB est, au sens large du mot, une fonction
<le x.

Admettons que nous ayons en elTet le droit d'assimiler cette aire
aux i( fonctions » proprement dites, dont nous avons fait plus haut
l'étude, et désignons-la par F (x).

La fonction F (x] est évidemment
continue si la fonction J{x) est
elle-même continue, car l'aire AMNB
varie arbitrairement peu lorsque B
se déplace arbitrairement peu. ^ous
allons voir, d'autre part, que F(x)
admet une dérivée, qui n'est autre
■yue la jonction f(x) tToà nous sommes partis.

A partir de la valeur OB = x, donnons k la variable indépen-
dante un accroissement Aa:; le point N' de la courbe qui a pour
abscisse OB' = x -¥■ Ax, a pour ordonnée B'N' = y-^Ay [en ap-
pelant y (c'est-à-dire /(a:) ) l'ordonnée BN (égale à B'K, fig. 3i i),
et A^ F accroissement KN' subi par celte ordonnée lorsque l'abscîsae
passe de la valeurs; à la valeur a; -H Ax]. L'accroissement corres-
pondant AF de la fonction Y{x), c'est-à-dire de l'aire AMNB, est
manifestement l'être BNN'B' limitée supérieurement par l'arc NN' ;
ta valeur de cette aire est comprise (fig. 31 1) entre celles des rec-
tangles BNKB' [de dimensions Ax, y] et BHN'B' [de dimen-
aions Ax et j- + \y\, donc entre j'Ax et {y -k- Ay)Ax. Son rap-
port à Ax est par conséquent compris entre y et y -h Ay; lorsque
l'accroissement Ax et l'accroissement Ay tendent simultanément

A F
vers zéro, le rapport , compris entre y et une quantité y + Ay

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634

h'ÂLaituts aéoMéTAïQDB

(]iii teod vers y — a pour limite y ou /(x) : nous avons donc,
comme nous l'aviom annonce : F'(x) =/(x).

Ainsi l'ain AMNB limité* ui-dimu dt l'un Am x pu Ift «osrbo
repréHOtatlva d'an* Sonotioa cimtiiuie f(x) «nfav 1m abwiMw
OA =aet OB = « flfon gèonétciviienient uw Iwutton primitiT»
de /(x). Cette foncdon primitive n'est déternûoie, «omme ii doit
itre, qa'à une coostante arbitraire près, puisque l'absoisse a des
points A et M est arbitraire. Ainsi, en d^^açant la droite AH sur
la figura an, on forme une aire AtM,NB qui est, tmit comme
AMNB, ane fonction primitive de/{x) : le* deux fonclioiis primi-
tives différent entre elles de la valeur du morceau A, M, MA, va-
leur qui est absolument indépendante de la position du point B
at qui est, par conséquent, une contlanle par rapport à x [voir,
pour plus de détails, le Trois. Lior., chap. ii, S ^J.

509. — Si la courbe était située au-éessoux de l'axe des x, la
dimension B^ du petit rectangle BB'KN {Gg. 3ia où sont conser-
vées les notations du n* 608) ne serait pas égale à l'ordonnée y du

point N, mais bien à — )', puisque}' serait négatif. Donc le rapport
de l'accroissementde l'aire AMNB iraccroiaeement Axde la variable
aurait pour limite — y, pour Ax tendant vers o. Mùa nous pou-
vons faire en sorte que ce rapport ait toujours pour limite y =y(x)
en adoptant la convention suivante : les aires des segments plans
situés au-dessous de l'axe des x seront regardé» comme ayant
des valeurs négatives ; si alors l'arc de courbe MN coupe une ou
plusieurs fols l'axe des x, ce que nous appellerons u aire AMNB »
sera la diderence entre les aires des surtaoes déterminées par l'arc
MN au-dessus et au-dessous de l'axe des x (sur la flgnre ai3
U différence : {aire AMG + aire DNB) — aire CPD] ; l'aire AMNB
sera positive ou négative suivant que les portions situées au-dessus
des X l'emporteront ou non sur les portions situées au-dessous.

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ÊTVDB GRAPHIQUE DBS feqVATIOm. IfÉfHOOE d' APPROXIMATION 531)

Moyennant cette convMitioQ. l'aire AMNB fondioa de f i^Mcisse
variable x du point B, aura toajonn [toraque x crcAra de Ak) un
accroissement demtme signe qoe y =/(3;), et sera par conséquent
toujours nae fonction primitive de/(x).

570. Fonctlona dont l'intégrale n'est pas calculable. — La
ooQSlmction gétxnéAriqae que nous venons d'étudier soulève une
question extrtmemeat imporljnrte et délicate (comparer n* 1196).
L'aire que nous avcm appelée AMNB [je me place, pour simplifier,
dans te cas de la fig. 31 1 où l'arc MN est tout entier au-fkssnE de
l'axe desxj est, nous l'avons vn, une Tonction primitive de f{x).
Or cette aire existe, évidemment, et se comporte de ia même ma-
nik« aux yeux du géomètre, quelle que soit la ranctiony(a;) (sup-
posée continue).

Cependant nous savons (n* 453) qu'il existe des fonctions con-
tinues qui n'ont pas de foncUon primitive, du moins tant que nous
nous enfermons dans le domaine des fonctions algébriques et
transceodantes classiqaee.

Vj a-t-il point \k une dissymétrie choquante >> Et, pInlAt qne
de nous en déclarer aatiflCaits, ne vsut-il pas mieox élargir notre
notion de fonction en considérant la mesure de l'aire AMNB [qui
varie d'une manière continue lorsque le point B se déplace avec
continuité] comme définissant en tous cas une fonction F(a;)de la
variable x ? Nous noua bornons pour l'instant à poser la question,
caroe sont les fondements mêmes de l'algèbre des (onctions qni se
trouvent ici mis en cause. Nons ne devrons toucher i ces fonde-
menb qu'à bon escieat et lorsque eous serons siirs de pouvoir les
templaoer par d'autres qui soient également solides (voir chap. v
et Trois. Liv. chap. i, $ J).

6. Stade graphique des éqamilons. Méthodes d'approximation

571. — ConsïdénHU la couii>e représentative d'une fonction
y =f{x). Aux valeurs de x pour lesquelles /(x) est nulle corres-
pondent des points de la courbe d'ordonnée nulle, donc des points
situés sur l'axe des x. Par conséquent la recherche det racines de

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536 l'xlgèdrb oéoh6trique

téqualion f(x) =: o revient à la délerminalion des points de ren-
contre de faxe des x avec la courbe représentative def(x).

Partant de cette remarque, nous allons nous servir de la figura-
tion Aef{x) pour compléter les résultats auiiquels nous a conduits
l'élude algébrique des équations.

573. ThAorème de Rolle. — Lorsqu'on ne peut pas calculer
la valeur exacte d'une racine inconnue d'une équation, il convient
d'en clierclier une valeur approchée : on s'efforcera donc de déter-
miner un intervalle «. fi qui comprenne sûrement la valeur ^ de la
racine cherchée (c'est-à-dire soit tel que a < | <r ('5), et ne con-
tienne d'ailleurs aucune autre racine de l'équation.

Les valeurs a et fi (extrémités de l'intervalle) sont deux valeurs
approchées (') de |, l'une par déraut, l'autre par excès : nous
dirons que a est une limite inférieure, et j5 une limite supérieure
de la valeur ç. Plus l'intervalle a. j3 sera pelit, plus grande sera
l'approiiimation avec laquelle il délermincra l'inconnue ^.

La recherche d'intervalles V., fj aussi pelits que possible com-
prenant chacun une racine et une seule d'une équation donnée
quelconque, alf^ébrique ou transcendante, se trouve être ainsi le
problème fondamental d'où dépend la résolution approximative des
équations. Ce problËme fut approfondi pat les algébristes de la
fin du xvii' siècle.

Dans te traité [') qu'il publie en 1690, Michel Rolle insiste,
le premier, sur la relation qu'il y a entre les racines d'une équation
f(x) ^= o et les racines de l'équation f (x) ^ o {équation dérivée
dirons-nous, cf., 421). Si/(ic) est un polynôme, /' (x) est un
polynôme de degré moindre ; il y a donc avantage à ramener,
comme le fait Rolle, l'étude de l'équation proposée à celle de
l'équation dérivée. D'ailleurs tes remarques de Rolle permettent
de ramener à son tour l'élude de l'équationy (x) := o à celle de
l'équation de degré moindre y*' (a;) ^^ o ; et ainsi de suite. D'où le
nom de cascades (') donné par Holle à la suite des équations

(') C'est pourquoi Rdlle les appelle des hypolhètta (our. cité à la note
suivante : lîv. second, chap. m, p. io3|.

I') Traité d'algèhre ou Principes généraux pour ritouire les fUMtwnt d»
mathématique, par M. Rolle, Paris, 1690.

{') Loe. cit., liv, second, chap. vi, p. i25.

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ÉTDDE GRAPHIQUE DES ÉQUATIONS. MÉTHODES d'aPPBOXIUATION 537

y (a:) = o, /* (i) ^ o.que l'on est amené i, considérer pour étudier
l'équation f{x) = o.

Le théorème fondamental énoncé par Bolle peut être formulé en
ces termes : •

Soilf(x) ane fonction que Fon considère à l'intérieur (fun in-
tervalle a, b, où elle est continue ainsi que sa dérivée J' (x). Entre
deux racines consécutives (') a et ^ de la dérivée, appartenant à
Tinlervalle à. b, H existe au plus une racine de la fonction. — Entre
deux racines consécutives de f(x) [dans T intervalle a, b] il y a au
moins une racine de f (œ).

En effet, par hypothèse, lorsque x croît entre a Ji jS, la dérivée
f (x) ne s'annule pas, et conserve donc le même signe ; la fonc-
tion ne cesse pas de croître ou de décroître : donc la courbe repré-

J::i

Fig- >i4. Mg. =.5.

sentative ne peut franchir qu'une fois l'axe des x ; pour savoir si
elle le franchit ou non, il suffira de voir si ses extrémités sont de
part et d'autre ou du même côté de l'axe des x, — c'eat-à-dire si
f[a) etf{^) ont des signes contraires (comme sur la fig. ai4) ou le
mime signe (comme sur la fig. 3i5). Si f{a) ou f{^) était nul,
— c'est-à-dire si le nombre a ou ,3 était racine de f(x) — la
courbe ne pourrait en tout cas pas rencontrer l'axe en un second
-point d'abscisse comprise entre a et j3 (').

Considérons, d'autre part, deux racines consécutives de/(a;) :
il y a sûrement entre elles un maximum ou un minimum [donc
une racine de /'(aj), puisque la courbe, suivie avec continuité d'une
racine k l'autre, part de l'axe des x pour y revenir.

573. Remarqua. — 11 résulte du théorème de RoUe que si une
^nation de degré n a n racines réelles, x,, ..., x„. l'équation déri-

(') Par «racine de />) i> nous entendons ■ racine de l'équation /,xl =o»
(cf. 3S9). — Deux racines eonticutive» sont deux racine* entre leiquellei
ne s'en trouve >ituée aucune autre.

(1) Lb nombre 3 ou ^, est d'ailleurs, eu ce cas, racine multiple de f{x).
IVoirnMa.].

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538 t.'u.oàBXK OÈOUàwMlQVK

yie A auui toutes us radnea réelles, ceUe»-ci étant respectivaDent
situées entre les racines de l'équation primitive. £o cdat, duos
checun des intervalles (x„ x,). {x,, Z|), ..., (tCn-,, x,), qui sont
au nombre de /t — i , il y a une racine de l'équatign dérivée : ce
qui donne n — i racines réciles de cette équation ; elte s'a pas
d'autres racines puisqu'elle est de degré (') n — i.

674. SépsratloB daa raolntm d'utw équation. — Supposons
que nous sachions caJcnlsr touU» tes racines rédles de/(x) »-
tuées dans un intervalle a, b ofi /{x) et /"(x) sont continues.

Appeloas-les a, p, y« ... >., et calculons les valews /(a), /(a)

J{b) — valeurs de la fooctton pour e = a. x = a, etc. — de ms-
oière i connaître leurs si^ee. Cbacnii des nombres a, a, ... X
u fournira » ainsi, — k moins qu'il ne soit racine de/(a;) — l'un
des signes + ou — . Cela fait, il résulte du théorème de Rolle {*)
que chacun des intervalles (a, a), (a, |5), ... (X, b) contiendra i oa
o racine de f{x) suivant que ses exlrémités fournisseit ou non {'}
des signes contraires.

Sur la figure ai6, par ewnipls, las sigaes convepondant aux
sombres de la suite de RcUo sont :

L'équation présente i racine dans chacmi des intervalles {a. a),

a, ^), {&. b) et o racine dans les întervaUes (|3. 7), (y. â) (*).

1') La dérivée d'un palynome de degré n, Aoita,^ -f ... + ""i + ^w^
on le lait, un polyDome de degré n — i, lavoir n.a,^~' -|- _ + «i.

I*) La déduction est immédiate pour lei ititerralles (i, ^), (^, f), etc.
Pmk m qni Mt de l'interralle (o, a) [au |X, b\] «tuervcos d'abord qu'it
contient au plu» une niciae (car l'il en coateoait deux, il y «unit entre
éUet une racine de la dérivée d'après la seconde partie du théorème de
Rolle) ; donc il en contient une «u xéro suivant qu'entre a et a I* courbe
coupe ou non l'axe des x,

I*) Dasa le cas partûnKer «ù l'une dei extrémitée d'un mtervalle fa, ^)
«St lacine de f{x], U n'y a, nous l'avon* dit, aucune autre iMtoe dans Mt
intervalle.

(*) Considéronr encore, pour prendre un exemple numérique, l'équ»*
tion du troisième degré

/[*) = j:»_3a!+i — o;

Les racines de la dérivée sont — i et + i. Envisageons alors llnter-

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trUDE GRAPHIQUE DES ÉQUATHUIS, MÉTHODES d'aPFR0XIUATI0:1 SSt^

La suite des nombrea a, a, |3, . . . , X, 6 eat souvent appela suite
de Rolle relative à l'ëquatiOD /(x) = o. Les aambres de cette auite-
u séparent » les racines simple» (') dt/{x).

. 575. Bztrémltis de la anlte de Rolle. — Les intervalles
(a, a), {a, ^), ... que nous avons considérés ci-desiuB ont tous
été supposés compris dans an intervalle {a, b) où /{x) et /"(x)
sont continues. Dans le cas oà f{x) est un polynôme, cette fonction
et sa dérivée sont continues pour toute valeur finie de la variable :
nous pouvons donc prendre comme nombres a et 6 des nombres
de valeur absolue arbitrairement grande, l'un négatif, l'autre po-
sitif : nous dirons alors — en nous référant aux signes introduits
au n' 30S — que la suite de HoUe est composée des nombres
— 00, a. ^, ... \, -1-00.
D'ailleurs, lorsque l'on donne à x nne valeur positive ou nég^a-
tive très grande, la polynôme f{x) a nécessairement le mAme
signe (*) que son terme de plus haut degré, soit onX". Si n est nn

valle — 3 -t- a, qui comprend — i et -(- i «t éeiivorti tous chacun dw
nombres — 3. — i, i, a, les signet qu'ils fournissant [c'est-à-dîre las
■ignsB de /(— a), /(— i), ^i), /(s)], nous obtenons :

— + — 4-,

d'où résulte que l'équation proposée a une racine dans chacun des inter-
valles (a. — a), (— I, -I- ■),(!, a); elle a ses Iroû racine* réelles.

(') Si / x) a des racines multiples, ces racines font partie des nombres
a, (t, ..., X. Noua pourrions d'ailleurs nous dispenser de considérer le cas
où f{xi a des racines multiples, étant donné que la résolution d'uoe équa-
tion polynomale quelconque peut toujours être ramenée à la résolution
d'équations dont toutes les racines sont simples Ivoir 4^31.

Cl Soit f,x) polynôme de degré n et ordonné sous la forme
Ona:" + On^i*"-' + ... + a.x + a^.
Nous pouvons écrire

/te|_«.(a. + ?=! + ... + Ji, + 5)-
Lorsque x devient arbitrairement grand en valeur dbsolua, tons lu termes

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54o l'aLCÈBRE GÉOMÉTRIQLE

nombre pair, X" est un nombre positif, quel que soit le signe de x;
nous exprimerons ce fait en disant que/( — oc ) ety(-)-oo ) ont
tous deux le signe de a„ [les extrémités — oo et + x de la suite
de RoUe fournissent le même signe]. Si n est un nombre impair,
!if a le même signe qne x : donc /{-h oc ) a le signe de a. «l
J{ — Qo ) a le signe coatraire (').

Ainsi, lorsque l'on aura afTaireà un polynôme, il sera commode
de prendre comme cxlrcmités de la suite de Rolle, les nombres
— 00 et -t-oc . On devra cependant déterminer autrement ces
extrémités si l'on veut avoir des valeurs approchées des racines,
«t non point seulement les séparer. On prendra alors comme iyi-
leur de a un nombre inférieur à a, aussi rapproché que possible
'le 5£, et tel qu£ f{a) el f( — oo ) aient même siyne, et comme valeur
'le h un nombre supérieur à )., ausssi rapproché que possible de ).,
ielqae f{b) et f[+ « ) aient mime signe {').

576. — Lorsque l'on a u séparé i les racines d'une équation
f{x) ^= o, la question qui se pose est la suivante :

Etant donné un Inicrralle c, d t/ui contient une racine incon-
nue simple (')|, et une seule, d'une équation algébrique ou transcen-
dante, et dont les extrémités sont, par conséquent, des valeurs
approchées de £ (n" 672), comment obtenir des valeuis de %plas
approchées que cet d? Comment déterminer, en d'autres termes,
un intervalle c', rf intérieur à l'intervalle {c, d) -plus petit qui
comprenne, lui aussi la valeur i ?

La question ainsi posée peut être traitée indépendamment du

de ia parenthèse, sauf le premier, tendent vers u ; donc la quantité entre
parenthèses a pour ligne le signe de an, et f[x\ a te signe àex^.Oa.

(') De là résulte qu'une équation de degré impair a toujours au moins
une racine réelle (et. n" 3SS).

(1) Le théorème suivant, par exemple, fournit une limite supérieure dM
racines positives : supposons pour fixer les idées le dernier coelficicnt a,
poaitil, et désignons par s ta somme iU$ valeurs abtolues des coefficient* ni-
gatifs de l'iquation, par p la différence entre U degré de l'équation et t'ex-
potanl du premier terme à coefficient négatif {/'entend» par ■ premier ■ celui

qui a U plus liaut degré) : le plus grand des deux nombres i elt/ --est

limite supérieure des racines de l'égualion. — On dét^mune lemblable-
ment une limite inférieure des racines négatives.
(') Voir p. 539 note i.

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ÉTU1>E GRAPHIQUE DES ÉQUATIOUS. MÉTHODES d'aPFROXIUATIOK 5^1

théorème de Rolle (') et ne suppose point, par conséquent, que l'on
ait déterminé les valeurs exactes des nombres de la suite de
Rolle, c'est-à-dire des racines de f{x). Nous, nous nous placerons
toutefois d'embléo dans l'hypothèse où f oh est sâr (') lyue tinler-
valle c, (/ est compris à [intérieur de lan des inlervaUes de Rolle
— tels ijtte («, ,3) — définis au a' 674.

En ce cas la dérivée /'(x) conserve un signe constant dans l'in-
tervalle c, d [puisqu'elle ne s'annule pas] ; l'arc do courbe CD qui
repré8eati;/(j;) dans cet intervalle ne cesse donc de monter ou de
descendre, en traversant d'ailleurs l'axe des x, puisque, par hypo-
thèse, fix) a une racine dans l'intervalle. — Nous ferons en
outre cette hypothèse que /"(a:) ne change pas de siijne dans l'inter-
valle c, d. De là résulte que /"(j;) est toujours croissant ou tou-
jours décroissant. Or f{x) est (554) le coefficient angulaire de la
tangente à la courbe au point d'abscisse x et d'ordonnée y(a;) ;
dire, dès lors, que ce coefficient varie sahs cesse dans le même sens
pour X croissant de c à </, c'est dire que la direction de la tangente
(en un point qui parcourt l'arc de courbe de C à D) ne cesse de
se rapprocher, soit de la direction parallèle à l'axe 0^, soit de la
direction parallèle à Ox.

077. — Dans ces conditions, quatre cas de figure peuvent se
présenter {") t

1" Si /(c) >■ o et /((/) < o, la courbe est descendante. Si le
signe de /'(j:; est — i f{x) va en décroissant; la direction de la

t'I Les extrémité^ c, d de l'intervaltu considtro peuvent ftre des
nombres de U suite de HoUe ou peuvent être d'aulreg nombres [rmter-
valle c, d étant par exemple, un intervalle compris dans l'un de» inter-
valles [a, 3), (x. ^), ... considérés au n° .'>741'

(*) On pourra toujours obtenir un intervalle c, d satisfaisant aux
conditions que nous allons énoncer en appliquant le théorème de Rolle
aux tonctions f^x), f[x), f{x). ... [mélbode des cascades, voir n" SyaJ et
en tasayanl diverses valeurs particulières de x, [c'est-à-dire calculant les
valeurs de / i,, ou fyx,, ou j'[x,, pour diverses valeurs de x voisines de la
racine inconnue, et comparant les signes des nombres obtenus]. Nous
n'entrerons point ici dans le détail de cette opération dont l'intèrit est
purement technique.

C) Dans le i" et 4" c"» »n dit que la courbe tourne sa concavité ver»
l«j y positifs (cl. p. âio, note i).

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5^3 L'ALOèmB OéOHértlQVB

tangente le long de l'arc CD va se rapprochant de la direction Ox,
et la courbe a l'allure représentée par la fîg. 317 :

a" Si f{c) > o et ffit) < 0, le signe de /'(x) étant — , la di-
rection de la tangente le long de CD va se rapprochant de la
direction Qy, et la courbe a l'allure représentée par la figure 3 1 8 ;

S" et '4° Si f{c < o etf{d] > o, la conibe est montante. Elle
a l'allure représentée par la figure mg ou l'allure représentée par
la figure aao suivant que le signe de/'(x) est — ou 4-.

r.B. ,.7. Fîg. .18.

Tels sont les quatre cas en présence desquels nous pourrons
nous trouver si nous partons d'un intervalle c, d satisfaisant aux
conditions que nous avons énoncées et qui se réduisent à ceci :
/{c) et /{</) ont des signes contraires et les dérivées f{x) , J*{x) ne
s'annulent pour aucune valeur comprise entre c et d.

Cela posé, voyons comment nous obtiendrons des valears
approchée* de £, par déjaat et par excès, qui soient plus voisines
de la racine que les nombres c et d.

Nous allons nous placer, pour fixer les idées dans le premier des
quatre cas ci-dessus énamérés. Le lecteur n'aura pas de peine à
appliquer aux trois autres cas la méthode ou les méthodes que
nous allons exposer.

578. Méthode des parties proportiomtclles et méthode de

Ne'wtoii. — Traçant (sur la figure 33 1 oii est reproduite la dispo-
sition de In figure 317) ta droite CD qui coi^ l'axe des x en N,

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ÉTUDE GRAPHIQUE DES ÉQUATIOUS. H^THODEa d'aPPROXIHATIOK 5^3

et menant tni point G h tangente h la coarbe qui coupe l'axe en

L, nous Toyona que le point de rencontre M (d'abscisse Ç) de la

courbe et de t'ax« eat situé entre L et N. Si donc nous appelons

/ et /t les absdssGs respectives des

points L et N , nous aurons / < Ç < n.

D'ailleurs — étant àoané la dispo-

sitian de la coarine et le signe du coeT-

(icient angulaire de la tangente en C

— les points L et N sont évidemment

situés entre les pieds des perpendiculaires abaissées de G et D sur

l'aie. Donc les valeurs / et n Batisfont anz conditions requises au

n" 576.

Calculons ces valeurs :

1° On voit facilement (') que la droite GD est la droite repré-
sentative de la fonction y =f[d) + ■^''^ ~ {'"* (x — d). En effet,
cette ftmction prend la valeur /{c) pour x-=e et la valeur /(d)
pour a; — rf ; donc la droite qui le représente eat la droite qui
passe par les points G et D dont les coordonnées respectives sont
<:, /(c) et d, /(d). L'abcisse du point N (point de la droite CD dont
l'ordonnée est nulle) est la valeur de x pour laquelle

c'est par conséquent n — d — {d — e)''^ flA\ '

3° On voit facilement que la droite CL — dont le coefficient
angulaire (541) eat par hypothèse /'(c) — est la droite représen-
tative C) de la fonction y=f{c)-i-(x — c)/'(c). L'abscisse du
point L est la valeur de x pour laquelle cette foaction s'annule,
c'est-à-dire pour laquelle

c'est donc (') : l = c — i^.

^' TV)

( ) Cf. cliap. iT. S 4.

(*) Vûbchap.rv, §4. OavoHqueptnirxiBe, cette fonction eat épJe kfle],
Ponc U droite reprësentative eat la droite de coefficient angulaire f{e]
qui païae par le point C.

(3) Dana le caa de figure que noua conaldérona, on a fie] > o, f{ç) < o,
doncï^<o, d'oùi> c.

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5^j l'algèbre GËOMÉTftlQUB

Telles sont les expressions des valeurs approchées (') de ç que
nous substituerons aux valeurs approchées primitives c et d. Les
méthodes qui Tournissent les nouvellcsvalcurs consistent, on le voit,
à rempl'iccr la courbe CD (dont il s'agit de trouver le point de
rencontre avec Oy), soit par la carde CD, soit par la tangente en C
k la courbe. La première méthodeest (*) souvent appelée méthode
des purlles proportionnelles ; la seconde a reçu le nom de a mé-
thode de Sexvlon » (').

En appliquant à nouveau ces métbodes à l'intervalle /, n, on
déterminera un troisième intervalle, /)/u$ /)£'(', qui contient la racine
inconnue | ; et ainsi de suite, chaque nouvel intervalle étant plus
resserré que le précédent et faisant, par suite, connaître la valeur
de Ç avec une approximation plus grande.

{'] On peut facilement calculer une Umile êupérieure de l'erreur que
l'on commet lonqu'on prend l'un des nombres i ou n comme valeur de
la lacine £ (entendons : on peut calculer un nombre a tel que l'on ait sûre-
ment £ — { < i et n ~ 5 < ï). On trouvera l'expression de cette limite
dans les trailés d'algèbre.

<>) Celte méthode est ainsi nommée parce que la ligne droite (ici : la
corde CD) est une ligne telle que l'accraiHementde l'urdonnée, lorsque
l'on passe de l'un à l'autre de ses points. Bit proportionnel à l'accroisse-
ment de l'abscisse [la relation qui délinit les points de la droite CD peut

B 'écrire --^ = m, les valeurs !„ et i/^ étant les coordonnées d'un point

fixe, X et !/ les coordonnées d'un point variable sur la droite, m un
nombre constant [.

;^j Newto.n appliquée» particulier cette méthode à l'équation (/■•— ay— ft

i^oquiauneracinecompriie entre aeta -1 {Numerali» xqualùiitum afjec-

iarum reaotutio, apud Analytia per aspiationa numéro terminorum infinitas,
Londres, 171 1 ; cf. Newloni Opiucula mathan., t. 1, 17441 P- lo-ia).

ERRATA

Page ut, ligne 5. Au lieu de < nombres algébrique* >, lire • nombres
abêolua >.

Page -ia^, note 3, ajouter ; D'une manière générale, si l'on joint un
centre O aux divers points A, B, C,. . d'une figure quelconque de l'es-
pace, les points de rencontre des droites OA, OB, OC,,., avec un plan P
forment une figure qui est dite projtclion conique ou centrait (sur le
plan P) de !a ligure de l'espace.

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TABLE DES MATIÈRES

LIVRE PREMIER
Constatation dei faits.

CHAPITRE PREMIER

I. Le monds dei nombres

3. Les opénliom fundamenUlei

3. Propriété! do la luite croiuante des nombrea. Progrcsiions arillimé-

liques et géométrique*

4. Problûmes relatifs nul nombre*

5. Fraction»

6. Nombres rationna. Inégalités

7. L'écriture arithmétique at la numération

8. Calcul approché. Puissance* fractionnaires

CHAPITRE li

I . Les gfandears géométriques et le cale»)

3. Mesures. Longueur de la circonférence

3. Digression sur la menire des tire* et des rolumes en géométrie

rationnelle

4- Rapports et proportions

5. Confrontation du nombre et de la grandeur

6. Déltnltion rigoureuse dei nombres irrationnels

7. Expressions grithméliquoB convergeotea, Scries

-8. Les nombres reUtifs

BoviaouT. — Let Prîacipea del 'Analyse nulhémiiliLjuo. 35

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TABLE DES UATIÈAES

y. LogirithiuM

10. Gnndeun trigODMiiétriquei.

CHAPITRE III

1. Le moade det nolioni g^mMriqiiei 179

3, Géométrie quatiblire <!«• figures simjilei 18s

3. Géométrie métrique >03

4. L'édifice géooiétrique et la démonslntion la'j

h. La coostruction en géométrie rationnelle. Sectioni jilanet du cAne . 336

6. Lîeiii géoniélriqtua. Elude det courbei *4S

CHAPITRE IV

DEUXIÈME LIVRE
CoDstnictioD

CHAPITRE PREMIER

LK CALCUL ALGËBarQUE

.69.6»

. Objet et ambition» de l'algïbre a-ji

. Symboles et eipreulorts algébrique* iSS

. Tranarormationi claulquel 3g5

. Fonction! et équations 3o5

. Traniformation dea équaliona SiS-

. Résolution dea équations poijoouialcs 3>6

. Propriétés fondamentales de l'^valipa de degré n. Interpolation 3^7

. Systèmes d'équations liniLiltànée^.' ; ' 35&

. Division des pi^jnomes ep x et décocn position des fonctions ra-
tionnelles 36ft

. Fonctions et éi^uationi transcendantes. Calculs trigonomélriques 379

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TABLE DES UATlËDtS

CHAPITRE II

I. Etude des foDdieMtrBDenrkUe 333

a. Dériï6» SgO

3- Fonctions IrtnKsndinte* cUnique* 4(i

i. Fonction! de pluaieun variables. Fonctions impllcilcs ^lo-

5. Reclierclio des fonctions primiliiei ^3o-

6. Equations différentielles m

■;. Equations clauiques du premier ordre j55

8. Equations ctuiiques du second ordre el d'ordre supérieur . . jG4

9. Equations lui di(ri>éei partielles, fonctionnelles, intégrales . . JI77

CHAPITRE III

L'ALoioHE câoUÉTHlQUE

I. Reprdseatatioii géomélrique des quantité) et des evpressiona atgë-

briques. Le calcul {féomélrique des Grecs j81

3. Figuration cartésienne des tondions d'une variable J99

3. L'étude graphique des fonctions d'uno variable 5i5

i. Les équations dijTérenlielles du premier ordre SïC

5. Fonctions primitives représentées par des aires (intégrale* déHnics). 53 1

6. Elude graphique des équalioni. Méthodes d'approximation , . 535'

AUG 14)920

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SAHIT-AHAnD (cUEil). — IMPUMBMB BDBBliU.

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