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Full text of "Éléments de géométrie: avec des notes"

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ÉLÉMENTS 



DE 



GÉOMÉTRIE, 

AVEC DES lirOTES; 



Par A. M. LEGENDRE, 

BIEirBRE DE l'iNSTITUT ET BE LA LEGION d'hONNEUR j 
DE LA SOCIETE BOTALE DE LONDRES , etC. 



NEUVIEME EDITION. 



A PARIS, 

CHEZ FIRMIN DIDOT, IMPRIMEUR, 

Libraire pour les Mathématiques, la Marine, 
l'Architecture, les éditions stéréotypes, etc. 

,&UB JACOB, n° 24« 



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AVERTISSEMENT. 



^ -\ 



JL) 'après lavis de plusieurs professeurs 
distingues, on s'est détermine à rétablir, 
dans cette neuvième édition , la théorie des 
parallèles à-peu-pres sur la même base qu'Eu- 
çlide. Il en résultera plus de facilité pour les 
étudiants , et cette raison a paru prépondé- 
rante, d'autant que lès objections auxquelles 
est encore sujette la théorie des parallèles , 
ne peuvent être entièrement résolues^ que 
par des considérations analytiques, telles 
que celles qui sont exposées dans la note 
deuxième. 

La démonstration de la surface de la zone 
sphérique a été simplifiée d'après une re- 
marque faite par M. Pilatte , professeur de 
mathématiques au Lycée d'Angers. 

Enfin, un beau mémoire sur les po- 
lyèdres, présenté récemment à rinstitu.t par 
M. Cauchy, ingénieur des ponts et chaus- 
sées , a fourni le moyen de démontrer , à la 
fin delà note XII®, le théorème que supposent 
les définitions 9 et i o du onziènçie livre d'Eu- 
clide, ce qui ajoute lin nouveau degré de 
perfection à cette partie des éléments. 



Tels sont les principaux changements et 
améliorations qu'offre cette édition; on a 
d ailleurs apporté de nouveaux soins à l'exé- 
cution typographique, et la gravure des 
planches a été re&ite à neuf. 



Le lecteur qui voudra se borner , au moins 
dans une première lecture , aux simples élé- 
ments y peut passer sans inconvénient les notes, 
appendices , et généralement tout ce qui est 
imprimé en petits caractères , comme étant 
moins utile ou exigeant une étude plus appro- 
fondie. Il reviendra ensuite sur ces objets , s*il 
le juge à propos , en choisissant ceux qui lui 
conviendront le "mieux , d'après l'avis d'un 
professeur éclairé. 

N. B. Les nombres mis en marge indiquent les propo- 
sitions auxquelles on devra recourir pour Tintelligence des 
dànonstrations. Un seul nombre , comme 4 i indique la 
proposition rr èm. livre courant : deux nombres , ao. ^, 
indiquent la xx^ proposition du livre m. Dans la Trigo- 
nométrie on a distingué les articles et les renvois par des 
chiffres romains. 



ELEMENTS 



DE GÉOMÉTRIE. 



LIVRE PREMIER. 



LES PRINCIPES. 



DEFINITIONS. 



I. J_j A Géométrie est une science qui a pour objet 
la mesure de l'étendue. 

L'étendue a trois dimensions, longueur, largeur 
et hauteur. 

n. La ligne est une longueur sans largeur. ^ 

Les extrémités dune ligne sappellent/?c?//î^5;lepoint 
n^a donc pas d^étendue. 

IIL La ligne droite est le plus court chemin d'un 
point à un autre. 

rV. Toute ligne qui n'est ni droite ni composée de 
lignes droites est une ligne courbe. 

Ainsi, AB est une ligne droite, ACDB une ligne gg. ,^ 
brisée ou composée de lignes droites, et AEB est une 
ligne courbe. 

V. Sut face est ce qui a longueur et largeur, sans 
hauteur ou épaisseur. 

YI. Le plan est une surfacç , dans laquelle pre- 

Neu9. éd. I 



2 eéoHETRIS. 

nant deux points à volonté, et joignant ces deux 
^points par une ligne droite, cette ligne est toute en- 
tière dans la surface. 

VU. Toute suiface qui n'est ni piano ni composée 
de surfaces planes est une surface courbe. 

VIIL Solide ou corps est ce qui réunit les trois di- 
mensions de rétendue. 

fig. a. IX. Lorsque deux lignes droites AB , AC , se ren- 
contrent, la quantité plus ou moins grande dont elles 
sont écartées Tune de l'autre, quant à leur position, 
s'appelle angle; le point de rencontre ou àHintersec^ 
tion A est le sommet de l'angle; les lignes AB, AG, 
en sont les cotés. 

Langle se désigne quelquefois par la lettre du 
sommet A seulement, d'autres fois par trois lettres 
BAC ou G AB , ayant soin de mettre la lettre du sommet 
au milieu. 

Les angles sont, comme toutes les quantités, sus- 
ceptibles d'addition, de soustraction, de multiplica- 
%. 20. tion , et de division : ainsi l'angle DGE est la somme 
des deux angles DGB , BGE , et l'angle DGB est la dif- 
férence des deux angles DGE, BGE. 

lîg. 3. X. Lorsque la ligne droite AB rencontre une autre 

droite GD, de telle sorte que les angles adjacents BAG, 

BAD soient égaux entre eux, chacun de ces angles 

s'appelle un angle droit; et la ligne AB est dite/^er- 

pendiculaire sur GD. 

fig. 4. XI. Tout angle BAG plus petit qu'un angle droit 
est un angle aigu; tout angle plus grand DEF est un 
angle obtus. 

fig. 5. XII. Deux lignes sont Ailes parallèles y lorsque, 
étant situées dans le même plan , elles ne peuvent se 
rencontrer à quelque distance qu'on les prolonge Tune* 
et l'autre. 



LITRE I. ^ 3 

Xm. Pigùre plane est un plan terminé de toutes 
parts par des lignes. 

Si les lignes sont droites , l'espace qu elles renfer- 
ment s appelle ^^ïirtf rectili^ne ou pofy-gone y et les fig. 6. 
lignes elles-mêmes prises ensemble forment le contour 
ou périmètre du polygone. 

XIV. Le polygone de trois côtés est le pins simple 
de tous, il s'appelle triangle; celui de quatre côtés 
s'appelle quadrilatère; celui de cinq ^pentagone; celui 
de six , hexagone , etc. 

XV. On appelle triangle équUatéral celui qui a ses fig. 7. 
trois côtés égaux ; triangle isoscele^ celui dont deux fig. 8. 
côtés seulement sont égaux; triangle scalene^ celui fig- g. 
qui a ses trois côtés inégaux. 

XVI. Le triangle rectangle est celui qui a un angle 
droit. Le côté opposé à l'angle droit s'appelle lyrpoté" 

mise : ainsi ABC est un triangle rectangle en A, le côté fig. X04 
BG est son hypoténuse. 

XVIL Parmi les quadrilatères on distingue : 

heguarré^ qui a ses côtés égaux et ses angles droits, fig. n, 
(Voyez la prop. xxviii , liv. i). 

Le rectangle y qui a les angles droits sans avoir les %• ". 
côtés égaux. ( Voyez la même prop. ) 

lue parallélogramme ou rhombe^ qui a les côtés op- fig. i3. 
posés parallèles. 

Le losange j dont les côtés sont égaux sans que les fig. 14. 
angles soient droits. 

Enfin le trapèze y dont deux côtés seulement sont fig. i5. 
parallèles. 

XVni. On appelle diagonale la ligne qui joint les 
sommets de deux angles non adjacents : telle est AG. fig. 43. 

XIX. Polygone équUatéral est celui dont tous les 
côtés sont égaux; polygone équiangle y celui dont tous 
les angles sont égaux. 

XX. Deux polygones sont éqidlatéraux ent^ eux 

I. i 



4 GBOMÉTEXE. 

lorsqu'ils ont les côtés égaux chacun à chacun, et 
placés dans le même ordre, c'est-à-dire, lorsquen 
suivant leurs contours dans un même sens , le premier 
côté de l'un est égal au premier de l'autre , le second 
de l'un au second de l'autre, le troisième au troisième ^ 
et ainsi de suite. On entend de même ce que signifient 
deux polygones équiangles entre eux. 

Dans l'un ou l'autre cas, les côtés égaux ou les 
angles égaux s'appellent côtés ou angles homologues. 

iV. B, Dans les quatre premiers livres il ne sera question que de 
figures planes ou tracées sur une surface plane. 

Explication des termes et des signes. 

'Axiome est une proposition évidente par elle- 
même. 

Théorème est une vérité qui devient évidente au 
moyen d'un raisonnement appelé démonstration. 

Problême est une question proposée qui exige une 
solution. 

Lemme est une vérité employée subsidiairement 
poiu* la démonstration d'un théorème ou la solution 
d^un problême. 

Le nom commun de proposition s'attribue indi£fé- 
remment aux théorèmes, problèmes, et lemmes. 

Corollaire est la conséquence qui découle d'une ou 
de plusieurs propositions. 

Scholie est une remarque sur une ou plusieurs pro- 
positions précédentes, tendant à faire apercevoir leur 
liaison., leur utilité, leur restriction, ou leur exten- 
sion. 

Hypotliese est une supposition faite, soit dans 
l'énoncé d'une proposition, soit dans le courant 
d'une démonstration. 



LIVRE 1. 5 

Le signe = est le signe de Fégalité; ainsi l'expres- 
sion A=B signifie que A égale B. 

Pour exprimer que A est plus petit que B, on écrit 
A<B. 

Pour exprimer que A est plus grand que B , on écrit 
A>B. 

Le signe + se prononce plus ; il indique l'addition. 

Le signe — se prononce moins; il indique la sous- 
traction : ainsi A + B représente la somme des quan- 
tités A et B ; A — B représente leur différence ou ce 
qui reste en ôtant B de A ; de même A — B + C, ou 
A + C — B, signifie que A et C doivent être ajoutés 
ensemble, et que B doit être retranché du tout. 

Le signe X indique la multiplication ; ainsi A X B 
représente le produit de A multiplié par B. A.u lieu du 
signe X on emploie quelquefois un point; ainsi A.B 
est la même chose que A X B. On indique aussi le 
même produit sans aucun signe intermédiaire par AB; 
mais il ne faut employer cette expression que lors- 
qu'on n a pas en même temps à employer celle de la 
ligne AB distance des points A et B. 

L'expression A X (B+C — D) représente le produit 
de A par la quantité B +G — D. S'il fallait multiplier 
A + B par A — B + C , on indiquerait le produit ainsi 
(A + B) X^(A — B + C); tout ce qui est renfermé 
entre parenthèses est considéré comme une seule 
quantité. 

Un nombre mis au devant d une ligne ou d'une 
quantité , sert de multiplicateur à cette ligne ou à cette 
quantité; ainsi, pour exprimer que la ligne AB est 
prise trois fois, on écrit 3 AB ; pour désigner la moitié 
de l'angle A , on écrit \ A. 

Le quarré de la ligne AB se désigne par ABf son 



/ 
/ 



GEOMETRIC. 



cube par AB. On expliquera en soii lieu ce que si- 
gnifient précisément le quarré et le cube d'une ligne. 
Le signe \/ indique une racine à extraire; ainsi 

V^ 2 est la racine quarrée de a ; V^ A x B est la racine 
du produit A x B , ou la moyenne proportionnelle 
entre A et B. 

AXIOMES. 

1. Deux quantités égales à une troisième sont égales 
entre elles. 

2. Le tout est plus grand que sa partie. 

3. Le tout est égal à la somme des parties dans 
lesquelles il a été divisé. 

4. D'un point à un autre on ne peut mener qu'une 
seule ligne droite. 

5. Deux grandeurs, ligne, surface ou solide, sont 
égales , lorsqu étant placées l'une sur l'autre elles coïn- 
cident dans toute leur étendue. 

PROPOSITION PREMIERE. 



A 



THEOREME. 



Les angles droits sont tous égaux entre eux. 

%. 16. Soit la ligne droite CJ) perpendiculaire à AB, et 
GH à EF; j^ dis que les angles ACD, EGH seront 
égaux entre eux. 

Prenez les quatre distances égales CA^ CB, GE, 
G F, la distance AB sera égale à la distance EF, et 
on pourra placer la ligne E F sur A B , de manière 
que le point E tombe en A, et le point F en B. Ces 
deux lignes ainsi posées coïncideront entièrement 
lune avec l'autre; car, sans cela, il 7 aurait deux 



\ 



X.IVRE I. 7 

lignes droites de A en B, ce qui est impossible^, *ax. 
donc le point 6, milieu de EF, tombera sur le point 
C, milieu de AB. Le côté 6E étant ainsi appliqué 
sur C A, je dis que le côté G H tombera sur CD ; car 
supposons , s'il est possible , quHl tombe sur une ligne 
CK différente de CD; puisque, par hypothèse *, ♦def. lo- 
langle EGH = HGF , il faudrait qu on eût ACK = 
KGB. Mais l'angle ACK est plus grand que AGD, 
l'angle KGB est plus petit que BCD; d'ailleurs , par 
hypothèse, ACD = BGD; donc ACK est plus grand 
que KGB ; donc la ligne GH ne peut tomber sur une 
ligne CK différente de CD; donc elle tombe sur CD, 
et l'angle EGH sur ACD; donc tous les angles droits 
sont égaux entre eux. 

PROPOSITION IL 

THEOREME. 

Toute ligne droite CD, qui en rencontre une fig. 17. 
autre AB ,fait avec celle-ci deux angles adja- 
cents ACD, BCD, dont la somme est égale à 
deux angles droits. 

Au point C , élevez sur AB la perpendiculaire CE, 
L'angle ACD est la somme des angles ACE , ECD ; 
donc ACD + BCD sera la somme des trois ACE , 
ECD, BCD. Le premier de ceux-ci est droit, les deux 
autres font ensemble Tangle droit BCE; donc la 
somme des deux angles ACD, BCD est égale à deux 
angles droits. 

Corollaire I, Si l'un des angles ACD , BOD est droit , 
Fautre le sera pareillement. 

Corollaire II. Si la ligne DE est perpendiculaire fig. 18, 
à AB , réciproquement AB sera perpendiculaire à DE. 

Car , de ce que DE est perpendiculaire à AB , il 



8 GÉOMÉTRIE. 

s^ensuit que langle ACD est égal à son adjacent 
DGB, et qu^Is sont tous deux droits. Mais de ce 
que l'angle ACD est un angle droit , il s'ensuit que 
son adjacent ACE est aussi un angle droit ; donc 
Tangle ACE=ACD , donc AB est perpendiculaire àDE. 
fig. 34- Corollaire III. Tous les angles consécutifs BAC, 
CAD, DAE, EAF, formés d'un même côté de la 
droite BF y pris ensemble, valent deux angles droits ; 
car leur somme est égale à celle des deux angles 
adjacents BAC , CAF. 

PROPOSITION III. 

THEOREME. 

Deux lignes droites qui ont deux points coni* 
muns coïncident Vune ayec l'autre dans toute 
leur étendue y et ne forment qu'une seule et même 
ligne droite. 

lig. 19. Soient les deux points communs A et B; d abord 
les deux lignes n'en doivent faire qu'une entre A et 
B, car sans cela il y aurait deux lignes droites de A 

* ax.4. en B, ce qui est impossible*. Supposons ensuite que 
ces lignes étant prolongées, elles commencent à se 
séparer au point C, l'une devenant CD, l'autre CE. 
Menons au point C la ligne CF , qui fasse avec CA 
l'angle droit ACF. Puisque la ligne ACD est droite, 
pr. a. l'angle FCD sera un angle droit*; puisque la ligne 
ACE est droite, l'angle FCE sera pareillement un 
angle droit. Mais la partie FCE ne peut pas être égale 
au tout FCD; donc les lignes droites qui ont deux 
points A et B communs, ne peuvent se séparer en 
aucun point de leur prolongement; donc elles ne 
forment qu'une seule et même ligne droite. 



cor. X . 



tlVEE t. 



PROPOSITION IV. 



A 



THBOREME. 



Si deux angles adjacents ACD , DCB , valent %. a©. 
ensemble deux angles droits^ les deux côtés ex- 
térieurs AC, CB, seront en ligne droite. 

Car si CB n'est pas le prolongement de AC, soit 
CE ce prolongement; alors la ligne ACE étant droite, 
la somme des angles ACD, DCE, sera égale à deux 
droits*. Mais, par hypothèse, la somme des angles ^P*"- *• 
ACD, DCB, est aussi égale à deux droits; donc ACD 
+ DCB serait égale à ACD + DCE ; retranchant de 
part et d'autre langle ACD , il resterait la partie DCB 
^ale au tout DCE , ce qui est impossible ; donc CB 
est le prolongement de AC. 

PROPOSITION V. 



A 



THEOREME. 



Toutes les fois que deux lignes droites AB, Sg. 21. 
DE, se coupent y les angles opposés au sommet 
sont égaux. ' 

Car puisque la ligne DE est droite , la somme des 
angles ACD , ACE , est égale à deux droits ; et puis- 
que la ligne AB est droite , la somme des angles ACE 
BCE, est égale aussi à deux droits; donc la somme 
ACD + ACE est égale a la somme ACE + BCE. Re- 
tranchant de part et d autre le même angle ACE , il 
restera l'angle ACD égal à son opposé BCE. 

On démontrerait de même que Tangle ACE est égal 
à son opposé BCD. 

Scholie. Les quatre angles formés autour d un point 
par deux droites qui se coupent valent ensemble 



lO G GEOMETRIE. 

quatre angles droits; car les angles ACE, BCE pris 
ensemble , valent deux angles droits, et les deux autres 
ACD, BCD, ont la même valeur, 
fig. 22. En général, si tant de droites qu'on voudra CA, 
CB, etc., se rencontrent en un point C, la somme 
de tous les angles consécutifs ACB, BCD, DCE, 
ECF, FCA, sera égale àv quati*e angles droits : car 
si on formait au point C quatre angles droits au 
moyen de deux lignes perpendiculaires entre elles , le 
même espace serait rempli , soit par les quatre angles 
droits , soit par les angles successifs ACB , BCD , etc. 

• 

PROPOSITION VI. 

THEOREME. 

Deux triangles sont égaux, lorsqu'ils ont un 
angle égal compris entre deux côtés égaux 
chacun à chacun. 

fig. 23. Soit l'angle A égal à l'angle D, le côté AB égal à 
DE, le côté AC égal à DFj je dis que les triangles 
ABC , DEF , seront égaux. 

En effet, ces triangles peuvent être posés l'un sur 
l'autre de manière qu'ils coïncident parfaitement. Et 
d'abord si on place le côté DE sur son égal AB , le 
point D tombera en A et le point E en B : mais puis- 
que l'angle D est égal à l'angle A, dès que le côté 
DE sera placé sur AB, le côté DF prendra la direc- 
tion AC. De plus DF est égal à AC; donc le point F 
tombera en C , et le troisième côté EF couvrira exac- 
tement le troisième côté BC; donc le triangle DEF 

* ax. 5. ^^ ^%^ *" triangle ABC *. 

Corollaire, De ce que trois choses sont égales dans 
deux triangles, savoir, l'angle A= D, le côté AB*= 
DE, et le côté ACc=:DF, on peut conclure que les 



trois autres le sont, savoir, langle B = £, Tangle 
C = F, 6t le côté BC = EF. 

PROPOSITION VIL 

THÉORâME. 

Deux triangles sont égaux y lorsqu'ils ont un 
côté égal adjacent à deux angles égaux chacun 
à chacun. 

Soit le côté BC égal au côtMËF, langle B égal à fig. 23. 
Fangle E, et langle C égal à l'angle F; je dis que le 
triangle DEF sera égal au triangle ABC. 

Car, pour opérer la superposition, soit placé EF 
sur son égal BG , le point E tombera en B , et le point 
F en G. Puisque Tangle E est égal à langle B , le côté 
ED prendra la direction BÂ ^ ainsi le point D se 
trouvera sur quelque point de la ligne BA. De même, ^ 

puisque Fangle F est égal à l'angle G , la ligne FD 
prendra la direction CA, et le point D se trouvera 
sur quelque point du côté CA; donc le point D qui 
doit se trouver à-la-fois sur les deux lignes BA, CA, 
tombera sur leur intersection A ; donc les deux trian- 
gles ABG,*DEF, coïncident l'un avec l'autre, et sont 
parfaitement égaux. 

Corollaire. De ce que trois choses sont égales dans 
deux triangles, savoir, BC = EF, B = E, C=F, on 
peut conclure que les trois autres le sont, savoir 9 
AB = DE, AC=DF, A=D. 

PROPOSITION VIII. 

THÉORÈME. 

Dans tout triangle un côté quelconque est plus • 
petit que la somme des deux autres. 
Car la lig^e droite BG, par exemple, est le plus fig. al 



12 GSOMBTRIE. 

*d«f. 3. court chemin de B en C * , donc BC est plus petit que . 
B A + AC. 

PROPOSITION IX. 

/ 



THEOREME. 

fig. 24. Si d'un point O pris au - dedans du triangle 
ABC, on mené aux extrémités d'un côté BC les 
droites OB, OC, la somme de ces droites sera 
moimire que celle dm deux autres côtés AB , AC. 
Soit prolongé BO jusqu'à la rencontre du côté AC 
en D ; la ligne droite OC est plus courte que OD + 

♦pr. 8. DC * : ajoutant de part et d autre BO, on aura BO + 
OC<BO + OD+DC,ouBO+OC<BD-|-DC. 

On a pareillement BD < BA + AD ; ajoutant de 
part et d'autre DC, on aura BD + DC<BA+AC. 
Mais on vient de trouver BO + OC < BD +DC; donc 
à plus forte raison, BO + OC < BA+AC. 

PROPOSITIO/N X. 



A 



THEOREME. 



%. a5. Si les deux côtés AB , AC , du triangle ABC 
sont égaux aux deux côtés DE, DF, du triangle 
DEF, chacun à chacun; sien même temps V angle 
BAC, compris par les premiers y est plus grand 
que r angle EDF, compris par les seconds; je 
dis que le troisième côté BC du premier triangle 
sera plus grand que le troisième EF du second. 
Faites l'angle CAG=:D, prenez AG = DE , et 
joignez CG, le triangle GAC sera égal au triangle 
DEF , puisqu'ils ont par construction un angle égal 

♦pr. 6. compris entre côtés égaux*; on aura donc CG =£F.. 
Maintenant il peut y avoir trois cas , selon que le point 



XiIYRE T. l3 

G tombe hors du triangle ABC, ou sur le côté BC; 
ou au-dedans du même triangle. 

Premier cas. La ligne droite GC est plus courte ^ ^' 
que GI + IC , la ligne droite AB est plus courte que 
AI -H IB ; donc GG + AB est plus petit que GI + AI + 
IG + IB, oii, ce qui est la même chose, GC -I- AB < AG 
-f-BC. Retranchant d*un côté AB et de lautre son égale 
AG , il restera GC < BC : or GC == EF; donc on aura 
EF< BC. 

Second cas. Si le point G tombe sur le côté BC, il fig- 26. 
est évident que GC ou son égale EF sera plus petit 
que BC. 

Troisième cas. Enfin si le point G tombe au-dedans fig. 27. 
du triangle ABC, on aura, suivant le théorème pré- 
cédent, AG+GC < AB-f-BC. Retranchant dune part 
AG, et de l'autre son égale AB , il restera GC < BC , ou 
EF<BC. V 

Scholie. Réciproquement si les deux côtés AB', AG, 
du triangle ABC sont égaux aux deux côtés DE, DF^ 
du triangle DEF; si, de plus, le troisième côté CB du 
premier triangle est plus grand que le troisième EF 
du second, je dis que l'angle BAC du premier triangle 
sera plus grand que l'angle EDF du second. 

Car si on nie cette proposition , il faudra que Tangle 
BAC soit égal à EDF , ou qu'il soit plus petit que EDF, 
dans le premier cas , le côté CB serait égal à EF '^ ; dans 
le second, CB serait plus petit queEF; or l'un et l'autre 
est contraire à la supposition ; donc BAC est plus 
grand que EDF. 

PROPOSITION XL 



THÉORÈME. 



Deux triangles sont égaux , lorsquHls ont les 
trois côtés égaux chacun à chacun. 



l4 GEOMETRIE. 

8fi. a3. Soit le côté AB=DE, AG=DF, BC==EF, je dis 
qu'on aura Tangle A=D, B=E, C=F. 

Car si Tangle A était plus grand que langle D, 
comme les côtés AB, AG, sont égaux aux côtés DE , 
DF^ chacun à chacun , il s'ensuivrait, par le théorème 
précédent, que le côté BC est plus grand que EF; 
et si Tangle A était plus petit que Tângle D, il s'en* 
suivrait que le côté BG est plus petit que EF; or, BC 
est égal à EF; donc l'angle A ne peut être ni plus 
grand ni plus petit que l'angle D ; donc il lui est égal. 
On prouvera de même que l'angle B=E, et que 
l'angle C = F. 

Scholie, On peut remarquer que les angles égaux 
sont opposés à des côtés égaux : ainsi les angles égaux 
A et D sont opposés aux côtés égaux BG, EF. 

PROPOSITION XII. 

THÉORÈME. 

r 

Dans un triangle isoscele , les angles opposés 
aux côtés égaux sont égaux. 
%. aS. Soit le côté AB = AG, je dis qu'on aiwa l'angle 
C=B. 

Tirez la ligné AD du sommet A au point D, milieu 
delà base BG, les deux triangles ABD, ADG, auront 
les trois côtés égaux chacun à chacun ; savoir AD 
commun, AB=AG par hypothèse, et BD = DC par 
construction ; donc , en vertu du théorème précédent , 
l'angle B est égal à l'angle G. 

Corollaire. Un triangle équîlatéral est en même 
temps équiangle, c'est-à-dire, qu'il a ses angles égaux. 

Scholie. L'égalité des triangles ABD, A.GD, prouve 
en même temps que l'angle BAD = DAG, et que 
l'angle BDA = ADG; donc ces deux derniers sont 



LIVRE I. . l5 



droits; donc la ligne menée du sommet d^un triangle 
isoscele au milieu de sa base y est perpendiculaire a 
cette base , et divise r angle du sommet en deux parties 
égales, , 

Dans un trîangle non isoscele on prend indifïérem* 
ment pour base un côté quelconque, et alors son 
sommet est celui de Fangle opposé. Dans le triangle 
isoscele on prend particulièrement pour base le côté 
qui n'est point égal à lun des deux autres. 

PROPOSITION XIII. 



K 



THEOREME. 



Réciproquement^ si deux angles sont égaux 
dans un triangle , les côtés opposés seront égaux , 
et le triangle sera isoscele. 

Soit l'angle ABC=ACB, je dis que le côté AC sera £« ^g. 
égal au côté AB. 

Car si ces côtés ne sont pas égaux , soit AB le plus 
grand des deux. Prenez BD=AC, et joignez DC. 
L angle DBG est, par hypothèse, égal à ACB; les 
deux côtés DB, BG sont égaux aux deux AG, GB; 
donc le triangle DBG * serait égal au triangle AGB. ♦pr.6. 
Mais la partie ne peut pas être égale au tout; donc il 
n'y a point d'inégalité entre les côtés AB , AG ; donc 
le triangle ABG est isoscele. 

PROPOSITION XIV. 



A 



THEOREME. 



De deux côtés d'un triangle^ celui-là est le 
plus grand qui est opposé à un plus grand 
angle , et réciproquement y de deux angles d'un. 



l6 GEOM^TRIS. 

triangle, celui-là est le plus grand qui est op^ 
posé à un plus grand côté. 
fig 3^j, i*^ Soit l'angle C > B , je dis que le côté AB opposé 
à langle G est plus grand que le côté AC opposé à 
langle B. 

Soit fait langle BCD = B; dans le triangle BDC 
*pr. i3. on aura * BD=:DC. Mais la ligne droite AC est plus 
courte que AD + DC, et AD -|- DC = AD + DB = 
AB; donc AB est plus grand que AC. 

2^ Soit le côté AB > AC , je dis que langle C opposé 
au côté AB sera plus grand que langle B opposé au 
côté AC. 

Car si on avait C<B, il s'ensuivrait, par ce qui 

vient d'être démontré, AB< AC, ce qui est contre la 

*pr.i3. supposition. Si on avait C = B, il s'ensuivrait * AB = 

AC, ce qui est encore contre la supposition ; donc il 

faut que l'angle C soit plus grand que B. 

PROPOSITION XV. 

THEOREME. 

gg 3j D* un point k. donné hors dune droite DE , otl 
ne peut mener qu'une seule perpendiculaire à 
cette droite. 

Car supposons qu'on puisse en mener deux AB et 
AC; prolongeons Tune d'elles AB d'une quantité BF 
= AB , et joignons FC. 

Le triangle CBF est égal au triangle ABC : car 
l'angle CBF est droit ainsi que CBA , le côté CB est 
commun , et le côté BF = AB ; donc ces triangles 
*pr. 6. sont égaux *, et il s'ensuit que l'angle BCF = BCA, 
L'angle BCA est droit par hypothèse; donc l'angle 
BCF l'est aussi. Mais si les angles adjacents BCA, BCF, 
valent ensemble deux angles droits, il £siut que la ligne 



LIVRE I. 17 

ACF soit droite *; doù il résulte qu'entre les deux *pr. 4. 
mêmes points A et F, on pourrait mener deux lignes 
droites ABF, ACF; ce qui est impossible *; donc il *«x. 4. 
est pareillement impossible que deux perpendiculaires 
soient menées d'un même point sur la niênie ligne 
droite. 

Scholie. Par un même point C donné sur la ligne fig. 17. 
AB , il est également impossible de mener deux per- 
pendiculaires à cette ligne : car si CD et CE étaient ces 
deux perpendiculaires, Tangle DCB serait droit ainsi 
que BCE , et la partie serait égale au tout. 

PROPOSITION XVL 

TBÉOREME. 

Si d^ un point A sitiié hors d'une droite DE on fig» 3x. 
mené la perpendiculaire AB sur cette droite^ et 
différentes obliques AE , AC, AD , etc, , à diffé- 
rents points de cette même droite : 

1^ La perpendiculaire AB sera plus courte 
que toute oblique. 

a® Les deux obliques AC, AE, menées de 
part et d'autre de la perpendiculaire à des dis- 
tances égales BC, BE , seront égales. 

3<* De deux obliques AC et AD , ou AE et At) , 
menées comme on voudra , celle qui s'écarte le 
plus de la perpendiculaire sera la plus longue. 

Prolongez la perpendiculaire AB d'une quantité 
^=:AB, et joignez FC , FD. 

1*^ Le triangle BclF est égal au triangle BCA , car 
iangle droit CBFz=:CBA, le côté CB^sit commun , et 

Neuv. éd. a 



l8 GÉOMÉTRIE. 

^ P'- 6. le côté BF = BA ; donc * le troisième côté CF est égal 
au troisième AC. Or, ABF ligne di^oite est plus courte 
que ACF ligne brisée; donc AB moitié de ABF est 
plus courte que AC moitié de ACF; donc 1°, la per- 
pendiculaire est plus courte que toute oblique. 

2? Si on suppose BE=BC, comme on a en outre AB 
commun et Tangle ABE=ABC, il s'ensuit que le tri- 
angle ABE est égal au triangle ABC; donc les côtés 
AE, AC sont égaux j donc 2<>, deux obliques qui s^'écar- 
tent. également de la perpendiculaire sont égales. 

3^ Dans le triangle DFA la somme des lignes AC^ 
^P'^- CF^ est plus petite* que la somme des côtés AD, DF; 
donc AC, moitié de la ligne ACF, est plus courte 
que AD moitié de ADF; donc 3^, les obliques qui 
s'écartent le plus de la perpendiculaire sont les plus 
longues. 

Corollaire I. Là perpendiculaire mesure la vraie 
distance d'un point à une ligne, puisqu'elle est plus 
courte que toute oblique. 

II. D'un même point on ne peut mener à une mêm^ 
ligne trois droites égales : car si cela était, il y aurait 
d'un même côté de la perpendiculaire deux obliques 
égales, ce qui est impossible. 

PROPOSITION XVII. 

THEORÂME. 

Cg. 32. Si par le point C, tnilieu de la droite ABj on 
élevé la perpendiculaire EF sur celte droite; 
I* chaque point de la perpendiculaire sera éga^ 
lement distant des deux extrémités de la ligne 
AB; 2® tout point situé hors de la perpendicu- 



I^IVBB I. 19 

taire sera inégalement distant des mêmes extré- 
mités A et là. 

Car, lo puisqu'on suppose AC=CB j les deux obli- 
ques AD, DB, s'écartent également de la perpendi- 
culaire ; donc elles sont égales. Il en est de même des 
deux obliques AE, EB, des deux AF, FB , etc. ; donc 
I®, tout point de la perpendiculaire est également dis- 
tant des extrémités A et B. 

2^ Soit I un point hors de la perpendiculaire ; si 
on joint lA , IB , Pune de ces lignes coupera la per- 
pendiculaire en D, d'où tirant DB, on aura DB=:DA. 
Mais la ligne droite IB est plus petite que la ligne 
brisée ID+DB, et ID+DB=ID-f-DAz=:IA; donc 
IB<IA; donc 29, tout point hors de la perpendicu- 
laire est inégalement distant des extrémités A et B. 

PROPOSITION XVIII. 

THÉORÈME. 

Deux triangles rectangles sont égaux lors- 
quHls ont Vhfpoténuse égale et un côté égal. 

Soit l'hypoténuse AC=DF, et le côté AB=:DE, je fig. 33. 
dis que le triangle rectangle ABC sera ^gal au triangle 
rectangle DEF. 

L'égalité serait manifeste si le troisième côté BC 
était égal au troisième EF : supposons , s'il est pos- 
sible, que ces côtés ne soient pas égaux, et que BG 
soit le plus grand. Prenez BG=EF, et joignez AG. 
Le triangle ABG est égal au triangle DEF; car l'angle 
droit B est égal à l'angle droit É , le côté AB==DE , et 
le côté BG=EF; donc ces deux triangles sont égaux*, ♦ pr. 6, 
et on a par conséquent AG=jDFi mais, par hypo- 



^O GEOMETRIE. 

thèse, DFmAC; donc AG=AC. Mais loblique AC 
*^pr.i6. ne peut être égale à AG*, puisqu'elle est plus éloignée 
de la perpendiculaire AB ; donc il est impossible que 
BC diffère de EFj donc le triangle ABC est égal au 
triangle DEF. 

PROPOSITION XIX. 



A 



THEOREMS. 



Mëf.ia. 



fig. 35. Si deux lignes droites AC, BD^ sont perpen- 
diculaires à une troisième AB, tes deux lignes 
^ront parallèles, c'est-à-dire ^ qu'elles ne pour- 
ront se rencontrer à quelque distance qu'on les 
prolonge"^. 

Car si elïes pouvaient se rencontrer en un point O , 
d'un côté ou de lautre de la ligne AB, il existerait deux 
perpendiculaires OA, OB , àbaisséels dun même point 
*pr. i5. guj. ijug même droite AB, ce qui est impossible*. 

PROPOSITION XX. 

%. 35. La droite BD étarit perpendiculaire à AB , si 
une autre droite kR fait a^ec AB V angle aigu 
BAE , Je dis que les droites BD , AE, prolongées 
suffisajfttnent ^ se rencontreront. 

Dun point quelconque F pris dans la direction 
AE, soit abaissée sur AB la perpendiculaire FG; le 
point G ne tombera pas eh A, puisque langle FAB 
est moindre quun droit ; il peut encore moins tomber 
en H sur le prolongement de BA , puisqu alors il y 
aurait deux perpendiculaires KA, KH, abaissées d*un 



Livas I. ai 

même point K sur une même droite AH. Donc il faut 
quele point G tombe, comme la figure le représenté, 
dans la direction AB. 

Soit pris maintenant sur la ligne AE un autre-ipoint 
L à une distance AL plus grande que AF et soit 
abaissée sur AB la perpendiculaire LM, on prouvera, 
comme dans le cas précédent, que le point M ne peut 
tomber ni en G, ni sur la direction GA; il tombe 
donc sur la direction GB , de sorte que la distance AM 
sera nécessairement plus grande que AG. 

J'observe de plus que si la figure est construite avec 
soin et qu'on prenne AL double de AF, on trouvera 
que AM est exactement double de AG j de même si 
on prend AL triple de AF , on trouvera que AM est 
triple de AG , et en général il y aura toujours le même 
rapport entre AM et AG, qu'entre AL et AF. Cette 
proportion étant posé^ , il s'ensuit non seulement que 
la droite AE suffisampnient prolongée doit rencontrer 
BD , mais qu'on peut même assigner sur AE la dis- 
tance du point de concours de ces deux droites. Cette 
distance devra être le quatrième terme de la pro- 
portion AG : AB : : AF : x. 

Scholie. L'explication précédente, fondée sur un 
rapport qui n'est pas déduit du seul raisonnement, 
et pour lequel on a recours à des mesures prises 
sur une figure construite exactement , xi^ pas le 
même degré de rigueur que les autres démonstra-? 
tions delà géométrie élémentaire. Nous ne la donnons 
ici que comme un moyen simple de s'assurer de la 
vérité de la proposition, et nous renvoyons, pour la 
démonstration rigoureuse, à la deuxième des notes 
jointes aux éléments. 



^3 GÉOEfÉTRIK. 

PROPOSITION XXI. 

THÉOEBHB. 

fig. 36. Stdeux droites AC, hJijfont avec une troi- 
sième AB, deux angles intérieurs CAB , ABD, 
dont la somme soit égale à deux droits, les deux 
lignes AC , BD , seront parallèles. 

Pu point G milieu de AB, menez la droite EGF 
perpendiculaire à AC, je dis que cette même droite 
^era perpendiculaire à BD ; en effet, la somme GAE+ 
GBD est égale par hypothèse à deux angles droits, 
la somme GBF+Gpp est pareillement ^ale à deux 

*pr. a. ^ngles droits"^; donc en retranchant de part et d'autre 
J angle GBD, il restera langle GÀE=GBF. Bailleurs 
les angles ApE , BGF , sont égaux comme opposés au 
commet; flonc les triangles AGE, BGF, ont un côté 
égal adjacent à deux angles égaux. Donc ils sont 

*pr. 7. égaux *, donc F^ngle BFG=: AEG ; mais l'angle AEG 
est droit par construction , donc les droites AC , BD, 
sont perpendiculaires à une même droite EFj donc 

*rM9- elles sont parallèles *. 

PROPOSITION XXII. 



A 



THEOREME. 



iîg. 36. Si deux lignes droites AI , BD , font avec une 
troisième AB , deux angles intérieurs BAI , ABD, 
dont la somme soit moindre que deux angles 
droits^ les lignes AI , BD , prolongées y se ren- 
contreront. 

Menez AC de manière que l'angle CAB soit égal à 
ABF , c'est-à-dire , de manière que les deux angles 
CAB , ABD , pris ensemble fassent deux angles droits , 



LITRB I. 23 

«t achevez le reste de la construction comme dans le 
théorème précédent. Puisque Tangle AEK est droit, 
AE est une perpendiculaire plus courte que l'oblique 
AK; donc dans le triangle AEK*, Tangle AKE op- *i>r.i4» 
posé au côté AE est plus petit que langle droit AEK 
oppose au côté AK. Donc l'angle IKF égal à AEK, 
est plus petit qu'un droit ; donc les lignes Kl , FD 
prolongées doivent se rencontrer*. "pr.ao. 

Sckolie. Si les lignes AM et BD faisaient avec AB 
deux angles BAM , ABD , dont la somme fût plus 
grande que deux angles droits, alors les deux lignes 
AM, BD, ne se rencontreraient pas au-dessus de AB, 
mais elles se rencontreraient au-dessous. Car les deux 
angles BAM , BAN , valent deux droits , ainsi que les 
deux angles ABD, ABF ; donc ces quatre angles pris 
ensemble valent quatre angles droits. Mais la somme 
des lieux angles BAM , ABD , vaut plus que deux 
droits, donc la somme des deux restants BAN, ABF, 
vaut moins; donc les deux droites AN, BF, prolongées 
doivent se renconti'er. 

Corollaire, Par un point donné A on ne peut mener 
qu'une seule parallèle à une ligne donnée BD. Car il 
B 7 a qu'une ligne AG qui fasse la somme des deux 
angles BAC + ABD égale à deux angles droits; celle-là 
est hi parallèle demandée : toute autre ligne AI ou 
AM ferait la somme des angles intérieurs plus petite 
pu plus grande que deux angles droits ; donc ell^ 
rencontrerait la ligne BD. 

PROPOSITION xxni, 

THEOREME. 

«... 

Si deux lignes parallèles AB, CD, sont ren- fig- ^i* 
contrées par unç sécante EF , la somme des 



:24 GÉOMÉTRIE. 

angles intérieurs AGO , GOC y sera égale à deux 
angles droits. 

Car si elle était plus grande ou plus petite les deux 
droites AB, CD, se rencontreraient d'un côté ou de 
♦pr.aa. l'autre* et ne seraient pas parallèles. 

Corollaire I. Si langle GOC est droit, l'angle AGO 
sera aussi un angle droit ; donc toute ligne perpen- 
diculaire à Tune des parallèles est perpendiculaire à 
l'autre. 

Corollaire II. Puisque la somme AGO + GOC est 
égale à deux angles droits, et que la somme GOD+ 
GOC est aussi égale à deux angles droits; si on re- 
tranche de part et d'autre GOC, on aura l'angle AGO 
*pr.5. =GOD. D'ailleurs .AGO=BGE, et GOD=COF*; 
donc les quatre angles aigus AGO, BGE, GOD, COF, 
sont égaux entre eux; il en est de même des quatre 
angles obtus AGE, BGO, GOC, DOF. On peut ob- 
server de plus qu'en ajoutant Fun des quatre angles 
aigus à l'un des quatre obtus , la somme sera toujours 
égale à deux angles droits. 

SchoUe. Les angles dont on vient de parler , com- 
parés deux à deux, prennent différents noms. Nous 
avons déjà appelé les angles AGO , GOC , intérieurs 
d'un même côté; les angles BGO , GOD , ont le même 
nom ; les angles AGO , GOD , s'appellent alternes" 
internes y ou simplement alternes^ il en est de même 
des angles BGO , GOC. Enfin on appelle internes^ 
externes les angles EGB , GOD, ou EGA, GOC, et 
alternes-externes les angles EGB, COF, ou AGE, DOF. 
Cela posé on peut regarder les propositions suivantes 
comme étant déjà démontrées. 

lo Les angles intérieurs d'un même côté, pris en- 
semble, valent deux angles droits. 



fiivRE i. a5 

isi^^Les angles alternes-internes sont égaux, ainsi que 
les angles internes -externes, et les angles alternes- 
externes. 

Réciproquement si dans ce seconrl cas deux angles 
de même nom sont égaux , on peut conclure que les 
lignes auxquelles ils se rapportent sont parallèles. 
Soit, par exemple, l'angle AGO=GOD; puisque GOC 
-f- GOD , est égal à deux droits , on aura aussi AGO 
4- GOC égal à deux droits , donc * les lignes AG , CO, *pr. ai. 
sont parallèles. 

PROPOSITION XXIV, 

''- THEOREME. 

Deux lignes AB , CD , parallèles à une troi- ^«- 3*- 
sieme EF , sont parallèles entre elles. 

Menez la sécante PQR perpendiculaire à EF. 
Puisque AB est parallèle à EF , la sécante PR sera ^ 
perpendiculaire à AB * ; de même puisque CD est pa- pr. 23. 
rallele à EF, la sécante PR sera perpendiculaire à 
CD. Donc AB et CD sont perpendiculaires à la même 
droite PQ; donc elles sont parallèles*. *pr.i9. 

PROPOSITION XXV. 

THEOREME. 

Deux parallèles sont par-tout également dis- 
tantes. 

Etant données les deux parallèles AB, CD, si par fig. 39 
f iix points pris à volonté, on élevé sur AB les deux 
perpendiculaires EG , FH, les droites EG, FH , sero(it 
en même temps perpendiculaires à CD* ; je dis de plus ♦pr.23. 
que ces droites seront égales entre elles. 



a6 GÉOMÉTRIE. 

Car en tirant GF, les angles GFE, FGH, eonsidërës 
par rapport aux parallèles AB , CD , seront égaux 

pr. ai co"^"^^ alternes - internes * ; de même puisque les 
droites EG , FH , sont perpendiculaires à une même 
droite AB, et par conséquent parallèles entre elles, 
les angles EGF , GFH , considérés par rapport aux 
parallèles GE , FH , seront égaux comme alternes- 
internes. Donc les deux triangles EFG , FGH , ont un 
côté commun FG adjacent à deux angles égaux , 
chacun à chacun ; donc ces deux triangles sont 

♦pr. 7. égaux*; donc le côté EG qui mesure la distance des 
parallèles AB , CD , au point E , est égal au côté FH ^ 
qui mesure la distance de ces mêmes parallèles au 
point F. 

PROPOSITION XXVL 

THEOaâMB. 

fis- 40. Si deux angles BAC, DEF, ont les côtés par 
ralleles , chacun à chacun , et dirigés dans le 
même sens^ ces deux angles seront égaux. 

Prolongez, s'il est nécessaire, DE jusqu'à la ren- 
contre de AC en G ; l'angle DEF est égal à DGC , 
*pr.23. parce que EF est parallèle à GC*; l'angle DGC est 
égal à BAC , parce que DG est parallèle à AB ; donc 
l'angle DEF est égal à BAC 

Scholie. On met dans cette proposition la restriction 
que le côté EF soit dirigé dans le mênie sens que AC 
et ED dans le même sens que AB ; la raison en est que 
si on prolonge FE vers H, l'angle DEH aurait ses 
côtés parallèles à ceux de l'angle BAC, mais ne 
lui serait pas égal. Dans ce cas , l'angle DEH et 



L IVRE I. 27 

Tangle BAC feraient ensemble deux angles droits. 
PROPOSITION XXVII. 

THEOREME. 

Dans tout triangle^ la somme des trois angles 
est égale à deux angles droits. 

Soit ABC un triangle quelconque; prolongez le fig.4i. 
côté CA vers D, et menez au point A la droite A£ 
parallèle à BC. 

A cause des parallèles AE , CB , les angles ACB , 
DAE , considérés par rapport à la sécante CAD , 
seront égaux comme internes-externes; de même les 
angles ABC , BAE , considérés par rapport à la sé- 
cante AB, seront égaux comme alternes -in ternes; 
donc les trois angles du triangle ABC font la même 
somme que les trois angles C AB , BAE , EAD ; donc 
cette somme est égale à deux angles droits*, *cor.3. 

pr. 2. 

Corollaire I. Deux angles d'un triangle étant donnés / 
ou seulement leur somme , on connaîtra' le troisième 
en retranchant la somme de ces angles de deux angles 
droits. 

II. Si deux angles d'un triangle sont égaux à deux 
angles d*un autre triangle, chacun à chacun , le troi- 
sième de 1 up sera égal au troisième de l'autre , et 
les deux triangles seront équiangles entre eux. 

III. Dans un triangle il ncj peut y avoir qu'un sçul 
angle droit ; car s'il y en avait deux , le troisième 
devrait être nul; à plus fortQ raison un triangle ne 
peut-il avoir qu'un seul angle obtus. 



!28 GÉOMÉTRIE. 

IV. Dans tout triangle rectangle la somme des deusi 
angles aigus est égale à un angle droit. 

* pr. 12. V. Tout triangle équilatéral , devant être équiangle*, 
chacun de ses angles sera égal au tiers de deux angles 
droits ; de sorte que si Tangle droit est exprimé par 
l'unité, Tangle du triangle équilatéral sera exprimé 
parf. 

lig. 41. ^I- Dans tout triangle ABC l'angle extérieur BAD 
est égal à la somme des deux intérieurs opposés B 
et C; car AE étant parallèle à BC, la partie BAE es|: 
égale à Tangle B, et l'autre partie DAE est égale à 
l'angle G. 

PROPQSITION XXVIII. 

THÉOR£MB. 

La somme de tous les angles intérieurs d^un 
polygone est égale à autant défais deux angles 
droits quily a d'unités dans le nombre de côtés 
moins deux, 

jSg, 42. Soit ABCDE etc. le polygone proposé ; si du sommet 
d*un même angle A , on mené à tous les sommets des 
angles opposés , les diagonales AG , AD , AE , etc. , 
il est aisé de voir que le polygone sera partagé en 
cinq triangles , s'il ^ sept côtés, en six triangles , s'il 
a huit côtés, et en général, en autant de triangles que 
le polygone a de côtés moins deux 5 car ces triangles 
peuvent être considérés comme ayant pour sommet 
commun le point A, et pour bases les différents côtés du 
polygone, excepté les deux qui forment Fangle A. On 
voit en même temps que la somme des angles de tous 
ces triangles ne diffère point de la somme des angles 



du polygone; donc cette dernière somme- est égale 
à autant de fob deux angles droits qu'il y a de triangles, 
c'est-à-dire, quil y a d'unités dans le nombre des côtés 
du polygone moins deux. 

Corollaire I. La somme des angles d'un quadrilatère 
est égale à deuiL angles droits multipliés par 4 — â , ce 
qui fait quatre angles droits ; donc si tous les angles 
d'un quadrilatère sont égaux, chacun d'eux sera un 
angle droit, ce qui justifie la définition xvii oii l'on 
a supposé que les quatre angles d'un quadrilatère 
sont droits, dans le cas du rectangle et du quarré. 

II. La somme des angles d'un pentagone est égale 
à deux angles droits multipliés par 5 — 2, ce qui 
fait 6 angles droits ; donc lorsqu'un pentagone est 
équiangle, chaque angle est égal au cinquième de 
six angles droits, ou à | dun angle droit. 

m. La somme des angles dun hexagone est de 
ax(6 — a) ou 8 angles droits; donc dans Thexagone 
équiangle , chaque angle est le sixième de huit angles 
droits, ou les \ dun angle droit; ainsi de suite. 

Scholie. Si on voulait appliquer cette proposition %• ^^' 
aux polygones qui ont des angles rentrants y il faudrait 
considérer chaque angle rentrant comme étant plus 
grand que deux angles droits. Mais, pour éviter tout 
embarras , nous ne considérerons désormais que les 
polygones à angles saillants , qu'on peut appeler au- 
trement polygones convexes. Tout polygone convexe 
est tel qu'une ligne droite, menée comme on voudra, 
ne peut rencontrer le contour de ce polygone en plus 
de deux points. 



3o GEOMÉTllIfi. 

PROPOSITION XXIX. 

THéORÉME. 

Les cotés opposés d'un parallélogramme sont 
égaux ainsi que les angles opposés. 

fig. 44. Tirez la diagonale BD, les deux triangles ADB, 
DBG , ont le côté commun BD ; de plus , à cause des 

'^pr.aS. parallèles AD, BC, Tangle ADB=DBC*, et à cause 
des parallèles AB , CD , langle ABD=BDC; donc 

♦pr. 7. les deux triangles ADB, DBG, sont égaux*; donc le 
côté AB opposé à Fangle ADB est égal au côté DG 
opposé à langle égal DBG, et pareillement le troi- 
sième côté AD est égal au troisième BG ; donc les 
côtés opposés dun parallélogramme sont égaux. 

En second lieu , de l'égalité des mêmes triangles il 
s^ensuit que Tangle A est égal à Tangle G, et aussi que 
l'angle ADG , composé des deux angles ADB , BDG , 
est égal à langle ABG, composé des deux angles 
DBG, ABD; donc les angles opposés d'un parallélo* 
gramme sont égaux. 

Corollaire, Donc deux parallèles AB, GD, com- 
prises entre deux autres parallèles AD, BG, sont 
égales. 

PROPOSITION XXX. 



A 



THEOREME. 



fig. 44. Si dans un quadrilatère ABCD les côtés op- 
posés sont égaux y en sorte qu'on ait AB=CD; 
e^AD=BC, les côtés égaux seront parallèles ^ et 
la figure sera un parallélogramme. 



XilVtlE I. 3i 

Car, eh tirant la diagonale BD, les deux triangles 
ABD , BDC , aiiront les trois côtés égaux chacun à 
chacun ; donc ils seront égaux ; donc langle ADB op- 
posé au côté AB , est égal à l'angle DBC opposé au 
côté CD; donc* le côté AD est parallèle à BC. Par *pr^^- 
une semblable raison, AB est parallèle à CD; donc le 
quadrilatère ABGD est un parallélogramme. 

PROPOSITION XXXI. 

THEOREME. 

5/ deux côtés opposés AB , CD , d'un quadri- %• 44. 
latere sont égaux et parallèles y les deux autres 
côtés seront pareillement égaux et parallèles , et 
la figure ABCD sera un parallélogramme. 

Soit tirée la diagonale BD ; puisque AB est pa- 
rallèle à CD , les angles alternes ABD , BDC , sont 
égaux*: d'ailleurs le côté AB=DC, le côté DB est *pr.a3. 
commun , donc le triangle ABD est égal au triangle 
DBC*; donc le côté AD=BC, Tangle ADB=DBC, *pr.6. 
et par conséquent AD estt parallèle à BC; donc la 
figure ABCD est un parallélogramme. 

PROPOSITION XXXII. 



A 



THEOREME. 



Les deux diagonales AC, DB, d'un parallé- %-45. 
logramme se coupent mutuellement en deux 
parties égales. 

Car, en comparant le triangle ADO au triangle 
COB, on trouve le côté AD=CB, Vangle ADO = 
CBO*; et Tangle DAO=OCB; donc ces deux trian- V-aS, 



3a GBOMÉTRIE. 

♦pr. 7. gles sont égaux*; donc AO, côté opposé à langle 
ADO , est égal à OC , côté opposé à Tangle OBC ; donc 
aussi DO = 0B. 

SchoUe. Dans le cas du losange, les côtés AB^ BG, 
étant égaux, les triangles AOB,OBG, ont les trois 
côtés égaux chacun à chacun , et sont par conséquent 
égaux; d'où il suit que l'angle AOBmfiOC, et qu'ainsi 
les deux diagonales d'un losange se coupent mutuelle- 
ment à angles droits. 



'V%/^%/*/^%^m/%.^^^*.%f^/^^^/*>%/^^m^%^%.'*t%jit%.'9^^%/%^^^'mi'^*/\/%,'%/%/^%j'%/%%/%r^%/\/%t%/%r^%Ai/i 



LIVRE II. 



LE CERCLE ET LA MESURE DES ANGLES. 

DÉFINITIONS! 

ï. J_j A circonférence du cercle est Une ligne courbe , fig 46* 
dont tous lés points sont également distants d'un point 
intérieur qu'on appelle centre. 

Le cercle est l'espace terminé par cette ligne courbe. 

N. B. Quelquefois dans le discours on confond le cercle avec sa 
circonférence; mais il sera toujours facile de rétablir Texactitude 
des expressions , en se souvenant cpie le cercle est une surface qui 
a longueur et largeur , tandis que la circonférence n'est qu'une 
ligne. 

II. Toute ligne dfoite CA^ CE, CD, etc. j menée 
du centre à la circonférence , s'appelle rayon ou demi' 
diamètre; toute ligne ^ comme AB, qui passe par le 
centre , et qui est terminée de part et d'autre à la cir- 
conférence, s'appelle diamètre. 

En vertu de la définition du cercle j tous les rayons 
sont égaux; tous les diamètres sont égaux aussi ^ et 
doubles du rayon. 

m. On appelle arc une portion de circonférence 
telle que FHG. 

La corde ou sous^tenddnte de l*arc est la ligne droite 
FG qui joint ses deux extrémités. 

rV. Segment est la surface ou portion de cercle 
Comprise entre l*arc et la corde. 

N. B. A la même corde FG répondent toujours deux arcs FHG, 
FEG ; et par conséquent aussi deux segments ; mais c'est toujours 
le plus petit dont on entend parler , à moins qu'on n'exprins 
le contraire. 

Nem» édité 3 



34 géométrie'. 

V. Secteur est la partie du cercle comprise entre 
un arc DE et les deux rayons CD, CE, menés aux 
extrémités de cet arc. 
H 47. VI. On appelle ligne inscrite dans le cercle ^ celle 
dont les extrémités sont à la circonférence, comme 
AB; 

Angle inscrit , un angle tel que BAC , dont le som- 
met est à la circonférence , et qui est formé par deux 
cordes ; 

Triangle inscrit , un triangle tel que BAC, dont les 
trois angles ont leurs sommets à la circonférence; 

Et en général figure inscrite , celle dont tous les 

angles ont leurs sommets à la circonférence :€& même 

temps on dit que le cercle est circonscrit à cette figure. 

%. 48. VII. On appelle sécante une ligne qui rencontre la 

circonférence en deux points : telle est AB. 

VIII. Tangente est une ligne qui na qu*un poin^ 
de commun avec la circonférence : telle est CD; 

Le point commun M s' a.ppèlle point de contact. 

IX. Pareillemeiït deux circonférences sont tan- 
gentes l'une à l'autre, lorsqu'elles n'ont qu'un point 
de commun. 

fig. 160. X. Un polygone est circonscrit a un cercle , lorsque 
tous ses côtés sont des tangentes à la circonférence j 
dans le même cas on dit que le cercle est inscrit dans 
le polygone. 

PROPOSITION PREMIERE. 

THÉOKBME. 

%. 49. Tout diamètre AB divise le ceîxle et sa circon- 
férence en deux parties égales. 

Car si dn applique la figure AEB sur AFB , en 
conservant la base commune AB, il faudra que la 
ligne courbe AEB tombe exactement sur la ligne 



tiTRB II. 35 

tourbe AFB , sanâ quoi il y aurait dans l'une ou dans 
lautre de^ points inégalement éloignés du centre , ce 
ijui est contre la définition du cercle. 

PROPOSITION IL 

THÉOREHB. 

Toute corde est plus petite que le diamètre. 

Car si aux extrémités de la corde AD on mené les %. 49* 
Jràyons AG , CD , on aura la ligjae droite AD < AC + 
CD, ou AD < AB. 

Corollaire, Donc la plus grande ligne droîtis qu'on 
puisse inscri^re dans un cercle est égale à son diamètre. 

PROPOSITION IIL 

THÉOftÊHE. 

Vne ligne droite ne peut rencontrer une cir- 
conférence en plus de deux points. 

Car si elle la rencontrait en trois , ces trois points 
seraient également distants du centre ; il y aurait donc 
trois droites égales menées d'un même point sur une 
même ligne droite , ce qui est impossible *. 11^1^^' 

PROPOSITION IV. 



THEOREME. 



Dans un même cercle ou dans des cercles 
égaux, les arcs égaux sont sous-tendus par des 
cordes égales^ et réciproquement les cordas 
égales sous-tendent des arcs égaux. 

Le rayon AC étant égal au rayon EO , et Tare AMD H- ^^^ 
égal à Tare ENG ^ je dis que la corde AD sera égale à 
k cordç £6. 

3. 



♦ti, I. 



36 GÉOMÉTRIE. 

Car le diamçtre AB étant égal au dianietre 'EF , W 
demi-cercle AMDB pourra s appliquer ^sx-actement Mu- 
le demi-cercle ENGF , et la ligne courbe AMDB coïn- 
cidera entièrement avec la ligne courbe EN6F. Mais 
on suppose la portion AMD égale à la portion ENG ; 
donc le point D tombera sur le point G ; donc la corde 
AD est égale à la corde £G. 

Réciproquement , en supposant toujours le rayon 
AC==EO , si la corde AD=i=EG , je dis que Tare AMD 
sera égal à lare ENG. 

Car en tirant les rayons CD, OG, les àevti. trian- 
gles ACD , EOG y auront les trois côtés égaux chacun 
à chacun, savoir, AC=EO , CD=OG , et AD== 
EG ; donc ces triangles sont égaux * ; dond Fangle 
ACD = EOG. Mais en posant le demi-cercle ADB sur 
son égal EGF, puisque Tanigle ACD = EOG, il est 
clair que le rayon CD tombera sur le rayon OG , et 
le point D sur le point G; donc Tare AMD est égal à 
lare ENG. 

PROPOSITION V. 

THÉORÈME. 

Dans le même cercle ou dans des cercles égaux ^ 
un plus grand arc est sous - tendu par une plus 
grande corde ^ et réciproquement ^ si toutefois les 
arcs dont il s'agit sont moindres qu'une demi- 
circonférence, 
fig. ^o. Car soit lare AH plus grand que AD , et soient 
menées les cordes AD , AH , et les rayons CD , CH : 
les deux côtés AC, CH, du triangle ACH sont égaux 
aux deux côtés AC, CD, du triangle ACD ; langle 
ACH est plus grand que ACD ; donc * le troisième 
côté AH est plus grand que le troisième AD ; donc 
la corde qui sotts-tend le plus grand arc est la plus 
grande. 



*10,X. 



•'?[.IVRE II. 37 

^ Bjéciprocpiement, si la corde AH est supposée plus 
'l^nde que AD, on conclura des mêmes triangles 
que l'angle ACH est plus grand que ACD, et qu'ainsi 
l'arc AH est plus grand que AD. 

Scholie. Nous supposons que les arcs dont il s'agit 
sont plus petits que la demi - circonférence. S'ils 
étaient plus grands, la propriété contraire aurait lieu; 
Varc augmentant, la corde diminuerait, et récipro- 
quement : ainsi l'arc AKBD étant plus grand qufe 
AKBH , la corde AD du premier est plus petite que 
la .corde AH du second. 

PROPOSITIOJÎ VI. 

T H £ O R £ V E. 

Le rayon CG, perpendiculaire à une corde fig. 5i. 
AB, divise cette corde et Varc sous-tendu AGB, 
chacun en deux parties égales. 

Menez les rayons CA, CB; ces rayons sont, par 
rapport à la perpendiculaire CD , deux obliques égales ; 
donc ils s'écartent également de la perpendiculaire*; * 16, i. 
donc AD=DB, 

En second lieu , puisque AD=DB , CG est une per- 
pendiculaire élevée sur le milieu de AB; donc * tout * 17» i- 
point de cette perpendiculaire doit être également 
distant des deux extrémités A et B. Le point G est un 
de ces points; donc la distance AG=BG. Mais si la 
corde AG est égale à la corde GB, l'arc AG sera égal 
à l'arc GB*; donc le rayon CG, perpendiculaire à la *pr.4. 
cordée AB, divise l'arc sous -tendu par cette corde en 
deux, parties égales au point G. 

Scholie, Le centre C, le milieu D de la corde AB", 
et le milieu G de l'arc sous -tendu par cette corde, 
sont trois points situés sur une même ligne perpen- 
^culaire à la corde. Or il suffit de dc^ux points pour 



38 GÉOMBTRZIB. 

déterminer la position d une ligne droite ; donc toute 
ligne droite qui passe par deux des. points mfntioi^> 
Tiés, passera nécessairement par le troisième , et sera 
perpendiculaire à la corde: 
' Il s'ensuit aussi que la perpendiculaire élevée sur 

U milieu (Tune corde passe par le centre et par le 
milieu de Varc sous^tendu par cette corde. 

Car cette perpendiculaire n'est autre que celle qui 
serait abaissée du centre sur la même corde , pi|i&> 
qu'elles passent toutes deux par le milieu de la corde. 

PROPOSITION VII. 

4 

THEOREME. 

%'5a. Par trois points donnés, A, B, C, non en 
ligne droite j on peut toujours faire passer une 
circonférence f mçùs on n'en peut faire passer 
qu^une. 

Joignez AB, BC, et divisez ces deux droites en deux 
parties égales par les perpendiculaires DE , FG ; je dis 
dabord qu^ ces perpendiculaires se rencontreront en 
un point O. 

Car les lignes DE, FG, se couperont nécessai- 
rement si elles ne sont pas parallèles. Or supposons 
qu'elles fussent parallèles; la ligne AB, perpendicu- 

*33,T. laire à DE, serait perpendiculaire à FG*, et l'angle 
K serait droit; mais BK, prolongement de BD, est 
différente de BF, puisque les trois points A, B, C, 
ne sont pas en ligne droite; donc il y aurait deux 
perpendiculaires BF , BK , abaissées d'un même point 

*i5,i. sur la même ligne, ce qui est impossible*; donc les 
perpendiculaires DE, FG, se couperont toujours en 
un point O. 

Maintenant le point O, comme appartenant à la 
perpendiculaire DE, est à égale distance des dipux 

* 17, T. points A et B * ; le même point O , comme appartenant 



LIVRE II. -s 39 

à la perpendiculaire FG, est à égale distance de$ 
deux points B, C; donc les trois distances OA, QB, 
OC, sont égales; donc la circonférence décrite du 
/centre O et du rayon OB passera par les. trois points 
donnés A, B, Ç. 

Il est prouvé par-là qu'on peut toujours faire passer 
une circonférence par trois points donnés, non en 
ligne droite ; je dis de plus qu'on n'en peut faire pasr 
ser qu'une. 

Car s'il y avait une seconde circonférence qui pas.-: 
sât par les trois points donnés A, B, C, son centre 
ne pourrait être hors de la ligne DE*, puisqu'alors il * 17» «• 
serait inégalement éloigné de A et de B ; il ne pour* 
rait être non plus hors de la ligne FG par une raison 
semblable ; donc il serait à-la-fois sur les deux lignes 
DE, FG. Çr deux lignes droites ne peuvent se couper 
en plus d'un point ; donc il n'y a qu'une circonférence 
qui puisse passer par trois points donnés. 

Corollaire, Deux circonférences ne peuvent se 
rencontrer en plus de deux points ; car si elles 
avaient trois points communs , elles auraient le même 
centre , et ne feraient qu'une seule et niême circon- 
férence. 

PROPOSITION VIII. 

TH£OR£]l^£. 

Deux cordes égales sont également éloignées 
du centre; et de deux cordes inégales^ la plus 
petite est la plus éloignée du centre. 

\^ Soit la corde AB=:DE : divisez ces cordes en fig- 53. 
deux également par les perpendiculaires CF, CG, et 
tirez les rayons CA, CD. 

Les triangles rectangles CAF, DCG, ont les hy- 
poténuses CA, CD, égales; de plus le côté AF 



4o eSOMÉTtllS. 

moitié de AB, est égal au côté DG, moitié de DE; 

*'i8, 1. donc ces triangles sont égaux*, et le troisième côté 
CF est égal au troisième CG; donc, i** les deux 
cordes égales AB, DE, sont également éloignées du 
centre. 

2° Soit la corde AH plus grande que DE, Tare 

*P«'-^- AKH sera* plus grand que l'arc DME*: sur l'arc 
AKH prenez la partie ANB=:DME, tirez la corde 
AB, et abaissez CF, perpendiculaire sur cette corde, 
et CI, perpendiculaire sur AH ; il est clair que CF 
'^»»- est plus grand que CG, et CO plus grand que CI*; 
donc à plus forte raison CF>CI. Mais CF=CG, 
puisque les cordes AB, DE, sont égales; donc on a 
CG > CI ; donc de deux cordes inégales la plus petite 
est la plus éloignée du centre. 

PROPOSITION IX. 

THEOREME. 

fig. 54. La perpendiculaire BD , menée à V extrémité 
du rayon CA, est une tangente à la circonfé- 
rence. 

Car toute oblique CE çst plus longue que la per- 

*iÇi, I. pendiculaire CA*; donc le point E est hors du cercle; 
donc la ligne BD n'a que le point A commun avec la 

♦déf.s. circonférence; donc BD est une tangente*. 

Scholie, On ne peut mener par un point don^é A 
qu'une seule tangente AD à la circonférence ; car si 
on en pouvait mener une autre, celle-ci ne serait plus 
perpendiculaire au rayon CA; donc, par rapport à 
cette nouvelle tangente , le rayon C A serait une oblique, 
et la perpendiculaire, abaissée du centre sur cette 
tangente, serait plus courte que CA; donc cette pré- 
tendue tangente entrerait dans le cercle, et serait une 
sécante. 



LIVRB II. 4' 

PROPOSITION X. 

THEOREME. 

Deux parallèles hB ^ DE, interceptent sur la fig.55. 
circonférence des arcs égaux MN, PQ. 

JX peut arriver trois cas. 

i"" Si les deux parallèles sont sécantes, menez le 
rayon CH perpendiculaire à la corde MP, il sera en 
même temps perpendiculaire à sa parallèle NQ*; donc ♦23,1. 
le point H sera à-la-fois le milieu de lare MHP et 
celui de lare NHQ* $ on aura donc Tare MH=HP, * 6. 
et l'arc NH = HQ: de-là résulte MH— NH=HP 
— HQ , c'est-à-dire MN=PQ. 

a** Si des deux parallèles AB, DE, lune est se- fig. 56. 
cante, l'autre tangente; au point de contact H menez 
le rayon CH; ce rayon sera perpendiculaire à la tan- 
gente DE*, et aussi à sa parallèle MP. Mais puisque *9. 
CH est perpendiculaire à la corde MP , le point H est 
le milieu de lare MHP; donc les arcs MH, HP, com- 
pris entre Içs parallèles AB^ DE, sont égaux. 

3*" Enfin si les deux parallèles DE, IL, sont tan- 
gentes, l'une en H, l'autre en K, menez la sécante 
parallèle AB, vous aurez, par ce qui vient d'être dé- 
montré, MH=HP et MR=KP; donc l'arc entiçf 
HMK==HPK , et de plus on voit que chacun de ces 
arcs est une demi -circonférence. 

PROPOSITION XL 

THEOnSME. 

I 

Si deux circonférences se coupent en deux 
points y la ligne qui paisse par leurs centres sera 
perpendiculaire à la corde qui joint les points 
d'intersection , et la (divisera en deux parties 
égales. 



4^ GSQMETRtS. 

^«t 58. ^^^ ^^ ligne AB 5 qui joint les points d'intersection, 
est une coi^e commune aux deux cercles. Or si sur le 
milieu de cette corde on élevé une perpendiculaire, 
* 6. elle doit passer par chacun des deux centres C et D^. 
. Mais par deux points donnés on ne peut mener ({u'une 
seule ligne droite; donc la ligne droite, qui passe par 
les centres, sera perpendiculaire sur le milieu de l^. 
corde communes. 

PROPOSITION XII. 

THEORâHE. 

Si la distance des deux centres est plus courte 

que la somme des rayons j et si en même temps 

le plus grand rayon est moindre que la somme 

du plus petit et de la distance des centres^ les 

deux cercles se couperont. 

^eill ^^^ pour quil y ait lieu à intersection, il faut que 

le triangle CAD soit possible : il faut donc non seu- 

fig. 57. lement que CD soit <AC + AD, mais aussi que le 

fi§. 53. plus grand rayon AD soit <AC4-CD. Or, toutes les 

fois que le triangle CAD pourra être construit, il est 

clair que les circonférences décrites des centres C et 

D , se couperont en A et B. 

PROPOSITION XIII. 



THÉORÈME. 



f«. ^'9. Si la distance CD des centres de deux cercles 
est égale à la somme de leurs rayons CA , AD , 
ces deux cercles se toucheront extérieurement. 

Il est clair qu'ils auront le point A commun ; mais 
ils n'auront que ce point; car, pour qu'ils eussent deux 
points communs , il faudrait que la distance des centres 
fût plus petite que la somme des rayons. 



LIVRB II. 43 

PROPOSITION XIV. 



THEOaEMS. 



Si la distance CD des centres de deux cercles fig. 60. 
est égale à la différence dé leurs rayons CA, AD, 
ces deux cercles se toucheront intérieurement. 

D'abord il est clair qu'ils ont le point A commun ; 
ils n'en peuvent avoir d autre; car pour cela il fau- 
drait que le plus grand rayon AD fût plus petit que la 
somme faite du rayon AC et de la distance des centres 
CD*, ce qui n a pas lieu. * ^^' 

Corollaire. Donc, si deux cercles se touchent , soit 
intérieurement, soit extérieurement, les centres et le 
point de contact sont sur la méine ligne droite. 

Scholie. Tous les cercles qxii ont leurs centres sur £g- -^9 

f , et 60. 

la droite CD, et qui passent par le point A, sont tan- 
gents les uns aux autres; ils n'ont entre eux que le 
seul point A de commun. Et si par le point A on mené 
AE perpendiculaire à CD, la droite AE sera une tanr 
gente commune à tous ces cercles. 

PROPOSITION XV. 



K 



THEORBME. 



Dans le même cercle ou dans des cercles égaux , fig. 6^ 
les angles égaux ACB , DCE , dont le sommet est 
au centre , interceptent sur la circonférence des 
arcs égaux AB, DE. 

Réciproquement y si les arcs AB, DE, sont 
égaux, les angles ACB ^ DCE, seront aussi égaux. 

Car, i^ si l'angle ACB est égal à l'angle DCE, ces 
deux angles pourront se plaicer l'un sur l'autre; et 
comme leurs côtés sont égaux, il est clair que le 
point A tombera en D, et le point B en E. Mais alors 



44 GBQM)iTRI|S. 

lare ÂB doit aussi tomber sur lare DE ; car si les 
deux arcs n'étaient pas confondus en un seul , il y 
aurait dans lun ou dans l'autre des points inégale- 
ment éloignés du centre, ce qui est impossible; donc 
Tare ABn^DE- 

2? Si on suppose AB=DE, je dis que l'angle; 
ÂCB sera égal à DCE; car si ces angles ne sont pa^ 
égaux, soit ACB le plus grand, et soit pris ACI=: 
DCE; on aura, par ce qui vient d'être démontré, AI 
= DE : mais, par hypothèse, l'arc AB=z:DE; donc 
on aurait AI=AB, ou la partie égale au tout , ce qui 
est impossible ; donc langle ACB=:DÇE. 

PROPOSITION XVI. . 

THEOREME. 

*g- 6a. Dans le^méme cercle ou dans des cercles égaux ^ 
si deux angles au centre ACB, DCE, sontenfre 
eux comme deux nombres entiers, les arcs inter^ 
ceptés AB , DE , seront entre eux comme les 
mêmes nombres, et on aura cette proportion: 
Angle ACB: angle DCE: ;arc AB:arc DE. 

Supposons, par exemple, que les angles ACB, 
DCE , soient entre eux comme 7 est à 4 ; ou ? c^ q^^î 
revient au même, supposons que langle M, qui ser« 
vira de commune mesure, soit contenu sept fois dans 
l'angle ACB , et quatre dans l'angle DCE. Les angles 
partiels AC/tz, mCn, nCp, etc. DCr, xCtj, etc., 
étant égaux entre eux, les arcs partiels Km, mn, 

* ^^' npy etc., D.r, xy, etc., seront aussi égaux entre eux*; 
donc l'arc entier AB sera à Tare entier DE comme 
7 est à 4- Or il est évident que le même raisonne- 
ment aurait toujours lieu, quand à la place de 7 et 4 
on aurait d'autres nombres quelconques; donc, si le 
rapport des angles ACB, DCE, peut être exprimé 



en nombres entiers , les arcs ÂB , DE , seront entre 
édx comme les angles ÂGB , DCE. 7 

Scholie, Réciproquement, si les ares AB, DE 
ëtaieiit entre eux comme deux nombres entiers, les 
angles ÂGB , DCE , seraient entre eux comme les 
mêmes nombres, et on aurait toujours AGB: DCE 
:: AB:DE; car les arcs partiels Aiw, mn^ etc., Djp, 
sùy^ etc., étant égaux, les angles partiels AGm , 
HiCriy etc., DGjc, ^Gjr, etc., sont aussi égaux. 

PROPOSITION XVII. 

THEOREME. 

Quel que soit le rapport des deux angles AGB, % fô. 
ACD, ces deux angles seront toujours entre eux 
comme les arcs AB, AD ^ interceptés entre leurs 
côtés et décrits de leurs sommets comme centres 
avec des rayons égaux. 

Supposoils le ^lus petit angle placé dans lé plus grand: 
si la proposition énoncée n'a pas lieu , langle AGB sera 
à langle AGD comme lare AB est à un arc plus grand 
ou plus petit que AD. Supposons cet arc plus grand > 
et représentons-le par AO , nous aurons ainsi : 

Angle AGB: angle AGD:: arc AB.arc AO. 

Imaginons maintenant que lare AB soit divisé en 
parties égales dont chacune soit plus petite que DO, 
il y aura au moins un point de division entre D et O : 
soit I ce point , et joignons GI ; les arcs AB , AI , seront 
entre eux conune deux nombres entiers, et on aura en 
vertu du théorème précédent : 

Angle AGB: angle AGI :: arc AB:arc AI. 

Rapprochant ces deux proportions Tune de Vautre, 
et observant que les antécédents sont les mêmes, on 
en conclura que les conséquents sont proportionnels, 
et qu'ainsi 



â6 GiokittdÈ. 

Angle ACD : angle AGI : : arc AO : arc AÏ. 

Mais Tare AO est plus grand que Tare AI : il fa«<^ 
drait donc , pour, que la proportion subsistât , que 
l'angle ACD fôt plus grand que l'angle AGI ; or au 
contraire il est plus petit'; donc il est impassible que 
langle ACB soit à langle ACD comme l'arû AB est à 
un arc plus grand que AD. 

Où démontrerait par un raisonnement entièrement 
semblable que le quatrième terme dé la proportion 
ne peut être plus petit que AD ; donc il est exactement 
AD ; donc on a la proportion : 

Angle ACB: angle ACD :: arc ABrarc AD* 

Corollaire, Puisque langle au centre du cercle et 
l'arc intercepté entre ses côtés ont une telle liaison 
que quand lun augmente on diminue dans un rap^ 
port quelconque , l'autre augmente ou diminue dans 
le même rapport , on est en droit d établir Tune de 
ces grandeuurs pour la mesure de lautre : ainsi nous 
prendrons désormais l'arc AB pour la mesure de 
langle ACB. Il faut seulement observer, dans la com- 
paraison des angles entre eux , que les arcs qui leur 
servent de mesure doivent être décrits avec des rayons 
égaux ; car c'est ce que supposent toutes les proposi- 
tions précédentes. 

Scholie I. Il paraît plus naturel de mesurer une 
quantité par une quantité de la même espèce, et 
sur ce principe il conviendrait de rapporter tous 
les angles à Tangle droit : ainsi l'angle droit étant 
l'unité de itiesure , un angle aigu serait exprimé par 
un nombre compris entre o et i , et un angle obtus 
par un nombre entre i et 2. Mais cette manière 
d'exprimer les angles ne serait pas la plus commode 
dans l'usage ; on a trouvé beaucoup plus simple de 
les mesurer par des arcs de cercle , à cause de la faci- 
lité de faire des arcs égaux à des arcs donnés , et pour 
beaucoup d'autres raisons. Au reste, si la mesure des 



LIVÀB lî. 47 

âlngles par les arcs de cercle est en quelque sortes 
indirecte, il n'en est pas moins facile d'obtenir par 
leur moyen la mesure directe et absolue ; car si vous 
comparez Tare qui sert de mesure à un angle airec le 
quart de la circonférence , vous aurez le rapport de 
l'angle donné à l'angle droit , ce qui est la mesure 
absolue. 

Scholte n. Tout ce qui a été démontré dans les 
trois propositions précédentes pour la comparaison 
des angles avec les arcs , a lieu également pour la com- 
paraison des secteurs avec les arcs : car les secteurs 
sont égaux lorsque les angles le sont, et en général ils 
âont proportionnels aux angles^ donc deux secteurs 
ÂCB , ÂCD , pris dans le jnême cercle ou dans de$ 
cercles égaux y sont entre eux comme les arcs ÂB , 
AD , bases de ces mêmes secteurs. 

On voit par-là que les arcs de cercle qui servent 
de mesure aux angles peuvent aussi servir de mesure 
aux différents secteurs d'un mén>e cercle ou de cercles 
^aux. 

PROPOSITION XVIII. 

THEOREME. 

V angle inscrit BAD a pour mesure la moitié % ^a 
de rare BD compris entre ses côtés. 

Supposons dabord que le centre du cercle soit 
situé dans l'angle BAD , on mènera le diamètre AE fig. 0^ 
et les rayons CB , GD. L'angle BCE , extérieur au 
triangle ABC, est égal à la somme des deux intérieurs 
CAB^ ABC* : mais le triangle BAC étant isoscele, *23,f, 
langle CAB=ABC ; donc l'angle BCE est double 
de BAC. Langle BCE, comme angle au centre, a 
pour mesure lare BE ; donc l'angle BAC aura pour 
mesure la moitié de BE. Par une raison semblable 9 



4S GÉOMÉTRIE. 

l'angle CAD aura pour mesure la moitié de ED ; donc 
BAG+CAD ou BAD aura pour mesure la moitié de 
BE+ED ou la moitié de BD. 

lig. 65. Supposons en second lieu que le centre C soit sittié 
hors de Tangle BAD , alors menant le diamètre AE ^ 
l'angle BAE aura pour mesure la moitié de BE, l'angtef 
D AE la moitié de DE ; donc leur différence BAD aura 
pour mesure la moitié de BE moins la moitié de ED , 
ou la moitié de BD. 

Donc tout angle inscrit a pour mesure la moitié de 
Tare compris entre ses côtés. 

fig. 66. , Corollaire h Tous les angles BAC , BDC , etc. , ins- 
crits dans le même segment sont égaux; car ils ont 
pour mesure la moitié du même arc BOC. 

fig. 67. n. Tout angle BAD inscrit dans le demi-cercle 
est un angle droit ; car il a pour mesure la moitié 
de la demi-circonférence BQD , ou le quart de la 
circonférence. 

Pour démonti^r la même chose dune autre ma- 
nière , tirez le rayon AC ; le triangle BAC es* iso- 
scele,. ainsi l'angle BAG=ABG;le triangle CAD est 
pareillement isoscele ; donc l'angle? CAD = ADC ; 
donc BAC -f- CAD ou BAD = ABD + ADB. Mais 
si les deux angles B et D du triangle ABD valent en- 
semble le troisième BAD , les trois angles du triangle 
vaudront deux fois l'angle BAD ; ils valent d'ailleurs 
deux angles droits ; donc l'angle BAD est un angle 
droit. 

fig. 66. in. Tout angle BAC inscrit dans un segment plus 
grand que le demi-cercle , est un angle aigu ; car il a 
pour mesure la moitié de l'arc BOC moindre qu'une 
demi-circonférence. 

Et tout angle BOC , inscrit dans un segment phis 
petit que le demi-cercle, est un angle obtus ; car il a 
pour mesure la moitié de l'arc BAC plus grande qu'une 
demi-circonférence. 



i^iviis lï. 49 

IV. Les angles opposés A et C d'un quadrilatère fig. es. 
ioserit ABCD, valent ensemble deux angles droits ; 
c»r Tangle BAD a pour mesure la moitié de l'arc BCD, 
langle BCD a pour mesure la moitié de l'arc BAD; 
donc les deux angles BAD, BCD, pris ensemble, ont 
pour mesure la moitié de la circonférence ; donc leur 
somm^ équivaut à deux angles droits. 

PROPOSITION XIX. 

THEOREME. 

L'angle BAC , formé par une tangente et une gg. 69. 
corde ^ a pour mesure la moitié de /'arc AMDC 
compris entre ses côtés. 

Au point de contact A menez le diamètre AD; 
Fangle BAD est droit ^, il a pour mesure la moitié de «g. 
^a demi-circonférence AMD, TangleDAC a pour me- 
sure la moitié de DC; donc BAD + DAC ou BAC a 
pour mesure la moitié de AMD, plus la moitié de DC, 
ou la moitié de lare entier AMDC. 

On démontrerait de même que Tangle CAE a 
pour mesure la moitié de l'arc AC compris entre ses 
côtés. 



Problêmes relatifs aux deux premiers livres. 



\ 



PROBLEME PREMIER. 



Diviser la droite donnée AB en deux parties fig. ^o. 
égales. 

Des points A et B, comme centres, avec un rayon 
plus grand que la moitié de AB, décrivez deux arcs 
qui se coupent en D ; le point D sera également éloi- 
gné des points A et B : marquez de même au-dessus 

Neuv. éd. 4 



5o GEOMETAtE. 

OU au-dessous de la ligne ÂB un second point E ëgfl« 
lemenl éloigné des points A et B, par les deux points 
D, E, tirez la ligne DE; je dis que DE coupera la 
ligne AB en deux parties égales au point G. 

Car les deux points D et E étant chacun également 
éloignés des extrémités A et B, ils doivent se trouver 
tous deux dans la perpendiculaire élevée sur le milieu 
de AB. Mais par deux points donnés il ne peut passer 
quune seule ligne droite; donc la ligne DE sera cette 
perpendiculaire elle-même qui coupe la ligne AB en 
deux parties égales au point G. 

PROBLEME II. 

fig. 71. Par un point A , donné sur la ligne BG, éle- 
ver une perpendiculaire à cette ligne. 

Prenez les points B et G à égale distance de A, en* 
suite des points B et G , comme centres , et d*un rayon 
plus grand que BA, décrivez deux arcs qui se cou- 
pent en D ; tirez AD qui sera la perpendiculaire de- 
mandée. 

Gar le point D, étant également éloigné de B et de 
G , appartient à la perpendiculaire élevée sur le milieu 
de BG ; donc AD est cette perpendiculaire. 

Scholie, La même construction sert à faire un angle 
droit BAD en un point donné A sur une ligne don- 
née BG. 

PROBLEME III. 

fig. 72. D'un point A , donné hors de la droite BD , 
abaisser une perpendiculaire sur cette droite. 

Du point A, comme centre, et d'un rayon suffi- 
samment grand, décrivez un arc qui coupe la ligne 
BD aux deux points B etD; marquez ensuite un point 
E également distant des points B et D, et tirez A£ qui 
sera la perpendiculaire demandée. 

Car les deux points A et E sont chacun également 



LIY&B IX. . 5l 

diâtants des points B et D ; donc la ligne AE est per- 
pendiculaire sur le milieu de BD. 



PROBLEME IV. 



Au -point k. de la ligne AB , faire un angle fig. 73. 
égal à V angle donné K. 

Du sommet R , comme centre , et d'un rayon à 
volonté, décrivez lare IL terminé aux deux côtés 
de l'angle; du point A , comme centre , et dW rayon 
AB égal à Kl , décrivez Tare indéfini BO ; prenez en- 
suite un rayon égal à la corde LI ; du point B , comme 
centre , et de ce rayon , décrivez un site qui coupe en 
D Varc indéfini BO; tirez AD, et l'angle DAB sera 
égal à Fangle donné R. 

Car les deux arcs BD , LI , ont des rayons égaux et 
des cordes égales ; donc ils sont égaux ^ ; donc langle «4, 2. 
BAD=IKL. 



PROBLEME V. 



Diviser un angle ou un arc donné en deux fig. 74 
parties égales, 

i» S'il faut diviser l'arc AB en deux parties égales, 
des points A et B , comme centres , et avec un même 
rayon , décrivez deux arcs qui se coupent en D ; par le 
point D et par le centre C tirez CD qui coupera l'arc 
AB en deux parties égales au point E. 

Car les deux points C et D sont chacun également 
distants des extrémités A et B de la corde AB ; donc 
la ligne CD est perpendiculaire sur le milieu de cette 
corde; donc elle divise l'arc AB en deux parties égales 
au point E\ «g ,^ 

ao S'il faut diviser en deux parties égales l'angle 
ACB, on commencera par décrire du sommet G^ 
comme centre, Tare AB, et le reste comme il vient 
d'être dit. Il est clair que la ligne CD divbera en deux 
parties ^ales l'aiigle ACB, 

4. 



5a GSOHjB^&IE. 

Scholie, On peut, par la même construction , diviser 
chacune des moitiés ÂE, ES, en deui: parties égales ; 
ainsi, par des sous-<liyisions successives, on divisera 
un angle ou un arc donné en quatre parties égales , en 
huit, en seize, etc. 



PROBLEME VI. 



fiff. 7^. Par un point donné A , mener une parallèle 
à la ligne donnée BC. 

Du point A, comme centre > et duii rayon suffi- 
samment grand f décrivez lare indéfini £0; du point 
E, comme centre, et du même rayon , décrivez l'arc 
AF, prenez ED = AF, et tirez AD qui sera la parallèle 
demandée. 

Car en joignant AE, on voit que les angles alternes 
AEF, EAD, sont égaux; donc les lignes AD, EF, sont 
*a3,i. parallèles*. 

PROBLEME VII. 

H- 76 Deux angles A e^ B d'un, triangle étant don- 
nés y trouver le troisième. 

Tirez la bgne indéfinie DEF, faites au point E l'an- 
gle DEC=A, et langle CEH=B : l'angle restant 
HEF sera le troisième angle requis ; car ces trois angles 
pris ensemble valent deux angles droits. 

PROBLEME VIII. 

%. 77- Étant donnés deux côtés B e^ C d'un triangle et 
l'angle X qu'ils comprennent^ décrire le triangle. 

Ayant tiré la ligne indéfinie DE, faites au point D 
l'angle EDF égal à l'angle donné A; prenez ensuite 
DG=B, DH=i;, et tirez GH ; DGH sera le triangle 
demandé. 



XiIVRL II. 53. 



A 



PROBLEME IX^* 



Étant donnés un côté et deux nfigles d'un 
triangle^ décrire le triangle. 

Les deux angles donnés serotit ou tous deu:t 8<^a-^ 
cents au côté donné ^ ou Fun adjacent , l'autre oppc^ 
ié : dans ce dernier cas', cherche* le troisième *, tous *pr. 7 
aûreï ainsi les deut angles adjaèertts. Cela posé , tirez 
la droite DE égale au côté donné , faites au point D fig. 78. 
Fàngle EBF égal à lun A<è% angl^ àdfâcents , et au 
{lôint ]B l'angle DEG égal à l'autre; les deux lignes 
Df , E6^ se éèùj^ont eii H, et DËH sera le triangle 
îë^piis. 

PROBLÈME X. 

Les trois côtés A, B, C, d'un triangle étant fig. :9. 
donnés, décrire le triangle. 

Tirez DE égal au côté A; du point E, comme 
centre, et d'un rayon égal au second côté B, décri- 
vez un arc ; du point D , comme centre , et d'un rayon 
égal au troisième côté C, décrivez un autre arc qui 
coupera le premier en F ; tirez DF, EF , et DEF sera 
le triangle requis. 

Scholie. Si lun des côtés était plus grand que la 
somme des deux autres, les arcs ne se couperaient 
pas ; mais la solution sera toujours possible , si la 
somine de deux côtés , pris comme on voudra , est plus 
grande que le troisien^e. 

pROBLÂstE xi. 

Étant donnés deux côtés ket^ d'un triangle^ 
açec rangleC opposé au côté B, décrire le triangle. 

n y à deux cas : i® si langle C est droit ou obtus , Cg. Sa-. 
faites Fàfitgle BDF égal à langle G; prenez DE=t: A, 
du point E , comme centre , et d'un rayon ^al au 
côté dotitié B, décrivez un arc qui coupe en F la 



S4 GÉOMÉTRIE. 

ligne DF; tirez EF, et DEF sera le triangle de- 
mandé. 

Il faut, dans ce premier cas , que le côté B soit plus 
grand que A , car l'angle G étant droit ou obtus , est 
le plus grand des angles du triangle ; donc le côté op-'^ 
posé doit être aussi le plus grand. , 

H' S'* 2^ Si l'angle G est aigu, et que B soit plus grand que 
A, la même construction a toujours lieu, et DEF est. 
le triangle requis. ■ l 

%. 8a. Mais si, l'angle G étant aigu , le côté B est moindre 
/ que A, alors l'arc décrit, du centre £ avec le rayon 
EF=:B, coupera lé côté DF en deux points F et 6, 
situés du même côté de D ; donc il y aura deux trian- 
gles DEF, DEG, qui satisferont également au pro- 
blême. 

Scholie. Le problême serait impossible dans tous 
les cas, si le côté B était plus petit que la perpendi- 
culaire abaissée de E sur la ligne DF. 



PROBLEME XII. 



cg 83. Les côtés adjacents A et B d'un parallélo- 
gramme étant donnés avec V angle G qu'ils com-- 
prennent , décrire le parallélogramme. 

Tirez la ligne DE==:A, faites au point D l'angle 
FDE=G, prenez DF=B; décrivez deux arcs, l'un 
du point F comme centre , et d'un rayon FG=:DE, 
l'autre du point E, comme centre et d'un rayon 
EG=DF : au point G, où ces deux arcs se coupent , 
tirez FG, EG ; et DEGF sera le parallélogramme de- 
mandé. 

Gar , par construction , les côtés opposés sont égaux ; 
♦3o,i. donc la figure décrite est un parallélogramme*, et ce 
parallélogramme est formé avec les côtés donnés et 
l'angle donné. 

Corollaire. Si l'angle donné est droit, la figure sera 



LIVRE II. 55 

un rectangle; si, de plus , les côtés sont égaux , ce sera 
un quarré. 

PaOBliEHE XIII. 

Trouver le centre d'un cercle ou d*un arc donné. 

Prenez à volonté dans la circonférence ou dans fig. 84. 
farc trois points A, B, C; joignez ou imaginez qu'on 
joigne AB et BG, divisez ces deux lignes en deux par^ 
ties égales par les perpendiculaires DE, F6; le point 
0, où ces perpendiculaires se rencontrent, sera le 
centre cherché. 

Scholîe. La même construction sert à faire passer 
une circonférence par les trois points donnés A, B , G, 
et aussi à décrire une circonférence dans laquelle le 
triangle donné ABC soit inscrit. 

PROBLâHS XIV. 

Par un point donné mener une tangente à 
un cercle donné. 

Si le point donné A est sur la circonférence, tirez fig. 85. 
le rayon GA , et menez AD perpendiculaire à GA ; 
AD sera la tangente demandée ^. *9* ^• 

• Si le point A est hors du cercle , joignez le point fig- 86. 
A et le centre par la ligne droite GA; divisez G A en 
deux également au point O ; du point O , comme cen- 
tre 9 et du rayon OG, décrivez une circonférence qui 
coupera la circonférence donnée au point B; tirez 
AB , ht AB sera la tangente demandée. 

Car en menant GB, l'angle GBA, inscrit dans le 
demi-cercle, est un angle droit*; donc AB est per- ♦iS,». 
pendiculaire à l'extrémité du rayon GB , donc elle est 
tangente. 

Scholie. Le point A étant hors du cercle , on voit 
qu'il y a toujours deux tangentes égales AB , AD , 
qui passent par le point A : elles sont égales, car les 
triangles rect^gles CBA , GDA , ont Thypoténuse G A 



56 GÉOlkETRIE. 

commune , et le côté CB = CD ; donc ils sont 
*iS,i, égaux ^; donc AD=ÂB^ et en même temps l'angle 
CAD=CAB. 

PROBLEME XV. 

%. «7- Inscrire un cercle dans un triangle donné ÂBG. 
Divisez les angles A et B en. deux également pajp 
les lignes AO et BO qui se rencontreront en O ; dû> 
point O abaissez les perpendiculaires OD, OE, OF^ 
sur les trois côtés du triangle ; je dis que ces perpen*- 
diculaires seront égales entre elles; car, par constnic- 
tion, rangleDAO = OAF, l'angle droit ÀDO=AFÔ; 
donc le troisième angle AOD est égal au troisième 
AOF. D'ailleurs le côté AO est commun aux deux 
triangles AOD, AOF, et les angles adjacents au côté 
égal sont égaux ; donc ces deux triangles sont é^aux ; 
donc DO=OF. Oh prouvera de même que les deux 
triangles BOD, BOE, sont égaux; donc OD = OE, 
donc les trois perpendiculaires OD, OE, OF, sont 
égales entre elles. 

Maintenant si du point O, comme centre, et du 
rayon OD, on décrit une circonférence, il est clair 

< que cette circonférence sera inscrite dans le triangle 

ABC; car le côté AB, perpendiculaire à l'extrémité 
du rayon OD , est une tangente : il en est de même dés 
côtés BC , AC. 

Scholie. Les trois lignes qui divisent en deux égale- 
ment les trois angles d'un triangle , concourent en un 
même point. 

PROBLEME XVI. 

• 

fîg 83 Sur une droite donnée AB , décrire un segment 
®^ ^^' capable de V angle donné C , c'est-à-dire , un seg- 
ment tel que tous les angles qui y sont inscrits 
soient égaux à V angle donné C. 

Prolongez AB vers D, faites au point B Tangle 
DBE=C, tirez BO perpendiculaire à B£, et GO per i 



i:.iyRB II. Sj 

pendiculaire sur le milieu de AB; du point de ren- 
contre Oj comme centre, et du rayon OB, décrivez 
un cercle, le segment demandé sera AJVIB. 

Car puisque BF est perpendiculaire à Textrémité 
du rayon OB, BF est une tangente, et l'angle ABF a 
pour mesure la moitié de lare ARB*; d'ailleurs l'an- *i9,a4 
gle AMB, comme angle inscrit, a aussi pout mesure 
la moitié de l'arc AKB , donc l'angle AMB = ABF=: 
£BD = C; donc tous les angles inscrits dans le seg- 
n^ent AMB sont égaux à l'angle donné G. 

Scholie. Si l'angle donné était droit , le segment cher- 
ché serait le demi-cercle décrit sur le diamètre AB. 



PÀOBLEMB XYII. 



Trouver le rapport numérique de deux lignes fig. 90. 
droites données AB, CD, si toutefois ces deux 
lignes ont entre elles une mesure commune. 

Portez la plus petite CD sur la plus grande AB au- 
tant de fois qu'elle peut y être contenue ; par exemple, 
deux fois, avec le reste BE. 

Portez le reste BE sur la ligne CD , autant de fois 
qu'il peut y être contenu , une fois, par exemple, avec 
ie reste DF. 

Portez le second reste DF sur le premier BE, au- 
tant de fois qu'il peut y être contenu, une fois, par 
exemple, avec le reste BG. 

Portez le troisième reste BG sur le second DF, au- 
tant dé fois qu'il peut y être contenu. 

Continuez ainsi jusqu'à ce que vous ayez un resté 
qui soit contenu un nombre de fois juste dans lé pré- 
cèdent. 

Alors ce dernier reste sera la commune mesure des 
lignes proposées, et, en le regardant comnie l'unité, 
on trouvera aisément les valeurs des restes précédents 
et enfin celles des deux lignes proposées, d'où l'on 
conclura leur rapport en noinbres» 



58 GiOMBTAIl. ' 

Par exemple, si Ton trouve que GB esf contena 
deux fois juste dans FD , BG sera }a commune mesure 
des deux lignes proposées. Soit BG= i , on aura FD 
= a; mais EB contient une- fois FD plus GB; donc 
£B=:3; CD contient une fois EB plus FDf donc 
CD = 5; enfin AB contient deux fois CD plus EB; 
donc ÂB=:i3; donc le rapport des deux lignes AB, 
CD, est celui de i3 à 5. Si la ligne CD était prise pour 
unité, la ligne AB serait -~^, et si la ligne AB était prise 
pour unité , la ligne CD serait ~. 

Scholie. XoL méthode qu on vient d'expliquer est la 
même que prescrit l'arithmétique pour trouver le com* 
mun diviseur de deux nombres; ainsi elle na pas 
besoin d une autre démonstration. 

U est possible que, quelque loin quon continue 
l'opération, on ne trouve jamais un reste qui soit 
contenu un nombre de fois juste dans le précédent; 
Alors les deux lignes n'ont point de commune mesure, 
et sont ce qu'on appelle incommensurables : on en 
verra ci-après un exemple dans le rapport de la dia- 
gonale au côté du quarré. On ne peut donc alors 
trouver le rapport exact en nombres : mais en négli- 
geant le dernier reste, on trouvera un rapport plus 
ou moins approché, selon que l'opération aura été 
poussée plus ou moins loin. 



PROBLÊME XVIII. 



fig. 9ï- Deux angles A ef B étant donnés , tromper leur 
commune mesure , s'ils en ont une , et de-là leur 
rapport en nombres. 

Décrivez avec des rayons égaux les arcs CD, EF, 
qui servent de mesure à ces angles; procédez ensuite 
pour la comparaison des arcs CD , EF, comme dans le 
problême précédent; car un arc peut être porté sur 
un arc de même rayon, comme une ligne droite sur 
une ligne droite. Vous parviendrez ainsi à la com- 



LITRE II. 59 

niiine mesure des arcs CD, EF, sUls en ont une, et à 
leur rapport en nombres. Ce rapport sera le même que 
cdui des angles donnés^; et si DO est la commune ^i?*^' 
mesure des arcs , DAO sera celle des angles. 

SchoUe. On peut ainsi trouver la valeur absolue d'un 
angle en comparant l'arc qui lui sert de mesure à toute 
k circonférence : par exemple, si l'arc CD est à la cii^ 
conférence comme 3 est à 25, l'angle A sera les ^ de 
quatre angles droits, ou 7^ d'un angle droit. 

D pourra arriver aussi que les aixs comparés n'aient 
pas de commune mesure; alors on naura pour les 
angles que des rapports en nombres plus ou moins 
approchés, selon que l'opération aura été poussée plus 
ou moins loin. 



LIVRE IIL 



LES PROPORTIONS DES ÈIGURÉS. 

I. J 'appellera \ figures équivalentes celles dont les 
surfaces sont égales. 

Deux figures peuvent être équivalentes, quoîcjae 
très - dissemblables : par exemple, un cercle peut 
être équivalent à un quarré^ un triangle à un rec- 
tangle, etc. 

La dénomination de figures égales sera conservée à 
celles qui étant appliquées Tune sur l'autre , coïncident 
dans tous leurs points : tels sont deux cercles dont 
les rayons sont égaux, deux triangles dont les trois 
côtés sont égaux chacun à chacun , etc. 

IL Deux figures sont semblables y lorsqu'elles ont 
les angles égaux chacun à chacun et les côtés homo" 
logues proportionnels. Par côtés homologues on en- 
tend ceux qui ont la même position dans les deux 
figures, ou qui sont adjacents à des angles égaux. Ces 
angles eux-mêmes s'appellent angles homologues. 

Deux figures égales sont toujours semblables ; mais 
deux figures semblables peuvent être fort inégales. 

IIL Dans deux cercles différents, on appelle arcs 
semblables , secteurs semblables , segments sembla^ 
blés y ceux qui répondent à des angles au centre 
égaux, 
fig. 92. Ainsi l'angle A étant égal à l'angle O, l'arc BG 
est semblable à l'arc DE, le secteur ABC au secteur 
ODE , etc. 

IV. La hauteur dun parallélogramme est la per- 



LIVRE III. 6l. 

pendiculaire EF qui mesure la distance des deux côtés fig- 9^' 
opposés AB,CD, pris pour bases. 

y. La hauteur dun triangle est la perpendiculaire 
AD abaissée du sommet d'un angle A sur le côté op- fig. 94. 
posé BC pris pour base. 

TI. Là hauteur du trapèze est la perpendiculaire %-9^* 
EF menée entre ses deux côtés parallèles AB, CD. 

VII. JJaire ou la surface d'une figure sont des ter- 
mes à-peu-près synonymes. L aire désigne plus parti- 
culièrement la quantité superficielle de la figure en 
tant qu'elle est mesurée ou comparée à d'autres sur- 
faces. 

N. B, Pour rintelligence de ce livre et des suivants, il 
faut avoir présente la théorie des proportions, pour laquelle 
nous renvoyons aux traités ordinaires d'arithmétique et 
d'algèbre. T^ous ferons seulement une observation, qui est 
très importante pour fixer le vrai sens des propositioi^ et 
dissiper toute obscurité , soit dans l'énoncé j soit dans les 
démonstrations. 

Si on a la proportion A:B :: C:D, on sait que le produit 
des extrêmes AXD est égal au produit des moyens BxC. 

Cette vérité est incontestable pour les nombres; elle l'est 
aussi pour des grandeurs quelconques , pourvu qu'elles s'ex- 
priment ou qu'on les imagine exprimées en nombres; et c'est 
ce qu'on peut toujours supposer : par exemple , si A, B , C , D » 
rSont des lignes , on peut imaginer qu' une de ces quatre lignes, 
ou une cinquième , si l'on veut , serve à toutes de commune 
mesure et soit prise pour unité ; alors A , B , C , D représentent 
chacune un certain nombre d'unités, entier ou rompu, com- 
mensnrable ou incommensurable , et la proportion entre les 
lignes A, B, C, P, devient une proportion de nombres. 

Le produit des lignes A et D, qu'on appelle aussi leur 
rectangle , n'est donc autre chose que le nombre d'unités 
linéaires contenues dans A , multiplié par }e nombre d'uni- 
tés linéaires contenues dans B ; et on conçoit facilement que 
ce produit peut et doit être égal à celui qui résulte sembla- 
blement des lignes Q et C. 



62 GEOMETRIE. 

Les grandeurs A et B peuvent être d*une espèœ, par 
exemple, des lignes, et les grandeurs C etD d'une autre 
espèce , par exemple , des surÊices ; alors il faut toujours re- 
garder ces grandeurs comme des nombres : A et B s'expri- 
meront en unités linéaires, C et D en unités superficielles, 
et le produit A X D sera un nombre comme le produit B X C. 

En général , dans toutes les opérations qu'on fera sur les 
proportions , il faut toujours regarder les termes de ces pro- 
portions comme autant dénombres, chacun de l'espèce qui 
lui convient , et on n'aura aucune peine a concevoir ces opé- 
rations et les conséquences qui en résultent. 

Nous devons avertir aussi que plusieurs de nos démons- 
trations sont fondées sur quelques-unes des règles les plus 
simples de l'algèbre , lesquelles s'appuyent elles-mêmes sur 
les axiomes connus : ainsi si Ton a A=:B-f-C, et qu'on mul« 
tiplie chaque membre par une même quantité M , on en 
conclut AXM=:BxM-|-CXM; pareillement si l'on a A = 
B + C etD:=:£ — C, et qu'on ajoute les quantités égales, 
en^Taçant + C et ^- C qui se détruisent, on en conclura 
A-^D = B+£, et ainsi des autres. Tout cela est assez 
évident par soi-même; mais, en cas de difficulté, il sera 
bon de consulter les livres d'algèbre , et d'entre-mêler ainsi 
l'étude des deux sciences. 

PROPOSITION PREMIERE. 

THEOREME. 

Les parallélogrammes qui ont des bases égales 
et des hauteurs égales ^ sont équivalents. 
H- 96* Soit AB la base cc»nmune des deux parallélogram- 
mes ABCD, ABEF, puisqu'ils sont supposés avoir la 
même hauteur , les bases supérieures DG, FE, seront 
situées sur une même ligne parallèle à AB. Or on a 
par la nature cjes parallélogrammes AD = BG , et AF 
• = BE; par la même raison on a DG=AB, et FE=: 
AB; donc DG = FE; donc, retranchant DG et FE de 
la même ligne D£, les restes CE et DF serpnt égaux. 



tivuE kii. 63 

Il svât de-là que les triangles DAF, CBD , sont équi- 
latéraux entre eux, et par conséquent égaux ^. * n . is 

Biais si du quadrilatère ABED on retranche le tri- 
angle ÂDF, il reste le parallélogramme ABEF; et si 
dû même quadrilatère ABED on retranche le triangle 
CBE,.il reste le parallélogramme ABCO; donc les 
deux parallélogrammes ÂBCD, ABEF, qui ont même 
base et même hauteur , sont équivalents. 

Corollaire. Tout parallélogramme ABCO est équi- 
valent au rectangle ABEF de même base et de même fig. 97. 
hauteur. 

PROPOSITION IL 



THÉORBME. 



Tout triangle ABC est la moitié duparallélo- fig. 98. 
gramme ABCD qui a même hase et même hauteur. 

Car les triangles ABC, ACD, sont égaux *. * 3t , i. 

Corollaire I. Donc un triangle ABC est la moitié du 
rectangle BCEF qui a même base BC et même hau- 
teur AO ; car le rectangle BCEF est équivalent au pa- 
rallélogranune ABCD. 

Corollaire IL Tous les triangles qui ont des bases 
égales et des hauteurs égales, sont équivalents. 

PROPOSITION IIL 

THÉORBMS. 

Deux rectangles de même hauteur sont entre 
eux comme leurs hases. 

Soient ABCD, AEFD , deux rectangles qui ont pour fig. 99. 
hauteur commune AD; je dis quik sont entre eux 
tomme leurs bases AB, AE. 

Supposonjg d abord que les bases AB, AE^ soient 



64 GEOMETRIE. 

Gommensurables entre elles, et quelles soient, par 
exemple, comme les nombres 7 et 4 : si on divise AB 
en 7 parties égales, AE. contiendra 4 àe ces par* 
ties; élevez à chaque point de division une perpen-. 
diculaire à la base, vous formerez ainsi sept rectan- 
gles partiels, qui seront égaux entre eux, puisquib 
auront même base et même hauteur. Le rectangle 
ABCO contiendra sept rectangles partiels, tandis que 
A£FD en contiendra quatre ; donc le rectangle ABC3) 
efitt au rectangle AEFD comme 7 est à 4 > Qu comme 
AB est à AE. Le même raisonnement peut être appli- 
qué à tout autre rapport que celui de 7 à 4; donc, 
quel que soit ce rapport, pourvu qu'il soit commen- 
surable, on aura, 

ABCD:AEFD.:AB:AE. 
fig. 100. Supposons, en second lieu, que les bases AB, AE^ 
soient incommensurables entre elles ; je dis qu'on n'en 
aura pas moins, 

ABCD:AEFD::AB:AE. 
Car si cette proportion n'est pas vraie , les trois pre- 
miers termes demeurant les mêmes, le quatrième sera 
plus grand ou plus petit que AE. Supposons qu'il soit 
plus grand et qu'on ait , 

ABGD:AEFD::AB:AO. 
Divisez la ligne AB en parties égales plus petites que 
EO, il y aura au moins un point de division I entre E 
et O : par ce point élevez sur AI la perpendiculaire IK ; 
les bases AB, AI, seront commensurables entre elles, 
et ainsi on aura , par ce qui vient d'être démontré, 

ABCD:AIKD::AB:AL 
Mais on a, par hypothèse , 

ABGD:AErD::AB:AO. 
Dans ces deux proportions les antécédents sont égaux ; 
donc les conséquents sont proportionnels, et il en 

résulte , 

AIKD:AErD::AI:AO. 



LIVRE III. 65 

Hais AO est plus grand que AI; donc, pour que 
cette proportion subsistât, il faudrait que le rectangle 
AEFD fût plus grand que AIKD; or, au contraire, il 
est plus petit; donc la proportion est impossible; donc 
ABCP ne peut être à AEFD comme AB est à une ligne 
plus grande que A£. 

Par un raisonnement entièrement semblable, on 
prouverait que le quatrième terme de la proportion 
ne peut être plus petit que AEj donc il est égal 
à AE. 

Donc, quel que soit le rapport des bases, deux 
rectangles de même hauteur ABCD , AEFD , sont 
entre eux comme leurs bases AB , AE. , 

PROPOSITION IV. 



THÉOREIVE, 



Deux rectangles quelconques ABCD , AEGF , fig. loi. 
sont entre eux comme les produits des bases mul- 
tipliées par les hauteurs j de sorte qu'on a 
ABCD:AEGF::ABxAD:AExAF. 

Ayant disposé les deux rectangles de manière que 
les angles en A soient opposés au sommet, prolongez 
les côtés GE, CD, jusqu'à leur rencontre en H; les 
deux rectangles ABCD, AEHD, ont même hauteur 
AD; ils sont donc entre eux comme leurs bases 
AB, AE : de même les deux rectangles ÂEHD, 
AEGF, ont même hauteur AE; ils sont donc entre 
eux comme leurs bases AD , AF : ainsi on aura les 
deux proportions, 

ABCD:AEHD::AB:AE. 
AEHD:AEGF::AD:AF. 

Multipliant ces proportions par ordre, et obser- 
Tant que le moyen terme AEIJD peut être omis 



domine muItipBcateur commiin à l'antéoédieiit eft «a 
oonsëqnent, on a1l^l9' 
ABCD:AE6F;:AB X AD: AE X AF. 

Schpiie. Donc on pent prendre pour meflorv d'vn 
tectingle le produit de sa base par sa hauteur, poomi 
^'on entende par ce produit celui de deux nombres , 
qui sont le nombre d'unités linéaires contenues dans 
la base , et le nombre d'unités linéaires contenues dans 
la hauteur^. 

Cette mesure^ d'ailleurs, n'est pas absolue, mais 
seulement relative^ elle auppose qu'on évalue sem* 
/ blablement un antre rectangle en mesurant ses côtés 
par la même unité lin^ire ; on dbtient ainsi un second 
produit , et le rapport des deux produits est égal à 
celui des rectangles, conformément à la proposition 
* qu'on Tient de démontrer. 

*. Par exemple, si la base du rectangle A est de trois 
unités et sa hauteur de dix , le rectangle sera représenté 
, par le nombre 3 X lo, ou 3o, nombre qui ainsi , isolé 
ne signifie rien ; mais si on a un second rectangle B 
dont la base soit de douze unités et la hauteur de sept, 
le second rectangle sera représenté par le nombre 7 
X 12, ou 84 : de -là on conclura que les deux rec- 
tangles A et B sont entre eux comme 3o est à 84 ; 
donc^ se on convenait de prendre le rectangle A pour 
f unité de mesure dans les surfaces, le rectangle B au- 
rait alors pour mesure absolue ff , c'est-à-dire qu'il 
serait égal à |~ d'unités superficielles. 

B est plus ordinaire et plus simple de prendre le 
quarré pour lunité de surface , et on choisit le quarré 
dont le côté est l'unité de longueur ; alors la mesure 
que nous avons regardée simplement comme relative 
devient absolue : par exemple le nombre 3o, par le- 
quel nous avons mesuré le rectangle A, représente 3o 
£g. 102. unités superficielles, ou 3o de ces quarrés dont le côté 
est égal à l'unité ; c'est ce que la fig. loa rend sensible. 



tivkE lit. 6f 

On confond aâsez souvent en géométrie le produit 
de deux lignes avec leur rectangle^ et cette expres- 
sion a même passé en arithmétique pour désigner le 
p)roduit de deux nombres inégaux^ comnie on emploie 
celle de quarréfonv exprimer le produit d'un nombre 
multiplié par lui-même. 

Les quarrés des nombres i , 2 , 3 , etc. , sont i , 4» 
9, etc. Aussi voit -on que le quai^ré fait sur une ligne 
double est quadi^uple ; sur urie ligne triple , il est neuf âg. io3. 
fois plus grand , et ainsi de suite. 

PROPOSITION V. 



A 



THEOREMEé 



Uaire d'un patallélogtainme quelconque est 
égale au produit de sa base par sa hauteur. 

Car le parallélogramme ABCD est équivalent au fig. 97. 
téctangle ABEF , qui a même base AB et même hau- 
teur BE* ; or celui-ci a pour mesure ABxBE ** : *i.**4. 
Donc ABxBE est égal à Taire du parallélogramme 
ABCD. 

CôroUcùre. Les parallélogrammes de même base 
sont entre eux comme leurs hauteurs , et les parallé- 
logrammes de même hauteur sont entre eux comme 
leurs bases; car A, B, C, étant trois grandeurs quel-* 
Conques, on a généralement AxC:BxC::A:Bé 

PROPOSITION VL 

THEOREME. 

• Uaire d^un triangle est égale au pjvduit de 
sa base par la moitié de sa hauteur. 

Car le triangle ABC est la moitié du parâllélo- fig. 104. 

framrae ABCE, qui a même base BC et même 
auteuf AD * :* or , la swface du parallélogramme * as 



5. 



68 - ' GBOMETRil. 

*s. == BC X AD*î donc celle du triangle =fBC X AD 
ouBCx-AD. 

Corollaire. Deux triangles de même haatenr sont 
entre eux comme leurs . bases , et deux triangles de 
même base sont entre eux comme leurs bauteuiA 

PROPOSITION VIL 

« 

' . THioaÂHE. 

£g. to5. L'aire du trapèze ABGD est égale à sa hau^ 
teur EF, multipliée par la demi -somme dés 
bases parallèles y AB, CD. 

Par le point I^ milieu du côté CB, menez KL p»* 
raUele au côté opposé AD, et prolongez DC jusqu'à 
la rencontre de KL. 

Bans les triangles IBL, IGK, on a le côté IB=IC 
par construcfion , l'angle LIB = CIK , et Fangler 

*si3.x. IBL=:IGK, puisque CK et BL sont parallèles*; 

p 7, 1. donc ces triangles sont égaux * ; donc le trapi»» 
ABGD est équivalent au parallélogramme ADKL^ et 
il a pour mesure EF x AL. 

Mais on a AL=DK, et puisque le triangle IBL 
est égal au triangle KCI, le côté BL = aC; donc 
AB-4-CD=AL-4-DK=:2AL, et ainsi AL est la 
demi -somme des bases AB, CD; donc enfin l'aire 
du trapèze ABGD est égale à la hauteur EF multi» 
pliée par la demi -somme des bases AB, CD, ce qui 

s'exprime ainsi : ABGD =EF x { \ 

Scholie. Si par le point I, milieu de BG, on mené 
IH, parallèle à la base AB, le point H sera aussi le 
milieu de AD, car la figure AHIL est un parallélo- 
gramme, ainsi que DHIK, puisque les côtés opposés 
sbnt parallèles : on a donc AH=:IL et DH=IK,- or, 
IL=IK, puisque les triangles BIL, CIK, sont égaux; 
donc AH==DH. 



!■ 



ciTRE irr. 6g 

On peut remarquer que la ligne HI = AL = 

; donc Faire du trapèze peut s'exprimer aussi 

par EFxHI.: elle est donc égale à la hauteur du 
trapèze multipliée par la ligne qui joint les milieux 
des côtés non parallèles. 

PROPOSITION VIIL 

THEORBME. 

Si une ligne AC est divisée en deux parties AB^ ^^' ^^^ 

BC , le quatre fait sur la ligne entière AC ço/2- 

tiendra le quarréfait sur une partie AB ^plus le 

quarré fait sur Vautre partie BC , plus deux 

fois le rectangle compris sous les deux parties AB, 

a a 

BC, ce qu'on exprime ainsi y AC ou (AB + BC) 

=ÂB + BC + 2 AB X BC. 

Construisez le quarré ACDE, prenez AF=iAB, 
menez FG parallèle à AC, et BH parallèle à AE. 

Le quarré ABCD est divisé en quatre parties : la 
première ABEF est le quarré fait sur AB, puisqu'on 
a pris AF=AB: la seconde IGDH est le quarré fait 
sur BC; car puisqu'on a AG=AE, et ABzzzAF, la 
différence AC — AB est égale à la différence AE — 
AF, ce qui donne BC=EF; mais à cause des paral- 
lèles IG=BC, et DG=EF, donc HIGD est égal au 
quarré fait sur BC. Ces deux parties étant retran- 
chées du quarré total , il reste les deux rectangles 
BCGI , EFIH , qui ont chacun poiu* mesure AB x BC f 
donc le quarré fait sur AC , etc. 

Scholie. Cette proposition revient à celle qu'oR 
démontre en algèbre pour la formation du quarré 
d^un binôme, et qui est ainsi exprimée: 



79 GÉOMiTHIB. 

PROPOSITION IX. 

THBO&ÂIIB. 

fig. 107. Si là ligne AC est la différence des deuùc lignéf 

' AB y BC j le quarr^ fait sur AC cpntiendfa le 

quarré de AB^plus le quarré de BC , moins deux 

fois le rectangle fait sur AB et BC ; c^estrà-dire 

qu'on aura AC ou ( AB --- BC/ft ÂB V BC*r-î 
aABxBC. 

Construisez le quarré ABIF, prenez AE^AC, 
menez ÇG parallèle à BÏ , HK parallèle à AB, et ache? 
vez le quarré EFLK» 

Les deux rectangle^^GBIG, GLKD , ont chacun pom; 
mesure AB x BG : si pn 1^ retranche de la figure eor 

tiere ABILKEA, qui a pour valieur AB + BG, il est 
clair qu'il restera le qufirré AGPE) donc^ etc. 

Scholie. Cette proposition revient à 1^ forpiule d'fd- 
ge|)re (a — i)' = a? + i'— aoi. 

PROPOSITION X, 

TQBORÊME. 

Le rectangle fait sur la somme et la différence 
de deux lignes y est égale à la différence des 
fig.108. quarrçs de ces lignes: ainsi on a (AB + BC) x 

(AB— BC)=AbUvBC. 

Construisez sur AB et AC les quarrés AJBIF , 
ACDE ; prolongez AB d'un^ quantité ]^K = BC , et 
achevez 1^ rectangle AKL£. 

La base AK du rectangle est la somme des deux 
lignes AB , BC , sa hauteur A£ est la différence 
dp ces mêmes lignes ; donc le rectangle AKLE=: 
(AB + BC) X (AB — BC). Mais ce même rectangle 
est composé des deux parties ABHE + BHLK ; et 



Ï.IVRE III. yt 

la partie BHLK est égale au rectangle EDGF , car 
BH=DE et BK=EF5 donc AKLE=ABHE+EDGF. 
Or, ces deux parties forment le quarré ABIF moins 
le quarré DHIG , qui est le quarré fait sur BC ; donc 

«nfin (AB+BC) X (AB— BC)=ÂB— BC* 

Scholie. Cette proposition revient k la formula 
d'algèbre {a+b) {^a—b)-=.a' — *\ 

PROPOSITION XI. 

THEOREME. 

Le quarré fait sur Vhypoténuse d'un triangle 
rectangle est égal à la somme des quarrés faits 
sur les deux autres côtés. 

Soit ABC un triangle rectangle en A : ayant formé %• 109. 
des quarrés sur les trois côtés, abaissez de l'angle 
droit sur l'hypoténuse la perpendiculaire AD que 
TOUS prolongerez jusqu'en E ; tirez ensuite les diago- 
nales AF, CH. 

L'angle ABF est composé de l'angle ABC plus l'an- 
gle droit CBF : Tangle CBH est composé du même 
angle ABC plus l'angle droit ABH ; donc l'angle ABF 
=HBC. Mais AB=BH comme côtés d'un même 
quarré, et BF=BC par la même raison; donc les 
triangles ABF , HBC , ont un angle égal compris entre 
côtés égaux; donc ils sont égauit*. *6, i. 

Le triangle ABF est la moitié du rectangle BDEF , 
(ou pour abréger BE) qui a même base BF et même 
hauteur BD*. Le triangle HBC est pareillement la *pr. 2. 
moitié du quarré AH; car l'angle BAC étant droit 
ainsi que BAL , AC et AL ne font qu'une même 
ligne droite parallèle à HB; donc le triangle HBC et 
le quarré AH, qui ont la base commune BH, ont 
aussi la hauteur commune AB ; donc le triangle est 
la moitié du quarré. 



Tr.\K 



y% GioxasTiiix* 

On a dé^a prouvé que le triangle A£F est égal àé 
triangle lÛG; donc le rectangle BDEF , double «Ui 
triangle ABF, est équivalent au qwbrré AH, double 
du^triangle flBC On démontrera de même que le leo* 
tangle CDE6 est équivalent au quarré AI; mais les 
deux rectangles BDEF, GDEG, pris ensemble, font le 
quarré BCGF; dope le quarré BCGF;fait sur Thypcn 
ikénuse,estégalàlasommedes quarrés ABHL,AUiK, 
fait^sur les deux autres côtés; ou, en d'autres termes, 

bc=Xb+âc' 

Corollaire I, Donc le quarré d'un des côtés de 
ïangle droit est ^^al au quarré de l'hypoténuse moins 
le quan^ de l'autre côté, ce qu'on exprime aiwi:. 

ÂB=BG— AC. 
fif.ixS. Corollaire II. Soit ABCD un quarré, AD sa dia* 
gonale ; le triangle ABC étant rectangle et isoscdè , 

on aura AG=AB+BC=2AB ; donc le quarré 
fait sur la diagonale AG est double du quarré fait 
sur le côté AB. 

On peut rendre sensible cette propriété en menant 
par les points A et C des parallèles à BD, et par les 
points B et D des parallèles à AC : oiv formera ainsi 
un nouveau quarré EFGH qui sera le quarré de AC. 
Or, on voit que EFGH contient huit triangles égaux 
à ABE , et que ABCD en contient quatre ; donc le 
quarré EFGH est double de ABCD. 

Puisque AC : AB : : 2 : i , on a , en extrayant la ra- 
cine quarrée , AC : AB : : V^a : i ; donc la diagonale 
d^un quarré est incommensurable avec son coté. 

C'est ce qu'on développera davantage dans une autre 
occasion. 

ag.zo9. Corollaire m. On a démontré que le quarré AH 
est équivalent au rectangle BDEF ; or , à cause de la 
hauteur commune BF , le quarré BCGF est au rec* 



z.iyRE m. 75 

tangle BDEF comme la base BG est à la base BD ; 
donc, 

BC\- Âb' : : BC : BD. 
Donc le quatre de rhypoténuse est au quarré d'un- 
des côtés de F angle droit comme F hypoténuse est au , 
segment adja^cent a ce coté. On appelle ici segment la 
partie de l'hypoténuse déterminée par la perpendicu- 
laire abaissée de langle droit \ ainsi BD est le segment 
adjacent au côté AB , et DC est le segment adjacent au 
côté AC. On aurait semblablement , 

BC': ÂC':: BC : CD. 
Corollaire IV. Les rectangles BDEF, DCGE, ayant 
aussi la même hauteur, sont entre eux comme leurs 
bases BD, CD. Or, ces rectangles sont équivalents aux 

quarrés AB , AG ; donc , 

Âb':ÂG :: BD : DC. 
Donc les quarrés des deux côtés de Vangle droit sont 
entre eux comme les segments de Vhypoténuse adju' 
cents a ces côtés. 

PROPOSITION XII. 

THEORBME. 

Dans un triangle ABC, si F angle G est aigu y fig."o. 
le quarré du côté opposé sera plus petit que la 
somme des quarrés des côtés qui comprennent 
t angle G ; et si F on abaisse AD perpendiculaire 
sur BG , la différence sera égale au double du 
rectangle BD x GD ; de sorte qu'on aura^ 

ÂB =ÂG + BG — 2 BG X CD. 
Il y a deux cas. 1*^ Si la perpendiculaire tombe au- 
dedans du triangle ABC , on aura BD=BC— CD, 

«t par conséquent* BDV=BcV CD— 2 BCxCD. *q. 






y4 GÉOXBTBIB. 

ajoutant de part et d'autre AD, et obserrant ifflé 
les triangles rectangles ABD, ADG, donnent AD+ 
BD=ÂB et ÂD+DC=ÂG, on aura ABssJSgV 

AC — aBCxC». 

a<> Si la perpendiculaire AD tombe hors du triangle 
^' ABC, on aura BD=CD — BG, et par conséquent^ 

BD=CD + BC — aCDxBC. Ajoutant de pari et 

d autre AD, on en conclura de même , 

ÂB = BC +ÂC — a BC X O), 



PROPOSITION XIIL 



• ^ « 



th£Oa£iib. 



fig II?. Dans un triangle ABC , si l'angle C est obtus, 
le quarré du côté opposé AB sera plus grand 
que la somme des quarrés des côtés qui com^ 
prennent V angle C , et si on abaisse AD perpen-^ 
diculaire sur BC, la différence sera égale au 
double du rectangle'RC X CD, de sorte qu on aura, 

ÂB =ÂC + BC V 2 BC X CD. 

La perpendiculaire ne peut pas tomber au-dedans 

du triangle; car si elle tombait, par exemple, en E, 

le triangle ACE aurait à-la-fols l'angle droit E et 

^27,1. l'angle obtus C, ce qui est impossible*; donc elle 

tombe au-dehors, et on a BD=BC4-CD. De là 

M. résulte* BD = BC + CD + 2 BCxCD, Ajoutant de 

part et d autre AD et faisant les réductions comme 

dans le théorème précédent , on en conclura AB 

=BC+ÂC+2BCxCD. 

Scholie. Le triangle rectangle est le seul dans le- 
c|uel la somme des quarrés de deux côtés soit égale 



LIVRE III. 7S 

au quarré du troisième ; car si Tangl^ compris par ces 
côtés est aigu, la somme de leurs quarrés sera plus 
grande que le quarré du côté opposé; sll est obtus, 
eile sera moindre. 

PROPOSITION XIV. 

THEOREME. 

Dans un triangle quelconque ABC, si on mené %. na. 
du sommet au milieu de la base la ligne kE^je 

dis qu'ion aura AB-h AC=2 AE + aBE. 

Abaissez la perpendiculaire AD sur 1^ base BG , le 
triangle AEG donnera par le théorème xii , 

ÂC = AÈ VÊC — 2 EC X ED. 
Le triangle ABE donnera par le théorème xiii , 

ÂB = ÂË V ÊB + 2 EB X ED. 
Donc , en ajoutant et observant que EB==EG, on aura, 

AB + AG = 2 ÂÊ + 2 ËB ' 

Corollaire, Donc, dans tout parallélogramme y la 
somme des quarrés des côtés est égale a la somme des 
quarres des diagonales. 

Car Jies diagonales AG, BD, se coupent mutuelle- figii3. 
ment en deux parties égales au point E*; ainsi le *32, i. 
triangle ABC donne , 

Â| V BC == 2 ÂË + 2 b1! 
Le triangle ADG donne pareillement , 

ÂD 4- DC = 2 ÂË + 2 DE' 
Ajoutant membre à membre, en observant que BEz=: 
DE, on aura , 

ÂB+AD+DG + BC=4AË + 4DË! 

Mais 4 AE est le quarré de 2 AE ou de AG; /iHÈ 
est le quarré de BD ; donc la somme des quarrés des 
côtés est égale à la somme des quarrés des diagonales. 



7^ GKOMÏÉTRrter 

PROPOSITION XV. 

THÛOKÈMVi. 

%"4. ixi ligne DE, menée parallèlement à la base 
d'un triangle ABC y divise les côtes AB , AÇ ^ 
proportionnellement} de sorte qu'on a AD : DB* 
: : AE : EC. 
^ Joignez BE et DC; les deux triangles BDE, DEC, 
ont même base DE ; ils ont aussi métnér hauteur^ 
puisque les sommets B et G sont situés sur une paral- 
* ^' lele à la base; donc ces triangles sont équivalents*.. 
Les triangles ADE, BDE, dont le sommet commun 
est E, dnt^ même hauteur et sont entre eux comme 
*6. leurs bases AD, DB*$ ainsi on a, 

ADE : BDE : : AD : DB. 
Les triangle ADE, DEC, dont le sommet commun^ 
est D, ont aussi même hauteur, et sont entrer eux 
comme leurs bases AE , EG ; donc, 

ADE : DEC : : AE : EC. 
Mais le triangle BDE = DEC; donc, à cause du 
rapport commun dans ces deux proportions, on en 
conclura AD : DB : : AE : EC. 

Corollaire I. De là résulte componendo AD+DB: 
AD : ; AE+EC : AE, ou AB : AD : : AC : AE, et aussi 
AB : BD : : AC : CE. 
fig.n5. Corollaire IL Si entre deux droites AB, CD, on 
mené tant de parallèles qu^on voudra AC , EF , GH , 
BD , etc. , ces droites seront coupées proportionnelle^^ 
ment^ et on aura AE : CF : : EG : FH : : GB : HD. 

Car soit O le point de concours des droites AB , 
CD; dans le triangle OEF, où la ligne AC est menée 
parallèlement à la base EF , on aura OE : AE : : OF : 
CF , ou OE : OF : : AE : CF. Dans le triangle OGH, on 
aura semblablement OE : EG : : OF : FH, ou OE : OF 
: : EG : FH ; donc , à cause du rapport commun > 



LIVRE m, 77 

OE :0F, CCS deux proportions donnent AE : CF : : 
EG : FH. On démontrera de la même manière que EG : 
FH ::GB:HD, et ainsi de suite; donc les lignes AB, 
CB, sont coupées proportionnellement par les parât 
leles EF, GH, etc. 

PROPOSITION XVL 

THEOREME. 

Réciproquement si les côtés AB , AC , sont cou- *g ^^^^ 
pés proportionnellement par la ligne DE, en 
sorte qu'on ait AD : DB : : AE : EC , je dis que la 
ligne DE sera parallèle à la base BC. 

Car si DE n est pas parallèle à BG , supposons que 
DO en soit une; alors, suivant le théorème précé- 
dent^ on aura AD:BD:: AO:OC. Mais, par hypo- 
thèse , AD : DB : : AE : EC ; donc on aurait AO : OC : : 
A£:£C; proportion impossible, puisque dune part 
l'antécédent AE est plus grand que AO , et que de 
lautre le conséquent EC est plus petit que OC ; donc 
la parallèle à BC menée par le point D ne peut diffé- 
rer de DE; donc DE est cette parallèle. 

Scholie. La même conclusion aurait lieu si on sup- 
posait la proportion AB:AD::AC:AE. Car cette pro- 
portion donnerait AB — AD:AD::AC — ^AE:AE, ou. 
BD:AD::CE:AE. 

PROPOSITION XVII. 



A 



THEOREME. 



La ligne AD , quidi^^ise en deux parties égales fig. ti^ 
r angle BAC d'un triangle , divisera la hase BC 
en deux segments BD , DC , proportionnels aux 
côtés adjacents AB, AC ; de sorte qu'on aura 
BD:DC::AB:AC. 




^ GÉOMÉTRIE. 

^~ Par te point C menez CE parallèle à AD jusqu'à 1 

- rencontre de BA prolongé. 

Dans le triangle BCE , la ligne AD est parallèle à la 
• tS- base CE; ainsi on a la proportion *, 
BD:DC::AB:AE. 
Mais le triangle ACE est isosrele; rar, à cause des 
parallèles AD, CE, l'angl.; ACEr=^DAG, et l'angl« 
•»>.'■ AEC=BAD " : or, par liypotliese, DAC=BAD; 
•i3,i. donc l'angle ACE=AEC, et par suite AEr=AC * ; 
substituant donc AC à la place de AK dans la propor- 
' ' . tjon précédente, on aura, 

_ BD:DC;;AB:AC. 

flK PROPOSITION XViïI. 



Deux triangles équiangles ont les côtés homo- 
logues proportionnels et sont semblables. 
% II». Soient ABC, ODE, deux triangles qui ont les an- 
gles égaux chacun à chacun , savoir BAC^i^CDE, 
ABC=^nCE, et ACB==DEC;je dis que les côtés 
homologues oii adjacents aux angles égaux, seront 
proportionnels, de sorte qu'on aura BC:GE::AB: 
CD::AC:DE. 

Placez les côtés homologues BC, CE, danslam^bie 
direetion, et prolongez les côtés BA , ED , jusqu'à ce 
qu'ils se rencontrent en F. 

Puisque BCE est une ligne droite, et qae l'angle 

•a3,i. BCA^CED, il s'ensuit que AC est parallèle à DE *. 

Pareillement, puisque l'angle ABC=:DCE, la ligne! 

AB est parallèle à DC ; donc la figure ACDF est oïl 

paraUélogramme. 

Dans le triangle BFE là ligne AG est parallèle à la 
',s. base F£, airisi on a BC:CE::BA:AF*. A la place de 
AT BoetUnt son égale CD, on aura, 
BC:CE::BA:CD. 



LITRE III. 79 

Dans le même triangle BFE, si on regarde BF 
comme la base, CD est une parallèle à cette base, et 
on a la proportion BC:CE::FD:D£. A la place de 
FD mettant son égale AG, on aura, 

BG:CE::AC:DE. 

Enfin de ces deux proportions qui contiennent le 
même rapport, BG:CE, on peut conclure aussi, 

AG:DE::BA:GD. 

Donc les triangles équiangles BAG , GDE , ont les 
côtés homologues proportionnels : mais, suivant la 
définition II , deux figures sont semblables y lorsque 
elles ont à-la-fois les angles égaux chacun à chacun, 
et les côtés homologues proportionnels; donc les 
triangles équiangles BAG, GDE, sont deux figures 
semblables. 

Corollaire, Pour que deux triangles soient sembla- 
bles, il suffit qu'ils aient deux angles égaux chacun à 
chacun, car alors le troisième sera égal de part et 
d*autre, et les deux triangles seront équiangles. 

Sckolie, Remarquez que, dans les triangles sem- 
blables, les côtés homologues sont opposés à des 
angles égaux; ainsi langle AGB étant égal à DEG , le 
côté AB est homologue à DG ; de même AG et DE sont 
homologues comme étant opposés aux angles égaux 
ABC, DCE : les côtés homologues étant reconnus , on 
forme aussitôt les proportions : 

AB;DC::AG:DE::BG:GE. 

PROPOSITION XIX. 

THEORâME. 

Deux triangles qui ont les côtés homologues 
proportionnels y sont équiangles et semblables. 

Supposons quon ait BG:EF: : AB:DE: :AG:DF; fig. «o. 
je dis que les triangles ABG , DEF, auront les angles 
égaux ; savoir, A==D, B=:E, G=F, 



-V^! 



80 GàouàttLiB» 

Faite» au point £ l'angië F£6=B et au poipt F» 
l'angle EF6=:G, le troisième G sera égal au tioi» 
sisme A, et les deux iriaiiglM ABG , EFG ,. aefqiil; 
équiangles ; donc on aura par le théorénie précédent 
BC:EF::AB:£G: maia, par hypothèse, BC:EF::! 
AB: DE; donc EG=DE. On aura encore, par l^i 
même théorème, BC:EF: :AC:FG, or on a, par hj^^ 
pothese^ BG:EF::AC:DF; donc FG=DF; donc 
les triangles EGF, DEF, ont les trois côtés égmz 
*ii, X. chacun à chacun; donc ils sont égaux ^. Mais, par 
construction , le triangle EGF est équiangle au tiîai^ 
gle ABC; donc aussi les- triangles DËF, ABG, sont' 
équiangles et semblables. . .. , ^.1 

SchoUe I* On voit par ces deux dernières prôpoàii* 
tiens, que dans les triangles, Tégalité des angles éçp- 
une suite de la proportionnalité des côtés,, et' v^ 
ciproirjuement , de sorte qu'une de ces ecÊ^StâfiM- 
s)îffit pour a^stirer la similitude des triangles.-.U n*eÉ^ 
est pas dé même dans les figures de plus de troi^> 
côtés; car, dès qu'il s'agit seulement des quadrila- 
tères, on peut, sans changer les angles, altérer la' 
proportion des côtés , ou , sans altérer les côtés , 
changer les angles; ainsi la proportionnalité des 
côtés ne peut être une suite de l'égalité des angles, ni 
fig. 121. ^ice "versâ. On voit, par exemple , qu'en menant EF 
parallèle à BC, les angles du quadrilatère AEFD 
sont égaux à ceux du quadrilatère ABCD ; mais la 
proportion des côtés est différente : de même , sans 
changer les quatre côtés AB, BC, CD , AD , on peut 
rapprocher ou éloigner le point B du point D , ce qui 
altérera les angles. 

Scholie. II.' Les deux propositions précédentes qui 
n'en font proprement qu'une , jointes à celle du 
quarré de l'hypoténuse , sont les propositions les pl|is 
importantes et les plus^ fécondes de la géométrie j- 
elles suffisent presque seules à toutes les application^, 



LIYAB IIX. 8x 

et à la résolution de tous les problfèmes : la raison en 
est que toutes les figures peuvent se partager en 
triangles , et un triangle quelconque en deux trian- 
gles rectangles. Ainsi les propriétés générales dos 
triangles renferment implicitemeht celles de toutes le^ 
figures. 

PROPOSITION XX. 

THBORâME. 

Deux triangles qui ont un angle égal compris 
entre côtés proportionnels , sont semblables. 

Soit l'angle A = D, et supposons qu'on a AB : %. 122, 
DE : : AG : DF ; je dis que le triangle ABC est sem- 
blable à DEF. 

Prenez AG = DE et menez GH parallèle à BQ ^ 
langle AGH sera égal à Tangle ABG*^ et le triangle *a3.z. 
AGH sera équiangle au triangle ABC ; on aura donc 
AB:AG:: AC:A,H: mais, par hypothèse, AB:D£:: 
AC : DF , et par construction AG = DE \ donc AH =: 
DF. Les deux triangles AGH , DEF , ont donc un 
angle égal compris enti*e côtés égaux ; donc ils sont 
égaux. Or le triangle AGH est semblable à ABC; donc 
DEF est aussi semblable à ABC. 

PROPOSITION XXI. 

THSORÂMB. 

Deux triangles qui ont les côtés homologues 
parallèles y ou qui les ont perpendiculaires cha- 
cun à chacun y sont semblables. 

Car, I** si le côté AB est parallèle à DE , çt BC à fig. ia3. 
EF , langle ABC sera égal à DEF* 5 si de plus AC est * ^. t. 
parallèle à DF , l'angle ACB sera égal à DFE , et au«si . 

Neui^. éd. Q 



9i3 «ioKsrmis. 

BAC i £DF '.iooe iM^tMoglMABC, IKFf «otf 

AquÛDgiM ; doao ili- wbt àamblablea. 

'*' Soit le cM SE per|iéadiciilain à AV, tth. 
AAté-AP-A A£<I <kap là ijHulriklère AOUei te dite 
«BglM I flt HtMTO^^Diliii tM-qaatn.'aagliirf^âlMt 
I. «UMinble qUBtK angles droiu *; donc l«i dflm|«q»F 
tants lAH, I^, nient deux anglei droîta. Huf.Itif 
deux angles ^^F, IDB, valent aussi deux angles 
droiu; donc l'angle EDF est égal à lAH ou BAC ; 
pareillement si le troiaieiiie côté £F est puqiendi- 
qa)aj|^ au troisième fiC^ Oa clémoutrera que l'angle 
lï^^ et DEF=B î donc les deux triangles ABC, ■ 
JÇlËFj, qiii ont les côtés perpendiculaires chacun à 
cfaaçtpij'.apnt équungles et semblables. 

Schotie. Dans le cas des eûtes parallèles , les côtés 
faojpplOj^S sont, les, çAtés parallèles, et, dans celui 
des c^tës pa^pnlf^t;^laires, ce sont les côtés perpen- 
âËcuuiTes. Ain^_dfip4 ce dernier cas, DE est homo- 
logwi'AÉ^'M^£'AÎii"et EF à BC. 

Le cas dej cfités 'perpeodîculEurëi pourran' oftîr 
une situation relative des deux triangles , différente 
de ccJle qui est supposée dans la fig. ia4î niais l'^a- 
Iit« des angles respebtiâ se démontrerait toujoôrs , 
Mit par des quadrilatères tels que AIDH, dont deox 
angles sont droits , soit par la comparaison de cléux 
triangles qui , avec des angles opposés au sommet , 
auraient chacun un angle droit : d'ailleurs on pour- 
tût toujours supposer qu'on a construit au-dedans 
du triangle ABC un triangle DEF, dont les c6^ 
seraient parallèles à ceux du triangle comparé à ABC, 
et' Mors la démonstration rentrerait dans le cas de la 



LIT&B III. 83 

PROPOSITION XXII. ^ 

THBOaâlIB. 

f 

Les lignes AF, AG, etc., menées comme on vou- ^. las. 
irapar le sommet d* un triùngley divisent propor- 
tionnellement la base BC et sa parallèle DE^ de 
Sorte qu'on a DI : BF : : IK : FG : : KL : GH , etc. 
Car, puisque DI est parallèle à BF, le triangle 
ADI est équiangle à ABF, et on a la proportion 
DIcBF :: AI: AT ; de même IK étant parallèle à FG, 
on a Al:AF::IR;FG 9 donc, à cause du rapport 
commun AIzAF, on aura DI:BF::IK:FG. On trou- 
yera semblablement IK:FG :: EXiGH, etc. ; donc la 
ligne DE e^t divisée aux points I , K , L , comme la 
base BG Test aux points F, G, H. 

CoroUàire^ Donc , si BG était divisée en parties 
égales- aux points F, G, H, la parallèle DE serait di* 
lisée de même en parties égales aux pk>ints I , K, L. 

PROPOSITION XXIII. 



THÉoaxafs. 



Si de r angle droit k d*un triangle rectangle on fig. ii^e. 
abaisse la perpendiculaire AD sur Vkypoténuse; 

I® Les deux triangles partiels ABD,. ADC, 
seront semblables entre eux et au triangle total 
ABC; 

a® Chaque côté AB ou AC sera moyen pro- 
portionnel entre Vhjrpoténuse BC et le segmer^ 
adjacent BD ou DC ; 

3<> La perpendiculaire AD sera moyenne pro- 
portionnelle entre les deux segments BD , DC. 

Car, 1. le triangle BAD et le triangle BAG ont . 
Vangle commun B ; de plus langle droit BDA est 
^al à l'angle droit BAG ; donc le troisième angle 
KU) de l'un est égal au troisième G de laulre \ donc 

6. 



■ ces deux tnsD^lef^nt à^MÛ^^ba et lembialilea. O» 

démontzera ^ taim que le trûngle DAG est sem- 
' blable an triangle BÂGj'dcinc la trois tjriuii^ tont 
4quîui{^ et jenAhbles cotre enx. ' 

a" Puùqoe le triiui^le BAD est semblable au trian- 
(^ BAC, lefun càtés homologues sont proportionnels. 
' ^ Or^'le cât^ Bp dans le petit triangle est homologue 

V à BA dans le |;rand , parce qu'ils sont opposés à des 
anjf^es éffoo-, BAp, BCAj l'hypoténuse BA du petit 
est homologue à l'hjpot^nuse BC du grand; donc. on 
peut fonnier la ^troportion BD : BA :: fiA : BC. On 
annft de la m£me manière DC:AC':: AC:BC; donc, 
^af .i^acun du cÂtéi AB,' AC, est moyen propor- 
tioujlf^ ^tre Itrfpoténuse et le segment adjacent à 
ce côté. 

3** Enfin Ifk.sù^ttt^edfs triangles ABD, ADC, 
dfjjl^, en cj^apuafit les, côtés homologues , BD: 
^'"■~ ||^>;.iip:pÇ.;',4aDC> 3° ï* perpendiculaire AD est , 
mOTcnne pBanç«tio|inellfl entre les segments BD, DG 
de lliypttt^^. . 

SchoUe. La propôràon BD:AB::AB:BG donne, 
. es[,4g^4B)J: le |>rpduit des extrêmes à celui des moyens, 
âccflOKBC. On a de même M:'=DCxBC) 
donc ÂbVÂC=BDxBC + DCxBC; le second 
nombre est ht même chose que (BD+DC) X BC, 
et il se réduit à BC X BC ou BC ; donc on a aS 

+ AC=BC; donc le quairé fait sur l'hypoténasa 
BC est égal à la somme des quarrés faiu sur les denx 
antres cdtës AB , AC Nous retombons ainsi sur la 
proposition du quarré de l'hypoténuse par une vois 
très-différente de celle que nous avions suiyie ; d'pii 
l'on voit qu'à proprement parler , la proposition du 
quarré de l'hypoténuse est une suite db la propor- 1 
tionnalîté d^i côtés dans; Us triangles ëquîan^eS. 



LIVR£ III. 85 

iAinsi les propositions fondamentales de la géométrie 
9e réduisent , pour ainsi dire , à celle-ci seule , que 
les triangles équiangles ont leurs côtés homologues 
proportionnels. 

n arrive souvent , comme on vient d'en voir un 
exemple ) qu'en tirant des conséquences dune ou de 
plusieurs propositions , on retombe sur des proposi- 
tions déjà démontrées. En général ce qui caractérise 
particulièrement les théorèmes de géométrie, et ce 
qui est une preuve invincible de leur certitude, c'est 
qu*en les combinant ensemble d'une manière quel- 
conque , pourvu qu'on raisonne juste , on tombe 
toujours sur des résultats exacts. Il n'en serait pas de 
même si quelque proposition était fausse , ou n'était 
▼raie . qu'à-peu-près ; il arriverait souvent que , par 
la combinaison des propositions entre elles , Terreui: 
s'accroîtrait et deviendrait sensible. Cest ce dont on 
Toit des exemples dans toHtes les démonstrations où 
nous nous servons ' de la réductwit a PaAsurde.^ Ces 
démonstrations , où l'on a pour but de prouver que 
deux quantités sont égales, consistent à faire. voir que, 
s'il y avait entre elles la moindre inégalité , on serait 
conduit par la suite des raisonnements à une absur* 
dite manifeste et palpable ; d'où Ion est obligé de 
conclure que ces deux "quantités sont égales. 

Corollaire, Si d'un point A de la circonférence on ^ ^^^ 
mené les deux cordes ÂB , AC , aux exti*émités. du 
diamètre BC , le triangle BAC sera rectangle en A ^ ^ « ^g^ , 

Icbnc ^ \^ la perpendiculaire AD est moyenne propor'' 
ticmnelle entre les deux segments BD , DG , du dia* 
mètre ^ ou, ce qui revient au même , le quarré AD 
m, (^B^al au rectangle BD X BC. 

vP La corde AB est moyenne proportionnelle entte 
k diamètre BC et le segment adjacent BD ,. ou , ce 

qoi reyient au même, AB=BDxBC. On a sem 



."•1 



m ■■ ' 



86 «ioii]fvKis. 

MiblemcAt AckiGD x BG ; donc AB: AC :: B6 iO^^ 

et ti on compare AB à BG, onaura AB:BG::BD:BGii 

on âurak de méÀiè ÂG:BG*::DG:BG. Gaa Itppari* 
des quairëfl det e6téa^ floit entre eux/, soif ai^êcf le 
quai^ de lli jpoténiue 9 ont été déjà donnés duM le» 
GordL m et iV de la prop. u. 

PROPOSITION XXIV. 



TAiomâMS. 



< t 






JOeux triangles qui ont un angle égal: MOU 

entre eux comme : les rectangles des côtés qui 

g^, ia3. cortqmhnent rangleégal. ^insile trianglejkXC 

est au tri€U9gle)àJ0S» comme le rectiaunghr^xàD 

ea am rectangle ABxAE. , '^ \ 

Tfi^ez BE; lef denx triangles ABE, MSB^ dent le 
somm^ commun est E, ont même hautent/èt aottit 
^ 6. entre eux comme leurs bases AB, AD *' ; donc, 

ABE:ADE::AB:AD. 
On a de même, 

ABC:ABE::AC:AE. 
Multipliant ces deux proportions par ordre, et omet- 
tant le commun terme ABE , on aura, 

ABC:ADE::ABxAC:ADxAE. 
Corollaire. Donc les deux triangles seraient ëqui- 
Talents , si le rectangle AB X AC était ^1 au rectan- 
gle ADxAE, ou si on avait AB:AD:: AE:AC, ce 
qui aurait lieu si la ligne DG était parallèle à BE. 

PROPOSITION XXV. 

THÉORÈME. 

Deux triangles semblables sont entré eux 
comme les quarrés des côtés homologues. 



LIVRE III. ' 87 

Soit langle A:==D et l'angle B=E ; d abord à cause ^ laa. 
des angles égaux A et D, on aura , par la proposi- 
tion précédente, 

ABC:DEF::ABxAC:DExDF. 
On a d'ailleurs, à cause de la similitude des triangles^ 

AB:DE::AC:DF. 
Et si on multiplie cette proportion terme à terme par 
la proportion identique , 

AC:DF::AC:DF, 
il en résultera, 

ABxAC:DExDF::Âc':Df! 
Donc, 

ABC:DEF::ÂC:Df' 
Donc deux triangles semblables ABC , DEF, sont 
entre eux c<|nme les cpiarres des côtés homologues 
AG, DF, ou comme les quarrés de deux autres côtés 
komologues quelconques. 

PROPOSITION XXVI. 



A 



THEOREME. 



Deux polygones semblables sont composés 
£un même nombre de triangles semblables cha- 
cun à cliacun et semblablement disposés. 

Dans le polygone ABGDE, menez d'un même angle fig. \b.^. 
A les diagonales AG, AD aux autres angles. Dans 
l'autre polygone FGHIK, menez semblablement de 
l'angle F homologue à A, les diagonales FH, FI aux 
autres angles. 

Puisque les polygones sont semblables, Tangle ABC 
est égal à son homologue FGH ^, et de plus les côtés * déf. 2. 
AB, BG , sont proportionnels aux côtés FG, GH ; de 
sorte qu'on a AB;FG :: BG:GH. Il suit de-là que les 
triangles ABC , FGH , ont un angle égal comprit» 
ontre côtés proportionnels; donc ils sont sembla- 



88 CKOHÉTBIE. 

• îo. bles • ; donc l'angle BCA est égal à GHF. Ces angles 
égaux Étant retranchés des angles égaux BCD, GHl, 
les restes ACD, FHI seront égaux : maïs puisque les 
triangles ABC, FGH sont semblables, on a AC: 
FH :: BC:GH; d'ailleurs, à cause de la similitude des 

a. ,. polygones " , BC : GH :: CD : Hl ; donc AG : FH :: 
CD:HI : mais on a déjà vu que langle ACD=FHI ; 
donc les tiiangles ACD, FHI, ont un aogle égal com- 
pris entre côtés proportionnels, donc ils sont sem- 
blables. On conrinueiait de même à démontrer la 
similitude des triangles suivants, quel que fAt le nom- 
bre des câtés des polygones proposés ; donc deux 
polygones semblables sont composés d'un même 
nombre de triangles semblables et semblabiement 
disposés. 

Scholie. La proposition inverse est ég^^ent vraie : 
si deux polygones sont composés d'un méine nombre 
de triangles senibUibles et semblabiement disposés, ces 
deux polygones seront semblables. 

Car la similitude des triangles respectifs donnera 
l'angle ABC=FGH,BCA^GHF, ACD^FIII; donc 
BCD^GHI, de même CDE = mK, etc. De plus, on 
, aura AB:FG::BC:GH::AC:FH::CD:HI, etc.; donc 
les deux polygones Ont les angles égaux et les. côt^ 
proportionnels; donc îb sont semblables. 

PBOPOSITION XXVII. 

j ' - THÉOB&liB. 

■ Les coTtiows OU périmètres des polygones serri'' 
hlablessont comme les côtés homologues, et leurs 
surfaces sont comme les quarrés de ces mêmes 
côtés. 
flg lag Car, i" puisqu'on a , par la nature des figures 
semblables, ABiFG:; BC:GH:: CD: HI, etc. , on 



LITRE III. 89 

peut conclure de cette suite de rsports égaux : La 
somme des antécédents ÀB+BC-GD, etc., péri- 
mètre de la première figure, est à la)mme des consé- 
quents FG+GH+HI, etc., périmre de la seconde 
figure , comme un antécédent est ion conséquent , 
ou comme le côté ÂB est à son hoolôgue FG. 

â"" Puisque les triangles ABC^ IH sont sembla- 
bles , on a* ABC : FGH :: AC : F ; de même les * a5» 
triangles semblables AGD, FHI , dment AGD : FHI 

<:: AG : FH; donc , à cause du ipport commun 
Sc'.'FH, ona, 

ABG.FGH ::AGD:HI. 
Par. un raisonnement semblable oitrouverait, 

AGDrFHI:: AEE;IK; 
et ainsi de suite, s'il. y avait m pis grand nombre 
de triangles. De cette suite de ipprts égaux on con- 
clura 2 La somme de$ antécéderis î§iC+ACD-|-ADE, 
ou le polygone ABCDE , est âla somme des consé- 
quents FGH+FHI+FlKi ou a polygone FGHIK, 
comine un antécédent ABG éi^ son conséquent 

FGH y ou comme AB est à FG ; *nc les surfaces des 
polygones semblables sont entre e^ comme les quar- 
rés des côtés homologues. 

Corollaire. Si on construit trois mres Semblables 
dont les côtés homologues soientVaux aux trois 
côtés d'un trijangle rectangle , la ^re faite sur le 
grand côté sera égale à la somme ^ deux autres : 
car ces trois figures sont proportionnas aux quarrés 
de leurs côtés homologues ; or, le qu^é de l'hypo- 
ténuse est égal à la somme des quarrés (^ deux.autres 
côtés ; donc , etc. 



- pO «AOKBSftlI. 

PROOSITION XXVIIE 

THiOKâMB. 

Hg. i3o. Lesp€tnié$ e Jimjac cordes AB, C3), qnisë 
coupent damm cercle y sont réciproquement 
proportioMieùf c^est^à-dire qu'on a ÂO : DO 
: : CO : OB. 

JoigDeft.AC éSD : dans les trian^ ACO^ BOD^ 
les angles en Ocmt égaux comme opposés au som- 
met ; l'angle A t égal à l'angle D, parce qoîLi sont. 
* z8, a. inscrits dans le.ème segment * ; par la même rabbn 
l'angle G=:B ; dic ces triangles sont semblables, et 
les côtés homdtmes donnent la proportion AO: DO 
i::œ:OB. 

ÇohOairâ. On^»4e-U AOxOB=dX)xœ:.donc 
le rectangle dès ôusP^ities de l'une des Mrdes est 
égal au rectangle 'ieo^x parties de Tautre. 



• 1 vr^ 



PBO^SITION XXIX- 



THEOREME. 



iig. i3i. *5* ^'^^ mêmpoint O, pris hors du cercle^ on 
mené les sécan^ OB, OC, terminées à Varc con- 
cave BCf les s^^^^ entières seront réciproque- 
ment proport^^^ll^^ à leurs parties extérieures, 
c'est-à-dire ^on <mra OB : OC : : OD : OA. 
Car, en joi^^at AC, BD, les triangles GAG, OBD, 
♦ 18, 2. ont f angle Commun; déplus rangleB=C*; donc 
ces trîangles^ïït semblables ; et les côtés homologues 
donnent la roportîon , 

OB:OC::OD:OA. 
Corollai- Donc le rectangle ÔAxOB, est égal au 
rectangle^C X OD. 

Scholi^^ peut remarquer qu^ cetto proposition 
a beauc^P d'analogie avec la précédente , et qu elle 



LiTai III. 91 

n'en diffère qa^én ce que les deux cordes AB , CD, 
au lieu de se couper dans le cercle, se coupent 
au-dehors. La proposition suivante peut encore être 
regardée comme un cas particulier de celle-ci. 

PROPOSITION XXX. 

TnÉOREME. 

Si d'un même point O pris hors du cercle on fig. iSa. 
mené une tangente OA et une sécante OC, la 
tangente sera moyenne proportiômèlle entre là 
sécante et sa partie extérieure; de sorte qiCoH 
aura OC : OA : : OA : CD ; ou^ ^ quirenent au 

même, OA=OCxOD. 

Car, enjoignant AD et ACj 1c« triangles OAD, 
OAC, ont langle O commun/ àe plus Tangle OAD, 
formé par une tangente et uf* corde *, a pour mesure * 19, at 
la moitié de l'arc AD, et l'^g'© C a la même mesure ; 
donc Fangle OAD=C ; ^^"^ ^^ deux triangles sont 
semblables, et on a la proportion, 

OC-^A::OA:OD, 

qui donne ÔÂ = 0^ X OD. 

PRfPOSITION XXXI. 

THEOREME. 

Dans un ^^g^ ABC, si on divise Van§^ A en deux fig. i33. 
parties Sg^ par la ligné AD , li reciongle des c6iés AB, 
AC , sera égal an rectan^ des segments BD, DC , plus au 
quarré dt la sécante AD, 

Faites tasser une circonférence par les trois points A, B, 
C, proloigez AD jusqu'à la circonférence , et joignez CE. 

Le trîaigle BAD est semblable au triangle EAC ; car, par 
hypothe/e, l'angle BAD = EAC ; de plus l'angle B = E, 
puisquils ont tous deux pour mesure la moitié de l'arc AC ; 
donc es triangles sont semblables , et les côtés homologues 
donneiL' la proportion BA : A£:: AD : AC : de là résulte 



BAX^CssAfexAD; mais AS=:A]H-I>Ef ^ ènniiilti- 

pliant de p«rt et à'ÉMté ptKAD; on à ÀEXJlbsAS^- 
*98. iJ>xDE; d'ailleimADXIMiSsdhDxDC''; doB»^ 

AixA;(;=12Ûf.iiDxDC. 

PROPOSITIQMT XXXII. 

r t 

If.i34. ÙOMt iô^a tnmgle àJÊX:^ fo FeeUmgie des dekx dké$ AMf 
▲C, tf/f ^gal akpettamgle emnprùpar le diameifà C|B dm 
-cendeeireoment^ tmipé^peruUdUaire AD .aAa£m% sur ie^ 
IrtMiMnitf eMtfBC • 

Cor, en joigiiaiit Je, les triangles ABD, AEC,Mmtree* 
tanflea, IHm en B, l'acre en A; de pins l'aligle B==i|pî$ donè. 
ces triangles «ont semb^^les , et ils donnent la propiNtion 
ÂB:CE::AD:AC; d^oii ^te ABxAG=GExip-'V 

mèmeqaantitéBG)on.aniB^ii^XAGxBG=CXX^^ 
*> Or, ADxBG.est le donUedel^nrfiice dn triangle^; donir 
le produit dei trois t^étés d^tK^t^ est ^^ài à ia swfmBe 
multipUéepar le double du diamt^ du cercle circonscris. 
Le produit de trois lignes s'appelKquelquefois un solide, 
par une raison qu'on verra «-«près. ^^^ valeur se conçoit 
aisëment, en imaginant que les lignes sat réduites en nom- 
bres, et multipliant les nombres dont il Sx^t. 

SckoUe. On peut démontrer aussi que ^ surface d'un 
triangle est égale à son périmètre muUipUé ptk. la moitié du 
rayon du cercle inscrit. 
fig. 87. Car les triangles AOB/ BOG, AOC, qui ont Seir sommet 
commun en'O, ont pour hauteur commune lemyon du 
cercle inscrit ; donc la somme de ces triangles sea égale à . 
la somme des bases AB, BC , AC, multipliée par i moitié 
du rayon OD ; donc la snr£u^ du triangle ABC et égale 
à son périmètre multiplié par la moitié du rayon di cercle 
mscnt. 



i^ivilS III. 93 

PROPOSITION XXXIII. 
THionâMB. 

Dans tout quadrilatère inscrit ABG[> , le rectan^ des fif • t35. 
'deux diagonales AC, BD, est égal à ta somme des rectan- 
gles des côtés opposés, de sorte qu^on a 

ACXBD=ABXCD+ADXBC. 

Prenez l'arc CO=AD , et tirez BO qui rencontre la dia- 
gonale AC en I. 

L'angle ABD — CRI, puisque l'un a pour mesure la moitié 
de AD, et l'autre la moitié de CO égal à AD. L'angle ADB=: 
BCI, parce qu'ils sont inscrits dans le même segment AOB; 
donc le triangle ABD est semblable au triangle IBC, et on a 
la proportion AD:CI::BD:BC ; d'où résulte ADxBC=: 
CI X BD. Je dis maintenant que le triangle ABI est semblable 
au trknglé BDC ; car l'arc AD étant égala CO, si on ajoute 
de*pfirt>t d'àutre'OD, on aura l'arc AO=DC; donc l'angle 
AH==DBC; de plus l'angle BAI = BDC, parce qu'Us sont 
inscrits dans lé même segment; donc les triangles ABI,DBC, 
sont semblables, et les côtés homologues donnent lapropoi^ 
tion AB:BD:: AI:CD; d'où résulte ABxCD=:AIxBD. 
• Ajoutant, lés deux résultats trouvés,' et observant que 
AixBD-fCIXBD=(Al4-CI)xBD=ACxBD, on aura 
AD X BC-hAB X CD= AC X BD. 

Scholie. On peut démontrer de' la même manière un au- 
tre^ théorème sur le quadrilatère inscrit* 

Le triangle ABD semblable a BIC,.donne la proportion 
BD:BC::AB:BI, d'où résulte BIxBD=BCXAB. Si on 
joint CO, le, triangle ICO, semblable à ABI, sera semblaUè 
à BDC , et donnera la proportion BD : CO : : DC : 01 ; d'où 
résulte OIXBD=:COxDC, ou, à cause de CO=t:AJD, 
0IxBD=l1DxDC. Ajoutant les deux résultats, et obser- 
vant que élxBD+OIxBD se réduit à BOxBD, on aura, 

BO X BD=:AB X BC+AD X DC. 

Si on eût pris BP=:AD, et qu'on eût tiré CKP, on au- 
rait trouvé par des raisonnements semblables, 
CP X CA=AB X AD+BC X CD. 



94 GBOXKTAIB. 

Biais Tare BP ëtapt égal & ÇO, si on ajoute de part et 
d'autre BG,. oti annt Parc CKssBCO; donc la cofde GP 
est ^ale à la corde BO» et fft conséquent les rectangles 
BOXBD et GPXGA. sont «t>9 eux comme BD esta CÀ} 
donc', 

BDrÇA. :: iJBXBO-hAD XDC : AD X AB+BÇXGQ. 

Donc ies deux diamo^àUs tTun quadrilatère m$cni somi 
entre elles comme les sommes des rectangles des côtés qui 
aboutissent à leuts extrémités. 

Cet deux dbéorêmes ))èuYent servir à trouver les di^go* 
nales quand on coiUiaît les côtés. * * 

"'■*'■ ■"«■.■■■ 

PEO,Pl>SiTION XXXIV. ' 

' ■ . ■ . ' ■ ■ ■ ?" 

THiOE&MB. 

' ■ ■ ■ ' . .."■;■ i 

§%, i36. Soi$ VjuHpaini donné, au-dadans du cercie^Êmffé:r4from 
AC, et;^j»is un fpùt^^^^ilekors sur lej ^U u gfimtn t 
du .mém ni^m , de pg/^ gf^'^ aitCB:ÇL::Çà^€^^,fi 
€t un point qifeleonque M de la càvofififpenùf on fffmemm 
€leux Joints "9 étioles droites liP^MQ^ Je dis que ces dmi^ 
tes seront par-tout dans un même rapport^ et qu'on aura 

MP:MQ::AP:AQ. 

Car on a, par hypothèse, CP:CA::CA:CQ ; mettant 
CM à la place de CA^ on aura CP:CM::CM:CQ; donc les 
triangles CPM , CQM , ont un angle égal C compris entre 
* 20, 3. côtés proportionnels; donc ils sont semblables*^; donc le 
troisième côté MP est au troisième MQ comme CP est à CM 
ou CA. Mais 1^ proportion CP : CA : : C A : CQ donne , dwi- 
dendo, CP:CA::CA— CP:CQ— CA, ou ÇP:CA::AP:AQ, 
. donc MP:MQ : : AP : AQ. 



LIVES III. ^5 

Problêmes relatifs au Lm III. 

P&OBLâMK PREMISE 

Diviser une ligne droite donnt en tant de 
parties égales qu'on voudra 9 ou eiparties pro- 
portionnelles à des lignes données. 

■i"* Soit proposé de diviser la ligne^ en cinq fig. 1374 
parties égales ; par l'extrémité A on mçera la droite 
indéfinie AG, et prenant AC d'une gradeur quel- 
conque , on portera AG cinq fois sur AC On joindra 
le dernier point de division G et l'extrénté B par la 
ligne GB, puis on mènera CI parallèle àGB ; je dis 
que AI sera la cinquième partie de la lipe AB , et 
qu'ainsi en portant AI cinq fois sur AB, i ligne AB 
sera divisée en cinq parties égales. 

Car, puisque CI est parallèle à GB, lescAtés AG, 
AB, sont coupés proportionnellement en Glt I ^. Mais * x^- 
AC est la cinquième partie de AG ; donc A. est la cin- 
quième partie de AB. 

2" Soit proposé de diviser la ligné*AB n parties fig. i38. 
proportionnelles aux lignes données P, (, R. Par 
Textrémité A on tirera Findéfinie AG, q prendra 
AC=:P, CD=Q, DE=R, on joindra les extrémités 
£ et B, et par les points G , !D, on menen CI, DK, 
parallèles à £B ; je dis que la ligne AB sira divisée 
en parties AI , IK, KB, proportionnelles aux lignes 
données P, Q, R. y 

Car, à cause des parallèles CI, DK, EB, les parties 
AI, IK, KB, sont proportionnelles aux p&rties AC, 
CD, DE *; et par construction celles-ci sont égales ^ i5. 
aux lignes données P, Q, B. 

PEOBLâME xt. 

'ïrouver une quatrième proportiifnmlle à trois' 
U^es données A, B^ C. 



■ w 



98 uioui^WLtÉ. 

Ig.i30. Tirez les dàc UgnM indéfinies DE, DF, flooi nm 
angle <piéIconiie.' Sur1>È prenez DA= A et DB==B^ 
lur DF prene^== 6," joignez AG, et par le pdtt 
B menez BX avalldè. à AC;;je dis.cpie lA aftm 1» 
muitrieme prèordonneUe demandée : car, pniaqae 
M^paràlla à ÂC^^ôn a la proportioii DArÛB^i 
DC : DX ; or^ li troii preittiers termes de cette prppdoK 
don . sosit égix aux trms ' lignés données.-; donc HX 
est la ^[iuitrilie pitoportionnelle démandée; 

piopbrtioni^ J^' 1^ li||nes données A, 6, car 
' 'die sera knttWqae la qoatrieilie pro^cntlHbiibelIe 
aux trois Hbi^AvB^ B. , ' 

VlLOBLftlCS III. 



1. 

* • . 



« Tng^ve une mqjfenne propùrtionneih ^ntrà 
dwarUgies données 4i.et B. 

% i4o. Sur la l^ne indéfiiiie DF prenez OE=A, et ^==A: 
sur la ligie totale DF comme diamètre décrlym la 
demi - cironférencé DGF ; au point E élevez sur le 
.diamètre a perpendiculaire EG, qui rencontre la cir- 
conférenc en G ; je dis que EG sera la moyenne 
proportioinelle chefchée. 

Car la perpendiculaire GE, abaissée dun point d^ 

la circbnffrence sur le diamètre , est moyenne pro* 

portionnele entre les deux segments du diamètre DE, 

* a3. EF ^ : or, ces segments sont égaux aux lignes données 

A et B. 

PROBLBMBiy. 

gg, i4i. - Dis^iser la ligne donnée AB en deux parties^ 

de manière que la plus grande soit moyenne 

proportionnelle entre la ligne entière et Vautre 

partie. 

A l'extrémité B de la ligne AB élevez la perpen- . 
diculaire BC égale à la moitié de AB ; du point C 



LIVRE III. 97 

comme centre , et du rayon CB décrivez une circon- 
férence, lirez AC, qui coupera la circonférence en D, 
et prenez AF=AD ; je dis que la ligne AB sera divisée 
du point F de la manière demandée , c^est-à-dire qu'on 
aura AB:AF::AF:FB. 

Car AB étant perpendiculaire à lextrémlté du rayon 
CB , est une tangente ; et ^i on prolonge AC jusqu'à ce 
quelle rencontre de nouveau la circonférence en E, 
on aura * AE:AB:: AB:AD; donc, dwidendo^ AE *5o. 
— AB:AB::AB — AD: AD. Mais, puisque le rayon 
BC est la moitié de AB , le di^pnetre DE est égal à 
AB, et par conséquent AE — AB:i=:AD=AF ; on a 
aussi, à cause de AF=AD, AB — AD=zFB; donc 
AF:AB::FB:Ab ou AF ; donc, imertendo, AB:AF 
,:;AP:FB. 

Scholie. Cette sorte de division de la ligne AB 
s'appelle division en moyenne et extrême raison : on 
en verra des usages. On peut remarquer que la sé- 
cante AE est divisée en moyenne et extrême raison 
au point D; car, puisque AB=DE, on a AE:DE::; 
DE:AD. 



PROBLEME V. 



Par un point donné A dans Vangle donné figua. 
BCD, tirer la ligne BD de manière que les parties 
AB , AD , comprises entre le point A et les deux 
côtés de l'angle y soient égales. 

Par le point A menez AE parallèle à CD , prenez 
BE=CE, et par les points B et A tirez BAD, qui 
sera la ligne demandée. 

Car , AE étant parallèle à CD , on a BE : EC : : BA : 
AD; or BE=EC; donc BA=AD. 



PROBLEME VI. 



Faire un^ quarré équivalent à un paralléla^ 

gramme ou à un triangle donné. 

Neiw, édit. y 



gS GEOMETRIE. 

lil. i" Soit ABCl) le paiallclograinme donné, ÀB aa 
base, De sa hauteur : enire AB et DE cherchez une 
'pr. 3. moyenne proportionnelle XY"; je dis que le quarré 
fait sur XY sera équivalent au parallélogramme ABCD. 
Car on a, par construction , AB:XY :; XY:DE; donc 
XY"=ABxDE : or ABxDE est la mesure du pa- 
ra Uélogram me , et XY celle du quarré, donc ils sont 
équivalents. 
Ég'44. 2» Soit ABC le triangle donné, BC sa hase, AD sa 
hauteur : prenez un^moyenne proportionnelle entre 
BC et la moitié de AD , et soit XY cette moyenne ; 
je dis que le quarré fait sur XY sera équivalent au 
triangle ABC. 

Car, puisqu'on a BC:XY::XY: î AD, il en ré- 
sulte XY^BGXtAD, donc le quarré fait sur XY est 
équivalent au triangle ABC. 

PSOBLÈUE TIf. 

H-'i^- Faire sur la ligne donnée AD un rectangle 
ADEX éguii'alenl au rectangle donné ABFG. 

Cherchez une quatrième proportionnelle aux trois 
lignes AD, AB, AC, et soit AX cette quatrième pro- 
portionnelle , je dis que le rectangle fait siu' AD et AX 
sera équivalent au rectangle ABFC. 

Car, puisqu'on a AD:AB:: AC:AX, il en résulte 
ADxAX=AfixAG; donc le recUngle ADEX est 
équivalent au rectangle ABFC. 

PROBLÈME viti, 

e-i48. Trouver en lignes le rapport du rectangle des 
deux lignes données k. et h au rectangle des deux 
lignes données C etD.. 

Soit X une quatnerae proportionnelle aux trois 
lignes B , C > D ; je dis que le rapport des deujt lignes 



tivViE iir. 99 

A et X sera égal à celui des deux rectangles A X B , 
CxD. 

Car, puisqu'on a B:C::D:X, il en résulte GxD 
= BxX; donc AxB.CxD:: AxB.BxX:: A:X. 

Corollaire. Donc, pour avoir le rapport des quar- 
rés £iits sur les lignes données A et C , cherchez une 
troisième proportionnelle X aux lignes A et G, en 
sorte quon ait A:C::C:X, et vous aurez A*: C* :: 
A:X. 



PROBLEME IX. 



Trouver en lignes le rapport du produit des fig.149. 
trois lignes données A , B , C , au produit des 
trois lignes données P , Q , R. 

Aux trois lignes données P, A, B, cherchez une 
quatrième proportionnelle X : aux trois lignes don- 
nées G , Q , R , cherchez une quatrième proportion- 
nelle Y. Les deux lignes X, Y, seront entre elles 
comme les produits A X B X G , PxQxR. 

Gar, puisque P:A::B:X , on a AxB = PxX; 
et, en multipliant de part et d'autre par G, AxB 
xG=GxPxX. De même, puisque C:Q::Il:Y, 
il en résulte QxR=GxY; et, multipliant de part et 
d'autre par P, on a PxQxR=PxCxY, donc le 
produit AxBxG est au produit PxQxR comme 
GxPxX est à PxGxY, ou comme X est à Y. 



PROBLÊME X. 



Faire un triangle équivalent à un polygone 
donné. 

Soit ARGDE le polygone donné. Tirez d'abord H-^^^ 
la diagonale GE, qui retranche le trianglie GDE,- par 
le point D menez DF parall^e à GE jusqu'à la ren- 
contre de AE prolongé ; joigRez GF , et le polygone 
ABGDE sera équivalent au polygone ABGFqui a un 
eôté de moins. 



Caries Inangles CDE, CFE, ont la base cacnmui 
CE ; ils ont aussi même hiiutcur , puisque leurs som- 
mels D , F , sont situés sur une ligne DF parallèle à la 
base; donc ces triangles sont équivalents. Ajoutant 
de part et d'autre la figure ABGE , on aura d'un côté 
le polygone ABCDE, et de l'autre le polygone ADCF , 
qui seront équiralents. 

On peut pareillement retrancher l'angle B en substi- 
tuant au triangle ABC le triangle équivalent AGC, et 
ainsi le pentagone ABDE sera changé en un triangle 
équivalent GCF. 

Le même procédé s'appliquera à toute autre figure; 
car en diminuant d'un à chaque fois le nombre des 
côtés , on finira par tomber sur le triangle équivalent. 

Scliolie. On a déjà vu que tout triangle peut être 

■ changé en un quatre équivalent * , ainsi on trouvera 

toujours un quarré équivalent à une figure rectiljgne 

donnée; c'est ce qu'on appelle quarrer la figure recti- 

ligne, ou en trouver la quadrature. 

Le proljlème de la quadrature du- cercle consiste à 
trouver un quarré équivalent à un cercle dont le dia- 
mètre est donné. 

PROBLBKE XI. 

Faire un quarré qui soit égal à la somme ou 
à là' différence de deux quarrés donnés. 

Soient A et B tes côtés des quarrés donnés: 

i" S'il faut trouver un qtiarré égal à la somme de 
ces quarpéâ , tirez les deux lignes indéfinies ED , EF à 
angle droit; prenez ED^A et £G=B, joignez DG> 
et DG sera le côté du quaiTe cherché. 
. Car le triangle DEG éiant rectangle , le quarré fait 
sur DG est égal à la ^mme des quarrés faits sur ED 
etEG.i * 

3° S'il &ut trouver lui quarré égal à la différence 
.des quarrés donnés, formez de même l'angle droit 



LIVRE III. lor 

FEH, prenez GE égal au plus petit des côtés A etB ; 
du point G , comnue centre , et d'un rayon GH égal à 
l'autre côté, décrivez un arc qui coupe EH en H; je 
dis que le quarré fait sur EH sera égal à la différence 
des guarrés faits sur les lignes A et B. 

Car le triangle GEH est rectangle , - l'hypoténuse 
GH = A, et le côté GE==B; donc le quarré fait sur 
EH , etc. 

Scholie, On peut trouver ainsi un quarré égal à 1^^ 
somme de tant de quarrés qu'on voudra ; car la con* 
struction qui en réduit deux à un seul , en réduira 
trois à deux , et ces deux-ci à un , ainsi des autres. Il 
en serait de même si quelques-uns des quarrés devaient; 
être soustraits de la somme des autres. 



PROBLEME XII. 



. Construire un quarré qui soit au quarré donné fig.i5o. 
ABCD, comme la ligne M est à la ligne N. 

Sur ta ligne indéfinie EG , prenez EF=M , et FG 
= N ; sur EG , comme diamètre , décrivez une demi- 
circonférence , et au point F élevez sur le diamètre la 
perpendiculaire FH. Du point H menez les cordes 
HG y HE , que vous prolongerez indéfiniment : sur la 
première prenez HK égale au côté AB du quarré 
donné , et par le point K menez Kl parallèle à EG ; 
je dis que HI sera le côté du quarré cherché. 

Car, à cause des parallèles Kl, GE, on a HI:HK :: 

HE : HG ; donc HÏ': HK :: HE : HG : mais dans le 
triangle rectangle EHG *, le quarré de HE est aii * 23. 
quarré de HG comme le segment EF est au segment 

FG, ou Gopime M est à N, (lonc Hl": HK:: M:Pf, 
Mais HK=AB; donc k quarré fait sur IJI est au 
quarré fait sur AB comipe M est à N. 



rtlOBL£U£ 



S- Sur le côté FG, homologue à AB, décrire un 

polygone semblable au polygone (fo/jwd ABCDE. 

Dans le polygone donn<î tirez les diagonales AC, 

AD ; au point F faites l'angle GFH=:BAC, et au 

p l'angle FGH=ABC; les lignes FH, GH, se 

nt en H , et FGH sera un triangle semblable 

„ .io».ânia c.i-iTH ï-'vmologue à AC , construi- 

f ■■» juiui à ADC, et sur FI, homO" 

sez le triangle FIK, semblable à 

A I^f îHlKseralepoljgonedemandé, 

ser 

Car ces deux polygones sont composés d'un même 
nombre de triangles semblables et semblablement 
placés *, 



Deux figures semblables étant données , (iOn- 
struire une figure semblable qui soit égale à leur 
somme ou à leur différence. 

Soient A et B deux côtés homologues des (îgures 
données « cherchez un quarré égal à la somme ou à la 
différence des quarrés faits sur A et B ; soit X le côté 
de ce quarré , X sera dans la figure cherchée le côlé 
homologue à A et B dans les figures données. Ou 
construira ensuite la figure elle-même par le problème 
précédent, 

Car les figures semblables sont comme les quarrés 
des côtés homologues; or le quarré du côté X est égal 
à_la somme ou à la difîéience des quarrés faits sur les 
côtés homologues A et B ; donc la figure faite sur le 
côté X est égale à la somme ou à la différence des 
figures semblables faites sur les côtés A et B. 



LIVRE III. 



PROBLEME XV. 



Ip3 



Construire une figure semblable à une figure 
donnée y et qui soit à cette figure dans le rapport 
donné ^ M à N. 

Soit A un côté de la figure donnée, X le côté homo^ 
logue dans la figure cherchée ; il faudra que le quarré 
de X soit au quarré de A comme M est à N *. On trou- ♦ vj, 
vera donc X par le problème xii; connaiss.ant X^ le 
reste s'achèvera par le problême xiii. 



PROBLEME XVI. 



Construire une figure semblable à la figure P fig.i5r. 
et équivalente à la figure Q. 

Cherchez le côté M du quarré équivalent à la figure 
P, et le côtéN du quarré équiv^tlent à la figure Q. Soit 
ensuite X une quatrième proportionnelle aux trois 
lignes données M , N^ AB ; sur le côté X, homologue 
à AB , décrivez une figure semblable à la figure P ; je 
dis qu'elle sera de. plus équivalente à la figure Q. 

Car en appelant Y la figure faite sur le côté X , on 

——a a 

aura P:Y:: AB:X; mais, par construction, AB:X::i 

M:N, ou Âb':X*::M*:N*; donc P:Y::M:N! Mais on 
a aussi, par construction, M' = P et N'=Q; donc 
P:Y::P:Q; donc Y=Q; donc la figure Y est sem- 
blable à la figure P, et équivalente à la figure Q. 

PROBLEME XVII. 

Construire un rectangle équivalent à un fig.iSa, 
quarré donné G , et dont les côtés adjacents 
fiassent une somme donnée AB. 

Sur AB , comme diamètre , décrivez une demi-cir- 
conférence , menez parallèlement au diamètre la ligne 
D£ à une distance AO égale au côté du quarré donné C. 



GKOMETBIE. 

ntE, oi'i la parallèle coupe la circonfèrenre, 
£ sur le ttiametre Iji perpendiculaire EFj je dis 
' et FB seront les côtes du rectangle cherché, 
eur somme est égale à ABj et leur rectangle 
: FB est égal au quarré de FF ' , ou au quairé 
; donc ce rectangle est équivalent au quairé 
G. 

'ie. 11 faut, pour que le problème soit possible, 
distance AD nexcgde pas le rayon , c'est-à-<lire 
côté d" r" '^ "'-'xcede pas la moitié de la 



Construire un rectangle équivalent à un quarré 
C , et dont les côtés adjacents aient entre eux la 
différence donnée AB. 

Sur la ligne donnée AB, comme diamètre, décri- 
vez une circonférence; à l'extrémité du diamètre, 
menez la tangente AD égale au coté du quatre C : par 
le point D et le centre O tirez la sécante DE; je dis 
que DE et DF seront les côtés adjacents du rectangle 
demandé. 

Gar 1° la différence de ces côtés est ^ale au dia- 
mètre EF ou AB; 2" le rectangle DExDF est égal 
' ^9- à AD * ; donc ce rectangle spra équivalent au quarré 
donné G- 

PSOBLÈUE XIX. 

Trouver la commune mesure, s'ilyen a une, 
çntre la diagonale et le côté du quarré. 
H- 'Ï4- Soit ABCG un quarré quelconque, AC sa diagonale. 

Il faut d'abord porter CB sur CA autant de fois 

♦^roii.i,. qu'il peut y être contenu *, et pour cela soit décrit 

du centre C et du rayon CB le demi-cercle DBE : on 

■voit que CB est contenu une fois dans AC avec le 

reste AD, te résultat de la première opération est donc 



iivRE m. io5/ 

Ife quolîçrit*! avec le reste AD, quil faut comparer 
avec BG ou son égale AB. 

On peut prendre AF=:AD, et porter réellement 
AF sur AC; on trouverait qu'il y est contenu deux 
fois avec un reste : mais comme ce reste et les suivants 
vont en diminuant , et que bientôt ils échapperaient 
par leur petitesse , ce ne serait là qu'un moyen méca- 
nique imparfait, doù l'on ne pourrait rien conclure 
pour décider si les lignes AC , CB, ont entre elles ou 
n'ont pas une commune mesure : or il est un moyen 
très -simple d*éviter les lignes décroissantes , et de 
n'avoir à opérer que sur des lignes qui restent toujours 
de la même grandeur. 

En effet , langle ABC étant droit , AB est une tan- 
gente , et AE une sécante menée du même point , de 
sorte qu'on a * AD:AB:: AB:AE. Ainsi dans la se- ♦ 3o. 
conde opération , où il s'agit de comparer AD avec AB , 
on peut, au Heu du rapport de AD à AB, prendre 
celui de AB à AE : or AB ou son égale CD est conte- 
nue deux fois dans AE avec le reste AD ; donc le ré- 
sultat de la seconde opération est le quotient 2 avec 
le reste AD qu il faut comparer à AB. 

La troisième opération , qui consiste à comparer AD 
avec AB , se réduira de même à comparer AB ou son 
égale CD avec AE , et on aura encore 2 pour quotient 
et AD pour reste. 

Delà on voit que lopération ne sera jamais termi- 
née , et qu'ainsi il n'y a pas de commune mesure entre 
la diagonale et le côté du quarré : vérité qui était déjà 
connue par Tarithmétique ( puisque ces deux lignes 
sont entre elles :: 1/2:1)*, mais qui acquiert un * n. 
plus grand degré de clarté par la résolution géo- 
métrique. 

Scholie, Il n'est donc pas possible non plus de 
trouver en nombres le rapport exact de la diagonale 
au côté du quarré ; mais on peut en approcher tant 



/ 



loS GKOMÉTniK. 

Corollaire. Les périmètres de deux polygone* ré- 
guliers d'un même nombre de eûtes sont entre eux 
comme les côtés homologues, et leurs surfaces sont 
'aj.î. comme les quarrés de ces mêmes côtés *. 

Scholia. L'angle d'un polygone régulier se détei 
mine par ie nombre de ses côtés comme celui d'i 
'18, 1. polygone équiangle *. 

PUOPOSITION IL 



1 



'out polygone régulier peut étœ inscrit dans 

• cercle, et peut lui être circonscrit. 

Soit IDE, etc. , le polygone dont il s'agit, îroa- 

g qnon fasse passer une circonférence par les 

lints A , B , C ; soit O son centre, et OP la per- 

^ier>i lire abaissée sur le milieu du côté BC ; joignez 

AOc 

Le quadrilatère OPCD et le quadrilatère OPBA 
peuveni t^ire superposés : en effet le côté OP est com- 
mun , l'angle OPC^OPB, puisqu'ils sont droits; 
donc le côté PC s'appliquera sur son égal PB , et le 
point C tombera en B. De plus, par la nature du 
polygone, l'angle PCD=PBA, donc CD prendra la 
direction BA, et puisque CD = BA, le point D tom- 
bera en A, et les deux quadrilatères coïncideront en- 
tièrement l'un avec l'autre. La distance OD est donc 
égale à AO , et par conséquent la circonférence qui 
passe par les trois points A, B, C, passera aussi par 
le point D : mais , par un raisonnement semblable , 
oa prouvera que la circonférence qui passe par les 
trois sommets B,C, D, passera par le sommet sui- 
vant E,et ainsi de suite; donc la même circonfé- 
rence qui passe par les points A, B, C, passe par tous 
les somiiiets des angle» du polygone, et le polygone 
est inscrit, dans cette circonférence. 



LIVRE IV. 109 

En second lieu , par rapport à cette circonférence , 
tous les côtés AB , BG , CD , etc., sont des cordes égales ; 
elles sont donc également éloignées du centre* ; donc * 8, a. 
si du point O , comme centre, et du rayon OP , on 
décrit une circonférence , cette circonférence tou- 
chera le côté BC et tous les autres côtés du polygone , 
chacun dans son milieu , et la circonférence sera in- 
scrite dans le polygone , |ou le polygone circonscrit à 
la circonférence. 

Scholie I. Le point O, centre commun du cercle 
inscrit et du cercle circonscrit , peut être regardé 
aussi comme le centre du polygone , et par cette raison 
on appelle angle au centre y Tangle AOB formé- par 
les deux rayons menés aux extrémités d'un même 
càté AB. 

Puisque toutes les cordes AB , BC , etc. , sont égales, 
il est clair que tous les angles au centre sont égaux , 
et qu'ainsi la valeur de chacun se trouve en divisant 
quatre angles droits par le nombre des côtés du po- 
lygone. 

Scholie II. Pour inscrire un polygone régulier d*un 
certain nombre de côtés dans une circonférence don- 
née,' il ne s'agit que de diviser la circonférence en 
autant de parties égales que le polygone doit avoir de 
côtés ; car, les arcs étant égaux, les cordes AB , BC, fig.i58. 
CD, etc., seront égales; les triangles ABO, BOC , 
COD , etc. , seront égaux aussi , parce qu^ils sont équi- 
latéraux entre eux ; donc tous les angles ABC , BCD , 
CDE , etc. , seront égaux ; donc la figure ABCDE , etc. , 
sera un polygone régulier. 



"% 



PROPOSITION IIÏ. 



PROBLEME. 



Irùcrire un quarré dans une circonférence 
donnée. 



r 



110 CEOHBTBrE. 

Bg.iS-. Tirez deux diamètres AC , BD, qiii se cowpent à 
angles droits; joignez les extremilés A, B,C, D, et la 
figure ABCD sera le quarré inscrit : car les angles 
AOB , BOC , etc. , étant ^gaux , les cordes AB , BC , etc., 
sont égales. 

Schoiie. Le triangle BOC étant rectangle et isoscele, 

•u, î. on a'BC:BO:: l/aii ; donc le côté du quarré inscrit 
est au rayon, comme la racine quarrèe de a est à 
Vunité. 

PROPOSITION IV. 

FROBLSME. 

Inscrire un hexagone régulier et un triangle 
équilatéral dans une circonférence donnée. 
fig.iSS. Supposons le problème rt'solu, et soit AB un côté 
de l'hexagone inscrit; si on mené les rayons AO, OB, 
je dis que le triangle AOB sera équilatéral. 
, Car l'angle AOB est la sixième partie de quatre an- 

gles droits ; ainsi en prenant l'angle droit pour unité , 
on aura AOB = i^^ : les deux autres angles ABO , 
BAO, du même triangle valent ensemble 2 — y ou i, 
et comme ib sont égaux , chacun d'eux =\, donc le 
triangle ABO est équilatéral ; donc le côté de Tbexa- 
gone inscrit est égal au rayon. 

Il suit de là que pour inscrire un hexagone régu- 
lier dans une circonférence donnée, il faut porter lé 
rayon six fois sur la circonférence, ce qui ramènera 
au même point d'où on était parti. 

L'hexagone ABCDEF étant inscrit , si l'on joint les 
sommets des angles alternalivement , on formera le 
triangle équilatéral ACE. 

Schoiie. La figure ABCO est un parallélogranMÉikt 

même un losange, puisque ABi=BC:i=C05Nro; 

•■4,3. donc *|U somme des quarrés des diagonales AcV 

BO, est égale à la somme des quarrés des eûtes, 



LIVKS ÎY. III 

laquelle est 4 AB ou 4 ^^ 9 retranchant de part et 

tfautre BO', U restera AC = 3 BÔ; donc ÂC:BO":: 
3:i, ou AC:BO:: V^3:i; donc le côté du triangle 
iquilatércd inscrit est au rayon comm^ la racine 
quarrée de 3 est à VunitL 

PROPOSITION V. 



PROBLEME. 



Inscrire dans un cercle donné un décagone 
régulier^ ensuite un pentagone et un pentédé^ 
cagone. 

Divisez le rayon AO en moyenne et extrême raison %-ï%- 
au point M * , prenez la corde AB égale au plus grand uy. 3! 
segment OM, et AB sera le côté du décagone régulier 
qu'il faudra porter dix fois sur la circonférence. 

Car en joignant MB , on a par construction AO : 
0M::OM:AM; ou, à cause de AB=OM,AO:AB 
:: AB:AM; donc les triangles ABO, AMB, ont un 
angle commun A compris entre côtés proportionnels ; 
donc ils sont semblables *. Le triangle OAB est isos- *2o,3. 
celé , donc le triangle AMB l'est aussi, et on a AB= 
BM : d'ailleurs AB=OM; donc aussi MB = OM ; 
donc le triangle BMO est isoscele. 

L'angle AMB, extérieur au triangle isoscele BMO, 
est double de l'intérieur O * ; or l'angle AMB=MAB; * 2;, j, 
donc le tiùangle OAB est tel que chacun des angles à 
la base , OAB ou OBA, est double de l'angle au som- 
met O ; donc les trois angles du triangle valent cinq 
fois l'angle O, et ainsi l'angle O est la cinquième 
partie de deux angles droits , ou la dixième de qua- 
tre : donc Tare AB est la dixième partie de la cir- 
conférence , et la corde AB est le côté du décagone 
régulier. 



r 



IT» GlLOMETriIC, 

CoroUaireï.Si on loînt de dt^tix en (leii\ les sommets* 
(lu dt'cagone régulier, on formera le pentagone régu- 
lier ACEGI. 

Corollaire II. AB étant toujours le côté du déca- 
gone, soit AL le cûté de l'hexagone; alors l'arc BL 
sera , par rapport à la circonférence, ^ — ^ o^ tïï tlow^ 
lu corde BL sera le cûté du pentédécagone ou poly- 
gone régulier de i5 eûtes. On voit en même temps 
([ue l'arc CL est le tiers de CB. 

Sckolie. Un polygone régulier étant inscrit, si on 
divise les arcs sous-lendus par ses côtés en deux par- 
'ties égales, et qu'on tire les cordes des demi-arcs, 
(;elles-ci formeront un nouveau polygone régulier 
d'un nombre de côtés double : ainsi on voit que \^ 
qiiaiTé peut servir à inscrire successivement les po- 
lygo nés réguliers de 8 , 16 , 3a, etc., côtes. De même 
l'hexagone servira à inscrire les polygones réguliers 
de i2,a4,4S,etc. , côtés j ledécagone, des polygones 
de ao, 4o , 80, etc., cûtésj le pentédécagone, des 
polygones de 3o , 60, lai^, etc., côtés (1). 

PROPOSITION VI. 

PROBLÈME. 

(5.160. Étant donné le polygone régulier inscrit 
ABCD, etc. , circonscrire à la même circonfë- 
rence un polygone semblable. 

(i) On a cru long-lemps que ces polygones étaient les «eulf: 
qui pussent iire inscrits pu- les procédés de la géométrie él^ 
mentaire , ou , ce qui revient au même , par la ri^solutioii des 
équations du premier et du second degré : msis M. Causa à 
prouvé , dan» un ouvrage intitulé Disquùiàoncs jfrithiaeliaK , L^ 
lia, 1801, qu'on peut inscrire par de semblables moyens )e po» 
lygone tégulier de dix-sept côtés, et en général celiu de 2"+! 
cAtés, pourvu que »"+! soit uu nombre premier. 



LIVRE IV. , Il3 

Au point T, milieu de lare AB, menez la tangente 
6H, qui àera parallèle à AB *^ faites la même chose *io,a. 
au milieu 3e chacun des autres arcs BC, CD, etc.; 
ces tangentes formeront par leurs intersections le po- 
lygone régulier circonscrit GHIK , etc. , semblable au 
polygone inscrit. 

Il est aisé de voir d abord que les trois points O, 
B, H , sont en ligne droite, car les triangles rectan- 
gles OTH, OHN, ont l'hypoiénuse commune OH, et 
le côté OT=ON; donc ils sont égaux*; donc *i8, i. 
l'angle TOH= HON, et par conséquent la ligne OH 
passe par le point B milieu de l'arc TN : par la même 
rason le point I est sur le prolongement de OC, etc. 
Mais, puisque GH est parallèle à AB et HI à BC, 
langle GHI=zABC *; de même H1K = BCD, etc.; ♦26,1. 
donc les angles du polygone circonscrit sont égaux 
à ceux du polygone inscrit. De plus , à cause de ces 
mêmes parallèles, on a GH:AB:: OH:OB, et HI: 
BC::OH:OB; donc GH.AB:: HI:BC, Mais AB= ^ 
BC, donc GH=HL Par la même raison HI=IK, etc.; 
donc les côtés du polygone circonscrit sont égaux 
entre eux; donc ce polygone est régulier et semblable 
au polygone inscrit. 

Corollaire I. Réciproquement, si on donnait le 
polygone circonscrit GHIK, etc. , et qu'il fallût tracer 
par son moyen le polygone inscrit ABC, etc., on 
voit qu'il suffirait de mener aux sommets G, H , I, etc. , 
du polygone^îonné les lignes OG, OH, etc. , qui ren- 
contreraient la circonférence aux points A, B , C , etc. ; 
on joindrait ensuite ces points par les cordes AB , 
BC, etc., qui formeraient le polygone inscrit. On 
pourrait aussi, dans le même cas, joindre tout sim- 
plement les points de contact , T, N , P, etc. , par les 
cordes TN, NP, etc., ce qui formerait également un 
polygone inscrit semblable au circonscrit. 
Corollaire IL Dçnc on peut circonscrire à un 
Neiw. éd. 8 



Il4 GÉOMÉTRIE. 

> ' cercle donné tous les polygones réguliers qu'on s 
a dans ce cercle, et réciproquement. 

PROPOSITION VU. 



L'aire d'un polygone régulier est égale a son 
périmètre multiplié par la moitié (la rayon du 
cercle inscrit. 
i§.ita. Soit, par exemple, le polygone régulierGHlK, etc.; 
le triangle GOH a pour mesure GH x -jOT, le triangle 
OHI a pour mesure HI X 7OS ; mais ON = OT ; 
donc les deus triangles réunis ont pour mesure 
(GH + HI) XtOT. En continuant ainsi pour les 
autres triangles, on verra que la somme de tous les 
triangles, ou le polygone entier a pour mesure la 
fionime des bases GH, HI, IK, etc., ou le périmètre 
du polygone , multiplié par 7OT, moitié du rayon du 
cercle inscrit. 

Scholie. Le rayon du cercle inscrit OT n'est autre 
chose que la perpendiculaire abaissée du centre sur 
an des côtés j on l'appdle quelquefois Xt^théme du 

PROPOSITION VIII. 

THBORSKS. 

Les périmètres des polygones réguliers d'un 
même nombre de côtés sont comme les r^wif 
des cercles circonscrits , et aussi comme les rayons 
des cercles inscrits; leurs surfaces sont comme les 
guarrés de ces mêmes rayons. -■- 

Sg.tfa. Soit AB un côté de ron des potygone* doiit'.a 
s'agit, O son centre, et par conséquent OA le r»M 
du cercle cîrconsmt, et OD, perpendiculaire soi- AB', 



LIVRE IV. 113 

le rayon du cercle inscrit; soit pareillement ah le 
côte d'un autre polygone semblable, o son centre, 
€}a et od leâ rayons des cercles circonscrit et inscrit. 
Les périmètres des deux polygones sont entre eux 
comme les côtés AB et ab; mais les angles  et a sont 
égaux comme étant chacun moitié de langle du po- 
lygone; il en est de même des angles B et ^; donc les 
triangles ABO, abo^ sont semblables,' ainsi que les 
triangles rectangles ADO, ado; donc AB:fl;A:.AO; 
€io :i DO :do; donc les périmètres des polygones sont 
entre eux comme les rayons AO , ao , des cercles cir- 
conscrits', et aussi comme les rayons DO, do, des 

cercles- inscrits. 

Les surfaces de ces mêmes polygones sont entre 

elles comme les quarrés des côtés homologues AB , ab; 
elles sont par conséquent aussi comme les quarrés des 

rayons des cercles circonscrits AO y ao y on comme les 

quarrés des rayons des cercles inscrits OD , od. 

PROPOSITION IX. 

LEMME. 

Toute ligne courbe ou polygone qui em^eloppe 
d'une extrémité à Vautre la ligne convexe AMB 
est plus longue que la ligne enveloppée AMB. 

Nous avons déjà dit que par ligne convexe nous fig.iOa. 
entendons une ligne courbe ou polygone, ou en par- 
tie courbe et en partie polygone, telle qu'une ligne 
droite ne peut la couper en plus de deux points. Si la 
ligne AMB avait des parties rentrantes ou des sinuo- 
ûtés, elle cesserait d'être convexe, parce qu'il est aisé 
de voir qu une ligne droite pourrait la couper en plus 
de deux points. Les arcs de cercle sont essentielle^ 
ment convexes; mais la proposition dont il s agit main- 
tenant s'étend à une ligne quelconque qui remplit la 
condition exigée. 

8. 



il6 GÉOMÉTRIE. 

Cela posé, si la ligne AMB n'est pas plus petite qnè 
foutes celles qui renveloppent, il existera parmi ces 
dernières ufie ligne plus courte que toutes les autres*^ 
laquelle sera plus petite que ÂMB, ou tout au plus 
égale à AMB. Soit ACDEB cette ligne enveloppante ^ 
entre les deux ligiies menez par-tout où vous Toudres 
la droite PQ, qui ne rencontre point la ligne AMB, 
ou du moins qui ne fasse que la toucher ^ la droite PQ 
est plus courte que PCDEQ; donc, si à la partie 
PGDEQ 6n Substitue la ligne droite PQ, on aura la 
ligne enveloppante APQB plus courte que APDQB. 
Mais, par hypdthese , celle-ci doit être la plus €K>urte 
de toutes; donc cette hypothèse ne saurait subsister; 
donc toutes les lignes enveloppantes sont plus longues 
^ue AMB; 
il^.i(>3. Sdhdliei Oii démontrera arbsolùment de la méma 
inaniere qu'une ligne convexe et rentrante sur elle- 
même AM6, est plus courte que totite ligne qui l'en* 
velopperait de toutes parts, soit que la ligne envelop^ 
pante FHG touche AMB en un ou plusieurs points^ 
Soit qu elle l'environne sans la toucher. 

PROPOSITION X. 

L £ M M É . 

Deux circonférences concentriques étant doit- 
néeSy on peut toujours inscrire dans la plus grande 
un polygone régulier dont les côtés ne rencontrent 
pas la plus petite j et oh peut aussi circonscrire à 
la plus petite un polygone régulier dont les côtés 
ne rencontrent pas la grande; de sorte que daiw 
Vun et dans Vautre cas les côtés du polygone dé^ 
crit seront renfermés entre les deux circonférences, 
lig.i64. Soient CA, CB , les rayons des deux circonférences* 
données. Au point A menez la tangente DE terrai*^ 
née à la grande cii'conférence en D et £ : inscrives 



> 



èaxÈÊ ia grande circonférence l'un des polygones rér 
gnlier» qu'on, peut inscrire par les problèmes précë-r 
Àents, dirisez ensuite les arcs sous-tendus par les 
eôtés en deux parties égales y et meniez les cordes des 
dem^-arcs; vous aurez un polygone régulier d'^n 
a(Hnbre de côtés double. Continuez la bissection des 
arcs jusqu'à ce que vous p^irveniez à un arc plus petit 
que DBE. Soit MBN cet arc ( dont le milieu est sup*» 
posé en B); il est claijr que la corde MN sera plus 
éloignée du centre que DE, et qu'ainsi le polygone 
régulier dont MN est le c^té ne ^aurait rencontrer la 
circonférence dont GA est le rayon. 

Les mêmes choses étant posées, Joignez CM et CN 
qui rencontrent la tangente DE en P et Q ; PQ sera le 
côté d'un polygone circonscrit à 1^ petite circonfér 
vence, semblable au polygone inscrit dans la grande , 
dont le côté est MN. Or il est clair que le polygone 
circonscrit qui a pour côté PQ, ne saurait repcon^ 
trer la grande circpnfér^ce> puisque GP ^st mpindre 
que CM* 

Donc , par la même construction , on peut décrire 
un polygone régulier inscrit dans la grande circon- 
férence, et un polygone semblable circonscrit à la 
petite^ lesquels auront leurs côtés compris pntre les 
deux circonférences. 

Scholie, Si on a deux secteurs concentriques FCG, 
ICH, on pourra de même inscrire dans le plus grand 
une portion de polygone régulier y ou circonscrire au 
plus petit une portion de polygone semblable , de sorte 
^e les contours des deux polygones soient compris 
entre les deux circonférences : il suffira de diviser 
l'arc FBG successivement pu a, 4 9 9, 16, etc., partie^ 
égales, jusqii'a ce qu'on parvienne à i|ne partie plus 
petite que DBE. 

Nous appelons ici portion de. polygone régulier la 
figure terminée par une suite de cordes égales inscrite^ 



Il8 G£OH£TRI£. 

dans l'arc FG d'une extrémité à l'autre. Cette portion 
a les propriétés principales des polygones réguliers, 
elle a les angles égaux et les côtés égaux, elle està-la^ 
fois inscriptible et circonscriptible au cercle ; cepen- 
dant elle rië ferait partie d'un polygone régulier pro« 
prement dit, qu'autant que l'arc sous -tendu psir un 
de ses côtés serait une partie aliquote de la circon- 
férence. 

PROPOSITION XL 



THÉOREMfE. 



Le^ circonférences des cercles sont entre elles 
comme les rayons, et leurs surfaces comm^ les 
quarrés des rayons, 
jig.i65. Désignons, pour abréger, par ciro. CA la circon- 
férence qui a pour rayon G A; je di$ qu'on aura 
cire. CA : cire. OB : ; CA : OB.* 

Car, si cettp proportion Tl*a pas lieu, CA sera à 
pB comme cire, CA est à un quatrième terme plus 
grand ou plus petit que cire, OB : supposons-le plus 
petit, et soit, s'il est possible, CA:OB::circ. CA: 
cire, OD. 

Inscrivez dans la circonférence dont OB est le rayon 

un polygone régulier EFGKLE, dont Ips côtés ne 

rencontrent point la circonférence dont OU est le 

* lo. rayon *; inscrivez un polygone semblable MNPSTM 

dans la circonférence dont CA est le rayon. 

Cela posé, puisque ces polygones sont semblables, 

leurs périmètres MNPSM, EFGKE sont entre eux 

^ 8. comme les rayons CA, OB, des cercles circonscrits *, 

et on aura MNPSM ; EFGKE :; CA : OB ; mais, 

-par hypothèse, CA : OB :: cire, CA: cire. OD; donc 

MNPSM: EFGKE ::^;>c. CA : arc. OD. Or, cette 

proportion est impossible, car le contour MNPSM 

^^ p est moindre que cire, CA *, et au contraire EFGKE 



LIVRE IV. 119 

•Bt plus grand que cire, OD ; donc il est impossible ] 
que GA soit à OB comme cire. CA est à une circonfé-^ 
renée plus petite que cire. OB, ou, en termes plus 
généraux, il est impossible qu'un rayon soit à un 
rayon comme la circonférence décrite du premier 
rayon est à une circonférence plus petite que la cir- 
conférence décrite du second rayon. 

De là je conclus qu'on ne peut avoir non plus , G A 
est à OB comme cire. CA est à une circonférence 
plus grande que cire. OB ; car si cela était, on aurait, 
en renversant les rapports : OB est à CA comme une 
circonférence plus grande que cire. OB est à cire. CA , 
ou, ce qui est la même chose, comme cire, OB est à 
une circonférence plus petite que cire. CA; donc un 
rayon serait à un rayon comme la circonférence dé- 
crite du premier rayon est à une circonférence plus 
petite que la circonférence décrite du second rayon , 
ce qui a été démontré impossible. 

Puisque le quatrième terme de la proportion CA: 
OB::ci/Y?. CA:X ne peut être ni plus petit ni plus 
grand que cire. OB , il faut qu'il soit égal à cire. OB ; 
donc les circonférences d^s cercles sont entre elles 
comme les rayons. 

Un raisonnement et une construction entièrement 
semblables serviront à démontrer que les surfaces 
des cercles sont comme les quarrés de leurs rayons. 

Nous n'entrerons pas dans d'autres détails sur cette 
proposition , qui d'^Ut^urs est un corollaire de la sui- 
vante. 

Corollaire. Les arcs semblables AB, DE, sont fig.ico. 
comme leurs rayons AC , DO, et les secteurs sembla- 
bles ACB , D0£ , sont comme les quarrés de ces mêmes 
rayons. 

Car, puisque les arcs sont semblables, langle C 
est égal à Tangle O^; or langle C est à quatre angles *dëf.3. 
droits comme lare AB e§t à la circonférence entière ^^^'^* 



^^JP>^ao GépMrTiiii. 

*(7,a. déraite du rayon A£ *, et l'angle O est à ([qatMai 

droits comme l'arc DE est à la cii;co»fcrencfl dw-rî 
du rayon ODj donc l«s arcs AB, DE, sont pntre e 
comme les clFConféreDCes dunt ils font partie : ces CI^^ 
conférences sont comme les rayons AC, DO, dooO'fl 
a/i.AB:arcDE::AC:.DO. 

Par la même raison les secteurs ACfi, DOK, sQoi 
comme les cercles entiers , ceuK-ci sont comme 1 
quarrés des rayons; donc sect. ACB : sect. DO£!|J 

Âc": DO. 

PROPOSITION XII. 

r TBÉOKBME. 

tL'atre du cercle est égale au produit < 
circonférence par la moitié du rajttn. 
Désignons par surf. CA la surface du cercle dont fl 
Il rayon est C\; je dis qu'on atira siuf. CA^^-^CA-X 

r cwv. Ca, 

%i6;. Car si-^CAXcirc.CAn?est pas F^ire dncertJe do^ 
CA est le rayon, cette quantité sera la mesure (fnn 
cercle plus grand ou plus petit. SupptMonç d'abord 
qu'elle est la mesure d'un perde plus grand, et soit, 
f'ÎI est pt^blè, ^ C^X cire. CA^w/^GB. 

Au cercle dont le rayon est C.V circonsaÎTes um 
polygone régulier DEFG , etc. , dont les cdtés np ren- 
• is. Cfuitrent p»5 la circtuïlêrence qui a CB pour rayon * ; 
la suiÀce de ce polygone sera ^ale à son contour 
*,. QE + £F +FÇ+ etc. multiplié pu ^AÇ*: mais le 
contour du polygone est plus grand que la cîrcoo- 
^renc« (nscrite , pi^Uqu il l'euTeloppe de toutes parts ; 
donc la surface du'pohgone DEFG, etc., et pins 
grande que ^ACxcùv.AC, qui, par hypothèse, ^Is 
mesure du cercle dont CB est le nyon ; dtwc le pab> 
gooe sentt plus gn|id foe }e cen^ Qr m oonii^Kê 



LITRB IV. lai 

il est plus petit, puisqu'il y est contenu; donc il est 
impossible' que ~ CAx cire. CÂ soit plus grand que 
lUi^ CA., ou, en d'autres termes, il est impossible que 
là circonférence d un cercle multipliée par la moitié 
de son rayon soit la mesure d'un cercle plus grand. 

Je dis en second lieu que le même produit ne peut 
^tre la mesure d un cercle plus petit; et , pour ne pas 
changer de 6guVe, je supposerai qu*il s*agit du cercle 
dont CB est le rayon; il faut donc prouver que^CB 
X cire. CB ne peut être la mesure dun cercle plus 
petit, par exemple, du cercle dont le rayon est CA. 
Îj[i effet, soit, s'il est possible, jCBx^/rc. CB = 
surf. CA. 

Ayant fait là même construction que ci-de^us ^, la 
surface du polygone DEFG , etc. , aura pour mesure 
(DE + EF + FG + etc.) X 7CA; mais le contour 
DE + EF + FG + etc, est moindre que cire. CB 
qui l'enveloppe de toutes parts; donc Taire du poly- 
gone est moindre que 7 CA X cire. CB , et à plus forte 
raison moindre que | CB X cire. CB. Cette dernière 
quantité est, par hypothèse, la mesure du cercle dont 
GA est le rayon; donc le polygone serait moindre 
que le cercle inscrit, ce qui est absurde; dope il est 
impossible que la circonférence dun cercle, n^ulti- 
pliée par la moitié de son rayon , soit la mesure d'un 
cercle plus petit. 

Donc enfin la circonférence d'un cercle multipliée 
par la moitié de son rayon est la mesure de ce même 
cercle. 

Corollaire I. La çurfacei dun secteur est égale à la^c fig 16$. 
de ce secteur multiplié par la moitié du rayon. 

Car le secteur ACB est au cercle entier comme 
Tare. AMB est à la circonférence entière ABD*, ou ♦17,3. 
comme AMBx^AC est à ABD><:^AC. Mais le cerclç 
entier=ABDx^AÇ; donc le secteur ACB a pour 
mesure AMB x 7 AG. 



irence dôet ut 



laâ GEOHETni 

CoroSatre II. Appelons -n \a circonférence C 
diamètre est l'unilé; puisque les circonférences sont 
comme les rayons ou comme les diamètres, on pourra 
fati-e celle proportion : le diamètre i est à sa circonfé- 
rence Tt comme le diamètre aCA est à la circonfé- 
rence qui a pour rayon CA; de sorte qu'on aura 
fig-tGï. I : »c : : aCA : c(>c. CA; donc cire. CA =: a ic X CA. 
Multipliant de part et d'autre par j CA , on aura 
iCX-Xarc. CA=:t:XCÂ', ou sur/. C.\— it. CA) 
donc la surface tfun cercle est égale au produit du 
quarrè de son rajron par ie nombre constant tt, qui 
représente la circonférence dont le diamètre est i , ou 
ïe rapport de la circonférence au diamètre. 

Pareillement la surface du cercle qui a pour rayon 
OB sera égale à k X Ob"; or ttx CÂ': ir X OB':; 
CA:OB; donc les surfaces des cercles sont entre elles 
comme les quarrés de leurs rayons, ce qui s accorde 
«vec le tiléorèrae précédent. 

Scholie. ÎVous avons déjà dit que le problème de la 
quadrature du cercle consiste à trouver un quarre éffii 
en surface à un cercle dont le r^yon est connu ; or cm 
vient de prouver que le cercle est équivaleAt au reo 
tangle (ait sur h circonférence et U moitié du rayon , 
et ce rectangle se change en quarré en prenant une 
• iir£ , moyenne proportionnelle entre ses deux dimensions*: 
"'■ ^- ainsi le problème de la quadrature du cercle se ré* 
duit 4 trouver la Circonférence quand on connaît le 
rayon, et pour cela il' suffit de connaître le rapptwt 
de la ciKonfà'«ioe au rayon on au diamètre. 

Jusque présent on n'a pu déterminer ce rappott 
que d'une manier* approchée; mais l'approximation 
-a été poussée û loin, que la «mnaissance du rapport 
exact n'aurait aucun aranlage réel sur celle du rap- 
port approché. Aussi cette question, qui a beaucoup 
occupé ks géomètres lorsque les métlràdes ^appitai- 



L'IV&B IT. 1.23 

maition étaient moins connues, est maintenant relé- 
guée parmi les questions oiseuses doiit il n est permis 
de s'occuper qu'à ceux qui ont à peine les premières 
notions de géométrie. 

Archimede a prouvé que le rapport de la circon- 
férence au diamètre est compris entre 3^ et Sff; 
ûnsi 3y ou ^ est une valeur déjà fort approchée du 
nombre que nous avons représenté par tt , et cette 
première approximation est fort en usage à cause de 
sa simplicité. Métius a trouvé pour le même nombre 
la valeur beaucoup plus approchée ff^. Enfin la va- 
leur de TT, développée jusqua un certain ordre de 
décimales, a été trouvée par d^autres calculateurs 
3,141592653589793^, etc., et on a eu la patience de 
prolonger ces décimales jusqu'à la cent vingt-septième 
ou même jusqua la cent-quarantième. Il est évident 
qu*une telle approximation équivaut à la vérité, et 
qu'on ne connaît pas mieux les racines des puissances 
imparfaites. 

On expliquera, dans les problèmes suivants, deux 
des méthodes élémentaires les plus simples pour obte- 
nir ces approximations. 

PROPOSITION XIII. 

PROBLEME. 

Etant données les surfaces d'un polygone ré- 
silier inscrit et d'un polygone semblable cir- 
conscrit^ trouer les surfaces des polygones ré- 
gijtliers inscrit et circonscrit d'un nombre de côtés 
double. 

Soit AB le côté du polygone donné inscrit, EF fig.iCg. 
parallèle à AB , celui du polygone semblable circon- 
scrit, C le centre du cercle; si on tire la corde AM et 
les tangentes AP, BQ, la corde AM sera le côté du 



134 GF.nuÉTRie. 

polygone inscrit d'un nombre d« ctttés double, et 
PQ double de PM sera celui du polygone semblable 
•6. circonscrit *. Cela posé, comme la même construction 
aura lieu dans les différents angles égaux à ACM, il 
suffit de considérer l'angle ACM seul, et les trîanglet 
qui y sont contenus seront entre eux comme les poly- 
gones entiers. Soit A la surface du polygone inscrit 
dont AB est un cûté, B la surface du polygone sem- 
blable circonscrit, A' la surface du polygone dont 
AM est un côté, B' la surface du polygone semblable 
circonscrit; A et B sont connus, il s'agit de trouver 
A' et B'. 

i" Les triangles ACD, ACM, dont le sommet 
commun est A, sont entre enx comme leurs bases 
CD, CM; d'ailleurs ces triangles sont comme les po- 
lygones A et A' dont ils font partie ; donc A : A' ; : 
CD: CM. Les triangles CAM, CME, dont le sommet 
commun est M, sont entre eux comme leurs baseq 
CA, CE; ces mêmes triangles sont comme les poly- 
gones A' et B dont ils font partie; donc A' :B::CA:CE, 
Mais à cause des parallèles AD, ME, on a CD:CM;:" 
GA:CE; donc A:A';:A':B; donc le polygone A', 
l'un de ceux que l'on cherche, est moyen propor- 
tionnel entre l^ deux polygones connus À et B , et oR 

a par conséquent A'==l/AxB. 

a** A cause de la hauteur commune CM , le trian- 
gle CPM est au triangle CP£ comme PM est à PE ; 
mais la ligne OP divisant en deux parties égales 
;.3 l'«ngle MCE, on a' PM:PE::CM:CE::CD:CA::i 
A:A'; donc CPM:CPE::A:A', et par suite, CPM: 
CPM+CPE, ou CME::A:A+A'. Mais CMPA 
- ou aCMP let CM£ sont entre eux comme les poly- 
gones B' ^t B dont ils font pa^e ; donc B' : B : : 
aA:A-4-A'. Qn a d^ja détermina A'; çett^ nou- 
velle proportioD déterminera fi', et on aura B' = 



4f LITRE it. l^J 

-r— p; donc, au nitffeti de^ poljrgonés A et B, il est 

facile de trouver les polygones A' et B' qui ont deuii^ 
fois plus de côtés. 

PROPOSITION XIV. 

s 

i»ROBL£M£^ 

'Prôiis^er le rapport approché de la circonfé- 
tence au diamètre. 

Soit le rayon du cercle = 19 le côté du quarré 
inscrit sera 1/2*, celui du quarré circonscrit sera '♦ 3!; 
égal au diamètre 2 \ donc la surface du quarré ins- 
crit = 2, et celle du quarré circonscrit = 4* Mainte- 
iiam, si on fait A=2 et B=±49 on trouvera par le 
problème précédenit l'octogone inscrit A'=W^8s=: 

2,8284271, et l'ôctogorte circonscrit B': 



^^i3^o85^ Gontiaissant ainsi les octogones inscrit 
et circonscrit, on trouvera par leur moyen les po- 
lygones, d'un nombre de côtés double ; il faudra de 
nouveau supposer A=:2,828427i, B= 3,3 13^085, et 

oiï aura A'=ï/ÂxB=3,o6i4674, et B'=^^;y 

A— f-A. 

=3,1825979, Ensuite ces polygones de 16 côtés ser- 
viront à connaître ceux de 32, et on continuera ainsi 
jusqu'à ce que le calcul ne donne plus de différence 
çntre les polygones inscrit et circonscrit, au moins 
dans Tordre de décimales auquel on s'est arrêté, qui 
est le septième dans cet exeinple. Arrivé à ce point , 
6n conclura que le cercle est égal au dernier résultat, 
car le cercle doit toujours être compris entre le po- 
lygone inscrit et le polygone circonscrit; donc si 
ceux-ci ne différent point ^atre. eux jusqu'à un oertain 



1 36 <. É O U Ë 1' ■ Ite 

ordre de décimales, le cercle n'en différera pas noi 
plus jusqu'au laême ordre. 

Voici le calcul de ces polygones prolongé jusqu'à 1 
ce qu'ils ne différent plus dans le septième ordre tWl 
décimales. 




4 ... 


. . . a,ooooooo . . 


. . . 4,0000000 


8 ... 


... 3,8284^71 ... 


... 3,3.37085 


i6 ... 


... 3,06.4674 ... 


... 3,1825979 


3a ... 


... 3,.a,445i ... 


... 3,.5.7s,49 


64 ... 


. . . 3,i365485 . . . 


... 3,144.. 84 


11» ... 


... 3,.4o33ii ... 


;.. 3,.4aaa30 


a56 ... 


... 3,i4.a77a ... 


... 3,.4.75o4 


5n ... 


... 3,i4i5i38 ... 


... 3,.4.63a. 


loH ... 


... 3,14.57=9 ... 


... 3,14. 6oa5 


I1048 ... 


... â,.4.5877 ... 


... 3,.4.595. 


4096 ... 


... 3,14.59.4 ... 


... 3,.4.5933 


819a ... 


... 3,.4.59a3 ... 


... 3,14.5938 


16.IS4 ... 


... 3,.4.59a5 ... 


... 3,.4.59a7 


31768 ... 


... 3,.4.S9iS ... 


... 3,.4.59a6 



De là je conclus que la surface du cercle =5 
3,1415926. On pourrait avoir du doute sur ta d^ 
niere décimale à cause des erreurs qui viennent des 
parties négligées j mais le calcul a été fait avec use 
décimale de plus, pour être sftr du résultat que nous 
venons de trouver jusque dans la dernière décimale.'' 

Puisque la suT&ce du cercle est égale à la demi- 
circonférence multipliée par le rayon , le rayon étant 
1, la demi-circonlérence est 3,i4i5ya6j ou bien le 
diamètre étant t, la circonférence est 3,1415926; 
donc le rapport de la circonférence au diamètre dé- 
signé cî-dessu5 par ic^3,i4i59a6. 



/X 



LITEE IV. 127 

\ PROPOSITION XV. 

liEMME. 

Le triangle CAB est équiwilent au triangle isoscele DCE, £§.170^ 
qui a le même angfe C , et dont le côté CE égal à CD est 
moyen proportionnel entre CA et CB. De plus , si V angle 
CAB est droit y la perpendiculaire CF abaissée sur la base 
du triangle isoscele , sera moyenne proportionnelle entre le 
côté CA et la demi-somme des côtés CA , CB. 

Car, 1° à cause de l'angle commun C , le triangle ABC est 
au triangle isoscele DCË comme AC X CB est à DC X CE , ou 

DC*; donc ces triangles seront équivalents, siDC = AC *24,3. 
XCB, ou si DC est moyenne proportionnelle entre AC 
et CB. 

a° La perpendiculaire CGF coupant en deux parties égales 
Tangle ACB , on a* AG : GB : : AC : CB , d'où résulte , compo- ♦ 17, 3. 
nendo, AGiAG-f-GB ou AB:: AC: AC + CB; mais AG 
est à AB comme le triangle ACG est au triangle ACB ou 
aCDF ; d'ailleurs, si Tangle A est droit , les triangles rectan- 
gles ACG, CDF, seront semblables, et donneront ACG: 

——a ■ a 

CDF:: AC:CF, donc, 

AC*: 2 CF* : AC : AC -f- CB. 
Multipliant le second rapport par AC , les antécédents de- 
viendront égaux, et on aura par conséquent 2CF = ACX 

— a /AC + CB\ 
(AC+ CB) , ou CF= AC X f ); donc 2^ si l'angle 

A est droit , la perpendiculaire CF sera moyenne propor- 
tionnelle entre le côté AC et la demi-somme des côtés 
AC , CB. 

PROPOSITION XVL 

PROBLEME. 

Trouver un cercle qui diffère aussi peu qu^ou voudra efun 
polygone régulier donné. 

Soit proposé , par exemple, le quarré BMNP } abaissez du fig r^^ 



ia8 GliOHtTKIK. 

centre C la perpendiculaire CA sur le câtc MB, et joigne! 
CB. 

Le cercle décrit du rayon CA. est inscrit dans le quarro, 
et le cercle décrit du rajon CB est circonscrit à ce même 
quarré; le priïmicr sera plus petit que le quarrc, le second 
sera plus grand ; mais il s'agit de reiiscrrcr ces limiteB. 

Prcnei CD ri CF. égales cltacune à la nioycnue propor- 
tionnelle entre CA et CB, et joignez ED; le triangle isoscele 
'i.'i- CDE sera équivalent au triangle CAB*; faites de même pour 
chacun des huit triangles qui composent le quarré , tous 
formerez ainsi uu octogone régulier liquiTalrut au quarrc 
BMNP. Le cercle décrit du rayon CF, moyeu |)ropor- 

CA+CB . . , „ 

tionnel entre CA et ~, sera mscnl dans I octogone , et 

le cercle décrit du rayon CD lui sera circonscrit. Ainsi le 
premier sera plus petit que le quarré donné et le second 
pins grand. 

Si on change de la même manière le triangle rectangle 
CDF en un triangle isoscele équivalent, on formera par ce 
moyen tin polygone régulier de seize côtés, éqniTalent au 
quarré propose. Le cercle inscrit dans ce polygone sera plus 

On peut continuer ainsi jnsqu'à ce que le rapport entre 
Je rayon du cercle inscrit et le rayon du cercle circonscrit 
diffère aussi peu qu'on vondra de l'égalité. Alors l'an et 
l'autre cercles pourront être ftgardés comme équivalents au 
quarré proposé. 

ScAolie. Yoici à quoi se réduit la recherche des rayons ' 
successifs. Soit a le rayon du cercle inscrit dans l'an dea 
polygones trouvés , b le rayon du cercle circonscrit an même 
polygone; soient a' et i* les rayons semblables pour lepo^ 
lygone snivant qni a un nombre de côtés double. Suivant oc 
que nous avons démontra , f est une moyenne proportion- 
nelle entre o et 6 , et a' est une moyenne proponionnelle 

entreaet ; de sorte qn on anra b'=\/'ax6, et a'=t 

Vax i donc les rayons, a et 6 d'un polygone Étant 



LIVRE lY. 129 

connus , on en conclut facilement les rayons a' et If du po- 
lygone suivant : et on continuera ainsi jusqu'à ce que la 
différence entre les deux rayons soit devenue insensible ; 
alors l'un ou l'autre de ces rayons sera le rayon du cercle 
équivalent au quarré ou au polygone proposé. 

Cette méthode est facile à pratiquer en lignes , puisque 
éQe se réduit à trouver des moyennes proportionnelles suc* 
cessives entre des lignes connues ; mais elle réussit encore 
mieux en nombres , et c'est une des plus commodes que la 
géométrie élémentaire puisse fournir pour trouver promp- 
tement le rapport approché delà circonférence au diamètre. 
Soit le côté du qoarré = a , le premier rayon inscrit C A sera 
I , et le premier rayon circonscrit CB sera v/a ou 1,414^1 36. 
Faisant donc a=i, &= 1,414^1^^9 01^ trouvera &' = 
1,18920719 et ât'= 1,0986841* Ces nombres serviront à 
calculer les suivants d'après la loi de continuation. 

Toicile résultat du calcul fait jusqu'à sept ou huit chiffres 
par les tables de logarithmes ordinaires. 

Bayonf des cercles circonscrits. Rayons des cercles inscrits. 

1,41421^^ 1,0000000. 

1,1892071 1,0986841. 

i,i43o5oo i,iaio863. 

i,i32oi49 . . . . • 1,1265639. 

1,1292862 1,1279257. 

x,i286o63 * . 1,1282657. 

Maintenant qae la première moitié des chif&es est la 
même des deux côtés , on pourra , au lieu des moyens géo- 
métriques , prendre les moyens arithmétiques , qui n'en dif- 
férent que dans les décimales ultérieures. De cette manière 
l'opération s'abrège beaucoup, et les résultats sont : 

1,1284360 i,i2835o8. 

1,1283934 1,1283721. 

1,1283827 1,1283774. 

i,i2838oi 1,1283787. 

1,1283794 •' 1,1283791. 

1,1283792 1,1283792. 

Neuç, éd. g 



iSo GéoMBTniX. 

Donc 1,1383791 est à Iriri-pcu prés le rayon du cercle 
rgal en surface au quarré dont le côté csL 2. De la il est fa- 
cile de trouver te rapport de la circonférence au diamètre : 
car on a démontré que [a surface du cercle est égale aa 
quarré de son rayon muUiplié par le nombre a; donc, si 
on divise la surface 4 par le quarré de i,ia837t)ï , on aura, 
la valeur de n, qoî se trouve par ce calcul de 3,i4i59i6, etc., 
une autre méthode. 



APPENDICE AU LIVRE IV. 

DÉFINITIONS. 



I. V/h appelle maximum la qtiantilé la plus grande entre 
toutes celles de la même espèce; minimum la jilus pellie. 

Ainsi le diaraeire du cercle est un maximum entre toutes 
les lignes qui joignent deui points de la circonférence, et 
la perpendiculaire est un minimum entre toutes les droites 
menées d'un point donné à une ligne donnée. 

II. On appelle ligures isopériinetres celles qui ont des pé- 
rimètres égftoz. 

PROPOSITION PREMIERE. 

TBBOftÂXE. 

Entre tous les truinglet de même base et de même péri- 
■ mètre , le triangle muimom est celui dam lequel les deux 
côtés non détenninés sont égaux. 
». Soit AC=CB, et AM + MB = AC+ CB; je dis qnele 
triangle isoscele ACB est plus grand que le triangle AMB 
qui a même base et même périmètre. 

Du point C , comme centre , et du rayon CA := CB , dé- 
crivez une circonférence qui rencontre CA prolongé en D; 
joignez DB; et l'angle DBA, inscrit dans le demi-cercle, 
, sera un angle droit *. Prolongez )s perpendiculaire DB vert 
N , faites MN= MB , et joigne» AN. Enfin des points M et C 
abaissez HP et CG, perpeiidictdaîi«s sur DN. Puisque CB= 



r%. 



LIYEE IV. l3l 

CD et MN = MB, ona AC4-CB = AD, et AM + MBzz: 
AM + MN. Mais AC + CB = AM + MB ; donc AD = AM -f. 
MN ; donc AD > AN : or si l'oblique AD est plus grande que 
Toblique AN , elle doit être plus éloignée de la perpendicu- 
laire AB; donc DB>BN; donc BG, qui est moitié de BD *, * "» »• 
sera plus grande que BP moitié de BN. Mais les triangles 
ABC , ABM , qui ont même base AB , sont entre eux comme 
leurs hauteurs BG, BP; donc, puisqu'on a BG>BP, le tri- 
angle isoscele ABC est plus grand que le non-isoscele ABM 
de même base et de même périmètre. 

PROPOSITrON IL 

THBOaâME. 

Entre tous les polygones isopérimetres et d'un même 
nombre de côtés y celui qui est un maximum a ses côtés 
égaux* 

Car soit ABCDEF le polygone maximum; si le côté BC H- ^7'- 
n'est pas égal à CD , faites sur la base BD un triangle isos- 
cele BOD qui soit isopérimetre à BCD, le triangle BOD sera 
plus grand que BCD'*^, et par conséquent le polygone*?^'* 
ABODËF sera plus grand que ABCDEF ; donc ce dernier 
ne serait pas le maximum entre tous ceux qui ont le même 
périmètre et le même nombre de côtés , ce qui est contre la 
supposition. On doit donc avoir BC = CD : on aura par la 
même raison CD = D£, D£= EF, etc. ; donc tous les côtés 
du polygone maximum sont égaux entre eux. 

PROPOSITION III. 



THEOREME. 

De tous les triantes fovrnés avec deux côtés donnés fai- 
sant entre eux un angle à volonté , le maximum est celui 
dans lequel les deux côtés donnés font un ang^ droit. 

Soient les deux triangles BAC , BAD , qui ont le côté AB JGg. 17 
commun , et le côté AC = AD ; si l'angle BAC esit droit , je 
dis que le triangle BAC sera plus grand que le triangle BAD, 
dans lequel l'angle en A est aigu ou obtus. 



4f 




lii GKOMBTIIIB. 

Car la base AB riaDi la mime , les deux trianglei^ BA< 
BAD, sont comini: les hauteurs AC , DE : mais la pi 
pendiculaire DE est plus courle que l'oblique AD oa soK- I 
égale AC ; donc le triangle BAD est plus pelit que BAC. "l 

PROPOSITION IV. ( 

De tous les polygonex formés arec des côtés donnés et tOfX 
dernier A tiolonlê, le nuyiimum doit être tel que tous set \ 
angles soient inscrits dans une demi- circonférence dont U , 
côté inconnu sera le diamètre, 

lig. i;i, Soil ABCDEF le plus grand de» polygones formés aveo 
le» côlë& donnés AB, BC , O , DE , EF , et un dernier àX 
à volonté ; tirez les diagonales AD , DF. Si l'angle ADF 
n'était pas droit , on pourrait , en conserraul les partie» 
ABCD,U£F, telles qu'elles sont, augmenter le triangle' 
ADF , et par conscqnent le polygone entier , en rendant 
l'angle ADF droit , conformément à la proposition précir 
dente ; maïs ce polygone ne peut plas être augmenté , puis- 
qu'il est supposé l'arvenu à son maximum ; donc l'angle 
ADF est déjà un oii^le ilroit. 11 en est de mcme des angles 
A^', ACt, AK^'idonc tons lesangles A, B, C,U,E,F, 
dn polygone maximum sont inscrits dans une demi-circan- 
férence dont le c4té indéterminé AF est le diamètre. 

ScJioiie. Cette proposidon donne lïea à une question ; sa- 
voir, s'il y a plnsieuninanicres de former nn polygone «Tec 
des càtéi donnés , et nn dernier inconnu qui sera le diamètre 
de la demi-circonCércnce dans laquelle les autres c6tés sont 
inscrits. Avant de décider celte question , il faut obserrer 
que ai une même corde AB sons -tend des arcs décrits de 

tj. 176. dînèrent^ rayons AC, AD, l'angle au cmlre appayé sur 
cette corde sera le pins petit dans le cerde dont le rayon 
est le plus grand; ainsi ACB<ADB. En effet l'angle ADO 

.•>7, I. rrACD+CAD*; done ACD<AIK>, et en doublant da 
paît «t d'autre on aura ACB < ADB. 



Liy&B IT. i33 

PROPOSITION V. 



THBOaSMS. 



Uny a qu'une manière déformer le polygone ABCDEF» 
uvec des côtés donnés et un dernier inconnu qui soit le dia- 
mètre de la demi-circonférence dans laquelle les autres côtés 
sont inscrits. 

Car, supposons qu*on a trouvé un cercle qui satisfasse à fig. 175. 
la question ; si on prend un cercle plus grand , les cordes 
AB, BC, CD , etc. , répondront i des angles au centre plus 
petits. La somme de ces angles au centre sera donc moindre 
que deux angles droits 5 ainsi les extrémités des côtés 

^ II». 

donnés n'aboutiront plus aux extrémités d'un diamètre, 
li^inconvénient contraire aura lieu si on prend un cercle 
plus petit; donc le polygone dont il s'agit ne peut être 
inscrit que dans un seul cercle. 

SchoUe. On peut changer à voloiité l'ordre des côtés AB, 
BC, CD , etc. , et le diamètre du cercle circonscrit sera tou- 
jours le même , ainsi que la surface du polygone ; car , quel 
que soit l'ordre des arcs AB , BC , etc. , il suffit que leur 
somme fasse la demi -circonférence , et le polygone aura 
toujours la même surface , puisqu'il sera égal au demi- 
cercle moins les segments AB , BC , etc. , dont la somme 
est toujours la même. 

PROPOSITION Vï. 

- ^ ' • THBÔRâMB, 

De tous les polygones formés avec des côtés donnés , le 
maximum est celui qû*on peut inscrire dans un cercle. 

Soit ABCDEF6 le polygone inscrit, et abcdefg le non- H' '77' 
inscriptible formé avec des côtés égaux , eh sorte qu'on ait 
KR-=±jib , BC=^c, etc.; je dis que le polygone inscrit est 
plus grand que l'autre. 

Tirez le diamètre £M; joignez AM, IVCB; sur a^=:AB 
faites le triangle abm égal à ABM , et joignez em» 

• £n Tçrtu de la propositii2a IV t le polygone £FGA1I est 



l34 eiéoMBTRII!. 

plus ^and que ffgam , k moins que celui-d ne paisse Are 
pareillement inscrit dans une demi - circonférence dont le 
e6té em sérail le diamètre, auquel cas les deui polygone» 
seraient ëgaui en vertu de la proposition V. Par la mÉmc 
raiaon le polygone EDCBM est plus grand que cdvbm , sauf 
)a même exception où il y aurait égalité. Donc le polygone 
entier EFGAMBCDE est plus grand que efganthcde-, a moins 
qu'ils ne soient entièrement égaux : mais ils ne le sont pas, 
puisque l'un est inscrit dan» le cercle , et que l'autre" est 
supposé non-inscriptible; donc le polygone inscrit est le 
plus grand. Retranchant de part et d'autre les triangles 
égaux ABM , alim , Il restera le polygone inscrit ABCDEFG 
plus grand que le non-inscriplible ahcdefg. 

Scholie. On démontrera , comme dans la proposition V, 

qu'il ne peut y avoir qu'un seul cercle, et par conséquent 

qu'on seul polygone ma.r.imam qui satisfasse à la question ; 

et ce polygone serait encore de même surface , de quelque 

)n changeât l'ordre de ses eûtes. 

PROPOSITION VII. ^f^a^M 

Le polygone rrgulier e$t un maximum entre tous les poly- 
gones isopcrimetres et d'an même nombre de côtés. 

Car, suivant le théorème U, le polygone maa;imum a, tons 
ses côtéségaux; et, suivant le théoTéme précédent, il est in- 
scriptible dans )e cercle; donc ce polygone est régnlter. 

PROPOSI'ÇIOiJÎÎ VIII. 

I.BHHE. 

Deux aitglet au centre , mesarér dofis deux cetvles^diffv' 
Ttnts , s(tM «WftW tax eemme ieiarci compris divùes par 
• leimrçyt^U.' ■ •■ ■ ■ =■' ' --' ,' ' ■ "■■ 

fig. i;S. Ainsi l'angle C esta l'angle 6 comme lerapport est 

. DE -, -.V.- 1- ■.:■> -, V, - 

an rapport-^. ■..;:.., 

D'un rayon OF égtd k Af! ieètittÉ l'fttc FG cMnpris «ntre 



rK 



XiIYRS IV. l35 

lef o6tés OD, OE , prolongés ; à cause des rayons égaux AC , ^ 

AB FG 
OF, on aura d'abord C:0:: AB:FG% ou::-—:-—. Mais * '7. ». 

AC rO 

à cause des arcs semblables FG, DE, on a* FG:DE::FO: * n. 

FG DE 

DO; donc le rapport -^-— est égal au rapport ^rpr» et on a 

_ AB DE 
par conséquent C:0::--^:—-. 

PROPOSITION IX. 

THBOajiME. 

De deux polygones réguliers isopérimetres y celui qui a le 
plus grand nombre de côtés est le plus grand. 

Soit DE le demi-côté de Tun des polygones , G son centre, figv 179. 
OE son apothème ; soit AB le demi-côté de Tautre polygone , 
C son centre , CB son apothème. On suppose les centres O 
et C situés à une distance quelconque 0€ , et les apothèmes 
OE, CB, dans la direction OC : ainsi DOE et ACB seront 
les demi-angles au centre des polygones , et comme ces an- 
gles ne sont pas égaux , les lignes CA , OD , prolongées se 
rencontreront en un point F ; de ce point abaissez sur OC 
la perpendiculaire FG ; des points O et C , comme centras , 
décrivez les arcs GI, GU, terminés aux côtés OF, CF. 

Cela posé , on aura par le lemme précédent O : C : : -— : ■— — ; 

OG CG 

mais DE est au périmètre du premier polygone comme 

Tangle O est à quatre angles droits , et AB est au périmètre 

du second comme l'angle C est à quatre angles droits ; donc, 

puisque les périmètres des polygones sont égaux , DE : AB 

GI GH 

: :. O : C , ou DE : AB : : -—- : — --. Multipliant les antécédents 

OG CG 

par OG et les conséquents par CG, on aura DE X OG : AB X 

CG : : GI : GH. Mais les triangles semblables ODE , OFG , 

donnent OE : OG : : DE : FG , d'où résulte DE X OG = OE 

XFG ; on aura de même 4lB X CG = CB X FG ; donc OE X 

FG : CB X FG :: GI : GH, ou OE : CB :: GI : GH. Si donc 

on fait voir que l'arc GI est plus grand que l'arc GH , il 

s'ensuivra que l'apothème OE est plus grand que CB. 



l36 CÉOHÉTRtE. 

De l'antre côté de CF soit faiie la figure CtLr enlièren)«D( 
c^ale a la figure CGj;, de lorte qu'on ait CK:^CG, l'angle 
HCK = HCG, et l'arc Kj- = .rC ; la courlic Kj<; envelop- 

. g, pera Tare KllG , et sera plus grande qne cet arc *. Donc Gj-, 
moi lié de la courbe, est plus grande queGH moitié de l'arc; 
donc, à plus forte raison, GI est plus grand tfne GH. 

Il résulte de là que l'apothènie OE est plus grand que CB : 
mais les ileui polygones ayant même périmètre sont entre 

• 7- eui comme leurs apothèmes " ; donc le polygone qui n pour 
demi-côté DE est plus grand que celui qui a pour demi-câté 
AJÎ ; le premier a le plus de côtés , puisque son angle aa 
centre est le plus petit; donc de deux polygones réguliers iso- 
périmelrei , celui qui a le plus de côtés est le plus grand. 

PROPOSITION X. 

TBÉOBBXB. 

Le cercle est plus grand que toutpolrganc isopérîtnetre, 
■ iSo. II est déjà prouvé que de tous les polygones isopérimetKiiJ 
el d'un même nombre de côtés le polygone régulier esl h™ 
plus grand ; ainsi il ne s'agit plus que de comparer le cerde 
jt un polygone régulier quelconque isopériraetre. Soit AI \i 
demi-côté de ce polygone, C son centre. Soil dans le cerdi 
îso]iérimelre l'angle DOEi=:ACI , et conséquemment l'arc 
DE égal au demi-côté AI. Le polygone P est au cercle C 
comme le triangle AGI est «n secteur OD£ ; ainsi on aura 
P:C::iAlxCI:iDExOE::a;OE. Soit menée au point 
£ la (ang«nte EG qui rencontre OD prolongé en G ; les tri< 
angles semblables ACI, GOE, donneront U proportion CI; 
OE::AI ouDE:GE;doncP:C;:DE:GE,on comme DEx 
iOEqui est la mesure dn secteur DO£ eit à G£X;OEqiii 
est la mesure du triangle GOE : or le secteur est pins petit 
que le triangle; donc P est plus peut que C,doncle cercle 
«st plus grand que tont polygone î«opérimetre. 



'■J»<.H-H. i ^ l J<^«Jl.%»«« l '> i ^ l '»fl '»'>'»f '>">"'"l" " 'i T^"'*"*"'"""*"^'î*"~"*^'** ^*'****'*^'*'*^**^^^ 



LIVRE V. 



LES PLANS ET LES ANGLES SOLIDES. 

BÉFIlflTIONS. 

I. LJhb ligne droite est perpendiculaire a un plan, 
lorsqu'elle est perpendiculaire à toutes les droites qui 
passent par son pied dans le plan *. Réciproquement * pr.4. 
le plan est perpendiculaire à la ligne. 

Le pied de la perpendiculaire est le point où cette 
ligne rencontre le plan. 

II. Une ligne est parallèle a un plan, lorsqu'elle 
ne peut le rencontrer à quelque distance qu'on les 
prolonge l'un et Vautre. Réciproquement le plan est 
parallèle à la ligne. 

III. Deux plans sont parallèles entre eux , lorsqu'ils 
ne peuvent se rencontrer à quelque distance qu'on les 
prolonge l'un et l'auti'e. 

IV. Il sera démontré* que l'intersection commune ♦pr.3. 
de deux plans qui se rencontrent est une ligne (Troite : 

cela posé , Vangle ou Vinclinaison mutuelle de deux 
plans est la quantité plus ou moins grande dont ils 
sont écartés l'un de l'autre; cette quantité se me- 
sure "^par l'angle que fout entre elles les deux per-«pr.i7, 
pendiculaires menées dans chapim de ces plans au 
même point de l'intersection commune. 
Cet angle peut être aigu, droit , ou obtus» 
Y. S'il est droit, les deux plans sont perpendicur 
laires entre eux. 

VI. Angle solide est l'espace angulaire compris 
entre plusieurs plans qui se réunissent en un même 
point. , ^ 



■ l38 CÊOMÉTRIE. 

■S '99- Ainsi l'angle solide S est fomié par la réunion des 
plans ASB, lïSC, CSB, DSA. 

Il faut au moins tiois plans pour former un angle 
solide. 



PROPOSITION PREMIERE. 

THBORâME. 



i 



Une ligné droite ne peut être en partie dans 
un plan , en partie au dehors. 

Car , suivant la définition du plan , dès qn'une 
ligne droite a deui points communs avec un plan , 
elle est toute entière dans ce plan. 

Scholie. Pour reconnaître si une surface est plane, 
il faut appliquer une ligne droite en différents sens 
sur cette surface , et voir si elle toucbe la siu-face dans 
toute son étendue. 

PROPOSITION II. J 



Deux lignes droites qui se coupent sont dans 
un même plan , et eh déterminent la position. 

(g, i8i. Soient AB, AC, déiix lignes droites (piise coupent 
en À : on peut concevoir un' plan où se trouve la 
ligne droite AB ; si ensuite on fait tourner ce plaa 
autour dij'AB , jpsqii'à te'dju'il passe par le point C, 
alors la ligne AC , qui a deux de ses points A et C dans 
ce plan ,' y sera toute èntiete , donc la position de ce 
plan est déterminée par la seule condition de renfer- 
mer les deux droites AB, AC. 

Corollaire I. Un triailgle ABC, ou trois points 
A, B, C, non en ligne droite, déterminent la position 
d'un plan. 

fif. iBî. Corollaire II. Donc aussi deux parallèles AB, CD, 
déterminent la position d'un plan; car si on mené la 



/^5W 



sécante EF, le plan des deux droites AE, EF, sera 
celui des parallèles AB^ CD. 

PROPOSITION IIL 



THBORSME. 



Si deux plans se coupent , leur . intersection 
commune sera une ligne droite. 

Car, si dans les points communs aux deux plans 
on en trouvait trois qui ne fussent pas en ligne droite , 
les deux plans dont il s*agit, passant. chacun par ces 
trois points, ne feraient qu'un seul et même plan*, * a. 
ce qui est contre la supposition. 

PROPOSITION IV. 



THÉORÈME. 



Si une ligne droite AV est perpendiculaire à h- ^83. 
deux autres PB , PC , qui se croisent à son pied 
dans le plan MN , elle sera perpendiculaire à 
une droite quelconque PQ menée par son pied 
dans le même plan , et ainsi elle sera perpendi^ 
culaire auplanMN. 

Par un point Q, pris à volonté sur PQ, tirez la 
droite BC dans l'angle BPG, de manière que BQ=: 
QC*, joignez AB,AQ,AC. u^~3^' 

IM base BG étant divisée en deux partiels égaler au 
point Q , le triangle BPG donnera * , ' ► * i4, 3. 

PC + PB= 2PQ V aQc! 
Le triangle BAC donnera pareillement , 

ÂC + ÂB = 2ÂQ+ aQC ' 
Retranchant la première ' égalité de la seconde , et 
observant que les triangles APC, APB^tous deux 

rectangles en P, donnant AC — PC=rAP, et AB — 

PB=:AP5 ontiura, ' 

ÂpVÂP=:2ÂQ— !iPQ.' r » 




»4o 

DoDc, en prenant les muitii-s île part l 
on a ÂP^Àg — PQ', ou ÂqWÂP + PQ*, donc le 
•i3. 3. triangle APQ est rectangle en P"; donc AP est per- 
pendiculaire à PQ, 

SchoUe. On voit par là, non seulement qu'il est pos- 
sible qu'une ligne droite soit perpendiculaire à toutes 
celles qui passent par son pied dans un plan , mais 
que cela arrive toutes les fois que celte ligne est per- 
pendiculaire à deux droites menées dans le plan ; c'est 
ce qui démontre la légitimité de la définition I- 

Corolfaire I, La perpendiculaire AP est plus courte 
_ qu'une oblique quelconque AQ ; donc elle mesure la 

b vraie distance du point A au plan PQ. 

V Corollaire II. Par un point P donné sur un plan, 

^^^^E on ne peut élever qu'une seule perpendiculaire à ce 
^^^^|C plan ; car si on pouvait élever deux perpendiculaires 
^^^pV par le même point P, conduisez, suivant ces deux 
^^^^ perpendiculaires , un plan dont l'interseclion avec le 

^r plan MN soit PQ ; alors les deux perpendiculaires 

dont il s'agit seraient perpendiculaires à la ligne PQ, 
au même point et dans le même plan , ce qui est im- 
possible. 

Il est pareillement' impossible d'abaisser d'un point 
donné bors d'un plan deux perpendiculaires à ce 
plan; car;Soien^ AP, AQ,cp3 ïsax. perpendiculaires, 
alors le triangle ÀPQ aifrait.deux angles droits APQ, 
AQP, ce qui est impossible. 

PROPOSITION V. 

Les obUques également éloignées de la per- 
pendiculaire sotrt égaies \' et, de deux obliques 
inégalement éloignées de la perpendiculaire, 
celle qui s'en éloigne le plus est la plus longue. 



.r\ 



XITEB Y. l4l 

Car le» angles APB, APC, APD étant droits, si on fig.i«4. 
sappose les distances PB , PC , PD , égales entre elles , 
les triangles APB, APC, APO, auront un angle égal 
compris entre côtés égaux; donc ils seront égaux 9 
donc les hypoténuses ou les obliques AB, AC, AD, 
seront égales entre elles. Pareillement , si la distance 
PE est plus grande que PD ou son égale PB , il est clair 
que l'oblique A£ sera plus grande que AB , ou soqi 
^ale AD. 

Corollaire. Toutes les obliques égales AB , AG , 
AD 9 etc. , aboutissent à la circonférence BCD , dé- 
crite du pied de la perpendiculaire P comme centre ; 
donc étant donné un point A hors d'un plan^ si on 
veut trouver sur ce plan le point P où tomberait la 
perpendiculaire abaissée de A , il faut marquer sur ce 
plan trois points B , C , D , également éloignés du point 
A, et chercher ensuite le centre du cercle qui passe 
par ces points ; ce centre sera le point cherché P. 

SchoUe. L'angle ABP est ce qu'on appelle Xincli» 
naison de Publique AB sur le plan MN ; on voit que 
cette inclinaison est égale pom* toutes les obliques AB, 
AG , AD , etc. , qui s'écartent également de la perpen- 
diculaire; car tous les triangles ABP, AGP, ADP, etc., 
sont égaux entre eux. 

PROPOSITION VI. 

THEOREME. 

Soit AP une perpendiculaire au plan MN et ag. i85, 
BC une ligne située dans ce plan ; si du pied P 
de la perpendiculaire on abaisse PD perpendi- 
culaire sur BC , et qui on joigne AD , je dis que 
AD sera perpendiculaire à BC. 

Prenez DB=:DG, et joignez PB, PC , AB , AG : 
puisque DB = DG , l'oblique . PB = PC ; et par rap- 
port à la perpendiculaire AP, puisque PB = PC, 



T49 GÉOHÉTniE. 

*s. l'oMitjue AB=AC*; donc 1» ligne AD a deux «le ses 
points A ei D également distants des extrémités B et 
C; donc AD est perpendiculaire sur le milieu de BC, 

Corollaùe. On voit en même temps que BC est per- 
pendiculaire au plan APD, puisque BC est perpendi- 
culaire à-la-fois aux deux droites AD, PD. 

Schniie. Les deux lignes AE , BC , offrent l'exemple 
de deux lignes qui ne se rencontrent point, parce que 
elles ne sont pas situées dans un même plan. La plus 
courte distance de ces lignes est la droite PD , qui est 
i-Ia-fois perpendiculaire à la ligne AP et à la ligne 
BC. La distance PD est la plus courte entre ces deux 
lignes \ car si on joint deux autres points , comme A 
et B,on aura AB> AD, AD>PDj donc, à plus forte 
raison , AB > PD. 

Les deux lignes AE, CB, quoique non situées dans 
on m^me plan, sont censées faire entre elles un angle 
droit, parce que AD et la parallèle menée par un de 
SCS points à la ligne BC feraient entre elles un angle 
droit. De même b lii^ne AB et la ligne PD, qui repré- 
sentent deux droites quelconques non situées dans le 
mime plan, sont censées &ire entre etlei le même 
angle que ferait avec AB U paraUele à PD menée par 
un des points de A£. 

PROPOSITION VIL 

TBÉOKÊMB. 

S6. Si la h'gTW AP est perpendiculeùre au plan 
MN , toate ligne DE paraUele à AP sera perpen- 
diculaire au même pian. 

Suivant les paralMes AP, DE, conduisez nn plan 
dont linter^fftion «ver le plan UN sera PD; H»î»g le 
pltn MN menea BC perpeadtculaîre à PD ^ et joi- 
»ci AD. 



LIVRE V. 143 

Suivant le corollaire du théorème précédent, BC 
est perpendiculaire au plan APDE ; donc l'angle BDE 
est droit : mais Tangle EDP est droit aussi, puisque 
AP est perpendiculaire à PD , et que DE est parallèle 
à AP; donc la ligne DE est perpendiculaire aux deux 
droites DP, DB ; donc elle est perpendiculaire à leur 
planMN. 

Corollaire I. Réciproquement si les droites AP^ 
DE sont perpendiculaires au même plan MN, elles 
seront parallèles; car si elles ne l'étaient pas, condui- 
sez par le point D une parallèle à AP, cette parallèle 
sera perpendiculaire au plan MN; donc on pourrait, 
par un. même point D, élever deux perpendiculaires 
à un même plan , ce qui est impossible *• * 4 • 

CoroUcdre II. Deux lignes A et B, parallèles à une 
troisième C, sont parallèles entre elles; car imaginez 
un plan perpendiculaire à la ligne C, les lignes A et B, 
parallèles à cette perpendiculaire, seront perpendicu^ 
laires au même plan ; donc , par le corollaire précé- 
dent, elles seront parallèles entre elles. 

Il est entendu que les trois lignes ne sont pas dans 
le même plan , sans quoi la proposition serait déjà 
eonnue^ *a4,i. 

PROPOSITION VIII. 

THBORâlIE. 

Si la ligne AB est parallèle à une droite CD fig. 187. 
menée dans le plan MN , elle sera parallèle à ce 
flan. 

Car si la ligne AB , qui est dans le plan ABCD , ren- 
contrait le plan MN, ce ne pourrait être quen quelque 
point de la ligne CD , intersection commune des deux ' 
plans : or, AB ne peut rencontrer CD, puisqu'elle lui 
est parallèle ; donc elle ne rencontrera pas non plus 
le plan MN ; donc elle est parallèle à ce plan ^ * ^é(, a. 




t44 GÊOHBTRIK. 

PROPOSITION IX. 



Bg.iSS. Deua^ plansM^ , PQ , perpendiculaires à une 
même droite AU, sont parallèles entre eux. 

Car s'ils se rencou traient quelque part, soit O un 
de leurs points communs, et joignez OA , OB ; la ligne 
AB , perpendiculaire au plan MN , est perpendiculaire 
à la droite OA menée nar son pied dans ce plan j par 
la même raison AB pendiculaire à BO ; donc 

OA et OB seraient di )endiculaiTes abaissées du 

même point O ; <• ligne droite , ce qui est 

inipossîb'"* Ao] plar IVIN , PQ, ne peuvent se 



.S. 



'alleles. 
. DION X. 



. 1)9. Les intersections EF , GH , de deux plans pa- 
ralletes MN , PQ, par un troisième plan FG, 
sont parallèles. 

Car si les lignes EF, GH, situées dans un même 
plan , ne sont pas parallèles , prolongées elles se ren- 
contrei-ont; donc les plans BEN, PQ, dans lesquels 
dles sont , se rencontreraient aussi ; donc ils ne se- 
ntent pas parallèles. 

PROPOSITION XI. 

iM; £a ligne AB , perpetidiadaire au plan BdCN , 

est perpendiculairfuu plan PQ parallèle à MN. 

AyweX tiré à voloatê b ligne BC dans le plan PQ , 

foivant AB et BC, eondiùan tin plan ABC dont 



LIVRE V. 145 

lintersection avec le plan MN soit AD , rinterâection 
AD sera parallèle à BC* j mais la ligne AB perpendi- * 10. 
culaire au plan MN est perpendiculaire à la droite 
AD ; donc elle sera aussi perpendiculaire à sa paral- 
lèle BC ; et puisque la ligne AB est perpendiculaire à 
toute ligne BC menée par son pied dans le plan PQ , 
il «^ensuit qu'elle est perpendiculaire au plan PQ. 

PROPOSITION XII. 

t 

Ttt£OR^MC4 

Ijes parallèles EG , FH , comprises entre deux b^, 1S9. 
fîans parallèles MN , PQ , sont égales. 

Par les parallèles EG, FH, faites passer le plan 
EGHF, qui rencontrera les plans parallèles suivant 
EF et GH. Les intersections EF, GH, sont parallèles 
entre elles*, ainsi que EG, FH; donc la figure EGHF * 10. 
est un parallélogramme; donc EG=FH. 

'Corollaire^ Il suit de là que deux plans parallèles 
sont par'tout a égale distance ; car si EG et FH sont 
perpendiculaires aux deux plans MN, PQ, elles seront 
parallèles entre elles*; donc elles sont égales. * 7- 

PROPOSITION XIII. 

THEOREME. 

Si deux angles CAE, DBF, non situés dans le fig.190. 
même plan , ont leurs côtés parallèles et dirigés 
dans le même sens^ ces angles seront égaux et 
leurs plans seront parallèles. 

Prenez AC=BD, AE = BF, et joignez CE, DF, 
AB, CD , EF. Puisque AC est égale et parallèle à BD , 
la figure ABDC est un parallélogramme* ; donc CD 
^t ^ale et parallèle à AB* Par une raison semblable 

Neuif, édn 10 



*3x,r. 



f 



t40 

EF est égale et parallèle à AB ; donc aussi CD at 
égale et parallèle â £F, la figure CEFD est donc 
un parallélogramnie , et ainsi le côté CE est égal 
et parallèle à DF ; donc les triangles CAE , DDF , 
sont équilatéraux entre eux j donc l'angle CAË = 
DBF. 

En second lieu je dis que le plan ACE est parallèle 
au plan BDF ; car , supposons que le plan parallèle à 
BDF , mené par le point A , rencontre les lignes CD , 
EF, en d'autres points que G et E, par exemple en 
G et H ; alors, suivant la proposition xii, les trois 
lignes AB , GD , FH , seront égales : mais les trois AB , 
CD , EF , le sont déjà ; donc on aurait CD := GD , et 
FH^EF, ce qui est absurde ; donc le plan ACE est 
parallèle à BDF. 

Corollaire. Si deu ans parallèles MN, PQ, sont 
rencontrés nar denv xes plans CABD, EABF, les 
angles Ci to; lar les intersections des 

plans para i , »ei égaux; car l'intersection AC 
,, est parallèle a BD', AE l'est à BF, donc l'angle 
CAE = DBF. 

PROPOSITION XIV. 

^BBORÈME. 

Si trois droites AB , CD , EF , non situées dans 
le même plan, sont égales et parallèles , les 
triangles ACE , BDF , formés de part et d'autre 
en joignant les extrémités de ces droites, seront 
égaux , et leurs plans seront parallèles. 

Car, puisque AB est égale et parallèle à CD, la 
figure ABDG est un parallélogramme ; donc le côté 
AC est égal et parallèle à BD. Par une raison sem- 
blable les côtés AE, BF, sont égaux et parallèles , 
ainsi que CE , DF ; donc les deux triangles ACE , 



ILIVRB V, 147 

BDF , sont égaux : on prouvera d'ailleurs , comme 
dans la proposition précédente , que leurs plans sont 
parallèles. 

PROPOSITION XV. 

THÉOREMB. 

Deux droites comprises entre trois plans pa- 
ralleleSy sont coupées en parties proportionnelles. 

Supposons que la ligne AB rencontre les pl^ns pa- Cg. 191. 
ralleles MN , PQ , RS , en A , £ , B , et que la ligne 
CD rencontre les mêmes plans en C, F, D; je dis 
qu'on aura AE : EB : : CF : FD. 

Tirez AD qui rencontre le plan PQ en G,, et joi- 
gnez AC, EG, GF, BD j les intersections EG, BD, 
des plans parallèles PQ , RS , par le plan ABD , sont 
parallèles * ; donc AE : EB : : AG : GD \ pareillement lés • 10. 
intersections AC , GF , étant parallèles , on a AG : GD : : 
CFiFD ; donc, à cause du rapport commun, AG: 
GD , on aura AE : EB : : CF : FD. 

PROPOSITION XVI. 

TH£0&£M£. 

Soit ABCD un quadrilatère quelconque situé ou non situé a^r, i^^. 
dans un même plan ; si on coupe les côtés opposés propor- 
tionnellement par deux droites EF , GH , de sorte qiCon ait 
AE:EB :: DF:FC, ^r BG: GC :: AHrHD;/^ dis que les droites 
£F, GH, se couperont en un point M, de manière qu'on 
oiim HM:MG::AË:EB, e/EM:MF::AH:HD. 
' Conduisez suivant AD un plan quelconque A^HcD qui ne 
passe pas suivant GH; par les points £, B, C, F, menez à 
GH les parallèles Ee, Bb, Ce, Vf, qui rencontrent ce plan 
cae, b, c,/, A cause des parallèles Bb, GH, Ce* , on aura * 1.5, 3. -,, 
OT:Hc::BG:GC::AH:HD^donc*les triangles AHô,DHc, *2o, ^. 
sont semblables. On aura ensuite Ae:e3:: A£:£B , et D/: 

10. 



r 




1^ GEOUIITBIE. 

/e::DF:FC; donc Ae:eô::D/:/c , ou, cùiitpanendo , A«: 
D/*:: Ai:Dc,' mait , à cause des triangles semblables AU&, 
DHc, on a A6:Dc::AH:HD; donc Ac:D/::AU:HD: d'ail- 
leurs les triangles AH&, cHD, étant semblables, l'angle UAr 
^HD/,- donc les triangles AHe, DH/, sont semblables", 
donc l'angle Ant = DH/". Il s'ensuit d'aboi'd que tfH/"('st une 
ligne droite, et qu'ainsi les trois parallèles Ee, GH, F/, 
sont située» dans un même plan , lequel contiendra les deui 
droites EF, GH; donc celles-ci doivent se couper en un 
point M. Ensuite, à cause des parallèles £e, MH, Yf, on 
aura EM:MF::eH:H/:: AH:HD. 

Par une construction lemblalile, rapportée an côté AB, 
On démontrerait que HM:MG:: AErEB^ 

PROPOSITION XVII. 

THÉORÈME. 

L'angle compris entre les deux plans MAN, 
MAP , peut être mesuré , conformétnent à la dé' 
finition, par l'angle NAP que font entre elles 
les deux perpendiculaires ATS" , AP , menées dans 
chacun- de ces plans à l'intersection commune 
AM. 

Pour démontrer la légitimité de cette mesure, ii 
faut prouTfir , 1° qu'elle est constante, ou qu'elle serait 
la même en quelque point de l'intersection commune 
qu'on menât les deux perpendiculaires. 

En effet, si on prend un autre point M, et qu'on 
mené MC ilans le plan MN, et MB dans le plan MP, 
perpendiculaires à l'intersection commune AM ; puis- 
que MB et AP sont perpendiculaires à une même lignw 
AM, elles sont parallèles entre elles. Par la mèiAe 
rtiison MC est parallèle à AN • donc l'angle BMC =: 
PAN ' ; donc il est indifférent de mener les perpen- 
diculaîres au point M ou ail point A ; l'angle compri» 
Sera toujours le mêm«. 



99 II faut prouver que si langle des deux plans 
augmente ou diminue dans un certain rapport y 
l'angle PAN augmentera ûu diminuera dans le même 
rapport. 

Dans le plan PAN décrivez du ceiitie A et d'un 
rayon à volonté lare NDP, du centre M et dun rayon 
égal décrivez l'arc CEB , tirez AD à volonté ; les deux 
plans PAN 9 BMC, étant perpendiculaires à une même 
droite MA, seront parallèle^*; donc les intersections *g* 
AD , ME , de ces deux plans par un troisième AMD, 
seront parallèles ; donc l'angle BME sera égal à PAD*, * ilr 

Appelons pour un moment coin l'angle formé par 
deux plans MP , MN ; cela posé , si l'angle DAP était 
égal à DAN, il est clair que le coin DAMP serait 
égal au .coin D AMN ; car la base PAD se placerait 
exactement sur son égale DAN, la hauteur AM se* 
raît toujours la niême; donc les deux coins coïnci- 
deraient l'un avec l'autre. On voit de même que si 
langle DAP était contenu un certain nombre de fois 
juste dans l'angle PAN, Je coin DAMP serait contenu 
autant de fois dans le coin PAMN. D'ailleurs du rap- 
port en nombre entier à un rapport quelconque la 
conclusion est légitime , et a été démontrée dans une 
circonstance tout-à-fait semblable*; donc quel que *i7,sl 
soit le rapport de l'angle DAP à l'angle PAN, le coin 
DAMP sera dans ce même rapport avec le coin PAMN; 
donc l'angle NAP peut être pris pour la mesure du 
coin PAMN, ou de l'angle que font entre eux les deux 
plans MAP , M AN. 

Scholie. Il en est des angles formés par deux plans 
comme des angles formés par deux droites. Ainsi lors- 
que deux plans se traversent mutuellement , les angles 
opposés au sommet sont égaux, et les angles adjacents 
valent ensemble deux angles droits ; donc si un plan 
est perpendiculaire à un autre , celui-ci est perpendi- 
culaire au premier. Pareillement dans la rencQntre des 



r 



l5o CÉOKÉTRIE, 

plans parallèles par un troisième plan , il existe les 
mêmes égalités et les mêmes propriétés que dans la 
rencontre de deux lignes parallèles par une troisième 
ligne. 

PROPOSITION XVIII. 



fig, 194. La ligne AP étant perpendiculaire au plan 
MN, tout plan APB, conduit suivant AP, sera 
perpendiculaire au plan MN. 

Soit BC l'intersection des plans AB, MN; si dans 
le plan MN on mené DE perpendiculaire à BP, la ligne 
AP, étant perpendiculaire au plan MN, sera perpen- 
diculaire à chacune des deux droites BC , DE : mais 
Tangle APD, formé par les deux perpendicidaîres PA, 
PD, à l'intersection commune BP, mesure l'angle des 
deux plans A B,MN; donc, puisque cet angle est droit, 

dof, S. les deux plans sont perpendiculaires entre eux *. 

Scfwlig. Lorsque trois droites, telles que AP, BP^ 
DP , sont perpendiculaires entre elles , chacune de ces 
droites est perpendiculaire au pbn des deux autres, 
et les trois plans sont perpen<)iculaires entre eux. 

PROPOSITION XIX. 



Si le plan AB est perpendiculaire au plan MN , 
et que dans le plan AB on mené la ligne VA. per- 
pendiculaire à l'intersection commune PB, /e dis 
que PA sera perpendiculaire au plan MN. 

Car si dans le plan MN on mené PD perpendicu- 
laire à PB, l'angle APD sera droit, puisque les plans 
sont perpendiculaires entre eux ; donc la ligne AP 
est perpendiculaire aux deux droites PB, PD ; donc 
elle est perpendiculaire à leur plan MN. 



■'^ 



4. 



LITRE V. l5l 

Corollaire, Si le plan AB est perpendiciilaire au 
plan MN, et que par un point P de Tintersection 
commune on élevé une perpendiculaire au plan MN , 
je dis que cette perpendiculaire sera dans le plan ÂB ; 
car , si elle n'y était pas , on pourrait mener dans le 
plan AB une perpendiculaire AP à l'intersection com-^ 
mune BP, laquelle serait en même temps perpendi- 
culaire au plan MN ; donc au même point P il y 
aurait deux perpendiculaires au plan MN \ ce qui est 
impossible '^. 

PROPOSITION xx: 

THEOREME. 

Si deux plans AB , AD , sont perpendiculaires fig.ig4. 
à un troisième MN , leur intersection commune 
AP sera perpendiculaire à ce troisième plan. 

Car si par le point P on élevé une perpendiculaire 
au planMN, cette perpendiculaire doit se trouver à- 
la-fois dans le plan AB et dans le plan AD*; donc elle * cor. 19. 
est leur intersection commune AP. 

PROPOSITION XXL 

THEOREME. 

Si un angle solide est formé par trois angles figigs. 
plans ^ la somme de deux quelconques de ces 
angles sera plus grande que le troisième. 

Il n y a lieu à démontrer la proposition que lorsque 
Tangle plan qu on compare à la somme des deux au- 
tres est plus grand que chacun de ceux-ci. Soit donc 
Vangle solide S formé par trois angles plans ASB, 
ASC , BSC y et supposons que Vangle ASB soit le plus 
grand des trois ; je dis qu on aura ASB < ASC + BSC. 

Dans le plan ASB faites 1 angle BSD = BSC, tirea 



l5a G F. O M liT n I E. 

ù volonté la droite ADBj et, ayint pris SC^SDj 
joignez AC, BC. 

Les deux côtés BS, SD, sont égaux aux deux Bft, 
se, l'angle BSD^zBSC; donc les deux triangles BSDj 
ESC sont égaux; donc BD=;BC. Mais on a AB<* 
AC + BC ; retranchant d'un côté BD , et de Tauirt 
son égale BC , il restera AD < AC. IjCs deux côtés AS» 
SD, son égaux aux deux AS, SC, le troisième AB 
est plus etit que le troisième AC; donc* l'angle ASD 
<ASC. Ijoutant BSD— BSC, on aura ASU + BSD, 
ou ASB ^ . JSC. 

PRC )SITION XXII. 



î' plans qui forment «Ai 

uurs moindre que quatre 

ir un plan quelcontju^j 
A ji. , u it '_ dans ce plan menez à ' 

TOUS les angles les lignes b A, OB, 0C,0D,01£. 

La somme des angles des triangles ASB, BSC , etc., 
formés autour du sommet S, équivaut à la souune 
des angles d'un pareil nombre de triangles AOB , 
BOC , etc. , foj-més autour du sommet 0. Mais au 
point B les angles ABO , OBC, pris ensemble, font 
l'angle ABC plus petit que la somme des angles ABS » 
SBC'i de mérae au point C on a BC0 4-0CD<( 
BCS + SCD ; et ainsi à tous les angles du polygone 
ABCDE. I) suit de là que dans les triangles dont te 
sommet est en O , la somme des angles à la base est 
plus petite que U somme des angles à la base dans 
les triangles dont lu sommet est en S; donc, par com- 
pensation , la $omme des angles formés autour du 
point est plus grande que la somme des angles au- 
tour du poîiit S. Nais 1» somme d^ angles autour 



LIVRS V. l53 

du point O est égale à quatre angles droits^; donc la * 5, x. 
somme des angles plans qui forment l'angle solide S 
est Aïoihdre que quatre angles droits. 

SchoUe* Cette démonstration suppose que l'angle 
solide est convexe , ou que le plan d une face prolon- 
gée ne peut jamais couper l'angle solide ; s'il en était 
autrement, la somme des angles plans n'aurait plus de 
Jbornes et pourrait être d'une grandeur quelconque. 

PROPOSITION XXIII. 

THEOREME. 

Si deux angles solides sont composés de trois 
angles plans égaux chacun à chacun ^ les plans , 
dans lesquels sont les angles égaux seront égale^ 
ment inclinés entre eux. 

Soit l'angle ASC=DTF, l'angle ASB=DTE, et figig?. 
l'angle BSC=:ETF ; je dis que les deux plans ASC, 
ASB, auront entre eux une inclinaison égale à celle 
des plans DTF , DTE. 

Ayant pris SB à volonté , menez BO perpendicu- 
laire au plan ASC ; du point O , où cette perpendicu- 
laire rencontre le plan , menez OA , OC , perpendi- 
culaires sur SA , se ; joignez AB , BC ; prenez ensuite 
TE=SB 5 menez EP perpendiculaire sur le plan 
DTF ; du point P menez PD , PF , perpendiculaires 
sur TD, TF ; enfin joignez DE , EF. 

Le triangle SAB est rectangle en A, et le tiiangle 
TDE en D*, et puisque l'angle ASB=DTE, on a *6. 
aussi SBA=TED. D'ailleurs SB = TE ; donc le 
triangle SAB est égal au triangle TDE; donc SA=: 
TD, et AB=DE^ On démoptrera semblablement 
que SC=TF, et BG = EF. Cela posé, le quadri- 
latere SAOC est égal au quadrilatère TDPF ; car 
posant l'angle ASC sur 3on égal DTF., à cause de 



i;)4 GKO M ETRIE. 

SA— TD et SC=TF , le point A tombera en D et le 
point C en F. En niétnc temps AO , perpendiculaire 
à SA, tombera sur Di' perpendiculaire à TD , et pa- 
reillement OG sur PFj donc le point tombera sur 
le point P, et on aura AO^DP. Mais les triangles 
AOB, DPE, sont rectangles en O et P, l'bypotéiiuse 
AB=DE, et le côté AO:=:DP; donc ces triangles 
■ sont égaux'; donc l'angle OAB=zPDE. L'angle OAB 
est l'inclinaison des deux plans ASB, ASC; l'angle 
PDE est celle des deux plans DTE, DTF; donc ces 
deux inclinaisons sont égales entre elles. 

Il faut observer cependant que l'angle A du trian- 
gle rectangle OAB n'est proprement l'inclinaison des 
deux plans ASB , ASC , que lorsque la perpendi- 
culaire BO tombe , par rapport à SA , du même 
côté que SC; si elle tombait de l'autre coté, alors 
l'angle des deux plans serait obtus, et, joint à l'an- 
gle A du triangle OAB, il ferait deux angles droits. 
Mais dans le même cas l'angle des deux plans TDE , 
TDF, serait pareillement obtus, et, joint à l'angle 
D du triangle DPE, il ferait deux angles droits; 
donc, comme l'angle A serait toujours égal à D, on 
conclurait de même que l'inclinaison des deux plans 
ASB, ASC, est égale à celle des deux, plans ÏDE, 
TDF. 

SchûUe. Si deux angles solides sont composés de 
trois angles plans égaux chacun à cbacun , et qu'en 
même temps les angles égaux ou homologues soient 
disposés de la même manière dans les deux angles 
solides , alors ces angles seront égaux , et posés l'un 
sur l'autre ils coïncideront En effet on a déjà vu 
que le quadrilatère SAOC peut être placé sur son 
égal TDPF; ainsi en plaçant SA jsur TD, SC tombe 
sur TF, et le point O sur le point P. Mais, à cause 
de régalît« des triangles AOB, DPE, la perpendicu- 
laire OB au plan ASC est égale à la perpendiculaire 



LIVRE T. ï55 

PE au plan TDF; de plus ces perpendiculaires sont 
dirigées dans le même sens ; donc le point B tombera 
sur le point E, la ligne SB sur TE, et les deux angles 
solides coïncideront entièrement lun avec Tautre. 

Cette coïncidence cependant na lieu qu'en sup- 
posant que les angles plans égaux sont disposés de la 
même manière dans les deux angles solides; car si 
les angles plans égaux étaient disposés dans un ordre 
inverse y ou, ce qui revient au même, si les perpen- 
diculaires OB, PE, au lieu detre dirigées dans le 
même sens par rapport aux plans ASC , DTF , étaient 
dirigées en sens contraires , alors il serait impossible 
de faire coïncider les deux angles solides l'un avec 
Pautre. Il n'en serait cependant pas moins vrai , con- 
formément au théorème , que les plans dans lesquels 
sont les angles égaux seraient également inclinés 
entre eux ; de sorte que les deux angles solides se- 
raient égaux dans toutes leurs parties constituantes , 
sans néanmoins pouvoir être superposés. Cette sorte 
d'^^alité, qui n'est pas absolue ou de superposition > 
mérite d'être distinguée par une dénomination parti- 
culière : nous l'appellerons égalité par symmétrie. 

Ainsi les deux angles solides dont il s'agit , qui sont 
formés par trois angles plans égaux chacun à chacun,, 
mais disposés dans un ordre inverse , s'appelleront 
angles égaux par symmétrie ^ ou simplement angles 
symmétriques. 

La même remarque s'applique aux angles solides 
formés de plus de trois angles plans : ainsi un angle 
^lide formé par les angles plans Â^ B, C, D, E, et 
un autre angle solide formé par les mêmes angles 
dans un ordre inverse A, E, D, C, B, peuvent être 
tels que les plans dans lesquels sont les angles égaux 
soient également inclinés entre eux. Ces deux angles, 
solides , qui seraient égaux sans que la superposition 



iSfi CÉOMÉ TBIl. 

fût possible, s'appellei'ont angles solides égaux p/tr 
sjrnunétrie , ou angles solides symmétriqius. 

Dans les figures planes il n'y a point proprement 
d'égalité par symmétrie, et toutes celles qu'on vou- 
drait appeler ainsi seraient des égalités absolues ou de 
superposition : la raison en est qu'on peut renverser 
une figure plane, et prendre indiftéremment le dessus 
pour le dessous. H en est autrement dans les solides 
oîi la troisième dimension peut être prise dans deu^ 
sens différents. 

PROPOSITION XXIV. 



Étant donnés les trois angles plans quiforment 
un angle solide, trouver par une construction 
plane l'angle que deux de ces plans font entre 

!. Soit S l'angle solide proposé , dans lequel on con- 
naît les trois angles plans ASB, ASC, DSC; on de- 
mande l'angle que font entre eux deux de ces plans* 
par exemple les plans ASB , ASC. 

Imaginons qu'on ail fait la même construction que ' 
dans le théorème précédent, langle OAB serait l'angle 
requis. Il s'agît donc de trouver le même angle par 
une construction plane ou tracée sur un plan. 

Pour cela faites sur un plan les angles B'SA, ASC, 
B''SC, égaux aux angles BSA, ASC, BSC , dans la 
figure solide j prenez B'S et B''S égaux chacun à BS 
de la figure solide; des points B' et B" abaissez B'A 
et B"C perpendiculaires sur SA et SC , lesquelles se 
rencontreropt en un point O. Du point A comme cen- 
tre et du rayon AB' décrivez la demi -circonférence 
B'iE; au point O élevez sur B'E la perpendiculaire 
Oi, qui rencontre h circonférence en b , joignez Kb ,■ 



t* IV HE V. iSy 

jet Tanglé EAd sera l'inclinaison cherchée des deux 
, plans ASC , ASB , dans l'angle solide. 

-Tout se réduit à faire voir que le triangle AOb de 
la figure plane est égal au triangle ÂOB de la figure 
solide. Or leis deux triangles B'SA, BSA, sont rectan- 
gles en A, les angles en S sont égaux ; donc les angles 
en B et B' sont pareillement égaux. Mais l'hypoté- 
nuse SB' est égale à l'hypoténuse SB; donc ces trian- 
gles sont égaux; donc SA de la figure plane est égale 
à SA de la figure solide, et aussi AB', ou son égale 
Ab dans la figure plane est égale à AB dans la figure 
solide. On démontrera de même que SC est égal de 
part et d'autre ; doù il suit que le quadrilatère SAOC 
est égal dans l'une et dans l'autre figure , et qu'ainsi 
AO de la figure plane est égal à AO de la figiure 
solide; donc dans l'une et dans l'autre les triangles 
rectangles AOi, AOB, ont l'hypoténuse égale et un 
côté égal; donc ils sont égaux, et l'angle EA^, trouvé 
par la construction plane , est égal à l'inclinaison des 
deux plans SAB , SAC , dans l'angle solide. 

Lorsque le point O tombe entre A et B' dans la 
figure plane, l'angle EA^ devient obtus, et mesure 
toujours la vraie inchnaison des plans : c'est pour 
cela que l'on a désigné par EAi , et non par OA^ , 
l'inclinaison demandée, afin que la même solution 
couvienne à tous les cas sans exception. 

Scholie. On peut demander si, en prenant trois 
angles plans à volonté , on pourra former avec ces trois 
angles plans un angle solide. 

D'abord il faut que la somme des trois angles don- 
Dés soit plus petite que quatre angles. droits, sans quoi 
l'angle solide ne peut être formé*; il faut de plus *a2. 
qu'après avoir pris deux des angles à volonté B'SA, 
ASC, le troisième CSB" soit tel, que la perpendicu- 
laire B"C au C9t4 se r^ncontrç le diamètre B'E entre 



l58 GCOMÉTRIX. 

ses extrémités B' et E. Ainsi les limites de la gran- 
deur de l'angle CSB" sont celles qui font aboutir la 
perpendiculaire B"C aux points B' et E, De ces points 
abaissez sur CS les perpendiculaires B'I , ËK , qui 
rencontrent eu 1 et K la circonlerence décrite du 
rayon SB", et les limites de l'angle CSB" seront GSl 
etCSK. 

Mais dans le triangle isoscele B'SI, la ligne CS pro- 
longée étant perpendiculaire à la base B'I, on a l'an- 
gle CSI=^CSB'^ASC + ASB'. Et dans le triangle 
isoscele ESK , la ligne SC étant perpendiculaire à 
EK, on a l'angle GSK=CSE. D'ailleurs, à aixtse des 
triangles égaux ASE, ASB' , Tangle ASEi=ASB'; 
doncCSE ou CSKi^ASC— ASB'. 

Il résulte de là que le problème sera possible toute» 
les l'ois que le troisième angle CSB" sera plus petit 
que la somme des deux autres ASC, ASB', et plus 
grand que leur différence : condition qui s'accorde 
avec le tbéorème xxi ; car, en vertu de ce théorème, 
il faut qu'on ait CSB' < ASC + ASB' ; il faut aussi 
qu'on ait ASC < CSB''+ ASB', ou CSB' > ASC— 
ASB'. 

PROPOSITION XXV. 



Étant donnés deux des tiois angles plans 
guijbnnentun angle solide^ avec l'angle que 
leurs plans font entre eux , trouver le troisième 
angle plan. 

Soient ASC, ASB', les deux angles plans donnés, 
et supposons pour un moment que CSB' soit le troi- 
sième angle que l'on cherebe , alors , en faisant la 
même construction que dans le problème précédent , 
l'angle compiis entre les plans des deux premin^ 
aérait EAi. Or , de mémo qu'on déterminé l'angls 



,/^V 



L I V R E V. 1 59 

^EAb par le moyen de GSB" , les deux autres étant 
donnés; de même on peut déterminer GSB" par le 
moyen de £A^, ce qui résoudra le problême pro* 
posé. 

Ayant pris SB' à volonté , abaissez sur SA la per- 
pendiculaire indéfinie B'E, faites langle "EAb égal à 
l'angle des deux plans donnés; du point b où le côté 
Ai rencontre la circonférence décrite du centre A et 
du rayon AB% abaissez sur AE la perpendiculaire 
M) , et du point O abaissez sur SG la perpendiculaire 
indéfinie OCB''^ que vous terminerez en B" de ma- 
nière que SB"=SB'; l'angle CSB'' sera le troisième 
angle plan demandé. 

Car si on forme un angle solide avec lès trois an- 
gles plans B'SA, ASC, GSB", Tinclinaison des plans 
où sont les angles donnés ASB' , ASC , sera égale à 
l'angle donné EAd. 

SchoUe. Si un angle solide est quadruple y ou formé fi^. ig^ 
par quatre angles plans ASB , BSG , GSD , DSA , la 
connaissance de ces angles ne suffit pas pour déter- 
miner les inclinaisons mutuelles de leurs plans ; car 
avec les mêmes angles plans on pourrait former une 
infinité d'angles solides. Mais si on ajoute une condi- 
^ tion , par exemple , si on donne Vinclinaison des deux 
plans ASB , BSG, alors l'angle solide est entièrement 
déterminé, et on pourra trouver Finclinaison de 
deux de ses plans quelconques. En effet, imaginez 
un angle solide triple formé par les angles plans ASB, 
BSG , ASG ; les deux premiers angles sont donnés , 
ainsi que l'inclinaison de leurs plans; on pourra donc 
déterminer, par le problême qu'on vient de résoudre, 
le troisième angle ASG. Ensuite, si on considère 
Tangle solide triple formé par les angles plans ASG , 
ASD , DSG, ces trois angles sont connus ; ainsi Fangle 
solide est entièrement déterminé. Mais l'angle solide 
quadruple est formé par la réuuioi^ des deux angles 



soUJes biples dont o 



; donc , puîsqM 



ces angles partiels sont connus et déterminés, l'angle 
total sera pareillement connu et déterminé. 

L'angle des deux plans ASD , DSC, se trouverail 
immédiatement par le moyen du second angle solide 
partiel. Quant à l'angle des deux plans fiSC, CSD, il 
faudrait dans un angle solide partiel chercher l'angle 
compris entre les deux plans ASC, DSC , et dans 
Vautre l'angle comprb entre les deus plans ASC , 
BSC ; la somme de ces deux angles serait l'angle com- 
pris entre les plans BSC, DSC. 

On tixtuvera de la même manière qiie , pour dé- 
terminer un angle solide quintuple, il faut coi 
outre les cinq angles plans qui le composent, dei 
des inclinaisons mutuelles de leurs plans ; il en faQ 
drait trois dans l'angle solide sextuple, et ainsi i 
fuite. 



%^^%%<»^>V»^»%/%/^%i^%»V»<^»'%^»%<%^%<*^^%'%'»'^i^^%^^>*^^*»^^^%^%<%/*»%'%'V%l%^i%1i/%%<%^%Xi< ^ 



LIVRE VL 



LES POLYÈDRES. 



PEFIlTITIOirS. 



L Un appelle solide polyèdre , ou simplement /?o- 
Ijedre^ tout solide terminé par des plans ou des faces 
"planes. (Ces plans sont nécessairement terminés eux« 
mêmes par des lignes droites. ) On appelle en parti- 
culier tétraèdre le solide qui a quatre faces ; hexaidre 
celui qui en a six \ octaèdre celui qui en a huit ; do^ 
décaèdre celui qui en a douze ; icosaèdre celui qui en 
a vingt, etc. 

Le tétraèdre est le plus simple des polyèdres ; car 
il faut au moins trois plans pour former un angle so- 
lide y et ces trois plans laissent un vide qui , pour être 
fermé , exige au moins un quatrième plan. 

II. L'intersection commune de deux faces adjacentes 
d'un polyèdre s'appelle côté ou arête du polyèdre. 

m. On appelle jp^/^èrfr^ régulier celui dont toutes 
les faces sont des polygones réguliers égaux, et dont 
tous les angles solides sont égaux entre eux. Ces po- 
lyèdres sont au nombre de cinq. Voyez V appendice 
aux livres VI et Vil. 

IV. he prisme est im solide compris sous plusieurs 
plans parallélogrammes, terminés de part et d'autre 
par deux plans polygones égaux et parallèles. 

Pour construire ce solide , soit ABCDE un poly- fig. ^oo. 
gone quelconque; si dans un plan parallèle à ABC, 
on mené les lignes FG, GH, HI, etc., égales et pa- 
rallèles aux côtés AB, BC, CD, etc., ce qui formera 
Nem>* éd^ ii 



lOa GKOHBiniB. 

le polygone FGHIK égal à ABGDE; si ensuite < 
joint d'un plan à l'autre les sommets des angles bo- 
niologues par les droites AF, BG, CH, etc., les iaces 
ABGF, BCIIG, etc., seront des parallélogrammes, et 
le solide ainsi fomié ABCDEFGHIK sera un prbme. 
V. Les polygones égaux et parallèles ABCDE, 
FGHIK, s'appellent les hases du prisme ^ les autres 
plans parallélogranimfô pris ensemble constituent la 
surffice latérale ou convexe du prisme. Les droites 
égales AF, BG, CH , etc., s'appellent les côtés du 
prisme. 

\7. 1^ Itautew d'un prisme est la distance de ses 
deux bases, ou la perpendiculaire abaissée d'un point 
de la base supérieure sur le plan de la base infé- 
rieure. 

A II, Un prisme est divit lorsqne les côiés AF, 
BG, etc., sont perpendiciilfùres aux plans des bases : 
alors chacun d'eux est égal à la hauteur du prisme. 
Ihios tout autre cas le prisme est oblique, et la han- 
teiir est plus petite que le côté. 

\ m. Un pn'imc est triangulaire , qitadrangii- 
l.iirr , pentagonal y li^xago/ial, etc. , selon que la base 
est un triangle, un quadrilatère, on pentagone y un 
hexagone, eic. 
Eg.M6. i)^- Le prisme quia pour base un parallélogramme, 
a toutes ses laces parallélogrammiques j il s'appelle 
paraîlâepipeàe. 

\j6 ptirailcl^ipede est rectangle lorsque toutes ses 
faces sont des rectangles. 

X. Pannt les parallélépipèdes rectangles on dis- 
tingue le eut« ou hexaèdre régulier compris sous six 
quairés ^ux. 
Eg. ,g6 XI. La pjTomidt est le solide formé lorsque plu- 
sieurs plans uiangulaires parlent d'un même point S, 
et sont terminés aux diQâr«nts càtés d'uin ntéôie plan 
polygonal ÂBCDK. 



LIVRE VI. l63 

Le |)olygone ABCDE s'appelle la base de la pyra- 
mide , le point S en est le sommet ^ et Tensemble des 
triangles ASB , BSC, etc., forme la surface corwexe 
ou latérale de la pyramide. 

XII. La hauteur de la pyramide est la perpendicu- 
laire abaissée du sommet sur le plan de la base , pro- 
longé s'il est nécessaire. 

Xill. La pyramide est triangulaire , quadrangu^ 
taîrCy etc. , selon que la base est un triangle, un qua- 
drilatère, etc. 

XIV. Une pyramide est régulière^ lorsque la base 
est Tin polygone régulier , et qu'en même temps la 
perpendiculaire abaissée du sommet sur le plan de la 
base passe par le centre de cette base : cette ligne 
s'apjpelle alors Vaxe de la pyramide. 

XV. Diagonale d'un polyèdre est la droite qui joint 
les sommets de deux angles solides non adjacents. 

XVI. J'appellerai polyèdres symmétriques deux 
polyèdres qui, ayant une base commune, sont cons- 
truits semblablement, lun au-dessus du plan de cette 
base,' l'autre au-dessous, avec cette condition que les 
sommets des angles solides homologues soient situés 
à égales distances du plan de la basci sur une même 
droite perpendiculaire à ce plan. 

Par exemple, si la droite ST est perpendiculaire fig.aoa. 
au plan ABC, et qu'au point O, où elle rencontre ce 
plan , elle soit divisée en denx parties égales , les deux 
pyramides S ABC, T ABC, qui ont la base commune 
ABC, seront deux polyèdres symmétriques. 

XVII. Deux pyramides triangulaires sont sembla- 
bles j lorsqu'elles ont deux faces semblables chacune 
à chacune, semblablement placées et également incli- 
nées entre elles. 

Ainsi, en supposant les angles ABC = DEF, BAC fig ao3.. 
=EDF, ABS=.DET, BAS=EDT, si en outre l'in- 
clinaison des plans ABS, ABC, est égale à celle de 



l'ai GÉOKÉTBIÏ. 

leurs homologues DTE, DEF, les pyramides SABI 
TDEF, seront semblables. 

XVIII, Ayant formé un triangle avec les sommetil' 1 
r Ae trois angles pris sur une même face ou base d'un 

polyèdre, on peut imaginer que les sommets des dïf- 
£îrents angles solides du polyèdre, situés hors dti 
plan de cette base , soient ceux d'autant de pyramides 
triangulaires qui ont pour base commune le triangle 
désigné, et chacune de ces pyramides déterminera la 
position de cliaqiie angle solide du polyèdre par rap- 
port à la base. Cela posé : 

Deux po/yedres sont semblables lorsquayant des 
bases semblables, les sommets des angles solides ho- 
mologues , liorâ de ces bases , sont déterminés par des 
pyramides triangulairessemblables chacune à chacune. 

XIX. J'appellerai sonutiels d'un polyèdre les points 
. Mtués aux sommets de ses différents angles solides. 

( coaùd^rou tout des polf tdiw 



af> &ort« de polvÀlKf le pbn piolongé d'uDS 
tabdc> il nt donc impo&ubk <{a« Je puljèdre 
i dti \Am3\ d^ub« £ic« , n putïe a 
lot eùu de n plui. 



PROPOSIXJON PREMIERE. 

TBZOftiME. 

Dfux polyèdres ne peuvent avoir les mêmes 
sommets et en même nomère sans coineider l'an 
ai-ec tautre. 

Car supposons lun des pohvdr«s déjà construit ; 
si on veut en i-onsinùra un autre qui ait les mêmes 
sommets et eu même nombre, il fiiudrs que les plans 
de cdui>ci ne passmt pu tous pu- les mêmes points 



qm dans le premier, sans quoi ils ne différeraient 
pas l'un de l'autre : mais alors il est clair que quel-^ 
ques^uns des nouveaux plans couperaient le premier 
polyèdre; il y aurait des sommets au-dessus de ces^ 
plans ) et de» sommets au-dessous , ce qui ne peut con- 
venir à un polyèdre convexe : donc y si deux polyèdres 
ont les mêmes sommets et en même nombre, ils 
doivent nécessairement coïncider l'un avec Fautre. 

Scholie. Etant donnés de position les points A, B, 
G, K, etc. , qui doivent servir de sommets à un po- 
lyèdre, il est facile de décrire le polyèdre. 

Choisissez d'abord trois points voisins D, £, H, %2o^< 
tels que le plan DEH passe, s'il y a lieu, par de nou- 
veaux points K , C , mais laisse tous les autres d'un 
même côté, tous au-dessus du plan ou tous au- 
dessous; le plan DEH ou DEHKG, ainsi déterminé, 
sera tme face du solide. Suivant un de ses côtés EH , 
conduisez un plan que vous ferez tourner juscpi'à ce 
qa'ihprencontre un nouveau sommet F , ou plusieurs 
à-la-fois F, I; vous aurez une seconde face qui sera 
FEH ou FEHL Continuez ainsi en faisant passer des 
plans par les côtés trouvés jusqu'à ce que le solide 
soit terminé de toutes parts : ce solide sera le polyèdre 
demandé , car il n'y en a pas deux qui puissent avoir 
ks mêmes sommets^ 

PROPOSITION II. 

THÉOREJUC. 

Dans deux polyèdres symmétriques les faces 
homologues sont égales chacune à chacune y et 
V inclinaison de deux faces adjacentes , dans un 
de ces solides , est égale à V inclinaison des faces 
homologues dans Vautre. 

Soit ABCDE la base commune aux deux polyèdres £g.2oJr. 



^^^^^B soient M et N les soinmets de deux angles âolklM 
^^^^V quelconques de l'un des polyèdres. M' et N' les som- 
^^^^H -mets homologues de l'autre polyèdre; il faudra, sui- 
^^^^H Tant la définition, que les droites MJfl', NN', soient 
^^^^^^ perpendiculaires au plan ABC , et qu'elles soient divi- 
^^^^^V -sées en deux parties égales aux points met n où elles 
^^^^^m rencontrent ce plan. Cela posé, je dis que la distance 
^^^V HN est égale à M'N'. 

^^^^H Car si on fait tourner le trapèze m'Al'N'n autour 

^^^^^B de mn jusqu'à ce que son plan s'applique sur le plan 
^^^^H mMNn,- à cause des angles droits en m et en n, le 
^^^^F càté mM' tombera sur son égal wM, et nW sur nN; 
V donc les ' deux trapèzes coïncideront , et on aura 

I MN:^M'N'. 

H Soit P un troisième sommet du poljèdresupërieur, 

H et P' son homologue dans l'autre , on aura de même 

■ MP^M'P' et NP=N'P'; donc le triangle MNP, 

I qui joint trois som/nets quelconques da polyèdre su- 

H pèrieur,est égal att triangle M'WP' qui Joint lés trois 

sommets homologues de Vautre polyèdre. 

Si parmi ces triangles on considère seulement ceux 
qui sont formés à la surface des polyèdres, on peut 
déjà conclure que tes surfaces des deux polyèdres 
sont composées d'un même nombre de triangles égaux 
chacun à chacun. 

Je dis maintenant que si des triangles sont dans un 
même plan sur une surface et forment une même face 
polygone, les triangles homologues seront dans un 
même plan sur l'autre surface et formeront une face 
polygone égale. 

En effet, soient MPN, NPQ, Jeux triangles adja- 
cents qu'on suppose dans un même, plan , et soient 
M'P'N', N'P'Q', leurs homologues. On a l'angle 
MNP=M'N'P', l'angle PNQ=P'N'Q'; et si on 
joignait MQ et M'Q', le triangle MNQ sepait ^st'-à 
M'N'Q', ainsi on aurait - i'angle MNQ = M'N'Q'. 



LIVRE TI. 167 

Slaift puisque MPNQ est un seul plan, on a 1 angle 
MNQ=MNP + PNQ; donc on aura aussi M'N'Q' 
=M'N'P' -+- P:N'Q'. Or, si les trois plans M'N'P', 
P'N'Q, M'N!Q', n'étaient pas confondus en un 
ieul, ces trois pjians formeraient un angle solide, et 
on aurait * l'angle M'N'Q'< M'N'F + FN'Q'; *2o.5. 
donc,, puisque cette condition na pas lieu ^ les deux 
triangles M'N'P', P'N'Q', sont dans un même plan. 

U suit de là que chaque face, soit triangulaire, soit 
polygone, dans un polyèdre, répond à une face égale 
dans Fautre, et qu'ainsi les deux polyèdres sont com- 
pris sous un même nombre de plans égaux , chacun à 
chacun. 

n reste à prouver que l'inclinaison de deux faces 
adjacentes quelconques dans Tun des polyèdres est 
égale à l'inclinaison des deux faces homologues dans 
l'autre. 

Soient MPN, NPQ, deux triangles formés sur 
l'arête commune NP dans les plans des deux faces 
adjacentes; soient M'P'N', N'P'Q', leurs homolo- 
gues; on peut concevoir en N un angle solide formé 
par les trois angles plans MNQ , MNP , PNQ , et en 
N' un angle solide formé par les trois M'N'Q', 
M'N'P, P'N'Q'. Or, on a déjà prouvé que ces angles 
plans sont égaux chacun à chacun; donc Tinclinaison 
des deux plans MNP, PNQ, est égale à celle de leurs 
homologues M'N'P', P'N'Q' \ * m, 5. 

Donc, dans les polyèdres symmétriques , les faces 
sont égales chacune à chacune, et les plans de deux 
faces quelconques adjacentes d'un des solides , ont 
entre eux la même inclinaison que les plans des deux 
faces homologues de lautre soUde. 

Scholie. On peut remarquer que les angles solides 
(Vun pofyedre sont les symmétriques des angles solides 
de C autre polyèdre; car si langle solide N est formé 
par les plans MNP, PNQ, QNR, etc., son homolo- 



t 



l68 GEOMkTitiE. 

gue N' est formé par les plans M'N'P', P'N'Q't 
Q'N'R', etc. Ceux-ci paraissent disposés dsns le 
même ordre que les autres; mais comme les deax 
angles solides sont dans une situation inverse l'un par 
rapport à l'autre, il s'ensuit que la disposition réelle 
des plans <jui forment l'angle solide N' est l'inv^w 
de celle qui a lieu dans l'angle homologue N. D'ail- 
leurs les inclinaisons des plans consécutifs sont égales 
dans l'un et dans l'autre angle solide; donc ces angles 
solides sont symmétrîques l'un de l'autre. P'ojrez h 
sçholie de la prop. XXIil , liv. f"'. 

Cette remarque prouve qu'un polyèdre quelconque 
ru peut ai'oir qu'un seul polyèdre sjTnmèoique. Car âon 
construisait sur une autre base un nouveau polyèdre 
STnimétrique au polyèdre donné, les angles solides 
de celui-ci seraient toujours symmétriques des angles 
du polyèdre donné; donc ils seraient égaux â ceux 
du polyèdre symmétrique construit sur la première 
base. D'ailleurs les bces homologues seraient toujoiin 
égales; donc ces d^u.v polyèdres svramétriques cons- 
truits sur une base ou sur une autre auraient les faces 
^les et les angles solides égaux ; doDC ils coïncide- 
raient par la siiperposititm , et oe feraient qu'un seul 
et même polyèdre. 

PROPOSITION III. 

THKOKÈME. 

Daix prismes sont égaux lorsqu'ils ont un 
cngle solide compris entre trois plans égeuix 
chaeitn à chacun et sembtahlemeat placés. 

8ott U base ABCDE ëgale à U base alcde, le pa- 
rallêlognuume ABCtF ^ral au paraUékignmme aigj', 
M le parallâagramme Û.^.HO ^^ au paraUâogiamme 
ici^ ; je diâ que le prisme ABOI !«^ é^ ma prisme 



LivaB vt* i6g 

Car soit posée la base ABGDE sur son égale abcde, 
ces deux bases coïncideront : mais les trois angles 
plans qui forment Fangle solide B sont égaux aux 
trois angles plans qui forment l'angle solide b, cha« 
cnn à chacun, savoir, ABGr=:abc, A^z=:abg, et 
GBC=rgbc; de plus ces angles sont semblablement 
placés : donc les angles solides B et & sont égaux , et 
par conséquent le côté B6 tombera sur son égal bg. 
On Toit aussi qu'à cause des parallélogrammes ^^ux 
ABGF, abgf, le côté GF tombera sur son égal g/, 
et semblablement GH sur gh; donc la base supé- 
rieure FGHIK coïncidera entièrement avec son égale 
/gkîk, et les deux solides seront confondus en un 
seul, puisqu'ils auront les mêmes sommets^. *i« 

CoroUaire. Deux prismes droits qui ont des bases 
égales et des hauteurs égales sont égaux» Car ayant 
le côté AB égal koAy et la hauteur BG égale à bg^ le 
rectangle ABGF sera ^al au rectangle ahgf; il en 
sera de même des rectangles BGHG, bghc; ainsi les 
trois plans qui forment Fangle solide B sont égaux 
aux trois qui forment Fangle solide b. Donc les deux 
prismes sont égaux. 

PROPOSITION IV. 

THEOREME. 

Dans tout parallélépipède les plans opposés 
sont égaux et parallèles. 

Suivant la définition de ce solide, les bases ABCD , fig-2o6. 
EFGH, sont des parallélogrammes égaux, et leurs 
côtés sont parallèles : il reste donc à démontrer que 
la même chose a lieu pour deux faces latérales oppo- 
sées, telles que AEHD, BFGC, Or, AD est ^ale et 
parallèle à BC, puisque la figiire ABCD esc un parai- 



1^0 CBOMBTillB. 

lélogrnmtnc; par une raison semblable AE est é^is 
et paraliele à UF : donc l'angle DAE est égal à Tangle 
CBF*, et le plan DAE parallèle à CBF; donc aussi le 
pnrHlIélo^aiiinie DAEll est égnl au parallélogramme 
CRKCî. On démontrera de même que les parallélo- 
grammes opposés ABFE, DCGH, sont égaux et pa- 
rallèles. 

Corcltaire. Puisque le parallélépipède est un solide 
compris sous six plans dont les opposés sont égaux et 
par;dlele:*, il s'ensuit qu'une face quelconque et son 
opposée peuvent êtie prbcs pour les bases du pai-al- 
lélppipedf. 

.ÇcAofe. Étant données trois droites, AB, A£, AD, 
passant par un mémo point A , et faisant entre elles 
des angles donnés, on peut sur ces trois droites cons- 
truiie un parai lélep ipcde ; U faut pour cela mener 
pi)r lextrémilé de chaque droite un plan parallèle 
nu plan des deux autres; savoir, par le point B un 
plan parnllcle à DAE, par le point D un plan parai* 
Me lUlAK. H p;xrlo point E un plan parallèle à BAD. 
Le^ rencontres muiuelles de ces plans formeront le 
parallélépipède demandé. 

PROPOSITION V. 



Dtuts tout parai/è/rpipede /es angles solides 
OftfHiScs sont .■ftmmétritfues Vun de Vautre; et 
/f.t dia^onalfs mentrs par Its sommets de ces 
nnsiits «E> cmip^nt mutuei/eittent en datjc parties 
êsnlrs. 
»( «*. C*M«p!iinn»» . par «x^mple , Vanj^ mlkle A à son 
opp<w (î ; Taus^t» KAB, éar»' » EFB, est aussi »al à 
ÏHÏC, Vanjj^lf Ô\K=imK = CGF, et l'an^ DAB 
=:UCB:=HC<F; th^tt^ le» m>i$ utiles phasquifop- 



LITRB VI. 171 

ment l'angla BoUde A sont égaux aux trois qui forment 
Fangle solide G , chacun à chacun ; d ailleurs il est 
facile de voir que leur disposition est différente dans 
l'un et dans l'autre; donc i^ les deux angles solides A 
et G-sont symmétriques lun de Fautre *. *i%s. 

En second lieu, imaginons deux diagonales EC, 
AG, menées l'une et lautre par des sommets opposés : 
puisque AE est égale et parallèle à CG , la figure AEGC 
est un parallélogramme; donc les diagonales EC, AG, 
se couperont mutuellement en deux parties égales. 
On démontrera de même que la diagonale EG et une 
autre DF se couperont aussi en deux parties égales; 
donc a® les quatre diagonales se couperont mutuel- 
lement en deux parties égales , dans un même point 
qu'on peut regarder comme le centre du parsdléle- 

pipede. 

. "^ 

PROPOSITION VI. 



THEOREME. 



Le plan BDHF , qui passe par deux arêtes fig.207 
parallèles opposées BF, DH, divise le paral- 
lélépipède AG en deux prismes triangulaires 
ABDHEF, GHFBCD, symmétriques Vun de 

Vautre. 

D'abord ces deux solides sont des prismes; car les 
triangles ABD, EFH, ayant leurs côtés égaux et paral- 
lèles , sont égaux, et en même temps les faces latérales 
ABFE, ADHE, BDHF, sont des parallélogrammes; 
donc le solide ABDHEF est un prisme : il en est de 
même du solide GHFBCD. Je dis maintenant que ces 
deux prismes sont symmétriques l'un de lautre. 

Sur la base ABD faites le prisme ABDET'H' qui 
soit le symniétrique du prisme ABDEFH. Suivant 
lîc qui a été démontré *, le plan ABF'E' est égal à * *• 



•J. 



tya Ce OMET RIE. 

ABFE, et le plan ADH'E' est «gai à ADHE; Msif 
Bi on compare le prisme GHFBCD au prisme 
ABDH'E'F', la base GHF est égale à ABD; le pa- 
rallélogramme GHDC, qiii est égal à ABFE, est aussi 
égal à ABF'E', et le parallélogramme GFBC, qui 
est égal à ADHE, est aussi égal à ADH'E'; donc 
lus trois plans qui forment l'angle solide G dans le 
prisme GHFBCD, sont égaux aux trob plans qui for- 
ment l'angle soUde A dans le prisme ABDH'E'F', 
chacun à chacun, d'ailleurs ils sont disposés sem- 
Blablenient ; donc ces deux prismes sont égaux *, 
et pourraient être superposés. Mais l'un d'eux 
ABDH'E'F' est symmélrique du prisme ABDHEF; 
donc l'autre, GHFBCD, est aussi le symmétrique de 
ABDHEF. 

PROPOSITION VII. 



Dans tout prisme ABCI, les sections NOPQR 
STVXY, faites par des plans parallèles, sont 
des polygones égaux. 

Car les côtés NO, ST, sont parallèles , comme étanr 
les intersecdons de deux plans parallèles par un troi- 
sième plan ABGF; ces mêmes côtés NO^ST, sont 
compris entre les parallèles NS, OT, qui sont côtés 
du prisme ; donc NO est ^al à ST. Par une semblable 
raison les côtés OP, PQ, QB, etc., de la section 
NOPQR, sont égaux respectivement aux côtés TV, 
VX, XY, etc., de la section STVXY. D'ailleurs les 
côtés égaux étant en même temps parallèles, il s'en- 
suit que les angles HOP, OPQ, etc. de la première 
section , sont égaux respectivement aux angles STV,^ 
TVX, etc., de la seconde. Donc les deux sections 
NOPQR, STVXY, sont des polygones égaux. 



tXVRS VI. 173 

Corollaire, Toute section faite dans un prisme pa- 
rallèlement à sa base , est égale à cette base. 

PROPOSITION VIIL 

THEOBBME. 

Les deux prismes triangulaires symmétriques fig> 208, 
ABDHËF, BCDFGH^ dans lesquels se décompose 
le parallélépipède AG, sont équivalents entre 

eux. 

Par les sommets B et F menez perpendiculairement 
au côte BF, les plans Jiadcy Yehg^ qui rencontreront, 
dune part en a, d, c y de Tautre en e, h, g y les trois 
autres côtés AE , DH^ CG, du même parallélépipède; 
les sections "Bade y ^ehgy seront des parallélogrammes 
égaux. Ces sections sont égales, parce qu^elles sont faites 
par des plans perpendiculaires à une même droite et 
par conséquent parallèles *; elles sont des parallélo- *7* 
grammes , parce que deux côtés opposés d'une même 
section àRydc, sont les intersections de deux plans 
parallèles ABFE , DGGH , par un même plan. 

Par une raison semblable, la figure BaeF est un 
parallélogramme , ainsi que les autres faces latérales 
BFge^ cdhgy adhe, du solide BadcFehg; donc oe so- 
lide est un prisme ^ ; et ce prisme est droit , puisque *déf.4. 
le côté BF est perpendiculaire au plan de la base. 

Cela posé, si par le plan BFHD on divise le prisme 
droit BA en deux prismes triangulaires droits aBdeFky 
BdcFhg; je dis que le prisme triangulaire oblique 
ABDEFH, sera équivalent au prisme triangulaire 
droit à&deFh. 

En effet ces deux prismes ayant une partie com- 
mune hSQheF y il suffira de prouver que les parties 
restantes, savoir, les solides Bah!ùd^ FeES^h sont 
équivalents entre eux. 



Or, à cause des parallélogrammes ABFE, nBFe, les 
côtés AE, ae, égaux à leur parallèle BF, sonl égaux 
entre eux; ainsi, en ôtant la partie commune Ae, il 
restera Aa =^ Ee. On prouvera de même que \id^^ H/i. 

Maintenant , pour opérer la superposition des deux 
solides BwADi/, FeEHA, plaçons ta base ¥ek sur son 
égale Bfl(/; alors le pointe tombant en (7, et le point 
h en d, les côtés eE, hH, tomberont sur leurs égaux 
aA, dVi , puisqu'ils sont perpendiculaires au même 
plan Brtrf. Donc les deux solides dont il s'agit coïnci- 
deront entièrement l'un avec l'atitre; donc le prisme 
oblique BADFEH est équivalent au prisme droit 
^d¥eh. 

On démontrera semblablement que le prisme obli- 
que BDCFHG est équivalent au prisme droit BdcFkg. 
Mais les deux prismes droits SadFeh, BdcVkg sont 
égaiix entre eux , puisqu'ils ont inénie hauteur BF , 
et que leurs bases B(T(^, B</c sont moiûés d'un même 
parallélogramme *. Donc les deux prismes trian^- 
laires RADFF.H, BnCFHG, équivalents à des prismes 
égaux , sont équivalents entre eux. 

Coi-oUaire. Tout prisme triangulaire ABDHEF est 
ta moitié du parallélépipède AG , construit sur le 
même angle solide A, avec les mêmes arêtes A6, 
AD,AE. 

PROPOSITIOX IX. 



^ Si deux parallélépipèdes AG, AL, ont une 
base commune ABCD , et que leurs bases supé- 
rieures EFGH , IKXM , soient comprises dans un 
même plan et entre les mêmes parallèles EK, , 
HIj, ces deux parallélépipèdes seront équiva- 
lents entre eux. 



LIVRE VI. lyo 

' Il peut arriver trois cas, selon que £1 est plus 
grand) plus petit ou égal à£F; mais la démonstration 
est la même pour tous : et d'abord je dis que le prisme 
triangulaire AEIDHM est égal au prisme triangulaire 
BFKCGL. 

' En effet, puisque A£ est parallèle à BF et HE à 
GF, langle AEI = BFK, HEI=GFK, et HEA = 
GFB. De ces six angles les trois premiers forment 
l'angle solide E , les trois autres forment l'angle solide 
F ; donc , puisque les angles plans sont égaux chacun 
à chacun, et semblablement disposés, il s'ensuit que 
les angles solides E et F sont égaux. Maintenant, si 
on pose le prisme AEM sur le prisme BFL, et d abord 
la base AEI sur la base BFK, ces deux bases étant 
éjgales coïncideront; et puisque l'angle solide E est 
égal à l'angle solide F, le côté EH tombera sur son 
^1 FG : il n'en faut pas davantage pour prouver que 
les deux prismes coïncideront dans toute leur éten- 
due; car la base AEI et Faréte EH déterminent le 
prisme AEM, comme la base BFK et l'arête FG dé- 
terminent le prisme BFL * : donc ces prismes sont * 3. 
égaux. 

Mais si du solide AL on retranche le prisme AEM, 
il restera le parallélépipède AIL ; et si du même so- 
lide AL on retranche le prisme BFL , il restera le 
parallélépipède AEG ; donc les deux parallélépipèdes 
AIL, AEG, sont équivalents entre eux. 

PROPOSITION X. 

THEOREME. 

Deux parallélépipèdes de même base et de 
même hauteur sont équivalents entre eux. 

Soit ABCD la base commune aux deux parallèle- fig.210. 
pipedes AG , AL ; puisqu'ils ont même hauteur , leurs 
bases supérieures EFGH, IKLM, seront sur le même 



égaux et paru- 



L 



176 CKOMKTJ 

plan. De plus les côlcs EP et AB sont égaux c 
leles , il en est de même de IR et AB ; donc EF est égal 
«t parallèle à IK : par une raison semblable GF eat 
égal et parallèle à LK. Soient prolongés les côtés EF, 
HG , ainsi que LK , IM , jusqu'à ce que les uns et les 
autres forment par leurs intersections le parallélo- 
gramme NOPQ, il est clair que ce parallélogramme 
sera égal à chacune des bases EFGH, [KLM. Or si 
on imagine un troisième parallélépipède qui, avec la 
même base inférieure ABCD , ait pour base supérieure 
NOPQ, ce troisième parallélépipède serait équivalent 
au parallélépipède AG",puisqu'ayantmèrae base infé- 
rieure , les bases supérieures sont comprises dans un 
même plan et entre les parallèles GQ,FN^. Par la même 
raison ce troisième parallélépipède serait équivalent 
auparallélepipede AL;donc tes deux parallélépipèdes 
AG, AL, qui ont même base et même hauteur, sont 
éqidvalcnts entre eus. ^^^ 

PROPOSITION XL ^M 



Toat parallélépipède peut être changé en un 
parallélépipède rectangle équivalent qui aura 
même hauteur et une base équivalente. 

Soit AG le parallélépipède proposé ; des points A , 

~ B,C, D, menez AI, BK.,CL, DM, perpeodîcnlaïres 
au plan de la base , tous formerez ainsi le paralléle|n- 
pede AL équivalent au parallélcpîpefle AG , et dontles 
faces latérales AK,BL, etc., seront des rectangles. !K 
donc la base ABCD est un recungle , AL sera le poial- 
lëlepipede rectangle équivalent an parallélépipède pro- 
posé AG. Mais si ABCD n'est pas un rectangle , meno 

' AO et BN perpendimlaires sur CD , ensuite OQ et 
NP peipendicoUires sur U base, tous anrex le soude 
ABNOIKFQ qui sera no païaUél^ipede rectangle : 



r\ 



LIVAB YI. 177 

en effet , par construction , la base ÂBNO et son op- 
posée IRPQ sont des rectangles; les faces latérales en 
sont aussi, puisque les arêtes AI, OQ, etc. , sont per- 
pendiculaires au pian de la base; donc le solide AP 
est un parallélépipède rectangle. Mais les deux paral- 
lélépipèdes AP, AL , peuvent être censés avoir même 
base ABKI et même hauteur AO : donc ils sont équi- 
valents; donc le parallélépipède AG, qu'on avait dV fig. 210 
bord changé en un parallélépipède équivalent AL, se ^^ ^^'^' 
trouve de nouveau changé en un parallélépipède rec- 
tangle équivalent AP, qui a la même hauteur AI, et 
<loat la base ABNO est équivalente à la base ABCD. 

PROPOSITION XIL 

THEOREME. 

«» 

Deuac parallélépipèdes rectangles AG, AL, fig.ai^ 
^ui oat la même base ABCD, sont entre eux 
-^iomme leurs hauteurs AE, AI. 

Supposons d'abord que les hauteurs AE, AI, soient 
-^ntre elles comme deux nombres entiers, par exemple, 
^^ïomme 1 5 est à 8. On diviseffL AE en i5 parties égales, 
•^ont AI contiendra 8, et par les points de division ^zr, 
, z, etc., on mènera des plans parallèles à la base. 
Ces plans partageront le solide AG en 1 5 parallélépi- 
pèdes partiels qui seront tous égaux entre eux, comme 
ayant des bases égales et des hauteurs égales ; des ba^es 
^[ales, parce que toute section comme MIKL, faite 
<lans un prisme parallèlement à sa base ABCD, est égale 
à cette base^; des hauteurs égales, parce que ces hau- * 7 
teùrs sont les divisions mêmes Ax^ a.y^ xz^ etc. Or, 
de ces i5 parallélépipèdes égaux, huit sont contenus 
dans AL ; donc le solide AG est au solide AL comme 
1 5 est à 8, ou en général comme la hauteur AE est à 
la haut^ar Ai. 
Neuv* éd* 12 



t 



ty$ eÉOMBTIlIE. 

En second lieu, si le rapport de AE à AI ne peut 
• «xprimer un nombres, je dis qu'on n'en aura pas 
moins so/iJ. AG : solid. AL :: AE : AL Car, si cette 
proportion n'a pas lieu, supposons qu'on ait jo/. AG : 
jt)/. AL : ; AE : AO. Divisez AE en paities cgalts dont 
chacune soit plus petite que 01 , il y aura au moins 
un point de division m- entre O et L Soit P le paral- 
lék'pippde qui a pour base ABCD et pour bauteur 
Ani; puisque les bauteurs AE, \m sont entre elles 
comme deux nombres entiers, on aura sol. AG : P : : 
AE: Aw, Maisona,parhypotbcse,io^. AG:ïo/, AL;; 
AE ; AO ; de U résulte jo/. A L : P ; : AO ; Aw* . Mais AO 
est plus grand que Aju; donc il faudrait, pour que la 
proportion eilt lieu , que le solide AL fût plus grand 
que P. Or au contraire il est plus pelit : donc il est 
impossible que le quatrième terme de la proportion 
W. AG : soi. AL ; : AE ; ^, soit une ligne plus grande 
que AL Par un raisonnement semblable on démon- 
trerait que le quatrième terme ne peut être plus petit 
que Al ; donc il est égal à AI ; donc les parallélépipèdes 
rectangles de même base sont enti'e eux comme leurs 
hauteurs. 

proposÏtion xiil 



TH£OHEHE. 



3. Deux parallélépipèdes rectangles AG, AK, 
gui ont même hauteur AE, sont entre eux commt 
leurs bases ABCD , AMKO. 

Ayant placé les deux solides l'un â côté de l'autre, 
comme la figure les représente, prolongez le plan 
ONKL, jusqu'à ce qu'il rencontre le plan DCGH sui- 
Tant PQ, voua aurez un troisième parallélépipède AQ, 
qu'on pourra comparer à chacun des parallélépipèdes 
AG,Ak. Les deux solides AG,AQ, ayant mwuebaM 



LIVRB VI. ^79 

AEHD, sont entre eux comme leurs hauteurs ÂB , AO; 
pareillement les deux solides AQ, AK, ayant même 
base AOLE, ^nt entre eux comme leurs hauteurs 
AD, AM. Ainsi on aura les deux proportions, 

soi. AG : sol. AQ :: AB : AO, 

Siol. AQ : soi. AK :: AD : AM. 
Multipliant ces deux proportions par ordre , et omet- 
tant, dans le résultat, le multiplicateur commun 50/* 
AQ, on aura, 

sol. AG : sol. AK :: AB x AD : AO x AM; 
Mais AB X AD représente la base ABCD, et AO X AM 
représente la base AMNO ; donc deux parallélépi- 
pèdes rectangles de même hauteur sont entre eux 
comme leurs bases. 

PROPOSITION XIV. 

THÉORÈME. 

Deux parallélépipèdes rectangles quelconques 
^sont entre eux comme les produits de leurs bases 
par leurs hauteurs , ou .comme les produits de 
leurs trgis dimensions. 

Car ayant placé les deux solides AG, AZ, de ma- %.'3ti3. 
niere que leurs surfaces aient langle commun BAE, 
prolongez les plans nécessaires pour former le troi- 
sième parallélépipède AK de même hauteur avec lé 
parallélépipède AG. On aura, par la proposition pré- 
cédente, 

sol. AG: sol. AK :: ABCD : AMNO. 
Mais les deux parallélépipèdes AK , AZ, qui ont même 
base AMNO, sont entre eux comme leurs hauteurs 
AE, AX ; ainsi on a, 

sol. AK : sol. AZ :: AE : AX. 
Multipliant œs deux proportions pdr ordre ^ et omet- 

12. 



l6é bEOMÉTHlE. 

Unt, dans le résultat, le multiplicateur commun Soi. 
AK, on aura 

so!. AG : W. AZ : : ABCD X AE : AMNO X AX. 
A la place des bases ABCD et AMNO, on peut mettre 
AB X A D et AO X AM , ce qui donnera , 

W.AG:W.AZ:: ABxADxAErAOxAMxAX, 
Donc deux p&rallétepipedes rectangles quelconques 
sont entre eux, etc. 

Scholie. Il suit de là qu'on peut prendre pour me- 
sure d'un parallélépipède rectangle le produit de sa 
base par sa liauteur, ou le produit de ses trois dimen- 
sions. C'est sur ce principe que nous éraluerons tous 
les autres solides. 

Pour l'intelligence de cette mesure il faut se rap- 
peler qu'on entend par produit de deux ou de plu- 
sieurs lignes , le produit des nombres qui représentent 
ces lignes, et ces nombres dépendent de l'unité linéaire 
qu'on peut prendre à volonté : cela posé, le produit 
(les trois dimensions d'un parallèle pi pcde est an nom- 
bre qui ne signifie rien en luî-nième, et qui serait 
différent si on avait pris une autre unité linéaire. Hais 
ù on multiplie de même les trois dimensions d'an antre 
parallélépipède , en les évaluant d'après la même unité 
linéaire, les deux produits seront entre eu% comme 
les solides, et donneront l'idée de leur grandeur re- 
lative. 

La gnndenr d'tm solide, son voloine ou son éteiH 
due constituait ce qu'on appelle sa solidité^ et le mot 
de solidité est employé particulièrement pour dés^ner 
la mesure d'un solide : ainsi on dit que h solidité d'an 
parallélépipède rectai^^ est égale au produit de sa 
base par sa hauteur, ou an produit de ses trois di- 
menùons. 

Les trois dimensions du cnbe étant égales entra 
elles, si le cAté est i , h solidité sera i x i X i , oa i ; 
si le calé est s, la solidité •«• a x a X a , o«8; silc 



LITRB TI. l8l 

cbté est S, la solidité sera 3 x 3 X 3,. ou 27, et ainsi de 
suite; ainsi les côtés des cubes étant comme les nombre^ 
I, a, 3, etc., les cubes eux-mêmes ou leurs solidités 
sont comme les nombres i, 8, 27, etc» De là vient qu'on 
appelle en arithmétique cube d'un nombre le produit 
X[uà résulte de trois facteurs égaux à ce nombre. 

Si on proposait de faire un cube double d un cube 
donné, il faudrait que le côté du cube cherché fût au 
côté du cube donné. comme la rajcine cube de a est à 
l'unité. Or on trouve facilement, par une construc-* 
tion géométrique , la racine quarrée de a ; mais on ne 
peut pas trouver de même sa racine cube y du moins 
par les simples opérations de la géométrie élémen* 
taire , lesquelles consistent à n'employer que des- 
Iig[nes droites dont on connaît deux points , et des 
cercles dont les centres et les rayons sont déterminés. 

A raison de cette difficulté le problème de lar 
duplication du cube a été célèbre parmi les anciens- 
l^m^res, comme celui de la trisection de F angle ^ 
qui est à -peu- près du même ordre. Mais on connaît 
depuis long -temps les solutions dont ces sortes de 
problèmes sont susceptibles , lesquelles , quoique 
moins siniples que les constructions ^e la géométrie 
élémentaire, ne sont cependant ni moins exactes ^ 
ni moins rigoureuses. 

PROPOSITION XV. 

THEOREME. 

La solidité d'un parallélépipède^ et en gé* 
néral la solidité (Tun prisme quelconque y est 
égale au produit de sa base par sa hauteur. 

Car I** un parallélépipède quelconque est équiva- 
lent à un parallélépipède rectangle de même hauteur 
et da base équivalente ^ Or la solidité de celui-ci est * n. 




k 



»« eifOMKTRiE. 

égale à sa base multipUi;e par sa haatmr; dont I 
soliilitë du premier est pareillement égale au produit 
de sa base par sa hauteur. 

■2° Tout prisme triangulaire est la moitié du paral- 
lélépipède construit de manière tpi'il ait la même hau- 
teur et une hase double '. Or la aolidité de celui-ci est 
égale à sa base multipliée par sa hauteur; donc celle 
du prisme ti'ian^laire est ég^alc au produit de sa base, 
moitié de celle du parallélépipède, multipliée par sa 
hauteur. 

3" lin prisme quelconque peut être partagé en au- 
tant de prismes triangulaires de même hauteur quoit 
peut former de triangles dans le polygone qui lui sert 
de base. Mais la solidité de chaque prisme triangulaire 
est ^ale à sa base multipUée par sa hauteur; et puis- 
que la hauteur est la même pour tous, il s'ensuit que 
la somme de tons les prismes partiels sera égale à la 
somme de tous les triangles qui leur servent de bases, 
multipUée par la hauteur commune. Donc la solidité 
d'un prisme polygonal quelconque est égale au pro- 
duit de sa base par sa hauteur. 

Corollaire. Si on compare denx prismes qm oitt 
même hauteur, les produits des bases par les han- 
teun seront comme les bases; donc deux prismes A 
mime hauteur sont entre eux comme leurs bases; pkT 
une raison semblable , deux prismes de même base sont 
entre eux comme leurs hauteurs. 

PROPOSITION XVL 



4. Si une pyramide SABCDE al coupée par un 
plan abd paraUele à sa base, 

t' LescôtésRA,SB,SC^....etiahau^urSO,se' 
ront divisés propo/tionaellement en a, b, c,. . ef o ; 
3* La section abcde sera un polygone sembla^, 
ble à la base ABCDE. 



tiv&s VI. i83 

Car i^ les plans ABC, abc^ étant parallèles, leurs 
intersections ÂB, ai^ par un troisième plan SA6, 
seront parallèles^; donc les triangles SAB , Sab^ sont * lo, 5. 
semblables, et on a la proportion SA : Sa : : SB : Sb; 
on aurait de même SB : S^ :: SC : Se, et ainsi de 
suite. Donc tous les côtes SA, SB, SG, etc., sont 
•otipés proportionnellement en a, ^, c, etc. La hau- 
teur SO est coupée dans la même propoi'tion au 
point o; car BO et bo sont parallèles, et ainsi on a 
SO:So::SB:S*. 

^^ Puisque ab est parallèle à AB, bc à BG, c^/ à 
CD, etc., langle a^£?=:ABC, l'angle 2»câ?=BCD, et 
ainsi de suite. De plus , à cause des triangles sembla- 
bles SAB, So^, on a AB : o^ : : SB : Sd ; et à cause des 
triangles semblables SBC, Sbc^ on a SB : Se : : BG : bc; 
donc AB : ab :: BG : bc; on aurait de même BG : bc :: 
CD : cdj et ainsi de suite. Donc les polygones ABGDE,^ 
abcde^ ont les angles égaux chacun à chacun et les 
cfttés homologues proportionnels ; donc ils sont sem- 
blables. 

Corollaire. Soient SABCDE, SXYZ, deux pyra- 
mides dont le sommet est commun , et qui ont même 
hauteur, ou dont les bases sont situées dans un même 
plan ; si on coupe ces pyramides par un même plan 
parallèle au plan des bases, et qu'il en résulte les 
sections abcde, xyz; je dis que les sections abcde, 
xyz , seront entre elles comme les bases ABCDE , XYZ. 

Car les polygones ABCDE, abcde ^ étant semblables,' 
leurs surfaces sont comme les quarrés des côtés ho- 
mologues AB, ab ; mais AB : ab :: SA : Sa; donc 

ABCDE : abcde : : SA : Sa. Par la même raison, XYZ : 

xjyi : : SX : S^. Mais puisque abca^yz n est qu'un 
même plan, on a aussi SA : Sa :: SX : Sx; donc 
ABCDE : abcde : : XYZ : xjz; donc les sections abcdcy 
xjrz , sont entre elles comme les basés ABCDE , XYZ. 



^ 



e£OMETIlIB. 

PROPOSITION XVII, 



ig, ïiJ, Soit SABC une pyramide triangulaire dont S 
est le sommet et ABC la base ; si on divise les 
cotés SA, SB, se, AB, AC, BC, en deux parties 
égales aux points D, E, F, G, H, I, et que par 
ces points on tire les lignes DE , EF, DF , ÉG , 
FH, El, GI, GH ije dis qu'on pourra considérer 
la pyramide SABC , comme composée de deux 
prismes AGIIFDE, EGICFH, équivalents entre 
eux, et de deux pyramides égales SDEF, EGBI. 

Par suite de la construction , ED est parallèle à BA 
et GE à AS ; donc la figure ADEG est un parallélo- 
grainme. La figure ADFH eu est un aussi par la même 
raison; donc les trois droites AD, GE, IIF, sont 
égales et parallèles ; doue le solide AGIIFDE est un 
14. 5. prisme*. 

On prouvera sembiablemcnt que les deus figures 
■ EFCl, CIGH, sont des parallélogrammes, et qu'ainsi 
les trois droites EF, IC, GH, sont égales et parallèles ; 
donc le solide EGICFH est encore un prisme. Or je 
dis que ces deux prismes triangulaires sont équira- 
lents entre eux. 

En effet, si sur les arêtes GI, GE, GH, on forme le 

parallélépipède GX, le prisme triangulaire GEIGFH 

• s. sera la moitié de ce parallélépipède'; d'un autre côté, 

le prisme AGHFDË est égal aussi k la moitié du pa- 

* lâ- rallélepipede GX*, puisqu'ils eut même hauteur, et 

que le triangle AGH, base du prisme, est moitié du 

3>1- parallélogramme GICH*, base du parallélépipède. 

Donc les deux prismes EGICFH, AGHFDE, sont 

équivalents entre eux. 

Ces deux prismes étant retranchés de la pyramide 



r\. 



LivaB VI. x8S 

SABG , il ne reste plus que les deux pyramides SDEF, 
£GBI ; or je dis que ces deux pyramides sont égales 
entre elles. 

En efifet, à cause des côtés égaux, savoir, BE=: 
SE, BG = AG = DE, EG = AD = SD, le triangle 
B£G est égal au triangle ESD. Par une raison sem* 
bkdble le triangle BEI est égal au triangle ESF; 
d'ailleurs l'inclinaison mutuelle des deux plans BE6, 
BEI, est la même que celle des deux plans ESD, 
ESF, puisque BEG ne fait qu'un seul plan avec ESD, 
de même que BEI avec ESF. Donc si , pour opérer 
la superposition des deux pyramides SDEF, EGBI, 
on place le triangle EBG sur son égal SDE , il faudra 
que le plan BEI tombe sur le plan ESF ; et puisque 
les triangles EBI , SEF, sont égaux et semblablement 
places , Iç point I tombera en F, et les deux pyramides 
SDEF, EGBI, coïncideront en une seule. 

Donc la pyramide entière SABC est composée de 
deux prismes triangulaires AGF, GIF, équivalents 
entre eux, et de deux pyramides égales SDEF, EGBI. 

Corollaire I. Du sommet S soit abaissée SO per- 
pendiculaire sur le plan ABC , et soit P le point où « 
cette perpendiculaire rencontre le plan DEF parallèle 
à ABC; puisque SD=-i-SA, on aura SP=-7 SO*, et * iG. 
le triangle DEF=~* ABC : donc la solidité du prisme 
AGHFDE = f ABC x t SO , et celle des deux prismes 
réunis AGHFDE, EGICFH,=:^ABCxSO. Ces deux 
prismes sont moindres que la pyramide SABC, puis- 
qu'ils y sont contenus ; donc la solidité éPune pyra» 
mide triangulaire est plus grande que le quart du 
produit de sa base par sa hauteur. 

Corollaire U. Si on mené les droites DG,^DH, on 
aura une nouvelle pyramide ADGH, qui sera égale à 
la pyramide SDEF ; car on peut placer la base DEF 
sur son égale AGH, et alors les angles SDE, SDF, 
étant égaux aux angles DAG, DAH,!! est visible que 



tS8 GLOUÉTnic. 

S. DS tombera sur AD ' , et le sommet S sur le sommet 
D. Or, la pyramide ADGH est moindre que le prisme 
AGHDEF , puisqu'elle y est contenue ; donc chacune 
des pyramides SDEF, EGBI, est moindre que le 
prisme AGHDEF; donc la pyramide SABC qui est 
composée de deux pyramides et de deux prismes , est 
Bioindre que quatre de ces mêmes prismes. Or la soli- 
dité de l'un de ces prismes ::=^ABCxSO, et son 
quadruple =r| ABC X SO; donc la solidité de toute 
^ramide tnangulaire est moindre qiio la moitié du 
produit de sa base par sa hauteur. 

PROPOSITIOIV XVIII. .fli 



La solidité d'une pyramide triangulaire est 
4gtUe au tiers du produit de sa base par sa 
hauteur. 

%. iiS. Soit SABC une pyramide triangulaire quelconque , 
ABC sa base, SO sa hauteur; je dis que la solidité de 
la pyramide SABC sera égale au tiers du produit de 
la surface ABC par la hauteur SO, de sorte «juon 
aura SABC =^ ABC xSO, ou=SOXyABG. 

Car si oh nie cette proposition , il faudra que la 
ablidité SABC soit égale au produit de SO par ùna 
surface plus grande ou plus petite que ~ ABC. 

Soit 1° cette quantité plus grande, en sorte tju'on 
ait SABC = SOx (iABC+M). Si on fait la même 
construction que dans la proposition précédente , Iz 
pyramide SABC sera partagée en deux prismes équi- 
Tidents entre eux AGHFDE, EGICFH, et en deux 
pyramides égales SDFE, EGBI. Or, la solidité du 
prisme AGHFDE est DEF X PO, et ceUe des deux 
prbmes est par conséquent DFEx aPO, ou DFE x 
SO. Retranchant les deux prismes de la pyramide en- 



A 



t.lTRB Vt. 187 

yéf<0, le reste sera ëgal au double de la pyramide 
SDEF, de sorte qu'on aura^ 

2SDEF = SOx(iABC + M — DEP). 

Mais , parce que SA est double de SD , la surface ABC 
est quadruple de DFE*, et ainsi f ABC — DFE= * i«. 
I DFE — ÎDFE = I DFE ; donc 

aSl>EF=SOx (IDEF+M), 

, et en prenant les moitiés de part et d'autre > il en 
résulte, 

SDEF = SPx(iDEF + M). 

D'où Ton voit que pour avoir la solidité de la pyra- 
mide SDEF, il faudra ajouter au tiers de sa base la 
même surface M qui avait été ajoutée au tiers de la 
base de la grande pyramide , et multiplier le tout par 
la hauteur SP de la petite pyramide. 

Si l'on divise SD en deux également au point K , 
et que. par le point K on fasse passer le plan KLM 
parallèle à DEF , lequel rencontre en Q la perpen- 
diculaire SP , la même démonstration prouve que la 
solidité de la pyramide SKLM sera égale à SQ X 
(JKLM + M). 

Continuant ainsi à former une suite de pyramides 
dont les côtés décroissent en raison double^ et les 
bases en raison quadruple, on parviendra bientôt à 
une pyramide Saie , dont la base abc sera plus petite 
que 6M : soit So la hauteur de cette dernière pyra- 
mide ; et sa solidité , déduite de celle des pyramides 
précédentes, sera Sa x (|a^^+M). Mais on a M > 
^ €i6c , et par conséquent | abc + M > ~ aie ; il faudrait 
donc que la solidité de la pyramide Sabc fut plus 
grande que So X ^ abc. Résultat absurde , puisqu'on a 
prouvé dans le corollaire II de la proposition précé- 
dente que la solidité d'une pyramide triangulaire est 
toujours moindre que la moitié du produit de sa base 
par sa hauteur ; donc z'' il est impossible que la soli- 



lS8 CEOHSTRIB. 

dite de la pyramide S ABC soit plus grande que SO M 
iABC. 

Soit a"SABC = SOx(iABC — M), on prouvera 
comme dans le premier cas, que la solidité de 1» 
pyramide SDEF, dont les dimensions sont deux foït 
moindres, est égale à SPx(yDEF — M); et, en coi» 
tinuant ta suite des pyramides dont les côtés décroisifi 
sent en raison double, jusqu'à un terme quelconquit 
Saie, on aura de même la solidité de la dernieiv 
pyramide Sade =^So X {^aBc — M). Mais les basef 
ABC, DEF, LKM.... aèc, formant une suite âé- 
croissante dont chaque terme est le quart du préc^' 
dent, on parviendra bieniât à un terme aèc, égalil; 
13 M, ou qui sera compris entre 12M et 3M; atoi 
M étant égal ou plus grand que -~ abc , la quantil 
\ahc — M sera ou égale à ^abc , ou plus petite qu 
^abc] de sorte que la solidité de la pyramide Soi 
sera ou^rSoXfoic, Du<SoX7ûic. Bésultat encon 
absurde, puisque, suivant le corollaire I de la propM 
sition précédente , la solidité d'une pyramide trian- 
gulaire est toujours plus grande que le quart dti 
produit de sa base par sa hauteur ; donc a°la solidité 
de la pyramide SABC ne peut être plus petite que 
SOxfABC. 

Donc enfin, la solidité de la pyramide SABC^±=f 
SOxiABC, ou=f ABCxSO, conformément à T*: 
noneé du théorème. 

Corollaire l. Toute pyramide triangulaire eat' le 
tiers du prisme triangulaire dé inème base et de mètâé 
hauteur; car ABGx^O est la solidité dupriâme dont 
ABC est la base et SO la hauteur. 

Corollaire II. Deux pyramides triangidaires dé 
même hauteur sont entre elles comme leurs bases, et 
deux pyramides triangulaires de même base sont 
entre elles comme leurs hauteurs. 



.r^ 



LIYRS VI. 189 



PROPOSITION XIX. 



THiORBME* 



Toute pyramide SABCDE a pour mesure le fig. a 14, 
tiers du produit de sa base kBCSyEpar sa hou- 
leur AO. 

Car en faisant passer les plans SEB , SEC , par les 
diagonales EB , EC , on divisera la pyramide polygo- 
nale SABCDE, en plusieurs pyramides triangulaires 
qui auront toutes la même hauteur SO. Alais par le 
Âëoréme précédent chacune de ces pyramides se 
mesure en multipliant chacune des bases«ABE , BCE, 
4IDE, par le. tiers de sa hauteur SO ; donc la somme 
des pyramides triangulaires , ou la pyramide polygo- 
nale SABCDE , aura pour mesure la somme des tri- 
ugles ABE, BCE, CDE , ou le polygone ABCDE, 
mvdtiplié par jSO ; donc toute pyramide a pour me- 
sure le tiers du produit de sa base par sa hauteur. 

CoroUaire I. Toute pyramide est le tiers du prisme 
de mâme base et de même hauteur. 

Corollaire II. Deux pyramides de même hauteur 
sont entre elles comme leurs bases , et deux pyra- 
mides de même base sont entre elles comme leurs 
hauteurs. 

Scholie. On peut évaluer la solidité de tout corps 
polyèdre en le décomposant en pyramides , et cette 
décomposition peut se fidre de plusieurs manières: 
une des plus simples est de faire passer les plans de 
division par le sommet d^un même angle solide ; alors 
on aura autant de pyramides partielles qu il y a de 
faces dans le polyèdre , excepté* celles qui forment 
Tangle solide d'où partent les^ plans de division. 



SU^ CÉOUÉTRIE. 

PROPOSITION XX. 




iH Deux polyèdres symmétriques sont équivalents 

H. entre eux ou égaux en solidité. 
Sg; i(M. Car i" deux pyramides triangulaires symroétriquesi 
telles que SABC , TABC , ont pour mesure commune 
le produit Je la base ACC par le tiers de la hauteur 
SO ou TO ; donc ces pyramides sont équivalentes 
entre elles. 
a' Si on partage d'une manière quelconque l'un des 
^m polyèdres symmetriques eu pyramides triangulaires, 
^K on pourra partager de m^nie l'autre polyèdre en pj- 
^V Tamides triangulaires symmetriques j or les pyramides 
^B triangulaires symmetriques sont équivalentes chacune 
^1 à chacune ; donc les polyèdres entiers seront équiva- 
^B lents entre eux ou égaux en solidité. 
^V Sckolie. Cette proposition semblait résulter iuuné- 
w^ diatement de la proposition II , où l'on a fait voir que 
dans deux polyêilren syniiiiétrîques, toutes li^s ])Lirties 
constituantes d'un solide sont égales aux parties cons- 
tituantes de l'autre; miiis il n'en était pas moins né- 
cessaire de la démontrer d'une manière rigoureuse. 

PROPOSITION XXI. 

THÉORÈUE. 

Si une pyrairiide est coupée par un plan pa- 
rallèle à sa base, le tronc qui reste en étant la 
petite pyramide, est égal à la somme (le trois- 
pyramides qui auraient pour hauteur commune 
la hauteur du tronc, et dont les bases seraient 
la base inférieure du tionc, sa base supérieure', 
et une moyenne proportionnelle entre ces deux 
bases. 
ig. ai;. Soit ABCDE une pyramide coupée par le plan al/d 



LITHE TI. 191 

parallèle à la base; soit TFGH une pyramide triangu- 
laire dont la base et la hauteur soient égales ou ëqui- 
Talentes à celles de la pyramide SÂBCDE. On peut 
supposer les deux bases situées sur un même plan ; et 
alors le plan a3é/, prolongé, déterminera dans la py- 
ramide triangulaire une section^A , située à la même 
hauteur au-dessus du plan commun des bases : d'où 
il résulte que la section^A est à la section ahd comme 
la base FGH est à la base ABD * ; et puisque les bases * lO, 
sont équivalentes , les sections le seront aussi. Les py- 
ramides Saicdey Tfgky sont donc équivalentes, puis- 
qu'elles ont même hauteur et des bases équivalentes. 
Les pyramides entières SABCDE , TFGH , sont équi- 
valentes par la même raison ; donc les troncs ABD^^a^, 
¥GHhfgj sont équivalents , et par conséquent il suf- 
fira de démontrer la proposition énoncée , pour le seul 
cas du tronc de pyramide triangulaire. 

Soit FGHhfg un tronc de pyramide triangulaire fig. ut. 
à bases parallèles : par les trois points F, ^, H, con- 
duisez le plan F^H , qui retranchera du tronc la py- 
ramide triangulaire ^FGH. Cette pyramide a pour base 
la base inférieure FGH du tronc , elle a aussi pour 
hauteur la hauteur du tronc , puisque le sommet g 
est dans le plan de la base supérieures^. 

Après avoir retranché cette pyramide , il restera la 
pyramide quadrangulaire ^AHF, dont le sommet est 
^ et la base /AHF. Par les trois points y, ^, H, con- 
duisez le plan^H, qui partagera la pyramide qua- 
drangulaire en deux triangulaires ^F/H , fc^AH. Cette 
dernière a pour base la base supérieure gfh du tronc, 
et pour hauteur la hauteur du tronc, puisque son 
sommet H appartient à la base inférieure : ainsi nous 
avons déjà deux des tix>is pyramides qui doivent com- 
poser le tronc. 

n reste à considérer la troisième g^f^ : or, si on 
mene^K parallèle à^F, et qu'on imagine une non- 



Ipa GEOMETRrE. 

vplle pyramide/FHK , dont le soniniet est K et la b»ri 
F/'H , ces deux pyramides auront même base f/'H ; 
elles auront aussi même hauteur , puisque les sommets 
^ et K sont situés sur une ligne gK parallèle à F/", et 
par conséqueni parallèle au plan tie la base ; donc ces 
pyramides sont équivalentes. Mais la pyramideyFKH 
peut être consîdeiée comme ayant son sommet enj", 
et ainsi elle aura même hauteur que le tronc ; quant 
à sa base FKH , je dis qu'ylle est moyenne proportion- 
nelle entre les bases FGÎi, /g/i. En effet les triangles 
FHKj/gh, ont un angle égal F=/', et un côté égal 
î. FK =/g ; on a donc * FHK -./gh : : FH :/h. On a aussi 
FHG : FHK : : FG ; FK ou^. Mais les triangles sem- 
blables FGH,/^A, donnent FG:^: :FH:/A ; donc 
FGH : FHK : : FHK -./gh ; et ainsi la base FHK est 
moyenne proportionnelle entre les deux bases FGH, 
ygk. Donc un tronc de pyramide triangulaire, à bases 
parallèles, équivaut à trois pyramides <jui ont pour 
hauteur commune la hauteur du tronc, et dont lei 
bases sont la hase inférieure du tronc , sa base supé- 
rieure , et une moyenne proportionnelle entre cet 
deux bases. 

PROPOSITION XXIi. 



5, Si on coupe un prisme triangulaire dont ABC 
est la base, par un plan DEF incliné à cette base, 
le solide ABCDEF, qui résulte de cette section, 
sera égala lasomme de trois pyramides dontles 
sommets sont D, E, F, et la base commune ABC 

Par les trois points F, A, C, faîtes passer le plan 
FAC , qui retranchera du prisme tronqué ABCDHi' U 
pyramide triangulaire FABC : cette pyramide a pour 
base ABC et pour sommet le point F. 

Apiès avoir retranché cette pyramide , il restera U 



LIVRE VI. 193 

pyramide quadrangulaire FAGDE, dont F est }e som- . 
met et AGDE la base. Par les trois points F , E , G , 
menez encore un plan FEG, qui divisera la pyra- 
mide quadrangulaire en deux pyramides triangulaires 
FACE,FGDE. 

La pyramide FAEG, qui a pour base le triangle 
AEG et pour sommet le point F, est équivalente à une 
pyramide EABG, qui aurait pour base AEG et pour 
Kmunet le point B. Gar ces deux pyramides ont même 
base; elles ont aussi même hauteur, puisque la ligne 
BF, étant parallèle à chacune des lignes AE, GD, est 
parallèle à leur plan AGE; donc la pyramide FAEG 
est équivalente à la pyramide EABG, laquelle peut 
être considérée comme ayant pour base ABG et pour 
sommet le point E. 

La troisième pyramide FGDE, peut être changée 
d^abord en AFGD; car ces deux pyramides ont la 
même base FGD; elles ont aussi la même hauteur, 
puisque AE est parallèle au plan FGD ; donc la pyra- 
mide FGDE est équivalente à ÀFGD. Ensuite la py- 
ramide AFGD peut être changée en.ABGD, car ces 
deux pyramides ont la base commune AGD; elles ont 
aussi la même hauteur, puisque leurs sommets F et B 
sont situés sur une parallèle au plan de la base. Donc 
la pyramide FGDE, équivalente à AFGD, est aussi 
équivalente à ABGD ; or , celle-ci peut être regardée 
comme ayant pour base ABG et pour sommet le 
point D. 

Donc enfin le prisme tronqué ABGDEF est égal à . 
la somme de trois pyramides qui ont pour base com- . 
mune ABG , et dont les sommets sont respectivement 
les points D, E, F. 

Corollaire. Si les arêtes AE, BF, GD, sont perpen^ 
diculaires au plan de la base , elles seront en même 
temps les hauteurs des trois pyramides qui composent • 
le prisme tronqué; de sorte que la solidité du prisme 

Neuç. éd. i3 , 



194 GÉOHBTRIE. 

tronqué, sera exprimée par^ABCxAE+ jABCxBF 
+ i ABi; X CD , quantité qui se réduit à | ABC X (AE-H 
ItF + CD). 

PROPOSITION XXIII. 

TBÉOKÊHE. 

Deux pyramides triangulaires semblables oni 
les faces homologues semblables , et les anglêi 
salifies homologues ëgeutar, 
£g.3o3. Suivant la tlérinition, les deux pyramides ^iaiiga 
laires SABC, TDEF, sont semblables, si les deux t^ 
angles SAB , ABC , sont semblables aux deux TDE- 
DEF, et semblableraent places, c'est-à-dire, si l'on, j 
langle ABS=iDET, BAS=EDT, ABCi^DEF, BAC 
= EDF, et si en outre l'inclinaison des plans SAB, 
ABC, est égale à celle des plans TDE, DEF : cela, 
posé, je dis que ces pyramides ont toutes les facej 
semblables cbacune à chacune , et les angles solide 
homologues égaux. 

Prenez BG— ED, BH^EF, BIi=ET, et joiguei 
GH, GI, IH. La pyramide TDEF est égale à la pyra- 
mide IGBH ; car ayant pris les côtés GB , BH , égaux 
aux côtés DE, EF, et l'angle GBH étant, par hypo- 
thèse, égal à l'angle DEF, le triangle GBII est égal 
à DEF; donc, pour opérer la superposition des deux, 
pyramides, on peut d'abord placer la base DEF sur 
son égale GBH ; ensuite , puisque le plan DTE est io" 
cliné sur DEF autant que le plan SAB sur ABC, il est 
clair que le plan DËT tombera indéfiniment sur le 
plan ABS. Mais, par hypothèse, langle DET = GBI, 
donc ET tombera sur sou égale BI ; et puisque les 
quatre points D , E , F , T , coïncident avec les quatre 
* , G, B, H, I,il s'ensuit* que la pyramide TD£Fcoïn~ 
cide arec la pyramide IGDH. 



r\ 



x:>. 



. LIVRE Vï. 195 

Or, à csuise des triangles égaux DEF, 6BH, on a 
l'angle BGH=EDF = BAC; donc GH est parallèle à 
AG» Par une raison semblable GI est parallèle à AS ; 
donc le plan IGH est parallèle à SAC*. De là il suit * i3, 5. 
que le triangle IGH, ou son égal TDF, est semblable 
à SAC*, et que le triangle IBH , ou son égal TEF, est 
semblable à SBC ; donc les deux pyramides triangu- 
iaire9 semblables SABC, TDEF, ont les quatre faces 
semblables chacune à chacune : de plus elles ont les 
angles solides homqlogues égaux. 

Car on a déjà placé langle solide E sur son homo- 
logue B, et on pourrait faire de même pour deux autres 
angles solides homologues ; mais on voit immédiate- 
ment que deux angles solides homologues sont égaux, 
par exemple, les angles T et S, parce qu'ils sont for- 
més par trois angles plans égaux chacun à chacun , 
et semblablement placés. 

Donc , deux pyramides triangulaires semblables ont 
les faces homologues semblables et les angles solides 
homologues égaux. 

Corollaire I. Les triangles semblables dans les deux 
pyramides fournissent les proportions AB:DE:: BCi; 
EF ::.AC : l^F : : AS : DT : : SB : TE : : SC :TF; donc, 
dans les p/ramides triangulaires semblables^ les côtés 
homologues sont proportionnels. 

Q. Et puisque les angles solides homologues sont 
égaux, il s'ensuit que V inclinaison de deux faces queU 
conques d'une pyramide est égale à l'inclinaison des 
deux faces homologues de la pyramide semblable. 

Ili. Si on coupe la pyramide triangulaire SABC 
par un plan GIH parallèle à l'une des faces SAC, la 
pyramide partielle BGIH sera semblable à la pyramide 
entière BASC : car les triangles BGI, BGH, sont sem- 
blables aux triangles BAS, BAC, chacun à chacun, 
et semblablement placés ; Tinclinaison de leurs plans 

i3. 



r 



^p 




t^, Ck01UÉIB1£. 

est la inéine de p[irt et d'autre; doDC les deux pfi 
m ides sont semblables. 
llg. ait- iV. En général, si on cotipc une pp-eanide qud.- 
I conque SABCDE par un plan abcde parallèle a la 

I hme , la pyi-amide partielle Sabcde sera semblable & 

L la. pyramide entière SABCDE. Car les bases ABCDE, 

^^^^V abcde, sont semblables, et en joignant AC , ac^ on 
^^^^1 vitnt de prouver que la pyramide triangulaire SABC 
^^^^^ e.^1 semblable à la pyramide Saie ; doue te point S est 
dèlerminé par rapjtorl à la base ABC comme le point 
•dcr.iS.S l'est par rapport à la base abc'; donc les deux py- 
ramides SABCDE, Sabcde, sont semblables. 

Seholiû. An lieu <les cinq données requises par la dé- 
fitiitiou pour que deus pyramides triangulaires soient 
t semblables, ou pourrait en substituer cinq autres, 
suivant diflerentes combinaisons, et il en résulterait 
auiaut de théorèmes, parmi lesquels on peut distin- 
guer celui-ci : Deux pyramides triangulaires sont sem- 
ètaiUs Ivjqu'dies ont Us côtés kfOHologues j^vpor^ 
rionnjj. 
Cg. »oJ. Car, si on a les proportions AB : DE : : BC ; EF : ; AC 
:.DE::AS:DT;.SB:TE;:SC:TF, œ qui renferme 
cinq conditioas, les triangles ABS , ABC , seront sem- 
blables aui triangles DET, DEIF, et sembla bleraenl 
plai-êj. On aura aussi le Iriangle SBC semblable à 
TEF i donc Les trois angles plans qni formeui l'angle 
5oti>le B, seront ^aus aui angles plans qui forment 
l'angle sobde E, dMcan à «diacnn ; d'où il soif ^ne 
rindinùson des phns SAB , ABC , «st ^ale à cdle de 
lenrs bouolf^nes TDE . IffiF , et quaind les deux 
p^rruiùdcs so«t «eubfeblfs. 

PROPOSITION XXIV. 

TKKOKSSX. 

JifHX jHtffViiivs sfittNal'ici ont les faces ho- 
motv^Hirf s^mNa64cff et Aw amgiùi sotida homo- 



r\ 



LIVRE vi; 197 

Soit âBCDE la base d'un polyèdre ; soient M et N %. 219. 
les sommets de deux angles solides , hors de cette base, 
déterminés par les pyramides triangulaires MABG, 
NABC y dont la base commune est ABC ; soient dans 
Vautre polyèdre, abcde la base homologue ou sem- 
blable à ABCDE , m et n les sommets homologues à 
M et N , déterminés par les pyramides mabc , naàc , 
s^nUables aux pyramides MABC , NABC ; je dis 
d'abord que les distances MN, mn^ sont proportion- 
nelles aux côtés homologues AB, ab. 

En effet, les pyramides MABC, mabc^ étant sem- 
blables, Tinclinaison des plans MAC, BAC, est égale 
à celle des plans mac , bac ; pareillement les pyramides 
NABC, nabcy étant semblables, FincUnaison des plans 
NAG, BAC , est égale à celle des plans nac , bac : donc, 
si on retranche les premières inclinaisons des der« 
nieres, il restera Finclinaison des plans NAC, MAC, 
égale à celle des plans nac^ mac. Mais, à cause de la 
similitude des mêmes pyramides , le triangle MAC est 
^mblable à m£u: , et le triangle NAC est semblable à 
nac : donc les deux pyramides triangulaires MNAC , 
mnac, ont deux faces semblables chacune à chacune, 
semblablement placées et également inclinées entre 
elles; donc ces pyramides sont semblables "^ , et leurs * ai. 
«ôtés homologues donnent la proportion MN : mn :: 
AM:ax». Dailleurs AMiam:: ABiai ; donc MNimn 
.::AB:ab. 

Soient P et /? deux autres sommets homologues des 
mêmes polyèdres, et on aura semblablement VTSipn 
. :: AB:a^, PMrjpiw :: AB : ab. Donc MN : mn :: PN :pn 
:: PM :pm. Donc le triangle PNM qui joint trois som* 
^nets quelconques (Tun polyèdre est semblable au tri^ 
^ngle pnm qui joint les trois sommets homologues de 
i*€iutre polyèdre. 

Soient encore Q et y deux sommets homologues, et 
te triangle PQN sera semblaljJo à pqn. Je dis de plus 



9 GEOMETRIE. 

I que l'inclinaison des plans PQN, PMN, est égate i 
celle des plans /v^n, pmn. 

Car si on joint QM et qm, on aura toujours le trî- 
L 'tngle QNM semblable a qnm , et par conséquent l'angle 
QNM égal à qnm. Concevez en N un angle solide foi^ 
nié par les trois angles plans QNM, QNP, PNM, et 
en M un angle solide foi-mé par les trois angles plans 
qnm, qnp,pnm : puisque ces angles plans sont égaux 
chacun à chacun , il s'ensuit que les angles solides sont 
égaux. Donc l'inclinaison des deux plans PNQ, PNM, 
est égale à celle de leurs homologues^/i^ , pnm ; donc, 
si les deux triangles PNQ, PNM, étaient dans un 
même plan , auquel cas on aurait l'angle QNM=QNP 
H- PNM, on aurait aussi l'angle qnm^=qnp-i-pn/n, et 
les deux triangles q/tp, pn^n, seraient aussi dans un 
Blême plan. 

Tout ce qui vient d'être démontré a lien, quels 
que soient les angles M, N, P, Q, comparés à leurs 
homolt^ues m, n,p, q. 

Supposons maintenant que la surface de l'un de) 
polyèilres soit partagée en triangles ABC , ACD , 
MNP, NPQ, etc., on voit que la sorfece de l'anire 
polyèdre contiendra ud pareil nombre de triangles 
o^, acd , if^i "pqy eic, semblables et semblaUe- 
ment placés ; et si plusieurs triangles , comme MPN, 
, NPQ, etc., appartiennent à une même face et sont 
dans un même plan , leurs bomolt^ues inpn , npq^ etc., 
seront pareillement dans un même plan. Donc tonte 
face p<Jj^ne dans un polyèdre répoodia à nue bce 
polygone semblable dans l'autre poljrèdre ; donc les 
deux polyèdres seront compris sous on même nombre 
de plans semblables et semblableinent placés, le dis de 
plus que les anglrs solides homologues soont égaux. 

Car, si l'angle soliile N, par exemple, est fonoé 
par les angles plans QNP, PNM, SEXR, QNR, l'an- 
<;le Mftide hoiuologtie f* sera formé par les angles 



r\ 



llTRE VI. 1^9 

plans qnp^ pnm^ mnrj qnr. Or, ces angles plans sont 
^aux chacun à chacun , et l'inclinaison de deux plans 
adjacents est égale à celle de leurs homologues ;. donc 
les deux angles solides sont égaux, comme pouvant 
être superposés. 

Donc enfin deux polyèdres semblables ont les faces 
homologues semblables et les angles solides homo- 
logues égaux. 

Corollaire. Il suit de la démonstration précédente 
que si, avec quatre sommets d'im polyèdre, on forme 
une pyramide triangulaire, et qu'on en forme une 
seconde avec les quatre sommets homologues d'un 
polyèdre semblable, ces deux pyramides seront sem- 
blables ; car elles auront les côtés homologues pro- 
portionnels *. *ai,8ck 

On voit en même temps que deux diagonales ho- 
mologues*, par exemple, AJN", an^ sont entre elles * 17, 2. 
comme deux côtés homologues AB , ab. 

PROPOSITION XXY. 

THEOREME;. 

Deux polyèdres semblables peuvent se partù- 
ger en un même nombre de pyramides triangu- 
kUres semblables chacune à chacune ,. et sem-- 
blablement placées. 

Car on a déjà vu que les surfaces de deux polyè- 
dres . peuvent se partager en un- même nombre de 
triangles semblables chacun à. chacun , et semblable- 
ment placés. Considérez tous les triangles d'un po- 
lyèdre, excepté ceux qui forment l'angle solide A, 
comme les bases d'autant de pyramides triangulaires 
dont lé sommet est en A| ces pyramides prises en- 
semible composeront le polyèdre : partagez de même 
Tautre pelyèdre en pyramides qui aient pour sommet 



aOU eBOHETBIB. I 

conimun celui de l'angle a homologue à A; il est claif I 
<juc la pyramide qui joint quatre sommets d'un po- | 
lyèdre sera semblable à la pyramide qui joint les qua- j 
tre sommets homologues de l'autre polyèdre. Donc 
deux polyèdres semblables , etc. 

PROPOSITION XXVI. J 

THÉOBÊME, J 

IDeux pyramides semblables sont entre elles 1 
comme les cul/es des côtés homologues. \ 

tf au ^i* deux pyramides étant semblables , la plus petiu 
pourra être placée dans la plus grande , de manière 1 
quVUet aient l'angle solide S commun. Alors lea bases 
ABCDE, tthcàty seront parallèles; car, puisque la ' 
■». tâces homologues sont semblables*, l'angle Soi est 
^al à SAB, ÙDsi que S^ à SBC ; donc le plan abc 
'il. s. est parallèle au plan ABC*. Cela posé, soit SO la 
perpendicidaiie abaissée du sommet S sur le plut^ 
ABC , et soit o le point où cette perpendiculaire ren- ' 
contre le plan abc \ on aura, suivant ce qui a été déji 
• iS, démontre *, SO:So::SA:Sn:;AB:fli; et par consé- 
queni, 

ïSO:jSo ;: AB:aA, 
Mais les baaes ABCDE, ahcdey étaot des figtues len»- 
btables, on a, 

ABCDE : aied^, :: ÂB':^.' 
MaliiplMBt «s deux proporùms tone à tome, il ai 
ràullera la pnqtortion, 

ABCDExiSO:«Jofcx^S<?:: Îb': ^1 
or, ABCDE x 7SO «( b aotidiiè de h pyiamide 
- -s^ SABi:D£*. <H «^-<A^x^S«> «si «Ue de h pynmide 
S>4À^/ i (Ktoc d«ttx pynMÙdes semUaUes soat antre 



r^ 



PROPOSITION XXVII. 

THSOREME, 

Deux polyèdres semblables sont entre eux 
comme les cubes des côtés homologues. 

Car deux polyèdres semblables peuvent être par- fig. aig. 
tagés en un même nombre de pyramides triangulaires 
semblables chacune à chacune^. Or, les deux pyra-* a3. 
mides semblables ÂPNM, apnm^ sont entre elles 
oomtne les cubes des côtés homologues AM, am^ ou 
comme les cubes des côtés homologues AB, ab. Le 
même rapport aura lieu entre deux autres pyramides 
homologues quelconques ; donc la somme de toutes 
les pyramides qui composent un polyèdre, ou le po- 
lyèdre lui-même , est à Fautre polyèdre , comme le 
cube d'un côté quelconque du premier est au cube 
du côté homologue du second. 

Scholie général. 

On peut présenter en termes algébriques , c'est-à- 
dire de la manière la plus succincte , la récapitulation 
-des principales propositions de ce livre concernant les 
solidités des polyèdres. 

Soit B la base dun prisme, H sa hauteur; la soli- 
dité du prisme sera B x H ou BH. 

Soit B la base d'une pyramide, H sa hauteur; la 
solidité de la pyramide sera Bx-jH, ou HXjB, ou 
iBH. 

Soit H la hauteur d un tronc de pyramide à bases 

parallèles , soient A et B ses bases ; l/" AB sera la 
moyenne proportionnelle entre elles , et la solidité du 

tronc sera ~Hx(A + B + »/ÂB). 



ftOa OEOHETBIB. 

Soit B la base d'un tronc dt prisme triangulaire f 
H, H', H", les hauteurs de ses trois sommets supé- 
rieurs , la solidité du prisme tronqué sera j B x (H + 
H' + H"). 

Soient enfin P et/) les solidités de deux polyèdres 
semblables, A et a deux côtés ou deux diagonales 
homologues de ces polyèdres , on aura V :p :: A' ; o'. 




J 



rK 



fc'»'%/%/%^>%^^<^.l%%^^^^^^^^^*^^^^t*<*^^''>^^<*^ 



LIVRE VIL 



LA SPHERE. 



DEFINITIONS. 



I. JuA sphère est un solide terminé par une surface 
courbe, dont tous les points sont également distants 
d'un point intérieur qu'on appdle centre. 

On peut imaginer que la sphère est produite par fig. 320. 
la révolution du demi-cercle DAE autour du diamètre 
DE : car la surface décrite 'dans ce mouvement par la 
courbe DAE aura tous ses points à égales distances 
du centre G. 

II. Le rayon de la sphère est une ligne droite me- 
née du centre à un point de la surface ; le diamètre 
ou a^e est une ligne passant par le centre , et termi- 
née de part et d'autre à la surface. 
. Tous les rayons de la sphère sont égaux \ tous les 
diamètres sont égaux et doubles du rayon. 

m. n sera démontré * que toute section de la *pr. x. 
sphère, faîte par un plan , est un cercle : cela posé, 
on appelle grand cercle la section qui passe par le 
centre , petit cercle celle qui n y passe pas. 

IV. Un plan est tangent à la sphère lorsqu'il n'a 
qu'un point commun avec sa surface. 

V. Le pôle d'un cercle de la sphère est un point 
de la surface également éloigné de tous les points de 

la circonférence de ce cercle. On fera voir * que tout i pr. 6. 
cercle, grand ou petit, a toujours deux pôles. 

VL Triangle sphérique est une parlie de la surface 
de la sphère comprise par trois arcs de grands cercles. 



S44 GÉOHBTRtE. 

Ces arcs, qui s'appellent les côtés au triangle, sont 
toujours supposés plus petits que la denii-circonfé- 
rence. Les angles que leurs plans font entre eux sont 
les angles du triangle. 

VII. Un triangle sphérique prend le nom de rec- 
tanglc, isoscele, équilatéral, dans les inênies cas qu'un 
triangle rectiligne. 

VIII. Polygone spkèrique est une partie de la sur- 
face de la sphère terminée par plusieurs arcs de grands 
cercles. 

IX. Fuseau est la partie de la surface de la sphère 
comprise entre deux demi-grands cercles qui se ter- 
minent à un diamètre commun, ^ 

X. J'appellerai coin ou onglet spkèrique la partie du 
solide de la sphère compriiie entre les mêmes demi- 
grands cercles, et à laquelle le fuseau sert de base. 

XI. Pyramide sphérique est la partie du solide de 
la sphère comprise entre les plans d'un angle solide 
dont le sommet est au centre. La base de la pyramide 
est le polygone sphérique intercepté par les mêmes 
plans. 

XII. On appelle zone ta partie de la surface de la 
sphère comprise entre deux plans parallèles qui en 
sont les bases. L'un de ces plans peut être tangent à 11 
sphère, alors la zone n'a qu'une base. 

Xin. Segment sphérique est la portion du solide 
de la sphère comprise entre deux plans parallèles qui 
en sont les bases. 

L'un de ces plans peut être tangent à la sphère, 
alors le segment sphérique n'a qu'une base. 

XIV, La hauteur d'une zone ou d'un segment est 
la distance des deux plans parallèles qui sont les 
bases de la zone ou du segment. 
,, XV, Tandis que le demi-cercle DAE tournant au- 
tour du diamètre DE décrit ta sphère, tout secteur 



r\ 



Gii^ulaire, comme DGF ou FCH, décrit un solide. 
qu'on appelle secteur sphérique. 



PROPOSITION PREMIERE. 



THEORBMS. 



Toute section de la sphère , faite par un plan^ 
est un cercle. 

Soit AMB la section faite par un plan dans la sphère H- ^^'' 
dont Je centre est G. Du point G menez la perpendi- 
culaire GO sur le plan AMB , et différentes lignes GM, 
CM , à différents points de la courbe AMB qui termine 
la section. 

Les obliques GM , GM , GB , sont égales , puisqu'elles 
sont des rayons de la sphère , elles sont donc égale- 
ment âoignées de la perpendiculaire GO'^ ; donc toutes * 5, 5. 
les lignes OM , OM , OB, sont égales ; donc la section 
AMB est un cercle dont le point O est le centre. 

CorMaire I. Si'la section passe par le centre de la 
sphère, son rayon sera le rayon de la sphère; donc 
tous les grands cercles sont égaux entre eux. 
. II. Deux grands cercles se coupent toujours en deux 
partiel ^aïes; car leur intersection commune, pas- 
sant par le centre, est un diamètre. 

III. Tout grand cercle divise la sphère et sa surface 
en deux parties égales ; car si , après avoir séparé les 
deux hémisphères , on les applique sur la base com- 
mune en tournant leur convexité du même côté , les 
deux surfaces coïncideront Tune avec lautre , sans 
quoi il y aurait des points plus près du centre les uns 
que les autres. 

rV. Le centre d'un petit cercle et celui de la sphère %• **'• 
sont sur une même droite perpendiculaire au plan du 
petit cercle. 

y. Les petits cercles sont d'autant plus petits qu'ils ^ 



/ 



2o6 GKOMÉTKIE. 

^nt plua éloignés du centre de la sphère ; car plug la 
distance CO est grande, plus est petite la corde AB, 
diamètre du petit cercle AMB. 

VI. Par deux points donnés sur la surface d'une 
sphère, on peut faire passer un arc de grand cercle; 
car les deux points donnés et le centre de la sphère 
sont trois points qui déterminent la position d'un plan. 
Si cependant les deux points donnés étaient aux ex- 
trémités d'un diamètre, alors ces deux points et le 
centre seraient en ligne droite, et il y aurait une io 
Gnitë de grands cercles qui pourraient passer par lelkl 
deux points donnés. 

PROPOSITION II. 



, Dans tout triangle sphéiique ABC , un < 
quelconque est plus petit que la somme des deui 
autres. 

Soit le centre de la sphère , et soient menés les 
rayons OA , OB , OC. Si on imagine les plans AOB , 
AOC , COB , ces plans formeront au point G un angle 
solide, et les angles AOB, AOC, COB, auront pour 
mesure les côtés AB , AC , BC , du triangle sphérique 
ABC. Or , chacua des trois angles plans qui composent 
l'angle solide est moindre que la somme des deux 

. autres*; donc un côté quelconque du triangle ABC 
est moindre que ta somme des deux autres. 

PROPOSITIOPf III. 



Le plus court chemin d'un point à un autre, 
sur la surface de la sphère, est l'arc de grand 
cercle qui joint les deux points donnés. 
î- SÔit ANB l'arc de grand cercle qui joint les points 



/x 



LIVRE VU. loy 

A et B , et soit hors de cet arc , s'il est possible , M un 
point de la ligne la plus courte entre A et B. Par le 
point M menez les arcs de grands cercles MA, MB y 
et prenez BN==MB. 

Suivant le théorème précédent l'arc ANB est plus 
court que AM + MB ; retranchant de part et d'autre 
BN = BM , il restera AN < AM. Or , la distance de B 
en M, soit quelle se confonde avec l'arc BM, ou 
qu'elle soit toute autre ligne , est égale à la distance de 
B et N ; car en faisant tourner le plan du grand cercle 
BM autour du diamètre qui passe par B , on peut ame« 
ner le point M sur le point N , et alors la ligne la plus 
courte de M en B, quelle qu'elle soit, se confondra 
avec celle de N en B ; donc les deux chemins de A en 
B, l'un en passant par M, l'autre en. passant par N, 
ont une partie égale de M en B et de N en B. Le pre- 
mier chemin est, par hypothèse^ le plus court ; .donc 
la distance de A en M est plus courte que la distance 
de A -en N , ce qu^ serait absurde, puisque l'arc AM 
est plus grand que AN ; donc aucun point de la ligne 
la plus courte entre A et B ne peut être hors de Tare 
ANB ; donc cet arc est lui-même la ligne la plus courte 
entre ses extrémités. 

PROPOSITION IV. 

■ ■ 

THÉORSME« 

La somme des trou côtés d^un triangle sphé'* 
Tique est moindre que ,la circonférence d'un 
grand cercle. 

Soit ABC un triangle sphérique quelconque ; pro- fig. ^24. 
longez les côtés AB , AC , jusqu'à ce qu'ils se rencon- 
trent de nouveau en D. Les arcs A.BD, ACD, seront 
des demi-circonférences , puisque deux grands cercles 
se coupent toujours en deux parties égales*; maisdans * i, 
te triangle BGD on a le côté BC < BD + GD^ ; ajoutant « ». 



[ 



'BOS GÉOUÉTBIB. 

de part et d'autre AB + AC , on aura AB+ AC 4- BC 
< ABD + ACU, c'est-à-dire, plus petit qu'une circon- 
férence, 
» PROPOSITION V. 

TBÉORâHE. 

La somme des côtés de tout polygone spké- 
rique est moinr're que la circonférence d'un 
grand cercle. 
s. Soit, par e^temple, le pentagone ABCDË : prolon- 
gea les côtés AB, DC, jusqu'à leur rencontre en F; 
puisque BC est plus petit que BF -4- CF , le conlour du 
pentagone .\BCDE est plus petit que celui du quadri- 
latère AEDF. Prolonge! de nouveau les côtés AE, 
FD, jiis>qu'à leur rencontre en G, on aura ED<EG 
•4-GD;d(Mic le contour do quadrilatère AEDF est 
l^us peut que celui da triangle AFG ; celui-ci est plus 
petit que la cïrconfemice d'un grand cercle ; donc 
aJôftMn le contour do poly^ne ABCDE est moindre 
que c^tie même circonlérence- 

SeAoiit. Cette proposition est an fond la même que 
la xxii* du livre t ; car, si O est le centre de la sphère^ 
on peut iniagin^ au point O nu angle solide ftwmé 
par les angles plans AOB, BOC, COD, efc, et U 
somme de ces angles doit être plus petite qœ quatre 
ailles droits, ce qui ne diffère pas de la pr(^Misiti<Mi 
piestnie. La démoDstntioQ que nous Tenons tie dim- 
acr est dîHmnte de cvlle du livre v ; Tane et l'autre 
wpposml que le polT^>>ne ABCDE «si conreze, ou 
^'•untn «ito^ proton^ ne coupe la figure. 

PROPOSITJOS TL 



OH f^Mt >iit jrnue^ iYA-M* AMB. As < 



/X 



LiTRB VII. ao9' 

TietYtde ce diamètre seront les pôles du cercle 
ÀM B , et de tous les petits cercles , comme FNG , 
qui lui sont parallèles. 

Car DC , étant perpendiculaire au plan AMB ^ est 
perpendiculaire à toutes les droites CA, CM, CB, etc.,' 
menées par son pied dans ce plan ; donc tous les arcs 
DA, DM, DB, etc. , smit des quarts de circonférence : 
il en est de même des arcs EA, EM, EB, etc. ; donc 
les points D et E sont chacun également éloignés de 
tous les points de la circonférence AMB \ donc ils sont 
les pôles de cette circonférence *. * dëf. 5. 

En second lieu, le rayon DC, perpendiculaire au 
plan AMB , est perpendiculaire à son parallèle FNG ; 
donc il passe par le centre O du cercle FNG * ; donc * ^• 
si on tire les obliques DF, DN, DG, ces obliques s'é- 
kauteront également de la perpendiculaire DO et seront 
égales. Mais les cordes étant égales, les arcs sont 
égaux ; donc tous les arcs DF, DN, DG , etc., sont égaux 
entre eux ; donc le point D est le pôle du petit cerclé 
FNG , et par la même raison le point E est l'autre pôle. 

Corollaire I. Tout arc DM mené d un point de Tare 
de grand cercle AMB à son pôle est un quart de cir- 
conférence, que nous appellerons pour abréger un 
quadranSy ou un quadrant, et ce quadrant fait en 
même temps un angle droit avec l'arc AM. Car la ligne 
DC étant perpendiculaire au plan AMC, tout plan 
DMG qui passe par la ligne DC est perpendiculaire au 
plan AMC * ; donc langle de ces plans, ou suivant la * i8, 6. 
déf. VI, l'angle AMD , est un angle droit. 

II. Pour trouver le pôle d'un arc donné AM, menez 
Tare indéâni MD perpendiculaire à AM , prenez MD 
égal à un quadrant, et le point D sera un des pôles 
de l'arc MD ; ou bien menez aux deux points A et M 
les arcs AD et MD perpendiculaires à AM , le point de • 
concours D de ces deux arcs sera le pôle demandé. 

Neuv* éd. i4 



s 

'afO GÉOUSTRIE. 

III. ItécipToquement , si la distance du point D à 
chacun des points A et M est égale à un quadrant , je 
dis que le point D sera le pûle de l'arc AM, et qu'en 
même temps les angles DAÂt, AMD, seront droits. 

Car soit C le centre de la sphère, et soient menés les 
rayons CA, CD, CM: puisque les angles ACD, MCD, 
sont droits, ta ligne CD est perpendiculaire aux deux 
droites CA, CM ; donc elle est peipendiculaire à leur 
plan ; doue le point D est le pôle de l'arc AM j et par 
suite les angles DAM , AMD, sont droits. 

Scholie. Les propriétés des pâles permettent de tra- 
cer sur la surface de la sphère des arcs de cercle avec 
la même facilité que sur une surface plane. On voit , 
par exemple, qu'en faisant tourner l'arc DF ou toute 
autre ligne de même intervalle autour du point D, 
l'extrejnité F décrira le petit cercle FXG; et si on fait 
tourner le quadrant DFA autour du point D , l'es- 
trémité A décrira l'arc de grand cercle AM. 

à'il faut prolonger l'arc .\M, ou si on ne donne que 
les points A et M par lesquels cet arc doit passer , on 
déterminera d'abord le pôle D par l'intersection de 
deux arcs décrits des points A et M comme centres 
avec un intervalle égal au quadrant. Le pôle D étant 
trou^-é, on décrira du point D, comme centre et avec 
le même interralle, lare AM et son prolongement. 

Enfin, s'il faut du point donné P abaisser un arc 
perpendiculaire sur l'arc donné AM, on prolongera 
celui-ci en S jusqu'à ce que l'intervalle PS soit ^al â 
un quadrant ; ensuite du pôle S et du même intervalle 
on déi'rira l'arc PM, qui sera l'arc perpendiciUaire d^ 
mandé. { 



nvRB VII. an 



PROPOSITION VIL 

THÉOaâMS. 

Tout plan perpendiculaire à V extrémité d*un 
rayon est tangent à la sphère. 

Soit FAG un plan perpendiculaire à l'extrëmitë du ^ ^ 
rayon OA ; si on prend un point quelconque M sur 
ce plan , et qu'on joigne OM et AM , langle OAM sera 
* droit, et ainsi la distance OM sera plus grande que 
OA. Le point M est donc hors de la sphère ; et, comme 
' il en est de même de tout autre point dû plan FAG , 
il s'ensuit que ce plan n a que le seul point A com- 
mun avec la surface de la sphère ; donc il est tangent 
à cette surface. * ' ♦ dëf. 4, 

Scholie. On peut prouver de même que deux sphères 
nont qu'un point commun, et sont par conséquent 
tangentes l'une à Vautre , lorsque la distance de leurs 
centres est égale à la somme ou à la différence de 
leurs rayons : alors les centres et le point de contact 
sont en ligne droite. 

PROPOSITION VIIL 

theorSmb. 

V angle BAC que font entre eux deux arcs de £g ^aô. 
grands cercles AB , AC , est égal à V angle FAG , 
formé par les tangentes de ces arcs au point A : 
il a aussi pour mesure Varc DE , décrit du point 
A comme pôle entre les côtés AB, AC , prolongés 
s^il est nécessaire. 

Car la tangente AF , menée dans le plan de Tare 
AB, est perpendiculaire au rayon AO ; la tangente 
AG, menée dans le plan de l'arc AC, est perpendi- 
culaire au même rayon AO. Donc l'angle FAG est 

14. 



aïs GEOniiTHIX. ^^1 

ij. ï. (igal à l'angle des plans OAB, OAG*, qui est celui des 
aies AH, AC, et qui se désigne par BAC, 

Pareillement, si l'arc AD est égal à un quadrant, 
ainsi que AE, les lignes OD, OE, seront perpendicu- 
laires à AO, et l'angle DOE sei-a encore égal a l'angle 
des plans AOD, AOE ; donc l'arc DE est la mesure de 
l'angle de ces plans, ou la mesure de l'angle CAB. 

Corollaire. Les angles des triangles sphériques peu- 
vent se comparer entre eux par les arcs de gi-ands cer- 
cles décrits de leurs sommets comme pôles et compris 
outre leurs eûtes : ainsi il est facile de faire un angle 
égal n un angle donné. 
■- îï». Scliolu: Les angles opposés au sommet , tels que 
ACO et BON sont égaux ; car l'un ou Vautre est tou- 
jour» l'angle formé par les deux plans ACB, OCN. 

On voit aussi que dans la rencontre de deux arcs 
AClt, OCN. les deux angles adjacenU ACO, OCB, 
pris ensemble, valent toujours jleux angles droits.^^^ 

PROPOSITIOIV !X. ^P 

THÉORSMI. 

;. >ï*. Étant lionne le triangle ABC, si des points 
A , li, C , comme f*â/es, on décrit les arcs EF, 
t"l> , HE . qui forment le triangle DEF ; récipro- 
<^uement les trois /.toiuts D, E, F, seront les 
jH\<s des ctUês R'. , AC , AB- 

(.',i»r lo po)»t A én»l le pùW de l'arc EF, la distance 
AK. i'?'! un qtiMtranl ; le )Htiiil C éunl te pôle de l'arc 
l>Ki U di.-^tjiK<-f CE est p^rfillemeut un quadrant; 
iKmk- ti- (vùni E esi ékitg;nè d'un qiutdiuil de chacun 
• (i, .HS |s^i«ts \ <■! C ; (k«ac il «^ le pôle de l'arc AC *. 
"' ■' Oh vU-«Hwtrr*a tV W«)>c «jwe D est le pôle de l'arc 
l\:.tt F .xlwi (?*• r*rc AB- 

t' .C.î^r-,-- IVm*.- W tr»ji»^[k- ABC peut être décrit 
;\5i- V wH\\v« de n£F , CVMHM UEK pu- le naoj^i d« 



r\ 



îiIVRE vit. 2l3i 

PROPOSITION X. 

THEOREME. 

Les méines choses étant posées que dans le 
théorêtne précédent j chaque angle de Vun des 
triangles ABC , DEF , aura pour mesure la demU fig- a»?* 
circonférence moins le côté opposé dans Vautre 

triangle. 

Soient prolongés, s'il est nécessaire, les côtés AB 
AC, jusqu'à la rencontre de EF en G et H ; puisque 
le point A est le pôle de Tare GH , langle A aura pour 
mesure Tare GH. Mais Tare EH est un quadrant 
ainsi que GF , puisque E est le pôle de AH , et F le 
pôle de AG ; donc EH + GF vaut une demi-circon- 
féi^ence. Or EH + GF est la même chose que EF -f- 
GH ; doue Tare GH qui mesure Tangle A est égal à 
une demi-circonférence moins le côté EF ; de même 
l'angle B aura pour mesure \ cire. — DF , et Fangle G , 
\ cire. — DE. 

Cette propriété doit être réciproque entre les deux 
triangles, puisqu'ib se décrivent de la même manière 
l'un par le moyen de l'autre. Ainsi on trouvera que 
le3 angles D, E, F, du triangle DEF, ont pour me- 
sures respectivement \ cire. — BC , \ cire. — AC, \ cire. 
— AB. En effet l'angle D, par exemple, a pour me- 
sure l'arc MI ; or MI + BC == MC + BI =^ cire. : 
donc l'arc MI , mesure de l'angle D ,==: ^ cire* — BC , 
et ainsi des autres. 

Seholie. Il faut remarquer qu'outre le triangle DEF fig. aaSi 
on en pourrait former trois autres par l'intersection 
des trois arcs DE, EF, DF. Mais la proposition ac- 
tuelle n'a lieu que pour le triangle central , qui est 
distingué des trois autres en ce que Les deux angles A 
et D sont situés d'un même côté de BC^ les deux B fig. 227^ 
et E d'un même côté de AC , et les deux C et F d'un 
même côté de AB. 



ai4 GROHÉTHIS. 

On donne différents noms aux deux triangles ABC, 
DEF; nous les appellerons triangles polaires, 

PROPOSITION XI. ^ 

>• Etant donné le triangle ABC, si du pôle A rt 
de l'intervalle AC on décrit l'arc de petit cercle 
DEC ; si du pôle B et de V intervalle BC on décrit 
pareillement l'arc DFC , et que du point D , où 
les arcs DEC, DFC, se couperont, on mené les 
arcs de grands cercles AD, DB ; je dis que le 
triangle ADB ainsi formé aura ses parties égales 
à celles du triangle ACB. 

Car par construction le côlé AD^^AC, DEtt^BC, 
AB est commun ; donc ces deux triangles ont les eûtes 
égaux chacun à chacun. Je dis maintenant cpie les 
angles opposés aux côt^s égaux sont égaux. 

En effet, si le centre de la sphère est supposé en 
O, on peut concevoir un angle solide formé au point 
O par les trois angles plans AOB, AOC, BOC ; on 
peut concevoir de même un second angle solide formé 
parles trois angles plans AOB, AOD, BOD. Et puis- 
que les cùlés du triangle ABC sont égaux à ceux du 
triangle ADB, il s'ensuit que les angles plana qui 
forment un de ces angles solides sont égaux aux angles 
plans qui forment l'autre angle solide , chacun à 
' ?3 , 5. chacun : mais dans ce cas il a été démontré * que les 
plans dans lesquels sont les angles égaux sont égale- 
ment inclinés entre eux ; donc les angles du triangle 
sphériquc DÂB sont égaux à ceux du triangle CAB, 
savoir DAR — BAC, DBA — ABC, et ADB=ACB; 
donc les côtés et les angles du triangle ADB sont égaux 
aux côtés et aux angles du triangle ACB. 

Schalie.. L'égalité de ces triangles n'est cependant 
pas une égalité absolue ou de superposition , cac il 



XiiVRS vir. 2i5 

^rait impossible de les appliquer l'un sur l'autre 
exactement, à moins qu'ils ne fussent isosceles. L'éga- 
lité dont il sagit est ce que nous avons déjà appelé 
une égalité par symmétrie^ et par cette raison nous 
appellerons les triangles ACB^ ADB, triangles synt" 
métriques. 

PROPOSITION XII. 



THEOREME. 



Deux triangles situés sur la même sphère , ou 
sur des sphères égales , sont égaux dans toutes 
leurs parties j lorsquUls ont un angle égal com- 
pris entre côtés égaux chacun à chacun. 

Soit le côté ABzziEF, le côté AC=:EG, et l'angle ^e-^^o. 
BAC=:FEG, le triangle EFG pourra être placé sur 
le triangle ABC ou sur son symmétriquè ABD, de la 
même manière qu'on superpose deux triangles recti- 
lignes qui ont un angle égal compris entre côtés 
égaux. Donc toutes les parties du triangle EFG seront 
égales à celles du triangle ABC, c^est-à-dire qu'outre 
les trois parties qui sont supposées égales, on aura le 
côté BC = FG, l'angle ABC =EFG, et l'angle ACB 
=EGF. 

PROPOSITION XIII. 



A 



THEOREME. 



Deux triangles situés sur la même sphère , ou 
sur des sphères égales j sont égaux dans toutes 
leurs parties y lorsquHh ont un côté égal adja^ 
cent à deux angles égaux chacun à chacun. 

Car l'un de ces ti*iangles peut être placé sur l'autre 
ou sur son symmétriquè, comme on le fait dans le 
cas pareil des triangles cectilignes. Voyez prop^ ^//, 



t 



GEOMiïrniE. 

PROPOSITION XIV. 

tbéorÈhe. 

Si deux triangles situés sur la même splicre , 
ou sur des sphères égales, sont équilatcraiix 
entre eux, ils seront aussi équianghs , et les angles 
égaux seront opposés aux côtés égaux. 
). Cela est manifeste par la proposition xi , où l'on % 
vu qu'avec trois côtés donnes AB, AC, BC, on ne 
ppui faire que deux triangles ACB, ABD, différents 
quant à la position des parties, mais égaux quant à 
la candeur de ces mêmes parties. Donc deux triangles 
équilatéraux entre eux sont ou absolument égaux , ou 
au moins égaux par syuimétrie ; dans l'un et l'autre 
cas ils sont équiangles , et les angles égaux sont oppo- 
sés aux côtés égaux. ^^K 

PROPOSITION XV. 

THÉORÈME. 

Daris tout triangle spkérique isoscele les angles 
opposés aux côtés égaux sont égaux ; et récipro- 
quement, si deux angles d'un triangle spkérique 
sont égaux, le triangle sera isoscele. 

i" Soit le côté AB=AC j je dis qu'on aura l'angle 
C>i:=B : car si du sommet A au point D, milieu de la, 
base, on mené l'arc AD, les deux triangles ABD, 
ADC, auront les trois côtés égaux cliacun à chacun; 
savoir, AD commun , BD^DC, et AB:=AC : donc, 
par le théorème précédent, ces triangles auront les 
angles égaux, et on aura B:^C. 

2° Soit l'angle B=:C ; je di« qu'on aura AC = AB : 
car si le côté AB n'est pas égal à AG, soit AB le plus 



^ 



LIVRE VII. 217 

grand des deux, prenez BO = AC, et joignez OC. 
Les deux côtés BO, BC , sont égaux aux deux AC, BG ; 
Fangle compris par les premiers OBG est égal à l'angle 
compris par les seconds ACB. Donc les deux triangles 
BOC, ACB, ont les autres parties égales *, et on a *"• 
l'angle OGB=:ABC : mais Fangle ABC, par hypothèse, 
= ACB>9 donc on aurait 0GB =: ACB , ce qui est im- 
possible ; donc on ne peut sypposer AB différent de 
AC; donc les côtés AB, AG, opposés aux angles égaux 
B et G, sont égaux. 

SchoUe. La même démonstration prouve que Tangle 
BAD==DAC , et que langle BDA=ADG. Donc ces 
deux derniers sont droits ; donc Parc mené du som-^ 
met (Tua triangle sphérique isoscele au milieu de sa base 
est perpendiculaire h cette base; et di\?ise V angle du 
sonunet en deux parties égales. 

PROPOSITION XVL 

N THEOREME. 

Dans un triangle sphérique ABC, si V angle A ^g- ^^^^ 
est plus grand que Fangle B , le côté BC opposé 
n Vangle A sera plus grand que le côté AC op- 
posé à l'angle B ; réciproquement ^ si le côté' BC 
est plus grand que C A , Vangle A sera plus grand 
que Fangle B. 

i® Soit l'angle A>B, faites langle BAD=:B, vous- 
aurez AD::i=:DB * : mais M) + DC est plus grand que * i5. 
AG ; à la place de AD mettant DB, on aura DB + DG 
ou BG>AG. 

a® Si on suppose BG> AG, je dis que l'angle BAG 
sera plus grand que ABG : car, si BAG était égal à / 
ABG , on aurait BG== AG ; et si on avait BAG < ABC , 
il s'ensuivrait , par ce qui vient d'être démontré , qu'on 
a BC<AG; ce qui est contre la supposition. Donc 
l'angle BAG est plus grand que ABG. 



GHOMETRIE, 

PROPOSITION XVII. 



'■ Si les deux côtés AR , AC , du triangle sphé— 
Tique A HC sont égaux aux deux côtés DE , DF , 
du trianglQ DEF tracé sur une sphère égale , sC 
en même temps Tangle A est plus grand que 
l'angle D , je dis que le troisième côté BC du pre- 
mier triangle sera plus grand que le troisième 
EF du second. 

La do m on s (ration est absolument semblable à celle 
lie la prop, x, livre i. 

PROPOSITION XVIII. 

THBOaÊHB. 

Si deux triangles tracés sur la même sphère 
ou sur des sphères égales sont êquiangles entre 
eux , ib seront aussi équilatèraux. 

Soient A et B les deux triangles donnés, P et Q leurs 

triangles polaires. Puisque les angles sont égaux dans 

les triangles A et B, les côtés seront égaux dans les pcH 

- laires P et Q * : mais de ce que les triangles P et Q sont 

équilatèraux entre eux, il s'ensuit qu'ils sont aussi 

• êquiangles * ; enfin , de ce que les angles sont égaux 

■ dans les triangles P et Q,tl S'ensuit * que les côtés sont 

égaux dans leurs polaires A et B. Donc les triangles 

êquiangles A et B sont en même temps équilatèraux 

entre eux. 

On peut encore démontrer la même proposition sans 

le secours des triangles polaires de la manière suivante. 

Soient ABC , DËF , deux triangles êquiangles entre 

eux, de sorte qu'on ait A^D, B=E, C:^F; je dis 

qu'on aura le côté AB=DE, AC=:DF, BG=îEF. 



Sur le prolongement des côtés AB, AC , prenez AG 
=ï=DEy«t AH=DF ; joignez GH et prolongez les arcs 
BC, GH, jiisc[u'à ce qu'ils se rencontrent en I et K. 

lies deux côtés AG , AH , sont par construction 
égaux aux deux DF, DE ; langle compris GAH=BAC 
=:EDF; donc * les triangles AGH, DEF, sont égaux ♦ la. 
dans toutes leurs parties, donc langle AGH=: DEF 
==: ABC , et l'angle AHG = DFE= ACB. 

Dans les triangles IBG, KBG, le côté BG est com- 
mun, l'angle IGB=GBK ; et puisque IGBh- BGK est 
égal à deux droits, ainsi que GBK^-IBG, il s'ensuit 
que BGK=IBG. Donc les triangles IBG, GBK, sont- 
^aux*, donc IG=BK, et IB=:GK. * »3 

Pareillement, de ce que l'angle AHG = ACB, on 
conclura que les triangles ICH , HCK, ont un côté égal 
adjacent à deux angles égaux ; donc ils sont égaux ; 
donc IH=CK, et HK=IC. 

Maintenant, si des égales BK, IG, on retranche les 
^les CK, IH, les restes BC, GH, seront égaux. D'ail- 
leurs l'angle BCAurAHG, et l'angle ABC=AGH, 
Donc les triangles ABC , AHG , ont un côté égal ad- 
jacent à deux angles égaux ; donc ils sont égaux : 
mais le triangle DEF est égal dans toutes ses parties 
au triangle AHG ; donc il est égal aussi au triangle 
ABC, et on aura AB=DE, AC=DF, BC==EF; 
donc, si deux triangles sphériques sont équiangles 
entre eux, les côtés opposés aux angles égaux seront 
égaux. 

Sckolte. Cette proposition n'a pas lieu dans les 
triangles rectilignes , où de l'égalité des angles on ne 
peut concliu'e que la proportionnalité des côtés. Mais 
il est aisé de rendre compte de la différence qui se 
trouve à cet égard entre les triangle rectilignes et 
les triangles sphériques. Dans la proposition présente, 
ainsi que dans les prop. xti, xiii, xiv et xvii, où 
il s'agît de la comparaison des triangles, il est dit 



330 GÉOMÉTRie. 

eupressément que ces triangles sont tracés sur la 
même sphère ou sur des sphères égales. Or les arcs 
semblables sont proportionnels aux rayons ; donc , 
.sur des sphères égales , deut triangles ne peuvent'*! 
être semblables sans être égaux. Il n'est donc pu I 
surprenant que l'égalité des angles eatraîne l'égaUté 
des côtés. 

lien serait autrement si les triangles étaient tracés I 
siu- des sphères inégales; alors les angles étant égauXf l| 
le^ triangles seraient semblables , et les côtés homa—ji 
logues seraient entre eux comme les rajons < 
sphères. 

PBOPOSITION XIX. 



a Bo aBM E. 



l.a somme des angles de tout triangle sphé* 
rique est moindre que six et plus grande qae - 
deux angles droits. ^ 

Car i" chaqiie angle d'un triangle spbérique est 
moindre ((ue deux angles droits [vo/ez le scbolie ci- 
après); donc la somme des trois angles est moindre 
que six angles droits. 

a" La mesure de chaque angle d'un triangle sphé- 
rique est ^ale à la demi-circonférence moins le côté 
'iD. correspondant du triangle polaire*; donc la somme 
des trois angles a pour mesure trois demî-circonfi£- 
rences moins la somme des côtés du triangle polaire. 
Or cette dernière somme est plus petite quune cir- 
• 4- conférence * ; donc , en la retranchant de trois demi- 
circonférences, le reste sera plus grand qu'une demi- 
circonférence , qui est la mesure de deux angles 
droits; donc 2° la somme des trois angles d'un triangle 
sphérique est plus grande que deux angles droits. 

Corollaire I. La somme des angles d'un triangle 
sphérique n'est pas constante comme celle des tri- 



r^ 



i^ivRE Vil. âac 

angles rectilignes ; elle varie depuis deux angles droits 
jusqu'à six, sans pouvoir être égale à lune ni à lautre 
limite. Ainsi- deux angles donnés ne font pas connaître 
le troisième. v 

Corollaire II. Un triangle sphérique peut avoir 
deux ou troi» angles droits, deux ou trois angles, 
obtus. 

Si le triangle. ABC est bi^rectangle , c'est- à -dire % a35. 
s*il a deux angles- droits B et C , le sommet A sera le 
pôle de la base BC^; et les côtés AB, AC, seront des *6. 
quadrants. 

Si en outre l'angle A est droit , le triangle ABC sera 
trî-rectangle y ses angles seront tous droits et ses côtés 
des quadrants. Le triangle tri -rectangle est contenu 
huit fois dans la surface de la sphère 9 c est ce que Ton 
voit par la fig. a36 , en supposant l'arc MN égal à un 
quadrant. 

Scholie. Nous avons supposé dans tout ce qui pré- 
cède, et conformément à la définit, vi, que les trian- 
gles sphériques ont leurs côtés toujours plus petits 
que la demi -circonférence ; alors il s'ensuit que les 
angles sont toujours plus petits que deux angles droits : 
car, si le côté AB est moindre que la demi-circonfé- fig. 224^ 
rence , ainsi qi^ AC , ces arcs doivent être prolongés 
tolis deux pour se rencontrer en D. Or les deux angles 
ABC , CBD, pris ensemble, valent deux angles droits f 
donc langle ABC tout seul est moindre que deux 
angles droits. 

Nous observerons cependant quil existe des trian- 
gles sphériques dont certains côtés sont plus grands 
que la demi -> circonférence , et certains angles plus 
grands que deux angles droits. Car , si on prolonge 
le côté AC en une circonférence entière ACE , ce qui 
reste, en retranchant de la demi -sphère le triangle 
ABC, est. un nouveau triangle, qu'on peut désigner 
aussi par ABC^ et dont les côtés sont AB, BC, AEDC. 



") 



/ 



:^2a GBOMBTRIB. 

On voit donc 'que le côté AËDC est plus grand que la 
demi-circonférence AED ; mais en même temps Fan- 
gle opposé en B surpasse deux angles droits de la 
quantité GBD. 

. Au reste si on a exclu de la définition les triangles 
dont les côtés et les angles sbnt si grands , c'est que 
leur résolution ou la détermination de leurs parties 
se réduit toujours à celle des triangles renfermés dans 
1^ définition. En effet on vdlt aisément que si on 
connaît les angles et les côtés du triangle ABC, on 
connaîtra immédiatement les angles et les côtés du 
triangle de même nom qui est le reste de la demi-sphere. 

PROPOSITION XX, 

• THEORBMS. 

%• a56. Le fuseau AMENA esta la surface de la sphère 
comme V angle M AN de ce fuseau est à quatre 
angles droits^ ou comme Varc MN qui mesure 
cet angle est à la circonférence. 

Supposons d'abord que Tare MN soit à la circon- 
férence M]^PQ dans un rapport rationnel, par exem- 
ple , comme 5 est à 4^- On divisera la circonférence 
MNPQ en 48 parties égales, dont MN contiendra 5j 
joignant ensuite le pôle A et les points de division 
par autant de quarts de circonférence, on aura 43 tri- 
angles dans la demi-sphere AMNPQ, lesquels seront 
tous égaux entre eux, puisqu'ils auront toutes leurs 
parties égales. La sphère entière contiendra donc 96 
de ces triangles partiels , et le fuseau AMBN A en con- 
tiendra 10 ; donc le fuseau est à la sphère comme 10 
est à 96, ou comme 5 est à 48, c'est-à-dire comme 
l'arc MN est à la circonférence. 

Si lare MN n est pas commensurable avec la cir- 
conférence , on prouvera par le même raisonnement 



LlYRE YII. 2a3 

dont on a déjà tu beaucoup d'exemples, que le fuseau 
est toujours à la sphère comme Tare MN est à la cir- 
conférence. 

Corollaire I. Deux fuseaux sont entre eux comme 
leurs angles respectifs. 

. Corollaire II. On a déjà tu que la surface entière 
jie la sphère est égale à huit triangles tri-rectangles * ; * 'i^ 
donc ^- si l'aire d'un de ces triangles est prise pour 
Tunité, la surface de la sphère sera représentée par 8. 
Gela posé , la surface du fuseau dont l'angle est A sera 
exprimée par 2Â (si toutefois Fangle A est évalué 
en prenant l'angle droit pour unité) ; car on a 2A : 8 
:: A:4* Il 7 a donc ici deux unités différentes ; l'une 
pour les angles, c'est l'angle droit ; l'autre pour les 
surfaces, c'est le triangle sphérique tri -rectangle, ou 
celui dont tous les angles sont droits, et les côtés des 
quarts de circonférence. 

Scholi^. L'onglet sphérique compris par les plans 
AMB , AKB , est au solide entier de la sphère comme 
Van^e A est à quatre angles droits. Car les fuseaux 
étant égaux, les onglets sphérJMjues seront pareille- 
ment égaux : donc deux onglets sphériques sont entre 
eux comme les angles formés par les plans qui \e» 
eomprennent. 

PROPOSITION XXI. 

THEOREME. 

Deux triangles sphériques yrmmétriques sont 
égaux en surface. 

Soient ABC , DEF deux triangles symmétriques , gg. 23^ 
c'est-à-dire deux triangles qui ont les cotés égaux, AB 
= DE , AC = DF , CB == EF , et qui cependant ne 
pourraient être superposés ; je dis que la surface ABC 
est égale à la surface DEF. 



:i^4 GÉOMÉTRIE. 

Soit P le paie du petit cercle qui passerait par le* 
trois pointa A, B, C (i) ; de ce point soient menés les 

-., arcs égaux * PA, PB, PC ,■ au point F faites l'angle 
DFQ=:ACP, l'arc FQ=CP, et joignez DQ, EQ. 

Les eûtes DF, FQ, sont égaux aux côtés AC, CP; 
l'angle DFQz:rACP; donc les deux triangles DFQ, 

I- ACP, sont égaux dans toutes leurs parties* ; donc le 
côté DQ— AP, et l'angle DQF — APC. 

Dans les triangles proposés DFE, ABC, les angles 
DFE, ACB, opposés aux côtés égaux DE, AB, étant 

. égaux *, si on en retranche les angles DFQ, ACP, 
égaux par construction, il restera l'angle QFE égala 
PCB. D'ailleurs les côtés QF , FE, sont égaux aux 
côtés PC, CB ; donc les deux triangles FQE, CPB, 
sont égaux dans toutes leurs parties ; donc le côté 
QE=PB, et l'angle FQE^CPB. 

Si on observe maintenant que les triangles DFQ, 
ACP, qui ont les côtés égaux chacun à chacun, sont 
en même temps isosceles, on verra qu'ils peuvent s'ap- 
pliquer l'un sur l'autre; car, ayant placé PA sur son 
égal QF, le côté PC tombera sur son égal QD, et 
ainsi les deux triangles seront confondus en un seul : 
donc ils sont égaux, donc la surface DQF^APC. 
Par une raison semblable la surface FQE=CPB, et 
la surface DQEr^APB ; donc on a DQF+ FQE — 
DQE=APC + CPB— APB; ou DFE = ABC ; donc 
les deux triangles s;^mmétriques ABC, DEF, sont 
égaux en surface. 

Scholie. Les pôles P et Q pourraient être situés au- 
dedans des triangles ABC , DEF ; alors il faudrait 
ajouter les trois triangles DQF, FQE, DQE, pour 

(i) Le cercle qu! passe par les trois pointa A , B , C > ou qui 
est circonscrit au triangle ABC , ne peut (trc qu'un petit cercle 
de la aphcrc ; car , si c'était un grand cercle , les trois côtés AB , 
BC, AC, seraient situés dans un mjme plan, et le triangle ABC 
«e réduirait à un de ses côtés. 



LIVRE- VII. ' 2^4 

en coinposér le triangle D£F, et pareillement il fau- 
drait ajouter les trois triangles APC , CPB, APB, pour 
en composer le triangle ABC; d'ailleurs la démonstra,* 
don et la conclusion sersûent toujours les mêmes. 

PROPOSITION XXIL 

THÉOilBMB. 

Si deux grands cercles AOB , COD , se coupent fig. 1^%. 
eomme on voudra dans V hémisphère AOCBD, 
la somme des triangles opposés AOC , BOD , sera 
égale au fuseau dont V angle est BOD. 

Car , en prolongeant les arcs OB , OD , dans l'autre 
hémisphère jusqu'à leur rencontre en N , OBN sera 
une demî-circonférence , ainsi que AOB ; retranchant 
de part et d'autre OB ^ on aura BN = AO. Par une 
i^ison semblable on a DN = CO , et BD = AC ; donc 
les deux triangles AOC , BDN , on t les trois côtés égaux: 
d'ailleurs leur position est telle, qu ils sont symmétri- 
ques lun de Fautre; donc ils sont égaux en surface *» * 21. 
et la somme des triangles AOC , BOD , est équivalente 
au fiiseau OBNDO dont l'angle est BOD. 

Scholie, n est clair aussi que les deux pyramides 
^hériques qui ont pour bases les triangles AOC, 
BOD^ prises ensemble , équivalent à l'onglet sphé- 
rique dont l'angle est BOD. 

PROPOSITION XXIII. 



THÉORÈME. 



La surfojce d'un triangle sphérique quelconque 
a pour mesure V excès de la somme de ses trois 
angles sur deux angles droite. 

Soit ABC le triangle .proposé ; prolongez ses côtés fig. 239. 

Ntuv. édit, i5 



r 



336 C B O M É T R 

jusqu'à ce qu'ils rencontreni le grand cercle DEFG, 
mené comme on voudra hors du triangle. En vertu du 
théorème précédent, les deux tnangles ADE, AGH , 
pris ensemble , équivalent au fuseau dont l'angle est 
A, et qui a pour mesure aA' : ainsi on aura ADE + 
AGH = aA; par une raison semblable BGF + BID 
= 2B , CIH -I- CFE = aC. Mais la somme de ces six 
triangles excède la demi-sphere de deux fois le tri- 
angle ABC, d'ailleurs la demi-sphere est représentée 
par 4; donc le double du triangle ABC est égal à aA 
+ aB+aC — 4) «t par conséquent ABC =^ A + B 
+ C — a; donc tout triangle sphérlquu a pour mesure 
la somme de ses angles moins deu\ angles droits. 

Corollaire I, Autant il y aura d'angles droits dans 
cette mesure, autant le triangle proposé contiendra 
de triangles tri-rectangles ou de huilienieâ de sphère 
qui sont l'unité de surface*. Par exemple, si les angles 
sont égaux chdcun aux j d'un angle droit, alors les 
trois angles vaudront 4 angles droits, et le triangle 
proposé sera représenté par 4 — '2 ou a ; donc il sera 
égal à deux triangles tri-rectangles ou au quart de la 
surface de la sphère. 

Corollaire II. Le triangle sphérique ABC est équi- 
valent au fuseau dont l'angle est — i ; de 

même la pyramide sphérique , dont la base est 
ABC, équivaut à l'onglet sphérique dont l'angle est 



Scholie. En même temps qu'on compare le triangle 
sphérique ABC au triangle tri -rectangle, la pyra- 
mide sphérique qui a pour base ABC se compare avec 
ta pyramide tri-rectangle , et il en résulte la même 
proportion. L'angle solide au sommet de la pyramide 
se compare de même avec l'angle solide au sommet 
de la pyramide tri -rectangle : en effet la comparai- 



^5\ 



LITaB YII. 227 

êon s établit par la coïncidence des parties. Or, si 
les basesdes pyramides coïncident, il est évident que 
les pyramides elles-mêmes coïncideront, ainsi qne 
les angles solides à leur sommet. De là résultent plu^ 
sieurs conséquences. 

i^ Deux pyramides triangulaires sphériques sont 
entre elles comme leurs bases ; et , puisqu'une pyra- 
mide polygonale peut se partager en plusieurs pyra- 
mides triangulaires , il s'ensuit que deux pyramides 
^j^phériques quelconques sont entre elles comme les 
polygones qui leur servent de bases. 

a^ Les angles solides au sommet des mêmes pyra- 
mides «ont également* dans la proportion des bases ; 
donc 9 pour comparer deux angles solides quelcon- 
ques , il faut placer leurs sommets au centre de deux 
sphères égales, et ces angles solides seront entre eux 
comme les polygones sphériques interceptés entre 
leurs plans ou faces. 

. L'angle au sommet de la pyramide tri-rectangle est 
formé par trois plans perpendiculaires entre eux : cet 
angle^ qu'on peut appeler angle solide droite est très- 
propre à servir d'unité de mesure aux autres angles 
solides. Gela posé, le même nombre qui donne Taire 
d'un polygone sphérique donnera la mesure de l'angle 
solide correspondant. Par exemple, si Faire du poly- 
gone sphérique est | , c'est-à-dire , s'il est les | du 
triangle tri -rectangle, l'angle solide correspondant 
0era aussi les | de l'angle solide droit. 

PROPOSITION XXIV. 



THEOREME. 



Xa surface d^un polygone sphérique a pour 
mesure la somme de ses angles, moins le pro* 

i5. 



aaS CBOMÉTHIE. 

duit de deux angles droits par le noTnbre des 
lu pofygone moins deux. 
I. I même sommet A soient menées à tous les 

'S sommets les diagonales AC , AD ; le polygone 
ABCDE sera partagé en autant de triangles moins 
deux (ju'il a de côtés. Mais la surface de cliaque tri- 
angle a pour mesure la somme de ses angles moins 
deux angles droits , et il est clair que la somme de tous 
les angles des triangles est égale à la somme des angles 
du polygone : donc la surface du polygone est égale à 
la somme de ses angles diminuée d'autant de fols deux 
angles droits qu'il a de côtés moins deux. 

Schoiie. Soit s la somme des angles d'un polygone 
sphérique , n le nombre de ses côtés; l'angle droit 
étant supposé l'unité , la suri'ace du polygone aura 
pour mesure s — a («• — a) ou s — aw + 4- 

PROPOSITION XXV. 

THÉORÂHE. 

Soit S le nombre des angles solides dun polyèdre , H le 
nombre de ses faces , A. le nonibre de ses arêtes ; Je dis qu'on 
aura toujours S + H^A-f-a. 

Prenez au'dedans du polyôdre un point d'où vous men«~ 
Tel, des lignes droites aux sommets de tous ses angles ; ima- 
ginez ensuite que du mL>me point comme centre on décrive 
une surface spliérique qui soit rencontrée par toutes ces 
lignes en autant de points ; joignez ces points par des arcs ' 
de grands cercles , de manière à former sur la surface de la 
spliere des polygones correspondants et en même nombre 
avec les faces du polyèdre. Soit ABCDE un de ces polygones 
et soit n le nombre de ses côtés ; sa surface sera s — an_f-^^ 
s étant la somme des angles A , B , C , D , E. Si on évalue 
serablablement la surface de cliacun des autres polygones 
spbériques , et qu'on les ajoute toutes ensemble , on en con- 
clura que leur somme, ou la surface de la sphère représentée 
par 8 , est égale à la somme de tous les angles des polygones. 



LIVRE TII. %2g 

moins deux fois le nombre de leurs c6tës , plus 4 pris autant 
de fois qu'il y a de faces. Or, comme tous les angleç qui 
s'ajustent autour d'un même point. A yalent. quatre angles 
droits , la somme de tous les angles des polygones est égale 
a 4 pris autant de fois qu'il y a d'angles solides ; elle est 
donc égale à 4S. Ensuite le double du nombre des c6tés AB , 
BC , CD , etc. est égal au quadruple du nombre des arêtes 
ou= 4A, puisque la même arête sert de côté à deux faces : 
donc on aura 8 = 4S — 4A + 4H; ou, en prenant le quart 
de chaque membre, a = S — A-j-H; donc S-|-H=A-|-2. 

Corollaire. Il suit de là que la somme des angles plans 
ijui forment les angles solides dun polyèdre est égale à au- 
tant défais quatre angles droits qu *ily a d^ unités dans S — a , 
S étant le nombre des an^es solides du polyèdre. 

Car, si on considère une face dont le nombre de côtés 
est II , la somme des angles de cette face sera 2/1—4 angles 
droits*. Mais la somme de tous les a/i , ou le double du nom- * 25, x. 
bre des côtés de toutes les faces ,=4A , et 4 pri» autant de 
fois qu'il y a de faces = 4H ; donc la somme des angles de 
toutes les faces 1= 4 A — ;4H. Or, par le théorème qu'on vient 
de démontrer , onaA — H=:S — 2, et par conséquent 4 A 
■~ 4H = 4 ( S — 2). Donc la somme des angles plans , etc. 

PROPOSITION XXVI. 

THEOREME. 

De tous les triangles sphériques formés avec deux côtés ^g* 27» 
donnés CB , CA , et un troisième à volonté , le plus grand 
ABC est celui dans lequel Vangle C , compris par les côtés 
donnés y est égal à la somme des deux autres angles A et B. 

Prolongez les deux tôtés AC , AB , jusqu'à leur rencontre 
en D , vous aurez un triangle sphérique BCD , dans lequel 
l'angle DBC sera aussi égal à la somme des deux autres 
angles BDC , BCD : car BCD + BCA éUnt égale à deux 
angles droits , ainsi que CBA-4-CBD , on a BCD + BCA = 
CB A -h CBD ; ajoutant de part et d'autre *BDC = BAC , on 
aura BCD + BCA + BDC = CB A 4- CBD + BAC. Or , par 
hypothèse, BCA=CBA-*-BAC; donc CBD = BCD -+- BDC 



nZo GÉOHKTIIIE. 

Menez BI qui fasse l'angle CBI = BCD, et par anite IBD 
= BDC ; les deux triangle» IBC , IBD , seront isoscéles , ei on 
auralC — IB=ID. Dodc le point I, milieu de BC , «l à 
égale dislance des trois points B , C , D : par une raison sem- 
hlable le point O , milieu de AB , sera également distant 
des trois points A , B , C. 

Soit maintenant CA' = CA cl l'angle BC A' > EGA ; si l'on 
joint A'B , et qu'on prolonge les arcs A'C , A'B , jusqu'à 
leur rencontre en D', l'arc D'CA' sera une demi-circonférence 
ainsi que DCA ; donc puisqu'on a CA':=CA , on aura aussi 
CD'= CD. Mais dans le triangle CID', on a CI -(-ID' >CU'; 
donc ID' > CD — CI , ou ID' > ID. 

Dans le triangle isoscele CIB divbons l'angle dn sommet I 
en deux (-gaiement par l'arc EIF qui sera perpeDdiculaire 
sur le milieu de BC. Si on prend un point L entre I et E, la 
distance BL , égale à LC , sera moindre que Bl ; car on peut 
di5montrer, comme dans la prop. ii , liv. i , qu'on a BL-|- 
I.C<BI-|-IC; donc enprenantlesmoiiiés départ et d'autre, 
on aura BL < BI. Mais dans le triangle D'LC on a D'L > CC 
— CL, et à plus forte raison D'L >pC — CI,ouD'L>DI, 
ouD'L>BI; doncD'L>EL. Donc si on cherche sur Taw 
EIF un point également distant des trois points B , C , D', 
ce point ne saurait se trouver que sur le prolongement de 
El vers F. Soit l' le point cherclié , en sorte qu'on ait D' I' 
^Bl'= Cr ; les triangles l'CB , l'CD', l'BD', étant isoscéles, 
on aura les angles égaui l'BC = l'CB , rBD'=I'D'B , l'CD" 
:=rD'C. Mais les angles D'BC+CBA' valent deux ang;lei 
droits , ainsi que D'CB + BCA' ; donc 

D'BI'+ IBC -1- CBA'= a , 
BCr— rCD' + BCA'= 2. 
Ajoutant les deux, sommes et observant qu'on a l'BC^BCI' 
eiD'Bl'— I'CD'=BD'r— rD'C = CD'Bi=CA'B, on aura 

2l'BCH-CA'B + CBA'-t-BCA'=:z4. 
Donc CA'B + CBA'+BCA'— 2 (mesurcde l'aire du trian- 
gle A'BC ) 3= a — al'BC ; de sorte qu'on a aire A'BC =: a — 
2 angle l'fiC ; semblablement dans le triangle ABC , on au- 
rait aiiv ABC =za. — a an^e IBC. Or , on a démontré que 
l'angle l'BC est plus grand que IBC ; donc l'aire A'BC e»t 
plus petite que ABC> 



IiIVRE TXI. 2l3l 

La même démonstration et la même conclusion auraient ^* ^7^* 
lieu , si , en prenant toujours l'arc CA'=CA , on faisait 
l'angle BCA'<BGA ; donc ABC est le triangle le plus grand 
entre tous ceux qui ont deux côtés donnés et le troisième à 
Tolonté. 

Scholie I. Le triangle ABC , le plus grand entre tous ceux fig. ait* 
qui ont deux côtés donnés CA , CB , peut être inscrit dans 
un demi-cercle dont la corde du troisième côté AB sera le 
diamètre ; car O étant le milieu de AB , on a tu que les dis- 
tances OC , OB , sont égales ; donc la circonférence de petit 
cercle décrite du point O comme pôle et de l'interyalle OB 
passera par les trois points A » B 9 C. De plus la ligne droite 
BA est un diamètre de ce petit cercle ; car le centre qui doit 
se trouver à la fois dans le plan du petit cercle et dans le 
plan de l'arc de grand cercle * BOA , se trouvera nécessai- «_ , 
rement dans l'intersection de ces deux plans qui est la droite cor. 4. 
BA, et ainsi BA sera un diamètre. 

II. Dans le triangle ABC , l'angle C étant égal à Ja somme 
des deux autres A et B , il s'ensuit que la somme des trois 
angles est double de l'angle C. Mais cette somme est tou- 
jours plus grande que deux angles droits'^ ; donc l'angle C * i§. 
est plus grand qu'un droit. 

m. Si l'on prolonge les côtés CB , CA y jusqu'à leur ren«- 
contre en £ , le triangle BA£ sera égal au quart de la surface 
de la sphère. Car l'angle £=C=ABC-4-CAB ; donc les 
trob angles du triangle BAE équivalent aux quatre ABC , 
ABE , CAB , BAE dont la somme est égale à quatre angles 
droits ; donc la surface du triangle B AE^ = 4 — olzzzql y *24- 
qui estie quart de la surface de la sphère. 

rV. Il n'y aurait pas lieu à majcimum si la somme des deux 
côtés donnés CA , CB , était égale ou plus grande que la 
demi-circonférence d'un grand cercle. Car puisque le trian- 
gle ABC doit être inscrit dans un demi-cercle de la sphère, 
la somme des deux côtés CA , CB , sera moindre que la 
demi'<:irconférence BCA"^, et par conséquent moindre que la * 3. 
demi-circonférence d'un grand cercle. 

La raison pourquoi il n'y a pas de maximum , lorsque la 
somme des deux côtés donnés est plus grande que la demi- 
circonférence d'un grand cercle y c'est qu'alors le triangle 



aSa cÉojMKTniE. 

RTigmentc de plus «n plus s mesure que l'angle rompris par 
les côtés donnes est plus grand ; enfin lorsque cot an^le svn 
égal à deux droits, les trois cùtés seront dans un. même 
plan , et formeront «ne circonférence entière ; le triangle 
spliiTÎque deviendra donc égal à la denii-spbere, mail il 
cessera alors d'être triangle. 

PROPOsirioif XXVII. 

THÉORBHE. 

2)e tout tes triantes sphèjiques formés avec un côté tlonTié 
et un périmètre donné, le plus grand est celui dans lequel 
les deu3r côtés non déterminés sont égaux. 

Soit AB le côté donné commun aux deux triangles ACB, 
ADB, et soit AC + CB:= AD + DB; je dis (pic le triangle 
isoacele ACB , dans lequel AC ^= CB , est plus grand que le 
non-isosccle ADB. 

Car ces triangles ayant la partie commune AOB , il suffit 
de faire voir que le triangle BOD est plus petit que AOC. 
L'angle CBA égal à CAB , est jilus grand que OA_B ; ainsi 
le côtt AO csl plus grand que OB' ; prpnFî OI^OB, faite» 
OK — OD , el joigneï Kl ; le triangle OKI sera égal a DOB'. 
Si on nie maintenant que le triangle DOB ou son égal KOI 
soit plus petit que OAC , il faudra qu'il soit égal ou pins 
grand ; dans l'un et l'autre cas , puisque le point I est entre 
les points A el O , il faudra que le point K soit sur OC pro- 
longé , sans quoi !e triangle OKI serait contenu dans le 
triangle CAO , el par conséquent plus petit. Cela posé , le 
plus court chemin de C en A étant CA , on a CK + KH- 
IA> CA. Mais CK = OD— CO, AI=AO — OB , KI=2BD; 
doncOD—CO+AO—OB+BD>CA, et en réduisant AD 
— CB+BD>CA, ou AD + BD>AC-(-CB. Or cette iné- 
galité est contraire à l'hypoiliese AD -H BD ^^ AC + CB , 
donc le point K ne peut tomber sur le prolongement de OC; 
donc il tombe entre O et C, et par conséquent le triangle 
KOI , ou son égal ODB , est plus petit que ACO ; donc le 
triangle isoscele ACE est plus grand que le nou-isoscele ADB 
de même base el de mcme périmètre. 

Scholie. Ces deux dernières -propositions sont analogues 



• iiTRB tir* 233 

aux propositions i et ni de Tappendice au liv. iv ; ainsi on 
]>eat en tirer , par rapport aux polygones sphériques , les 
conséquences qui ont lieu pour les polygones rectilignes. 

Voici les principales : 

1** De tous les polygones sphériques isopérimeires et d'un 
même nombre de côtés , le plus grand est un polygone équi- 
latéral. 

Même démonstration que pour la prop. II de l'appendice 
au livre IV. 

2? De tous les polygones sphériques formés avec des côtés 
donnés et un dernier à volonté , le plus grand est celui qu'on 
peut inscrire dans un demi-cercle dont la corde du côté non 
déterminé sera le diamètre, 

La démonstration se déduit de la prop. XXVI , comme 
on Ta vu dans la prop. IV de l'appendice cité; il faut pour 
Texistence du maximum , que la somme des côtés donnés 
soit moindre que la demi-circonférence d'un grand cercle. 

3** Le plus grand des polygones sphériques formés avec 
des côtés donnés y est celui qu'on peut inscrire dans un cercle 
de la sphère. 

Même démonstration que pour la prop. VI de l'apjpendice 
au liyre IV. 

i!^ Le plus grand des polygones sphériques qui ont le 
même périmètre et le même nombre de côtés , est celui qui 
a ses angles égaux et ses côtés égaux. 

C'est ce gui résulte des corollaires i et 3 qui précèdent. 

Nqta, Toutes les propositions de maximum concernant 
les polygones sphériques s'appliquent aux angles solides 
dont ces polygones sont la mesure. 



a34 



:ndiçe aux livres vi et vn. 

LES POLYÈDRES REGULIERS. 
PROPOSITION PREMIERE. 



Il ne peut y avoir que cinq polyèdres réguliers. 

Car on a défini polyèdres réguliers ceux dont lOuLes If! 
iaces lont des polygones réguliers égaux , et dODt tous \e% 
angles solides sont égaux entre eux. Ces conditions ne peu- 
vent avoir lieu que dans un petit nombre de cas. 

1° Si les faces sont des triangles équilatéraux , on peut 
former cliaque angle solide du polyèdre avec trois angles 
de ces triangles , ou avec quatre , ou avec cinq : de là naissent 
trois corps réguliers, qui sont le tétraèdre, l'octaèdre, el 
ricosaèdre. On n'en peut pas former un plus grand nombre 
avec des triangles équilatéraui , car six angles de ces tri- 
angles valent quatre angles droits, et ne peuvent formel 
d'angle solide'. 

2° Si les faces sont des quarrés , on peut assembler leurs 
angles trois à trois ; et de là résulte l'hexaèdre ou cube. 

Quatre angles de quarrés valent quatre angles droit» , et 
ne peuvent former d'angle solide. 

3° Enfin , si les faces sont des pentagones réguliers , on 
pourra encore assembler leurs angles trois à trois , et il en 
résultera le dodécaèdre régulier. 

On ne peut aller plus loin ; car trois angles d'hexagones 
réguliers valent quatre angles droits , et trois d'heptagones 
.■coreplu.. 

Donc il ne peut y avoir que cinq polyèdres réguliers, 
trois formés avec des triangles équilatéraux , un avec des 
quarrés , et un avec des pentagones. 

Scholie. On va prouver dans la proposition suivante que 



LIT&B VII, 235 

5«8 cinq polyèdres existent réellement , et qn*on peut en 
iéterminer toutes les dimensions lorsqu'on connaît une de 
leart lacet. 

PROPOSITION IL 

Etant donnée Vune des faces d^ un polyèdre régulier ^ ou 
seulement son côté y construire le polyèdre. 

Ce problème en présente cinq qui vont être résolus suc- 
cessivement. 

Construction du tétraèdre. 

Soit ABC le triangle équilatéral qui doit être une des faces Cg- a43. 
du tétraèdre ; au point O , centre de ce triangle , élevez OS 
perpendiculaire au plan ABC ; terminez cette perpendiculaire 
au point S , de sorte que AS= AB ; joignez SB , SC , et la 
pyramide S ABC sera le tétraèdre requis. 

Car, à cause des distances égales OA , OB , OC , les obli- 
ques SA , SB 9 se , s'écartent également de la perpendicu- 
laire SO et sont égales. L'une d'elles SA = AB ; donc les 
quatre faces de la pyramide SABC sont des triangles égaux 
au triftngle donné ABC. D'ailleurs les angles solides de cette 
pyramide sont égaux entre eux , puisqu'ils soiit formés cha- 
cun ayec trois angles plans égaux ; donc cette pyramide est 
un tétraèdre régulier. 

Construction de Vhexaèdre. 

Soit ABCD un quarré donné : sur la base ABCD construi- fig. a44- 
sez un prisme droit dont la hauteur A£ soit égale au côté 
AB. Il est clair que les faces de ce prisme sont des quarrés 
égaux , et que ses angles solides sont égaux entre eux comme 
étant formés chacun avec trois angles droits ; donc ce prisme 
est un hexaèdre régulier ou cube. 

Construction de Voctaèdre, 

Soit AMB un triangle équilatéral donné : sur ]e c6té AB fig, 245^. 
décrivez le quarré ABCD ; au point O , centre de ce quarré ^ 
élevez sur son plan la perpendiculaire TS , terminée de part 
et d'autre en T et S , de manière que OT = OS = AO j 



GEOMETBIE. ] 

,i ititnite SA , SB , TA , eic. , vous suret vn toMif 

', composé <Ie <.leuT pyramide» quadrangutBÏin 
, TABCD, adossées par leur base commune ABCD; 
ce suaue sera l'ociaèdre régulier demandé. 

En effet le triangle AOS est rectangle en O, ainsi qne le 
triangle AOD ; les côtés AO , OS , OD , sont égaux ; donc 
ces triangles sont égaux, donc AS=:AD. On démontrer» 
de même que tous les autres triangles rectangles AOT, BOS, 
COT, etc. , son! ^aux au triangle AOD; donc tons les 
calés AB, AS, AT, etc. sont égaux entre etix , et par con- 
séquent le solide SABCDT est compris sous huit triangles 
égaux au triangle équilaléral donné ABIVl. Je dis de plus que 
les angles solides du polyèdre sont égaux entre eux: par 
exemple , l'angle S est égal à angle B. 

Car il est visible que le Iriai.^le SAC est égal au triangle 
DAC , et qu'ainsi l'angle ASC est droit ; donc la figure 
SATC est un quarré égal au quarré ABCD. Mais si on com ■ 
parc la pyramide BASCT à la pyramide SABCD , la base 
ASCT de la première peut se placer sur la base ABCD de la 
seconde ; alors le point O étant un centre commun , ta hau- 
teur OB de la première coïncidera arec la hauteur OS de la 
seconde, el Icsilcu^ pyramides se confondront en une seule; 
donc l'angle solide S est égal à l'angle solide B ; donc le so- 
lide SABCDT est un octaèdre régulier. 

Scholie. Si trois droites égales , AC , BD , ST, sont per- 
pendiculaires entre elles et se coupent dans leur milieu , les 
extrémités de ces droites seront les sommets d'un octaèdre 
régulier. 

Cortstfuctiort du dodécaèdre. 

Soit ABCDE un pentagone régulier donné; soient ABP, 
CBP , deux angles plans égaux à l'angle ABC : avec ces angles 
plans formez l'angle solide B , et déterminez par la propo- 
sition XXIV, livre v, t'inclinais on. mu tu elle de deux de ces 
plans, inclinaison que j'appelle K. Formez semblablement 
aux points C, D, E, A, des angles solides égaux à l'angle 
solide B , et situés de la même manière : le plan CBP sera le 
même avec le plan BCG , puisqu'ils sont inclinés l'un et 
l'autre de la même quantité K sur le plan ABCD. On peut 
donc dans le plan PBCG décrire le pentagone BCGFP égal 



tITRS VII. 237 

au pébtagbne ÀBGDE. Si on fait de même dans chacun des 
autres plan» ÇDI , DEL , etc. , on aura une surface convexe 
PfGH , etc. composée de six pentagones réguliers égaux et 
inclines cbacun sur son adjacent de la même quantité K. 
Soitp/gh y etc. une seconde surface égale à PFGH , etc. , je 
dis que ces deux surfiaces peuvent être réunies de manière à 
ne former qu'une seule surface convexe continue. En effet 
l'angle opf, par exemple , peut se joindre aux deux angles 
OPB , BPF , pour faire un angle solide P égal à l'angle B ; et 
dans cette jonction il ne sera rien changé à l'inclinaison des 
plans BPF , BPO , puisque cette inclinaison est telle qu'il le 
faut pour la formation de l'angle solide. Mais en même temps 
que l'angle solide P se forme , le côté/j/'s'appliquera sur son 
ëgal PF , et au point F se trouveront réunis trois angles 
plans PFG,/?/î?, efgy qui formeront un angle solide égal à 
chacun des angles déjà formés ; cette jonction se fera sans 
rien changer ni à l'état de l'angle P , ni à celui de la surface 
ef^ , etc. ; car les plans PFG , efp , déjà réunis en P , ont 
entre eux l'inclinaison convenable K, ainsi que les plans 
efgy efp. Continuant ainsi dej^roche en proche, on voit 
que les deux surfaces s'ajusteront mutuellement l'une avec 
l'autre, pour ne former qu'une seule surface continue et ren- 
trante sur elle-même : cette surface sera celle d'un dodé- 
caèdre régulier, puisqu'elle est composée de douze penta- 
gones réguliers égaux , et que tous ses angles solides sont 
égaux entre eux. 

Construction de Vicosaèdre, 

. Soit ABC une de ses faces ; il faut d'abord former un fig. 24^. 
angle solide avec cinq plans égaux au plan ABC et égale- 
ment, inclinés chacun sur son adjacent. Pour cela , sur le 
côté B'C, égal à BC, faites le pentagone régulier B'C'H'I'iy; 
au centre de ce pentagone élevez sur son plan une perpendi- 
culaire , que vous terminerez en A' de manière que B' A'==: 
B'C; joignez A'C, A'H', AT, A'D', et l'angle solide A', 
, formé par les cinq plans B'A'C , C'A'H' , etc. , sera l'angle 
solide requis. Car les obliques A'B' , A'Ç' , etc. sont égales, 
l'une d'elles A'B' est égale au côté B'C, donc' tous les 
triangles B'A'C, C'A'H' , etc. sont égaux entre eux et au 
triangle donné ABC. 



t visible d'aîDeur» que les plan» F'A'C, C'ATï 

;alem«nt inclinés tliacun sur son adjacent; car les 

solides B', C, etc. lont c^aux entre eux , puisqu'ils 

emé» cliacun avec deux angles de triangles équilaté- 

.•»> et uu de pentagone replier. Appelons K l'inclinaisoD 

det deux plans où sont les angles égaux , inclinaison qu'on 

peut déterminer par la proposition ixiv, ii-v. v; l'angle K 

•era en même temps l'inclinaison de chacun des plan> qui 

composent l'angle solide A' sur son adjacent. 

Cela posé, si on fait aux points A, B,C, des angles solides 
égaux chacun à l'angle A' , on aura une surface couyeie 
1>EFG , etc. composée de dix triangles éqailaléraux , dont 
chacun sera incliné sur son adjacent de ta quantité K; et tes 
angles D, E, F, etc. de son contour réuniront alternative- 
ment trois et deux angles de triangles équilaléraux. Imagi- 
nez une seconde surface égale à la surface DËFG , etc. ; cet 
deux surfacespourront s'adapter mutuellement, enjoignant 
chaque angle triple de l'une à un angle douhle de l'autre ; 
et, comme les plans de ces angles ont déjà entre eux l'incli- 
naison K nécessaire pour former Un angle solide quintuple 
égal à l'angle A, il ne sera rien changé dans cette jonction à 
l'élat de chaque surface en particulier, cl les deux ensemble 
formeront une seule surface continue , composée de vingt 
triangles cquilatéraux. Cette surface sera celle de V'icosaèdre 
régulier , puisque d'ailleurs tous les angles solides sont 
égaux entre eux. 

PROPOiSITION III. 

PROBI.ÈHE. 

Trouver l'inclinaison de dewr faces adjacentes d'un po- 
lyèdre régulier. 

Cette inclinaison se déduit immédiatement delà construc- 
tion qui vient d'être donnce des cinq polyèdres réguliers ; a 
quoi il faut ajouter la proposition xxiv , liv. v, par laquelle 
étant donnés les trois angles plans qui forment un angle 
solide , on détermine l'angle que deux de ces plans font 

Dunf le tétraèdre. Chaque angle solide est formé de trois 



LiYRB Vit. aSg 

angles ie triangles éqnilatéraux : il faut donc chercher par 
le problème cité l'angle cpie deux de ces plans font entre 
eiix , cet angle sera l'inclinaison de deux faces adjacentes 
du tétraèdre. 

Dans Vhexaèdre. L'angle de deux faces adjacentes est un fig. a44- 
angle droit. 

Datts Voctaèdre. Formez un angle solide avec deux an> fig. 245. 
gles de triangles éqnilatéraux et un angle droit , l'inclinai- 
son des deux plans bù sont les angles des triangles sera 
celle de deux faces adjacentes de l'octaèdre. 

Dans le dodécaèdre. Chaque angle solide est formé avec gg. 246. 
trois angles de pentagones réguliers ; ainsi l'inclinaison des 
|)lans de deux de ces angles sera celle de deux faces adja- 
centes du dodécaèdre. 

Dans ricosaédre. Formez un angle solide avec deux an- fig. 247. 
glés de triangles éqnilatéraux et un angle de pentagone ré- 
gulier , l'inclinaison des deux plans où sont les angles des 
triangles sera celle de deux faces adjacentes de ricosaèdre. 

PROPOSITION IV. 

PROBLEME. 

Etant donné le côté d*un polyèdre régulier y trouver le 
rayon de la sphère inscrite et celui de la sphère circons- 
erite au polyèdre. 

Il faut d'abord démontrer que tout polyèdre régulier peut fig. 148. 
<^tre inscrit dans la sphère , et qu'il peut lui être circonscrit. 

Soit AB le côté commun à deux faces adjacentes , soient 
C et £ les centres de ces deux faces , et CD , £D , les perpendi- 
culaires abaissées de ces centres sur le côté commun AB , 
lesquelles tomberont au point D, milieu de ce côté. Les deux 
perpendiculaires CD , DE , font entre elles un angle connu , 
qui est égal à l'inclinaison de deux faces adjacentes y déter- 
minée par le problème précédent. Or si, dans le plan CDE, 
perpendiculaire à AB , on mené sur CD et £D les perpendi- 
culaires indéfinies CO et £0 , qui se rencontrent en O , je 
dis que le point O sera le centre de la sphère inscrite et 
celui de la sphère circonscrite ; le rayon de la première 
étant OC , et celui de la seconde OA. 



Tel, puisque les apothî-mes CD, DE, sont ëgalei, ef 
(mise DO conuuune , le liiangle reclanfile CDO est 

i8, 1. triangle rectangle ODE * et la perpendiculaire OC 

e à la perpendiculaire OE, Mai* AB étant peqietidi- 
au pian CDE , le plan ABC est perpendiculaire k 

I,, s. , ou CDE a ABC ; d'ailleurs CO , dans le plan CDE, 

est perpendiculaire à CD , intersection commune des plans 

i3,S; CDE, ABC; donc CO * est perijendîculaire au plan ABC. 
Par la même raison EO est (lerpendiculaire au plan ABE ; 
donc les deux perpendiculaires CO , £0 , menées aux plans 
de deux faces adjacentes par les centres de ces faces, se 
rencontrent en un même point O el sont légales. Supposons 
maintenant que ABC et ABE représentent deux autres faces 
adjacentes quelconques , l'apothème CD restera toujours de 
la tnflme g l'angle CDO , moitié de CDE ; 

donc le tri ) et son côté CO seront igaui 

pour toc' édrc ; donc, si du point O 

comme i •■ ^. , on décrit une sphère , cette 

sphère t< ra .„ L^ faces du polyèdre dans leurs 

centres [car les pla ABE , seront perpendiculaires 

à l'extrémité d'un r<.j j,'^^ Is sphère sera inscrilc dans le 

polyèdre , ou le polyèdre circonscrit à la splicrc. 

Joignez OA, OB; à causedeCA^CB, les deux obliques 
OA, OB, s 'écartant également de la perpendiculaire, seront 
égales ; il en sera de même de deux autres lignes quelcon- 
ques menées du centre O aux extrémités d'un même tùté ; 
donc toutes ces lignes sont égales entre elles ; donc si du 
point O comme centre et du rayon OA on décrit une sur- 
face spliérique , cette surface passera par les sommets de 
tous les angles solides du polyèdre, et la sphère sera cir- 
' conscrite au polyèdre ou le polyèdre inscrit dans la sphère. 
Cela posé , la solution du problème proposé n'a plus au- 
cune difficulté, et peut s'effectuer ainsi ; 

. 249. Étant donné le côté d'une face du polyèdre , décrirez 
cette face, et soit CD son ai>othéme. Cherchez par le pro- 
blème précédent l'inclinaison de dcu\ faces adjacentes du 
polyèdre , el faites l'angle CDE égal à cette inclinaison. 
prenez DE égale à CD , menez CO et EO perpendicnlaires 
à CD et ED; ces deux perpendiculaires se rencontreront 



*» «n point o, et CO '"'**''"• 

*" fc polyèdre. "'^ '« «Jon de ,, , , Ht 

^ «" 'e prolongea, , . ^ '" '»*«'''« 

,^v *' qo* CD et ^4 ""» dan, /» « ^' ^^9, 

«cnû et circonscrit à J . *""' '« «yon/j ^""^ =»4« ; 
«» «yon, des spUreT' *'* ^^ Polyèdre or' '''''='''' «" 

.**'«'. On peut tir . '"'^ «" «^mepo. 

» ToutpoJyèdrew .- ^^''^^««M pla, 

Py^-ides téiruZ ^'"* P««t être n» 

^ -^ soIidiM A* sphères in^n,^:. ^^J^^re, Qui 

3" Deu, polyèdres JL ['-^"^ '^'•^« «pherfil * ** ^'"•^«ce 

PO'rionnelies; donc f"'* *'"^"^'<"'^ homoT '""' ^«« so- 
«-r^'« »o„t eX :r:rons des spCs 'T" """'P^o. 
, 4° « on inscr7n„ ',"°""=« '« oôtés dr^'""* «" eir- 
^ P'«-» menés du iTr'^^''' ^'^^«er d^^^' ^"'^^'''•«- 






LIVRE VIII. 

LES TROIS CORPS RONDS. 



1. (J X appelle cylindre Ifi solide produit par la révo- 
lution d'un rectangle ABCD, qu'on imagine tourner 
autour du côté immobile AB. 

Dans ce mouvement les côtés AD, BC, restant 
toujours perpendiculaires à AB, décrivent des plans 
circulaires égaux DHP, CGQ, qu'on appelle les 
hases du cylindre, et le côté CD en décrit iu surface 
convexe. 

La ligne immobile AB s'appelle Vaxe du cylindre. 

Toute section KLM , faite dans le cylindre perpen- 
diculairement à l'axe, est un cercle égal à cliacunc 
des bases : car pendant que le rectangle ABCD 
tourne autour de AB, la ligne IK, perpendiculaire à 
AB, décrit un p]an circulaire égal à la base, et ce 
plan n'est autre chose que la section faîte perpendi- 
culairement à l'axe au point I. 

Toute section PQGH, faite suivant l'axe, est un 
rectangle double du rectangle générateur ABCD. 

IL On appelle cône le solide produit par la révo- 
lution du triangle rectangle SAB , qu'on imagine tour- 
ner autour du côté immobile SA. 

Dans ce mouvement le côté AB décrit un plan cir- 
culaire BDCE, qu'on appelle la base du cône, et l'hy- 
poténuse SB en décrit la surface convexe. 

Le point S s'appelle le sommet du cône, SA l'axt 
ou la hauteur, et SB le coté ou Vapothcme. 

Toute section HKFI, faite perpendiculairement à 
l'axe, est un cercle j tout« section SDË, faite sui- 



^î\ 



LIVRE VIII. 243 

vant Taxe , est un triangle isoscele double du triangle 
générateur SAB. 

m. Si du cône SCDB on retranche , par une sec- 
tion parallèle Ma base, le cône SFKH, le solide res- 
tant CBHF s'appelle cône tronqué ou tronc de cône. 

On peut supposer qu'il est décrit par la révolution 
du trapèze ABHG, dont les angles A et G sont droits, 
autour du côté AG. La ligne immobile AG s appelle 
rojceoxx la hauteur du tronc ^ les cercles BDC,HFK, 
en sont les bases y et BH en est le côté, 

IV. Deux cylindres ou deux cônes sont semblables 
lorsque leurs axes sont entre eux comme les diamètres 
de leurs bases. 

y. Si, dans le cercle ACD qui sert de base à un Eg.a-îa 
cylindre, on inscrit un polygone ABGDE, et que sur 
la base ABCDE on élève un prisme droit égal en 
hauteur au cylindre, le prisme est dit inscrit dans le 
cjrlindrey ou le cylindre circonscrit au. prisme. 

Il est clair que les arêtes AF , BG , CH , etc. du 
prisme, étant perpendiculaires au plan de la base, 
sont comprises dans la surface convexe du cylindre; 
donc le prisme et le cylindre se touchent suivant ces 
arêtes. 

VI. Pareillement , si ABCD est un polygone circons- f,g 
crit à la base d'un cylindre , et que sur la base ABCD 
on construise un prisme droit égal en hauteur au cy- 
lindre, le prisme est dit circonscrit au cylindre, ou le 
cylindre inscrit dans le prisme. 

Soient M, N, etc. les points de contact des côiés 
AB, BG, etc. et soient élevées par les points M, N, 
etc. les perpendiculaires MX, NY, etc. au plan de la 
base; il est clair que ces perpendiculaires seront à-la- 
fois dans la surface du cylindre et dans celle du prisme 
circonscrit ; donc elles seront leurs lignes de contact. 

N, B.Le cylindre , le cône, et la sphère, sont les trois corps ronds 
dont on s'occupe dans les éléments. 

16. 






Lt'iiimes préliminaires sur les su/faces. 
I. 
«g. aji. Vite surface plane OABCD est plus petîfe que 
toute autre surface PABCD , terminée au même 
contour ABCD. 

Cette proposition est assez évidente pour être ran- 
g<!e au nombre des asiùmes; car on pounuit suppo- 
ser que le pian est parmi les surfaces ce (jue lu ligne 
droite est parmi les lignes : la ligne droite est la plus 
courte entre deux points donnés, de nicmc le plan 
est la surface la plus petite cotre toutes celles qui ont 
un même contour. Cependant comme il convient de 
réduire les axiûmes au plus petit nombre possible, 
Toici un raisonnement qui ne laissera aucun doute 
sur cette proposition. 

Une surface étant une étendue en longueur et en 
largeur, on ne peut concevoir qu'une surface soit 
plus grande qu'une autre, à moins que les dinifiisions 
<Ie la première n'excèdent dans quelques sens celles 
de la seconde; et s'il arrive que les dimensions d'une 
surface soient en tous sens plus petites que les dimen- 
sions d'une autre surface, il est évident que la pre- 
mière surface sera la plus petite des deux. Or, dans 
quelque sens qu'on fasse passer le plan BPD , qui cou- 
pera la surface plane suivant BD, et l'autre surface 
suivant BPD; la ligne droite BD sera toujours plus 
petite que BPD; donc la surface plane OABCD est 
plus petite que la surlace environnante PABCD. 
II. 
fig, aSS. Toute surface convexe OABCD est moindre 
qu'une autre surface quelconque qui enveloppe- 
rait la première en s'appujant sur le même con- 
tour ABCD. 



XiIVIlE VI £1. 245 

Nous répéterons ici que nous entendons par sur-' 
/ace convexe une surface qui ne peut être rencontrée 
par une ligne droite en plus de deux points ; et ce»- 
pendant il est possible qu'une ligne droite j^applique 
exactement dans un certain sens sur une surface 
convexe; on en voit des e:semples dan3 les surfaces 
du cône et du cylindre. Nous observerons aussi que 
la dénomination de surface convexe n'est pas bornée 
aux seules surfaces courbes ; elle comprend les sur- 
faoes pofyédrales ou composées de plusieurs plans , 
et aussi les surfaces en partie courbes , en partie pof 
Jyëdrales. 

Cela posé , si la surface OABCD n'est pas plus 
petite que toutes celles qui Tenveloppent , soit parmi 
celles-ci PABCD la surface la plus petite qui sera au 
plus égale à OABCD. Par un point quelconque O , 
faites passer un plan qui touche la surface OABCD 
sans la couper; ce plan rencontrera la surface PABCD, 
et la partie qu il en retranchera sera plus grande que 
Je plan terminé à la même surface* : donc, en cpn- "lem.i. 
servant le reste de la surface PABCD, on poiu-rait 
substituer le plan à la partie retranchée , et on aurait 
une nouvelle surface qui envelopperait toujours la sur-» 
face OABCD , et qui serait plus petite que PABCD. 

Mais celle-ci est la plus petite de toutes par hypo-» 
thèse; donc cette hypothèse ne saurait subsister, donc 
la surface convexe OABCD est plus petite que toute 
autre surface qui envelopperait ÔABCD , et qui serait 
terminée au même contour ABCD. 

Scholie. Par un raisonnement entièrement semblablç 
pn prouvera, 

i*' Que, si une surface convexe terminée par deux figaSG. 
contours ABC , DEF , est enveloppée . p?ir une autre 
surface quelconque terminée aux méipes coptours, 
Il surfîioc enveloppée sera la plus petite des deux. 



ai^ G É O M É T K I £. 

a* Que , si une surface convexe AB est enveloppée 
de toutes parts par tine antre surface MN , soit qu'elles 
aient des points, des lignes ou des plans communs, 
soit qu'elles n'aient aucun point de commun , la sur- 
lace enveloppée sera toujours plus petite que la surface 
enveloppante. 

Car parmi celles-ci il ne peut y en avoir aucune 
qui soit la plus petite de toutes , puisque dans tous les 
cas on pourrait toujours mener le plan CD tangent 
à la surface convexe , lequel plan serait plus petit 
• que la surface CMD*; et ainsi la surface CND serait 
plus petite que MN , ce qui est contraire à l'hypothèse 
que M]\ est la plus petite de toutes. Donc la surface 
convexe AB est plus petite que toutes celles qui l'en- 
veloppent, « 

PROPOSITION PHEMIERE. V 



TH£OK£fiI£. 

La solidité d'un cylindre est égale au produit 
de sa base par sa hauteur. 

Soit CA le rayon de la base du cylindre donné, 
H sa hauteur; représentons par surf. CA la surface 
du cercle dont le rayon est CA ; je dis que la 
solidité du cylindre sera surf. CA X H. Car , si 
surf. CA X H n'est pas la mesure du cylindre donné , 
ce produit sera la mesure d'un cylindre plus grand 
ou plus petit. Et d'abord supposons qu'il soit la 
mesure d'un cylindre plus petit, par exemple, du 
cylindre dont CD est le rayon de la base et H la 
hauteur. 

Circonscrivez au cercle doi>t le rayon est CD, un 
polygone régulier GHIP, dont les côtés ne rencon- 
trent pas la circonférence dont CA est le rayon * ; 
imaginez ensuite un prisme droit qui ait pour base le 



LITE s Tiir. a47 

polygone 6HIP, et pour hauteur H, lequel prisme 
sera circonscrit au cylindre dont CD est le rayon de 
la base. Cela posé, la solidité du prisme^ est égale à * ^^' 
5a base GHIP, multipliée par la hauteur H; la base 
GHIP est plus petite que le cercle dont GA est le 
rayon : donc la solidité du prisme est plus petite que 
swrf. CA X H. Mais surf. CA X H est , par hypothèse , 
la solidité du cylindre inscrit dans le prisme; donc 
le prisme serait plus petit que le cylindre: or, au 
contraire^ le cylindre est plus petit que le prisme, 
puisq[u'il y est contenu ; donc il est impossible que 
surf. CAxH soit la mesure du cylindre dont CD 
est le rayon de la base et H la hauteur; ou, en termes 
plus généraux , le produit de la base d^un cylindre 
par sa hauteur ne peut mesurer un cylindre plus 
petit. 

Je dis en second lieu que ce même produit ne peut 
mesurer un cylindre plus grand : car , pour ne pas 
multiplier les figures, soit CD le rayon de la base du 
cylindre donné, et soit, s'il est possible, surf CD X H 
la mesure d'un cylindre plus grand , par exemple , 
du cylindre dont CA est le rayon de la base et H la 
hauteur. 

Si on fait la même construction que dans le premier 
cas, le prisme circonscrit au cylindre donné aura 
pour mesure GHIP x H : Taire GHIP est plus grande 
que surf CD ; donc la solidité du prisme dont il 
s'agit est plus grande que surf, CD X H : le prisme 
serait donc plus grand que le cylindre de même hau- 
teur qui a pour base surf. CA. Or, au contraire, le 
prisme est plus petit que le cylindre , puisqu'il y est 
contenu ; donc il est impossible que la base d^un cy^ 
lindre multipliée par sa hxiuteur soit la mesure d^un. 
cylindre plus grand. 

Donc enfin la solidité d'un cylindre est égale au 
produit de sa base par sa hauteur. 



Slf^ GÉOMÉTRIE. 

- Corollaire I. Les cylindres de même hauteur sont 
entre eui comme leurs liases , et les cylindres de 
TU^nie hase sont entre eux comme leurs hauteurs. 

Caroliaiie II. Les cyUnthta semblahles sont comme 
les cubes des hauteurs, ou comme les cuhes des dia- 
mètres lies bases. Car les bases sont comme les quariés 
de leurs diamètres ; et puisque les cylindres sont 
semblables, les diamètres des bases sont comme les 
hauieuts* : donc les bases sont comme les quarrés 
des hauteurs ; donc les bases multiphées par les hau- 
teurs, ou les cylindres eus-mêmes, sgnt comme les 
cubes des hauteurs. 

Schoiie. Soit R le rayon de la hase d'un cyhndre, 
■ H sa hauteur, la surface de la base sera ttR' *, et la 
solidité du cylindre sera Ttll' X H , ou tïR'H. ,_ 

PROPOSITION II. ^H 



Lasurface convexe d'unprisme droit est égale 
(^u périmètre de sa base multiplié par sa hauteur. 

Car cette surface est égale à la sonnne des rectangles 
AFGB, BGHC, CHID, etc. dont elle est composée: 
or les hauteurs AF, BC , CH, etc. de ces rectangles 
sont éj^ates à la hauteur du prisme; leurs bases AB, 
BC, CD, etc. prises ensemble, font le périmètre de la 
base du prisme. Donc la somme de ces rectangles ou 
la surface convexe du prisme est égale au périmètre de 
sa base multiplié par sa hauteur. 

Corollaire. Si deux prismes droits ont la même 
hauteur, les surfaces convexes de ces prismes seront 
entre elles comme les périmètres de leurs bases. 



"\ 



I^IYRE VIII. ^49 

PROPOSITION III. 

L s M M ];. 

La surface convexe du cylindre est plus grande 
que la surface convexe de tout prisme inscrite et 
plus petite que la surface convexe de tout prisme 
circonscrit. 

Car Ig surface convexe du cylindre el celle du H''^^^^ 
prisme inscrit ABCDEF peuvent être considérées 
comme ayant même longueur, puisque toute section 
faite dans Tune et dans l'autre parallèlement à AF 
est égale à AF ; et si pour avoir les largeurs de ces- 
surfaces on Les . coupe par des plans parallèles à la 
base ou perpendiculaires à l'arête AF, les sections 
seront égales, Tune à la circonférence de la base, 
l'autre au contour du polygone ABCDE plus petit 
que cette circonférence ; donc , puisqu'à longueur 
égale la largeur de la surface cylindrique est plus 
grande que celle de la surface prismatique , il s'en- 
suit que la première surface est plus grande que la 
seconde, 

Pai' un raisonnement entièrement: semblable on fig. 253|, 
prouvera que la surface convexe du cylindre est 
plus petite que celle de tout prisme circonscrit 
BCDKLH. 

« 

PROPOSITION IV. 



A 



THEOREME. 



La surface convexe d'un cylindre est égale à 
la circonférence de sa l)ase multipliée par sa 
hauteur. 

Soit ÇA le rayon de }a base du cylindre donné , ç^„ .^r,y 
H sa hauteur ; si on représente par ctrc. CA la 
circonférence qui a pour rayon CA , je dis que 



r 



*Sd cÉOMÉTiiie. 

eirc. CA X H sera la surface convexe de ce cylindre* 
Car , si on nie celle proposition , il faudra que 
rire. CA X H soit la surface d'un cylindre plus grand 
ou plus petit; et d'abord supposons qu'elle soit la 
surface d'un cylindre plus petit, par exemple, du 
cyllmlie dont CD est le rayou de la base et II la 
hauteur. 

Circonscrivez au cercle dont le rayon est CD un 
polygone régulier GHIP, dont les côtés ne rencon- 
trent pas la circonférence qui a CA pour i-ayon ; ima- 
ginez ensuite un prisme droit qui ait pour hauteur 
H, et pour base le polygone GHIP. La surface con- 
vexe de ce prisme sera égale au contour du polygone 
■ GHIP multiplié par la hauteur H * : oe contour est 
plus petit que la circonférence dont le rayon est 
CA; donc la surface convexe du prisme est plus petite 
que cire. CAxH. Mais cire. CAxH est, par hypo- 
thèse , la surface convexe du cylindre dont CD est le 
rayon de la base , lequel cylindre est inscrit dans le 
prisme ; donc la surface ronvese du prisme serait plus 
petite que celle du cylindre inscrit. Or , au contraire , 
elle doit être plus grande* ; donc l'hypothèse d'oit 
l'on est parti est absurde: donc, i" la circonférence 
de la base d'un cylindre multipliée par sa hauteur 
ne peut mesurer la surface convexe d'un cylindre 
plus petit. 

Je dis en second lieu que ce même produit ne peut 
mesurer la surface d'un cylindre plus grand. Car, 
pour ne pas changer de figure , soit CD le rayon de 
la base du cylindre donné, et soit, s'il est possible, 
cire. CDxH la surface convexe d'un cylindre qui, 
avec la même hauteur , aurait pour base un cercle 
plus grand, par exemple, le cercle dont le rayon est 
CA.. On fera la même construction que dans la pre- 
mière hypothèse, et la surface convexe du prisme 
sera toujours égale au contour du polygone GHH* 



/~V 



LIVRE VIII. a5i 

multiplié par ]a hauteur H. Mais ce contour est plus 
grand que cire. CD ; donc la surface du prisme serait 
plus grande que cire. CDxH , qui, par hypothèse, 
est la surface du cylindre de même hauteur dont CA 
est le rayon de la base. Doiic la surface du prisme 
9eraît plus grande que celle de ce cyUndre. Mais, 
quand même le prisme serait inscrit dans le cylindre , 
sa surface serait plus petite que celle du cylindre^; *3. 
à plus forte raison est -elle plus petite lorsque le 
prisme ne s étend pas jusqu'au cylindre. Donc la se- 
conde hypothèse ne saurait avoir lieu; donc n^ la 
circonférence de la base d^wi cylindre multipliée par 
sa hauteur ne peut mesurer la surface d^un cylindre 
plus grand. 

Donc enfin la surface convexe d'un cylindre est 
égale à la circonférence de sa base multipliée par sa 
hauteur. 

PROPOSITION V. 

THEOREME. 

La solidité d'un cône est égale au produit de 
sa base par le tiers de sa hauteur. 

Soit SO la hauteur du cône donné , AO le rayon %• ^^o- 
de la base; si on désigne par surf. AO la surface de 
la base , je dis que la solidité de ce cône s&ra égale à 
5ii5^AOXjSO. 

En effet, supposons i^ que surf AOx jSO soit la 
solidité d^un cône plus grand, par exemple, du cône 
dont SO est toujours la hauteur ; mais dont OB , plus 
grand que AO \ est le rayon de la base. 

Au cercle dont le rayon est AO circonscrivez un 
polygone régulier MNPT qui ne rencontre pas la 
circonférence dont le rayon est OB * ; imaginez en- * lo, 4. 
suite une pyramide qui ait pour base le polygone 
et pour sommet le point S. La solidité de cette py- 



r 



; MNFT imil- 1 



aSa c K o M É T R 

• ramide " est égale à l'aire du polygone MNFT imil- 
ûpUce par le tiers de U liaulcur SO. Mais le poly- 
jjone est plus gr.ind que le. cerde inscrit représenté 
par surf. AO ; donc la pyramide est plus grande 
que Juj/I AOxiSO, qui, par hypothèse, est la me- 
eiirt; du cùue dont S est le sommet v.t OB le rayon ds 
la base. Or, au rontraîre, la pyramide est plus petite 
que le cône, puisqu'elle y est contenue; donc i" il 
est impossible que la base d'un cône multipliée par 
le tiers de sa hauteur soit la mesure d'un cône plus 
grand. • 

Je dis a" que ce nième produit ne peut être la me- 
sure d'un cône plus petit. Car , fiour ne pps changer 
de figure, soit OH le rayon de la base du cône don- 
né , et soit , s'il est possible , mr/. OB X 3 SO la soli- 
dité du cône qui a pour hauteur SO et pour base le 
cercle dont AO est le rayon. On fera la racme con- 
struction qiie ci-de;igus , et la pyramide SMIVPT aura 
pour mesure l'aire M&iPî multipliée par ~ SO. Mai» 
laire MNPT est plus petite que sur/: OB ; donc k 
pyramide aurait une mesure [dus petite que surf. 
OBX5 SO, et par conséquent elle serait plus petite 
que le cône dont AO est le rayon de la base et SO la 
hauteur. Or, au contraire, la pyramide est plus grande 
que le cône , puisque |e cône y est contenu ; donc 2' 
il est impossible que la base d'un cône multipliée par 
le tiers de sa hauteur soit la mesure d'un cône plus 
petit. 

Donc enfin la solidité d'un cône est égale au pro-i 
duit de sa hase par le tiers <le sa hauteur. 

Corollaire. Un cône est le tiers d'un cylindre de 
lUL'me base et de même hauteur ; d'où il suit , 

1" Que les cônes d'égales hauteurs sont entre eu^ 
comme leurs bases; 

2" Que les cônes de hases égales sont entre eu3( 
fjqnime leurs hauteurs ; 



LIYRB VIII. 253 

3*. Que les cônes semblables sont comme les cubes 
des diamètres de leurs bases, ou comme les cubes de 
leurs hauteurs. 

Sckolie. Soit R le rayon de la base d'un cône , Il 
sa hauteur; la solidité du cône sera xR* XyH ou 
^wR'H, 

PROPOSITION VI. 



THÉORÈME. 



Le cônç tronqué ADEB y dont KO ^ DP sont les 
rayons des bases et PO la hauteur^ a pour me- 

sure^T:. OP. (XÔV DP + AO x DP). 

Soit TFGH une pyramide triangulaire de même 
hauteur que le cône SAB, et dont la base FGH soit 
équivalente à la base du cône. On peut supposer que 
ces deux bases sont placées sur un même plan ; alors 
les sommets S et T seront à égales distances du plan 
des bases , et le plan ËPD prolongé fera dans la pyra- 
mide la section IKL. Or je dis que cette section IKL 
est équivalente à la base DE ; car les bases AB , DE , 
sont entre elles comme les quarrés des rayons AO , 
DP*, ou coihme les quarrés des hauteurs SO, SP ; 
les triangles FGH, IKL, sont entre eux comme les 
quarrés de ces mêmes hauteurs * ; donc les cercles 
AB, DE, sont entre eux comme les triangles FGH, 
IKL. Mais, par hypothèse, le triangle FGH est équi- 
valent au cercle AB ; donc le triangle IKL est équiva- 
lent au cercle DE. 

Maintenant la base AB multipliée par jSO est la 
solidité du cône SAB, et la base FGH multipliée par 
3^SO est celle de la pyramide TFGH; donc, à cause 
des bases équivalentes , la solidité de la pyramide est 
égale à celle du cône. Par une raison semblable, la. 
pyramide TIKL est équivalente au cône SDE; donc 



fîg.2i6o. 



11,4. 



*i5,6. 



dS4 CÉOHÉTRIE. ^H 

]e tronc île cône ADEB est équivalent au tronc de 
pyramide FGHIKL. Mais la base FGII, éqiiiv.ilenie 
au cercle tloiit le rayon est AO, a pour mesure 
vxÂO; de même la Lase lKL=iuxDp' et la 
moyenne proporlionnelle entre n x AO et tt x DP 
est 17 X AO X DP; donc la solidité du tronc de pyra- 
mide, ou celle du tronc de cône, a pour mesure jOPx 
(ttx AOV-XDP+TCX AOxDP)% qui est la mêiiic 
chose que ^itxOPx(ÂO + DPVAOxDP), 



PROPOSITION VIL 

THÉOnÊHE. 



à M 



La surface convexe d'un cône est égale à 
circonféivnce de sa base multipliée par la moi- 
tié de son côté. 

Soit AO le rayon de la base du c6ne donné , S son 
sommet, et SA son côté; je dis que sa surface sera 
«■/ï;. AOx^SA. Car soit, s'il est possible, ct'rc.AOx 
-^SA, la surface d'un cône qui aurait pour sommet le 
point S et pour Lase le cercle décrit du rayon OB plus 
grand que AO. 

Circonscrivez au petit cercle un polygone régulier 
MNPT, dont les côtés ne rencontrent pas la cir- 
conférence qui a pour rayon OB; et soit SMNPT 
la pyramide régulière, qui aurait pour base le poly- 
gone, et pour sommet le point S. Le triangle SMN, 
l'un de ceux qui composent la surface convexe de la 
pyramide, a pour mesure sa base MN multipliée par 
la moitié de la hauteur SA, qui est en même temps 
le côté du cône donné; cette hauteur étant égale 
dans tous les autres triangles SNP, SPQ, etc. il 
«ensuit que la surface convexe de la pyramide est 
«gale au contour MNPTM multiplié par -SA. Mais 



IMITEE VIII. 255 

le contour MNPTM, est plus grand que cire, AO; 
donc la surface convexe de la pyramide est plus 
grande que cire, AOxîSA, et par conséquent plus 
grande que la surface convexe du cône qui avec Is 
même sommet S aurait pour base le cercle décrit 
du rayon OB. Or, au contraire, la surface convexe 
du cône est plus grande que celle de la pyramide; 
car si on adosse base à base la pyramide à une pyra- 
mide égale, le cône à un cône égal; la surface de^ 
deux cônes enveloppera de toutes parts la surface des 
deux pyramides; donc la première surface sera plus 
grande que la seconde*, donc la surface du cône est *i^m.a. 
plus grande que celle de la pyramide qui y est com- 
prise. Le contraire était une suite de notre hypothèse; 
donc cette hypothèse ne peut avoir lieu : donc i® la 
circonférence de la base d'un cône multipliée par la 
moitié de son côté ne peut mesurer la surface d un 
cône plus grand. 

Je dis 2^ que le même produit ne peut mesurer 
la surface dun cône plus petit. Car soit BO le rayon 
de la base du côté donné, et soit, s'il est possible, 
àrc. BO X 7 SB la surface du cône dont S est le som-^ 
met , et AO , plus petit que OB , le rayon de la base. 

Ayant fait la même construction que ci -dessus, 
la surface de la pyramide SMNPT sera toujours 
égale au contour MNPT multiplié par -jSA. Or le 
contour MNPT est moindre que cire. BO, SA est 
moindre que SB; donc par cette double raison la 
surface convexe de la pyramide est moindre que cira. 
BQ X7SB, qui, par hypothèse , est la surface du cône 
dont AO est le rayon de la base ; donc la surface de 
la pyramide serait plus petite que celle du cône ins^' 
crit. Or, au contitdre, elle est plus grande; car en 
adossant base à base la pyramide à une pyramide 
égale, le cône à un cône égal, la surface des deux 
pyramides enveloppera celle des deux cônes, et par 



1 



iS& aÉOUÉTRII!. 

oonsé(]uent sera la plus grande. Donc a" Il est impoï 
sible (jiie b circonrérence ilc U base trim cône ilonné 
multipliée par lu moitié tie son cûtc mesure la surface 
d'un cône plus petit. 

Donc enfin la surface convexe (l'un cône est égale 



à la circonférencL' de sa base multipliée par la moitié 
de son côté. 

Scholie. Soit L le côt^ d'un cône, R le rayon de 
sa base^ la circonférence de cette base sera q^R, 
et la surface du cône aura pour mesure 2 7:Rx7Li 
ou 17 RL, 

PROPOSITION VIII. 



[. La surface convexe du tronc de cône ADEB est 
égale à non calé Al) mulli[jlié par la demi-somnie 
des circonférences de ses deux bases AU , DE, 

Dans le plan SAB qui passe par l'axe SO , menez 
pcrpendirul.iireni,-nt à SA ];j litjne A F, é-ale à la 
circonférence qui a pour rayon AO; joignez S F, et 
menez DH parallèle à AF. 

A caase des triangles semblables SAO, SDC, on 
aura AO:DC :: SA:SD; et à cause des triangles 
semblables SAF, SDH, on aura AF : DH :: SA:SD; 
donc AF : DH : : AO : DC , ou : : cire. AO : cire. DC *. 
Mais par construction AF ^ cire. AO \ donc DH = 
cire. DC. Cela posé, le triangle SAF, qui a pour 
mesure AF X T SA, est égale à la surface du cône 
SAB qui a pour mesure cire. AOx^SA. Par une rai- 
son semblable le triangle SDH est égal à la surface 
du cône SDE. Donc la surface du tronc ADEB 
est égale à celle du tr.-ipeze ADHF. Celle-ci a pour 
mesure * AD X ( *'^+"" ) ; donc la surface du 
tronc de cône ADEB est éf-ale à son côté AD mul- 



LITRE YIII. 257 

tiplié par la demi-somme des circonférences de ses 
deux bases. 

Corollaire. Par le point I, milieu de AD, menez 
IKL parallèle à AB , et IM parallèle à AF ; on dé- 
montrera comme ci-dessus que IM=cfrc. IK. Mais 
le trapèze ADHF=:ADxIM=ADxc/rc. IK. Donc 
on, peut dire encore que la surface d*un tronc de 
cane esc égale à son côté multiplié par la circorifé" 
rence d^une section faite à égale distance des deux 
bases. 

^cholie. Si une llgpie AD, située tout entière 
d'un même côté de la ligne OC et dans le même 
plan, fait une réyolution autour de OC, la sur- 
face décrite par AD aura pour mesure AD X 

(c«rc. AO-f- cire. DC \ at\v^ • rv 1 i* 
-2- j, OU AD X circ. IK; les lignes 

AO, DG, IK, étant des perpendiculaires abaissées 
des extrémités et du milieu de la ligne AD sur 
l'axe OC, 

Car si on prolonge AD el OC jusqu'à leur ren- 
contre mutuelle en S , il est clair que la surface Ré- 
crite par AD est celle d'un cône tronqué dont OA 
et DG sont les rayons des bases , le cône entier ayant 
pour .sommet le point S« Donc cette surface aura la 
mesure mentionnée* 

Cette mesure aurait toujours lieu, quand même le 
point D tomberait en S, ce qui donnerait un cône 
entier, et aussi quand la ligne AD serait parallèle à 
l'axe, ce qui donnerait un cylindre. Dans le premier 
cas DC serait nulle, dans le second DC serait égale à 
AO et à IK, 



Neui^. éd. 17 




aiSo ncOHETRIC. 

PROPOSITrON IX. 

LEMXE. 

Bg-afia. Soient AB, BC, CD, plusieurs côtés suticessifi 
d'un polygone régulier, O son centre, et OI le 
rayon du cercle inscrit; si on suppose que la 
portion de polygone ABCD, située tout entière 
d'un même côté du diamètre VG, fasse une ré' 
volution autour de ce diamètre, la surface dé- 
crite par ABCD aura pour mesure MQ x cire. OI, 
MQ étant la hauteur de cette surface ou la par- 
tie de l'axe comprise entre les perpendiculaires 
extrêmes AM, DQ. 

Le point I étant milieu de AB, et IK étant une 
perpendiculaire à l'ane abaissée du point I , la sur- 
* S. face décrite par AB aura pour mesure AB X cire. IK*. 
Menez ÂX parallèle à l'^xe, les triangles ABX, OIK, 
auront les côtés perpendiculaires chacun à chacun, 
savoir 01 à AB, IK à AX, et OK à BX; donc ces 
triangles sont semblables et donnent !a proportion 
AB : AX ou MN :: 01 : IK, ou :: cire. 01 : cire. IK ; 
donc AB xc/rc. IK = MNx c/rc. OI. D'où l'on voit 
que la surface décrite par AB est égale à sa hauteur 
MN multipliée par ia circonférence du cercle inscrit. 
De même la surface décrite par BC , = NP X cire. 01 , 
la surface décrite par CD, ::=^VÇiXeirc. OI. Donc la 
surface décrite par la portion de polygone ABCD, 
a pour mesure (MN + ÏÏP + PQ) x ciVc. OI, ou 
MQxciVc. OI; donc elle est égale à sa hauteur multi- 
pliée par la circonférence du cercle inscrit. 

Corollaire. Si le polygone entier est d'un nombre 
de côtés pair, et que Taxe FG passe par deux som- 
mets opposés F et G , la surface entière décrite par la 



LJYRB VIIl. 259 

révolution du demi-polygone FACG sera égale à son 
axe FG multiplié par la circonférence du cercle inscrit. 
Cet axe FG sera, en même temps le diamètre du cercle 
circonscrit. 

PROPOSITION X. 
YHBoaâifB, 

La surface de la sphère est égale à son dia- 
mètre multiplié par la circonférence d'un grand 
cerclé. 

Je dis i^' que le diamètre d'une sphère, multiplié 
par la circonférence de sfon grand cercle, ne peut 
mesurer la surface d'une sphère plus grande. Car 
soit, s'il est possible, AB X cire. AG la surface de la %. a63. 
sphère qui a pour rayon CD. 

Au cercle dont le rayon est CA, circonscrivez un 
polygone régulier d'un nombre pair de côtés qui ne 
rencontre pas la circonférence dont CD est le rayon ; 
soient M et S deux sommets opposés de ce polygone ; 
et autour du diamètre MS faites tourner le demi-po- 
lygone MPS. La surface décrite par ce polygone aura 
.pour mesure MS X cire. AC^ : mais MS est plus grand * 9. 
que AB ; donc la surface décrite par le polygone est 
plus grande que AB X cire, AC , et par conséquent 
plus grande que la surface de la sphère dont le rayon 
est CD. Or, au contraire, la surface de la sphère est 
plus grande que la surface décrite par le polygone, 
puisque la première enveloppe la seconde de toutes 
parts. Donc i^ le diamètre d'une sphère multiplié par 
la circonférence de son grand cercle ne peut mesurer 
la surface d'une sphère plus grande. 

Je dis 2^ que ce même produit ne peut mesurer 
la surface d'une sphère plus petite. Car soit, s'il est 

ï7- 



aoa GEouETiiiB. 

base, décrite par la révolution de l'arc EF aiitcir 

de EC , aura pour mesure EG X cire, EC. 

Car supposons d'abord que cette zone ait une me- 
sure pins petite , et soit, s'il est possible , cette mesure 
r^EG X cire. CA. Inscrivez dans l'arc EF une portion 
de polygone régulier EMNOPP' dont les côtés n'at- 
teignent pas la circoiiféreucc décrite du rayon CA , 
et abaissez CI perpendiculaire sur £M ,- la surikce 
décrite par le polygone EMF tournant autour de EC, 
. aura pour mesure EGXcire. CI*. Cette quantité est 
plus grande que EG X cire. AC , qui , par hypothèse , 
est la mesure de la zone décrite par l'arc EF, Donc la 
surface décrite par le polygone EMNOPF serait plus 
grande que la surface décrite par Tare circonscrit EF; 
or, au contraire, cette dernière surface est plus grande 
que la première, puisqu'elle l'enveloppe de toutes 
parts ; donc i" la mesure de toute zone sphérique 
à une base ne peut être plus petite que la hauteur de 
cette zone multipliée par la circonférence d'un grand 
cercle. 

Je dis en second lieu que la mesure de la même 
zone ne peut être plus grande que la hauteur de cette 
zone multipliée par la circonférence d'un grand cercle. 
Car supposons qu'il s'agisse de la zone décrite par 
l'arc A B autour de AC , et soit , s'il est possible , zone 
AB > AD X c(>c. AC. La surface entière de la sphère, 
composée des deux zones AB, BH, a pour mesure 
AH Xc(>c. AG*,ou AD xcïVc. AC-+-DHxc/rc. AC; 
si donc on a zone AB> AD xc/rc. AC, il faudra 
qu'on ait zone BH < DH x cire. AC ; ce qui est 
contraire à la première partie déjà démontrée. Donc 
50 la mesure d'une zone sphérique à une base ne 
peut être plus grande que la hauteur de cette zone 
multipliée par la circonférence d'un grand cercle. 

Donc enfin toute zone sphérique à une base a pour 



yx 



N 



LIVRB YIII. ^63 

mesure la hauteur de cette zone multipliée par la oir- 
conférenee d'un grand cercle. 

Considérons maintenant luie zone quelconque, à 
deux bases, décrite par la révolution de Tare FH fig^^ao. 
autour du diamètre DE, et soient abaissées les per- 
pendiculaires FO , HQ sur ce diamètre. La zone dé- 
crite par Tare FH est la différence des deux zones dé- 
crites par les arcs DH et DF ; celles -ci ont pour 
mesures DQ Xc/rc CD et DO xc/rc. CD ; donc la 
zone décrite par FH a pour mesure (DQ — DOJx 
cire. CD ou OQ X cire. CD. 

Donc toute zone sphérique à une ou à deux bases, 
a pour mesure la hauteur de cette zone multipliée 
par la circonférence d'un grand cercle. 

Corollaire. Deux zones prises dans une même 
sphère ou dans des sphères égales, sont entre elles 
comme leurs hauteurs , et une zone quelconque est à 
la surface de la sphère comme la hauteur de cette 
zone est au diamètre. 



PROPOSITION XIL 



THEOREME. 



Si le triangle BAC et le rectangle BCEF de ^ ^g 
méâte base et de mêtne hauteur tournent simuU «t a65. 
tanément autour de la hase commune BC , le so- 
lide décrit par la révolution du triangle sera le 
tiers du cylindre décrit par la révolution du 
rectangle. 

Abaissez sur l'axe la perpendiculaire AD; le cône fig. 264. 
décrit par le triangle ABD est le tiers du cylindre dé- 
crit par le^ rectaiigle AFBD*, de même le cône décrit ♦ 5. 



i8i OÉOMÉTIIIS. 

par le triangle ADC est le tiers du cylindre dëcrit par 
le rectangle ADCË ; donc la somme des deux cônes ou 
le solide décrit par ABC est le tiers de la somme des 
deux cylindres ou du cylindre décrit par le rectangle 
BCEF. 
flg. 965. Si la perpendiculaire AD tombe au-dehors du 
triangle , alors le solide décrit par ABC sera la dif- 
férence des canes décrits par ABD et ACD; mais en 
même temps le cylindre décrit par BCEF sera la 
différence des cylindres décrits par AFBD, AECD. 
Donc le solide décrit par la reToIution du triangle sera 
toujours le tiers du cylindre décrit par la révolution 
au rectangle de même base et de même hauteur. 

Schfi/ie. Le cercle dont AD est le rayon a pour 
surface n X AD ; donc t: x AD X BC est la mesure du 
cylindre décrit par BCEF, et jirX ADxBC est celle 
du solide décrit par le triangle ABC. 

PROPOSITION XIII. 

PROBLÈME. 

te- '66. Ze triangle CAB étant supposé Jaire une révo- 
lution autour de la ligne CD, menée comme on 
voudra hors du triangle par son som/netC, tfou- 
ver la mesure du solide ainsi engendré. 

Prolongez le côté AB jusqu'à ce qu'il rencontre 
l'axe CAi en D, des points A et B abaissez sur l'axe 
les perpendiculaires AM, BN. 

Le solide décrit par le triangle CAD a pour me- 

. „ sure" -jitx AMxCD; le solide décrit par le triangle 

CBD a pour mesure ^ir x BN x CD; donc la diffé- 



LiYRS Tixi. a65 

teœe Ae ces solides ou le solide décrit par ABC aura 

pour mesure j-w. (âM BN ) X CD. 

On peut donner à cette expression une autre forme. 
Du point I, milieu de AB , menez IK perpendiculaire 
a CD, et par le point B menez BO parallèle à CD, 
on aura AM+BN=2lK* et AM— BN=AO; donc, * 7, 3. 

(AM + BN)X(AM— BN), ouÂM — BN=2lKx 
AO^. La mesure du solide dont il s'agit est donc * 10, 5. 
exprimée aussi par |x X IKx AO X CD. Mais si on 
abaisse CP perpendiculaire sur AB, les triangles ABO, 
DCP, seront semblables, et donneront la proportion 
AO : CP :: AB : CD ; d'où résulte AO X CD = CP X 
AB ; d'ailleurs CP X AB est le double de l'aire du 
triangle ABC; ainsi on a A0xCD = 2ABC; donc 
le solide décrit par le triangle ABC a aussi pour me;^ 
sure -TT X ABC X IK, ou, ce qui est la même chose, 
ABC Xfc/rc. IK; (car cire. IK = 27c. IK). Donc le 
solide décrit par la révolution du triangle ABC ,. a 
pour mesure l'aire de ce triangle multipliée par les 
deux tiers de la circonférence que décrit le point I 
milieu de sa base. 

Corollaire. Si le ctxé AC=CB, la ligne CI sera fig. 267. 
perpendiculaire à AB , l'aire ABC sera égale à Afi X 
iCI, et la solidité |x X ABC X IK deviendra f tu X 
ABxIKx'CI. Mais les triangles ABO, CIK, sont 
semblables et donnent la proportion AB : BO ou 
MN :: CI : IK ; donc AB X IK = MN X CI ; donc le 
solide décrit par le triangle isoscele ABC aura pour 

mesure |x X MN X CL 

Scholie. La solution générale paraît supposer que 
la ligne AB prolongée rencontre l'axe ; mais les 
résultats n'en seraient pas moins vrais, quand la 
ligne AB serait parallèle à l'axe. 



aOS CÉOMÉTRIE. 

g ,6g En Ffet le cylindre décrit par AMNB a pour me- 
sure TT. AM. MN, le cône décrit par ACM= jir, AM. 
CM, et le cône décrit par BCN = ^tc. AM.CN. Ajou- 
tant les deux premiers solides et retranchant le 
troisième, on aura pour le solide décrit par ABC, 
ic.AM'.(MN + ^CM — iCN) :et puUqueCN— CM 
= MN, cette expression se réduit à -tt.AM.^MN, ou 
Itc.CP. MN, ce qui s'accorde avec les résultats déjà 
trouvés. 

PROPOSITION XIV. 

THÉORÈME. 

ïg. afia. Soient AB , BC , CO , plusieurs côtés successifs 
d'un polygone régulier, O son centre, et OI le 
rayon du cercle inscrit; si on imagine que le sec- 
teur polygonal AOD , situé d'un même côté du 
diamètre FG, fasse une révolution autour de 
ce diamètre, le solide décrit aura pour mesure 
|w.OI.MQ, MQ étant la portion de l'axe termi- 
née par les perpendiculaires extrêmes AM, DQ. 
En effet, puisque le polygone est régulier, tous 
les triangles AOB, BOC, etc. sont égaux et isosceles. 
Or, suivant le corollaire de la proposition précé- 
dente, le solide produit par le triangle îsoscele AOB 
a pour mesiue yit.OI.MN, le solide décrit par le 
triangle BOC a pour mesure ^tc . 01 , NP, et le solide 
décrit par le triangle COD, a pour mesure ,-77,01. 
PQ ; donc la somme de ces solides , ou le solide entier 
décrit par le secteur polygonal AOD, aura pour me- 
sure -,T..Ô(. (MN + NP -f- PQ) ou ^ TC . Ôi'. MQ. 



ZiIVrb VIII. 367 

PROPOSITION XV. 

T B 1S O R Â m. 

Tout secteur àphérique a pour mesure la zone 
qui lui sert de base multipliée par le tiers du 
rayon y et la sphère entière a pour mesure sa 
surface multipliée par le tiers du rayon. 

Soit ABC le secteur circulaire qui, par sa révo- figa69. 
lution autour de AC , décrit le secteur sphérique ; la 
zone décrite par AB étant AD X cire. AG ou âx . AC. 
AD"^, je dis que le secteur sphérique aura pour me- * 



T3. 



■ A 

sure cette zone multipliée par jAC , ou f tc . AC . AD. 
En effet, \^ supposons, s'il est possible, que cette 

quantité |x . AC . AD soit la mesure d'un secteur 
sphérique plus grand, par exemple, du secteur sphé- 
rique décrit par le secteur circulaire ECF semblable 
à ACB. 

Inscrivez dans Tare EF la portion de polygone 

régulier EMNF dont les côtés ne rencontrent pas 
Tare AB, imaginez ensuite que le secteur polygonal 
ENFC tourne autour de EC en même temps que le 
secteur circulaire ECF. Soit Cl le rayon du cercle 
inscrit dans le polygone, et soit abaissée F6 perpen- 
diculaire sur EC. Le solide décrit par le secteur 

——a 

polygonal aura pour mesure fir, CI. EQ* : or CI ♦ ,4. 
est plus grand que AC par construction , et EG est 
plus grand que AD : car, joignant AB, EF, les trian- 
gles EFG, ABD, qui sont semblables, donnent la 
proportion EG : AD :: FG : BD :: CF : CB ; donc EG 
>AD. 

Par cette double raison ^ir. CI. EG est plus 



GSOHBTnIBv' 



g ue ^TT. CA. AD : la première expression est 

'■ re du solide décrit *par le secieur polygonal, 

de est par hypothèse celle du secteur sphé- 
_ Jcrit par le secteur circulaire ECF ; donc le 
lëcrit par le secteur polygonal serait plus 
ue 1« secteur spliérîque décrit par le secteur 
■e. Or, au contraire, le solide dont il s agit 
idre que le secteur sphérique, puisqu'il y est 
coiii,c:i. ; donc l'hypothèse d'où on est parti ne sau- 
rait subsister; donc i .-. ^one ou base d'un secteur 
sphérique multipliée par le tiers du rayon ne peut me- 
surer un secieur sphérique plus grand. 

Je dis a" que le même proiluit ne peut mesurer un 

secteur sp; ue p | Car, soit CEF le secteur 

,•< .lion produit le sectew 

o ns, s'il est possible, que 

fie. JE. 1 la 1 I d'un secteur sphérique 

plus petit, par exen , «j celui qui provient du 
secteur circulaire ACd, 

La construction précédente restant la même , le 
solide décrit par le secteur polygonal aura toujours 
pour mesure , t. CI. EG, Mais CI est moindre que 
CE; donc le solide est moindre que |tc. CE. EG, qui, 
par hypothèse, est la mesure du secteur sphérique 
décrit par le secteur circulaire ACB. Donc le solide 
décrit par le secteur polygonal serait moindre que le 
secteur sphérique décrit par ACB. Or, au contraire, 
le solide dont il s'agit est plus grand que le secteur 
sphérique , puisque celui-ci est contenu dans l'autre. 
Donc 2" il est impossible que la zone d'un secteur 
sphérique multipliée par le tiers du rayon soit la 
mesure d'un secteur sphérique plus petit. 

Donc tout secteur sphérique a pour mesure la zone 
qui lui sert de base multipliée par le tiers du ravon 



LITRB TIII. 26g 

Un secteur circulaire ÂCB peut augmenter jus- 
qu'à devenir ëgal au demi-cercle ; alors le secteur 
sphérique décrit, par sa révolution est la sphère en- 
tiere. Donc la solidité de la sphère est égale a sa sur* 
face multipliée par le tiers de son rayon* 

Corollaire. Les surfaces des sphères étant comme 
les quarrés de leurs rayons, ces surfaces multipliées 
par les rayons sont comme les cubes des rayons. 
Donc les solidités de deux sphères sont comme les . 
tubes de leurs rayons^ ou comme les cubes de leurs 
diamètres. 

Scholie. Soit R le rayon d'une sphère, sa sur^ 
face sera 4'"^-R'> ©^ sa solidité 4wR*X-jR, ou|irR\ 
Si on appelle D le diamètre, on aura R = >D, et 
R'=~D' ; donc la solidité s'exprimera aussi par 
4wXiD%ouiicD^ 

PROPOSITION XVI. 

THEOREME. 

La surface de la sphère est à la surfate totale 
du cylindre circonscrit (en y comprenant ses 
bases J comme ^estàZ. Les solidités de ces deux 
corps sont entre elles dans le même rapport. 

Soit MPNQ Je grand cercle de la sphère , ABCD fig. 17©. 
le quarré circonscrit ; si on fait tourner à la fois le 
demi-cercle PMQ et le demi-quarré PADQ autour 
du diamètre PQ, le demi-cercle décrira la sphère, 
et le demi-quarré décrira le cylindre circonscrit à 
la sphère. 

La hauteur AD de ce cylindre est égale au dia- 
mètre PQ, la baàe du cylindre est égaie au grand 
cercle, puisqu'elle a pour diamètre AB égale à MN^ 
donc la surface convexe du cylindre^ est égale à la »4. 



ty^ CBOMÉTRIC. 

Scho 'ie. Le solide décrit par le segment BMD est à 
la ?e qui a pour diaraetr<! BD , comme ^ «. BD. 

à^TC. Bd' ou :: EF:BD. 

PROPOSITION XVIII. 



Tout segment de sphère ,' compris entre deux 
plans parallèles , a pour mesure la demi-somme 
de ses bases multipliée par sa hauteur, plus la 
solidité de la sphère dont cette même hauteur 
est le diamètre. 

Soient B£, DF, les rayons des bases du segment, 
EF sa hauteur, de soi-te que le segment soit produit 
par la révolution de l'espace circulaire BMDFE 
autour de l'axe FE. Le solide décrit par le seg- 
ment BMD '=1 7t. Bd!eF, le tronc de cône décrit 
par le trapèze BDFE'=i jc . EF. ( BË'+DF V BE. DfJj 
donc le segment de sphère qui est la somme de ces 
de«xsolides=>. EF.{2 BË + a DF Va BE. BF+Fd}- 
Mais, en menant BO parallèle à EF, on aura DO = 
DF— BE, D0=:"DF— aDF. BE+BE', et parconsé- 
quent^'=BÔ"+ DO= ËF + DF— a DF x BE+BË'. 

Mettant cette Taleur à la place de BD dans l'expres- 
sion du sefp;nent , et enaçanl ce qui se détruit, on 
aura pour l.\ solidité du segment, 

^ - . EF . ( 3 BE + 3 DF+Ëf'), 
expression qui se déciimpose en deux parties j l'une 

i:î.EF.(:ïBË'+3DF'\ ou EF . (^'^-^^'^= "") 
^t la «lenii-somnie des bases multipliée par la hauteur ; 



LIVRE VIII. 2ji 

Tautte ^w . EF représente la sphère dont EF est le 
diamètre * : dohc tout segment de sphère, etc. *i5.«cli. 

Corollttire. Si l'une des bases est nulle, le segment 
dont il s'agit devient un segment sphérique à une 
seule base ; donc tout segment sphérique à une hase 
équii^aut à la moitié du cylindre de m^éme base et de 
même hauteur, plus la sphère dont ceue hauteur est 
ie diamètre^ 

Scholie généraL 

Soit R le rayon de la base d*un cylindre, H sa 
hauteur ; la solidité du cylindre sera tt R' x H , où 
wR*H. 

Soit R le rayon de la base d'un cône , H sa hauteur; 
la solidité du cône,sera -ttR*. |H, ou j7rR*H. 

Soient A et B les rayons des bases d'un cône tron- 
qué , H sa hauteur ; la solidité du tronc de cône sera 
|.irH(A^ + B" + AB). 

Soit R le rayon d'une sphère ; sa solidité sera 

Soit R le rayon d'un secteur sphérique, H la 
hauteur de la zone qui lui sert de base ; la solidité du 
secteur sera -f 7; R' H. 

Soient P et Q les deux bases d'un segment sphé- 
rique, H sa hauteur, la solidité de ce segment sera 

(î±S).HH-i.H.. 

Si le segment sphérique n'a qu'une base P, l'autre 
étant nulle , sa solidité sera 7 PH + 1 tt H ' . * 



/ _ » _ ^ . » _ t 



FlI» DES ELEMEIO'S DE GEOMETRIE. 



NeuVn édit, 18 



NOTES 



» » 



SUR LES ELEMENTS DE GEOMETRIE: 

^— «^ ■ ■ I ■ Il I ■■■iii ■ I iiia w 

NOTE L 
Sur quelques noms et définUions. 

\J9 a introduit dans cet ouvrage qiielques expressions et 
définitions nouvelles <}ui tendent à donner au langage géo- 
métâque plus d'exactitude et de précision. Nous allons 
rendre compte de ces changements , et en proposer quel- 
ques autres qui pourrûent remplir plus complètement les 
mêmes vues. 

Dans la définition ordinaire du parallélogramme rec* 
tangle içt du quarréy on dit que les angles de ces figures sont 
droits ; il serait plus exact de dire que leurs angles sont 
égaux. Car, supposer que les quatre angles d'un quadrila-^ 
tere peuvent être droits, et même que les angles droits 
sont égaux entre eux , c'est supposer des propositions qiii 
ont besoin d'être démontrées. On éviterait cet inconvé- 
nient et i^usieurs autres du même genre, si, an lieu de 
placer les définitions , suivant l'usage , à la tête d'un livre , 
on les distribuait dans le courant du livre, chacune à la 
place où ce qu'elle suppose est déjà démontré. 

Le iBol parallélogramme , suivant son et jmologie , signifie 
lignes parallèles; il ne convient pas plus à la figure de quatre 
côtés qu'à celles de six, de huit, etc., dont les o{^sés 
sera i^t parallèles. Le mol parallélep^ede signifie de même 
plans parallèles; il ne désigne pas plus le solide a flix faces 
que ceux qui en auraient huit , dix , etc. , dont les opposées 
seraient, parallèles. Il parait donc que les dénominations de 
parallélogramme et de parallélépipède, qui d'ailleurs ont 
l'inconvénient d'être fort longues , devraient être bannies 
de la géométrie. On pourrait-, leur substituer celles de 
rhombe et rhomboïde , qui sont beaucoup plus commodes 

i8. 



ayS KOTE I. 

et conserrer le nom de loiange au quadrilatère dont les 
côtés sontët'BU». 

Le mût Inidinaison iloii être entendu dans le mCmc sens 
(]ne celui d'angle ; l'Un et l'autre indiquent la i 
d'tître de deu» lignes ou de deux plans qi. 
au qui , prolonge! , »e rencontreraient. L'inclinaison de 
drui lignes est nulle lorsque l'angle est uul, c'est-à-dire 
lorsque les lignes sont parnlleles ou coïncidentes. L'incli- 
naison est la plus grande lorsque l'angle est le plus grand , 
ou lorsque les deui lignes font entre elles un angle très- 
nbttu. La qualité de pencher est prise dans un sens diffé- 
vont^ uiie ligne /lenc/je d'autant plus sur une autre qu'elle 
s'écarte plus de la perpendiculaire à celle-ci. 

Euclide et d'autres auteurs appellent assez souvent Iriait- 
gles e'gauj: des triangle* qui ne sont ^gaui qu'en surface, 
et solides egaïur des solides qui ne sout égaux qu'en solidité. 
Il nous a paru plus convenable d'appeler ces triangles on. 
ce» solides iriangiet ou solides cquivalentf , et de réserver la 
dénominalion de triants è^u-i:, solides egauj:, à ceux qui 
peuvent coïncider par la. superposition. 

Il est de plus néces«aire de distinguer dsns les solides et 
les surfaces courbes ilfux sorles d'éyalité qui sont diffé- 
rentes. En effet , deux solides , deux angles solides , deux 
triangles ou polygones sphérïques , peuvent être égaux 
dnns toutes leurs parties constituantes , sans néanmoins 
coïncider par la superposition. Il ne parait pas que cette 
observation ait été faîte dans les livres d'éléments ; et ce- 
pendant . faute d'y avoir égard , certaines démonstrations 
fondées sur la coïncidence des figures ne sont pas exactes. 
Telles sont les démonstrations par lesquelles plusieurs au- 
teurs prétendent prouver l'égalité des triangles spliéri- 
ques dans les mêmes cas et de la même manière que celle 
des triangles reclilignes i on en voit sur-tout un exemple 
frappant, lorsque Robert Simson (i), attaquant la démons- 
tration de la prop. xxviii, liv, ii, d'Euclide, tombe lui- 
même dans l'inconvénient de fonder sa démonstraticm sur 
une coïncidence qui n'existe pas. Nous avmt» donc cru de- 

(i ) Voyei l'onTinge de cet aatcur, înlitnlé ; Euclidii Elementor^tm 
liliri sex , etc. G/a^giiir , ijSô, 



iroTE I. 277 . 

voir donner un nom partieolier à celte égalité qui n'en- 
traîne pas la coïncidence ; nous l'avons ^.ipu^eXé^ égalité par 
symmétrie ; et les figures qui sont dans ce cas , nous les ap- 
pelons figures sjrmmctriques. 

Ainsi les dénominations de ^ures égales , figures symmé- 
triques, figures équivalentes , se rapportent à des choses 
différentes « et ne doivent pas être confondues en une seule 
dénomination. 

Dans les propositions qui concernent les polygones , les 
angles solides et les polyèdres , nous avons exclus formel- 
lement ceux qui auraient des angles rentrants. Car, outre 
qu'il convient de se borner dans les éléments aux figures les 
plus simples, si cette exclusion n'avait pas Ueu, certaines 
propositions ou ne seraient pas vraies , ou auraient besoin 
de modification. Nous nous sommes donc réduits à la con- 
sidération des lignes et des surfaces que nous appelons: co/t- 
vexes ^ €t qui sont telles qu'une ligne droite ne peut les 
eouper en plus de deux points. 

Nous avons employé assez fréquemment l'expression 
produit de deux ou d*un plus grand nombre de lignes ; par 
.où nous entendons le produit des nombres qui repré- 
sentent ces lignes , en les évaluant d'après une unité linéaire 
prise à volonté. Le sens de ce mot étant ainsi fixé , il n'y a 
aucune difficulté à en faire usage. On entendrait de même 
ce que signifie le produit d'une surface par une ligne , d'une 
surface par un solide , etc. : il suffit d'avoir établi une fois 
pour toutes que ces produits sont ou doivent être consi* 
dérés. comme des produits de nombres, chacun de Fespece 
qui lui convient. Ainsi le produit d'une surface par un solide 
n'est autre chose que le produit d'un nombre d'unités su-» 
perficielles par un nombre d'unités solides. 

Souvent , dans le discours , on se sert du mot angle pour 
désigner le point situé à son sommet : celte expression est 
vicieuse. Il serait plus clair et plus exact de désigner par un 
nom particulier, tel que celui de sommets y les points situés 
aux sommets des angles d'un polygone et d'un polyèdre. 
C'est ainsi qu'on doit entendre la dénomination de sommets 
d^un polyèdre dont nous avons fait usage. 

Nous avons suivi la définition ordinaire des Jîgurcs recti- 



378 NOTE I. _ . ■ 

Kgiies semblables i mai» noui observerons qu'elle conlient 
trois conditiona superflues. Car, pour construire un polj- 
gone iloni le nombre des côtés est n , il faut d'abord con- 
naître un càl6, et ensuite avoir la position des sommets des 
angles situés hors de ce côté. Or , le nombre de cei angles 
est n — a, et 1i position it chaque sommet eiipc deux Ann- 
néei^ d'où il sait qttc le nombre total des données néces- 
saires pour construire unpolyponede/icôtésest i-|-an — 4, 
ou in — 3. Mais dans le poljgone semblable il ]r a un côté 
n volonté ; ainsi le nombre de conditions pour qu'un poly- 
gone soi! semblable à un polygone donné , est an — ^.Ov\3. 
définition ordinaire exige, i" que les angles soient égaux 
tliaciin à chacun, ce qui fait n conditions; a" que les côté» 
homologues soient proportionnels, ce qui fait n — i condi- 
tions. Il y a donc en tout %n — i conditions, ce qui fait trois 
de trop. Pour obvier à cet inconvénient , on pourrait dé- 
composer la définition en deux antres, de cette manière : 

1" Dea.r triangles sont semblables, lonqu'ils ont deux 
arides trgaiLr chacun à chacun. 

2" Deu.r pofygonei sont semblables lorsqu'on peut former 
rions l'un el dann l'autre un mt'rne nombre de trianglts sem- 
blables chacun à chacun et semblablement diiposès. 

Mais , pour que eeile dernière définition ne contienne 
pas elle-même de conftitions superflues , il faut que le 
nombre des triangles soit égal au nombre des cAtés da po- 
lygone moins deux ; ce qui peut avoir lieu de deux manières. 
On peut mener de deux angles homologues des diagonale» 
aux angles opposés, alors tous les triangles formés dans 
chaque polygone auront un sommet commun, et leur somme 
sera égale au polygone ; ou bien , on peut snpposer que tous 
les triangles formés dans un polygone, oui pour base com- 
mune un côte du polygone , et pour sommets ceux de» dif- 
férents angles opposés a cette base. Dans l'un ou l'autre cas 
le nombre des triangles formés de part et d'autre étant 
n — a , les conditions de leur similitude seront an nombre 
de "in — /( ; et la définition ne contiendra rîcn de snperfla. 
Celte nouvelle définition étant posée, l'ancienne deviendra 
un théorème qti'on pourra démontrer imméiUalemeut. 
Si la définition des figure» rectiljgnes semblables e»t im- 



noTB I. ^9 

parfaite dans les livres d'éléments, celle des solides polyè^ 
dres semblables l'est encore bien davantage. Dans Eudide , 
cette définition dépend d'un théorème non démontré ; dans 
d'autres auteurs elle a l'inconvénient d'être fort redon- 
dante. Nous avons .donc rejeté ces définitions des solides 
semblables , et nous leur en avons substitué une fondée sur 
les principes que nous venons d'exposer. Mais , comme il y 
a beaucoup d'autres observations à faire à ce sujet, nous y 
reviendrons dans une note particulière. 

La définition de la pefpenàlculaire h un plan peut être 
regardée^omme un théorème; celle de Vinelinaison de deux 
plans a besoin aussi d'être justifiée par un raisonnement ; 
plusieurs autres sont dans le même cas. C'est pourquoi, en 
conservant ces définitions suivant l'ancien usage , nous 
avons eu soin de renvoyer aux propositions où elles sont 
démontrées ; quelquefois nous nous sommes contentés d'y 
ajouter uft éclaircissement succinct. 

Uangle formé par la rencontre ele deux plans, et l'angle 
solide formé par la rencontre de plusieurs plans en un même 
point , sont des grandeurs , chacune de son espèce , aux- 
quelles il serait peut-être bon de donner des noms particu- 
liers. Sans cela il est difficile d'éviter l'obscurité et les cir- 
conlocutions lorsqu'on parle de l'arrangement des plans qui 
composent la surface d'un polyèdre. Et comme la théorie 
de ces solides a été peu cultivée jusqu'à présent , il y a moins 
d'inconvénient à y introduire des expressions nouvelles, 
si elles sont reclamées par la nature des choses. 

Je proposerais d'appeler coin l'angle formé par deux 
plans; Viu^éte on/atte du coin serait l'intersection commune 
des deux plans. Le coin se désignerait par quatre lettres 
dont les deux moyennes répondri^ient à l'arête. Alors un coin 
droà serait l'angle formé par deux plans perpendiculaires 
entre eux. Quatre coins droits rempliraient tout l'espace 
angulaire soUde autour d'une ligne donnée. Cette nouveUe 
dénomination n'empêcherait pas que le coin n'eût toujours 
pour mesure l'angle formé par les deux perpendiculaires 
menées datis chacun des plans à un même point de l'arête 
ou intersection commune. 



Sur la démonstration de la proposition XX, 
liv. 1, et de quelques autres propositions 
fondamentales de la géométrie. 

La firoposilion XX du Hvre 1 n'est qu'un cas particulier 
rlu fauif^iix posttilaliim si(r leqiwl EucUile a i-tabii la théorie 
d<u p^rallrics, »iu«i que le iliiïoriïnie sur la somme dcï 
trois angles A\> triangle. Ce pusliifatam n'a pniiit clé encore 
démontrr! d'une manierp pnliiTtmenl géoniùlriqui; et indé- 
pendante de la coiisiiliVRliou de l'infim; ce qu'il faut 
attribuer sans doute à l'imperfection de la définition de la 
ligne droite, qui sert de base sui éltmenis. Mais si on 
r.uki.iîdere cet objet sous un point de vue plus abstrait, 
l'Diialysc ol'fre un moyfn ti-ès-srmple de d^ontrer rigou- 
reuseiDcnt celte proposition, ainsi que les autres proposi- 
tions fondamentales de la g<^ométrie. C'est ce que noua 
allons dérelopper avec tout le détail nécessaire ,. en coin- 
mençant par le théorème sur la somme des trois angles d« 
triangle. 

On démontre immédiatement par la superposition, el 
sans aucune proposition préliminaire que ileu-r triangle» 
sont egau.r , lorsqu'ils ont un côté égal adjacent à deux 
angles t'gau.r chacun à chacun. Appelons /> le côté dont it 
s'agit , A et B tes deux angles adjacents , C le troisième 
angle. Il faut donc que l'angle C soit entièrement déter- 
miné , lorsqu'on connaît les angles A et B , avec le côlé/j ; 
car , si plusieurs angles C pouvaient corres|)ondre aux trois 
données A, B,/j, U y aurait autant de triangles différents 
qui auraient un côté égal adjacent à deux angles égaux, ce 
qui est impossible : donc l'angle C doit être une fonction 
déterminée des trois quantités A, ^,p; ce que j'exprime 
■,m.i,c=9:(A,B,^). 

Soit l'angle droit égal à l'unité, alors les angles A, B, C, 
seront des nombres compris entre o et a; et l)uisque C= 
"Ji : ( A, B,/?), je dis que la ligne/? ne doit point entrer dans 
la fontlion !p. En effet on a vu que G doit Çtre entièrement 



NOTB II. StSx 

âtiterminé par les seules données A , B ,/? y sans autre angle 
ni ligne quelconque , mais la ligne/? est hétérogène avec les 
nombres A , B , C î et si on avait une équation quelconque 
entre A, B, C,/?, on en pourrait tirer la valeur de/? en 
A 9 B , C; d'où il résulterait que/? est égal à un nombre , ce 
qui est absurde ; donçp ne peut entrer dans la fonction (f]^ 
et on a simplement C=:zç : (A, B)....(i) 

Cette formule prouve déjà que , si deux angles d'un 
triangle sont égaux à deux angles d'un autre triangle, le 
troisième doit être égal au troisième ; et , cela posé , il est 
facile de parvenir au théorème que nous avons en vue. 

Soit d*abord ABC un triangle rectangle en A ; du point g ^ . 
^ abaisse^ AD perpendiculaire sur l'hypoténuse. Les angles 
B et D du triangle ABD sont égaux aux angles B et A du 
triangle BAC ; donc , suivant ce qu'on vient de démontrer , 
le troisième BAD est égal au troisième C. Par la même 
raison l'angle DAC=B, donc BAD-f-PAC, ou BAC 
;=B-f-C : or l'angle BAC est droit ; donc les 4eux an^es 
aigus d^iin triangle rectangle , pris ensemble ^ valent un 
angle droit. 

Soit ensuite BAC un triangle quelconque et BC un côté fig. ^.^5, 
qui ne soit pas moindre que chacun des deux autres : si 
de l'angle opposé A on abaisse la perpendiculaire AD sur 
BC,. cette perpendiculaire tombera au~dedans du triangle 
ABC, et le partagera en deux triangles rectangles BAD, 

(i) On a objecté contre cette démonstration que , si elle étai t 
fippliquée, mot pour mot, aux triangles sphériques, il en résulte- 
rait, que deux angles connus suffisent pour déterminer le troi- 
sième, ce qui n'a pas lieu dans ces sortes de triangles. La réponse 
est que, dans les triangles sphériques, il y a un élément de plus que 
dans les triangles plans , et cet élément est le rayon de la sphère 
dont on ne doit pas faire abstraction. Soit donc r le rayon , alors 
au lieu d'avoir C=ç (A, B ,/?), on auraC=:^ (A,B,y3,r), ou 

seulement C =9 r A,3» -J » en vertu de la loi des homogènes. 

Or, puisque le rapport - est un nombre, ainsi que A, B , C , rien 

n'empêche que - ne se trouve dans la fonction 9 , et alors on 
n'en peut plus conclure C = 9 (A, B). 



ati NOTE II. 

DA.C ; or, ilani le triangle rectangle BAD ,lRidenx anglfi 
B AD, ABD, valent ensemble un angle droit; dans le trian- 
gle rectSDglc DAC, les deui angles DAC, ACD, valent 
aussi un angle droit. Donc les quatre réunis , ou seulement 
les trois BAC, ABC, ACB, valent ensemble deux, anglci 
droits ; donc i/ans tout triangle la somme des Iroù angles 
est égale h deux angles droits. 

On voit par-là que ce théorème , considéré a priori, nt 
di^pend point d'un ench ai élément de propositions , et qu'il 
le déduit immédiatement du principe de l'homogéiiéité; 
principe qui doit avoir lieu dans toute relatioa entre dei 
quantités quelconques. Mai» poursuivons , et faisons voir 
qu'on peut tirrr de la m^me source les autres Lhéorâme) 
fondamentaux de la géométrie. 

Conservons les mêmes di.'nominations que ci-dessus, et 
appelons de plus m le cote opposé à l'angle A , et n Je côté 
opposé à l'angle B. La quantité m doit être entièrement 
déterminée par les seules quantités A, B,/>; donc m eit 
ujie fonction de A, B, p, et - en est une aussi, de aorte 
qu'on peut faire — ^(j,:(A,B,/>). Mais — est un nom- 
bre, ainsi que A et B; donc la fonction ^ ne doit point 
contenir la ligne />, et on a simplement^ =^ : (A, B), 
ou m-^p {i ; ( A, B). On a donc semblablement n=/>^ : 
(B,A). 

Soit maintenant un autre triangle formé avec les mentes 
angles A, B, C, auxquels soient opposés les côtés m', ^,f^, 
respectivement. Puisque A et B ne changent pas , on aura 
dans ce nouveau triangle «1'=/)'^ (A, B), et rf^r:/)'!)! : 
( B , A ), Donc m: m' :: n : n' :: p : p'. Donc , dans les trian- 
gles éqaiangies , les côtes opposés aux angles égaux sont 
prop ortionnels. 

De cetu proposition générale on déduit comme cas 
particulier celle que nous avons supposée dans le texte, 
pour la démonstration de la proposition XX. En effet, 
les triangles AFG , AML ont deux angles égaux , chacun à 
chacun , savoir , l'angle A commun , et un angle droit. Donc 
ces triangles sont équiangles j donc ou a U proportion 



HOTS II. 283 

AF : AL : : AG : AM , an moyen dé laquelle la prop. XX est- 
pleirtemeilt démontrée. 

La pro]^oftîtion du quairé de lliypoténUse est , comme 
on tait , une suite de celle des triangles équiangles. Voilà 
donc trois propositions fondamentales de la géométrie « celle 
des trois angles d'un triangle, celle des triangles équiangles, 
et celle du quarré de l'hypoténuse, qui se déduisent très> 
simplement et très-immédiatement de la considération des 
fcmctions. On peut par la même Toie démontrer très -suc- 
cinctem^it les propositions concernant les figures sem* 
blables et lés solides semblables.* 

Soit ABCD un polygone qu^onque; ayant cboisi un %* *^'* 
câté AB, comme base, formez autant de triangles ABC, 
ABD, etc. sur cette base , qu'il y a d'angles C , B , £ , etc. 
an-dehors. Soit la base AB=/>; soient A «t B les deux 
animes du triangle AB€ adjacents au c6té AB ; soient A' et 
B' les deux angles du triangle ABD adjacents au méma 
côté AB , et ainsi de suite. La figure ABCDË sera entière- 
meift déterminée , si on connait le c6té p aTec les angles 
A, B, A', B', A% B", etc., et le nombre des données sera 
en tout a/2 -^ 3 , n étant le nombre des côtés du polygone. 
Cela posé , un côté ou une ligne quelconque x , menée 
comme on youdra dans le polygone , avec les seules don- 
nées qui constituent ce polygone, sera une fonction de 

ces données ; et comme - doit être un nombre , on pourra 

supposer ~ zzz^ : (A, B, A', B', etc.), onx=zp^ ; (A,B, 

A', B^, etc. ), et la fonction ^ ne contiendra point ^. Si , 
ayec les mêmes angles A , B , A', B', etc. et un antre côté- 
/^, on forme un second polygone , on aura pour la ligne x', 
correspondante ou homologue k x, la yaleur x' :=zp' ^ : 
( A , B , A^ B', etc. ) ; donc xix' ::p :p\ On peut définir 
les figures ainsi construites , ^j^rurey semblabies; donc dans 
les figures semblables les lignes homoiogmes sont proportion' 
neUes, Ainsi , non-seulement les côtés homologues , les dia- 
gonales homologues , mais les lignes terminées de la même 
manière dans le» deux figures , sont entre elles comme deux 
antres lignes homologues quelconques. 




«le sorte qu'on aura S =271' 9: (A, B, A', B', etc.). Parla 
mftnn raison , si S' est la surface dii second poly^ne , on 
Bura S'^yç: (A, B, A', B', etc.). Donc S : S' ■.■.p':p"; 
donc if's surfaces des figures semblables sont entre ellei 
comme les quarrcs des côtps homologues. 

Venons maintenant aus poljcdres. On peut supposer 
c|u'iine face est iIcLermin^e au moyen d'un côte connu /r et 
de plusieurs angles A, B, C, etc. Ensuite le» sommels des 
angles solides, hors de cette base, seront déterminés etiaeun 
parle moj'ende trois données, qu'on peut regarder comme 
autant d'angles; de sorte que la détermination entière du 
polyèdre dépend d'un calé p , et de plusimirs angW A, B, 
C, etc. , dont 1« nombre -varie suivant la nature du polyè- 
dre. Cela posé, une ligne qui joint deux sommets , ou, plus 
généralement , loute ligne j; menée- d'une manière dëler- 
lOLDée dans le poWèdrc, avec les seules données qui 
coDstitaeRt ce solide , sera une fonction des données p , 

A , B , C , etc. ; et cinimc - doit ^tie un nombre, la fonc- 
f 

(ion égale à - ne contiendra que les angles A , B , C , etc.^ 
el on pourra supposer .r:iry>ç : (A, B, C, etc.). La surface 
du solide est homogène à p' ; ainsi, cette surface peut se 
j-eprésenter par/f' i^ : ( A, B, C, etc.); sa solidité est homo- 
pene à p', et peut se représenter par/)* n : (A, B, C, etc.), 
les fonctions désignées par 1^ et n étant indépendante» 

.Supposons qu'on construise -un second solide avec les 
mêmes angles A, B, C , etc. , et un càtép' différent de p : 
nous appellerons les solides ainsi construits sole/les sem- 
blables j et, cela posé, laiigne qui était /iCp ; (A, B, C, etc.), 
ou simplement/) a dans un solide sera p' 9 dans un autre ; 
la surface qui était/i' 1^ dans l'un sera />" ^ dans l'autre, 
et enfin la solidité qui était /*' n dans l'un sera p" n 
dans l'antre. Donc, 1" dans les solides semblables les côtés 
ou lig'ics homologues sont proj>ortionnclles ; a" leurs iurfaces 



NOTB II. 285 

ivoht comme les qUarrés des côtés homologues; 3® leurs 
soUdités sont comme les cubes de ces marnes côtés, 

' Les mêmes principes s'appliquent aisément au cercle. 

Soit c la drconfétence et s la surface du cercle dont le 
rayon est r; puisqu'il ne peut y a^oir deux cercles inégaux 

décrits du même rayon, les qjiantités ~ et -7. doivent être 

des fonctions déterminées de r : mais , comme ces quantités 
sont des nombres , elles ne doivent point contenir dans leur 

expression la ligne r; ainsi on aura -=a 9 et -7- =6, 

ft et 6 étant des nombres constants. Soit c' la circonférence 
et ^ la surface d'un autre cercle dont le rayon est r; on 

aura donc aussi -7-= a, et -r; =ۥ Donc c : c' :: r ! r', et 

*:*':: r* : r** ; donc les circonférences des cercles sont comme 
les rayons , et leurs surfaces comme les quarrés des rayons. 
Considérons un secteur dont r soit le rayon et A l'angle 
au centre ; soit x l'arc qui termine le secteur, et^ la surface 
de ce même secteur. Puisque le secteur est entièrement 
déterminé lorsqu'on connaît r et A , il faut que x et jr 

soient des fonctions déterminées de r et de A , donc - et 4 

sont aussi de pareilles fonctions. Mais - est un nombre , 

ainsi que ^\ donc ces quantités ne doivent point contenir 

r, et elles sont simplement fonctions de A , de sorte qu'on 

aura - =^ç : A, et ^ 2=<|> : A. Soient x^ tl y l'arc et la 

surface d'un autre secteur dont l'angle est A et le rayon r' ; 
nous appellerons ces deux secteurs secteurs semblables; et 

puisque l'angle A est égal de part et d'autre , on aura-j- 

=9: A,et-^=^: A.Donc^: a^ :: r:/,etj :/:: r*:/'; 

donc les arcs semblables ou les arcs des secteurs semblables 
sont proportionnels aux rayons , et les secteurs eux-mêmes 
sont proportionnels aux quarrés des rayons. 

Il est clair qu'on prouverait , de la même manière , que 
les sphères sont comme les cubes de leurs rayons. 



S86 HOTU 1 

On suppose , dan» lout ce qui précède , que les surfaces w 
mesurent par le produit de deux lignes , et les soliditci 
le produit de trois ; c'est ce qu'il est facile de déinoutrcl 
aussi par voie d'analyse. Considérons un rectangle dont les 
dimensions sontj? et 9, et sa surface qui est une fonction 
de/» et 7, représentons-la par f: {p , q). Si on considère 
un autre rectangle dont les dimensions sont p+p' et î 1 '' 
csl clair que ce rectangle est composé de deux aulres, l'uu 
qui a pour dimffisions/i el q , l'autre qui a pour dimeusiunt 
p' et 5 ," de sorte qti'on aura 

9 ■ {p +P'' 9 ) =? ; (/> 1 î ) +? : 0'- 7 )■ 
Soitp'=p, onauraç(ap, q) = if{p,q). Soh p'= 
a/), on auraç(3;j, <,) = <^{p, q)+<^{t p, i}) = 'i if 
{p, q). Sohp'^ip, 0.1 aura ç ( 4 ;? , q)=fip,q) + 
Ç ( 3 V ' 2) ^ ^ î (/*' î )■ Donc en général , si A- est on nomlire 
«niier quelconque, on aura ij* (^■/', q)^^ 9 (p, ç) ou 

p ^-p ' ' 

lelle fonction àep , qu'elle ne change pas en mettant à la 
place de p un mulliple quelconque ip. Donc celte fonction 
est indépendante Ae p , et ne doit renfermer que </. Mail 

par une raison semLlable- doit être indépendante 

1 

de q ; donc ■ ■ — ne renferme ni p m q , e\. ainsi celte 



quantité doit se réduire a une constante a. Donc on aura 
9 (j' 3) —-'*/' 3 ' ** comme rien n'empêche de prendre 
= 1 , on aura ç {p, q) ■=.p q ; ainsi la surface d'un rec- 
tangle est égale au produit de ses deni din 



n démonirerait, d'i 


ne manière absolument semblable 


la solidité d'un pa 


allélcpipede rectangle dont les di 


sionssont/i, q,r,e 


st égale au produit/) q rde ses Iroi 



Nous observerons, en finissant, quels considération des 
fonctions , qui fournit ainsi une démonstration très-simple 
des propositions fondamentales de la Géométrie, a déjà été 
employée avec succès jKiur la démonstration, des principes 
fondamentaux de la Mécanique. Voyez les Mémoires de 



HOTJS III. ^87 

NOTE III. 

Sur r approximation de la proposition XVI ^ 

livre IV. 

Dès qu'on a trouTé un rayon excédent et un déficient qui 
s'accordent dans les premiers chiffres , on peut acberer le 
calcul d'une manière très-prompte par le moyen d'une for- 
mule algébrique. 

Soit a le rayon déficient et h l'excédent , dont la diffé- 
rence est petite ; soient a' et h* les rayons suivants qui s'en 

déduisent par les formules ô'=:\/ aft, fl'=^r a, J 

Ce que l'on cherche , c'est le dernier terme de la suite a, a\ 

^, etc. , qui est en même temps celui de la suite b , l/, è^^ 

etc. Appelons ce dernier terme Xy et soit bz=za (i -f-o)); 

on pourra supposer .r = û (i -f-P « -f- Q co* -f- etc. ) , P et Q 

étant des coefficients indéterminés.. Or les valeurs de b' et a' 

donnent 

6' = ô ( I + i^ft)_|«*-f. etc. ) ; 

€i'==irt(i+^(!(>»— ^(û^ + etc). 
Et si on fait pareillement 6'=a' ( i -|-cd' ) , on aura 

w'=|w — ^ù)"etc. 
Mais la valeur de x doit être la même , soit que la suite a , 
a\ a", etc. commence par a ou par a*; donc on aura 
a(i + Pw+Qw»-f-etc.)=a^(i-f-Pa>'-4-Q«'*-f-etc.). 
Substituant dans cette équation les valeurs de a' et de a>' 
en a et 0) , et comparant les termes semblables , on en dé- 
duira P= y , et Q = — ~ ; donc 

Si les rayons a et b s'accordent dans la première moitié de 

leurs chiffres, on pourra rejeter le terme «*, et lia valeur 

b'—-a 
précédente se réduira à x= ^(i -|-ïîû))==aH 

Ainsi , en faisant a::z\^ 1282657 , et 6= i , iaâ6o63 , on 
en déduira immédiatement :i:= i , 1283792. 

Si les rayons a et 6 ne s'accordent que dans le premier 
tiers de leurs chiffres , il faudra prendre les trois termes de 
la formule précédente \ ainsi en faisant <z= i , 12^5639 et 
^=1, i32oi49t on trouvera 07=1 , 1283791. 



On pourrait supposer que a et 6 3<ml encore moinï ptèà 
l'un de l'autre ; mais alors il faudrait calculer lu valeur de 
X avec un plus fjrand nombre de termes. 

L'approximation de la Jirop. XIV , qui est de Jacques 
Cregory, est susceptible de semblables abrégés, Nous l'en- 
Voyous à l'ouvrage de cet auteur, intitulé ; fera circuù' et 
■hyperhalœ qitadituura , ouvrage d'un grand mérite pour le 
temps oii il a paru. 

NOTE IV. 
Où l'on démontre que le rapport de la circon- 
érence au diamètre et son quarré, sont des 
nombres irrationnels . 
Considérons la suite infinie 



I+-+- 



dont le terme général est. . 

i.i.i...n î.3+i.t+a....(a+/j— i) 
et supposons que tif-.zai représente la somme. Si on met 
z-\- 1 à la place de s , ç ; (:+i ) s^ra pareillement la somme 
de la suite 

Retranchons ces deux suites, terme à terme, l'une del'auire, 
et nous aurons çii»— ç: (s + j) pour la somme du reste 



Mais ce reste peut être mis sous la forme 

— -■ fiH — ^ + -- l-etc), 

et alors il se réduit à — o : (s + a). Donc on aura 

généralement 

ç:z_ç;(s4.,)~_J!__.ç;(z + a). 

Divisons cette équation par (p : (z -|- 1 ) , et , pour simpli- 
lier le résultat , soit ff : z une nouvelle fonction de s telle 



NOTB IV. ^ 289 

« 9 : (2 + 1O , n 

qne 4» : z = -. — ^ ^ ■ ; alors on pourra mettre 

^ ^ z ç;(z) *" Z(|;:s 

9:z (z+i) iL : («-f-i) 

au lieu de ; — - , et ^ au lieu de 

?:(« + i) a 

— ^ L La substitution faite , on aura 

a 

J, : z = ' -r» 

«+«]<: (z-f-i) 

Mais en mettant successivement dans cette équation z + i » 
z -f- 3 9 etc. , à la place de z , il en résultera 

J»: (z + i)=: ; -, 

z + i-f-4,: (z-ha) 

a 

<L : (z + i^)z=: ; ; etc. 

zH-2+4,:(z+'3)* 

Donc la valeur de <|; : z peut s'exprimer par la fraction 
continue : 

a 

di : z = - a 

^ zH a 



z -f- 2 -f- etc. 
Réciproquement cette fraction continue , prolongée à Tin- 

fini , a pour somme «L : z , ou son égale -. — ^-^^ ; et 

z ? ; z 

cette somme , développée en suites ordinaires , est 

a a* 

a z-f-i z+i.5 + 2 



z. a à*" 

I+-H-T. ; h etc. 

z z . Z-\- I 

Soit maintenant z=j-, la fraction continue deviendra 

2 a 



t\a 



" etc. 



dans laquelle les numérateurs , excepté le premier , sont 
tous égaux à 4 ^ 9 et les dénominateurs forment la suite 
des nombres impairs i , 3 , 5 , 7 , etc. La valeur de celte 
fraction continue peut donc aussi s'exprimer par 
Neuv. édU. 19 




. ■..î.4-,:3:z6+"'- 

Mais ces suites se rapporteot à des formule» connues , el on 
sait qu'en représentant par e le nombre dont le togariibnc 
hj-perbolitjne est i , l'expression précédente le réduit « . 



-~^. i/a; de sorte qu'on aura en génénl 



1 



5 + etc. 
De là résultent deux formules principales selon que « eit 
positif ou négatif. Soit d'abord 4 i ^ ^'i on aara 



I 



5 + etc. 

Soit ensuite 411:= — x', et en vertu de la formule connue 
— — = i/— I. tang. X , on aura 

tang..r=^_^' 

'""^-T-etc 

Celle-ci est la formule qui servira de base à noire démons- 
tration. Mais il faut , avant tout , démontrer les deux 
lemmes suivants. 
Lehne I. .Soil u 






n continue prolongée à Vinfini 



n"-|-etc. 
dans laquelle lotis les nombres m, n, m', n', etc. sont des 
entiers positifs ou négatifs i si on suppose que les frai 



ROTE IT. agi 

m m' m'' 
composantes — ,— -, — 7, etc. soient toutes plus petites que 
n n' n * ^ ^ 

Vunité 9 je dis que la valeur totale de la fraction continue 
sera nécessairement un nombre irrationnel. 

B*abord , je dis que cette valeur sera plus petite que 
Funité. £n effet , sans diminuer la généralité de la fraction 
continue , on peut supposer tous les dénominateurs n^ n\ 
n"^ etc. positifs ; or , si on prend un seul terme de la suite 

proposée , on aura , par hypothèse, — < i. Si on prend les 

n 

m! m' 

deux premiers , à cause de — 7< i , il est clair que n-\ • 

n n' 

est plus grand que n — i : mais m est plus petit que n; et^ 

puisqu'ils sont l'un et l'autre des entiers , m sera aussi plus 

m' 
petit que n ~| j. Donc la valeur qui résulte des deux 

termes 

— m: 
n-\ j- 

est plus petite que l'unité. Calculons trois termes de la 
fractiop continue proposée ; et d'abord y suivant ce qu'on 
vient de voir , la valeur de la partie 

— 7 m 

sera plus petite que l'unité. Appelons cette valeur », et il 

m, 
est dair que sera encore plus petite que l'unité : donc 

/! + « 

la valeur qui résulte des trois termes 

n' 

est plus petite que l'unité. Continuant le même raisonne- 
ment , on verra que , quel que soit le nombre de termes 
<ju'on calcule de la fraction continue proposée , la valeur 
qui en résulte est plus petite que l'unité ; donc la valeur 
totale de cette fraction prolongée à l'infini , est aussi plus 

19. 



aga notk iy. 

petite que l'unité. Elle ne jiourrait être égale à l'omté que 

daiis le seul cas ou la fraction proposée serait de la forme 

'~m" + i" — etc. 
dans tout autre cas elle sera plus petite. 

Cela posé , si on nie que la valeur de la fraction continue 
proposée soit égale à un nombre irrationnel , supposoni 
qu'elle est égale à un nombre rationnel , et soit ce nombri 

—, B et A étant des entiers quelconques; on aura donc 



n" + etc. 
Soient C , D , £ , etc. des indéterminées telles q 



et ainsi à l'infini. Ces différentes fractions continues ayant 
tous leurs termes plus petits que l'unité , leurs valeurs on 

B C D E 
sommes —,—,—,—, etc. seront plus petites que 1 unité, 

suivant ce qui vient d'être démontré , et ainsi on aura 
B<A,C<B,D<C, etc. ; d'où l'on voit que la suite A , 
B, C, D, E, etc. est décroissante à l'infini. Mais l'enchaî- 
nement des fractions continues dont il s'agit donne 

B m 

- = — -C; d'où résulte C = m A — nP, 



-^ D; d'oii résulte D^ 

B „+j 

D m" 

— ^-^7— -E; d'où résulte E = 



KOTS IT. 293 

Et pm8q[ae les deux premiers nombres A et B sont entiers 
par hypothèse , il s'ensuit que tous les autres C , D ; 
£ , etc. , qui jusqu'à ce moment étaient indéterminés , sont 
aussi des nombres entiers. Or ^ il implique contradiction 
qu'une suite infinie A , B , C , D , £ , etc. soit à-la-fois dé- 
croissante et composée de nombres entiers ; car d'ailleurs 
aucun des nombres A , B , C , D , £ , etc. ne peut être zéro , 
puisque la fraction continue proposée s'étend à l'infini , et 

. * . 1 A j. B C D , . 

qu ainsi les sommes représentées par -r-? ^^ r"* ^^^* ^^^^^'^^ 

toujours être quelque chose. Donc l'hypothèse , que la 
somme de la fraction continue proposée est égale à une 

quantité rationnelle --- , ne saurait subsister ; donc cette 

A 

somme est nécessairement un nombre irrationnel. 

LsMME 11, Les mêmes choses étant posées , si les fractions 

m m' m" 
composantes — , —-, — , etc. sont d'une grandeur quelcon- 
n n' n" 

que au commencement de la suite; mais qu'après un certain 
intervalle , elles soient constamment plus petites que l'unité; 
je dis que la fraction continue proposée ^ en supposant tou- 
jours qu'elle s'étende à l'infini^ aura une valeur irrationnelle. 

m'" 
Car , si à compter de —-^ , par exemple , toutes les frac- 

m'" nt" m"* 

tions— — , , — , etc. à l'infini, sont plus petites que 

/i"' n" n^ 

l'unité , alors , suivant le lemme I , la fraction continue . 

m"' 



n^^ H 

/i^ + etc. 

aura une valeur irrationnelle. Appelons cette valeur c» » et 
la fraction continue proposée deviendra 

m , 

n -^ — - m 

n" -f- «. 
Mais si on fait successivement 

^n'' , m' _ „ m _ ^, 

w"-f.w /l'-f-»' /i-f-tt" 



lir qnc, u étant irrationnellf , tontes les qtutntilëi 
(u'" , doivent Tèlre pareilteroent. Or, la dernière u'" 
e à la fraction continue proposée ; donc la valeur de 
eit irratio nneUe. 

pouvons nuintenant , pour revenir à notre sujet , 
lo rer celte proposition générale. 

THÉORÈMÏ. 

îi un an: ett cominensurable avec le rayon, sa tangente 
1 incommensurabU avec le même rayon. 



des nombres entiers , la formule trouvée CL-dessus donnera, 
<xa faîsiinl la substitution , ^^^ 



Or cette fraciïnn continue *■ ians le cas du lenime II; car 
il est clair -■ wrs 3 n , 5 n , 7 k , etc. ang- 

mentant Cu andis que le numérateur m' 

reste delà rafme grandeur, les fractions composantes seront 
ou deviendront bîcntàt plus petites que l'unité , donc la 

valeur de tang. — est irrationnelle ; donc , si l'arc est com- 

mensurable avec le rayon , sa tangente sera incommea- 
iurable. 

De là résulte , comme conséquence t rès -immédiate , la 
proposition qui fait l'objet de cette note. Soit ti la demi- 
circonférence dont le rayon est i ; si tt était rationnel , l'arc 

— le serait aussi, et par conséquent sa tangente devrait être 

irrationnelle ; mais on sait, au contraire, que la tangente 

de l'arc - est égale au rayon i ; donc iu ne peut être ration- 

4 
ncl. Donc U rapport de la circonférence au diamètre , est 
un nombre irrationnel (1). 



NOTB T. apS 

U est probajble que le nombre 77 n'est pas même compris 
dans les- irrationnelles algébriques , c'est-à-dire , qu'il ne 
peut être la racine d'une équation algébrique d'un nombre 
fini de termes dont les coefficients sont rationnels : mais il 
parait très-difficile de démontrer rigoureusement cette pro- 
position ; nous pouvons seulement faire voir que le quarré 
de TT est encore un nombre irrationnel. 

£n effet , si dans la fraction continue qui exprime tang. x^ 
•n fait :tr='7r > à cause de tang. 17 = o , ou doit avoir 

= 3 — T- -TT' 

9 — etc. 

m 
Mais si ir* était rationnel, et qu'on eût w* = — , mt\.n 

étant des entiers , il en résulterait 

on m 

7 m 

gn 

II — etc. 

Or , il est visible que cette fraction continue est encore 

dans le cas du lemme II , sa valeur est donc irrationnelle , 

et ne saurait être égale au nombre 3. Donc le quarré du 

rapport de la circonférence au diamètre , est un nombre 

irrationnel. 

NOTE V. 

Où Von donne la solution analytique de divers 
problèmes concernant le triangle , le quadri- 
latère inscrit , le parallélépipède et la pyra- 
mide triangulaire. 

PEOBLEMB PREMIER. 

Étant donnés les trois côtés d'un triangle , trouver sa sur- 
face y le rayon du cercle inscrit et le rayon du cercle cir» 
conscrit. 

Soient les côtés BC = a^ AC = 6^ JLB = c; si du som- £g. 3^4. 
met A on abaisse la perpendiculaire AD sur le côté opposé 

BC , on aura * AC = AB*-f- BC — aBC X BD ; donc BD = ♦ xa. 3. 



a'+c-—f>' 



Cette valeur donne AB — BD on 

K + ^'-i-)-. 



_tXf4n-c' --(«-- 

on aura S = iBC X AD; donc 

S=^l/[4a''-'~C'''-H*-''')'Ml/C'*a'*'+aa"c"+a**c*-a*-J'-< 
Celle formule peut encorf se réduire à une autre forme 
plus commode pour le calcul logarithmique; pour cela il 
faut obiervor que la quantité 4n" c' — (n' + c" — 6')' est I 
le produit drs deux facteurs a ac+ (a' + c' —b') et a ac— j 
(a' + c-— *■); le premiers (fl+cy — 6' = (a+c+è) 1 
(a+c— 6); lesecond=6'— (a— c)'=(A+a— c)(6— a+e); | 

S=^i/[Ca+i+<^) (fl+6— c) («+c— ô) (6 + c— o). 
Enfin si on fait '^Pi ce qui donne « + fc+c^a/), 

on aura encore plus simplement 

S — \y(p.p —a .p~b ,p~c). 
D'où l'on -voit que pour avoir la surface d'un triangle dont 
les trois cotés sont donnés , il faut prendre la demi -somme 
des trois côtés, de cette demi- somme retrancher successive- 
ment chacun des côtés , ce qui donnera trois restes , multi- 
plier ces trois restes entre eux et par la demi-somme des 
côtés , et enfin extraire la racine quarrée du produit : cette 
racine sera l'aire du triangle. 

Soient maintenant z le rayon du cercle circonscrit au 
triangle , et u le rayon du cercle inscrit dans ce même tri- 
angle, on aura suivant la prop. xxxii, liv. m, 

z_ ^ et«_^_^^^^_^, onc en su stiiuant a 

valeur irouvée de S , il 

/p — a .p — * .p — c' 

'\/{p.p '" " ——— 






NOTE V. 297 



»&OBLEMS II. 



Étant donnés les quatre côtés d*un quadrilatère inscrit , 
trouver le rayon du cercle ^ la surface du quadrilatère et 
ses angles. 

Soient les côtés donnés AB=:« , BC=è, CD=c , DA=rf, fig. ^t^. 

et les diagonales inconnues AC=^ , BD= j , on aura , sui- 

• a? ad-\'bc 

Tant le tnéor. 33 , liv. m , a^v =«<:+ M et - z= — ; ;; 

y ab + cd 

d'où l'on tire 

y /{ac-{^d) {ad+bc)\ y f{ac-^d) (ab+cd)\ 

''=V V — ^^b+^ — j'-^=V/ (^ — âd+Tc — / 

Mais , suivant le problème précédent , le rayon du cercle 

circonscrit au triangle ABC y dont les côtés sont a^ b^x^ peut 

ab X 
s'exprimer par la formule z = — --= ; ; : r-=* 

Substituant au lieu de x la valeur qu'on vient de trouver 
et décomposant le résultat en facteurs , on aura 

__ y r {ac-\-bct) {ad-\.bc) (ab-^cd) 1 

^^Y ^(^a-i-b-^-c—d) {a+b-i-d—c) {a+c-^-d—b) (^+c+ J— a)J * 

^abx 
Cela posé , l'aire du triangle ABC = * , celle du trian- 

^cdx 
glc ADC = * ; donc l'aire du quadrilatère ABCD = 

z 

(^ab-i-cef) X 

^' 'z 

=^^[{iH4fH>-d) (a+M-«^-c) («H-c-Hf— 6) (b^c+d^-a)]. 
Et si on fait , pour abréger ^ pz=:\ (<i-f- ô+c-f- rf) , on 
aura Taire ABCD =z\/ {^p—a.p—b.p—cp—d). Enfin pour 
avoir l'un des angles , par exemple , Tangle B , on obser- 

a*-\-b* — X* 

vera que le triangle ABC donne cos B = j 

21 ab 

substituant la valeur de x et réduisant , ou aura cos B = 

a*^b*—c*—d\ ^ ,, . I— cosB ^,^ 

; ; . De la on tire — , ou tang. ' -^ B 

a ab-^- % cd i H- cos B 



agS nOTB T. 

tang. 4 I 



-(f=?ff^> 



Z)an« & quadrilatère ABDC dont les an^es opposés'^ 
et C sont droits , étant donnes /es deii.^ côtés AB , AC aves 
rangle compris BAC , trouver les deux autres côtés et la 
àiagiinale AD. 

Soi! AC ^= 6 , AB =: c , et l'aogle BAC = A ; si l'on pro. 
longe BD et AC jusqa'à leur rencontre en E , le triangle 
BA£ rectangle en B, où l'on connail l'angle BAE et le côté 

AE , donnera AE ^ ; donc CE ^ — b. Ensnîle 

le irianttle DCE rectangle en C , où l'on eonnait le coié 
CE et l'anele CDE = A, donnera CD^CE cot A = 

; — - — — . On aura donc aemblablement BD ^ ; — - — .. 



v/('-(^^)0= 



'S deux côtés cherchés du quadrilatère- 
(ulte la diagonale A D := [/ C A c'-4- B c") =: 
l/(è*+c'-a6ccosA) . 
z — i . Mais par 

e BAC on aurait BC = v/(f-Hc'— aie cos A). 
Donc la diagonale AD, qui joint les deux angles obliques, 
est à la diagonale BC qui joint les deux angles droits :: i 
:sin A. 

Sc/iolie. La diagonale AD est en même temps le di»- 
metre du cercle dans lequel le quadrilatère ABDC serait 

Dans ce cercle on aurait l'angle ABC = ADC , donc en 
abaissant C F perpendiculaire sur AB, les triangles BFC, 
ADC sont semblables et donnent AD :BC:: ACrFC:: i ; 
sin A ; ce qui s'accorde avec le ri^sultat précédent. 



Mk^. 



NOTE T. 299 



PROBLEME IV. 



Étant données les trois arêtes cVun parallélépipède avec 
les angles qu'elles font entre elles , trouver la solidité du 
parallélépipède. ^ 

Soient les arêtes SA.z=z/^ SB=^, SC=^, et les angles fig 278, 
compris A^B=:y , ASC =6 , BSC=: a. Si du point C on 
abaisse CO perpendiculaire sur le plan ASB , le triangle 
rectangle CSO donnera CO = CS sin CSO = A sin CSO. D'ail- 
leurs la surface du parallélogramme ASBP :=/g sin y. Donc 
si on appelle S la solidité du parallélépipède SX , on aura 
S:=::/gh sin a sin CSO. Il reste à trouver sin CSO. 

Pour cela du point S comme centre et d'un rayon = i , 
décrivez une surface sphérique qui rencontre en D , E , F, G , 
les droites SA , SB , SC , SO ; vous aurez un triangle DEF 
dans lequel l'arc FCr est perpendiculaire sur ED , puis- 
que le plan CSO est perpendiculaire sur ASB. Or le 
triangle DEF, où l'on a les trois côtés DE = y, DF = 

^ _,_ _ ^ cos 6 — cosacosv . ^ 

6 9 EFz=a , donne cos E = : : , et sin E =: 

sm a sin y 

1/^(1 — cos* a — cos* ê — cos* y + 2 cos a cos 6 cos y ) 

sin a sin y 

Ensuite le triangle rectangle EFG donne sin GF ou sin CSO 

= sin £ sin £F=: sin a sin £7I)onc S=fgh sin a sin y sin £, 

ou 

Ss=/^^/(i-- cos* a — cos* 6— cos*y + 2cos a cos 6 COSy). 

Dans cette expression la quantité sous le radical est le 

produit des deux facteurs sin a sin y -f- cos g — cos a cos y et 

sin a sin y—cos 6+cos a cos y. Le premier=cos 6— cos (a-Hy) 

z=z 2 sin î sin ï » le secondzzicos (a— y)— cos t 

. a~|-6— — y . ê-f-y—"* 

=i:asm' î-sm : — 5 Donc la soKdité cherchée 

a 2 

S = >/gA x/ r.ia'îl^»in"-±!=ïsi„»jbc!,i„!±rZîl . 
^ L ^ 2 2 2 J 



[ 



PROBLËUB T. 

Les mêmes choseï étant données que dans le- problème 
précédent, trouver l'erpression de la diagonale qui joint 
deux sommets opposés. 
1. Soit la diagonale de la base SP=s el la diagonale 
chercii^ ST =l u ; le triangle ASP dans lequel cos SAP 
^ — cos y, donnera z'^f' -\-g^ -\-')fgcai-^; [lafeilleroeat 
le trianfîic TSF dans lequel co! 1TS=— tos CSP , don- 
nera u':=a'+A'+aAï cos CSP. Il ne s'agil plus que 
d'avoir le cosinua de l'angle CSP ou de l'arc FH : oc 
dans le triangle sjilii^-rique EFH , on a cos FH = 
cos E F cos E H + sin EF sin EH cos E ; subsliiuani Let 

valeurs EF;^ a et cos £=:■ — : r-^ ^, il vieoèni, 



Let I 

■I 



oosFH^cosacosEHH , (cos ë — cos a cost)^I 

sin 7 
sin EH cos 6 sin(Y^EH>cosa _ 5inEHcQsg+sinDHeosi 

sin Y siu T- sin 

Donc aAî cos FH , ou -khz cos CSP — aA cos €■ 
I sin EH zsin DH 

—. hsAcosa- . Mais dans le triangle BSP 

sin y sin ï 

SP sin BSP SP sin BPS . , 

«n a BP = — — — et BS = , ce qui donne 

sin SBP sin SBP ^ 

5 sin FJI î sin DH 

— : =/et = g. Donc aAz cos CSP = a/* 

sm Y sin y 

cos g -H %gh COS. a. Donc enfm le quarré de la diagonale 

r<'=/'+g'+A* + a/^cosï + 3/A cos '6 + af A cos «. 

Corollaire. L'angle solide A est formé par les arêtes 
f, g , h , faisant entre elles deuit à deux les angles 'koo'* — y , 
aoo''~S, a.', ainsi il suffit de elianger les signes de cos y et 
cos e dans l'expression de SE pour avoir celle de AM. 
Faisant de même pour les deux autres diagonales , on aura 
les valeurs de leurs quarrcs comme il suit i 



H TB T. 3ot 

AM==/* +^+ ^■— ^/g cos Y — 2/^ cos 6 + 2 ^ À cos a 

BN :±/*+^'+ A* — a/g' cos y + a/A cos 6 — a ^ A cos a 

CP=/*+^+A*+a/^cosY — a/A cos 6— a ^A cos a 

De là on tire ST + AM +BN + CP = 4/* + 4g^+ 4 A* . 
Donc, dans tout panUléiepipede , la somme des quarrés des 
quatre iUagonales est égale à la somme des quarrés des 
douze arêtes. Ce théorème remarquable et analogue à celui 
qui a lieu dans le parallélogramme * , pourrait se déduire * 14. 3. 
immédiatement de ce dernier. Car au moyen des parallélo- ^^^' 
grammes SCTP , ABMN , on a 

ST + CP = a se + a SP* 

ÂM4-BN = a BM*+a ÂB*. 
Ajoutant ces deux équations et observant qu'on a SCr=BM 

et SP + AB = aSÂ'-haSB*, il viendra ST*-h Âm'+ 

BN + CP = 4 SA + 4 SbV 4 sel 



PROBLEME VI. 



Étant données les trois arêtes qui aboutissent à un même 
sommet d*une pyramide triangulaire , et les trois angles 
que ces arêtes forment entre elles , trouver la solidité de la 
pyramide. 

Soit s ABC la pyramide triangulaire proposée , dans £§.271;. 
laquelle on connaît les arêtes SA =/, SB ^g^, SC = A , 
et les angles compris A.SB = y, ASC = 6, BSC = a. Si 
sur les arêtes SA , SB , SC , données de grandeur et de 
position , on décrit le parallélépipède S T , la pyramide 
qui est le tiers du prisme triangulaire BSANMC sera !• 
sixième du parallélépipède ST. Donc en appelant P la soli- 
dité de la pyramide , on aura , d'après le probl. iv , 
l^=-ifgh\/{i — cos*a — cos'g — cos ^ Y +2 cos a cos g cos y) 

©uP=7y^V^[sin î-sm -sia — - — sin-î ^J. 



a a a a 



PROBLBIIE yil. 

Étant donnés les st^ côtés ou arêtes d'une pyramide In- 
angulaire , trom-er sa loliditè. 

Si l'on conserve les mêmes dénominations que dans le 
problème précédeni , et qu'on fasse de plus BC=y, 

CL=^, BA=A' , on aura cos v =/' ^ ^' ~ '''.'.. , cos 6 = 
a/g- 



f'+h'—e' _ _g'+h'~f' 



Substituant c: 



a/A • u 

leurs dans la formule trouvée , et faisant pour abréger 

ou aura la solidité demandée 
P=^l/(4j(" ^ A'—/- F'— é- G*— A' H- + FGH). 
Dans l'application de ces formules on observera que/, 
^ , A', désignent les cotés d'une même face ou base, et 
/, g-, A, les trois autres ariHes , qui aboulis^eut au sommet, 
leur disposition étant teUe que f est opposée ày , g à g* 
<t A B A'. 

Scholie. Soit À la somme des quatre triangles qui com- 
posent la surface de la pyramide . soit rie rayon de la splirre 
inscrite; il est aisé de voir qu'on a P^AXj''; car on peut 
a pyramide décomposée en quatre autres, qui 
)ur sommet commun le centre de la sphère, 
et pour bases , les différentes faces de la pyramide. On a 

3P 
donc le rayon de la spbere inscrite r-= ---■ 

PROBLÈME TIII. 

Les mêmes choses étant données que dans le problème VI, 

trouver le rayon de la sphcre circonscrite à la pyramide. 

Soit M le centre du cercle circonscrit au triangle SAB, 
MO la perpendiculaire menée par le point M sur le plan 
SAB ; soit pareillement N le centre du cercle circonscrit 
au triangle SAC, NO la perpendiculaire élevée par lo 
point N sur le plan SAC. Ces deux perpendiculaires situées 
dans un même plan MDN perpendiculaire à SA , se ren- 
contreront en un point G qui sera le centre de la sphère 



HOTE T. 3o3 

circonscrite ; car le point O , comme appartenant à la per« 
pendiculaire MO , est à égale distance des trois points S j 
B , A ; et ce même point , comme appartenant à la per- 
pendiculaire NO , est à égale distance des trois point» 
S , A , C ; donc il est à égale distance des quatre points S, 

A y B , C. 

On peut imaginer que le point M est déterminé dans le 
plan S A B , au moyen du quadrilatère S D M H , dont les 
deux angles D et H jsont droits , et où Ton a SDzizj/^ 
SH = 7^, et A 86 = -^. Donc on aura (d*après le pro- 

— g — tJ^^^^ y 

blême III ) , D M =r ^ :^ : semblablement on aura 

sm Y 

sin g 

Appelons D l'ange MDN qui mesure l'inclinaison des 

deux plans SAB , SAC ; dans le triangle sphérique dont 

c , 6979 sont les côtés , D sera l'angle opposé au côté, a , et 

. . cos a — cos "Y cos 6 

ainsi on aura cos D = ; r-^ , de sorte que 

sm Y sm g 

l'angle D peut être supposé connu. 

Cela posé , dans le quadrilatère O M D N dont les deux 

angles M et N sont droits , et où l'on connaît les deux 

côtés MD, DN et l'angle compris MDN=:D, on aura 

par le problème m, le quarré de la diagonale OD = 

Dm'+DN — 2DM X DN cos D . , , . , 

: — . Ensuite dans le tnanglc 

sin' D ^ 

OSD rectangle en D, on aura SOzziOD + SD : c'est la 
valeur du quarré du rayon de la sphère circonscrite. 

Si on fait la substitution des valeurs de D M , D N et 
ensuite celle des valeurs de cos D et de sin D , afin d'avoir 
immédiatement l'expression du rayon SO , par le moyen 
dei données du problème vi , on trouvera pour résultat : 

sin * a-f^ * sin ■ g-f^ * «in * Y — ^/ff (cosy— cosg cosa ) â 
çri ~\ / -^ — 2/^(c*>*€ — cosacosy) — a^A(cosa — cosy cosg) >. 

I.— co8*a — cos* g — cos * y -f- a cos a cos g cos y / 



3û4 



^ 



Sur la plus courte dislance de deux droites non 
situées dans le même plan. 

Soient AB, CD, deux droites données , non situées dans le 
même plan, dont il s'agit de irouïer la plus courte distance- 

Suivant AB faites passer deux plans perpendicu] Elites 
entre eui qui peneonlrent CD l'un en C , l'autre en D ; des 
points C et D abaissez CA et DB perpendiculaires sur AB ; 
dans le plan ABD menez DE parallèle et AE perpendiculaire 
à BA , te qui formera le rectangle ABDE ; dans le plan CAE 
joignez CE et menez AI perpendiculaire à CE ; enfin dans le 
plan CDK tnenez IK ])arallele a DE juiqu'à la rencontre de 
CD en K, faites AL^IK et joignez KL; je dis, i" que U 
droite K.L est perpendiculaire à-la-foi* aun deux droite» 
données AB , CD; a° que cette m^e droite KL est plus 
courte que toute autre qui joindrait deux points des ligaes 
AB , CD, et qu'ainsi KL , ou sou égale AI , est la plas courte 
distance demandée. 

En cffot, i" les Irols droiles ATi , AC , AE f'iant par 
construction perpendiculaires entre elles, l'une d'elles AB 
est perpendiculaire au plan des deux autres ; donc AB 
est perpendiculaire à AI; d'ailleurs Kl est parallèle a DE, 
et DE à AB , donc Kl est parallèle à AB , et puisqu'on a fait 
AL=KI, il s'ensuit que la figure AIKL est un rectangle. 
Cela posé, l'angle AIK est droit ainsi que AIC, donc la 
droite AI est perpendiculaire au plan KIC ou ODE ; donc 
sa parallèle KL est perpeiidirutaire au même plan CDE, 
et par conséquent est perpendiculaire à CD. Donc, i" la 
droite KL est perpendiculaire à-la-fois aux deux droites 
AB, CD. 

3" Soit M un point quelconque de la droite CD; si par 
ce point on mené J>IN parallèle à DE ou à AB , la distance 
du point M à la droite AB sera égale à AN , puisque l'angle 
BA.\ est droit. Or on a AN> Al ; donc AI est la plus courte 
distance des lignes données Alt , CD. 

Soient le» perpendieulaires CA = a, etDB = AE = é, 



NOTE VII. 3à5 

on aura CE:=:v/ {^*+b*)\et parce que Taire du triangle 

ACE s'exprime également par ^ AC X AE et par ^ CE X AI , 

^ ^^ ACXEA ab 
on aura AI=: — = — 7— rrr* C est 1 expression 

de la plus courte distance des lignes données. 

Si en même temps on fait la distance AB =: c , et qu'on 

appelle A l'angle compris entre les deux lignes données , 

c'est-à-dire l'angle CDE , compris entre la ligne CD et une 

parallèle DE à la ligne AB , le triangle CDE rectangle en £ 

DE c 
donnera cos CDE= -—— , ou cos A=: — ;— ; -r > 

car on a CD*=: CE + ED = a* + ô* + c*. De là on tirerait 
aussi sin A = — r—rr — tz ^tt— et cot A = 



NOTE VIL 
Sur les polyèdres symmétriques. 

C'est pour plus de simplicité que nous ayons supposé 
dans la déf. 16 , liv. YI, que le plan auquel les polyèdres 
symmétriques sont rapportés , est le plan d'une face : on 
pourrait supposer que ce plan est un plan quelconque , 
et alors la définition deviendrait plus générale , sans qu'il 
y eût rien à changer à la démonstration de la propos, ir, 
par laquelle nous avons établi les relations mutuelles des 
deux polyèdres. On peut aussi prendre une idée très-juste 
de la manière d'être de ces deux solides , en regardant l'un 
des deux comme l'image de Tautre formée dans un miroir 
plan , lequel tiendra lieu du plan dont nous venons de 
parler. 

NOTE VIII. 
Sur la proposition XXV^ livre VII > 

Ce théorème qu'Euler a démontré le premier dans les 
Mémoires de Pétersbourg , année 1758, offre plusieurs 
conséquences qui méritent d'être développées. 

1^ Soit a le nombre des triangles , b le nombre des qua-^ 
Neuv* édiu 20 



3o6 ?iOT£ Vtli. 

drilateres, c le nombre de» pentagones, etc. qui composeul 
la surface d'un polyèdre; le nrimbre tolal des faces sera 
^ _)- i _j_ c "1- d-\- elL-. , et le nombre total de leurs tôles sera 
3a + 4i+5c + 6rf+etc. Ce dernier nombre est double de 
celui des arêtes , puisque la même arête appartient à deux 
faces , ainsi on aura 

H=a + 6 + c + -/+etc. 

îA=3tï-|-46 + 5c + 6rf+etc. 

£t puisque, suivant le théorème dont il s'agit, 8 + 11=:^ A 

aS = 4 + a + a6+3c+4rf+etc. 
Une première remarque que fournissent ces Taleurs , c'est 
que le nombre des faces impaires a-(-c+e+elc. est tou- 

On peut faire pour abréger w:^ 6 + ac + 3d+ etc., et 

S = a+^H + 4a). 
AJnsi dans tout polyèdre on a toujours A>4H, et S> 
a ~\—^ H , oii il faut observer que le signe > n'exclut pas ï'éga- 
lité, attendu qu'on pourrait avoir ti^o. 

Le nombre de tous les anglvs plans du polyèdre est a A, 
celui des angles solides est S , de sorte que le nombre moyen 

des angles plans qui forment chaque angle solide, est — ; — . 

Ce nombre ni; peut itre moindre que 3 , puisqu'il faut 
au moins trois angles plans pour former un angle soUde ; 
ainsi on doit avoir 2A>'iS, le signe > n'excluant pas 
l'égalité. Si on met au lieu de A et S leurs valeurs eu 
Hetu,onaura3H + o>>G + ?H + |w,ou3H>ia+(o. 
Remettant les valeurs de H et u en a, 6, c, etc., il en 
résultera 

d'où l'on voit que a, b, c, ne peuvent pas être zéro à-la- 
fois , et qu'ainsi il n'existe aucun polyèdre dont toutes les 
faces aient plus de cinq côtés. 

Puisqu'on aH>4 + iw, la substitution dans les valeur» 
de S et de A donnera S>4+f w, et A>6+tij. Mais ei^ 
même temps on a w < 3H — i a; et de là il réjidte S < a H— .'(, 



A 



NOTE VIII. 3o> 

crt A < 3H •— 6 , où Ton se souviendra que les signes > et 
< n'excluent pas l'égalité. Ces limites ont lieu généralement 
dans tous les polyèdres. 

Q? Supposons aA>4S, ce qui convient à une infinité 
de polyèdres , et nommément à ceux dont tous les angles 
solides sont formés de quatre plans ou plus , on aura dans 
ce cas H>8 + <<>9 ou, en faisant la substitution, 

a > 8 -h c + id+ 3e 4- etc. 
Donc il faut que le solide ait au moins huit faces triangu- 
laires ; la limite H > 8 -Ho donne S > 6 -+- w , et A > i a + ao). 
Mais on a en même temps O) < H-^ 8 ; et de là résulte S < H 
— a, A<aH — 4. 

3® Supposons 2 A > 5 S , ce qui renferme entre autres 
polyèdres ceux dont tous les angles solides sont au moins 
quintuples , il en résultera H > ao -|- 3 w , ou 

a>20 + 2Ô+5c+8 d-i- etc. 
Et on aura en même temps S>i2 + 2a>,etA>3o + 5co; 
enfin de ce que <»> < j ( H — 20 ) , on tire les limites S < ' 
|(H-a),A<|(H-2). 

On ne peut supposer 2A = 6S; car on a en général 
2A + 2Cd+i2 = 6S; donc il n'y a aucun polyèdre dont 
tous les angles solides soient formés de six angles plans ou 
plus ; et en effet la moindre valeur qu'aurait chaque angle 
plan , l'un portant l'autre , serait l'angle d'un triangle équi* 
latéral , et six de ces angles feraient quatre angles droits , 
ce qui est trop grand pour un angle solide. 

4^ Considérons un polyèdre dont toutes les faces soient 
triangulaires , on aura &>=: o , ce qui donnera A =-^ H , et 
S= a + Y^* Supposons en outre que tous les angles solides 
du polyèdre soient en partie quintuples , en partie sextu- 
ples ; soit/7 le nombre des angles solides quintuples, q celui 
des sextuples , on aura S z=p -|- 7 et 2 A =r 5/? + 6q, ce qui 
donne 6 S — 2 X=zp : mais on a d'ailleurs A=-| H, et S=: 
a + ^H; doncjD = 6S — aA= 12. Donc si un polyèdre a 
toutes ses faces triangulaires^ et que ses angles solides soient 
en partie quintuples , en partie sextuples , les angles solides 
quintuples seront toujours au nombre de m. Les sextuples 
peuvent être en nombre quelconque : ainsi , en laissant q 
indéterminé, on aura dans tous ces solides S=^ la + j^, 
'R=:%o + %q, A=3o + 3^» 

20. 



NOTE TIII. 

ces applications par la recliercbe du 
m de ccinOitians ou données nécessaires pour déler- 

m>— .> un polyèdre; question intéressante , et qu'il ne parait 
pas qn'on ait encore résolue. 

Supposons d'abord que le polyèdre soitrf'une espèce dé- 
terminée, c'est-à-dire qu'on connaisse le nombre de ses 
faces, le nombre de leurs côtés individuellement, et leur 
disposition les unes à l'égurd des autres. On connaît donc 
les nombres U , S , A , ainsi que a, b , c ,tl, etc. ; il ne s'agit 
plus que d'aToir le nombre de données effectives , lignes ou 
angles, par le moyen desquelles le polyèdre peut être cons- 

Considérons une des faces du polyèdre que nous pren- 
drons pour .sa base. Soit n le nombre de ses côtés ; ii faudra 
an — 3 données pour déterminer cette base. Les angles 
solides hors de la base sont au nombre de S — n ; le som- 
met de chaque angle exige Iroia données pour sa détermi- 
nation ; ainsi la position de S — n sommets exigerait 3S — 
3n données, auxquelles ajoutant les in — !t de la base, 
on aurait en tout 3S — n — 3. Mais ce nombre est en gé- 
néral trop grand , il doit être diminué du nondire de con- 
ditions nécessaires pour que les sommets qui répondent à 
une même face soient dans un même plan. Nous avons 
appelé n le nombre de côtés de la base, appelons de même 
n' , n", etc. les nombres de cotés des autres faces. Trois 
points déterminent un plan; ainsi ce qui se trouvera de 
plus que 3 dans cbacun des nombres n', n", etc. donnera 
autant de conditions pour que les différents sommets soient 
situés dans les plans des faces auxquelles ils appartiennent , 
et le nombre total de ces conditions sera égal à la somme 
(„'_3)4.(„"_3) + (7i"'— 3}+ etc. Mais le nombre des 
termes de cette suite est H — i , et d'ailleurs n + n'-i- n" 
-\- etc. :^^ a A ; donc la somme de la suite sera a A — « — 
3(H— i). Retranchantcettesommede3S — n — 3, il res- 
tera 3S — 2A + 3II — 6, quantité qui, à cause de S -H H z= 
A+2, se réduit à A. Honc le nombre île données néceisaires 
pour déterminer un polyèdre , parmi tous ceux de la même 
espèce , estt'ffil au nombre de ses arêtes. 

Remarqucï cependant que les données dont il s'agit ne 



NOTE VIII. Sop 

doivent pas être prises au hasard parmi les lignes et les 
angles qui constituent les éléments du polyèdre ; car , quoi- 
qu'on eût autant d'équations que d'inconnues , il pourrait 
se faire que certaines relations entre les quantités connues 
rendissent le problème indéterminé. Ainsi il semblerait , 
d'après le théorème qu'on vient de trouver, que la connais- 
sance des arêtes seules suffit en général pour déterminer un 
polyèdre; mais il y a des cas où cette connaissance n'est 
pas suffisante. Par exemple , étant donné un prisme non 
triangulaire quelconque , on pourra former une infinité 
d'aures prismes qui auront des arêtes égales et placées de 
la même manière. Car, dès que la base a plus de trois côtés , 
on peut , en conservant les côtés , changer les angles , et 
donner ainsi à cette base une infinité de formes différentes ; 
on peut aussi changer la position de l'arête longitudinale 
du prisme par rapport au plan de la base , enfin on peut 
combiner ces deux changements l'un avec l'autre ; et il en 
résultera toujours un prisme dont les arêtes ou côtés n'au- 
ront pas changé. D'où l'on voit que les arêtes seules ne 
suffisent pas dans ce cas pour déterminer le solide. 

Les données qu'il convient de prendre pour déterminer 
un solide , sont celles qui ne laissent aucune indétermina- 
tion , et qui ne donnent absolument qu'une solution. Et 
d'abord la base ABCDË sera déterminée entre autres ma- fig. 2S1. 
nieres , si on connaît le côté Afi , avec les angles adjacents 
BAC , ABC , pour le point C ; les angles BAD , ABD, pour 
le point D, et ainsi des autres. Soit ensuite M un point dont 
il faut déterminer la position hors du plan de la base ; ce 
point sera déterminé , si , en imaginant la pyramide MABC, 
ou seulement le plan MAB , on connaît les angles MAB , 
ABM , et l'inclinaison du plan MAB sur la base ABC. Si 
on détermine , par le moyen de trois données pareilles la 
position de chacun des sommets du polyèdre hors du plan 
de la base , il est clair que le polyèdre sera déterminé abso- 
lument et d'une manière unique , de sorte que deux polyè- 
dres construits avec les mêmes données seront nécessaire-: 
ment égaux ; ils seraient cependant symmétriques l'un de 
l'autre, s'ils étaient construits de différents côtés du plan 
de la base. 



3io BOTE viir. 

Il n'est pai loujours nécessaire d'avoir trois données 
pour déterminer chaque sommet li'un polyèdre ; car si 
le point M doit se trouver sur un plan déjà déterminé dont 
l'intersection avec la base soit FG , il suffira , après avoir 
pris FG à volonté, de connaître les angles MGF, MFGj 
ainsi il faudra une donnée de moins. Si le point M doit se 
trouver sur deux plans déjà déterminés , ou sur leur inter- 
section commune MK qui rencontre le plan ABC en K.on 
connaitra déjà le côté AR, l'angle AKftI , et l'inclinaison du 
plan AKM Sur la base ; il suffira donc d'avoir pour nouvelle 
donnée l'angle MAK. C'est ainsi que le nombre de données 
nécessaires pour déterminer un polyèdre absolument et 
d'une manière unique, se réduira toujours au nombre de 
ses arêtes A. 

Le côté AB et un nombre A — i d'angles donnés déter- 
minent un polyèdre; un autre côté à volonté et les mûmes 
angles détermineront unpolyèdre semblable. D'où il suit que 
le nombre de conditions m^cssain-s pour que deux polyèdres 
de la même espèce soient semblables , est égal au nombre des 
arêtes moins un. 

La question qu'on vient de résoudre Serait beaucoup plus 
simple si on ne connaissait pas l'espèce du polyèdre, mais 
seulement le nombre de ses angles solides S. Déterminez 
alors trois sommets à volonté par le moyen d'un triangle 
où il y aura trois données ; ce triangle sera regardé comme 
la base du solide, ensuite les sommets hors de cette base 
seront au nombre de S — ^ ; et la détermination de chacun 
d'eux exigeant trois données, il est clair que le nombre 
total de données nécessaire» pour déterminer le polyèdre , 
sera3 + 3(S — 3),ou3S — 6. 

H faudra donc 3 S — 7 conditions pour que deux polyè- 
dres qui ont un égal nombre S d'angles solides soient sem* 
blables entre eux. 

NOTE IX. 

Sur les polyèdres réguliers . (f^ojez l'appendice 

au livre VII.) 

n'eus nous sommes attachés dans la proposition It de cet 
appendice à démontrer l'existence des cinq polyèdres régu- 



NOTE IX. 3ir 

tiers, c'est-à-dire, la possibilité d'arranger un certain nombre 
de plans égaux de manière qu'il en résulte un solide uniforme 
dans toute son étendue. Il nous a paru que dans d'autres 
ouvrages on suppose cet arrangement existant , sans trop 
en rendre raison ; ou bien on ne le démontre , comme a 
fait Euclide , que par des figures compliquées et difficiles 
à entendre. 

Le problême de déterminer l'inclinaison de deux faces 
adjacentes du polyèdre, et celui de déterminer les rayons 
des sphères inscrite et circonscrite , sont réduits dans les 
problèmes III et IV à des constructions fort simples ; mais 
il ne sera pas inutile d'appliquer à ces mêmes problêmes le 
calcul trigonométrique qui fournira d'ailleurs de nouyelles 
propositions. 

Soient <z^ b,c, les trois angles plans qui composent l'angle ^g- ^^s- 
solide O, et soit proposé de trouver l'inclinaison des plans 
où sont les angles a et 6, on décrira du centre O le trian- 
gle sphérique ABC , dans lequel on connaîtra les trois côtés 
BC=:;<z', AC=^, AB = c, et il faudra trouver l'angle C 
compris entre les côtés a et b. Or, par les formules con- 

^ cos c ' C03 Q ces b 

nues , on a cos C = : : — ; . Celte formule appli- 

sin a sm b 

quée aux cinq polyèdres réguliers , va nous faire connaître 

l'inclinaison de deux faces adjacentes dans chacun de ces 

solides. 

Dans le tétraèdre , les trois angles plans qui composent fig. ^43. 

TangLe solide S , sont des angles de triangles équilatéraux ; 

soit donc la demi -circonférence ou l'arc de aoo*=iPy on 

- ^ cos a — cos* a 

aura azz:6z=:c=:j«; donc cos C zzr : zn 

sm' a 

cos a ( I — cos/z) cos a 

.. 3::: ; mais on sait que cos t '^ 

I — cos' a i+cosa * * 

= \ , donc cos C = j. 

Dans Vhexaèdre ou cube , les trois angles plans qui for- fig* *44« 
ment l'angle solide A, sont des angles droits; ainsi on a 
a=i6=c=~it,etcos « = o; donc cos Czzzo. Donc l'angle 
de deux faces adjacentes est un angle droit. 

Dans V octaèdre , si l'on fait az=i'ÙKSz=z\ ir, ^ = DAT fig« ^45. 
rpAo -i rt cos4« — COS'-jW 

=-; iT, c=:TAS=iir, on auracosCzi: •^. i— 

sin' jw 



Jia NOTEIX. 

Or, cos -1-11 = 0, co* 11 = 7, sin jic^^v'î;(loiiccoïC^ 

'. D'où l'on voit que l'inclinaison des faces de l'octaèdre 

et l'inclinaison des faces du tétraèdre sont deux angles sup- 
pléments l'une de l'autre. 
Cg a46. Dans le dodécaèdre , un angle solide est formé de trois 
angles plans égaux, chacun, k l'angle d'un pentagone 
régulier; ainsi, eu faisant a^i^c^jiï, on aura 
cos a , , . 1—1/5 



donceosC = ^^ r = - ' sinC^-^, et tangC= 

S— v'S v/5 



ïg i47- Dans VUosaédre , il faui raire c := C B' D' =r 
é = C'B' A' = i«,C ra.oaC:^ ''"^ ^ ^ 

^(i— v/5)-^_- 



lonc sin C=:|. Telles sont le» 

expressions tr lesquelles on détermme l'incli- 

naison de deu: .es cinq polyèdres réguliers. Mais 

nous remarquerons qu'on aurait pu les comprendre dans 
une seule et même formule. 
Kg. 348. En effet, soit n le nombre de càtés de chaque face, m le 
nombre d'angles plans qui se réunissent dans chaque angle 
solide ; si du centre O et d'un rayon = i , on décrit une 
surface sphériquequi rencontre en /i, q, r, les lignes OA, 
OC,OD, on aura un triangle splitrique/J^r, dans lequel 

on connaît l'angle droit /■, l'angle/»^ — , et l'angle y ^ ; 



Mais cos g j- = cos COD = sin CDO=:siniC, C dési- 
gnant l'angle CDEj donc sin ■; C ^= ■ Formule géné- 



rale qui , appliquée successivement aux cinq polyèdres , 
donnerait les mêmes valeurs de cos C ou de i -: — 2 sin* \ G 



WOTB IX. 3l3 

qu'on a trônyées par nne autre voie ; pour cela , il faut subs- 
tituer, dans chaque cas , les yaleurs de met n, savoir : 

Tétraèdre, Hexaèdre, Octaèdre, Dodécaèdre^ Icosaèdre. 
Tn:^z 3, 3 «4 9 3 ,5. 

n :^ 3,4 93 , 5 ,3. 

"Le même triangle sphérique pqr, d*où Ton vient de 

déduire Tinclinaison de deux faces adjacentes , donne 

CO w « ^ 

cos pq r= cot p cot g , ou ------ = cot — cot — . Donc , si on 

OA m, n 

appelle R le rayon de la sphère circonscrite au polyèdre , 

et r le rayoïMe la sphère inscrite dans le même polyèdre , 

R w ir 

on aura — == tang — tang — ; d'ailleurs , en faisant le côté 

r m n 

i-a 
AB = a^ on a CA = -^ — , et par conséquent R' = r* + 

. '^ 
sm — 

n 
. Ces deux équations donneront pour chaque polyèdre. 



sin*- 
n 



les valeurs des rayons R et r des sphères circonscrite et 
inscrite. On a aussi , en supposant C connu , r=i 7 a cot - 



n 



tang ^ C et R = -^ a tang — tang 7 C. 

m 

Dans le dodécaèdre et Ticosaèdre , on voit que le rapport 

R » ir w 

— a la même valeur tang ^ tang -— . Donc , si R est le même 

r 3 5 

pour tous les deux , r sera aussi le même ; c'est-à-dire , que 
si ces deux solides sont inscrits dans une même sphère , ils 
seront aussi circonscrits à la même sphère , et vice versd» 
La même propriété a lieu entre l'hexaèdre et l'octaèdre , 

puisque la valeur de — est, pour l'un et pour l'autre, 

r 

te rs 

tang Y tang --. 

Remarquons que les polyèdres réguliers ne sont pas les 
seuls solides qui soient compris sous des polygones réguliers 
égaux ^ car 9 si on adosse par une face commune deux té- 



3l4 NOTE X. 

traêdres réguliers égaux , il en résultera un solide compris 
sous six triangles égaux et équilatéraux. On pourrait encore 
former un autre solide avec dix triangles égaux et équilaté- 
raux;ni3is les polyèdres réguliers sont les seuls qui aient en 
même temps les angles solides égaux. 

NOTE X. 

Sur l'aire du triangle sphérique. 

Soit I le rayon de la sphère , tc la demi-circoriféretf ce d'un 
grand cercle; soient a, b, r., les trois côtés d'un triangle 
sphérique ; A , B , C , les arcs de grand cercle qui mesurent 
les angles opposés- Soit A + H + C — it^^S; suivant ce 
I. 7. qni a été démontré dans le texte ', l'aire du triangle sphé- 
rique est égale à l'arc S multiplié par le rayon, et ainsi 
est représentée par S. Or , par les analogies de Nèper, 



delà, tirant la valeur de lang -J (A + B), on en déduira 
aisément celle de tang (7 A + jB + iC) = — col j S : on 



formule très-simple qui peut servira calculât l'aire d'un 
triangle sphérique lorsqu'on connaît deux côtés a, b, el 
l'angle compris C. On peut aussi en déduire plusieurs con- 
léquences remarquables. 

1° Si l'angle C est constant , ainsi que le produit 

cot — cot — , l'aire du triangle sphérique représentée par S, 

,. demeurera constante. Donc deux triangles CAB, CDE, 
qui ont un angle égal C , seront équivalents , si on a 
tang4CA:tangiCD::langy CE;tangi CB, c'est-à-dire, si 
les tangentes des moitiés des côtés qui comprennent l'angle 
égal, sont réciproquement proportionnelles. 

2" Pour faire sur le côté donné CD et avec le même 



ifOTiB X. 3i5 • 

angle C^ un triangle CDE équivalent an triangle donné 
CAB , il faut déterminer CE par la proportion : 

tang^ CD : tang-i C A : : tang^ CB : tang ^ CE. 

3® Pour faire avec l'angle du sommet C un triangle isos- 
cèle DC£ équivalent au triangle donné CAB, il faut 
prendre tang-j CD, ou tang 7 CE, moyenne proportionnelle 
entre tang 7 CA et tang 7 CB. 

cot^a cot-j 6 + cos C 

4 La même formule cot-i- S = : — 

sin C 

peut servir à démontrer d'une manière très - simple la pro- 
position XXVI du livre Vil; savoir, que de tous les trian- 
gles sphériques formés avec deux cotés donnés a et 6, le 
plus grand est celui dans lequel l'angle C compris par les 
côtés donnés , est égal à la somme des deux autres angles 
Aet B. 

Du rayon OZ = i décrivez la demi- circonférence VMZ , fig. a83. 
faites l'arc ZX = C , et de l'autre côté du centre prenez 
OP = cot 7 a cot-j b; enfin joignez PX et abaissez XY per- 
pendiculaire sur PZ. 

PY 
Dans le triangle rectangle PXY on a cot P = -— = 

coi-7a cot-i- ô + cos C , ^ « , , i. « 

î- : ; donc P = y S ; donc la surface S 

sm C 

sera an maximum , si l'angle P en est un. Or, il est évident 
que si on mené PM tangente à la circonférence, l'angle 
BIPO sera le maximum des angles P, et alors on aura MPO 
= MOZ — -j w. Donc le triangle sphérique, formé avec 
deux côtés donnés , sera un maximum si on a 7 S = C 
— ^ir, ouC=A4^B,ce qui s'accorde avec la proposition 
citée. 

On voit en même temps , par cette construction , qu'il* 
n'y aurait pas lieu à maximum, si le point P était au-dedans 
du cercle , c'est- à -dire, si l'on avait cot-j a cot-j ô < i. 
Condition d'où l'on tire successivement cot-j a < tang 7 ^^ 
tang (7ir — •!«)< tang7Ô,7tF — t^<\ ^» «* ^^^^ "< 
a-^bf ce qui s'accorde encore avec le scholie de la même 
proposition. 



5lb NOTE %. 

PftoaLËME I. Tmuiier la surface d'un tnanqle sphc'nqite 
par le majen de ses trois cités. 

Pour cela, il faudra dans la formule 

COI i S = ^^ . 

sinC 
substituer les 'valear» de sin Cet cos C exprimées en a, h,c: 

or , on a col C = — ~^.-~-r- — ~~ et eol 7 a col -j 6 ^ 

i + cosa i+cosfi 
;- — - — . ; — - — ; de là ri^sulie : 

Ensuite la valeur de cos C donne 

. a+b+c , a+b—c 



i-COsC=:- 
-CosC— - 


<«-^0-eo= 


**' 


sin a si 
a4-c — 6 


a 



Multipliant ces deui quantités entre elles et extrayant la 

/ . a+/H-r . a+h-c , a-^c—b . JH-c-a\ 



Dont enfin 

^^j.g_ i+cos„ + cos6+cosc 

/' . a+t/+c . a+b—c . a+c^h . (H-a—c'\ 

Cette formule résout le problème proposé , mais on peut 
parvenir à un résultat plus simple. 
Pour cela reprenons la formule 

cot fa col 4 6 + cos C 



n tirerons d'abord i + cot'-f S, o 
cot' Y a cot' -J 6 + a cot ^ac> 



NOTEX. 3l7 

Or , la valeur de cos C donne a coi ^ a cot -j b cos C = 

cos c — cos a cos b , , , 

• : : ; — : mettant dans le numérateur, au 

asm' "7^ sm'4-^ 
' lieu de cos c, cos a, cos ô, leurs valeurs i — a sin'-jc, 

I — a sin' Y ^ 5 ï — ^ *iï** t ^ » ®' réduisant , on aura 

. , ^ sin'^a + sin'l^ — sin*^^ 

-2 cot -j a cot ^ 6 cos C=: r-—- . , a- 

sin'4-« sm^T^ 

2 3 

^ „ ,„ _ I — sin'-i-a I — sin*Y^ 

On a d ailleurs cot* ^a. cot' ^6=1 — : . — . , . , — :;= 

sm'^a sin'v^ 

I — sin*^a — sin'4-6 ^ , . 

I . Donc , en substituant ces va- 



sin'-^asin*4è 



I I — sin*4-c 



leurs , on aura -: -=^— : 7—. , ce qui donne 

' sin'^S sin'iasin'i^sin'C ^ 

. ^sin^asini^sinC , _ , 

sin "ï 5 = , et 5 en remettant la valeur de 



cosf c 



sin C , on a 

/ . a-^b-^c . a-j-b—c . a-i-c—b . b+c—a\ 
{/"[ sin sin sin sm J 

. . c_ V ^ ^ ^ ^ / 

sin-r-a=^ — — — 



2 cos Y a cos 7 b cos 7 c 



Formule commode pour le calcul logarithmique. 

Si on multiplie celle - ci par la valeur de cot -J- S , il en 
résultera 

^ -i-l-cosa-l-cosô-f-cosc cos'7^z+cos'4^è-hcos'~c— 1 

€0*78 = i ; = ; . 

4CO*T^COS76cOS7C a COS 7^ COS7 6COS7 C 

Nouvelle formule qui a l'avantage d'être composée de ter* 
mes rationnels. 

T^ T *• I— cos^S 

De la on tire encore : , ou 

sin^S 

I —cos ' 7a— cos ' 4- ^^— cos ' T c-f-a cos I- a cos 4^ cos 7 c 
tanfi:-! S = ^• 

/ . «-hH-c . a-f-ô—c . a-hc—b . b-hc—a\ 
\/\ sm sm sm '■ — sin ) 

va a a î* / 

Or, le numérateur de cette expression peut se décomposer 
en facteurs, comme on l'a fait pour une quantité sem> 
blable , note V, problême IV j on aura ainsi 



— JLTftu 



3l8 HOTE X. 



4 sin sin sm sm 



Ung^= 



%/i 5m ^iii sin sm • ) 

va a a a / 

Mai. on^^^v(-^P^^=V^^^r^\py, 
V/ sin/? V a sm \p cos -j/? / 



donc enfin 



y^ 



,- / a-\-b-\-c a \ b c ût-f-o— ^ 6-f-c>— «"N 
tang:f S=v/f tang tang — tang tang J : 

Cette formule très- élégante est due à Simon Lhuillier. 

£ o , Problème ii . Etant donnés les trois côtés BC = a , AC z= b, 

fig- 284. ' ' 

AB z= c , déterminer ia position du point 1, pôle du cercle 
circonscrit au triangle ABC. 

Soit l'angle ACI = ^, et Tare Al = CI=BI=(p; dans 

les triangles CAI , CBI , on aura par les formules connues 

cos©— cosôcos© I — cosè sin ô . 

cos xz= \ ■ . ^ ^ = r-i— cot<p=— rcot?» 

smesmf sm* i-f-coso 

- . I — cos a ^ cos(C^.r) 

cos rc — X) = : cot©. Donc r, ou 

sm a ' cos x 

^ . ^ (l+COS*)(l COSrt) , . 

cos c -4- sm c tang x =-^ : — ^-^ — ; —i substi- 

sm a sm b 

tuant dans cette équation les valeurs de cos C et sin C 

exprimées en a^ by c, et faisant, pour abréger, 

M=v/ ( I —cos* a— cos* b — cos*c+a cos a cos b cos c), 

,,_ . I-4-COSÔ — COSC-— cosa - , 

on en déduira tang ar= — , formule 

M 

qui détermine l'angle ACI. On peut observer qu'à cause 
des triangles isosceles ACI, ABI , BCI, on a ACI = 
•î(C-|-A — B);onauraitdemémeBCI=7(B+C — A), 
BAI=-i^ ( A 4- B — C ). De là résultent ces formules remar- 
quables : 

,,, ^ ^^ 1-4- cos 6 — cos a — cosc 
tang|(A + C — B)=:— 1- 



Ungî(B + C— A) = 



M 

i+cosa^cosô — cosc 
M 



iroTE :r^ 319 

tangKA+B-C)= ^+cosc-cosa-cos fe ^ 

auxquelles on peut joindre celle qui donne cot ~ S , et qui 
peut se mettre sous la forme : 

tang^ (A + B + C)= ^ — , 

La valeur de tang x qu'on vient de trouver, donn€ 

I a(n-cos6)(i— cosc)(i— cosa) 
I + tang* js ou -= -^ ^ ^-^— i 

16 cos * ~ ft sin * ~ c sin * -; fl i 

f donc 



M * cos X 

4 cos ~ b sin 7 c sin y a 

= . Mjais de r.équation 



M 

I — cos ô 

cos X = : — ; cot 9 = tang \ b cot 9 , on tire 

sm 6 * * 

tang \b 4 sin 7 a sin -^ 6 sin -^ c 

**°«^=-^^77-' ^""^ **"« *?= M 

2 sin -* a sin \ b sin 7 c 

/ . a-i-b-^c . a-i-b—c , a+c-^b , ô-Hc— a\ 

i/l sm sm sm sm ] 

V. a a a ^ / 

PaoBLiME III. Déterminer sur la surface de la sphère la 
ligne sur laquelle sont situés tous les sommets des triantes 
de même base et de même surface. 

Soit ABC Tun des triangles sphériques dont la basefig. at5. 

commune est AB = c, et la surface donnée A + B + C -— 

ir =z S. Soit IPK une perpendiculaire indéfinie élevée sur 

le milieu de AB ; ayant pris IP égal au quadrant , P sera le 

pôle de Tare AB , et l'arc PCD mené par les points P 9 C , 

sera perpendiculaire sur AB. SoitID=z=j9^ CDrr:^; les 

triangles rectangles ACD, BCD , dans lesquels on a AC = b^ 

BC = a^ AD=/?-|-7C, BD=:/? — 7C, donneront cos a= 

cos q cos (/? — ïc)> cos ô=cos q COS (/? + 7 c). Mais on 

a trouvé ci-dessus : 

I -4- cos a + cos b + cos c 

cotiS = — î-^ . . ■ ^ j 

sm a sin sm C 

substituant dans cette formule les valeurs ces a + cos 6= 







KOTX XI. 




aco» Il cospcoi^ 


C, I — 


cosc = acos = ic. 


sin fi sin C= 


tin £ sin B = 3 sia 


ic cos 


1 c sin B ; on aura 




, 


CO; 


S4-CH-COS/)COS q 




' 


. 


lin asia-c sin B 




D'ailleurs dans le 


trianel 


c rectangle BCD, 


on a encore 


■in a ïinB^sin ^ 


r;donc 


^^^ ':o,^,c-hcoipco.,l 


sin-; 


; c sin 7 ' 


□ucos/>cos9=:c 


ot^Ssi 


nicsin^ — eos^^c, 


; c'est la rela- 


tion entre p et 5 q 


lui doit 


déterminer la Lgnt 


; sur laquelle 


■ont situés tous lei 


( poînis 


C. 




Ayant prolongé 


IP d'ur 


>e quantité PK:=j- 


, joignez KC 


el soll KC=_r; à 


ans le 1 


riangle PKC, où 


l'on a PC = 


i«_ç et l'angle 


KPC=^ 


n—yj, le côté KC 


; se trouvera 


par la formule cos 


KC = . 


:osKFCsmFK.sia 


PC -H cos FK. 


Goa PC , ou 








cosj'— s 


in q co» 


j;— sin3;co»sCO! 


*p; 


dam laquelle subsi 




au lieu de cos q ce 


is/. sa valeur 


LOt^Ssinicsinç 


— cos ; 


c , on aura 




cosj- = sinxcos^ 


c+sin 


q (cos .7- — sinxcotfSsinfc). 


De là on voit que si 1 

ou rnl jT^rnliS t 


'on prend cos x — sin j; col-i 


Siini-c=o, 



ainsi la valeur de^ deviendra c 

Donc si après avoir mené l'arc iP perpendiculaire sur le 
milieu de la base AB , on prend au-delà du pôle la partie 
PK telle que cot PK = cot 4 S sin > c , tous les sommels des 
triangles qui ont la même base c el la même surface S, 
seront situés sur le petit cercle décrit du point K comme 
pôle à la distance KC telle que cos KC^sin PK cos 7 c. 

Ce beau théorème est dû à Leiell. (Voyez le toine V, 
part. I des nova Jeta Petropolitana. ) 

NOTE XI. 

Sur la proposition III , livre yill. 

Cette proposition peut être démontrée plus rigoureu- 
sement en ta ramenant aux lemmes préliminaires , de la 



Je dis d'abord que la surface convexe terminée par les 
Ëg. î5i, arctes AF , BG , et par les arcs A ti B , F ;c G , ne saurait 



NOTE XI. 331 

«tre plus petite que le rectangle ABGF , partie correspon- 
dante de la surface du prisme inscrit. 

En effet , soit S la surface convexe dont il s'agit , et soit, 
s'il est possible , le rectangle ABGF ouABxAF=:S+M, 
M étant une quantité positive. 

Prolongez la hauteur AF du prisme et du cylindre jus- 
qu'à une distance AF' égale à n fois AF , n étant un 
nombre entier quelconque; si Ton prolonge en même temps 
lé cylindre et le prisme , il est clair que la surface convexe 
S' comprise entre les arêtes AF', BG', contiendra n fois la 
surface S ; de sorte qu'on aura S' = /zS , et parceque 
n X AF=AF', on aura AB X AF'=: /ï S + « M = S'-|- /i M. 
Or n étant un nombre entier à volonté et M une surface 
donnée , on peut prendre n de manière qu'on ait n M plus 
grand que le double du segment AkB , puisqu'il suffit pour 

2A11B 
cela de faire «> — -= — ; donc alors le rectangle ABxAF' 

ou la surface plane ABGT' serait plus grande que la sur- 
face enveloppante, composée de la surface convexe S' et 
de deux segments circulaires égaux A i< B , F VG'. Or , au 
contraire , la seconde surface est plus grande que la pre- 
mière, suivant le premier lemme préliminaire; donc, i^ on 
ne peut avoir S < ABGF. 

. Je dis en second lieu que la même surface convexe S ne 
saurait être égale à celle du rectangle ABGF. Car suppo- 
sons, s'il est possible, qu'en prenant A£=AB, la sur- 
face convexe AMK soit égale au rectangle AFKE ; par un 
point quelconque M de Tare AM£ , menez les cordes AM , 
ME , et élevez MN perpendiculaire sur le plan de la base. 
Les trois rectangles AMNF, MEKN, AEKF, ayant même 
hauteur , sont entre eux comme leurs bases AM , ME , AE. 
Or on a AM-f-ME>AE, donc la somme des rectangles 
AMNF , MEKN est plus grande que le rectangle AFKE. 
Celui-ci est équivalent par hypothèse à la surface convexe 
AMK , composée des disux surfaces partielles AN , MK. 
Donc la somme des rectangles AMNF , MEKN est plus 
grande que la somme des surfaces convexes correspondantes 
AN , MK. Donc il faudra que l'un au moins des rectangles 
AMNF , MEKN soit plus grand que la surface convex« 
Neuv. édit* ai 



pondante. Cette conséquence est contraire il la [)te- 
rlie déjà dûmonlrte. Donc, t" la surface conTe»* 
jaît £tre égale à celle du rectangle correspondant 

suit de là qu'oD a S>ÀBGF, et qn'ainsi la surface 
: du cylindre est plus grande que celle de tout 
prisme inscrit. 

Par un raisonnement absolument s^hnblable , on proii' 
vera que la surface convexe du cyiindri est pins petite qu* 
celle de tout prisme drconscril. 

KOTK XII. 
Sur Pégalité et la . itude des polyèdres. 
On trouve à la tête dn ^I' livre d'Euclide, les dëfiat- 
tions 9 et lo ainsi conçues : 

g. Deux solides tortt semi 'les, lorsqu'ils sont compris 
tous ICI même nombre di 'arts semblables chacun à 
chacun. 

10. Deux solides sont égaux et semblables, lorsqu'ils 
tant compris sous un même nombre de plans égaux tt 
semblables chacun à chacun. 

L'objet de ces définitions étant un des points les plus 
difiîciles des éléments de gconi<itrie , nous l'examinerons 
avec quelque détail, el nous discuterons en m^hne temps 
les remarques faites à ce sujet par Robert Simson dans son 
édition des éléments , pag. 388 et sulv. 

D'abord nous observerons avec Robert Simson que la 
définition lo n'est pas proprement une définition, mais 
bien un théorème qu'il faudrait démontrer ; car il n'est 
pas évident que deux solides soient égaux par cela seul 
qu'ils ont les faces égales ; et si cette proposition est vraie, 
il faut la démontrer soit par la supeq>osîlion, soit de toute 
autre manière. On Toit ensuite que le vice de la défini- 
tion lo est commun à la définition g. Car, si la définition lo 
n'est pas démontrée , on pourra croire qu'il existe deux 
solides inégaux et dissemblables dont les faces sont éclates; 
mais alors , suivant la définition g , un troisième solide qui 
aurait les faces semblables à celles des deux premiers serait 
semblable à chacun d'eux, et ainsi serait semblable à deux 



NOTE XII. 32^} 

corps de différente forme , conclusion qui implique contra- • 
diction , ou du moins qui ne s'accorde pas avec Tidée qu'on 
attache naturellement au mot semblable. 

Plusieurs propositions des XI* et XII® livres d'Euclide 
sont fondées sur les définitions 9 et 10, entre autres la 
proposition XXVIII , livre XI , de laquelle dépend la me- 
sure des prismes et des pyramides. Il semble donc qu'on 
pourrait reprocher aux éléments d'Euclide de contenir un 
assez grand nombre de propositions qui ne sont pas rigou- 
reusement démontrées. Mais ii y a une circonstance qui 
sert à affaiblir cette inculpation , et qu'il ne faut pas 
omettre. 

Les figures dont Euclide démontre l'égalité ou la simili- 
tude en se fondant sur les définitions 9 et 10, sont telles, 
que leurs angles solides n'assemblent pas plus de trois angles 
plans : or , si deux angles solides sont composés de trois 
angles plans égaux chacun à chacun , il est démontré assez 
clairement dans plusieurs endroits d'Euclide que ces angles 
solides sont égaux. D'un autre côté , si deux polyèdres ont 
les faces égales ou semblables chacune à chacune, les angles 
solides homologues seront composés d'un même nombre 
d'angles plans égaux , chacun à chacun. Donc , tant que le« 
angles plans ne sont pas en plus grand nombre que trois 
dans chaque angle solide , il est clair que les angles solides 
homologues sont égaux. Mais , si les faces homologues sont 
égales et les angles solides homologues égaux , il n'y a plus 
de doute que les solides ne soient égaux ; car ils pourront 
être superposés , ou au moins ils seront symmétriques l'un 
de l'autre. On voit donc que l'énoncé des définitions 9 et 
10 est vrai et admissible, au moins dans le cas des angles 
solides triples , qui est le seul dont Euclide ait fait usage. 
Ainsi le reproche d'inexactitude qu'on pourrait faire à cet 
auteur, ou à ses commentateurs , cesse d'être aussi grave 
et ne tombe plus que sur des restrictions et des explications 
qu'il n'a pas données. 

U reste à examiner si l'énoncé de la définition 10, qui 
est vrai dans le cas des angles solides triples, est \rai en 
général. Robert Simson assure qu'il ne Test pas, et qu'on 
peut construire deux solides inégaux qui seront compris 

21. 



9 même nombre de faces égales ctiaciine à ehacuiie- 

1 I l'apimi de son assertion, un exemple qa'on peut 

lin polyèdre quelconque on ajoute une pyramide, 
ei. — Jonnant pour base une des faces du polyèdre ; si en- 
suite , au lieu d'ajouter la pyramide, on la retranche, en 
form ant dans le polyèdre une caïllé égale à la pyramide , 
on aura ainsi deux nouveaux solides qui auront les faces 
égides chacune à chacune, et cependant ces deux solides 
seront inégaux. 

11 n'y a aucun doute sur l'inégalité des deux solides 
ainsi construits; mais nous observerons que l'un deces 
solides contient des angles solides rentrants : or, il est 
plus que probable qu'Euclide a entendu exclure les corpt 
irré^liera qui ont des cavités ou des angles solides ren- 
trants , et qu'il s'est borné aux polyèdres convexes. En 
admettant cette restriction, sans laquelle d'ailleurs d'autres 
propositions lie seraient pas vraies , l'exemple de Robert 
Siroson ne conclut point contre la définition ou le théorime 
d'Euciide. 

Quoi qu'il ensoit,ilrésnlte de toutes ces observations qne 
les déllnitions g et to d'Euciide ne peuvent être conservées 
telles qu'elles sont. Robert Simson supprime la définition 
des solides égaux , qui en effet ne doit trouver place que 
parmi les théorèmes ; et il définit iolides semblables ceux 
qui sont compris sous un même nombre de plans sembla- 
bles , et qui ont les angles solides égaux chacun à chacun. 
Celte définition est vraie , mais elle a l'inconvénient de 
contenir bien des conditions superflues. Si on supprimait 
la condition des angles solides égaux , on retomberait daus 
l'énoncé d'Euciide, qui est défectueux en ce qu'il suppose 
la démonstration du théorème sur les polyèdres égaux. 
Pour éviter tout embarras, nous avons cru à propos de 
diviser la définîtian des solides semblables en deux parties : 
d'abord nous avons donné la définition des pyramides 
triangulaires semblables , ensuite nous avons défini soliiles 
semblables ceux qui ont des bases semblables, et dont les 
sommets homologues hors de ces bases sont déterminés par 
des pyramides triangulaires semblables chacune à chacune. 



NOTE XII. SsS 

Cette définition exige pour les bases , en les supposant 
triangulaires , deux conditions , et pour chacun des som> 
mets hors des bases , trois conditions ; de sorte que , si S est 
le nombre des angles solides de chacun des polyèdres , la 
similitude de ces deux polyèdres exigera a + S (S — S) 
angles égaux de part et d'autre , ou 3 S — 7 conditions ; 
et aucune de ces conditions n'est superflue ou comprise 
dans les autres. Car noiis considérons ici deux polyèdres 
comme ayant simplement le même nombre de sommets ou 
d'angles solides ; alors il faut rigoureusement , et sans en 
omettre une , les 3 S — 7 conditions pour que les deux 
solides soient semblables ; mais si on supposait ayant tout 
qu'ils sont de la même espèce l'un et l'autre , c'est-à-dire 
qu'ils ont un égal nombre de faces , et que ces faces compa- 
rées chacune à chacune ont un égal nombre de côtés , cette 
supposition renfermerait des conditions dans le cas où il 
y aurait des faces de plus de trois côtés , et ces conditions 
diminueraient d'autant le nombre 3 S — 7 , de sorte qu'au 
lieu de 3 S — 7 conditions il n'en faudrait plus que A — i ; 
sur quoi -voyez la note viii. On voit par là ce qui donne 
lieu à la difficulté de poser une bonne définition des solides 
semblables ; c'est qu'on peut les considérer comme étant 
de la même espèce , ou seulement comme ayant un égal 
nombre d'angles solides. Dans ce dernier cas toute difficulté 
est écartée, et il faut que les 3 S — 7 conditions renfermées 
dans la définition soient remplies toutes pour que les solides 
soient semblables , et on en conclura à plus forte raison 
qu'ils sont de la même espèce. Au reste , notre définition 
étant complète , nous en avons déduit comme théorème la 
définition de Robert Simson. 

- On voit donc qu'il est possible de se passer , dans les élé- 
ments , du théorème concernant l'égalité des polyèdres ; 
mais, comme ce théorème est intéressant par lui-môme, 
on sera bien aise d'en trouver ici la démonstration , qui 
servira à compléter la théorie des polyèdres (i). 

(i) La démonstration que nous donnons ici, est, a quelques dére- 
loppements près , la même qae M. Cauchy a communiquée récemment 
à l'Institut , et qu^il a découverte en partant de quelques idées qui 



3a6 \OTE sn. 

La question qu'il faut eiaminer, e»t de savoir si, tu 
faisant varier les inclinaisons des plans qui coin})osent k 
surface d'un polyèdre convexe donnû , on peul former un 
second poljèdre convexe, compris sous les mijmes plans 
polygonaux , assemblés entre eux dans le même ordre. 

Mous observerons d'abord que, s'il y a un second polyèdre 
qui salisfail à la question, ce ne peut pas Être le polyèdre 
lymtnétrique du polyèdre donné, puisque dans ces deui 
polyèdres les plans égaux sont disposés dans un ordre in- 
verse autoui' des angles solides correspondants. Ainsi la 
considération des polyèdres s y mmé tri que s doit Être en- 
tièrement écqrttfe de l'objet dont nous nous occupons. 



Nous observerons, en 


econd lieu, que si le polyèdre 


donné contient un ou plu 


ieurs angles solides triples, ces 


angles sont de leur nature 


invariables , puisque la connnis- 


sance de trois angles pta 


s suffit pour déterminer tes in- 


clinaisons mutuelles de ce 


pians, lorsqu'ils sont réunis en 


angle solide. On peut don 


c supprimer dans le solide pro- 


posé toutes les pyramid 


s triangulaires qui forment les 


angles solides triples (i), 


et si le nouveau polyèdre qui 


résulte de cette suppresaio 


n , offre encore des angles solides 


triples , on pourra de raén 


e les supprimer, et ainsi succès- 


sivement, jusqu'à ce qu-o 


Il parvienne à un polyèdre dont 


tous les angles solides n' 


ssemblent pas moins de quatre 


angles plans chacun. En 


effet , si le solide proposé peut 


changer de figure par des 


variations quelconques dans les 



inclinaisons de ses plans , ce changement ne peut avoir lieu 
sur les pyramides triangulaires retranchées, et il devra 
s'opérer tout entier sur le polyèdre restant après la sup- 
pression de toutes les pyramides triangulaires. Nous ne 
nous occuperons donc dans ce qui suit , que des polyèdres 
dont tous les angles solides assemblent an moins quatre 
angles plans. 

Cela posé, soit S l'un quelconque des angles sobdes du 

«Taienl été proposées ponr le même objet dans la première édition 
de ces Eléments, ]iag. 327 et suiv. 

(i) SI nue même urète ëlail commune à deux angles solides triples, 



HOTE XH. 327 

]K>lyèdre9 et soit décrit, du sommet S comme eentre, une 
surface sphérique dont Tintersection avec les plans de 1 

Fangle solide formera le polygone sphérique ABCDËF. Les 
«6tés de ce polygone AB , BC , etc. serrent de mesure aux 
angles plans ASB , BSC , etc. et sont par conséquent inva- 
riables ; quant aux angles A , B , C , etc. du polygone , cha- 
cun d'eux est la mesure de Tinclinaison de deux plans ad- 
jacents de l'angle solide : ainsi Tangle B est la mesure de 
rindinaison des plans ASB, SBC, que nous appellerons, 
pour al^réger , inclinaison sur V arête SB ; dé même Tangle C 
est la mesure de l'inclinaison sur l'arête SC , et ainsi de 
§uite. 

Nous pourrons donc juger des changements de figure de 
chaque angle solide S, par ceux du polygone sphérique 
ABCDEF, dont les côtés sont constants , et dont les angles 
varient d'une manière quelconque , pourvu que le polygone 
ne ôesse pas d'être convexe. Or , dans ces polygones , les 
signes des variations sur les angles offrent des loiii assez 
remarquables , que nous allons exposer dans les deux 
lemmes suivants. >^ 

li £ BI BI E I. 

Tous les cotés d*un polygone sphérique AB , BC, isg. aSA. 
CD, DE, étant dormes y a F exception du dernier AF, 
si Von fait varier Vun des angles B , C , D, E , opposés 
au coté AF, les autres étant constants ^ je dis que le ^ 
coté AF augmentera si Fangle augmente ^ et qu'il dind' 
nuera si Fangle diminue. Dans tous les cas , on suppose 
que le polygone est convexe avant et après son change^ 
ment défigure. 

Supposons d'abord qu'on fasse varier l'angle B , les trois 
autres C , D , £ , étant constants , si l'on joint BF^ la figure 
BCDEF n'éprouvera aucune variation , et BF sera constant. 
On aura donc un triangle sphérique ABF, dont les côtés 
AB , BF, sont constants , et dans lequel l'angle ABF varie - 
d'une même quantité que l'angle ABC du polygone , puisque 
la partie FBC reste constante. Or , par les propriétés con- 



020 :SOTE XII. 

nues (i) , on sait qiie le côté AF augmentera si l'angle ABF 
augmente , et qu'il diminuera «i l'angle ABF diminue. 

Supposons maintenant que l'angle C varie , les trois 
autres fi, D, E, étant constants ; si on tire les diagonales 
&.C , FC , il est visible que ces diagonales demeureront 
tonsUntes, ainsi que les angles ACB, FCD; on aura donc 
encore un triangle sphériqne ACF, dont les côté» AC, CF. 
sont constants, et dans lequel l'angle ACF Tarie de lamente 
quantité que l'angle C du polygone; d'où l'on conclura de 
même que le côté AF augmentera si l'angle C augmente, 
et qu'il diminuera si l'angle C diminue. 

Il est évident que le mâme raisonnement peut s'appli- 
qiier à la variation de Ton ou l'autre des angles D et E, et 
qu'il aurait également lieu pour tout autre polygone sphé- 
rique de plus de trois cAlés. Ainsi la conclusion sera , dans 
tous les cas , conforme à l'énoncé de la proposition , si tou- 
tefois le polygone est conveie avant et après son change- 
ment de ligure. Celte reslriction est nécessaire , car si 
l'angle Ë , par enemple, diminuait jusqu'à ce que le point F 
tombât sur la diagonale AE, alors AF serait un minimum; 
et si, à compter de ce point, on continuait de diminuer 
ran(;!f E, i! est -vImIjI^ que le c()lé AF angmenicrait au 
lieu de diminuer ; mais , dans ce dernier cas , l'angle AFE 
deviendrait «n angle rentrant , el le polygone eesserait 

Corollaire. Les mî-mes choses étant posées, si plusieurs 
des angles opposés au dernier côté AF augmentent , et 
qu'aucun d'eux ne diminue , le côté AF augmentera néces- 
sairement par l'effet de toutes les variations réunies. Le 
eonlraire aura lieu, si plusieurs des angles opposés au 
côté AF diminuent, et qu'aucun d'eux n'augmente. 

Car, si par l'effet de l'augmentation ou de la diminution 
simnhanée, les angles A, B, C, etc. du polygone doivent 
être changés en A', B', C, etc. on pourra passer successive- 
ment (.'•( polygone ])roposé à celui qui ne contient qu'un 
angle varié A' ; de celui-ci au polygone qui ne contient que 



HOTE XII. ^ 329 

)es àenx angles varit^s A' et B', et ainsi de suite. Or , dans 
chacun de ces passages, Tapplication de la proposition est 
manifeste , et conduit toujours au même résultat. 



LEMME II. 



Etant donné un polygone sphérique connexe dont les 
côtés sont constants y et qui en a plus de trois y si on fait 
"Varier les angles d'une manière quelconque y sans ce- 
pendant que le polygone cesse d^êire convexe; si on met 
ensuite le signe + au sommet de chaque angle qui 
augmente , le signe — au sommet de chaque angle qui 
diminue y et qu^on ne mette aucun signe aux angles q[ui 
demeurent constants ; je dis qu^ en faisant le tour du 
polygone y on devra trouver au moins quatre change"- 
ments de signe d*un sommet au sommet suivante 

En effet , i** si /i est le nombre des angles du polygone , 
il ne pourrait y avoir n — 2 angles Consécutifs, qui aug- 
mentent tous à-la-fois , ou dont les uns augmentent et les 
autres restent constants ; car si l'un ou Tautre de ces cas 
avait lieu, il s'ensuivrait, par le corollaire du lemme pré- 
cédent , que le côté du polygone qui est opposé à ces n — a 
angles, augmenterait; ce qui est contraire à l'hypothèse 
que tous les côtés du polygone sont constants. Par une 
raison semblable, on ne pourra supposer que n — 2 angles 
consécutifs diminuent tous à-la-fois , ou que quelques-uns 
diminuent, les autres restant constants. Donc, dans la série 
de /i — % angles consécutifs , il devra y avoir au moins un 
changement de signe; à plus forte raison ce changement 
devra- t-il être observé dans la série des n angles consécu- ' 
tifs , lorsqu'on fera le tour entier du polygone. 

2** Les variations dans les angles du polygone ne peuvent 
être telles , qu'elles offrent seulement une série de signes -|-, 
et une de signes — , de sorte qu'il n'y ait que deux change* 
ments de signe dans le tour entier du polygone. 

Car soient, par exemple. A, B, C, les trois angles mar- fig. 2S7. 
qués du signe +, et D, E, F, G, les quatre marqués du 
signe — (cette hypothèse comprend celle où il y aurait un 



33o 

nombre àe «ignés moindre dnns chaqtie série, a raison 
rinvariBbilitc de quelques angles). Si la figure repiésciile 
l'i^lal initial du polygoue . la diagonale GD devra augmen- 
ter lorsqu'on augmenlera tous les angles A, B, C, ou seule- 
ment quelques-uns d'eux; mais la même diagonale GD, 
comme appartenant au polvpone CrFED, dont le» autrei 
cflli^s sont consrants, devra diminuer en mime temps que 
les angles F et E, ou au moins rester constante, si des 
quatre angles D, E, F, G, il n'y a que D et G, ou seule- 
ment l'un d'eux qui diminue; donc l'hypolliese dont il 
ft'agit ne saurait avoir lieu; donc la variation des angles 
ne peut élre telle, qu'elle offre seulement deui séries, l'une 
de signes ■+• , l'autre de signes — . 

3" Il est encore impossible qu'en faisant le tour du poly- 
gone, on ne trouve que (rois séries aUernalîves de signes -|- 
i celte hypothèse, la première et 
de même signe, et se suivraient 
qu'elles ne formeraient qu' 



réellement dans 
une de signes +, 

démontré impos- 



el de signes — ; i 
la troisième série 
immédiatemenl , 

le tour du polygone que deux séries, 1' 

l'autre de signes — ; ce que 

silile. 

Donc enfin , les changements de signe qu'on trouvera 
en faisant le tour du polygone, doivent être au moins au 
uombrede quatre. 

Corollaire. Ce que nous venons de démontrer pour les 
polvgones sphériques, s'applique immédiatementaux angles 
solides dont ces polygones sont la mesure. Ainsi, étant 
tlonné un an^e solide convexe , ijui assemble plus de trois 
angles plans ^ si on/ait varier les inclinaisons sur les arêtes 
d'une manière quelconque, telle cependant que C angle 
solide ne cesse pas d'être convexe; si ensuite on met le 
signe -\- ou le signe — sur chaque arête, selon que Cia- 
clinaison sur cette arête augmente ou diminue, et qu'on 
ne marque d'aucun signe les arêtes sur lesquelles l'incli- 
liaison reste constante , je dis qu'en faisant le tour de 
Fangle solide , on de\-ra liouver au moins quatre change- 
ments de signe d'une arête à la suivante. 

Au moyen de cette proposition et du théorème d'Euler 



NOTB XII. 33l 

snr les polyèdres *, nous pouTons maintement démontrer *a5, 7. 
le théorème suiyant dans toute sa généralité. 



TH£OR£MS« 



Etant dorme un polyèdre convexe, dont tous les 
angles solides assemblent plus de trois angles plans y il 
est impossible défaire ^varier les inclinaisons des plans 
de ce soUdCy de manière h produire wi second polyèdre , 
qui serait formé avec les mêmes plans disposés entre eux 
de la mÀme manière que dans le polyèdre donné. 

Pour démontrer cette proposition, il faut distinguer 
deux cas, selon qu'on fait varier les inclinaisons sur toutes 
les arêtes , ou seulement quelques-unes de ces inclinaisons. 

Premier cas. 

Supposons qu'on fasse varier à-la-fois les inclinaisons 
sur toutes les arêtes , et soit N le nombre total des chan- 
gements de signe qu'on trouvera d'une arête à la suivante, 
en faisant le tour de chaque angle solide. 

On a vu dans le lemme II , que le nombre des change- 
ments de signe ne peut être moindre que quatre pour 
chaque angle solide. 

Donc si on appelle S le nombre des angles solides, on 
aura N > 4 S , le signe > n'excluant pas l'égalité. 

J'observe maintenant que deux arêtes consécutives d'un 
angle solide appartiennent toujours à une face du polyèdre, 
et n'appartiennent qu'à une seule ; donc le nombre total des 
changements de signe observés sur les arêtes consécutives 
de chaque angle solide, doit être égal au nombre total de 
changements de signe observés sur les côtés consécutifs de 
chaque face ; car il n'est aucun changement de signe dans 
un système qui ne réponde' à un pareil changement dans 
l'autre. 

Or , pour chaque face triangulaire , le nombre des chan- 
gements de signe ne peut être plus grand que deux ; car en 

faisant rentrer sur elle-même la suite -\ hj ou la suite 

, on n'obtient que deux changements de signe. 



33a I» o T E X I r. 

Ponr chaque face quaiiran^tbire , le norabn des chiK- 
gemenU de signe est de quatre ru plus , ce qttî est cïidenl. 

En général, si le nombre de» c6res d'une face est pair 
= 9/1, le plus grand nombre des cbangcioents de signe 
qu'on puisse trouver en faisant le lour des cotés, est an; 
ce qui aura lieu lorsque les eàU-s portent alternativement 
le» signes + et -. 

Mais si le nombre des ciUés d'une face est impair, 
^in+i, le plus grand nombre des changement de 
signe sera a« seulement, pa.roe qu'en donnant allernali- 
Temenl aux côtés les signes + et — , le premier et le der- 
nier auront iiécess ai rement le nifnie signe; ce qui fait un 
changement de moins qu'il n'y a de cAtcs. 

Cela posé, soit a le nombre des triangles , b le nombre 
des quadrilatères, c le nombre des pentagones, etc. qui 
composent la surface du polyèdre donné, il résulte de ce 
qu'on vient de dire, que le nombre total des cliangements 
de signe observés en faisant le tour de chaque face, ne 
pourra excéder a a sur les faces triangulaires , /| 6 sur les 
faces de quatre càtiis , !, c sur celles de cinq càtés , 6 d sov. 
celles de six côtés. Donc on aura : ^ 

N<2a+ 4è + 4c+6o'+6e + 8/+8é- + etc. 
Soit A le nombre des arêtes du polyèdre, et H celui de ses 

H= rt +/, + ^4- ^^e+/ + g+ etc. 
Mais suivant le tlu'orème d'Eulcr, S-t-H = A + a; donc 
4S = 8 + .', A — 4 H, et en faisant les substitutions ; 

/,S=: 8 + ïn + 4^' +6c + 8*^+ loe + etc. 
0)mparant celte valeur à la limite trouvée ci-dessus', on 
en lire : 

]>( < 4S — 8. 
Mais on ne saurait avoir à-la-fois N>4SetN< 4S — 8; 
donc il est impossible que les inclinaisons sur les arêtes du 
polyèdre varient toutes à-la-fuis, sans détruire la cohé- 
rence des pions qui forment la surface du polyèdre. 

Second cas. 
Supposons maintenant que les inclinaisons sur les arêtes 



NOTB XII. 333 

ne varient pas toutes à-la-fois , et qu*il y en ait quelques- 
unes qui demeurent constantes. 

Soit FI une de ces arêtes , on pourra imaginer qu'elle fig. ao4. 
soit supprimée, et que les deux faces adjacentes FIG, 
£FIH, se réunissent en une seule non plane terminée 
par le contour de forme inyariable £FGIH. Appelons S', H' 
et A' ce que deviennent les nombres S, H et A, après la 
suppression d'une arête , nous aurons H' = H — i , et 
A' = A — I ; d'ailleurs on a S' =; S , puisque le nombre 
des angles solides est le même dans les deux solides; 
donc on aura S'-j-H' — A'=:S-f-H — A=:2. D'où Ton 
Toit que le théorème d'Ëuler a encore lieu dans le nouveau 
solide qui contient une arête de moins, et une face de 
mioins, puisque deux faces se sont réunies en une seule 
non plane. 

Si de ce second solide on retrancbe encore l'une des 
arêtes sur lesquelles l'inclinaison reste invariable, la sup- 
pression de cette arête occasionnera de nouveau la réunion 
de deux faces contiguës en une seule; et on prouvera de 
même que le théorème d'Ëuler a encore lieu dans le troi- 
sième solide qui résulte de la suppression de deux arêtes. 

On peut continuer à supprimer tant d'arêtes qu'on vou- 
dra, pourvu que cette suppression n'entraîne celle d'aucun 
angle solide ; et le théorème d'Ëuler aura toujours lieu dans 
le solide restant : c'est aussi ce qu'on peut voir directement 
et généralement , en examinant la démonstration que nous 
avons donnée du théorème d'Ëuler; en effet, cette démons- 
tration ne suppose pas que les faces du polyèdre sont 
planes ; elle aurait également lieu , quand même ces faces 
seraient terminées par des contours non situés dans les 
mêmes plans ; elle suppose seulement que chaque contour 
soit représenté, suivant notre construction, par un poly- 
gone sphérique , et que la somme des surfaces de ces poly- 
gones soit égale à la surface de la sphère. Et il n'est pas 
même nécessaire que tous ces polygones soient convexes ; 
il suffit que chacun d'eux puisse être regardé comme la 
somme de plusieurs polygones convexes ; ce qui arrivera 
iQujours, lorsque, par la suppression de plusieurs arêtes 
appartenant au polyèdre donné , plusieurs faces planes se 



^4 NOTK «11. 

Ti!uniront ra une seule non plane ; car alors le polygone 
■phérique qui représRtilecHle-ci, sera cnmposé de la somme 
des polygones $|ih(lriques convexes qui représentaieul I» 
tace» planes s uppr imites. 

Venons maintenant au cas où la suppression des arêtes 
•ur lesquelles l'inclinnison ne varie pas , entraîne celle d'un 
ou de plusieurs angles solides, soil parce que les inctînai- 
ions sur toutes les arêtes, dans chacun de ces angles, sont 
invariables, soil parce que ces inclinaisons ne pourraient 
varier que sur trois arêtes sculeinent, et qu'alors elles 
aéraient nécessairement constantes. 

Supposons d'abord qu'on ne supprime qu'un angle 
solide, et soit m le nombre des faces de cet angle, ou le 
nombre d'arêtes qui aboutissent a son sommet. En sup- 
primant l'angle solide dont il s'agit, on supprimera en 
niêtne temps m ari^tes, et les m faces formant l'angle solide 
ce rï>duiront à une seule; donc, si on appelle S', A', H', ce 
que deviennent les nombres S, A, H, après la suppression 
d'un angle solide, on aura S' = S — i, A'^ A — m, 
H' = H — (in— i). Delàon rire S' + H' — A'=:S-^H— 
A =: a : donc le théorème d'Euler a encore lieu dans le 

Il est clair maintenant qu'on peut supprimer tant d'angles 
solides qu'on voudra du polyèdre donné, et que le théorème 
d'Euler aura toujours lieu dans le polyèdre restant ; car en 
supprimant les angles solides un à un, on a successivemcni 
différents polyèdres , dont deux consécutifs rentrent dans 
le cas que nous venons d'examiner. 

Donc eu général, si du polyèdre proposé on supprime 
toutes les arêtes sur lesquelles l'inclinaison ne varie pas; 
soit que par cette suppression le nombre des angles solides 
reste le même, ou qu'il devienne moindre, le polyèdre res- 
tant satisfera toujours au théorème d'Euler, t:'est-à- dire 
qu'en appelant s, h, a , les quantités qui pour ce polyèdi-e 
Corre5|iondent aux quantités S, H, A, du polyèdre pro- 
posé , on aura s ~\- h — a^^SH-H — A^2. 

Mais dans ce dernier solide , les inclinaisons sur les arêtes 
devront varier toutes à-la-fois, puisqu'on a supprime toutes 
Im arêtes sur lesquelles l'inclinaison ne varie pas ; donc «« 



HOTB XIT. 335 

solide Centre dans le premier cas ; donc la variation simul- 
tanée de toutes ces inclinaisons ne saurait avoir lieu sanâ 
dénaturer le solide. 

Donc enfin un polyèdre convexe quelconque ne peut être 
«hangé en un autre polyèdre convexe qui serait compris 
èous les mêmes plans polygonaux , et disposés dans le même 
prâre les uns à Fégard dès autres. 



FIN DES NOTES. 



TRAITÉ 

DE 

TRIGONOMÉTRIE. 



Xj A Trigonométrie a pour objet de résoudre les tri- 
angles, c'est-à-dire, de déterminer leurs angles et 
leurs côtés par le moyen d'un nombre de données 
suffisant. 

Dans les triangles rectilignes il suffit de connaître 
trois des six parties qui les composent, pourvu que 
parmi ces parties il y ait un côté. Car si on ne donnait 
que les trois angles, il est visible que tous les triangles 
semblables satisferaient à la question. 

Dans les triangles sphériques trois données quel- 
conques, angles ou côtés, suffisent toujours pour dé- 
terminer le triangle , parceque dans ces sortes de tri- 
angles on ne considère pas la grandeur absolue des 
côtés, mais seulement leur rapport avec le quadrant 
ou le nombre de degrés qu'ils contiennent. 

Dans les problêmes annexés au livre II, on a déjà 
vu comment les triangles rectilignes se construisent 
au moyen de trois parties données ; les proposi- 
tions XXIV et XXV du livre V donnent égalemei^t 
une idée des constructions par lesquelles on pourrait 
résoudre les cas analogues des triangles sphériques. 
Mais ces constructions , qui sont exactes en théorie , 
ne donneraient qu'une médiocre approximation dans 
la pratique ( i ) » à cause de l^imperfection des instru^ 

(i)Il faut distinguer en effet les figures qui ne seraient qu*4 
diriger le raisonnement pour la démonstration d*un théorème ou 

Neuv. édit. %% 



TRiGo;)onETniE. ^^ 

nients dont elles exigent l'emploi : on les appelle des 
jnéthodes graphiques. Les méthodes trigononié triques, 
au contraire, indépendantes de toute opération mé- 
canique, donnent les solutions avec tout le degré 
d'exactitude qu'on peut désirer ; elles sont fondées 
sur les propriétés des lignes appelées sinus, cosinus , 
tangentes, etc., au moyen desquelles on est parvenu 
à exprimer d'une manière très-simple les relations qui 
existent entre les cotés et les angles des triangles. 

Nous allons d'abord exposer les propriétés de ces 
lignes et les principales formules qui en résultent ; 
formules qui sont d'un grand usage dans toutes les 
parties des mathématiques, et qui fournissent même 
à l'analyse algébrique des moyens de perfection- 
nement. Nous les appliquerons ensuite à la résolu- 
tion des triangles rectilignes et à celle des triangles 
sphériques. 

Division de la Circonférence. 

1 . Jusqu'à ces derniers temps les géomètres s'étaient 
accordés à diviser la circonférence en 36o parties 
égales appelées degrés , le degré en 6"o minutes, la 
minute en Go secondes, etc. Ce mode présentait 
quelques facilités dans la pratique , à cause du grand 
nombre de diviseurs de 60 et de 36'o : mais il était 
réellement sujet à l'inconvénient des nombres com- 
plexes, et il nuisait souvent à la rapidité du calcul. 

Les savants, à qui on doit l'invention du nouveau 
système des poids et mesures, ont pensé qu'il y aurait 
un grand avantage à introduire la division décimale 
dans la mesiuc des angles. En coiiséquence ils ont 

1.1 sohition d'un prolilôme , des figures que l'on construit pour 
conniilre quelques-imi-s de leurs dimensions. Les jjieniierps sont 
toujours supposées cxactfs ; les seroiides , si elles ne Sont pas 
, donneront des résultats fautifs. 



TRIGONOMÉTRIE. 339 

regardé comme unité principale le quart de circon- 
férence ou le quadrant, mesure de Tangle droit, et 
ils ont divisé certe unité en loo parties égales appe* 
lées degrés, le degré en lOO minutes , et la minute en 
lOO secondes. 

Nous n'emploierons désormais que la nouvelle 
division ou la division décimale de la circonférence. 
C'est celle qui convient le mieux à la nature de notre 
arithmétique , et qui est la plus propre à abréger les 
calculs. 

II. Les degrés, minutes et secondes se désignent 
respectivement par les caractères <>,',": ainsi l'ex- 
pression i6® 6' ^5", représente un arc ou un angle de 
i6 degrés 6 minutes y S secondes. Si on rapportait ce 
même arc au quadrant pris pour unité, il s'expri- 
merait par o, 160675. On voit en même temps que 
l'angle mesuré par cet arc , est à l'angle droit : : 
160675 : 1 000000, rapport qu'on ne déduirait pas 
aussi facilement des expressions données par l'an- 
cienne division de la circonférence. 

Les arcs et les angles sont exprimés indistinc- 
tement dans le calcul par des nombres de degrés, 
minutes et secondes. Ainsi nous désignerons l'angle 
droit ou le quadrant par 100°, deux angles droits 
bu la demi - circonférence par 200<>, quatre angles* 
droits ou la circonférence entière par 4ûo<>; ainsi de 
suite. 

III. Le complément d'un angle ou d'un arc est ce 
qui reste en retranchant cet angle ou cet arc de loo*^. 
Ainsi un angle de aS*^ 4^' a pour complément, 
7 4^ 60' ; un angle de i2<> 4' 62" a pour complément, 
87095' 38". , 

En général , A étant un angle ou un arc quelcon- 
que, 100*^ — A est le complément de cet angle ou de 
cet arc. D'où l'on voit que, si l'angle ou l'arc dont il 
s'agit est plus grand que 100®, son complément sera 

22. 



n if. C'est ainsi que le complément de 160" 84' 10' 
e»i — 60" 84' 10". Daus ce cas, ie complément, pris 
positivement , serait la quantité qu'il faudrait retran- 
cher de l'angle ou de l'arc donné, pour que le reste 
fût égal à 100"^. 

Les deux angles d'un triangle rectangle valent 
ensemble un angle droit : ils sont donc compléments 
l'un de l'autre, 

rv. Le supplèmenc d'un angle ou d'un arc est ce 
qui reste en ùtant cet angle ou cet arc de 200°, valeur 
de deux angle» droite ou d'une demi-circonférence. 
Ainsi A étant un angle ou un arc quelconque, 2oo<i 
— A est son supplément. 

D t( : triangle, un angle est le supplément de 
^ me leux autres , puisque les trois ensemble 

des triangles , tant rectilignes que sphé- 
cAtés de ces derniers, ont toujours leurs 

s ..entents positifs ; car ils sont toujours moindres 

que 200". 

Notions générales sur les sinus, cosinus, 
tangentes^ i-lc. 

V. Le sinus de l'arc AM,ou de l'angle ACM, est 
la perpendiculaire MP abaissée d'une extrémîié de 
l'arc sur le diamètre qui passe par l'autre extrémité. 

Si à l'extrémité du rayon CA on mené la perpen- 
diculaire AT jusqu'à la rencontre du rayon CM pro- 
longé, la li^iie AT, ainsi terminée, s'appelle la tan- 
genre , et CT la sécante de l'arc AM ou de l'angle ACM. 
Ces trois lignes MP, AT, CT, dépendantes de 
l'arc ABl, et toiijoiirs déterminées par l'arc AM cl 
le rayon , se désignent ainsi : MP — sin AM , ou 
s!n ACM, AT — /«/^^ AM, oniang KCM, CT — 
jt^t AM,ou«'cAGM. 



TRIGONOMÉTRIE. 34l 

VI. Ayant pris l'arc AD égal à un quadrant, si 
des points M et D on mené les lignes M Q , D S 
perpendiculaires au rayon CD, l'une terminée à ce 
rayon , l'autre terminée au rayon G M prolongé ; les 
lignes MQ , DS et GS seront pareillement les sinus , 
tangente et sécante de l'arc MD, complément de 
AM. On les appelle, pour abréger , les cosinus y cotan- 
gente et cosécante de l'arc AM, et on les désigne 
ainsi : MQ == cos AM , ou cos ACM , DS i=: cot AM , 
ou cot ACM , es = coséc AM , ou coséc ACM. En 
général, A étant un arc ou un angle quelconque, on a 
cos A = sm (ioo*> — A") , cotA=z tang ( 100° — A), 
coséc A = séc ( i oo<> — A ) . 

• Le triangle MQC est, par construction, égal au fig- 1^ 
triangle CPM , ainsi on a CP = MQ ; donc dans le 
triangle rectangle CMP , dont l'hypoténuse est égale 
au rayon , les deux côtés MP , CP sont le sinus et le 
cosinus de l'arc AM. Quant aux triangles CAT, CDS, 
ils sont semblables aux triangles égaux CPM, CQM, 
et ainsi ils sont semblables entre eux. De là nous 
déduirons bientôt les différents rapports qui existent 
entre lès lignes que nous venons de définir ; mais au- 
paravant il faut voir quelle est la marche progressive 
de ces mêmes lignes , lorsque l'arc auquel elles se 
rapportent augmente depuis zéro jusqu'à 100^^ 

VII. Supposons qu'une extrémité de l'arc demeure 
fixe en A , et que l'autre extrémité , marquée M , par- 
coure successivement toute l'étendue de la deqai- 
circonférence depuis A jusqu'en B dans le sens ADB. 
Lorsque le point M est réuni en A, ou lorsque 
l'arc AM est zéro , les trois points T , M , P , se con- 
fondent avec le point A ; d'où l'on voit que le sinus 
et la tangente d'un arc zéro sont zéro , et que le 
cosinus de ce même arc est égal au rayon , ainsi que 
sa sécante. Donc en désignant par R le rayon du 
cercle, on aura 

sin 0=0, tang ozmo, co5 o=R, 5eco=R.. 



ù-W.. 



A mesure que le point M s'avance vers D, 
augmente, ainsi que la tangente et la se- 
mais le cosinus , la eotangente et la cosécante 
lent. 
orstfue le point M se trouve au milieu de AD, 
ou I lie l'arc AM est de So" , ainsi que son com- 
MD, le sinus MP est égal au cosinus MQ 
et le triangle CMP, devenu isoscele, donne 
■ proportion MP : CM :: i : l/ a , ou sin 5o° : R :: 

] /a. Donc sin 50"= co,! So"^ — =i^Rl/'2. Dans 

\/a 
( me caS le triangle CAT devient isoscele et égal 

iiangle CDS ; d"où l'on voit que la tangente de 
'et sa eotangente sont toutes deux égales au rayon, 
ou'ainsi on n taiig Soo^=cot^)0^>^R. 
' arc AM continuant d'augmenter, le sinus 
iisqu'à ce que le point M soit parvenu en 
. .^ sinus e^t égal au rayon, et le cosinus est 
ma donc sin loo^^R et coî looo^o; et l'on 
peut rcniarijTicr que res viileurs soTit une suite de 
celles que nous avons trouvées pour les sinus et 
cosinus de l'arc zéro ; car le complément de ioo° 
étant zéro, on a sia loo" =:^cos o"^= R etcoj 100"=^ 
sin 0° ^ o. 

Quant à la tangente, elle augmente d'une manière 
très-rapide à mesure que le jioint M s'approche de 
D ; et enfin lorsqu'il est parvenu en D , il n'existe 
plus proprement de tangente, parce que les lignes 
AT, CD, étant parallèles , ne peuvent se rencontrer. 
C'est ce qu'on exprime en disant que la tangente de 
100° est infinie, et on écrit lanff loo^^^co . 

Le complément de 100" étant zéro, on a la/ig = 
cot 100" et cot o ::=fatig- 100", Donc cot o =sc et 

COt I00''=:^0. 

X. Le point M continuant à avancer de D vers B, 
les sinus diminuent et les cosinus augmentent. Ainsi 



TRIGONOMÉTRIE. 34^ 

on voit que l'arc AM' a pour sinus M' P', et pour 
cosinus M'Q ou CP'. Mais l'arc M'B est supplément 
de AM', puisque AM'+ M'B est égal à une demi- 
circonférence ; d'ailleurs si l'on mené M 'M parallèle 
à AB, il est clair que les arcs AM, BM', compris 
entre parallèles, seront égaux, ainsi que Jes perpen- 
diculaires ou sinus MP^ M'P'. Donc le sinus d'un arc 
ou d'un angle est égal au sinus du supplément de 
cet arc ou de cet angle. 

L'arc ou l'angle A a pour supplément 200°' — A : 
ainsi on a en général 

sin A=2sin ( 200<* — A). 
La même propriété s'exprimerait aussi par l'équation 
sin ( 100° + B)=rsin{ zoo** — B ) , B étant l'arc DM 
ou son égal DM'. 

XI. Les mêmes arcs AM', AM qui sont supplé- 
ments l'un de l'autre, et qui ont des sinus égaux, 
ont aussi les cosinus égaux CP', CP ; mais il faut 
observer que ces cosinus sont dirigés dans des sens 
différents. Cette différence de situation s'exprime 
dans le calcul par l'opposition des signes : de sorte 
que si on regarde comme positifs , ou affectés du 
signe H-, les cosinus des arcs moindres que 100**, il 
faudi^a regarder comme négatifs ou affectés du signe 
— , les cosinus des arcs plus grands que 1 00^. On aura 
donc en général 

cos A = — cos ( 200<*^ — A ) , 
ou cos (ioo**+B)= — cos (100** — B) ; c'est-à-dire, 
que le cosinus dun arc ou d'un angle plus grand que 
ioo<* est égal au cosinus de son supplément ^ pris 
négativement. 

Le complément d'un arc plus grand que 100® 
étant négatif*, il n'est pas étonnant que le sinus de *"!• 
ce complément soit négatif; mais pour rendre cette 
vérité encore plus palpable, cberchons l'expression 
<le la distance du point A à la perpendiculaire MP. 



TRIGO^OMETnrS. 

it l'arc AM ^ ,t: , on aura CP ^ coi x,et U 

cherchée AP :=:R — cas .r. La même for- 

)it exprimer la distance du point A à la 

HP , quelle que soil la grandeur de Tare AM, 

it ligineest au point A. Supposons donc que le 

vienne eu M', en sorle que .r désigne l'arc 

', on aura encore en ce point AP' ^R — cos x; 

ne C05 07 :=R—AP'=AC—AP'=—CP'; ce qui 

tait voir que cos a: est alors négatif; et parce que 

CP' :^ CP :^ cos { 200" — œ) , on a cos x ■^ — cos 

( 300°- — j:), comme on l'a déjà trouvé. 

On voit par-là qu\in angle obtus a le même sinus 

et le même cosinus que l'angle aigu qui lui sert de 

tupplément, avec cette seule différence que le cosinus 

de l'angle obtus doit être affecte du signe — . Ainsi 

'I t^Q^^sin So":^^ Rl/a , etco5 150°= — r 

-^Rl/2. 

à l'arc ADB égal à la demi -circonférence, 
s est zéro, et son cosinus est égal au rayon 
pris négativement ; on a donc sîn 2O0°:;z:o , et cos aoo" 
•=1 — R. C'est aussi ce que donneraient les formules 
SinA^=sm (2oo''~A) , et coî A^ — 005(200" — A), 
en y faisant A ^ aoo", 

XII. Examinons maintenant ce que devient la 
tangente d'un arc AM' phis grand que 100". Suivant 
la définition , elle doit être déterminée par le con- 
cmirs des lignes AT, CM'. Ces lignes ne se rencon- 
trent point dans le sens AT, mais elles se rencontrent 
dans le sens opposé AV; d'où l'on voit que la tan- 
gente d'un arc plus, grand que 100" est négative. 
D'ailleurs, si on obseiTe que AV est la tangente de 
l'arc AN supplément de AM' ( puisque NAM' est une 
demi- cire onlérence ) , on en conclura que la tangeme 
d'un a/-c uu d'un a/iffle plus grand que 1 oo" e.i; égale 
à celle de son supplément, prise négativement , de 
sorte qu'on a 

tnng A ^^ — tang ( aoo" — A) 



TRIGONOMÉTRIS, 34S 

Il en est de même de la cotangente représentée 
par D S ' , laquelle est égale , et en sens jcontraire à 
DS cotangente de ÂM. On a donc aussi 

cot A :=: — cot ( 200° — A ) . 
Les tangentes et les cotangentes sont donc négatives , 
ainsi que les cosinus^ depuis 100^ jusqu'à 200". £ty 
daps cette dernière limite , on a tang 200*^ = o et cot 
200^ = — cot o =1' — 00 . 

XIII. T)ans la trigonométrie il n'y a pas lieu de consi- 
dérer les sinus , cosinus , etc. , des arcs ou des angles plus 
grands que 200°; car c'est toujours entre o et 200° que sont 
compris les angles des triangles tant rectiligncs que sphé- 
liques, et les côtés de ces derniers. Mais dans diverses 
applications de la géométrie , il n'est pas rare de considérer 
des arcs plus grands que la demi-circonférence, et même 
des arcs comprenant plusieurs circonférences. Il est donc 
nécessaire de trouver l'expression des sinus et cosinus de 
ces arcs , quelle que soit leur grandeur. 

Observons d'abord que deux arcs égaux et de signes 
contraires AM , AN , ont des sinus égaux et de signes 
contraires MP , PN , tandis que le cosinus CP est le même 
pour l'un et pour l'autre. On a donc en général 

sin ( — .r ) = — sin x 
cos {^-^ sn^ "^z COS.V, 
formules qui serviront à exprimer les sinus et cosinus des 
arcs négatifs. 

Depuis o*^ jusqu'à 200^ tes sinus sont toujours positifs , 
parce qu'ils sont situés d'un même côté du diametue AB ; 
depuis 200° jusqu'à 400*^ les sinus sont négatif s , parce qu'ils 
sont situés de l'autre côté de ce diamètre. Soit ABN ' = x 
un arc plus grand que 200°, son sinus P'N' est égal à PM 
sinus de l'arc AM = .a: — 200° ; donc on a en général 

sin X zzz — sin ( x — 200° ) . 
Cette formule donnerait les sinus entre 200** et 400** ati 
moyen des sinus entre 0° et 200° ; elle donne en particulier 
sin 400**= — sin 200° =0; il est évident en effet que si 
îin arc est égal à la circonférence entière , les deux extré- 



TAlCO:VOUETItIB. ^ 

-onfondent en un mthne point , et le sîans se réddt 

i'est pa» moins Évident que, si à un arc quelconque 

on ajouie une ou plusieurs circonférences, on retoui- 

bera exactement sur le point M, et l'arc ainsi augnienlé 

aura le m^ine sinus que l'arc AM ; donc si C désigne une 

circonférence entière ou 400° , on aura 

«Vi, = Kl,(C+ir)=.,>,(iC+«)=™(3C+.t)«c. 
La même chose aurait lieu pour les cosinus , tangente, etc. 

Maintenant, quel que soit l'arc proposé j; , il est facile de 
'voir que son sinus pourra toujours s'eiprimer, avec un 
signe con-venaLle , par le sinus d'un arc moindre qiie loo". 
Car d'abord on peut retrancher de l'arc x autant de fois 
400° qu'ils peuvent y tire contenus; soit le reste j-, on 
aura j^tVi r=tin y. Ensuite si j- est plus grand que 200", on 
fera j';^ ïoo" -f-s , el on aura siny^ — siitî. Tous les ca* 
sont donc réduits à celui où l'arc proposé est moindre 
que 200", et comme d'ailleurs on a sin (ioo'" + .r);= 
sin (too" — j;^ , il est clair qu'ils se réduisent ultérieurement 
au cas où l'arc proposé est entre léro et 1 00°. 

iiT. Les cosinus se réduisent toujours ani sinus en vertu 
de la fnrmnle ros A :=: sin ( 1 00" — A ) , 00 , si l'on veut , 
delà formule cos K-=.siit ( 100" + A); ainsi, sachant éva- 
luer les sinus dans tous les cas possibles , on saura de même 
évaluer les cosinus. Au reste, on voit directement parla 
fif;nre que les cosinus négatifs sont séparés des cosinus po- 
sitifs par le diamètre DK, en sorte que tous les arcs dont 
l'extrémité tombe à gauche de DE ont un cosinus positif, 
tandis que ceux dont l'extrémité tombe a droite ont un 
cosinus négatif. 

Ainsi de o" à 100° les cosinus sont positifs, de 100" à 3oo" 
ils sont négatifs , de îoo" à /|Oo" ils redeviennent positifs ; 
et apri'-s une révolution entière, ils prennent les mêmes 
valeurs que dans la révolution précédente, car on a aussi 

D'a|u-cs ces Pïpllcalions . il est aisiî de voir que les sinus 
c\ cositius dvi aJL's multiples du quadrant , ont les valeurs 



TRIGONOMETRIE. 



347 



Sin o** b 


sin 160** R 


cos o**=R 


cos 100® 


sin aoo° — o 


sin 3oo** — — R 


cof aoo** — — R 


cos '^oo^ — 


sin 400® 


«/i 5oo^ R 


cof 400® R 


cos 5oo° 


sin 600® 


sin 700**-=: — R 


co^6oo** — — R 


COS'JOO^ — 


stn 800° 


sin 900^ R 


cof 800** R 


cos 900** 


etc. 


etc. ; 


etc. 


etc. 



En général A désignant uti nombre entier quelconque , on 



aura : 

sin 2^. 100® = o, 

j«i (4^-f- i). 100° = R 



sin (4it — i). 100** = — R 



cos ( a ^ -h I ) . 100® =: o 
cos l^k , iop** = R 
cos (4 X' -|- 2). 100° zzz — R 
Ce que nous venons de dire des sinus et cosinus nous dis- 
pense d'entrer dans aucun détail particulier sur les tan- 
gentes , cotangentes, etc. des arcs plus grands que 200**; car 
les valeurs de ces quantités sont toujours faciles à déduire 
de celles des sinus et cosinus des mêmes arcs , ainsi qu'on le 
verra par les formules que nous allons exposer. 

Théorèmes et formules concernant les sinus ^ 
cosinus j tangentes j etc. 

XV. Le sinus (Vun arc est la moitié de la corde 
qui sous'tend un arc double. 

Car le rayon CA , perpendiculaire à MN , divise fig- ï- 
en deux parties égales la corde MN et l'are sous* 
tendu MAIN ; donc MP , sinus de l'arc MA , est la 
moitié de la corde MN qui sous-tend l'arc MAN, 
double do MA. 

La corde qui sous-tend la sixième partie de la 

circonférence est égale au rayon ; donc sin 



12 



ou sin 33® j = ~ R , c'est-à-dire que le sinus du tiers 
de l'angle droit est égal à la moitié du rayon. 

XVI. Le quarré du sinus d'un arc plus le quarré 
de son cosinus est égal au quarré du rayon , de 
sorte qu'on a en général sin "* A + cos ' A=R " (i). 

(i) On désigne ici par sin^ A le quaiTe de sin A , et semblable- 
ment par cos^ A le quarré de cos A. 



TTUCONOKETItlE. 

propriété résulte immcdiatement du tliang^Ie 
rectangle CMP, où l'on a MP + CP:!=CM.' 

II s'ensuit qu'étant donné le sinus d'un arc on 
trouvera son cosinus, et vice -versa, au moyen des 
formules cos A =^ ± v/ f R ' — stn'' A) y sin A. = ± 
V (R ' — CQS'^ A). Le double signe de ces formules 
vient de ce que le môme sinus MP répond à deux 
arcs AM, AM', dont les cosinus CP, CP' sont égaui 
et de signes roiitruires , comme le même cosinus 
CP répond à deux arcs AM , AN, dont les sinus 
MP, PN sont pareillement égaux et de signes con- 
ti'aires. 

Ainsi , par exemple , ayant trouvé sin 33''-j=r^K , 
onen déduira coj 33"^ ou j*n 66^5=: l/(R' — îR')== 

XVII. Etant donnés les sinus et cosinus de 
l'arc A , on peut trouver les tangente, sécante, 
cotangente et cosécante du même arc au moyen 
des formules suivantes : 

„,.,. A = 'i^':^^ , ...V A = ^I- , „, A = !4îi^ , 



Fj. olVot le. Iiiansles sfiulihUra CPM, CAT, CDS 

i:r:lVM::C\: vroims A:™iA :: R:.vin.A=îi2^ 
1 r : ^:^^ - IA : C r .lu , . . a ; K - r ; i,V A=j^ 
rMiiP I.IVIIS ™ J. .■ A:.-. . A:: R:ro.-A=i^-2^ 



il >a:;it. On 



ÏRIGONOMÉTRIS. 3*49 

mules se déduiraient des deux premières en mettant 
simplement loo® — ^.A au lieu de A. 

Ces formules donneront les valeurs et les signes 
propres des tangentes , sécantes , etc. pour tout arc 
dont on connaîtra le sinus et le cosinus; et comme 
la loi progressive des sinus et cosinus , selon les diffé- 
rents arcs auxquels ils se rapportent, â été suffisam- 
ment développée dans le chapitre précédent, il ne 
reste rien à désirer sur la loi que suivent semblable- 
ment les tangentes , sécantes , etc. 

On peut confirmer aussi par leur moyen plusieurs résul- 
tats qui ont été déjà obtenus relativement aux tangentes ; 
par exemple , si Ton fait A=: loo*^ , on aura sin A = R , et 

^os A=:o, donc tang ioo**= — , expression qui désigne 

une quantité infinie ; car R' divisé par une quantité très- 
petite, donnerait un quotient très^grand \ donc R^ divisé 
par jséro donne un quotient plus grand que toute quantité 
finie. Et parceque zéro peut être pris avec le signe -h ou 
avec le signe — , on aura la valeur ambiguë tang ioo*^ = 

Soit encore A=:aoo** — B, on aura sin A=zsin B, et 

_ - , o ^ > R j/« B 
cos A=— coj B; donc tanff( iioo — Bj= izi — 

R sin B 



cosB 



zzz—'tang B , ce qui s'accorde avec l'art, xii. 



XVIII. Les formules de l'article précédent , com- 
binées entre elles et avec l'équation sin "* A -f- cos * A 
= R " , en fournissent quelques autres qui méritent 

attention. 

I* 

On a d'abord R^ -f- tan^' A = R' + ?^'i!lA 

^ cos"" A 

RUsin' A-^cos^A) R* i ,,, 

== — ^^ TT -== — ^-r^ doncR' + tanff'' A 

cos' A cos^ A' ^ •& 

z=:séc'' A, formule qui se déduirait immédiatement 

du triangle rectangle C AT; on aurait de même, 

par les formules ou par le triangle rectangle CDS , 

R ^^ -+- co^' A = coséc ' A, 



r 



lionn'" 



3Sï TRICO-NOMETBIE. 

en m^me Umps CF=:IL — CK, il en résulte lonjonri"' 
rt..i (rt + fi) = CK — IL. ou n ca. (fl+4) =.«wa cw i 

Supposons maintenant qnr les formules 

R j (« {a + à) = .un acosb + iinl tw a 
R coila + b}= COI a cos b-~ sin a sin b 
soient reconnues eiacles pour toutes les valeurs de a et 
Uet, tnoIn>lrcs()u.: lesiimiles A et B, je dis (ju'elles aarout 
aticore liiru lorsque ces ILmiles seront ioo° -f- A et B. 
En effet, on a généraleraenl , quelque soit l'arc j, 
.,»(,o„° + .0 = «><x 
»,(,oo" + ..) = -,i.,,. 
Ces èqnations sont manifestes lorsque j" est < loo", et on 
s'tiïsure aisément qu'elles ont ^eu pour toutes les valeur; 
de j-, au moyen de la fig. i8, où MM" et M'M'" sont 
deux diamètres jierpendiculaires entre eux , et où l'on peut 
prendie successivement pour -f les valeurs AM, ADM', 
ADBH", ADBEM'", on ces valeurs augmentées de tant de 
circonférences qu'on voudra. 

Celrf^s*, soit .p=;/n + 6, on aara 

«V, ( ,oo^"+™ + 6)=.cor(« + A) ^ 

Slais , suivant l'iivpotliesc , on connaît les valeurs des se- 
conds membres, tant que m et b n'excèdent pas li-s limites 
A et B; donc dans cette mi'me liypotliese on aura : 

R sin ( 1 oo" + «j + i ^ = cos m cos b -~ .<i„ m si,i b. 

R cos [ 1 oo" + M + i ) = — sin m cos b — cov rn xin 6. 
Soit loo^ + 'w— n, puisqu'on a sin {loo" + >n)^ cos m 
et cûf ; 100" + w = — «n /«, il en résultera co..- "i = ^i»a 
et si/i II! = — ros a; donc en faisant cette substitution 
dans les équalions précédeiiies, on aura : 

r. ,./« ^ rt + /' ■ = S'" ■' ■■0-. b + ros a sin b 
R,<i,. ,,, + b- ^roi,>,ov/, — sina sin b. 
D'où 1*011 voit que ces formulas, qui n'étaient démontrées 
d'abord que dans les liiuiics <i< A , i < B , le sont mainte- 
nant dans les limites plus éleiidues ,i < 100° + A, i < B. 
aiûis, par la même raison, la limiie de b pourra être re- 
culée de 100" . ensuitf telle de <i , ce qui peut se continuer 
.ndeiini.uent; donc le* formules dont il sagii otil lieu, 
quelle que s.'it la grandeur dis arcs « et b. 



^ 



TRIGOHOMBTEUI. 353 

L'arc a étant composé de la somme des deux arcs a — b 
tXh ^ on aura, d'après les formules précédentes, 

R sin a = sin [a — 6) cos h -\- cos (a — ^) sin b 
Rco^ a = cos (a — b) cos b — sin (« — ô) snb. 
Et de celles-ci on tire : 

R sin ( a — b)zn sin a cos b^-^sin b cos a 
"B. cos(^a^^b) =:cos acos b-^sin asin b, 
formules qui auront encore lieu pour toutes valeurs de a 
et de b. 

XX. Si dans les formules de Tarticle précédent on 
fait &=a^ la première et la troisième donneront 

* . a sin a cos a cos* a^-^sin* a 

sut 2 a= = , cos 2 ar= • 

R R 

CelieS'K^i ^rviront à trouver le sinus et le cosinus 
d'un arc doul;>le , lorsqu'on connaît le sinus et le- 
cosinus de Tare simple. C'est le problème de la du- 
plication d'un arc. 

Réciproquement pour diviser un arc donné a en 
deux parties égales , mettons dans les mêmes for- 
mules ^ a à la place de a^ nous aurons 

a sin\ a cos\ a ^ cos* i a—^sin* -f a 

Sm a-^r. i-- 2 — , C0Èa:=r. 2 — 2—. 

R R 

Or , puisqu'on a tout-à-la-fois cos ' -j a + sin ' j a = R* 

et cos'' ^ a — sin'' ^ a=R cos a, il en résulte 

co^»ia=^R''+^Rco5aet5m'->=^R'~^Rcoja, 

donc 

sin\a= \/ (iR»_iR C05 a) 

cos\a:=z\/\^^^'-^cosa). 

Ainsi, en faisant a=ioo<', ou cos a=:o ^ on a 

sin 5o^=:cos 5oo=i/^^R'*=:R\/^; ensuite si l'on 

fait a=:5oo, ce qui donne cos ^z=Rw^-5, on aura 

sin a5o=Rv^(i— iv^i), et C05 25o=R»/'(^+iv/i). 

XXI. On peut aussi avoir les valeurs de sin^ a et cos\ a 
exprimées par le moyen de sin a, ce qui sera utile dans 
beaucoup d'occasions i ces valeurs sont : 

Neui^. édit. 2 3 



TniGONOVBTHIK. ^^ 

««^a=iV/(R'+R««a)-4l/CR*-R"'"') 

F.o cttet , si on éteve la première an quarr^ , on aura sïn ' 4 1 

=:-iH' — 7R coïrt; on aurait tie même CM' ^n^^R'+^R 
coï a, ce qui s'accorde avec les valeurs précédentes de 
rin^ a et ca*4 "- *' **"' cependant observer que, si casa 
Élait négalif, le radical 1/ (R" — H j/n a) devrait être pris 
avec an signe contraire dans les valeurs defi/jf a etcos^a, 
ce qui changerait l'une dans l'autre. 

XXII, Au moyen de ces formules, il est facile de déter- 
miner le» siuus et cosinus de tous les dixièmes du qua- 

£t d'aboi'd soit»'/) ao°^.x, a.;e sera la corde de 40*, on 
le c£té du décagone régulier inscrit; or ce câlé est égal 
au plus grand segment du rayon divise en moyenne et 
* S.i. extrême raison *; donc si on fait ie rayon égal^ i , on aura 
x:ix::2,xi i — u'. Delàonlireilj;'^i — ir, ouj;' + -;.r=;; 
donc (a:+-J)'=:-j-f-^=i~; donc3:-(- j^ j^/5, et enfin 

Cettevaleur, élevée au quarré, donne f/n' 20°;^ ■_ — ; 

' i(i ' ' 

j , . . r ' 'i + Zil/S 1+1/5 
=cac2a, donccoj f|0 ou««6o^ — — ^ . 



Maintenant, si Sans les formules dun°Txion fait Ri^i, 

a^^ao", el.«« "^^i{ — i + l/5), on en déduira 
ym („==^n/Ci4-i/5) — ^1/(5 — ^/5) 
eo.,o°^:i/C3 + l/5) + ^|/(5 — 1/5). 
Si ensuite on fait dans les mêmes formules 0^60", et 
r/,o=;(,+^5),o„a..r. 

.;,, 3o-=-;v/(5 + ,/5)-iiX(3— 1/5) 

m,3o-=i^x(5+^-5)+i^/(3_^/5). 

Avec ces valeurs et celles qu'on connaît dcja de ."'« &o* 
■■t de siii 100% on pcuE former le tableau suivant : 



sin 



(^z=zcos 100° 



TRieONOMSTfilS. 



35S 



sm 10 zzzcos 90 = 

sin io°-=:zcos 8o°=:j{ — 1+^/5) 



sin Z6*z=zcos 70°:=^ 



sin liO'*z=:cos 60" = 

sin So'^zzzcos 5o*= 

sin So° zzncos 40* = 

sin 70°= cos 3 0° = 

tfm 80* = cos ao* = 

^z/î 90" =: cos I o" zr: 

i/>2 1 00° = cof 0* = 



l/(3+i/5)-^|/(5-.»/5) 



(i + »/5) 

»/(5+i/5) + i»/(3-j/5) 
i(/(io+ai/5) 
l/(3+»/5)+ii/(5— ^^5) 



Ces -valeurs peuvent se simplifier encore , puisqu'on a 

^/(3-H^5)=^|/io-hil/2etv/(3-v/5)=^l/io— iv/a; 
d'où l'on voit qu'en regardant comme connues ^Z a , ^Z 5 et 

)/^ 10, il ne reste que quatre extractions déracines quarrées 

à faire pour avoir les valeurs des sinus et cosinus de tons 

les arcs multiples de 10°. 

xxiii. Nous tirerons de ces formules deux conséquences 
remarquables, i** Puisque usin 40"* est la corde de 80°, ouïe 
côté du pentagone régulier inscrit, ce côté=7V/'(io— aj/S), 

10— a|/5 

son quarré.-zz . Le côté du décagone régulier 

4 

=i:a«/îao'=:4-( — i +1/^5), son quarré=-y(6 — jiy^^);or 
^ (10 — aj/'5)=:i-|-^(6— a \/ 5). Donc la somme Jiaite du 
quarré du rayon et du quarré du côté du décagone ^ est égale 
au quarré du pentagone régulier inscrit. 

a^ Entre les sinus des divisions décimales impaires du 
quadrant y on a cette relation 

sin go°-\- sin ^o^-i-sin iQ>*:=r.sin 5o°+«/i 70*, 
et les divisions paires donnent ^emblablement sin 60°= 
sin 20°+-^. Mais ces formules ne sont que des cas particu- 
liers , et on peut démontrer que x étant un arc d'un nombre 
quelconque de degrés , on a 
sin{iQo'*^x)-{-sin {^lo'+x^-^sin (ao°— a:)=fi/ï(6o'-^)-f-^«/2 (6o°-f-.r), 

En effet , la formule sin {a+b) -\-sin (a— 6)=a sin a cofi b, 
donne 

sin (ao° -h a?) -\-sin ( ao*— .r) = a sin 20" cosx 
sin ( 60" + .2^ ) + sin ( 60° —;i: ) = a sin 60 cos x, 

a3. 



IKIGOSOUETRIU. 
uonc, puisqu'on a sin Bo'—sin %o' = ^, « cas j; ^ 
sî/i (ioo° — j-}, ce» deux équations retranchées l'une de 
l'autre, donnerout 
«(6o-+«)+™(6o--,)-rà(io-+,)-.™(io--«)=,i,(,oo--^). 
Formule d'où l'on tire l'équation des divisions impaires ea 
faisant .r=rio*, et qui en général peut fervir à la Térifica- 
tion des tables de siuus. 

xxiT. Si dans les formules première et troisième 
de l'ai'itcle ux , on fait & =r: a a , on aura 



Substituant dans celles-ci, au lieu de sin^a et 
cos 2fl, les valeurs trouvées dans l'article xx , et 
simplifiant les résultats au moyeu de l'éijuation 
lin' a + coi' a :=: R" , on aura 

Sin S a:^i sin a ~ — 

cos 3 a^ — ^-; 3 cos a. 

Ces formules qui servent à la triplication des arcs, 
peuvent servir aussi à opérer leur trisection ou 
division en trois parties égales. En effet, si on fait 
sin 3 az=:c et sin a = ^' , on aura pour déterminer a: 
réquation r. R' :=: 3 R' x- — 4 ^^ ■ D'où l'on voit que le 
problème de la trisection de l'angle, considéré analy- 
tiqacment, est du troisième degré. 

Si dans les mêmes formules de l'article xix, on 
f;iit successivement b — Z a, b:^4 a, etc. , on aura 
les sinu;; et cosinus des arcs 4 tï, 5 a, etc. ; c'est-à-dire, 
en (^entrai, les sinus et cosinus des multiples de a. 
Réci proquement les formules qui servent à la multi- 
plication des arcs, donneront les équations à résou- 
lîre pu:ir diviser un arc donné en parties égales; 
c'c;'-,i-(lire, pour déterminer siii a ou cos a, 1i>ï*- 
qii fjM i.onnaît sin it a et cos n a. 



VmifOROMÉTRIB. SSj 

XX9. Développons encore les Talears de sût S à et cos 5 a, 
€t pour cela prenons les Ibrmliles 

... . sin 3 a cos a a-+-cos 3 a jcVi 2 a 

sm (3g+>ëi) :r" ■.- . V 

._ . eos 3 a co# a a^-^sin 3 a .«« ^ a 

R 

Si on y substitue les râleurs déjà trouyées art. xx et xxzr, 
on aura , tprès les réductions , 

. „ ^ %osm* a iSsin'a 

B} R* 

-, ^ ao cos* a i6 co** a 

eos 5a;=z5cosa — — =— 1 =r: — • 

R* R* 

I>*oà Ton Toit que le problème de la quintisection de Tan^o 
serait du cinquième degré, et ainsi des autres divisions par 
les nombres premiers 7 , 11, 13, etc. 

xxTT. Soit proposé pour exemple^ de trouver la valeur 
de sin i* approchée jusqu'à quinze décimales , ce qui peut 
être utile pour la construction des tables de sinus. L'ex- 
pression de sin 10'', trouvée n° xxii, étant réduite en déci- 
males dans la supposition de R=i, donne sin lo^'i^o. 
1^643 4465o 4023 1 ; de là on tire, par la formule du n^ xxi, 
sin 5*=o. 07845 90957 27845. 

Soit maintenant sin ï'z=.x , il faudra, pour avoir x , 
résoudre l'équation 

16 jî*— 20JC^+5a?:;=:o.07845 90957 27845. 

Si, pour abréger, on fait le second membre =:c^ on a^ra 
à-peu>près 5ar — 2oa:'=c, et x=jC-t-4(Tc)^- Or 3^c= 
0.01569 18191 et 4(ic)^=o.ooooi 5456 ; donc on a, pour 
première approximation, ^ = 0.01570 7275, valeur qui 
n'est en erreur que dans la huitième décimale. Pour en 
avoir une plus exacte, soit a? = 0,0 1570 73+/, on aura, 
en substituant dans l'équation proposée , et négligeant le 
quarré et les autres puissances àey, 
O.078459009424927-f-4«9^52oi7j=:o.o78459095727845; 
d'où l'on tire / = 0.00000 00 173 1 18207, et 
X ou sin i*=o. 0x670 73173 118207. 



TB tCONOMETTlIC. 

s; ï tle I* OU loo', on déduirait semblablemenl le* 
ts 5o', de lo', de 5', et enfin celui de i'. 

XXVII. Les formules de l'article xix fournissent 
un . iil nombre de conséquences, enne lesquelles 
il SI « de rapporter celles qui sont de l'usage le 
plus I équent. On en tire d'abord les quatre sui- 
vantes ; 

51» o C05 ft = 7 R sm {a-\-b) -{- {^sin {a — l>) 

sin b cosa^^Vi.sin.{a-\-b) ^^'-V^sin (a — b) 

cosacos b^^'Rcos{a — b) -i~~Rcos (a + ft) 

sinasinb^-;Rco.'!{a—b)—{Rcos{a-\-b) 

lesquelles servent à changer un produit de plusieurs 

«inus ou cosinus, en sinus et cosinus linéaires ou 

multipliés seulement par des «instantes. 

xxviu. Si dan» ces formules on fait a + b^p, 



a — b::=-.fj j ce qui donne a =^ 


,1=!'-^ 


en dëiluira 




"" /'+"■« î = ^ «■>" i (y + î ) « 


•*(/■- 5) 


JiH/» — ^H<î=™««^(/J— î)c<3 


«4(^ + 5) 


tOip-\-cmq = -:^COS^{p + q)a> 


•ii.P—Ù 


COSq—CO<p^--sin';{p+q)ll 


-rO-î). 



Nouvelles formules qu'on emploie souvent dans les 
c;i!tuls tri gonoinc triques pour réduire deux termes à 
un seul. 

XXIX. EitGn , de ces dernières on tire encore par 

\a division , et ayant égard à ce que ' ^ — -^ — = 



- — , celles qui suivent : 



TRIGONOMSTAK. $Sq 

sinp + smq sm^(j,-\^q)cos^{p—q) ianff^(p+q) 
sinp — sin q cos^jh^) sin^ (^P'-q ) tang^ {p—^y 

smp + sin q tf/«^(/?+^) tang^ JP + Ç) 

cos p+cos q cos^{p'\-q) S 

sinp '\rsinq cos\{p — q) cot\{^p — q) 
<ro* ^ — cof/> sin^{p — q) R 

sin p — sin q _ sin \ {p — q ) _ tang^{p — q) 
eosp + cosq cos^ {p — q) R 

^'np — sinq eos\^ iP + 9) <:ot-^{p'^q) 

eos q — cosp sin ^ {^ p + q) R 

cosp + COS q co*t(/H-9) ^o^Î'C/'— ^) co/y(/H-î) 
C9sq — cosp sin^{p'\rq) *«*r (/^ — q) tong^{p^) 
si n (p + q) _ 2sin^(p+q ) cos^ {p^ ) _ cof^Ç/y+g) 
sin p-^- sinq % sin^ {p-^) cos^ {p — q) cos^{p — q) 
nnip±q) ^sin^j p^^) cos^(^p-\-q) sif^{ p-\^q ) 
xw/? — sinq 2râ~ (/? — ^f) cos^^p+q) sin^ (p — ^) 

Formules qui sont l'expression d'autant de théorèmes. 
De la première il résulte que la somme des sinus de 
deux arcs est à la différeivce de ces mêmes sinus j 
comme la tangente de la demi^'Somme des arcs est à 
la tangente de leur dem^i^-différence. 

XXX. Si on fait hz=ia ou ^ = dans |es formules 
des trois articles précédents , on aura les résultats 
qui suivent : 

co^' a z= ^ R* +-y R aw a a 
iin^ a = -jR» — )^^cos%à 

^ % cos^ \p 
R -4- cosp = — 



.• 1 



^ a stn^ -jp 
R — cosp = 

a sin \p cos \p 
sinp = ^ — 

R 

sinp tang^p R 

R + cofj» R cot\p 



360 TRIGONOMETBIS, 

tùtp col jP h 

R — cotp R long i p 

R + eai/j coi^jp - R' 

H — cosp R' tang"-p 

XXXI. Pour développer aussi quelques formules 
relatÎYes aux tangentes, considérons l'expression 

tang (a + i) = _i_ " a\ ' *^' laquelle la subs- 
titution des Yaleurs de Ji« { a + i ) et coi ( a + i ) , 
ilonnera 

_ COI a tang a , , eoi b tang b 
Or on a iin a =: et sm b = ^^ — 2 — 

substituant ces valeurs et divisant ensuite tous les 
termes par cos a cos b, on aura 

* ^ ^ ' K'~tangatangb 

C'est la valeur de la tangente de la somme de deux 
arcs , exprimée par les tangentes de chacun de ces 
arcs ; on trouverait de même pour la tangente de leur 
différence 

^ ■■ ' R + tang a tang * 

Soit &:=a, on aura pour la duplication des arcs 
la formule 



"R'— tang' a 

d'où résulterait 

R' R- 
COt^a'= :=: ^fanga=i^cota — f lança. 

langia lUi/iga ' " " i e 

Soit b=2 a, on aurait pour leur triplication U 
formule : 

- R' ( ringa + tangi a) 

° R — tang a langea 



dan^ laquelle si on substitue la valeur de long n a, 
on aura 

xjuui«.Le déTeloppement des fonniiles trigonométrie 
ijues , considéré dans toute sa généralité', forme une bran* 
che importante de l'analyse , sur laquelle on peut consulter 
Vezcellent ouyrage d'Euler , intitulé : Introductio in antU. 
l¥\f. j où sa traduction par M. Labey. Nous croyons ce* 
pendant devoir démontrer encore les formules^oi servent 
à exprimer le sinus et le cosinus en fonctions de Tarc^ 
formules dont ht connaissance est supposée dans la note it, 
et qui d'ailleurs sont nécessaires pour la construction des 
tables. 

Et d'abord, supposant lerayonsi, ce qui n'altère pas la 
généralité des rAiltats, on a la formule cas* K+sin* A= i , 
dont le premier membre peut être regardé comme le pro- 
duit des deux facteurs imaginaires cos À. -H^ — i sin IlcX 
cos A -» l/^— 1 sinK, Si on multiplie ensemble deux fac- 
teurs semblables cof A+|/ — i sinA.^ cos B-f-V^ — i sùiB^ 
le produit sera cos A cos B — #i/i A sin B •+■ {sùi A cos B + 
sin B cos A) y" — i , et il se réduit par conséquent à la forme 
cas ( A+B) -\- v/^^ I sin ( A+B) , laquelle est semblable à 
chacun des facteurs. On a donc en général 

(ccwA-h/— i^i>iA) (cofBH-v/-i ji>iB)==xof (A+B)-fi/--i^//i(A4-B)4 
et il est remarquable que la multiplication de ces sortes de 
quantités s'exécute en ajoutant seulement les arcs , ce qui 
est une propriété analogue à celle des logarithmes. On ea 
conclura successivement 

(cosJL-^y/^isinA) (cos A-^y/^—isin A)=:cojaA-H/-ï«/iaA 
(cos A + »/'-i «« A) {cos 2 A+ )/^isin 2 A) = ccw 3 A-H/-i sin 3 A 
(cos A. -i-]/-! sin A) (co* 3 A-|-v^-iji>i 3 A) =cof 4 A-H/-I fi>i 4 A 

etc. 
Le premier produit est égal à (^cos A + \/— ixiyiA)*,le 
second est égal à (coj A+v^ — i sinA)^; et ainsi de suite. 
Donc en général , n étant un nombre entier quelconque , 
on aura 

(cos A H- 1^ — X sin A)'*=cox nA.+^ — isinnA. 



3^9 XKIGO:VOUBTniZ. 

De là résulte , en changeaiit le signe de \/' — i , 

(cor A — i/— lî/n A)"^ caf n A— i/— i «n« A, 
et de ces dpoi équation» qui sont une auîie l'une de l'autre, 
an dëduira les valeurs léporécs de tin n A.et cas n A, saToir: 
cwnA=K'^"'fA+l/— i«nA)"+i{cofA— V.^— ijinA)" 

m«A=^^{r<MA+i/-;iH«A)''— -i— (twA-vZ-r^nA)" 
3ixm. Si on veut eipriraer les niâmes quantités en 
séries , il faudra développer par la formule du binôme 
(coj A + k'— 1 sin A)", ce qui donnera 



— cot" 'Ann'Ai/— iH — - 



1.3.4 ^ 

Et cette quantité étant la valeur de cos n AMhk' — > ^tn nk, 
on égalera séparément la partie réelle à cos nA , et la partie 
imaginaire à ^Z — i sin n A. On aura donc 

}inA.=cos''X-' — — ca["^'A-"'n'AH — '—- — '■ cftt" *Ajûi'A— 

1.2 1.3.3.4 

'nnA.= nco/' — Asin A.- "'''~''"~ -cos" — '\sin 'A + etc, 

séries dont la loi est facile à saisir , et ail moyen desquelles 
on trouve le sinus et le cosinus d'un are muUiple de A, 
(l'nne manière beaucoup plus prompte que par les opéra- 

sxxiv. Puisqu'on a sin A = i^os A tanff A. , ces séries 
peuvent ae mettre sous la forme 

cosnA. = cos''A{ i /ang'A-i ; '■ — — tang*A — etc. ) 

sin iiA=cos"A[- rang- A — ■ t^ng A4- etc. ) 

Soitnrz:— -, on aura, en substituant cette valeur et 
conservant cependant le facteur cof" A, 



eosxzzcos 



THIGÔVOMÉTRIE. 363 

W I ^-rr^-^ 5-7 n — «^<^- ) 

\ i.a A 1.2.3.4 A* / 

àinx±:jco^k{ -•— -^ *— 2; |-ctc. ) 

VI A i.ft.3 A» y 

Dans ces formules on peut prendre A à volonté ; supposons 

A très-petit, alors — - — sera très-peu différent de l'unité, 

A 

patceqne la tangente d'un arc très-petit est presqu'égale 

à Tare. Cependant , tant que Tare n'est pas nul , on a 

. , ^ tansk. 
tang a.>Il (i) ou — ^ — > i; dn a en même temps* 

A 

lL>sm A (2) ; donc ^^y < ^^.^, , ou ^!^_ < — L-. De 

A smK A cos A. 

là on Toit que le rapport — ^ — est toujours Compris entre 

les limites i et . Soit A=:o, on aura cos A= i ; donc 

cos A . ^f 

tangk. . * ^ -ir j ^ 

ptusque est compris entre i et ■ 9 il faudra qu on 

A cos k, 

tang k 
ait exactement — - — = i . Donc en faisant A=o , on aura 



cos x=xos 



/ x* j:* x^ \ 

\ 1.2 1.2.3.4 1.2.3.4.5.0 J 



X X 



sinx=cos'^k[ X 1 — etc. ) 

\ 1.2.3 1.2, 3. 4*5 y 

Il reste à voir ce que devient cos^ A , lorsque A diminue 

de* plus en plus, et devient enfin zéro. Or on a — -— ■ = 
^ cos A 

sec * A = I -h tang* A ; donc co^ A = ( i -\-tang * A*) * , donc 

», . V- - ^ /ï./l-f-2 . , 

cos'^k=z{i+eang'k) *zzj tang* AH tang*k-eic^ 

2 2.4 



(x) AT est p)us grand que AM, parceque le triaugle ATC est au sec* ûq. i. 
leur ACM : ; ATX ^ AC : AMX 7 AC ; : AT : AM. 

(a) AM est pins grand qu« MP, parceque Vslvc MA5 est plus grand 
que sa corde y[N, 



TBTGOnOHiTRIE. 

Ut MX» lien de n ta Tileur ■— , on anrs 

X tans' k. x.x-*-iK taitg* A. 

•w"A = i A ^ ) — A". — ^- etc. 

9 A' a. 4 A' 

Si l'on imagine maintenant que A diminae deplas en plus, 
X testant la même , la valeur de coi" A approchera de plu 

en plus de l'uiiité; enfin, li l'on fait A^o et :^i, 

on anra exactement cor" A=i . Donc on a les forraoles 



.3.4 



. i.a.3 ..a. 3. 4. 5 
par lesqnelle* on pourra calculer le sinus et le ci 
arc dont la longaenr eit donnée en parties du rajon pria 
pour unité. 

^ jixv. Ces mêmes valeurs peuvent être exprimées d'nne 
manière succincte , par; le moyen des exponentielles. Pour 
cela , il faut se rappeler que c étant le nombre dont le loga- 
rithme hyperbolique est 1 , on a 





e-^ 


I + -H h- 


~ 


5+,.,.5 


r4+"«- 


Si.da 


ms celte formule , on ( 


Fait 


z=^V—i 


[, il en résultera 


= .+ 


1^ 


J-' jV-1 




*' 


V— I 


i.i i.a.3 


1 


.,.3.4 ' .. 


a. 3.4.5 


On aurait s 


emblablement en 


, ch; 


■„g,™.le 


sipnede V — i , 




xV- 


-1 .r' œ'V- 


— I 


^...34 


■SS-^'- 




i.a' i.a 


.3 



1.2.3 1.2.3.4.5 

ii'ils membres sont les Taleurs trouvées 



TRIGONOHiTRIS. 365 



cos x'=: , stnx 



av/— I 



^V — » ^_ - — «i^ — » 



d ou l'on tire — ■• — =iv/ — x. =V— i tangx. 

formule dont on a fait usage , note it. 

Lés mêmes formules donnent é^^ — »=coja?+v'—ï sinx^ 
cos j: — v/ — isinx; do^c , en divisant l'une 

par lantre , on aura e^^^ ' = : = 

cos a?— v^ — I sm x 

ï+V— I t^ngx 

' , ou en prenant les logarithmes de chaque 

I — v'— I tangx 

(I -f- \/ — I tang j:\ 
)• Mais 09 
I — v/ — I tangx/ 

(I ~f- 2\ 2 a 
J=az+~ a* -f.-z*+etc.; mettant 

donc \/ — I tang x au lieu de z, et divisant de part et 
d'autre par a v/ — i , ou aura 
a?=:to/ig^ jî— j tan^ x+^ tang^x-^jtang ^ x+ etc. 
Formule très-simple qui sert à calculer l'arc par ta tapf- 
gente , lorsque celle-ci est plus petite que l'unité. 

xxxYi. Pour appliquer les formules précédentes à la 
détermination du sinus et du cosinus d'un arc donné en 
degrés et parties de degré , il faut avoir la longueur de cet 
arc exprimée en parties du rayon , ou , ce qui revient au 
même , il faut avoir le rapport de cet arc au rayon. Or, le 
raybn étant i , la demi -circonférence ou l'arc de aoo* 
= 3. 141^9 26535 89793a. Soit ce nombre=ir,la Ion*- 

^enr de l'arc — . 1 00^ sera *— . -— ; donc si on faitdans let 

^ n 11 2 ' 

formules précédentes x = — .— , qu'ensuite on remette 

la valeur de 17 , et qu'on calcule les coefficients jusqu'à seize 
dédmales , on aura les formules suivantes : 



366 iitico» 

"■"(v-™-)= __ 

1.5707g 63a67 94896^ — 

— 1..6;,596 40975 o6aC|63 — 
-4-0.07989 1G161 461670-^ 
~o.oo4C8 17541 353187— 
-1-0.00016 04411 847874—; 
—0.00000 35988 4^3353 — - 
-H>-ooooo ooSfig 3 1 7193 — 
— 0.00000 ooooS 688035^ 
-f-0.00000 00000 ofioSfig — - 



<T-)= 



—1. 23370 û55oi 361698- 
-(-O'î'5366 95079 010480- 
—0.01086 34807 633530- 
-1-0.0009191601748^94- 
—0.00001 Sioao 4a373i^ 
710874779- 
.o63 86Go3i- 
ooo6&6^g6- 
no<.oo'.î94^ 



-f-o.ot 



Les sinus et cosinus îles arcs depuis 
comprennent les sinus el cosinus lies arcs 


■Ici,. 


jusqu'à 5o', 
is jo" jusqu'à 


tiii ;jo° — :■]. Dojic , ilaiu les formule 


s qii 


donnent les 


val»r.a.„„^,o.-o,..<,,i,o„-,„ 


npo 


urra toujours 


sui>i>05fr --<-;; lie sorte que Ks série 


sscr 


oui tellement 


cni.>cr-;o;Uei , q.iil nVn f.uuiij jamais e 
t\i!iji de iltL-imale*. 


Iciiler qu'un pelit 
s besoin (le beau- 



TRIGONOM]étRIE. 867 

Si on fait successivement — z=— , — , — , — ... on 

n 10 10 10 10 lo' 

trouvera les résultats suivants : 

sin 10^ = cos 90** =: o. i5643 44^50 4o23i 
sin 20** = cos 80° = o. 30901 69943 74947 
sin 3o° = cos 70** = o. 4^^99 04997 39547 
sin 40** = cos 60° = o. 58778 5'2522 9247^ 
sin 5o** = cos So*' == 0.70710 67811 86548 * 
sin 60° = cos 40° = o. 80901 69943 74947 
sin 70*^ = cos 3o** = o. 89100 6524 1 88368 
sin 80** rz: co.y 20** = o. 95io5 65 162 95i54 
sin 90° =: cos 10° =: o. 98768 834o5 95x38 
sin 1 00® = cos o® = 1 . 00000 00000 00000 

lesquels s*accordent avec les formules algébriques du n^ 29* 

m I 

On trouvera pareillement , en faisant — = , la même 

n loo 

Taleur de sin i", qu'on a trouvée n** 26 ; et la grande facilité 
avec laquelle on parvient à ces résultats , est une preuve doh 
l'excellence de la méthode. 

De la construction des tables de sinus, 

XXXVII. Les savants utiles à qui on doit la première cons- 
truction des tables de sinus , ont fondé leurs calculs sur des 
métbodes ingénieuses , mais dont Tapplication était fort 
pénible. L'aiialyse a fourni depuis des méthodes beaucoup 
plus expéditives pour remplir cet objet ; mais les calculs 
étant dépT faits , ces méthodes seraient restées sans appli- 
cation, si l'établissement du système métrique n'eût fourni 
Toccasion de calculer de nouvelles tables conformes à la 
division décimale du cercle. 

Pour donner une idée des méthodes qu'on peut suivre 
dans la construction des tables , supposons qu'il s'agisse de 
calculer les sinus de tous les arcs de minute en minute , 
depuis I minute jusqu'à loooo minutes ou 1.00 degrés; nous 
ferons le rayon=zi , l'arc d'une minute = «, et d'ab9rd il 
faudra trouver le sinus et le cosinus de l'arc a avec un 
grand degré d'approximation. 

Le rayon étant i , on sait que la demi-^ circonférence ou 
l'arc de 2oo*'=:3. 14159 26535 89^932^ divisant ce nombre 



388 TSIGONOUETKIB. 

paraoooOjOnsl'arcdei ' ou 11:^0. 00015707963167948965, 
yaleureiactf jusque danslaïinglieme décimale. Quand ua 
irc est très-pe'it, son sinus est sensiblement égal à l'arc, 
ainsi on a à très-peu près sin a=:o.oooi5 70796 SaSjg 
48966. Mai» cette valeur est d^ja en erreur à la treizième 
décimale, laquelle n'est «jue le diiieme chiffre significatif. 
Pour en avoir une plus exacte, le moyen le plu» simple est 
de' recourir aui formules de l'art. 36 , dans lesquelles , si on 



fait — i^ , on aura immédiatement , par l«s deux ou 

trois premiers termes de chaque série , 

ima = o.oooi5 70796 3ao33 5i5%63 
co*fl=;o. 99999 99876 61994 Sa^oo 5î53 
valeurs eiacles jusqu'à la vingtième dédmnle pour le sinai, 
et jusqu'à la vingl-ipiairieme pour le cosinus. 

xiiviii. Connaissant le sinus el le cosinus de l'arc d'une 
minute désigné par a, pour en déduire successivement le» 
■intis de tous les ares multiples de a, on fera dans les for- 
mules de l'art. i%,p-^x-\-a, j=rx — a. La première ella 
troisième donneront par cette substitution , et en faisant 
toujours B^i , 

,i„{^ + a)=^ co,a,m r-sm (,-■ ,) 
».(, + „) = >™a™x-™(x-„) 
Il résulte de ces formules que si on a une suite d'arcs en 
progression arithmétique, dont la différence soit a, leurs 
sinus formeront une suite récurrente dont l'échelle de 
relation est icosa, — 1, c'est-à-dire, que de«x sinus 
consécutifs A et B étant calculés , on trouvera le suivant C , 
en multipliant B par 3 cor a, A par — i , et ajoutant les 
deux produits, ce qui donnera C = iTi cos a — A. Les co- 
sinus des mêmes arcs formeront également une suite récur- 
rente dont l'échelle de relation est a cos a , — i : on aura 
donc suicessivement , 



•TRIGOmOMÉTRIB. d6§ 

XKXix. Il ne s'agît plus que d'exécuter les opérations \a-^ 
diquées , en substituant les valeurs de sût a et cos a. Si on 
veut construire des tables de sinus avec lo décimales , il 
suffira de prendre les Yaleiirs de sin a et eos a approchées 
jusqu'à i6 décimales , savoir : 

sin a^Q*oooiS 70796 3ao335 
cof a = 0.99999 99876 629945 

mais comme cos a diffère très-peu de l'unité , il j a un moyen 
d'abréviation dont il faut profit er^^Soit ^ = 2(1 — ms à)z=^ 
0.00000 00246 74oiio,on auras co^a = 2 — h , ce qui 
donnera , 

sin ( a: -f- a ) — j"//! x^zsinx'-^sin (jc — û) — /■ sinx 
cos (^.x-\-a)-^'COsxz=:cos x^—cos (^— û) — ^ cosx 

Pour avoir le terme sin (^x-\-a) il suffit d'ajouter au terme 
précédent sinxla. différence sin (jc + a) — sinx^ laquelle 
sera toujours très-petite : or cette différence est, suivant 
la formule , égale à une différence semblable déjà calculée 
sin X — sin (a; — â ) ,moins le produit de sin x par le nombre 
constant k. Cette multiplication est donc la seule opération 
un peu longue qu'on ait à faire pour déduire un sinus des 
deux précédents; mais il faut observer 1° que l'on n'a be^ 
soin de coniSaiire le produit que jusqu'à la seizième déci- 
male , ce qui donnera fort peu de chiffres à calculer ; 2^ que 
ces multiplications peuvent être abrégées beaucoup en for- 
mant d'avance les produits du nombre constant 2467401 ip 
par 1,2,3 jusqu'à 9 ; car , par ce moy^n , on aura imm^ 
diatement les produits partiels qui résultent des différents 
chiffres du multiplicateur sin x ^ et il ne restera plus, qu'à 
faire l'addition de ces produits , en se bornant toujours à 
la seizième décimale. ^ 

Les mêmes procédés devront être suivis dans le calcul des 
cosinus ; et , lorsqu'on aura prolongé l'une et l'autre séries 
jusqu'à So*" , la table sera complète. 

XL. Il est nécessaire*, nous le répétons , de calculer les 
sinus avec 16 décimales, c'est-à-dire avec cinq ou six dé- 
cimales de plus qu'on n'en veut avoir réellement , afin 
d'être assuré que les erreurs , qui peuvent se multiplier 
'dans le cours de 5ooo opérations , n'influeront cependant 



.X^ la ^ 



3^0 TRICOnOMÉTBIE. 

pas tur la dixième déiùinale des derniers résultats. Le calcitl 
fitil , OQ retranchera les décimales superflues et on ne con- 
lervera dans la table que dis décimales. 

Au reste , quand ït s'ajjit d'exécuter tant de calculs , on 
doit cbercLer à vérifier les résultats aussi louTcnt ({u'JI est 
possible. Dans l'exemple que nous avons apporté d'une 
table calculée de minute en minute , U serait nécessaire de 
calculer préalablement les sinus et cosinus de degré en de- 
gré , ce qui fera, de loo termes en loo termes , une ■vériC- 
ration trèS'Utile. Or, poiir calculer les sinus de degré eu 
degré , on a les formules et les valeurs qui 



(-+.■ 




tin 


i" = o.oi570 73i,3 .1810 6;6 

i''=o. 99987 e(S3i4 81660 599 

■)=o.oooa4 67350 36678 80a 



Les sinus calculés de degré en degré se véririeront eui- 
mfmes de dix en dis par les valeurs déjà connue* de .(in 10°, 
sin 30*, etc. Enfin lorsque la table entière est construite, 
on peut encore la -vérifier de tant de manières qa'on vondri 
par l'équation 
in(lOo°-.7:)+«n(ao'-.7-)+^;«(io''-|-.r)=ti«(6o''-^)+,ïjn(6o°+.r). 

XLT. Les sinus , tels qu'Us résultent des calculs que nous 
venons d'indiquer, sont exprimés en parties du rajon, et 
on les appelle sinus naturel'; mais on a reconnu dans la 
pratique, qu'il y a beaucoup d'avantage à se servir des loga- 
rithmes des sinus , au lieu des sinus eux-mêmes ; en couaé- 
quence la plupart des tables ne contiennent point les sinus 
naturels, mars seulement leurs logarithmes. On conçoit que 
les sinus étant calculés , il a été facile d'en trouver les loga- 
rithmes; mais comme la supposition du rayons i rendrait 
négatifs tous les logarithmes des sinus, on a préféré dt 
prendre le rajoii::^ 1 0000000000, c'est-à-dire, qu'on a mul- 
tiplié par loooouooooo tous les sinus trouvés dans la sup- 
position du rajoni= 1. Par ce moyen le rayon ou sinus de 
100", qui se rencontre fréquemment dans les calculs , a 
pour logarithme 10 unités, et il faudrait que les angles 
fussent beaucoup plus petits qu'un nt 



/x. 



TRIGONOMÉTRIE. 3y l 

pratique, pour. que leurs sinus eussent des logarithmes 
négatifs. 

Les logarithmes des sinus étant trouyés, on en déduit 
très-aisément les logarithmes des tangentes {>ar de simples 

^ustractions; car, pmsqu on a tang-x^irz ■ ' i, il s ensuit 

COS X 

log. tang x:z=.io~{~log, sin x — log, cos x. Quant; aux loga* 
rithmes des sécantes, ils se trouyeraient d*une manière 

encore plus simple, à l'aide de l'équation sec, x = • 

cos X 

C'est parcequ'on peut y suppléer si facilement qu'on n'in- 
sère dans les tables que les logarithmes des sinus et ceux des 
tangentes. 

Il resterait à expliquer l'espeoe d'interpolation dont on. 
se sert , soit pour trouver lesi logarithmes des sinus et tanr 
gentes des arcs qui contiennent des fractions de minute ^ 
soit pour trouver l'arc qui répond à un logarithme donné 
de sinus ou de tangente , lorsque ce logarithme tombe entre 
deux logarithmes des tables. Mais pour ces détails on ne 
peut mieux faire que de consulter l'explication dont les 
tables sont toujours accompagnées. 

Principes pour la résolution des triangles 

rectilignes. 

,XLii. Dans tout triangle rectangle le rajron 
est au sinus cVun des angles aigus ^ comme Vhy- 
, poténuse est au côté opposé à cet angle. 

Soit ABC le triangle proposé rectangle en A ; du fig 3- 
point C , corame centre , et du rayon CD , égal au 
rayon des tables, décriveit Tare DE qui sera la me- 
sure de l'angle C ; abaissez sur CD ta perpendiculaire 
EF qui sera le sinus de l'angle C. Les triangles CBA ^ 
CEF sont semblables et doiynent la proportion CE : 
EF::CB:BA; donc 

R:5«iC:;BC:BA. 

24. 



Sy J TRICOTJOMIÎTRIE 

xtiii. Dans tout triangle rectangle le rayon 
est à la tangente d'un des angles aigus, comme 
le côté adjacent à cet angle est au côté opposé. 
Ayant décrit l'arc DE, comme dans l'article pré- 
cédent , élevez sur CD la perpendiculaire DG qui 
sera la tangente de l'angle G. Par les triangles sem- 
blables CDG , CAB , on aura la proportion CD : DG 
::GA : AB; donc 

R:M/ig'C::CA; AB. 
XLiv. Dans un triangle rectiligne quelconque 
les sinus des angles sont comme les côtés opposés. 
Soit ABC le triangle proposé , AD la perpendicu- 
laire abaissée du sommet A sur le côté opposé BC, 
il pourra arriver deux cas : 

I" Si la perpendiculaire tombe au - dedans du 
triangle ABC , les triangles reclangles ABD , ACD 
donneront, suivant l'art, xlii, 

R:«nB :: AB : AD 
VL-iinC :: AC : AD. 
Dans ces deux proportions , les extrêmes étant 
égaux , on pourra , avec les moyens , faire la pro- 
portion 

sin C : sin B :: AB : AC. 
2" Si la perpendiculaire tombe hors du triangle 
ABC , les triangles rectangles ABD , ACD donne- 
ront encore les proportions 

R:j/« ABD:: AB : AD j 

\\:sin C :: AC: AD: 

d'où l'on déduit sin C : sin ABD :: AB : AC. HIais 

l'anglfe ABD est supplément de ABC ou B ; donc 

siiiABXi^si/i B; donc on a encore 

sin C-.sinU :: AB:AC. 
XI.V. Dans tout triangle rectiligne le cosinus 
d'un angle est au rayon, comme la somme des 
quarrés des côtés qui comprennent cet angle 



^ RBCriLIGNE. 873 

nioins le quarré du troisième côté , est au double , 
rectangle des deux premiers côtés; c^est-à-dire 
quon a : \ 

C05 B : R : : ÂB V BC— Âc": 2 AB x BC, ou cos B = 
jj ÂB + BC— Âc' 

Soit encore abaissée du sommet A la perpendi- 
culaire AD sur le côté BC ; 

I** Si cette perpendiculaire tombe au-dedans du trian- fig. 4. 

gle , çn aura* ÂC*= ÂB + BC — 2 BC X BD ; doncBD * la. 3. 

a ^— a a 

= r^^ — . Mais dans le triangle rectangle ABD , 

on a R ; sin BAD : : AB : BD ; d ailleurs l'angle BAD 
étant complément de B , on a sin BAD = cqs B ; donc 

R X BD 
co5B= — r-=r — , ou eu substituaut la valeur de BD, 
AI» 

ÂB + BC — AC* 
C05 B = R X^ 



aABxBC 
2** Si la perpendiculaire tombe au-dehors du trian- fig- 5. 

gle, on aura AC=AbVbcV 2B G X BD*;d6nc BD * i3. 3. 



AC — AB~BC" 



— g-p; Mais dans le triangle rectangle 

BAD , on a toujours sin BAD , ou cos ABD= — j^ — , 
et l'angle ABD , étant supplément de ABC ou B , on 

a* cos^:=i — cos ABD = j^ — ; donc en subs- * xi. 

tituant la valeur de BD, on aura encore 
^^. p _ p y. ÂbV BC — Âc ' 

cos 15 = JtV. X 7-7: =77= • 

• aABxBC 

xLvi. Soient A, B, C, les trois angles d'un triangle 
quelconque; a, b, c, les côtés qui leur sont respec- 
.tivement opposés , on , aura , suivant cette dernier» 



/ 

* 



3t4 




Tnico 


NOMETIlIl 






proiK 


sition , co 


jB = B.- 


,-+c- — b- 


Le mèmt principe 


^lant 


appliqué 


à chacnn 


de. de», .u 


re. .„Bl.. 


don- 


nera 


semblablement cos 


— -^^^t^F^. 


coï C 


— R 


a' + b-~ 


-'■ 









3a& 

Ces trois formates sufflspiit seules pour résoudre lous 
les prolilOmes de la trigonométrie i'ectili[{nc ; car étant 
données trois des six quantités A,B,C, a, b , c, on a par 
ces formules les équations nécessaires pour déterminer les 
trois autres. 11 faut par conséquent que le» principes déjà 
exposés, et ceux qu'on pourrait leur ajouter, ne soient 
qu'une conséquence de ces trois formules principales. 

En cH'et, laTaleur de coi-B donne 

iû'c'— fa'+c'— fe'V R" 



4a' c' ^a'e* 

(aa'i' + aa'c'+ai'c" — a* — b' — c'); donc 
'*»B R , , , . ,, „ 

Le second membre étant une fonction de a , b , c , dans 
laquelle ces trois lettres entrent toutes également, il est 
clair qu'on peut faire la permutation de deux de ces lettres 



est le jirincipe du n" iiiv. Et de celui-ci se déduiraient 
facilement les principes des n"' ii.ii et iliii. 

xi.vii. Dans tout triangle rectiligne la somme 
de deux côtés est à leur différence, comme la 
tangente de la demi-somme des angles opposés 
à ces côtés, est à la tangente de la demi-diffé- 
rence de ces mêmes angles. 

Car (le la proportion AB : AC : : sin C ; sin B , on 
tire AC+AB:AC — Ab :: sin h+sin CisinRi—sin C. 



nSCTILIGNX. 37S 

Mais, d'après les formules de l'arR xxiX) oi»^ a 

B+C B — C 
sin B-f-m C : sin B — sin C : : tang — : tang ; 

donc 

B-J-f B— C 

ÂC+AB : AC — AB :: tang : tang ; 

a a 

ce qui est le principe énoncé. 

Avec ce petit nombre de principes , on est en 
état de résoudre tous les cas de la trigonométrie 
rectiligne. 

Résolution déS triangles rectangles. 

xLviîi. Soit A Tangle droit d'uiï triangle rectan- 
gle proposé, B et C les deux autres angles; soit a 
l'hypoténuse, b le côté opposé à Tanglê B, et c le 
côté Opposé à l'angle d II faudra se rappeler que 
les deux angles B et C sont compléments Tuâ de 
l'autre , et qu'ainsi , suivant les différents dàs , on 
peut prendre sin C=i=co^ B, sin B=:ùos C, et pareil- 
lement tang B=LCo^ C, tang Gtrzcot B. Cela posé , 
les différents problèmes qu'on peut avoir à résoudre 
sur les triangles rectangles se réduiront toujours aux 
quatre cas suivants. 

PREMIER CAS. 

xLîx. Etant donnés Vhypoténttse â et un côté 
b , trouver le troisième côté et les deux angles 
aigus. / 

Pour déterminer l'angle B, on a la proportion* 
a:b w'Siisin B. Connaissant l'angle B, on connaîtra 
en même temps son complément ioo<* -^B= C; on 
pourrait aussi avoir C directement pat la proportion 
a : b : : R : co& G. 

Quan^ au troisième côté c, il peut se trouver de 



XLXI. 



3^6 TnrCOÎfOMÉTRIE 

fjcux manières. A^rès avoir trouvé l'angle B , on 
peut faire la proportion* R : cot ïi :: b : c, qui don- 
nera la valeur de c; ou bien on peut tirer directe- 
ment la valeur de c, de l'équation c':^a' — b' qui 
donne c^v' («' — ■f'')^ ^' P^r conséquent 

log c={ log {a + b) + {-/og (a—b). 



DEUXIEME CAS. 



"L. Etant donnés les deux c6lèsh et c de l'angle 
droit, trouver Vhypoténuse a et les angles. 

On aura l'angle B par la proportion* c : t :: R : 
tang B. Ensuite on aura Ci^ioo" — B. On ttonve- 
rait aussi C directement par la proportion b : c r, 
R : t(uig C. 

Connaissant l'angle B , on trouvera l'hypoténuse 
par la proportion jùj B : R :: b : a; ou bien on peut 
avoir a directement par l'équation a=^ \/ (&" +c') ; 
mais cette expression, dans laquelle h' -^c^ ne peut 
se décomposer en facteurs, est peu commode pour 
le calcul logarithmique. 



TROISIEME ' 



Li. Etant donnés THypoténuse a et un angle 
B , trouver les deux autres eotés b et c. 

On fera les proportions R ; shiR :: a i b, R rrosB :: 
a ; c, lesquelles donneront les valeurs de b et c. Quant 
à l'angle C, il est égal au complément de B. 



i.if. Etant donné un côté b de l'angle droit,, 
avec l'un des angles aigus, trouver l'hypoténuse 
et l'autre côté. 

Connaissant l'un des angles aigus oti connaîtra 
l'aulre, ainsi on peut supposer connus le côté b, el 



l'angle opposé B. Ensuite, pour déterminer û et c, oii 
aura les jproportions 

sinBiK :: b: a,'RzcotB :: b:c> 

Résolution des triangles rectilignes en 

général. 

Soient A, B, C, les trois angles d'un triangle rectiligne 
proposé, et soient a,b ,c,\es côtés qui leur sont res- 
pectivement opposés : les «différents problêmes qui 
peuvent avoir lieu pour déterminer trois dé ces quan- 
tités par le moyen des trois autres , se réduiront tou- 
jours aux quatre cas suivants. 



PREMIER CAS. 



LUI. Etant donnés le côté a et deux des angles 
du triangle, trouver les deux autres côtés h etc. 
Les deux angles connus feront connaître le troi- 
sième , ensuite on trouvera les deux côtés b elc par 
les proportions * , ♦ m v , 

sin A : sin B :: û : J. 
sin A : sinC :: aie. 

DEUXIEME CAS. 

Liv. Etant donnés les deux côtés a e^ b , a\^ec 
r angle A opposé à F un de ces côtés y trouver le 
troisième côté c et les deux autres angles B et C. 

On trouvera d^abord l'angle B par la proportion 

a i b w sin A : sin B. 

Soit M l'angle aigu dont le sinus = , on 

pourra, d'après la valeur de sin B, prendre ouB=:M 
ou B=200*^ — M. Mais ces deux solutions n'auront 
lieu qu'autant qu'on aura à la fois l'angle A aigu et 
b>a. Si Ji'angle A est obtus, B ne saurait l'être, 



TRTGOnOMETRIS 

n*y aura qu'une solution j et sî A étant aigu 

< a, il n'y aura non plus qu'une solution, 

u'alors on a M < A , et qu'en faisant B = 

— M , on aurait A + B > aoo" , ce qui ne peut 

lieu. 

^connaissant les angles A et B, on en conclura le 

troisième C. Ensuite on aura le troisième côté c par 

la proportion 

sin A : sinC :: a : c. 

On peut aussi déduire c ctemcnt de rùquation — - — 






Mal& cette valeur ne peut se calculer par logarithm 
mojea d'un angle auiiliaire M ou B , ce qui rentre dan» 

U sol Htl-. 



'.âtés aeth avec l'angle 
compris C , trouver les deux autres angles A et 
h et le troisième côté c. 

Connaissant l'angle C, on connaîtra la somme des 
deux autres anples A + B ^ 200° — C et leur demi- 
somnie-^ ( A-(- B) 3^100" — yC. Ensuite on calculera 
la demi-difTerence de ces mêmes angles par la pro- 
. portion * 
a~\-h:a — b::tang'-{K + 'R) oucof-^C : tang-^[\. — B) 
où l'on suppose a > t/.et par conséquent A > B. 

Ayant trouvé la demi-différence^ (A — B), si on 
l'ajoute à la demi-somme j ( A + B), on aura le plus 
grand angle A j si au contraire on retranche la demi- 
diflcrence de la demi-somme, on aura le plus petit 
angle B. Car, A et B étant deux quantités quelcon- 
ques, on a toujours 

A = i(A + B) +^ '^A — B) 
B^:;^ (A-+-B} — 1 (A — bV 



HECTILIGlf s. - 379 

lies angles A et B étant connus , pour avoir le troi- 
sième côté c, on fera la proportion 

sin A : sin C :: û : c. 

1.TI. Il arrive souvent dans les calculs trigonométrîques 
que deux côtés aet b sont connus par leurs logarithmes ; 
alors pour ne pas être obligé de chercher les deux nombres 
correspondants , on cherchera seulement l'angle (p par la 
proportion bia \\ R : tang f . L'angle f sera plus grand que 
1^0^, puisqu'on suppose a > 6; retranchant donc 5o^ de 9, 
on fera la proportion R : tang (ç — 5o^ ) :: cot^ C : tang 
■^(A — B), d'où l'on déterminera comme ci-dessus la valeur 
de ~( A — B), et ensuite celles des deux angles A et B. 

Cette solution est fondée sur ce que tang ((p*^-5o^ ) =: 

R* to/ifi^9 — Vi* tang^o!^ , aR ^o ^ 
* > ovtang(ù=z eltang^o zizViy 

fi^-^tangfftangSo^ b 

doncfa/î^(ç— 5o**) = 5 donca + 6: a — b :: R: 

a-^b 

tang{(f — 5o®) :: cot^C: tang ^ {A. — B). 

Quant au troisième côté c , il peut se trouver directe- 

. cosC a*+b*—c* . ^ 

ment par l'équation =-- =•, qui donne c= 

R a a6 

' ^abcosC\ * 

a* -f-è*— 1 . Mais cette valeur n*cst pas «com- 
mode à calculer par logarithmes , à moins que les nombres 
qui représentent a , 6 , et cas C , ne soient très-simples. 

Il est à remarquer que la valeur de c peut aussi se mettre 
sous ces deux formes : c= 

ce qui se vérifie aisément au moyen des formules sin^^ C = 
tR" — rR cof C, coj*^C=7R*+tR <^os C. Ces valeurs 
seront particulièrement utiles, lorsque Fangle C étant très- 
petit , ainsi que a— 6 , on voudra calculer n avec beaucoup 
de précision. La dernière fait voir que c serait l'hypoténuse 

d'un triangle rectangle Tormé sur les côtés (a-f-è) 



•(■ 



sin 7 C 



R 



380 TRIGONOMÉTRIE 

Cl (a — 6) — ; cl c'est ce qu'on peut aussi trouver jiar 

une consirociion fort simple. 

Soit CA.B le triangle proposé dans lequel on conoait les 
deux cûlés CB^a , CA=i6, et l'angle compris C. Du point 
C comme centre et du rayon CB égal au plus grand des deux 
côtés donné», décrivez une circonférence qui rencontre en 
D et E le côté CA. prolongé; joignez BD, BE, et menez AF 
perpendiculaire à BD. L'angle DBE insctil dans la demi- 
circonférence sera un angle droit, ainsi les lignes AF, BE, 
seront parallèle», et on aura la proportion BF: AE :: DF: 
AD::c(j,( D:B. On aura aussi dans le triangle rectangle 
DAF, AF : IIA :: xin D:R. Substituant donc les valeurs 
V/t — hC + C\=a-i~l', AE=CE— CA = a— 6,D=^C, 

!a+b).<if,^C (a — iVo,t4C 

AF = ^— - ' - ' , BF=-i '- '—. 

R R 

Donc en effet le troisième côté AB du triangle proposé 
est riiypoténuse du triangle rectangle ARF, dont les côtés 

sont («+*) — î— et (a — ft) — -^ — . Si dans ce ntee 

triangle on clierilie l'angle ABF opposé au côté AF ^ et 
qi.'on en rciranche l'angle CBD— -^C, on aura l'angle B 
du triangle ABC. Dc-là on voit que la résolution du trian- 
gle ABC , dans lequel on connaît les deux côtés <i et é et 
l'angle compris C, se réduit immédiatement à celle du 
triangle rcrlungle ABF, dans lequel on connaît les deut 

côtés de l'angle droit, savoir : AF= (a + 6) ""^ et 

cov '- C 
BF=:(« — b\ '■ — . AmsL, par celte construction, on 

pourrait se passer de la proposition du n" 117. 
QUATRIEME CAS. 

Lvii. Etant donnés h's trois côtés ai , b,c, trou- 
ver les trois angles A , li , C. 

L'iin:;!c A, opposé an côté a, se trouve par la for- 



I 

HBOTIIilGNE. 38l 

mule cos A=R. — ^ , et on déterminera sem- 

* % bc 

blablement les deux autres angles. Mais on peut ré- 
soudre ce même cas par une formule plus commode 
pour 1« calcul logarithmique. 

Si on se rappelle la formule R' — R cos A = 
a sin' ^ A, çt qu'on y substitue la valeur de 

cos A, on aura 2 sm ^ A=l\ . ; = 

- a oc 

a 6c OL bc 

• t A w //(« + ^ — c) (a — b-^c)\ ^ . 

Ism '- A=Ry/ (^—^ ^--^ -^—^J. Soit, pour 

abréger, ^ .(a + J + c) =p, ou a-{-b + c=!ip, on 
auraaTf-i-î — c==^^p — 2.c,a — b-\-cz=Liip — 2 &;donc 

Formule qui donne aussi la proportion 

bc:{p — b) {p — c) w'R^isin' ^K 

et qui est facile à calculer par logarithmes. Con- 
naissant le logarithme de sin 7 A , on connaîtra 7 A 
dont le double sera l'angle cherché A. On pourra 
faire de même par rapport à chacun des deus. autres 
angtes B et G. 

Il y a d'autres formules également propres à résou- 
dre la question. Et d'abord la formule R^ 4- R coj A=: 

b^-\'C* + 'kbc — a^ 

a cof^'-j A donne coj-i A =:R'. — =R*. 

k bc 

(fr + ç.)'— a' (^b + c — a) {b + c + a) . 
;; =11 . -— . Mais en 

faisant toujours a-4-ô-+-c=ajp , on a ô-f-c— a=2/> — aa; 
donc 



=«^(^^)- 



^iA_...A/— "■>■ 



3n TRICOnUUETniE 

Cette Ta]«ur étant etiïuite combinée avec celle de s 



e formule , car ayant tang ^ A^p — 



V PP—a J • 

Exemples de la résolution dés triangles 
rectiiignes. 

Lviii. Exemple I. Supposons qu'on TPuillc avoir 
la hauteur d'un édîGce AB , dont le pied est ac- 
cessible. 

Ayant mesuré sur le terrain, supposé à-peu-près 
de niveau, une base AD gui ne soit ni très-grande ni 
très-petite par rapport à la hauteur AB,on placera 
en D le pieil du cercle ou de l'instrument quelconque 
avec lequel on doit mesurer l'angle BCE formé par 
la ligne horizontale CE parallèle à AD, et par k 
raTOTi visuf-l CB dirigé au sommet de l'édifice. Sup- 
posons qu'on ait trouvé AD ou €£=67. 84 meties 
et l'angle BCE^45'* 6A' ■-, pour avoir BE , il faudra 
résoudre le triangle rectangle BCE dans lequel on 
connaît l'angle C et le cûté adjacent EC. Ainsi , 
ti'aprèslecasiv, on fera la proportion R: (0/1^43" 64' 
; : ti; . 84 : BE. 

L. tang !f'j fi'^' 9.9403363 

L. 67 .84 i.83i4858 

Somme — logR^ i.-7i(iiai 

Ce logarithme répond à Sg . i3o, ainsi on a BE=: 
59"". i3. Ajoutant à BE la hauteur de l'instrument 
CD ou .AE que je suppose i". 12, on aura la hau- 
teur cherchée AB^^tio". aS. 

Si dan$ le même tiiangle BEC on veut connaître 



\ 

\ 



> RBCTILIGNB. 383 

Thypoténuse BC, on* fera 1^ proportion cos 45® 64' 
: R:; 67.84 :BC 

L.R + L. 67.84 .-.. II. 83i4858 
L. 00*45*64' ...... 9.8772784 

Différence i . 9542074 = L. BC. 

DoncBC=89«. 993. 

N. B, Si l'on ne voyait que le sommet B de Tédifice ou 
du lieu quelconque dont on yeut connaître la hauteur , on 
déterminerait la distance BC comme il sera dit dans 
l'exemple suivant : cette distance et l'angle connu BC£ 
suffisent pour résoudre le triangle rectangle BC£ , dont le 
côté B£ augmenté de la hauteur de Tiûstrument , sera la 
liauteur demandée. 

liix. Exemple II. Pour avoir sur le terrain la dis- %. s. 
tance du point  à un objet inaccessible B , on me- 
surera une base AD et les deux angles adjacents 
BAD , ADB. Supposons qu'on ait trouvé AD =t 
588«. 45, BAD= 1x5° 48' et BDA=:4oo 8' , on en 
conclura le troisième angle ABD=44° 44' 5 et pour 
avoir AB , on fera la proportion sin ABD : sia ADB 
:: AD : AB. 

L. AD 2.7697096 

L. sin ADB 9.7699689 

Somme 2 . 5396785 

L. xê/t ABD. • . ; . . . 9.8080314 

L. ,AB^ 2.7316471 

Donc la distance cherchée AB= 539 . 07 

Si , pour un autre objet inaccessible C , on a 
trouvé les angles CAD ^=39^ 17', ADC = 1 32° 83 ' , 
on en conclura de même la distance AG== i202i>>. 3^. 

liX. Exemple III. Pour trouver la distance entre fig g, 
deux objets inaccessibles B et C , on déterminera AB 
et AC, conime dans l'exemple précédent, et on aura 
au même temps l'angle compris BAG = BAD — 



3ft4 TRIGOSOMÉTniE 

DAC (i). Supposons qu'on ait trouvé AB^SSg". oj, 
AC — iana"". 3a, ei l'angle BAG=76'' 3i';pour 
avoir BC , il faudra résoudre le triangle BAC dans 
lequel on connaît deux côtés , et l'angle compris. 
Or, d'après le troisième «as , on a la proportion 

AC + AB: AC— AB :; ranff^±S . i^n^^^ ,ou 

1741.39: 663.25 :: rang 61094' ^ : mn^-^^. 

I..663.a5 a.32iC773 

L. Wnff()i°84'i 10. 1654748 

Somme ti.cfS-jiG^i 

L. i74i-'iy - 3.1408960 

B— C 
J,. long g.746i5Gi 

B — C 
Donc = 3a° 37 ' , 8 

B + C 
Mais on » = 61° 8if ', 5 

Donc B — 55'=^'. î 

«■t C ^ V itC>-. 7 

Maintenant , pour avoir la distance BC , on fera la 
proportion sin B : siu A :: AC : BC, ou 

iin q4"^^' • 3 '. sin 76" 3i' :: laoa". 32 : BC 

L. 1202. 32 3.0800Î00 

1.. i-m-jb" ?ii' 9.9S92099 

^mme 13.0492299 

L. sm ().',' 12' , 3 9.9982096 

L. BC. 3.o5ioio3 

Donc la distance cherchée BC^ 1 124"". 66- 



(i) Il pourrait anivL-ii|iic les ijiiutie puiots A , B, C , D, ncfiiiseni 
r>as daus un n>ïm« plan , jIuis Tunglc lt.iC uc serait plus la ditfireiic* 
^nii-cHAO et DAC, vl il ramlruit avair, parauc lUïsure directe, U 
rjleui de L-ei angle ■ i cela prit, l'opéitilion terail la mime. 



RECTILI6NE. 385 

Lxi. Exemple IV. Trois points A, B, C, étant fîg. <j. 
donnes $ur la carte d'un pays , on propose de déter- 
miner la position d un quatrième point M^ d'où on au- 
rait mesuré les angles AMB , AMC ; les quatre points 
étant supposés dans le même plan. 

Sur AB décrivez un segment AMDB, capable de 
l'angle donné BMA ; sur AC , décrivez pareillement un 
segment AMC capable de Tangle donné AMC; les 
deux arcs se couperont en A et M , et le point M sera 
le point requis. Car les points de l'arc \AMDB sont les 
seuls d'où l'on puisse voir AB sous un angle égal à 
AMB ; ceux de l'arc AMC sont les seuls d'où l'on puisse 
voir AC sous un angle égal à AMC ; donc le point M, 
intersection de ces deux arcs, est aussi le seul d'où 
Ton puisse voir à la fois AB et AC sous les angles 
AMB, AMC. Il s'agit maintenant de calculer trigono- 
métriquement la position du point M, d'après cette 
construction. 

Soient les données AB = a5oo™, AC = 7ooo"*, 

BC = 9ooo°», AMB = 3oo 80', AMC =1210 4o'. 

Dans le triangle ABC , où l'on connaît les trois 

côtés, on déterminera l'angle BAC* par la formule *i.'ir. 

6*750.21150 

sîn^ ^ A = R' . v ' ; d'où l'on tire 2 los sin i- A= 

* a5oo.700o ^ * 

et enfin A=i52<* 63'. Tirez le diamètre AD et joi- 
gnez DB ; dans le triangle BAD rectangle en B , 
on aura le côté B A =2 5 00, et Tangle opposé BDA 
==BMA = 3oo 80'; d'où résulte riiypoténusé AD 

= -^fiï^rr=5374°*. 6. Tirant de même le diamètre 
sin BDA ' 

AE et joignant CE, on aura un ti'iangle rectangle 
ACE dans lequel on connaît le côté AC = 7000 ^ et 
l'angle adjacent CAE=AMC — iooû = 2i"4o'; d'où 
Neui^. édit. 25 



1 



l'on conclura AE= - — -~^y4^5''. 

Maintenant si l'on tire MD et ME , les deux anglei 
AMD, AME, i^tant droits, la ligne DME sera 
droite. 11 reste donc à résoudre le triangle DAE dans 
lequel la ligne AM, dont il faut déterminer la gran- 
deur et la position, est perpendicidaire à DE. Or, 
dans ce tiiiingle on a les côtés donnés AIi=^^y4.6t 
AE=74i5, et l'angle compris DAE=BAC + CAB 
— DAB=io4" 83 ' . De-I.i on conclura t'angle ADE= 
56" 9.i' ; et enfin par le triangle rectangle DAM on 
aura AM^4igo'". 83. Cette distance et l'angle BAM 
zzzriia" 2j' déterminent entièrement la position Ju 
point M. 

Principes pour la résolut/on des triangles 
sphèriques rectangles. 

Lxn. Dans tout triangle sphérique fectangle, 
le rayon est au sinus de l'hypoténuse, comme 
le sinus d'un des angles obliques est au sinus du 
côté opposé. 

Soit ARC le triangle sphérique proposé, A son 
angle droit, B et C les deux autres angles que nous 
appellerons <ï"^fci obliques, et qui cependant pour- 
raient être droits l'un ou l'autre, ou tous les deu\ ; je 
discju'on aura ta proportion Il;i/nBC :: sin^:sin\C 

Du centre O de la sphère, menez les rayons OA, 
OB, OC; prenez ensuite OF égal au rayon des tables, 
et du point F menez FD perpendiculaire sur OA ; k 
ligne FD sera perpendiculaire au pian OAB, puisque, 
par.liypotbese , l'angle A est droit , et qu'ainsi les deus 
plans OAB , GAG sont perpendiculaires entre eux. Du 
point D menez DE perpendiculaire sur OB , etjoigneï 
EF; la ligne EF sera aussi perpendiculaire sur OB. 
et ainsi l'angle DEF mesurera l'inclinaison des deux 



SPHÉRIQUE, 387 

plans OBA^ OBG,*et sera égal à Tangle B du triangle 
ABC. Gela posé dans te triangle DEF rectangle en D , 
on a R : sin DEF :: EF : DF ; or l'angle DEF=B, et 
puisque OF=R, on a EF=5mEOF=5m BC, DF= 
sin AC. Donc R : ii/z B :: sin BC : sin AC, ou 

R : sin BG :i sin B : sin AC. 

Si on appelle a l'hypoténuse ou le côté opposé à l'angle 
droit A , 6 le côté opposé à l'angle B , c le côté opposé 
à l'angle G , on aura donc 

R : sin a : : sin B : sin b : : sin G : sin c, 
ce qui fournit déjà deux équations tntre les parties du 
triangle sphérique rectangle. 

LKiii. Dans tout triangle sphérique rectangle 
le rayon est au cosinus 'd^un ttngle oblique , 
comjne la tangente de Vhypoténuse est à la 
tangente du côté adjacent à cet angle. 

Soit toujours ABC le triangle proposé rectan- fig. lo. 
gle en A, je dis qu'on aura R : cos B :: umg BC : 
cang AB. 

Car en faisant la même construction que ci-dessus , 

le triangle rectangle DEF donne la proportion 

R : cos DEF :: EF : ED. Or on a DEF = B, EF = 

sinBC^ OE=coi BC , et dans le triangle OED 

T^ T^T7 OE/a/ig^DOE 
rectangle en E , on a DU. = j~ -= 

— :^^ — ; donc R : co5 B :: sin BC : 

cas BC tang k.'R ft sin BC ^ „ ^ 

ÏT "13710"*'^^®»°"^''^" 

R : cos B :: tang BC : tang AB. 

Si on fait comme ci-dessus BG=a et AB = c, 
on aura R : co5 B :: tang a : tang c , ou co5 B =; 

'Rianffc tangccota • a • • i« 

2_-t=: — Ë— , \j^ même principe appU* 

tang a ^^^ 




THICOSOULTKIB 



Lxiv. Dans tout triangle sphérique rectangle 
le rayon est au cosinus d'an côté de l'angle 
droit, comme le cosinus de l'autre côté est au 
cosinus de l'hypoténuse. 

Soit ABC le triangle proposé rectangle en A, je 
dis qu'on aura R : cos AB :i cos AC : cos BC, 

Car la constrjiction étant la même que dans les 
deux propositions précédentes , le triangle ODF 
rectangle en D, où l'on a l'hypoténuse OF=R, 
donnera OD = cqj D0F:= coj AC ; ensuite le 
triangle ODE rectangle en E , donnera O E ^ 

^-^ = . Mais dans le tnan- 

R R 

gle rectangle OEF, on a OE = coj BC i donc 

f ^7î I! C :=! — — — - — ■ — , OU , ce qui revient au 

mêiiie, 

R : coj AC :: cos AB : cos BC. 

Ce troisième principe s'exprime par l'équatiou 
R cos a ^ vos b cos c; il n'est pas susceptible d'en 
j'uiiniir une seconde, comme les deux précédents, 
pariic que la permutation faite entre b et c n'apporte 
aucun cliatigement à l'équation. 

Lw. Au moyen de ces trois principes généraux, 
on en peut trouver trois autres nécessaires pour la 
n'soliitiou des triangles hpliériques rectangles. Ces 
derniers principes pourraient se démontrer direc- 
tement , chairuii par une construction particulière; 
mais il est préférable de les déduire des trois premiers 
par voie d'analyse , ainsi qu'on va le faire. 

... . _ n sin !/ ^ H. rang h 

Les équations sin B = ^ -, coj L^ 






~ 1 , i. . . cos C to/i/s^ h ^ stn a 

~ donnent par leur division ■ . ^ = — r~-. = 

* sin B sm b tang a 

cos tt cos c 

— 7= (suivant le troisième principe) -. On 

z a donc ce quatrième principe 

sin B : cos C :: R : cosc^ 

duquel résulte aussi par la permutation des lettres 
sin C : cos B :: R : cos b. 

Le premier et le second principe donnent 

Si/i B=: — ; , cos B = ^— ; de la on déduit 

sin a tanga 

sin 6 tane B sin b tanff a R sin b 

ou — - — = — = =: 

cos B . R sin a tang c cos a tang c 

(1 . . • . . * R* sin b 

en vertu du troisième principe) 



cos b cos c tangc 
. . Donc on a pour cinquiepie principe Féqua- 

ôCwl C 

tion tanff B = — . , ou l'analogie 

^ sin c ^ ^ 

R : tanff B : : sin c : tang b ; 
d'où résulte aussi par la permutation des lettres : 

R : tang C :: sin b : tang c. 
Enfin ces deux formules donnent tang B tang G = 
R* tang b tang c R* ., ^ j * • 

_^ — . — 2 — = =: f en vertu du troi- 

sin b sm c cos cos c ^ 

R^ 
sietne principe) . Donc R^ =:cos à tangB tang Cy 

cos €1 

ovicot B cot C = R cos a ; ou 

tang B : cor C :: R : cos a. 

C'est le sixième et dernier principe : il n'est pas 
susceptible de fournir une autre équation , parce que 
. la permutation entre C et B n'y produit aucun chan- 
gement. 



la récapitulation de ces six principes dont 
lanent chacun àeu% équations : 

I. R jiV) b = tùi a liaB, R lin c = sin a smC 

II. ^langb^tanga casC, Ktangc-=langacos^ 

III. R cos a = cos b cor e, 

IV. R co( B =: srn C cas b , R coj C = j"i B coj c 

V. Vl tangb:= lui c long B, Rtangc^sifi b tangC 
VI. R cos a^cot h cot C. 

11 en résulte dix équations contenant tontes les rela- 
tions qui peuvent exister entre trois des cinq éléments 
B, C, a, b, c; de sorte que deux de ces quantités 
ëtant connues avec l'angle droit, on connaîtra immé- 
diatement la troisième par son sinus , son cosinus, 
sa tangente ou sa cotangente. 

I.XTI. Il est à remarquer que lorsqu'un élément 
sera déterminé par son sinus seulement , il y aura 
deux valeurs de cet élément, et par conséquent deux 
ti'ian^'les qui satisferont à la question. Car le même 
sinus qui convient à un angle ou à un arc, convient aussi 
à son supplcnient. Il n'en est pas de même lorsque 
l'élément inconnu sera déterminé par son cosinus , sa 
tangente ou sa cotangente. Alors on pourra décider, 
par le signe de celte valeur , si l'élément dont il 
s'agit est plus grand ou plus petit que loo"; l'élément 
sera plus petit que ioo°, si son cosinus , sa tangente 
ou sa cotangente a le signe + ; il sera plus grand que 
loo", si l'une de ces lignes a le signe — . On pourrait 
aussi établir sur ce sujet des préceptes généraux qui 
ne seraient que des conséquences des six équations 
démontrées. 

Par exempte, il résulte de l'équation R co5 a=: 
cos bcosc, que les trois côtés d'un triangle sphérique 
rectangle sont tous moindres que loo" , ou que dus 



SPHÉRIQUfi. 391 

trois côtés deux sont plus grands que ioo<» , et le troi- 
sième moindre. Aucune autre combinaison ne peut^ 
rendre le signe de cos b cos c pareil à celui de cos a , 
confime cette équation l'exige. 

De même Féquation R tang c = sin b tang C , où 
sin b est toujours positif, prouve que tang C a tou- 
jours le même signe que tang c. Donc dans tout 
triangle sphérique rectangle un angle oblique et le 
côté qui lui est opposé , sont toujours de la mém^ 
espèce; c^est-^nlire , sont tous deux plus grands ou 
àous deux plus petits que ioo<*. 

Résolution des triangles sphériques rectangles. 

LXYii. Un triangle sphérique peut avoir trois angles 
droits, et alors ses trois côtés sont de 100°; il peut 
avoir deux angles droits seulement , alors les côtés op- 
posés sont tous deux de ioo<* , et il reste un angle avec 
le côté opposé qui sont mesurés l'un et l'autre par le 
même nombre de degrés. Ces deux sortes de triangles 
ne peuvent, comme on voit , donner lieu à aucun pro- 
blême ; on peut donc faire abstraction de ces cas parti- 
culiers ,' pour ne considérer que les triangles qui ont 
un angle droit seulement. 

Soit A l'aAgle droit, B et C les deux autres angles 
qu'on appelle angles obliques, soit a l'hypoténuse 
opposée à l'angle A, b et c les côtés opposés aux 
angles B et C. Etant données deux des cinq quantités. 
B,C,a^&^c^la résolution du triangle se réduira 
toujours à l'un des six cas suivants. , 

PREMIER CAS. 

Lxviii. Etant donnés V hypoténuse a et un 
côté b , on trouvera les deux angles ^ et (^ et 
le troisième côté c par les équations 

. T^ V^sinh ^ tans b cota Ji^cosa 
Sin 15=—: ,C05G = — ^-7: ^cosc=:i 7— 

un « ' R cos h 



n 



tkigonomethir 
îne peut laisser aucune incertitude, non plus 
ité c; quant à Tangle B, il doit être de racme 
lie le côté donné b. 



Lxix. Etant donnés les deux côtés de l'angle 
droit b cf c , on trouvera l'hypoténuse a et les 
les angles B p( C par les équations 

ro:r/>co.tc Rltingh 'Rtanee 

cota= ,tang'& = —j^,tangC = ^^- 

Il n'y ■ dans ce cas aucune ambiguité. 



Lxx. Etant donnés rhyffoténuse a et un angle 
B, on aura les deux côtés b et cet foutre angle 
Cpar les équations 



-■"»=-TΗ "''=- 


R 


_,„C=— j^ 


1.<'S oloinont> c et C son 


I deter 


mines sans anibiguilé 


,..„>.■, lor,„ul,,:qu,„„ 


au i-Oi 


é /'. il sera de uitoie 


o-'pcie tju^ Wnj:ie lï. 







IJUIIBIEME C^i. 

ix\i. Euint donne ie tt'.'t' d(? l angle tirait b 

:.(,■ /'.;';;;;'(■ ofy\\<<Y^ ■, .'.' i ri' mira IcJ trois autres 





R " "" io'b 


VIS f. 


snitr.:* icionni:* sont drier 


i , J-.-.- 


'i îi o-.;t"sr.:n es: **isoeftib! 


t-. e^- 


-'■.i.*,;T.; e- erre" ir-e W triin 


"^ ^ 


V r i. i^r: ;cw* lie^ii nKUn 



t 
ÀPRÉRIQUS. 393 

doubles doÎTent se combiner de manière que c et 

C soient de la même espèce; ensuite Fespece de c et 

b détermine celle de a par Tinspection de la formule 

cos b cos c=K cos a, mais la valeur de a se déter- 

. -,. .,,,.. R sin h 

minera directement par 1 équation sm a = — ^-^* 

CINQUIEME CAS. 

Lxxii. Etant donné un côté de V angle droit b 
avec V angle adjacent C , on troussera les trois 
autres éléments a, c, B, par les formules 

cot h cos C si'n b tangC _ cos b sin C 

cotaz=. — , tangc^ -^ , cosdz=i — • 

XV li R. 

Dans ce cas il ne peut rester aucune incertitude sur . 
Vespece des éléments inconnus. 

SIXIEME CAS. 

LxxTii. Etant donnés les angles obliques B et 
C , on trouvera les trois côtés a , b , c , par les 
formules 

cot BcotC R co.f B RcoxC 

cos a z=z ■ , cos b = — : , cos c =2 . ■ » 

R sin C sin B 

Et dans ce cas il ne reste encore aucune incertitude. 

REMARQUE. 

Lxxiv. Le triangle sphérique dont A , B , C , sont 
les angles, et a , b, c\es côtés opposés , répond tou- 
jours à un triangle polaire dont les angles sont sup- 
pléments des côtés a, ^, c, et les côtés suppléments 
des angles A , B , G ; de sorte que si on appelle 
A ',B', G', les angles du triangle polaire, eta', b' , c'-^ 
les côtés opposés à ces angles , on aura 

A'izzaoo*^ — a, B'= 200^^ — b, C'=200<> — c 
a'=:20o<^— A, i' = 2oo" — B, c' = 20o'» — C. 



5 



Sj TSlGONOMETHIB 

, EÏ un triangle sphërique a un câté a égal 

mt, il eat visible que l'angle correspondant 

ingle polaire sera droit, et qu'ains" ce trîan- 

jctangle. Donc les deux données qu'on doit 

re le côté de loo", pour résoudre le triangle 

serviront à trouver la solution du triangle 

e, et par suite celle du triangle proposé. Oh 

ait tirer de Jà des formules semblables aux pré- 

s pour résoudre directement les triangles 

[ues qui ont un côté de loo". 

triangle isoscele se partage en deux triangles 

es égaux dans toutes leurs parties , ainsi la 

.on des triangles spliériques isosceles dépend 

ï;..i.ore de celle des triangles spliériques rectangles, 

Soit ABC un triangle sphérique , tel que les deux 
côtés AB, DG soient suppléments l'un de l'antre; si 
on prolonge les côtés Alt, AC jusqu'à leur rencontre 
en D, il est clair que BC et BU seront égaux comme 
étant suppléments d'un même côté AB ; d'ailleurs il 
est visible que les parties du triangle BCD étant con- 
nues, on connaît celles du tiiangle ABC qui est le 
reste du l'useau AD , et vice versa. Donc la résolution 
du triangle ABC , dans lequel deux côtés font en- 
semble 200", .se réduit à celle du triangle isoscele 
BCD, ou à celle du triangle rectangle BDE qui est la 
moitié de f^BD. 

Lorsque les deux côtés AB, BC, sont suppléments 
l'un de l'autre, il faut que les angles opposés ACB , 
BAC, soient aussi suppléments l'un de l'autre; c.ir 
BCD est supplément de BCA ; or BCD— D— A. Donc 
on ne peut avoir (i + c;=aoo'>, sans avoir en même 
temps A-|~C:3::2O0<', ce qui est réciproque. 

De là on voit que la résolution des triangles splié'- 
riqucs rectangles comprend , i" celle des triangles 
sphéii'jues qui ont tin côté égal an quadrant; 2" celle 



dea triangles sphëriques isosceles ; 3® celle des trian- 
gles sphériques dans lesquels la somme de deux côtés 
est.de !200<*2 ainsi que celle des deux ahgles opposés. 

Principes pour la résolution des triangles 
sphériques en général. 

Lxxv. Dans tout *riangle sphérique les sinufi 
des angles sont comme les sinus des côtés opposes. 

Soit ABC un triangle sphérique quelconque, je dis fig. i5. 
qu'on aura sin B : sin C :: sm AC : sin AB. 

Du sommet A abaissez Tare AD perpendiculaire 
sur le côté opposé BC, les triangles rectangles ABD, 
ACD donneront les proportions 

sin B : R : : sin AD : sin AB 
R : sin C :: sin AC : sin AD. 

Multipliaifit ces deux proportions par ordre et omet- 
tant les facteurs communs , on aura 

sin B : sin C :: sin. AC : sin AB, 

Si la perpendiculaire AD tombait au dehors du trian- H- ^^' 
gle ABC, on aurait les deux mêmes proportions 
dans l'une desquelles sin C désignerait sin AGD^ 
mais comme l'angle ACD et l'angle ACB sont sup- 
pléments l'un de l'autre , leurs sinus sont égaux ; 
ainsi on aurait toujours sin B : sin C :: sin AG : sin 
AB. 

Soient a, b, c, les côtés opposés aux angles A, B, C, 
chacun à chacun , on aura , suivant cette proposition , 
sin A : sin a : : sin B : sin b : : sin C : sin c ; ce qui 
donne la double équation : 

sin A sin B sin C 
sin a sin b *"" sin c 



3()6 TBICONOMÉTHIB 

Lxxvi. Dans tout triangie sphérique le cosinus 
d'un angle est égal au quarré du rayon multi- 
plié par le cosinus du côté opposé , moins le 
produit du rayon par les cosinus des côtés adja- 

nts, le tout divisé par le produit des sinus de 
nvmes côtés : c'est-à-dire , qu'on a pour l'an- 

_., par exemple, cos u = -. .—7 -• 



aurait semhlahlement pour les deux autres 

VC casa— ^<:asb cos c 

S, cos A = r-7-^ , et cos a = 



Soit ARC le triangle proposé dans lequel on fait 
BC — a, AC — b, AB = c. Du point O, centre de 
la sphère, tirez les droites indélinies OA, OU, OC; 
prenez OD à volonté, et par le point D, menez DE 

(lai)S le plan OCA ot DF dans le plun OCB, tontes 



(ICIIN 


pt-rpeiiiliculLiircs à OD, lesqnilles 


reneontrent 


en E 


cr F le. ravoiis OA, OB, prok 


mgés ; enfin 


joijnt 
I.ai 


■z EF. 

ngle D du tri.angle EDF esi par 


eonstruction 


la im- 
OCA 


snre de l'an^-le que font entre ei 
,001!, ainsi' Fanjle EDF est égal 


ax les plans 
1 à l'angle C 


,1,1 tri 


ian-le sptiétique ACD ; or dans 


les triangles 


D£F 


, OEF, ona- 

ra<F.DF DK+lTT'— Kf' 






K iDF Dl 






r.^.For iTK'-i-("tt- — kf' 






H îUL.UF 




l'iT 


nant dans la seeon.le la valeur 


do Ëf'« la 


sulisi, 


iu.ni- .iaii,. 1.1 première on aura 





âPHÉRiQUE. Jgy 

cosEOV 



^os EDF DE + DF — CE — OF+aOE.OF 



R 



R "" aDE.DF 



Or OE — DE = OD et OF — DF = OD, on a donc 



^^^ OE,OF. cas EOF— OD.R 
^^^ EDF=- ^^3p . 

Il ne s'agit plus que de substituer dans cette équation 
les valeurs relatives au triangle sphérique : or on a 

^x^x^ r. ^^^ .« OE R 



JLi I^X- 


..,x.v,x .X., ., ^^ sin BOE 


R 


OF R R OD cofDOE 


sin b' 


DF sin DOF sin a' DE sin DOE 


cos b 
sin b' 


OD cofDOF cos a ^ 
DF sin DOF sin a ^^"^ 




_ R' cos c — - R cos a cos b 

COS C — : r-T . 

sin a sin b 



Ce principe , qui , étant appliqué successivement 
aux trois angles , fournit trois équations , suffît pour 
la résolution de tous les problêmes de la trigono* 
métrie sphérique : il a, par rapport aux triangles 
sphériques, la même généralité que le principe de 
l'art. XLV, par rapport aux triangles plans. En effet, 
puisqu'on a toujours trois éléments donnés par le 
moyen desquels il faut déterminer les trois autres, 
il est clair que ce principe donne les équations né- 
cessaires pour résoudre le problême; équations qu'il 
appartient à l'analyse de développer ultérieurement, 
pour en tirer, suivant les différents cas, les formules 
les plus simples et les mieux adaptées au calcul loga- 
rithmique. 

Lxxvii. Puisque le principe dont nous parlons est 
absolument général , il doit renfermer tous les autres 
principes relatifs aux triangles sphériques , et notam- 
ment le principe du n^ lxxv. C'est ce qu'il est facile 
de vérifier. 



398 TRICOXOHRTnie 

„ «.,., - n R'«MC — RcOfâCOfft 

En eflel 1 équation cos C = -, ^-7 . 

donne R" — cos ' C ou sin' C ^ 

R'jûi'a jin'é— R'c&t'acOî'i+aR'coïacoiAcoîiv-R'ctwV 

Or î/n' a sin' b ^{K'~- cos' a) {R' — cos' b) = 
R' — R' C05' o — R' coi" i + coj' a cos' b. Donc en 
substituant et extrayant la racine, on aura 

: v/(R'-R't<w'a— B'<-<M*&-R'ccM*i>H»Rca*iietMéc<Mc)- 

Soit pour abréger Z^ 
l' — R'coi'a — U'coj'i— R' coa'c-t-aRcojaffoîicoic), 
on aura donc 

sinC R2 



xC = ^ 



Les valeurs de cos A et de cos R donneraient sem- 

bUblement 

jôtA RZ «mB RZ 

T;>r7 iin a sin b sin c' 'shTb stn a tinèsàc' 

car hi qiiantitc 7. ne change pas, lorsqu'on fait la 
pennutation i-ntre deux des quantités a,b, c : donc 

on a ■ ■ ■ . ■ — ^ —^-7 ^ — ^ — , ce qui est le principe du 

Lwrin, Les valeurs que nous venons de trouver 
poui- i-^s C et si/t C, peuvent jerrir à trouver les 
angles iliiu trianijle jpbérique dont on connaît les 
tiois i-ùtts : mai,* il e\iïte d'autres lorniules plus com- 
modes l'our le calcul logarithmique, 

Kn ctlVt. >i dans la formule R' — R cos C = 
j ,*:'.■.'' .0, ou sutistiiuo b valeur de cùs C. on aura 



se réduit à 
1 ta formule 



SPHERIQUE. 399 

Il cos q -R cosp=:7Lsin{ {p+q) sin^ {p — qY , on *j.vnu. 
trouTe R cos {a — b) — R cos c = 2 sin\ (c — b + a) 
sin{ (c — a+b)] donc - » 

. ^ ^i/2 ( J sin [ ) 

R* "~ ^i/i a sin b 

f c-^b — a . c+a — è 

hMsm\ C = R V^ ? 2 2 

( «71 a sin b 

11 est évident qu'on aurait des formules semblable^; 
pour exprimer sin ^ Pi. et sin\JS^ par le moyen de* 
trois côtés a, b , c. 

Lxxix. Le problême général de la trigonométrie 
sphérique consiste , comme nous Favons déjà dit , 
à déterminer trois des six quantités  , B , C , 
a y b y c , par le moyen des trois autres. Il est né- 
cessaire, pour cet objet, d'avoir des équations entre 
quatre de ces quantités , prises de toutes les manières 
possibles ; or , six quantités combinées quatre à 

6.5 
quatre ou deux à deux, donnent — ^ ou i5 combi- 

naisons, ainsi il y aura quinze équations à former; 
mais si on ne considère que les combinaisons essen- 
tiellement différentes, ces quinze équations se rédui- 
sent à quatre. 

||En effet, on a, !<> la combinaison a 60 A, qui 
comprend, par la permutation des lettres, abcA^ 
a bcB^ abcC; 

2^ La combinaison a^AB, d'où résultent abABy 
bcBC, acAC; 

3*^ La combinaison a i A C , qui comprend les Ax 
abAC, abBC, acAB, acBC, JcAB, bcAG; 

4^ Enfin, la combinaison a ABC, qui comprend 
les trois ûABC, ôABC, cABC. 

Il y a donc en tout quinze combinaisons, maU 




THIGO; 

a que quatre, essentiellement differenteSi 

. R' co,ffl — R roil,,-(»L 

, L équation cas A = :— r — : , 

jute di^ja la première conibmaison abc A et 
[ui en di5pendent. 

Vour former l'équation qui répond à la combi- 
naison atiAR, il fiiut éliminer c des deux formules 
qui donnent les Valeurs de cos A et cos B ; mais l'éli- 
mination a déjà été faite (lïkvii), et le résultat est 

lin à. nwB 

tin a sûib' 

La troisième combinaison se forme de la relation 
entre Oj ft. A, C; pour cela ayant les deux équa- 
tions 

cos A sin b sin c =: R' cos a — R cos b cos c, 

cos C sin b sin a :=z U' cos v — R cos b cos a, 

on en éliminera d'abordcojCj ce qui donnera B.cos A 

sin c -H cos C sin a cos b=R cos a sin b : mettant 

ensuite dans celle-ci la valeur j('« c := ' — -^r— — , on 
aura pour la troisième combinaison 

coc A sin C + cos C cos b ^ coC a sin b. 
Enfin , pour avoir la relation entre A , B , C , a , 
j'observe que dans l'équation précédente le terme 

, n sin b _ sin R , 

( ot a sin z= a cos a . ~. — ^ n cos a —. — - ; donc , 

eu multipliant cette équation par sin A, ou aura 

R cos A sin C ^ R cos a sin B — sin A cos C cos b. 
Si dans cette équation on permute entre elles les let- 
tres A et 13, ainsi que a et t, on aura 

R cos B sin C. = H.cosb sin A — sin B cos Ccosa. 
Et de ces deux-ci on tire, en cbassant cos b , 
Vi'cos As!n(Z-\-\\coiliùn C cos C ::^ cos ci s in Vis in." C. 



SPHÉRIQUB, 4<)I 

Donc enfin 

R* cos A + R cas B cos C 



cos a\ 



sin B sin C 



C'est la relation cherchée entrç A, B, C, <ï^ ou la. 
quatrième des équations nécessaires pour la résolu** 
tion des triangles sphériques. 

Mxxi. Cette dernière équation entre A, B, C, a, 
o£Fre une analogie frappante avec la première entre 
a^&^c^Â:eton peut rendre raison de cette ana« 
logie par la propriété des triangles polaires ou sup» 
plémentaires. En effet, on sait que le triangle dont 
les angles sont A, B, C, et les côtés opposés a^h ^Cy 
répond toujours à un triangle polaire , dont les côtés 
sont 200<* — ^A, 200<* — B, 200<> — C, et les angles 
opposés 200*> — a y 200^ — h y 200*^ — c. Or le prin- 
cipe de l'article lxxvi étant appliqué à ce dernier 
triangle, il en résulte 

R ' cof (20o®-A)-Rcof (aoo®-B)cof (aoo^-C) 

coA (200 -a)= T-} ô — ps . f ô — j^ ; 

^ ^ sm (aoo**— B) sm (200**— Cj 

ce qui se réduit à 

R* cos A + R CDS B cos C 
sin B sin C 

ainsi que nous Pavons trouvé par une autre voie. 

Cette formule résout immédiatement le cas où 
l'on veut déterminer un côté par le moyen de trois 
angles ; mais , pour avoir une formule plus com- 
mode pour le calcul logarithmique, on substituera 

la valeur de ' cos a dans l'équation i — = 

'xsin^\a . , sin^-^a 

— -—2—, ce qui donnera — =~— = ,*.,,• 
R* ' ^ R" 

sin B sin C'^cos B co,ç C— R cos A — R cos (B +C) -R cos A. 

2 sin B sin C 2 sin B sin C 

Et parce qu'on a en général ^ K cos p + R cos q:= *xxviii. 

Neuv. édit. 26 



a cos 7 ( Z' ~ 
réduit à 



y ) cos { (p — ç)i celte équation rt 
co^ ^ ( A + B + C ) c°^ i ( B + C — A ) 



où il frtut observer que le second membre , quoi- 
que sous une forme négative , est néanmoins tou- 
jours positif. Car on a en général siri (x — loo") =; 

— ■ — ■ = — cos X ; donc 

/A + B + C \ 

-^cos- (A + B+C) ^51/1 ( ""^ j, 

quantité qui est toujours posilive, parce que A + B 
-§- C étant toujours compris entre soo" et 600», l'an- 
gle ^(A + B + C) — loo" est compris entre zéro et 
aoo" ; d'ailleurs cos ^ ( B + C — A ) est toujours po- 
sitif , parce que B + C — A ne peut pas surpasser 
aoo° ; en effet dans le triangle polaire le côté 200" 
— A est plus petit que la somme des deux autres 
aoo"" — B, 300" — C; donc on a 200" — A< 400° — ^ 
— C, ou B + C — A<yoo". 

Etant ainsi assuré que le résultat sera toujours 
positif, on aura, pour déterminer un cûté par le 
moyen des angles, la formule 

/ A + B + C B + C — A l 

si/tj a = R \/) '^ ' 1 ~ " 1" 

( sin B s in C ) 

LKxxri. Avant d'aller plus loin, nous remarquerons 
que de ces formules générales , on peut déduire celles 
qui concernent les triangles sphériques rectangles. 
Pour cet effet , on fera Ar= 100", tant dans les quatre 
formules principales que dans celles qui en dérivent 
par la permutation des lettres. Et d'abord l'équation 
cos A sin b sinc:= R* cos a — R cos b cos c, donnera 
par cette substitution 

Rco5 a = cos l> cos c. (i) 

Les dérivées de l'équation générale ne contiennent 



SPHIÊRIQUB. 4o3 

point A) et ainsi ne donnent aucune relation nou« 
▼eUe dans le cas de A= ioo<*. 

L équation —. — zr=-r-^, donne dans, le cas de 
* sm a sm b' 

A= ioo<>, 

R sin B , . 

(2) 



sm a 



sin hh 



Et la dérivée -: — = — : — % donnerait eg^aleinent 

sm a sin c^ ^ 

= -: — ; mais celle-ci est elle-même une dérivée 



sm a sm c 

de Téquatiôn (2) . 

L'équatic: ')ot A sin C + cos C cos b z= co^^(i sin b, 
donne dans le cas de A= 100^, cos C cos b^=z coc a 
sin b, ou 

cos c tang a-zzi R tang b. (3) 

La dérivée coc C 5m A + cos A cos b-=icot c sin b, 
donne dans le même cas , R coc C=:cot c sin b, on 

R tang c = sin b tang C. (4) 

Enfin la quatrième équation principale sin B sin C 
cos ûj = R"* cos A + R cos B co5 G , et sa dérivée sin A 
«/î C cos i = R* coi B + R C05 A cos C , donnent dans 
le cas de A= 100°, sin B sin G co5 a=Rco5 B cos C 
et sin G cos i=R cos B , ou 

cot B cot G = R cos a, (5) 

sin G cos J = R cos B, (6) 

Ce sont les six équations sur lesquelles la résolutioh 
des triangles rectangles est fondée. 

Lxxxiii. Nous terminerons ces principes par la 
démonstration des Analogies de Néper, qui servent 
à simplifier plusieurs cas de la résolution des triangles 
sphériques. 

Par la combinaison des valeurs de cos A et cos G 
exprimées en a, b, c, nous avons déjà obtenu 
réquation * 

R cos A sii»c=:R cos a sin b — cos G sin a cos bé 

26. 



Z.XXX. 



4o4 ïniGOlïOMÉTBIE (| 

Celle-ci donne par une simple permutation : 

R cos B sin c :^ R cos b sin a — cas C sin b cos a. 
Donc en ajoutant ces deux équations, et réduisant, 
on aura 
sin c {cos K + cos B) = (R — coj C) sin (a+ b). 

Mais puisque - .— ^ ^ . = - . , on a 

sin c {sin \-\- sin.'R)=:sinC {sina + sinb) 
et sin c {sin K~sin.h)=sin C {sin a— sin b). 
Divisant successivement ces deux équations par la 
précédente, on aura . 

sin K-k-sia B sinC sin a + sin b M 

cos!A-\-cosB R — cojC" sin{a-i~b) I 



tav A + <:o.f B R — cosC' mi ( « + *) 
Et en réduisant celles-ci par les formules des arti- 
cles XXIX et xzx, il Tiendra 

t«»s-i (A + B) = co,-;c. 2ïi|î=|] 



mng^(A—B) = ci}t{C.'- 



'H—i) 



«'■+»)■ 

Donc étant donnés les deux côtés a et b avec l'angle 
compris C, on trouvera les deux autres angles A et B 
par les analogies , 

cos^{a-hb):cos-^{a~b)::cot^C:iang^{A.-hB'^ 
sini (a + b) :sin^ (a — b) :: coe^CiCa/is^, (A — B). 
Si on applique ces mêmes analogies au triangle po- 
laire du triangle ABC, il faudra mettre aoo"-— A, 
aoo"" — B, aoo" — a, aoo" — b, 200" — c, à la place 
de a, b, A, B, C, respectivement, et on aura pour 
résultat ces deux analogies 
C(W 7 (A + B) ; cos {{Pi. — B) : : tan^^c : tang\ {a + b) 
sin ^ (A + B) : sin j (A — B) : : cang j c : tang { {a — />} , 
au moyen desquelles, étant donnés lui côté c et les 



S^HÉRIQTTE. 4^5 

deux angles adjacents  et B^ ou pourra trouver les 
deux autres côtés a et h. Ces quatre proportions sont 
connues sous le nom à! Analogies de Néper. 

Résolution des triangles sphériques en 

^ général. 

La résolution des triangles sphériques comprend 
six cas généraux, que nous allons développer suc- 
cessivement. 

PREMIER CAS. 

Lxxxiv. Étant donnés les trois côtés a, b, c, 
on trouvera un angle quelconque ^ par exemple^ 
V angle A opposé au côté a , par la formule : 

. a-\-b — c . a-\-c — b 

sin sm 

Sin' " - — . 



in{A = K\/) 



sin b sin c 
DEUXIEME CAS. 

Lxxxv. Étant donnés deux côtés ^eth avec 
V angle A opposé à l'un de ces côtés, trouver le 
troisième côté c et les deux autres angles B etC. 

lO L'angle B se trouvera par Téquation sin B = 
sin A sin b 
sin a 
2^ Pour avoir l'angle C , il faut résoudre l'équation 

cot A sin C + cos C cas b == cot a sin i. 

Soit pris pour cet effet un angle auxiliaire 9 de mà- 

, . ^ cos b tans A . 

niere qu on ait tang y z= —-2 — ^ ou cot A = 

r—z, — ; cette valeur de cot A étant substituée dans 

sm 9 

cos b 

l'équation à résoudre, donne . [cos ? sin C + 



4od TKIGOKOHÉTItlK 

sin 7 cos C ) ^ cot a sin b, <l'où l'on dra 

JJ/i (G +<(!) = 



tanga 

Par cet artifice, on voit que les deus termes inconnu.* 
dans l'équation proposée se réduisent à un seul , d'où 
il est facile de tirer l'angle C. 

3" Le côté c se trouvera par l'équation 



On peut aussi le déterminer directement par la ré- 
solution de récpiation : 

¥t.cosb COSC + cos Astnb sîn c ^ H' cos a. 
Pour cet effet, soit cot A sin b^ — ^ , Ott 

casKtaneb ' , 

tartff^ = = — ^-, on aura 



chei'clianL fP^bord rausiliaire Ç par l'f'quation cang ç 

cot A taneb , , , ,, , 

^ • R — ^ o" ^"'■^ 1^ cote c par I équation 

cos {c — 'i)^^-^^-^^. 

Ce second cas peut avoir deux solutions, ainsi que 
le cas analogue des triangles rectîlignes. 

TROISIEME CAS. 

Lxxxvi, Étant donnés deux côtés a e? b avec 
r angle comprise, trouver les deux autres angles 
A. et B et le troisième coté c. 

i" Les angles A et B se trouvent par ces deux 
équations 

. cot a sin b — cos C cos b 
«tf A = -—, 



SPHERIQUE. 407 

-^ cot b sin a — cos C cos a 

CO^ B = r-p; , 

sm C 

dans lesquelles les seconds membres pourraient être 
réduits à un seul terme, au moyen d'un auxiliaire; 
mais il est plus simple , dans ce cas , de se servir des 
analogies de Néper, qui donnent 

tang = cot-VA, -r-r? — ttâ 

.^^^ ^ + ^ .«r co-^ii^ — ^) 

2? Connaissant les angles A et B, on pourra cal- 
culer le troisième côté c par Féquation sin c = 

sm a . -T— r \ mais pour déterminer c directement , on 
sink. ^ ^ ■ 

a Féquation 

R' cos c = sin a sin h cos C 4- R cas a cos b. 

Soit pris Fauxiliaire ?^ de manière qu'on ait sin b 

^ , cos C tanff b 
cos C=:cos b tang 9 , ou tang ç == ^ , on 



aura 



cos b f . 

cos cziz — - COS [a — 9) 



COS^ 



QUATRIEME CAS. 

Lxxxvii. Étant donnés deux angles A e^ B 
avec le côté adjacent c , trouver les deux autres 
X côtés a e^ b , et le troisième angle C. 

i^ Les deux côtés a et b sont doiinés par les for- 
mules 

cot A sin B -f- cos B cos c 



cot az=: 



sm c 



, cot B sin A + cos A cos c 
cot b = > 



sm c 



4o8 TaiGONOMÉTRIB. 

mais on peut les calculer plus facilement par les 
analogies de Néper, savoir : 

. A-f-B . A — B , a — b 
sin :sin :: tang\c\umg 

A-f-B A — B , a + h 

cos icos ::tanff^c:tanff . 

â^ Connaissant a et b, on trouyera C par Téqua- 
. ^ sin c sin K , 

tion sut C= : ; mais on peut aussi trouver 

sm a *• 

G directement par Féquation 

R' cos C==605 c sin A sin B — B.cos A cos B. 

Soit pris Tauxiliaire f , de manière qu'on ait 

• n ¥> ^ .V. cosctangB 
cos c sin B = co5 B co^ç, ou cot^=i ^— 2 — , 

on aura 

cos C=cos B . — . sr. • 

sin^ 

Ce cas et le précédent ne laissent aucune indéter- 
mination. 

CiiNQUIEME CAS. 

Lxxxviii. Étant donnés deux angles k. et B 
avec le côté a opposé à Vun de ces angles y trou- 
ver les deux autres côtés hj Cj et le troisième 
angle C, 

i^ Le côté b se trouvera par Fécjuation sin b=z 

sin B 

sm a*—, — r» 
sin A 

2° Le côté c dépend de Téquation 

cot a sin c — cos B cos c == cot A sin B. 
- . ^ „coï9 ^ cosBianga 

Soit cot a = cos B -r-^ ou cane 9 = =r — 5—, on, 

sin^ ^ R ' 

cos B 

aura -T-:r (iin c co5 ç — cos c sin ç) = cot A Ji« Bi 

donc 

,m(c-y) = ^°7 ^ . 

^ *' tangA. 



SPHERIQUE. 4og 

30 L*angle G se trouvera par la résolution de 
réquation 

cos a sin B sin C — R cos B cos G = R* cos A. 

e . rr . -. R car B co^ ? 
Soit pour cet effet cos a sin B = r—z — - , ou 

co.y a tanff B co^ B . . ,, 

cot 9 = — - — , on aura , ^ (5i« C cos 9 -^ 

C05 G 5//1 9) = R cos A; donc 

sin(G — 9)= ~— Î-. 

Ge cinquième cas est, comme le second, susceptible 
de deux solutions, ainsi que cela a lieu dans le cas 
analogie des triangles rectilignes. 

SIXIEME CAS. 

Lxxxix. Etant donnés les trois angles A , B , 
C, on trouvera un côté quelconque, par exem* 
pie , le côté opposé à V angle A , par la formule 

««^a=R V ^-<^o^KA+B.+C)c<M4(B+C-A)Y 

\ sin B sin C y 

On peut remarquer que de ces six cas généraux 
les trois derniers pourraient se déduire des trois pre- 
miers, par la propriété des triangles polaires : de 
sorte qu'à proprement parler , il n'y a que trois cas 
différents dans la résolution générale des triangles 
sphériques. Le premier cas se résout par une seule 
analogie , comme les triangles rectangles ; le troisième 
se résout d'une manière presque aussi simple, au 
moyen des analogies de Néper. Quant au second, 
il exige deux analogies ; et d'ailleurs , il admet quel- 
quefois deux solutions, tandis que le premier et le 
troisième n'en admettent jamais qu'une. 

xc. Pour distinguer dans le second cas si, pour des 
valeurs particulières données de A, a, è, il y a deux 



r 



4lO ■miGO^tOM BTR1Z V 

Sg. lO. u'iangles qui satisfont à la question ou seulement uHj 
supposons d'aboid l'angle A<ioo'', et soient pro- 
lonD;es les deux côtés AC, AB jusqu'à ce qu'ils se 
rencontrent de nouveau en A'. Si on prend l'arc AG 
< loo" et qu'on abaisse CD perpendiculaire sur AB, 
les côtés AD, CD du triangle rectangle ACD, seront 
tous deux plus petits que loo", la ligne CD sera la 
distance la plus courte du point G à l'arc AB, et en 
prenant UB'^DB, les obliques CB',CB seront égales 
et d'autant plus longues qu'elles s'écarreront plus de 
la perpendiculaire. Soit AC^^i, CBii^a, on voit 
donc qu'un triangle dans lequel on a A< loo", b< 
loo", et a<&, a nécessairement deux solutions ACB, 
I ACB'; mais si, en supposant toujoiirs A et t plus 
petits que ioo°, on a a> ô, alors le point B' passerait 
au-delà du point A, et il n'y aurait qu'une solution 
représentée par ABC. 

Soll ensuite AC > loo", si on abaisse laperpendi- 
culaireC'D'surABA'jOnaurademèiueC'D' < A'C, 
et l'arc C'B'" mené entre D' et A', sera >C'D' et 
>C'A';doncsionfaitAC' — Z., C'B"=:=C'B"'z=rt, 
on voit que la supposition A< lOO" et ^> loo" don- 
nera deux solutions si a-\-b< 200", et n'en donnera 
qu'une si a + i>20o'', parce qu'alors le point B'" 
passerait au-delà de A'. Discutant de la même manière 
le cas où l'angle A est > 100" , on pourra établir ainsi 
les symptômes qui déterminent si, dans le cas ir, la 
question admet deux solutions ou n'en admet qu'une. 

f. , iiW>A une solution, 

A<ioo»,5<,oo"j^^j deoj.oluiLom. 



ia+i>20 


0" une solution. 


ja+S<,o 


0" deui solutions. 


(a+fi>ao 


0" deux solutions. 


i«+4<»o 


0" une solution. 


(«>* 


deux solutions. 


\a<i 


une seule solution. 



/^ 



fl<ioo%B<ioo**l^5 

( A> 



SPRBRIQVS. 4^1 

xci. Ces mêmes résultats peuvent s'appliquer au 

cas cinquième par la voie du triangle polaire , et on 

en tirera les symptômes suivants, qui feront connaître 

si pour des valeurs données de A , B, a , il y a deux 

triangles qui satisfont à la question , ou sUl n'y en a 

qu'un. 

A « A i A < B une solution. 

«> ï«« '»> '«^ \ A>B deux solutions. 

o w o i A-f-B < aoo° une solution. 

a>ioo ,B<ioo |A+B>2ooMeux solutions. 

^ ^ ,^^o T, ^ ,^^o i A-f-B < 100** deux solutions. 
a<ioo ,l>>ioo < A , -D^ o 1 *• 

' J A-f-B >20o" une solution. 

B deux solutions. 

B une solution, 

n 11*7 ^^^^ qu*ime solution si Tune des égalités suivantes a lieu a:=:roo*, 
A=B, A+B=i2oo^. n 7 en aura deux si B=ioo^. 

xcii. Dans tous les cas , pour écarter les solutions 
inutiles ou fausses, il faut se rappeler, i» que tout 
angle ou tout côté doit être plus petit que 200<* ; 

2° Que les plus grands angles sont opposés aux 
plus grands côtés , en sorte que si on a A > B , il faut 
qu'on ait aussi a>b, et vice versd. 

Exemples de la résolution des triangles 

sphériques. 

xGiii. Exemple I. Soient O, M, N trois points fig. i5. 
situés dans un plan incliné à l'horizon ; si de ces 
trois points on abaisse les perpendiculaires OD , M 7?^^ 
N n , sur le plan horizontal DEF , les objets situés en 
O , M , N devront être représentés sur le plan hori- 
zontal par leurs projections D,/7t, zi, et l'angle MON 
par w D /i. Cela posé , étant donné l'angle MON , et 
les inclinaisons de ses deux côtés OM , ON sur la 
verticale OD , il s'agit de trouver l'angle de projec* 
tion mJ)n, 

Du point O comme centre et d'un rayon = i , 
décrivez une surface sphérique qui rencontre en 



{la TBIr.ONOMÉTRIE -^B 

A, B, C, les côtés OM, ON" et la Tcrticale OD, tom 
auTDz un triangle sphérique ABC , dont les trois eûtes 
sont connus ; on pourra donc déterminer ^angle C 
égal à m D n par la formule du premier cas. 

Soit par exemple, l'angle MO]V:=AB^64'> 44' 60'; 
l'angle D0M=^AC^y8" 12', et l'angle DON;=:BC= 
lo5" 4*', on aura par la formule citée 

■ . . r— R' ■ '''" '^° ^7' ^°" ■""" "i''" ^7' ^"" 

Valeur que l'on calculera ainsi; 

L. «Il aS" 5^' 3o"... 9. 637^956 L. j/ngS" la'... 9. 9998106 

li. *(« 35" 87' 3o"... 9.727656» L.ji/ïio5°4a'... 9.998434» 

somme + a LR. 39.365o5i8 19.998234» 

19.998134S 



9.3568170 



I~"<C S.68540S5 l^^cZlVX 

Donc l'angle 64*' 44' 60", mesuré dans un plan in- 
cliné à l'horizon, se réduit à 6,^" ij' 41", lorsqu'il est 
projeté sur le plan de l'horizon. 

Ce problème est utile dans l'art de lever les plans , 
lorsque les points qu'on veut déterminer sont situés 
à des hauteurs sensiblement différentes au-dessus d'un 
même plan horizontal. 

xciv. F.xemple II. Connaissant les latitudes de deux 
points du globe , et leur différence en longitude, 
trouver leur plus courte distance. 

On imaginera un triangle spliérique ACB formé 
par le pôle boréal C , et les deux lieux A et B dont il 
s'agit ; dans ce triangle on connaîtra l'angle au pôle 
ACB , qui est la différence en longitude des tieux 
points A et B, et les deux côtes compris AC,CB, 
qui sont les compléments des latitudes des points A 



SPHBRIQUX. 4l3 

et B. On déterminera donc le troisième côté AB par 
les formules du cas m. 

Soien^^, par exemple , A et B les observatoires de 
Paris et de Pékin ; la latitude boréale de lun de ces 
lieux est de 54^ 26' 36", celle de l'autre est de 44* 
33' 73'% et leur différence en longitude est de ia6<* 
80' 56". Ainsi on aura 

a= 450 73 '64'' 

i= 55 66 27 

C=i26 80 56. 
D'après ces données on aura pour déterminer c^ 
, « , ^ cos C tang b 

les formules tang ? = , cos c = 

cos b cos (a — ©) 1 . . - , - 
^^ ^^. dont VOICI le calcul 

cos ç 

L. cof G . . . . 9.6114352 

Ij.tangb. . . . 10.0776707 

h. tang f, . . . 9.6891059 
L'angle 9 que donnent les tables par le moyen de ce 
logarithme * tangente est 28^ 94' ^3". Mais il faut 
observer que cos C est négatif, et qu'ainsi tang 9 
étant négatif, on doit prendre ? = — 28*^ 94' ^3", ce 
qui donnera a — 9 = 74° 67' 87". Cela posé, en ob- 
servant que cos ( — ?) =cos ?, on achèvera ainsi le 
calcul 

L. cos (« — ç) . . 9.5880988 
Jj» cos b 9.8071953 

■ m 

19.3952891 

L. cos 9 9.9554823 



L. cos c 9.441^068 

Donc la distance cherchée 0=82^ 16' o5". Cette 
même distance peut s'exprimer en myriametres par 
821.605 ; car un myriametre est la longueur d'un 
arc de dix minutes , et un mètre est celle d'uu aro 
d'un dixième de seconde. 



j(|{ TR t GO N OUBTKIE 

xcv. Exemple III. Pour donner un exemple du 
cas cinquième , proposons-nous de résoudre le trian- 
gle sphérique duns lequel on connaît les deux angles 
A =^78" 5o' , B= 54" o', et le côté opposé à l'un 
d'eux ^ = 99° 20' 17". Au moyen de ces données, 
on trouve d'après le lalileau de l'art, xci, qu'il ne 
doit y avoir qu'une solution , parce qu'on a tout à 
la fois a < 1 00", B < 1 00" et A > li. Voici le calcul de 
cette solution. 

1° Le cùté b se trouvera par la formule sin b ^ 



^ 



sm a - 



9.U75ia5S 



4 



L. tin b 9.goo34'io 

Ce qui donne A^58° 5o' i4" ou son supplément 
141° 49' 86" j mais puisque l'angle B est<A, il faut 
que le côté h soit < a , ainsi la première valeur est la 
seule qui puisse avoir lieu, 

a" Pour avoir le cùté c on doit faire tang "^ t^ 
cos B tang a . , ^ , tang B sin 9 

tnng B rot A t/n (B 



9.8Î04063 L. Mn^B — LR o.o5i|7i93 
1.9016731 L. cot A 9.5455236 



L. tang'^ . . . . 11.7220794 L. siit {r — ?). , 9.C001649 
9 = 98" 79' 28". 8 c — 9 = 26" 7' 70". 5. 

Ici on a encore le choix de prendre pour c — "p la 
valeur aG'*^' jo".5,ousonsuppléuient i73''92'29". 5; 
mais en pj-enant cette seconde valeur , on aurait 
c > 200", ainsi il faut s'en tenir à la première, qui 
donne c^ia4° 81' 99". 3. 



SPHBBIQUE. 4lS 

3^ Enfin , pour calculer directement l'angle C ^ 

, , - , ^ , cos a tans B 
nous prendrons les lormules cot ij; = ^ — 2_-. ^ 

5OT (C it) = ïT--^- 

"L^sin^ 9-9999565 

L. cos a 8.0982928 L. cos A 9.5202711 

L. tangB — LR 0.0547193 1.. R — L cos B. 0.1795937 

L. cot ^ 8.i53oi2i 

* =99** 9' 45". 5 

C=i32 5o 0.0 

On n'a pas pu prendre pour C — ij; le supplément 
de 33° 4o' 54". 5, parce qu'il aurait donné pour C 
une valeur plus grande que 200°. Ainsi on voit qu'en 
effet le problème proposé n'est susceptible que d'une 
solution. 

Nota, Ceux qui voudront connaître les applications les 
plus utiles de la Trigonométrie , ne pourront mieux faire 
que de consulter le Traité de Topographie , d'Arpcntagt 
et de Nivellement, par M. Paissant. Paris , 1807. 



L. 


sin 


(C- 


-^) 


9.699821 1 


C 


— 


+ - 


33° 


40' 54", 


.5 






^ • . 


99 


9 45 . 


.5 



APPENDICE 






Contenant la résolution de divers caspaj-ticuli 
de la Trigonométrie. 



xcvT. X^A résolution des triangles, telle qu'on fient de 
l'exposer , ne laisse rien à désirer du côté de la généralité. 
11 est néanmoins quelques circonstances où l'on peut , avec 
aTitntage, substituer des solutions particulières aux solu- 
tions générales , soit pour abréger les calculs , soit pour en 
rendre les résultats plus eiacts et plus indépendants de 
J'errear des labtes. -Nous allons résoudre quelques-uns de 
ces cas particuliers , en choîsîssanl ceui qui sont de l'usage 
le plus fréquent , ou qui conduisent aux formules les plus 
remarquables. 

Nous conlînueron» de désigner par A , B , C , les a 
du (riangle proposé, recliligne on sphérique, et par a, 
les côtés qui leur sont respecûvement opposés. Nous sup- 
poserons de plus le rayon des tables^z i , ce qui n'altère 
pas la généralité des résultats. Les angles A , lî , C, si 
exprimés dans le calcul , soit par les degrés , soit par les 
longueurs absolues des arcs qui les mesurent , ces arcs 
pris dans le cercle dont le rayon est i. Si un angle t 
art j; est très-petit , on pourra mettre , au lieu de sin 

cos r, leurs valeurs en séries; savoir : stn ,i:^=.r— ■ ■■ ■■- + etc., 

cosjrz=i \- etc.; mais alors .r doit être exprimé en 

parties du rayon. Un arc étant trouvé en parties du rayon , 
pour avoir sa valeur en minutes , il faut le multiplie 
par le nombre de minutes comprises dans le rayon ; ce 

nombre est ::= C3G6.nj77a37 , et son logarithme 

=^'i.3o38Soiaï])7. 



i^ 



"" TRIGONOVlâTRIB* 4^7 

S. I. Des triants rectilignes dont deux angles sont 

très -petits» 

XGYiT. Supposons que les angles A et B soient très-petits 

et par suite C très-obtus , on pourra faire sùi A=A— ^ A' , 

sin B=B — iB% et sin C = «>i(A-f-B) = A-f-B-f (A4-B)'. 

Si donc on connaît le côté c avec les angles adjacents A et 

B , on trouvera les deux autres côtés par les formules a = 

c sin A , c sin B . 

■ • , b = -r—n — =rr » lesquelles , en substituant le» 

sm{A-hB) «/i(A+B) ^ 

valeurs précédentes et réduisant , deviennent 

rA / aAB + B*\ 
— bO+ — 6— } 



a 



cB / A'4-î»AB\ 
= ÂHhBV+— 6 j' 



et de là résulte a-|-^ — c=^c AB. Ces valeurs sont exactes, 
aux termes près qui contiennent quatre dimensions en A 
et B. 

xcTiii. Supposons en second lieu qu'on donne les deux 
<;6tés â5 et ^, avec l'angle compris C= tt — -Q > 6 étant très- 
petit. On aura d'abord c*=a*-f-6*-t-2«^ cos 6 =a*4-^*+2a6 
(i— tÔ") = (« + ^)*— «^8';donc 

c = «4-^ — T- — r-j- 

Ensuite l'angle A se trouvera par réquation sinAzzz-sinXlrz 

-* c 

a 

-sin Q, d'où l'on tire , en substituant la valeur de c et celle 
c 

a / ah \ aè 

de «•« e , «•« A = -— ( e +T . r-rrr; e' - :-e' ) =— ri 

a+b\ («H-o) y a-\-b 

(ab—a'—b' e*\ 
*+ {a+by 'Tj- 

a% abCa^-^b) 4' 

Donc ÈLzzzsin K+^sin^ A= 1 ^^ -> — . De là 

a^b [a+by 6 

on déduirait la valeur de B en permutant entre elles les 

lettres a et b ; mais A étant connu , on a immédiatement 

B=0~A. Si 6 est donné en minutes , pour avoir A exprimé 

Ifeuv. édiû. 27 



4i8 TBICOROXÉTRIE. 

■asst en minutes , il faudra , dans Ips formulei précédente!, 
substituer, au lieu de A et fl, les rapporii—i—-, R étant le 
nombre de minutes comprises dans le rayon. On aura ainu \ 

icn.. Pour donner nn exemple de ces formules , soit as^, f 
"""°°° - C^Y =0.037806, d'où c=3399", 962194. En- 

3400 \Hy 

■ . "^ I 

■mteonaparunepremiereapproiimalionA^— — ^ao , et 

B:^6 — K= Ifi'', mais la formule entière donne A,^ao' 



r _ a4ooXi4oo /'6SY]_ 
L* 6{34oo)' 'v.Ry J" 



6 (3400)- 

B = 48'- 0001 10^4, Taleursqni doivent être exactes jusque 
dans U dernière décimale. 

§. II. Résolution du troisième cas îles triangles rectitignes 
par la voie des siries. 

C. Etant donnés les deux cotés ^ et b et l'angle compris C. 
pour trouver l'angle B, on a la proportion b ; a :: Ji'n ït : 
sin (B + C), laquelle donne a sin B = 6 t*'" B coj- C 4- 
sin B b sin C 

cas Bsin C), et par conséquent ^ . Si dans 

' ^ ^ cosB a — bcosC 

cette équation on met à la place des sîni 
valeurs en eiponentielles imaginaires', on aura 



Prenant les logai'illimes de chaque membre et développant 



TRIGONOMETRIB. 4^9 

le second en série d'après la formule connue L (« — .r)= 



oj X* an^ 



La etc.* on aura 

a B v/- 1 = -eC^-i + -^«C»/-i ^ ^^Scv^^i^^etc. 
a VL a* 3 a' 

_*e-<:'^-'_ile-»C^-i_il«-3C^_._^,^ 
a aa* 3 a' 

Donc en divisant par i\/ — i , et observant que e"*^^ ^ — 

^'—'^^ *=zav/ — I ^'^^ /w C, on aura 

« ^ . *• ^' ** 

Bi==r'SinC-\ 'Sin% C-j--— rJzVi 3CH r«/î4C+etc. 

a 2 a* 3 a* 4 a* 

C'est la valeur de Tangle B , exprimée en parties du rayon , 
par une suite dont la loi est très-simple , et qui sera d'au- 
tant plus convergente que ^ sera plus petit par rapport à a, 
"La valeur qu'on vient de trouver doit satisfaire aussi à 

l'équation tang{ B -f- j C )= tang\ C , qui est la même 

a— o 

a— ^ 
que tang 7 ( A — B ) = cot^C^ et qui ne diffère que par 

a I'" " 

, - - , ,w , sinB b sin C 

la forme , de 1 équation = 



co^ B a — bcosQ 

CI. L'angle B étant connu , on aura le troisième angle 
A;i=20o**— B— C. Quant au troisième côté c, il dépend de' 
l'équation c*=a'—2a6cof €4-^*9 laquelle donne par l'ex- 
traction de la racine y 

6* . b^ , 

cizza—^b cos CH '-^sin* CH sin* CcosC — etc. 

aa 2 a' 

Mais cette série n'a pas une marche régulière , et ne peut pas 
être continuée à volonté. Au contraire, on peut trouver une 
série fort simple pour la valeur du logarithme hyperbolique 
de c. En effet, il est facile de voir que la quantité a' — 2ab 

cos C-\-b* = (a— £>e^^^0 ( a — ber-^^—^) ; car le produit 
développé de ces deux facteurs donne 

a* — ab{e^^—^+e-^^-^^)'^b*,oua* — :iabcosC+b*. 

On adoncc*i=(a— ^e^^-0 (a— ^c— ^^— 0- 
Prenant les logarithmes de chaque membre, il viendra 

27. 



4*a TBIGONOMÉTIIIX. ^^ 

Donc en r<<i]u!sant de nauTean à l'aide de la formule 
,"'<'^-'-l-e--<'^-' = ^.o.mC, on aura 

f> b' b' 
Le— L« cas C cos-xC -cotZ C — et». 

a aa' 3a' 

série non moins cléganle que celle qui donne la valeur de 
B ; il faudra multiplier ses différents termes par le module 

0.43431)448 , si on veut que les logarithme» soient ceux des 
tables ordinaires. 

S. in. Resolution du troisième cas clei trianglct spiu-riqyes 
par la voie des séries. 

eu. On a fait voir dans le paragraphe précédent que I2 
Tolcttr de x tirée de l'à|u«tion tang x ■= tang 7 C , 

]ieot s'exprimer par celle série 

.i7=iCH sinC-\ — '— sin 2 C-\--^—^sln?, C-\-e\c. 

Or dans un triangle siiliOrîque où l'on connaît les deux 
cùt'.'s fi et 6 et l'angle compris C , on a par les analogies de 

I>;éper *. 






K + K _,a,{ia+--b) 



Donc, en \eriu de la formule prétédeiite et supposant 
toujours l'<,a, on aur£i 



TRIGONOMÉïRIfi. 4^1! 

Jt-B . ,^ tang\b . tang^ ^h , 

— , — moo* — ^C -^-^— Jf«C -— f^« a G 

s tangua 7.tang^-a 



% 1 
^^^ ^ fiwSC— etc. 



3 /a/i^^ 7 a 

A.4-B ^ ' ^ tang^h . ^ tang^'^b , 

— — = loo** — ^C -I ^-^ «/« C ^— ^- «W a C 

a co^ * « a co^* -j a 

-f- ^ ^Z sin 3 C— etc. 
3 cot^ i a 

Suites dont la loi est très-simple , et qui seront d'autant plus 
convergentes que b sera plus petit. La première est tou- 
jours convergente , puisqu'on suppose ô<«; la seconde le 
•era aussi , si on a tang\ b<cot^ a , ou « + ô< aoo**. YA\e 
serait divergente et fausse si on avait a+6>aoo**, mais ce 
cas peut toujours s'éviter ; car la résolution du triangle 
BCA dans lequel on aurait CA-h CB > aoo®, se réduit tou- fig. n, 
jours à celle du triangle A'CB' dans lequel on a C A'-f- 
CB'<aoo^. Au reste, la seconde série est dans sa plus 
grande convergence , lorsque a ei b sont tous deux très- 
petits ; alors le troisième côté c est très-petit aussi , puis- 
qu'on doit avoir c<a-\-b ^ et le triangle sphérique diffère 
très-peu d'un triangle plan ; dans ce cas l'excès de la somme 
des trois angles sur deux angles droits , s'exprime ainsi : 

A+B-l-C— aoo**=:7 tang- a tang ^ b sin C- ~ tang^ \ a tang* -j b sin a G 

+ y tan^ 7 a tan^ ^ ô «>i 3 C — etc. 

cjii. Pour trouver le troisième côté c du triangle proposé, 
on a l'éqtkation cos czzzcos a cos b -\- sin a sin b cos C , de 
laquelle il est aisé de déduire les deux suivantes : 

sin^^c-zzsin^^acos^^b—isin^acos^bcos^asin^bcosC-^-cos^^asin^^b 
€OS*\c:=:cos*^cos*\b+icos\acos\bsin\asin^bcosC'\-sin*\asin^^b. 

Par la forme de ces valeurs on voit que sin ^ c peut être 
regardé comme le troisième côté d'un triangle rectiligne 
dans lequel on aurait les deux côtés connus sin ^ a cos 76, 
eos 7 a sin 7 6 et l'angle compris G ; de même ços 7 c est le 
troisième côté d'un triangle rectiligne , dont deux côtés 
seraient cos -j a cos ^b ^sin^a sin \bet l'angle compris aoo® 
— G. Donc on a par la formule trouvée pour les triangles 
Tectilignes *. * cz. 



42^ f RI60NOMÉTRIE. 

tang^ b ^^à*\ ^ 

îogsin Y czzlog{sin^a cosjb) ^— cosC ; — - — cos aC — etc. 

tang\ a a tang* 7 a 

> / , . .N tans\b ^ tans^^b 

logcosjC=log{cos\acosjb)-\ ^ — cosC ^^^-^ — cos aC+clc 

cot-^a tàcot^^a 

Il est à remarquer ultérieurement que comme chacun des 
triangles rectilignes dont nous, venons de parler peut se 
résoudre par le moyen d'un triangle rectiligne rectangle , 
on peut directement réduire la résolution du triangle spbé- 
rique proposé à celle d'un triangle rectiligne rectangle. 

On trouve par ce moyen que sin 7 c est l'hypoténuse d'un 
triangle rectangle dont les côtés sont sin-^ (a+6) sin-jC et 
sin-j (a — b) cos -i- C. De même cos 7 c est l'hypoténuse d'un 
triangle rectangle dont les cqtés seraient cos^ (^*— ^) cos~C 
et cos 7 (a-^-b) sin y C. 

De plus , si on appelle M l'angle qui dans le premier trian- 
gle est opposé au côté sin 7 (a — b) cos-^ C , et dans le second, 
jN l'angle opposé au côté cos 4 (a—b) cos i C , il résulte des 

A-B A+B 

analogies de Néper qu'on aura =M, et = N ou 

a a . 

= aoo®— N ; savoir : = N si a + è< aoo® , et 

a a 

=:aoo® — N si a + ô>aoo**. Donc dans tout triangle sphé- 

rique où l'on connaît deux côtés a et 6 et l'angle compris C , 

on peut trouver directement chacune des quantités 7 c , 

A-4-B A— B 

, •- , par la résolution d'un triangle rectiligne 

a a 

rectangle où l'on connaît les deux côtés de l'angle droit. 

Il résulte aussi de là qu'après avoir trouvé Tangle M ou 

A— B , ^ , sin^(a-^b) 

■ par la formule tang^ziz —, ^ rr co* 7 C , on 

.a sinHa+b) 

peut calculer le troisième côté par la formule sin {- c = 

sin 7 {a — b) cos^C sin^{a-i-b) sin 4 C 

sin M cos M 



y, B, Les formules troayées dans ce paragraphe s*appli<inerunt 
aisément à la résolation dà cinquième cas des triangles sphériqaes , 
pnisqae celui-ci pent se rapporter an troisième par la propriété do 
triangle polaire. 



TRIGONOMÉTRIE. 4^5' 

J. IV. Résolution d*un triangle sphéiique dont deux côtés 

sont peu différents de loo** 

ciY. Soient a tX b les deux côtés donnés peu différents 
de loo^, on propose de déterminer l'angle C par le moyen 
des trois côtés a^b^c. «. 

Si les côtés a elb étaient exactement égaux à loo^, on 

aurait C = c ; donc aet b différant très-peu de loo**, l'ànglc 

C aura pour mesure un arc très-peu différent de c. Soit a = 

loo^-f-a, 6 = ioo^-i-ê, Cz=c-\-jc ; si on substitue ces va- 

cos c — cos a cos b 

leurs dans Téquation cos C = : : — ; 9 on aura 

sin a sin b 

cos c — sin a sin 6 __ . 

eos (c+x) z= . Mais puisque a et g sont 

cos CL cos ê 

supposés très -petits , on peut en négligeant seulement les 
termes où a ou ê montent au quatrième degré , faire 

sin a sin 6 =z «6 , cos a cos 6 = 1 , ce qui donnera 

a a 

/ cos c ■""" tt é 

Or , en négligeant le quarré de ^ , on a cos (c-h^) = cos c — 
X sin c; donc • 

a,^—^{^r\-V)cosc 

sin c 

Et puisque x est du second ordre par rapport à- a et g , on 
Toit qu'il.n'y a de négligées dans cette valeur que les quan- 
tités du quatrième ordre. Soit 7 (a+6) ■=.p^^ («— ê) = ^ » 
ou at.^=p+qj ^z=.p^q^ on aura sous une forme plus simple 

(I ^cos c\ /i + cos c\ 

.in. r^\ c;n. )=P*tangTC-q^COt\C. 
Sin c y \ sm c y 

Cette valeur est exprimée en parties du rayon ; mais comme 
dans la pratique p et q sont données en secondes , si Ton 
veut que x soit exprimé aussi en secondes , il faudra faire 

''^=^^tang\c—z-cot\c^ 
H étant le nombre de secondes contenues dans le rayon ^ 



\ 



^sf TniCONOVF.TBIB. ^M 

nombre don) le logarithme = 5.8o3»8oi. Connaissant xf 
(in onra l'angle cherché C :r^ir+j-. 

Le formule que nous venons de Iroriyer est at!1e dans les 
opëralion» g^di^siqiies pour réduire à l'horizon les angles 
observés dans des plans inclinés ; elle est plus expéditive et 
demande des tables moins étendues que la formule du cas 
premier di?s triangles spLériques , dont nous avons donné 
un exemple (n" gJl). Cependant, si les élévations ou dé- 
pressions a et 6 étaient de plus de a ou 3 degrés , il serait 
plus làr de se servir de la méthode générale. 

S. V. Ri'iolutioi» lies trian^eî spkériqaes dont lei côtés sont- 
tr^f-petits par rapport au rayon de la iphere. 

CT. Lorsque les côtés a, b, c, sont Irês-pelits par rap- 
parl an rayon de la sphère , le triangle proposé est pea 
différeni d'un triangle recttligne ; et , en le considérant 
comme te] , on peiii ett avoir une première solulioD appro- 
chée, RUiis on néglige de celle manière l'excès de la somme 
dM angle» sur aoo". Pour avoir une solution pins appro- 
' chft > U Inot tenir eomple de cet neès , et c'est ce qu'on 
peut faire tK's-aiii'iiient , au moven d'an principe général 
que nous allons di-motiirer. 

Si'it r 11" ravoii d<' la sphère sur laquelle est situé le irian- 
j;le pri.nH>si- , si l'on imsiiine un iri^iiij:le sembbble tracé sur 
1.1 sphort dont le ravon eil i . les cvtes de ce triangle seront 



r est furt firaihl par rapport â 
'sut. nunier* ii«a-ap|icixkee * «vi - 

». 




ÏRI60K0METRI8. 4^S 

valeurs dans Téquation précédente , et négligeant les tennes 
de plus de quatre dimensions en a , ^ , c , on aura 

b*-\-c* — a* a*—b* — c* b*c* 
+ 



a r* 24 r* 4 r* 

«I» A= 



6c/ ^ ^ c* \ 



Multipliant les deux termes de cette fraction par i -\ j— 

et réduisant , on aura 

COS Az:z — 1 ; . , 

nbc 7.1^ h cr* 

Soit maintenant A' l'angle opposé au côté a , dans le trian- 
gle rectiligne dont les côtés seraient égaux en longueur ai|X 

arcs iz, 6, c; on aura cos Kz=z et 4 b*c*sin*K' 

a bc 

z=Liha* b*-\-%a^c* + nb* c* — a* — b* — c*. Donc 

bc 
COS A= COS A' — -— sin* A'. 

Soit A = A'+ ar , on aura en rejetant le quarré de j?, 

bc 
cas A= COS A'— x sin A', d'où l'on voit que xzzz'r-sinA'; 

b c . ' 
«t puisque x est du second ordre par rapport à - et -, il 

s*ensuit que ce résultat est exact aux quantités prèà du 
quatrième ordre. On aura donc 

bc 
A = A'+-— -sin A\ 



6 



r 



Mais ^ bc sin A' est l'aire du triangle rectiligne dont a^b^c 
sont les trois côtés , laquelle ne diffère pas sensiblement de 
celle du triangle spbérique proposé. Donc , si Tune ou l'autre 

aire est appelée a , on aura A = A'+ -— ; , ou A'z= A — r — . 

mm mm 

On aurait semblablement B'=B , C = C — :r-^ , et 

3 r" 3 r* 

il en résulte A'+B'+C ou aoo® = A+B+C— 4- ^ 

T 



4i6 

peut donc ci 






G étant l'excès de la lomrae 



des trois angles du triangle iphériqne. proposé sur deai 
angles droits. Cela posé , on a te théorème remarquable qui 
réduit la résolution des triangles sphériques Ircs-petits, à 
celle des triangles rcclilignrs. 

Etant proposé un triangle iphérique dont les côtés sont 
trrs-petils par rapport au rayon de la sphère , si de chacun 
de ses angies on retranche le tiers de l'excès de la somme des ' 
trois angles sur deu.r droits , les angles ainsi diminues pour- 
ront élrt pris pour les angles d'un triangle recliligne , dont 
les calés sont égaux en langueur à ceux du triangle sphé- 
rique proposé , ou en d'autres termes : 

Le trian^ sphérique très-peu courbe dont les angles 
sont A, B,C , et les côtés opposés a , b , c , répond toujours 
à un triangle rectiligne qui a les côtés de même longueur 
a , b , c , et dont les angles opposés sont A — r' i B — j £, 
C — î ' > E étant l'e-rcès de la somme des an^es du triante 
sjihériqae proposé sur deux angles droits. 

cvi. L'excès e ou -;■ , qui est proportionna k l'aire da 



ingle, peut tonj.m 
triangle spliiTi<[ui 



,«lilie„e. Si Hc» 



igles adjacents It , C, on aur, 
nsiiilc on anra ï ^^ — R , Ré 



' sin (B+C) 
t le nombre de secondes 



Pour appliquer ces formules aux triangles tracés sur la 
irface de la terre, considérée comme spliérique (i), il 



(trre ; niais . par An irduclioui rouïf oahles . m 
iauples obiervét Its triangUs qui résulteut île In pm 
Dm sur une même surface sphérique perpeudicnUii 



TR I60NOMETRIE. 4^7 

faudra supposer que les côtés a, 6, c, ainsi que le rayon de 
la terre r sont exprimés en mètres. Or , puisque le quart 
du méridien Y^r est éfjal à 10000060 mètres , on en conclut 
log rnr 6,. 8o388oi ; d'un autre côté le rayon R'expriiné en 
secondes , a pour logarithme 5,8o3.88oi. Donc si au loga- 
rithme de Taire a exprimée en mètres quarrés , on ajoute 
le logarithme constant 2.196119 , et qu*on retranche dix 
unités de la somme , on aura le logarithmie de Texcès e 
exprimé en secondes. 

Connaissant e on retranchera ou on supposera retranché 
y 6 de chaque angle du triangle sphérique proposé , et alors 
dans le triangle rectiligne formé par les côtés a, ^, c, et les 
angles A'=A'— |e, B'=B— f e, C'=C — |-e , on aura 
les données nécessaires pour en déterminer toutes les par- 
ties. Ainsi on connaîtra en même temps celles du triangle 
sphérique proposé. 

CYii. Exemple. Soient donnés Tangle C et les deux côtés 
a et b, savoir : ^ 

CzziiaS** 19' 99". 23 
log azzili, 5891 5o3 
/o^ è = 4.5219271 

la quantité \ah sin C qui représente l'aire du triangle , 
aura pour logarithme 8.78055^ à quoi ajoutant 2.19612, 
on aura log e = 0.97667 , partant e = 9". 48 et j e = 3". 16. 
Cela posé , il faut résoudre le triangle rectiligne dans lequel 
on a les deux côtés a et b comme ci-dessus y et Tangle 
compris C'=: i23° 19' 96". 07. Pour cet effet, nous sui- 
TTons la méthode du n* 56 , 

a . 4.589i5o3 ^«/?^(Ç — 5o") 8.8878392 

b 4.5219271 cotjC 9.8381110 

tang^,.. 0.0672232 



tang 



9 =54" 90' 74". 72 
^C' = 6i 59 98 .o3 

)o**-tC'=38 40 I .97 



A' 


— B' 


> • • '. 


• 8.725g 


k^noi 




. • . • 
2 


)sj\t A 


A' 


— B' 


3* 


38' 39" 


.27 




2 


A' + B' 
2 


38 


40 I 


•97 




A' — 


41 


78 41 


.24 




B' = 


35 


I 62 


.70 





.4*8 TBIGOITOMÉTIIIK. 




n rette ■ déterralncr le troisième cote c, ce qui se fera par 




asinC 




a 4-589i5o5 J 




sinh---. 3-7854893 ■ 








smC'. . 9.9705008 «WB'... 9.7182661 ■ 




U>gc = .. 4.7741618 logb=: 4-5^191171 1 




Donc dans le irinngle sph^rique proposé , les cléments qu'H'"^ 




fallut trouTcr aont : 




A = 4.°78'M"-4o 




B = 35 I 65 .86 










•t. 


. nsonclre Irs tri»r(tles dans lesquels deiu cùlés scrsieiil Irès-peu dilTé- 




nnrt do »oo° et le troisième irèi-|ieiïi. C*t , ra prolongeant les gnudi 




côté» A'C, A'fi.OD aur» du triangle jphériqmi LGA, dout fei iroi» 


► 


cdtci MTOQt très -petits. 

S. VI. Des triansfcs fphrrif/iie.t dont deux angfcs sont 



<:tiii. Soit ABC le triangle sphérique proposé dans lequel 
A et B sont deux angles tri's-aigus , soit 13IN son triangle 
polaire , de sorte qu'on ait MK = aoo' - A et LN = 200°- B. 
Si on prolonge tes arcs 1S'M,NL, jusqu'à leur rencontre en 
K, il est clair qu'on aura Kîll::^A , et KL=:B , le triangle 
LKM aura donc ses côtés Irès-pelits , et it sera dans le ca» 
d'être résolu par la méthode du paragraphe précédent. 
Soient A', h', C, les trois angles et a', A', c' les trois cotés 
du triangle LKJVI, on aura 

A' — MLK — û fl' = KM = A 

B'=L>IK^ b f^LK = B 

C'i=LkM = aoo"— e c' = LM = 200" — C. 
Donc trois éléments connus dans le triangle ABC en don- 
neront trois dans le triangle LKM , et par conséquent trois 
aussi dans le triangle rcctiligne auquel le triangle LlvM 



T!>. 



yeut être ramené : or celui-ci étant résolu , on aura la 
solution du triangle LKM , et de là celle du triangle pro- 
posé ABC. 

cix. Soit par exemple , A=3®, B=a® et le côté adjacent 

€ç=z 1 5o**, les données du triangle LKM , ou plutôt A'B'C > 

seront âf'= 3^, 6' =2^, et l'angle compris C'=z:5o®. Par 

le moyen de ces données , on trouve Texcès sphérique £ 

la'b'sinC ^ , 
-^ _ = 333 .21 , et le tiers de e étant retranché 

de C, le reste sera 49** 9B' 88 ".93. Il faut donc résoudre 
un triangle rectiligne dans lequel on a les deux côtés a'=: 
Soooo", è'= 20000", et l'angle compris C"^49** 98' 88 ".93. 
On trouvera les deux autres angles A''=io3*^ 64' 86". 33, 
B"=46** 36' 24" .75, etle troisième côté£;'=2i244".36; 
ajoutant doncj£ aux angles A" etB" du triangle rectiligne, 
afin d'avoii;Ies angles A ' , B ' du triangle sphérique, on aura 
pour la solution cherchée 

A' =«= io3^65'97".4o 

B' = b= 46 37 35 .82 

C = aoo*^ — c'=: 197 87 55 .64 

j. VII. Du polygone régulier de dix-sept côtes, 

ex. Nous terminerons ces applications du calcul trigono- 
inétrk[ue en donnant , d'après l'excellent ouvrage de Gauss 
cité page 112, la manière d'inscrire le polygone régulier de 
1 7 côtés par la simple résolution des équations du second 
degré. 

ioo** 

Soit l'arc = ç, je dis d'abord qu'on aura l'équation 

17 

€OS ^-Kojr 3Ç-+-COJ 5Ç-H:o^7 9-Ko^ ^^+cos 1 1 ^f-{^os 1 3 ^-{-cos i 59=t* 

Car si on appelle le premier membre P , et qu'on multiplie 
tous ses termes par 2 cos f ; qu'ensuite on change chaque 
produit de deux cosinus en cosinus d'arcs simples d'après 
la formule : 

2 c(wAcojBz=cof (A-f-B)-J-cof (A — B) 
on aura 

aPcof 9=1+2 c4)fa?+2cof4?+2cof 69 .+acof i4?+co5ï59a 



43o TRICOSOMIÎTRïE. 

Or puisque 17 ? = 200' , on a coi- :i<f = cos (aoo°~ 1 5?)= 
~-co> i5 ?, co.» 4 ? = cos {^an-—i'if)= — coj i3 ?, tt 
ain»î de luile jusqu'à cos 16 Ç^ — coi Ç. Donc 
iPcotf^i-icM- iSf-a cofii <p-a cos 1 1 Ç...-3 coi ÎÇ-coi? 
ouaPcorÇ— i4-ewî-aP,ouaP(i4-coj?) = i + coï9. 
DoncP=:^. 

Cela posé , je partage la soronie des termei qui composeiU 
V en deux parties , savoir: 

;r — ew 3 <p -f- ''o» 5 î + «M 7 ? + cm n ç 

J'aurai donc d'abord j+r;=j; je multiplie ensuite les 
quaire rennes de .v par les quatre termes de /, el chan- 
geant les produits de cosinus en cosinus d'arcs simples, 
j'obtiens, toutes réductions faites , 

j:j:= licosif + cos!tf'^-cas6f.-.'i-cosi&'^] 
ou :rjr=— ï(coi iSî + tw ilf-\-cotii<f...-\-eo><f) 
ou enfin xy = — i. 
Au moyen de ce» équations on trouve 

Maintenant si l'on .partage de nouTcan les sommei lt et j 

chacune en deux parties, savoir; 

J- — J'+ï j = u-\-z 

y — <-o.(39 + co^5ç u — COI-p + COTlS? 

i=coj-7 9+roîii9 a— cof9?-|-coîi5<P, 
un trouvera scmblablement 

De sorte qn'on pourra déterminer les quatre nombres s , t, 
u, ;, à l'aide de deux nouvelles équations du second degré. 
■ Enfin connaissant coJ ? + cot i3 ? = u et co.i- ? cof 1 3 -p 
= !; {_co< lif + coy il,f;f) = ^^ [cos^O +coi5r, = -U, 
on obliendra , par une quatrième équation du second degré, 
la valeur de co.t O , et de là celle du côté du polygone pro- 
posé , laquelle est 2 lï/i ? ou s;/(i— cas' ç). 

Quant à la méthode qui a dirigé le partage de ces di- 
verses équations , elle tient à une théorie irès-délicale, 
fondée sur l'analyse indéterminée, et dont il faut voir le 
développement daits l'ouvrage juëme de Gauss, ou dans 



TRIGONOMÉTRIE. 4^1 

l'Essai sur la tLéorie des nombres, deuxième édition. On y 
trouvera la démonstration complète de ce théorème très- 
beau et très-général : 

« Si le nombre n est premier , et que n — i résulte du 

« produit des facteurs premiers 2* 3 5 , etc. la division 
« du cercle en n parties égales pourra toujours se réduire 
« à la résolution de a équations du deuxième degré , g du 
« troisième , y du cinquième , et ainsi de suite ». 



FIN. 



DE L'IMPRIMERIE DE FIRMIN DIDOT. 



Elemens" (sie ûehmetrie 1^1.1. 



V 



J 



B 






Elemens" (sieûehmetrie 1^1.1. 



/ 



B 





M 



ef 



\ 



^ jf ^ 




) \ 



I 



■' 



I 



il9^ 



/ 



— 1» 




£ 



T 1 



B 




màri^t^lémefup c/e Ceomèérùe 7^/. ^. 




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outre/ Siemens OB' €eomeà*ie' J^I.m. 






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